Автор: Новиков М.Л.
Теги: инженерия механика теоретическая механика инженерные системы зданий
Год: 1958
Текст
м. л. новиков
ЗУБЧАТЫЕ ПЕРЕДАЧИ
С НОВЫМ ЗАЦЕПЛЕНИЕМ
КРАСНОЗНАМЕННАЯ ОРДЕНА ЛЕНИНА
ВОЕННО-ВОЗДУШНАЯ ИНЖЕНЕРНАЯ АКАДЕМИЯ
ИМЕНИ ПРОФЕССОРА И. Е. ЖУКОВСКОГО
М. Л. новиков
ЗУБЧАТЫЕ ПЕРЕДАЧИ
С НОВЫМ
ЗАЦЕПЛЕНИЕМ
В книге изложена разработанная М. Л. Новиковым тео-
рия зацепления для общего случая передач с Параллельными,
пересекающимися и перекрещивающимися осями. На базе
этой теории предложена новая система зацепления с высокой
несущей способностью, для которой даны инженерные методы
геометрического и прочностного расчета, а также другие не-
обходимые сведения по их конструированию. Приведены
некоторые фактические данные по опыту промышленного
внедрения передач Новикова.
Книга предназначена для широкого круга инженеров-кон-
структоров и научных работников, а также может быть
полезной для студентов вузов.
МИХАИЛ ЛЕОНТЬЕВИЧ НОВИКОВ
(1915-1957)
МИХАИЛ ЛЕОНТЬЕВИЧ НОВИКОВ
19 августа 1957 года в полном расцвете творческих сил и больших замыс-
лов скоропостижно скончался верный сын нашей Родины, ученый и изобрета-
тель, доктор технических наук инженер-полковник МИХАИЛ ЛЕОНТЬЕВИЧ
НОВИКОВ.
Михаил Леонтьевич родился 25 марта 1915 года в гч Иваново в рабочей
семье. С пятнадцати лет он начал свой трудовой путь учеником слесаря.
В 1934 году Михаил Леонтьевич поступил в МВТУ им. Баумана. По окончании
второго курса МВТУ Михаил Леонтьевич был зачислен слушателем Военно-
Воздушной Инженерной Академии имени профессора Н. Е. Жуковского. После
окончания Академии, в 1940 г., он был оставлен на одной из ведущих специ-
альных кафедр. За короткий срок Михаил Леонтьевич прошел путь от млад-
шего преподавателя до начальника этой кафедры.
Наряду с большой учебно-методической работой Михаил Леонтьевич уде-
лял большое внимание научным исследованиям и изобретательству. Им было
сделано более 10 изобретений, имеющих важное значение для развития' авиа-
ционной техники. Так, например, в 1944 г. им была предложена, исследована
и конструктивно разработай^ комбинация винтов фиксированного шага и винтов
с изменяемым шагом на базе дифференциального привода.
В 1947 г. им совместно с И. Т. Денисовым была предложена новая
гидравлическая система управления шагом винтов, а в 1949 г. — гидравличе-
ский уравнительный механизм для мощных редукторов.
В 1950 г. им разработан метод графо-аналитического синтезирования кине-
матических схем редукторов для заданных условий и даны новые, более строгие
и точные формулы сборки центральных передач. 1
В последние годы Михаил Леонтьевич Новиков в основном работал над
проблемой увеличения несущей способности зубчатых передач, имеющей большое
значение как; для общего машиностроения, так и особенно для авиадвигателе-
строения. 1
Результатом упорной многолетней работы Михаила Леонтьевича в этой
области явилось создание новой теории точечного зацепления, изложенной
в его докторской диссертации «Основные вопросы геометрической теории точеч-
ного зацепления, предназначенного для зубчатых передач большой мощности»
(1955 г.).
Созданные на основе этой теории новые зубчатые передачи позволяют
в зависимости от заданных параметров зацепления передавать окружные уси-
лия, в 2—(5 раз большие, чем эвольвентные прямозубые передачи в тех же габа-
ритах и из тех же материалов.
Создание новых зубчатых передач с высокой несущей способностью
является крупным достижением советской науки и техники.
3
ОТ РЕДАКТОРОВ
В результате упорных поисков решения актуальной и весьма
сложной проблемы повышения несущей способности зубчатых пере-
дач М. Л. Новиков разработал новый метод образования сопряжен-
ных поверхностей, базирующийся на контактных линиях и коренным
образом отличающийся от классического метода Оливье. При этом
он нашел решение весьма сложной задачи теоретической механики
об определении относительного движения заданных поверхностей
при условии их взаимного касания, а также применительно
к самому общему случаю, решение еще более сложной обратной
задачи об определении кривизны сопряженных поверхностей для
обеспечения их заданного относительного движения.
На основе нового принципа образования сопряженных поверх-
ностей М. Л. Новиковым была разработана новая теория зацепле-
ния в общем виде для передач с параллельными, пересекающимися
и перекрещивающимися осями. На базе этой теории им предложен
и практически осуществлен новый вид зубчатого зацепления, несу-
щая способность которого в несколько раз превышает нагрузочную
способность господствующего ныне в машиностроении эвольвентного
зацепления. Увеличение несущей способности новых передач явилось
результатом нахождения таких сопряженных поверхностей, величина
приведенных радиусов кривизны которых может быть получена
практически как угодно большой при неизменных и ограниченных
размерах диаметров начальных окружностей колес.
Предложенное им пространственное зацепление с первоначаль-
ным точечным контактом в результате весьма непродолжительной
приработки превращается в особый вид линейчатого пространствен-
ного зацепления, в котором линия контакта располагается поперек
зубца по всей его высоте и в процессе работы перемещается по длине
зубца. Такое линейчатое зацепление, обладающее еще более высо-
кой несущей способностью, является частным случаем нового точеч-
ного зацепления. Подобное зацепление может быть предусмотрено
сразу при проектировании, но тогда несколько повышаются требо-
вания к точности изготовления передач. Следует заметить, что в ре-
альных условиях при работе под нагрузкой вместо линейчатого
или точечного контакта в новых передачах всегда имеет место
касание по площадке, длина которой распространяется на всю
5
высоту зубца, а ширина занимает от одной трети до полной длины
зубца (по ширине обода колеса).
Основные вопросы геометрической теории нового зацепления
изложены М. Л. Новиковым в докторской диссертации [13], которая
была закончена в 1954 г., а в следующем году успешно защищена.
В настоящее время передачи с новым зацеплением уже вышли
из стадии предварительных испытаний и планируются для серийного
производства на ряде промышленных предприятий нашей страны.
Учитывая большое народно-хозяйственное значение этого
открытия в области силовых передач, по решению Правительства
в ВВИА имени проф. Н. Е. Жуковского была создана научно-иссле-
довательская лаборатория по новому зацеплению, в которой ведутся
работы по дальнейшему исследованию геометрии зацепления, по
определению потерь в зацеплении, а также работы по созданию
предварительного метода расчета новых передач на прочность.
Задачей лаборатории является также оказание помощи организа-
циям, приступающим к внедрению подобных передач.
Для широкого и быстрейшего внедрения нового зацепления
в промышленность при Институте Машиноведения АН СССР соз-
дана Координационная комиссия (Москва, Малый Харитоньевский
пер., д. 4).
13—16 ноября 1957 г. Институтом машиноведения АН СССР
совместно с ВВИА имени проф. Н. Е. Жуковского была проведена
Всесоюзная научно-техническая конференция «Опыт внедрения
в . промышленность зубчатых передач с зацеплением Новикова».
Конференция отметила высокую несущую способность новых передач
и указала на большие перспективы, открывающиеся перед машино-
строением в связи с применением новой системы зацепления. Кон-
ференция отметила большие заслуги М. Л. Новикова, создавшего
новую высокоэффективную систему зацепления и проделавшего
огромную работу по исследованию новых передач и внедрению их
в народное хозяйство. В ознаменование большого вклада, внесен-
ного в науку и технику созданием новых передач, конференция
постановила присвоить новым передачам имя их автора и впредь их
именовать «Зубчатые передачи с зацеплением Новикова» или сокра-
щенно «Зубчатые передачи Новикова».
М. Л. Новиков не раз высказывал свое пожелание переработать
диссертацию [13] для последующего издания с включением допол-
нительного теоретического и экспериментального материала, однако
преждевременная смерть помешала ему выполнить свое намерение.
Данная работа включает в себя в основном материал доктор-
ской диссертации М. Л. Новикова. В текст внесены только те изме-
нения, на необходимость которых указывал М. Л. Новиков.
Глава III дополнена данными о результатах последних испыта-
ний опытных и промышленных передач с зацеплением Новикова.
Подготовка рукописи к печати осуществлена В. А. Чесно-
ковым.
6
При подготовке рукописи учтены отдельные замечания
Г. В. Куликова, С. И. Минченко и Н. Н. Красно-
щекова, выполняющих научные исследования по новому зацеп-
лению.
Ряд ценных замечаний сделан В. Н. Кудрявцевым,
близко знавшим покойного и взявшим на себя труд по просмотру
рукописи.
* *
*
В целях успешного обобщения и взаимного обмена опытом по
исследованию и освоению зубчатых передач с зацеплением
М. Л. Новикова в соответствии с пожеланиями автора и решением
вышеуказанной Всесоюзной научно-технической конференции
Командование ВВИА имени проф. Н. Е. Жуковского обращается
с просьбой к организациям и лицам, начавшим работы цо новому
зацеплению, информировать, а также присылать по одному экзем-
пляру отчетов о законченных работах в адрес Краснознаменной
ордена Ленина Военно-Воздушной Инженерной Академии имени
проф. Н. Е. Жуковского (Москва, Д-167, Ленинградский проспект,
дом № 40).
ВВЕДЕНИЕ
В современной технике господствует эвольвентная система за-
цепления, геометрическая теория которой была заложена двести лет
назад в России Леонардом Эйлером [1]. За долгий период своего
развития, связанный с многочисленными глубокими теоретическими
исследованиями и колоссальным опытом эксплуатации, зубчатые
передачи с эвольвентным зацеплением достигли значительного со-
вершенства. Однако в настоящее время эта система зацепления,
несмотря на ряд ее бесспорных положительных качеств, не может
в полной степени удовлетворить всем требованиям, предъявляемым
к зубчатым передачам большой мощности.
Принципиальные недостатки, которыми обладают зубчатые
передачи с эвольвентным зацеплением, следующие:
а) Не вполне удовлетворительна контактная прочность зубцов,
которая не позволяет уменьшать размеры зубчатых колес и сни-
жать тем самым габариты и вес зубчатых передач. Контактная
прочность в первую очередь зависит от радиусов кривизны рабочих
поверхностей зубцов, которые в случае эвольвентного зацепления
определяются радиусами зубчатых колес и существенно изменить их
с целью улучшения контактной прочности не представляется воз-
можным.
б) Чрезмерно велика чувствительность передач с эвольвентным
зацеплением к неточностям изготовления и монтажа, а также к упру-
гим, тепловым и другим деформациям деталей передач, которые
имеют место в реальных условиях.
Теоретическое взаимное касание зубцов при эвольвентном
зацеплении происходит по линии, имеющей значительную длину.
В действительности, при отклонении зубцов от номинального
направления первоначальное касание их происходит в точке. При
этом получается весьма существенная неравномерность распределе-
ния нагрузки по длине зубцов. Кроме того, погрешности в профиле
и шаге зубцов вызывают появление дополнительно нагружающих
передачу так называемых динамических сил, пропорциональных
окружной скорости. В результате фактические максимальные на-
пряжения в зубцах получаются значительно выше напряжений,
которые могли бы быть в идеальной передаче. Следует отметить,
что отрицательное влияние на работу зацепления погрешностей
9
Изготовления и деформаций приобретает особое значение для совре-
менных и перспективных передач, имеющих высокие напряжения во
всех деталях (большие деформации) и работающих с большими
окружными скоростями.
в) Сравнительно велики потери энергии в передачах вследствие
трения в зацеплении. Эти потери для одного зацепления равны
0,5—1,0%, а в сложных передачах с большой степенью редукции
могут быть в пределах 1,5—3,0%. Указанный фактор имеет отрица-
тельное значение не только с экономической стороны, а связан с во-
просом обеспечения надежности работы передачи. При наличии
потерь происходит нагрев передачи, который тем больше, чем меньше
размеры шестерен. Перегрев передачи приводит к нарушению пра-
вильной смазки зубцов и подшипников и, следовательно, является
недопустимым.
В связи с перечисленными недостатками эвольвентного зацеп-
ления создание легких малогабаритных зубчатых передач с высо-
кой надежностью и долговечностью для большой мощности пред-
ставляет собой чрезвычайно трудную задачу. Тем не менее именно
такого рода задача является злободневной в ряде передовых отрас-
лей машиностроительной техники и, в частности, в авиации.
Поскольку на базе эвольвентной системы зацепления весьма
трудно осуществить мощные зубчатые передачи с необходимыми
малыми габаритами и весом, встает вопрос о создании других систем
зацепления, в которых указанные выше недостатки, присущие эволь-
вентному зацеплению, проявлялись бы в меньшей степени. Отме-
ченные выше недостатки эвольвентных передач свойственны также
всем передачам при любой другой системе зацепления с линейчатым
контактом, что заставило обратить внимание на точечное зацеп-
ление.
Точечное зацепление в примитивной форме возникло одновре-
менно с первыми зубчатыми передачами в глубокой древности. Пер-
воначальное существование его было обусловлено крайне низкими
технологическими возможностями тех времен, полным отсутствием
теории зацепления, а также несовершенством конструкций зубчатых
передач в целом. Однако наблюдавшиеся в практике эксплуатации
быстрый износ и поломки зубцов при точечном зацеплении привели
к появлению линейчатого зацепления, которое по мере развития
техники непрерывно совершенствовалось. Тем не менее мысль изо-
бретателей работала над созданием передач с точечным зацепле-
нием, к числу которых следует отнести предложенную Леонардо
да Винчи винтовую передачу для случая валов с перекрещивающи-
мися осями, встречающуюся в усовершенствованном виде и в на-
стоящее время. Другим весьма интересным примером точечного
зацепления может служить изобретенное в семнадцатом веке
Р. Гуком, а затем повторно изобретенное Уайтом, винтовое зацеп-
ление для передач с параллельными осями, в котором линия зацеп-
ления совпадала с мгновенной осью относительного вращения. Это
зацепление, послужившее основой для современных косозубчатых
передач, сейчас полностью забыто, о нем в современных курсах и
Ю
руководствах по теории механизмов и машин не приводится ника-
ких сведений. В последний раз о винтовом зацеплении Гука упоми-
нается в курсе прикладной механики Д. С. Зернова [2], имеющем
тридцатилетнюю давность. Кроме приведенных, можно указать и
другие, более современные примеры передач с точечным зацепле-
нием, в частности, в последнее время начали распространяться так
называемые неэвольвентные передачи, значительная часть которых
имеет точечное зацепление.
Отсутствие специальной теории точечного зацепления не позво-
лило выявить потенциально присущие ему положительные качества.
Поэтому долгое время было общепризнанным, что точечное зацеп-
ление является менее выгодным, в особенности в отношении износа
и контактной прочности, чем линейчатое зацепление. Только в по-
следние годы этот взгляд стал изменяться. Ряд специалистов
(В. А. Гавриленко [3], Я. С. Давыдов [4], Г. И. Апухтин [5] и др.)
пришли к выводу, что при определенных условиях точечное зацеп-
ление может быть эффективнее линейчатого. В современной прак-
тике конструирования зубчатых колес широко привились так назы-
ваемые бочкообразные (или эллиптоидные) зубцы для цилиндриче-
ских передач и зубцы с ограниченной зоной взаимного касания для
конических и гипоидных передач. Эти зубцы образуют точечное
зацепление, однако оно получено на базе линейчатого (является
в некотором смысле «испорченным» линейчатым зацеплением).
В таком точечном зацеплении реализуется лишь часть свойственных
ему преимуществ. Полный эффект может быть достигнут только при
специальных системах точечного зацепления, сопряженные поверх-
ности зубцов которых образованы более общим методом, чем суще-
ствующий в настоящее время метод огибания движущейся вспомо-
гательной поверхностью. В настоящем исследовании ставится задача
разработки новых принципов геометрического образования сопря-
женных поверхностей зубцов для высококачественных систем точеч-
ного зацепления. Одним из центральных элементов этой задачи
является вопрос о кривизне сопряженных поверхностей зубцов для
самого общего случая точечного пространственного зацепления.
В исследованиях современных пространственных зацеплений
имеются значительные успехи, связанные главным образом с тру-
дами советских ученых (Н. Й. Мерцалова [6], Н. И. Колчина [7],
В. А. Гавриленко [3], А. Н. Грубина [8], А. Н. Калужникова [9],
Я. С. Давыдова [4], Ф. Л. Литвина [10], Г. И. Апухтина [5], Б. А. Гес-
сена [11], К. М. Писманика [12] и др.). Однако ни результаты, ни
методы этих исследований, основанных на применении способа оги-
бания, не могут быть использованы в настоящей работе, так как
в основу ее положен более общий принцип образования сопряжен-
ных поверхностей зубцов.
В доступных для автора отечественных и иностранных литера-
турных источниках не встречаются какие-либо материалы, относя-
щиеся к новым методам образования сопряженных поверхностей,
более общим, чем способы Оливье. Таким образом, настоящую
работу можно рассматривать как совершенно самостоятельную
11
первую попытку создания новых систем зацепления без применений
метода огибания.
Точечное зацепление, сопряженные поверхности которого обра-
зованы на базе предлагаемого метода, свободно от недостатков,
присущих эвольвентному зацеплению.
• Несущая способность по контактным напряжениям передач
с точечным зацеплением в 3—4 раза и более выше несущей способ-
ности эвольвентных передач. Объясняется это широкими возможно-
стями в выборе кривизны сопряженных поверхностей. Снижение
контактных напряжений открывает возможность использования для
колес легких конструкционных материалов с небольшой поверхност-
ной твердостью. Соответствующая прочность зубцов в отношении
изгиба и среза при точечном зацеплении всегда может быть обеспе-
чена.
Наличие пяти степеней свободы для относительного движения
в кинематической паре касающихся зубцов делает точечное зацеп-
ление малочувствительным к неточностям изготовления и монтажа
Фиг. 1
деталей передачи, а также
к деформациям их.
Потери на трение в пере-
дачах с точечным зацеплением
меньше, чем для эвольвентного
зацепления, так как относитель-
ное движение сопряженных по-
верхностей более благоприятно
для образования масляной про-
слойки. По предварительным
подсчетам А. И. Петрусевича
масляная прослойка в переда-
чах с точечным зацеплением
значительно толще (до 10 раз),
чем для эвольвентного зацеп-
ления. Увеличение толщины
масляной прослойки приводит
дополнительно к уменьшению
контактных напряжений.
Точечное зацепление обла-
дает большой конструктивной
«гибкостью» и позволяет наи-
лучшим образом удовлетворить
требованиям, предъявляемым
к зубчатой передаче.
На фиг. 1 приводится фото-
графия цилиндрической зубча-
той передачи с новой системой
зацепления. На фиг. 2,а, б, в приводятся фотографии конических
и червячных передач с новым зацеплением.
. Изображенные на фиг. 1 и 2 зубчатые колеса с новой системой
зацепления способны передавать окружные усилия, в три раза боль-
12
Фиг. 2
13
шие, чем в случае эвольвентного зацепления, при одинаковых габа-
ритных размерах зубчатых колес, одинаковых напряжениях и рав-
ных прочих условиях. В связи с малой чувствительностью нового
зацепления к неточностям изготовления и деформациям, допускае-
мые окружные скорости могут быть существенно выше, чем в совре-
менных зубчатых передачах.
Работы в направлении изыскания новых систем зацепления
с целью увеличения несущей способности зубчатых передач прово-
дятся и за границей.
В 1954 г., когда теоретическая часть работы [13] была закон-
чена, в иностранной печати появилась краткая статья [14], в которой
сообщалось о новой системе зацепления для зубчатых передач с па-
раллельными осями. Как указывалось в статье, новая система зацеп-
ления разрабатывалась с момента окончания войны итальянской
фирмой СИРА (Итальянское общество Алессандро Роано) на базе
предшествовавших работ Алессандро Роано. В настоящее время
все материалы и патенты фирмы СИРА приобретены английской
фирмой Опперман.
В статье указывалось также, что передачи СИРА отличаются
более высокой прочностью зубцов, большей стойкостью их в отно-
шении износа, меньшей склонностью к нагреву, бесшумностью и ма-
лыми потерями на трение. Новые передачи имеют меньшие габа-
риты по сравнению с обыкновенными передачами при одинаковых
условиях работы. Передаточное число в них может быть больше
того, которое соответствует данным радиусам делительных окруж-
ностей зубчатых колес, угол наклона зубцов шестерни и колеса раз-
личен.
В 1957 г. через Всесоюзный институт научной и технической
информации АН СССР были получены иностранные патенты Алес-
сандро Роано на зубчатое зацепление для передач с параллельными
или слегка наклонными осями [15], [16], [17]. На фиг. 3,а, б, взятой
Фиг. 3
из патента [17], представлено последовательное изменение первона-
чальных профилей передачи СИРА с целью получения локального
контакта по поверхности. Зацепление СИРА нарезается на специ-
альных станках. Последующей весьма сложной пригонкой боковых
поверхностей профилей добиваются первоначального контакта по
площадке.
14
На фиг. 4 приведен внешний вид передачи из рекламного объ-
явления фирмы Опперман в журнале «Flight» от 20 августа 1954 г.
В этом объявлении говорится об увеличении несущей способности
передачи СИРА свыше 70% по сравнению
с существующими передачами.
В настоящее время сделать какие-либо
выводы о перспективности передач с зацеп-
лением СИРА не представляется возможным,
поскольку никаких данных о методе образо-
вания сопряженных поверхностей подобных
передач в литературе нет. Отсутствуют также
какие-либо сообщения об успешном примене-
нии подобных передач за последние три года.
Прежде чем начать изложение вопроса
о создании рациональной системы точечного
пространственного зацепления, в общем слу-
чае целесообразно показать возможность
улучшения контактной прочности зубцов при
точечном зацеплении по сравнению с пло-
ским линейчатым зацеплением для передач
с параллельными осями, как для наиболее
важного и в то же время наиболее простого
случая.
Для этого сначала рассмотрим величины 4
радиусов кривизны сопряженьях профилей
в плоском зацеплении, которые, как известно, не могут быть произ-
вольными. Связь радиусов кривизны сопряженных профилей
с радиусами центроид, а также с углом зацепления и расстоянием
точки зацепления от полюса устанавливается уравнением Эйлера—
Савари, имеющим следующий вид:
Т“,н----4,Ysin а = -J- + -J- . (1)
\Р1 4" I Р2 “ ^2
Обозначения величин, входящих в это уравнение, даны на
фиг. 5.
Напишем уравнение Эйлера—Савари для точки зацепления,
совпадающей с полюсом:
Pl р2 \ R1 /?2 / S*n а
Левая часть в этом выражении представляет собой так назы-
ваемый приведенный радиус кривизны, который является основным
геометрическим фактором, влияющим на величину контактных
напряжений. Подставив полученное выражение для приведенного
радиуса кривизны в формулу Герца для максимального значения
контактных напряжений сжатия, получим
бк = 0,418
В / 1 ! 1 \ 1
В \ /?1 /?2 / sin а ’
15
где
р
cos а
Из этой формулы видно, что при заданных радиусах центроид
(начальных окружностей) контактные напряжения зависят только
от угла зацепления и совершенно не зависят от вида профилей, т. е.
от системы зацепления. Минимум контактных напряжений имеет
место приа= 45°, однако практически сделать угол а более 25° не
представляется возможным вследствие заострения зубцов.
При движении точки зацепления вдоль линии зацепления кон-
тактные напряжения изменяются. Характер закона изменения на-
пряжений зависит от системы зацепления. В случае эвольвентных
профилей контактные напряжения для точек, расположенных на
ножке зубца малого колеса, превосходят по величине напряжения
в полюсе (подробнее об этом см. в работе А. И. Петрусевича [18]).
При плоском зацеплении самого общего типа для точек зацепления
вне полюса можно добиться значения контактных напряжений, мень-
щих, чем в полюсе, выбирая с этой целью в качестве линии зацепле-
ния соответствующую кривую (см. работу Ю. Н. Будыка [19]). Од-
нако существенного снижения напряжений для точек, находящихся
вблизи полюса, практически получить невозможно в связи с тем,
что профили в плоском зацеплении, которое исследуется в работе [19],
должны быть взаимно огибаемыми кривыми без особых точек и
должно отсутствовать заострение зубцов при заданном коэффици-
енте перекрытия.
Таким образом, в случае, если рабочая часть линии зацепления
проходит через полюс, то лимитирующими контактными напряже-
ниями являются напряжения для точек контакта, совпадающих
с полюсом. Эти напряжения совершенно не зависят от системы
зацепления и, следовательно, для снижения их нет никаких принци-
пиальных возможностей. В случае внеполюсного зацепления, когда
16
рабочая часть линии зацепления не доходит до полюса, максималь-
ные контактные напряжения в точке, ближайшей к полюсу, могут
быть снижены путем выбора соответствующей системы зацепления.
Но имея в виду, что рабочая часть линии зацепления может быть
удалена от полюса лишь на незначительное расстояние (исходя из
соображений ограничения потерь энергии на трение и недопустимо-
сти заострения зубцов), то и в этом случае нельзя достичь сущест-
венного снижения максимальных контактных напряжений.
Теперь рассмотрим точечное пространственное зацепление
с винтовыми зубцами для передач с параллельными осями. В попе-
речной плоскости сечения, перпендикулярной осям, линия зацепле-
ния в этом случае обращается в точку. В этой точке зацепления
происходит касание между собой профилей зубцов и, следовательно,
только в этой одной точке кривизны профилей зубцов должны удов-
летворять уравнению Эйлера—Савари. Всеми другими точками
профили теоретически не касаются между собой, поэтому кривизны
профилей не обязаны подчиняться уравнению Эйлера—Савари. На
основании этого же условия отпадает и требование взаимного оги-
бания профилей при точечном зацеплении.
Для удобства анализа кривизны профилей целесообразно вос-
пользоваться вместо уравнения Эйлера—Савари независимыми
выражениями для их радиусов кривизны, которые могут быть полу-
чены в результате рассмотрения кинематики эквивалентного шар-
нирного механизма. Как известно, трехзвенный плоский механизм
с высшей кинематической парой с заданным передаточным числом
и углом давления можно в каждом данном мгновенном положении
заменить эквивалентным четырехзвенным механизмом с низшими
кинематическими парами. Заменяющих механизмов, удовлетворяю-
щих поставленным условиям, может быть бесчисленное множество.
Однако для всех этих механизмов мгновенный центр вращения ша-
туна должен лежать на нормали к шатуну, проходящей через полюс,
и направления кривошипов должны проходить через мгновенный
центр вращения шатуна. Используя заменяющий четырехзвенный
механизм, можно составить независимые выражения для радиусов
кривизны профилей, образующих высшую пару. Для плоского за-
цепления такие выражения, приводимые ниже, были получены
Ю. Н. Будыка [19]:
R, sin а
Р1 =------П----------
1----cos a tg 7
/?9 sin а
Р2= -----------------
1 + -j^cosatgf
(2)
Здесь, кроме известных обозначений, фигурирует угол 7, являющий-
ся углом между лучом, проведенным из мгновенного центра враще-
ния шатуна в точку касания профилей, и нормалью к шатуну. На
2. М. Л. Новиков. 17
фиг. 6 показана схема эквивалентного механизма с дополнитель-
ными построениями, нужными для вывода приведенных формул.
В частности, формула для pj получена на основании подобия тре-
угольников Д(?1Ри ДС^/Vl, а формула для р2 получена на основании
подобия треугольников ДО2Л^2 и 4Q2P. Приведенные формулы пока-
зывают, что радиусы кривизны сопряженных профилей могут при-
нимать весьма разнообразные значения.
На фиг. 7, заимствованной из работы [19], показана величина
радиусов кривизны в зависимости от параметра у. Весь диапазон
изменения угла у = —90° н—[-90° разбивается на пять зон точ-
ками А, Б, В, Г, в которых какой-либо один из радиусов кривизны
становится равным нулю или бесконечности.
В нижней части фиг. 7 показан характер кривизн касающихся
профилей для каждой зоны и их границ. На фиг. 7 помещена также
кривая, показывающая изменение контактных напряжений, при
условии линейчатого касания в направлении, параллельном осям.
Точка при значении у = 0 соответствует эвольвентному зацеплению.
Практически при точечном зацеплении наиболее интересной
является пятая зона значений у в пределах от 4-90° до значения,
при котором р! обращается в бесконечность. Схема эквивалентного
механизма для этого случая показана на фиг. 8.
В этом случае во взаимодействие вступает выпуклый профиль
с вогнутым, и приведенный радиус кривизны в точке контакта может
быть доведен до любой, как угодно большой, величины, вплоть до
бесконечности. В первой зоне также происходит взаимодействие
выпуклого профиля с вогнутым, однако эта зона менее интересна,
так как при одних и тех же значениях приведенных радиусов кри-
визны абсолютные значения величины радиусов кривизны сопря-
женных профилей в первой зоне меньше, чем в пятой, а это обстоя-
18
2*
19
тельство является весьма важным при конструировании и изготов-
лении реальных зубцов.
На фиг. 9 изображены в нескольких возможных положениях
рассматриваемые сопряженные круговые профили, радиусы кривиз-
ны которых равны расстоянию от точки зацепления до полюса, при
этом их приведенный радиус кривизны равен бесконечности.
Фиг. 9
В случае точечного пространственного зацепления приведенные
выше выражения для значений радиусов кривизны профилей уста-
навливают лишь верхнюю границу для них. Действительно, с точки
зрения возможности правильного кинематического взаимодействия
вполне допустимо увеличение радиуса кривизны вогнутого профиля
и уменьшение радиуса кривизны выпуклого профиля по сравнению
с теми значениями, которые определяются по приведенным форму-
лам (или соответствуют уравнению Эйлера—Савари). Необходимо
лишь, чтобы центры кривизны сопряженных профилей всегда нахо-
дились бы на одной прямой, проходящей через полюс.
Таким образом, показано, что профили зубцов с точечным про-
странственным зацеплением в поперечном (торцевом) сечении мо-
гут быть Такими, при которых приведенные радиусы могут быть
равны любой заданной, как угодно большой, величине. Теперь инте-
ресно коснуться вопроса о кривизне сопряженных поверхностей
в направлении контактных линий (по длине зубцов). В этом отно-
шении можно определенно сказать, что при больших углах подъема
винтовых контактных линий (на практике эти углы могут быть рав-
ны 60° и выше) рассматриваемые радиусы кривизны будут иметь
весьма большие значения. С достаточной строгостью и подробностью
20
этот вопрос будет разобран в первой и второй главах, а сейчас для
предварительной количественной оценки он будет рассмотрен на
конкретном примере.
В качестве такого примера возьмем передачу с предложенным
точечным внешним зацеплением, состоящую из двух одинаковых
колес с радиусами начальных окружностей, равными Ri = /?2 =
= 100 мм. Линия зацепления принимается прямой, параллельной
осям, находящейся в непосредственной близости от мгновенной оси
относительного вращения. Контактные линии в этом случае будут
винтовыми линиями. Их угол подъема у примем постоянным и рав-
ным 60°.
Параметр винтовых контактных линий равен:
р = Rtgv = 100 tg60° = 173,2 мм.
Радиус кривизны р винтовых контактных линий равен:
R
1002 + 173.22 лпл
-------------— = 400 мм.
100
Приняв угол зацепления в плоскости, перпендикулярной осям,
равным а = 20°, определим угол 8, который составляет нормаль
к поверхности зубца с радиусом, проходящим через точку контакта.
Очевидно, что эта нормаль будет лежать в плоскости, перпендику-
лярной к касательной для винтовой контактной линии и составляю-
щей угол в 30° с плоскостью, перпендикулярной осям колес. Кроме
того, нормаль находится в плоскости, параллельной осям колес и
составляющей с линией центров угол 90° — а = 70° (т. е. угол,
дополнительный к углу зацепления). С целью упрощения расчетов
в данном примере принимается, что точка контакта совпадает с по-
люсом. В действительности точка контакта находится на расстоянии
от полюса, равном нескольким миллиметрам, однако учет этого
обстоятельства связан с существенным усложнением расчетов и дает
уточнение величин радиусов кривизны поверхностей всего лишь
в пределах нескольких процентов. В этом случае имеем следующее
значение для косинуса угла 8 между нормалью и радиальным на-
правлением:
cos 70'
coso =- —----------__ = 0 300.
I 1 + tg2 30° cos2 20°
Имея в виду, что главная нормаль винтовой линии совпадает с ради-
альным направлением, согласно теореме Менье, легко найти нор-
мальную кривизну поверхности зубца по направлению касательной
к винтовой линии:
/?(1) =
Р
cos 8
-----= 1333 мм.
0,300
Радиус кривизны поверхности выпуклого зубца в направлении,
перпендикулярном к касательной к винтовой линии, для данного
примера принят равным 8 мм. Если радиус кривизны поверхности
зубца с вогнутым профилем увеличить также до 8 mm./tq точечное
21
зацепление обращается в линейчатое, в котором линия взаимного
касания сопряженных поверхностей является некоторой кривой, рас-
полагающейся на зубцах в направлении, близком к поперечному.
Таким образом, в предельном случае точечное зацепление обра-
щается в линейчатое, при этом приведенный радиус кривизны сопря-
женных поверхностей по направлению вдоль линии взаимного каса-
ния оказывается равным бесконечности. Нетрудно определить при-
веденный радиус кривизны вдоль контактных линий в направлении,
перпендикулярном к линии касания. Этот приведенный радиус кри-
визны, на основании ранее вычисленных радиусов кривизны поверх-
ностей по направлению касательных к контактным линиям, полу-
чается равным:
о_ RmRw _ х 1333 _
Рт —---------—-------------— ООО мм.
/?(!)+ /?(1) 1333 + 1333
Принимаем рабочую высоту зубров равной 8 мм. Тогда каса-
ние двух рассматриваемых зубцов можно считать эквивалентным
касанию с плоскостью цилиндра, имеющего длину образующей
I = 5 мм и радиус рт = 666 мм (фиг. 10).
Определим ширину обода В зубчатых колес с точечным зацеп-
лением, принимая коэффициент перекрытия е = 1,15 и шаг зубцов
t = 22 (модуль т = 7 мм):
В — t е tgy = 1,15-22-1,732 = 44 мм.
Исходя из условия одинаковой контактной прочности, сделаем
сравнение окружных сил, передаваемых зубчатыми колесами с обыч-
ным плоским линейчатым и точечным пространственным зацепле-
нием (для последнего в предельном случае, при переходе к линейча-
тому контакту в поперечном направлении). Для этого сравнения
зубчатое колесо с эвольвентным линейчатым зацеплением берем пря-
мозубое с длиной зубцов В — 44 мм, с углом зацепления равным
20°. При этом приведенный радиус кривизны профилей при касании
их в полюсе рл = 17 мм.
На основании формулы Герца для случая касания цилиндра
с плоскостью можно написать следующую зависимость для нормаль-
22
ной силы, выраженную через контактное напряжение, длину и ра-
диус цилиндра: 02 Z р
* М = ------ •
0,4182f
Возьмем отношение окружных сил, передаваемых зубцами
с точечным (предельным) и обыкновенным линейчатым зацепле-
нием: п р - 2 / Л
С <окр.т = .Но. sin 60°= т ZtPt Sin 60°.
Рокр.л Рцл 5л2^лРл
Если принять контактные напряжения одинаковыми как для
пространственного точечного, так и для эвольвентного линейчатого
зацепления, то в рассматриваемом примере отношение окружных
сил равно С 3,86.
В действительности при обыкновенном линейчатом зацеплении
вследствие неточности изготовления и малой жесткости деталей
передачи фактические максимальные контактные напряжения суще-
ственно превышают номинальные расчетные напряжения. При точеч-
ном зацеплении фактические и номинальные расчетные напряжения
практически не различаются между собой вследствие полной ста-
тической определимости взаимодействующих зубцов.
Если считать, что фактические контактные напряжения в обык-
новенном зацеплении превышают номинальные на 25%, то отноше-
ние допускаемых окружных сил в точечном и линейчатом зацепле-
нии будет равно С — 6,05.
Таким образом, допускаемые по условию контактной прочности
окружные силы при точечном зацеплении могут быть еще большими.
Увеличение абсолютных размеров шестерен, увеличение угла
подъема винтовых контактных линий и в особенности наличие
смазки на рабочих поверхностях зубцов приводит к еще большему
эффекту в отношении контактной прочности при точечном зацепле-
нии. Снижение контактных напряжений в зубцах открывает воз-
можность использования для шестерен легких конструкционных
материалов с не очень большой поверхностной твердостью, в част-
ности, титановых сплавов, являющихся в настоящее время весьма
перспективным материалом для авиационных конструкций. Кроме
того, снижение контактных напряжений облегчает решение многих
технологических вопросов при изготовлении зубчатых колес.
Превосходство точечного зацепления в отношении контактной
прочности на 400% и более является исключительно большим пре-
имуществом и в связи с этим все вопросы, относящиеся к новому
зацеплению, и в первую очередь вопросы геометрической теории
заслуживают самого пристального изучения.
Новый принцип образования сопряженных поверхностей при-
меним для зубчатых передач с параллельными пересекающимися и
перекрещивающимися осями с постоянным и переменным передаточ-
ным числом, а также для шестеренчатых насосов, кулачковых меха-
низмов и новых роликовых подшипников качения с винтовыми рабо-
чими поверхностями, обладающими повышенной нагрузочной спо-
собностью.
23
ГЛАВА I
НОВЫЙ ПРИНЦИП ОБРАЗОВАНИЯ СИСТЕМ
ЗАЦЕПЛЕНИЯ С ПЕРВОНАЧАЛЬНЫМ ТОЧЕЧНЫМ
КОНТАКТОМ
1. ОБ ОГРАНИЧЕННОСТИ СПОСОБОВ ОБРАЗОВАНИЯ
СОПРЯЖЕННЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ ПО ОЛИВЬЕ
До настоящего времени наиболее общими способами образова-
ния сопряженных поверхностей считаются способы Оливье [20],
опубликованные в 1842 г. Все известные теории пространственного
зацепления основаны на использовании способов Оливье. Системы
плоских зацеплений хотя и создавались без применения этих спосо-
бов, однако их методы образования можно рассматривать как част-
ные случаи способов Оливье. В 1886 г. в России X. И. Гохманом [21]
на основе способов Оливье была создана стройная аналитическая
теория зацепления (первая часть этой работы вышла в свет в 1877 г.
[22]). Приведем из сочинения X. И. Гохмана [21] формулировку спо-
собов Оливье, а также формулировку основной задачи геометриче-
ской теории зацепления.
«Задача геометрической теории зацепления заключается
в следующем. Даны две неизменяемые системы точек 2 и s',
вращающиеся около неподвижных осей А и А', произвольно
расположенных в пространстве. Нужно найти такие две поверх-
ности Ф и Ф', неизменно связанные соответственно с У, и
которые находились бы во все время вращения в соприкосно-
вении, причем отношение угловых скоростей и о/ должно
быть постоянным.
Значение Ф и Ф' заключается в том, что одна из них,
положим Ф, вращаясь вокруг Д, теснит другую — Ф' и таким
образом заставляет последнюю вращаться около А' и обратно.
Поверхности Ф и Ф' называются сопряженными. Соприкосно-
вение может совершаться или всегда в одной только точке, или
всегда по целой линии или попеременно. В первом случае
зацепление называется точечным, во втором — линейчатым,
третий же случай совсем не встречается в практике».
24
Оливье дал два общих способа отыскания сопряженных
поверхностей.
«1-й способ. Вообразим себе какую-нибудь вспомога-
тельную поверхность F, обладающую каким-нибудь движе-
нием; вообразим себе также, что У и 2/вРаш«аются около А и
Af с угловыми скоростями о) и а/. Найдем огибающую различ-
ных положений, занимаемых поверхностью F в ее относитель-
ном движении по отношению к 2»’ в каждое мгновение эта оги-
бающая будет имет^э с F общую характеристику X, по которой
они взаимно касаются: геометрическое место X в 2 ’ будет
вышеупомянутая огибающая.
Огибающая различных положений, занимаемых поверх-
ностью F в ее относительном движении по отношению к 2'»
в каждое мгновение касается F по некоторой характеристи-
ке X'. Так как X и Xх обе находятся на F, то они, вообще го-
воря, пересекаются в некоторой точке р., находящейся одно-
временно на всех трех поверхностях, а потому в этой точке
обе огибающие имеют общую касательную плоскость; следо-
вательно, огибающую в 2 можно принять за Ф, а огибающую
в 2' — за Ф'’ Действительно, Ф и Ф' касаются взаимно и,
кроме того, одна из них, при своем движении, теснит другую,
ибо они выбраны так, что F во все время своего движения не
отстает от них. А потому, если вообразим себе, что Ф вращает-
ся около A, a F движется своим движением, и так как по
самому выбору Ф' эта последняя не отстает от F, то ясно, что
и она, т. е.Ф', движется, ибо в противном случае она бы отстала
от F. Отсюда следует, что если F находится в покое, то, хотя и
в этом случае существуют огибающие в 2 и S'» но Ф не смо-
жет приводить Ф' в движение. X и X' могут также или всегда
совпадать или совсем не пересекаться; в первом случае полу-
чаем линейчатое зацепление, во втором— зацепление невоз-
можно, все это зависит от выбора F и ее движения.
2-й способ. Выберем произвольную сопряженную по-
верхность Ф и найдем ее огибающую в ее относительном дви-
жении по отношению к 2х- Эта огибающая и будет искомая Ф',
ибо Ф и Фх, как огибаемая и огибающая, касаются взаимно
вдоль некоторой характеристики Xх. Этот способ дает всегда
линейчатое зацепление. Он есть частный случай первого спо-
соба, так как можно принять, что F связана с 2 и что поэтому
ее движение есть вращение около А со скоростью Иными
словами, Ф, употребляемую во втором способе, можно рассма-
тривать как геометрическое место линий X в 2» полученной
первым способом, если F и ее движение выбрать так, чтобы X
и Xх всегда совпадали, а в большинстве случаев это возможно.
