Текст
                    SPINORS AND SPACE-TIME
Volume 1
TWO-SPINOR CALCULUS
AND RELATIVISTIC FIELDS
ROGER PENROSE
Rouse Ball Professor of Mathematics, University of Oxford
WOLFGANG RINDLER
Professor of Physics, University of Texas at Dallas
CAMBRIDGE UNIVERSITY PRESS .


Р.Пенроуз, В.Риндлер СПИНОРЫ и пространство-время два-спинорное исчисление и релятивистские поля Перевод с английского д-ра физ.-мат. наук Д. В. Гальцова и канд. физ.-мат. наук В. И. Хлебникова Москва «Мир» 1987
ББК 22.31 П25 УДК 533.9.01 Пенроуз Р., Риндлер В. П25 Спиноры и пространство-время. Два-спи- норное исчисление и релятивистские поля: Пер. с англ.— М.:Мир, 1987.-528 с, ил. Первый той фундаментальной монографии известного английского ученого Пенроуза н известного американского ученого Рнндлера, в которой впервые в мировой литературе с единых позиций излагается широкий круг вопросов, связанных со спняорными методами в теоретической физике. Авторы излагают 2-спинорное исчисление, наделяя спинорной структурой само физическое про- странство-время, причем понимают это как более глубокий уровень описания, нежели обычный подход, использующий мировые тензоры. Для. физиков-теоретиков широкого профиля (не только работающих в об- ласти релятивистской физики и физики элементарных частиц) в математиков, а также аспирантов н студентов соответствующих специальностей. Редакция литературы по физике и астрономии © Cambridge University Press 1984 This book was originally published in the English language by Cambridge University Press of Cambridge, Eng- land. Reprinted with corrections 1986 © перевод на русский язык, «Мир», 1987
Предисловие переводчиков Профессор Оксфордского университета Роджер Пенроуз—¦ один из авторов монографии «Спиноры и пространство-время», перевод первого тома которой предлагается вниманию читателя, не нуждается в особом представлении нашей аудитории1). Фун- даментальный вклад Пенроуза в теоретическую физику закреп- лен прочно вошедшими в научный лексикон терминами «диа- грамма Пенроуза» (конформная диаграмма для геодезически полных моделей пространства-времени), «процесс Пенроуза» (способ извлечения энергии вращения из стационарной черной дырыI, «теоремы Хокинга — Пенроуза» о сингулярностях, воз- никающих в ходе гравитационного коллапса, «преобразование Радона — Пенроуза» [1] и, наконец «формализм Ньюмена — Пенроуза» — один из наиболее мощных методов современной общей теории относительности. Ряд работ Р. Пенроуза, преиму- щественно обзорного характера, имеющих прямое отношение к тематике данной книги, переведен на русский язык [2—8]. Другой автор монографии — профессор Техасского универ- ситета Вольфганг Риндлер — также пользуется заслуженной из- вестностью среди гравитационистов. Метрика Риндлера приме- няется во многих исследованиях по классической и квантовой теории гравитации, а представления о «риндлеровском вакууме» и «риндлеровских частицах» в последнее время вошли в круг основных понятий кв,антовой теории поля в искривленном про- странстве-времени [9]. Таким образом, перед нами первый том фундаментальной монографии двух крупных зарубежных ученых, в которой впер- вые в мировой литературе с единых позиций излагается широкий круг вопросов, связанных со спинорными и твисторными мето- дами в теоретической физике. Центральное место в первом томе монографии занимает по- ') Том 2 («Спинорные и твисторные методы в геометрии пространства- времени») намечается к выпуску на русском языке в 1988 г.
6 ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКОВ нятие комплексного спинорного объекта, обладающего тем свойством, что при повороте на 360° он не возвращается в ис- ходное состояние, но переходит в себя лишь при дополнитель- ном вращении на такой же угол. Со времени открытия Дираком знаменитого уравнения, носящего его имя, и осознания того, что частицы с полуцелым спином наиболее естественно описыва- ются с помощью спинорных полей, последние вошли в физику в полном равноправии с тензорными полями различного ранга. Однако описание самого пространства-времени, его причинной структуры и геометрии традиционно ассоциируется с использо- ванием тензорного анализа. Новаторство авторов книги заклю- чается в том, что они наделяют спинорной структурой само фи- зическое пространство-время, понимая это в некоторой степени как более глубокий уровень описания. Наличие спинорной струк- туры приводит к появлению добавочных степеней свободы про- странства-времени, которые не могут быть описаны в рамках обычного подхода, использующего мировые тензоры. Существо- вание таких степеней свободы в полной мере проявляется в квантовой теории. Простейший из спинорных объектов — двухкомпонентный комплексный спин-вектор — имеет своим геометрическим обра- зом в пространстве-времени «изотропный флаг», определяемый заданием некоторого изотропного направления (флагштока) и прикрепленной к нему изотропной двумерной полуплоскости (полотнища флага). Тем самым спинорная структура простран- ства-времени естественным образом приводит к изотропной тен- зорной структуре, определяемой четверкой линейно независимых комплексных векторов — изотропной тетрадой Ньюмена — Пен- роуза. Последовательное применение идеи изотропной тетрады привело, как известно, к построению формализма Ньюмена — Пенроуза, активно использовавшегося в шестидесятых — первой половине семидесятых годов для поиска новых точных решений уравнений Эйнштейна [10—12]. Плодотворность этого метода в общей теории относительности связана с тем, что двухкомпо- нентные спиноры и ассоциируемые с ними изотропные векторы тесно связаны с главными изотропными направлениями грави- тационных полей и тем самым с их внутренними алгебраиче- скими симметриями. Этим же объясняется и эффективность ме- тода изотропной тетрады при исследовании негравитационных безмассовых полей на фоне метрик алгебраически специальных типов по классификации Петрова. На базе метода спиновых коэффициентов был сформулирован получивший широкое рас- пространение так называемый метод Тьюкольского, с помощью которого был получен целый ряд изящных результатов в новой области математической физики — теории черных дыр. В рам- ках этого метода удалось построить исчерпывающую теорию
ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКОВ Т возмущений черных дыр полями с разным спином, включая электромагнитные и гравитационные возмущения, массивное и безмассовое поле со спином 1/2, массивное векторное поле и др. [13, 14]. Эти исследования непосредственно примыкают к кван- товой теории микроскопических черных дыр. Выделенная, с точки зрения спинорной структуры, роль изо- тропных направлений в пространстве-времени обусловливает особую простоту описания на спинорном языке безмассовых по- лей, распространяющихся вдоль таких направлений. Опорной точкой теории служит интегральная, формула, связывающая значение поля (описываемого симметричным спинором произ- вольного ранга) в пространстве-времени с «начальным» значе- нием этого поля на световом конусе. При таком описании для полей с любым спином не возникает «лишних» компонент и связей — трудность, с которой приходится сталкиваться в стан- дартной теории поля, формулируемой на тензорном языке. Раз- витие этих представлений привело Пенроуза к концепции «точ- ной системы полей» (exact set of fields), характеризующийся тем, что задание минимального числа данных (без связей) на световом конусе полностью определяет поведение системы всюду в пространстве-времени (а при включении в эту систему грави- тационного поля и саму структуру пространства-времени). При таком подходе удалось описать и распространение массивных полей, а также системы полей с нетривиальным взаимодей- ствием, хотя в этих случаях аппарат становится менее изящным и, по мнению самих авторов, в данной формулировке малопри- годным для практических вычислений. Однако сама возмож- ность описания систем взаимодействующих полей с разными спинами без связей представляет принципиальный интерес. В последнее время в литературе, посвященной вопросам об- щей теории относительности, получила широкое распростране- ние система безындексных обозначений, в которой под векто- рами и тензорами понимаются линейные операторы, действую- щие в соответствующим образом построенных пространствах [15, 16]. Модификацией этой системы является используемый в книге метод абстрактных индексов. Символом с абстрактным индексом обозначается соответствующий оператор, причем ин- декс служит частью символа данной величины и не принимает численных значений. Преимуществом такой системы записи яв- ляется большая «узнаваемость» объекта. Численные значения данной величины с абстрактным индексом являются коэффи- циентами разложения этой величины по базису объектов той же природы. Последовательное применение языка абстрактных ин- дексов приводит к тому, что на первый план выступают алге- браические соотношения между величинами, вводимыми в тео- рии. Это порождает тенденцию к формулировке основных
8 ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКОВ аксиом теории на алгебраическом языке, хотя используемые структуры фактически имеют геометрическое происхождение. В таком подходе, например, «удлиненная» производная в элек- тромагнитной теории или ковариантная производная в теории Янга — Миллса и общей теории относительности являются более «элементарными» операторами, нежели обычная частная произ- водная; последняя возникает лишь после выбора калибровки. Особый интерес в этом отношении представляет данная в книге трактовка теории полей Янга — Миллса. Следует отметить, что книга Р. Пенроуза и В. Риндлера, адресованная физикам, написана на весьма высоком уровне математической строгости, что придает неповторимый колорит элегантности и законченности всему повествованию в целом. Нечасто в книгах подобного рода можно встретить живое, не- принужденное содружество истинно глубоких физических идей и формальных математических рассуждений, взаимно дополняю- щих и обогащающих друг друга. Вместе с тем указанная осо- бенность изложения создает известный терминологический барьер, требуя от читателя определенной предварительной под- готовки как в области математики, так и физики. Хотя, как под- черкивают авторы, знакомство с теорией спиноров для восприя- тия книги не требуется, совершенно необходимым является свободное владение начальными курсами линейной алгебры, дифференциальной геометрии'и математического анализа; весь- ма желательно также знакомство с римановой геометрией и тензорным анализом, например в рамках книги [17]; читатель должен быть также предварительно введен в круг основных понятий специальной и общей теории относительности [18, 191 и современной теории поля, включая теорию калибровочных полей [20]. Но даже хорошо подготовленному читателю при- дется приложить немало усилий, чтобы освоить книгу целиком. Зато, прочитав ее, он несомненно будет обогащен целым рядом глубоких и подчас неожиданных идей как физического, так и математического характера. Предисловие и гл. 1—3 перевел В. И. Хлебников, гл. 4, 5 и приложение переведены Д. В. Гальцовым. Д. В. Гальцов, В. И. Хлебников ЛИТЕРАТУРА 1. Манин Ю. И. Калибровочные поля и комплексная геометрия. — М.: Наука, 1984. 2. Пенроуз Р. Структура пространства-времени. М.: Мир, 1972. 3. Пенроуз Р. Конформная трактовка бесконечности. В сб.: Гравитация и то- пология.— М.: Мир, 1966, с. 152.
ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКОВ 9 4. Пенроуз Р. Твисторная программа. В сб.: Твисторы и калибровочные по- ля. М.: Мир, 1983, с. 13. 5. Пенроуз Р., Уорд Р. С. Твисторы в плоском и искривленном пространстве- времени. Там же, с. 78. 6. Пенроуз Р., Мак-Каллум М. А. X. Теория твисторов: подход к квантова- нию полей в пространстве-времени. Там же, с. 131. 7. Пенроуз Р. Нелинейные гравитоны и искривленная теория твисторов. Там же, с. 225. 8. Иствуд М. Дж., Пенроуз Р., Уэллс Р. О. Теория когомологий и безмассо- вые поля. Там же, с. 250. 9. Биррелл Н., Девис П. Квантованные поля в искривленном пространстве- времени.— М.: Мир, 1984. 10. Фролов В. П. Метод Ньюмена — Пенроуза в общей теории относительно- сти. В сб.: Труды ФИАН СССР им. П. Н. Лебедева, т. 96. —М.: Наука, 1977, с. 72. 11. Алексеев Г. А., Хлебников В. И. Формализм Ньюмена — Пенроуза и его применение в общей теории относительности. — ЭЧАЯ, 1978, т. 9, вып. 5. с. 1070. 12. Крамер Д., Штефани X., Херльт 9., Мак-Каллум М. Точные решения ура- внений Эйнштейна. — М.: Эиергоиздат, 1982. 13. Чандрасекар С. Математическая теория черных дыр. — М.: Мир, 1986. 14. Гальцов Д. В. Частицы и поля в окрестности черных дыр. — М.: МГУ, 1986. 15. Берке У. Пространство-время, геометрия, космология. — М.: Мир, 1985. 16. Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация. В 3-х томах. — М.: Мир, 1977. 17. Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. — М.: Наука, 1967. 18. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. — М.: Наука, 1973. 19. Хокинг С, Эллис Дж. Крупномасштабная структура - пространства-вре- мени. — М.: Мир, 1977. 20. Хуанг К. Кварки, лептоны и калибровочные поля. — М.: Мир, 1985.
Введение Пространство-время, в котором мы живем, с очень высокой степенью точности можно рассматривать как гладкое четырех- мерное многообразие, наделенное гладкой лоренцевой метрикой эйнштейновской специальной или общей теории относительности. Наиболее употребительным формализмом для математического описания многообразий и их метрик является, как известно, тензорный анализ (или один из эквивалентных альтернативных подходов типа картановского исчисления подвижных реперов). Случайно или нет, но именно для четырехмерных многообразий с лоренцевой метрикой существует другой формализм, во мно- гих отношениях более удобный. Это 2-спинорный формализм. Прошло уже около 70 лет, как Картан впервые ввел общее понятие спинора, и более 50 лет, как Дирак на примере своего уравнения для электрона продемонстрировал фундаментальную роль спиноров в релятивистской физике, а ван дер Верден раз- работал основы 2-спинорной алгебры и построил систему обо- значений— однако до сих пор 2-спинорное исчисление все еще сравнительно непривычно. Мы писали данную книгу с целью более активного внедре- ния упомянутых выше идей в практику научных исследований. В ней подробно развивается 2-спинорное исчисление, причем от читателя не требуется предварительного знакомства с этим предметом. Мы показываем, что 2-спинорное исчисление может трактоваться либо как полезное дополнение к более привыч- ному исчислению мировых тензоров, либо как практическая альтернатива последнему. Здесь мы ограничимся рассмотрением исключительно 2-спиноров, а не 4-спиноров, которые стали бо- лее привычными объектами для физиков-теоретиков. Дело в том, что только на основе 2-спиноров можно получить практическую альтернативу общепринятому векторному и тензорному исчис- лению, поскольку 2-спиноры представляют собой более простые элементы, из которых легко могут быть построены как 4-спи- норы, так и мировые тензоры.
ВВЕДЕНИЕ II Спинорное исчисление позволяет исследовать более глубокий уровень структуры пространства-времени, чем общепринятое исчисление мировых тензоров. Подход, основанный на мировых тензорах, менее изящен по сравнению с 2-спинорным, наталки- вается на трудности с описанием некоторых тонких свойств про- странства-времени, существенных в квантовой механике, и к тому же (что немаловажно) приводит иногда к чрезвычайно громоздким математическим выкладкам. (Преимущество тен- зорного исчисления — в его универсальной применимости к мно- гообразиям произвольной размерности, а не в возможности описывать конкретный тип многообразий — пространство-время.) Фактически любые вычисления, проведенные с применением мировых тензоров, могут быть по некоторому простому правилу полностью переписаны в 2-спинорной форме. В известном смысле справедливо и обратное утверждение (позже в настоя- щей книге мы представим исчерпывающее описание таких пе- реходов), хотя тензорные аналоги простых спинорных вычисле- ний могут оказаться крайне сложными. Указанная фактическая эквивалентность обоих подходов может привести некоторых скептиков к мысли о «ненужности» спиноров. Мы надеемся, од- нако, что наша книга поможет убедить читателя в том, что, с одной стороны, многие результаты, полученные для простран- ства-времени на основе спинорного подхода, могли бы остаться неоткрытыми, если бы в нашем распоряжении были одни лишь тензорные методы анализа, и с другой — имеется целый ряд свойств пространства-времени, логические предпосылки суще- ствования которых и взаимосвязь друг с другом были бы пол- ностью замаскированы тензорным описанием. В определенном смысле 2-спинорное исчисление проще,, чем исчисление мировых тензоров. Основная причина здесь заклю- чается в том, что базисное спиновое пространство является комп- лексным двумерным, а не действительным четырехмерным. Ра- ботать с двумя измерениями легче, чем с четырьмя, да к тому же комплексные алгебра и геометрия обладают целым рядом.про- стых, элегантных и универсальных свойств, отсутствующих в действительных алгебре и геометрии. Кроме того, спиноры, по-видимому, имеют глубокую связь с комплексными величинами в квантовой механике'). Несмотря на то что в данной книге мы не будем заниматься квантовой ') Точка зрения, согласно которой геометрия пространства-времени, так же как и квантовая теория, может быть построена на основе комплексной, а не действительной структуры, получила дальнейшее развитие в теории тви- сторов. Этой теории наряду с некоторыми другими вопросами посвящен вто- рой том нашего труда: «Спиноры и пространство-время. Том. 2. Спинориые я твисторные методы в геометрии пространства-времени». (Издательство Кемб- риджского университета, 1984.) [См. примечание на с. 5. — Прим. перев.]
И ВВЕДЕНИЕ механикой как таковой, многие из излагаемых в ней методов представляют большую ценность для квантовой теории. Хотя обсуждение наше будет полностью классическим, рассматривае- мый формализм может быть без особых затруднений перенесен на квантовую (квантово-теоретико-полевую) проблематику. Наша книга содержит первое (насколько нам известно) в литературе подробное изложение геометрии пространства-вре- мени на основе 2-спинорного формализма. В ней есть также элементы нового и в других отношениях. Один из них — систе- матическое и последовательное использование метода абстракт- ных индексов в тензорном и спинорном исчислении. Мы на- деемся, что читателя-пуриста со склонностью к дифференциаль- ной геометрии, случайно полиставшего книгу, не оттолкнет оби- лие в ней бесчисленных индексов. За редким исключением жир- ных прямых индексов1), мы не используем индексы в обычном смысле, они выступают у нас в роли абстрактных меток безот- носительно к какому-либо базису или системе координат. Ис- пользование абстрактных индексов приводит к ряду упрощений по сравнению с общепринятыми методами рассмотрения. Более того, применение абстрактных индексных обозначений оказы- вается весьма существенным условием ясного представления не- обходимых операций. (В приложении мы излагаем в общих чертах другую, эквивалентную данной, диаграммную систему обозначений, которая весьма полезна в «неофициальных» ра- счетах.) Далее, в этой книге предлагается, по-видимому, новый под- ход к некоторым другим вопросам. Мы даем явное геометриче- ское представление не только 2-спиноров самих по себе, но также различных алгебраических операций над ними и соот- ветствующей топологии. Приводим множество лемм, полезных как для спинорной, так и для общей тензорной алгебры. Впер- вые даем исчерпывающее изложение метода спиновых коэффи- циентов (не обязательно нормированных) с использованием мо- дифицированных спин- и буст-взвешенных операторов б и р вместе с их конформно-инвариантными модификациями 5у и р%. Вводим общее понятие конформной инвариантности, а также предлагаем подход к электромагнитному полю и полю Янга — Миллса, использующий операторы с абстрактными индексами (надеемся, что не совсем изящная форма поля Янга — Миллса при таком подходе компенсируется полнотой нашего описания). Мы полагаем, что рассмотрение сферических гармоник (со спи- новым весом) на основе спинорного формализма представлено здесь впервые. Наше представление точных совокупностей по- ') В случае греческих индексов читатель русского издания не должен придавать значения наклону шрифта. —Прим. перев.
ВВЕДЕНИЕ 13 лей как систем, которые распространяются определенным обра- зом от произвольно выбранных начальных данных на световом конусе, не было раньше дано в монографической литературе. Также не встречалась в книгах соответствующая явная инте- гральная спинорная формула (обобщенная формула Кирхго- фа— Дадемара) для безмассовых свободных полей, выражен- ных через упомянутые начальные данные. По-видимому, впер- вые здесь читатель найдет и развитую нами теорию взаимодей- ствующих полей Максвелла и Дирака, которая построена на основе сумм интегралов, описываемых посредством зигзагооб- разных и ветвящихся изотропных путей. История создания книги восходит к весне 1962 г., когда один из нас (Р. П.) проводил семинары по новой тогда теме «2-спи- норный формализм в общей теории относительности», а другой (В. Р.) вел конспекты на семинарах и все больше и больше при- ходил к убеждению, что они могли бы послужить основой для написания книги. Размноженный набросок первых глав был роздан коллегам в то же лето. В последующие годы дальнейшая работа то возобновлялась, то приостанавливалась по мере того как «росла» сама тема. Наконец, в течение последних трех лет мы, объединив усилия, переписали все заново и почти удвоили полный объем материала, так что к настоящему моменту ра- бота, надеемся, полностью завершена. В стиле книги мы поста- рались отразить неформальную и неторопливую атмосферу пер- воначальных семинаров, ясно излагая исходные посылки, не чураясь эвристических доказательств некоторых необходимых математических результатов, а иногда уклоняясь от основной темы и позволяя себе отступления. Конечно, существуют значи- тельно более быстрые и более целенаправленные пути достиже- ния требуемых результатов, но мы предпочли неторопливый темп, отчасти чтобы облегчить усвоение материала читателями, работающими самостоятельно, а отчасти чтобы подчеркнуть практическую значимость излагаемого предмета. Однако нашу весьма длинную рукопись оказалось возможным естественным образом разделить на два тома, которые могут быть прочитаны независимо. Основное содержание тома 1 кратко изложено во вводном разделе к тому 2. Ссылки первого тома на главы 6—9 относятся ко второму тому. Мы хотели бы выразить благодарность огромному коли- честву людей. Назовем здесь имена тех, чей конкретный вклад быстрее всего приходит на ум, ясно сознавая, что за 20 лет, в течение которых писалась книга, некоторые имена забылись. Мы благодарны за различные виды помощи Н. Батакису, К. Бичтелеру, Р. Ботту, Н. Бакдалу. С. Чандрасекару, Ю. Элер- су, Л. Эренпрайсу, Р. Герочу, С. Хокингу, А. Хелду, Н. Хит- чину, Дж. Изенбергу, Б. Джеффрису, С. Мак-Лейну, Т. Ньюме-
14 ВВЕДЕНИЕ ну, Д. Пейджу, Ф. Пирани, А. Робинсону, Р. Саксу, Э. Шюкингу, У. Шоу. Т. Ширафудзи, П. Зекерешу, П. Тоду, Н. Вудхаузу и особенно Д. Шаме за его постоянную неослабевающую под- держку. Мы благодарим также М. Фирца за его замечание, ко- торое нашло отражение в примечании на стр. 384. Особенно тепло мы благодарим Юдит Даниэльс за ее поддержку и об- стоятельную проработку нашей рукописи в то время, когда ра- бота проходила через трудный этап. Мы также весьма обязаны Цзю Шен Цзюн за ее решающее содействие в деле составления библиографического указателя и в другой работе с нашей кни- гой. Наконец, мы благодарим тех, кого не можем точно вспом- нить, и приносим им свои извинения. 1984 Роджер Пенроуз Вольфганг Риндлер
1 Геометрия мировых векторов и спин-векторов § 1. Векторное пространство Минковского В данной главе мы остановимся на геометрии пространства мировых векторов. Такое пространство.называется векторным пространством Минковского. Оно представляет собой множество «векторов положения» в пространстве-времени специальной тео- рии относительности, исходящих из некоторого события, произ- вольно выбранного в качестве начала отсчета. В искривленном пространстве-времени общей теории относительности векторные пространства Минковского реализуются как касательные про- странства в точках (событиях) пространства-времени. Другим примером служат пространства, заметаемые 4-скоростями или 4-моментами. Векторное пространство Минковского есть четырехмерное векторное пространство V над нолем R действительных чисел, причем на V заданы ориентация, (билинейное) скалярное про- изведение с сигнатурой (Н ) и временная ориентация. (Ниже мы кратко остановимся на значении этих терминов.) Таким образом, как и в случае всякого векторного простран- ства, мы располагаем операциями сложения и умножения на скаляры, удовлетворяющими соотношениям aV, (а +b)U = aV+ bU, A.1.1) ), \U=U, 0I/ = 0V = :0 при всех V, V, We V, a, b e R. Здесь О есть нейтральный эле- мент относительно сложения. Как обычно, мы понимаем под —U величину (—1) U и принимаем обычные соглашения о скобках и знаках минус, например U-\-V — W = (U-\-V)-{- + (-W) и т. д. Четырехмерность пространства V эквивалентна существова- нию базиса, состоящего из четырех линейно независимых век- торов t, х, y^G V. Иными словами, всякий вектор 1/eV
J6 ГЛАВА 1 можно единственным образом представить в виде A.1.2) где U0, U\ U2, U3 е R — так называемые координаты. Из всех элементов векторного пространства Минковского только эле- мент 0 имеет все координаты, равные нулю. Всякий другой базис в пространстве V также должен содержать четыре элемента, и любая совокупность четырех линейно независимых элементов, принадлежащих V, составляет базис. Мы будем часто называть базис в пространстве V тетрадой и обозначать тетраду (t, x, у, г) через gi, имея в виду, что t = g0, * = gv У = 82< г = ?з- A-1.3) В таких обозначениях выражение A.1.2) приобретает вид U = I/0*, + I/1*, + U2g2 + lPg3 = !/•*,. AЛ .4) Здесь и далее мы пользуемся правилом суммирования Эйнштей- на: подразумевается суммирование по всякому численному ин- дексу, который встречается в одном члене дважды: один раз вверху, а другой внизу. Индексы в виде жирных прямых строч- ных букв латинского алфавита а, I, ад, а,, а и т. д. будут всегда пробегать четыре значения 0, 1, 2, 3. Впоследствии мы будем также пользоваться численными индексами в виде жирных пря- мых заглавных букв латинского алфавита А, I, Ао, Аь А и т. д.; такие индексы будут принимать только два значения 0 и 1. К ним будет также применяться правило суммирования Эйн- штейна. Рассмотрим два базиса в пространстве V, скажем (g0, g\, S2' 83) и (So1 ?T> #2' 8з)- Заметим, что мы употребляем си- стему меченых индексов, при которой сами индексы, а не буквы, к которым они относятся (различные буквы могут отвечать различным базисам и т. д.), получают определенные отличитель- ные метки («шляпки» и пр.). Таким образом, индексы типа а, а, а и т. д. в той же мере не связаны между собой численно, как и а, Ь, с. Подобная система обозначений поначалу может показаться читателю неизящной, но ее преимущества станут видны позже. Итак, всякий вектор gt первого базиса можно представить в виде линейной комбинации векторов ?у второго базиса: Шестнадцать чисел g,J образуют действительную невырожден- ную матрицу размерности 4X4. Таким образом, величина
ГЕОМЕТРИЯ МИРОВЫХ ВЕКТОРОВ И СПИН-ВЕКТОРОВ 17 det(g,-j-y отлична от нуля; если она положительна, то мы гово- рим, что тетрады g, и gf имеют одинаковую ориентацию, а если отрицательна — противоположную. Отметим, что отношение между тетрадами, характеризуемое словами «одинаковая ориен- тация», есть отношение эквивалентности. Действительно, если gt = g^Sy т0 (??') и (^i1) представляют собой обратные ма- трицы, и поэтому их определители имеют одинаковый знак; если gl = gi^g~ и g~=*g~Jg», то матрица (g,?) равна произведе- нию (g^) на (g|J) и, следовательно, имеет положительный определителе при условии, что определители обеих матриц (?|0 и (#?') положительны. Итак, тетрады распадаются на два не связанных друг с другом класса эквивалентности. Мы бу- дем называть тетрады одного класса собственными, а другого — несобственными. Именно это разделение и придает пространству V его ориентацию. Операция скалярного произведения на V ставит в соответ- ствие каждой паре векторов U, V из V некоторое действитель- ное число, обозначаемое через U-V. При этом выполняются со- отношения V V (V = a(U-V), выражающие симметрию и билинейность операции скалярного произведения. Мы также потребуем, чтобы скалярное произве- дение имело сигнатуру (Н ). Это означает, что суще- ствует такая тетрада (t, x, у, г), для которой t-t=l, хх = уу = гг=-1, A.1.7) t.x = ty = tz = xy = x-z = y.z = O. A.1.8) Если в соответствии со схемой A.1.3) обозначить эту тетраду через ?,, то мы сможем переписать A.1.7) и A.1.8) в следую- щей краткой форме: ?, -fj —Л„. A-1.9) где (т1ц) — матрица, которая имеет вид 1 О О 0° -J j 0" |. a-i.il» О 0 0.-1
18 ГЛАВА I Вариант записи ii'i с поднятыми индексами потребуется впо- следствии для единства обозначений.) Тетраду, удовлетворяю- щую условию A.1.9), мы будем называть тетрадой Минковско- го. Хорошо известно (теорема Сильвестра об «инерции сигна- туры»), что в произвольном заданном векторном пространстве над полем действительных чисел число положительных произ- ведений векторов самих на себя A.1:7) не зависит от выбора ортогональной тетрады (или «n-ады» в n-мерном случае), т. е. тетрады, удовлетворяющей соотношениям A.1.8). Задавшись произвольной тетрадой Минковского gv мы мо- жем в соответствии с A.1.4) представить любой вектор t/e V в виде соответствующего ему набора координат Минковского U1; в этом случае скалярное произведение может быть записано следующим образом: v .у = (%)(у%) (,, *,) = и1У\ = и°У°-и]У' — и2У2 — и3У3. A.1.11) Заметим, что V • g. = и\ц. Таким образом, U° = U-gQt U^-U-g» U2=-U-g2, U3 = -U-g3.(lAA2) Частным случаем скалярного произведения является лорен- цева норма \\U || = V • U = иЧЛ1\ц = (U0J - (?ЛJ - (С/2J - (?/3J. A.1.13) Полезно отметить, что скалярное произведение может быть вы- ражено через лоренцеву норму: U -V =± {\\U + V\\-\\U\\-\\V\\}. A.1.14) Вектор t/eV называется: времениподобным, если || U [| > О, просгпранственноподобным, если ||V\\< 0, A.1.15) изотропным, если ||1/Ц = 0. Вектор V является причинным (т. е. времениподобным или изо- тропным), если его координаты Минковского удовлетворяют условию (U°)'>(Ul? + (U*f + (U*f A.1.16) в котором равенство относится к случаю изотропного V. Если оба вектора U и V причинны, то, применяя последовательно A.1.16) и неравенство Шварца, получаем I U°V° | > {(?ЯJ + (U2J + (U3J}42 {(F1J + (V2J + (К3J} > A.1.17)
ГЕОМЕТРИЯ МИРОВЫХ ВЕКТОРОВ И СПИН-ВЕКТОРОВ 19 Следовательно, если исключить случаи, когда оба вектора изо- тропны и пропорциональны один другому или один из них нуле- вой (единственные случаи, когда оба неравенства сводятся к равенствам), то знак произведения U.-V в силу A.1.11) будет тот же самый, что и произведения U°V°. Отсюда, в частности, вытекает, что никакие два причинных вектора не могут быть взаимно ортогональными, если только они не изотропны и не пропорциональны один другому. Как следствие мы получаем, что причинные векторы распа- даются на два несвязанных класса, обладающих следующим свойством: скалярное произведение любых двух непропорцио- нальных один другому векторов одного и того же класса поло- жительно, а скалярное произведение непропорциональных век- торов из разных классов отрицательно. Эти два класса разли- чаются знаком величины U0, причем класс с положительной ве- личиной U0 содержит времениподобный тетрадный вектор / = go- Задать временную ориентацию пространства V — значит на- звать элементы одного из этих классов направленными в буду- щее, а элементы другого — направленными в прошлое. Мы бу- дем часто называть направленный в будущее времениподобный (изотропный, причинный) вектор просто времениподобным (изо- тропным, причинным) вектором будущего. Если t — временипо- добный вектор будущего, то тетрада Минковского (t, х у, г) называется ортохронной. Будучи отнесенными к ортохронной те- траде Минковского, причинные векторы будущего суть такие векторы, для которых просто U0 > 0. Несмотря на то что нуле- вой вектор изотропен, он не является ни изотропным вектором будущего, ни изотропным вектором прошлого. Вектор, противо- положный любому причинному вектору будущего, есть причин- ный вектор прошлого. Задание пространственной ориентации пространства V со- стоит в приписании трем пространственноподобным векторам каждой тетрады Минковского «правого» или «левого» характера. Это задание может быть осуществлено на основе ориентации и временной ориентации пространства V. А именно, триада (х, у, г) называется правой, если тетрада Минковского (t, x, у, г) является либо одновременно собственной и ортохронной, либо не обладает ни тем, ни другим свойством. В противном случае триада (х, у, г) является левой. Тетрада Минковского, являю- щаяся одновременно собственной и ортохронной, называется ограниченной. Любыми двумя из свойств — ориентации, времен- ной ориентации и пространственной ориентации пространства V — определяется третье, причем, если какие-либо два свойства меняются на противоположные, третье должно оставаться неиз- менным. Производя указанный выбор двух свойств для про- странства-времени, в котором мы живем, более предпочтитель-
20 ГЛАВА ! но, по-видимому, начать с выбора триады {х, у, г) и назвать ее правой или левой- в соответствии с хорошо известным крите- рием, используемым физиками и основанным на форме кисти руки, которой пишет большинство людей1). Подобным же об- разом в статистической физике однозначно определяется буду- щее состояние системы. Пространство-время Минковского Мы уже отмечали, что векторное пространство Минковского V можно рассматривать как пространство векторов положений точек (событий) относительно некоторого произвольно выбран- ного начала отсчета. Такие точки образуют пространство-время Минковского М. Это пространство-время является ареной дей- ствия специальной теории относительности. Все его точки равно- правны, и, в частности, оно не имеет выделенного начала: про- странство М инвариантно относительно трансляций, т, е. пред- ставляет собой аффинное пространство. Взаимосвязь между IV! н V может быть охарактеризована отображением vec:MXM-»V, A.1.18) при котором vec (Р, Q) + vec (Q, R) = vec (P, R), A.1.19) откуда vec(P, Р) = 0 и vec(P, Q) = — vec(Q, P). Мы можем рассматривать vec(P, Q) как вектор положения точки Q отно- сительно Р, PQ^.V, где Р, Q еМ. Очевидно, что V посред- ством отображения A.1.18) индуцирует норму в Ml, называемую здесь квадратом интервала Ф и определенную для каждой пары точек Р, Q&M: Ф(Р, <?):= II vec (P,Q) ||. A.1.20) Стандартное введение координат на Ц, IM!*-*R4 (где R4 есть пространство четверок действительных чисел) состоит из вы- бора начала отсчета OgM и выбора тетрады Минковского g, = OQi при Qo, Qu Q2, Q3^M. После этого координатами Р°, Р1, Р2, Р3 произвольной точки Ре М будут координаты век- тора ОР относительно gi, T-. е. OP = P*gi. Из A.1.19) посред- ') Ввиду наблюдаемой неинвариантности слабых взаимодействий относи- тельно отражения пространства (Р) и неинвариантности /('-распада относи- тельно одновременного отражения пространства и-замены частиц античасти- цами и наоборот (СР) в настоящее время представляется возможным опреде- лить пространственную ориентацию физического пространства-времени неза- висимо от таких соображений, связанных с культурой и физиологией: см. ра- боты ,[Ю7, 199, 106, 34, 200], а также популярную брошюру [741.
ГЕОМЕТРИЯ МИРОВЫХ ВЕКТОРОВ И СПИН-ВЕКТОРОВ 2f ством замены Q на О мы получаем следующее выражение для координат вектора PR относительно gt: откуда ясно видна независимость координат от выбора начала отсчета. Подстановка выражений A.1.21) и A.1.20) в A.1.13) дает Ф (Р, Q) = @° - Р°J ~ (Q1 - Р1J ~ (Q2 ~ Р2J - (Q3 - Р3J- A-1 -22> Линейное преобразование V в себя, сохраняющее лоренцеву норму и, следовательно, в силу A.1.14), также скалярное про- изведение, называется (активным) преобразованием Лоренца, Если такое преобразование сохраняет и ориентацию, и времен- ную ориентацию пространства V, то оно называется ограни- ченным преобразованием Лоренца. Очевидно, что (ограничен- ные) преобразования Лоренца образуют группу; она называется (ограниченной) группой Лоренца. Аналогично преобразование М в себя, сохраняющее квадрат интервала (здесь не требуется никакого предположения о линейности), называется (активным) преобразованием Пуанкаре. Любое такое преобразование инду- цирует лоренцево преобразование на V и также может быть соответствующим образом классифицировано как ограниченное или неограниченное. Опять же очевидно, что ограниченные пре- образования Пуанкаре образуют группу1). Любой физический эксперимент в пространстве-времени Мин- ковского (где протекает наша практическая деятельность) мо- жет быть подвергнут преобразованию Пуанкаре — т. е. повороту в пространстве, смещению в пространстве и времени н прямо- линейному равномерному движению — без изменения его суще- ственных результатов. На этом положении, которое может быть установлено независимо от координат или других правил фи- зики, основана специальная теория относительности. Замена координат В данной книге преобразования Лоренца и Пуанкаре, если не сделано оговорок, будут пониматься как активные преобра- зования. Но иногда бывает полезно рассмотреть «пассивные» преобразования Лоренца (и Пуанкаре). Они представляют со- бой преобразования координатного пространства R4, т. е. пере- ') Заметим, что мы используем здесь термин «группа Лоренца» только для шестипараметрической однородной группы на векторном пространстве Мин- ковского, тогда как соответствующую десятипараметрическую неоднородную- группу на простраистве-времеии Мииковского называем группой Пуанкаре.
22 ГЛАВА I определение координат V (или М). Любая тетрада Ми'нков- ского g, в пространстве V (или тетрада g, и начало отсчета О в пространстве М) для всякого вектора U bV(i«ih I/ — OP в М). определяет четверку координат U1 по правилу U = f/'gi- Замена этой опорной тетрады gi*-^-gf в V (или тетрады и начала отсчета в М) индуцирует замену координат V(M). Получающееся при этом соответствие G; и1 i-^f/T A.1.23) (или U[ь-»f/1 -f- К' при постоянном /С') называется пассивным преобразованием Лоренца (Пункаре). Оно называется ограниченным, если может порождаться двумя ограниченными тетрадами Минковского gt и g-j. Ради крат- кости сосредоточим сейчас внимание на преобразованиях Ло- ренца; очевидные обобщения легко распространяются на преоб- разования Пуанкаре. Если упомянутые две опорные тетрады связаны между со- бой соотношением e^gjev A.1-24) то и, следовательно, пассивное преобразование A 1.23) в явном виде записывается следующим образом: ?/T = f/'g,T, A.1.25) откуда ясно видна его линейность. Это преобразование пол- ностью определяется матрицей gt'. Даже активное преобразование Лоренца часто бывает удоб- но описывать посредством координат (Это несколько дезориен- тирует, поскольку активное преобразование Лоренца существует независимо от всех координат, тогда как пассивное преобразо- вание Лоренца независимо от координат не существует.) Итак, при заданном активном преобразовании Лоренца L : U t-*-V мы можем как вектор U, так и его отображение V отнести к одной {произвольной) тетраде Минковского gf, которая, в свою оче- редь, может быть получена как результат действия преобразова- ния L на тетраду gt в соответствии с A.1.24). Поскольку в силу предполагаемой линейности преобразования L выражение век- тора V через g-? должно быть идентично выражению вектора U через gt, мы имеем из A.1 25) (см. также рис. 1.1)
ГЕОМЕТРИЯ МИРОВЫХ ВЕКТОРОВ И СПИН-ВЕКТОРОВ 2* Рис. 1.1. Активное преобразование Пуанкаре переводит мировой вектор V з точке О в мировой вектор V в точке О. Если оно также переводит тетраду gt в точке О в тетраду g~ в точке О, то координаты U1 вектора U относи- тельно gi будут такими же, как и координаты V* вектора V относительно- '•J (т.е. U1 = V ). Следовательно, (обратное) пассивное преобразование, порождаемое соответствием ig~ в О\ i—> fg{ в OV переводит исходные коор- динаты и1(=У1) вектора V в исходные координаты V вектора V. где в виде исключения из общего правила мы предполагаем суммирование по паре различных индексов j и j. Отсюда выте- кает следующая явная форма преобразования: y? = ?/TlT?, A.1.27) где '1 Таким образом, активное преобразование Лоренца L, перево- дящее gt в gf, по своему действию на координаты вектора фор- мально эквивалентно пассивному преобразованию Лоренца G-1, порождаемому переходом от опорной тетрады gf к gt. Если L — ограниченное преобразование Лоренца, то оног очевидно, переводит ограниченную тетраду Минковского в огра- ниченную тетраду Минковского и, следовательно, соответствую- щее пассивное преобразование G также ограниченно. Пусть, наоборот, О — ограниченное преобразование; предположим, что оно порождается ограниченными тетрадами gx и g^. Тогда со- ответствующее преобразование L сохраняет нормы, произведе- ния и ориентацию, поскольку фактически оно сохраняет коор- динаты; таким образом, L — ограниченное преобразование. Для того чтобы L сохраняло скалярные произведения, необходимо- потребовать теперь [с учетом формул A.1.11) и A.1.27), где опущены шляпки] выполнение соотношения tiu. A.1.29)
24 ГЛАВА I Рассматривая A.1.29) как матричное уравнение, мы заклю- чаем, что det (Li J)= ± 1. Условие ограниченности преобразова- ния L оказывается следующим: det(L,i)=l, L0°>0. . A.1.30) В силу формулы A.1.28) те же самые условия применимы к ма- трице пассивного ограниченного преобразования Лоренца. Ясно, что эти условия могут быть также выведены непосредственно яз определений 'ЯТ'-Ч??' det(gT')=l. §о°>°- A-1 31) § 2. Изотропные направления и спиновые преобразования В § 1 мы рассмотрели общепринятое представление мирового вектора U через координаты Минковскоео. Проанализируем те- перь другой способ представления мировых векторов с помощью координат. Мы получим, в частности, координатное описание светового конуса (т. е. множества изотропных векторов) в комп- лексных числах. Это приведет нас к понятию спин-вектора. Чтобы избавиться от ненужных индексов, мы пишем Т, X, Y, Z вместо координат U°, Ul, О2, б'3 вектора U относительно огра- ниченной тетрады Минковского (t, x, у, г): z. A.2.1) Координаты изотропных векторов удовлетворяют условию T*-X2-Y2-Z2 = 0. A.2.2) Зачастую мы будем рассматривать именно изотропные на- правления, исходящие, скажем, из начала отсчета О простран- ства-времени (Минковского). Заметим, что векторы ±и будут считаться имеющими разные (а именно противоположные) на- правления. Абстрактное пространство, элементами которого яв- ляются изотропные направления будущего (прошлого), мы бу- дем обозначать через &+ (9"-). Эти два пространства в произ- вольно заданной системе координат (Г, X, Y, Z) могут быть представлены пересечениями S+ (S~) светового конуса A.2.2) ¦будущего (прошлого) с гиперплоскостями Г=1 (Г = —1). В евклидовом (X, У, Z) -пространстве Г = 1 (Г =—1) упомя- нутое пересечение S+(S~) представляет собой сферу, описывае- мую уравнением1) »• а2-1 A.2.3) ') Строчными буквами х, у, г мы обозначаем координаты на S+ и S-.
ГЕОМЕТРИЯ МИРОВЫХ ВЕКТОРОВ И СПИН-ВЕКТОРОВ 25. Абстрактная сфера изотропных: направлений, прошлого Рис. 1.2. Абстрактная сфера 5"- естественным образом представляет небес- ную сферу наблюдателя, тогда как сечение S~ или его проекция на S даег более конкретную (хотя и несколько менее инвариантную) реализацию. (рис. 1.2). Ясно, что направление любого вектора A.2.1), про- ходящего через О (независимо от того, изотропный он или нет), если он не лежит в гиперплоскости Г = О, может быть пред- ставлено точкой гиперплоскости Г=1 или Т = —1. Направле- ние вектора U, выходящего из начала отсчета, изображается на соответствующей гиперплоскости точкой (Х/\Т\, Y/\T\, Z/\T\). Внутренняя часть сферы S~ изображает множество временипо- добных направлений прошлого, а внутренняя часть S^ — множе- ство времениподобных направлений будущего. Части гиперпло- скостей вне этих сфер изображают пространственноподобные- направления. Остановимся на физическом истолковании пересечений S~ и S+. Представим себе наблюдателя, расположенного в событии О пространства-времени. Лучи света, проходящие через его- глаз, соответствуют теперь изотропным прямым линиям, про- ходящим через О, а направления прошлого упомянутых линий образуют поле зрения наблюдателя. Это и есть пространство» SP~, изображаемое сферой S~. Фактически S~ представляет со- бой точный геометрический образ того, что наблюдатель дей- ствительно «видит» при условии, что он неподвижен относитель но системы отсчета (t, x, у, г), т. е. его мировая скорость есть t. В самом деле, наблюдатель может считать себя постоянно на- ходящимся в центре некой единичной сферы S (его сферы зре- ния), на которую он отображает все, что видит в любой момент времени. Прямые, идущие из его глаза к этим точкам изобра- жения на S, представляют собой проекции мировых линий при-
26 Рис. 1.3. Стереографическая проекция сферы S+ на аргандову плоскость. ходящих лучей на его мгновенное пространство Г = 0. Следо- вательно, эти изображения конгруэнтны с изображениями на S~ (ср. рис. 1.2) и мы можем назвать У~ или S~ небесной сфе- рой точки О. Отображение изотропных направлений прошлого, выпущенных из О, в точки сферы S~ мы будем называть не- бесным отображением. Поскольку всякий изотропный вектор L, указывающий в прошлое, единственным (и инвариантным) об- разом связан с некоторым изотропным вектором, указывающим в будущее (а именно, с вектором —L), поле зрения наблюда- теля представляется также сферой S+. Это представление можно назвать антинебесным отображением. Соответствие между S* и S~ — это просто соответствие (х, у, z)¦+-*•(—к, —у, —г), т. е. диаметрально противоположное отображение при наложении одной сферы на другую. Такое отображение изменяет ориента- цию сферы на противоположную: например, касательный вектор на сфере S~, вращающийся по часовой стрелке, если смотреть из центра, вращается против часовой стрелки на сфере S+. Сферу S+ (или S~) можно естественным образом рассма- тривать как риманову сферу аргандовой плоскости (плоскости Арганда — Бесселя — Гаусса); эта сфера является хорошо из- вестным представлением комплексных чисел, включающим бес- конечность. Обычные свойства аргандовой плоскости и ее ри- мановой сферы отражают многие геометрические свойства век- торного пространства Минковского V. В частности, ограничен- ное преобразование Лоренца на V оказывается однозначно определяемым по результату своего воздействия на риманову сферу (и тем самым на изотропные направления). Более того, как мы увидим в § 4, спин-векторы допускают прямую геометри- ческую интерпретацию на римановой сфере. Мы можем заменить координаты х, у, z на S+ одним комп- лексным числом, полученным на основе «стереографического» соответствия между сферой и плоскостью (рис. 1.3). Возьмем плоскость 2 с уравнением 2 = 0 в евклидовом 3-пространстве Т = 1 и отобразим точки сферы S+ на эту плоскость путем про-
ГЕОМЕТРИЯ МИРОВЫХ ВЕКТОРОВ И СПИН-ВЕКТОРОВ 27 ектирования из северного1) полюса N(\, О, 0, 1) Пусть Р(\,х,y,z)S+ и Р'(\,Х', У, 0)— соответственные точки на S+ и 2. Далее, обозначим через А и В конечные точки перпендику- ляров, опущенных из точки Р на СР' и CN. Помечая точки на 2 одним комплексным параметром имеем где СА _ NP __ NB ... . Следовательно, параметр ? следующим образом выражается че- рез координаты (I, х, у, г) точки Р: Чтобы получить обратное соотношение, исключим сначала х и у из A.2.6) на основании A.2.3): Решая A-2.7) относительно z и подставляя полученное выраже- ние в A.2.6), получаем x k, y k, z . A.2.8> SS + l 1E5 + 1) SS+i Алегебраические выражения A.2.6) и A.2.8) устанавливают стандартное стереографическое соответствие между аргандовок плоскостью ? и единичной сферой в (х, у, г)-пространстве с центром в точке @, 0, 0). Это соответствие одно-однозначно, если мы считаем ? = оо одной «точкой», добавленной к аргандо- вой плоскости, и связываем эту точку с северным полюсом сферы. Таким образом, сфера S+ дает стандартную реализацию- аргандовой плоскости Z, с добавленной точкой ? = оо; она пред ставляет собой риманову сферу ?. ') Мы выбираем северный, а не южный полюс, иоскольку это согласуется с большей частью литературы, тесно связанной с излагаемой нами теориек спиноров, а также потому, что сделанный выбор приводит к правовинтовому вращению полотнища флага спин-вектора при положительном изменении фазы (см. § 4; гл 3, § 2). Отметим, однако, что в результате такого выбора мы приписываем сфере S+, наблюдаемой извне, такую ориентацию, которая про- тивоположна ориентации плоскости 2, рассматриваемой сверху.В отношении определений гл. 4, § 14 и 15 это приводит к тому, что $ оказывается антиго- ломорфной координатой на S+ (и голоморфной координатой на S~) (рнс. 4.2, 4.6).
ГЛАВА 1 W-ctgf Рис. 1.4. Геометрическая интерпретация соотношения ?="«*ctg6/2, которое ставит в соответствие сферическим полярным координатам 6, Ф комплексную стереографическую координату ?. (Угол CP'N равен углу при южном полюсе, который стягивается отрезком PN, поскольку оба эти угла дополнительна углу PNC.) В качестве альтернативного выбора координат на S+ мы мо- жем применить обычные сферические полярные координаты, связанные с х, у, г соотношениями ж = sin 8 cos ^, # = sin9sin^, z = cos8. A.2.9) Выражение для ? в координатах (9, Ф) находится путем под- становки A.2.9) в A.2.6): ? = e<*ctg-|. A.2.10) Его можно также вывести, пользуясь рис. 1.4, на основании про- стой тригонометрии. Формулы A.2.6) —A.2.8) и A.2.10) применимы к антинебес- ному отображению Световой конус будущего ->S+ -*¦%. Нас будут интересовать также соответствующие формулы для небесного отображения, при котором всякое изотропное направ- ление, выходящее из точки О, представляется типичным собы- тием прошлого —(l,x,y,z), а не событием будущего +(l,x,y,z). Если потребовать, чтобы точка комплексной плоскости t в обоих
ГЕОМЕТРИЯ МИРОВЫХ ВЕКТОРОВ И СПИН-ВЕКТОРОВ 29 случаях представляла одну и ту же изотропную прямую, то она должна соответствовать на сферах S+ и S~ диаметрально про- тивоположным точкам ± (х, у, z). Следовательно, искомые фор- мулы получаются из A.2.6) — A.2.8) и A.2.10) путем преобра- зования, переводящего точки на сфере в диаметрально им про- тивоположные: (х, у, г) *-* — (х, у, z), или, что эквивалентно, (8, #)н->(п — 8, п-\-ф). В частности, выражение A.2.10) приоб- ретает вид ?== —e^tg-l- A.2.11) (Заметим, что действие преобразования, переводящего точки на сфере в диаметрально им противоположные, таково: ?>-*¦ — !/?•) Приведенное выше соответствие между множеством изотроп- ных направлений будущего (прошлого), исходящих из точки О, и комплексной плоскостью ? могло бы быть получено более прямым путем, чем на основе стереографической проекции. Чтобы реализовать указанное прямое соответствие (рис. 1.5), разрежем пространство переменных (Т, X, Y, Z) изотропной ги- перплоскостью П, уравнение которой имеет вид Т — Z = l, A.2.12) а не пространствениоподобной гиперплоскостью Т = 1. Рассмот- рим изотропную прямую, проходящую через точку О и пересе- -кающую сферу 5+ в точке Р = A, х, у, г). Ясно, что эта прямая содержит точку л—(_!_ х у г \ ч~\\-г' 1-г" 1-2' \-г)' принадлежащую гиперплоскости П. Теперь «ж-я» и «у-я» коор- динаты точки Q будут такими: у/ * у/ л ~ \-г ' " причем как в A.2.4), A.2.6), и, следовательно, % получается путем простого ортогонального проектирования П на S. В исключи- тельном случае ? = оо (z=l) изотропная прямая, проходящая через точку О, параллельна гиперплоскости П и, таким обра- зом, не пересекает П ни в какой конечной точке. Рис. 1.5 поясняет геометрическую связь между нашими двумя различными построениями. Пусть, как и раньше, # = = A, 0, 0, 1) — северный полюс сферы S+. Далее, пусть OQP — рассматриваемая прямая линия с P<=S+ и Qell. Обозначим через Р' ортогональную проекцию точки Q на плоскость S
30 ГЛАВА 1 Рис. 1.5. Стереографическая проекция Pt—>P' и соответствия Pt—>Q и Q i—> Р'. («Параболическое» сечение конуса плоскостью П имеет ту же са- мую внутреннюю евклидову метрику, что и плоскость 2 — аргандова пло- скость координаты ?•) (Г=1, Z = 0). Тогда направление QP' будет направлением A:0:0:1), т. е. тем же самым, что и направление ON. Следо- вательно, точки Р', Q, О, N компланарны, а точка Р лежит на определяемой ими плоскости, поскольку она принадлежит пря- мой OQ. Однако точки Р', Р, N также лежат на гиперплоскости Г=1. Следовательно, они коллинеарны'), и поэтому точка^Р' является стереографической проекцией точки Р (из S+ на 2 с точкой N в качестве полюса). Таким образом, искомая эквива- лентность установлена геометрически. Преобразования Лоренца и спиновые преобразования Чтобы не пользоваться бесконечной координатой (? = оо) для точки A, 0, 0, 1) на северном полюсе сферы S+, иногда бы- вает удобно метить точки на S+ не одним комплексным числом I, а парой (|, я) комплексных чисел (не равных нулю одновре- менно), подчиненных условию ? = Е/т|. 0-2.13) Они представляют собой проективные (однородные) комплекс- ные координаты, так что при произвольном отличном от нуля •) В пространстве четырех измерений персечение плоскости (два линей- ных уравнения) с гиперплоскостью (одно линейное уравнение) представляет собой прямую линию.
ГЕОМЕТРИЯ МИРОВЫХ ВЕКТОРОВ И СПИН-ВЕКТОРОВ 31 комплексном числе Я, пары (?, ц) и (А,?, Кц) изображают одну и ту же точку на S+. В этих координатах дополнительная точка на бесконечности ? = оо задается конечной меткой, например A, 0). Таким образом, мы рассматриваем теперь S+ как реали- зацию некоторой комплексной проективной прямой. Выражения A.2.8), переписанные в этих комплексных однородных коорди- натах, принимают вид Ш±А у== Ел-it , г==ЖиЖ. A.2.14) НББ + лл) ББ + лл Х , у , г ББ + лл НББ + лл) ББ + лл Заметим,что х, у и z являются однородными функциями нуле- вой степени относительно |, ц и потому инвариантны при изме- нении масштаба ?, ц. Напомним, что роль точки РA, х, у, z) на S+ состояла про- сто в том, что она представляла некоторое изотропное направ- ление, исходящее из начала О. При желании мы могли бы вы- брать любую другую точку на прямой ОР, и она представляла бы то же самое изотропное направление. В частности, мы могли бы выбрать точку R на ОР с координатами {Т, X, Y, Z), полу- ченными из координат точки Р умножением на A| + i\f\)/y2 Такое умножение исключает знаменатели в A.2.14). (Множи- тель 1/у 2 введен для удобства в дальнейшем.) Теперь вектор К := OR имеет координаты х = -^(ij + ii) 1 . A-2.15) Однако в отличие от точки Р точка R зависит от изменения масштаба (I, ц), описываемого действительным числом reR, т. е. (|, ri)->-(ri, гц), хотя она и не зависит от фазы «масштаб- ного преобразования» (I, ц)-+(ет%, етц), 8ек. Таким обра- зом, положение точки R не является функцией одной лишь ко- ординаты %, хотя направление OQ зависит только от ?. Теперь из A.2.15) легко видеть, что всякое комплексное ли- нейное преобразование | и ц приводит к действительному ли- нейному преобразованию (Т, X, Y, Z) [задаваемому в явном виде формулой A.2.24), приводимой ниже]. Поскольку изо- тропные векторы заметают все пространство V, линейное пре- образование изотропных векторов порождает линейное преобра- зование V, формально задаваемое тем же самым уравнением la именно A.2.24)] на общие координаты (Г, X, Y,Z). При та- ком преобразовании свойство A.2.2)будет сохраняться. Таким образом, мы получаем преобразование Лоренца, дополненное.
32 ГЛАВА 1 возможно, растяжением. Во всяком случае, изотропные направ- ления, исходящие из точки О, будут теми же самыми, что и при лоренцевом преобразовании, поскольку растяжения не меняют направлений. Рассмотрим теперь комплексные линейные (несингулярные) преобразования координат % и х\: Здесь а, р, v и б — произвольные комплексные числа, удовле- творяющие единственному условию аб—Рут^О (регулярность). Преобразования A.2.16), будучи записанными для ?, приобре- тают вид1) Без потери общности для преобразования величины ? мы можем нормировать A.2.16) условием «унимодулярности» ct6-pY=l- A.2.18) Преобразования A.2.16) [или A.2.17)], удовлетворяющие усло- вию A.2.18), называются спиновыми преобразованиями в слу- чае, когда величина ? связана с изотропными векторами Мин- ковского соотношениями A.2.13) и A.2.15). Заметим, что из этих соотношений вытекает равенство X + iY _T + Z 2 . ?— т-Z — X-iY U.^.ia» В том же самом случае определим спин-матрицу А: Л det А = 1. A.2.20) Последнее условие представляет собой просто условие норми- ровки A.2.18). Преобразования A.2.16), будучи записаны че- рез А, принимают вид Из A.2.21) видно, что композиция двух последовательных спи- новых преобразований снова есть спиновое преобразование: спин-матрица композиции двух преобразований равна произве- ') Дробно-линейное преобразование такого вида является фактически наи- более общим глобальным голоморфным (т. е. комплексным аналитичеа им. или. иными словами, конформным и сохраняющим ориентацию) преобразова- нием римановой сферы в себя.
ГЕОМЕТРИЯ МИРОВЫХ ВЕКТОРОВ И СПИН-ВЕКТОРОВ 33 дению спин-матриц преобразований-сомножителей. Кроме того, каждая спин-матрица А имеет обратную спин-матрицу А"' = Таким образом, спиновые преобразования образуют группу, ко- торую мы будем называть группой SL B, С). Заметим, что две спин-матрицы А и —А отвечают одному и тому же преобразованию сферы ?, несмотря на то, что они определяют различные спиновые преобразования. Предположим, наоборот, что А и В — спин-матрицы, определяющие одно и то же преобразование сферы ?. Тогда спин-матрица В~'А опре- деляет тождественное .преобразование сферы %. В силу A.2.17) это означает, что P=v —0. <х = 6. Из нормировки A.2.18) вы- текает, что <х = 6 = ±1. Таким образом, B-'A = ±I (матрица тождественного преобразования) и, следовательно, А = ±В. По- этому спиновое преобразование определяется результатом своего действия на риманову сферу ? единственным образом с точ- ностью до знака. Проанализируем действие спинового преобразования A.2.21) на координаты (Т, X, У, Z). Заметим, что равенства A.2.15) могут быть перегруппированы и переписаны в виде Отсюда видно, что спиновое преобразование A.2.21) действует следующим образом: -IY T-Z )^\x-\Y f-z iY ( T + Z X + i AU-ir t- где А* — матрица, полученная из А путем комплексного сопря- жения и транспонирования. Как было отмечено ранее, преобра- зование A.2.24) является линейным преобразованием координат (Т, X, У, Z); оно действительное [поскольку эрмитовость при A.2.24) не нарушается] и, кроме того, сохраняет условие Т2 — X2 — У2 — Z2 = 0. Заметим также, что в случае произволь- ного (т. е. не обязательно изотропного) мирового вектора z A.2.25) спин-матрица А продолжает определять преобразование U, удовлетворяющее условию A.2.24). Это преобразование не 2 Зак. 1142
34 ГЛАВА 1 только линейно и действительно, но и сохраняет выражение Т2 — Xй— Y2 — Z2 инвариантным. Указанная инвариантность имеет место потому» что это выражение представляет собой в точности определитель матрицы, стоящей слева в формуле A.2.24), а определитель матрицы, стоящей в формуле A.2.24) справа, равен просто этому выражению, умноженному на detAdetA*, т. е. на 1 [формулы A.2.20)]. Таким образом, со- отношением A.2.24) определяется преобразование Лоренца. Как преобразование координат G", А', У, Z) оно может быть запи- сано в явной форме л Y z) т X Y Z i M \ rT X Y ^Z В аб+ба+PY+YP i (a6—6u+yP—Py) I I > aa+PP—YY—*5 ap"+Pa— y6— 6y 1 (oP—Pu+6y—y6) ao—pjj— A.2.26) В действительности преобразование A.2.26) должно быть ограниченным преобразованием Лоренца. Это вытекает из сле- дующих утверждений: 1) преобразование Лоренца, непрерывно переходящее в тождественное преобразование, должно быть ограниченным, поскольку непрерывным лоренцевым поворотом нельзя перевести положительную временную ось, лежащую внутри светового конуса будущего, внутрь светового конуса прошлого, т. е. осуществить инверсию пространства; 2) очевид- но, что преобразование A.2.24) непрерывно переходит в тожде- ственное преобразование, если спин-матрица А непрерывно пе- реходит в единичную матрицу; 3) как и всякая спин-матрица, матрица А непрерывно переходит в единичную матрицу. Для доказательства последнего утверждения рассмотрим матрицу В:=АЛ+A—Я,)А. Она сингулярна самое большее при двух значениях X, и мы можем рассмотреть путь в комплексной Х-пло- скости от 0 до 1, обходящий эти значения. Тогда (det В)~1/2В определит непрерывную последовательность спиновых преобра- зований А в I или —I. [Последнее имеет место для такого пути, когда (det В)~1/2 изменяется от 1 до —1, например если А = —I. Но —I непрерывно переходит в I, скажем, при спиновом преоб-
ГЕОМЕТРИЯ МИРОВЫХ ВЕКТОРОВ И СПИН-ВЕКТОРОВ 35 разовании diag(eie, е~'е), 0 ^ 6 ^ п, и, таким образом, утверж- дение 3 доказано.] Теперь мы представим конструктивное доказательство того, что, наоборот, всякое ограниченное преобразование Лоренца вы- ражается в виде A.2.24), где А — некоторая спин-матрица. Тогда мы установим следующий фундаментальный результат: Предложение Всякое спиновое преобразование соответствует [в силу A.2.24)] единственному ограниченному пре- образованию Лоренца; обратно, всякое ограничен- ное преобразование Лоренца соответствует двум и только двум спиновым преобразованиям, из ко- торых одно противоположно другому. A.2.27) Обратная часть данного утверждения тривиально следует из одного общего свойства групп Ли. А именно подгруппа груп- пы Лоренца, фигурирующая в A.2.24), должна иметь полную размерность, равную шести. Это вытекает из того, что спин- матрицы образуют действительную шестимерную (т. е. комп- лексную трехмерную) систему и что только дискретное множе- ство спин-матриц (а именно две спин-матрицы) отвечает про- извольно заданному преобразованию Лоренца. Эта полномер- ная подгруппа должна содержать полностью связную компо- ненту группы Лоренца, включающую тождественное преобра- зование. Полезно, однако, дать другой вывод обратной части утверж- дения A.2.27), состоящий в явном построении спин-матриц, со- ответствующих некоему основному преобразованию Лоренца, из которого может быть образована вся группа. К таким основным преобразованиям относятся прос-транственные вращения и «бу- сты» (т. е. чистые преобразования скорости), описываемые хо- рошо известными соотношениями f = (l-v2rU2(T + vZ), Х = Х, Я = У, Z = (l -v2rUl(Z+ vT)f A.2.28) где v — параметр скорости. Всякое ограниченное (активное) преобразование Лоренца может быть составлено из собственного пространственного вращения, буста в направлении оси z и, на- конец, второго пространственного вращения. Посмотрим, как такое преобразование характеризуется своим действием на те- траду Минковского. Выберем первое вращение таким образом, чтобы оно переводило вектор z в пространственно-временную плоскость, содержащую как начальное, так и конечное направ- ления t. Затем буст A.2.28) придаст вектору t его окончательное направление, а второе вращение используется для надлежащей
36 ГЛАВА 1 ориентации векторов х, у и г. Таким образом, нам остается по* казать, что пространственные вращения и z-бусты могут быть получены из спиновых преобразований. Рассмотрим сначала вращения и установим следующий результат: Предложение . . Всякое унитарное спиновое преобразование соот- ветствует единственному собственному вращению сферы, 5+; обратно, всякое собственное вращение сферы S+ соотвётатвует двум и только двум уни- тарным ¦ спиновым преобразованиям, из которых одно противоположно другому. [Унитарным спино- вым преобразованием называется такое, которое задается унитарной спин-матр"ицей: А~' = А*.] A.2.29) Прежде всего посмотрим более внимательно, каков геоме- трический смысл наших преобразований. Преобразования Ло- ренца считаются здесь активными. Сферы S+ и 5~ рассматри- ваются как часть координатной системы и не принимают уча- стия в преобразовании, так что при смещении всякого изотроп- ного направления будущего (прошлого) сдвигается и его пред- ставление на 5+ (S~). К примеру, вращение (х,у,г), оставляю- щее t инвариантным, соответствует вращению изображения на S+ (S~), которое можно условно назвать «вращением сферы» S+ (S~). Плоскость 2 тоже является частью координатной струк- туры и остается неизменной, тогда как изображения на ней изотропных прямых ? сдвигаются. Здесь тоже мы можем гово- рить о «движениях» плоскости 2. (Конечно, S+, S~ и 2 инва- риантны не более чем различные координатные гиперплоскости: лежащие в них векторы в общем случае выйдут за их пределы тюслЪ осуществления преобразования Лоренца.) Важно помнить, что, хотя мы имеем здесь дело с представлением только изотроп- ных направлений пространства V, преобразованиями этих на- правлений однозначно определяется преобразование всех векто- ров пространства V. Из A.2.24) теперь ясно, что переменная Т инвариантна при унитарном спиновом преобразовании, поскольку ее след (=2Т) всегда инвариантен при унитарных преобразованиях. [С рав- ным успехом мы можем сослаться на инвариантность выражения ^I + ТП» представляющего собой эрмитову норму пары (|, ц).] Ограниченные преобразования Лоренца, при которых перемен- ная Т инвариантна, есть просто собственные вращения сферы S+ (поскольку они оставляют инвариантным X2 + У2 + Z2), что и требовалось доказать. Чтобы в явном виде продемонстрировать обратное утверждение, заметим сначала, что всякое собственное
ГЕОМЕТРИЯ МИРОВЫХ ВЕКТОРОВ И СПИН-ВЕКТОРОВ 37 вращение (ж, у, г)ь-Цлс', у', г') сферы S+ может быть составлено из последовательных вращений вокруг осей У и Z. Действитель- но, триада (х', у*, z') определяется полярными координатами в, ф оси z' относительно (х, у, г) и углом it>, образованным пло- скостями х', г' и г, г'. (Указанные три угла по существу пред- ставляют собой хорошо известные углы Эйлера в механике [80, 7].) Таким образом, требуемое преобразование будет до- стигаться вращением на угол i|i вокруг вектора г, затем враще- нием на угол 8 вокруг первоначального вектора у и, наконец, вращением на угол ф вокруг первоначального вектора z. Пока- жем, как эти элементарные вращения могут быть представлены унитарными спиновыми преобразованиями. Отсюда будет сле- довать, что всякое собственное вращение сферы S+ может быть представлено указанным образом, поскольку произведение уни- тарных матриц есть унитарная матрица. Очевидно, что вращение сферы S+ вокруг оси z на угол tj> возникает из вращения аргандовой плоскости относительно на- чала на угол ф. Такое вращение задается соотношением С = е«Е, A-2.30) т. е. спиновыми преобразованиями Далее, мы утверждаем, что вращение сферы S+ на угол 0 во- круг оси у задается следующими унитарными спиновыми пре- образованиями: | 2 — sin8/2 U/2 cos 40 J Поскольку преобразования A.2.32) унитарны, они несомненно представляют некоторое вращение. Более того, поскольку раз- ность 1ц — л! так же как и сумма li+iitj инвариантна, из A.2.14) вытекает, что «/-координаты точек на S+ инвариантны при A.2.32). Следовательно, рассматриваемое вращение проис- ходит вокруг оси у. Наконец, преобразование A.2.32) переводит точку A, 0, 0, 1) в точку A, sin0, 0, cos8), так что угол пово- рота действительно равен 9. (Путем подобных же рассуждений можно показать, что унитарные спиновые преобразования /h = ±/cosx/2 isin*/2N/|Y \ц) Usinx/2 cosx/2 Ал/
ГЛАВА 1 отвечают вращению на угол % вокруг оси х.) Тем самым пред- ложение A.2.29) доказано. Для ссылок мы выпишем результи- рующую спин-матрицу, отвечающую (общему) вращению с уг- лами Эйлера 8, </>, ip: cos ¦§• е1 <*+w - sin |-e1 A.2.34) у е-1 (*-*>/2 cos у е-1 <*+*>/у Элементы этой матрицы фактически задаются параметрами вращения Кэли — Клейна, известными из механики [801. В дополнение к доказательству предложения A.2.27) пока- жем, что всякий г-буст A.2.28) может быть получен из спино- вого преобразования. Для этого перепишем A.2.28) в виде f T-Z = w~l(T-Z), X = X, Y = Y, A.2.35) где w = (Здесь w — релятивистский доплеровский множитель, причем 1пш = АгШа есть «быстрота», соответствующая параметру ско- рости v1).) На основании A.2.24) мы тотчас же заключаем, что преобразования A.2.35) выполняются при спиновом преобра- зовании ) ±( )(). A-2.37) или, если рассматривазъ аргандову плоскость ?, при обычном растяжении | = ш?. A.2.33) Таким образом, предложение A.2.27) доказано. Заметим, наконец, что всякий чистый буст (оставляющий ин- вариантными две гиперплоскости, ортогональные вектору t, т. е. Х = 0, У = 0 в приведенных выше обозначениях) соответствует положительно (или отрицательно) определенной эрмитовой спин-матрице и наоборот. В справедливости этого соответствия: мы убеждаемся на том основании, что г-буст A.2.37), является чистым бустом, а чтобы получить буст в любом другом направ- лении, нам достаточно совместить это направление с г-направ- лением, применить г-буст и вернуть это направление в исход- ¦) Иногда «параметром скорости» называют величину, для которой здесь используется термин «быстрота»; авторы понимают под параметром скорости просто ее величину. — Прим, перев.
ГЕОМЕТРИЯ МИРОВЫХ ВЕКТОРОВ И СПИН-ВЕКТОРОВ 39 яое положение. Такой процедуре отвечает спин-матрица А-1 В А, где А — требуемое вращение, а В есть 2-буст; на основе элемен- тарной теории матриц заключаем, что А*ВА продолжает оста- ваться положительно (отрицательно) определенной эрмитовой матрицей. Обратно, всякая положительно (отрицательно) опре- деленная эрмитова матрица В может быть диагонализована при помощи унитарной матрицы A: ABA-I = diag(a, б), причем последняя должна иметь вид ±diag(w1/2, до-1/2)=±В, посколь- ку сохраняются условия эрмитовости, дефинитности и равенства определителя единице. Следовательно, В имеет вид rfcA-'BA и наше утверждение доказано. Из сказанного ранее нетрудно видеть, что всякое ограничен- ное преобразование Лоренца L представимо в виде однознач- но определенной композиции одного буста и одного собствен- ного пространственного вращения, а также композиции упомя- нутых здесь преобразований, взятых в иной последовательности. Чтобы убедиться в этом, мы должны просто задать простран- ственное направление w ортогональным направлению t и лежа- щим в плоскости, содержащей первоначальный и конечный век- торы t, применить «да-буст», переводящий вектор t в его конеч- ное положение, и затем путем пространственного поворота надлежащим образом переориентировать х, у, г1). Очевидно, что если мы выполним указанные преобразования в обратной последовательности, то получим расщепление преобразования L~l. Опять с учетом сказанного выше читатель узнает в этом результате следствие математической теоремы о том, что вся- кая несингулярная комплексная матрица однозначным образом представима в виде произведения унитарной матрицы и положи- тельно определенной эрмитовой матрицы и наоборот. Связь с кватернионами В заключение данного параграфа скажем несколько слов о кватернионах. Тем самым мы внесем большую ясность в наши результаты по спин-матрицам, связанные с вращениями. Дело в том, что спин-матричное представление собственных вращений эквивалентно их более известному представлению с помощью кватернионов. Положим Чо i)i:4i о)'Hi o)kHo - A.2.39) ') Отсюда вытекает, что топология ограниченной группы Лоренца пред- ставляет собой топологическое произведение группы вращений и простран- ства R3.
40 ГЛАВА 1 Для этих матриц справедлива следующая таблица пройзве» дений: I i j к A.2.40) которая определяет I, i, j и к как элементарные кватернионы. Общий кватернион будет представляться матрицей J A.2.41) I i j к I 1 j к i -I -k j j к -I -i к -j i -I где а, Ь, с, rfe R. Сумма и. произведение двух кватернионов по- лучаются просто как матричная сумма и матричное произведе- ние. Как и раньше, А* определяется посредством соответствую- щей матричной операции, и мы напишем. A'=la-(ib + ic + kd). A.2.42) Матрица А в формуле A.2.41) будет унитарной спин-матрицей, если она унимодулярная и унитарная. Однако из A.2.41) вы- текает, что det А = а2 + Ь2 + с2 + d\ A.2.43) AA* = I(a2 + 62+c2 + d2), A.2.44) так что оба условия выполняются, если кватернион имеет еди- ничную «норму»: N(A):=a2 + b2+c2 + d2=L A.2.45) Таким образом, единичные кватернионы могут быть представ- лены унитарными спин-матрицами. Частными примерами еди- ничных кватернионов являются элементарные кватернионы I, I, j, k. Мы видим из A.2.31) —A.2.33) и A.2.39), что i, j и к опре- деляют соответственно вращения на угол я относительно осей X, Y и Z. Если записать и считать А = la + \b + jc + Ы = а + v v = (b, с, d) A.2.46) вектором с компонентами {Ь, с, d) относительно некоторого базиса и если аналогично A' = Ia'-(- -•• =a' + v', то, как не-
ГЕОМЕТРИЯ МИРОВЫХ ВЕКТОРОВ И СПИН-ВЕКТОРОВ 41 трудно убедиться, выполняются соотношения A + A' = a + a' + v+v'( АА' = аа' - v • v' + a'v + av' + v X V, u ' где векторные суммы и произведения обычным образом выра- жаются через компоненты. Отсюда с очевидностью вытекает, что правильное уравнение для кватернионов, включающее суммы и произведения, остается правильным после применения преобра- зования вращения к «векторным» компонентам (Ь, с, d)> (b',c',d') и т. д.; действительно, «векторная» часть уравнения будет при таких преобразованиях форм-инвариантной. Мы видели, что некоторые кватернионы могут представляться спин-матрицами. В этом смысле они могут рассматриваться как преобразования. Однако кватернионы играют двоякую роль в теории — они могут также выступать в качестве «трансформан- дов», т. е. три-векторов, подвергающихся преобразованиям. Как мы видели в A.2.24), иногда бывает полезно образовать из компонент (Т, л, Y, Z) четыре-вектора определенную эрмитову матрицу. В частном случае, когда Т = О, она может быть иден- тифицирована с «векторным» кватернионом Q [формула A.2.41)] после умножения ее на i'): iZ iX — Y\ Тогда соотношение A.2.24) перепишется следующим образом: Q = AQA'. A.2.49) Из спин-матричной интерпретации этого равенства мы видим, что всякий единичный кватернион А будет (в соответствии с этим равенством) отвечать определенному собственному про- странственному повороту вактора Q. Ясно, что наиболее общий единичный кватернион может быть записан в виде А = I cos -|- + A/ + ]пг + кл) sin |- = cos |- + v sin |-, A.2.50) где v = (/, m, п) и Р+ ш2-\-п2 = 1. Мы утверждаем, что такой кватернион А осуществляет вращение на угол \|5 вокруг вектора v. Для доказательства следует просто заметить, что A.2.49) есть кватернионное равенство, а потому не изменяется при изме- нении (кватернионного) векторного базиса; повернем указан- ный базис таким образом, чтобы вектор v приобрел вид @, 1, 0). Тогда мы сразу же получим результат, эквивалентный равен- ') Никакая «хитрость» подобного рода не позволяет связать полный че- тыре-вектор (Г, X, Y, Z) с действительными кватернионами.
42 ГЛАВА 1 ству A.2.32), причем кватернион А будет приведен к спин-ма- трице, которая реализует вращение на угол г|> относительно оси у, а вектор v будет приведен к упомянутой оси. Следствием этого является важное утверждение, что всякий собственный пространственный поворот (единичный кватернион) есть враще- ние относительно некоторой оси v на некоторый угол г|>. Записав A.2.50) в виде матрицы cos ~y + in sin —¦ (— m+ i/) sin y\ * Ф * • A-2.51) (m + U) sin -y cos у — in sin y/ мы получим наиболее общую унитарную спнн-матрицу с яс- ными трансформационными свойствами. Заметим, между про- чим, что А изменяет знак при замене ч|> •—*• Ч> + 2я. Несмотря на то что унитарные спин-матрицы и единичные кватернионы представляют собой по существу одно и то же, в общем случае между спин-матрицами и кватернионами не су- ществует такой тесной взаимосвязи. Дело в том, что кватер- нионы связаны с положительно определенными квадратичными формами [формула A.2.45)], тогда как спин-матрица и преоб- разования Лоренца характеризуются лоренцевой сигнатурой (+, —, —, —)¦ Конечно, указанную трудность можно обойти путем введения «кватернионов» с надлежащими комплексными коэффициентами. Подобные объекты не будут обладать фунда- ментальным свойством действительных кватернионов, т. е. не- будут образовывать алгебру с делением. Тем не менее простое использование кватернионных обозначений [особенно A.2.47)] может привести к значительным упрощениям некоторых выкла- док с общими спин-матрицами (см., например, [55]). § 3. Некоторые свойства преобразований Лоренца Многие хорошо известные свойства вращений и преобразо- ваний Лоренца можно просто вывести, исходя из соответствия между ограниченной группой Лоренца и группой спиновых пре- образований. Покажем, как это делается. Очевидно, что в случае унитарности спинового преобразова- ния A.2.16) соотношение A.2.17) дает Неподвижные (т. е. удовлетворяющие условию ? = ?) точки за- даются уравнением
ГЕОМЕТРИЯ МИРОВЫХ ВЕКТОРОВ И СПИН-ВЕКТОРОВ 43 Ясно, что если ? — один из корней этого квадратного уравне- ния, то —1/? есть его другой корень. Следовательно, неподвиж- ные точки имеют вид ?, —1/?> соответствующий диаметрально противоположным точкам на сфере S+ [формула A.2.11)]. Это является еще одним доказательством того положения, что вся- кое вращение сферы эквивалентно вращению вокруг некоторой одной оси. Окружность на сфере 5+ определяется как пересечение сферы 5+ с некоторой плоскостью в евклидовом 3-пространстве Т = 1, задаваемой действительным линейным уравнением IX + mY + -(- nZ = р (р2 < Р + пг2 + п2). Подставив сюда A.2.8), получим (при условии рфп) уравнение вида ?? — х? — й? + хй = г2 (г > 0, у. — комплексное), т. е. [?— и] = г. Это — уравнение окружности в аргандовой плоскости с центром в точке х и ра- диусом г. Когда р — п (т. е. когда исходная окружность прохо- дит через северный полюс на сфере S+), мы получаем уравнение прямой на аргандовой плоскости. Итак, мы установили хорошо известный факт, что в случае стереографической проекции окружности на сфере переходят в окружности или прямые на плоскости и наоборот, поскольку приведенные выше рассужде- ния обратимы. В предыдущем параграфе мы показали, что всякое спиновое преобразование может быть составлено из преобразований, ко- торые либо порождают вращение сферы 5+, либо сводятся к простым растяжениям аргандовой плоскости. Ясно, что первый тип преобразований сохраняет окружности на S\ тогда как втс- рой сохраняет окружности или прямые на аргандовой плоско- сти. Из проведенных выше рассуждений вытекает, что всякое спиновое преобразование приводит к преобразованию на S+, пе- реводящему окружности в окружности [это хорошо известнее свойство дробно-линейных преобразований A.2.17) римановой сферы, которое легко доказывается прямым путем], Всякое преобразование, сохраняющее окружности, должно быть конформным преобразованием (т. е. преобразованием, со- храняющим углы). Это утверждение основано на том, что бес- конечно малые окружности должны преобразовываться в беско- нечно малые окружности, а не в эллипсы. Обратно, мы можем прямым путем убедиться в конформном характере стереографи- ческой проекции, заметив, что квадрат интервала да2 на сфере связан с квадратом интервала d?d| на аргандовой плоскости соотношением 2 22 = 4^i-. A.3.2) вытекающим из A.2.8). Конформный же характер дробно-ли- нейного преобразования может быть установлен на основе того
44 ГЛАВА 1 простого факта, что оно является голоморфным (т. е. комплекс- ным адалитическимI) преобразованием; действительно, в по- следнем случае из I = / (?) вытекает d? = /' (?) d?. Очевидно, что как следствие из всего этого преобразование Лоренца порож- дает изотропное расширение и вращение окрестности каждой точки на сфере S+. Следствиями описанных выше свойств конформности и со- хранения окружностей являются хорошо известные, но вместе с тем вызывающие удивление спецрелятивистские эффекты, на- зываемые иногда эффектами «ненаблюдаемости лоренцева со- кращения». Рассмотрим наблюдателя в точке О. Как отмечалось ранее, его поле зрения, или небесная сфера, может быть в соот- ветствии с нашей договоренностью представлено римановой сфе- рой 5~. Всякий луч света, входящий в его глаз, можно для удоб- ства представить изотропной прямой, проходящей через точку О, и, следовательно, единственной точкой на его небесной сфере 5~ (небесное отображение). Сфера S~ связана с S+ отображе- нием, переводящим каждую точку в диаметрально ей противо- положную. Таким образом, всякое ограниченное преобразование Лоренца на V порождает конформное отображение небесной сферы на себя, сохраняющее окружности. Из свойства конформ- ности вытекает, что объект, рассматриваемый заданным наблю- дателем под небольшим углом, будет иметь ту же самую форму для любого другого наблюдателя, мгновенно совпадающего с первым, хотя бы он и двигался относительно первого наблюда- теля с некоторой скоростью [178]. Для двух таких наблюдате- лей в общем случае будут разными только видимый угловой размер и направление. Более того, из свойства сохранения окружностей вытекает, что если один инерциальный наблюда- !) Обратно, всякое локальное собственное (т. е. сохраняющее ориента- цию) конформное преобразование римановой сферы отвечает голоморфному отображению С. [Данное утверждение справедливо вследствие того, что кон- формность означает d?*=ad? для некоторого комплексного a, т. е. (d*-|- + idjf) = a(d* + \dy), откуда вытекают условия Коши — Рнмана dSc/дх = = Re (a) = ду/ду, —дх/ду = Im(a) = ду/дх, а значит, и голоморфность.] По- скольку лишь глобальные голоморфные отображения римановой сферы на себя являются дробно-лннейными преобразованиями, только собственные глобаль- ные конформные отображения !У+ (понимаемого через S+) на себя суть ото- бражения, порождаемые спиновыми преобразованиями. Таким образом, группа- собственных конформных преобразований Р*+ на себя является ограниченной" группой Лоренца. Следовательно, существенная структура сферы S+ задается не чем иным, как ее конформной структурой и ориентацией. В самом деле, всякая 2-поверхность Т с топологией сферы S2 н с (поло- жительно определенной) конформной структурой по своим метрическим свой- ствам конформно-эквивалентна сфере (скажем, S+). Таким образом, собствен- ные конформные преобразования поверхности Т в себя также образуют груп- пу, изоморфную ограниченной группе Лоренца. Мы воспользуемся этим ре- зультатом в гл. 9 [формула (9.6.31)].
ГЕОМЕТРИЯ МИРОВЫХ ВЕКТОРОВ И СПИН-ВЕКТОРОВ 45 тель воспринимает очертания объекта любых размеров как окружность, то и все инерциальные наблюдатели, мгновенно совпадающие с первым, будут воспринимать очертания этого объекта как окружность (или, в частном случае, «прямолиней- ные» очертания, отвечающие большому кругу на небесной сфере, который кажется «прямой» линией). В-частности, очертания равномерно движущихся сфер, несмотря на лоренцево сокраще- ние, для всех наблюдателей представляют собой окружности [133]. Дробно-линейное преобразование римановой сферы пол- ностью определяется заданием произвольных трех разделенных точек на сфере как образов произвольных' других трех разде- ленных точек на этой сфере. Этот хорошо известный факт явля- ется простым следствием A.2.17). (Преобразование определяет- ся тремя комплексными отношениями а: E : у : б, которые, в свою очередь, задаются тремя комплексными уравнениями.) Мы по- лучаем, что всякое ограниченное преобразование Лоренца пол- ностью определяется заданием (различных) отображений трех различных разделенных изотропных направлений. (Таким обра- зом, путем выбора только своей скорости и ориентации наблю- датель может добиться, чтобы любые три звезды оказались в трех наперед заданных точках на его небесной сфере.) Далее, всякое дробио-линейное преобразование A.2.17), а ие только частный случай A.3.1) (не считая тождественного пре- образования), допускает две и только две неподвижные точки, которые могут совпадать на римановой сфере; это следует из соотношения A.2.17), если положить в нем ? = ? и решить по- лучившееся квадратное уравнение. Стало быть, всякое (нетри- виальное) преобразование Лоренца оставляет неизменными два и только два (возможно совпадающих) изотропных направле- ния1). Частные случаи преобразования Лоренца, выделенные по характеру его действия на S+ Проанализируем структуру лоренцевых преобразований в свете только что полученных выводов. Сначала рассмотрим слу- чай, когда упомянутые два неподвижных изотропных направле- ния отличаются друг от друга. Канонический вид для такого преобразования Лоренца можно получить, выбрав нашу систему тетрад Минковского таким образом, чтобы векторы t и г ле- ') В самом деле, в силу теоремы из топологии всякое непрерывное ото- бражение сферы на себя, сохраняющее ориентацию, должно обладать по мень- шей мере одной неподвижной точкой, а при «правильномж подсчете — двумя и только двумя неподвижными точками, поскольку эйлерова характеристика сферы равна двум. Ср. с обсуждением вопроса об «отпечатках пальцев> в гл. 8, § 7.
46 ГЛАВА 1 Рис. 1.6. Поворот на сфере Рис. 1.7. Буст на сфере S+. Рис. 1.8. Четыре-винт на сфере S+. жали в 2-плоскости, натянутой на эти изотропные направления. Тогда последняя должна иметь компоненты A,0, 0, ±1), откуда заключаем, что неподвижные точки совпадают с северным и южным полюсами сферы 5+ (? = оо, 0). Наиболее общее дроб- но-линейное преобразование A.2.17), сохраняющее оба полюса инвариантными, имеет вид i = wz\, A.3.3) где ш и if — действительные числа. Это преобразование пред- ставляет собой произведение (в любом порядке) вращения на угол г|з вокруг оси г и буста вдоль оси z с быстротой ф = In w (рис. 1.6, 1.7, 1.8). В координатах Минковского A.2.15) имеем X = X cos г|> — Y sin i|>. Y = X sin ф + Y cos t. Z = Z ch ф + T sh ф, Т = гвЪф + ТЬф Это — преобразование, которое Синг [175, стр. 86] называет «четыре-винтом».
ГЕОМЕТРИЯ МИРОВЫХ ВЕКТОРОВ И СПИН-ВЕКТОРОВ 47 Мы уже видели, что чистые бусты в направлении z соответ- ствуют растяжению ? = w\ аргандовой плоскости. Если рас- сматривать небесное отображение (S~) в сферических полярных координатах на небесной сфере [формула A.2.11)], то это при- водит к аберрационной формуле для приходящих световых лучей: 4 Здесь V = —v есть скорость в направлении 0 = 0 наблюдателя, измеряющего угол 9, по отношению к наблюдателю, измеряю- щему угол 9. (Поскольку наши преобразования активные, мы должны представлять себе остальную Вселенную движущейся со скоростью —V = v в направлении оси г.) Мы видим, что наблюдателю, движущемуся с высокой скоростью по направле- нию к звезде Р, все прочие звезды кажутся все более и более группирующимися вокруг Р по мере роста его скорости. Далее, рассмотрим преобразования Лоренца, для которых упомянутые два неподвижных изотропных направления совпа- дают. Такие преобразования называются изотропными враще- ниями. Без потери общности мы можем выбрать неподвижное изотропное направление так, чтобы оно соответствовало север- ному полюсу сферы S+. Таким образом, точка С = °° должна быть единственной неподвижной точкой дробно-линейного пре- образования A.2.17), так что ?=?+Р. A.3.6) где Р — некоторое комплексное число. Преобразование A.3.6) представляет собой просто сдвиг на аргандовой плоскости. (Дробно-линейное преобразование аргандовой плоскости, для которого точка ? = оо неподвижна, должно иметь вид ? = а? + р, но при <хф 1 оно имеет еще и конечную неподвижную точку.) Спиновые преобразования, приводящие к A.3.6), имеют вид Без потери общности мы можем положить, скажем, р = \а, где а — действительное число. Тогда в координатах Минковского получим . aY + j-aHT-Z).
46 ГЛАВА I Рис. 1.9. Изотропное вращение на сфере S+. Заметим, что изотропный вектор г +1 инвариантен полностью, а не только по направлению. Чтобы наглядно представить описанное изотропное вращение римановой сферы, мы приводим рис. 1.9. Жесткий сдвиг арган- довой плоскости приводит к преобразованию римановой сферы, смещающему точки по окружностям, которые проходят через северный полюс, касаясь в нем направления оси у. При прибли- жении к северному полюсу смещения становятся все меньше и меньше, оставляя северный полюс единственной неподвижной точкой. Как уже говорилось, наиболее общее дробно-линейное пре- образование, для которого точка 5 = °° неподвижна, имеет вид ? = at, + р. Оно может быть разложено на сдвиг, вращение и растяжение аргандовой плоскости (в любой последователь- ности). Таким образом, наиболее общее ограниченное преобра- зование Лоренца, сохраняющее инвариантным заданное изо- тропное направление К (скажем, в плоскости г и t), есть произ- ведение изотропного вращения относительно К, пространствен- ного вращения относительно г и 2-буста. Первые два из пере- численных преобразований оставляют инвариантным весь век- тор К, последнее — лишь его направление. Отметим, что как преобразования Лоренца, сохраняющие ин- вариантными два заданных изотропных направления, так и изо- тропные вращения, сохраняющие инвариантным одно заданное изотропное направление, образуют двумерную абелеву подгруп- пу группы Лоренца. В первом случае мы имеем дело с аддитив- ной группой по комплексному числу Ф + ty (модуль 2ш'), а во втором — с аддитивной группой по р. Эти группы неизоморфны, поскольку они имеют разную топологию (S1 X R и R2 соответ- ственно) . Действительно, все числа Ф + ii|> + 2ят (п = ..., —1, О, 1,2, ...) приводят к одному и тому же преобразованию, тогда как при разных р все изотропные вращения различны.
ГЕОМЕТРИЯ МИРОВЫХ ВЕКТОРОВ И СПИН-ВЕКТОРОВ 49 Двойные отношения изотропных направлений Имея в виду будущее применение (в гл. 8 тома 2), мы за- вершим данный параграф изложением некоторых довольно спе- цифических результатов для двойных отношений. Хорошо известно (и это нетрудно проверить), что двойное отношение четырех точек ?ь ?г, ?3, Z* аргандовой плоскости инвариантно от- носительно дробно-линейных преобразований. В однородных ко- ординатах имеем Теперь легко видеть, что {а, р, Y. 6} = {р, а. 6, Y} = (y> в» <*> Р} = {6. Y. Р> а}- A.3.11) Следовательно, может быть не больше шести различных значе- ний двойного отношения четырех точек, взятых во всевозмож- ных последовательностях, и эти значения таковы: J J у J „ х. 1-х. -. 7=7- —г~- Т=Т- .О-3-12) Когда совпадают две и только две из величин ?, величина % вы- рождается в 1, 0 или оо. При тройном и четырехкратном совпа- дении отношение % становится неопределенным. Двойное отношение, четырех действительных изотропных на- правлений определяется двойным отношением A.3.9) четырех соответствующих точек аргандовой плоскости. Легко видеть [это устанавливается путем перемены местами величин % и х\ в фор- муле A.3.10)], что {I/a, 1/p, 1/Y, 1/6} = {а, Р, Y. 6} = {-а, - р, -у, -6}, A.3.13) и, следовательно, небесное и антинебесное отображение дают двойные отношения, комплексно-сопряженные друг другу, по- скольку отображения заданных изотропных направлений на сферы 5+ и S~ суть —1Д и ? соответственно. Зная любые три из несовпадающих комплексных чисел tu ?2» ?з, ?4 и приписывая произвольное значение двойному отношению A.3.9), можно однозначно определить четвертое число (считая оо одним числом). Как следствие получаем, что любые четыре различных изотропных направления (точки на 5+) путем под- ходящего ограниченного преобразования Лоренца (дробно-ли- нейного преобразования) могут быть переведены в любые дру- гие четыре изотропных направления (точки), имеющие то же
59 . ГЛАВА 1 самое двойное отношение; в справедливости данного утверж- дения убеждаемся на том основании, что любые три из изотроп- ных направлений могут быть указанным образом отображены на любые другие три несовпадающих изотропных направления,, после чего четвертое направление однозначно определится ин- вариантным двойным отношением. Если двойное отношение A.3.9) — действительная величина, то все четыре рассматриваемые точки лежат на одной окруж- ности (или коллинеарны) в аргандовой плоскости. Это эквива- лентно утверждению, что четыре соответствующие точки на ри- мановой сфере лежат на одной окружности и, следовательно, компланарны. Итак, для того чтобы четыре изотропные линии принадлежали одной действительной гиперплоскости аТ + ЪХ + cY + dZ = 0, должно быть действительным их двойное отношение. Частный случай — гармоническое семейство, двойное отношение для ко- торого равно —1, 2 или 1/2. Одно гармоническое семейство в аргандовой плоскости задается вершинами квадрата 1, i, —1, •—i; следовательно, эти же точки на экваторе римановой сферы соответствуют семейству гармонических изотропных направле- ний. В силу сказанного выше всякие четыре гармонических изо- тропных направления могут быть преобразованы в указанные гармонические изотропные направления путем соответствующего ограниченного преобразования Лоренца. Интерес представляет также эквиангармоническое семейство, обладающее еще большей внутренней симметрией. В этом слу- чае двойное отношение равно —<о или —©2, причем ю = е2Ш/3: Путем подходящего ограниченного преобразования Лоренца че- тыре такие точки на римановой сфере могут быть переведены в вершины правильного тетраэдра. Это следует из того, что при всех Я семейство точек О, Я, Ке>, Я<о2 является эквиангармониче- ским на плоскости, а при некотором подходящем действительном Я. оно, очевидно, проектируется в вершины правильного те- траэдра. Геометрический смысл двойного отношения можно пояснить следующим образом')• ') Мы благодарим А. Робинсона за обсуждение этого момента. Вопрос о единственности существования времениподобной плоскости Q не вполне ясен. Отметим, однако, что единственным образом определенное пре- образование Лореица, переводящее векторы А, В, С в В, A, D, одновременно переводит D в С [поскольку двойные отношения векторов А, В, С, D н В, А, D, С в силу A.3.11) равны! н, следовательно, имеет период 2. Оно представ- ляет собой отражение, инвариантными плоскостями для которого служат пло- скость О и простраиственноподобиая плоскость, ортогональная плоскости Q.
ГЕОМЕТРИЯ МИРОВЫХ ВЕКТОРОВ И СПИН-ВЕКТОРОВ 51 Рассмотрим произвольные четыре несовпадающих действи- тельных изотропных вектора А, В, С, О и обозначим символом [АВ] плоскость, задаваемую векторами А и В. Пусть Q — един- ственная времениподобная плоскость, содержащая по одному вектору из [АВ] и [CD] и по одному перпендикуляру к [АВ] и [CD]. Для удобства вычислений предположим, что Q есть пло- скость векторов г и t и что А осA, р, q, г), В <хA, р', q\ r'). Единственные содержащиеся в Q векторы, нормальные к векто- рам А и В, есть (г, 0, 0, 1) и (г', 0, 0, 1) соответственно; следо- вательно, г' = г. Если [АВ] содержит вектор из Q, то (р', q') ос ос (р, q). Поскольку А а В — изотропные и несовпадающие век- торы, получаем А ос A, р, qt г), В ос A, —р, —q, г); аналогичный вывод справедлив для векторов С и D. Следовательно, каждая из рассматриваемых нами пар на римановой сфере представ- лена парой точек, имеющих одну и ту же широту, но располо- женных на противоположных меридианах. Имеется только одно ограниченное преобразование Лоренца, которое осуществляет перевод А>—*-С, B>—>D и сохраняет плоскость Q (а тем самым ее изотропные направления, соответствующие северному и юж- ному полюсам). Очевидно, что таким преобразованием является вращение A.2.30) вокруг оси г, выполненное после буста < 1.2.38) вдоль оси г: f = e*+i^==ept A.3.14> где 2* — w и р = Ф + it|j. Если а, р — точки комплексной пло- скости, соответствующие векторам А, В, то Р = —а; далее, если у, б соответствуют векторам С, D, то 6 = — у и y = е9а- Следо- вательно, х={а, Y, p, 6}==il^l = th*!. A.3.15) Величину р = ф + h|, = 2Arth V% A.3.16) можно назвать комплексным углом между действительными плоскостями [АВ] и [CD], и мы видим, что эта величина сдно- значно определяется двойным отношением {а у, р\ 6} с точ- ностью до знака и модуля in, зависящего от способа перевода векторов друг в друга (A i—* С, В >—» D или иначе). Геометри- ческий смысл комплексного угла заключается в том, что пло скости [АВ] и [CD] «различаются» лоренцевым преобразова- нием, состоящим из вращения на угол ф относительно плоскости й и буста с быстротой ф в плоскости й, причем й есть одно- значно определенная «нормаль» к плоскостям [ЛВ], [CD] в ука- занном выше смысле.
52 ГЛАВА 1 § 4. Изотропные флаги и спин-векторы Задача данного параграфа состоит в том, чтобы подвести чи- тателя к геометрическому понятию спин-вектора (спинора про- стейшего типа). На этом понятии будет покоиться геометриче- ское содержание спинорной алгебры, которая будет формально развита в последующих главах. Геометрическая интерпретация элементарных алгебраических операций между спин-векторами будет дана в § 5. Наша цель заключается в том, чтобы найти некоторую гео- метрическую структуру в векторном пространстве Минковского V (оно будет у нас геометрическим изображением спин-вектора х), для которой пара комплексных чисел (?, г\), введенная в § 2, могла бы служить координатным представлением. Мы уже ви- дели, как связать направленный в будущее изотропный вектор К с (|, г\), если задана координатная система Минковского. Пара (I, ц) служит координатами вектора К; однако эти коор- динаты являются для К избыточными, поскольку фазовое пре- образование 1•—*• ею1, л ь-> е'°т| оставляет К неизменным [фор- мула A.2.15)]. Мы хотим связать с (?, ц) более богатую гео- метрическую структуру, при которой избыточность сводится к единственной (существенной) неопределенности в знаке. Такой структурой фактически будет «изотропный флаг» (т. е. преды- дущий изотропный вектор К, представляющий % и ц с точностью до фазы) вместе с «полотнищем флага», т. е. изотропной полу- плоскостью, прикрепленной к К и представляющей фазу1). Но если фазовый угол изменяется на 8, то флаг поворачивается на 20, что приводит к упомянутой выше неопределенности в знаке. Она не может быть исключена никакой локальной или канони- ческой интерпретацией в V; этот вопрос мы рассмотрим позже в данном параграфе. Существенное требование к любому геометрическому изобра- жению пары чисел (?, ti) состоит в том, чтобы оно не зависело от используемых координат. Если пара {%, ц) получена из (|, г\) путем спинового преобразования, соответствующего [согласно формуле A.2.24)] некоторому пассивному лоренцеву преобра- зованию координат Минковского, то абстрактный спин-вектор ку представленный парой (?, ц), должен оставаться неизменным» как и его геометрическое представление. Таким образом, если пара (|, г\) задает геометрическое представление спин-вектора х в первой системе координат Минковского, то пара (I. т\) должна задавать точно такую же. структуру во второй системе. ') Мы не рассматриваем других возможных вариантов, когда взаимо- связь спинора с его геометрическим представлением может быть установлена путем пространственного (или временного) отражения [169].
ГЕОМЕТРИЯ МИРОВЫХ ВЕКТОРОВ И СПИН-ВЕКТОРОВ 5$ Заметим, что здесь мы имеем дело с инвариантностью относи- тельно пассивных преобразований. В последующих двух пара- графах мы займемся изучением 2—1-локального изоморфизма между спиновой группой SL B, С) и ограниченной группой Ло- ренца, рассматривая группы как активные; однако в соответ- ствии с замечаниями, сделанными в конце § 1, тот же самый изоморфизм сохраняет силу и в случае пассивных преобразо- ваний, так что после внесения соответствующих изменений част- ные результаты будут справедливы для пассивных преобразо- ваний. Рассмотрение на сфере 9*+ Для начала покажем, как получить геометрическое изобра- жение пары комплексных чисел (?, ц) в.пространстве изотроп- ных направлений будущего !?+, а затем мы сделаем это в про- странстве V. Как и раньше, пометим точки сферы 9>+ комплекс- ными числами ? = |/п (? = °° при т) = 0). Покажем, что не только отношение |:ti, но также ? и г\ по отдельности (с точ- ностью до общего знака) можно естественным образом предста- вить, выбрав в дополнение к изотропному направлению Р (по- меченному числом ?) один действительный вектор L, касатель- ный кР"+в точке Р (рис. 1.10). Чтобы охватить пространство- производных действительных функций на сфере !?+ (которая представляет собой образ аргандовой плоскости), нам нужны действительная и мнимая части производной d/dt,. Теперь дей- ствительный вектор L на &+ (кроме особой точки ? = оо, в ко- торой координату % следует заменить другой координатой, на- пример 1Д) может быть представлен линейным дифференциаль- ным оператором') с коэффициентами Я и К, выбранными так, чтобы он был дей- ствительным. Потребуем, чтобы величина К выражалась через- 5 и tj таким образом, чтобы после осуществления (пассивного) спинового преобразования выполнялось равенство fcJ- + ?-t«*-2L + *-2-, A.4.3) di dl dt, dt ') Дифференциальный оператор — это обычное представление вектора, ко- торое все шире применяется в дифференциальной геометрии. Оно автомати- чески вводит в рассмотрение все трансформацноиные свойства. Это представ- ление будет играть важную роль в гл. 4.
ГЛАВА ! Й? JL = f - у поскольку в силу равенства A.2.18) мы имеем аб ставив выражение A.4.4) в A.4.3), найдем * « A.4.4) 1. Под- A.4.5) L = - A.4.6) в виде Ш1 комплексно^ число, помечающее точку Г
ГЕОМЕТРИЯ МИРОВЫХ ВЕКТОРОВ И СПИН-ВЕКТОРОВ 55 при спиновом преобразовании A.4.2), если выполняется условие Если «задать» произвольную величину е > 0, то точками Р и Рг определяются ? и тр2- Следовательно (как и раньше), точками Р и Р' определяется пара ±(g, л) (причем ? = оо может рас- сматриваться как предельный случай). Требуемая пара «сосед- них точек» Р, Р' на &+ задает ту же самую ситуацию, что и точка Р вместе с касательным вектором L в Р (рис. 1.10). При- чина этого заключается в том, что В справедливости формулы A.4.9) можно убедиться, заметив,, что для любой функции /(?, ?) мы имеем в силу выражения A.4.6)'). Рассмотрение в пространстве V Касательный вектор L в абстрактном пространстве &+ соот- ветствует касательному вектору L в координатно-зависимом представлении 5+ сферы Р4. Операторное выражение для (ко- ') Другой инвариантный способ представления пары (?, ц) на 9>+ осно- ван на использовании дифференциальной формы ri2dS = r1dg-Un в точке Р, поскольку при спиновых преобразованиях [формула A.4.4)] Действительная часть этой днфференцнальной формы (умножения на — V2 ) дает способ описания, почти эквивалентный тому, который только что был представлен на основе вектора L; но, поскольку геометрическая интерпрета- ция форм не столь прозрачна, как касательных векторов, в дальнейшем мы не будем пользоваться таким описанием. Отметим, что различные возможные способы представления спин-вектора,, эквивалентные при использовании ограниченных преобразований Лоренца, не обязательно эквивалентны, если применяется расширенная группа преобразо- ваний, включающая отражения или конформные преобразования, состоящие в замене масштабного множителя (гл. 3, § 6; гл. 5, § 6). В каждом отдельно»* случае может оказаться необходимым некий выбор иа основании характера из- менения спин-вектора при этих дополнительных преобразованиях (т. е. появ- ления конформного веса, знаков или возможных множителей i).
56 ГЛАВА •ординатно-зависимого) вектора L формально то же самое, что и выражение A.4.6) для (коордииатно-независимого) вектора L: где L* представляют собой компоненты') вектора L в коорди- натах х* пространства V. Различие возникает благодаря тому, что мы рассматриваем д/д% и <Э/<Э? в A.4.10) как операторы, действующие на функции, определенные на V, а не на 9>+, при- чем на координаты налагаются два дополнительных условия, выделяющих подпространство 5+ пространства V (скажем, TX*y2 + Z2) Для ссылок в дальнейшем вычислим компоненты L в яв- ном виде, используя A.2.8): откуда дх^__0 <?*' __ 1-1* дх* _ \+1* дх* _ 2J dt, ~ ' dl ~ (Й + D2 ' dZ i (Й + 1)* ' 3? "~ (Й + 1)* ' A.4.12) и поскольку в силу A.4.10) выполняется равенство мы имеем ., -V2(ln + jti) „ . (it + tn)' ' ; Отсюда можно вычислить норму (очевидно, пространственнопо- добного) вектора L [формула A.1.13)]: A.4.15) так что L является единичным вектором в том и только в том случае, когда К [изотропный вектор, соответствующий паре ?, г\ в силу A.2.15)] задает точку Р непосредственно'на 5+ (т. е. К° = Т = 1). Фактически «длина» (—ijl.llI'2 вектора L изме- ') Следуя установившейся традиции, впредь именуем координаты вектора «компонентами:».
ГЕОМЕТРИЯ МИРОВЫХ ВЕКТОРОВ И СПИН-ВЕКТОРОВ 57 няется обратно пропорционально протяженности1) вектора К, т. е. обратно пропорционально отношению ЯГ.к ОР [формулы A.2.14) и A.2.15)]. Мы будем писать где k — вектор, определяющий точку на 5+. Отметим также сле- дующее. В то время как определение A.4.10) для L, казалось бы, должно приводить к трудностям при ц = 0, % = оо, и* A.4.14) мы видим, что на самом деле трудности здесь не воз- никают, поскольку при ц = 0 вектор L все-таки является хорошо определенным. Если (|, т)) и (|, fj) связаны между собой (пассивным) спи- новым преобразованием и мы вычисляем Z,a относительно двух соответствующих координатных систем Минковского [исполь- зуя A.4.14)], то оказывается, что в общем случае они не свя- заны между собой преобразованием Лоренца. (Это явствует, например, из того, что вектор L, касательный к 5+, должен быть ортогонален координатной оси t, а ортогональность в общем слу- чае не сохраняется при лоренцевом преобразовании.) Тем не менее плоскость П, натянутая на векторы К и L, является инва- риантной, т. е. координатно-независимой, и, таким образом, она задает геометрическую структуру в пространстве V. Это станет понятным, если мы вспомним, что L соответствует касательному вектору в 9*+ и тем самым двум бесконечно близким изотропным- направлениям, одно из которых К. Плоскость, натянутая на эти изотропные направления, очевидно, есть П. Плоскость П теперь задается семейством векторов аК + Ы (a,6eR) . (Ь4.17> и, следовательно, обладает требуемой инвариантностью. Чтобы придать смысл направлению вектора L, наложим условие Ь>0. A.4.18> Оно превращает A.4.17) в полуплоскость, скажем П, ограни- ченную вектором К. Эта полуплоскость и представляет собой" искомый флаг. Вместе с К она определяет (|, т\) с точностью- до знака. Действительно, зная К, мы знаем | и ц с точностью да общего фазового множителя, а зная направление вектора L, мы ') Термин' «протяженность» часто будет употребляться для изотропных векторов, поскольку их «длина» всегда равна нулю. Протяженность изотроп- ного вектора не может быть инвариантно охарактеризована одним числом. Изотропные векторы разных направлений нельзя сравнивать по их протяжен- ное! ям Отношение же протяженностей изотропных векторов одного и того же направления имеет смысл: оно в точности равно отношению векторов.
58 ГЛАВА 1 можем получить фазу ц (и тем самым %) из A.4.6). Заметим, что вектор L пространственноподобен и ортогонален вектору К (бу- дучи касательным к S+, он имеет нулевую временную компо- ненту, а его пространственная часть, очевидно, ортогнальна про- странственной части вектора К). Следовательно, полуплоскость П представляет собой одну половину изотропной 2-плоскости ^см. следующий параграф), т. е. она касательна к световому конусу. Она должна касаться светового конуса вдоль линии, проходящей через К. Мы будем называть П и К изотропным флагом или просто флагом. Вектор К будет называться флаг- штоком, его направление — направлением флагштока, а полу- плоскость П — полотнищем флага. Сделаем короткое отступление, чтобы напомнить читателю некоторые общие свойства изотропных плоскостей. Произволь- ная действительная плоскость aU + bV, A.4.19) натянутая на два 4-вектора V и V, содержит ие больше двух действительных изотропных направлении, которые задаются со- отношением 2/H 2V|| 2&/V = 0. A.4.20) Если эти изотропные направления совпадают, плоскость назы- вается изотропной. Пусть в этом случае V — единственное изо- тропное направление на такой плоскости; тогда A.4.20) пока- зывает, что на этой плоскости не существует никакого другого изотропного направления только в том случае, когда U-V = 0, т. е. всякий другой вектор V на этой плоскости должен быть ¦ортогонален вектору U. А поскольку никакие два разных при- чинных направления не могут быть ортогональны [ср. с утверж- дением после неравенства A.1.17)], всякий такой вектор V дол- жен быть пространственноподобным. Угол б между двумя изо- тропными плоскостями с общим изотропным вектором, скажем V, может быть определен как угол между любыми двумя неизо- тропными векторами, по одному в каждой плоскости; действи- тельно, предполагая, что V и w — два таких вектора, получим {aU + bV)-(cU + dW)=*bdV-W и, следовательно, cosG = = ±V-W/(\\V\\\\W\\)-l/2 независимо от а, Ь, с, d. В качестве ин- тересного следствия мы получаем, что любое поперечное сечение Т светового конуса в V, даже если это сечение светового конуса искривленной гиперповерхностью, конформно-эквивалентно всем другим сечениям (и, следовательно, сечению S+), соответствую- щие точки которых лежат на одной и той же образующей све- тового конуса (рис. 1.11). Данное следствие можно доказать разными способами и, в частности, рассмотрев бесконечно малый треугольник, который получается при пересечении трех задан-
ГЕОМЕТРИЯ МИРОВЫХ ВЕКТОРОВ И СПИН-ВЕКТОРОВ 5е» Сечения гиперплоскостью Рис. 1.11. Сечения изотропного конуса отображаются конформно друг на дру- га образующими конуса. Такое отображение наделяет сферу 9"+ конформной структурой. Метрики на сфере возникают в пересечениях с пространственно- подобными гиперплоскостями. Метрики различных единичных сфер на сфере- 9>+, совместимые с ее конформной структурой, отвечают различным единичным.- времениподобным векторам (т. е. векторам, нормальным к гиперплоскости).. ных близлежащих образующих светового конуса произвольной гиперплоскостью. Поскольку близлежащие образующие принад- лежат одной изотропной плоскости, наш предыдущий результат позволяет заключить, что все такие бесконечно малые треуголь- ники будут подобны, чем и доказывается указанное следствие. Нам уже встречалось проявление этого следствия при рассмо- трении гиперплоскости A.2.12). Рассмотрим более подробно вопрос о геометрической интер- претации «величин» вектора Ь. Мы не можем приписать боль- шого смысла норме 11^-11, поскольку это придало бы нежелатель- ный смысл метрике S+. (Как мы видели выше, условие \\L\\ = = —1 означает, что точка Р вектора К = ОР лежит на S+.) Мм должны рассматривать вектор L в точке Р как «связанный» с началом О. Таким образом, если мы заменим точку Р некото- рой другой точкой R на ОР, лежащей в направлении будущего от точки О, то одновременно мы должны умножить L на OR/OP (см. рис. 1.10). Итак, вектор L в точке Р «эквивалентен» вектору (OR/OP)L в точке R. Мы можем выбрать R таким образом, чтобы вектор (OR/OP)L стал единичным вектором1). Тогда мы получим OR = К, поскольку наш выбор означает К =- = (—\\L\\)~ll'~OP, т. е. то же самое, что и A.4.16). Таким обра- ') Точнее говоря, мы должны допустить, что L может также содержать- слагаемые, кратные К. Но это не влияет на норму, поскольку вектор К изо- тропен и ортогонален вектору L.
60 ГЛАВА 1 зом, величина вектора L просто характеризует местонахождение вектора К (в направлении ОР). Мы можем наглядно предста- вить это с помощью Р и Р' следующим образом. Рассмотрим близлежащие изотропные линии ОР и ОР'. Определим место- лахождение точки /? на ОР, продолжив прямую ОР до тех пор, пока расстояние между близлежащими линиями не Станет рав- но е. Заметим, что чем «ближе» друг к другу ОР и ОР', тем больше будет протяженность OR. Присваивание флагам меток (?, ц) не зависит специфически -от выбора координатной системы Минковского на V. (Некото- рые другие типы координатных систем могли бы даже при- вести к более простым формулам, чем те, которыми пользова- лись мы.) Приписывание пары (?, ц) изотропному флагу может быть осуществлено более прямым путем, если ввести спиновую систему отсчета. Тогда координатная система на V не будет иметь значения. По существу, спиновая система отсчета опре- делена, коль скоро известны флаги, соответствующие парам A,0) и @, 1), но имеется еще одна небольшая трудность, свя- занная с неопределенностью в знаке. Она отпадает, если ввести понятие спин-вектора. Этим мы сейчас и займемся. Подробности необходимых геометрических операций будут даны в § 6. Спин-вектор Чтобы уяснить себе переход от флага к спин-вектору, мы должны вникнуть в природу знаконеопределенности в представ- лении изотропного флага парой (?, ri). С этой целью рассмотрим действне на изотропный флаг преобразований вида (Б. ч)"-*№. Щ A.4.21) где X — некоторое отличное от нуля комплексное число. Такие преобразования оставляют направление флагштока инвариант- ным, но могут изменять протяженность флагштока или направ- ление полотнища флага. Положим А, = геш, A.4.22) где г, 8eR и г > 0. Тогда в частном случае 8=0 (т. е. при действительном А,) преобразование A.4.21) не вносит изменения в полотнище флага, а протяженность флагштока увеличивается, приобретая мнбжитель г2; в то же время, если г = 1 (т, е. мо- дуль числа А, равен единице), то преобразование A.4.21) не влияет на флагшток, но полотнище флага поворачивается на угол 29 в положительном направлении. Проще это можно пояс- нить, рассмотрев две бесконечно близкие разделенные точки Р и Р' на S+. Пусть Р задается координатой ?, a P' — координатой
ГЕОМЕТРИЯ МИРОВЫХ ВЕКТОРОВ И СПИН-ВЕКТОРОВ 61 Z, — 2~1/2ел~"\ В результате преобразования A.4.21) мы имеем t}-vXtj, откуда л •—*• г-2е~2'ел~2- Поскольку протяженность флагштока изменяется обратно пропроционально бесконечно ма- лому разделению РР', первая часть нашего утверждения дока- зана. Вторая же часть явствует из того, что, как мы помним, сфера S+ получена из аргандовой плоскости % в результате кон- формной стереографической проекции. Рассмотрим непрерывное вращение (I. л) i~* (e'el> е'ел)> где Э изменяется от 0 до я. В конце мы.получаем (I. Л) •—(-&. -Л). A-4.23) но флаг возвращается к своему исходному положению, причем полотнище флага поворачивается на угол 2я (т. е. делает один полный оборот вокруг флагштока). Если продолжить вращение, так что 6 будет далее изменяться от я до 2я, то мы опять по- лучим исходную пару (|, л)- Таким образом, чтобы вернуть (|, л) к исходному положению, необходим поворот полотнища флага на угол 4я. Это показывает, что полное локальное гео- метрическое представление пары (%, ц) в пространстве V с уче- том ее глобального знака невозможно. Всякая локальная струк- тура в пространстве Минковского V, которую мы могли бы связать с изотропным флагом, тоже будет вращаться на угол 2п и, следовательно, возвращаться к своему исходному положе- нию при преобразовании. A.4.23). Чтобы это было яснее, заме' тим сначала, что для всякой конкретной пары (|, л) мы можем осуществить изменение (%, л) *—* (е'еЕ> ешл) путем спинового преобразования, соответствующего одному вращению, при ко- тором направление флагштока является инвариантным изотроп- ным направлением. [Для простоты можно выбрать(|, tj)=(O, 1I—*• +—> @, е'е) и выполнить преобразование A.2.31).] Поскольку б изменяется непрерывно от 0 до я, спиновое преобразование тоже изменяется непрерывно (при условии, что ось вращения фиксирована) и в конце концов оказывается преобразованием —I. Соответствующие преобразования Лоренца также изменя- ются непрерывно, но оканчиваются тождественным преобразо- ванием Лоренца. Таким образом, любая геометрическая струк- тура на V возвращалась бы в результате поворота в свое пер- воначальное положение, несмотря на то, что пара (|, л) пере- ходит в результате поворота в пару (—|, —л). Коль скоро, как мы установили, полное локальное геометри- ческое представление в V невозможно, становится яснее, как нам быть. В основном нам нужно расширить понятие геометрий в пространстве V, так чтобы «геометрическими» можно было ¦считать и такие величины, которые не возвращаются в свое исходное положение при повороте вокруг некоторой оси на угол 2я; но они должны возвращаться в свое исходное положение
62 ГЛАВА ! при повороте на угол 4л. Такие величины мы будем называть спинорными объектами. Спин-вектор отличается от изотропного флага только тем, что он представляет собой спинорный объект, и всякому изотропному флагу соответствуют два и только два спин-вектора. Следующий параграф посвящен развитию этих представлений. § 5. Спинорные объекты и спиновая структура Для более точного определения спинорного объекта мы должны сначала рассмотреть некоторые свойства обычных по- воротов. Многообразие собственных поворотов в евклидовом- 3-пространстве обозначается символбм SOC). Многообразием SOC) можно также пользоваться для представления различных ориентации1) объекта в пространстве. Если одну из таких ориентации назвать «исходной» ориентацией и представить ее тождественным элементом многообразия S0C), то всякий дру- гой элемент будет представлять ориентацию, получающуюся иа исходной посредством упомянутого поворота. Всякий поворот определяется некой осью k и правовинтовым вращением на некий угол Э. Следовательно, он может быть представлен вектором длины Э в направлении оси k. Поскольку мы можем рассматривать только интервал 0 ^ 8 ^ я, всякая точка многообразия SOC) соответствует точке замкнутого шара В радиусом п. Но это соответствие не однозначно, поскольку поворот относительно k на угол л представляет собой то же самое, что и поворот относительно —k на угол я. Идентифици- ровав противоположные точки границы S шара В, мы получим пространство В, представляющее повороты единственным и не- прерывным образом (иными словами, близкие точки простран- ства В представляют незначительно различающиеся повороты). Нас интересует топология и особенно вопрос о связности пространства В: Пространство называется односвязным, если всякий замкнутый контур в нем может быть непрерывно стянут в точку. (Это условие выполняется, очевидно, для всего евкли- дового пространства, для обычной сферической поверхности и для евклидова 3-пространства с одной удаленной точкой. Оно не выполняется для поверхности тора, для окружности, для евклидового 3-пространства с одной удаленной замкнутой кри- вой и для евклидова 2-пространства с одной удаленной точкой.) Односвязный характер пространства иначе выражается следую- щим образом: если С\ и с2 — две незамкнутые кривые, соединяю- щие две точки этого пространства, то кривая С\ может быть непрерывно деформирована в кривую с2. ') Не следует путать с. использованным нами ранее значением («левая> и «правая>) слова «ориентация».
ГЕОМЕТРИЯ МИРОВЫХ ВЕКТОРОВ И СПИН-ВЕКТОРОВ 63 Рис. 1.12. Пространство 50C) представляет собой замкнутый 3-шар, противо- положные точки на границе которого идентифицированы. Путем непрерывной деформации кривой в 50C) можно устранить-пары ее пересечений с границей. Пространство В не является односвязным. Замкнутые кон- туры в В распадаются на два несвязанных класса I и II соот- ветственно тому, имеют они нечетное или четное число «пере- сечений» с границей S. Пересечение происходит, когда кривая достигает 5 и повторяется на диаметрально противоположном конце (в чем убеждаемся посредством идентификации точек). К классу I относятся, например, все диаметры шара В. К классу II относятся все внутренние контуры и, в частности, «тривиаль- ные» контуры, состоящие из одной точки. Ни один контур клас- са I не может быть непрерывной деформацией переведен в ка- кой-либо контур класса II, поскольку точки пересечения с S могут возникать и исчезать только парами. Но все контуры класса I могут быть непрерывной деформацией переведены друг в друга1), и аналогичное утверждение справедливо для конту- ров класса II. В справедливости этого убеждаемся на том осно- вании, что пересечения с S могут быть исключены попарно (на рис. 1.12 показано, каким образом это делается, по этапам), а внутренние контуры, равно как и контуры, пересекающие гра- ницу однократно, очевидно, могут быть деформированы один в другой. Рассмотрим теперь непрерывный поворот объекта в евклидо- вом 3-пространстве, приводящий этот объект к его исходной ориентации. Такой поворот соответствует замкнутому контуру в многообразии S0C) (а следовательно, и в пространстве В), который может относиться либо к классу I, либо к классу II. Очевидно, что в случае простого вращения на угол 2я мы по- лучим контур класса I, тогда как вращение на 4я дает контур класса II. Из сказанного ранее ясно, что вращение на 2л (где должно учитываться полное движение, а не только начальная и конечная ориентации) нельзя непрерывным образом деформи- ровать в тривиальное движение, отвечающее отсутствию враще- ния, тогда как вращение на 4л— можно. Этот вывод был бы ') Одно из правил для таких деформаций состоит в том, что различные части контура могут проходить друг сквозь друга. Поэтому вопрос об «узлах» не возникает.
64 ГЛАВА 1 отнюдь не очевидным без проведенного выше рассмотрения с шаром В. Существует много способов проиллюстировать этот резуль- тат. Один из путей осуществления непрерывной деформации вращения на 4я в тривиальное вращение, отвечающее отсут- ствию вращения, заключается в следующем (по X. Вейлю). Рас- смотрим пару прямых конусов с равными полууглами а в про- странстве, причем один из конусов закреплен, а другой свободно катится по закрепленному таким образом, что их вершины оста- ются совмещенными. Начнем с очень малого а и прокатим по- движный конус один раз вокруг закрепленного так, что подвиж- ный конус выполнит вращение на 4я. Будем постепенно увели- чивать а от 0 до я/2. При каждом фиксированном а мы имеем замкнутое движение, поскольку подвижный конус оборачивается один раз вокруг закрепленного. Но когда а приближается к я/2, конусы становятся почти плоскими, а движение превращается в простое касание. Таким образом, при а = л/2 мы получаем «тривиальный» контур в SOC) и вращение на угол 4л непре- рывно деформируется в тривиальное вращение, отвечающее со- стоянию покоя. В хорошо известной дираковской головоломке с ножницами (рис. 1.13) шнурок продевается через одно кольцо ножниц, про- пускается за одной стойкой спинки стула, продевается через другое кольцо ножниц, пропускается за другой стойкой спинки стула, а затем его концы связывают. Ножницы поворачивают на угол 4я относительно их оси симметрии, и предлагается распутать шнурок, не вращая ножниц и не двигая стул. То об- стоятельство, что такая задача может быть решена для 4л, но не для 2л1), является следствием описанных выше свойств мно- гообразия SOC). Решение становится тривиально простым, если четыре отрезка шнурка (который нужен только для того, чтобы запутать суть дела) представить себе приклеенными (про- извольным образом) к ленте, зацепленной за стул: скрутка лен- ты на 4л будет распутана, если средней частью ленты обвести один раз вокруг ее свободного конца. Это решение дает также другой способ непрерывного деформирования вращения на 4я в тривиальное вращение, отвечающее состоянию покоя. Если принять, что ножницы могут свободно скользить вдоль ленты, то каждый участок ленты во время раскручивания даст замк- нутую траекторию в конфигурационном пространстве ножниц. Первый приведет к вращению на 4я, последний — к тривиаль- ному вращению, отвечающему состоянию покоя. ') Строго говоря, доказательство того, что рассматриваемая задача не может быть решена для 2я, требует более глубокого топологического ана- лиза [127].
ГЕОМЕТРИЯ МИРОВЫХ ВЕКТОРОВ И СПИН-ВЕКТОРОВ 65 Рис. 1.13. Дираковская головоломка с ножницами: поверните ножницы на 720°, после чего распутайте шнурок, не двигая стул и не поворачивая нож- ницы. С лентой это сделать проще. Связность пространства В можно также рассматривать, ис- следуя «незамкнутые» кривые, соединяющие точку Р с точкой Q. Снова (для фиксированных Р и Q) эти кривые распадаются на два класса I и II соответственно нечетному или четному числу их пересечений с S. И снова всякая кривая одного класса мо- жет быть непрерывно деформирована в любую другую кривую того же самого класса, но не может быть непрерывной деформа- цией переведена ни в какую кривую другого класса. Доказа- тельство этого утверждения аналогично предыдущему. Однако здесь имеется небольшое отличие, связанное с тем, что между этими двумя классами нельзя провести существенного топологи- ческого разграничения. (В случае замкнутых контуров разгра- ничение между классами I и II является существенным тополо- гическим разграничением: все контуры класса II и только класса II могут быть стянуты в точку.) Такая ситуация возни- кает потому, что с точки зрения топологии пространства В кон- кретное местоположение поверхности 5 не имеет значения; к примеру, мы можем полагать, что шар В расположен вне S, 3 Зак. 1142
66 ГЛАВА ! и затем перемещать S в одном радиальном направлении наружу и в противоположном радиальном направлении внутрь. Если кривая, соединяющая точки Р и Q, пересекает S в исходном по- ложении один раз, то она вообще не будет пересекать S в ко- нечном положении. Заметим, что две кривые, соединяющие точки Р и Q, принадлежат к одному и тому же классу тогда и только тогда, когда первая со второй, следующей за ней в обратном направлении, образуют замкнутый контур класса II. Если говорить об исходном евклидовом 3-пространстве, то точки Р и Q соответствуют двум ориентациям # и ^ одного объекта, а путь из точки Р в точку Q в пространстве В отвечает непрерывному движению, начинающемуся с ориентацией & и заканчивающемуся с ориентацией Q. Как мы видим, имеется два существенно различных класса непрерывных движений от #• к Q. Движения каждого класса могут быть непрерывным обра- зом деформированы одно в другое, но не могут быть деформи- рованы в какое-либо движение другого класса. Тем не менее нет внутреннего свойства, позволяющего отличить один класс от другого. Рассмотренная выше особенность топологии многообразия SOC) связана с его фундаментальной группой (или первой го- мотопической группой) п\ (SO C)) (грубо говоря, группой топо- логически эквивалентных контуров в нашем смысле). Здесь эта группа имеет два и только два элемента, так что ni (SO C)) = = Z2 (группа целых чисел с модулем 2). Универсальные накрывающие пространства Важное значение имеет понятие универсального накрываю- щего пространства Т для связного (но не обязательно односвяз- ного) топологического пространства Т. Выберем базовую точку О в Г и рассмотрим пути в Г из точки О в некоторую другую точку X. Могут быть несколько различных классов путей из О в X, которые обладают следующим свойством: всякий путь од- ного класса может быть непрерывным образом деформирован в любой другой путь того же самого класса, но не может быть не- прерывной деформацией переведен ни в какой путь другого класса. Чтобы построить пространство Т, мы как бы приписы- ваем точке X столько разных «индивидуальностей», сколько имеется упомянутых выше различных классов. Точнее говоря, элементами пространства Т являются эти различные классы, связанные с точкой X, когда она пробегает все пространство Т при фиксированной точке О. Свойства непрерывности простран- ства Т определяются очевидным путем на основе свойств непре- рывности пространства Т. Нетрудно видеть, что Т односвязно
ГЕОМЕТРИЯ МИРОВЫХ ВЕКТОРОВ И СПИН-ВЕКТОРОВ 67 и —как топологическое пространство — совершенно не зависит от выбора точки О. Если пространство Т односвязно, то Т иден- тично пространству Т. К примеру, возьмем в качестве Т окружность, точки кото- рой обычным образом помечены координатой Э с модулем пе- риодичности 2я. Неэквивалентные пути из точки О (базовая точка) в точку Э различаются числом обходов окружности. Оче- видно, что пространство f параметризовано координатой в без эквивалентного модуля 2л, т. е. с топологической точки зрения Т представляет собой действительную линию. Подобным же образом, если Т — бесконечный цилиндр, параметризованный координатами г и 6 с модулем 2л, то Т представляет собой пол- ную плоскость, параметризованную координатой г и неограни- ченным углом 8. Следовательно, переходя от Г к Г, мы макси- мально «развертываем» пространство 7", и точно так же мы можем рассматривать ситуацию в общем случае. Рассмотрим, в частности, пространство SOC). Для каждой точки этого пространства имеются два и только два класса, так что универсальное накрывающее пространство SOC) представ- ляет собой двукратный разворот пространства SOC). Конкрет- ная реализация пространства SOC) уже по существу была по- лучена нами в § 2, а именно пространство SUB), состоящее из унимодулярных унитарных матриц размерности 2Х21). Соот- ветствие, упомянутое в предложении A.2.29), устанавливает как раз требуемое соотношение типа 1 — 2 между пространствами SOC) и SU{2). Точно так же предложение A.2.27) устанавли- вает соотношение между ограниченной группой Лоренца О+A, 3) и ее (двукратным) универсальным накрывающим про- странством SLB, С), состоящим из спин-матриц. То обстоя- тельство, что топология пространства О+A, 3) не сложнее то- пологии пространства SOC), вытекает из одного свойства огра- ниченных преобразований Лоренца, установленного в § 3: вся- кое такое преобразование можно однозначно представить в виде произведения вращения и буста. Топология буста «тривиальна» (она представляет собой топологию евклидова пространства R8, длины которого в соответствующих направлениях являются ото- бражениями параметров быстроты), так что топологические, свойства пространства О+A,3) по существу те же самые (за исключением размерности), что и топологические свойства про- ') Ив сказанного о свойствах кватернионов в § 2 явствует, что тополо- гия пространства SUB) та же самая, что и топология пространства единич- ных кватернионов. Она характеризуется 3-сферой S3 (с точки зрения топо- логии—замкнутым 3-шаром, граница которого отождествлена с одной точ- кой), являющейся, очевидно, односвязной. 8»
ГЛАВА I Поворот на Zrc Двойной разворот SL(Z,C) Рис. 1.14. Соотношение 1—2 между ограниченной группой Лоренца и про- странством ?1.B, С}. странства SOC)'). Соотношение типа 1—2 между О+A, 3) и SL B, С) изображено на рис. 1.14. Рассмотрим теперь какую-либо геометрическую структуру (например, твердое тело, флаг и т, д.) в евклидовом 3-простран- стве Es, пространстве-времени или векторном пространстве Мин- ковского V. Обозначим через W пространство ориентации Q рассматриваемой структуры. Мы уже показали, как построить «спинорный» аналог Qi для Q при условии, что пространство <& обладает двукратным универсальным накрывающим простран- ством f7 и что два разных образа Qi, <2г^Ф одного элемента Qe^1 меняются местами в результате применения к Q непре- рывного вращения на 2я. К примеру, если Q — ориентации твер- дого (асимметричного) тела в ?3, то Ч? обладает топологией пространства 50C), и мы видим, что пространство S0C) имеет требуемые свойства. В общем случае элементы пространства Ф могут быть изображены в виде обычных геометрических струк- тур в пространстве (-времени), с тем лишь отличием, что вра- щение на 2л вокруг любой оси (или произвольное другое дви- жение, непрерывно переводимое в данное) будет переводить нашу структуру в несколько иную структуру, а для возвращения этой структуры в ее исходное положение требуется еще одно вращение на угол 2я. Элементы пространства Ф будут тогда спинорными объектами1). Они представляют собой требуемые спинорные аналоги исходных ориентации Q. ') На формальном языке группа 0? A, 3) имеет тот же самый тип го- мотопии, что и SO C). 3) Несмотря на то что с точки зрения обычной геометрии, а также по- вседневной практики понятие спинорного объекта может показаться весьма непривычным, такие объекты соответствуют физической реальности. Примером спинорных объектов могут служить состояния электронов, протонов и ней- тронов. Согласно Ааронову и Сусскинду [3], истинно спннорные объекты в
ГЕОМЕТРИЯ МИРОВЫХ ВЕКТОРОВ И СПИН-ВЕКТОРОВ 69 Определение спин-вектора Теперь мы в состоянии дать геометрическое определение спин-вектора. Будем считать, что Q — изотропные флаги в V а ^ — пространство изотропных флагов. Нам нужно убедиться в том, что пространство Ф на самом деле обладает требуемыми топологическими свойствами. Поскольку оно четырехмерно, оно не может быть топологически эквивалентно пространству SOC) (трехмерному) или О+A, 3) (шестимерному). Тем не менее, как и в случае с О+A, 3), существенная часть топологии рассма- триваемого пространства является той же самой, Что и про- странства SOC). [Имеем SPs* SO C)XR и, следовательно, nl(<&) = Z2.] Чтобы убедиться в этом, можно рассматривать 5+-представление. Всякий элемент Q пространства W представ- ляется точкой Р на S+ и ненулевым касательным вектором L к S+ в точке Р. Непрерывным (но не инвариантным) образом можно связать с Q декартову систему отсчета, если выбрать ось г направленной от начала отсчета в точку Р, ось х — парал- лельно L, а ось у таким образом, чтобы она дополняла систему отсчета. Такая система отсчета однозначно соответствует точ- кам пространства SOC). Единственный свободный параметр, характеризующий Q, есть ||1.||, и этот параметр представляет собой положительное действительное число и является тополо- гически тривиальным, откуда вытекает, что <& обладает требуе- мыми свойствами. Итак, элементы пространства Ф представляют собой спинор- ные изотропные флаги, отождествленные нами с (ненулевыми)' спин-векторами V. Всякий изотропный флаг Q задает два свя- занных с ним спин-вектора х и —х. Непрерывное вращение на угол 2л будет переводить х в —х, а поскольку после повторения этого вращения —х возвращается обратно в х, мы пишем -(-*) = *. как и положено в принятой системе обозначений. Вдобавок су- ществует единственный нулевой спин-вектор, записываемый сим- волом 0, который не отвечает какому-либо флагу. Нулевой спин- принципе возможны также и на макроскопическом уровне. Теоретический при- бор, (несколько идеализированный) этих авторов позволяет разделить волно- вые функции большого числа электронов между двумя- контейнерами Л и В, которые соединяются друг с другом при определенной относительной ориен- тации. Когда части А и В соединены, из Л в В течет ток, но если их разъеди- нить, повернуть В относительно А на угол 2л и вновь соединить с А, то ток течет из В в А. Первоначальное направление тока из А в В восстанавливается после дополнительного поворота на 2л. Соответствующий эффект в масшта- бах одиночных нейтронов в разделенном пучке действительно наблюдался экс- периментально [15, 100, 155, 191].
