Теория и приложения уравнения Больцмана - Черчиньяни К.

Автор: Черчиньяни К.
Теги: механика газов аэродинамика физика плазмы тепло термодинамика физика
Год: 1978
Похожие
Тепловое излучение газов и плазмы (Компьютерные модели физической механики)
Оптические свойства газов и плазмы (Компьютерные модели физической механики)
Газовая динамика
Избранные труды. Молекулярно-кинетическая теория газов. Термодинамика. Статистическая механика. Теория излучения. Общие вопросы физики
Текст
                    К.ЧЕРЧШШШИ
ТЕОРИЯ
И ПРИЛОЖЕНИЯ
УРАВНЕНИЯ
БОЛЬЦМАНА

THEORY AND APPLICATION
OF THE
BOLTZMANN EQUATION
CARLO CERCIGNANI
Istituto di Matematica
Politecnico di Milano, MiJano, Italy
1975
Scottish Academic Press
Edinburgh and London

К. ЧЕРЧИНЬЯНИ
ТЕОРИЯ
И ПРИЛОЖЕНИЯ
УРАВНЕНИЯ
БОЛЬЦМАНА
Перевод с английского
Э. А, Гурмузовой, В. П. Мемнонова,
Г. Е. Скворцова и И. А. Эндер
Под редакцией
Р. Г. Баранцева
Издательство «Мир» Москва 1978

УДК 533 + 536
Уравнение Больцмана лежит в основе кинетической теории
газов и находит широкое применение при изучении таких мате-
математически родственных явлений, как перенос электронов в твер-
твердых телах и плазме, перенос нейтронов в ядерных реакторах,
перенос фононов в сверхтекучих жидкостях, перенос излучения.
В новой книге К. Черчиньяни, известного советским читате-
читателям по переводу его монографии «Математические методы в ки-
кинетической теории газов» (М., «Мир», 1973), осуществляется еди-
единый подход к указанным проблемам. Излагаются основы кинети-
кинетической теории, рассматриваются граничные условия, линейная
теория переноса, решение модельных уравнений, асимптотические
методы для нелинейных задач, переходный режим, различные
приложения к решению конкретных задач.
Книгу целесообразно использовать в качестве учебного посо-
пособия по углубленному курсу кинетической теории, а также как
справочное руководство для специалистов по прикладной мате-
математике, физике и аэродинамике.
Редакция литературы по математическим наукам
20204-031 3]	© Scottish Academic Press Ltd. 1975
041 @1)-78 "	© Перевод на русский язык, «Мир», 1978

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
В сентябре 1972 г. в Вене состоялся международный симпо-
симпозиум, посвященный столетию уравнения Больцмана. Труды этого
симпозиума!) включают более двадцати лекций крупнейших
ученых мира, и речь в них идет не столько об истории уравне-
уравнения Больцмана, сколько о современном состоянии проблем, свя-
связанных с этим неиссякаемым источником идей и приложений.
В математической физике известно не так уж много уравнений,
содержание которых со временем неуклонно обогащается. Труд-
Трудно указать другое нелинейное уравнение достаточно сложной
структуры, сочетающее в себе такие же глубину и общность, как
уравнение Больцмана. Продолжая развиваться вглубь и вширь,
метод Больцмана часто уподобляется узловой станции, на кото-
которой пересекаются пути, идущие по очень разным областям фи-
физики и других наук.
Выпускаемая в русском переводе книга К. Черчиньяни
«Теория и приложения уравнения Больцмана» представляет со-
собой попытку объединить достижения разных ветвей метода и
изложить теорию уравнения Больцмана в форме, одинаково
приемлемой для различных приложений. Хотя изложение по-
построено в основном на материале кинетической теории газов,
данная книга отличается от предыдущей монографии этого ав-
автора2) тем, что здесь содержится более глубокий анализ основ
кинетической теории, в большей мере рассматриваются нелиней-
нелинейные проблемы, шире применяется уравнение Больцмана для ре-
решения конкретных задач.
Краткий обзор содержания книги сделан в авторском пре-
предисловии. Следует отметить, что почти в каждой главе есть но-
новые результаты, принадлежащие автору. Особенно значителен его
вклад в линейную теорию переноса (гл. IV) и аналитическое
1)	The Boltzmann equation. Theory and applications. Proceedings of the
international symposium 00 years Boltzmann equation" in Vienna, 4—8th
September 1972 (Cohen E. G. D., Thirring W., eds.), Springer, 1973.
2)	Cercignani C, Mathematical methods in kinetic theory, New York,
Plenum Press, 1969; русский перевод: Черчиньяни К., Математические методы
в кинетической теории газов, М., «Мир», 1973.

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
решение модельных уравнений (гл. VI). Удачные новинки
в изложении свидетельствуют о выполненном автором плодо-
плодотворном труде по подбору и расположению материала.
В конце глав приведены списки литературы, с которой ав-
автор имел дело в ходе работы. Так как многие существенные
публикации, особенно на русском языке, в этой библиографии
не отражены, переводчики и редактор сочли целесообразным до-
дополнить списки литературы. Число добавочных ссылок состав-
составляет примерно четверть числа авторских. По каждой главе эта
литература расположена, как правило, в хронологическом по-
порядке. Номера дополнительных ссылок отмечены звездочкой.
Переводы на русский язык указаны во всех случаях, за ис-
исключением статей из AIAA Journal, поскольку известно, что этот
журнал с 1961 г. выходит в русском переводе (изд-во «Мир»)
под названием «Ракетная техника и космонавтика».
Опечатки, замеченные в английском тексте, исправлены без
оговорок. Изменения, сделанные в гл. VIII, согласованы с ав-
автором.
Исследования уравнения Больцмана, ведущиеся в нашей
стране, в книге отражены мало. Поэтому перевод снабжен до-
дополнением, в котором дан обзор результатов по двум таким на-
направлениям, оставшимся вне поля зрения автора. Первая часть
дополнения, написанная редактором перевода, посвящена иссле-
исследованию законов взаимодействия газов с поверхностями, знание
которых необходимо при записи граничных условий для уравне-
уравнения Больцмана. Вторая часть, написанная Н. Б. Масловой, со-
содержит теоремы о разрешимости начальных и граничных задач
для уравнения Больцмана как в линейной, так и в нелинейной
постановке.
Перевод книги выполнили Э. А. Гурмузова (предисловие и
гл. I, VI), В. П. Мемнонов (гл. II, III), Г. Е. Скворцов (гл. IV,
VIII), И. А. Эндер (гл. V, VII).
Р. Г. Баранцев

Посвящается
Сильване
ПРЕДИСЛОВИЕ
Уравнение Больцмана — интегродифференциальное уравне-
уравнение, описывающее поведение разреженного газа, —было выве-
выведено Людвигом Больцманом в 1872 г. Оно до сих пор остается
основой кинетической теории газов и оказывается плодотворным
не только для исследования классических газов, которые имел
в виду Больцман, но — при соответствующем обобщении —и для
изучения переноса электронов в твердых телах и плазме, пере-
переноса нейтронов в ядерных реакторах, переноса фононов в сверх-
сверхтекучих жидкостях и переноса излучения в атмосферах звезд и
планет. За последние двадцать лет эти исследования привели
к значительным достижениям как в новых областях, так и в
старой.
В настоящей книге дается единый подход к задачам, воз-
возникающим в этих областях, причем используются аналогии
(каждый раз, когда они существуют) и подчеркиваются разли-
различия (когда это необходимо). Однако основная линия изложения
связана с классическим уравнением Больцмана, и поэтому под-
подробное описание приложений относится почти исключительно
к одноатомным нейтральным газам. Но при этом даются соот-
соответствующие ссылки на работы, в которых рассматриваются
аналогичные задачи, возникающие в других областях, причем
особое внимание уделяется переносу нейтронов, газовым смесям
и многоатомным газам.
В первой главе излагаются основные идеи кинетической тео-
теории, дается краткое введение в вероятностные концепции и об-
обсуждаются уравнение Лиувилля, средняя длина свободного про-
пробега и равновесное распределение. Во второй главе рассматри-
рассматривается проблема неравновесных состояний; выводится уравнение
Больцмана из уравнения Лиувилля для газа из твердых сфер
без предположения о «молекулярном хаосе»1), а затем изла-
излагаются основные свойства уравнения Больцмана и дается пред-
представление о модельных уравнениях. Обсуждаются родственные
J) Фактически автор показывает, что бесконечная цепочка уравнений
ББГКИ (Боголюбова — Борна — Грина — Кирквуда — Ивона) имеет решение,
удовлетворяющее условию хаоса. — Прим. ред.

ПРЕДИСЛОВИЕ
уравнения, такие, как уравнения Больцмана для многоатомных
газов, смесей, переноса нейтронов, излучения, а также уравне-
уравнения Фоккера — Планка и Власова.
Третья глава посвящена граничным условиям. В связи с этим
обсуждаются явления, происходящие при взаимодействии газа
с поверхностью, и роль, которую они играют при доказательстве
//-теоремы Больцмана. В четвертой главе рассматриваются ли-
линейные уравнения переноса, в особенности линеаризованное
уравнение Больцмана, уравнения переноса нейтронов и излуче-
излучения, а также линейные модельные уравнения. Основное внима-
внимание уделяется общим аспектам этих задач и их решения. В пя-
пятой главе обсуждаются предельные случаи бесстолкновитель-
ного и почти континуального течений. Шестая глава посвящена
аналитическому решению линейных кинетических модельных
уравнений с приложением к ряду задач о течениях газа и рас-
распространении звука в разреженных газах.
В седьмой главе излагаются приближенные методы решения
задач, в которых средняя длина свободного пробега сравнима
с некоторой характерной длиной, фигурирующей в задаче (пе-
(переходный режим); в частности, подробно обсуждаются течения
разреженного газа между параллельными пластинами и коак-
коаксиальными цилиндрами, структура ударной волны, задача о пе-
передней кромке, истечение газа в вакуум; при этом обращается
внимание на сравнение теории с экспериментом. Восьмая — и
последняя — глава содержит обзор математически наиболее раз-
развитой части теории, связанной с теоремами существования и
единственности.
Автор надеется, что данная книга будет полезна в качестве
учебного пособия по углубленному курсу кинетической теории,
а также как справочное руководство для специалистов по при-
прикладной математике, физике и аэродинамике, интересующихся
теорией и приложениями уравнения Больцмана.
Милан, Италия	Карло Черчиньяни
Ноябрь 1974

I
Основные положения
кинетической теории газов
1. Введение
Согласно молекулярной теории, макроскопический объем
газа (скажем, 1 см3) представляет собой систему очень боль-
большого числа (порядка 1020) молекул, двигающихся довольно бес-
беспорядочно. В принципе, пренебрегая квантовыми эффектами,
можно считать молекулы частицами (материальными точками
или другими системами с небольшим числом степеней свободы),
подчиняющимися законам классической механики. Можно также
предполагать, что законы взаимодействия между молекулами
полностью известны, так что в принципе эволюция системы вы-
вычислима, если заданы соответствующие начальные условия. На-
Например, если молекулы являются материальными точками, то
уравнения движения имеют вид
|/ = Х/| x/ = g,,	A.1а)
или
Х/ = Х,,	A.16)
где Xi — радиус-вектор 1-й частицы (/= 1, ..., N), а §* — ее
вектор скорости; как х*, так и |* являются функциями времени
t\ точки сверху, как обычно, означают дифференцирование по /.
Здесь Xj — действующая на i-ю частицу сила (на единицу мас-
массы). Эта сила в общем случае равна равнодействующей внеш-
внешних сил (например, гравитационной или — в случае неинерци-
альыой системы — сил инерции, таких, как центробежная и
¦кориолисова) и сил, характеризующих действие других частиц
системы на i-ю частицу. Как указывалось выше, выражение для
таких сил должно быть задано как часть описания этой меха-
механической системы.
Для того чтобы рассчитать временную эволюцию системы,
нужно решить систему из 6N дифференциальных уравнений пер-
первого порядка A.1а) с 6N неизвестными — компонентами 2N
векторов (x-hli) (i=l, 2, ..., N). Для этого необходимо за-
задать QN начальных условий
х,@) = х<°\ х. @) = |,: @) = Ц,	A.2)

10	I. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ
где компоненты x°t и Щ суть 6N заданных постоянных, описы-
описывающих начальное состояние системы.
Однако решение такой задачи с начальными данными для
реального по порядку величины числа частиц (скажем, 1020)
невозможно и бесполезно по следующим причинам.
A)	Необходимо знать начальные данные х^ и Ц, т. е. ра-
радиусы-векторы и скорости всех молекул при / = 0, а получить
эти данные трудно даже в принципе. В самом деле, это потре-
потребовало бы одновременного измерения координат и скоростей
всех молекул в момент времени t = 0.
B)	Даже если бы, несмотря на предыдущее замечание, ин-
информация о начальных данных была доступна, она оказалась
бы огромной, и всей человеческой жизни нехватило бы для того,
чтобы зафиксировать хотя бы небольшую часть этих данных
(допустим, что за секунду можно зафиксировать шесть данных
для одной частицы, и заметим, что в году меньше чем 108 се-
секунд, так что человеческая жизнь составляет менее 1010 секунд).
C)	Даже если бы было возможно получить эти данные и за-
заложить их в вычислительную машину, кажется невозможным
представить себе машину, способную решить такое количество
уравнений (подумать только, сколько карточек потребовалось
бы для того, чтобы снабдить ее начальными данными!).
D)	Независимо от того, насколько точно мы измеряем или
задаем начальные данные, последние не могут быть абсолютно
точными; например, мы никогда не рассматриваем в наших вы-
вычислениях больше 100 десятичных значащих цифр, вводя тем
самым ошибки аппроксимации порядка 10~100.
Вследствие этого нужно рассматривать не эволюцию одной
системы, а эволюцию ансамбля идентичных систем, начальные
данные которых отличаются друг от друга на величины порядка
допускаемых ошибок. Можно показать (разд. 5 настоящей гла-
главы), что для системы из 1020 молекул ошибки аппроксимации
порядка 10~100 не позволяют рассчитать движение этих молекул
в течение времени, большего миллионной доли секунды.
E)	Даже если бы мы могли работать с бесконечно большим
числом значащих цифр (I), в наши расчеты надо было бы вклю-
включить все частицы Вселенной. Действительно, согласно Борелю
(см. разд. 5), перемещение на один сантиметр одного грамма
вещества на не слишком далекой звезде (скажем, Сириусе) при-
приводит к изменению типичной силы, действующей на молекулу,
большему произведения этой силы на 10~10°, и если мы не захо-
захотим включить в наши вычисления все частицы Вселенной (!), то
снова возникнут трудности, указанные в предыдущем пункте.
F)	Даже если преодолеть все указанные трудности и рас-
рассчитать последовательную эволюцию рассматриваемой системы,

1. ВВЕДЕНИЕ	11
эта подробная информация будет бесполезной, потому что дан-
данные о радиусах-векторах и скоростях отдельных молекул
представляют собой информацию, которая не дает нам того, что
мы фактически хотим знать, например давление газа на стенку
при заданной плотности и температуре.
Из всего этого следует вывод, что единственно значимыми
и полезными являются статистические данные о поведении мно-
многих систем, т. е. информация о вероятностных распределениях.
Эту информацию можно получить путем усреднения по области
нашего неведения (имея в виду неспособность макроскопиче-
макроскопических тел воспринимать некоторые микроскопические детали
других макроскопических тел) или по ошибкам, возникающим
от пренебрежения влиянием других тел.
В результате возможно вычислить лишь средние величины,
но только они и нужны (если они связаны с такими макроско-
макроскопическими величинами как давление, температура, напряжения,
тепловой поток и т. д.). В этом состоит основная идея статисти-
статистической механики.
Первый тип усреднения, фигурирующий в любом основанном
на статистических представлениях исследовании по механике,
представляет собой, как подсказывают проведенные выше рас-
рассуждения, усреднение по неизвестным начальным данным. Од-
Однако для учета взаимодействия частиц в статистическом методе
обычно требуются и другие процессы усреднения и предельные
переходы. Сюда входит и взаимодействие молекул газа с же-
жесткими стенками, ограничивающими область течения и также
состоящими из молекул.
Таким образом, когда мы имеем дело со статистической ме-
механикой, речь идет о вероятностях вместо достоверностей, т. е.
в нашем описании нельзя говорить об определенных положении
и скорости данной частицы, а только о вероятностях реализации
ее различных положений и скоростей. В частности, это справед-
справедливо для кинетической теории газов, т. е. для статистической
механики молекул газа, и для теории переноса частиц (нейтро-
(нейтронов, электронов, фотонов и т. д.). При надлежащих предполо-
предположениях информацию, требуемую для расчета средних в этих си-
системах, можно свести к решению одного уравнения, так назы-
называемого уравнения Больцмана. В случае нейтронов оно часто
называется транспортным, в то время как для фотонов обычно
используется название «уравнение переноса» (перенос излуче-
излучения).
Основная цель настоящей книги состоит в том, чтобы дать
ведение в математические методы и идеи, связанные с уравне-
уравнением Больцмана и в частности с граничными задачами, которые
возникают в связи с этим уравнением.

12	I. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ
2. Вероятность
Как отмечалось выше, вероятностные представления играют
фундаментальную роль в кинетической теории газов и вообще
в статистической механике. Общеизвестно, что при вероятност-
вероятностном подходе основная трудность состоит в приписывании ве-
вероятностей элементарным событиям. В некоторых случаях это
тривиально, как, например, в известных опытах по бросанию
«правильных» игральных костей или монеты, когда решается
вопрос о вероятности выпадения чисел от одного до шести или
герба и решетки.
Вероятность реализации определенного события равна числу
между нулем и единицей, которое на опыте, грубо говоря, можно
интерпретировать как относительную частоту появления этого
события в большой серии испытаний (в случае бросания мо-
монеты Р(г) =Р(р) = ]/2, где Р(г) и Р(р) —вероятности выпа-
выпадения герба и решетки соответственно). В случае взаимоисклю-
взаимоисключающих событий сумма вероятностей всех возможных событий
должна равняться единице, поскольку хотя бы одно из них за-
заведомо произойдет (в предыдущем примере выпадет либо герб,
либо решетка).
Однако необходимо подчеркнуть, что в статистической ме-
механике переменные пробегают непрерывное, а не дискретное
множество значений (как в случае бросания монеты, когда мно-
множество состоит из двух элементов: герба и решетки). Поэтому,
строго говоря, вероятность получения любой заданной величины
из континуума возможных в общем случае равна нулю; с дру-
другой стороны, «сумма» вероятностей должна, равняться единице.
Здесь нет ничего странного (или по меньшей мере нового), по-
поскольку это утверждение совершенно аналогично тому, что гео-
геометрическая точка не имеет длины, в то время как отрезок, яв-
являющийся множеством точек, обладает ненулевой длиной. Сле-
Следовательно, надо рассматривать вероятность получения резуль-
результата, не имеющего фиксированного значения, а заключенного в
бесконечно малом интервале (или, более общо, множестве).
Эта вероятность будет, вообще говоря, бесконечно малой вели-
величиной того же порядка, что и длина интервала (или мера мно-
множества). Таким образом, в случае п непрерывных переменных
2ь Z2, •••» zn> т-е- векторной переменной z = (zb ..., zn), сле-
следует ввести плотность вероятности P(z), такую, что P(z)dnz
представляет собой вероятность того, что z лежит между z и
z + dz, причем dnz — объем бесконечно малой ячейки, обозна-
обозначаемый также через dzxdz2 ... dzn. В этом случае условие ра-
равенства «суммы» вероятностей единице записывается в виде
(z)dz = l,	B.1)

2. ВЕРОЯТНОСТЬ	13
2	область /г-мерного пространства, которой принадлежит
z (возможно, и все n-мерное пространство); верхний индекс п
в обозначении элемента объема опущен, так как это не приво-
приводит к путанице.
Для чего нужна плотность вероятности? Ответ прост: плот-
плотность вероятности необходима для вычисления средних — если
известна плотность вероятности P(z), то можно рассчитать
среднее значение любой заданной функции cp(z) вектора z. Дей-
Действительно, средние можно определить формулой
(Ф (z)> = ф) = \ Р (z) Ф (z) rfz,	B.2)
z
где ломаные скобки или черта сверху — обычные обозначения
усреднения. Иначе говоря, для того чтобы вычислить среднее
значение функции, нужно проинтегрировать ее по всем значе-
значениям z с весовой функцией, равной плотности вероятности ре-
реализации события в dz. Ясно, что это определение согласуется
с нашим интуитивным представлением о средних.
Рассуждение о плотностях вероятности очень полезно, но на
первый взгляд кажется связанным с серьезным неудобством.
Иногда оказывается удобным рассматривать весьма идеализи-
идеализированный случай, когда некоторые переменные известны с пол-
полной определенностью. Тогда, если z достоверно имеет значение
Zo, то плотность вероятности для любого z Ф z0, очевидно, будет
равна нулю. С другой стороны, должно выполняться условие
B.1). Никакая обычная функция не удовлетворяет этим двум
условиям одновременно, и если мы хотим рассматривать досто-
достоверность как частный случай вероятности, необходимо расши-
расширить понятие функции.
Требуемое обобщение достигается при помощи так называе-
называемых «обобщенных функций» или «распределений». Обобщенные
функции могут быть определены различными способами, напри-
например как пределы последовательностей достаточно регулярных
функций, подобно тому как вещественные числа являются пре-
пределами последовательностей рациональных чисел. Поэтому
можно сказать, что обобщенная функция g(z) «есть» последо-
последовательность {gm(z)} (т = 1, 2, 3, ...) обычных функций в том
же смысле, в каком вещественное число а «есть» последователь-
последовательность, например, рациональных чисел {ctm}, получаемых усече-
усечением десятичного представления а на т-й значащей цифре. Ана-
Аналогично тому как при расчетах никогда не оперируют с ирра-
иррациональным числом, а используют только его рациональные
приближения, вместо «значений, принимаемых обобщенной
Функцией», всегда имеют дело с последовательностью аппрокси-
аппроксимирующих ее функций. И так же, как мы рассматриваем и

14	I. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ
успешно используем сложение, умножение и т. д. действительных
чисел, можно ввести и использовать операции над обобщенными
функциями.
Наиболее важным понятием является понятие скалярного
произведения обобщенной функции g(z), определяемой после-
последовательностью (g"m(z)}, и достаточно гладкой обычной функции
cp(z) (основной функции):
<g, Ф)= lim \gm(z)<p(z)dz	B.3)
для любой основной функции <p(z), для которой существует
указанный предел.
Обычно предполагается, что множество основных функций
плотно в множестве непрерывных функций (т. е. любую непре-
непрерывную функцию можно с любой заданной точностью аппрок-
аппроксимировать линейной комбинацией основных функций). Для
того чтобы последовательность {gm(z)} можно было называть
обобщенной функцией (на выбранном классе основных функ-
функций), должен существовать предел в правой части уравнения
B.3).
Для обобщенных функций легко вводится операция сложе-
сложения: если g(z) и h(z) являются обобщенными функциями, опре-
определяемыми последовательностями {gm(z)} и {/zm(z)}, то их сум-
сумма g(z)-\-h(z) определяется последовательностью {g"m(z) +
,+ um(z)}. Однако в общем случае нельзя определить произве-
произведение двух обобщенных функций g(z) и /i(z), удается определить
лишь произведение обобщенной функции g(z) и обычной глад-
гладкой функции ^(z); их произведение представляет собой
обобщенную функцию, определяемую последовательностью
{i|)(z)gm(z)}, причем основная функция cp(z) для \J)(z)g(z) та-
такова, что \|)(z)cp(z) представляет собой основную функцию для
ff(z).
Наконец, можно определить интеграл от обобщенной функ-
функции g(z) по области Z, которой принадлежит z, при условии,
что функция u{z), тождественно равная единице в Z, является
основной функцией для g(z). В этом случае полагают
\ g (z) dz = <g, и) = lim \ gm (z) dz.	B.4)
Z	?
Если <p'(z) — основная функция для g(z), то можно рассматри-
рассматривать обобщенную функцию g(z)cp(z), которая допускает в ка-
качестве основной, функции u(z) ss 1; согласно B.4), интеграл от
g"(z)cp(z) определяется следующим образом:
\ g (z) ф (z) dz — lim \ gm (z) ф (z) dz = (g, ф>.	B.5)
J	m->oo J

2. ВЕРОЯТНОСТЬ	15
Следовательно, интеграл от произведения g(z)qp(z) по обла-
области 1 равен «скалярному произведению» {g, ф), определенному
равенством B.3).
Простейшим примером обобщенной функции является так
называемая дельта-функция Дирака, которая иллюстрируется
плотностью вероятности для упомянутого выше случая, когда
/г-мерный вектор z имеет достоверное значение z0.
Дельта-функцию 6(z — z0) можно определить при помощи
последовательности
^(i)	B.6)
где Н(х) — ступенчатая функция Хевисайда, равная 1 для х > О
и 0 для х <С 0, а Хп — объем n-мерного единичного шара, свя-
связанный с площадью поверхности этого шара соп соотношением
Хп = (оп/п, причем (см. приложение к настоящей главе)
2nnl2
(л/2-1) (л/2-2) ...
{П четное)'
B.7)
(п нечетное).
В частности, при м = 2 имеем со2 = 2я, т2 = я, а при л = 3
имеем со3 = 4я, т3 = 4я/3. Для /г = 1 формула B.7) теряет
смысл, но ясно, что п = 2 (одномерный единичный шар сво-
сводится к отрезку от —1 до +1). Следовательно, в одномерном
случае равенство B.6) принимает вид
)	B.8)
Эта последовательность для случая г0 = О иллюстрируется
рис. 1. Функция 8m(z) равна нулю для z вне интервала (—1/т,
1/т) и равна т/2 внутри этого интервала; интеграл от 8m(z),
взятый от — оо до + оо, равен площади соответствующего пря-
прямоугольника, т. е. B/т) (т/2) = 1 для любого т. Ясно, что пре-
предел последовательности {6т(г)} не может быть обычной функ-
функцией: действительно, поскольку этот предел равен нулю при
z ?= zQ и + °° при z = го, вряд ли его можно принять за опре-
определение функции.
Аналогично, в n-мерном пространстве 5m(z — z0) равна нулю
вне шара радиуса 1/т с центром в точке z0 и равна тп/хп, т. е.
величине, обратной объему этого шара, внутри него. Интеграл
От $m(z — z0) по n-мерному пространству соответственно равен
единице:
$6m(z-z0)dz=i.	B.9)

|5	I. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ
/77=10
/77=6
/77=3
/77=2
777=1
-Ч	-1/2 -1/3 -1/Ю 1/10 1/3 1/Z
Рис. 1. Схематическое изображение последовательности функций, аппрокси-
аппроксимирующих дельта-функцию.
В более общем случае для функции, непрерывной в окре-
окрестности точки z0, имеем
\ 6 (z — z0) Ф (z) dz = lim ^ 6m (z — z0) Ф (z) dz = cp (z0) B.10)
как среднее значение ф(г), когда вероятность сосредоточена в
одной точке z = z0. Формула B.10), между прочим, показы-
показывает, что для последовательности {5m(z — zoj} все непрерывные
функции являются основными.
Для того чтобы доказать B.10), заметим, что, в силу непре-
непрерывности <p(z), при любом заданном е>0 можно найти такое
т, что в замкнутом шаре |z — zo( ^c 1/т равномерно справед-
справедливо следующее неравенство:
- е <(f{z)- фB0) <е.	B.11)

2. ВЕРОЯТНОСТЬ	17
Умножая его на 5m(z — z0) ^ 0, интегрируя результат по /2-мер-
/2-мерному пространству и используя равенство B.9), получаем
- е < J 6m (г - z0) ф (z) dz - Ф (z0) < е,	B.12)
откуда, согласно определению предела, следует формула B.10).
Прежде чем возвращаться к общему рассмотрению плотно-
плотностей вероятности, заметим, что, хотя последовательность {gm(z)}
вполне определяет обобщенную функцию, последняя не опре-
определяет первую однозначно, т. е. различные последовательности
могут иметь пределом одну и ту же обобщенную функцию, ана-
аналогично тому как различные последовательности рациональных
чисел могут иметь пределом одно и то же вещественное число.
Так, дельта-функцию можно было бы также определить через
последовательность функций {дт}'
Ьт(z - z0) = (тп~Цпехр [- т2 (г - z0J].	B.13)
Еще одна последовательность, сходящаяся к одномерной
дельта-функции, такова:
&т (г - г0) = т/{п [1 + (* - z0J m2]}.	B.14)
Единственное различие между этими последовательностями и
рассмотренной выше связано с основными функциями, которые
помимо того, что они непрерывны в точке z = z0, должны удов-
удовлетворять дополнительным условиям.
В настоящее время по обобщенным функциям существует
обширная литература (см., например, [1—3]), хотя часто в ней
используются различные подходы к этому понятию; приведен-
приведенные выше отрывочные сведения, надо полагать, будут достаточ-
достаточными для понимания обобщенных функций в той ограниченной
мере, в какой они используются в этой книге.
Вернемся теперь к обсуждению плотностей вероятности для
того, чтобы ввести приемлемый способ измерения отклонений от
среднего значения, определенного равенством B.2). Локальное
отклонение от среднего равно ф(г) — ep(z), но мы хотим опреде-
определить среднее отклонение; среднее от локального отклонения бес-
бесполезно, так как, согласно B.2) и B.1),
5
z) — <p(z)]P(z)dz = jJ9(z)P(z)dz~(p7z) jj P{z)dz =
= Ф(^) - Ф(г) = 0. B.15)
Среднюю меру отклонений от среднего значения cp(z) можно
получить, вычисляя так называемое среднеквадратичное откло-
отклонение, квадрат которого определяется следующим образом:
-<^)]2 = J [Ф (z) ~ W)f P (z) dz.	B.16)

18	I. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ
Другой возможный способ измерения отклонения z от z0 при
заданной плотности вероятности состоит в вычислении среднего
|ф(z) — cp(z)| вместо [cp(z)— ф(г)]2. В общем случае результат
не будет квадратным корнем из предыдущего выражения, но
квадрат среднего не будет превышать среднего от квадрата.
Из формул B.2), B.5) и B.10) следует, что, если P(z) =
= 6 (z — z0), то (p(z) = (p(z0). Подставляя в эти формулы вме-
вместо <p(z) выражения [cp(z) — (p(z)]2 и |ф(г)—q>(z)|, находим, что
[Ф (z) - Ф (z)]2 = [Ф (z0) - Ф (z0)]2 = 0,
| ф (z) — "cpTz") | = I Ф (z0) — Ф (z0) | = 0.
Таким образом, в том случае, когда плотность вероятности рав-
равна дельта-функции, среднее отклонение, независимо от того, как
оно определено, оказывается равным нулю, что естественно для
плотности вероятности, которая должна представлять достовер-
достоверность.
3. Фазовое пространство и теорема Лиувилля
Для исследования поведения системы N материальных то-
точек, описываемого уравнениями A.1а), удобно ввести так на-
называемое фазовое пространство. Оно представляет собой 6N-
мерное пространство, образованное 3N декартовыми координа-
координатами N радиусов-векторов хг- и ЗА/" компонентами N скоростей |г-.
В этом пространстве состояние системы в заданный момент
времени t (если оно точно известно) изображается точкой,
имеющей 6N координат—компонент радиусов-векторов и ско-
скоростей /V частиц. (Часто вместо скоростей рассматривают им-
импульсы, но для наших целей это различие несущественно.) Вве-
Введем 6Л^-мерный вектор z, который задает положение этой изо-
изображающей точки фазового пространства. Ясно, что компоненты
z задаются соответственно 3N компонентами N трехмерных век-
векторов Хг и 3iV компонентами N трехмерных векторов |г. Из урав-
уравнений A.1а) следует, что эволюционное уравнение для z имеет
вид
где Z представляет собой бАЛмерный вектор, компоненты кото-
которого задаются соответственно 3N компонентами N трехмерных
векторов Х{ и 3jV компонентами N трехмерных векторов |2-. Если
задано начальное состояние, т. е. некоторая точка z0 в фазовом
пространстве, то уравнение C.1) определяет значения z во все
последующие моменты времени (при условии существования и
единственности решения).

3. ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО И ТЕОРЕМА ЛЙУВИЛЛЯ	19
Если точные значения начальных данных неизвестны, то не-
необходимо ввести плотность вероятности Pq(z), которая задает
распределение вероятности для начальных данных, и попытать-
попытаться поставить задачу нахождения плотности вероятности P(z,t)
в последующие моменты времени. Для достижения этой цели
нужно найти эволюционное уравнение для P(z,/); как будет
видно из дальнейшего, это легко сделать, если силы известны,
т е. если неопределенность содержится только в начальных
данных.
Основанный на интуиции способ получения уравнения для
P(z, t) состоит в следующем. Заменим изображающую точку не-
непрерывным распределением с плотностью, пропорциональной
плотности вероятности. Это означает, что система точечных
масс заменяется некоторой жидкостью с плотностью, пропорцио-
пропорциональной Р, и скоростью z = Z. Тогда закон сохранения массы
выражается уравнением
4f + div(PZ)=0,	C.2)
где, как обычно, для любого вектора и фазового пространства
6N
Уравнение C.2) есть уравнение Лиувилля (отметим, что ком-
компоненты вектора z являются независимыми переменными).
Поскольку
div (PZ) = Z • grad P + Р div Z,	C.4)
где, как обычно, grad P = дР/dz — вектор с компонентами
dP/dZi, величина Р удовлетворяет уравнению
яр
-Of + г • grad Р + Р div Z = 0.	C.5)
Обычно divZ = 0. Действительно, так как х* и \х — незави-
независимые переменные, имеем
О-^.х,. о-в)
и если сила, отнесенная к единице массы, не зависит от ско-
скорости, то (d/dli) -Хг = 0, т. е. divZ = 0, как указано выше.
Заметим, однако, что равенство (д/д&)-Х{ = 0 выполняется
и для некоторых сил, зависящих от скорости. Одним из наибо-
наиболее известных примеров таких сил является сила Лоренца, дей-
действующая на заряженную частицу в магнитном поле. В даль-
дальнейшем изложении всегда будут рассматриваться только такие

20	I. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ
силы, для которых divZ = 0 (как правило, силы, не зависящие
от скорости). Поэтому уравнение Лиувилля будем записывать
в следующем виде:
Уравнение C.7) можно, конечно, переписать в переменных xt и $t:
дР 4V? dPLY\ дР О	DR\
+ L^ + L^0	C8)
где дР/дХ{ — градиенты в трехмерном пространстве координат
i-й частицы, а дР/д^ — градиенты в трехмерном пространстве
скоростей i-й частицы.
Чтобы вывести уравнение Лиувилля более строго, заметим,
что эволюционное уравнение C.1) определяет в каждый момент
времени отображение фазового пространства на себя; при этом
отображении каждой точке z0 соответствует точка z = z(z0, 0»
в которую в момент времени t приходит точка, находившаяся
при t = 0 в точке z0. Отображение является взаимно однознач-
однозначным, если, как предполагается в дальнейшем, уравнение имеет
единственное решение, соответствующее заданным начальным ус-
условиям, как при t < 0, так и при t > 0. (Если уравнение обла-
обладает свойством временной обратимости, как в случае сил, не
зависящих от скорости, то существование и единственность для
t <С 0 вытекают из соответствующих свойств для t > 0.)
* Вероятность нахождения точки, представляющей систему,
в момент времени t в области R фазового пространства равна
Prob (zsi?)=jp (z, /) dz,	C.9)
R
где z<^R, как обычно, обозначает «z принадлежит R». Выше-
Вышеупомянутая вероятность равна вероятности нахождения изобра-
изображающей точки в момент времени / = 0 в области RQi образуе-
образуемой точками z0, которые являются прообразами точек zei? в
рассмотренном выше отображении. Действительно, точка может
находиться в момент времени t в области R тогда и только
тогда, когда в момент времени t = 0 она находилась в Ro. Сле-
Следовательно,
J	Jo(zo)dzo.	C.10)
Здесь множество точек zEi? совпадает с множеством точек
z = z(zo, 0> гДе z0 g i?o- Воспользуемся этим обстоятельством,
чтобы произвести в первом интеграле замену переменной интег-

3. ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО И ТЕОРЕМА ЛИУВИЛЛЯ	21
рирования z на z0:
J Р (z, /) dz = 5 Р (z (z0, /), 0 / (z/z0) dz0,	C.11)
где /(z/zo)—якобиан преобразования от старых переменных к
новым (или абсолютное значение этого якобиана, если он ока-
окажется отрицательным). Поскольку Rq — произвольная область,
сравнение формул C.11) и C.10) дает
P(z(z0, /), O/(z/zo) = Po(zo).	C.12)
Так как правая часть этого равенства не зависит от времени,
полная производная по времени от левой части должна обра-
обращаться в нуль:
Здесь аргументами Р являются z и t, а аргументами / — со-
соответственно z0 и t. Ниже будет показано, что / Ф 0. Использо-
Использовав этот факт, а также уравнение C.1) (заметим, что dzfdt в
уравнении C.13) есть производная z по времени при постоян-
постоянных начальных данных, т. е. то, что в уравнении C.1) было
обозначено через z), получим
Вычислим теперь dJ/dt. Пусть /rs — алгебраическое дополне-
дополнение элемента dzrjdz°s в якобиане; тогда по правилу дифферен-
дифференцирования определителей
dt	Lj dt \dzl)rS	La дг0 I dt \Jrs~
(T~ rs — * /	n"	— J
dz	' * dz dz
r, s=l s	r, s = l 5 r	r=l ""r
где в соответствии с уравнением C.1) произведена замена
ozr/dt на Zr и использовано известное равенство Jrs = Jdz°sldzr,
которое следует из теоремы Лапласа об определителях и пра-
правила дифференцирования сложной функции.
Подстановка выражения C.15) в уравнение C.13) снова
приводит к C.5), т. е. к уравнению Лиувилля C.2). В частно-
ти, при divz = 0 получается уравнение C.7).
div70n^TH0 заметим, что, как видно из C.15), / = const при
s== 0, и поскольку / = 1 при t = 0, это означает, что / = 1
любого /. Следовательно, в случае divZ = 0 объем области

22	I. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ
фазового пространства инвариантен относительно отображения,
получаемого при движении системы (теорема Лиувилля). Этот
результат записывается в виде C.11) при Р= 1:
йъ = J / (z/z0) rfz0 = J rfz0.	C.16)
Уравнение Лиувилля C.7) или C.8) просто утверждает, что
в момент времени / в точке z плотность вероятности Р имеет
то же значение, какое она имела в момент времени ( = 0 в
точке фазового пространства z0, которая переходит в точку z
при движении, описываемом уравнением C.1) или A.1а) при
условии, что divZ = 0. Действительно, левая часть уравнения
C.7) представляет собой производную от Р по времени в си-
системе координат, движущейся в фазовом пространстве со ско-
скоростью z = Z. Поэтому, если вероятность постоянна в области
/?о, то она будет сохранять то же самое значение в области
Ru в которую Ro отображается преобразованием, описывающим
движение системы в фазовом пространстве; в частности, если
при / = 0 плотность вероятности равна нулю всюду, за исклю-
исключением z = z0, в последующие моменты времени она будет
равна нулю всюду, за исключением z = z(z0, t). Это утвержде-
утверждение можно сформулировать также следующим образом: реше-
решение, соответствующее начальному условию в виде дельта-функ-
дельта-функции (сосредоточенной в z = z0), является дельта-функцией (со-
(сосредоточенной в z = z(zo, 0) и ПРИ ^ ^ 0.
Таким образом, уравнение Лиувилля представляет собой
иную запись уравнений движения, содержащую информацию
не только о данном движении, но также о движениях, близких
к нему, в смысле, который следует кратко пояснить. Если на-
начальные данные известны абсолютно точно, то Р является дель-
дельта-функцией в момент времени / = 0 и решение уравнения Лиу-
Лиувилля будет дельта-функцией во все последующие моменты вре-
времени: точка z = z(z0,/), в которой дельта-функция имеет пик,
дает решение уравнений движения (заметим, что для примене-
применения уравнения Лиувилля к этому весьма идеализированному
случаю необходимо обратиться к понятию производной от обоб-
обобщенной функции, которое ради краткости не рассматривалось
в разд. 2; однако его можно найти в предыдущей книге автора
[4] и в цитированных книгах по обобщенным функциям [1—3]).
Если, что более реально, задана просто плотность вероятности
начальных данных, то уравнение Лиувилля определяет не толь-
только наиболее вероятное движение, но также и распределение
отклонений от него.

ТВЕРДЫЕ СФЕРЫ, ЖЕСТКИЕ СТЕНКИ, ДЛИНА СВОБОДНОГО ПРОБЕГА 23
4 Твердые сферы и жесткие стенки.
Средняя длина свободного пробега
В предыдущих разделах мы рассмотрели случай материаль-
материальных точек, которые непрерывно взаимодействуют одна с другой
согласно уравнениям движения A.1). Часто бывает удобно рас-
рассматривать предельные случаи, в которых между точками про-
происходят только дискретные взаимодействия с конечными им-
импульсами (жесткие столкновения); при этом силы не могут быть
описаны обычными функциями и с уравнением Лиувилля нужно
обращаться иначе. Предельный случай жесткого столкновения
полезен, так как он дает более наглядное представление об эво-
эволюции системы и служит хорошим приближением для интенсив-
интенсивных сил отталкивания, с которыми реальные молекулы взаимо-
взаимодействуют на близких расстояниях. Эти соображения приводят
к концепции газа из твердых сфер, т. е. системы многих «бил-
«биллиардных шаров», которые не взаимодействуют на расстоянии
и сталкиваются по законам упругого удара. Диаметр сфер о
эквивалентен радиусу действия сил взаимодействия реальных
молекул. Фактически газ из твердых сфер можно представлять
как систему материальных точек, которые не взаимодействуют,
если расстояние между ними больше а, и взаимодействуют с
формально бесконечной центральной силой отталкивания, когда
это расстояние становится в точности равным а, так что боль-
большее сближение невозможно.
Другой пример мгновенного взаимодействия рассматривается
в том случае, когда предполагается, что молекула упруго от-
отражается жесткой стенкой. Эта модель менее реальна, чем мо-
модель твердых сфер, потому что жесткая стенка имеет макроско-
макроскопические размеры и безусловно обладает весьма сложной струк-
структурой на микроскопическом уровне. В гл. III будет подробно
показано, что эта структура не допускает упругого столкновения
с регулярной геометрической поверхностью, изображающей
стенку в макроскопическом описании.
Несмотря на это, для иллюстративных целей полезно рас-
рассмотреть случай абсолютно упругих отражений на жесткой
стенке.
Если стенка считается неподвижной, то в результате столк-
столкновения знак нормальной составляющей скорости изменится, в
то время как касательная составляющая останется без измене-
изменения. Таким образом, если %' обозначает скорость молекулы пе-
РеД столкновением, а § — скорость после столкновения, то §' и
6 будут связаны соотношением
ё = Г-2п(п.Г),	D.1)
пп П~~~~еАиничный вектор нормали к стенке. Равенство D.1)
Y то.выражает тот факт, что молекулы зеркально отражаются

24
Т. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ
Рис. 2. Зеркальное отражение материальной точки.
стенкой (см. рис. 2). Если стенка не покоится, а движется со
скоростью и0 относительно системы координат, выбранной для
описания движения, то D.1) применяется к скоростям относи-
относительно стенки, т. е. g и g/ должны быть заменены на
g— u0 и g/ — u0. При этом формула D.1) запишется в виде
В случае столкновения между двумя одинаковыми твердыми
сферами соотношения, которые связывают скорости после столк-
столкновения gi и g2 со скоростями до столкновения g' и gg, имеют
вид
^=Г-пГп-(Г-ГI	D>3)
где п — единичный вектор, направленный вдоль прямой, соеди-
соединяющей центры двух сфер (ориентация не имеет значения). Ра-
Равенства D.3) получаются при помощи следующих соображений.
Согласно законам сохранения импульса и энергии,
D.4)
Введем единичный вектор п, направленный вдоль g,—g';
это направление делит пополам угол между направлениями
|j и —% (следовательно, п — единичный вектор, направлен-
направленный вдоль линии, соединяющей центры молекул в момент столк-
столкновения, так как предполагается, что импульс направлен вдоль
этой линии, что соответствует центральному взаимодействию).

ТВЕРДЫЕ СФЕРЫ, ЖЕСТКИЕ СТЕНКИ, ДЛИНА СВОБОДНОГО ПРОБЕГА 25
При таком определении п имеем
g^-nC,	D.5)
е с	скаляр, который необходимо определить. Первое из
уравнений D.4) дает
УР	12 = % + пС.	D.6)
Подстановка выражений D.5) и D.6) в D.4) приводит к сле-
следующему результату:
tf - 2п • %'? + С2 + ^ + 2п . %С + С2 = %'* + ^2. D.7)
Одинаковые члены в правой и левой частях взаимно уничто-
уничтожаются, что дает
~n-(g;-^)C + C2 = 0.	D.8)
Следовательно, опуская случай С = О, который соответ-
соответствует тривиальному решению уравнений сохранения (отсут-
(отсутствию взаимодействия), получаем
С = п •(%-%).	D.9)
Подставляя это значение в D.5) и D.6), приходим к фор-
формулам D.3).
Покажем теперь, что теорема Лиувилля (сохранение объема
в фазовом пространстве) остается справедливой для мгновен-
мгновенных взаимодействий, рассматриваемых в этом разделе. Заме-
Заметим, что соотношения D.1) и D.3) являются обратимыми, т. е.
их можно разрешить относительно отмеченных штрихами пере-
переменных и получить
Г = !-2п(п.|)	D.10)
соответственно. Это те же самые уравнения, что и D.1) и D.3),
но в них переменные до столкновения и после него поменялись
местами. Чтобы получить уравнение D.10), достаточно вычис-
вычислить сначала п*!' (это легко сделать, скалярно умножив равен-
равенство D.1) на п), а затем подставить результат п|/ = — п-?
в D.1). Аналогично, чтобы получить уравнения D.11), вычис-
вычислим сначала величину п • (% — IQ чеРез переменные после
толкновения; для этого вычтем второе равенство D.3) из пер-
Го» что даст соотношение между относительными скоростями
i,-|2 = i;-i;-2n[n-(i;-|0].	D.12)

26	I. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ
После скалярного умножения на п получаем п • (§[ — ^) =
= — п • (|j — g2), а подстановка этого результата в D.3) приво-
приводит к соотношениям D.11).
Заметим теперь, что в обоих случаях (взаимодействие со
стенкой и столкновение двух твердых сфер) составляющие ско-
скоростей подвергаются линейному преобразованию, описываемому
матрицей А C X 3 или 6X6), элементы которой зависят от п.
В обоих случаях сравнение прямых и обратных преобразований
(уравнения D.1) и D.10); D.3) и D.11)) показывает, что об-
обратная матрица А равна А, т. е. А2 — единичная матрица. Сле-
Следовательно, квадрат определителя матрицы А (который является
просто якобианом J\ линейного преобразования) равен единице,
так что J\ = ±\.
Нетрудно видеть, что фактически J\ = —1. Действительно,
в первом случае можно использовать в качестве переменных
нормальную составляющую скорости, которая при столкновении
меняет знак, и составляющие вдоль двух осей в касательной
плоскости, которые остаются неизменными, откуда и следует
этот результат.
Во втором случае можно сначала перейти к переменным
I"' = lk A[ + %)> 1= 72 A{ + §2) (СКОРОСТИ Центра масс до столк-
столкновения и после него) и V/ = |j —|^ ^==b~h (относитель-
(относительные скорости до столкновения и после него). При столкновении
новые переменные подвергаются следующему преобразованию:
ё = ^5	D.13)
V = V' = -2n(n-V').
Первое из этих уравнений совпадает с первым уравнением D.4),
а второе — с уравнением D.12). Поскольку |' не изменяется,
якобиан преобразования D.13) дается просто якобианом преоб-
преобразования от V к V, который равен —1 (так как матрица та
же, что и в предыдущем случае взаимодействия с твердой стен-
стенкой). Следовательно,
/(I, У|Г, V') = -l.	D.14)
Но если Jo обозначает якобиан преобразований (?[, gQ->(?',
V) и (|р |2)->(§, V) (очевидно, что они имеют одинаковый оп-
определитель), то для якобиана J\ преобразования D.3) имеем
/, = / (|„ 121 ъ\, %) = J (I,, h 11 v) / (I, v i r, vo / (F, v i g;, %)=*
= -1. D.15)
Якобиан / преобразования фазового пространства, соответ-
соответствующий жесткому столкновению, представляет собой произве-

ТВЕРДЫЕ СФЕРЫ, ЖЕСТКИЕ СТЕНКИ, ДЛИНА СВОБОДНОГО ПРОБЕГА 27
. Рис. 3. Зеркальное отражение элемента объема от плоской стенки.
дение двух якобианов Jx и /2, соответствующих преобразованиям
пространственных и скоростных переменных. Мы показали, что
/j = —1, и увидим, что /2 = —1; следовательно, / = 1, и инва-
инвариантность объема фазового пространства с учетом C.16) до-
доказана.
Чтобы показать, что /2 = —1, достаточно рассмотреть слу-
случай отражения точки от неподвижной стенки, так как столк-
столкновение между двумя твердыми сферами сведется к этому слу-
случаю преобразованием переменных х = 1/2(х1 + х2), г = х1 — х2,
х/===1/г(х^ + х^), г/ = х[ — х^, если заметить, что х'—>х со-
соответствует жесткому движению, агЧг эквивалентно отраже-
отражению от неподвижной стенки.
Рассмотрим сначала случай отражения материальных точек
от плоской стенки; при этом отображение, создаваемое движе-
движением, не деформирует бесконечно малую область пространства,
но изменяет ее ориентацию (см. рис. 3; достаточно рассмотреть
плоскую картину, поскольку изменения происходят в плоскости
п ' Следовательно, в этом случае /2 = —1.
Отражение от искривленных поверхностей является более
ложным, потому что для конечных областей имеет место де-
Ф рмация (см. рис. 4). Однако бесконечно малая область пре-
ние 3^ется (за бесконечно малый промежуток времени, в тече-
ема КОтоРОГО происходит столкновение) в область того же объ-
> но противоположной ориентации.

I. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ
'Z?
Рис. 4. Зеркальное отражение элемента объема от искривленной стенки.
Чтобы показать это, заметим, что можно рассмотреть преоб-
преобразование, которое происходит в плоскости (плоскости движе-
движения). Так как законы отражения зависят только от ориентации
касательной к кривой, от которой происходит отражение, то яко-
якобиан будет содержать производные первого порядка от единич-
единичного вектора касательной, т. е. самое большее вторые производ-
производные от преобразованных координат по исходным. Следователь-
Следовательно, границу можно заменить соприкасающейся окружностью; в
этом случае якобиан, т. е. отношение объема бесконечно малой
области после столкновения к объему соответствующей области
до столкновения, вообще говоря, мог бы быть любой конечной
безразмерной функцией радиуса этой окружности и угла паде-
падения. Но он не может зависеть от радиуса, поскольку невоз-
невозможно образовать безразмерную функцию, содержащую един-
единственную длину; следовательно, якобиан должен быть одним
и тем же для любого значения кривизны, т. е. он должен быть
равен величине /i = —1, как при отражении от плоской стенки
(что соответствует предельному случаю бесконечно большого
радиуса).
Рассматривая твердые сферы, удобно ввести понятие длины
свободного пробега. Это расстояние, проходимое сферой Si ме*
жду двумя последовательными столкновениями. Оно, конечно-
зависит от количества сфер в единице объема /г, скорости вЫ'

5 РАССЕЯНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНОГО ОБЪЕМА В ФАЗОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 29
Рис. 5. Сфера действия и средняя длина свободного пробега.
бранной сферы S\ и скорости сферы 52, с которой S\ сталки-
сталкивается. В связи с этим имеет смысл только понятие средней
длины свободного пробега.
Простая оценка средней длины свободного пробега / твер-
твердой сферы получается в предположении, что другие сферы по-
покоятся. Окружая каждую из них сферой радиуса, равного диа-
диаметру частиц а, движущуюся сферу S\ можно представлять
точкой (рис. 5). Тогда, если 5i проходит в среднем между двумя
столкновениями расстояние /, это означает, что в цилиндре с ос-
основанием по2 и высотой / находится только одна молекула, а
именно 5ь т. е.
ппвЧ~\.	D.16)
Следовательно, средняя длина свободного пробега приближенно
определяется формулой
^	DЛ7)
5. Рассеяние элементарного объема
в фазовом пространстве
Рассмотрим материальную точку, движущуюся вдоль неко-
некоторой оси между двумя жесткими стенками.
Пусть а: — абсцисса точки, ? — скорость, ±1 — абсциссы сте-
стенок. Изобразим эволюцию этой системы в фазовой плоскости
(см. рис. 6). Предположим, что начальное состояние системы
задано неточно, но известно, что точка, соответствующая на-
начальному состоянию, лежит в прямоугольнике
0<*<Дх, &o<g<go +Ag.	E.1)
кам Означает> что начальные условия для х и g задаются с ошиб-
д .и> Не превосходящими Да' и Д? соответственно. Исследуем
формацию этого прямоугольника в результате движения, т. е.,

30
I. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ
о,
s s
ir1
о»
в!
О tf
о и
Он
Si
g3
3
CD
«•§•
о
К Д
о.

б РАССЕЯНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНОГО ОБЪЕМА В ФАЗОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 31
иначе говоря, эволюцию неопределенности состояния системы.
Если на время пренебречь влиянием стенок (что приводит к дви-
движению с постоянной скоростью), то точка, находящаяся при
^0 в (*,?)> в результате движения перейдет в точку (х + ?/,
г). Матрица Якоби рассматриваемого преобразования имеет вид
1	/
0 1
E.2)
а определитель, очевидно, равен единице, как и следовало ожи-
ожидать (в силу теоремы Лиувилля). В момент времени t положе-
положение точки будет известно с ошибкой Ах -\- /Д?, а скорость — с
ошибкой Д?. Рис. 6 иллюстрирует эту ситуацию. Поскольку точ-
точки с большими значениями g движутся быстрее, начальный пря-
прямоугольник деформируется и образуется параллелограмм с
теми же основанием и высотой и, следовательно, с той же пло-
площадью. В момент t = х получается показанное на рис. 6 распре-
распределение, наклон которого увеличивается с течением времени.
Поскольку мы пренебрегли влиянием стенок, параллелограмм
будет выходить за пределы интервала (—/, /) (см. незаштрихо-
ванную площадку, соответствующую t = Зт).
Чтобы перейти к случаю движения с отражением, достаточно
рассмотреть движение без отражения, разрезать полосу ?о <
< I < 5о + Д? на куски длины 2/ и затем помещать их пооче-
поочередно на часть полосы между —/ и / и ее зеркальное отражение
относительно оси х. При этом отражение переводит точку (/, ?)
в (/, —g), а (—/, —|) в (—/, g). Таким путем можно получить
распределения, соответствующие / = 2т, Зт, 4т, 5т, 6т (изобра-
(изображенные на рис. 6) и т. д.
С течением времени при движении область становится все
уже и уже и, наконец, распадается на слои. Действительно, к
некоторому моменту времени точки со скоростью ?о + ДЕ отра-
отразились п -f- 1 раз, в то время как точки со скоростью ?0 еще не
отразились n-й раз (см. рис. 7).
Вообще, в некоторый момент времени точки со скоростью
So + Д? отразятся на несколько раз больше, чем точки со ско-
скоростью g0, что приводит к картине, схематически изображенной
на рис. 8. Область распадается на большое число «нитей», ко-
которые стремятся заполнить два прямоугольника ?о < I < ?о +
Н-Д|, -go —Ag<g<-|0 (—Kx<l).
Случай движения материальной точки в двух- или трехмер-
ом пространстве значительно сложнее, поскольку для него от-
отсутствует геометрическое представление фазового пространства.
Ри движении в двух измерениях фазовое пространство четы-
^ ХМерно, однако, не рассматривая величины скорости, ошибка
°торой постоянна во времени, эволюцию в фазовом простран-

32	1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ
Рис. 7. Более поздняя стадия временной эволюции, начальная картина кото-
которой изображена на рис. 6 (/ = 24т). Точки со скоростью ?0 + &1 уже отра-
отразились п + 1 раз, в то время как точки со скоростью ?0 еще не отразились
п-\\ раз.
Рис. 8. Дальнейшая эволюция состояния системы, рассмотренной на рис. 6
и 7 (/ = 179т). Первоначальный прямоугольник распадается на большое число
«нитей», которые стремятся заполнить всю доступную часть фазового про-
пространства.
стве можно представить трехмерной картиной. Для этого доста-
достаточно построить траектории с координатами х и у в качестве
абсциссы и ординаты декартовой системы и углом а между век-
вектором скорости и осью х в качестве третьей координаты.

5. РАССЕЯНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНОГО ОБЪЕМА В ФАЗОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 33
Уравнения, описывающие движение при отсутствии стенок,
таковы:
у —yo-{-tR s'ma, а = а0,	F.3)
где Хо, Уо, &о — начальные значения я, у, os, a R — константа,
связанная со скоростью.
Если начальные данные расположены в интервалах между
Хо, Уоу &0 и хо + Ах, уо + Д#, а0 + Да, то изображающая точка
в момент времени t будет находиться в параллелепипеде (при
Да <С 1) с двумя ребрами (длины Ах и Д#), параллельными пло-
плоскости (х,у), но очень наклонном, поскольку его основания дви-
движутся с различными скоростями. И снова через достаточно
большое время параллелепипед превратится в очень длинный
тонкий стержень, а с учетом отражений от стенок прямоуголь-
прямоугольного ящика этот стержень распадется на большое число нитей.
Точно такая же картина наблюдается при движении в трехмер-
трехмерном ящике.
При отражении от искривленной поверхности возникают до-
дополнительные эффекты рассеяния, особенно если поверхность
выпуклая и имеет малый радиус кривизны. Этот случай особен-
особенно важен, так как он соответствует столкновению между двумя
твердыми сферами; как было указано в конце разд. 4, рассмат-
рассматриваемую сферу можно заменить точкой, сталкивающейся со
сферической поверхностью радиуса а, равного диаметру твердых
сфер (которые считаются одинаковыми).
Элемент объема (в физическом, а не в фазовом простран-
пространстве) за время свободного пробега после столкновения увели-
увеличивается в 12/о2 раз (где / — средняя длина свободного пробега,
введенная в конце разд. 4) в результате расхождения двух пер-
первоначально параллельных прямых, проходящих через две раз-
различные точки сферы и, следовательно, соответствующих различ-
различным углам падения (см. рис. 4, где этот эффект пропорционален
Ifa, так как, по предположению, движение происходит во вполне
определенной плоскости). Вследствие этого т столкновений при-
приводят к увеличению объема области, в которой может находиться
частица, в A/оJт раз. Разумеется, этот объем является проек-
проекцией из шестимерного фазового пространства частицы в физи-
физическое, а соответствующая этому объему область в фазовом про-
пространстве будет очень «длинной» (первоначальная «длина» ум-
умножается на A/о)т) и очень «тонкой» (первоначальная «тол-
Щина» умножается на (а//)т). При движении между жесткими
танками область, представляющая нашу систему в фазовом
Ространстве, должна складываться.
ЛИ ^° ^ (чт0 является вполне допустимой оценкой для
между длиной свободного пробега и диаметром мо-
Не слишком плотного газа), то коэффициент уменьшения

34	I. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ
толщины полос, образующих фазовую область нашей системы,
будет величиной порядка 10~1000 после тысячи столкновений, т.е.
для твердых сфер, представляющих молекулы газа при нор-
нормальном давлении и температуре, через миллионную долю се-
секунды. Число полос, на которые разбивается фазовая область
возможных состояний данной молекулы, следовательно, будет
порядка 101000.
Э. Борель, которому принадлежат эти соображения [5, 6], до-
добавил следующее интересное замечание. До сих пор мы пред-
предполагали, что неопределенность содержится только в началь-
начальных данных, в то время как дифференциальные уравнения дви-
движения точно известны и разрешимы. Это означает не только то,
что нам точно известны законы взаимодействия между любыми
двумя частицами, но также и то, что мы включаем в дифферен-
дифференциальные уравнения движения силы, действующие на частицы
нашей системы со стороны любых других масс Вселенной и
способные существенно изменить движение.
Для того чтобы оценить значение последнего утверждения,
заметим, что перемещение на один сантиметр одного грамма
вещества на какой-либо звезде (скажем, Сириусе) приводит к
изменению гравитационного поля Земли, превышающему произ-
произведение типичной силы, наблюдаемой в повседневной жизни, на
10~100. Следовательно, если мы не хотим в качестве нашей си-
системы рассматривать всю Вселенную, то невозможно избежать
флуктуации порядка 10-100%. Но расслоенная на узкие ленты
структура, в которую превращается область фазового простран-'
ства, состоящая из первоначально очень близких одна к другой
точек, представляется слишком тонкой, чтобы сохраниться; че-
через миллионную долю секунды Ю1000 лент, теоретическая тол-
толщина которых составляет 10~1000 начальной толщины, перекры-
перекрываются и отображение первоначально небольшой области прак-
практически целиком заполняет всю доступную часть фазового про-
пространства, а не только область объема, равного начальному, как
следовало бы из идеализированного расчета. Таким образом,
плотность в фазовом пространстве не сохраняется, и мы полу-
получаем распределение, значительно менее плотное, но гораздо бо-
более «растянутое», чем первоначальное.
Такое же замечание справедливо по отношению к погрешно-
погрешностям в вычислениях; если мы работаем со ста значащими циф-
цифрами, то вносим ошибки порядка Ю-100 и возникает упомянутое
выше перекрывание лент в фазовом пространстве.
Для того чтобы исследовать коллективные свойства рассмат-
рассматриваемых молекул, устойчивые относительно небольших воз-
возмущений, недостаточно усреднять только по начальным усло-
условиям— необходимо усреднение и по деталям взаимодействия.
Это задача статистической механики. Заметим, однако, что при-

6. ЭРГОДИЧЕСКАЯ ГИПОТЕЗА И РАВНОВЕСНЫЕ СОСТОЯНИЯ	35
веденные соображения справедливы для систем из твердых сфер
вероятно, могут быть распространены на системы материаль-
материальных точек, между которыми действуют интенсивные коротко-
короткодействующие силы отталкивания; но только после тщательной
проверки можно попытаться распространить их на системы то-
точек, между которыми действуют силы притяжения, стремящиеся
внести устойчивость и, следовательно, приводящие к более упо-
упорядоченному поведению. Физически это означает, что мы нахо-
находимся на верном пути, пока речь идет о газах, в то время как
исследование жидкостей и твердых тел требует совершенно
иного подхода.
6. Временные средние, эргодическая гипотеза
и равновесные состояния
Если принять гипотезу, что газ состоит из большого числа
молекул (материальных точек или твердых сфер), то любая фи-
физическая величина, характеризующая газ, должна определяться
в данный момент времени совокупностью значений координат и
скоростей молекул. Задача вычисления этих величин приводит
к методологическим проблемам, обсуждавшимся в разд. 1 и 5.
Для того чтобы в какой-то мере избежать этих трудностей,
заметим, что измерение физической величины осуществляется
не мгновенно, а требует некоторого промежутка времени, кото-
который, сколь бы малым он нам ни казался, как правило, очень
велик по сравнению с характерными временными масштабами,
связанными с эволюцией системы. Последняя претерпевает су-
существенные изменения за промежуток времени, необходимый
для измерения, что приводит к большим изменениям измеряе-
измеряемой величины. Таким образом, экспериментальные данные не-
необходимо сравнивать не с отдельными значениями функций ко-
координат и скоростей, а со средними значениями этих функций
по относительно большим интервалам времени. Это означает,
что вместо плотности вероятности Я, рассмотренной в разд. 3,
следует ввести ее среднее по времени на промежутке т:
t+x
p o=4" S p{z< '•>*••	FЛ)
Если, величина т постоянна для всех моментов времени и точек
фазового пространства, то, интегрируя уравнение Лиувилля
w<7) по времени и используя перестановочность операций диф-
дифференцирования по z и усреднения по т, получаем
' ±t+T)-P{z, f)] + Z.|?-=O	F.2)

36	Т. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ
при условии, что Z не зависит от времени (т. е. что силы не за-
зависят от времени) Из F.1) следует, что
EL = Р (z, t + x)-P (z. t)	F>3j
и равенство F.2) показывает, что P(z, t), как и P(z, t), удовлет-
удовлетворяет уравнению Лиувилля. Единственное отличие состоит в
том, что начальное условие теперь задается функцией
P(z, O) = 4JP(z,/i)*i,	F.4)
о
в общем случае более гладкой, чем P(z, 0) (которая уже яв-
является гладкой, так как содержит неопределенность начальных
координат и скоростей). Следовательно, усреднение по времени
сводится к дальнейшему усреднению начальных данных. Если т
достаточно велико, то новое усреднение, как следует из приме-
примеров разд. 5, будет стремиться к распространению вероятности
по всей области, доступной этой системе. В частности, когда
система находится в макроскопическом равновесии, так что лю-
любое макроскопическое измерение дает результаты, не зависящие
от времени измерения, можно взять т сколь угодно большим,
т. е. положить т->оо.
В этом случае из F.3) следует, что dP/dt^O, если P(z,0)
ограничено почти всюду; действительно, величины P(z,/ + т) и
P(z, t) таковы же, как и P(z, 0), и, следовательно, ограничены,
поскольку, как мы видели в разд. 3, рассматриваемое движение
переводит начальные значения P(z, 0) в различные точки, не
меняя их величины.
В соответствии с этим в состоянии равновесия после пере-
перехода в F.1) к пределу при т->оо величина Р не зависит от вре-
времени и удовлетворяет стационарному уравнению Лиувилля:
Z-|f = O,	F.5)
ИЛИ
Если бы удалось найти общее решение стационарного урав-
уравнения Лиувилля Р = P(z) = Р(хг-, §г), то задача вычисления
равновесного распределения, по-видимому, оказалась бы решен-
решенной. Нетрудно указать рецепт для нахождения этого общего
решения, но этот рецепт невозможно практически использовать.
Прежде всего заметим, что функция P(z) удовлетворяет уравне-
уравнению F.5) тогда и только тогда, когда она является интегралом

6. ЭРГОДИЧЕСКАЯ ГИПОТЕЗА И РАВНОВЕСНЫЕ СОСТОЯНИЯ	37
движения для нашей системы, т. е. функцией координат и ско-
скоростей, производная по времени которой тождественно обра-
обращается в нуль, когда z изменяется в соответствии с уравнениями
движения C.1).
Действительно, если z = z(t) удовлетворяет уравнениям
C.1), то
дР	дР dz 7 дР	,fi -v
так что равенство dPjdt = О приводит к F.5) и обратно.
При наличии k функционально независимых интегралов дви-
движения 1\, /2, /з, ..., /ft общее решение уравнения F.5) или F.6)
имеет вид
Р = /(/,, /2, ...,/*).	.	F.8)
Однако существует трудность, которую нелегко преодолеть.
Она состоит в том, что система из N взаимно не связанных то-
точек, обладающая 3N степенями свободы, имеет 6ЛГ— 1 интегра-
интегралов движения. (В самом деле, можно разрешить 6N скалярных
соотношений, соответствующих векторному равенству z =
= z(z0, t), что даст zo = zo(z, t), и затем использовать одну из
компонент для исключения t.) Вычисление этих 6N—1 функ-
функций от z столь же безнадежная задача, как и вычисление вре-
временной эволюции системы. Допустим, однако, что мы знаем эти
функции и что для данной системы в состоянии равновесия в
качестве /j берутся величины //; тогда
_	6ЛГ-1
Р-ДП^^/Г),	F.9)
где А — нормировочный множитель, который должен выбирать-
выбираться таким образом, чтобы \Pdz—\. Выражение F.9) опреде-
определяет плотность вероятности, которая очень близка к «достовер-
«достоверности» и которую можно было бы использовать, если бы только
удалось экспериментально измерить 6N—1 величин, но при
этом возникают те же трудности, что и обсуждавшиеся выше в
связи с определением начальных условий.
Существует, однако, обстоятельство, смягчающее все эти
трудности. Одним из интегралов движения системы является
полная энергия, которая хорошо известна и имеет вполне опре-
определенный физический смысл. Для системы точек с короткодей-
короткодействующими силами отталкивания оказывается, что все другие;
интегралы движения отличны от полной энергии в том смысле,.
что они являются весьма специфическими функциями, поверх-;
ности уровня которых в фазовом пространстве сколь угодно
близко подходят к любой точке данной поверхности постоянной

38	I. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ
энергии (импульс и момент импульса можно или исключить из
интегралов движения, если заключить эту систему в жесткий
неподвижный ящик, или учесть тем же способом, что и энер-
энергию).
В качестве примера рассмотрим материальную точку в пря-
прямоугольном ящике с зеркально отражающими стенками (рис.9).
Ее движение можно описать уравнениями E.3), если учесть
эффект отражения от стенок. Это можно сделать следующим
формальным приемом: из E.3) вытекает, что если а и Ь— сто-
стороны прямоугольника, то
и = sin {ж) = sin {"W (*° + Rt cos a°0 '
F.10)
v = sin (j^.) = sin [^- (y0 + Rt sin a0) J ,
где —a ^ x ^ a, —b <<: у <c:b, так что х и у можно заменить
новыми координатами и и v. При этом эффект отражения учи-
учитывается автоматически, ибо при х0-{-Rt cos ао > а значение и
будет соответствовать точке с абсциссой 2а—(х0 + Rt cos ao),
как и должно быть после отражения в точке х = а.
В этом примере помимо рассмотренных интегралов движе-
движения (т. е. полной энергии и а = сс0) еще один интеграл полу-
получается исключением t из F.10). Проекция поверхности уровня
на физическую плоскость есть не что иное, как траектория, со-
соответствующая заданным начальным условиям; из рис. 9 ясно,
что траектория будет проходить достаточно близко к любой
точке прямоугольника, если отношение (b cos ao)/(asin ao) не
является рациональным числом; если это отношение иррацио-
иррационально, то траектория подходит сколь угодно близко к любой
точке прямоугольника. Это справедливо также и для плоско-
плоскости (и, v), в которой траектории не кусочно прямые, а кривые;
здесь уравнения F.10) представляют траектории движения, по-
получаемого наложением двух ортогональных гармонических дви-
движений с частотами R/Da), R/Db), т. е. в результате возникают
общеизвестные фигуры Лиссажу, которые, как мы знаем, яв-
являются плотными в квадрате —1 < и < 1, —1 < v < 1, если
отношение между частотами — иррациональное число.
Ясно, что интегралы движения такого же вида, что и инте-
интеграл, соответствующий рассмотренной выше траектории, не пре-
препятствуют достижению любой области фазового пространства.
Кром того, если не существует предпочтительных областей, т. е.
если соответствующие траектории проходят одинаковое число
раз (в течение длительного времени) через каждую область
заданных размеров, то эти интегралы не накладывают никаких
ограничений на какую-либо физически измеряемую величину и,

W
Рис. 9. Эволюция в физическом пространстве материальной точки, движу-
движущейся в прямоугольном ящике с зеркально отражающими стенками. На
верхнем рисунке изображена физическая (х, #)-плоскость, па нижнем — вспо-
вспомогательная (и, у)-плоскость.