Задача о зацеплениях допускает бесчисленное множество ре-
шений, из которых следует выбрать самые простые и удобные
для практического применения».
25
Коснемся вопроса относительно общности способов Оливье.
Способ Оливье является самым общим методом образования
сопряженных поверхностей лишь для случая линейчатого контакта.
Доказательство этого положения дано X. И. Гохманом в его моно-
графии [23], изданной спустя четыре года после его «Теории зацепле-
ния» [21].
Что касается точечного зацепления, то ни X. И. Гохманом, ни
другими авторами, насколько это известно из литературы, вплоть
до последнего времени не предпринимались попытки доказать
общность метода Оливье. В результате достаточно глубокого ана-
лиза вопросов образования сопряженных поверхностей при точечном
контакте можно прийти к выводу, что способ Оливье не является
наиболее общим. Можно показать, что существует бесчисленное
множество других пар сопряженных поверхностей с точечным кон-
тактом, которые не удовлетворяют принципам образования по
Оливье.
В том, что первый способ Оливье не является наиболее общим
методом образования сопряженных поверхностей при точечном кон-
такте, можно убедиться путем следующих рассуждений. Вначале
предположим, что в соответствии с первым способом Оливье образо-
ваны сопряженные поверхности с помощью некоторой, определен-
ным образом движущейся, вспомогательной поверхности. Соответ-
ствующие текущему положению вспомогательной поверхности
характеристики, расположенные по сопряженным поверхностям,
пересекаются в некоторой точке, являющейся точкой контакта.
Геометрическое место точек контакта в неподвижном простран-
стве (в котором зафиксированы оси зубчатых колес) образует линию
зацепления. Геометрические места точек контакта на вращающихся
сопряженных поверхностях образуют контактные линии. Получив
таким образом сопряженные поверхности, будем теперь деформиро-
вать одну из них в окрестности контактной линии так, чтобы сама
Линии пересечения
сопряженных поверхностей
Общая^\ Линии пе-\
нормаль пресечения \
возможных деформи-
рованных поверхностей
Фиг. 11
контактная линия не изменила бы своей формы и нормали к поверх-
ности во всех точках контактной линии также бы не изменили своего
направления. Эта деформация заключается в отводе всех точек
поверхности от ее исходной формы или в сторону удаления от вто-
26
рой сопряженной поверхности, или в сторону приближения к ней.
Грубо говоря, деформация заключается в соответствующем изгиба-
нии поверхности, однако здесь изгибание понимается не в чистой
форме, как это принято понимать в дифференциальной геометрии,
потому что в данном случае внутренняя геометрия деформированной
поверхности отличается от таковой для исходной поверхности. Для
пояснения характера деформации поверхности на фиг. 11 даны
линии пересечения сопряженных поверхностей и линии пересечения
одной из сопряженных поверхностей после деформации с пло-
скостью, перпендикулярной касательной к линии зацепления.
Можно утверждать, что деформированные поверхности, распо-
лагающиеся внутри исходной сопряженной поверхности (т. е. нахо-
дящиеся в стороне части пространства, противоположной той, в кото-
рой проходит другая сопряженная поверхность), безусловно, могут
быть сопряженными поверхностями, так как условия их контакта
с первой сопряженной поверхностью в кинематическом отношении
не отличаются от условий контакта двух нормальных сопряженных
поверхностей, образованных по способу Оливье.
Уменьшенный радиус кривизны поверхности в направлении,
перпендикулярном касательной к контактной линии, не влияет на
кинематическую картину зацепления, т. е. совершенно не вносит
каких-либо ограничений на величину относительной скорости вра-
щения.
Можно утверждать также, что деформированная поверхность,
расположенная вне исходной сопряженной поверхности, может быть
также сопряженной, если удовлетворяются некоторые дополнитель-
ные требования о соотношении радиусов кривизны сопрягаемых
поверхностей.
К выводу о возможности деформации сопряженной поверхности
внутрь исходной пришел Я. С. Давыдов [4]. Однако Я. С. Давыдов
категорически утверждает о невозможности деформации сопряжен-
ной поверхности во внешнюю сторону от исходной. Это утверждение
не имеет достаточных оснований; оно связано лишь с условием обра-
зования сопряженных поверхностей по методу огибания с помощью
вспомогательной поверхности, т. е. по методу Оливье.
Следующими рассуждениями можно убедиться в возможности
деформации сопряженной поверхности во внешнюю сторону от
исходной.
Рассмотрим какую-либо произвольную точку одной из сопря-
женных поверхностей в окрестности контактной линии. Минималь-
ное расстояние при вращении колес от этой точки до ближайшей
к ней точки, расположенной на другой сопряженной поверхности,
будет какой-то вполне определенной величиной, безусловно, большей
нуля, так как сопряженные поверхности могут касаться друг друга
лишь в точках, располагающихся на контактных линиях, а все дру-
гие точки поверхностей в .соприкосновение не вступают.
Очевидно, что это определенное минимальное расстояние можно
уменьшить путем деформации во внешнюю сторону той или другой
сопряженной поверхности или обеих поверхностей одновременно.
27
Ё некоторых направлениях в касательной плоскости упомянутое рас-
стояние может быть уменьшено до нулевого значения — в этом пре-
дельном случае может быть получен линейчатый контакт. В других
направлениях это расстояние ограничивается пределом, связанным
с предельными величинами радиусов кривизны поверхностей, кото-
рые обусловлены требованиями кинематики.
Совершенно очевидно, что сопряженную деформированную
поверхность нельзя получить методом огибания с помощью вспомо-
гательной поверхности, общей для обеих сопряженных поверхно-
стей. Эту поверхность можно получить методом огибания лишь
с помощью некоторой другой вспомогательной поверхности, имею-
щей с первой общую точку, совпадающую с точкой контакта, и
общую нормаль в этой же общей точке. Закон движения второй
вспомогательной поверхности и форма ее должны быть такими, что-
бы на огибаемой поверхности получилась бы такая же контактная
линия с тем же самым законом расположения нормалей к поверхно-
сти во всех точках контактной линии, как и у исходной поверхности.
Из вышеизложенного следует, что первый метод Оливье нельзя
считать общим методом образования сопряженных поверхностей
с точечным контактом. В дальнейшем это положение будет под-
тверждено аналитическим доказательством.
В приведенных рассуждениях фигурировало положение о том,
что контактные линии и положения нормалей к поверхности в точ-
ках контактных линий должны быть такими, какие получаются в со-
ответствии со способом Оливье. Следовательно, для определения
необходимых контактных линий и закона расположения нормалей
можно пользоваться способом Оливье, отступая от него впоследствии
при образовании конкретного вида других сопряженных поверхно-
стей. Но в связи с тем, что способом Оливье не указывается метод
выбора наивыгоднейшей вспомогательной поверхности и оптималь-
ного закона движения ее и так как этот выбор производится почти
произвольно, то в результате могут получиться такие формы кон-
тактных линий и положения нормалей, которые могут оказаться
совершенно неудовлетворительными с точки зрения практических
требований.
Исходя из этого, целесообразно полностью отказаться от спо-
соба Оливье при образовании сопряженных поверхностей с точеч-
ным контактом, имея в виду, что оптимальные формы контактных
линий можно получить весьма просто в соответствии с общими тре-
бованиями рациональной кинематики и минимума потерь на трение
и износ зубцов.
Сопряженные поверхности, образованные по способам Оливье
(т. е. методом огибания), нигде не пересекаются между собой и
имеют лишь касание в определенной точке. Таким образом, вели-
чины рабочих участков сопряженных поверхностей в этом случае
могут иметь для одной пары зубцов весьма большие размеры,
в частности, неограниченные, если отсутствует самопересечение по-
верхностей. Однако в действительности размеры участков рабочих
поверхностей зубцов относительно малы и, следовательно, требовать
28
отсутствия пересечения сопряженных поверхностей в целом совер-
шенно нецелесообразно. Это требование необходимо удовлетворять
лишь для рабочих участков поверхностей.
Все приведенные выше соображения позволяют прийти к заклю-
чению, что в качестве рабочих сопряженных поверхностей может
быть использован бесчисленный ряд других, не удовлетворяющих
принципам Оливье поверхностей, которые в ряде случаев могут при-
вести к весьма существенному улучшению контактной и изгибной
прочности зубцов, а также повышению к. п. д. передачи.
2. МЕТОД ОБРАЗОВАНИЯ СОПРЯЖЕННЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
НА БАЗЕ КОНТАКТНЫХ ЛИНИЙ
Вместо способа Оливье можно предложить другой, более общий
метод образования сопряженных поверхностей зубцов при точечном
контакте. Этот метод заключается в следующем.
Предположим, что на основании определенных соображений за-
дан закон движения точки зацепления в неподвижном пространстве,
в котором зафиксированы оси вращения двух неизменяемых систем
точек. Очевидно, что траектория точки зацепления в неподвижном
пространстве будет представлять собой линию зацепления, а тра-
ектории точки зацепления во вращающихся неизменяемых системах
будут являться контактными линиями.
Если выбрать некоторые поверхности так, чтобы на каждой из
них лежала бы всеми своими точками соответствующая контактная
линия, то такие поверхности могут быть рабочими сопряженными
поверхностями зубцов, если они будут удовлетворять следующим
трем требованиям:
а) Вектор относительной скорости точек двух вращающихся не-
изменяемых систем, совпадающих с точкой зацепления (с точкой
контакта), должен лежать в плоскости, представляющей собой
общую касательную плоскость для обеих поверхностей в точке за-
цепления.
Это требование является условием удовлетворения известной
основной теоремы зацепления. При правильном зацеплении сопря-
женные поверхности должны касаться в точке зацепления, а для
этого необходимо, чтобы в этой точке совпадали касательные пло-
скости (и, следовательно, нормали) к обеим поверхностям. Кроме
того, чтобы зацепление было непрерывным, т. е. чтобы сопряженные
поверхности взаимно не расходились и не внедрялись, требуется,
чтобы компонент относительной скорости вдоль общей нормали был
бы равен нулю.
Иначе настоящее требование можно сформулировать так: общая
нормаль к обеим сопряженным поверхностям в точке контакта дол-
жна быть перпендикулярна к вектору относительной скорости сопри-
касающихся точек зубцов. Из этого следует, что общая нормаль
пересекает мгновенную ось относительного вращения-скольжения,
так как вектор относительной скорости, лежащий в плоскости,
перпендикулярной мгновенной оси, всегда перпендикулярен линии,
проходящей через точку зацепления и ось.
29
Это требование и условие, что контактные линии всеми своими
точками должны лежать на соответствующих сопряженных поверх-
ностях, полностью определяют положение общей нормали в точке
контакта, которая должна быть перпендикулярна как к вектору
относительной скорости, так и к касательной к контактным линиям.
Как следствие отсюда вытекает, что если касательные к контактным
линиям не совпадают, то они должны лежать обе в одной плоскости
с вектором относительной скорости. Положение нормали может
быть не вполне определенным лишь в особом случае, когда обе каса-
тельные и вектор относительной скорости совпадают, однако этот
случай не имеет практического значения.
б) Кривизны сопрягаемых поверхностей должны удовлетворять
условию сохранения заданного передаточного отношения.
В общем случае точечного зацепления в точке контакта могут
иметь место все три вида относительного движения: скольжение,
качение и верчение. Скорости всех этих видов движения вполне
определенны: скорость скольжения равна относительной скорости
движения точек, находящихся в контакте; скорость качения равна
проекции на общую касательную плоскость того же вектора относи-
тельной скорости вращения, скорость верчения равна проекции на
общую нормаль к сопряженным поверхностям вектора относитель-
ной скорости вращения двух неизменяемых систем. Необходимо
заметить, что в общем случае направление • перекатывания, т. е.
направление, перпендикулярное вектору угловой скорости качения,
не совпадает ни с одним направлением относительного скольжения
(с направлением касательных к контактным линиям). С другой сто-
роны, между вышеупомянутыми скоростями относительного движе-
ния и кривизнами сопрягаемых поверхностей существует определен-
ная зависимость. Следовательно, кривизны поверхностей не могут
быть произвольными, они зависят от скоростей вращения, а также
от геометрического положения точки зацепления и положения нор-
мали.
Обычно скорость вращения одной неизменяемой системы выра-
жают через скорость вращения другой посредством так называемого
передаточного отношения, которое является величиной (или функ-
цией) заданной.
Точно так же и все другие скорости относительного движения
могут быть выражены через скорость вращения одной системы и
передаточное отношение. В этом случае можно говорить о зависимо-
сти кривизны сопрягаемых поверхностей от передаточного отноше-
ния, а так как последнее является заданным, то эту зависимость
можно рассматривать как условие сохранения заданного передаточ-
ного отношения.
в) Возможные линии пересечения сопряженных поверхностей
должны быть вне пределов их рабочих участков. Если это требова-
ние не будет удовлетворяться, то касание зубцов в номинальной
точке зацепления окажется невозможным; в этом случае будет иметь
место неправильное зацепление зубцов в точках, расположенных по
краям рабочих участков сопряженных поверхностей.
30
Приведенное требование можно сформулировать как условие
отсутствия интерференции в пределах рабочих участков сопряжен-
ных поверхностей. Ширина рабочих участков сопряженных поверх-
ностей определяется в соответствии с величиной реальной площадки
контакта под действием максимальной нагрузки. Исследование
в отношении отсутствия интерференции в пределах рабочих участ-
ков следует производить с учетом реального сближения поверхно-
стей вследствие контактных деформаций, а также деформаций
изгиба и сдвига. Приведенные выше требования к сопряженным
поверхностям будут подробно рассмотрены далее.
Таким образом, задача создания сопряженных поверхностей
с точечным контактом сводится к отысканию таких поверхностей,
проходящих через данные пространственные кривые (контактные
линии), которые удовлетворяли бы поставленным выше требова-
ниям.
Первое требование может быть представлено в аналитическом
виде, как линейное дифференциальное уравнение первого порядка
в частных производных. Если принять во внимание только одно
первое требование, то поставленная задача представляет собой
обобщенную задачу Коши об определении интегральной поверхно-
сти упомянутого дифференциального уравнения, проходящей через
заданную пространственную кривую. Однако в рассматриваемом
случае заданная пространственная кривая (контактная линия)
является так называемой характеристикой (здесь этот термин пони-
мается в другом смысле, чем это принято в теории огибания), т. е.
такой кривой, через которую может проходить бесконечное множе-
ство интегральных поверхностей; при этом задача Коши становится
неопределенной [24].
Можно попытаться решить задачу, взяв за основу только одно
второе требование, которое после некоторых добавлений в аналити-
ческом виде представляется как нелинейное дифференциальное
уравнение второго порядка в частных производных. Но сложность
этого уравнения такова, что интегрирование его при заданных усло-
виях, т. е. отыскание интегральной поверхности, проходящей через
данную кривую, оказывается совершенно неосуществимым делом.
При этом надо иметь в виду, что даже если бы каким-либо искус-
ственным приемом и удалось проинтегрировать уравнение, то вхо-
дящие в решение произвольные функции необходимо будет в даль-
нейшем определять в соответствии с первым и третьим требования-
ми, что также связано с очень большими трудностями.
Все это говорит о том, что чисто аналитическое решение задачи
определения сопряженных поверхностей с точечным контактом прак-
тически не может быть осуществлено. В дальнейшем это решение
будет производиться синтетическим путем.
Уместно заметить, что сколько-нибудь полные аналитические
решения задачи определения сопряженных поверхностей по методу
огибания (по способам Оливье) известны лишь для простейших слу-
чаев, когда вспомогательной поверхностью является равномерно дви-
31
жущаяся плоскость, более сложные случаи оказываются также
практически неразрешенными'.
Рассмотрим вопрос о законе движения точки зацепления. Этот
закон может быть задан или относительно системы координат, свя-
занной с неподвижным пространством, или относительно одной из
двух систем координат, связанных с вращающимися неизменяемыми
системами точек. Задание закона движения точки зацепления в ка-
кой-либо одной из трех упомянутых систем координат, при извест-
ных скоростях вращения неизменяемых систем точек, вполне опре-
деляет движение точки зацепления в двух других системах коорди-
нат. Однако наиболее удобно задавать закон движения точки зацеп-
ления относительно неподвижного пространства, причем наиболее
целесообразным видом задания является задание линии зацепления,
т. е. формы и положения ее в пространстве, и задание скорости дви-
жения точки зацепления вдоль линии зацепления. При этом, как
было указано выше, полностью определяются обе контактные линии
(т. е. их форма и расположение относительно осей координат, свя-
занных с зубчатыми колесами) и скорости перемещения по ним
точки контакта.
Произвол в задании закона движения точки зацепления огра-
ничивается с кинематической стороны только одним условием: каса-
тельные к обеим контактным линиям и вектор относительной скоро-
сти должны лежать в одной плоскости. Этой плоскостью должна
быть общая касательная плоскость к сопряженным поверхностям.
Других принципиальных ограничений для закона движения точки
зацепления нет. Однако можно установить дополнительные огра-
ничения, исходящие из практических требований к зубчатым пере-
дачам.
Одним из важнейших требований к зубчатой передаче является
требование о минимуме потерь энергии внутри передачи и минимуме
износа рабочих поверхностей зубцов. Так как износ и основная часть
потерь связаны с трением при относительном проскальзывании зуб-
цов, то отсюда следует, что скольжение в зубцах не должно превос-
ходить некоторые пределы. Как известно, минимальное скольжение
зубцов имеет место в точках зацепления, лежащих на мгновенной
оси относительного вращения-скольжения. Относительное скольже-
ние увеличивается по мере удаления точек зацепления от мгновен-
ной оси вращения-скольжения. В связи с этим очевидно, что
отклонение отдельных точек линии зацепления от мгновенной оси
вращения-скольжения не должно быть более определенной вели-
чины. Практически в соответствии с опытом проектирования и экс-
плуатации существующих зубчатых передач можно установить, что
величина этого отклонения должна находиться в пределах несколь-
ких процентов от величины радиуса шестерни. Совместить линию
зацепления с мгновенной осью вращения-скольжения (что выгодно
с точки, зрения минимума потерь и износа) не всегда целесообразно,
так как отклонение линии зацепления от мгновенной оси дает
возможность получить такие формы сопряженных поверхностей
зубцов, которые обеспечивают лучшую контактную прочность.
32
Другое важнейшее требование к передаче заключается в полу-
чении наиболее простой формы рабочей поверхности, что весьма
важно в технологическом и эксплуатационном отношениях. В связи
с этим совершенно естественно пожелать, чтобы линия зацепления
являлась бы прямой линией и чтобы точка зацепления вдоль нее
двигалась бы с постоянной скоростью при постоянной скорости вра-
щения сопрягаемых колес.
Вышеуказанные соображения кладутся в основу выбора закона
движения точки зацепления. Сложная совокупность практических
требований, находящихся в ряде случаев во взаимном противоречии,
не позволяет решать задачу о выборе оптимального закона движе-
ния точки зацепления строгим математическим путем.
Эта компромиссная задача решается инженерным порядком
с учетом назначения передачи и всех требований эксплуатации и
технологии, сводящихся к определенным ограничениям в отношении
веса передач, ее габарита, экономичности (к. п. д.), ресурса, стои-
мости, рабочих температур и смазки, располагаемых материалов,
располагаемого станочного парка и инструмента и т. п. Наивыгод-
нейшее решение находится в каждом конкретном случае на основе
счыга оправдавших себя передач.
Нетрудно установить различия предлагаемого метода образо-
вания сопряженных поверхностей при точечном зацеплении и спо-
собов Оливье.
Первое различие состоит в том, что каждая из рабочих поверх-
ностей не обязательно должна быть взаимоогибаемой с некоторой
вспомогательной поверхностью, общей для обеих сопряженных
поверхностей и, следовательно, число возможных рабочих поверхно-
стей неизмеримо ^олее того, которое соответствует способу Оливье,
причем ряд этих новых рабочих поверхностей имеет кривизны, более
благоприятные в отношении контактной прочности.
Второе различие заключается в том, что при синтезировании
систем точечного зацепления исходят из конкретных конструктивных
и технологических требований к передаче, в противоположность спо-
собу Оливье, где форма и движение вспомогательной огибаемой
поверхности предварительно никак не увязываются с практическими
требованиями и о пригодности сопряженных поверхностей представ-
ляется возможность судить лишь после их получения и нахождения
контактных линий.
Очевидно, следует, что поверхности, образованные по способу
Оливье, полностью отвечают сформулированным требованиям к со-
пряженным поверхностям и что способ Оливье является частным
случаем нового метода образования сопряженных поверхностей.
В итоге можно кратко сформулировать следующие два поло-
жения нового, белее общего метода образования сопряженных рабо-
чих поверхностей зубцов при точечном контакте:
I. Назначается закон движения точки зацепления в неподвиж-
ном пространстве, связанном с осями колес. Этот закон определяется
отчасти кинематическими условиями, отчасти практическими сообра-
жениями, главными из которых являются требования минимума
3. М« Л. Новиков.
ад
потерь и износа, достаточной контактной прочности зубцов, а также
простоты и надлежащей технологичности рабочих поверхностей.
Этот закон движения точки зацепления полностью определяет
форму и расположение контактных линий (т. е. уравнения их), свя-
занных с неизменяемой системой точек, принадлежащих вращаю-
щимся колесам, а также положения нормалей к сопряженным
поверхностям вдоль контактных линий.
II. Через полученные контактные линии проводятся поверхно-
сти, которые могут быть сопряженными рабочими поверхностями
зубцов при удовлетворении приведенных выше требований к сопря-
женным поверхностям (а, б, в).
3. УДОВЛЕТВОРЕНИЕ ТРЕБОВАНИЙ ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЫ
ЗАЦЕПЛЕНИЯ
Рассмотрим подробно первое требование к сопряженным по-
верхностям, заключающееся в том, что вектор относительной ско-
рости точек двух вращающихся неизменяемых систем, совпадающих
с точкой зацепления, должен лежать в общей касательной плоско-
сти к сопряженным поверхностям.
Вектор относительной скорости можно определять как вектор-
ную разность скоростей движения точки зацепления вдоль контакт-
ных линий. Совершенно очевидно, что эта векторная разность всегда
лежит в одной плоскости с векторами скоростей движения точки
зацепления, а последние всегда совпадают с касательными к кон-
тактным линиям. Таким образом, общая касательная плоскость
к обеим сопряженным поверхностям, проходящая’ через касательные
к контактным линиям, обязательно проходит через вектор относи-
тельной скорости.
Следовательно, основная теорема зацепления всегда удовлет-
воряется, если сопряженные поверхности образуются на базе кон-
тактных линий, которые в свою очередь получены путем соответ-
ствующего кинематического обращения заданного закона движения
точки зацепления в неподвижном пространстве.
При выборе закона движения точки зацепления необходимо
руководствоваться величиной и направлением относительной скоро-
сти точек, находящихся в зацеплении. В связи с этим требуется
предварительно найти вектор относительной скорости, независимо
от движения точки зацепления, исходя из общей кинематики отно-
сительного движения двух неизменяемых систем точек. Далее, имея
уравнения контактных линий при уточненном, в практическом отно-
шении, законе движения точки зацепления, можно определить поло-
жение общей нормали к сопряженным поверхностям.
В настоящей работе принимается правая ортогональная система
осей, в которой винтовая линия правого хода в математическом
смысле совпадает с общепринятым в технике понятием о правой
винтовой линии.
Введем в рассмотрение две неподвижные системы осей коорди-
нат OiXiffiZj и в которых оси zx и совпадают с осями
34
вращения неизменяемых систем точек (зубчатых колес), оси и у2
совпадают с линией кратчайшего расстояния между осями враще-
ния первой и второй неизменяемых систем точек.
Рассматривается наиболее общий случай взаимного располо-
жения осей в пространстве — перекрещивающиеся оси. Обозначим
угол скрещивания осей z{ и z2 буквой 8 и кратчайшее расстояние
между осями буквой А (фиг. 12).
Формулы связи между координатами некоторой точки
другой системах координатных осей будут следующие:
x2=xicos8 ~ sin 8;
г2 = zr cos 8 + Xj sin 8. .
Xj = x2 cos 8 -|- z2 sin 8;
У1 = Л + A;
В той и
(3)
(4)
%! — z2 cos 8 — x2 sin 8.
Кроме двух неподвижных систем осей координат, введем в рас-
смотрение еще две подвижные системы Осей O1xnynzu и О2Х22У22^22^
оси 2ц и z22 которых совпадают с осями z{ и z2. Ось хи составляет
с осью Х[ угол , равный текущему углу поворота первой неизме-
няемой системы. Ось х22 составляет с осью х2 угол <р2> равный теку-
щему углу поворота второй неизменяемой системы (фиг. 12).
Формулы связи между координатами некоторой точки в систе-
мах и O1xlly11z11 будут следующие:
Лц = хг cos 44 + j'i sin 44;
J41 = J4COS44-X1 sin 44;
(5)
*n =
35
Здесь
x1 = *11coscp1-<y11sincp1;
J/i=.yiicos'f1 + ^uSincpp
Zi = 2Tn
<P1 = ш1 /-
(6)
И аналогично, формулы связи между координатами некоторой
точки в системах O2x2y2Z2 и O2x22y22z22 будут следующие:
Здесь
х22 — x2 cos (р2+j/2 sin ср2; <
У22 =У2 cos ср2 — х2 sin <₽2;
Z22 = ^2* '
х2 = х22 cos <р2 — у22 sin ср2;
J^^cos^+x^sinc^; ,
г2 = z22.
ср2 (d2 t.
(7)
(8)
Установив системы осей координат, можно приступить к опре-
делению величины и направления относительной скорости совпадаю-
щих в данный момент времени точек, принадлежащих двум вра-
щающимся системам. Этот вопрос в самом общем виде рассматри-
вается в некоторых курсах теоретической механики (см., например,
курс Г. К. Суслова [25], а также Т. Леви-Чивита и У. Амальди [26].
Более подробно он разбирается в специальных работах по теории
зацепления, в частности, в книге Н. И. Колчина и Ф. Л. Литвина [27].
Как известно, скорость движения любой точки твердого тела,
вращающегося вокруг неподвижной оси, равна векторному произве-
дению вектора угловой скорости на радиус-вектор точки
г
или в координатной форме
%
У г
V =
Напишем в системе координат O\X\y\Zx выражения проекций
скорости движения точки Mh принадлежащей телу, вращающемуся
вокруг ОСИ Zi.
Для этого случая:
(0^ = 0; ^! = 0; — а)р
Тогда имеем
= v£’=o.
36
Аналогично напишем в системе координат O2x2y2z2 выражения
проекций скорости движения точки М2, принадлежащей телу, вра-
щающемуся вокруг оси z2:
V"’ = «>2r2; V£’ = 0.
Найдем проекции на оси Xif/iZj скорости движения точки М2у
принадлежащей телу, вращающемуся вокруг оси z2:
Vi*’= y^C0s8 + V^sin8;
Vм»___Vм**
УУх —УУ* ’
V*' = V*’cos8 - у"’Sin s,
ИЛИ
V^a = — со2у2 cos 8;
Ух = Ш2 Х2)
V^2 = о)2у2 sin В.
Воспользовавшись формулами связи (3) и произведя соответ-
ствующую замену координат х2 и у2 через %i и у{, напишем оконча-
тельные выражения для проекций скоростей точки М2 в системе
координат
1/^=-<о2(у1- A)cos&;
= <d2 Xj cos 8 — co2 zx sin 8;
У^ = ш2(л-A)sin8.
Теперь можно написать общие выражения для проекций век-
тора относительной скорости точек М{ и М2, совпадающих друг
с другом и, следовательно, имеющих одинаковые координаты XiyiZi,
при рассмотрении движения первого тела относительно второго
(Mi относительно М2):
VMiM* =
T/AftMa_ 1/-M1 17^2.
У Ух — У Ух “ У Ух »
V%'M*= V1*'- v^,
или
V*'№ = - (Oj у, 4- <О2 (у, - Л) COS 8;
V^'м* = «>! Xj — ®2 Xi cos8 -|- <°2г1 sin
У^1Л11=-<о2(у1-Л) sin 8.
Введем в рассмотрение передаточное отношение, равное:
; _ 0J2
421- -- •
о>1
37
Тогда выражения для проекций вектора относительной
будут иметь вид:
УГ,‘М’ = О), l-yi+^tyi-^cosS];
м' = <Oj [Xj (1 — z21 cos 8) + ^21 г1 sin8];
= — miz2i(yi — Л) sin 8.
скорости
(9)
Абсолютная величина относительной скорости равна:
М2
Л1, + (уМ, М,у .
Направляющие косинусы вектора относительной
в системе осей координат O\X\y{z{ равны:
cos cos 8i = гр; cos ti = » •
1 Alj ’ П Afa ’ ** Afj M2
(10)
скорости
(II)
Коснемся вопроса определения положения мгновенной оси отно-
сительного вращения-скольжения. Для этого рассмотрим относи-
тельную скорость точек вращающихся тел, совпадающих с точками,
лежащими на некоторой прямой линии.
Примем в качестве такой линии прямую, лежащую в плоскости,
и пересекающую линию кратчайшего расстоя-
ния в точке, имеющей
ординату yi = а[. Эта пря-
мая составляет с осью Zi
угол 8Р Знак этого угла
должен совпадать со зна-
ком 8 (фиг. 13).
Уравнения этой пря-
мой в системе координат
будут следующие:
х} = Z sin 8л
параллельной X\O\Z\
Тогда
падающих
параметра
zx = Zcos8n
где параметр I — текущее
расстояние точки от оси
величины проекций вектора относительной скорости сов-
точек, лежащих на данной прямой, в зависимости от
будут следующими:
У^1Л1а = — (Dj [04 (1 -р Z21 cos 8) — A Z21 cos8];
= [sin 8j (1 + Z21 cos 8) — /21 cos 8! sin 8];
V^1 Мз = [at z21 sin i — Ai2i sin 8].
38
Из рассмотрения этих выражений вытекает, что при произволь-
ном угле величина скорости является переменной, про-
порциональной /. Одновременно заметим, что величины и
от I и Sj не зависят.
Желая иметь наименьшее относительное скольжение соприка-
сающихся точек, можно потребовать, чтобы всегда было:
Для этого должно быть:
(12)
(13)
sin <5j (1 + 4i cos 8) — 4icos 81sin 8 = 0,
отсюда следует, что угол 8j не может быть произвольным, а должен
определяться из выражения:
^=+|2+г
1 +*21 cos 8
Аналогичным образом, решая этот вопрос в системе осей коор-
динат О^х2у2^ можно найти следующее выражение для тангенса
угла 82, который составляет рассматриваемая прямая с осью вра-
щения второй неизменяемой системы г2:
*21 + cos 8
Получив выражения для тангенсов углов 8j и 82, путем соответ-
ствующих тригонометрических выкладок легко установить значе-
ние отношения синусов этих углов, равное передаточному числу:
sin 8,
" - *21*
sin 82
К этому уравнению можно присоединить очевидное:
+ $2 ~
(14)
Решая эти два уравнения, можно также получить значения
8j и 82 •
Точно так же, желая иметь наименьшее скольжение, можно по-
требовать, чтобы вектор относительной скорости всегда совпадал бы
с направлением рассматриваемой прямой. В этом случае проекция
вектора относительной скорости на направление, перпендикулярное
к прямой, должна быть равна нулю, или
V*'cos sin 8, = 0,
иначе
— [oj (1 +Z21cos 8) —/1z21cos8] cos 8,—[^41 sin 8—
— <4z21 sin 8] sinSj — 0,
или
ai (1 +4icos 8)—Ai21 cos 8+ (at—Л) i21 sin 8 — A *21 S'n-^— =0.
l + z2I cos 8
39
Здесь tg 8, заменен выражением, при котором = 0.
Из полученного уравнения можно найти ас
а 4 /11+41 c°sS
1 4-2 f*2i cos 8 -р /21
Аналогичным путем определяется выражение для а2:
„ ~ л l+4icos8
с<2 — ** ---.
I +2 Z21 COS 8 4“ ^21
(15)
(16)
(17)
Беря отношение — и имея в виду выше приведенные формулы
Д2
для tgBj и tg82, находим:
°1 tgsl
а2 tg 82
Кроме того, очевидно,
-р ^2 ==
Таким образом, а{ и а2 можно определять, решая два послед-
них уравнения.
В результате получены выражения для и 32, а также для ai
и а2, определяющих положение мгновенной оси относительного вра-
щения-скольжения, по которой взаимно касаются гиперболические
аксоиды.
Векторы относительной скорости вращения и относительной ско-
рости скольжения совпадают с мгновенной осью вращения-сколь-
жения. Величина относительной скорости вращения Й равна сумме
проекций на мгновенную ось скоростей и ш2:
2 = <пх cos8Х4“(^2cos82 — (Dj(cos81-|“Z2i cos82). (18)
Нетрудно также установить выражение для относительной ско-
рости скольжения:
1/=^ ах sin +<о2 а2 sin (ах sin 8!-]-и21 а2 sin 82). (19)
Формулы для величин, определяющих положение мгновенной
оси вращения-скольжения, можно найти в курсах по теории
механизмов и машин И. И. Артоболевского [28], Б. В. Доброволь-
ского [29], Г. Г. Баранова [30] и, кроме того, в некоторых специаль-
ных работах [31].
Уравнения контактных линий легко определяются, если выбран
закон движения точки зацепления. Предположим, что известен закон
движения точки зацепления в зависимости от времени для непод-
вижной системы осей координат
•*i = M0; з-1== ^i (0; *!=-W (20)
Этот закон может рассматриваться как уравнение линии зацеп-
ления в параметрической форме, где время t является параметром.
40
Закон движения точки зацепления (и, следовательно, уравнение
линии зацепления) во второй неподвижной системе осей координат
O2X2IJ2Z2 может быть выражен через функции закона движения точки
зацепления в первой системе осей координат; для этого необходимо
лишь воспользоваться формулами связи (3):
х2=Е2 (£) — ^ (£) cos 8—{^ (£) sin 8;
y2=i)2(0 = 7ii(0 -
z2=C2 (0 = (О cos (0 sin 8. .
(21)
(22)
Точно так же, воспользовавшись формулами связи (5), можно
найти уравнение контактной линии в первой вращающейся системе
осей координат О^пУц^п-
xii=^ii (0 = (О cos ^+*11 (О sin t\
Jn=*lii (i) =*li (0 cos <0! (t) sin ©j t;
Аналогично, для второй вращающейся системы О2Х22У22z.22:
х22—^22(0 = [Е1 (0cos5—^(0 sin 5] cos <о2 [^(0 — A] sina)2£;
>'22 = *122 (0= [*11(0 -A] cos <о21 — [$(0cos3—(0 sin8] sin <о2t\
z22 — C22 (0 = ^1 (0 cos 84- (/) sin 8.
Имея уравнения контактных линий, легко написать выражения
направляющих косинусов касательных к ним.
Для первой контактной линии (вращающейся совместно с пер-
неизменяемой системой) направляющие косинусы касательной
(23)
для
вой
равны:
Ki а ^ц(/) ок1 . d*ln(0 К1 и dln(t)
cosan=^n ------LLL_Z-;C0Sfii COST*1 =^1 —-L2-
1 dt dt 111 11 dt
Здесь k\\ — нормирующий множитель, равный:
1
(24)
<0Г , RtfУ|11(012 , Г<*СП(ОТ ’
(25)
dt
dt
V L dt
Для второй контактной линии (вращающейся совместно
рой неизменяемей системой) направляющие косинусы касательной
равны:
к? L ^^22(0 ОК2 L. ^^22(0 К2 L ^^22(0 /лс\
cos a22 = fe22 — 2; cos ft22=fe22 cos 722=^22 (26)
dt dt dt
co
вто-
—
Нормирующий множитель &22 равен:
1
/?22 —
d £22 (0 2 I drj22(t) 2 d С22 (О
dt dt dt
(27)
2
Для дальнейшего необходимо найти направляющие косинусы
касательных к той и другой контактным линиям в неподвижной си-
стеме осей координат O{X\y{z{. Направляющие косинусы можно рас-
41
O2x2y2z2-.
сматривать как проекции на соответствующие оси орта касательных.
В таком случае, воспользовавшись формулами связи (6) и (8),
напишем направляющие косинусы в системах и
cos а*1 = cos аЙ cos t—cos рЙ sin ш11\
cos рЙ = cos РЙ cos <0, f+cos аЙ sin <»! i\
COS 71’ — COS "(n*
cosa$2 = cosa22cos<o2^—cos p^sina^;
cos РЙ = cos P22 cos <o21 +cos a22 sin <o21\
COS 72 = cos 722-
Применяя формулы связи (4), получим окончательные выра-
жения в системе О\Х\У\г{ для направляющих косинусов касательной
ко второй контактной линии:
cos a?2 = (cos 0$ cos a>21 — cos P22 sin uj2 t) cos 8 4- cos 722 sin 8;
cos pj2 = COS p$2 COS 0)2 ^+COS Л22 Sill O)2 t\
cos 7?2 = cos 722 cos 8 — (cos cos a>21—cos p“2 sin <o21) sin 8.
(28)
(29)
(30)
Обозначим направляющие косинусы общей нормали к сопря-
женным поверхностям в системе осей координат через
cos a77, cos 8^, cos^ и определим их. Выше указывалось,что общая
нормаль должна быть перпендикулярна к вектору относительной
скорости и к касательным к контактным линиям. Как известно, мате-
матическая формулировка условия перпендикулярности двух векто-
ров состоит в том, что их скалярное произведение должно быть рав-
но нулю. Записывая это условие в координатной форме для данного
случая, получаем следующие три уравнения:
cosai4 cosa?‘ + cos pj4 cos pj1 + cos 7 J4 cos 7i1= 0;
cos aj4 cos a?2 4- cos p}4 cos p?2 + cos 7 J4 cos 7?2= 0;
cos aj4 cos ац + cos pj4 cos P? 4- cos 714 cos 71 — 0.
(31)
Кроме того, должно удовлетворяться еще одно уравнение:
cos2!*?4 H-cos2pJ4 + cos27J4 = 1. (32)
Веюгоры скорости движения точки зацепления вдоль контактных
линий Ик1 и 1/к2 и вектор относительной скорости Ус всегда нахо-
дятся в одной плоскости и связаны между собой уравнением
7С= vK1—Гк2.
В связи с этим, из трех уравнений системы (31) только два
уравнения являются независимыми, а третье уравнение является
тождеством.
В качестве независимы^ уравнений удобнее принять первые два
уравнения. Последнее уравнение-тождество может быть использо-
42
вано для целей контроля расчетов, причем величины CosaJ, cos^J r
cos 7^ должны быть найдены независимо от скоростей ИК1 и Ук2 на
основании рассмотрения кинематики относительного движения двух
твердых тел.
В результате имеем три уравнения [два из системы (31) и одно
уравнение (32)], из которых без особого труда могут быть найдены
три неизвестных направляющих косинуса для общей нормали к со-
пряженным поверхностям.
Чтобы упомянутые уравнения были вполне определенными, тре-
буется, чтобы функции, описывающие закон движения точки зацеп-
ления в неподвижном пространстве, а также в пространстве, связан-
ном с вращающимися колесами, и их первые и вторые производные
были бы конечными. Иначе говоря, требуется, чтобы как линия
зацепления, так и контактные линии были бы плавными кривыми
без особых точек. Это требование является единственным принципи-
альным ограничением в кинематическом отношении при выборе
закона движения точки зацепления. Однако оно ни в какой мере не
является стеснительным при образовании реальных сопряженных
поверхностей, так как последние могут быть только «гладкими»
поверхностями, т. е. поверхностями без всяких разрывов, гребней и
особых точек, с конечным значением кривизны во всех направлениях
для всех точек и с плавным изменением кривизны при переходе от
одной точки поверхности к другой.
Как указывалось выше, некоторые ограничения к закону движе-
ния точки зацепления могут быть установлены, исходя из практиче-
ских требований к зубчатой передаче. Эти требования заключаются
в обеспечении минимальных потерь энергии на трение в зацеплении
и в получении минимального .износа при достаточной контактной и
общей прочности зубцов. Представить это требование в аналитиче-
ской форме невозможно, и наилучшим образом оно может быть
удовлетворено лишь при инженерном проектировании конкретной
зубчатой передачи. Однако, зная, что потери и износ находятся
в прямой зависимости от величины относительной скорости сколь-
жения, следует предусмотреть, чтобы точки линии зацепления были
бы в непосредственной близости от мгновенной оси относительного
вращения-скольжения.
Исходя из конструктивных соображений, касающихся как зуб-
цов, так и всей передачи в целом, могут быть установлены границы
для углов, определяющих положение общей нормали в точке кон-
такта (при этом имеется в виду, что направление силы взаимодей-
ствия зубцов совпадает с нормалью). В частности, могут быть за-
даны один или два угла, определяющих положение нормали, и тогда
двумя первыми уравнениями из системы (31) устанавливаются
ограничения к направляющим косинусам касательных к контактным
линиям, т. е. устанавливаются ограничения к закону движения точ-
ки зацепления. В общем виде развивать вопрос, касающийся этих
ограничений, нецелесообразно. Но можно заметить, что необходимая
свобода выбора закона движения точки зацепления (например, для
43
удовлетворения технологических требований) все же остается, так
как даже при двух уравнениях (31), накладывающих связь на пара-
метры закона движения точки зацепления, и при условии ограниче-
ния относительной скорости скольжения до заданной величины этот
закон далеко не полностью определяется. Достаточно сказать, что
наиболее простой случай закона движения точки зацепления, соот-
ветствующий прямой линии зацепления с постоянной скоростью
движения точки зацепления, определяется пятью параметрами, тогда
как ограничивающих эти параметры уравнений не может быть более
трех.
При известных положениях общей нормали в системе осей коор-
динат OiXii/iZi легко установить закон расположения нормалей вдоль
контактных линий для каждой сопряженной поверхности.
Воспользовавшись формулами связи (5), напишем выражения
для направляющих косинусов нормали к вращающейся поверхности,
связанной с системой осей координат OiXily11z11:
cos ац = cos cos coj t -j-cos sin t\
cos^u = cos Pi* cos o)^—cos 04 sinw^;
N N
cos 711 — cos 71.
Подобным же образом, используя сначала формулы связи (3)
и затем (7), можно написать выражения для направляющих коси-
нусов нормали к вращающейся поверхности, связанной с системой
осей координат О2х22 у22 *22 ’•
cosa?2= (cos 04* cos 8 —cos 7^ sin 8) cos<d2 ^4-cos рГ sin <o2
cos = cos рГ cos <o2t— (cos a?4 cos 8 — cos 7I4 sin 8) sin w2t\
cos 722 = cos 7i* cos 8+ cos 04 sin 8.