70 ГЛАВА I вектор связан с нулевым мировым вектором, выполняющим для первого роль «флагштока», а «полотнище флага» не определено. Пару (g, т|) можно в самом деле рассматривать как компо- ненты спин-вектора и. Спиновые преобразования, примененные к A.1). будут соответствовать активным движениям, преобра- зующим и относительно пространства V. Непрерывное враще- ние к на угол 2я соответствует последовательности спиновых преобразований, действующих на (|, т|) и приводящих к (—\, —г)). Таким образом, пара (—\, —tj) фактически будет представлять собой компоненты спин-вектора —х как того и требует принятая система обозначений. Спинорная структура Прежде чем приняться за подробное обсуждение основных операций над спин-векторами, кратко остановимся на том, ка- ким образом приведенные выше соображения проявляются на глобальной топологии общего искривленного пространственно- временного многообразия Ж. Топология, с которой мы имели дело до сих пор, базировалась на локальных рассмотрениях в пространстве-времени. (К примеру, мы рассматривали тополо- гию пространства изотропных флагов в одной пространственно- временной точке.) Вместе с тем некоторые пространственно-вре- менные многообразия сами по себе имеют нетривиальную (т. е. неевклидову) топологию, которая должна рассматриваться вместе с локальными топологическими свойствами. Действи- тельно, возникает вопрос, какие ограничения должны быть на- ложены на многообразие для того, чтобы оно допускало суще- ствование глобально определенных объектов типа спин-векторов. На данном этапе мы не будем углубляться в точное опреде- ление пространственно-временного многообразия; отметим лишь, что его локальная структура задается структурой пространства Минковского (т. е. оно имеет лоренцеву метрику) и оно является обычным (т. е. хаусдорфовым, паракомпактным, связным) 4-мно- гообразием класса С00 (определение этих понятий будет дано в гл. 4). Рассмотрим пространство SF, каждая точка которого пред- ставляет изотропный флаг в точке пространства Ж. Такое про- странство называется пучком изотропных флагов пространства Ж (рис. 1.15; ср. гл. 5, § 4). Оно представляет собой 8-мерное пространство, поскольку пространство Ж само по себе четырех- мерно, а пространство &~р изотропных флагов в произвольной выбранной точке Р многообразия Ж (ранее обозначавшееся через ft) также четырехмерно. Изотропные флаги в точке Р понимаются как объекты в касательном пространстве (гл. 4) в точке Р, являющемся векторным пространством Минковского.
ГЕОМЕТРИЯ МИРОВЫХ ВЕКТОРОВ И СПИН-ВЕКТОРОВ 71 Рис. 1.15. Пучок изотропных флагов &~ на Ж и его двукратное накрывающее пространство — пучок спин-векторов &"'. Таким образом, для самого существования пространства &" тре- буются два глобальных ограничения на Ж. Во-первых, изотроп- ные флаги связаны только с одним из двух световых полукону- сов в касательном пространстве в точке Р, а именно с тем полу- конусом, который указывает в будущее. Поэтому необходимо иметь возможность на всем многообразии М сделать согласо- ванный непрерывный выбор световых полуконусов. Другими словами, Многообразие Ж должно быть ориентируемым во времени. A.5.1) Во-вторых, для алгебры спин-векторов требуется выбор про- странственно-временной ориентации в каждой точке, поскольку умножение на ет должно приводить к вращению изотропных флагов в определенном направлении. То, что это требует про- странственно-временной, а не пространственной ориентации, сле- дует из того обстоятельства, что положительное вращение изо- тропных флагов наделяет положительной ориентацией сферу S+ и, соответственно, отрицательной ориентацией сферу S~ (§ 2, 4; гл. 3, § 2). Следовательно, необходимо иметь возможность на всем многообразии Ж сделать согласованный непрерывный вы-
72 ГЛАВА I бор пространственно-временной ориентации. Таким образом, Многообразие Ж должно быть ориентируемым в пространстве и времени. A.5.2) Но если мы хотим перейти от понятия изотропного флага к по- нятию спин-вектора, указанных двух глобальных ограничений на Ж недостаточно. Многообразие Ж должно также допускать возможность определения на нем спиновой структуры1), т. е., грубо говоря, предписания, позволяющего проследить за знаком спин-вектора не только в том случае, когда мы поворачиваем его в фиксированной точке многообразия Ж, но также в том случае, когда мы перемещаем его от точки к точке в пределах Ж. Если многообразие Ж топологически простое, то указанная спиновая структура существует и единственна. Но если Ж топо- логически нетривиально, то оно может как допускать, так и не допускать согласованную спиновую структуру, причем в случае, когда спиновая структура существует, она может быть един- ственной или нет. В общем случае оказывается, что [с учетом A.5.1) и A.5.2)] условия, обеспечивающие существование и единственность спиновой структуры многообразия Ж, зависят только от его топологии и не зависят от вида его (лоренцевой) метрики. Вскоре мы сформулируем [формулы A.5.4), A.5.6)] требуемое точное топологическое условие на Ж. В соответствии со сказанным ранее потребуем, чтобы про- странство &" обладало соответствующим двукратным накрываю- щим пространством ЯГ', которое фактически будет простран- ством спин-векторов иа Ж. (В отличие от универсального накры- вающего пространства общее накрывающее пространство долж- но удовлетворять лишь условию связности и должно отобра- жаться на исходное пространство таким образом, чтобы сохра- нялась локальная топология, а обратное отображение точки представляло собой дискретную последовательность точек.) Пространство ЯГ' должно быть «соответствующим» в* смысле редукции к ЯГр — универсальному накрывающему пространству пространства Р"р над произвольной точкой Р многообразия Ж. Можно было бы предположить, что универсальное накрывающее пространство ЯГ для ЗГ будет удовлетворять этому условию естественным образом (т. е. У' = ЗГ), но, поскольку полный «разворот» пространства ЯГ включает также разворот много- образия Ж, это условие может и не реализоваться. Более того, ') Вопрос о существовании спиновой структуры на многообразии Л отли- чается от вопроса о существовании некоторых (например, ненулевых) спинор- ных полей на Л. Последний аналогичен вопросу о том, существует ли нену- левое векторное поле на 2-сфере. Но в отсутствие спиновой структуры само понятие глобального спннорного поля лишено смысла.
ГЕОМЕТРИЯ МИРОВЫХ ВЕКТОРОВ И СПИН-ВЕКТОРОВ 73 ситуация оказывается еще сложнее. Мы увидим, что фактически возможны два несколько иных препятствия существованию ЯГ'. Первое из них не связано с вопросом о том, является или нет многообразие Ж односвязным, а второе возникает только в слу- чае неодносвязного Ж. В самом деле, рассмотрим замкнутые контуры на 9" и их проекции на Ж. Проекция из 3~ в Ж отображает всякий флаг в точке Р на точку Р; таким образом, всякое пространство ЯГр целиком отображается в единственную точку Р (см. рис. 1.15). Произвольный путь в $~ проектируется на некоторый путь в Ж; очевидно, что замкнутый контур в ЯГ проектируется на замкну- тый контур в Ж. Всякий путь в &" соответствует такому движе- нию, которое перемещает изотропный флаг в Ж и которое, на- конец, возвращает этот флаг (в случае замкнутого пути) в его исходное состояние. Проекция простб описывает движение ба- зовой точки в Ж. Контур в &', лежащий полностью в 8Гр при некотором фик- сированном Р, проектируется на «тривиальный» контур (точку Р) в Ж. Как мы уже видели раньше, существуют два и только два класса (I и II) замкнутых контуров в &"р. Препятствие первого тип"а, которое может возникать в случае нетривиальной топологии многообразия Ж, связано с тем, что указанные два класса могут слиться в один, представляющий собой класс I несжимаемых контуров в произвольном &~р, который после де- формирования в пределах 3~ может вернуться в &"р как класс II сжимаемых контуров. В таком случае спин-векторы на Ж не могли бы существовать. Действительно, предположим, что они существуют, и рассмотрим контур % класса I на заданном про- странстве ЯГР, задаваемый просто вращением полотнища флага для некоторого заданного изотропного флага на угол 2я, кото- рое таким образом переводит соответствующий спин-вектор х в —х. Всякий замкнутый контур в &~, в который может быть непрерывно преобразован контур А,, непрерывным образом пере- водит ненулевой спин-вектор в ему противоположный. Но если Я, может быть непрерывным образом превращен в единственную точку на ЯГ, то соответствующий спин-вектор должен быть ра- вен своему противоположному. Следовательно, многообразие Ж не допускает введения спин-вектора. Предположим теперь, что препятствие первого типа отсут- ствует. Тогда в случае многообразия Ж, содержащего несжи- маемый контур y> т- е- в случае неодносвязного Ж, может воз- никнуть препятствие второго типа. Если изотропный флаг, пе- ремещаемый по контуру Y. возвращается в свое исходное поло- жение Р, то соответствующий спин-вектор х должен вернуться либо к своему исходному значению, либо к —х. Таким образом, мы должны выбрать одну из этих двух возможностей. Если кон-
74 ГЛАВА I тур у таков, что никакой кратный контур ту (т. е. у, пройден- ный т раз) не сжимается в одну точку, то равным образом может реализоваться каждая из упомянутых возможностей, но они приводят к разным спиновым структурам на Ж (предпола- гается, что спиновая структура не исключается другими конту- рами). В этом случае две альтернативы будут входить в опре- деление спин-вектора. Выбором, сделанным для некоторого у, определяется выбор для всех контуров в $~, которые могут быть спроектированы на у или деформированы в у на Ж. Предположим далее, что контур у таков, что некоторый не- четный кратный контур ту может быть сжат в точку на М. Тогда для любого контура Я, в &", проектирующегося на у, кон- тур тк деформируем на У в контур на одном #"р в соответствии с деформацией контура ту на М в точку Р. Если этот послед- ний контур на &~р принадлежит классу I, то по непрерывности спин-вектор х, взятый вблизи mh, должен переходить в —х; если классу II — то спин-вектор х должен переходить в х. По- скольку т нечетно, этим условием фиксируется % как переводя- щее х в —х или х соответственно, без неопределенности. Наконец, может оказаться, что в то время как все нечетные кратные контуры у несжимаемы, некоторые (наименьшие) чет- ные кратные контуры 2пу могут быть сжаты в точку. Тогда должно быть одно из двух. Либо все соответствующие контуры 2пк на У при деформации контура 2пу в точку Р на Ж пере- ходят в контуры класса II на &~р, либо некоторые из них (и тогда фактически все) переходят в контуры класса 1. В пер- вом случае, по непрерывности, спин-вектор х при перемещении по 2пу должен переходить в самого себя. Следовательно, прием- лема каждая из двух возможностей х н-> ± х для однократного прохождения контура %, и мы приходим, как и раньше, к двум возможным спиновым структурам на Ж (если только спиновая структура не исключается другими контурами). Предположим, однако, что контур 2п% переходит в контур класса I на &~р, от- куда следует требование хь-> — и по контуру 2пК. Тогда ни одна из двух возможностей х н—> + и вблизи X не приемлема, и в этом состоит препятствие второго типа для того, чтобы Ж до- пускало спиновую структуру. В отличие от препятствия первого типа, препятствие второго типа может возникать лишь тогда, когда Ж неодносвязно, и (также в отличие от первого типа) оно, очевидно, пропадает, если мы переходим к универсальному накрывающему пространству Ж. Можно построить примеры моделей пространства-времени [140, с. 155; 76, 77, 92], в которых возникает одно или другое из упомянутых выше препятствий, но которые тем не менее удовле- творяют условиям A.5.1) и A.5.2) и не кажутся физически бес- смысленными по каким-либо другим своим признакам. Факти-
ГЕОМЕТРИЯ МИРОВЫХ ВЕКТОРОВ И СПИН-ВЕКТОРОВ 75 чески мы имеем здесь дело с проявлением более общего поло- жения, справедливого для многообразий произвольной размер- ности. Существует топологический инвариант, называемый вто- рым классом w2 Штиффеля — Уитни, равенство которого нулю в случае ориентируемого ') многообразия Ж является необходи- мым и достаточным условием для утверждения Многообразие Ж имеет спиновую структуру, A.5.3) т. е. для существования общих (но все же двузначно определен- ных) спинорных объектов на Ж [114, 109, 115]. Условие w2 = 0 может быть строго сформулировано следующим образом: Условие На произвольной замкнутой 2-поверхности 93 многообразия Ж (размерности п^З) существует система п — 1 непрерывных по- лей касательных векторов к Ж, линейно независимых в каждой точке 2-поверхности 9". Если многообразие Ж ориентируемо (что фактически выражается условием о», = 0), то мы можем заме- нить число п—1 числом п. A.5.4) Мы покажем, что если условие A.5.4) выполняется для про- странственно-временного многообразия Ж, удовлетворяющего условиям A.5.1) и A.5.2) (т. е. когда п = 4), то не может суще- ствовать ни одного из упомянутых выше препятствий. Рассмотрим предварительно группу вращений 50D) (пред- ставляющую собой компоненту группы вращений в четырехмер- ном евклидовом пространстве, связанную с тождественным пре- образованием) и покажем, что подобно случаю SOC) замкну- тые пути в SO D) распадаются на два класса I и II (несжимае- мые и сжимаемые), такие, что двойной путь класса I есть путь класса II [т. е. ni(SOD)) = Z2]. (Фактически то же самое справедливо для SO(n) при всех п ^ 3, но этот более общий результат нам здесь не потребуется.) Вспомним кватернионы из § 2 и заметим, что любой элемент группы SO D) можно полу- чить как результат действия на единичный кватернион q: A.5.5) где а и Ь — фиксированные единичные кватернионы. [Это сле- дует из того, что qq*=qq* есть 4-мерная евклидова норма, а при указанном действии получается полная размерность группы SO D), равная 6.] Мы имеем неоднозначность (а, Ь) = (—а, —Ь), ') Ориентируемость для а-многообразня определяется точно так же, как и ориентируемость для пространства-времени, о которой идет речь здесь (и говорилось в § 1).
76 ГЛАВА I Изотропный флаг Рис 1.16. Отображение на R4 изотропного конуса будущего и изотропного флага непрерывным образом дает однозначно определенную систему ABCD, которая является правой и ортонормированной относительно евклидовой мет- рики пространства R4. но если ее не принимать в расчет, то пара (л, Ь) однозначно определяется элементом группы 50D), представляемым ею. Далее, предположим, что для 4-мерного пространственно-вре- менного многообразия Л выполнены условие A.5.4) и условия ориентируемости A.5.1), A.5.2). Представим себе, что касатель- ное пространство1) Тр в каждой точке Р замкнутой 2-поверх- ности 9" в Ж линейно отображается на R4 таким образом, что четыре линейно независимых вектора в точке Р при условии A.5.4) отображаются, соответственно, в четыре координатных базисных вектора в R4 [иными словами, мы рассматриваем четыре векторных поля, фигурирующие в условии A.5.4) как координатные оси в каждой точке поверхности 9>\. Световой конус будущего в точке Р будет отображаться на полуконус К+ в R* (рис. 1.16). Одна из главных полуосей полуконуса /С4 ic точки зрения обычной евклидовой геометрии пространства I4) будет изображением А в R4 направленного в будущее вре- мениподобного вектора в Гр (а именно ось, лежащая внутри К+). При перемещении точки Р по 9* вектор 4eR4 движется непрерывно с Р. Рассмотрим теперь изотропный флаг в точке Р. Его образом в R4 будет «флаг», флагшток которого указывает направление образующей полуконуса К+, а полотнище является касательным к К+. Пусть В — проекция этого флагштока, орто- ') Точное определение такого пространства будет дано в гл. 4, § 1.
ГЕОМЕТРИЯ МИРОВЫХ ВЕКТОРОВ И СПИН-ВЕКТОРОВ 77 тональная оси А (относительно евклидовой метрики простран- ства R4). Проекция полотнища флага, ортогональная оси А, содержит только одно направление С, перпендикулярное век- тору В (и А). Выберем вектор D таким образом, чтобы он до- полнял векторы А, В и С до правой тетрады, и, наконец, норми- руем все векторы А, В, С, D так, чтобы они были единичными (в метрике пространства R4). Таким образом, мы непрерывным путем приписали каждому изотропному флагу в произвольной точке поверхности 91, т. е. каждой точке пространства У над 91, ортонормированную правую систему отсчета ABCD. Заметим, что достигнутое соответствие обладает следующим свойством: если изотропный флаг описывает путь класса I [или III с фик- сированной точкой Р, то соответствующая система ABCD вы- полняет непрерывное вращение в SOD) класса I [или II]. (Нужно рассмотреть вращение полотнища флага на угол 2л, а затем сделать заключение по непрерывности.) Проанализируем теперь два типа возможных препятствий существованию спиноров в пространственно-временном много- образии Jt, ориентируемом в пространстве и времени. В случае сливающихся классов I и II, когда контур % в Ур, соответствую- щий вращению на 2л, деформируется на Уъ одну точку, его проекция на Jt образует замкнутую поверхность 91, к которой может быть применено условие A.5.4). Если на 9* существуют упоминаемые в A.5.4) системы векторов, то мы можем непре- рывно описать ориентацию нашего флага, пользуясь системой ABCD в R4, как указано выше. Всякое положение контура в У соответствует тогда непрерывному движению системы ABCD в R4; исходное — вращению на 2л, а конечное (непрерывное с ис- ходным)— отсутствию вращения, что невозможно. Таким обра- зом, если для Ж выполняется условие A.5.4), то контур к в У не может быть стянут в точку в У, так что препятствие данного типа не может возникнуть. Подобными же рассуждениями исключается вторая возмож- ная причина отсутствия спиновой структуры — несогласован- ность переноса флага после 2л оборотов по контуру у, т. е. двух оборотов по контуру т| = пу. По предположению, контур 2пу = = 2rj должен быть сжимаем в одну точку Р на М. В процессе такого сжатия он образует замкнутую поверхность в Jt, «при- варенную» к одному контуру т\. Мы можем применить к этой поверхности условие A.5.4) и, как и раньше, воспользоваться системой ABCD в R4 для отображения флагов, перемещаемых по контуру 2т] на разных стадиях деформации его в точку. Рас- сматриваемое препятствие теперь возникает в том случае, если контур 2? в У, где ? проектируется на г\, деформируем в контур класса I в УР. Однако флаг, перемещаемый по контуру 2? в &~, представляется двойным движением системы ABCD и, следова-
78 ГЛАВА 1 тельио, контуром класса II в SOD). Если бы конечный контур в STp приналежал классу I, то исходный контур в SO D) кл-ас- са II был бы непрерывно деформируем в путь класса I в 50D), что невозможно, и, таким образом, это препятствие также не может возникнуть. В случае когда имеются все три свойства A.5.1) — A.5.3), мы будем пользоваться более определенным термином спинор- ная структура (вместо общего термина спиновая структура). Таким образом, если Ж имеет спинорную структуру, то на Ж существует спинорная система (основанная на изотропных фла- гах и спин-векторах), о которой говорится в данной книге. Дру- гими словами, существует определенное выше пространства &"'. Если многообразие Ж односвязно, то У будет фактически про- странством 9Г. (В каждом пространстве 2Гр путь между двумя точками, представляющими единственную точку в ЗГР, соответ- ствует, как мы видели, вращению на 2л; это гарантирует выпол- нение того же свойства и для &~.) Но даже если многообразие Ж обладает спинорной структу- рой, указанная структура в общем случае неоднозначна, если Ж неодносвязно. В этом случае &~'ф!Г. (Действительно, про- странство SF' должно «развертывать» каждый контур класса I в каждом &~р и больше никаких других контуров; пространство &~ же развертывало бы также контуры, отвечающие несжимае- мым контурам на Ж.) Фактически тогда существует 2 различ- ных спинорных структур, где k — число «независимых» конту- ров в Ж, никакой нечетный кратный из которых не может быть сжат в точку. Спинорная структура для некомпактных моделей пространства-времени Мы завершим данный параграф упоминанием без доказа- тельства очень простого критерия для Ж, устанавливающего су- ществование спинорной структуры в случае, когда многообразие Ж некомпактно (т. е., грубо говоря, «незамкнуто»). Фактически некомпактность следует из очень «разумного» физического тре- бования, состоящего в том, что многообразие Ж не должно со- держать замкнутых времениподобных кривых [11] (см. также [140; 84, с. 189]). Теорема [76] Если Ж — некомпактное пространство-время, то необходимым и достаточным условием для того, чтобы оно имело спинорную структуру, является существование четырех непрерывных век- торных полей на Ж, образующих тетраду Минковского в каса- тельном пространстве в каждой точке многообразия Ж. A.5.6)
ГВОМЕТРИЯ МИРОВЫХ ВЕКТОРОВ И СПИН-ВЕКТОРОВ 79 Достаточность условия A.5.6) самоочевидна. В еамом деле, из непрерывности тетрад Минковского вытекает, что в соответ- ствии с требованиями A.5.1) и A.5.2) пространство-время Ж является ориентируемым во времени и в пространстве — и без потери общности мы можем полагать, что все тетрады Минков- ского ограничены. Выбирая фиксированное абстрактное («огра- ниченное») координатное пространство Минковского (играющее роль пространства R4 в вышеприведенном рассмотрении, но сей- час рассмотрение проще), мы можем отнести к нему каждый изотропный флаг в Ж, используя флаговое представление в ло- кальной тетраде Минковского в соответствии с A.5.6). Это дает нам возможность сохранить четность числа вращений на угол 2л, выполняемых произвольным изотропным флагом на Ж, так что спиновая структура гарантирована, как и в A.5.4). Заметим, что для неодносвязного пространства-времени вы- бор спинорной структуры фиксирован, как только выбрано поле тетрад Минковского в соответствии с A.5.6), причем обычно ука- занный выбор топологически неоднозначен. Но даже для одно- связного многобразия Ж может иметь место топологическая не- однозначность поля тетрад Минковского. Полезным примером здесь может служить статическая вселенная Эйнштейна (она будет более подробно рассмотрена в гл. 9, § 2, 5), для которой Ж имеет топологию S3XR (R соответствует временному на- правлению). Здесь 3-система в произвольной точке S3 может, например, быть переведена в непрерывное поле 3-систем над S3 либо путем правой трансляции [задаваемой преобразованиями S3 в себя, определяемыми кватернионными преобразованиями A.5.5) специального вида fl"—»- q = qb], либо путем левой тран- сляции (задаваемой преборазованиями специального вида qi-^-q — aq). Они являются топологически неэквивалентными даже в том случае, когда порождают одну и ту же (единствен- ную) спиновую структуру. Как мы уже отмечали, предположение о некомпактности про- странства-времени Ж, фигурирующее в теореме A.5.6), является весьма естественным с физической точки зрения. Имеются также весьма веские основания думать, что физическое пространство- время действительно должно обладать глобальной спинорной структурой. Как сильное указание на ориентируемость во вре- мени можно рассматривать временною асимметрию статисти- ческой физики, которая на умеренно локальном уровне, по-види- мому, задает временною ориентацию во всех точках физического пространства-времени. Подобным же образом ориентируемость в пространстве могла бы следовать из (по-видимому, универ- сальной) отражательной асимметрии слабых взаимодействий (Р-неинвариантности) и /(°-распада (СР-неинвариантности),
80 ГЛАВА I очевидно, задающих естественную ориентацию пространства по- всюду в пространстве-времени (см. примечание на стр. 20). Наконец, существование спинорных полей в физике, по-види- мому, указывает на то, что физическое пространство-время должно обладать спиновой структурой (см. примечание на стр. 68, 69). Следовательно, физические соображения в силу теоремы A.5.6) требуют, по-видимому, существования глобаль- но определенных полей ограниченных тетрад Минковского. § 6. Геометрическая интерпретация спинорных операций Как мы уже видели, всякий изотропный флаг в векторном пространстве Минковского V задает пару спинорных объектов, а именно (ненулевые) спин-векторы х и —х. Пользуясь коорди- натной системой Минковского, припишем спин-вектору х две комплексные компоненты (|, т|). Напишем Аналогично, если с» — некоторый другой спин-вектор, мы можем обозначить его компоненты через (а>°, ю1) и т. д. Нас будут интересовать операции над спин-векторами, имеющие геометри- ческий (и, следовательно, координатно-независимый) смысл. Од- нако мы видели в § 4, что произвольное пассивное преобразова- ние Лоренца (т. е. изменение координатной системы Минков- ского) соотвествует некоторому спиновому преобразованию ком- понент (?, т|). Таким образом, операции над спин-векторами, будучи записаны как соотношения между компонентами, долж- ны быть инвариантными относительно (пассивных) спиновых преобразований. Пусть ©" — спиновое пространство, т. е. пространство спин- векторов, а С, — поле комплексных чисел. Мы будем рассма- тривать следующие три основные операции на S": Умножение на скаляр: С X ©*->©*, т. е. при задан- ных ^еС и кеб' мы имеем heS'; A.6.1) Сложение: ©'X©'-*-©'. т. е. при заданных и, ие®" имеем х + юе©*; A.6.2) Внутреннее произведение: <В"Х©*-»-С» т. е. при задан- ных х, юе@* имеем {х, а}еС. A.6.3) Представляя каждый спин-вектор его компонентами относи- тельно некоторой заданной системы отсчета, определим эти три операции соответствующими формулами: К (к0, и1) = (Аи0, кх1), A.6.4) (х°, х1) + (а>°, о*1) = (х° + «Л *1 + <*>'). A -6.5) {(х° х1), (со0, со1)} = х0®1 - и1»0- A.6.6)
ГЕОМЕТРИЯ МИРОВЫХ ВЕКТОРОВ И СПИН-ВЕКТОРОВ 81 Первые две из этих формул, очевидно, инвариантны при спи- новом преобразовании ввиду его линейности. Инвариантность третьей формулы не- трудно установить: и0©1 — к 'со0 = сои со а <о a pi Y в| @° со1 = (A[i) и, поскольку аб — Py = 1. Следующие соотношения являются непосредственными след- ствиями определений A.6.4) — A.6.6): A.6.8) A.6.9) A.6.10) A.6.11) A.5.12) х + ш = © + х, A.6.13) а>) -|- х = х (% (ю {х, &} = — {©, х}, Я {л, и} = {кх, а>}, {л -fa), х) — {х, х} + {«», Более того, из разложения Лапласа по последней строке опре- делителя т° к0 со0 A.6.14) A.6.15) A.6.16) A*6.17) A.6.18) со' = 0 (А = 0, 1) вытекает равенство {«, ю} х + {&, х} х ю 0. Частным случаем A.6.16) является соотношение {к, х} = 0. A.6.19) A.6.20)
82 ГЛАВА ! Рассматривая A.6.8) — A.6.15) как аксиомы^(не являющиеся независимыми), мы приходим к выводу, что &' есть векторное пространство над С. В соответствии с A.6.16) — A.6.18) внут- реннее произведение является кососимметричной билинейной формой на ©"¦ Соотношение A.6.19) вместе с условием {х, ©) Ф О для некоторых х, ©е@" A.6.21) означает, что рассматриваемое векторное пространство двумер- но. Действительно, если х и <о удовлетворяют условию A.6.21), то ни один из них не является кратным другому [в силу A.6.20) и A.6.17)], так что размерность векторного пространства не меньше двух; далее, A.6.19) дает рецепт для представления произвольного спин-вектора т в виде линейной комбинации двух спин-векторов х и <о. Используя определение внутреннего произведения, нетрудно получить общую формулу для спин-вектора, выраженного через его компоненты. Выберем произвольную пару спин-векторов о и i (омикрон и йота), нормированных таким образом, что их внутреннее произведение равно единице: {о, 1} = 1 = - {i, о}. A.6.22) Будем называть пару о, i спиновой системой отсчета. Компо- ненты произвольного спин-вектора х в указанной спиновой си- стеме отсчета таковы1): х° = {х, i}, х' = -{х, о}. A.6.23) Таким образом, из A.6.19), A.6.22) и A.6.16) получаем х = х°о + хЧ. A.6.24) Компоненты спин-вектора о равны A, 0), а компоненты спин- вектора i равны @, 1). Если теперь исходить из выражений A.6.24) и A.6.22), то мы можем непосредственно вывести фор- мулы A.6.4) — A.6.6) для умножения на скаляр, сложения и внутреннего произведения. Пассивное спиновое преобразование A.6.7) реализуется в том случае, когда одна спиновая система отсчета о, i заменяется другой спиновой системой отсчета о, i. Спиновая система отсчета, дающая представление спин-векто- ров компонентами (|, г\) в соответствии с § 2 и 4, следующим образом получается (рис. 1.17) из данной тетрады Минковского (/, х, у, z) [ср. с формулами A.2.15), A.4.14)]: флагшток спин- вектора о равен (t + г)/у2 , а полотнище флага отходит от этой ') Выражение A.6.23) выглядит несколько более естественно, если перейти к «опущенным индексам», которые будут введены позднее. Так, мы будем иметь хо = —х1, х, = х°.
ГЕОМЕТРИЯ МИРОВЫХ ВЕКТОРОВ И СПИН-ВЕКТОРОВ 83 Рис. 1.17. Стандартная связь между спиновой системой отсчета o,i и (огра- ниченной) тетрадой Минковского t, x, у, г. линии в_направлении х\ флагшток спин-вектора i равен (t — г)/л/2 , а полотнище флага отходит от этой линии в направ- лении —х; относительные знаки спин-векторов определяются тем, что о переводится в i непрерывным вращением в положи- тельном направлении на угол л вокруг оси у (и, следовательно, такое же вращение переводит i в —о). Геометрический смысл внутреннего произведения В заключение данной главы остановимся на геометрической интерпретации трех основных операций над спин-векторами. (Читатели, в меньшей степени интересующиеся указанной гео- метрией, могут переходить прямо к гл. 2.) С первой операцией, а именно умножением на скаляр, мы уже имели дело в § 4. Напомним сделанные выводы. Чтобы получить спин-вектор Яде из х, нужно, не изменяя направления флагштока, умножить про- тяженность флагштока на XX, а полотнище флага повернуть в положительном направлении на угол 2&TgX. Далее рассмотрим внутреннее произведение (поскольку оно оказывается значительно проще, чем сложение). Для начала заметим, что модуль внутреннего произведения {х, со) равен пространственноподобному интервалу между оконечностями со- ответствующих флагштоков, умноженному на 2~1/2. Действи- тельно,- если К — флагшток спин-вектора и, a W — флагшток
84 ГЛАВА 1 Рис. 1.18. Стереографическая проекция пар точек, представляющих два спин- вектора, из сферы S+ на аргандову плоскость. спин-вектора <о, то, используя координаты, как и в § 2, напишем II к - w у = {(л:0 + к3) - (w° + w3)} {(к0 -K3)-(w°- w3)} - - {(К1 + \К2) - (Wl + iW2)} {(К1 - Ю - (Wl - iW2)} = = 2 (Ас - <d°<d°) (x'j? - «eV) - 2 (к°к1 - coV) (x'j? - <dV) = = —2 (A1 — x'co0) (x0©1 — к1©0) = —21 {и, со} |2. A.6.25) Остается дать интерпретацию величине arg{x> ю}. Проще всего это сделать с помощью сферы S+. Пусть точка Р на S+ и каса- тельный вектор t kS+b точке Р представляют ±х, как и в § 4. Пусть, аналогично Q и М представляют ±<о. Выберем Р' = = Р'(е), Q'=:'Q'(e) на 5+ так, чтобы выполнялись соотношения , = lim|pp', M = lim~ e-»0 e e->0 e A.6.26) как и в случае A.4.9). Пусть Ро, Рр, Qo, Q'o, Lo, Мо соответ- ственно— проекции точек и векторов Р, Р', Q, Q', Ь, М на арган- довой плоскости (рис. 1.18). Представляя векторы в аргандовой плоскости комплексными числами, напишем ——> ttfi v.O —1 е->0 o = \im-QOQ'O- V2 (к1J 1 •=Р> Следовательно, A.6.27) A.6.28) A.5.29) A.6.30)
ГЕОМЕТРИЯ МИРОВЫХ ВЕКТОРОВ И СПИН-ВЕКТОРОВ 85 N Рис. 1.19. Для любой окружности на сфере S+, проходящей через точки Р и Q, сумма углов, которые она образует с векторами L и М, одна и та же. и поэтому величина 2arg{x, со} равна сумме углов, образуемых векторами Lo и Л10 с вектором Р<А» взятой со знаком минус. Поскольку стереографическая проекция обладает свойством кон- формности, упомянутые углы равны соответственным углам на сфере 5+ (несмотря на то что каждый из- этих углов имеет об- ратный знак, поскольку проектирование изменяет ориентацию поверхности на противоположную). Прямая линия PoQo (ориен- тированная в направлении PoQo) является теперь проекцией ориентированной окружности с = NPQ (где N — северный полюс сферы S+). Таким образом, 2arg{x, co}(mod2ji) есть сумма двух углов (измеряемых в положительном направлении), кото- рые образованы векторами L и М с с. Этим величина arg{x, со} определяется геометрически с точностью до возможной добавки л. Следовательно, мы имеем геометрическое определение вели- чины ±{х, со}. Из инвариантности {х, со} вытекает, что точка N должна быть несущественной в рассматриваемом построении. В самом деле, элементарные геометрические рассуждения (рис. 1.19) показывают, что сумма указанных углов будет одной и той же при любой выбранной ориентации окружности с на S+, проходящей через две точки Р и Q. Чтобы получить правильный знак внутреннего произведения {х, ©}, необходимо рассматривать L и М как спинорные объ- екты, а не просто касательные векторы к S+. Представим себе теперь, что вектор L перемещается непрерывно вдоль с в на- правлении от Р к Q, все время образуя один и тот же угол с с. Когда вектор L достигает точки Q, мы растягиваем (или сжи- маем) его, так чтобы его длина сравнялась с длиной вектора М, а затем поворачиваем L и М на одинаковые углы в противопо-
8в ГЛАВА 1 ложных направлениях (оставляя их касательными к S+) до совпадения. Угол (измеряемый в положительном направлении), который образуют совпадающие теперь векторы L и М с с, и дает требуемое значение arg{x, <o}. Суть такого построения в следующем. Хотя в точке Q имеются два возможных направле- ния, вдоль которых в конце концов совмещаются рассматривае- мые векторы (а значит, и соответствующие флаги), только одно из этих направлений отвечает совпадению спинорных объектов, представляемых векторами L и М (совпадению соответствующих спин-векторов). Именно такое совпадение мы и должны выби- рать. Итак, мы дали геометрическое определение величины {х, ю} с учетом ее знака. Из непрерывности рассмотренного построения вытекает, что получающееся значение arg{x, <o}(mod2jt) не зависит от выбора окружности с, проходящей через Р и Q. Тот же самый угол по- лучится и в том случае, если вместо того, чтобы перемещать вектор L в прямом направлении от Р к Q, перемещать вектор М в обратном направлении '(против ориентации с) от Q к Р, а затем поворачивать L и М в точке Р. Но если мы перемещаем L из Q в Р вдоль с в направлении ориентации окружности с, то мы получаем значение внутреннего произведения с противопо- ложным знаком. (Дело в том, что перемещение вектора М по всему контуру с от точки Р до той же точки Р привело бы к изменению знака спинорного объекта, поскольку такое переме- щение соответствует лишь одному полному обороту указанного объекта.) Так как это эквивалентно перемене ролей точек Р и Q и векторов L и М, мы тем самым показали, что {х, <о} = = —{©, х}, как и требовалось. Наконец, утверждение о том, что в вышеприведенном построении мы выбрали правильный знак величины {х, ©}, следует из анализа специального случая {о, i} = 1. Возможно, что геометрическое определение внутреннего про- изведения {х, <о}, построенное на основе столь разнородных по- нятий, покажется читателю несколько несовершенным: действи- тельно, модуль определен с помощью 4-геометрии, а аргумент — с помощью 5+. Поэтому мы покажем, что модуль также может быть непосредственно интерпретирован следующим образом с использованием сферы S+: где \L\—евклидова длина, равная (—||?ЦI/2,вектора!..Чтобы убедиться в справедливости выражения A.6.31), заметим сна- чала, что оно представляет собой просто выражение A.6.25) в случае, когда концы обоих флагштоков лежат на S+, так что
ГЕОМЕТРИЯ МИРОВЫХ ВЕКТОРОВ И СПИН-ВЕКТОРОВ 87 Я + 2а.гд (X, «»)(mod Zn) Рис. 1.20. Интерпретация величины arg{x, ш} на основе 4-геометрии. |?| = I =|M|. В общем случае мы просто умножаем флагштоки [с учетом A.6.17)] на скаляры |L|~1/2 и jAf j —J/2 соответственно [ср. с формулой A.4.16)]. Отметим, что выражение A.6.30) есть предельный случай выражения A.6.31), когда S+ — плоскость. Дадим также интерпретацию величины arg{x, ю} в рамках 4-геометрии. Пусть а — пространственноподобная 2-плоскость, проходящая через точку О и являющаяся ортогональным до- полнением времениподобной 2-плоскости, натянутой на два флагштока. Пусть U и V — единичные векторы пересечений пло- скости а с соответствующими полотнищами флагов спин-векто- ров х и (о (рис. 1.20). Тогда угол между U а V, измеряемый соответствующим образом, оказывается равным n + 2arg{x,ю} (mod2n). Чтобы определить направление, в котором должен измеряться этот угол, а также определить знак величины {х, <о}, рассмотрим пространственный поворот (направление фиксиро- ванной временной оси t выбрано вдоль суммы флагштоков) от- носительно прямой р в плоскости а, делящей угол между U и V пополам. Если такой поворот непрерывно продолжить до я, то в зависимости от направления, в котором происходит вращение, х переходит в ю или в —<о. (В самом деле, U переходит в V, а флагштоки переходят один в другой.) Выберем направление таким образом, чтобы спин-вектор и переходил в <о. Тем, что этот поворот происходит в положительном направлении относи- тельно прямой р, определяется ориентация прямой р. Угол, ко- торый вектор U составляет с положительным направлением пря- мой р (указанный угол измеряется в направлении, задаваемом положительным вращением полотнища флага спин-вектора к относительно своего флагштока), будет тогда в точности равен arg{x, ©} —(я/2) (mod2n).
88 ГЛАВА I Чтобы убедиться в справедливости приведенного выше пред- писания, рассмотрим систему отсчета Минковского с временной осью t и соответствующей римановой сферой S+. Точки Р и Q, изображающие флагштоки, представляют собой теперь диа- метрально противоположные точки на сфере; векторы J/ я V только положительными множителями отличаются от векторов L и М, перенесенных в центр. Искомый результат вытекает из простого геометрического рассмотрения. Геометрическая интерпретация сложения Геометрическая интерпретация суммы двух спин-векторов в действительности неявно содержится в геометрической интер- претации внутреннего произведения. В самом деле, соотношение х + сй = т, A.6.32) очевидно, эквивалентно соотношению р} = {т, р}, A.6.33) справедливому при всех р е @*. Подобным же образом мы могли бы рассматривать произвольную линейную комбинацию вместо простой суммы в A.6.32). Поскольку пространство <э* двумерно, равенство A.6.33) достаточно рассмотреть лишь для двух не пропорциональных друг другу спиноров р. В качестве указанных спиноров мы можем выбрать сами спин-векторы ю и v. [если они не пропорциональны друг другу; в противном слу- чае сложение A.6.32) сводится по существу к умножению на скаляр]. Таким образом, равенство A.6.32) эквивалентно ра- венству {т, ©} = {х, ©} = - {т, х}. A.6.34) Взяв модуль величин A.6.34), мы видим, что в силу интер- претации внутреннего произведения пространственные интер- валы между концами флагштоков ©, х и w + х должны быть равны друг другу. Другими словами, концы флагштоков суть вершины равностороннего треугольника в пространстве-време- ни. Что касается полотнищ флагов, то на основе соотношений A.6.34) получаем 2arg{t, e>}*=2arg{x, ©} = 2arg{t, х} = Я. A.6.35) Рассмотрим представление с использованием сферы 5+. Пусть Р, Q, R — точки на S+, отвечающие направлениям соответствую- щих флагштоков спин-векторов х, <о, т, и пусть L, М, N — каса- тельные векторы к S+ в точках Р, Q, R, дополняющие представ- ление флагов, определяемых спин-векторами х, ©, т. В силу вы- полненного нами ранее построения величины 2arg{x, ©} на S+
ГЕОМЕТРИЯ МИРОВЫХ ВЕКТОРОВ И СПИН-ВЕКТОРОВ 89 Рис. 1.21. Построение суммы двух спин-векторов с использованием сферы S+ [формулы A.6.36) и A.6.37]. Все обозначенные углы равны А./2. углы, которые образуют векторы N и Af с ориентированной окружностью с, проходящей через точки Р, Q и R, должны да- вать в сумме X. В силу A.6.35) то же самое справедливо для L и М и для N a L. Следовательно, углы, которые каждый из векторов L, М и N образует с с, должны быть равны друг другу, причем фактически они равны либо A/2)К, либо A/2)Х + я (mod 2л) в зависимости от выбора ориентации с. Таким образом, в пространстве-времени полотнища флагов спин-векторов х, ю их + й должны быть одинаково наклонены к окружности, опи- санной вокруг равностороннего треугольника с вершинами в концах флагштоков (а следовательно, и к самому треугольнику). То обстоятельство, что рассматриваемая конфигурация фла- гов совершенно симметрична по и, ю и х + ю, не должно нас удивлять. Флаги сами по себе не определяют знаков спин-век- торов, так что конфигурация флагов для и + © = т является той же самой, что и для симметричного соотношения х + ю + + т = 0. Более того, оба эти соотношения неотличимы от х— ю = ±т, если мы смотрим только на флаги. Таким образом, если флаги спин-векторов х и ю заданы, то приведенный выше способ построения флага суммы х + <вне будет фиксировать его однозначным образом, поскольку при таком способе построения его нельзя будет отличить от флага разности х — <о. Но, как мы сейчас увидим, эти два флага являются единственно возмож- ными в рамках нашего построения. Вернемся к представлению на S+ (рис. 1.21). Предположим, что Р, Q, L и М. заданы, и попытаемся построить R и N. По- строим сначала окружность с как единственную окружность на
SO ГЛАВА t S+, проходящую через Р и Q таким образом, что каждый из векторов L и М составляет угол A/2)>, с с [формула A.6.35)]. Чтобы определить местоположение точки R на с, воспользуемся формулой A.6.31) и применим ее к A.6.34) 1 = «>} /\42 QR\L\1'2 ' U> ' Согласно хорошо известной теореме, геометрическое место точек в евклидовом 3-пространстве, для которых отношение рас- стояний до двух фиксированных точек постоянно, есть сфера. Таким образом, равенства A.6.36) означает, что точка R лежит на некоторой сфере, задаваемой точками R и Q и векторами L и М. Эта сфера пересекает1) окружность С в двух точках R, R'. Поскольку точки Р и Q отделены друг от друга сферой, точки R и R' разделяют Р и Q на окружности с (в действительности гармонически). Теперь одна из точек R, R' (скажем, R) будет соответствовать сумме и + <», а другая (скажем, R') — разности х — ю. Чтобы иметь возможность выбрать, которая из точек пе- ресечения есть R и которая есть R', мы должны рассматривать L, М и N как спинорные объекты, а не просто как касательные векторы к S+. Переместим непрерывно L из Р в Q по дуге с, сохраняя постоянным угол, который он образует с с (=A/2) X). При перемещении вектора L в точку Q он растягивается в |Mj/|Lf раз, так что L и М совпадают как векторы. Если они тогда совпадают и как спинорные объекты, то R лежит между исходными L и М на дуге рассматриваемой окружности с, а R' — на оставшейся части этой окружности. Если же они тогда не совпадают как спинорные объекты, то именно R' лежит между исходным L и Af на с, a R — на оставшейся части окружности с. Определив местоположение точки R на S+, мы можем задать \N\ соотношением |i^|||||L|1/2, A.6.37) тогда как направление вектора N фиксировано условием, что он составляет угол {\/2)Х с окружностью с. Наконец, как спи- норный объект вектор N определен таким образом, что выпол- няется следующее условие: если его непрерывно перемещать по окружности с до первой из точек Р или Q, сохраняя постоянным угол, который он образует с окружностью с, а затем растянуть до совпадения его как вектора с вектором L или М (в зависи- мости от ситуации), то указанное совпадение должно также быть совпадением спинорных объектов (рис. 1.21). ') Пересечение сферы с S+ есть, очевидно, окружность. Это видно из ра- венства A.6.36).
ГЕОМЕТРИЯ МИРОВЫХ ВЕКТОРОВ И СПИН-ВЕКТОРОВ 91 ж+со) se+co Рис 1.22. Два спнн-вектора н их сум- ма, представленная в аргандовой пло- скости относительно специальной си- стемы, приводящей к симметрии A.6.38). С*-со) Рис 1.23. Представление в аргандо- вой плоскости относительно системы, приводящей к симметрии A.6.39). Имеются две специальные системы отсчета Минковского, удобные для наглядного представления всего изложенного выше. Поскольку мы можем выбрать произвольные три точки сферы S+ в произвольных трех (отличающихся друг от друга) заранее заданных положениях (§ 3) путем надлежащего выбора систе- мы отсчета, выберем точки Р, Q и R таким образом, чтобы они были равноудалены друг от друга и находились на экваторе сферы S+. Тогда они будут вершинами равностороннего тре- угольника. Векторы L, М и N имеют теперь одинаковую длину и одинаковым образом наклонены к окружности PQR. Из сим- метрии ясно, что поворот на 2л/3 вокруг оси, перпендикуляр- ной PQR, переведет рассматриваемую конфигурацию саму в себя. При этом мы будем также иметь хн->--й, ст—>и-\-<л, х + ©1—>х A.6.38) (или наоборот), что устанавливается указанным выше способом определения знаков спинорных объектов (рис. 1.22). Нетрудно видеть, что преобразование A.6.38) получается как результат (однозначно определенного) спинового преобразования. Факти- чески мы можем воспользоваться этим, чтобы установить пра- вильность указанного выше предписания для знаков. С другой стороны, мы можем выбрать нашу ось t таким об- разом, что четыре точки Р, R', Q, R будут равноудалены друг от друга и расположены на экваторе сферы S+, образуя верши- ны квадрата. А именно, предпишем определенные положения точкам Р, Q и R; тогда ввиду симметрии точка R' займет поло- жение, диаметрально противоположное точке R, поскольку PR — QP, откуда |1| = |А1|, так что PR' = QR'. Теперь враще- ние на я/4 вокруг оси, перпендикулярной PQR, приводит к пре-
92 ГЛАВА ! образованию (рис. 1.23) A.6.39) которое опять может быть получено посредством однозначно определенного спинового преобразования. Множитель I/V^ возникает благодаря тому, что теперь |W| = (l/2) |L| (i. e. благодаря тому, что /-значение флагштока для х + <о в 2 раза больше, чем для х). То обстоятельство, что мы получили геометрические описа- ния всех трех основных спинорных операций, открывает путь для последовательного полностью геометрического определения основной алгебры спин-векторов. Остается лишь геометрическая проверка основных свойств (.1.6.8) — A.6.19). Мы не будем на ней здесь останавливаться, а просто оставим в качестве упраж- нения для заинтересованного читателя. Некоторые из упомяну- тых свойств проверяются тривиально, а проверка других до- вольно утомительна, если действовать напрямую. Отметим, что равенство A.6.19) почти прямо вытекает из приведенных выше построений для внутреннего произведения и для сложения. Ука- занное равенство полезно при проверке некоторых других свойств.
Метод абстрактных индексов и спинорная алгебра § 1. Обоснование метода абстрактных индексов В гл. 1 мы ввели понятие спин-вектора и выяснили, что его по существу можно представить как изотропный флаг в вектор- ном пространстве Минковского, но с дополнительным свойством: при повороте на 2я вокруг любой оси он возвращается не в ис- ходное состояние, а в состояние с другим спин-вектором, ассо- циированным с тем же самым изотропным флагом, но «отрица- тельным» по отношению к исходному спин-вектору. Спин-век- торы образуют двумерное комплексное векторное пространство, так называемое спиновое пространство, на котором определено еще и кососимметричное внутреннее произведение. Опираясь на представление о пространстве-времени, всем операциям можно дать явно геометрическую, лоренц-инвариантную интерпретацию. Чуть позднее (в § 5) мы изложим алгебру спиноров. Основ- ная идея, которой мы будем при этом руководствоваться, со- стоит в том, что спиноры могут быть построены на основе пред- ставления о спиновом пространстве, подобно тому как тензоры строятся на основе представления о векторном пространстве. В результате выяснится (гл. 3, § 1), что алгебра мировых тен- зоров в пространстве-времени содержится в спинорной алгебре. Таким образом, спиновое пространство в известном смысле бо- лее фундаментально, чем пространство мировых векторов. С кон- цептуальной точки зрения весьма ценно, что спиновое простран- ство имеет четкую геометрическую пространственно-временную интерпретацию, поскольку это позволяет избежать излишней абстрактности, затемняющей понятие спинора. Хотя в этой и последующих главах мы будем описывать спиноры и спинорные операции в основном в рамках алгебраического подхода, тем не менее каждый такой объект и каждая такая операция имеют глубокий геометрический смысл при пространственно-временном подходе. Однако наше алгебраическое описание никоим образом не будет опираться на геометрическую интерпретацию. Наши рас- суждения могут быть логически независимыми от геометриче-
94 ГЛАВА f ской подоплеки, изложенной в гл. 1. Для описания интересую- щих нас структур мы воспользуемся алгебраическими формули- ровками, что фактически позволяет пересмотреть всю логику рассуждений. Мы могли бы определить пространственно-времен- ною геометрию, исходя из геометрических структур, которые предстоит построить, и, как только будет ухвачена основная идея, все это покажется весьма простым и естественным. Так что в конечном итоге мы сможем счесть алгебраические пра- вила, определяющие спинорную систему, более первичными, не- жели (довольно сложные) явно геометрические построения гл. 1. Наш алгебраический подход охватит даже понятие спинорного объекта. Так что при строгом изложении спинорной алгебры вовсе нет необходимости основываться на приведенных в гл. 1 геометрии и топологии. В общем мы увидим, что геометрические построения будут иметь главным образом концептуальное зна- чение, а для подробных выкладок будет необходим алгебраи- ческий метод. Спинорная алгебра, которую мы намерены построить, будет содержать два разных типа обобщений развитой в гл. 1, § 5 концепции спинового пространства. Прежде всего, оказывается удобным рассматривать не просто спин-вектор в одной-един- ственной точке пространства-времени1), а спин-векторные поля. Это обобщение подобно переходу от понятия вектора в точке к понятию векторного поля. Над мировыми векторами в уединен- ной точке пространства-времени можно производить операции сложения, умножения на скаляр и скалярного произведения. Такие векторы образуют векторное пространство Минковского, называемое касательным пространством в точке над кольцом скаляров в этой точке с делением2). Над векторными полями можно производить точно такие же операции. Например, при сложении двух векторных полей мы, чтобы получить результи- рующее векторное поле, просто суммируем два вектора в каж- дой точке. При умножении на скаляр, когда векторное поле нуж- но умножить на скалярное, значение скалярного поля в каждой точке умножается на вектор в этой точке. Знакомые нам законы A.1.1), справедливые в векторном пространстве, остаются в силе для векторных и скалярных полей. Здесь возникает только одно новое свойство: скалярные поля образуют лишь коммутативное кольцо с единицей, но не кольцо с делением. (Например, если h и k — два бесконечно дифференцируемых скалярных поля, то ') Точный смысл термина «пространство-время» здесь не важен; см., од- нако, гл. 1, § 5; гл. 3, § 2; гл. 4, § 1. 2) К сожалению, здесь приходят в столкновение два совершенно рае лич- ных значения слова «поле» Поэтому для алгебраического «поля» мы исполь- зуем термин «кольцо о делением». Все наши кольца с делением коммута- тивны.
МЕТОД АБСТРАКТНЫХ ИНДЕКСОВ И СПИНОРНАЯ АЛГЕБРА 95 может оказаться, что h не равно нулю только в области, где k всюду равно нулю. Тогда hk = О, но ни п, ни k не должны быть равны нулю, так что существуют делители нуля. Во всяком слу- чае ясно, что если h = 0 в любой точке, то h~x существовать не может.) В силу этого свойства говорят, что векторные поля образуют не векторное пространство, а систему, которую назы- вают модулем над кольцом скалярных полей [89, 112]. Аналогично, обобщая концепцию спинового пространства — двумерного векторного пространства над кольцом комплексных чисел с делением — мы вводим понятие модуля спин-векторных полей. Тогда скаляры должны быть комплексными скалярными полями, удовлетворяющими определенным требованиям глад- кости. Спин-векторным полем определяется в каждой точке пространства-времени изотропный флаг. Изотропный флаг в точке — это некоторая структура в касательном пространстве в этой точке. Такое касательное пространство является векторным пространством Минковского мировых векторов в данной точке. Кроме того, там должны выполняться определенные условия гладкости, чтобы изотропный флаг мог изменяться от точки к точке. И наконец, должны удовлетворяться определенные топо- логические требования, вытекающие из глобальной непротиворе- чивости понятия спинорного объекта. Все это будет подразу- меваться в аксиомах той конкретной системы, которую мы соби- раемся построить. По существу наше первое обобщение вклю- чает в себя переход от векторного пространства над кольцом с делением к модулю над кольцом. Второе обобщение содержит переход от «унивалентных» объ- ектов (спин-векторов) к «поливалентным» объектам (спино- рам). Это обобщение строится подобно тому, как от понятия обычного вектора переходят к понятию тензора. Процедура по- строения совершенно одинакова вне зависимости от того, исхо- дим ли мы из (спин-) векторов в одной точке, или из (спин-) векторных полей. В общем мы не будем сильно вдаваться в по- дробности по поводу типа системы, с которой имеем дело. Мы сможем значительно развить второе обобщение еще до того как начнем вникать в подробности первого. Классическая тензорная алгебра Попытаемся мотивировать наш подход, припоминая основ- ные операции классической тензорной алгебры, имеющей дело с упорядоченными наборами А1;:Л, B.1.1) где каждый ' индекс а, ..., \, р, ..., х принимает значения 1, 2, ..., п (рассматривается пространство размерности п). Для определенности можно представить, что B.1.1) — это упорядо-
96 ГЛАВА i ченный набор действительных (или комплексных) чисел. Или же это мог бы быть,. скажем, набор функций п переменных. Однако, как будет следовать из дальнейшего, набор B.1.1) представляет собой не сам тензор, а лишь множество тензорных компонент. Более того, в общем случае для тензоров вовсе не обязателен именно такой способ глобального описания. Допустимы следующие операции. Пусть даны два таких на- бора Лр.". и Вр.".!о у которых одинаковое число верхних ин- дексов и одинаковое число нижних. Тогда можно сложить соот- ветствующие элементы, в результате чего получится сумма: а;у:л + в;::л=с;::;1 B.1.2) Пусть даны два набора А1.У.1 и О|\"Л без каких-либо ограни- чений на число индексов. Тогда каждый элемент одного набора можно умножить на каждый отдельный элемент другого, в ре- зультате чего получится (тензорное) произведение: а;:::№:::1 = $-;ЛуМ B.1.3) Пусть дан любой набор Fill'.*, у которого имеется как мини- мум один верхний и как минимум один нижний индекс. Тогда мохшо образовать свертку: F;:::t = Glv.:l B.1.4) В этой формуле для повторяющегося символа % имеет место правило суммирования, согласно которому каждый элемент по- лучающегося набора является суммой п членов исходного на- бора. И наконец, пусть дан упорядоченный набор All'? с р верхними и q нижними индексами. Тогда в результате всевоз- можных перестановок и переименований как верхних, так и нижних индексов можно получить p\q\ (вообще говоря) различ- ных упорядоченных наборов. Из заданного упорядоченного на- бора можно получить, например, такие: НТ = А%\ КТ = А%>. B.1.5) Элементы этих наборов, конечно же, совершенно те же самые, что и элементы исходного, но упорядочены они иным образом. В чем же заключается особое значение именно этих четырех операций? Ответ состоит в том, что они коммутируют с законом преобразования компонент тензора. Так, если проанализировать замену всякого упорядоченного набора новым в соответствии со схемой \ n т* B.1.6) т (правило суммирования!), где матрицы 'р и Т} состоят из эле- ментов того же типа, что и набор B.1.1) (т. е. являются дей-
МЕТОД АВСТРАКТНЫХ ИНДЕКСОВ И СПИНОРНАЯ АЛГЕБРА 97 ствительными числами) и каждая из этих матриц обратна другой: ^ = б'(=ГА BЛ.7) то можно показать, что любое из соотношений B.1.2) — B.1.5) остается неизменным. В частном случае упорядоченного набора только с одним верхним индексом можно считать замену B.1.6) V*i-»>V'/; B.1.8) переопределением компонент вектора Упри изменении базиса1). Точно так же можно считать замену B.1.6) переопределением компонент тензора при изменении базиса, приводящем к B.1.8). Но каков истинный смысл этого абстрактного объекта, который мы назвали «тензором»? Существует несколько различных спо- собов определения тензора. Они выявятся по мере нашего про- движения вперед. Но в данном контексте, раз уж у нас есть представление о том, что такое вектор У, можно дать следую- щее наиболее прямое определение тензора А: тензор А — это правило, которое позволяет всякому выбору базиса рассматри- ваемого пространства векторов поставить, в соответствие набор компонент B.1.1). Причем это правило таково, что всякий раз, когда один базис заменяется другим, получающийся набор ком- понент заменяется новым набором с соответствии со схемой B.1.6); здесь ГЦ определяется из B.1.7), а матрица t\ такова, что B.1.8) дает изменение компонент вектора при изменении данного базиса2). Непротиворечивость этого определения сле- дует из групповых свойств матриц t\. Так, если й., iFS и 11 — трансформационные матрицы, соответствующие в указанном по- рядке замене первого базиса вторым, замене второго базиса третьим, и, наконец, замене первого базиса третьим, то имеет место соотношение tj\= tl. Если^Г,,, Та и П — соответствую- щие обратные матрицы, то Г)[П = П. Это гарантирует, что при изменении базиса, проведенном в два этапа, получающийся на- бор компонент будет таким же, как в случае замены базиса, проведенной сразу. Раз закон преобразования компонент тен- зора коммутирует с операциями сложения, умножения, свертки ') Обозначения в формуле B.1.8) немного не соответствуют нашим об- щим правилам, касающимся «пассивной» преобразования [формула A.1.25I, но это не должно приводить к путанице. ^ Сформулированное определение адекватно только в случае простран- ства векторов, допускающего (конечный) базнс. В рассматриваемой здесь ситуации это условие выполняется, хотя не очевидно, что оно будет выпол- няться и для глобально определенных полей. Данное определеине носит в об- щем предварительный характер и служит в основном для оправдания после- дующего изложения. 4 3«с 1142
98 ГЛАВА 2 и перестановки индексов в применении к упорядоченным набо- рам, то эти операции применимы не только к компонентам тен- зора, но и к нему самому. Г pi Говорят, что тензор А имеет валентность I, если в B.1.1) есть р верхних индексов и q нижних. Верхние индексы назы- ваются контравариантными, а нижние — ковариантными (пол- ное число индексов р -\- q иногда называют рангом тензора А; мы предпочитаем термин полная валентность.) Всякий тензор валентности „ естественным образом ассоциирован с един- ственным вектором, а именно с таким, компоненты которого (в произвольном базисе) идентичны компонентам тензора. Мож- Г' 1 но было бы просто идентифицировать тензоры валентности с векторами, если бы наше частное определение тензора не при- водило при этом к логическому замкнутому кругу. (Одна из трудностей, связанных с этим определением, заключается в том, что базис уже есть множество векторов!) Будем называть тен- зор валентности „ контравариантным вектором. Тензор ва- лентности j это тоже некая разновидность вектора. До- говоримся называть такой вектор ковариантным или ковекто- V р! ром1). При любой валентности существует особый тензор О, компоненты которого равны нулю в любом базисе. Кроме [11 того, существует специальный тензор 6 валентности . > ком- поненты которого в любом базисе дают символ Кронекера ( 1, если а = Р, 6Ио, если а* р. <2Л'9> ГОТ Тензор валентности „ I называется скаляром. ') Коитравариантное векторное поле на многообразии можно представлять себе как поле «стрелок» на этом многообразии (стрелки выходят из одной точки и оканчиваются в некоторой соседней точке, определяя «поток» на мно- гообразии). Ковекторным же полем определяется поле ориентированных ги- перплоскостей, с каждой из которых связывается некоторое значение «интен- сивности». В случае градиента скаляра гиперплоскости касаются гиперповерх- ностей уровня этого скаляра, а «интенсивность» определяет скорость его на- растания.
МЕТОД АБСТРАКТНЫХ ИНДЕКСОВ И СПИНОРНАЯ АЛГЕБРА 99 Бескоординатная тензорная алгебра С логической точки зрения данное выше определение тензора вполне удовлетворительно (хотя имеются ситуации, в которых это определение использовать нельзя). Однако с концептуальной точки зрения в этом определении слишком большое значение придается базису и компонентам. Возникает впечатление, будто понятие тензора неразрывно связано с понятием векторного ба- зиса (или координатной системы). Это ведет к представлению, будто для подробных расчетов на тензорном языке обычно тре- буется введение базиса, а сами расчеты могут быть выполнены только с помощью тензорных компонент. Но это впечатление ошибочно. Современное алгебраическое определение тензора (во всех его обличьях) избегает каких-либо ссылок на базисы или координатные системы*. (Понятие тензора остается в силе даже в тех случаях, когда базисы или системы координат не суще- ствуют в том смысле, в котором мы их привыкли понимать.) Основной упор в этой книге делается как раз на алгебраическое бескоординатное описание рассматриваемых объектов, посколь- ку у нас возникло впечатление, что, например, в случае спинор- ного анализа, наметилась тенденция придавать слишком боль- шое значение кажущейся необходимости координатных базисов. В то же время, если вернуться к подробным тензорным ра- счетам, то окажется, что современный алгебраический подход к тензорам, в той форме, в которой он обычно излагается, обла- дает рядом определенных недостатков. Причина кроется в основном в обозначениях. Когда вычисления выполняются в тен- зорных компонентах, классические индексные обозначения тен- зоров вместе с правилом суммирования Эйнштейна являются основой очень мощной и универсальной техники, техники, прак- тичность которой в значительной мере опирается на возмож- ность раздельного обращения с индивидуальными индексами. А при обычном абстрактном алгебраическом подходе никаких индексов нет, так что большая часть этой универсальности утра- чивается. Поэтому при использовании такого более абстрактного подхода поступают иногда следующим образом. Когда становятся необходимыми подробные расчеты, на некоторое время возвра- щаются к описанию с помощью компонент, а затем, лишь в кон- це вычислений, переписывают полученные соотношения так, чтобы они связывали абстрактные тензоры. Чтобы более четко представлять себе трудности, возникаю- щие при абстрактном подходе, посмотрим, как можно было бы оперировать тензорами А, В, С, ... алгебраически, напрямую, не обращаясь ни к какой форме индексных обозначений. Наша первая операция, а именно сложение, не представляет труд- ностей. Если А и В — два тензора одинаковой валентности 4*
100 ГЛАВА 3 I I, то можно образовать сумму = С B.1.10) Г Р 1 той же валентности I I, причем компоненты этих тензоров будут связаны соотношением B.1.2). Для каждой валентности I I имеет место структура абелевой группы, определяемая операцией сложения, а именно (все тензоры в четырех следую- щих строчках имеют одинаковую валентность I I I: А + В = В+А, B.1.11) (А + В) + С = А + (В + С), B.1.12) существует тензор 0, такой, что 0 + А — А, B.1.13) для каждого тензора А существует тензор — А такой, что А + (-А) = 0. B.1.14) Точно так же никаких серьезных проблем не представляет и тензорное произведение. Если А имеет валентность I I, a D —• валентность I I, то можно образовать произведение AD = E B.1.15) Гр + г-i валентности I . I, компоненты которого связаны соотноше- нием B.1.3). Операция тензорного умножения позволяет поста- вить в соответствие полной системе тензоров структуру (неком- мутативной) полугруппы: (АВ)С = А(ВС). B.1.16) (В общем случае АВ Ф ВА, поскольку, хотя набор компонент у АВ и ВА один и тот же, но порядок их расположения разли- чен.) Умножение дистрибутивно относительно сложения: B.1.17) B.1.18) где В и С имеют одинаковую валентность. Операция свертывания, компонентная форма которой опре- деляется формулой B.1.4), опять же не представляет сущест-
МЕТОД АБСТРАКТНЫХ ИНДЕКСОВ И СПИНОРНАЯ АЛГЕБРА 101 ГР+П венных проблем. Если тензор г имеет валентность а \ \ |> то> обозначая операцию свертывания символом Ф7, получим [ср. с формулой B.1.4)] VF=G, B.1.19) где G представляет собой тензор валентности I I. Операция свертывания связана со сложением и умножением двумя пра- вилами: B.1.20) B.1.21) где А и В имеют одинаковые валентности, а валентность тензора F положительна и в верхней, и в нижней позициях. В то же время вроде бы безобидная, но важная четвертая операция перестановки индексов представляет в данном подходе очень серьезную проблему. Она необходима, чтобы выражать симметрии тензоров; частный случай этой операции нужен, что- бы выразить связь между АВ и ВА; она требуется еще и в связи с определенной нами предпоследней операцией свертывания $\ а именно в сочетании с ней для образования произвольной свертки (когда свертываются не обязательно последние индек- сы). Конечно, можно придумать специальные безындексные обо- значения, позволяющие справиться с определенными простыми тензорными соотношениями такого типа, но в смысле общности, прозрачности и гибкости такие обозначения сильно проигры- вают в сравнении с первоначальными индексными обозначе- ниями, в особенности когда приходится иметь дело с выраже- ниями произвольной сложности. (Представляется, что един- ственной альтернативой индексным обозначениям, позволяющей сохранить все положительные качества последней, является не- которая форма диаграммных обозначений [38, 141, 179]. Неко- торые замечания по этому поводу можно найти в приложении. К сожалению, воспроизведение этих обозначений типографским способом наталкивается на серьезные трудности, так что они, по-видимому, годятся в основном для неофициальных вычисле- ний, не предназначенных для опубликования.) Смирившись с этим фактом, легче понять, что следует делать дальше. Тензорные индексные обозначения должны быть сохра- нены. Однако это вовсе не означает отказ от нашего идеала — от подхода, совершенно не зависящего от базиса. Преимущества, которые дают абстрактный алгебраический и компонентный ме- тоды, не являются взаимоисключающими. В подходе, который мы намерены использовать в следующем параграфе, будез со-
102 ГЛАВА 2 хранена исключительная гибкость индексных обозначений. При этом изложение будет с самого начала бескоординатным. Ключ к этому формализму — осознание того факта, что индекс не обя- зательно означает множество пробегаемых им целых чисел (на- пример, 1, 2, .... п). Скорее следовало бы считать тензорный индекс просто меткой, единственное назначение которой — нести информацию о типе рассматриваемого тензора и об операциях, которым подвергается тензор. Расчеты можно выполнять, поль- зуясь величинами с индексами, в точности как в классической тензорной алгебре, но при этом смысл символов будет совер- шенно иным. Каждый символ с индексами будет описывать весь тензор целиком, причем без привлечения, явного или косвенного, системы координат или базиса. Как этого добиться, мы узнаем из следующего параграфа. § 2. Формализм абстрактных индексов и тензорная алгебра В этом формализме, скажем, символ У? означает не набор п компонент (Vх, У2, ..., У"), а единственный элемент некото- рого абстрактного векторного пространства или модуля. Конеч- но, иногда бывает удобно выбрать определенный базис и запи- сать в нем вектор Vя- Но при этом должен использоваться другой тип буквы-индекса: индексы, обозначающие компоненты тензора, будут печататься прямым жирным шрифтом. Так сим- вол V* будет обозначать набор компонент (У1, ..., У"). Индек- сы, напечатанные прямым жирным шрифтом, будут использо- ваться обычным образом, но в общем случае мы будем стре- миться их избегать. Присутствие в рассматриваемом выражении индексов, напечатанных жирным шрифтом, может указывать на два следующих обстоятельства. Во-первых, это будет означать, что в дополнение ко всем тензорам или скалярным, присутствую- щим в некотором выражении явно, в него косвенным образом введен (по возможности произвольный) базис. Во-вторых, такие индексы будут подчиняться правилу суммирования Эйнштейна [ср. с формулой A.1.4)]. В применении же к индексам, напе- чатанным светлым курсивом, правило суммирования в том виде, в котором его обычно принято понимать, было бы бессмыслен- ным. Однако свертывание (как и другие тензорные операции) для абстрактных тензоров будет определено. Мы должны определить безбазисные операции так, чтобы они вобрали в себя знакомые правила манипулирования тензорными компо- нентами. Существует, однако, одно малоприятное свойство, которое проявляется с самого начала и к которому следует привыкнуть.
МЕТОД АБСТРАКТНЫХ ИНДЕКСОВ И СПИНОРНАЯ АЛГНВРА ЮЗ В классической тензорной алгебре, где используются обычные обозначения, часто рассматриваются выражения вроде VV* или Уа[/" — С/Т". Если мы захотим перенести это на язык абстракт- ных индексов, т. е. записать УаУР и VaLfi — УР?Уа, то в допол- нение к Vх нам понадобятся объект Vp, причем оба они должны символизировать один и тот же вектор V. Ясно, что Vх и V$ должны быть различными объектами, ибо, если справедливы равенства V" = V* и ?/а = ?/р, то мы придем к равенству VaU» - V&Ua = Va?/P - VaU* = 0. Кроме того, равенство Vх = = V$ должно было бы отображать несостоятельное классическое выражение Vй = УР- Поэтому с любым вектором V должен быть ассоциирован бесконечный набор разных копий Va, V , Vy, ..., Уа° Va', ... (поскольку следует допускать выра- жения произвольной протяженности). Таким образом, полный модуль ©", к которому относится V, должен допускать бесчис- ленное множество своих совершенно отдельных копий. Будем обозначать их символами©", © . Sv, • • •. Sa. • • •, <?a' Мо- дули должны быть канонически изоморфны друг другу и моду- лю <©', причем VgS' соответствует K°G®a и Kse®p и т. д. Таким образом, aV-\-bU = W в том и только в том случае, если aVa + bUa = Wa и если aVB + bU* = W* и т. д., где а и b — элементы кольца скаляров ©. Необходимость бесконечного числа отдельных математиче- ских объектов для описания чего-то на самом деле единствен- ного, без сомнения, выглядит довольно неестественно. И тем не менее к этому следует привыкнуть. Но возможна и несколько иная точка зрения на эту ситуацию, которая может показаться не столь неестественной. Согласно такой точке зрения, множе- ство абстрактных меток & = {а, р, у, •••- а. оо, р0, .... а„ ...} B.2.1) имеет только организующее значение. Это множество должно удовлетворять единственному требованию — быть бесконечным. Векторы и векторные поля, с которыми нам приходится все время иметь дело, образуют модуль »"• Элементы всевозможных множеств-5", S8, ..., S"!, ... —это просто элементы из ©'Х^7. где, например ©5з — это ©* X {1з}- Иначе говоря, И' — это пара (V, |3) с VgS' и 13 е 3!. Следовательно, всякий абстракт- ный индекс вроде ?э является просто своего рода «адресной» меткой для «занесения» вектора V в «ячейку памяти |3*.
104 ГЛ.\пл 4 Аксиоматический подход Попытаемся подойти к правилам, которым должна удовле- творять наша система, с более формальной точки зрения. Фор- мулируя аксиомы, нужно стараться не связывать себя с какой- нибудь одной частной интерпретацией. В то же время предла- гаемая степень общности будет вполне достаточной для иссле- дования всех интересующих нас систем, да и во многих других ситуациях. Прежде всего из аксиом для системы скаляров © следует, что это коммутативное кольцо с единицей. Иными словами, на @ существуют операции сложения и умножения, удовлетворяю- щие следующим аксиомам: Аксиомы II. a + (b + c) = (a + b) + c III. ab = ba IV. a(bc) = (ab)c V. a (b + c) = ab + ас для всех a, b, с е © VI. Существует такой нулевой элемент 0е®, что 0 + a = а для всех неб VII. Существует такой единичный элемент 1е®, что la = a для всех aeS VIII. Для всякого as© существует такой адди- тивный элемент — asS, обратный к а, что a+ (— а) = 0. B.2.2) В общем случае отсутствуют мультипликативные обратные эле- менты. (Например, как уже упоминалось ранее, скалярные поля на многообразии могут иметь делители нуля.) Если же у ска- лярного поля есть мультипликативный обратный элемент, то он единственный. Аддитивный обратный элемент всегда единствен. То же самое можно сказать о нулевом и единичном элементах. Итак, нам потребуется бесконечное множество меток 3?. До- говоримся обозначать элементы множества 3? как в формуле B-2.1). Выберем из S элемент а. Тогда система @а будет ©-модулем; другими словами, операция сложения, определенная на ©а, и операция умножения на скаляр, определенная с по- мощью отображения из © X @а в ©а, удовлетворяют следующим аксиомам:
МЕТОД АБСТРАКТНЫХ ИНДЕКСОВ И СПИНОРНАЯ АЛГЕБРА 105 Аксиомы I. Ua + Va=Va + Ua II. Ua + (Va+Wa) = {Ua + Va)+Wa III. a(Ua+Va) = aUa + aVa IV. (a + b)Ua = aUa + bUa V. (ab)Ua = a(bUa) VI. Wa = Ua VII. 0?/а = 0Уа B.2.3) для всех а, й е @ и всех ?/а. Уа. Wa e ©а. Единственный нуле- вой вектор 0Уа записывается как 0а, или чаще просто 0. Всякий элемент V е©а имеет аддитивный обратный элемент (—l)Va, так как Vх + (-1) Vй = A + (-1)) Va = 0Va = 0. Однако принято писать — Va вместо (—1)Ка и ?/а — Уа вместо ?/" + (—1)Уа. [В действительности аксиома I является следствием аксиом II—VII. Для доказательства этого достаточно один раз развер- нуть A + 1) (Ua-\- Vх) с помощью аксиомы III и один раз с помощью аксиомы IV, приравнять получившиеся выражения и, воспользовавшись существованием аддитивных обратных эле- ментов, исключить лишние Ua и Va. Аналогично можно пока- зать, что аксиома I в B.2.2) является следствием всех осталь- ных аксиом B.2.2).] Теперь выберем другую метку peS1. Определим систему ©Р так, чтобы она была канонически изоморфна системе @а, в силу чего ?/Р + V^ соответствует Ua + Vх, а а У^ соответствует aVa, где ?/Ре@Р соответствует f/ae@a, а Кре©Р соответ- ствует Va e @a. Таким образом, для системы @Р имеют место те же правила B.2.3), что и для @а (за исключением того, что р всюду следует заменить на а). Точно так же для у, б, ..., |з, • • . ... е^ определим ©v, © @Ч .... В любом верном урав- нении, где появляется метка а (но не Р) можно всюду заменить а на р, и при этом получится новое верное уравнение. Аналогич- ный результат справедлив и для любых других пар элементов множества &. Элементы всякой системы ©а, © , .... © , ... называются тензорами валентности . Элементы модуля © — Г°1 тензоры валентности
106 ГЛАВА 2 ГОТ Для определения тензоров валентности I , I рассмотрим модули, дуальные по отношению к ©а> © . • • • (так называемые ©-дуальные модули). Модуль @а, дуальный по отношению к ©а, определяется как набор всех ©-линейных отображений @а на @. Другими словами, всякий элемент Qa e ©о является отображе- нием Qa :©"->©, таким что Qa {Ua + Va) = Qa (Ua) + Qa (Va), B.2.4) = aQa(va) B.2.5) для всех Ua, V°g@° и всех аеб. Таким образом, два эле- мента Q~, /?~ е©^ равны по определению, если для всякого элемента Уа из @а элементы Qa(Va) и /?a(V'a) — один и тот же элемент из ©. Как правило, мы будем опускать скобки и писать просто QaVa. Кроме того, иногда мы будем писать VaQa- Эта операция называется скалярным произведением. Определим сложение пар элементов из @a и умножение эле- ментов из @а на элементы множества @ следующим образом: (Qa + Ra) Vй = QaVu + RaV\ B.2.6) Va = a{QaVa). B.2.7) Так, формула B.2.6), например, означает, что Qa-{-Ra опреде- мкпшл как такой элемент из @а, действие которого на каждый Kas©a задается правой частью равенства B.2.6). При нали- чии этих операций ©а является ©-модулем, ибо семь аксиом B.2.3) удовлетворяются элементами из @« (что не сложно про- верить). Нулевой элемент множества @« записывается как 0а, или просто 0 и определяется соотношением 0aKa = 0 для всех Аналогичным образом определим множество @е как дуаль- ное по отношению к ©^, множество @Y как дуальное к ©v и т. д. Вследствие канонического изоморфизма между @а, @Р; ... су- ществует изоморфизм и между @и, @р, .... Так, элемент Qa s ©а соответствует элементам Qp е ©р, Qv e ©v, ..., Qa» e е ©a-» . причем для всякого Va выполняются равенства QaVa = QpKp = QyVv = ... = Qao-/a' = ... . B.2.8) (Заметим, что до сих пор мы не можем писать выражения типа QaV&, так как элементы из @« не действуют на элементы из @Р.) Как и раньше, в любом верном уравнении, в котором встре- чается только один индекс, его всюду можно заменить любым другим, и при этом снова получится верное уравнение.
МЕТОД АБСТРАКТНЫХ ИНДЕКСОВ И СПИНОРНАЯ АЛГЕБРА 107 На этой стадии изложения вполне уместен вопрос: симме- трична ли взаимосвязь между @а и @а? Другими словами, дей- ствительно ли @а дуально по отношению к @а? Из B.2.6) и B.2.7) следует, что любой элемент Уае©а определяет ©-линей- ное отображение из @а в @, задаваемое соотношением Va(Qa):= QaVa. Однако не очевидно, что все ©-линейные ото- бражения могут возникать именно таким путем. К тому же нет уверенности, что знание отображения позволяет однозначно фик- сировать Vх, или (что эквивалентно), что из условий Wae@a и WaQa = 0 для всех Qa e @« обязательно следует равенство Н^а = 0. В действительности, если ©а — общий модуль над об- щим коммутативным кольцом ® с единицей, то ни одно из этих нужных нам свойств может не оказаться верным1). В то же время все те модули, с которыми мы имеем дело здесь, обла- дают тем свойством, что модуль @а естественно изоморфен мо- дулю, дуальному ©а, а значит, и отождествим с ним. Такой модуль называется рефлексивным. Позднее, когда можно будет говорить о существовании конечного базиса для @а, рефлексив- ная природа модуля @а может рассматриваться как некое след- ствие. Ну, а сейчас мы будем просто предполагать, что модуль @а рефлексивный. Фактически же мы вскоре наложим на ©а более сильное ограничение, а именно будем считать, что модуль ©а вполне рефлексивный (это понятие мы определим чуть позд- нее). Причем это свойство опять возникнет как следствие су- ществования конечного базиса. Может оказаться, что вводимая здесь система обозначений представляет реальный интерес лишь в случае вполне рефлексивных модулей. Тензоры Определим теперь тензоры произвольной валентности j I Фактически мы дадим два различных определения, следствием чего будут два разных понятия тензора. Условием того, что эти два понятия совпадают, и фиксируется <За как вполне рефлек- ') Например, пусть ©— это функции класса С00 на многообразии, тогда какЗа — (контравариантные) векторные поля класса С°. Тогда множество 2>а! дуальное по отношению к <Sa, содержит только нулевой элемент, по- скольку не существует других ковекторных полей, которые, действуя на про- извольное векторное поле класса С0, всегда давали бы скалярное поле класса С". Таким образом, QaVa = QaUa (= 0) для всех Ua, Va e @a, Qa e= <§„ даже когда иафУ1. С другой стороны, если © — кольцо констант на много- образии, а За — контравариантные векторные поля класса С , то @а со- держит различные формы (с компактным носителем), компоненты которых представляют собой обобщенные функции, и дуальное ©а множество оказы- вается намного большим, чем ©а.
108 ГЛАВА 2 сивный модуль. В § 3 мы продемонстрируем эквивалентность между этими двумя определениями и определением B.1.6) в случае, когда предполагается существование конечного базиса. Первое бескоординатное определение тензора (будем назы- вать его тензором типа I) опирается на понятие полилинейного отображения. Возможно, это наиболее естественное продолже- ние того, что мы делали раньше. Выберем два любых конечных непересекающихся подмножества множества меток 3?, скажем {а, р, ..., 6} и {%, ..., v} с р и q элементами, соответственно. Теперь определим тензор А^.;уч6 (валентности I JJ как ©-по- лилинейное отображение: Л"Р:.Ч6: ©„ Х®рX • • • Х©6 X®" X • • • X@v^®. B.2.9) Это означает, что всякому набору Qae©a, /?pe©p Г6е=©6) ?/*е=©\..., rve@v тензор ЛЙ/.Ч* типа I ставит в соответствие скаляр ^.Vv6(Qa. Яр, ••-. Т6, U\ .... 1Г)е=@, B.2.10) причем эта функция ©-линейна отдельно по каждой перемен- ной, т. е. a, ...) = aAf.;;ve'(Qa, ...). ... B.2.11) для всех a s © и B.2.12) с соответствующими свойствами для каждой из оставшихся пе- ременных /?в, ..., Wv. Будем писать B.2.10) просто как <4f..7veQa/?e • • • W* •¦¦Wv<=<5. B.2.13) Множество всех таких тензоров A\.'."w обозначим через ®v..'."v • Заметим, что это определение в случае ©х совпадает с уже данным, а в случае ® тривиально совпадает с определе- нием скаляра. В случае же ©а это определение благодаря пред- полагаемой рефлексивности по сути дела снова дает исходный модуль ©а- Перейдем ко второму бескоординатному определению тен- зора— к определению тензора типа II. Снова выберем два не- пересекающихся конечных подмножества множества S', скажем {а, р, ..., 6} и {А,, ..., v}, лишь бы оба не оказались пустыми.
МЕТОД АБСТРАКТНЫХ ИНДЕКСОВ И СПИНОРНАЯ АЛГЕБРА 109 Рассмотрим все формальные выражения, представляющие со- бой конечные (коммутативно-ассоциативные) суммы формаль- ных (коммутативно-ассоциативных) произведений элементов, по одному из каждого набора ©а. ©,...,©. ©*.» ..., ©v- Та- кого рода выражение можно записать в виде Вр.;Ууй = ? 0аЯР ... J6LX ... N4. B.2.14) Однако не все такие формальные выражения следует считать различными, даже если формально они различны. Критерием эквивалентности двух таких выражений является возможность обращения одного в другое с помощью соотношений вида .. Е% B.2.15) и {qXl) Y\? ... Ё1 = X1 (qY") С" ... Е\ B.2.16) где, конечно, же, можно снова воспользоваться коммутативной и ассоциативной природой сумм и произведений. Формальные выражения B2.14) вместе с указанным отношением эквивалент- ности и есть тензоры типа II ')• Любым тензором типа II определяется тензор типа I, если задать полилинейное отображение в следующей форме: = t (Ga B.2.17) Ясно, что правая часть этого соотношения принадлежит @ [суммы и произведения здесь являются обычными операциями B.2.2), определенными на ©, а в круглые скобки заключены скалярные произведения B.2.8)]. Этим, очевидно, определяется ©-полилинейное отображение. К тому же из B.2.4) — B.1.7) следует, что два любых таких выражения, которые можно счи- тать эквивалентными в силу либо равенства B.2.15), либо ра- венства B.2.16), либо ассоциативной и коммутативной природы сумм и произведений, приводят к такому же полилинейному отображению. Таким образом, любому тензору типа II соот- ветствует единственный тензор типа I. ') Такое определение может показаться формальным и не отвечающим ин- туиции. Однако если отвлечься от некоторых отличий, порожденных исполь- зованием абстрактной системы меток (позволяющей сделать тензорные произ- ведения формально коммутативными), то это по существу современный ва риант определения тензора с.помощью тензорного произведения, который при ложим и к совершенно общему модулю.
ПО ГЛАВА 2 В то же время не ясно, можно ли получить таким путем все тензоры типа I и приводят ли два произвольных различных [не- эквивалентных в смысле B.2.15) и B.2.16)] тензора типа II к двум различным же тензорам типа I. И в самом деле, в слу- чае общего (рефлексивного) модуля © не имеет места ни одно из этих весьма желательных свойств. Однако впредь мы будем предполагать, что модуль @а вполне рефлексивный. Это озна- чает, во-первых, что всякий тензор типа I при таком подходе возникает из тензора типа II, а во-вторых, что он возникает (при этом подходе) именно из одного тензора типа II. В то же время наше предположение, что модуль ©а вполне рефлексив- ный, означает эквивалентность обоих типов тензоров. Как мы увидим в дальнейшем, для того, чтобы модуль @а был вполне рефлексивным, достаточно (но отнюдь не необходимо) суще- ствования конечного базиса для @а. Отметим, что рефлексивные модули являются частью вполне рефлексивных модулей. Элементы множества @а, если их рас- сматривать как тензоры типа I, следовало бы на самом деле отнести не непосредственно к исходному модулю @а, а к дуаль- ному ©«. Но элементы исходного модуля @а и есть тензоры типа II. Поэтому, для того, чтобы эти два типа тензоров согла- совывались друг с другом, модуль @а должен быть рефлек- сивным. Критерий эквивалентности формальных выражений B.2.14), установленный для тензоров типа И, оказывается не очень удоб- ным при попытках его непосредственного использования, в осо- бенности если возникает необходимость в доказательстве не- эквивалентности двух выражений, относящихся к типу II. Пред- положение, что модуль @а — вполне рефлексивный, позволяет дать альтернативный и простой критерий эквивалентности двух выражений типа B.2.14). Именно: два таких выражения экви- валентны в том и только в том случае, если для всякого набора ответствующие правые части равенств B.2.17) равны между собой. Тензорные операции Теперь займемся тензорными операциями сложения, тензор- ного умножения, замены индексов и свертывания. Сложение — это отображение ©? 7. vX©x.'.7v->©x.""v» определенное для каждой пары непересекающихся подмножеств (а, ..., б) и (К, ..., v) множества &, а сумма Л";.'.\ + В\ '.'.'. v может быть определена очевидным образом на основе любого из наших определений тензора. Если воспользоваться определением тен- зора типа I, то сумма — это не что иное, как полилинейное ото-
МЕТОД АБСТРАКТНЫХ ИНДЕКСОВ И СПИНОРНАЯ АЛГЕБРА Ш бражение SaX ••¦ X©v-^©. значение которого представляет собой сумму отображений, определенных тензорами А'.'.', и В]... В случае же определения тензора типа II нужно просто пред- ставить каждый тензор А..', и В\\\ в виде B.2.14) и формально сложить эти две формальные суммы. Ясно, что эти определения эквивалентны друг другу и что сумма — это то же самое, что уже было определено в случаях @, ©а и <Ва- Кроме того, Al- + Bl::: = Bi.:: + At:::, B.2.18) Al::: + (Bl::: + ct:::) = (Al::: + Bl::) + ct:::. B.2.19) Тензорное умножение — это отображение ©? ."..\Х®ф'.'.'. *-*¦ -*•©"..".v5¦.'.".ь определенное для каждой четверки непересекаю- щихся подмножеств (а,..., б), (Я,,..., v), (р,..., т), (ф if) множества &. Произведение Ах .7.' VD«'.V. \ снова может быть определено очевидным способом на основе любого определения тензора. Если использовать определение тензора типа I, то можно определить произведение как полилинейное отображе- ние ®«Х ••• X©*-*-©, значение которого является произведе- нием отображений, определяемых тензорами А... и D...- (При- чина, по которой требуется отсутствие пересечений множеств индексов в случае умножения, а также в случае сложения, за- ключается, в данном контексте, в том, что в противном случае мы не сможем получить полилинейное отображение.) Если же воспользоваться определением тензора типа II, то для определе- ния тензорного произведения мы просто формально перемножим соответствующие формальные суммы B.2.14) и применим рас- пределительный закон. Из B.2.17) следует, что эти два опреде- ления эквивалентны друг другу. Исходя из любого определения, легко получить соотношения') Al ::M ::. = dI:::aI:::, B.2.20) At::: {Dl ::.eI :::) = {At :::d$ ::;) e\ :;:, B.2.21) (At::: + Bl:::) d$ ::: = At ::;dp/;;. + Bt :vM:;;. B.2.22) Отметим, что обозначения, используемые в формальной сум- ме формальных произведений B.2.14), согласуются с вышепри- ') То обстоятельство, что тензорное произведение коммутативно в смысле равенства B.2.20), оказывается весьма приятной особенностью применения метода абстрактных индексов к тензорной алгебре. В стандартном алгебраи- ческом «безындексном» формализме тензорные произведения некоммутативны: А ® D ф D ® А; к гому же бывает довольно трудно выразить взаимосвязь ме- жду выражениями А ® D и D ® А. При нашем же способе обозначений неком- мутативность тензорных произведений записывается р виде А%-.Р... ^
112 ГЛАВА 2 веденными обозначениями. Иными словами, B.2.14) можно рассматривать как сумму только что определенных тензорных произведений. Это опять же немедленно следует из любого определения. Частным случаем тензорного произведения является опера- ция умножения тензора на скаляр. При этом мы приходим к операции умножения на скаляр, определенной на каждом мно- жестве &к'.".у Вместе с операцией сложения она сообщает всякому множеству <§".'" * структуру <В-модуля [ср. с форму- лой B.2.3)], ибо выполнение необходимых для этого требова- ний, дополнительных к B.2.18) — B.2.22), а именно м2:::«л2::: B.2.23) в ол2::: = оя2::: B.2.24) очевидно. Далее мы будем обозначать OAl'.'.'.v через 0^.'.'.'v, а чаще даже просто через 0. Заметим, что Al::X:;; = ol::;$•;:., Al::: +<%;:: = At;-. B.2.25) В случаях @, ©а и ©а операция умножения на скаляр согла- суется с предыдущими определениями. Замена индексов — это отображение @х."."*~>©"'.".'.5>. опреде- ленное на каждом ©*" и индуцированное просто некоторой пе- рестановкой элементов в множестве меток 3? (при этом число элементов в наборах л, ..., т и а, ..., б, а также в наборах ф, ..., г|> и X, ..., v должно быть одинаковым, но подмноже- ства {а, ..., б, А. v} и {я, ..., т, ф, ..., г|>} не должны быть непересекающимися). Сама по себе эта операция совер- шенно тривиальна: любое соотношение имеет в той же мере справедливый аналог, полученный переименованием индексов. Очевидно, что любая замена индексов коммутирует с опера- циями сложения и тензорного умножения. В частном случае, когда операция замены индексов сводится лишь к перестановкам внутри подмножеств а, ..., б и К, ..., v, мы приходим к отображению (S°.".7v->'<52".'v> которое в даль- нейшем будем называть перестановкой индексов1). Применяя ') В перестановке индексов у символа SjJ"' v нет необходимости, по- скольку обозначаемое им множество инвариантно по отношению к этой опера- ции. Просто есть пара неупорядоченных множеств {а, ..., 6) и {X, ..., v), фиксирующих @д _'"'. Для всякого же тензорного символа •*4°;;"v порядок индексов существен. Так <Щ"\а = ®^f "'у но, вообще говоря, А?"'\ =?
МЕТОД АБСТРАКТНЫХ ИНДЕКСОВ И СПИНОРНАЯ АЛГЕБРА ИЗ операцию перестановки индексов в сочетании с операцией сло- жения, можно определить операции симметризации и антисим- метризации. Пусть, например, дано Аа& е <5ар; тогда можно определить другой элемент Bafi = А^а е ©вр. Теперь симметрич- ную и антисимметричную части элемента Л«в можно записать как 1/2(Лар +Лрц) и 1/2 (Лор — Лра), соответственно. Таким об- разом, в сочетании, к примеру, со сложением операция замены индексов перестает быть тривиальной. Далее, [ J-сверпгка — это отображение определенное для всякой пары непересекающихся подмножеств {а, ..., 6} и {Я,, ..., v} множества 3?, таких, что элементы \ и т| множества SB не относятся ни к одному из этих подмно- жеств. Здесь следует воспользоваться определением тензора типа II'). Пусть Al.:: % = g Da... g6h% ... Nyp^ s <s%:::% B.2.26) Тогда I )-свертку тензора А..] можно определить как " ••• O6k -.. МУ^®1"Л- B-2.27) Если скаляр Р^Н «встроить» в один из оставшихся векторов данного произведения, то получится выражение требуемой фор- мы B.2.14). Причем из B.2.16) следует, что не важно, в какой именно вектор он будет «встроен». Теперь остается только по- казать, что любые два выражения типа B.2.26), эквивалентные в смысле равенств B.2.15) и B.2.16), приводят к эквивалент- ным же2) выражениям типа B.2.27). Легко убедиться, что это ') Причина, по которой мы не можем использовать определение полили- нейного отображения непосредственно для определения свертки, заключается в том, что такое определение позволило бы ввести операцию свертывания да- же в тех системах (ие вполне рефлексивных), где ее быть ие может. Напри- мер, если @а — бесконечномерное векторное пространство над кольцом с де- лением ©, то дельта-символ Кронекера б? существовал бы как билинейное отображение B.2.41). Однако, длябц не существовало бы свертки, поскольку {в силу размерности пространства) б? = оо. 2) Строго говоря, всякий раз, когда применяется определение тензора типа II, такую проверку следовало бы выполнить в явном виде и для всех остальных тензорных операций. Но в случае этих операций мы всегда могли прибегнуть к определению тензора типа I. К тому же проверка сохранения эквивалентности [в смысле равенств B.2.15) и B.2.16I тривиальна и не тре- бует вполне рефлексивных модулей.
114 ГЛАВА 2 на самом деле имеет место, обратившись опять к B.2.15) и B.2.16) и воспользовавшись (где требуется) линейностью опера- ции скалярного произведения. Совершенно не важно, занимают ли свертываемые индексы именно последние места в верхнем и нижнем множествах индек- сов тензора А'.'.\- Операция свертывания одинаково хорошо при- менена вне зависимости от того, где расположены выбранные для свертывания индексы. (Например, можно было бы опреде- лить: Bifr.'.'.'v = А\;;;^ ; тогда В&а.:ууу = А*'.'.'. У^}.) Кроме того, согласно B.2.8), в качестве «немого» индекса ? в формуле B.2.27) с равным успехом можно было бы использовать любой другой элемент множества SB (скажем i\ или |), который не обязательно присутствует среди а, ..., б, X, ..., v. Таким об- разом л? :::$=л? :::*!=.... B.2.28) Более того, из этого определения ясно, что не имеет значения и порядок, в котором выполняются две последовательные сверт- ки. Так что можно безбоязненно писать ^х.'.'.'jKet для I )-свер тки тензора Л?;."!!*! или для ( 1-свертки тензора Ax'.'.'.l^. \ % / К тому же прямо из определения следует, что1 1-свертка коммутирует со сложением: B.2.29) и, в определенном смысле, с умножением: если A},...v*...\и = В\...цСф...*п> то ^x...^ = Bx...vCJ...^, B.2.30) частным случаем чего является умножение на скаляр: если л5:::$=«3:::& то л$:::&=&с$•/:.&. B.2.31) Кроме того, ( )-свертка коммутирует с любой операцией за- мены индексов, не затрагивающей \ или ц. И наконец, очевидно, что любая операция замены индексов, примененная к двум ин- дексам, которые впоследствии свертываются, не влияет на ре- зультат свертки. Отметим, что все эти тензорные операции позволяют строить тензорные выражения (с индексами), которые совершенно ана-
МЕТОД АБСТРАКТНЫХ ИНДЕКСОВ И СПИНОРНАЯ АЛГЕБРА 115 логичны выражениям классической тензорной алгебры, но те- перь снабженные индексами символы обозначают сами тензоры, а не множества компонент тензора, безотносительно к тому, введен ли базис или какая-нибудь иная система координат. Мы можем сказать, к какому множеству <&'.'.'. относится тот или иной тензор, просто проанализировав его индексы. Как и в клас- сических тензорных обозначениях, повторяющиеся индексы все- гда встречаются попарно — один нижний и один верхний. Ин- • дексы, оставшиеся без пары, позволяют определить тип тензора, т. е. множество ©;".;, к которому он относится. Именно по этой причине мы часто будем опускать указания, к какому множе- ству ©;;; относится данный тензор — информацию об этом несут сами индексы. Следует, однако, заметить, что существуют определенные выражения, которые можно записывать, пользуясь подобными обозначениями, но которые не соответствуют каким-либо вы- ражениям, принятым в классической тензорной алгебре. Про- стейший пример такого рода — произведение Ua(QaVa) тензора ?/а на скаляр QaKa. Использование скобок обязательно, по- скольку Ua{QaVa)?:(UaQa)Va, B.2.32) но при наличии скобок такие обозначения непротиворечивы (как это было бы при классической интерпретации). Однако во избежание недоразумений мы будем записывать такие выраже- ния в форме, более близкой к используемой при классическом подходе. Так, соотношение B.2.32) можно переписать в форме I/aQpyp ф f/pQpVa, B.2.33) которая во всяком случае более экономна. В то же время запись (QaVaJ более компактна, нежели QaVaQ^, и абсолютно пра- вильна. Тензорное умножение с последующей сверткой (или сверт- ками) индексов, принадлежащих двум сомножителям, иногда рассматривается как одна операция, называемая свернутым (или внутренним) произведением или, иногда, трансвекцией. Таким образом, мы приходим к произведению (тензорному или внутреннему), определенному для двух любых тензоров, но только при условии, что среди двух наборов верхних индексов, как и среди двух наборов нижних индексов, нет ни одной буквы, принадлежащей обоим верхним или обоим нижним наборам. Например, если А$б ^ ©ввл и s?v e ®vx> то произведение Л^аб$у будет свернутым произведением, которое является элементом множества ©рх. Свернутое произведение коммутативно и дистрибутивно относительно операции сложе-
116 ГЛАВА 2 ния. Но что касается ассоциативного закона, то здесь следует быть внимательным, в особенности когда рассматривается свер- нутое произведение трех или большего числа тензоров. Если ни один из индексов не появляется больше двух раз (один раз в верхнем наборе и один раз в нижнем), то никаких проблем не возникает и произведение ассоциативно. В противном случае возникает неопределенность вроде той, что уже встречалась нам в соотношении B.2.32). Например, в общем случае №О С™ Ф А1«ь (В$С™). B.2.34) Мы можем (и, как правило, стараемся) убрать скобки, заменив два индекса у внутри скобок (в обеих частях рассматриваемого соотношения) какой-нибудь другой буквой, скажем ?, как в со- отношении B.2.33). Отметим, что обозначение, использованное в формуле B.2.13) для полилинейного отображения, определяемого тензо- ром, согласуется с этим обозначением для свернутых произве- дений. Это легко показать, если обратиться к B.2.17): операцию тензорного умножения В.'.'. на Qn W* можно при желании выполнить в первую очередь, а операцию свертки во вторую. Таким образом, полилинейное отображение, определяемое тен- зором, есть частный случай многократного свернутого произве- дения. Некоторые полезные свойства вполне рефлексивных модулей ©' Условие того, что модуль <Ва — вполне рефлексивный, имеет множество важных и полезных следствий. Прежде всего сфор- мулируем Предложение Модуль, дуальный ^-модулю ©jJ.Wvi можно иден- тифицировать с ©о ¦.".'. у» причем требуемое скаляр- ное произведение будет представлять собой свер- нутое произведение. B.2.35) Доказательство. Очевидно, что любым элементом Qa'.'.'.y^ ^©u'.'.'.y определяется ©-линейное отображение из©*,1':^ в © [поскольку в силу формул B.2.20) — B.2.22), B.2.29) и B.2.30) мы имеем <А:\: (ul::: + vl:::) = q?:::i/2::: + (Aw.vi::: и Qa'.V. {aV\'.'.'.) = а(<$'.'.'У\"'.)]. Остается показать, что всякое ©-линейное отображение из ©"";?в© получается именно таким путем с помощью элемента множества ©а"! у- являющегося единственным. Для этого обратимся к формуле B.2.14), опре- деляющеи элементы множества ®x...v; иными словами, пред-
МЕТОД АБСТРАКТНЫХ ИНДЕКСОВ И СПИНОРНАЯ АЛГЕБРА 117 ставим эти элементы в виде сумм тензорных произведений векторов. Любое E-линейное отображение из ©".Wv в ©можно таким образом определить через его воздействие на те эле- менты множества ©".\"v, которые оказываются тензорными произведениями векторов. Такое воздействие, конечно, должно быть ©-полилинейным отображением из ©"X • • • Х®7Х@я,Х- • • ... X©v в ®- А к такому полилинейному отображению мы приходим с помощью единственного тензора Qa'.'.'.у е ©о'.'.'. v> что и дает требуемый результат. При формулировке утверждений общего характера, касаю- щихся тензоров, часто бывает полезно уметь компоновать тот или иной набор индексов в единое целое и записывать их как один собирательный индекс. Для таких собирательных индексов мы будем, как правило, использовать рукописные буквы. При желании можно компоновать вместе верхние и нижние индексы и писать вместо них один собирательный. Например, нам могло бы понадобиться скомпоновать вместе один верхний индекс р и два нижних индекса 0 и ц и записать их как один верхний собирательный индекс si-. Эту операцию мы запишем как si = р6*тг*, где звездочка указывает, что помеченный ею индекс находится в положении, противоположном положению индек- са si. Тогда элемент Qp6n, принадлежащий, скажем, множеству ©рвп, можно обозначить через Qd€ = Qde4- (Для непротиворечи- вости обозначений становится необходимым чередование ин- дексов с пробелами; см. ниже W]".) Элемент t/p6T1, принад- лежащий множеству ©р11, теперь запишется как U^ = U^. И вообще, W^a — это элемент Wax>iy()en, принадлежащий ©2$veT|. Операция свертки применима также и к собирательным индек- сам. Так, tt^V?* означает W^VW Если 3§ = а*Хц\ — еще один собирательный индекс, то это выражение можно пе- реписать в виде Ws.aQ*. Мы будем, как правило, избегать ис- пользования собирательных индексов, которые в неявном виде содержат один из свертываемых индексов. Например, символ RM мог бы обозначать элемент /?ереть принадлежащий множе- ству ©?, однако свертка в нем скрыта из-за выбранного спо- соба обозначений. Таким образом, если в одном выражении со- держится набор собирательных и обычных индексов, то будет предполагаться (в отсутствие четко сформулированного утвер- ждения или соглашения об обратном), что могут повторяться только те индексы, которые записаны в явном виде. В предложении B.2.35) можно положить si = a ... уХ* ... ... v*. Тогда из этого предложения следует, что для любого со- бирательного индекса si модуль, дуальный модулю ©¦*, может
118 ГЛАВА 2 быть идентифицирован с ©,*. Три нижеследующих предложения обобщают этот результат. Предложение Множество всех S-билинейных отображений из ©"* X @* в © может быть идентифицировано с &л$ — с ото- бражениями, которые получаются с помощью сверну- того произведения. B.2.36) Доказательство: Доказательство аналогично проведенному в B.2.35). Любой элемент РЛЗ) е ©.*# осуществляет такое ©-би- линейное отображение, результатом которого для всяких Хл^$>* и У*€=@* будет PAaX*Y*. [Заметим, что Pas(к* + X*)Y* = P*aXJtY* + PA*k*Ya и Рла {аХ"*) Y* = аРл^Х^\ и аналогично для У*]. Чтобы показать, что всякое такое ©-билинейное отобра- жение возникает именно этим путем из единственного Рля> можно представить Хл и Fsb виде сумм тензорных произведе- ний векторов. Билинейное отображение определяется един- ственным образом через его воздействие на такие тензорные произведения векторов. Результатом этого воздействия будет ©-полилинейное отображение векторов. Таким образом, Ра® единственным образом определяется как тензор типа I. Предложение: Множество всех &-линейных отображений из © в ©¦* может быть идентифицировано с <§*, причем отображения здесь достигаются с помощью свернутого произведения B.2.37) Доказательство: Любой элемент Q л осуществляет ©-линей- ное отображение из ©'* в ©ж, причем образом элемента Хл будет QXstX*. Наоборот, предположим, что имеется ©-линей- ное отображение из ©"* в @*. Обозначим образ элемента ХА при таком отображении через U . Тогда, для Zjpe©^ отоб- ражение, которое переводит пару \Х , Zx) в U Zyc^ является ©-билинейным отображением из ©^Х@я: в ©. В результате мы на основании предложения B.2.36) (при 3& = Ж*) получим един- ственный элемент О*л е= ©I с ЦклХлЪус = UxZw Для всех Zx e ©jp, так что С?*ЛХЛ и иж — один и тот же элемент мо- дуля, дуального модулю ©х- Следовательно, Q ЛХ = U , как и требовалось, и это отображение характеризует элемент СЁ*а единственным образом.
МЕТОД АБСТРАКТНЫХ ИНДЕКСОВ И СПИНОРНАЯ АЛГЕБРА Ц9 Следующее предложение содержит предложения B.2.35) — B.2.37) как частные случаи: Предложение: Множество всех ^-полилинейных отображений из ©"*Х©*Х ... Х©^ в %х может быть идентифицировано с модулем <&ля--.я>, причем отоб- ражения достигаются с помощью свернутого произ- ведения. B.2.38) Доказательство: Доказательство сводится просто к многократ- ному использованию предложения B.2.37). Если фиксировать элементы В*', ... , D3, то мы будем иметь дело с ©-линейными отображениями из ©"* в S^, которые, согласно B.2.37), фактически представляют собой элементы модуля ©^. Позво- лив теперь элементам В , ..., D изменяться, мы обнаружим, что ©-полилинейное отображение из ©^Х©* Х-•-S^ в <5Т эквивалентно ©-полилинейному отображению из ©* X • • • X®* в (§>*,, Повторяя эту процедуру для буквы 64-, заменяемой после- довательно буквами 3S, ... 2D, мы и получим требуемый ре- зультат. В предложении B.2.38) есть одна сторона, на которой имеет смысл остановиться подробнее. Поскольку никакие два различ- ных элемента из ®**...я не дают одно и то же отображение, мы имеем: Если для всех W*^<&*, .... Z*e83 выпол- няется равенство Аж ,л ... & W* ... Z31 = В^л--- я> X XW* ...Z*. то А*л...з> = ВХл...з>. B.2.39) В частном случае: Если для всех W* <= <§"*, ... , Iя е ©я выполняется равенство Ахл ^W^ ... Za = 0, то А71'л я = 0. B.2.40) Особенно полезен тензор б^ носящий название дельта-сим- вола Кронекера [формула B.1.9)]. В абстрактной форме его можно определить множеством различных способов. Например, отображение из ©о X ©в в ©. которое паре (Ха, Zp) ставит в соответствие скалярное произведение XaZa, явно ©-билинейно, а значит, осуществляется некоторым тензором, который можно обозначить через fig. Тогда fig формально определяется соот- ношением blxaZt = XaZa. B.2.41)
]20 ГЛАВА 2 Тензор 6g еще можно определить как такой элемент модуля ©ai который осуществляет отображение из ©р в ©, ставя в соответствие всякому элементу Кр е ©р скаляр Ку, т. е. б|Гр = У?. B.2.42) ft [Оба определения дают один и тот же тензор 6!,, так как со- отношение B.2.41) есть частный случай равенства B.2.42).] И еще, отображение из @в в @а, которым устанавливается ка- нонический изоморфизм между этими множествами, тривиально ©-линейно, а значит, снова осуществляется тензором б?: 6?zp = Za. B.2.43) [Очевидно, что это та же самая кронекеровская дельта ба, ибо из B.2.43) непосредственно следует B.2.41).] Или мы могли бы использовать дуальный вариант соотношения B.2.43). В са- мом деле, тензор б? осуществляет отображение из @а в @Р, ко- торым задается канонический изоморфизм 6gXa = X*. B.2.44) ft Разумеется, такой же тензор 6S осуществляет и многие дру- гие ©-линейные отображения, которые являются следствиями предыдущих; например, отображения ©р"*->©"*; (§"•* _> (gp<*; ©jf->©;?, которые выражаются соотношениями uSt/jf* = ?/?*, ь1УаЛ = У^л, blwf^Wf. B.2.45) [Эти выражения немедленно следуют из B.2.42) (—2.2.44), по- скольку их можно свернуть с произвольным Q.#, а затем вы- черкнуть ненужное в соответствии с B.2.39).] Включение одной тензорной системы, в другую В процедуре использования собирательных индексов есть один момент, который в дальнейшем будет иметь для нас важ- ное значение. Мы установили, что с собирательными индексами можно обращаться точно так же, как с исходными индексами- метками а, р, .... [Необходимость чередования в собиратель- ных индексах меток а*, р*, ... с пробелами в противоположном (верхнем или нижнем) ряду можно легко устранить, если вве- сти соответствующее правило; скажем, можно было бы догово- риться, что первыми всегда должны идти все верхние индексы, а за ними все нижние.] Если дана произвольная тензорная ал-
МЕТОД АБСТРАКТНЫХ ИНДЕКСОВ И СПИНОРНАЯ АЛГЕБРА 121 гебра рассматриваемого типа, то мы можем построить новую тензорную алгебру («включенную» в данную), множество меток 3?л которой состоит из подходящим образом сгруппированных подмножеств множества &. Например, можно было бы поло- жить j^ = aPY*. •s^o==aoPoYo' ¦5^i:==aiPiYi' •••» и использовать д?л = (si-, st-v st-x, ...)в качестве нового множества меток. Те- перь рассмотрим тензорную систему1), построенную из © и ©"* способом, в точности аналогичным тому методу, которым из @ и ©а была построена исходная система. Например, согласно B.2.35), модуль, дуальный модулю <ВЛГ есть Ъл. Легко убе- диться, что каждое из определений тензоров I и II типов ведет к тензорам высшей валентности, являющимся элементами мно- жеств ©'^jIi."^jp [в частности, см. для сравнения B.2.38)]. Следовательно, эта система вполне рефлексивна и действи- тельно включена в исходную. Тензорные операции в новой си- стеме в точности такие же, как в исходной. Их можно корректно записать только с помощью допустимой системы собирательных индексов. (Все эти замечания, конечно, не зависят от сделанного выше конкретного выбора расстановки индексов si- = ap-y*.) Если бы мы рассмотрели одновременно различные типы группировок (например, s4- = u$', ^ = убе, ^0 = а0Р^. $0 = = YoSoeo, .. Л то пришли бы к тензорным системам несколько более общего типа, в которых имеется более одного множества меток. [В рассматриваемом примере &л = (?Ф, sl0, siu .. .) и 9?$ = C1, 310, 31 lt ...)•] Правила для тензорной системы с более чем одним множеством меток в основном такие же, как для системы, обладающей только одним множеством меток. Един- ственное различие связано с тем, что замены индексов допусти- мы только для элементов одного и того же множества меток. У двух множеств меток нет общих элементов, так что невозмож- но выполнить операцию свертки для индексов двух различных типов. Тензорная система с более чем одним множеством меток могла бы возникнуть сама собой, если бы мы с самого начала рассматривали одновременно несколько различных ©-модулей (причем кольцо скаляров @ в каждом случае одно и то же). Можно было бы обозначить исходные модули через ©°, @а, @'1', ... и определить следующие множества меток: &=(а, р, ... , а0, ...), 2" = (а', р' <,...) и т. д. ') В более распространенной терминологии это тензоры, соответствую- щие ©-модулю В*®@@* ® @@"* в записи с использованием абстрактных ин- дексов [89, 112].
122 ГЛАВА 2 Определения (ощих множеств ©... можно было бы дать по аналогии с вышеизложенным. Так как мы не предполагаем су- ществования канонического изоморфизма ни между ©а и <За> ни между ©" и ©''' и т. д., то, как уже отмечалось, нельзя будет выполнить операцию замены индексов для индексов с раз- ными числами различающих их штрихов. Если отвлечься от этого нового момента, то в остальном тензорная алгебра строит- ся в полной аналогии с предыдущим. Такого рода системы важ- ны для нас потому, что спинорная алгебра, к которой мы перей- дем в § 5 и которой мы будем заниматься в оставшейся части книги, является системой именно такого типа. Спинорная си- стема строится из двух модулей <3Л и <5Л, которые не связаны друг с другом «алгебраически», но которые связаны («неалгеб- раическим») отношением комплексного сопряжения. § 3. Базисы В данном параграфе нас будут интересовать следствия, к ко- торым приводит введение базиса в модуль ©а. Пока что на протяжении второй главы мы воздерживались от какого бы то ни было использования базисов. Отчасти это было сделано с тем, чтобы подчеркнуть, что изложение тензорной алгебры со- вершенно не нуждается во введении координат (несмотря на наличие индексов). Но, кроме того, это придает изложенному значительно большую общность (хотя бы в смысле формы), чем была бы, предположи мы существование конечного базиса, по- скольку существует много вполне рефлексивных модулей, для которых базисы отсутствуют. Конечный базис в ©а есть некий набор элементов б™, б", ... , бд е ©а, таких, что любой элемент Vх е ©а имеет однозначное разложение Vй = 7*6? + 726? + ... + VX B.3.1) Скаляры V1, ..., Уе® называются компонентами элемента Vх в этом базисе. Если модуль ©а обладает конечным базисом, то всякий другой базис в ©° должен иметь то же самое число п своих элементов. Данное утверждение вытекает из того, что существование n-элементного базиса в ©а означает, что ©в- а содержит некоторый ненулевой антисимметричный эле- мент, тогда как <3cj a (k > 0) содержит только нулевой антисимметричный элемент. (Мы пользуемся определением мо- дуля ©... типа I, и нам не нужно делать предположение, что этот модуль вполне рефлексивен.) Это может послужить для
МЕТОД АБСТРАКТНЫХ ИНДЕКСОВ И СПИНОРНАЯ АЛГЕБРА 123 определения п независимо от базиса1). Для доказательства данного свойства рассмотрим антисимметричный Аа ...а к- [Это означает, что А... меняет знак при перемене местами лю- бых двух индексов он (гл. 3 § 3).] Тогда я уа< уа1 п (9 Ч 91 для произвольного Ха, поскольку перемена местами немых ин- дексов af, a/ изменяет знак. Рассмотрим полилинейное отобра- жение, задаваемое произведением А /Л ... Wa>l+k . (k > 0). B.3.3) al ••• an+k ч Разлагая каждое из /?а' Ц7а«+* По базису B.3.1) и пере- множая их, мы видим, что каждый член содержит по крайней мере один повторяющийся базисный элемент и поэтому в силу B.3.2) равен нулю. Таким образом, А... = 0. В то же время мы можем определить ненулевой антисимметричный элемент ea e <Sa a (альтернирующий тензор) соотношением и1 ... w1 а„ ?/а>... Wa"- = B.3.4) U" где U1, ..., Un — компоненты элемента Ua' в базисе б"' 6JJ' и т. д. Ясно, что это приводит к требуемому антисимметричному полилинейному отображению. Отметим также, что еи ,7^0, 1 п ибо если ?/a = d" И?а = бЛ, то результатом отображения будет единичный скаляр. Целое число л мы называем размер- ностью ©-модуля ©а. Если <За — набор касательных векторов в одной точке мно- гообразия, то ©а представляет собой конечномерное векторное пространство (касательное пространство в рассматриваемой точке) и базис существует. Но когда под <За понимаются непре- рывные векторные поля на л-мерном многообразии, базис за- частую не существует. Происходит это потому, что базис теперь означает набор п векторных полей, линейно независимых в ка- ждой точке многообразия. Ясно, что в простом случае обычной ') Более того, если допустить п = оо для случая, когда существуют анти- Г ОТ симметричные элементы произвольно большой валентности I I то этим L q Л свойством определяется л для произвольного модуля независимо от существо- вания базиса. В общем случае мы можем рассматривать л как размерность модуля ®а-
124 ГЛАВА 2 сферической 2-поверхности (S2) такой базис построить невоз- можно. По хорошо известной теореме о неподвижной точке каждое из двух векторных полей на поверхности должно обра- щаться в некоторой точке в нуль, так что два соответствующих вектора должны там стать линейно зависимыми. То п-многооб- разие, которое действительно обладает п векторными полями, линейно независимыми в каждой точке, называется параллели- зуемым. Таким образом, модуль касательных векторных полей обладает базисом в том и только в том случае, когда многооб- разие параллелизуемо. Как было отмечено в гл. 1, в конце § 5, 3-сфера (S3) является (возможно, несколько неожиданно) па- раллелизуемой'). а 4-сфера (S4) таковой не является. (Более того, оказывается, что всякое ориентируемое 3-многообразие должно быть параллелизуемым, тогда как многие ориентируе- мые 4-многообразия не являются параллелизуемыми.) В силу A.5.6.) все модели пространства-времени, глобально обладаю- щего тем типом спинорной структуры, о котором идет здесь речь, и являющегося к тому же некомпактным (это требование существенно с физической точки зрения, поскольку компактные модели пространства-времени содержат замкнутые временипо- добные кривые), параллелизуемы [76]. Таким образом, если ©° есть модуль векторных полей на пространстве-времени, то имеются физические основания полагать, что ©° имеет базис (в данном случае л =4) :). Более того, проводя в применении к модулю спин-векторных полей на пространстве-времени те же самые рассуждения [формула A.5.6)], мы приходим к выводу, что существует и глобальный спинорный базис (здесь п = 2). ') Напомним, что точки сферы S3 могут быть представлены единичными кватернионами q и что всевозможные правые вращения, задаваемые преобра- зованием q I—> qb при всевозможных фиксированных выборах единичного кватерниона Ь, будут переводить систему в некоторой заданной точке ^0» при- надлежащей сфере S3, однозначно и непрерывно в систему во всевозможных других точках сферы S3. (Если qo i—> f, то это однозначно достигается таким правым вращением, для которого ft = q^ г.) Аналогичное рассуждение, в ко- тором вместо кватернионов используются числа Кэли, применимо и в случае сферы S7. Доказательство того, что сфера S" является параллелизуемым мно- гообразием в том и только в том случае, когда я = 1, 3, 7, представлено в работе ,[53, стр. 522]. Заметим, что существование глобального базиса для векторных полей является более слабым требованием, чем существование гло- бальной координатной системы [формула 4.1.33I. Последнее очевидно из ана- лиза параллелизуемости сферы 5s (и S7). *) Правда, мы не можем принять аргументированного предположения о существовании глобального голономного базиса, который был бы естествен- Яым образом связан с координатной системой так, чтобы базисные векторы (д/дх*) были направлены вдоль координатных линий. Однако мы можем противопоставить этому то обстоятельство, что наш базис может быть вы- бран ортонормироваиным всюду, причем один вектор всюду времениподобен и направлен в будущее (ср. также с тем, что говорится на стр. 249),
МЕТОД АБСТРАКТНЫХ ИНДЕКСОВ И СПИНОРНАЯ АЛГЕБРА 125 Таким образом, глобальное существование базиса в тех случаях, которые представляют для нас сейчас интерес, может рассмат- риваться как разумное физическое требование. Даже если нас интересуют многообразия, не являющиеся параллелизуемыми, то рассуждение о базисах будет небеспо- лезным, поскольку оно может быть проведено локально (т. е. в некоторой координатной карте). Конечно, следует быть осто- рожными с выводами о глобальной природе, полученными на основе таких рассуждений. В § 4 мы увидим, что независимо от того, является или не является многообразие параллелизуе- мым (но при условии паракомпактности, являющемся излиш- ним предположением в случае пространства-времени [76, 97]) модуль С°°-векторных полей над С°°-скалярными полями все же вполне рефлексивен. Компоненты в базисе Предположим, далее, что в <5а существует базис б", ... , б™- Мы можем воспользоваться жирными буквами, пробегающими, как обычно, значения 1, 2, ..., ли принять для таких индексов соглашение о суммировании. Таким образом, для элементов ба- зиса может быть принято единое обозначение 6а(бае<5а). a формула B.3.1), выражающая вектор Vх через его компоненты У"(е ©) в этом базисе, может быть записана в виде B.3.5) [Между символами индексов а и а в этом выражении никакой взаимосвязи не существует. С равным успехом мы могли бы записать B.3.5) в виде уа=^У%.] Сопоставим базису б" из <За дуальный ему базис 6^, бц, ... .... да е ©„• По определению базис 6аа осуществляет отобра- жение из @а в <5, которое ставит в соответствие вектору Va его а-ю компоненту Vй в базисе б", ... , б?: blVa=V\ B.3.6) Вследствие единственности и линейности разложения B.3.1) со- отношение B.3.6) действительно определяет линейное отобра- жение (для каждого а= 1, 2, ..., п) из ©а в © и таким обра- зом дает хорошо определенный элемент множества ®о. Пола- гая, что каждый из б?, .... б? по очереди есть Vя, получаем 6j, B.3.7) где 6J есть (п X п) -матрица элементов множества ©, пред- ставляющих собой единичный скаляр, если a — р, и нулевой скаляр в противном случае (дельта-символ Кронекера).
126 ГЛАВА 2 Покажем теперь, что п элементов 6а из ©0 образуют базис в ©о. Мы должны установить, что всякий элемент Qa из @а имеет единственное разложение в виде линейной комбинации величин да- Для данного Qa определим d?. B.3.8) Тогда для каждого Va имеем QaVa = Qp6?6?ya = Qp6g6a (V*ti) -= QttfbtV = Qp6g V" = p a B.3.9) Поскольку элементы Qa и Qa, действуя на произвольный эле- мент множества ©а, дают один и тот же скаляр, то Qa = Qa. Таким образом, равенство B.3.8) утверждает, что вектор Qa может быть представлен в виде линейной комбинации вели- чин 6J Qa = Q,Sa, B.3.I0) где p B.3.11) Чтобы показать, что данное разложение единственно, предпо- ложим, что элемент Qa может быть представлен в виде B.3.10), rfleQp не обязательно задается выражением B.3.11). Образовав скалярное произведение вектора B.3.10) с б" и воспользовав- шись равенством B.3.7), мы получим Q б? = Qp6a6" = Qt6l = Qa, т. е. снова равенство B.3.11). Требуемая единственность уста- новлена. Заметим, что компоненты вектора Qa в дуальном базисе получаются путем взятия скалярных произведений с элементами исходного базиса. Это аналогично тому, что компоненты век- тора Va в исходном базисе получались путем взятия скалярных произведений с элементами дуального базиса. Заметим, далее, что Qaya = QaV" = Q.ya B.3.12) в силу B.3.5) и B.3.11), так что скалярное произведение, выра- женное через компоненты, имеет обычный вид. До сих пор в данном параграфе мы не пользовались свой- ством модулей быть вполне рефлексивными, т. е. эквивалент- ностью тензоров типа I и типа II. Рассмотрим теперь компо- ненты тензоров общего вида и, как следствие, покажем, что свойство модулей быть вполне рефлексивными сохраняется не- зависимо от базиса.
МЕТОД АБСТРАКТНЫХ ИНДЕКСОВ И СПИНОРНАЯ АЛГЕБРА 127 Если А\.'.'. v— общий тензор типа I, то мы можем применить данное полилинейное отображение к элементам базиса и опре- делить компоненты этого тензора: Al:::: = М::: ХЫ... б^... б;. B.злз) Соотношение B.3ЛЗ) обобщает равенства B.3.6) и B.3.11). На- зывая такую совокупность Al'.'.'.l тензором типа III относи- тельно базиса б" (это определение носит предварительный ха- рактер; более строгое определение будет дано в § 4), мы видим, что для заданного базиса бо формула B.3.13) задает отображе- ние A->Ш), которое каждому тензору типа I ставит в соот ветствие единственный тензор типа III. Кроме того, из каждой такой совокупности Al..\ l мы можем образовать тензор типа II как сумму тензорных произведений At:: 2=Ai\:\ iti... d?6i... к. B.3.U) что обобщает равенства B.3.5) и B.3.10). Итак, мы распола- гаем отображением (П1->П), которое ставит в соответствие ка- ждому тензору типа Ш единственный тензор типа II. Наконец, у нас уже есть стандартная схема B.2.17)—независимая от свойства модулей быть вполне рефлексивными или существова- ния базисов — которая ставит в соответствие каждому тензору типа II единственный тензор типа I. Чтобы установить эквива- лентность всех трех типов тензоров (и тем самым свойство мо- дулей быть вполне рефлексивными), убедимся, что все три цик- лические перестановки рассматриваемых отображений приводят к тождеству. Чтобы проверить первую из выписанных здесь циклических перестановок, начнем с тензора типа I А\,::;1 и применим последовательно формулы B.3.13), B.3.14) и B.2.17), считая заключительное полилинейное отображение в формуле B.2.17) содержащим свертки с Qa, ..., Sv, U\ ... ..., Wv; получим [(Aa.: -ж... б:) с... a;J q0, ... wv°= = Aa.. v6"a ... 6vvQn... W = Aa.;-^Qa ... W\ B.3.15) в силу формул B.3.11), B.3.6) и затем B.3.10), B.3.5). Чтобы убедиться в том, что вторая циклическая перестановка приво- дит к тождеству, начнем с совокупности А".\"У и применим к ней формулу B.3.14), а затем B.2.17) вслед за B.3.13). Применяя B.2.17) вслед за B.3.13), мы просто замещаем элементами ба- зиса бо 6»элементы Qa, ...,WV, на которые действует 1
128 ГЛАВА 2 полилинейное отображение, и получаем величину U://;6oa...6jK°...d:a, B.3.16) представляющую собой в силу равенства B.3.7) исходную со- вокупность Л"°.»о- Наконец, чтобы убедиться в том, что к то- ждеству приводит и третья циклическая перестановка, мы нач- нем с тензора типа II и применим B.2.17) вслед за B.3.13) (как и раньше), а затем B.3.14); получим Г/N i 1 \ 1 = I 2j F °«. • • • WvA I do . . . Ov I 6Г • . . 6v, = Г'' i i 1 JV i i = ? f\ .. ли d«°\.. e;= 2>a\.. wVo B.3.17) Li=I J i=l в силу формул B.3.10), B.3.5), затем B.3.7), а затем снова B.3.10), B.3.5). Таким образом, когда существует базис, свой- ство модулей быть вполне рефлексивными установлено: общий тензор с валентностью (типа I или II) находится в одно- однозначном соответствии со своей совокупностью пР+ч компо- нент (тип III) в силу взаимно-обратных соотношений B.3.13) и B.3.14). Заметим, что np+q тензоров 6?...Д$...в; B.3.18) образуют базис в <2jJ;.'.'v. поскольку каждый элемент модуля @2.'.'.' v имеет в силу формулы B.3.14) единственное разложение в виде линейной комбинации тензоров B.3.18). Следовательно, ©-модуль ©jj":v имеет размерность пР+ч. Говорят, что частный базис B.3.18) в ©";;;: v индуцируется базисом б" в <3°. Если определить тензор 6a e @а как ба = б?5„, B.3.19) то формулы B.3.10), B.3.11), B.3.5) и B.3.6) дадут g Va = V%. B.3.20) Возвращаясь к B.2.43) и B.2.44), мы видим, что каждое из этих соотношений говорит о том, что величина da, определенная формулой B.3.19), является фактически той же самой, что «
МЕТОД АБСТРАКТНЫХ ИНДЕКСОВ И СПИНОРНАЯ АЛГЕБРА 129 величина б?, определенная формулами B.2.41) — B.2.44) неза- висимо от базиса. Возвращаясь теперь к этому первоначальному определению величины б«, не зависящему от базиса, мы можем утверждать, что равенства B.3.19) и B.3.7) вместе являются необходимым и достаточным условием для того, чтобы набор 6™ был базисом в @а (с дуальным базисом до). Действительно, ра- венство B.3.19) [совместное B.3.20I показывает, что Va пред- ставляет собой линейную комбинацию величин б", поскольку B.3.7) устанавливает, что указанные компоненты однозначно задаются равенством B.3.6). [Формальное сходство между фор- мулами B.3.7) и B.3.19) не должно вводить нас в заблуждение: в равенстве B.3.7) объединяется п2 скалярных уравнений, тогда как B.3.19) представляет собой одно тензорное уравнение. Не- смотря на то, что различные величины 6j, б?, б«, б? с формаль- ной точки зрения ведут себя очень похожим образом, в концеп- туальном отношении они сильно различаются]. Заслуживает быть отмеченным способ получения B.3.14) с помощью соот- ношения At::: vv=а% ::: **s ... ^... в? B.3.21) [полученного повторным применением B.3.20)] и подстановки выражения B.3.19) для каждого б. Свяжем тензоры типа III, рассмотренные здесь, с тензорами, о которых говорилось в § 1. Определение тензора, использован- ное в § 1, основано на трансформационных свойствах при из- менении базиса. Рассмотрим два базиса в @а, а именно б", ... , б" и б™, ... , б". Базис, дуальный базису б~, есть б"; он удовлетворяет соотношению б?б~ = 6~> где 6~ — опять обыч- ный дельта-символ Кронекера. В соответствии с нашей системой обозначений в случае, когда компоненты берутся относительно базиса 6~ или 5°, индексы компонент должны нести крышку, но опорные символы, к которым относятся указанные индексы, остаются без изменения. Таким образом, V = Va5a и т. д. Это правило остается в силе и в том случае, когда мы рассматри- ваем компоненты элементов одного базиса относительно дру- гого. Таким путем мы получаем две (пХ п) -матрицы скаляров, задаваемых равенствами 6?=6aad?, K=KK- B-3.22) Величины 6» и 6"л отвечают, соответственно, величинам /? и Т\, входящим в формулы B.1.6) — B.1.8). (Использование здесь символов Кронекера не должно нас смущать: такие символы б з«. 1Н2
180 глава г рассматриваются как обычные дельта-символы Кронекера толь- ко в том случае, когда оба жирных ^индекса относятся к одному и тому же типу.) Матрицы 6~ и б^ по существу являются об- ратными друг другу (б^бр=б*, б°б~ = б~), в чем нетрудно убедиться. Действительно, для каждого вектора V" компоненты V^ относительно базиса 6~ связаны с компонентами V" от- носительно базиса б" соотношениями У" = Va6J = Va6%l = У°6а\ B.3.23) которые можно сравнить с отображением B.1.8). Аналогичным образом компоненты общего тензора А^'.'.'.Х относительно ба- зиса б~ могут быть связаны с компонентами этого же тензора относительно б" соотношением *Н-4 ::::*:¦••*:**•¦•**• B-3-24> [Чтобы получить это соотношение, мы просто «вставляем» эле- менты базиса 6~, Ь° в B.3.14).] Оно представляет собой не что иное, как закон преобразования B.1.6) компонент тензора. Та- ким образом, независимо от существования базиса определение тензора, данное в § 1, действительно согласуется с определе- ниями, использованными здесь. [Несмотря на то, что интерпре- тация и на этот раз другая, равенство B.3.24) формально напо- минает равенства B.3.13), B.3.14) и B.3.21). Во всех этих слу- чаях дельта-символ заменяет один индекс другим.] В компонентном представлении операции сложения, тензор- ного произведения, замены индексов и свертки имеют такой же вид, как и в представлении абстрактных тензоров, за тем ис- ключением, что все индексы теперь жирные. Таким образом, компоненты суммы А\"\%-\- В\'..'. v в базисе б" равны Л51 ¦,*.'.* + + Bl'.'.'.l; компоненты тензорного произведения Al\\'. v?>»".'.5> равны Al'.WlDl'.'.'.l; компоненты 4?."v?..a, равны ЛУ."»".», и компоненты Лх.'.'.'й равны Лх.!!Й- Все приведенные утверждения являются прямыми следствиями определений и согласуются с операциями § 1. Таким образом, полная ал- гебра абстрактных тензоров идентична алгебре совокупностей тензорных компонент; единственное различие здесь заключается в интерпретации соответствующих величин. Может показаться, что одно лишь различие в интерпретации — недостаточное оправдание для использования в индексах букв из двух алфа- витов. Но в гл. 4 мы увидим, что когда вводится дифференци- рование, то сходство исчезает и упомянутые два типа индексов
МЕТОД АБСТРАКТНЫХ ИНДЕКСОВ И СПИНОРНАЯ АЛГЕБРА 131 ведут себя совершенно различно. То, что имело характер чисто концептуальных различий в случае тензорной алгебры, есте- ственным образом приводит к существенным формальным отли- чиям в тензорном или спинорном исчислении. § 4. Свойство модуля ©" быть вполне рефлексивным на многообразии При условии, что на ©* существует конечный базис, свойство ©" быть вполне рефлексивным установлено в § 3. Но, как мы уже видели, для векторных полей на многообразии (например, на S2) базис может и не существовать. Поскольку свойство мо- дуля ©' быть вполне рефлексивным является важным и общим, мы посвятим данный параграф обсуждению этого свойства в случае произвольного (хаусдорфова паракомпактного) много- образия Ж, на котором 1) условия дифференцируемое™ для скаляров © — понимаемых как поля комплексных чисел — яв- ляются существенно неограниченными (скажем, С0, С1, ... или С°°, но не С10), с тем чтобы было обеспечено «отделение едини- цы» [формула B.4.4) ниже] и 2) в <&' существует локальный базис. (Читатель, которого удовлетворяют соображения физи- ческого характера в пользу существования базиса, может пе- рейти к § 5.) Выше в данной главе мы имели дело с алгебраическими рассмотрениями, которые касались лишь алгебры тензоров, об- разованных из модуля ©'. Свойства «множества точек» Ж, на котором можно определить ©, и даже само существование та- кого множества точек не обсуждались. В гл. 4, где вводятся дифференциальные операторы, нам необходимо более детально исследовать множество Ж. Однако здесь мы будем заниматься только лишь двумя указанными выше свойствами множества Ж как «многообразия», которые позволят нам установить свой- ство модуля <э* быть вполне рефлексивным в духе этой главы, а именно алгебраически. Чтобы дать алгебраическое определение «тензоров, опреде- ленных локально» на Ж, нам необходимо определение тензоров, ограниченных некоторым (открытым) подмножеством множе- ства Ж, «окрестностью» интересующей нас точки1). Рассмотрим произвольный элемент f e © и открытое множество 9~ с: Ж то- чек множества Ж, для которых / ф 0. Определим отношение f-эквивалентности тензоров следующим образом: П:::1ш*П:::1 B.4.1) ') Построение, принятое здесь, более подробно обсуждается в гл. 4, § 1, Логически данный параграф следовало бы поместить после гл. 4 § 1, но свой- ство модуля быть вполне рефлексивным является очень важным для алгебраи- ческой теории тензоров, и этим мотивируется рассмотрение его здесь. 5»
132 ГЛАВА 2 при необходимом и достаточном условии B.4.2) означающем равенство тензорных полей, «ограниченных на #"». Заметим, что без потери общности мы можем полагать / не- отрицательной величиной, поскольку равенство B.4.2) выпол- няется в том и только в том случае, когда выполняется равен- ство B.4.2), умноженное на f. Пусть теперь символ ©° ;;."•?(/) обозначает множество клас- сов /-эквивалентности B.4.1). Нетрудно убедиться, что при обычном определении сумм и произведений ©(/) является ком- мутативным кольцом с единицей (т. е. произведение класса /-эквивалентности элементов ое® на класс /-эквивалентности элементов ie® есть класс /-эквивалентности элементов ab\ если а = с и Ь е= d, то мы имеем fab = fcb = cfb = cfd = fed, откуда ab =s cd и т. д.). Кроме того, как нетрудно убедиться1), ©"(/) есть модуль над ©(/). Единственным новым свойством ©-модуля ©*, которое мы должны потребовать (и для наличия которого мы выше ввели условия 1 и 2), является следующее. Свойство B.4.3) Существует конечный набор неотрицательных элементов О 1 m и, и, ... , «е§, таких что и + и+...+и—l, B.4.4) и таких, что существует базис для каждого модуля = 0, 1, .... m). Посмотрим сначала, почему это свойство могло бы иметь место в случае произвольного (хаусдорфова паракомпактного) много- образия JC, на котором скаляры © и (векторные или спинорные) поля ©* относятся, скажем, к классу С°°. Для каждого i об- i ласть, где и ФО, представляет собой открытое множество Ж и ввиду равенства B.4.4) можно заключить, что ука- 1) Однако (при 0 •? У ф Л) модуль ©(/) не будет тем же самым, что и модуль комплекснозначиых С"-скалярных полей на множестве У, рассма- триваемом как подмногообразие множества Ж, а будет его подмодулем. Такая ситуация имеет место потому, что последний модуль включает также скаляр- ные поля, которые непрерывно не продолжаются на Ж, Аналогичное замеча- ние относится и к ®?;;; ^ (/).