40^	1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ
следовательно, не должны приниматься во внимание при вычис-
вычислении равновесной плотности вероятности P(z).
В частности, если для всех интегралов движения, за исклю-
исключением полной энергии, не существует предпочтительных обла-
областей фазового пространства (эргодическая гипотеза), то равно-
равновесное распределение зависит только от полной энергии Е и
имеет вид
P(z) = A6(E-Eo),	F.11)
где Ео— (экспериментально измеримое) значение полной энер-
энергии.
Недавно Я- Г. Синай [7—8] доказал, что эргодическая гипо-
гипотеза, приводящая к соотношению F.11), верна (и, следова-
следовательно, переходит в эргодическую теорему) для систем из твер-
твердых сфер в неподвижном зеркально отражающем ящике. Его
доказательство сложно и длинно и потому выходит за рамки
данной книги; при помощи интуитивных рассуждений мы попы-
попытаемся только показать правдоподобность результатов.
Прежде всего, достаточно ясно, что в физическом простран-
пространстве не будет предпочтительных областей, если хмы исключим
весьма специфические множества начальных данных меры нуль
(это уже верно для нашего простого примера одной точки в пря-
прямоугольном ящике); следовательно, Р будет зависеть не от про-
пространственных координат Хг, а только от N скоростей §;. При
каждом столкновении функция скоростей двух частиц остается
постоянной тогда и только тогда, когда она зависит лишь от
полного импульса {гп$х + тД' = т1§1 + т2^) и полн°й кинетиче-
кинетической энергии G2^i2 + 72^22 = 1/2>и1??+ Чч^Ц) ДВУХ м°лекул.
Поскольку это справедливо для любой пары /, / (i,/ = 1,...
...,УУ), все функции, которые сохраняют постоянное значение
и устойчивы относительно начальных данных, должны быть
N
функциями полного импульса 2 т^} и полной кинетической
N
энергии 7г 2 тШ (фактически все интегралы движения не
должны зависеть от того, какие частицы сталкиваются, а столк-
столкновение между двумя частицами в заданный момент времени
в значительной степени зависит от начальных условий и, сле-
следовательно, не может быть описано точно, если начальные усло-
условия известны приближенно). Однако при столкновениях со стен-
стенками полный импульс не сохраняется, так что Р зависит только
от полной кинетической энергии. При предположении, что ?0
можно измерить точно, отсюда следует соотношение F.11).
Рассуждения такого рода можно распространить и на мо-
молекулы с интенсивными короткодействующими силами оттал-

6. ЭРГОДИЧЕСКАЯ ГИПОТЕЗА И РАВНОВЕСНЫЕ СОСТОЯНИЯ	41
кивания, поскольку потенциальная энергия, соответствующая
этим силам, мала по сравнению с кинетической, за исключением
областей пренебрежимо малого объема (которые заполняются
за очень короткое время). Строгое доказательство пока отсут-
отсутствует, но есть основания ожидать, что теорема Синая можег
быть обобщена и на этот случай. При комбинации сил отталки-
отталкивания и притяжения справедливость эргодической гипотезы
не очевидна, и эта гипотеза, вообще говоря, не верна для систем
с конечным числом степеней свободы (вопрос о том, ведет ли
к эргодичности предельный переход УУ->оо, остается откры-
открытым). Мы будем рассматривать только случай механических си-
систем, моделирующих поведение достаточно разреженных газов,
и примем на веру справедливость эргодической гипотезы.
Для описания равновесного состояния газа воспользуемся
плотностью вероятности F.11). Чтобы подчеркнуть зависимость
от числа частиц, будем писать PN вместо Р (черту можно опу-
опустить без ущерба для понимания) и AN вместо А. Благодаря
предположению о малости потенциальной энергии всюду, за
исключением пренебрежимо малых объемов, имеем
где \i* = rrij/ffi, tn = [Yi mi ImV —
N(&y	F.12)
i	средняя масса и введена энер-
гия, рассчитанная на единицу массы:
с- ** -
\
N — Mm
1
которая является макроскопической величиной и точное значе-
значение которой может считаться известным. Как указано выше,
AN — постоянная, определяемая из условия
dl{ ...dlN\dx{... dxN = l. F.13)
Интеграл по пространственным переменным xj, ..., Xjy дает для
каждого из них множитель V — объем ограничивающего ящика,
а для вычисления интеграла по скоростям в F.13) введем пе-
переменные У/= Vl1/ §/ и запишем
N	/ N	\
anvn П »f'' И П 'Л -2Ne) rfyi • • • а*к=! • F-{4)

42	I. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ
Переходя в ЗУУ-мерном пространстве скоростей от декарто-
декартовых координат, компонент векторов yj, к полярным, имеем
I у) = Р2, dYl ... dyN = рзл^-i dpd^Q,	F.15)
где р — радиальная координата, a d3NQ— элемент поверхности
единичного ЗУУ-мерного шара. Следовательно, уравнение F.14)
принимает вид
ANVN Д ^г3/* ^ 6 (р2 - 2Ne) p3^-1 dp J d™Q = 1. F.16)
Обозначая через cosn поверхность единичного ЗЛ^-мерного шара
(см. формулу B.6) и приложение) и используя одномерное
уравнение B.9) (с z = p2, dz = 2pdp), получаем
А»Ч-(Й *?•)№)*"-**«** = I	F.17)
откуда
й
Эта формула дает решение задачи о вычислении плотности ве-
вероятности в фазовом пространстве для статистически равновес-
равновесного газа. Однако в этой форме она не очень наглядна; преоб-
преобразуем ее, чтобы извлечь полезную информацию. Допустим, мы
выбрали наугад молекулу (не рассматривая других молекул)
и интересуемся плотностью вероятности Р{м гого, что она имеет
скорость между | и i + di и расположена между х и х + dx; это
означает, что надо «просуммировать» PN по всем возможным
положениям и скоростям всех молекул, кроме выбранной. Пусть
выбранная молекула характеризуется величинами хь |ь что
всегда можно сделать за счет маркировки молекул. Затем про-
проинтегрируем по всем координатам и скоростям частиц с индек-
индексами 2, 3, ..., W:
P{n = J PN dli ... dlN J dx2 .. . dxN =
= AnVn~1 \ «I E *$ - 2Ne
F.19)

6. ЭРГОДИЧЕСКАЯ ГИПОТЕЗА И РАВНОВЕСНЫЕ СОСТОЯНИЯ	43
Последний интеграл отличается от предыдущего лишь тем, что
интегрирование проводится не в ЗЛ^-мерном, а в (ЗЛ^ — 3)-мер-
3)-мерном пространстве и вместо 2Ne появляется 2Ne — \ifcf.
Следовательно, вместо F.18) имеем
/N-\
. — м ?2\CW-5)/2 .
(при g? < 2Ne/ii{), F.20)
(при %
где второе соотношение обусловлено тем, что при ^ > 2Ne/\i[
аргумент дельта-функции, входящей в равенство F.19), нигде
не равен нулю, так что интеграл обращается в нуль.
Формула F.20) показывает, что, хотя случайная молекула
с одинаковой вероятностью может находиться в любой точке
пространства, занимаемого газом (Р{м не зависит от Xi), рас-
распределение по скоростям отнюдь не является равномерным.
Если сделать небольшое отверстие в любой точке границы
и выпустить небольшое количество молекул (небольшое по
сравнению с общим числом), измеряя их скорости и строя рас-
распределение молекул по скоростям, то, повторяя испытание до
бесконечности, в пределе получим, что плотность вероятности
обнаружить скорость молекулы в интервале (§i,li+d|i) дей-
действительно зависит от §i и дается формулой F.20).
Фактически здесь нужно действовать несколько аккуратнее,
так как после удаления молекул формулу F.20) применять
нельзя, ибо она относится к газу, содержащему точно N моле-
молекул. Однако удаление небольшого числа молекул не должно
вызывать беспокойства; следует ожидать, что при больших N
небольшое изменение числа молекул не повлияет существенно
на F.20). Математически это означает, что должен существо-
существовать предел при А^->оо; физически — что этот предел можно
использовать в качестве функции распределения. (Второе утвер-
утверждение оправдывается большим числом молекул, которые
обычно рассматриваются, первое — непосредственным вычисле-
вычислением предельной формы F.20).) Подставляя в F.20) выраже-
выражение F.17) для Лдг, получаем
-—) „ f~3. F.2i)

44	I. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ
Далее,
vCA/-5)/2
^^-ш
^ yV->oo L
д;__>0о
и, как показано в приложении,
lim ^Щ^ = (—^\ \	F.23)
Следовательно, полагая
РA)= lim Pft,	F.24)
получаем
F.25)
Рассматривая другую молекулу с массой m2 = j^m, мы по-
получили бы аналогичное распределение с \х2 вместо \х\. Пара-
Параметр е, энергия на единицу массы, входит во все распределения
по скоростям независимо от массы выбранной молекулы; это
означает, что е представляет собой величину, которая прини-
принимает одно и то же значение для каждого из нескольких газов,
находящихся в контакте друг с другом при тепловом равнове-
равновесии. Иначе говоря, е должна быть функцией температуры смеси
и может зависеть от средней массы т, но не от масс отдельных
молекул. Из макроскопического уравнения состояния совершен-
совершенного газа, которое будет рассмотрено ниже (разд. 8 гл. II), сле-
следует, что
e = 3/2RT,	F.26)
где R — газовая постоянная, связанная со средней молекуляр-
молекулярной массой m и универсальной постоянной Больцмана k (k =
= 1,38-Ю-23 Дж/К) соотношением
R = k/tn.	F.27L
(Универсальность k вытекает из того факта, что если привести
в контакт два газа с одинаковой температурой Г, то Т оста-
останется неизменной, в то время как полная энергия Nine будет
суммой энергий этих газов, скажем N\fri\e\ и /V2m2e2, и Nin =
= Nxfni + N2m2, N = /Vi + N2.)

6. ЭРГОДИЧЕСКАЯ ГИПОТЕЗА И РАВНОВЕСНЫЕ СОСТОЯНИЯ	45
Если выражение F.26) подставить в формулу F.25), то по-
последняя сведется к формуле Максвелла для распределения по
скоростям, которая будет подробно обсуждаться в гл. III.
В дополнение к одночастичной функции распределения P(n
^	д
фуц рр
(или ее пределу Р^) стоит сказать несколько слов о двухчас-
двухчастичной функции распределения Р{м\ определяемой как плот-
плотность вероятности того, что скорости двух случайно выбранных
молекул заключены в интервалах |j и §1 + d%\ и %2
и §2 + ^12 соответственно, а координаты — в интервалах xi
и xi + dx\ и х2 и х2 + dx2 соответственно независимо от положе-
положений и скоростей остальных N — 2 молекул. Это означает, что
надо «просуммировать» PN по всем возможным положениям
и скоростям всех молекул, кроме двух выбранных. Тогда
Р®(х„ х2; gp !2) = $/>„<%••• d%Ndx3... dxN
= V-*AN Ц
(при |2 + Щ < 2Ne), F.28)
B)(х,, х2; ?„ |2) = 0	(при !? + !?> 2^е),
где вычисления аналогичны предыдущим. Далее, положив
IV->oo и перейдя к пределам (первый аналогичен F.22), вто-
второй можно найти в приложении)
Пш (.-?
найдем, что
рИ - it,р» -
i, %\)
Таким образом, мы получили замечательный результат:
в газе из очень большого числа молекул в равновесном состоя-
состоянии две случайно выбранные молекулы никак не коррелируют.
Иначе говоря, плотность вероятности одновременного пребы-
пребывания первой молекулы в заданном месте с заданной скоростью
(т. е. в состоянии, которое назовем первым состоянием) и вто-
второй молекулы в другом заданном месте с другой заданной

46	I. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ
скоростью (во втором состоянии) равна просто произведению
плотности вероятности пребывания первой молекулы в первом
состоянии, а второй молекулы в любом состоянии на плотность
вероятности пребывания второй молекулы во втором состоянии,
а первой молекулы в любом состоянии.
Это означает, что факт пребывания молекулы в заданном
состоянии не влияет на вероятность пребывания второй моле-
молекулы в другом заданном состоянии, т. е. что состояния молекул
(в случае равновесного газа из молекул, являющихся твердыми
сферами с пренебрежимо малым общим объемом или матери-
материальными точками с пренебрежимо малой потенциальной энер-
энергией, за исключением областей пренебрежимо малых размеров)
статистически некоррелированны. В качестве элементарного при-
примера статистически некоррелированных случайных событий
можно привести результаты бросания двух игральных костей,
когда мы получаем, что число, выпадающее на одной кости, не
влияет на число, выпадающее на другой кости, и вероятность
реализации заданной комбинации (скажем, 6 на первой кости
и 1 на второй) равна 7зб, т. е. произведению вероятности выпа-
выпадания заданного числа на первой кости и любого числа на вто-
второй (равной 7б) и вероятности выпадания заданного числа на
второй кости и любого числа на первой (также равной 7б).
(Заметим, что в этом примере мы различаем кости — как если
бы, например, одна была синей, а другая красной — и, следова-
следовательно, события «один и шесть» и «шесть и один» считаем раз-
разными.)
Эти результаты относятся к функциям распределения дина-
динамической системы, которая, по предположению, представляет
собой одноатомный совершенный газ в равновесном состоянии.
Слово «одноатомный» означает, что молекулы не имеют
внутренних степеней свободы. Состояние каждой молекулы пол-
полностью описывается тремя пространственными координатами
и тремя компонентами скорости (как в случае материальных
точек и гладких твердых сфер). Слово «совершенный» (или
«идеальный», хотя последний термин часто употребляется
в смысле «невязкий») означает, что потенциальная энергия
межмолекулярных сил пренебрежимо мала, если не рассматри-
рассматривать частицы, расстояние между которыми меньше некоторой ве-
величины а («диаметра молекул»), обычно пренебрежимо малой
по сравнению с любым другим интересующим нас линейным
размером и такой, что суммарный объем областей со значитель-
значительной потенциальной энергией (имеющий порядок No3) пренебре-
пренебрежимо мал по сравнению с общим объемом газа V.
Эти два обстоятельства (пренебрежимо малая потенциаль-
потенциальная энергия вне некоторых областей и пренебрежимо малые
размеры таких областей) не означают пренебрежимо малых

ПРИЛОЖЕНИЕ	47
взаимодействий; скорее они означают, что (на нашем уровне
описания) единственно существенными эффектами интенсивных
сил отталкивания, которые возникают между молекулами, на-
находящимися одна от другой на расстоянии порядка а, являются
отклонение этих молекул от их прямолинейных путей и измене-
изменение их скоростей (которые вовсе не являются пренебрежимо
малыми). Данные обстоятельства отражаются в том, что ра-
равенство F.12) справедливо только в областях, где потенциаль-
потенциальная энергия является пренебрежимо малой, в то время как
в формулах F.13), F.19) и F.28) интегрирование ведется по
всему объему V. Это означает, что полученные результаты верны
в предельном случае, когда а->0 и /V—>оо таким образом, что
Noz/V-+0 (совершенный газ).
Приложение
В настоящем приложении мы вычислим площадь поверхно-
поверхности и объем шара в «-мерном пространстве, а также некоторые
пределы, связанные с этими величинами.
Пусть
] \	l 2	()
— уравнение сферической поверхности в «-мерном простран-
пространстве. Радиус сферы равен R, а центр ее расположен в начале
координат. Объем соответствующего шара представляет собой
объем области внутри поверхности, заданной уравнением (П. 1):
xn(R)= \ \ • • • \ dzxdz2 ... dzn =
dyx dy2... dyn, (П.2)
где второе выражение получается путем замены переменных
zk = Ryk (k = 1, ..., п). Поэтому, как и следовало ожидать,
xn(R) = xnRnt	(П.З)
где хп = тпA)— объем единичного шара. Площадь поверхности
шара лучше всего определить, исходя из данного Минковским
общего определения, согласно которому она является пределом
отношения разности объемов двух смежных шаров к расстоя-
расстоянию б между их поверхностями при б->0. Отсюда
/d\ и™ %п (/? + 6) — %п (R) d%n „^ пп-\ /Гт Лч

48	I. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ
В частности, если (оп — площадь поверхности единичного
шара, то
©я = птл;	(П.б)
этот результат упоминался в разд. 2.
Для того чтобы вычислить %п и, следовательно, соп (при по-
помощи (ГТ.5)), введем в плоскости (уп-иУп) полярные коорди-
координаты
У/1-1 = P cos ф, уп = psiny.	(П.6)
Поскольку dyn-.idyn = pdpdy, имеем
%п =	55 ' '' 5 5 \ dyi dlj2 '' ' d
5 ' " 5 dyidfo--- dyn-2	\	9
У^ + ...+^_2<1	(П.7)
Если ввести сферические координаты в (п — 2)-мерном про-
пространстве (#j, ..., Уп_2)> т- е- положить р2 = у\-\- ... -\-У2п_2>
dn~2Q — элемент поверхности единичного шара, dyx ... dyn~2 =
= р^~3 dpdn~2Q, то получится
и, в силу (П.5),
Таким образом, мы получили простую рекуррентную формулу
для ©л. Применяя ее, имеем для четных я
Т	Т ~2 ' Т
2п
2*= ,. ч.. (П.10)

ПРИЛОЖЕНИЕ	49
а для нечетных п
Т	~~2	[
A-0(т-0-4
-y-j- (ПЛ1>
Формула B.7) основного текста следует из этих результатов.
Вычислим теперь
Допустим, что этот предел существует (это можно легко
показать при более подробном анализе). Если это так, то
«oB(n-2) = ,.т щА^ Ит шга-1 V^^Г lim n-2
\ln(n — 1)
2 = a2. (П. 13)
В силу соотношения (П.9), левая часть этого равенства просто
равна 2я, откуда
а = л/2^.	(П. 14)
В качестве простого следствия вычислим предел, который встре-
встречается в разд. 6, а именно
lim
v -> оо N!'
^У-1	/3(ЗуУ-1)(ЗЛ(~2)]
При этом три раза используется формула (П.12): для п = 3Af— 2,
л = ЗЛ/' — 1 и « = 3jV. Аналогично
2к
3
	_
3iV-2 ЗЛ/-4 ЗЛ^-6
m C# - 2) (ЗЛГ - 4) (ЗЛГ - 6) ._ / 3 \3.
!	)
._ / 3 \3.
~ V 2л ) '
здесь три раза используется формула (П.9): для n = 3Af, ЗА/' — 2
Ч ЗЛГ-4.

50	I. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ
Более компактный вывод этих результатов можно осуще-
осуществить при помощи гамма-функций, использования которых мы
избежали.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
[1] Гельфанд И. М., Шилов Г. Е., Обобщенные функции и действия над
ними, изд. 2, М., Физматгиз, 1959.
[2] Lighthill J. M., Fourier analysis and generalized functions, Cambridge,
Univ. Press, 1958.
[3] Schwartz L, Theorie des distributions, Paris, Hermann, Part I, 1957;
Part II, 1959.
[4] Cercignani C, Mathematical methods in kinetic theory, New York, Ple-
Plenum Press, 1969; русский перевод: Черчиньяни К., Математические ме-
методы в кинетической теории газов, М., «Мир», 1973.
[5] Borel E., Introduction geometrique a quelques theories physiques, Paris,
Gauthier-Villars, 1914.
[9*
Borel E., Mecanique statistique classique, Paris, Gauthier-Villars, 1925.
Синай Я. Г., УМН, 25, 141 A970).
Синай Я. Г., Вестник МГУ, матем. серия, № 5 A962).
Хинчин А. Я., Математические основания статистической механики,
М. —Л., ГИТТЛ, 1943.
[10*] Крылов Н. С, Работы по обоснованию статистической физики, М. — Л.,
изд-во АН СССР, 1950.
[11*] Цянь Сюэ-сень, Физическая механика, М., «Мир», 1965.
[12*] Уленбек Дж., Форд Дж., Лекции по статистической механике, М.,
«Мир», 1965.
[13*] Гуров К. П., Основания кинетической теории, М., «Наука», 1966.
[14*] Валландер С. В., Вероятностная трактовка вопросов кинетики разре-
разреженных газов, в кн. «Аэродинамика разреженных газов», вып. 3, Л.,
изд-во ЛГУ, 5—21, 1967.
[15*] Мирошин Р. Н., Уточненный анализ функций распределения и кинети-
кинетических уравнений разреженного газа, в кн. «Аэродинамика разрежен-
разреженных газов», вып. 3, Л., изд-во ЛГУ, 22—42, 1967.

II
Уравнение Больцмана
1. Проблема неравновесных состояний
В предыдущей главе мы видели, что задачу описания со-
состояния теплового равновесия одноатомного идеального газа
можно решить точно. В частности, для одно-частичной функции
распределения Р^ была получена очень простая формула в виде
максвелловского распределения. Этот результат находит раз-
разнообразные применения при статистическом описании вещества
в газообразном состоянии.
Ясно, однако, что состояние теплового равновесия представ-
представляет собой весьма специальный случай, ибо на практике нам
обычно приходится иметь дело с неравновесной газовой средой,
которой может быть, например, газ, окружающий летящее в ат-
атмосфере тело или движущийся в трубе. Условия в такой среде
существенно отличаются от условий, соответствующих содер-
содержащемуся в сосуде газу, в котором поддерживаются равномер-
равномерные температура и давление. Можно ли подходить к этим более
общим задачам неравновесных газов, опираясь на те же пред-
предпосылки, что и в разд. 6 гл. I?
Ответ может быть отрицательным или положительным в за-
зависимости от точного смысла вопроса. Разумеется, безнадежно
пытаться, например, определить простыми средствами функцию
распределения Р^ для газа в общем неравновесном состоянии,
но кое-что все же можно сделать: можно вывести уравнение,
которому удовлетворяет функция /W при тех же предположе-
предположениях, что и в разд. 6 гл. I, за исключением, конечно, условия
статистического равновесия. Это уравнение называется уравне-
уравнением Больцмана. Затем можно пытаться решать уравнение
Больцмана чисто математическими средствами при помощи бо-
более или менее стандартных методов, приближенных или
точных.
С самого начала нужно сказать, что решить уравнение
Больцмана весьма трудно даже для очень простых неравновес-
неравновесных состояний. Об этом еще много придется говорить в дальней-
дальнейшем, поскольку методы решения уравнения Больцмана будут
подробно рассматриваться в следующих главах.

52	И. УРАВНЕНИЕ БОЛЫДМАНА
Ради чего выводится и решается уравнение Больцмана?
Можно различать два основных типа приложений. Первый свя-
связан с установлением^аконом^щюстей макроскопического пиве^.
дения газовой среды ja осно]вемикроскопическои модели^когда
средняя длина свободного~~про5ега (определенная в конце
разд. 4 предыдущей главы) много меньше других характерных
длин. Эти приложения являются, следовательно, частным слу-
случаем общей проблемы статистической механики — установить
связь между дхшцюй структурой вещества и его_континуальным
поведением на макроскопическом уровне. Ч^^пичнышР^^у^ь7
татами таких исследований являются объяснение макроскопи-
макроскопического поведения газов и вычисление коэффициентов вязкости
и теплопроводности на основе постулируемых законов взалма:
действия пагш_^шлекул [1—3]. Помимо самостоятельного значе-
значения, эти исследования интересны еще и потому, что они дают
представление о том, что надо было бы сделать для других
агрегатных состояний вещества (жидкостей, твердых тел, мно-
многофазных систем).
Приложения второго рода связаны не с построением макро-
макроскопической теории в обычном смысле, а скорее с изучением
поведения газа в тех случаях, когда средняя длина свободного
пробега уже не является пренебрежимо малой по сравнению
с характерным размером геометрии потока. В таких случаях,
очевидно, нельзя ожидать, что «макроскопическое поведение»
можно легко описать с помощью таких величин, как плотность,
массовая скорость, температура, давление и т. д., хотя все эти
понятия сохраняют смысл и конечные результаты выражаются
в виде измеряемых и практически важных величин, таких, как
лобовое сопротивление движущихся в разреженной атмосфере
объектов. При этом оказывается полезной одночастичная функ-
функция распределения и уравнение Больцмана приобретает особое
значение как уравнение, охватывающее весь диапазон разреже-
разрежений и соответствующее этому диапазону поведение, начиная от
жидкостноподобного режима умеренно плотного газа и кончая
свободномолекулярным режимом, при котором молекулярными
столкновениями практически можно пренебречь.
Наша первая цель состоит в том, чтобы вывести уравнение
Больцмана для системы твердых сфер, не находящихся в ста-
статистическом равновесии. Это означает, что мы возвращаемся
к началу разд. 6 предыдущей главы, где доказано, что среднее
по времени Р от плотности вероятности в фазовом простран-
пространстве Р удовлетворяет уравнению Лиувилля. Временной интер-
интервал т не будет строго определенным, но должен быть соизмерим
со временем, которое требуется молекуле для прохождения рас-
расстояния порядка ее собственного диаметра (или — для мате-
материальных точек, взаимодействующих на расстоянии, — радиуса

1. ПРОБЛЕМА НЕРАВНОВЕСНЫХ СОСТОЯНИЙ	33
действия сил). Это усреднение по времени не вносит ничего
существенно нового, и в дальнейшем мы будем писать Р
вместо Р.
На первый взгляд кажется невозможным описать приближе-
приближение к равновесию, потому что объем в фазовом пространстве
будет сохраняться даже после усреднения по времени, и, следо-
следовательно, равномерное распределение на энергетической по-
поверхности при t—> оо не может быть достигнуто. Мы обошли
эту трудность в разд. 6, принимая временной интервал, по ко-
которому проводится усреднение, равным бесконечности. Таким
образом, равновесие характеризуется такими равномерными
распределениями, которые не относятся к данному моменту или
к короткому временному интервалу, а проявляются в среднем
поведении в течение предельно большого интервала времени.
Если мы хотим описать приближение к равновесию или, что
более общо, описать неравновесные состояния, то нельзя пере-
переходить к пределу т—* оо (напротив, т должно быть очень ма-
малым); следовательно, в наше описание надо ввести некоторые
новые характеристики.
Прежде всего важно отметить, что газ состоит из большого
числа одинаковых молекул (или — в случае смеси — из не-
нескольких множеств молекул, каждое из которых состоит из
большого числа одинаковых молекул), а в макроскопических
экспериментах мы не в состоянии различать одинаковые моле-
молекулы (давление на стенку, например, не зависит от номеров,
которые мы придадим молекулам, соударяющимся со стенкой).
Следовательно, макроскопически измеряемые средние будуг
иметь вид
х2, ..., х^; Ьи g2, |3, ..., УХ
, х2, ..., Хдг; §ь g2, ..., lN;
где можно считать, что ф(хьх2, ..., xN; |ь |2, ..., In) не ме-
меняется при произвольной перестановке двух молекул (например,
Xi -*x2, х2->хь ?i->-§2, l2-*-li) по крайней мере для простых га-
газов (случай смеси требует очевидных модификаций).
Тогда интеграл в формуле A.1) можно записать следующим
образом:
N
XS[P (хь х2, .. ., х„; |ь |2> ..., lN; t)] Д dx, dlh A.2)

54	II. УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА
где S[P] — функция, получающаяся из Р полной симметриза-
симметризацией по всем N молекулам, т. е. сумма N1 плотностей Р, аргу-
аргументы которых соответствуют N1 перестановкам N молекул, де-
деленная на N\.
Это означает, что для вычисления измеряемых величин Р
можно заменить на S[P]. Очевидно, что было бы удобно с са-
самого начала, если это возможно, работать с S[P]. Очень просто
модифицировать наше описание таким образом, чтобы можно
было заменить Р на S[P]. В самом деле,, достаточно заметить,
что S[P] удовлетворяет уравнению Лиувилля, потому что по-
последнее симметрично по отношению к одинаковым молекулам
(одинаковость подразумевает, конечно, одинаковые законы взаи-
взаимодействия между молекулами). Следовательно, единственное
изменение, которое потребуется для того, чтобы использовать
S[P] вместо Р, будет опять-таки относиться к начальным дан-
данным, причем начальное значение для S[P] является, очевидно,
симметризованным выражением S[P0] начального значения Ро
для Р.
В соответствии со сказанным в дальнейшем будем пользо-
пользоваться функцией 5[Р], обозначая ее через PN для того, чтобы
подчеркнуть число молекул. Единственное отличие от использо-
использовавшейся ранее плотности вероятности состоит в том, что PN
всегда предполагается симметричной по аргументам, относя-
относящимся к одинаковым молекулам. Это условие влечет за собой
дальнейшее рассеяние элементов объема в фазовом простран-
пространстве, но еще не объясняет, почему возможно приближение
к равновесию.
Мы можем, однако, воспользоваться двумя обстоятель-
обстоятельствами: во-первых, N можно устремить к бесконечности, как
было сделано в случае равновесия, и, во-вторых, достаточно
вычислить только 5-частичные функции распределения
i=s+l
с s<W (обычно 5 = 1, 2, как в разд. 6 гл. I). Второе обстоя-
обстоятельство связано с тем фактом, что интересующие нас сред-
средние ф относятся к функциям, представляющим собой симмет-
симметричные суммы членов, каждый из которых содержит коорди-
координаты и скорости одной или двух молекул. При N -> оо объем
в фазовом пространстве теряет смысл (заметим, что, когда
/г—юо, объем куба со стороной а, ап, стремится к 0, 1, оо при
а< 1, а= 1, а>\ соответственно; это противоречит возмож-
возможности произвольного выбора единицы длины!). В частности,
«сохранение объема» в бесконечномерном фазовом простран-

1. ПРОБЛЕМА НЕРАВНОВЕСНЫХ СОСТОЯНИЙ	55
стве не препятствует заполнению подпространства произволь-
произвольной (конечной) размерности.
Следовательно, предельный переход при N—> оо дает нам
возможность описать приближение к равновесию. Однако, если
мы рассмотрим конечный объем V и допустим, что число моле-
молекул N —>оо, то, если не потребовать одновременно а—>О, соб-
собственный объем молекул (~jVg3) будет стремиться к бесконеч-
бесконечности, что абсурдно (No3 < V). Поэтому статистическая меха-
механика по существу имеет дело с предельным переходом
Af->oo, g->0. Правда, возможны и другие варианты. Напри-
Например, можно рассматривать газ, для которого в пределе
Л/а3->6>0, или газ, для которого 7Vg3-»O; поскольку No*
с точностью до тривиальных численных множителей совпадает
с собственным объемом молекул, No3-*0 означает, что моле-
молекулы занимают пренебрежимо малую часть доступного объема.
В этом случае мы говорим, что газ совершенный (идеаль-
(идеальный).
В случае идеального газа в свою очередь существуют две
возможности: либо No2 остается конечным, либо No2—>0. В пер-
первом случае средняя длина свободного пробега I (/~ V/(nNa2),
согласно A.4.17)) конечна, т. е. столкновения нужно учитывать
(больцмановский газ); во втором случае средняя длина свобод-
свободного пробега бесконечна, что позволяет пренебрегать столкнове-
столкновениями (кнудсеновский газ). Более интересен, разумеется, слу-
случай конечной длины свободного пробега (кнудсеновский газ
может быть получен как предел больцмановского газа при
/->оо). Для того чтобы дать представление о действительных
порядках величин, заметим, что в обычных условиях, если
1/~ 1 см3, то число частиц N~ 1020, в то время как о— 10~8 см;
отсюда yVa3~10-4 см3, Ма2^104 см2 (для более низких плот-
плотностей обе величины, No3 и No2, уменьшаются и если /~1 см,
то No2^± 1 см2, No3— 10~8 см3 в объеме V~ 1 см3).
Для согласованности массу молекулы т следует считать
стремящейся к нулю, в то время как полная масса газа остается
конечной:
m->0, Ntn->M <oo.	A.4)
Как мы увидим впоследствии, в этом пределе уравнение
Лиувилля формально эквивалентно системе бесконечного числа
уравнений, в которых неизвестными являются s-частичные функ-
функции распределения (l^ss^oo, так как N-^oo). Будет пока-
показано также, что эта система в свою очередь обладает частным
решением, для которого s-частичная функция распределения
представляется произведением s множителей, каждый из кото-
которых равен одночастичной функции распределения, удовлетво-
удовлетворяющей уравнению Больцмана.

56	И. УРАВНЕНИЕ БОЛЫДМАНА
2. Уравнения для многочастичных функций
распределения в газе из твердых сфер
В этом разделе мы выведем уравнения, которым удовлетво-
удовлетворяют s-частичные функции распределения (s=l,...,N) для
газа из N твердых сфер, находящихся в области R объема V.
Для плотности вероятности PN = PN{Xi, I:, 0 имеем
PN=~-0	(iX.-XyKcr, 1ф]\	B.1)
так как сферы не могут проникать одна в другую; соответственно
этому PN в общем случае будет разрывной в тех точках фазо-
фазового пространства, где |хг- — Xj| = o, причем предел с одной
стороны равен нулю, а с другой (|хг- — Xj|>a), вообще говоря,
отличен от нуля. Поэтому, рассматривая PN при некоторых
|х2- — хj | = а, мы всегда будем подразумевать «внешний» пре-
предел, т. е. переход из области |х2- — Xj|>a. В этой области со-
состояние молекул соответствует движению по инерции; следова-
следовательно, уравнение Лиувилля A.3.8) сводится к уравнению
dpN " dpN
	n__ i \ ? .	E_ __ q (I x •	x • I > cr i Ф j) B 2)
где, согласно сказанному в разд. 1, PN симметрична по отноше-
отношению к перестановке N молекул.
Проинтегрируем уравнение B.2) в области его определения
по координатам и скоростям N — s частиц. Без потери общности
можно проинтегрировать по частицам с номерами от s + 1 до N.
Если ввести s-частичные функции распределения Pffl, опреде-
определенные формулами A.3), то B.2) дает
/ = 5+1	^ /=S+I
где интегрирование по ^ (/ = s + l, ..., N) распространяется
на все пространство, а интегрирование по хг (/ = s+l, ...
..., N) — на область R, за исключением множеств |х^ — хг| < a
(i = 1, ..., N, 1ф1). Для удобства члены с индексами
1 ^ i ^ s отделены от членов с индексами s + 1 ^ i ^ N.
Типичный член первой суммы в уравнении B.3) содержит
интеграл от производной по переменной хг-, по которой не про-
производится интегрирование, однако изменить порядок интегри-
интегрирования и дифференцирования нельзя, так как область имеет

2. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ МНОГОЧАСТИЧНЫХ ФУНКЦИЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 57
границы (|хг- — х/| = а), зависящие от х*. Для того чтобы полу-
получить правильный результат, следует добавить граничный член
s 1г - Sr \ Р» П dX; d|' - Z S p' • ntidoutii П
/ S+1
B.4)
где пи — внешняя нормаль к сфере |х^ — Xj\ — о (с центром
в точке Xj), doij — эле^мент поверхности той же сферы, а Р\у+1)
является (s + 1)-частичной функцией распределения с аргумен-
аргументами {xhAk) {k = 1,2, ...,s,/).
Типичный член второй суммы в уравнении B.3) можно сразу
же проинтегрировать (при помощи теоремы Гаусса), так как
здесь подынтегральная функция включает производную по од-
одной из переменных интегрирования. Получаем
t=s+\
Vl%-nt!dau<*,+ t \lT*Sr*
j-1	k=s+l
jl \ p(s+i)s .n dA.dt. B 5)
i ft о j	j	j о у >	\ • и /
где dAj — элемент поверхности границы области R в трехмер-
трехмерном подпространстве, связанном с Xj, a rij — единичный вектор,
перпендикулярный к такому элементу поверхности и направлен-
направленный внутрь газа. Последний член в равенстве B.5) представ-
представляет вклад от твердой границы области /?; если молекулы
отражаются от нее зеркально, то рассматриваемый член, оче-
очевидно, равен нулю, потому что при зеркальном отражении
Ij-rij меняет знак. Этот граничный член, однако, равен нулю
и при более общих предположениях; достаточно предположить,
что результат взаимодействия твердой сферы со стенкой не за-
зависит от эволюции состояния других сфер и что частицы не
захватываются жесткими стенками. Мы обсудим этот вопрос
в конце данного раздела, а пока опустим граничный член.

58		П. УРАВНЕНИЕ БОЛЫДМАНА		_^
Подставляя выражения B.4) и B.5) в уравнение	B.3), на-
находим
1 дх. 2-j Li )^n yu nijaGija$j
dt
i-1
N
? \pi+2^^dydldxdl; B.6)
здесь Vt-j = §;—|j — скорость i-й частицы относительно /-й
и принято во внимание, что во второй сумме вследствие анти-
антисимметрии t\ij по отношению к индексам можно заменить
ij-iifj на V2V2-j«n2-j. Переменными интегрирования в уравнении
B.6) являются Xj и Ijj следовательно, суммы по / составлены из
одинаковых слагаемых, так же как и сумма по k во втором
интеграле. Подчеркивая, что индекс / немой, будем писать х#, |*
вместо Xj, §_,-; кроме того, будем писать х0, 1о вместо х/ь |^,
а также просто Уг-, п^, doi вместо Vij, nz-j, da^j и Vo, n,o, doo
вместо Vkjj ntijj dokj. Тогда получим
i-l	x	i=l
где Pn+]) зависит от аргументов (хь |ь ..., xs, |s, x#, |„ /),
а Р^+2)--от аргументов (хь |ь ..., xs, |s, х#, |„ х0, go, О-
Отметим теперь, что кратные столкновения (т. е. одновре-
одновременные соприкосновения более чем двух сфер) не вносят вклада
в эти интегралы (по крайней мере, если Pyv+I), P{n+2) — обычные
интегрируемые функции). Действительно, интегралы по dou
doo берутся по поверхности
|х„-х?-| = (т (/ = 0,1, ...,s, s<A0	B.8)
с центром в хг-, но не по всей поверхности, потому что следует
вырезать те части, которые находятся внутри других подобных
поверхностей:
|х,-Х/| = G (/ = 1, ..., N, }Ф().	B.9)
(Это обусловлено тем фактом, что внутри таких поверхностей
PN = 0.) Кратные столкновения соответствуют границе области
интегрирования, и, следовательно, одномерному подмножеству,
так что их вклад в интегралы равен нулю, если не появляются
сингулярности, которые мы исключаем, используя сглажен-
сглаженные Pjv.

2. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ МНОГОЧАСТИЧНЫХ ФУНКЦИЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 59
Теперь важно разбить каждый из интегралов в B.7) на ана-
аналогичные интегралы, распространенные по подмножествам
Угпг<0 и Vi-t\i>0 (i = О, 1,..., s) соответственно. Первое
подмножество соответствует молекулам, вступающим в столк-
столкновение, в то время как второе соответствует молекулам, кото-
которые только что испытали столкновение (следует помнить, что
Р^+1) — предельное значение со стороны, внешней к сфере
х* — хг =а с центром в х*, так что значение Р(я+1) для
Xi — х* = а и Vrn2->0 соответствует пределу из состояния
непосредственно после столкновения, поскольку п^ = (хг-—х*)/а).
Согласно сказанному, уравнение B.7) принимает вид
дх.
(#_s)(#_s_ 1) ГГ(+) ( . ...	.	?
_ j	L^	L V Р^+2) Vo • n0 daQ dfe dL dx0 —
- \M П+2) I Vo • no I d% dk d% dxa] (s=l,..., N),	B.10)
где верхние индексы (+) и (—) у интегралов относятся
кУг--Пг^0 (/ = 0, 1,..., s) соответственно.
Приведенные уравнения еще не полны, потому что мы пока
не использовали законов упругого соударения A.4.3) или
A.4.11).
Согласно этим законам, скорости после столкновения |г и |*
связаны со скоростями перед столкновением Ц и |? соотноше-
соотношениями
ИЛИ
«-!,-.,<¦,-V,).
где Пг = (хг- — х#)/а — единичный вектор, направленный вдоль
прямой, соединяющей центры двух сфер, и совпадающий с внеш-
внешней нормалью к сфере |х* — х*| = а с центром в х* и перемен-
переменной Xi или с внутренней нормалью к сфере |х# — xt\ = а с цент-
центром в Хг и переменной х*. Относительные скорости до столкно-

60	И. УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА
вения и после него V* и V* связаны между собой соотноше-
соотношением A.4.12):
v< = v;--2n,(ivv;).	B.13)
Таким образом, любая молекула, вступающая в столкнове-
столкновение со скоростью |^ в х., оказывается в то же самое время
(или после исчезающе малого промежутка времени) в после-
столкновительном состоянии со скоростью !;, связанной с
и п. = (х. — х#)/а соотношением B.11); поэтому
+ n(. (n. • v;)f /) (/ = 0,1, .... s, l<s<JV-1).- B.14)
Рассмотрим сначала член в B.10), содержащий Р$+2>, и по-
покажем, что он равен нулю, т. е. что
Действительно, заменяя переменные 1^ и |^ на ^ и ?^, за-
заданные соотношениями B.12) (с i = 0), и учитывая B.14)
(с / = 0 и с s + 1 вместо s), левую часть равенства B.15)
можно записать в виде
Л. ч. = \ W P(J+2)' | VJ • п01 rf(T0 < ^ dxoy	B.16)
где аргументы Pjv+2) те же, что и у Pn+2\ только |% и |0 за-
заменены на ^ и |J; при этом учтено, что якобиан преобразова-
преобразования от |%, 1о к S^, go по модулю равен 1 (см. разд. 4 гл. I).
Интеграл берется по полусфере Vq • п0 < 0, так как равен-
равенство B.13) (с / = 0) означает, что
V0.n0 = -V;.n0.	B.17)
Теперь в B.16) можно опустить штрихи, так как go и ^ •—
переменные интегрирования; в результате получаем
^п.^ст^Хо^о^^П.ч., B.18)
и равенство B.15) доказано.
Подобное рассуждение нельзя применить к интегралам, со-
содержащим Р(^+/> . Однако можно использовать соотношение
B.14).для того, чтобы выразить оба интеграла через функцию
распределения перед столкновением или, наоборот, через функ-

2. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ МНОГОЧАСТИЧНЫХ ФУНКЦИЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 61
цию распределения после столкновения. Действительно, соот-
соотношение B.14) полностью обратимо и может применяться для
выражения либо функции распределения молекул, которые
только что испытали столкновение, через функцию распределе-
распределения молекул перед столкновением, либо этой последней через
первую. Очевидно, первый путь должен использоваться, если мы
хотим предсказать будущее по прошлому, а не наоборот. Ясно,
однако, что в этом месте мы связываем себя с определенным
направлением времени, так сказать, вводим разницу между про-
прошлым и будущим, как увидим подробнее в дальнейшем.
В соответствии со сказанным получим из соотношения
B.14) равенство
v* • ni I dat dk = P ^+I)/IV n* I d°id^ B-19)
где Plv+1) —значение, которое принимает P/J+1), когда аргу-
аргументы \i и §* заменены на ?? и ^, заданные формулами B.12).
С учетом соотношений B.19) и B.15) уравнение B.10) прини-
принимает вид
(S=l,..., АО; B.20)
здесь мы заменили doi его выражением o2dt\i через радиус а
сферы B.8) и элемент телесного угла йпг. Мы можем даже от-
отказаться от индекса i у пь если аргумент х* в t-м интеграле
заменить на
х# = х/ —па.	B.21)
Наконец, два интеграла по Уг--п<0 и VVn>>0 можно
преобразовать в один, заменив, например, п на —п во втором
интеграле. В результате имеем
= (N - s) a2 J] J [/>($+•>' - P(j+»] | V, • п | dn ¦ dlt B.22)
(s=l, ..., N),
где интегрирование проводится по полусфере Vrn;>0, а аргу-
аргументы у Pyv + I) те же, что у P/v + '\ за исключением | , I,, ко-
которые заменены на |^, |^, заданные формулами B.12), и х^ — па,
который заменен на х* + па.

62	Н. УРАВНЕНИЕ БОЛЫДМАНА
Подчеркнем то обстоятельство, что уравнение B.22) полу-
получено только при условии симметричной зависимости Р$ от
молекул и достаточной регулярности Р$ (последняя необхо-
необходима для того, чтобы можно было пренебрегать вкладом линии
в интеграл по поверхности, т. е. пренебрегать тройными столк-
столкновениями). Кроме того, в уравнении B.5) мы пренебрегли ин-
интегралом по поверхности.
Чтобы оправдать это отбрасывание интеграла по поверхно-
поверхности, следует обсудить граничные условия, которым удовлетво-
удовлетворяет PN, когда Хг принадлежит границе OR области R, в кото-
которую заключен газ. Этот вопрос будет детально рассматриваться
в следующей главе. Здесь же мы предположим, что молекула,
падающая на твердую границу OR в некоторой точке х со ско-
скоростью §', вылетает практически в той же точке с некоторой
другой скоростью |, причем длительность взаимодействия моле-
молекулы со стенкой пренебрежимо мала.
Характер этого взаимодействия определяет плотность ве-
вероятности /?(§'—>Six, t) перехода от скорости §' к скорости |
в точке х в момент времени t\ будем предполагать, что эта
вероятность не зависит от состояния других молекул и что мо-
молекулы не захватываются твердыми стенками.
Вероятность того, что /-я молекула вылетает из элемента
поверхности dAj около точки Xj в течение интервала времени dt
со скоростью между |j и §j + d%, в то время как 1-я молекула
(I ф j) находится в элементе объема dx\ и имеет скорость
между I.- и & + d\u составляет
N
d*& = PN\lrnj\dt dAj dli П dxt d\u	B.23)
где tij — единичный вектор нормали в xj, направленный в сто-
сторону газа. В самом деле, это вероятность того, что /-я молекула
находится внутри цилиндра, заполненного частицами, покидаю-
покидающими dAj в течение интервала времени dt (см. рис. 10) со ско-
скоростью между |j и Ij + dlj, в то время как 1-я молекула (/ ф /)
находится в элементе объема dxL со скоростью между |/ и
%i 4- d\u и эти две вероятности, очевидно, одинаковы.
Аналогично, вероятность того, что та же самая молекула
ударит в тот же элемент поверхности со скоростью между
Ц и Ц + йЦ в течение dt, в то время как 1-я (I ф /) молекула
находится в dxi со скоростью между |/ и |z + d\u составляет
= PfN | % • ny | dt dAJ dtj П dlt • dxh	B.24)

2. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ МНОГОЧАСТИЧНЫХ ФУНКЦИЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 63
Рис. 10. Схема расчета числа молекул со скоростью ?ь соударяющихся
с элементом поверхности dAi с единичной нормалью щ за время dt.
где аргументы P'N те же, что и у PN, за исключением того, что
Ц заменяет gj. Если умножить d*2Pr на вероятность изменения
скорости при рассеянии на стенке от Ц до скорости между
lj и §j + d|j, т. е. на /?(gy-*gy; х., /) dgy, и «просуммировать»,
т. е. проинтегрировать по всем возможным значениям gy, то мы
должны получить d*{P;
R (gj -> gy; X/, f) d*^J/ (gy • ny > 0), B.25)
i.-n <o
или, используя выражения B.23) и B.24) и сокращая на об-
общий множитель dlj(]Jidl.idxi) dAjdt:
|gy • Пу |Рдг (ХЬ gb ..., X/, gy, ..., XNi %N, 0 =
• X
n;. | d%
n,
0). B.26)

64	П. УРАВНЕНИЕ БОЛЫЦМАНА
Это граничное условие, которому удовлетворяет PN на твер-
твердых границах в предположении мгновенного взаимодействия.
В частности, если стенка отражает молекулы зеркально, то
имеем
R (Г -* I; х, 0 = б (Г - g + 2n (п • D).	B.27)
В общем случае /? должна удовлетворять некоторым ограни-
ограничениям, которые будут обсуждаться в следующей главе. Един-
Единственное ограничение, которое мы здесь рассмотрим, связано
с предположением, что молекулы не захватываются стенками.
Это означает, что любая молекула, падающая на стенку, в конце
концов вылетает с некоторой скоростью 6, и, следовательно,
«сумма» элементарных вероятностей /?(§'—>§)d| по всем воз-
возможным значениям § должна быть равна единице:
\ R(?-> 6; х, /) dl= 1 (х е= dR, Г • п < 0). B.28)
?-п>0
Равенство B.26) после интегрирования по §j с учетом B.28)
дает
ij-njX)	t'-n <0	ij-tijKO
(x}z=dR), (-2.29)
где третье выражение получается заменой |' на |у. Соотноше-
Соотношение B.29) можно переписать в виде
B.30)
где |j пробегает оба полупространства Ij-n^ ^ 0.
Наконец, интегрируя равенство B.30) по dAj и координатам
и скоростям N — s—l молекул (отличных от /-й), получаем
J 6,^^55+^6,^ = 0,	B.31)
т. е. последний член в уравнении B.5) действительно равен
нулю при наших предположениях.
3. Уравнение Больцмана для газа
из твердых сфер
Предыдущий раздел был посвящен выводу уравнений B.22)
для Р$ (s= 1, . . ., N). В частности, при 5 = 1 имеем
C.1)

3. УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА ДЛЯ ГАЗА ИЗ ТВЕРДЫХ СФЕР	65
Это уравнение показывает, что эволюция во времени одно-
частичной функции распределения P{n зависит от двухчастич-
двухчастичной функции распределения Р$. Чтобы получить уравнение для
Р{м в замкнутой форме, необходимо выразить Р$ через Р$)
простой интуитивный путь к этому состоит в том, что нужно
предположить отсутствие корреляции и записать
Р<*>(х„ |„ х„ $., t) = Ptf(x[, |„ t)P$(xt, $,, /). C.2)
Это соотношение было получено в случае теплового равно-
равновесия для N-+oo. Если принять его и в неравновесном случае
и подставить C.2) в C.1), то получится уравнение, содержащее
только Р{м- Это, в сущности, гипотеза молекулярного хаоса
(Stosszahlansatz), использованная Больцманом [4—7, 1] при
выводе уравнения для Р# > которое соответственно называется
уравнением Больцмана.
Однако мы не имеем права постулировать C.2), потому что
Р{м определяется из другого уравнения (B.22) с 5 = 2), содер-
содержащего P{n\ а последнее в свою очередь из уравнения B.22)
с s = 3, содержащего Р$у и т. д. Поэтому минимальное требо-
требование должно состоять в том, чтобы показать непротиворечи-
непротиворечивость соотношения C.2) с уравнением, описывающим изменение
P{n (s^2) во времени. В настоящий момент мы не можем до-
доказать это утверждение, по крайней мере если понимать его
буквально.
Действительно, как было указано в связи с A.6.30), соотно-
соотношение C.2) означает, что состояния двух рассматриваемых мо-
молекул статистически не коррелированы. Это имеет смысл для
любых двух случайно выбранных молекул газа, поскольку они
не взаимодействуют, когда находятся далеко одна от другой
и, следовательно, ведут себя независимо. В частности, это ка-
кажется справедливым для двух молекул перед столкновением,
потому что они представляют собой как раз две случайные мо-
молекулы, пути которых пересеклись; но та же самая статистиче-
статистическая независимость заведомо не имеет места для двух молекул
сразу после столкновения. Отметим, однако, что уравнение C.1)
включает Р$ для молекул перед столкновением, так как мы
воспользовались соотношением B.14), чтобы исключить значе-
значения Р%+1\ соответствующие состояниям после столкновения.
Это замечание важно, но проблемы все же возникают, по-
потому что уравнение B.22) для Р$ выполняется при условии, что
X; (i=l,...,s) не принадлежит множествам |хг- — Xjj^a
(/ = 1, ..., s; ]Ф1)\ объем этих множеств растет с s, будучи
пропорциональным so3. Этими множествами, однако, можно

66	П. УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА
пренебречь в пределе а —> О, /V -> оо при фиксированном s (или
даже при росте s вместе с N (s ^ /V), если jVct3->•(), как в слу-
случае идеального газа). Мы приходим к выводу, что гипотеза
Больцмана C.2) неверна в буквальном смысле, но может стать
верной в пределе при УУ-*оо, а-*0, если считать, что соотно-
соотношение C.2) выполняется почти всюду, т. е. перестает быть вер-
верным лишь на исключительных множествах меры нуль (в кото-
которые нужно включить множество послееголкновительных со-
состояний) ,
Таким образом, мы должны доказать, что условие C.2) (для
iV->oo, а—>0) не противоречит уравнениям, описывающим из-
изменение Р$ E^2) во времени. Мы докажем большее, а именно
что свойство факторизации
П(ь h,t),	C.3)
где
P(s)=lim P{$\	C.4)
N->oo
не противоречит уравнениям B.22) при условии, что о—>0 та-
таким образом, что No2 ограничено (следовательно, /Va3->0).
Чтобы доказать это, предположим, что предел, указанный
в C.4), существует для любого конечного s и что получающаяся
в результате функция Р^ достаточно гладкая.
Тогда, если зафиксировать s и положить в уравнении B.22)
JV-+oo, a—>О таким образом, что No2 ограничено, то получится
E=1,2,3,...), C.5)
где аргументы у Р^+О' и P<s+!) такие же, как и ранее, за ис-
исключением того, что x:)c = x' = xi. в соответствии с равенством
B.21) при а—>0. Уравнения C.5) дают полное описание эволю-
эволюции больцмановского газа во времени при условии, что для
этой системы уравнений задача Коши поставлена корректно.
Частное решение уравнений C.5) может быть найдено в фор-
форме C.3), если одночастичная функция распределения удовле-
удовлетворяет уравнению
4т
где | и х стоят вместо |i и хь Р — вместо РA\ а Р%, Р\ Р^
означают, что аргумент |, входящий в Р, следует заменить на
I*, ?', К соответственно. Это утверждение легко проверить под-
% = Ф°2) \ (р/р- - РР*] IV - n|^nrf%_ C.6)

3. УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА ДЛЯ ГАЗА ИЗ ТВЕРДЫХ СФЕР	67
становкой выражения C.3) в уравнения C.5), используя пра-
правило Лейбница для дифференцирования произведения при вы-
вычислении производной по времени от P(SK
Следовательно, если система уравнений C.5) при заданных
начальных условиях допускает единственное решение, то можно
сделать вывод, что решение, соответствующее начальным дан-
данным, удовлетворяющим «гипотезе хаоса»
s
р(*) = Дри)(Х/, gb 0) (/ = 0),	C.7)
будет оставаться факторизованным во все последующие мо-
моменты времени и одночастичная функция распределения Р = Р(!)
будет удовлетворять уравнению Больцмана. Таким образом,
предположение о факторизации C.3) не противоречит динамике
твердых сфер в пределе N —> оо, а->0 (No2 ограничено) и ведет
к уравнению Больцмана.
Остается открытым вопрос, почему мы должны считать
справедливым условие C.7) при t = 0. Ответ не вполне ясен,
но можно использовать одно из следующих рассуждений.
1)	Допустим, что в пределе а-*0, N —> оо теряется возмож-
возможность описания переходного режима, в ходе которого произ-
произвольно заданная начальная функция релаксирует к факторизо-
ванному распределению. Это предположение не кажется до-
достаточно обоснованным и, по-видимому, означает, что задача
Коши для системы уравнений C.5) не является корректно по-
поставленной, если начальное состояние не удовлетворяет усло-
условию C.7).
2)	Начальное состояние не выбирается специально, а яв-
является следствием предшествующей эволюции, в течение кото-
которой газ также удовлетворяет уравнениям C.5). Достаточно,
следовательно, чтобы соотношение C.3) было справедливо в не-
некоторый момент времени в отдаленном прошлом, чтобы выпол-
выполняться в последующем (в частности, если газ был выведен из
равновесного состояния вследствие взаимодействия с твердой
границей).
3)	Даже если рассматривать все возможные начальные дан-
данные, большинство из них будут факторизованными [8] в следую-
следующем смысле. Если PW задано, средняя величина (со знаком
минус) логарифма Р& (которая является мерой правдоподобия
распределения, как показано в приложении) достигает макси-
максимума при P(s) = Ц РA) (хь h)y т. е.
i — \
lnP«=J
P(s)\np(s) YYdXidli	C.8)

68	Н. УРАВНЕНИЕ БОЛЫДМАНА
имеет минимум при P{s) = JJ РA)(Х;, gj). Это легко проверить,
/ = i
так как w(z) = z In z — z ^ —1 {wf {z) = In z обращается в нуль
тогда и только тогда, когда z=l, w"(z) = \/z >* 0 при z > О
и доA) = —1) и, следовательно (положим z = x/y),
х\пх — х^х\п у — у	C.9)
при любых ху у ^ 0; равенство имеет место	тогда и только
тогда, когда х = у. Подставив № вместо х	и ЦРA)(Х;, g^)
вместо у и проинтегрировав, получим
In Р<*> Д dXi dg* > s J РA) (х, |)lnP(I)(X) |)dxdS, (ЗЛО)
где равенство достигается тогда и только тогда, когда
pis) = JJ р@# ПрИ выводе использовано равенство
s
P(s) Д dxf d^ = J P(I) dx dg = 1,
i = i
а также симметрия Р^ по отношению к перестановке молекул.
Соотношение C.10) доказывает, что выражение C.8) достигает
минимума при
z' = 1
Если одно из этих рассуждений или какая-либо их комбина-
комбинация справедливы, то уравнение Больцмана C.6) полностью
описывает эволюцию больцмановского газа во времени. Следует
заметить, что этот результат существенно зависит от того об-
обстоятельства, что мы использовали соотношение B.14) для
выражения функции распределения молекул непосредственно
после столкновения через функции, относящиеся к молекулам
перед столкновением, а не наоборот. Если бы мы сделали про-
противоположный выбор, то получилось бы точно такое же уравне-
уравнение как C.6), за исключением того, что правая часть имела бы
знак минус! Этот результат кажется парадоксальным и яв-
является таковым, если утверждать, что уравнение C.6) описы-
описывает эволюцию системы для любого набора начальных данных.
Фактически мы предположили гладкость функций распреде-
распределения в пределе /V->oo, а—>О; если эта гладкость имеет место
при ? = 0, то она сохранится в том и только том случае, когда
система развивается в среднем не к более неоднородному рас-

3. УРАВНЕНИЕ БОЛЫДМАНА ДЛЯ ГАЗА ИЗ ТВЕРДЫХ СФЕР	69
пределению, а к более однородному. Это означает, что описы-
описываются такие процессы, которые ведут от «маловероятного»
распределения к более вероятному (совместному с данными
граничными условиями), а не наоборот. Мы отмечали, что свой-
свойство факторизации C.3) отсутствует на некоторых множествах
пренебрежимо малой меры, среди которых мы ожидаем найти
и состояния после столкновения. Это ожидание оправдано, если
описывается процесс эволюции от «нерегулярной» функции рас-
распределения к «регулярной» (заметим, что «регулярная» функ-
функция распределения означает неупорядоченное однородное со-
состояние и, следовательно, «вероятную» функцию распределе-
распределения). Напротив, если эволюция происходит от неупорядочен-
неупорядоченного состояния к упорядоченному, то это означает, что должна
существовать сильная корреляция между двумя молекулами
перед столкновением, и мы должны провести противоположное
рассуждение и получить «антибольцмановское уравнение», т. е.
уравнение C.6) со знаком минус перед правой частью!
Это обстоятельство связано с тем, чго рассеяние элемента
объема в фазовом пространстве (разд. 5 гл. I) является пол-
полностью обратимым свойством, так что, в то время как близкие
точки расходятся, некоторые другие точки, которые были уда-
удалены одна от другой, в ходе эволюции системы сближаются.
Если система находится в наиболее хаотическом микроскопиче-
микроскопическом состоянии, то этот процесс смешения не меняет макроско-
макроскопического состояния (описываемого симметричными средними),
потому что цепочка событий, ведущих к упорядоченному состоя-
состоянию, крайне маловероятна, хотя динамически и возможна. Од-
Однако если микроскопическое состояние в какой-то степени
упорядочено, то рассеяние элемента объема в фазовом про-
пространстве ведет к смешению и превращению его в неупорядо-
неупорядоченное состояние. Эта тенденция является не строгим динамиче-
динамическим свойством, а лишь следствием того факта, что число
неупорядоченных состояний, имеющих одни и те же макроско-
макроскопические средние, несравненно больше числа упорядоченных
состояний.
Для того чтобы смысл этого утверждения стал ясен, рас-
рассмотрим эксперимент с встряхиванием сосуда, содержащего
большое число черных и белых шариков. Если два сорта шари-
шариков первоначально разделены, то в конце концов вследствие
встряхиваний они окажутся перемешанными; в то же время,
встряхивая сосуд, содержащий достаточно однородную смесь,
практически невозможно получить упорядоченное состояние,
в котором оба сорта разделены. Последний процесс, однако, не
является динамически невозможным, потому что он представ-
представляет собой первый процесс в обратном порядке, а уравнения
динамики обратимы во времени (если прокрутить кинопленку

70	И. УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА
первого процесса в обратном направлении, то получится второй
процесс; и если вглядеться в его детали, то не обнаружится ни-
никаких противоречий с законами динамики).
При выводе уравнения Больцмана удалось отсеять эти ма-
маловероятные процессы; множество послестолкновительных со-
состояний было исключено из уравнений, а все другие состояния
предполагались достаточно неупорядоченными для того, чтобы
их можно было описывать гладкими функциями распределения
(столкновение создает некоторую степень корреляции и, сле-
следовательно, порядка). Уравнение Больцмана нельзя использо-
использовать для описания обратного процесса, потому что мы отказа-
отказались от описания послестолкновительных состояний, которые
в обратном процессе становятся достолкновительными.
Перед тем как закончить этот раздел, рассмотрим более
внимательно полученное уравнение C.6). Отметим, что оно
представляет собой нелинейное интегродифференциальное
(в частных производных) функциональное уравнение. Слово
«функциональное» соответствует тому обстоятельству, что неиз-
неизвестная функция Р входит в интегральный член не только с ар-
аргументами | (текущая переменная скорости) и |* (переменная
интегрирования), но также с аргументами |' и |*. Последние
связаны с | и |* тем условием, что преобразуются в них в ре-
результате столкновения, согласно равенствам B.12), т. е.
I' = g _ п (п • V),
i' = i + n(n.V, (V-6-y.	C.11)
Интеграл в правой части уравнения C.6), который назы-
называется столкновительным членом, берется по всем значениям
§* и по полусфере |п|= 1, V-n>>0. Отметим, что его можно
распространить на всю единичную сферу, разделив результат на
два, так как при замене п на —п подынтегральное выражение
не меняется.
Имея дело с уравнением Больцмана, часто вводят другую
неизвестную /, связанную с Р соотношением
f==^mP = MPi	C.12)
где N— число молекул, т — масса молекулы, М — общая масса.
Функция / представляет собой (ожидаемую) массовую плот-
плотность в фазовом пространстве одной частицы, так сказать
(ожидаемую) «массу в единице объема» шестимерного про-
пространства (х,|). Заметим также, что вследствие условия нор-
нормировки
[dxdl = l	C.13)

4. ОБОБЩЕНИЯ	71
имеем
\dxdl = M.	C.14)
Ясно, что f удовлетворяет уравнению
где /# = /(gJ, /; = /(|;)э /'= /(?'). Эта форма уравнения Больц-
мана для газа из твердых сфер будет использоваться в даль-
дальнейшем.
Проведенное рассуждение можно повторить для случая,
когда на молекулы действует внешняя сила X, отнесенная к еди-
единице массы. Влияние этой силы состоит лишь в том, что в левую
часть уравнения C.15) добавляется член Х-д//д|. Поскольку
мы обычно будем рассматривать случаи, когда внешнее воздей-
воздействие на газ осуществляется через твердую границу (поверх-
(поверхностные силы), этот член, представляющий объемные силы, мы
обычно писать не будем. Однако не следует забывать, что такое
упрощение, помимо всего прочего, означает пренебрежение гра-
гравитацией.
4. Обобщения
В предыдущем разделе, следуя статье автора [9], мы пока-
показали, что при определенных предположениях уравнение Больц-
мана получается из уравнения Лиувилля для газа из одинако-
одинаковых твердых сфер в больцмановском пределе, определенном
условиями N —> оо, а->0, No2 конечно.
Напрашиваются четыре возможных обобщения: 1) молекулы,
взаимодействующие на расстоянии, 2) системы, состоящие из
нескольких сортов молекул, например смеси газов, 3) много-
многоатомные газы, 4) плотные газы (N —>оо, а-^0, No3 конечно).
На первый взгляд кажется, что случай молекул, взаимодей-
взаимодействующих на расстоянии, приводит к уравнениям, совершенно
отличным от уравнения Больцмана. Действительно, уравнение
Лиувилля A.3.8) можно записать в виде
Д	Д	дРкт
0.	D.1)
Здесь мы предполагаем, что объемная сила X*, действующая
на i-ю молекулу, представляет собой равнодействующую /V—1
двухчастичных сил Xtj (Х2-г- = 0), обусловленных взаимодей-
взаимодействием с остальными молекулами и таких, что Xij = X(Xi,Xj).
ЗаВИСИТ ТОЛЬКО ОТ КООрДИНаТ Хг И Xj.