(34)
Направляющие косинусы нормали к поверхности могут быть
выражены через функции уравнений поверхности. Предположим, что
уравнения поверхности заданы в параметрической форме, например,
для первой сопряженной поверхности, в виде:
*н = <?п ^); Уи = Фи = Хн ("» *0- (35)
Причем для рассматриваемой задачи будет весьма удобно, если
какой-либо один из параметров и или v будет равен ««j £ Тогда на-
травляющие косинусы нормали представляют собой следующее:
n _ ьn /дуи dzn дуп dzn\ е
\ ди dv dv ди /
\ ди dv
dznдхп
dv ди
(36)
rne n ь^1дхидУп дхпдуп\
\ ди dv dv ди /
-44
где нормирующий множитель k1^ равен:
_________________________1______________________
U -I / (дУпдги dy^dzu\2 /дги дхи дгпдх~^~~
V \ди dv dv ди / \ ди dv dv ди /
\ ди dv dv ди / '
Совершенно аналогично могут быть написаны выражения для
направляющих косинусов нормали ко второй сопряженной поверх-
ности.
4. КРИВИЗНА СОПРЯЖЕННЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Здесь рассматривается очень важный, интересный и в то же
время весьма мало исследованный вопрос о связи скоростей движе-
ния с кривизнами, а также с геометрическими положениями точки
касания и общей нормали для двух касающихся поверхностей в слу-
чае их пространственного относительного движения.
До настоящего времени, когда сопряженные поверхности для
пространственного зацепления образовывались на основании спо-
соба Оливье, этот вопрос с точки зрения кинематики зацепления не
был особо актуальным. Необходимые кривизны и положения глав-
ных направлений во всех точках контакта сопряженных поверхно-
стей получаются в процессе образования их путем огибания с помо-
щью движущейся вспомогательной поверхности. Однако для реше-
ния задачи контактной прочности зубцов и рассмотрения вопросов
смазки, трения и износа все же совершенно необходимо знание кри-
визн сопряженных поверхностей. Таким образом, и для обычных
систем зацепления решение вопроса о кривизне сопряженных по-
верхностей представляет безусловный интерес.
Предлагаемый в настоящей работе новый метод образования
сопряженных поверхностей при точечном пространственном зацеп-
лении основан не на способе огибания, а на более общем принципе.
В новом методе образования сопряженных поверхностей вопрос
о кривизне их играет важнейшую самостоятельную роль и решение
его совершенно необходимо, исходя прежде всего из кинематических
условий. Поэтому рассматриваемому вопросу уделяется особое вни-
мание.
Как известно, для систем плоского зацепления существует урав-
нение Эйлера—Савари, связывающее радиусы кривизны сопряжен-
ных профилей с радиусами кривизны центроид, или, иначе говоря,
с относительной скоростью вращения. Это уравнение впервые было
получено академиком Леонардом Эйлером в 1765 г. и затем раз-
вито Савари.
Совершенно естественно предполагать, что для пространствен-
ного зацепления должна существовать зависимость, в принципе ана-
логичная уравнению Эйлера—Савари. Однако до самых последних
45
-лет не были известны попытки решить задачу о кривизне сопряжен-
ных поверхностей для пространственного зацепления, несмотря на
исключительную важность ее для теории зацепления.
Только лишь в 1953 г. была опубликована работа Н. И. Кол-
чина [32], в которой рассматривается этот вопрос применительно
к частной задаче ортогональной червячной передачи, сопряженные
поверхности зубцов которой образованы по методу огибания (по спо-
собу Оливье).
В настоящей работе не представляется возможным использовать
уравнения Н. И. Колчина, а также метод их вывода, так как в дан-
ном исследовании предполагается образование сопряженных поверх-
ностей не по методу огибания (как это имелось в виду при выводе
уравнений Н. И. Колчина), а по более общему способу, и, кроме
того, здесь рассматривается самый общий случай передачи.
Проанализируем ход решения задачи о кривизне сопряженных
поверхностей. I
Будем предполагать, что известен закон движения точки зацеп-
ления в неподвижном пространстве. В этом случае будут известны и
законы движения точки зацепления (уравнения контактных линий)
во вращающихся системах осей координат, неизменно связанных
с колесами. Эти законы (22) . и (23) будут следующими:
xn = ^ii(0i .Ун = (О» £ц — ^п (О*
•*22 J,22 = Y122(0> Z22 = ^22 (О*
Пусть будут заданы в системе подвижных осей координат
С>1 'цУц2Гц и О2х22У22г22 уравнения сопряженных поверхностей-
в двухпараметрической форме:
•*п = Фп (^р Mi); .Ун ~ Фп (Л* ^i)> гн — Хи (Л» Mi)* (з®)
Х22 = ?22 (4» аг)> У 22 = ^22 (^2» %22 ~ Х22 (^2) (39)
Причем потребуем, чтобы функции ср1Р фп, и ср22, Ф22» Х22 ПРИ
некоторых определенных фиксированных значения* параметров Ui*
и и2* совпадали бы с функциями: £п, Y]n , и ?22 5 т)22, С22, т. е.
tPu(^i>«i*) = 511(^). ФП(^,И1*) = '»iii(0; Хп(6.«1*) = £ц(0;
®2г(^25 И2*) = ^22 (0> Ф22 (^2' К2*) ~ "*122 (0> /22 (^2’ И2*) = ^22 (0»
В этом случае очевидно, что контактная линия на каждой из
сопряженных поверхностей будет являться одной из координатных
линий.
При такой форме задания уравнений поверхностей, имеющих
известное относительное движение, условие совпадения точек кон-
такта, принадлежащих той и другой поверхностям, сводится лишь
к требованию, чтобы параметры Л и /2 принимали бы одинаковые
значения t цля обеих поверхностей (тогда как при другой форме
задания движущихся поверхностей условие совпадения их точек
контакта выражается достаточно громоздким уравнением, получаю-
46
щимся из условия равенств соответствующих координат этих точек,
приведенных к какой-либо одной системе осей координат).
При изучении вопросов, связанных с относительным движением,
целесообразно условно представить один из объектов движения не-
подвижным, в данном случае удобно считать неподвижной первую
неизменяемую систему точек и связанную с ней систему осей коорди-
нат 01 ХпУпЗп. Для этого необходимо всем элементам, образую-
щим передачу, сообщить условное дополнительное вращательное
движение вокруг оси со скоростью, равной + Шр
, В этом случае вторая неизменяемая система точек будет иметь
одновременно два вращательных движения вокруг двух скрещиваю-
щихся осей (планетарное движение), сложение которых приводит
к винтовому движению вокруг мгновенной оси вращения-скольже-
ния. По этой оси происходит касание подвижного и неподвижного
гиперболического аксоидов.
В дальнейшем потребуются уравнения второй сопряженной
поверхности в системе осей координат Ог хп yn zn. Для составления
этих уравнений необходимо взять уравнения поверхности в системе
О2х22У22г22 (39) и последовательно воспользоваться формулами
преобразования координат (8), (4) и (5). В результате будут полу-
чены уравнения второй сопряженной поверхности, имеющей слож-
ное движение относительно системы 01%ц
Эти уравнения могут быть записаны в следующем сокращенном
виде:
•*11 = ?21 (^2» ^2’ З'п—Ф21 (^2’й2> ^11 ~Х22 (^2' Z^2> О* (40)
Факт наличия относительного движения у второй сопряженной
поверхности учитывается при введении формул преобразования ко-
ординат, в связи с этим в уравнениях фигурирует третий параметр t,
являющийся параметром положения поверхности. По существу при-
веденные уравнения представляют собой уравнения семейства
поверхностей.
Чтобы рассматривать вопрос о соприкосновении сопряженных
поверхностей в точке контакта, найдем их уравнения соответственно
для первой и второй поверхностей в форме:
Zn= /1(^11. Уи); (41)
/гС-^шУи'0* (42)
Для этого нужно решить первые два уравнения для Хц и у и в си-
стеме (38) относительно параметров Л и и, подставив их в третье
уравнение для 2ц, получим уравнение (41). Аналогично получим
уравнение (42).
Первым условием контакта сопряженных поверхностей являет-
ся совпадение между собой контактных точек, принадлежащих той
и другой поверхности. Для нахождения координат точек контакта
необходимо задать текущему параметру t некоторое определенное
47
значение t = t*. При этом уравнения движущейся второй сопря-
женной поверхности (40) и (42) преобразуются в уравнения
*11 = ?21 (^2» ^2? У11 = 4*21 (^2, W2> ^*)> — Х21 (^2» W2» ^*)? (43)
zi? = /2 (*i 1 > J'id (44)
которыми описывается вторая сопряженная поверхность в непод-
вижном (остановленном) состоянии, в положении, соответствующем
моменту времени t = t*.
Если теперь параметрам h и t2 придать одинаковые значе-
ния /*, т. е.
то при фиксированных значениях параметров = щ* и и2 = и2*
по уравнениям (38) и (43) определяются совпадающие соответ-
ственно между собой координаты точек контакта для той и другой
сопряженной поверхности в системе О1ХцГ/ц .
Вторым условием правильного контакта является совпадение
нормалей или касательных плоскостей к сопряженным поверхностям
в общей точке контакта. Это условие будет удовлетворено, если бу-
дут равны между собой соответствующие первые производные функ-
ций и выраженные уравнениями (41) и (42) т. е.
dz(u _ dz^ . (Ы? _ dz^
дхп дхи ' дуп дуп
Как известно, направляющие косинусы нормали к поверхности
выражаются следующим образом:
(45)
Из приведенных формул следует, что при равенстве соответ-
ствующих первых производных будет иметь место и равенство соот-
ветствующих направляющих косинусов нормали для той и другой
поверхностей.
48
Третьим условием контакта сопряженных поверхностей являет-
ся условие отсутствия взаимного пересечения поверхностей в окре-
стности точки контакта, причем одновременно требуется, исходя из
соображений контактной прочности, возможно наиболее тесное вза-
имное прилегание поверхностей.
Наилучшим образом это комплексное третье условие будет
удовлетворено, если будут равны между собой радиусы нормальной
кривизны сопряженных поверхностей для всех направлений в каса-
тельной плоскости, или, иначе говоря, если будет иметь место между
сопряженными поверхностями соприкосновение второго порядка.
Математическая формулировка условия соприкосновения второго
порядка сводится к требованию равенства соответствующих вторых
производных:
дх2п дх2п ' дхпдуп' дхидуи’ ду2, fyn
Как известно, гауссовы коэффициенты первой и второй квадра-
тичных форм поверхности через первые и вторые производные выра-
жаются следующим образом:
Имея коэффициенты первой и второй квадратичных форм, легко
определить среднюю и гауссову кривизны поверхности:
H_GL-2FM-\-EN
~ 2(EG-F2) '
. LN-M2 '
EG—F2 ’
(47)
(48)
Н = — \
2 \ /?! RJ
R1 ^2
(49)
Здесь Н — средняя кривизна поверхности;
К — гауссова кривизна поверхности;
/?1 и /?2 — главные радиусы кривизны.
4. М. Л. Новиков.
49
Главные радиусы кривизны находятся из уравнения:
V~2H^~+K,~0' (50)
Кривизна поверхности для любого произвольного нормального
сечения определяется по формуле Эйлера:
1 cos2 ср sin2 ср
/? /?1 /?2
где ср — угол между плоскостью рассматриваемого сечения и пло-
скостью сечения, проходящего через главное направление
с радиусом кривизны /?ь
Кривизна поверхности для любого произвольного нормального
сечения может определяться также по формуле
J_ L_ sin2(Q-»„) 2Л4 sin(Q-&„)sinN_ sin2»„
R E sin2 2 V EG sin2 2 G sin22’
здесь Й — угол между координатными линиями t и и;
— угол между текущей плоскостью нормального сечения и
нормальной плоскостью, проходящей через касательную
к координатной линии и.
Если в левую часть приведенной формулы в качестве R подста-
вить величину главных радиусов кривизны или R2> то из получив-
шегося уравнения можно найти угол , определяющий положения
главных направлений. Точно так же для случая гиперболических
точек поверхности (когда гауссова кривизна отрицательная), при-
равняв 1/R нулю, можно получить угол определяющий положе-
ние асимптотических направлений.
Из вышеприведенного видно, что при равенстве соответствую-
щих первых и вторых частных производных будет иметь место равен-
ство радиусов кривизны сопряженных поверхностей для всех направ-
лений в касательной плоскости.
Теперь рассмотрим весьма важный вопрос о том, возможно ли
в принципе между сопряженными поверхностями соприкосновение
второго порядка, т. е. может ли иметь место одновременное равен-
ство между собой всех пяти соответственных частных производных.
Что касается взаимного равенства первых двух производных, то
оно вполне возможно, т. е. всегда может быть обеспечено совпаде-
ние нормалей к поверхностям в их общей точке контакта. Однако,
как было показано ранее, положение общей нормали не может быть
произвольным, оно определенным образом зависит от закона движе-
ния точки зацепления и параметров передачи и, следовательно, зна-
чения равных между собой первых частных производных могут быть
только вполне определенными величинами.
50
Кривизна поверхности в данной точке характеризуется тремя
величинами: первым и вторым главными радиусами кривизны и
углом, определяющим положение главных направлений. Будем счи-
тать эти величины неизвестными, подлежащими определению, и
тогда для двух сопряженных поверхностей в рассматриваемой задаче
всего будет шесть упомянутых неизвестных величин.
Контактные линии должны лежать всеми своими точками на
сопряженных поверхностях. Это условие накладывает две связи на
величины, определяющие кривизну каждой сопряженной поверх-
ности.
Первая связь состоит в том, что нормальная кривизна поверхно-
сти в направлении касательной к контактной линии находится в за-
висимости от кривизны контактной линий. Вторая связь заключает-
ся в том, что геодезическое кручение по Бонне контактной линии и
главные радиусы кривизны поверхности, а также положение главных
направлений имеют между собой определенное соотношение (под-
робно об этих двух связях будет сказано ниже). Таким образом,
для двух сопряженных поверхностей имеется четыре, зависимости
или уравнения, накладывающих связи на величины, определяющие
кривизны поверхностей. Эти зависимости должны обязательно удов-
летворяться, так как в противном случае контактные линии не будут
лежать* на поверхностях и последние не могут быть сопряженными.
Если к этим четырем зависимостям прибавить еще три, которые не-
обходимы для выполнения условия соприкосновения второго порядка
(аналитически они выражаются равенствами соответствующих вто-
рых производных), то в результате получается семь зависимостей,
которым должны удовлетворять шесть величин, определяющих кри-
визны сопряженных поверхностей. Совершенно естественно, что
удовлетворение всех семи зависимостей невозможно и что по край-
ней мере одна из последних трех зависимостей не будет удовлетво-
рена. В этом случае равенство радиусов кривизны возможно только
лишь в одном из направлений в касательной плоскости и, следова-
тельно, в точке касания сопряженных поверхностей локальный кон-
такт их будет иметь линейчатый характер. Если отказаться от удов-
летворения двух других зависимостей, связанных с условием сопри-
косновения второго порядка, будет иметь место точечный контакт
с любыми, как угодно малыми, приведенными радиусами кривизны.
Следовательно, при почти произвольном законе движения точки
зацепления (о частичных ограничениях к этому закону говорилось
выше) не может быть соприкосновения второго порядка между
сопряженными поверхностями в общем случае.
Однако седьмое неудовлетворенное уравнение можно рассма-
тривать как уравнение, устанавливающее дополнительное ограниче-
ние на закон движения точки зацепления. Иначе говоря, кроме шести
неизвестных, характеризующих кривизну сопряженных поверхностей,
следует принять один из неопределенных параметров закона движе-
ния точки зацепления в качестве еще одного неизвестного. Тогда
очевидно, что при соответствующих значениях всех семи неизвестных
все семь зависимостей будут удовлетворены. Таким образом, можно
4* 51
прийти к следующему важнейшему выводу, что при наличии еще
одного дополнительного ограничения к закону движения точки
зацепления между сопряженными поверхностями будет иметь место
соприкосновение второго порядка и локальный контакт будет иметь
поверхностный характер, т. е. приведенные радиусы кривизны во
всех направлениях будут равны бесконечности. При этом нужно
заметить, что закон движения точки зацепления при наличии допол-
нительного ограничения, обусловленного требованием соприкосно-
вения второго порядка, все еще остается не вполне определенным.
Приведенный общий аналитический метод исследования сопря-
женных поверхностей, основанный на использовании предварительно
определенных контактных линий, позволил легко и просто сделать
важнейший вывод о характере локального контакта при точечном
зацеплении.
Однако для решения конкретных прикладных вопросов этого
вывода недостаточно. Для практических целей необходимо иметь
непосредственную зависимость между величинами главных радиусов
кривизны, положениями главных направлений, параметрами закона
движения точки зацепления, а также геометрическими и кинемати-
ческими параметрами передачи. Общий ход решения такой задачи
можно представить в следующем виде. Сначала, приняв за базу
предварительно найденные контактные линии, следует задаться до-
статочно общими уравнениями для сопряженных поверхностей, кото-
рые, вообще говоря, являются поверхностями винтового типа. В этих
уравнениях будет фигурировать, кроме текущих параметров t и и,
еще ряд постоянных параметров (а, Ь, с, ... ), последние в сово-
купности с функциями уравнения и определяют форму, размеры и
начальное положение поверхностей.
Имея уравнения поверхностей и контактных линий, можно со-
ставить семь зависимостей или уравнений, о которых говорилось
выше. Решая эти уравнения, можно, в принципе, найти требуемую
зависимость между главными радиусами кривизны и другими пара-
метрами передачи. Но в связи с тем, что в уравнения поверхностей
входят трансцендентные функции, а также в связи с многократным
применением сложных тригонометрических формул преобразования
координат получается весьма сложная, практически не разрешимая,
система уравнений. Всякие попытки упростить эту систему уравне-
ний, в частности, путем разложения трансцендентных функций в со-
ответствующие степенные ряды, не приводят к успеху, так как при
этом получаются неразрешимые уравнения высокой степени (не ниже
восьмой) или в результате достаточно больших упрощений задача
теряет смысл.
Таким образом, следует признать, что аналитическое решение
задачи о кривизне сопряженных поверхностей не может быть дове-
дено до конца. Такой вывод делается, исходя из неудачного опыта
многократных, энергичных и настойчивых попыток решения постав-
ленной задачи.
Не дали положительных результатов и попытки отыскания ана-
литической зависимости между радиусами кривизны сопряженных
52
поверхностей, скоростями относительного движения и законом
движения точки зацепления методом исследования эквивалентного
механизма с низшими кинематическими парами.
В теоретической механике известна задача об определении дви-
жения твердого тела при условии, что связанная с ним некоторая
поверхность непрерывно касается другой, неподвижной, поверхно-
сти. Хотя указанная задача является прямо противоположной
поставленной в настоящей работе задаче о нахождении кривизны
сопряженных поверхностей при заданном их относительном движе-
нии, тем не менее изучение ее имеет безусловный интерес, в част-
ности, изучение в отношении методов решения, имея в виду возмож-
ность использования этих методов для решения поставленной задачи.
В самом общем виде задача об определении относительного
движения твердого тела при условии, что связанная с ним некоторая
поверхность непрерывно касается заданной неподвижной поверхно-
сти, является совершенно неопределенной. Дело в том, что условие
касания поверхностей накладывает лишь только одно условие связи
на твердое тело и, следовательно, у тела остается пять степеней
свободы.
Чтобы движение твердого тела было вполне определенным, не-
обходимо задать еще четыре условия связи. Так как эти дополни-
тельные условия связи могут быть, вообще говоря, самыми различ-
ными, то в соответствии с ними может быть много разнообразных
частных случаев рассматриваемой задачи. Интересно отметить, что
после того, как установлены все дополнительные условия связи, эта
задача становится относительно простой, имея в виду, что основной
операцией, связанной с решением ее, является дифференцирование
функций, описывающих поверхности. В противоположность этому
задача о кривизне сопряженных поверхностей является принципи-
ально более трудной, так как, во-первых, после установления усло-
вий связи, накладываемых требованием совпадения контактных ли-
ний с сопряженными поверхностями, она все еще не становится до
конца определенной и, во-вторых, главной операцией при решении
ее является интегрирование дифференциальных уравнений связи, что
представляет собой весьма сложное дело и в ряде случаев вообще
невыполнимое.
Работ, посвященных вопросу определения относительного дви-
жения взаимно касающихся поверхностей, известно весьма мало.
Краткий обзор этих работ приводится ниже. В последние годы этому
вопросу совершенно не уделяется внимание, и в современных руко-
водствах по теоретической механике нельзя найти даже каких-либо
замечаний по этому поводу.
Впервые задача об определении относительного движения за-
данных поверхностей, при условии их взаимного непрерывного каса-
ния, рассматривалась в 1862 г. Резалем [33] и затем в 1867 г. Томсо-
ном и Тэтом [34]. Их решения относятся к весьма простым частным
случаям чистого качения поверхностей. Дальнейшее развитие этой
задачи связано с именами русских ученых И. И. Сомова, Д. К. Бо-
былева и Г. К. Суслова.
53
Д. К. Бобылев в мемуаре [35] достаточно подробно решает упо-
мянутую задачу аналитическим методом. Сначала решение ведется
в самом общем виде, затем детализируются отдельные случаи и, на-
конец, подробно рассматривается главный случай, когда в качестве
дополнительных условий связи заданы на поверхности контактные
линии (их Д. К. Бобылев называет «следами») и скорости движения
по ним точек контакта. Однако этот главный случай рассматривается
в частном виде, а именно, при условии, что в общей точке контакта
касательные к контактным линиям совпадают между собой. Пять
лет спустя, Г. К. Сусловым [36] решается тот же главный случай,
при том же условии совпадения между собой касательных к кон-
тактным линиям в их общей точке. Решение Г. К. Суслова является
еще более подробным, чем у Д. К- Бобылева, производится аналити-
ческим методом, но несколько иным способом и с некоторыми иными
предпосылками. Результаты решения, полученные Д. К. Бобылевым
и Г. К. Сусловым, не могут быть использованы в задаче определе-
ния кривизны сопряженных поверхностей, так как эти результаты
представляют собой зависимости в дифференциальной форме, и из
них совершенно невозможно получить уравнения, связывающие кри-
визны поверхностей с их скоростями движения, а также геометри-
ческими данными, определяющими положение точки контакта. При-
мененные Д. К. Бобылевым и Г. К. Сусловым аналитические методы
решения являются слишком общими и практически их нельзя
использовать для целей решения задачи о кривизне сопряженных
поверхностей.
Совершенно особо следует выделить весьма краткое, но чрезвы-
чайно интересное, решение задачи о движении взаимно касающихся
поверхностей, приводимое академиком И. И. Сомовым в курсе
«Рациональная механика», изданном в 1872 г. [37]. По-видимому,
это решение осталось незамеченным, так как никто из авторов, зани-
мающихся вопросом об относительном движении поверхностей, не
комментирует и не ссылается на него. В частности, таких ссылок
или указаний нет у Д. К. Бобылева, Г. К- Суслова, X. И. Гохмана
[21], [22], а также у других авторов, занимающихся изучением вопро-
сов теории кинематических пар, например, у А. П. Малышева [38].
Наиболее интересным моментом в решении И. И. Сомова яв-
ляется метод, который в соответствии с его принципиальной сущ-
ностью может быть назван кинематическим. Применение кинема-
тического метода И. И. Сомова позволяет получить результат реше-
ния в виде зависимости, состоящей только из конечных величин, что
представляет собой большую ценность как в смысле простоты, так
в особенности в смысле возможности разрешить эту окончательную
зависимость относительно любой величины, входящей в нее. Кроме
того, кинематический метод дает ясное физическое представление
о связи скоростей относительного движения с геометрическими
характеристиками взаимно касающихся поверхностей. И. И. Сомо-
вым рассматривается тот же главный случай задачи, о котором
говорилось выше, т. е. в качестве дополнительных условий связи
фигурируют заданные контактные линии и скорости движения по
54
ним точек контакта, и, точно так же, этот главный случай рассматри-
вается только в частном виде, когда касательные к контактным ли-
ниям совпадают между собой. Таким образом, решение, полученное
И. И. Сомовым, не является общим и непосредственное использова-
ние этого решения в задаче о кривизне сопряженных поверхностей
невозможно.
После некоторых дополнений кинематический метод И. И. Со-
мова можно весьма успешно применить для решения задачи об отно-
сительном движении поверхностей, сформулированной в самом
общем виде. Имея общее решение, можно совершенно легко найти
окончательные зависимости между радиусами кривизны сопряжен-
ных поверхностей, скоростями движения и всеми другими парамет-
рами передачи. Как было сказано ранее, эти зависимости не пред-
ставлялось возможным найти ни аналитическим методом, ни мето-
дом исследования эквивалентного механизма с низшими кинемати-
ческими парами.
Необходимо заметить, что кинематические методы являются
весьма плодотворными в исследованиях по теории зацепления (как
эксплуатационого, так и технологического). Кинематическими мето-
дами с большим успехом пользовались в своих работах Ф. Л. Лит-
вин [10], [27], Я. С. Давыдов [4], В. А. Шишков [39], А. Ф. Нико-
лаев [40] и др. Однако все применяемые в теории зацепления кине-
матические методы ничего общего не имеют с методом И. И. Сомова.
Точно так же задачи, решаемые вышеупомянутыми авторами, ничего
общего не имеют с поставленной в настоящей работе задачей, так
как эти задачи относятся к исследованию сопряженных поверхно-
стей, образованных по методу огибания.
Ниже приводится решение поставленной задачи методом
И. И. Сомова, соответственно обобщенным и развитым для приме-
нения к самому общему виду задачи. В связи с тем, что И. И. Сомов
пользуется такими математическими приемами, о которых в совре-
менных курсах по дифференциальной геометрии не приводится ни-
каких сведений, возникает необходимость предварительно изложить
требуемый математический материал.
Наряду с известными вопросами дифференциальной геометрии для даль-
нейшего решения требуются некоторые специальные вопросы, такие, как, напри-
мер, вопрос о геодезическом кручении по Бонне кривой, лежащей на поверхности.
Ниже приводятся в очень краткой форме необходимые сведения по специальным
вопросам, даются некоторые элементы кинематического способа Дарбу, а также
некоторый дополнительный материал, нужный для цельности изложения. Основ-
ным источником для настоящего пункта являлся курс теории поверхностей
С. П. Финикова [41].
1) ТРЕХГРАННИК ФРЕНЕ
Осями координатного трехгранника Френе служат: касательная к кривой,
главная нормаль и бинормаль. Для дальнейшего обозначим единичные векторы
касательной через т, главной нормали — через v и бинормали — через р.
Координатными плоскостями трехгранника Френе являются: нормальная пло-
скость, перпендикулярная касательной т и проходящая через главную нормаль
и бинормаль, соприкасающаяся плоскость, перпендикулярная бинормали Р и
55
проходящая через касательную и главную нормаль, и спрямляющая плоскость,
перпендикулярная главной нормали и проходящая через касательную и бинор-
маль. Вершиной трехгранника Френе служит текущая точка М кривой (фиг. 14).
При движении точки М по кривой трехгранник Френе переносится и пово-
рачивается как твердое тело. Скоростью поступательного движения трехгранника
является скорость его вершины М. Если в качестве параметра на кривой выбрана
длина дуги $, то эта скорость есть единичный вектор т:
_ dM
т =
ds
Если за параметр принять время t, то, разделив это уравнение на dt, имеем
ds — dM — dM
где и — скорость движения точки по кривой.
Фиг. 14
Обозначим буквой П угловую скорость вращения трехгранника Френе
около точки М. Это будет вектор, отложенный по оси вращения:
П=/? т + q м +г р,
где р, q> г — координаты вектора П по осям т, v, р.
Тогда скорость движения любой точки Р, координаты которой относительно
трехгранника Френе будут: а, Ь, с, может быть выражена следующим образом:
dP —Ida \ _ (db \ - / de
— = ^ \— +qc—rb+ 1 + м — +га-рс] + р —
ds \ds ) \ds J \ds
+pb-qa
Движение трехгранника Френе характеризуется условием: вектор скорости
вращения П всегда лежит в спрямляющей плоскости (р, т), иначе: компонент
вектора угловой скорости по главной нормали q всегда равен нулю (q = 0).
50
Компонент скорости вращения по бинормали связан с кривизной кривой,
таким образом:
Г = —, (53)
Р
здесь р — радиус кривизны кривой.
Компонент скорости вращения по касательной связан с кручением кривой
следующей зависимостью: р = ——!—, здесь pj—радиус кручения кривой.
г, Р1
Выше рассматривались «геометрические» скорости вращения г и р, пред-
ставляющие собой отношения соответствующих углов к длине дуги кривой, т. е.
d <рб d <рк
г —-------; р =---------,
ds ds
(54)
здесь срб — угол поворота трехгранника вокруг бинормали;
Тк — угол поворота трехгранника вокруг касательной.
Размерность угловых «геометрических» скоростей вращения равна рад/м.
Чтобы получить «кинематические» скорости вращения, представляющие
собой соответствующие отношения углов поворота ко времени, нужно «геометри-
ческую» скорость умножить на скорость движения точки по кривой, т. е.
Гкин - ги-, (55)
Действительно,
Ркин — ри.
(56)
<Рб d ере d ере
Гкин = ги= — и- — и= —
ds udt dt
и аналогично для ркин •
2) ТРЕХГРАННИК ДАРБУ
Трехгранником Дарбу называется ортогональная система осей, одна из ко-
торых совпадает с нормалью к поверхности, а две других лежат в касательной
плоскости (п, ei, е>).
Движение трехгранника Дарбу можно разложить на поступательное дви-
жение вершины трехгранника Дарбу и вращение его.
Разложим бесконечно малое перемещение вершины^ dM^ которое, конечно,
лежит в касательной плоскости, по осям трехгранника ei и е*:
dM=(^du^^ dv) et + dv) e2,
57
здесь $ и г] — компоненты скорости поступательного движения при изменении
параметра и;
$1 и тц — компоненты скорости поступательного движения при изменении
параметра и (фиг. 15).
Бесконечно малый угол поворота трехгранника Дарбу равен:
б/Ф= (pdu+pi dv) ^4- (qdu+qt dv) e24- (rdu-]-^ du) n,
здесь p, q, r — компоненты угловой скорости при изменении параметра и;
pi, <71, и — то же» ПРИ изменении параметра и.
Вектор d& откладывается по оси вращения. На фиг. 16 даны векторы
в касательной плоскости Afeiea.
Перемещение любой точки Р, связанной с трехгранником Дарбу и имеющей
в нем координаты а, Ь, с, можно представить следующей формулой:
dP= е, [da4-6 du}-^ dv-{- (qdii+q^ dv) c— [rdu+r} dv) b] 4- e2 dv 4-
+ (rdu+r} du) a— (pdu+pi dv) c] 4- n [dc+ (pdu-\-px dv)b— (qdu+qi dv) a\.
3) КРИВИЗНА КРИВОЙ, ЛЕЖАЩЕЙ НА ПОВЕРХНОСТИ
Кривизна любой кривой на поверхности равна кривизне плоского сечения
поверхности, соприкасающейся плоскостью.
Кривизна нормального сечения поверхности плоскостью, проходящей через
касательную к кривой, называется нормальной кривизной кривой.
Теоремой Менье устанавливается связь между радиусами кривизны нор-
мального и наклонного сечений поверхности. Эта связь следующая:
1 1
— = — cos 0, (57)
я р
здесь R — радиус нормального сечения поверхности;
р — радиус наклонного сечения поверхности;
в — угол между нормалью и наклонной плоскостью.
В соответствии с вышесказанным можно считать:
1
— — кривизной кривой;
Р
— нормальной кривизной кривой;
R
О — углом между нормалью к поверхности и соприкасающейся плоскостью
(или главной нормалью к кривой).
Тогда связь между нормальной кривизной кривой и кривизной кривой
будет определяться вышеприведенными формулами.
Если представить кривизну кривой в виде вектора, отложенного по главной
нормали, то нормальную кривизну можно считать равной проекции вектора кри-
визны на нормаль к поверхности.
Проекция вектора кривизны кривой на касательную плоскость к поверхно-
сти называется геодезической, или тангенциальной кривизной кривой:
— = — sin 0. (58)
Р
Кривизна нормальных сечений поверхности изменяется в зависимости от
направления секущей нормальной плоскости.
Формулой Эйлера выражается кривизна нормального сечения в зависимо-
сти от положения нормальной плоскости и величин главных радиусов кривизны:
= (5п
R Rx Яа
здесь ср — угол, составляемый нормальной плоскостью с главным направлением,
соответствующим главному радиусу кривизны /?<;
Ri и /?2 — главные радиусы кривизны.
58
4) ГЕОДЕЗИЧЕСКОЕ КРУЧЕНИЕ КРИВОЙ ПО-БОННЕ
Введем в рассмотрение трехгранник Дарбу, вершина которого совпадает
с текущей точкой кривой, расположенной на поверхности. Предположим, что
угол между касательной к кривой и первой осью трехгранника Дарбу, лежащей
в касательной плоскости, равен <р. При бесконечно малом перемещении текущей
точки кривой вдоль нее* на величину ds трехгранник Дарбу перемещается посту-
пательно вдоль касательной к кривой_на величину ds и одновременно поворачи-
вается на бесконечно малый угол d Ф, равный:
d Ф = (pdu-\-pi du) ех + (qdu-\-qx du) ea+ (rdu + rx dv) n.
Спроектируем вектор бесконечно малого угла поворота трехгранника Дарбу
на направление касательной к кривой:
^Фх = (pdu+p! dv) cos ср + (qdu + qx du] sin
Резделив правую и левую части полученного уравнения на ds, получим
выражение для компонента угловой скорости вращения трехгранника Дарбу
вокруг касательной к кривой при движении вершины трехгранника Дарбу по
кривой, лежащей на поверхности:
^Ф „ / du dv \ [du dv \ .
р"= Ip— +Р1 cos<p+ <7— +?1 — sin <р. (59)
ds-----------------------------------------------------\ ds ds J \ ds ds /
Правая часть полученного выражения для данной поверхности зависит
только от направления касательной к кривой в касательной плоскости, так же
как и нормальная кривизна кривой, лежащей на данной поверхности, зависит
только от направления касательной. По Бонне полученное выражение называется
геодезическим кручением кривой.
Фиг. 17
Если поверхность отнести к линии кривизны и оси трехгранника Дарбу
совместить с касательными к координатным линиям, которыми будут линии кри-
визны (см. фиг. 17), то будем иметь:
dM = du ex-\-due2.
Следовательно,
61=0; т)=0;
$=1; ц-1.
59
du du
Очевидно также, что = cos ф и = sin ср.
При изменении одного параметра и, с координатной осью которого совпа-
дает вращение трехгранника Дарбу происходит только вокруг оси e-i и, сле-
довательно, р = 0.
Соответственно, по аналогичным соображениям, qi = 0.
В этом случае компонент угла поворота касательной (фиг. 17) равен:
= pj dve^qduez-
Компоненты скорости вращения трехгранника pi и q равны:
1 -1
Р1 ~ Я/ Ч~ Ъ •
Отрицательный знак для q объясняется тем, что при положительном радиусе
кривизны и при положительном приращении параметра и вектор угловой скоро-
сти q направлен противоположно оси ез (см. фиг. 18,а и 18,6).
Фиг. 18
Итак, если поверхность отнесена к линиям кривизны, имеем
61==0; ^ = 0; 6=1; тц = 1;
du dv
---=cos ср; ----= sin ср;
ds т ds r
1 I
. P=0; <7i=0; pi= - ; 4— — — •
A2 /<1
Подставив эти значения в формулу для геодезического кручения кривой,
получим
р" = I — — — ) sin ср cos ср. (60)
\ K2 Al I
Чтобы перейти от полученного выражения для «геометрического» геодезиче-
ского кручения кривой к «кинематическому» геодезическому кручению, необхо-
димо ввести в качестве множителя скорость движения текущей точки по кривой:
• /1 1 \ .
Л<ин = «(яз - — ] sin ср cos».
(61)
60
Можно установить связь между геодезическим кручением кривой, лежащей
на поверхности, и кручением ее.
Введем в рассмотрение трехгранник Дарбу, одна из осей которого в каса-
тельной плоскости совпадает с касательной к кривой. Этот трехгранник получает-
ся из трехгранника Френе поворотом вокруг касательной к кривой на угол 6,
который представляет собой угол между главной нормалью к кривой и нормалью
к поверхности.
Очевидно, что скорость вращения трехгранника Дарбу вокруг касательной
при движении текущей точки по кривой, равная геодезическому кручению кри-
вой, будет представлять собой алгебраическую сумму скорости вращения трех-
гранника Френе вокруг касательной, равной кручению кривой, и скорости изме-
нения угла между главной нормалью к кривой и нормалью к поверхности:
В случае, если кривая является геодезической (для которой 6 всегда равна
нулю) или такой линией, для которой 0 const, геодезическое кручение кривой
равно ее кручению. Следовательно, в этом случае имеет место уравнение:
_1_
Р1
sine? COS
(62)
Для пояснения связи между геодезическим кручением кривой и кривизной
поверхности в направлении, перпендикулярном к касательной к кривой, приведем
следующее соображение. Бесконечно узкую полосу поверхности, на которой лежит
данная кривая, можно рассматривать как огибающую поверхность для касатель-
ных плоскостей трехгранника Дарбу при движении его вершины вдоль кривой
и вращающегося вокруг касательной к кривой со скоростью, соответствующей
геодезическому кручению кривой. В этом случае очевидно, что кривизна поверх-
ности в направлении, перпендикулярном к касательной к кривой, находится
в строгом соответствии со скоростью вращения трехгранника Дарбу вокруг каса-
тельной. Если эта кривизна поверхности будет меньшей, то вращение трехгран-
ника Дарбу не может происходить с необходимой скоростью, и, следовательно,
данная кривая не будет лежать на поверхности.
Однако вполне возможно увеличение кривизны (т. е. уменьшение радиуса
кривизны) для поверхности в направлении, перпендикулярном касательной, при
этом никакого ограничения для движения трехгранника Дарбу не накладывается,
так как скорость вращения его вокруг касательной к кривой может быть больше
необходимой величины. Следовательно, данная кривая всегда будет лежать на
поверхности с кривизной, в направлении, перпендикулярном касательной, боль-
шей, чем кривизна поверхности, огибающей касательные плоскости движущегося
трехгранника Дарбу.
В связи со сказанным, приведенные выше выражения для геодезического
кручения кривой надо рассматривать как предельные и их следует записывать
в форме неравенств:
или
“““"I sin? cos ? > р”
/ 1 1 Л
U \Ъ ” Я?/ S1П ? C0S ? >
(63)
(64)
Рассмотрим решение задачи о движении твердого тела при
условии, что некоторая поверхность, связанная с ним, непрерывно
касается другой, неподвижной поверхности.
Как уже говорилось выше, в самом общем виде задача о дви-
жении твердого тела при условии, что некоторая поверхность, свя-
61
занная с ним, непрерывно касается другой неподвижной поверхно-
сти, является совершенно неопределенной. Чтобы задача была опре-
деленной, необходимо дополнительно наложить еще четыре условия
связи*.
В соответствии с разрабатываемой теорией зацепления этими
условиями являются задание контактных линий на обеих поверхно-
стях и задание скоростей перемещения контактных точек по контакт-
ным линиям. В результате решения задачи должны быть найдены
величина и направление скорости вращения твердого тела в зависи-
мости от кривизн поверхностей и заданных законов перемещения
контактных точек.
Задача решается с помощью кинематического метода И. И. Со-
мова, развитого для применения к самому общему случаю задачи
при поставленных дополнительных условиях (И. И. Сомовым рас-
сматривается только частный случай, когда касательные, проведен-
ные к контактным линиям в общей точке контакта, совпадают).
Введем обозначения:
S — неподвижная неизменяемая поверхность;
S' — подвижная неизменяемая поверхность;
Af — точка касания поверхностей в момент времени /;
М' — точка касания поверхностей в момент времени t + dt\
Mt — положение, в которое перейдет точка М в момент вре-
мени t + dt, будучи неизменно связанной с S'.
На фиг. 19 изображен кусок неподвижной поверхности S с рас-
положенной на ней контактной линией АА. Подвижная поверх-
ность S' вместе с принадлежащей ей контактной линией ВВ изобра-
жается на чертеже в двух положениях для момента времени t и для
момента времени t + dt.
Движение от М к АГ будем считать абсолютным, происходящим
со скоростью и.
62
Движение от М к будем считать переносным, происходящим
со скоростью w.
Движение от М\ к М' будем считать относительным, происходя-
щим со скоростью V.
При бесконечно малом промежутке времени dt скорости движе-
ния и, w, v лежат в одной плоскости, являющейся общей касатель-
ной плоскостью к обеим поверхностям, так как составляющие ско-
ростей и, w, v по нормали представляют собой бесконечно малые
величины высших порядков. Доказательство этого можно найти у
Д. К. Бобылева [35].
Абсолютная, переносная и относительная скорости связаны
между собой следующим уравнением:
и = м + V,
Если угол Я между касательными к контактным линиям в точке
контакта всегда равен нулю, то скорости и, w, v всегда направлены
по одной прямой.
В этом случае при w — 0 имеет место качение поверхности S'
по S. Скорость перемещения точки контакта по обеим контактным
линиям одинакова:
u = v.
Если v = 0, то поверхность S' скользит одной точкой (без пере-
катывания) по поверхности S со скоростью и — w, и, наконец, если
и = 0, то поверхность S' трет в одной точке поверхность S со ско-
ростью W = —V.
Следует добавить, что, кроме перекатывания и скольжения, бу-
дет в общем случае иметь место еще верчение поверхности S' отно-
сительно S. Верчение будет отсутствовать лишь в случае, когда обе
контактные линии являются геодезическими линиями на поверх-
ностях.
В настоящей задаче рассматривается наиболее общий случай,
когда угол & между касательными к контактным линиям не равен
нулю. При этом будут иметь место все виды относительного движе-
ния между поверхностями: продольное и поперечное скольжение (по
отношению к контактным линиям), качение и верчение.