МЕТОД АБСТРАКТНЫХ ИНДЕКСОВ И СПИНОРНАЯ АЛГЕБРА 133 занные множества покрывают Ж: <ий\)Ш1Ц...Ц<ит = Л. B.4.5) Наоборот, если существует произвольное конечное покрытие множества Ж открытыми множествами <2/о, •¦• Ф^т, такое, что каждое <Ui может быть определено отличным от нуля и неот- I рицательным we®,то справедливо равенство B.4.4). Действи- тельно, определив О 1 т V = v + v+... + v, B.4.6) получим V > 0 всюду на Ж\ поэтому существует У и мы мо- жем удовлетворить требованию B.4.4), положив ti = V~lv. B.4.7) Такая система величин и на Ж называется разбиением единицы. Чтобы получить на Ж требуемое покрытие B.4.5), проведем следующее построение. Выберем триангуляцию множества Ж такую, чтобы звезда каждой вершины (т. е. объединение всех rt-симплексов, проходящих через эту вершину) обладала сле- дующим свойством: для полей, ограниченных на внутренней части звезды, существует базис. Выберем теперь непрерывно ограниченную открытую окрестность каждой вершины (т. е. ко- ординатный шар), достаточно малую для того, чтобы все ука- занные окрестности были отделены друг от друга и каждая находилась в пределах звезды рассматриваемой вершины. Если © содержит С°°-поля, то из существования «колоколообразных функций» D.1.5) вытекает, что каждая выбранная окрестность может быть определена посредством неравной нулю неотрица- тельной функции /. Очевидно, что мы можем сложить все эти о функции, получив, скажем, v, и затем задать объединение 160 о о всех этих окрестностей условием v Ф О, причем v ^ 0. На ©а будет существовать базис, ограниченный в свою очередь на ка- ждой окрестности. Рассматривая все указанные базисы вместе, получим базис в <&>a\v). Части ребер триангуляции, не лежащие в <Мо, образуют не- связную систему замкнутых сегментов, которая может быть по- крыта открытым множеством Ши снова представляющим собой объединение несвязных открытых множеств (с непрерывными ограничениями), причем каждое такое множество покрывает сегмент ребра и лежит в звезде этого ребра (т. е. в объединении я-симплексов, проходящих через рассматриваемое ребро. Опять же мы можем добиться того, чтобы множество <U\ определялось
134 ГЛАВА 2 1 1 условием v Ф 0 для некоторой функции 0^0, и базис в будет существовать. Части граней B-симплексов), не содержащиеся b-4Uo\J1Ui, будут несвязны и, как и раньше, мы можем покрыть их систе- мой отделенных друг от друга открытых множеств, объединение которых образует <%• Как и раньше, мы можем добиться того, 2 2 чтобы множество % определялось условием v^O, причем о^О, /2\ и базис в <5а \v) будет существовать. Части 3-симплексов, не содержащиеся в °Uo U °U\ U 1i2, опять будут несвязны, и про- цесс продолжается до тех пор, пока не будут покрыты л-сим- плексы. Продолжая рассуждения, получаем обоснование свой- ства B.4.3) (с т = п, размерности многообразия JC), поскольку ясно, что в силу BA.7)®a\v)~ уг). Воспользовавшись B.4.3), мы можем теперь доказать, что свойство ©а быть вполне рефлексивным опирается на рассужде- ния § 3, где предполагалось существование базиса в ®а. Для этой цели дадим сначала более полное определение тензоров типа III [формула B.3.13)], являющееся по существу «класси- ческим» определением. Рассмотрим произвольный модуль и определим его базис и дуальный базис классами экви- валентности величин & и 6'а, B.4.8) соответственно. (Если рассматривать многообразие Л, то они могли бы быть базисом и дуальным базисом внутри <%, но произвольными вне °U\). Имеем иб?д* = ид5. B.4.9) (Суммирования по i нет.) Для каждой валентности I I рас- смотрим совокупности л; :::?<=©, B.4.Ю) (где число индексов а, ..., у равно р, а число индексов к, ... i ..., v равно q), классы и-эквивалентности которых определяют произвольные множества пР+ч элементов из ©\ы/ Рассмотрим также соответствующие тензоры типа II к::: ?=к::: X... 6*Л ...к B.4.11)
МЕТОД АБСТРАКТНЫХ ИНДЕКСОВ И СПИНОРНАЯ АЛГЕБРА 135 (ср. с величинами B.3.14), элементами модуля ©I.V'vwJ. Для каждого j вместо i мы тоже можем рассматривать совокупности вида B.4.10) и тензоры вида B.4 11). Чтобы две такие сово- купности B.4.10) были совместимы, мы потребуем, чтобы за- кон B.3.24) классического тензорного преобразования выпол- нялся в «области перекрывания»: uuai ::::=шк::: А • •. kk • ¦ ¦ *?. B-4-i2) где б; = б«б° A, j = 0, 1, ..., m). B.4.13, (В связи с наличием я + 1 одновременных координатных систем мы здесь не пользуемся обычной системой обозначений для ин- дексов компонент в различных системах.) Условия совместности B.4.12) гарантируют, что в области перекрывания соответ- ствующие тензоры B.4.11) удовлетворяют соотношению шк-::Л = шк\::1 B.4.14) [формулы B.4.11), B.4.9)]. Тензор типа III состоит из одной совокупности B.4.10) пр+ч элементов из каждого модуля ©(и), .... <5\и), причем эти совокупности связаны одна с дру- гой соотношением B.4.12). - ¦ Чтобы показать эквивалентность этих трех типов тензоров (при заданном базисе), опять* как и в § 3, рассмотрим три ото- бражения (Иь-»1),'(It—>Ш), (Шь->Ц)( первое из которых приписывает каждому тензору типа II единственный тензор типа I, и т. д.; затем мы показываем, что каждая из трех цик- лических перестановок указанных отображений дает тожде- ство. Отображения, с которыми мы имеем дело сейчас, тесно связаны с отображениями § 3. Отображение (II i—> I) в действи тельности то же самое, а именно задаваемое формулой B.2 17). Чтобы определить отображение (Ii—»III), мы должны лишь конкретизировать для каждого модуля &{ц) компоненты поли- линейного отображения Ax'.'.'.l стандартным путем [формула B.3.13)] к:: к:::: = At .;; lk... Й... i:, B.4.15) причем класс «-эквивалентности независим (ввиду полилиней- ности) от частного представителя B.4.8) базиса и дуального 4азиса в 6а(«), [Это можно показать, взяв произведенке вели-
136 ГЛАВА 2 чины B.4.15) сыи заменив и каждым базисным элементом по очереди.] Ясно, что условие совместности B.4.12) выполняется [в силу B.4.9)], и, таким образом, мы имеем единственный тензор типа III. Определим затем отображение (III •—»¦ II). Как и в случае B.4.11), пусть каждой совокупностью Al'.'.'.l опреде- ляется соответствующее отображение А%.'.'"?; положим 0 0 mm At'.'.'. v = и At'.'.'. v + • • • + и АI;." v. B.4.16) Поскольку каждая совокупность B.4.11) представляет собой линейную сумму тензорных произведений, как в B.4.16), тензор типа II тем самым определен. Все три необходимые отображения теперь конкретизированы. Утверждение, что отображение 11—*- III •—*¦ II i—*- I приводит к тождеству на множестве тензоров типа I, фактически полу- чается так же, как и в B.3.15), за исключением того, что теперь в исходном выражении появляется сумма ?{1ои(.<«)> Для ка- ждого i разложим векторы Qo«, . •. , W° на их компоненты i i /i\ /t\ Qa W относительно базисов в <ЗаДы,/, ...t ©лиД замечая, что it it ill i , = uQX Дает uSaaQa = uQa, B.4.17) ? дает ublWa=uWa. B.4.18) Используя на заключительном шаге B.4.4), мы получаем то же самое окончательное выражение, что и в B.3.15), которое нужно было доказать. Аналогично, цепочка отображений II •—»• I *—*¦ |—»IIIi—>IIприводит к тождеству на тензорах типа II, что уста- навливается путем таких же рассуждений, как и в B.3.17), за i исключением использования суммы 217-ом(...). Чтобы полу- чить нужный результат, мы применяем формулы B.4.17), B.4.18), B.4.9) и, наконец, B.4.4). Эквивалентность тензоров типов I и II и, следовательно, свойство модуля ©" быть вполне рефлексивным теперь уста- новлены. Тем не менее представляет интерес продемонстриро- вать, что цепочка Г11>—*-П >—*¦ I —-» III также дает тождество на тензорах типа III, что говорит о том, что «классическое» опре- деление тензоров типа III эквивалентно двум другим. Фактиче- ски закон B.4.12) «классического» тензорного преобразования до сих пор существенно не использовался. Без него же отобра-
МЕТОД АБСТРАКТНЫХ ИНДЕКСОВ И СПИНОРНАЯ АЛГЕБРА 137 жение 1111—* 11 все еще дает нам тензор типа II, но в форме взвешенной суммы тензоров типа III, которые теперь различны в каждой «области перекрывания». Цепочка III »—> II"—> 11—>Ш привела бы нас опять к этой взвешенной сумме вместо того, чтобы дать тождество на типе III. Но если предположить вы- полнение равенства B.4.12), то данная цепочка тоже даст то- ждество, поскольку при каждом i выполняется равенство (, j j i J \ 1 i ? ua:::X ... e;J a? ... s; = в силу формул B.4.12), B.4.13) и B.4.4). Таким образом, мы установили полную эквивалентность рассматриваемых трех ти- пов тензоров, § 5. Спинорная алгебра Для построения спинорной алгебры мы будем пользоваться теорией, рассмотренной в предыдущих параграфах, применяя ее к случаю базисного модуля @" состоящего из С°°-спин-вектор- ных полей на пространственно-временном ^многообразии. Нас также будет интересовать случай, когда ©* состоит из спин- векторных полей в одной точке пространства-времени, так что ©* становится спиновым пространством в этой точке. Во втором случае кольцо скаляров <3 представляет собой кольцо комплекс- ных чисел с делением. В первом случае оно является кольцом С°°-комплексных скалярных полей. Напомним, что имеются три основные алгебраические опера- ции, которые можно совершать над спин-векторами. Это умно- жение на скаляр [формулы A.6.1) и A.6.4)], сложение [фор- мулы A.6.2) и A.6.5)] и антисимметричное внутреннее произ- ведение [формулы A.6.3) и A.6.6)]. Указанные операции могут выполняться над спин-векторами в произвольной одной точке (так что спин-векторы относятся к одному и тому же вектор- ному пространству Минковского, а именно касательному про- странству в этой точке), причем в этом случае выполняются свойства A.6.8) — A.6.19). (Эти свойства означают, в частности, что спиновое пространство есть комплексное двумерное вектор- ное пространство.) Мы можем расширить эти операции таким образом, чтобы они применялись к спин-векторным полям на пространстве-времени, просто применяя их к спин-векторам в каждой точке отдельно. Тогда свойства A.6.8) — A.6.19) для спин-векторных полей будут сохраняться. Из свойств A.6.8) — A.6.15) теперь вытекает, что©" является модулем над комп- лексными скалярами ©. Таким образом, вводя систему меток 2~*{А, В, С Z, Ао, Во Аи •••) B.5.1)
138 ГЛАВА 2 мы можем применять теорию, развитую в § 2, и получать канонически изоморфные копии модуля @\ обозначаемые че- рез <2Л, <5В, ... , ©^ Всякий спин-вектор (спин-вектор- ное поле) х е <5* будет иметь образы х4 е &, хв е ®3 Как и раньше, мы можем определить дуальные этим ©-модулям мо- дули ©/). ©в» ••• , ©д,| ••• и, следовательно, общие множества вида© , ... , ©в, ... , ©s "! и. ••• на основе полилинейных отображений (т. е. как классы эквивалентности формальных сумм тензорных произведений.) Рассуждениями § 4 устанав- ливается, что модуль ©^ вполне рефлексивен. Элементы об- щих множеств ©s.'"y называются спинорами. Однако такие спиноры не являются наиболее общими. Определение общего спинора мы скоро введем. Но сначала исследуем свойства этих частных спиноров. г-спиноры Свойства A.6.16) — A.6.18) задают внутреннее произведение как (антисимметричное) ©-билинейное отображение из ©*Х©: в ©, так что должен существовать единственный элемент елв е ©да, такой, что {х, ©} = гАву.АаР = — {©, х}, B.5.2) для всех х, юе©\ причем гАВ— антисимметричный спинор; еАВ = вВА. B.5.3) Величина глв является важным объектом спинорной алгебры. Она играет роль, в чем-то аналогичную роли метрического тен- зора в декартовой (или римановой) теории тензоров, дднако имеются и важные отличия, связанные с антисимметрией* Для начала отметим, что еле устанавливает каноническое отображение (фактически изоморфизм) между модулями ©4, &*, ... и дуальными модулями ©д, ©в, ...: хв<^хв = х%в. B.5.4) (Иными словами, элемент модуля, дуального модулю ©", отве- чающий спин-вектору х, есть {х, }). Для элемента модуля ©д и соответствующего ему элемента модуля ©л будет исполь- зоваться один и тот же опорный символ. Таким образом (по аналогии с классическим римановым. тензорным анализом), мы можем рассматривать глв как оператор, «опускающий индекс» спин-вектора кА в формуле B.5.4). Утверждение, что отображе- ние B.5.4) является изоморфизмом, а не просто некоторым го- моморфизмом модулей (не одно-однозначным), следует из ком- понентной формы A.6.6) внутреннего произведения: {х, ш} = х°(й'-и1(о0 B.5.5)
МЕТОД АБСТРАКТНЫХ ИНДЕКСОВ И СПИНОРНАЯ АЛГЕБРА 139 (здесь, как и в гл. 1, используется координатная система для спин-векторов в каждой точке); в силу формул B.5.2) и B.5.4) имеем {¦я, ю} = хвюв = хвюв = ио«>0 + Xi°>'» B.5.6) где и0, xi — компоненты') спинора -лв, связанные с компонен- тами спинора хв соотношениями «О = _Х1, х, = х°, B.5.7) одно-однозначная природа которых очевидна. Таким образом, должно существовать (и быть ©-линейным) обратное отображе- ние из ©в в @л и должен быть элемент ъАВ е ©лв [формула B.2.37)], который реализует это обратное отображение: кА = Ав. B.5.8) Тот факт, что отображения B.5.4) и B.5.8) являются обрат- ными друг другу, может быть выражен равенствами св % АВ Ьс B.5.9) (где рассматриваются отображения <ВА-->©в-*®с и ©в-*-®-* ->©с соответственно), причем символами Ъа и 6с обозначен канонический изоморфизм между <эл и <5С и между <SB и <3С, ¦ соответственно [формулы B.2.43) и B.2.44)]. Но далее мы не будем применять символа 6а, предпочитая ему гАв (или -евл): ЬвА = гАв = -гвА. B.5.10) Фактически мы рассматриваем левую часть первого равенства в формуле B.5.9) как действие на елв спинора есв, «поднимаю- щего» его второй индекс, и аналогично рассматриваем левую часть второго равенства, в соответствии с правилами поднятия и опускания индексов B.5.4) и B.5.8). Мы можем понимать вав либо как ъав с поднятым вторым индексом [первое равен- ство B.5.9)], либо как еАВ с опущенным первым индексом [вто- рое равенство B.5.9)]. Комбинируя указанные две интерпрета- ции спинора ел , мы видим, что гАВ есть спинор ъав, у которого оба индекса подняты, как это и явствует из обозначений. Одним из следствий этого является антисимметрия ъАВ = _гВА. B.5.11) Соотношение влв = —евд также выражает антисимметрию ъав и еАВ. Оно подчеркивает к тому же необходимость оставлять ') Напомним, что индексы наших спинорных компонент пробегают зна- чения 0, 1 или 0', 1', как потребуется в дальнейшем), а ие 1, 2. Эти индексы визуально напоминают используемые нами для базиса символы они
140 ГЛАВА 2 пробелы в рядах спинорных индексов. Для каждого нижнего индекса должно быть свободное место вверху, чтобы его можно было однозначно поднять, а для каждого верхнего индекса должно быть место внизу, на которое его можно было бы одно- значно опустить. Объединяя различные наши соотношения, получаем едВесв = - *ав*вс = евле*с = _ ЧАесв = bjp _ _ есд> B.5.12) ^АгвА = ^в, tfAeAB = tfB. B.5.13) Ввиду антисимметрии величин е мы должны быть вниматель- ными при поднимании и опускании индексов, чтобы правильный индекс у символа е понимать как полученный в результате свертки. Таким образом, ^ = eYB = -tV, B.5.14) Л = Ъ*\в = - Ча^А- B.5.15) Мы можем связать соотношения B.5.14) и B.5.15) с B.5.13) спинорной «пилой»: Х"...л"\..\.. = -Г"../-...л.... B-5.16) Знак минус и здесь появляется как следствие антисимметрии спинора е. Один из способов запомнить расстановку знаков в ра- венствах B.5.14) и B.5.15) — просто запомнить знаки в равен- стве B.5.10) и воспользоваться упомянутой «пилой». Как и в формуле B.5.6), можно записать внутреннее произ- ведение: {х, ю} = хлаИ = — хлюд. B.5.17) Окончательное соотношение A.6.19) имеет теперь вид хдоИтв + а>лтлхв + тдилюв = 0. B.5.18) Другим способом это может быть выражено как (елв8св + евсед0 + еСАгв») х»(овтс = 0 B.5.19) для всех х, ю, т; следовательно [формула B.2.40) ], елв8со + евс8до + есдевв = 0. B.5.20) Опуская индекс D, получаем важное эквивалентное тождество 8ав8со + евс8дО + еСл8ао = 0. B.5.21) Подняв же индекс С в формуле B.5.20), получим . B.5.22)
МЕТОД АБСТРАКТНЫХ ИНДЕКСОВ И СПИНОРНАЯ АЛГЕБРА 141 Отсюда ++С B523> [получается путем свертки обеих частей равенства B.5.22) с фасо]. Таким образом, если спинор фЗАВ кососимметричен по индексам А, В{фтАВ = — фэ>ВА), то Фя>ав=Т+ясС*ав- B-5.24) [Очевидно, что полученное соотношение применимо и в том слу- чае, когда индексы А, В не являются смежными; к примеру, если спинор tyrfAsiB'g кососимметричен по А, В, мы можем ввести спинорФЛЯкАв' =^яа^вч и применить к нему формулуB.5.24).] Отметим, что частным случаем равенства B.5.24) является про- порциональность всех антисимметричных элементов модуля ©лв спинору ела. Отметим, что мы можем поднять индексы Л, В в формулах B.5.23) и B.5.24) и получить указанные результаты в другой форме. Отметим также, что I _ 1-свертка B.5.20) дает e/ = 2 = -eV B.5.25) [В силу равенства B.5.10) данным соотношением выражается двумерность спинового пространства.] Комплексное сопряжение Спинорная алгебра, которой мы занимались до сих пор, сама по себе полна, но она не совсем удовлетворительна с точки зре- ния физики. Мы хотим, чтобы в нашу спинорную алгебру была включена алгебра мировых векторов и мировых тензоров. Это невозможно в рамках развитой теории. Основную причину та- кого положения вещей можно усмотреть в формуле A.2.15) для компонент мирового вектора, выраженных через компоненты спин-вектора: в нее должны входить комплексно сопряженные компоненты спин-вектора. Таким образом, для включения миро- вых векторов наша спинорная алгебра должна содержать опе- рацию комплексного сопряжения. Мы должны располагать воз- можностью применять эту операцию к произвольному элементу модуля ©*. Однако результатом такого применения не может быть другой элемент того же модуля. Действительно, если бы это было так, то элементы модуля ©^ должны были бы обладать свойством действительности. Тогда одни элементы модуля & были бы действительными, а другие — чисто мнимыми (напри- мер, спин-вектор, равный своему комплексно сопряженному со знаком плюс или минус). В этом случае разные элементы
142 ГЛАВА 2 модуля ©¦" были бы не равноправны, вследствие чего лоренц- ковариантность алгебраических операций оказалась бы нару- шенной. (Мы видели в гл. 1, § 4, что два произвольных спин- вектора в одной точке могут быть переведены один в другой путем преобразования Лоренца.) Таким образом, объект, комп- лексно-сопряженный элементу хл е @д, должен быть объектом нового типа. Обозначим операцию комплексного сопряжения чертой и запишем %А = у.* <= <3Л' B.5.26) для спинора, комплексно-сопряженного1) спинору хд. Метка А' может рассматриваться как комплексно-сопряженная метке А. Следовательно, в дополнение к множеству меток & B.5.1) мы имеем другое множество &' меток, комплексно-сопряженных меткам множества &, 2' = (Л'( В', С Z', #,,%,..., А\, ...). B.5.27) Множество ©л< рассматривается как комплексно-сопряженное множеству @д. Операции сложения и умножения на скаляр в множестве ©л' определяются требованием ц<аА = хА <=>ША' + Дюл' = хА', B.5.28) где ^, це§, а Я, Д — величины, комплексно-сопряженные ве- личинам Л, (j, в обычном смысле. Нетрудно убедиться [формула B.2.3)], что множество &А> будет в этом случае также ©-моду- лем (поскольку алгебра комплексных скаляров операцией комп- лексного сопряжения переводится сама в себя), и модуль ©А будет антиизоморфным модулю ©¦", причем указанный антиизо- морфизм выражается соотношением B.5.28). Как и в B.5.26), обратное отображение из @л' в ©л также обозначается чертой над всем символом; таким образом, мы имеем ^7=тл, ЫА + \i<uA = ЫА' + ДйА'. B.5.29) Воспользуемся обоими ©-модулями ©л и ©л' для того, чтобы образовать нашу спинорную систему способом, указанным в конце § 2. В дополнение к ©-модулям ©,©, ..., ©, ..., @^3, •••, каждый из которых канонически изоморфен модулю @д, мы будем располагать ©-модулями © ,© , ..., <&х, ..., ¦) В обозначениях работы [185] он записывался бы как х ¦ По типо- графским причинам мы ставим здесь штрих вместо точки. Черта над симво- лом применяется с учетом обозначений, используемых дальше. Несмотря на то, что такие символы могут производить впечатление некоторого нагромо- ждения, это с лихвой компенсируется большим единством обозначений и боль- шей их ясностью.
МЕТОД АБСТРАКТНЫХ ИНДЕКСОВ И СПИНОРНАЯ АЛГЕБРА 143 каждый из которых канонически изоморфен модулю ©д' и канонически антиизоморфен модулю ©А. При любом X е & элемент, комплексно-сопряженный элементу Vх е @х, есть Vх' е 6х', т. е. комплексное сопряжение соответствующим образом коммутирует с перестановкой индексов. Всякое множе- ство ©*'• будет иметь дуальный ©-модуль <S^'. Каноническим антиизоморфизмом между ©* и ©*' индуцируется канониче- ский антиизоморфизм_между ©* и &Х'> при котором элемент хх отвечает элементу tx = tX', определенному соотношением хХ'%х' = х^, B.5.30) причем черта в правой части означает обычное комплексное сопряжение скаляров. Имеем ^ + №х = ЯаХ' + ?р>, Тх = хх B.5.31) [в силу формул B.1.28) и B.1.29)] как выражение указанного антиизоморфизма. Общий спинор xL Nu, W,A •• ¦DP' ¦ ¦ ¦ R> валентности 1 I, определим как ©-полилинейное отображение из ©д X • • • X ©о X Х©р'X • • • X©*' X©L X • • • X©" Х©у/ X • • • X®w> в ©, или, что то же самое, как классы эквивалентности формальных сумм и формальных произведений. Мы можем, повторив рассуждения § 4 с небольшими усложнениями в обозначениях, установить, что свойство модуля быть вполне рефлексивным сохраняется не только для модуля ©л, но и для обоих модулей ©л, ©л', взятых вместе. Подмножества {А, ..., D}, {L, ..., N} множества & и подмножества {Р\ ..., R'}, {?/', .... W} множества i?' (со- ответствующих кардинальных чисел р, г, q, s) все отделены друг от друга. (Множества & и 2?'\ очевидно, во всех случаях отделены друг от друга.) Одна и та же буква может фигуриро- вать и в нештрихованном, и в штрихованном варианте. К при- меру, допустимым является спинор $ава'в' (не содержащий ни- какой свертки). Множество спиноров %L... ц'... '" '" обознача- ется СИМВОЛОМ ©L .'.' у'".V • Как и в § 2, определены следующие четыре операции: сложе- ние, тензорное произведение, замена индексов и свертка. Но теперь у нас есть и новая операция, а именно комплексное со- пряжение, индуцируемое антиизоморфизмом между ©л и ©л'. Чтобы найти спинор, комплексно-сопряженный спинору %L...wA'"*"'"* используя определение полилинейного отобра- жения, возьмем величину, комплексно-сопряженную результату отображения, и заменим каждое из множеств ©д> .... ©у', ... соответствующим комплексно-сопряженным множеством©д'» • • ••
144 ГЛАВА 2 ©и, .... Яено, что вписанная процедура определит нам эле- мент %l'...u...A '"Р"' ^®и'.'.'.i/'.'.'. как полилинейное отобра- жение - А'.„Р...%и „ ¦ —Y A...P'...j,L ft B.5.32) где длинной чертой обозначено обычное комплексное сопряже- ние скаляра. Подведем итог сказанному о различных спинорных опера- циях и их основных свойствах. Сложение приписывает структуру абелевой группы всякому множеству спиноров ©.* (скажем, st> = A ... D' ... G* ... /'* ...). Тензорное произведение есть отображение из ©.* X ©* в ©,*# для каждой пары спинорных множеств ©.л. ©я, где s& и !% не содержат общих индексных меток (метки А, А', В, В', ... все рассматриваются как различ- ные, а метки А и А* или В' и В1* и т. д. — как дуальные). Оно коммутативно, ассоциативно и дистрибутивно относительно сло- жения. Частным случаем тензорного произведения, когда одно из спинорных множеств есть @, является умножение на скаляр. Эта последняя операция вместе с операцией сложения припи- сывает структуру ©-модуля всякому спинорному множеству ©.*. Замена индексов индуцируется в том случае, когда к двум на- борам меток & ъ &' применяются какие-либо отдельные пере- становки. Таким образом, мы можем заменить один набор не- штрихованных меток другим набором нештрихованных меток и один набор штрихованных меток другим набором штрихованных меток, но мы не можем заменить штрихованные метки нештри- хованными и нештрихованные — штрихованными. Справедли- вость любого уравнения не нарушается, если всюду в этом урав- (Х\ нении совершена операция замены индексов. Операция I у I" свертки отображает каждое множество ©yve в ©^ ($&¦ — произ- вольная собирательная индексная метка, не включающая X или Y). Далее, I I- свертка, скажем, величины ^ЛУХ записы- вается как Ълхх или i))^/ или "§AZZ, где Z — произвольная не- (Х\ штрихованная метка, не содержащаяся в зФ\ I „ J-свертка выра- жения ^гх + ф^гх естьЪЛХХ + Фах*' а\у )-свеРтка выражения ух есть %$ФЛХХ (т« е- свертка коммутирует со сложением (Х\ обычным путем с тензорным произведением); I у 1-свертка
МЕТОД АБСТРАКТНЫХ ИНДЕКСОВ И СПИНОРНАЯ АЛГЕБРА 145 выражения &лиуих равна I „ J-свертке выражения ЬЛухих и записывается как Влихих (свертки коммутируют с другими сверт- ками); I у j-свертка выражения флу приводит к тому же самому результату, что и операция замены индекса ^->^0, хх\ I у J-с примененная к $лхх\ I у J-свертка выражения $ЛуХ приводит к тому же самому результату, что и I „ 1-свертка спинора "§луи (т. е. свертка соответствующим образом коммутирует с операцией замены индекса). Существует также операция (Х'\ I , 1-свертки, удовлетворяющая соответствующим правилам. Кроме того, ( , J-свертка спинора 1ЛГХХХ равна ( )-свертке спинора %лх>уХХ и обе операции записываются как %лх.хх'х или \ЛХ,УХУ и т< Д- Наконец, комплексное сопряжение представляет собой отображение из каждого множества ©^ в соответ- ствующее множество Ъл>, причем если зФ=А ... 1У_... G*.../"..., то зФ' = А' ... D ... G" .../*... . Величина цл, комплексно- сопряженная величине г\л, записывается как г\л„ и в случае скаляров соответствует обычному определению комплексного сопряжения. Когда операция комплексного сопряжения при- меняется дважды, исходный спинор восстанавливается: х\л = цл (инволютивное свойство). Имеем х\л + %,л=г\Л'+\л.\ ЧЛ=Чл'ЗСЛ'; далее, х\Л:) есть результат замены индекса $$¦' -+s?'u, выполнен- ной в ч\л,; наконец, ^лхх = ^л>хх' (т. е. комплексное сопря- жение коммутирует со сложением, тензорным произведением и соответствующим образом с заменой индекса и сверткой). Поскольку замена штрихованных индексов нештрихованны- ми (и наоборот) не допустима, относительный порядок следо- вания штрихованных и нештрихованных индексов внутри сим- вола одного спинора не имеет значения. Иногда бывает удобно, пользуясь этим, перемещать штрихованные и нештрихованные индексы без изменения смысла всего символа. Такая операция может быть произведена независимо от того, находятся индексы в верхнем или в нижнем положении. Следовательно, если один из индексов штрихованный, а другой — нештрихованный, то до- пустимо располагать эти индексы прямо один над другим.
146 ГЛАВА 2 К примеру, ^A'B.BQ = ЪА'АВ%, = VBQA'B, = *^'ВЧ Ф VA'%B. B.5.33) Для элемента елв е ©ла существует комплексно-сопряженный ему элемент &а'в' <= ©д'в'- Принято опускать черту и записывать этот элемент просто как *а'в'- (Мы можем не считать это как нарушение принятых обозначений. Символ iA>$ по-прежнему правильно обозначает величину еАв. Мы просто ввели новый символ 8д'В' — на что мы всегда имеем право при условии, что это не приводит к разночтениям — который тоже означает елв.) Изоморфизм между 2^ и ©в, осуществляемый элементом еав, индуцирует теперь через операцию комплексного сопряжения изоморфизм между ©^' и ®#, осуществляемый элементом еЛ'В\ Фактически это означает, что еД'В' вместе со своим обратным е,Л'В' (_ g4'B' _ рДВ) может использоваться как оператор опуска- ния и поднимания штрихованных индексов. Соответствующие формулы во всем' идентичны формулам B.5.8) —B.5.16), кроме того, что содержащиеся в них индексы — штрихованные. Таким образом, в частности, в\ B.5.34) ^r B.5.35) .- B-5.36) ' B.5.37) и (cboIctbo «пилы») х... ... л> =_х... #... . B.5.38) Кроме того, справедливы все соотношения, комплексно-сопря- женные Соотношениям B.5.18)—B.5.25), что приводит к соот- ветствующим вариантам формул с штрихованными индексами. Правило, позволяющее определить, является или не является символ X;;; с индексами допустимым спинорным символом, та- кое же, как и в том случае, когда имеется только один исходный модуль, а именно: верхние индексы должны быть различными (как мы уже подчеркивали ранее, метки А, А', В, В' все счи- таются различными) и нижние индексы должны быть различ- ными. Символ зс;;; представляет элемент того спинорного множества ©;;;, для которого последовательности верхних и нижних индексов те же самые, что и для ^;;, но в этих по- следовательностях дважды повторяющиеся (свернутые) верхние и нижние индексы опущены.
МЕТОД АБСТРАКТНЫХ ИНДЕКСОВ И СПИНОРНАЯ АЛГЕБРА 147 Спинорные базисы В гл. 1 [формула A.6.22)] было введено понятие спиновой системы отсчета. Такая система отсчета представляет собой пару спин-векторов о, ц нормированных условием {о, i} = 1. В силу формулы B.5.17) это условие мы можем теперь записать в виде оАИ=1, B.6.39) или, что эквивалентно, -1. B.5.40) Ввиду антисимметрии внутреннего произведения мы имеем также олол = 0 = 1дИ. B.5.41) Пусть хле@л. Мы видели [формула A.6.24)], что вслед- ствие тождества A.6.19) [т.- е. B.5.18)] условие нормировки B.5.39) означает, что хА = х°ол + *ЧЛ, B.5.42) где ° A 1 А B.5.43) Более того, любая пара и0, и1 е®, для которой выполняется ра- венство B.5.42), должна задаваться формулой B.5.43), что сле- дует из соотношений B.5.39) — B.5.41) после свертки обеих ча- стей равенства B.5.42) с од и и. Таким образом, существованием и единственностью соотно- шения B.5.42) устанавливается, что пара о4, И образует базис в <3Д. Условие нормировки B.5.39) само по себе является до- статочным для того, чтобы сделать указанный вывод, как мы только что видели. Если мы воспользуемся результатами по параллелизуемости, упомянутыми выше в § 3 [см. также фор- мулу A.5.6)] (предполагая некомпактность пространства-вре- мени), то можем получить, что поле спиновой системы отсчета существует глобально, так что условие oaia = 1 действительно может выполняться для некоторых оА, Ие©л. Очевидно, что если нас интересуют спиноры в одной точке или спиноры в не- котором достаточно малом открытом подмножестве простран- ства-времени, то мы можем предполагать наличие спиновой си- стемы отсчета1). И только когда мы рассматриваем топологи- ческую структуру пространства-времени как целого, глобальное существование спиновой системы отсчета может оказаться под вопросом. ') Правда, как мы увидим в гл. 4, § 14 и 15, спиновые системы отсчета с предписанными геометрическими свойствами могут существовать локально, не существуя глобально.
148 ГЛАВА 2 Часто бывает удобно (как в § 3) применять единый символ еАл для обозначения базиса в @д. [Использование буквы «е», а не «б», согласуется с равенством B.5.10).] Тогда мы можем положить е0А = оА; е,л = И. B.5.44) Компоненты спинора елв относительно данного базиса равны где Х = елвол1в = олИ. B.5.46) Таким образом, условие, эквивалентное условию нормировки B.5.39) для спиновой системы отсчета, заключается в том, что компоненты еАВ величины глв должны образовывать обычный символ Леви-Чивиты. Очевидно, что любой базис нетрудно пре- образовать в спиновую систему отсчета, если оставить во'4 без изменения, a &iA заменить величиной х~'е1л- Более общий спи- норный базис, для которого величина % не обязана быть едини- цей, будет называться здесь диадой. Дуальный базис еЛА должен удовлетворять соотношению 1 0 (так что едв есть фактически кронекеровский дельта-символ 6В). Компоненты еАВ величины гАВ должны удовлетворять соотно- шению еАВесв = есА [формула B.5.12)]; таким образом, для общей диады еАВ = ( „-. %п )• B-5.48) Сравнивая B.5.47) с B.5.39) —B.5.41), мы видим, что если базис является спиновой системой отсчета, то e/ = -M. ед> = од. B.5.49) В общем случае < = -3rV в/. = х~Ч. B.5.50) Это согласуется с формулой B.5.43) для компонент хА = хАеАА спинора хА в некой спиновой системе отсчета. Компоненты Хо = «дОЛ, у.\ = уА\,А B.5.51) спинора на в данной спиновой системе отсчета связаны в этом случае с компонентами спинора хА формулой B.5.7), т. е. хо=-«1, х1 = х°. B.5.52)
МЕТОД АБСТРАКТНЫХ ИНДЕКСОВ И СПИНОРНАЯ АЛГЕБРА 149 Заметим, что для некой спиновой системы отсчета Далее, формулы еАВ = еАвеАлевв, елв=еАВе/евв, е/ = е/вАв могут быть представлены в виде гАВ = оА1в — iV, елв = оЛ1В — 1Лов, еАв = ол1в — 1Лов B.5.54) в спиновой системе отсчета од, iA; а в произвольном базисе елв = оЛ1в — 1лов. B.5.55) Единственное требование, которому должны удовлетворять ол, i4 е @д, чтобы они образовывали базис в <34 (не обязательно спиновую систему отсчета), заключается в том, что они должны быть линейно-независимы во всех точках, т. е. ни в одной из точек один из спиноров не должен быть кратен другому. Другим путем это можно выразить так: величина х = °л^А [формула B.5.46)] не должна нигде обращаться в нуль (т. е. существует X). Действительно, если оА, iA образуют базис, то компоненты спинора елв в произвольной точке не могут все обращаться в нуль (поскольку спинор еав нигде не обращается в нуль), а по- тому из B.5.45) следует зс?=О в произвольной точке. Обратно, из B.5.41) очевидно, что величина % = oaia должна обращаться в нуль в каждой точке, в которой один из спиноров од, iA кратен другому. Мы можем установить следующий тесно связанный с нашими рассуждениями результат: Предложение Условие алрЛ = 0 в некоторой точке является необходимым и достаточным для того, чтобы аА, рл в этой точке получались друг из друга путем умно- жения на скаляр ')• B.5.56) Следовательно, во всякой точке, в которой аЛ = 0 ф рд, ска- ляр с*лРл обращается в нуль при необходимом и достаточном условии, что направления флагштоков спиноров ад и Рд сов- падают. ') Это пример результата, который неудобно формулировать, пользуясь просто свойствами модуля ®* спин-векторных полей и не упоминая точек. Действительно, если а* обращается в нуль в одной области, а Рл обращается в нуль в другой области, но а,л$л =0 всюду, то ни ос1, ни fiA не является про- изведением другого на элемент из @. В то же время спинор \ал + |хрл обра- щается в нуль при некоторых A,, (is@, причем X, Ф 0 Ф Ц; но этого недоста- точно, чтобы заключить, что ал$А — 0, поскольку может существовать об- ласть, всюду в которой и К, н ц равны нулю.
150 ГЛАВА 2 При заданном базисе ъ\А в ©л наиболее естественно вы- брать в качестве базиса в &А' базис, состоящий из элементов, комплексно-сопряженных элементам едл; именно так мы всегда и будем делать. Предположим, что ъкА — спиновая система отсчета и что пара од, i/4 задана формулой B.5.44). Можно написать оа> _ 5л' = ^л = g^ %л- = I* =-^ = е1и', B.5.57) где, как и раньше, в случае ъл'В' мы ввели новые символы оА' и И', чтобы уменьшить число черточек в выраже- ниях. (Иногда бывает целесообразно опускать индексы при записи некоторых выражений. В таких случаях черточки сле- дует восстановить.) Дуальный базис ел,А' связан с вА,л' соотно- шением ед/'вл,в' = еА,в' B.5.58) и мы имеем ъа* М'. *лА' = оЛ'. B.5.59) Отметим, что (в случае спиновой системы отсчета) 0 =1=*-1А'Ол'. B.5.61) Компоненты произвольно заданного спинора Хо'"."/к".' полу- чаются путем свертывания с элементами базиса (не обязательно нормированного): VA...D'... VA... D'...p А о D' в О' а К (О К М\ Mi'...K.-.~^O'...K...A •••8B •••8G ••'ек '•• \^ОЛ^) Восстановление спинора по его компонентам осуществляется при помощи формулы VA...D'... —VA... D'...P A p D' о С р К (О К R%\ "О'...К... —ло'...К...А * * * eD' * * " О' ' ' " ЪК -••• K*'°-V°> Как и в общем случае с тензорами, все операции сложения, тен- зорного произведения, замены индексов и свертывания комму- тируют с операцией взятия компонент. Операция комплексного сопряжения также коммутирует с операцией взятия компо- нент, т. е. VA... D'... —- «A'... D... (О К RA\ АС... К...—AG...K'... . (Z.0.W) (напомним: базис в &А> выбран так, что он комплексно-сопря- жен базису в б-4), причем черта в левой части равенства озна- чает, что' комплексное сопряжение применяется к каждому ска- ляру последовательности, а черта справа — что операция комп-
МЕТОД АБСТРАКТНЫХ ИНДЕКСОВ И СПИНОРНАЯ АЛГЕБРА 151 лексного сопряжения применяется к спинору самому по себе до вычисления его компонент. Из равенства B.5.64) мы видим, что в соотношениях для компонент спинора, содержащих черту сопряжения над всем символом (и только в этих соотношениях) необходимо считать, что А = А', В = В' и т. д. численно. Следо- вательно, важно избегать употребления сразу обоих индексов А и А' или обоих индексов В и В' и т. д. под знаком черты сопряжения. Однако в силу равенства B.5.64), вообще говоря, можно, обходиться без символов с чертой сопряжения над ин- дексами ')• Компоненты произвольного спинора, содержащего только нижние индексы, могут быть получены путем умножения на ол, |Д оЛ', iA' для каждого численного индекса 0, 1, О', Г со- ответственно, так что это нетрудно запомнить. Например: WW. B.5.65) В случае спинора, содержащего некоторые верхние индексы, мы можем вспомнить, что при наличии спиновой системы отсчета выполняются равенства ¦..."•"...•¦•-¦. IP -1 - = _ф 1... о, ..._ B.5.66) ¦...''•••..."•--¦... о'*"..."". после чего применить B.5.65). Посмотрим, наконец, как компоненты спинора преобразуются при изменении базиса [формулы B.3.22) — B.3.24)]. Пусть еАА и е%А — два базиса в <5А. Далее, пусть елА и елА— соответ- ствующие дуальные базисы и пусть ед,л', ел,А' и е^,А', ел,А' — соответственно комплексно-сопряженные базисы и комплексно- сопряженные дуальные базисы. Введем матрицы еАЛ==вАЛе/> еАЛ==еАЛе/, B.5.67) B.5.68) , тогда как 8Д,А' и вд~,А' суть матрицы, комплексно-сопряженные ука- Мы видим, что матрицы еАА и еуА обратны друг другу, тогда ') Например, мы имеем иАВ' = пА'в = пВА' и иАА> = йАА=_йАА>.Но за- пись иАА' = пАА будет дезориентировать, так как, скажем, и01' ф и01'; по- AR' * RA' 01' \п* этому мы пишем и «= п , откуда получаем верное выражение и = й .
162 ГЛАВА 2 занным двум матрицам. Свернем теперь B.5.63) с соответствую- щим базисом в?л, дуальным базисом елА или базисом, комп- лексно-сопряженным по отношению к данным. Получим YA...D'... — VA...D'...P A p D' с О' р К /О ^ RQ1 *G'...K... — *О'...К...А • • • 8D' ' ' " Q' "к """ ^•°-0У^ Соотношение B.5.69) задает закон преобразования компо- нент спинора при преобразовании одного произвольного базиса в другой. Обычно нас интересует только тот случай, когда оба базиса образуют спиновые системы отсчета. В этом случае каж- дая из матриц еАВ и ejg совпадает с символом Леви-Чивиты [формула B.5.45) при % = 1], и мы получаем 1 — вУГ — «ав*?Чв = det (8ХА). B-5-70) откуда вытекает, что комплексная матрица еуА является унимо- дулярной. Таким образом, она представляет собой спин-матри- цу, и, следовательно, то же относится к матрицам еА*, ерА и ед,А'. Соотношение B.5.69) дает теперь обычную форму закона преобразования для компонент спинора.
3 Спиноры и мировые тензоры § 1. Мировые тензоры как спиноры В данном параграфе мы покажем, что мировые тензоры и, в частности, мировые векторы могут рассматриваться как част- ные случаи спиноров. Тем самым алгебра мировых тензоров окажется включенной в спинорную алгебру, рассмотренную в гл. 2, § 5. Указанное включение одного типа спинорной алгебры в другой представляет собой частный случай процедуры, описан- ной в гл. 2, в конце § 2. Соответственно этому индексные метки включенной системы представляют собой собирательные индек- сы, построенные из определенных групп меток исходной систе- мы, объединенных вместе. В том частном случае, которым мы здесь будем заниматься, метки мировых тензоров будут обра- зовывать пары спинорных меток, одна из которых нештрихо- ванная, а другая — штрихованная. Это видно из формул A.2.15) и A.2.23), выражающих компоненты мирового вектора через компоненты спин-вектора. Компоненты мирового вектора били- нейны по компонентам спин-вектора и по комплексно-сопряжен- ным компонентам спин-вектора. Определим набор меток мирового тензора Ж = {а, Ь, с, ..., z, Oo.bo, ..., а„ ...}, C.1.1) исходя из спинорных наборов меток &, &' [формулы B.5.1), B.5.27)], где а = АА', Ь = ВВ', с = СС, ... z = ZZ', а0 = АОА'О, ..., ах = АХА\ C.1.2) Тогда, к примеру, мы сможем пометить спинор B.5.33) следую- щими различными способами: Va'bb'q = Vbb'q = VbQ = V\Q = Vbqb'. C.1.3) Мы не принимаем здесь правила (обычного в общем случае со- бирательных индексов), гласящего, что собирательные индексы должны включать индексы одного сорта, встречающиеся в вы- ражении. Действительно, принцип группировки весьма опреде-
; 154 ГЛАВА 3 ленен, так что никакой неоднозначности возникнуть не может. К примеру, каждое из последующих эквивалентных свернутых выражений VaA'Q = VA'aQ = VaQ = ЦАА'ААЛ C-1 -4) может применяться с одинаковым успехом, и опять-таки ^в-В = VbB = Фл V = V\ = - Vbbb-- C.1-5) Некоторые спиноры могут быть полностью помечены элемен- тами из Ж: wa...d WAA'...DD' VA ... DA' ...D' fi I fi I A p...r — Л PP'...RR' — *- P...RP'...R- У0-1-®' Они принадлежат спинорным наборам S, ©а, &, ..., So, ... *де6°==<Злл',<Зь = ©вв' <§а = ©лл' ©??- j{/ . Такие спинорные наборы играют особую роль, 3 3 поскольку при операции комплексного сопряжения они перево- дятся сами в себя. Мы будем называть элемент 5C°"dp..., из такого набора комплексным мировым тензором. Таким образом, операция комплексного сопряжения для такого спинора ZaTTTd VAA' ... DD' ^А'А ... D'D Л p...r * PP'...RR' A P'P...R'R — ^АА' ... DD' ^a...d fk ] 7\ — A PP'...RR' — X p..., (O.l.f) приводит к другому спинору того ^ке самого вида. Некоторые комплексные мировые тензоры в действительности будут инва- риантными относительно операции комплексного сопряжения; они будут называться действительными мировыми тензорами, или просто мировыми тензорами. (В дальнейшем мы кратко остановимся на вопросе обоснования данной терминологии.) Та- ким образом, действительный мировой тензор удовлетворяет со- отношению *a-dP...r = %a-dP...r C.1.8) Обозначим подмножества ©, <5а ©*, ..., ©"";? со- стоящие из действительных мировых тензоров, символами 2, %"..., ..., %х, .... Zpl'.'.r, •••» соответственно1). (Множество Z пред- ставляет собой кольцо действительных скалярных полей на про- странстве-времени, или кольцо действительных чисел с деле- 1) В общепринятой терминологии (см. примечание на 121) комплекс- ные мировые тензоры возникают здесь как тензоры на ©-модуле 2 ®@'**, а действительные мировые тензоры — как тензоры на 5-модуле своих эрмито- вых элементов. Мы говорим здесь «действительный:», а не <эрмитов>, посколь- ку тензорное произведение в абстрактных индексах коммутативно.
СПИНОРЫ И МИРОВЫЕ ТЕНЗОРЫ 156 нием, если мы рассматриваем спиноры в одной точке.) Система B, 2а, % , ..., $%'.'.'., ...) является тензорной системой, возни- кающей, как говорилось в гл. 2, § 2, из Si-модуля ?а. Каждый модуль 2"; представляет собой тогда некоторый ^-модуль, а вся система является замкнутой относительно тензорных операций сложения, тензорного произведения, замены индексов и сверты- вания. Элементы модуля ?а (или ?ь и т. д.) называются (дей- ствительными) мировыми векторами. Если ввести действительные мировые тензоры ёаь = Ч&А'в'> C.1.9а) gab = *AV, C.1.96) gab = BABBA'B', C.1.9в) то в силу свойств B.5.3), B.5.9), B.5.11), B.5.25) и B.5.34) будем иметь ab gba. &**• = *.', ёаЬёпЬ = Ь- C.1.10) Из B.5.13) и B.5.35) вытекают равенства Х*а-УРь8аЬ. X*a = X*bgba> C.1.11) а поэтому gab играет роль дельта-символа Кронекера. (Мы нредпочитаем использовать здесь символ gab вместо в*> по- скольку он согласуется с обозначением gab, а также позволяет избежать возможных недоразумений при введении базисных си- стем отсчета.) Далее, из B.5.14), B.5.15), B.5.36) и B.5.37) вытекают равенства Х^-Л**. Х*а = %П8а» C.1.12) а поэтому gab и g°k играют формально ту же самую роль, что и метрический тензор и обратный ему тензор с нижними и верх- ними тензорными индексами. И действительно, ниже мы отож- дествим введенные выше gab и gab с метрическим тензором и обратным ему тензором. При обычном способе описания пространства-времени Ж (как в гл. 1) сначала задаются мировые векторы и мировые тензоры. Метрика вводится как особый мировой тензор, опре- деляющий «геометрию» пространства-времени Л, и только после этого дается определение спинора. Более того, чтобы определе- ние спинора было глобально непротиворечивым, пространство- время Ж должно удовлетворять некоторым глобальным тополо- гическим требованиям Цгл. 1,§Б). В этом случае спиноры можно интерпретировать в рамках довольно сложной пространственно- временнбй геометрии, хотя при такой интерпретации и остается неопределенность в общем знаке. Мы можем спросить себя: дей-
156 ГЛАВА 3 ствительно ли природа столь сложна? Ведь спинорные поля — это, несомненно, часть природы, описываемой современной физи- ческой теорией. Оказывается, что сложность в значительной степени обуслов- лена тензорным методом. Если рассматривать (что мы и будем делать в данной книге) спин-векторы как более фундаменталь- ные объекты, чем мировые векторы, как, быть может, нечто более изначальное, нежели сама пространственно-временная структура, из чего эта частная структура может быть выведена, то указанная сложность в значительной степени исчезает. Дей- ствительно, если исходить из спиноров, то мы не получим не- определенности в знаке (поскольку знаки являются частью за- данной структуры, а не то, что еще предстоит определить). По- лучающееся пространство-время автоматически оказывается ориентированным в пространстве и времени и наделенным спи- новой структурой (эти его свойства представляются весьма же- лательными в свете многочисленных экспериментальных данных, см. гл. 1, конец § 5). Даже размерность н сигнатура простран- ства-времени выступают как «следствия» рассматриваемого нами конкретного спинорного формализма. Сама по себе спинор- ная алгебра отличается определенной простотой. Сложности, воз- никают, по-видимому, тогда, когда мы пытаемся интерпретиро- вать спинорные операции на основе представления о простран- стве-времени. С хорошими примерами этого мы встретимся в § 4. Спиновые системы отсчета и связанные с ними тетрады Здесь мы не будем вникать в дифференциальные или гло- бальные свойства таких систем (спинорные производные отло- жим до гл. 4). Предметом нашего рассмотрения будет локаль- ная алгебраическая структура, порождаемая наличием спинор- ной системы. Чтобы непосредственно увидеть, что «мировые век- торы», возникающие при таком подходе, являются согласован- ными («изоморфными») с обычными мировыми векторами, воз- никающими в теории относительности, введем спиновую систему отсчета од, И со стандартной нормировкой ОдИ-1. C.1.13) Опредеййм>;'ы3отропмг//о тетраду1) мировых векторов I", л", т°, т" соотношениями la = oAoA', «fl = iV, ,па = <ИИ\ ma = iV C.1.14) ') Понятие изотропной тетрады играет важную роль в геометрии Мииков- ского. См., например, [103, 123, 161, 183, стр. 57].
СПИНОРЫ И МИРОВЫЕ ТЕНЗОРЫ 167 По отношению к нашей метрике gab все перечисленные векторы изотропны: l% = nana=:mama = maina = O. C.1.15) [К примеру, mama = (олИ') (од1л<) = олоЛ1/4ЧЛ'=0; формула B.5.41)]. Далее, lana=l, mama = -\ C.1.16) [например, mama = (o\A')(iAoA') = (o\,)(HV) = (-1) X(l)=-1], тогда как другие скалярные произведения равны нулю: . lama = lama = nama^nama = O. C.1.17) Очевидно, что мировые векторы 1а и па действительны, /a = /°, na = na, C.1.18) а пга и fna комплексно сопряжены. Изотропная тетрада la, na, ma, та образует базис над © в @а, причем дуальный базис имеет вид па, L, —та, —та. Из C.1.15) — C.1.17) вытекает выражение ёа = «/ + /«я* - тат" - тать (ЗЛА 9) [являющееся прямым следствием B.5.55) и C.1.9); см. формулу B.3.19) и последующие]. Данный базис в @а представляет со- бой базис, индуцируемый базисом од, Ивв1 [формула B.3.18)]. Чтобы получить базис (над ?) в ?а из од и И, нам нужны действительные мировые векторы. Поэтому пга и та следует разбить на действительную и мнимую части. Удобно также обра- зовать линейные комбинации векторов /" и я°; напишем f = -jL. (Г + „") = -!, (о^о^ + ИИ'), ха = -^ (та + та) = ^=- Л C-1.20) у° = -^ (та - та) = -!=¦ (о V - И<И'), 2° = -^ (/" - Па) =- ~ (ОАОА - l\A').
188 глава з Обратные соотношения имеют вид ') , (ЗЛ.21) Из C.1.15) —C.1.17) и C.1.19) вытекают соотношения ортого- нальности taxa = taya = taza — хауа = уага — гаха = О C.1.22) и нормировки = zaze = -l. C.1.23) Далее, C.1.19) приводит к 8а = t/ - Ха** ~ УаУ* ~ zj>. C.1.24) Выписанные соотношения означают, что векторы t", xa, уа, г° действительно образуют базис над 2; в ?в, причем дуальный ба- зис имеет вид ta, —xa, —уа, —га. По существу соотношения C.1.22) и C.1.23) идентичны условиям A.1.7) *и A.1.8) для тетрады Минковского. Положим g0° = ta, gla = xa, gaa = ya, gza = za C.1.25) и для дуальных величин ga=ta, gal ха, ga2=-ya, ga3 = -za. C.1.26) Тогда компоненты тензоров gab, ?°* и gab в базисе #ав и дуаль- ном базисе ge* в силу формул C.1.22), C.1.23) будут иметь ') Заметим, что тетрада Минковского (или, что то же самое, изотропная тетрада) определяет спиновую систему отсчета о4, И локально с точностью до общего знака, поскольку векторы I" и п" определяют два флагштока. Знание т" сводит произвол к замене (од, 1Л) i—> е (од, iA) (в действительное). Пос- ле этого нормировка о«И =¦ 1 фиксирует число 6 так, что оно оказывается кратным числу я.
СПИНОРЫ И МИРОВЫЕ ТЕНЗОРЫ 159 вид'): 1 Следовательно, в каждой точке у нас есть стандартное пред- ставление множества V как векторного пространства Минков- ского, отнесенного к тетраде Минковского. Заметим, что мы можем определить временную и простран- ственную ориентацию пространства Ха, приняв дополнительное предположение, что тетрада Минковского C.1.20) — ограничен- ная (ср. гл. 1, § 1). (В § 2 мы будем использовать несколько отличный и более «инвариантный» подход.) Мы видели в гл. 2, в конце § 5, что замена одной спиновой системы отсчета оА, iA другой, будучи произведена в одной точке, является результатом некоторого спинового преобразования, непрерывного с тожде- ственным спиновым преобразованием. Это показывает, что по- лучающиеся тетрады (З.Д.20) все непрерывно переходят одна в другую — действительно, они связаны в каждой точке соот- ветствующим ограниченным преобразованием Лоренца — по- этому получающиеся ориентации пространства Ха являются внутренними ориентациями, не зависящими от выбора ол, iA. Пусть К" е $а. Тогда в построенном выше базисе имеем , C.1.28) где К° = К%, Ю = -Каха, К2=~Кауа, 1? = -Kaza. C.1.29) Поскольку теперь Ка = КАА' е <&АА', мы можем также отнести /С° к спинорному базису гйА = оА, е,л = 1А: „а ггАА' А А' ьЛМГЛ А' , „01' А А' . „КУ.ДД' , V\V A X К = К едеА' =ЛОО +/ГО1 Н-Л1О -)- Л I I = = К°°Т + Ю х'па + K0l'ma + Ki0'ma. C.1.30) Сравнивая это с выражением C.1.28) и воспользовавшись фор- мулой C.1.20), мы получаем после приравнивания коэффициен- тов при /в, .... гпа К°-К3 )~\К10 К11')' ( ' '). Заметим, что сигнатура метрики получается автоматически в виде (-f, —, —, —). Если бы мы захотели получить для пространственно-временной метрики сигнатуру (—, +, +, +), то мы должны были бы.пользоваться опре- делением gab = — едвбЛ'В'. Однако это привело бы к трудностям в обозна- чениях для операций поднятия в опускания спннорных индексов. . -
160 ГЛАВА 3 Действием группы Лоренца на пространство V можно пре- образовать произвольный заданный изотропный вектор буду- щего в произвольный другой. Таким образом, если Ка оказался изотропным вектором будущего, то подобно вектору 1а (или па) выше [формула C.1.14)] он представляет собой произведение некоторого спинора, скажем %А, со своим комплексно сопряжен- ным, так что Ка имеет вид /Св==«лйл'. C.1.32) Отсюда, положив & = х°, п = х1, C.1.33) получим К00' = Ц tfol' = |fj, KiOr = i\i Kn' = i\r\, C.1.34) а поэтому равенство C.1.31) переписывается в виде 1 (T + Z I + iTW8\H (ЗЛ>35) V^ \X-iY T-Z ) \г\У ' где введены обозначения Т = К°, Х = КК Y = K\ Z = /C3. C.1.36) Соотношение C.1.35) в точности совпадает с равенством A.2.23), которое лежало в основе рассмотрения, проведенного в гл. 1. Отсюда вытекает, что если мы исходим из пространства- времени Ж и его метрики gab и если Ж удовлетворяет глобаль- ным условиям, позволяющим строить спиноры, как мы делали это в гл. 1, то метрика gab, получающаяся из алгебры этих спиноров по формулам C.1.9), будет той же самой, что и пер- воначальная метрика gab- Символы Инфельда — ван дер Вердена Заметим, что мы позволили себе использовать базис в <За, отличающийся от индуцируемого нашим базисом в & [форму- ла B.3.18)]. Часто бывает удобно воспользоваться указанным произволом. Одна такая возможность возникает, когда мы вво- дим в явном виде -действительную координатную систему (х') в Ж. Тогда зачастую удобно выбрать координатный базис д/дх°, ..., д/дх3 для модуля касательного векторного поля к Ж, т. е. для модуля ?а. В общем случае такой базис не будет иметь никакой связи с произвольным базисом в <3Л. Таким образом, представляет интерес одновременное рассмотрение базисов в ?° (или @°) и в SH, которые полностью независимы один от дру- гого. Пусть вАд, елА — базис и дуальный базис в & и пусть, далее, ёла и ёа*~ независимые базис и дуальный базис в Za. Тогда
СПИНОРЫ И МИРОВЫЕ ТЕНЗОРЫ 161 произвольный мировой тензор 1a...ed'"f можно выразить через компоненты относительно gae, или, рассматривая его как Ч*аа' cc/DD "РГ> чеРез компоненты относительно еАл. Взаимо- связь между этими двумя наборами компонент выражается с помощью символов Инфельда— ван дер Вердена, определяемых следующим образом: а АЛ' . в ар Ал А' ^чус C|-37) Отметим, что свертывание осуществляется по индексам а и АА\ а по индексам а и АА' свертывания нет. Таким образом, каждое уравнение C.1.37) эквивалентно 16 скалярным уравнениям. Подчеркнем, что в соответствии с нашими правилами сверты- вание осуществляется только: а) по идентичным индексам всех типов (например, Baa, Ваа. D-g*, ЕаА, ?аЛ) и б) по абстракт- ному собирательному индексу и одной из его неявных составных частей (например, FaGA, FaGAHA'). Мы можем рассматривать символы Инфельда — ван дер Вердена просто как «дельта-тен- зор» Кронекера gab, у которого каждый из индексов относится к своему (отличному от другого) типу базиса. Из C.1.37) по- лучаются формулы Y d...f_Y DD'...PF'ff AA'...ff CC'a Л a • ГЗ 1 38^ v DD'-.-FF'^-y d...f« a n ca DD' ff FF' /0 1 QQ\ *AA'...CC' *e...c SAA' •••ScC'Sd • • • S f , @.1.0У) которые представляют собой в точности частные случаи фор- мулы B.3.24). Поскольку мы выбрали gf e %а, этот базис является дей- ствительным и i/ii? = ff.W = 8™, C.1.40) а это означает, что всякая матрица g0A*', •••, ?зЛГ эрмитова. [Заметим, что в соответствии с соглашением, сформулирован- ным после уравнения B.5.64), мы избегаем пользоваться двой- ным индексом АА' под чертой комплексного сопряжения в со- отношении C.1.40) и полагаем численно А = А', В = В'.] Ана- логично, каждая из матриц gAB,°, ..., gAB-3 эрмитова. Отсюда вытекает, что если ^ .../"•' — произвольный действительный мировой тензор, то его спинорные (диадные) компоненты !) ') В литепатуре часто проводится различие между спияориыми и диад- ными компонентами [1231. Однако ввиду применения абстрактных меток для используемых нами спиноров здесь в таком различении нет необходимости. 6 3«.
1<И ГЛАВА S должны образовывать эрмитов набор в том смысле, что v DS'...FU'_V SD'^-UF' (ft 1 Л1\ *AP'...CR' *PA'...RC • \O.l.*l) Условие «действительности> спинора, %••¦ = %•¦•, в общем случае не имеет смысла, поскольку правая и левая его части относятся к несравнимым спинорным модулям (например, ®А и ©л'). Но в случае спиноров, имеющих валентность типа , это условие имеет смысл и приобретает важное зна- чение. Напомним, что по определению AB' ... __ у / A'B.... поэтому, если то мы получаем Имеется определенная несогласованность в двух терминологиях, касающихся спинора, который удовлетворяет совершенно экви- валентным условиям C.1.41) (с действительным §га°), C.1.42) и C.1.43). В то время как из C.1.41) и C.1.42) вытекает, что спинор %C,D A'B--- следует называть «эрмитовым», из C.1.43) и уже устоявшейся терминологии для мировых тензоров выте- кает, что %crD...AB'" слеДУет называть «действительным». Мы принимаем здесь тот вариант, который представляется нам ло- гически компромиссным, и говорим, что спинор %C,D A'B ••• эр- митов, а термин «действительный» оставляем для соответствую- щих элементов У-сс ...АА''" самосопряженных множеств <&>сс''.'.\ —©с.'.'!» удовлетворяющих равенству C.1.7), т. е. АА'-- C-1.44) Таким образом, «действительный» означает «равный своему комплексно сопряженному». Основное уравнение, которому удовлетворяют символы Ин- фельда — ван дер Вердена, представляет собой покомпонентную запись фундаментального соотношения C.1.9а), т. е. Sab = SABVB'*aAA'SbBB'. C-1.45) или, что эквивалентно 8A'B» C-1.46)
СПИНОРЫ И МИРОВЫЕ ТЕНЗОРЫ 163 Эквивалентность равенств C.1.45) и C.1.46) устанавливается на основе соотношений Другое уравнение, которое часто используется вместо C.1.45) благодаря его связи с уравнением для дираковских у-матриц в антикоммутативной «алгебре Клиффорда»1), записывается следующим образом: а * а А' -4- а А а А' = — в ва ГЗ 1 48> «a A'SbB ^ «Ь А'«аВ ВА «af \°'l w> Оно получается из C.1.45), потому что если прибавить к C.1.45) то же самое уравнение, в котором поменять местами а и Ь, то получится антисимметричное по А и В выражение, свернутое с еАв. Производя затем умножение на eCD и воспользовавшись B.5.22), мы сможем перенести нештрихованное е в другую часть уравнения. Это приводит к C.1.48). Обратно, исходя из C.1.48) и сворачивая затем с 1/2евА, мы снова получим C.1.45). Если воспользоваться стандартной тетрадой Минковского Р, х"> Уа, z"i отнесенной к спиновой системе отсчета оА, iA [фор- мула C.1.20)], и принять для gaa определения C.1.25), а для gaa — определения C.1.26), то мы получим C.1.49) как нетрудно видеть из сравнения C.1.31) с /CagaAB' = /CAB'. Матрицы C.1.49), если не обращать внимания на множитель 2~1/2, представляют собой знакомые нам спиновые матрицы Пау- ли и единичную матрицу. Иногда бывает удобно рассматривать базис gae в ©", кото- рый обладает тем свойством, что не все его элементы действи- тельны. Такая ситуация может возникать в случае координат: ного базиса, если используются комплексные коордииаты в про- ') Мы можем записать C.1.48) в виде B X 2)-матричиог» уравнения j + <*bG* -« — ggbl;» где звездочка означает эрыитово сопряжение. По- aj лагая Уа=*21'2( г» )> получим решение D X 4)-матричного уравнения Дирака YaVb + YbV» = ~~ ^f ab'v Подробнее, об этом говорится в примечании m стр. 275 и ¦ приложении к т. 2.
164 ГЛАВА 3 страистве-времеии Ж. Другим примером может служить изо- тропная тетрада g<? = la> g\a = na, g2a = ma, g3a = ma; тогда мы имеем: /1 0\ /0 0\ а Ав' — ( I = а 0 а А»' = I I = а » 8° -\о о)-8**" 8< \о \) 8™" (ЗЛ'50) Поскольку не все векторы gAa теперь действительны, не все матрицы goAB> •••» ?зАВ должны быть эрмитовыми. В общем случае комплексного базиса ga" в ©а выполняются, как и раньше, все соотношения C.1.37)—C.1.48), кроме условия эр- митовости C.1.40). § 2. Изотропные флаги и комплексные изотропные векторы Выше всякий раз, когда мы хотели интерпретировать спинор (или спинорную операцию) на основе представления о про- странстве-времени, мы должны были полагаться на подробное геометрическое рассмотрение, проведенное в гл. .1. Но мы мо- жем выбрать и другой путь рассуждений, основанный на пред- положении об абстрактном существовании спиноров, образую- щих алгебру, описанную в гл. 2, § 5. Содержащиеся среди этих спиноров действительные спиноры (§ 1) идентифицируются с мировыми тензорами. Представляется небезынтересным, что при использовании спинорной алгебры можно очень быстро полу- чить геометрическую интерпретацию спин-вектора как изотроп- ного флага на осиове упомянутых выше мировых тензоров. При- водимое ниже рассмотрение представляет собой частный случай общего метода интерпретации спиноров на основе мировых тен- зоров, который будет изложен в § 4. В дальнейшем предположим для простоты рассуждений, что наборы ©;;; состоят из спиноров, взятых только в одной точке PeJ, так что © = С. и & представляет собой двумерное век- торное пространство. Пусть хле©л. C.2.1) Тогда наиболее простым мировым тензором, который может быть построен из одного лишь спинора кА, будет мировой вектор К'^НАЪА' C.2.2) Действительность вектора Ка очевидна; также очевидным яв- ляется утверждение об изотропности вектора Ка, поскольку 0. C.2.3)
СПИНОРЫ И МИРОВЫЕ ТЕНЗОРЫ 165 По существу, всякий действительный изотропный мировой век- тор имеет либо вид C.2.2), либо1) вид Ка = -кАкА'. C.2.4) Этот вывод следует из утверждения о том, что произвольный комплексный мировой вектор %а является изотропным, а имен- но2) Л 0, C.2.5) в том и только в том случае, если он представим в виде ха = хА1А'. C.2.6) Действительно, принимая C.2.6), имеем хА%А' = |ЛйЛ', если век- тор х" действителен. Свертка с \А дает (|ЛхЛ) 1А' = 0, а поэтому в силу B.5.56) спинор |Л должен отличаться множителем от кА (за исключением случая хЛ=0). Таким образом, %A = qv.Av.A', где q должно быть действительным. Если q > 0, мы введем qW в хА и получим C.2.2). Если q < 0, мы введем (—q)U2 и, соот- ветственно, получим C.2.4). (Если q = 0, то мы получаем оба из рассматриваемых выше соотношений.) Обратно, заметим, что уравнение C.2.5) может быть пере- писано в спинорной форме 'хвв' = 0, C.2.7) левая часть которой представляет собой удвоенный определи- тель матрицы хАА' (в компонентах: 2x°°'xu — 2хо1'х10')- Равен- ство этого определителя нулю означает, что ранг матрицы хАА' меньше 2, т. е. %АА' есть тензорное произведение вида C.2.6) двух спин-векторов. (В произвольной заданной спиновой систе- ме Отсчета доказанное в компонентах утверждение, очевидно, справедливо. Следовательно, оно справедливо независимо от спиновой системы отсчета.) Заметим, далее, что наличие спинорной системы порождает абсолютное различие двух изотропных конусов в рассматри- ваемой точке Р. Действительно, мы можем определить направ- ленные в будущее и направленные в прошлое изотропные век- торы как такие, для которых, соответственно выполняется условие C.2.2) или C.2.4) (хл ^0). Отсюда ясно, что скалярное ') Усложнение, которое возникло бы, если бы мы попытались распростра- нить наши рассуждения на спииорные поля, заключается в следующем. Для заданного изотропного векторного поля К" в одних областях простраиства- времеин могло бы выполняться соотношение C.2.2), а в других — соотноше- ние C.2.4), так что ни одно из указанных соотношений не могло бы выпол- няться глобально (Для этого поле К" должно было бы обращаться в нуль в некоторых областях.) *) Существует и другая возможность, см. ниже формулу C.2.25).
1вв ГЛАВА 3 произведение двух направленных в будущее изотропных векто- ров или двух направленных в прошлое изотропных векторов должно быть положительным (либо равным нулю, если они про- порциональны), а скалярное произведение двух изотропных векторов, относящихся к различным классам, должно быть от- рицательным (либо равным нулю, если они пропорциональны), как это и требуется (гл. 1, § 1). [Указанный выбор согласован с тем, что вектор t" из C.1.20) является направленным в буду- щее.] Таким образом, если мы переходим к рассмотрению спи- норных полей на Л, то глобальное требование A.5.1) (выполне- ние для Ж условия ориентируемости во времени) должно вы- полняться. Соотношение C.2.2) показывает, что произвольным отлич- ным от нуля спин-вектором единственным образом определяется направленный в будущее изотропный вектор, который мы назы- ваем его флагштоком.. При этом, однако, много различных спин- векторов имеют один и тот же флагшток, поскольку мировой вектор К" [формула C.2.2)] допускает свободу преобразований C.2.8) Чтобы получить более полную тензорную реализацию спинора хА, чем реализация, которая дается формулой C.2.2), мы мо- жем образовать из иА «квадрат» хАхв. Затем, для того 'чтобы штрихованных индексов получилось столько же, сколько и не- штрихованных, мы умножим наш «квадрат» на ъА'в'\ указанная процедура приведет к комплексному мировому тензору. Чтобы получить из этого комплексного мирового тензора действитель- ный мировой тензор, мы добавим к нему его комплексно-сопря- женный: РаЬ = хАхвеА'в' + аАвхА'хв'. C.2.9) При этом будем иметь раЬ^раЬ^^рЬ^ C.2.10) Далее, тензор РаЬ «простой», т. е. он представим в виде Р°» = /св16 - LaKb, C.2.11) где Vх — произвольный вектор1) вида La = xAxA' + xAxA', C.2.12) прячем А—1. C.2.13) ') Определенный таким образом вектор L" — ие совсем тот же самый, что ? из гл. 1, § 4, но ои выполняет аналогичную функцию. Мы можем провести здесь наши рассуждения по образцу рассуждений в га. 1, § 4, если под L* понимал, 21'2{,ORIOP)L.
СПИНОРЫ И МИРОВЫЕ ТЕНЗОРЫ 16Т Чтобы убедиться в справедливости соотношения C.2.11), заме- тим, что, поскольку ка, т4 образуют спиновую систему отсчета, из B.5.54) вытекает —г*хв. C.2.14) Теперь C.2.11) получается в результате подстановки C.2.14) в C.2.9). Вектор La обладает следующими свойствами: он действи- тельный, пространственноподобный с длиной -sji и ортогональ- ный вектору Ка, La = La, LaLa 2, KaLa = 0. C.2.15) Он задается тензором РаЬ с точностью до вектора, равного про- изведению К" на действительное число. В самом деле, при C.2.16) [преобразование вектора х*, оставляющее C.2.13) инвариант- ным] имеем C.2.17) Векторы, отличающиеся от таких векторов La умножением на положительное число, лежат на (двумерной) полуплоскости, проходящей через начало отсчета векторного пространства Мин- ковского ?а, которое (ввиду того что вектор L" ортогонален изотропному вектору К") является касательным к световому ко- нусу в Sa, причем указанное касание осуществляется вдоль ли- нии, образуемой векторами, отличающимися от К" умножением на число (рис. 3.1). Эта полуплоскость есть полотнище флага спинора кА. (Легко проверить согласованность приведенного по- строения с построением, выполненным в гл. 1, § 4.) Фазовое преобразование C.2.8) может рассматриваться как преобразование, отвечающее повороту полотнища флага вокруг флагштока на угол 2в. Действительно, полагая Ма = \кАхА' — ixW, C.2.18) мы видим, что La cos 26 + Ма sin 26 = (е1 V1) Ит*) + (е-'М) (е~1бхА').. C.2.19) Таким образом, в результате преобразования C.2.8) [которое, чтобы сохранить C.2.13), должно быть дополнено преобразова- нием хА у—*¦ е~[вхА] вектор L", поворачиваясь в (La, Ma) -плоско^ сти на угол 26, переходит в вектор C.2.19). Заметим также, что в результате преобразования хА *-*¦ kv. (с т н-> fe~'x ,. k > О) флагшток умножается на k2, а полотнище флага остается не- изменным.
tee Изотропная Z-nfiocKOcmb Рис. 3.1. Изотропный флаг, представляющий спинор хл, и его связь с векто- рами К" и L". Небезынтересно отметить, что это дает нам прямой способ получить конформную структуру пространства 9*+ изотропных направлений будущего, выпущенных из начала отсчета в ?а. Произвольный слин-вектор кА определяет точку К пространства 9*+ (направление флагштока), а также касательное направле- ние L к ^+ в К (направление полотнища флага). Два касатель- ных направления L и I/ в одной и той же точке К, принадле- жащей Ф+, могут быть заданы, соответственно, спин-векторами хЛ и е'ехл при некотором в. Угол между L и L' получится тогда равным 26. Располагая инвариантным понятием угла на 9*+, мы тем самым имеем инвариантно определенную конформную структуру для 9>+. (Конечно, построения гл. 1 также достигают этой цели, но здесь конформная структура возникает непосред- ственно из интерпретации спин-векторов.) Упомянутая конформная структура дает также инвариантно определенную ориентацию пространства ?*+ и, следовательно, пространства-времени JI. В справедливости сделанного утвер- ждения можно убедиться следующим образом. Мы можем опре- делить направление правой ориентации на ^+ просто постули- ровав, что при вращении полотнища флага е1бхА в этом направ- лении 8 возрастает [см. замечания перед формулой A.5.2)]. (Данное определение согласуется с тем, что тетрада х", уа, га из C.1.20) является правой.) Заметим опять-таки, что переход к спинорному полю приводит к глобальному ограничению на пространство-время Ж, а именно, в дополнение к ориентируемо- сти во времени, Jt должно быть ориентируемым в пространстве. Следовательно, как топологическое многообразие пространство-
СПИНОРЫ И МИРОВЫЕ ТЕНЗОРЫ 169 время Ж должно быть ориентируемым в пространстве и во вре- мени) [формула A.5.2)]. Заметим, что каждое из соотношений C.2.2) и C.2.9) инва- риантно относительно преобразования н* _¦_**. ' C.2.20) Если это преобразование осуществляется непрерывным образом за счет изменения 6 от 0 до я в е1бхА, то полотнище флага со- вершает один полный оборот на угол 2л и возвращается в свое исходное состояние, поскольку, очевидно, хА является спинор- ным объектом (гл. 1, § 5). Таким образом, переход к спинорным полям также приписывает пространству-времени -Ж спинорную структуру [формула A.5.3)]. Следовательно, наш алгебраиче- ский подход, будучи применен к спинорным полям (как это бу- дет в гл. 4), требует, чтобы пространство-время Ж обладало спинорной структурой (гл. 1, § 5). Свойства комплексных изотропных векторов Вернемся к представлению C.2.6) произвольного отличного от нуля комплексного изотропного вектора парой спин-векто- ров. Прежде всего заметим, что для заданного вектора %" раз- ложение х" = иЛ|л' однозначно с точностью до преобразований -'1Л'. C.2.21) Действительно, если у.а%а' = \iAvA', то свертка с цА даст цАхА = 0, так что в силу B.5.56) спин-векторы кА и цл должны быть пропорциональны друг другу. Аналогично этому, должны быть пропорциональны \А' и vA'. Отсюда вытекает, что ком- плексный изотропный вектор %а определяет упорядоченную пару действительных изотропных направлений (не обязательно различных), т. е. двух точек сферы S+, а именно тех точек, которые задаются флагштоками кА и 1А', соответственно. Век- тор зс", комплексно-сопряженный вектору %а, определяет ту же самую пару изотрсшных направлений (точек сферы S+), но в обратном порядке (%" = |ЛйЛ')- Эти два изотропных направления совпадают тогда и только тогда, когда ха отличается от дей- ствительного вектора комплексным множителем. Обратно, дан- ная упорядоченная пара действительных изотропных направле- ний в достаточно общем случае определяет комплексный век- тор х" с точностью до пропорциональности. Некоторые свойства комплексных изотропных векторов мо- гут быть легко получены из C.2.6). К примеру, если два ком- плексных изотропных вектора %а, ф" ортогональны, ХвЦ>а-=О, C.2.22)
170 ГЛАВА 3 то это означает, что х"и ф" могут быть одновременно представ- лены в виде х" = у.А%А\ г|за = кАг\А', либо одновременно пред- ставлены в виде ха = кА?,А, tya = TA?A'. Отсюда вытекает, что если %", tj>°, фа— три комплексных изотропных вектора, ортого- нальные друг другу, то они должны быть линейно зависимы. Действительно, все они должны одновременно представляться либо в виде f = xV. C.2.23) либо в виде комплексно-сопряженных выражений. Без ограни- чения общности положим, что справедливы выражения C.2.23). Ввиду двумерности спинового пространства должно иметь ме- сто линейное соотношение К\А + цтг4' + v?A' = 0, в котором среди Я., ц, v есть отличные от нуля. Итак, в силу C.2.23) %Ха + ц/фа -f v<?° = 0. Но допустим, что каждый из комплексных изотропных век- торов \J)a и ф° ортогонален комплексному изотропному вектору %а, а г|)а и фа не ортогональны друг другу. Тогда указанные век- торы должны либо иметь вид фа = &А1*, C.2.24) либо представляться комплексно-сопряженными выражениями. Отсюда вытекает, что существует единственный комплексный изотропный вектор 6°, ортогональный каждому из векторов ф° и фа и удовлетворяющий условию QaXa = фау. Действительно, предполагая без потери общности, что выполняется именно усло- вие C.2.24), мы можем положить 6е = — &Ах\А', единственность чего устанавливается просто. Линейное множество комплексных изотропных векторов вида хв = хл|л', где спинор хА фиксирован, а спинор %,А' может изменяться, дает способ представления спин-вектора хА (с точ- ностью до пропорциональности) в рамках комплексного подхода. В некоторых случаях (например, в некоторых разделах теории твисторов, см. гл. 6, § 2; гл. 7, § 3 и 4; гл. 9, § 3) бывает суще- ственно проводить исследование в комплексных величинах, не вводя понятия действительности или комплексного сопряжения. В таких случаях представление спин-вектора линейным множе- ством комплексных изотропных векторов становится более удобным, чем представление его одним (действительным) изо- тропным вектором, а именно его флагштоком, поскольку по- следний способ описания нуждается в понятии комплексного сопряжения. В то же время, в указанных случаях мог бы быть полезным комплексный изотропный бивектор хАквгА'в'. Мы не задаемся здесь целью развивать эту мысль дальше, за исклю- чением одного: ее связи со структурой комплексифицированной 2-сферы.
СПИНОРЫ И МИРОВЫЕ ТЕНЗОРЫ .171 Выше мы видели, что всякое комплексное изотропное на- правление может быть представлено упорядоченной парой точек на сфере S+ — с топологической точки зрения 2--сфере S2. Если мы не хотим вводить понятие действительности, то (поскольку совпадение упомянутых двух точек означает действительность изотропного направления) на самом деле мы должны рассмат- ривать такие две точки, каждая из которых лежит на отдельной сфере S2. Таким образом, пространство комплексных изотроп- ных направлений в точке имеет структуру топологического про- изведения S2 X S2. Точки первой сферы S2 суть спин-векторы хА с точностью до пропорциональности, а точки второй сферы S2 суть сопряженные спин-векторы \А' с точностью до пропорцио- нальности, причем упомянутые спин-векторы задают требуемые изотропные направления посредством соотношения % = у.а\а'. Поскольку действительные изотропные направления в точке образуют конформную сферу 9*+, мы можем сказать, что ком- плексные изотропные направления образуют комплексифициро- ванную сферу. Проведенные выше рассуждения показывают, что указанная комплексифицированная сфера обладает структу- рой S2 X S2. Когда точка одной из сфер S2 фиксирована, а дру- гая может изменяться, мы получаем с точностью до пропорцио- нальности одно из рассмотренных выше линейных множеств (связанное с кА или с |А'), называемое генератором. Таким образом, комплексифицированная сфера задается двумя систе- мами таких генераторов1). Описание такого сорта, по существу, составляет основу общего геометрического рассмотрения спи- норов в n-мерном случае. Однако мы не будем сейчас в него вдаваться. Эрмитово-изотропные векторы Завершим данный параграф кратким рассмотрением дру- гого типа комплексных «изотропных» векторов, а именно ком- плексных векторов v°> удовлетворяющих условию уа% = 0. C.2.25) Выбрав произвольное действительное число 0, напишем Y* = eie(tfe + iVe), C.2.26) где Ua и V действительны. Подставляя C.2.26) в C.2.25), по- лучаем UaUa+VaVa = 0. C.2.27) ') Данное утверждение перестает казаться удивительным, если мы вспом- ним, что в комплексифицированном случае не существует различия между сферой и гиперболоидом. Хорошо известно, что одиополостный гиперболоид порождается двумя системами прямых линий.
172 ГЛАВА 3 Таким образом, реализуется одна из двух возможностей: либо оба вектора U" и V" изотропны, либо один из них простран- ственноподобен, а другой — времениподобен. Пусть вектор Vй времениподобен при 8=0. Тогда вектор Vй при 8 = я/2 (рав- ный V при в = 0) должен быть пространственноподобным. По- скольку при изменении в вектор U" изменяется непрерывным образом, вектор U" должен быть изотропным при некотором значении в, лежащем между 0 и я/2. Таким образом, вектор Vй также изотропен при том же самом значении 8. Выбирая соот- ветствующим образом одно из значений 0, 0 + я/2, 6 + я или 9 +Зя/2, мы можем добиться, чтобы оба вектора U" и V в представлении C.2.26) были изотропными и направленными в будущее. Указанное представление вектора уа будет теперь од- нозначным во всех случаях, кроме тех, когда U" или Vй равен нулю или когда оба вектора являются изотропными и пропор- циональными друг другу. В последнем случае мы вновь можем добиться однозначности (полагая уаФ0), заменив C.2.26) вы- ражением Ye = el6Ua, C.2.28) где вектор U" является изотропным, действительным и направ- ленным в будущее. После этого спинорное представление век- тора уа, который изотропен в смысле равенства C.2.25) (при V" Ф 0) запишется в виде ). аА$АФ0, C.2.29) или Ye = е|есИсИ' C.2.30) в упомянутых выше двух случаях, соответственно. § 3. Операции симметризации и антисимметризации Важная роль в тензорной и спинорной алгебре принадлежит двум операциям — симметризации и антисимметризации. Одна- ко оказывается, что в силу двумерности спинового пространства последняя операция для спинорной алгебры полностью отсут- ствует. Тем не менее полезно будет обсудить сначала коротко упомянутые две операции в рамках более общих тензорных систем. Для начала нам будет нужно в дополнение к предпо- лагаемой глобальной рефлексивности, которая не будет исполь- зоваться до формулы C.3.22), только одно условие на модуль ©*, которое формулируется следующим образом: кольцо © должно содержать подкольцо, изоморфное кольцу рациональ- ных чисел. После формулы C.3.23) мы сосредоточим наше вни- мание на случае, когда существует (обычно двумерный) базис.
СПИНОРЫ И МИРОВЫЕ ТЕНЗОРЫ 173 Договоримся считать, что круглые и квадратные скобки, окружающие некоторую группу индексов, обозначают, соответ- ственно, симметризацию и антисимметризацию (называемую иногда кососимметризацией) по рассматриваемой группе ин- дексов. Таким образом, мы имеем (V + V) C.3.1) ^ (ару) Q и так далее. Запишем также Х*> [ор] с == "гГ (Vaptf ~ Х^ра<7). C.3.3) ^ (^ ^ ^ ^ "•" и так далее. Аналогичные соотношения справедливы и для верх- них индексов. В тех случаях, когда требуется опустить некоторые индексы в процедуре симметризации или антисимметризации, будет ис- пользоваться вертикальная черта с обоих сторон той группы индексов, которая должна быть опущена. (При этом для индек- сов, находящихся в противоположном положении, вертикальные черточки не требуются.) Например: C.3.6) Допустимо даже писать = ~4"\ ~г )(••') и так далее. Некоторые свойства операций симметризации и антисимме- тризации немедленно вытекают из определений. К таким свой- ствам относятся следующие. Если к некоторому числу индексов применена операция сим- метризации, и если следующая за ней другая операция сим- метризации применяется к тем же самым (и, возможно, допол- нительным) индексам, то первую симметризацию можно игнори- ровать. К Примеру, еСЛИ SoXtM^'lapidJv» TO la(x,iv)!='na(X)iv)" ^то
174 ГЛАВА S может быть записано в виде Tla((»4i)v)"=Tlaomv)*ToT же самый ре- зультат справедлив и для операции антисимметризации. Таким образом, ^(о ... (у... е)... 4K а= %&(а... у... е... и)С C.3.8) и ^ia...fv...e]...41<7==^[a...Y...e...rilC' C.3.9) Если некоторое число индексов подвергнуто симметризации, и если к двум или большему числу этих индексов (а также, воз- можно, дополнительным индексам) применяется последующая операция антисимметризации, то в итоге получается выражение, равное нулю. Например, если lox,nv==Tla(Xn)v> T0 ?<hahvi = 0- Ана- логичное справедливо и в том случае, когда операции симметри- зации и антисимметризации меняются местами. Таким образом, полагая, что число индексов v> • • •. 8 больше двух, получаем ..{у...в)...П1С== ' ^<a...[v...e]...t))tf = 0- C.3.10) В общем случае утверждение о том, что операции симметри- зации и антисимметризации коммутируют друг с другом, не- верно. Однако две такие операции безусловно коммутируют, если они действуют на совершенно различные индексы. К при- меру, мы можем образовывать однозначно определенные выра- жения типа ^(ap)Y[>,nv]- Ho запись типа ^a(pv[WnVl недопустима, поскольку в этом случае было бы не ясно, какая из операций должна применяться вначале — симметризация или антисим- метризация. Аналогичное утверждение, конечно же, справедливо и для верхних индексов. Как и в формуле C.3.5), операции симметризации и антисимметризации к верхним и нижним ин- дексам применяются независимо, например: № -1 (е W - e\V + eW - ep,V). <8.ал о Нам представляется также возможность применять опера- ции симметризации и антисимметризации к собирательным ин- дексам, например: Указанное замечание распространяется, однако, лишь на те индексы в скобках, которые имеют одинаковую валентность. Совпадение валентностей символически может изображаться посредством использования для индексов одних и тех же опор- ных букв. Если, к примеру, s4- = a и 38 = $у*, то C.3.12) запи- сывается следующим образом: 5t ХW kW CЗЛЗ>
СПИНОРЫ И МИРОВЫЕ ТЕНЗОРЫ 17S Говорят, что некоторый тензор (или спинор) является [анти] симметричным по группе (возможно, собирательных) ин- дексов, если он не изменяется в результате применения к ука- занным индексам операции [анти] симметризации. Таким обра- зом, если X...X...V... —X...<H...i)... « *... X... ¦»... = *... 0L •.. -4 —» то мы говорим, что тензор %...a,...v... и тензор 4>...x...v.'..i соответственно, симметричен и антисимметричен по к ... v. За- метим, что в соответствии с приведенным выше замечанием ре- зультат произвольной [анти]« симметризации автоматически [анти] симметричен. Например, тензор 9"№<Лу) симметричен по X, ц, v и антисимметричен по Р, V- Некоторый тензор является симметричным по группе индексов в том и только в том случае, если он не изменяется при перемене местами индексов из любой пары данной группы. Аналогично, тензор является антисим- метричным по некоторой группе индексов в том и только в том случае, если он меняет свой знак при перемене местами индек- сов из любой пары данной группы. Укажем удобное обозначение для подпространства ©"!, со- стоящего из элементов с определенным типом симметрии. Мы будем применять по отношению к самому символу ©.'.'! то же самое соглашение о круглых и квадратных скобках, которое по- рождало желаемую симметрию в применении к элементам ©.'."• В частности, пространства симметричных и антисимметричных элементов из ©а...? обозначаются, соответственно, символами ®(a...v) и ©|o...vi» К примеру, мы имеем: Х,*ЛАЛ|Л е ®Йе(Цу)|Ла)» в том и ТОЛЬКО в т°м случае, если Ьл Яц v &Л (Аи v) • \o.o.itf Если некоторый тензор [анти] симметричен по двум частично перекрывающимся группам индексов, то он [анти] симметричен и по объединению этих двух групп индексов. Таким образом, =X...(a...Y)...e ... X...a...(V...8)...> C.3.15) ..у...е... A... (a ... у...е)... если то и Если то X... ¦.... O...Y...S х. а... v-..е .. y ... е ... ^Р... [a... y >..e]..." Это следует из того, что всякая перестановка может быть пред- ставлена как произведение перестановок одних лишь соседних
176 ГЛАВА 3 индексов. Кроме того, если тензор симметричен по некоторой группе индексов, частично перекрывающейся с другой группой индексов, по которой он антисимметричен, то такой тензор равен нулю. Чтобы убедиться в справедливости последнего утвержде- ния, достаточно рассмотреть тензор l^^v» симметричный по К, ц и кососимметричный по ц, v. Имеем: C.3.17) Таким образом, данный тензор равен самому себе со знаком минус, а поэтому должен быть равен нулю. Если [анти] симметричная группа индексов некоторого тен- зора свёртывается с другой группой индексов, то вторая группа индексов может быть [анти] симметризована, и при этом ре- зультат нашего свертывания не изменится: р... т_у <р...х) —у (р...х) C 3 Ш ... Т) *.*(р... X) *^р... X > \O-O.kO) р... Т у [р...Т]__у 1р... 1] /Q Q 1О\ ... Х\ —*Л\»...Х) *«€р... X ' {О.О.1Щ Приведенные результаты несложно доказать путем разверты- вания одной из [анти] симметризации в среднем члене в соот- ветствии с C.3.1) — C.3.4) с последующим переобозначением немых индексов. Вызывая [анти] симметрию оставшихся индек- сов, мы можем сделать все члены этой суммы одинаковыми. Для группы из W индексов существует М членов, что компенси- руется наличием М в знаменателе в формулах C.3.1) — C.3.4). Одним из следствий только что описанного результата является го, что пара симметричных индексов, свернутая с парой анти- симметричных индексов, приводит в итоге к выражению, рав- ному нулю. Итак, Заметим, что для произвольного Х<*е®« тензор ХаХ& ... X6 симметричен по а, р* 6. Следовательно, Отсюда вытекает, что имеет место «достаточная> часть следую- щего предложения: Предложение #*«* ... в*"*" • • • *в — ° для всех Х° е ®" в том и только в том случае, если ^<€(а...в) = 0- C.3.22) Чтобы продемонстрировать справедливость «необходимой» ча- сти, положим
СПИНОРЫ И МИРОВЫЕ ТЕНЗОРЫ 177 Полагая, что число индексов а, р\ ..., б равно N, получаем Если левая часть равна нулю при всех Ха, то каждый коэффи- циент при К в правой части должен обращаться в нуль. (Для доказательства данного утверждения достаточно тех условий, которые наложены нами на кольцо ©, а именно, что © содержит подкольцо, изоморфное кольцу рациональных чисел. Действи- тельно, если по очереди выбивать Я, = 0, 1, ..., N, то мы полу- чим, что в правой части N + 1 линейно-независимых комбина- ций коэффициентов равны нулю. Рассматривая рациональные линейные комбинации, мы заключим, что каждый коэффициент в отдельности должен быть равен нулю.) В частности, должно быть равно нулю выражение фЛ(а$ вJ™Уе ... К*. Поскольку оно равно нулю для всех Za, то фл(а$... в)УР • • • Y6 = 0. Так как по- следнее выражение должно быть равно нулю при всех Ya, мы можем повторить приведенные выше рассуждения и получить, наконец, ФЛ{а»...б)==^ что и требуется. Ясно, что C.3.22) будет справедливо также и в том случае, если а, р* б заменить собирательными индексами одной и той же валентности. Из C.3.22) следует также, что Функцией фл(X) = фЛаt йХа ... X6 однозначно определяется тензор флA1.„ в>» C.3.23) поскольку разница между двумя такими функциями равна нулю в том и только в том случае, если разность между соответствую- щими симметричными тензорами равна нулю. Конкретные результаты для спиноров и мировых тензоров Все результаты, полученные до сих пор, не были связаны с размерностью модуля ©в. Однако ввиду того, что спиновое пространство имеет только два измерения, существуют конкрет- ные упрощения, имеющие место в случае введенной нами спи- норной системы. Указанные упрощения имеют в своей основе следующее утверждение: всякий спинор, антисимметричный по трем или более индексам (штрихованным или нештрихованным), должен быть равен нулю. Отсюда вытекает, что для каждого ^ или Флр'о'к справедливы соотношения
178 ГЛАВА 3 [Ясно, что в силу равенства C.3.9) мы не теряем общности рас- суждений, рассматривая только три индекса.] Чтобы убедиться в справедливости равенств C.3.24), рассмотрим компоненты в произвольной спиновой системе отсчета и заметим, что из трех численных спинорных индексов по крайней мере два должны быть равны друг другу. Можно также рассматривать анализи- руемое утверждение как частный случай утверждения, установ- ленного ранее, после формулы B.3.1). Заметим, что частный случай равенств C.3.24) 0 C.3.25) снова приводит к тождеству B.5.21), рассмотренному ранее. По существу, равенства C.3.24) являются следствием формулы B.5.21) и формулы, комплексно-сопряженной ей. Чтобы убе- диться в этом, мы можем применить эквивалентное соотношение B.5.24) к Q^ipqr] двумя способами, сначала воспользовавшись антисимметрией по QR, а затем антисимметрией по PQ. Таким образом получим ^Л IPQR\ — Т ®* [PSn?ST&QR — ~2 6«* V>STl&STepQ- C.3.26) После свертки с rpq имеем 6^ ipst\rST = 0» откуда в силу C.3.26) вытекает 6.*ipqj?i = 0, что и требовалось. В случае /i-мерных тензоров в ©в существует я-элементный базис би; запишем тождество, соответствующее равенствам C.3.24), а именно Существует также соотношение, отвечающее формуле B.5.24). Чтобы записать его, определим тензорыеа,... ап и е», ком- поненты которых в заданном базисе имеют вид е«, ...ап = 8<"> -*»= 1, или —1, или 0 C.3.28) в зависимости от того, является ец, ..., оя четной перестанов- кой чисел 1, ... ,п, нечетной перестановкой чисел 1, .... п, или вообще не является перестановкой чисел 1, .... п. [Такое опре- деление согласуется с формулой B.3.4).] Величины C.3.28) на- зываются символами Леви-Чивиты. Имеем ... б°»1 = 8°' - °»ев . , C:3.29) рп р| •¦• рп что устанавливается путем сравнения компонент, стоящих в ле- вой и правой частях. Следовательно, если тензор 4>^Oj ...a косо-
СПИНОРЫ И МИРОВЫЕ ТЕНЗОРЫ 179 симметричен по о,, ..., оя, то - в' C.3.30) Отсюда вытекает [как и в случае B.5.24)], что любой набор п антисимметричных индексов может быть «расщеплен» с по- мощью е-тензоров. В частном случае ©а,...ая (т. е. когда $Ф отсутствует) по- лученный результат показывает, что все полностью антисимме- тричные элементы модуля ©а, ...а„ пропорциональны друг дру- гу. (То же самое утверждение имеет место в случае ©"« "¦"».) В общем случае нет причины выделять один из них, выбор тен- зора во, ... ап произвольно зависит от конкретного выбора базиса б? в <©в. Однако существование внутреннего произведения для спиноров однозначно выделяет конкретный спинор ъав [соответ- ствующий базис для которого C.3.28) играет роль спиновой системы отсчета]. Аналогично, наличие мирового метрического тензора gab и ориентации служит для выделения конкретных антисимметричных элементов eabcd^%abcd и eabcd^%abcd, назы- ваемых в расчетах альтернирующими тензорами. Однако, имея в виду наш общий подход, ставящий целью построить мировой тензор на основе спинорного формализма, мы будем предпочи- тать, прежде всего, определение тензора еаЬы на основе спинора ъав, а именно eabcd Г= iBACSBDRA'DlBB'C ~ 1RADRBCBA'C'RB'D" C.3.31) Такой тензор eabcd представляет собой действительный тензор, поскольку комплексное сопряжение меняет местами два члена в правой части и заменяет i на —i. Он кососимметричен по а и Ъ, поскольку еЬасй ~ XRBCRADRB'D^A'C ~ XeBDSACRB'Cl&A'D'== "~ еаЪс&> C.3.32) и аналогично кососимметричен по с, d. Посмотрим, наконец, что будет при перемене местами Ь и с. С использованием е-тожде- ства B.5.21) и тождества, комплексно-сопряженного ему, на- пишем eabcd "Г" eacbd ~ = ' (RAC*BD ~ eABeCD) RA>D*B'C ~ XtADZBC (RA'C'BB'D' ~~ RA = j (RADRBC) *A'D*B>C> ~ {RADRBC OWW) = 0. . C.3.33>
180 ГЛАВА 3 Отсюда вытекает, что тензор еаьса, являющийся, таким образом, кососимметричным по каждой из частично перекрывающихся пар ab, be и cd, является полностью кососимметричным по а, Ь, с, d: <3334> Мировой тензор еаЬс* получается <из еаъсй обычным путем, т. е. путем поднятия индексов с помощью метрики gab. Поскольку такая процедура отвечает поднятию спинорных индексов, мы имеем gabed e ieACRBDeA'D'RB'C _ jgADgBCg^C'gB'O'. C.3.35) Используя B.5.12) и B.5.25), получаем из C.3.31), C.3.35) eabedeabcd = -24. C.3.36) Введем ограниченную тетраду Минковского goa = f, gta = ха, g2* = ya* ?з" = 2а- По крайней мере локально это будет соот- ветствовать спиновой системе отсчета еол = <И, zlA = iA ввиду C.1.20). Имеем = ~ 4" (SACBBDeA'D'RB'C' ~ RADRBCBA'C'eB'D') X X (<И<И' + iV) (oBiB' + iBoB') (ocic' - icoc') (oDoo< - iDi°') = = _^.(_1_1_1_1)=1. C.3.37) Поднимая индексы [с использованием формулы C.1.27)], полу- чаем е°123 = -1. C.3.38) Таким образом, C.3.40) Если мы имеем C.3.36), то вычисление C.3.37) необходимо лишь для определения знака элемента еОт, поскольку соотно- шение C.3.36) может быть представлено в виде - 24 = eabcdepqrsga"gbigcrgds = = (еотJ 24 det (g*) = - 24 (еот)*. C.3.41) Элемент eoi23 оказывается положительным по той причине, что ta, Xй, уа, za — собственная тетрада. Если бы мы выбрали несоб- ственную тетраду, то получили бы еОт < 0. Для собственной тетрады Минковского именно тензоры еаьса и eabcd представляют
СПИНОРЫ И МИРОВЫЕ ТЕНЗОРЫ 181 собой символы Леви-Чивиты, тогда как для несобственной те- трады символами Леви-Чивиты являются тензоры — ельы и елЬей. Из C.3.29) получаем gbqgcrgdsi- C.3.42) Соответствующим образом свертывая один верхний и один ниж- ний индекс (либо осуществляя прямую покомпонентную про- верку), получаем eabcdepqrd=*-bga]pgbvgcr], -4galpgbq], C.3.43) и C.3.36). Тензор р cd — j~ С„ D. D'K С jo. Dp Co Co ?>' /9 Д 44^ будет играть важную роль в следующем параграфе. Отметим соотношение - 4ge<W, C.3.45) вытекающее из выражений C.3.43) и непосредственно из C.3.44). Заметим также, что для произвольного тензора Нсл о cdff a CC'DD'H \fff ft \ (fi Q AR) eab ncd — KAA'BB' nCC'DD' — H AB'BA' n BA'AB')' W'^-*u' Разложение на симметричные спиноры В заключение данного параграфа продемонстрируем то важ- ное положение, что любой спинор в определенном смысле мо- жет быть выражен через совокупность спиноров, каждый из которых полиостью симметричен по всем нештрихованным ин- дексам и полностью симметричен по всем штрихованным ин- дексам. Начнем иллюстрацию нашей процедуры разложения в слу- Г° °1 чае общего спинора флв, имеющего валентность! „ q • Имеем = ^Ав + ^АВ> C.3.47) где и Ь = \ФСС' C.3.48) ввиду B.5.23). Ясно, что спинор Qab симметричен, и то же самое касается спинора К (последнее тривиально, поскольку А, не имеет индексов). Информация, содержащаяся в флв, распреде- ляется между упомянутыми выше двумя симметричными спино-
185 ГЛАВА 3 рами. [Если говорить о компонентах, то имеются четыре неза- висимые величины фАв. Указанная информация разделяется между тремя независимыми величинами 9оо = ^оо» 9oi = 9io — = y(?oi + ?io)> 9ц = ^п и одним скаляром А. = A/2) (^01 — ^ю)-] Вернемся теперь к общему случаю. Условимся ставить тиль- ду ~ между двумя спинорами в том случае, если их разность представима в виде суммы членов, каждый из которых является тензорным произведением е-спиноров и спиноров, валентность которых ниже, чем у исходных спиноров. Ясно, что тильда ~ обозначает отношение эквивалентности. Прежде всего заметим, что соотношение .р> C-3.49) справедливо для всякого ФдАв...р' Имеем ТецАВ ... P) = ~\JQA(,BC ...F)~r т .в))> C.3.50) где число индексов А, В, ..., F равно г, так что правая часть содержит г членов. Рассмотрим разность между первым и про- извольным другим из этих членов, например: ... Р) ~ ^QC{ABD ... Р) == ~ ^AC^l^iBXD ... Р) C-3.51) ввиду B.5.23). Производя подстановку из аналогичных уравне- ний для всех членов после первого в правую часть равенства C.3.50), находим $Q (АВ ... F) ~ ФдА (ВС... FY C-3'- 52) Повторяя эти рассуждения, получаем $ . F) ~ $С!А(В ... Р) ~ Ф ~ <7..rSF)^...F» C.3.53) откуда следует C.3.49). Очевидно, что имеет место также и результат, получающийся из C.3.49) после замены индексов А, В, ..., F штрихованными индексами. Таким образом, проводя наши рассуждения один раз для нештрихованных индексов и еще один раз для штрихован- ных индексов, мы убедимся в том, что произвольный спинор %А рр, 5,отличается от своей симметричной части х,д F) (P, so на сумму тензорных произведений е-спиноров и спиноров более низкой валентности. То же самое утверждение справедливо и
СПИНОРЫ И МИРОВЫЕ ТЕНЗОРЫ 183 для указанных спиноров более низкой валентности, и так да- лее. Таким образом, мы доказали следующее Предложение: Всякий спинор %А FP, s, равен сумме симметричного спинора Х(л F\{p> so u тензорных произведений г-спиноров и симметричных спиноров более низкой валентности. C.3.54) (Мы называем некоторый спинор симметричным, если, будучи записан только с нижними или только с верхними индексами, он является симметричным по всем своим нештрихованным и штрихованным индексам.) Проиллюстрируем это двумя примерами. Напишем = \аво~ УеавХ (?>с)~"з"8дсД фв) ~~?sbc^aDd C.3.55) "АВА'В' ~ ®{АВ) (А'В') ~2 ЪАВ® С (А'В') "jf EA'B^(AB) С > + Те^л'В'еССс'с- C>3-56) Если у нас есть спинор, содержащий как верхние, так и нижние индексы, то ясно, что мы можем просто опустить все его индексы, а затем продолжать наши рассуждения. В связи с этим заметим, что симметричный спинор после поднятия неко- торых его индексов принимает следующий вид: Предложение: Спинор Фл ф DP sU, шшш v,p, -%> н, является симметричным тогда и только тогда, когда спинор ^.'."^".'н' симметричен по каж- дой из своих четырех групп индексов, л.Ц' ... W'P ...S — ^,(У... W')(P ... S) ™А ... DF' ... Я' — Ч>(Л ... D)(P> ... И') • а всякая свертка по одной паре индексов равна нулю, для чего достаточно условий ¦&и.'... v'x ... s —n ,uX'... w'p... s о СЧ Ч W ™XB...DF ... Н' — U> ™A...DX' ... Н' — U- \О.О.Ы) Причина этого содержится в формуле B.5.23): равенство нулю свертки, когда верхний индекс опущен, означает равенство нулю кососимметричной части, т. е. симметрию по двум соответствую- щим индексам.
184 ГЛАВА 3 Неприводимость Симметричные спиноры (в точке) интересны тем, что они не- приводимы при преобразованиях из спиновой группы SLB, С). Несмотря на то, что мы не будем подробно заниматься вопро- сами неприводимости тензоров, спиноров и т. д., несколько об- щих замечании здесь не помешают. Допустим, мы хотим пред- ставить группу 9 линейными преобразованиями векторного про- странства Э, которое в таком случае будет называться простран- ством представления. Если пространство 8 можно рассматри- вать как прямую сумму: га га -О — -О; где 8i ф О, 82 Ф О, такую, что преобразования, представляющие группу 9, переводят элементы подпространства 9i в самих себя (неважно, что делается с элементами подпространства 9Э2), то говорят, что данное представление приводимо; в противном слу- чае оно неприводимо. (Элементы пространства представления S3 также называются [не]приводимыми относительно преобразова- ний группы 9, если представление группы 9 на 93 обладает указанным свойством.) Если 9 можно записать в виде конечной (или бесконечной) суммы 8 = 93,® ... ф93*. а преобразования действуют неприводимым образом на каждом подпространстве 8* раздельно, то данное представление назы- вается вполне приводимым. Займемся теперь группой ограниченных преобразований Ло- ренца О+A, 3)и ее двукратным покрытием — спиновой группой SLB, С). Для указанных групп можно показать [120], что про- извольное конечномерное представление (т. е. представление на конечномерном векторном пространстве 9) является вполне при- водимым и что всякое неприводимое представление может быть реализовано как преобразования, действующие (т. е. всякое не- приводимое представление линейно изоморфно преобразованиям, действующим) на некоторый симметричный спинор (в точке1)) и порождаемые (порождаемым) спиновым преобразованием 1а*-+1ав%В' Следовательно, симметричные спиноры неприводи- мы относительно преобразований этих групп. Если фА... CD, ___ р, — некоторый симметричный спинор, то упомянутые преобразова- ') В отличие от приводимого здесь рассмотрения, условия симметрии, на- лагаемые на спиноры в точке, для представлений группы Пуанкаре ие яв- ляются достаточными. Пространство представления группы Пуанкаре состоит из полей, удовлетворяющих различным уравнениям поля, например, уравне- ниям Максвелла.
СПИНОРЫ И МИРОВЫЕ ТЕНЗОРЫ 185 ния имеют следующий вид: TA...CD' ...Р" '/••••'с т. е. Л) • • • ^о- Рассмотрим теперь матрицы °^ •.. fC)C°^<D'¦ • • hr)» .где si = Ао ... F', st0 компонент тензора Tj1*, т. е. матрицы (А C)<) но только с надлежащим исключением компонент, приводящих к одинаковым членам; например, произведение '(д(%)В^ая' может быть разложено следующим образом: 7.00 /oo Iff г?? 2Г°оо 2г8! 2Г?! 7<11 Гоо 7,11 /01 г!! ^01 ¦и. и в общем случае идентичные строки и столбцы в ф- и 7"-матри- цах могут быть опущены, а оставшиеся строки в Г-матрице умножаются на число появлений ^-членов, на которые они дей- ствуют A!, 2!, 3!, 213! и т. д.). После этого Г-матрицы дают не- приводимые матричные представления указанных групп. Таким образом, произвольное конечномерное представление группы О+A, 3) или SLB, С) имеет пространство представления, яв- ляющееся прямой суммой пространств симметричных спиноров (в точке). Выражения спиноров через симметричные спиноры, полученные нами ранее в данном параграфе [формула C.3.55)], по существу представляют собой примеры расщепления про- странства на свои неприводимые части (поскольку каждая из таких частей преобразуется при спиновых преобразованиях в себя). Однако это и не единственный, и не самый общий способ образовывать прямую сумму. С формальной точки зрения можно также связать воедино спиноры с различной структурой индек- сов, как это сделано, например, в случае дираковских спиноров или твисторов (т. 2, приложение; гл. 6, § 1), когда пара $А, %А. рассматривается как единый четырехкомпонентный объект Wa, и мы можем написать ^а=='^А®'Х-А" Существует и другой способ выражения того факта, что сим- метричные спиноры в точке обладают свойством неприводи- мости. Такие спиноры в определенном смысле насыщены сим- метрией: если налагаются какие-либо дополнительные соотно- шения симметрии, то либо не происходит потери информации, либо мы получаем выражение, равное нулю. Так,ая ситуация, возможно, оказывается более прозрачной в случае тензоров.
186 " ГЛАВА 3 Очевидно, что всякий полностью симметричный или полностью антисимметричный тензор неприводим и в этом смысле «насы- щен». Но то же самое справедливо и по отношению к тензору с симметриями типа симметрии тензора Римана [формулы D.3.53) —D.3.56I: Rabcd = R\ab\ \cd] — Rcdab> Ra \bcd\ = 0. К примеру, дополнительная симметризация Rd (ab) с == • «не приводит к потере информации», поскольку ¦g" Sa \bc\ d == Rcbad' Но R\abc]d —Ra(bcd) = 0 и т. д. Здесь мы имеем пример сим- метрии, отвечающей схеме Юнга. В теории схем Юнга [203] (см. также [194]) неприводимые тензоры строятся (и классифицируются) следующим образом. Сначала налагают ус- ловие симметрии по некоторой группе индексов, а затем полученный тензор «насыщают» антисимметрией. Применение всех последующих операций (анти) симметризации либо не приводит к потере информации, либо дает нуль. В ка- честве примера симметрии, отвечающей схеме Юнга, запишем для случая раз- деления 8 на D, 3, 1): и определим • Л Смысл последнего символа заключается в том, что мы сначала производим симметризацию по индексам еулЕ. Рва, а затем — антисимметризацию по е|36, у0> Л01- (Мы записываем наборы симметризованных индексов в порядке их длины.) Теперь тензор 5а е «полностью насыщен» симметриями и непри- водим. К примеру, тензор Рнмана характеризуется в точности следующей симметрией, отвечающей схеме Юнга (хотя это и не сразу очевидно): Однако схемы не дают однозначную реализацию всех неприводимых симмет- рии. Например, тензор PapY = Qagv + «Qp7a + <a2Q7op (где « = e2'3) обла- дает «симметрией» ^yap = <йЯару и неприводим; то же самое относится к тен- зору М|„р| )у6| — М^л (ор|, однако ни один из этих тензоров не имеет сим- метрии, отвечающей схем'е Юнга, но вместе с тем тензор P(ap>Y имеет сим- метрию, отвечающую схеме оф, у и на основании ее сам тензор Ра$у мо- жет быть переписан в виде (ШРа$у = Я(оЧ) у + <»Р(р7)о + ш2Я-(уа) р). «экви- валетном» схеме. В том же самом смысле второй тензор эквивалентен схеме с симметрией ар, у, 6 в явном обозначении. Произвольный неприводимый тен-
СПИНОРЫ И МИРОВЫЕ ТЕНЗОРЫ 187 sop в этом смысле эквивалентен тензору с симметрией, отвечающей схеме Юнга. Можно дать элегантный вывод ,[71, 110] числа независимых компонент произвольного объекта с симметрией, отвечающей схеме Юнга. Нарисуем две таблицы, состоящие из квадратов в соответствии с видом набора симме- тризованных индексов — например, для Sa _ _ в — следующим образом: n n-1 n-2 t * П "Т* I n n + 2 n + 1 n + 3 6 4 1 4 2 3 1 1 В первой таблице на главной диагонали стоит я (размерность векторного пространства ©а). на последующих диагоналях внизу стоят п—1, п — 2 и т. п., а иа последующих диагоналях сверху стоят п + 1, п + 2 и т. д. На вто- рой таблице в каждом квадрате стоит число, равное числу квадратов справа плюс -число квадратов снизу плюс единица. Образуем произведение всех чи- сел первой таблицы н произведение всех чисел второй таблицы, а также раз- делим первое на последнее: результат будет равен искомому числу компонент. В случае тензора Яарув такая процедура почти мгновенно дает A/12)я2(пг — — 1). Полезно отметить, что схема Юнга может быть с равным успехом обра- зована следующим образом: сначала антнсимметризуем столбцы индексов, а затем симметрнзуем строки. С точки зрения описанных двух способов по- строения одинаковые схемы не равны, а «эквивалентны». Таким образом, для применения описанного выше метода определения числа независимых компо- нент это соглашение несущественно. Указанные два альтернативных типа непрнводимого тензора находят удоб- ную интерпретацию как «коэффициенты» двух различных видов «форм». Рас- смотрим сначала теизор с симметрией, отвечающей схеме Юнга последнего вида, т. е. она симметрична, а не антисимметрична по своим соответствую щим группам индексов. Например, такой теизор 7"ару6«Сч6 мог бы быть получен путем нового применения «горизонтальных» симметризации в выше- приведенном определении тензора Sa ... е: (Рва) о (Последующие вертикальные аитиснмметризации привели бы снова к ненуле- вому кратному тензору S...) В силу положения (8.3.23) информация, содер- жащаяся в тензоре Т..., является той же самой, что и информация, содержа- щаяся в полиномиальной функции (или «форме») т (Xе, Уа, ze) = С учетом равенства C.3.21) мы можем переписать ее в виде где вторая форма вытекает нз антисимметрии тенаора 5..., причем
188 ГЛАВА 3 Функция S «простых» кососнмметричиых тензоров [ср. с формулой C.5.30) ниже] указанного (иерархического) вида дает нам альтернативную полино- миальную форму, отвечающую приведенной выше. Тот факт, что функция Т может быть переписана с использованием ука- занных кососимметрнчных произведений, может быть выражен функциональ- ным соотношением Т (Ха, Ya, 2°) = Т (Ха, Ya + i.Xa, Z" + цА (для всех Я, ц, v) или дифференциальным уравнением dYa ' dZa ' dZa ' где выражения для частных производных допускают (если это необходимо) очевидное понимание в духе абстрактных индексов. На основе формулы C.3.22) заключаем, что выписанные дифференциальные уравнения эквива- лентны следующему условию: если какая-либо из горизонтальных симметрии в правой части выражения расширена включением еще одного индекса внизу таблицы, то получающийся тензор равен нулю (например, Гар (уодод е = 0)- Данное условие является (не- обходимым и) достаточным для того, чтобы тензор ^а... е ~ симметричный по соответствующим группам индексов (т. е. горизонтальные симметрии пред- нолагаются заданными) — обладал симметрией, отвечающей схеме Юнга. (Таким образом, в этом выражается наличие «скрытых» вертикальных анти- симметрии.) Соответствующее утверждение останется справедливым для тен- зора S- также и в том случае, если «симметрию» и «антисимметрию» надле- жащим образом поменять местами. Одним из преимуществ теории 2-спиноров является то, что в соответствии со сказанным ранее в данном параграфе нам сле- дует рассматривать только симметрии, но не антисимметрии, так что в теории схем Юнга нет необходимости. Когда говорят просто о неприводимости тензора безотноси- тельно к конкретной группе, то под рассматриваемой группой понимают группу всех линейных преобразований GL(n,С). Но если соответствующая группа является некоторой подгруппой группы GL(n, С), то возможны последующие разложения тен- зора. В случае группы Лоренца метрический тензор gab и об- ратный ему тензор gab суть инвариантные объекты, а потому возможны «обобщенные симметрии», для которых эти объекты используются с целью «разложить» тензор на меньшие части, причем последние не могут быть получены посредством наложе- ния обычных симметрии. Важным примером служит разложе- ние тензора Римана на три его части [тензор Вёйля Саьса, ска- ляр Риччи R и бесследовую часть тензора Риччи Rab— (l/4)gabR; гл. 4, § 6 и 8], неприводимые относительно группы Лоренца; эти части возникают из требования, в дополнение к симметриям в обычном смысле, определенных условий на «след», таких, как
СПИНОРЫ И МИРОВЫЕ ТЕНЗОРЫ 189 gacCabcd = 0. Если же группа Лоренца еще больше конкретизи- рована до ограниченной группы Лоренца, то возникают допол- нительные инвариантные объекты, а именно ваьы и e"bcd. Ука- занные обобщенные симметрии могут оказаться в высшей сте- пени сложными. Тем самым переход к спинорному описанию приведет к существенному упрощению. О разложении тензора Римана с использованием спиноров говорится в гл. 4, § 6. Здесь мы рассмотрим кратко значительно более простую задачу, а именно прямой перевод симметричного спинора с равным числом нештрихованных и штрихованных ин- дексов в тензор: ФаЬ ... f = $АВ ... FA'B' ... F> = Ф(АВ ... F) iA'B' ... FT C 3.58) Очевидно, что тензор fab __ f симметричен по своим тензорным индексам и имеет след, равный нулю: Обратно, из C.3.59) вытекает равенство .( C-3 и, следовательно, левая часть равенства C.3.61) кососимметрич- на по А'В'. Однако в силу равенства C.3.60) ее последующая свертка с &А>В должна давать нуль; следовательно, она равна нулю, откуда вытекает, что спинор фАВ РА,В. F. симметричен по АВ. Аналогично, он симметричен по ВС и т. д., и также по А'В' и т. д. Следовательно, он полностью симметричен. Отсюда вытекает, что условия C.3.59) и C.3.60) для тензора полностью эквивалентны симметрии (и тем самым неприводимости) спи- нора. Отметим также, что путем изложенных рассуждений легко установить число независимых комплексных компонент комп- лексного тензора фа...}, подчиненного условиям C.3.59) и C.3.60)'). Оно равно (г+ IJ, когда тензор Фа...] имеет г тен- зорных индексов, поскольку очевидно, что спинор fA ^ РА, -#- р, имеет столько же независимых компонент. (Набор А ... F мо- жет не содержать ни одного нуля, содержать один нуль и т. д. вплоть до г нулей; таким образом, он может принимать г-\-\ «значений»; аналогичное рассуждение применимо к А' ... F'.) Указанный результат не так просто получить без спинорного ') Очевидно, что это число равно числу независимых действительных ком- понент действительного тензора, подчиняющегося тем же самым линейным ограничивающим условиям.
100 ГЛАВА S представления. Более того, попутно мы доказали следующее предложение. Предложение: Если спинор <рл # cpr ^ д, симметричен и имеет 0 0 валентность I I, то число его независимых Ip q J (комплексных) компонент равно (р+\)(д+1). C.3.62) § 4. Тензорное представление спинорных операций Из способа построения алгебры мировых тензоров следует, что всякая операция на тензорах может рассматриваться как спинорная операция. Различие между двумя подходами чисто формальное и состоит в замене каждого тензорного индекса парой спинорных индексов. Таким образом, действия над тен- зорами могут рассматриваться как частный случай действий над спинорами определенного вида. Специфика тензорных операций в том, что в них на всем протяжении можно иметь дело только с парами спинорных индексов, причем каждая пара содержит один штрихованный и один нештрихованный индекс. Может по- казаться, что спинорная алгебра гораздо богаче, чем обычная тензорная алгебра, так как существует большое число спинорных операций, не имеющих на первый взгляд тензорных аналогов, например свертка двух спинорных индексов или перестановка пары спинорных индексов. В данном параграфе мы покажем, что такие операции, возникающие в спинорном формализме, на са- мом деле тоже имеют тензорные аналоги. Всякая алгебраиче- ская спинорная операция и всякое алгебраическое спинорное уравнение имеют тензорные представления, по крайней мере е точностью до знака. Преимущество спинорного формализма не в том, что ои допускает более широкий класс операций, а в том, что в спинорном формализме усматриваются различные опе- рации, которые в тензорном представлении выглядят исключи- тельно сложно и потому тензорным формализмом не выявля- ются. Интересно, что некоторые из этих, казалось бы, «неесте- ственных» в тензорном представлении операций в действитель- ности часто используются в физических приложениях. Другой важный момент — то, что линейному спинорному уравнению ча- сто соответствует нелинейное тензорное уравнение. Обращение знака следа тензора Прежде чем говорить об общем случае, остановимся на не- скольких частных примерах. Рассмотрим произвольный сим- метричный (возможно, комплексный) мировой тензор валснт-
СПИНОРЫ И МИРОВЫЕ ТЕНЗОРЫ 191 гот ности 2 : ТаЬ = ТЬа. C.4.1) В спинорной форме равенство C.4.1) принимает вид C.4.2) что можно переписать как а'в' = у (Тава'В' + Тавв'А') + -у (Твав'А' — Тавв'а). C.4.3) Выражение в первых скобках симметрично по А', В' и в силу равенства C.4.2) симметрично также по А, В; второе слагаемое кососимметрично по Л, В и в силу равенства C.4.2) также по А', В'. Двукратное применение формулы B.5.23) к выражению во вторых скобках дает 1 аЬ — 1 АА'ВВ' — °АВА'В' ^ ВАВЕА'В'Т> \O.t.t) где SaBA'B' = Т(АВ) (А'В') = Т(АВ) А'В' = ТАВ (А'В'), C.4.5) х = -j Тсс с = -т Тс . C.4.6) [Разложение C.4.4) есть частный случай разложения, получен- ного в § 3, см. формулу C.3.56).] Можно переписать C.4.4) как Т t = S «. 4- в «.т /Я 4 71 Тензор Таь действителен тогда и только тогда, когда действи- тельны т и Sab. Тензор Sab, очевидно, симметричен и след его равен нулю: S/ = 0 C.4.8) (вследствие симметрии по А, В или по А', В'). Мы называем Sab бесследовой частью тензора Таь. Из C.4.7) и C.4.6) по- лучаем ab — ¦* аЬ 7 е °а*' \o.t.\J) Теперь можно рассмотреть операцию обращения знака сле- да, т. е. перехода к тензору, след которого имеет знак, противо- положный знаку следа заданного тензора Таь: Г" • т —Тса /ЧД1П\ ab •—1 ab п ^ с sab1 \o.t.l\J) Действительно, имеем Тсс=-Твс C.4.11)
192 ГЛАВА 3 и в спинорной форме Tab==TABA,B, = SABA,B, — eABpA,B,T. C.4.12) Сравнивая это с C.4.4), мы видим, что Tab ~~2^c Sab = ^ABA'B' = ?' ВАА'В' == ?АВВ'А" C.4.13) Следовательно, в спинорном представлении тензора Таь опера- ция обращения знака следа реализуется перестановкой спинор- ных индексов А и В или, что эквивалентно, перестановкой ин- дексов А' и В'. Дуальное преобразование Теперь рассмотрим произвольный антисимметричный (воз- Г О"! можно, комплексный) мировой тензор валентности I 2 I • иногДа называемый бивектором: Fab = -Fba. C.4.14) В спинорной форме b' = — Fbb'aa'j C.4.15) откуда следует представление FabA'B' = -^ (FABA'B' — FАВВ'А') + у {FАВВ'А' — FbAB'A') . C.4.16) В силу формулы B.5.23) мы имеем Fab= где1) Отметим, что спиноры ФАВ и фА,в оба симметричны ввиду ра- венства C.4.15). Заметим также, что если спиноры фАВ и $## произвольны (но симметричны), то соответствующий тензор Fab, согласно выражению C.4.17), должен быть кососимметричным по а, Ь. Из C.4.17) находим Fab = Fwab = Фа>В'ЕАВ + Е ') В литературе часто используется величина S^"* (= S{ABjcd]), для которой ФАВ = SABcdFcd и $>А,В. = SA,B,cdFcd. В наших обозначениях ее, очевидно, можно записать в виде SABcd = A/2) ewceBjDeCi)'.