72	II. УРАВНЕНИЕ БОЛЫДМАНА
Проинтегрировав уравнение D.1) по координатам и скоро-
скоростям N — s молекул и использовав выражение A.3), опреде-
определяющее 5-частичную функцию распределения Р§\ получим
+{N -s) Z ж • S P"+°X/ rfx*rf|*=°« D-2)
i = l
где Хг- = X(xj, x*). Для вывода уравнения D.2) достаточно за-
заметить, что в последней сумме уравнения D.1) слагаемые
с i'^5+1 при интегрировании обращаются в нуль, так как
их можно преобразовать в интеграл по бесконечно удаленной
поверхности в пространстве скоростей i-и молекулы (считаем,
что Р->0 при 1; —>оо), в то время как слагаемые с />s+l
дают идентичные вклады; наконец, члены, содержащие произ-
производные по Хг (i^s-\- 1), преобразуются в интегралы по по-
поверхности, совпадающей с физической границей системы, кото-
которые можно считать равными нулю по тем же соображениям, что
и в разд. 2.
Уравнения D.2) составляют так называемую цепочку
ББГКИ (по именам Боголюбова [10], Борна и Грина [11], Кирк-
вуда [12, 13], Ивона [14]). Не вполне ясно, как обращаться
с этими уравнениями в больцмановском пределе. Существует,
однако, другой предел, при котором из D.2) можно извлечь
простой результат. Если каждая из сил X2-j является равно-
равномерно малой порядка е, так что при /V->oo, e-*0 произведение
Ne конечно (т. е. полная сила представляет собой величину
конечного порядка), то из D.2) получаем
где РE)= lim РE), как и ранее. Эта система уравнений обла-
N->oo
дает частным решением со свойством факторизации C.3), что
проверяется непосредственной подстановкой. Одночастичная
плотность вероятности Р = Р^ удовлетворяет уравнению
дР . * дР . ^ дР п	/л л.
Здесь
X (х) = N J Р (х„ 1», 0 X (х, х,) dx. dlt = ^ п (х- 0 Х
причем
\	D.6)

4. ОБОБЩЕНИЯ	73
¦—численная плотность в физическом пространстве, т. е. число
молекул в единице объема в окрестности точки х* в момент
времени t.
Уравнение D.4)—это замечательное уравнение, называе^
мое урадьщщщм^Вл^асова^Оно совершенно отлично от уравнения
Больцмана и полезно для описания системы слабо взаимодей-
взаимодействующих материальных точек в течение короткого промежутка
времени; это случай разреженного газа, частицы которого взаи-
взаимодействуют посредством сравнительно слабых дальнодей-
ствующих сил, например электроны в ионизованном газе
(кулоновская сила) или звезды в звездной системе (гравита-
(гравитационная сила). Однако в~~обычном газе, когда частицы нахо-
находятся близко одна от другой, межмолекулярная сила довольно
велика; следовательно, модель жестких столкновений, хотя
и весьма грубая, при описании существенных особенностей си-
системы оказывается точнее модели непрерывно распределенной
слабой силы.
В кинетической теории газов обычно рассматривают моле-
молекулярные модели, которые учитывают молекулярное взаимодей-
взаимодействие более или менее точно. Одна из них — это модель твердых
сфер, которая детально обсуждалась выше; другие модели
представляются в виде материальных точек, взаимодействующих
с центральными консервативными силами и отличаются одна
от другой лишь видом выражения для потенциала U этих сил.
Простейшая форма U такова: U(p) = /ер11, где р — расстояние
между двумя взаимодействующими молекулами; при этом сила
X = —grad U считается отталкивающей (А > 0). Часто исполь-
используется (особенно при вычислении коэффициентов переноса) мо-
модель Леннарда-Джонса, которая содержит как отталкивающую,
так и притягивающую части (см. рис. 11):
U = -~-~^ («>«')	D.7)
с типичными значениями /г =13, п' = 7. В других моделях
первый член заменяется экспонентом от р или потенциалом
твердой сферы: /7 = 0 при р > a, U = оо при р < а. Сила, со-
соответствующая потенциалу типа Леннарда-Джонса D.7), хо-
хорошо аппроксимируется степенным потенциалом на коротких
расстояниях (р <(fe/fe/I/(a~n)) и может быть заменена обрезан-
обрезанной силой с потенциалом
kpl~n при р <ог,
Если принять такой обрезанный потенциал, то можно вы-
вывести уравнение Больцмана, предполагая а->0, Af->oo, /Va2
конечно, при условии, что U(а)— малая величина порядка

74
II. УРАВНЕНИЕ БОЛЫДМАНА
У- №
Рис. 11. Межмолекулярные потенциал и сила.
массы молекулы тс^ о2Ml/V (V — объем, / — средняя длина сво-
свободного пробега). Последнее условие неплохо выполняется для
одноатомных газов, так как U(o)/(mR) (где R — газовая по-
постоянная) по порядку величины соответствует типичной темпе-
температуре (изменяющейся от 10 до 230 К).
Чтобы доказать это утверждение, введем усеченные функции
распределения
Л'
. .	П	-1	1-
dxi dlh	D.9)

4. ОБОБЩЕНИЯ
75
Рис. 12. Обозначения для двухчастичного взаимодействия.
где область интегрирования не включает те части пространства,
где PN обращалась бы в нуль по определению, если бы моле-
молекулы были твердыми сферами радиуса а/2. Частные случаи та-
таких усеченных функций распределения рассматривал Грэд [15].
Теперь можно повторить вывод, данный в разд. 2 и 3, за
исключением следующих двух обстоятельств.
(а)	Кратные столкновения не являются множеством меры
нуль на множестве всех столкновений, потому что теперь столк-
столкновения заменяются взаимодействиями конечной длительности.
Однако если положить jVa3->0, как должно быть для больцма-
новского газа, то эта мера стремится к нулю, поскольку вероят-
вероятность тройного столкновения мала как No3/V (V — объем). Сле-
Следовательно, в случае больцмановского газа можно пренебречь
кратными столкновениями и рассматривать каждое столкнове-
столкновение как задачу двух тел, даже если мы имеем дело не с газом
из твердых сфер.
(б)	Молекула вылетает из сферы действия (р = а) другой
молекулы (см. рис. 12) в точке, отличной от той, в которой она
вошла в эту сферу. Тем не менее закон рассеяния можно запи-
записать в форме B.14), если вектор пг направить вдоль средней
линии траектории «молекулы-пули» по отношению к «молекуле-
мишени» (средняя линия проходит через центр молекулы-ми-
молекулы-мишени и точку наибольшего сближения; см. рис. 12), а переменные

II. УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА
(вых)
Рис. 13. Проекция элемента поверхности сферы действия на плоскость, пер-
перпендикулярную V
Х{, х*, t в правой части заменить на xj, x?, t\ которые отли-
отличаются от Хг, х*, t малыми членами порядка а. Эта поправка
стремится к нулю при а—>О. Однако имеется еще одна деталь,
которую мы сейчас рассмотрим. Пусть п<вх) и n<BbIX) — единичные
нормали в точках, где «молекула-пуля» входит в сферу действия
и выходит из нее; тогда
а21 у7. п^вх) | dn<BX> = а21 V • п<вых> | dri™x\	D.10)
потому что траектории полностью симметричны относительно
средней линии и V = V. Но, вообще говоря, величина
/' • п(вх) Un(Bx) I v - п(вых) |
| V-n\dn
IV-nlrfn
D.11)
не будет равна единице. Поэтому, если всюду использовать п,
то нужно оценить это отношение. Элементарные геометрические
соображения дают
о2\ V • п(вых) | dn(BbIX) = Vrdrde,	D.12)
где V — относительная скорость, а г, г—полярные координаты
в плоскости, перпендикулярной к V, так что rdrdz — проекция
элемента поверхности сферы действия a2uWBbIX) (см. рис. 13).
Когда точка an описывает сферу действия, точка (г, е) пробе-

4. ОБОБЩЕНИЯ	77
гает соответствующий диск дважды, но на положительной по-
полусфере (V«n>>0) ее образ встречается только один раз. Ве-
Величина г есть не что иное, как прицельный параметр, т. е. рас-
расстояние наибольшего сближения двух частиц, если бы они
продолжали свое движение без взаимодействия. Задача со-
состоит в вычислении г как функции У и 6, где 6 — угол между
п и V; мы имеем dn = sin QdQde и, следовательно,
а21 V • п(вых) | dn(BbIX> = Vr j?- d9 de = 5 (9, V) dQ de = Vs (9, V) dn,
D.13)
где
В F, V) = Vr^,	D.14)
^^'Ж	<4ЛБ>
и величина s (Э, V) называется дифференциальным сечением
рассеяния, так как она имеет размерность площади; для твер-
твердых сфер г = а sin 9, 5(9, V) = Vg2 sin 9 cos 9, s (9, V) = о2 cos 9.
Подробности вычисления 5(9, V) или, что эквивалентно, s@, V)
при заданном потенциале ?/(р) будут даны в следующем раз-
разделе.
Если учесть все эти замечания, то точно так же, как и в
случае твердых сфер, в пределе Л^~>оо, а—>О, No2 конечно,
получится уравнение Больцмана, в котором | V• п<вых)| dn(BbIX) =
= 5F, V) = dQds вместо \V-n\dn. Таким образом, уравнение
Больцмана для материальных точек, между которыми дей-
действуют центральные силы, имеет вид
If+l • ¦§-=И ${f/f: ~~ ff*} в (9> v) de de dl*- D-16)
Следовало бы обсудить еще один момент, связанный с тем,
что мы используем обрезанный потенциал, но мы отложим это
обсуждение до разд. 9.
Далее рассмотрим вопрос о том, как обращаться со смесью
различных газов. Если молекулы представляют собой твердые
сферы, то единственное возможное различие состоит в том, что
молекулы имеют разные радиусы и массы, но для точек, взаи-
взаимодействующих на расстоянии, возможны различия также в за-
законах взаимодействия и в значениях входящих в них парамет-
параметров. При статистическом подходе первое отличие возникает в
связи с /^-частичной функцией распределения PN, которая мо-
может быть симметризована по отношению к молекулам каждого
сорта, но не по всем молекулам смеси; следовательно, возни-
возникает различие в s-частичных функциях распределения, которые

II. УРАВНЕНИЕ БОЛЫДМАНА
отличаются тем, по каким N — 5 молекулам проводится интегри-
интегрирование. В частности, если имеется п сортов молекул, то будет
существовать п разных одночастичных функций распределения
и п(п— 1)/2 двухчастичных функций распределения. Обозначе-
Обозначения становятся громоздкими, но, вообще говоря, не требуется
никаких новых идей, за исключением того очевидного факта, что
нужно вывести п уравнений для п одночастичных функций рас-
распределения fj (/ = 1, ..., п). В результате получаем
+ ^1 Е^5И№ад^(е V)dQddl, D.17)
где rrii — масса молекулы i-то сорта, fiij(8, V) определяется фор-
формулой D.14) при условии, что г = г(8, V) вычисляется из за-
закона взаимодействия молекул /-го и /-го сортов, а аргументы
?', К У f/ и f'u в i-м члене выражаются через |, ?*, 9, 8 при
помощи законов сохранения импульса и энергии (см. следующий
раздел).
Описание поведения многоатомных газов можно также све-
свести к описанию поведения смеси газов с надлежащей модифика-
модификацией. Заметим, что уравнение D.17) можно записать в виде
где ?', ?', |, |.+ теперь не зависят друг от друга (т. е. не свя-
связаны законами сохранения) и
Wtl (t 1.11', К) = Stl (9, V) б (m,| + m& - m? - m?) X
X 6 (/n;l2 + mg - m;r2 - mtf), D.19)
причем
6 - arc cos
Bit(B,V)	9	D'2°)
S^7 (^ V^ = 21/cosesine {пг> + m/} m'm/-
В частности, для твердых сфер с одинаковыми диаметрами
а и массами m имеем Sfj = 2a2m4. Величина 1^.у. (|, ?# | |г5 ^)
представляет собой плотность вероятности столкновения, при
котором скорости молекул i и / изменяются от %\ \[ до |, ^.
Дельта-функции, входящие в D.19), теперь обеспечивают выпол-
выполнение законов сохранения импульса и энергии. Уравнение
D.18) сводится к D.17), если воспользоваться D.19). Это легко

4. ОБОБЩЕНИЯ	79
проверить, выполняя тривиальное интегрирование по |^, заме-
заменяя переменную интегрирования §' на^ = т/(| —Ю (d3^ =
= m~^d3ty и переходя к соответствующим сферическим коорди-
координатам X, 6, ф с полярной осью вдоль V
(d3k = X2 dX sin 9d9dcp,
mfc2 + /пД2 - mp - mg = 2XV cos 9 - {m} + т.)
Интегрирование по X дает искомый результат, так как,
полагая
т{ + т, / tUjfti,	\2
t = 1 ] \ X	У— V cos В I
т.т. \	т. -\- т,	J
и используя A.2.10), получаем
[б( mf2/ X2 - 21V cos9)x2dX =
mi + m\
X [л/—LJ- /H	^^Kcos6 -7-Д/—^^- =
\ V rtii + rn,	tn. -\- tn,	/ yt V m. + m.
tn. -\- tn,
2(/п,ш,J
(ш.
V cos 9.	D.21)
После небольшой модификации уравнение D.18) можно рас-
распространить на такую смесь, в которой столкновение может
преобразовывать две молекулы сортов k, l в две молекулы дру-
других сортов г, / (очень частный тип реакции). В этом случае
соотношения для скоростей до столкновения и после него отли-
отличаются от использованных до сих пор, но тем не менее можно
написать систему уравнений Больцмана для п сортов молекул:
ж + б• If = Z i\m-f,ft)wt«(i,g.|v, Г)«.drdv,
D.22)
где Wцк1 — плотность вероятности перехода от скоростей %', 1[
к скоростям |, |* в таком столкновении, где две молекулы сор-
сортов /, k превращаются в две молекулы сортов /, / соответственно.
В случае когда при столкновениях не происходят такие реакции,
Wijhl = Wij8ik6ji, a Wij сводится к выражению, приведенному
выше Fik~ символ Кронекера, т. е. 8ik = 1 при I = k, 6^ = 0
при i ф k).

80	П. УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА
Молекулу многоатомного газа удобно моделировать следую-
следующим образом [16, 2]. Молекула представляет собой механиче-
механическую систему, которая отличается от точечно?! массы тем, что
имеет набор внутренних состояний, которые обозначаются ин-
индексом /, принимающим целочисленные значения (можно рас-
рассматривать и непрерывное множество внутренних состояний).
В простейших случаях (здесь будут рассматриваться только
такие) эти состояния отличаются друг от друга тем, что моле-
молекула, кроме кинетической энергии, обладает внутренней энер-
энергией, принимающей различные значения Ej в различных состоя-
состояниях. Столкновение между двумя молекулами наряду с измене-
изменением скоростей может изменить внутренние состояния молекул,
и, следовательно, внутренняя энергия входит в энергетический
баланс.
С точки зрения записи эволюционных уравнений статистиче-
статистического поведения системы многоатомный газ удобно представлять
себе как смесь различных одноатомных газов. Каждый из этих
газов образуется молекулами, соответствующими данной внут-
внутренней энергии, и столкновение, изменяющее внутреннее состоя-
состояние хотя бы одной молекулы, можно считать реактивным столк-
столкновением типа рассмотренного выше, причем Wijkl(%>, I*!!7, §*)—
плотность вероятности столкновения, преобразующего две моле-
молекулы с внутренними состояниями /г, / и скоростями |7, |' в мо-
молекулы с внутренними состояниями iy j и скоростями §, |* соот-
соответственно.
Можно продолжить обобщение, чтобы включить химические
реакции, в которых молекулы диссоциируют и атомы перегруп-
перегруппировываются, или ядерные реакции, в которых происходит
деление ядер с испусканием и поглощением нейтронов. Анало-
Аналогичные подходы применимы к явлениям ионизации и процессам
эмиссии и адсорбции излучения. В этом случае необходимы
добавочные члены в /-м уравнении (по одному для каждой
реакции, в которую вступает /-й сорт частиц); величина, пред-
представляющая собой обобщение Wij, является плотностью вероят-
вероятности того, что имеет место реакция, порождающая или уничто-
уничтожающая частицу ./-го сорта.
Перейдем теперь к последнему вопросу, связанному с обоб-
обобщением уравнения Больцмана на плотные газы. При этом
iV-*oo, lim{No3) > 0; следовательно, No2 —> оо и уравнение
B.22) в пределе становится сингулярным. Соответственно мы
пренебрегаем s лишь по сравнению с N и считаем 5 изменяю-
изменяющимся от 1 до оо. В результате уравнения сохраняют форму
C.5), но аргументы х* и х^ в i-ы члене правой части остаются
в виде
Ъ, = X; — па, х^ = х, + па,	D.23)

б. СТРУКТУРА СТОЛКНОВИТЕЛЬНОГО ЧЛЕНА	81
а не стягиваются к х*. Другое существенное различие состоит в
том, что мерой множества точек, для которых |xj — Xj\<Co
(j?=i), пренебрегать нельзя, и при переходе к пределу а —*0
должен приниматься во внимание тот факт, что на этом множе-
множестве РИ-1) обращается в нуль. Эффект такой экранировки одной
молекулы другой должен уменьшать вероятность столкновений.
Однако общий объем молекул сравним с объемом, занимаемым
газом; это приводит к уменьшению объема, в котором может
находиться центр любой молекулы, и тем самым к увеличению
вероятности столкновения. Более подробное обсуждение этих
эффектов завело бы нас слишком далеко.
5. Структура столкновительного члена
Чтобы полностью раскрыть правую часть уравнения Болыд-
мана
тг + & • ж = i \ U'K ~ fU в <е> у)dQ d& dl*> E- *>
нужно найти выражение 5@, V), определяемое формулой D.14).
Для этого необходимо исследовать задачу двух тел при задан-
заданном потенциале ?/(р). Пусть т и т* — массы двух молекул;
тогда известно, что относительное движение происходит так, как
если бы одна из молекул («молекула-мишень») находилась в по-
покое, а другая («молекула-пуля») имела массу, равную приве-
приведенной массе
\i = —~L~	E.2)
(в частности, если т = т*, то jji = т/2). Если р и ср — радиаль-
радиальная и угловая координаты в плоскости движения (см. рис. 12),
то законы сохранения энергии и момента импульса (по отноше-
отношению к полюсу, расположенному в центре молекулы-мишени)
дают
7,Мр2 + р2ф2) + ?/(р) = 72М/2 + [/@) (р<ог), ,_„.
р2ф = гУ,	E'3)
где г — прицельный параметр, а V — относительная скорость;
правые части этих уравнений вычисляются, когда молекула-пуля
находится вне сферы взаимодействия, кинетическая энергия по-
постоянна и равна \iV2/2, потенциальная энергия также постоянна
и равна U(a), a момент импульса равен произведению импульса
на прицельный параметр. В первом из равенств E.3) можно
было бы опустить U(о), поскольку всегда возможно положить
(У(о) = 0, однако более поучительно сохранить эту константу.

82	Н. УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА
Ограничимся рассмотрением потенциалов отталкивания, кото-
которые представляют собой важный случай ближних взаимодей-
взаимодействий между молекулами в газе, как мы видели ранее.
Теперь можно легко проинтегрировать приведенные выше
уравнения (исключая производные по времени и используя ср
как независимую переменную); траектория, как предполагалось
в разд. 4, симметрична по отношению к средней линии. Угол 8
легко получить, так как это угол между V и средней линией
(направленной по п), и решение уравнений E.3) дает
u(a)]
~''2d9
in(-~), E.4)
где ро— расстояние наибольшего сближения, которое удовлетво-
удовлетворяет уравнению
JL 1/2Л _jL^ = U(f>0)-U(o).	E.5)
JL 1/2Л _jL^ =
Отметим, что ро ^ а (в противном случае не будет отклоне-
отклонения, так как молекулы не попадут в область взаимодействия);
ясно также, что г ^ а, как это следует из р0 ^ о и предположе-
предположения об отталкивающем действии потенциала [которое означает,
что ?/(ро)— t/ (сг) ^ 0].
Теперь нужно обратить функцию E.4), получить зависимость
г = г(8) (предположение об отталкивающем действии потен-
потенциала гарантирует монотонность зависимости 8 = 0(г)) и под-
подставить ее в D.14), чтобы найти В(9, V). Если существует не-
несколько сортов частиц, то нужно вычислить S2j(8, V) для всех
возможных пар (всего п(п— 1)/2 для п сортов частиц).
В случае смеси необходимо получить соотношение между
1\ II и |, §*, так как равенства C.11) верны только тогда,
когда молекулы имеют одинаковые массы (см. разд. 4 гл. I).
В этом общем случае уравнения сохранения энергии и импульса
следует записать в виде
ml + /ft*S* = mfc + w*!*,
Первое из этих уравнений удовлетворяется тождественно,
если положить
I' = I + — п,
с./	с.	С

6. СТРУКТУРА СТОЛКНОВИТЕЛЬНОГО ЧЛЕНА	83
где п — единичный вектор нормали, а С — скаляр, который еще
нужно определить. Подставив эти выражения во второе из урав-
уравнений E.6), получим
2Сп • I + -g- - 2Сп • i + ^ = 0.	E.8)
Следовательно, если С ф 0, то
С = - 2^in • (| - i) = - 2jxn • V,	E.9)
где V — относительная скорость ! — !*, а \х — приведенная масса,
определенная формулой E.2). Подстановка значения E.9) в ра-
равенства E.7) дает
Г = |--^-п(п-У),
(V = |-i).	E.10)
Чтобы выяснить геометрический смысл п, вычислим V' =
= ^ — ^, т. е. относительную скорость перед столкновением:
V' = V--2n(n-V).	E.11)
Значит, п делит пополам угол между прямыми, направлен-
направленными вдоль — V и V, и направлен вдоль средней линии. Ис-
Используя углы 6 и е, имеем, очевидно,
п • V = V cos G,
n = (sin9 cose, sin 9 sin e, cos 9),	' ^
так как 9 — угол между п и V, а 8 — азимутальный угол в плос-
плоскости, перпендикулярной к V. Угол 8 меняется от 0 до 2л, а
9 от 0 (лобовые столкновения, г = 0) до я/2 (скользящие столк-
столкновения, г = о). Отметим, что якобиан д (^, %>')/д (Щ, |) равен
— 1, поскольку здесь можно повторить соответствующие рассуж-
рассуждения разд. 5 гл. I.
Видно, что все сложные детали двухчастичного взаимодей-
взаимодействия концентрируются в функции В (9, V) (или 5^(8, V)),
представляющей (ненормированную) плотность вероятности от-
относительного отклонения я — 29 для пары молекул с относитель-
относительной скоростью V. Функция В(9, V) не может быть выражена в
элементарных функциях даже для таких простых потенциалов
как степенные (U = kpl~n; пф2,3); случаи обратного квад-
квадрата и обратного куба поддаются аналитическому исследова-
исследованию, но описывают слишком мягкое взаимодействие на малых
расстояниях, чтобы быть реальными для нейтрального газа.

84	П. УРАВНЕНИЕ БОЛЫДМАНА
Несмотря на эти негативные замечания, стоит исследовать слу-
случай степенных потенциалов более подробно. Равенство E.4) при
этом принимает вид
,17)' E-13)
где ро удовлетворяет уравнению
Если положить
то из E.13) имеем
6 = j	*х —^ + arcsin (¦?-) ,	E.16)
где х0 удовлетворяет уравнению
— Xq — \Xq/O) 	U.	\О.[()
Ясно, что вычисление функций 9 = 9(г, У) — довольно слож-
сложная задача. Существенное упрощение происходит в предельном
случае сг->оо при анализе многочастичного взаимодействия как
последовательности скользящих бинарных столкновений (см.
обсуждение в разд. 9). Так как обычно вся работа по вычисле-
вычислению коэффициентов вязкости и теплопроводности [1, 2] основы-
основывается на этом предположении, приведем соответствующие фор-
формулы:
Х0
==¦.	E.18)
	^=7.
VI — х2 —(дс/*)"-1
-V<"-'>	E.19)
где Xq удовлетворяет уравнению E.17). Взятые совместно урав-
уравнения E.18) и E.17) дают 8 = 9F), а после обращения Ъ =

б. СТРУКТУРА СТОЛКНОВИТЕЛЬНОГО ЧЛЕНА	85
= й(8). Тогда E.19) приводит к выражению
-if)'
которое показывает, что зависимость г от V и 8 факторизуется,
и, следовательно, из D.14) имеем
В (8, V) = V{n-s)J{n-l) (^)A° 6-^- = У7РF), E.21)
где у = (п — 5)/(/г — 1) и
2/(п-1)
Таким образом, существенное упрощение для необрезанных
степенных потенциалов состоит в том, что В (8, V) становится
произведением функции только от 8 на дробную степень V.
Значительное упрощение возникает при п = 5, потому что тогда
зависимость от V исчезает. Это упрощение было открыто Мак-
Максвеллом [17], и фиктивные молекулы, взаимодействующие таким
образом, обычно называются максвелловскими молекулами.
Хотя в действительности молекулы не являются максвеллов-
максвелловскими, все-таки эта концепция полезна, потому что предполо-
предположение о законе обратной пятой степени часто сильно упрощает
вычисления и дает удовлетворительные результаты или по край-
крайней мере первое приближение к ним.
Отметим, что |3(8) ведет себя следующим образом:
() (),
AF) = О [(я/2 - er(*+№-ir] (8 -> я/2),	[ ]
где О(х) означает величину порядка х. Первое из этих соотно-
соотношений легко получить, заметив, что при 8—>0 имеем jc0 —>О,
как видно из E.18), и, следовательно, Ь~л-0-»0, согласно
E.17), а формула E.18) принимает вид
6 ~
dx	Ъ \ du
J Vl-UW	0J
Ъ \ , du	E.24)
так что bc^KQ, где КфО, bdbc^k2Qd0, C(8) =0(8). Когда
8->я/2, имеем Ь —> оо (как видно из E.18) при переходе к
пределу /?->оо). Таким образом, x\cz. I —bl~n, как это следует

11. УРАВНЕНИЕ БОЛЫДМАНА
из E.17), и
I
Г
dy
2 2 2Ьп~' 2йп~'
J (i —г/2O'
т;^г)	E>25)
В результате имеем
db	Г/я	ч-(п+1)/(л~1I	E.26)
]¦
откуда легко получаются соотношения E.23).
6. Элементарные свойства оператора столкновений.
Инварианты столкновений
Правая часть уравнения E.1) содержит квадратичное выра-
выражение Q(/, f), определяемое формулой
Q(f,f) = -^\ (ГК - ff,) В (в, V) dt dQ dz.	F.1)
Оператор Q действует на скоростные аргументы функции /.
Он описывает эффекты взаимодействий и в связи с этим назы-
называется оператором столкновений. Величина Q(/, f), т. е. интег-
интеграл F.1), называется интегралом столкновений или просто
столкновительным членом. В этом разделе мы изучим некото-
некоторые свойства интеграла Q, которые, несмотря на его сложную
форму, позволяют выполнять различные преобразования во мно-
многих принципиально важных задачах. Фактически мы исследуем
здесь несколько более общее выражение, а именно билинейное
выражение
[	. F.2)

6. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ОПЕРАТОРА СТОЛКНОВЕНИЙ	87
Ясно, что при g = f выражение F 2) сводится к F.1); кроме
того,
0(/, g) = Q(g, П-	F.3)
Наша первая цель состоит в изучении некоторых преобразо-
преобразований восьмикратного интеграла
\Q(f,
= i \ (f'g. + Kg' - fS. - f.g) Ф (I) B (9, V) d$ d?, dd dz, F.4)
где интегрирование по § распространяется на все пространство
скоростей, а ср(§) — произвольная функция |, для которой эти
интегралы существуют.
Произведем перестановку переменных ?—>§*, ?*-*! (которая
означает также |'—>^, ?' —>$' вследствие C.11)). Тогда, по-
поскольку как S(9, V), так и выражение в скобках преобразуются
в самих себя, а якобиа.ч преобразования очевидно равен еди-
единице, имеем
= i \ (f'g: + № - fg. - Lg) Ф (У В (9, V) d\ dl. dQ de. F.5)
Это уравнение совпадает с F.4), за исключением того, что
вместо ф(|) появилась ф(?*). Рассмотрим теперь другое преоб-
преобразование переменных в F.4): |—*§' и ^->|' (здесь, как и
выше, единичный вектор п в C.11) считается фиксированным).
Как мы знаем (разд. 4 гл. I), модуль якобиана этого преобра-
преобразования равен единице, так что d\ c/S^ = d%' d% и формула F.5
принимает вид
\Q(f, g)<p(l)dt =
= i \ (f'g'* + № ~ fg. ~ Ш Ф (s) В (9, V) dV di: dQ ds, F.6)
где нужно выразить | и §* через переменные интегрирования
|г, ^ при помощи соотношений, обратных C.11). Эти соотно-
соотношения (см. A.4.3)) таковы:
g = 6'-n(n.V),
i = i' + n(n-V/);	( '
здесь скорость V == %' — %,[ связана с V = | — |, равенством
E.1) и, следовательно,
V' • П = - Y • п.	F.8)

II. УРАВНЕНИЕ БОЛЫДМАНА
Полусфера V-n>0 соответствует полусфере V/-n<CO; од-
однако, не меняя выражений, зависящих от |, |#, можно заменить
п на —п и выполнить интегрирование по полусфере V'-n>0.
Можно также сменить наименование переменных интегрирова-
интегрирования и переобозначить |', ?Ц через |, |*. Тогда, в силу C.11)
и F-7), |,|* превращаются в |', |^ и формула F.6) записы-
записывается в виде
\Q(f,
=i 5 (fg.+и - fg: - гж) ф (Г) в (в, v) d\ d% dQ dz, F.9)
где B(Q,V) при такой замене не меняется, так как из E.11)
следует, что V = V.
Перепишем выражение F.9) следующим образом:
= - i S (f/?* + f*g/ ~ ^* - f*g) ф (Г) Б (e> V) dl dl*dQ d& ¦ F*10)
Это выражение совпадает с F.4), за исключением того, что
появился знак минус и вместо ср(|) стоит ф(Ю-
Наконец, поменяем в F.10) местами | и §*, как при пере-
переходе от F.4) к F.5). В результате получим
Выражение F.11) отличается от F.4) только знаком минус
и тем, что вместо ср(|) стоит ф (?,*).
Таким образом, для одной и той же величины получены че-
четыре различных выражения: F.4), F.5), F.10) и F.11). Теперь
можно строить другие выражения, составляя их линейные ком-
комбинации. В частности, нас интересует комбинация, которая по-
получается сложением этих четырех выражений и делением на
четыре, т. е.
Q (f, §) ф (I) dl = ^- \ (f'gi + № - fg. - U) X
F.12)
Это равенство выражает основное свойство столкиовитель-
ного члена, которое часто будет использоваться в дальнейшем.

6. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ОПЕРАТОРА СТОЛКНОВЕНИЙ	89
В частном случае g = / оно принимает вид
V)dldtdQds. F.13)
Заметим теперь, что независимо от f и g интеграл в F.12)
равен нулю, если соотношение
Ф + Ф* = Фг + ф;	F.14)
верно почти всюду в пространстве скоростей. Так как интеграл
в левой части F.11) представляет собой среднее изменение
функции ф(|) за единицу времени вследствие столкновений, то
функции, удовлетворяющие соотношению F.14), обычно назы-
называются «инвариантами столкновений». Имеет место следующее
свойство: если ф(§) непрерывна, то равенство F.14) удовлетво-
удовлетворяется в том и только том случае, когда
Ф(|) = а + Ь.| + ^2,	F.15)
где а и с — скалярные, а Ь — векторная постоянные. Обычно
функции гро = 1, (г|)ь г|J, г|)з) = 1, ^4 = ?2 называются элемен-
элементарными инвариантами столкновений, так что общий инвариант
столкновений представляет собой линейную комбинацию пяти
величин \f>.
Для доказательства утверждения, что равенство F.14) удов-
удовлетворяется в том и только том случае, когда ф(§) имеет форму
F.15), нам потребуется следующая
Лемма. Пусть х— вектор в п-мерном пространстве Еп, и
пусть функция /(х) непрерывна хотя бы в одной точке и удов-
удовлетворяет функциональному уравнению
f(x + x1)	F.16)
для любых х, xiGE?n. Тогда /(х)=А-х, где А — постоянный
вектор.
Действительно, если f непрерывна, скажем, в точке х0, то она
будет непрерывна всюду, потому что из F.16) при xi = h имеем
f(x + h)-f(x) = f(h) = f(xo + h)-f(xo).	F.17)
Уравнение F.16) для любого целого р по индукции дает
Z,)Zf(,)	F.18)
в частности, для xz = х (/=1, ..., р)
F.19)

90	П. УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА
и, заменяя р на q9 a x на x/q, получаем
f{x/q)=±f{x).	F.20)
Далее, учитывая F.19) (с x/q вместо х) и F.20), имеем
f(fx)=pf{x/q)=ff{x)9	F.21)
или просто
f(ax) = a/(x)	F.22)
для любого рационального а > 0. Вследствие непрерывности
f(x) равенство F.21) верно для любого вещественного а > 0.
Из F.16) следует, что /@) = 0 (при x = xi = 0), и, полагая
xi = —х, имеем /(—х) = —/(х); следовательно, равенство
F.22) верно для любого вещественного а. Теперь легко полу-
получается требуемый результат, ибо если aft (fe=l, ..., п) суть
п ортогональных векторов, то любой вектор х можно записать
п
в виде X (х ' а/г)а/г- Поэтому, в силу F.18), получаем
F.23)
t (,),)Е /((*)л?
k=\	/	k=\	k=\
= x- (? f(aft)aft)=A-
и лемма доказана.
Равенство F.14) означает, что ф + ср* имеет одно и то же
значение для всех пар векторов (§, |*), которые удовлетворяют
уравнениям сохранения; т. е. ср + ср* является константой каж-
каждый раз, когда | + |* и ?2 + Ц постоянны.
Иначе говоря, ср + ф* представляет собой функцию только
этих последних величин:
Ф (§) + Ф (У = Ф (? + ?*Л + О-	F.24)
Определим
F.25)
и сложим F.24) с уравнением, полученным из него заменой
(|, !#)->(—1, —§¦), а затем вычтем последнее уравнение из
F.24). В результате найдем
ф± © + ф± (i)=ф± (^2 + й. ^+i). F.26)

6. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ОПЕРАТОРА СТОЛКНОВЕНИЙ	91
Если в уравнении для qp± положить с^ = — S, то получим
(ф±(— Ю = Ф±(Ю) равенство
2ф+A) = Ф+B^2, 0),	F.27)
которое показывает, что qp+ зависит только от ?2, <p+=i|)(?2).
Тогда из F.26) следует, что Ф+ зависит только от ?2 + ?2, по-
потому что никакая функция от |+|# не может быть образована
из t и ?. (Равенство f(l + lj = g(fy fj при ^ = 0 озна-
означало бы, что / (?) =h (g2); следовательно, h (g2 + ?2 + 2? • |J =
= g(li%i), что невозможно, если h не является постоянной,
^ак как левая часть принимает различные значения при | • |# = 0,
?* = ^2Е2 и ^ = Я^, в то время как правая часть принимает оди-
одинаковые значения при так выбранных аргументах функции /г.)
Отсюда заключаем, что F.26) можно переписать в виде
Ф (?2) + Ф (t2) - Ф+ (^ + ?) = * (^ + !•) + Ф @), F.28)
где последнее выражение для Ф+ получается при ^ = 0. Если
положить f (?2) = Ф (?2) ¦—¦ "Ф @), то равенство F.28) перейдет
в F.16) для одномерного случая (с х —?;", X\=%j\ применяя
лемму, приходим к выводу, что f (?2) = 2с?2, где с — некоторая
постоянная. Следовательно,
Ф+ (^2) = t Й2) = Ф @) + f (I2) = 2а + 2cl\	F.29)
где 2а ===== г|э@) —постоянная.
Рассмотрим уравнение F.26) для qp_. Если выбрать § и ^
взаимно ортогональными, то можно считать, что функция Ф_
зависит только от второго аргумента, так как при этом
g2 + ?2 = (| + !j\ Значит, можно записать
Ф_ п) + Ф_ (U = h(t + l) = Ф_ (| + У;	F.30)
последнее выражение для /i(| + U получается, если положить
?# = 0 и учесть тот факт, что ф_ @) = 0 в силу F.25). В F.30)
можно не пользоваться условием §.Щ = 0. Чтобы показать это,
возьмем произвольные ^ и ^ и третий вектор р, который орто-
ортогонален этим двум:
р . g = р . ^ = 0	F.31)
и абсолютная, величина р которого задается соотношением
Р2 = 1М1>О.	F.32)

92	И. УРАВНЕНИЕ БОЛЫДМАНА
Применяя F.30) к ортогональным векторам (|, р) и (У =F р),
имеем
Ф_(^ + р) = Ф_(Ю + Ф_(р),
ф_ (i + р) = ф_ (У + ф_ (+ р) = Ф_ (У н= ф_ (р), F>33)
где знак минус или плюс во втором уравнении берется в соот-
соответствии с неравенством | • |% ^ 0. Теперь, в силу этого вы-
выбора и соотношений F.31), F.32), имеем
(|+p)-(i=Fp) = l-t=F|-p + p-|»::Fp2 = 0> F.34)
и можно применить равенство F.30) кЦ-ри^ + р, а также
к I + I* и р 4= р, что дает
Ф_ (I + Р) + Ф_ (i =F P) = Ф_ (I + t + Р + P) =
= Ф_(&+и + Ф_(рТр). F.35)
Подставляя в левую часть F.35) выражения F.33), полу-
получаем
Ф_ (I) + Ф_ (к) + Ф_ (Р) + Ф^ (Р) = Ф_ (I + У + Ф_ (Р + Р). F.36)
Если | • I, > 0, то имеет место знак минус и
Ф_(Ю + Ф_(У = Ф_(? + У-	F.37)
В частности, если положить ! = |fc = p (p.p = p2>0), то фор-
формула F.37) дает
2ф_(р) = Ф_Bр).	F.38)
Подставляя этот результат в F.36), когда | • ^ < 0 и имеет
место знак плюс, мы, наконец, доказываем, что уравнение F.37)
совпадает с F.16), если |, ^, ф_ отождествить с х, х{, f. При-
Применяя лемму, получаем
Ф_A) = 2Ь-|,	F.39)
где b — постоянный вектор. Поскольку из F.25) следует, что
Ф = ^ф+ — Ф_)/2, соотношение F.15) доказывается сложением
равенств F.29) и F.39).
Итак, если qp — инвариант столкновений, заданный форму-
формулой F.15), то
5 Ф (Ю Q (f, g)dl = 0.	F.40)
В случае смеси газов этот вывод можно обобщить и пока-
показать, что, если Qijifi, fj) обозначает столкновительный член для
взаимодействия между частицей /-го сорта и частицей 1-го сорта,
как представлено правой частью уравнения D.17) (которая равна

f,)),
7. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ Q(/, I) = 0	93
TO
$J]//(f*,f/)dS = o	F.41)
для любых /ь fy, если ф есть константа (сохранение массы
частиц /-го сорта), и
$?/(/*> fi)dl = O,	F.42)
если ф;- = const, ф;- = | или ф; = |2 (сохранение общей массы,
импульса, энергии). Это, конечно, справедливо при отсутствии
реакций; в противном случае равенство F.41), вообще говоря,
не выполняется, а F.42) выполняется при ф^ = 1, ф;- = §, ф;- =
= |2 -f- 2?j/mj, где Ej — внутренняя энергия молекул /-го сорта
(это применимо, в частности, к исследованию многоатомных
газов, согласно замечаниям разд. 4).
7. Решение уравнения Q(f,/)=O
В этом разделе исследуется вопрос о существовании положи-
положительных функций /, обращающих в нуль интеграл столкновений:
Q (f, f) = J (ГК - ftt В (в, V) rfg, rfe rfe = 0.	G.1)
Мы хотим показать, что такие функции существуют и что все
они даются выражением
+ b-|+^2),	G.2)
где a, b, с те же, что и в F.15). Для этого докажем сначала
результат, который будет важен и в дальнейшем и который со-
состоит в том, что независимо от вида функции распределения
выполняется следующее неравенство (неравенство Больцмана):
\\nfQ(f,
G.3)
причем равенство осуществляется в том и только том случае,
когда / имеет вид G.2). Ясно, что первое утверждение есть
простое следствие второго. Действительно, если равенство G.1)
выполняется, то, умножая его на In/ и интегрируя, получаем
G.3) со знаком равенства, откуда следует G.2), если справед-
справедливо второе утверждение. И обратно, если имеет место G.2),
то, применяя результаты предыдущего раздела к ф— in/, полу-
получаем /'/* = /7+ и, следовательно, G.1).

94	И. УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА
Докажем поэтому, что соотношение G.3) всегда выполняется
для / > О, а знак равенства влечет за собой G.2) и вытекает из
G.2). Используя уравнение F.13) с ср = 1п/, получаем
= i J /7i 0 - A,) In ЯЯ (в, У) dg dg, ^9 de,	G.4)
где
%	G.5)
Далее, /7' > О, Б^О (равенство достигается только при
6 = 0); кроме того, для любого Х^О
A -X) In Я< 0	G.6)
и равенство достигается тогда и только тогда, когда X = I
(заметим, что 1—X и —\пХ отрицательны или положительны
одновременно и оба обращаются в нуль только при Х=\).
Используя соотношение G.6), из G.4) можно получить G.3), и
равенство осуществляется тогда и только тогда, когда А=1,
т. е. когда
ff* = f'K почти всюду.	G.7)
Логарифмируя обе части этого равенства, находим, что
Ф = In/ удовлетворяет уравнению F.14), так что ф = In/ имеет
вид F.15). Следовательно, / имеет вид G.2), что и требовалось
доказать.
Заметим, что постоянная с в G.2) должна быть отрицатель-
отрицательной, так как функция / должна быть интегрируемой по всему
пространству скоростей. Если положить с = —a, b = 2av, где
v — новый постоянный вектор, то G.2) можно переписать в виде
(|-уJ],	G.8)
где А— постоянная, связанная с a, a, v2 (a, v, А составляют
новый набор произвольных постоянных). Выражение G.8) — это
известное распределение Максвелла; оно отличается от A.6.25).
так как описывает газ, который не находится в состоянии покоя
(при v=t^0). Однако G.8) сводится к A.6.25) (не считая три-
тривиальных изменений), если перейти к системе отсчета, движу-
движущейся со скоростью v по отношению к прежней, где выполнялось
соотношение G.8), и должным образом выразить величины А
и а через внутреннюю энергию и плотность. Справедливость
такой интерпретации будет показана в следующем разделе.
В случае смеси газов приведенное выше доказательство
можно модифицировать и показать, что
fi)dl<0,	G.9)

8. СВЯЗЬ МЕЖДУ МИКРО- И МАКРОСКОПИЧЕСКИМ ОПИСАНИЯМИ	95
причем знак равенства достигается тогда и только тогда, когда
-шп/(|-уJ],	G.10)
где Aj, v, a — постоянные. В случае многоатомного газа нужно
учесть внутреннюю энергию; тогда
fj = Aj exp [- com, (g - vJ - 2a?y].	G.11)
8. Связь между микроскопическим и макроскопическим
(газодинамическим) описаниями
В этом разделе рассмотрим задачу вычисления макроскопи-
макроскопических величин при заданной функции распределения. Мы
иногда уже пользовались плотностью в физическом простран-
пространстве р(х, t), которая есть не что иное, как интеграл от плотно-
плотности в одночастичном фазовом пространстве /(х, §, /) по всем
возможным скоростям:
9{x,t)=\fdl.	(8.1)
Согласно вероятностному смыслу /, плотность р — математи-
математическое ожидание массы в единице объема около точки (х, /)
или произведение массы молекулы т на плотность вероятности
нахождения молекулы в (х,/), т. е. на (ожидаемую) численную
плотность
/i(x, /) = p(x, t)/m=\pdl	(8.2)
где Р — плотность вероятности, связанная с / соотношением
C.12).
Массовая скорость v получается осреднением скорости мо-
молекул |:
[	[ifdl
J	(8.3)
\Pdl \fdl '
где интеграл в знаменателе появляется потому, что Р не норми-
нормирована на единицу при фиксированном х, а интегрирование ве-
ведется только по |. С учетом (8.1) равенство (8.3) можно запи-
записать в виде
J/d|,	(8.4)
или в компонентах
" ifdt	(8.5)

96	II. УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА
Массовая скорость v есть тот эффект молекулярного движе-
движения, который мы можем воспринимать посредством макроскопи-
макроскопических наблюдений; она равна нулю в случае стационарного со-
состояния газа в замкнутом неподвижном сосуде с зеркально от-
отражающими стенками. Каждая молекула обладает некоторой
скоростью |, которая раскладывается на сумму v и другой ско-
скорости
c = g-v,	(8.6)
описывающей случайное отклонение скорости молекулы от упо-
упорядоченного движения со скоростью v. Скорость с обычно на-
называют собственной или тепловой скоростью; она совпадает
с §, когда газ макроскопически покоится. Заметим, что в силу
(8.6), (8.5) и (8.1)
\=\hfdl-vi\fdl = pvt-pvi = O.	(8.7)
Величину pVi в (8.5) можно интерпретировать как плотность
импульса или, иначе, как поток массы (в i-м направлении).
В дальнейшем нам понадобятся также поток импульса, плот-
плотность энергии и поток энергии. Так как импульс — векторная
величина, нужно рассматривать поток /-й компоненты импульса
в i-м направлении:
ilifdl.	(8.8)
При этом используется следующее общее правило: если некото-
некоторая величина имеет плотность G в фазовом пространстве (в на-
нашем случае G — ^f), то ее поток через поверхность 5 (т. е. ко-
количество этой величины, которое проходит через единицу по-
поверхности 5 в единицу времени) определяется выражением
J Gln dt dS dlj{dS dt) = J Gtn dt
Здесь интеграл берется по всем возможным скоростям, dS обо-
обозначает площадь элемента поверхности, а ?п компоненту § по
нормали к этому элементу. Соотношение (8.8) показывает, что
поток импульса описывается симметричным тензором второго
ранга.
Следует ожидать, что при макроскопическом описании иден-
идентифицируется только часть микроскопически определенного по-
потока импульса, поскольку интеграл в (8.8), вообще говоря, от-
отличен от нуля, даже если газ макроскопически покоится (отсут-
(отсутствует макроскопический поток импульса). Чтобы выяснить, как
упомянутый поток импульса проявится при макроскопическом
описании, воспользуемся разбиением § на массовую скорость v

8. СВЯЗЬ МЕЖДУ МИКРО- И МАКРОСКОПИЧЕСКИМ ОПИСАНИЯМИ	97
и тепловую скорость с согласно (8.6). Имеем
Ш dl = J (vt + cl)(vJ + cj) f dl =
v^ сfi dl + v, \ cj dl + J Cic,f d\ =
icjfdl	(8.9)
где использованы соотношения (8.1) и (8.7). Таким образом,
поток импульса распадается на две части, одна из которых опре-
определяется как макроскопический поток импульса (плотность
импульса, умноженная на скорость), а вторая часть представ-
представляет собой скрытый поток импульса, обусловленный тепловым
движением молекул. Как проявится эта вторая часть при мак-
макроскопическом описании? Если взять фиксированную область
газа и наблюдать за изменением импульса внутри нее, то можно
обнаружить, что (при отсутствии внешних объемных сил) изме-
изменение лишь отчасти может быть приписано веществу, входя-
входящему в эту область и выходящему из нее. При этом остается
вторая часть, для которой нет макроскопического объяснения,
если не приписать ее действию некоторой силы, действующей
на границу рассматриваемой области со стороны примыкаю-
примыкающего газа. Иначе говоря, интеграл \ctcjf d%> появляется как
вклад в тензор напряжений (и фактически единственный вклад
в тензор напряжений, если газ является больцмановским, для
которого действием молекул одной области на молекулы другой
области пренебрегают). Поэтому запишем
Pil-\ciclfdl	(8.10)
(отождествление вполне оправдывается тем фактом, что, как
будет показано ниже, р^ играет в макроскопических уравне-
уравнениях, полученных из уравнения Больцмаыа, ту же роль, что и
тензор напряжений в уравнениях сохранения, выведенных из
макроскопических соображений).
Аналогичное разбиение нужно провести для плотности энер-
энергии и потока энергии. Плотность энергии задается выражением
Уг \ l2f d%, и достаточно лишь положить в (8.9) / = i и просум-
просуммировать от i = 1 до / = 3, чтобы получить
2fdt	(8.11)
Снова первый член в правой части макроскопически отожде-
отождествляется с плотностью кинетической энергии, тогда как второй
член может быть приписан «внутренней энергии» газа.

98
It. УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА
Следовательно, если ввести внутреннюю энергию единицы мас-
массы газа е, то плотностью внутренней энергии единицы объема
будет величина
pe=±[c2fdt	(8.12)
Отметим, что существует связь между плотностью внутрен-
внутренней энергии и следом (т. е. суммой трех диагональных членов)
тензора напряжений. Действительно, из (8.12) и (8.10) следует,
что
\	(8.13)
(Здесь и далее, если не оговаривается противное, будет исполь-
использоваться условие суммирования по повторяющимся индексам от
3	\
1 до 3; таким образом, ри =в J] ри. I След, деленный на 3, дает
/=i /
изотропную часть тензора напряжений; поэтому удобно отожде-
отождествлять р = рц/3 с давлением газа по крайней мере в случае
равновесия. Такое отождествление в случае одноатомного газа
справедливо и для неравновесных состояний, но в общем случае
неверно. Поэтому
%	(8.14)
Соотношение (8.14) называется уравнением состояния газа; оно
позволяет выразить любую из трех величин /?, р, е через две
другие. Как мы видели в разд. 6 гл. I, для одноатомного иде-
идеального газа е является функцией температуры, т. е. такой ве-
величины, которая имеет свойство принимать одно и то же значе-
значение для двух систем, находящихся в контакте в состоянии рав-
равновесия. Из (8.14) следует, что р/р постоянно при постоянной
температуре для разреженных одноатомных газов. Именно это
свойство служит определением для идеального газа, подчиняю-
подчиняющегося уравнению Клапейрона
(8.15)
где Т—абсолютная температура, a R — постоянная (зависящая
от массы молекулы согласно A.6.27), где m — in для одноком-
понентного газа). Соотношения (8.14) и (8.15) приводят к вы-
выражению
e==3/2RT,	(8.16)
которое использовалось в гл. I (формула A.6.26)).
Теперь нужно исследовать поток энергии. Полный поток
энергии, очевидно, равен
)	$<S2M&.	(8.17)

8. СВЯЗЬ МЕЖДУ МИКРО- И МАКРОСКОПИЧЕСКИМ ОПИСАНИЯМИ	99
Используя (8.6), получаем
11*	1 Г
= -^vtv2^ f dl+ ViVj^ Cjf dl + — t\ y2f d\ +
SI Г
CiCff dl + ^ \ cic f d%» (8.18)
или с учетом (8.1), (8.7), (8.12), (8.10)
tc2fdt (8.19)
В результате получились три члена. Первый из них, оче-
очевидно, представляет поток энергии, обусловленный макроскопи-
макроскопической конвекцией. Второй с макроскопической точки зрения
интерпретируется как следствие работы, совершаемой напряже-
напряжениями в единицу времени.
Третий член представляет собой еще один вид потока энер-
энергии. Этот добавочный член обычно называют вектором тепло-
теплового потока и обозначают через q:
iC2fd&	(8.20)
Как и в случае тензора напряжений, такое отождествление
оправдывается тем, что, как будет показано в дальнейшем, q
играет ту же роль, что и вектор теплового потока в макроско-
макроскопических уравнениях. Однако термин «тепловой поток» отчасти
вводит в заблуждение, так как встречаются ситуации, когда
qi ф 0, а температура практически постоянна всюду; в этом слу-
случае приходится говорить о тепловом потоке при постоянной тем-
температуре. Термин «неконвективный поток энергии» был бы бо-
более подходящим для q, но он не употребляется.
Проведенные рассуждения связывают функцию распределе-
распределения с величинами, которые используются при макроскопическом
описании; в частности, рц, например, можно применять для рас-
расчета силы сопротивления, действующей на движущееся в газе
тело, a q — для определения теплопередачи от горячего тела к
холодному, ргогда они разделены заполненным газом простран-
пространством.
Чтооы завершить описание этой связи и представить ее как
простое математическое следствие уравнения Больцмана, выве-
выведем теперь пять дифференциальных уравнений, которым удов-
удовлетворяют рассмотренные выше макроскопические величины.
Эти уравнения обычно называют уравнениями сохранения, так
как физически их можно интерпретировать как уравнения, вы-
выражающие сохранение массы, импульса и энергии.

100	Н. УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА
Для получения этих уравнений рассмотрим уравнение Больц-
мана
l + ^ + Z(.|r = Q(U),	(8.21)
где ради общности введен член с объемными силами, который
обычно опускается. Умножим обе части уравнения (8.21) на
пять инвариантов столкновений фа (а = 0, 1, 2, 3, 4), опреде-
определенных в разд. 6, и проинтегрируем по |. Из F.40) с g = f,
Ф = г|)а имеем
= O (a = 0, 1, 2, 3, 4)	(8.22)
для любой функции /. Следовательно, для любой /, удовлетво-
удовлетворяющей уравнению (8.21),
\aj^ d%=0 (a=0, 1,2,3, 4) (8.23)
при условии, что Xi не зависит от §.
Если взять последовательно a = 0, 1, 2, 3, 4 и воспользо-
воспользоваться соотношениями (8.1), (8.4), (8.9) —(8.12), (8.19) и
(8.20), то будем иметь
и) = рХ,, (8.24)
W [9 (т v2 + e) + -?r \_Pvi (y y2 + е)
Здесь использованы также соотношения
rfg = 0, \ I,(df/dld d$=-\ 6tif d% = - рбG,
i f
-25)
которые получаются интегрированием по частям с учетом усло-
условий lim (i|5a/) = 0, необходимых для существования встречаю-
щихся в данном разделе интегралов. Здесь Sij = 1 при i = j и
5^- = 0 при 1ф\. Уравнения (8.24)—это основные уравнения
механики сплошной среды, в частности макроскопической газо-
газовой динамики. Однако в таком виде они являются пустой схе-
схемой, поскольку дают 5 уравнений для 13 величин (если принять
во внимание (8.13)). Чтобы получить уравнения, которыми
можно пользоваться, нужно каким-то образом выразить pij и

8. СВЯЗЬ МЕЖДУ МИКРО- И МАКРОСКОПИЧЕСКИМ ОПИСАНИЯМИ ](I
Цх через р, viy e. Или же надо вернуться к уравнению Больц-
мана и решить его; но если это сделано, то сделано уже все и
уравнения (8.24) бесполезны!
При любом макроскопическом подходе к динамике жидко-
жидкости приходится постулировать (на основе экспериментов или
правдоподобных рассуждений) некоторые феноменологические
соотношения (так называемые определяющие уравнения) ме-
между pij, Ц{, с одной стороны, и р, Vi, e — с другой. В случае газа
или вообще жидкости существуют две хорошо известные мо-
модели: жидкость Эйлера (или идеальная):
Ри = рЬц, Qi = Q	(8.26)
и жидкость Навье — Стокса — Фурье (или вязкая и теплопро-
теплопроводная):
(dvf	dv. \	dvb
дТ J	lJ	k	(8.27)
где \х и X— коэффициенты вязкости (обычно пренебрегают так
называемой объемной вязкостью, тогда Х =—2/зц), а х—коэф-
х—коэффициент теплопроводности (jx, X и х могут быть функциями
плотности р и температуры Г).
При микроскопическом описании таких соотношений вводить
не нужно; единственная неизвестная функция / содержит всю
информацию о плотности, скорости,, температуре, напряжениях
и тепловом потоке! Конечно, это возможно только потому, что /
является функцией семи переменных вместо четырех; макроско-
макроскопический подход (пять функций четырех переменных) проще,
чем микроскопический (одна функция семи переменных), и если
он может быть применен, то его следует предпочесть. Поэтому
одна из задач теории, основанной на уравнении Больцмана, со-
состоит в получении некоторой приближенной макроскопической
модели для газа при обычных условиях (в частности, соотноше-
соотношений (8.27) с р,, X, х, выраженными через молекулярные кон-
константы) и нахождении пределов применимости подобной мо-
модели. Эта часть теории будет рассматриваться в гл. V.
Существуют, однакй,^дежимы с таким разрежением, что
никакая общая макроскопическая теория в обычном смысле не-
возможна (определяющие уравнения типа (8.26) и (8.27) те-
теряют силу); в этом случае нужно решить уравнение Больцмана,
а не только использовать его для обоснования макроскопических
уравнений.
Заметим, что если в (8.1), (8.3), (8.12) подставить максвел-
ловскую функцию распределения G.8), то окажется, что

-102	Н. УРАВНЕНИЕ БОЛЫЦМАН4.
входящая в выражение G.8) постоянная v действительно пред-
представляет собой массовую скорость, а
а = 3 De)~l = BRT)~\ А = 9 (%ne)^k = р {2nRT)~4\ (8.28)
Далее,
Pi, = pbi, = 2l3pebth qt = 0,	(8-29)
так что газ с максвелловским распределением удовлетворяет
определяющим уравнениям идеальной жидкости (8.26).
Сказанное выше можно распространить на случай смеси га-
газов. При этом для каждого компонента имеем все определен-
определенные выше величины и, кроме того, можем рассматривать сум-
суммарные или средние величины для всей смеси. В случае много-
многоатомных газов полная внутренняя энергия на единицу массы,
с, равна сумме 3/2RT (поступательной энергии) и средней внут-
внутренней энергии молекулы 8 (вращательной и колебательной
энергии).
При отсутствии реакций в газе закон сохранения массы вы-
выполняется для каждого компонента, но уравнения сохранения
импульса и энергии справедливы только для суммарных вели-
величин. Если в газе протекают реакции, то даже уравнение сохра-
сохранения массы для отдельного компонента не выполняется.
9. Необрезанные потенциалы и скользящие столкновения.
Уравнение Фоккера—Планка
В этом разделе кратко обсуждаются некоторые вопросы, свя-
связанные с использованием необрезанного потенциала, и в част-
частности эффект скользящих столкновений.
Эти вопросы возникают, если включить в уравнение Больц-
мана влияние дальнодействующих сил. Можно было бы моди-
модифицировать рассуждения разд. 4, допуская, что производная
dU/dr отлична от нуля при г > а; тогда появляются дополни-
дополнительные члены, точно так же, как в уравнениях D.2), D.3),
D.4) (однако с отличной от нуля правой частью). Интеграл,
определяющий X, берется теперь по области |х — х*| > о:
J 9(x,,t)X(x,xJdx,,	(9.1)
I х-х* \>о
где р = тп— массовая плотность, определенная формулой
(8.1). Если X—центральная сила, величина которой меняется
как |х — х*\~п при |х — х*|->оо, то этот интеграл пренебре-
пренебрежимо мал для больцмановского газа при условии, что п >* 4.
Действительно, если мы имеем |Х(х, х*) | ^ аа?2~71х — xjn для

9. НЕОБРЕЗАННЫЕ ПОТЕНЦИАЛЫ И СКОЛЬЗЯЩИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ 103
|х — хж|>о, где а ограничено при а—«-О, и Л = тах(|р(х) —
-p(xj|/|x-xj), то
mrv--, ) Xdx.
Г>0
\ (p,-
г>а
(п _ 4)
(9.2)
а
где г = |х — х*|, M = Nm — полная масса газа и \XdxJII = 0
для центральной силы.
Из (9.2) следует, что |Х|->0 при /Va3->0, если л > 4. За-
Заметим, что это условие достаточно, но может оказаться не не-
необходимым, так как наши грубые оценки могли помешать воз-
возможным сокращениям. Во всяком случае, условие п > 2 яв-
является необходимым, и это исключает, например, кулоновские
силы. В последнем случае, как упоминалось раньше, коллектив-
коллективное поведение, описываемое власовским членом Х-(дР/д§),
очень важно. Фактически власовский член достаточен для опи-
описания влияния дальнодействующих сил на коротких интервалах
времени, но не годится для изучения поведения на больших ин-
интервалах времени и на больших расстояниях. Аналогичное за-
замечание справедливо и в случае нейтрального газа, так как,
хотя взаимодействия на больших расстояниях формально пре-
небрежимы, они могут быть неравномерно малыми и дать ощу-
ощутимый, а возможно, и доминирующий эффект, когда время и
расстояние стремятся к бесконечности (как в е + е~\ где е <С 1
и /-> оо).
Лучший способ учесть эффект дальнодействующих сил та-
таков: надо рассматривать их влияние статистическим образом,
основываясь на том, что они производят непрерывную последо-
последовательность малых и почти случайных изменений скорости. Это
можно сделать следующим образом. В уравнении движения час-
частицы с координатами х и скоростью | сила на единицу массы
заменяется случайно изменяющейся силой, средние свойства
которой отражают влияние других частиц. Запишем
-57-=Х(/, х, g)	(9.3)
и предположим, что, если R = Х(/)—средняя сила в момент
времени /, то не существует корреляции между X(/i)—R(^) и
Х(?2)—R(^) при t\ отличном от t2. Иначе говоря, сконцентри-
сконцентрируем все корреляции (которые имеют место на некотором вре-
временном интервале) в один момент времени, так что
[X (А) - X (/,)] [X (/2) - X (/2)] = 2D6(t{ - /2),	(9.4)

104	II. УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА
где черта означает усреднение, a D — тензор с компонентами
D{j, называемый тензором диффузии по причинам, которые вы-
выяснятся впоследствии. Средняя сила R = X должна равняться
нулю для частицы, скорость которой равна массовой скорости
соседних частиц. Если же это условие не выполняется, то сле-
следует ожидать среднего изменения | и, следовательно, R =
= R(I) Ф 0. Для среднего изменения \ за временной интервал
А/ уравнение (9.3) дает
t + At
Д?	 [ Y (r Y ?\ r\r	(Q Ъ)
t
Отсюда
- 		t + At
А|	. 1 Г
И
lim д^ = lim -^- \ Х(ть х, |)Х(т2, х, l)dxldx2 =
= 2D (х, |). (9.7)
Высшие корреляции, такие, как А|А|Д|А|, являются величи-
величинами более высокого порядка относительно At по крайней мере
при предположении о гауссовском распределении Х(/, х, 1)
около среднего значения /?(х, §).
Обозначим через Г(х, х', |, |r, At) плотность вероятности
того, что молекула, находящаяся в точке х' и имеющая скорость
!', в результате рассматриваемого случайного движения через
время А/ будет находиться в точке х и иметь скорость | (сле-
(следовательно, Т определяется уравнением (9.3) по крайней мере
в принципе). Тогда функция распределения / в момент t-\-At
выражается через / в момент / так:
f (x, I t + A/) - \Т (х, х', I, Г At) f (х', Г, 0 dx' сЩ. (9.8)
Соотношения (9.5) и (9.7) эквивалентны следующим:
lim 1- \ (| - Г) Т (х, х', I Г, ДО dtdx = R (х', Г),
lim -b\(t- Г) (S - Г) ^ (х, х', I, Г, ДО rfg rfx = 2D (х', Г),
lim ' С(|_
п раз
ХГ(х,

9. НЕОБРЕЗАННЫЕ ПОТЕНЦИАЛЫ И СКОЛЬЗЯЩИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ Ю5
Кроме того, поскольку dx/dt = %>9
lim -j- \(х - х') Т (х, х7, |, Г A/) dg dx = Г,
lim -^ \ (x-xQCx-x7) ... (x-xQ X
/г раз
X Г (х, х', % g', At) d%dx = 0 (n> 1). (9. 0)
Наконец, из самого смысла величины Т следует, что
(х, х', I Г, A0rfxd|=l.	(9.11)
Если ф(х, |) — произвольная гладкая функция, то
, 6Ч д{ (х, |, 0 , ,г
(х I)	b' ' dxdl =
= lim ^-[(, |)f(, g, + )g
-(ф(х, g)/(x, l,t)dxdl]. (9.12)
Используя равенство (9.8) и разложение Тейлора по х', |',
находим
(к, |)/(х, I t +At)dxdl =
S<p(xf 6)Г(х, х7, g, Г, M)f(x\ Г, t)dx'dl'dxdl=*
где произведение произвольных тензоров А и В определяется
так: А-В = 4^5^, а о (А/) означает члены, стремящиеся к нулю
быстрее, чем kt. Заменив в (9.13) хг, |7 на х, |, уравнение (9.12)
можно записать в виде
$<р(х, g)-ff

106	П. УРАВНЕНИЕ БОЛЫДМАНА
где последнее выражение получается в результате соответствую-
соответствующего интегрирования по частям. В силу произвольности
ф(х, |) из (9.14) вытекает, что / удовлетворяет следующему
уравнению (обобщенному уравнению Фоккера — Планка в про-
пространстве скоростей):
Первый член в правой части описывает диффузию в про-
пространстве скоростей и именно по этой причине D назван тензо-
тензором диффузии.
Поскольку рассматриваемая частица произвольна, а сила X
создается другими частицами, не должно быть каких-либо по-
потерь импульса и энергии в среднем; т. е. должны выполняться
соотношения
(9Л6)
которые после интегрирования по частям принимают вид
(9.17)
где Tr(D) =DU = Dn + A22 + D33 — след D. Уравнения (9.17)
не могут удовлетворяться для любых /, если R и D не зависят
от самой функции / (тривиальный случай R = 0, Тг D = 0 ис-
исключается). Это не только допустимо, но и необходимо, так
как случайная сила X(t) зависит от распределения частиц.
Соображения изотропии ведут к соотношениям
D = DI, R = -F(g-V),	(9.18)
где I — фундаментальный тензор (единичная матрица), v —
массовая скорость газа, определенная формулой (8.3), a D и
F — соответствующие функции от х и || — v|. В этом случае
уравнение (9.15) принимает вид
|.+ 6.^ = Al(D/)+-^.[(i-v)Fn>	(9.19)
где Д| — оператор Лапласа в пространстве скоростей. Особенно
простой вариант получается в том случае, когда D и F не зави-
зависят от |. Тогда первое из уравнений (9.17) выполняется триви-
тривиально, а второе — если воспользоваться определением темпера-

5. ННОБРЕЗАННЫЁ ПОТЕНЦИАЛЫ И СКОЛЬЗЯЩИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ Ю7
туры Т (см. разд. 8)—дает
D = RTF.	(9.20)
При выводе уравнения Больцмана для молекул, взаимодей-
взаимодействующих посредством центральной силы, можно повторить рас-
рассуждения разд. 2, 3 и 4, за исключением того, что эволюция ве-
N
личины PN= 2 [f (хь !*, t)/m] между двумя последователь-
z = i
ными столкновениями включает диффузию и трение в простран-
пространстве скоростей, описываемые уравнением (9.15). Это означает,
что член того же типа, что в правой части последнего уравне-
уравнения, должен добавляться и в правую часть уравнения Больц-
Больцмана D.16).
Еще один способ учета взаимодействий между далекими мо-
молекулами состоит в допущении а->оо в столкновительном опе-
операторе Больцмана, что приводит к распространению анализа
парных столкновений на расстояния, где он, строго говоря, не
применим. На первый взгляд это кажется очень странным, по-
потому что а, как определено выше, является величиной порядка
10~8 см и при выводе уравнения Больцмана использовался пре-
предельный переход а->0. Однако можно оправдать и предполо-
предположение о= оо; дело в том, что а входит в D.16) только через
?@, V) и увеличение а означает, что учитываются «более сколь-
скользящие» столкновения. Эти добавляемые столкновения настолько
скользящие, что они едва отклоняют молекулы от их первона-
первоначальных путей; молекула, претерпевающая такое скользящее
столкновение в определенном состоянии движения, выходит из
него практически в том же самом состоянии, и, следовательно,
вклад от таких столкновений в интеграл в D.16) практически
равен нулю (f'f я^ ff). Иначе говоря, если согласиться с этим
рассуждением, то нужно сказать, что при произвольном увели-
увеличении а, и в частности при а->оо, мы ничего не изменяем, по-
поскольку просто добавляем одно и то же большое число к каж-
каждому из двух членов разности
EJ5	). (9.21)
Насколько велики эти числа, легко усмотреть из того, что
для любого безграничного потенциала эти два интеграла расхо-
расходятся! Для наглядности полезно вспомнить, что, например, вто-
второй интеграл можно представить (см. 4.14) в виде
а 2л
J J \ fhV dlj drde = f (|)[J f (U | g, - g | rfgj na\ (9.22)
0 0
в котором расходимость при а->оо совершенно очевидна.

H. УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАМА
Верно, что, хотя оба интеграла расходятся, если не разде-
разделять их и записывать столкновительный член, как в D.16), то
результат конечен (для достаточно гладких /). Однако это еще
не оправдывает предельного перехода а->оо; такое оправдание
должно быть основано на доказательстве, что скользящие столк-
столкновения, соответствующие очень большим значениям прицель-
прицельного параметра, правильно описывают эффект большого числа
одновременных скользящих взаимодействий. В этом случае ин-
интеграл столкновений должен содержать в себе эффекты, кото-
которые ранее были описаны с помощью члена Фоккера — Планка.
Это можно показать и формально, замечая, что для малых от-
отклонений (8->я/2), |' близко к |, а ?' к ? , и пользуясь тем, что
Г, - ff.) B(Q,V) d\ d% de =
-ff,)B(Q,V)dtd$tdQdB =
de [\\ qf'f'B F, V) dl d\ - \\ tffB F, V)
= И \ \(cp' ~ ф) ff*B (e' v) dl dl*dQ de<
где ф = ф(|) — достаточно гладкая функция, ф' = фA0 и пере-
переменные интегрирования I и | в интеграле, содержащем ff,
заменены на 1', % причем d%'d\^ = d%d.%, (см. разд. 4 гл. I,
а также разд. 6 настоящей главы). Разложение в ряд Тейлора
дает
g|2), (9.24)
где о(||' —1|) обозначает члены, которые для дважды диффе-
дифференцируемой функции / являются величинами выше второго по-
порядка по ||' —1| при ||' — Ц->0. Для скользящих столкнове-
столкновений ||' —1| очень мало, и этими членами можно пренебречь.
Подставляя выражение (9.24) в (9.23), находим

9. НЕОБРЕЗАННЫЕ ПОТЕНЦИАЛЫ И СКОЛЬЗЯЩИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ 109
где интегрирование по 0 относится только к скользящим столк-
столкновениям (т. е. проводится по интервалу от я/2— г\ до я/2,
ц < я/2) и
ггг	(9-2б)
20 ® = )) ) $' - 1) (Г ~ g) f*B F> V) dl* d6 йг'
В силу произвольности ф из (9.25) вытекает, что вклад
скользящих столкновений имеет в точности форму члена Фок-
кера — Планка из уравнения (9.15). Этот вывод дает также
точные выражения для R и D, которые в соответствии со ска-
сказанным выше оказываются зависящими от f. Те же самые вы-
выражения получатся из формул (9.6) и (9.7), если учесть, что
частота столкновений данной молекулы с молекулой, имеющей
скорость между |* и §* + d§*, при углах столкновения между
Э и 6 + d8, е и е + de равна
Приведенные выражения для R и D можно упростить, заме-
заметив, что в системе отсчета с осью г, направленной вдоль V,
= — V (sin 0 cos 0 cos s, sin 0 cos 0 sin e, cos2 0). (9.27)
Следовательно,
я/2	2я
Л/2-П О
я/2
== — V 5 В @, V) @, 0, cos2 0) dQ = - VF (V)y (9.28)
я/2-Л
где
я/2
F(V)= j cos28?@, V)dQ,	(9.29)
я/2-ti
и, значит,
R = - [ VF (V) f (У dg, (V = g - i).	(9.30)

110	it. УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА
Аналогично
я/2 2я
я/2 -ti 0
о о \
= У2 М 0	72sin2e 0 cos2 QB (9, V) dQ =
я/2-Л О	О	COS2 9/
я/2
= {V4 - VV) I J sin2 8 cos2 QB (8, F) d8 +
я/2-Т]
я/2
+ VV J cos4 QB (8, К) d8. (9.31)
Я/2-Л
Интеграл, содержащий cos4 9, имеет порядок величины, уже
отброшенной выше, а интеграл, который содержит sin2 8 cos2 8=
= cos28 — cos48, отличается от F(V) на гакую же пренебрежимо
малую величину. Следовательно, в рамках принятого приближе-
приближения второе из выражений (9.26) принимает вид
2D (S) = у J (V4 - VV) F (V) f (U dg, (V = I - у. (9.32)
Заметим, что R и D, заданные формулами (9.30) и (9.32),
удовлетворяют уравнениям (9.17).
Действительно, имеем
*; ¦« vIS — S* I j / \Ъ) I [§*) wg ag^ — U, ^y.oc)^
так как интеграл меняет знак при замене
Далее,
- U • (? - U f (I) f (i) ^ A1 - UI rfidi=
= -Tr(D),	(9.34)
где для симметризации интеграла использована та же замена,
а для вычисления Tr(D) использовано соотношение V-V =
= F = Tr(V2I —VV)/2.
Для степенных потенциалов из (9.29), E.21) и E.23) (при
п >» 2) имеем
F(y) = H«-5№'-1>0(T]2*1)),	(9.35)

10. МОДЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	И 1
откуда следует, что D и R малы при п >> 2 (ц <С я/2). Следова-
Следовательно, скользящими столкновениями формально можно пренеб-
пренебречь (при п > 2) az/?w условии, что / — достаточно гладкая функ-
функция и достаточно быстро убывает при §->оо. Тем не менее
скользящие столкновения могут оказать влияние на поведение
газа при больших значениях времени и расстояния. Соответ-
Соответствующие масштабы длины и времени при этом имеют порядки
^_2+2/(п-1) и /гр2+2/(п-1)Д где /_ средняя длина свободного про-
пробега, а с—подходящая средняя скорость; экспериментальная
проверка эффектов при таких масштабах, видимо, очень трудна,
поэтому скользящие столкновения можно опустить, если мы не
собираемся обсуждать столь необычные эффекты. В этой связи
нужно также указать, что разложения, использованные выше
для вывода члена Фоккера — Планка из уравнения Больцмана,
не являются равномерно пригодными.
Таким образом, в большинстве задач включение дальнодей-
ствующей части потенциала (при условии, что показатель сте-
степени в выражении силы при г->оо больше двух, что исключает
кулоновские силы) не должно иметь большого значения. Физи-
Физический смысл соответствующей части оператора столкновений,
однако, уже не тот, что при выводе уравнения Больцмана, так
как ее нужно интерпретировать как описание многих одновре-
одновременных отклонений вследствие многочастичного взаимодействия,
а не описание двухчастичных столкновений. В самом деле, стро-
строгий анализ на основе бинарных столкновений не имеет смысла
для расстояний больше чем n~Xj\ где п — численная плотность.
Чтобы быть последовательными, необходимо принять ограниче-
ограничение а<ао ^ п~х/г [18]. Именно малость отклонений позволяет
использовать бинарный анализ, так как можно применить прин-
принцип суперпозиции и описать результат многочастичного взаи-
взаимодействия как линейную комбинацию результатов нескольких
двухчастичных взаимодействий.
Другой подход к теме этого раздела, а также дополнитель-
дополнительные подробности для случая кулоновских сил можно найти в ра-
работах [19—21].
10. Модельные уравнения
Одна из главных трудностей, возникающих при решении
уравнения Больцмана, обусловлена сложной структурой инте-
интеграла столкновений F.1).
Поэтому не удивительно, что для столкновительного члена
были предложены другие, более простые выражения. Они из-
известны как модели интеграла столкновений, и любое уравнение
брльцмановского типа, в котором интеграл столкновении

112	И. УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА
заменен его моделью, называется модельным уравнением или
кинетической моделью.
Идея, лежащая в основе такой замены, состоит в том, что
многие детали двухчастичного взаимодействия (отраженные в
столкновительном члене) вряд ли существенно влияют на зна-
значения многих экспериментально измеряемых величин. Иначе го-
говоря, если речь идет не об очень тонких экспериментах, то сле-
следует ожидать, что тонкую структуру оператора Q(f,f) можно
заменить смазанным изображением, основанным на более про-
простом операторе /(/), который сохраняет только качественные и
средние свойства истинного оператора столкновений.
Наиболее известная модель интеграла столкновений обычно
называется моделью Бхатнагара, Гросса и Крука (БГК-мо-
делью), хотя Веландер предложил ее независимо примерно в то
же самое время, что и упомянутые авторы [22, 23]. При по-
построении БГК-модели (и более сложных моделей) полагают,
что оператор столкновений обладает следующими основными
свойствами.
1) Истинный оператор столкновений Q(f,f) удовлетворяет
условию (8.22); поэтому и модель /(/) должна удовлетворять
условиям
$	= 0 (а = 0, 1,2, 3,4).	A0.1)
2) Столкновительный член удовлетворяет неравенству G.3).
Значит, и для /(/) должно выполняться условие
0,	A0.2)
где равенство достигается тогда и только тогда, когда f — мак-
свелловская функция распределения.
Как будет видно в гл. III, второе свойство выражает стрем-
стремление газа к максвелловскому распределению. Это свойство,
пожалуй, проще всего учесть, предположив, что средний эф-
эффект столкновений сводится к изменению функции распределе-
распределения f (§) на величину, пропорциональную отклонению f от макс-
веллиана Ф(^I). Тогда, если v не зависит от §, получается
следующая модель:
J(f) = v[O(l)-f(l)].	A0.3)
Согласно G.8) и (8.28), максвеллиан содержит пять свобод-
свободных скалярных параметров (р, v, Г); однако они фиксируются
условиями A0.1), из которых следует
fa)dl	A0.4)
!) Для удобства читателя термин «максвеллиан» (Maxwellian) (вместо
слов «максвелловская функция распределения») будет использоваться иногда
Прим ред
слов «максвелловская функция рас
и в русском переводе, — Прим. ред.

10. МОДЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	113
так что в любой точке пространства и в любой момент времени
функция Ф(§) должна давать точно те же плотность, скорость
и температуру, что и функция распределения /(§) (см. (8.1),
(8.3), (8.12), (8.16)). Так как последняя, вообще говоря, изме-
изменяется во времени и пространстве, то это справедливо и для па-
параметров функции Ф(§), которая соответственно называется
локальным максвеллианом. «Частота столкновений» v на этом
этапе ничем не ограничивается и должна определяться из до-
дополнительных соображений; заметим, однако, что и v может
быть функцией локального состояния газа и, следовательно, из-
изменяться во времени и пространстве.
Нужно еще доказать, что БГК-модель удовлетворяет усло-
условию A0.2), причем знак равенства достигается тогда и только
тогда, когда / — максвеллиан. Имеем
In fj (f) dl = \ In (//Ф) / (f) dl + J In Ф/ (f) dl =
= J v(D [A - f/Ф) In (f/Ф)] d|,	A0.5)
где интеграл, содержащий In Ф, равен нулю, потому что эта
величина представляет собой линейную комбинацию функций
г|эа и выполняются условия A0.1). Тогда из соотношения G.6)
для X = f/Ф следует, что последний интеграл в A0.5) неполо-
неположителен; он равен нулю в том и только том случае, когда
f = ф, т.е. когда f — максвеллиан, что и требовалось доказать.
Видно, что нелинейность модели /(/) много хуже, чем нели-
нелинейность столкновительного члена Q(f,f)', действительно, по-
последний просто квадратичен по f, в то время как J(f) содержит
f в числителе и знаменателе экспоненты (v и Г, входящие в Ф,
являются функционалами от /, согласно (8.3), (8.12) и (8.16)).
Основное преимущество БГК-модели столкновительного
члена состоит в том, что для любой задачи можно получить ин-
интегральные уравнения для макроскопических переменных р, v, T
(см. гл. VII); эти уравнения существенно нелинейны, но упро-
упрощают некоторые итерационные процедуры и делают возможным
решение интересных задач на ЭВМ. Другое преимущество БГК-
модели проявляется при использовании ее в линеаризованной
форме (см. гл. IV).
БГК-модель сохраняет большинство основных свойств инте-
интеграла столкновений Больцмана, но не лишена и недостатков.
От некоторых из них можно избавиться путем соответствую-
соответствующих модификаций, правда, ценой простоты модели. Первая мо-
модификация состоит в том, чтобы допустить зависимость частоты
столкновений от скорости молекулы, не оставляя ее просто ло-
локальной постоянной; это изменение диктуется тем обстоятель-
обстоятельством, что из расчетов частоты столкновений для физических

114	Н. УРАВНЕНИЕ БОЛЫДМАНА
моделей молекул (твердых сфер, потенциалов конечного ра-
радиуса действия) вытекает зависимость v от скорости молекул, и
эта зависимость, по-видимому, важна для больших скоростей.
Формально эта модификация совсем проста [24]; нужно толь-
только допустить зависимость v от | (точнее, от абсолютной вели-
величины с тепловой скорости с, определенной формулой (8.6)), тре-
требуя в то же время, чтобы условия A0.1) по-прежнему выпол-
выполнялись. Все основные формальные свойства, включая A0.2),
сохраняются, но плотность, скорость и температура в максвел-
лиане Ф теперь уже являются не локальными плотностью, ско-
скоростью и температурой газа, а некоторыми фиктивными локаль-
локальными параметрами, связанными с пятью функционалами /, от-
отличными от р, v, Г; это следует из того, что A0.1) теперь дает
J v (с) фвФ d| = J v (с) 4>ef d|	A0.6)
вместо A0.4).
Другой тип коррекции БГК-модели получается при выводе
модельного уравнения, приводящего к таким же уравнениям
Навье — Стокса, что и полное уравнение Больцмана. Действи-
Действительно, как будет показано в гл. V, БГК-модель дает значение
числа Прандтля Рг = 1, т. е. значение, которое отличается от
получаемых и из уравнения Больцмана, и из эксперимента для
одноатомных газов (которые, согласуясь друг с другом, дают
Рг~2/3). Чтобы получить правильное значение числа Прандтля,
требуется дополнительный подгоночный параметр, кроме уже
имеющейся частоты v. Это ведет [25, 26] к обобщению БГК-мо-
БГК-модели путем подстановки локального анизотропного трехмерного
гауссовского распределения вместо локального максвеллиана
(который представляет собой изотропное гауссовское распреде-
распределение) :
Ф = 9я~ъ (det А)'/2 ехр [- ? Аи Ц, - vj) & - о,I
L i, /=1	J A0.7)
А = II Ац || = || BRT/Pv) 6и - 2 A - Рг) Л//(р Рг) Ц.
Если положить Рг = 1, то мы вернемся к БГК-модели. Не-
Недостатком модели A0.7) (называемой ЭС-моделыо, или эллип-
эллипсоидной статистической моделью) является то, что для нее не
удалось доказать (или опровергнуть) справедливость неравен-
неравенства A0.2). Предлагались также другие модели с различными
вариантами Ф [27, 28], но, за исключением линеаризованных за-
задач (см. гл. IV), они не представляют интереса из-за крайне
сложной для решения формы.
Еще одна модель дается столкновительным членом типа Фок-
кера — Планка в форме (9.18), упрощаемой предположением.

ПРИЛОЖЕНИЕ	ЦБ
что D не зависит от скорости; тогда в силу (9.20) F также не
зависит от скорости и модель интеграла столкновений записы-
записывается в виде
{^ ^} по.8)
где Vk (ft= 1, 2, 3) — компоненты (локальной) массовой скоро-
скорости, а Г— (локальная) температура газа. По-видимому, впер-
впервые эту модель предложили Фриш, Хелфанд и Лебовиц [29] в
связи с кинетической теорией жидкостей, но она хорошо описы-
описывает и скользящие столкновения в газе, как было показано в
разд. 9. Интересно отметить, что если D считать пропорцио-
пропорциональным давлению р = pRT, то в A0.8) будет тот же тип не-
нелинейности (т. е. квадратичный), что и в полном уравнении
Больцмана; это представляется преимуществом по сравнению
с БГК-моделыо.
Идею кинетических моделей можно естественно распростра-
распространить на смеси и многоатомные газы [27, 30, 31]. Типичный столк-
новительный член типа БГК имеет вид
Л (/г) = t hi (fr) = t v7, (Фц - /у),	A0.9)
где vij—частоты столкновений, а Фг;-—максвеллианы, опреде-
определяемые из соответствующих условий, обобщающих условия
A0.1).
Приложение
В этом приложении будет показано, что если Р — плотность
вероятности, то величина
H(P) = -hTp = - ^PlnPdix (J Pd\i = l) (П. 1)
(где d[i — элемент объема в пространстве М событий, плотность
вероятности которых равна Р) является подходящей мерой
правдоподобия плотности Р. Иначе говоря, если взять «случай-
«случайно» несколько функций Р, положительных и нормированных, то
большинство из них будет близко к плотности вероятности Р,
для которой величина Н (Р) максимальна. Чтобы придать
смысл слову «случайно», разобьем пространство М на п ячеек
Qi объема ^ и заменим плотность вероятности Р множеством
чисел Ри представляющих собой средние от Р по ячейкам:

Пб	II. УРАВНЕНИЕ БОЛЫДМАНА
Возьмем теперь N предметов и распределим их случайным
образом по ячейкам. Если Ni из них окажутся в ячейке Qi
(О ^ N{ ^ N), то будем считать, что число Р?- = Ni/(N\ii) дает
вероятность для ячейки Q;. И обратно, заданную плотность ве-
вероятности Р можно сколь угодно точно представить при помощи
распределения N предметов по п ячейкам, выбирая п я N доста-
достаточно большими. Однако для приближения заданного порядка
существует только конечное, хотя и очень большое, число воз-
возможных распределений. Если распределять предметы случайно,
то существует W(P) = N\I(NX\N2\ ... Nn\) способов реализации
распределения Р = (Рь Р2, ..., Рп).
Действительно, первое множество N{ предметов можно вы-
выбрать из N предметов
N1
способами, второе множество N2 предметов из остальных Af — A^i
fN-МЛ
предметов — I „ I способами и т. д., так что распределение
{Р\у ..., ^п) может быть реализовано
N2
способами, как и утверждалось. Используя формулу для /V-й
степени полинома, общее число возможных распределений мож-
можно представить в виде
J] W (Р) = J] NilNfl Nni = A_+JJ- ¦_11±})N = nN- (П. А)
Nv ..., Nn	n членов
Следовательно, за меру правдоподобия для дискретного рас-
распределения (Рь Р2, ..., Рп) мы имеем право принять величину
W(P)/nN или ее натуральный логарифм, деленный на Af (чтобы
получить конечный предел при jV->oo):
Н(Р) = ~ In (	w).	(П. 5)
V ; ^V \N{\N2\ ... Nn\nN)	}
Вычислим предел при N -* оо, который должен дать выраже-
выражение для Н(Р), когда Pi принимает все возможные вещественные
значения. При N ~> оо справедлива следующая оценка:
\nN\ = N\nN -N + o (AT),	(П. 6)

ПРИЛОЖЕНИЕ	И?
где o(N) означает такую величину, что отношение o(N)/N стре-
стремится к нулю при N -> оо. Эта оценка следует из формулы Стир-
линга [32, 33] или из неравенства
2 < ^ < 37V,	(П. 7)
где е = 2,71828 ... — основание натуральных логарифмов.
В свою очередь неравенство (П.7) вытекает из элементарного
неравенства
/ 1 v'v	/ 1 \^+i
A + |) <е<A+|) .	(П.8)
Действительно, положим aN = N\eNJNN; тогда aN±i >> aN и
aN+\/{N-\-\) <CaN/N в силу (П.8), и неравенство (П.7) полу-
получается по индукции, поскольку п\ = е >> 2 и aj\ = е < 3. Под-
Подставляя оценку (П.6) в соотношение (П.5), находим
H(P) = \nN-l-)^^-(\nNi-l)-\nn + ^- =
!„ „ i o(N)
(П. 9)
/ = 1
здесь учтены также соотношения X^f —^ и Рг = Ni/(N\ii).
В пределе yV->oo последним членом в (П.9) можно пренебречь.
Полагая n->oo, jiz-->0, всегда можно добиться того, чтобы
Я|1г->й<г (суммарный объем ji пространства событий ради про-
простоты считается конечным); для этого достаточно взять \ii =
= ix/n. Тогда (Р\, Р2, ..., Рп) стремится к непрерывной плот-
плотности вероятности Р и выражение (П.9) принимает вид
Н (Р) = - J P In (РД) ^ = - J Я In Я dn - In Д
1пД.	(П. 10)
Эта формула совпадает с (П.1), если пренебречь несуще-
несущественной аддитивной постоянной (которая к тому же обратится
в нуль, если меру d\x нормировать так, что \х = 1).
Отметим одну трудность. Если произвести замену перемен-
переменных, описывающих пространство событий, то d\i превратится
в d[x = Jd\x\ где djo/ — элемент объема в новых переменных, а
J — якобиан перехода от старых переменных к новым. Тогда
соответствующая плотность вероятности в новых переменных

118	II. УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА
будет Р' = PJ (такая, что Prd]\! = Pd\x и, следовательно,
^'dn'=l), а Н(Р) примет вид
Н(Р) = - J р' In (Р',7) Ф' = — $ Я' In />'ф' + J Я' In / d\i' =
(П. И)
Если якобиан / постоянный, то величина Н'(Р') отличается
от Н(Р) на константу и, следовательно, эквивалентна ей как
мера правдоподобия (в частности, если /=1, то Н'(Р') =
= Н(Р)). Если / не постоянный, то Н'(Р') и Н(Р) не эквива-
эквивалентны. Значит, формула (П.1) имеет смысл только при исполь-
использовании специального класса переменных, такого, что два ва-
варианта переменных этого класса связаны между собой преобра-
преобразованием с постоянным якобианом. Этот класс выделяет меру,
которая должна обладать некоторым физическим свойством,
чтобы быть выбранной для такой цели.
В случае динамической системы частиц, взаимодействующих
посредством сил, не зависящих от скорости, естественно исполь-
использовать физические переменные, например декартовы компоненты
радиусов-векторов и скоростей частиц, или переменные, связан-
связанные с ними преобразованием с постоянным якобианом (в ча-
частности, для консервативных сил так называемые канонические
переменные связаны с декартовыми компонентами радиусов-век-
радиусов-векторов и импульсов преобразованием с единичным якобианом).
Действительно, в силу теоремы Лиувилля элемент объема
JJ dxk d\k не меняется при эволюции системы, и именно данное
свойство выделяет этот элемент объема среди других возмож-
возможных мер.
При помощи формулы (П.1) в основном тексте было пока-
показано, что при заданном Р*1) наиболее вероятное s-частичное рас-
s
пределение P(s) факторизуется, т. е. P{s =JJ_P{l)(xh ^). Дру-
гое возможное применение формулы (П.1) — доказательство того
факта, что наиболее вероятное одночастичное распределение для
идеального газа с заданной полной энергией является максвел-
ловским. В самом деле, максимизируя величину
Н(Р) = - \ Pin Pdldx	(П. 12)
при условиях (е — энергия единицы массы)
2PdSdx = e,	(П. 13)

ПРИЛОЖЕНИЕ	119
находим
-(l+\nP) + ii + ±-i* = Oy	(П. 14)
где Я и м-— (постоянные) множители Лагранжа. Отсюда
Р = Лехр (~ y^2) (Л = ехрA - \х)).	(П. 15)
Подстановка выражения (П.15) в (П.13) дает соответствующие
значения А и X, и мы приходим к A.6.25).
Для получения наиболее вероятной /V-частичной функции
распределения требуется более тонкое доказательство. Исполь-
Используя условия (ради простоты считаем массы равными)
при максимизации величины
N
[dxkdlk,	(П. 17)
находим
N
-A4-!nPAr) + ^+4Zg?==0'	(ПЛ8)
i = \
ИЛИ
так что не получается правильной функции распределения, за-
заданной выражением A.6.12). Причина этого кроется во втором
из условий (П. 16), которое слабее, чем точное условие для N-
частичной функции распределения
Р;У = 0 при ? у1| Ф Ne.	(П. 20)
Условие (П.20) можно учесть двумя способами. Во-первых,
можно видоизменить величину H(PN) так, чтобы интегрирова-
интегрировала
ние распространялось на гиперсферу Zl?>5 = 2jVe с мерой, за-
даваемой элементом поверхности (в этом случае условие (П.20)
автоматически удовлетворяется и равенство Pn = const на по-
поверхности максимизирует H(PN), что и требуется формулой
A.6.12)). Во-вторых, можно считать, что P,Y = 0

120	И- УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНЛ
N
i = l
Z l\ -
> s, и положить затем е->0 (в этом случае
i = l
и AN должно быть пропорционально 1/е, чтобы удовлетворить
условию нормировки Pn\ тогда при е->0 величина Р$ стре-
стремится к дельта-функции с надлежащим множителем, что легко
проверить, положив е = 1/ш, /п->оо и вспомнив соотношение
A.2.8)),
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
[1] Chapman S., Cowling Т. G., The mathematical theory of nonuniform
gases, Cambridge Univ. Press, 1952; русский перевод: Чепмен С, Кау-
линг Т., Математическая теория неоднородных газов, М., ИЛ, 1960.
[2] Hirschfelder J. О., Curtiss С. F., Bird R. В., Molecular theory of gases
and liquids, New York, Wiley, 1954; русский перевод: Гиршфельдер Дж.,
Кертис Ч., Берд Р., Молекулярная теория газов и жидкостей, М., ИЛ,
1961.
[3] Waldmann L, in "Handbuch der Physik", Band XII, S. 384, Berlin,
Springer, 1958; русский перевод: сб. «Термодинамика газов», М., «Ма-
«Машиностроение», 169—414, 1970.
[4] Boltzmann L., Wissenschaftliche Abhandlungen (Hasenorl F., ed.),
Band II, Leipzig, J. A. Barth, 1909; русский перевод: Больцман Л., Лек-
Лекции по теории газов, М., Гостехиздат, 1956.
[5] Carleman Т., Problemes mathematiques dans la theorie cinetique des gaz,
Uppsala, Almqvist and Wiksells, 1957; русский перевод: Карлеман Т.,
Математические задачи кинетической теории газов, М., ИЛ, 1960.
Jeans J., Dynamical theory of gases, New York, Dover, 1954.
71 Коган М. Н., Динамика разреженного газа, М., «Наука», 1967.
Grad H., Comm. Pure Appl. Math., 14, 323 A961).
Cercignani С, Transport Theory and Statistical Physics, 2, 211 A972).
[91
[10]
g	p	y	y	()
Боголюбов Н. Н., Проблемы динамической теории в статистической
ф	МЛ ГИТТЛ 1946
физике, М.--Л., ГИТТЛ, 1946.
[11] Born M., Green H. S., A general kinetic theory of fluids, Cambridge
Univ. Press, 1949.
[121 Kirkwood J. G., /. Chem. Phys., 14, 180 A946).
[13] Kirkwood J. G., /. Chem. Phys., 15, 72 A947).
[14] Yvon J., La theorie statistique des fluides, Actualites Scientifiques et
Industrielles, no. 203, Paris, Hermann, 1935.
[15] Grad H., in "Handbuch der Physik", Band XII, Berlin, Springer, 1958;
русский перевод: сб. «Термодинамика газов», М., «Машиностроение»,
5—109, 1970.
[16] Wang Chang С. S., Uhlenbeck G. E., de Boer J., in "Studies in statisti-
statistical mechanics" (de Boer J., Uhlenbeck G. E., eds), vol. II, Part c, Am-
Amsterdam, North Holland Publishing Company, 1964.
[17] Maxwell J. C, Phil. Trans. Roy.'Soc, 157^A866); перепечатано в "The
scientific papers of J. C. Maxwell". New York, Dover, 1965.
[181 Cercignani C, Phys. Fluids, 10, 2097 A967).
[19] Prigogine I., Non-equilibrium statistical mechanics, New York, Inter-
science, 1962; русский перевод- Пригожий И., Неравновесная статисти-
статистическая механика, М., «Мир», 1964.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ	121
[20] Balescu R., Statistical mechanics of charged particles, New York, Inter-
science, 1962; русский перевод: Балеску Р., Статистическая механика
заряженных частиц, М., «Мир», 1967.
[21] Liboff R. L., Introduction to the theory of kinetic equations, New York,
Wiley, 1969; русский перевод: Либов Р., Введение в теорию кинетиче-
кинетических уравнений, М., «Мир», 1974.
[22] Bhatnagar P. L., Gross E. P., Krook M., Phys. Rev., 94, 511 A954);
русский перевод: сб. «Проблемы современной физики», № 2, стр. 82,
М., ИЛ, 1956.
[23] Welander P., Arkiv Fysik, 7, 507 A954); русский перевод (сокращен-
(сокращенный): дополнение в кн. Девиен М., Течения и теплообмен разреженных
газов, М., ИЛ, 1962.
[24] Krook M., /. Fluid Mech., 6, 523 A959).
[25] Holway L. H., Jr., Ph. D. Thesis, Harvard, 1963.
[26] Cercignani C, Tironi G., in "Rarefied gas dynamics" (Brundin C. L.,
ed.), vol. I, p. 441, New York, Academic Press, 1967.
[27] Sirovich L., Phys. Fluids, 5, 908 A962); русский перевод: сб. «Некоторые
вопросы кинетической теории газов», М., «Мир», 1965
[28] Cercignani С, Mathematical methods in kinetic theory, New York, Plenum
Press, 1969; русский перевод: Черчиньяни К., Математические методы
в кинетической теории газов, М., «Мир», 1973.
Lebowitz J. L., Frisch H. L., Helfand E., Phys.	Fluids, 3, 325 A960).
Morse T. F., Phys. Fluids, 7, 2012 A964).
Hanson F. В., Morse T. F., Phys. Fluids, 10, 345	A967).
Jeffreys H., Asymptotic approximations, Oxford	Univ. Press, 1962.
Artin E., The gamma function, New York, Holt, Rinehart and Winston,
1964.
[34*] Валландер С. В., Новые кинетические уравнения в теории одноатом-
одноатомных газов, Докл. АН СССР, 131, № 1, 58—60 A960).
[35*] Баранцев Р. Г., Филиппов Б. В., Упрощенный вариант интегрального
кинетического оператора, Ж. прикл. механ. и техн. физ., № 2, 129—131
A964).
[36*] Эндер А. Я., Эндер И. А., Уравнение Больцмана в а, и-представлеиии,
Механ. жидкости и газа, № 4, 117—123 A972).
[37*] Хонькин А. Д., Шаповалов Г. Н., О выводе уравнений гидродинамики
из кинетического уравнения Больцмана и области их применения, в кн.
«Числ. методы мех. сплошной среды», Новосибирск, СО АН СССР, 4,
№ 4, 144—149, 1973.
[38*] Шахов Е. М., Метод исследования движений разреженного газа, М.,
«Наука», 1974.
[39*] Зубарев Д. Н., Новиков М. Ю., Ренормализованные кинетические урав-
уравнения для системы со слабым взаимодействием и для газа малой плот-
плотности, Теор. и матем физика, 19, 237 A974)*
[40*] Климонтович Ю. Л., Кинетическая теория неидеального газа и неиде-
неидеальной плазмы, М., «Наука», 1975.
[41*] Бобылев А. В., О точных решениях уравнения Больцмана, Докл. АН
СССР, 225, № 6, 1296—1299 A975); Об одном классе инвариантных
решений уравнения Больцмана, Докл. АН СССР, 231, № 3, 571—574
A976).
[42*] Дубровский Г. В., Богданов А. В., К выводу обобщенного кинетиче-
кинетического уравнения больцмановского типа, Вестник ЛГУ, № 13, 66—76
A976).
[43*] Ферцигер Дж., Капер Г., Математическая теория процессов переноса
в газах, М., «Мир», 1976.
[44*] Черемисин Ф. Г., К построению моделей интеграла столкновений Больц-
Больцмана, Иною, ою-л, 5, № 6, 1058—1063 A965).

HI
Взаимодействие газа с поверхностью
и //-теорема
1. Граничные условия и взаимодействие газа
с поверхностью
В этом и следующих разделах мы будем исследовать усло-
условия, которым должна удовлетворять функция распределения f
на границе dR области R, где происходит движение рассматри-
рассматриваемых частиц. Эта тема была частично затронута при выводе
уравнения Больцмана для газа из твердых сфер (см. разд. 2
гл. II). Там обсуждение граничных условий, которым удовлетво-
удовлетворяет iV-частичная функция распределения, понадобилось для
того, чтобы избавиться от некоторых интегралов по поверхности.
Ясно, что такие условия требуются и для решения уравнения
Больцмана, так как оно содержит производные от f по коор-
координатам.
В случае течения газа около твердого тела или внутри обла-
области, ограниченной одним или несколькими твердыми телами,
граничные условия описывают взаимодействие молекул газа с
твердыми стенками. Нетрудно проследить, что именно это взаи-
взаимодействие является источником лобового сопротивления и
подъемной силы тела в потоке газа, а также теплопередачи
между газом и твердой границей. К сожалению, как теоретиче-
теоретическая, так и экспериментальная информация о взаимодействиях
газа с поверхностью довольно скудна.
Трудности теоретического исследования обусловлены глав-
главным образом недостатком сведений о структуре поверхностных
слоев твердых тел и, следовательно, о потенциале взаимодей-
взаимодействия молекул газа с молекулами твердого тела. Когда моле-
молекула падает на поверхность, она адсорбируется1) и может обра-
образовывать химические связи, диссоциировать, может стать иони-
ионизованной или сместить молекулы поверхности. Состояние
поверхностного слоя зависит не только от температуры поверх-
поверхности, но также и от степени ее шероховатости и чистоты. По-
Последняя в свою очередь может изменяться со временем, так как
дегазация или предварительное нагревание способствуют очище-
очищению. В общем случае на поверхности может существовать ад-
]) Автор расширяет здесь понятие адсорбции до сколь угодно малой по
времени задержки молекулы на поверхности. — Прим. ред.

1. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
123
сорбционный слой; тогда взаимодействие данной молекулы газа
с поверхностью зависит также от распределения молекул, нале-
налетающих на данный элемент поверхности1).
Главным источником экспериментальных данных являются
характеристики распределения молекул, вылетающих с поверх-
поверхности при бомбардировке ее молекулярным пучком (см. разд. 7).
Рис. 14. Скорость \ вылетающей молекулы однозначно определяется ско-
скоростью, которой она обладала перед соударением со стенкой, только тогда,
когда отражение является зеркальным (штриховая прямая).
Простейшая возможная модель взаимодействия газа с по-
поверхностью получается при предположении, что молекулы от-
отражаются зеркально от твердой границы:
/(х, I /) = /(x, g-2n(n-g), /), (хе=<Э/?, g • п >0), A.1)
где п — единичный вектор нормали к поверхности в точке х
(см. рис. 14). Это предположение, вообще говоря, весьма далеко
от действительности и может быть использовано только в ча-
частных случаях. В общем случае молекула, налетающая на по-
поверхность со скоростью §', отражается от нее со скоростью §,
которую можно строго определить только тогда, когда можно
точно вычислить весь путь молекулы внутри стенки. Но это
вычисление практически невозможно, так как оно зависит от
очень большого числа деталей, таких, как местоположение и
скорости всех молекул стенки. Следовательно, мы можем только
надеяться подсчитать плотность вероятности 7?(I'-*!; x, /; т)
того, что молекула, налетающая на поверхность со скоростью
1) Имеется в виду, что состояние адсорбционного слоя зависит от окру-
окружающего газа. — Прим. ред.

124	I". ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ГАЗА С ПОВЕРХНОСТЬЮ И Я-ТЕОРЕМА
между ?' и §' + d%' в точке х в момент времени t, вылетает
практически в topi же самой точке со скоростью между | и
g + d% по прошествии временного интервала т (время адсорбции
или задержки). Если R известно, то легко записать граничное
условие для f с помощью следующего рассуждения, в котором
мы считаем, что стенка неподвижна (в противном случае ско-
скорости g, g' всюду следует заменить на | — и0, g'— iio, где и0 —
скорость стенки).
Масса молекул, вылетающих со скоростью между g и g + d%
с элемента поверхности dA около х в течение промежутка вре-
времени от / до t-\-dt, записывается в виде (см. аналогичное рас-
рассуждение при выводе формулы (П. 2.23))
d*Jl = f{x, I t)\l-n\dtdAdl (кед/?, g.n>0). A.2)
Аналогично, вероятность того, что молекула сталкивается с
тем же самым элементом поверхности со скоростью между g' и
g' + dg' в течение промежутка времени от t — т до / — х-\-dtt
равна
rf*jT/ = /(x> Г, t-x)\V-n\dtdAd% (xs=dR, Г • п < 0). A.3)
Если d*Mr умножить на вероятность рассеяния с изменением
скорости от |7 до скорости между \ и \-\-d\ и временем адсорб-
адсорбции между т и х + dx, т. е. на /?(|7 ->|; х, t\ x)d\dx, и просумми-
просуммировать (проинтегрировать) по всем возможным значениям ?'
и т, то получится d*M (здесь мы предполагаем, что каждая мо-
молекула вылетает с того же самого элемента поверхности, с ко-
которым сталкивается первоначально, хотя это и неправдоподобно,
когда т не мало):
R(r-+l;x,t;x)crjl' (х е= <Э#, g • п > 0). A.4)
Подставляя сюда выражения A.2), A.3) и сокращая общий
множитель dAd\dt, получаем
|l-n|f(x, 6, /) =
(хеЖ, g-n>0). A.Б)
Если т —среднее время адсорбции, v — средняя нормальная
составляющая скорости, с которой молекулы газа сталкиваются
с поверхностью, а /г, как обычно, численная плотность газа, то
nvdA молекул столкнется за единицу времени с элементом по-

1. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ	125
верхности dA и будет оставаться там в среднем в течение вре-
времени т; если а0 — эффективный радиус взаимодействия газа с
поверхностью, то каждая молекула займет площадь naf} и сум-
суммарная площадь, занятая адсорбированными молекулами, бу-
будет nvxnol dA, так что доля поверхности, равная nvxno2, будет
занята. Это рассуждение является, конечно, грубой оценкой
порядка величины, так как молекулы могут несколько прони-
проникать внутрь твердой стенки, а не обязательно оставаться на ее
поверхности.
Если no^vx не близко к нулю, то характер взаимодействия
каждой налетающей молекулы зависит от общего числа и энер-
энергии налетающих молекул. В условиях очень низкой плотности
(например, для находящегося на орбите спутника /го^от<С1)
каждая налетающая молекула взаимодействует с поверхностью
независимо от других. Такая же независимость может прояв-
проявляться в другом предельном случае no~vx c^ 1 (например, при
химической адсорбции, когда т может быть очень большим, или
в плотном газе, когда п очень велико); в этом случае образуется
адсорбционный слой и молекулы взаимодействуют с этим слоем,
а не с атомами твердой поверхности (и время адсорбции при
таком взаимодействии может быть много меньше).
Каждый раз когда эффективное время адсорбции т и числен-
численная плотность п таковы, что no^vx <C 1, можно считать, что
R{\r->%\ х, t\ т) не зависит от функции распределения /(х, |',/);
следовательно, можно вычислять /?(|/—>|; х, /; т) в предположе-
предположении, что па стенку налетает одна молекула газа с заданной ско-
скоростью ?'. Если к тому же т мало по сравнению с любым харак-
характерным временем, важным для эволюции /, то в аргументе f,
стоящей в правой части равенства A.5), можно положить
т = 0; в этом случае оно принимает вид
|g-n|f(x, §,/) =
где
R (Г ~> I; х, 0 = J R (Г -> 6; х, t\ x) dx.	A.7)
о
Формула A.6) справедлива, в частности, для стационарных
задач.
Если стенка возвращает все молекулы газа (т. е. она не
пориста и не является адсорбирующей), то полная вероятность
того, что падающая молекула вылетит обратно с какой-либо

126	HI. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ГАЗА С ПОВЕРХНОСТЬЮ И Я-ТЕОРЕМА
скоростью |, равна единице:
R(l'-+l;x,t)dl=l (Г-п<0).	A.8)
1-п>0
Отсюда вытекает простое следствие: нормальная компонента
vn массовой скорости на стенке должна быть равна нулю. Физи-
Физически это очевидно, особенно учитывая смысл равенства A.8),
но формальное доказательство также представляет некоторый
интерес:
l-n>0	l-n<0
dgK(g'-*g)f(g')|g'-n|-
g'-n|f(g')dg'- \ |Г-п|ПГ)^ = 0.	A-9)
Здесь опущены несущественные аргументы х, / и использо-
использованы формулы A.6) и A.8).
Очевидным свойством ядра R{%' —>§; х, t) является его неот-
неотрицательность
Я(Г->?; х, /)>0.	A.10)
В случае зеркально отражающей границы из A.1) и A.6)
следует, что
Я(Г->?; х, /) = 6(|-Г + 2п[п-Г]).	A.11)
Возможны ситуации, в которых стенка возвращает не все
частицы и равенство A.8) нарушается. В предельном случае ни
одна частица не попадает в область R с границы OR (при этом
ядро R{%>'->& х, /) равно нулю); это имеет место в случае
нейтронного газа на ограничивающей поверхности ядерного
реактора, фотонного газа на поверхности полностью поглощаю-
поглощающей среды или электронного газа на положительно заряженной
пластинке.
На практике встречаются и другие явления, такие, как хи-
химические реакции на стенке или распыление ионов и атомов
твердого тела вследствие ударов молекул газа о поверхность.
В этом случае в газе появляются новые сорта молекул и нужно
ввести ядра /?/(|'->|; х, /; т), определяющие вероятности пе-
переходов от частицы сорта i со скоростью |' к частице сорта /
со скоростью |.

2. РАСЧЕТ ЯДЕР РАССЕЯНИЯ	127
2. Расчет ядер рассеяния
Задача расчета ядра рассеяния /?(|'—>!; х, t), определен-
определенного формулой A.7), допускает дальнейшее математическое ис-
исследование при следующем дополнительном предположении:
хотя молекулы газа возмущают отдельные атомы стенки, эти
атомы перед столкновением с молекулой газа находятся в ло-
локальном тепловом равновесии друг с другом при температуре
Го, которая может меняться от точки к точке в макроскопиче-
макроскопическом масштабе. В этом случае естественно предполагать, что
зависимость /?(§' —>§; х, /) от х и / осуществляется только через
температуру Го и химический состав стенки. Их можно считать
известными, и далее мы не будем писать х и / в аргументах
ЖГ->1).
Рассмотрим математическую постановку задачи расчета
^(g'~*g) Для данной поверхности с известной температурой То
при условии, что /?A' —>§) не зависит от х и / (т. е. naQovx <C 1\
Тогда молекула газа, захваченная поверхностью, и N атомов
твердого тела образуют механическую систему, описываемую
(N -{- 1)-частичной функцией распределения Р^+ь которая удов-
удовлетворяет уравнению Лиувилля A,3.8). Если мы хотим вычис-
вычислить ядро /?(g'->g), задаваемое формулой A.7), то достаточно
взять стационарное уравнение Лиувилля (уравнение A.6.6) с
N -f- 1 вместо N):
где индекс нуль относится к молекуле газа, а Х^ = Xjfe(x/) обо-
обозначает силу взаимодействия между /-й и k-и молекулами (от-
(отнесенную к единице массы). Эти силы удерживают атомы твер-
твердого тела вместе, но ради того, чтобы иметь вполне определен-
определенную задачу, допустим, что на некоторой геометрической границе
(границе твердого тела) все частицы, кроме молекулы газа,
отражаются зеркально (это исключит возможность распыле-
распыления). Так как, по предположению, ядро зависит только от ло-
локального состояния поверхности, будем рассматривать плоскую
стенку и считать, что твердое тело занимает полупространство
х-п<0.
Тогда
*, h~ 2n(n . У, ..., Хдг, lN)
<yV, x,.n = 0, gr fi<0). B.2)

128	HI. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ГАЗА С ПОВЕРХНОСТЬЮ И Я-ТЕОРЕМА
Если обозначить через у0 двумерный радиус-вектор в плоско-
плоскости хоп = 0, то граничное условие в этой плоскости запишется
в виде
Pn +1 (xft, У = б (§о - Г) б (у0 - уО Pn (хь У
(хо-п = О, 1о-п<О), B.3)
где й меняется от 0 до Л/, / от 1 до N и Pjv представляет собой
Af-частичное равновесное распределение атомов твердой стенки.
Равенство B.3) выражает условие, что молекула газа, попадаю-
попадающая на поверхность в точке у' со скоростью \\ встречается с
системой атомов, находящихся в тепловом равновесии. Если
предположить, что равенство A.6.11) выполняется для твердого
тела, то PN следует заменить дельта-функцией; так как моле-
молекула газа взаимодействует со сравнительно небольшим количе-
количеством атомов твердого тела и в конечном итоге мы будем
интегрировать по координатам и скоростям всех атомов, можно
записать
PN = Z~l exp {- [I '/2m^ + V (x,)]/(kT°)}>	B'4>
где V(xj) — потенциальная энергия системы атомов, тг—масса
/-го атома, k — постоянная Больцмана и ZN — нормирующий
множитель (так называемая функция состояний). Выражение
B.4) эквивалентно дельта-функции 6 Р/2 ?] т^ + V (х.) — ЕЛ
проинтегрированной по большинству координат и скоростей в
пределе jV->oo, как видно из выражений P{n и Pn\ рассмот-
рассмотренных в разд. 6 гл. I.
Если бы мы были в состоянии решить уравнение B.1) с гра-
ничныхми условиями B.2) и B.3), то можно было бы вычислить
/^(I'-^l) следующим образом:
где dA0 — элемент поверхности в плоскости хо-п = О. Первое
выражение в B.5) следует из A.6), если заметить, что в нашей
задаче f пропорционально б(| — |г)» когда |-п<сО, и пропор-
пропорционально одночастичной плотности вероятности Р^+1 (х0, |0),
когда |о-п>О; интегрирование по dA0 связано с тем фактом,
что мы не заботимся о точной точке вылета (при условии, что
она не слишком далека от точки, где молекула столкнулась с
поверхностью). Второе выражение в B.5) вытекает из опреде-
определения PJJVi через P

2. РАСЧЕТ ЯДЕР РАССЕЯНИЯ	129
В такой постановке задача очень трудна для решения, за
исключением, может быть, случая гармонических сил. Вообще
удобнее перейти к уравнению, содержащему только одночастич-
ную функцию распределения Р = Pyv+i, определяемую формулой
N
Р (хо, У = \pn+i (хь У Д dxk d$k.	B.6)
Для этой цели необходимо рассматривать дальнодействую-
щие силы и кратковременные взаимодействия (столкновения)
раздельно, поступая с первыми так же, как в уравнении Вла-
Власова (см. разд. 4 гл. II), а со вторыми так же, как в уравнении
Больцмана; если попытаться учесть промежуточный масштаб
взаимодействий, то появится еще член Фоккера — Планка (см.
разд. 9 гл. II). В результате получим уравнение
др	яр р
где
LP = J (P^P" - P0^P) Б (9, V) dlm dQ de +
Здесь X обозначает дальнодействующую силу (отнесенную к
единице массы), с которой атом твердого тела (находящийся
в точке х*) действует на молекулу газа (находящуюся в точке
x=(x,y,z) и имеющую скорость § = (?, г], ?)); /г(х») обозна-
обозначает численную плотность атомов твердого тела; POsj! = Po(|#),
Р^ = Р0(|^), где Ро — равновесное максвелловское распределе-
распределение атомов твердого тела; /)^ и /%-j — тензоры диффузии и тре-
трения в пространстве скоростей (см. разд. 9 гл. II). Величина
В@, V) имеет тот же смысл, что и в уравнении Больцмана, за
исключением того факта, что она должна вычисляться с учетом
деталей столкновения между молекулой газа и атомом твердого
тела. Интеграл в B.8) является столкновительным членом для
столкновений типа газ — твердое тело; столкновениями типа
газ — газ мы пренебрегли, а атомы твердого тела по предполо-
предположению находятся в тепловом равновесии (см. также разд. 3
гл. IV).
Если рассматриваемое твердое тело полностью однородно
и неполярно, а ось х направлена вдоль п, то уравнение B.7)
сводится к виду
5 Зак. 706

130	IH. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ГАЗА С ПОВЕРХНОСТЬЮ И Я-ТЕОРЕМА
где Х(х) —среднее от Х(х*, х), вследствие симметрии имеющее
лишь компоненту X, которая зависит только от х. Эти предпо-
предположения исключают важный случай кристалла, для которого
X зависит также от у и z (периодическим образом).
Уравнение B.9) нужно решать с учетом граничного условия
Р = б(|-Г), * = 0, ? = |-п<0,	B.10)
и условия обращения Р в нуль на бесконечности (Р->0 при
х->—оо). Так как, снова в силу симметрии, Р не будет зависеть
от у и 2, уравнение B.9) можно записать в форме
и решать его при граничных условиях, указанных выше. Равен-
Равенство B.5) в этом случае сводится к следующему:
R (Г -> I) = fi^,- [Р (х, 1)]л_0.	B.12)
3. Взаимность
Как было указано выше, основная задача взаимодействия
газа с поверхностью, уравнение B.1) с граничными условиями
B.2) и B.3), представляется безнадежной для решения, и для
вычисления /?(§'—>!) приходится использовать уравнение B.11)
с граничным условием B.10). Тем не менее из уравнения B.1)
можно получить важный результат для случая, когда двухча-
двухчастичная сила Xjk не зависит от скоростей частиц.
Обозначим через GN+\(xky |fe; x\k, liO функцию Грина урав-
уравнения B.1) для полупространственной задачи, определяемой
условиями B.2) и B.3); иначе говоря, предположим, что
Gjv+i — функция (считаем, что она существует), удовлетворяю-
удовлетворяющая уравнению
?	^	fTfe-|lfe) C.1)
и условиям
G = O (?0-n<0, xo-n = O),	C.2).
o, lo, хь h, •••, хь h> •••,
A</<;V, x?-n = 0, ^-n>0). C.3)
Функции GN+\ тоже должны обращаться в нуль на беско-
бесконечности как в пространстве скоростей, так и в физическом

3. ВЗАИМНОСТЬ	131
пространстве. В C.3) мы опустили некоторые из аргументов, от
которых зависит
G = G(xk, У xIb %lk).
Используя основное свойство дельта-функции (см. фор-
формулу (I. 2.10)), имеем
(Ь *k> Х1Ь Ы/г) ===
м
(х2Ь I2k\ х1Ь llk) Д б (х2^ — xk) 6 (|2Л — у dx2k d\2k ==
~~ J
/V	Л/
Ъ2
X
X GyV+I (х2Ь — I2k\ xk, — У JJ dx2l dl2h C.4)
где интегрирование распространяется на область х/(«п<0 и
использовано уравнение C.1) (с х2/г, X\k, —|2л, —1-ift вместо
Xft, xi/t, |ft, lift), чтобы исключить произведение дельта-функций.
Интегрируя теперь по частям и замечая, что внеинтегральные
члены обращаются в нуль вследствие граничных условий, по-
получаем
X
2Ь — ?з2/г; хь — У ^] dx2J dl2j =
k=0
где использовано уравнение C.1) с §2&, x2yfe вместо |й, х^.. Поль-
Пользуясь еще раз основным свойством дельта-функции, из C.5)
получаем соотношение
G/V+1(xb У xu, iu) = G^+i(xlfe, — ii/e; Хй, —У, C.6)
которое выражает основное свойство функции Грина уравнения
Лиувилля с граничными условиями C.2) и C.3). Это свойство
решающим образом связано с обратимостью по времени уравне-
уравнений динамики (когда силы не зависят от скоростей); как след-

132
III. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ГАЗА С ПОВЕРХНОСТЬЮ И //-ТЕОРЕМА
ствие оп.ератор Лиувилля, входящий в уравнение C.1), меняет
знак при замене § на —|.
Для вычисления R (%'-+%) достаточно знать Gn+\- Действи-
Действительно, если Pjv+i удовлетворяет уравнениям B.1) — B.3), то
N
где мы действовали так же, как выше, с той лишь разницей,
что Pn+\ удовлетворяет уравнениям B.1) и B.3), а не C.1) и
C.2). Символ dAOy конечно, обозначает элемент поверхности в
плоскости х^ • п = 0. Используя B.5) и обозначая через М!)
максвелловскую функцию распределения, соответствующую газу
в равновесии при температуре и скорости стенки, имеем
Хехр —
/г = 0
C.8)

3. ВЗАИМНОСТЬ	133
где верхний индекс нуль у G°N+\ означает, что Gyv+i должно
вычисляться при хо-п = Хд -n = 0, % = l\ Iq = 1- Теперь GN +
обращается в нуль, если не выполняется соотношение
Z G*6?) + V (х;) = ? С/2ткЦ) + V (х)),
потому что она является функцией Грина уравнения Лиувилля
C.1), которое выражает сохранение полной энергии. Следова-
Следовательно, интеграл в правой части C.8) инвариантен по отноше-
отношению к замене
соответственно левая часть инвариантна по отношению к замене
A, S/)->(—S'> —1)» и мы получаем (/0(—%) = Ml), так как
стенка предполагается неподвижной):
) =
/?(-6--60 F-n>0, Г-п<0). C.9)
Соотношение C.9) является основным свойством ядра
/?(§' —>§) и может быть названо «законом взаимности» или
«принципом детального баланса». Физическая интерпретация
его состоит в том, что, если газ находится в равновесии при тем-
температуре стенки Го и, следовательно, имеет функцию распреде-
распределения /о, то число молекул, рассеянных из интервала скорости
(Vy V + d%') в интервал скорости (%, § + d%) (за единицу вре-
времени на единичном элементе поверхности), равно числу моле-
молекул, рассеянных с любой скорости между —\ и —\ — d% к
любой скорости между —%' и — |х — d\'. Соотношение C.9) было
предложено автором [1,2] на основе этих интуитивных пред-
представлений, за исключением того факта, что § — 2п(п-§),
%' — 2п(п-|/) заменены на —§ и —|х; это обстоятельство не
имеет значения для обычных поверхностей, для которых суще-
существует вращательная симметрия в касательной плоскости.
Соотношение взаимности в виде C.9) впервые появилось в
работе Кущера [3]. Выводы C.9) различной степени строгости
были даны в последующих работах [4—6]. Приведенный здесь
вывод по существу взят из статьи автора [6]. Следует отметить,
что Кущер [5] доказал соотношение C.9) в случае квантово-
механических систем и обобщил его на молекулы с внутренними
степенями свободы. Соотношения, аналогичные C.9), появля-
появлялись ранее в ряде статей по неравновесным процессам, где взаи-
взаимодействие газа с поверхностью описывалось посредством им-
импульсных членов, содержащихся в уравнении Лиувилля [7—9].
Отметим одно простое следствие взаимности. Если распре-
распределение падающих молекул представляет собой максвеллиан /j

134	HI- ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ГАЗА С ПОВЕРХНОСТЬЮ И //-ТЕОРЕМА
при температуре стенки и масса на поверхности сохраняется в
соответствии с A.8), то функция распределения вылетающих
молекул оказывается снова /0, или, другими словами, поверх-
поверхностный максвеллиан удовлетворяет граничным условиям. Дей-
Действительно, если проинтегрировать C.9) по %' и использовать
A.8), то получится
|g/-n|foft/)/?(S/^i)rfr = ll-n|fo(l) (ё-п>0), (ЗЛО)
s'-n<0
и этот результат с учетом A.6) доказывает наше утверждение.
Следует отметить, что равенство C.10), будучи следствием A.8)
(когда выполняется C.9)), оказывается более общим, чем со-
соотношение C.9), и может оставаться в силе даже тогда, когда
C.9) нарушается.
4. Одно замечательное неравенство
Докажем следующую теорему.
Теорема. Пусть C(g) — строго выпуклая непрерывная
функция аргумента g (см. рис. 15). Тогда для любого ядра рас-
рассеяния ??(§' —*!), удовлетворяющего условиям A.8), A.10) и
C.10), выполняется следующее неравенство:
D.1)
где /о — поверхностный максвеллиан, g = f/fOi а интегрирование
распространяется по полным областям изменения компонент ?,
причем значения f для |-п>0 связаны с ее значениями для
|-.п<0 посредством. A.6). Равенство в D.1) имеет место тогда
и только тогда, когда g = const почти всюду, если только
/?¦(?'->|) не пропорционально дельта-функции.
Действительно, выпуклость C(g) означает, что
с( t «л) < I afC.fe), t щ = 1,	D.2)
¦и, полагая щ = ш^А|г-, х\ ===== g(\%) и устремляя объем Д|г- к'нулю.,
имеем
c{\w(Г)g(Г)rfr) < J w (Г) с(g(g'))d^	D.3)
для любого набора положительных весовых функций, удовлетво-
удовлетворяющих условию
[	D.4)

4. ОДНО ЗАМЕЧАТЕЛЬНОЕ НЕРАВЕНСТВО
135
Рис. 15. Выпуклая функция.
X
Неравенство D.3) известно как неравенство Иенсена [39—41].
В частности, если взять (для любого фиксированного §)
*^(§) = <	I •t. n I f. (%\	»	D.5)
то условие D.4) удовлетворяется вследствие C.10), а A.6) и
D.3) дают
\|/-n<0
(g.n>o).
Умножая на ||-n|fo(l), интегрируя по § и используя A.8), по-
получаем
J 16 ' n I fо (D С (g (
Г • п | fо (SO
D.7)
т- е. неравенство D.1). Равенство достигается в том и только
том случае, когда оно имеет место в D.6) (за исключением
множества меры нуль); это может случиться, если только одно
значение g будет входить в обе части, т. е. если имеем либо

136	HI. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ГАЗА С ПОВЕРХНОСТЬЮ И //-ТЕОРЕМА
g = const, либо
7?(Г->Шо(ГIГ-п1 * /?/ * ч	(л 8ч
Ы6)|6-п|	—°[* *J'	1 ^
откуда g-(g) = g(g*) (здесь §* может быть любой функцией
| при условии, что выполняется равенство A.8)). На этом дока-
доказательство заканчивается.
Эта теорема встречается у Даррозе и Гиро [10] в частном
случае; приведенное доказательство взято из статьи автора [6].
Сформулируем результат Даррозе и Гиро в виде следствия.
Следствие I. Для любого ядра рассеяния, удовлетворяю-
щего условиям A.8), A.10), C.10), выполняется следующее не-
неравенство:
J I ¦ n/ In / dl < - ~ (qt + PijVj) nh	D.9)
где Qi — вектор теплового потока, рц— тензор напряжений в
газе, Vj — скорость газа относительно стенки (значения f, pij, Vj
берутся, конечно, на стенке), а То — температура стенки (R, как
обычно, газовая постоянная). Равенство в D.9) имеет место в
том и только том случае, когда f = fo (если ядро ^A'->1) не
пропорционально дельта-функции).
Действительно, если взять
= g\ng fe>0),
с(о) = о,	DЛ0)
то неравенство D.1) дает
nglngfodi<O.	D.11)
Для f = fog, используя A.8), получаем
а это и есть неравенство D.9).
Отметим, что даже если газ движется относительно стенки,
правая часть неравенства D.9) пропорциональна тепловому по-
потоку от поверхности твердого тела к газу. Действительно, из
закона сохранения энергии вытекает следующее соотношение
(в системе координат, неподвижной относительно стенки):
l(Qi + PijVj) nt]ra3 = [(qt + pijVj) М*]сТенка = fa * п]сТеика. D.13)

5. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ МАКСВЕЛЛА. КОЭФФИЦИЕНТЫ АККОМОДАЦИИ 137
Это равенство выражает тот факт, что, если газ скользит над
стенкой, то возникает скачок нормальной составляющей тепло-
теплового потока.
Введем теперь линейный оператор, определенный следующим
образом:
= ) я& 1'Ж1')<*и',	D.14)
Г-п>0
где
Я F, 60 = R (- Г -* 6) [/о F) I 6 • п 1Г1,	D.15)
d[i = |g-n|foF)rfS.	D.16)
Тогда имеем
Следствие П. Оператор А определяет отображение сжа-
сжатия в пространстве Lp (р > 1) функций от | (| • п > 0) с инте-
интегрируемой р-й степенью по мере, определенной в D.16). То есть
II ^г Ир < И г Ир,	D.17)
где
Шр = Г \ \g{l)\Pd\iVP	D.18)
и знак равенства имеет место в том и только том случае, когда
g постоянно почти всюду (если R(\'—*|) не пропорционально
дельта-функции).
Чтобы доказать это следствие, достаточно положить C(g) =
= |g'|p в приведенной выше теореме.
5. Граничные условия Максвелла.
Коэффициенты аккомодации
Материал, изложенный в разделах 1 и 2, показывает, что
теоретические исследования взаимодействия газа с поверхностью
чрезвычайно трудны из-за сложности явлений, происходящих
на поверхности. Даже если ограничиться линейными граничными
условиями вида A.6) с не зависящим от / я/хром, то все равно
мы сталкиваемся с необходимостью найти R(I7—>|). Общие
рассуждения могут привести лишь к установлению ограничений
на это ядро, таких, как закон взаимности C.9); чтобы достичь
большего, нужно построить физическую модель поверхности и
постараться вычислить соответствующее ядро /?A'—>|).