С подвижной поверхностью S' связана некоторая неизменяемая
система точек (твердое тело). При заданных поверхностях S и S'
и контактных линиях на них, а также при известных скоростях дви-
жения и и v точки контакта вдоль контактных линий, система точек,
связанная с поверхностью S', совершает вполне определенное дви-
жение. Это движение относительно- неподвижной системы координат
будем считать абсолютным, представляющим собой геометрическую
сумму переносного и относительного движения.
Скорость какой-либо точки N, имеющей постоянные координаты
в рассматриваемой неизменяемой системе, в абсолютном, относи-
тельном и переносном движениях, равна геометрической сумме ско-
63
рости точки Л'1 и вращательной скорости вокруг точки М соответ-
ственно для каждого из упомянутых выше движений.
Обозначим:
U, W, V — вращательные скорости точки W в абсолютном,
переносном и относительном движениях.
(Под вращательной скоростью понимается линейная скорость
точки, обусловленная наличием вращательного движения).
Тогда соответствующие суммы представляют собой:
и + U — полную скорость точки N в абсолютном движении;
w + W — полную скорость точки N в переносном движении;
v + V — полную скорость точки N в относительном движении.
Из двух следующих векторных уравнений:
и + U = w + W + v + V;
и = <w v
получаем такое уравнение для вращательных скоростей точки ЛЛ
и = W + V.
На основании последнего уравнения можно сказать, что угло-
вая скорость вращения неизменяемой системы, связанной с поверх-
ностью S', в абсолютном движении есть геометрическая сумма угло-
вых скоростей вращения в переносном и относительном движениях.
Если обозначить угловую скорость:
— абсолютного движения;
— переносного движения;
% — относительного движения, то имеем
(65)
В справедливости этого уравнения можно убедиться_следующим
образом. Все три вектора вращательных скоростей U, W, V лежат
в одной плоскости Р, проходящей через точку N. Проведем парал-
лельно этой плоскости через точку М плоскость Q и опустим на нее
из точки W перпендикуляр NL. В точку L, являющуюся основанием
перпендикуляра NL, перенесем все три вектора угловых скоростей
Это всегда можно сделать, так как векторы угловых ско-
ростей _являются свободными векторами. Очевидно, что все три век-
тора (<%, (dw, wj будут лежать в плоскости. Построив параллело-
граммы из векторов % и W, V и найдя суммарные векторы
и U, на основании подобия параллелограммов убеждаемся в спра-
ведливости приведенного выше уравнения для (см. фиг. 20).
Действительно, если правую и левую части этого уравнения
умножить векторным образом на NL, то получим
< ОИ XNL — (<В№ 4- <%) X NL = X ML -|- <ov X NL,
64
т. е.
U=w+ К
Зная главные кривизны поверхностей S и S' в точке М, кривиз-
ны и геодезическое кручение контактных линий ЛШ' и М1ЛГ и ско-
рости ji и v контактных точек, можно определить угловые скорости
и а по ним — угловую скорость из уравнения:
(О ' (О —
W U 1
Введем в рассмотрение две ортогональные системы осей коор-
динат Mxyz и AfxjZ/jZi, связанные с неподвижной и подвижной по-
Ось х совпадает с направлением касательной к контактной
линии АА.
Ось Х[ совпадает с направлением касательной к контактной
линии ВВ.
Оси у и у{ лежат в общей касательной плоскости и перпенди-
кулярны соответственно осям х и Xi (фиг. 21).
Пусть
С\ и С2 — главные кривизны поверхности S в точке М, знак
кривизны соответствует знаку аппликаты центра
кривизны;
С/ и С2 — главные кривизны поверхности S (как известно,
кривизны являются обратными величинами радиу-
сов кривизны, т. е.
— ; С2 = —
1
ср и ср'— углы, составленные направлением оси х или г?
с направлениями касательных к главным нормаль-
ным сечениям, которым принадлежат кривизны
С\ и С/;
5. М. Л. Новиков.
65
С и С' — кривизны сечений поверхностей S и S' плоскостями
Mxz и Mxizr,
О и 0'— углы между нормалью к поверхности, и главными
нормалями соответственно к кривым АА и ВВ\
Ри* ги — проекции на оси х, у, z угловой скорости ;
pv, qv, rv — проекции на оси уъ Zi угловой скорости %;
pw , qw, rw — проекции на оси х, yf z угловой скорости ;
Д’ и /<' — кривизны контактных линий на поверхностях
S и S'.
Связь между кривизной контактных линий и кривизной нор-
мального сечения поверхности, когда нормальная секущая пло-
скость проходит через касательную к контактной линии, будет сле-
дующей:
С = К cos 9; С' = К' cos 0'.
Геодезическая кривизна контактных линий равна:
C^ = /CsinO; Cg' = К' sin 0'.
Геодезическая кривизна контактной линии через нормальную
кривизну выражается так:
^=Ctg6; C/=C'tg6'.
В результате будут иметь место равенства:
c-tg 6 = ATsin 0; C'tgO, = /</sin0/.
Теперь нетрудно написать, исходя из кинематических соображе-
ний, выражения проекций угловой скорости на оси х, у, z
(фиг. 22):
Рв=«^;
Чи=— иС;
/*о ^Cg •
Первое уравнение представляет собой выражение для угловой
скорости вращения трехгранника Дарбу вокруг касательной к кри-
вой, которая равна геодезическому кручению кривой по Бонне. Вто-
рые два уравнения написаны по аналогии с выражением для компо-
нента скорости вращения по бинормали трехгранника Френе.
Точно таким же образом можно написать выражения для про-
екций угловой скорости % на оси
Pv = vKlgi
qv=-vC';
rv = -vCg'.
На основании полученного ранее уравнения
О) ~—• О) (D
w и V
66
можно получить следующие выражения для проекций угловой ско-
рости <ow на оси х, у, z (фиг. 23):
pw =Ри - (Рг> cos & 4- q„ sin &);
Qw = Qu “ cos & - pv sin &);
rw = ru — rv.
Подставив в эти формулы написанные выше выражения для
Ао <7«. ги и pv, qv, rv, получим:
pw = uKig — vKjg cos & + vC sin &;
qw=—uC-j-vC' cos &+ vK’Xg sin 0;
(66)
rw uCg vCg •
Фигурирующие в этих формулах нормальные и геодезические
кривизны и геодезическое кручение контактных линий С, С, Cg, С'
и KXg, KXg можно исключить, выразив их через главные кривизны
поверхностей, что всегда возможно сделать, имея в виду, что в дан-
Для этого необходимо воспользоваться формулой Эйлера:
С = С1 cos2 ср + С2 sin2 <р;
С' = Сх cos2 f' + С2' sin2 <р',
а также воспользоваться формулами для геодезического кручения
кривой по Бонне:
Klg=(C2 — GJ sin <р cos ср;
KXg = (С2'~ С/) sin <р'cos ср'.
„ 67
Подставив эти значения С, С' и K\gi K^g в формулы для
Pw, <7w> будем иметь:
pw = u (С2 — С\) sin cos © — v (С2' — С/) sin ср' cos ср' cos 8 +
+ (С/ cos2cpz + С2 sin2ср') sin
qw— — и (С\ cos2<р + С2 sin2 ср) 4- v (С/ cos2 ср' + С2' sin2 ср') cos & +
4- v (С/ — С/) sin ср' cos <р' sin &;
rw = и (С\ cos2 ср + С2 sin2 ср) tg6 — v (С/ cos2 ср' 4- С2'sin2 <р') tg б'.
В результате получены окончательные формулы для проекций
вектора угловой скорости на оси х, у, z, выраженные через ско-
рости движения точки контакта по неподвижной и подвижной по-
верхностям и и у, главные кривизны поверхностей С2 и С/, С2',
угол между касательными к контактным линиям &, углы между
касательными к контактным линиям и первь/ми главными направле-
ниями ср и ср', углы между главными нормалями к контактным
линиям и нормалями к поверхностям 6 и О'.
Как указывалось, при рассмотрении движения точки контакта М
скорости w, W и являлись скоростями переносного движения.
Однако из этих трех скоростей скорость вращения имеет отно-
шение не только к движению одной лишь точки контакта, но и
к движению всей подвижной поверхности S и связанной с ней неиз-
меняемой системой (твердым телом). Для всей подвижной неизме-
няемой системы угловая скорость имеет смысл абсолютной ско-
рости вращения, так как неизменяемая система имеет лишь только
одно абсолютное движение.
После определения абсолютной угловой скорости вращения под-
вижной неизменяемой системы при известных контактных линиях и
известных скоростях движения точек контакта по ним решение
задачи о движении неизменяемой системы, при выше сформулиро-
ванных условиях, является законченным.
Таким образом решена задача о движении твердого тела при
условии, что некоторая поверхность, связанная с ним, непрерывно
касается другой неподвижной поверхности, причем в качестве допол-
нительных условий являются заданными контактные линии и ско-
рости движения по ним точек контакта. Результат решения этой
задачи, представляющий собой зависимости, состоящие только из
конечных величин (не дифференциалов), может быть непосредствен-
но использован в задаче о кривизне сопряженных поверхностей при
известном относительном их движении.
При известном движении двух неизменяемых систем и при
заданном законе движения точки зацепления в неподвижном про-
странстве получаются вполне определенные контактные линии и
вполне определенные скорости движения и и v точек контакта по
ним. Совершенно нетрудно в этом случае определить положения
касательных к каждой контактной линии в общей точке контакта,
а также угол между ними
68
Точно так же, без особых затруднений, можно определить поло-
жение общей нормали к сопряженным поверхностям, которая дол-
жна быть перпендикулярна к обеим касательным. Далее, можно
найти положение главных нормалей к контактным линиям и опреде-
лить углы 6 и О' между этими главными нормалями и общей нор-
малью к сопряженным поверхностям. Затем, найдя кривизны кон-
тактных линий и зная углы 0 и О', определяются нормальные и тан-
генциальные кривизны С, С', Cgi Cg контактных линий, которые
всеми своими точками должны лежать на сопряженных поверх-
ностях.
Чтобы иметь возможность использовать результат решения пре-
дыдущей задачи, необходимо произвести кинематическое обращение
рассматриваемой задачи. Для этого мысленно сообщим неподвиж-
ному пространству, в котором зафиксированы оси вращения данных
двух неизменяемых систем, вращательное движение вокруг оси вра-
щения первой системы со скоростью —Тогда первая неизменяемая
система вместе с принадлежащей ей контактной линией будет не-
подвижной, а вторая неизменяемая система будет совершать слож-
ное вращательное движение с угловой скоростью 2, равной геоме-
трической сумме векторов действительных угловых скоростей
и о>2 той и другой неизменяемых систем, причем эта суммарная угло-
вая скорость 2 в данном случае будет абсолютной скоростью вра-
щения.
Разложим угловую скорость 2 на компоненты rw вдоль
следующих трех направлений: по касательной к первой контактной
линии, по перпендикуляру к этой касательной, расположенному
в общей касательной плоскости, и по общей нормали к сопряжен-
ным поверхностям.
Теперь обратимся к результатам решения предыдущей задачи,
представленным в форме уравнений (66), и применим их к данному
случаю:
pw—uKig — cos & + vC' sin
qw=- uC + vC' cos » + vK’gsin (66)
rw = uCg — vCg'.
Третье из написанных равенств является тождеством. Это тож-
дество обусловлено способом образования контактных линий, о ко-
тором неоднократно говорилось выше.
В первых двух уравнениях фигурируют две неизвестные вели-
чины KXg и Klgi являющиеся геодезическим кручением контактных
линий по Бонне. То обстоятельство, что геодезические кручения кон-
тактных линий представляют собой неизвестные величины, является
совершенно естественным, так как, пока сопряженные поверхности
не будут вполне определенными, не представляется возможным гово-
рить о геодезическом кручении контактных линий, поскольку изве-
стно, что геодезическое кручение пространственной кривой зависит
не только от самой кривой, но и от той поверхности, на которой она
расположена.
(9
Из первых двух приведенных уравнений (66) можно найти сле-
дующие выражения для неизвестных величин геодезического круче-
ния контактных линий:
K}g = —+ uC — vC' COS &);
* v sin &
Kig — — ‘t'C'sin & + ctg & (qw + uC — vC' cos ].
(68)
Если теперь воспользоваться формулами для геодезического
кручения кривой по Бонне, а также использовать зависимости, со-
ставленные на основании формулы Эйлера, в которой текущая нор-
мальная кривизна поверхности выражается через кривизну кривой
посредством теоремы Менье, то получим следующие четыре урав-
нения, накладывающие связь на величины, определяющие кривизны
сопряженных поверхностей:
Klg = (С2 — CJ sin <р cos ср;
Л’и=(С2' — С/) sin ср'со.^';
К cos 0 = С\ cos2 ср + С2 sin2 ср;
/С cos 6' = С/ cos2 ср' + С2' sin2 <р'. ,
В этих уравнениях имеется шесть неизвестных величин: Сь С2,
<р> С/, С2, Совершенно очевидно, что все шесть величин из четы-
рех уравнений не могут быть определены, и, следовательно, задача
об отыскании кривизн сопряженных поверхностей, при которых обес-
печивался бы заданный закон относительного движения неизменяе-
мых систем, является не вполне определенной.
Таким образом, в общем случае пространственного точечного
зацепления не существует определенной зависимости между кривиз-
нами сопряженных поверхностей и относительной скоростью вра-
щения, а также другими параметрами, характеризующими зацепле-
ние, в противоположность плоскому зацеплению, где такая зависи-
мость имеет место в виде теоремы или уравнения Эйлера—Савари.
Чтобы задача была определенной, необходимо задать еще две
зависимости для С2, <р5 С/, С2, которые могут быть более
или менее произвольными. При этом условии для пространствен-
ного точечного зацепления можно говорить о зависимости, анало-
гичной уравнению Эйлера—Савари в плоском зацеплении, но,
вообще говоря, таких зависимостей может быть достаточно много,
поскольку два дополнительных условия связи являются произволь-
ными.
Уравнения (69), показывающие неопределенность величин,
определяющих кривизны сопряженных поверхностей, служат анали-
тическим доказательством того, что способ Оливье не является наи-
более общим методом образования сопряженных поверхностей при
точечном контакте. Действительно, в случае образования сопряжен-
70
них поверхностей по принципу огибания с помощью движущейся
вспомогательной поверхности, общей для обеих сопряженных
поверхностей, кривизны этих поверхностей в точке контакта будут
совершенно определенными величинами. Однако уравнения (69)
дают основание заключить, что правильное зацепление может быть
при ряде самых различных соотношений в кривизнах сопряженных
поверхностей.
Для дальнейшего целесообразно выразить главные кривизны Ci
и С2 через угол ср и соответственно кривизны С/ и С'2 через угол ср'..
Для этого напишем сначала выражения для С2 и С2 из второй пары
уравнений (69):
г _ К cos 0 _ r cos2 ср )
2 sin2 ср 1 sin2 ср’ I
1 (69')
г , К' cos 6' г , COS2 Ср'
sin2 ср' sin2 ср' J
Подставив эти выражения в первую пару уравнений (69), после
преобразования получим
KXg = (К cos 6 — ^) ctg ср;
= (К' cos 6' — Ci') ctg ср',
откуда имеем
Ci=/Ccos6 — /<igtgcp;
Ci' = /Ccos0'+A^tg ср'.
Введем в формулы (69) найденные выражения для Ci и С/ и
получим
С2 = К cos 0 + ctg ср;
С/ = К' cos 6' + K[g ctg ср'.
В результате выведены весьма важные и очень простые фор-
мулы для главных кривизн сопряженных поверхностей. В этих фор-
мулах главные кривизны поверхностей выражаются через кривизну
и геодезическое кручение контактных линий, а также через угол
между главной нормалью к контактной линии и нормалью к поверх-
ности и угол между касательной к контактной линии и первым глав-
ным направлением на поверхности. Целесообразно еще раз написать
эти формулы, сгруппировав их соответственно для первой и второй
сопряженных поверхностей:
C2 = /CcosO +/Cigctg<f; I
C/ = ^cos6' —^tgcp'; |
; (71)
С/ = K' cos 6' + Kig ctg </. J
71
На фиг. 24 графически представлена зависимость первой и вто-
рой главных кривизн сопряженной поверхности от угла <р для
случая, когда величины К cos 0 и положительны.
Рассмотрим индикатрисы Дюпена для контактных точек сопря-
женных поверхностей. Как известно, обыкновенные точки поверхно-
сти могут быть трех типов: гиперболического, параболического и
эллиптического (особые точки не представляют интереса, так как
они, исходя из практических соображений, совершенно непригодны
для зацепления. С математической стороны особые точки' характе-
ризуются условием, что в них первые или вторые дифференциалы
функций, описывающих поверхности, равны нулю). Гауссова кри-
визна поверхности, равная произведению нормальных кривизн
поверхности вдоль главных направлений, в гиперболических точках
является отрицательной, в параболических равна нулю и в эллип-
тических точках положительна. Из приведенных выше формул для
главных кривизн, а также из фиг. 24 видно, что тип точек сопряжен-
ных поверхностей и вообще кривизна их зависят от величины и зна-
ков JCcosG и (К' cos 6' и и от значения угла ср (ср').
Кривизна сопряженной поверхности, определенная по указан-
ным формулам, полностью соответствует кривизне и кручению кон-
тактной линии.
Приведем в качестве примера индикатрисы Дюпена (фиг. 25)
для первой сопряженной поверхности при различных значениях
угла ср в соответствии со случаем, представленным на фиг. 24.
72
Все эти индикатрисы преходят через две постоянные точки на
оси х, которые можно назвать исходными точками, соответствую-
щими значению радиуса кривизны, равному:
С К cos о
Подобного рода индикатрисы могут быть построены и для вто-
рой сопряженной поверхности.
При изменении угла ср кривизна поверхности, как это видно по
индикатрисам, сильно меняется.
Фиг. 25
При = 0 сопряженная поверхность вдоль контактной линии
состоит только из особых точек, т. е. представляет собой острый
криволинейный гребень. При углах > 0 точки сопряженной поверх-
ности, образующие контактную линию, вначале являются эллипти-
ческими (радиусы кривизны для любых направлений имеют одина-
ковый знак), причем по мере возрастания угла ср главные радиусы
кривизны увеличиваются. При некотором значении угла <р один из
главных радиусов делается равным бесконечности и эллиптическая
точка поверхности превращается в параболическую. При дальней-
шем возрастании угла 9 точки контактной линии на сопряженной
поверхности становятся гиперболическими, при этом главные ра-
диусы кривизны имеют различные знаки, и поверхность имеет седло-
73
к
образный вид. Когда угол ср приобретает значение —, гиперболи-
2
ческие точки вырождаются в особые. В процессе изменения угла 7
гс
от нуля до значения, равного —, первый и второй главные радиусы
кривизны проходят последовательно следующие значения:
/?i = Н--------и + 00 -> — оо-7-О;
/^cos О
При дальнейшем возрастании угла ср от — до гс кривизна
поверхности изменяется в порядке, обратном рассмотренному. Пол-
ный цикл изменения кривизны поверхности соответствует изменению
значения угла ср от нуля до к.
В случае, если знаки величин К cos 0 и К\д не будут одновре-
менно положительными (как это было принято при рассмотрении
выше), то характер индикатрис точек поверхности будет в основном
таким же, но цикл изменения их будет другим.
Произведем наложение друг на друга индикатрис Дюпена для
сопряженных поверхностей $ и S' в их общей точке контакта
(фиг. 26). При рассмотрении этих взаимно наложенных индикатрис
видно, что можно добиться путем соответствующего выбора угла
чтобы индикатриса для поверхности S проходила бы через исходные
точки индикатрисы поверхности S', и аналогично путем выбора
угла ср' добиться, чтобы индикатриса для поверхности S' проходила
бы через исходные точки индикатрисы поверхности S (фиг. 27). Эти
условия аналитически можно записать так:
К'cos О' = Сг cos2(ср +&) + C2sin2 (ср + &); 1
/Ceos0 = С/ cos2 (ср'— &) + С2 sin2(ср' — &)J
(72)
Приведенные два уравнения можно считать двумя дополнитель-
ными зависимостями, которые совместно с четырьмя ранее выведен-
ными (69) или (70) и (71) позволяют однозначно определить все
шесть неизвестных величин: С2, <р, С/, С2', <р'. Следует добавить,
что, вообще говоря, можно составить два аналогичных уравнения
для равенства нормальных кривизн сопряженных поверхностей не
только для двух направлений, совпадающих с направлением каса-
тельных к контактным линиям, а для двух других любых направле-
ний. Таким образом, с теоретической стороны всегда может быть
обеспечено в общей точке контакта совпадение нормальных кривизн
сопряженных поверхностей в двух направлениях.
Однако в действительности для сопряженных поверхностей тре-
буется иметь в их общей точке контакта не только правильное мате-
матическое касание (т. е. совпадение касательных плоскостей), а
74
необходимо еще иметь условия для правильного физического каса-
ния, иначе говоря, требуется, чтобы сопряженные поверхности
в окрестности общей точки контакта не пересекались бы между со-
бой. Но, обратившись к фиг. 27, на которой изображен случай кон-
такта эллиптической и гиперболической точек, нетрудно убедиться^
что в случае равенства кривизны сопряженных поверхностей в двух
общих направлениях имеет место пересечение индикатрис, указы-
вающее на наличие взаимного пересечения поверхностей. Это пере-
сечение получается в секторе'с углом & между осями х и х{. Указан-
Фиг. 27
ное пересечение будет также и в случае контакта двух эллиптиче-
ских или двух гиперболических точек. Это обстоятельство приводит
к тому, что при реальной касании материальных сопряженных по-
верхностей равенство кривизны может быть только в каком-либо
одном направлении, чтобы избежать взаимного внедрения тел, огра-
ниченных сопряженными поверхностями. Следовательно, для реаль-
ных сопряженных поверхностей всегда может быть получен
локальный контакт линейчатого характера.
Линейчатый локальный контакт для сопряженных поверхностей
всегда может быть получен при достаточно произвольном законе
движения точки зацепления. Однако, если наложить дополнительные
ограничительные условия к закону движения точки зацепления, iо
могут быть получены такие значения величин К, К',К^ 6, О',
при которых может быть полное совпадение индикатрис кривизны
обеих сопряженных поверхностей в общей точке контакта, т. е. мо-
жет быть получен локальный контакт поверхностного характера.
Полное совпадение индикатрис будет при следующих трех
условиях:
=& С1 = С1 \ •
75
(73)
На основании этих равенств могут быть написаны следующие
два уравнения:
/Ceos 9 — Klg tg f = К' cos 6' — K^g tg (& + <?) 5
Кcos 0 4- Klg etg <p = Kr cos O'+ZC^ctgP + <p).
Эти уравнения могут рассматриваться как дополнительные
ограничительные условия к закону движения точки зацепления, не-
обходимые для обеспечения локального контакта поверхностного
характера.
В заключение настоящего параграфа необходимо еще раз под-
черкнуть важнейший вывод о том, что при самом общем способе
образования сопряженных поверхностей для точечного зацепления
всегда можно получить локальный контакт линейчатого характера,
а при некоторых дополнительных ограничениях к достаточно произ-
вольному закону движения точки зацепления может иметь место
локальный контакт поверхностного типа. Этот вывод имеет чрезвы-
чайно большое практическое значение.
Приведенное выше изложение вопросов точечного зацепления
относится к случаю, когда сопряженные поверхности имеют наи-
меньшую возможную кривизну. В частности, предполагалось, что
кривизна поверхности в направлении, перпендикулярном к каса-
тельной к контактной линии, в точности соответствует геодезиче-
скому кручению контактной линии (69). Однако упомянутая кри-
визна сопряженных поверхностей может быть изменена в сторону
увеличения при полном удовлетворении требований кинематики,
имея в виду односторонний незамкнутый характер высшей кине-
матической пары в зацеплении зубцов. Одновременное соответствен-
ное уменьшение радиусов кривизны для сопряженных поверхностей
обоих зубцов с точки зрения контактной прочности в ряде случаев
не будет иметь отрицательного эффекта. В связи со сказанным
уравнения (69) превращаются в неравенства следующего вида:
(С2 — CJ sin ср cos ф > KXg;
(С2' — С/) sin <р' cos ср' > K^g .
Что касается кривизны сопряженных поверхностей в направле-
нии касательных к контактным линиям, то она всегда должна быть
в полном соответствии (по теореме Менье) с кривизной контактной
линии.
Данное замечание о возможности увеличения кривизны сопря-
женных поверхностей позволяет еще более свободно выбирать
поверхности для зубцов при точечном контакте и облегчает нахож-
дение наивыгоднейшей системы точечного зацепления для каждого
конкретного случая зубчатой передачи.
Выше указывалось, что индикатрисы радиусов кривизны сопря-
женных поверхностей при взаимном наложении не должны пересе-
каться между собой. Однако, для некоторых конкретных видов
поверхностей пересечение индикатрис все же может быть допусти-
мым. В этих случаях будет иметь место взаимное касание поверх-
ностей в двух точках, расположенных в непосредственной близости
76
от теоретической точки контакта, в которой нормали к сопряженным
поверхностям совпадают между собой и имеют направление, удов-
летворяющее основной теореме зацепления. Совпадающие нормали
в фактических точках контакта не будут перпендикулярными пло-
скости, в которой лежат векторы скоростей движения точек зацеп-
ления вдоль теоретических контактных линий. Индикатрисы радиу-
сов кривизны в фактических точках контакта не должны пересекать-
ся между собой. С точки зрения контактной прочности такие случаи
зацепления могут быть иногда более выгодными, чем нормальное
точечное зацепление.
5. ОБ ИНТЕРФЕРЕНЦИИ СОПРЯЖЕННЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Выше были рассмотрены теоретические вопросы, имеющие
отношение к образованию сопряженных поверхностей и к установ-
лению минимальных обязательных требований к ним, в случае про-
странственного точечного зацепления. Однако полученные теоре-
тические положения, выведенные на основе кинематического прин-
ципа обеспечения заданного относительного движения, не дают воз-
можности полностью определить сопряженные поверхности, т. е. не-
позволяют до конца найти функции, описывающие поверхности, и
однозначно вычислить все параметры этих функций для каждого
конкретного случая.
Это обстоятельство является закономерным. Как известно,
в случае плоского зацепления, профили в общем случае также не
являются определенными. Число пар сопряженных профилей, могу-
щих образовывать правильное плоское зацепление, равно со. В слу-
чае точечного пространственного зацепления эта неопределенность
будет еще большая. В связи с дополнительной степенью свободы
(по сравнению с плоским зацеплением) для пространственного
зацепления число пар сопряженных поверхностей должно быть рав-
но со2, а, принимая во внимание тот факт, что характер точечного
зацепления может быть самым разнообразным, начиная от предель-
ного точечного с приведенными главными радиусами кривизны, рав-
ными нулю, и кончая точечным зацеплением поверхностного типа
с приведенными радиусами кривизны, равными бесконечности, число
пар сопряженных поверхностей будет определяться количеством,
равным со3. Следовательно, задача об отыскании сопряженных
поверхностей связана с некоторой произвольностью в отношении
выбора ряда функций и параметров, определяющих поверхности.
Этот выбор должен производиться со всесторонним учетом всех тре-
бований прикладного характера в соответствии с каждым конкрет-
ным случаем задания при проектировании и расчете зубчатой пере-
дачи. Установление конкретных сопряженных поверхностей, удовлет-
воряющих не только требованиям кинематики, а наилучшим образом
отвечающих всем требованиям прочности (в частности, контактной),
экономичности, технологии, эксплуатации и пр., является большой
самостоятельной проблемой, выходящей за рамки теории зацепле-
ния и относящейся к общей теории зубчатых передач.
Последним требованием, которому должны удовлетворять со-
77
пряженные поверхности, является требование отсутствия интерфе-
ренции поверхностей зубцов. В настоящем параграфе этот вопрос
будет рассмотрен только с принципиальной стороны. Детальное
решение его является сравнительно простым, оно может быть доста-
точно разнообразным и потому особого интереса не представляет.
Величина рабочих участков поверхностей зубцов (т. е. участков,
на площади которых происходит фактическое касание зубцов в связи
с наличием контактных и других деформаций, имеющих место под
действием приложенных нагрузок) выходит за пределы дифферен-
циальной окрестности контактных точек. Поэтому для правильного
зацепления реальных зубцов, кроме обеспечения соответствующего
взаимного соприкосновения их поверхностей в номинальной точке
зацепления, необходимо предусмотреть, чтобы возможные линии
пересечения сопряженных поверхностей не находились бы на тех их
частях, которые образуют боковые (рабочие) стороны зубцов. Если
эго условие не будет выполняться, то касание зубцов в номиналь-
ной точке зацепления окажется невозможным. В этом случае будет
иметь место неправильное зацепление зубцов. Правильное зацепле-
ние в номинальной точке при этом может осуществляться только
лишь при наличии взаимного внедрения тел зубцов на участках
поверхности, ограниченных линией взаимного пересечения.
Вообще говоря, могут быть сформулированы предварительные
аналитические условия для каждой сопряженной поверхности, пре-
дусматривающие отсутствие интерференции зубцов заданных раз-
меров. Суть этих условий заключается в том, что можно указать
уравнения некоторых каналовых поверхностей вокруг каждой кон-
тактной линии, внутрь которых не должны входить возможные линии
пересечения сопряженных поверхностей. Однако, поскольку чисто
аналитическое отыскание сопряженных поверхностей практически
не осуществимо по причине чрезвычайной математической сложности
задачи, то, следовательно, нет необходимости в подробном рассмо-
трении этих условий.
В связи с вышесказанным, задача об интерференции будет рас-
сматриваться как поверочная задача. Основным моментом этой за-
дачи является определение линии взаимного пересечения сопряжен-
ных поверхностей, уравнения которых считаются известными.
Для нахождения линий взаимного пересечения двух сопряжен-
ных поверхностей требуется сначала представить их уравнения
в какой-либо одной системе осей координат и затем, решая совме-
стно полученные уравнения, можно найти уравнения линии пересе-
чения. Но, имея в виду, что уравнения сопряженных поверхностей
обычно состоят из трансцендентных функций, то совершенно очевид-
но, что решить до конца систему трансцендентных уравнений не пред-
ставляется возможным. Аппр9ксимация трансцендентных функций
соответствующими алгебраическими (степенными рядами) не дает
благоприятного эффекта в смысле возможности доведения решения
до нужного результата, так как при достаточной точности аппрок-
симаций вместо трансцендентных получаются практически неразре-
шимые алгебраические уравнения высокой степени (восьмой и
78
выше) или же при разрешимых уравнениях точность решения
совершенно не имеет практической ценности. Таким образом, чисто
аналитическое определение линий пересечения оказывается невоз-
можным.
Нахождение линий пересечения сопряженных поверхностей
с необходимой точностью можно производить графоаналитическим
методом. Одним из таких методов может быть следующий. Назна-
чается ряд секущих плоскостей, перпендикулярных линии кратчай-
шего расстояния между скрещивающимися (в общем случае) осями
вращения неизменяемых "систем, причем одна из секущих плоско-
стей, основная, проходит через номинальную точку зацепления, а
другие плоскости, находясь на незначительном расстоянии друг от
друга, располагаются по обе стороны от основной плоскости. Затем
аналитически вычисляются координаты точек линий пересечения
сопряженных поверхностей с секущими плоскостями и строятся гра-
фически в крупном масштабе эти линии пересечения. Точки пересе-
чения упомянутых линий пересечения для каждой секущей плоско-
сти являются точками линий пересечения сопряженных поверх-
ностей.
При некотором опыте координаты точек линий пересечения
секущих плоскостей с сопряженными поверхностями следует искать
только лишь для небольших отрезков этих линий (в районе их пред-
полагаемого пересечения). Вычисления следует производить с боль-
шой точностью (обычно до
пятой значащей цифры), так
как угол между касательными
к линиям пересечения весьма
невелик. При больших радиусах
начальных окружностей и при
точке контакта поверхностного
типа этот угол имеет величину,
существенно меньшую одного
градуса, и небольшие ошибки
в вычислениях координат точек
линий пересечения секущих
плоскостей с сопряженными
поверхностями могут привести
к весьма большим ошибкам
в определении положения точек
линии пересечения сопряженных
поверхностей (фиг. 28).
Фиг. 28
Определив указанным методом точки линии пересечения сопря-
женных поверхностей, далее надлежит установить, находится ли эта
линия за пределами рабочих участков сопряженных поверхностей.
Исследование в отношении отсутствия интерференции в преде-
лах рабочих участков следует производить с учетом реального сбли-
жения поверхностей вследствие контактных деформаций, а также
деформаций изгиба и сдвига.
79
ГЛАВА II
ТОЧЕЧНОЕ ЗАЦЕПЛЕНИЕ ДЛЯ ПЕРЕДАЧ
С ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ОСЯМИ
1. ЗАКОН ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ ЗАЦЕПЛЕНИЯ
Законы движения точки зацепления могут быть самыми разно-
образными. Однако, исходя из практических требований, наиболее
рациональным будет самый простейший закон движения, при кото-
ром получаются наиболее удобные формы сопряженных поверхно-
стей зубцов. В качестве такого закона принимается движение точки
зацепления в неподвижном пространстве с постоянной скоростью
по прямой, параллельной мгновенной оси относительного вращения.
Для определенности будет рассматриваться случай внешнего
точечного зацепления. Первое зубчатое колесо принимается малым
(ведущим), имеющим отрицательное значение угловой скорости,
второе колесо будет иметь положительную угловую скорость.
В дальнейшем будет фигурировать передаточное отношение
между колесами, равное:
; _ _ ?2
*21-- ---- --- •
<°1
80
При внешнем зацеплении передаточное отношение будет иметь
отрицательное значение.
Введем в рассмотрение две неподвижные ортогональные правые
системы осей координат 0{X\y{z{ и 02^2^2. Оси zx и z2 в этих
системах совпадают с осями вращения зубчатых колес, оси и у2
совпадают между собой по направлению и лежат в плоскости, про-
ходящей через оси вращения колес (фиг. 29). Расстояние между
осями колес обозначим через А. Данный случай параллельного рас-
положения осей зубчатых колес отличается от самого общего случая,
рассмотренного во второй главе, тем, что угол скрещивания осей 8
равен нулю.
Формулы связи между координатами некоторой точки в той и
другой системе неподвижных координатных осей будут следующие:
*2 = *i;
у2 = У1 - А;
х1=х2;
У1 = у2 + А;
2!=22.
Кроме двух неподвижных, введем в рассмотрение еще две вра-
щающиеся системы осей координат O1xuynzu и O2x22y22z22. не-
изменно связанные соответственно с первым и вторым зубчатыми
колесами (фиг. 29). Оси 2ц и z22 совпадают с осями вращения колес
Z\ и г2, а оси и уп составляют с осями х{ и текущий угол <₽х»
равный углу поворота первого колеса, вращающегося со ско-
ростью <0; ’
Аналогичный угол ср2 имеет место между осями х22 и у22 и осями
х2 и у2:
?2 = (D2 t-
Формулы связи между координатами в системах O\X\yxzx и
О1ХцУ11 zn, а также в системах O2x2y2z2 и O2x22y22z22 были приве-
дены ранее (5), (6), (7), (8).
Мгновенная ось относительного вращения параллельна осям
колес, лежит в их плоскости и делит расстояние между осями на
отрезки, равные:
Отрезки и R2 являются радиусами начальных окружностей
зубчатых колес.
в. М. Л. Новиков.
81
Напишем уравнение линии зацепления в неподвижном про-
странстве в следующей форме:
%! = I COS ад ; у! == /?j 4- I sin ад
для системы координат 0{x{y\Z{
и
х2 = I cos ад ; у2 = — R2 + / sin ад
для системы координат O2x2y2z2,
где / — расстояние между мгновенной осью вращения и ли-
нией зацепления;
ад — угол давления в плоскости, перпендикулярной осям
(фиг. 30).
Исходя из конструктивных соображений угол давления ал прак-
тически целесообразно принимать 25—30°. Требование малых потерь
энергии на трение в передаче и малых износов устанавливает гра-
ницы для величины /, которая ,. " ж . . * .
Теперь
можно
должна быть в пределах 5—20 про-
центов от радиуса шестерни.
В качестве независимо-
го переменного принимается
угол поворота первого ко-
леса срр Обозначим буквой р\
относительную постоянную
скорость движения точки
зацепления вдоль линии за-
цепления, представляющую
собой отношение пути, прой-
денного точкой, к соответ-
ствующему углу поворота
первого колеса:
Дг
Л= — •
Д<Р1
следующим образом написать уравнения
жения точки зацепления в системе OtXiytzr.
дви-
_ х1 = 1соз»л;
У1 = Я1 + ^тад; (74)
— Pi ?i-
Аналогично в системе O2x2y2z2:
x2 = /cosaA ;
y2 = -fl + ZsinaA ; (75)
Z2--Pl •
Здесь имеется в виду, что при = 0 точка зацепления имеет
аппликату Zi = z2 = 0.
82
2. КОНТАКТНЫЕ ЛИНИИ.
СКОРОСТИ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ ЗАЦЕПЛЕНИЯ ВДОЛЬ
КОНТАКТНЫХ ЛИНИЙ
Если подставить параметрические уравнения линии зацепления
в неподвижной системе осей координат O\X\y\Z\ (74) в формулы
связи координат, то получим параметрические уравнения контакт-
ной линии во вращающейся системе осей координат Ох -ги уп гп ,
связанной с первым зубчатым колесом:
%n = I cos ад cos (— cpi) + (/?i + I sin яд) sin (— f J;
Уи = (₽ + Z sin ад) cos (— fi) — / cos sin (— f J;
zu—»
Принятое отрицательное значение скорости вращения первого
колеса учтено введением знака минус перед f!.
Окончательный вид уравнений вращающейся контактной линии
будет следующий:
хп = Z cos ад cos <рх — (/?! -t Z sin яд) sin ;
У п = (R + I sin ад) cos cpi + Z cos ап sin ;
zu=Pi <₽i-
(76)
Схема образования контактной линии приведена на фиг. 31.
Фиг. 31
Определим радиус цилиндра /?1в, на котором располагается
контактная линия. При = 0 имеем
xn = ZcosaA; уп = /?j + Z sin ад; zn = 05
тогда
/?1в = V Z2cos2flA + (/?! 4- I sin Яд)2.
6*
83
Контактная линия для первого колеса представляет собой вин-
товую линию правого хода с постоянным шагом с параметром р\.
Угол подъема винтовой линии равен:
Радиус кривизны и радиус кручения винтовой контактной линии
соответственно равны:
^в + Р12 , Я?в+Л2
Р1=—п; Pl =------------
Я1. Р1
Найдем проекции на оси хп yn zn скорости точки зацепления
при движении ее по первой контактной линии. Эти проекции равны
соответствующим первым частным производным от уравнений дви-
жения точки зацепления (76):
V.ru = -V21- = — / COS Лл sin <Р! — (/?] + / sin ад) cos ;
а?!
Vy„ = -—11 =— (Ri + I sin ад) sin «Pi + I cos ад cos <pj;
<7«Pi
(77)
Имея проекции скорости движения точки зацепления на вра-
щающиеся оси, легко определить проекции этой же скорости на не-
подвижные оси OiXiZ/iZi, воспользовавшись для этого формулами
связи (6):
I/O) = cos cpj + VVil sin (ft ;
= cos “ Vx" sin *1 ’
Подставив соответствующие значения VXll, Vy„, VZn из уравне-
ния (77), после небольших преобразований получим:
^)=_(Я1 + /81пад); va) = Zcos«,; VM=P1.
Получилось, что проекции на неподвижные оси x^yiZi скорости
точки зацепления при движении ее вдоль вращающейся контактной
линии не зависят от угла поворота колеса. Это вполне естественно,
так как при вращении контактной линии точка зацепления по ней
движется так, что все время остается на неподвижной линии зацеп-
ления, параллельной оси Zi (т. е. все точки линии зацепления имеют
постоянные абсциссу и ординату), компонент скорости вдоль оси
является постоянной величиной, следовательно, вектор полной ско-
рости все время сохраняет свою величину и направление и только
лишь происходит перемещение основания вектора вдоль линии
зацепления.
84
Абсолютная величина скорости движения точки зацепления
вдоль первой контактной линии равна:
ИК1 = Ир12 + Z2 cos2яд + (/?! + I sin ад)2 = Vрх2 + /?2В.
Направляющие косинусы этого вектора в системе координат
O\X\y{Z\, являющиеся одновременно направляющими косинусами
касательной к первой контактной линии, равны:
К1 VO) _(/?1 + ZsinaJ
cos a*1 = —- = —------ _ . ,
VK1 V pi /2 cos2 Дд _|_ I sjn aj2
, И? Z COS Яд
cos Pi1 = — = "" 1 • — ;
l/K1 VPl2 + I2 COS2 Яд 4- (/?! + I Sitl Яд)2
VW Pi
cos 7 j1 — —- = ---- -------------•
^K1 У Pl2 + /2СО82Яд + (/?! + I Sin Яд)2
(78)
Аналогичным образом можно составить все выражения, отно-
сящиеся ко второй вращающейся контактной линии, неизменно свя-
занной со вторым зубчатым колесом.
Параметрические уравнения второй контактной линии во вра-
щающейся системе осей координат О2х 22 У22z22 будут следующими:
х22 = I cos яд cos z2i 'f 1 + (— Z?i + Z sin Яд) sin z2i ?i j
У22 = (— Ri + I sin Яд) cos z2i <f 1 — I cos Яд sin i21 ;
Z22=P2 hl 'fl =P1 ?! •
(79)
При fi — 0 имеем:
Х22 = ^СО8яд; y22= — R2 -P Z sin Яд; z22 = 0.
Радиус цилиндра, на котором располагается вторая контактная
линия, равен: .____________________
Z?2b = ^Z2 cos2 Яд + (— R2 + I sin Яд)2.
Контактная линия для второго колеса представляет собой вин-
товую линию левого хода постоянного шага с параметром
*21
Угол подъема этой винтовой линии равен:
tgl2B
Р2
/?2в
Радиус кривизны и радиус кручения второй винтовой контакт-
ной линии равны:
R^+Pi . ,_R& + p?