СПИНОРЫ И МИРОВЫЕ ТЕНЗОРЫ 193 Таким образом, операция Fab\-*-Fab соответствует перестанови спиноров -фл,в, и фА,в,- Следовательно, если тензор Fab действ и телен, мы имеем $АгВ> = ф#в, и И наоборот, из возможности такого представления следует дей- ствительность тензора Fab- Следовательно, существует взаимно однозначное соответствие [в силу первого из равенств C.4.18) и выражения C.4.20)] между действительными бивекторами Fab и симметричными спинорами флв. Важный пример такого соответствия дает тензор электромагнитного поля Максвелла (гл. 5, § 1). [В компонентном представлении шесть действитель- ных величин Foi, F02, /"оз, Лг, F13, F2s несут ту же информацию, что и три комплексные величины Фоо, Фои Фп- Связь между ними дается формулами E.1.59) и E.1.62).] По определению дуальный образ *Fab (не обязательно дей- ствительного) бивектора Fa» есть 'Fab^^eabcdFcd = ^eabcdFcd. C.4.21) Таким образом, применяя формулу C.3.44) к тензору C.4.17), получаем 'Fab = 'FABA'B> = ~ WaB*A'B> + Кв**» C'4'22) C.4.23) Мы видим, что дуальному отображению в спинорном формализ- ме отвечает перестановка пары спинорных индексов с последую- щим умножением на ±i. Из этих формул [а также из C.3.45)] следует, что дважды дуальный бивектор равен первоначальному со знаком минус: •Fab=-Fab. C.4.24) •• Разумеется, можно определить дуальное отображение на любой паре индексов, по которым теизор кососимметричен. Например, если Сгаьл = G[ab\ л, то можно определить тпаьл как есй0 C.4.25) В этой связи полезна следующая лемма (индекс s4- заменен ин- дексом с&): •Ор*]« —О**-'»*.* —0. C.4.26) 7 Зак. 1142
194 ГЛАВА 3 Для доказательства мы сначала заметим, что [формула C.3.43)] G =е ре qe rG = -е epqrdG = \abc\SS s[a S ft s<;| ^pqrSf 6 "bed pqrSS = L e 'Gpd C 4 27) 3 abed p399 ^ ••*»¦ / а также Можно ввести операции дуального отображения на одном или трех индексах. Пусть !а.л — произвольный тензор, а Каъся — тензор, кососимметричный по а, Ь, с; тогда мы определяем C.4.29) C.4.30) Легко показать так же, как это сделано выше, что *' — ' **" v - C.4.31) и (с заменой si- иа йЯЗ и & на d2D) C.4.32) l\abcd\ V~T Babedlf x K\abcd\ 3> = -^ eabed Kf SI- Используя C.3.31), мы получаем следующие спинорные формы записи для C.4.29) и C.4.30): /tf'* C.4.33) C.4.34) Возвращаясь к тензору Fab, рассмотрим два случая: *" 'Fab = ~ *Fab' /-* л чк\ И- 'Fab = iFah. CA35) В первом случае мы говорим, что тензор Fib антисамодуален, а во втором — тензор самодуален. Ввиду C.4.23), эти условия эквивалентны следующим: тт и г с C.4.36) II» FaBA'B' *=» — FbAA'B' = ГАВРА'-
СПИНОРЫ И МИРОВЫЕ ТЕНЗОРЫ 195 Компактно это можно записать так: I. Faba'b> — F(ab)\a'b'\> „ . „, тт F f C.4.37) И • Г АВА'В' = Г [АВ] (Л'ВО • Ненулевой самодуальный или антисамодуальный бивектор обя- зательно комплексный. Очевидно, что величина, комплексно-со- пряженная самодуальному бивектору, будет антисамодуальной, и наоборот. Если Fab — произвольный комплексный бивектор, то тензор ~Fab:- у (Fab + i'Fab) = фАВвА,в, C.4.38) будет акгысамодуальным, а тензор Ч» ¦= Т {Кь ~ ?Fab) - Чв^А'в' C-4.39) будет самодуальным1). Следовательно, всякий бивектор Fab (однозначно) представляется в виде суммы антисамодуального и самодуального бивекторов: Fcb = ~Fab++Fab, C.4.40) кроме того, если Fab — действительный бивектор, то эти сла- гаемые комплексно сопряжены друг другу. Альтернативные не- обходимые и достаточные условия того, чтобы бивектор Fab был (I) антисамодуалъным или (II) самодуальным, имеют вид (I) ФА,в, = 0, (И) фАВ = 0, соответственно. При этом ТТ F -р * C-4'41) 11 • ^аЬ^Чв^А'В- Дуальный поворот Fab *—> {6)Fab определяется следующим об- разом: mFab := Fab cos 9 + *Fab sin 9 = ~Р<*Г* + +Fabei0. C.4.42) В силу определений C.4.38) и C.4.39) получаем mFab „ е-«Ч>АВвА,в, + еЧАв^А,в, C.4.43) Таким образом, в общем случае, операция Fabt~^i&>Fab соот- ветствует операциям фАВ н-> е~1вфАВ и фл,в, н-> е'е1|)д,в„ т. е. пе- реходу ~Fab*-^~Fabem и +Fabк-»- +Fa6e'9. Если бивектор Fab действителен, то преобразованию ^лв^-е~19^дв отвечает ото- 1) Выбор именно такой терминологии оправдывается тем, что фотон с по- ложительной спиральностью описывается (положительно-частотным) комп- лексным полем Максвелла +FBb, которое самодуально, а фотои с отрицатель- ной спиральностью — антисамодуальным полем "F^. 7»
196 ГЛАВА 3 бражение Fab>-^-'mFab (т. е. отображение ~Fab*—> ~Fabe~ie). Заметим, что бивектор 'Fab есть частный случай бивектора чЯаЛ при 8 = я/2. Существует ряд свойств (анти) самодуальных бивекторов, которые легко усматривается в спинорном представлении, но которые далеко не столь очевидны в тензорном формализме. Если ~Fab — произвольный антисамодуальный бивектор, а +Gab — произвольный самодуальный бивектор, то, например, -Fah + Gab = 0, C.4.44) -Fab+Gbc=+Gab-Fbc. C.4.45) Уравнение C.4.44) легко проверить, используя как тензорный, так и спинорный подход, но уравнение C.4.45) гораздо проще получить, используя спиноры. Обе части этого уравнения равны просто Ф C.4.46) ~Раь = $АвъА>в> и +°аь = *авЧа-в» Очевидно также, что су- ществует взаимно однозначное соответствие между величиной C.4.46) и тензором Чтобы перейти от C.4.46) к C.4.47), достаточно умножить C.4.46) на — ebdbb,d. (= — gbd), а затем переставить В с С и А' с D'. Таким образом, от сверток в уравнении C.4.45) можно перейти к тензорному произведению C.4.47), а затем выделить тензоры ~Fab и +Ga& с точностью дб множителя. В тензорном же представлении эти перестановки индексов отнюдь не яв- ляются простыми операциями. Мы вскоре сформулируем общий метод представления таких спинорных операций на тензорах. Для решения задачи, сформулированной выше, можно исполь- зовать проекционный («unscrambler») оператор Робинсона: 1аР8ь]г+ Ye«r} { g,/g/ " у *с/4 } C-4-48) С помощью спиноров нетрудно показать, что -Fab+Gcd = DabcdDq -Fpr +Gr,. C.4.49) Пример, имеющий отношение к равенству C.4.45) — доказатель- ство эквивалентности различных представлений для электромаг- нитного тензора энергии-импульса [формула E.2.3) ] которое проводится гораздо проще в спинорном формализме, чем в тен- зорном.
СПИНОРЫ И МИРОВЫЕ ТЕНЗОРЫ 197 Общий метод перехода к тензорам Выше мы видели, что в случае симметричного тензора ТаЬ перестановка спинорных индексов А, В приводит к обращению знака следа. В случае же кососимметричного тензора Fab пере- становка А, В приводит к дуальному тензору, умноженному ГОТ на L В случае произвольного тензора Наь валентности сле- дует рассматривать комбинированное отображение, так как, за- писывая НаА'ВВ' = Н(аЪ) + Н\аЪ\> C.4.50) мы имеем НвА'АВ' = H{at» + \"Н\аЬ\, C.4.51) Я(аб) — i'tf [a»i. C.4.52) Выполняя эти операции в явном виде, получаем - j (Hah + Hba - Hccgab + ieahcdHcd), C.4.53) - у (Hab + Hba - Hccgab - ieahcdHcd). C.4.54) Замечательно, что эти сложные тензорные выражения соответ- ствуют очень простой спинорной операции, а именно переста- новке двух индексов. Для дальнейших ссылок мы приведем также следующие формулы: " \ab\ == "\АВ\ (А'В') "Т" "<ЛВ> |Л'ВЯ === "8АВ" С {А'В'\ > ~2ЪА'В ^>АВ) С • C.4.55) ^(ай) == "(АВ\ (Л'В') i ™[АВ\ \А'В'\ == "(АВ) (А'В') "Г "J гАВВА'В'"сС C.4.56) Мы можем переписать C.4.53) и C.4.54), пользуясь определен- ными тензорными операторами. Положим /; cd_eD8c8 С» С__±.(п °а d 4- а йв с a acd4-\p ed\ uab еА еВ аА' аВ' 2 \?а&Ь Tga gb ga6g -|- ieaft J. C.4.57) Тогда ~ d dHcd. C.4.58)
198 ГЛАВА S Отметим, что Uabtd = ^e/b, C.4.59) Ubacd = Uabcd = Uabdc. C.4.60) Таким образом, можно, например, написать НВАА'В- = y^abfjcd^ Навв/аг = иЬаСЧНы C.4.61) и т. д. Выполняя эту операцию повторно, можно представить перестановку любых спинорных индексов некоторого мирового тензора полностью в тензорной форме. Этот результат можно рассматривать как следствие того, что произвольная переста- новка может быть представлена в виде произведения переста- новок пар индексов (транспозиций). Рассмотрим, например, тензор Qabcd = QAA'BB'cc'DD'- Чтобы найти тензорное выражение для Qcabdd'b'CA', можно рассмотреть следующую цепочку транс- позиций: QaBCDA'B'C'D' *-* QbACDA'B'C'D' *-* QCABDA'B'C'D' >—> QcABDD'B'C'A'. C.4.62) Таким образом, QCABDD'B'CA' = QaAcldlUalbiaiblUbcbteiUadaid\ C.4.63) Ясно, что заданную перестановку индексов можно предста- вить в виде последовательных транспозиций разными спосо- бами, и при этом мы получим различные, но эквивалентные вы- ражения вида C.4.63). Доказательство этой эквивалентности в тензорном формализме может выглядеть очень сложно. Возь- мем простой пример. Поскольку перестановка пары нештрихо- ванных индексов всегда коммутирует с перестановкой пары штрихованных индексов, должно выполняться тождество UabdxUxcef = UbcxfUaxde. C.4.64) Оно справедливо, так как после свертки с произвольным тен- зором Rdef обе части равенства должны давать Rba'accb1- Од- нако прямое доказательство тождества C.4.64) не столь просто. Если мы рассмотрим различные представления некоторой перестановки, включающей только нештрихованные спинорные индексы, в виде цепочки транспозиций, то получим ряд соотно- шений, которым удовлетворяет тензор Ьаьсй. Например, переста- новка ABC-+¦ CAB может быть представлена как ABC-*-ВАС-*- -+САВ, или АВС-+АСВ-+САВ, или АВС-+СВА-+САВ, что дает t? = UabXUxcei = U^UJK C.4.65)
СПИНОРЫ И МИРОВЫЕ ТЕНЗОРЫ 199 Очевидно, что с учетом равенства C.4.60) каждое из этих ра- венств в действительности эквивалентно тождеству C.4.64). Если учесть соотношение UabcdUcdef=gaegbf, C.4.66) которое выражает тот факт, что замена АВ-*-ВА^>АВ приво- дит к тождественной перестановке индексов, то все тождества для тензора Uabcd, которые можно получить указанным мето- дом, сводятся к уже найденным тождествам '). Мы не приводим подробное доказательство этого утверждения. Оно сводится к доказательству того, что все представления заданной переста- новки в виде цепочки транспозиций переводятся друг в друга с помощью преобразований, рассмотренных выше. Теперь перейдем к задаче представления спинора общего вида %л в форме мирового тензора. Вначале предположим, что все индексы находятся в нижней позиции. (Очевидно, что это не меняет информации, содержащейся в хл.) Если спинор Х^ = Хд eb'...'f' ИМеет одинаковое число штрихованных и не- штрихованных индексов, то для перехода к эквивалентному ми- ровому тензору нам потребуется самое большее произвести за- мену индексов. При необходимости получающийся комплексный мировой тензор можно рассматривать как два действительных мировых тензора, а именно его действительную и мнимую части. Разумеется, существуют различные замены индексов, приводя- щие к комплексному мировому тензору, например: Однако с учетом изложенного выше ясно, что все такие миро- вые тензоры эквивалентны и преобразуются друг в друга путем чисто тензорных операций. Так что при общем анализе не су- щественно, какой из набора эквивалентных тензоров будет вы- бран. На практике же этот выбор обычно диктуется соображе- ниями удобства. Далее предположим, что спинор хл = Хд ЕВ г имеет четное полное число индексов, хотя числа штрихованных и не- штрихованных индексов могут быть неодинаковыми. Мы на- зываем такой спинор четным. В этом случае мы строим тензор- ное произведение спинора %Л с достаточным числом е-спино- ') Существуют, однако, другие тождества для тензора Uabcd- Например, равенство U'abcd +Uadcb — 8acgbd отвечает е-тождеству B.5.22).
200 ГЛАВА 3 ров, чтобы полное число штрихованных и нештрихованных-ин- дексов было одинаковым. (При этом новый спинор несет ту же информацию, что и исходный.) После такого умножения мы возвращаемся к задаче, которая обсуждалась выше, что позво- ляет получить комплексный мировой тензор (или два действи- тельных мировых тензора), которым представляется спинор' 1Л. Как и прежде, может быть несколько эквивалентных тен- зорных представлений. Результат будет тем же и в том случае, если мы возьмем в качестве множителей избыточное число е-спиноров, поскольку эти избыточные спиноры с помощью за- мены индексов можно сгруппировать в пары вида 8PQ8p/Q,. В тензорном представлении такая пара есть просто gpq. Тензор, содержащий такой множитель, несет ту же информацию, что и тензор без него. Наконец, предположим, что спинор %л= %А... ЕВ>... г не~ четный, т. е. имеет нечетное полное число индексов. Для него не существует полного тензорного аналога, поскольку это — чисто спинорный объект. (Напомним, что любое тензорное произведе- ние нечетного числа спин-векторов или сопряженных спин-век- торов в фиксированной точке изменяет знак при непрерывном активном повороте вокруг этой точки на 2я, поскольку при этом меняет знак каждый из сомножителей; спинор %л есть сумма таких тензорных произведений, а значит, обладает этим свой- ством.) Таким образом, мы можем рассчитывать найти требуе- мое тензорное представление лишь с точностью до знака. Учи- тывая это, мы можем применить прием, указанный выше, к чет- ному спинору 1Л%^2, которым спинор %л определяется с точ- ностью до знака. Можно сказать, что процедура тензорного представления спин-вектора, изложенная в § 2 по существу основана на этом методе. Выбирая в качестве исходного объекта спин-вектор у.а, мы «квадрируем» его, чтобы получить четный спинор ках>в- Умножение на гА,в, приводит к комплексному ми- ровому тензору «д«в8д/В/, так, как это описано выше. Чтобы получить геометрическое представление этого объекта, мы бе- рем (удвоенную) действительную часть и получаем Рав = *а*1в е^'В' + вав*а'*В'> что соответствует тензору C.2.9) с опущенны- ми индексами. Нет необходимости рассматривать также мнимую часть тензора идивел,в„ поскольку она совпадает с одной вто- рой тензора *Раь, дуального тензору Раь- Геометрическая интер- претация величины — *Рпь не существенно отличается от интер- претации тензора Раь, поскольку этот тензор изображает изо- тропный флаг с тем .же флагштоком, что и %А, но полотнище флага повернуто в положительном направлении на я/2 (т. е. со- ответствует полотнищу флага спин-вектора е'я/4%д). Комплекс-
СПИНОРЫ И МИРОВЫЕ ТЕНЗОРЫ 201 ный бивектор хдхвел,в, есть просто антисамодуальная') часть тензора Раь, т. е. тензор ~Раь- Далее, рассмотрим различные тензорные аналоги спинорных операций. Выше была рассмотрена перестановка спинорных индексов общего вида. Легко проанализировать операцию комплексного сопряжения: тензор, эквивалентный спинору, ком- плексно-сопряженному данному, есть величина, комплексно-со- пряженная тензору, эквивалентному данному спинору. Анало- гично, умножение четного (нечетного) спинора на скаляр соот- ветствует умножению эквивалентного тензора на тот же скаляр (квадрат скаляра). Операции тензорного произведения спиноров отвечает, в сущ- ности, тензорное произведение соответствующих тензоров. Про- иллюстрируем нетривиальность этих утверждений на примерах. Пусть мы имеем два четных спинора фда и Фав'С'п'- Эквива- лентные комплексные мировые тензоры имеют вид РаЬ = "§АВ*>А,В, и Qabc = ^ЛЛ/В/С/8ВС. Как указано выше, тензорное произведение ^ab^cd'B'f' может быть представлено тензором Rabc = ЪавФСа'в'о" Очевидно, что тензор Rabc не совпадает с тензорным произведе- нием тензоров Раь и Qabc- Однако путем перестановки спинорных индексов в тензоре PabQcde (т. е. ряда последовательных сверток с величинами U. ,;••) мы можем преобразовать его к виду ^AB^CA'B'C^DB^D'E» ЧТ0 СОВПЭДаеТ С Rabcgde- В ЭТОМ СМЫСЛе Rabc и PabQcde тензорно-эквивалентны. В качестве второго примера рассмотрим тензорное произве- дение четного спинора tyAB с нечетным спинором, скажем %А. Мы переходим к Раь, как в предыдущем примере, и пусть %аь == %а%в&а'в" Тензорное представление тензорного произведе- ния $ав1с принимает вид (^ABlc) ($DElF) ^a'b^cd^b'f- Oho кваД" ратично по tyAB, а также по %а, тогда как тензорное произведе- ние PabXcd линейно по г|3/1в и квадратично по |д. Таким образом, эти две величины нельзя рассматривать как «тензорно-эквива- лентные» в указанном смысле. Тензорному же произведению спиноров можно сопоставить тензор PabPcdXef. В качестве третьего примера рассмотрим случай, когда |д и Хаь те же, что в предыдущем примере, и фиксируем второй нечет- ный спинор, скажем г\АА,в„ для которого Yabcd = т)лл,в,т)вс/^со. Тензорное произведение тензоров XabYcdef квадратично и по |л и пот)сс,0,; следовательно, его нельзя считать «тензорно-эквива- ') Величины Раь, *Раь и ~Раь оказываются изотропными тензорами. Смысл этого утверждения объясняется в § 5 [формула C.5.28I. Поэтому комплексный бивектор ~Раь есть антисамодуальный изотропный бивектор; это означает, что он представим в виде 'ха'>1вва'В'- Следовательно, существует тесвэя срязь между такими бивекторами и спин-векторами,
202 ГЛАВА 3 лентным» в указанном смысле тензору, представляющему тен- зорное произведение спиноров 1АЦСС,О„ поскольку это четный спинор и его не следует квадрировать для получения эквива- лентного тензора. Но если \А и 4CC,D, известны лишь с точ- ностью до знака и отсутствует информация об их относительном знаке, то четный спинор lA4cc,D, также определен с точностью до знака. В этом случае мы можем рассчитывать найти тен- зорное представление спинора \Ai\cc,D, лишь с точностью до знака. Следовательно, в лучшем случае мы можем найти тензор, эквивалентный квадрату AАЦВА,В,) (Ic^dcd')' КОТОРЫЙ будет тен- зорно-эквивалентен прямому произведению XabYc<tef. Несколько иная ситуация возникает в том случае, когда мы имеем ряд нечетных спиноров, относительные знаки которых из- вестны. Тогда знание тензора эквивалентного каждому из них, оказывается недостаточным. Дополнительно требуется найти тензоры эквивалентные тензорным произведениям различных нечетных спиноров. При этом задача, рассмотренная в предыду- щем параграфе, становится неопределенной. Однако, здесь сле- дует иметь в виду, что если известны тензоры Е^т)^> т1#,'П#г и ц^, то известен и тензор \^х (поскольку известно произве- дение TtatiifctfSy). Перейдем теперь к операции сложения спиноров. Если оба спинора четные, то из линейности операции сложения (считая, что тензорные эквиваленты получены одним и тем же способом), мы получаем, что тензор, эквивалентный сумме, есть сумма тен- зоров, эквивалентных слагаемым. Ситуация не столь проста в случае нечетных спиноров. Пусть %л и ч\л — нечетные спиноры. Посмотрим, как можно выразить сумму Ir + ir-tr <3'4-68) через квадраты спиноров %,л, *\л и &*. Если спиноры ?,*, т\л и ^л известны лишь с точностю до знака, то четыре уравне- ния ?^±^±^=0 C.4.69) (где знаки варьируются независимо) неразличимы. Рассмотрим тензорное произведение этих четырех уравнений, симметризо- ванное по своим собирательным индексам: &,€, + V. + кл) F*. + *U - U) X X (U - П* + U) (U - Чс„ - U)) = 0. C.4.70) Из C.5.15) следует, что левая часть равна нулю тогда и только тогда, когда в каждой точке один из множителей обращается в нуль. (Может оказаться, что в разных точках обращаются в
СПИНОРЫ И МИРОВЫЕ ТЕНЗОРЫ 203 нуль разные множители, но эту возможность мы здесь рассмат- ривать не будем.) После перемножения C.4.70) получаем &ал ~ Щл1л?л?л, = 0. что, очевидно, можно выразить через тензорные квадраты спи- норов \л, х\л и 1,л. Таким образом, тензорный эквивалент ра- венства C.4.68) для нечетных спиноров можно получить, под- ставив в C.4.71) тензоры, эквивалентные произведениям *Л$А,г ^Л^Лг И &Л&Л,- Если же относительный знак спиноров \л и г\я известен, а также найдены тензоры, эквивалентные произведениям 6*i«,' Че.П* и WU.» то задача существенно упрощается, по- скольку в этом случае можно непосредственно квадрировать равенство C.4.68), а затем перейти к тензорам. Наконец, рассмотрим операцию свертки. Вследствие форму- лы B.5.23) свертка есть просто антисимметризация с последую- щим отделением множителя A/2)е*у. Таким образом, имея тен- зорный аналог операции перестановки индексов и сложения, мы можем получить тензорный аналог свертки. Однако проще найти тензорное представление свертки непосредственно используя тензор Uabcd определенный в формуле C.4.57). Поскольку Udc CDc'D' имеем j>QcdUadcb. C.4.72) Итак, мы показали, что (если не считать неопределенности в знаке для нечетных спиноров) всякий спинор и всякая спи- норная операция имеет тензорный аналог. Одновременно мы по- казали, что тензорные аналоги простых спинорных операций мо- гут выглядеть очень сложно. Поэтому на практике при вычис- лении тензорных эквивалентов спинорных выражений иногда оказывается проще не использовать общую теорию, а найти тре- буемые соотношения прямым вычислением. Однако для подоб- ных вычислений не существует общего рецепта. Переход к тен- зорам часто оказывается исключительно громоздкой процеду- рой. Дополнительные сложности возникают при переходе к,тен- зорным аналогам производных от спиноров. Этот случай мы рассмотрим в гл. 4, § 4. § 5. Простые свойства тензоров и спиноров в точке В данном параграфе мы рассмотрим ряд полезных соотно- шений, которые выполняются для спиноров (или тензоров) в фиксированной точке пространства. Другими словами, эти со-
204 ГЛАВА S отношения могут нарушаться в случае спинорных полей (хотя в действительности они могут нарушаться лишь для полей спе- циального вида). То, что точка пространства считается фикси- рованной, мы выразим в виде следующего условия: © есть коль- цо комплексных чисел с делением. [Свойства вплоть до C.5.17) включительно имеют место и в том случае, когда @ есть про- извольное коммутативное кольцо с делением и нулевой харак- теристикой, а также в том случае, исключая C.5.15), когда © имеет произвольную характеристику, отличную от 2.] Предложение Если ^ф# = 0, то либо ф^ = 0, либо фя — 0, C.5.1) Доказательство: Поскольку <В есть кольцо с делением, условие (S-V*) (л*&») = 0 означает, что g^^ = 0 или ц*фЛ = 0. Это имеет место для всех %Л е <&"*, rf e ©*, откуда и следует наше утверждение. Предложение Если г|5^ = хА^0' то ¦* — ***• ^*=*~10« для некоторого v. e ®, отличного от нуля C.5.2) Доказательство: Поскольку фл ф О, можно выбрать I* так, что X := ф#Ця ф 0. Мы имеем ^^ФЯ1Я =Х^^> поэтому фл= = к%Л, где x = A,~I0^i*. Очевидно, что х Ф 0, поскольку $лф Ф 0. Далее_ 0 = ЪЯФЯ - %J$# = %л {*ФЯ - Вя), но %л Ф 0, от- куда фя = к !бй в силу предложения C.5.1). Предложение Ф 0, то Ъяя = ал$а> в*я = Ух$я для некоторых Доказательство: Поскольку ф^а Ф 0, можно выбрать 1У и т|* так, что К :=l*4^t3) Ф 0. Мы имеем ф^Я. = (х^ч?)(|%в); следовательно, полагая а^ = АГ'х^т^ и Ря = 6увуя, получаем Уля = ал$я- Аналогично ^^=(х^адля некоторых цг v^,. Таким образом, Х^^ = a^ve(i^ рл и в случае предложения C.5.2) гля = у&лчш и вул == кЦуРл Лля некоторого xeS. Достаточно положить p,2, = Kva) и Yy = t~Vy> чтобы получить требуемый результат.
СПИНОРЫ И МИРОВЫЕ ТЕНЗОРЫ 205 Представляют интерес различные частные случаи предло- жения C.5.3). Например, если 2) = 38. 1лл = ЪЛа1 и ^*#=в**' то C.5.3) дает И° ¦л*-в„,-*ЛЛвГЛ,ФО следует *ля = аЖ» Qv**=VvPa для ^которых ал, $#, Ysr. C.5.4) Более специальный результат имеет вид *•,¦*» ^ ° следУет некоторых а^, р^. C.5.5) Если множество индексов, отвечающих символу 3), пусто, мы имеем Из ЪЛя$< = %?Як Ф 0 следует ^ля = *Ля> ^sK^sfre для некоторого ?Л. C.5.6) Действительно, так как р^, будет в этом случае (ненулевым) скаляром, в C.5.3) можно положить ъ$ = 9~1$я. Дальнейшее упрощение получается в том случае, когда множество индексов, отвечающих символу 3&, также пусто. При этом мы снова по- лучаем соотношение C.5.2). Если фиксировать & = <%, ^л — хл и $л ~ ^./> в C.5.2), то мы получим соотношение, которое яв- ляется специальным случаем соотношения C.5.4): Из ^.Аи^0 следует: либо фЛ = и^ для некоторого и е ©, либо Фл = 0. C.5.7) Предложение Следующие три условия на XASSQ эквивалентны: I. A-^^j имеет вид р^я для всякого |с s S^; III. Хяяа можно представить либо как a^fj3, либо как Э^р^. C.5.8) Доказательство: Заметим, что условие II можно переписать в виде * + WW* - *¦-****** - *¦****-•** - о. C.5.9)
206 ГЛАВА 3 Теперь предположим, что выполняется условие I. Тогда полу- чаем соотношение которое симметрично по 9i\, &i. Таким образом, Это справедливо для всех ?<? е <&$ и в силу формулы C.3.23) мы получаем соотношение П. Пусть теперь выполнено условие II. Тогда равенство C.5.11) справедливо для любого ^е©^. Оно аналогично соотношению, приведенному в предложении C.5.3), при *ла = ЬАЛ% = Флл = Х*а='вм <? = *. & = Я), откуда следует условие I. Таким образом, условия I и II эк- вивалентны. Очевидно, что из условия III следует I. Пусть теперь выполняется условие I, и ^лл°%д = pjs#> Чг*Ст1$ — = о^а. Поскольку условие II при этом также выполняется, можно свернуть C.5.9) с tOli\Q2 что приводит к соотношению (РЛ, - PA,) (S А - 2*1**) = 0. C.5.12) Вследствие предложения C.5.1) должен обращаться в нуль один из множителей. Если это первый множитель, то часть выра- жения 4, C.5.13) кососимметричная по st-\, st-2, должна обращаться в нуль, если же равен нулю второй множитель, то должна обращаться в нуль часть этого выражения, кососимметричная по &\, &2- При за- данном \,Q величины y\Q, для которых выполняются оба эти усло- вия, образуют линейное пространство. Поскольку объединение этих линейных пространств есть E^, то одно из них должно совпадать с ©<?; следовательно, выражение C.5.13) либо косо- симметрично по s?\, st-2 для всех i\Q e E^, либо кососимметрично по <8Х, &2 для всех i\g^<BQ. To же справедливо для \q. Таким образом, выражение ^«W* C-5.14) либо симметрично по s&u ^-2, либо симметрично по 3S\, 3S2. То- гда условие III следует из утверждения C.5.4). Предложение условие ф^ _ *г*фЛг+1 ...,«г+/ = 0 означает, что мйо Ъ{Ла„.л/ = 0' либ° V,-^/ = 0' C'5Л5)
СПИНОРЫ И МИРОВЫЕ ТЕНЗОРЫ 207 Доказательство: Это следует непосредственно из предложений C.3.22) и C.5.1), примененных к выражению $Л -сЛ *?"*' ••• . . . Р*гф V^fr+l ?*r+s 6 гЛг+х...лг+а ь ••• S Все результаты, перечисленные выше, справедливы для про- странства любой размерности. Существует однако, несколько специальных результатов, существенно использующих двумер- ность спинового пространства. Например, так как из B.5.23) следует, что свертка спиноров эквивалентна антисимметризации, из C.5.4) имеем Если $ля> Э?Л ф 0, то из равенства $лвв%я = 0 следует, что ^==a^pB, Э^в = у^Рв для некоторого рв. C.5.16) Если множество ?? пусто, то в C.5.16) можно положить %л = = у~1ал, тогда имеем Если Хв Ф 0, то из равенства $ЛВЬВ = 0 следует, для некоторого %л. C.5.17) Еще более частное утверждение B.5.56) получается, когда мно- жество s& также пусто. • Главные изотропные направления Если учесть не только двумерность спинового пространства, но и тот факт, что кольцо комплексных чисел с делением © ал- гебраически замкнуто, то справедливо следующее предложение: Предложение Если <1>АВ...Ь==<1>{АВ...Ь)ФО, ТО для некоторых аА, $А, ..., КА е <©л. Это разложение единственно с точностью до чис- ленных коэффициентов при множителях и порядка множителей. C.5.18) Доказательство: Выберем спиновую систему отсчета оА, И, та- кую, что 0 Ф фи... 1 = Фав... иЛв ••• iL. [Очевидно, что это возможно в силу предложения C.3.22).] Пусть элемент |Л s ©л имеет компоненты 6°=1, |' = z. Тогда если Фав...ь имеет а индексов, то Фав.. lV%b ••• ?L = ^oo...o + nz?io...o+ ... A.,) C.5.19)
208 ГЛАВА 3 в силу «фундаментальной теоремы алгебры», причем каждый из п множителей определяется однозначно с точностью до чис- Лённого коэффициента и порядкового номера. Рассматривая ве- личины ад, Ра» •.. Да как компоненты спиноров ал, Рд, .... А,д, мы получаем (а0 + гщ) =з<ха!а = ал!л и т. д.; следовательно, флв ... еЛЧ* ...tL = (ал|А) (Ыв) • • • DlL)- C-5.20) Таким образом, -.К}1л1в ...6?-0 C.5.21) для любого элемента |д, нормированного так, что |° = 1. Вслед- ствие однородности уравнения C.5.21) по %А эта нормировка оказывается несущественной, а потому уравнение C.5.21) спра- ведливо для всех \А. В таком случае требуемый результат сле- дует из предложения C.3.22). Представление симметричного спинора фл...ь?* 0 в виде симметризованного произведения одноиндексных спиноров ал %l называется его каноническим разложением. При этом ад, ..., XL называются главными спинорами. Всякий спи- нор, пропорциональный главному, тоже является главным спи- нором. Направления флагштоков, соответствующих различным главным спинорам, называются главными изотропными направ- лениями (ГИН), а соответствующие изотропные векторы назы- ваются главными изотропными векторами. Таким образом, вся- кое ГИН есть класс эквивалентности (относительно умножения на число) главных спиноров. Симметричным спинором Фа...ь (?=0) с я индексами однозначно определяется неупорядоченное множество ГИН, причем некоторые из них могут совпадать друг с другом. Мы говорим, что главный спинор (ГИН) имеет крат- ность k (k-кратно), если он отвечает множителю кратности k в произведении C.5.19) и, следовательно, встречается k раз в каноническом разложении. Сумма кратностей ГИН всегда рав- на п. Любой ненулевой симметричный спинор Фа-..l определяется своими ГИН с точностью до комплексного множителя. Для лю- бого заданного множества ГИН с предписанными кратностями такой спинор всегда существует. Отметим, что симметричные «-индексные спиноры имеют п + 1 комплексных (т. е. 2я + 2 действительных) степеней свободы, поскольку они имеют п + 1 независимых компонент ^оо...о> ^ю...о» •••> фп...1- Это согла- суется с тем, что всякое ГИН определяется одним комплексным числом (например i1/?0); это дает п комплексных параметров для всех изотропных направлений, и, кроме того, требуется еще один комплексный параметр — общий численный множитель в Фа... А-
СПИНОРЫ И МИРОВЫЕ ТЕНЗОРЫ 209 Из C.5.20) мы видим, что при 1А ф 0 равенство Фав...ь1а1в ...|l = 0 C.5.22) выполняется в том и только в том случае, если |4 — главный спинор [формула B.5.56)]. Рассмотрим случай кратного ГИН. Пусть ал есть ^-кратный главный спинор: Фав... DE...L = a{AaB ... аог\в ... Я,?), C.5.23) так что ал повторяется k раз в правой части и ни один из спи- норов х\а, ..., А-д не пропорционален а^. Тогда выполняя сим- метризацию в C.5.23) явно и сворачивая с произведением аЕ ... aL, содержащим п—k сомножителей а, получаем $AB...DE...i.aB ... of = иал<хв ... ас, C.5.24) где . ,, . .<• и - kl(n~k){ (ц&в) ... (XLaL) ф 0. C.5.25) Если же мы свернем обе части'равенства C.5.23) с произведе- нием п — k + 1 сомножителей а, то в результате, очевидно, по- лучим нуль. Таким образом, справедливо следующее предло- жение: ¦ ¦ " Предложение Необходимое и достаточное условие того, что \А ф 0 будет k-кратным главным спинором для ненулевого симметричного спинора <j>ab...l, состоит в том, что выражение 1>a...qh...lIh ...lL равно нулю, если свертка содержит п — k -f-1 мно- жителей |, и отлично от нуля, если число множи- телей I на единицу меньше. C.6.26) В качестве следствия получаем: Предложение Если 1АФО, ^л...о = Й...о) " 1А... 1%°^... CDE... о = 0, то существует спинор tfll.. С» тшсо"» что Фа... cde ... а = *w... АДв ''' W C.5.27) Данное предложение прямо следует из C.5.26), если перейти к фиксированному базису и заменить Ж индексами, принимаю- щими численные значения.
210 ГЛАВА 3 Мы будем называть симметричный спинор изотропным, если все его ГИН совпадают. Приведем критерий изотропности. Предложение Симметричный спинор фАВ...ь будет изотропным в том и только в том случае, если выполняется условие fw... if"'¦••*• = 0- C-5-28) Необходимость этого условия очевидна. Чтобы установить его достаточность, выберем спинор цв<11„и так, чтобы выполнялось условие АМи Тогда наше условие дает но в силу утверждения C.5.27) это означает, что существует скаляр т|>, такой, что откуда следует достаточность. Отметим, что в случае двухиндексного симметричного спи- нора флв = ЩлРв) мы получаем прямым вычислением Отсюда следует альтернативный критерий изотропности: равен- ство нулю произведения ц>авЦ>ав. Иногда полезно использовать понятие ГИН или главных спиноров даже в том случае, когда ^.../, = 0. По определению считаем, что всякий ненулевой спинор 1а можно считать глав- ным спинором для такого фА L, а роль его ГИН играют все изотропные направления. (В этом смысле нулевой спинор не является изотропным.) Отметим, что не существует простого аналога утверждения C.5.18), которое позволяет классифицировать спиноры ф... по кратностям их ГИН, для симметричных спиноров, содержащих как штрихованные, так и нештрихованные индексы. Схема, по- зволяющая провести классификацию таких спиноров, будет рас- смотрена в гл. 8, § 7.
СПИНОРЫ И МИРОВЫЕ ТЕНЗОРЫ 21! Простота кососимметричных тензоров В заключении данного параграфа укажем один полезный результат для антисимметричных тензоров в произвольном rt-мерном векторном пространстве ©а, который устанавливает свойства, аналогичные свойствам симметричных объектов. Предложение Если тензор Fop...p кососимметричен по всем р индексам, то Fia$...pF0]X...m = ()¦$=*¦ Fa.fr...0 = а[аЬ$ ... гР] для не- которых аа, Н. ... гр. C.5.30) (Тензор F..., представимый в виде такого кососимметричного произведения векторов, называется простым.) Необходимость этого условия показывается непосредственно: достаточно выра- зить второй множитель F... через аа, Ьх, .... а затем учесть, что каждое слагаемое в сумме должно обращаться в нуль вслед- ствие равенства а\а ... гоаа\ = 0 и т. д. Чтобы установить до- статочность, заметим, во-первых, что указанное условие можно переписать в виде Fafi...pFo%...e> — pF<j\fl ...pFolT...ffl- C.5.31) В справедливости этого соотношения легко убедиться, выполнив антисимметризацию в первоначальном выражении явно и от- делив слагаемые, в которых индекс в содержится в первом со- множителе F.... Свертка обеих частей равенства C.5.31) с и°их приводит к обращению в нуль левой его части, откуда следует, что (р — 1)-индексный тензор удовлетворяет тому же условию, что и сам тензор F.... Теперь предположим, что достаточность условия C.5.30) для (р — 1)- индексных тензоров уже доказана (в случае р — 1 = 1 доказа- тельство тривиально); тогда мы заключаем, что это справед- ливо и для р-индексных тензоров. Таким образом, по предполо- жению, при и" ф 0 имеем "а^аЦ...р = &1р ••• Гр] для некоторых 6р, ..., гр. Теперь выберем и" и С1-"® так, чтобы выполнялось условие да :=«aGt--<11Fat...u,=?fe0,
212 ГЛАВА $ и свернем обе части равенства C.5.31) с u°G'l — 's>. Это дает требуемое соотношение Fa.fi ...р==в|а6; ... Го|. где Таким образом, мы получаем доказательство по индукции. Легко видеть, что условие, сформулированное в предложении C.5.30), эквивалентно равенству 'F* ™Fm ..ш = 0, C.5.32) где тензор */•"• • ¦ (который имеет п — р индексов, если тензор F... имел р индексов) определяется так же, как в C.4.30) и C.4.21), соотношением •pb.. a = _Le6...oa.. v/?a y. C.5.33) [В я-мерном пространстве «альтернирующий> тензор е- имеет п индексов, отличен от нуля и кососимметричен, см. формулу B.3.4).] Поскольку равенство C.5.32) симметрично относитель- но */•'¦¦¦ и F... (с точностью до несущественного расположения индексов), мы имеем следующее предложение: Предложение Тензор Fn v является простым при том и только при том условии, что простым является дуальный ему тензор 'F&- °. C.5.34) Соотношения C.5.30) — C.5.34) справедливы в пространстве п измерений для кососимметричиых тензоров с произвольным числом индексов (^п). Но для нас особенно важным будет случай бивектора FOb в четырехмерном пространстве. В этом случае можно сформулировать дополнительные критерии про- стоты. Предложение В четырехмерном пространстве бивектор Fab будет простым то- гда и только тогда, когда выполняется одно из следующих условий: I. F[MFcd\ =0; II. Fab'F0" — 0; III. det (Fab) = 0. C.5.35) Доказательство. Легко видеть, что F\abFcl d = F\abFcd\ = (f4ab«d C.5.36)
СПИНОРЫ И МИРОВЫК ТЕНЗОРЫ 213 для некоторого скаляра q и антисимметричного единичного тензора я... Первое из этих тождеств совместно с предложе- нием C.5.30) позволяет доказать утверждение I. Сворачивая второе тождество в C.5.36) с eabcd при х\аЬслгаЪса ф О, мы полу- чаем условие II. Его можно проверить и непосредственно, пере- ходя к специальной системе координат. Последнее условие III получается с помощью хорошо известной теоремы, утверждаю- щей, что определитель кососимметричной матрицы есть полный квадрат. Действительно, в нашем случае det(Fob) = -i.(Faft-Fa6J. C.5.37) Следовательно, условие III эквивалентно условию II, чем и за- вершается доказательство нашего предложения. Отметим, что предложение C.5.30) справедливо только для тензоров в фиксированной точке пространства и нарушается в случае тензорных полей. Замечательно простым примером мо- жет служить бивектор в евклидовом пространстве, который в де- картовой системе координат х, у, г имеет компоненты _ аЬ Он дуален радиус-вектору га=(л, у, z) и является простым в каждой точке в силу предложения C.5.34), поскольку объект г", очевидно, прост. Но из равенства C.5.32) следует, что raFab=0. Тогда из Fab = U[aVb] следовало бы, что r"Ua = = reVo=0, т. е. векторы UO и Va должны быть ортогональны вектору га. Это означает, что на сфере постоянного радиуса Uo и Va задают нигде не обращающиеся в нуль касательные век- торные поля. Но из топологии (теорема о «неподвижной точке») мы знаем, что такие поля не существуют. Отсюда явствует, что теорема нарушается даже в произвольно малой окрестности на- чала координат. Следует помнить, что и все другие результаты, перечислен- ные в данном параграфе, могут нарушаться при переходе от тензоров в точке к тензорным полям. § 6. Преобразования Лоренца В качестве приложения результатов, полученных выше, мы рассмотрим структуру преобразований Лоренца. Наш подход будет несколько иным, нежели в гл. 1, § 2 и 3. Некоторые свой- ства преобразований Лоренца будут установлены заново, что
214 ГЛАВА 3 поможет лучше понять связь между этими двумя точками зрения. В частности, мы дадим прямое доказательство ключевого ре- зультата гл. 1, § 2 — предложения A.2.27), которое гласит, что всякому ограниченному преобразованию Лоренца Lb: Va >—* Wb соответствуют два и только два спиновых преобразования ± Тав : ЦА >—*• ±Ti8, и наоборот. Однако мы пойдем дальше и рассмотрим не только собственные, но также несобственные преобразования Лоренца. (Так же, как в § 5, мы будем рас- сматривать спиноры и тензоры только в фиксированной точке пространства. Таким образом, © и X будут соответственно коль- цами комплексных и действительных чисел с делением.) В наших обозначениях указанные активные преобразования записываются в виде LbVa = wbf Tjb^a = ^в C.6.1) Здесь мы требуем выполнения условий Lb е 1аь и ТАВ е <адв. Искомая связь между этими преобразованиями получается из требования, чтобы при действии на любой вектор V е V оба они давали один и тот же результат, причем спиновая форма записи преобразования вектора имеет вид ' = WBB'. C.6.2) Так как элементы Lab и Т авТ а^' отвечают одному и тому же отображению из %а в $\ должно выполняться соотношение Lab = TABTA'B'. C.6.3) Следовательно, мы должны показать, что если Lab есть ограни- ченное преобразование Лоренца, то оно всегда «расщепляется» согласно формуле C.6.3), где Тав есть спиновое преобразование, определенное с точностью до знака; и наоборот, если ТАВ есть спиновое преобразование, то Lab в C.6.3) всегда соответствует ограниченному преобразованию Лоренца. Запись C.6.3) в ком- понентах по отношению к стандартным системам координат при- ведена в формуле A.2.26). Для того чтобы матрица Lab отвечала преобразованию Ло- ренца, она должна быть действительной и оставлять метрику инвариантной: Lab = Lab, C.6.4) gab^LacLbdgcd. C-6.5) Она будет ограниченной тогда и только тогда, когда она при- надлежит тому же непрерывному семейству, что и матрица то- ждественного преобразования gab-
СПИНОРЫ И МИРОВЫЕ ТЕНЗОРЫ 215 [Линейное отображение между векторными пространствами ©1 и ©J всегда можно записать в виде Р$аХа = Кв, т. е. отоб- ражение Ра' ©а-*-©р есть умножение на матрицу; см. формулу B.2.37). Это отображение индуцирует линейное преобразование -I . -I -1 Рь'.&а-* ©в. удовлетворяющее условию Pa Pi = 62 = р?р$, ¦ — 1 а значит, линейное преобразование Ра ... РуР^ ... Р\'.<&р'.'.'Л -1 ->©^:::^. Если А1::шА>-^ЁХф\::\ то мы имеем Ро ... РуР* ••• ... Р\А1;;; t = В#"." *; или, что эквивалентно, р? ... РуЛр;;.? = = /-"р ... Гх?>*... -ф- Таким образом, А..'.—инвариант отображения PS в том (и только в том) случае, если Ра ••• Ру^р.'.'.'т=Рр ••• Р*.Л#'¦••¦•] Чтобы матрица Тав отвечала спиновому преобразованию, она должна иметь единичный детерминант. Это можно записать в виде «лв = Г/Гв%в, C.6.6) так как правая часть кососимметрична по А, В и, следова- тельно, пропорциональна глв, согласно формуле B.5.23), причем коэффициент пропорциональности имеет вид Tr/V«W^B = det(r/). C.6.7) Это же соотношение можно получить, рассматривая соотноше- ние C.6.6) в компонентной записи [формула B.5.70)]. Усло- вие C.6.6) означает, что е-спинор не изменяется при спиновых преобразованиях. Пусть задано спиновое преобразование Тав, а преобразова- ние Lab определено соотношением C.6.3). Очевидно, что Lab действительно и удовлетворяет соотношению ёаь = *ав*а>в> = TAcTB°TAPJBP'sCD&c,D, = La'Lb«gcd, C.6.8) так что Lab есть преобразование Лоренца. Более того, преобра- зование Lob ограничено, поскольку Тав можно непрерывно де- формировать до тождественного спинового преобразования') елв; следовательно, Lab также непрерывно деформируется до вАввА,в' = gab — тождественного преобразования Лоренца. Да- лее мы покажем, что всякое преобразование Lab, представимое в виде C.6.3), ограничено. ') См. замечание III после формулы A.2.26).
21? ГЛАВА 3 Пусть, наоборот, Lab есть заданное преобразование Лоренца. Оно сохраняет метрику и, следовательно, переводит изотропные векторы в изотропные. В действительности оно переводит в себя множество комплексных изотропных тензоров, так как в силу| равенства C.6.5) мы имеем ёаЬх°Хь = {Lacxa) (Lbd%ab) gcd незави- симо от того, комплексный или действительный вектор %а. Из C.2.6) заключаем, что любой комплексный изотропный вектор %а представим в виде илЕл'. Таким образом, LAA,BB'xAlA' = xBr\B>. C.6.9) Это равенство выполняется независимо от выбора нА и 1А'. Следовательно, на основании предложения C.5.8) можно полу- чить для LAA,BB'%A одно из следующих представлений: 1лл,вв'ил = ввд,1|)в' или ?вц/'. C.6.10) Это должно выполняться для всех v.A. Более того, для всех хА должно выполняться одно и то же из двух соотношений C.6.10). В противном случае в силу непрерывности при неко- тором ненулевом значении хА должны были бы иметь место оба соотношения, и тогда из C.5.6) мы умели бы LAA,BB'xA = рл?в1|>в/, откуда LAA,BB' (хАрА>) — 0 в нарушение требования несингу- лярности преобразования Lab\ то, что преобразования Лоренца не могут быть сингулярными, следует прямо из C.6.5) [ср. с формулой C.6.19) ниже]. С учетом предложения C.5.8) из C.6.10) заключаем, что Z-A4/B можно представить одним из следующих способов: I. ffl^,8^8', И. В%Ъ>а, Ш. ^дВЦд'В'» IV. 1В^ааГВ'. C.6.11) Можно отбросить I, поскольку тогда LAA,BB' (tyBtyB,) =0, а а также IV, так как в этом случае Laa'BB (&в1в') = 0; в обоих случаях преобразование LAA,BB' было бы сингулярным. Остаются возможности II и III. В обоих этих случаях усло- вие действительности преобразования Lab C.6.4) дает КВпВ' лВ .В' - ВТ В' , В В' /Q ft 1О\ АД'ОЛ — Ьд'Ад, ЦЛ ТА' =1>А ЦД' (O.OAZ) соответственно. Таким образом, в силу предложения C.5.2) имеем откуда следует, что аир должны быть действительными. Вклю- чив множитель |а|1/2 в определение величины 9д'» a IP|1/2 —
СПИНОРЫ И МИРО6ЫЕ ТЕНЗОРЫ 217 в определение величины фАв, мы получим в зависимости от того, будет ли положительным или отрицательным а в случае II, а р в случае III, четыре возможных варианта: Laa,bb'=±Qba'QaB'> C.6.14) WB' = ±bV- C-6.15) Подставляя это в C.6.5), находим что det(9BA,)( = = (l/2)eV2,e^'eBD) и det (*/)( = A/2) ^с°еА%ш) по м0" дулю равны единице. Если мы нормируем эти детерминанты так, что будут выполняться условия det (9%,) =1, det (<j>AB) = 1 C.6.16) (фазовый множитель включен в 6^, или фАв), то в каждом случае в C.6.14) и C.6.15) получим QBA, и <j>AB с точностью до знака соответственно. Сворачивая каждое из выражений C.6.14) и C.6.15) с изо- тропным вектором хАнА', направленным в будущее, мы видим, что результирующий вектор направлен в будущее в том и только в том случае, если в этих выражениях выбран знак плюс [фор- мулы C.2.2) и C.2.4)]. Таким образом, знак плюс отвечает ортохронным преобразованиям Лоренца. Преобразования со знаком минус включают обращение времени. Чтобы выяснить, какое из преобразований C.6.14) и C.6.15) является собствен- ным, достаточно рассмотреть действие преобразования Lab на антисимметричный единичный тензор еаьса. [Тетрада Минков- ского будет собственной или несобственной в зависимости от знака в правой части равенства еаьсаРхьусга = ±1, ср. с форму- лой C.3.37); таким образом, тензор еаьса определяет ориента- цию векторного пространства Минковского.] Имеем = ± V^'W,,, = ± ^t (V) <W C-6-17) где знак плюс отвечает тому и только тому случаю, когда Lpi есть собственное преобразование. Подставляя C.6.14) и C.6.15) в C.6.17) и используя определение C.3.31) и эквивалентную форму записи условий C.6.16) <W = Weco> ^b=*/*b%d> C.6.18) мы находим, что вариант C.6.15) с любым знаком отвечает соб- ственному преобразованию, а вариант C.6.14) с любым зна- ком — несобственному. Следовательно, ограниченным преобра- зованием Лоренца отвечает вариант C.6.15) со знаком плюс. Полагая Тав = флв, получаем требуемое представление C.6.3).
218 ГЛАВА 8 Его можно также получить, заметив, что преобразования C.6.14) нельзя непрерывно деформировать до тождественного преобразования Лоренца елвел,в'. Действительно, любой непре- рывный путь в пространстве матриц, начинающийся с L.a#bb вида C.6.14) и оканчивающийся в едвел,в', приводит в некото- рой точке к матрице, удовлетворяющей одновременно как усло- вию C.6 14), так и условию C.6.15). В силу предложения C.5.3) матрица LAA,BB' тогда представима в виде прямого про- изведения четырех одноиндексных спиноров, а значит, сингу- лярна. Ограниченные матрицы Lob (т. е. матрицы, которые пу- тем непрерывной деформации переводятся в единичную матри- цу) и матрицы обратного знака образуют класс собственных преобразований Лоренца. Следовательно, они имеют вид C.6.15). Можно рассмотреть структуру преобразованы! Лоренца в свете найденного нами спинорного представления. Заметим, что, поднимая индекс Ъ и опуская индекс й в выражении C.6.5), мы получаем LacLbc = gab, откуда следует, что матрица Lab, обратная матрице Lab, имеет вид L*~La\ C.6.19) Применяя ту же процедуру к C.6.18), получаем откуда следует, что обращение отображений 9^,: б-4' -*¦ <SB и фАв : <5Л -*¦ ©в дается соотношениями Несобственные преобразования Сначала рассмотрим несобственные преобразования Лорен- ца. Они могут быть записаны в виде C.6.14), и, следовательно, такие преобразования характеризуются величиной 6В', удовле- творяющей условиям C.6.16), т. е. комплексным мировым век- тором е° = ЭА4' длины л/2: e°efl=2 C.6.22) [поскольку условие C.6.16) дает A/2)вв>|'вву1' = П. Соотношение между в" и преобразованием Лоренца La" в спинорном пред- ставлении следует из C.6.14): ^ C.6.23)
СПИНОРЫ И МИРОВЫЕ ТЕНЗОРЫ 219 Поскольку правая часть есть щюизведаше з^бвбй, в котором индексы А и В переставлены, можно использовать теорию § 4, чтобы получить тензорную форму записи этого выражения: cd> C.6.24) где Иаьса — оператор C.4.57). Раскрывая полностью выражение C.6.24), получаем ± Lab = в,А) - 4 8а$% + ^ tabdW " C.6.25) как общее выражение для несобственного преобразования Ло- ренца, в котором вектор 6° должен удовлетворять только усло- вию C.6.22). Знак плюс в формуле C.6.25) соответствует орто- хронным преобразованиям Lab. Особый интерес представляют инволютивные несобственные преобразования Лоренца, т. е. совпадающие со своими обрат- ными, поскольку оии отвечают отражениям пространства-вре- мени относительно линий или гиперплоскостей. В этом случае с учетом равенства C.6.19) условие справедливости равенства Lab = Lab принимает вид Lab = Lba. C.6.26) Отсюда на основании C.6.23) заключаем, что преобразование Lab инволютивно тогда и только тогда, когда вектор 8а пропор- ционален вектору 6„. Ввиду нормировки C.6.22) это означает одно из двух: I. Либо 8а — действительный и времениподобный вектор, C.6.27) II. Либо \Ъа—действительный и времениподобный вектор. Тогда C.6.25) принимает вид ± Lab = 2VaVb - gabVVc, C.6.28) где V — действительный единичный вектор, который равен 2-1/2QO в случае I и i2-'/20« в случае II. Ортохронным преобразованиям по-прежнему отвечает знак плюс в формуле C.6.28). Если Vй— времениподобный вектор, то орто- хронное преобразование Lob есть «отражение пространства отно- сительно точки» или, более корректно, отражение относительно времениподобной прямой. Неортохронное преобразование есть отражение относительно ортогональной гиперплоскости. Если вектор Vй пространственноподобен, то ортохронное преобразова- ние Lab есть «отражение пространства относительно плоскости» или, более корректно, относительно времениподобной гиперпло-
220 ГЛАВА 3 скости. Неортохронное преобразование есть отражение относи- тельно ортогональной простратественноподобной прямой. Сле- дует отметить, что два разных вектора ±Va приводят к одному и тому же преобразованию Lab, поскольку знак в спинорном преобразовании г\в =б"?л не определяется заданием действия Lab на векторах. Однако во времениподобном случае существует инвариантное различие между векторами V" и —V, поскольку первый из них направлен в будущее, а второй в прошлое. Собственные преобразования Теперь перейдем к собственным преобразованиям Лоренца. Оии задаются формулой C.6.15): Lab = ± флвфл'В^ C.6.29) пр< C.6.18) и условию где Фа —спиновое преобразование, удовлетворяющее условию C.6.30) Выделим симметричную и антисимметричную части величины флв: Фав = Wab + Ъав> C.6.31) где C.6.32) Подставляя C.6.31) в C.6.30), получаем 1»я —v*-=l.. C.6.33) где *•:=--у ¦"¦"• C.6.34) Таким образом, с точностью до знака в определении ц (эта не- определенность исчезает только при v = ±i) спиновое преобра- зование флв однозначно определяется произвольным симметрич- ным спинором \|)дв. Если подставить C.6.31) в C.6.29), то мы получим для Lab разложение ±Lab = pgab + Fab + Tab, C.6.35) где р, Fat и Таь действительны и определяются следующим об- разом: Р — ИЙ> Fab = V$ab*A'B + WA'B'Bab, Tab = ^AB^A'B', C.6.36) причем тензор Таь симметричен и имеет нулевой след, а тензор Fab кососиммегричен. Тензор Fab так же связан с тензором
СПИНОРЫ И МИРОВЫЕ ТЕНЗОРЫ 221 Bп)~1рТаЬ, как тензор напряженности электромагнитного поля с тензором энергии-импульса того же поля (формула E.2.4)]. Этого достаточно, чтобы обеспечивалась форма C.6.36), а от- сюда следует, что преобразование Lab, записанное в виде C.6.35), пропорционально собственному преобразованию Лорен- ца. Если, кроме того, det(La*)= 1 (что эквивалентно нормировке C.6.33) ], то La" есть собственное преобразование Лоренца, при- чем ортохронное, если в C.6.35) выбран знак плюс и р > 0. В силу предложения C.5.18) ^ав можно записать в виде симметризованного произведения одноиндексных спиноров, ска- жем C.6.37) так что с учетом определения C.6.34) можно положить C.6.38) Имеем ал$в — <хв$а = vzab, а потому при условии v Ф 0 из C.6.31) следует выражение ( ) C.6.39) Если же v = 0, то а* и рв пропорциональны друг другу и можно положить §а =A/2)?ал, откуда C.6.40) Отметим, что в обоих случаях C.6.39) и C.6.40) величина ал есть собственный спинор спинора фдв в том смысле, что произ- ведение флв<Хв пропорционально ал: fABaB = (]x-{-v)aA, C.6.41) причем соответствующее собственное значение равно ц-fv [=1 в случае C.6.40)). Если выполняется C.6.39), то Рл также есть собственный спинор спинора флв, отвечающий собственному зна- ,чению и —v. Если справедливо выражение C.6.40), то един- ственным собственным спинором спинора Фав (с точностью до численного множителя) будет &л\ другими словами, два глав- ных направления спинора флв совпадают друг <: другом. Таким образом, ясно, что ГИН спинора фдв совпадают с главными на- правлениями спинора фАв. Это можно показать, не используя каноническое разложение спинора i|54s. Легко видеть, что при заданном аА спинор Фав можно представить в одной из форм C.6.39) и C.6.40), по- скольку из равенства ^8аа = ?а< следует, что (флв — 1еАв)ав = = 0. Тогда в силу утверждения C.5.17) мы имеем фАв — %глв— = улав для некоторого ул. Если спинор ул пропорционален спи- нору ал, то мы приходим к случаю C.6.40). В противном случае
222 ГЛАВА 3 выражаем елв через ал и уд и получаем представление C.6.39), в котором величина ул пропорциональна р*л. Собственные спиноры спинового преобразования важны по- тому, что направления их флагштоков есть изотропные направ- ления, инвариантные относительно соответствующих преобразо- ваний Лоренца. Из C.6.29) и C.6.41) имеем LabUb = \ii + vfUa, C.6.42) где Uа — изотропный вектор, который определяется соотноше- нием Uа :=алаЛ'. C.6.43) Если два изотропных инвариантных направления не совпадают друг с другом, можно выбрать спиновую систему отсчета так, чтобы ее флагштоки совпадали с этими направлениями, т. е. 1Л:=ол, ол: = -у-'рл. C.6.44) Тогда матрица спинового преобразования принимает следующий вид: /ц+v О \ [где в силу равенства C.6.33) мы имеем ц — v = (n + v)-1]. Сравнение с формулами A.2.31) и A.2.37) показывает, что это есть «вращение вокруг оси г на угол tp», если ц-f v = exp(h|)/2), где -ф — действительно; если же ц-f v=(l — v)~i/A{l + wI/4, где v — действительно, то это будет «буст в направлении оси г со скоростью v*; в общем случае это — «четырехмерный поворот относительно оси г» [формула A.3.4)]. Когда два инвариантных изотропных направления совпа- дают, мы имеем изотропный поворот. Тогда можно выбрать спиновую систему отсчета так: 1Л :=ал, C.6.46) а ол произвольно. В этом случае матрица спинового преобразо- вания C.6.40) принимает вид ~ ' C.6.47) (При необходимости можно выбрать масштаб м =ал так, что- бы выполнялось равенство —?=1.) Сравнивая C.6.47) с A.3.7), мы убеждаемся, что это есть «изотропное вращение во- круг оси г». Отметим, что собственное значение оператора ф\ равно единице. Таким образом, изотропное вращение оставляет инвариантным и флагшток, и полотнище флага любого спинора,
СПИНОРЫ И МИРОВЫЕ ТЕНЗОРЫ 223 направление флагштока которого совпадает с инвариантным изотропным направлением. Особый интерес представляют собственные инволютивные преобразования Лоренца, поскольку они отвечают отражениям относительно 2-плоскостей в пространстве-времени. Применяя условие инволютивности Ьаь — Ььа [формула C.6.26)] к выра- жению C.6.35), получаем, что Йаь = 0, откуда либо ¦фдв = 0, либо ц, = 0. Случай $лв = 0 не интересен, поскольку тогда спи- нор фдв сводится к ±Ъав. Таким образом, общее инволютивное преобразование Лоренца записывается в виде где, как отмечалось выше (и подробнее будет показано в гл. 5, § 2), бесследовый симметричный тензор Та» имеет вид электро- магнитного тензора энергии-импульса. Выбор знака плюс в C.6.48) приводит к ортохронному преобразованию Lab, которое можно охарактеризовать как «отражение пространства относи- тельно прямой линии» или, более корректно, отражение относи- тельно времениподобной 2-плоскости. Неортохронное преобра- зование La" отвечает отражению относительно пространственно- подобной 2-плоскости. Упомянутая времениподобная 2-плоскость натянута на инвариантные изотропные направления (т. е. на флагштоки спиноров аА и $А), а пространственноподобная пло- скость является её ортогональным дополнением. Поскольку ц = 0, формула C.6.33) дает v2 = —1. Таким об- разом, в силу определения C.6.34) имеем det(\C>is)= 1 = = det(^AB). Отметим, что, как и в формуле C.6.20), отсюда вы- текает равенство Иногда оказывается удобным изображать элемент 2-плоскости с помощью симметричного спинора, такого, как фдв. Если эле- мент 2-плоскости не является изотропным [т. е. v Ф 0 в формуле C.6.34), так что направления флагштоков спиноров а* и р4 не совпадают], то удобно выбрать нормировку C.6.49) или Ч>АСЧ>вс = -в/. " C.6.50) Точно так же элемент ортогонального дополнения к гиперпло- скости можно изображать с помощью эрмитова спинора ®ав'(=Ъав'), используя нормировку вдев*0'- ±е/. C.6.51) R Я' Величины типа tyA и 9^ оказываются очень удобными для описания локальной геометрии в окрестности выбранной точки,
224 ГЛАВА 3 поскольку их «матричные произведения» соответствуют простым геометрическим операциям, а именно последовательным отра- жениям относительно прямых, плоскостей и т. д. Указанные нормировки означают, что квадраты этих матриц равны тож- дественному оператору «д или ваг со знаком плюс или минус. Инфинитезимальные преобразования Мы закончим данный параграф кратким описанием инфини- тезимальных спиновых преобразований и ассоциированных с ними преобразований Лоренца. Хорошо известно, что инфини- тезимальным преобразованиям Лоренца отвечают двухиндекс- ные антисимметричные тензоры. Это можно получить следую- щим образом. Пусть LabCK) — однопараметрическое свойство пре- образований Лоренца, гладко зависящих от параметра К, при- чем значению % = О отвечает тождественное преобразование Lab@) = ga"- C.6.52) Инфинитезимальное преобразование Лоренца Sab, отвечающее этому семейству, имеет вид Вычислив с учетом формул C.6.52) и C.6.53) производную по X выражения C.6.5) §ab = Lac(X)Lbd(X)gcd, C.6.54) мы получим 0 = Sacgbdgcd + gacSbdgcd, C.6.55) откуда Sab=-Sba. C.6.56) Чтобы восстановить конечное преобразование Лоренца из бесконечно малого, выполним «экспоненцирование». По опреде- лению ехр (Р„р): = 6ар + /V + 4" P<?pJ +¦¦¦ (З-6-57) Тогда, если PaVQYP = QaV/>YP. C-6.58) то формально получаем') (p) (Pap + QaP)- C.6.59) ') Как нетрудно показать, ряд C.6.57) всегда сходится и равенство C.6.59) всегда выполняется, есди выполняется равенство C.6.58) [931.
СПИНОРЫ И МИРОВЫЕ ТЕНЗОРЫ 225 Далее, для любого заданного кососимметричного тензора Sab определим La" := ехрEД C.6.60) что дает LacgcdLbd = ехр (S/) gcd ехр (S/) = ехр E/) ехр E/) geb = = ехр E/) ехр (-5/) geb = ехр E/ - Sae) geb = = SaSeb = gab- C.6.61) Таким образом, Lab есть преобразование Лоренца. Аналогично, рассматривая гладкое однопараметрическое се- мейство спиновых преобразований Фав(Ь), для которых ФаВ@) = ВаВ> C.6.62) Оав соотношением можно определить инфинитезимальное спиновое преобразование J В /л \ I /о ?S /Jnv т- <рд (К) I . (О.О.ОО) Дифференцируя обе части равенства C-6.64) [формула C.6.6)], получаем 0 — <*а ев есо + 8д <*в eCD = aAB — aBA> C.6.65) следовательно, матрица оав симметрична. Если, наоборот, за- дана некоторая симметричная матрица оав, то, полагая ф/ := ехр (а/), C.6.66) получаем 4>ACbCD<l>BD = ехр (<х/) eCD ехр (aBD) = ехр (<г/) ехр (—стБс) вЕВ = = ехр (а/) ехр {—асЕ) еЕВ = еАЕеЕВ = еАВ. C.6.67) [При переходе ко второй строке использовано соотношение eCDaBPaPQaQD — aBPoPQ (—oQc) = о/ (—oPQ) (—aQc) = (—oBP) X X(—<TPQ)(—aQc) = (—аяР)(—aPQ)(—aQc)eBB]. Таким образом, ^лв есть спиновое преобразование. Чтобы найти соотношение между инфинитезимальным преоб- разованием Лоренца и инфинитезимальным спиновым преобра- зованием, рассмотрим производную по К выражения U W = Фав (X) Фа'в' (Я). C.6.68) S Зак. П42
226 ГЛАВА » Получаем S ОАВЛА'В' + &AB&A'B'- C.6.69) [Ср. с формулой C.4.20).] Наоборот, пусть Sab и Олв связаны соотношением C.6.69) или, что эквивалентно, соотношением 5в* = (г/ед'В' + е/ах'В'. C.6.70) Поскольку слагаемые в его правой части «коммутируют», пе- реходя к экспонентам левой и правой частей и используя ра- венство C.6.59), получаем требуемое соотношение La" = i>A4A'B\ C.6.71) где Lab — величина C.6.60), а флв — величина C.6.66). Выразим флв через олв. Для этого положим Р2 := -толвалв. C.6.72) Тогда ^вогсв = р2елс, C.6.73) так что (p-V)(p-4C) = -e/ C.6.74) (временно считаем, что р=/=0). Произведение р~'(ТдВ формально ведет себя как «i», а потому имеем ехр(цр~'(ГдВ) = гАв cos ц, + р~'алв sin ц. C.6.75) Полагая X := iip, C.6.76) получаем ехр (ХаАв) = е/ cos (рА,) + а/р sin (рЯ) =: ф/ (X). C.6.77) Если заменить произведение р—• sin (рЛ,) его предельным значе- нием при р-»-0, а именно величиной %, то можно воспользо- ваться выражением C.6.77) и в случае р=»0: ехр (Яа/) = е/ + <хЛ = <?/(*.). C.6.78) Таким образом, имеем Фа - Фа (О == е/ cos р + а/р sin p. C.6.79) [Отметим, что cos p и p-1 sin p — четные функции и, следователь- но, не зависят от выбора знака величины р в формуле C.6.72).] Соответствующее преобразование Лоренца Lab нам даст фор- мула C.6.35), если подставить в C.6.36) ^ав — ог^вр-1 sin p и H = cosp. Случай р = 0 [т. е. C.6.78)] соответствует изотропным вращениям [формулы C.6.40) и C.6.47)].
4 Дифференцирование и кривизна § 1. Многообразия В гл. 2 и 3 мы не интересовались деталями структуры модуля ©" спин-векторных полей. Хотя в гл. 3, § 1 возникла необходи- мость связать структуру модуля с понятием мирового вектора, существенное свойство мировых векторов — то, что они принад- лежат пространствам, касательным к пространству-времени Jt, — не использовалось. Но результаты предыдущих глав. приложимы и к таким за- дачам, которые существенно отличаются от рассматриваемых в данной книге. Мы проиллюстрируем эту разницу на примере, взятом из теории элементарных частиц. Рассмотрим «простран- ство изотопического спина». В соответствии с названием оно имеет (поверхностное) сходство со спиновым пространством. Обычные спиновые состояния нуклона могут быть представлены как линейные комбинации двух состояний, скажем «спин вверх» и «спин вниз», с комплексными коэффициентами. Точно гак же состояния изотопического спина нуклона являются линейными комбинациями двух состояний «протон» и «нейтрон» с комплекс- ными коэффициентами. Несмотря на формальное сходство, ме- жду этими ситуациями существует принципиальное различие. Оно состоит в том, что различные направления в спиновом про- странстве ассоциируются с направлениями в пространстве-вре- мени, т. е. важны соотношения между соседними точками, тогда как направления в изотопическом пространстве не связаны с подобной структурой. Можно также привести математические примеры, в которых элементы базиса модуля ассоциируются с соотношением между соседними точками, но эта связь имеет иную природу. Рассмот- рим четырехмерное действительное многообразие, которое явля- ется двумерной комплексной «поверхностью». Касательное про- странство в каждой точке содержит два комплексных направ- ления и имеет структуру, идентичную структуре спинового про- странства. Однако эта конструкция существенно отличается от той, которую мы будем рассматривать ниже. Соответствие меж-
228 ГЛАВА 4 ду спиновым пространством и направлениями в многообразии должно быть установлено через посредство пространства миро- вых векторов. Как мы увидим, формальным следствием этого является то обстоятельство, что оператор дифференцирования имеет два спинорных индекса, а не один. Как же выразить соотношения между соседними точками пространства-времени? Для этого нам следует уточнить понятие касательного вектора или поля касательных векторов. Мы опре- делим векторы как производные по направлению, действующие на скаляры на многообразии [ср. формулу A.4.1)]. Следова- тельно, вектор «направлен» так же, как производная, характе- ризующая быстроту изменения скаляра. Эти производные по направлению полностью характеризуются своими формальными свойствами — свойствами отображений системы скалярных по- лей, которая содержит всю информацию, необходимую для опре- деления структуры многообразия М и системы касательных век- торов на нем. Поскольку скалярные поля играют фундаментальную роль в нашем методе, да и сами координаты системы можно мыслить как множество скалярных полей, представляется удобным уста- новить аксиомы, определяющие многообразие исключительно на основе свойств скалярных полей. Для большей общности мы проведем рассуждения в форме, пригодной для любого и-мер- иого (хаусдорфова, паракомпактного, связного) многообразия. Это не приводит к дополнительным усложнениям. Только в § 4 мы перейдем к специальному случаю пространства-времени Jt. В данном параграфе рассуждения первоначально будут прове- дены в случае действительных С°°-скалярных полей. Для обозна- чения системы таких полей мы пользуемся (как прежде) буквой ?. Система комплексных С°°-скалярных полей в свою очередь может быть определена через % (как ? Ф i?). Мы рассматриваем Л как абстрактное множество точек, структура которого определяется непустым множеством X, каж- дый элемент которого fe? (называемый скаляром) есть ото- бражение /:JT-*R. D.1.1) Специальный выбор элементов множества S позволит полностью охарактеризовать Jt как дифференцируемое многообразие при наличии достаточно полного набора аксиом для ?. Возникающая на Jt дифференцируемая структура оказывается такой, что каж- дый элемент множества % является фактически С^-скалярным полем. Наш выбор аксиом основан на системе аксиом, представ- ленной в работе [31] (см. также [128]). Она полностью эквива- лентна обычному определению многообразия, данному, напри- мер, в монографиях [84, 91, 102, 104].
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И КРИВИЗНА 229 В качестве первой мы выбираем следующую аксиому: Аксиома Если fi, /2. •••• fr^% и е°ли F' Rr-*-R есть лю- бая (^-действительнозначная функция г действитель- ных переменных, то функция F{fx, f2 fr) [рас- сматриваемая как функция на Ж, т. е. F (/,, ... .... fr)P = F(fi{P) fr(P))> PsJT] тоже есть элемент множества %. D.1.2) Отметим, в частности, что, поскольку любая константа есть С°°-функция, любое отображение D.1.1), которое сопоставляет каждой точке множества Ж одно и то же число k, т. е. любое постоянное отображение, будет элементом множества S. Этот элемент ? мы обозначаем той же буквой k. Подмножество мно- жества %, состоящее из всех постоянных отображений, мы будем обозначать через Я. Очевидно, что Я есть кольцо, изоморфное пространству R. Поскольку сложение и умножение принадле- жат классу С°°-отображений: R2-»-R, в соответствии с аксиомой D.1.2) мы заключаем, что множество % наделено операциями сложения и умножения, определенными следующим образом: (f + 8)(P):f(P) + g(P). (fg)(P) := f(P)8(P) ( ' для всех Р &Ж. Следовательно, в ? введена структура комму- тативного кольца1) с единицей [формула B.1.22)], причем О, leJic?. Очевидно, что ? также есть векторное простран- ство над fR. Вместе взятые, эти свойства наделяют ? структурой коммутативной алгебры над Ш. Для формулировки двух следующих аксиом нам потребуется понятие окрестности точки Р е ,#. Мы определяем ^-окрестность точки Р как множество точек Ж, в которых / ф 0 для некоторого fe?, такого, что f(P)?=O. (Напомним, что эта процедура ис- пользовалась в гл. 2, § 4.) Очевидно, что пересечение двух ?-ок- рестностей тоже будет S-окрестностью, так как если множество 11 определено с помощью функции 1Ф0, а множество Т — с помощью функции g?=0, то множество Ш^Т определено по- средством элемента fg ф 0. Мы приписываем множеству Ж топологию, генерируемую си- стемой ^-окрестностей. Таким образом, подмножество множе- ства Ж будет открытым при том и только том условии, что оно ') Оказывается, что Л может быть полностью и однозначно восстанов- лено по заданной структуре кольца в %.
230 ГЛАВА 4 является объединением ^-окрестностей'). Можно показать, что в этой топологии Всякий элемент множества 2 есть непрерывная функция на Л, D.1.4) т. е. прообраз открытого интервала в R при отображении каж- дым элементом множества S есть открытое множество в Ж. Для доказательства D.1.4) возьмем открытый интервал а < х < > Ь (где о < Ь) и определим С°°-«колоколообразную» функцию 0 при х^а или Ь^х, U -р. При любом отображении прообраз интервала а < х < Ъ есть открытое множество, определенное так, что Оф fie,ft(f)ei?, чем и доказывается наше утверждение. Следующая аксиома наделяет действительнозначные функ- ции на Л, принадлежащие множеству $, свойством «локаль- ности». (Мы полагаем, что С°°-гладкость есть одно такое локаль- ное ограничение.) Аксиома . Если g: Л-*-Р. и если для всякой точки Р&Л существуют %-окрестность 11 точки Р и элемент f е %, который согласуется с g в 41, то gei D.1.6) Отметим, что эту аксиому можно сформулировать иначе: если g: Л -*¦ R и если для всякой точки Р ^Л существуют A, f e ?, удовлетворяющие условиям к(Р)Ф0, hf = hg, то ge$. Наконец, нам потребуется аксиома, определяющая Л как «локально я-м'ерное евклидово» многообразие. Здесь п—фикси- рованное целое число. Аксиома Для всякой точки Ре Л существуют %-окрест- ность Шип элементов х1 хп&%, таких, что: 1) для двух данных точек множества <U no край- ней мере один из элементов х" принимает различ- ные значения в этих точках и 2) всякий элемент f e 2 может быть представлен в Щ как С-функ- ция от х\ .... Xя. D.1.7) ¦) В действительности из полного набора аксиом и ограничения будет следовать, что любое открытое множество есть ^-окрестность. Однако здесь мы не будем налагать этого требования.
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И КРИВИЗНА 281 Скаляры хх, х2, ..., хп, введенные в D.1.7), назовем локаль- ными координатами в окрестности точки Р. Множество 11 на- зовем локальной координатной окрестностью, а пару {И, х1) — локальной координатной системой. (Такая терминология, в со- ответствии с которой координаты оказываются частным случаем скалярных полей, несколько расходится с их классическим определением. Однако она вполне логична в свете современных исследований, в которых векторы, тензоры, скаляры и т. д. опре- деляются не классическим способом, основанным на преобразо- ваниях координат.) Свойство 1 в аксиоме D.1.7) означает, что величины х" могут служить метками точек в °U. Благодаря D.1.4) это отображение непрерывно и сопоставляет различным точкам различные координатные метки. Свойство 2 в D.1.7) [вместе с D.1.2) при г = п] означает, что х" есть несингуляр- ная координатная система') в 41, поскольку, будучи ограни- ченными на <U, элементы множества % в точности совпадают с теми элементами, которые представимы С^-функциями коорди- нат х".. Если ввести координатную систему х\ которая покры- вает другую ^-окрестность Щ в соответствии с D.1.7), то на пересечении Ш^Щ каждая система координат должна быть представима как набор С°°-гладких функций от другой. Это обеспечивает связь между нашим определением многообразия и более привычным, использующим -перекрывающиеся коорди- натные карты. Нетрудно даже доказать эквивалентность этих двух опреде- лений. Из аксиом D.1.2), D.1.6) и D.1.7) следует, что локаль- ные координаты системы (Ш, ха) из D.1.7) содержат покрытие Ж таким набором координатных окрестностей, который удовле- творяет всем стандартным требованиям. И наоборот, если на основе стандартного определения задано хаусдорфово многооб- разие Ж, то мы можем определить % как множество, содержа- щее лишь те действительнозначные функции на Ж, которые мо- гут быть представлены как С°°-функции координат. Тогда $ удовлетворяет трем аксиомам D.1.2), D.1.6), D.1.7) и Ж будет многообразием в соответствии с нашим определением. Из нашего определения топологии многообразия Ж и аксио- мы 'D.1.6) следует, что ') -Для формулировки аксиомы D.1.7) пригодны на всякие локальные координаты. Рассмотрим, например, плоскость, в которой введены обычные полярные координаты г, 0. Они покрывают часть плоскости, отвечающую не- равенствам г > о, 0 < 9 < 2я. Однако координата в не может быть про- должена до С°°- (илн даже С0-) функции на всем множестве Ж, откуда Ъф.Ху игэти специальные локальные координаты не принадлежат классу ко- ординат, указанному в аксиоме D.1.7). Это справедливо даже для области О < 9 < я, поскольку функция т= (*2+</5I/2 не может быть продолжена как С"-скаляр в начало координат, так что тф%.
232 ГЛАВА * Ж есть хаусдорфово топологическое пространство. Это означает, что для любой пары различных точек Р, может быть найдена такая пара неперекрывающихся ?-окрест- ностей, каждый член которой содержит лишь одну из точек. Чтобы установить это свойство, нам достаточно найти функцию AeJ, принимающую различные значения р и г в точках Р и R соответственно. Действительно, положив q =A/2)\р — г\, мож- но получить непересекающиеся ^-окрестности, выбирая Bp-q,p+q(h), Br-q,r+q(h) ?? для Р и R соответственно. Для до- казательства существования функции А мы используем аксиому D.1.6). Тогда R либо принадлежит множеству 41, либо нет. В первом случае в качестве h можно выбрать ту координату *"• которая принимает в точках Р и R различные значения. Во вто- ром случае в качестве А можно выбрать функцию, определяю- щую °U: она отлична от нуля на Ш и обращается в нуль всюду вне °U. Естественно считать, что топология многообразия имеет счет- ный базис (в данном случае это предположение эквивалентно паракомпактности [59, 106]). Мы сформулируем это в следую- щем виде: Аксиома Существует счетный набор %-окрестностей, такой, что всякая Z-окрестность может быть представлена в виде объединения элементов этого набора. D.1.8) Это предположение становится избыточным, как только на многообразии введена метрика (или связность) [59]), но для наших целей оно полезно, поскольку гарантирует, что многооб- разие не «патологично» и к нему приложимы результаты гл. 2, § 4 (обусловливающие полную рефлексивность системы &). Аксиома D.1.8) может быть сформулирована иначе: Ж может быть покрыто счетным набором координатных окрестностей. Следующее обычное предположение о структуре простран- ственно-временного многообразия устанавливает Аксиома Ж связно. D.1.9) Это означает, что Ж не является объединением двух непустых непересекающихся открытых множеств. В приложении к ? это условие можно сформулировать следующим образом: если f, ge? и если fg = O, то /(P) = 0 = g(P) для некоторой точки Р е Ж. Эта аксиома выбрана тоже в целях удобства. С учетом указанных ограничений на топологию множества Ж мы в даль- нейшем будем пользоваться термином «окрестность» вместо ^-окрестность.
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И КРИВИЗНА 233 Векторные поля Теперь мы можем ввести понятие (контравариантного) век- торного поля V (или поля касательных векторов) на Л. Опре- делим V как отображение V:S^?, D.1.10) обладающее следующими тремя свойствами: 1) V(k) = 0, если ?€=(Н, 2) Vif + g) = V{f) + V(g), если /, gel, D.1.11) 3) V[fg) = fV(g) + gV(f), если /, Такое отображение назовем дифференцированием на ?, где ? рассматривается как алгебра над Ш. Множество всех таких ото- бражений мы будем обозначать символом $. Вскоре мы устано- вим связь с определением множества Z', данным ранее. Пусть мы имеем отображение W: $-»-$, такое, что в любой локальной координатной системе A1, .*") действие W может быть представлено в виде1) W(f)-=W°-?L.. D.1.12) где W*W\ .... Га?. D.1.13) Тогда W удовлетворяет всем трем соотношениям D.1.11) и, сле- довательно, будет дифференцированием. Мы можем записать D.1.12) в виде W = Wa~-, D.1.14) дх где подразумевается, что операторы действуют на скалярные поля. В другой локальной системе координат 0U, у") мы будем иметь W=W°-^. D.1.15) дуа Если Ш и Ш перекрываются, то на пересечении Ш^Ф, должно выполняться соотношение = Wad/dxa. D.1.16) 11 Поясним смысл символа д/дх". Хотя функция /, строго говоря, есть функция точки Р многообразия Л и не задана явно как функция перемен- ных х1, ж2, ..,, *", точка Р сама может рассматриваться как функция пере- менных дс1, ..., хп благодаря координатам, введенным в 4t. Вследствие пунк- та 2 аксиомы D.1.7) функцию f в этом случае можно рассматривать как С"-функцию переменных Xх Xя.
234 ГЛАВА 4 Таким образом, D.1.17) Рассматривая^ W и W" как компоненты вектора W в коорди- натах *" и у" соответственно, мы приходим к стандартному классическому определению контравариантного вектора. Следо- вательно, любой классический контравариантный вектор одно- значно соответствует отображению W-. ?-*-!$;, которое в произ- вольной локальной системе координат представимо в виде ли- нейной комбинации операторов частных производных по этим координатам. Более того, любое такое отображение есть пример дифференцирования на S. Следующий результат D.1.18) уста- навливает справедливость обратного утверждения. С учетом этого мы получаем полную эквивалентность между понятиями дифференцирований на S, линейных дифференциальных опера- торов на ? (или производных по направлению) и классического контравариантного вектора. Предложение Если V е $*, то в любой локальной координатной системе {°U, ха) вектор V имеет вид V = Vad/dxa для некоторых V1, ..., fet D.1.18) Доказательство. Если мы сможем установить, что в каждой точке множества °Ь1 вектор V имеет вид V"d/dxa, то отсюда бу- дет следовать, что Vй е Z. Действительно, в °U мы имеем Va = V% = V*-^j = V{xa)<=Z, D.1.19) поскольку координаты Xя сами являются С°°-скалярами (х° е Z). Теперь фиксируем точку X^<U с координатами X1, —, Xя. Пусть 0 — координатный га-диск (х1—Х1)г-{- ... + (хп—ХпJ < < р2, где р выбрано столь малым, что зЬсЫ. Возьмем произ- вольную точку Рей)с координатами х\ ..., хп. Тогда точки с координатами X" + txa — tX" @ < t < 1) также принадле- жат Ю. Пусть f — некоторый элемент множества ?. Имеем f{xl *") = № *п) + ? -tX1 Хп + txn - tXn)dt = 1 (ж" - Г) J f. (Xх + txl - tX\ ...) dt, D.1.20)
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И КРИВИЗНА 235 где Л-ггт/С*1. ••-. *")• D-1.21) ох Таким образом, мы получили выражение вида x\ .... А D.1.22) причем в точке X имеем Действуя оператором V на D.1.22), получаем с учетом D.1.11) V (f) = 0 + V (*") g, + (хп - Г) V Ы, D.1.24) где точка X считается фиксированной, а *" — координаты бегу- щей точки Р, в которой мы хотим вычислить V. Пусть теперь Р = Х. Используя D.1.23) и полагая К" = V (JT). получаем в точке X ?L D.1.25) Эта же формула справедлива для всякого f e $ и для всякой точки X е %с, чем и завершается доказательство нашего утвер- ждения. Из предложения D.1.18) прямо вытекает следующее свой- ство дифференцирования: Если h : R" -» R принадлежит классу С00 и f lf . *. го D.1.26) Свойствами D.1.11) исчерпываются все частные случаи утвер- ждения D.1.26). Таким образом, утверждение D.1.26) эквива- лентно утверждению D.1.11). Более того, положив fi = xl, мы сразу же воспроизведем D.1.18). Определение дифференцирования на S; даёт нам изящный алгебраический способ характеризовать касательное векторное поле на Л. Нам потребуется также определение касательного вектора в данной точке Р^Л. Предварительно мы введем от- ношение эквивалентности между дифференцированиями, пола- гая вектор V эквивалентным вектору V в том и только в том случае, когда U(f) и V(f), будучи вычислены в точке Р, дают одно и то же действительное число для всякого /ei Этот класс эквивалентности, обозначаемый символом V[P] и выражаемый
236 ГЛАВА 4 словами «V в Р», называется касательным вектором в точке Р, принадлежащим векторному полю V. Имеем U[P] = V[P] в том и только в том случае, когда {U(f)}(P) = {V(f)}(P) для всех /е$. D.1.27) Рассматривая локальные координаты в окрестности точки Р, мы имеем U[P]=V[P] в том и только в том случае, когда Vdf/dx" = V'df/dx" в точке Р для всякого f е ?, т. е. U"(P)= К" (Р). Таким образом, значения п компонент вектора V в точке Р, а именно Vй (Р), могут рассматриваться как компо- ненты вектора V в координатах х". Поскольку это просто на- бор действительных чисел, касательные векторы в точке Р об- разуют векторное пространство над R размерности п, называе- мое касательным пространством к М в точке Р. Это простран- ство будем обозначать символом %' [Р]. Иногда для его обозна- чения мы будем пользоваться символом 3?, который означает также множество касательных векторных полей. Это будет спе- циально указано или явствовать из контекста. В аналогичной ситуации — когда мы рассматриваем одну точку или несуще- ственно, рассматриваются ли векторы в точке или векторные поля —мы используем символ Z вместо ?[P] = R. Иногда оказывается полезным альтернативное определение касательного вектора в точке Q как отображения 1У[Р) :?—>-Я, обладающего свойствами D.1.11) и одним дополнительным свой- ством: если функции f, g принадлежат % и совпадают, по всей окрестности точки Q, то W[Q] (f)= W[Q] (g). Считая, что в предложении D.1.18) точка X совпадает с точкой Q, и повторяя его доказательство, можно показать эквивалентность этого определения предыдущему. Аналогично вводится понятие векторного поля на (достаточ- но «хорошем») подмножестве 91 многообразия Ж. Так же как в случае единственной точки, можно ввести отношение эквива- лентности между дифференцированиями, считая, что дифферен- цирование U эквивалентно дифференцированию V в том и толь- ко в том случае, если U(f)=V(f) в каждой точке подмноже- ства 9" для любого f e ?. Мы обозначаем этот класс эквива- лентности символом U[9"](=V[9']) и будем говорить о нем, как о части векторного поля U, которая лежит на 91. Обозна- чим через Z' [9*\ множество векторных полей, лежащих на 91, а через ^[У] —скалярные поля, ограниченные на 9" (т. е. «ле- жащие на» 9"). Мы определяем сумму двух данных дифференцирований сле- дующим образом: (V + V) (/) := U (/) + V (/) для всех f e= Z. D.1.28)
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И КРИВИЗНА 237 Очевидно, что U + V е ?*. Мы можем также определить ум- ножение дифференцирования U е $* на скаляр AeJ по пра- вилу (hU)(f) := Atf(/) для всех /si. D.1.29) Ясно, что и в этом случае hU e 2*. Легко видеть, что в неко- торой координатной системе а-я компонента суммы U -f- V рав- на U" + V", а Л?/° — компоненты произведения hV. Более того, очевидно, что относительно операций D.1.28) и D.1.29) про- странство 2" образует модуль над %. Аналогичные утверждения относятся к Z'[P], t[P] и %'[&], ZIP]. Рассуждения гл. 2, § 4 позволяют заключить, что модуль Z' вполне рефлексивен. Действительные и комплексные тензоры Теперь мы можем использовать теорию, изложенную в гл. 2, § 2. Введем множество меток 9" = {а, р, ..., ао, ..} и обра- зуем канонически изоморфные копии ?а, %$, ... модуля Z'. За- тем введем дуальные величины Za, Sp, ... и, наконец, множе- ства 2)J;;;v- Аналогичная конструкция возникает для величины V[P], приводя к Zl,','.'. v[P], а также для Z'[9"], приводя к П;;Л[<?]. Можно также построить комплексные тензоры как элементы множеств S?;:. v (или 3? W v [P], или @L.'v[^]), где каждый элемент С" '.'.'.v<^ ©".""v есть выражение вида cl:::l = AZ:::t + iBl:::l D.1.30) причем At ;.¦¦ v. flx'.!! v s SjJ.'.'." v» а величина i есть постоянный скаляр, удовлетворяющий условию i2 = -l. D.1.31) Элементы множества ® есть отображения ft: Ж -*¦ С, где h = — f+ig if' 8^%) принимает значения h(P)= f(P)+ ig(P). Следующие формулы наделяют © структурой кольца: (/ + ig)-f + { + i) (f + )+i(+) (f + i)(') (f) {p + g) (f p)(gq), (f + g)(p+4) (fpgq) + + i(fq -f gp) (p, ?e?). Элементы множества S* есть отображе- ния Z: ®->®, где Z = V+ iV(V, VeJ"), а образ при отобра- жении Z определяется по формуле Z (f-\-ig) — Z (f)-\-iZ (g) = — U(f) — V(g)-\-iU(g)-\-iV(f). Эти формулы удовлетворяют требованиям определения D.1.11) для случая, когда дифферен- цирование действует на комплексные скаляры f -f ig. Множе- ство © есть модуль над ©. Нетрудно видеть, что общий вид @""!v, полученный отсюда так же, как в гл. 2, § 2, приводит к элементам вида D.1.30). Всюду в этом параграфе мы стре-
238 ГЛАВА 4 мимся иметь дело с множествами $;", а не ©"'.. Однако должно быть ясно, что наши результаты верны не только для действи- тельных, но и для комплексных тензоров. В отличие от того, что говорилось вообще в гл. 2, § 2, мы имеем теперь дополнительную структуру, а именно интерпрета- цию элементов множества V (или ©*) как дифференцирований на алгебре скаляров. В этом можно видеть связующее звено между элементами базисного модуля и «соотношением между соседними точками», которое мы упоминали в начале параграфа. Дополнительная структура приводит нас к изучению опреде- ленных операций дифференцирования, таких, как градиент ска- ляра, производная Ли, внешняя производная, и некоторых дру- гих. Первую из них мы рассмотрим ниже, а обсуждение осталь- ных отложим до § 2, где будет введено понятие связности. Оно позволит получить единую трактовку этих операций. Градиент скаляра Для заданного скаляра f e % определим его градиент, ино- гда называемый его дифференциалом, как элемент d/ модуля %.", дуального модулю ?*: df<Y) := V(f). D.1.32) То, что это есть линейное отображение из V в 5, следует из D.1.28) и D.1.29): мы имеем df (gV) = (gV) (f) = gV (f) = gdf (V) и df(U + V) = (U + V)(f) = U(f) + V(f) = df(U) + df(V). Связь между современным понятием дифференциала и клас- сическим понятием «инфинитезимально малого элемента> мо- жет показаться не совсем очевидной, но она проявляется в трансформационных свойствах величины «dx"» при замене ко- ординат. Выберем локальную координатную систему (<Ы,) Тогда [формулы D.1.12) и D.1.18)] величины образуют базис в $'[ЭД]. Элементы дуального базиса суть диф- ференциалы координат х1, ..., хп dxl dje", D.1.34) поскольку в силу определения D.1.32) При переходе к новым координатам у" получаем _* iil-A,- DЛ.зб) дх* д*' дуу -
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И КРИВИЗНА 239 Так как соотношение D.1.35) не зависит от выбора координат, мы имеем d/=^lrf/, D.1.37) ах что формально совпадает с законом преобразования классиче- ских дифференциалов. Чтобы оправдать применение термина «градиент» для df, вы- числим его компоненты в системе координат дс". Поскольку df есть элемент множества Z" [Ш], эти компоненты можно вычис- лить, взяв скалярные произведения с элементами базиса %' YU\\ искомые величины таковы: &• <4Х38> где использовано D.1.32). Таким образом, определение «диффе- ренциала», данное здесь, совпадает с классическим определе- нием «градиента». Через свои компоненты величина df выра- жается следующим образом: df = -^dx\ D.1.39) ох что есть просто другое представление формально справедли- вого классического выражения D.1.37). Поскольку мы хотим использовать обозначения, включающие абстрактные индексы, обозначение в виде «дифференциала» для ковариантных векторов оказывается не вполне подходящим. Для обозначения оператора градиента, действующего на скаляры, мы будем использовать символ Va. Тогда Waf есть канонический образ при отображении df из %". Поскольку компоненты Va должны быть каноническим образом дифференцирования V в ?а, можно переписать D.1.32) в виде VaVaf=V(f). Другими словами, К = ^Ч, D.1.40) причем оператор действует на скаляры. Обозначение D.1,40) согласуется с тем, которое обычно используется для производной по направлению. Мы видели в D.1.38), что компоненты df в координатах х" равны dfjdx". Поэтому последние величины являются компо- нентами Va/ вектора Va/ и мы можем написать V« = -^r D.1.41) при условии, что операторы действуют на скаляры.
240 ГЛАВА 4 Из D.1.11) мы окэнчательно получаем • V«fc = 0, т. е. dk = O, D.1.42) если k e Я и у„(/ + g) = у./ + V*. т. е. d(f + g) = df + dg, D.1.43) Va(fe) = /V<.g + gV«/, т. е. d(fg) = fdg + gdf, D.1.44) если /, geS. § 2. Ковариантная производная Мы видели в D.1.32), что можно дать определение градиента скаляра, имеющее инвариантный смысл и зависящее лишь от дифференциальной структуры многообразия Ж (и даже только от алгебраической структуры множества ?). В то же время не существует такого же однозначного инвариантного определения понятия градиента вектора Va e %а, а также тензора любой ва- лентности, кроме [о]. Однако на Л можно ввести дополнитель- ную структуру, которая является операцией градиента на век- торах и может быть однозначно продолжена на все тензорные поля на Л. Эта структура называется связностью, а операция, которая ее определяет, — ковариантным дифференцированием. Как упоминалось в § 1, существуют определенные операторы, включающие дифференцирование (производная Ли, внешняя производная и др.), которые не требуют наличия связности на JL. Тем не менее будет полезно обсудить и эти операции в связи с ковариантными производными, вместо того чтобы рассматри- вать их независимо. Оператор ковариантной производной может быть определен как отображение Va : 2P -* Zl D.2.1) удовлетворяющее двум требованиям!): Va (?/р + V*) - Vatf" + VaKe D.2.2) для всех ?/р, Vp s ?p и V« (/?/") = /Vatf" + f/V«/ D.2.3) для всех U& е ?Р, / е ?, где Vaf есть обычный градиент f, опре- деленный в § 1 [формулы D.1.32), D.1.40)]. Элементы VaUy s е ?a> VbUa s $? и т. д. определяются на VaUf> подстановкой ') В современных учебниках [84] определение ковариантной производной содержит три, а не два требования. В нашем случае экономия достигается благодаря использованию абстрактных индексов.
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И КРИВИЗНА 241 индексов. В нашем формализме такая подстановка возможна в любой формуле. Определение оператора Va таково, что он однозначно про- должается на ковариантные векторы как отображение Va:2p-*2aP. D.2.4) где Va^p есть ^-линейное отображение из ?Р в So [формула B.2.37)], определенное следующим образом: (Va^) V* = Va (ЛрИ) - А^У. D.2.5) Доказательство его ^-линейности следует из D.1.43) и D.2.2), а также из D.1.44) и D.2.3). Отметим, что такое определение отображения УсИр прямо следует из требования, чтобы произ- водная от ЛрУр удовлетворяла правилу Лейбница. Мы имеем p, D.2.6) D.2.7) в силу формул D.2.5), D.1.43), D.1.44). Далее, рассмотрим общий тензор Г"";*. Если потребовать, чтобы правило Лейбница удовлетворялось для производной от Т1:::1Аа...Суи^ ... Wv, то мы приходим к следующему соот- ношению: (v7 Т? ''' ^ А С ifr B7V Т7 /т? ""' ^Л Л* ffr X?7V\ \.Vp-» \ ... v/ 'la • " • *-"у • • • ¦» — Vp \* к ... v"a • • • >->yU • • • W ) — -7t:::v(Vp4a)... cyuK... wv- ...Tl:::lAa...cyuk...(vpwv). D.2.8) Им определяется Vp7ii!" v как отображение (-нетрудно убедить- ся, что оно будет 2-линейным) из Sa X • • • X 5V в Sp [формула B.2.38) J. Таким образом, любой оператор Va, удовлетворяющий условиям D.2.1) — D.2.3), однозначно продолжается до чр:П::-Л-+**:::Ъ D.2.9) наложением единственного требования, чтобы его действие на свертки типа Tl:::XAa ... CyUk ... Wv удовлетворяло пра- вилу Лейбница. (Легко также установить, что в случае , Vp: $a -*¦ $р мы возвращаемся к первоначальному определе- нию.) Преобразуя обе части каждого из двух следующих равенств по правилу D.2.8), непосредственно убеждаемся в том, что Vp (Та + Sa) = Vpf.* + VpS.*, D.2.10) Vp (TaRs) = TaS^Rsi + R*V9Ta. D.2.11)
242 ГЛАВА 4 Ясно также, что Операция Vp коммутирует с подстановкой любого индекса, кроме р. D.2.12) Чтобы доказать коммутативность операции Vp с операцией свертки (исключая свертку по р), мы можем, во-первых, пред- ставить Т"\ как сумму прямых произведений векторов [форму- ла B.2.14)], а затем, используя линейность соотношения D.2.10), применить правило Лейбница D.2.11) к каждому из выражений vpr::?::: и vp(r:: ?:::)• используя формулы D.2.П) и D.2.5), получаем разложение Лейбница для VQ(XaDx) и для yp(XaDa). Непосредственно проверяется, что ( J-свертка первого выра- жения равна второму. Таким образом, I J-свертка выражения Vpri; ?.".'." равна Vp (Г"! S;;;), что и требовалось доказать: 6$(vpn::?:::)=vpr:::Z::;. D.2.13) Свойства D.1.10), D.2.1), D.2.11) и D.2.13) часто используются для аксиоматического введения ковариантной производной. Кручение и кривизна Все свойства оператора Vp, установленные выше, формально совпадают со свойствами «координатного оператора градиента» д/дхР. Существенно новым свойством является то, что операто- ры Vp не обязательно коммутируют друг с другом. Для его ис- следования положим Aop := VaVp - VpV« = 2V[aVW. D.2.14) Заметим, что ^Аа + ^Ва, D.2.15) в силу формулы D.2.10), а также ^(Ла>С,) = Аз^Сг + Ог\1рАа D.2.16) в силу формулы D.2.11), так как перекрестные слагаемые (Va^HVpCj) и (V^Cj) (VpЛя) взаимно уничтожаются. Теперь рассмотрим Aapf, где / — любой скаляр. Если Ха$ есть произвольный элемент множества 5ЕОР, то в силу формул ' D.1.42), D.2.15) и D.2.16) получаем rtapfe = 0, D.2.17) = *аЭ V + **&а& D-2-18> (fg) = ДаРМ + g*°PV. D.2.19)
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И КРИВИЗНА 243 для всех k e 5R, /, ge?. Таким образом, из D.1.11) следует, что ЯаРДац есть оператор дифференцирования, откуда с по- мощью D.1.40) получаем rpAaB = >rVVY, D.2.20) где У"*1 — некоторый определенный элемент множества V и опе- раторы действуют на скаляры. Отображение из ?аР в.37, ко- торое сопоставляет У? всякому Ха$ по правилу D.2.20), очевид- но, является 5-линейным. [Если имеет место D.2.20) и ZapAap = = rVn то (Гв + ZaB) Aap = (Г + ЯП Vv (рГв) Aaf5 - (pYv) VY]. Из B.2.37) следует, что это отображение осуществляется тен- зором 7"aev e Jap- Его называют тензором кручения: Г = Xopro3Y. D.2.21) Подставив это в 4.2.20, мы получим Х**^ = Х°*Тц\ч (на ска- лярах). Поскольку это справедливо для любого Af^eS^P, имеем raBV D-2.22) для всех I e SE. Заметим, что ввиду антисимметрии оператора Аар [формула D.2.14)] тензор кручения антисимметричен по нижним индексам: Если Tafp = 0, то оператор Vp называется симметричной («без кручения») ковариаитной производной. Далее рассмотрим действие оператора Аар иа вектор. Если кручение отлично от нуля, то гораздо проще работать с опе- ратором Дар == Aap-VVv D-2.24) поскольку f O D.2.25) для всех f e S. Тогда соотношение D.2.16) Дар (АяСг) = ЛаДарСг + C$n.afiAs. D.2.26) [формула D.2.11)] сводится к равенству D.2.27) если Сг есть скаляр f. С учетом формул D.2.15) и D.2.10) по- лучаем Дар (Аз, + Вз>) = д^ Аз + л„*Вз. D.2.28)
214 ГЛАВА 4 Из формул D.2.27) и D.2.28), примененных к элементам мно- жества 37 (т. е. при 3) = у*), мы видим, что отображение &<#:%*-*¦%%$, определенное как К^д^И, D.2.29) оказывается 5-линейным. Следовательно, оно осуществляется с помощью тензора Ra$y6 s %%y, называемого тензором кри- 1) визны1): ^V6^:Rm6V\ D.2.30) Подставляя сюда выражение для дар, получаем В силу равенства D.2.26) имеем Дар(Л4Ув) = 0. Отсюда и из соотношения D.2.26) следует УУдаВЛу = —ЛбдарУб. Подставляя сюда D.2.30), находим ^-Яоэ/Д»- D-2.32) Чтобы вычислить действие оператора дар на произвольный тен- зор Нх...1, мы можем разложить его на сумму прямых произ- ведений векторов [формула B.2.14)], а затем, используя «пра- вило Лейбница», вычислить действие оператора дар на каждое слагаемое. В результате получаем (обобщенное) тождество Риччи: ... + яархтя?:::*u- *«wx Ht~:.\- ... -Ra^Hl:::l. D.2.33) Заметим, что благодаря антисимметрии оператора Дар [фор- мулы D.2.23) и D.2.24)], мы имеем °apv == R$a\ • D.2.34) Мы получим дальнейшие тождества (Бианки), устанавливаю- щие свойства симметрии тензора Ra$y6, выбрав в D.2.32) Ау = Vyf. Для простоты мы проведем явный расчет лишь для случая, когда кручение равно нулю. В этом случае мы имеем 2V,aVpiVYf = - Яa3YeVef. D.2.35) Выполняя антисимметризацию по a, P, у и используя C.3.9), получаем — у /?fapY)eV6/ == V||aV(J|VV]f = VlaVpVvl/== 4 Vr'Vf = 0, D.2.36) л ') К сожалению, не существует общего соглашения о знаке и расстановке индексов этого тензора. В литературе встречаются почти все возможные ва- рианты.
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И КРИВИЗНА 245 где учтено, что кручение равно нулю. Поскольку V6f принимает любые значения в произвольно выбранной точке, мы имеем во всякой точке = 0. D.2.37) С учетом D.2.34) это переписывается в виде Если кручение отлично от нуля, то вычисления проводятся ана- логично, но оказываются более сложными. Результат имеет вид Яюр/ + VieTnvi* + 7W«TY, pe = 0. D.2.39) Далее, разложим V[OVpVY]Ve [как в формуле D.2.36)] двумя разными способами. В первом случае используем антисиммет- рию по а, р и тождество D.2.33), в котором тензор //... пола- гаем равным VyV6. Во втором случае используем антисимметрию по р, у и формулу D.2.31). Мы вновь выполним явный расчет лишь для нулевого кручения. В этом случае мы имеем 2VuaVpiVV]V6 = #fap, р ?Vy]Vp - Я(ap/Vp^. D.2.40) 2У|аУ1ЭУу1)И = Via (Яру, pV) = %Y , р |Va)FP + V%aRty] рв. D.2.41) Вычитая одно выражение из другого, с учетом D.2.37) полу- чаем тождество Бианки: = 0. D.2.42) Если кручение отлично от нуля, то вычисления проводятся аналогично, но оказываются более сложными (приложение, рис. П.9). Результат таков: Pa Pa + Tm*Rn 6p° = 0. D.2.43) Вскоре мы рассмотрим альтернативный метод получения то- ждеств D.2.39) и D.2.43) [формулы D.2.52) и далее]. Вариация оператора производной Теперь предположим, что мы имеем другой оператор кова- риантного дифференцирования va : $р-¦• ?5, для которого так- же выполняются соотношения D.2.2) и D.2.3). Рассмотрим раз- ность между этим оператором и Va- Для отображения (Va-Va):?p-*3:g D.2.44) выполняется условие <Va - Va)(fp+K3)=(Va- Va)f/3+(Va-Va) К3 ввиду D.2.2). Справедливо также соотношение (Да — Va) (fU^) = = /(Va — Va)#P> которое следует из условия D.2.3) и из того,
246 ГЛАВА 4 что рассматриваемые операторы должны совпадать на скалярах) Va/ = Va/ D.2.45) [формула D.1.40)J. Следовательно, отображение D.2.44) 5-ли- нейно и в силу B.2.37) имеем v D.2.46) для некоторого Qav4 e $aV. И наоборот, если задан произволь- ный тензор Qaup и оператор ковариантной производной Va> то любой оператор Va, определенный как в D.2.46), тоже будет оператором ковариантной производной. Поскольку (Va — Va) (A|j?/p) = O в силу равенства D.2.45), из D.2.5) получаем (Va-VaMe = -QaeMr D.2.47) Далее, любой тензор Н1'..'Л есть сумма прямых произведений векторов, а потому из правила Лейбница и условия линейности следует, что - QpfHl ¦::. I -... - Qpvv"tf°::: I. D.2.48) Пусть fapv и flapv* ~ тензор кручения и тензор кривизны, соот- ветственно определенные с помощью оператора Vp- Имеем } Vv/, D.2.49) откуда f^ = raBv - Qapv + Qpav, т. e. f auv - Taf = -2Q[ap,v. D.2.50) Вычисление тензора ^opYe проводится аналогично с использо- ванием величины 2V|uVeiV6. но выглядит несколько сложнее. Результат имеет вид * * e + 2V,aQp, y* + 2Q[a | p |*QW YP. D.2.51) Особый интерес представляет случай, когда QopV p тензор Qapv теперь антисимметричен, и из D.2.50) следует, что Vp будет симметричным оператором. Таким образом, мы имеем каноническое правило1), сопоставляющее любому оператору ко- ') Пря наличии метрики существует другое «каноническое» правило вы- числения однозначно определенного снмметричого оператора [удовлетворяю- щего требованию D.3.46) ], которое может оказаться более предпочтительным (см. также § 7).
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И КРИВИЗНА 247 вариантной производной Vg оператор симметричной ковариант- ной производной Vp. Имеем «oPv6==/?aPYe + V[arWve-4-rp,«er&v—ifapVpy9. D.2.52) Эту формулу можно использовать для альтернативного получе- ния тождеств D.2.39) и D.2.43). Мы просто подставляем KaQy6 (и Vp) в более простые формулы D.2.37) и D.2.42), которые справедливы в случае нулевого кручения. Результат совпадает с D.2.39) и D.2.43) соответственно. Пока что мы ничего не говорили о существовании оператора ковариантной производной на данном многообразии Ж. Можно доказать [102], что связность существует глобально на любом многообразии, которое, как в нашем случае, допускает тополо- гию со счетным базисом. Если найдена одна связность, то все другие получаются из нее с помощью произвольных элементов Qapv e ?ар так, как это описано выше. Нам не потребуются бо- лее глубокие теоремы существования, поскольку мы предполо- жили, что Ж допускает введение физической метрики, а мет- рика (любой сигнатуры) однозначно определяет симметричную связность [формула D.3.47) ]. Производная по координатам Чтобы облегчить вычисления, иногда удобно ввести «произ- вольные» связности, которые не связаны ни с какой дополни- тельной структурой на Ж. Как мы сейчас увидим, локально су- ществует много подобных связностей. Полезный пример — связ- ность, обусловленная определением «производной по координа- там» в некоторой координатной системе. В рамках нашего под- хода существует два способа определить понятие ковариантной производной. Самый простой из них состоит в том, чтобы выра- зить все тензорные величины через их компоненты в некоторой координатной системе, а затем рассматривать наборы частных производных этих компонент по координатам лс\ В результате получаем множество скалярных полей, или, что эквивалентно, множество функций координат ха. Обычно так поступают, если требуется провести явные вычисления. Другой способ — восста- новить тензорные величины, исходя из заданного набора скаляр- ных полей, которые рассматриваются как компоненты тензоров в данной координатной системе. Тогда производная по коорди- натам позволит переходить от одних тензоров к другим или, го- воря кратко, будет задавать связность на многообразии Ж. Однако эта связность зависит от выбора координат и различные координатные системы будут приводить к разным связностям.
248 ГЛАВА 4 Проанализируем данный вопрос более детально. Рассмотрим локальную координатную систему A1, *в). Для вычисления компонент тензора мы используем координатный базис в Z' (иногда называемый «естественным» базисом), который опре- делен формулой D.1.33): Дуальный базис D.1.34) таков: 8' = ^ bn = dxn. D.2.54) Канонические образы векторов !„еГ и !es? в2ай2° соот- ветственно есть б" и 65. Таким образом, приняв обозначение Vo для d [формула D.1.40)], мы можем переписать D.2.54) в виде \ D.2.55) Тогда можно считать, что б" определяется через величину б" равенством бабр = б?. Компоненты тензора Ht,'.'.'.^. в этой системе координат при- нимают вид н1:М = н1::: 1ы... 6^5;... ejt, D.2.56) где использована формула B.3.13). Частные производные по & записываются в виде ¦?fK'-'.:l- D-2.57) Множество скаляров D.2.57) соответствует первому из двух определений производной по координатам, о которых говорилось выше. Чтобы получить второе определение, мы, используя стан- дартную процедуру B.3.14), сконструируем тензор, компоненты которого совпадают с D.2.57). Этот тензор может быть записан в виде ^tyW ... 6УА ... & D.2.58) Оператор др определяет отображение из %к'.\'.1 в %\'.'.'.1р, ко- торое, очевидно, обладает всеми свойствами оператора кова- риантной производной. Но, вообще говоря, этот оператор не имеет инвариантного смысла, поскольку определение операто- ра (Эр связано со специальной') системой координат х". Тем не менее оператор др иногда оказывается полезным, поскольку ') Однако любые другие координаты у", выражающиеся через х" ли- нейно с постоянными коэффициентами (т. е. такие, что дуа/дх* есть кои- станты), приводят к тому же самому оператору дй.
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И КРИВИЗНА 249 он обладает особенно простыми свойствами в силу коммутатив- ности частных производных д^/дх? дх* = д2/дх*дха. Таким обра- зом, мы имеем дад^д^да. D.2.59) Поэтому кручение и кривизна, определяемые оператором да, равны нулю. (Можно даже показать [49], что любой оператор ковариантной производной, для которого равны нулю и кри- визна и кручение, локально представим в виде оператора част- ной производной в некоторой системе координат лса.) Оператор да особенно просто выражается через свои компо- ненты в системе координат *". Рассмотрим теперь несколько более сложную формулу для компонент заданного оператора ковариантной производной Va. Для большей общности мы бу- дем рассматривать базис б« в Za и дуальный ему базис 6а в Za, который не обязательно совпадает с естественным базисом. Если выбранный базис можно преобразовать в естественный, перейдя к некоторой координатной системе, то его называют голоном- ным, а в противном случае — неголономным '). Таким образом, наши рассуждения включают случай неголономного базиса. Многообразия, допускающие введение глобального неголоном- ного базиса, встречаются гораздо чаще, чем такие, которые до- пускают глобально определенный голономный базис. (Напри- мер, сфера S3, см. примечания на с. 92, 93.) Нам потребуются компоненты производных базисных эле- ментов. Определим символы связности2) следующим образом: lV:=e5v«a3», D.2.60) где Vo означает 6aVa- Поскольку 6yt принимает постоянные значения 0 и 1, мы имеем 0 = Vu6fi = V« (брб|) = 6$Va6p -f 6pVa6j!s- Отсюда следует Г0„у = -бД7«бУ D.2.61) Теперь рассмотрим компоненты (va^PN? ковариантной произ- водной вектора Fp : FaFp. Имеем = VaK' + FvlV D.2.62) ') Локальное условие голономности базиса имеет вид |A.*f] = 0, где [ ] —скобка Ли, определяемая ниже в формулах D.3.2) и D.3.26). Отме- тим, что оператор производной д0 также можно определить в неголономном базисе, используя формулы D.2.58) н D.2.56); такой оператор имеет нену- левое кручение, но нулевую кривизну. 2) Мы используем нестандартное упорядочение индексов Гп(,у, которое лучше отвечает нашим обозначениям (особенно использованию символа V вместо точки с запятой).
250 ГЛАВА 4 в силу определения D.2.60). Аналогично для компонент б"бр ковариантной производной Va^p имеем = VaAt-AyT^ D.2.63) в силу равенства D.2.61). Для компонент ковариантной произ- водной произвольного тензора Hi.'..? получаем в?... еда-/.:5) - ... + я?:::;г„/- fftw.'jv*-... -Hi:::yv\ D.2.64) В специальном случае, когда б° -есть координатный базис (при Vo*e = fia). в соответствии с D.1.41) оператор Vp может быть записан в виде д/дх?, если он действует на скаляры. В этом случае часть тензора Г„рт, кососимметричная по а и Р, определяет компоненты кручения, поскольку -pavVv*v = УэаУ- D.2.65) Таким образом, тензор Горт симметричен по а и 0, если кручение равно нулю. В то же время для общего неголономного случая не существует определенного соотношения между Г[„Р]У и кру- чением. В самом деле, в общем случае нет способа вычислить тензор кручения, зная только скалярные поля Тар1. Требуется дополнительная информация, например явное выражение для этих величин через некоторые скаляры Xй. Предположим на время, что связность симметрична, но Гв^ — величины общего вида (неголономные). Мы можем вы- числить компоненты тензора кривизны по формуле tfpaaP = fia(VpVo-VoVpNeP D.2.66) [формула D.2.31)]. Получаем Г1в,.,тГ„/-Г„в|Т\А D.2.67) влению D.2.68). Из D.2.31) следует, что учет кручения приведет к появлению в правой части дополнительного слагаемого
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И КРИВИЗНА 251 Если же кручение отсутствует и выбран координатный базис D.2.53), то мы получаем привычную классическую формулу ^+r«on-ro,'lV- D.2.69) Существует другой способ получения эти* формул в случае голономного (координатного) базиса. Он основан на соотноше- нии D.2.51), в котором положено Vp = <ЭР, а действие этого опе- ратора вычисляется по формуле D.2.58). Сравнивая D.2.62) с разложением D.2.46) по компонентам, находим <?„' Г„,\ D.2.70) Мы имеем #<.»?* = 0, а потому, выписывая компоненты D.2.51) и подставляя в эти выражения D.2.70), получаем требуемую формулу для Raft (для любого кручения). Аналогично выражение D.2.56) для ТарУ через кососимме- тричную часть тензора Г./ в координатном базисе получается вычислением компонент D.2.50), где следует положить Г«/ = 0. Иногда в формулах, содержащих производные по координа- там, удобно перейти к обозначениям с абстрактными индексами (т. е. принять второе определение производной по координатам из двух упомянутых выше). Преимущества таких обозначений проявляются при вычислении компонент ковариантной произ- водной. Если в первом случае мы явно должны указывать ба- зис б, то во втором случае в тех же формулах этого не тре- буется. Так, например, фундаментальное уравнение D.2.62) в координатном базисе p) ЭД —j^J- + уТоД D 2 71) ах можно переписать, пользуясь абстрактными индексами, в виде VaKB = дУ.+ У vrOYp, D.2.72) где ГОу" — тензор, определяемый следующим образом: ГауР:— Г./ду6аб? = 6vvVo6?. D.2.73) Разумеется, так же как др, тензор Гаур зависит от выбранной системы координат х*- Тем не менее это действительно тензор (в том же смысле, в каком х8 есть скаляр). Фактически при Vp = dp мы имеем Гаур = —Qavp [формула D.2.70)} и равенство D.2.72) становится частным случаем соотношения D.2.46). Подчеркнем, что величины, имеющие смысл координат, та- кие, как л?, и компоненты тензора, такие, как /48зь в нашем под- ходе являются скалярами по определению (в том смысле, что
252 ГЛАВА 4 они являются элементами множества SE). В классическом под- ходе это не так. Классически скаляры определяются как инва- рианты преобразований координат. Например, в классических обозначениях компоненты УоЛр обычно записываются в виде Лр; а, но отдельно взятая компонента А3 вектора А$ не может рассматриваться как скаляр ф. Нельзя заменить Лэ на ф в Лэ; о и получить ф-, а = дф/дх" для Аз;,., поскольку ковариантная производная действует не на отдельные компоненты, а на тен- зор в целом. С этой точки зрения обозначение Лр, u нелогично и может привести к ошибкам в вычислениях. (Обозначение же Atr Л для производной по координатам вполне логично: «,а» дей- ствует на отдельные компоненты.) Наш подход и соответствую- щие обозначения, принятые в книге, позволяют обойти эти неод- нозначности. Если мы пишем УгЛ3, то действительно подразу- меваем дАз/дх2 (в координатном базисе). Компоненты с а = 2, Р = 3 в классическом выражении для Ар, а должны записываться в виде 6fV2/4p, что отличается от V2A3 слагаемым— А^Ь3 = — — ЛрГ-в- Абстрактный индекс р, разумеется, не может прини- мать численные значения. § 3. Производные, не зависящие от связности Одно из преимуществ введения связности на многообразии в том, что она позволяет сделать операцию дифференцирования алгоритмичной. Операции, которые определены независимо от связности, образуют своего рода особый «зверинец». Тем не менее некоторые из них очень важны. Мы сначала перечислим несколько известных операций, не зависящих от связности, а затем обсудим наиболее важные из них подробнее. Все нижеследующие выражения D.3.1) — D.3.6) [а также D.3.45)] не зависят от выбора оператора симметричной кова- риантной производной Vp: V[pAx...Y]; D.3.1) P - VaVaU*\ D.3.2) ?Hl\:\ I : Hi::: W\ D.3.3) если У'" = Л('^ . н Ba*-«4==B^ -V. D.3.4) [а,.
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И КРИВИЗНА 253 А^-а" = А^-а"] и Ba'-aWa«-<4 D.3.5) 1... f^Vp.^S,... ар], если ДХ1...«р«=4«1...ар] и В\... iq = B\ix...iq]. D.3.6) Инвариантность каждого из этих выражений при изменении симметричного оператора связности Vp показывается непосред- ственно с помощью правил, изложенных ранее. Вычисляя раз- ность между данным выражением и его аналогом, содержащим Vpi мы получаем на основании формулы D.2.48) сумму слагае- мых, содержащих QapY, которые обращаются в нуль в каждом случае ввиду симметрии выражающей тот факт, что оба тензора Va и Va не содержат кручения [формула D.2.50)]. Выражения D.3.1) — D.3.6) имеют то преимущество, что они приобретают особенно простой вид при переходе к компонен- там. В любой координатной системе вместо операторов Vp мож- но использовать д„. При переходе к компонентам они просто заменяются на д/дхр. Внешнее дифференцирование Исследуем подробнее выражение D.3.1). Имеем V[p^4a... vJ — V|pi4o... Yl = Q[pa A\6\...y\ + • • • + Qlpv ^о...]в = 0, D.3.8) так как в силу равенства D.3.7) обращается в нуль каждое сла- гаемое. Не зависящая от связности операция D.3.1) служит основой замкнутой системы внешнего исчисления дифферен- циальных форм Картана. Базисные объекты этой системы исчис- ления— антисимметричные ковариантные тензоры. Ее операции столь просты, что в индексах нет необходимости и они, как пра- вило, даже бесполезны. Соответствие между обозначениями Картана и нашими уста- навливается на основе правила отбрасывания индексов, которое формулируется следующим образом. Выберем фиксированный бесконечный подкласс индексов-меток, скажем, Ч, ц>> 1з> ••• D.3.9) в качестве тех индексов, которые мы собираемся отбрасывать. Отбрасываться могут только нижние индексы, причем они долж-
254 ГЛАВА 4 ны быть расположены в естественном порядке, начиная с и. Если мы хотим буквально воспроизвести систему исчисления Картана, то должны работать только с антисимметричными тензорами с нижними индексами и, ц, ...» iP. Такой тензор мы называем р-формой и пишем') AlB\H...ip- D.3.10) При этом 0-формы есть просто скаляры, а 1-формы отвечают векторам. В соответствии с C.3.30) каждая n-форма есть ска- ляр, умноженный на е^ ... l/t; в силу C.3.27) всякая р-форма при р> п равна нулю. Иногда рассматривают тензорнозначные р-формы, и тогда оказываются полезными следующие обозначения: e»...ve*"T-:=/fi1i1...1^...<»e-Y, D.3.11) где Н~г — тензор, антисимметричный по ц, i*, .... iP. Строго говоря, при этом мы выходим за рамки системы внешнего исчис- ления. На множестве дифференциальных форм вводится три опера- ции, а именно: сложение, внешнее произведение и внешняя про- изводная. Сложение р-формы с ^-формой допускается только при условии р—Д. (Иногда строят системы внешнего-исчисле- ния, допускающие суммы с р ф q. См. также т. 2, приложение.) Сумма двух р-форм А я В есть тоже р-форма, определенная следующим образом: А + В := А,... I, + Blf... v D.3.12) Внешнее произведение р-формы А на ?-форму С есть (p + q)- форма А АС По определению А Л С := А[ч... 1рС1р+1... 1р+?]. D.3.13) Внешняя производная р-формы А есть (р+1)-форма dA, ко- торая в случае симметричной связности определяется следую- щим образом: D.3.14) и, как мы видели, не зависит от выбора Vp. Заметим, что при р =0 это определение согласуется с определением скаляра, дан- ным в D.1.32). Если операторы действуют на скаляры, факти- ') Более привычное обозначение *dx» вводится в формулах D,3.19) и D.3.22) ниже.
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ И КРИВИЗНА 255 чески можно писать rf — Vi,. Справедливы следующие соотно- шения: I. А + В = В + А; И. (А + В) + С = А + (В + С)', . III. АЛ(В + (?) = ЛЛВ + ЛЛС; IV. А ЛВ = (— 1)ИВ Л А, если А есть р-форма, а В есть <7~форма; V. (А Л В) Л С = Л Л (В Л С); D.3.15) VI. rf(A + B) = rfA + dB; VII. d (А Л В) — dA Л В + (-1)" А Л <*В, если А есть р-форма; VIII. d(dA)=«0. Подразумевается, что складываемые формы имеют одинаковую валентность. В справедливости каждого из этих соотношений можно убедиться непосредственно, исходя из определений D.2.12) — D.2.14). Например, проверим выполнение соотноше- ния V : (АЛВ)ЛС = Аа...В...]С...] - 4...В...С..., «= = А1...В1...С...ц - А Л (В Л С). D.3.16) Чтобы проверить соотношение VIII, выберем какой-нибудь кон- кретный оператор Vp, скажем оператор др, для которого кри- визна и кручение равны нулю. (Данное условие может выпол- няться лишь локально, но нам этого достаточно.) Имеем d{dA) = dl.dl.A...]]=*d[.d.A...] = d[l.d.]A...] = O, D.3.17) поскольку dladw==O. Этот результат иногда называют леммой Пуанкаре, а иногда — обратной леммой Пуанкаре [более глу- бокий результат состоит в том, что локально из равенства dX =• = 0 следует равенство X = dA для некоторого А; см. формулу F.5.27)]. Внешняя производная обобщает понятие ротора. Хо- рошо известные формулы векторного анализа divrotV = 0 и rotgrad^ = 0 можно рассматривать как частные случаи леммы Пуанкаре. В координатном базисе можно написать А - А,... ^ - Л.,..../; ... бУр = А.,... .Д ... о>], D.3.18) где компоненты Ao,...a образуют антисимметричный тензор. Используя соотношение 6t = Vi,*e-d*-, D.3.19)
256 ГЛАВА 4 можно переписать D.3.18) в виде дифференциальной формы А = Аа}... арdx"' A ... Л dx"p. D.3.20) (Логичнее было бы писать символ «Л* также между А... и первым dx, но умножение на скаляр, хотя и является частным случаем внешнего произведения, обычно записывается без та- кого символа.) Отметим, что в литературе для компонент р-формы часто применяется обозначение av..«p:=p! А,,....,,, D.3.21) а не А,, ...ар. Такое обозначение проще только в том случае, если не используется правило суммирования по повторяющимся индексам. В этом случае выражение D.3.20) записывается в виде А = ? а„ а dx A ... Л dx"p. D.3.22) .,<...<•„ р Определение, принятое здесь, совместно с обозначением анти- симметризации квадратными скобками автоматически учиты- вает численные множители, неизбежно возникающие в обозна- чениях вида D.3.22). В наших обозначениях компоненты внеш- него произведения и внешней производной записываются в виде и -зг-^...-в+,1. D-3.23) Одно из наиболее важных приложений дифференциальных форм основано на фундаментальной теореме внешнего исчисле- ния1). Если 9* есть ориентируемая р-мерная поверхность в ориентируемом Ж, то мы определяем интеграл р-формы А по 5s следующим образом: = \ Aai...updxa* Л ... Adxap= \ax...pdxl A ... Л dx" = 0 i._.pdx1 А ... Adxp = p\\ (...(J Л, ...Pdxl)...) dxp D.3.24) для всякой поверхности 53, представимой в некоторых коорди- натах набором уравнений xp+l = ... = хп = 0. Если это не так в целом, то подобное представление возможно для отдельных ') Различные варианты этого результата связывают с именами Остро- градского, Гаусса, Грина, Кельвина, Стокса, Картана и, вероятно, других уче- ных. Используемая терминология была рекомендована нам Вудхаусом.
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И КРИВИЗНА 257 кусков поверхности ^ и весь интеграл представляется в виде суммы интегралов по отдельным кускам. Такое представление не зависит от специального выбора координат. Фундаменталь- ная теорема внешнего исчисления утверждает, что J dA = (j> А, D.3.25) Q дС где Q есть компактная (р+1)-мерная поверхность с грани- цей 6Q. Скобки Ли и производные Ли Перейдем теперь к D.3.2), второй операции в нашем списке операций, не зависящих от связности. Она называется скобкой. Ли и содержится во всех последующих операциях D.3.3) — D.3.6) списка. Более глубокая точка зрения на эту операцию состоит в следующем. Пусть V и V — дифференцирования на алгебре ?. Отображение W: ?-»-$, определенное с помощью коммутатора W=[V, V]: = U°V-V°U, D.3.26) т. е. как Wf = U(V(f))-V(U(f)), D.3.27) также является дифференцированием. [Соотношения I и II в D.1.11), очевидно, выполняются. В справедливости условия III нетрудно убедиться непосредственно.] Пусть Vo — некоторый оператор ковариантной производной. Выразим Wa через Ua и Va. Имеем W\f = ?/Ч (V\f) - V\ (U\J) = = ^t/VaVp/ + ua (v,typ) vB/ - uav\vj - v3 (vaf/p) v = = {иачУ - VaS7aU* + U VvraYp) Vpf • D.3.28) Таким образом, Г3 = U^vy* - VaVaf/p + UaVyTay*; D.3.29) это выражение сводится к D.3.2), если оператор Va симметри- чен [и, кстати, показывает, как следует модифицировать D.3.2) при наличии кручения]. Скобка Ли удовлетворяет соотношениям, выполняющимся для всех коммутаторов, а именно: [U, V] = - [V, V], [U, V + X] = [V, V] + [U, X], [U, [V, X]] + [V, [X, Щ] + [X, [V, V)) = 0; D.3.30) второе из этих соотношений называют тождеством Якоби. Скоб- ка Ли играет важную роль в современной дифференциальной 9 Зак. 1142
258 ГЛАВА 4 геометрии. Причина этого в том, что коммутатор ковариантных производных по направлению V: = rva D.3.31) X (не обязательно действующих на скаляры) содержит скобку Ли. Повторяя по существу вычисления, проведенные в D.3.28), мы получаем [формула D.2.24)] W - VV = V + ГКЭ дар D.3.32) XY YX [X, Y] и [в силу D.2.31)) (VV-VV- V) Z6 = Rm&XaY*Zy. D.3.33) XY YX [X, Y] Третья не зависящая от связности операция нашего списка D.3.3) называется производной Ли тензора Hl'.'.'.l вдоль век- тора V. Эта операция строится следующим образом. Мы опре- деляем IX :=[V, X] D.3.34) V как производную Ли ковариантного вектора X вдоль V. Произ- водная Ли скаляра / будет просто производной по направлению вектора V: ?f :=V(f) = F*>Vpf. D.3.35) v Тогда производная Ли ковариантного вектора определяется из D.3.34) и D.3.35), если потребовать, чтобы правило Лейбница выполнялось для производной Ли от АаХа: ?{Ааха) = Аа?Ха + Х*?Ал. ' D.3.36) V V V Отсюда следует, что ? Аа = УЧА, + А№*> D.3.37) где мы считаем оператор Vp симметричным. Аналогично, чтобы получить D.3.3), достаточно потребовать, чтобы производная Ли от H$".vX ... ZvAa ... Су удовлетворяла правилу Лейбница. Другой способ состоит втом, чтобы разложить Hl'.'.'.l на сумму прямых произведений векторов, а затем воспользоваться свой- ством линейности и правилом Лейбница при дифференцирова- нии каждого слагаемого. Это однозначно приводит к D.3.3) при
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И КРИВИЗНА 259 условии, что Vp — симметричный оператор. Как нетрудно убе- диться, коммутатор производных Ли удовлетворяет соотношению ??—??=? M448V UV VU [U,V\ D-3и38> Геометрический смысл производной Ли в том, что она изобра- жает инфинитезимальный перенос тензора Hl'.'.'.l вдоль инте^ тральных кривых V в Ж. Результат конечного переноса имеет вид ехр(и^?))Я";;;?, где и — параметр вдоль кривой. Подробное обсуждение этого вопроса можно найти в монографиях [33, 84]. Последние три операции нашего списка D.3.4) — D.3.6) не столь важны, как три предыдущие. Здесь мы укажем лишь на специальный случай выражения D.3.6): К? А ~ АУА + А>Л - АУЛ- <4- Это выражение играет существенную роль в теории комплекс- ных многообразий. Риманова геометрия Рассмотрим следствия введения метрики на М. Метрика ГО 1 есть симметричный тензор валентности I о I • обозначаемый че- рез ga&, который по определению не сингулярен, т. е. существует обратный тензор g0*, такой, что ЛВУ = б"у D.3.40) Мы имеем Гр = ^°- ?«е = Spa- D.3.41) Пусть Vя — произвольный контравариантный вектор, а Vp — сим- метричный оператор. Тогда производная Ли ga& вдоль Va равна- + S^yVa. D.3.42) Повторная внешняя производная от Vaga& равна VY(Kagap)-Vp(Fagav) = = VN^ap + gapVY^a - V\gay ~ gay^Va. D.3.43) Оба эти выражения не зависят от связности. Складывая их, по- лучаем 2Sa<,VvI/a + Va (VagPY + VYgafJ - Vp?av); D.3.44) свертка этого выражения с (l/2)gP° дает W + Vl{^gP"(VagpY + VYgap - VpgaY)}, D.3.45) 9*
260 ГЛАВА 4 что также не должно зависеть от связности. Предположим, что симметричный оператор Vp удовлетворяет требованию 0. D.3.46) Этим условием однозначно определяется оператор Vp. Действи- тельно, выражение D.3.45) не зависит от связности, следова- тельно, в нем можно заменить Vo на др: VYF° = dyV° + Va { у ^° (aagpv + dyga(i - d^gay)}, D.3.47) где dp — произвольный симметричный оператор; в частности, это может быть оператор «производной по координатам», ассоцииро- ванный с локальными координатами х*. Если перейти к ком- понентам, то выражение D.3.47) имеет привычный классический вид ковариантной производной, записанной через символы Кри- стоффеля. И наоборот, можно доказать, что существует симметричная связность Vp, удовлетворяющая требованию D.3.46). Мы опре- деляем VYFa (локально) выражением D.3.47). Тогда мы имеем равенство вида D.2.46), где dy = Vy и QYa° = - jg*° (&^У + дчёч - <Vav)- D-3-48) Таким образом, в силу формул D.2.48), D.3.40) и D.3.41) имеем ov = dogafi + 2Qp (OV3) y = ,} p + дАт - d^ga) p) = 0. D.3.49) Симметричный оператор Vp, однозначно определяемый тензором gad, будем называть ковариантной производной Кристоффеля. (Мы доказали, что она существует локально, но локальное су- ществование вместе с единственностью означает глобальное существование.) С помощью метрики индексы можно поднимать и опускать стандартным образом (гл. 3, § 1) (т. е. gaB устанавливает ка- нонический изоморфизм между ?а и ?р). Поскольку gae «ко- вариантно постоянна», Vpga.fi = 0, операция поднятия и опуска- ния индексов коммутирует с Vp. To есть = Крла в том и только в том случае, когда ЧрНл° = К*ла- D.3.50) Наконец, вычислим кривизну, определяемую ковариантной про- изводной Кристоффеля. Если опустить последний индекс в Ra^&»
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И КРИВИЗНА 261 то получим тензор Римана(—Кристоффеля) Rat46 = Rafi4kgu- D.3.51) (При принятом нами расположении индексов наше определение тензора Римана отличается знаком от определения, принятого в литературе. Его обычно используют в связи со спинорными разложениями.) Действуя коммутатором производных на gy6, мы получаем в силу формул D.3.46) и D.2.33) и с учетом равенства нулю кручения О - А„^ув = ~ ЯаЛе ~ *.Ла = - 2Яар W), D.3.52) т. е. тензор #а0уб антисимметричен по у и б. Из D.2.34) следует, что он также антисимметричен по а и Р; таким образом, /?аРу6 = #[арЦув1. D.3.53) Используя D.2.38), получаем #ару6 + #руав + Яуар6 = 0. D.3.54) Из этих соотношений следует, что == Лвура Т "увар === 2ау D.3.55) Стало быть, тензор ЯаЗув обладает также симметрией относи- тельно перестановки пар индексов: D-3.56) [Заметим, что для вывода равенства D.3.56) достаточно исполь- зовать тождество /?apYe = Лра6у вместо D.3.53).] Ввиду сим- метрии D.3.53) и D.3.54) [а следовательно, и D.3.56)] полное число независимых компонент тензора /?opv* в каждой точке оказывается равным A/12)п2(п2 — 1) (см. стр. 187). Тензор *ap:=*aYpV D-3.57) называется тензором Риччи. В силу равенства D.3.56) (и сим- метричности метрики) имеем Тензор Риччи имеет A/2)п(п+1) независимых компонент /?<.» в каждой точке. Скалярная кривизна дается выражением Я:=#аа = Дврар. D.3.59)
262 ГЛАВА 4 Переписав тождества Бианки D.2.42) в виде Va^pvpo + Vp/W + Vv/?oppo = 0 D.3.60) и свернув их с gapgv°, мы получаем важное соотношение В четырехмерном пространстве-времени это соотношение служит основой полевых уравнений Эйнштейна. § 4. Дифференцирование спиноров Теперь мы применим результаты, полученные в § 1—3, в том случае, когда Jt есть четырехмерное пространство-время1), а также расширим определение ковариантной производной так, чтобы этот оператор действовал на спинорные поля. Мы обнару- жим, что производная Кристоффеля, введенная в § 3, канони- чески продолжается на спинорные поля. Это и неудивительно, поскольку спиноры допускают естественную геометрическую трактовку на основе тензорных объектов (с точностью до знака, но эта неоднозначность не приводит к каким-либо трудностям при изучении дифференциальных свойств). Однако мы стре- мимся рассматривать спиноры как величины, более фундамен- тальные, чем мировые тензоры. В гл. 3, § 1 мы показали, каким образом мировые тензоры можно рассматривать как специаль- ные случаи спиноров. При таком подходе нам потребуется так- же отождествить мировые векторы с касательными векторами к пространству-времени Л. Следовательно, поля мировых век- торов нужно отождествить с дифференцированиями на алгебре Z гладких С°°-действительных скалярных полей на Ж. Здесь мы рискуем впасть в логический круг, поскольку поля мировых векторов строятся двумя разными способами. Но мы избежим ') Сейчас принято обозначать пространство-время не одним символом Ж, как у нас здесь, а двумя — {Л, g) или (Л, gap), где л _ многообразие, а g или ?а„) — метрика. В чистой математике такие обозначения, может быть, и целесообразны, поскольку введение метрики по важности стоит на втором ме- сте после выбора многообразия, но для пространства-времени заведомо пред- полагается существование (по крайней мере. конформной) физической мет- рики. Отметим, что, хотя наша запись Pejf, строго говоря, есть неправиль- ное использование обозначений, так как, если под Л понимается пара (Ло,g), запись Ре.Л означает, что Р — Ло или Р = g, нарушение смысла не боль- ше, чем в обычной записи ?е/о, где Ло — многообразие. Ведь многообра- зие есть не множество точек, а множество множеств, отображений и т. д., описывающих топологию или дифференцируемую структуру (или оба эти свойства), так что запись Р е Лц, строго говоря, не означает, что Р — точка многообразия Ло, а означает, что она — одна из этих структур!