138	III. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ГАЗА С ПОВЕРХНОСТЬЮ И //-ТЕОРЕМА
Первая попытка решить такую задачу была предпринята
Максвеллом. В приложении к статье, опубликованной в 1879 г.
[11], он обсуждает задачу нахождения граничного условия для
функции распределения. В качестве первой модели физической
стенки он принимает идеально упругую гладкую фиксированную
поверхность, без малейших отклонений совпадающую с видимой
формой тела. В этом случае молекулы газа отражаются зеркаль-
зеркально, следовательно, газ не может создавать на поверхности ни-
никаких напряжений, кроме нормальных. Затем Максвелл указы-
указывает, что, поскольку в действительности газы создают на реаль-
реальных поверхностях и касательные напряжения, такие поверхно-
поверхности нельзя представлять идеально отражающими.
В качестве второй модели реальной сгенки Максвелл рас-
рассматривает слой из упругих шаров, расположенных достаточно
далеко друг от друга, так что ни один из них не заслонен дру-
другими от удара молекул. Он считает также слой настолько тол-
толстым, что каждая молекула, которая попадает из газа на такую
стенку, должна столкнуться хотя бы с одним шаром. Когда
наконец она покидает этот слой и возвращается в газ, ее ско-
скорость, конечно, должна быть направлена от поверхности в газ,
но вероятность любой величины и направления скорости будет
такой же, как в газе, находящемся в тепловом и механическом
равновесии с твердым телом.
Затем Максвелл рассматривает более сложные модели фи-
физических поверхностей и приходит к выводу, что лучше всего
трактовать поверхность как нечто промежуточное между иде-
идеально отражающей и идеально поглощающей поверхностями и,
в частности, считать, что часть каждого элемента поверхности
поглощает все падающие молекулы, которые затем испаряются
со скоростями, соответствующими таковым в неподвижном газе
при температуре твердой стенки, тогда как остальная часть
идеально отражает все падающие на нее молекулы.
Если обозначить через а долю испаряющихся молекул, то
предположение Максвелла эквивалентно выбору ядра в виде
R (Г -> |; х, /) = A - а) 6 (Г - | + 2п [п • Щ ) + afQ (|) 11 • n | E.1)
(| • п > О, I' • п < 0),
где
fo = [2я (ВДГ1 ехр [- I2 BRT0)-]l	E.2)
a To — температура стенки, причем нормировка проведена так,
что выполняется условие A.8).
Формула E.1) написана в предположении, что стенка непод-
неподвижна; в противном случае | следует заменить на | — и0, где

5. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ МАКСВЕЛЛА. КОЭФФИЦИЕНТЫ АККОМОДАЦИИ 139
Uo — скорость стенки; величины а, и0, То могут зависеть от ко-
координат и от времени.
Легко видеть, что максвелловское ядро E.1) удовлетворяет
условию C.9) и, следовательно, также C.10); условие A.8)
выполняется при этом по построению. Следует подчеркнуть,
однако, что Максвелл не имел возможности решить задачу
полностью и был вынужден обратиться к качественным сообра-
соображениям и ввести феноменологический параметр а. @ ^ а ^ 1),
который непосредственно не связан со структурой поверхности.
Отметим, что, согласно граничным условиям Максвелла, ка-
касательная компонента импульса и тепловая энергия вылетаю-
вылетающих молекул зависят частично от скорости и температуры по-
поверхности и частично от импульса и тепловой энергии приходя-
приходящего потока. Если а = 0 (зеркальное отражение), то выходя-
выходящий поток не «ощущает» границы (по отношению к касательной
компоненте импульса и кинетической энергии), если же а = 1
(полностью диффузное испарение), то выходящий поток полно-
полностью утрачивает «память» о приходящем потоке (за исключе-
исключением сохранения числа частиц). По этой причине коэффициент
а (первоначально определенный как доля диффузно испарив-
испарившихся молекул) иногда называется «коэффициентом аккомода-
аккомодации», потому что он выражает тенденцию газа приспосабли-
приспосабливаться к состоянию поверхности. Нужно отметить, однако, что
аккомодация импульса и энергии при физических взаимодей-
взаимодействиях происходит различно, причем импульс теряется или
приобретается значительно быстрее чем энергия; это обстоятель-
обстоятельство указывает на основную неточность граничных условий Мак-
Максвелла.
В общем случае можно определить коэффициент а(ср) акко-
аккомодации для любой функции ф(|) от скорости молекул следую-
следующим образом:
4>(l)\l-n\f(l)dl- jj 4>(l)\l-n\f(l)d?
а (ф) = -L!!<2	L»^o	, E.3)
] v(i)\i-n\f(l)dl-JQ \ q>(l)\l'n\fQ(l)dl
? • n < 0	I • n > 0
где fo(l) задана выражением E.2) и таким образом является
поверхностным максвеллианом, а /0 — нормировочный множи-
множитель, выбранный так, что /о/,о дает такой же поток массы, что
и f. Числитель в E.3) представляет собой разность между при-
приходящим и выходящим потоками величины фA), знаменатель
имеет тот же смысл, но при полной аккомодации молекул (f =
~ ^о/о Для |-п>0). В частности, положив ф(|) = |Лп (где
Л означает векторное умножение), получим коэффициент акко-
аккомодации для касательной компоненты импульса; аналогично,

140	III. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ГАЗА С ПОВЕРХНОСТЬЮ И Я-ТЕОРЕМА
положив ф = |-п или 12/2, получим коэффициент аккомодации
для нормальной компоненты импульса и энергии. Заметим, что
числитель в E.3) равен [ ср(|) g • x\f (g)dg.
Удобно ограничить определение E.3) только функциями, об-
обладающими свойством ф(|)=ф(| — 2п[п-|]), которые являются
четными функциями от |-п. Это условие не выполняется при
Ф = |-п; поэтому, если желательно определить коэффициент ак-
аккомодации для нормальной компоненты импульса, то нужно
взять
<p(S) = IS-n|.	E.4)
Вообще говоря, а(ф) оказывается зависящим от функции
распределения набегающих молекул, так что определение E.3)
не очень удачно. Понятие коэффициента аккомодации стано-
становится более осмысленным, если несколько ограничить /. С этой
целью положим
(ф, *) = (*, Ф)=
где rfjii определено равенством D.16), а (ф, я|))— скалярное про-
произведение в гильбертовом пространстве функций, определенных
для |-п >0 и квадратично интегрируемых по мере d\i. Соответ-
Соответствующая норма дается выражением D.18) с р = 2. Если вы-
выполняется закон взаимности, то оператор Л, определенный фор-
формулой D.14), симметричен относительно скалярного произведе-
произведения E.5):
= \\ Ф (S) /о (Ю R (-1 - Г) * (Г) I V -п | d% dl = (ЛФ, г[)). E.6)
Определим теперь операторы отражения или инверсии в про-
пространстве скоростей следующим образом:
Я„Ф = Ф(|-2п[п-6]),	E.7)
Я*Ф = Ф(-? + 2п[п-Ш
и отметим, что
где / — тождественный оператор. Как указано выше, функция ф
в выражении E.3) выбирается так, что она удовлетворяет усло-
условию Рпу = ф.

6. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ	HI
Определим а|з(|) формулой
/ (Ю = hU (I) [1 + Ф (- Щ = /о/о A + Рф) (I • п < 0), E.9)
где /о(Ю и Л) такие же, как в E.3).
Тогда A, я|)) = 0, а выражение E.3) принимает вид
, м _ (Рф, ф) - (Ф Лф) _ , (ф, Лф) _ 1 (Ф, Лф)
= 1 _
(ф Р^ф) — 1
Здесь написано а(ср, г|)) вместо а(ф), чтобы подчеркнуть, что
коэффициент аккомодации зависит также от -ф.
Из E.10) видно, что, если в качестве ф взято некоторое ре-
решение ф,- уравнения
Лф = ЯР^ф,	E.11)
соответствующее собственному значению X = Xj (j = 0, 1,
2, ...), то коэффициент аккомодации
-=1-1/	E.12)
не зависит от г|э и, следовательно, от функции распределения
набегающих молекул. Это представляет собой очевидное пре-
преимущество данного определения а,-, принадлежащего автору
[1, 2]; недостатком является то, что эти коэффициенты аккомода-
аккомодации соответствуют собственным функциям ф;-, которые, вообще
говоря, не имеют простого физического смысла.
Другая возможность была рассмотрена Шеном и Кущером
[12, 5]. Если взять набор физически значимых величин {ф?-(|)}
и положить ф = фь ty = (рj (таким образом ограничивая функ-
функцию распределения), то получится матрица коэффициентов ак-
аккомодации с элементами
Эти коэффициенты имеют ясный физический смысл, но лишь
для специальной функции распределения / = /0(] 4-Рф,). В об-
общем случае они вычисляются легче, чем приведенные выше, по-
потому что не требуется предварительно решить уравнение E.11).
6. Математические модели взаимодействия
газа с поверхностью
Из-за трудности вычисления ядра R (%'->'?>) ы^ основе физи-
физической модели поверхности (см. разд. 7) обсудим сейчас другой
подход, который менее физичен по своей природе и аналогичен

142	III. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ГАЗА С ПОВЕРХНОСТЬЮ И Я-ТЕОРЕМА
моделированию интеграла столкновений (разд. 10 гл. II). Идея
состоит в том, чтобы построить математическую модель ядра
/?(§' —> 1), удовлетворяющую основным условиям A.8), A.10),
C.9) и не ограниченную более ничем, кроме требования не быть
•слишком сложной.
Возможный подход к построению таких моделей заложен в
уравнении E.11). Пусть Xj— собственные значения, образующие
дискретную последовательность, а ф,- — соответствующие соб-
собственные функции (/= 0, 1, 2, ...)• Для простоты предполо-
предположим, что Х{ ф Xj при i ф /. Тогда
= (<Pi, Mi) = Ифм Ф/) = К (Pt%, Ф/) = К (Фь ^Ф/)- F.1)
Если Xi ф Xj, т. е. фг ф ф;, то из F.1) вытекает, что
(Фь ^Ф/) = 0 AФ1).	F.2)
Допустим, что (фг, P((pi) Ф 0 (справедливость этого для непо-
неполярных поверхностей легко доказать), и нормируем ф$ так, что
(фг, Лфг)= !"» ТОГДа
(Фь ^Ф/) = б/у.	F.3)
Предположим далее, что ф7- образуют полную систему, так
что любая достаточно регулярная функция \|? может быть раз-
разложена в ряд
Ф = Еад*.	F.4)
i
Тогда из F.3) следует, что коэффициенты разложения опре-
определяются так:
F.5)
Подставляя выражение F.5) в F.4), получаем
Ф (I) = ? (Ч>, Ряд Ф/ (Ю = 2 J Ф (Г) Р^ [ф/ (Г)] Ф/ (Ю ^.и^ -
= \
/=о
где последний шаг справедлив, если уравнения понимаются в
смысле теории обобщенных функций (см. разд. 2 гл. I). Следо-
Следовательно, полнота эквивалентна выполнению соотношения
/о do II' • n I ? pt [ф/ (Ю] ф/ A) = б а - г). F.7)

6. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
143
Таким образом, используя соотношения E.11), E.5), E.6),
F.7), D.16), имеем
P/ F0] ф/ F)
U (Г) { ?
^ /=о
/=о
/) Ф/ (I) =
Ф/ (|) =
у=о
-?¦
6) =
/=о
]
/, F.8)
где предпоследний переход основан на равенствах F.4) и F.5)
с /Ц) вместо г|). Так как г|э (§) в сущности является произволь-
произвольной функцией |, из F.8) следует, что
Заменив ^ на —-I7, а | на —
л (б7 -> I) = h (Ю16 • n Е
= k №
/=0
/=0
|1;/Лф/(Г)]ф/(Ю
2п(п-?), получим
, [Ф/ (- Г)] р, [ф/ F)] =
- Г) ф/ A),
где
F.10)
F.11)
Формула F.10) представляет собой разложение ядра /?(|7->|);
если Xj не стремятся к нулю достаточно быстро при /->оо, то
его следует понимать в смысле теории обобщенных функций.
Конкретный выбор Xj и г|),- в F.10) порождает модели
^(l7-^!)- Условие сохранения массы A.8) заставляет взять
Яо= 1, фо=1,	F.12)
если поверхностный максвеллиан f0 нормирован, как в E.2).
Условие взаимности при этом автоматически выполняется. Един-
Единственным ограничением, которому остается удовлетворить, яв-
является A.10). Это условие представляет некоторые затрудне-

144	III. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ГАЗА С ПОВЕРХНОСТЬЮ И //-ТЕОРЕМА
ния, если пытаться оборвать сумму в F.10), как было сделано
автором [1, 2]. Получающиеся ядра могут быть полезными в
линеаризованных задачах (см. гл. IV), но в общем случае не-
неприемлемы. Единственно удовлетворительный подход состоит в
суммировании рядов для специальных бесконечных наборов Xj
и ifj в надежде получить положительный результат. Простейший
возможный вариант — полное вырождение, когда Xj = 1 (/= 0,
1,2, ...). Тогда формулы F.10) и F.7) приводят к тому, что
R(V~>%)= б (§' — 1 + 2п[п-|]) и получается граничное условие
для чисто зеркального отражения.
Следующее возможное предположение — взять Хо = 1, Xj =
= 1 — а (I = 1, 2, ...); тогда
+ ()S^(^(
= fo (I) 11 ¦ п I [onto (- Г) 1>о (I) + A - а) I */ (- Г) Ч>/ AI =
L	/=о	J
= а/0 (g) | g • п | + A — а) б (Г — g + 2п [п • g]),	F.13)
где снова используется F.7) и тот факт, что фо = 1- Этот ре-
результат совпадает с E.1), так что получается граничное усло-
условие Максвелла. Отметим, что R ^ 0 означает 0 ^ а ^ 1.
Ясно, что для получения более сложных ядер нужно либо
делать более специальные предположения о собственных функ-
функциях -ф^, либо использовать совершенно другой подход. В первом
варианте простейшее предположение состоит в том, чтобы в ка-
качестве собственных функций брать полиномы, взаимно ортого-
ортогональные в том смысле, что выполняются равенства F.2). Если
эти полиномы выбираются с определенной четностью по §*, так
что Rttyj = ±t|)j, то это требование сводится к обычной ортого-
ортогональности (скалярное произведение берется в виде E.5)).
Можно выбирать \pj двумя путями, считая их полиномами
либо по любой из трех компонент §, либо по двум тангенциаль-
тангенциальным компонентам ^, 1и и квадрату ??п нормальной компоненты
(как обычно, предполагаем, что § — скорость молекулы в си-
системе отсчета, неподвижной относительно стенки; в противном
случае § следует заменить на § — и0, где и0 — скорость стенки).
Первый алгоритм порождает полупространственные полиномы,
введенные Гроссом и сотрудниками [13] для других целей, в то
время как второй обладает тем преимуществом, что порождает
классические полиномы. Действительно, второй метод, которому
мы будем сейчас следовать, дает собственные функции в виде
F.14)

6. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ	145
где L[ есть 1-й полином Лагерра, а Нп есть п-й полином Эрмита
(см. приложение). Численный коэффициент в F.14) выбран так,
что функции tyimn не только ортогональны, но и нормированы
по мере fl?|x, заданной равенством D.16)--(см. приложение).
Справедлива также следующая формула (см. приложение):
/, т, п
1	Г	р f + g'2
=			ехр	— +
A — р) V(l — 72) A — 52) Ч \-р 2RT0
' 2A+^) 2RT0	2A — ,
	f_l
2(l+s) 2^Г0	2A — s)
(IPl.kl.hKl), F.15)
где Iq{x) — модифицированная функция Бесселя первого рода
нулевого порядка, определяемая так:
/0 (х) = Bя)~1 [ exp (x cos ф) йф.	F.16)
Если сравнить выражения F.15) и F.10), то можно сразу
найти ядро в замкнутой форме, выбирая собственные значения
hmny соответствующие tyimn, в виде plqmsn, потому что тогда ряд,
входящий в F.10), можно просуммировать при помощи F.15).
Поскольку мы не интересуемся анизотропией в касательной пло-
плоскости, для упрощения уравнений положим в F.15) s = q.
Тогда получим заслуживающее внимания ядро вида
Z, m, n
<72Г' ехр [-
2A
lt + %'tf	q (lt-rtJl ( V^ U'n) =
2RT0	2A-?) 2RT0 J io V 1 — p RT0 )
r	p
L 1 -
p 2RTQ	1 - q2 2RT0

146	HI. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ГАЗА С ПОВЕРХНОСТЬЮ И Я-ТЕОРЕМА
я \г\'Л ( Vp
-f9' 2RT0 J /о V 1 —
lnl'n
RT0
[-1
(Г-п<0, g-n>0), F.17)
где !* = 1 — ngn — двумерный вектор с компонентами ^, и с,/,.
Ядро в F.17) удовлетворяет условиям взаимности и норми-
нормировки по построению, если \р\ < 1, \q\ < 1, а условию R ^ О
в том и только том случае, когда q вещественно, а р веществен-
вещественно и неотрицательно (при р < 0 аргумент /0 становится мнимым
и /0 принимает как положительные, так и отрицательные зна-
значения). Следовательно, выражение F.17) дает двупараметри-
ческое семейство ядер, обладающих всеми требуемыми свой-
свойствами при условии, что эти два параметра вещественны и удов-
удовлетворяют неравенствам 0^ р <^;1, —1 ^ ^ ^ 1. Значения
р = 1, q = ±1 являются предельными; при приближении к ним
ядро становится пикообразным и в пределе стремится к произ-
произведению дельта-функций. Если учесть формулы (П. 11) и (П.26)
приложения, то легко видеть, что ядро F.17) вырождается
в A.11), соответствующее зеркальному отражению.
В чем состоит физический смысл параметров р и q? Из ска-
сказанного выше ясно, что р и q связаны со свойствами аккомода-
аккомодации поверхности. В частности, формула E.12) показывает, что
q = А,ою можно связать с коэффициентом аккомодации величи-
величины "фою (^) = &iC?^o)~I/2 (воспользовавшись представлением
F.14) и тем фактом, что LQ(x) = Н0(х) = 1, Н\(х) = 2х со-
согласно формуле (П.З) приложения). Множитель (/?Г0)~'/2 не
имеет значения, так как в E.12) он сокращается, и мы прихо-
приходим к выводу, что q очень просто связан с коэффициентом ак-
аккомодации касательной компоненты импульса at:
at-=\—q.	F.18)
Аналогично р связан с коэффициентом аккомодации вели-
величины г|I00(?) = 1 ~ ^B^о)~'* Поскольку последняя не имеет
простого физического смысла, исследуем коэффициент аккомо-
аккомодации 2? или, что то же самое, *^гB/?Г0)~ = 1 — i|I00(iD- Со-
Согласно E.10), этот коэффициент, который мы обозначим через
ап, выражается формулой
= 1 — П — И'юп» МО _ j _ р (i^ioq, 40 =_= j _	/Д19)
где учтены соотношения /1A)= 1, Л (грюо) == Р^рюо, #*(i|>ioo) —
= iEюо и A, 1E) =0, причем последнее вытекает из определения

6. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ	147
-ф (равенства E.9)). Следовательно, р = 1—ап, где ап — коэф-
коэффициент аккомодации той части кинетической энергии, которая
соответствует движению по нормали к стенке.
Если попытаться вычислить коэффициенты аккомодации для
нормальной компоненты импульса и полной кинетической энер-
энергии, то сразу станет ясно, что в рамках рассматриваемой мо-
модели они не являются постоянными, а зависят от функции рас-
распределения налетающих молекул.
Равенства F.18) и F.19) можно использовать для выраже-
выражения ядра F.17) через физически значимые параметры ап и at.
В результате получим
§, ал> а,)_
У ггт*
(&; < 0, gn > 0; 0<а,<2; 0<ая<1). F.20)
Два параметра ап и а^ зависят, конечно, от физической при-
природы газа и поверхности, а также от температуры последней.
Заметим, что а, может быть больше чем 1, но меньше чем 2.
Крайний случай имеет место при ап-^0 и а*->2; тогда /? (§' ->
-> |) = б (| + Ю, так что каждая молекула меняет свою ско-
скорость точно на противоположную. Для грубых физических по-
поверхностей следует ожидать, что значения at довольно близки
к единице и, возможно, несколько больше единицы.
Ядро, заданное выражением F.17) или, что то же самое,
F.20), никоим образом не является единственным ядром типа
F.10) с функциями \р видя F.14). Ядра более общего вида мо-
могут быть получены линейной комбинацией нескольких ядер
типа F.17) с различными значениями р и q\ при этом весовые
множители линейной комбинации должны иметь суммой еди-
единицу (чтобы обеспечить нормировку) и быть положительными
(чтобы обеспечить выполнение неравенства /?^0). Распреде-
Распределение значений р и q может быть непрерывным; в этом случае
получается ядро
[ i
w (p> q) ln V
о -j
2RT0	pB)
F.21)

148	Ш. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ГАЗА С ПОВЕРХНОСТЬЮ И Я-ТЕОРЕМА
где
1 1
\w(p,q)(l-p)(l-qz)dpdq=l. F.22)
5 \
О -1
Выражение F.21) представляет собой наиболее общее ядро с
полиномиальными собственными функциями F.14), удовлетво-
удовлетворяющее всем физическим условиям (включая отсутствие выде-
выделенных направлений в касательной плоскости), при условии, что
весовая функция w(p,q) может быть обобщенной функцией. Вы-
Выражение F.20), например, получается, если положить
V) (р, q) = [ссЛ B - а,)Г1 6 (р + ап - 1) 6 (q + at - 1). F.23)
Все ядра вида F.21) обладают коэффициентами аккомода-
аккомодации для тангенциальной компоненты импульса и кинетической
энергии движения по нормали, не зависящими от распределения
падающих частиц. Чтобы получить ядра более общего вида,
можно использовать полиномы г|^тп, заданные посредством
F.14), как векторный базис в гильбертовом пространстве, не
считая их собственными функциями оператора А в смысле
E.11). В этом случае вместо F.10) имеем
оо
/?(r-*g)=ig-nifoF) z м>п-т/(ю, F.24)
/, 1=0
где i и / заменяют тройки индексов (/, т, /г), (/', т\ п').
В силу взаимности ((?wj)) является симметричной матрицей.
Матрицу (Fij — Xij)) можно рассматривать как «матрицу ак-
аккомодации» [1, 2]. Такие модели были независимо исследованы
Черчиньяни [1,2] и Шеном [14]. Определенную трудность опять
представляет невозможность оборвать ряд без нарушения усло-
условия R ^ 0. Можно ожидать, что любая попытка просуммировать
ряд вида F.24) с %^ ф 0 для бесконечно большого числа i ф j
приведет к чрезвычайно громоздким выкладкам.
Для того чтобы получить простые, но не слишком специаль-
специальные ядра, видимо, нужно исследовать другие подходы. Недавно
было показано [15], что в выражении F.20) можно считать либо
а; зависящим симметрично от ?Л и — ^, либо ап зависящим
симметрично от ^ и —Ц без нарушения условий A.8), A.10)
и C.9). При этом получаются ядра с непостоянными коэффи-
коэффициентами аккомодации соответственно для тангенциальной ком-
компоненты импульса или энергии движения по нормали.
Общий метод построения ядер таков. Возьмем произвольную
симметричную положительную функцию /С(|, |7) и положим
/?(&/-^&) = |6-п|/оA)[Я(ЮЯ(-|/) + /С(|, -Г)]
(Г • п< 0, | • п > 0), F.25)

7. ФИЗИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ	149
где
,	F.26)
К (У, %)dp' dp
Взаимность удовлетворяется тривиально, удовлетворяется и
нормировка благодаря F.26). Условие R^O обеспечивается
положительностью Я(|).
В качестве примера возьмем
К (I Г) = В F) б (§ + Г - 2п [п • Г]),	F.27)
где В (|) — произвольная положительная четная функция скоро-
скорости молекулы. Тогда
Я (|) =	, ^-в&Пп1о&)	F>28>
t-n>0
и F.25) принимает вид
+2n|;I>
J
F.29)
где
aS)=l-|nfoS)B(g)	F.30)
— произвольная четная функция от |, удовлетворяющая усло-
условию 0<а(?)<1.
Ядро F.29) было предложено Эпштейном в 1967 г. [16] как
обобщение граничных условий Максвелла; действительно, F.29)
переходит в E.1), когда а постоянна. Эпштейн выбирал свою
модель из условий сохранения массы A.8) и сохранения поверх-
поверхностного максвеллиана C.10). Интересно отметить, что взаим-
взаимность, о которой в статье Эпштейна даже не упоминается, ока-
оказывается автоматически выполненной благодаря принятым ог-
ограничениям; это, конечно, является следствием специальной
формы, выбранной Эпштейном для ядра.
7. Физические модели взаимодействия газа
с поверхностью
Подход, представленный в разд. 6, может быть очень полез-
полезным для получения сравнительно простых выражений для се-
семейств ядер рассеяния с несколькими параметрами. Недостат-
Недостатком его является то, что эти параметры не связаны с основными

150	III. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ГАЗА С ПОВЕРХНОСТЬЮ И Я-ТЕО'РЕМА
X)
X
Рис. 16. Движение молекулы газа внутри жесткой стенки. Фиктивная жест-
жесткая стенка помещена при х — — d, чтобы моделировать объемную силу.
Область —2d < х < — d является просто зеркальным изображением физи-
физической области —d < х < 0.
физическими величинами, такими, как массы атомов газа и
твердого тела, интенсивность и радиус действия силы, темпера-
температура и плотность атомов поверхности. В частности, например,
параметры ап и аи входящие в выражение F.20), в этом смысле
никак не охарактеризованы.
Чтобы получить более детальную информацию, необходимо
рассмотреть физическую модель поверхности и вычислить ядро
рассеяния из динамики поведения молекулы, захваченной по-
поверхностью. Ясно, что такие вычисления должны быть либо
очень схематичными, либо очень сложными [17—24]. Этот под-
подход может быть объединен с подходом разд. 5: второй дает ана-
аналитические выражения для функции распределения, а первый —
численные значения или простые выражения для параметров,
оставшихся не определенными в этих аналитических выражениях.
По-видимому, более полезный, хотя и мало развитый в на-
настоящее время, подход состоит в использовании уравнения B.9)
с LP, заданным посредством B.8), где В F, V), Dih F{j, X долж-
должны вычисляться из динамических соображений. Представляется,
что главной проблемой при этом будет решение уравнения B.9)
для реальных или по крайней мере не слишком далеких от
действительности выражений В, F^-, Dij, X. Здесь мы рассмот-
рассмотрим предельно простой случай [6], в котором ?(9, V) ===== 0 (т. е.

7. ФИЗИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ	151
эффектом жестких столкновений можно пренебречь по сравне-
сравнению с эффектом одновременных скользящих столкновений), а
где l7l и lt — константы с физическим значением длин диффузии
в нормальном и касательном направлениях (здесь i= 1, 2 со-
соответствует двум взаимно перпендикулярным направлениям в
касательной плоскости). Далее предположим, что объемная
сила представляется дельта-функцией, сосредоточенной в к =
= —d (х = х3), так что непрерывное взаимодействие заменяет-
заменяется (фиктивной) жесткой стенкой, помещенной внутри физиче-
физической поверхности (см. рис. 16). Тогда нужно решать уравнение
в полосе — d < x < 0 (рис. 16) с граничными условиями
P(-d,g) = />(-d, |-2nfn-|]),	G'3)
что эквивалентно решению того же уравнения в полосе
— 2d^.x^0 (рис. 16) с граничными условиями
Р (- 2d, I) = 6 (g - §' + 2n [n • §]) (ln > 0).	G*4)
Кроме того, для существования производных, входящих в
уравнение G.2), Р и ^пдР/д^п должны быть непрерывными.
Для решения нашей задачи воспользуемся следующим прие-
приемом [6]; интерпретируя |1-п| как радиальную координату в фик-
фиктивной плоскости, введем компоненты фиктивной скорости:
J'	G.5)
где ф — фиктивный угол. Пусть Q = Q(x, gb g2, 6з, 64) непре-
непрерывна, непрерывно дифференцируема и удовлетворяет уравне-

152	III. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ГАЗА С ПОВЕРХНОСТЬЮ И Я-ТЕОРЕМА
НИЮ
dQ 2RT0 Г d2Q , д / gj ч d2Q	д ( ?2 \1
дх	h L dl2i	д%\ \%то ) д%1 д%<> \RTo /J
	— Ч	( —— 0)\ > G.6)
4
Тогда
я
Р = I Ъ'п I S Q (gl« ^2> I &a I C0S Ф. | S» | Sin Ф) d(P	G-8>
— Я
удовлетворяет уравнению G.2) и условиям G.4) при ?п << 0, что
видно после перехода в уравнениях G.6) и G.7) от g3, ^4 к
,||п|, Ф и интегрирования по ф. (Заметим, что
я
= вF»-О (^<0,^<0), G.9)
как следует из преобразования дельта-функции из декартовой
системы координат в полярную.)
Уравнение G.6) допускает разделение переменных, так что
решение может быть факторизовано следующим образом (за-
(заметим, что граничное условие G.7) также факторизуется):
G.10)
Q = —~T\g{^-, L,
(RTof jj-J-, \ л/ЛГо -\/RT0 Ik
[I] = /2 = //', Z3 = /4 = /л),
где G(y, у', f) удовлетворяет уравнению (проверяется непосред-
непосредственной подстановкой)
Теперь произведем замену
г = уех\	G.12)
Бри этом уравнение G.11) примет следующий вид (dG/dl-*dG/dt-{-
+ z dG/dz, dG/ду -> е' <5G/<52):

7. ФИЗИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ	153
Если положить
W = Ge-*9	G.14)
то G.13) запишется так:
L^L	G 15>
Наконец, если ввести
т=72(^-1),	G.16)
то W будет удовлетворять уравнению теплопроводности
-=L	G 17V
дт dz2 '	{'Л1>
имеющему общеизвестное фундаментальное решение [25]
W = DятГ'л ехр [- (z - z'Jj{Ax)\ =
= [2я (ё» - I)]2 ехр {- (z - z'fl[2 (e2t - 1)]}, G.18)
откуда (z0 = г/о согласно G.12) при ^ = 0)
G = [2л A - е-2')]"'7' ехр {- {z - z'O[2 (e2i - 1)] } =
= [2я A - е-2')]~'/2 ехр {- (у - у'е-*J/[2 A - e~«)]}. G.19)
Следовательно,
2 ft t' -I^I/'A2	4 ("t i'o~UUln\2
ехо - I1 ёе "	& ёе	1
r'
Х Ч 2лгвA_в-а|"/10
G.20)
и, согласно G.8) и F.16),
Р(хЛ) = 1пBпГ1 (RT0r2(l - е~2]хШ'У1 (I - е-2^шпГ[ X
Х Ч 2*7-0 A -Г"""') 2«7-0(l-e-2|J""'.)JX
. G-21)

154	HI. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ГАЗА С ПОВЕРХНОСТЬЮ И //-ТЕОРЕМА
Для того чтобы найти /?(?' —> |), нужно вычислить Р@, |)
при ?Л > 0. Но благодаря симметрии граничных условий G.4)
и равенства B.12), G.21) дают
1-
X ехр —	, -ынл — 	 / -4d« \ X
х 7° IW;e n A -е ") J & < °' ^ > °)- G-22>
Выражение G.22) совпадает с ядром F.20), если положить
— Ad/l	1	—2d/lj.	/rj oo\
— б	п, OLf = I — в	*.	\( .Z6)
Здесь коэффициенты аккомодации связаны с отношениями
d/ln, d\lu где d — глубина проникновения, а /„ и lt— две харак-
характерные длины, связанные с диффузией в пространстве скоро-
скоростей.
Любопытно, что при помощи решения уравнения Фоккера —
Планка получено ядро, постулированное в разд. 6. Следует
заметить, что такое же ядро было найдено Уильямсом [26] по-
посредством аналогии с рассеянием электромагнитных волн по-
поверхностью, а соответствующее одномерное ядро, содержащее
%п и \'п вместо \t и Ц, было получено Кущером и др. [27] на
основе аналогичного уравнения Фоккера — Планка и совершенно
иной интерпретации.
Возможно, кажется удивительным, что уравнение G.2) решено
при %п <С 0 без какой-либо ссылки на то, что происходит при
с,п > 0. Вообще следует ожидать довольно сложного взаимодей-
взаимодействия между решениями при ?п > 0 и при gn < 0. Эта завязка
происходит при раздельном рассмотрении областей потому, что
при In == 0 требуется одно граничное условие для того, чтобы
определить решение для gn > 0, а другое для того, чтобы опре-
определить решение для gn <C 0. Эти условия суть не что иное, как
з
непрерывность Р и J D3idP/d^i ПРИ ?п = 0, и в случае общего
уравнения Фоккера — Планка они приводят к системе двух ин-
интегральных уравнений [6].
Если Dij = 0 при |п = 0, то все чрезвычайно упрощается,
потому что тогда условия на границе гЕ,п = 0 выполняются авто-
автоматически, если dP/d^i там конечна. Физически это происходит

8. РАССЕЯНИЕ МОЛЕКУЛЯРНЫХ ПУЧКОВ	155
благодаря тому, что молекула газа участвует в некотором диф-
диффузионном процессе в пространстве скоростей, при котором знак
In не может измениться, так как коэффициент диффузии обра-
обращается в нуль при In = 0; следовательно, молекула может по-
повернуть назад только на искусственной границе х = —dy моде-
моделирующей объемную силу.
8. Рассеяние молекулярных пучков
Как было указано ранее, рассеяние молекулярных пучков
твердыми поверхностями является главным источником экспе-
экспериментальных данных о взаимодействии молекул с твердой
стенкой. В этих экспериментах пучок молекул с заданной функ-
функцией распределения падает на стенку и функция распределения
вылетающих молекул определяется подсчетом молекул. Экспе-
Экспериментальные результаты по характеристикам рассеяния обычно
представляются для рассеяния только в плоскости падения
(т. е. в плоскости, содержащей вектор скорости падения U и
нормаль к поверхности п). Кроме того, эти результаты обычно
относятся только к угловым распределениям. Фактически изме-
измеряется отношение числа молекул /V(9, cp), рассеянных в единич-
единичный телесный угол, к общему числу рассеянных молекул без
различения молекул по скоростям:
N(Q, q>) = 4-\ f®\l-n\l2dl (g-n>0),	(8.1)
где 8 и гр — сферические углы в пространстве скоростей с поляр-
полярной осью вдоль нормали, а
^о= \ f\l-n\dl.	(8.2)
г- п > о
Идеальная функция распределения для падающего пучка
представляет моноэнергетический коллимированный пучок:
= NQ6 (Е - Ео) б (9 - в0) б (Ф - Фо)/(т sin 90 cos 90), (8.3)
где Е = ?2/Bт)— энергия пучка (молекулы предполагаются
одноатомными). Такие пучки, однако, трудно получить в лабо-
лаборатории, и чаще используется другой гип падающего пучка —
«коллимированный тепловой пучок». Он получается коллима-
коллимацией атомов газа, вылетающих из равновесного печного источ-

156	HI. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ГАЗА С ПОВЕРХНОСТЬЮ И //-ТЕОРЕМА
ника, и, следовательно,
= No (RTS)~21 cos 90 sin 90 f1 exp [- E/(kTs)] 6 (9 - 90) 6 (Ф - Фо), (8.4)
где Ts — температура источника.
Полный поток в телесном угле вычисляется особенно про-
просто, если принять предположение (8.3) и воспользоваться фор-
формулой A.6); тогда
S (Г6)( ЛinIE2rffe =
'.п<0	J
оо
$ (U->l)?dl (8.5)
Выражение (8.5) показывает, что если известно R (|'->|)
и выполняется равенство (8.3), то простая квадратура дает
iV(9, ф). Если равенство (8.3) заменить на (8.4), то потребуется
дополнительное интегрирование по U.
В частности, формулой (8.5) можно воспользоваться в связи.
с ядром F.20) и сравнить результаты с экспериментальными
[4, 28]. Согласование оказывается удовлетворительным. Здесь
мы представили только один случай (рис. 17); данные взяты
из эксперимента с пучком аргона при 295 К на платине при
1081 К [29]. Четыре полярные диаграммы относятся к четырем
различным углам падения и представляют индикатрисы рас-
рассеянных молекул в плоскости падения. Кружки соответствуют
экспериментальным данным, а кривые вычислены с помощью
ядра F.20) при ап = 0,3, а* = 0,1; отметим, что согласование
достигается не просто хорошей подгонкой, так как величины ап
и at одни и те же во всех четырех случаях. Стоит обратить вни-
внимание на то, что экспериментальные данные существенно отли-
отличаются от индикатрис, соответствующих зеркальному и диффуз-
диффузному отражению.
До того как изложенный метод моделирования ядер рассея-
рассеяния был развит и применен, наилучший способ представления
экспериментальных данных состоял в том, что для функции
распределения вылетающих молекул подбиралось некоторое спе-
специальное выражение, содержащее свободные параметры, кото-
которые доопределялись путем поцгоики к экспериментальным дан-
данным. Первые работы в этом направлении были выполнены
Шамбергом [30] и Ночиллой [31, 32]. В модели Шамберга пред-
предполагается постоянная скорость вылета, и эта модель довольно
громоздка. Модель Ночиллы основана на сравнительно простой
форме для функции распределения вылетающих молекул, кото-

8. РАССЕЯНИЕ МОЛЕКУЛЯРНЫХ ПУЧКОВ
157
Рис. 17. Сравнение модели, основанной на ядре рассеяния F.^0), с экспери-
экспериментальными данными Хинчена и Фоли [29]. Значения угла падения 6/
(сверху вниз): 15; 22,5; 30; 45°.
рая принимается максвелловской с массовой скоростью Ur и
температурой Гг, отличной от температуры стенки:
f = pr [2nRTry'2 exp [— (g - UrJ/BRTr)l	(8.6)
причем рг определяется из условия сохранения массы. Частные
случаи этой модели были ранее рассмотрены Кнудсеном [33]

158	III. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ГАЗА С ПОВЕРХНОСТЬЮ И #-ТЕОРЕМА
(Ur = 0) и Трэдом [34] (Тг= То). Расчеты, основанные на (8.6),
приемлемы, но серьезным недостатком модели является отсут-
отсутствие какой-либо корреляции между распределениями падаю-
падающих и вылетающих молекул. Правда, эту трудность можно
обойти, интерпретируя (8.6) [35, 27, 4] как распределение выле-
вылетающих молекул в случае произвольного монохроматического
падающего пучка (8.3). В этом случае (8.6) предполагает ядро
рассеяния, являющееся максвелловским по |; условия взаимно-
взаимности C.9) и нормировки A.8) сужают это семейство ядер, огра-
ограничивая тем самым гибкость модели [4, 27].
В заключение отметим, что эксперименты по рассеянию на
кристаллах при сравнительно низкой температуре обнаружили
новое явление, состоящее в том, чго индикатриса рассеяния
имеет несколько максимумов. Это обусловлено, вероятно, пе-
периодичностью кристалла, свойством, которое не учитывалось в-
моделях, описанных выше.
9. Я-теорема. Необратимость
Покажем, что если ввести
\\nfdl,	(9.1)
ffof<%,	(9.2)
где / — любая функция, удовлетворяющая уравнению Больц-
мана (II.8.21), то
Соотношение (9.3) есть очевидное следствие неравенства
(II. 7.3) и того факта, что / удовлетворяет уравнению Больц-
мана; достаточно умножить обе части уравнения (II. 8.21) на
1 ~f- In f и проинтегрировать по всем возможным скоростям §,.
учитывая тождество d(f In f) = A + In f)df, неравенство (II. 7.3}
и тот факт, что 1 есть инвариант столкновений (подразуме-
(подразумевается также обращение / в нуль при |->оо).
Теперь мы можем интерпретировать неравенство (9.3), пе-
переписав его в виде
и введя
(9.5)

9. Я-ТЕОРЕМА. НЕОБРАТИМОСТЬ	159
где R— область, заполненная газом. Если бы имело место
равенство Э = 0, то величина Я сохранялась бы, подобно
массе, энергии и импульсу, поскольку вектор Ж — {2ё\, Ж>ъ 26 ъ)
можно трактовать как поток величины Я (заметим, что здесь
Ж — не модуль вектора Ж, а плотность, соответствующая по-
потоку Ж). Так как, вообще говоря, 9 ф- О, а именно Sf ^ О,
можно утверждать, что молекулярные столкновения действуют
как сток для величины Я. Известно также, что источник 3
равен нулю в том и только том случае, когда функция распре-
распределения является максвелловской.
Наконец, заметим, что, как и в случае потока импульса
(разд. 8 гл. II), вектор Ж может быть расщеплен на макроско-
макроскопический (конвективный) поток величины Я, 26\х, и микроско-
микроскопический поток Я, Ж — 26м,
Интегрируя обе части уравнения (9.4) по х в пределах об-
области R и учитывая возможное движение границы dR этой
области со скоростью а0, получаем
~1Г ~ \ {Ж ' п ~ Жщ • n) rfS = J ^ dx < 0,	(9.6)
dR	R
где dS — элемент поверхности границы dR, а п — внутренняя
нормаль. Второй член в интеграле появляется потому, что
в случае движущейся границы при дифференцировании Я по
времени нужно учитывать изменение во времени области инте-
интегрирования.
Из неравенств (9.4) и (9.6) выведем две классические фор-
формулировки знаменитой Я-теоремы Больцмана.
а)	Если газ однороден (df/дх = 0 и, следовательно,
дЖ\!дх{ = 0 в (9.3)), то величина 26 (которая зависит только
от времени) никогда не возрастает во времени и постоянна
в том и только том случае, когда функция распределения яв-
является максвелловской (действительно, d26\dt = 0 означает
У = 0 и в силу результатов разд. 7 гл. II f представляет собой
максвеллиан).
б)	Если газ находится в такой области, что интеграл, стоя-
стоящий в левой части равенства (9.6), неположителен:
J (Я? — 50ио) • n dS < 0,	(9.7)
dR
то величина Я (которая зависит только от времени) никогда не
возрастает во времени и постоянна в том и только том случае,
когда функция распределения является максвелловской.
Вторая формулировка Я-теоремы охватывает более общие
ситуации, но несколько неудовлетворительна, потому что может

160	HI. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ГАЗА С ПОВЕРХНОСТЬЮ И Я-ТЕОРЕМА
применяться только после проверки выполнения условия (9.7).
Например, это условие удовлетворяется (со знаком равенства)
при зеркальном отражении молекул от границы dR (в системе
отсчета, где dR неподвижна); это единственный случай, кото-
который рассматривается в традиционных курсах [36, 35].
Можно, однако, получить более точную и важную формули-
формулировку Я-теоремы, если границу dR считать такой поверхностью,
на которой выполняется условие A.6). Достаточно заметить,
что
(Ж — Жщ) • n dS = ^ (I — щ) • n/ In f dl dS =
= \l. nf In fdlrdSy (9.8)
где Sr = 6. — u0 — скорость молекулы в системе отсчета, движу-
движущейся вместе со стенкой. В этой системе отсчета выполняются
соотношения D.9) и D.13). Следовательно,
(Ж - Жщ) • n dS < - J -jL- [{q. + p.jVj) п.]гпз dS =
	 1 Г
~ R )
OR
)	o
OR
и (9.6) дает
dH . If (д-п)Тв.ТелОаЗ	1 f d*Q	,Q ,
где Го может изменяться от точки к точке на OR, a d*Q — тепло,
передаваемое от тела к газу при температуре То.
Таким образом, получается следующая
Теорема (обобщенная Я-теорема). Если газ ограничен
непористыми твердыми стенками, на которых выполняется ли-
линейное граничное условие A.6), то величина Я, заданная фор-
формулой (9.5), удовлетворяет неравенству (9.10). В частности,
если ни в одной точке границы тепло не передается от газа
к твердому телу (т. е. ни в одной точке dR не реализуется
d*Q<C0), то Я всегда убывает со временем и может быть по-
постоянной только при максвелловской функции распределения.
Я-теорема Больцмана очень важна, так как выявляет фун-
фундаментальное свойство уравнения Больцмана — необратимость:
величина Я всегда уменьшается, даже когда она не уходи г
в окружающее пространство (знак равенства в (9.7) или
в (9.10)) при отсутствии обмена энергией между газом и его
окружением.
Кажется, что эти обстоятельства находятся в противоречии
с тем, что молекулы, из которых состоит газ, подчиняются за-

9. Я-ТЕОРЕМА. НЕОБРАТИМОСТЬ	161
конам классической механики, обратимым во времени. Действи-
Действительно, если задано некоторое движение в момент времени
t = t0 со скоростями V], ..., Vjvi всегда можно рассматривать
также движение со скоростями —vi, ..., —Vn (в тех же точках)
при t = t0; эволюция назад последнего состояния будет одина-
одинаковой с эволюцией вперед первоначального состояния. Следо-
Следовательно, если dH/dt <0 в первом случае, то во втором будем
иметь dH/d(—1)<0, т. е. dH/dt > 0, что противоречит Я-тео-
реме Больцмана. Это парадокс Лошмидта (для простоты пред-
предполагается, что газ заключен в сосуд с зеркально отражающими
стенками; в противном случае такое же возражение применимо
к неравенству D.9)).
Ответ на этот парадокс, грубо говоря, состоит в следующем:
при действии законов механики понятия «прежде» и «после» не
имеют строгого значения, так что можно использовать уравне-
уравнения движения для «предсказания» как будущего, так и про-
прошлого. Однако мы перешли от строго динамического описания
к статистическому, основанному на уравнении Больцмана. При
выводе уравнения Больцмана (разд. 2 и 3 гл. II) было указано,
что соотношение (II. 2.14) приходится использовать для выра-
выражения функций распределения, соответствующих послестолкно-
вительному состоянию, через функции распределения, соответ-
соответствующие состоянию перед столкновением, а не последние че-
через первые. Очевидно, что первый путь приемлем, если уравне-
уравнение нужно использовать для предсказания будущего по про-
прошлому, но не наоборот; ясно, однако, что этот выбор ввел связь
с обиходными понятиями прошлого и будущего, чуждыми мо-
молекулярной динамике. Иначе говоря, мы подготовили путь для
определения этих понятий на основе статистического поведения
многочастичных систем.
Когда был взят больцмановский предел (N-+oo, g->0,
No2 конечно), получилось уравнение — уравнение Больцмана,—
описывающее статистическое поведение молекул газа. Порази-
Поразительное следствие нашего основного выбора состоит в том, что
это уравнение описывает только движения, для которых вели-
величина Н уменьшается, в то время как противоположный выбор
привел бы к уравнению, содержащему знак минус перед столк-
новительным членом и, следовательно, описывающему только
движения с возрастающим Я! Эти последние движения не не-
невозможны, а только чрезвычайно маловероятны; они соответ-
соответствуют начальным данным, при которых скорости молекул пе-
перед столкновением проявляют необычную корреляцию (эта си-
ситуация может быть смоделирована вычислительной машиной
при изучении движения большого числа взаимодействующих
частиц и приводит, как и следует ожидать, к эволюции с воз-
возрастающей //, а то время как «случайно» выбранные начальные

162	HI- ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ГАЗА С ПОВЕРХНОСТЬЮ И Я-ТЕОРЕМА
данные неизменно приводят к эволюциям с убывающей Я).
Иначе говоря, то обстоятельство, что Я уменьшается, является
не внутренним свойством динамической системы, а скорее свой-
свойством уровня описания; в свою очередь выбор последнего дик-
диктуется намерением описывать физически реализуемую совокуп-
совокупность измерений над системой («макроскопических» изме-
измерений).
Тот факт, что Я проявляет свойство уменьшаться, а не
увеличиваться, является вопросом определения; т. е. можно ска-
сказать, что t2>t\ по определению, если Я (t2) <C Я (^), и это
фиксирует стрелку направления времени в сторону будущего
в согласии с обычными понятиями прошлого и будущего. Это
может быть сделано, так как все физические системы Вселенной
взаимодействуют одна с другой, и, следовательно, было бы
необычно (представляется исключением, например, явление спи-
спинового эхо), если то, что оказывается «раньше» для одной си-
системы, будет «позже» для другой (распространение электромаг-
электромагнитного излучения сыграло бы важную роль в исчерпывающем
обсуждении этого вопроса).
То обстоятельство, что система никогда в действительности
не является изолированной, не следует забывать также и в связи
с другим парадоксальным возражением относительно любой
механической интерпретации необратимости. Это возражение
много тоньше, чем доводы, основанные на обращении скоростей
молекул. Оно основано на теореме Пуанкаре, которая утверж-
утверждает, что любая конечная механическая система, подчиняю-
подчиняющаяся законам классической механики, возвратится сколь
угодно близко к своему начальному состоянию при почти любом
выборе последнего, если подождать достаточно долго. Для со-
состоящего из взаимно отталкивающихся молекул газа, заключен-
заключенного в ящик с зеркально отражающими стенками, это следует
из закона сохранения энергии, в силу которого изображающая
точка в фазовом пространстве движется по ограниченной по-
поверхности S (поверхности постоянной энергии). Эти факты
означают, что мера \х(А) («площадь» А) связана с каждым
подмножеством А поверхности 5 так, что если А{ есть множе-
множество точек, в которые точки А трансформируются вследствие
движения к моменту времени t, то \x(At)\= \х(А) и (иE)<сю.
Чтобы доказать теорему Пуанкаре, рассмотрим такое под-
подмножество А поверхности S, что все точки А никогда не воз-
возвращаются назад к А. Выберем А достаточно малым, а т до-
достаточно большим, так что Ах и А не перекрываются (если это
невозможно, то теорема тривиально верна); тогда никакие из
множеств А2х, А3х, ... не перекрываются, потому что если АпХ
и Л(п+/г)т имели бы общие точки, то, прослеживая движение на-
назад и пользуясь единственностью движения через любую дан-

9. Я-ТЕОРЕМА. НЕОБРАТИМОСТЬ	163
ную точку фазового пространства, мы получили бы, что А и Akx
должны иметь общие точки, а это противоречило бы определе-
определению А. Если множества Л, Ах, А2х, ... ке перекрываются, то,
поскольку \i(A) = \i(Ax) = [а(Л2т) = •.., общая мера объедине-
объединения этих множеств будет бесконечной (что невозможно, так
как jx(S)< оо), если [i{A) не равно нулю, и теорема Пуанкаре
доказана 1).
Из этой теоремы следует, что рассматриваемые молекулы по
истечении «времени возврата» могут иметь положения и ско-
скорости, настолько близкие к первоначальным, что одночастичная
функция распределения / будет практически той же самой. Сле-
Следовательно, величина Я также будет практически той же самой,
и если она возрастала вначале, то в некоторые последующие
моменты времени должна была убывать.
Ответ на это возражение (парадокс Цермело) состоит в том,
что время возврата настолько велико, что практически никто
никогда не наблюдал сколь-нибудь заметной части возвратного
цикла; действительно, согласно приближенным расчетам, время
возврата для типичного количества газа оказывается очень
большим числом, даже если за единицу времени принять рас-
расчетный возраст Вселенной. Ясно, что при таком огромном мас-
масштабе нет нужды беспокоиться о том, что обратимость исчезает.
(Снова заметим, что теорема должна применяться ко всей Все-
Вселенной и включать излучение; при этом возникает интересная
возможность связи между необратимостью и расширением Все-
Вселенной.)
В чем смысл функции Я? Существуют две интерпретации:
одна для микроскопического описания, другая для макроскопи-
макроскопического. Первая следует из того факта, что (см. приложение
к гл. II) —Я можно истолковать как степень правдоподобия
микроскопического состояния; соотношение (9.6) тогда утверж-
утверждает, что в изолированной системе (при отсутствии интеграла
по поверхности) эволюция происходит в направлении более ве-
вероятных состояний. Можно сказать по-другому: чем вероятнее
микроскопическое состояние, тем больше число состояний с той
же самой функцией f, и, следовательно, знание / дает мало
информации о микроскопическом состоянии; поэтому Я как
мера неправдоподобия является также мерой информации, со-
содержащейся в /, о микроскопическом состоянии, и эта информа-
информация уменьшается со временем, поскольку уравнение Больцмана
описывает эволюцию в направлении более вероятных состояний.
Вторая интерпретация Я — интерпретация на макроскопическом
Уровне— раскрывается при помощи соотношения (9.10). Если
!) См. также примечание 4 к гл. I книги [I. \2*]. — Прим. перед.

164	III. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ГАЗА С ПОВЕРХНОСТЬЮ И Я-ТЕОРЕМА
Я связано с энтропией газа г\ формулой
то соотношение (9.10) переходит в хорошо известное в термо-
термодинамике неравенство Клаузиуса — Дюгема.
В разд. 10 будет показано, что равенство (9.11) выполняется
для равновесных состояний, если в качестве ц взять обычное
выражение для идеального газа; для неравновесных состояний
соотношение (9.11) можно рассматривать как определение эн-
энтропии ц для больцмановского газа. При такой интерпретации Я
ясно, что Я-теорема представляет собой не что иное, как дока-
доказательство второго начала термодинамики (для больцмановского
газа). В этой связи второе начало не является строгим след-
следствием законов механики (в силу парадоксов Лошмидта и Цер-
мело это было бы несостоятельно), но зависит от статистических
аргументов, асимптотических оценок (для /V->oo, a->0, No2
конечно, см. разд. 2 и 3 гл. II) и определения будущего как на-
направления времени, для которого существует статистическая
тенденция переходить от маловероятных состояний к более ве-
вероятным.
10. Равновесные состояния
и максвелловские распределения
Убывание Я при отсутствии обмена энергией с окружающей
средой (d*Q = 0 в (9.10)) показывает, что уравнение Больц-
мана описывает эволюцию в направлении состояния с миниму-
минимумом Я (совместимого с наложенными ограничениями, такими,
как объем области, содержащей газ, число молекул, темпера-
температура соседних твердых тел и т. д.) при условии, что притока Я
извне нет. Конечное состояние (которое должно достигаться при
t—>oo) предположительно будет стационарным состоянием,
если такое состояние допускается граничными условиями и яв-
является устойчивым. Если в (9.10) d*Q ^ 0, то стационарное
состояние может быть достигнуто в том и только том случае,
когда имеет место знак равенства, а это, как известно, означает,
что функция распределения почти всюду в пространстве ско-
скоростей представляет собой максвеллиан. Если максвелловские
распределения несовместимы с граничными условиями, то ни-
никакое стационарное состояние не достигается.
Аналогично, если рассматривать стационарную задачу, для
которой максвелловское распределение не является решением,
то интеграл \ d*Q/T0 должен быть обязательно отрицательным;
это вполне естественно, потому что если f не максвелловская,

10. РАВНОВЕСНЫЕ СОСТОЯНИЯ PI МАК.СВЕЛЛОВСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 165
то столкновения порождают энтропию, которая должна уно-
уноситься посредством надлежащего теплообмена с окружающей
средой. Таким образом, если газ находится между двумя па-
параллельными пластинами с температурами Го, и Го2, Т$х > 7'о,,
то должен существовать тепловой поток от пластины 1 к плас-
пластине 2, такой, что (d*Q)i<0, (d*QJ = — (d*Q) l < 0 и
J dV/To - \ (d*Q)} (Го, - ToWoPo,) < 0;
это, конечно, одна из элементарных иллюстраций второго на-
начала термодинамики.
Более частными, чем стационарные состояния, являются
равновесные состояния, которые определяются как стационар-
стационарные состояния без обмена энергией с окружающей средой. Из
Я-теоремы при d*Q = 0 вытекает
Следствие I, В равновесном состоянии функция распре-
распределения должна быть максвелловской.
В частности, обмен энергией на стенке всегда отсутствует
при зеркальном отображении. Следовательно, как частный слу-
случай имеем
Следствие II. Когда газ ограничен зеркально отражаю-
отражающими стенками, не существует никаких стационарных решений
уравнений Больцмана, кроме максвелловских функций распре-
распределения (описывающих равновесные состояния).
Этот результат, конечно, неприменим для более реалистиче-
реалистических граничных условий.
Попытаемся найти наиболее общую максвелловскую функ-
функцию распределения, которая удовлетворяет уравнению Больц-
Больцмана. Добавим для общности силовой член, как в (II. 8.21),
и, запишем
!r + *"S- + x-f = Qtf.fl.	A0Л)
Если / — максвеллиан, то Q(f, /) = 0 и, согласно (П. 7.2),
In / = а + Ъ • I + cl2 = а + bktk + с|2,	A0.2)
где a, bk и с — подлежащие определению функции / и х. Под-
Подставляя A0.2) в A0.1), имеем
J?fL 4-? dbk I- г2 дс 1 * да 1 г г dbk 1
dt ~t~ $k $1 i~ s ^ -f- & ^x -f- t^&k дх \
?	& = 0; A0.3)

166	1П. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ГАЗА С ПОВЕРХНОСТЬЮ И //-ТЕОРЕМА
здесь, как обычно, подразумевается суммирование по повто-
повторяющимся индексам от 1 до 3.
Приравнивая коэффициенты при различных степенях g, по-
получаем
^ + Xibi = 0,	A0.4)
^- + ¦^ + 2^-0,	A0.5)
дс Л . 1 / dbk , dbt \ п	/in а\
C/ ift ' 2 \^ ^^ ' dxk) '	х J
Дифференцирование равенства A0.6) по х,- с учетом A0.7) дает
Переставляя индексы в A0.8), имеем также
дх.дх, дх. дх,	'
Если сложить два уравнения A0.9) и вычесть из результата
A0.8), то после сокращения на 2 получится
d2bj
dxt dxk
= 0.	A0.10)
Так как все вторые производные каждого bj равны нулю,
то bj имеют вид
6У(/, х) = ау(/) + Р//@^.	A0.11)
Уравнение A0.6) тогда принимает вид (согласно A0.7), с не
зависит от координат)
7F^ + |(P« + ft*) = 0.	A0.12)
Следовательно,
K=-^r^ik + ^ik{t),	A0.13)
где сог/i = —со/п — антисимметричный декартов тензор.
Подставляя в A0.5) выражения A0.11) и A0.13), имеем
da,	d2c	da,,	да

10. РАВНОВЕСНЫЕ СОСТОЯНИЯ И МАКСВЕЛЛОВСКИЁ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 1б7
Дифференцируя по х\ и вычитая полученное уравнение из
такого же уравнения, в котором переставлены индексы i и й,
получаем (а*, с и <ow не зависят от координат)
дХь dX
о..
Следовательно,
где ф = ф(^, х)—потенциал. Иначе говоря, внешняя сила не
вполне произвольна: она должна быть суммой консервативной
силы и неконсервативной силы весьма частного вида, линейно
зависящей от координат (декартовых).
Подставляя в уравнение A0.14) выражение A0.16), по-
получаем
da. d2c	да	дф
-ir—IF^ + JTk-2cirk-0'	A0Л7)
откуда
1 d2c	dah
a = 2c<f(t, x)+-24Fx2--Jtxk + y(t))	A0.18)
где y(t)—постоянная интегрирования, являющаяся произволь-
произвольной функцией времени, а х2 = х{х{.
Наконец, нужно удовлетворить уравнению A0.4). Подстав-
Подставляя в это уравнение выражения A0.18), A0.11), A0.13), на-
находим
dep	dc дф
1 dzc n d2ah	dy	I d(an
1 +	+Ь A0Л9)
Уравнение A0.19) можно рассматривать либо как уравнение
в частных производных для потенциалов, совместимых с локаль-
локальным максвелловским распределением, при произвольно задан-
заданных величинах c = c(t), со^ = co^@ = — со^, а^ = а/г(/)» У =
= у@» либо как ограничение, наложенное на эти последние
величины при заданном потенциале.
Важный частный случай имеет место, когда внешние силы
допускают стационарный потенциал. Из A0.16) тогда следует,
что (Okj постоянны, а A0.19) сводится к уравнению
dc дф	1 d^c o d2a,	dy
2?b	2+	A02°)

168	Ш. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ГАЗА С ПОВЕРХНОСТЬЮ И //-ТЕОРЕМА
Предположим теперь, что потенциал ср четырежды диффе-
дифференцируем в некоторой окрестности. Дифференцируя уравнение
A0.20) последовательно по xh xm и хП9 имеем
р-	д3Ф	dc	E3ф	а3ф
дх1дхтдхп dt	дх1дх1дхт Ы dx[dxldxk- Lm
^3Ф	d4cp	(	dc ,	Л Л /1ЛПП
— "т	=5	=;— wr/ — ~	л	л	~л—" ! а/	ТТ %i \ ®ikXk I = U. ( lU.Zl)
дХ1 дхш дХп •	ОХ1 дХ1 дХпг дхп ^	dt	}
Это система десяти однородных линейных уравнений для
семи неизвестных: dc/dt, со^ C различных компоненты), а*
C компоненты). Детерминант, вообще говоря, отличен от нуля
(заметим, что коэффициенты меняются от точки к точке, в то
время как неизвестные функции не зависят от координат). Сле-
Следовательно, можно заключить, что если потенциал не имеет
какого-либо специального вида (такого, например, что третьи
производные всюду обращаются в нуль), то сог-/г = 0, аг-= 0,
с = const и в силу уравнений A0.20) и A0.18) а = 2сср(х) -f у,
где с и у — постоянные. Поэтому для достаточно общих стацио-
стационарных потенциалов единственно возможными максвелловскими
решениями уравнения Больцмана являются стационарные макс-
велловские распределения; если к тому же нет обмена энергией
с окружающей средой, то любое заданное начальное состояние
будет стремиться к равновесному состоянию с максвелловским
распределением (так называемым барометрическим распределе-
распределением или распределением Максвелла — Больцмана):
f = ехр [2сФ(х) + Y + eg] = роехр[- j^- - -^-], A0.22)
где Т = —BRc)~l—(постоянная) температура газа, а ро = еу —
плотность в точке, где ср = 0.
Рассмотрим теперь потенциалы с равными нулю третьими
производными (это включает случай отсутствия внешних сил).
Тогда
ф == А(Х1 + у Blmxtxm9	A0.23)
и из уравнения A0.20), приравнивая коэффициенты при соот-
соответствующих степенях, получаем
dc	d'2a.
А	В	f	A0.24)
im~cTt 2 ^ li itn'{
dt6

10. РАВНОВЕСНЫЕ СОСТОЯНИЯ И МАКСВЕЛЛОВСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 169
Это система десяти дифференциальных уравнений с восемью
¦неизвестными: у, аг-, с, щт. Несмотря на это, система имеет не-
нетривиальные решения в случае, когда члены второго порядка
изотропны, Вц = Вбц. В этом случае последнее из уравнений
A0.24) сводится к единственному условию
которое дает
с = с0 + с{ cos B Vfi 0 + c2sin B л/lit),	A0.26)
где с0, с\, с2 — константы. Второе из уравнений A0.24) прини-
принимает вид
d2a.	dc	2 А. / d3c	dc
^ + B 2AA	^( + B
A0.27)
где последнее выражение получается с помощью A0.25). Урав-
Уравнение A0.27) легко решается:
2 A. dc А.®,.	/ /— ч	/ /	 ч
Щ = - -д- -?- Тп	У1 + с3 cos (Vfi t) + с4 sin (л/В t); A0.28)
здесь с3 и сА — константы, тогда как c(t) дается выражением
A0.26).
Первое из уравнений A0.24) записывается так:
dy	1 • / d2a.	dc\
4T = Aial=1TAl(--1If + 2Ai-),	A0.29)
откуда
У = - ~вА1ЧГ + 4 А^с + с*>	A0-3°)
где с^ — константа, а а* и с определяются формулами A0.26)
и A0.28).
Этот результат, принадлежащий Больцману [37], показывает,
что в гармоническом поле равновесие не обязательно дости-
достигается. Согласно A0.26), A0.29) и A0.28), плотность, скорость
и температура осциллируют с собственной частотой поля или
с удвоенной его частотой.
Другой частный случай получается при отсутствии поля,
Btm = At = 0. Тогда уравнения A0.24) дают
dy - г/2а' - d6c -о	по яп
так что
Y = Yo, а/=а/о + ап7, с == с0 + cxt + Ы2, A0.32)
где Yo, otio, Co, an, ^i, c2 —константы. Особенно интересная си-
ситуация возникает при поисках стационарного решения; тогда

170	HI. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ГАЗА С ПОВЕРХНОСТЬЮ И //-ТЕОРЕМА
С\ = С2 = ац = 0 и равенства A0.2), A0.11), A0.18) приводят
к выражению
f = exp (yo + «о * ъ + (ujixilf + cl2) =
= р BnRT)-% exp [- {l~Rf],	(Ю.ЗЗ)
где температура Т = — BRc)~] постоянна, и если vQ = RTaQj
СО = RT{(U23> ©31, ©12). ТО
V = V0 + G) ЛХ,
/ ©г	A0.34)
= роехр {)
где г—расстояние от оси вращения, а ро — плотность при г = 0
(чтобы получить последнее выражение в A0.33), нужно в ка-
качестве v0 взять скорость оси вращения, принятой, например,
за ось z).
Таким образом, наиболее общее стационарное максвеллов-
ское распределение при отсутствии объемных сил описывает газ
при постоянной температуре, жестком движении и плотности,
заданных в виде A0.34); пространственное изменение плот-
плотности отражает центрифугирование газа вследствие вращения.
Эти результаты вместе с тем фактом, что при наличии зер-
зеркально отражающих стенок единственными стационарными
решениями являются максвелловские распределения (след-
(следствие II), показывают, как мал класс стационарных задач, для
которых может применяться предположение о зеркальном отра-
отражении. Для более общих граничных условий на максвелловское
распределение будут накладываться дальнейшие ограничения;
следовательно, это распределение при наличии реальных гра-
граничных условий является скорее исключением даже в стацио-
стационарных (неравновесных) состояниях.
Закончим этот раздел вычислением Н в равновесном со-
состоянии, чтобы доказать равенство (9.11). Как было показано,
в равновесном состоянии f задается выражением A0.33). Из
формул (9.5) и (9.1) получаем (предполагая, что р и Т по-
постоянны)
Н = In [р Bя/?ГГя/1] \ f dl dx - BRTf] $ c2f d$dx =
= M In [p Bя/?Г)~"/1] - у М =
= - M In (rv7p) + [- у M InBnR) -^m],	A0.35)
где M — полная масса газа. Энтропия ц одноатомного газа
равна
т, == RM In (Т77р) + const,	A0,36)

ПРИЛОЖЕНИЕ	\7\
где константа может зависеть от полной массы газа, но не от
его состояния. После надлежащей и допустимой идентификации
аддитивных постоянных отсюда получается соотношение (9.11),
что и требовалось доказать.
Приложение
В настоящем приложении дается краткий обзор основных
сведений о полиномах Эрмита и Лагерра. Эги полиномы лучше
всего определить при помощи разложений в степенные ряды
так называемых производящих функций:
оо
ехр(- г2 + 2хг) = ? ~ Нп (х),	(П. 1)
A - г)'1 ехр [- (xz)/(l - г)] = ? znLn (x).	(П. 2)
Иначе говоря, /7.-й полином Эрмита, Нп(х) по определению
представляет собой умноженный на п\ коэффициент при zn
в разложении ехр(—z2 -f- 2xz) в степенной ряд, а /2-й полином
Лагерра, Ln(x),— коэффициент при zn в разложении
A—г)-1ехр[—(xz)l(\—z)] в степенной ряд. Тот факт, что
Нп{х) и Ln(x) действительно являются полиномами степени п,
очень легко проверить при помощи формул (П.1) и (П.2), из
которых можно также получить явные выражения для Нп и Ln.
В частности,
H0(x)=l, Hl(x) = 2x, H2 = 2x*-U
IoW=l, Lx(x)=l-x.	( * }
Ряд (П.1) сходится для любых комплексных г, а ряд (П. 2)
для |z|<; 1 (что сразу следует из сингулярности в левой части
(П.2) и отсутствия сингулярности в левой части (П.1)). Заме-
Заметим, что левая часть (П.1) инвариантна по отношению к пре-
преобразованию х, z->—х, —z. Следовательно,
так что полином Эрмита имеет четность своего собственного
индекса.
Если умножить (П.1) на то же самое выражение с zr вме-
вместо z, а затем умножить результат на ехр(—х2) и проинтегри-

172	III. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ГАЗА С ПОВЕРХНОСТЬЮ И Н ТЕОРЕМА
розать по х 01 —оо до оо, то получится
оо
.ПТГ \ HnMHn'(x)e-*dx =
п—0 /г/==0	— оо
оо
^	г2 — 2/2 + 2л-2 + 2xz' - х2
со	оо
= ^ ехр (— г2 — 2/2 + 2л-2 + 2xz' - х2) dx =
ехр [- (л: - г - z'f\ dx =
п=0
Сравнение двух степенных рядов, входящих в (П.4), пока-
показывает, что
со
Нп (х) НП' {?) е-* dx = л/л /г! 2'г6,Ш'.	(П. 5)
Из (П.5) следует, что полиномы Эрмита ортогональны по
мере exp(—x2)dx.
Если теперь взять выражение (П. 1) с г = рехр(цр), умно-
умножить его на такое л^е выражение с у вместо х и z = рехр(—кр)
вместо г, а затем умножить результат на р ехр (—p2/s) и проин-
проинтегрировать от ср = 0 до 2л и от р = 0 до оо, то получится
•? = $ $ ехр [— р2/5 — р2 {e2h? + е~2и*) + 2р (хек? + уе~^)] р rfp dcp =
о о
со	2л	оо
= ^ -^т Нп (х) НП' (у) J e' {n-»r) ¦ сГф \ р«+»'- <е-^ dp =
а, «'=0	О	О
со	оо
1Ш Нп {х) Нп' <УJл5««' \ Ры+{е~^ dp =
(П. 6)
Интеграл & в (П. 6) легко взять, перейдя от полярных коор-
д:1 -;.]т р, ср к декартовым координатам j/ = pcoscp, v = pslncpy

ПРИЛОЖЕНИЕ	173
так как тогда имеем
оо со
2 (х + у) и + 2/ {х - у) и] du dv
— оо —оо
х
Vl-4s2 Ч l+2s	1 — 2s
здесь был использован известный интеграл
(П. 7)
~а^-^с1и = л/ф^.	(П. 8)
Сравнивая два выражения для 3 и сокращая на общий мно-
множитель jts, получаем
Это очень важная формула для работы с операторами, соб-
собственными функциями которых являются полиномы Эрмита. Це-
Целесообразно заменить 5 на 5/2 и переписать (П.9) следующим
образом:
оо
У — Нп (х) Нп {у) = -1J= ехр Р{х + vY - s {х ~ уУ~] (П. 10)
Полагая, в частности, s->l, видим, что сходимость в обыч-
обычном смысле отсутствует; однако имеет место сходимость
в смысле обобщенных функций, и в этом смысле
оо
ЧГ Я« W Нп (у) = л/я e-*"fi (* - 0),	(П. 11)
что доказывает полноту системы полиномов Эрмита.