Р2— 7Z » ?2 — •
^?2в Р2
85
Проекции йй оси x22y22£22 скорости точки зацеплений при дви-
жении ее по второй контактной линии равны:
дх
= ~У^ = ~ *21 /cos яд sin Z21 <Pj + /21( - R2+l sin яд) cos Z21 ;
Kr„ = -^L = ~hi(—Z?2+ZsinaA)sinZ21<p1— Z21/cosaacosi21 <pi;
<*Pi
t z ^^22
d<Pi
(80)
zaa
Проекции на неподвижные оси XiyiZi скорости точки зацепле-
ния, движущейся вдоль второй вращающейся контактной линии,
равны:
I/(2) = i21(_/?2 + /sinaJ;
V^) = — /21 ZcosaA;
^>=Л-
Абсолютная величина рассматриваемой скорости равна:
VK2 -= Урх2 + Z2\ Z2 cos2 ад +12! (- Я2 + Z sin яд)2 = У pi2 + Z2 Я2,.
Направляющие косинусы вектора этой скорости в системе коор-
динат OiXiy{Zi, являющиеся одновременно направляющими косину-
сами касательной ко второй контактной линии, равны:
____________Z2i (— Я2 + Z sin яд)_______.
К Pl2 + Z21?l2 COS2 Яд + 121 (“ R2 + 1 Sin Яд)2
— Z21Z cos Яд
Уpi2 + /2| Z2 cos2Яд + Z2! (— /?2 + z sin Яд)2
___________________Pi___________________.
УPl + *21 /2 COS2 «д + *21 ( ~ R2 + 1 sin ад)2 .
относительную скорость движения совпадающих
точек, расположенных на первой и второй контактных линиях. Эта
относительная скорость равна векторной разности.
УС=Й1 — 7"к2.
В координатной форме это выражение будет следующим:
= — (1 + /21) Z sin ад;
ye =VAi)_^) = (1+Z2i)Zcosafl:
ус = W) _ у(2) = 0,
^х
86
cos Яе2 = —— =
1 ук2
у(2)
COS ^2 = —Zi. =
rl I/K2
У(2)
COST?2= —— =
11 ук2
Рассмотрим
Абсолютная величина относительной скорости равнй:
Vc = /(1+Z21).
Эта формула может быть непосредственно получена при кине-
матическом рассмотрении относительного движения двух твердых
тел.
Картина расположения векторов скоростей точки зацепления
при движении ее вдоль контактных линий показана на фиг. 32.
Фиг. 32
Как уже указывалось, в качестве независимой переменной при
рассмотрении движения в зацеплении принималось не время /, а
угол поворота первого колеса <₽!, поэтому все линейные скорости
имеют размерность линейную (а не линейную, отнесенную ко вре-
мени).
Направляющие косинусы вектора относительной скорости
равны:
cos а' = — sin ад ;
cos = cos ад ;
cos = 0.
(82)
87
3. ОБЩАЯ НОРМАЛЬ К СОПРЯЖЕННЫМ ПОВЕРХНОСТЯМ
Общая нормаль должна быть перпендикулярна к касательным
к винтовым контактным линиям. Обозначив через cosa^, cosp^, cos 7^
направляющие косинусы нормали в системе осей координат
имеем следующие два уравнения:
cosa/v cos a*1 + cos р^ cos р*1 + cos 7^ cosy*1 =0;
cos cos aj2 4- cos p^ cos P“2 + cos 7^ cos y“2 = 0
и, кроме того, должно быть:
cos2 + cos2 p^ + cos2 7^ = 1.
Из этих трех уравнений необходимо найти cos a^, cosPY>cos7^.
Умножив первое уравнение на cosa^2, а второе — на cosa“i
и затем вычитая из первого уравнения второе, после преобразова-
ний получим
• cos 7^ cos ajf2 cos Pi1 — cos a*1 cos pj2
cos p^ cos a*1 cos 7J2 — cos a“2 cos 7*1
Затем, умножив первое уравнение на COS7*2, и второе — на
cos 7^ и вычитая из первого второе, найдем:
cos cos р*1 cos 7J2 — cos Pj2 cos 7i1
cos p^ cos a“2 cos 7*1 — cos a“1 cos 7У2
Третье уравнение можно написать так:
1 cos2 cos2 7^
—i—= --------L _|-----L + 1..
COS2 P^ COS2 P^ COS2 P^
cos cos 7^
Выразим отношения ------ и ------ через значения соответ-
cos р^ cos р^
ствующих направляющих косинусов:
cosa^= /со5«д +/21р, / созад= ct •
cos p* Z21(—/?2 + /sin ад)р!+ (/?! +/sin ад)р!
cos 7^ Z21 (— Z?2 + / sin ад) / cos ад — (У?, + /sin яд) i21 / cos ад ctg ад
cospf —(Ri + lsin-i2l(— T?2 + /sinад)/>1 tg7
Во время преобразований здесь было введено соотношение:
где 7 — угол подъема винтовых линий, располагающихся на
начальных цилиндрах (этот угол имеет одинаковое значе-
ние для обоих зубчатых колес).
88
„ cosa^ cosrf
Подставив найденные отношения --------- и -------— в третье
cos Р^ cos
уравнение, легко найти cos р^ и затем cos и cos 7^. В резуль-
тате имеем следующие значения направляющих косинусов общей
нормали к сопряженным поверхностям:
cosa^ =
cos р^ =
cos 7^ =
Pi cos ад_____ .
V Pi2 + /?i2c°s2aA
______A sin ад
/pi2 + /?i2cos2afl
Ri cos «д ,
V p? + ₽i2cos2aa
(83)
или
(83')
Весьма интересным является то обстоятельство, что направляю-
щие косинусы нормали зависят только от угла подъема винтовых
начальных линий 7 и угла давления ад и не зависят от размеров
зубчатых колес, передаточного числа и расстояния между линией
зацепления и мгновенной осью относительного вращения.
Для проверки целесообразно убедиться, что вектор относитель-
ной скорости Рс лежит в касательной плоскости, т. е. что он перпен-
дикулярен нормали. В этом случае должно удовлетворяться урав-
нение:
cos cos aj + cos p^ cos pj + cos 7^ cos 7J = 0. (
Если подставить в это уравнение значения входящих в него
направляющих косинусов (82) и (83), то уравнение действительно
удовлетворяется.
89
Для дальнейшего необходимо определить углы и 62, обра-
зованные нормалью с радиальными направлениями, проведенными
в точку контакта.
Направляющие косинусы радиального направления в точку кон-
такта для первого колеса будут следующими:
I COS Од
cosaw= —
Г /2 cos2 ад + (7?! + 7 sin ад)2
о R, + I sin ад
cos P/?i = — ;
V/2соз2ад + (Ri + I sin ад)2
cos 7₽1 = 0.
То же самое для второго колеса:
Iсозад
cos аЛ2 = —------ *
V /2 cos2 ад -Т (— /?2 + I sin ад)2
0 — R2 + I sin ад
cos = ----- 2 _=
V Р cos2 ад + (— R2 + / sin ад)2
(84)
(85)
COS'G?2=:0-
Косинусы углов между нормалью и радиальными
ниями равны:
cos = cos a.1? cos а₽1 4- cos 0^ cos 0₽l + cos 7^ cos ;
cos 02 = COS a” COS аЛ2 + cos pf' COS + COS 7^ COS 7/?2 .
Подставив в эти уравнения значения входящих туда направляю-
щих косинусов, получим:
COS 6; = ----===
I + Ri sin ад
.cos 62
направле-
cos ад\2
. tg7 ,
[/2 cos2 ад + (/?! + / sin ад)2]
(86)
I — /?2 sin ад
2 1
[/2соз2ад + (— /?2 + Z sin ад)2]
(87)
Определим также угол 9Z между нормалью и перпендикуляром,
опущенным из точки контакта на мгновенную ось относительного
вращения. Направляющие косинусы этого перпендикуляра равны:
cos az = cos ад;
cos 0; = sin ад;
cos 7Z = 0.
90
Тогда косинус угла 6Z равей:
cos 6Z = cos cos az 4- cos Pf^ cos pz + cos 7^ cos 7Z;
4. КРИВИЗНА СОПРЯЖЕННЫХ. ПОВЕРХНОСТЕЙ
В ТОЧКЕ КОНТАКТА
(89)
Укажем важнейшие направления в касательной плоскости,
которые будут необходимы при решении вопроса о кривизне сопря-
женных поверхностей.
В качестве исходного направления в касательной плоскости, от
которого будут отсчитываться углы для всех других направлений,
удобнее всего принять направление общей касательной в точке кон-
такта к кривым поперечного сечения сопряженных поверхностей тор-
цевой плоскостью. Это направление совпадает с направлением век-
тора относительной скорости, направляющие косинусы которого
известны (82).
Следующими важнейшими направлениями являются направле-
ния касательных к контактным линиям и направления, перпендику-
лярные к ним. Направляющие косинусы касательных к контактным
линиям, совпадающих с векторами скорости движения точки зацеп-
ления вдоль контактных линий, также известны (78) и (81).
Определим угол между исходным направлением и касатель-
ной к первой контактной линии:
cos ch = cos aj cos aj1 4- cos pj cos P“l 4- cos 7J cos 7J1;
Vpi2 + /2cos2aA + (/?! +/«1’ц.ад)2
Точно так же определим угол ф2 между исходным направлением
и касательной ко второй контактной линии:
cos ф2 = cos ai c°s a“2 + cos pj cos p*2 + :os yf cos y“2 ;
/?! sin ад — i2\l
r----------------------------------------> (91)
V P\ + *21 COS2 аД + *21 ( “ #2 + 1 Sin aд)2
угол & между касательными к контактным линиям равен:
cos & = cos a*1 cos aj2 4- cos P*1 cos pj2 4~ cos 7^ cos 7*[2 ;
cos & —
=________Pl2 — *21 P cos2 ад ~ *21 (#1 +1 sin ад) (— /?2 + / Sin ад)_
V[Pi2+/2COS2ajI+(/?1 + ZsinaA)2] [Pi2+ Z2cos2aa+ i2^-/?2+/sinaJ2]
(92)
91
COS<p2 =
или
cos & = ~ *21 /2 + ~ ^1 (^21 + 1) Sin а.
|/К1 |/к2
На фиг. 33 приведены рассмотренные важнейшие направления,
которые обозначены через (к1), (к2), (с), а также углы между
ними.
Угол ft между касательными, в связи с громоздкостью фор-
мулы, можно определять по предварительно вычисленным углам
Ф1 и ф2:
» = ф2~ф1. (93)
Направления, перпендикулярные касательным к контактным
линиям, определяются следующими углами:
к =4--
£ Z
На фиг. 33 они обозначены через
(п1) и (п2).
Нормальная кривизна
сопряженных поверхностей
в точке контакта в направ-
лении касательных к кон-
тактным линиям определяет-
ся по известным кривизнам
контактных линий, согласно
теореме Менье, следующим
образом:
Сг— — cos ;
Pi
С2 =— COS 62,
Р2
здесь Pi и р2 — радиусы кривизны первой и второй контактных
линий;
6j и 62 — углы между нормалью к поверхности в точке кон-
такта и главной нормалью к контактной линии
(совпадающей с радиальным направлением, про-
веденным в точку контакта) соответственно для
первой и второй сопряженных поверхностей.
Кривизна сопряженных поверхностей в направлениях, перпен-
дикулярных касательным к контактным линиям, должна быть в со-
ответствии с геодезическим кручением контактных линий. Последнее
зависит не только от формы самих контактных линий, но и от тех
поверхностей, на которых контактные линии расположены.
Геодезическое кручение контактных линий не может быть про-
извольным. Оно определяется в зависимости от кинематических и
геометрических параметров передачи посредством формул (68),
выведенных в предыдущей главе.
92
Приведем эти формулы в обозначениях, принятых для рассма-
триваемого конкретного случая передачи с параллельными осями:
1 / УК1 ук2 \
— ,/К9 • a p'w -I----cos 6,------cos е2 cos & ;
yK2sin»\ p! p2 '
1 / УК2
= ------cos 62 sin & + Ук2 cos &
VK1 \ p2
(68')
Определив по указанным формулам требуемые кинематиче-
скими условиями геодезические кручения Klg и K2g первой и вто-
рой контактных линий, можно далее решать вопрос о величинах
главных радиусов кривизны и положениях главных направлений
для сопряженных поверхностей, используя формулы (69) или (70)
и (71).
В формулах (68') фигурируют величины pw и qwi представляю-
щие собой проекции относительной угловой скорости на направле-
ние касательной к первой винтовой линии и на направление, перпен-
дикулярное к ней. Проекция вектора относительной угловой скоро-
сти Q0TH на касательную плоскость располагается перпендикулярно
вектору относительной скорости
скольжения (это будет пока-
зано в дальнейшем).
Величина этой проекции
угловой скорости равна:
^кач == ^отн Sin
ИЛИ
^кач==(1 ^21) COS 0/ .
(Как уже указывалось, в каче-
стве аргумента при рассмотре-
нии принят угол поворота
первого колеса <р15 а не время
поэтому угловые скорости полу-
чаются безразмерными величи-
нами).
Теперь можно написать выражения для проекций pw и qw
(фиг. 34): pw — йкач sin ; qw = ЙК8Ч cos ф1.
Подставив в формулы (68х) развернутые значения входящих
в правые части величин, после достаточно громоздких преобразова-
ний получим
к £l__ — J_ • к = * 21^1 = —
* ^В+Р!2 р/ ’ 2е ^в + Р12 Р/ ’
Этот результат показывает, что потребное с кинематической
стороны геодезическое кручение контактных линий оказывается рав-
ным во всех точках кручению контактных линий. В связи с этим
можно установить следующее общее требование: сопряженные по-
верхности должны быть такими, чтобы контактные линии, лежащие
на них, были бы геодезическими линиями или линиями, для которых
93
угол между главной нормалью и нормалью к поверхности был бы
постоянной величиной. Указанному требованию удовлетворяют пра-
вильные винтовые поверхности с постоянным шагом, линии попереч-
ного сечения которых плоскостями, перпендикулярными оси, явля-
ются одинаковыми по форме. Контактные линии являются правиль-
ными винтовыми линиями с постоянным шагом, расположенными
на круговом цилиндре.
к2
Фиг. 35
Найдя потребные из кинематических условий величины геодези-
ческого кручения контактных линий, обратимся к формулам (69),
написав их с учетом того, что кривизна поверхности в направлении,
перпендикулярном к касательной к контактной линии, может быть
больше геодезического кручения контактной линии:
— < (С2 — CJ sin ? cos ср;
Pi'
— < (С— С/) sin <₽' cos <р';
Р/
— cos 0! = Cj cos2 ср + С2 sin2 ср;
Pi
(69)
— cos62 = С/ cos2 <р' + С2 sin2 ?'•
Р2 )
Из приведенных формул следует, что на главные кривизны
сопряженных поверхностей накладываются лишь только некоторые
ограничительные условия, а величина их определяется далеко не
полностью. На фиг. 35,а и 35,6 показаны возможные индикатрисы
радиусов кривизны сопряженных поверхностей для случаев эллипти-
94
ческой и гиперболической точек контакта. Эти индикатрисы допжлы
обязательно проходить через точки на касательных к контактным
линиям, соответствующие нормальному радиусу их кривизны.
Радиус кривизны в направлении, перпендикулярном к касательной,
должен быть не больше радиуса геодезического кручения контактных
линий. Положение главных направлений, определяемое углом ф или
в общем случае может быть произвольным. Однако, если будет
выбрано в качестве сопряженных определенное семейство поверхно-
стей, то при задании кривизны в направлении, перпендикулярном
к касательной, и всех других геометрических характеристик зацеп-
ления главные направления будут уже вполне определенными. При
внешнем зацеплении в передачах с параллельными осями кривизны
сопряженных поверхностей по направлению касательных к контакт-
ным линиям имеют взаимно
направлению, перпендику-
лярному к касательным, име-
ют одинаковые знаки, при-
чем здесь имеется в виду,
что положительные направ-
ления нормалей к обеим по-
верхностям совпадают меж-
ду собой.
На фиг. 36 показаны
взаимно! наложенные) инди-
катрисы радиусов кривизны
сопряженных поверхностей.
По условию физического со-
пряжения (т. е. возможности
физического контакта) тре-
буется, чтобы в случае то-
чечного зацепления индикат-
рисы нигде не пересекались
между собой. В случае ли-
нейчатого касания (по кри-
вой линии) индикатрисы дол-
жны касаться друг друга, а
в случае контакта поверхно-
противоположные знаки, кривизны ио
стного характера должно иметь место полное совпадение индикат-
рис. Условие отсутствия пересечения индикатрис является дополни-
тельным ограничением к кривизнам сопряженных поверхностей.
Указанные выше ограничительные условия не являются сколько-
нибудь обременительными, так как геодезические радиусы круче-
ния контактных линий весьма велики по сравнению с практически
приемлемыми радиусами кривизны сопряженных поверхностей
в направлении, перпендикулярном к касательным к контактным
линиям. Поэтому выбор сопряженных поверхностей может произво-
диться достаточно свободно с учетом наилучшего удовлетворения
требований контактной и общей прочности зубцоз и наиболее рацио-
нальной технологии.
95
Исходя из обеспечения наилучшей контактной прочности, целе-
сообразно приближаться к линейчатому контакту, т. е. предусматри-
вать близкие друг к другу или в предельном случае, одинаковые по
величине радиусы кривизны поверхностей в некотором направлении,
находящемся между направлением поперечного сечения (с) и на-
правлениями (п1) или (п2). По абсолютной величине эти радиусы
кривизны должны быть такими, чтобы проекция их на плоскость,
перпендикулярную осям, была бы близка к величине расстояния I
между линией зацепления и мгновенной осью относительного дви-
жения.
Поверхностный характер контакта теоретически может быть
получен при выбранном законе движения точки зацепления (пред-
ставляющем собой равномерное движение точки по прямой, парал-
лельной осям) в случае, если будет ад = 0 и / = 0. При этом
радиусы кривизны сопряженных поверхностей по направлению сов-
падающих касательных к контактным линиям будут одинаковыми
и. равными бесконечности. В перпендикулярном направлении можно
иметь одинаковые по величине радиусы кривизны, однако по требо-
ванию отсутствия интерференции они должны быть равными нулю
и, следовательно, такая система зацепления не может иметь ценно-
сти. Следует отметить, что в практическом отношении нет надоб-
ности в поверхностном характере контакта, так как при линейчатом
контакте или близком к нему точечном контакте контактная проч-
ность в новом зацеплении получается столь высокой, что лимити-
рующей может стать уже прочность зубцов на сдвиг.
5. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СОПРЯЖЕННЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Одним из важных вопросов при образовании сопряженных
поверхностей зубцов является вопрос об интерференции их. Сопря-
женные поверхности, кроме номинального взаимного касания или
в точке (при точечном зацеплении) или по некоторой кривой (при
линейчатом зацеплении), могут пересекаться друг с другом. Необ-
ходимо найти форму и положение линий пересечения, чтобы выяс-
нить, не проходят ли они по рабочим участкам сопряженных поверх-
ностей, или установить границы рабочих участков, исходя из условий
отсутствия взаимного пересечения.
Ранее (см. гл. I, п. 5) был указан один из общих способов про-
верки в отношении интерференции. Для передач с параллельными
осями удобнее решать вопрос, об интерференции, рассматривая
линии пересечения сопряженных поверхностей плоскостями, перпен-
дикулярными осям колес. Эти линии пересечения, которые можно
назвать торцевыми профилями зубцов, являются одинаковыми по
форме для всех секущих плоскостей и различаются лишь угловым
положением. Угол, определяющий положение торцевого профиля,
пропорционален перемещению секущей плоскости вдоль оси, и, сле-
довательно, эти углы для обоих сопряженных профилей будут про-
порциональны друг другу, где коэффициентом пропорциональности
является передаточное число. Таким образом, рассмотрение задачи
96
интерференции сопряженных поверхностей сводится к рассмотрению
интерференции торцевых профилей зубцов, вращающихся в плоско-
сти поперечного сечения с заданными угловыми скоростями.
Наиболее простой формой торцевого профиля является дуга
окружности. Интерференция этого вида профилей и будет рассма-
триваться. Результаты исследования интерференции круговых про-
филей можно распространить и на другие профили, имея в виду, что
с дугой окружности имеют соприкосновение второго порядка любые
другие возможные торцевые профили и что при сравнительно малых
размерах рабочих участков все возможные торцевые профили весьма
мало отличаются от дуг окружностей.
Фиг. 37
На фиг. 37 изображены для некоторого произвольного случая
круговые профили зубцов в исходном положении, взаимно касаю-
щиеся в точке контакта М. Выпуклый профиль принадлежит пер-
вому (малому или ведущему) колесу, вогнутый профиль S2 — вто-
рому. Центры профилей находятся на линии давления, проходящей
через полюс Р.
7. М. Л. Новиков.
97
На этой же фигуре построены графическим способом линии
пересечения круговых профилей при вращении колес с заданным
передаточным числом. Предпочтение отдано графическому способу
потому, что аналитическое определение точек линий пересечения свя-
зано с предварительным решением уравнений четвертой степени и
весьма громоздкими вычислениями по довольно сложным формулам.
В то же время линии пересечения, полученные графическим спосо-
бом, вполне позволяют сделать все необходимые выводы в отноше-
нии интерференции круговых профилей.
Линии пересечения могут быть найдены следующим образом.
Отрезок 0102 на линии центров в соответствии с принятым пере-
(*>2 п
даточным отношением z2i = — делится на две части в точке Р
(D1
(полюсе). Через точку Р радиусами /?1 и /?2 проводятся начальные
окружности первого и второго колеса. Через полюс Р проводятся
также линия, перпендикулярная к линии центров и под углом дав-
ления ад к ней, линия давления РМ. На линии давления отмечается
точка Ох, которая принимается за центр окружности Si радиуса и,
образующей профили первого колеса. Через точку 01, радиусом Rx
проводится окружность центров профилей первого колеса. По окруж-
ности центров в обе стороны от точки откладываются одинаковые
по величине дуговые отрезки О, 1, 1 2 3,..., соответствующие
какой-либо определенной величине угла поворота первого колеса
Из точек Ор 1, 1, 2, 2, . . . и т. д., как из центров, радиусом г{ про-
водится ряд окружностей.
Из точки М первоначального касания обоих профилей в сто-
рону полюса по линии давления откладывается отрезок Л40ц, рав-
ный принятой величине радиуса г2 дуги профиля второго колеса.
Величина г2 принимается большей, чем величина Гь Через точку Оп
радиусом Ru проводится дуга окружности центров профилей второго
колеса. По этой окружности в обе стороны от точки Он откладыва-
ются одинаковые по величине дуговые отрезки Оц 1, 1 2, 2 3, . . .
и т. д., соответствующие углу поворота второго колеса <р2» связан-
ному с <pj соотношением ^2 = ^r 121, где z’ai < 1. Из точки Оц , а так-
же из точек 1, 1, 2, 2, 3, 3, ... на окружности центров профилей
второго колеса радиусом г2 проводятся окружности профилей зубцов
второго колеса. Окружности профилей первого колеса и окружности
профилей второго колеса имеют по две точки пересечения. Через
эти точки пересечения и проводятся линии пересечения, состоящие
из двух замкнутых ветвей L\ и L\\.
Ветвь Lx получается при движении профиля Si против часовой
стрелки (и соответственного профиля S2 — по часовой стрелке),
ветвь L\\ получается при движении профилей в обратном направле-
нии. Линии пересечения движущихся профилей S и Sn можно
рассматривать как проекции пространственных линий пересечения
сопряженных винтовых поверхностей на плоскость, перпендикуляр-
ную осям. Точками а и с выделены границы рабочих участков про-
98
филей. Сопоставляя рабочие участки профилей с линиями пересе-
чения L\ и L\\ , легко усмотреть, что линия пересечения Zu находит-
ся в значительном удалении от границы рабочих участков, однако
линия Zi входит внутрь круга радиуса Ra, определяющего высоту
зубцов с вогнутым профилем на большом колесе. При этом имеет
место интерференция на участке профилей между точками а и Ь.
Интерференция происходит только по части линии пересечения Zi
между точками d и е на ней. При дальнейших исследованиях интер-
ференции нет надобности строить обе ветви линии пересечения пол-
ностью, а следует искать лишь правую нижнюю часть ветви L\ .
Фиг. 38
Если зафиксировать значение радиуса выпуклого профиля Г\
(принадлежащего ведущему колесу) и увеличивать радиус вогну-
того профиля Г2, то линия пересечения Zi несколько изменяется,
однако граница интерференции /?ф остается почти неизменной
(фиг. 38). Если зафиксировать величину радиуса вогнутого про-
филя г2 и уменьшать радиус выпуклого профиля гь то линия пере-
сечения Zi изменяется значительнее, причем граница интерферен-
ции 7?ф перемещается достаточно сильно (фиг. 39).
Центры дуг профилей могут располагаться на линии давления
различным образом. При г2 = п оба центра могут располагаться
в полюсе Р или с одной стороны от полюса ближе к точке контакта
7*
99
или с другой стороны от полюса. При г2 центры дуг профилей
могут располагаться оба с одной или оба с другой стороны от
полюса, или по разные стороны от него. Можно центр выпуклого
профиля с меньшим радиусом расположить с одной стороны от
полюса; ближе к точке контакта, а центр дуги вогнутого профиля
с радиусом г2 принять равным величине смещения I и расположить
в полюсе. Однако представляется наиболее целесообразным прини-
мать равным величине смещения I радиус выпуклого профиля п
Фиг. 39
первого колеса и центр дуги помещать в полюсе, а центр дуги вог-
нутого профиля второго колеса располагать на линии давления вне
полюса в стороне, противоположной точкой контакта. В этом случае
область интерференции не заходит внутрь круга, границей которого
является начальная окружность второго колеса.
Практически наиболее интересны случаи, когда радиусы про-
филей весьма близки между собой по величине (или даже равны
друг другу). С точки зрения расширения границ рабочих участков,
исходя из требования отсутствия интерференции, целесообразно при-
нять радиусы кривизны обоих профилей равными смещению / ли-
нии зацепления от мгновенной оси относительного вращения.
100
На фиг. 40 построена ветвь L\ линии пересечения движущихся
профилей для этого случая. Другая ветвь линии пересечения £ц на
фигуре не показана, она будет симметрична относительно линии
центров с ветвью Lx. Линии пересечения Lx и Ln проходят в непо-
средственной близости от полюса Р за пределами начального круга
второго колеса как для случая внешнего, так и для случая внутрен-
него зацепления. В этих случаях границей интерференции также
следует считать начальную окружность для второго колеса, т. е.
/?ф = /?2* (95)
При этом круговой профиль первого колеса с радиусом
— r2 = I должен продолжаться до начальной окружности с радиу-
сом /?ь Внутри начального круга профиль зуба является нерабочим
и его форма определяется только соображениями, касающимися
уменьшения коэффициента концентрации напряжений при переходе
зуба в тело обода зубчатого колеса. *
В случае сравнительно большой величины I можно несколько
увеличить рабочие участки сопряженных поверхностей, приняв гра-
ницу интерференции равной:
яф=Кя22 + /2. (9б)
.101
В этом случае выпуклый профиль зубцов ведущего колеса у
ножки будет подрезанным по кривой, имеющей форму удлиненной
эпициклоиды (фиг. 41). Наличие подреза не имеет существенного
значения, так как изгибная прочность зубцов не является лимити-
рующей и некоторое снижение ее не играет большой роли.
В работе [42] рассмотрены условия, при которых возможно по-
явление интерференции на нерабочих участках профилей. Единствен-
ным таким участком является сопряжение нерабочей части головки
вогнутого профиля зубца второго колеса с галтелью ножки выпук-
лого профиля первого колеса. Простейшей формой галтели ножки
выпуклого зубца и закругления головки вогнутого зубца является
также дуга окружности.
В результате рассмотрения вопроса об интерференции сопря-
женных поверхностей можно прийти к следующему выводу.
Во избежание взаимного внедрения профилей необходимо,
чтобы:
а) дуга рабочего участка выпуклого профиля, описанная из
полюса радиусом Г\, доходила до начальной окружности первого
колеса;
102
6) дуга рабочего участка вогнутого профиля с радиусом
r2 >Г1 не выходила за пределы начального круга второго колеса;
вУ центры дуг скругления ножки выпуклого профиля зубца пер-
вого колеса й головки вогнутого профиля зубца второго колеса не
должны выходить за пределы начальных кругов первого и второго
колеса соответственно.
6. ВИДЫ СОПРЯЖЕННЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ ЗУБЦОВ
Сопряженные поверхности должны удовлетворять следующим
условиям: проходить через известные контактные линии, иметь
заданный закон расположения нормалей в точках контактных линий
и в тех же точках кривизны поверхностей должны быть в некоторых
направлениях вполне определенными величинами. Этим условиям
может удовлетворять бесчисленный ряд поверхностей. Справедли-
вость этого утверждения будет показана на примере конкретного
семейства поверхностей.
С практической точки зрения наиболее целесообразными в каче-
стве сопряженных поверхностей зубцов будут простейшие по форме
поверхности. К числу таких поверхностей, которые с успехом могут
применяться, относятся винтовые поверхности, линии поперечного
сечения которых торцевой плоскостью являются дугами окружно-
стей. На фиг. 42,а, б, в показаны круговые профили зубцов для
нового зацепления.
Фиг. 42
При одном и том же значении угла давления может быть три
варианта нового зацепления, имеющих между собой некоторое раз-
личие. В первом варианте зубцы с выпуклым профилем располага-
ются на меньшем зубчатом колесе, а зубцы с вогнутым профилем —
на большем зубчатом колесе (фиг. 42,а). В противоположность
этому во втором варианте на меньшем зубчатом колесе располага-
103
ются зубцы с вогнутым профилем (фиг. 42,6). В третьем варианте
на каждом из колес зубцы имеют головки, очерченные выпуклым
профилем, ножки — вогнутым (фиг. 42,в).
Первый вариант интересен тем, что дает возможность получить
несколько увеличенный диаметр малого колеса за счет уменьшения
диаметра большого колеса (на 7—10%) по сравнению со вторым
вариантом при одном и том же межцентровом расстоянии. Это
выгодно в отношении уменьшения веса передачи и удобства крепле-
ния малой шестерни на валу.
Третий вариант, предложенный в исследовании [42], имеет две
линии зацепления, и соприкасание профилей происходит поочередно
по двум точкам (или линиям). Этот вариант условно может быть
назван «сдвоенным», или «дозаполюсным», вариантом зацепления.
Ожидается, что последний вариант может дать значительное сокра-
щение ширины зубчатых колес, а следовательно, и веса передачи,
а также дает возможность обойтись одним инструментом для наре-
зания обоих колес. Однако следует отметить, что осуществление
данного варианта зацепления возможно будет связано с некоторым
увеличением точности изготовления.
С кинематической точки зрения варианты различаются положе-
нием линии зацепления относительно мгновенной оси вращения.
В первом случае линия зацепления, находящаяся в одной плоско-
сти с параллельной ей мгновенной
осью вращения, лежит за послед-
• ней (+/) по направлению движе-
ния зубцов — «за полюсом», во
втором случае линия зацепления
лежит перед мгновенной осью
относительно вращения (—/),
в третьем случае одна линия
зацепления лежит перед мгновен-
ной осью относительно вращения
(—/), другая — за ней (+/).
В работе рассматривается в основ-
ном первый вариант. На основа-
нии его все выведенные ранее
зависимости легко могут быть
получены для второго и третьего
вариантов путем соответствую-
щего изменения знака перед вели-
чиной /.
Уравнения поперечного сечения для таких поверхностей в пара-
метрической форме можно написать следующим образом:
х = R cos р.о + г cos (fi0 + X); 1 (
= р.о + rsin (но + X). J
Принятые обозначения приведены на фиг. 43. В качестве пара-
метра взят угол X между текущим положением радиуса окружности
104
Фиг. 43
и направлением луча, проходящего из начала координат через цейтр
окружности.
Если рассматриваемая окружность будет совершать винтовое
движение вокруг оси z, то она опишет винтовую поверхность.
Параметрические уравнения винтовой поверхности будут:
АТ = /? COS (р0 + р) + rcos(p0 + Н-Н);
^ = /?Sin (р0 + p) + rsin(p0 + p+X);
(98)
Z=P[1.
Здесь p — второй параметр, представляющий собой угол меж-
ду плоскостью, проходящей через начальное положение луча, сое-
диняющего центр окружности и начало координат, и текущим поло-
жением этого .луча (фиг. 44).
Направляющие косинусы так: нормали в общем виде выражаются
cosa77^ — ( т \ ' ду dz _ dz ду \ .др дХ др дХ /
cos / т \ ' dz дх дх dz \ , др дХ др дХ / ’
cos | т ’ ' дх ду ду дх \ др дХ др дХ /
Фигурирующий здесь нормирующий множитель т равен:
т
ду dz dz ду_
др дХ др. дХ
дх ду ду дх\2
.др д\ др дХ/
105
r sin (Ро +- н + М;
Напищем необходимые первые частйые производные:
дх
— =-₽sin(p0 + p)-rsin(p04-p + X);
др
дх
~дХ
4^- =flcos(Po + у) + гcos (р0 + р + к);
ар.
ду .
-Tr = rcos(p0 + р + к);
дк
dz
~^=р:
^.=0.
д\
Подставив значения производных в выражения для направляю-
щих косинусов нормали, после преобразований получим:
ces.N_ ^cos(Po + lx + ^ .
Kp24-/?2sin2k
COS pN = PSin(p0 + p + k) .
(99)
л N —RsinX
cos 7/v = —----------.
Vp2 + R2 sin2 к
Для определения радиусов кривизны поверхности необходимы
коэффициенты первой и второй квадратичных форм, которые
в общем виде через частные производные выражаются следующим
образом:
Е
дх дх х ду ду । dz dz
dp. dk dp дХ др дХ
h2=--EG - F2-,
L- —
h
дх
др
ty_
др
dz
др
дх
~дХ
ду
дХ
dz
дк др2
д2х
др.2
д2у
др.2
,д2г
106
дх дх д2х '
dp- д\ дрдк
ду ду д2у
др дХ дрдк
dz dz д2z
др д\ дрдк
w=—
h
дх дх д2 х
~д\ ~д)Т
ду ду д2 у
<?(1 д\ дХ2
dz dz д2 z
77 ~д\ ~д^~
Напишем необходимые вторые частные производные:
д2 х
т-г = - flcos(|i0 4- р) - Г cos (р0 4- Н 4- X);
д^-2
д2 х
—- = — rcos (р.о 4-р 4-X);
ох^
д2 х
—— = - г cos (но + и + Ч;
дрок
д2у
—= - R sin (|ХО + р.) — г sin (р.о + р. 4- X);
Opz
д2у
—f = — Г sin (Ро + Р- 4- х);
ал/
d2v
—= - г sin 4- р 4- *);
дрд\
д2г
— =0;
dv-2
^ = 0;
Л!
-^ = 0.
ду-д\
107
(100)
(101)
Подставив производные в общие выражения для коэффициентов
квадратичных форм, после преобразований получим:
Е = R2 + 2Rr cos X + г2 + р2;
F — г (г + R cos X);
G = r2;
h2 — г2 (R2 sin2 X 4-p2];
L = — pr(/?CosX + r);
h
M--=±-pr2-,
n,
N = — pr2.
h
Гауссова кривизна поверхности равна:
LN — М2
к=—£—
%__ р2 R cos X
г (/?2sin2X + р2}2
Средняя кривизна поверхности равна:
„ GL — 2FM-\-EN
п =-------------!---;
2h2
tf P Р2 + /?(rcosX + /?)
2r (R2 sin2 X + P2)3/*
Под гауссовой и средней кривизной подразумевается соответ-
ственно:
#=—(— + —).
Ri R2 2 \Ri R2 /
Здесь /?1 и /?2 — главные радиусы кривизны поверхности. При
известных /С и Я главные радиусы определяются из уравнения:
— = И ± Vh2-K . (103)
/?1,2
Будем считать координатными линиями на рассматриваемой
винтовой поверхности линии
JJL = const и к = const.
(102)
Линии р. = const представляют собой линии пересечения вин-
товой поверхности плоскостями, перпендикулярными оси, и в данном
108
случае эти поперечные сечения являются окружностями радиуса г.
Линии X = const представляют собой обыкновенные винтовые линии
с одинаковыми для всего семейства их параметрами (с одинаковым
осевым шагом), располагающиеся н^ круговом цилиндре с радиусом,
равным:
R„ = V R2+ 2Rrcos\ + г2. (104)
Угол Й между касательными к координатным линиям в общем
случае равен:
. Л n F
sm 2 = ——; cos й ------.
Veg Veg
в
данном случае:
cos й =
R2 sin2 К + р2
R2 + 2Rr cos X + г2 + р2
______г + /?cosX_______
V R2 + 2Rr cos X + г2 + р2
(Ю5)
Будем рассматривать текущее нормальное сечение поверхности
плоскостью, которая составляет с касательной к линии X = const
угол Нормальная кривизна поверхности в этом случае имеет вид:
1 _ A sin2 (2 — ) 27И sin (Q — ) sin 8X N sin2&\
R E sin2 Й lAFT? sin2 2 G sin2 2
У (106)
Для гиперболических точек рассматриваемой поверхности,
в которых гауссова кривизна отрицательная (что имеет место при
значениях ^= — — И, по уравнению (106) можно определить
2 2/ !
положения асимптотических направлений, принимая— = 0.
Если продифференцировать правую часть приведенного уравне-
ния по Ох и приравнять эту производную к нулю, то из полученного
уравнения можно найти углы , при которых величина — прини-
R
мает экстремальные значения, т. е. значения главных кривизн.
Однако такой путь определения асимптотических и главных
направлений связан с весьма громоздким решением тригонометри-
ческих уравнений четвертой степени и окончательные формулы для
углов, определяющих эти направления, получаются слишком слож-
ными. Эту задачу можно весьма просто решить, используя формулу
Эйлера. Для этого необходимо определить нормальные кривизны
в направлениях касательных к координатным линиям. Для каса-
тельной к линии
Х = const будет =0,
109
тогда
1 L
Ry. Е '
или
J_=p(/?cosk + r)(
(R2 -b 2/?rcosX 4- r2 +p2) V R2 sin2X + p2
Для касательной к линии у. = const будет = 2, тогда
1 ЛГ
G ’
или
— -------р (108)
R* rV R2 sin2 X + р2
1
Теперь напишем выражение для кривизны -- на основании
R\
формулы Эйлера:
= — cos2 &гл + — sin2 0гл.
/?х /?, /?2
Отсюда определяется угол >%л между первым главным направ-
лением и касательной к линии Х= const:
/1 1
_____ВВ. (109)
1 1
₽2
Так как знак угла из этой формулы не определяется, то
необходимо также найти аналогичным образом угол между первым
главным направлением и касательной к линии у = const:
/1 1
А____Bl.. (109')
_1__1_
/?2 /?1
Углы &глх и &ГЛ1Х должны удовлетворять следующему уравнению
(фиг. 45):
&ГЛХ + &ГЛ(Х = 2, (ПО)
из которого определяются знаки углов.
Для гиперболических точек по формуле Эйлера можно опреде-
лить угол между асимптотическими направлениями и первым глав-
но
ным направлением, имея в виду, что кривизна в асимптотических
направлениях равна нулю:
— cos2 &ас + — sin2 $ас — О,
₽! /?2
(И1)
На фиг. 45 приведены касательные к линиям X = const и
Н = const, а также главные и асимптотические направления и углы,
определяющие их положение.
Фиг. 45
Кроме того, на этой же фигуре приведены примерные индика-
трисы радиусов кривизны для эллиптической и гиперболической точ-
ки. Построение индикатрис с целью иллюстрации расчетов зацепле-
ния вполне можно производить по тем точкам, положения которых
известны (без вычислений для дополнительных точек). Точки / и 2
соответствуют главным радиусам кривизны /?1 и R2, точки 3 и 4 соот-
ветствуют радиусам кривизны R\ и по направлениям X = const
и |А = const.
Ill
Радиусы кривизны /?* и /?£ в точках 5 и 6 по направлениям,
перпендикулярным к линиям X = const и = const, легко опреде-
ляются из условия постоянства средней кривизны:
1 fll 1 1 (112)
Ax Ax
1 , 1 1 1
— — 4 г •
fll fl2 fl. a;
Точки 3, 4, 5, 6 располагаются на всех ветвях индикатрис сим-
метрично относительно главных направлений.
На основании найденного выше выражения для нормальной
кривизны — в направлении касательной к линии X = const опре-
Rx 1
делим для того же направления кривизну — наклонного сечения
плоскостью, проходящей через касательную, и радиальное направ-
ление для данной точки поверхности. По теореме Менье имеем
1 = J 1
Ri R\ cos 6
Здесь 0 — угол между рассматриваемыми нормальной и на-
клонной плоскостями. Но так как и нормаль к поверхности и ради-
альное направление являются перпендикулярными к касательной
к линии X = const, то этот угол равен углу между радиальным
направлением и нормалью к поверхности.
Для определения угла 9 нужно предварительно найти направ-
ляющие косинусы радиального направления, которые написаны ниже
на основании рассмотрения фиг. 44:
_ flcos(p0 + i*)4-rcos(po4-H4-k) .
COS aR------ - — - ,
V R2 -|- 2flr cos X + г2
a _ R sin ((*0 + и) + r sin (t*o + H .
cos p/? =------— -----,
V R2 + 2Rr cos X-|- r2
cos — 0.
Косинус угла 0 равен:
cos 0 = cos aN cos aR 4- cos cos 4- cos cos iR;
cos e = P cos (Ho + H + M [fl COS (p-Q + |Л) + r cos (p0 + Ц + >')] 4-
V(r2 + 2Rr cos k 4- r2) (p2 4- R2 sin2 X)
4- p sin (p.o 4- p- 4~ M [A sin ({x0 + p.) 4- r sin (p.o + p. 4- X)]
V(R2 2Rr cos X 4- r2) (p2 4* fl2 sin2 X)
112
После преобразований имеем
cos» =----------------pWcost+r) ________________
Vр2 -f- R-sin2 X V R2 + 2Rr cosX + r2
Окончательное выражение для кривизны:
J_= K/?2 + 2/?rcosX + г2 _ RB
R'x R2 + 2Rr cos k + r2 + p2 R2 p2
В результате получено, что кривизна наклонного сечения вин-
товой поверхности плоскостью, проходящей через касательную
к винтовой координатной линии X = const и через радиальное
направление, проведенное в данную точку винтовой поверхности,
равна кривизне винтовой координатной линии.