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И КРИВИЗНА 263 логических противоречий, положив, что пространство 2* полей мировых векторов V, V, ... есть пространство дифференцирова- ний на алгебре ?, тогда как всякое пространство ?а, ?*, ..., со- держащее элементы U", Vй, ... или Ub, V, ..., должно отож- дествляться с tAA\ ZBB', ... в соответствии со сказанным в гл. 3, § 1. В гл. 3, § 1 отмечалось, что существует два логически раз- личающихся подхода к спинорной алгебре на Л: конструктив- ный и аксиоматический. Мы следовали конструктивному под- ходу в гл. 1. Четырехмерное пространство-время Ж считалось заданным. На нем фиксирована сигнатура (+ ). гладкая метрика, и предполагается, что многообразие в целом обладает следующими тремя свойствами: ориентируемостью во времени A.5.1), ориентируемостью A.5.2) и наличием спиновой струк- туры A.5.3). Тогда спин-векторы можно определить геометри- чески (с точностью до несущественного общего знака простран- ства ©д, если Л односвязно; если же оно многосвязно, то опре- деление спин-векторов может содержать глобальные неоднознач- ности, зависящие от ряда дискретных параметров, см. гл. 1, § 5). Чтобы охарактеризовать элементы базисного модуля ©д, нам потребуется понятие С°°-гладкости для спин-векторного поля. Существует несколько эквивалентных способов дать такую ло- кальную характеристику. Например, в односвязной окрестности всякой данной точки многообразия Л можно выбрать С°°-си- стему ограниченных ортонормированных тетрад касательных векторов. В этом базисе спин-вектор кА характеризуется своими компонентами и0, к1 (см. гл. 1). Затем мы потребуем, чтобы х°, х1 были гладкими функциями класса С°° во всякой такой окрестности, т. е. чтобы они были локальными комплексными скалярными полями. В то же время во всякой такой окрест- ности можно использовать спинорный базис оА, И, определенный с помощью поля тетрад (знаки фиксируются по непрерывности), и постулировать, что они принадлежат классу С06, так что %А = = к°оА + иЧд принадлежит классу С00 в той же окрестности, если только к° и и1 принадлежат этому классу. Понятие С°°-глад- кости, очевидно, не зависит от специального выбора ортонорми- рованной тетрады; следовательно, оно характеризует геометри- ческие величины, образующие ®д. Определив таким образом ¦базисный модуль @д, который, очевидно, будет модулем над кольцом С°°-комплексных скалярных полей @, вполне рефлек- сивным в силу сказанного в гл. 2, § 4, мы строим ©о'.'.'. F' как в гл. 2, § 5. Элементы множества X" по определению есть дей- ствительные элементы множества <5АА'\ очевидно, что они на- ходятся во взаимнооднозначном соответствии с касательными векторами 2", поскольку установлено локальное соответствие между тетрадой касательных векторов и спинорным базисом.
264 ГЛАВА 4 Можно также встать на аксиоматическую точку зрения. Тогда мы просто постулируем алгебраические требования к спи- норной системе. Пространственно-временная структура, т. е. метрика, сигнатура, топологические требования, должна выво- диться из этого набора постулатов. Конструктивный подход можно рассматривать как оправдание аксиом, выбранных для спинорной системы, поскольку они должны выполняться в лю- бом пространстве-времени, в котором допустим конструктивный подход. В то же время существование спинорной алгебры можно рассматривать как более «глубокую» причину возникающей пространственно-временной структуры. Именно этому подходу мы будем в основном следовать. Таким образом, мы постули- руем существование спинорной алгебры, следуя изложенному в гл. 2, § 5, а затем требуем, чтобы структуры J и J" = iAA' были изоморфны соответственно скалярным полям ? и их диф- ференцированиям $' на Ж, определенным в соответствии с ак- сиомами § 1. Требуемый изоморфизм между %' и %а = %АА' сопоставляет каждому дифференцированию UeJ" единственный элемент улл' — у* е ?<^ и наобОрот. (С учетом такого канонического изоморфизма не будет ошибкой называть U", V, ... также полями мировых векторов на J?.) Мы используем символ V» (или, что эквивалентно, Vaa') для обозначения этого изоморфиз- ма, т. е. отображение Va: ?/e •—*> С/ будет записываться в виде UaVa = V. D.4.1) Эти операторы действуют на действительные скаляры; следова- тельно, UaVa есть отображение из 2; в ?. Можно расширить об- ласть определения этого оператора, включив в нее комплексные скаляры @ = $:©i?, что приводит к отображению из © в ® a (f + ig) := U (Л + Ш (g) =: V (f + ig); f, g e I. D.4.2) Далее можно определить iV(h); AeS. D.4.3) Следовательно, для любого данного fte® мы имеем отображе- ние из @а в ®, определенное как Wa н-э- Wavah (где W e ©a). Очевидно, что оно ©-линейно; стало быть, для Ае@ мы имеем- элемент Vah e= @в. D.4.4) Из D.4.2) и D.4.3) следует, что WaVah = WaVah, откуда Vj= Vah- D.4.5)
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И КРИВИЗНА 265 В частности, если fteJ, то Vaft е %а. Используя свойства диф- ференцирования, можно показать, что gVati + h4ag, D.4.6) где /геШфШ и g, AeS. Далее, мы желаем расширить определение оператора Va, за- давая его действие на произвольный спинор. Мы будем следо- вать изложенному в § 2. Оператор спинорной ковариантной про- изводной мы определяем как отображение V0:<SB-><SV'. D.4.7) удовлетворяющее требованиям Vfl (IB + tib) = ValB + VaTlB, D.4.8) D.4.9) для всех |в, у\в е ©в, / е ©; определение оператора Va/ дано выше. Разумеется, мы можем написать Vaa' вместо Va и исполь- зовать подстановку индексов, например V^3^iQo = V^l0". и т. д. Такую возможность мы будем всегда подразумевать. [Однако следует помнить, что Vat4 есть не подстановка индексов BVa?B> а (В \ I . J-свертка, а именно Vaa'Ia> cm. замечания после фор- мулы C.1.37).] Мы расширим Va до отображения из ©в в ЪАВА>, потребо- вав, чтобы производная свертки ав\в удовлетворяла правилу Лейбница (VaaB) IB = Vfl (aB|B) - *ВЧЛВ' D-4.10) Левая часть этого равенства определяет VaCts как отображение из @в в &АА> в силу формул D.4.6), D.4.8) и D.4.9); очевидно, что оно ©-линейно. С учетом D.4.6) нетрудно убедиться, что соотношения Va (aB + Ы = VoaB + VaPs. D.4.11) D.4.12) имеют место для всех ав, рве©в, /е<5. Определим дей- ствие Va на ©в' и на ©В' с помощью отображений из SB' в &аа'> а также из @В' в Saa'b- соответственно, как комп- лексное сопряжение: Из выражения, комплексно-сопряженного выражению D.4.10), и формулы D.4,5) непосредственно следует, что правило Лейб-
266 ГЛАВА 4 ница также применимо к свертке щ\в'. Более того, очевидно, что в силу формул D.4.8), D.4.9), D.4.11) — D.4.13) для V0?B' и Vo^b' имеют место линейность и правило Лейбница. Теперь мы в состоянии определить действие Va на спинор общего вида %в... р/Р'" s- Как и в соотношении D.2.8), мы про- сто требуем, чтобы правило Лейбница имело место для сверток вида %b...f'P "s X Рв • • • ФРпр • • ¦ as'* тогда соотношением (VaXB.../-s')PB ... ф»\ ... as, = Va(xB.../-s'PB ... as,)- D.4.14) VflXB p'P'"s' определяется как ©-мультилинейное отобра- жение из ©в X • • • X @f' X @р X • • • X @s' в fAA-. Таким обра- зом, для всякого множества спиноров &b'.'.'.f' оператор Vo оп- ределяет отображение ©?©I?'.,p. D.4. is> Аналогично соотношениям D.2.10) — D.2.13) выполняются ра- венства D.4.16) (^) 0^ ^0^. D.4.17) Оператор Vo обладает также свойством Va коммутирует с подстановкой любых индексов, не содержащей А или А'. D.4.18) Далее, Va коммутирует со сверткой (не содержащей А или А')г р' D.4.19) Из D.4.13) следует, что Va коммутирует с операцией комплекс- ного сопряжения: V.**-Ve(«e). D.4.20) (Формально это означает, что Va — действительный оператор: V0 = V0.) В частном случае действительных мировых векторов Ub = __ jjbb1 e jb оператором Va определяется тензор ковариантной производной Ub>—>VaUb, удовлетворяющий условию Va(Ub + +Vb) = AaUb + 4aVb, 4a(fUb) = f4aUb + Ub4af* согласии с фор- мулами D.2.2) и D.2.3). Обобщение такого Va на случай дей-
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И КРИВИЗНА 267 ствительных мировых тензоров, очевидно, согласуется с опреде- лением, данным выше, поскольку требования D.2.10) — D.2.13), которыми оно определяется однозначно, удовлетворяются в силу свойств D.4.16) —D.4.20). Единственность Перейдем к вопросу о единственности оператора спинорной ковариантной производной, удовлетворяющего указанным тре- бованиям. Обозначим через V и Va два таких оператора и рас- смотрим отображение (V0-Va):@S-*©^'- D.4.21) Тогда [аналогично отображению D.2.44)] это отображение бу- дет ©-линейным в силу соотношений D.4.8) и D.4.9) и того, что операторы Vo и Vo при действии на скаляры совпадают: Vof = Vj. D-4.22) Таким образом, существует элемент блл'в ^ &ава'> такой, что + Qaa'bcIb- D.4.23) Поскольку (Vo — Vo) («в?в) = 0 в силу равенства D.4.22), мы имеем с учетом D.4.23) с D.4.24) Выполнив комплексное сопряжение в D.4.23) и D.4.24), по- лучим с' = Vллic + влл'в'сгв'. D-4.25) - — @лл'в'сЧ:'. D.4.26) Следовательно, для произвольного спинора _ Х... F' ~ у* р Я' р У S' ~" S' Р X' ®AA'F ^В...Х' "Г^ЛЛ'ЛГ Xfl...f ~^~ •¦•®AA'X' Хв ... F' D.4.27) Теперь рассмотрим специальный случай, когда %••¦'" есть миро- вой вектор Ub. Получаем (vo - vj uBB-=eaCBuCB> + @aC-BvBC' = = (воСвеС'в' + 0aCB'ecB) UCC' = QJUC. D-4.28) где Qj = вЛА свъев + Qaac'V D-4.29)
268 ГЛАВА 4 есть величина, определенная аналогично соответствующей вели- чине в формуле D.2.46). Ввиду D.2.50) разность двух тензо- ров кручения Таь° и Таьс, определенных операторами Vo и Vo соответственно [причем (VaVi — VbVa)f = TabcVcf, и аналогично для Va], дается формулой D.4.30) с величиной Qabc из формулы D.4.29). Далее, рассмотрим производную от ъав- Имеем (Vo — Va) ЪВС = — ®AA'B°ZdC — ®AA'C°eBD = ~ ®АА'ВС + ®АА'СВ- D.4.31) Если потребовать, чтобы при действии операторов Va и Va спи- нор ъав был ковариантно постоянным, т. е. выполнялись условия VaeflC = 0, D.4.32) VaeBC = 0, D.4.33) то тензор Qaa'bc Должен быть симметричным по В, С: ®АА'ВС=®АА'СВ- D.4.34) Поскольку в силу формулы D.4.29) мы имеем Qabc = &АА'ВСЬв'С + &АА'В'С'ЧС> D.4.35) из равенства D.4.34) следует антисимметрия Qabc = -Qacb- D-4.36> [Более прямое доказательство антисимметрии таково: 0 = (Va — Vo) gbc = - Qabdgdc ~ Qa/gbd = ~ Qabc ~ Qacb' ГДе ИС- пользованы формулы D.4.32), D.4.33) и равенство gbc = eBCeB'C'.J Если оператор Va симметричен, а оператор еАВ ковариантно- постоянен по отношению к Va и Va» то кручение ТаЬс опера- тора Va дается выражением Tabc = Qabc Qbac = ®АА'В'С'ЧС — ®В'ВАФА'С' ~ ^ВВ'А'С'^АС- D.4.37) Это выражение используется в теории Эйнштейна — Картана — Шьямы —Киббла (§ 7). Теперь мы можем показать, что существует единственный оператор Va, для которого тензор вАв ковариантно постоянен [формула D.4.32)], а кручение Таьс равно нулю, т. е. Для всех fe®. D.4.38)
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И КРИВИЗНА 269 В самом деле, второе требование означает (в тех же предполо- жениях для оператора Vo), что тензор Qabc симметричен по а и Ъ [формула D.4.30)], а первое — что он кососимметричен по Ъ и С [формула D.4.36)]. Таким образом, из формулы C.3.17) следует, что Qabc = 0. Отделив часть, симметричную по В и С, и используя D.4.34), мы получаем условие единственности ®аа'вс — 0> что и требовалось. В следующей главе мы будем рассматривать заряженные поля и конформные преобразования. В связи с этим представ ляет интерес вопрос о неодно?начности оператора Va, удовлетво- ряющего только одному из двух указанных требований, а имен- но требованию равенства нулю кручения [формула D.4.38)], не не удовлетворяющего требованию ковариантного постоянства тензора ъав. Если оба оператора Va и Va симметричны (т. е. если их крученич одинакоры). то в силу формулы D.4.29) и симмет- рии Qfftc=Oeae» которая следует и;, формулы D.4.30), мк имеем Ъв'С®а'авс + ЧсРла'в'С — Ъа'с®в'вас + ^aSbb'a'C- D.4.39) Симметризуя по А, В, С а сворачивая с ев'с\ получаем 8л'Мвс> = 0. D.4.40) Вспомнив формулу C.3.49), получим, что Qa'abc имеет вид & а'авс — Ъа-а^вс + Ра'вЪас + Va'&ab- D.4.41) На основании тождества B.5.20) можно переписать последнее слагаемое в виде Va'abcb H~ va'b&ac> что дает нам соотношение ®А'АВС = Л-А'АЪВС + ^А'В^АС' D.4.42) Теперь, если мы симметризуем D.4.39) по Л, С и по Л', С, то после подстановки D.4.42) получим — вв, (СЛЛ/, ,48^ в — ед, (СЛА^ {АъС) в = 0, D.4.43) откуда при использовании формулы '3.5.15) или сворачивакир с ев'С'8вс ВЬ1Текает равенство Ллм + Лд^ = 0. D.4.44) Следовательно, Ла — чисто мнимый вектор, скажем Ла = Шп, где Па — действительный вектор. Аналогично, симметризуя D.4.39) по А, С и по В1, С/, после подстановки D.4.42) полу- чаем ~SB {С'-А) (В^О А" D.4.45) Путем рассуждений, аналогичных предыдущим, находим *aa--?aa' = 0. D.4.46)
270 ГЛАВА 4 т. е. Та — действительный вектор. Соберем полученные соотно- шения вместе: ®АА'вс<=ЫАА*вс+?АвгА<:- Пй)Гйе=г0. D.4.47) Эта формула дает полное решение задачи, так как, подставив D.4.47) в D.4.39), мы найдем, что это соотношение выполняется тождественно. Как мы увидим в E.6.14), величина Ya возникает в связи с преобразованием ковариантной производной при кон- формном изменении масштаба. Величина Па исторически ассо- циировалась с вектором электромагнитного потенциала [95]. Но мы дадим иное истолкование этого вектора в гл. 5, § 1. Конструкции, основанные на производной Кристоффеля Будем далее предполагать, что оператор Va симметричен [формула D.4.38)], тензор ъав ковариантно постоянен относи- тельно Va [формула D.4.32) ]. Существует единственный опера- тор. Ve, удовлетворяющий этим условиям. Кроме того, операция поднятия и опускания индексов коммутирует с Ve. To есть VaXse ~ $аз>в ПРИ том и только том условии, что "W = i>.*B- ; <4-4-48) Конечно, мы должны показать, что существует оператор с та- кими свойствами. Это доказательство можно провести разными способами (например, пользуясь достаточно сложными явными формулами §,5). Один из способов состоит в том, чтобы, ис- пользуя результаты § 2 и 3 [формула D.3.45)], установить су- ществование оператора Кристоффеля Va, для которого опре- делено действие на действительные мировые тензоры, удовлет- воряющее равенствам D.2.1Q) -D.2.13), кручение которого рав- но кулю и для которого метрика gab = eABeA'B' ковариантно по- стоянна: VegbC = 0. Затем мы должны расширить область опре- деления Va так, чтобы включить спиноры. Для этого мы должны сначала включить в область опреде- ления оператора Vo комплексные мировые векторы, что легко достигается путем определения Va(^ + iGs) = V^s + iVaG^; Нл, Ол&гл. D.4.49) Составной индекс ф должен (на этой стадии) лишь содержать одинаковое число штрихованных и нештрихованных индексов в нижней и верхней позициях; никаких дополнительных огра,- ничений не требуется. (Например, тензор VaHDB'BC> может быть найден из VaHdc подстановкой индексов.) Рассмотрим выражение ). D.4.50)
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И КРИВИЗНА 27 f Оно вполне определено, поскольку оператор Vo действует только на комплексные мировые векторы или на скаляры. Кроме того, как легко убедиться, выражение D.4.50) ©-линейно по <хв' и по рв' [для этого достаточно использовать формулы D.2.2), D.2.3)]. Таким образом, для каждого ?в выражением D.4.50) определяется ©-линейное отображение из ©в' Х©с' в Sas с помощью свертки с элементом &авв'С s ^>Вав'с (гДе ®аВв'с за- висит от ?в), при этом выражение D.4.50) можно представить в виде 9aBB'C'ctB'pc'. Отметим, что тензор D.4.50) антисимметри- чен относительно перестановки ав' и Рв'. Это означает, что тензор QaBB'c кососимметричен по В'С, так что его можно представить в виде Ъавв'с' = ФаВев'с'> гДе ФаВ есть функция аргумента ?в. Запишем VoiB = l/2^aB; тогда выражение D.4.50) равно B)aB-pB'. D.4.51) Мы хотим убедиться в том, что отображение Va: ©в —»• ©ов, определенное как |вь->уа?в, удовлетворяет требованиям Vfl (|В + ЛВ) =» ValB + VaT1B И Va (ftB) = fV0|B + lBVaf- Д^Я ЭТОГО достаточно подставить iB-f f1B и /?в вместо |в в D.4.50). Таким образом, оператором Va определяется оператор спиновой кова- риантной производной. Как нетрудно убедиться» Va8BC = 0. Действительно, (VaeBC) Ibj\c = Va (евс|вт1с) - евс|вУоЛс - eBCT1cVaiB- D.4.52) Умножим обе части равенства на 2еВ'С'ав'Рс' и воспользуемся соотношением -TlcVa(eB'caB'Pc') D.4.53) [которое есть просто равенство выражений D.4.51) и D.4.50)], а также соответствующим соотношением для 2eB'C'aB'pc'VaiB. Нам потребуются также соотношения rfPc'Va (iBaB')'+ WVa (т1сРсО = Vo (т1срс'|вав') = = T1caB'Va (lBpc') + lBpc'Va (T1caB'), D.4.54) Vo AвЛсевСав'Рс'еВ'с') - 4c4'C'Va (?вЛсав'Рс') = = iVaB'pc'V0 (взсвв-с) = lBr\caB'$c'Vagbc = 0. D.4.55) С учетом этих соотношений формула D.4.52) дает >bic = 0 D.4.56)
272 ГЛАВА 4 для всех |в, т)с, откуда следует наше утверждение V06bc = 0. Аналогично формуле D.3.50) можно показать, что оператор спи- норной ковариантной производной коммутирует с операцией поднятия и опускания спинорных индексов. Следовательно, вы- ражение D.4.50) с заменой Va на Va тоже должно равняться выражению D.4.51). Вычисляя разность этих двух форм записи выражения D.4.50), получаем ав- (V. - Ve) (W) - Рв' (V. - V.) (W) = 0. Поскольку каждый из операторов Vo и Va дает тензор при дей- ствии на элементы @ь, предыдущее равенство означает, что где Qacb дается формулой D.2.46). Следовательно, тензор Qacc'BB' симметричен по С, В'. Из действительности тензора Qacb (каждый из операторов Va, Va отображает действительные мировые тензоры в действительные мировые тензоры) следует, что тензор Qocc'bb' тоже симметричен по С и В. Отсюда заклю- чаем, что тензор Qacb симметричен по с и Ь. Но тензор 8ьс (— Нсъв'с') ковариантно постоянен при действии каждого из операторов Va, Va (так как VaeB'c = VaeBc = 0)- Следователь- но, в силу равенства D.4.36) тензор QaCb будет кососимметрич- ным по с и Ь, а значит, Qacb = 0. Отсюда следует тождествен- ность операторов Va и Vo как операторов, действующих на тен- зоры (попутно мы показали, что кручение оператора Va должно быть равно нулю). Стало быть, можно написать Va:=Vfl, где операторы действуют на произвольный спинор. Тем самым мы показали однозначность определения оператора спинорной ко- вариантной производной, обладающего свойством D.4.48). Тензорная запись спинорных дифференциальных уравнений В заключение данного параграфа мы еще раз вернемся к тому, что говорилось в гл. 3, § 4 о переходе к тензорной форме записи алгебраических спинорных операторов. Теперь мы мо- жем рассмотреть вопрос о преобразовании производных от спи- норов, а следовательно, спинорных дифференциальных уравне- ний. (Решение обратной задачи — преобразования тензорных производных и дифференциальных уравнений к" спинорному ви- ду— не представляет труда.) Мы покажем, что в принципе вся- кое спинорное дифференциальное уравнение чимеет эквивалент- ную тензорную форму (которая, правда, может быть очень сложной), определяемую с точностью до знака. Поскольку тен- зорные уравнения часто содержат квадраты соответствующих спиноров, может случиться, что в многосвязных областях про-
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И КРИВИЗНА 273 странства-времени существуют глобальные решения тензорных уравнений и в то же время не существует непротиворечивого способа фиксировать знак в решениях спинорных уравнений. Поэтому тензорные и спинорные уравнения могут быть эквива- лентными локально, но неэквивалентными глобально. Наиболее естественно спинорные дифференциальные урав- нения возникают в квантовой теории. Основываясь на теории представлений групп, требованиях лоренцевой инвариантности и принципе суперпозиции, полагают, что основные уравнения для свободных частиц должны быть линейными спинорными уравнениями. Однако в тензорной форме они часто принимают нелинейный вид. Таким образом, попытка рассматривать тен- зорные уравнения и тензоры, входящие в них, как фундамен- тальные, противоречит стандартному линейному формализму квантовой теории. Тем не менее возможность перехода от спи- норов к тензорам в дифференциальных уравнениях — полезный теоретический результат. Прежде чем рассматривать общую методику перехода, мы остановимся на двух важных примерах — уравнении Дирака — Вейля для нейтрино1) и уравнении Дирака для электрона. Предварительно мы докажем две леммы, справедливые для про- извольного спинора фл- Первая есть тождество Vp (фАФв) + *авФсЧрФс = 2фАурфв, D.4.57) которое сразу же доказывается разложением первого слагае- мого в левой части и заменой второго2) величиной — 2У^ф[лфв\- Вторая лемма формулируется следующим образом: если Раь есть антисамодуальный изотропный бивектор, соответствующий спинору фл: А'в' D.4.58) и Мр — вспомогательный вектор, такой, что А, D.4.59) то FabVpFcb = FacMP- D.4.60) ') Под «нейтрино» мы здесь понимаем безмассовую незаряженную ча- стицу со спином 1/2, которая описывается полем, удовлетворяющим уравне- нию Дирака — Вейля. Для наших целей несущественно, что физические ней- трино могут иметь массу, отличную от нуля. 2) Здесь и далее считается, что дифференциальный оператор (например, Д, d, 6, ...) действует только на символ (илн скобки), который непосред- ственно следует за ним — если только этот символ не есть дифференциальный оператор. Таким образом, V/4B означает (V/4)B, а не V(AB); VVAB озна- чает (V(V/4))B и т. д.
274 ГЛАВА 4 Доказательство вновь основано на правиле Лейбница: Левая часть = фАфв^А'в'^р (ФсФв) Чд' = = ФаФ^а'с'Фв^рФ3 = Правая часть. Тогда уравнение Дирака — Вейля можно записать в виде [44, 48, 193] а = 0. D.4.61) Чтобы преобразовать его к тензорному виду, мы сначала введем еще один вспомогательный вектор 'Ф*. D.4.62) равенство нулю которого эквивалентно выполнению уравнени» Дирака — Вейля, за исключением, может быть, областей, в ко- торых Фа = 0 (учитывая гладкость Фа, мы продолжим Ra на та- кие области по непрерывности). Далее, в тождестве D.4.57) мы поднимем индекс В, заменим р на Ь, выполняя тем самым сверт- ку по В) затем умножим все выражение на &a'b \ в результате получим чисто тензорное уравнение VbFab + Ma = 2Ra. D.4.63) Поскольку уравнение Дирака — Вейля эквивалентно условию Ra = 0, мы заключаем, что оно эквивалентно тензорному урав- нению d + Mc = 0. D.4.64) Требуется еще исключить вспомогательный вектор Ма. Для этого и была доказана вторая лемма. Таким образом, умножая D.4.64) на Fab и учитывая D.4.60), мы, наконец, получаем FabVdFcd + Fad4cFbd = 0. D.4.65а) Разумеется, из D.4.58) следует, что дополнительно бивектор Fab удовлетворяет условиям Fab = -Fba> Fab = i'Fab, FabFab = 0, D.4.656) т. е. он должен быть кососимметричным, антисамодуальным к изотропным. Система тензорных уравнений D.4.65а) и D.4.656) эквива- лентна уравнению Дирака — Вейля. Очевидно, что его струк- тура гораздо сложнее структуры первоначального спинорного уравнения; в частности, оно нелинейно.
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И КРИВИЗНА 275 Уравнение Дирака можно записать в форме двух связанных двух компонентных спинорных уравнений1) [44, 95, 185]: где ц — действительная константа (ц = 2-1/2т%-1). Заменяя А на В в первом из уравнений и умножая на Фа, мы видим, что оно эквивалентно уравнению D-4.67) (всюду, кроме, может быть, областей, где Фа=О). Левая часть равенства D.4.67) совпадает с вектором Ra, определенным в формуле D.4.62). Вводя вектор D-4.68) и используя D.4.63), мы видим, что уравнение D.4.67), а вместе с ним и первое из уравнений D.4.66) эквивалентны уравнению VbFab + Ma = -2lxCa. D.4.69) Вполне аналогично показывается, что второе из уравнений D.4.66) эквивалентно уравнению D.4.70) где Gab и Na связаны с %А так, как Fab и Ма связаны с фА. ') Обычно уравнение Дирака записывают, пользуясь четырекко.нпонент- ными спинорами. Детально связь между дираковскими 4-спинорами и 2-спи- норами рассмотрена в т. 2 (приложение), где обсуждаются общие свойства спиноров в п измерениях. Для читателя, привыкшего работать с 4-спинорами, укажем, что пара 2-сииноров (Фд, tyA') образует один дираковский 4-спинор Т. Составляющие этой пары получаются действием на Ч1" операторами A/2)A + /у5) и A/2) (/ — ifi) соответственно, где Ys = YoYiYsYa -В стандарт- ном ортонормированном базисе матрицы Дирака \о, ..., Ys. Vs имеют вид где a = А Ф А', р = В Ф В'. Путем прямых вычислений нетрудно уведиться, что выполняются соотношения Клиффорда —Дирака VpYq + YqYp = - 2gp4l, т. е. yp ,PYqpV + Yq«.eVppV e - 2^pqdav (см. примечание на стр. 163). Преимущество 2-спинорных обозначений в том, что Y-матрицы в теории не возникают, а. следовательно, отсутствуют и слож- '
276 ГЛАВА 4 Используя D.4.60) и его %л-аналог, мы исключаем вспомога- тельные векторы Ма и Na из этих уравнений, получая (сложные связанные нелинейные) тензорные дифференциальные уравне- ния, эквивалентные уравнению Дирака: d + FatfcFbd = - 2iiFabCc, D Их, разумеется, следует дополнить двумя наборами алгебраи- ческих условий: D.4.656) и аналогично для Оаь. Бивекторы Fob и Gab алгебраически независимы, но Са есть «вторичный» век- тор, определяемый по Fv и Ga* с точностью до знака. Действи- тельно, CaCb = FacGcb. D.4.72) Рассуждения, представленные выше, заимствованы из работы [196]. Однако в этой работе окончательный результат сформу- лирован несколько искусственно в виде суммы D.4.69) и урав- нения, комплексно-сопряженного уравнению D.4 70). Далее мы кратко рассмотрим общий случай. Производные четных спиноров (четное число индексов) не вносят дополни- тельных трудностей (см. гл. 3, конец § 4). Производные одно- индексных спиноров, содержащие свертку по этому индексу, определяются чналогитно тому, как это сделано для уравнения Дирака — Вейля. Возможность греобразования спинорны/ диф- ференциальных уравнений, содержащих производные от нечет- ных спиноров, основана на использовании тождества D.4.73) Чтобы преобразовать спинорное уравнение первого порядка, следует умножить его на соответствующее число нечетных спи- норов. Затем нужно, используя D.4.73), выразить продиффе- ренцированные нечетные спиноры через эквивалентные произ- водные тензоры Окончательно переход к тензорной форме записи осуществляется помощью техники, изложенной в гл. 3, в конце § 4. Преобразование уравнений второго порядка основано на обобщении тождества D.4.73). Например, фл\ D.4.74) и аналогично для высших порядков.
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И КРИВИЗНА 277 § 5. Дифференцирование спинорных компонент В § 4 мы дали абстрактное определение операции ковариант- ного дифференцирования спинора, не зависящее от выбора ба- зиса. Теперь мы изучим действие соответствующего оператора на компоненты спинора. Явные выражения, которые мы полу- чим, можно будет использовать для альтернативного доказа- тельства существования оператора Vo, действующего на спи- норы и удовлетворяющего свойствам D.4.7) — D.4.20). В даль- нейшем всюд} (кроме § 7) оператор va считается симмет- ричным. Пусть ехА = (оА, iA) есть спинорная диада (не обязательно нормированная), а едА — ей дуальная. Введем также комплексно- сопряженный базис еЛ/' и дуальный ему базис гАА'. Пусть хле©л имеет компоненты иА = илелА; используя обозначения 8 А 8 ^АА' — 8 А 8А' запишем компоненты величины Vaa™3 b виде *аАЧ'Л'ЧвЧаа*В - eflBVAA, («V) = = ес%В?АА'*С + x%BVAA V = Vaa/Xb + иСуАд/сВ( D.5. {у где YAA'cB := «л^аа^с4 = " ecXVAA^/, D.5.2) поскольку 8лвес'4 = 8св совпадает с дельта-символом Кронекера^ имеем VaecB = 0. Заметим, что Ya<acB') = ^'B'VAAV - - V*Vaa^ D-5-3> Отнесем еАл к спиновой системе отсчета, т. е. положим о\А= 1, так что 0 1\ 1 oj: D'5-4> в этом случае мы имеем симметрию Yaa'bc = Yaa'cb' <4-5-5> поскольку АгА) = B 0 = VAA^BC = VAA, (гЛАгАС) ~ ЕВ>1^АА'8 С == Yaa'BC ~ YAA'CB- (Напомним, что спинорные индексы можно поднимать и опу- скать независимо от действия оператора V.) В этом случае ве- личины Уддвс образуют 12 независимых комплексных чисел в каждой точке. Они называются спиновыми коэффициентами к
•278 ГЛАВА 4 находят широкое приложение в практических вычислениях [25, 26, 30, 103, 123, 126, 129]. Если не предполагается нормировка D.5.4), то симметрия D.5.5) нарушается и мы имеем 16 независимых комплексных чисел Yaa'Bc b каждой точке. Иногда полезно сохранить такой произвол в выборе базиса, и, поскольку конечные формулы в этом случае не намного сложнее, мы будем чаще всего записы- вать уравнения в этом более общем виде. За величинами v сохраняется название «спиновые коэффициенты». Полагая Х = олИ, D.5.6) мы имеем аналогично формуле B.5.45) вместо D.5.4), где базис, дуальный к (оА, i/4), имеет виаеА° = = — X i\4> &a1 — X~1°a< как в фярмуле B.5.50). Повторяя вы- числения D.5.5) с D.5.7) вместо D-5.4), получаем YaA'BC YaA'CB == ^АА'8ВС== 8В<# ^АА'Х' D.5.8) т. е. ¦АА'01 'АА'10 *АА'Л' V*'"./ Эквивалентно Yaa'bB = 2Х~' VAA,X- D.5.10) Важно отметить, что, хотя в спиновой системе отсчета (т. е. при X = 1) операция поднятия и опускания индексов коммутирует с дифференцированием, в общем случае (х Ф const) это не так. Например, D.5.11) M-jc-'vAAa. '.„ м >;M- + f M-jc-'vAA м- .. M' Далее, ззяв ковариантный спин-вектор цв, находим компо- ненты величины Vaa'V-b'- 0 D.5.12) путем вычислений, аналогичных выкладкам D.5.1). Выполняя комплексное сопряжение в D.5.1) и D.5 12), получаем соответ-
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И КРИВИЗНА 27» ствующие формулы для штрихованных спин-векторов фА' и „ Ар А'в В еА еА' еВ' Л'г — vAA'r T Г ГДА'С » Для спинора общего вида $н\\[%\\\ имеем D.5.13) D.5.14) +¦;•.::;¦'.. лдЧч ••• +С::ко'::лахе в... в ... V в... в ... н ••• - V...k'...Yaa'h В...Е ... . „ ...к; YaaV - D.5.1б> Эта формула проверяется непосредственно вычислением компо- / В....Е'.. В Е' \ нент в разложении величины V^'^Ph __ к" ев ... еЕ< ... I. Выражения для спиновых коэффициентов При вычислениях удобно ввести для каждой из 16 величин свое обозначение. Стандартные (несколько модифицированные) обозначения даны в следующей таблице: аа\^ 00' НУ 01' 11' 00 е а Р Y 01 — X — р — а _ ||Д я- 10 %' -о' -р' -у! 11 Y' Р' а' е' D.5.16) (Мы используем стандартный выбор знаков для х, .... т, хотя его нельзя считать вполне удачным.) Преимущества введения штрихованных индексов в том, что при замене oAt-^uA, И>-ИоА, оА> к-* — иА\А *-* юл D.5.17) (которая сохраняет соотношение cmi/4 = %) штрихованные и не- штрихованные величины меняются местами. Если обозначить- эту операцию штрихом, то два последовательных штриха остав- ляют спиновые коэффициенты неизменными, а знак диады ме- няется на противоположный. Очевидно, что эта операция комму- тирует с комплексным сопряжением, так что Я' может означать
80 ГЛАВА 4 и (Я)' и (А/). Операция «штрих» коммутирует также со сложе- нием и умножением. Для дальнейшего [формула D.5.19)] по- лезны следующие соотношения: AаУ = па, (таУ = та, (та)' = та, (па)' = 1а. D.5.18) :Явные выражения для спиновых коэффициентов через базисные «пиноры од, И представлены в формуле-таблице D.5.21). Они лолучены с помощью D.5.16) и D.5.2). В формуле-таблице D.5.22) даны их выражения через (ненормированную) изотроп- ную тетраду ma = iAoA', n° = iV; D.5.19) этот выбор отличается от C.1.14) нормировкой = %% — — тата. D.5.20) Вторая таблица получается из первой после подстановки вместо Iй и т. д. величин оА и И с последующим использованием соот- ношений D.5.24) и D.5.25). Отметим, что в формализме спино- вых коэффициентов роль «вектора» оператора ковариантной лроизводной играют четыре «скалярных» оператора VAA (так называемые внутренние производные вдоль направлений тетра- ды), для которых ниже, в формуле D.5.23), вводятся специаль- ные символы (ранее мы часто обозначали оператор D' симво- лом Д) р а т 8 а Р Y Y' Р' а' в' т' а' Р' у! oADoA ол6'ол oAD'oA iADoA - oADiA -oA6\A -oAD\A - iADiA D.5.21) maDla т°ыа maD'la у ("" Dla ¦ j{nab'la- Y (na d/0 - f ma Dma + x (-/n°dma + X< + maD'ma + x Dx) ^(laDna+maDma+xDx) V%) ^(lab'na+thab'ma+xb'x) h) у('авпа + т°дто + хбх) m"Dna ma6'na ma6na maD'na D.5.22)
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И КРИВИЗНА 281 где') D := Voo' = оАоА'ЧАА> = laVa = D, 6 := Voi- = o\A'VAA' = maVa = 6', D.5.23^ 6':= V10-= ИсИ'УaV S D' := V,,' = Л%- = «°Va = D'. Соотношения, позволяющие убедиться в правильности выраже- ния D.5.22), получаются применением правила Лейбница к: производным в равенствах VBB'la = VBb' (олол'), и т. д.: maVBB'la = %оАЧвв>оА (= — laVBB'tna), D о D.5.25> Заметим, что тетрада la, ma, ma, na определяет только мо- дуль x [формула D.5.20)], следовательно, величины a, P, у и е- определены неоднозначно, если не накладывать дополнительные- требования, скажем, фиксировать % действительным. Мы приведем некоторые полезные формулы, эквивалентные формуле-таблице D.5.21), а также комплексно-сопряженные вы- ражения DoA = еод — хИ, DiA — у\А — х'оА, 6'ол = аол - рИ, б'И = р'И - <т'ол, = аV - pV, D-5-26> = е'И — я'ол = ъоА> — Й1Л', ОИ' = у\А' — т'ол', = аол' - рИ', 6И' = рЧл' - а'ол', 6'ол' = рол'-аИ', 6V = a'H'-pV, V ' " ' DV = уоА' - тИ', D'H' = eV - й'ол'. Напомним, что для спиновых коэффициентов и производных по* направлению операции, обозначаемые символами «черта» и «штрих», коммутируют. Из C.1.14), D.5.26) и D.5.27) мы те- ') В соответствии с прежним обозначением D.1.14) мы могли бы писать- I, т, т, п вместо D, б, б', D', когда они действуют на скаляры. Однако мш сохраним эти обозначения для соответствующих 1-форм в § 13.
82 ГЛАВА 4 перь получаем Dla = (е + ё) 1а - %та--лта. Dm" = (е + у') та — х'1а - ула, ¦6/а=(р+а) /°—р/ла—am", бт" = (Р + Р') та — д7а — апа, -ama-ptna, б'т°=(а+а') ma~p'la-pra, ¦у) la—xma—xma, D'm°=(Y+e') ma-у,'la-xna, D.5.28) Ота=(у'+е)та-тГ-й«°, D«fl=(e'+e')tta-x'ma-x'mfl, =* ma—p'la—pna, 6na=(a'+P') na-p'ma-0/ma, ffi —ct j —0M , о n =(p +a ) rt —о rn —p m , D'та={ъ' -\-y) tha—Y?la—xna, D'na=(y'-\-yf) na—x'ma—xma. Заметим, что некоторые из этих соотношений являются след- ствием остальных в силу равенств D.5.18). Сокращенные обо- значения для D.5.26) — D-5.28) будут приведены в § 12 |фор- мулы D.12.28) и далее]. Обычно в приложениях спинорный базис нормируется {х=1); тогда выражения D.5.22) несколько упрощаются и ¦вследствие симметрии D.5.5) мы имеем a «=—Р'., е = —у'. Ве- личины —т', —о' —р', —v! часто обозначают также символами л, К, ii, v. Таким образом, имеем в этом случае Уаа'вс — 00 10 ог 11' ВС 00 к р а X 10 8 = а = или = — р Y 01 / Р' 11 я = — т' А, = —а' и = — р' v = -k' D.5.29) Почти всем (нормированным) спиновым коэффициентам в под- ходящих условиям можно дать наглядное геометрическое пред- ставление в терминах конгруэнции кривых, к которым касатель- «ы флагштоки спиноров о' и il. Но мы это отложим до гл. 7 <§ 1). Связь между символами Инфельоа — ван дер Вердена и символами Кристоффё'ля Иногда возникает необходимость записать величины, содер- жащие оператор Va, в произвольном тензорном базисе gna (В частном случае координатного базиса мы имеем Уя — д/дхя при действии на скаляры.) Для этого мы просто преобразуем
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И КРИВИЗНА VAA, в Va, используя символы Инфельда — ван дер Вердена g/A' [формула C.1.37)]; Va = gaAA'AAA,. D.5.30> Введем величины уавС YaBc:=YAA^aAA'; D.5.31> тогда из D.5.1) получаем ^aaeBBVa«B = VaxB + xcYaCB D.5.32> для компонент величины Vo>cfl, где а относится к тензорному ба- зису, а В к диаде. Аналогично из D.5.12) получаем для соответствующих компонент величины Vaiis. В общем случае для компонент Ус$н'.'.'.к''.'.', относительно» тензорного базиса и диады мы имеем из D.5.15) «;.: \. + К\;:$ ;;;y,Bob + • • • + <'". i ¦:.:YaE;E' + • ¦ • ... —t|»B-E'#- Y H°— ...-^B'E' •'Y ,K» — • • • . D.5.34> VH0 ... К ... Ган VH ... Ko... ГаК V ' Для величины, содержащей и спинорные и тензорные ин- дексы, например 9ВС, иногда требуется получить компоненты ко- вариантной производной УаЭвс, в которых а и с относятся к тен- зорному базису, а В к диаде. В этом случае мы имеем [с учетом: выражения D.2.60)] в чем нетрудно убедиться, вычислив компоненты разложениям производной Va(9DeeBD?ec). Заметим, что выражение D.5.35) можно получить, рассмат- ривая в/ как 8ВСС' и используя D.5.34), а затем возвращаясь к тензорным компонентам с помощью символов Инфельда — ван дер Вердена C.1.37). В этом случае вместо одного слагае- мого, пропорционального Г, мы получили бы два слагаемых^ пропорциональных у и Y- Производная при этом будет записы- ваться в виде Va9Bcc', что отличается от Va9Bc слагаемым, со- держащим производные от gccc'. Следовательно, должно суще- ствовать соотношение, связывающее Yi Г и производные от gecc'-
•284 ГЛАВА 4 Это соотношение получается следующим образом: ГсЬа = ёа* Vcgb" = gaa Vcgb^' = g/Vc (gbAA VV) = = 8 a* e/eA/' VcgbAA' + g/gbAA' (eA/' VceA A + e/ VceA/') - n a T7 n AA' A_ n ac Bc B'/r AA' /c A' V7 о Л J_ и ^ Т7 » Л'\ — SAA' Vc«b + ^BB' 8Л 8Л' Sb I.6A' Vc8A + 8A VC«A/ ). D.5.36) Упрощая правую часть, получаем VcgbM' + eA,B ycAb + eA»YcAB'. D.5.37) Свертка по А' и В' дает с учетом формулы D.5.10) требуемое соотношение: YcaB = т ГсАА,ВА' - е/х- VCX - \ gKfJ> Vcgb»A'. D.5.38) Yca т \ В (обычном) случае нормированного спинорного базиса сла- гаемое, пропорциональное /,, равно нулю. До конца данного лараграфа мы предполагаем это условие выполненным. Если дополнительно предположим, что тензоры отнесены к координат- ному базису, то на основании формул D.2.70) и D.3.48) мы по- лучим ГЬ т. е. Г оказываются обычными символами Кристоффеля и VaScd = Va (gcDD'fiW) - 2 [ W"] ёА) w D.5.40) (так как при х = 1 в выражениях, стоящих за оператором Vv диадные индексы можно поднимать и опускать, см. формулу D.5.11).]. Теперь мы можем выразить спиновые коэффициенты через символы Инфельда — ван дер Вердена и их производные ло координатам. Подставляя D.5.40) в D.5.39), получаем в явном виде c^Diy + gdDJy VcgaDD' - D.5.41) Переходя от индексов a, b к AA', BB', сворачивая по А', В' и подставляя результат в D.5.38), где индекс В опущен, получаем (при х = 1) YcAB = T ^BA'd ( VDD' + V D-5.42)
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И КРИВИЗНА 285 откуда окончательно (в случае нормированной спиновой систе- мы отсчета и координатного базиса для тензоров) D.5.43) (Можно получить аналогичную формулу, содержащую произ- водные символов Инфельда — ван дер Вердена, тензорный ин- декс которых поднят.) Эта формула позволяет найти спиновые коэффициенты как функции координат ха, если заданы функ- ции gaBB'(*a)- В § 13, где речь идет о дифференциальных фор- мах, мы дадим альтернативный метод вычисления этих величин {а также другие методы, пригодные для практических расчетов). Заметим, что если 16 величин gaBB' произвольно заданы как функции координат (что эквивалентно заданию 16 действи- тельных функций в силу их эрмитовости), то они позволяют определить метрический тензор (по формуле gab = ?аАА?ьвв'еАвХ X еА'В')> а также нормированную изотропную тетраду (с ком- понентами /a = ga00'. tt*a = ?a01> па — ёап), т. е. фактически спи- довую систему отсчета. Теперь можно явно выразить компо- ненты ковариантной производной спиноров (или тензоров) через компоненты (в спиновом, тетрадном или смешанном базисе). Величина Yaa'bc даваемая выражением D.5.43), единственна ло построению. Это служит иллюстрацией к тому, что (как по- казано в последнем параграфе) действие оператора ковариант- яой производной на спинор определяется однозначно требова- ниями, чтобы величина еАВ была ковариантно постоянной и кру- чение было равно нулю. Отметим, что эти свойства позволили определить форму D.5 39) символов Кристоффеля и симметрию D.5.5) коэффициентов Yaa'bc П4]. § 6. Спиноры кривизны В § 2 мы видели, как понятие ковариантного дифференциро- вания тензоров приводит к определению тензора кривизны Rabcd. Таким образом, можно ожидать, что существует спинорный ана- лог тензора Rabcd для ковариантных производных от спиноров. Можно было бы развить теорию спинорной кривизны, оставаясь в рамках спинорного формализма, но этот путь оказывается до- статочно сложным. Мы будем следовать более простой про- цедуре: возьмем Rabcd вместе с его алгебраическими и дифферен-
286 ГЛАВА « циальными свойствами из тензорной теории и отсюда получим свойства спинорной кривизны. Для начала мы разобьем спинор RaA'BB'CC'DD' = Rabcd на более простые части, а именно на спиноры, которые пол- ностью симметричны по всем штрихованным и всем нештрихо- В?.нным индексам. Аналогичные вычисления проводились в гл. 3, § 3 [формулы C.3.47) и далее ]. Здесь мы воспользуемся более прямым методом, позволяющим к тому же получить не- которые полезные соотношения на промежуточной стадии ре- дукции. То, что спинор Rabcd кососимметричен по ab, позволяет ис- пользовать разложение C.4.17); это дает Rabcd = Т ^АХ'В ссрА'В' + ~2 ^ХА' B'cdSAB ' Учитывая антисимметрию по cd, получаем ^abcd ~ XABCDeA'B'eC'D' + ^ABC'D^A'B^CD + + ®A'B'CD eABeC'D' "Ь ^A'B'C'D^AB^CD' D.6.1) где ^==~4 Ra.X'B CY'D • ®АВС'1У = T *AX'B YC D'' D-О.2) Спиноры D.6.2) называют спинорами кривизны. В силу действи- тельности спинора Rabcd соотношения D.6.1) содержат также комплексно сопряженные величины [формула C.4.20)]. Из свойств антисимметрии спинора Rabcd получаем следующие оче- видные свойства симметрии [формула C.4.18)]: XABCD = Х(АВ) (CD), ФЛВС'О'= Ф(/1В) (CD'). D.6.3) Симметрия Rabcd = Rcdab относительно перестановки пар индек- сов приводит к соотношениям X.ABCD = XcDAB, Ф/ISC'D' = Ф/IBC'D'. D.6.4) Второе из них означает, что Фаа'вв соответствует действитель- ному тензору Фаь, а из второго равенства D.6.3) получаем, что след тензора Фае> равен нулю: ФАА'ВВ' = ФаЬ = ФаЬ, Фа" — 0. D.6.5) Отметим также, что из свойств симметрии D.6.3) и D.6.4) спи- нора XAbcd следует равенство = 0. D.6.6)
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И КРИВИЗНА 287 Прежде чем перейти к спинорной форме циклического тожде- ства для Rabcd, рассмотрим его различные «дуальные» представ- ления. Выполняя дуальные преобразования над одной или двумя парами индексов, по которым тензор кососимметричен, можно построить три разные тензора, которые мы также запишем в спинорном виде [формула C.4 23)]: R'abcd = ~2 ScdPqRabpq = \RaA'BB'CD'DC> 'Rabcd = ~2 eabP4Rpqcd = IRaB'BA'CC'DD', D.6.7) * ft* ^ PQ tS О r% К abed = -J Sab eCd Kpqrs = — KAB'BA'CD'DC'- Очевидно, что все они наследуют свойства антисимметрии тен- зора Rabcd (Rabcd = R\ab\ [cd\)- Кроме того, как нетрудно убедиться, тензор 'R*abcd симметричен относительно перестановки пар ин- дексов: ' R'abcd = 'R'cdab D-6.8) и удовлетворяет циклическому тождеству 'R'albed\ = 0. D.6.9) Отметим также свойство 'Rabcd^R'cdab- D.6.10) Для удобства ссылок мы объединим D.6.1) и соответствую- щие формулы, получающиеся из D.6.7), в виде следующей схемы, где X, Ф, Ф, X временно изображают слагаемые в выра- жении D.6.1): _ Rabcd = Х + Ф + Ф + Х, иг + 1Ф1Ф + 1Х, D6И) 'Rabcd = ~ 1* - 1Ф + 1Ф + М. Определим дуальные повороты тензора Римана аналогично формуле C.4.42): Rabcd COS 6 + R'abcd Sin 9, D 6 12) = Rabcd COS 9 + 'Rated Sin 6. Аналогично формуле C.4.43) мы получаем из D.6.11) = e-'eJf 4- е'еФ 4- е~ю"Ф4- е[6Х _ _' D.6.13) = e-<ej _j_ е~'еФ + е|еФ + ' ""
288 ГЛАВА 4 Теперь мы готовы представить в спинорной форме последнее тождество для тензора Римана R[abc]d = 0 или эквивалентное ему тождество Ra \ьса\ = 0- Необходимые вычисления упроща- ются, если заметить, что в силу формулы C.4.26) равенство /?a;6cdi = 0 эквивалентно равенству R'abbc = 0, D.6.14) а равенство R[abc]d — Q эквивалентно равенству 'Rabbc = 0. D.6.15) Между прочим, теперь видно, что тензор *Rabcd удовлетворяет циклическому тождеству *R\abc\ d = 0 только в особых случаях: необходимое и достаточное условие для этого имеет вид **Rabbc = 0, т. е. —Rabbc = 0, что означает равенство нулю тен- зора Риччи. Данное замечание относится и к R*abcd. В то же время Rabcd всегда удовлетворяет циклическому тождеству, по- скольку •/?•*¦»** = — *Rabbc = 0. Чтобы получить спинорную форму циклического тождества, мы подставляем D.6.11) в D.6.14). С учетом свойств симметрии Фдвсо' получаем, что равенство D.6.14) эквивалентно соотно- шению Поднимая индексы С и С и выполняя свертку с индексами А и А', получаем Л = Л, D.6.17) где Л : = ^ХАВАВ, D.6.18) причем множитель 1/6 введен для удобства. Тогда [формула B.5.24)] Хв ЗА, D.6.19) поскольку симметрия D.6.4) означает, что тензор Хавсв косо- симметричен по АС. Поэтому условие D.6.16) является след- ствием равенства D.6.17). Мы заключаем, что равенство D.6.17) эквивалентно циклическому тождеству для тензора Римана, если считать известными свойства симметрии тензоров XABcd и Фдвсо'. ГОтметим, что при записи в компонентах циклическое тождество сводится к одному алгебраическому уравнению /?oi23 + #12оз + #2013 = 0; поэтому неудивительно, что в спинор- ной форме оно принимает вид одного действительного уравне- ния.) Итак, мы имеем спинорные эквиваленты для всех свойств симметрии тензора Rabcd: D.6.3), D.6.4) и D.6.17).
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И КРИВИЗНА 289 Далее, мы вычислим тензор Риччи Rac = Rate в спинорной форме. Из D.6.1) получаем Кь = 6ЛеАВеЛ,в, - 2ФДВД,В„ D.6.20) что можно также записать в виде Rab = GAgab - 2Ф0 ь. D.6.21 > Отсюда с учетом формулы D.6.5) мы получаем выражения для скалярной кривизны R = Raa # = 24Л, D.6.22) и для бесследовой части тензора Риччи Кь ~ Т *ёаь - -MWjk - ~2Фа6. D.6.23) Кь Т *ёаь - -MWjk - ~2Фа6 Имея в виду это соотношение, Фавсчу иногда называют спино- ром Риччи. Тензор Эйнштейна ваь [тензор Риччи, обращенный по следу, см. в формуле C.4.10)] принимает вид Gab = Rab = Kb ~ Т R8« = RAB'AB' = ~ 6Л«ЛйвД'В' ~ 2ФАВА'В" D.6.24> или Gab = -6Agab - 2ФаЬ. D.6.25) Заметим, что 'R\bcb*=Qac D.6.26) Это соотношение следует из D.6.11), поскольку переход от Rabca к *R*abcd эквивалентен замене Я>—>—X, а это в свою очередь эквивалентно замене Ль-»—Л и [в силу D.6.20) и D.6.24)] за- мене Rab •—* Gab. Уравнения Эйнштейна Мы считаем, что пространство-время ,одисывается уравне- ниями Эйнштейна, которые для вакуума имеют вид #о»=-0. D.6.27) Разделяя D.6.20) на симметричную и антисимметричную части по АВ, видим, что уравнение D.6.27) эквивалентно двум спинор- ным уравнениям Фаб==Фдвл'в'==0, Л = 0. D.6.28) С учетом космологического члена уравнения Эйнштейна в ва- кууме принимают вид Rab = kgabt 10 Зак. 1142
290 ГЛАВА 4 где к — космологическая постоянная. Эквивалентное спинорное уравнение таково: Фаь = Фава-в' = 0, Л = | X. D.6.29) В общем случае при наличии источников полевые уравнения с космологическим членом имеют вид Gat + bgab = -8луГа6, D.6.30) где у — ньютоновская гравитационная постоянная, скорость света (как всегда!) равна единице, а Таь — тензор энергии-им- пульса источников; это уравнение преобразуется к виду Фаь + (ЗЛ - у l) gab = 4яу7а6, D.6.31) т. е. ±Х. D.6.32) Равенство спинора Л нулю, как в D.6.28), означает, что спинор Xabcd симметричен по В и D [формула D.6.19)]; следо- вательно, он также симметричен по АВ и CD, а значит — по всем индексам. Замечательно то обстоятельство, что именно при, казалось бы, произвольной размерности четыре и сигнатуре (Ч ) нашего пространства-времени, при которых выпол- няются вакуумные уравнения Эйнштейна Rab = 0, кривизна полностью характеризуется таким простым и физически есте- ственным объектом, как полностью симметричный спинор с че- тырьмя индексами. В гл. 8 мы увидим, что это приводит к очень простой схеме классификации кривизны. (Например, если бы сигнатура была (+Ч ), то классификация стала бы го- раздо более сложной, поскольку тогда потребовались бы два действительных симметричных спинора с четырьмя индексами для описания кривизны; усложнение было бы связано с этой действительностью, поскольку алгебра на комплексном поле значительно проще.] Из D.6.11) мы заключаем, что при Флвсо =0 (как в слу- чае Rab =0) мы всегда имеем 'R abed— — Rabcd' Rabat— R'abcd D.6.33) и, следовательно, ввиду D.6.10) Rabca и Ratca симметричны от- носительно перестановки пар. индексов. -Если дополнительно Л = 0, то они имеют все симметрии спинора Ral),-a (в том числе я циклическое тождество), так как в этом случае Rab = 0). , В общем случае (\ф0) можно выделить симметричную часть величины XABcd следующим образом [здесь учитываются
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И КРИВИЗНА 291 симметрии D.6.3), D.6.4) и соотношение B.5.24)]: X-abcd = "з" (^abcd + %acdb + Xadbc) + "з" Wabcd — %acbd) *f- + " (%abcd — Xadcb) = X<.abcd) + " С учетом равенства D.6.19) получаем Xabcd =¦ Фдвсо + Л (влсево + е^дввс), D.6.34) где s=X(abcd)=:Xa(bcd)- D.6.35) Спинор Wabcd играет очень важную роль в теории. Мы назы- ваем его гравитационным спинором, поскольку он представляет локальные степени свободы гравитационного поля: это та часть спинора Rabcd, которая остается в отсутствие материи (если X = 0). По причинам, о которых будет сказано в § 8, эту вели- чину называют также конформным спинором Вейля. Три спинора x\!abcd,_<^>abcd' и Л совместно определяют спинор Rabcd- Вместе с Wa'b'cd1 они образуют множество впол- не симметричных спиноров, по которым раскладывается спинор Rabcd- Разложение производится в соответствии со схемой фор- мулы C.3.47) и следующих за ней формул. Подстановка выражения D.6.34) в D.6.1) показывает, что спинор Rabca равен выражению вида D.6.1) с заменой Xabcd на ^Vabcd плюс член, пропорциональный Л, а именно; Л {uA&BD + bAD&Bc) вД'В'вС'О' + КОМПЛ. СОПр. D.6.36) Разложение множителя в скобках с учетом е-тождества [фор- мула B.5.21)] 'всо' + sa'd'Zb'c — ba'c^b'd' «=» 0 преобразует это в Л {*ACeBD + BADBBc) (<WW ~ BA'D>BB'G') + КОМПЛ. СОПр., т. е. 2Л (BACeBDBA'C'eB'D' ~ BADBBCBA'DI&B>C')' D.6.37) Таким образом, имеем == *ABCDBA'B'e'C'D' "Г ™ A'B'C'DI&ABBCD "¦" ^ABC'D^A'B^CD •" D.6.38) 1С*
292 ГЛАВА 4 Путем несколько иных преобразований первое слагаемое в- вы- ражении D.6.36) приводится к альтернативной форме 2Л O^cWa^cd' + «лАмАиЛкс). D.6.39) или 2Л {tA,cfiB,DfiABBCD + zA,B*c'D*ADeBc)- D.6.40) Однако в таком представлении в отличие от D.6.37) свойства симметрии спинора Rabcd не столь очевидны. Введем тензоры [формулы C.4.38), C.4.39)), обладающие всеми свойствами симметрии спинора R ^abcd p aabed BACeBl '• — ^ABCDBA'B'8C'D' "T" ^A'B'C'D*ABZCD> Сabed •==X^ABCDeA'B'8C'D'' Э^'Свя'С ~" 8АОеВС8Л'О'8В'С' = 2Sa \C8d\ V D.6.41) D.6.42) D.6.43) D.6.44) D.6.45) Sabcd '• = [\ Первый, четвертый и пятый из этих тензоров действительны. Разложение D.6.38) тензора Rabcd на неприводимые части (см. гл. 3, § 3) эквивалентно разложению на действительные состав- ляющие Rabcd = СаШ + ЕаШ + 2Agabcd D.6.46) н разложению на комплексные составляющие Rabcd — 'Cabcd + +Cat>cd + Еabcd + 2Agabat. D.6.47) Тензоры -C-, +C-, E... и g... принадлежат пространствам DB,0) D@,2), D(l,l), D@,Q), в которых реализуются непри- водимые представления группы Лоренца [точнее, группы SLBC)]; цифрами в скобках указаны половинные числа ин- дексов симметричных спиноров (см. гл. 3, § 3). § 7. Спинорная формулировка теории Эйнштейна — Картана—Шьямы—Киббла В данном параграфе мы рассмотрим модификацию теории Эйнштейна, формулировка которой принадлежит Эйнштейну и Картану [28], а в более явной форме — Шьяме [167] и Кибблу [98] (см. гакже [96, 182]). В этой теории тензор кручения свя- зывают с определенным тензорным выражением, описывающим вклад спиновой плотности материи. Мы не станем обсуждать физическую значимость этой теории или сравнивать ее с тео-
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И КРИВИЗНА 293 рией Эйнштейна, а рассмотрим лишь ее спинорную формули- ровку. В теории ЭКШК — в отличие от единых теории поля — пространство-время описывается действительной симметричной метрикой gab, что позволяет использовать наш формализм 2-спи- норов. Ее отличие от общей теории относительности состоит в природе оператора ковариаитной производной Va. Условие ко- вариантного постоянства метрики сохраняется: 0, D.7.1) однако тензор кручения Таьс отличен от нуля, так что [формула D.2.22)] (VaV6 - V6V0) ф = Tab' Vc*- D.7.2) Кручение пространства-времени выражается через спиновую плотность материи Sabc следующим образом: Т аЬс 8nY (Sabc + gySSbU*)' D.7.3) где Sabc удовлетворяет условию Sabe Sbae, D.7.4) а Y. как прежде, — ньютоновская гравитационная постоянная. Из D.7.3) получаем j". D.7.5) Следовательно, D.7.3) можно обратить: Tab" + Ч\аТЬ\ / = SnySab". D.7.6) Это уравнение рассматривают совместно с полевыми уравне- ниями Эйнштейна Rob ~YSabR= 8пуЕаЬ D.7.7) (тензор энергии-импульса мы обозначили через Еаь, поскольку символом Таьс обозначено кручение). Здесь Яаь—(вообще го- воря, несимметричный) тензор Риччи1) (и R = Raa), определен- ный как Rab = Racbe, D.7.8) а тензор кривизны Rabcd определяется по Va в соответствии с D.2.32). Из D.7.1) и рассуждений § 2 следует, что сохраняется свойство симметрии Rabcd = R[ab] led], D.7.9) ') В наших обозначениях порядок индексов тензора &>» обратен приня- тому в большинстве работ, цитированных выше.
294 ГЛАВА 4 но теперь R\abc* = - VsaTb/ - T{ab°Tc\ Л D.7.10) а потому перестановочная симметрия Rabcd = Rcdab нарушается, что является причиной нарушения симметрии тензора Rab. От- сюда следует, что тензор энергии-импульса тоже не будет сим- метричным [формула D.7.7)]. Из D.7.10) следует «закон со- хранения спина»: VcSabc - TicdSabc = ЕЬа - Eab. D.7.11) Чтобы получить спинорное представление спиновой плотности, мы воспользуемся равенством D.7.4) и введем спинор „ ее . __ _L с А'се „ее так что •V = "ASIA'S' + *А>В'СС'*АВ- D-7-13> Кручение выражается через этот спинор довольно громоздкой формулой ^аЬс = ~4nY \aABcc&A'B' ~~ <JCABA'eB'C' + °ВСАВ'еА'С' + ¦Ь <*А'В'С'СгАВ ~~ <*C'A'B'ABBC "^ °'В'С'А'ВгАс\ D.7.14) Однако эквивалентная информация содержится в тензоре Qabcf который можно использовать в соответствии с D.2.46) для пере- хода от Va к стандартному оператору производной Кристоф- феля Va: b b jUc, D.7.15) где Va — оператор, удовлетворяющий требованию D.7.1), н» имеющий нулевое кручение. Как и в D.4.37), имеем ТпЬС = Чаь{ D-7Л6) в силу D.2.50) или D.4.30). Более того, из D.7.1) и аналогич- ного уравнения для оператора с тильдой получаем Qabc = -Qacb- D-7.17) Последними двумя равенствами Qabc однозначно определяется в виде Qabc = Talbcl—^Tbca. D.7.18) К сожалению, переход в D.7.11) к оператору Va за счет исполь- зования тензора Qabc не приводит к уравнению, содержащему только дивергенцию величины Sabc.
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И КРИВИЗНА 295 В спинорном формализме роль Qabc играет величина @АА,ВС [формула D.4.23)], симметрия которой @аа'Вс = @аа'св следует из того, что тензоры гДв и ЪАв ковариантно постоянны, как это было показано в формулах D.4.32) — D.4.34). Напомним соот- ношение между Q и 0, полученное в D.4.35): Qabc = @АА'ВСЪВ'С + &АА'В'С'*ВС- &•'''•19> Подставив D.7.14) и D.7.19) в D.7.18), получим после неко- торых преобразований исключительно простое сооотношение D.7.20) Его можно получить непосредственно из D.4.37). На основании равенства D.7.20) можно связать стандартный тензор Римана — Кристоффеля Rabcd, стандартный (симметричный) тензор Риччи Rab и т. д. с тензорами Rabca, Rab и т. д., используя D.2.51). От- метим также, что D.7.20) можно переписать в виде аАВСС == 8яу V С'\АВ,С 2 С'САВ) • D.7.21) Спиноры могут эффективно использоваться и при изучении тензора кривизны Rated более общего типа, чем тот, который рассматривался здесь. Кососимметричная часть тензора Риччи 3?1аь может быть представлена, как в C.4.20), с помощью спи- нора Едв = 2<дв). Остальная информация, содержащаяся в Rabcd, может быть выражена через соответствующий- «спинор Вейля» Wabcd = Ч'(лвсо) и две комплексные величины Фава'В' = Ф ( ab)WB) а А. При 7"абс = 0 спинор 2дв обращается в нуль, а остальные спиноры совпадают со стандартными величинами, определен- ными в § 6. Здесь не будем на этом останавливаться (см. [ 145]). § 8. Тензор Вейля и тензор Беля — Робинсона Тензор Cabcd [формула D.6.41)] называют конформным тен- зором Вейля (поэтому Wabcd часто называют конформным спи- нором Вейля). Он дает конформно-инвариантную часть-тензора кривизны. [Мы увидим в F.8.5), что Саьса — инвариант конформ- ных преобразований; в F.9.23) мы покажем, что равенство нулю этого тензора есть необходимое и достаточное условие того, чтобы пространство было кусочно конформно-плоским.] Если метрика удовлетворяет полевым уравнениям Эйнштейна- (без космологического члена), то Rabcd сводится к Cabcd в вакууме. Отметим, что «тензор Риччи», построенный по Cabcd, равен нулю: W = 0. D.8.1)
296 ГЛАВА 4 Отсюда и из того, что Саьса обладает симметриями тензора Rated и отличается от Rabcd слагаемыми, содержащими тензор Рйччи и скаляр кривизны [формулы D.6.41) и D.6.38)], получаем сле- дующее выражение: d d W- <4-8-2> [Вид разных слагаемых этого выражения определяется требо- ваниями симметрии, а численные коэффициенты —2 и 1/3 вы- текают из соотношения Са^^О1).] Заметим, что в силу фор- мулы D.6.33) *Саш = С* abed- D.8.3) Пусть +Cabcd и ~Cabcd будут самодуальная и антисамодуальная части тензора Саъс* формулы C.4.35), D.6.42), D.6.43). Ввиду равенства D.8.3) не требуется проводить различие между ле- выми и правыми самодуальными и антисамоудальными величи- нами. Тогда Ca6ed, ' D.8.4) ~C „bed =*~~i~C abcd- D.8.5) *~ Одно из наиболее существенных упрощений, к которым приво- дит спинорный формализм в теории относительности — то, что очень важному, но несколько громоздкому тензору Саьс* сопо- ставляется простой объект — полностью симметричный спинор Чавсо- Как упоминалось выше, это приводит к очень прозрачной классификационной схеме для тензора кривизны. В гл. 8 мы подробно проанализируем структуру тензора Саьы. Здесь же отметим лишь несколько алгебраических свойств этого тензора и укажем их связь с так называемым тензором Беля — Робин- сона. Эти примеры иллюстрируют возможности спинорного подхода. Рассмотрим два произвольных тензора Mabcd и Маьс*, обла- дающих всеми симметриями тензора С abed, т. е. имеющими вид D.6.41), где Wabcd — вполне симметричный спинор. Тогда мы имеем два соотношения, аналогичных формулам C.4.44) и C.4.45): -Mabp<l+Ncdpq = 0, D.8.6> "МЛ7 +Ncpdq = +Na"b" -Mcpdq. D.8.7) Доказательство равенства D.8.6) проводится непосредственно и вполне аналогично доказательству равенства C.4.44), а ра- ') В я-мерном"случае эти коэффициенты имеют вид — 4/(л — 2) и 2/(л— — 1)(я — 2). Соответствующий тензор Вейля — тоже инвариант конформных преобразований. При я > 4 равенство его нулю является необходимым и до- статочным условием того, чтобы пространство было конформно-плоским.
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И КРИВИЗНА 297 венство D.8.7) доказывается аналогично равенству C.4.45): действительно, если мы положим — VA'B'C'D>eABeCDt то обе части равенства D.8.7) будут просто равны D" D.8.8) ;[Как и в предыдущем случае, прямое тензорное доказательство равенства D.8.7) не тривиально.] Вновь каждой из сверток определяется прямое произведение этих тензоров и, следова- тельно, определяется каждый тензор в отдельности с точностью до множителя. (Эти результаты принадлежат И. Робинсону.) Переходя в D.8.7) к тензору Вейля, мы получаем так назы- ваемый тензор Беля — Робинсона Т —р Р ч +р +р р 1 -р да да abed ab *"cpdq— Ч i *-cpdq—*ABCD^ р р р 1 р да да (A ft q\ abed ab *"cpdq— Ч i *-cpdq—*ABCD^A'B'C'D" V**o.V) Альтернативное выражение для Tabcd через действительные тен- зоры имеет вид Tabcd = T (CaPb4Ccpdq + 'Са V 'Ccpdq). D.8.10) В его справедливости легко убедиться, если воспользоваться соотношениями Cabcd=+Cabcd + ~Cabcd, mCabcd = i{+Cabcd — ~Cabcd). Свойства симметрии тензора Tabcd совершенно невозможно усмотреть из тензорного выражения, но они очевидны при спи- норной форме записи D.8.9). Так, мы сразу видим, что Tabcd — вполне симметричный тензор со следом, равным нулю: Tabcd = T(abcd) t D.8.11) Го6в = 0. D.8.12) Из этих двух выражений следует даже, что TaA'BB'CC'DD' = T[ABCD) (A'B'C'D') [см. то, что говорится после формулы C.3.61)]. То, что Taa'bb'ccdd' «факторизуется» согласно формуле D.8.9), эквива- лентно соотношению ТABCDA'B'C'D'TEFQHE'F'Q'W =TABCDE'P'Q'H'TEPQHA'B'C'D' D.8.13) [формула C.5.5)]. Таким образом, используя методы гл. 3, § 4, мы можем получить квадратичное тензорное тождество, кото- рому удовлетворяет тензор Tabcd. Оно имеет достаточно слож- ный вид, но его приведенная форма, содержащая лишь часть
\ 298 глава 4 информации, которую несет соотношение D.8.13), таково: J ' ¦ D,8.14) Для доказательства этого равенства заметим, что его левая часть должна быть пропорциональна gef, так как в силу фор- мулы B.5.24) мы имеем а левая часть этого равенства, очевидно, кососимметрична по EF (это легко показать, применив «пилу Пенроуза» к индексам А, В, С). Тогда вид общего множителя получается после свертки по е и /. Другое свойство тензора Таьса — инвариантность при дуаль- ных вращениях тензора Саы-а [формула D.6.12)]: Саш -> 1в)Саш = СаШ cos G + 'СаШ sin 6 = е-^СаШ + еК+Саьа. D.8.15) Это эквивалентно замене ^ D.8.16) при которой Tabcd, очевидно, не меняется. Спинорный формализм позволяет легко сформулировать под- ходящий критерий единственности тензора Таьсй. Например, с точностью до множителя, это — единственный четырехиндексный тензор, квадратичный по Саьса, который является инвариантом дуальных вращений тензора Саьа. Или, с точностью до множи- теля, это — единственный вполне симметричный тензор (поло- жительной валентности), квадратичный по Саьа. Чтобы убе- диться в справедливости данных утверждений, достаточно про- анализировать возможный вид спинорных Слагаемых в правой части равенства D.8.9). Можно указать свойства положительной определенности, ко- торые также являются прямыми следствиями спинорного пред- ставления тензора Беля — Робинсона D.8.9). Мы обсудим их ниже [формулы E.2.14), E.2.15)]. § 9. Спинорное представление коммутаторов Поскольку риманов тензор кривизны Rabat возникает при действии коммутатора производных Va на векторы и тензоры, аналогичная связь должна иметь место для спиноров кривизны. Это действительно так. Применим разложение C.4.20) к ком- мутатору Лай, определенному в D.2.14): Кь = 2V,aV61 = *л-*Плв + ъавПа-в» D-9.1)
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И КРИВИЗНА 299 где nAB = Vr{AVB)x', UA.B. = VK{A*B,*. D.9.2) Заметим, что оператор ПА,В, комплексно сопряжен оператору ОАВ в том смысле, что для любого спинора %.g выполняется равенство П^вЛу = ОАВ (X») = ОАВЪ D.9.3) {формула D.4.20)]. Из D.2.15) и D.2.16) имеем ?лв (X, + h) = ПдвХу + ПМФХ, D.9.4) ?лв (Х**,) = **? Л + ХуП^, D.9.5) я аналогично для Пл'в'. Чтобы вычислить действие операторов Пдв и Па'в> на спинор, скажем, кА, мы сначала построим самодуальный изотропный бивектор D.9.6) Затем из тождества Риччи [без кручения, формула D.2.33)] получаем dd4 (То, что kab — комплексный бивектор, несущественно.) Теперь подставляем D.9.6) в это соотношение и используем равенство D.2.16) (которое пригодно не только для тензоров, но и для спиноров): т. е. Заменив тензор Римана соответствующим спинором из D 6.1) и сокращая 2etf'D' в обеих частях равенства, получим % ааЬК ~\еА'В'ЛАВЕ I ZAB(VA'B'E fХ Х * Пусть хс =5^0; тогда, применив предложение C.5.15) при г=» = s = 1 к разности левой и правой частей этого уравнения, по- лучаем ) что при симметризации и антисимметризации по' ЛВ дает два уравнения
300 ГЛАВА 4 Соответствующие формулы для штрихованных спин-векторов получаются из D.9.7) и D.9.8) путем комплексного сопряжения и применения соотношения D.9.3) (для большей общности мы также заменяем хс' на тс'); D.9.10) Опустив индекс С (или С), мы также получим D.9.11) D.9.12) Чтобы вычислить действие операторов Пав и Оа'в' на много- иидексные спиноры, например 6cabV» представляем QCDE'P' в виде суммы прямых произведений спин-векторов и используем свойства D.9.4) и D.9.5). Например, ? д*е W - Пм BaCpDY*V) = S (poYB'«i" Dab ac + + acPaV ПдвУ^ + ^ что с учетом формул для Пдвхс и т. д. дает Е'<г- D.9.13) Общий случай рассматривается по этому образцу. Выполнив комплексное сопряжение, применив формулу D.9.3) и заменив Q^d^f на фс'о^р, мы получаем соответствующую формулу 'Л D.9.14) Можно подставить D.6.34) в эти формулы и получить, напри* мер, из D.9.11) Плв*с = - Vabcd*d - Л (вдсХд + ввскЛ), D.9.15) что также можно переписать в виде П(лв*с) = - Vabcd*d. D.9.16) Пав1"* = — ЗЛкд- D.9.17) Отсюда путем комплексного сопряжения можно получить дру- гие формулы: ^ . D.9.18)
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И КРИВИЗНА 301 Для спиноров кривизны можно получить выражение, аналогич- ное формуле D.2.66), подставив всс вместо кс в D.9.11): е п „ С. D.У.1У) первое из этих соотношений можно представить в виде двух ра- венств [формулы D.6.34) и D.6.35)]: 4W 8neC АеОЛВС D92°) Спинорные формулы данного параграфа выглядят гораздо сложнее тензорных формул, из которых они получены. Тем не менее операторы Va часто встречаются в комбинации, входящей в Пав и Пуд'. В этом случае предыдущие формулы могут ока- заться особенно ценными. Некоторые приложения будут даны в гл. 5, § 11; см. также формулу E.8.1) и многочисленные при- ложения в т. 2. § 10. Спинорная форма тождеств Бианки Напомним, что оператор ковариаитной производной согласо- ван с тензором кривизны, если выполняются тождества Бианки D.2.42). Перепишем их в спинорном виде. С учетом формулы C.4.26) тождества Бианки 0 <4Л0Л> переписываются в виде эквивалентного соотношения 0- D.10.2) Подставляя сюда соответствующее выражение D.6.11), полу- чаем Отделив симметричную и кососимметричную части по CD', мы получим, что это соотношение эквивалентно равенству D.10.3) и его комплексно-сопряженному. Таким образом.^ соотношение D.10.3) будет спинорной формой записи тождеств Бианки. Это соотношение можно получить аналогично соотношению D.2.42) как условие согласования кривизны и коммутатора, введенное в § 9. Для этого удобно воспользоваться тождеством о, D.10.4)
'302 ' ГЛАВА 4 которое доказывается на основании е-тождества B.5.20), запи- санного в виде ¦ дс, = ъавЪ[с + ]_ еолевС> D.10.5) Сворачивая D.10.4) с и используя D.9.2) и D.9.8), получаем vc (vB X Е vB'(b E\ ( к \Vd/Abdc Vd^b'D'C ) — ввиду произвольности хс отсюда следует D.10.3). На основании D.6.34) можно переписать D.10.3), используя и Л: 2eB(CVD)jrA. D-10.6) Иногда полезно представить это соотношение в виде двух не- приводимых, разделив симметричную и антисимметричную части по ВС. Заметим, что оно уже симметрично по CD. Получаем а также после свертки с кососимметричной частью 3VDfl'A =-0. D.10.8) Из D.6.24) следует, что последнее уравнение есть спинорная форма важного соотношения для тензора Эйнштейна — равен- ства нулю его дивергенции: VaGas = 0. Если выполняются вакуумные полевые уравнения Эйнштейна [с Л-членом, формула D.6.29)], то мы имеем Флвс'о' = 0> Л = = A/6) Я; тогда первое уравнение Бианки D.10.7) принимает вид ^^O. D.10.9) Это «полевое уравнение» совместно с полевыми уравнениями Эйнштейна Фавс'о'^0. Л = -±-А D.10.10) описывает распространение кривизны в вакууме. В частности, уравнение D.10.9), включающее информацию, содержащуюся в D.10.10), в известном смысле аналогично настоящему полевому уравнению. Важно, что оио формально совпадает с полевым уравнением для безмассовой (масса покоя равна нулю) частицы со спином 2 (в нашем случае это «гравитон»). С этой точки зрения мы подробнее обсудим его в гл. 5, § 7. Здесь мы отметим одно простое следствие этого уравнения: тензор Беля — Робин-
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И КРИВИЗНА 303 сона D.8.9) имеет нулевую дивергенцию:, ЧаТаьы = 0- D.10.11) В присутствии метрики, когда уравнения Эйнштейна D.6.31) содержат тензор энергии-импульса Таь, соотношение D.10.7) принимает вид А,в„ D.10.12) так что производную от Таь можно рассматривать как источник гравитационного спинорного поля 4?abcd. § П. Спиноры кривизны и спиновые коэффициенты В данном параграфе мы возвращаемся к компонентной записи, введенной в § 5, и показываем, как компоненты спино- ров кривизны могут быть выражены через спиновые коэффи- циенты Ybcaa и внутренние производные VAA,. Для на- чала мы вычислим коммутатор внутренних производных. При этом мы воспользуемся результатами, полученными ранее для скобок Ли. Напомним [формулы D.3.26) и D.3.29) при нуле- вом кручении ], что для скаляра f \U, V]f = {Up4pV-Vp4pUq}Vqf. D.11.1) Теперь рассмотрим выражение [VAB, VCD,]/ = [e/e,/'Vp, ScVV,]/. Заменив Up и Vp в D.11.1) величинами eApeB,p' и ъс%0Я', получим [VAB, VCD,] f - {VAB, (ec<V) - VCD, (eA4,Q')} \f• D-11 -2) Выполняя в скобках { } дифференцирование по правилу Лейб- ница, учитывая D.5.2) и объединяя этот множитель с произ- водной V,, получаем [VAB" VBD,] f = Vaq') f- D.11.3) В силу формул D.3.32) и D.2.24) (в отсутствие кручения) наше предыдущее уравнение D.9.7), будучи свернуто с XaYb, экви- валентно равенству (YY - VV - V ) х" = XaYb {zA.wXAB/ + гАВФА>в,/} к*. D.11.4) \а Y Y л 'Ai|/ Положим в этом равенстве Ха = я а& а- уь — р ве в' у.р р р
304 ГЛАВА 4 а затем свернем с efF. Первое слагаемое слева принимает вид второе отличается от него только перестановкой АВ' и CD'. Так как V[xy]Xf по определению есть оператор в левой части D.11.3), действующий на W вместо f, для преобразования третьего слагаемого в левой части равенства D.11.4) мы повто- рим вычисления, приведшие нас к D.11.3). Но теперь опера- торы действуют на eEF, а следовательно, каждая внутренняя про- изводная (с новым множителем e^F) дает у EF, и мы получаем Yab'c%d'eF - Ycd'aQYqb'eF + Yab'd'Q'YCq'eF ~ Ycd'bQ'yAq'eF для этого слагаемого. В правую часть равенства D.11.4) мы подставляем выражение D.6.34) и переходим к диадным компо- нентам. Окончательно имеем e Ycd'q ~" Ycd'e Yab'qF + ~Г" Yab'C Yqd'E Ycd'A IQB'E "Г YAB'iy YcQ'E YcD'B' Yaq'E + W (8AE8CF + «A^Ce) A + 8AC^Q Это выражение тоже можно получить непосредственно из D.9.7), перейдя к компонентам и используя формулы D.5.1) и т. д. всюду, где требуется. Вычисления вполне аналогичны приведенным выше, но несколько длиннее. Соотношения D.11.3) и D.11.5) представляют собой фун- даментальные уравнения формализма спиновых коэффициентов. Они выглядят сложно, но при переходе к специальному базису несколько упрощаются. Мы будем пользоваться стандартными обозначениями, введенными в D.5.16) и D.5.23) для спиновых коэффициентов и операторов внутренних производных. Для ди- адных компонент спиноров Вейля и Риччи ^abcd и Флвс'д' мы введем следующие обозначения: D.11.6) D.11.7) Фоо •== ФооСС Фо1 '•— Фооо'г Фог:== Фооп'1 Фю:=Фо1о'о' Фц:=Фо1О'1' Ф12:=фоп'1'. D.11.8) s := Фцп'.
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И КРИВИЗНА 305 На основании формул D.6.41), D.6.20), D.5.20) и D.11.7) вы- разим эти величины через изотропную тетраду: % = %-1%-1Cabcdlamblcmd, «F, = %-li.-lCabcdtamblcnd, bd nbmcnd, D.11.9) Фоо ¦= - у Raft* Ф01 = - \ Rablam\ Ф02 = - \ Rabm"mb, Ф10 = -1 Rablamb, 1 п6. D.11.10) manb ф21 = -1 Rabmanb, При использовании этих величин перестановочные соотношения D.11.3) принимают вид D'D ~DD' = t>D'-D'b= D.11.11) = *'D + (т + p' + a') D' - o'b' - (Г + y + pO 6, б'б - 66' = Аналогично уравнения D.11.5) записываются в виде Dp - 6'х = р2 + ад - йт - х (/ + 2а + Р - РО+Р (е+ё)+Фоо, (а) = р/2 + <tV - йЧ' - х' (т + 2а' + р' - р) + Р' (е' + ё') + Ф22, (а') Da - бх = а (р - р + f - v' + 2e)-x (т+Г+а-а'+грЭ+^о, (б) Z)'a' - 6'х' = 4. (б') . + ^о.. (в) DW - Dx' = р' (х' - т) + а' (Г - т) + т' (у + е') -
306 ГЛАВА 4 бр - б'ог = т (р - р) + х (р' - р') + р (а + р) - - а (а' + 2а - р') - *Р, + Фо„ 'г) б'р' _ во' = т' (р' - р') + х' (р - р) + р' (а' + р') - - а' (а + 2а' - р) — ?8 + Ф2Р &> бт - ?>'а = - р'а - о'р + т2 + хх' + т (Р + р') - - a Bу - е' + Г) + Ф02. (Д) 6V -Do'' = - 90' - ар' + т/2 + х'х + т' (р' + р) - ?)'р — б'т = рр' + аа' — тт — хх' + р (y + Y) ~ -тСа + аО-Ч^-гП, (е) D9> _ бт' = р'р + аа' - т'г7 - хх' + р' (у' + у') - -т'(а/ + а)-Ч'2-2П, (е') д'р - 6Y = тр' - х'а - й'е + ад' + р (р' + е' + у) — ?,р' _ 6V = т'р - ха' - ив' + а'д + р' (р + в + y') - _у'(р + а + т')-Ф10, (ж') б'е — Da = х'р — ха' + xy — ра — а (р + в + y') + + 8(р + а + т')-Ф10, (з) бе' _ D'of = тр' - х'а + йУ - Р'а' - а' (р' + в' + у) + DP - бе = х(р' - у) - а(х' - а) + Р (р + у7) - -8(т' + а)+?„ (и) О'Р' _ б'е' = х' (р - у') - а' (т - а') + р' (р' + у) - -8'(т + а')+?3> (и'> 6'Y _ D'a = х' (р + es - а' (т + р) - а (р' + у) + + У(т + а') + ур'-8'а+Чгз, (к) 6Y'_ Da'= х (р'+ в') - а (т' +р') - а'(Р + 90+ + Y' (х + а) + у'р - еа' + «F,, (к') /)Y _ d'b = yv' — тт' — р (т' — х) — а (т' — т) — е (у + у) + + Y(Y' + Y')+x*;2 + <I>u-n, (л) ду _ De' = хх' - тт' - Р' (т - т') - а' (г - т') - е' (у' + у') +
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И КРИВИЗНА 307 'Р — 6а = рр' — оо' — аа + ра' + а (Р — а') + Y (р — Р) + + е(р'-р/) + Ч;2-Ф1.-П, (м) р' - 6'а' = рр' - оо' - а'а' + р'а + а' (р' - а) + D.11.12) Как нетрудно видеть, уравнения D.11.12) разбиваются на пары, в каждой из которых одно уравнение связано с другим подста- новкой D.5.17) (операция «штрих»). При этом необходимо иметь в виду правило подстановки индексов, которое следует из определений D.11.6) и D.11.8): *Fr *-* Ws: 0 ч-> 4, 1 «-> 3, 2 *-* 2, <Drs_a,<u:o~2, l~i. DЛи3) Уравнения D.11.12) несколько упрощаются, если диада норми- рована так, что х~1- При этом [формула D.5.29)] следует отождествить а = —р", е =—у'. Пары (з), (з7) и (к), (V) отож- дествляются с парами (ж'), (ж) и (и'), (и) соответственно, а {л) и (м) отождествляются с их штрихованными формами. Та- ким образом, двенадцать пар уравнений сводятся к восьми та- ким парам и двум уравнениям, которые переходят в себя при действии операции «штрих». Уравнения D.11.11) и D.11.12) особенно полезны, когда не- которые из спиновых коэффициентов равны нулю (например, в силу симметрии конкретной задачи). В этом случае они суще- ственно упрощаются. В § 12 будет рассмотрена другая мето- дика, которая приводит к упрощениям без дополнительной спе- циализации коэффициентов. Тождества Бианки и уравнения Максвелла, выраженные через спиновые коэффициенты, также широко используются в литературе. Мы рассмотрим их в конце § 12, где сможем воспользоваться преимуществами модифици- рованного формализма спиновых коэффициентов. § 12. Модифицированный формализм спиновых коэффициентов В § 5 и 11 »1ы ввели формализм спиновых коэффициентов. Так же как любой формализм, использующий переход к ком- понентам тензорных величин, он имеет то преимущество, что оперирует только со скалярами. Это удобно при численных ра- счетах, а также |в том случае, когда нас интересует явный вид компонент тензора как функций координат. Однако спиновые коэффициенты дают дополнительное преимущество, ~ будучи комплексными величинами. Каждый спиновый коэффициент не- сет ту же информацию, что и два действительных числа, с чем
308 ГЛАВА 4 связана существенная экономия в обозначениях. Требуется только двенадцать таких величин, а не 24 эквивалентных дей- ствительных функции, которые возникают в формализме орто- нормированных тетрад, или 40 независимых символов Кристоф- феля в случае обычного координатного подхода. Разумеется, формализм, оперирующий с компонентами, наиболее эффекти- вен в том случае, когда удается ввести базис, естественным образом связанный с физикой или геометрией задачи. Если имеется временилодобное векторное поле (например, касатель- ное поле к линиям тока жидкости), то удобно выбрать его в ка- честве одного из базисных векторов тетрады. Если же в задаче имеется изотропный вектор (при изучении распространения волн), то в качестве одного из векторов тетрады удобно взять этот вектор. Далее, его можно рассматривать как флагшток одного из спиноров диады в формализме спиновых коэффи- циентов. Однако во всех указанных случаях остается большой про- извол в выборе' системы отсчета. (>этим связано то, что многие величины, участвующие в расчетах, не имеют прямого геометри- ческого или физического смысла. По своей природе они явля- ются «калибровочными величинами» и преобразуются по опре- деленному закону при переходе к новому базису в рамках про- извола, допускаемого задачей. Как правило, присутствие боль- шого числа таких «калибровочных величии» сильно обесцени- вает формализм — особенно если закон преобразования этих величин достаточно сложен. Одно из больших преимуществ ко- вариантиого подхода в том, что мы обходим проблему калибро- вочного произвола, а возникающие формулы допускают про- зрачную геометрическую или физическую интерпретацию. В та- ких задачах, которые требуют явного вычисления функций ко- ординат, ковариантный подход не всегда удобен. В то же время полная фиксация базиса тоже может оказаться нежелательной. Иногда удается найти компромиссное решение — частично ко- вариаитный формализм. В случае спиновых коэффициентов имеются два типа кали- бровочного произвола. Во-первых, может встретиться задача, в которой выделено одно изотропиое направление. В частности, это бывает при изучении геометрии в терминах изотропных поверхностей1) (или волновых фронтов). Диадный спинор ол можно выбрать вдоль этого направления, а второй спинор диады И остается произвольным. В этом случае существует ча- стично ковариантный формализм [142]. Однако сформулировать его так, чтобы он был пригоден в общем случае, удается лишь ') Гиперповерхность, нормаль к которой изотропна (гл. 7, § 1; гл. 5, 12).
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И КРИВИЗНА 309 ценой больших усложнений. Мы не станем рассматривать его здесь, но некоторые величины, возникающие в рамках такого подхода, мы будем использовать ниже [гл. 7, § 1; формула E.12.12)]. Второй тип калибровочного произвола в рамках спи- новых коэффициентов встречается, когда фиксированы два изо- тропных направления, но плоскости флагов или протяженности флагштоков соответствующих спиноров диады не фиксированы. Такая ситуация возникает, например, при изучении геометрии пространственноподобной двумерной поверхности (§ 14). Суще- ствуют два изотропных направления, ортогональных поверхности в каждой ее точке. Удобно выбрать флагштоки оА и И в этих направлениях. Конечно, имеется много других задач, в которых выделены два изотропных направления в каждой точке. Моди- фицированный метод спиновых коэффициентов, который мы рас- смотрим в данной главе, идеально подходит для решения таких задач [78] (см. также [70, 85—87, 171, 172]). Более того, он настолько близок к стандартному формализму спиновых коэф- фициентов, что при желании может использоваться вместо него, а полученные формулы могут рассматриваться как сокращен- ная запись формул для обычных спиновых коэффициентов. Мы увидим, что по большей части модифицированные выражения замечательно упрощаются по сравнению с их аналогами в стан- дартном формализме и в то же время достаточно близки к ним, чтобы без труда выполнялся обратный переход. Поэтому там, где это удобно, мы не выписываем формулы для спиновых коэф- фициентов, а приводим их модифицированные выражения. Взвешенные скаляры Мы предполагаем, что в каждой точке пространства-времени Л фиксированы два ориентированных в будущее изотропных на- правления. Пусть оА и И — пара спинориых полей на Ж, флаг- штоки которых совпадают с этими направлениями. Так же как в D.5.6), мы полагаем Ол1д = ЗС. D.12.1) Наиболее общее преобразование диады, оставляющее изотроп- ные направления инвариантными, таково: (Ин-^Ал*, Ин-^цИ, D.12.2) где Я. и ц — произвольные (нигде не обращающиеся в нуль) комплексные скалярные поля. При преобразовании D.12.2) имеем D.12.3)
•310 ГЛАВА 4 Если принято обычное условие нормировки %= 1, то оно сохра- няется указанными преобразованиями при дополнительном условии ц = Я~'. D.12.4) Нам удобнее не фиксировать условие D.12.4), считая Я, и ц не- зависимыми величинами. При необходимости же переход к {4.12.4) и нормировке % = 1 не представляет труда. В случае изотропной тетрады /а = сИёл', ma=*oA~iA>, та = \.АЪА, /ie = iV D.12.5) преобразование D.2.12) имеет вид 0, D.12.6) причем 1апа =ХХ =—maina. Если х = 1 и выполнено условие D.12.4), то можно положить где R и 6 — действительные числа; тогда D.12.6) принимает вид лоренцева поворота: la>-*Rla, na>-+R-[na D.12.7) в сочетании с пространственным вращением та*-*етта. D.12.8) Таким образом, мы имеем двумерный «калибровочный произ- вол» в каждой точке, а именно двухпараметрическую подгруппу группы Лоренца, которая сохраняет два изотропных направле- ния, определяемых векторами I" и па. Эта «калибровочная груп- па», как видно из D.12.2) и D.12.4), совпадает с группой умно- жения на комплексные числа. В более общем случае, когда не •предполагается выполнение условия D.12.4), калибровочная группа оказывается прямым произведением таких мультипли- кативных групп. Основные величины в нашем формализме — скаляры (а ино- гда тензооы или спиноры) ^...ассоциированные с (необязательно нормированной)' диадой о-*, iA. Преобразование диады D.12.2) индуцирует следующий закон преобразования этих величин: Л i-* Я/Ъ УйЧ " D.12.9) Такую величину мы называем (взвешенной) величиной типа \г',г', ? *} Если (не) все четыре числа, характеризующие тип данной величины, равны нулю, то мы будем говорить о ней, как о величине (не) нулевого типа. В специальном случае D.12.4) фиксируются только два числа p = r'-r, q = ?-t D.12.10)
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И КРИВИЗНА 311 и мы говорим, что tj имеет тип {р, q), или, что эквивалентно, спиновый вес A/2) (р — q) и бустовый вес A/2)(р + <7). Анало- гичная терминология применима в общем случае, когда сни- мается ограничение D.12.4). Мы иногда будем говорить, что т> есть {г', г, И, 0-скаляр или {р, q}-скаляр. Если говорить точнее1), то взвешенный скаляр г| опреде- ляется как функция, сопоставляющая каждой паре спинорных. полей (оА, iA) комплексное скалярное поле ц(оА, iA). Функция ц называется взвешенной величиной, если преобразованием диады по закону D.12.2) индуцируется следующее преобразование функции ц: л(Яод, Ц1А) = ЛгТ'иУп(ол, ьА). Отметим, что оА, оА', iA и iA' можно рассматривать как спи- норы типа {I, 0; 0, 0}, {0, 0; 1, 0}, {0, 1; 0, 0} и {0, 0; 0, 1} соответственно, a I", ma, m", п" как векторы типа A, 0; 1, 0}г A, 0; 0, 1}, {0, 1; 1, 0} и @, 1; 0, 1} соответственно. Теперь можно разделить спиновые коэффициенты на два класса в зависимости от того, являются ли они взвешенными величинами или нет. Оказывается, что спиновые коэффициенты в первом и последнем столбцах формулы-таблицы D.5.21), а именно х, р, <т, т, х', р', <т', т', являются такими величинами, тогда как е, а, р*, y. 6't а'. Р'. Y' — нет. Проиллюстрируем это двумя- примерами: 1 в Да, D.12.11) но Р-ИЛолцИ) (ЯоЛ)(ДИ')(Шв)У/,л'(Яов) = ЯДр + ДбЯ. D.12.12 Ниже указан тип взвешенных спиновых коэффициентов: х:{2, -1; 1, 0}, о: {2, -1; 0, 1}, р:{1, 0; 1, 0}, т:{1, 0; 0, 1}, и': {-1, 2; 0, 1}, о' : {-1, 2; 1, 0}, D-12.13) р':{0, 1; 0, 1}, т':{0, 1; 1,0}. Отметим также, что X есть A, 1; 0, 0}-скаляр. D.12.14" ') Для специалистов по теории векторных расслоений (гл. 5, § 4) or- метим, что {г', г; V, /}-скаляр является (гладким) сечением некоторого комп- лексного линейного расслоения _над Л. Это расслоение можно записать » виде #,ГГ' ®#ГГ <8>#о"'' ® ЛГ'- где *о и *i —расслоения спин-век- торов, флаги которых направлены вдоль I" и п" соответственно, а 9&й if 31, — комплексно-сопряженные расслоения. (Например, если g — величина типа f—1, 0; 0, 0}, то %оА есть сечение расслоения 3?0, будучи обыкновенным спии-векторным полем без веса.)
312 ГЛАВА 4 Любое заданное на пространстве-времени спинориое или тен- зорное поле характеризуется набором скаляров («компонент»), имеющих различные веса. Их можно представить в виде сверток спинора с определенными комбинациями элементов базиса ол, <Д оА', И' или тензора с определенными комбинациями /", та, та, па. При желании тензорное поле можно рассматривать как спинорное, но соответствующее множество скаляров будет тем же независимо от способа вычисления. Это следует из опреде- ления D.12.5) изотропной тетрады на основе диады. Очевидно, что произведение {/•', г; t', t) -скаляра и {v\ v; и.', и}-скаляра будет {r'-j-w', r-\-v; t'-\-ur, t + и}-скаляром. В то же время складывать можно лишь скаляры одного веса; вес суммы равен весу слагаемых. Взвешенные дифференциальные операторы вир. Далее, включим в наш формализм дифференциальные опера- торы. К сожалению, операторы D.5.23), входящие в формализм спиновых коэффициентов, не подходят для этой цели, поскольку, действуя на скаляр ненулевого типа, они, вообще говоря, дают скаляр неопределенного типа. Поэтому мы модифицируем опе- раторы D.5.23), добавив слагаемые, содержащие спиновые коэф- фициенты, причем спиновые коэффициенты неопределенного типа (е, а, р, у; г', а', Р', у'). Мы «изымаем их из свободного обращения», объединяя с дифференциальными операторами (ко- торые также не являются величинами определенного типа) так, чтобы получить взвешенные дифференциальные операторы. Для скаляра (тензора, спинора) г\ типа {г7, г; t\ i] мы определяем •) рц = (D - г'г - гу' - ?ъ - d'tj = (б' - /а - гр' - f'p - №') ть р'ч = (?>' _ г'у - re' - fy - tl') r\. Эти комбинации выбраны так, что при замене D.12.2) слагае- мые, включающие производные от А, и ц, взаимно уничтожаются: ') Здесь у и б — фонетические символы английского языка для глу- хого и звонкого звука «th». Они произносятся как «thorn» н «eth» соответ- ственно.
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И КРИВИЗНА Из этих формул следует, что операторы имеют следующий тип: р:{1, 0; I, 0}, б:{1, 0; 0, 1}, д':{0,' 1; 1, 0}, р':{0, 1; 0, 1}. I*-"-"* (Утверждение, что дифференциальный оператор имеет тип \v', v; и', и), означает, что, действуя на скаляр (или спинор, или тензор) типа {г7, г; f, t}, он дает величину типа {г* -\-vf, r-f v; *' + «', t + u}.) В специальном случае % = 1 мы имеем е = —уг и а = —р', так что, вводя обозначения р=г/ — г и q = t' — t^ как в D.12.10), мы можем написать pTi^D + PY' + tfY'K Р'г\ = ф'-ру-ду)ц, •Используя определения D.12.15), нетрудно убедиться в том, что- операторы р, 6, 6' и р' аддитивны и при действии на произве- дения удовлетворяют правилу Лейбница. Эти величины можно определить иначе, используя векторные- операторы нулевого веса (действующие на величину типа {г', г;. Г, t}) &АА' = Чаа' + X (r Тогда е ' в б в б'в D.12.20> Отметим, что вв -1X Г2 W + пар - ша6' - гпа6). D.12.21 у Используя D.12.19), леи*&-показать, что влдОС = О, D.12.22> откуда ^=«0, *х = 0, 6^ = 0, р'х = О. D.12.23)^ Восемь спиновых коэффициентов и, а, р, т; х', а', р', V, величина X и четыре дифференциальных оператора Р, б, }>', б' образуют базисные величины в нашем формализме. Кроме того, суще- ствуют операции комплексного сопряжения и введенная в^ D.15.17) операция подстановки, обозначаемая штрихом. Ohit обе переводят взвешенные величины во взвешенные. Операция^ «штрнх» инволютивна с точностью до знака: если г| — величина- типа {г', г; f, 0, то г+^г' D.12.24> (Для всех скалярных величин, определенных в данном пара- графе, комбинация г/ + // — г — t в действительности четна, так;
314 ГЛАВА 4 что этот произвол не играет роли в случае скаляров.) Введение этой операции не только сокращает наполовину число необхо- димых греческих букв, но также уменьшает вдвое число уравне- ний, как мы уже отмечали по поводу формулы D.11.12). В дополнение к введенным базисным элементам самосогла- сованная система исчисления включает тетрадные компоненты различных тензорных полей (например, тензора электромагнит- ного поля или тензора Римана) и набор диадных компонент различных спинорных полей. Веса различных спинорных компо- «ент тензора Римана таковы [формулы D.11.6) — D.11.8)]: «Рг:{3-г. г-1; 1, 1}, П:{1,1;1, 1}, Фг1: {2 -г, г, 2- /, /}. D.12.25) Кроме того, различные компоненты lr. t = lA ...d ... а-... к' ...?j^J? ¦ • • °°' * -llK' ¦ • • DЛ2-26> е f О О4! ¦симметричного спинора g. м, валентности < \ — \r' + r i' + t) являются величинами типа {г', г; /', t). Соответствующие ком- поненты производных от \А„шМ. имеют вид ...кг..." д%. t + r'Plr+ut+ ( Эти соотношения легко выводятся из формул роА = — xiA, Pi14 = — т'оА, рол' = — тА', pt* = _ tV, доА — — aiA, diA = — р'ол, бол' = — рИ', diA' = — а V, d'oA = - pi". д\А = - а'о\ д'оА = - oiA , 6\* = - pV, р'ол = — Т1Л, р'И = — х'ол, pV == — пА,
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И КРИВИЗНА 315 которые в свою очередь получаются из формул D.5.26), D.5.27) и D.12.15). Отметим, что использование операторов рг б, 6' и р' вместо D, б, б' и D' соответственно приводит к тому, что в выра- жениях D.5.26) и D.5.27) исключаются все первые слагаемые неопределенного типа. Аналогично используя D.12.28), легко убедиться в том, что переход к новым операторам в уравнениях D.5.28) приводит к исчезновению всех слагаемых неопределен- ного типа (в скобках) в правых частях. Комплексное сопряжение переводит величину (или опера- цию) типа {rf, r; t', t} в величину типа') {?', t; r', f}. Учитывая это замечание, а также полагая, что выполняются соотношения Й1=]рть дц = дц, D.12.29) мы находим [формулы D.12.15) и D.12.18)] р = р, р' = р', д' = д', 6 = 6. D.12.30> Операция «штрих» превращает величину (или операцию)^ типа {г', г; t', t} в величину типа {г, r7; t, t'}. Отметим, что D.12.31 > Модифицированные уравнения Перепишем уравнения D.11.12) для спиновых коэффициен- тов, пользуясь операторами D.11.15). В результате спиновые коэффициенты е, а, р, у, г', а', Р', у' исключаются из уравнений,, поскольку онн входят в определение модифицированных диффе- ренциальных операторов. Из уравнении D.11.12а) — D.11.12е), мы получаем соответственно рр — д'к = р2+огст — хт — т'х + Фоо, (а) ро-6к = (р + р)о-(т + т')х + %, (б) (г-'Е')а + Т1 + Фо1) (в) ap-d'a^p-pjT + fp'-pOx-T. + Oo,, (г) DЛ2-32> дт - р'а = - р'а - а'р + т2 + их' + Фог, (д) р'р _ б'т = рр' + ао' -хх- их' - Т2 - 2П. (е) Используя операцию «штрих», мы получаем из этих уравнений, еще шесть уравнений, эквивалентных уравнениям D.11.12а) — ') Обычно в приложениях г', г, i', t принимают целые значения, так что f = г' и т. д. Однако формализм имеет смысл (при х=1 и р = г' — г, q = f — t), если р и q — произвольные комплексные числа, для которых р — q есть целое. См., например, [120].
316 ГЛАВА 4 <4.11.12е). Остальные уравнения D.11.12) содержат производ- ные от спиновых коэффициентов, которые не являются взвешен- ными величинами. Следовательно, в нашем формализме оии не могут быть записаны в виде, аналогичном D.12.32). Вместо этого их следует рассматривать как уравнения для коммутато- ров дифференциальных операторов j>, j>', б и б'. Считая, что ком- мутаторы действуют на {г*, г; f, /}-скаляр г\ (где р = г' — г, 4 = t' — t), получаем рр' - tfp = (г - tO б + (т - f)д' - р (хх' - xY + ?2 + Фи -П)- - q (x, х' - гг' + Ча + Ф„ - П), D.12.33) рд - др = рд + ад' - т> - xj>' - р (р'х - х'о + Т,) - - q (а'х - р? + Ooi), D.12.34) ^ - 6'в = (р' - р') р + (р - р) р' + Р (РР' - оо' + Т2-ф „ - П) - - q (рр' - да' + f 2 - Ф„ - П). D.12.35) Остальные коммутаторы получаются из D.12.34) путем опера- ции комплексного сопряжения, операции «штрих» или обеих названных операций. Отметим, что тип скаляра tj явно входит в правую часть этих уравнений. Поэтому при вычислении дей- ствия указанных операций следует быть осторожным, учитывая, что тип скаляра г\\ г\ и ц' не совпадает с типом скаляра t|. При действии операции «штрих» тип {r'r r; f, t} переходит в {г, г'; t, t'}, так что р принимает значение —р, a q — значение —q; при сопряжении тип {г', г; f, t} переходит в {?, t; г*, г} (если считать, что г'ит. д. — действительные числа), так что р пере- ходит в q и наоборот; прн действии обеих операций тип {/•', г; if, t} переходит в {t, f;r, г7}, т. е. р принимает значение — q, a q — значение —р. Рассмотренные уравнения для коммутаторов — это случай, когда модифицированный формализм приводит к более сложным соотношениям, чем первоначальный формализм спиновых коэф- фициентов. Такова, по-видимому, плата за существенные фор- мальные упрощения в остальных уравнениях. Следует, однако, помнить, что коммутаторы несут информацию, проистекающую из двух разных мест в формализме спиновых коэффициентов. Кроме того, мы имеем преимущество геометрического истолко- вания коммутаторов в модифицированном формализме: допол- нительные слагаемые, которые возникают при р Ф 0 или q ф О, иногда можно интерпретировать, связывая их с кривизной под- многообразий в пространстве-времени. В случае коммутатора D.12.35) мы увидим это явно в формуле D.14.20) ниже. Полные тождества Бианки D.10.6) выглядят достаточно
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И КРИВИЗНА 3.7 сложно в формализме спиновых коэффициентов, но замечатель- но упрощаются в модифицированном формализме, и мы приво- дим только эту форму их записи. Для получения требуемых уравнений достаточно взять компоненты тензора D.10.6) и ис- пользовать формулу D.12.27). Получаем - 2рФ01 — 20Ф1О + 2хФ„ + йФ02, D.12.36) о, + р'Фоо + 2рП = arW0-2YWl + Зр?2-2х?3 + 'Фоо - 2тФ0, - 2тФ,0 + 2рФп + дФоа, D.12.37) — 2р'Фш + 2т'Ф„ + т'Фю — 2рФ21 + хФ22, D.12.38) _ б'чг3 __ б'ф21 + р'Фи = + За'Т2 - 4^^ + р?4 - 2х'Ф10 + + га'Фц + р'Фю - 2тФ21 + 5Ф22> D.12.39) ЯФ„ + р'Фоо - 6Ф1О - б'Ф01 + ЗрП = (р' + р') Фоо + + 2 (р + р) Ф„ - (т' + 2г) Ф01 - Bт + Г) Ф10 - *Ф12 - — хФ21 + сгФю + аФ02, D.12.40) рф12 + р'Ф01 - 6ФП -дЗФог + 36U = (р' + 2р') Фо1 + + Bр + р) Ф12 - (V + т) Фог ¦=- 2 (т + Г) Ф„ - *'Фоо - - хФ22 + аФ21 + а'Ф,0, D.12.41) а также уравнения, получающиеся отсюда с помощью операции D.5.17). Уравнения D.12.40) и D.12.41) эквивалентны сверну- тым тождествам Бианкн D.10.8). [Вообще говоря, уравнения вида D.12.40) и D.12.41) выражают «закон сохранения» для произвольного симметричного тензора с двумя индексами.1 Если пространство-время описывается вакуумными уравне- ниями Эйнштейна, то П и все Ф в уравнениях D.12.32) — D.12.35) равны нулю; и наоборот, эти уравнения с П и Ф, рав- ными нулю, характеризуют вакуумные решения уравнения Эйн- штейна и могут использоваться для нахождения таких решений. Тождества Бианки D.12.36) — D.12.39) в этом случае замеча- тельно упрощаются; в частности, уравнения D.12.40) и D.12.41) удовлетворяются тождественно. $7равнения D.12.36) — D.12.39) в этом случае замечательно упрощаются; в частности, уравнения {4.12.40) и D.12.41) удовлетворяются тождественно. Уравнения D.12.36) —D.12.39) при П = 0 и Фг« =0 будут частным случаем уравнения D.10.9) — полевого уравнения для частицы с нуле- вой массой покоя [см. формулу E.7.2) ниже]: V^'^b...l = 0. D.12.42)
318 ГЛАВА 4 где <fA ?. —Ф(д ...L)" ^ самом деле, полагая «), D.12.43) мы получаем в силу формул D.12.27) Иг - б'Фг-i = (Г - 1) а'<?„_2 - гт'<?г_, + (я - г -(п-г)хфг+1 (г-1, ...,«), D.12.44) а также их штрихованные варианты. [Множитель х~'% в опре- делении величин W, D.11.6) здесь не играет роли ввиду равенств D.12.23).] Как мы увидим в гл. 5, § 1, уравнения Максвелла в пустом пространстве также являются частным случаем уравне* ния D.12.42), а следовательно, могут быть записаны в форме D.12.44) при л = 2. Определенный интерес представляет запись конформно-инвариантного волнового уравнения (? + /?/6)ф = О (гл. 6, § 8) в модифицированном формализме спиновых коэффи- циентов, которая получается из соотношения ? := VaV° = 2 (р'р - 6'6 - р'р - рр' + тб + тб') на {0, 0; 0, 0}-скалярах D.12.45) и твисторного уравнения (гл. 6, § 1) VA'{A, шв> = 0 (где ©° = Формализм спиновых коэффициентов допускает дополнитель- ную симметрию, которая впервые была обнаружена Саксом [162, 163]. Рассмотрим операцию, обозначаемую символом (*) «звездочка»: 1лн->|Д ол'н->|/', И'к-* _ сИ', D.12.47) так что (о^)'==оА, AЛ)* = 1Д, (ол')* = 1л'. (И')* = -од/, D.12.48) (/«)• = ma, (ma)* = -ia. (ma)* = «a. («T = -/na. D.12.49) Эта операция не изменяет % и %• %' = %> (Х)' = Х D.12.50) и соответственно соотношения ортогональности для тетрады D.5.20). Очевидно, что операция (*) не коммутирует с комплекс- ным сопряжением. Однако в случае действительных р и q мы имеем П% D.12.51)
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И КРИВИЗНА 319 где г) — скаляр типа {р, q}. Если т\ — скаляр типа {г', г. Г, /}, то г|* — скаляр типа {г', г; t, f}. Из формул D.5.21), D.12.20), 4.11.6), D.11.7) и D.11.8) со- ответственно получаем х* = а, а* = — х, р* = т., т* = — р, х" = — а', <т'* = х', р" = -т\ т"=р/, *' = -*' а' = -й' р*==т' т* = р' х" = а DЛ252) о'* = х, р" = — т, т" = — р; _°.~ *4'_ ' Г".~ _3' 2 ~~ 2> D.12.54) Фоо* = Фаз. Ф0| * = — Фо1. Ф02" = Фоо. Ф21' = — Ф21, ф22' = ф20, П* = 11. D.12.55) Операция «звездочка» переводит уравнения в нашем списке D.12.32) друг в друга, то же происходит с уравнениями D.12.36) — D.12.41), а также с уравнениями для коммутаторов D.12.33) — D.12.35). Эту операцию совместно с операцией «штрих» можно использовать для упрощения процедуры полу- чения уравнений, а также для проверки уравнений, полученных другим способом. § 13. Метод Картана В конце § 5 мы сформулировали метод вычисления симво- лов Кристоффеля, спиновых коэффициентов и т. д. с помощью символов Инфельда — ван-дер-Вердена ЯаАА. а в § 11 и 12 по- казали, как спиновые коэффициенты можно использовать для вычисления кривизны. Однако формула D.5.43}, в которой спи- новые коэффициенты выражаются через ?аАА'. выглядит гро- моздко и сложна для практических расчетов. Иногда бывает полезен другой метод [123]. Он состоит в том, чтобы рассматри- вать уравнения для коммутаторов внутренних производных D.11.3) или D.11.11), считая, что операторы действуют на ком- поненты метрического тензора. Метод связывает спиновые коэф- фициенты с производными от компонент метрического тензора и удобен в том случае, если удается подобрать систему координат для базиса изотропных тетрад, расположенного подходящим •образом. Мы также изложим другой метод, связывающий спи- лорную технику с весьма эффективной картановой системой
320 ГЛАВА 4 исчисления дифференциальных форм и подвижного репера Кар- тана. Эти методы не только элегантны по форме, но и часто упрощают практические расчеты. Напомним, что в § 3 мы показали, что между исчислением дифференциальных форм и тензорным исчислением, использую- щим абстрактные индексы, существует связь, которая устанав- ливается с помощью правила отбрасывания индексов. В соот- ветствии с этим правилом абстрактные индексы и, /г, *з, •.. (именно в этом порядке при/1 = Л/ь h = /2/2 и т. д.) канониче- ски приписываются дифференциальным формам, а в стандарт- ных обозначениях Картана эти индексы следует опустить. Таким образом, комплексная р-форма ф на Л есть полностью анти- симметричный тензор (Очевидно, что ф = 0 при р ^ 5). Мы используем эти же обо- значения для тензорно-значных и вообще спинорно-значных р-форм [формула D.3.11)]. Далее под р-формой мы будем под- разумевать спинорно-значную р-форму, если нет дополнитель- ных уточнений. При записи компонент р-формы нижние индексы ii, ..., iP, по которым форма кососимметрична, должны выпи- сываться сразу за коренным символом, а остальные тензорные или спинорные индексы — справа от них. Например: Фа ... F>K-L' = *,,... V... р* -U^ «ft" Я,, л... р DЛ3.2) есть типичная р-форма. Мы часто будем собирать все индексы, кроме /, в коллективный индекс si или 31 и т. д.; тогда р-форма D.13.2) может быть записана в виде ф'л = Ф;1... {f. Стандартный символ внешнего произведения «угол» также используется для спинорно-значных форм. По определению ' DЛЗ-3> отсюда прямо следует, что для р-формы ф* и ф-формы в* выполняется соотношение ф* д в* „, (_ 1 )ря е* д фл D-!з,4) Внешнее ковариантное дифференцирование («d-дифференциро- вание») определяется равенством и дает (р + 1) -форму прн действии на р-форму. Отметим, что индекс оператора V, входящий в определение производной, спе- цифически связан с \\, ..., ip, в отличие от коллективного ин- декса. Отметим также, что в отличие от действия на обычные (скалярно-значные) р-формы D.3.14) эта операция, вообще го-
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И КРИВИЗНА 321 воря, зависит от связности; чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть случай р = 0. Если ФА есть р-форма, то в силу уравнения VII в формуле D.3.15) мы имеем д в*) =-(<ф*) Л 8* + (— 1)"*** Л d8^. D.13.6) Из формул D.3.19) и D.3.20) следует, что если введены локаль- ные координаты х°, ..., хъ, то различные (дуальные) базисные формы могут быть записаны в виде ei Л ^^ d*a Л d*b Л d* = g^gfgrf. D-13.7) dx° A d*1 Л d*2 Л Axa = gv!'gl,lgi,2gif. так что ^"¦^.•..^''Л ...'Adx4 D.13.8) где компоненты с индексами i отнесены к координатному базису. Вообще говоря, повторное d-дифференцирование не дает нуль (как в случае скалярнозначных форм); например, мы имеем для векторнозначной р-формы Vй -,Оь-ЛУ*=У»лаЛ D.13.9) где использованы формулы D.2.33) и D.2.37), а также принято обычное обозначение') для 2-формы кривизны ^a-=^RuiJ- D.13.10) Из D.13.10) и из того, что ъ-символы — константы, мы получаем (как в § 9) для р-формы \А, коэффициенты которой принимают значения в пространстве спин-векторов, =|fl A °*Л> Dлзл1) где Ядл есть 2-форма, определяемая равенством Q/ :=4-Qbc/C'' D.13.12) Очевидно, что мы имеем Qba = QB\B'A' + QW» D.13.13) Q/ = 0, т. е. Я*в = Цм. D.13.14) ') Для согласованности с остальными обозначениями мы располагаем верхний индекс в Явке" нестандартным образом. И Звк. 1142
322 ГЛАВА 4 Формулы D.13.9) и D.13.11) можно обычным образом обобщить на формы высшей спинорноЙ валентности, например: d V'BC = х\Е'вс А Яя'Л' - г\А'Ес A QBE - г\*Ве А О/. D.13,15) Напомним операторы дуального преобразования C.4.21), C.4.29), C.4.30) н определим для р-форм дуальные им формы /* @-форма): 0Хле = еМгь<,Х'л D-форма), ¦" A-форма): У*-= еьиь'Ъ* C-форма), Ф* B-форма): У* = хе<Л/*"* B-форма), D.13.16) в" C-форма): *^=-^-еи'к%к^ A-форма), V? D-форма): *V = ± elklm»lktm* @-форма). Отметим, что повторное действие оператора дуального преобра- зования на />-форму переводит ее в нее же с множителем (__1)р+1 [формулы C.4.24), C.4.31), D.6.11)]. Далее, в силу формул D.6.2) и D.6.34) имеем ®ЛВ + ?®АВ = Ъ'/XliliAB = 8 / / {Ф/,/2ЛВ + Л (в/,ле/2В + 8/,в8/ад)}, D.13.17) D.13.18) Следовательно, различные спинорные кривизны просто связаны с Пдв. Предположим, что выбран некоторый тензорный базис gb", необязательно совпадающий с координатным базисом, исполь- зовавшимся в D.13.7). Дуальный базис ga образует систему 1-форм; для них мы используем стандартные обозначения ва := ^,а. D.13.19) Тогда d-производная от этих форм имеет вид d8a = V[^wa = -iWfcW = -Гьсавь Л вс, D.13.20) где Гьс* — величины D.2.60). Величины 9 антикоммутируют в силу соотношения D.13.6), а потому уравнение dea + Г[Ьс"вь Двс = 0 D.13.21) может служить определением величин Г|ьсЛ Обозначения для l-форм связности ь ь = ГсаЬвс D.13.22)
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И КРИВИЗНА 323 обычны во всем, кроме расположения верхнего индекса (см. при- мечание на стр. 321). Поэтому можно переписать D.13.20) в виде d9a = 6b Л W. D.13.23) Из уравнения Vagbc = 0 получаем Va?bc = TabVec + Гас^Ье = 2Га (be). D-13.24) Следовательно, если предположить фиксированную нормировку для элементов тензорного базиса D.13.19), например gab=const, так что dgab = O, D.13.25) то мы получим ГаЬс=— Г**. D.13.26) [Данное условие отвечает выбору «подвижного репера» Кар- тана, или, что эквивалентно, условию, чтобы Г были коэффи- циентами вращения Риччи. Эти соотношения следует сравнить с D.4.36) и D.5.5).] Тогда можно найти Гаьс из D.13.21), так как из D.13.26) следует, что ГаЬс = Г[аЬ1 с - Tibc, а - Г[ас) ь. D.13.27) В практических- расчетах часто бывает проще не подстав- лять решения D.13.21) в D.13.27), а угадать или получить дру- гим способом набор величин Гаьс» удовлетворяющий условиям D.13.21) и D.13.26). Ниже мы проиллюстрируем этот расчет в формализме спиновых коэффициентов. Для вычисления кривиз- ны заметим, что ° ° = ГМ° = ©а", D.13.28) а также в силу формулы D.13.9) (при /> = 0) и D.13.6) = d (coaV) = ?b°d«>ab - ».ь Л dgba- D.13.29) Таким образом, компоненты 2-формы кривизны можно вычис- лить, пользуясь выражением Оас = d«ac - юаь Л <»ьс D.13.30) [которое можно прямо связать с выражением D.2.67); при этом нестандартный знак в формуле D.13.30) обусловлен нестандарт- ным расположением верхнего индекса в тензоре кривизны].
324 ГЛАВА 4 Связь со спиновыми коэффициентами Рассмотрим теперь связь исчисления Картана с методом спиновых коэффициентов. Тензорный базис gaa теперь следует рассматривать как возникающий из диады елА, которую мы бу- дем для простоты считать нормированной (% = 1). Таким об- разом, начиная с D.13.19) и далее, мы можем заменить каждый тетрадный индекс а, Ь и т. д. соответствующей парой диадных индексов АА', ВВ' и т. д. Для базисных 1-форм мы имеем вАА' = ^,АА', D.13.31) Введем обозначения 6°°'=п, в01' ш, 61О'=-/п, в"' = 1 D.13.32) (для согласования со стандартными обозначениями для изо- тропной тетрады). Систематическое использование диадных ин- дексов освобождает символы а, Ь, ..., которые можно использо- вать, например, в качестве координатных индексов. Тогда ра- венство D.13.31) можно переписать в виде (в координатном тензорном базисе) 6AA' = gaAA/d*a, D.13.33) откуда следует, что компоненты 1-форм 8 есть просто сим- волы Инфельда —ван дер Вердена [формула C.1.37)]. Теперь метрика ds2 = gab dx* dxb со «старыми» дифференциа- лами координат может быть переписана на основе формулы C.1.45) с использованием символов Инфельда — ван дер Вер- дена: ds2 = eAB8A'B'ff.AAVbBB'djca d*b = = 2 (8Г<1х*) (?b"'djcb) - 2 (g^'dx*) (gbivdxb), D.13.34) что с учетом равенств D.13.32) можно переписать в виде ds2 = 2 In - 2mm, D.13.35) где In означает Uji^ и т. д., a ds2 означает gw,. Для вычисления спиновых коэффициентов Yaa'b можно ис- пользовать (обязательно единственное) решение уравнения D.13.20) в записи с диадными индексами d9AA' + Гвв'ссАА'ввв' Л в00' = 0. D.13.36) Если тензорный базис получается из базиса диад и, следова- тельно, ?ьв ' = const, то из D.5.37) мы имеем ^' V А' + Ybb'c А'есА. D.13.37)
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И КРИВИЗНА 325 а из D.5.5) следует, что Ybb'ac = Ybb'ca- D.13.38) Таким образом, величины Гаьс обладают требуемой антисим- метрией D.13.26). Можно переписать D.13.36) и D.13.37) в виде1) д СС ( С С i - С С\ „ АА' ВВ' ,. лп пп\ ^ = lY' 8' + YA'' 6В ) g[i gb] • DЛ<5.д9) Совместно с D.13.38) это дает систему уравнений для коэффи- циентов у, решение которой следует угадать или последова- тельно вычислить с использованием D.13.27) или D.5.43). Если же мы напишем '. D.13.40) так что ©в,,,00' = ювсвВ'С' + ©в'С'евС D.13.41) ©вВ = 0, D.13.42) то D.13.36) можно переписать в виде deAA'=- (©вА л еВА'+оВ'А' л в4*'). D.13.43) Взяв компоненты этого уравнения, мы получим систему _ +1 Л n(—y' — y') + m Л m(р — р) — m Л пй — m Л пх}, dm= {1 Л ш(-е" - у - р') -1 Л та' + 1 Л п{? - т) + + m Л in (—a' — а) + m Л п(р + у' + §) + m Л п<т}, D.13.44) dn = - {I Л шх' + 1 Л тх' + 1 Л n(Y + y) + m Л m(p' - р') + + m Л п (-а - т' - р) + m Л п (—а + г' — р)}, которая позволяет найти (единственное) решение для спиновых коэффициентов. Отметим, что ввиду нормировки % = 1 спино- вые коэффициенты удовлетворяют дополнительным условиям Р'= —а, у' = —е [ср. формулы D.5.29)]. Отметим также, что первое и последнее уравнения преобразуются друг в друга при помощи операции «штрих», а среднее уравнение переходит в себя при совместном действии этой операции и комплексного сопряжения. ') Напоминаем, что числовую пару АА' нельзя приравнивать индексу а.
326 ГЛАВА 4 Итак, если задана метрика gabdx"dxh, то ее всегда можно представить в виде D.13.35), разумеется, разными путями, из которых одни более, а другие менее удобны; затем мы пред^ ставляем d\, dm, dn в виде линейных комбинаций 1 Л ш. 1 Л m и т. д. и, сравнивая полученные выражения с D.13.44), находим спиновые коэффициенты. Если спиновые коэффициенты извест- ны, то спиноры кривизны можно вычислить по формулам D.13.30), D.13.17) и D.13.18), хотя на этой стадии может ока- заться более экономным использование формул D.11.12) или D.12.32). § 14. Приложение к двумерным поверхностям Модифицированный формализм спиновых коэффициентов, введенный в § 12, особенно полезен при изучении двумерных пространственноподобных поверхностей. Одна из причин этого в том, что любой пространственноподобный элемент 89" 2-по- верхности однозначно выделяет два изотропных направления в каждой точке, а именно направления, ортогональные элементу 89', но длина изотропного вектора вдоль этих направлений оста- ется произвольной. Выбор ориентации элемента 89' (при задан- ной пространственной и временной ориентации многообразия J[) эквивалентен упорядочению изотропных направлении. Мы условимся выбирать направления флагштоков спиноров оА и И так, чтобы элемент 89" принадлежал локальной (Ха, Y") -пло- скости ь) с ее обычной ориентацией. Аналогичный выбор исполь- зовался в гл. 3 [формулы C.1.20) и C.1.21)]. Таким образом, пространственная проекция вектора /" (ось времени направлена вдоль /" + па) совпадает с положительным направлением нор- мали к элементу 89* в 3-пространстве (а именно с направлением вектора Z", т. е. /° — па). Пространственная проекция па совпа- дает с отрицательной нормалью к элементу Ь9> в 3-пространстве (а именно с направлением —Za, т. е. па — I") (рис. 4.1). Норми- ровка спинорного базиса не играет здесь никакой роли. «Кали- бровочное» преобразование о4*—>КоА, Иi—э-Ц1А» очевидно, остав- ляет ориентацию элемента 89" неизменной (хотя приводит к из- менению пространственной проекции). Однако операция «штрих» приводит к обращению ориентации элемента 89' [см. текст после формулы D.5.17)]. Модифицированный формализм спиновых коэффициентов применим и к изучению времениподобных 2-поверхностей. То, что любой времениподобный элемент 2-поверхности 89" выде- ляет два изотропных направления, есть даже более наглядный ') Для удобства в дальнейшем мы используем символы Xя, У*, Z*, Г* вместо символов х", у", г", F в формуле C.1.20).