174	III. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ГАЗА С ПОВЕРХНОСТЬЮ И Я-ТЕОРЕМА
Далее, если (П.2) умножить на такое же выражение с zf
вместо г, а затем умножить результат на е~х и проинтегриро-
проинтегрировать по х от 0 до со, то получится
оо оо	оо
znz'm J Ln{x)Lm(x)e-*dx =
= т-Л-г = У 2"z/n.	(П. 12)
о
Сравнение двух рядов в этом равенстве показывает, что
a(dLmiAe-*dx = ham,	(П. 13)
откуда следует ортогональность полиномов Лагерра на полу-
полуоси @, оо) по мере e~xdx.
Положим теперь в (П.10) x = pcoscp, r/ = p1coscpi, умно-
умножим его на такое же выражение с х = psincp, у = pi sin ф1
и проинтегрируем по ерь Тогда
п=0
cos
(П. 14)
где последнее выражение получается заменой ф! на ф1 + ф
с учетом периодичности подынтегрального выражения. Правая
часть (П. 14) не зависит от ф; следовательно, суммы
п
Sn (Р, Pi) = -g/f
k\(n — k)\
k=0
X \ ЯЛ(р1СОЗф1)ЯЛ-Л(р18|'Пф1)с(ф1, (П. 15)
«j
о

приложение	175
являющиеся коэффициентами разложения правой части (П.14)
в степенной ряд по s, тоже не зависят от ср. Таким образом,
проинтегрировав обе части (П.15) от 0 до 2л, получим другое
выражение для Sn(p, pi), симметричное по р, рь
п	2я 2л
Sn (P, Pi) = ^г Yj k\(n-k)\ 1^\ \Hk(P cos ф) Hn-k (p sin ф) X
k = 0	0 0
ХЯл(р1зтф1)Яп-л(р1со8ф1)^фйф1=5п(р1, р). (П. 16)
При замене ф на ф + л интегралы должны остаться неиз-
неизменными, так как интегрирование проводится по периоду подын-
подынтегрального выражения; с другой стороны,
превращаются в
(— 1 )п Hk (p cos ф) Hn-k (p sin ф)
в силу свойства четности полиномов Эрмита. Следовательно,
Snip, Pi) — —Sn(p, Pi) Для нечетных /г, так что
S2m+i(p, Pi) = 0 (m = 0, 1, ...)•	(П. 17)
Теперь фиксируем р} и будем менять р. Из (П.16) ясно, что
S2m(p, Pi)—полином, содержащий только четные степени р
и имеющий степень 2т и, таким образом, являющийся (нену-
(ненулевым, за исключением конечного набора значений pi) поли-
полиномом степени т по р2.
Применим формулу (П. 15) для вычисления интеграла
оо 2л
О О
1
X
X
сх>
J
— оо
2Л
[ н
2м
СХ)
J /
— СХ)
Лр\
2т
Ik i*) t
СОБфО
B/2 - k]
lh (x) H
H2n~k
1
)! h\ {2m -
2n-k(y)H
(р^ШфО
v
/2)'
'2m-/j A
^iX
2л
X \ Ял (Pi cos ф2) H2m~h (pi sin ф2) ^ф2,	(П» 18)
о

176	П1. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ГАЗА С ПОВЕРХНОСТЬЮ И Я-ТЕОРЕМА
где произведена замена полярных координат р, ср на декартовы
х = р cos ср, у = р sin ф. Воспользуемся теперь независимостью
Sn(p, PiMm(p, pi) от ф, а также соотношением (П. 5); это даст
оо
2 J S2n (р, р,) S2m (р, р,) е-<*р ф = Ф (р,) Ьпт, (П. 19)
О
где
2п	2Я 2я
ф (ро=-^г Yj fei(/z-/g)i S Sя* (pi cos ф^Я2*-*(pi sin ф1^х
/e=0 '	0 0
X Hk (p! cosф2) H2m-k(p[ sinф2) ^ф! dy2 (П. 20)
И ПРИНЯТО ВО ВНИМаНИе равеНСТВО Skh&2n-k,2m-h= Sfe/iSnm.
Из (П.19) следует, что при фиксированном pi полиномы
5гп(р, pi) по р2 ортогональны по мере 2pe~p2rfp, так что полино
мы Pft(#) = S2/i(V* > Pi) °Ртогональны по м^ре e—xdx. Однако
последовательность полиномов всех степеней, которые ортого-
ортогональны по данной мере, определяется с точностью до некото-
некоторого множителя, поскольку они легко строятся рекуррентно
(методом Грама — Шмидта). Следовательно, полином Рп(х) =
= S2n('\/x, рОпри любом фиксированном pi должен быть про-
пропорционален Ln(x), так что имеем 52n(p, pi) = Qn (p\)Ln (p2).
С другой стороны, 52n(p, pi) = 52п(рьр); значит, Qn(pi) дол-
должен совпадать с ^fl(p2) с точностью до постоянного множителя
kn. В результате имеем
Эта формула устанавливает связь между полиномами Эрмита
и полиномами Лагерра. Тогда с учетом соотношений (П. 15)
и (П.21) формула (П. 14) принимает следующий вид:
1л*А(р2)-
n=0
Для того чтобы вычислить константы kn, положим pi = р
и проинтегрируем обе части равенства (П.22) по р, предвари-
предварительно умножив его на е~р22р dp.

ПРИЛОЖЕНИЕ	177
Используя (П. 13) с т = п и х = р2, получаем
со 2Я
1 Г Г /	2so2	°s'	\
2п/еп = 1 __ ^2 \ \ exp f — р2 — 1 _^., + 1 ~_ s2 p2 cos ф J 2o dp dq =
2
tl = Q	0 0
2л
=	Lf
1 - S2 J
	L	^
1 - S2 J 1 + 252 A - S2)-1 — 25 A - Я2)'1 COS ф
где последнее выражение следует из разложения A—s2)-1.
Сравнение коэффициентов двух рядов в (П.23) показывает, что
kn = 2я. Если еще заменить s2 на s, то формула (П.22) запи-
запишется в виде
п = 0
<П.24)
Здесь /о — модифицированная функция Бесселя нулевого по-
порядка первого рода [38], которую можно определить с помощью
интегрального представления
2я
/о (х) — -^ j exp (x cos ф) йф.	(П. 25)
о
Равенство (П.24) является основным соотношением при ра-
работе с полиномами Лагерра. Если положить s->l, то получим
в смысле теории обобщенных функций
ЕоК (р2) Ln (pf) = е'Ъ (р2 - Р2),	(П. 26)
что доказывает полноту системы L.n(x). Соотношение (П.26)
легко проверить, заметив, что правую часть формулы (П.24)
можно записать в виде
X i \ Т=7 схР[~ Т^Т (р' + Р> - 2рр> coscp)] rffP'

178	HI. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ГАЗА С ПОВЕРХНОСТЬЮ И Я ТЕОРЕМА
где подынтегральное выражение положительно и стремится
к нулю при s -> 1, за исключением случая, когда р2 + р2 — 2ppjX
X cos ф = 0, т. е. когда р=рь ср = 0. С другой стороны, полагая
к = р cos ф, у = р sin ф, имеем
\ \ T^F ехр [- -р~ (р2 + р? - 2РР| cos Ф)] d (р2) ЙФ =
о о
ОО	СО
= 2 ( [ ,s ехр\ — , [(а: — р{J + у2] \dxdy = 2я. (П. 28)
JJI— 5	V	1—5	)
— со —оо
Следовательно, при s-> 1 подынтегральное выражение в (П. 27)
стремится к 2яб(р2 — р2) 6(qp). Так как множитель вне интеграла
в (П.27) стремится к легко вычисляемому конечному пределу,
получаем
s, р, Р1) =
и соотношение (П.26) подтверждается.
Из свойств полиномов Эрмита и Лагерра заключаем, что
полиномы \|)/mn от компонент ln, tt, ^ вектора скорости, опре-
определенные равенством F.14) основного текста:
/тп (I) = (ml п\ 2т2п)-Ъ U (-^~) Ит {-jhJ] Hn
тп V	Ч 2RT) т\ л/2ЯТ ) п
(П. 30)
удовлетворяют соотношению
5 ¦/«««) ¦,w (9 fо © 16 •" I« = б;гбшт,б„„, (П. 3D
Кроме того, из формул (П. 10) и (П. 24) следует, что имеет
место равенство
Z, т, п.
A — р) V(i
Р ъп ^ ьп

1 - р 2RT0
0
n
0 J
"^ 2A+5) 2RT0	2A -s)
dpi, kNs|< 1), (П.32)
т. е. формула F.15) основного текста,

список литературы	179
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
[1] Cercignani С, in "Transport theory" (Birkhoff G. et al., eds.), SIAM-
AMS Proceedings, vol. I, p. 249, Providence, AMS, 1968.
[2] Cercignani C, Mathematical methods in kinetic theory, New York, Ple-
Plenum Press, 1969; русский перевод: Черчиньяни К., Математические ме-
методы в кинетической теории газов, М., «Мир», 1973.
[3] Kuscer I., in "Transport theory conference", AEC Rep. ORO-3858-1,
Blacksburg, Va., 1969.
[4] Cercignani C, Lampis M., Transport Theory and Statistical Physics, 1,
101 A971).
[5] Kuscer I., Surface ScL, 25, 225 A971).
[6] Cercignani C, Transport Theory and Statistical Physics, 2, 27 A972);
русский перевод: сб. Механика № 6 A48), 38—56 A974).
Lebowitz J. L., Frisch H. L, Phys. Rev., 107, 917 A957).
Bergmann P. G., Lebowitz J. L., Phys. Rev., 99, 56 A955).
Lebowitz J. L, Bergmann P. G., Ann. Phys., N. Y., 1, 1 A957).
[10] Darrozes J., Guiraud J. P., Compt. Rend. Ac. ScL, A262, 1368 A966).
[11] Maxwell J. C, Phil. Trans. Roy. Soc, I, Appendix A879); перепечатано
в The scientific papers of J. С Maxwell, New York, Dover, 1965.
[12] Shen S. F., Kuscer I., in "Rarefied gas dynamics" (Dini et al., eds.),
vol. I, p. 109, 1974.
[13] Gross E. P., Jackson E. A., Ziering S., Ann. Phys., N. Y., 1, 141 A957);
русский перевод: сб. Механика, № 5 E1), 33—55 A958).
ру	р
[14] Shen S. F., Entropie, 18, 138 A967).
[15] Cii C Li M "R
Cercignani С, Lampis M., in "Rarefied gas dynamics" (Karamcheti K.,
ed.), p. 361, 1974.
Epstein M., AIAA Journal, 5, 1797 A967).
Goodman F. O., Phys. Chem. Solids, 23, 1269 A962).
Goodman F. O., Phys. Chem. Solids, 23, 1491 A962).
Goodman F. O., Phys. Chem. Solids, 24, 1451 A963).
Goodman F. O., Surface ScL, 7, 391 A967).
Trilling L, Surface ScL, 21, 337 A970).
Logan R. M., Stickney R. E., /. Chem. Phys., 44, 195 A966).
Logan R. M., Keck J. C, /. Chem. Phys., 49, 860 A968).
Logan R. M., Keck J. C, Surface Sci., 15, 387 A969).
[25] Соболев С. Л., Уравнения математической физики, М.—Л., ГИТТЛ,
1950.
Williams M M. R., /. Phys., ser. D. Appl. Phys., 4, 1315 A971).
Kuscer I., Mozina J., Krizanic F., in "Rarefied gas dynamics" (Dini et al.,
eds.), vol. I, p. 97, 1974.
[28] Cercig-nani C, in "Rarefied gas dynamics" (Dini et al., eds.), vol. I,
p. 75, 1974.
[29] Hinchen J. J., Foley W. M., in "Rarefied gas dynamics" (de Leeuw J. H.,
ed.), vol. II, p. 505, New York, Academic Press, 1966.
[30] Schamberg R., Proc. 1959 Heat Transfer and Fluid Dynamics Institute,
p. 1, Stanford Univ. Press, 1959.
[31] Nocilla S., in "Rarefied gas dynamics" (Talbot L., ed.), p. 169, New
York, Academic Press, 1961.
[32] Nocilla S., in "Rarefied gas dynamics" (Laurmann J. A., ed.), vol. I,
p. 327, New York, Academic Press, 1963; русский перевод: сб. «Взаимо-
«Взаимодействие газов с поверхностями», М., «Мир», 136—153, 1965.
[33] Knudsen M., Ann. der Phys., 34, 593 A911).
[34] Grad П., in "Handbuch der Physik", Band XII, S. 205, Springer, 1958;
русский перевод: сб. «Термодинамика газов», М., «Машиностроение»,
109, 1970.
[35] Коган М. Н., Динамика разреженного газа, М., «Наука», 1967.

180	1П. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ГАЗА С ПОВЕРХНОСТЬЮ И //-ТЕОРЕМА
[36] Chapman S., Cowling T. G., The mathematical theory of non-uniform
gases, Cambridge Univ. Press, 1952; русский перевод: Чепмен С, Кау-
линг Т., Математическая теория неоднородных газов, М., ИЛ, 1960.
[37] Boltzmann L., Wissenschaftliche Abhandlungen (Hasenorl F., ed.),
Band II, S. 83, Leipzig, J. A. Barth, 1909; русский перевод: Больц-
ман Л., Лекции по теории газов, Д'\., Гостехиздат, 1956.
[38] Watson G. N., A treatise on the theory of Bessel functions, Cambridge
Univ. Press, 1958; русский перевод, изд. 1945 г.: Ватсон Г., Теория
бесселевых функций. Ч. 1, Ч. 2, М., ИЛ, 1949.
[39] Jensen J. L. W. V., Ada Mathematica, 30, 175 A906).
[40] Zygmund A., Trigonometrical series, p. 67, New York, Dover, 1955; рус-
русский перевод: Зигмунд А., Тригонометрические ряды, М., «Мир»,
т. I, т. II, 1965 (стр. 45 т. I).
[41] Rudin W., Real and complex analysis, London, McGraw-Hill, 1970.
[42*] l) Barantsev R. G., Some problems of gas-solid surface interaction, Pro-
Progress in Aerospace Sci., vol. 13, 1—80, 1972.
[43*] Баранцев Р. Г., Взаимодействие газов с поверхностями, в кн. «Итоги
науки и техники. Гидромеханика», т. 6, М., ВИНИТИ, 5—92, 1972.
[44*] Коган М. Н., Макашев Н. К., О граничных условиях для течений с хи-
химическими реакциями на поверхности, Механ. жидкости и газа, № 1,
129—138 A972).
[45*] Климонтович Ю. Л., Я-теорема Больцмана для неидеалыюго газа,
Ж. экспер. и теор. физики, 63, № 1, 150—156 A972).
[46*] Луцет М. О., О течении релаксирующего газа вблизи твердой поверх-
поверхности, Ж. прикл. механ. и техн. физ., № 4, 33—39 A973).
[47*] Филиппов Б. В., Аэродинамика тел в верхних слоях атмосферы, Л.,
пзд-во ЛГУ, 1973.
[48*] Богданов А. В., Сергеев В. Л., Эйкональная модель отражения атома
газа от кристаллической поверхности, Вестник ЛГУ, № 19, 69—72,
A974); Индикатриса рассеяния атома газа на кристаллической поверх-
поверхности в эйкональном приближении, в кн. «Аэродинамика разреженных
газов», вып. 7, Л., изд-во ЛГУ, 71—76, 1974.
[49*] Пярнпуу А. А., Взаимодействие молекул газа с поверхностями. М.,
«Наука», 1974.
[50*] Barantsev R. G., Gas-surface interaction and free molecular interference,
Rarefied gas dynamics, Proc 9th Intern. Symp., Gottingen, E2-1-E2-16,
1974.
[51*] Steele W. A., The interaction of gases with solid surfaces, Oxford, Per-
gamon Press, 1974.
[52*] Kuscer I., Boundary conditions in linear kinetic theory, Colloques Intern.
С N. R. S., № 236, 59—70, 1975.
[53*] Kuscer I., Vidav I., Properties of surface scattering operators, ZAMP, 26,
№ 2, 165—171 A975).
[54*] Nahr H., Atomic scattering, Surface science, Lectures, vol. II, 9—62, 1975.
[55*] Waldman L., Vestner H., On the theory of boundary conditions, Physica,
80Л, No. 6, 523—549 A975).
[56*] Кузнецов В. М., Кузнецов М. М., О граничных условиях для течений
многоатомных газов, Ж. прикл. механ. и техн. физ., № 4, 93—102 A975).
[57*] Goodman F. О., Wachman H. Y., Dynamics of gas-surface scattering,
New York, Academic Press, 1976; готовится к печати русский перевод
(пзд-во «Мир»).
[58*] Москалев О. Б., Я-теорема Больцмана для газа в термостате, Докл.
АН СССР, 232, № 3, 521—523 A977).
[59*] Цибаров В. А., О граничных условиях для уравнений аэромеханики и
параметрах граничной функции рассеяния на химически активной по-
поверхности, Вестн. ЛГУ, № 1, 120—126 A977).
1) См. также список литературы к части I дополнения. — Прим. ред.

IV
Линейная теория переноса
1. Линеаризованный оператор столкновений
Из-за нелинейного характера столкновителы-юго члена реше-
решение и анализ уравнения Больцмана связаны со значительными
трудностями. В разд. 10 гл. III был исследован весьма частный
класс решений, а именно максвелловские распределения. Смысл
этих распределений ясен: они описывают равновесные состоя-
состояния (или несколько более общий класс состояний, характери-
характеризующихся отсутствием теплового потока и вязких напряжений).
Для того чтобы описать более реальные неравновесные состоя-
состояния, когда имеются вязкие напряжения и теплоперенос, прихо-
приходится полагаться на приближенные методы.
Часть наиболее действенных методов решения основана на
теории возмущений: выбирается параметр 8, который в некото-
некотором классе задач может быть малым, и функция распределения
/ раскладывается в ряд по степеням 8 (или, в более общем виде,
по функциям ап(е), таким, что lim on+l (г)/оп(г) = 0). Получаю-
8>0
щееся разложение, которое является, вообще говоря, не обяза-
обязательно сходящимся, а лишь асимптотическим решением уравне-
уравнения Больцмана, дает полезные сведения для некоторого интер-
интервала малых значений 8 (иногда большего, чем можно было бы
ожидать).
Существует много вариантов теории возмущений, соответ-
соответствующих различным способам выбора е. В этом разделе мы
намереваемся изучить общие свойства любого метода возмуще-
возмущений применительно к оператору столкновений Q ()\ /), ограничи-
ограничиваясь степенным разложением по е:
оо
f=Ze"/n.	A.1)
/2 = 0
Подставляя это разложение в Q (/, /) и принимая во внима-
внимание квадратичность оператора столкновений, а также правило
Коши для произведения двух рядов, находим
Q(f,/) = !>* Ео(/Ь fn.k),	A.2)
0 k 0

182		IV. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕНОСА
где Q(f,g)—билинейный оператор, определенный формулой
(II. 6.2). Симметрия полученного выражения обусловлена тем,
что можно комбинировать члены с к — k0 и к = п— k0 (для
любого к0, 0 <; k0 ^ п).
Выражение A.2) показывает, что разложение / в ряд по сте-
степеням е приводит к аналогичному разложению столкновитель-
ного члена, коэффициенты которого равны
Qn=tQ(fk, fn-k).	A.3)
Многие разложения теории возмущений, которые применяют-
применяются к уравнению Больцмана, обладают тем свойством, что чле-
членом нулевого порядка в них служит максвелловское распреде-
распределение или как решение уравнения нулевого порядка, или как
следствие предположений, лежащих в основе метода возмуще-
возмущений. Ограничиваясь далее этим случаем, заметим, однако, что
параметры максвеллиана (плотность, массовая скорость и тем-
температура) могут произвольным образом зависеть от времени и
координат (при этом он, вообще говоря, не является решением
уравнения Больцмана), но это можно не принимать во внима-
внимание при рассмотрении оператора столкновений, поскольку он не
затрагивает зависимости функции / от координат и времени.
С учетом принятого допущения имеем (см. разд. 7 гл. II)
Q(fo, fo) = O, Q0 = 0.	A.4)
Отметим теперь, что величины Qn (n^l), согласно A.3),
представляются следующим образом:
Qn = 2Q(/о, L) + Е Q(fk, fn-k) (n>l),	A.5)
k=i
причем первое слагаемое соответствует значениям к = 0 и
к = п в A.3), а второй член включает в себя //< при к <С п и,
следовательно, известен на п-м шаге теории возмущений (в ча-
частности, он равен нулю при п= 1). Поэтому оператором, кото-
который нужно рассматривать, является линейный оператор 2Q (fo,
fn), действующий на неизвестную функцию fn\ остальную же
часть можно считать членом типа источника (обозначим его че-
через foSn). Обычно полагают fn = fohn и hn рассматривают как
неизвестную; тогда выражение A.5) записывается в виде
Qn = hLK + hSn,	A.6)
где, по определению, линеаризованный оператор столкновений
L дается формулой
Lh = 2/о" 'Q (/о, Ш = -^ J f0. (К + h' - К - h) X
ХВ{в, V)dl,dedQ. A.7)

1. ЛИНЕАРИЗОВАННЫЙ ОПЕРАТОР СТОЛКНОВЕНИЙ	183
Второе выражение получено с учетом формулы (II. 6.2) и
того факта, что /о, будучи максвеллианом, удовлетворяет урав-
уравнению (П. 7.7).
Используя свойства Q(f,g) и определение оператора L, по-
получим некоторые основные свойства L. Если записать соотно-
соотношение (II. 6.12) при / =/о, g = foh и ф = g, то будем иметь
J fogLh dl = 2 \gQ (/0, № dl = - -^ \ /0/0+ (К + Ы -K-h)X
X (g[ + ?'- g^ -§)В (в, V) d^ dl de d6. A.8)
Это выражение показывает, что при перемене местами g и
h интеграл переходит в комплексно сопряженную величину (и,
следовательно, остается при такой перемене неизменным, если g
и h вещественны). Поэтому естественно ввести гильбертово про-
пространство Ж [1—5], в котором скалярное произведение (g,h) и
норма ||/ill определяются формулами
(?, А) = $ /о (Ю g (Ю А (Ю dg; || h ||2 = (A, h).	A.9)
Тогда соотношение A.8) принимает вид
(g, Lh) = (Lg, A),	A.10)
и, следовательно, оператор L — самосопряженный (здесь g и h
принадлежат области определения L). Полагая в A.8) g = h,
получаем
(A, LA)=-1ir5|A: + A'-A,-A|2flF> l/Jdldg^dede, A.11)
и, так как fi@, V) > 0, имеем
(A, LA)< 0,	A.12)
причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда ве-
величина, квадрат которой стоит в подынтегральном выражении,
равна нулю, т. е. когда А является инвариантом столкновений.
Соотношение A.12) означает, что L — неположительный опе-
оператор в Ж Если выражение A.11) равно нулю, т.е. если А —
инвариант столкновений, то из A.7) следует, что
Lh = O;	A.13)
обратно, умножив скалярно это равенство на А, согласно A.9),
получим
(A, LA) = 0,	A.14)
а это означает, что А — инвариант столкновений. Таким обра-
образом, инварианты столкновений if>a (и только они) являются соб-
собственными функциями оператора L, соответствующими собствен-
собственному значению Я = 0; все другие собственные значения, если

184	IV. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕНОСА
они существуют, в силу A.12) должны быть отрицательными.
Как легко убедиться, неравенство A.12) представляет собой ли-
линеаризованное неравенство (П. 7.3); действительно, если в по-
последнее подставить f = fo(l -\- h) и пренебречь членами выше
второго порядка (члены нулевого и первого порядков взаимно
уничтожаются), то получится A.12). Отметим свойство L, выте-
вытекающее из равенств
La|)o = 0 (<z = 0, 1, 2, 3, 4)	A.15)
и A.10) (при g = tya), а именно свойство
(я|>а, Щ = 0.	A.16)
Это линеаризованный вариант формулы (П. 8.22).
2. Линеаризованное уравнение Больцмана
Как было отмечено в предыдущем разделе, значительная
часть разложений теории возмущений, применяемых к уравне-
уравнению Больцмана, имеет вид A.1). Результат подстановки такого
разложения в уравнение Больцмана
зависит от смысла параметра е. Если е не входит явно в урав-
уравнение B.1), то, приравнивая коэффициенты при одинаковых сте-
степенях е, получаем
^L + i-|i = Q(fo,fo).	B.2)
¦%- + I--t" = QB,	B.3)
где Qn имеет вид A.3).
Из B.2) следует, что функция f0 должна быть решением
уравнения Больцмана. Так как мы не знаем других решений,
кроме максвелловского (за исключением некоторых малоинте-
малоинтересных), мы практически вынуждены выбрать в качестве /о
максвелловское распределение; иначе начальный шаг теории
возмущений будет столь же трудным, как и решение исходного
уравнения. Хотя и существуют максвелловские распределения
с переменными плотностью, скоростью и температурой, удовлет-
удовлетворяющие уравнению Больцмана (см. разд. 10 гл. III), они
имеют частный характер, поэтому в качестве /,0 возьмем макс-
веллиан с постоянными параметрами. Такой выбор вполне до-
достаточен для последующего анализа. Физически это означает,
что изучаются случаи малых отклонений от состояния полного
равновесия.

2. ЛИНЕАРИЗОВАННОЕ УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА	185
Можно положить fn = fQhn (n^l) и записать уравнение
B.3) в виде
д/г>1 _4_ ? • -^- =Ц 4-S	B 4^
где, согласно A.5) и A.6),
S, = 0, Sn = f;1 ? Q (/О/7Ь /оЛ,-.О.	B-5)
k= 1
Последовательность уравнений B.4) описывает алгоритм по-
последовательных приближений для решения уравнения Больц-
мана. Удобно, что на каждом шаге приходится решать одно и
то же уравнение только с новым свободным членом, который
вычисляется по предыдущим приближениям. Уравнения, кото-
которые нужно решать, содержат сложный интегродифференциаль-
ный оператор и по виду почти столь же сложны, как и исходное
уравнение Больцмана, за тем исключением, что мы избавились
от нелинейности. Поскольку на каждом шаге мы имеем дело
с одним и тем же оператором, можно сосредоточиться на первом
шаге и исследовать уравнение
д/г . с. dh r 1	/о г-\
которое называется линеаризованным уравнением Больцмана.
Наличие свободного члена в последующих шагах незначи-
незначительно усложняет решение уравнений, поскольку хорошо изве-
известным способом можно решить неоднородное линейное уравне-
уравнение, как только мы справились с соответствующим однородным
(см. разд. II). Однако практически обычно делается лишь пер-
первый шаг и решается линеаризованное уравнение Больцмана вме-
вместо нелинейного.
Изучение линеаризованного уравнения Больцмана важно, по
меньшей мере, по двум причинам.
1.	Существуют условия (которые будут уточнены ниже),
когда результаты, полученные с помощью линеаризованного
уравнения, достаточно точно отражают физические явления.
2.	Линеаризованное уравнение имеет такую же структуру (за
исключением нелинейности в столкновительном члене), что и
полное уравнение Больцмана; это позволяет надеяться получить
ценные сведения относительно свойств решений полного уравне-
уравнения, изучая линеаризованное; конечно, имеются в виду свойства,
связанные не с нелинейными эффектами, а, например, с пове-
поведением газа вблизи границы, для которых можно ожидать, что
нелинейный характер столкновений не существен.
Уточним теперь условия, при которых можно использовать
линеаризованное уравнение Больцмана для получения физиче-

186	IV. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕНОСА
ски интересных результатов. Поскольку параметр е, по предпо-
предположению, не входит в само уравнение, следует рассмотреть на-
начальные и граничные условия. Так как мы ищем решение в
виде f = fo(l + h) при условии, что /i, в том или ином смысле,
мало по сравнению с единицей, необходимо, чтобы h было мало
и при / = 0 и на границах.
Следовательно, первым условием является малость отклоне-
отклонения начальных данных от основного максвеллиана Дь это не
обязательно означает, что h мало всюду при t = 0, а может
означать ||/i|ljC_l, где \\h\\ определена формулой A.9). В частно-
частности, если р, v, T — начальные плотность, скорость и темпера-
температура, а ро, Vo, ^о—соответствующие параметры в fOi то вели-
величины |р — ро|/ро, \v — Vo\/(RTo) и \Т— То\/Т0 должны быть
малы по сравнению с единицей.
Аналогичная (хотя это менее очевидно) ситуация имеет ме-
место при рассмотрении граничных условий. Если подставить
/ = /оA+Л)	B.7)
в граничное условие (III. 1.6), то получится
h (х, 1, t) = /7о (х, I, t) + \ В {V -> 1; x, I) h (x, Г, /) dlf
c'-n
(xe=d/?, c-n>0),	B.8)
где с-п<0 заменяет ^-n < 0, чтобы учесть возможное движе-
движение границы, и
А0(х, |, /) =
^[foOlc-nir1 \ #(Г->!;х, Ofo(r)|c^. n|dr — 1, B.9)
c/-n<0
В(Г->1;х, О = [/о(Ю1с-п|]/?(Г-^1; х, /)/0(Г) W • п|. B.10)
Как видно из B.8), h может быть мало (в некотором смысле)
лишь тогда, когда свободный член h0 тоже мал. Пусть /u?(|, x, t)
(х е OR)— максвеллиан со скоростью и температурой, равны-
равными скорости и температуре стенки. Тогда R (|х —> |, х, /) удовле-
удовлетворяет условию (III. 3.10) с заменой f0 H^ fw и выражение B.9)
можно переписать в виде
\
с'-л <0
где аргументы х (x^dR) и t для краткости опущены.
Из B.11) видно, что если скорость uw и температура Tw на
стенках близки к скорости Uo и температуре То основного макс-
максвеллиана /о» то ^о должно быть малым. Следовательно, линеа-

2. ЛИНЕАРИЗОВАННОЕ УРАВНЕНИЕ БОЛЫДМАНА	187
ризация допустима (по крайней мере формально), если отно-
относительные возмущения скорости и температуры малы. Отметим
также, что h0 может быть мало даже тогда, когда /о и fw не
очень близки; крайний пример такого рода дает зеркальное
отражение (формула (III. 1.11) с заменой §, §' на § — nWi
§'— uw). В этом случае легко вычислить
р. 	Qvn Г О \^п llwn) (иon uwn> 1 	 1	/q 1 o\
L	/<i о	J
(индекс я обозначает нормальную составляющую), так что /io
(формально) мало, если
-<1.	B.13)
Это соотношение может удовлетворяться, в частности, когда
вектор u0 — uw образует малый угол с касательной плоскостью
в каждой точке границы (такая ситуация возникает при обте-
обтекании тонкого профиля под малым углом атаки). Ясно, что ли-
линеаризация еще возможна, если граница отражает не зеркально,
но отклонение от зеркального отражения достаточно мало [6].
Рассмотрим более подробно случай, когда отражение моле-
молекул от стенки существенно отличается от зеркального. При этом
/?A'->1; х, t), вообще говоря, должно зависеть от Tw и uWi
чтобы выполнялось соотношение взаимности, а величины \TW—•
— 7^01/7"о и \uw — uo\BRT0)-lh должны быть малыми, чтобы ли-
линеаризация была законной. Тогда удобно воспользоваться упро-
упрощением, которое не влияет на точность линейного анализа.
А именно линеаризуем /?A'->1; х, t) относительных малых
параметров \TW — То\/Т0 и | uw — щ |/-y/2RT0. Такую линеари-
линеаризацию можно провести в обеих формулах B.9), B.10). В пер-
первом случае следует сохранить члены первого порядка (члены
нулевого порядка взаимно уничтожаются вследствие взаимно-
взаимности), а в B.10) достаточно сохранить лишь члены нулевого по-
порядка, поскольку члены первого порядка в Б(|/->|; х, t) после
умножения на h дадут члены второго порядка в B.8) — B.10).
Нулевое приближение для /?A/->|; х, t) не зависит более от
х и t (если эти аргументы и появляются, то лишь через иг^(х, t)
и Tw(x, t), что обычно имеет место) и удовлетворяет тем же со-
соотношениям, что и полное ядро Z?^—>§; х,/), только при этом
максвеллиан стенки заменяется основным максвеллианом /о(|).
В результате формулы B.8) и B.9) принимают вид
/7+ = а0 + АРЫ (х е= dR),	B.14)
B.15)

188	IV. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕНОСА
где /г+ и hr обозначают величину h для |-п >0 и |«п<0 соот-
соответственно, операторы А и Р определены формулами (III. 4.14)
и (III. 5.7), а
Формула (III. 5.5) определяет скалярное произведение для
функций, заданных на границе. Чтобы не путать его со скаляр-
скалярным произведением, введенным в разд. 1, будем впредь добав-
добавлять индекс В к скалярному произведению (III. 5.5), т. е. для
любых функций g и /г, заданных на границе, будем писать
g(l)(l)fo(l)\cn\ dl
с • n >0	с • n > 0
(с E=g-u0)	B.17)
и аналогично для нормы, связанной с таким скалярным произ-
произведением,
\\gfB = (g, ё)в-	B.18)
Соотношения (III. 5.6) и (III. 4.17) показывают, что оператор А
симметричен по отношению к рассматриваемому скалярному
произведению:
(g,Ah)b = {Ag9h)B,	B.19)
а его норма не превосходит единицы
\\Ag\\B <\\gh,	B.20)
причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда g по-
постоянна (если ядро /?(|'->§) не является дельта-функцией).
Итак, мы нашли, что линеаризация формально оправдана,
если неоднородные члены в начальных и граничных условиях
малы. Чтобы выяснить, будут ли эти условия достаточными в
строгом смысле, необходимо исследовать задачи с начальными
и граничными условиями для линеаризованного уравнения
Больцмана и доказать, что существует одно и только одно ре-
решение данной задачи и это решение остается малым (в неко-
некотором смысле), если упомянутые неоднородные члены доста-
достаточно малы. Следует также доказать, что разность между реше-
решениями линеаризованного и нелинейного уравнений мала п имеет
более высокий порядок, когда формальные условия линеариза-
линеаризации удовлетворяются. Эти вопросы будут обсуждаться в гл. VIII;
здесь же будем считать формальные условия достаточными.

3. ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ БОЛЫДМАНА	189
3. Линейное уравнение Больцмана.
Перенос нейтронов и излучения
Рассуждения разд. 1—2 легко распространить	на случай
смеси многоатомных газов, исходя из уравнений	(II. 4.17) и
(П. 4.22) и полагая
// = /о/П+й,),	C.1)
где foj — максвелловские распределения, отличающиеся друг от
друга только плотностью и индексом внутреннего состояния и
сорта /.
Другая интересная возможность возникает в случае бинар-
бинарной смеси, когда один из компонентов /V имеет очень малую
плотность, так что столкновениями его частиц между собой
можно пренебрегать по сравнению со столкновениями с части-
частицами другого компонента М, которые в свою очередь являются
редкими сравнительно с самостолкновениями частиц компонента
М. При этом эволюция компонента Л' не влияет на состояние
частиц М, в то время как его поведение зависит от состояния
частиц М. Особо интересен случай, когда компонент М нахо-
находится в равновесном состоянии, т. е. имеет максвелловское рас-
распределение Fo; тогда функция распределения компонента N
удовлетворяет уравнению
+ *'§ ==k\{f/nfF)B{B v)dQd*d% C-2)
где т0— масса частицы М, а 5@, V) = BNM(Q, V) дается форму-
формулой (II. 4.14), в которой г = г@) вычисляется из закона взаимо-
взаимодействия частиц /V и М. Уравнение C.2) будем называть линей-
линейным уравнением Больцмана.
Частный случай уравнения C.2) уже встречался ранее в
разд. 2 гл. III, где уравнение B.7) описывает поведение моле-
молекул газа (компонента N), захваченных твердой стенкой (атомы
которой образуют компонент М). Другими важными примерами
являются перенос нейтронов в газовом замедлителе, перенос
электронов в твердых телах и слабоионизованных газах и пере-
перенос излучения в атмосферах звезд и планет, находящихся в ло-
локальном тепловом равновесии. В этих случаях, однако, необхо-
необходимы существенные уточнения, которые будут обсуждаться
ниже.
Уравнение C.2) удобно представить в несколько иной (и бо-
более общей) форме. Для этого представим правую часть уравне-
уравнения C.2) в виде разности
~ \ VF'^B @, V) dQ йг ^,- Г-L \ F0,B @, V) dQ de rfgj / (g) =
C.3)

190	1V- ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕНОСА
Здесь
v (|) = -^- 5 f о (L) В (в, V) dd dt	C.4)
и
/С (Г, ^^mCm + mo
X б ('«I + '«ol» — тё' — то!0 X
X 6 (т|2 + т0^ - т|'2 - т?*) <
___ (т + /я0J f 5 (9, V)
C.5)
где т — масса частицы компонента N и
]	C-6)
При этом использованы уравнение (II. 4.18) и соотношения
(П. 4.19), (II. 4.20) и проведено интегрирование по ^ с учетом
свойств дельта-функции.
Дальнейшее интегрирование можно выполнить, если взять
сферические координаты вектора V = | — I* (с полярной осью
вдоль | — |') за переменные интегрирования. Тогда, полагая
п = V/V = (sin 0 cos e, sin 0 sin e, cos 0),	C.7)
получаем
(+J\ B{eaV)Fn($ + —&-$'}-n
2 cos 6 sin 6 V,	Щ
X б B11 - Г1V cos 6 - w + m° 11 - ri2) V dV dn =
Согласно C.3), уравнение C.2) можно записать в виде
W + S-JrHW' ^(SOdr-vdmi).	C.9)
Основное различие между линейным и линеаризованным
уравнением Больцмана B.6) заключается в том, что линеаризо-
линеаризованный оператор столкновений L A.7) имеет пять собственных

3. ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ БОЛЫДМАНА	191
функций для нулевого собственного значения К = О A.15), в то
время как линейный оператор в правой части C.2) или C.9)
имеет лишь одну собственную функцию (/= ЫЮ —
= FoC^lm/mo]1!*) ). Последнее соответствует наличию лишь од:
ного закона сохранения при столкновении (закона сохранения
массы); импульс и энергия фактически передаются частицам М.
Функция /о(|) представляет собой, конечно, равновесное реше-
решение для компонента N.
Другое различие вытекает из того, что f в уравнениях C.2)
и C.9) должна быть положительной, тогда как в уравнении
B.6) h может быть отрицательной, поскольку является малым
отклонением от единицы, и требуется лишь, чтобы величина
1 + h была положительной, согласно B.7). Это различие может
показаться несущественным, так как 1 -\-h удовлетворяет урав-
уравнению B.6) одновременно с h и нужно сопоставлять / и 1 + h
или /0A+Л). Однако это не совсем так, поскольку h, вообще
говоря, не мало по сравнению с единицей в локальном смысле
(не обязательно, чтобы было | /г (х, §, t) | <С 1 для всех х, §, /),
а мало лишь в глобальном смысле (см. гл. VIII). В частности,
1 + h часто отрицательна для некоторого множества значений
х, 1, t.
Как уже было отмечено, линейное уравнение Больцмана
нашло особенно широкое применение в теории переноса нейтро-
нейтронов в связи с развитием технологии ядерных реакторов. При
этом выписанное выше линейное уравнение Больцмана можно
обобщить таким образом, чтобы охватить более широкий круг
задач, имеющих важное практическое значение.
Прежде всего, компонент М, который мы будем называть
средой, не обязательно должен быть газом; он может быть или
твердым замедлителем, или защитным экраном, или ядерным
горючим реактора, или комбинацией различных материалов.
Благодаря малой концентрации (число нейтронов в 10й раз
меньше числа атомов замедлителя даже для реакторов с боль-
большой плотностью потока нейтронов) и чрезвычайно малому ра-
радиусу нейтрон-нейтронного взаимодействия (в 105 раз меньше
радиуса молекулярных сил) столкновениями нейтронов между
собой можно с уверенностью пренебречь и описывать нейтрон-
атомные взаимодействия как парные.
Конечно же, ядра рассеяния К(%', §) и частота столкновений
в уравнении C.9) определяются природой среды и, следова-
следовательно, будут меняться от точки к точке, если рассматриваемая
область занята различными средами. Кроме того, могут проис-
происходить такие явления, как неупругие столкновения, поглощение
нейтронов и деление ядер, приводящее к появлению новых ней-
нейтронов. В общем случае уравнение C.9) записывается с исполь-
использованием поперечного сечения о(|, х) и дифференциального се-

192	IV. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕНОСА
чения а(|/->|, х) в таком виде:
dt	дх ^ ^ ' ' '
Здесь добавлен еще член источника, чтобы учесть возможность
появления нейтронов со скоростью § в точке х в момент t. Пол-
Полное сечение о>(|, х) содержит вклады от столкновений или рас-
рассеяния (как упругого, так и неупругого) os и от поглощения оа:
o = as + oa.	C.11)
Дифференциальное сечение (иногда называемое также яд-
ядром рассеяния) обычно содержит лишь вклад от рассеяния (уп-
(упругого и неупругого). Таким образом, если рассеяние только
упругое, то
а(Г-*Ю = (?0-'/С(Г I)	(ЗЛ2)
где v(§) и К{%', |) —частота столкновений и ядро рассеяния из
уравнения C.9). Иногда вклад от деления тоже включается в
а(|'->|), и это легко сделать, когда можно считать, что испу-
испускание нейтронов равносильно одновременному делению (бы-
(быстрые нейтроны). Однако после процесса деления некоторые
осколки оказываются в сильно возбужденном состоянии и в ко-
конечном счете переходят в более устойчивое состояние за счет
р-излучения, сопровождаемого нейтронной эмиссией [7]; поэтому
удобнее учитывать испускание нейтронов, вызываемое процес-
процессом деления, посредством члена источника 5(х, |,/). Наличие
запаздывающих нейтронов в стационарных задачах несуще-
несущественно, и этот член для них обычно записывается в виде
S(x, g)= J<rf(g', x)f(x, g') vx (!'->& x)dg',	C.13)
где Of — сечение деления, xd'-^l'»*) — вероятность того, что в
точке х нейтрон со скоростью |' породит нейтрон деления со ско-
скоростью между | и | -f- d|, a v — среднее число нейтронов, возни-
возникающих при одном делении. Часто с достаточной точностью
можно считать, что % не зависит от |7 и направления g, так что
Если эффекты деления включены в S, то а(§/~>|;х) описы-
описывает лишь рассеянно. Следовательно, сохранение массы в про-
процессе рассеяния о.^г :т

3. ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ БОЛЫДМАНА	193
или, согласно C.12),
\К (Г, s)dl = v(IO-	C.15)
В случае одноатомного газового замедлителя для любых
функций g и h имеем
[fo(Ю1"'Л(Г)
|g-|.|)d|rfi, C.16)
где fo(l) = Fo(fa[tn/nia\"), как и выше, а |' и I' связаны с |
и |» законами сохранения импульса и энергии, так что d\d%^==
=d\'dvt,FQ{^)[h(i)]-i=Fu(^Mit)\~x и n-ij=ir-i:i.
Поэтому последнее выражение в C.16) можно записать в виде
{<d,\l-lt\)dltd% C.17)
где последний переход сводится к смене ролей «штрихованных»
и «нештрихованных» переменных (см. разд. 6 гл. II). Последнее
выражение совпадает с C.16), только величины h и g перестав-
переставлены. Следовательно, можно поменять местами h и g во всех
выражениях, входящих в C.16). В результате получается
I'* {%' -> I) [fo ©]"' h (Г) g (I) d% d% =
Г -> S) [/o (I)]"' g A0 Л (I) d|' d% =
->r)[fo(r)]~1g(l)ft(g/)uflrfi/.	C.18)
Так как g и /i произвольны, это равенство эквивалентно
соотношению
I'or {%' -> I) [fo (I)]"' = la (!-* Г) [/о (Г)]"'.	C-19)
ИЛИ
!'<т (Г -> I) h (Г) = &<т (I -> Г) f о (I);	C.20)
последнее является соотношением взаимности (называемым
также детальным балансом) и подобно аналогичному свойству,
исследованному в разд. 3 гл. III. Обобщение C.20) на случай,
когда среда не является одноатомным газом, рассматривалось
в работах [8, 9]; единственное возникающее при этом изменение

194	IV. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕНОСА
в C.20) сводится к замене а(^->|/) на а(—|—>—%') в правой
части (соотношение C.20) в том виде, как оно записано, полу-
получается, если нейтрон-атомное взаимодействие симметрично от-
относительно пространственного отражения). Свойство взаимности
служит дополнительный причиной для отделения в C.11) деле-
деления от рассеяния; ядро, описывающее деление, не обладает этим
свойством.
Еще одно свойство ядра в уравнении C.9) устанавливается
следующим образом. Для любой функции f, в силу соотношений
C.20) и C.12), имеем
= J [К (Г, Wo (Г)]72 f F0 [К (I 6O//o (Г)]1/2 / (I) dl dl'
где использованы неравенство Шварца [1—5]
hg dl dl' < [J К1 dl dl' J g2 dl dl'f	C.22)
и формула C.15). Неравенство C.21) аналогично неравенству
A.12).
Таким образом, если положить h — f/f0, то перенос нейтро-
нейтронов в чисто рассеивающей среде (без поглощения и деления)
описывается уравнением, которое обладает всеми формальными
свойствами линеаризованного уравнения Больцмана B.6), за
исключением того, что при этом существует лишь один инва-
инвариант столкновений г|H = 1. Если имеет место поглощение, а
делением можно пренебречь, то ни одного инварианта столкно-
столкновений не существует, но все другие свойства сохраняются, вклю-
включая и неравенство A.12) (в котором равенство, однако, не до-
достигается). Если же следует учитывать деление, то возникает
качественно иное положение.
В случае переноса излучения рассматриваемые частицы —
фотоны различных частот; они рассеиваются, поглощаются и из-

3. ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА	195
лучаются атомами среды, как и нейтроны в ядерном реакторе.
Среда обычно является атмосферой звезды или планеты. Если
можно считать, что атомы находятся в состоянии теплового рав-
равновесия (хотя бы локальном), то коэффициент испускания /v,
соответствующий частоте v, определяется через коэффициент
поглощения kv по закону Кирхгофа, который гласит, что в каж-
каждой точке выполняется соотношение
U = kvBv (Г),	C.23)
где Т — локальная (абсолютная) температура, и
Bv(T) = ^(cWW -1)	C.24)
Ч
— распределение Планка (ci — скорость света, k и h — постоян-
постоянные Больцмана и Планка соответственно). Сечение поглощения
определяется как kvp, где р — плотность атомов, и источник из-
излучения характеризуется величиной /vp. Следовательно, уравне-
уравнение переноса можно записать в виде [10]
df . о df	( 2AvV2
Q')dQ'-f], C.25)
где os — сечение рассеяния, osg(Q/ ->Q)— дифференциальное
сечение, и Q = %lct. Часто делается предположение о «равно-
«равновесности излучения»:
\	C.26)
Равенства C.25) и C.26) образуют усложненную нелинейную
систему двух уравнений для f и Т. Упрощение возможно, напри-
например, в случае так называемого серого излучения (см. разд. 9).
Граничные условия для нейтронов и фотонов обычно намного
проще, чем для молекул газа, и обладают теми же общими свой-
свойствами. Например, соотношение B.14) с h0 = А = 0 часто ис-
используется для нейтронов (см. разд. 1 гл. III).
В заключение заметим, что рассуждения, относящиеся к пе-
переносу нейтронов, можно использовать при исследовании пере-
переноса электронов в твердом теле и ионизированных газах. При
этом, однако, существенна роль силового члена (см. уравнение
(II. 8.21)), который обычно опускается в уравнении Больцмана.
Этот член описывает действие на электроны электрического и
магнитного полей. Дополнительным свойством является малость
массы электрона по сравнению с массой рассеивающих атомов..

196	IV. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕНОСА
4. Единственность решения для задач с начальными
и граничными условиями
В этом разделе мы рассмотрим в общих чертах вопрос о
единственности решения линеаризованного (или линейного)
уравнения Больцмана для задач с начальными и (или) гранич-
граничными условиями. Пусть задано начальное значение, и пусть на
твердых границах выполняется условие B.14). Обозначим через
hi и h2 два возможных решения задачи, а через h = h\ — h2 их
разность.
Тогда функция h удовлетворяет уравнению B.6) и однород-
однородным граничным условиям, соответствующим B.14):
h+ = APh~.	D.1)
Чтобы включить случай области R, простирающейся до бес-
бесконечности, предположим, что
• nh2 d^dS—>0,	D.2)
когда точки поверхности 2 cz R стремятся к бесконечности.
Поскольку h зависит не только от х, но и от |, удобно ввести
также скалярные произведения и нормы:
((g, h)) = $ (g, h) dx = JJ Ugh dl dx,	D.3)
R
|||A|||2 = ((A, A)),	D.4)
((g, h))B = \ (g, h)B dS=\ \ ghfo 11 • n | dl dS, D.5)
dR	dR |-n>0
\\\h\\fB=((h,h))B.	D.6)
Неравенства A.12) и B.20) означают, что для любого h
((h, LA))<0, 1ИА|||в<|||А|||в>	D.7)
причем равенство в первом случае достигается тогда и только
тогда, когда h (почти всюду) является инвариантом столкнове-
4
ний 2 ^оФа* a B0 втором тогда и только тогда, когда h по-
а=0
стоянна почти всюду на границе.
Предположим, что ||| h |||, ||| РЫ |||в, ((A,LA)), ((h,l'dh/dx)),
((/г, dh/dt)) существуют и конечны. Умножив уравнение B.6) на
h и проинтегрировав, получим
&))™((А' Lh))-

4. ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ	197
Второй член левой части можно преобразовать к интегралу
по поверхности; тогда
-§Г (т HI h I11') = Ш h+ Шв - HI ph~ HIb + ^ Lh))-	D-9)
В силу D.1) и D.7), отсюда следует, что
причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда h
является инвариантом столкновений в /? и постоянной на 3R.
Из D.10) следует, что |||А||| не может возрастать со временем,
и так как она не может быть отрицательной, а при t = 0 равна
нулю (как разность решений, удовлетворяющих одному и тому
же начальному условию), то очевидно, что ||| h \\\ = 0 для t > 0,
или hi = h2 (почти всюду).
Таким образом, единственность решения задачи с началь-
начальными и граничными условиями установлена. Доказательство
непосредственно переносится на линейное уравнение Больцмана
(с h = f/fo)} когда среда является чисто рассеивающей или
когда поглощение преобладает над испусканием. Однако дока-
доказательство проходит и тогда, когда испускание частиц пре-
преобладает над поглощением, как в случае ядерного реактора.
Тогда первое из неравенств D.7) теряет силу и заменяется не-
неравенством
((Л, L/2))<c|||/H||2,	D.11)
где с — некоторая положительная константа, а вместо D.10)
имеем
i-^ III Л |||2 < с ||| Л |||2,	D.12)
так что
¦J-(III А ||| е-") < 0,	D.13)
и по тем же соображениям, что и выше, величина |||А||| e~ct, и
следовательно |||Л|||, должна быть равна нулю.
Довольно интересное положение возникает для стационар-
стационарных задач (dh/dt = 0). В этом случае нет начальных условий
и равенство D.9) сводится к виду
0 = ||| h+ \\\B — HI Ph~ \\\в + ((Л, LA)).	D.14)
Соотношения D.1) и D.7) при этом указывают, что h долж-
должна быть инвариантом столкновений в R и постоянной на гра-

198	IV. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕНОСА
нице:
Л=Е ^а, х^Я,	D.15)
а=0
h = c0,	x<=dR.	D.16)
Подставляя D.15) в уравнение B.6) с dh/dt = О, получаем
с0 = const, c4 = const и
^ + ^7 = ° (',* = !, 2,3).	D.17)
Как известно (см. (III. 10.6) и (III. 10.11)), это означает
<ч = *>!*** +с?,	DЛ8)
где с9 и a)ik — постоянные, причем со^= —со^?. Соотношения
D.18), D.16) и D.17) могут одновременно удовлетворяться
только в том случае, когда с4 = 0 и
D.19)
Последнее равенство может выполняться только тогда, когда
граница вырождается в прямую линию или когда со^ = 0?
с9 = 0. Если граница представляет собой обычную поверхность,
то Сг = с4 = 0 и h сводится к постоянной. Следовательно, в ста-
стационарном случае два решения одной задачи могут отличаться
на аддитивную постоянную; последнюю можно фиксировать,
если задать полное число частиц, например, условием
«Фо, й)) = 0	D.20)
или условием
((*о,А+))в = О.	D.21)
Для линейного уравнения Больцмана получается такой же
результат в случае чисто рассеивающей среды; если, кроме того,
имеет место поглощение, получается то же самое, и даже более
простым путем. В случае возникновения частиц, например по-
появления нейтронов вследствие распада ядер, положение суще-
существенно изменяется. При заданной форме области существует ее
критический размер, ниже которого единственность сохраняется;
когда размер становится критическим, решение существует при
отсутствии внешних источников (самоподдерживающийся ядер-
ядерный реактор).
Выше критического размера стационарное решение с поло-
положительной функцией распределения / отсутствует, т. е. нет фи-
физически приемлемого стационарного решения [11, 12]; в этом
случае число нейтронов непрерывно возрастает со временем и
ядерный реактор становится атомной бомбой.

5. АНАЛИЗ ЛИНЕАРИЗОВАННОГО СТОЛКНОВИТЕЛЬНОГО ЧЛЕНА	199
5. Дальнейший анализ линеаризованного
столкновительного члена
В разд. 3 было показано, что линейное уравнение Больцмана
C.2) можно представить в виде C.3), который удобен тем, что
столкновительный член разбивается на две части. Первая часть
содержит интегральный оператор с ядром К{%', |), которое дает-
дается выражением C.8), вторая же получается умножением иско-
искомой величины на функцию, зависящую от скорости и имеющую
физический смысл частоты столкновений. В этом разделе будет
изучено аналогичное преобразование линеаризованного опера-
оператора столкновений A.7). Можно записать
Lh = K2h -Kih-v (g) h,	E.1)
где
^\\fo (U А (g') В (9, | g - gj) dl dQ ds, E.2)
^"Sfo(i*)B(e' I S — S* 1) ^в] Л (gj rf^,	E.3)
(I) = -I- \ fо Ю В (9, 1g - gj) dg, d9,	E.4)
при условии что все эти интегралы существуют (см. ниже). Два
последних члена в правой части E.1) имеют желаемую форму
(интегральный оператор и оператор умножения). Первый член
требует дополнительного преобразования. Согласно E.2), Kih—
сумма двух интегралов, отличающихся аргументом у /г, который
равен ^ = ^ + п (п • V) в первом интеграле и §' = § — п(п-V)—¦
во втором (V = | — |*). Но
g; = g - V + п (п • V) = g - m (m • V),	E.5)
где т — единичный вектор в плоскости V и п, ортогональный к
п (так что V = n(n- V) + m(m- V)). Следовательно, если мы
повернем п на угол я/2 (что сводится к замене 9 -> я/2 — 9,
е—> г ± п, с учетом равенства якобиана единице), то % перей-
перейдет в \' и E.2) запишется в виде
KJi = -| 5 fo (i) h(Г) В F, 11 - i |) d%,dQde,	E.6)
где
В (9, V) = В (9, У) + В (я/2 - 6, F).	E.7)
Выражение E.6) можно записать так:
Д2/г — Ш ) i° {l*>h (ё ) \i -i.\ cose sine x
X б (Г + % -1 -1) б (Г-' + g;2 -12 -12) rfg' d6, dl>:, E.8)

200	IV. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕНОСА
здесь угол б определен формулой (II. 4.20) и использованы ра-
равенства (II. 4.18) (II. 4.19) (для однокомпонентного газа).
Если провести тривиальное интегрирование по !' и перейти
от |* к сферическим координатам ||*—1|, 9, е, то получится
X cos-1 86B| §-I'll t-
-2ii-ri2)drii-l|rf
=i \ h (Г) f0 a+n 11 - ri/cos e) x
X cos-3 0B (в, '^"l4) dr dQ de,	E.9)
где n — единичный вектор с угловыми координатами 0 и е. Под-
Подставляя в равенство E.1) выражения E.9) и E.3), получаем
Lh - \К (Г, 1) h (Г) йГ - v (Ю /г,	E.10)
где
/с (г, а = *2(г, 1)-кл\ ю,	E.П)
| 6 — Г I/cos в) + В (я/2 — в, | g — Г I/cos в)] X
X cos-3 6f о (I + п || - Г I/cos 6) d6 de, E.12)
Г)В(е, |g-ri)d6de.	E.13)
Выражение E.12) можно еще упростить, так как
= h (? + II - П + n 11 - Г I/cos 6) =
= po Bя/?Г0)-"/2 exp {- BЙГ0)"! [|/2 +11 - Г |2/cos2 6 + 2Г • (I - Г) +
+ I g — П2 + 2n • П g — Г I/cos в + 2n • (g — Г) I 6 — Г I/cos §J>
E.14)
Здесь и далее предполагается, что массовая скорость в макс-
веллнане равна нулю (в противоположном случае достаточно
заменить | на относительную скорость с); при этом частота v
зависит только от модуля вектора Е, так что вместо v(|) мы бу-
будем писать v(?).
Если плоскость 8 = 0 выбрана надлежащим образом и
а @ ^ а ^ к) обозначает угол между |' и полярной осью, на-

5. АНАЛИЗ ЛИНЕАРИЗОВАННОГО СТОЛКНОВИТЕЛЬНОГО ЧЛЕНА	201
правленной вдоль §' — |, то имеют место соотношения
п • (g — Г) = — I & — П cos 9,	E.15)
п • I' 11 - I' I = || - I' ||' cos 6 cos а + II - I' I \' sin 6 sin а cos e =
= -(|-r)-rcos0 + l(g-l/)Al/|sinGcose =
= - (| - g') • |' cos 6 + || Л I' I sin G cos e,	E.16)
где | Л %' обозначает векторное произведение § и \'. В резуль-
результате E.14) принимает вид
/о (ё + п | g — Г I/cos 9) =
= ро BяД7-оГ7' ехр [- BRT0)-1 (Г2 + I S - ПV 9 +
+ 2 U Л П tg в cos e)], E.17)
а E.12) — вид
К2 (Г, I) = Pom-1 BnRT0)-'h J [В (в, 11 - Г I/cos 6) +
+ В (я/2 - 6, || - Г |/cos 6)] cos-3 6 X
X ехр [- BДГоГ' (Г2 + 11 - I' f tg2 6 +
+ 2|iAS'|tgecose)]dede.	E.18)
Интеграл по е выражается через модифицированную функ-
функцию Бесселя первого рода нулевого порядка (см. формулу
(III. 6.16)), так что
Я/2
X \ [В (в, | !-Г |/cos 9) + В (я/2-е, И-!'|/cos 6)] X
о
X cos-3 9 ехр [- B/гГоГ1 (Г2 + 11 - I' |2tg 9)] X
X /о (I & Л П [/?Г0]~' tg в) de. E.19)
В результате получим
Lh = Kh — v(l)h,	E.20)
где v (|) дается формулой E.4) и
Kh=\K(tf,t)h(t')dV,	E.21)
К(Ъ'Л)=\К{%, I; 6)de,	E.22)

202	IV. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕНОСА
X { [В (9, || - Г I/cos 9) + Б (я/2 - 9, || - Г |/cos 9)] X
X (cos9)-3exp[- BRTQyl \ | - |' Р tg? 9]/0 ( | | Л Г l
-В (в, ||- П)}. E.23)
Проделанные выкладки имеют смысл, если радиус действия
потенциала конечен (в частности, для твердых сфер); если же
потенциал безграничен, то три члена K\h, Kih, v/i в E.1) не
существуют порознь1). В этом случае можно сначала ограни-
ограничить угол рассеяния 9 некоторым значением 9о < я/2, а затем
провести все указанные выше преобразования и получить
Lh = \ [\ К (Г' g; 9) h (Г) dl' ~ v & 9) h (l)] d9' E*24)
где К{%>\ I; 9) определено формулой E.23) и
v (I; 9) = 2яРот-1 Bя/?Г0)"^2 J ехр [- ^2B/?Г0)"!] В (9, 11 - Г |) йГ.
E.25)
Выражение в E.24) сохраняет смысл даже тогда, когда
Эо-^я/2, т. е. когда ограничение на 9 снимается; следовательно,
для безграничных потенциалов можно представить L как ин-
интеграл по параметру 9 от разности интегрального оператора К&
и оператора умножения ve, зависящих от 9. Так как, однако,
зависимость каждого оператора от 9 не интегрируема в окре-
окрестности 9 = я/2, нельзя интегрировать каждый член отдельно и
получить выражение E.20).
В случае твердых сфер в E.19) можно выполнить интегри-
интегрирование по 9. Действительно, для твердых сфер В (9,1/) =
= o2V sin 9 cos 9 (см. разд. 4 гл. II), так что
/С (Г, I; 9) = 2яроа2т-1Bя/?Го)/-1ехр[-B/?Го)Г2]Х
X {211 - Г I tg 9 (cos 9Г2 ехр[- BRTQ)'1 (| - |'J tg29] X
X/o(llAl/|[^0]-1tg9)-||-|/|sin9cos9}. E.26)
Чтобы провести интегрирование, положим / = tg9 (dt =
»=cos~29d9) и используем известную формулу [13]
оо
/о (at) ехр (- p2t2) t dt = B/?2) ехр [а2 Bр)] E.27)
1) Классические представления, на которых основывается это утвержде-
утверждение, несправедливы для скользящих столкновений; согласно квантовой меха-
механике, дифференциальные сечения конечны и интегралы существуют для потен-
потенциалов, убывающих на бесконечности быстрее, чем г~3. — Прим. перев.