Аналогичным образом, на основании найденного выражения
1
для нормальной кривизны------- в направлении касательной к линии
Rp.
|л = const, определим для этого же направления кривизну наклон-
ного сечения плоскостью, перпендикулярной оси z и проходящей
через касательную к линии р. = const:
1 _1____1
R'^ Rp. cos 0Z ’
здесь 6Z — угол между нормальной плоскостью, проходящей через
касательную к линии р- = const, и плоскостью, перпендикулярной
оси (торцевой плоскостью). Этот угол равен углу между нормалью
к поверхности и направлением торцевой плоскости, проходящим че-
рез центр окружности поперечного сечения.
Направляющие косинусы этого направления равны:
cosaz = cos (|х0 + Н + М;
COSpz= SinfHo + P' + k);
cos Tz = 0.
Косинус угла 0Z равен:
cos 0Z = cos aN cos az + cos cos Pz + cos cos yz;
P
cos 0z _________________
Vp2 + 7?2sin2k
Легко заметить, что косинус угла 8Z равен синусу угла между
нормалью и осью z, т. е. cos 6Z =sin7N.
В окончательном виде получаем: дг = — •
г
Величину кривизны в вышеупомянутых наклонных сечениях
можно было бы получить непосредственно на основании рассмотре-
ния данного семейства винтовых поверхностей и линий на них
|i = const и k — const; однако с целью проверки приведенных фор-
s. М. Л. Новиков. 113
мул целесообразно было найти их, исходя из общего выражения для
кривизны поверхности.
Рассмотрим сечение винтовой поверхности плоскостью z = 0.
В этом случае ц = 0. Выберем параметры и0, R и X так, чтобы
Фиг. 46
текущая точка на попереч-
ном круговом профиле
совпала бы с точкой
зацепления, а радиус про-
филя совпал бы с направ-
лением I (фиг. 46). При
этом будет иметь место
следующее равенство:
Но + Х = ад- (ИЗ)
И так как сторона
О\К является общей в
треугольниках О^КР и
OiKO/, то на основании
этого будет
/?i cos ад= — R sin X.
Если параметр винто-
вой поверхности принять
равным параметру кон-
тактной линии, которая
проходит через данную
точку зацепления, то оче-
видно, что контактная линия будет всеми своими точками лежать
на данной винтовой поверхности, являясь одной из координатных
линий X = const, причем угол X для этой линии равен:
sin К = — cos—д
R
(114)
где
R = VRX2 — 2/?! (г —/)8Шад + (г — /)2.
Радиус цилиндра, на котором располагается винтовая контакт-
ная линия, равен:
RB — У(Ri + /sin a,)2 4- Z2cos2ад.
Используя уравнения (113) и (114), можно выражения для
направляющих косинусов нормали (99) написать таким образом:
Р COS ОС™
cos aN — — — -д ;
V р2 + R^ cos2 »д
р sin ад
Cos к д - ;
V р2 + Я? со82ад
„„ n cos ’ж
008?™ = — - •
V р2 + /?12 cos2 ад
114
Нетрудно установить, что полученные значения направляющих
косинусов нормали к рассматриваемой винтовой поверхности в точ-
ке зацепления полностью совпадают со значениями направляющих
косинусов нормали, которые были найдены в соответствии с требо-
ваниями кинематики зацепления (83).
Кривизна винтовой поверхности в направлении касательной
к контактной линии, как уже было показано, находится в полном
соответствии с кривизной контактной линии. Кривизна поверхно-
сти 1/г в направлении касательной к линии поперечного сечения
всегда может быть равна необходимой величине, устанавливаемой
из соображений потребной прочности зубцов и отсутствия интерфе-
ренции.
Таким образом, показано, что винтовые поверхности с круговым
поперечным сечением вполне могут удовлетворять всем требованиям,
предъявляемым к сопряженным поверхностям.
На основании проделанного анализа можно прийти к выводу,
что сопряженными может быть еще бесчисленное количество поверх-
ностей, если их линии поперечного сечения в точке зацепления будут
иметь соприкосновение второго порядка с окружностями, являющи-
мися линиями поперечного сечения только что рассмотренного
семейства винтовых поверхностей.
Винтовые поверхности с круговым поперечным сечением можно
в первую очередь рекомендовать для использования в качестве
сопряженных поверхностей. Такие поверхности дают возможность
получать зубцы с достаточно большой шириной рабочих участков
без наличия интерференции, сравнительно удобны в технологическом
отношении и просты при расчетах зацепления и проектировании зуб-
чатых передач.
Можно указать и другие семейства винтовых поверхностей,
которые могут быть с успехом практически использованы в качестве
сопряженных.
К числу наипростейших винтовых поверхностей следует отнести
семейство конволютных геликоидов, являющихся линейчатыми
поверхностями. Поверхность конволютного геликоида можно рас-
сматривать как след от винтового движения прямолинейной обра-
зующей, которая одной из своих точек скользит вдоль винтовой линии
с постоянным шагом, расположенной на круговом цилиндре, причем
образующая лежит в касательной плоскости к цилиндру и состав-
ляет с плоскостью, перпендикулярной оси цилиндра, некоторый угол,
в общем случае не равный углу между этой плоскостью и касатель-
ной к винтовой линии. На фиг. 47 представлена схема образования
конволютного геликоида и указаны необходимые обозначения. Сама
конволютная поверхность на фигуре не показана в связи со слож-
ностью изображения, отмечена лишь текущая точка С поверхности,
лежащая на образующей.
Если принять в качестве параметров угол 0, представляющий
собой угол поворота плоскости касательной к цилиндру, в которой
находится образующая геликоида, и величину и, являющуюся отрез-
8* 115
116
ком образующей от точки касания ее с направляющей винтовой
линией до текущей точки поверхности, уравнения поверхности кон-
волютного геликоида будут следующими:
х — р cos & — и cos ф sin ft;
у = р sin ft + и cos ф cos ft;
г=р& + аз!пф.
(Н5)
Если исключить из этих уравнений параметр и и заменить пара-
метр р винтовой линии выражением
p = ptg8,
то получаются следующие два однопараметрических уравнения,
описывающих конволютный геликоид:
<, z — pft tg 8 . „
х = р cos ft-------—2— sin ft;
*ёФ
(116)
у = p sin ft +- -—в cos ft.
tg'l»
Фиксируя значение z, из приведенных уравнений можно полу-
чить уравнения линии поперечного сечения плоскостью, перпендику-
лярной оси z. В частности, при z — 0 имеем:
ter 8
х = р cos ft + pft -2— sin ft;
tg'?
for i
у = p sin & — p& cos &.
tg’P
(П7)
При 8=ф эта линия поперечного сечения является эвольвентой
и конволютный геликоид в этом случае превращается в эвольвент-
ный геликоид.
Если В ф, то линия поперечного сечения будет укороченной
эвольвентой, а при 8 ф — удлиненной эвольвентой.
В качестве сопряженных поверхностей могут быть использованы
конволютные геликоиды, линии поперечного сечения которых явля-
ются удлиненными эвольвентами. Для вогнутых зубцов используется
та часть поверхности, для которой линия поперечного сечения заклю-
чена внутри участка, ограниченного дугой а—а окружности, прове-
денной через точки, где радиус-вектор совпадает с касательной
к кривой. Для выпуклых зубцов может быть использована остальная
часть поверхности (фиг. 48). Во избежание увеличения объема
настоящей работы подробный материал по геометрии конволютных
117
геликоидов не приводится, хотя у автора он разработан весьма
детально.
Как примеры других возможных для использования в качестве
сопряженных поверхностей можно привести геликоиды, линии попе-
речного сечения которых являются удлиненными эпициклоидами и
удлиненными и укороченными гипоциклоидами (фиг. 49 и 50).
Следует отметить, что поверхности каждого из пары зубцов,
образующих зацепление, не обязательно должны относиться
к одному семейству. Например, исходя из условия отсутствия интер-
ференции при достаточно большой ширине рабочих участков, целе-
сообразно профили вогнутых зубцов иметь очерченными по удли-
ненным эвольвентам или эпициклоидам, а профили выпуклых зуб-
цов по удлиненным или укороченным гипоциклоидам. Только лишь
круговые профили могут быть успешно использованы как для вог-
нутых, так и для выпуклых зубцов, что и обусловливает их преиму-
щество в смысле простоты расчета зацепления. Однако другие про-
фили могут быть более выгодными с точки зрения получения боль-
шей ширины рабочих участков сопряженных поверхностей при
отсутствии интерференции.
118
Фиг. 50
7. КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА И СООБРАЖЕНИЯ
’ О РАСЧЕТЕ ЗУБЦОВ НА ПРОЧНОСТЬ
Сопряженные поверхности должны проходить через известные
(после установления закона движения точки зацепления) контакт-
ные линии и должны иметь в каждой точке контактных линий вполне
определенные положения нормалей. Кривизны сопряженных поверх-
ностей и положения главных направлений в точках на контактных
линиях должны удовлетворять предельным условиям, о которых
говорилось выше. Одна-ко все эти условия определяют сопряженные
поверхности лишь только в дифференциальной окрестности точек
контактных линий, но не в целом. Может быть бесчисленное множе-
ство разнообразных поверхностей, удовлетворяющих указанным
условиям, форма и кривизны которых в некотором удалении от кон-
тактных линий могут существенно различаться между собой. Окон-
чательный выбор сопряженных поверхностей должен быть произ-
веден в каждом конкретном случае с учетом требований технологии,
взаимной интерференции зубцов, а также с учетом вопросов, касаю-
щихся обеспечения необходимой контактной и общей прочности
зубцов и рациональной смазки их.
Таким образом, для уточнения выбора сопряженных поверхно-
стей (а также закона движения точки зацепления) необходимо
119
иметь предварительное решение контактной задачи, которое, кроме
самостоятельного значения, является исходным при рассмотрении
общей прочности и смазки зубцов.
Контактная задача для случая зубцов с точечным зацеплением
является весьма сложной. Она имеет следующие отличия от класси-
ческой задачи сжатия двух тел, имеющих первоначальное соприкос-
новение в одной точке.
Во-первых, размеры зубцов малы и вполне соизмеримы с вели-
чиной площадки контакта в противоположность классической задаче,
где предполагается, что размеры контактирующих тел несоизмеримо
велики по сравнению с размерами площадки контакта.
Во-вторых, происходящая под действием нагрузки общая дефор-
мация зубцов влияет на форму контактирующих поверхностей (на
величину радиусов кривизны), причем эта общая деформация зави-
сит от распределения контактных напряжений, т. е. от контактных
деформаций. Таким образом, при сколько-нибудь точном решении
необходимо совместно рассматривать контактные деформации и
деформации изгиба и сдвига одновременно для обоих зубцов, а так-
же деформации венцов шестерен, что весьма затруднительно, если
иметь в виду, что зубцы представляют собой короткие консольные
балки с довольно сложной пространственной формой.
В-третьих, на распределение контактных напряжений очень
сильно влияет наличие смазки на поверхности взаимодействующих
зубцов, что обусловлено относительно большой величиной площадки
контакта и большой величиной скорости перекатывания зубцов.
На основании приведенных соображений, точное решение кон-
тактной задачи, по-видимому, можно считать практически неосуще-
ствимым. Поэтому приближенный предварительный метод решения
может рассматриваться и как окончательный, но условный инже-
нерный метод расчета на контактную прочность, который может
быть в дальнейшем уточнен с помощью эмпирических коэффици-
ентов.
В связи с тем, что окончательный вид сопряженных поверхно-
стей (за пределами дифференциальной окрестности точек контакт-
ных линий) является не вполне определенным, а в начальный период
расчета может быть даже неизвестным, целесообразно'для решения
контактной задачи ввести в рассмотрение некоторые аппроксими-
рующие поверхности, имеющие в точках контакта соприкосновение
второго порядка с любыми возможными сопряженными поверхно-
стями. Аппроксимирующие поверхности могут быть использованы
также при рассмотрении вопросов смазки.
Для гиперболических точек сопряженных поверхностей наибо-
лее удобно в качестве аппроксимирующей поверхности принять
поверхность гиперболического параболоида, каноническое уравнение
которого будет следующим:
C=_L_
2а2 2Ь2
(П8)
120
При этом (фиг. 51) ось С является нормалью к поверхности гипер-
болического параболоида в точке О; оси $ и являются главными
направлениями для той же точки.
Асимптотическими направле-
ниями для точки О будут пря-
мые:
7)=±—5. (119)
а
Эти прямые лежат на поверхности
гиперболического параболоида
(последний является линейчатой
Фиг. 51
поверхностью); они представляют собой линии пересечения пара-
болоида плоскостью С = 0.
Угол между асимптотами определяется следующим образом:
. 1 ь
tg — Нас= —
2 а
(120)
Для определения коэффициентов первой и второй квадратичных
форм Гаусса напишем соответствующие частные производные:
dC $ dC i)
дЧ. а2 4 д-ц b2
d4 1 d2C _ , d2C 1
r =—=—; s =-----------= 0; t=----=------.
<П2 a2 dldri dr? b2
Мы будем интересоваться кривизной гиперболического парабо-
лоида в точке О, где Е = 0 и т] = 0. В этой точке производные
равны:
Р = 0; 9 = 0; r=— ; s - 0; t=-—.
а2 b2
Подставив эти значения для производных в формулы (46),
получим следующие значения для коэффициентов первой и второй
квадратичных форм:
Л=1; Е=\\ 0=1; 5 = 0;
£ = -L; Л4=0; 7V=•
а2 Ь2
Имея коэффициенты первой и второй квадратичных форм, опре-
делим по формулам (47) и (48) среднюю и гауссову кривизны
поверхности:
н— 1 - 1 — &2~а2 •
~ 2а.2 2Ь2~ 2а2 Ь2 ’
К=------FZT-
а2 Ь2
121
Теперь легко найти по формулам (49) или (50) главные радиусы
кривизны поверхности гиперболического параболоида в точке О:
1 _ 1 1 1
/?! а2 9 Я2 &2
(121)
Если точку О, рассмотренного гиперболического параболоида,
совместить с точкой контакта, а оси 5 и 7] совместить с главными
направлениями для сопряженной поверхности с гиперболическими
точками (при этом ось С совпадает с нормалью), то гиперболи-
ческий параболоид можно считать аппроксимирующей поверхностью
для сопряженной поверхности. Параметры аппроксимирующего
гиперболического параболоида определяются формулами (121) по
известным главным радиусам кривизны сопряженной поверхности.
Для эллиптических точек сопряженных поверхностей в качестве
аппроксимирующей поверхности принимается поверхность эллипти-
ческого параболоида, каноническое уравнение которого будет таким:
2а2 "Г 2Ь2
(122)
При этом (фиг. 52) ось С является нормалью к поверхности эллип-
тического параболоида в точке О; оси £ и vj являются главными
направлениями в той
ности эллиптического
же точке.. Главные радиусы кривизны поверх-
параболоида в точке О, по аналогии со слу-
чаем гиперболического параболоида опре-
деляются следующим образом:
J_= 1 . J_= J_
R{ a2 ’ R2 ~ b2 ’
Если точку О рассмотренного эллип-
тического . параболоида совместить с точ-
кой контакта, а оси ; и vj совместить
с главными направлениями для сопряжен-
ной поверхности с эллиптическими точ-
ками, то эллиптический параболоид можно
считать аппроксимирующей поверхностью
для сопряженной поверхности. Параметры
аппроксимирующего эллиптического пара-
болоида определяются формулами (123) по известным главным
радиусам кривизны сопряженной поверхности.
Установив аппроксимирующие поверхности, можно приступить
к рассмотрению контактной задачи. Первым элементом ее является
определение функции зазора между точками поверхностей, ограничи-
вающих вступающие в контактное взаимодействие тела. При внеш-
нем зацеплении один из взаимодействующих зубцов имеет поверх-
ность, состоящую из гиперболических точек, другой — из эллипти-
ческих точек. Будем считать общую нормаль к поверхностям в пер-
воначальной точке контакта вертикальной осью.
122
Предположим, что тело одного зубца ограничено поверхностью
гиперболического параболоида, уравнение которого
С - V V
1 2а,2 2&i2 '
Тело другого зубца ограничено поверхностью эллиптического
параболоида, уравнение которого
t 2 т 2
С2 = -^- -н •
2а22 2й22
При этом начала осей координат Oi и О2 совпадают с первоначаль-
ной точкой контакта, оси и С2 совпадают друг с другом, а оси
и (и соответственно и т|2) образуют между собой некоторый
угол ср (фиг. 53). Этот угол ср может иметь произвольное значение
в случае, когда положительный главный радиус кривизны гипербо-
лического параболоида будет больше максимального радиуса кри-
визны эллиптического параболоида. Если не удовлетворяется это
условие, то величина угла ср должна находиться в пределах, при
которых отсутствует пересечение индикатрис положительных радиу-
сов кривизны при их взаимном наложении (фиг. 54), так как в про-
тивном случае окажется невозможным касание гиперболоидов
в номинальной точке контакта.
Определим функцию зазора, т. е. расстояние между точками
касающихся эллиптического и гиперболического параболоидов, изме-
ряемое по направлению, параллельцому оси (и С2)? в зависимости
от координат в общей касательной плоскости и т^). Для этого
сначала необходимо написать уравнение эллиптического парабо-
лоида в системе осей и 7)р воспользовавшись следующими фор-
мулами связи:
?2 = £i cos ср + тц sin ср;
Т)2 = —Sin cos ср.
123
Тогда уравнение эллиптического параболоида в системе координат
Ci Ej будет таким:
= ($! cost? + Th sin у)2 . ( - gj sin ср 4- ^1 COS Ф)2
2 2<z23 “Г 2b22
Функция зазора получается следующей:
ac=c2-c,.
Значения функции зазора должны быть всегда положительными
величинами, в противном случае будет иметь место взаимное внед-
рение сопряженных поверхностей.
В развернутом виде функция зазора будет иметь следующий
вид:
2 (C0S2<f + Sin2((> _ 1 _|_ -n 2/Sin2(P I C0s2T , 1 \ ,
1 \ 2а22 2Ь22 2«!2 / ^‘ \ 2а22 2Ь22 2Ьг2) 4
_ /1 1 \
+ Hl sin Ф cos tp — - —2 •
W Ь22]
Полученное уравнение для функции зазора является уравнением
эллиптического параболоида с вершиной в точке Olf но главные
направления которого повернуты на некоторый угол от осей Ej и TqP
Теперь вместо контактной задачи для касающихся гиперболи-
ческого и эллиптического параболоидов можно рассматривать совер-
шенно эквивалентную ей контактную задачу при касании с пло-
скостью эллиптического параболоида, описанного функцией зазора.
Для краткости записи уравнение функции зазора представим
так:
ДС = Д?12 + В1)12 + С?11)1. (124)
Здесь коэффициенты А, В, С равны:
____________________cos2cp sin2 ср 1 t
— 2а22 2Ь22 ~ 2ах2 ’
& sin2 ср cos2 <р . 1 .
“ 2а22 2b2 + 2Ь2 ’
/> • ( 1 1 \
С = sin ср cos ср — - —
\ а2 ь2 /
(125)
Найдем главные радиусы кривизны и положения главных на-
правлений для эквивалентного эллиптического параболоида в цент-
ральной точке.
Вначале напишем все необходимые производные от функции
зазора: дДС o.t , ~ Р = —= 2Д^+С1]!; ? = — dih <?2ДС о. <?2дс г г — —2А-, s = -—-— = С; d^i2 ^1^>11 = 2Вч,+«, ;
124
Для центральной точки ^ = 0; =0. Тогда имеем:
р = 0; 9 = 0; г = 2A; s = С; t = 2B.
Коэффициенты первой и второй квадратичных форм поверхности
равны (46): й= 1; f = !; 0 = 1; F= 0;
L = 2A- М—С; N~-2B.
Средняя кривизна равна (47)
Н—А +В.
Гауссова кривизна равна (48)
К = 4АВ — С2.
Главные радиусы кривизны можно найти из уравнения (50):
— = //± И Н2-К,
#1,2
ИЛИ 1_______________________
— = А +в ±У(А-В)2+ С*.
#1,2
Подставив сюда значения коэффициентов А, В, С, после преоб-
разований получим
Заменим в этой формуле параметры (а2, b2, а\, bi) эллиптиче-
ского и гиперболического параболоидов (первого и второго тела
соответственно) их выражениями через первый и второй главные
радиусы кривизны аппроксимируемых поверхностей:
1 11.
#11 а2 #12 ^22
1 1. 1 =1
#21 Д12 #22 ^12
Выражение для главных радиусов кривизны эквивалентного эллип-
тического параболоида принимает вид:
125
При ср = 0 имеем:
Здесь следует иметь в виду, что вторая кривизна гиперболического
параболоида отрицательна.
Чтобы решить вопрос о положении главных направлений для
эквивалентного эллиптического параболоида, введем в рассмотрение
дополнительную систему осей координат О С 8 у, начало которой
и ось С совпадают с началом координат и осью , а оси $ и т[
повернуты от осей и vjj на угол е.
Тогда выражения для координат и через Е и т] будут
следующими:
= $ COS е — vjsine;
т)! = т) cose +£sine.
Выразим функцию зазора (124) через координаты £ и vj:
Е2 (A cos2&+В sin2е+С sin е cos е) +
+ iq2 (4 sin2e+fiC0S2e — С sineCOSe) —
—Ь](2 A Sin e COS e —25 sin e COS e—C COS2e+C sin2 e).
Найдем угол e из условия, при котором третий член уравнения
для АС обращается в нуль:
tg2e = — ----.
6 А-В
При таком значении угла е уравнение функции зазора будет пред-
ставлять собой каноническое уравнение эллиптического параболоида,
при котором оси координат совпадают с главными направлениями.
Таким образом, угол е является углом между осями и тц и глав-
ными направлениями эквивалентного эллиптического параболоида.
Подставим в формулу для tg2e развернутые значения коэффи-
циентов А, В, С и получим
1 / 1 1 \ • о
—--------------sin 2 ©
О I п 2 А2 Х
g / 1 И О / 1 1 \
----------cos 2ф ~ —- Н-------г
\а22 &22/ уа/ &!2/
126
Окончательно заменив параметры параболоидов через главные
радиусы кривизны аппроксимируемых поверхностей, имеем:
1 / 1 И о
—-----------sin 2ср
lg2e= Г1 2 I \ /1-----П (1ЭТ)
I--------]cos2<p — |-------— 1
\/?ц ₽12 / \/?21 ^?22 /
В случае внутреннего зацепления поверхности обоих взаимо-
действующих зубцов состоят из гиперболических точек.
Уравнения Аппроксимирующих гиперболических параболоидов
в таком случае будут следующими:
t 2 2 t 2 т) *2
_ Ч ____ 41 . __ ;2____42
*' 2й12 2^2’ 2 2а22 2Ь22
На фиг. 55 изображены аппроксимирующие гиперболические
параболоиды (они показаны с целью наглядности не в положении
касания точками Oi и О2, а разнесены вдоль оси С). Угол <р между
осями и £25 (а также между осями и tq2) может находиться
Фиг. 56
Фиг. 55
Функция зазора имеет тот же вид, что и в случае касания гипер-
болической и эллиптической точек (124), однако коэффициенты
А, В, С будут другими: . 9 >
.___cos2 __ sin2 ср____1_.
~ 2а22 ~ ~2b22 ~ 2aj2’
&___sin2 <? _ cos2 ф___1__
“ 2а22 2Ь2 2Ь?
. ( 1 . 1 \
C=sin <р cos <р ~г + — .
\ аа2 b221
127
Главные радиусы кривизны эквивалентного эллиптического
параболоида, уравнением которого является функция зазора, опре-
деляются по следующей формуле:
1 = _1_М__________1_____1_. 1
/?1,2 2 [а22 &22 0!2 0!2±
Г Tv Г"1 1 \/—1 гх Г\ TV1
V \а22 Ь22) \а22 Ь22)\ а,2 Ъ2) \ах2 Ь2)\
•
Заменим в этой формуле параметры гиперболических параболоидов
(аь b{/ а2, b2) их выражениями через’главные радиусы кривизны
аппроксимируемых поверхностей:
1 _
/?п #i2 /?12 ^i2
1 1
/?2i а22 ’ R22 b2 '
Главные радиусы кривизны эквивалентного параболоида будут
равны:
J_ = _i Г _L +J____________1____L ±
^?1,2 2 [/?21 /?22 /?11 /?12
Угол, определяющий положение главных направлений эквивалент-
ного параболоида, равен:
1 / 1 1 \ . о
—-------------sin 2 ср
tg2 е = 7-f 2 ----Rfi-----------И ' °29)
|----------jcos 2<р - [-------—]
\/?21 &22 / \Яц ^?12 /
Установив величины главных радиусов кривизны эквивалентного
эллиптического параболоида, можно приступить к окончательному
рассмотрению контактной задачи, которая заключается в определе-
нии формы и размеров площадки контакта, получающейся при сжа-
тии нормальной силой двух упругих тел, ограниченных поверхностью
эллиптического параболоида и плоскостью, а также в определении
закона распределения напряжений по площадке контакта и вели-
чины сближения тел вследствие контактных деформаций.
128
Форма площадки контакта в данном случае будет эллиптиче-
ской. Величины полуосей эллипса площадки контакта находятся по
известным формулам:
CL— пъ а /
/?1 /?2
b = n
(130)
3 Р (k-^ -р &г)
Я, R,
здесь Р — нормальная нагрузка;
Ri и R2 — главные радиусы кривизны эквивалентного эллиптиче-
ского параболоида;
и п — коэффициенты, зависящие от радиусов кривизны и опре-
деляемые посредством эллиптического интеграла;
и k2 — коэффициенты, характеризующие упругие свойства
материалов; они равны:
= *,=
р-1 и |i2 — коэффициенты Пуассона';
Ei и Е2 — модули упругости первого рода.
Коэффициенты т и п представлены в таблице (стр. 130)
в зависимости от вспомогательного угла X, равного:
. /?1 - R2
cos X = —-----2
Rx + R2
Эпюра нормальных напряжений на площадке контакта пред-
ставляет собой полуэллипсоид, уравнение которого имеет вид:
ЗР
m
kt
где
1 - Н22
(131)
а=______1/
2 it ab у а2 b2
Максимальные напряжения имеют место в центре площадки, где они
равны: зр
(132)
(133)
®тах — ----- .
2 nab
Средние напряжения, отнесенные ко всей площадке контакта,
равны: р
аср — ~
тгаЪ
Величина суммарной деформации вдоль нормали (сближение)
равна:
(134)
* 3tP
О — ---
4а
(135)
9. М. Л. Новиков.
129
где t — коэффициент, зависящий от радиусов кривизны (см. таб
лицу mnt).
Для стальных колес (р = 0,3; Е = 2,10- 106 кг/см2) расчетные
формулы принимают вид:
(131')
. _ . 0,65 Р
о — Z .
106 а
(135')
В эти формулы должны подставляться величина силы в килограм-
мах и величины радиусов кривизны в сантиметрах. Величины а, b
и 6 получаются в сантиметрах.
Чтобы не отсылать к справочникам, приводим таблицу коэффи-
циентов т, п и t.
Г 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
т со 6,612 3,778 2,731 2,136 1,754 1,486 1,284 1,128 1,0
п 0 0,319 0,408 0,493 0,567 0,641 0,717 0,802 0,893 1,0
t ос 2,80 2,30 1,98 1,74 1,55 1,39 1,25 1,12 1,0
Может получиться, что величины полуосей эллипса площадки
контакта будут такими, что последняя выйдет за пределы рабочих
участков сопряженных поверхностей. В этом случае, принимая ту
же форму теоретической площади контакта и тот же закон распре-
деления напряжений (по полуэллипсоиду), следует найти такие зна-
чения полуосей и напряжений, при которых интеграл от контактных
напряжений по действительной площадке контакта, был бы равен
действующей нормальной силе.
Практически наиболее целесообразным является предельный
случай точечного контакта — линейчатый контакт по кривой линии,
располагающейся поперек зубцов в направлении, близком к перпен-
дикулярному к контактным линиям. Такой линейчатый контакт мо-
жет быть предусмотрен или при первоначальном проектировании или
может образоваться в результате приработки зубцов, имевших
точечный контакт. Этот наиболее интересный случай можно свести
к эквивалентной контактной задаче соприкосновения цилиндра
с плоскостью.
130
Как показывают расчеты, угол между направлениями касатель-
ных к контактным линиям составляет всего несколько градусов и
косинус половины его весьма мало отличается от единицы. В связи
с этим, для решения контактной задачи принимаем этот угол равным
нулю. Принимаем также, что линия соприкосновения перпендику-
лярна к контактным линиям. Длина эквивалентного цилиндра при-
ближенно определится по формуле:
£ = 2/sinar (136)
Радиус кривизны эквивалентного цилиндра равен:
_ ЯК1Д1С2
э + R*2 ’
(137)
здесь /?к1 и /?к2 — нормальные радиусы кривизны поверхностей
зубцов в направлении касательных к контакт-
ным линиям (94).
Форма площадки контакта при сжатии цилиндра с плоскостью
представляет собой прямоугольник длиной, равной длине эквива-
лентного цилиндра Л, и с полушириной, равной Ь:
(138)
Эпюра напряжений в направлении, перпендикулярном к Л,
является полуэллипсом:
« = <139)
V Ь2
где максимальные напряжения в середине площадки равны:
= ^R^+kj‘ (140)
В случае одинакового материала сжимаемых тел и при ц =' 0,3
имеем
Оглах =0,4181/" (140')
6=1,52 1/^ = 3,63 атЛрРз • (138')
V LE 1 Е
Приведенные выше формулы достаточно точны при соблюдении
следующих предпосылок: а) размеры площадки контакта весьма
малы по сравнению с размерами сжимаемых тел; б) напряжения не
выходят за предел пропорциональности; в) тангенциальные силы
на площадке контакта отсутствуют. В рассматриваемом случае все
упомянутые предпосылки в той или иной степени не соответствуют
действительности, поэтому такой метод расчета на контактную проч-
ность следует считать условным. Однако в качестве условного этот
9* 131
метод расчета может применяться с успехом, что можно утверждать
на основании опыта расчета существующих зубчатых передач, где
предпосылки Герца не выдерживаются в той же степени.
В связи с условностью расчета не имеет смысла определять мак-
симальные нормальные и тангенциальные напряжения, которые
находятся в глубине тел на некотором расстоянии от поверхности
контакта.
Действительные нормальные напряжения на площадке контакта
будут меньше вычисленных по приведенным формулам, так как
общие деформации зубцов (от изгиба и сдвига) способствуют уве-
личению приведенных радиусов кривизны и наличие слоя смазки
способствует увеличению несущей контактной площадки.
В связи со сложностью пространственной формы тел зубцов, а
также благодаря тесной взаимосвязи контактных, изгибных и тан-
генциальных деформаций, в настоящее время не представляется
возможным говорить о точном методе расчета зубцов на прочность
при точечной системе зацепления. Поэтому сейчас могут существо-
вать лишь условные методы расчета. Вопрос о прочности зубцов
выходит за рамки данной работы. Однако есть необходимость кос-
нуться его в элементарной форме потому, что для иллюстрации пре-
имуществ новой системы зацепления требуется рассмотреть конкрет-
ные примеры зубчатых передач и дать оценку их работоспособности
с помощью хотя бы приближенного расчета.
Важнейшими видами расчета зубцов являются расчет на кон-
тактную прочность и расчет на изгибную прочность. В случае точеч-
ного зацепления к этим двум видам необходимо еще добавить рас-
чет на сдвиг (скалывание или срез).
Контактными напряжениями характеризуется работоспособ-
ность зубцов в отношении выкрашивания (питтинга) рабочих по-
верхностей, заедания и износа. Изгибные и тангенциальные напря-
жения характеризуют прочность зубцов в целом.
Допускаемые контактные напряжения для зубцов с предлагае-
мой системой зацепления предварительно (до накопления экспери-
ментальных данных и эксплуатационного опыта), по-видимому,
можно принимать на 25% большими тех допускаемых напряжений,
которые имеют место при соответственно одинаковых материалах и
прочих условиях в существующих конструкциях зубчатых передач.
Основанием для такой рекомендации являются следующие сообра-
жения: точечное зацепление является статически определимой систе-
мой, в связи с чем расчетные напряжения близки к действительным,
в то время как при обычном линейчатом зацеплении распределение
нагрузки по длине зубцов в действительности может сильно отли-
чаться от расчетного случая. Условия смазки при точечном зацепле-
нии более благоприятны вследствие наличия большой скорости
перекатывания по направлению вдоль зубцов, что увеличивает фак-
тическую контактную площадку и снижает максимальные напряже-
ния. Хорошая смазка весьма полезна также с точки зрения умень-
шения склонности к заеданию и износу. Наконец, кинематика отно-
сительного движения поверхностей зубцов при точечном зацеплении
132
такова, что Можно ожидать появления усталостного выкрашивания
в меньшей степени, чем у существующих передач.
Для расчета на изгиб можно было бы выделить часть зубца
длиной, равной единице, которая в дальнейшем рассматривается как
прямая консольная балка. Нагрузка, действующая на зубец, при-
нимается равномерно распределенной по всей рабочей поверхности
зубца с интенсивностью, равной максимальному значению нормаль-
ных контактных напряжений. Напряжения от изгиба определяются
для опасного сечения. Допускаемые изгибные напряжения при таком
способе расчета можно принять также на 25% большими допускае-
мых напряжений, имеющих место в существующих зубчатых пере-
дачах при соответствующих материалах и условиях работы. Такая
рекомендация, кроме вышеприведенных соображений, основана на
необходимости учета поддерживающего действия участков, соседних
с рассчитываемым сечением зубца, имеющих меньшую нагрузку.
В случае весьма толстых зубцов, когда изгибные напряжения
могут быть весьма малыми, по-видимому, необходимо будет произ-
водить расчет на сдвиг. Допускаемые напряжения на сдвиг можно
принимать равными 80% допускаемых напряжений на изгиб
(согласно второй теории прочности).
При учете динамических явлений в зубчатой передаче, а также
при расчете на усталость можно исходить из известных существую-
щих методов, в частности, широко распространенного метода
А. И. Петрусевича.
8. КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ТОЧЕЧНОМ ЗАЦЕПЛЕНИИ
Для рассмотрения вопросов трения, к. п. д., смазки и износа не-
обходимо подробно знать все данные, касающиеся кинематики отно-
сительного движения зубцов, находящихся в зацеплении.
Как уже указывалось, при точечном зацеплении в высшей кине-
матической паре взаимодействующих зубцов имеет место самый
общий случай относительного движения, состоящего из относитель-
ных движений скольжения, перекатывания и верчения, происходя-
щих одновременно. Необходимо определить величины и установить
положение векторов скоростей упомянутых видов относительного
движения.
Относительная скорость вращения зубчатых колес равна:
Й<НН = о>1 — <*>2-
В случае внешнего зацепления в передачах с параллельными
осями вектор относительной скорости имеет направление, парал-
лельное осям. Абсолютная величина его будет следующей:
^отн = Ш1 (I + 41)’
Вектор относительной угловой скорости-верчения 2верч направ-
лен по нормали к сопряженным поверхностям. Абсолютная величина
угловой скорости верчения равна проекции скорости 20ТН на нормаль:
^верч — ^отн COS 7^, (141)
133
здесь 7^ — угол между нормалью и осью 21 (83). Вектор относи-
тельной угловой скорости перекатывания (качения) £)кач представ-
ляет собой проекцию вектора Ротн на касательную плоскость. Абсо-
лютная величина скорости перекатывания равна:
^кач = ^отн sin 7^. (142)
Вектор 2кач направлен по линии пересечения касательной пло-
скости с плоскостью Q, проходящей через общую нормаль, и вектор
относительной угловой скорости вращения йотн. Нетрудно устано-
вить, что нормаль к плоскости Q совпадает с вектором линейной
относительной скорости точки, находящейся в зацеплении, направ-
ляющие косинусы которого известны (82). Действительно, пло-
скость Q параллельна оси z и проходит через направление /, лежа-
щее в плоскости хОу. Вектор относительной скорости Ис перпендику-
лярен направлению I и лежит в той же плоскости хОу.
Тогда направляющие косинусы cos а“ач, cosfta4, cos7ja4 век-
тора £2кач можно определить из следующих уравнений:
cos а?ач cos а? + cos fta4 cos ft + cos 7Г cos 7? = 0;
созаГ cosaf + cosfta4cosft^ + cos 7Г4 cos 7^=0;
cos2ara4 +cos2 fta4 +cos27?a4 = 1.
Эти уравнения составлены на основании того, что линия пересечения
касательной плоскости и плоскости Q должна быть перпендикулярна
к нормалям этих плоскостей. Развертывая два первых уравнения на
основании формул (82) и (83), имеем зависимости:
— cos а?ач sin ад + cos fta4 cos ад = 0;
кач
cos 71
Л кач
COS QU
P
Rx COS2aa
р cos а?ач cos ад+р cos fta4 sin адcos 7Г4 cos ад,
из которых найдем:
cos fta4 = sina,
cos оцач cos ад
Решая полученные выражения совместно с третьим уравнением,
определяем значения для направляющих косинусов вектора относи-
тельной угловой скорости перекатывания:
кач R1 cos2 ад
cos oil ------------------
1' р2+ /?!2со82ая ’
cos 8кач = ft sln_ttvCQS ад
' /р2 +/?!2СО52ад ’
— Р
(ИЗ)
C0S7ia4— --; _______ .
Vp2 +/?j2 COS2 ад
134
Относительное перекатывание двух твердых тел при точечном
контакте в общем случае, когда касательные к контактным линиям
на их поверхности не совпадают между собой, следует рассматри-
вать как состоящее из двух элементарных движений перекатывания.
В качестве первого элементарного движения принимается перекаты-
вание первого тела по общей касательной плоскости, считающейся
неподвижной, происходящее
в данном случае с угловой
скоростью:
Чач = ®1 Si" l" (144)
В качестве второго эле-
ментарного движения прини-
мается перекатывание каса-
тельной плоскости совместно
с неизменно зафиксирован-
ным на ней после первого
перекатывания первым те-
лом, происходящее с угловой
скоростью:
(145)
Легко видеть, что полное
относительное перекатывание
представляет собой сумму
элементарных движений пе-
рекатывания и происходит с
известной уже скоростью пе-
рекатывания 2Кач '
O)(l) I ш(2) =
кач^шкач
= “1(1 +*21) sin = Йкач.
Фиг. 57
Разложим вектор угловой скорости перекатывания в пер-
вом элементарном движении на два, компонента: по направлению
касательной к первой контактной линии и на направление, перпен-
дикулярное к ней (фиг. 57):
<ок1 = о), sin sin Ф1;
кач (146)
о)П1ч ~ (Dj sin cos фР
Теперь можно написать выражение для величины линейной ско-
рости перекатывания вдоль первой контактной линии. Она равна
произведению радиуса нормальной кривизны поверхности, по
направлению касательной к контактной линии, на величину угловой
скорости перекатывания по тому же направлению (вектор этой
угловой скорости перекатывания перпендикулярен касательной)
Ук]ч RK1 =®1 sin -["cos ф] —.
COS0J
135
Подставив развернутые значения входящих сюда величин,
имеем
,/к1 Pl Ri sin ад+/Р12+^в /?, в
НЯU ~~ 1 1 1 ~ — । — - -
ИР12+/?12СО82ад/р12+/?2в р1в p1(/?lsinaa+z)
= ш 1 Vp2+R\B =VK1.
Аналогичным образом можно разложить вектор угловой ско-
рости перекатывания <о^ч для второго элементарного движения:
toKa24 = <B2SinTivsin<|)2;
ю2ач = Ш2 Sin COS Ф2.
(147)
В этом случае линейная скорость перекатывания вдоль второй
контактной линии равна
Vk14 =<о^ач /?к2=Ш2 Sin 7Г COS ф2-,
cos 02
или
</К2 _ Pi 7?iSina4-t21/p22+/?2B
V кач — ^2 Т~7— п- — п — г --
VpS+Wcos^Vp^+i'fiRh /?2В
X
#2в/Р12+/?12С052ад _
Pi(l— /?2sinaJ “
<“1 /Р12 + *21 T?2 в ^K2 '
В результате получилось, что найденные ранее, исходя из рас-
смотрения кинематики движения изолированной точки зацепления,
скорости движения ее вдоль контактных линий представляют собой
скорости перекатывания при относительном движении сопряженных
поверхностей.
Скорость относительного движения находящихся в контакте
точек двух сопряженных поверхностей равна разности их скоростей
движения вдоль контактных линий:
vc= VK1— vK2.
Найдем проекцию этой разности скоростей на направление (с)
и на направление (с'), перпендикулярное к нему:
, /-«--тгу Si"
Vc = VK1 cos <|>! — Vk2 cos ф2 = <i>i V Pi2+₽i в
Vpf+RL
1/ 2 -2 r>2 7?1 sin qtj—f21 Z
— (Oj У pj2 4 д21 R2 b . —a>! I (1 + *21)5
Ур!2 + *21/?2в
Vc' = Vhl sin — VK2sin<p2«
136
Йа основании формул (90) и (91) можно написать следующие
выражения для sin и sin ф2:
sin =
тогда
л/~ P2+R2zQs2aAt
V Р12+Я?в ’
sin ф2=
Л2 + А12С082ад
Г Р12 + Й1/?2в
-а>1
Р12+^21 /?2в
Л2 + /?i2cos2gfl
Р12 + /?1 в
/~Pi2 + /?12COS2 ад
V Pi2+&Rlb
= 0.
Полученная в результате относительная скорость движения точек,
находящихся в зацеплении, совпадает с величиной этой скорости,
найденной ранее, исходя из рассмотрения общего случая относи-
тельного движения двух неизменных систем точек.
Компоненты угловых скоростей и <о“2ч, векторы которых
направлены вдоль касательных к контактным линиям, в перекаты-
вании rfe играют никакой роли, так как форма поверхностей и их
относительное движение таковы, что вращение каждой поверхности
вокруг касательных к контактным линиям со скоростями <о£а1ч и сокк2ч
может происходить совершенно свободно (при одновременном
вращении со скоростями <о^ч и ш^ч вокруг осей в касательной
плоскости, перпендикулярных к касательным).
Однако скорости и <о£2ч не следует упускать из внима-
ния, когда рассматривается относительное движение поверхностей
в случае решения задачи о смазке. В этом случае компоненты вра-
щения вокруг касательных будут иметь определенное влияние на
движение слоя смазывающей жидкости, заключенной между поверх-
ностями.