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И КРИВИЗНА 827 Пространственная проекция веют- ¦"<?- рас па(отрицятелыюя нормаль к элементу дУ) Пространственная проекция вектора 1а (положительная нормаль к элементу Sif) Пространственноподф^ый в-оовелг, содержащий, элемент о? Рис 4.1. Геометрическое соотношение между спиновой системой отсчета и ориентированным элементом поверхности ЫУ. факт, чем в предыдущем случае: это те направления, вдоль которых элемент №* пересекает изотропный конус. Теперь век- торы I" и па образуют оазис для касательной плоскости к эле- менту 69"*, тогда как элемент Ь9" принадлежал ортогональному дополнению к этой плоскости, а соответствующий базис был образован векторами пга и та. Мы не станем детально рассма- тривать времениподобный случай, поскольку наиболее важные приложения связаны с пространственноподобными 2-поверхно- стями. Однако из наших формул легко получить соответствую- щие результаты для времениподобного случая, используя опера- цию «звездочка» Сакса [формулы D.12.47) — D.12.55)]. При этой операции пары Aа, па) и ±(/п", —/п°) меняются местами. Лишь некоторые глобальные результаты для пространственно- подобных 2-поверхностей (например, те, что мы получим при изучении сферических гармоник) не имеют аналогов для вре- мениподобных поверхностей. Например, такая поверхность не может иметь топологию двумерной сферы. Из существования фиксированной пары изотропных направлений в каждой точке следует, что любая ориентированная компактная времениподоб- ная 2-поверхность имеет топологию тора, а неориентируемая — топологию бутылки Клейна. Одно из преимуществ модифицированного метода спиновых коэффициентов по сравнению с обычным в том, что он приме- ним глобально к любой пространственноподобной 2-поверхности 9* независимо от ее топологии. Если бы мы работали в рамках обычного формализма, изложенного в § 11, то мы должны были бы выбрать в каждой точке поверхности 9" специальное каса- тельное направление, соответствующее условию Re(m°) = = 2-|/2Хв [которое в совокупности с б^ затем фиксировало бы
828 ГЛАВА 4 lm(ma) = —2~lf2Ya]. Если, в частности, 9" имеет топологию дву- мерной сферы, такой выбор нельзя осуществить непрерывно на всей поверхности, так как при этом возникают сингулярные точки, в которых наше описание неприменимо. (Разумеется, эта трудность присуща любому координатному описанию и методу подвижного репера, а не только методу спиновых коэффи- циентов.) В модифицированном формализме не требуется фиксировать векторы та и указанная трудность не возникает. Однако проб- лема не столь проста. Можно думать, что хотя модифицирован- ный формализм инвариантен относительно изменения фаз век- торов та, тем не менее определенный выбор должен быть сде- лан и, поскольку любой выбор приводит к появлению сингуляр- ностей, проблема остается. Однако эти соображения ошибочны. Можно рассмотреть покрытие поверхности 9* набором открытых множеств, в каждом из которых выбрано гладкое поле векторов та. Поскольку формализм инвариантен относительно преобразо- ваний, возникающих на пересечении этих множеств, он просто «не заметит» этих преобразований. Этой идее можно дать стро- гое математическое обоснование на языке теории расслоений (гл. 5, § 4), но здесь мы не станем заниматься подобным обосно- ванием. Конечно, если мы хотим иметь явное координатное пред- ставление векторов тй, то, действительно, определенный выбор должен быть сделан с учетом топологии поверхности 9". Однако такие явные описания не являются необходимой составной ча- стью «чистого» модифицированного формализма, поскольку они нарушают требования инвариантности1). В следующем пара- графе (в связи со сферическими гармониками) мы увидим при- меры того, как возможность явного локального описания согла- суется с глобальной применимостью общего формализма. Особенно важную роль при изучении пространственноподоб- ных 2-поверхностей играет коммутатор D.12.35) бб' - 6'д = (р' - р') р + (р -_р) р' + р (рр' - ore/ + ?2 - Ф„ - П) - ?,-Ф„—П), D.14.1) действующий на скалярную величину типа {г', г; f, t), где р = = г' — г, q = ? — t [см. текст после формулы D.12.9) ]. Формула D.14.1) применима в том случае, когда диада (<И, И) не сосре- доточена на поверхности Р7, а определена в некоторой ее окрест- ности. С учетом предыдущих замечаний можно также рассма- ') Согласно теории расолоений, явный выбор векторов т" соответствует выбору (локального) сечения, тогда как применимость формализма в целом соответствует существованию самого расслоения с заданным полем связно- стей.
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И КРИВИЗНА 329 тривать поле элементов 2-поверхности 6^, распределенных в окрестности поверхности 93. Отметим, однако, что в левую часть равенства D.14.1) входят лишь операторы б и б', действие ко- торых определено на самой поверхности 93. Поэтому формула D.14.1) относится лишь к внутренним свойствам поверхности 9", и, следовательно, результат не зависит от выбора поля диад (ол, И) или поля элементов 891 в окрестности поверхности 9>. Операторы же р и $', фигурирующие в правой части равенства D.14.1), определены в окрестности поверхности 9>, и результат их действия зависит от этого выбора. Действительно, поскольку р и J)' действуют вдоль независимых направления (которые слу- жат базисом для Ь9" только в начале координат), их коэффи- циенты р' — р' и р — р должны независимо обращаться в нуль. Таким образом, мы имеем Предложение Если изотропные векторы I" и п" ортогональны пространственноподобной 2-поверхности 9>, то обе величины pup' действительны на 9>. D.14.2) [В гл. 7, формулы G.1.48), G.1.58), G.1.60), мы заново вы- ведем этот результат и обсудим его геометрический смысл.] Применяя операцию «звездочка» к предыдущим формулам, мы получаем Предложение Если изотропные векторы 1а и па касательны к времениподобной 2-поверхности 91*, то т = т' на 9"*. D.14.3) Внутренние величины на 9? Чтобы объяснить смысл остальных слагаемых в правой части равенства D.14.1), мы сначала покажем, что при действии опе- раторов б и б' на величины, бустовый вес которых равен нулю, так что /> = -?, D.14.4) получаются две компоненты ковариантной производной на 9". Для простоты будем предполагать, что (ол, И) есть спинорный базис, т. е. что Х—1. D.14.5) Тогда тензор Sj = —mamb — mamb, D.14.6)
330 ГЛАВА 4 который удовлетворяет условиям SabSbc = S/ = S~ae = S%, D.14.7) Sa"mb=^ma, Sabmb = ma, D.14.8) а также условию Sa% = Sabnb = 0, D.14.9) действует как проекционный оператор на касательное простран- ство к поверхности S" в каждой ее точке, а тензор Sab играет роль отрицательно определенного метрического тензора поверх- ности 93. Если V — произвольный вектор в фиксированной точке поверхности 9", то V"Sab D.14.10) есть его проекция на 9", равная Vй в том и только в том случае, когда этот вектор касателен к поверхности 9". Тогда ковариант- ная производная вектора V" на 9> совпадает с проекцией вектора VbVa на 9", т. е. /V* a D.14.11) [в этом можно убедиться непосредственно, используя свойства ковариантной производной D.2.2) и D.2.3), равенство нулю кручения и условие D.3.46) в применении к касательным век- торам поверхности 9"]. Полагая, что V — величины типа {р, q) = {0, 0}, и замечая, что тогда из D.12.15) следуют равенства .6 = 6 и 6' = 3', по- лучаем, что компоненты величины D.14.11) по отношению к гпа и т" равны ma6Va, ma6Va, mad'Va, ma6'Va. D.14.12) Векторы пгь и шь в D.14.12) коммутируют с 3 и д', поскольку из D.12.28) следуют равенства дща = —апа — a'la, dtha == — рпа — р'/в D.14.13) а и комплексно-сопряженные равенства, тогда как D.14.14) ибо вектор V касателен к поверхности 9*. Следовательно, ком- поненты D.14.12) величины АьУ равны «Ч. аП> *Ч д'п. D.14.15) где tj и ц — величины типа ±{1, —1}, которые определяются равенствами 4 = Vama> 4 = Vatha. D.14.16) (В случае действительных Уа имеем ц = tj.)
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И КРИВИЗНА 331 Аналогично находятся компоненты производной Д* от любой тензорной величины типа {0, 0} на 9* т <i...f I а ...в > которая касательна к 9\ la...с —^а ••• ^с ^dt ••• «f» ¦* а»... с» • [fl-l1* .1/) Они имеют вид бть б\, .... бтц, д'щ, D.14.18) где Ло, ••-. Л*— различные компоненты тензора Та.../'"* по отношению к пга и /п". Отметим, что все величины tj0, ..., л* имеют тип {р, — />}, где р принимает все положительные и отри- цательные значения, по модулю не превышающие полной ва- лентности тензора Т..г, чем и доказывается утверждение D.14.4). (См. также [79].) Взяв величину tj из формулы D.14.16), так что р = —<7 = 1, и действуя на нее оператором D.14.1), получаем Fд' - б'б) т, = -(К + К) л. D.14.19) где /С = <т(г'-ЧГ2-РР/ + Фп + Л. D.14.20) (Поскольку теперь % = 1, имеем П = Л.) Из равенства D.14.19) следует Предложение К + К есть гауссова кривизна поверхности &. D.14.21) Действительно, («б - б'«) л = 6 (math%Va) - 6" (mam%Va) = = mambmc (ДА - ДА) Vй, D.14.22) а в силу формулы D.2.30) коммутатор в правой части дает кривизну 2-пространства: (ДА - ДА) Va = k {SMSca - ScdSba) Vd, D.14.23) где k — гауссова кривизна поверхности 9". Подставляя D.14.23) в D.14.22), получаем k = K+K, что и требовалось доказать. [Легко убедиться, что в случае единичной сферы К + R= 1, см. формулу D.15.14) ниже.] Мы видим, что действие операторов б и б' на величины ну- левого бустового веса (т. е. величины типа {р, —р}) на поверх- ности 9 выражается через величины, характеризующие внутрен- нюю геометрию поверхности 9". При этом индексы вообще не
332 ГЛАВА 4 появляются, а тензорный характер рассматриваемых величин определяется их спиновым весом s := -f(p-?) = />. D.14.24) В случае двумерных поверхностей это исчисление фактически есть аналог развитого нами 2-компонентного спинорного исчис- ления в пространстве-времени. Как указывается в приложении к т. 2, «редуцированные спиноры» в 2л-мерном пространстве имеют 2"-' компонент. Здесь п = 1 и, следовательно, мы имеем однокомлонентные объекты. Таким образом, «нештрихованный» 1-компонентный спинор на 9* есть скаляр типа {1/2, —1/2} (т. е. s = l/2), тогда как «штрихованный» однокомпонентный спинор на 9* есть скаляр типа {—1/2, 1/2} (т. е. s = —1/2). Тензоры высшей валентности (т. е. с большими спиновыми весами) по- лучаются как произведения таких базисных «спиноров». [В гл. 6 и гл. 9, § 3 и 4, в связи с теорией твисторов мы увидим, что представляет интерес также теория четырехкомпонентных «ре- дуцированных спиноров» в шестимерном пространстве (п — 3).] Голоморфные координаты Операторы б и б' естественно возникают в комплексном ана- лизе. Предположим, что | — локальная голоморфная координата на 9"; иначе говоря, 1 есть комплексная координата, определен- ная на открытом подмножестве 9" а 9* и такая, что в любой точке QeP7' поворот 1-формы А\ в касательном пространстве на прямой угол в положительном направлении дает —\d\. Можно сказать еще и так, что (рис. 4.2) линии Rei = const ортогональ- ны линиям Im g = const в каждой точке и направление увели- чения Im \ получается положительным поворотом направления, в котором возрастает Reg. Наиболее известна голоморфная ко- ордината % — х-\- \у на плоскости Арганда. Напомним также, что, согласно теории конформного отображения, любая голо- морфная функция такой координаты \ тоже является голоморф- ной координатой на этой плоскости. Если риманова сфера S+ ориентирована так, что нормаль к ней направлена наружу, то величина, комплексно-сопряженная к ? в формуле A.2.6), дает пример голоморфной координаты на S+, а % будет голоморфной координатой, если нормаль направлена внутрь (рис. 1.3). В слу- чае «небесной сферы» 5~, определенной в гл. 1, § 2, справедливо обратное соответствие. Определение голоморфной координаты | на 9" эквивалентно утверждению, что А\ отличается лишь комплексным множите- лем от дифференциальной формы /йг, (ограниченной на 9') в каждой точке подмножества 9", поскольку из C.1.21) получаем
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И КРИВИЗНА 333 Рис 4.2. Голоморфная координата ? на поверхности 9'. = Xa-\-\Ya, а поворот на прямой угол в положительном направлении дает Ya + i(— -Ха) = —\2и2та. Далее, d| на поверх- ности 9" имеет компоненты Аа?. Если они пропорциональны та, то выполняется условие таАа| = 0. Принимая, что комплексная координата ? имеет тип {0, 0}, и вводя термин «антиголоморф- ная координата» для величины, комплексно-сопряженной голо- морфной координате, мы имеем') Предложение 1 есть голоморфная {антиголоморфная) координата на поверхности & в том и только том случае, если б'| = 0 [б| = 0]. D.14.25) Отметим, что обращение ориентации поверхности 9" приво- дит к взаимной перестановке голоморфных и антиголоморфных координат. Отметим также, что из D.14.25) прямо следует Предложение Любая голоморфная функция голоморфной {анти- голоморфной) координаты на 9> есть также голо- морфная {антиголоморфная) координата на &. D.14.26) Имеется еще один способ ввести понятие голоморфной коор- динаты. Пусть \ и % — координаты на 91; тогда координата \ бу- дет голоморфной, если оператор б при действии на скаляры типа {0, 0} пропорционален оператору д/д\: д = Рд/д% (на скалярах типа {0, 0}), D.14.27) О Операторы б и б'при действии на скаляры типа f0, 0}—это частный случай операторов д и д из теории комплексных многообразий [199].
334 ГЛАВА 4 где Р— величина типа {1, —1}. Оператор_D.14.27) есть, конеч- но, просто б = Voi'. Обозначая через m и m 1-формы т^ и /п*,, соответственно, мы имеем (линейные отображения векторов) mF) = 0, S(8) = -l, dg(-|-) = l, dl(^-) = 0, D.14.28) откуда на 9" т = -Р~1Л1, m = -P-Id|. D.14.29) Напомним, что 50г> есть индуцированный метрический тензор на У. Для этой метрики можно пользоваться обычным «дифферен- циальным» обозначением ds2; тогда, понимая под стоящими ря- дом дифференциалами симметричные тензорные произведения форм, можно на основании формулы D.14.29) переписать D.14.6) в виде ds1 = -2mm = —^^L = -25Sd|d|, D.14.30) где 5 —скаляр, определяемый равенством [формула D.14.27)] S-I = P = 6g. D.14.31) Отметим, что S — величина типа {—1, 1}. Обе величины Р и S «голоморфны» в том смысле, что d'P = 0, d'S = O. D.14.32) Эти равенства следуют из D.14.31); действительно, поскольку коммутатор D.14.1) равен нулю. Имеем также d'S = д'Р~1 = —Р'Ч'Р = 0. Мы увидим в формуле D.15.116) ниже, что конкретные пред- ставления величин Р и S не обязательно «выглядят» голоморф- ными в обычном смысле слова. Можно использовать Р (или 5) для того, чтобы некоторый {s, —sj-скаляр tj превратить в {0, 0}-скаляр, а затем на основа- нии равенств D.14.32) и выражения, сопряженного выражению D.14.27), получить формулу для б'г\: б'т, = PPs-4- (р-*л). D.14.33) OS Выполнив аналогичную процедуру для fj, после комплексного сопряжения получим ^{P) D.14.34)
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И КРИВИЗНА 335 Вскоре мы увидим, что формулы D.14.33) и D.14.34) находят применение при выводе явных представлений1). Попутно отметим, что второе из равенств D.14.31) и выра- жение D.14.34) при подстановке в D.14.19) после простых вы- кладок дают следующее выражение для гауссовой кривизны поверхности 9": ^ D.14.35) dial Заметим, что в эту формулу входит только модуль величины Р. Это не удивительно, поскольку величина Р имеет ненулевой спиновый вес (и нулевой бустовый вес) и при масштабных пре- образованиях о ь—*• Хо , i '—»- Л.~ l изменяется лишь ее аргу- мент (но не модуль). В явных представлениях обычно удобно выбирать та так, чтобы величина Р была положительна. Запи- сывая 2Uima = Xa — \Ya, мы видим, что это выполняется при условиях Вектор X" направлен вдоль Im (|) = const, когда Re(|) возрастает. D.14.36) Вектор Y" направлен вдоль Re (?) = const, когда Im(|) возрастает. Это приводит к некоторым упрощениям в формулах D.14.33) — D.14.35), но выводит нас за рамки модифицированного метода спиновых коэффициентов, поскольку /и" теперь определяется выбором ?. Внешние величины До сих пор мы рассматривали только действительную часть величины К в выражении D.14.20). Мнимая часть К появится в формуле D.14.1) только при условии, что величина, на кото- рую действует этот коммутатор, имеет ненулевой бустовый вес, т. е. р ф —а. Такие величины не являются внутренними для поверхности 9". Исследовать этот случай можно, повторив пре- дыдущие рассуждения, когда оператор D.14.1) действует на ве- личины гц = Ув/а, ih = Vana, D.14.37) а не на величины D.14.16). Чтобы щ и г\2 не обращались в нуль одновременно, вектор Vй должен иметь составляющие, перпен- дикулярные поверхности 9*; можно положить, что V" лежит в плоскости, натянутой на векторы /° и л", так что он определяется ') См. также работу [133], где имеются отличия от различных принятых обозначений; ср. с текстом после формулы D,15.107).
336 ГЛАВА 4 величинами i)i (тип {1, 1}) и щ (тип {^1, —1}). Вместо D.14.11) мы можем рассмотреть величину So.Wj.V*. D.14.38) где Sa" = ga ~ Sa" = Ln" + па1ь D.14.39) есть проекционный оператор, ортогональный оператору Sab, т. е. оператор проектирования на направление, перпендикулярное по- верхности 9>. Теперь VaSab = Vb и (ненулевые) компоненты ве- личины D.14.38) относительно изотропной тетрады принимают вид бтц, бть д%, 6% D.14.4Э) вместо D.14.15). Получающаяся формула, аналогичная формуле D.14.22), отличается от нее заменой та на /0 или па, а также тем, что действие операторов Д определено как в D.14.38). Эта операция состоит в переносе векторов, перпендикулярных по- верхности 9", вдоль 9", тогда как ранее переносились векторы, касательные к 9*. Вместо сомножителя —(/С + Я), входившего в правую часть соотношения D.14.19), мы теперь имеем — (К — К) для Tii и +(/С — К) для Tj2. Таким образом, мнимая часть величины К есть внешняя Кривизна, связанная с переносом вдоль 9" векторов, перпенди- кулярных 9*. Напомним, что гауссову кривизну можно мыслить как меру поворота касательного пространства при его парал- лельном переносе вдоль малой петли на 9". Аналогично мы имеем лоренцев поворот ортогонального пространства при пе- реносе вдоль той же петли. Действительная часть величины 2К служит мерой первого поворота, а мнимая часть — второго. Бу- дем называть К комплексной кривизной поверхности 9". Попутно отметим, что кривизна К может быть представлена в виде суммы двух слагаемых аа' - Ч^2 и Ф„ + Л - рр', D.14.41) из которых первое имеет простые трансформационные свойства при масштабных преобразованиях [т. 2, формулы E.6.28) и F.8.4)], а второе действительно. Одним из следствий этого лю- бопытного факта является то, что внешняя (т. е. мнимая) часть кривизны по существу есть конформный инвариант (соответ- ствующие определения см. в гл. 5, § 6). Продолжая обсуждение свойств кривизны, мы напомним тео- рему Гаусса — Бонне, утверждающую, что в случае замкнутой поверхности 9" рода •) g поверхностный интеграл от гауссовой ') Напомним, что род замкнутой, ориентируемой 2-поверхности есть, грубо говоря, число ее «ручек». Таким образом, для сферы 52 мы имеем g = 0, для тора g = 1, а для обычного «кренделя» g = 3.
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И КРИВИЗНА 337 кривизны по 9" равен 4лA —g). Поэтому в нашем случае имеем g), D.14.42) где 91— элемент площади поверхности B-<?орма на 9"). Из на- шего обсуждения свойств величины К — л можно заключить, что § 0. D.14.43) Это следует из того, что бусты la>-*-rla, па>~>/~1«а, г > 0 обра- зуют топологически тривиальную 1-параметрическую группу. Интеграл / (у (К — К) 9* по ограниченной области в 9' есть мера полного поворота при обходе границы этой области. Если гра- ница стягивается в точку, полный буст равен нулю в противопо- ложность евклидову вращению, когда полный поворот может быть пропорционален 2я. Комбинируя D.14.42) и D.14.43), по- лучаем ф D.14.44) С учетом замечаний, сделанных после формулы D.14.41), можно показать, что величина &(ааг — у?2)9' действительна, D.14.45) являясь, кроме того (как показывается в гл. 5, § 6), конформно инвариантной величиной, ассоциированной с произвольной замк- нутой пространственноподобной 2-поверхностью, вложенной в пространство-время. Этот результат играет важную роль в опре- делении массы, введенном Бонди и Саксом (гл. 9, § 9). Связь с внешним исчислением Здесь мы покажем, как аппарат внешнего исчисления на 9" (§ 3) согласуется с нашим формализмом в теории 2-поверхно- стей. Пусть а = авс1д;а = а/1 D.14.46) будет 1-форма на Ж. Для нас существенно лишь ее ограничение на 93, т. е. мы будем рассматривать только две компоненты «к»' == аата, ацу = аат", D.14.47)
338 ГЛАВА 4 которые имеют тип {1, —1} и {—1, 1}, соответственно. Если а — действительная величина, то вся существенная информация со- держится в скаляре типа {1, —1} а := ooi' D.14.48) [не путать со спиновым коэффициентом а в формуле D.5.16)!], поскольку aw будет тогда комплексно-сопряженной величиной. Условие, чтобы величина о (действительная или комплексная) была внешней производной o = dv D.14.49) скалярной величины v типа {0, 0}, может быть записано в виде aOi' == 6v, аю- = 6'v D.14.50) или, если v и а — действительные величины, просто как a = dv. D.14.51) Теперь предположим, что р есть 2-форма Р = Kbdx" A d** = ры, * D.14.52) (paft = —Р(,а). Для нас существенно лишь ограничение ее на 9", т. е. единственная компонента (типа {0, 0}) -|-iP := Poi'io'=-p1o'oi' = Pobmam6. D.14.53) Отметим, что Р — действительная величина, если действительна величина р. В самом деле, в силу формулы C.1.20) мы имеем Р = 2раД°У\ " D.14.54) Условие, чтобы величина р была внешней производной P = da D.14.55) некоторой 1-формы о, таково: D.14.56) Чтобы получить ограничение этого соотношения на 9", мы проек- тируем его на та и та: ip = гропу = dctio' — d'aw, D.14.57) где использованы равенства D.14.13). Слагаемые, содержащие р и р', выпадают в силу предложения D.14.2). В случае действи- тельной величины а это принимает вид P = 2ImFa) D.14.58) Отметим, что если o = dv (v — величина типа {0, 0}), то можно подставить D.14.50) в D.14.57) и это дает p = da = 0, как и
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И КРИВИЗНА 339 должно быть [соотношение VIII в формуле D.13.15)], либо операторы б и о' перестановочны в силу соотношения D.14.1). Фундаментальную теорему D.3.25) внешнего исчисления можно использовать на 9" двояко. Во-первых: а, D.14.59) дГ где Г — компактная область на 9" с границей дТ\ во-вторых: я $dv = v(#)-v(Q), D.14.60) причем интеграл слева берется вдоль произвольной кривой у (в области определения переменной v), соединяющей точки Q и R. В последнем случае мы можем ввести голоморфные коор- динаты % в окрестности v и переписать интеграл в виде R R R Sdv = \ | d? -\ — d| |^ \ (Sdvd? -}- Sd'vdf). D.14.61) J v  31 / J Q Q Q где использованы соотношения D.14.27) и D.14.31). В частно- сти, если координата v голоморфна F'v = 0), выражение D.14.60) принимает вид R J Sdvdl = v(R)-v (Q). v D.14.62) Q Из D.14.61) мы заключаем, полагая Q = R, что (Sdvdg + Sd'vdl) = 0 D.14.63) v для замкнутого контура у и, в частности, <DSdvdS = O, если v голоморфна. D.14.64) v Двумерный интеграл в левой части равенства D.14.59) мо- жет быть переписан с использованием элемента площади по- верхности 9*. Для начала заметим, что 9> := (Хайха) A (Ybdxb) = -^(m + m)A-U D.14.65)
340 ГЛАВА 4 где m = mix = ntadxa, как прежде. Следовательно, если вели- чина р определена как в D.14.52) и D.14.53), мы имеем 2 1 п Д .У.П д ^^ • \ paft • m m m л m = i г г г D.14.66) где учтено, что в силу формулы D.14.6) При ограничении на 9*: dxa = Sbadxb = —tnam — тата. D.14.67) В то же время соотношение D.14.66) можно непосредственно получить на основании формулы D.14.54). Подставляя D.14.57) в D.14.59), получаем \ (i 6'ctoi' — i бою') 9" = § a = ф (aO!'Sd| + aiySdi), D.14.68) Г дГ дТ где I — голоморфная координата в некоторой окрестности об- ласти <ЭГ. Поскольку компоненты аш- и а1(у независимы, имеем D.14.69) аг для произвольного скаляра а типа {1, —1} на 9". В частности, из.D.14.69) (и комплексно-сопряженного выра- жения) следует, что если 9" — замкнутая поверхность, то >0 D.14.70) (а — скаляр типа {1, —1} и a — скаляр типа {—1, 1}), откуда получаем следующие полезные формулы интегрирования по ча- стям: D-14.71) где суммарный тип х и г\ равен {1, —1), ах и т\— {—1, 1}. Об изотропной гиперповерхности Пространственноподобные 2-поверхности играют важную роль в связи с фундаментальной теоремой внешнего исчисления в трех измерениях, а именно D.14.72) as где Р есть 2-форма, а 2 — компактная 3-поверхность с про- странственноподобной границей д2. В наиболее интересных при-
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И КРИВИЗНА 341 Рис. 4.3. Допустимый выбор поля спиновых систем отсчета на изотропной гиперповерхности Jf для формулы D.14.72). ложениях теоремы D.14.72) 2 есть часть изотропной гиперпо- верхности, т. е. 3-поверхности Jf, нормали. к которой есть изо- тропные векторы па. Мы исследуем такие гиперповерхности подробнее в т. 2 (гл. 7, § 1, 2; см. также т. 1, гл> 5, § 11 и 12). Здесь мы только отметим, что векторы, касательные к Jf, обра- зуют пространство, ортогональное вектору па, и, следовательно, сам вектор па принадлежит этому пространству. Более того, любой элемент 2-поверхности в Jf, ортогональный изотропному вектору па, должен быть обязательно пространственноподобным, если только он не содержит сам вектор па. В последнем случае он будет изотропным! Ситуация, которую мы рассматриваем, изображена на рис. 4.3, где dS состоит из двух замкнутых про- странственноподобных 2-поверхностей 9" и 9": дЪ = 9"-9>. D.14.73) Мы выбираем спиновую систему отсчета (о4, И) или, точнее, класс эквивалентности (ол, И) ~(Л,ол, k~h*) так, чтобы флаг- шток спинора И был направлен по нормали к Jf (и, следова- тельно, был касательным к Jf), что неявно подразумевалось при выборе буквы «п» для обозначения этой нормали. Также счи- таем, Что касательные пространства к 9' и 9" на д2 натянуты на векторы пга и та\ выбор та, та — плоскостей во внутренней части поверхности S — произволен, если не считать требования, чтобы они образовывали гладкое семейство (касательное к Jf), удовлетворяющее условию гладкого сшивания с заданным вы-
342 ГЛАВА 4 бором плоскостей на граничных поверхностях^ и 9". Для этого достаточно потребовать, чтобы плоскости были касательными к семейству пространственноподобных 2-поверхностей на JP, ко- торое гладко интерполирует между 91 и 9". Однако допустим более общий случай, когда внутренние элементы площади 65? локально не «интегрируются» в 2-поверхность (т. е. не образуют расслоение). Разумеется, мы могли также выбрать флагшток спинора о* (а не И) направленным по нормали (т. е. касательным) к JV. Наш выбор связан с обозначениями, используемыми далее (гл. 5, § 12; гл. 9, § 10). Применяя операцию «штрих» к форму- лам D.14.74) — D.14.94), выводимым ниже, мы получим фор- мулы, соответствующие такому выбору. Однако следует пом- нить, что это повлечет за собой изменение некоторых знаков, поскольку ориентации поверхностей 91 и 9" будут обращены [формула D.14.73I. Для наших целей важны коммутаторы, включающие б, б' и р', которые проводят к операторам, действующим в касательном направлении к JF. Таким образом, мы имеем соотношение D.14.1), а также соотношение [формула D.12.34I р'6 — &р' = p'd -f oV — тф' — й'р + Р Ы — р'т + Ф12) + + q (рй' - та' + %) D.14.74) и комплексно-сопряженное соотношение. Отметим, что отсюда не следует равенство р =* р (поскольку это есть условие того, что элементарные площадки 891 интегрируются в 2-поверхно- сти), хотя по-прежнему справедливо равенство р' = р', D.14.75) так как коэффициент при р в соотношении D.14.1) обращается в нуль. По тем же причинам D.14.74) дает и'==0; D.14.76) это означает (как мы увидим в гл. 7, § 1), что интегральные кривые поля па — геодезические. Эти интегральные кривые мы будем называть образующими поверхности JP. Существенные компоненты величины Р в формуле D.14.72) таковы: poni'f Pio'ir» -5- Р = Poi'io^ D.14.77) В то же время любая 3-форма A dxb A dxe = Y/.W, D.14.78)
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И КРИВИЗНА 343 (\аьс = \1аьс\)у ограниченная на Jf, имеет единственную сущест- венную компоненту -i-Y := voi'ioai'. D.14.79) Уравнение Y==dP, D.14.80) ограниченное на Jf, после простых преобразований принимает вид 3Yoi'io'u' = (б - г) р1(Кп' - (б' - т) poi'ii' + W - 2р') poi'io" D.14.81) Отметим также, что уравнение P = da, D.14.82) ограниченное на Jf, является обобщением равенства D.14.57) и содержит компоненту «и- 1-формы a 2poi'io' = бак/ — dW + (р — р) аП', гркки' = а'аог - ())' - р') а№ + (б' - г) аП/, D.14.83) 2ро1'п' = a'aic — (р' — р') аог + (б — т) аи' [как нетрудно убедиться, выражение D.14.81) дает нуль при подстановке в него выражений D.14.83), в соответствии с тож- деством d2 = 0]. Специализация фундаментальной теоремы внешнего исчис- ления для случая, представленного на рис. 4.3, получается под- становкой D.14.81) и D.14.83) в D.14.72). Но более простое и более удобное выражение получается отделением самодуальной и антисамодуальной частей величины Р [формула C.4.17)]: Р =: Pw^ + е/Д/,/, Piabj = 0, PVbi = 0, D.14.84) и введением следующих величин: На :=» 2ipABiB, Д* := -Щам"'. D.14.85) Переход к цА и Да* не приводит к потере существенной ин- формации, поскольку произвол в выборе рлв и рл'В' (при за- данных цл и Да') состоит в добавлении величин, пропорцио- нальных iAiB и lAiB', соответственно, что отвечает добавлению к р слагаемых, равных нулю на Jf. Фактически мы имеем pow =-jf (Цо + W)> Pio'ii' = 2"Jii, Ро1'П' = -2-Д|'» D.14.86) а потому выражение D.14.81) дает с учетом D.14.79) V = №' - 2p'j (Ни + До') - (б - т) Hi - (б' - т) Й,<. D.14.87)
344 ГЛАВА 4 В приложениях формулы D.14.72) нам понадобится интер- претировать интегралы по 3-поверхности с использованием вве- денных величин. Для этого рассмотрим гладкую параметриза- цию каждой образующей поверхности Jf с помощью параметра «, согласованного с выбором па так, что выполняется соотнот шение D.14.88) В конкретных представлениях изотропной тетрады можно поло- жить 0 = 1, но здесь мы примем, что U есть скаляр типа {—1, —1}. Из D.14.88) следует, что d«(==V/,«) отличается от U\ слагаемыми, пропорциональными шит. Поэтому для изо- тропного элемента «объема» поверхности Jf мы получаем 3-фор- му типа {1, 1}: J:imAmAl = i/"^Ada. D.14.89) Из D.14.79) следует, что $ D.14.90) Z Если мы теперь подставим D.14.80) и D.14.66) в D.14.90), 44.14.72) и D.14.73), то получим §^, D.14.91) sr & где 7~"та же величина, что и в D.14.87) (величина типа {—1,-1}), а величины ц выбраны как в D.14.86). Можно раз- делить это выражение на два — одно для ц*, а другое для Дл'; если р — действительная величина, то они будут комплексно со- пряжены. Записывая ц-уравнение, мы получаем с использова- нием {0,0}-скаляра цо и {—2,0}-скаляра щ §§ D.14.92) и соответствующее комплексно-сопряженное соотношение для Да'. Отметим, что если, в частности, D.14.93) то мы имеем «закон сохранения» ф D.14.94) Эти соотношения будут весьма важны для нас далее (гл. 5, § 12; гл. 9, § 9).
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И КРИВИЗНА 345 § 15. Сферические гармоники со спиновым весом В качестве важного приложения изложенной теории 2-по- верхностей рассмотрим случай, когда поверхность 9> есть обыч- ная 2-сфера в пространстве Минковского М. Покажем, как на основе полученных результатов строится теория сферических гармоник со спиновым весом. В дальнейшем будем полагать, что (оЛ, И) — нормированный спинорный базис [формула D.14.5)]. Пусть точка ОеМ будет центром сферы Ф, а Та — направленный в будущее времениподобный единичный вектор (постоянный в М), который ортогонален гфостранственноподоб- ной 3-плоскости, содержащей 2-сферу 9*. Пусть Q — точка об- щего положения в 91, а х"— компоненты вектора OQ, направ- ленного в эту точку. Представим 91 как пересечение светового конуса будущего & (вершина L) со световым конусом прош- лого Jf (вершина N), рис. 4.4. Поскольку элемент 8^bQ орто- гонален образующим световых конусов 3? и Jf, наш спинорный базис определяется выражениями (LQ)a = i>/a, (ф)а = ипа, D.15.1) где v — величина типа {—1, —1}, а и — величина типа {1, 1}. Считая радиус сферы равным R, получаем из равенства соотношения ха = RTa — ип" = -RTa -f vl" = = RTAA' - ift V = -ЯГДА' + coV, DЛ5>2) так как времениподобные расстояния LO и ON оба должны быть равны радиусу R. Из равенства D.15.2) имеем unavla = (RTa - ха) (RTa + xa) = R2 + R2, откуда ии = 2#2. D.15.3) Поскольку х"Та = 0, свертка равенства D.15.2) с Та дает * D.15.4) D.15.5) D.15.6) а свертка его с Следовательно* и = ¦ ОА1А' Таа*А> дает Т оА iA' АА и т ~ R 1 0. АА'
346 Рис. 4.4. Обычная сфера & в пространстве Минковского может быть представ- лена в виде пересечения двух световых конусов & и /С, [Геометрия для фор- мулы D.15.2).] и аналогично D.15.7) Использование ол как «координат» на & Рассмотрим теперь величину типа {0, 0} на &, обозначен- ную через )q (где Q — «собирательный» индекс). Можно при- нять новую точку зрения и считать fa функцией1) комплексно- сопряженных спиноров о и о (рассматриваемых как вспомо- гательные «координаты» на Р7). Используя цепное правило, по- лучаем из формул D.15.2), D.15.4), D.15.7) и B.5.54) для операторов, действующих на fc» выражение д дхЬ д д (ooV) „ до* доА дхь доА В) WBO' D.15.8) ') Это согласуется с общепринятыми обозначениями: /(?)—голоморфная функция комплексной переменной ?, a f (?• |) —общая функция перемен- ной g, т.е. функция от Re(?) и Im(|).
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И КРИВИЗНА 347 [Смысл частных производных по абстрактным индексам здесь очевиден (см. с. 188): при необходимости всегда можно отнести компоненты к постоянной спиновой системе отсчета (б , t ) — такая система отсчета будет рассмотрена в конце данного па- раграфа— и вернуться к обозначениям с абстрактными индек- сами.] Если же fc есть величина типа {р, q}, где р и q— неположительные целые числа, то fqo ... о о .., о -р -ч есть величина типа {0, 0} и к ней применима формула D.15.8). Записывая Vio' в D.15.8) как б' и используя D.12.28), получаем D ОН' К' d/g (D Р О) № Kt О ... О О ... О j — РО . . . О 8д О ... О /j = J ... oW ... о + vdqoD ... о°о(й' ... oV Подставляя 8д° = oai° — uoe [формула B.5.54I в это соотно- шение, находим из него р = —о, о = 0. D.15.9) Следовательно, при действии на /с этот оператор сводится к виду ^ -piA. D.15.10) Требуя, чтобы для 6' выполнялось правило Лейбница, легко получаем, что соотношение D.15.10) применимо к любой вели- чине типа {р, q) на 9", где р, q — произвольные целые или даже дробные числа. (В отсутствие специальных оговорок будем счи- тать р и q целыми или полуцелыми.) Выражение, комплексно- сопряженное с выражением D.15.10), имеет вид -Лг —оо^ -pi*. D.15.11) до Любая величина типа {р, а) на 9" может быть представлена либо как функция спиноров о , о , либо как функция спиноров iA, iA, причем связь между двумя представлениями получается из D.15.6), D.15.7) яг D.15.4). Повторяя предыдущие рассуж- дения с заменой о , о на i , i .получаем p' = u-», а^О, D.15.12) -2-Х- — шА6 — роА, -^г = Ша'6 — qoA. D.16.13)
348 ГЛАВА 4 Мы можем убедиться в справедливости этих соотношений с помощью D.14.20) и D.14.21). Замечая, что слагаемые 4*2,'Фц, Л, входящие в кривизну 4-пространства, равны нулю, получаем /C = -pp' = «-1ti-1 = 4-^~2 D.15.14) [с учетом формулы D.15.3)]; следовательно, гауссова кривизна К + R поверхности Ф равна R~2, как это и должно быть в слу- чае обычной сферы радиусом R. Каждое из соотношений D.15.10), D.15.11) и D.15.13) мо- жет быть записано в компонентах, что дает л 1 ,А' д 1 ~А а 1 та О = —— I . А, = — О ——т = -7Г I Од a доА' д доА 1 та R 1 1 | ~ R v a diA' ' a А' л1 > D.15.15) a lA д\.А' ' D.16.16) D.15.17) " 00*. ~ « dlA ~ R ., _J_ А д 1_ А' _д_ V ~до~А~ U д1Л л д __ __ _ а : д А' д _ В частности, отметим, что операторы, входящие в D.15.17), есть эйлеровы однородные операторы. Таким образом, имеем: Если fg — величина типа {р, q}, то она будет одно- родной функцией переменных оА, оА> соответственно степени р и q, а также однородной функцией пере- D.15.18) родной функцией переменных оА, оА соответственно р и q, менных t и i соответственно степени —р и —q Конформные движения поверхности & Существует замечательный способ реинтерпретации величин типа {р, q), рассматриваемых как функции на 9". Поскольку спинор оА можно представить как (отмеченный) изотропный флаг в точке L, то \q эффективно является функцией этого изо- тропного флага. Флагшток (а , именно вектор /") определяет точку на конусе &. Если мыслить \q как функцию спиноров о, о > то достаточно рассматривать только конус 3? и пол- иостью игнорировать Jf, Вместо обычной сферы мы имеем абстрактную сферу, рассматриваемую как пространство обра- зующих конуса &. Напомним, что такой подход к сфере Римана был принят в гл. 1, § 2. Он целесообразен и при изучении кон- формных преобразований поверхности. 5?. Если в Ж рассматри- ваются активные преобразования Лоренца, оставляющие точку
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И КРИВИЗНА 349 Jr(e с-описании) Рис. 4.5. Конформное преобразование метрики на У возникает в результате переноса 9 вдоль образующих конуса S (или JV) к сеченню Р. L неподвижной, то на сфере индуцируются конформные преоб- разования. Если преобразование Лоренца сводится к вращению, то вершина N конуса JC остается неподвижной; но в общем слу- чае это не так. Конус & (но не Jf) отображается на себя, по- этому 9* как пространство образующих конуса & тоже отобра- жается на себя. Следовательно, преобразования Лоренца, остав- ляющие вершину L неподвижной, индуцируют конформные ото- бражения поверхности 93 на себя. В соответствии с этой точкой зрения величина w=-^-(p-\-q) D.15.19) есть конформный вес функции f (для простоты мы предпола- гаем, что f — взвешенный скаляр). Напомним, что в гл. 1, § 4, рис. 1.11, с. 59) мы ввели различные метрики на абстрактной конформной сфере, каждая из которых соответствует заданной конформной структуре и получается выбором различных сече- ний & конуса & (рис. 4.5). Если Р7 лежит в пространственнопо- добной гиперплоскости, то возникает стандартная метрика на сфере, а в остальных случаях мы имеем более общую метрику. Рассмотрим определенную образующую конуса 9? и предполо- жим, что сечение 91 пересекает ее в точке, положение которой определяется вектором Q", исходящим из вершины L. Сдвинем Р7 так, чтобы этот вектор принял вид kQa (k > 0). Индуциро- ванный метрический тензор в таком сечении подвергнется мас- штабному преобразованию с множителем k2 на этой образую-
350 ГЛАВА 4 щей, т. е. линейный размер возрастет пропорционально k. Спи- нор ол приобретет множитель &1/2, так что если функция f (о , о ) имеет показатели однородности р и q, то она приобре- тает множитель ЛA/2) 1р+<7). Это оправдывает терминологию, при- нятую для D.15.19) (ср. гл. 5, § 6). Отметим, что конформный вес w и спиновый вес s = (l/2)(p — q) [см. текст после фор- мулы D.12.10)] совместно определяют тип {р, </} (и наоборот): p^w + s, q = w — s; s = ~(p — q), w = -$-(p + q). D.15.20) В то же время если рассматривать f как функцию спиноров i > i . то У имеет смысл пространства образующих конуса JC и конформные движения на 9> индуцируются преобразованиями Лоренца, оставляющими неподвижной точку N (при этом Jf переходит в себя). Проводя рассуждения, аналогичные преды- дущим, мы получим, что конформный вес функции f равен w' = --^-(p + q). D.15.21) Следовательно, мы имеем р==— w' + s, q = —w' — s. D.15.22) Чтобы понять, как это согласуется с D.15.19) и D.15.20), заметим, что метрика на абстрактной конформной сфере теперь дается сечением & конуса JF, а соответствие между образую- щими конусов & и Л3, которое возникает при перемещении точки Q вдоль 91, содержит антиподальное отображение. (См. рис. 4.5; образующим конуса 9? можно сопоставить образую- щие конуса JC с помощью трансляции на М переводящей L в N.) Таким образом, преобразования Лоренца, действующие на М (из соображении симметрии выберем их так, чтобы точка О оставалась неподвижной), индуцируют различные отображе- ния на абстрактной сфере в зависимости от того, рассматри- вается ли она как пространство образующих конуса Jf или ко- нуса &. Различие возникает из-за того, что эти два представ- ления связаны антиподальным отображением. (Хотя конусы 9? и JF изменяются при таком отображении, абстрактные простран- ства направлений и образующих отображаются каждое на себя.) Отметим, что понятие конформного веса существенно отли- чается от обсуждавшихся здесь весов р и q; подробнее об этом говорится в гл. 5, § 6. Однако в данном параграфе мы будем использовать величины saw как характеристику, альтернатив- ную понятию типа, и говорить о величине типа {р, q) как о величине типа [s, w]. При этом подразумевается, что в качестве
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И КРИВИЗНА 351 переменных выбраны спиноры о, так что {р> Я) — [-J- (Р — Ч\ -$-(Р + Я)] = [*. ш] = {ш + s, w — s}. D.15.23) Вернемся к соотношениям D.15.15) и D.15.16) для б и б'. Отметим, что последняя строчка каждого из этих соотношений содержит только о . о [только i , i ]. Используя эти выраже- ния, мы можем оставаться в рамках описания на основе спино- ров о , о [или i , i J и считать операторы определенными в пространстве образующих конуса 9? [или Jf\. Операторы б и б', вообще говоря, не являются конформио-иивариантными на 9*, поскольку явно содержат вектор Та. Однако оказывается, что для каждого данного спинового веса s существует конформный вес до, определяющий степень оператора 6 или б' так, что эти степени оказываются конформ- ными инвариантами [52, 133]. Мы используем описание на основе спиноров о , оА и предполагаем, что f имеет тип {р, q}, где р ^ 0. Тогда f D1524) до есть величина типа {0, q), а потому действие на иее эйлерова однородного оператора о'чЗ/до'1 дает нуль [формула D.15.17)]: ол Г Ё 1 доА дов Поскольку выражение {...} симметрично по АВ ... D, из C.5.27) следует, что ^^ D-15>25) р+1 для некоторого скаляра g и, очевидно, g есть величина типа {—р — 2, q}. Выполняя повторно свертку последнего равенства с R~xTa0x (и замечая, что эта величина коммутирует с д/доЕ), мы получаем с учетом формул D.15.16) и D.15.17) 6'p+1f = ir"-1?. D.15.26) Первоначально эта формула [или D.15.30)] появилась без v [133]; введение этого множителя дает возможность непосред- ственно использовать модифицированный формализм. (Если нормировать оА так, что v = 1, то 9" = ?'.) Здесь имеет смысл привести ряд различных элементарных соотношений между величинами, определенными выше. Они пря-
352 ГЛАВА 4 мо следуют из формул D.12.28), D.15.9), D.15.4), D.15.6) и D.15.7): и-ЧИ, бИ' = 0, D.15.27) 0, д'И' = и-1оА' д« = 0, бо = 0, би = 0, д'» = 0; D.15.28) еще одно соотношение следует из формулы D.14.1): («' - d'd) f =. - sR~2f, D.15.29) где f — произвольный {р, ?}-скаляр и s = (l/2)(p— q). В силу четвертого из равенств D.15.28) мы можем перепи- сать D.15.26) в виде g = (vd')p+1f' D.15.30) Отметим, что в D.15.25) не входят величины ИИ' и Г". Следо- вательно, соотношение между f (тип {р, q)) и g (тип {—р—q—2, q}) в виде D.15.30) лоренц-инвариантно. Частным случаем ра- венства D.15.26) является лоренц-инвариантное уравнение d'p+1f = O и аналогично бв+1/ = 0 [ср. с формулой D.15.32) ниже]. Поскольку ограниченные лоренцевы преобразования, остав- ляющие неподвижной точку L, могут быть отождествлены с кон- формными движениями поверхности 91, сохраняющими ориента- цию, это свойство инвариантности можно интерпретировать как конформную инвариантность операции, введенной в D.15.30). Но это не та общая локальная конформная инвариантность, которую мы будем подробно рассматривать в гл. 5, § 6. Если допустить произвольные масштабные преобразования метрики, отвечающие здесь переходу от & к произвольному сечению 91 конуса &, то индуцированная метрика такого сечения не обя- зательно совпадает с внутренней метрикой сферы. При этом соотношение D.15.30), вообще говоря, не выполняется (если не считать случая р = 0), поскольку оператор б' определен на основе внутренних величин на 91 (т. е. определен по отношению к вектору па, локально ортогональному к 9>). Формула DЛ5.30) остается справедливой для специального случая, когда 9* есть метрическая сфера. Эта ситуация реализуется, если 9" есть пе- ресечение S с пространственноподобной гиперплоскостью (см. рис; 1.11). В этом случае путем преобразований Лоренца можно повернуть нормаль к гиперплоскости в направлении вектора Та, а затем свойство инвариантности доказывается так же, как это сделано выше.
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И КРИВИЗНА 353 Предположим теперь, что q^O (р произвольно). Рассуж- дая так же, как и ранее, в комплексно-сопряженном случае, можно показать, что существует {р, —q—2}-скаляр А, удовле- творяющий соотношениям — -^rf = oA- ... oE'h, D.15.31) до D.15.32) Если р^О и q^O, то можно применить формулу D.15.30) к А, что дает у = (od')P+1 Л D.15.33) для некоторого скаляра / типа {—р — 2, —q — 2}. Точно так же можно применить формулу D.15.32) к g и получить для того же скаляра / выражение j = (v6)q+lg. D.15.34) Этот результат немедленно следует из формул D.15.25) и D.15.31), если учесть коммутативность операторов д/доА и д/доА\ Таким образом, получаем 6<7+'6'p+i = d'p+V+1f. D.15.35> [Этот же результат можно получить прямо из соотношения D.15.29), но вычисления при этом оказываются более громозд- кими.1 В действительности, поскольку умножение на подходя- щую степень величины v переводит тип /из {р + k, q + k\ в {р, q}, в соотношении D.15.35) существенно только значение разности р — q. Поэтому можно получить гораздо более общее соотношение [133] dad'*/ = d'*d7 D.15.36) для любых а и ft, таких, что Ь — а = 2s, где s — спиновый вес функции /. Можно повторить рассуждения, приводящие к D.15.26) и т. д., используя описание с помощью величины iA. И'. Если F — величина типа {р, q), то при р ^ 0 находим D.15.37) G = (ив)-р+| F, D.15.38) 12 3ак. 1142
354 • ¦ . • глава 4 где G —величина типа {—р — 2, q). Точно так же, если q *?~ О, находим • —37- •. • ' Р/ F = \,а' ••• i?' H, D.15.39) -Ч + 1 <! л ¦H = (ud')-"+lF; ¦ ¦ D.15.40) где U — величина типа {р,—q — 2}. Легко показать, что эти результаты в точности совпадают с полученными ранее. Для этого достаточно выразить р и q через спиновый вес s и кон- формный вес w, пользуясь формулами D.15.20). Мы видим, что в формулу D.15.32) входит оператор Qw-s+\ действующий на ве- личину>:со спиновым весом s и конформным весом w ^ — s, а из D;15.22) мы находим, что в формулу D.15.38) входит оператор bw~s+ , действующий на величину со спиновым весом s и кон- формным весом w'~^—~s. Появление и в D.15.38) вместо v в D.15.32) связано с различным действием масштабных преобра- зований, индуцированных -преобразованиями Лоренца в этих двух случаях, как это отмечалось выше, а также тем, что w за- меняется на-о>'. Соответствие между D.15.30) и D.15.40) уста- навливается вполне аналогично. • ¦ • Особый интерес для нас будут представлять однородные по- линомы (мы снова возвращаемся к описанию на основе спино- ров ол,..оА') f = f а...ое-...н-оА ...о°ое ...о*', D.15.41) где f- есть константа, которую без ограничения общности можно считать симметричной. Иногда мы будем использовать в М обозначение $л для подсистемы элементов ©*« [векторное про- странство над C=S=SR; см. замечания после формулы D.1.2)}; которые постоянны на всем пространстве М. Принимая также скобочные обозначения, введенные в формуле C.3.14), можно записать условие на /••• в виде • . .В) (?'...«')• D.15.42) Очевидно, что f имеет тип {р, q), т. е. [s, оу] ^[A/2) (р — q), П/2):(р + Я)]- При ограниченных преобразованиях Лоренца, оставляющих неподвижной точку L (т. е. таких, какие и должны быть при конформных движениях поверхности 9"), эти полиномы преобразуются по (р+ l)i(? -\- 1)-мерному комплексному пред-
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И КРИВИЗНА 355 ставлению. Такие представления реализуются в пространстве симметричных «неприводимых» спиноров (гл. 3, § 5)., играющих теперь новую роль1). Вращения поверхности 9" Рассмотрим теперь специальный тип преобразований — вра- щения, оставляющие точки L, N и направление Та неподвиж- ными. Пусть f имеет вид D.15.41); мы находим, что (р+ 1)(^+ 1)-мерное пространство распадается на прямую сумму пространств, каждое из которых переходит в себя при вращейиях. Размерности этих пространств таковы: \p-q\+L lp-71 + 3, |p-fl| + 5, ... .... P + q-L P + q+\. D.15.43) Это можно показать следующим образом. Выразим ол' через И, пользуясь выражением, комплексно-сопряженным выраже- нию D.15.6), ±$A D.15.44) и подставим это в D.15.21). Поскольку Та [а значит, и и; фор- мула D.15.4)] есть инвариант вращений, это — инвариантная процедура. Удерживая явную зависимость от и, чтобы сохранить инвариантность относительно масштабных преобразований спи- новой системы отсчета, мы получаем выражение вида / = WtA...de...ноА ... oDvE ...Iя, D.15.45) где <ff ...DE... ff^Sw ... D){E ...Н)- D.15.46) Величина /д...я не полностью симметрична. Следуя процедуре гл. 3, § 3, ее можно разложить на вполне симметричные части с различным числом индексов: t(A... DE ... Я), U(B ... D Р... Н)г tAB(C...D Q...H) D.15.47) и т. д. до тех пор, пока одна из первоначальных групп индексов не будет исчерпана. Мы получаем симметричные нештрихован- 1) Фактически общая теория представлений группы Лоренца может быть сформулирована с использованием скалярных функций / типа {р, q} = = [s, да], где 2s = р — q есть целое число, ада — произвольное комплексное. Конечномерные неприводимые представления возникают, если / — полином1 вида D.15.41). Унитарные представления (обязательно бесконечномерные) возникают, если w + 1 есть чисто мнимая величина или если s = 0 » —2 ^ w < 0 [26, 120]. (См. также примечание на стр. 362). 12»
356 ГЛАВА 4 ные спиноры, имеющие р + q, р + q — 2, p + q— 4,..., \р— ^1 индексов и, соответственно, р + Я + 1, P + q — 1, P+q — 3, ... ..., \р — ^1+1 независимых компонент. Вводя для различных вполне симметричных спиноров в D.15.47) обозначения о i 2 (A...DB...H, 1в ...DP ...H, tc...DG...H И Т. Д., соответственно, находим, что спинор /л...оЕ"<н (для удобства вторая группа индексов записана вверху) может быть пред- ставлен в виде линейной комбинации величин L...D1-". е<А... I»'"""\ Л4...1))'"В'ит.Д. D.15.48) Подставляя это в D.15.45), мы получаем f в виде линейной комбинации слагаемых °f = u4L...DB...HOA ...oDiE ...i", f = u4tB...DF...HOB ... oDip ... Iя, D.15.49) 2 2 f = Uqtc...DC...HOC ... ОД1° ... lH И Т. Д. Слагаемые, содержащие е, равны нулю, поскольку ъаеоа\.в = 1, Фактически оказывается, что f = t-L Pq f 4- P(P-1) <?(<?-!) 1, ' ' "•" (P + Я) ' ^ 2 (p + ? - 1) (p + ? - 2) ' 1" '' * flp-gl+1) ••¦ "Г A +max(p, q)) min(p, <ji r {p + q-2r+l)\p\q\f (p - r)l (q - r)lr\(p + q - г + 1I /p\/q\т mln(p, <j) I II If = g KrArJ1 r=0 При желании коэффициенты f в формуле D.15.49) можно переписать в первоначальном виде D.15.41) (т. е. используя спиноры од, оА' на основании формулы D.15.7). Они образуют части функции f, неприводимые относительно вращений, как это указывалось ранее. Онн также служат базисом инвариантных подпространств функций со спиновым весом на 9", имеющих, соответственно, размерности p + q+l, p + q—1, p + q — 3, ... ¦ •-. \Р — ?1+1. как утверждалось в формуле D.15.43).
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И КРИВИЗНА 357 Чтобы определить, к какому из подпространств принадле- жит заданная функция этого вида, скажем h = uqhA...DB...HoA ... (АЕ ... Iй, D.15.51) нам требуется установить свойство, определяющее возможные представления функции D.15.51), в которых величина Лл...я вполне симметрична: Iia...de... яе=3(л...я). D.15.52) Пусть число индексов величины На...н равно 2/, где / — целое или полуцелое, так что мы имеем в выражении D.15.51) j + s индексов А ... D и / — s индексов Е ... Н. Отметим, что / — целое в том и только том случае, если s — целое, и что Теперь рассмотрим действие оператора В на D.15.51). Из D.15.27) и D.15.28) получаем 6h = -{j — s)W-lhA...DEF...ноА ... oDo?iF ... Iя. D.15.53) /+«+1 l-s-l Действуя оператором В на это выражение, с учетом формул D.15.27), D.15.28) и D.15.3) находим 6'6h = - (/ + s + 1) (/ - s) y R~2h. D.15.54) Таким образом, h — собственная функция оператора б'б, отве- чающая собственному значению -(j + s+l)(j-s)±-R-2 = [S(s+l)-](j+l)]±R-2. D.15.55) Из соотношения D.15.29) следует, что h является также соб- ственной функцией оператора 65': 66'h = - (/ - s + I) (/ + s)±R-% D.15.56) отвечающей собственному значению -(j-s+ l)(j + s)±-R-2 = [s(s-l)-j(j + \)]jR~\ D.15.57) Эти собственные значения позволяют определить и s и /, по- скольку s непосредственно вычисляется из коммутатора D.15.29), а /(/+1) определяется из D.15.55), что позволяет найти /, ибо / ^ 0. При каждом заданном значении спинового веса s мы называем собственные функции D.15.49) оператора 6'д спиновыми сферическими гармониками*). Мы рассматри- ') В литературе [79, 124] этот термин обычно используют для функций, получающихся после дальнейшей редукции по отношению к специально вы- бранному базису в V [ср- с формулой D.15.93)].
858 ГЛАВА 4 вали только полиномиальные выражения вида D.15.41). Можно показать, что любая (непрерывная) спиновая функция на 9> может быть представлена в виде (бесконечной) суммы таких полиномов, так что спиновые сферические гармоники, опреде- ленные здесь, образуют в действительности полную систему. (Случай s = 0 рассмотрен в работе [36]; полнота при s=?b может быть доказана из условия полноты при s = 0.) Уравнения, линейные по д Из выражения D.15.53) мы видим, что если h — произволь- ная спиновая сферическая гармоника, у которой / = s, то 6Л = = 0. Справедливо также обратное: Предложение Если f — произвольная гладкая {р, а}-функция на 9>, то б/ = 0 [или d'f = 0] на всей поверхности 9" в том и только том случае, когда f — спиновая сферическая гармоника с j = s [или j = — s] > = A/2)(р-<7)). D.15.58) Доказательство. Если считать полноту полиномиальных гармо- ник установленной, то доказательство следует прямо из D.15.54). Мы приведем другое доказательство, использующее результаты из комплексного анализа, и покажем, что решения уравнения б/ = 0 должны быть полиномами указанного вида. Рассмотрим функцию /о = u~qf, для которой q = 0. В силу соотношений D.15.17) мы имеем оА> df0/doA' = 0. Предположим, что б/ = 0. Тогда в силу равенств D,15.15) мы имеем также И' д@/доА' = 0, а значит, dfo/doA' = 0. Следовательно, /о есть голоморфная функ- ция переменной оА. Она также является однородной, степени 2s (=/?) и определена на всей поверхности 9". Но однородная голоморфная функция, определенная на всем пространстве .С.2, есть полином [81]. Отсюда следует, что fo — полином и, следо- вательно, f имеет требуемый вид f-WfA...ooA ... о0. Аналогичные рассуждения проводятся для уравнения б/ = О с учетом комплексного сопряжения. В качестве следствия предложения D.15.58) (так как не су- ществует спиновых сферических гармоник при / •< 0) получаем Предложение Если функция f, определенная на 91, имеет отри- цательный [положительный] спиновый вес, то из равенства df = 0 [или d'f = 0] следует равенство / = 0. D.15.59)
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И КРИВИЗНА 359 ' При. изучении спиновых сферических гармоник оказывается полезной следующая таблица: 1 1 2 2 6' 3 3 3 6 <- • ¦> 4 4 4 4 5 5 5 5 5 DЛ5-6°) 6 6 6 6 6 6 с -~5 9 ~~3 1 —1 п _L I i.9 A S— ... 2 - 2 1 2 U. 2 1 2 . <2 2 ... Числа в этой треугольной таблице (которая продолжается вниз неограниченно) представляют собой комплексные размерности различных пространств спиновых сферических гармоник [фор- мула D.15.43) и далее]. Каждое из этих пространств характе- ризуется значениями s и /, указанными в таблице. Отсутствие цифры означает, что размерность соответствующего простран- ства равна нулю. Действие оператора б эквивалентно смещению вправо по s на один шаг, а оператора 5' — влево. (Из изложен- ного, выше следует, что величина / при этом не изменяется.) Если в результате такого смещения мы выходим за границу таблицы, то это означает, что действие операторов б и б' дает нуль. Отйетим, что размерность пространства изменяется'* олько при переходе,через край таблицы. .. Во внутренней части таблицы операторы б и В' обратимы, так как в силу формул D.15.54) и D.15:56) они обра'тны'друг другу с точностью до множителя. На правом склоне треуголь- ника оператор б аннигилирует одно из пространств, и то же справедливо для б' на левом склоне. При пересечении левого склона слева направо с помощью оператора 6 мы переходим от пространства нулевой размерности к пространству конечной размерности, отличной -от нуля? Это отвечает ситуации, когда уравнения 6/ = g ¦ D.15.61) неразрешимы. Например, если g имеет спиновый вес s t= ¦—1/2 и содержит слагаемое с / = 1/2, то не существует функции /,
360 ГЛАВА 4 удовлетворяющей уравнению D.15.61). В самом деле, пусть функция g принадлежит пространству размерности 2 и распо- ложена в столбце s = —1/2; тогда функция f должна находиться в столбце s = —3/2 и может принадлежать только простран- ствам размерности 4, 6, ... . При действии оператора б на та- кую функцию мы не можем получить величину с /= 1/2, чтобы перейти к соответствующему двумерному пространству. Но если функция g не содержит слагаемого с /=1/2, то уравнение D.15.61) разрешимо. Из таблицы D.15.60) явствует, что это* решение единственно, поскольку б не аннигилирует нетривиаль- ные пространства cs = —3/2. Ситуация изменяется, если спиновый вес равен, скажем, 3/2. Достаточно взглянуть на таблицу D.15.60), чтобы понять, что* уравнение D.15.61) всегда разрешимо. Теперь функция g лежит в столбце s = 3/2, соответствующие пространства имеют раз- мерности 4, 6, ..., для всех таких чисел существуют простран- ства, отвечающие значению s = 1/2. Особый случай представ- ляет собой двумерное пространство, которое аннигилируется оператором б. В этом случае уравнение D.15.61) интегрируется неоднозначно, и благодаря этому произволу мы в точности по- лучаем двумерное пространство с / = 1/2. Отметим также [60, 118, 121, 132], хотя в дальнейшем это не будет использоваться, что для оператора б имеется един- ственный обобщенный обратный оператор б+, удовлетворяющий условиям бб+б = 6, dW = д+, Действие этого оператора определено на всех пространствах в D.15.60), кроме расположенных на левом склоне нашей табли- цы; в этом случае обратный оператор равен нулю. Аналогично можно определить <5'+, и дри этом получим (как обычно, подразумевается, что 6ff :=d+f). Используя опера- тор б+, общее решение уравнения D.15.61) можно записать в виде где функция h имеет правильный спиновый вес, а в остальном произвольна. Условие разрешимости имеет вид 0 — 66+)g = 0.
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И КРИВИЗНА 361 Конформные свойства гармоник Таблица D.15.60) пригодна и для изучения конформных свойств величин типа {р, q} на 9*. Предположим, что конформ- ный вес до = A /2) (р + q) удовлетворяет неравенству w>\s\, D.15.62) т. е. что допустимые значения w таковы: И, Ы+1, |s| + 2 D.15.63) Мы используем описание с помощью спиноров оА, оА' и считаем, что преобразования Лоренца оставляют неподвижной точку L. Тогда показатели однородности р, q неотрицательны и мы имеем конечномерные пространства полиномов D.15.41), инвариантных относительно конформных движений поверхности 9>. Эти про- странства, как мы видели выше, распадаются на подпростран- ства спиновых сферических гармоник, которые инвариантны от- носительно вращений, но при нетривиальных конформных дви- жениях преобразуются друг через друга. Фиксируем в D.15.60) точку (s, /¦), в которой / = до, и рассмотрим множество точек в s-столбце, начиная с этой точки и выше. При конформных движениях поверхности 91 эти пространства преобразуются друг через друга и не дают вклада в закон преобразования других пространств в том же столбце. Попутно отметим, что (един- ственные) степени операторов б и б', при которых они стано- вятся конформными инвариантами [а именно 6w~s+l и 6'w+s-1t формулы D.15.30) и D.15.33)], в точности аннигилируют рас- сматриваемые пространства. Остальные пространства в s-столб- це при общих конформных движениях поверхности 9" дают вклад в закон преобразования всех пространств столбца. Спе- циальные значения весов до, отвечающие допустимым значениям / при заданном s, выделены тем, что они характеризуют конеч- номерные представления ограниченной группы Лоренца, соот- ветствующие спиновым весам s в пространстве симметричных ГО 0] спиноров валентности • I. где 2s = р — q. Это простран- ство, естественно, связано со структурой 9". При указанных значениях до не существует других лоренц- инвариантных подпространств в множестве [s, w] -функций на 91. Однако возможна дуальная ситуация, когда w принимает одно из значений -UI-2, -М-3, — |si — 4 D.15.64) Эта последовательность переходит в D.15.63) при замене - — ш — 2. Можно показать, что точки таблицы D.15.60)
362 ГЛАВА 4 изображают в точности те пространства спиновых сферических гармоник, элементы которых при действии общих конформных движений поверхности 9> не приобретают аддитивных добавок. Так, например, утверждение, что все неприводимые части функ- ции / равны нулю [при w из набора D.15.64)], конформно-инва- риантно. Эти неприводимые части имеют вид f==(tN)s~a>~1g для некоторой величины g типа . ,[да+1, s-1], D.15.65) или, что эквивалентно, f = (v6')~s~w~^ g для некоторой величины g типа [—w-l, —8—1), D.15.66) чтО явствует из таблицы D.15.60). Как отмечалось в формуле D.15.30) и далее, операции D.15.65) и D.15.66) конформно- инвариантны. Отсюда следует наше утверждение, что функции такого вида преобразуются друг через друга при конформных движениях поверхности &1). Отношение дуальности, о котором говорилось выше, можно рассматривать как следствие конформно-инвариантного эрми- това скалярного произведения [s, w] -скаляров f и [s, —w — 2]- скаляров h на поверхности 9* (или, что эквивалентно, [s, w\- и [—s, —w — 2]-скаляров, если мы предпочитаем не использовать операцию комплексного сопряжения и определить голоморф- ное, а не эрмитово скалярное произведение), а именно, + &, -D.15.67) где & есть 2-форма площади поверхности на 9> (рис. 4.5). Вы- бирая эту форму в виде 9p = im Am [как в формуле D.14.65I, мы имеем <? = v~2? D.15i68) [здесь мы придерживаемся описания на основе спиноров о; при использовании спиноров i в формуле D.15.67) мы положили бы ') В действительности [s, ш]-скаляры этого вида преобразуются по бес- конечномерному неприводимому представлению, ограниченной группы Лорен- ца (см. примечание на стр. 355). Если вес w не связан с s одним из этих соотношений (вес w может оказаться комплексным) то пространство [s, w]- скаляров в целом преобразуется по бесконечномерному неприводимому пред- ставлению ограниченной группы Лоренца [75, стр. 138, 147, 120].
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И КРИВИЗНА 36$ Заметим, что на 9> выполняется соотношение 9 = 1жп Л m = ша dxa /\mbd^ = = kAoA'd (ролол') Л oBiB'd (woBoB') = \v2oA> doA' Д og doB, откуда 9> = ioA- doA' A oB doB D.15.69) (из этого представления сразу следует, что 9* не зависит от И или v). Поскольку при масштабных преобразованиях величина 9" ведет себя как величина типа [0, 2], подынтегральное выра- жение в формуле D.15.67) и сам интеграл конформно-инва- риантны. Конформные веса D.15.63) и D.15.64) дуальны в том смысле, что скалярное произведение между соответствующими функциями конформно-инвариантно. Предположим теперь, что функция f [отвечающая значению w из набора D.15.64)] имеет вид D.15.65). Тогда ?r§ ^§ = (k, g), где здесь для интегрирования по частям было использовано второе равенство формулы D.14.71). Далее, k = 0 в том и только в том случае, если h принадлежит подпространству [s, —w — 2]-ска- ляров, которое аннигилируется оператором {vd')s~w~ . Оно на- тянуто на конечномерные пространства сферических гармоник, которые преобразуются друг через друга при конформных дви- жениях поверхности 9>, как говорилось выше. Следовательно, любой такой элемент h ортогонален функции f. Поскольку функ- ция g в наших формулах произвольна, мы видим, что указан- ные функции / — это в точности [s, w] -скаляры, ортогональные всем [s, —w — 2J-скалярам Л. Таким образом, конформная ин- вариантность пространства функций / обусловлена конформной инвариантностью Л-пространства (при ? = 0), и наоборот. Ортогональность гармоник Скалярное произведение D.15.67) тоже играет важную роль, когда нас интересуют только вращения, но не конформные свой- ства поверхности У.. В этом случае значения «конформных» ве- сов h и f не существенны и мы можем вернуться к нашей перво- начальной точке зрения, считая, что функции определены в точ- ках поверхности 9" (а не на сечении &) по отношению к локаль-
864 ГЛАВА 4 ной спиновой системе отсчета о\ iA. Полный бустовый вес подын- тегрального выражения должен быть равен нулю, а спиновые веса функций fag должны быть одинаковы. Считая, что / есть величина типа {р, q}, а Л —типа {—q, — р), мы определяем D.15.70) Выражения D.15.70) и D.15.67) согласуются друг с другом и оба являются частными случаями скалярного произведения ^ D.15.71) где Ли/ таковы, что произведение Я/ есть величина типа {с, с} [формула D.15.3)]. Как нетрудно убедиться, скалярное произведение D.15.71) (при тех значениях весов, при которых оно определено) обла- дает следующими стандартными свойствами: (h,f) = (f,h), D.15.72) <f. f>> 0, если f^O, D.15.73) <А, kf> = X <Л, f) = (lh, f), D.15.74) <A. f + g) = (h, f) + (h, g), D.15.75) (h + k,f) = (h, f) + (k, />, D.15.76) (А, б/> = -<д'Л,/>> D.15.77) <A, 6'f) = Fh, />. D.15.78) Кроме того, мы имеем следующее: Предложение Если f и h — спиновые сферические гармоники, имеющие одинаковые спиновые веса s и разные значения /, то (А, /) = 0. D.15.79) Доказательство. Это по существу обычное свойство собственных функций операторов. Если мы обозначим через } и ] соответ- ственно значения / функций / и А, то, используя формулы D.15.54) и D.15.55) дважды, а также D.15.77) и D.15.78), по- лучим .,.. Л_ [s(s+l)-f(/+!)] /L on' l> — [s (s + 1) - / (/ + 1)] {n> ?f ~ [s(s+l)-i(!+l)] V on' l> — [s (s + 1) - / (/ + 1)] откуда <A, /> = 0, если / Ф }.
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И КРИВИЗНА 365 Теперь мы явно вычислим <Л, /> для пары спиновых сфери- ческих гармоник, отвечающих одному и тому же значению /, когда h и f — спиновые гармоники типа {—q, —р) и {р, q) со- ответственно. Можно написать f = WqfA...DE...KOA ...oDiB ... i* D.15.80) l+s Is h=W-phA...DE...KoA ... oV ... i* D.15.81) i+s /-я при [а...к>Ьа...к^$(л... ku где для симметрии введена величина [Отметим, что значение W = 1 соответствует выбору стандарт- ной нормировки, в которой Та ==2~1/2Aа-\-па).\ Выполняя комп- лексное сопряжение в D.15.81), используя D.15.44) и выра- жение, комплексно-сопряженное выражению D.15.7), получаем И-15.83) i+s t-s где Нл...к = (-1?'На-...к'Тл ... 7*'- D.15.84) С учетом этих соотношений имеем <"'/>= 4nR2 XfnA...D f B...KX X И • • • 1доВо ... ок-од, ... od.ib ... iV. D.15.85) Поскольку Я..."" и f..." постоянны, их можно вынести за знак ин- теграла, который затем вычисляется с помощью следующей леммы: Лемма § ... I* 9> = -??!¦ ел,и ... е^>. D.15.86) Интеграл вычисляется явно с помощью формул D.15.96) и D.15.123), приведенных ниже. Лемму можно доказать, не вы- числяя интеграл. Для этого заметим, что левая часть равенства D.15.86) инвариантна относительно вращений сферы 9>, а по- тому инвариантна и правая часть. Следовательно, она должна быть сконструирована из величин Тлл- с помощью спинорных операций и численных констант. Исключение штрихованных ин-
366 ГЛАВА 4 дексов в Tax с помощью соотношения Таа'Т = увлй D.15.87) (Та — единичный времениподобный вектор) приводит к тому, что Та выпадает, а оставшееся слагаемое пропорционально пра- вой части равенства D.15.86). Наконец, численная константа получается после вычисления следа в левой и правой части с учетом того, что ' ' (f)Sp = 4ji#2, D.15.88) а след еА(А ... екК) равен рангу матрицы гла(А • • • е^0Л) (т. е. размерности пространства 3(Л"'Х), равной г+ 0- Это следует из условия идемпотентности и того, что след идемпотентной матрицы равен ее рангу. Подстановка D.15.86) в D.15.85) дает Ф, f.)--^r.HA..JB-Y-D)B...K- DЛ5.89) Выписывая симметризацию явно и замечая, что симметрии величин На...к и /л... к приводят, к тому, что #...g...>g •• = = 0 = f...G..."'G'VMbi, наконец, получаем искомую формулу для скалярного произведения: Н Ja...k = 1 - "л''л- •¦'•Tja.-.k- D.15.90) Ортонормированный базис для спиновых функций Свойство ортогональности можно использовать для построе- ния полного ортонормированного базиса для спиновых скаляр- ных функций на 9'. В литературе [79, 124] элементы этого ба- зиса обозначают символами «У/, т. Мы будем называть эти функ- ции базисными спиновыми гармониками. Они, однако, зависят от (произвольного) выбора базиса ,для^ 5Л. Мы фиксируем по- стоянный спинорный базис е? — (оА, iA), для которого D.15.91) "V2" так что 1 ~-, Т$? = 0, 71ГГ' = -^, D.15.92)
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И КРИВИЗНА 367 и определяем j, m)A.,.po. ..к = о(л... бРгв ... tjo- . D.15.93) 1-т 1+т Тогда для каждого фиксированного / и переменного га (такого, что —/ ^ га ^ /, а / ± т принимает целые значения) величины D.15.93), очевидно, образуют базис в 3(д.../с). Кроме того, они ортогональны (но не ортонормированы) в. том смысле, что D.15.94) Компоненты величины D.15.93) в первоначальном (непо- стоянном) спинорном базисе &аа можно вычислить непосред- ственно, выписывая симметризованное выражение, что_ дает ве- личины типа {s, —s}: sZt, m = W~SZ (I, mV^o i^j = = W~°Z(j, m)A... cd... коА ... oc X iD • • • iE = l+s i-s _ w-s у (I + m)l (/ - m)! (/ + s)l (j - 5I a'p/-«-y+'-гдг+т-« ~" Lu ¦ B/)! r\ (j - m - r)\ (} + s - r)\ (r + m - s)\ D.15.95) где суммирование распространяется на все целые значения г, удовлетворяющие неравенству @, s — m)^r^min(;—m,j+s) и где /а р\ (Ь.оА ЬА\.А\ (Y Рб) = (влв) = (/Ол t>). E15.96) Матрица в D.15.96) должна быть унимодулярной, и при W = 1 еще и унитарной, поскольку она представляет (пассивное) спи- новое преобразование, которое при W = 1 есть пространствен- ный поворот одного спинового базиса относительно другого [фор- мула A.2.29)]. Выражения D.15.95) с точностью до нормиро- вочного множителя совпадают с базисными спиновыми сфери- ческими гармониками SY,; m. Для вычисления нормировочного множителя заметим, что в силу формул D.15.90) и D.15.94) мы имеем }. m/ = 1I " _ (i + s)l(j - s)\ U + m)l(j-m)\ — B/+ 1)!
ГЛАВА 4 Таким образом, мы получаем величину типа {s, —s} *+"" *' B/+1)'B/)',^=^ D.15.98) (где множитель (—l)/+mDn)~1/2 введен для согласования со стандартными обозначениями, принятыми в литературе1) [164]). При каждом значении s эти функции ортонормированы: , sYi, т) = 6П'Ьтт>. D.15.99) Хотя sYj, т — стандартные базисные спиновые сферические гар- моники, для практических целей обычно удобнее функции «Z/, т. Из симметрии выражений D.15.95) и D.15.97) следуют ин- тересные соотношения взаимности2): SZ/, m <r+ _mZ/, _s и sYi, m 4r+ (-l)m+*.mYi, _s при Гр «*-* у, D.15.100) а также другие полезные соотношения: / *1и т -* PmZi. -ш и SY,. т ^ i-UsY,, -т о р\ /Гр a/W последние две формулы получаются при действии операции «штрих» на спиновые системы отсчета FЛ» 1Л) и (ол, кА) соот- ветственно. Кроме того, поскольку a = Wb, Гр" = — у, D.15.103) как следствие унитарности (после подходящего масштабного преобразования) и унимодулярности матрицы D.15.96) мы по- лучаем из D.15.95), что sZ/. _m и ^ = (-l)m+*-si'/. _m. D.15.104) Отметим, что действие операторов б и б' на эти величины легко вычисляется из D.15.95) с учетом D.15.27) и D.15.28) (где ') Правда, обозначения, введенные в работе [79], отличаются знаком в случае нечетных т. 8) Спиновые сферические гармоники также важны в теории представлений группы 0D), поскольку их можно рассматривать как скалярные сферические гармоники на S3 [79]. В этом контексте симметрия между ? и —т имеет более прозрачный геометрический смысл.
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И КРИВИЗНА 369 б и б' дают нуль при действии на константы <И, И): **- D15Л05) откуда ay — rii±i±iiib^!lV/2 v °J i,m I od3 J s+l* l.m> ,,, D.15.106) О s1 l.m — ^ 2Л5 ) s~l//1'»' Существует некоторое расхождение между определением б, данным здесь, и тем, которое ранее использовалось Ньюменом и Пенроузом [124]. Чтобы согласовать эти два определения, следует положить /V" D.15.107) тогда выбор поверхности & в виде единичной сферы приводит к разнице в у 2 раз. Имеется также различие в знаке, которое возникает потому, что мы используем на & отрицательно опре- деленную метрику (индуцированную пространством-временем, в которое вложена сфера), тогда как Ньюмен и Пенроуз [124| использовали положительно определенную метрику. Наконец, принятая здесь естественная связь между спиновой системой от- счета и ориентацией поверхности & (см. начало § 14), а также определение координаты ? [формулы A.2.10) и A.2.13) J как антиголоморфной, что означает выбор отрицательной ориентации на 9", эффективно приводит к перестановке операторов б и б'. Поэтому спиновые веса, определенные здесь, противоположны по знаку спиновым весам, использовавшимся в работе [124]. По- добный выбор оказывается удачным, поскольку (гл. 9, § 7, 9) такое определение спинового веса соответствует определению спиральности уходящего излучения со знаком плюс (а не ми- нус). Явные координатные представления В заключение данной главы мы выпишем явные координат- ные представления для б и sYj,m. Для этого мы введем конкрет- ные координаты на поверхности & и выберем подходящим об- разом спиновую систему отсчета в каждой ее точке, воспользо- вавшись масштабным произволом в модифицированном форма- лизме спиновых коэффициентов. Удобно согласовать оба выбора, фиксируя координаты на & так, чтобы они были канонически связаны со спиновой системой отсчета (бд, iA). Если предполо- жить, что система отсчета (ол, iA) отвечает выбору декартовых
370 ГЛАВА .4 ¦:..-. координат (t, х, у, z) в пространстве Минковского М (см. гл. 1 и 3), а начало координат @, 0, 0, 0) соврадает с центром О сферы 9*, то . • 1 ( t + Z X + И/\ = -Ы . , )• D.15.108) л/2 \X — iy t — zj V • ' Точка Л^ имеет координаты (/?, 0, 0 ,0), а точка L — координаты (—R, 0, 0 ,0); тогда & определяется уравнением х> + у2 + 2? = 1*2, t = 0. D.15.109) Мы рассмотрим две разные координатные системы на 9": сфе- рическую систему (9, Ф), для которой х = R sin9 sin ф, i/ = /? sin9 sin ^», z = y?cos8, D.15.110) а метрика имеет вид ds2 = — i?8(de*-+ sinaed#*), D.15.111) и комплексную систему (?, I), для которой [формула A.2.8)] iL, D.15.112) 1 где [формула A.2.10)] ? = e'*ctg-§-. D.15.113) и для метрики получаем I О тA\ " Ц " fc / Л Л Т" % t Л\ us= я 2~. D.15.114) Сначала рассмотрим комплексную систему координат. Как отмечалось выше (см. также гл. 1, § 2), ? есть антиголоморфная координата на 9" (со стандартной ориентацией); поэтому можно положить ? = ?, D.15.115) где координата % определена так, как в § 14. Тогда формула D.14.31) дает Р = 6%. Векторы та определены, как в формуле D.14.36), требованием Р > 0. Сравнивая метрические формы D.14.30) и D.15.114), получаем D.15.116)
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И КРИВИЗНА 371 Направление флага спинора оА= у к <=нстравление Re m ' Im $= const * X Стереографическая проекция сферы J0 ив северного полюса на плоскость Арганда с координатами (х, у) Рис. 4.6. Выбор спиновой системы отсчета и векторов т для комплексных сте- реографических координат (?, I). что после подстановки в D.14.33) дает явное представление для операторов б, б', действующих на величину ц типа {s, —s}: l D.15.117) Выбор векторов та, ясен из рис. 4.6, откуда видно, что полот- нище флага спинора оА [т. е. направление вектора Re(ma)] рас- положено вдоль направления Im(E;) = const, Re(?) возрастает. Вспоминая подробные геометрические построения гл. 4 (для полотнищ флагов гл. 1, § 4, спинорныё скалярные произведения и т. д.), из рис. 4.6 заключаем, что D.15.118) (с точностью до произвольного общего знака), где действитель- ный масштаб оА, iA (т. е. длины векторов I", п") фиксирован выбором _ W = l, т. е. u = v = R л/2- D.15.119) Подставив это в D.15.95) и D.15.98), мы найдем SZ/, m и sY/, m. как функции координат. Наконец, рассмотрим сферическую систему координат, для которой справедливо соотношение ? = in tg \- + 1ф. D.15.120)
372 ГЛАВА 4 Направление Флага спинора о''= -направление Re ттг Стереографическая проекция сферы У из северного полюса на плоскость Арганда с координатами (ее, у) Рис. 4.7. Выбор спиновой системы отсчета н векторов m для сферических координат (в, Ф). (т. е. g = — Intgl). Сравнив формулы D.14.30) и D.15.111) с учетом D.14.36), так что Р > 0, после простых выкладок по- лучим _ р=тш>- <4-15Л21> Подставляя это в D.14.33), получаем для г\ типа {s, —s} sin"se D.15.122) Выбор векторов tna проиллюстрирован на рис. 4.7, из которого следует, что полотнище флага спинора ол [т. е. направление вектора Re(ma)] указывает вниз вдоль меридианов Ф = const. С точностью до знака для a б мы теперь получаем (а -eW2cos-|- ei0'2sin-|- D.15.123) Вновь можно фиксировать длину векторов"^, п", полагая W — I, как в D.15.119). Подстановка в D.15.95) и D.15.98) позволяет явно вычислить $Zj,m и sYj, m в системе координат F, ф). В част- ном случае s = 0 такие вычисления приводят к сферическим гармоникам Лежандра.
5 Поля в пространстве-времени § 1. Электромагнитное поле и обобщенный оператор производной Гравитационное и электромагнитное поля имеют много об- щего. Это особенно ясно обнаруживается в спинорной формули- ровке, в которой каждое из этих полей представляется симме- тричным спинором: спинором улв в электромагнитном случае [формула 3.4.20)] и спинором Wabcd в гравитационном [фор- мула D.6.41)]. Как будет видно далее, «полевые уравнения без источников» [под которыми в гравитационном случае мы под- разумеваем уравнения D.10.9), а не вакуумные уравнения Эйн- штейна D.10.10)] почти одинаковы в обоих случаях. Эта анало- гия продолжается и далее в том, что в обоих случаях все поле- вые величины могут быть выражены через коммутатор производ- ных. В гравитационном случае это — ковариантные производные [формулы D.2.30) и D.2.24), D.9.15), D.9.16)]. Чтобы предста- вить электромагнитное поле таким же образом, необходимо из- менить определение ковариантной производной. В квантовой тео- рии в плоском пространстве-времени это обычно осуществляется добавлением к обычной производной, которую мы временно обо- значим через да, 4-вектора Фа электромагнитного потенциала с коэффициентом —\е, где е — заряд поля, на которое действует производная. Таким образом, действие обобщенной ковариант- ной производной Va := да-1еФа E.1.1) зависит от заряда, и потому нужно указать заряд каждого и» полей системы. В квантовой теории заряженная частица описывается волно- вой функцией, которая и есть заряженное поле. (Например, ди- раковское поле электрона есть пара заряженных спин-векторов, имеющих одинаковый заряд, см. формулу D.4.66) и работу [35].) Взаимодействие этих заряженных полей с максвеллов- ским полем вводится путем замены оператора да в соответствую- щих полевых уравнениях оператором E.1.1). Теперь нетрудно показать, что максвелловское поле Fab, представляющее собой ротор потенциала Фа, получается в ре-
374 ГЛАВА 5 .зультате действия коммутатора V[aVfti на поле 8 с зарядом «: = ёВ*д1аФы = \- ee*Fab. E.1.2) Поскольку мы хотим рассматривать электромагнитное и гра- витационное поля совместно, вводимые операторы должны дей- ствовать в искривленном пространстве-времени. Следовательно, нужно заменить оператор да в формуле E.1.1) оператором обыч- ной («элементарной») коварйантной производной [в результате чего в правой части равенства E.1.1) появятся члены, завися- щие от тензора кривизны, см. формулу E.1.34) ниже]. Но в выражение E.1.1) явно входит потенциал, а именно этого мы хотим избежать, так как значению потенциала в ка- кой-либо точке нельзя приписать физического смысла. Это ана- логично тому, что символы связности Гаьс не имеют прямого физического смысла в теории гравитации. Подобно ситуации с элементарной коварйантной производной, которая может быть введена путем добавления Г-членов к частной производной и последующего исключения операторов д/дхл как не являющихся необходимыми в теории, в случае заряженных полей ковариант- ная производная Va, действующая на заряженные поля, может служить лишь исходным объектом, но в последующем развитии теории должна быть исключена как калибровочно-зависимая величина, не имеющая физического смысла. В обоих случаях физически существенным объектом, который задают эти вели- чины, является некий оператор, который мы в общем случае будем обозначать символом Va. Наша цель, как и в случае эле- ментарной коварйантной производной, построить такой аппарат, в котором все величины имели бы ясный физический или гео- метрический смысл. Поэтому в данной главе мы будем рассма- тривать свойства оператора Va общего вида с формально алге- браической точки зрения, как это мы делали в гл. 4, § 2 для чисто гравитационного случая. В соответствии с этим мы будем избегать использования электромагнитных потенциалов и опера- тора да. (Хотя так же, как и величины Г и производные д/дха, их можно ввести при желании для большего удобства.) Свой- ствами оператора Va, задаваемыми аксиоматически, определя- ются свойства тензора Fab в соотношении E.1.2) (обобщенного на случай искривленного пространства-времени), точно так же, как свойствами элементарной коварйантной производной опре- деляются свойства тензора кривизны [формула D.2.31)]. Эти •свойства тензора Fab позволяют отождествить его с тензором максвелловского поля.
ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ - 375 Заряженные поля Для осуществления намеченной программы необходимо на- чать с обобщения модуля © (С°°-гладких спинорных полей), введенного в гл. 2, которым ограничивались наши построения до сих пор. Теперь необходимо для каждого значения заряда- иметь отдельный экземпляр спинорного модуля ©"*, причем производная Va должна действовать различным образом в каж- дом из них. Поэтому введем заряженные модули 6, <§"*, 6В' ©в '.'.'. %>'.'.'., ... E.1.3> (для каждого заряда е) С°°-гладких заряженных спинорных по- лей. Первоначально введенная система (гл. 2, § 5) будет соот- ветствовать отсутствию заряда е = 0. Заряд поля е в принципе может быть выбран равным любому действительному (возмож- но, и комплексному) числу, но по ряду причин мы ограничимся целыми кратными некоторого ненулевого действительного числа е, элементарного заряда. Таким образом, е будет принимать значения 0, ±е, ±2е, ±3е, .... Существенным в дальнейших рассуждениях будет то, что эле- е менты модуля © при некотором ефО не принимают численных е значений в точках Р многообразия Ж. Всякий модуль ©[PJ представляет собой абстрактное одномерное аддитивное комп- лексное векторное пространство, имеющее нулевой элемент, но не обладающее канонически определенным единичным элемен- том. Отсутствует также и канонически определенная связь меж- е ду <3 [Р] в двух разных точках (однако С°°-гладкая связь между соседними © [Р] обеспечивается каждым элементом модуля /. Тем не менее, так же как 4-вектор можно задать четырьмя числовыми скалярами, выбрав некоторый базис, так и элементы е модуля®[Р], например, можно задать числовыми скалярами,, выбрав некоторую «калибровку» (см. ниже). Некоторые другие свойства незаряженных полей также не имеют осмысленного аналога в случае заряженных полей. На- пример, условие действительности (в точке) для заряженного- скалярного или тензорного поля должно означать, что разность этого поля и комплексно-сопряженного ему равна нулю. Однако- сопряженное поле имеет заряд противоположного знака, и, со- гласно постулатам, к которым мы сейчас перейдем, его нельзя вычесть из исходного. По близкой, причине заряженный спин- вектор хл не может быть представлен обычным образом в виде флага при отличном от нуля заряде, так как при этом в выра-
376 ГЛАВА 5 жении C.2.9) пришлось бы складывать величины, относящиеся к противоположным зарядам. е л Что касается алгебраических свойств модуля © i то мы ¦потребуем, чтобы ко всем элементам заряженных модулей {5.1.3) можно было применять операции сложения, тензорного умножения, свертки, замены индексов и комплексного сопряже- ния, как и ранее, в соответствии с общими алгебраическими пра- вилами, приведенными в гл. 2, § 5, но со следующими оговор- ками: Два заряженных спинорных поля можно склады- вать в том и только в том случае, если их заряды равны; сумма имеет тот же заряд, что и состав- ляющие. E.1.4) Тензорное произведение двух заряженных спинор- ных полей имеет смысл при любых значениях за- рядов; заряд произведения полей равен сумме за- рядов каждого из mix. E.1.5) К заряженным спинорным полям может приме- няться операция свертки без изменения значения заряда. E.1.6) К заряженным спинорным полям также может при- меняться без изменения величины заряда операция замены индексов. E.1.7) При комплексном сопряжении заряженного спинор- ного поля изменяется знак заряда1). E.1.8) Необходимость этих дополнительных постулатов становится ясной, если рассмотреть действие оператора E.1.1) (где да — элементарная ковариантная производная) на суммы, произведе- ния и т. д. и потребовать выполнения обычного условия аддитив- ности и правил Лейбница D.4.16), D.4.17). Дополнительно мы потребуем, чтобы оператор Va сохранял заряд спинорного поля, на которое он действует, т. е. осуществлял отображение Ve :©*-¦©? E.1.9) для каждого заряда е и любого собирательного индекса si-, и чтобы этот оператор коммутировал с операциями замены индек- сов, свертки и комплексного сопряжения, как и в случае D.4.18) — D.4.20). Такой оператор Vo фактически однозначно и ') Если рассматриваются комплексные значения зарядов, то комплексно- сопряженное поле будет иметь комплексно-сопряженный заряд со знаком минус.
ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ 377" непротиворечиво определен своим действием на незаряженные- поля (для которых в силу принятых аксиом он будет элементар- ной ковариантной производной), коль скоро было задано свой- ство е е Va:©-»®a. E.1.10> е пе Действительно, если оеб, | е© (где а всюду отлично or нуля, а п — целое число), то в силу правил Лейбница и адди- тивности будем иметь1) Vaip"* = a"va (а~п^л) + mp'V'Vba. E.1.11> где поле a""^ имеет нулевой заряд и, следовательно, в силу сделанных предположений его производная известна, так же как и производная от а. Требования, которые должны выпол- няться в силу E.1.10), сводятся к следующему: Va(a + p) = Vea + VaP, / . ч E.1.12> (Щ = kVaa + avA Va, ре=6, @j Подчеркнем, что, поскольку величины едв, е , гА опреде- лены как принадлежащие незаряженным модулям полей, опера- тор Va действует на них как элементарная ковариантная произ- водная и дает нуль2). Электромагнитный потенциал Посмотрим теперь, как можно найти потенциал Фа и опера- тор да, зная оператор Va. Аналогично выбору координатного ба- зиса здесь нужно выбрать некоторое произвольное, всюду от- е '"'..... '' Если ае© нигде не обращается в нуль, то поле »-' является едннствен- —е ным элементом модуля ©, таким, что произведение aa~', принадлежащее- модулю У в силу E.1.5), равно единице, а под а~" понимается (а~')л. Сле- дует отметить, что существование глобально не обращающегося в нуль заря- женного скалярного поля эквивалентно отсутствию «дырок» в пространстве- времени, имеющих отличный от нуля эффективный магнитный заряд [201]. Это условие обычно считается «физическим»; в данном параграфе его можно ослабить, рассматривая кусочное покрытие многообразия Ж, такое, что в каждой из областей существует некоторое а ф 0. г) Можно построить модифицированное исчисление, в котором поле елв- обладает зарядом 2k, а поле eAt — зарядом —2k. Но такое исчисление не- будет более общим, поскольку, переопределив заряд добавлением заряда, равного k, умноженного иа (число верхних иештрихованных индексов минус- число верхних штрихованных индексов плюс число нижних штрихованных индексов минус число нижних нештрихованных индексов), мы можем свести^ заряд е.чв к нулю, не изменяя аксиом.
378 . ГЛАВА 5 ; е личное от нуля поле а е ©. Тогда можно по определению ввести потенциал Фа := ЦеаГ'^а, E.1.13) который, очевидно, будет представлять собой незаряженное по- ле, поскольку оператор Vo сохраняет заряд. Соответствующий оператор да можно тогда определить его действием на спинор ¦^'Л с зарядом е = пг: daV := anVa(a-"^), E.1.14) так что в силу выражения E.1.11) имеем * Цл E.1.15) {ср. с формулой E.1.1)]. Из последнего уравнения можно (по- лагая е=0) видеть, что оператор да действует на Ирл так же, как Va действует на незаряженный спинор $л, т. е. как элемен- тарная ковариантная производная. Оператор да играет роль, аналогичную роли координатной производной в стандартной теории. Он удовлетворяет требованию аддитивности и правилу Лейбница. В плоском пространстве-времени даже в присутствии электромагнитного поля мы имеем E.1.16) Это непосредственно следует из сказанного после формулы {5.1.15) или из определения E.1.14) и того, что оператор Va в этом определении действует на незаряженные поля, а значит, операторы ;V коммутируют [формула D.2.59)]. В искривленном пространстве-времени оператор д\адь\ содержит часть, связан- ную с кривизной, но не имеет электромагнитной части. Если поле а выбрано так, что выполняется условие ' aa-I, ael, ' E.1.17) t'6 мы будем называть а калибровочной функцией. [Если перво- начально условие E.1.17) не выполняется, то его выполнения можно добиться путем замены at—*-a(aa)~ : aa есть положи- тельное незаряженное скалярное поле, если поле,d нигде не обращается в нуль, а потому величина (aa)~ хорошо опреде- лена.] Для любой калибровочной функции а будем иметь - ' O = Ve(aa)s=aVaa + aVaa, т.е. a^'Vaa =—a~lVaa; следовательно, поле Фа действительно: "Фа = Фа. * ¦ E.1.18)
ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ Точно так же можно показать, что при любом выборе калибро- вочной функции а оператор дя действителен в том смысле, что» Это следует из определения E.1.14), свойства E.1.8), соотно- шения а= а~' и действительности оператора Va: drf* = ^Va (<T~V) = cTnVa (oV) = <3<Ж*. Калибровочная функция a осуществляет отображение лю- бого заряженного поля (с зарядом е = пг) в незаряженное поле согласно правилу') it^^cTV*, E.1.20> так что, например, по отношению к некоторому базису могут быть найдены численные значения. (Напомним, что заряженные- скалярные поля не имеют канонических численных значений.) Таким образом, чтобы указать компоненты заряженных полей,, необходимо выбрать и базис, и калибровочную функцию. Не- трудно убедиться, что действие оператора да переходит в дейст- вие оператора Va при отображении E:1.20). При замене калибровочной функции а новой калибровочной функцией а' незаряженное поле, в которое i|> отображается по- закону E.1.20), претерпевает калибровочное преобразование- где 9 — действительный незаряженный скаляр, определенный (возможно, только локально) соотношением eie = a/ct', E.1.22> и мы соответственно этому будем иметь Фа н* Ф'а = Л Vaa'= -i- ei9Va (ае-ш) = Фа + 4" Va9, E.1.23> а также да^^Фа-ЬЯДЪУ*. E.1.24> Заметим, что соотношение E.1.23) имеет обычный вид калибро- вочного преобразования в электромагнитной теории. Следует отметить, что в обоих (электромагнитном и гравита- ционном) случаях имеются «калибровочные преобразования; второго рода». Это такие преобразования калибровочной функ- ции, которые не изменяют соответствующего оператора да- ') Такой изоморфизм а: <§>"* i—> ©"* называют тривиализациеп.
380 ГЛАВА 5 В электромагнитном случае они, очевидно, таковы: а = е|9а, где 8 — действительная постоянная [если опустить усло- вие действительности, то изменится лишь нормировка E.1.17) функции а, но ни одно из нижеследующих соотношений]. В гра- витационном случае эти преобразования являются линейными неоднородными преобразованиями координат **•—> Аъ*х + Вл, где Льа и Ва — действительные постоянные матрицы, причем <let (А ьа) ф 0. В некоторых случаях имеет смысл потребовать, чтобы матрица Аъа была матрицей собственного преобразова- ния Лоренца. Тогда выбор «калибровки» х* (т. е. выбор коор- динат) будет соответствовать отображению пространства-вре- мени Ж в пространство Минковского, симметрии которого сохра- няются при данном изменении калибровки. Процедура такого типа применяется в «лоренц-ковариантной» формулировке об- щей теории относительности. Максвелловский тензор поля Рассмотрим теперь коммутатор Будем предполагать, что кручение отсутствует, т. е. для незаря- женного скалярного поля у е @ выполняется условие E.1.25) незаря- E.1.26) е е Предположим, что 0#ae®. фе®, где е = пе, и а нигде не обращается в нуль. Тогда существует \ е @, такое, что уа" = ф. E.1.27) Из принятых аксиом, как и в случае D.2.15), D.2.16), следует, что оператор Ааь удовлетворяет требованиям аддитивности и правилу Лейбница, а потому Ааьап = пап-^аЬа. для любого на- турального п. Таким образом, в силу формул E.1.26) и E.1.27) ¦имеем т. е. «¦фа-1АаЬа = АаЬ'ф. E.1.28) Если положить /^ := i Лайа, E.1.29) то будем иметь №ab$ = eFabq. E.1.30)
ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ 381 Соотношение E.1.30) показывает, что в противоположность опре- делению E.1.13), в определении E.1.29) не существен выбор калибровочной функции а. Будем называть Fab максвелловским тензором или тензором электромагнитного поля') (ассоциируе- мым с оператором Va). Если а|> е <3 есть некоторое произвольное заряженное спи- норное поле, то справедливо следующее предложение: Предложение Величина Ь.аь$Л отличается от результата действия коммутатора на незаряженное поле ф лишь до- полнительным членом —1еРаЬ11рл. E.1.31) Это утверждение можно также записать в виде формулы Аа6< = 2д[адь№л ~ ief .»***, E.1.32) в которой первое слагаемое в правой части ковариантно, хотя сами операторы да зависят от калибровки. Для доказательства пв _ достаточно заметить, что если 'Ф s © , то в силу правила Лейбница мы имеем Ааь (сТ V) = -na-n-^Saba + сГХЖ* и, следовательно, babV* = anbab{o'~n<tf*)-\eFabiV*. E.1.33) Поскольку поле а~п^л незаряженное, величина АаЬ(а~п^я) представляет собой коммутатор элементарных ковариантных производных. Обратившись к соотношению D.2.33) или к {4.9.1) и D.9.13), мы получаем наше утверждение. Например {формула D.2.32)]: КьЬ = -RabcHd ~ ieF^c. E.1.34) Исследуем теперь некоторые свойства тензора Fab. Прежде всего, из определения E.1.29) явствует, что этот тензор косо- симметричен: Fab = -Fba, E.1.35) ') Если рассматриваемая область пространства-времени не односвязна, то равенство Fa» = 0 может выполняться всюду, хотя оператор Vo нетри- виален в том смысле, что не существует заряженного скалярного поля а, для которого VaO. = 0, иначе: ари любом выборе потенциала он где-то от- личен от нуля [2].
382 ГЛАВА 5 и, поскольку оператор Va «сохраняет заряд», представляет со- —в бой незаряженное поле. Далее, так как фе® для всякого -ф е в е 3 (е —действительно), в силу соотношения E.1.30) имеем Выполнив комплексное сопряжение с учетом действительности обобщенной ковариантной производной Va — Va, сопоставив по- лученное равенство с E.1.30), находим аЬ • аЬ> т. е. поле Fab действительно. Наконец, путем выкладок, анало- гичных выкладкам D.2.40), которые приводили к тождествам в Бианки, для фе© получим Но в то же время [формула E.1.34)] * = J" R[abc]dV^ Если вычесть эти выражения одно из другого, учесть D.2.37) и разделить на i(e/2)i|), то мы получим 0. E.1.36) Альтернативный вывод этого уравнения опирается на соот- ношение между Фа и Fab при определенном выборе калибровоч- ной функции а. Взяв ротор от Фа: [формулы E.1.13), E.1.29)], находим E.1.37) Уравнение E.1.36) теперь непосредственно вытекает из E.1.37), будучи одним из частных случаев тождества d2=0 для внешних производных [равенство VIII в формуле D.3.15)]. Соотношение E.1.37), разумеется, то же самое, что и обыч- ное соотношение между тензором поля и 4-потенциалом в тео- рии Максвелла. Оно означает, что если Раь = 0, то (по крайней мере локально) потенциал Фа можно представить в виде гра- диента Oa = VdX» где х — действительное незаряженное поле- IB общем случае этого сделать нельзя, хотя на первый взгляд может показаться, что формулой E.1.13) потенциал Фа опреде-
ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ 383 ляется в такой форме; дело в том,, что для заряженного поля а не существует незаряженного скалярного поля вида «In а», ко- зариантная производная от которого давала бы a~'Vaa.] Если два различающихся потенциала Фо и Фа удовлетворяют требо- ванию E.1.37), то Via (Фи — Фи) ^* 0 й; следовательно, разность Фа т- Фа (по крайней мере'-локально) есть градиент Фа — Фа = = e~1Va8, где 6 — действительное и незаряженное поле. Таким образом," в силу соотношений E.1,23) и E.1.22) существует (ло- кально) некоторая калибровочная функция а', приводящая к любому наперед заданному потенциалу, который удовлетворяет требованию E.1.37). Уравнение E.1.36) представляет собой первую «половину» уравнений Максвелла. Если определить вектор тока заряда 1а (в гауссовых единицах) соотношением VaFa* = 4nA E.1.38) to оно будет второй половиной. (Эти два уравнения лежат в основе классической теории Максвелла.) Заметим, что вектор J" имеет нулевой заряд. [В этом нет парадокса, как могло бы показаться: Ja- — это «ток», содержащий заряженные поля и комплексно-сопряженные им поля в билинейных комбинациях; см. формулу E.10.16) ниже.] Опинор электромагнитного поля Поскольку тензор Fa& действителен и антисимметричен, для него возможно разложение вида [формула C.4.20)] ', - ' E.1.39) где флв — спинор электромагнитного поля, причем C'- .. E.1.40) Как было ранее объяснено в гл. 3, § 4, тензоры ~Fab = ц>АвгА''в' и +Fab = еав<ра'В' представляют собой антисамодуальную и самодуальную части максвелловского поля..,Аналогично тому, как в разложениях операторов Пав> Па'вг [формула D.9.13)] появились спиноры кривизны, дополнительно возникает спинор электромагнитного поля в случае заряженных; полей (даже ска- е ' . ¦¦¦ лярных). Например, для ifs© [формула D.9Л)] имеем '¦'¦'" ^'B' JlA'B' E.1.41) л аналогично . .,,. ,,,' , E.1.42)
384 ГЛАВА 5 Если t^e©"*, то возникают добавки — ^ФлвФ"* (или —ieq>ArB'ty"t) к соответствующим разложениям для незаряжен- ных полей Пав^Л (или ?л'В'Ч'**)» Действительно, свертывая E.1.33) с A/2)глв, немедленно получаем чем и доказывается наше утверждение. [Аналогичный резуль- тат для Па'в'^ получается свертыванием E.1.33) с A/2)еАВ.\ В частности, мы имеем E.1.44) E.1.45) Спинорная форма соотношения E.1.37) такова: Флв = ^'<лФв). E.1.46) что непосредственно видно из E.1.39). Иначе это соотношение можно получить прямо из E.1.13), используя E.1.41). На потенциал Фа часто налагается (обычно в плоском про- странстве-времени) калибровочное условие Лоренца1) VaOo = 0. E.1.47) С учетом определения E.1.13) это эквивалентно наложению следующего условия на калибровочную функцию а: E.1.48) При выполнении данного условия соотношение E.1.46) сводится к виду E.1.49) поскольку слагаемое в правой части, кососимметричное по АВ, теперь обращается в нуль. Вектор тока E.1.38) в спинорной форме имеет вид v* Vb + 4ABY'b> = ЫАА'. E.1.50) Однако уравнение E.1.36) эквивалентно уравнению Wa*Fab = 0 [формула ^3.4.26)], а следовательно, поскольку Fa =—iip ве в -f + ie фАВ [формула C.4.22)], соотношению „Х'В А r-.AB'—A' /e t t-1 \ V ф в = V ф В'- E.1.51) ') Это Л. Лоренц [111], а не Г. Лорентц! (См. работу [195].) (Согласно установившейся в последнее время традиции, обе эти фамилии в данной книге транскрибируются одинаково. — Прим. перев.)
ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ 385 Полная система уравнений Максвелла E.1.50) и E.1.51) теперь может быть представлена в виде одного уравнения уА'\Ав = 2nJAA' E.1.52) вместе с условием действительности тока J": /ЛЛ' = 7ЛА'. E.1.53) Уравнение непрерывности Va/a = 0 E.1.54) является следствием уравнений E.1.52) или E.1.38), так как члены, пропорциональные кривизне, взаимно уничтожаются. На- пример, из E.1.52) находим [формулы D.9.2), D.9.13), D.6.19I " ЛВ ,_. АВ QB ¦ ¦** В AQ од / Q& I ^Q\ г\ ) -J- ^-ABQ Ф =я "А \еВ(ЭФ "Г еЛ(ЭФ ) =V* [Это соотношение просто выводится с использованием диффе- ренциальных форм. Действительно, если F := Fta, и / :=/,-,, то уравнения E.1.38) и E.1.54) принимают вид d*F = D/3)n+/ и dfJ = 0, причем последнее вытекает из первого в силу равенства d2 = 0; подробнее см. в формулах E.9.5) — E.9.13) и D.3.17).! Комбинируя E.1.46) с E.1.52), получаем ЧвА'ус'(АФВс)' = 2я1АА'. E.1.55) Если принять калибровочное условие Лоренца в виде E.1.49), то можно представить величину E.1.55) таким об- разом: = V V Фс = vb V 1 А'С 8 = -ФАА'ссФСС' + ЗЛФ + ~ [формулы D.9.14) и D.6.19)], и, следовательно [формула D.6.21)], 4я/а = УьУ*Фа + /?асФ<:. E.1.56) (Данное конкретное соотношение в тензорном виде выводится несколько проще.) Отметим, что если /"=0, то уравнение E.1.52) принимает вид % 0; E.1.57) это спинорный вариант полной системы уравнений Максвелла без источников ViaFftci = 0, VaFab = 0. Аналогия между E.1.57) 13 Зак. 1142
ГЛАВА 8 и спинорной формой D.10.3) тождеств Бианки (для случая ва- куума) поразительна. Действительно, как будет показано в § 7, уравнение E.1.57) есть частный случай уравнений E.7.2) для свободных безмассовых полей, относящийся к спину, равному единице. Связь с 3-векторами электрического и магнитного полей В заключение данного параграфа приведем некоторые эле- ментарные соотношения теории Максвелла в спинорной форме. Если выбрать в пространстве Минковского стандартную тетраду ta, xa,ya, za, то компоненты тензора Fab no определению будут следующим образом связаны с компонентами электрического и магнитного 3-векторных полей Е и В: Fab — 0 -Ex -E2 -E3 Ei 0 B3 -в2 E2 -в3 0 E3 B2 -Bx 0 E.1.58) В стандартной спиновой системе отсчета, связанной с рассмат- риваемой тетрадой Минковского, находим, применяя схему пе- рехода C.1.38), C.1.39), C.1.49), из выражения E.1.40) Фоо = -jf — iC2), 1^32 - i^) = - 4- (C, + iC2), где C = E — \B. И обратно, если положить [формула D.12.43I фО == фУ0'> ф1 == фО'1'> ф2 =: ф1'1'> то из выражения E.1.39) найдем E.1.60) E.1.61) О (Фо — Фг + фо — Фа) Офо + 1фг — 1фо — 1ф2) (—2ф, — 2ф,) (—Фо ~\~ фг *~ фо Ч" фг) О B1ф| — 21ф^) (—фо — ф2 — фо — ф2) (~1ф2 + 1фо + 1ф» — 'фо) О E.1.62) _ Bф2 + 2ф,) (фо + фл + фо +
ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ 387 Комплексные поля Fab, удовлетворяющие уравнениям Максвел- ла без источников, играют роль волновых функций отдельных фотонов. По этой причине, а также по ряду других причин, пред- ставляет интерес включить в наше изложение вкратце и этот более общий случай. Вместо соотношений E.1.39) и E.1.40) теперь будем иметь Fab = Ч>АВгА'В' + елвфл'В', E.1.63) 1 „ С ___ 2 1 с с =-п-Г С А'В' E.1.64) где q>AB, фл'в- теперь следует рассматривать как независимые спинорные поля. Формула E.1.62) с определениями E.1.61) остается справедливой, если всюду заменить ф на ф, формула E.1.59) остается без изменений, а соответствующая формула для ф получается заменой i на — i в формулах E.1.59) и E.1.60). Дуальный тензор поля 'Fab [формула C.4.21)], соответ- ствующий тензору E.1.58), как легко видеть, записывается так: E.1.65) Теперь два скалярных инварианта, ассоциируемых с произволь- ным электромагнитным полем Fa&, а именно скаляры 0 в, в2 А -В, 0 Е3 -в2 ~Е3 0 -Въ Е2 -?, 0 \ = -^Fab-Fab, E.1.66) которые, возможно, более привычны в виде Р = В2 — Е2, Q = 2E-B, E.1.67) можно получить непосредственно из определений E.1.66) и E.1.58), E.1.65). В спинорной форме, воспользовавшись фор- мулами C.4.38) и B.5.9), будем иметь = P + iQ. E.1.68) К :=ФлвФЛВ = 4-"^- — о Г аЬ В случае действительного поля Fab величины Р и Q явно дей- ствительны и потому составляют действительную и мнимую части одного спинорного инварианта К. Если же поле Fab комп- лексно, то по аналогии с E.1.68) определим инвариант К := E.1.69) 13»
388 ГЛАВА 5 (заметим, что К= К, если поле действительно) так, что E.1.70) Если Р = Q = 0, то поле изотропно, т. е. главные изотропные направления спинора щв (а также фл'В') совпадают. Это непо- средственно вытекает из соотношения C.5.29). Если Q = 0 и Р ф 0, то можно сказать (в случае действи- тельного поля), что поле либо чисто электрическое, либо чисто магнитное в зависимости от того, Р <С 0 или Р > 0. Оправдание этой терминологии состоит в том, что в этих случаях можно найти преобразования Лоренца (в действительности их беско- нечно много), которые «уничтожают» магнитное или электриче- ское поле. Для этого достаточно, например, применить буст со скоростью Е~2 (EX. В) в первом случае и со скоростью В~2(?Х-В) во втором. Ниже мы увидим, что в тех случаях, когда одно из полей Е или В таким образом устранено, два главных изотропных направления спинора флв указывают проти- воположные направления на римановой сфере. Заметим также, что равенство Q — 0 представляет собой не- обходимое и достаточное условие простоты тензора Fab [фор- мулы C.5.30) и C.5.35)]. Дальнейшие сведения, касающиеся структуры электромаг- нитного поля, будут даны в гл. 8, § 5. § 2. Уравнения Эйнштейна — Максвелла в спинорной форме Рассмотрим далее спинорную форму связанной системы «электровакуумных» уравнений Эйнштейна — Максвелла, т. е. полевых уравнений общей теории относительности с тензором энергии-импульса электромагнитного поля в качестве единствен- ного источника. Сначала нужно построить спинорный эквива- лент тензора энергии-импульса электромагнитного поля. Это действительный симметричный тензор Таь, квадратичный по электромагнитному полю Fab и удовлетворяющий уравнению VTab = 0 E.2.1) при условии выполнения уравнений Максвелла без источников. Существует одно очевидное выражение в спинорном формализ- ме, удовлетворяющее этим свойствам, а именно B>, E.2.2) где k — действительная и положительная постоянная (в силу требований положительной определенности, о которых будет сказано ниже). Тензор, заданный соотношением E.2.2), действи- телен, симметричен, квадратичен по Щв и, следовательно, по
ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ 389 Fab и удовлетворяет уравнению E.2.1) в силу равенства E.1.57). Напомним, что тензор Беля — Робинсона D.8.9) удовлетворяет подобному же уравнению D.10.11) по аналогичной причине [формула D.10.9)]. Стандартные тензорные выражения для максвелловского тен- зора энергии-импульса таковы: Tab ?Г \4 ) §яГ E.2.3) Подстановка выражения E.1.39) в любое из них действительно приводит к уравнению E.2.2) с k =Bя)-1: Тоь^-^УавЧа'В'. F.2.4) Заметим, что второе равенство в формуле E.2.3) вполне анало- гично тензорному соотношению D.8.10) между тензором Беля — Робинсона и тензором Вейля. Далее, тензор Таь инвариантен относительно дуальных поворотов электромагнитного поля C.4.42), так как они соответствуют преобразованию ), е~' Ч>ав- Это свойство инвариантности менее очевидно из тензорного выражения F.2.3). Тензор Таь также имеет нулевой след: Гаа = 0, F.2.5) что вытекает из выражения E.2.4). Как инвариантность относи- тельно дуальных поворотов, так и равенство нулю следа явля- ются также свойствами тензора Беля — Робинсона [формулы D.8.16) и D.8.12)]. Понятно, что тензор энергии-импульса элек- тромагнитного поля Таь был открыт гораздо раньше, чем тензор Беля — Робинсона Таьсй- С помощью тензорных методов тензор ТаЬсй как аналог тензора Таь было найти труднее. Только в спинорной формулировке они выглядят одинаково просто. Подставляя выражение E.2.4) в уравнения Эйнштейна вида D.6.32) и учитывая, что теперь Таа = 0, получаем Фава'В' = 2уФлвфА'В'» Л = -g- Я, E.2.6) что вместе с уравнениями Максвелла без источников E.1.57) составляет спинорную форму уравнений Эйнштейна — Максвел- ла (обычно полагают А, = 0). Подстановка же выражения E.2.4) в D.10.12) дает = 2W(B
390 ГЛАВА S Второй член справа равен нулю в силу равенства E.1.57); кррме того, простые рассуждения [формула E.7.16) ниже! показы- вают, что симметризация в первом слагаемом справа является излишней. Поэтому тождество Бианки принимает вид Ув'хРлвсо = 2уфл'В'УвФсо- E.2.7) Попутно заметим, что следующая модификация тензора Беля — Робинсона для уравнений Эйнштейна — Максвелла, хотя и не является полностью симметричной, имеет нулевую дивергенцию: Tabcd = УABCD^'а'В'С'ГУ — (А' |ф(ДвУс) О'Ф! В' (abc) d> Т асд = О, V i^gj = 0. Свойства положительной определенности максвелловского тензора энергии-импульса Тензор Таь обладает важным свойством положительной опре- деленности. Заметим, что для любой пары спиноров цА, \А с со- ответствующими изотропными векторами имеем TabMaNb = -Jj-1 ФЛВ^В I2 > 0, E.2.8) т. е. это неравенство выполняется для любой пары направлен- ных в будущее изотропных векторов. Поскольку любой времени- подобный или изотропный вектор, направленный в будущее (причинный вектор), есть сумма двух таких изотропных векто- ров, в силу соотношения E.2.8) получаем следующее предло- жение. Предложение Для любой пары направленных в будущее причин- ных векторов Ua, V выполняется соотношение TabUaVb>0. E.2.9) Его можно сформулировать в несколько иной форме: Предложение Для любого направленного в будущее причинного вектора V выполняются соотношения VaTabV"^0. E.2.10)
ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ 391 Поскольку соотношение E.2.9) означает, что вектор VaTab имеет неотрицательное скалярное произведение со всеми направлен- ными в будущее причинными векторами, он и сам является причинным [первое соотношение в формуле E.2.10)], если век- тор Vй обладает этим свойством [второе соотношение в формуле E.2.10)]. Условие E.2.9) [или E.2.10)] иногда называют усло- вием энергодоминантности. Если V" — вектор 4-скорости некото- рого наблюдателя, то ТаьУ' есть соответствующий 4-вектор Пойнтинга с компонентами (энергия, 3-вектор Пойнтинга). Та- ким образом, в предложении E.2.9) утверждается, что скорость потока энергии, задаваемого вектором Пойнтинга, не может пре- вышать скорости света. Заметим, что ослабленная форма приведенного выше энерге- тического условия b>0 E.2.11) (называемая иногда слабым энергетическим условием) озна- чает, что плотность энергии, измеренная некоторым наблюдате- лем G"оо), должна быть неотрицательно определенной функцией его 4-скорости Vй (которая для него является компонентой ме- трики go")- Представляет интерес исследовать геометрическое место точек, задаваемое уравнением TabVaVb = 0. E.2.12) Выберем сначала в качестве Vй изотропный вектор Na = = vAvA фО. Согласно формуле E.2.8), произведение TabNaNb обращается в нуль тогда и только тогда, когда а это имеет место [формула C.5.22)], если флагшток спинора vA указывает в одном из двух (возможно, совпадающих) глав- ных изотропных направлений поля фдв (предполагается, что Флв^О). Это будут единственные причинные векторы V, для которых выполняется равенство E.2.12). В самом деле, если вектор V времениподобен и направлен в будущее, можно было бы найти направленный в будущее изотропный вектор Ма, ко- торый не был бы главным изотропным вектором поля флв, и представить V в виде линейной комбинации вектора Ма и дру- гого изотропного вектора. Подставив такое разложение в E.2.12), мы получили бы сумму неотрицательных [в силу пред- ложения E.2.9)] членов, из которых по крайней мере один (а именно ТаьМаМь)) был бы строго положителен; Поэтому мы приходим к следующему заключению.
802 ГЛАВА • Предложение Соотношения TabVVb = 0, VVa > 0; V Ф О выполняются тогда и только тогда, когда V есть главный изотропный вектор поля (рлв. E.2.13) Аналогичные выводы справедливы для тензора Беля — Робин- сона: Предложение TabcdSaUbVcWd^0 для всех направленных в буду- щее причинных вектороз S", Ua, V, Wa. E.2.14) Предложение VbVcV = 0, VaVa > 0, V ф О тогда и только тогда, когда V — главный изотроп- ный вектор поля ^abcd- E.2.15) Доказательство в точности повторяет соответствующее дока- зательство для электромагнитного случая. Главные изотропные направления поля Wabcd, как будет видно из дальнейшего, иг- рают ключевую роль в классификации алгебраических типов тензора Вейля (гл. 8). В гл. 4, § 8 отмечалось [формула D.8.13)], что тензор Бе- ля — Робинсона удовлетворяет квадратичному тождеству (по- мимо условий симметрии и бесследовости), хотя явное тензорное выражение для него не было найдено. В случае электромагнит- ного тензора энергии-импульса имеем Taba'b'Tcdcd' = Tabcd'Tcda'b1, E.2.16) что непосредственно вытекает из равенства E.2.4). Тензорная форма этого соотношения в теории Максвелла хорошо известна. Ее можно получить из E.2.16), последовательно применяя B.5.23): \)gab. E.2.17) § 3. Условия Райнича Как было показано в предыдущем параграфе, максвеллов- ский тензор энергии-импульса Таь действителен, симметричен и имеет следующие свойства: I. 7У = 0; II.
ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ 393 III. TabUaVb>0 для любой пары направленных в будущее причин- ных векторов Ua, Vй. E.3.1) Все они автоматически следуют из спинорного представления Таь = kq>ABq>A'B' [формула E.2.2)] с учетом равенства флв = = Ф(дв) и действительности и положительности коэффициента k. Верно и обратное: для любого действительного симметричного тензора Таь, обладающего свойствами E.3.1) в любой заданной точке, существует соответствующая спинорная форма в этой точке и существуют действительные кососимметричные решения Fab уравнения E.2.3); более того, все такие решения получаются друг из друга с помощью дуальных поворотов [формула C.4.42)]. Этот результат впервые был установлен Райничем, и требования E.3.1) получили название условий Райнича. Позже результат был заново открыт Мизнером и Уилером [117] и лег в основу развитой ими «геометродинамики». Разумеется, чтобы допускать интерпретацию тензора электромагнитного поля, тен- зор Fab должен удовлетворять уравнениям Максвелла, и потому должны быть наложены некоторые дальнейшие (дифференциаль- ные) ограничения на тензор Таь, чтобы он мог быть тензором энергии-импульса реального электромагнитного поля. Эти усло- вия (для неизотропных полей) также были впервые разрабо- таны Райничем, а затем вновь открыты Мизнером и Уилером [117]. По-видимому, можно утверждать, что эта теория наиболее просто выглядит в спинорном формализме, в котором впервые ее представил Виттен [198]; наше изложение ниже несколько отличается от его формулировки. Пусть задан действительный симметричный тензор Таь, об- ладающий свойствами E.3.1). Возвращаясь к соотношениям C.4.4) — C.4.6), нетрудно видеть, что в силу свойства I [фор- мула E.3.1)] справедливо равенство = Т(ав) {А'В'). E.3.2) Соотношение II [формула E.3.1)] в спинорной форме имеет вид Гр ГТ\ВВ' _ I АА'ВВ'1 СС, ~ елсвЛ'С'. Отсюда, применяя формулу B.5.23), получаем т [B'TD'\ war ТАЛ' [В ID) СС ~ &AC&A'C&Blfi и, следовательно, Т(А' | \B'TD'\ | О п ,а о «\ /(лцвТоцс) =0. E.3.3) Используя свойства симметрии E.3.2) для перестановки А с В и С с D и производя переобозначение индексов А*~>В, C*-*-Dt
394 ГЛАВА 5 получаем O. E.3.4) Складывая это равенство с E.3.3) и раскрывая некоторые сим- метризации, находим Т(А' I [B'TD'\ | С) п /с о с\ Т\л i%\ = 0, (о.о.о) где введены обозначения ^ = АВ и ^ = CD. Воспользовав- шись вновь свойством симметрии E.3.2) и переобозначив индек- сы, из E.3.5) получаем г,л',<в'г?;нс'1 = 0> E3.6) Складывая с E.3.5) и повторяя операции, приведшие к E.3.5), найдем itfTvP^O, E.3.7) где $?' = А'В', 9" = CD'. Это эквивалентно равенству Тлл'Т-g-g' = Тлъ'Т-ел'. E.3.8) Выберем теперь произвольный отличный от ну_ля спинор X* и умножим обе части равенства__E.3.8) на X X ; это приводит (в областях, в которых 1%%'Х'Х Ф 0) к соотношению Тал» = (Tvv>X*Xr>)"' T^XV'T^'XV, E.3.9) которое, благодаря действительности тензора Таь имеет требуе- мый вид Тава'В' = *ФлвфА'В' E.3.10) во всякой точке1), где k — действительный скаляр [формула C.5.5)]. Последнее из условий Райнича [III в формуле E.3.1)] означает, что любой такой скаляр k, заданный соотношениями E.3.10) и E.3.9), положителен. Поэтому можно нормировать поле флв так, чтобы выполнялось равенство k= 1/2я, как в фор- муле E.2.4). Тензор Fab, введенный соотношением E.1.39), авто- матически удовлетворяет условию E.2.3), и тем самым установ- лено существование решения E.2.3) во всякой точке. Очевидно, что это решение не единственно, поскольку преобразование фЛВн->е~1вф/1в (в — действительно) оставляет E.2.4) без измене- ний и соответствует дуальному повороту /•"<,*>•—*-<e)Fa(, [формулы C.4.42), (&4.43)]. В то же время ясно, что это единственный произвол, который допускает соотношение E.3.10) во всякой >) На этом этапе возможность выбора всюду непрерывного спинорного поля улв не гарантируется.
ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ 395 точке [формула C.5.2)]. Таким образом, алгебраическая часть теории Райнича доказана. Прежде чем переходить к дифференциальной части этой тео- рии, посмотрим, каков смысл величины, характеризующей элек- тромагнитное поле, которую Мизнер и Уилер называют комп- лексией (complexion). Как мы видели выше, все полевые тен- зоры Fab, имеющие одинаковый тензор энергии-импульса Таь, отличаются друг от друга дуальным поворотом в каждой точке. Во всех таких классах, кроме случая К = 0 (изотропное поле), существуют два и только два поля, различающиеся лишь зна- ком, которые являются «чисто электрическими», т. е. имеют ин- варианты Р < О, Q = 0 [см. текст после формулы E.1.70I. Действительно, пусть Fab — любое поле из выбранного класса, щв — соответствующий ему спинор и К'=—е~2{ОКо— инва- риант (/Со действительно и положительно). Тогда поле Раь = = ±S~6)Fab будет описываться спинором е'ефлв> и при любом выборе знака мы имеем е21еК = —Ко, что отвечает чисто элек- трическому полю в соответствии с определением E.1.68). Оче- видно, что Fab = ±@)Раь. Угол Э, заданный с точностью до це- лого кратного я, и называют комплекеией поля Fab; это угол, на который нужно совершить дуальный поворот, чтобы превратить ±Раь в Fab (дуальный угол). Этот параметр становится неопре- деленным, лишь когда поле изотропно. Но в общем случае поле Fab становится изотропным на некоторой двумерной поверхности (поскольку уравнение К = 0 соответствует двум действительным уравнениям в четырехмерном пространстве). Таким образом, тензор Tab «общего вида», удовлетворяющий условиям E.3.1), также будет давать TC(tTcd = 0 на некой двумерной поверхности, на которой дуальный угол становится неопределенным. Может оказаться, что область пространства-времени, из которой уда- лена рассматриваемая поверхность, не является односвязной: двумерная поверхность как раз является многообразием нуж- ного для этого числа измерений в четырехмерном пространстве. Выбрав некоторую замкнутую кривую вокруг такой 2-поверх- ности, можно непрерывным образом превратить Р^ь в —Раь, так что постоянный глобальный выбор знака поля Р«ь становится невозможным. Эта трудность возникает еще до того, как мы переходим к рассмотрению полевых уравнений Райнича. По- этому, чтобы продвинуться дальше, мы будем предполагать, что рассматривается такая область пространства-времени, в которой поле Раь может быть задано имеющим постоянный знак. Более того, будем предполагать, что поле Раь можно выбрать глад- ким — что само по себе не следует из предположения о глад- кости поля Таь, если существуют области, в которых Таь обра- щается в нуль.
396 ГЛАВА 5 Дифференциальное условие Райнича Предположим теперь, что в соответствии с этими допуще- ниями задан тензор энергии-импульса Таь, удовлетворяющий условиям Райнича E.3.1). Тогда в каждой точке интересующей нас области имеется гладкий тензор Раь чисто электрического типа, которому соответствует тензор энергии-импульса Таь. По- ставим вопрос: можно ли найти тензор поля Fab = ^Раь при неком действительном 6, который удовлетворял бы уравнениям Максвелла и в силу этого представлял бы собой максвелловское поле, имеющее тензор энергии-импульса Таь? Если %ав — сим- метричный спинор, соответствующий тензору Раь, причем х = = {\/2)%ав%лв < 0, то спинор е~1в%дв будет соответствовать тен- зору Fab. Применяя уравнения Максвелла E.1.57) к этому спи- нору, получаем Va* (e-!Vs) = e-"WAB - to" VW = 0. Сокращая экспоненциальный множитель, умножая на %вс и ис- пользуя B.5.23), найдем далее О, E.3.11) что после некоторого преобразования индексов дает ^ E.3.12) где Saa'—спинор, задаваемый этим равенством. Поскольку 0 — действительная величина, Saa' — действительный вектор. Наша задача теперь сводится к отысканию тензорного эквивалента спинора Saa' и решению уравнения E.3.12) относительно в. Прибегнем к явному построению. Продифференцировав обе части равенства E.2.4), заменив в нем ц>ав на %ав, выполнив однократную свертку и положив k = 1/2я, получим один член в правой части, имеющий вид Saa''- ЧАС,ТАА'ВВ' = к%А'в'чАС>ХАВ + kxAB7AC%A'B'. E.3.13) Продолжая построение далее, умножим E.3.13) на E.2.4) с % вместо ф, заменив индекс А на D: Tda'bb'VacTaa'bb' = 2k2noBVAc%AB + k2%eDA%A'B'VAc%A'B' = = 2ik2%2SDc + khVocX, E.3.14) где также использовано условие действительности %. Последнее слагаемое в формуле E.3.14) можно исключить, сделав комп- лексное сопряжение, переобозначив индексы и вычтя получен-
ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ 897 ное равенство из E.3.14); действуя таким путем, получаем /|-(А,2е Т л тАА'ВВ' Т V7 тАА'ВВ' 4l« % bDC = / DA'BB'VAC'l — t AC'BB'VDAI = = ieAA>Dc>PP'QQ'TBB'PP'VQQTAA'BB', E.3.15) где при переходе ко второй строке использовано соотношение C.3.46): дуализация дает разность двух членов, различающихся положением пар индексов АС и DA', как в предыдущей строке. Используя соотношение получающееся из E.1.68) и E.2.2), можно перейти к тензор- ному представлению E.3.15) (с очевидной заменой индексов): е РЧТ^ V ТаЬ s еас 'tpV E.3.16) Дифференциальное условие для Таь теперь получается путем подстановки выражения E.3.16) в условие интегрируемости уравнения E.3.12): -V«S» = 0, E.3.17) которое должно выполняться, поскольку в — скаляр. Если это условие выполняется, то дуальный угол 6 определяется уравне- ниями E.3.12) и E.3.16) с точностью до аддитивной постоянной. Анализ следствий из уравнений Максвелла в областях, содер- жащих поверхности, на которых поле изотропно (или нулевое), и в неодносвязных областях выходит за рамки нашего изложе- ния. Заметим, однако, что алгебраическая часть этой теории одинаково применима и к неизотропным, и к изотропным полям. § 4. Векторные расслоения В своей книге мы все время подчеркиваем ту мысль, что алгебраические соотношения, которым удовлетворяют различ- ные типы полей, составляют основу теории (алгебра абстракт- ных индексов и формальные правила для оператора V), тогда как геометрическая интерпретация этих объектов и операций вторична. Но в то же время часто бывает полезно иметь геоме- трическую картину, и в гл. 1 была принята именно такая гео- метрическая точка зрения на сами спиноры. Там мы останав- ливались, правда, не углубляясь в детали, на понятии векторных расслоений (гл. 1, § 5), которые используются при переходе от локального к глобальному описанию. Поскольку удается дать достаточно полную локально-геометрическую картину простран- ства спин-векторов, там мы могли до известной степени избегать описания с помощью расслоений. Однако в случае заряженных
398 Рис. 5.1. График некоторой функции у = f(x). полей электромагнитной теории и тем более в случае «мульти- заряженных» полей теории Янга — Миллса, к которой мы наме- реваемся перейти, геометрическое содержание теории трудно будет понять без обращения к теории расслоений. Поэтому здесь будет дано краткое изложение основных понятий этой теории. Начнем с очень простого понятия графика функции. Рассмот- рим действительнозначную функцию одной действительной пе- ременной f: R>—*R. Обычно график некой функции f строят, как показано на рис. 5.1, проводя горизонтальную ось х, верти- кальную ось у и вычерчивая геометрическое место точек у = = f(<c). Предположим, однако, что мы имеем дело с «функ- циями» другого сорта, «значения» которых не просто числа и не обязательно сопоставимы при разных значениях аргумента х. Хорошим примером такой функции может служить функция, значениями которой являются касательные векторы в многооб- разии, т. е. эта функция — векторное поле. Таким образом, вме- сто оси х на рис. 5.1, изображающей R, мы будем представлять себе некоторое многообразие М, называемое базой (для опре- деленности будем говорить о сфере S2). Вместо оси у нам нужно что-то изображающее касательное пространство в типичной точ- ке многообразия Jt. Но поскольку касательные пространства в любых двух не совпадающих точках многообразия Jt, вообще говоря, не находятся в каноническом соответствии одно другому, их следует представлять себе не как тождественные, а лишь как изоморфные пространства, называемые слоями, один слой для каждой точки Jt. Слой, соответствующий точке Р е Jt, назы- вается слоем над Р. Если график функции f: R •—*¦ R лежит просто в прямом произведении пространств R X R, то теперь наш график принадлежит более сложному пространству, назы- ваемому (в рассматриваемом примере) касательным расслое- нием T(Jt) многообразия Jt. Векторное поле на Jt можно пред- ставить графиком, который называется сечением расслоения Т(Л) (рис. 5.2). Касательное расслоение представляет собой лишь один (очень важный) пример векторного расслоения, в котором слои
ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ 399 Слой над Р I Сечение, представляющее^ векторное папе 1 Т(М) Рис 5.2. Касательное расслоение многообразия Л и одно из его сечений, представляющее векторное поле на JC. являются касательными пространствами в различных точках многообразия JL (и конечно, понятие расслоенных пространств приложимо и к пространствам базы, отличным от рассматривае- мого нами пространства-времени). Другой пример — тензорные и спинорные расслоения; здесь сечениями являются элементы модуля ? или © при некотором фиксированном зФ, т. е. все тензорные или спинорные поля, которые мы рассматривали до сих пор: их свойства можно было бы изложить, пользуясь тео- рией расслоенных пространств. Векторные расслоения над Л можно построить, выбирая в качестве слоев любые действитель- ные или комплексные конечномерные векторные пространства (которые могут быть совершенно независимыми от касательного пространства к Ж и от ассоциированных с ним спинорных про- странств— например, пространство изотопического спина, об- суждавшееся в начале гл. 4, и «пространства цвета», часто рас- сматриваемые в современной физике элементарных частиц). Пространства в различных точках должны быть все изоморфны друг другу при одном важном дополнительном предположении: если говорить нестрого, эти векторные пространства должны «гладко соединяться» друг с другом (так, чтобы имело смысл говорить о «гладком» сечении). Таким образом, хотя нам и не требуется знать, какие элементы в различных слоях соответ- ствуют друг другу, мы должны знать, какие элементы в соседних слоях «мало отличимы» друг от друга. В действительности каж- дая точка многообразия JC должна принадлежать некоторой от- крытой окрестности ЩаЛ, такой, что часть расслоенного про- странства над Ш гладко эквивалентна прямому произведению пространств, тогда как все расслоенное пространство может и не быть прямым произведением пространств. Пример такого нетривиального расслоения см. на рис. 5.3 ниже.