5. АНАЛИЗ ЛИНЕАРИЗОВАННОГО СТОЛКНОВИТЕЛЬНОГО ЧЛЕНА	203
с р = || - g' | BRT0)~i/2y а = | g Л g' I (ОТ; в результате получим
К (Г, g) = Роа2^-1 Bя7?Г0)-1/2 ехр [- B7?Г0)~1 Г2] {21 g - g' Г1 X
X ехр lBRT0rl | g - g' Г2 (| Л ГJ] - I g - g' I B/^Го)-1}. E.28)
Интеграл E.4), определяющий частоту столкновений v(g),
можно легко вычислить для любого потенциала конечного ра-
радиуса (в частности, для твердых сфер). В самом деле, вспом-
вспомнив, что 5(9, V) связана с прицельным параметром г формулой
(II. 4.14), а г меняется от 0 до а (радиус потенциала или диа-
диаметр сфер), получим
о
X 5 5 ехр [- {2RT0yl (?2 + 2VI cos 9 + У2)] V2 dV sin 9 dd =
о о
оо
= ^ Ро BnRT0)-'h Г' $ ехр [- BВД-1 (^2 + F2)] X
о
X {ехр[(^Г0)~' VI] - ехр[— (/?Г0)~' F^]} V2dF ==
- J exp[- BRT0yl (V + IJ] V2 dV \ =
о	j
= poor2™-1 Bя^Г0I/2 г|) (g B^Г0I/2).	E.29)
При интегрировании по |# мы перешли здесь к сферическим
координатам У= |g — g#|, 9, ф и ввели величину
г оо	оо	_
L-x	х	Л
г- X	х	оо	оо	_
L-л:	-л;	л:	-л;	J
= -|- J e-*'t2 dt + 2x\ e~t2 dt
о	о
x
+ -1) \ e~t2 dt,	E.30)

204	IV. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕНОСА
где последнее выражение получено интегрированием по частям.
Общим свойством частоты столкновений для твердых сфер,
потенциалов конечного радиуса и потенциалов с обрезанием по
углу является монотонная зависимость v(?) от g. Действи-
Действительно, из E.4) и (II. 5.21) находим
||	5 fo FJ 6 • (& — 6J16 — 6* Г rfe*. E.31)
где
Я/2
Поскольку fo(?) пропорциональна ехр(— ag2), где а>0 и
э^==&2 + (^ — ? J— 2| • (| — IJ, вклад в этот интеграл от по-
полупространства §• (| —?*) < 0 по абсолютной величине меньше,
чем от полупространства %•(§— §*) > 0. Так как первый вклад
отрицателен, а второй положителен, весь интеграл положителен
и dv/dl больше или меньше нуля одновременно с величиной у.
Далее, у = (п — 5)/(п—1) для потенциалов с обрезанием по
углу и у= 1 для твердых сфер и потенциалов конечного ра-
радиуса. Следовательно, частота столкновений монотонно возра-
возрастает для твердых сфер и потенциалов конечного радиуса. Для
степенных потенциалов с обрезанием по углу она монотонно воз-
возрастает при п > 5 и монотонно убывает при п < 5. Таким об-
образом, в последнем случае (п < 5) частота ограничена сверху,
0<v(?)<v0,	E.33)
а при п > 5 — снизу,
v(?)>vo>O,	E.34)
где vo = v @) — конечная величина.
6. Подход к равновесию и спектр
оператора столкновений
Простейшая задача, которую можно изучать с помощью ли-
линеаризованного уравнения Больцмана, формулируется так: пусть
газ при t = 0 имеет распределение, не зависящее от координат
и мало отклоняющееся от максвелловского fo- f = fo(l + h). Что
будет при t > 0? (Это — задача с чисто начальными данными.)
Согласно Я-теореме, можно ожидать, что f будет стремиться к
максвелловскому распределению, т. е. h должна стремиться к
нулю при /->оо, если f0 выбрано так, что имеет те же плот-
плотность, скорость и температуру, что и /. Этот результат непосред-
непосредственно вытекает из линеаризованного уравнения Больцмана

6. ПОДХОД К РАВНОВЕСИЮ И СПЕКТР ОПЕРАТОРА СТОЛКНОВЕНИЙ 205
для возмущения ft, которое получается из B.6) при dh/dx = 0:
Действительно, если функция ft такова, что ||ft|| и (ft, Lh) су-
существуют, то, в силу A.12), умножение на ft и интегрирование
по скоростям дает
4т [т II h II2] = №, Щ<0,	F.2)
так что
IIA fo) II < IIA ('OH (/2>/i),	F.3)
причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда ft —
инвариант столкновений; но так как было принято, что f и /о
имеют одинаковые плотность, скорость и температуру, то
(фа, А) = 0 (а = 0, 1, 2, 3, 4)	F.4)
и единственный инвариант столкновений, удовлетворяющий этим
соотношениям, есть ft = 0. Следовательно, ||ft|| всегда убывает
(если она отлична от нуля); при /->оо величина ||ft||, будучи
ограниченной снизу и убывающей, должна достигать предела
с нулевой производной. Этот предел должен удовлетворять со-
соотношению F.2) с d||ft||2/c^ = 0, т. е., по предыдущему, должен
быть равен нулю.
Следующий вопрос заключается в том, каким образом ft
стремится к нулю. Чтобы ответить на него, нужно изучить ре-
решения уравнения F.1) и, в частности, их поведение при /->оо.
Некоторые общие свойства могут оказаться достаточными для
решения проблемы: если, например, удастся показать, что
(Л, Lft)<-Mft||2 (^o>O)	F.5)
для любого ft, удовлетворяющего условию F.4), то F.2) можно
свести к неравенству
-§Г [j IIh II2] < - Л. IIЛII2, или -?¦ (е^ || А ||2) < 0, F.6)
и, следовательно,
IIА @1КIIА @I1 *-*>',	F.7)
что означает экспоненциальный подход к равновесию при ^->оо.
Анализ затухания ft при t-> оо приводит к задаче о собствен-
собственных значениях оператора L:
Lg = Xg.	F.8)
Как нам известно (разд. 1), эта задача имеет пять собственных
решений (g = г|)а, а = 0, 1, 2, 3, 4) для X = 0; все другие зна-
значения X должны быть отрицательными.

206	IV. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕНОСА
Заметим, что уравнение F.8) могло бы вообще не иметь ре-
решений при X Ф 0, если бы потребовать, чтобы g была обычной
функцией. Если, однако, допустить, что g может быть обобщен-
обобщенной функцией, то, поскольку оператор L самосопряженный (см.
A.10)), общие теоремы [14] гарантируют не только существова-
существование решений уравнения F.8), но и возможность представления
общего решения уравнения F.1) в виде разложения
-Но	4
h = ) e^gK (g) A^dK + Y, АЛа,	F.9)
где g% — решение, соответствующее «собственному значению» Х>
Ах — произвольная функция X, а интеграл берется по всем зна-
значениям X ф 0, для которых существует gx ф 0 (если все X или
часть их образуют дискретное множество, то соответствующий
интеграл нужно заменить суммой ? e~^ktgk(l) Ak). Если в F.9)
k
jlio ф 0, то h затухает экспоненциально к инварианту столкнове-
столкновений 2] Лаг|)а (в частности, к нулю при условии F.4)); если же
jx0 = 0, то подход к равновесию не является экспоненциальным
и зависит от начальных данных (которые определяют коэффи-
коэффициенты Ак) 1).
Из сказанного ясно, что очень важно изучить множество зна-
значений X, для которых уравнение F.8) имеет ненулевые решения,
т. е. спектр оператора L.
Согласно обычному определению [1—5], спектр оператора
представляет собой множество значений X, для которых опера-
оператор (L — Я/) не существует как ограниченный оператор в Ж
или не является однозначно определенным; в рассматриваемом
случае (L — самосопряженный оператор, и допускаются обоб-
обобщенные решения) оба определения эквивалентны. При этом
«дискретный» и «непрерывный» спектры в точности соответ-
соответствуют своим названиям.
Прежде чем рассматривать спектр оператора столкновений
для частных случаев, полезно оценить порядок величины X
в F.8). Переходя к безразмерной скорости, отнесенной, напри-
например, к средней | = Bi?r,0I/2, и вспоминая, что, согласно
(II.4.14), Б@, У)~ Уа2, где V—% и а — эффективный радиус
молекулы, будем иметь Lh = p0o2m~ll2'h, где S?h — безразмер-
безразмерная величина порядка единицы. Следовательно, Я —росг2|/т^
1) В случае взаимодействий с частотой столкновений, убывающей как.
(v/vT}~y при v-> оо, закон затухания имеет (в существенном) вид ехр [— Р^у,
а = 2/B + у) [60*]. В указанной работе рассмотрена более общая задача
о подходе к равновесию больцмановских систем. — Прим. перев.

6. ПОДХОД К РАВНОВЕСИЮ И СПЕКТР ОПЕРАТОРА СТОЛКНОВЕНИЙ 207
~1/1, где / — средняя длина свободного пробега A.4.17), сим-
символ ^ означает равенство по порядку величин, 6 = 1/1 можно
рассматривать как время среднего свободного пробега моле-
молекулы (см. разд. 1 гл. V).
Полное решение уравнения F.8) найдено лишь в случае
максвелловских молекул, т. е. молекул, отталкивающихся с си-
силой, обратно пропорциональной пятой степени расстояния.
В этом случае Ван Чан и Уленбек [15, 16] доказали, что спектр
является дискретным и определяется двумерным набором соб-
собственных значений Xnt:
Л/2
%ni = 2яр0т-1 jj {Р, (sin 6) sin°*+/ 6 [|3 F) + |3 (я/2 — 6)] —
о
-(влов*о+1)Р(9)}<*е (л, / = 0, 1, 2, ...), F.10)
где р@) определяется формулой (П. 5.22) с у = 0 (что соответ-
соответствует максвелловским молекулам), a PL есть 1-й полином Ле-
жандра. Для каждого собственного значения Xni существуют
2Z+1 собственных функций, которые удобно снабдить тремя
индексами и записать в виде
(п, 1 = 0, 1, 2, ...; -/<т</),
где |, 0, ф — сферические координаты в пространстве скоростей,
Г — гамма-функция, L^/+V2) — присоединенные полиномы Л а-
герра и F/m@, ф) — сферические гармоники [17, 18].
Эти собственные функции удовлетворяют соотношению ор-
ортогональности
F.12)
где черта над буквой означает комплексное сопряжение.
В частности, для п = 0, / = 0; п = 0, / = 1; п = 1, 1 = 0 фор-
формула F.10) дает Kni = 0, и соответствующие пять собстгенных
функций являются линейными комбинациями гнвариантов
столкновений \|)а. Для я-*оо, как можно показать, собственгше
значения Kni стремятся к —оо (по абсолютной величине они рас-
растут асимптотически как п4*) [16, 19]. Их расположение на ком-
комплексной ^-плоскости показано на рис. 18. Несколько первых
собственных значений приведены в табл. I; более подробные
таблицы содержатся в работе [20].

208
IV. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕНОСА
Х-плоскость
Рис. 18. Спектр оператора столкновений для максвелловских молекул.
Случаи молекул — твердых сфер также изучен довольно по-
подробно. Для него полезная информация получается из теоремы
Вейля о возмущении спектра самосопряженного оператора V
при добавлении достаточно регулярного интегрального опера-
оператора /С, так что получается оператор W = V -\-К. Согласно тео-
теореме Вейля [2—4], если К — вполне непрерывный оператор,
т. е. переводит ограниченную последовательность функций {gk}
в сходящуюся последовательность {Kgk} (сходимость пони-
понимается в подходящем функциональном пространстве, в данном
случае в гильбертовом пространстве Ж, где норма дается фор-
формулой A.9)), то непрерывные спектры W и V совпадают. Таким
образом, влияние К сводится к изменению дискретного спектра.
Точнее говоря, остается неизменным так называемый суще-
существенный спектр (т. е. множество предельных точек спектра).
Грэд [21] и Дорфман [22] показали, что оператор К в E.15)
вполне непрерывен в Ж для степенных потенциалов, если ис-
Таблица I
Значения
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0
0
0
0,6667
1
1,2281
1,4037
1,5475
1,6698
1,7767
1
0 1
0,6667
1
1,2281
1,4037
1,5475
1,6698
1,7767
2
1,6667
1,3432
1,4915
1,6193
1,7310
1,8302
3
1,5
1,5704
1,6670
1,7631
1,8533
1,9371
2,0148
4
1,8731
' 1,9106
1,8633
2,0288
2,0917
2,1533
5
2,1828
2,2066
2,2415
2,2824
2,3262
2,3710
6
2,4532
2,4703
2,4936
2,5215
2,5525

6. ПОДХОД К РАВНОВЕСИЮ И СПЕКТР ОПЕРАТОРА СТОЛКНОВЕНИЙ 209
ключаются скользящие столкновения или рассматриваются
твердые сферы1). Следовательно, в этих случаях непрерывный
спектр L, если он существует, определяется непрерывным спек-
спектром оператора умножения —v(?). Спектр же последнего нахо-
находится из уравнения
-v(S)g = *g,	F.13;
или
[* + v(g)]g = 0.	F.14)
Следует различать два случая: или v(?) — постоянная (как
для максвелловских молекул с обрезанием по углу), и тогда
уравнение F.14) дает %=—v, т. е. спектр сводится к одной
точке, или же v(?) не является постоянной и ^ + v(?) может
равняться нулю не более чем в одной точке (по крайней мере,
если v(?) монотонна, как в случае степенных потенциалов
и твердых сфер, рассмотренном в разд. 5), и тогда уравнение
F.14)	означает, что g" должно равняться нулю всюду, за исклю-
исключением одной точки. Так как g— нетривиальное решение, то
с точностью до множителя оно должно быть 6-функцией:
2 = 6(b + v(S)).	F.15)
Действительно, х8(х) = 0 в смысле теории обобщенных
функций (разд. 2 гл. I), и можно показать, что нет другой об-
обобщенной функции, обладающей этим свойством (произвольный
постоянный множитель, конечно, допускается). Выражение
F.15)	дает решение, отличное от нуля, тогда и только тогда,
когда A, + v(g) обращается в нуль для некоторого ?, т. е. когда
X — одно из значений, принимаемых функцией —v(g). Эти зна-
значения образуют континуум, и следовательно, теорема Вейля
утверждает, что для твердых сфер и степенных потенциалов
с обрезанием по углу имеется непрерывный спектр, который
чможет быть описан явно. В частности, для твердых сфер и сте-
степенных законов взаимодействия с показателем, большим пяти,
v(?) изменяется от минимального значения v0, соответствую-
соответствующего ? = 0, до -f-oo (разд. 5). Следовательно, оператор столк-
столкновений имеет непрерывный спектр, простирающийся от —vo
до —оо (рис. 19). Для степенных законов с показателем, мень-
меньшим пяти, непрерывный спектр заполняет интервал (—vo, 0)
(рис. 20); случай п = Ъ (рис. 21), очевидно, является особым.
Из приведенных результатов вытекает, что подход к равно-
равновесию является экспоненциальным для твердых сфер и степен-
степенных законов взаимодействия с показателем, большим или рав-
1) Условие полной непрерывности, указанное Трэдом [21], охватывает ве-
весьма широкий класс сечений, вычисляемых согласно квантовой механике; это
можно установить проверкой для малых и больших энергий взаимодействия. —
Прим. перев.

210
IV. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕНОСА
Я -плоскость
Рис. 19. Спектр оператора столкновений для твердых сфер и степенных
законов взаимодействия с обрезанием по углу и показателем, большим пяти.
Х-плоскость
Рис. 20. Спектр оператора столкновений для степенных законов взаимо-
взаимодействия с показателем меньшим пяти и с обрезанием по углу.
Х-плоскость
Рис. 21. Спектр оператора столкновений для максвелловских молекул с об-
обрезанием по углу.
ным пяти, поскольку дискретные собственные значения не могут
произвольно близко подходить к началу (К = 0, в силу теоремы
Вейля, не может быть предельной точкой спектра) и, значит,
в формулах F.5) и F.9) \х0 > 0.
Следующий вопрос заключается в том, существуют ли в дей-
действительности наряду с непрерывным спектром дискретные соб-
собственные значения (кроме А, = 0). Для случая твердых сфер
положительный ответ на этот вопрос дали Кущер и Уильяме
[23], которые пришли к такому выводу при помощи метода Ле-
нера — Винга [24], использованного ранее в теории переноса
нейтронов. Метод основан на введении искусственного пара-

6. ПОДХОД К РАВНОВЕСИЮ И СПЕКТР ОПЕРАТОРА СТОЛКНОВЕНИЙ 211
метра с множителем при [v(g) + X]ft в уравнении для собствен-
собственных значений F.8) (где Lh заменялся на Kh — vh) и изучении
собственных значений сп = сп(К) как функций непрерывного
параметра а, меняющегося от 0 до —v0. Тогда собственные зна-
значения рассматриваемой задачи получаются как корни уравне-
уравнения сп(К)= 1. В результате оказывается, что L имеет бесконеч-
бесконечное число дискретных отрицательных собственных значений в
интервале (—v0, 0) с точкой сгущения X* ¦= —v@).
Рассмотрим теперь общий случай молекул с центральным
законом взаимодействия. Как мы видели выше, для степенны к
законов обрезание по углу рассеяния приводит к результатам,
аналогичным тем, которые имеют место для твердых сфер. Ре-
Результат Кущера и Уильямса не обобщался на этот случай, од-
однако кажется правдоподобным, что он может быть обобщен
таким образом. Если же не вводить обрезание по углу, то для
безграничных потенциалов положение существенно усложняется;
единственным случаем, который анализируется просто, оказы-
оказывается рассмотренный выше случай максвелловских молекул.
Интересно, что спектр при этом получается точно таким, как
можно ожидать при непосредственном предельном переходе
в результате с обрезанием по углу; действительно, при удале-
удалении —vo в —оо из рис. 19 получается рис. 18. Заманчиво пред-
предположить, что аналогичное положение имеет место для степен-
степенных законов с п ^ 5; это приведет к чисто дискретному спектру.
Недавно Пао [53] дал строгое доказательство справедливости
этого предположения.
В случае потенциалов с конечным радиусом для того, чтобы
произвести указанное в E.15) разбиение, обрезание по углу не
требуется, однако оператор /( намного труднее анализировать;
в частности, нелегко доказать или опровергнуть, что К вполне
непрерывен в Ж [25].
Легко доказывается следующий довольно общий резуль-
результат [25].
Теорема I. Неравенство F.5) имеет место для любой
функции h, такой, что выполняется условие F.4) и существует
(h,Lh), если межмолекулярный потенциал удовлетворяет ус-
условию
F.16)
Чтобы это доказать, рассмотрим общее выражение A.7)
для L и разобьем L на два слагаемых:
L = L6 + L6y	F.17)
где L6 и L6 определяются тем же выражением A.7), что и L,
причем Б @,1/) заменяется соответственно на В6 и Вь, которые

21 2	IV. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕНОСА
записываются в виде
5@, V) для Э <6,
0 для В > б,
о для е<а, FЛ8)
13(9, V) для е>6;
здесь б — произвольный фиксированный угол в интервале
между 0 и я/2. Операторы L6 и L6 с общим выражением A.7)
обладают свойством A.12), в частности
(A, L6A)<0.	F.19)
Если, однако, неравенство F.16) выполняется, то L6 — опе-
оператор с обрезанием по углу для потенциала более жесткого, чем
максвелловский, и, согласно приведенным выше результатам,
(A, L6A) < - ii01| А |р (цо > 0, (г|>а, А) = 0).	F.20)
Складывая неравенства F.19) и F.20), получаем требуемый
результат F.5). Обобщая это рассуждение, можно показать,
что при 6->я/2 все собственные значения возрастают по абсо-
абсолютной величине, т. е. сдвигаются влево.
Если разбиение E.20) применимо, то существование (A, LA),
необходимое для того, чтобы неравенство F.5) имело смысл,
вытекает из существования (A,vA), как показывает следующая
Теорема II. Оператор /(, входящий в выражение E.20),
удовлетворяет неравенству
| (A, Kh) | < A, (vA, А) (А €= А°)	F.21)
для некоторого положительного X. Здесь JT означает (гильбер-
(гильбертово) пространство функций, таких, что (vh, А) существует (JT—
подпространство Ш для потенциалов более жестких, чем макс-
максвелловский).
Предварительный простой результат
(A, Kh) < (vA, A)	F.22)
следует из соотношений A.12) и E.20). Заметим также, что,
согласно E.1) и E.20), /С=/B — /Ci, причем операторы К\
и /B имеют неотрицательные ядра (см. форхМулы E.12)
и E.13)). Поэтому, используя тривиальные неравенства и ре-
результат F.22), получаем
I, K2\h\) + (\h\, Ki\h\) =
, vA)	F.23)

6. ПОДХОД К РАВНОВЕСИЮ И СПЕКТР ОПЕРАТОРА СТОЛКНОВЕНИЙ 213
(в последнем члене знак модуля не требуется). Далее, в силу
формулы E.3) и неравенства Шварца [2], имеем
X {[/о (D h (У B(Q,\i,-l\ )]Чг I а (У 1} <
X { J d\ dlj, (l) f0 (|J fi (8, | !. - g |) | A (|s) I2 }Vl. F.24)
Интегралы в скобках равны, в чем можно убедиться, поме-
поменяв местами | и 1*. Учитывая равенство E.4), находим
Sv (|) /о F) IА (Ю |2 = (vA, A).	F.25)
Подстановка этого результата в соотношение F.23) дает нера-
неравенство F.21) с К = 3.
Из теоремы I вытекает очень важное
Следствие. Уравнение
Lh = g (g^Ze)	F.26)
имеет решение тогда и только тогда, когда свободный член g
ортогонален пяти инвариантам столкновений,
(Фа, г) = 0,	F.27)
при условии, что потенциал удовлетворяет неравенству F.16).
Решение определяется с точностью до аддитивной линейной
комбинации величин ipa.
Для того чтобы доказать это следствие, допустим, что-
g^3$ удовлетворяет условиям F.27) и уравнение F.26) ре-
решается в подпространстве W' с^Ж, ортогональном подпростран-
подпространству с базисом из пяти инвариантов столкновений (заметим, что
gelF по предположению, а LAgIF согласно A.16)). В под-
подпространстве W оператор L является самосопряженным и его
спектр не содержит нуля, в силу теоремы I; по определению
спектра L~l существует в W и имеется единственное решение
А<°>е=№с:<50 (/i<°> = L~lg). Хотя в W решение А<°> единственно,
возвращаясь к Ж, можно добавить к W°) произвольную линей-
линейную комбинацию пяти инвариантов; при этом уравнение F.26)
по-прежнему удовлетворяется, и, таким образом, доказатель-
доказательство завершено.

214	IV. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕНОСА
Заметим, что решение hW^W уравнения F.26) минимизи-
минимизирует функционал
J(h) = Bg-Lh, ft) {hs=W).	F.28)
Зто вытекает из того простого факта, что если положить Я =
= Ж°) + 6ft, то
/ (ft<°> + 6ft) = /(ft@)) + 2 (g - Lft@), 6ft) - (L6ft, 6ft) >
(ft@)) + ^o II 6ft ||2 Fft e= W),	F.29)
где использовано неравенство F.5) и то обстоятельство, что
А<°) — решение уравнения F.26). Последнее неравенство показы-
показывает, что /(Я) ^/(ft<°)), причем равенство будет иметь место
тогда и только тогда, когда 6ft = 0, или Я = ft(°).
7. Стационарные одномерные задачи.
Коэффициенты переноса
Соображения, развитые в предыдущем разделе, дают до-
довольно полную картину временной эволюции решения линеари-
линеаризованного уравнения Больцмана в пространственно однородном
случае. Успех, достигнутый в задачах такого рода, побуждает
к изучению формально похожих задач, решения которых не за-
зависят от времени и двух координат, скажем х2 и я3; при этом
нужно решить уравнение
относительно функции ft = ft (хи 5ь ?2> Ы = ft (#1,1).
Сходство уравнений F.1) и G.1) наводит на мысль, что ре-
решение следует искать в виде
h = e^g(l),	G.2)
где g удовлетворяет уравнению
•аналогичному уравнению F.8). Прежде всего встает вопрос,
имеет ли уравнение G.3) достаточно решений для того, чтобы
посредством их суперпозиции можно было построить общее
решение уравнения G.1), подобное F.9). Далее нужно иссле-
исследовать множество значений А,, для которых уравнение G.3)
имеет решение.
Задача здесь труднее вследствие взаимного влияния опера-
операторов L и умножения на gi. Кроме того, наличие инвариантов
столкновений препятствует тому, чтобы оператор L был строго

7, СТАЦИОНАРНЫЕ ОДНОМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ. КОЭФФИЦИЕНТЫ ПЕРЕНОСА 215
отрицательным. Для уменьшения этой трудности разобьем гиль-
гильбертово пространство Ж на два ортогональных подпростран-
подпространства: Ж+, содержащее все четные функции |ь и Ж~, содержа-
содержащее все нечетные функции. Любая функция g соответственно
представляется в виде
g = g+ + g~,	G.4)
где
g+ = 72 (g + Pig), g~ = xh (g - Pig),	G.5)
a Pi — оператор отражения по ^:
Pig&i, h, W = g(-lu h, h)-	G.6)
Ясно, что
Pi(hg) = -hPig,	G.7)
причем
P{Lg = LPlg,	G.8)
так как при центральных силах оператор L инвариантен отно-
относительно любого отражения в пространстве скоростей при усло-
условии, что максвеллиан /0 изотропен. Применяя к обеим частям
равенства G.3) операторы V2 (/ ± ^i), где / — тождественный
оператор, при помощи соотношений G.7) и G.8) получаем эк-
эквивалентную систему:
Lg+ = 4xg" (g+ е= Ж+, g~ €= Ж"\	G.9)
Lg-=4ig+.	G.10)
В этих уравнениях L означает, конечно, сужение опера-
оператора L на Ж+ и Ж~ соответственно.
Далее, четыре инварианта столкновений (г|>о, tfa, "ф3, г|?4) ПРИ"
надлежат Ж+ и лишь один, грь принадлежит Ж~. Вместе с тем
любое решение системы G.9) и G.10) для К Ф 0 таково, что g~
ортогонально ярi = gi, поскольку скалярное произведение в Ж
обеих частей равенства G.9) на -фо = 1 дает
Ч?ь g-) = 0.	G.11)
Воспользуемся этим обстоятельством и заменим уравнение
G.10) следующим:
-Ng-=Xllg+,	G.12)
где
Ng- = -Lg-y если (?ь g") = 0,
GЛЗ>
й — любая фиксированная положительная постоянная. Система
Уравнений G.9) и G.12) по существу эквивалентна системе
G.9) и G.10), поскольку оператор —iV отличается от L лишь на
одномерном подпространстве 91, которое ортогонально g-, со-

216	IV. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕНОСА
гласно G.11), если ХфО] здесь теряется лишь одно решение
g—= gi, отвечающее X = О, которое при необходимости можно
добавить позднее. Таким образом, Ж~ представляется в виде
суммы ЖТ ф Ж, где ЖТ ортогонально ipi и, следовательно,
всем инвариантам столкновений. Оператор N имеет единствен-
единственный обратный Л^ в Ж~ (оператор А' даже является огра-
ограниченным, как ясно из следствия, доказанного в конце преды-
предыдущего раздела, при условии, что потенциал достаточно же-
жесткий). Это означает, что N имеет обратный оператор и в
,Ж~ = Ж\ @&, а именно
W~V = - L~lg-, если (|ls g~) = О,
Следовательно,
g- = - МГ1 (|,g+).	G.15)
Подставляя это выражение в G.9), получим уравнение для g+:
Lg+ = -X2(hN-lh)g+ {g+^m+).	G.16)
Как только функция g+ найдена, функция g~ определяется
из G.15). На первый взгляд может показаться, что рассмат-
рассматриваемая задача чрезмерно усложнена, так как мы заменили
уравнение G.3), содержащее операторы L и ?ь уравнением
G.16), которое включает L и оператор ?iAH?i; последний на-
намного сложнее оператора умножения и в явном виде не изве-
известен. Выигрыш, однако, состоит в том, что оператор giTV—1 gi,
действующий на функции из Ж+, является положительно опре-
определенным. Это вытекает из того, что, согласно G.14), М~1 —
положительно определенный оператор (L~l — отрицательно
определенный в любом подпространстве, ортогональном инва-
инвариантам столкновений, и к > 0). В результате имеем
(g+, hN-%ig+) = (hg+, ЛГ'(|.?+))>0.	G.17)
Следовательно [3], существует самосопряженный оператор С,
такой, что
tiN-% = C2.	G.18)
Видно, что С, вообще говоря, неограниченный оператор, ко
имеет единственный обратный С, поскольку ?iAM?i — поло-
положительно определенный оператор; в общем случае С — также
неограниченный оператор. Будем сначала использовать С фор-
формальным образом, а затем учтем его неограниченность.
Учитывая равенство G.18), уравнение G.16) можно пред-
представить в виде
Lg+ = - l2C2g+,	G.19)

7. СТАЦИОНАРНЫЕ ОДНОМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ. КОЭФФИЦИЕНТЫ ПЕРЕНОСА 217
ИЛИ
ЛГф= — йАр,	G.20)
где
<P = Cg+,	G.21)
M = C~lLC~l.	G.22)
Отметим, что М — самосопряженный и неотрицательный опе-
оператор, т. е.
= —(ср, С~11С~Ч) = -(С~1ф, LC) =
, -ф) = (Мф, -ф), G.23)
[]])	G.24)
Равенство здесь достигается тогда и только тогда, когда С~!ф —
инвариант столкновений. Следовательно, уравнение G.20) до-
допускает множество собственных функций ср*. с X2 > 0 или
X2 = 0, причем нулевому значению соответствуют четыре соб-
собственные функции фа = Офа (а = 0,2,3,4), в общем же слу-
случае спектр может быть частично непрерывным и частично дис-
дискретным. Множество функций фЛ, согласно общей теории [14],
является полным в Ж~\, так что для любой ф <= 5ё/~ имеем
tt=0
где 0 ^ до <С оо, 0 < Хоо ^ оо, ^4а — произвольные постоянные
и Ах — произвольные функции Я; интеграл по дискретной части
спектра, если она есть, должен быть заменен суммой. Выраже-
Выражение G.25) означает, что любая функция /г , такая, что Ch e
Е^ ИЛИ
|(/Л bN~\xh+)\<<x>,	G.26)
может быть представлена в виде разложения
ЕЛА+ \ gt®KdK	G-27)
где
g+ = C-\p*.	G.28)
Конечно, здесь следует расширить оператор С за рамки
Ж\ (если функция ф^ принадлежит непрерывному спектру); это
можно легко сделать, интерпретируя выражение G.29) в смысле

218	IV. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕНОСА
обобщенных функций (такая же интерпретация требуется для
G.25) и G.27)).
При заданной функции h+ коэффициенты Аа и At в G.25)
и G.27) определяются при помощи соотношений ортогонально-
ортогональности, которые получаются из уравнения G.20):
(ф^ cpv) = O, если Хфк',	G.29)
или
(gK) 1{N-1 [^,]) = 0, если X Ф К'.	G.30)
Таким образом, коэффициенты Аа в G.27) (при h = h+)
имеют вид
Л = (^Ч[ад^)/(^Л"'[^а]. \) (« = 0,2,3,4) G.31)
при условии, что о|эа означают не инварианты столкновений 1, ?2,
?з, ?2> а линейные комбинации этих инвариантов, удовлетворяю-
удовлетворяющие условиям
feitf~'[ii1>«], %) = 0 (а^р).	G.32)
В частности, формула G.31) дает
\ = (Щ> Л)/F?. О'
)/("'Ш *J (o = 2,3,4). G.33)
Как только вычислена g?, соотношение G.15) дает нам не-
нечетную часть g~ собственного решения уравнения G.3); точ-
точнее говоря, каждая функция g? (кФО) порождает две функции
g~, отличающиеся знаком, поскольку в G.12) в качестве %
можно взять любое значение квадратного корня из X2. Далее,
из G.27) получаем, что любая функция h~, которую можно за-
записать в форме
/Г = N~ll{h+ (hh+ = Nh~)	G.34)
(здесь /i+ — четная функция, имеющая вид G.27)), допускает
разложение
h~ = ? A«N~l (^i*a) + S N~l № №)] At dK G.35)
или, согласно G.14) и G.15),
4
~l
BaL~l (l{%) + S ^Л~ dX,	G.36)
a=2	Яо

7. СТАЦИОНАРНЫЕ ОДНОМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ. КОЭФФИЦИЕНТЫ ПЕРЕНОСА 219
где А стоит вместо A0/k, а Ва вместо Аа (а = 2, 3, 4) и At —
=— Ак/Х. Разложение G.36) справедливо при условии
IOV/Г, /Г)|<оо,	G.37)
как следует из G.26) и G.34).
Теперь можно доказать следующее утверждение.
Теорема. Любая функция /i = /i(§), четная и нечетная
части h+ и hr которой удовлетворяют условиям G.26) и G.37)^
может быть представлена в виде разложения
\{l)AKdX, G.38)
<х=0
gEe gK = g+ -{- g~ — собственные решения уравнения G.3), со-
ответствующие X ф 0, а коэффициенты даются формулами.
G.33) и формулами
G.39)
при условии, что гра удовлетворяет соотношению G.32) и g"v
надлежащим образом нормирована (в рассуждении предпола-
предполагается, что g\ ф g\> при X ф V, что, вообще говоря, неверно;
однако вырождение легко снимается, и при доказательстве мы
этого не касаемся).
Чтобы доказать теорему, достаточно представить h в виде
суммы /i+ + h~ и использовать выражения G.27) и G.36). Это-
приводит к G.38) с
Л = ^4^> Л_Х = ^Ц^ (А>0),	G.40)
так как g% = gti и g^ = — gZ^ Коэффициенты вычисляются с
учетом того, что уравнение G.3) после стандартных операций
дает
(^Л,?л') = ° (*¦?=*').	G.41)
В частности, при %' = 0
feb gi*o) = 0 (a = 0, 1, 2, 3, 4, ХФ 0),	G.42)
и, как следствие, имеем
(^"'[ЕЛЫ, gJ = U~'[?i4>e], liffJ = x^«. а) = 0 G.43)
(a =2, 3,4, Л^=0).

220	IV- ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕНОСА
При надлежащей нормировке g\ коэффициенты G.39) полу-
получаются при помощи скалярных произведений выражения G.38)
и величин lig^ l^a, giZ.-1 (gii|5a).
Заметим, что ограничения, наложенные на h, сильнее, чем
это необходимо. Фактически существования скалярных произ-
произведений в G.33) и . G.39) (в смысле теории обобщенных функ-
функций, если требуется) достаточно для гого, чтобы оправдать раз-
разложение G.38) (также в смысле обобщенных функций).
Полученный результат очень похож па теорему полноты для
собственных решений уравнения G.3). Действительно, в G.38)
находятся все такие собственные решения, соответствующие
К ф 0, цъ и К = 0, г|)а. Теорема утверждает, однако, что этих
решений недостаточно, чтобы представить любую функцию h\
необходимо добавить три функции 1Н(?1г|)а) (а. = 2,3,4), ко-
которые не являются собственными решениями.
Этот факт представляет несомненный интерес. В самом деле,
мы считаем, что можно найти решение h уравнения G.1), кото-
которое принимает, по существу, произвольное значение в некоторой
точке х (скажем, х = 0); поэтому указанный результат озна-
означает, что невозможно представить любое решение уравнения
G.1) как суперпозицию решений с разделенными переменными
вида G.2). Данная выше теорема вместе с тем утверждает, что
хотя этацель не достигается, однако мы очень близки к ней; до-
достаточно найти три частных решения ha (a = 2,3,4) уравне-
уравнения G.1), которые принимают в данной точке х, например
х = 0, в точности значения L~l(^i^a), и добавить их к множе-
множеству решений, имеющих форму G.2), чтобы получить общее
решение уравнения G.1) в виде линейной комбинации расши-
расширенного набора решений. Три требуемых решения ha (a = 2,
3,4) можно взять в форме
ha = x^a + L"l(h^a\	G.44)
в чем легко убедиться, подставив эти выражения в G.1).
Таким образом, справедлива следующая
Теорема. Любое решение h уравнения G.1), такое, что
скалярные произведения, входящие в выражения G.33) и G.39),
существуют (в смысле теории обобщенных функций, если не-
необходимо), может быть представлено в виде разложения
а=2
S + \ gADe^dh G.45)
@ < Хо < Хх < оо),

7. СТАЦИОНАРНЫЕ ОДНОМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ. КОЭФФИЦИЕНТЫ ПЕРЕНОСА 221
где фа (а = О, I, 2, 3, 4) — пять инвариантов столкновений,
ёх($) — собственные функции уравнения G.3), отвечающие
X Ф 0, и Аа, ?а, Ах — произвольные коэффициенты (если зна-
значения % образуют дискретное множество, то интеграл, как
обычно, должен быть заменен суммой).
Действительно, пусть h — решение уравнения G.1); умно-
умножив это уравнение скалярно на g\(§), получим
~2—(?i?b h) — (eh> Lh) = (Lgx, h) = K(?)igK, /г), G.46)
или
(?lgb h) = Axe%x\	G.47)
где Ах — постоянная. Аналогично
-^~(?i%x, л) = ('Фа» Щ = 0,	G.48)
или	_
(^г|5а, h) = Aa,	G.480
Аа — постоянная. Наконец,
1—— v^i^ fei^nl, h) = {L~ fSi^nl, LA) = ft;i\bn, й) = Л„ (а=2 3 4)
G.49)
ИЛИ	_
fe^ lhi\], h) = Aaxx + Ba,	G.490
Ba — постоянная. Теперь /z для любого фиксированного Xi можно
представить разложением G.38) с коэффициентами Аа(х{), Ва(х\)
и ^(^i), которые вычисляются по формулам G.33) и G.39).
Используя соотношения G.47), G.480 и G.490, сразу находим
4 (*i) = \еКхх\ К (х{) = Аа (а = 0, 1);
Aa(xl) = Aa + Bax] (a = 2, 3, 4); Ва(х1) = Вау G.50)
где Ах — постоянная, входящая в разложение G.45), а Аа
и Ва — постоянные, связанные с Аа, Ва простыми соотноше-
соотношениями. В результате получается разложение G.45).
Общее решение G.45) составляется из двух частей hA и hB,
причем
4	4
а=0	а=2
G.52)

222	IV. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕНОСА
где собственные значения X имеют порядок величины, обратной
длине свободного пробега /; действительно, обсуждение порядка
величины собственных значений оператора L (разд. 6) пока-
показало, что Lh/hc^: |/7, и так как ?i —|, то, согласно G.3)у
Х^1~[. Ясно, что hB описывает пространственную зависимость,
которая существенна вблизи границ и исчезает на расстояниях
от них, равных нескольким длинам свободного пробега. То об-
обстоятельство, что G.52) содержит экспоненты с i > 0 и К О,
отражает необходимость описывать затухание как при х\ > хх>
так и при Х\ < x\t где х\ — координата границы.
Общее решение G.45) теперь показывает, что если размеры
области, в которой содержится газ (полупространство или слой
толщины d, так как, по предположению, h не зависит от двух
координат), много больше средней длины свободного пробега,
d^> /, то hB пренебрежимо мала всюду, кроме пограничных
слоев толщины порядка нескольких длин пробега. Эти слоя
называются «кнудсеновскими» или «кинетическими погранич-
пограничными» слоями, чтобы отличать их от прандтлевских погранич-
пограничных слоев, известных в гидродинамике. Вне кнудсеновских слоев
решение достаточно точно описывается асимптотической частью
/гл, определенной формулой G.51), которую удобно переписать
в виде
hA = а + b • I + с (I2 - 5RT0) + ? [*& + L-1 Ш] dt +
+ [я, (I2 - 5RT0) + /Г1 (|, Ш2 - 5/гг0])] g, G.53)
где а, Ь, с, diy g — восемь произвольных постоянных,	а г|;а взята
в виде \JL = I2 — 5RT® для согласования с условием	G.32), ко-
которое для а = 0 и р = 4 дает (г|>0 = 1)
AЬ %) = 0.	G.54)
Интересно вычислить плотность р, скорость щ, температуру
Т, напряжения рц и тепловой поток qit соответствующие hA.
Для этого отметим сначала, что если произвести линеаризацию
относительно максвеллиана f0 с нулевой скоростью, плотностью
ро и температурой То, то получатся следующие результаты:
oAd?,	G.55)
tQ	G.56)
Т = C/?р) ~' J Isf о A + A) rf| = ро7-ор -' + C/?рГ' J g2foh dl =
= ^о - Ро"' S ^oA <& + (З^Ро)"' 5 ^А.Л ^ + О (Л2) =
- Го + (ЗДроГ1 ^ fe2 ~ ЗДГо) /0Л ^5 + О (/г2),	G.57)

7, СТАЦИОНАРНЫЕ ОДНОМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ. КОЭФФИЦИЕНТЫ ПЕРЕНОСА 223
Pit = \ ctcifo A + h) d\ = рфи + J S&foA d\ + О (/г2),	G.58)
<7* = у S с^° A + Л) rfs = ^ S ^~7о/г d| ~ Т \ u&2f* dl -
— 4- S 6iE*«ftfо di Ч- О (Л2) =
= i \ lil2hh dl - 4 Яро7>; + О (Л2) =
= \ \ \i (I2 - 5^Г0) /0/г d| + О (/г2),	G.59)
где O(h2) означает члены второго порядка по возмущению, не
учитываемые в линейной теории. Подставляя h = hA и прене-
пренебрегая членами второго порядка, получаем
G.60)
(i = 2,3),	G.61)
G.62)
G-63)
а) 6и - ix (dj6n + dfi^RTy G.64)
^	nlg,	G.65)
где
li=-(RT0)~i \ hhfoL~l (hh) dl=-(RT0)~[ \ hhfoL~l Ш dl, G.66)
0^"' [Б. (^ - 5^Го)] ^	G-67)
при этом использована инвариантность L относительно отраже-
отражений в пространстве скоростей, чтобы установить равенство
кулю некоторых содержащих L~{ интегралов.
Формулы G.64), G.65), G.61) и G.63) показывают, что
piA)==p(A)==^lb^L_ {j?=l)i	G.68)
Р23 = 0, рп - р22 = раз = 9{A)RT{A) + О (/г2),	G.69)
q\A) ==-* --_ , q(A) = q(A) = о.	G.70)
Эти равенства показывают, что на расстояниях в несколько
длин свободного пробега от стенки (где применимо распределе-
распределение f = fo(l -{- hA)) тензор напряжений и вектор теплового по-
потока связаны со скоростью и температурой соотношениями
Навье — Стокса и Фурье (II. 8.27), причем коэффициенты вяз-

224	IV. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕНОСА
кости jli и теплопроводности к даются формулами G.66) и G.67).
Второй коэффициент вязкости не появляется, поскольку
dvjjdxh = dvi/dxi = 0. Однако формула (П. 8.27) дает для следа
pij выражение
dv.
Pii=3p-Bii + 3X)-0±,	G.71)
где давление р есть равновесное значение рц. Но формулы
(П. 8.13) и (П. 8.16) указывают, что (для одноатомного газа)
ри = Зр независимо от вида /; следовательно, % = —2/з \х и вы-
выполняется так называемое соотношение Стокса.
Полученные результаты нас вполне устраивают. Действи-
Действительно, мы нашли, что, когда средняя длина свободного про-
пробега пренебрежимо мала по сравнению с макроскопической
длиной, удовлетворяются определяющие соотношения Навье —
Стокса для сжимаемой жидкости (обобщение на трехмерный
случай дается в разд. 11). Кроме того, получены общие фор-
формулы G.66) и G.67) для коэффициентов вязкости и теплопро-
теплопроводности. Следует отметить, что эти коэффициенты переноса
оказываются зависящими только от температуры и молекуляр-
молекулярных констант (плотность исключается, поскольку она входит в
/о и L~l как множитель с показателями степени 1 и —1 соответ-
соответственно). Этот факт независимости вязкости от плотности был
одним из первых успехов кинетической теории, так как он был
предсказан до соответствующего эксперимента.
Ясно также, что х и \х пропорциональны средней длине сво-
свободного пробега (так как Lh ~ (|//)й согласно оценкам разд. 6);
это объясняет, почему число Прандтля
Рт = ср(ф)	G.72)
(где ср — удельная теплоемкость при постоянном давлении) для
газа всегда является величиной порядка единицы. В случае
максвелловских молекул jli и %, а следовательно, и Рг вычис-
вычисляются легко, поскольку gig2 и ?i(g2— 5RT0) являются собствен-
собственными функциями оператора столкновений с собственными зна-
значениями Х02 и In, определяемыми формулой F.10). Соответ-
Соответственно, так как для одноатомного газа ср = 5/?/2, то
ц = - P0/?W и = - 5/2 ро/^/Яи = - cp9QRT0l\v
Рг = Я11Уа02;	G.73)
используя формулу F.10), можно показать, что последнее отно-
отношение равно 2/3 (см. также табл. I в разд. 6). Для немаксвел-
ловских молекул число Прандтля (которое для нестепенных по-
потенциалов зависит от температуры, хотя и очень слабо) всегда
близко к 2/3.

1. СТАЦИОНАРНЫЕ ОДНОМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ. КОЭФФИЦИЕНТЫ ПЕРЕНОСА 225
А-плоскость
Л-пмосжть
Рис. 22. Спектр собственных значений задачи G.3). Верхний рисунок отно-
относится к твердым сферам, нижний — к степенным потенциалам с обрезанием
по углу.
Эти результаты хорошо согласуются с экспериментальными
данными.
Главный результат этого раздела — разложение G.45), де-
демонстрирующее структуру общего решения линеаризованного
уравнения Больцмана для одномерных задач. Следующий шаг
состоял бы в отыскании значений Хо и А,оо для любого заданного
оператора L. Основной вопрос здесь в том, равно Яо нулю или
нет; во втором случае стремление к асимптотическому решению
hA экспоненциально на масштабах длины, не зависящих от гра-
граничных условий. Качественное обсуждение возможно, когда до-
допустимо разбиение Lh = Kh — vh, где К вполне непрерывен.
Действительно, можно применить теорему Вейля или ее над-
надлежащее обобщение [3] и прийти к заключению, что если К —
вполне непрерывный оператор, то множество особых точек
(L — ^i)-1 = {К — [v(?) + ^Si]} (т- е- спектр рассматриваемой
задачи) отличается от множества нулей функции v(?)+^?i
лишь дискретным множеством точек.
Это справедливо в случае твердых сфер и степенных потен-
потенциалов с обрезанием по углу. Для них получаем, что непрерыв-
непрерывный спектр представляет собой множество значений, принимае-
принимаемых функцией — v (ь) /ёь когда компоненты § меняются от —со
до + оо. Соответственно имеем
)= lim
— lim
G.74)

226	IV. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕНОСА
В частности, для твердых сфер Хо > О, tao = оо, а для сте-
степенных потенциалов с обрезанием по углу ^о = 0, А,<х> = оо (см.
рис. 22). Вопрос о том, существуют ли собственные значения
в интервале 0 < \Х\ < Яо, для твердых сфер, кажется, не был
исследован.
В заключение сделаем несколько замечаний относительно
обобщения этих результатов на случай переноса нейтронов. Оче-
Очевидно, что если отсутствует деление или преобладает поглоще-
поглощение, так что L является отрицательным оператором, то основные
построения в приведенном рассуждении не нужны, поскольку
спектр можно получить из уравнения для собственных значений
оператора (—Ь)~Щ\(—L)~~1/2; собственные решения образуют
полный набор.
В случае чистого рассеяния доказательство проходит даже
в более простой форме, так как нечетные инварианты столкно-
столкновений отсутствуют. Однако рассуждения теряют силу, когда
спектр L содержит точки на положительной полуоси; при этом
можно лишь сказать, что если деление описывается вподне не-
непрерывным оператором, то (согласно обобщенной теореме Вейля
[3]) невещественные собственные значения образуют дискретное
множество.
8. Общий случай
Достаточно общие результаты, полученные в разд. 6 и 7, по-
побуждают нас исследовать, можно ли представить общее решение
линеаризованного уравнения Больцмана как суперпозицию «эле-
«элементарных решений» с разделенными переменными. При разде-
разделении переменных мы находим, вообще говоря, что простран-
пространственно-временная зависимость экспоненциальна:
A = ff(S)*/a)'-'k-*,	(8.1)
причем функция g"(l), описывающая зависимость от скорости
молекул, удовлетворяет уравнению
(fo-/k-gJ = Lg,	(8.5)
а со и к в общем случае представляют собой комплексные ска-
скаляр и вектор (со = —iX, к = 0 в разд. 6; со = 0, к = (IX, О, 0)
в разд. 7). Уравнение (8.2) будет иметь решения только тогда,
когда со и к связаны между собой определенным образом; для
допустимых значений со и к можно найти соответствующие реше-
решения g, которые либо принадлежат Ж («собственные решения»),
либо не принадлежат ему («обобщенные собственные реше«
ния»).

8. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ	227
В первом случае связь между со и к обычно называется дис-
дисперсионным соотношением, а решение gexp(iwt— /к-х) — нор-
нормальной модой. Для того чтобы получить общее решение линеа-
линеаризованного уравнения Больцмана, нужно построить комбина-
комбинацию как собственных, так и обобщенных собственных решений:
h= [ Л(ю, к) ехр (Ш — /к • х) g (|; 0, V)dD\ (8.3)
D (о), к)
здесь g — решение уравнения (8.2), нормированное надлежа-
надлежащим образом, а интеграл представляет собой набор интегралов
по всему множеству Z)(co, к) допустимых значений со и к (соот-
(соответственно здесь будут суммы по дискретным значениям со и к
и интегралы по непрерывным множествам). В общем случае вы-
выражение (8.3) не будет самым общим решением, как показы-
показывает G.45), но есть основания ожидать, что исследование мно-
множества D(co, к) внесет ясность и в этот вопрос.
При изучении уравнения (8.2) имеется несколько возможно-
возможностей, так как можно фиксировать три из четырех комплексных
параметров со, ku k2} къ и искать спектр значений параметра, ос-
оставленного свободным. В частности, можно фиксировать к и
рассматривать со; подробно исследован случай вещественных к.
Этот случай возникает при изучении свободных звуковых волн
[26—28] и является стандартной задачей о собственных значе-
значениях оператора L-\-ik-\\
(L + ik-l)g = Xg (Я = /©).	(8.4)
Основная трудность здесь заключается в том, что оператор
L + ik-g не самосопряженный. Это означает, что общих теорем
о полноте собственных функций не существует. Кроме того, не-
непросто провести качественный анализ спектра при помощи тео-
теоремы Вейля, когда L = K — v и К — компактный оператор. Дей-
Действительно, теорема Вейля утверждает, что если оператор А
замкнут и самосопряжен, а К вполне непрерывен и самосопря-
самосопряжен, то
ов(А + К) = ов(А),	(8.5)
где аеИ) обозначает существенный спектр, т. е. множество пре-
предельных точек спектра А. Однако А=—v + ik - § не является
самосопряженным, и теорема Вейля в такой форме не приме-
применима [29] *). Чтобы устранить это неприятное обстоятельство,
было предложено несколько модификаций определения ае\ для
некоторых из них теорема Вейля не выполняется в полной мере
!) Обобщенная теорема Вейля, учитывающая это обстоятельство, приведе-
приведена в работе [54*]. На ее основе в статьях [55*, 60*] была указана общая карти-
картина спектра. — Прим. перев.

228
IV. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕНОСА
Рис. 23. Спектр собственных значений задачи (8.4) для фиксированного ве-
вещественного значения к.
[29, 30]. Николаенко [28] заметил, что это обстоятельство поро-
породило ряд неточностей в некоторых статьях, где используется
инвариантность ае в связи с уравнением Больцмана. Так, ав-
авторы работ [27, 31, 34] утверждали, что
ае ([- v + ft • Щ + К) = ае ([ -v + А
(8.6)
следуя, таким образом, определению существенного спектра, при
котором справедлива теорема Вейля, однако предполагая не-
неявно, что ое — множество предельных точек спектра, т. е. что
дополнение ое—множество, где (L + ft-g)-1 существует, за ис-
исключением изолированных точек. Основное упущение, как заме-
заметил Николаенко [28], состоит в том, что ае может не включать
целые открытые множества точечного спектра. Он показал так-
также, что для изучаемого оператора этого не происходит.
Таким образом, непрерывный спектр оператора L-(-/k-|, где
к —вещественный вектор и L = K — v с вполне непрерывным К
(как в случае твердых сфер), состоит из точек
ft
(8.7)
где | пробегает все возможные значения (см. рис. 23).

8. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ	229
Относительно дискретного спектра, по-видимому, еще ничего
не доказано, за исключением результата Мак-Леннана [32] для
случая твердых сфер. Согласно [32], L -\- ьк.% при достаточно ма-
малых к имеет пять изолированных собственных значений №а)(к)
(а = 0, 1, 2, 3, 4) (не обязательно различных), которые сво-
сводятся к Х{а) = 0 при к = 0 и аналитичны по |к|. Это вытекает
из теоремы о возмущении спектра [3], в которой утверждается,
что если К есть m-кратное собственное значение самосопряжен-
самосопряженного оператора L и V — самосопряженный оператор, удовлетво-
удовлетворяющий неравенству
WL'hW^MiUW + WLhW)	(8.8;
(М не зависит от h для любой h из области определения как L,
так и L'), то оператор L -f- zLr при достаточно малых значе-
значениях комплексного параметра z имеет т изолированных соб-
собственных значений, которые приводятся к К при z = 0 и анали-
аналитичны по z.
Для того чтобы применить этот результат к пятикратно вы-
вырожденному собственному значению Я = 0 оператора L, нужно
лишь положить k = ke (e — единичный вещественный вектор),
z = ik, Z/ = e-g и доказать, что неравенство (8.8) выполняется.
Последнее непосредственно вытекает из следующих фактов.
1.	L = K — v.
2.	В случае твердых сфер v(?) линейно возрастает при боль-
больших | (значит, существует такое Ми что |е-§| <. Afxv (g)).
3.	К — вполне непрерывный и, следовательно, ограниченный
оператор (значит, существует такое М2, что \\Kh\\ <CM2\\h\\).
4.	Выполняется неравенство треугольника (Il/ + g1l ^ 11/11 +
1И
Используя эти свойства, получаем
||;Z.XA || = || (е •'g) Л ||<ЛГ! || v/г || = Af! [|(/С—Z.)Л ||< Af, (|| /С
У <M,(A12||A||+||LA||)<M(||A||+I|LA||) (M==max(Mb М{М2)),
(8.9)
чте и следовало доказать. Это локальный результат, так как
радиус сходимости рядов для №<*) = №a)(k), по-видимому, не
превосходит величины Ко, определенной формулой G.74). Дей-
Действительно, для z вещественных, а не чисто мнимых L-\-z(^-e)
имеет непрерывный спектр, который достигает нуля при z =
= ztKo. По этой же причине следует ожидать, что. для потея-

230
IV. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕНОСА
Рис. 24. Спектр собственных значений задачи (8.10) для фиксированного
вещественного значения со.
циалов с обрезанием по углу (Хо = 0) не существует дискрет-
дискретных собственных значений, разложимых в ряды по степеням к.
Это завершает обсуждение случая вещественного и фиксиро-
фиксированного к. Полнота собственных функций, по всей видимости,
еще не обсуждалась в литературе, хотя должно быть не трудно
получить результаты при помощи методов теории полугрупп.
Подробно рассматривался и другой случай, а именно случай,
когда % = ш фиксировано (со вещественна), а к = &е, где ве-
вещественный единичный вектор е также фиксирован. Здесь k иг-
играет роль собственного значения, но является множителем при
неограниченном операторе умножения |-е, что, конечно, создает
дополнительную трудность. Теперь следует изучить уравнение
(ш — L)g = ik (I • е) g.
(8.10)
Если L = К — v и К вполне непрерывен, то, как доказал Ни-
колаенко [28], непрерывный спектр для обобщенной задачи на
собственные значения (8.10) дается значениями k} определяе-

8. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ	231
мыми формулой
, со —- iv (?)	/о 1 1 \
к = —|ГГ~>	V8-11)
где § пробегает все возможные значения (см. рис. 24) *).
Более сложное положение возникает в случае, когда к нельзя
записать в виде к = ke с вещественным единичным вектором е.
Тогда задача на собственные значения является нестандартной.
Случай со = 0, соответствующий уравнению
-&.gg = Ig,	(8.12)
особенно интересен, так как соответствует стационарной задаче.
Если k = ke (e-e=l, e — вещественный вектор), то, выбирая
в пространстве скоростей первую ось декартовых координат в
направлении е и полагая —ik = А, мы вновь приходим к урав-
уравнению G.3). Согласно известным для него результатам, реше-
решения уравнения (8.12) не образуют полного набора. Случай
комплексного е не рассматривался.
Следует заметить, однако, что в общем случае множество
всех значений со и к, для которых уравнение (8.2) имеет реше-
решение, слишком велико в том смысле, что не все решения из него
являются линейно независимыми. Это обстоятельство затруд-
затрудняет получение выводов из анализа «задачи на собственные зна-
значения» для более чем двух комплексных параметров. Альтерна-
Альтернативой является использование преобразования Лапласа — Фурье
ft(x, t)dxdt.	(8.13)
о r
Тогда
(/со — ik-Qh = Lh + gOi	(8.14)
где свободный член g0 включает граничные и начальные значе-
значения. Уравнение (8.14)—неоднородное уравнение, соответствую-
соответствующее (8.2) с вещественным к. Изучение спектра и собственных
функций уравнения (8.2) приводит, хотя бы в принципе, к по-
построению обратного оператора (L — fco + tk-g)-1 (см. разд. 11,
где обсуждается стационарный случай со = 0).
Таким образом, величину Я = (L — ш + ik-g)^ можно
считать известной, если известна g0. Трудность заключается в
том, что для задачи с граничными условиями величина, go, во-
вообще говоря, неизвестна, так что решение можно получить лишь
1) Картина непрерывного спектра, определяемого формулой (8.11), была
установлена в работах [55*, 60*]; при этом рассматривался весьма широкий
класс взаимодействий, включающий и случай стремящейся к нулю частоты
столкновений. — Прим. перев.