При наличии относительного скольжения центр верчения не
будет совпадать с точкой контакта. Центр верчения в этом случае
находится на линии, перпендикулярной к вектору относительной
скорости скольжения и проходящей через точку контакта на рас-
стоянии от последней, равном:
5В = —с- .
О
а“верч
Подставив в развернутом виде значения величин Vc и йверч,
после преобразований получим следующее выражение для вели-
чины 5*в, определяющей положение действительного центра вер-
чения:
5в = /1/1 + -^-. (148)
Г cos2 ад
В реальных условиях зубцы взаимно касаются не в точке, а по
некоторой контактной площадке. Относительная скорость скольже-
137
Ний для каждой точки площадки равна векторному произведению
угловой скорости верчения на радиус-вектор точки, проведенной
из действительного центра верчения (фиг. 58).
Для текущей точки А имеем
У А — ^верч X •
(149)
Относительная скорость в некоторой точке, зафиксированной
на рабочей поверхности зубца при пробегании через нее со ско-
ростью Г1 или VK2 площадки контакта, непрерывно изменяется.
На фиг. 59 для примера представлен годограф относительных
скоростей для точек А, Б, В, принадлежащих рабочей поверхности
зуба первого колеса. Точки А, Б, В лежат на одной прямой, перпен-
дикулярной направлению (к1),
и отмечены на фиг. 58 в девяти
позициях. На годографе отме-
Фиг. 58
чены векторы относительных скоростей в моменты начала и конца
пробегания контактной площадки, а также для текущего положения,
соответственно позиции 6. Пунктиром указан годограф относитель-
ных скоростей точек А, Б, В до и после вступления зубцов во взаим-
ный реальный контакт.
9. ПОТЕРИ НА ТРЕНИЕ
Потери на трение качения в связи с их очень малой величиной
обычно исключаются из рассмотрения при определении к. п. д.
эвольвентных передач. В случае предлагаемой новой системы зацеп-
ления радиусы кривизны перекатывающихся поверхностей во много
раз больше и, следовательно, потери на трение качения будут мень-
ше, чем в случае эвольвентного зацепления, поэтому эти потери
можно также не рассматривать.
138
Главная часть Потерь в зацеплении связана с трением скольже-
ния. При точечном зацеплении взаимное скольжение отдельных
точек контакта обусловлено наличием относительной скорости сколь-
жения в номинальной точке контакта и, кроме того, наличием угло-
вой скорости верчения относительно той же точки. Эти два вида
движения можно привести к одному чистому верчению вокруг цен-
тра верчения.
Мощность трения в зацеплении равна произведению момента
от сил трения относительно центра верчения на угловую скорость
верчения:
Дифференциал момента трения можно записать следующим
образом:
d/WTp = rf a dF,
здесь г — расстояние от центра верчения до текущей точки кон-
тактной площадки;
f — коэффициент трения скольжения;
о — нормальное давление (контактное напряжение) в теку-
щей точке;
dF — дифференциал площадки.
Полный момент от сил трения равен интегралу от приведенного
дифференциального выражения в пределах величины всей площадки
контакта.
Для точного решения поставленной задачи необходимо знать
истинные функции для нормальных контактных напряжений и для
коэффициента трения в зависимости от координат текущей точки
площадки контакта. Как указывалось выше, решить сколько-нибудь
точно задачу о контактных напряжениях не представляется возмож-
ным и поэтому дается условное решение на основании формул
Герца—Беляева.
Весьма трудно решить задачу и об определении истинной функ-
ции для коэффициента трения, который зависит от качества поверх-
ности и материалов тел, от удельного давления, от относительной
скорости и самое главное от наличия промежуточного слоя смазки.
В связи с этими замечаниями приходится констатировать, что точ-
ное решение задачи о трении фактически неосуществимо и ниже
приводится упрощенное решение, в основу которого положен закон
распределения контактных напряжений по Герцу и постоянное зна-
чение коэффициента трения. Практическую ценность это решение
будет иметь в том случае, если будут известны для каждого вида
передач коэффициенты трения, определенные по данному способу
расчета на основании экспериментально найденных потерь на тре-
ние. Однако для предварительных расчетов и сравнительных анали-
зов этот метод может быть использован с успехом.
Выберем оси координат так, чтобы начало совпало бы с центром
верчения, а направление их было бы параллельно главным осям
139
контура площадки контакта (фиг. 60). Тогда в общем случае можнд
следующим образом записать в дифференциальной форме выраже-
ние для момента трения:
dM _ 3 pf Л Г Л / x-^sine*^ /у +SBcose*\2
~а ~Ь )Х
X V х2+у2 dxdy.
Чтобы найти полный момент от сил трения, необходимо проин-
тегрировать приведенное выражение в пределах контура контактной
площадки. Однако в связи со сложностью интегрирования эта
задача в самом общем виде далее рассматриваться не будет. Вместо
этого будет решен частный, наиболее интересный случай контакта
эквивалентного цилиндра с плоскостью (фиг. 61). Для этого случая
дифференциал момента от сил трения будет таким:
<Штр = / °max 1 / 1 — K*2 + J2 dxdy.
V tr
Для удобства интегрирования представим функцию для кон-
тактных напряжений в виде параболического закона (вместо эллип-
тического), однако максимальные напряжения примем равными
максимальным напряжениям при эллиптическом законе. Вводимая
при такой замене некоторая погрешность в какой-то мере компен-
сирует ошибку, обусловленную принятием постоянного по величине
коэффициента трения. Тогда имеем
Fi k'-V]
° — °max I ^2 ’
140
Точно так же радикал, определяющий собой расстояние от
текущей точки контактной площадки до центра верчения, удобно
представить в виде следующего степенного ряда (ограничиваясь пер-
выми двумя членами и учитывая, что почти для всей площадки кон-
такта I У | > | К I ):
1 -2
l/x24-J2=^ + — —.
2 у
Вводимая при этой замене погрешность в конечном результате дает
несколько большее значение момента трения.
Тогда выражение для полного момента от сил трения будет
иметь вид:
Су+Ь
М |[-(V-&2)v+2^2->3] +
После интегрирования и преобразований имеем
Л4тр=/атах L ^-fc2-45r2+4&2 Ь L,2
В связи с тем, что получившаяся формула довольно громоздка
для вычислений, целесообразно составить упрощенную приближен-
ную формулу, но дающую несколько завышенное значение для 7Итр.
Для составления этой формулы будем считать, что ось (к1) кон-
тактной площадки совпадает с направлением прямой, соединяющей
центр верчения с точкой зацепления. При таком положении кон-
тактной площадки момент от сил трения практически не будет отли-
чаться от момента при действительном ее положении. Элементар-
ную силу трения, действующую в каждой точке площадки, разло-
жим на два направления, параллельные осям:
Р^х = ртр cos а;
Ртр I/== ртр sin л.
Здесь а — угол между осью у и направлением луча из начала коор-
динат в текущую точку.
Тогда полный момент от сил трения будет равен:
+ у SB+* +т5в + й
Мтр = Г J PTpa:j/dxtZy4-2 г f P7pyxdxdy.
Ч к~ь о sB~b
141
Далее принимается, что ртрл и /?тр& в каждой точке имеют наи-
большее из возможных значение, т. е. принимается, что для каждой
точки будут иметь место
cos а =1; ' sina= 1,
тогда
+ 7 М ь
J rfxj [Ь2-(у—sjftydy +
J L sB~b
S+t, 4
+ 2 f dy f [b2 — (y — SB)2] xdx
о
После интегрирования и преобразований получаем
Л4тр — f Стах L
Выражения для величин, входящих в формулы для были
приведены ранее.
При известном моменте от сил трения в зацеплении легко опре-
делить мощность трения и к. п. д. передачи:
Л^тр ^^тр ^верч>
1 ^тр
Tl= 1----.
Необходимо заметить, что при точечном зацеплении мощность
трения не зависит от времени, в противоположность эвольвентному
зацеплению, где мощность трения изменяется циклически. Кроме
того, мощность трения и к. п. д. в точечном зацеплении зависят от
нагрузки (так как величина контактной площадки в некоторой сте-
пени пропорциональна нагрузке), в то время как в эвольвентном
зацеплении нагрузка не влияет на к. п. д.
В случае относительно небольших нагрузок, когда размеры кон-
тактной площадки будут меньше, чем расстояние от точки зацепле-
ния до центра верчения, мощность трения можно принимать равной:
N^=fpN Ус-
Используя это выражение, найдем величину коэффициента по-
терь фт в точечном зацеплении:
р
~окр //< . • ч
----N +
COS aj
Фт =
R1 Р окр ^1
142
или
В случае эвольвентного зацепления для коэффициента потерь
фэ известна следующая формула:
Напишем эту формулу иначе:
Фэ = «/э8-^-(1 +41)»
здесь /э — коэффициент трения в зубцах с эвольвентным зацеп-
лением;
е— коэффициент перекрытия;
т — модуль зацепления;
/?1 — радиус начальной окружности первого колеса;
^21 = -^- — передаточное отношение.
Рассмотрим отношение коэффициентов потерь:
Можно утверждать, что отношение коэффициентов трения ,
Ут
входящее в эту формулу, будет, безусловно, больше единицы, так
как лучшие условия смазки при наличии перекатывания с большой
скоростью в продольном направлении и более благоприятная кар-
тина распределения контактных напряжений при точечном зацепле-
нии весьма сильно способствуют уменьшению сил трения в точеч-
ном зацеплении. т
При одинаковой изгибной прочности зубцов отношение -j-
находится в пределах = 1,0 -+-1,5.
т
При -j- =1,0 толщина зубцов у основания будет примерно
одинаковой как в случае эвольвентной, так и точечной системы
зацепления, однако изгибающий момент для зубцов с точечным
зацеплением в связи с малой высотой их будет в 3—4 раза меньше.
Если принять — =1,2; — =1,2; е=1,3; ад=20°; р=60°,
/т I
то получаем численное значение коэффициента #п, равное: Лп = 4,85.
143
На основании этого приближенного расчета можно сделать вы-
вод, что потери на трение в передачах с точечным зацеплением, по
сравнению с равнопрочными передачами с эвольвентным зацепле-
нием, должны быть в несколько раз (2—5) меньше.
В заключение данного параграфа следует сделать замечание
об износе и приработке зубцов. Первоначальный точечный контакт
зубцов вследствие износа будет превращаться в линейчатый контакт
с постоянно возрастающей длиной линии контакта (расположенной
приблизительно поперек зубцов) до некоторой предельной величины,
зависящей от высоты зубцов. Дальнейший износ будет происходить
с сохранением линейчатого контакта, равномерно по всей поверхно-
сти для обоих зубцов, причем вследствие этого износа будет умень-
шаться /, т. е. линия зацепления будет приближаться к мгновенной
оси относительного вращения. Износ будет носить регрессивный
характер. Износ зубцов с точечным зацеплением будет происходить
существенно медленнее, чем при эвольвентном зацеплении, так как
износ пропорционален работе трения, а последняя при точечном
зацеплении, как было показано, много меньше.
Главным видом разрушения рабочих поверхностей зубцов
является выкрашивание (питтинг). При точечном зацеплении выкра-
шивание наблюдается в значительно меньшей степени еще и потому,
что для всех точек рабочих поверхностей исключены те кинемати-
ческие условия, которые способствуют выкрашиванию (переход
относительной скорости скольжения через нулевое значение при
сохранении направления, а также наличие прямо противоположных
направлений для скоростей скольжения и перекатывания). Чтобы
убедиться в этом, следует обратиться к фиг. 49, где даны годографы
относительных скоростей для точек контакта.
В случае некоторых неточностей изготовления и монтажа дета-
лей передачи может иметь место неправильное зацепление, когда
зубцы будут вступать во взаимный контакт не номинальными точ-
ками, а другими, находящимися на краях рабочих участков. Так как
в этих точках контактные напряжения и скорости скольжения будут
существенно выше, чем в номинальных точках контакта, то будет
происходить достаточно быстрая приработка зубцов. Причем в про-
цессе приработки профили зубцов не искажаются, как в эвольвент-
ном зацеплении, а приближаются к теоретическим круговым про-
филям.
10. КОНСТРУКТИВНЫЕ ФОРМЫ ЗУБЦОВ
Ниже будут рассматриваться зубцы с круговым поперечным
профилем. Однако общие соображения о конструктивных формах
зубцов, которые здесь приводятся, вполне могут быть распростра-
нены и на другие формы профилей.
При проектировании зубчатой передачи с параллельными осями
должны быть заданы межцентровое расстояние А и передаточное
отношение z2i = ^ • В большинстве случаев проектирования пере-
дач эти две величины устанавливаются не абсолютно точно. Они
144
могут быть изменены в пределах нескольких процентов в соответ-
ствии с конструктивными требованиями к передаче.
Имея А и f2i, легко определить радиусы начальных окружностей
из формул: ; 1
^-Атт—
Кроме того, для проектирования должны быть заданы или пред-
варительно выбраны еще две величины, определяющие положение
линии зацепления (являющейся прямой, параллельной осям). Этими
величинами являются: / — смещение линии зацепления от мгновен-
ной оси относительного вращения (или расстояние между полюсом
и точкой зацепления) и ад — угол давления в плоскости, перпенди-
кулярной осям, представляющий собой угол между линией давления
и перпендикуляром к линии центров. Соображения об оптимальных
значениях величин / и ад будут приведены в дальнейшем.
Величина / принимается в качестве основной исходной вели-
чины, через которую будут выражены все линейные элементы про-
филей в плоскости, перпендикулярной осям (в дальнейшем эта пло-
скость будет называться торцевой плоскостью).
Рассмотрим в самом общем виде построение профилей зубцов
в торцевой плоскости (фиг. 62). На чертеже проводится линия, сое-
диняющая центры зубчатых колес. Через полюс зацепления прово-
дятся перпендикуляр к линии центров и линия давления, на которой
отмечается точка зацепления А. Через точку зацепления проводятся
дуги окружностей, образующие рабочие профили зубцов. Центры
этих окружностей должны лежать на линии давления в той же сто-
роне от точки зацепления, где находится полюс. Как уже было ука-
зано ранее, на малом (первом или ведущем) колесе передачи преду-
сматриваются зубцы с выпуклым профилем, а на большом — с вог-
нутым.
Радиусы рабочих профилей для первого и второго зубчатых
колес равны:
П = I (1 + Лг1); r2 = l(\+kr2).
Коэффициент kr2 для основного случая профилирования при-
нимается равным нулю. Тогда r{ = I.
Коэффициент kr2 не обращается в нуль даже в предельном слу-
чае точечного контакта, переходящего в линейчатый контакт. Здесь
необходимо иметь в виду, что линия касания при линейчатом контак-
те не лежит в торцевой плоскости. Точное значение kr2 можно опре-
делить в результате рассмотрения взаимно наложенных индикатрис
радиусов кривизны, исходя из наперед заданного характера контак-
та. Линейчатый контакт при проектировании следует предусмотреть
лишь для передач 1-го класса точности при высокой твердости
рабочих поверхностей зубцов. В других случаях более целесообразен
первоначальный точечный контакт, при котором свободно компен-
сируются неточности изготовления.
При эксплуатации передачи, в результате приработки зубцов,
точечный контакт превращается в линейчатый. В случае ориентиро-
10. М. Л. Новиков. 145
вочных предварительных расчетов коэффициент kr2, являющийся
функцией от /, ад, 7, /2ь Ri, можно принимать равным в пределах
ftr2 = 0,03 ^0,10.
Дуга окружности для профиля зуба первого колеса, проводимая
из полюса радиусом г{ = /, располагается между начальной окруж-
ностью радиуса R{ и окружностью радиуса /?1Г, определяющей гра-
ницы головок зубцов:
г — Ri + (1 — г) I-
Коэффициентом £1г определяется радиальный зазор между
головкой выпуклого зуба и впадиной вогнутого. Л1г зависит от угла
давления ад, от абсолютных размеров зубчатых колес, от точности
изготовления и условий смазки передачи. В первом приближении
можно рекомендовать его величину в пределах
Л1г = од н-0,2.
146
Дно впадины между зубцами первого колеса может быть очер-
чено из центра колеса дугой окружности радиуса /?1Н •
н — Ri ~ h °,
здесь В — радиальный зазор между вершиной зубцов с вогнутым
профилем и впадиной зубцов первого колеса. Величина
этого зазора должна быть приблизительно равна 8-/А1г.
h — высота выступов головок зубцов с вогнутым профилем
над начальной окружностью для второго колеса.
Дно впадины между зубцами первого колеса может быть очер-
чено также по прямой или какой-либо другой кривой, проходящей
внутри круга радиуса /?1н5 как показано пунктирными линиями на
фиг. 62.
Кривая контура дна впадины сопрягается с профилем основной
части зубца дугой некоторого радиуса г1н.
Вопрос о форме дна впадины можно окончательно решить лишь
при достаточно полном учете требований технологии и прочности,
согласно исследованию [42] можно рекомендовать г1н = 0,3 /.
Дуга окружности для профиля зубца второго колеса, проводи-
мая радиусом г2 через точку зацепления из точки, лежащей на линии
давления, располагается между начальной окружностью радиуса /?2
и окружностью радиуса /?2Н, равного
R 2 н === Rl г*
Окружность, определяющая высоту головок зубцов, имеет
радиус, равный:
/?2r = #2 + А.
Повышенный диаметр для головок зубцов против диаметра,
определяющего границы рабочей части профиля, необходим для пре-
дупреждения разрушения зубцов у верхнего края головки. Вели-
чина А, за счет которой производится улучшение прочности головок
зубцов с вогнутым профилем, отрицательно влияет на изгибную
прочность зубцов с выпуклым профилем. В первом приближении
можно рекомендовать величину h в пределах
Л = (0,1 -0,2) /.
Часть головки зубца, в пределах высоты Л, очерчивается по
дуге радиуса г2г, сопрягаемой с дугой рабочего профиля, причем
должно быть
Г2г<П н-
Величину h можно принимать равной нулю или меньше. В этом слу-
чае рабочая часть высоты зуба уменьшается, что ведет к уменьше-
нию контактной прочности. При этом, однако, несколько увеличи-
вается прочность зубцов на изгиб.
Дно впадины между зубцами с вогнутым профилем очерчи-
вается дугой радиуса г2н > которая сопрягается с дугами рабочей
части профиля, заканчивающимися на окружности с радиусом /?2.
10* 147
Величина радиуса г2н находится из соответствующих геометрических
построений.
Только что рассмотренные зубцы можно условно назвать нор-
мальными зубцами. Однако каждый из таких зубцов может ока-
заться неравнопрочным в отношении контактного смятия, изгиба и
сдвига и, кроме того, зубцы, образующие зацепление, могут быть
неравнопрочными друг с другом. Чтобы добиться полной равнопроч-
ности зубцов во всех отношениях, целесообразно на практике при-
менять «исправленные» зубцы. Исправление зубцов заключается
в изменении толщины их, при полном сохранении всех элементов
профилей. Это изменение толщины может быть произведено путем
вырезания некоторого сектора из середины зубца при его профили-
ровании и сближения оставшихся половин зубцов или, наоборот, при-
бавления некоторого сектора к разрезанному посередине зубцу. Со-
ответственно должна быть изменена и ширина впадин.
На фиг. 63.показаны утолщенные зубцы, а на фиг. 64 показаны
зубцы с уменьшенной толщиной. Толщины зубцов, измеренные по
дугам начальных окружностей выпуклого Si и вогнутого S2, должны
определяться из условия равнопрочности зубцов по изгибу и срезу.
Исходя из результатов экспериментов, проведенных в ВВИА
имени проф. Н. Е. Жуковского [13], [42], а также исходя из резуль-
татов заводских испытаний передач с новым зацеплением, можно
утверждать, что зубцы, у которых обе стороны профиля описаны
148
дугами из одного центра, являются излишне переупрочненными нй
изгиб (излом). Оказалось возможным уменьшить толщину таких
зубцов (а следовательно, и ширину венцов колес) не менее чем на
25%. Кроме того, для достижения равнопрочности выпуклого и вог-
нутого зубцов на изгиб оказалось возможным уменьшить толщину
вогнутого зубца S2 по делительной окружности еще не менее чем
на 25%.
Фиг. 64
На фиг. 65 в самом упрощенном виде показаны исправленные
профили зубцов с новым зацеплением, которые можно рекомендо-
вать для передач с новым зацеплением при твердости материала
Нв < 300. Желательно придерживаться следующих соотношений
между элементами профилей: гх -- 1\ г2 < 1,10 г г, ггалт = 0,3/;
—= 0,8; = 1,5; ад = 30°; 1 = 60—80°; t = Si + S2 + Д,
/ s2
где боковой зазор Д = 0,2—0,4 мм.
Шаг зубцов должен быть увязан с заданным передаточным чис-
лом и межосевым расстоянием, или, иначе говоря, с радиусами
начальных окружностей. Эта связь следующая:
tzx = 2 я ; tz2 = 2 it /?2,
149
здесь Zi и >2 — числа зубцоб шестерен, которые, конечно, должны
быть целыми числами.
При расчетах и проектировании следует стремиться по возмож-
ности к минимальному значению шага, так как от последнего зави-
сят ширина обода зубчатых колес, а стало быть, и габарит и вес
всей передачи.
Ширина обода зубчатых колес при одноточечном зацеплении
равна:
В = te tg 7,
здесь у — угол подъема винтовых линий, лежащих на начальных
цилиндрах;
е — коэффициент перекрытия.
В первом приближении для систем точечного зацепления можно
рекомендовать значение коэффициента перекрытия в пределах
е = 1,1 н- 1,2.
Этот коэффициент зависит от угла подъема винтовых контакт-
ных линий. Для меньших значений угла подъема следует брать боль-
шие значения коэффициента е.
Ширина обода для статически неопределимого многоточечного
зацепления равна
В=(п - 1 +e)MgT,
здесь п — число, точек, находящихся в одновременном зацеплении.
150
В случае многоточечного зацепления размеры зубцов как по
высоте, так и по толщине могут существенно отличаться в мень-
шую сторону по сравнению с одноточечным зацеплением. Получаю-
щееся при этом уменьшение шага зубцов способствует уменьшению
ширины обода зубчатых колес. Однако конкретные указания по
этому поводу могут быть разработаны лишь на базе специальных
исследований.
При высокой твердости материала, чтобы избежать при пере-
сопряжении разрушения поверхности зубцов у концов их, целесо-
образно произвести фланкирование рабочих поверхностей по всему
контакту рабочего профиля на длине, равной приблизительно
(0,2 н- 0,4) I с каждого конца. Фланкирование зубцов необходимо
делать только для одного колеса, по-видимому, выгоднее его делать
для малого колеса. Фланкированная поверхность должна плавно
переходить в рабочую; смещение фланкированной поверхности от
исходной поверхности по торцевому контуру рабочего профиля дол-
жно составлять несколько сотых миллиметра. Уточнить необходимое
фланкирование можно только путем проведения соответствующих
экспериментов.
Для колес из материалов любой твердости желательно снимать
фаску по торцам зубцов под углом 30—45° на всю их высоту с целью
уменьшения напряжений изгиба на консольной свисающей части
зубца.
С кинематической стороны новое зацепление, так же как и
эвольвентное, не чувствительно к изменению межосевого расстояния.
Однако при незначительной разнице в величине радиусов профилей
выпуклого и вогнутого зубцов допуск на межосевое расстояние,
заданный в плюс, может привести к кромочному касанию вершиной
вогнутого зубца. Исходя из этих соображений, как показали иссле-
дования Н. Н. Краснощекова и И. Н. Гришель, целесообразно поле
допусков на межосевое расстояние задавать только в минус. По
тем же соображениям желательно допуски на величину радиусов
профилей выпуклого и вогнутого зубцов назначать одного знака
(лучше оба только в минус).
11. ОПТИМАЛЬНЫЕ ПАРАМЕТРЫ ЗАЦЕПЛЕНИЯ
Величины /, ад, у являются основными параметрами, опреде-
ляющими качество зубчатых передач с точечным зацеплением. Не-
обходимо рассмотреть эти величины и установить, хотя бы в первом
приближении, рациональные границы для их значений.
Величина /, представляющая собой расстояние между линией
зацепления и мгновенной осью относительного вращения, сущест-
венно влияет на величину потерь на трение в передаче и на вели-
чину контактных напряжений. С увеличением I увеличивается отно-
сительная скорость скольжения Vz, а вместе с этим увеличивается
и работа сил трения. Таким образом, с точки зрения уменьшения
потерь на трение целесообразно стремиться к малому значению /.
В случае малой нагрузки и ярко выраженного точечного кон-
такта (т. е. при сравнительно малой величине реальной площадки
151
контакта) величина I может принимать очень малые значения, до
нуля включительно. Потери в передаче при / = 0 будут в несколько
раз меньше, чем в случае эвольвентного зацепления (здесь необхо-
димо заметить, что при / = 0 поперечные профили зубцов, образую-
щих зацепление, будут выпуклыми, с приведенным радиусом кри-
визны, несколько меньшим, чем при эвольвентном зацеплении).
При большой нагрузке должен быть предусмотрен точечный
контакт с большой реальной площадкой контакта или его предель-
ный случай — линейчатый контакт. При этом ширина рабочей пло-
щадки контакта будет прямо пропорциональна /. Следовательно,
с точки зрения уменьшения контактных напряжений целесообразно
увеличивать /.
Компромиссная задача о выборе величины I не может иметь
однозначного математического решения. Выбор величины / должен
производиться с учетом назначения зубчатой передачи, ее долговеч-
ности, условий работы, материалов для зубчатых колес, технологии
и прочее. При первоначальном проектировании можно ориентиро-
вочно принимать / = (0,05 -и 0,20)
Большие значения / следует принимать, когда решающую роль
играет контактная прочность, меньшие значения — в случаях, когда
желательны малые потери на трение.
Величина ад, представляющая собой угол между направлением
окружной силы и нормалью к профилям поперечного сечения, также
имеет большое влияние на контактную прочность и на потери в за-
цеплении.
Нормальная сила, действующая в зацеплении, равна:
* N— N 'окр I/ 9 "Г 9
cos 04 у cos2 ад tg2 y
Из этой формулы следует, что потери, пропорциональные нор-
мальной силе, растут с увеличением угла ад.
Контактные напряжения в случае линейчатого контакта и при-
ближающегося к нему точечного контакта пропорциональны квад-
ратному корню из отношения нормальной силы к длине контактной
площадки L по высоте зубцов:
°конт=0>418
ИЛИ
°конт=0,418 1/ ^окр___-1 /______1_______]_ .
2Zsinafl R3 V cos2 ад tg2^
Из полученного выражения можно найти угол ад, при котором
контактные напряжения будут минимальными. Этот угол имеет зна-
чение, несколько меньшее 45°. Однако принимая во внимание, что
уменьшение напряжений при возрастании угла ад выше 30° проис-
ходит весьма медленно (минимум пологий) и что увеличение угла ад
приводит к некоторому уменьшению радиусов кривизны поверхно-
152
стей по направлению контактных линий, а также к увеличению
радиальных составляющих сил, нагружающих подшипники, и к уве-
личению потерь, наиболее целесообразные практические пределы
для угла ад будут: а = 20н-30°
На изгибные напряжения в зубцах угол ад влияет мало. Для
утолщенных зубцов увеличение ад приводит к некоторому уменьше-
нию изгибных напряжений, а для зубцов с уменьшенной толщиной —
к увеличению напряжений.
Рассмотрим влияние угла у (угла подъема винтовых линий
зубцов, располагающихся на начальных цилиндрах) на величину
контактных напряжений. Для этой цели, воспользовавшись форму-
лами (137), (94), (86), (87), напишем развернутое выражение
ДЛЯ ~R~3'
1 _ __________1________ / / + /?i sin <хд Z — /?2 sin ад \
R3 ~ t ! /сО5ад\2 V Я1 в + ₽!2 tg27 R22в+Я22tg2 J '
I \ tgy /
При исследовании в отношении влияния у на аконт ввиду мало-
сти I по сравнению с /?1 и /?2 в этой формуле можно приближенно
' 1_________cos2 у /Z+/?1 sin ад /—/?2sin ад\
Яэ Г х , cos2 afl /?!2 /?22 / ’
V tg2 у
Подставив это выражение для — в формулу для контактных
напряжений, получим Вз
®конт "'Конт COS у,
где
^конт “ 0,41 8
/Рокр£ //+/?! sin ад Z—/?2sinaA
2Zsinafl \ /?2! /?22 /
Из выведенной формулы получается, что с увеличением угла у кон-
тактные напряжения непрерывно уменьшаются (формула не дей-
ствительна в связи с принятыми допущениями для малых значе-
ний у).
Оптимальное значение у следует искать из условия получения
минимальной ширины обода зубчатых колес, от которой зависят
габарит и вес зубчатой передачи. Ширина обода равна:
в = e-Mg 7,
ИЛИ /
5 = —^ е;
cosy
t — шаг зубцов по начальной окружности в торцевой пло-
скости;
153
tn — шаг зубцов в сечении плоскостью, перпендикулярной каса-
тельной к винтовой линии:
tH = t • sin 7.
Определим ширину обода В в зависимости от 7 в случае задан-
ных напряжений сдвига в зубцах. Необходимая площадь сдвига
равна: р
/• ' расч
сд
тсд
Площадь сдвига /сд для участка зубца с длиной, равной еди-
нице, можно считать пропорциональной нормальному шагу:
/сл - ^сд‘^н*
Расчетную силу Ррасч, действующую на этот же участок зубца,
принимаем пропорциональной максимальному значению контактных
напряжений:
^расч '== ^конт — ^конт COS *[•
Тогда нормальный шаг зубцов /н получается пропорциональ-
ным cos 7:
fH ==: сд cos у.
Если подставить полученное выражение для tH в формулу
для В, то можно убедиться, что ширина обода зубчатых колес не
зависит от угла 7, если исходить из обеспечения заданной величины
напряжений сдвига.
Рассмотрим ширину обода В в зависимости от 7 в случае
заданных изгибных напряжений в зубцах. Эти напряжения равны:
о — k ^Расч —ь CQS?
°изг К'изг 2 «'изг 2 ’
из
откуда -----
ИЗГ I' ^OS 7*
Подставив tn в формулу для ширины обода, имеем
r __ Л/н изг
V cos 7
Следовательно, ширина обода при условии постоянства изгибных
напряжений является величиной, обратно пропорциональной квад-
ратному корню из COS7-
Таким образом, оптимум для угла 7 в первом приближении
установить не представляется возможным. Однако с качественной
стороны следует отметить, что с увеличением 7 происходит:
а) уменьшение контактных напряжений; б) уменьшение потерь
вследствие уменьшения йверч; в) уменьшение осевых сил, нагружаю-
щих подшипники; г) увеличение ширины обода при аизг = const.
Принимая во внимание все эти обстоятельства, можно ориенти-
ровочно рекомендовать угол 7 в пределах 7 = 60-7-85°.
154
Большие значения соответствуют случаю, когда лимитируют
контактные напряжения, меньшие — когда лимитируют прочность
зубцов изгибные напряжения.
Уточнение оптимальных значений /, ад и 7 может быть произ-
ведено в каждом конкретном случае только лишь при наличии соот-
ветствующего опыта эксплуатации рассматриваемых зубчатых
передач.
12. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА ЗУБЧАТЫХ ПЕРЕДАЧ
С целью выяснения преимуществ точечного зацепления перед
линейчатым целесообразно рассмотреть конкретные примеры рас-
чета зубчатых передач с параллельными осями при точечном зацеп-
лении. В качестве таких примеров принимаются три передачи
с передаточными отношениями, равными 1, 1/2, 1/3, причем каждая
передача рассматривается в двух вариантах, различающихся или
величиной угла давления ад, или величиной расстояния от точки
зацепления до полюса /. Исходные данные для расчета передач при-
ведены в табл. 1.
Таблица 1
№ п/п. Пример № I Заданные величины 1 2 3 4 5 6
1 Передаточное число Z21 . . . 1 1 1/2 1/2 1/3 1/3
2 Межцентровое расстояние А, мм 200 200 225 225 300 300
3 Начальный радиус шестерни 7?1, мм . . . . • 100 100 75 75 75 75
4 Начальный радиус колеса /?2» мм 100 100 150 150 225 225
5 Смещение Z, мм 8 8 7 9 10 15
6 Угол давления ад 20 25 25 25 25 25
7 Угол подъема начальных винтовых линий 7 60 60 60 60 60 60
Малое колесо (шестерня) передачи считается первым (веду-
щим). Профили зубцов в поперечном сечении для малого колеса
назначаются выпуклыми, а для большого — вогнутыми. Направле-
ние хода винтовых зубцов на малом колесе принимается правым и
соответственно на большом колесе — левым.
Дальнейшее изложение настоящего расчета будет заключаться
в последовательном приведении соответствующих расчетных формул
с необходимыми замечаниями. Результаты вычислений заключаются
в сводную табл. 2.
Параметры винтовых линий зубцов, представляющих собой
отношение полного осевого шага винтовых линий к 2тс, равны:
Pi=#itg-r; p2=^2tg-r=
hi
здесь у — угол подъема винтовых линий, располагающихся на
начальных цилиндрах.
155
Для всех примеров принята 7 -- 60д.
Радиусы цилиндров, на которых располагаются контактные ли-
нии, равны:
R1 в = ]//2 cos2 ад + (/?] + /sin ад)2;
/?2в= 'K/2cos2aJl+ (—/?2+/sin ад)2.
Углы подъема винтовых контактных линий равны:
Радиусы кривизны р и радиусы кручения р' контактных линий
определяются по формулам:
. „,_й.+р,2
р,“—я,. ’ р,_ р,
__/?2в + Р22. / в+Р22
ЯТГ"' —
Проекции на оси х, у, г, скорости движения точки зацепления
вдоль контактных линий находятся из следующих выражений:
1/^= —(/?j+/sin ад); V5?,)=Z21 (—^2-i-^sin ад);
VV/^Zcos ад; V'.v? = —/21 /cos ад;
И?=Р1;
Абсолютные величины скоростей движения точки зацепления
вдоль контактных линий равны:
I/K1— Кр12-Н2с082ад+ (Z?J 4- ZsinaJ2 — Vp^+Rt в;
Ик2= V/^+^i^cos2^ +/21 (—/?2Н- Z sin ад)2 — Vp2+RiB.
Направляющие косинусы касательных к контактным линиям
равны:
К1 и? к2 vl2).
cos“i cosai =
I/O) cos₽r’ = ^; COS pl2 = 1/(2) V Ух . ук2 ’
Ki И? cosn COS fl2 = ук2 •
156
Проекции относительной скорости точек, находящихся в зацепле-
нии, и ее полная величина, а также направляющие косинусы век-
тора этой скорости, равны:
V^= — Z (1 4-z21) sin ад;
Z(1+*21)cos ад;
IKI =/(1+41);
COS «1= — Sin ад;
cos Pi —cos ад;
cos 0.
Направляющие косинусы
поверхностям в точке контакта
мулам:
cosa"= ..;C0Sa» -
з/l COS4
F tg2T
общей нормали к сопряженным
определяются по следующим фор-
sinafl
I , СО52«д
tg2f
cos =
cos2 ад
tg!
j cos2 ад
tg2T
Направляющие косинусы углов, определяющих положение
радиальных направлений, проведенных в точку контакта, равны:
I cos ад о R, + I sin ад
cosa* = ~^: COS^.= ~Б— 5
'Mb Au
___ /соэад ; cosp^ — /?2 / sin стд
cos I1* —
cos7₽=0;
с°8тл>=°-
Косинусы
ниями равны:
D 'К* D
''2в <<2в
углов между нормалью и радиальными направле-
COS 61 =----
Я1в
1 + Ri sin a.
COS2 ад
tg21
cos6 _ /~/?2sin«,
Z?2b
cos2 ад
tg2!
COS а₽2 =
157
Косинус угла между нормалью и перпендикуляром, опущенным
из точки зацепления на мгновенную ось относительного вращения,
равен:
cos6z = — Рх =-------—- — ,
^Р12 + /?12соз2ад iZ'l-i cos2ад
г tg2^
или
cos 0z = sin 7^.
Углы между касательными к контактным линиям и исходным
направлением (касательной к сопряженным поверхностям, лежащей
в плоскости, перпендикулярной осям), определяются по следующим
формулам:
cos ф, = sln + 1 cos ф, = .
Кл! + Ч,
Угол между касательными к контактным линиям равен:
&=Ф2—Ф1.;
Радиусы кривизны сопряженных поверхностей по направлению каса-
тельных к контактным линиям равны:
/?к1_ Р* • /^к2_ Р2
COS0J ’ cos02
В качестве сопряженных поверхностей выбираются винтовые
поверхности с круговым поперечным профилем?Для первой поверх-
ности принимается радиус профиля равным и = /, а для второй —
г2= 1,01 д.
Расстояние от центра профиля до оси для первого колеса равно
R^ = RX.
Для второго колеса также можно принять при расчете индика-
трис /?<2> = R (в связи с малой разностью между I и г2).
Контактные линии, лежащие на рассматриваемых поверхностях,
являются линиями X = const.
Значение X для поверхностей равно:
sin Xj = sin Х2 = cos ад ;
cos Xj — sin ад ;
cosX2= — sinafl.
Гауссова и средняя кривизна сопряженных поверхностей равна:
~ _ p2/?cosX н = — р2 #(rcosX + R)
г (R2 sin2 X + р2)2 ’ 2r (R2 sin2 X -|-р2)’/э
158
Главные радиусы кривизны равны:
— =/7 ± Ун2 — К-
/?1,2
Углы между первым главным направлением и касательными
к линии Х= const и |i= const соответственно равны:
Sin ^глк —
/?! -
/?1 — /?2
Sin ^глр. —
^?1 /?|Л /?2
/?1 /?2
здесь
1
cos6z
R^ = r
/?<2> = /?к2;
/?(2) = Г _L
11 cos 6,
Угол между первым главным направлением и асимптотиче-
скими направлениями равен:
sin &ас = ±
На фиг. 66 схематично (без соблюдения масштаба) представ-
лены наложенные друг на друга индикатрисы радиусов кривизны
сопряженных поверхностей в точках контакта для четвертого при-
мера. (Остальные случаи очень мало отличаются от него).
Приведенный радиус кривизны поверхностей в направлении,
перпендикулярном к контактным линиям для рассмотренных приме-
ров, весьма велик и составляет величину, равную приблизительно
1500—2000 мм. Уменьшая разницу между г2 и /, можно этот при-
веденный радиус сделать еще большим. В связи с этим’при даль-
нейших расчетах будем считать взаимный контакт зубцов линейча-
тым с длиной линии контакта, равной: L = 2/sinafl.
Приведенный радиус кривизны поверхностей в направлении
контактных линий равен:
R = RK1RK2
э ЯК1 + R*2 '
Шаг зубцов в торцевой плоскости при условии обеспечения рав-
нопрочности можно оценить приближенно таким образом (без увяз-
ки с числом зубцов):
(3,0 — 3,5)1.
Ширина обода зубчатых колес равна:
£ = *-etg f.
В расчетах принимаем е = 1,2.
159
160
Таблица *L
с * ^~\^Нример № Вычисляемые^^ величины 1 2 3 4 5 6
1 Pl 173,2 173,2 130 130 130 130
2 Р2 173,2 173,2 260 260 390 390
3 R1B 103,01 103,73 78,21 79,15 79,75 82,48
4 /?Л 97,55 96,79 147,2 146,15' 220,95 219,05
5 ‘g 71в 1,680 1,670 1,665 1,630 1,630 1,576
6 71в 59° 15' 59°05' 59°00' 58°28' 58°28' b7° 36'
7 tg 72В 1,775 1,785 1,765 1,780 1,764 1,780
8 72в 60° 35' 60°45' 60°28' 60° 40' 60° 27' 60° 40'
9 Р1 394 393 294 292 292 287
10 Р1' 234 235 117 179 179 182
11 Р2 406 407 605 608 910 913
12 Рг' 228 227 343 342 515 513
13 v<!> —102,74 -103,48 -77,96 -79,23 -79,23 -81,35
14 7,52 7,25 6,34 9,06 9,06 13,6
15 у(П = И(2) 173,2 173,2 130 130 130 130
16 V® -97,26 -96,52 -73,52 -72,88 —73,60 -72,80
17 V® -7,52 -7,25 - 3,17 -4,53 — 4,53 - 6,8
18 УЧ 201,5 201,9 151,7 152,5 152,5 154,0
19 уК2 198,8 198,4 149,4 149,1 149,4 149,1
20 COS а*1 -0,511 -0,512 -0,513 - 0,519 - 0,519 - 0,527
21 cos 0,035 0,036 0,042 0,059 0,059 0,088
2z cos 7i1 0,861 0,858 0,858 0,852 0,852 0,843
23 cos ак2 -0,488 -0,486 - 0,492 - 0,488 - 0,492 — 0,488
24 cos £j2 -0,038 -0,0365 - 0,0212 - 0,0304 — 0,0303 — 0,0456
25 cos 7j2 0,871 0,872 0,870 0,871 0,870* 0,871
26 5,47 6,76 4,44 6,35 5,65 8,46
27 Vе V У1 15,05 14,5 9,5 13,6 12,05 18,1
28 Vc 16 16 10,5 15 13,33 20
29 N COS af 0,826 0,805 0,805 0,805 0,805 0,805
30 COS 0,300 0,375 0,375 0,375 0,375 0,375
31 cos 7^ 0,477 0,463 0,463 0,463 0,463 0,463
И. М. Л. Новиков.