400 ГЛАВА 6 Определение векторных расслоений Наша цель — введение такой абстрактной тензорной алгебры, которая была бы пригодна в случае расслоенных пространств. Для этого необходимо ввести индексы расслоения (обозначае- мые заглавными греческими буквами) дополнительно к обычным пространственно-временным (и спинорным) индексам. Мы по- строим систему $ф (или @ф), элементы которой описывают (С00) гладкое сечение расслоения. Дадим вначале определения в ко- ординатном описании, справедливом локально на Ж, применяя в соответствии с общими соглашениями гл. 2 заглавные грече- ские буквы жирного шрифта, расположенные справа.Далее про- цедура непосредственно приводит нас к глобальной и не зави- сящей от координат системе абстрактных индексов. (Близкий подход был недавно предложен в работе [9].) Нам потребуется более формальное определение векторного расслоения [18]. Пусть задано (хаусдорфово, паракомпактное, С°°) многообразие Ж; тогда действительным (комплексным) fc-мерным векторным расслоением над Ж называется многооб- разие 9§, снабженное С°°-отображением П:@-*Ж E.4.1) (понимаемым как проекция, сжимающая каждый слой в точку многообразия Ж «под» ним), таким, что П^) есть действительное (или комплексное) век- торное пространство размерности k для всякой точки Р<=Ж. E.4.2) Далее, определяя сечение Я слоев П-1 (Ш) для всякого откры- того множества %(,<=. Ж как отображение класса С°° %: <U -> П~' {<U), . E.4.3) такое, что ПоХ, есть единица на 1С, потребуем, чтобы существо- вало покрытие многообразия Ж семейством открытых множеств {<Ui}, Ж=\}а11ь таким, что i i i Для всякого 111 существует базис 8Ф = 81( ..., сечений П (<М,), E.4.4) i с помощью которого сечение X слоев П (<и{) однозначно представимо в виде (без суммирования по i) АФгФ, E.4.5)
ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ 401 где КО = К, .... Я*<=?(%) [или 6(^i)]. Сложение двух се- чений и умножение их на скалярные поля определяется очевид- ным образом в соответствии с линейной структурой слоев. Условие E.4.4) означает, что в определенном смысле многооб- разие $1 локально имеет структуру прямого произведения (ло- кально в Ж). Любое глобальное сечение X расслоения пространства $1 будет обладать тем свойством, что его ограничение на любое открытое множество Ш<=.Ж совпадает с сечением слоев И~1{Ш) Однако если 0 фШфЖ, могут существовать сечения П-1 которые не являются ограничениями глобальных сечений &, а именно те, которые из-за плохой дифференцируемое™ на гра- нице Yl-x{°U) не могут быть продолжены за нее. Мы будем тре- бовать существования модуля сечений, расширяемых над 11. Пусть Ш задается некоторым элементом /е®, f#0. Тогда, как ив гл. 1, § 1, требуемые расширяемые сечения могут быть представлены как классы эквивалентности сечений расслоения пространства $, таких, что "к « ц, если fk = fp. Пусть 11 — от- крытое множество Bi,a °U'— «чуть меньшее» открытое мно- жество, для которого Ш' (замыкание 11' в Ж) alt; тогда огра- ничение на 11' любого сечения над 11 также является ограни- чением на 11' некоторого глобального сечения (поскольку такое глобальное сечение может гладко спадать до нуля между Ш' и °U и затем быть нулевым вне 1С). В частности, базис 8ф над Ш\ в E.4.4) ограничивается до базиса 8ф над «чуть меньшим» множеством <и'\, причем каждый из элементов 8ь .... b'k рас- ширяется до некоторого глобального поперечного сечения. Лю- бое покрытие {Hi} многообразия Ж можно таким путем «слегка уменьшить» до покрытия \°И\\, такого, что% с: Щ{. Путем таких же рассуждений, как и в гл. 2 § 4, можно по- казать, что существует конечное покрытие {%} многообразия Ж и разбиение единицы «eJ, такое, что «>0 и Z «= 1» где Ki определяется условием и Ф 0, причем базис 8Ф можно те- перь выбрать расширяемым до глобальных сечений. Стало быть, если "к есть произвольное (глобальное) сечение многообразия 31, мы будем иметь элементы Ге2 (или ©) (компоненты к в иф' иХ 5Ф. базисе 5Ф;, для которых
402 ГЛАВА б Таким образом, суммируя, получаем Я,=:?ылф8ф. E.4.6) Из изложенного в гл. 2, § 4 следует, что сечения многообразия Jf образуют полностью рефлексивный модуль над ? (или @). Теперь мы введем прописные буквы греческого алфавита Ф, ?, ... в качестве абстрактных индексов, помечающих эти се- чения, и обозначим модуль и его изоморфные копии через ?ф, Zv (илиЬф, <3W, ...). Тогда соотношение E.4.5) можно переписать в виде Лф = Л5егФ (или G*) E.4.7) в случаях, когда существует глобальный базис бф для сечений. Если же базиса нет, то в силу формулы E.4.6) имеем ЯФ=1;^Ф6Ф. E.4.8) i Модуль ?ф (или бф) сечений расслоения дает возможность охарактеризовать многообразие ¦$ как расслоение над Ж с точ- ностью до изоморфизма: по определению два расслоения над Ж рассматриваются как изоморфные тогда и только тогда, кохда соответствующие модули сечений изоморфны как модули над % (или @). Отметим, что Яф (с абстрактным индексом) просто обозна- чает полное сечение и не требует выражения через координат- ные области. Это еще одна иллюстрация удобства применения абстрактных индексов: вычисления с ними автоматически при- обретают глобальную значимость. Явное построение расслоений Чтобы явно построить векторное расслоение X над Ж, рас- смотрим покрытие многообразия Ж открытыми множествами 111, 'Ui, ¦¦-, над каждым из которых расслоение есть просто прямое произведение °U\ X RA (или <%Х С.*), причем базисные сечения E.4.4) имеют вид <м,Х(Ь о,.... о), <w,x(o, 1, о,.... о), .... <м,х(о о, о. Поскольку всякая точка многообразия Ж лежит хотя бы в одном множестве °lli, всякая точка многообразия 31 лежит по крайней мере в одном множестве ^iX R* (или ili'X С.*). Но некоторые точки многообразия Ж могут лежать в двух или более множе- ствах Ч1\, и тогда необходимо задать явные преобразования, ха- рактеризующие склейку. Итак, если Ps%H% то пара
ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ 403 (р, i)e=^,XR* (jmu^iXC*) и пара (р, i)e=<2/jXR* (или <U\ X С.*) будут представлять один и тот же элемент расслоения тогда и только тогда, когда | и 1 y = L(P)y (без суммирования), E.4.9) где для всякой пары i, j и для всякой точки Р справедливо утверждение L(P)(=QL(k, R) (или ОЦк, С)), E.4.10) и где L (Р) — матрица, С°°-гладко зависящая от Р, a GL — группа неособых k X /г-матриц. Для непротиворечивости нужно предпо- ложить, что {()) E.4.11) и для всякого пересечения liiQiijfl<Ub выполняется равенство L (P) L (Р) = L (Я) (без суммирования). E.4.12) Семейство матриц E.4.10), удовлетворяющих условиям E.4.11) и E.4.12), служит для определения расслоения. На практике бывает удобно объединить склейку слоев со склейкой самого многообразия. Тогда различные Iti можно за- дать как карты на Ж с координатами для х е % к' = хх /gR", E.4.13) а для всякого пересечения <%n^j определить преобразования координат. Матрицы L являются С°°-гладкими функциями этих координат, и соотношения E.4.9), E.4.11) и E.4.12) заменяются соотношениями E.4.14) . E.4.15) 1} / ! \ ik f k'\ 1к/кЛ L\x")L\x") = L\x'), (без суммирования). E.4.16) Нетривиальность понятия векторного расслоения (в противо- положность простому прямому произведению) связана с тем, что слои могут обладать симметриями (т. е. нетривиальными автоморфизмами). Это, например, очевидно в случае касатель- ных пространств к точкам сферы S2, поскольку такие простран- ства переходят в себя при поворотах. Но даже если слои одно- мерны (и действительны), такие симметрии могут быть. Пусть, например, каждый слой есть одномерное действительное вектор-
404 ГЛАВА 8 Координатные „ , и -41 области. Гладкое сечение •*> -« Рис. 5.3. Лист Мебиуса как одномерное векторное расслоение над 51. ное пространство У, не обладающее дополнительной структу- рой. Тогда единственным каноническим элементом простран- ства У будет нулевой элемент, а все остальные его элементы равноправны. Автоморфизмы пространства У задаются выбо- ром произвольного ненулевого элемента re R и отображения пространства У в себя по правилу у^-^ry, где У е Т . Чтобы на простом примере показать, каким образом это может при- вести к нетривиальному векторному расслоению, рассмотрим лист Мебиуса (рис. 5.3). Здесь пространство базы Ж представ- ляет собой окружность S\ а слои У — одномерные действи- тельные векторные пространства. Выберем для Ж две карты 1 2 °U\ и <Ui с координатами лге(—1, 1) для °UX и л; е (— 1, 1) в области перекрытия °U\ Л <?^2(=^>U^:>) имеем * = I 9 (область 8S), и имеем для <24 Ч = х— 1 2 если — 1<лс<0, 0<х<1 1 2 = х+ 1, если 0< х< 1, —1 < л: < 0 (область F7). В каче- стве координаты в слоях выберем yeR, полагая -1 В Й?, 12 в 12 Поскольку й? и Ж не пересекаются, ясно, что L является ото- бражением класса С00. Заметим, что векторное расслоение в виде листа Мебиуса топологически отлично от прямого произведения пространств S'XR: ориентация слоя меняет свое направление на противоположное в результате обхода вдоль окружности S1. Необходимо привлечь автоморфизм пространства У, состоя- щий в умножении на отрицательное число, и поэтому существен- но, что слои не являются каноническими копиями пространства R, не допускающего таких автоморфизмов. Можно также про- иллюстрировать различие между цилиндром S1 X R» рассматри-
ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ 405 ваемым как расслоение над 51, и векторным расслоением Ме- биуса, сравнив сечения: по топологическим причинам любое сечение расслоения Мебиуса должно где-то становиться нуле- вым, чего, очевидно, нет в случае цилиндра. . Можно предложить другой способ деформировать расслоение S1 X R. Чтобы построить расслоение Мебиуса, пришлось при- влечь симметрию у*—>—у векторного пространства Т\ По- смотрим, как можно было бы использовать симметрию типа у>—*-2у. Предположим, что мы построили расслоение над 51 и ввели на нем координаты в точности, как в случае листа Ме- биуса, но теперь положим 41 2bF. Теперь, если обойти один раз окружность S1, мы обнаружим растяжение F'b 2 раза (или сжатие при обходе в обратном на- правлении). Однако если применить критерий эквивалентности расслоений, который был сформулирован выше, то мы найдем, что наша «растянутая лента» не отличается от S1 X R. Действи- тельно, можно найти семейство ненулевых С°°-гладких сечений (которое постепенно вводит множитель 2 при прохождении окружности S1), и это семейство можно отобразить на постоян- ные сечения у — а цилиндрического расслоения S1 X R. Иногда имеет смысл естественным образом ввести дополни- тельную структуру в векторное расслоение 55, которая позво- лила бы отличить упомянутую растянутую ленту от цилиндра. Это — структура, позволяющая охарактеризовать некоторые се- чения как локально-постоянные (или «горизонтальные»). В слу- чае цилиндра S1 X R локально-постоянные сечения существуют как глобальные. В случае же растянутой ленты, если сечения выдерживают локальное постоянство, мы получим расхождение в 2 раза, обойдя один раз окружность S1; лишь нулевое сечение всюду локально-постоянно. Связности в расслоенных пространствах Чтобы придать точный смысл понятию локального постоян- ства сечения, необходимо ввести «связность» в расслоении &. Прежде всего заметим, что оператор градиента Vo, действующий на скалярные функции на многообразии Ж, всегда существует (по определению многообразия). Точно так же, как его можно расширить на пространство касательных векторов (тензоров и
406 ГЛАВА 8 спиноров), что приводит к понятию «связности в многообразии'», возможно расширение и на другие типы сечений расслоения (и соответствующие им тензоры), приводящее к понятию «связ- ности в расслоении». Если определены оба расширения одно- временно, то такой оператор можно применять и к объектам со смешанными тензорными, сиинорными и абстрактными индек- сами сечений. Рассмотрим кривую у в i с касательным век- торным полем X. Если на многообразии Ж задана связность, то касательное векторное поле 1 называется постоянным (или параллельно-переносимым) вдоль Y. если действие на него опе- ратора V* = XaVa дает нуль. Точно так же сечение i. будет ло- кально-постоянным, если действие на него оператора V* дает нуль. Как правило, оператор Va, действующий на сечения про- странства $?, будет некоммутативным (если только базовое пространство Ж не одномерно), что приводит к понятию кри- визны. Тогда неинтегрируемость, иллюстрируемая растяжением полосы на глобальном уровне, может проявиться также на ин- финитезимальном уровне при обходе по малой петле в базовом пространстве. Допустим, что задан оператор градиента Ve; тогда связность в расслоении расширяет его область определе- ния до сечений в соответствии с требованиями Va: 2Ф- 2Ф (или ©Ф^©Ф), E.4.17) Va (*Ф + цФ) = V.*" + V.I»". E.4.18) Va (Дф) = Яфу0/ + fV.** f s Z (или <ВФ). E.4.19) Это определение далее обычным образом можно расширить на тензоры в сечениях, т. е. на объекты, характеризующиеся не- сколькими заглавными греческими индексами. Оператор V* по- прежнему определяется как A^Va. Тогда можно ввести оператор Дай, определяемый соотношением W-VV-V =XaY\ab E.4.20) X Y Г X ]Х, Y] [формула D.3.32)], поскольку левая часть этого равенства би- линейна по Ха и У°. Тем самым мы определяем кривизну в рас- слоении Каьа ^ 2*Ь1 q (или ® ) =:/Са&йФЯа E.4.21) [формула D.2.30)]. Если кручение отсутствует (как в случаях, представляющих для нас наибольший интерес), то мы имеем также fle6 = Aa6:=VaVh-VuVa. E.4.22) так что Л* = (VaVft - V6Va) ЯФ. , E.4.23)
ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ 407 О других свойствах кривизны в расслоении, включая ее описа- ние в спинорном формализме, речь пойдет в конце § 5. Заме- тим, что Каьиф сводится к тензору Римана Rabcd, если $ — каса- тельное расслоение и используется связность Кристоффеля в нем. Об использовании формализма абстрактных индексов в кон- тексте векторных расслоений можно было бы сказать гораздо больше. Здесь мы ограничимся лишь несколькими замечаниями. Прежде всего отметим, что, как и в рассуждениях гл. 4, § 2, пе- реход от одной связности в расслоении Vo к другой связности Va описывается элементом Qa<D* e ?aa> {или ©оф)> причем (Va-Va)^=Qaa>V E.4.24) и имеет место формула, аналогичная формуле D.2.51), для из- менения кривизны в расслоении. Зависимость общих выражений от выбора связности в расслоении можно исследовать с по- мощью соотношения E.4.24) и его обобщений, аналогичных фор- муле D.2.48). . Связность в расслоении существенна также, если рассматри- ваются поля на самом пространстве 9& (что иногда весьма целе- сообразно), даже в простейшем случае скалярного поля на 38. Действительно, пусть F— такое скалярное поле. Тогда F есть функция не только точек Р е Ж, но и «координат в слое» уф е е?ф[Р] (млы @Ф[Я]). Тогда внешняя производная (градиент) dF функции F будет состоять из двух частей, а именно ^ и VaF. E.4.25) Первая вычисляется в фиксированной точке Р при варьирова- нии координат уф, что представляется естественной производной внутри каждого векторного слоя, тогда как вторая рассматри- вается при «постоянном» уф. Вторая величина имеет инвариант- ный смысл, только если определена связность в расслоении. Если же этого не сделать, то невозможно инвариантным образом рас- щепить d/ на две части типа E.4.25) (хотя первая часть сама по себе инвариантна всегда). Аналогичные, но более сложные замечания можно сделать применительно к высшим производ- ным. Заметим, что если функция F аналитична в окрестности нулевого сечения 38, то ее можно представить в виде где
408 ГЛАВА 5 (или @, @ф, ...), так что функция F может быть представлена в виде бесконечной последовательности тензоров в расслоении {ft /ф> f<t>i> • ••)• Тогда мы найдем, что вклады типа E.4.25) бу- дут иметь вид (/в, /вФ, ...) и (Va/, Vo/ф ...). соответственно. § 5. Поля Янга — Миллса Познакомившись с основными свойствами векторных расслое- ний, мы можем теперь сделать определенные обобщения в тео- рии электромагнитного поля, развитой в § 1. Электромагнитное поле представляет собой простейший тип калибровочного поля, которое соответствует группе U{\), поскольку калибровочное преобразование E.1.21) осуществляется путем умножения на скалярные поля единичного модуля, т. е. на поля элементов группы Ли U(\). Аналогичные теории можно построить для дру- гих групп Ли; соответствующие аналоги максвелловского поля называются полями Янга — Миллса [202]. Считается, что они имеют отношение к взаимодействиям элементарных частиц. В данном параграфе будет показано, что формализм аб- страктных индексов позволяет естественным образом описывать поля Янга — Миллса. При этом формулы иногда оказываются более громоздкими, нежели в обычном подходе, но наша цель не в том, чтобы заменить последний, а в том, чтобы показать, как поля Янга — Миллса вписываются в общую схему форма- лизма абстрактных индексов. Это имеет важное концептуальное значение, а в некоторых случаях и помогает в вычислениях (см. также [9]). Математически теория полей Янга — Миллса тесно связана с понятием векторных расслоений и связностей в таких расслое- ниях. Заряженные скалярные поля (элементы пространства б) электромагнитной теории могут рассматриваться как сечения векторного расслоения, слоями которого являются одномерные комплексные векторные пространства (расслоение комплексных прямых), и тогда связность Vo, определяемая формулой E.1.9), есть не что иное как связность в таком расслоении. Обобщение на поля Янга — Миллса состоит в том, чтобы рассматривать в качестве слоев абстрактные векторные пространства общего вида У (не имеющие прямого отношения к касательным про- странствам для многообразия Ж или соответствующим спинор- ным пространствам); сечения получающегося расслоенного про- странства Я являются заряженными полями теории Янга — Миллса, представляющими собой пространственно-временные скаляры (т. е. не имеющими пространственно-временных индек- сов), а элементы некоторой непрерывной группы симметрии век- торного пространства У описывают калибровочные преобра- зования.
ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ 409 Будем использовать заглавные буквы греческого алфавита в качестве абстрактных^ индексов, помечающих элементы век- торных пространств У" *» Уф «* Tw « ..., а также модулей ©фда©^ « ... поперечных сечений пространства 38. Если У" — и-мерное векторное пространство, то элемент Яф модуля ©ф может быть локально описан п скалярными полями А.1, ... ..., А," е ©, но ни одно из таких представлений не будет кано- ническим. Таким образом, чтобы сопоставить компоненты А.ф (локально) заряженному полю теории Янга — Миллса (ЯМ), необходимо произвольно выбрать некоторый гладкий базис для пространства У" в каждой точке многообразия Ж, который, хотя бы локально, мог бы служить базисом для заряженных по- лей в теории ЯМ,6* == (бф, ..., 6Ф), так что А® = Аф6ф. Модули ©ф, ©чг ©е.'.'.'л> ••• определяются с помощью @ф стан- дартным образом; можно также ввести спинорные (и тензорные) индексы, что приводит к модулям © == ©в.'.'.'ao'V.! jv, где теперь все типы индексов обозначены рукописными буквами si-, 38, ... . Структура пространства Т'; связность Янга — Миллса Векторное пространство У" может быть либо действитель- ным (и в этом случае компонентные поля Яф, отвечающие полю Яф, можно выбрать действительными), либо комплексным. В дей- ствительном случае для обозначения модуля ЯМ-заряженных полей Я,ф мы будем пользоваться символом ?ф, а не ©ф, по- скольку это в самом деле S-модуль (имеющий в качестве коэф- фициентов действительные скалярные поля), а не ©-модуль (имеющий комплексные поля в качестве коэффициентов). Тем не менее и в действительном случае можно ввести комплексифи- кацию @Ф = 5;ФФ15;Ф, представляющую собой ©-модуль; при этом компонентные поля Яф элемента Я,* е ©ф будут принадле- жать модулю @. Иногда удобно вводить комплексный базис *«е®ф и в действительном пространстве У"; тогда компонен- ты Яф могут быть комплексными, даже если Хфе?ф. Аналогич- ное положение имеет место при выборе изотропной тетрады Iй, пга, та, па е ©° для описания элементов пространства ?а, т. е. пространства действительных касательных векторов. Тензорная алгебра (..., %Л, ...) или (..., ©'*, ...) удо- влетворяет правилам § 4, а также гл. 2. Следовательно, суммы, произведения, свертки и перестановки индексов можно образо- вывать как обычно, а в случае ©' можно ввести также опера- цию комплексного сопряжения, которая переводит ©ф в антиизо- морфную систему © с новым индексом Ф'. В случае действи- тельного пространства У" комплексное сопряжение также мож-
410 ГЛАВА 8 но применять к комплексификации (...,© , ...) действитель- ной тензорной системы, но здесь мы будем иметь Ф' = Ф, при- чем действительными являются тензоры, инвариантные по отношению к комплексному сопряжению. (Это аналогично тому, что латинские индексы пространственно-временных тензоров не изменяются при комплексном сопряжении, тогда как спинорные индексы становятся штрихованными или нештрихованными.) Пространство У обычно обладает некоторой дополнитель- ной структурой, характеризующейся тем, что определенная груп- па Ли &, действующая как группа линейных преобразований на У, эту структуру сохраняет. Так, например, У может быть трехмерным действительным векторным пространством, а &— ортогональной группой 0C), действующей на У стандартным образом. В этом случае будет существовать элемент ?ФЧг ^ ^фхр, положительно определенный (дФЧгУфУ^ > 0, если Кф ф 0) и симметричный (?[ф^] = 0), который инвариантен относительно преобразований группы &. Обратно, группа $ характеризуется тем, что оставляет инвариантным элемент ?ф^, будучи наибо- лее широкой линейной группой на У, обладающей этим свой- ством. Аналогично, группа & = SOC) будет характеризоваться тем, что оставляет инвариантной пару элементов ?ФУ е$ф?, <WQ eSWB, где #ФЧ, определено как и выше, а Офефхра = = е(ФЧга]. В качестве другого примера можно рассмотреть груп- пу &, включающую, помимо преобразований группы 0C), мас- штабные преобразования, если потребовать, чтобы инвариант- ным оставалось произведение gj^eJ^, где g4Q — вели- чина, обратная #ф1Г (т. е. g^g4'2 = 6Ф). В случае, когда У — комплексное векторное пространство, можно ввести эрмитову структуру на У. Так, например, возникает группа 9=U(n), если положительно определенная эрмитова билинейная форма fuwV*V" (> 0 если ?/ф' = Уф=?0, /W = A<j>'«j>) на ГФХУ', где Тф' — комплексно-сопряженное к Уф) задана как инвари- антная, или, что эквивалентно, задан инвариантный изоморфизм i/0'>-» Лфф'?/ф' между иф' и пространством Уф, дуальным к Тф. Если принять последнюю точку зрения, то удобно отожде- ствить Тф' с Тф и таким образом избавиться от штрихованных индексов (что мы и сделаем в т. 2 в несколько ином контексте, а именно в теории твисторов; см. гл. 6, в особенности § 9). В частном случае электродинамики мы имеем 3 = 0A) и У — одномерное комплексное эрмитово пространство. Здесь ис- пользовать обозначения формализма абстрактных индексов не имеет особого смысла. Всякое пространство ©в '.'.'л одномерно, его элементы симметричны по всем индексам, так что переста-
ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ 411 новка индексов ничего не изменяет. Свертка не ведет к потере информации, а поэтому пространство ©в... лг канонически эквивалентно пространству ©*..".'л и т. д. (поскольку всякий элемент первого можно свернуть по индексам А и Т без потери информации), и поэтому любой такой модуль канонически экви- валентен одной из систем © (заряд нуль), © ' " (заряд /ге) или <^>'vl...4pn (заряд —гае). Наконец, в силу существования эрмитовой структуры на У можно отождествить © с ©v. так что комплексное сопряжение лишь изменяет знак заряда и не вносит ничего нового. Таким образом, все пространства ©е.'.'.'д- оказываются канонически эквивалентными друг другу при любом заданном значении заряда гае (где га есть число верхних нештрихованных индексов минус число нижних нештри- хованных индексов минус число верхних штрихованных индек- сов плюс число нижних штрихованных индексов) и неэквива- лентными при разных значениях заряда. Более общее простран- ство © . обладающее также спинорными индексами, получа- ется в результате образования произведений с определенными выше «заряженными скалярами», что приводит к заряженной тензорной алгебре типа рассмотренной в §^ 1. До сих пор в случае пространства У и группы 9 общего вида нам было достаточно задать соответствующую абстракт- ную тензорную алгебру для заряженных полей ЯМ. Само поле Янга — Миллса можно выразить через связность (или предста- вить в виде связности) в расслоении пространства SB, определен- ную в соответствии с формулами E.4.17) — E.4.19). Эта связ- ность может быть затем распространена на случай ЯМ-заряжен- ного модуля общего вида <&л тем же путем, что и в гл. 4, § 2, а также в гл. 5, § 1, причем в случае комплексного У Ve^4r = Va^4r'- E.5.1) Но дополнительно к требованиям E.4.17) — E.4.19) мы по- требуем, чтобы оператор Va сохранял (при параллельном пе- реносе, задаваемом им, векторов расслоения А,ф) структуру слоев У, характеризуемую группой Э. Если группа $ опреде- лена как наиболее широкая группа, оставляющая инвариантной набор «канонических» элементов модулей ©e...Q' (например, ёфуц и еФУМ или Ауу„ рассмотренные выше), то один из способов сделать это состоит в наложении требования, чтобы действие оператора Va на величины из данного набора давало нуль. Од- нако, пожалуй, было бы более естественно сформулировать это дополнительное условие для оператора Ve на основе самой груп-
412 ГЛАВА б пы &, вместо того, чтобы апеллировать к элементам модулей ©.'.'."о' высшей валентности. С этой целью мы введем понятие калибровки и калибровочных преобразований на Zv (или ) Предположим, что группа & задана как явная группа матриц q, действующих на R" (или С"), где п — размерность простран- ства У. Структура пространства У может быть задана в виде совокупности линейных отображений из У в R" (или С"), вся- кая пара которых связана некоторым преобразованием q группы Э. Всякое такое линейное отображение можно понимать как задание допустимой координатной системы в пространстве У, что соответствует определенному выбору базиса в У- Исполь- зуя формализм абстрактных индексов, будем обозначать такой стандартный базис символом E.5.2) преобразование от этого базиса к другому a^v выражается со- отношением a^v = q^a4v, матрица (?f*)e=9. E.5.3) (Здесь мы используем символ a4v, а не 6^, как ранее, чтобы подчеркнуть, что теперь выбран стандартный базис, а также чтобы обратить внимание на то, что эта процедура обобщает введение скалярного поля а в электромагнитном случае.) Набор стандартных базисов E.5.2), связанных между собой преобразо- ванием E.5.3), дает еще один способ охарактеризовать струк- туру, вводимую на У, группой 9. Рассмотрим теперь поля таких стандартных базисов, т. е. наборы п линейно-независимых сечений пространства Я. Соот- ношения E.5.2) и E.5.3) в каждой точке остаются справедли- выми, но теперь а^ е ?* (или ®*), q~* <= Z (или ©) E.5.4) для всех ЧГЧГ= 1, 2 п. Такой набор полей a4v называется калибровкой для Z^ (или <3V); матрица q~* задает калибро- вочное преобразование. Калибровка всегда существует в локаль- ном смысле, однако по топологическим причинам может и не су- ществовать глобально. Задание глобальной калибровки имеет своим результатом то, что на математическом языке называется тривиализацией расслоения 38. Оператор Vo будет сохранять эту структуру на У, если при параллельном переносе один допустимый базис переходит в дру- гой допустимый базис. Поэтому мы подробнее рассмотрим опе- рацию параллельного переноса, что понадобится нам и здесь, и далее. Пусть у — некоторая гладкая кривая в многообразии JC,
ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ ВРЕМЕНИ 413 имеющая ta в качестве касательного вектора, отвечающего вы- бору гладкого параметра и на v (т- е. вектор ta нормирован так, что taWau = l). Некоторое (тензорное, спинорное ЯМ-заряжен- ное) поле А. называется параллельно переносимым вдоль Y, если действие на него оператора t"Va дает нуль. Обозначим че- рез exp(y*aVo) оператор, действие которого на поле А, , задан- ное вдоль кривой у, дает новое поле X'* = exp(vtaVa)X*, E.5 5) тоже заданное вдоль кривой у, такое, что значение поля л в точке Р (скажем, при значении параметра «о) получается из значения А, в точке Q (с параметром Ио+v) параллельным переносом назад вдоль у яз Q в Р. Эта операция хорошо опре- делена во всех точках кривой v. для которых существуют точки кривой у, соответствующие увеличению параметра и0 на v. Ее можно также применять к полям на Ж, если Y принадлежит гладкой конгруэнции кривых с параметризацией, изменяющейся гладким образом. Как мы увидим далее, если Ж, у, ta и Хл аналитичны и величина \v\ достаточно мала, выражение E.5.5) можно переписать в виде, который подсказывается принятым обозначением этого оператора [формула E.11.6)]: yf = If + vt^X1 + -? tava {ibVbK*) + . • •, E.5.6) где знак равенства следует понимать в смысле параллельного переноса вдоль кривой у. Однако для наших целей достаточно ограничиться первыми двумя членами, и требование аналитич- ности налагать не обязательно. В свете сказанного выше оператор Va сохраняет структуру пространства У, если /eVe)«/ = <7,.e(f)«/ E.5.7) для некоторой матрицы q4* из !?, которая гладким образом стремится к единичной матрице при у->-0. Разделив E.5.6) на v и перейдя к пределу при v -*¦ 0 (т. е. сохраняя члены только первого порядка по v), находим где '/-w^'wLo- E-5-9) Матрица (рч*) принадлежит не группе &, но алгебре Ли si- (этой группы), на основании которой элементы ^ (достаточно близкие к единице) можно восстановить путем экспоненцииро-
414 ГЛАВА 5 вания. Вводя <%* е©^ (— 4!"= 1 га) как величины, дуаль- ные а,*: а^г ат = о^р, а^а^ = о^, (о.о. 11); мы получаем требуемое условие для оператора Va в виде Матрица (/eavevea,v) е= а E.5.11) для всех fa и a4rv. Потенциал Янга — Миллса и метрика Теперь можно ввести [в близкой аналогии с определением E.1.13)] потенциалы Янга — Миллса как фачв = ia v» — Vaa,*. E.5.12) Множитель i введен здесь для удобства в (часто встречающем- ся) случае группы & унитарных (или псевдоунитарных) матриц. Действительно, тогда матрица Фат* оказывается эрмитовой в смысле равенства Фач* = Фа9ч. E.5.13) Здесь принято соглашение, что действие комплексного сопряже- ния приводит к перемещению нижнего числового индекса 4я в верхнее положение и наоборот, например: ^ a^', 5^ = cv,. д$Ч==я\, E.5.14) так что условие унитарности для q~4 приобретает вид <7Ve*=6* E-5.15) Умножая выражение E.5.3) на комплексно сопряженную вели- чину и свертывая по индексу Ф, мы приходим к выводу, что ве- личина А«':=а^=^ E>5Л6) не зависит от выбора стандартного базиса. Повторив эти вы- кладки применительно к соотношению E.5.7), найдем, что h переходит в себя при параллельном переносе. Следовательно, VeA'rr=»0, E.5.17) что с учетом определяющего условия E.5.16) дает a/Vea'iV + a*v Vea/ - 0. E.5.18)
ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ 415 Свертывая обе части этого равенства с ct^^a^.® и используя соотношение E.5.12), приходим к соотношению E.5.13), что и требовалось. Мы можем воспользоваться величиной А4" (янг-миллсовской эрмитовой метрикой), а также соответствующей обратной матри- цей h4fV, = avPa4r,4, чтобы избавиться от штрихованных ЯМ-ин- дексов в случае, если & — группа унитарных матриц. Например, если произвести подстановку ,( E.5.19) то мы получим эквивалентное ЯМ-заряженное поле. Принимая это соглашение, нужно помнить, что в результате комплексного сопряжения унитарные ЯМ-индексы могут переходить в противо- положное положение, а не приобретать штрих (ср. также с обо- значениями в твисторной теории, т. 2). Калибровочные величины a4,1Jf и aww (вместе с комплексно- сопряженными, если необходимо) дают возможность приписы- вать компонентные значения любому ЯМ-заряженному полю; на- пример, компоненты поля Хв^ будут такими: V = 4%e4*- E.5.20) Та же процедура может применяться ко всем ЯМ-заряженным спинорным полям, приводя к набору компонентных спинорных полей, в точной аналогии с операцией E.1.11) в электромагнит- ном случае. Если помимо этого задан спинорный (или тензор- ный) базис (совершенно независимо от выбора а), то можно также перейти к компонентам этих спинорных полей, так что окончательно все будет выражено через скалярные функции. Если компонентные поля взяты по отношению к двум различ- ным калибровочным функциям, то компонентные поля будут связаны преобразованием V -* V = V?j'r%. E.5.21) как это следует из формулы E.5.3) и двух соответствующих вариантов формулы E.5.20), где г — матрица (е^), обратная матрице q. При выбранной калибровке а,* можно ввести дифферен- циальный оператор дп, коммутирующий сам с собой в плоском пространстве-времени (а также в искривленном пространстве- времени, если он действует на ЯМ-заряженные скаляры) по аналогии с определением E.1.14). Например, д?*Л = ae»a,*Ve V* E.5.22) (в унитарном случае), если S4- не содержит ЯМ-индексов. Можно также написать выражение, аналогичное выражению E.1.15),
416 ГЛАВА 8 но в него войдет довольно неестественное сочетание (зависящего от калибровки) потенциала с (калибровочно-инвариантными) абстрактными ЯМ-индексами. Поэтому мы предпочитаем напи- сать соответствующее выражение, в которое входят только чис- ленные индексы ЯМ, так что все величины являются зависящими от калибровки. Например, имеем (при зФ, не содержащем ЯМ- индексов), v^* = ve(V'V<r). <5-5-23) развертывая правую часть этого равенства и свертывая обе части с <хвв —а^Д, чтобы получить компонентную запись, на- ходим из E.5.12) Заметим, что под действием калибровочного преобразования E.5.21) потенциал E.5.12) будет претерпевать преобразование Фа4* ^ ФаФ* = Ф.,Ч* *?* + '>/Va<7$<P, E-5.25) которое совместно с преобразованием E.5.21) сохраняет вид соотношения E.5.24). Тензор поля Янга — Миллса Предположим теперь, что кручение отсутствует (т. е. можно использовать оператор до& в качестве оператора До&), рассмот- рим коммутатор До&. Имеем Ьаь»* - Кь (VV) = 21*% V/ = ЯЦ% (Ф61 .*О = ~ №раы?. E-5-26) где * + ФД*Л вА) E.5-27) есть тензор поля Янга — Миллса (здесь принято очевидно допу- стимое соглашение о том, что ЯМ-индексы и пространственно- временные индексы можно переставлять друг с другом). Соот- ветствующие компонентные поля определяются соотношением У раы? = У,.ФН 9Ч + <V А вА • E-5.28) Если свернуть обе части этого равенства с произвольной парой векторов u"vb, то каждый член в правой части станет матрицей, принадлежащей алгебре Ли s&. Это вытекает из формул E.5.11), E.5.12) и из того, что квадратичный член есть коммутатор эле-
ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ 417 ментов si>. Таким образом, что справедливо и для левой части, т е. для компонент тензора поля Янга— Миллса. Из записи E.5.26) следует, что теизор Fabew не зависит от выбора калибровки а.^8. Поэтому соответствующие компонент- ные поля претерпевают стандартное калибровочное преобразо- вание Заметим, что в противоположность электромагнитному случаю, тензор поля Янга — Миллса является ЯМ-заряженным объектом. Из соотношения E.5.26) следует также, что и, например, A v ed_D dv ect_ip Av ed 5/7 ev \d (К с ом ^aSYip ""КаЬс Yip T lrabV M. lrab\ Уф • \°'O-Ol) Мы имеем Fabev = -Fbaev, E.5.32) и, если группа 9 образована унитарными матрицами, то Fabetw '•= FattFhww = Fabwe- E.5.33) Далее, из E.5.26) [аналогично E.1.36)] следует соотношение Таким образом, как и в максвелловском случае, первая «по- ловина» полевых уравнений автоматически вытекает из разви- того формализма. Вторая же «половина» уравнений Янга — Миллса (без источников) имеет вид 0, E.5.35) и, как и в максвелловском случае, это условие следует нало- жить. Можно также ввести отличную от нуля правую часть в уравнении E.5.35), которая будет представлять собой янг-милл- совский ток. Спинорная трактовка Спинорные выражения для поля Янга — Миллса получаются непосредственно. Имеем где JL с v — m V—JLp с v *(ЛВ|в 2 ABC в ' . E.5.37) v _ Y v.,__Lр с v 'в — МА'В')в 2 С А'В'в • 14 Зак. 1142
418 ГЛАВА S В унитарном случае E.6.33) будем иметь FaMV = ФдВвЧ"8Д'В' + еАвЧ>А'В>ЧГ'(>> E.5.38) где г E.5.39) Применяя операторы Dis> Пд'в'» как и в D.9.13), получаем ? Л'В' где, как и обычно, действие каждого из этих операторов на мультииндексный объект выражается суммой членов, возникаю- щих в результате его действия на каждый индекс в отдельности. Спинорная форма соотношения E.5.28) представляет собой два соотношения A ( } которые в унитарном случае являются комплексно-сопряжен- ными друг к другу [формула E.1.46)]. Спинорная форма урав- нения E.5.34) такова [формула E.1.51)]: V/We*. E-5.42) что следует из E.5.41). Независимое уравнение поля Янга — Миллса E.5.35) принимает вид [формула E.1.50)] V/We^O- E-5.43) а вместе два уравнения E.5.42) и E.5.43) эквивалентны одному уравнению В унитарном случае E.5.33) эти уравнения являются комплекс- но-сопряженными друг к другу. В унитарном случае можно по аналогии с тензором энергии- импульса электромагнитного поля E.2.4) ввести тензор энергии- импульса поля Янга — Миллса г, E.5.45) который обладает обычными свойствами, требующимися от источника в уравнениях Эйнштейна, Tab = Tab, T[ab\ = 0, E.5.46)
ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ 419 а также, как вытекает из E.5.44) и равенства %А'В'^ — Фдв*в'» свойством ЧаТаЬ = 0. E.5.47) Он также удовлетворяет условию равенства нулю следа, харак- теризующему безмассовое поле: Га° = 0, E.5.48) Особый интерес, в частности в связи с определенными взаимо- связями с теорией твисторов (см. т. 2, гл. 6, конец § 10), пред- ставляет класс полей Янга — Миллса, являющихся самодуаль- ными и антисамодуальными. Самодуальная часть поля Янга — Миллса такова: •*. E.5.49) а антисамодуальиая имеет вид ~ЧГ ЧГ E.5.50) (Эти поля самодуальны и антисамодуальны в обычном смысле термина, т. е. только по отношению к пространственно-времен- ным индексам.) Самодуальное поле Янга — Миллса удовлетво- ряет условию флввчг = 0, а антисамодуальное — условию Ъа'В'ъ? — °- Заметим, что уравнение поля Янга —Миллса E.5.43) или, что эквивалентно, E.5.35) автоматически вытекает из E.5.42) или, соответственно, из E.5.34) в случае самодуаль- ных или антисамодуальных полей. Это обстоятельство сущест- венно при выполнении конструкции Уорда для таких полей (гл. 6, § 10). § 6. Конформные изменения масштаба В данном в гл. 1 геометрическом описании спин-векторов существенно использовалась структура световых конусов про- странственно-временного многообразия Л. Роль самой метрики (которая приводила к такой структуре) была не столь фунда- ментальной. В действительности можно ввести спиноры, зада- вая лишь конформную структуру в многообразии Ж, т. е. при- писывая смысл лишь классам эквивалентности метрик, которые могут быть получены из некоторой заданной метрики gab путем конформного изменения масштаба > E.6.1) где Q — произвольное скалярное поле (Set), всюду положи- тельное (й>0). Заметим, что это преобразование не осущест- 14*
420 ГЛАВА 5 вляет преобразования точек. Информация, заключающаяся в конформной структуре, и есть в точности структура световых конусов. (Очевидно, что две конформно-эквивалентные метрики имеют одинаковые изотропные направления; обратно, две ме- трики с сигнатурой Минковского, имеющие одинаковые действи- тельные изотропные направления, должны быть связаны кон- формным преобразованием; см., например, [158], формулы F.4) — F.8).) С физической точки зрения структура световых конусов — более первичная структура, чем сама метрика. Ее на- пример, вполне достаточно для исследования вопроса о причин- ной связи между событиями. В данном параграфе мы изучим конформную структуру более детально. Б гл. 1 была дана геометрическая интерпретация спин-век- тора хА в точке Р е Ж (с точностью до знака) как изотропного флага. Такое построение опирается на геометрию светового ко- нуса (в касательном пространстве к Ж) в точке Р. Конформная метрика действительно нужна, чтобы можно было дать опре- деление спиноров. Однако все построение не зависит от выбора масштабной функции, ассоциируемого с некоторой заданной метрикой gab- Масштаб проявляется в каноническом соотноше- нии между модулем в-4 и дуальным ему модулем ®д, т. е. в (кососимметричной) структуре внутреннего произведения на @л, задаваемой величиной ъав- Напомним, что в гл. 1, § 6 [фор- мула A.6.25) и далее] внутреннее произведение {х, х}=хАхвглв двух спин-векторов было определено чисто геометрически, на основе геометрии светового конуса. Аргумент внутреннего про- изведения был определен исключительно с использованием ве- личин конформной геометрии (углов, стереографических проек- ций и т. п.), а модуль внутреннего произведения вводился с по- мощью понятия длины. Таким образом, внутреннее произведение {х, т} должно быть инвариантным относительно конформного изменения масштаба E.6.1), тогда как модуль | {х, т}| может изменяться. Следовательно, если мы хотим сохранить нашу гео- метрическую интерпретацию, мы можем допустить изменение величины елв при конформном изменении масштаба, но не бо- лее, нежели умножение на некоторое действительное число1). Поэтому, чтобы сохранить соотношение C.1.9) gав = ^лвел'в'> мы должны потребовать, чтобы преобразование E.6.1) сопровожда- лось заменой гАв^&Ав = ®гАВ. E.6,2) ') Правда, слегка изменив интерпретацию, мы могли бы модифицировать E.6.2) на случай комплексной функции Q, заменив величину Q2 в формуле E.6.1) величиной QQ. Это естественным образом приводит к возникновению кручения в Ж, как отмечалось в работе [145] (см. также примечание ия с. 424).
ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ 421 Единственная альтернатива этому выбору, а именно, влв — = —йедв, не годится, так как она нарушает непрерывность при единичном преобразовании. В обычном компонентном описании (в заданной спиновой си- стеме отсчета) имеем «дв^1^, Ь —It 0), и эти величины не должны подвергаться преобразованию типа E.6.2), которое от- носится к величинам с абстрактными индексами. Такое согла- шение позволяет существенно упростить формулы преобразова- ния при конформном изменении масштаба. Тем самым исполь- зование метода абстрактных индексов приводит к естествен- ному развитию теории в направлении, которое нельзя было бы предвидеть, опираясь на компонентный подход, что в результате дает определенные преимущества. Задание преобразования E.6.2) еще оставляет некоторую свободу при введении спинор- ных компонент. Рассмотрим три возможности. Пусть задана диада оА, И, нормированная по отношению к величине вав, т. е. оА1велв=1 [формула B.5.39)], иначе говоря выбрана некото- рая спиновая система отсчета. Тогда компоненты величины- вав в этом базисе имеют стандартный вид еАВ = @, 1, — 1, 0). Если при конформном преобразовании масштаба положить бА = оА, 1А = 1Л> то эти величины перестанут быть нормированными по от- ношению к новому спинору ёлв- Действительно, мы будем иметь oaibbab = Q, так что 8АВ=^@, Q, — Q, 0). (Всюду подразуме- вается, что компоненты величин со шляпками берутся по отно- шению к базису со шляпками.) В таком случае диада оА, И более не образует спиновой системы отсчета. Мы имеем ол =» = —еавов = —Qbabob = QoA и аналогично м = Qia, а потому в данном базисе ёАВ = @, Q, — Q, 0), Вторая возможность за- ключается во введении новой диады согласно соотношениям oA = Q~moA, I = Q~1/2i . Эта диада остается нормированной и мы имеем «oi = 1, а поэтом) ёАВ = еАВ; для нее также имеем О4 = й1/2од, м=&1/2м; следовательно, ё01 = 1 и iu = e*B. Од- нако часто бывает удобнее сделать третий, асимметричный вы- бор: оА ==Q~1oA, iA = iA. В этом случае ол ==оа и м = Qia. Но- вая диада тоже остается нормированной, так что 8АВ = 8АВ и ёАВ = еАв. Такой выбор часто оказывается полезным, если од- ному из полей од (или И) необходимо отдать предпочтение, как, например, при обсуждении понятия конформной бесконечности в т. 2, в особенности в гл. 9, § 7 (см. также [140]). Величины типа дельта-символа Кронекера gba, вАв, вА,в' должны оставаться неизменными:
422 ГЛАВА 5 поскольку они осуществляют перестановки индексов между раз- личными множествами ©!'.'., или, иначе, поскольку они удовле- творяют соотношениям вида gabgbc — gac [формулы C.1.11) и B.5.13) ]. Мы должны также иметь eA>B> = QsA'B', eAB = Q~1BAB, гА'в'= Q~lBA'B' E.6.4) в силу соотношений комплексного сопряжения и операций обра- щения, которыми эти величины связаны с &ав. По аналогичным причинам gab = Q-2ga\ E.6.5) Одним из следствий вышеприведенных соотношений является то, что важная операция поднятия и опускания индексов тензора или спинора не коммутирует с конформным изменением мас- штаба. Поэтому необходимо пояснять, с помощью каких из ве- личин g и е данный индекс поднимается или опускается. Мы будем придерживаться соглашения, что индексы любого объекта со шляпкой поднимаются и опускаются операторами g или в; для объектов без шляпки соответствующие операции произво- дятся умножением на g или е. Конформные плотности Как отмечалось выше, спин-вектор %А имеет определенный геометрический смысл (флаг и флагшток), совершенно не зави- сящий от масштаба. Спин-ковектор (Ла также имеет определен- ный геометрический смысл, хотя в этом случае интерпретация не является столь прямой (см., например, примечание на стр. 98 о геометрической интерпретации флагштока Wа = <йА<ЬА', отвечающего спинору ©д.) С точки зрения конформной струк- туры спинор сод нельзя связать с соответствующим спин-векто- ром сол, ибо такое соотношение будет выполняться лишь с точ- ностью до множителя. Естественный путь к интерпретации сод возникает из рассмотрения отображения %А *—*¦ ®ака для спин- вектора кА. Предположим, что некоторый спин-вектор %А задан геоме- трически и потому не зависит от изменения масштаба: &А = хА. E.6.6) Тогда для ассоциируемого с ним спин-ковектор а будем иметь йд = ёлвйв = пвВА%в = йкА. E.6.7) Следовательно, о\а есть конформная плотность веса 1, т. е. ве- личина, которая при конформном изменении масштаба E.6.1) умножается на Q1, ¦
ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ 423 Обратно, пусть задан фиксированный спин-ковектор юд, т. е. &А = (оА. E.6.8) Тогда $>A = eAB&B = Q-lsABv>B = Q-l<uA, E.6.9) что представляет собой конформную плотность веса —1. В общем случае удобно иметь дело с конформными плотно- стями произвольного веса. Будем говорить, что величина 6 является конформной плотностью веса k, если при конформном изменении масштаба E.6.1) она преобразуется согласно соотно- шению Ъл = &кЪл. E.6.10) Можно рассматривать конформные плотности как функции не только точек многообразия Ж, но и некоторой выбранной мет- рики gab1). Обычно k — целое или полуцелое число. Заметим, что величины gab> вав> ва'в'> еАВ> &А'В> ga имеют конформные веса 2, 1, 1, —1, — 1, —2 соответственно. Следовательно, если спинорный индекс некоторой величины Q'.'.'. поднимается, ее кон- формный вес уменьшается на единицу; если же индекс опуска- ется — конформный вес увеличивается на единицу (ср. величины едв и елв). Аналогично, при поднятии тензорного индекса кон- формный вес уменьшается на 2, а при опускании тензорного индекса — конформный вес увеличивается на 2. Преобразование оператора Va В данном параграфе мы подробнее остановимся на вопросе о конформной инвариантности. Система полей и полевых урав- нений будет называться конформно-инвариантной, если всем по- левым величинам можно приписать конформные веса таким об- разом, чтобы уравнения поля оставались неизмененными и после конформного изменения масштаба2). Предварительно нам не- ') Если угодно, мы можем рассматривать конформную плотность как поле, заданное не на самом многообразии Л, а на 5-мерном многообразии, представляющем собой расслоение над Л, слоями которого являются одно- мерные пространства возможных масштабных факторов в каждой точке. Конформная плотность есть поле, заданное на этом расслоении, изменяющееся от слоя к слою в соответствии с равенством E.6.10). 2) Теория в плоском пространстве-времени, инвариантная относительно группы Пуанкаре, а также теория, конформно-инвариантная в указанном смысле, будут также инвариантными относительно 15-параметрической кон- формной группы. Это связано с тем, что движения, ассоциируемые с груп- пой Пуанкаре, становятся конформными движениями по отношению к преоб- разованной метрике. Этих конформных движений достаточно, чтобы породить полную конформную группу. Данный вопрос будет подробнее рассмотрен в т. 2 (гл. 9, § 2). Однако понятие конформной инвариантности в указанном выше смысле еще шире: оно применимо также к искривленному простран- ству-времени.
424 ГЛАВА S обходимо рассмотреть поведение оператора ковариантной произ- водной при конформном изменении масштаба. Так как величины gab и еда изменяются при этом преобразовании, их ковариантное постоянство до изменения масштаба будет приводить к иному условию для оператора Va после изменения масштаба. ^Таким образом, нам понадобятся два разных оператора Vo и Va, для которых = 0, Vahc = 0- E.6.11) Будем предполагать, что в обоих случаях кручение отсутствует. На основании результатов гл. 4, § 4 находим [формулы D.4.22), D.4.23)] V,/-V,f, Veic = Vaic + eaBC|*, E.6.12) где [формула D.4.47)] вввс = т*вс + 'Гл'*лс. П., Yfl6=Se. E.6.13) Далее, из E.6.11) и D.4.27) мы имеем 0 = VaeBC = Va (QeBC) = Vfl (QeBC) - ваВ°Й80С - eaCDQeBZ) — = eBC (VaQ ~ QeflDD) = eBC (VaQ - 21011. - QTe), откуда V Но поскольку поле Q действительно, Па = 0, а потому T Q-1Q lQ E.6.14) a v0 Va D) Подставляя эти значения Па, Ya сначала в E.6.13), а затем в D.4.27), для спинора общего вида %b...f'P"'s '" будем иметь ') Y VP...S'... V LBA'^A.. Г . ••• x ...S... Y VP...S... V VP...S... ...F'... LBA'^A... Г ... ••• x AF'^B ... A'... :^::: + .... E.6.15) Отметим следующее важное обстоятельство: если спинор Ъв'.'.'.р''.'.'. является заряженным полем, то все проведенные рас- суждения остаются без изменений. Более того, если спинор %в ;•;/,'¦•• имеет дополнительные янг-миллсовские индексы, это также не меняет выражения E.6.15) и в нем не появляются какие-либо дополнительные члены. ') Если допустить возможность комплексных Q, как отмечено в примеча- нии на стр. 420, то вместо _допущения По Ф 0 оказывается более естествен- ным ввести кручение (fd — Xd) eabcd, где Т„ определяется формулой E.6.14), или добавить такой вклад к уже существующему кручению, изменив E.6.15) подстановкой Т вместо Та всюду, где Т имеет индеке А (а не А') [145].
ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ 425 Заметим, что если не пытаться выводить полученные выше соотношения, а ограничиться лишь проверкой их справедли- вости, то можно частично опустить выкладки, приводящие к формуле E.6.12) с учетом формулы D.4.47). Достаточно убе- диться в том, что равенство ®aa'bd = *ва'ъа° совместно с выра- жением E.6.14) ведет к уравнениям E.6.11), причем в согласии с этим определением кручение, ассоциируемое с оператором Va, равно нулю. Отметим также, что соотношение E.6.15) имеет место и в геометрии Вейля [192]; при этом на величину Ya налагается лишь условие действительности, и она не обязана быть градиен- том некоторой функции. В геометрии Вейля задана конформная структура (и, следовательно, спиноры), но нет выделенной мет- рики. Там имеется оператор ковариантной производной Va, но его действие на метрику не обязательно дает нуль. Оператор Va определяет обычным образом параллельный перенос и позволяет проводить сравнение длин в разных точках. Однако такое срав- нение зависит от пути, т. е. не является интегрируемой опера- цией. Если произвольно ввести некоторую метрику gaft, совмести- мую с конформной структурой, то найдем, что соответствующий кристоффелев оператор производной Va будет связан с опера- тором Вейля Va соотношением E.6.15). Такой оператор Та «про- изволен» в том смысле, что для заданной метрики gab любой выбор То е ?„ приводит к соответствующей единственной связ- ности Вейля Vo. В качестве частного случая выражения E.6.15) выведем за- кон преобразования ковариантной производной тензора при кон- формном изменении масштаба. Рассмотрим сначала случай ко- вектора Уь'. = VaVb - raVb - rbva + gabrcVc; E.6.16) здесь мы просто применили соотношение C.4.13) к двум послед- ним слагаемым в первой строке. Чтобы перейти к общему слу- чаю, введем тензор <2аьС = Жш8ь>е-8аь*С- E-6.17) Тогда можно переписать выражение E.6.16) в виде V>6 = Vfln-Qa6%, E.6.18) откуда находим [формулы D.2.46) и D.2.47)] * = 4aU" + QjU" E.b. 19)
426 ГЛАВА 5 и в общем случае [формула D.2.48)] M: ?::;?. (Б.в.20) Эти формулы справедливы не только в случае незаряженных полей, но и в случае заряженных. Заметим, что тензорная форма E.6.20) преобразования оператора Va более сложна, нежели спинорная E.6.15), поскольку каждый Q-член фактически пред- ставляет собой три члена E.6.17). Поэтому доказательства кон- формной инвариантности оказываются более простыми в спинор- ном формализме, нежели в тензорном. Простой вывод преобразования кривизны при конформном изменении масштаба будет дан в гл. 6, § 8, а здесь мы приведем лишь основные соотношения [формулы F.8.24), F.8.25), @.8.4)] ^ABCD — Последнее соотношение означает, что поле Wabcd является кон- формно-инвариантным. Более того, как мы увидим в гл. 6, § 9, условие Wabcd = 0 является необходимым и достаточным для того, чтобы многообразие JL было (кусочно) конформно-пло- ским. Поведение спиновых коэффициентов при конформном изменении масштаба Приведем формулы, описывающие преобразование спиновых коэффициентов при конформном изменении масштаба. Сначала выпишем преобразования спиновых коэффициентов D.5.21) при растяжении диады общего вида SA = Q-+4 ГЛ = ОШ1+11Л, E.6.21) что означает также ол = ?Г°ол, ГЛ = О"ЧЛ. ? = Qai0+a"+1x. E.6.22) Для удобства введем обозначение w = lnQ, F.6.23) так что [формула E.6.14)] b® — ^оГ> Ф'**==: "*V» D'® = Тц'. E.6.24)
ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ 427 Тогда, применяя E.6.15) к определениям D.5.21) и вводя обо- значение Qa"r~ail = 2, находим ft p- d * e a p Y Y' P' a' S' r d' 0' ft' *2* (p - Da>) 2 <t2 t — боа [e + (a-o + l)D(D]2 a + Дооб'оо Р + (г»о+ I) боа (Y + w0D'a) 2 (Y' P' + a [е' + (ш + ш. Da) 2 (Ш! + 1) б'(В ' + г»! бш , _|_ 1) О'ш]2~' т' a (Р'~ м -б'ш '2~' X E.6.25) Особый интерес представляют четыре частных случая фор- мулы E.6.21) II. Зл = III. ол = ; E.6.26) IV. 5д = оЛ) Гл = в которых соотношение E.6.25) имеет следующий вид: а р a * ё a Р Y Y' f Р' д' а' р' Г ft' I: Q"' X р т У, — Dffl о -боа а Y 8 -б'ш Р — D'a) Y' а' — Р' — е' Deo боа т' Р' -д'ш а' -D'oa
428 ГЛАВА 5 II: p т •л — Dffl а -бш 8 Р + Do> а + дш Y Y' Р' + д'ш а' е' + D'oo т' Р' — а — У, д'ю D'to "' III: Q"'X р — Doo а т — дш 8 + а — Р + Y — 1 2 1 2 1 2 1 2 D(o д'ш бш D'oo Y' Р' а' 8' 1 2 1 + 2 1 2 1 + 2 Dm б'ш бш D'ffl т' - б'ш а' р — D'oo ч' Q a a \ ~2 (p-Dffl) а~2а ~' (т-бш) а Y а~28 (о- Q-'P -D' д'ш) ш а-у а~'(р'+б'ш) а"'а' е' + D'w о- Р (т'-д'ш) а' '-D'ffl ax' IV: E.6.27) Простота случаев I и II довольно обманчива, так как усло- вие нормировки % = 1 оказывается неинвариантным (т. е. пре- образования изменения масштаба нельзя применять к спинопым системам отсчета). В случаях III и IV можно положить % = = ? = 1( и тогда два средних столбца спиновых коэффициентов становятся противоположными по знаку [формула D.5.29)]. За- метим, что «очевидный» выбор III, сохраняющий нормировку, приводит к несколько более сложным формулам, чем асиммет- ричный выбор IV. Последний представляет больший интерес и удобен, например, при анализе асимптотического поведения гра- витационного и других безмассовых полей (гл. 9, § 7). Можно также отметить, что случай обратного выбора W 1л = 1л, бл = = <И описывается формулами E.6.27) IV с заменой всех штри- хованных величин нештрихованными и наоборот (при %' = Х» Й' = Й, ю' = ю). Заметим [на основании соотношения E.6.25)], что при лю- бом выборе преобразований Величины х, а, х', <г' суть конформные плотности веса Зо»о — (о,, 2соо, 3<о, — щ, 2<о(, соответственно, E.6.28)
ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ 429 а также Величина т — х' и мнимые части величин р, р', е, е', v> v' являются конформными плотностями веса, соответственно, щ + щ, 2©0, 2©1( 2й>о, 2©1( 2&Q, 2alt E.6.29) и, кроме того, при определенных масштабных преобразованиях некоторым из величин е, а, р\ у, е'„ а', р", у' также могут быть приданы подобные свойства. Конформно-инвариантные операторы д и р В заключение данного параграфа покажем, каким образом можно усовершенствовать модифицированный формализм спи- новых коэффициентов, развитый в гл. 4, § 12, с тем чтобы сде- лать соответствующие операции конформно-инвариантными. На- помним, что при («калибровочном») преобразовании диады D.12.2) оА, оА ь-> ЯлИ; 1Ль->уиА, Иь-*.цИ E.6.30) скалярная величина г\ типа {г', г; f, t} изменяется [согласно определению D.12.9)] следующим образом: г'я''цУт1. E.6.31) Теперь предположим, что величина т| обладает также конформ- ным весом w и, следовательно, при конформном преобразовании диады E.6.21) изменяется так: ц = йтц. E.6.32) [Данное преобразование коммутирует с преобразованием E.6.31).] Тогда можно ввести новые модифицированные опера- торы р и б, действие которых на такие дважды взвешенные ска- ляры определяется соотношениями ~ r' K+ 1) ~rwl- f (wo+ 1) - to,]p, E633) = б + [w — г' (ш0 + 1) — rwi — fwQ — t (wi -f 1)] т, d'v = & + [w-r'w0- r(Wi + \) - f (wQ+ I) - tw{-]x'. . Непосредственным вычислением можно убедиться в том, что E.6.34) 6tj,
430 ГЛАВА В т. е. операторы pt, p'v, д%, 6'^ являются конформно-взвешен- ными с весами 2а>0> 2o>i + W\, Ш0+Ш1 соответственно [в смысле определений D.12.17) с необходимыми изменениями ]. Они так- же являются и «калибровочно»-взвешенными операторами тех же самых типов D.12.17), что и операторы Р, рг, д, 6 соответ- ственно. Заметим, что в соответствии с этими определениями опера- торы Ру и p'<g, вообще говоря, не являются действительными, а операторы бу и 6% не являются комплексно-сопряженными друг к другу1) в противоположность операторам D.12.30). При желании можно было бы иметь дело с действительными опера- торами A/2) (р% + pv), A/2) (p'v -f py) и комплексно-сопряжен- ной парой A/2) (б? + б^.), A/2) (бу + 6^). Это было бы немного сложнее, но в принципе давало бы эквивалентную формулиров- ку, поскольку разности Р% — р'%, 6%— &% и т.д. просто выра- жаются через конформно-взвешенные величины р — р и т — т' [формула E.6.29)], представляющие собой «допустимые» эле- менты данного исчисления. «Изъятию из обращения», однако, подлежат величины р + р и т + т', не являющиеся конформно- взвешенными, равно как и р и т в отдельности [см. текст перед формулой D.12.15)]. Как мы видели в формуле E.6.22), величина % имеет кон- формный вес о>о + а>1-|-1; поэтому в силу формул E.6.33) и D.12.23) имеем М Р' \г = д'х% = 0. E.6.35) Если нормировка % не изменяется (например, когда о4, И пред- ставляют собой спиновые системы отсчета до и после измене- ния масштаба), мы имеем а»о + w\ + 1 = 0. Тогда, вводя обозна- чения р = г* — г и q = f — t, как в формуле D.12.10), упростим выражения E.6.33) следующим образом: (P + q)vD0]9', E-6>36) С помощью этих операторов можно упростить различные конформно-инвариантные уравнения, записанные в модифициро- ванном формализме спиновых коэффициентов. Заметим для бу- дущего, что уравнения для свободных безмассовых полей, при- ') Однако в случае комплексных Q можно определить операторы так, что Ру = р^, *у = йу, если они действуют на величины с обобщенным кон- формным весом, выражающимся двумя числами, причем эти числа суть сте- пени, в которые возводятся величины Q и Q' в результате изменения мас- штаба (см. примечания на стр. 420 и 424).
а твисторное уравнение D.12.46) принимает вид E.6.38) ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ 431 веденные в этом формализме в формуле D.12.44) (к более по- дробному обсуждению которых мы обратимся в следующем па- раграфе), могут быть представлены в форме (г = 1, ..., п) г_2 -(П-Г) Х#ж. ОТ©0, В этих уравнениях величины j>A^L и ©л выбраны имеющими конформный вес —1 и 0 соответственно. Получающиеся значе- ния w для различных компонент fr> ®A зависят от выбора wQ и w\ в формуле E.6.21), но это не приводит к различию в опре- делениях, поскольку коэффициенты в дополнительных членах в точности компенсируются изменением ©о и w\. Заметим также, что если выбрать 2-форму р и 3-форму у имеющими нулевой конформный вес, то уравнение для внеш- ней производной Y —dp [формула D.14.80)], как следует из соотношения D.14.81), может быть записано в виде oi'io'' F.6.39) а уравнение D.14.92) принимает форму § о^- <б-6-40> Дальнейшие применения этих операторов можно найти в гл. 5, § 12; гл. 9, § 8 и 9. { 7. Безмассовыв поля Обратимся к рассмотрению важного класса спинорных урав- нений, являющихся конформно-инвариантными: уравнениям для безмассовых свободных полей со спином A/2)ге, где п — положительное целое число. Пусть спинор ф^... L имеет п ин- дексов и симметричен: Тогда уравнение для безмассового свободного поля со спином /г/2 запишется в виде ?лл>дв...ь = 0. F.7.2)
432 ГЛАВА S Комплексно-сопряженное уравнение (п индексов) .l' = Q(A'B'...l') E.7.3) также описывает безмассовое свободное поле со спином п/2. Если этими полями представляются волновые функции кванто- вых частиц в пространстве М, то обычно налагается условие положительной частотности, состоящее в требовании, чтобы в их фурье-разложениях присутствовали только члены вида е~1р°х » где ра — вектор, направленный в будущее, а ха — координаты точки (см. также гл. 6, § 10). Тогда решения E.7.2) описывают левополяризованные безмассовые частицы (спиральность —п/2): а решения E.7.3) — правополяризованные (спиральность +п/2) [45, 66, 67, 137, 146]. Напомним, что тождества Бианки имеют именно такую фор- му в пустом пространстве, причем роль поля Ф- играет поле Wabcd [формула D.10.9)]. Поэтому их можно рассматривать как «полевые уравнения со спином 2 в искривленном пространстве- времени»; их тесная связь с уравнениями Эйнштейна уже отме- чалась [см. замечание после формулы D.10.10)]. Уравнения Максвелла без источников E.1.57) тоже имеют такой вид, при- чем роль поля ф... (спин 1) играет поле ц>ав. Уравнение Дирака — Вейля для нейтрино D.4.61) также попадает в эту категорию, причем ф... = \а (спин 1/2), а именно VAA'vA = 0. Спин 2: Гравитационные возмущения Уравнение E.7.2) в случае спина 2 представляет интерес и в пространстве Минковского М [67] как спинорный вариант «калибровочно-инвариантной> формы вакуумных уравнений Эйнштейна в пределе слабого поля [т. е. линеаризованной эйн- штейновской теории, называемой иногда быстрым приближением («fast approximation»)]. Представим себе гладкое однопараме- трическое семейство пространств-времен, удовлетворяющих ва- куумным уравнениям Эйнштейна, такое, что значению пара- метра и = 0 соответствует пространство М. При всяком фикси- рованном значении и мы имеем спинорное поле Wabcd на таком многообразии, удовлетворяющее уравнению VAax?abcd = 0. По- скольку это поле гладко стремится к нулю при и-*-0, можно ожидать, что величина u~ix?abcd имеет предел Фавсо при ы-*-0, т. е. в пространстве Минковского, где эта величина удовлетво- ряет уравнению E.7.2) для плоского пространства-времени. Та- кую процедуру действительно можно провести, но обычно ли- неаризованную теорию Эйнштейна формулируют, рассматривая действительное симметричное тензорное поле («потенциалов») hab e %{аь) на М, описывающее отклонение первого порядка метрики пространства-времени от плоской метрики [gOb{u) =
ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ 433 = gab + uhab + О (и2), где по предположению gab = gab@) есть метрика плоского пространства-времени). Вычисление кривиз- ны (в первом порядке по ы) приводит к следующему результату: Каьы := «т («"'* «ьы <«)) = ^„V, ,Ai, „, E.7.4) где Va — оператор производной в плоском пространстве-времени, обладающий свойством коммутативности. Очевидно, чтд кривизна Каьсй обладает симметриями тен- зора Римаиа Kabcd = K[cd] lab]> Klabe) d=0, E.7.5) и уравнения Эйнштейна D.6.30) принимают вид ^ E.7.6) где Еаь — линеаризованный тензор энергии-импульса Таь- В от- сутствие источников величина Kabcd удовлетворяет уравнению Каьс" = 0, E.7.7) а потому совпадает с тензором Вейля в первом порядке lim(u-1Ca6cd(«)) и может быть представлена в виде [формула D.6.41)] E.7.8) где Фавсп = lim (u~ix?abcd (и)) есть полностью симметричный спинор. Очевидным образом тензор КаЬса удовлетворяет тож- дествам Бианки 0, E.7.9) которые в случае E.7.7) эквивалентны [формула D.10.9I уравнению 0. E.7.10) Следовательно, если флвсо рассматривается как безмассовое поле, то полевые уравнения E.7.10) соответствуют тождествам Бианки для тензора Kabcd, а его симметрия выражается соотно^ шениями E.7.5) и E.7.7), включающими уравнения Эйнштей- на. С физической точки зрения поле J>abcd имеет более важное значение, нежели Ааь, поскольку величины Лй» определены с точ- ностью до «калибровочных преобразований». Последние индуци- руются «бесконечно малыми преобразованиями координат» и имеют вид Кь *-*" Кь — 2v(a^w пРи некотором lb. E.7.11)
434 ГЛАВА 5 Но тензор Kabcd инвариантен относительно таких преобразова- ний, и то же самое относится к тензору флвсо. Можно считать уравнение E.7.10) калибровочно-иивариантным уравнением для слабого гравитационного поля. Тензорный вариант этого урав- нения с учетом свойств симметрии тензора флвсо представляет собой систему уравнений E.7.5), E.7.7) и E.7.9). Действительно, условие F.7.9) [а в отсутствие источников условие E.7.10)] является достаточным для того, чтобы тензор Kabcd вида E.7.8) можно было выразить в форме E.7.4) через некоторый симметричный тензор каь- Кроме того, для пустых областей вне области локализации источников достаточность условия E.7.10) является глобальной, если только обращается в нуль некоторый набор из 10 интегралов [160, 181] (см. также гл. 6, § 4). Независимо от того, имеются ли источники гравитационного поля, всегда выполняется соотношение ФлвСй ="• "f K{ABCD) A'B'C'D*A'B'e9'D', что с учетом равенства E.7.4) дает соотношение между каь и Ф *abcd = j V$V|'ACZ)) A,B,. E.7.12) При наличии источников, описываемых тензором энергии-им- пульса Еаь в пределе слабого поля, обобщение уравнения E.7.10) имеет вид [формула D.10.12)] ЧАА'Фавсо = 4«YV&?CD)f/'. E-7.13) Полевое уравнение, которому удовлетворяет тензор hat, может быть записано в виде = ? каь - 2 где ? [формула C.4.13)]; оно сводится к виду D ?«>=-— №п\ЕаЬ при выполнении калибровочного условия де Дондера V/t.» — 0, т. е. В этой калибровке в отсутствие источников можно опустить в формуле E.7.12) скобки, обозначающие симметризацию (по-
ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ 435 скольку симметрия по AD и ВС следует из равенства V^c]4'db' = ^'a симметрия по АВ следует в вакуумном случае из равенства ?Ааь = О); при наличии же источников можно написать Как будет видно из дальнейшего, конформная инвариантность линеаризованной теории слабого гравитационного поля в отсут- ствие источников [т. е. формула E.7.10)] наиболее очевидна при ее формулировке с использованием поля 4>abcd. Однако это нетрудно, разумеется, показать и рассматривая поле hab. Важное обобщение формулы E.7.4), относящейся к плоско- му пространству, можно получить, рассматривая возмущения некоторого неплоского пространства-времени М в предположе- нии, что как Ж, так и возмущение удовлетворяют вакуумным уравнениям Эйнштейна. Тогда мы будем иметь некоторое фикси- рованное ненулевое поле Wabcd фона и некоторое переменное поле флвсо, описывающее возмущения. Однако поле 4>abcd не бу- дет «калибровочно-инвариантным» в том смысле, что если поле hab, из которого оно получается, претерпевает преобразование E.7.11), то поле 4>abcd, вообще говоря, будет изменяться. Не вдаваясь в детали, можно сказать, что это связано с неопреде- ленностью в том, какая точка пространства-времени JL соот- ветствует той или иной точке в возмущенном пространстве. По- скольку тензор Флвсп описывает разность возмущенной кривизны и ноля ^Vabcd, эта неопределенность будет сказываться на полу- чающемся значении 4>abcd во всех случаях, когда Wabcd ф 0. Кроме того, уравнение для свободного безмассового поля E.7.10) в общем случае не выполняется. Для описания возму- щений необходимо использовать в явном виде потенциалы йа». Тогда (вакуумные) полевые уравнения будут иметь вид VaV'hbc - VOVA° - V«VAe + VjVcV = 0, F.7.14) где величины hab определены с точностью до калибровочных преобразований E.7.11), и вместо E.7.12) и E.7.10) мы будем иметь, соответственно, Y VOTAcou,fl,+ 7 ^лвсо E-7.15) и также А'Д abcd
436 ГЛАВА 5 Под действием преобразования E.7.11) поле Фавсо изменяется так: ~ ? Чвг(А^ BCD)Е ~ ^Е(АВС^ D)F& • (Эти соотношения заимствованы из работы [37].) Конформная инвариантность Чтобы установить конформную инвариантность уравнения E.7.2), мы представим его в несколько иной форме, которая будет удобна и в дальнейшем. Оно эквивалентно уравнению [формула B.5.24)] ... L ~ ^W{M^A)B... L и, следовательно, уравнению [формула C.3.15)] ... i = V*,Afi,..t|' E-7Л6) Выберем теперь величину фАВщ_шЬ так, чтобы она была кон- формной плотностью веса —1, т. е. выполнялось равенство Тогда в силу формулы E.6.15) B ...Ь~^М'аФмв...Ь~ "• ~~ * М'ьФ АВ ... М' E.7.18) где мы воспользовались частным случаем (при г = —1) полез- ного соотношения Q-'VaQr = rYa, E.7.19) непосредственно вытекающего из E.6.14). Теперь заметим, что правая часть равенства E.7.18) без первого слагаемого всегда симметрична по МАВ ... L. Следовательно, при необходимом и достаточном условии E.7.16) левая часть равенства будет сим- метрична по индексам МАВ ... L. Но это означает, что уравне- ние E.7.16) является конформно-инвариантным. Для последую- щих ссылок приведем другую форму этого утверждения, которая получается в результате свертки обеих частей равенства E.7.18) с еАМ: E.7.20)
ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ 437 § 8. Условия совместности Для уравнения E.7.2) в искривленном пространстве-времени имеется алгебраическое условие совместности [21, 23, 151] при п > 2, а в случае заряженных полей <f>- в присутствии электро- магнитного поля имеется такое условие при п > 1 [67]. Чтобы найти эти условия, подействуем оператором увд' на уравнение E.7.2), предполагая, что поле Фав... l имеет заряд е; тогда с по- мощью формулы E.1.44) найдем О = V^'f^c.. j. - VJ?V* А'фАвс... l = ? ЛВЬвс Первые два члена, содержащие yf, равны нулю, так как ХА(вм)А __ о [формула D.6.6) ]. Кроме того, поскольку в силу формулы D.6.35) мы имеем X<-ABM>C = лРлвмс, из этих выкладок следует, что при п ^ 2 выполняется соотношение (« - 2) ^вд, (С..; кVц— = - ie^<j>ABC... L. E.8.2) Данное соотношение представляет собой алгебраическое усло- вие, связывающее поле с конформной кривизной Wabcd при п>2 и с электромагнитным полем фдв, если еф§ при л > 1. В силу этих алгебраических условий уравнение поля E.7.2) оказывается неудовлетворительным, когда эти условия не пусты. Укажем отдельные возможные случаи. Первый случай — когда пространство-время имеет метрику Минковского, а электромаг- нитное поле отсутствует или заряд поля <f> A L равен нулю; уравнение поля E.7.2) удовлетворительно в том смысле, что все комплекснозначные решения волнового уравнения (или действи- тельные решения уравнений Максвелла без источников) явля- ются допустимыми. Это покажет анализ, который будет прове- ден в § 10 и 11. В качестве второго случая рассмотрим искрив- ленное пространство-время, которое является (локально) кон- формным пространству Минковского, т. е. для которого можно найти конформное преобразование масштаба (локально), сводя- щее метрику к метрике Минковского. В этом случае также (по- прежнему в предположении, что ефдв = 0) уравнение E.7.2) удовлетворительно, так как благодаря его конформной инвари- антности построение решения сводится к построению решения в пространстве М. [Действительно, 4abcd обращается в нуль в конформно-плоском пространстве, так что соотношение E.8.2) становится пустым, если правая часть равна нулю.] В качестве третьего случая предположим, что пространство-время не яв- ляется конформно-плоским, но ефдв = 0. Конформный спинор
438 ГЛАВА В Вейля теперь будет отличен от нуля [формула F.9.23)], а по- гому условие совместности E.8.2) необходимо также учитывать. В случаях л = 1, 2 (поле нейтрино и максвелловское поле) по-прежнему нет никаких ограничений (кроме, может быть, гло- бальных проблем) и поля определены так же хорошо, как и в пространстве М. Но при п > 2 условие E.8.2) оказывается весьма сильно ограничивающим. Например, как показали Белл и Шекере [13], в «алгебраически общем» вакуумном простран- стве-времени [имеющем разные гравитационные главные изо- тропные направления; см. текст после формулы C.5.21), а так- же гл. 7, § 3 и гл. 8, § 1] при п = 4 существует не более двух линейно-независимых решений уравнения E.7.2), и, вообще го- воря, допустимы лишь решения, кратные Wabcd- Все это относится к случаю, когда нас интересуют решения уравнения E.7.2) в заданном пространстве-времени Ж. Разуме- ется, ситуация будет существенно иной для (полных) вакуумных уравнений Эйнштейна. Если понимать под Ф- в уравнении E.7.2) вейлевский спинор Wabcd, to условие E.8.2) принимает вид и фактически не является ограничением, поскольку автомати- чески выполняется для любого симметричного спинора Wabcd; действительно, если применить «правило пилы» к трем сверткам, то левая часть лишь приобретет знак минус. Условие совместности E.8.2) при наличии заряда е и элек- тромагнитного поля Щв менее интересно, поскольку безмассо- вые заряженные поля не существуют в природе. Должны, по-ви- димому, возникать трудности с электромагнитными взаимодей- ствиями, когда спин больше 1/2 (п > 1). Но такая же ситуация (существование алгебраических ограничений) имеет место и в случае массивных заряженных полей [67]. Кроме того, анало- гичные трудности возникают при наличии гравитации (кри- визны) в случае спина, превышающего 1 (п > 2) [21]. Тензор энергии-импульса Трудности, отмеченные выше, перекликаются с проблемами, возникающими при попытках построения для безмассовых полей с более высокими спинами физически содержательных выраже- ний для тензоров энергии-импульса (симметричных и имеющих нулевую дивергенцию), играющих роль источников Таь в грави- тационном случае, а также векторов тока /0 в электромагнит- ном случае, которые должны стоять в правой части соответ- ствующих уравнений поля. Выше было показано [формула E.2.4)], как построить тензор Таь в случае бёзмассового поля
ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ 439 со спином 1. В случае поля Дирака — Вейля со спином 1/2 имеем а в случае массивного (дираковского) поля со спином 1/2 (фор- мула D.4.66)] тензор энергии-импульса имеет вид Tab = -J- (ФлЪФл' ~ Фа'ЧьФа + №аФв> ~ Фв'ЧаФв ~ — ХлЧьХа' + Ха'ЧьХа — ХвУаХв' + Xb'V«Xb), где k — действительная постоянная. (Такие поля ие являются классическими. Это относится ко всем полям с полуцелым спи- ном, к которым приложим принцип запрета Паули (см., напри- мер, [16]). Следовательно, выражение E.8.3) должно приме- няться лишь в квантовой теории поля '). С этим связано отсут- ствие положительной определенности величины TabVaVb, где V — времениподобный вектор.) Эти тензоры, очевидно, симметричны, а тензор E.8.3) имеет и нулевой след 7V = 0, поскольку соотношение E.7.16) указы- вает на его симметрию по индексам АВ и А'В'. Условие равен- ства нулю дивергенции УаТаь = 0 также выполняется, хотя в случае искривленного пространства-времени это и не столь оче- видно. При его проверке существенно сокращение членов, со- держащих теизор кривизны, который возникает при переста- новке производных. Для тензора E.8.3) этот результат можно получить из следующего тождества, которое нам понадобится также в т. 2: - у Ча'вЧЬа + в - Фава'вЪ*. E.8.4) [Оно вытекает из формулы D.9.7), если воспользоваться тожде- ством B.5.23) в форме Saab = Saba — Sbaa>] Если Ia=va, to члены с производными в правой части исчезают и симметриза- ция по АВ в левой части может быть опущена. Если применить оператор у к тензору E.8.3), то возникнет член, содержащий E.8.4), который сокращается с сопряженным ему. Искомый ре- зультат отсюда следует непосредственно. Случай спина 0 требует особого рассмотрения, которое лучше отложить до гл. 6, § 8. Здесь мы приведем лишь выражения для тензора энергии-импульса Tab = Т ') В классической теории поля с полуцелым спином следует считать при- надлежащими алгебре Грассмана (антикоммутирующими).— Прим. перев.
440 ГЛАВА S поля, удовлетворяющего уравнению П^> = 0 (ф действительно), а также для тензора в случае конформно-инвариантного уравнения (D+-g-/?J ^"=0 [формулы F.8.30) —F.8.37)]; подробнее см. [140]. Однако в случаях спина 3/2, 2, ...не существует выражения для Таь, имеющего перечисленные свойства симметрии и нуле- вую дивергенцию, которое зависело бы квадратично от локаль- ных полевых величин ФА,.,1- В этом нетрудно убедиться, рас- сматривая различные возможные члены, квадратичные или би- линейные по Фа...ь и $м...и и их производным. Поле фАш.ь имеет избыток индексов, который, как оказывается, невозможно ликвидировать с помощью сверток. Взятие производных от ^a...l также не разрешает этой трудности. Чтобы построить Таъ, нам пришлось бы прибегнуть к интегрированию фА-„ь. Вы- ражения для Таь, построенные с помощью потенциалов поля фА I, действительно существуют. Но оии непригодны для общей теории относительности, поскольку в эйнштейновские уравнения поля входят локальные значения тензора Таь, а не проинтегри- рованные выражения для полной энергии. Такие локальные вы- ражения зависели бы от калибровки потенциалов и, следова- тельно, не имели бы определенного физического смысла. В слу- чае самого гравитационного поля локальный тензор энергии- импульса не существует. Но в нем и нет необходимости, по- скольку гравитационное поле не дает вклада в правую часть уравнений Эйнштейна. Вместо этого гравитационная энергия фигурирует как нелокальная величина (гл. 9, § 9 и 10). Хотя случай заряженных полей с нулевой массой менее ин- тересен с физической точки зрения, не мешает заметить, что для таких полей оказывается невозможным построить локальный вектор тока по образцу выражений E.10.16) и E.10.21) при тех же значениях спина, при которых имеют место трудности с соот- ношением совместности E.8.2). Если бы поле нейтрино было заряженным, то соответствующий вектор тока был бы пропор- ционален vAvA'. Но для полей с большими спинами локальные (калибровочно-инвариантные) выражения построить невоз- можно. Совместные системы полей с высшими спинами При определенных условиях можно построить совместные уравнения для безмассовых полей с большими спинами, взаимо- действующих с гравитационным или электромагнитным полем.
ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ 441 Однако они уже не будут описываться простыми калибровочно- инвариантными спинорами, удовлетворяющими некоторым поле- вым уравнениям, подобным уравнению E.7.2). Например, мы видели, как построить уравнения поля со спином 2 на фоне про- странства-времени Л, удовлетворяющего вакуумным уравнениям Эйнштейна, рассматривая возмущения метрики пространства- времени, которые тоже удовлетворяют вакуумным уравнениям Эйнштейна. При этом вместо калибровочио-инвариантной вели- чины Фавсп мы описываем поле потенциалами каь е ?<<,») удов- летворяющими условию E.7.14) в качестве полевого уравнения. Две такие величины каь считаются эквивалентными тогда и только тогда, когда они связаны между собой преобразованием вида E.7.11); затем мы вводим спинор 4>abcd, определяемый соотношением E.7.15). Но если мы будем рассматривать это как теорию безмассового поля со спином 2 на фоне заданного вакуумного пространства-времени, мы все же столкнемся с труд- ностью, заключающейся в отсутствие калибровочно-инвариант- ного локального тензора энергии-импульса.. Ситуация, возможно, несколько более удовлетворительна в случае безмассового поля со спином 3/2. Одним из побочных ре- зультатов теории суперсимметрии [43, 72] является доказатель- ство того, что существует связанная система уравнений для без- массовых полей со спином 3/2 и гравитационного поля. Поле со спином 3/2 можно задать потенциалом [хотя оно обычно описывается смайорановским 4-спннор-тензо- ром» (Хаъ.Ка'ь)' поскольку свойства симметрии потенциала ХлвС более сложны], удовлетворяющим уравнению В пространстве Минковского М это означало бы, что «поле» тавс == У а У-все удовлетворяет уравнению для безмассовых полей E.7.2), но в искривленном пространстве-времени есть поправочные члены, включающие потенциал Хавс' и кривизну. Тензор энергии-им- пульса с точностью до дивергенции пропорционален выражению ФАВС%А'В'С — %АВС'1>А'В'С' плюс квадратичные по % члены, связанные с кручением (гл. 4, § 2) и пропорциональные разности %САА'%С'в'В — %СВВ'ХС'а'А- (Полная теория супергравитации инвариантна относительно ка- либровочных преобразований, включающих как гравитационное
442 ГЛАВА б поле, так и поле со спином 3/2: метрика приобретает добавку, пропорциональную %АВ {AkB>) + Ъц&В) а'В" а поле со спином 3/2 — добавку Vac'%b> причем «поле со спином 1/2», определяющее выбор калибровки, удовлетворяет уравнению У*д'1^ = 0. Поле со спином 3/2 обладает также определенными свойствами анти- коммутативности, которые тоже необходимы для совместности полевых уравнений. Форма уравнений для %авс'> которая при- ведена выше, отвечает ограничению такими калибровочными преобразованиями, которые не нарушают симметрии по индек- сам АВ [Б].) Возможны также, по-видимому, и другие специальные си- стемы совместных уравнений [23, 24, 50]. § 9. Конформная инвариантность различных полевых величин Напомним, что тензоры энергии-импульса полей Максвелла и Дирака — Вейля являются бесследовыми. Это свойство, как и можно было ожидать, тесно связано с конформной инвариант- ностью. Рассмотрим бесследовый симметричный тензор общего вида Таь = Tab а'В' = Т(ав) (А имеющий нулевую дивергенцию: У°Гаь = 0. E.9.1) Поскольку тензор Таь квадратичен по полям, можно предполо- жить, что он является конформной плотностью веса —2: Таь^а-^аь. E.9.2) При таком предположении уравнение E.9.1) действительно бу- дет конформно-инвариантным, поскольку в силу формулы E.5 Л 5) * J - VX* - 2ГTab - Y/W = 0 - 2T°raft + YaTab - 0 + TaTab -0 = 0. Аналогичные (но несколько более короткие) вычисления по- казывают, что условие обращения в нуль дивергенции вектора тока V°/e=0 также является конформно-инвариантным, если /a = Q-2/a. E.9.3) Это можно показать и другим путем. Например, в координатном базисе справедливо классическое выражение [166] (" ЯГ1'2 ?- ((- ёГ П E-9.4)
ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ 443 где g = (let (gab)- Применив к нему преобразование E.6.1) при фиксированных координатах, найдем 6 = Qsg, так что выраже- ние в фигурных скобках в E.9.4) имеет конформный вес 0, если /а имеет конформный вес —4 [что согласуется с E.9.3)]. По- этому все выражение есть конформная плотность (веса —4), а это означает, что равенство его нулю является конформно- инвариантным свойством. Существует также способ доказательства этого утверждения, не зависящий от координат. Заметим, что дуальной к Ja будет 3-форма + t e E.9.5) в обозначениях формул C.4.29) и D.3.10) применительно к 4 из- мерениям, как в гл. 4, § 13 (латинские индексы!). Следователь- но, с учетом формул D.3.14) и C.4.32) имеем <5-9-6> Это означает, что внешняя производная от / есть просто ди- вергенция тока J". Поскольку, согласно формуле C.3.31), ёаш = &*еаШ, E.9.7) с учетом формул E.9.3) и E.9.5) будем иметь +/ = V. Значит, d+/ = d+/, так как внешняя производная не зависит от выбора ковариантной производной. Таким образом, как и ранее. Выражения VTo& и Ve/0 являются частными случаями более общей системы конформно-инвариантных выражений, которая будет рассмотрена в т. 2 [формула F.7.33)]. Обратимся теперь к доказательству конформной инвариант- ности уравнений Максвелла. Это можно сделать различными способами. Уравнения без источников имеют вид [формула E.1.52)] Улл'флв = 0 и, как мы уже показали [формула E.7.17)], являются конформно-инвариантными, если т.е. ЪАВ = п~\АВ, E.9.8) откуда с учетом E.1.39) получаем Кь*=Раь> Р"*-О^. E.9.9) Если имеются источники поля, то уравнения E.1.52) приобре- тают вид ^ 2/J/ E.9.10)
444 ГЛАВА 5 Принимая во внимание E.7.20) и E.9.3), мы видим, что обе части этого равенства представляют собой конформную плот- ность веса —3; тем самым требуемое свойство инвариантности доказано. Убедиться в конформной инвариантности уравнений Мак- свелла можно также с помощью формализма § 1. Определение тензора Fab, основанное на соотношениях E.1.13) и E.1.37), не изменяется при конформном изменении масштаба и является совместным с соотношениями E.9.9). Следовательно, первая половина уравнений Максвелла E.1.36) инвариантна относи- тельно этого преобразования. В доказательство инвариантности второй половины уравнений Максвелла E.1.38) данный форма- лизм не вносит ничего нового, и мы возвращаемся к приведен- ным выше рассуждениям. Заметим, что выбор конформного веса для Fab, естественным образом вытекающий из теории заря- женных полей, совпадает с тем, который необходим для обеспе- чения конформной инвариантности уравнений Максвелла. Такой вывод не является безусловным, поскольку инвариантность урав- нений Максвелла не обязательно означает, что связь Fab с за- ряженными полями должна быть конформно-инвариантной. В случае (линеаризованного) гравитационного поля подобное совпадение не имеет места. Можно также воспользоваться для записи уравнений Мак- свелла дифференциальными формами и таким путем еще раз продемонстрировать их конформную инвариантность. Полагая Ф:=Ф*„ F:=Filh, 'F:='Fhil, E.9.11) в силу формул D.3.14) и E.1.37) будем иметь Р = 26Ф. E.9.12) Последовательно применяя соотношения D.3.14), C.4.27), E.1.38), E.9.5), находим 0 Г~У\иГШ 3 еШ,а*Ьг — 3 еШ*Г 3 *'¦ Уравнения Максвелла E.1.38) оказываются эквивалентными второму из соотношений dF = 0, d'F=~7, E.9.13) тогда как первое непосредственно воспроизводит уравнений Максвелла первой группы E.1.36). Как мы уже знаем, из E.1.13) вытекает, что Ф = Ф, откуда в силу равенства E.9.12)
ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ 445 имеем F — F и, следовательно 'F = 'F; тогда, выбрав +7=+/ [что соответствует равенству E.9.3)], найдем, что все уравнения E.9.13) [а также E.9.12)] являются соотношениями между, ве- личинами нулевого конформного веса и потому конформно-инва- риантны. [Несмотря на то, что в уравнения E.9.13) метрика, казалось бы, не входит, фактически это не так, поскольку в со- отношение между F и *F входит конформная метрика.] Интересно отметить, что условие калибровки Лоренца [формула E.1.47)], имеющее форму уравнения E.1.54) (кото- рое вытекает из уравнений Максвелла), конформно-инвариантно, -если величине Фа (как и току /а) приписать конформный вес —2. Но это не тот вес, который придает конформную инвариант- ность соотношению E.1.37). Поэтому максвелловскую теорию в калибровке Лоренца следует рассматривать как не являю- щуюся конформно-инвариантной теорией. § 10. Точные системы полей ') В данном параграфе будет показано,.как построить общую схему рассмотрения систем взаимодействующих полей в плоском или искривленном пространстве-времени, т. е. в общей теории относительности. Гравитационное- поле будет описываться спи- нором Wabcd, который в рамках общего рассмотрения будет трактоваться на равных основаниях с другими полями. Главную роль в наших построениях будет играть понятие точной системы взаимодействующих полей [136, 139]. Имея такую точную си- стему, можно быть уверенным, что поля будут распространяться в пространстве-времени в соответствии с общими физическими принципами1, в общей теории относительности1 они к тому же порождают структуру пространства-времени. Подходящая фор- ма задания начальных условий, как будет показано с разных точек зрения в § 11 и 12, опирается на представление о характе- ристических (т. е. изотропных) начальных гиперповерхностях. В случае точной системы полей начальные данные полны и нег избыточны (без связей), а поэтому подсчет степеней свободы не представляет затруднений. Упрощения и унификация, возни- кающие в настоящей формулировке, являются прямым резуль- ') В оригинале: «Exact sets of fields». Это понятие, введенное Пенроузом, тесно связано со спннорным подходом к описанию полей и не имеет обще- принятого аналога в стандартной теории поля. Содержание данного понятия раскрывается в тексте что же касается предлагаемого русского эквивалента термина, то он представляет собой почти буквальный перевод указанного английского выражения и только. — Прим. перев.
446 ГЛАВА 5 татом использования двухкомпонентных спиноров. Соответствую- щая же тензорная формулировка оказывается крайне сложной. Рассмотрим систему полей YP'Q'... W <kP'Q'...S' yP'Q'-..Г' /К 10 П лав...а > TABI...H' ЛДДГ...В . io.iu.ij в которой каждый спинор симметричен по всем нештрихован- ным, а также по всем штрихованным индексам. Любое из двух множеств индексов и оба они могут быть пустыми. (Выбор в ка- честве штрихованных контравариантных индексов, а в качестве нештрихованных ковариантных продиктован лишь соображения- ми удобства обозначений.) Как было показано в гл. 3, § 3, лю- бой спинор можно представить с помощью символов е и спино- ров, которые подобно спинорам E.10.1) полностью симметричны по штрихованным, а также нештрихованным индексам. Стало быть, любая конечная система взаимодействующих локально лоренц-ковариантных (конечнокомпонентных) полей может быть представлена в виде системы E.10.1). Предположим, что поля E.10.1) подчиняются некоторой си- стеме ковариантных дифференциальных уравнений, содержащей оператор Va. Тогда система E.10.1) будет называться точной системой полей, если в произвольной точке Р выполняются сле- дующие два условия: а) все симметризованные производные —• *1Г -j^yfИ:::& К • • • *&?::•#.... (влол) [включая дифференцирование «нуль раз» полей E.10.1)] неза- висимы, т. е. могут независимо принимать произвольные ') зна- чения в точке Р; б) все несимметризованные производные .... vf ... W.v.T vy... vfo$V.yf, • •. E.Ю.З) определены в точке Р значениями симметризованных производ- ных E.10.2) в этой точке посредством дифференциальных со- отношений, которым удовлетворяют поля. Когда мы говорим, что спиноры E.10.2) независимы, то имеем в виду отсутствие алгебраических (спинорных) соотноше- ний, которые связывали бы эти спиноры, а также спиноры, комп- лексно-сопряженные им. В то же время спиноры E.10.3) должны выражаться через спиноры E.10.2) и спиноры, комплексно-со- ¦) Мы не обсуждаем здесь вопросу пределов изменения или скорости роста величин E.10.2) и E.10.3). «Произвольные» здесь означает, что члены любого конечного подмножества множества E.10.2) могут быть выбраны произвольно. Наше рассмотрение здесь ограничивается алгебраическими рам- ками, а для более полного анализа следовало бы привлечь понятие соот- ветствующего пространства Соболева.
ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ 447 пряженные им, алгебраическими (спинорными) соотношениями. Точная система E.10.1) будет называться инвариантной, если соотношения, которыми спиноры E.10.3) выражаются через спиноры E.10.2), не зависят от точки Р и являются локально лоренц-ковариантными [т. е. величины E.10.3) представляются в виде определенных спинорных комбинаций символов е и спи- норов E.10.2) без привлечения каких-либо дополнительных ве- личин, кроме скалярных постоянных]. Свободные безмассовые поля Как простой пример точной инвариантной системы рассмот- рим безмассовое свободное поле со спином п/2 > 0 в простран- стве Минковского М. Такое поле представляется одним сим- метричным спинором Фав.,,1. и [формула E.7.2)] подчиняется полевому уравнению Согласно формуле E.7.16), это уравнение эквивалентно усло- вию симметрии Ум'Фа...ь!Я= ЧщФа... ly Рассмотрим теперь вели- чину Ум'УмФа...1' Операторы V#' и Vjj} здесь коммутируют, а потому данное выражение будет симметричным по индексам NA ... L, как и по индексам МА ... L; следовательно, ^я'^м'Фа...ь"в'^ш^м'Фа...1,у Симметрия по N'M' также следует из коммутативности операторов. Повторяя эти рассуждения для высших производных, в общем случае будем иметь TjM'rjN' VQ'A = bW\jN' VQ'IA (Б MR) VMVtf "•VQTA...L — V(AJVW "• "Q TA...LY ^O.IU.OJ Таким образом, условие «б» выполняется (тривиально), как и условие инвариантности. Поскольку соотношение E.10.4) ли- нейно, а производные коммутируют, все алгебраические соотно- шения, которым удовлетворяют производные E.10.5) в точке Р, должны быть линейными. Такие соотношения с необходимостью будут возникать в виде линейных операций с индексами в E.10.5) вследствие инвариантного характера уравнения E.10.4). Но соотношение E.10.5) выражает полную симметрию, а по- этому никакие другие соотношения не должны возникать. Та- ким образом, условие «а» тоже выполняется и, следовательно, величины Фав...1. образуют инвариантную точную систему полей. Рассмотренный пример охватывает максвелловское поле (п = 2), нейтринное поле Дирака — Вейля (п = \) и линеаризо- ванное эйнштейновское гравитационное поле (л = 4) в простран- стве Минковского М (§ 7). Случай п = 0 также следует отнести сюда, но в этом случае вместо уравнения E.10.4) мы должны
448 ГЛАВА 5 иметь волновое уравнение второго порядка (уравнение Далам- бера) в пространствеМ = 0. E.10.6) Это уравнение можно переписать в виде V#VS,'* = O. E.10.7) причем из симметрии по АВ следует (благодаря коммутатив- ности производных) симметрия по индексам А'В'. Таким обра- зом, величина V^Vf'^ симметрична по индексам АВ и А'В', т. е. V^Vf ф = V^Vjj^. Следовательно, в силу тех же сооб- ражений, что и выше, мы имеем ViVr ... Vjf* = V$'Vf •. • V$* E.10.8) и поле ф образует инвариантную точную систему. Возможно следующее обобщение (довольно тривиальное) уравнения для безмассового поля. Пусть поле Qa.'.Vb симметрично и удовлетворяет одновремен- но условиям в пространстве М Тогда путем рассуждений, аналогичных проведенным выше, можно показать, что ' ¦¦s' — v<r' и, значит, величины Q\\\ образуют инвариантную точную си- стему полей. Но это не дает по существу ничего^ нового, так как имеется соотношение VJ»'8'2*!;;?S'==V^8]$';;-?S', выражающее равенство нулю ротора, откуда (по крайней мере локально) сле- дует, что 8;;; можно представить в виде QP'Q'...S' r7P'YQ'...S' Благодаря симметрии полей 8;;; вгличины % '..', также удовлетво- ряют уравнениям E.10.9). Повторяя рассуждения до тех пор, пока не будет исчерпан тот или иной набор индексов, приходим к следующему выводу. Предложение Если выполняются соотношения E.10.9), то поле 8д'.;.'1 е©(л'.".'.'1)') представляет собой п-ю производ- ную некоторого свободного безмассового поля. E.10.10)
ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ 449 Электромагнитные источники Рассмотрим теперь поле Максвелла с источниками. Вместо уравнения E.10.4) (при л = 2) будем иметь [формула E.9.10)] E.10.11) где величины Jaa' — Taa' описывают заданный вектор тока, удовлетворяющий уравнению непрерывности - = 0. E.10.12) Вместо соотношения E.10.5) теперь имеем ¦? еС(Л/?, E.10.13) и т. д. для высших производных: несимметризованная г-я про- изводная отличается от сим метризованной членом, линейным по (г—1)-м производным от /д'. Это свойство, а также вытекаю- щий отсюда вывод, что поля флв образуют точную систему, до- казываются так же, как и в случае отсутствия источников, с тем существенным изменением, что при перестановке^ пары индексов теперь будут появляться члены, зависящие от /д', поскольку мы заменили уравнение E.10.4) уравнением с источником E.10.11). Однако теперь поля щв сами по себе, очевидно, не обра- зуют инвариантной точной системы, поскольку в соотношениях E.10.13) и E.10.14) появляются дополнительные величины 1%. Правда, можно рассматривать /j}' как динамическое по- ле, но и тогда ФдВ и J% вместе не будут в свете сделанных определений образовывать точную систему. Действительно, со- отношение E.10.12) фиксирует лишь часть величины V%J%> кососимметричную по индексам А'В' и АВ. Часть же, симме- тричная по АВ и кососимметричная по А'В', например, остается неопределенной. Чтобы получить точную систему полей, необ- ходимо наложить дополнительные условия на /j'. Это можно сделать разными способами, но наибольший интерес представ- ляет задание в качестве J*' вектора тока некоторого физиче- ского поля (или полей), скажем, дираковского или поля Щре- дингера — Клейна — Гордона. Рассмотрим вначале случай дираковского поля. В двухком- понентном спинорном формализме D.4.66) поле Дирака пред- 15 Зак. 1142
450 ГЛАВА 5 . . ставляется в виде совокупности двух спиноров 'Фд и хА> удовле- творяющих системе уравнений Vaa'^a = VXa>, ЧааЪа' = -№а, ' E.10.15) где ц = /п/Й-у2. tn — масса, а % — постоянная Планка, делен- ная на 2я. В отсутствие электромагнитного взаимодействия можно принять, что операторы V коммутируют. Нетрудно убе- диться в том, что Фд и %А' вместе образуют точную систему по- лей. Кроме того, если ввести электромагнитное взаимодействие посредством определения E.1.1), так чтобы Фд и %А' имели один и тот же заряд е, и определить дираковский вектор тока где q — заряд е с некоторым положительным коэффициентом, точное значение которого зависит от соглашения о нормировке дираковской волновой функции (например, обычный выбор нор- мировки дает q = 2ne), то уравнения Максвелла E.10.11) при- нимают вид E.10.17) и поля фд, %А' и ц>ДВ вместе, будут образовывать инвариантную точную систему полей. Это можно показать точно так же, как и выше, с тем усложнением, что изменение порядка производных теперь будет сопровождаться появлением членов, содержащих Ч>ав и <РАВ [формула E.1.43)]. Например: E.10.18) ieeB'c' {1 E-10.19) Аналогично рассматривается случай поля Шредингера— Клейна — Гордона 8, но теперь вместо соотношений E.10.15) и E.10.17) имеем [формула E.10.6)] (D+V)e = 0, . E.10.20) а вектор тока будет пропорционален разности i8Va9—.i8Va6, так что ; ёe ;.: ..E,10.21)
ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ 45* Снова поля 8, ц>Ав вместе образуют инвариантную точную си- стему. Существует другой способ описания заряженных полей, тре- бующий явного введения электромагнитного потенциала Ф*, понимаемого как новое поле. При таком подходе вместо Уд- будет стоятьоператор, обозначенный в формулах E.1.1) и E.1.14) через д%; он действует на заряженные поля так, как если бы они были незаряженными, и коммутирует сам с собой. Если сохранить для производной, понимаемой в указанном смысле, тот же символ Уд', то электромагнитное взаимодействие будет вводиться заменой этого оператора оператором Уд' — \еФА. В результате в уравнениях E.10.15) и E.10.20) появится вели- чина Фд' в качестве нового поля. Чтобы получить точную си- стему полей, нам придется наложить дополнительное условие на Фд', например условие Лоренца Уд/Фд = 0- Тогда [формула E.1.49)] будем иметь q>AB = Удд-Фд • Мы также имеем [фор- мула E.1.18)] ФАА, = ФАА„ откуда фл'й' = — Улл'Фд". Используя эти соотношения, нетрудно показать, что поля tyA, %A', уАВ, Фд образуют инвариантную точную систему; то же самое относится к полям 8, флв, Ф^'. Этот второй подход, пожалуй, немного проще в концептуаль- ном отношении, нежели использование соотношений E.10.15) с некоммутативными операторами У, и он удобен во многих зада- чах. Однако в духе принятой нами общей идеологии более по- следовательно было бы не вводить явно в рассмотрение завися- щие от выбора калибровки величины, такие, как Фа. В случае электродинамики калибровочно-ымварыангмьгй формализм дей- ствительно приводит к более простым [напрттер, E.10.19)] фор- мулам, нежели метод явного введения Фа. Более того, теорий в искривленном пространстве-времени, по-видимому, удается развить в рамках данного формализма только благодаря суще- ствованию калибровочно-инвариантного способа описания (т. е. описания, не зависящего от выбора конкретной системы коор- динат). Рассмотрим вначале систему полей в заданном римановом фоновом пространстве-времени. Величины ^abcd> Фдвс'о' и Л,. связанные с тензором кривизны (гл. 4, § 6), и их производные считаются заданными в произвольной точке О. Эти величины входят в перестановочные соотношения для У [формулы D.9.7) и D.6.34) ]. Некоторые точные системы полей, обладающие этим- свойством в плоском пространстве-времени, могут быть перене- сены в искривленное пространство-время просто путем учета добавочных членов [формулы D.9.13) и D.9.14)], возникающих лри перестановках индексов. Например, в случае максвеллов- 15*
452 ГЛАВА 5 ского поля вместо соотношения E.10.5) будем иметь (т E.10.22) и т. д. и величины фдв будут образовывать точную систему по- лей. Но она, очевидно, уже не будет инвариантной. Лишь в про- странстве де Ситтера (или Минковского), когда Л есть задан- ная постоянная, a 4/'^bcd==^ и <^ав'==^> эта система будет инвариантной. Уравнения Максвелла — Дирака можно перепи- сать в искривленном пространстве-времени аналогичным обра- зом; мы снова будем иметь точную систему полей. Уравнение же для безмассовых полей E.7.2) при п ^ 3 уже не будет в том виде, в котором оно записано, приводить к точной системе по- лей ФАВ...1.* если только заданное пространство не является конформно-плоским, поскольку условие совместности E.8.2) показывает, что не все величины Фав...ь независимы при отлич- ном от нуля Wabcd. Гравитация В общей теории относительности как таковой ситуация не- сколько иная. Здесь величины, связанные с тензором кривизны, следует рассматривать как полевые переменные. Степени сво- боды гравитационного поля описываются конформным спинором Величины Фдв8' и Л выражаются непосредственно через материальные поля и, возможно, через космологическую по- стоянную Я, посредством соответствующих тензоров энергии-им- пульса Tab [формула D.6.30)]: 4п/Тлл'вв' = ®ава'в' + (ЗЛ - 1X) вАВгА,в>. E.10.23) В частности, уравнения Эйнштейна — Максвелла (с космологи- ческой постоянной А,) будут иметь вид [формула E.2.6)] ФА'В'. Л^!*. E-10.24) а тождества Бианки [формула E.2.7)] станут такими: Vaa'VAbcd = - 2уфЛ'в'УВв'ФсО. E.10.25) Ниже будет показано, что вместе с уравнениями Максвелла без источников E.1.57) и перестановочными соотношениями D.9.13) и D.9.14) равенства E.10.24) и E.10.25) ведут к условиям, озна- чающим, что величины Чавсо, Ц>ав образуют инвариантную точ- ную систему полей. Существуют и многие другие источники гра-
ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ 453 витационного поля, которые вместе с ^abcd образуют инвариант- ные точные системы. Рассмотрим вначале уравнения Эйнштейна для пустого про- странства (с космологическим членом или без него). Покажем, что в этом случае сами величины ^Vabcd образуют инвариантную точную систему полей. Для доказательства этого нам потре- буются вакуумные тождества Бианки D.10.9) = 0, или beaVpe4abcd = 0 E.10.26) и тождества Риччи, отвечающие равенству {формула D.9.7) с учетом формул D.6.29) и D.6.34)] и сопря- женному ему равенству К°' J*"'P ~ 7 V«A,C- E-10.28) Их можно представить в форме A = 2^оялвхв - -J- {хавНА p' = 0, E.10.29) еоя {VgV? + VW} хл = 0, E.10.30) Рассмотрим теперь спиноры E.10.31) Путем дифференцирования уравнений E.10.26) получим набор тождеств, из которых следуют алгебраические соотношения между спинорами E.10.31): Это условие равенства нулю части спинора Vg' • • a кососимметричной по индексам Я, А, ничего не говорит о части, симметричной по Н, А. Далее, соотношения E.10.29) связывают выражение с производными от ^abcd более низкого порядка, а соотношения E.10.30) связывают выражение *°« (урЕ ..
454 ГЛАВА 5 с производными низшего порядка от Wabcd. Эти соотношения также касаются лишь частей спинора Vg' ¦ • • V^'^acD, кососим- метричных по паре штрихованных или паре нештрихованных индексов. Таким образом, все алгебраические соотношения [вы- текающие из соотношений E.10.26), E.10.29) и E.10.30)], ко- торые связывают спиноры E.10.31) и спиноры, комплексно-со- пряженные им, относятся лишь к частям спинора v?' • • • . •. Vk^abcd' кососимметричным хотя бы по одной паре индек- сов. Они не налагают никаких ограничений на части, полностью- симметричные по всем штрихованным и по всем нештрихован- ным индексам. [Другие соотношения можно было бы получить, разлагая кососимметричные части спинора v? • • • Vjpfabcd- двумя различными способами. Однако все такие соотношения ведут к соотношению E.10.32), которое является единственным условием совместности.] Следовательно, все спиноры ш - т Р' wP'W xp P'Q' = vC'wQ'W т ABCD' LABCDE — V(ET ABCD)' ^ABCDEF v(? VF * ABCD)' '** E.10.33) и спиноры, комплексно-сопряженные им, алгебраически незави- симы и потому могут быть заданы произвольно (если не ка- саться вопроса о сходимости, см. примечание на стр. 446) в лю- бой выбранной точке Р. Остается показать, что, наоборот, все спиноры E.10.31) мож- но вывести алгебраически из спиноров E.10.33) и спиноров, комплексно-сопряженных им. Воспользуемся методом матема- тической индукции. Нам нужно выразить спинор VPE' • • ¦ Ч^авсп через *?abcde...kP>'"V и производные от Ч*авсп более низ- когр порядка, предполагая по индукции, что эти последние уже выражены алгебраически через симметризованные производные хУАв...а"" ' *' и комплексно-сопряженные им. Если сложить все спиноры, получаемые из Vg' • • • V^'XYABCD всевозможными пере- становками индексов Р', ..., V и А, В, С, D, Е Л', то мы получим х?Ав...кР¦'" V' c некоторым, .коэффициентом. Следова- тельно, если удастся доказать, что всякий из получаемых таким путем спиноров отличается от V?' ... V^abcd слагаемыми, со- держащими лишь производные от Wabcd более низкого порядка, то мы и придем к желаемому результату. Тем самым будет уста- новлено, что спинор Vg'V^ У abcd отличается от Ч?^ крг ¦¦¦ *' не- которым слагаемым, построенным из производных от Wabcd низ- шего порядка. Любые два спинора, получаемые путем такой перестановки индексов из величины - • ¦ У Б • " ' »к ^ABCD'
ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ 455 €удут называться эквивалентными (эквивалентность обознача- ется тильдой ~), если они отличаются друг от друга слагае- мым, построенным из производных от *?abcd более низкого по- рядка. Такое соотношение, очевидно, будет отношением эквива- лентности. Требуется доказать, что все полученные таким путем спиноры эквивалентны друг другу. Поскольку ' - vfv*' -1 i".w, ow + vf v^'} + 1формула D.9.1)], имеем, применяя соотношения E.10.29) и E.10.30), • • • VrVy • • • f ABCD ~ • ¦ • VjrVy ¦•• *.4BCD- Следовательно, любая перестановка символов VjJ' приводит к эквивалентному спинору. (Любая перестановка может быть представлена в виде произведения перестановок соседних эле- ментов.) Это значит, что любая перестановка индексов Р', ... ..., V может быть проведена в выражении V?' • • • V^?ABCD при условии, что выполняется аналогичная перестановка индек- сов Е, ..., К к она дает эквивалентный спинор. Остается пока- зать, что индексы Е, ..., К, А, В, С, D можно переставлять не- зависимо, снова получая эквивалентный спинор. Симметрия спи- нора Wabcd дает возможность переставлять индексы А, В, С, D. Далее, из уравнения E.10.32) следует, что в выражении V?' • • • можно переставлять индексы К, А. Кроме того, т. е. индекс А можно переставлять с любым другим нештрихо- ванным индексом, получая эквивалентный спинор. Отсюда сле- дует, что можно переставлять любую пару нештрихованных ин- дексов, поскольку ••• К ••• Vf ... Vabco- ¦¦¦ V^' ... Vf ... ~ . . . Vy . • • VA • • • ? WBCD ~ • ¦ • Vy . • • V^r . . . Ч1 ABCD- Следовательно, все спиноры эквивалентны, и наше утверждение доказано. '" . . : Поля Эйнштейна — Максвелла Описанный метод можно.распространить на тот случай, когда в рассматриваемом пространстве-времени имеется электромаг- нитное поле. Спиноры да ' (E •-• VG rABCD)
456 ГЛАВА 5 определяются так же, как и ранее, а спиноры фдв> Флвс 4>ABCDP<i' вводимые для описания электромагнитного поля, определяются аналогичным соотношением Повторяя рассуждения, проведенные выше, можно показать, что все спиноры Фдв» Ч>лвсР' •••> ^abcd> ^abcdbp'' ••• и спиноры, комплексно-сопряженные им, алгебраически независимы. Вме- сто соотношения E.10.26) будем иметь на основании формул E.1.57) и E.2.7) (соотношения в соответствующих единицах) Первое из них выражает симметрию производной V?'.-.V«q>4B по индексам Е. А, а второе выражает кососимметричную по индексам G, А часть величины Vg ... V0 т через производные флв не выше того же порядка. Они не нала- гают условий на симметризованные производные от флв и Wabcd. То же относится и к выражениям, заменяющим выражения E.10.29) и E.10.30) и отличающимся от них лишь тем, что второе из соотношений E.10.29) переходит в равенство [формула E.2.6)], а первое из соотношений E.10.30)—в ра- венство Доказательство того, что несимметризованные производные можно выразить алгебраически через симметризованные произ- водные и комплексно-сопряженные выражения, полностью ана- логично доказательству, проведенному в случае чистой грави- тации. Производная v? ••• Ч%Улв отличается от VABC... в слагаемым, построенным из производных от флв и Wabcd более низкого порядка, тогда как производная V?' ... ^q'^abcd отли" чается от ^ABCde...qP "'r' слагаемым, построенным из про- изводных от Щв того же порядка и меньших порядков и из про- изводных от Wabcd более низкого порядка. Следовательно, мы можем построить производные V?q>XB» Vb^abcd' VcVqрЧ>ав* ^b^f'^abcd...' b заданном порядке из симметризованных произ- водных. Этим и завершается доказательство.
ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ 457 Другие примеры В качестве других примеров точных систем полей можно при- вести «свободные> поля Янга — Миллса, удовлетворяющие урав- нениям E.5.40) и E.5.44) для различных групп симметрии, а также поля Янга — Миллса с подходящими источниками. Они попадают в класс полей, удовлетворяющих требованиям, кото- рыми были определены точные системы в начале данного пара- графа, при условии, что янг-миллсовские индексы рассматри- ваются как абстрактные индексы, не участвующие в симметри- зациях в формуле E.10.2). Если же вводятся базис и янг-милл- совские потенциалы, то необходимо наложить калибровочные условия, чтобы получить точную систему полей. Ситуация ана- логична случаю электромагнитного поля, где также необходимо дополнительное условие типа калибровочного условия Лоренца, чтобы сделать физическим закон распространения потенциалов при калибровочно-неинвариантном способе описания. Наконец, некоторые наборы полей, которые сами по себе не составляют точной системы, могут быть дополнены до таковой включением определенных комбинаций производных от полей в качестве новых полей. Довольно тривиальным примером мо- жет служить уравнение Фока — Фейнмана — Гелл-Манна для частицы со спином 1/2 в пространстве МинковскогоМ [63, 69]. Это поле описывается одним двухкомпонентным спинором $а, который в присутствии электромагнитного поля подчиняется уравнению (? + 2ц2) *А = - 2i«p4Bit>B. E.10.34) Само по себе (при флв = 0) и вместе с Щв поле $а не образует точной системы. Но если добавить поле %*' = |i~IV4A'^ (ц = = т/Пл/2), то мы вернемся к уравнению Дирака E.10.15), так как в силу формулы E.1.43) имеем * W ? ABV + у *abVcA*CA'V = — у и, следовательно, поля $А> %А (и Фдв) образуют точную си- стему. В какой-то мере аналогичен этому случай уравнения Дирака (—Фирца) [45, 65], описывающего свободную частицу со спи- ном я/2 ^1 в пространстве М, почти эквивалентного уравне- нию Рариты — Швингера [154] и обобщающего уравнения Даф- фина — Кеммера и т. д. [35]. Предположим, что электромагнит- ное и другие взаимодействия отсутствуют. Поле описывается двумя симметричными спинорами ^a.'.'.'d ' %b.'.\'d с валентно-
458 ГЛАВА 5 ГО Р] ГО р+П стями, соответственно, j . . „ J> I „ I, удовлетво- ряющими полевым уравнениям Здесь, как и ранее, й(х -у^2 — масса, а спин поля равен я/2 =» = A/2) (р-\- <7+ !)• Заметим, что симметрия обоих спиноров Ф!.'.', X!'..' и уравнения E.10.35) обеспечивают выполнение двух «дополнительных условий» r' = 0. E.10.36) Как и ранее, мы имеем также соотношения хГ;.;ог'=0 E.ю.37> (поэтому параметр т = Й|д. У!2 действительно представляет со- бой массу). Мы можем, как и в случае уравнения Фока — Фейн- мана—Гелл-Манна, рассматривать в качестве независимого лишь поле ty'.'.'. (например) и воспользоваться первым из соот- ношений E.10.35) для нахождения X;;;- Если выполнено первое из равенств E.10.36), то мы получим X;" с нужными свойст- вами симметрии; при этом второе из соотношений E.10.35) ока- жется следствием первого из уравнений E.10.37). Два поля ФЯ'.'.'.'о • ^b'.'.'.d' не образуют точной системы по- лей (как и одно поле $\\\). Однако нетрудно дополнить систему введением я — 1 новых спиноров (каждый из которых симметри- чен по всем индексам), различающихся числом штрихованных и нештрихованных индексов: в естественном расположении эти п + 1 спиноров образуют последовательность спиноров, каждый из которых получается из предыдущего дифференцированием со сверткой по одному индексу. Вместе эти спиноры образуют ин- вариантную точную систему. Например, ари п == 2 имеем инва- риантную точную систему полей tyAB, Хв. 1А'В', удовлетворяю- щих уравнениям _ _ I1YB' — Па Но если попытаться включить электромагнетизм (при п ^ 2) или гравитацию (при п^З), то ситуация усложнится из-за условий совместности Фирца [67] и Бухдала [21], с которыми мы встретились в безмассовом случае [формула E.8.2)]. В том виде, в котором они записаны, уравнения E.10.35) несовместны с уравнением E.1.43) (при п ^ 2) и с уравнением D.9.13) (при
ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ 459 и^З). Рассмотренные рядом авторов уравнения, модифициро- ванные с целью устранения противоречий, выходят за рамки нашей книги, и мы отсылаем читателя к литературе, цитирован- ной здесь и в § 8. § П. Начальные данные на световом конусе В § 10 были описаны основные. известные физические поля, включая гравитационное, в форме точных систем полей. Взаи- модействия между полями могут описываться либо «полевыми уравнениями», такими, как E.10.15), E.10.17) и E.10.25), либо «перестановочными соотношениями» для операторов [формулы E.1.44) и E.1.45)] (при таком подходе тождества Бианки счи- таются уравнениями поля). Формализм в целом удобнее строить, пользуясь полевыми величинами, а не потенциалами, зависящими от выбора калибровки. Тогда потенциал электро- магнитного поля Фа может вообще нигде не фигурировать в яв- ной форме, как и гравитационные потенциалы (т. е. выражения для gib в заданном координатном базисе). В настоящем пара- графе такая «геометрическая точка зрения» развивается даль- ше. Если все производные E.10.3) в некоторой заданной точке О известны, то, предположив аналитичность всех интересующих нас величин, мы можем двигаться от одного события к другому « вычислять поля E.10.1) и их производные E.10.3) в любой точке (событии) пространства-времени, пользуясь степенными разложениями («теоремой Тейлора»). Это дает возможность ис- следовать пространство-время способом, который по крайней мере в принципе полностью независим от выбора координат. Правда, это, вообще говоря, не очень удобно на практике, но возможно, что усовершенствования технической стороны метода приведут к упрощениям. В то же время данный метод приводит к важному заключе- нию относительно условий, налагаемых на точные системы по- лей, и именно на этом мы и хотим здесь остановиться. Оказы- вается, что, как производные E.10.3) позволяют «перемещаться» по пространству-времени, так и симметризованные производные ^E.10.2) дают возможность «перемещать» по световому конусу с вершиной в событии О ту компоненту каждого поля, которая связана с изотропным направлением на конусе [136]. Условие -«а» точности системы полей означает, что для всякого поля эта компонента может быть задана произвольно на световом конусе с вершиной в точке О, тогда как условие «б» говорит о том,, что, зная эту функцию, мы можем вычислить поля всюду1) в про- ') Строго говоря, из-за неоднозначностей и возможных противоречий при глобальном рассмотрении это относится лишь к некоторой открытой окрест- ности точки О.
460 ГЛАВА 5 странстве-времени. Таким образом, мы приходим к формули- ровке начальной задачи, в которой начальные данные произ- вольны (т. е. не содержат связей) на световом конусе. Здесь будет рассмотрен лишь простейший случай, когда все величины обладают необходимыми аналитическими свойствами. Резуль- тат, вероятно, имеет и более широкую область применимости, однако его доказательство в отсутствие предположения об ана- литичности гораздо сложнее. При этом возникают вопросы об областях причинной связи, соотношениях когерентности, устой- чивости и т. д., которые не удается решить развиваемыми здесь методами. Полное исследование увело бы нас слишком далеко от наших ближайших целей, тогда как сравнительно простого доказательства, основанного на аналитичности, вполне доста- точно, чтобы проиллюстрировать важную роль понятия точной системы полей. «.Ряд Тейлора» на многообразии Л Будем предполагать, что пространство-время Л представ- ляет собой аналитическое многообразие с аналитической метри- кой Цаь. Оператор Va также должен быть аналитичным (т. е.> действуя на аналитическую функцию, давать снова аналитиче- скую функцию). Разумеется, если Va представляет собой обыч- ную производную Кристоффеля, то его аналитичность автома- тически следует из аналитичности метрики gab- Здесь мы будем предполагать также существование электромагнитных полей, включая их в определение оператора Va применительно к заря- женным полям. Тогда требование аналитичности оператора Va означает, что электромагнитное поле (как и гравитационное) должно описываться аналитическими функциями. Других взаи- модействий, кроме электромагнитного и гравитационного, здесь мы предполагать не будем (хотя включение полей Янга—Милл- са не сильно усложнило бы рассуждения). Для простоты будем- также предполагать кручение отсутствующим. Кручение неявно повлияло бы на определение геодезических в Л, и мы предпо- читаем не рассматривать здесь этого усложнения. Пусть v — гладкая кривая в Л, и пусть ta — касательный вектор, заданный в каждой точке кривой у. Предположим, что для некоторого поля 8"; выполняется условие /avae::: = o E.пл> в каждой точке кривой у. Тогда будем говорить, что поле 9;;; постоянно вдоль кривой у (по отношению к оператору Va) и записывать [е:::],Д[е:::]<г E.11.2)
ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ 461 для двух точек Р и Q, лежащих на кривой у. Если коммутаторы операторов V отличны от нуля, то определение E.11.2) понятия «равенства» будет, вообще говоря, зависеть от выбора кривой у, соединяющей интересующие нас точки. [Если у — замкнутая кривая, начинающаяся и оканчивающаяся в одной точке Р (=Q), то запись E.11.2), вообще говоря, не означает, что на- чальное и конечное поля в точке Р равны в обычном смысле слова. В случае бесконечно малой петли их различие непосред- ственно определяется коммутатором операторов V.] Если само векторное поле ia может быть выбрано постоян- ным вдоль кривой v. т. е. • Л7,/ = 0, E.11.3) то v — геодезическая в Jt. Пусть v — действительный параметр на геодезической v. масштаб которого выбран так, что taVav=l. E.11.4) (Тогда v — аффинный параметр на кривой у; величины Vх и v следует рассматривать как «незаряженные».) Фиксируем точку О е Л, и пусть v — некоторая геодезическая, проходящая через точку О, причем и = 0 в этой точке. Тогда можно задать поло- жение некоторой точки X многообразия Ж по отношению к точке О вектором xa = vta, E.11.5) где v — значение параметра в точке X. [Из равенств E.11.3) и E.11.4) сразу видно, что E.11.5) не зависит от нормировки вектора ta. Если ta>-+kta, то величина k должна быть постоян- ной вдоль v. чтобы сохранялось равенство E.11.3), а значит v>-+k-lv.] Следовательно, мы можем сказать, что ха —вектор положения1) точки X относительно точки О. Если v пробегает всевозможные геодезические, проходящие через О, то компо- ненты ха вектора ха по отношению к некоторому базису, выбран- ному в точке О, задают систему нормальных координат с нача- лом в точке О. Это означает, что направление ха есть направле- ние геодезической v. проведенной из точки О в точку X, а его длина (или «протяженность», если ха — изотропный вектор) равна длине отрезка v от О до X. [Это прямо следует из фор- мул E.11.3) —E.11.5).] Пусть поле Ф1* аналитично в точке О; тогда для некоторой точки X, не слишком удаленной от О и лежащей на геодезиче- ') Строго говоря, такое определение однозначно лишь в случае близких точек X и О. В противном случае из-за фокусировки и пересечения геоде- зических может оказаться, что имеется более одного «вектора положения> точки X относительно О (а иногда нет нн одного).
462 ГЛАВА 5 ской v, будем иметь E.11.6) Чтобы в этом убедиться [175], заметим, что если v' — параметр, ассоциируемый с бегущей точкой X' между О и X на у, то ве- личина exp((v - v')taVa)$* = **+ ("~р/а V.** + (°°?2<a%+..., E.П.7) вычисленная в точке ^', будет постоянна вдоль кривой у в силу условий E.11.1), E.11.3) и E.11.4) (здесь у — постоянная вели- чина, a v' удовлетворяет условию taVav' = 1). Равномерная схо- димость разложения E.11.7) в случае точек X, достаточно близ- ких к точке О, неявно заложена в предполагаемых аналитиче- ских свойствах используемых величин, но мы здесь не будем вникать в этот вопрос. При v' = 0 и v' = v мы получаем соот- ветственно правую и левую части равенства E.11.6). «.Ряд Тейлора» на световом конусе Jf Соотношение E.11.6) указывает, каким образом, зная все несимметризованные производные E.10.3) системы полей в точ- ке О, можно вычислить поля во всех остальных точках (не слишком далеких от О на первом шаге; в «удаленные» точки можно попасть, сделав несколько шагов). Предположим теперь что и выясним роль симметризованных производных E.10.2). Рас- смотрим точки X, лежащие на световом конусе /С с вершиной в точке О. Тогда у будет изотропной геодезической, a ta — изо- тропным вектором, который, следовательно, будет иметь вид ta = tAlA E.11.9) (если выбрать вектор t", направленный в будущее). Для задан- ной изотропной геодезической v мы выберем ЪА постоянным (и незаряженным) вдоль у. Тогда, умножив E.11.6) на 1А1а ••• ... IbIP'Iq> .. .Is1 (в силу постоянства \А вдоль у можно недву- смысленно записывать произведения | снаружи скобок), будем
ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ 463 иметь V... 1%, ••• Is' KV.vl'L = ^л • • • *%' • • • Is' К:.-Ло - Благодаря симметрии произведений %,А ... V*\p' • • • 4V B этом соотношении фактически участвуют именно симметризованные производные [v{?' • • • V&'i^'.'.'.'iPlo [формула C.3.23)]. Заданием этих всех симметризованных производных в точке О определяв ется величина Ф = 5Л ... 1ЧР' ... Is'[^a...Ep'...s'']x E.11.11) вдоль любой изотропной геодезической, проходящей через О, и, следовательно, всюду на Л". Комплексное число а|> будем называть изотропным значе- нием ') поля ¦ф'1 в точке X на Л". Если определенным образом выбрать %А для всех изотропных направлений в точке О (напри- мер, положив ?° = 1 в точке О, чем исключается лишь образую- щая ?° = 0), то мы можем рассматривать a|> как скалярную функцию, определенную на световом конусе с вершиной в точке О, причем заданную симметризованными производными поля а|)д в точке О, хотя, точнее, а|э есть взвешенная функция, как в гл. 4, § 12, в чем мы вскоре убедимся. Обратно, значениями ф на JP определяются значения симметризованных производных. В самом деле, световой конус Ж можно параметризовать дей- ствительным параметром v (o=0 в вершине) и комплексным отношением | = ll/l° в О, т. е. комплексным параметром | = I1, если выбрать .|° = 1. Коэффициент при (—v)r в формуле E.11.10) будет равен рА iEiF ЬНЬ it ? ГуГ' vV'.hP' ... S'l (К ] 1 1 О\ S •••66 • • • 5 ?р/ • • • Ss/Sr, . . • Sv [VF ••• \Н™А... Е Jo' \°-ll-l*f ') В оригинале «null datum»; этот же термин во множественном числе («null data») далее переводится как «изотропные данные». Предлагаемый перевод формы единственного числа не передает смыслового оттенка слова «data», ассоциируемого с применением этого термина в задаче Коши. В дей' ствительности null data используются как «начальные данные» на изотроп- ной гиперповерхности, определяющие решение волнового уравнения всюду в пространстве-времени (слово «начальные» применительно к значениям на световом конусе можно, разумеется, понимать лишь условно). Подчеркнем, что «изотропное значение» i|) поля ty* есть не просто значение поля фл на изотропной гиперповерхности, но свертка $Л с соответствующей комби- нацией спиноров \А и \рГ. — Прим. перев.
464 ГЛАВА 5 т. е. при каждом значении величины | он будет определяться величиной i|). Но поведение произведения E.11.12) при преобра- зовании %А >—> А,|А также известно: это произведение умножается на №+г%ч+г. Следовательно, коэффициент E.11.12) определяется величиной г|з как функцией переменных \А и \Р\ Поскольку вели- чины \А и \р-алгебраически независимы, выражением E.11.12), которое является полиномом по 1°, I1, lo'ii'- будут однозначно определяться коэффициенты [VjjT . •. ^н^а.'.'.'е'\о' * Физический смысл определения точной системы полей теперь становится более прозрачным. Условие «б» в определении точ- ной системы полей i|> , .... ху гарантирует, что их изотропны- ми значениями г|э ... % на световом конусе /С эти поля задаются всюду в пространстве-времени Ж. Условием «а» обеспечивается возможность независимого выбора начальных данных на JF, т. е. отсутствие связей. Таким образом, для любой точной си- стемы полей изотропные данные представляют собой полную неизбыточную систему начальных значений на световом конусе с вершиной в произвольной заданной точке. Подсчет степеней свободы Теперь мы можем найти число степеней свободы полей. Для этого вспомним общее положение для задач с начальными дан- ными: на характеристической (т. е. изотропной) начальной ги- перповерхности требуется задать вдвое меньше действительных чисел в каждой точке, нежели в случае пространственно-подоб- ной гиперповерхности [40, 82, 156]. В рассматриваемом случае мы имеем дело с начальными данными на гиперповерхности JV, которая (по крайней мере не слишком далеко от точки О и вне самой точки О) является гладкой изотропной гиперповерх- ностью. Следовательно, число действительных величин, которые нужно задать в каждой точке в качестве начальных данных на JF, должно быть вдвое меньше, чем в случае обычной простран- ственно-подобной гиперповерхности. Мы будем иметь одно комплексное значение (т. е. два действительных) в каждой точ- ке гиперповерхности J? для каждого из полей E.10.1), принад- лежащих точной системе. Это верно, если на поле не нала- гается условие эрмитовости (в таком случае оно имеет одинако- вое число штрихованных и нештрихованных индексов). В случае эрмитова поля изотрвяное значение должно быть действитель- ным. Таким образом, число «степеней свободы» системы полей, определяемое как половина числа действительных переменных, необходимых для задания начальных значений на простран- ственноподобной гиперповерхности, равно удвоенному числу не- эрмитовых полей в системе E.10.1) плюс число эрмитовых полей.
ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ 465 Проверим это на известных примерах. В случае свободных уравнении Максвелла в заданном фоновом пространстве-вре- мени имеем единственное поле фдв, так что число степеней сво- боды равно двум. (В обычном «пространственноподобном» опи- сании это число получается как половина числа, равного шести степеням свободы для Е и В минус два условия связей div ?=0, divB = 0.) В случае дираковского поля имеем два спинора "Ф/i. ХА' в системе E.10.1), что соответствует четырем степеням свободы. (В обычном формализме имеем четыре комплексные компоненты одного дираковского 4-спинора, т. е. восемь дей- ствительных чисел в каждой точке пространственноподобной ги- перповерхности.) В случае действительного скалярного поля (Шредингера — Клейна — Гордона или Даламбера) имеем одно эрмитово поле и потому одну степень свободы. (В обычном фор- мализме в качестве начальных данных нужно задать поле и его первую производную по времени, т. е. два числа в каждой точ- ке.) В случае полей с большими спинами в формализме Дира- ка— Фирца E.10.35) требуется всего п-\- 1 неэрмитовых спино- ров [формула E.10.38)], чтобы иметь точную систему полей, а потому число степеней свободы будет равно л+ 1. (В обычном формализме это число возникает иным путем [35, стр. 121].) Наконец, в случае общей теории относительности сразу видим, что число степеней свободы гравитационного поля равно двум, поскольку это поле определяется единственным неэрмитовым спинором 4?abcd- (В обычном формализме к этому результату прийти сложнее, поскольку имеется много избыточных перемен- ных и связей, которые нужно учитывать [8, 20].) Регулярность в точке О Мы не будем касаться более сложных вопросов, связанных, скажем, с отказом от требования аналитичности или с заменой светового конуса JC характеристической (т. е. изотропной) ги- перповерхностью более общего вида. Можно было бы, напри- мер, ожидать, что заданием изотропных начальных значений на верхней половине JF+ светового конуса ИР будут определяться поля внутри Jf+ (по крайней мере не слишком далеко от точки О). Но для ответа на эти вопросы изложенных методов недоста- точно. В § 12 будут получены некоторые формулы, используя которые, можно попытаться прояснить подобные технические проблемы для определенных типов полей. Здесь же мы коснемся единственной довольно общей проблемы такого рода — о пове- дении изотропных данных в вершине О светового конуса Jf. По- скольку О — сингулярная точка на fC, остается неясным, какого рода условиям гладкости должны удовлетворять функции, опи- сывающие изотропные начальные данные в этой точке.
466 ГЛАВА 5 В данной связи нужно учитывать характер зависимости г|з от 1Л в несингулярной точке светового конуса Jf. При преобразо- вании ЪА^МА E.11.13) имеем ^ E.11.14) т. е. в терминологии гл. 4, § 13 величина ф представляет собой скаляр типа {р, q), если выбирается спиновая система отсчета в каждой точке конуса Jf, такая, что оА = ЪА. . E.11.15) (В каждой точке X светового конуса Jf спинор %А определен, разумеется, с точностью до коэффициента пропорциональности, так как он соответствует касательной к образующей конуса Jf, проходящей через точку X.) Напомним, что целое или полуце- лое число s = -^p- E.11.16) есть спиновый вес величины i|). Рассмотрим теперь {р, <7)-скаляр ф, заданный на конусе Jft но вне связи с полным пространством-временем Л. В качестве определения аналитичности функции ф можно принять существо- вание разложения вида E.11.17) сходящегося в некоторой окрестности точки О в случае изотроп- ного вектора ха = v\A\A', заданного в точке О, где ¦*<«)...— постоянные, определенные в точке О. Мы имеем р спиноров %А, ..., %Е и q спиноров |р', ..., Is'» что приводит к величине ар, являющейся, как и требуется, скаляром типа {р, q). Ясно, что функция ф, заданная формулами E.11.10) и E.11.11), будет в этом смысле аналитичной. [Поскольку if — скаляр, указание пути v в формуле E.11.17) существенно лишь в случае заря- женных полей. Но можно и в этом случае не считаться с ним, если выбрать электромагнитный потенциал в виде аналитиче- ской функции, опять-таки в смысле равенства E.11.17).] Рассмотрим характер регулярности функции ф в вершине О, определяемый разложением E.11.17). Для этого будем считать касательное пространство в точке О пространством Минковскога М из гл. 4, § 15, а вершину О — точкой L. Полагая, как в фор- муле E.11.15), оА =1А, так что ха = aoV4', ta = la, находим, чта
ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ 467 и-й член в сумме E.11.17) будет иметь вид D.15.41). Из того, что говорилось в связи с формулами D.15.43) — D.15.57), сле- дует, что (по отношению к произвольно выбранной временной оси Та в точке О) я-й член (коэффициент при vn) есть линейная хомбинация сферических гармоник со спиновым весом s; причем / = |s|, |S|+1, |s| + 2 n + ±(p + q). E.11.18) Посмотрим, что это означает в случае р = q = 0. Тогда в сте- пенном разложении функции г|з коэффициент при vn будет содер- жать обычные сферические гармоники только порядков 0, 1, ... ..., п. Это можно сопоставить с поведением аналитической функции переменных х, у, z в обычном евклидовом 3-простран- стве, представленной в сферических координатах г, 0, ф. В этом случае коэффициент при г" будет содержать сферические гармо- ники лишь порядка п, п — 2, п — 4, ..., 1 (п нечетно) или га, л — 2, ..., 0 (п четно). Можно сказать, что аналитическая {0, 0}-функция -ф на Jf несет вдвое больше информации, чем обычная аналитическая скалярная функция в евклидовом 3-про- странстве. Это можно понимать как одно из «объяснений» уменьшения в 2 раза числа функций, задающих начальные усло- вия на изотропной гиперповерхности Jf, по сравнению с началь- ными условиями, которые нужно задать на пространственнопо- добной гиперповерхности, поскольку каждая функция на Jf «стоит двух». Это, однако, еще далеко от полного объяснения. Небезынтересно отметить любопытное свойство нулей функ- ции 1|з на JC в случае s ф 0. В типичном случае будем иметь пг линий таких нулей, входящих в вершину О, причем |p-<7l<m<p + <7. E.11.19) Отчасти это вытекает из топологических рассуждений, а отча- сти— из анализа, который будет дан в гл. 8, § 8. Геометрия светового конуса Jf В случае гравитации изотропное значение функции W играет особую роль. Здесь мы лишь кратко коснемся этого вопроса. Более полное обсуждение будет основано на геометрии, которая будет введена в гл. 7. Выберем комплексный изотропный вектор пга, ортогональный вектору 1а, действительной частью которого (пространственноподобной, длины 2~1/2) вместе с вектором /° определяется полотнище флага \А = оА в каждой точке конуса JC. В обычных обозначениях формализма изотропной тетрады C 1.1.4) имеем la==ta. Таким образом, тетрадный вектор /" ука- зывает одно из изотропных направлений внутри Jf (и ортогона-
468 ГЛАВА 5 лен конусу JF), а действительная и мнимая части вектора та касательны к JC в пространственноподобных направлениях, при- чем эти три вектора определяют касательные пространства к Jf. Оставшийся тетрадный вектор па указывает направление, выхо- дящее из ИР. Тогда можно написать [формулы D.11.6) и D.11.9)] ? = lAl4ctDx?abcd = ?„ = lamblcmdCabcd. E.11.20) В гл. 7, § 2 будет пояснено, что Ч* описывает «чисто астигмати- ческую» часть геодезического отклонения [138, 150, 161] изо- тропных геодезических на JF. Если присутствует материя, описы- ваемая тензором энергии-импульса Таъ, то можно написать с учетом формул E.10.23) и D.6.25) Ф = 1а1в1а%в'Фава>в> = - YRablal" = 4*yTablalb. E.11.21) Следовательно, Ф характеризует «анастигматическую» часть гео- дезического отклонения. Оказывается, что в случае рассматри- ваемых здесь материальных полей величина Ф непосредственно определяется изотропными данными для этих материальных по- лей (в том числе, возможно, и производной в направлении век- тора 1а). В частности, в силу формулы E.10.24) для уравнений Эйнштейна — Максвелла имеем Ф = 2т>фф, где ф — изотропное значение поля Максвелла. Таким образом, мы видим, что в об- щей теории относительности геометрия светового конуса Jf сама по себе определяется изотропными данными всех присутствую- щих полей. В частном случае вакуумных уравнений Эйнштейна можно пойти дальше. Задание внутренней геометрии JC тогда почти эквивалентно заданию изотропного значения W. (Правда, здесь имеется тонкость, связанная с тем, что внутренняя метрика на JC имеет определитель, равный нулю, но это не опасно [1421.) Таким образом, можно сказать, что геометрия вакуумного про-, странства-времени Ж (которое аналитично) локально определя- ется внутренней геометрией светового конуса в любой заданной точке (событии) в М. . Характеристическая начальная задача для общей теории от- носительности также изучалась в случае пары пересекающихся изотропных гиперповерхностей Jf\, Л?2 [41, 163]. В духе настоя- щего подхода, в котором гравитационные данные на Jf опреде- ляются изотропным значением W (а не сдвигом а, см. гл. 7„ § 1, 2, или внутренней метрикой), нам нужно было бы задать W на каждой из гиперповерхностей Jf\ и Jf->. Но, кроме того, оказываются необходимыми данные на Jf\ f] Jf2, имеющие форму р, р', о, а' (если флагштоки спиноров оЛ, iA указывают
ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ 469 f в направлениях образующих Jf\ и Jf%, соответственно), и до- полнительно к внутренней метрике на Jf\ Л -Я°2 должна быть введена комплексная кривизна К, определенная выражением D.14.20). Мы не будем углубляться здесь в эти вопросы далее. § 12. Явные полевые интегралы Существуют интегральные выражения, которые позволяют выразить поля явно через изотропные данные, когда (изотроп- ная) гиперповерхность ИР, на которой задаются начальные дан- ные, не обязательно представляет собой световой конус. Прото- типом этих выражений служит интегральная формула Кирхго- фа — Дадемара для безмассового скалярного поля, удовлетво- ряющего уравнению Даламбера в пространстве-времени Мин- ковского М. Эта формула допускает естественное обобщение на безмассовые поля с любым спином. В данном параграфе мы выведем эту общую формулу сначала для М, а затем покажем,, как ее применить к случаю конформно-плоского пространства-- времени. Ниже будет указано, каким образом повторное при- менение этой формулы позволяет получить соответствующее вы- ражение для некоторых точных систем взаимодействующих по- лей в М, а именно для (классической) системы Максвелла — Дирака. Обобщенная формула Кирхгофа — Дадемара Пусть Р— некоторая точка в М, и предположим, что свето- вой конус "й7 с вершиной в точке Р имеет с Jf гладкое пересече- ние У (рис. 5.4), лежащее либо в прошлом, либо в будущем от точки Р. Пусть Q — типичная точка пересечения 9"\ рассмотрим спиноры %А и г\А в точке Q, флагштоки которых указывают вдоль образующих JC и в7, соответственно, так что они ортогональны пересечению 9> в точке Q. Пусть ^«есть элемент поверхности !Р B-форма) около точки Q [формула D.14.65)]. Предположим, что спиноры нормированы условием Если написать (QP)e = rT)V'( E.12.2) то действительное число г будет мерой протяженности отрезка QP; оно положительно или отрицательно в зависимости от того, лежит ли точка Q на световом конусе прошлого или будущего точки Р.
470 ГЛАВА 5 Рис. 5.4. Обобщенная формула Кирхгофа — Дадемара E.12.6) выражает без- массовое поле в точке Р в виде интеграла по пересечению 9? гиперповерхно- стей 9* и Jf от выражения, определяемого изотропным значением поля на Jf. Рассмотрим теперь ФА L — безмассовое свободное поле •со спином га/2 > 0: *A...L = *tA...L? V^s..., = 0 E.12.3) или с нулевым спином: E.12.4) {член A/6)/? =4Л существен в случае искривленного простран- ства-времени] в некоторой окрестности Ж соединения 91 с Р (т. е. области, заметаемой изотропными отрезками QP). По- Ф ^ Q строим изотропное значение для а..-l р Q) на ^ в ТОчке Q'- E-12.5) Мы хотим показать, что этой величиной, а также ее производной в изотропном направлении на Jf в области 9> определяется поле в точке Р [136]: ^$^ E-12.6) тде $х — конформно-инвариантная модифицированная форма E.6.33) спинового оператора V D.12.15), причем спиновая си- стема отсчета определена так: ¦ — Т)Л. E.12.7)
ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ 47 Т Будем считать.что оА, iA имеют конформные веса —1, 0 соответ- ственно [случай IV в формуле E.6.26)], хотя допустим и другой выбор. Поскольку поле ф есть {га, 0}-скаляр конформного веса —га— 1 [формула E.7.17)], имеем при действии на Ф pt = p — (n+\)p = D — m — {n+l)p, E.12.8) где . D = tAiA'Va. E.12.9) Образующие светового конуса JC являются геодезическими при следующем условии: DtA = etA E.12.10) [формула E.11.3), а также G.1.8)]. В гл. 7, § 1 будет пока- зано, что изотропные гиперповерхности всегда порождаются изо- тропными геодезическими. Здесь же мы просто включим эта условие в наши предположения относительно характера гипер- поверхности /С. Таким образом, к :=1ADIA=O, E.12.11 > откуда [формулы G.1.16) и G.1.17)] 1 Р1в. 1а1вЧь1а = о1в. E.12.12)- Хотя величина а непосредственно не входит в выражение E.12.6), она появится в обобщенных выражениях E.12.50) и E.12.54) ниже. Позже мы убедимся также в том [формулы1 G.1.58) и G.1.61)], что для изотропных гиперповерхностей вы- полняется равенство р = р, E.12.13) хотя по существу мы уже установили это в формуле D.14.2).. Доказательство основной формулы После этих предварительных замечаний мы готовы присту- пить к доказательству формулы E.12.6). Проведем его в два этапа. Сначала покажем, что для любых двух гладких сечений. 9> и 9" гиперповерхности <& (рис. 5.5), для которых выполняется соотношения E.12.3) и E.12.4) в некоторой окрестности Ж ча- сти Ф гиперповерхности ^ между 9> и 9", лежащей в М, ин- теграл E.12.6) по 91 равен аналогичному интегралу по 9". [За- метим,' что любое гладкое поперечное сечение 9" гиперповерхно- сти W возникает как пересечение Я2 изотропной гиперповерх- ностью JC. Действительно, JF есть просто поверхность, заметае- мая изотропными геодезическими («лучами»), отличными от
472 Рис. 5.5. К доказательству равенства интегралов по 9" и 9" с привлечением основной теоремы внешнего исчисления. образующих гиперповерхности <S>, входящими в 9" ортогонально (гл. 4, § 14; гл. 7, § 1).] Второй этап состоит в доказательстве того, что выражение E.12.6) справедливо в предельном случае, когда 9" стягивается в бесконечно малую сферу около точки Р. Тем самым формула E.12.6) будет доказана в общем виде 1125]. Для доказательства первого утверждения воспользуемся ва- риантом D.14.92)—D.14.94) основной теоремы внешнего исчис- ления, приведенной в гл. 4, конец § 14, в которой используются спин- (и буст-) взвешенные скаляры. Сначала перепишем фор- мулу E.12.6) с использованием взвешенных скаляров, для чего выберем произвольно спинор (оА е SA [формула D.15.42)] и введем {—1, 0}-скаляр m = йИтц = - <oAiA = ш°. E.12.14) Тогда формулу E.12.6) можно переписать так: E.12.15) Чтобы применить соотношения D.14.93) и D.14.94), которые нам нужны в комплексно-сопряженной форме, необходимо так- же ввести {0, —2}-скаляр ць который совместно с {0, 0}-ска- ляром ^^^г-\ф E.12.16) удовлетворяет соотношению D.14.93) в сопряженной форме: А := (р' - 2рО не - (б' - г) ц, = 0. E.12.17)
ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ 47? Здесь величины iv и |ir являются компонентами спинора цА типа {0, —1}. Оказывается, что соотношение E.12.17) будет выполняться,, если положить ц,, = ©nr-> (б^ - (л + 1) где ^, = <j>m 0 в соответствии со стандартными обозначениями формулы D.12.43) (которые позволяют также написать ф — ==^о==^оо...о и ^2= ^но...о)* Чтобы в этом убедиться, пред- ставим уравнение E.12.3) в виде семейства уравнений D.12.44)» и соответствующего штрихованного семейства D.12.44)'. Здесь (при га > 1) нам нужны лишь первые два из уравнений D.12.44) и лишь последнее из уравнений D.12.44)', которые имеют сле- дующий вид, соответственно: В := рфх - 6'ф0 + х'ф0 - яр?, = О, Е := 6фх - *>'ft) + p'ft) + (« - 1) оф2 - лт?, = О, где учтено, что х = 0 [формула E.12.11)], а также равенства а' = х' = 0, E.12.20> справедливое, поскольку в7 — световой конус в М [формулы- D.14.76) и D.15.12)]. Аналогично формуле E.12.13) имеем р' = р', E.2.2 а из формулы D.15.12) получаем Р7 = 4- E.12.22> [Сопоставление равенств D.15.2) и E.12.2) показывает, что- и = г.) Из формул E.12.22), D.12.32а') и D.12.32г') (при х'= = а' = Ф22 = Ф21 = Ч'з = 0) сразу следует, что р'г-' = р'г~Ч ' DV = -p'r, E.12.23) б'г = О, E.12.24> где г — скаляр типа {—1, —1}. Кроме того, соотношение- D.11.28) дает pV = — xV =0 и 6И = —oV =0, откуда в силу определения E.12.14) следует равенство »'ш = 0 = б'ю. E.12.25> Теперь мы можем проверить выполнение равенства E.12.17), рассматривая комбинацию ©-"/¦Л - (б - гат — т') В - (га - 1) аС + (р-пр- р) ?; E.12.26>
474 ГЛАВА 5 можно показать, что в данной ситуации она тождественно равна нулю. Это устанавливается прямым, хотя и несколько громозд- ким вычислением с использованием уравнений D.12.32а', б, в, г, е') модифицированного формализма спиновых коэффициентов ¦совместно с перестановочными соотношениями D.12.35) и D.12.33) применительно к Фо (тип {га, 0}) и D.12.34) примени- тельно к ф\ (тип {п — 2, 0}) с учетом соотношений E.12.20) — E.12.25) и равенств ^„ = ^, = ^2 = 0. E.12.27) Мз равенства нулю комбинации E.12.26) и равенств В=.С = = Е = 0 находим А = 0, что и требовалось доказать. (Случаи л = 0, 1 аналогичны и даже проще.) Таким образом, интеграл в формуле E.12.15) не зависит от специального выбора попереч- лого сечения 9" гиперповерхности IP, т. е. первое утверждение доказано. . ¦ . ~ Рассмотрим теперь поперечное сечение ^в, которое получа- ется как пересечение гиперповерхности # с пространственнопо- добной гиперплоскостью, проходящей вблизи точки Р (в прош- лом или в будущем). Пусть ^в имеет радиус |б| (и выберем б > 0 или <0 в зависимости от того, лежит ли ^6 в прошлом или в будущем по отношению к событию Р).Тогда [гл.4, § 15, .в частности формулы D.15.3), D.15.9) и D.15Л2)] находим рг-1 = рр/=-1б-2, E.12.28) и, следовательно, каждая из величин |р| и |р'| расходится как О(|б|-1) при б->-0. Поскольку поле Фав...ь является гладким в точке Р и площадь поверхности ^6 имеет порядок О (б2), вклады членов йф и —пеф в Р$ф [формула E.12.8)] обраща- ются в нуль в этом пределе и остается- единственный член — (п+1)рф. Поэтому интеграл E.12.6) принимает вид В рассматриваемом пределе можно вынести Фа*...и за знак ин- теграла, взяв значение поля в точке Р. Далее используем лемму D.15.86) при R = b с учетом определения E.12.7), что позво- ляет установить требуемое согласие с формулой E.12.15). Мно- жители оИ ... o)L можно сократить в об,еих частях равенства, поскольку величина «И произвольна [формула C.3.23)]. Таким ¦образом, формула E.12.6) доказана.
ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ 475- Конформно-плоское пространство-время Все изложенное почти без изменений переносится на случай,, когда вместо IVf мы имеем некоторое конформно-плоское про- странство-время Ж. Мы можем предположить, что подходящим, выбором конформного множителя Q метрика в окрестности све- тового конуса Ф может быть приведена к плоской метрике в со- ответствующей окрестности светового конуса в пространстве- Минковского <VL Но необходима осторожность при интерпрета- ции параметра г. Это относится к уравнениям E.12.23) и. E.12.24). Первое из них позволяет интерпретировать г как ярко- стный параметр на 9? [17, 162]. В общем случае равенство E.12.22) не имеет места, но это равенство и не требуется, чтобы доказать равенство нулю комбинации E.12.26) [оно лишь упро- щает вывод равенства E.12.23) в случае пространства Минков- ского М. При конформном изменении масштаба величина г ведет себя следующим образом1): r, E.12.3 где &(Р)—значение конформного множителя в точке Р [ай = = Q(Q) в соответствии со стандартными обозначениями § 6].- Причина, по которой конформным множителем в точке Р опре- деляется поведение величины г при конформном изменении мас- штаба, заключается в том, что соотношение E.12.23) само по себе не определяет значения г, а лишь фиксирует г с точностью: до общего масштабного множителя для каждой из образующих конуса Я? в отдельности. Масштабный множитель определяется требованием, чтобы в случае точки Q, близкой к Р, вектор по- ложения точки Q относительно точки Р был равен — nAiA'. Эта величина при конформном изменении масштаба ведет себя как. расстояние, а поскольку произведение i'V выбрано инвариант- ным относительно этого преобразования, величина г тоже ведет- себя как расстояние в точке Р, т. е. умножается на Q-(P). Вто- рой множитель Q обеспечивает согласие с формулами E.12.23)- и E.6.27, IV), где мы приняли значения E.6.26,1V) [см. пояс- нение после формулы E.12.7)|. Масштабное поведение величины, со определяется соотношением ca = Q(u, E.12.31). совместимым с сохранением равенства E.12.25). Действительно,, в формуле E.12.15) можно заменить величину со" более общим скаляром Г типа {—п, 0} (конформного веса п), удовлетворяю- 1 Очевидное расхождение. между E.12.30) и более симметричной формой- f — Q(P)Qr, приведенной в работе [125], обусловлено различием в предпо- ложениях о конформных свойствах И. -
476 ГЛАВА 5 щим уравнениям р^Г = О = б'гГ, т. е. р'Г = О, б'Г = О. E.12.32) Для этого достаточно взять линейные комбинации выражений вида E.12.15) с разными еИ. Из сказанного в гл. 4, § 15 сле- дует, что если 9* — сфера, то величины Г будут спиновыми сфе- рическими гармониками с / = —s = га/2 [см. предложение D.15.58)]. В общем случае величины Г являются некоторым обобщением спиновых сферических гармоник для 93. В случае предельно малых сфер ^4 величины Г стремятся к стандартным спиновым сферическим гармоникам для ^4. Этим указывается путь приписания интегралам E.12.6) не- которого смысла — на основе выражения E.12.15) или более об- щего выражения — E.12.15) с заменой величины ш" величиной Г, удовлетворяющей условиям E.12.32). Непосредственно поль- зоваться формулой E.12.6) затруднительно из-за необходимости интегрирования спинорной величины по & в отсутствие какого- либо естественного параллелизма, введенного на 93. Один из способов преодоления этой трудности состоит в привязке подын- тегрального выражения в точке Р. Такая процедура однозначна благодаря инвариантности подынтегрального выражения в фор- муле E.12.6) относительно спинового и бустового растяжений tu^A~V lA^K%A, E.12.33) а также относительно конформного изменения масштаба 1а^Ъа\ E.12.34) в последнем случае выполняется соотношение E.12.30), мы имеем & у-> QV и р%ф *—> О~п~3р%ф в соответствии с преобра- зованием E.6.34). (При желании можно, изменив масштаб спи- нора Ца, осуществить его параллельный перенос вдоль образую- щих светового конуса W и связать тем самым величины в точке Q с величинами в точке Р.) Далее интегрирование можно вы- полнить в касательном пространстве в точке Р и [в силу фор- мулы E.12.30) ] результат будет представлять собой конформ- ную плотность веса —1. Отметим, что хотя при выводе соотношений E.12.23) и E.12.24) из соотношения E.12.22) было использовано равен- ство Ф22 = Фг1 = 0, справедливость формулы E.12.6) не зависит от того, являются ли эти или какие-либо другие компоненты спинора Риччи равными нулю. Достаточно предположить выпол- нение соотношений E.12.23) и E.12.24), а для этого не тре- буется равенство E.12.22). Обращение же в нуль компонент E.12.27) спинора Вейля существенно для доказательства. Более того, как следствие соотношений E.12.23) и E.12.24) остальные
ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ 477 компоненты спинора Вейля Ч^ и 4% тоже должны быть равны нулю, так что нам фактически необходимо равенство 4ABCD = 0 E.12.35) на <в. Любопытно, однако, что условие E.12.13) не потребова- лось при доказательстве справедливости равенства E.12.17) в области Я& между 9> и 9" (хотя оно неявно используется на 9> и 9"). Конформная инвариантность спинора Wabcd отмечаласьв§6 (и будет доказана в гл. 6, § 8). Небезынтересно отметить, что оператор Р^. [из формулы E.6.33)], фигурирующий в формуле E.12.6) [и E.12.16)], не единственный используемый здесь кон- формно-инвариантный оператор. В формуле E.12.18) факти- чески используется связанный с последним конформно-инва- риантный оператор &е, поскольку соотношение E.12.18) можно переписать в виде И,. = oV Fеф + паф{). E.12.36) Отсюда видно, что щ- есть конформная плотность веса —1 (так как величины о, г, $, а и ф\ являются конформными плот- ностями весов, соответственно, 1, *-1, —п— 1, —2 и —п) в до- полнение к плотности Цо'. имеющей конформный вес —2. По- этому можно переписать соотношение E.12.17) в конформно- инвариантном виде -б'^^О, E.12.37) указывающем на то, что А— конформная плотность веса —2 (см. также замечание в конце § 6). Конформная инвариант- ность величин |*о' или Mr также становится явной из следующей формы записи: п-1м E.12.38) где (число индексов А, ..., L равно п) аи = 1А ... lLla{luVMU^A...L-(n+ 1)фА.^1Уи1м), E.12.39) поскольку комбинация E.12.39) конформных плотностей $a...l и 1А веса, соответственно, —1 и 0, как легко видеть из E.6.15), ¦будет конформной плотностью веса —п — 2 (дополнительно к преобразованию аи н-»¦ Хп+2аи при 1А ь-> Я|л) ')¦ ') Один-форма audx" имеет смысл пространственно-временного аналога некоторой твисторной 1-формы, возникающей в связи с формулой обраще- ния твисторных интегралов F.10.1), найденной Бремсоном, Пенроузом и Спарлингом [144, стр. 314].
478 ГЛАВА 5 Отношение к задаче с начальными условиями на пространственно-подобной гиперповерхности Заметим, что гиперповерхности Jf выше отводилась довольно незначительная роль. Фактически она служила лишь для зада- ния (определенного поперечного сечения 9" гиперповерхности с&. Коль скоро такое поперечное сечение выбрано, направление флагштока спинора \л фиксировано вдоль единственного изо- тропного направления, ортогонального 9>, не лежащего в Я?. Эта направление не только служит для выделения определенной ком- поненты поля 4>a...l на 9*, которая используется (в случае не- нулевого спина) в качестве изотропного значения поля ф, но и определяет направление действия производной р, а сходимостью этих изотропных направлений определяется спиновый коэффи- циент р. Таким образом, формула E.12.6) применима в том слу- чае, когда начальные данные относятся к пространственно-по- добной (или даже времениподобной) гиперповерхности Ш. Бо- лее того, первоначальное выражение, написанное Кирхгофом [99] для скалярного поля ф, удовлетворяющего уравнению Да- ламбера, было дано пространственно-подобной гиперповерхности Зв\ на которой задавались поле и его нормальная производная. Рассматриваемое интегральное выражение требует задания как этой нормальной производной, так и тангенциальной производ- ной Ф на поверхности, и обе объединяются фактически в вели- чину пф производной в направлении флагштока |л. Это направ- ление таково, что совместно с направлением флагштока спинора м\А образует 2-плоскость, содержащую нормаль к <Э#. Нормаль а Рис. 5.6. В случае пространственноподобной начальной гиперповерхности ком- понента поля, входящая в подынтегральное выражение в формуле E.12.6), изменяется при изменении положения точки Р в противоположность случаю изотропной начальной гиперповерхности.
ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ 479 В выражении, построенном Дадемаром [40], используется изотропная гиперповерхность Jf, но теперь флагшток \А ука- зывает в направлении нормали, которое также тангенциально к поверхности Jf, так что дополнительной «нормальной производ- ной» уже не требуется. Кроме того, при перемещении точки Р и фиксированном положении Q, так что вектор QP остается изо- тропным (рис. 5.6), флагшток ?* изменяет свое направление в случае 3%>, но не изменяет его в случае Jf. Таким образом, фор- ма интеграла Дадемара [по существу формула E.12.6) при п = 0] значительно более экономна, чем форма Кирхгофа. В случае больших спинов [136] экономия еще более выражена: в задаче с гиперповерхностью Jf необходима лишь одна (комп- лексная) компонента поля и полностью отсутствуют связи (спин > 1/2). Фоновые поля') Обобщенная формула Кирхгофа — Дадемара E.12.6) может также применяться в несколько иных ситуациях. Например, можно предположить, что М — плоское или конформно-плоское пространство-время и что (этого достаточно для первой части доказательства) уравнение поля E.12.3) или E.12.4) выпол- няется лишь в некоторой окрестности Ж части §* гиперповерх- ности IP, которая связывает два ее поперечных сечения 9° и 971 (как показано на рис. 5.5). Представим себе, например, ситуа- цию, когда мировая трубка источников поля Фа...ь пронизы- вает область 9?, как показано на рис. 5.7. Интеграл E.12.6) еще можно вычислить осмысленным образом, что дает, скажем, спи- нор 4>a...l в точке Р. В общем случае спинор $a...l не будет совпадать с фАш-ш1 в точке Р. Действительно, если точка Р лежит на мировой линии точечного источника, то спинор ФА.,_ L вовсе не будет определен. Но спинор 'Фл.-.х. не будет зависеть от положения сечения 9* до тех пор, пока 9s можно непрерывно перемещать по любой области Ч?, не пересекающей источников (и других областей, где спинор ФА,^Ь не определен). Мы мо- жем рассматривать1^ ... t как фоновое поле в точке-Р, причем вклад источников, окруженных поверхностью 9", удален. В зави- симости от того, лежит ли 9* на световом конусе прошлого или будущего события Р, можно назвать поле ^...х, запаздываю- щим или опережающим фоновым полем в точке Р. ') Термин «backgroundfields» принято переводить как «фоновые поля». Однако в данном контексте в это выражение вкладывается несколько иной смысл: здесь «фоновое» поле не внешнее поле, а часть динамического поля, создаваемого заданными источниками, удовлетворяющая свободным полевым уравнениям. — Прим. перев.
480 \ Рис. 5.7. В случае поверхности, окружающей мировую трубку источников, об- общенная формула Кирхгофа — Дадемара дает фоновое поле в точке Р. Такой подход целесообразен, например, в классической элек- тродинамике при анализе силы Лоренца, приложенной к точеч- ному заряду. Некоторое представление о фоновом поле здесь необходимо, поскольку полное поле стремится к бесконечности в точке нахождения заряда. В стандартной процедуре Дирака [47] используется фоновое поле, равное полусумме определен- ных нами выше запаздывающего и опережающего фоновых полей. Однако в учебниках чаще прибегают к «перенормировке», позволяющей устранить расходящуюся часть полного поля в точке нахождения заряда. Подход, указанный нами выше, ведет к тому же результату [184], но более прямо: никакие расходя- щиеся выражения вообще не возникают ни на какой стадии вычислений. Есть еще одно, более необычное приложение такого подхо- да — когда сама точка Р не существует (или может становиться в определенном смысле сингулярной точкой пространства-вре- мени). Если пространство-время М асимптотически плоское (но не конформно-плоское), то обобщенная формула Кирхгофа — Дадемара фактически может применяться и тогда, когда ^ пол-
ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ 481 ноотью лежит на бесконечности. В этом случае мы получаем так называемые константы Ньюмена — Пенроуза для безмассо- вого поля со спином га/2, о чем будет сказано в гл. 9, § 10. Поля, соответствующие произвольным изотропным данным Чтобы оправдать термин «фоновое поле», мы покажем, что поле, построенное согласно формуле E.12.6) с произвольным изотропным значением ф на изотропной начальной гиперповерх- ности Jf, действительно удовлетворяет соответствующим поле- вым уравнениям E.12.3) или E.12.4) при варьировании точки Р. Это будет означать, что опережающее и запаздывающее фо- новые поля (так, как они были определены) оба автоматически являются свободными безмассовыми полями. Наше исследование справедливости формулы E.12.6) даже было бы не совсем полным без такого доказательства. Мы уста- новили лишь условие согласованности, которое должно выпол- няться для любого безмассового свободного поля. Но мы еще не доказали, что при произвольном изотропном значении фор- мула E.12.6) всегда дает такое поле. Это приводит к трудно- стям, если мы требуем, чтобы построенное поле было гладким на самой начальной изотропной гиперповерхности JF. Дело в том, что обобщенная формула Кирхгофа — Дадемара вырож- дается в тех точках, где 2-поверхность 9s стягивается в отрезок образующей поверхности ИР, начинающийся в точке Р и кон- чающийся в сингулярной точке JC (рис. 5.8). Если не позабо- титься об условиях согласованности, которые должны выпол- няться в определенных сингулярных точках такого типа на JC (а при га ^ 2 нам в сингулярных «точках пересечения» Jf, вооб- ще говоря, будут необходимы даже дополнительные компоненты поля1)), то мы можем получить поле ФА...и которое не будет гладким на Jf. Напомним, что из сказанного в конце § 11 сле- дует, что если /С — световой конус, то изотропное значение должно иметь определенное поведение в вершине, чтобы поле было аналитично., Если же начальное значение не • обладает этим общим типом поведения, то вычисленное по формуле E.12.6) поле будет иметь сингулярности на JC, хотя и не будет иметь их внутри JC. ' Вопрос о регулярности поля на JC выходит за рамки нашей книги. Здесь мы только покажем, .что достаточно далеко ~от JC (т. е. «внутри» Л1) поле действительно удовлетворяет уравне- ') Обобщение формулы E.12.6), необходимое для корректного обращения с такими точками пересечения (например, в случае, когда JC расщепляется на две пересекающиеся изотропные гиперповерхности), рассматривается в работе [136]. 16 Зак. 1142'
482 ГЛАВА 5 Сингулярность гилерпоаерх, ¦тети Ж Рис. 5.8. Когда точка Р приближается к Jf, 2-поверхность 9" вырождается в отрезок образующей светового конуса Jf. Рис. 5.9. К соотношению E.12.41). ниям E.12.3) или E.12.4). В явной форме вычисления будут проЕедены для пространства М. Результат для конформно-пло- ского пространства-времени Ж можно получить путем конформ- ного изменения масштаба. Пусть О — произвольно фиксирован- ное начало координат в пространстве М, а ха — вектор положе- ния точки Р относительно начала О. Для удобства выберем спи- нор %А постоянным вдоль любой образующей v гиперповерхности Jf и свяжем с ним аффинный (т. е. линейный) параметр v (рис. 5.9). Тогда, если Н — точка на образующей v, в которой t» = 0, a Q — типичная точка на v с параметром v, то мы имеем = vlA%*'- E.12.40) Обозначив вектор, характеризующий положение точки Н, через Л", напишем (см. рис. 5.9) ха = ha + vlAlA' + rrffl* E.12.41) (где спинор цА можно рассматривать как величину, постоянную вдоль QP). При фиксированном положении образующей v и меняющемся положении точки Р величины v, г и г\а будут функ- циями переменной ха (%А постоянно). Поэтому дифференциро- вание выражения E.12.41) по хь дает л„ д tAzA' dv , л - л, дг , « дп I - д/ дт) ев ев' =j s ь -\- tj tj у -f- rtj —j—г ^Л —f • V 12.42) Свертывая обе части этого равенства с г\аг\аг> получаем -^г = г\вг\в', E.12.43) дх°
ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ . 483 а свертка с \а%а> дает ^¦3—баЬ* E.12.44) поскольку из равенства %лг\А =—1, следует, что Ia ff = <>- . E.12.45) Далее, если свернуть выражение E.12.42) с г\а\а' и восполь- зоваться равенством E.12.45), получим Ц? | E.12.46) Из соотношения E.12.43) следует, что любая величина ф, за- данная на v, удовлетворяет уравнению ¦Ц- = т|вЛВ'/>* E.12.47) [формулы E.12.9), E.12.10); здесь е = 0, так как спинор %А постоянен вдоль v]. Следовательно, на основании D.11.12а) по- лучаем -(rt+ [)(92+ад)ф}. E.12.48) Кроме того, имеем (проще всего это получить, исходя из интер- претации параметра р как «конвергенции», гл. 7 § 1) \9 \B)B9 р\в\в9>. E.12.49) 0Х Таким образом, применяя оператор д/дхт к выражению E.12.6) (и учитывая, что в случае величины, заданной в точке Р, этот оператор сводится к Vm), получим, используя соотношения E.12.44) и E.12.46) —E.12.49), —^г^Ща ¦ •. TkUlM' РФ - (« + 1) Р*}] 9 E.12.50) (в пространстве Минковского Щ. Данное выражение очевид- ным образом симметрично по индексам А, .., L, М, что указы- вает на выполнение уравнения E.12.3) при п > 0. В случае 16*
484 ГЛАВА В п = 0 нужно еще раз продифференцировать выражение E.12.50), чтобы убедиться в выполнении уравнения E.12.4). Этим завершается доказательство того, что формула E.12.6) всегда дает безмассовое свободное поле в пространстве М при произвольном выборе изотропных данных на Л*, если точка Р лежит в области, для которой Ф поперечно пересекается с J? по гладкой замкнутой поверхности (в действительности, с необ- ходимостью имеющей топологию сферы S2). В частности, этот вывод относится и к запаздывающему и опережающему фоновым полям, о которых говорилось выше. Отметим, что из-за наличия производной в формулах E.12.6) и E.12.8) при переходе от изотропного значения поля к самому полю одна степень диффе- ренцируемости может быть утрачена. Но если Ф и Jf относятся к классу С°°, то к тому же классу будет относиться и получен- ное поле (во внутренней области). Даже в случае, когда ф или J? недостаточно гладкие, чтобы давать гладкое поле, уравнения E.12.3) или E.12.4) все-таки, будут выполняться для надлежа- щим образом определенных обобщенных функций [73]. Приведенное доказательство было в какой-то мере излишне подробным, поскольку точный вид выражения E.12.48) не ну- жен для демонстрации требуемой симметрии выражения E.12.50). Однако формула E.12.50) представляет интерес сама по себе, так как дает прямое интегральное выражение для про- изводной от безмассовога свободного поля. Действительно, поле само образует точную систему, удовлетворяющую полевым урав- нениям VJV^;..,M = O, V^.^-O E.12.52) [ср. с формулой E.10.10)], и можно рассматривать выражение E.12.50) как аналог формулы E.12.6) для поля 9^' м. Однако заметим, что теперь изотропное значение поля будет таким: Q = D<j>, E.12.53) тогда как в выражении E.12.50) величина ф фигурирует и без оператора производной. Таким образом, чтобы получить бд1' м, полностью исходя из Соответствующего изотропного значения, необходимо вначале проинтегрировать 8 вдоль образующих Л', прежде чем мы сможем воспользоваться формулой E.12.50). Фактически это означает, что для поля• Э^'. м не выполняется принцип Гюйгенса, по крайней мере в той строгой форме, в ко- торой он справедлив для^л...ь Принцип Гюйгенса, выражае- мый формулой E.12.6), состоит в том, что поле фл...ь пол- ностью определяется своим изотропным значением (и его про-
ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ 485 изводной) в точках, лежащих на световом конусе с вершиной в точке наблюдения; что же касается поля ^а'_..м> т0 оно в ка- кой-то мере зависит и от соответствующих изотропных значений внутри конуса. Для полноты приведем также обобщение формулы E.12.50) для &-й производной от выражения E.12.6) в М: 2я J (-> (п + /)! (k - /)!;1г"-' + *' !L<il^J!« h-ijJH) X X т^... л*'р ... Р {?»+'? - (п + 2/ + 1) р?>/ ? + У (п + У) X X (Р2 - ста) ?>/-'?} 5». E.12.54) Доля в смысле обобщенных функций Возможно и другое доказательство того, что формула E.12.6) всегда дает безмассовое свободное поле, доказатель- ство, основанное на несколько иных представлениях. Мы можем рассматривать функцию Р%ф на Jf как линейную суперпозицию б-функций Дирака. Всякой такой б-функции вргф, имеющей но- ситель в отдельной точке R на Jf, отвечает [формула E.12.6)] обобщенная полевая функция с носителем на световом конусе с вершиной в R. [Ясно, что формула E.12.6) дает ненулевое значение поля, только если вектор RP изотропен.] Если мы убе; димся в том, что эта обобщенная полевая функция удовлетво- ряет уравнениям свободного безмассового поля, то в силу их линейности мы докажем, что величина, определяемая формулой E.12.6), удовлетворяет этим уравнениям и в общем случае. Такие решения E.12.3) или E.12.4) в смысле обобщенных функ- ций можно также использовать при построении аналогов пред- ставления E.12.6) для различных связанных систем взаимодей- ствующих полей. Здесь мы кратко остановимся на таком под- ходе, не претендуя на полноту или строгость. (По поводу обоб- щенных функций на многообразиях см. работу [73].) Прежде всего нам нужно уточнить некоторые свойства ряда обобщенных полевых функций. Введем скалярную «ступенчатую функцию» !+1, если ха времениподобен, направлен в будущее. — 1, если ха времениподобен, направлен в прошлое, О, если ха пространственноподобен. E.12.55)
486 ГЛАВА 5 Можно также положить До =1/2 (или —1/2) на световом ко- нусе будущего (прошлого) с вершиной в точке О (причем До = О в точке О), однако это не играет существенной роли. За- метим, что функция До инвариантна относительно ортохронных преобразований Лоренца. Из определения этой функции сле- дует, что ее градиент должен быть направлен вдоль вектора ха: V«A = *A E.12.56) (где Wa = d/dxa), причем Д]— некоторая обобщенная функция. Носителем функции Ai является световой конус в начале коор- динат; она представляет собой 6-функцию на конусе с «ампли- тудой», обратно пропорциональной протяженности вектора ха. Из обычного соотношения для б-функции ыб(ы) = 0 получаем 0 = *4A = xaVA> E.12.57) что также следует из того, что «ступенька» 0->-1 или —1-»-0 постоянна вдоль любой образующей светового конуса и, значит, оператор x"Va производной вдоль этого направления, действуя на функцию До, дает нуль. Из соображений лоренц-инвариантности аналогичным обра- зом находим VA=*A>, E.12.5S) причем Д2 — некоторая обобщенная функция тоже со световым конусом в качестве носителя, но пропорциональная производной от б-функции. Продолжая так же далее, получим последова- тельность обобщенных функций Дз, Д4 заданную соотно- шением VA = *<,A/+i (/ = 0,1,2,...). E.12.59) Иногда оказывается удобным ввести также С*-'-скаляр ^ (* = 1.2, ...); E.12.60) тогда соотношение E.12.59) будет справедливо при всех це- лых /. Теперь можно доказать следующее предложение. Предложение. *ах°Д/+, = -2/Д/ (/=...,-2, - 1, 0, 1, 2, ...). E.12.61) Доказательство. При / < 0 это прямо следует из определения E.12.60). При /^0 подействуем на обе части равенства E.12.61) оператором V&, подставим выражение E.12.59) и со- кратим на Хь. Получим такое же соотношение, но с заменой /
ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ 487 на /+ 1. Поскольку для случая / = 0 ранее было установлено равенство E.12.57), доказательство следует по индукции. В качестве следствия из предложения E.12.61) можно по- лучить ?Ai = 0, E.12.62) где' ?Д, = V°VaA, = Va (*аД2) = 4Д2 -Ь*в*Л = D - 4) Д2 = 0. В следующем предложении обобщается предложение E.12.61) в случаях /==1,2: ; Предложение. Пусть спиноры ал, $л, ул изменяются непрерывно; тогда I. a^Ai -\- р^Д2 = 0, если выполняются необходимые и достаточ- ные условия fU = O, Чь$л = хьал при хаха = 0; II. сиДх + р,*Д2 + у^Дз = 0, если выполняются необходимые и достаточные условия у л = 0, V»Y«e = у хъ$л> ЧьЧсЧл—Х(ьЧс$л + -\-\гьс$л — хъх&л при хаха = 0. E.12.63) Доказательство. Мы можем опустить всюду индекс st, по кото- рому выражения диагональны. Из равенства aAi + РД2 = 0 после умножения на хаха на основании предложения E.12.61) находим —2рД[ = 0; следовательно, р = 0 на конусе. Диффе- ренцируя соотношение pAi =0, получаем AiV&p + л:*рД2 = 0, так что (VjP — хьа) Ai = 0, откуда Уг,р = хьо. на конусе. Аналогич- но, умножая обе части равенства аД] + рД2 + уДз = 0 на ХаХ* и используя предложение E.12.61), находим pAi +2уД2 = 0; по- этому в силу предложения E.12.63,1) имеем у = 0 и V&y = = A/2)*бР на конусе. Дифференцируя обе части соотношения — A/2)*»P)Ai = 0, получаем gP *Vp) А, Дифференцируя обе части равенства РД1 -f- 2yA2 = 0, с учетом равенства aAi + РД2 + укз = 0 находим (I \ ( l \ 2/\ 2 / откуда (VftVcY — -o-fffcP — *(ftVoP + хьхса) Д, = О, чем и доказывается искомое соотношение. Обратив рассужде- ния, нетрудно доказать достаточность. Как записано в формуле E.12.62), обобщенная функция Д1 удовлетворяет волновому уравнению Даламбера. Аналогичное
488 ГЛАВА 5 Рис. 5.10. К соотношениям E.12.64) и E.12.65). решение уравнений безмассового свободного поля со спином га/2 можно записать в виде TU...r,LA,, E.12.64) где для некоторой изотропной прямой v, проходящей через на- чало координат спинор Цл имеет направление флагштока вдоль образующих световых конусов с вершинами Q на v (рис. 5.10); спинор 1\л нормирован вместе с \А условием ца\а = 1 [как в формуле E.12.1)], где 1А — постоянный спинор с флагштоком вдоль v; спинор г\А не определен на v и на изотропной гиперпло- скости &>, проходящей через v. Радиус-вектор ха точки Р имеет вид OQ+~QP, т. е. ха _ yg<*|<*' _|_ fxfxf.' E.12.65) Это совпадает с E.12.41) при ft° = 0; все соотношения E.12.43) — E.12.47) выполняются, как и прежде. Далее, на све- товом конусе с вершиной в точке О мы имеем v = 0, а поэтому Кроме того, хах 0. ¦ 2rv, E.12.66) E.12.67)
ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ 489 что после подстановки в E.12.61) дает = --JA, (/=...,-1,0,1,2,...), E 12.68) откуда в силу формул E.12.59) и E.12.65) при всех целых / получаем j E.12.69) Заметим, что здесь мы не рассматриваем область г = 0, т. е. прямую v, или, точнее, всю изотропную гиперплоскость ^"). Дифференцируя E.12.64) с использованием E.12.46) и E.12.69), далее находим VMM' (ЦА .. \ Щ\\ E.12.70) и значит, уравнения свободного безмассового поля выполняются вне гиперплоскости 3*. Аналогичные раесуждения показывают, что выражение E.12.71) яри всех целых / также удовлетворяет уравнениям свободного безмассового поля вне &. Напомним, что «амплитуда» б-функции Ai убывает как г~К Таким образом, в обобщенной формуле Кирхгофа — Дадемара E.12.6) выражается то обстоятельство, что поле Фа... l есть ли- нейная суперпозиция полей, каждое из которых имеет носителем световой конус с вершиной в некоторой точке R гиперпо- верхности /С. Каждый такой вклад имеет вид E.12.64) с на- чалом, смещенным в точку R, образующей v, проходящей че- рез R, и изотропным значением Рхф в точке R. Когда точка R пробегает /С, эти вклады суммируются, давая полное поле Фа.-.l- Таким образом, доказательство того, что E.12.64) есть безмассовое свободное поле, эквивалентно доказательству, что формула E.12.6) всегда дает такое поле. (И действительно, проведенные рассуждения весьма близки к первоначальному до- казательству.) ') Определенные тонкости возникают прн попытке распространить эти соотношения на 9. Во-первых (в связи с явлением Грина, см. гл. 9, § 4), оказывается, что спинор х\л должен приобретать скачком множитель i при пересечении гиперплоскости 9>. Во-вторых, появятся источники на самой прямой v, если только их не уничтожить, например с помощью специально- подобранной системы полей того же типа, что и (Б. 12.64), но в других точ- ках прямой v. Эти вопросы несколько прояснятся в гл. 9, § 2 и 4, но они выходят за рамки нашей книги.
490 ГЛАВА 5 Поле Дирака Изложенный подход удобен при рассмотрении определенных точных систем взаимодействующих полей. Мы увидим, что в случае таких полей каждое из них можно представить в виде линейной комбинации вкладов типа E.12.64), но не обязательно с центрами, расположенными на JP. Грубо говоря, различные волны могут претерпевать рассеяние друг на друге, в результате чего возникают новые волны, исходящие из области, внутренней для Jf. Полное взаимодействующее поле можно представлять себе составленным из частей, каждая из которых распростра- няется вдоль изотропных линий как безмассовое свободное поле, но многократно испытывает рассеяние в точках внутренней об- ласти. Новым моментом в нашем подходе является то, что между актами рассеяния распространение поля происходит исключительно вдоль изотропных линий. Это достигается путем разбиения системы полей на части, для которых можно исполь- зовать интеграл E.12.6), понимая под Jf совокупность частей световых конусов, являющихся носителями вкладов типа {5.12.64), на которых поле испытало рассеяние. Для большей ясности начнем с очень простого примера. Рас- смотрим свободное уравнение Дирака в форме E.10.15) Д^л = ^д, У?Х* = М>* E.12.72) где ц = 2-Щ-1т, понимая эту систему как описывающую пару взаимодействующих полей фл и ха'- Прежде всего заме- 0 0 1 ним систему E.12.72) бесконечным набором полей фд, хд'» 'Фл» 1 2 2 7А'> 'Фл. Хаг> • • •» удовлетворяющих условиям А/ 0, E.12.73) (/ = 1,2,...). <5-12-74> Этот бесконечный набор образует точную систему, и решение первоначального уравнения Дирака E.12.72) можно записать в виде рядов (предполагая их сходимость) Ъа = Z iA, ХА' = Z ХА'. E.12.75) i-O i-0 Действительно, если задана начальная изотропная гиперповерх- ность JF, например световой конус будущего точки О, то мы можем взять в качестве изотропных данных для нашей системы полей следующее: o = i = x=4=x=4 = .--; i=4>. x=x, E.12.76)
ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ 491 где i|> и х — заданные изотропные значения пары дираковских спиноров ^л, %A'- Тогда ряды E.12.75) дают искомое решение уравнений E.12.72) для этих изотропных данных. Применим предлагаемый метод для решения уравнений о о E.12.73) и E.12.74) с такими условиями. Поскольку фл и %а' — безмассовые свободные поля, можно воспользоваться методами, О и изложенными ранее: поля $а- и %а в некоторой точке Р, лежа- щей в будущем по отношению к точке О, можно выразить непо- средственно через их изотропные значения ф и % по формуле E.12.6) (и комплексно-сопряженной к ней). Изотропные значения величин Р>"ф. РД в некоторой точке R\ на Jf входят через вкла- 0 О ды в $>а и %а' с носителем на световом конусе будущего для точки Ri. Каждый из них далее порождает вклады в ¦фл, %v и т. д. Рассмотрим случай, когда p*i|> есть б-функция на Jf в точ- ке R\, причем х = 0. В соответствии с изложенным выше Фд = тмД,A). ХА' = 0; E.12.77) здесь и далее используется обозначение Д/(?) для функции Д/ с началом координат, смещенным в точку Rk. Следующий шаг состоит в решении уравнения E.12.74) дляхл'| а именно урав- нения <iA, = HV\(l). E.12.73) 1 Поскольку для поля %А' изотропное значение равно нулю, потре- буем, чтобы решение уравнения E.12.78) обращалось в нуль на Jf (всюду, кроме точки JRi, а также в будущем от Ri на обра- зующей, проходящей через R\). В силу формул E.12.44) и E.12.69) такое решение имеет вид Действительно, как нетрудно видеть, решение E.12.74) для всех остальных полей определяется формулами 2/ / n/.,2/ 2/ + 1 1-у A(l) 0 E.12.80) 2/ 2/+1 / П/+1..2/+1 0 К Ц /ЧД/A) (/ = 0,1,2,...) [см. формулы E.12.44), E.12.46) и E.12.69)]. Подставив E.12.80) в E.12.75) и использовав E.12.60) с учетом E.12.41), выразим вклад в дираковское поле, даваемый б-функцией, вхо-
492 ГЛАВА 5 дящей в Ps-i|> в точке Ri, через функции Бесселя. Точно так же можно выразить через функции Бесселя вклад, даваемый б-функцией, входящей в PvX в точке R\. Эти два выражения можно также объединить в полное решение уравнения Дирака с заданными изотропными данными Pvty и pg% на JF. Однако не это в действительности является целью наших рас- суждений. Идея состоит в том, чтобы использовать световой конус будущего точки Ri в качестве гиперповерхности началь- 1 ( 2 з \ ных данных для%а'\н далее повторить процесс для i|>, %#, •¦•)• 1 Изотропное значение для %а' на этом световом конусе таково: XaV'-F-1, E.12.81) где мы воспользовались формулой E.12.79). [Поскольку нас интересует значение %А' на световом конусе в будущем, мы мо- жем положить ДоA)= 1.] Оператор Рг в данном случае имеет вид ? + f E.12.82) поскольку, как в формуле D.15.9), в качестве р мы имеем —г~1. Применяя оператор E.12.82) к E.12.81), получаем цг E.12.83) 1 в качестве р%%. Таким образом, пользуясь формулой E.12.6), мы можем представить %# в некоторой точке Р в будущем от R\ в виде интеграла от E.12.83) по пересечению светового ко- нуса прошлого точки Р со световым конусом будущего точки Ri. Пусть Ri — типичная точка на этом пересечении. Тогда векторы RiR2 и R2P, так же как и ORltбудут изотропными век- торами, направленными в будущее (рис. 5.11), и мы можем написать (О?1)О = 9|»р, U» = mY, (R^r^s^V. E.12.84) Для удобства в дальнейшем можно опустить нормировку E.12.1) и написать 1л ^V = z2. E.12.85) Собрав вместе эти результаты и обозначив элемент 2-поверх- ности около точки Ri через 9*i, мы будем иметь **(р» - «у i {ik'u *г?гм ш)л d'л "• E12-86)
ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ 493 Рис. 5.11. К соотношениям E.12.84) и E.12.86). (Первое «рассеяние на мас- се» в случае дираковского поля.) где введены г-множители с тем, чтобы подынтегральное выра- жение было инвариантным при растяжении спиноров |А, ту4 и t4, и где интегрирование ведется по 5-мерному пространству Ж\ч всех изотропных «зигзагов» рассмотренного типа, которые сое- диняют точки О и Р (точки О и Р фиксированы, а ОР — вре- мениподобный вектор, направленный в будущее). Для удобства перепишем выражение E.12.86) с использова- нием дифференциальных форм или ^ E.12.88) где ^ч и Jf\ — инвариантные 3-формы объема на световом ко- нусе прошлого точки Р и световом конусе будущего точки О, соответственно [174, стр. 7; 175], а X,- — подходящая инва- риантная 2-форма на пространстве пар изотропных направлений (или двумерных плоскостей) в точке Ri. Заметим, что qlA?' + rr\Af\A' + slAtA' = const, E.12.89) так что, если фиксировать спиноры ?А и t,A (позволив точке /?i двигаться вдоль фиксированного луча, проходящего через О, а точке /?2 — вдоль фиксированного луча, проходящего через Р), мы получим, продифференцировав E.12.89) и свернув с г\аца', E.12.90) откуда следует, что . Ж1Л<&2 = ^1ЛЖ2=--Ж12- E.12.91)
494 ГЛАВА 5 [При выводе равенства E.12.91) достаточно рассматривать фик- сированные спиноры 1А и %л, поскольку допустимые движения точек Ri и /?2 порождаются фиксированными спинорами |л, ?л вместе с другими величинами, дифференциалы которых обра- зуют нулевые внешние произведения с Ж\ и Ж^\ Теперь можно переписать E.12.86) в виде ^,(Р) = ^,. J lilild^iL, E.12.92) где :=л|>уф = ——- (в точке/?[). E.12.93) Далее можно повторить весь процесс: представим Хл' в виде линейной суперпозиции б-образных вкладов, содержащих AiB),. причем точка Р теперь лежит в будущем от #2, и используем световой конус будущего точки #2 как начальную гиперповерх- 2 ность для $>а- Результатом будет выражение . E.12.94) z,/-,2z2/-23Z3 где введена 7-форма E.12.95) представляющая собой естественный элемент объема в про- странстве изотропных «зигзагов» ло •== ^Л Л1> "г> "з> "i •=:' > через Ж{ обозначены 2-формы (аналогичные 2-формам Ж\ и Ж2у введенным ранее), определяющие инвариантные элементы объ- ема в пространствах пар изотропных направлений в точках P,v a JVi+\ и Ч?х-\ — инвариантные элементы 3-объема, соответствен- но, на световых конусах будущего и прошлого точек /?,. Кроме того, мы полагаем (О" =:/"*. 1+&4" E.12.96) (рис. 5.12) и г, = 1А*1А. E.12.97) Общая схема теперь ясна. Подставив полученные выраже- ния в( 5.12.75) мы будем иметь для поля tfu в конечной точке
ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ 49& Рис 5.12. К соотношениям E.12.96) и E.12.94). (Второе «рассеяние иа массе* в случае днраковского поля.) выражение в виде двух бесконечных рядов, первый из которых, содержит изотропное значение г|з и интегрируется по простран- ству изотропных «зигзагов» с четным числом сегментов, а вто- рой содержит поле х и интегрируется по пространству изотроп- ных зигзагов с нечетным числом сегментов. Результат для %А' имеет аналогичную форму, но с соответствующими заменами входящих величин. Разумеется, такая схема не предлагается для практических вычислений, но эти рассуждения имеют эври- стическое значение (особенно в связи с твисторным формализ- мом, который будет введен в т. 2, гл. 6, поскольку описание* основанное на использовании изотропных путей, будет играть в нем особую роль (см. также [64]). Уравнения Максвелла — Дирака В заключение кратко остановимся на теории системы полей Максвелла и Дирака в рамках развиваемого подхода. Уравне- ния полей в лоренцевой калибровке имеют вид [ц>ав = (Рва, q к е — действительные постоянные, причем можно выбрать норми- ровку так, что q — 2пе\ см. текст после формулы E.10.16)] Ф 2яе (^^ + %%а) (= V* Wb')' E-12-98> щв 7Фч E.12.99> E.12.100> Как и раньше, мы заменяем эту конечную точную систему полей бесконечной, для которой далее решение находится путем после- довательного применения формулы E.12.6). При этом мы не
496 : глава 5 отделяем Фа от щв, а рассматриваем «комплексифицированный» вариант соотношения E.12.99), заменяя фл'В' независимой ве- личиной q>A'B', с тем чтобы это соотношение оставалось справед- ливым во всех порядках. [Необходимость такой комплексифика- ции связана с тем, что в высших порядках правая часть равен- ства E.12.98) перестает быть действительной, см. формулу 5.12.112) ниже.] Таким образом, мы будем иметь триплеты О 0 0 \ 71 1 1 \ .флв. Фа. Фжв'Л \Флв> Ф„, фл'В'/. ¦•-, связанные на каждом шаге комплексифицированным вариантом соотношений E.12.99). О 1 Связь потенциалов Ф„» Фо. • • • всех порядков с полями фикси- руется требованием равенства нулю всех изотропных данных о 1 Ф, Ф о / о В «нулевом приближении» имеем поля фдв ^причем фд'В'= о \ о о = tyA'B'J, i|' и %а', удовлетворяющие уравнениям свободных безмассовых полей = 0. V^ = 0, VfL = 0, E.12.101) я действительный потенциал Фо (=Фа), удовлетворяющий уравнению E.12.102) {Хотя потенциал «нулевого порядка» действителен, как мы уви- дим далее, для потенциалов «высших порядков», это свойство ¦сохранить не удается.) Решения уравнений E.12.101), соответ- ствующие заданным изотропным данным, определяются, как и ранее, формулой E.12.6), и чтобы перейти к следующему шагу, удобно снова представить эти поля в виде линейных суперпози- ций б-образных вкладов, привязанных к точкам на световом о конусе будущего J? точки О. Для Фдв имеем вклад 2ГЧ,ЛвД!A)фA) E.12.103) о 1где r\AlA==zi и фA) = <7~2д(<73ф)/д<7 в точке R\ по аналогии с E.12.93)], относящийся к точке R\^Jf. Для соответствующего вклада в потенциал Фвв', подчиняющийся уравнению E.12.102). получим решение' E.12.104) <с нулевым начальным значением на JF),
ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ 497 Ряс. 5.13. К соотношениям E.12.107) в E.12.108). (Рассеяние дираковского поля полем Максвелла; а — сдвиг фазы, б — рассеяние.) В противоположность случаю свободного поля Дирака, ко- горый мы рассматривали выше, поля «высших порядков» в слу- чае системы Максвелла -т- Дирака не возникают в виде линей- ной последовательности, и их следовало бы нумеровать трой- ными, а не целочисленными индексами. Но поскольку мы хотим здесь лишь привести общие построения, не разрабатывая их де- тально, мы не будем прибегать к такой индексации. Поэтому числа над полевыми символами будут указывать лишь, в какой очередности мы рассматриваем эти поля. На следующем шаге вместо E.12.100) будем иметь уравне- ния 1 0 10 = MU', Vfu> = а также E.12.105) E.12.106) Мы уже видели, как следует обращаться с уравнениями E.12.105). Далее, чтобы решить первое из уравнений E.12.106), о о выразим флв через б-образные вклады вида E.12.103), а Фд — через вклады вида Za'^Ai B)ф B), E.12.107) где приняты обозначения, указанные на рис. 5.13, и Z2 = %aQa. (При этом мы не требуем, чтобы точка /?2 лежала на JP; поэтому решения остаются справедливыми и в том случае, когда Чи за- меняется величинами более высокого порядка.) Свертывая цолжным образом E.12.104) hi E.12.107), получаем правую 17 Зак. 1142
498 ГЛАВА 5 часть первого равенства E.12.106). Решение этого уравнения 2 дает $а в виде ?^,A,B)Ao(l) + KilAoB)Ao(l). E.12.108) Первое слагаемое в выражении E.12.108) есть «сдвиг фазы» поля, распространяющегося из точки /?2 при прохождении об- ласти действия потенциала, создаваемого в R\; оно соответ- ствует рис. 5.13, а; второе слагаемое описывает истинное рас- сеяние (рис. 5.13,6). Мы получаем изотропное значение ампли- туды Уд рассеяния на начальной гиперповерхности, состоящей из частей световых конусов с вершинами в точках R\ и R2, кото- рые лежат в будущем от их пересечения. Фактически изотроп- ное значение на данной части конуса /?i равно нулю, а поэтому вклад в поле в точке Р в виде интеграла E.12.6) дает соответ- ствующее значение на конусе /?г. Конфигурации, которые нужно проинтегрировать, показаны на рис. 5.13,6. Вычисления до- вольно просты, но мы здесь их опустим. Необходимо также исследовать уравнения, следующие из соотношения E.12.98). Они имеют вид 1 ¦> 3 4 "> 2 3 5 Уд'^дв = q^A^A' = Va q>A'B', Ул-фдв = q%A'%A = Ул'фл'В" E.12.109) 2 3 Рассмотрим первое из них, считая поля г|зл и ij^ состоящими из 6-образных вкладов, отвечающих точкам /?2 и /?з, соответ- ственно, не обязательно лежащим на /С. Тогда найдем источ- ник в первом из уравнений E.12.109) в виде выражения (гГ'тиА. B)) (гз~'п'А1 C)), E.12.НО) оответ г|>B), -ф C>. Положив умноженного на соответствующие изотропные значения 2 3 z2 = y)AtA, z3 = ^, г, = тиЕл, E.12.111) где 9*. f, %А, цА — спиноры, флаги которых показаны на рис. 5.14, найдем решение Фдв, соответствующее источнику E.12.110), в виде ^B)АоC). E.12.112) 4 Это представление доказывает, что поле ц>ав в точке Р возни- кает из вкладов, ассоциируемых с конфигурациями, показанны- ми на рис. 5.14. •• .. ¦
ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ 49У Р Рис. 5.14. К соотношениям E.12.110) и E.12.112). (Поле Максвелла, созда- ваемое дираковским током.) Поскольку выражение E.12.110) не является действительным, 4 / 4 \ полефл'В'\Ф фл'в/ будет равно, соответственно, ~2пе 3)- E.12.113) Вместо соотношений E.12.99) мы имеем равенства ЧАМ^Ч>ав> Vaa'4 = Lb>, E.12.114) правые части которых даются формулами E.12.112) и E.12.113), соответственно. Отсюда дляФа находим выражение Принятые здесь обозначения те же, что и раньше, а именно E.12.116) E.12.117) (рис. 5.15), причем шесть точек R2 R&, а также точка Р (в которой вычисляется потенциал) лежат в одной 2-плоскости. При проверке того, что выражения E.12.115), E.12.112) и E.12.113) вместе удовлетворяют уравнениям E.12.114) [а так- же того, что выражения E.12.110), E.12.112) и E.12.113) вме- сте удовлетворяют первому из уравнений E.12.109)], нужно учесть, что если смещать точку Р, не меняя положения точек #2 и Яз (и спиноров tA, GA), то вектор /?3/?4 — /?2^4 остается постоянным, а векторы RsRs + R5P и R2Re + ЯбР отличаются от радиус-вектора точки Р численным коэффициентом. Необхо- димые соотношения получаются путем использования явных 17*
500 Рис. 5.15. К соотношениям E.12.115) и E.12.117). (Максвелловский потен- циал, создаваемый дираковским током.) выражений E.12.116) и E.12.117) и дифференцирования. В частности, находим, что выражения r24r34ztz4, К := r3&lAt,A — гиг2^А'ЦА' E.12.118) остаются постоянными. Потенциал E.12.115) в области, где поля свободны (т. е. общей области будущего световых конусов в точках R.2 и кг), оказывается градиентом комплексного ска- ляра ^(^?t)i^(^?i) E.12.119) Наконец, необходимо выяснить, как потенциал E.12.115) влияет на рассеяние двух составляющих дираковского поля. Для этого будем действовать так же, как и в случае потенциала E.12.104). Чтобы найти Чи> подставим в первое равенство E.12.106) выражение, подобное E.12.108), с заменой R2 на Rj (и /?i, скажем, на Яз); при этом два слагаемых будут содержать тройные произведения AiG)A0B)A0C) и ДоG)ДоB)ДоC), со- ответственно. Правая часть дается выражением вида E.12.115) (с заданными R2 и Яз),свернутым с выражением вида E.12.107) (с заменой /?2 на /6), и представляет собой поле ф* в предше- ствующем порядке, испущенное в точке Rj. Как и прежде, пер- вый член дает лишь «сдвиг фазы» и представляется диаграммой типа рис. 5.16, а (или такой же диаграммой с переставленными R2 н Яз)- Рассеяние описывается вторым членом и изображается диаграммой рис. 5.16,6 (или той же диаграммой с переставлен-' ными Ri и /?з). Чтобы найти полное поле Максвелла — Дирака, нужно сло- жить бесконечное число членов, каждый из которых представ- ляет собой интеграл по конечномерному компактному простран-
ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ 501 а 6 Рис. 5.16. Геометрия рассеяния поля Дирака дираковским током через по- средство максвелловского потенциала; а — сдвиг фазы, б — рассеяние. ству ветвящихся изотропных «зигзагов» '), начинающихся в точ- ках на JF, где заданы изотропные данные, и оканчивающихся в точке Р, которое получается при надлежащем комбинировании рассмотренных выше конфигураций. Каждый интеграл обяза- тельно конечен, однако сложность членов возрастает с ростом порядка. Мы не рассматриваем здесь ни детали построения та- ких выражений, ни вопрос о сходимости ряда. Эти проблемы требуют дальнейшего исследования. Одной из тем, которым посвящен т. 2, будет техника теории твисторов. Мы увидим, в частности, что твисторы дают прямое и изящное представление изотропных путей в М, и перевод из- ложенного здесь формализма на язык твисторов кажется нам интересным, а возможно и имеющим более глубокий смысл, упражнением. Было бы интересным также развить нашу теорию далее (с использованием твисторов или без них) до полной формулировки квантовой электродинамики (см., например, [16]). Диаграммы, возникающие в нашем подходе, во многих отно- шениях аналогичны диаграммам Фейнмана. Однако необычным является то, что здесь мы имеем дело лишь с изотропными про- странственно-временными интервалами даже в случае массив- ных полей. Тот взгляд, что изотропные интервалы играют бо- лее фундаментальную роль, нежели пространственноподобные или времениподобные, хорошо вяжется с общей мыслью, на ко- торой мы прямо или косвенно делаем упор в своей книге, что 2-спиноры — более фундаментальные объекты при описании структуры пространства-времени, нежели векторы и тензоры. ') В оригинале «forked null zig-zags>. ^- Прим. перев.
Приложение Диаграммная система записи Одной из проблем, встречающейся каждому, кто работает с тензорами, спинорами и подобными им величинами, является проблема записи различных соотношений. Формулы перегруже- ны многочисленными мелкими индексами, причем каждая бук- ва, используемая в данном выражении, сама по себе не сущест- венна, а значение имеет лишь соответствие между символами, стоящими в различных местах. Конечно, эта особенность обозна- чений характерна и для многих других типов выражений, встре- чающихся в математике: например, в интеграле у — «немая» переменная и буква х не имеет особого значения для выражения в целом. Однако в сложных тензорных выраже- ниях может встретиться очень много таких «не имеющих смыс- ла» символов. Это в особенности относится ко многим предва- рительным вычислениям, которые (вполне справедливо) обычно не публикуются. Индексы становятся все мельче и мельче, так что они едва различимы один от другого. Вместе с тем взаимо- отношение между положениями отдельных индексов, которое именно и является важным, порой трудно понять без тщатель- ного разбора такого выражения. Один из путей обхода этой трудности с обозначениями, часто предлагавшийся, состоит в том, чтобы использовать некие безын- дексные обозначения для определенных операций (например, сверток или антисимметризованных произведений), а к ним сводить и другие представляющие интерес операции. Примером может служить известная трехмерная векторная алгебра, содер- жащая скалярные и векторные произведения. Другим примером может служить грассманово (или картаново) исчисление косо- симметричных форм (гл. 4, § 3, 13). Но пределы применимости такой записи тензорных и сгшнорных соотношений, вообще го- воря, довольно ограничены, а кроме того, теряется прозрачность
ДИАГРАММНАЯ СИСТЕМА ЗАПИСИ 503 основных правил тензорной (спинорной) алгебры. Ниже описы- вается другая, диаграммная, система записи [141, 38, 391 - В ней индексы как таковые не используются, однако сохраняется яс- ный смысл основных правил действий с ними. Эта система записи оказалась очень полезной на практике, так как она силь- но упрощает вид сложных тензорных или спинорных уравнений, делая .понятными с первого взгляда взаимоотношения между входящими в них величинами. К сожалению, эта система запи- си, по-видимому, пригодна лишь для предварительных расчетов, поскольку диаграммы не могут быть набраны обычными типо- графскими средствами. Сначала мы опишем общую схему представления тензорных формул согласно этой системе. Затем следуют некоторые спе- циальные предписания для спиноров, хотя возможны вариации в отдельных случаях. Основная идея состоит в том, чтобы пред- ставлять свертку не парой одинаковых букв, стоящих в разных местах в данном выражении, а линией, соединяющей соответ- ствующие места в символах, изображающих тензор. При этом каждый член превращается в некоторую диаграмму. Чтобы предельно упростить такие диаграммы, произведения тензоров или спиноров можно изображать, не только распола- гая соответствующие символы по горизонтали,- но используя также вертикальное или косое расположение. (Непротиворечи- вость такой записи гарантируется законами коммутативности и ассоциативности умножения.) Индексы, по которым свертка не производится, изображаются линиями со свободными концами; верхние (контравариантные) индексы можно изображать ли- ниями, обрывающимися в верхней части диаграммы («руки»), а нижние (ковариантные)—линиями, обрывающимися в нижней части диаграммы («ноги»). Перестановка индексов представ- ляется перекрещиванием линий. Сложение и вычитание, как правило, удобно ¦ записывать с помощью обычных символов плюс и минус между диаграммами. Чтобы разобраться, какие линии индексов соответствуют друг другу в сумме, достаточно представить себе диаграммы, изображающие отдельные слагае- мые, наложенными друг на друга. Пример приведен на рис. П. 1. Очень характерны диаграммы, изображаюнШе дельта-сим- волы Кронекера и выражения, построенные из дельта-символов. Символ Кронекера изображается просто линией (не прикреп- ляющейся ни к какому символу тензора или спинора), прово- димой примерно в вертикальном направлении. В таком пред- ставлении заложены правила „ ''". поскольку для записи левых частей достаточно продолжить уже имеющиеся линии. Операторы перестановки получают естествен-
504 ПРИЛОЖЕНИЕ ocfl ~ 3 Рис. П.1. Диаграммное изображение тензорного равенства. ' ное изображение в виде пересекающихся прямых («диаграммы Эйткена» [6]). Чтобы получить произведение двух перестано- вок, достаточно поместить одну диаграмму над другой, соеди- нить соответствующие линии, а затем распрямить их (рис. П.2). Таким путем изображается произведение вида бэ' =6"» бр« > v<7@ ... б"' , где р и ^ — перестановки 1, 2, .... г, a qp — их произведение. Перестановка является четной или нечетной в зависимости от того, имеет ли диаграмма четное или нечетное число простых пересечений. Операторы симметризации и антисимметризации представ- ляются в виде сумм и разностей таких выражений. Удобно иметь специальные символы для обозначения этих операций, вместо того чтобы записывать суммы в явном виде. Совокупность г Ряс П.2. Операторы перестановок как произведения дельта-символов Кро- аекера.
ДИАГРАММНАЯ СИСТЕМА ЗАПИСИ 605 например: "IT " Н + Л' #-11-Х- W- Ш*М-Х1-Ж-1Х Рис. П.З. Симметризаторы и антисимметризаторы. вертикальных прямых, перечеркнутых одной волнистой линией, будет изображать сумму всех перестановок с теми же концами (рис. П.З). Таким образом, это Н X оператор симметризации. Аналогично, если вместо волнистой линии проведена горизон- тальная прямая линия, диаграмма будет означать г\X оператор антисимметризации. Это есть сумма всех четных перестановок минус сумма всех нечетных перестановок, обычно записываемая как «обобщенный символ Кронекера» Pi— Чтобы изобразить симметричную часть тензора с г индексами, перечеркиваем соответствующие индексные линии волнистой чертой и делим получившееся выражение на т\. (При желании множитель г\ можно включить в определение соответствующего символа. Форма, выбранная здесь, дает некоторые преимуще- ства при разложении диаграмм на составные части.) На рис. П.4 изображены некоторые простые тождества, существен- ные при вычислениях с диаграммами. Размерность пространства предполагается равной п. Иногда необходимо выражать сим- метрию или антисимметрию выражения по отдельным группам, индексов (см. стр. 174). В этом случае волнистая или прямая горизонтальная линия должна проводиться только между груп- пами, без пересечения с линиями внутри группы (рис. П.5). Удобное обозначение для полностью антисимметричных единич- ных тензоров — горизонтальная прямая, из которой исходит п вертикальных прямых (рис. П.6). В ковариантном случае верти- кальные прямые идут вниз, а в контравариантном — вверх. Если задан (симметричный, невырожденный) метрический тензор gad, то его удобно представлять в виде крокетных ворот, как показано на рис. П.7. Это дельта-символ Кронекера, но
506 ПРИЛОЖЕНИЕ N = 0, = р4 Симметричная /—ч_ / часть диаграммы Чг^ ~ р? посасшлметричная t—¦_ _/_ t—¦ часть диаграммы \r-f~ pf SW ' Рис. П.4. Некоторые свойства симметризующего и антисимметризующего тен- зоров. «изогнутый», а обратный тензор g0* удобно представить тем же символом в перевернутом виде. Тогда соотношение ga$Sy& = йа просто будет изображаться «выпрямлением» линии дельта-сим- вола Кронекера. Наличие метрики ga^ фактически превращает систему тензоров в «декартову», для которой не имеет смысла различать верхние и нижние индексы, т. е. «руки» и «ноги» на диаграммах. Линии индексов могут выходить теперь в произ- вольном направлении, и внутренние линии даже не обязательно изображать вертикальными прямыми. Если же метрика не за- дана, то, напротив, целесообразно изображать индексы верти- кальными линиями, чтобы иметь возможность четкого разгра- ничения между ковариантными и контравариантными индекса- ми. Можно также помечать линии стрелками, но это требует больше времени на вычерчивание диаграммы. Ковариантную производную удобно обозначать, обводя диф- ференцируемое выражение кружком, к которому прикрепляется идущая вниз внешняя линия, изображающая индекс производ- ной. Это иллюстрируется на рис. П.8, где также приведены диа-
ДИАГРАММНАЯ СИСТЕМА ЗАПИСИ Б07 # ¦ ¦in- Рис. П.5. Групповые симметризаторы и антисимметризаторы, некоторые про- стые свойства. ' ' Рис. П.6. Альтернирующий тензор и его свойства. граммные изображения тензоров кручения и кривизны. На рис. П.9 с целью демонстрации компактности такой записи дается прямой вывод тождеств Бианки при наличии кручения. На рис. П. 10 изображены свойства тензора Римана в стандарт- ной (псевдо) римановой геометрии (включая симметрию, отве- чающую схеме Юнга, стр. 186). Для спиноров возможны различные обозначения, в которых, однако, должно проводиться четкое различие между штрихо- А/- П U Рис. П.7. Метрический тензор.
508 ПРИЛОЖЕНИЕ Ковариантная производная Правило Лейбница. Кручение Тождество Риччи =кручение) ¦ крив.). Симметрии Производная Ли *¦ Симметрия Бианки Тождество Бианки Рис. П.8. Изображение ковариантной производной в виде кружка; кривизна, кручение.
Равные выражения на коммутатор производных Вычитая и используя симметрию Бианки и тождество Риччи, находим для всех I . сдай j Рис П.9. Доказательство тождества Биаики при наличии кручения с помощью диаграмм. - ft/]' о, Симметрия, , отвечающая i? схеме Юнга: •fit- Рис. П. 10. Теизор Римана и его основные свойства. I, Г, I . • \, \, \, . .. ^ ^f ^J, . • • Рис. П.11. Спин-векторы; дуальные и комплексио-сопряжеиные величины.
510 ПРИЛОЖЕНИЕ А В В'А' еАВ'ЕА'В' А ' А'В<~ ffab /) N BA A'B' 13на.кминус\ X - X-ll --++¦ 0--* t-movctecnrao Д\= Д Л +A ' W= V V +V ' Рис. П.12. е-спиноры и их основные свойства. Важен порядок следования ин- дексов. Как видно из последнего блока диаграмм, нет нужды строго следить за наклоном линий, если это не приводит к путанице. (С помощью е-тожде- ства можно приводить выражения к виду, в котором они не будут содержать пересекающихся линий.) Рис. П.13. Спинориая ковариантная производная.
ДИАГРАММНАЯ СИСТЕМА ЗАПИСИ Xabcd Robed ~ ШГЬ DCBA AWD1 Рис. П. 14. Спиноры, описывающие кривизн.. Спинортге тождества Риччи Я Тождество Бианки Л Рис. П.15. Спииорные тождества Риччн и Бианки. ванными и нештрихованными индексами, например с помощью линий, проводимых под разными углами к вертикали (рис. П.11), или с помощью двух цветов. На практике, правда, в этом зача- стую нет необходимости, так как обычно нештрихованные ин- дексы располагаются слева в каждом выражении, а штрихован- ные справа, и можно использовать одинаковые линии индексов, не боясь путаницы. Тензорные индексы всегда можно предста- вить в виде пары спинорных индексов, т. е. изобразить парой линий. Комплексное сопряжение удобно рассматривать как от- ражение в вертикальной плоскости. Отсюда следует требование,
512 бите 2 > 1 или \ , ПРИЛОЖЕНИЕ Я ? или v ,и ,и т. т. д. д. LAJ=UU + |_UJ' ' ГУ1=ПП+ГгТ1 Р—Г диаграммы L/ ил 90', чтобы ~ восстановить сгтнорные обозначения, принятые выше Рис. П.16. Диаграммные обозначения для твисторной теории. чтобы линии, изображающие индексы АВ ... D, следовали в по- рядке, противоположном порядку следования линий, изобра- жающих индексы А'В' ... D' в представлении спинора Фав... da'B'...гу- Если такой спинор соответствует действитель- ному тензору j>ab...d, то его изображение в соответствии с ука- занным требованием будет право-левосимметричным. Для со- гласования нужно также условиться, чтобы упорядочение кои- цевых точек «нештрихованных рук» и «штрихованных ног» было тем же, что и порядок следования индексов в буквенном выра- жении, а для «штрихованных рук» и «нештрихованных ног» — противоположным, (рнс. П.12). Описанные выше (рис. П.6) обо- значения для операции альтернирования можно применять и для е-спиноров, но удобнее пользоваться символами, изобра- женными на рис. П.12, которые приводят к более компактной записи и делают легче запоминающимся довольно неуклюжее правило поднятия и опускания спинорных индексов.
ПРИЛОЖЕНИЕ 513 На рис. П. 13 показаны обозначения для спинорных ковари- антных производных, а на рис. П.14 предложены символы для спиноров, описывающих кривизну. Тождества Риччи и Бианки изображены на рис. П. 15. В отдельных случаях может оказаться удобным отклониться от предлагаемых правил, которые лишь указывают принцип по- строения. Например, в теории твисторов, к которой мы обра- тимся в т. 2, комплексное сопряжение соответствует переста- новке верхних и нижних индексов, а потому его удобнее рас- сматривать как отражение в горизонтальной плоскости. Если имеются и спинорные, и твисторные индексы, to иногда удобнее проводить линии спинорных индексов горизонтально, а не вер- тикально. Возможные диаграммы показаны на рис. П.16.
Литература Agrawala V. К., Belinfante J. 0. Graphical formulation of recoupling theo- ry for any compact group. Ann. Phys. (N. Y.), 49, 130—170 A968). Aharonov Y, Bohm D. Significance of electromagnetic Potentials in the quantum tehory. Phys. Rev., 115, 485—491 A959). Aharonov У., Susskind L. Observability of the signe change of spinors un- der In rotations. Phys. Rev., 158, 1237—1238 A967). Ahlfors L. V., Sario L. Riemann Surfaces, Princeton University Press. Prin- ceton, 1960 Aichelburg P. C, Urbantke H. K. Necessary and sufficient conditions for trivial solutions in supergravity. Gen. Rel. Grav., 13, 817—828 A981). Aitken А. С Determinants and Matrices, 6th edn., Oliver & Boyd, Edin- burgh, 1949 Arnol'd V 1. Mathematical Method of Classical Mechanics. Springer, New York, 1У78. [См. также Арнольд В. И. Математические методы классиче- ской механики —М.: Наука, 1974.] Arnowitt R., Deser S., Misner C. W. The dynamics of general relativity, in: Gravitation: An Introduction to Current Research, ed. L. Witten, Wiley, New York, 1962 [Имеется перевод: Арновитт Р., Дизер С, Миснер К. В. Динамика общей теории относительности. В сб.- Эйнштейновский сбор- ник, 1967. —М.: Наука, 1967, с. 233.1 Ashtekar A., Horowitz G. Т., Magnon-Ashtekar A. A generalization of tensor calculus and its applications to physics. Gen. Rel. Grav., 14, 411—428 A982). Bade W L, Jehle H. An introduction to spinors. Rev. Mod. Phys., 25, 714—728 A953). Bass R. W., Witten L. Remarks on cosmological models. Rev. Mod. Phys., 29, 452—453 A957). Bel L. Introduction d'un tenseur du quatrieme ordre. Comptes Rend., 248, 1297—1300 A959) Bell P., Szekeres P. Some properties of higher spin rest-mass zero fields in general relativity. Int. J. Theor. Phys., 6. 111—121 A972). Bergmann P. G. Two-component spinors in general relativity. Phys. Rev., 107, 624—629 A957). Bernstein~H. J. Spin precession during interferometry of fermions and the phase factor associated with rotations through 2я radians. Phys. Rev. Lett., IS. 1102—1103 A967) Bjorken 1. D , Drell S. D Relativistic Quantum Mechanics, McGraw-Hill, New York, 1964. [Имеется перевод: Бъёркен Дж. Д., Дрелл С. Д. Реляти- вистская квантовая теория, т. 1, т. 2. — М.: Наука, 1978.] Bondi H., van der Burg M. G. J., Metzner A. W. K. Gravitational waves in general relativity. VII. Waves from axisymmetric isolated systems. Proc. Roy. Soc. London, A269, 21—52 A962).
ЛИТЕРАТУРА 615 18. Bott R., Mather J. Topics in topology and differential geometry, in: Bat- telle Rencontres,, eds С M DeWitt. J. A. Wheeler, Benjamin, New York, 1968. 19. Brauer R., Weyl H. Spinons in n dimensions. Am. J. Math., 57, 425—449 A935). 20. Bruhat Y. The Cauchy problem, in: Gravitation: An Introduction to Cur- rent Research, ed. L. Witten, Wiley, New York, 1962. 21. Buchdahl H. A. On the compatibility of relativistic wave equations for par- ticles of higher spin> in the presence of a gravitational field. Nuovo Cim., 10,96—103 A958). 22. Buchdahl H. A. On extended conformal transformations of spinors and spi- nor equations Nuovo Cim., 11, 496—506 A959) 23. Buchdahl H. A. On the compatibility of relativistic wave equations in Rie- mann spaces. Nuovo Cim., 25, 486—496 A962). 24 Buchdahl H. A Ditto II; III. J. Phys., A15, 1—5; 1057—1062 A982). 25 Campbell S. /„ Wainwright J. Algebraic computing and the Newman — Penrose formalism in general relativity. Gen. Rel. Grav., 8, 987—1001 A977). 26. Carmeli M. Group theory and general relativity, McGraw-Hill, New York, 1977 %1. Cartan E, Les groupes projectifs qui ne laissent invariante aucune multipli- cite plane. Bull. Soc. Math. France, 41, 53—96 A913). 28. Cartan E. Sur les varietes a connexion affine et la theorie de la relativite generalisee I, I (suite), II. Ann. Ec. Norm. Sup., 40, 325—412 A923); 41, 1-25 A924). 42, 17-88 A925). 29. Cartan E. The Theory of Spinors, Hermann, Paris, 1966. [Имеется перевод предыдущего издания: Картам Э. Теория спиноров. — М.: ИЛ, 1947.1 30 Chandrasekhar S. An introduction to the theory of Kerr metric and its perturbations, in: General Relativity: An Einstein Centenary Survey, eds S. W. Hawking, W. Israel, Cambridge University Press, Cambridge, 1979 31 Chevalley С Theory of Groups, Princeton University Press, Princeton. 1946. [Имеется перевод: Шевалле К. Теория групп Ли. Т. 1. — М.: ИЛ, 1948; т. 2, 3 —М.: ИЛ, 1958.1 32 Chevallet/ С. The Algebraic Theory of Spinors, Columbia University Press, New York. 1954. 33 Choquet-Bruhat Y., DeWitt-Morette C, Dillard-Blelck M. Analysis, Mani- folds and Phv^'cs. ^'orth-Folbnrt. Amsterdam. 1Q77. 34 Christenson J. H.. Cronin J. W., Fitch V. L, Turlay R. Fvidence for the 2л decay of the K° meson. Phys. Rev. Lett., 13, 138—140 A964). 3B Corson E. M. Introduction to Tensors. Spinors and Relativistic Wave Equa- tions. Bbrkie Glasgow. 1953. 36 Courant R. Hubert D. Methods of Mathematical Physics. Vol. 1. Interscience Publishers. New,York. 1965. [Имеется перевод предыдущего издания: Ку- рант Р., Гильберт Д. Методы математической физики, т. 1. — Гостехиздат, 1957.1 37 Curtis G. E. Twistor Theory and the Collision of Plane Fronted Impul- sive Gravitational Waves. D. Phil, thesis, University of Oxford, 1975. 38 Cvitanovic P. Group theory for Fevnman diagrams in non-abelian gauge theories Phvs. Rev., D14, 1536—1553 A976). 39 Cvitanovic P. Kennedy A. D. Spinors in Negative Dimensions, Phys. Scrip- ta, 26. 5—14 A982). 40. d Adhemar R. Sur une equation aux derivees partielles du type hyoerboli- que. Etude de Tinteerrale pres d'une frontiere caracteristique. Rend. Circ. Matem. Palermo. 20, 142—159 A905). 41. Darmois O. Lei equations de la gravitation Einsteinienne. Memorial des science MathAmatiqnes, Fascicule XXV. Gauthier-Villars. Paris, 1927.
616 ЛИТЕРАТУРА 42. Debever R. La super-energie en Telativite generate. Bull. Soc. Math. Bel- glque, 10, 112—147 A958). 43. Deser S.y Zumino B. Consistent supergravity. Phys. Lett., 62B, 335—337 A976). 44. Dirac P. A. M. The quantum theory of the electron. Proc. Roy. Soc, A117, 610-624; ditto, Part II, ibid. A118, 351—361 A976). 45. Dirac P. A. M. Relativistic wave equations. Proc. Roy. Soc. London. A155 447—459 A936). 46. Dirac P. A. M. Wave equations in conformal space. Ann. Math., 37, 429— 442 A936). 47. Dirac P. A. M. La theorie de l'electron et du champ eelctromagnetique. Ann de l'lnst H. Poincare. 9, 13—49 A939). 48. Dirac P. A. M. Pretty mathematics. Int. J. Theor. Phys., 21, 603—605 A982). 49. Dodson C. T. I., Poston T. Tensor Geometry, Pitman, London, 1977. 50. Dowker I. S., Dowker Y. P. Interaction of massless particles of arbirary spin. Proc. Roy Soc, A294, 175—194 A966). 51. Duff G. F. D. Partial Differential Equations, Oxford University Press, London, 1956. 52. Eastwood M. G., Tod K. P. Edth — л differential operator on the sphere. Math. Proc Camb. Phil. Soc, 92. 317—330 A982). 53. Eckmann B. Continuous solutions of linear equations — some exceptional dimensions in topology, in: Battelle Rencontres, eds. С. М. DeWitt, J. A Wheeler, Benjamin, New York, 1968. 54. Ehlers I. The geometry of the (modified) GH — formalism. Commun. Math. Phys., 37. 327-329 A974). 55. Enters J., Rindler W., Robinson I. Quaternions, bivectors and the Lorentz group, in: Perspective in Geometry and Relativity, ed. B. Hoffmann, In- diana Univ Press. Bloomington, Ind., 1966. 36. Eistein A., Die Grundlage der allgemeinen RelativitStstheorie Ann. Phys., 49, 769—822 A916) translated as The Foundation of the general theory of relativity, in: Einstein et al., 1923. [Имеется перевод: Эйнштейн А. Осно- вы общей теории относительности. В сб.: Принцип относительности. — ГТТИ, 1935; см. также: Эйнштейн А. Собрание научных трудов, т. 1.— М.: Наука, 1965, с. 452.1 57. Einstein A., Lorentz H. A., Weyl H., Minkowski H. The Principle of Relati- vity, Methuen and Co., republshed by Dover, 1923. 58. Einstein A., Mayer W. Semivektoren und Spinoren. Sitz. Ber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin. 522—550 A932). [Имеется перевод: Эйнштейн А., Майер В. Полувекторы и спиноры. В кн.: Эйнштейн А. Собрание научных трудов, т. 3. —М.: Наука, 1966, с. 535] 59. Engelking R Outline of General Topology, North-Holland & PWN. Ams- terdam, 1968. 60. Exton A R. Newman E. Т., Penrose R. Conserved quatities in the Ein- stein—Maxwell theory J. Math. Phys., 10, 1566—1570 A969). 61. Ferrara S., Zumino B. Supergauge invariant Yang —Mills theories. Nucl. Phys., B79, 413—421 A974). 62. Ferrara S., Zumino В., Wess J. Supergauge multiplets and superflelds. Phys. Lett., 51B, 239—241 A974). 63 Feynman R P, Gell-Mann M. Theory of the Fermi anteraction. Phys. Rev B), 10», 193-198 A958). 64. Feynman R. P., Hibbs A. R. Quantum Mechanics and Path Integrals, McGraw-Hill, New York, 1965, pp. 34—6. [Имеется перевод: Фейнман Р., Хиббс А Квантовая механика и интегралы по траекториям. — М.: Мир, 1968.1 65. Fierz M. Ober die Relativitische Theorie Kraftefreier Teilchen mit beliebigem Spin. Helv. Phys. Acta, 12, 3—37 A938).
ЛИТЕРАТУРА 617 66 Fierz M. Ober den Drehimpuls von Teilchen mit Ruhemasse null und belie- bigem Spin. Helv. Phys Acta, 13, 45—60 A940) 67. Fierz M., Pauli W. On relativistic wave equations for particles of arbirary spin in an electromagnetic field. Proc. Roy Soc. London, AI73, 211—232 A939) 68 Flanders H. Differential Forms, Academic Press, New York, 1963. 69 Fock V A. Die Eigenzelt in der Klassischen und in der Quantenmechanik. Physik. Z. Sowjetunion, 12, 404—425 A937). 70. Fordy A. P. Zero-Rest-Mass Fields in an Algebraically Special Curved Space-Time. Gen. Rel. Qrav., 8, 227—243 A977). 71. Frame I. S., Robinson G. de В., Thrall R. M. The hook graph of the sym- metric group. Can. J. Math., 6, 316—324 A954). 72. Freedman D. Z., van Nieuwenhuizen P., Ferrara S. Progress toward a theo- ry of supergravity. Phys. Rev., D13, 3214—3218 A976). 73 triedlander F. 0. The wave equation on a curved space-time. Cambridge Monographs on Mathematical Physics 2, Cambridge University Press, Cam- bridge, 1975 74. Gardner M. The Ambidextrous Universe, Allen Lane, The Penguin Press, London. 1967. 75. Gel'fand I. M., Grasv M. I., Vllenkin N. Ya. Generalized Functions, Vol. 5: Integral Geometry and Representation Theory, Academic Press, New York. 1966. [См. также Гельфанд И. M., Граев т. И., Виленкин Н. Я. Инте- гральная геометрия и связанные с ней вопросы теории представлений (Обобщенные функции, вып. 5). — М.: Физматгиз, 1962.] 76. Geroch R Spinor structure of space-time in general relativity I. J. Math Phys., 9, 1739—1744 A968). 77. Geroch R. Spinor structure of space-time in general relativity II. J. Math. Phys., 11,343—348 A970). 78. Geroch R., Held A., Penrose R. A space-time calculus based on pairs of null directions. J. Math. Phys., 14, 874—881 A973). 79. Goldberg J, N., Macfarlane A. J., Newman E. Т., Rohrllch F., Sudar- shan E. C. G. Spin-s Spherical Harmonics and eth. J. Math. Phys., 8, 2155—2161 A967). 80 Goldstein H. Classical Mechanics, 2nd edn, Addison-Wesley, Reading, Mass., 1967. [Имеется перевод предыдущего издания: Голдстейн Г. Клас- сическая механика. — М.: Наука, 1975.] 81. Gunning R. С. Lectures on Riemann Surfaces. Princeton University Press, Princeton, 1966. 82 Hadamard 1. Lectures on Cauchy's Problem in Linear Partial Differentia) Equations, Dover, New York, 1952. 83 Hansen R. O., Janis A. I., Newman E. Т., Porter J. R, Winicour I. Ten- sors, spinors and functions on the sphere. Gen Rel. -Grav., 7, 687—693 A976). 84. Hawking S. V., Ellis G. F. R. The Large Scale Structure of Space-Time, Cambridge University Press, Cambridge, 1973. [Имеется перевод: Хо- кинг С, Эллис Дж. Крупномасштабная структура пространства-време- ни.— М.: Мир, 1977.] 85 Held A. A. formalism for the investigation of algebraically special metrics I. Com. Math. Phys., 37. 311—326 A974). 86 Held A. Ditto II. Com. Math Phys, 44, 211—222 A975). 87 Held A., Voorhees В. Н. Some zero rest mass test fields in general relati- vity. Int. J. Theor Phys., 10, 179-187 A974). 88 Hermann R. Differential Geometry and the Calculus of Variations, Acade- mic Press, New York, 1968. 89. Herstein I. N. Topics in Algebra, Blaisdell, New York, 1964. 90. Hehl F W., von der Heyde P., Kerlick G. D.. Nestev 1. M. General relati-
518 ЛИТЕРАТУРА vity with spin and torsion: foundation and prospects. Rev. Mod. Phys., 48, 393—416 A976) 91. Hicks N. J. Notes on Differeniial Geometry, Van Nostrand, Princeton, 1965. 92. Hitchin N. Compact four-dimensional Einstein Manifolds. J. Diff. Geom., 9.435—441 A974). 93. Hochschild G. The Structure of Lie Groups, Holden-Day, San Francisco, 1965 94. Hughston L. P., Ward R. S. (eds.). Advances in Twistor Theory. Research Notes in Mathematics, 37. Pitman, San Francisco, 1979. 95. Infeld L, van der Waerden B. L. Die Wellengleichung des Elektrons in der allgemeinen Relativitastheorie. Sitz. Ber. Preuss. Akad. Wiss. Physik.-math. Kl., 9,380—401 A93). 96. Jordan P., Ehlers J.. Sachs R. Beitrage zur Theorie der reinen Gravitations- strahlung. Akad. Wiss. u. Lit. in Mainz, Math.-Naturwiss, Kl. I960, Ne. I A961). 97. Kelley J. L. General Topology, Van Nostrand, New York, 1955. 98. Kibble T. W. B. Lorentz invariance and the gravitational field. J. Math. Phys., 2, 212—221 A961) 99. Kirchhoff G. Zur Theorie der Lichtstrahlen. Sitz. Ber. K. Preuss. Akad. Wiss. Berlin. 641—669 A882). 100. Klein A. G., Opat G. I. Observability of 2я rotations: A proposed experi- ment. Phys. Rev., Dll, 523—528 A975) 101. Klein F. The Mathematical Theory of the Top, Scribners, New York, Chap- ter 5, 1897. 102 Kobayashi S., Nomizu K. Foundations of Differential Geometry, Vol. 1, In- terscienct Publishers, London, 1963. [Имеется перевод: Кобаяси Ш., Но- мидзу К. Основы дифференциальной геометрии, т. 1. — М.: Наука, 1981.] 103. Kramer D., Stephani H., MacCallum M., Herlt Е. Exact Solutions of Ein- stein's Field Equations. VEB Deutscher Wisenschaften. Berlin, 1980 [Имеется перевод: Крамер Д., Штефани X., Мак-Каллум М., Херльт Э. Точные решения уравнений Эйнштейна. — М.: Энергоиздат, 1982.1 104. Lang S. Differentiable manifolds, Addison Wesley, Reading, Mass., 1972. 105. Laporte O., Uhlenbeck G. E. Application of Spinor Analysis to the Max- well and Dirac Equations. Phys. Rev., 37, 1380—1552 A931). 106. Lee T. D., Oehme R., Yang С N. Remark on Possible Noninvariance under Time Reversal and Charge Conjugation. Phys Rev., 106, 340—345 A957). 107. Lee T. D., Yang С N. Question of Parity Conservation in Weak Interac- tions. Phys R<-v., 104. ?54—258 A956). 108. Lefschetz S. Introduction to Topology, Princeton University Press, Prince- ton, 1949. 109. Lichnerowicz A. Topics on Space-Time, in: Battelle Rencontres, 1967 Lec- tures in Mathematics and Physics, eds. С M DeWitt, J. A. Wheeler, Ben- jamin, New York, 1968. 110. Littlewood D. E. The Theory of Group Characters, Clarendon Press, Oxford, 1950. 111. Lorenz L, On the ident'ty of the vibrations, of light with electrical currents Phil. Mag., 34, 287—301 A867), translated from Ann. Phys. Chem., 131, 243 A867), translated from Oversigt over det K. Danske Vidensk. Selsk. Forhandl., 1, 26 A867). 112. Mac Lane S, Birkhoff & Algebra, Macmillan. New York, 1967. 113. McLenaghan R G. An exphlicit determination of the empty space-times on which the wave equation satisfies Huygens principle. Proc. Camb. Phil. Soc, 65, 139—155 A9691. 114. Milnor J. Spin Structures on Manifolds. Enseign. Math., 9, 198-203 A963). 115. Milnor J. W, Stasheff J D. Characteristic Classes. Annals of Mathematics Studies No. 76. Princeton University Press, Princeton, 1974. [Имеется пере-
ЛИТЕРАТУРА 519 вод: Милнор Док., Сташев Дж. Характеристические классы. — М.: Мир, 1979.| 116. Minkowski H. Space and Time. Address delivered at the 80th Assembly of German Natural Scientists and Physicians, at Cologne; 21 September, 1908, translated in: Einstein et al. 1923. 117. Mistier С W., Wheeler J. A. Classical Physics1 as Geometry: Gravitation, Electromagnetism, Unquantized Charge and Mass as Properties of Curved Empty Space. Ann. of Phys., 2, 525—603 A957). .[Имеется перевод: >Миз- нер Ч., Уилер Дж. Классическая физика как геометрия. Гравитация, элек- тромагнетизм, неквантоваиные заряд и масса как свойства искривленного пустого пространства. В дополнениях к кн.: Уилер Дж. Гравитаций, ней- трино и Вселенная. — М.: ИЛ, 1962, с. 217.] 118. Moore E. Н. On the Reciprocal of the General Algebraic Matrix (abst- ract). Bull. Amer. Math. Soc. 26, 394—395 A920). 119. Morrow J., Kodaira K. Complex Manifolds, Holt, Rinehart and Winston, New York, 1971. 120. Nalmark M: A. Linear Representations of the Lorentz Group, Pergardon, Oxford, 1964. [См. также паймарк М. А. Лниейные представления группы Лоренца. — М.: Физматгиз, 1958.] 121. Nashed M. Z. (ed.). Generalized Inverses and Applications. Academic Press, New York, 1976. , 122. Nelson E. Tensor Analysis, Princeton University Press and University of Tokyo Press, Princeton, New Jersey, 1967. 123. Newman E. Т., Penrose R. An approach to gravitation by a method of spin coefficients. J. Math. Phys., 3, 566—578; Errata: ditto. Ibid., 4, 998 A962). 124. Newman E. Т., Penrose R. Note on the Bondi — Metzner — Sachs group. J. Math Phys., 7, 863—870 A966). 125. Newman E. Т., Penrose R. New conservation laws for zero rest-mass fields in asymptotically flat' space-time. Proc. Roy. Soc, A305, 175—204 A968). 126. Newman E. Т., Unti T. W. J. Behaviour of asymptotically flat empty spa- ces. J. Math. Phys., 3, 891—901 A962). 127. Newman M. H. A. On a string problem of Dirac. Journ. Lond. Math. Soc, 17, 173—177 A942). 128. Nomizu K. Lie Groups and Differential Geometry. The Mathematical So- ciety of Japan, Tokyo, 1956. [Имеется перевод: Номидзу К. Группы Ли и дифференциальная геометрия. — М.: Мир, 1972.] 129. Papapetrou A. Lectures on General Relativity, D. Reidel Publishing Сопь рапу, Dordrecht, 1974. 130. Pauli W. Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons. Z. Phys., 43, 601—625 A927). 131 Payne W. T. Elementary spinor theory. Am. J. Phys., 20, 253—262 A952). 132. Penrose R. A generalised inverse for matrices. Proc. Camb. Phil. Soc, 51, 406—413 A955). 133. Penrose^R. The apparent shape of a relativistically moving sphere. Proc-. Camb. Phil. Soc, 55, 137—139 A959). 134. Penrose R.'A Spinor Approach to General Relativity. Ann. Phys. (New York), 10, 171—201 (I960). 135 Penrose R General Relativity in Spinor Form, in: Les Theories Relativistes de la Gravitation, eds. A. Lichnerowicz and M. A. Tonnelat, CNRS, Paris 1962. -136. Penrose R. Null hypersurface initial data for classical fields of arbitrary spin and for general relativity, in: Aerospace Research Laboratories Report 63—56 (P. G. Bergmann) reprinted A980) in: Gen. Rel. Grav., 12, 225— 264 A963). 137. Penrose R. Zero rest-mass fields including gravitation: asymptotic beha- viour. Proc. Roy. Soc. London, A284, 159—203 A965).
520 ЛИТЕРАТУРА 138. Penrose R. General-Relativistic Energy Flux and Elementary Optics, ibid., 259-274 A966). 139. Penrose R. An Analysis of the Structure of Space-time, Adam Prize Essay, Cambridge University, 1966. 140. Penrose R. Structure of space-time, in: Battelle Rencontres, 1967 Lectures in Mathematics and Physics, eds. C. M. DeWitt, J. A. Wheeler, Benjamin, New York, 1968. .[Имеется перевод: Пенроуз Р. Структура пространства- времени. — М.: Мнр, 1972.]. 141. Penrose R. Application of Negative Dimensional Tensors, in: Combinato- rial Mathematics and its Applications, ed. D. J. A. Welch, Academic Press, London, 1971. 142. Penrose R. The Geometry of impulsive gravitational waves, in: General Re- lativity, Papers in Honour of J. L. Synge. ed. L. O'Raifeartaigh, Clarendon Press, Oxford, 1972. 143. Penrose R. Spinor classification of energy tensors, Gravitatsiya, Nauk. dumka, Kiev, 203, 1972. 144. Penrose R. Relativistic Symmetry Groups, in: Group Theory in Non-Linear Problems, ed. A. O. Barut, Reidel, Dordrecht, 1974, p. 1—58. 145. Penrose R. Spinors and torsion in general relativity. Fourd. Phys., 13, 325—340 A983). 146. Penrose R., MacCallum M. A. H. Twistor theory: An approach to the quan- tisation of fields and space-time. Phys. Rep., 6, 241—316 A972). [Имеется перевод: Пенроуз Р., Мак-Каллум М. А. X. В сб.: Твисторы и калибро- вочные поля/Под ред. В. В. Жаринова. — М.: Мир, 1983, с 131.1 147. Penrose R. Twistor Theory, its aims and achievements, in: Quantum Gra- vity: an Oxford Symposium, eds. С J. I sham, R. Penrose, D. W. Sciama, Clarendon Press, Oxford, 1975. 148. Penrose R., Ward R. S. Twistors for flat and curved space-time, in: Gene- ral Relativity and Gravitation, One Hundred Years after the Birth of Al- bert Einstein, Vol. II, ed: A. Held, Plenum Press, New York, 1980. [Имеет- ся перевод в сб.: Твисторы и калибровочные поля/Под ред. В. В. Жари- нова. — М.: Мир, 1983, с 78.] 149. Piranl F. A. Е. Introduction to gravitational radiation theory, in [184], p. 249. 150. Piranl F. A. E., Schild A. Geometrical and physical interpretation of the Weyl conformal curvature tensor. Bull. Acad. Pol. Sci., Ser. Sci. Math. Astron. Phys., 9, 543—547 A961). 161. Plebanski J. The «vectorial> optics of fields with arbitrary spin, rest-mass zero. Acta Polon., 27, 361—393 A965). 152. Proca A. Sur un article de M. E. Whittaker, Intitule «Les relations entre le calcul tensoriel et le calcul des spineurs>. J. Phys. et radium, 8, 363— 365 A937). 153. Ralnich G. У. Electrodynamics in the general relativity theory. Trans. Am. Math. Soc, 27, 106—136 A925). 154. Rarita W., Schwinger I. On a theory of particles with half-integral spin. Phys. Rev., 60, 61 A941). 155. Rauch H., Zeilinger A., Badurek G., Wilfing A., Bauspiess W., Bonse U. Verification of coherent spinor rotation of fermions. Phys. Lett., A54, 425— 427 A975). 156. Rtesz M., L'Integrale de Riemann — Liouville et le probleme de Cauchy. Acta Math., 81, 1—223 A949). 157. Rindler W. Essential Relativity: Special, General and Cosmological (Se- cond edition), Springer-Verlag, New York, 1977. 158. Rindler IP. Introduction to Special Relativity, Clarendon Press, Oxford, 1982. 159. Rutherford D. E. Substitutional Analysis, Edinburgh University Press, Edinburgh, 1948.
ЛИТЕРАТУРА 621 160. Sachs R., Bergmann P. G. Structure of particles In linearized gravitational theory. Phys. Rev., 112, 674—680 A958). 161. Sachs R. Gravitational waves in general relativity. VI. The outgoing ra- diation condition. Proc. Roy. Soc. London, A264, 309—338 A961). 162. Sachs R. K. Gravitational waves in general relativity. VIII. Waves in asym- ptotically flat space-time. Proc. Roy. Soc. London, A270, 103—126 A962). 163. Sachs R. K. On the characteristic initial value problem in gravitational theory. J. Math. Phys., 3, 908—914 A962). 164. Schiff L. I. Quantum Mechanics, McGraw-Hill, New York, 1955. [Имеется перевод: Шифф Л. Квантовая механика. — М.: Мир, 1983, с. 78.1 165. Schild A. Lectures on general relativity theory, in: Relativity Theory and Astrophysics, I. Relativity and Cosmology, ed. J. Ehlers, Amer. Math. Soc. Providence, 1967. 166. Schrddinger E. Space-time structure, Cambridge University Press, Cam- bridge, 1950. 167. Sciama D. W. On the analogy between charge and spin In general relati- vity, in: Recent Developments in General Relativity, Pergamon & PWN, Oxford, 1962. 168. Sommerfeld A. Ober die Klein'schen Parameter a, p\ Yi в und ihre Bedeu- tung fur din Dirac-Theorie. Sitz. Ber. Akad. Wiss. Wien., 145, 639—650 A936). 169. Staruszkiewicz A. On two kinds of spinors. Acta Physica Polonica, B7, 557—565 A976). 176. Stellmacher K. L Geometrische Deutung konforminvarianter Eigenschaften des Riemannschen Raumes. Math. Annalen, 123, 34—52 A951). 171. Stewart J. M. Hertz — Bromwich — Debye — Whittaker — Penrose potentials in general relativity. Proc. Roy. Soc. London, A367, 527—538 A979). 172. Stewart J. M, Walker M. Perturbations of space-times in general relativity. Proc. Roy. Soc. London, A341, 49—74 A974). 173. Synge J. L. Relativity: The Special Theory, North-Hollad Publishing Co., London, 1955. 174. Synge L. L The Relativistic Gas. North-Holland, Amsterdam, 1957. 175. Synge J. L. Relativity: The General Theory, North-Holland, Amsterdam, 1960. [Имеется перевод: Синг Дж. Л. Общая теория относительности.— М.: ИЛ, 1963.1 176. Szekeres P. Spaces conformal to a class of spaces in general relativity. Proc. Roy. Soc, A274, 206—212 A963). 177. Taub A. H., Veblen O. Projective differentiation of spinors. Nat. Acad. Sc. Proc, 20, 85—92A934). 178. Terrell 1. Invisibility of the Lorentz contraction. Phys. Rev, 116, 1041— 1045 A959). 179. '/ Hooft G, Veltman M. Diagratnmar, CERN preprint 73—9. CERN, Ge- neva, 1973, unpublished. 180. Tod K. P. The singularities of *-space. Math. Proc. Camb. Phil. Soc, to appear A983). 181. Trautman A. Conservation laws in general relativity, in: Gravitation: An Introduction to Current Research ed. L. Witten, Wiley, New York, 1962. 182. Trautman A. On the Einstein — Cartan equations. I—IV. Bull. Acad. Pol. Sci, Ser. Soi. Math. Astron. Phys, 20, 185—190; 503—506; 895—896 A972); 21, 345-346 A973). 183. Trautman A., Pirani F. A. E., Bondi H. Lectures on General relativity, Pren- tice-Hall, Englewood Cliffs, 1965. 184. Unruh W. G. Self force on charged particles, Proc. Roy. Soc. London, A348, 447—465 A976). '85., e«n der Waerden B. L Spinoranalyse. Nachr. Akad. Wiss. Getting. Math.- Physik Kl, 100-109 A929).
522 ЛИТЕРАТУРА 186 Veblen О. Geometry of Two-Component Spinors. Proc. Nat. Acad. Sci.,- \§, 462—474 A933). 187. Veblen 0. Geometry of Four-Component Spinors. Proc. Nat. Acad. Sci., 19, 503—517 A933). 188. Veblen O. Spinors. Science, 80, 415—419 A934). 189. Veblen 0., Neumann J. Geometry of Complex Domains. Mimeographed no- tes, issued by the Institute for Advanced Study Princeton (reissued 1955), 1936. 190 Wells R. 0. Differential analysis in complex manifolds, Prentice Hall, Eng- lewood Cliffs, 1973. [Имеется перевод: Уэллс Р. О Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях. — М.: Мир, 1976.] 19). Werner S. A., Colella P., Overhauser A. W., Eagen С. F. Observation of the Phase Shift of a Neutron Due to Precession in a Magnetic Field. Phys Rev. Lett, 35. 1053—1055 A975). 192. Weyl H. Gravitation and Electricity (translated from «Gravitation und Electrizitab, Sitz. Ber Preuss. Akad. Wiss. 1918, 465—480), in: The Prin- ciple of Relativity, by A. Einstein, H. A. Lorentz. H. Weyl, H. Minkovski. Methuen and Co. (republished by Dover), 1923. 193 Weyl H Elektron und Gravitation I. Z. Phys., 56, 330—352 A929). 194 Weyl H The Theory of Groups and Quantum Mechanics, Methuen, London 1431. p. 35b 105 Whittaker E. T. The History of the Theories of Aether and Electricity, Lohgnnn, London, 1910. 196 Whittaker E. T. On the Relations of the Tensor-calculus to the Spinor-cal- culus Proc. Roy. Soc. London, A158, 38—46 A937). 197 Witten L Invariants of General Relativity and the Classification of Spa- ces. Phys. Rev., 113. 357-362 A959), 198 Witten L. A geometric theory of the electromagnetic and gravitational fields. In: Gravitation: An Introduction to Current Research, ed. L. Witten, Wiley, New York 1962. 199 Wu С S., Ambler E., Hayward /?., Hoppes D., Hudson R. Experimental Test of Parity Conservation in Beta Decay Phys. Rev., 105, 1413—1415; Further Experiments on p Decay of Polarized Nuclei. Phys. Rev, 106, 1361—1363 A957). 200 Wu Т. Т., Yang С N. Phenomenological analysis of violation of CP in- variance in decay of K° and K°. Phys. Lett., 13, 380—385 A964). 201 Wu Т. Т., Yang С N. Dirac monopole without strings: monopole harmo- nics. Nucl. Phys., B107, 365—380 A976) 202 Yang С N., Mills R. Conservation of Isotop'c Spin and Gauge Invariance. Phys. Rev, 96, 191—195 A954). 203 Young A. On quantitative substitutional analysis I. Proc. Lond. Math Soc, 33,97—146 A900).
Предметно-именной указатель Ааронов 68 Аберрации формула 47 Абстрактных индексов метод 12, 93 Антнснмметрнзация 113, 173 — диаграммное представление 505 Аргандова плоскость 26 Аффинный параметр 461 База накрытия 398 Базнс в локальном сечении расслоения 400 — дуальный 125, 135, 160 ' — индуцированный 157 — координатный 160, 163, 238, 248, 282 — ортонормированный для ' спиновых функций 366 — постоянный спинорный 366 — пространства V 15 — спинориый 329 Безмассовые поля 431 Бипочтор 192 — (анти)самодуальвый изотропный 201 — комплексный изотропный 170 Бианки тождество 244, 245 — диаграммное представление 508, 509 — спинорная форма 301, 316 Бонда — Сакса определение массы 337 Буст 35, 38 — w 39 Бустовый вес 311 Вейяя геометрия 425 — спинор 476 — тензор 188 Вектор: времениподобный, пространственноподоб- ный 18 изотропный 18, 165 комплексный 169, 216 ковариантный 98 контравариаитный 98 мировой 15 Векторное поле как модуль над кольцом скалярных полей 95 касательное 235 Векторное расслоение 397 Взвешенный скаляр 472 Виттен 393 Вращение 36 — изотропное 47 Грин 256 Грина явление 489 Группа: абелева 100. 144 вращений SOD) 75 - SOC) 62 конформная 423 Лоренца 21 неособых k X А-матрнц 403 (псевдо)унитарных матриц 414 Sl/B) как накрывающее пространство 67 фундаментальная (первая гомотопиче- ская) 66 Гюйгенса принцип 484 Дадемар 13, 479 Даффина — К'ммера уравнение 457 Двойное отношение см. Отображение дробно-линейное Де Дондера калибровочное условие 434 Диаграммная система записи 101, 502 Диада 148 Дирака — Вейля уравнение для нейтрино 273, 432, 447 Дирака вектор тока 450 — гамма-матрицы 163, 275 — головоломка с ножницами 64 — 6-функция 485 — уравнение для электрона 273, 275 Дирака — Фирца уравнение 457 Дифференциал 238 Дифференцирование абстрактное 233 — коварнантное 240. См. также Кова- рнантная производная Доплеровский множитель 38 . Дуальный поворот 195 Изотропные данные 463 Изотропный поворот 47, 48, 222, 226 — вигзаг 493 Инвариант 215 Индекс: абстрактный 102, 161, 251, 421, 457 собирательный 117, 153, 177, 346 тензорный 102 Янга — Миллса 415 Инфельда — Ван дер Вардена символ 161. 282 319 Гармоническое семейство 50 Гаусс 256 Гаусса — Бонне теорема 336 Гиперповерхность начальных данных 492 Главные спиноры, изотропные направле- ния, изотропные векторы 208 Ко-распад 20, 79 Калибровка 308, 310, 378, 412, 451 Калибровочные величины 308 — преобразования 379, 412, 433 Каноническое разложение спинора 208 Картан 219, 25$, 256
524 предметно-именной указатель Картона исчисление дифференциальных форм 253, 319 — подвижного репера 319 — связь со спиновыми коэффициентами 324 Кватернион 39 — векторный 41 — единичный 41 — иа многообразии 419 Кельвин 256 Кирхгофа — Дадемара формула 13, 469 Клейна бутылка 327 Класс эквивалентности путей 66 — тетрад 17 Ковариаитная производная 240 — симметричная 243, 252 — спниорная 265 — — единственность 268 существование 247, 260 Кольцо: коммутативное с единицей 229 ... констант иа многообразии 107) - ' > > скалярных полей 154 • ¦ - скаляров с делением 94 скаляров с единицей 94 Коммутативная алгебра 229 Коммутатор: в модифицированном методе спиновых коэффициентов 316, 328, 342 в теории ЭКШК 292 в теории Янга — Миллса 416 коварнантных производных 242 иа двумерной поверхности 328, 331 иа двумерной сфере 352 иа изотропной гиперповерхности 342 свинорная форма 298 Комплексифнцированная сфера 171 Комплексна (тензора напряженности элек- тромагнитного поля) 395 Комплексный угол 51 Конформная бесконечность 421 — инвариантность 436 — плотность веса k 423 — структура: сферы ^*59 сферы S* 44 Конформно-инвариантная система полей 423 Конформно-плоское многообразие 426 Конформное изменение масштаба 419 — преобразование кривизны 426 Конформные движения поверхности 348 Конформный вес 350. 423, 429 Координаты: вектора 16 голоморфные 332 проективные комплексные 30 Космологическая постоянная 290 Кратность главного спинора, главного изотропного направления 208 Кривизна: в расслоении 406 гауссова 331, 337 — комплексная 336 скалярная 261 Кристоффеля символы 260, 284, 308, 319, 407, 460 Кронекера о-снмвол абстрактный 119, 155, 161, 421 — диаграммное представление 505 Кручение см. Тензор Кэли — Клейна параметры 88 Леей — Чивиты символ 148, 152, 178, 181 Дежандра сферические гармоники 378 Лейбница правило 241, 258. 265. 281, 313, 376 — диаграммное представление 509 Ли алгебра 413 — группа 410 — производная тензора 258 диаграммное представление 808 — скобка 249, 257, 303 Лоренца группа 21 — калибровочное условие 384, 445, 481, 457, 495 — преобразование 21 ннволютнвное 219 инфиинтезнмальное спиновое 224 ограниченное 21 пассивное 22 (не)собственное 217 — спиновое 30, 159, 214 — сила 480 Лорентц Г. 384 Майодгёнсесий !бпшЯор: 441 Магнитный заряд 377' Максвелла уравнення 318 Математическая индукция 454 Метрика 259 — диаграммное представление 507 — поля Янга ~ Миллса 415 Мёбиуса лнст 404 Мизнер 393, 395 Мировой вектор 155 — тензор действительный 154, 181 — тензор комплексный 154 Многообразие 70, 227 — аналитическое 413, 460 — связное, хзусдорфово. оаракомнактное 70, 131, 228, 232, 400 Модифицированный метод спиновых ко- эффициентов см. Спиновые коэффи- циенты Модуль: аксиомы 105 антиизоморфный 142 вполне рефлексивный 107, ПО, 126. 138 дуальный 106, 116 заряженный 375 рефлексивный 107, 237 сечений расслоения 402 спин-векторных полей 227. 375 Модуля базнс 122 — голоиомный, иеголономный 249 — индуцированный 128 — координатный (естественный) 238, 248 — размерность 123 Нейтрон 69, 2?7 Норма лоренцева 18 Нормальные координаты 461 Ньюмена — Пенроуза формализм в Обобщенная функция 484 Образующие (светового конуса) 342, 471 Однородные операторы Эйлера 348 Окрестность №-окрестность) 229, 232 Оператор: буст-взвешеиный 12 действительный 266 дифференциальный 53 скалибровочно-взвешеиный» 430 спнн-взвешенный 12 Орнентацня: во времени 19, 159 пространственная 19, 159 тетрады 17 физического пространства-времени 20
ПРЕДМЕТНО-ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ 625 Остроградский 256 Отображение аитинебесиое 26. 28, 49 дробво-лииейиое 32, 49 — геометрический смысл 60 сзвездочка» Сакса 327 конформное 43 — собственное 44 небесное 26 ©линейное 117 ©полилинейное 117 стереографическое 27 Параллелизуемость сфер 124 Параметр скорости 35 — яркости 475 Пенроуза диаграмма 5 — пнла 298 — процесс 5 Перестановка индексов 112 Планка постоянная 450 Поверхность: временидодобная 326, 478 изотропная 308 пространственноподобная 326, 478 Покрытие (конечное) 133, 400 Поле: векторное ковариантное, коитраварнаит- ное 98 действительных чисел 18 Шредингера — Клейна — Гордона 449 Эйнштейна — Максвелла 455 электромагнитное 12, 377 Янга — Миллса 12, 408, 457 — (антн)самодуальиое 419 Полотнище флага 6, 58, 167 Полугруппа 100 Правило отбрасывания индексов 253, 320 Представление: вполне приводимое 184 группы Лоренца 184. 292, 355. 361. 362 матричное 185 приводимое 184 группы 0D) 368 Произведение: внешнее 256 — внутреннее 80, 115 скалярное 17 тензорное 100, 144 Производная: внешняя р-формы 254 «нвяя вдоль направлений тетрады по направлению 288, 234, 239, 281 . (не)симметризованн«я 459, 462 Пространство: векторное над полем действительных чисел 15 Дв Ситтера 451 касательное 236 Минковского 15, 20, 345, 380. 437. 469 мировых векторов 15 некомпактное 78 одноеаязиое 62 универсальное накрывающее 66 Прямая: изотропная 29 проективная комплексная 31 Пуанкаре группа 21 — преобразование 21 — — пассивное 22 Радона —Пенроуза преобразование 5 Разбиение единицы 133 Рариты — Швингера уравнение 457 Расслоение: касательное 398 спииориое 399 тензорное 399 . Риндлера вакуум 5 — метрика 5 — частицы 5 Риччи тензор 261, 293 бесследовая часть 188 — обобщенное тождество 244 Робинсон А. 50 Робинсона проекционный оператор 198 Род поверхности 336 Свернутое пронзведеиие 115 Свертка 96, 101, 113 Световой конус 24, 345, 459, 462 — будущего 76 — геометрия 467, 468 — начальные данные 469 — сечение 24 Связность 240 — в расслоении 405 Сеченне (расслоения) 398 — гладкое 399 Сигнатура 15, 17 Симметризация 113 Синг 46 Скалярное произведение 17 Слой 398 Спин-вектор 24, 26. 52, 55, 74 — диаграммы 509 — заряженный 373, 375 — ковариантиый 278 — нулевой 69 Спни-матрица 32, 152 Спниовая структура 72 существование и единственность 72 Спиновое преобразоваине 32, 80 унитарное 36 — пространство 80 Спиновые коэффициенты 12. 277 — модифицированные 309 Спиновые сферические гармоники 357 — конформные свойства 361 Спиновые матрицы Паули 163 Спиновый вес 311, 350, 353, 466 Спинор 138 — гравитационный 291 ' — действительный 162 — кривизны 286 — общего вида 143 — электромагнитного поля 383 — эрмитов 162 Спинорная алгебра 253, 264 Спинорная пила 140, 146 Спииориая структура 78 Спииорное исчисление 2, 10 Спииорные (днадяые) компоненты 161 Спииорный объект 68 Стереографическая проекция см. Отобра- жение Стоке 256 Сфера: двумерная в пространстве Минковского 345 комплексная 171 небесная 25, 44 риманова 26 СУсскинд 68 Твисториая 1-форма 477 Твнсториый интеграл 477 Тензор: альтернирующий 123, 179, 212
526 ПРЕДМЕТНО-ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ — диаграммное представление 507 (анти)самодуальныя 194, 292, 296, 419 антисимметричный 122, 176 — дуальный 192, 212 Беля — Робинсона 295, 302 — в теории Эйнштейна — Максвелла 389 — в теории электромагнитного ноля 381 бескоординатное определение — тип 1 108 — тип И 108 — тип Ш 127 бесследовая часть 191 изотропный 201 ковариантный 98 конформный Вейля 295, 297, 389 кривизны 244 — компоненты 251 — диаграммное представление 509 поля электромагнитного 381 — Янга — Миллса 416 простой 188, 211 — условие 388 Риуана{— Кристоффеля) 261, 295 — диаграммное представление 509 Риччи 261, 295 эиергии-импульса поля 439 — Дирака — Вейля 439 — электромагнитного 389 — Янга — Миллса 418 Тензорная алгебра 95 Тетрада 16, 308 — изотропная 15, 164 — Маяковского 18, 158 ограниченная 19, 159 ортохронная 19 — (не)собственная 17, 180 Топологическое пространство 232 Топология буста 67 — пространства единичных кватернионов 67 Точная система полей 7, 44S — инвариантная 447, 458 — физический смысл 464 Трансвекция 115. См. также Внутреннее произведение. Свернутое произведение Транспозиция 198 Триада правая, левая 19 Тьюкольского метод 6 Уилер 393, 395 Условия Райнича 392 — совместности Фирца, Бухдала 458 Флаг изотропный 6, 58, 70 — и снин вектор 60, 419 Флага плоскость 58, 60, 61, 77, 167 Флагшток 58, 60, 61, 77 Фоновые поля 479, 481 — запаздывающие, опережающие 479 Форма дифференциальная 253 — дуальная 322 — кривизны 321 — спииорио-значная 320 — теизорно-значная 254, 320 Фундаментальная теорема внешнего ис- числения 256 Функция колоколообразная 133, 230 Хокинга — Пенроуза теоремы Б Циклическое тождество 288 Четыре-винт 46, 222 Штифеля — Уитни гомотопический класс 75 Эйнштейна Вселенная 79 — Картона — Шьямы — Киббла теория 268, 292 — Максвелла уравнения 388, 452, 455 — правило суммирования 16 — уравнения 229, 290, 293, 302, 317, 452 линеаризованные 432. 447 Эйткена диаграммы 504 Эквигармоиическое семейство 50 Юнга схема 186 Якоби тождество 257
Оглавление Предисловие переводчиков Введение . . . . U 1. Геометрия мировых векторов и спин-векторов 15 § 1. Векторное пространство Минковского 15 § 2. Изотропные направления и спиновые преобразования 24 § 3. Некоторые свойства преобразований Лоренца 42 § 4. Изотропные флаги и спин-векторы 52 § 5. Спинорные объекты и спиновая структура ; 62 § 6. Геометрическая интерпретация спинорных операций 80 2. Метод абстрактных индексов и спинорная алгебра 93 § 1. Обоснование метода абстрактных индексов 93 § 2. Формализм абстрактных индексов и тензорная алгебра .... 102 § 3. Базисы 122 § 4. Свойство модуля ©' быть вполне рефлексивным на многообразии 131 § 5. Спинорная алгебра 137 3. Спиноры и мировые тензоры 153 § 1. Мировые тензоры как спиноры 153 § 2. Изотропные флаги и комплексные изотропные векторы 164 § 3. Операции симметризации и антисимметризации 172 § 4. Тензорное представление спинорных операций 190 § 5. Простые свойства тензоров и спиноров в точке 203 § 6. Преобразования Лоренца 213 4. Дифференцирование и кривизна . 227 § 1. Многообразия 227 § 2. Ковариантная производная 240 § 3. Производные, не зависящие от связности 252 § 4. Дифференцирование спиноров 262 § 5. Дифференцирование спинорных компонент . 277 § 6. Спиноры кривизны . . . -. 285 § 7. Спинорная формулировка теории Эйнштейна — Картана — Шья- мы —Киббла 292 § 8. Тензор Вейля и тензор Беля — Робинсона 295 § 9. Спинорное представление коммутаторов 298 § 10. Спинорная форма тождеств Бианки 301 § 11. Спиноры кривизны и спиновые коэффициенты 303 § 12. Модифицированный формализм спиновых коэффициентов . . . 307 ; § 13. Метод Картана 319 , § 14. Приложение к двумерным поверхностям 326 § 15. Сферические гармоники со спиновым весом 345
628 ОГЛАВЛЕНИЕ 5. Поля в пространстве-времени ^73 § 1. Электромагнитное поле и обобщенный оператор производной . . 373 $ 2. Уравнения Эйнштейна — Максвелла в спннорной форме .... 388 § 3. Условия Райнича 392 § 4. Векторные расслоения 397 § 5. Поля Янга — Мнллса 408 § 6. Конформные изменения масштаба 419 § 7. Безмассовые поля 431 § 8. Условия совместности 437 § 9. Конформная инвариантность различных полевых величин . . . 442 § 10. Точные системы полей 445 § 11. Начальные данные на световом конусе 459 $ 12. Явные полевые интегралы 469 Приложение. Диаграммная система записи 502 Литература 514 Предметно-именной указатель 523 Монография Роджер Пенроуз, Вольфганг Рнндлер СПИНОРЫ И ПРОСТРАНСТВО-ВРЕМЯ. ДВА-СПИНОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ПОЛЯ Научи, редактор Е. С. Кураискнй. Редактор Р. X. Зацепина. Художник В. Б. Прищепа. Художественный редактор Н. М. Иванов. Технический редактор Е. С. Потапеикова. Корректор Е. В. Морозова ИВ J* 5999 Сдано в набор 01.07.86. Подписано к печати 09.02.87. Формат бОХЭО'/и- Бумага типо- графская J* 1. Гарнитура литературная. Печать высокая. Объем 16,50 бум. л. Усл. печ. л. 33,00. Усл. кр.-отт. 33,00. Уч.-изд. л. 30,14. Изд. J* 2/4762. Тираж 5000 экз. Зак. М |1«2 Цена 4 р. 80 к. ИЗДАТЕЛЬСТВО М 129820. Москва. И-110, ГСП. 1-й Рижский, пер., 2. Отпечатано с матриц Ленинградской типографии М S головного предпрнятяя ордена Трудового Красного Знамени Ленинградского объединения сТехннческая книга» им. Ев- гении Соколовой Союзполиграфпроиа при Государственном комитете СССР по делам издательств, нолнграфии ¦ книжной торговля. 198052, Ленинград, Л-52, ИзмайлоДОяй ароспект, 29, в Ленинградской типография М 4 ордена Трудового Красного Зиимшн Ленинградского объединения сТехинческая книга» им. Евгении Соколовой Союявдан- графирома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфа* ¦ книжной торговле. 191186, Ленинград. Социалистическая ул., 14. < ?