161
Продолжение таблицы 2
1 u/u W 1 Пример № Вычисляем ыеХ величины 1 2 3 4 5 6
32 C0S “/?! 0,0728 0,0700 0,0812 0,1135 0,1135 0,1650 ‘
33 Ki- cos 0,998 0,997 0,996 0,993 0,993 0,985
и COS а 0,0771 0,0750 0,0430 0,0620 0,0410 0,0620
35 R2 cos 8 ГЯ2 0,997 0,997 0,998 0,997 0,998 0,997
36 COS 0! 0,360 0,429 0,438 0,463 0,463 0,502
37 cos 02 0,364 0,433 0,408 0,423 0,405 0,423
38 COS 6/ 0,879 • 0,885 0,887 0,887 0,887 0,887
*9 COS 0,209 0,249 0,255 0,273 0,273 0,303
40 4*1 77° 55' 75°33' 75°12' 74°10' 74°10' 72° 20'
11 COS <p2 0,1316 0,1730 0,1887 0,1792 0,1900 0,1455
42 ^2 82°35' 80° 2' 79° 10' 79° 40' 79° 2' 81°40'
43 & 4° 40' 4° 29' 4° 2' 5° 30' 4° 52' 9° 20'
44 R^ 1093 917 670 630 630 572
15 R^ 1115 940 1480 1440 2245 2160
46 *12 8,95 8,90 7,74 9,92 11,1 16,5
47 *11 1330 НИ 834 834 834 834
48 9,10 9,05 7,90 10,15 11,30 16,90
49 ^глк 2° 30' 2° 20' 2° 44' 4е 00' 3°44' 5° 30'
50 ^ГЛ(1 80°25' 77° 53' 77° 56' 78°10' 77° 14' 77° 50'
51 >2 8,08 8,08 7,07 9,09 10,1 15,15
52 *22 9,00 8,95 7,83 10,0 11,3 17,0
53 *21 1030 905 1410 1330 2050 1970
54 *’2) 9,18 9,12 7,98 10,23 11,5 17,3
55 ^глХ 1° 10' Г10' Iе 50' 1°50' 1°53' 3°5'
56 &ac 5° 25' 5°4О' 4° 30' 4° 25' 4° 40' 5° 20'
57 L 5,48 6,75 5,92 7,62 8,45 12,7
58 *э 551 463 460 438 492 452
59 t 20 20 20 23 25 38
60 В 42 42 42 48 52 79
61 Р1Э 34,2 42,3 31,7 31,7 31,7 31,7
62 Р2э 34,2 42,3 63,5 63,5 95,3 95,3
63 Pnp Э 17,1 21,1 21,1 21,1 23,8 23,8
64 С при =1,0 дл 3,64 3,05 2,66 2,54 2,90 2,64
65 С при ^1 = 1,25 ал 5,70 4,76 4,16 3,97 4,53 4,12
66 В' i 239 200 1 175 191 235 326
162
Для сравнения прочности зубцов с точечным и эвольвентным
зацеплением определим для последнего приведенные радиусы кри-
визны при контакте в полюсе:
р1э =/?! sin ад ; р2э — R2 sin ад; рПрэ = ——2э -
Р1э + р2э
Вычислим отношение окружных сил, передаваемых зубцами
с точечным (предельным) и прямозубым эвольвентным зацеплением
с длиной зубцов, равной В. На основании формулы Герца это отно-
шение может быть записано так:
с_Рок₽т PN?sinl /Ч? Lfb .
^0КРЛ \ОЛ/ В?пр9
В таблице приведено С, вычисленное для — = 1,0 и — == 1,25.
Для сравнения целесообразно определить также длину В' зуб-
цов с эвольвентным зацеплением, равнопрочных в контактном отно-
шении зубцам с точечным зацеплением:
\ / Рпр э
Приведенные расчеты показывают большое преимущество
точечного зацепления перед эвольвентным, дающее сокращение
габарита шестерни в осевом направлении на 300 н-6ОО°/о. Факти-
чески при более точном учете всех положительных факторов, при-
сущих системе точечного зацепления (благоприятное влияние смаз-
ки, меньшая чувствительность к неточностям зацепления, меньшие
потери на трение и пр.), преимущество точечного зацепления будет
еще более высоким.
13. О ТЕХНОЛОГИИ ЗУБЦОВ С НОВЫМ ЗАЦЕПЛЕНИЕМ
Нарезание зубчатых колес с новым зацеплением может произ-
водиться по методу копирования с помощью фасонных дисковых и
пальцевых фрез и резцов и с помощью многорезцовых головок-про*
тяжек.
Как было показано выше, сопряженные поверхности зубцов,
образованные по новому методу, не имеют общей вспомогательной
движущейся поверхности (огибающей). Однако каждая из сопря-
женных поверхностей имеет свою огибающую, отличную от огибаю-
щей другой сопряженной поверхности. Это обстоятельство позво-
ляет производить нарезание зубцов методом обкатки с применением
как зубодолбежного инструмента, так и червячных фрез.
Расчет зуборезного инструмента для зубчатых колес с новым
зацеплением может быть основан на существующих известных спо-
собах. Этот инструмент для профилей зубцов, очерченных дугами
11* 163
окружности, практически оказывается не более сложным, чем в слу-
чае эвольвентного зацепления, если иметь в виду, что исходная
инструментальная рейка для современных эвольвентных передач
имеет достаточно сложную форму, в связи с необходимым фланки-
рованием и профилированием оснований ножек зубцов.
В случае применения профилей зубцов, описанных дугами
окружности в торцевой плоскости, профили их в нормальной пло-
скости оказываются выполненными по кривой, близкой к эллипсу.
Для упрощения технологии изготовления инструмента, работающего
методом обкатки, целесообразно дуги эллипса в нормальном сечении
заменять близкими к ним дугами окружности. Погрешность в форме
профилей при этом получается весьма незначительной. Многие
колеса для прочностных испытаний, проводившихся автором
в 1955 г., были выполнены с профилями зубцов, очерченными дугами
окружности в нормальном сечении.
Способы профилирования дисковых и пальцевых фрез изложены
в работе [421. Фрезами, рассчитанными по указанному способу,
в начале 1955 г. были нарезаны зубчатые колеса для первых
выполненных передач с новым зацеплением. В конце 1955 г.
В. Н. Кудрявцевым в Ленинграде были рассчитаны и выполнены
первые червячные фрезы для нового зацепления по разработанному
Фиг. 67
им исходному контуру. В начале 1956 г. были спрофилированы
червячные фрезы на машиностроительном заводе в г. Николаеве,
на заводе имени 15-летия ЛКСМУ в г. Сталино, а также на многих
других заводах. На фиг. 67 показаны червячные фрезы, выполнен-
ные в г. Николаеве, на фиг. 68 — зубчатая пара, нарезанная чер-
вячными фрезами.
Червячные фрезы дают возможность нарезать одним инструмен-
том колеса с любым числом зубцов и обеспечивают взаимозаменяе-
мость колес с одинаковым профилем зубцов (выпуклым или вогну-
тым). J
164
Передачи с новым зацеплением могут быть выполнены с очень
малым числом зубцов без опасности подрезания. На фиг. 69 приве-
дена передача, шестерня которой имеет два зубца. Такие передачи
с параллельными осями могут заменить обычные червячные пере-
дачи там> где не требуется наличие самоторможения. К. п. д. таких
передач будет значительно выше, чем у обычных червячных передач.
В Ленинграде и Куйбышеве разработаны способы профилиро-
вания гребенок для колес с новым зацеплением. В Риге методом
деления нарезаны колеса с внутренним зацеплением для авиацион-
ного планетарного редуктора с новым зацеплением. В Москве и Ни-
Фиг. 68
колаеве проводятся работы
по профилированию долбя-
ков для нарезания внутрен-
него зацепления с новым
профилем методом обкатки.
Фиг. 69
Как показала практика десятков заводов, стоимость зуборез-
ного инструмента для нового зацепления не превышает стоимости
обычного инструмента, применяемого для нарезания зубчатых колес
с эвольвентным зацеплением.
Нарезание колес с новым зацеплением как цилиндрических, так
конических и червячных производится на всех типах существующих
зуборезных станков, на которых производится нарезание обычных
косозубых цилиндрических колес или конических колес с криволи-
нейными зубцами.
165
На фиг. 70 представлена коническая пара с новым зацеплением,
нарезанная резцовыми головками на станках типа «глисон».
Окончательными видами обработки зубцов могут быть шевин-
гование, обкатка, притирка и приработка. При новом зацеплении
имеют место более низкие значения контактных напряжений, что во
многих случаях исключает требование в отношении обеспечения
высокой твердости поверхностей зубцов. Это обстоятельство в боль-
шинстве, случаев устраняет необходимость в специальной термообра-
ботке поверхностей зубцов и дает возможность легко и просто
с большой производительностью и высокой точностью производить
окончательную обработку таким методом, как шевингование.
Фиг. 70
В настоящее время ведущие станкостроительные СКВ при про-
ектировании новых шлифовальных станков обеспечивают возмож-
ность шлифования зубцов с круговым торцевым профилем. Это
позволит применять передачи с новым зацеплением не только с азо-
тированными, но и с цементированными, обработанными холодом
поверхностями зубцов, что имеет большое значение для высокона-
пряженных передач типа авиационных, танковых, передач угольных-
комбайнов и др.
Кроме механической обработки резанием, зубцы могут изготов-
ляться давлением путем накатывания. Этот исключительно высоко-
производительный, экономичный и точный метод получения зубцов
сейчас применяется на ряде заводов при изготовлении зубчатых
колес с эвольвентным зацеплением. Метод накатывания весьма
успешно может быть использован при изготовлении зубцов с точеч-
ным зацеплением в связи с малой высотой зубцов, большой толщи-
ной их и большой шириной впадин. Его следует особенно рекомен-
довать при изготовлении шевронных колес с точечным зацеплением
(применяемых в случае, когда нежелательны осевые составляющие
1G6
сил, нагружающих подшипники), так как другие способы изготов-
ления, например, долблением, недостаточно производительны.
При решении технологических вопросов большую роль играет
необходимая точность изготовления. В случае эвольвентного зацеп-
ления требуется выдерживать высокую точность как в отношении
профиля зубцов, так и в отношении их продольного направления.
При точечном зацеплении требования к точности профиля снижа-
ются. В продольном направлении требуется выдерживать необходи-
мую точность только для той части поверхности, на которой
непосредственно находится контактная линия. Неточность изготов-
ления поверхности вне контактной линии совершенно не влияет на
кинематику и динамику зацепления и общую прочность зубцов и
сказывается лишь в очень слабой степени только на контактной
прочности.
Таким образом, в связи с менее строгими требованиями к точ-
ности и возможностью обходиться меньшей твердостью рабочих
поверхностей зубцов с точечным зацеплением, а также благодаря
сравнительно несложной геометрической форме изготовление колес
с новым зацеплением является более простым и более производи-
тельным, чем в случае эвольвентного зацепления.
ГЛАВА III
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРЕДАЧ
С НОВОЙ СИСТЕМОЙ ЗАЦЕПЛЕНИЯ
Разработка геометрической теории точечного зацепления была
закончена в 1954 г. Ввиду того, что была разработана совершенно
новая система зацепления, потребовалось провести эксперимент не
только с целью проверки выводов о нагрузочной способности, но и,
в первую очередь, для того, чтобы показать возможность работы
таких передач с принципиальной стороны.
Для проведения испытаний был спроектирован и изготовлен
специальный редуктор с передаточным числом, равным 2, и меж-
осевым расстоянием 135 мм. Чертеж этого редуктора представлен
на фиг. 71 и внешний вид (без маховиков) — на фиг. 72.
Таблица 3
№ п/п " — Варианты 1 Параметры зацепления ' — 1 1-й | 2-й | 3-й
1 Смещение линии зацепления от м гновенной оси относительного вращения, /, мм 4,5 4,5 4,5
2 Угол подъема винтовых линий зубцов на началь- ных цилиндрах, 7 6Э°02' 60°02' 60°02'
3 Угол давления, ад Диаметр начальной окружности шестерни, tZj, мм Диаметр начальной окружности колеса, d2, мм 25° 25° 25°
4 90 90 90
5 180 180 180
6 Число зубцов шестерни, Zi 14 20 25
7 Число зубцов колеса, z2 28 40 50
8 Ширина венца, В, мм 42 30 24
9 Коэффициент перекрытия, е • 1,20 1,20 1,23
10 Шаг по начальной окружности, /, мм 20,20 14,15 11,30
11 Шаг в нормальном сечении, tH, мм 17,30 12,10 9,65
12 Толщина выпуклого зубца по начальной окруж- ности в торцевой плоскости, мм 11,70 8,05 6,45
13 То же—в нормальном сечении, Sj н» мм 10,00 6,87 5,50
14 Толщина вогнутого зубца по началь ной окруж- ности в торцевой плоскости, 52- мм 10,00 6,10 4,85-
15 То же—в нормальном сечении, S2 н. мм .... Направление хода винтовых зубцов на шестер- не—правое и соответственно на колесе—левое На шестерне зубцы имеют выпуклый профиль, на колесе—вогнутый 8,50 5,23 4,15
16 17
168
Фиг. 71
169
Объекты испытаний — зубчатые колеса были изготовлены
в трех вариантах, данные о которых приведены в табл. 3.
На фиг. 73, 74 приведены фотографии 1 и 2 вариантов зубчатые
колес с новой системой зацепления.
Всего было изготовлено 15 пар колес. Часть колес была выпол-
нена из незаколенного дюраля Д-16 с твердостью по Бринеллю 71,
другая часть — из термически необработанной стали 45 с твердостью
по Бринеллю 180.
Фиг. 72
Нарезание зубцов производилось на универсальном фрезерном
станке по методу деления препарированными радиусными фрезами
(фиг. 75). Точность изготовления отдельных элементов эксперимен-
тального редуктора и зубчатых колес соответствовала 3-му или 4-му
классу.
Испытания редуктора производились на установке с контуром
.циркулирующей мощности, схема которой приведена на фиг. 76, а
общий вид — на фиг. 77.
Главный электромотор имел мощность 54 кв при 1470 об/мин.
Движение от электромотора к основному контуру передавалось че-
рез коробку скоростей. Числа оборотов всех валов установки и
окружная скорость в зацеплении исследуемых колес даны в табл. 4.
Нагружение крутящим моментом экспериментального редук-
тора производилось посредством несимметричного дифференциала,
включенного в установку. К валу поводка этого дифференциала при-
соединен рычажный нагружающий механизм (фиг. 78). Окружное
170
Фиг. 73 Фиг. 74
Фиг. 75
171
Фиг. 77
172
Таблица 4
Скорости вращения валов в установке
Номер передачи скоро- стей *кор пер я2, об/мин вал № 2 л5, об/мин вал Ms 5 1 <°5> сек VoKpM/сек при Я2 = 90 мм п^об/мин вал № 3 п^об/мин вал № 4
1-я 3/16 276 613 64,2 5,76 552 1226
2-я 1/3 490 1090 114 10,3 980 2180
3-я 24/40 881 1960 205 18,5 1762 3920
^ведущ — 1470 об/мин.
усилие, действующее в испытуемом зацеплении, связано с величиной,
веса груза, подвешенного к рычагу, следующей зависимостью:
Q = 16,66 (Grp + Opbl4).
Проведенные испытания носили сравнительный характер.
В связи с этим определялись величины допускаемых окружных сил
для передач с эвольвентным зацеплением, колеса которых имели
габаритные размеры, передаточное число, материал и окружную
скорость, одинаковые с испытуемыми колесами с новой системой
зацепления.
Допускаемые контактные напряжения в зависимости от твер-
дости материала принимались равными:
[ак]=25Яв.
Коэффициент контактных напряжений равен:
Ск = 0,918-^ .
Е
17$
Допускаемое окружное усилие определялось по формуле
р ______________________ i
окр a;p/<a (/+!)’
Приведенные формулы взяты из распространенной в СССР
методики расчетов зубчатых передач Г43].
В формулах обозначено:
В — рабочая ширина зубчатых венцов, мм\
di — диаметр начальной окружности шестерни (di = 90 мм);
d^
1 = — передаточное число (/ — 2);
АГнр — коэффициент неравномерности нагрузки по длине зубцов
(принято /Снр = 1,03);
/Сд — коэффициент учета дополнительных динамических на-
грузок.
Расчет производился для окружной скорости 10,3 м/сек, при
которой происходили испытания колес. Результаты расчетов сведены
в табл. 5.
Таблица 5
Данные колес Дюраль Д-16 Сталь 45
Твердость по Бринеллю, Нв . . . Модуль упругости Е, кг/см*. . . Допускаемые контакные напряже- ния [ак], кг /см2 Коэффициент контактных напря- жений, С ......... ... Ширина рабочего венца шестер- ни В, мм ............ Окружное усилие для 2-го класса точности (Лд=1,25) . Окружное усилие для 3-го класса точности (Кд=1,45). ... • . . . 71 0,9-106 1770 4,1 42 30 24 80,0 57,0 45,6 69,0 49,3 39,5 180 2,15-106 4500 8,65 42 30 24 169,0 120,0 96,3 146,0 104,0 83,5
Для сравнения были изготовлены зубчатые колеса с эволь-
вентным зацеплением из того же материала и с такими же разме-
рами, которые затем испытывались в одном и том же редукторе и
на одних и тех же режимах. Испытания эвольвентных колес пока-
зали, что расчетные допускаемые силы соответствуют действитель-
ности, в частности, при нагрузке их на 97% от расчетной силы после
работы в течение 30 минут было уже отмечено слабое разрушение
рабочей поверхности (питтинг около полюсной линии на зубцах
обоих колес).
Испытания зубчатых колес с новой системой зацепления прово-
дились в период с 23.8.55 г. по 23.11.55 г. Было испытано 11 пар
колес. При испытаниях с нагрузкой до 300% от расчетной не было
замечено даже следов разрушения рабочей поверхности, причем
174
ПРОТОКОЛ № 10
испытания редуктора с новой системой зацепления зубчатых колес:
ширина зубчатых венцов В=24 мм, материал—сталь 45, zx~ 25, z% = 50
подвод смазки в зацепление—струйный, масло МС-20
№ п/п Дата, час начала ис- пытания Продолжи- тельность испытания (мин) Число обо- ротов в мин. малой ше- стерни Окружная ско- рость В зацепл. (м!сек) Нагрузка на рычаге (^рыч=3,520) Окружное уси- лие (кг) Относит, велич. окруж- ного усилия цо сравне- нию с расчетн. для эвольвентн. зацепления Примечание t
для 2-го точности, кл. % для 3-го кл. точности, %
1 3.XI.55 г. 26,5 Первые четыре этапа явля-
17 ч. 10 м. 40 2180 10,3 -1,970 27,6 31,7 ются процессом приработки
зубцов
2 3.XI.55 г. 18 ч. 20 м. 50 2180 10,3 -1,970 26,5 27,6 31,7
3 4.XI.55 г.
7 ч. 50 м. 50 2180 10,3 0 59,3 61,8 71,0
4 4.XI.55 г.
14 ч. 40 м. 50 2180 10,3 0 59,3 61,8 71,0
5 4.XI.55 г.
16 ч. 40 м. 30 2180 10,3 4,660 137,0 142,5 164 Никаких дефектов и не-
6 4.XI.55 г. 277,0 нормальностей в работе пе-
17 ч. 20 м. 30 । 2180 10,3 12,455 267,0 320 редачи не отмечено
Заключение. Состояние рабочих поверхностей зубцов в целом после испытания отличное. Величина фактической
рабочей площадки (со следами накатки) составляет около J/3 от всей рабочей поверхности.
В проведении испытаний участвовали: профессор, доктор технических наук Петрусевич А. И., доцент, кандидат тех-
... нических наук инж.-подполковник Новиков М. JL, кандидат технических наук инженер-капитан Ямпольский В. ., адъюнкт
инженер-подполковник Федякин Р. В. Испытания проводил ст. техник лаборатории ст. техник-лейтенант Горячев Н. С.
следует отметить, что фактическая величина площадки, по которой
взаимодействуют зубцы (накатанная поверхность), составляла
около одной трети от всей величины рабочей площадки, что было
связано с низким качеством нарезания зубцов. Для примера при-
водится копия протокола испытания колес с шириной обода 24 мм,
при котором присутствовал профессор, доктор технических наук
А. И. Петрусевич. Приработка этих колес производилась в течение
1,5 часа при нагрузке 27,6% от расчетной длй 2-го класса точности
(или 31,7% от нагрузки для 3-го класса точности) и затем в течение
1 часа 40 минут при нагрузке 61,8% (71,0% для 3-го класса точно-
сти). Испытания велись при окружной скорости в 10,3 м/сек в два
этапа продолжительностью по 30 минут для нагрузки 142,5% и
затем 277% от расчетной для 2-го класса точности (или 164% и
320% для 3-го класса точности).
Наблюдение за работой передачи, выслушивание ее и очень
тщательный осмотр через сильную лупу при специальном освеще-
нии рабочих поверхностей зубцов не привели к выявлению каких-
либо дефектов. Контрольные испытания эвольвентных зубцов при
этой же нагрузке привели к весьма значительному разрушению ра-
бочих поверхностей зубцов, появившемуся в виде питтинга, пласти-
ческих деформаций и заедания.
При нагрузке в 525% от расчетной для 2-го класса точности
(или 603% для 3-го класса точности) для зубцов с новой системой
зацепления можно было отметить лишь очень слабые следы заеда-
ния поверхностей. Контрольные испытания эвольвентных зубцов
привели при этой же нагрузке к исключительно сильному разруше-
нию рабочих поверхностей.
С целью проверки изгибной прочности зубцов проводились экс-
перименты с нагрузкой до 1000% (для шестерен с шириной обода
42 мм). При этом было отмечено значительное смятие рабочих
поверхностей, однако разрушения от' изгиба или среза не происхо-
дило и даже пластических деформаций зубцов отмечено не было.
Последнее обстоятельство дало возможность сделать вывод, что
изгибная прочность зубцов, обе стороны профиля которых очерчены
из одного центра, по-видимому, избыточна, и следует для обеспече-
ния контактной и изгибной равнопрочности уменьшить толщину
зубцов.
На основании проведенных предварительных эксперименталь-
ных исследований был сделан вывод: зубчатые передачи с новой
системой зацепления являются вполне работоспособными и могут
надежно работать при окружных усилиях, в 3—4 раза больших, чем
окружные усилия, допускаемые при эвольвентном зацеплении.
Первая стадия испытаний нового зацепления была закончена
в 1955 г., после чего начались работы по внедрению этого вида пере-
дач. После ознакомления инженерно-технических работников с дис-
сертацией [13], разосланной в 1956 г. в министерства, научно-иссле-
довательские институты (НИИ), на машиностроительные заводы,
круг экспериментальных работ с уклоном внедрения в промышлен-
ность значительно расширился.
176
В 1956 г. в ВВИА имени проф. Н. Е. Жуковского была создана
научно-исследовательская лаборатория для дальнейшей разработки
вопросов нового зацепления. В настоящее время в лаборатории
разрабатываются вопросы геометрического и прочностного расчета,
а также вопросы смазки, потерь и к. п. д. новых передач. Лабора-
тория проводит также большую работу по оказанию помощи заводам
при внедрении новых передач.
В том же году при Институте машиноведения АН СССР была
создана Координационная комиссия для внедрения нового зацепле-
ния в промышленность.
Наряду с внедрением в промышленность продолжалось даль-
нейшее исследование новых передач.
В 1954—1955 гг. в ВВИА имени проф. Н. Е. Жуковского под
руководством автора нового зацепления было проведено исследо-
вание по изгибной прочности и по изысканию рациональных кон-
структивных форм зубцов с новым зацеплением [12].
В результате исследования удалось существенно уменьшить
толщину зубцов и сократить ширину зубчатых венцов колес.
Там же с 1955 г. под руководством автора проводилось иссле-
дование по определению влияния основных параметров зацепления
на потери и к. п. д. новых передач. Проведенные эксперименты
подтвердили, что потери в новом зацеплении в два раза меньше,
чем потери в эвольвентных передачах при тех же исходных дан-
ных [44]. Там же выполнены первые червячные передачи с новым
зацеплением.
В начале 1956 г. в ВВИА имени проф. Н. Е. Жуковского автором
зацепления были нарезаны методом деления первые конические
колеса с новым зацеплением с криволинейными равновысокими зуб-
цами. Там же разработан геометрический расчет конических колес
с новым зацеплением для нарезания на станках типа «глисон».
В первой половине 1956 г. в Ленинграде В. Н. Кудрявцевым
(ЛКВВИА) были спроектированы червячные фрезы по разработан-
ному им исходному контуру. Нарезанные этими фрезами зубчатые
колеса (фиг. 79) подверглись экспериментальному исследованию на
усталостное разрушение, в*результате которого было установлено,
что несущая способность передач с новым зацеплением при угле
подъема зубцов = 60° больше чем в 2 раза превышает несущую
способность эвольвентных передач при одинаковых исходных
данных.
В это .же время коллективом одного из известных ОКБ при уча-
стии автора был спроектирован мощный авиационный редуктор
с новым зацеплением, который изготавливается на одном из заводов
МАП.
Со второй половины 1956 г. начались работы по освоению
новых передач на заводе угольного машиностроения имени Пархо-
менко в г. Луганске. Работа была начата при участии автора зацеп-
ления. На серийных редукторах, изготовляемых заводом, зубчатые
колеса с эвольвентным профилем были заменены колесами с новым
зацеплением.
12. М. Л. Новиков.
177
Сравнительные испытания редукторов с новым и эвольвентным
зацеплением на стенде с замкнутым силовым контуром дали поло-
жительные результаты. Дальнейшие испытания шестнадцати подоб-
ных редукторов с новым зацеплением при угле подъема зубцов
7 = 80° показали возможность увеличения несущей способности
нового зацепления по сравнению с эвольвентным почти в 5 раз.
Фиг. 79
С февраля 1956 г. проходит промышленные испытания редуктор про-
мышленного типа с новым зацеплением (фиг. 80) на Кальмиусской
центральной обогатительной фабрике (Донбасс), поставленный вза-
мен вдвое большего по весу и передаваемой мощности эвольвентного
редуктора. До настоящего времени редуктор работает без каких-
либо неполадок.
Исходя из накопленного опыта освоения новых передач, завод
приступил к серийному производству редукторов с новым зацепле-
нием, рассчитанных на те же передаваемые мощности, что и преж-
ние редукторы с эвольвентным зацеплением, но имеющие вдвое
меньший вес.
На Николаевском машиностроительном заводе спроектированы
и изготовлены мощные редукторы с новым зацеплением. Характер-
ной особенностью их являются высокие окружные скорости
(62,5 м/сек). Экспериментальные исследования подтвердили высо-
кую нагрузочную способность передач с новым зацеплением.
В г. Сталино на заводе имени 15-летия ЛКСМУ спроектированы
и изготовлены сравнительно тихоходные мощные редукторы для
шахтных подъемников. Испытания подтверждают высокую нагру-
зочную способность зацепления. Предполагается редукторами
с новым зацеплением весом в 6 т заменить эвольвентные редукторы
весом в 12 г.
178
Большие исследования начаты в Ленинградском военно-меха-
ническом институте, где проводятся работы по определению уста-
лостной прочности цилиндрических колес с новым зацеплением.
Испытания показали высокую нагрузочную способность новых
передач, в 3,5 раза большую, чем аналогичные эвольвентные пере-
дачи. Там же проводятся прочностные испытания конических колес
с новым зацеплением. Путем применения нового зацепления несу-
щая способность конических передач увеличена в 2 раза.
Фиг. 80
В Институте машиноведения АН СССР под руководством
автора проводилось исследование по метрологии новых передач.
Там же начаты работы по динамике передач с новым зацеплением.
Начаты работы по исследованию прочности нового зацепления
в ЦНИИТМАШ. Полученные первые результаты свидетельствуют
о значительном повышении несущей способности передач при пере-
ходе на новое зацепление.
Большие работы по исследованию прочности и по метрологии
зацепления ведутся в одной из научно-исследовательских органи-
заций Ленинграда.
На машиностроительном заводе Главпродмаш (Ростов-на-Дону)
спроектирован и изготовлен редуктор с цилиндрической и кониче-
ской (фиг. 8 Г) ступенями, имеющими новое зацепление. Твердость
материала удалось снизить с /?с= 60 до Нв — 250, а вес редуктора
уменьшить вдвое по сравнению с прежним эвольвентным редукто-
ром на ту же мощность. Характерной особенностью выполненных
редукторов является значительно меньший шум по сравнению
12* 179
с эвольвентными редукторами. Стоимость материалов редукторов
уменьшилась в 3 раза. На заводе налаживается серийное производ-
ство редукторов с новым зацеплением.
Работы по внедрению передач с новым зацеплением проводятся
во Всесоюзном научно-исследовательском тепловозном институте
в г. Коломна, на Коломенском тепловозостроительном заводе имени
В. В. Куйбышева на Горьковском автозаводе, на Ново-Краматор-
ских заводах в г. Краматорске и в г. Электросталь, на Кировском
заводе в Ленинграде и десятках других заводов страны.
Фиг. 81
Научно-исследовательская лаборатория ВВИА имени проф.
Н. Е. Жуковского установила тесную связь почти во всеми заводами,
научно-исследовательскими институтами и высшими учебными заве-
дениями, проводящими работы по новому зацеплению. Сотрудники
лаборатории оказывают необходимую помощь в проектировании
передач с новым зацеплением.
В результате первых экспериментальных исследований установ-
лено, что несущая способность передач с новым зацеплением
в зависимости от принятых исходных параметров в 2—5 раз выше
несущей способности эвольвентных передач.
Этот весьма важный результат, подтвержденный опытом многих
заводов и учреждений, позволяет уже в настоящее время ставить
вопрос о широком внедрении в серийное производство промышлен-
ных редукторов с новым зацеплением.
ЗАКЛЮЧЕНИЙ
1. Применяющаяся в настоящее время эвольвентная система
зацепления обладает известными принципиальными недостатками:
а) контактная прочность зубцов, зависящая от радиусов кри-
визны сопряженных поверхностей, не может быть существенно по-
вышена;
б) чрезмерно велика чувствительность к неточностям изготов-
ления и деформациям деталей зубчатых передач;
в) сравнительно велики потери на трение.
Указанные недостатки свойственны также всем другим системам
зацепления с линейчатым контактом. Следовательно, новые высоко-
эффективные зубчатые передачи с существенно большей нагрузоч-
ной способностью могут быть созданы лишь на основе новых точеч-
ных систем зацепления. Передачи с точечным зацеплением, сопря-
женные поверхности в которых образованы по общепринятым сейчас
классическим способам Оливье, имеют контактную прочность более
низкую, чем в случае линейчатого зацепления.
2. В данной работе формулируется новый принцип образования
сопряженных поверхностей без использования идеи огибания неко-
торой вспомогательной движущейся поверхностью, единой для обоих
зубчатых колес. По новому принципу сопряженные поверхности
формируются на базе контактных линий, которые легко определя-
ются для заданного закона движения точки зацепления. Через кон-
тактные линии проводятся некоторые поверхности, которые будут
сопряженными при удовлетворении определенных условий.
Существование нового принципа образования сопряженных по-
верхностей, которые не могут быть получены по способам Оливье,
доказывает, что способы Оливье не являются наиболее общими.
3. Пользуясь новым принципом образования сопряженных
поверхностей зубцов, можно создать высококачественные зубчатые
передачи для всех случаев взаимного расположения осей зубчатых
колес, т. е. передачи с параллельными, пересекающимися и перекре-
щивающимися осями.
4. В данной работе подробно рассмотрены вопросы геометриче-
ской теории зацепления для наиболее распространенных передач
с параллельными осями.
181
5. Зацепление с сопряженными поверхностями, образованными
по новому принципу, имеет следующие преимущества перед эволь-
вентным зацеплением:
а) несущая способность по контактным напряжениям может
быть в несколько раз больше, так как имеется возможность в широ-
ких пределах изменять величину радиусов кривизны сопряженных
поверхностей при заданных размерах колес;
б) меньшая чувствительность зацепления к неточностям изго-
товления и деформациям деталей зубчатой передачи. Это позволяет
снизить требования к точности изготовления и жесткости элементов
конструкции передачи. Следует ожидать также, что вследствие
уменьшения динамических нагрузок окружные скорости могут быть
повышены;
в) меньший износ и меньшие потери на трение, получающиеся
благодаря лучшим условиям смазки в связи с большой скоростью
относительного перекатывания в зацеплении и большими радиусами
кривизны сопряженных поверхностей зубцов;
г) общая прочность зубцов в отношении изгиба и среза всегда
может быть обеспечена путем назначения для зубцов необходимых
конструктивных размеров. Последние не влияют на контактную проч-
ность и эффективность зацепления, от них зависит лишь ширина
обода зубчатых колес;
д) новому зацеплению свойственна большая конструктивная
«гибкость», позволяющая выполнять зубчатые передачи в полном
соответствии с предъявляемыми к ним требованиями.
6. Новые системы точечного зацепления могут найти успешное
применение практически во всех отраслях машиностроения, начиная
от высоконапряженных передач большой мощности в транспортной
технике (в самолетах, кораблях, электровозах, автомобилях, танках
и пр.) и кончая недорогими передачами для сельскохозяйственных
машин. Только в так называемых кинематических передачах, в ко-
торых вопросы прочности стоят на втором месте и где требуются
малые осевые размеры зубчатых колес (например, в часовых и им
подобных механизмах), преимущества остаются на .стороне суще-
ствующих систем линейчатого зацепления.
7. Изготовление зубчатых колес с новым зацеплением может
производиться существующими методами с использованием совре-
менного станочного парка. Необходимый новый зуборезный инстру-
мент имеет рабочие профили, практически мало отличающиеся по
сложности от существующих форм. Имея в виду менее строгие тре-
бования к точности, технологичность нового зацепления будет лучше,
чем эвольвентного. Особенно успешно для нового зацепления может
быть применен новый метод изготовления зубцов давлением, путем
накатки, являющийся весьма высокопроизводительным и экономич-
ным методом.
8. Проведенные на заводах, в научно-исследовательских инсти-
тутах и высших учебных заведениях экспериментальные исследова-
ния зубчатых передач с новой системой зацепления показали полную
работоспособность предлагаемого нового зацепления и подтвердили
182
результаты теоретических выводов в отношении увеличения несущей
способности. Экспериментально установлено, что несущая способ-
ность передач с новым зацеплением в 2—5 раз выше несущей спо-
собности передач с эвольвентным зацеплением при одинаковых габа-
ритах, материалах и прочих равных условиях.
Полученные результаты по нагрузочной способности передач
с новым зацеплением соответствуют достигнутому на сегодняшний
день уровню разработки вопросов оптимальных геометрических пара-
метров, расчета, технологии и не являются предельными. Имеются
широкие перспективы дальнейшего увеличения несущей способности
предлагаемых передач.
ЛИТЕРАТУРА
1. Euler L. a) De aptissima figure rotarum dentibus tribuenda; 6) Suppie-
mentum de figura dentium rotarum. Novi commentarii Academiae Petropolitanae.
1754/55, 1765. H
2. Зернов Д. С. Прикладная механика. ГИЗ, 1925.
3. Гавриленко В. А. Геометрическая теория эвольвентных зубчатых
передач. Машгиз, 1949.
4. Давыдов Я. С. Неэвольвентные зацепления. Машгиз, 1950.
5. Апухтин Г. И. Исследование* косозубых гипоидных передач.
Труды семинара по теории машин и механизмов, т. X, вып. 37, АН СССР, 1950.
1951 6. Мерцалов Н. И. Теория пространственных механизмов. Машгиз,
7. Колчин Н. И. Аналитический расчет плоских и пространственных
зацеплений. Машгиз, 1949.
8. Груби н А. Н. Червячное зацепление. Оргметалл, 1936.
9. Калужников А. Н. Геометрия и аналитическая теория зацепления
конических колес, нарезанных методом обката. Докторская диссертация.
10. Литвин Ф. Л. К вопросу о методике исследования пространствен-
ных зацеплений с линейным касанием поверхностей. Труды семинара по теории
машин и механизмов, т. XIII, вып. 49, АН СССР, 1953.
И. Гессен В. А. Аналитический метод исследования пространственных
зацеплений. Труды семинара по теории машин и механизмов, т. V, вып. 19, АН
СССР, 1948. ’
12. Писманик К. М. Проектирование и исследование зубчатых пере-
дач с гиперболоидными колесами. Труды семинара по теории машин и механиз-
мов, т. X, выШ. 38, АН СССР, 1950.
13. Новиков М. Л. Основные вопросы геометрической теории точечного
зацепления, предназначенного для зубчатых передач большой мощности, (диссер-
тация), Москва, 1955.
14. Remarkable Gearing system, Flight, 18 June 1954 p. 804.
15. Roa no A. Ozubena soukoli pro vratny chod, se sroubovicovymi zuby»
s osami rovnobeznymi nebo mirne naklonenymi, pri cemz sklon zubii kola jest
odlisny od sklonu zubii pastorku. Patentni spis c. 83732, Trida 47 h, 6. Vydano 3.
ledna 1955. Republika Ceskoslovenska.
16. Roa no A. Getriebe mit auf parallelen Achsen angeordneten, schraubver-
zahnten Radern. Patentschrift Nr. 939240 klasse 47 h Gruppe 6, Ausgegeben am
16. Februar 1956, Bundesrepublik Deutschland.
17. Roa no A. Zahnradpaare fiir umsteuerbare Zahnradgetriebe mit paral-
felen oder leicht gegeneinander geneigten Achsen. Patentschrift Nr. 940194, klasse
47 b, Gruppe 23, Ausgegeben am 15 Marz 1956. Bundesrepublik Deutschland.
18. Пет русев и ч А. И. Расчет прямозубых зубчатых колес на проч-
ность и долговечность. В книге «Авиационные поршневые двигатели» под редак-
цией Мелькумова Т. М. Оборонгиз, 1950.
19. Будыка Ю. Н. Теория зацепления и сравнительная износоустойчи-
вость плоских зацеплений общего вида. В трудах семинара по теории машин и
механизмов, т. X, вып. 39, АН СССР, 1951.
184
20. О 1 i v i е г Т.
a) Theorie geometrique des engrenages, 1842.
b) Journal de Liauville, 1—re ser., t IV, V.
c) Notes sur les diverses especes de froltement, qui peuvent exister entre
deux courves et deux surfaces.
d) Buil de la sok. d‘enconragement.
ej Jonrn. de 1‘Ecole polithechn., XXIII.
21. Гохман X. И. Теория зацеплений, обобщенная и развитая путем
анализа. Одесса, 1886.
22. Гохман X. И. Аналитический метод решения вопроса о зацеплениях.
Московское Математическое Общество, 1877.
23. Гохман X. И. Кинематика машин, т. I. Основы созидания и позна-
вания пар и механизмов. Одесса, 1890.
24. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. 4-е изд., 1945.
25. Суслов Г. К. Теоретическая механика. 3-е изд., 1946.
26. Лев и-Ч ивита Т. и Амальди У. Курс теоретической механики,
т. I, ч. I, 1952.
27. Колчин Н. И. и Литвин Ф. Л. Методы расчета при изготовле-
нии и контроле зубчатых изделий. Машгиз, 1952.
28. Артоболевский Й. И. Теория механизмов и машин. 2-е изд.,
М.—Л., 1951.
291 Добровольский В. В. Теория механизмов. Машгиз, 1951.
30. Баранов Г. Г. Курс теории механизмов и машин. ВВИА, 1953.
31. Б риткин А. С., Войнов А. В., Юдин В. А. Исследование
факторов, определяющих зацепление гиперболоидальных шестерен банкаброша.
ОНТИ, 1934.
32. Колчин Н. И. Кривизна сопряженных поверхностей в простран-
ственных зацеплениях. Труды семинара по теории машин и механизмов, т. XIII,
вып. 49, АН СССР, 1953.
33. Re sal Н. Traite de Cine‘matique pure. Paris, 1862.
34. Thomson W. and Tait P. Treatise on natural philosophy. Vol. 1,
part I, Oxford MDCCCLXVII.
35; Бобылев Д. К. О движении поверхности, прикасающейся к другой
поверхности, неподвижной. Записки Императорской Академии наук, 1887.
36. Суслов Г. К. К вопросу о катании поверхности по поверхности. Уни-
верситетские Известия. Киев, 1892.
37. Сомов И. И. Рациональная механика, ч. I. Кинематика. С-Петербург,
1872.
38. Малышев А. П. Кинематика механизмов. Гизлегпром, 1933.
39. Шишков В. А. Образование поверхностей резанием по методу
обкатки. Машгиз, 1951 г. (см. также докторскую диссертацию В. А. Шишкова).
40. Николаев А. Ф. Диаграмма винта и ее применение к определению
сопряженных линейчатых поверхностей с линейным касанием. Труды семинара
по теории машин и механизмов, т. X, вып. 37, АН СССР, 1950.
41. Фиников С. П. Теория поверхностей, 1934.
42. Федя кин Р. В. Исследование некоторых вопросов конструктивных
форм зубцов с круговым поперечным профилем с точки зрения их прочности
(диссертация), Москва, 1955.
43. Кудрявцев В. Н. Упрощенные расчеты зубчатых передач. 2-е изд.
д^ашгиз 1955
44. Куликов Г. В. О потерях в зацеплении М. Л. Новикова, <Вестник
машиностроения», № 6, 1958.
185
ОГЛАВЛЕНИЕ
Михаил Леонтьевич Новиков ..........................................3
От редакторов..........................................................5
Введение ............................................................. 9
Глава I. Новый принцип образования систем зацепления с первона-
чальным точечным контактом.....................................24
1. Об ограниченности способов образования сопряженных поверхно-
стей по Оливье.................................................24
2. Метод образования сопряженных поверхностей на базе контакт-
ных линий......................................................29
3. Удовлетворение требований основной теоремы зацепления . . 34
4. Кривизна сопряженных поверхностей...........................45
5. Об интерференции сопряженных поверхностей...................77
Глава II. Точечное зацепление для передач с параллельными осями. 80
1. Закон движения точки зацепления.............................80
2. Контактные линии. Скорости движения точки зацепления вдоль
контактных линий...............................................83
3. Общая нормаль к сопряженным поверхностям....................88
4. Кривизна сопряженных поверхностей в точке контакта ... 91
5. Интерференция сопряженных поверхностей......................96
6. Виды сопряженных поверхностей зубцов.......................100
7. Контактная задача и соображения о расчете зубцов на проч-
ность ........................................................119
8. Кинематические явления в точечном зацеплении .133
9. Потери на трение...........................................138
10. Конструктивные формы зубцов................................144
11. Оптимальные параметры зацепления...........................151
12. Примеры расчета зубчатых передач...........................155
13. О технологии зубцов с новым зацеплением....................163
Глава III. Экспериментальное исследование передач с новой системой
зацепления................................................... 168
Заключение...........................................................181
Литература...........................................................184
186
Редакторы: А. В. LUmodat Р. В. Федякин
Технический редактор Г. В. Круглов Корректор И. В. Пясецкая
Сдано в набор 1/V1II-58 г. Подписано к печати 12/IX-58 г.
Г-139170 Изд. № 2839 Зак. 332
Формат бумаги бОхЭг1/!®. 11,75 печ. л. +1 вкл. 2 уч.-изд. л.
Типо-литография ВВИА имени проф. Н. Е. Жуковскогс