232	IV. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕНОСА
для частных случаев при помощи специальных методов (напри-
(например, некоторые полупространственные задачи могут быть ре-
решены методом Винера — Хопфа [35]).
9. Линеаризованные кинетические модели
В разд. 10 гл. II обсуждалась возможность замены столкно-
вительного члена в уравнении Больцмана более простым выра-
выражением, названным столкновительной моделью. Идея состояла
в том, что многие детали парного взаимодействия, содержа-
содержащиеся в столкновительном члене и отражающиеся, например, в
тонких свойствах спектра линеаризованного оператора, вероят-
вероятно, не влияют существенным образом на значения многих экспе-
экспериментально измеряемых величин. Это привело к БГК-модели
и ее вариантам, которые обсуждались в гл. II.
Та же возможность существует для линеаризованного и ли-
линейного уравнения Больцмана, для которых имеются удовлетво-
удовлетворительные систематические методы построения моделей.
Простейшая модель линеаризованного оператора столкнове-
столкновений получается при линеаризации БГК-модели. Полагая в
(II. 10.3) / —fo(l + h) и пренебрегая степенями А выше первой,
имеем
Л) — /г! ,	(9.1)
J
где инварианты столкновений г|эа нормированы таким образом,
что
(Фа, %) = Ч (а' Р==0' ^'З, 4),	(9.2)
а ( , ) обозначает скалярное произведение в <3#, определенное
формулой A.9). Очевидно, что выражение (9.1) определяет опе-
оператор существенно более простой, нежели точный линеаризован-
линеаризованный оператор.
Заметим, что выражение (9.1) можно переписать в виде
Lh = v(IUi — h) = — v(I — П) А,	(9.3)
где П — оператор проектирования в пятимерное пространство^,
построенное на инвариантах -ф, а / — единичный оператор (соот-
(соответственно / — П есть проектор в W, ортогональное дополнение
gr в Ж). Выражение (9.1) или (9.3) означает, что линеаризо-
линеаризованный БГК-оператор обладает свойствами A.10), A.12), A.15)
и, следовательно, A.16). Для свойств A.10), A.12) и A.16) это
почти очевидно, а свойство A.15) вытекает из (9.3) с учетом
того, что
(A, LA) = -v(A, (/ —' П) Л) = — v || (/ — Щ Л ||2

9. ЛИНЕАРИЗОВАННЫЕ КИНЕТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ	233
где равенство достигается, очевидно, только тогда, когда
(/_П)Л = 0, или
а
Алгоритм уточнения линеаризованной БГК-модели, вклю-
включающий ее как первый член в последовательность моделей, ап-
аппроксимирующих оператор столкновений для максвелловских
молекул с любой заданной точностью (в подходящей норме),
предложен Гроссом и Джексоном [36]. Исходным при этом яв-
является разложение h в ряд по собственным функциям оператора
столкновений для максвелловских молекул (разд. 6), образую-
образующим полную систему ортогональных функций
а = 0
-а, Л),	(9-4)
где а —единый индекс, представляющий тройку (nj,m) так,
что инварианты столкновений /фа соответствуют значениям
а = 0, 1, 2, 3, 4. Тогда, поскольку для максвелловских молекул
?фа = ^-аФа» имеем
оо	оо
Lh=Z L^a(M?a, h) = ? М>аD>а, А).	(9-5)
а=0	а=0
Алгоритм аппроксимации L заключается в частичном на-
нарушении тонкой структуры спектра L посредством сведения всех
собственных значений для a > N к одному, которое будем обо-
обозначать через —vAr.
Это равносильно замене L аппроксимирующим оператором
LiY, определенным так:
N	с»
LNh=Z M>aD>a, h)-VN Z Фа (Фа, А).	(9.6)
а=0	a=N+l
Разложение (9.4) дает
оо	N
Е Фа (Фа, А) = А - ? Фа (Фа, А),	(9.7)
а=ЛГ-Ы	а»0
и (9.6) принимает вид
LNh = ? (A,e + vw) ta (г|>в, /г) - v^A.	(9.8)
a=0
В частности, при N = 4, Яа = 0 для 0 ^ а ^ N и выраже-
выражение (9.8) сводится к (9.1) (с v4 = v); увеличивая N, мы вклю-
включаем в модель все больше деталей спектра L. Если взять
N == 9, подключив пять собственных функций, соответствующих

ХМ	IV. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕНОСА
/г = 0, 1 = 2 в F.10), то получится линеаризованный вариант
ЭС-модели (II. 10.7).
Указанная схема применима лишь к случаю максвелловских
молекул. Однако небольшое обобщение разложения (9.5) поз-
позволяет получать столкновительные модели, соответствующие
любым линеаризованным операторам столкновений [37]. Дей-
Действительно, ничто не мешает использовать разложение (9.4)
даже в том случае, когда \ра (собственные функции максвел-
ловского оператора столкновений) не являются собственными
функциями рассматриваемого оператора. Применение L к обеим
частям (9.4) дает
оо
LA = ? L\(%, А),	(9.9)
3=о ' '
но ко второму знаку равенства в (9.5) мы перейти не можем.
Однако можно разложить правую часть (9.9) в ряд по \ра и по-
получить
L/г = 2 ^ав ('Фа» A)i|)a,	(9.10)
где
Выражение (9.10) является обобщением (9.5) и сводится
к нему, когда Яар = ^а6ар. Если теперь ввести аппроксимацию
Хар = —Vjv6af3 для a, p >> N, то получится модель
N
LNh = S (V/AB + ^a6) ta СФв> h) - VA	(9-12)
которая обобщает (9.8) на немаксвелловские операторы. Вы-
Выбор N = А снова дает БГК-модель.
Заметим, что LN можно записать в виде LN = Кк — v^/,
где vN — постоянная, / — единичный оператор и Kn отобра-
отображает любую функцию в конечномерное пространство 91™ с ба-
базисом г|)а (a^yV). Если написать уравнение F.8) для соб-.
ственных значений оператора LN и взять его проекции в 2frN s
и в его ортогональное дополнение, то окажется, что эти два
уравнения не связаны; тогда легко показать, что спектр состоит
из N собственных значений между —vN и 0 (с собственными
функциями в виде полиномов; в частности, \|эа для модели, опре-
определяемой (9.8)) и собственного значения — vN бесконечной
кратности.
Отметим снова, что операторы столкновений для твердых
сфер и жестких потенциалов с обрезанием по углу являются
неограниченными и имеют непрерывный спектр; операторы для
жестких потенциалов без обрезания также неограниченны. Если

9. ЛИНЕАРИЗОВАННЫЕ КИНЕТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ	235
эти свойства операторов и влияют как-то на решение конкрет-
конкретных задач, то это влияние исчезает, когда применяются модели
вида (9.12) (или — в частном случае — вида (9.8)). Поэтому
удобно ввести и исследовать модели, которые сохраняют ука-
указанные выше характерные черты линеаризованного оператора
столкновений; сделать это можно несколькими способами.
С общей точки зрения простейшая схема основывается на
обстоятельстве, которое известно (для твердых сфер и обреза-
обрезания по углу) или предполагается (для потенциалов конечного
радиуса) и состоит в том, что L = К — v/ и К* = v~l/2Kv~l/2 —
самосопряженный и вполне непрерывный в Ж оператор
(см. разд. 6). При этом ядро К* можно разложить в ряд по его
квадратично суммируемым собственным функциям cpav1/2 (та-
(таким, что /Сфа = |iavcpa), т. е. можно написать
*A = v(S)i; ^acpa(vcpa, А).	(9.13)
Обрывая этот ряд (приближение вырожденного ядра), по-
получаем модель [38]:
LNh = v (S) ? ^аФа (v<Pa, А) - v (|) А.	(9.14)
а = 0
Этот оператор автоматически удовлетворяет всем основным
требованиям, выраженным соотношениями A.10), A.12), A.15)
и A.16). Так как первые пять собственных функций сра являются
инвариантами столкновений г|)а и соответствуют \ха = 1
@ ^ а ^ 4), из (9.14) при N = 4 следует
= v (|) t % И>в, h) - v (?) h,	(9.15)
a = 0
где инварианты столкновений нормированы так, что
(Фа> V4>p) = 6op.	(9.16)
Выражение (9.15) как раз представляет собой линеаризо-
линеаризованный вариант нелинейной модели, в которой частота столкно-
столкновений зависит от скорости и которая кратко обсуждалась
в разд. 10 гл. II.
При получении моделей, соответствующих N ^ 5, мы стал-
сталкиваемся с той трудностью, что у нас нет аналитических выра-
выражений для фа (а ^5); правда, их можно определить численно,
но это, очевидно, значительно усложнит задачу. Вместе с тем
способ получения моделей (9.14) и (9.15) показывает, что v(|)
фиксируется выбором исходной молекулярной модели, и, следо-
следовательно, у нас не остается свободных параметров, чтобы полу-
получить точные значения коэффициентов вязкости и теплопроводно-

236	IV. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕНОСА
сти (которые, согласно G.66) и G.67), однозначно определяют-
определяются оператором L).
Заметим, что БГК-модель, построенная методом Гросса и
Джексона, содержит свободный параметр vNy который можно
использовать для получения верного значения одного из двух
коэффициентов переноса. Эта гибкость достигается и в рассмат-
рассматриваемой модели, если несколько изменить рассуждение и вве-
ввести дополнительный параметр. Вместо простого обрывания ряда
в (9.13) (\ia = О для a>N) можно положить Xa = kN для
а > N (имея в виду, что kN~^0 при N —>oo). В результате по-
получается та же модель (9.14), только вместо v(g) будет
A —&jv)v(?), а вместо \ла—величина (jma — kN)/(\ —kN)\ в ча-
частности, при N = 4 единственным изменением будет появление
перед v(?) свободного множителя, который сообщает модели
желаемую гибкость (однако смещает непрерывный спектр).
Можно достичь большей гибкости, используя модели более
высокого порядка), но при этом мы встречаемся с упомянутой
трудностью — отсутствием функций cpa (а ^5). Эту трудность
можно обойти, применив способ, аналогичный использованному
выше при немаксвелловском моделировании, т. е. взяв полный
набор ортогональных функций и разложив все величины по
этим функциям, как это делалось при получении (9.10). Конеч-
Конечно, если мы хотим сохранить характерные свойства моделей
(9.14), (9.15), то следует выбрать подходящую систему функ-
функций; проще всего взять множество полиномов, ортонормироваи-
ных с весом /o(?)v(?), где /0 — основной максвеллиан. Простей-
Простейшая модель снова принимает вид (9.15), однако теперь можно
без особых трудностей получить модели произвольно высокого
порядка (при этом численно определять нужно лишь коэффи-
коэффициенты, а не функции); способ построения очевиден, и мы не
будем описывать его подробно1).
Полезные схемы построения моделей могут основываться на
требовании, чтобы для малых длин свободного пробега эти мо-
модели верно воспроизводили поведение не только некоторых ко-
коэффициентов, но и самой функции распределения. Согласно
.результатам разд. 7, решения уравнения Больцмана для стацио:
нарных одномерных задач принимают вид h = hA на расстоянии
от границ в несколько длин пробега, hA дается выражением
G.51). Поэтому для получения из столкновительной модели
верного асимптотического поведения необходимо, чтобы выпол-
выполнялось равенство L A$а) = L~l (e,^a), если LN — оператор,
заменяющий L. С учетом того, что Ln и L~l — операторы, об-
1) Рациональные модели, о которых здесь говорится, введены, обосно-
обоснованы и эффективно использованы для решения задач, связанных со спект-
спектром, в работах [36, 55* — 57*, 60*]. — Прим. перев.

9. ЛИНЕАРИЗОВАННЫЕ КИНЕТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ	237
ратные LN и L в подпространстве W, ортогональном инвариан-
инвариантам столкновении, это условие можно записать в следующем
виде:
L~n (h% - П [Ш) = L-1 (|А - П [|,фа]),	(9.17)
где i= 1 и П — проектор на ^F, подпространство с базисом фа.
Так как первая ось равноправна с другими, (9.17) должно быть
справедливо и для / = 2, 3. Условие (9.17) указали Лоялка и
Ферцигер [39]. Заметим, что, хотя а может принимать пять зна-
значений, при а = 0 это условие дает тождество 0 = 0. Поэтому
остается
L~N{ (U-l/*l\) = L"' {Ы-4*1%,) = А (I) (|Ду-'/з 1%,)> О-18)
L-1 F, [6s - 5^Г0]) = L-1 Ff [6s - 5RT0)) = |(.B (g), (9.19)
где вследствие симметрии зависимость L-1^-^- — ЧзЕ>28ц) и
^~!(&Л&2 — 5/?Г0]) от | определяется с точностью до множителя,
зависящего от величины скорости. Вместе с тем, поскольку
?г-Б(?) должно принадлежать W, функция S(g) должна быть
такой, что
(?2, В(Ъ)) = О.
Условия (9.18), (9.19) могут быть удовлетворены, если выбрать
модель такого рода:
Lish = v(t)№oMo, A) + ^(v^, A) + *4(vx|L, h) +
+ ^/(v^7, A) + г|>м (vi|)M, A) -A], (9.20)
где, как обычно, подразумевается суммирование по повторяю-
повторяющимся индексам i, / от 1 до 3, а гр^-, 1|)гч имеют вид
причем С(?) и D(|)—функции скорости молекул g, которые
определяются из формул (9.18) и (9.19) и выражаются через
Л(|), В (g) и v(g). Простое вычисление дает
D(l) = {В A) + [v (g)]-1 (|2 - 5RT0) - [(v, |2)]-' (v, 12B)} X (9.22)
X Gз[№ ?-5RT0) + (vB, ^2B)]-[3(v, I2)]'1 [(v, Z2B)f}~'12
Трудность опять состоит в том, что, за исключением максвел-
ловских молекул (А = const, В = const), мы не имеем аналити-
аналитических способов вычисления А(^) и В(?). Однако иногда мо-
модель (9.20) оказывается полезной, так как она позволяет полу-

238	IV. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕНОСА
чить достаточно точные результаты для молекул, отличных от
максвелловских; это справедливо, в частности, в тех случаях,
когда конечные зависимости выражаются через квадратуры, ко-
которые берутся численно.
Аналогичные рассуждения пригодны и для случая переноса
нейтронов. Положение здесь несколько проще, так как имеется,
самое большее, один закон сохранения. Поэтому можно выки-
выкинуть четыре из пяти членов в (9.15) и заменить правую часть
уравнения C.9) выражением
Ц = YV (?) /о (?) J v (?') f (Г) d% - v (У / (|),	(9.23)
где
(ЮЫЮ^-	(9.24)
Эта модель для переноса нейтронов, по-видимому, предло-
предложена Корнгольдом и др. [40]. Ее, конечно, можно улучшить, до-
добавив интегральные члены, как в случае газов. Такие модели,
однако, недостаточны для описания кристаллических замедли-
замедлителей, где возникает явление когерентного рассеяния, вызывае-
вызываемое интерференцией нейтронных волн. Это явление существенно
влияет на спектр, рассмотренный в разд. 8, и его нельзя игно-
игнорировать [41, 42]. Особую осторожность при использовании упро-
упрощенных моделей следует проявлять в том случае, когда имеются
высокоэнергетические источники; в этом случае существуют мо-
модели [43], в которых нарушается взаимность (последняя не имеет
особого смысла, когда энергия нейтронов существенно, напри-
например в 10б раз, превосходит энергию теплового движения замед-
замедлителя).
Модель (9.23) приводит к следующему виду линейного урав-
уравнения Больцмана:
Приближение другого рода, которое часто делается в теории
переноса нейтронов, состоит в исключении зависимости от ско;
рости на основе допущения, что все частицы имеют одну и ту
же скорость |; при этом уравнение C.10) записывается в виде
I dt	dx	J
(9.26)
где 4f = 4f(x, Q)—некоторое среднее по скорости значение f,
а | — подходящая средняя скорость. Часто рассеяние считается
изотропным, т.е. а(?У-Й, х) предполагается не зависящим от

10. ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП	239
QQ'. Тогда, поскольку источник нейтронов деления также при-
приближенно изотропен, можно записать
dQ/ + q{x> Q>/)- (9-27)
Здесь q(x, Q, t) — внешний источник, а с—среднее число вто-
вторичных нейтронов на столкновение, определяемое так:
(crs, оа и Of — сечения рассеяния, поглощения и деления соот-
соответственно; О = Os-\- Оа) .
Уравнения (9.26) и (9.27) используются также в теории пе-
переноса излучения. Если предположить, что аа и as в C.25) не
зависят от частоты (так называемое серое излучение) и проин-
проинтегрировать C.25) по частоте, то с учетом C.26) получится
уравнение (9.26) с |== ct (скорость света) и
При этом четвертая степень температуры играет роль, анало-
аналогичную плотности нейтронов. В частности, если рассеяние; от-
отсутствует или изотропно, то получается уравнение (9.27) (с с =
= 1 и 1= ci).
10. Вариационный принцип
В этом разделе исследуем возможность получения вариаци-
вариационного принципа для линеаризованного уравнения Больцмана.
Будем рассматривать стационарный случай, хотя, используя
свертку или преобразование Лапласа, можно изучать и неста-
нестационарный случай. Итак, рассмотрим уравнение
g.i?. = LA + ff0,	A0.1)
где go — член типа источника, который обычно равен нулю,
однако сохраняется здесь ради общности. Граничные условия,
которые следует добавить к уравнению A0.1), записываются
в виде B.14), а основной максвеллиан /о имеет нулевую массо-
массовую скорость.
Нетривиальный вариационный принцип для линейного урав-
уравнения обычно основывается на самосопряженности линейного
оператора 3?, который входит в уравнение
S,	A0.2)

240	IV. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕНОСА
где S — член типа источника. Как только будет показано, что
3? является самосопряженным относительно определенного ска-
скалярного произведения (( , )), так сразу же доказывается, что
функционал
? ? - 2 «s, А))	(Ю.З)
удовлетворяет условию
67 = 0	A0.4)
тогда и только тогда, когда Я = А+6/г, где h — решение урав-
уравнения A0.2), а 6А бесконечно мало. Хотя L — оператор, самосо-
самосопряженный в Ж и, значит, в гильбертовом пространстве Ж®91,
где скалярное произведение задается формулой D.3), оператор
D = ^-д/дх с граничными условиями вида B.14) с Ао = 0 (Ао
можно, хотя бы формально, отнести к источнику) не является
самосопряженным в Ж®$& или в любом гильбертовом простран-
пространстве с положительной нормой. Однако легко видеть, что имеет
место равенство
((?, PDh)) = ((PDg, /г)) + ((?+, PA"))B-((Pg", А+))д, A0.5)
где Р — оператор четности в пространстве скоростей, определен-
определенный формулой (III.5.7). Тогда соотношения B.14), B.19) и
D.5), в которых g и А заменены на Pg~ и Ph~, дают
((?, PDh)) = ((PDg, А)),	A0.6)
так что оператор PD является самосопряженным относительно
скалярного произведения в Зё®31. Заметим, что для любого
центрального взаимодействия L коммутирует с Р при условии,
что в основном максвеллиане /о скорость Uq равна нулю (см.
G.8)). Соответственно
(g, PLh) = (g, LPh) = (Lg, Ph) = (PLg, A),	A0.7)
так что не только L, но также и PL — оператор, самосопряжен-
самосопряженный вЖ и, следовательно, в Ж®&. Иначе говоря, хотя опера-
оператор D — L не является самосопряженным в 36®91, оператор
P(D — L) таковым является, или, если угодно, D — L — самосо-
самосопряженный оператор в псевдогильбертовом пространстве с би-
билинейной формой ((/, g))p= ((/, Pg))t которая обладает всеми
обычными свойствами скалярного призведения, за исключением
того, что ((/, f))P не является нормой, поскольку может прини-
принимать как положительные, так и отрицательные значения.
Самосопряженность P(D — L) означает, что можно сразу же
сформулировать вариационный принцип, отождествляя Р (D—L)
с & и Pg0 с S в A0.3). В этом вариационном принципе Я долж-
должна удовлетворять тем же граничным условиям, что и А, а это

10. ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП	241
оказывается неудобным во многих приложениях. Поэтому обоб-
обобщим /(/г) следующим образом [44]:
-2ho))B. A0.8)
Легко вычислить
6/ = ((бА, P(D-L)h- 2Pg0)) +
+ ((Я+ - APh~ - 2А0, РбА"))в. A0.9)
Теперь можно использовать симметрию P(D — L); однако
следует учесть, что, вообще говоря, Я не удовлетворяет гранич-
граничным условиям. Соотношение A0.5) тогда дает
((A, P(D-L) 6А)) = ((Р (D - L) Я, 6А)) +
+ ((Я\ Р6А~))В - ((ра-, бЯ
Кроме того, в силу B.19) с А — РбЯ~, g = Ph
((Р#~, ЛР6А~))В = ((ЛРА~\ РбА")).
Подставляя A0.10) и A0.11) в A0.9), получаем
б/ = 2 ((Р (D - ЦЙ - Pg0, вА)) + 2 ((Я+	Й
)в- (Ю-
имеем
A0.
РбН~))в.
A0.
Ю)
11)
12)
Соответственно, если Я = h, где Л — решение уравнения
A0.1) с граничными условиями B.14), то б/ = 0. Обратно, если
б/ = 0 для любой 6Я в занятой газом области и на ее границе,
то отсюда следует, что Я = h.
Заметим, что этот вариационный принцип отличается от прин-
принципа минимума, данного в конце разд. 6 для уравнения Lh—g.
Интересно рассмотреть значение, принимаемое функциона-
функционалом / при Я = Л; из A0.8) имеем
]{h) - - ((h, Pg0)) - ((Ао, Ph~))B.	A0.13)
Смысл этого результата полностью раскрывается лишь пое-
поело изучения выражений для Ло и g0. Вообще говоря, g0 = 0 (см.,
однако, разд. 5 гл. VI), a h0 имеет вид B.15); при этом
= — (("Фо". Ph-))B
= - ((f9+, Ph'))B
+)) ((	- *0+)V A0.14)

242	IV. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕНОСА
Последний член представляет собой известную величину, в
то время как первый и второй члены можно записать в таком
виде (принимаем в B.16) и0 = 0, чтобы выполнялось равенство
A0.7)):
dS + J Il=^?- qndS\	A0.15)
Здесь р(П) — вектор нормальных напряжений, a gn = q-n —
нормальная компонента потока тепла. Учтено также сохранение
массы на границе.
Заметим теперь, что, не уменьшая общности (вследствие ли-
линейности задачи), удобно рассмотреть отдельно два случая:
uw = 0 и Tw = Го. Часто бывает, хотя это и не обязательно, что
в этих случаях Tw и иш можно считать постоянными (как, на-
например, в важном случае обтекания твердого тела). Когда по-
последнее имеет место, функционал становится пропорциональным
некоторой суммарной величине, представляющей физический
интерес (например, коэффициенту сопротивления или теплопе-
теплопередачи).
Как отметили Ланг и Лоялка [45, 46], рассмотренный прин-
принцип можно обобщить, введя наряду с h решение А* линеаризо-
линеаризованного уравнения Больцмана с другим свободным членом g*;
в этом случае вводится функционал /(Я, Я*), который стацио-
стационарен при Я = h и Я* = ft*, и можно выбрать величину, которая
связана с /(A, h*) при подходящем выборе g*.
11. Функция Грина
Как указано в конце предыдущего раздела, наряду с урав-
уравнением Больцмана, линеаризованным относительно максвеллиа-
на с нулевой массовой скоростью,
Dh = Lh + g0,	A1.1)
где D — оператор %-д/дх, рассмотренный в разд. 10, иногда удоб-
удобно использовать то же уравнение с другим свободным членом:
»о'
.2)

11. ФУНКЦИЯ ГРИНА	243
Мы рассматриваем стационарный случай, так как зависи-
зависимость от времени учитывается при помощи преобразования Лап-
Лапласа и замены L на L — s/, где s — параметр Лапласа (при
этом нужно обращаться с s как с вещественной величиной —
даже когда это не так — для того, чтобы в скалярные произведе-
произведения не входило комплексно сопряженное значение s). Самосо-
Самосопряженность L и оператор четности Р дают
{{Ph\ g0)) - ((h, Pg*)) = {{Ph\ Dh - Щ) - ((P (D - L) h\ h)) =
= ((h',PDh))-{(PDh;h)). A1.3)
Из A0.5) получаем
((Ph\ go))-((A, Pg*o)) = ((ht+, Ph-))B-((Ph*-, h+))B. A1.4)
Это — общее соотношение между решениями h, h* и соответ-
соответствующими свободными членами g0, g*0. Представляют интерес
частные случаи. Если, например, g удовлетворяет уравнению
A1.1) в области R с обычными граничными условиями на OR
и /г* удовлетворяет уравнению A1.2) со свободным членом вида
х0б(|-Г)	A1.5)
(скалярное произведение (( , )) имеет смысл даже для элемен-
элементов, не принадлежащих пространству Ж) во всем пространстве
с подходящими условиями на бесконечности, то соотношение
A1.4) принимает вид (для х е R)
\\
G(x, -g; x', g0go(x, l)h(l)dldx-h(x', — Г)fo(iO =
R
= - 5Jg-nG(x, -g; x', gOA(x, l)fo(l)dldS, A1.6)
где Gfx, g; x', gO обозначает решение уравнения A1.2) со сво-
свободным членом A1.5) и соответствующими условиями на беско-
бесконечности. После простых преобразований получаем из A1.6)
/о (g) h (х, I) = \ \ G (х/, - Г; х, - g) g0 (x', gO /о (gO ^Г dx! +
+ JJ g' • nG (x\ -Г; x, -g) A (x/, gO f0 (gO ^Г ^5Г (х е /?). A1.7)
dR
Это равенство показывает, что решение h уравнения A1.1)
выражается через свободный член и значения h на dR, коль
скоро известна функция Грина для бесконечного пространства.
Трудность здесь, конечно, состоит в том, что значения h на гра-
границе не известны (в простейшем случае, когда в B.14) А = О,
А известна для g'-n >> 0, но не для |'-п •< 0).

244	iv. линейная теория переноса
Если взять ?0 = ?ц, где g* имеет вид (Н-5), и принять под-
подходящие граничные условия для А, то А = А* = G (х, |; х', ?') и
A1.7) сводится к соотношению
/о (|) G (х, |; х/, Г) = G (х7, - Г; х, - g) f0 (Г), (П.8)
где интеграл по поверхности отброшен в силу предположения,
что при dR-^oo он обращается в нуль. Соотношение A1.8) яв-
является условием взаимности для функции Грина линеаризован-
линеаризованного уравнения Больцмана. С учетом A1.8) равенство A1.7)
можно переписать в виде
h (хЛ) = \ \ G (х> |; х'> ?) ?°(х'> Г) dl' dx' +
R
Г • n'G(x, I; х/, Ю А(х/, Г) dr dS. A1.9)
Чтобы полностью использовать этот результат, можно попы-
попытаться определить при его помощи А(х, |) для x<^R. Для этого
устремим х в A1.7) к точке границы, что даст
h (х, \) = \\ G (х, |; х', Г) go (х-', I') d%' dx' +
R
A1.10)
здесь G+ обозначает предел G(x//, |; x', |7) (х^бУ?) для х/7—>х
изнутри /? (как показывает интегрирование A1.2) с g*0 в виде
A1.5) по тонкому слою, содержащему участок dR, при переходе
через границу G претерпевает разрыв, пропорциональный
дельта-функции).
В частности, если в качестве А взять функцию Грина для
бесконечного пространства G+(x, ?; х", |"), x"^dR, то g0 = 0
и A1.10) принимает вид
G+ (х, I; х", Г) = \ J Г • п^+ (х, I; х', Г) X
OR
X G+ (х7, Г; х", Г) dr dS7 (x, x"<=dR). A1.11)
Если, с другой стороны, мы возьмем в качестве А функцию
Грина G(x, §; х", Г), x^i?, то go = б (х —х") 6 (§ - Г) и из
A1.10) имеем (первый интеграл в правой части взаимно унич-
уничтожается с левой частью)
0 = ^ g' • WG+ (х, |; х', Г) G (х/, Г; х", Г) dl' dS' A1.12)

11. ФУНКЦИЯ ГРИНА	245
Соотношения A1.11) и A1.12) —основные тождества, кото-
которым удовлетворяет функция Грина линеаризованного уравнения
Больцмана. Некоторые из них были указаны Кейзом [47]. Дан-
Данные тождества полезны при обсуждении одного парадоксального
замечания относительно равенства A1.10). Можно попытаться
решить это интегральное уравнение для /i(x, §) (x<=dR) и най-
найти h на dR и, следовательно, h в R при помощи A1.9). С другой
стороны, значения h на границе для |-п > 0 могут быть заданы
произвольно' или во всяком случае должны быть связаны с та-
таковыми для |-п<0 граничным условием B.14), где Л —изве-
—известный оператор и h0 — заданный свободный член. Таким обра-
образом, получается, что уравнение A1.10) решить нельзя, но си-
система уравнений B.14) и A1.10) должна быть разрешима
относительно неизвестных h+, hr% В связи с этим заметим, что
уравнение A1.10) можно записать в виде
h = Wgo + Bh,	A1.13
где W и В — интегральные операторы, определяемые очевидным
образом. Соотношения A1.11) и A1.12) суть тождества для
ядер этих операторов и эквивалентны равенствам
В2 = В, BW = 0.	(П.14)
Если применить оператор В к обеим частям уравнения A1.13)
и использовать A1.14), то получится тождество Bh = Bh, и это
-подтверждает, что A1.13) не определяет h единственным обра-
образом. Введем /i+, h~ и операторы ?++, В+-, В~+, В—, W+, W~,
определяемые как сужения IF и 6 из одного из двух подпрост-
подпространств функций, определенных для |-п>0 и |-п<0 соответ-
соответственно, в другое (возможно, то же) подпространство. Тогда
уравнение A1.13) принимает вид
h+ = W+g0 + B++h+ + B+~h~,	A1.15)
/Г = W~g0 + B~+h+ + B~~h~	A1.16)
и равенства A1.14) порождают шесть тождеств, в частности
A1.17)
B++W+
Применяя к обеим частям A1.15) оператор В++ и учитывая
A1.17), получаем
0 = В+~ (/Г - W~g0 - B~+h+ - B~~h~)	A1.18)

246	IV. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕНОСА
и в силу правдоподобного предположения, что оператор /За-
/Заимеет обратный, уравнения A1.15) и A1.16) оказываются экви-
эквивалентными, так что одно из них можно исключить, а второе
объединить с B.14), составив систему
A1.19)
h- = w-g0 + B~+h+ + B—h-,
или
/Г = W~gQ + fi~+A0+ + (B~+AP + B~) /Г. A1.20)
Это интегральное уравнение для Ьг в принципе решает гра-
граничную задачу для линеаризованного уравнения Больцмана.
Так как этот метод не применяется на практике, мы не будем
углубляться в детали и обосновывать проведенный формальный
анализ.
Рассмотрим теперь задачу о построении функции Грина; не
умаляя общности, возьмем х' = 0, поскольку G(x, |; хх, |х) =¦
= G(x — Xх; |; 0, |х). Нужно решить уравнение
Воспользуемся преобразованием Фурье по пространственным
переменным
G (к, |; Г) = \ G (х, 6; Г) ^'к'х ^х	A1.22)
с формулой обращения
<7(х, 6; Г) = Bя)~3 ^ G (к, 6; Г)в"'к^ dk.	A1.23)
Из A1.21) тогда имеем (если G не стремится к нулю при
х~>оо, то уравнения следует понимать в смысле обобщенных
функций)
- /к • IG = LG + б (| - Г).	A1.24)
Если первую ось направить вдоль к, то получится
- iklxG = LG + 6 (I - Г),	A1.25)
где & — абсолютное значение к. То же самое уравнение полу-
получается, если исходить из соответствующего A1.21) одномерного
уравнения
f	(g-g')	A1-26)

11. ФУНКЦИЯ ГРИНА	247
(источник здесь не точечный, а плоский, в плоскости х\ = 0) и
использовать одномерное преобразование Фурье
5, (k, |р 1Х; g;, ?±)=\ G, (л-„ |„ |х; ^ l^e'^-rf*,, A1.27)
где |i—двумерный вектор с компонентами |г, ?з- Таким обра-
образом, если мы сможем решить уравнение A1.26), то E (к, ?;?') =
= C^/г, |; §') вычисляется по A1.27) при gi = (§-к)/& и |± =
= | — [(|'к)//г]. Далее, можно выразить решение уравнения
A1.26) с подходящими условиями на бесконечности через соб-
собственные решения, рассмотренные в разд. 7. Предположим, что
G\ не возрастает экспоненциально при х\ —> оо и Х\-+—оо. Урав-
Уравнение A1.26) показывает, что для хх > 0 и х\ < 0 функция G{
удовлетворяет уравнению G.1) и, следовательно, дается выра-
выражением вида G.45), т. е.
а=2
-К
A1.28)
а—О	а«=2
где учтены условия на ±оо. С другой стороны, если проинте-
проинтегрировать A1.26) от Х\ = —8 до Х\ = е и затем положить е->0,
то получится
6i[lim Gx- lim Gx\ = b(l-\').	A1.29)
at->0+	ai->0-
Есл1-1 при помощи A1.29) определить At, Aa, Ba , Вп, Ак , А},,
то A1.28) дает решение уравнения A1.26) с указанными усло-
условиями на бесконечности. Следовательно, должно быть
А	4	—К
а=«0	а=0
4	gi	*'

248	IV- ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕНОСА
Согласно теореме, доказанной в разд. 7, для любой функ-
функции h имеем
а=2
« = 2,3,4). A1.32)
ОО	О
Равенство A1.31) означает, что
Si + ?¦ , v ^^"^^^Т + ^'
С, ' Zj	Са	'
(l')gK{l)dX = -^6A-%'). A1.33)
Г 'VO	'vooT
[\+\ ¦
•— — А	Ал —¦
Интеграл по непрерывному спектру здесь следует понимать
в смысле теории обобщенных функций (так чтобы можно было
умножить A1.33) на h(%'), проинтегрировать по |х и изменить
порядок интегрирования для достижения равенства G.38) вме-
вместе с G.39) и G.33)). Значения А^ — Л~, ?+ — В~, Ах можно
выбрать путем сравнения равенств A1.33) с A1.30). Величины
At, Аа, Ва, Вй определяются однозначно, если принять Аа =
= Аа , Ва = — Ва •
Итак, из A1.28) имеем
a=2
A1.34)
а=2
где %' = 'ksgnxu Зная Gi, можно по формуле A1,27) вычислить
EЬ а затем из A1.23) определить G.
Ясно, что G разбивается на асимптотическую часть GA и оста-
остаток GB в соответствии с разбиением h на йА и /гв, рассмотрен-
рассмотренным в разд. 7 (формулы G.51) и G.52)). Величина GB важна
лишь вблизи начала координат и пренебрежимо мала на рас-

li. Функция грипа	249.
стоянии в несколько длин свободного пробега от него (затуха-
(затухание экспоненциальное, если Ко>О). Интересно исследовать
асимптотическую часть решения, которая получается из
a=2
^-. (П.35)
Вместо вычисления преобразования Фурье от sgn хх и \х\\у
которое требует использования теории обобщенных функций,
заметим, что соотношения G.70) — G.72) выполняются для G!A,
являющейся частным решением уравнения G.1) (прих^^О).
Следовательно, преобразования Фурье для давления, скорости,
температуры, тензора напряжений и теплового потока связаны
следующими соотношениями (^Л) = const):
q(A) = мЬТе19 p)f = p{A)bjl + wku№eH + щШ^е[р A1.36)
где ei = (?ц, е\2, е\$) —единичный вектор в направлении оси х\
(так что еи = 6и). Далее, заменив в\ на e = k/k, из A1.36)
получим соответствующие соотношения для фурье-преобразова-
ний тензора напряжений и вектора теплового потока в трехмер-
трехмерном случае, а именно
q(A) = ыкгРА\ рМ = pWbn + i\i (kfiW + kfiW). A1.37)
Если произведем обратное преобразование Фурье в трехмер-
трехмерном пространстве, то получим, что^Л) и p^f связаны с Г(Л) и'и\А)
соотношениями Навье — Стокса — Фурье (II.8.27) (dvh/dxh = 0
Для х =? 0, как следует из интегрирования умноженного на /о
уравнения A1.21)).
Уравнение A1.9) показывает, что при go = 0 решение задачи
с граничными условиями можно выразить через интеграл, вклю-
включающий G(x — х7, |, |7) для х е OR. Поэтому если для любой
точки х', x'<=dR, значение |х — х7| велико по сравнению со
средней длиной свободного пробега (т. е. если точка х удалена
от границы на расстояние в несколько средних длин свободного
пробега), то решение зависит от координат и скорости так же,
как и GA. В частности, заключаем, что все решения будут удо-
удовлетворять соотношениям Навье — Стокса — Фурье на расстоя-
расстояниях от границы в несколько длин свободного пробега, причем
коэффициенты вязкости и теплопроводности даются формулами
G.66) и G.67),

250	IV. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕНОСА
12. Использование интегрального уравнения
Результаты разд. 11 показывают, что решение граничной за-
задачи для линеаризованного уравнения Больцмана можно свести
к решению интегрального уравнения A1.20) для функции рас-
распределения молекул, падающих на границу. Даже для простей-
простейших граничных условий (А = 0) это уравнение решить нелегко,
так как ядро оператора В~~ выражается через функцию Грина,
в свою очередь выражающуюся через собственные решения
уравнения G.3), которые, вообще говоря, неизвестны в явном
виде. Однако для некоторых задач и при изучении вопросов су-
существования и единственности решений полезно свести гранич-
граничную задачу к решению интегрального уравнения. В частности,
это наиболее целесообразно, как мы увидим ниже, для модель-
модельных уравнений, описанных в разд. 9.
Можно получить полезное интегральное уравнение, когда
оператор столкновений представляется в виде Ыг = Kh— v/г,
где К— интегральный оператор. Это, как известно, возможно
для твердых сфер, обрезанных потенциалов и модельных урав-
уравнений.
В этих случаях можно записать уравнение A1.1) в виде
Dh + vh = gl (gl = go + Kh)	A2.1)
и считать g\ свободным членом. Затем можно повторить рас-
рассуждения разд. 11, используя функцию Грина ?/(х, §; х', §')
уравнения A2.1) (g"i == б(х — х/)б(| — §')) вместо функции Гри-
Грина уравнения A1.1) (go = б(х — х')б(| — Iх))- Результат анало-
аналогичен равенству A1.10) (G-* [/, go-+g\):
h(x, I) = \\ U(х, 6; х', Г)gl (x'f 60dx' d? +
R
+ J J Г • n?/+ (x, I; x', 10 h (x', Г) dV dS' (x s dR), A2.2)
OR
или, если через V и f/0 обозначить операторы с ядрами
U(x, 1; х7, Ю и l'-x\U+{x, %\ х7, Ю (xei?, x'ezdR) и, согласно
A2.1), положить g\ =з go + Kh, то
A2.3)
Основное преимущество заключается в том, что f/fogjxMO
можно вычислить явно:
A2.4)

12. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ	251
где Н — ступенчатая функция Хевисайда, 62 — двумерная дель-
дельта-функция в плоскости, ортогональной %, а Л — векторное
умножение. Выражение A2.4) получить легко: следует учесть,
что так как оператор D -f- v не перемешивает различные значе-
значения |, то | можно рассматривать как параметр, a D -\- v как
дифференциальный оператор в частных производных первого
порядка с постоянными коэффициентами. В любом случае это
выражение легко проверяется прямой подстановкой. Уравнение
A2.3), таким образом, эквивалентно следующему:
А(х, |) =
X \go (x', 1) + \к (!', 1) h (x', 60 dl'\ dx' +
+ \ 6 • nV'tfF • [x- x'] N2(i- Л [x - x']) X
X exp[- *-fr-f>v(e)Jй(x'( g) rfs# A2.5)
Заметим, что это уравнение справедливо для области R лю-
любой формы, а также для области, простирающейся до бесконеч-
бесконечности. Однако для невыпуклых областей (см. рис. 25) интегралы
по объему и по поверхности достаточно распространить на те
части jRx и dRx области R и ее границы dR, которые «видны»
из точки х (т. е. на такие х', что прямая, соединяющая х' с х,
не пересекает OR).
Физически это очевидно, так как функция Грина описывает
влияние точки х' на х, a U — функция Грина, описывающая
прямолинейные движения частиц. Математически это получается
применением уравнения A1.9) с g\ вместо g0 и U вместо G к
«невидимой» области R — Rx. Тогда, поскольку хе^х, левая
часть равна нулю (а не h(xf |)), и мы получаем
(/(х, |;
+ J t/ (x, 6; x', Г) Г • nA (x', Г) dl' dSr +
?/ ix, 6; x', 60 i' • nh (x', 60 ^' dS' = 0, A2.6)

IV. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕНОСА
Рис 25 Невыпуклые области. За область интегрирования в A2.5) можно
взять ту часть R, которая «видна» из точки х.
где2 — поверхность, отделяющая /?х от R — R*. Но формула
A2.4) дает
$Г-пЧ/(х,6; x',F)h(x',l')dl'dS' =
= J 6 • п'Г'Н {I • [х - х']) 62 (| Л [х - xi) X
7/)УF)]/в0> A2J)
так как |'-п = 0 на S. Таким образом, согласно A2.6), вклады
-^х и dR~dRxB A2.2) или A2.5) взаимно уничтожаются,
от

12. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ	253
что и нужно было показать. Благодаря этому обстоятельству,
уравнение A2.5) можно записать в виде
А(х, s)=
X exp [- S-('-fvF)] б2 (| л [x - x']) X
X [go (x', l) + \K «', Ю ft (x',
Xexp[-
A2.8)
где #(|-[x— x7]) заменено на //(g-n'), поскольку для x^dRx
и прямых х — х', параллельных § (согласно аргументу дельта-
функции), знаки величин |-(х — х') и g-n' одинаковы. Следова-
Следовательно, в A2.8) интеграл по поверхности содержит лишь значе-
значения hy соответствующие выходящим молекулам, что физически
естественно.
Если граничные условия задают на границе /i+ явно, то A2.8)
представляет собой интегральное уравнение, решающее исход-
исходную граничную задачу; в ином случае следует рассматривать
систему уравнений A2.8) и B.14). В частности, можно, напри-
например, использовать уравнение A2.8), чтобы выразить hr (x^dR)
через ft (xg/?) и Л+ (x^dR) и, подставив результат в B.14),
получить уравнение, которое вместе с A2.8) образует систему
двух интегральных уравнений для h и /г+.
Применение интегрального уравнения особенно удобно в том
случае, когда используется одна из столкновительных моделей,
описанных в разд. 9. В этом случае Kh — явная функция |, ли-
линейным образом зависящая от нескольких неизвестных функций
от х, Ма = (vcpa, h), Поэтому уравнение A2.8) выражает h че-
через величины Ма (и граничные значения); используя эти выра-
выражения для вычисления Ма = (vcpa, h) (a = 1, ..., /V), получаем
линейные зависимости между ними, которые дают систему N
уравнений для N неизвестных величин Ма (а = 1, ..., /V). Пре-
Преимущество такого способа состоит в том, что теперь мы имеем
дело с N функциями от трех переменных (координат) вместо
одной функции от шести переменных (компонент х и |). Это
большое преимущество, особенно если jV мало и имеют место
симметрии, которые дополнительно уменьшают число перемен-
переменных.
Рассмотрим подробнее случай моделей вида (9.14), когда
граничное условие соответствует полной диффузии (соотношение

254	IV- ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕНОСА
B.14), где Л задается формулами (III.4.14) и (III.5.1) с а= 1),
т. е. когда
h+ = hQ + N{x) (xGd/?, g-n>0).	A2.9)
Если Го — температура основного максвеллиана f0, то
]h- (l)\l-n\dt A2.10)
Для краткости положим в A2.8) go = O (обобщение на слу-
случай g0 ф 0 провести легко). Уравнение A2.8) принимает вид
(поскольку (х — х') • \ = | х — х' | \ из-за дельта-функции и сту-
ступенчатой функции)
0-0	Ях
X 62 (Q Д [х - х']) Фр (|Q) Mp (xO dx' + S (х, I) +
Хехр[- |x~x||v(l)]jV(x/)^S/, A2.11)
где Q = !/|, S(x, 1) дается последним интегралом в A2.8)
с h0 вместо h и
^а(х) = (тФа, К) (а = 0, 1, .... yV).	A2.12)
Теперь используем формулы A2.12) и A2.11) для вычисле-
вычисления Ма\
N
E = 0 Rx
Ка (х - хО N (xO rfS' + Sa (х) (а - 0, 1, ..., N); A2.13)
дЯх
здесь
X ехр[- |х~^|л?Ш]фа (|О) Фр (|Q) fo(|) 4 ^, A2.14)
/С«(х- х')= J v(|)|2Q • п'Я(Й • [х - х'] N2(О Л [х - х']) X
X ехр [- 'х ~ xt'v (l) ] Фа (|Q) /о (I) dl du, A2.15)
S«(x) = (vq>e, 5).	A2.16)

12. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ	255
Равенства A2.13) образуют систему N + 1 интегральных урав-
уравнений для N + 2 неизвестных Afp(x) (Р = 0, 1, ..., N) и N (х).
Еще одно уравнение получается путем использования A2.11) при
xedi? для вычисления N {х):
N
N (х) = ? \к; (х - х') Мр (хО dx' +
C=0 tfx
+ J K(x^x/)iV(x/)rfx/ + S(x), A2.17)
dRx
где
/CJ (x - хО = Bя/(ЛГ0)у/« ро-1^з (х - хО;
Xexp[- ^^'g-^'J/ofe)^^, A2.18)
1/2p-1 A, S(x, |))B.	A2.19)
Уравнения A2.13) и A2.17) образуют систему интегральных
уравнений, решение которых дает Ма(х) (а = 0, 1, ..., N) и N {х)
и, следовательно, функцию А(х, |) посредством A2.11).
Благодаря наличию дельта-функции б2 интегрирование по
единичному вектору Q в A2.14), A2.15) и A2.18) проводится
явно и дает
b (|)]2|I х - х' Г2 ехр [-1 х - х' | v (|Ш X
о
X Фа F-iSftK ^l^r)^(i) *. A2-20)
Ка = 5 v (|) Е2 (х - х') • п' | х - х' Г3 ехр [- | х - х' | v (|)/|] X
О
= Bя/(ЛГ0)у/. p-i Jl31 (х - х') • п 11 (х - х') • п' 11 х - х' Г4 X
X ехр [- | х - х' | v (DM /0 (I) й%. A2.22)
Дополнительное интегрирование по g нельзя провести, не кон-
конкретизируя v(g); однако, даже если зависимость v(§) достаточно
проста, ядра Ка(з, Ка и К не являются элементарными функ-
функциями х — х7. В простейшем случае, когда v постоянна и фа —

256	IV. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕНОСА
полиномы (см. (9.8) и (9.12)), ядра выражаются через извест-
известные трансцендентные функции Тп(х):
оо
Тп (х) = J f exp [- t2 - x/t] dt.	A2,23)
о
Функции Тп обладают некоторыми примечательными свой-
свойствами, которые легко выводятся из их определения A2.23):
dTn	т
^= — * n-U
dx
Л/л
2
(п
A2.
A2.
нечетное),
четное),
A2.
24)
25)
26)
где Г — гамма-функция. Имеются разложения этих функций
для малых и больших значений х (см. [18], где функции Тп
обозначаются через fn), которые можно использовать для вы-
вычисления Тп(х) с любой желаемой точностью. Заметим, что вме-
вместо Тп часто используется обозначение Jn.
Особенно простой случай имеет место в теории переноса нейт-
нейтронов, когда в (9.26) используется односкоростное приближение.
В этом случае, если сечение не зависит от х и ядро апроксими-
руется вырожденным, можно повторить предыдущий анализ, не
выделяя максвеллиана у возмущения и не интегрируя по скоро-
скоростям в A2.14) —A2.16) и A2.18) —A2.22). При этом ядра Ка&,
/Ср, К окажутся элементарными функциями. Если рассеяние
предполагается изотропным (см. (9.27)), то происходит дальней-
дальнейшее упрощение. Тогда при обычном граничном условии, г|з = О
для Q-n>0, остается только одно интегральное уравнение
= \
A2.27)
известное под названием уравнения Пайерлса [48]. Несколько
сложнее случай, когда рассеяние изотропно, но поперечное се-
сечение а зависит от х; при этом в A2.27) показатель экспоненты
1
заменяется на —\ о (xr-\-X[x —x^) dl^ а множитель а перед
о
р(хг) на а(х'). Интеграл в показателе экспоненты часто назы-
называют «оптической толщиной»; в этом, очевидно, сказывается
-влияние теории переноса излучения.

12. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ	257
Если обозначить через и вектор-столбец, образованный из
jV + 2 величин Ма> N, то уравнения A2.3) и A2.17) можно за-
записать в форме
u = u(°) + Аи,	A2.28)
где А — матричный интегральный оператор и и@) — член типа
источника.
Ядра элементов матрицы А суть /Саз, Ка, К&, К- Легко
проверить, что вариационный принцип, изложенный в разд. 10,
можно применить к уравнению A2.28) (см. [49—52]), если функ-
функционал J\(u), такой, что б/i = 0 при и = и, записать в виде
/1 (й) = (РК, и - Аи - 2и<°>),	A2.29)
где Р — диагональная матрица с элементами (—1)р6ар, (—1)р=
= ±1 согласно четности сра, а К — диагональная матрица, эле-
элементы которой \хп9 Bn/(RT0))~i/2 p0. Равенство A2.29) справедли-
справедливо, потому что
РКА = РКА,	A2.30)
где А — оператор, сопряженный А, т. е. получающийся из А
перестановкой строк и столбцов, х и х'. Соотношение A2.30) не-
непосредственно следует из выражений для Р, К, А.
Преимущество применения вариационного принципа б/i = 0
с функционалом A2.29) заключается в том, что J\ содержит
лишь функции координат, относительно которых проще делать
предварительные предположения, нежели относительно h\ кро-
кроме того, для некоторых задач с той или иной симметрией этот
принцип сводится к принципу истинного максимума или мини-
минимума [49, 50, 52]. Наконец, часто удается связать значение, до-
достигаемое J\ при й = и, с суммарными величинами, представ-
представляющими основной интерес (сопротивление, расход, поток теп-
тепла, вращающий момент и т. д.). Это вытекает из того факта, что
PKu = PKh, Аи = UKK и<°) = lit/go, где go —источник в урав-
уравнении A0.1), а П — проектор на подпространство с базисом сра
(а = 0, 1, ..., N) (для простоты мы принимаем /io = O). Таким
образом, для Я = h имеем
/ (h) - /1 (и) = ((ft, PgQ)) + {{PKK UUgQ)) =
= _ ((р [h _ цщ9 gQ)) = _ ((Р [Ug0], g0)), A2.31)
т. е. значения, принимаемые функционалами / A0.8) и ]\
A2.29) в точках, где они стационарны, отличаются друг от дру-
друга на известную величину. Тогда связь между /i(u) и соответ-
соответствующей суммарной величиной следует из аналогичного ре-
результата для /(Л).

258	iv. линейная теория переноса
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
[1] Ахиезер Н. И., Глазман И. М., Теория линейных операторов в гильбер-
гильбертовом пространстве, Щ., «Наука», 1966.
[2] Riesz F., Sz. Nagy В., Legons d'analise fonctionnele, Budapest, 1953;
русский перевод: Рисе Ф., Секефальви-Надь Б., Лекции по функцио-
функциональному анализу, М., ИЛ, 1954.
[3] Kato Т., Perturbation theory for linear operators, New York, Springer,.
1966; русский перевод: Като Т., Теория возмущений линейных опера-
операторов, М., «Мир», 1972.
[4] Schechter M., Principles of functional analysis, New York, Academic
Press, 1971.
[5] Dunford N., Schwartz J., Linear operators, Interscience, vol. I, 1958,
vol. II, 1963; русский перевод: Данфорд Н., Шварц Дж., Линейные
операторы, т. 1, М., ИЛ, 1962, т. 2, М., «Мир», 1966.
[6] Cercignani С, High Mach number flow on an almost specularly reflect-
reflecting plate with sharp leading edge, VIII Symposium on Rarefied Gas
Dynamics, Stanford, 1972.
[7] Weinberg A. M., Wigner E. P., The physical theory of neutron chain
reactors, Univ. of Chicago Press, 1958; русский перевод: Вейнберг А.,
Вигнер Е., Физическая теория ядерных реакторов, М., ИЛ, 1961.
Hurwitz H., Nelkin M. S., Habetler G. J., Nucl. Sci. Eng., 1, 280 A956).
Kuscer I., Summerfield G. C, Phys. Rev., 188, 1445 A969).
Chandrasekhar S., Radiative transfer, Oxford Univ. Press, 1950; русский
перевод: Чандрасекар С, Перенос лучистой энергии, М., ИЛ, 1953.
[11] Marek L, AppL Mat., 8, 442 A963).
[12] Mika J., /. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer, 1, 869 A971).
[13] Watson G. N., Theory of Bessel Functions, Cambridge Univ. Press, 1958;
русский перевод изд. 1945 г.: Ватсон Г., Теория бесселевых функций,
Ч. 1, Ч. 2, М, ИЛ, 1949.
[14] Гельфанд И. М., Шилов Г. Е., Обобщенные функции и действия над
ними, изд. 2, М., Физматгиз 1959.
[15] Wang Chang С. S., Uhlenbeck G. E., On the propagation of sound in
monatomic gases, Univ. of Michigan Press, Project M 999, Ann Arbor,
Michigan, 1952; перепечатано в "The kinetic theory of gases", Studies in
statistical mechanics, vol. V, Amsterdam, North-Holland, 1970.
[16] Cercignani C, Mathematical methods in kinetic theory, New York, Ple-
Plenum Press, 1969; русский перевод: Черчиньяни К., Математические ме-
методы в кинетической теории газов, М., «Мир», 1973.
[17] Abramowitz M., Stegun I. A., Handbook of mathematical functions, New
York, Dover, 1965.
[18] Bateman Manuscript Project, Higher transcendental functions, New York,
McGraw-Hill, 1953; перевод: Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие трансцен-
трансцендентные функции, М., «Наука», т. 1, 1965, 1973; т. 2, 1966, 1974; т.З, 1967.
[19] Mott-Smith H. M., A new approach in the kinetic theory of gases, MIT
Lincoln Laboratory Group Report V, 2, 1954.
[20] Alterman 2., Frankowski K-, Pekeris C. L., Astrophys. J. Suppi, 7, 291
A962).
[21] Grad G., in "Rarefied gas dynamics" (Laurmann J. A., ed.), vol. 1, 26,
New York, Academic Press, 1963; русский перевод: сб. «Некоторые во-
вопросы кинетической теории газов», М., «Мир», 93—128, 1965.
Dorfman J. R., Proc. of the Nat. Acad. of Sci. U. S. A., 50, 804 A963).
Kuscer L, Williams M. M. R., Phys. Fluids, 10, 1922 A967).
Wing G. M., An introduction to transport theory, New York, Wiley, 1962.
Cercignani C, Phys. Fluids, 10, 2097 A967).
Sirovich L., Thurber J. I\., in "Rarefied gas dynamics" (cle Leeuw J. H.,
ed.), vol. I, 21, 1965.

список литературы	259
[27] Sirovich L., Thurber J. К., У. Math. Phys., 10, 239 A969).
[28] Nicolaenko В., Dispersion laws for plane wave propagation, in "The
Boltzmann equation" (Grunbaum F. A., ed.), Courant Institute, New
York Univ., 1972.
Schechter M., /. Mat. Anal, and Appl., 13, 205 A966).
Gustafson K., Weismann Т., /. Math. Anal, and Appl, 25, 121 A969),
Bixon M., Dorfman J. R., Mo К. С, Phys. Fluids, 14, 1049 A971).
McLennan J. A., Phys. Fluids, 8, 1580 A965).
McLennan J. A., Phys. Fluids, 9, 1581 A966).
Scharf G., Helvetica Physica Ada, 40, 929 A967).
Case К. М., The soluble boundary value problems of transport theory,
in "The Boltzmann equation" (Grunbaum F. A., ed.), Courant Institute,
New York Univ., 1972.
[36] Gross E. P., Jackson E. A., Phys. Fluids, 2, 432 A959); русский перевод:
сб. Механика, № 5 F3), 65—81 A960).
[37] Sirovich L., Phys. Fluids, 5, 908 A962); русский перевод: сб. «Некото-
«Некоторые вопросы кинетической теории газов», М., «Мир», 246—269, 1965.
Cercignani С, Ann. Phys., N. Y., 40, 469 A966).
Loyalka S. К., Ferziger J. H., Phys. Fluids, 10, 1833 A967).
Corngold N. et al., Nucl. Sci. Engng., 15, 13 A963).
Kuscer I., Corngold N.. Phys. Rev., 139, A981 A965).
Corngold N., in "Transport theory" (Bellman R. et al., eds.), p. 79, Pro-
Providence, American Mathematical Society, 1969.
[43] Williams M. M. R., The slowing down and thermalisation of neutrons,
Amsterdam, North-Holland, 1966.
[44] Cercignani C, /. Stat. Phys., 1, 297 A969).
[45] Lang H., Loyalka S. K-, On variational principles in the kinetic theory,
VII Symposium on Rarefied Gas Dynamics, Pisa, 1970.
[46] Lang H., Ada Mechanica, 5, 163 A968).
[47] Case K. M., in "Transport theory" (Bellman R. et al., eds.), p. 17, Pro-
Providence, American Mathematical Society, 1969.
[48] Pejerls R. E., Proc. Cambr. Phil. Soc. Math. Phys. Sti., 35, 610 A939).
[49] Cercignani C, Pagani С D., Phys. Fluids, 9, 1167 A966).
[50] Cercignani C, Pagani С D., in "Rarefied gas dynamics" (Brundin С L.,
ed.), vol. I, New York, Academic Press, 1967.
[51] Cercignani C, Pagani C. D., Phys. Fluids, 11, 1399 A968).
[52] Bassanini P., Cercignani C, Pagani С D., Int. J. Heat and A4ass Trans-
Transfer, 11, 1359 A968).
[53] Pao Y. P., in "Rarefied gas dynamics" (Becker M., Fiebig M., eds.),
vol. I, A.6-1, Porz-Wahn, DFVLR-Press, 1974.
[54*] Глазман PL M., Прямые методы качественного спектрального анализа
сингулярных дифференциальных операторов, М., Физматгиз, 1963.
[55*] Скворцов Г. Е., Пропагациоштьте решения уравнения Больцмана,
ЖЭТФ, 49, № 4, 1248—1260 A965).
[56*] Corngold N., Shapiro Ch. S., Approach to equilibrium of a neutron gas,
Phys: Rev., A137, No. 6, 1686—1696 A965).
[57*] Sirovich L., Thurber J., Propagation of forced sound waves in rarefied
gasdynamics, /. Acoust. Soc. Amer., 37, No 2, 329—339 A965).
[58*] Некоторые вопросы кинетической теории газов, сборник статей, М.,
«Мир», 1965.
[59*] Sirovich L., Thurber J., Plane wave propagation in kinetic theory,
/. Math. Phys., 8, No. 4, 888—899 A967).
[60*] Скворцов Г. Е. Спектр и эволюция болышановских систем, ЖЭТФ, 52,
№ 5, 1283—1295 A967).
[61*] Скворцов Г. Е., О динамике больцмановских систем, ЖЭТФ} 57, № 6,
2054—2065 A969).

260	IV. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕНОСА
[62*] Duderstadt J., Theory of propagation of plane wave disturbances in
distribution of thermal neutrons, /. Math. Phys., 10, No. 2, 266—276
A969).
[63*] Иванов В. В., Перенос излучения и спектры небесных тел, М., «Наука»,
1969.
[64*] Хонькин А. Д., Об одном методе решения задачи Коши для линеаризо-
линеаризованного уравнения Больцмана, ТМФ, 4, № 2, 253—267 A970).
[65*] Теоретические и экспериментальные проблемы нестационарного пере-
переноса нейтронов, сборник статей, М., Атомиздат, 1972.
[66*] Нагнрнер Д. И., Теория нестационарного переноса излучения, Астро-
Астрофизика, 10, № 3, 445—469 A974).
[67*] Davison В., Neutron transport theory, Oxford Univ. Press, 1957; русский
перевод: Дэвисон Б., Теория переноса нейтронов, М., Атомиздат, 1960.

V
Малые и большие длины
свободного пробега
1. Число Кнудсена
В разд. 1 гл. IV было указано, что при решении уравнения
Больцмана в реальных неравновесных ситуациях нужно пола-
полагаться на приближенные методы, в частности на методы теории
возмущений. Для этого следует найти параметр е, который при
некоторых условиях можно считать малым. В разд. 2 гл. IV
предполагалось, что параметр е не входит непосредственно в
само уравнение Больцмана. Это привело к рассмотрению линеа-
линеаризованного уравнения Больцмана, оказавшегося полезным при
описании ситуаций, в которых скорость и температура мало
отклоняются от своих средних значений. Если искать другие
разложения, то первый шаг должен состоять в исследовании по-
порядков величины различных членов, входящих в уравнение
Больцмана. Пусть т — характерное время, d — характерная дли-
длина, f—характерная скорость молекул; тогда (см., например,
(П.3.15))
где ~ означает, что две величины имеют один и тот же поря-
порядок, п = р/т — численная плотность молекул, а а — диаметр
молекул (или радиус действия потенциала).
Согласно A.4.17), имеем
Q(/, /) = 1Г7,	A.2)
где /—средняя длина свободного пробега. В этой связи следует
заметить, что понятие среднего свободного пробега может быть
строго определено только в случае твердых сфер или обрезан-
обрезанных потенциалов (а<оо); для дальнодействующих потенциа-
потенциалов (а = оо) молекулы всегда взаимодействуют, так что длина
свободного пробега, строго говоря, равна нулю. Несмотря на
это, понятие средней длины свободного пробега можно сохра-
сохранить как средство для выражения порядка величины правой
части уравнения Больцмана. Тем самым средняя длина свобод-
свободного пробега определяется качественно. При желании это опре-
определение можно сделать количественным, если зспомнить (см,

262	V. МАЛЫЕ И БОЛЬШИЕ ДЛИНЫ СВОБОДНОГО ПРОБЕГА
(IV.7.66)), что коэффициент вязкости jj, пропорционален Z; это
позволяет определить среднюю длину свободного пробега через
коэффициент вязкости. Часто используется следующее опреде-
определение:
I = |i (nRT/2)V2lp = ц [я/B^Г)]1/2/р,	A.3)
где, как обычно, р = pRT означает давление. Это определение
связывает понятие средней длины свободного пробега с некото-
некоторым числом; оно обладает тем преимуществом, что позволяет
легко сравнивать результаты, соответствующие различным мик-
микроскопическим моделям, так как, будучи выражено через макро-
макроскопически измеряемые величины, не зависит от предположений
о молекулярных взаимодействиях. Комбинацию |/~!, входящую
в соотношение A.2), можно рассматривать как меру частоты
столкновений, а обратную ей величину |~Ч = 0 — как определе-
определение среднего времени свободного пробега (см. разд. 6 гл. IV).
Соотношения A.1) и A.2) указывают на существование в
уравнении Больцмана двух основных безразмерных параметров:
О/т и l/d. Безразмерный параметр l/d называется числом Кнуд-
сена и обозначается через Кп:
Кп = l/d.	A.4)
Ясно, что Кп меняется от 0 до оо; Кп —>0 соответствует доволь-
довольно плотному газу, а Кп —> оо — свободномолекулярному тече-
течению, т. е. течению, в котором можно пренебречь взаимодейст-
взаимодействием молекул. Другой безразмерный параметр 6/т связан с Кп
следующим образом:
е/т = Г]//т = (d/lx) Кп = Sh Кп,	A.5)
где
Sh = d/(h)	A.6)
— аналог числа Струхаля, употребляемого в континуальной тео-
теории (так как | обычно имеет порядок скорости звука, точнее
было бы вместо Sh писать ShM, где М — число Маха). Часто
Э/т тоже называют числом Кнудсена, неявно предполагая, что
Sh~ 1. Однако существуют важные явления, такие, как переход
вязкого газа к равновесию, для которых Qd2/ (xl2)^ l или
Sh~Kn с Кп < 1 и, следовательно, Sh <С 1. Конечно, в стацио-
стационарных задачах появляется только один параметр, а именно
число Кнудсена. Однако это рассуждение относится к задачам,
в которых кроме средней длины свободного пробега есть лишь
одна характерная длина; в противном случае нужно рассматри-
рассматривать несколько чисел Кнудсена,

2. РАЗЛОЖЕНИЕ ГИЛЬБЕРТА
Число Кнудсена можно связать с числом Рейнольдса Re. Со-
Согласно A.3),
A.7)
где c = (yRT)l/2 — скорость звука (y = 5/з для одноатомного га-
газа); соответственно
Kn = ix/(9cd) = (U/c) (\i/(pUd)) = M/Re,	A.8)
где U — характерная массовая скорость (следовательно, вообще
говоря, с ~ |, но U ф |).
В связи с числом Кнудсена сами собой напрашиваются два
вида разложения, один для Кп-*0, другой для Кп—*оо. Эти
два разложения описывают ситуации, относящиеся соответствен-
соответственно к предельно малой и предельно большой средним длинам
свободного пробега. Обе ситуации будут исследованы в данной
главе.
2. Разложение Гильберта
Первый пример применения теории возмущений для решения
уравнения Больцмана был рассмотрен Гильбертом в 1912 г. [1,2].
Он основан на предположении, что число Кнудсена Кп мало,
а число Струхаля Sh — величина порядка единицы. Тогда отно-
отношение типичного члена левой части уравнения Больцмана к ти-
типичному члену правой части имеет величину порядка Кп и метод
Гильберта можно формализовать, введя перед левой частью ис-
искусственный малый параметр е (или, что эквивалентно, перейдя
к безразмерным величинам и обозначив число Кнудсена через е):
Сингулярность при е-*0 ясна из того, что на е умножаются все
производные, входящие в уравнение Больцмана. Несмотря на
это, попытаемся разложить f в ряд по степеням е (разложение
Гильберта):
f=I,znfn.	B-2)
п = 0
Подстановка B.2) в B.1) дает

264	V. МАЛЫЕ И БОЛЬШИЕ ДЛИНЫ СВОБОДНОГО ПРОБЕГА
где Qrt определяются из (IV. 1.5):
Qo = O,	B.4)
Равенство B.4) означает, что /0—максвеллиан; как след-
следствие из (IV. 1.6) имеем
(it+%-lk)(fohn-i) = foLhn + Sn (п=1, 2, ...), B.6)
/й = /оА„, Ло=1.	B.8)
В результате получается система уравнений для неизвестных
hn\ можно решать эти уравнения последовательно, учитывая,
что они имеют вид (IV.6.26). Согласно следствию, сформулиро-
сформулированному в конце разд. 6 гл. IV, hn находятся на каждом шаге
в том случае, если свободный член удовлетворяет условиям
(IV. 6.27) (ортогональность к пяти инвариантам столкновений),
причем кп определяются с точностью до линейной комбинации
пяти инвариантов столкновений г|эа, содержащей пять парамет-
параметров с% (которые могут зависеть от времени и координат). На
п-м шаге свободный член
f l--^-)(fohn-i)~Sn]/fo	B.9)
строится по предыдущим приближениям. Два упомянутых об-
обстоятельства связаны циклически таким образом, что пять усло-
условий ортогональности, налагаемых на /г-й свободный член, «опре-
«определяют» пять параметров, оставшихся неизвестными на (п—1)-м
шаге. Начало цикла возможно потому, что нулевое приближе-
приближение уже содержит пять свободных параметров (плотность, ком-
компоненты массовой скорости и температуру максвеллиана /о).
Посмотрим теперь, в каком смысле условия ортогональности
(IV.6.27) при g = gn определяют пять свободных параметров
Сп-\.
В силу B.7) и (П.6.40) Sn/f0 автоматически удовлетворяет
условиям ортргомальности и мы имеем
или
FJd| = 0 (п>0).	B.11)

	2, РАЗЛОЖЕНИЕ ГИЛЬБЕРТА	265
Так как инварианты столкновений зависят только от §, то при
подходящих условиях можно изменить порядок дифференциро-
дифференцирования и интегрирования и записать
^f+divj« = O (я>0, 0 = 0,1,2,3,4),	B.12)
где
Р2=$ФЛ*5. K=\^afndl	B-13)
представляют собой п-е члены разложений функций
ШЛ1	B.14)
в ряды по степеням е (любое разложение / в ряд влечет за со-
собой соответствующее разложение ее моментов \ l^lplff rf|).
Можно рассматривать ра как пятимерный (абстрактный)
вектор, а ]а (как C X 5) -матрицу; их компоненты выражаются
через физические величины, определенные в разд. 8 гл. II:
G2 V2 + ё)
(/,/=1,2,3; а = 0,1,2,3,4).	B.15)
Используя ра и ja, уравнения сохранения (П. 8.24) при Xi=.Q
можно записать в виде
J^ + divja = O (a = 0, I, 2, 3, 4).	B.16)
В результате условия совместности B.12) являются просто
п-ми членами разложения уравнений B.16). Однако уравнения,
полученные разложением, содержательнее уравнений B.16). Что-
Чтобы это показать, обратим внимание на то, что неизвестными
величинами в выражении для fn являются только пять коэффи-
коэффициентов cft линейной комбинации функций \|?а, добавляемой к
fohn\ где h{n e W (подпространство, ортогональное инвариан-
инвариантам столкновений) определяется однозначно через предыдущие
приближения; следовательно,
4
PS = \ \f,K] dl + Z cl \ %U% <&	B-! 7)
C = 0
Это равенство можно использовать для выражения с^ через р^
(легко показать, что определитель матрицы f f Wafo^prfl J J
отличен от нуля). Так как это справедливо для каждого п} все

266
V. МАЛЫЕ И БОЛЬШИЕ ДЛИНЫ СВОБОДНОГО ПРОБЕГА
коэффициенты с% выражаются через р?, т. е. неизвестными ве-
величинами в fn можно считать р?. Но это означает, что jjj также
выражаются через р?. Таким образом, мы нашли связь (в виде
разложений в ряды) между тензором напряжений и вектором
теплового потока, с одной стороны, и основными макроскопиче-
макроскопическими неизвестными (плотностью, скоростью, температурой или
внутренней энергией) — с другой. Отсюда следует, что данный
метод позволяет (по крайней мере формально) замкнуть систе-
систему уравнений сохранения и построить макроскопическую мо-
модель, основанную на понятиях плотности, скорости и температу-
температуры, по микроскопическому описанию, основанному на функции
распределения!
Чтобы лучше оценить ситуацию, рассмотрим уравнения со-
сохранения в виде
?a(p3)=Sa,	B.18)
где Еа (нелинейный) оператор Эйлера (такой, что ?а(рР)=О—
операторная запись уравнений движения невязкой жидкости) и
О
U
tPi ~~ pVi
B.19)
Разложив р3 в ряд по степеням е, получим
оо	оо
Е (рР) = Е (р0) + 2, е Ь
•Z
/г=1
B.20)
где подразумевается суммирование по повторяющимся грече-
грече0 4 ?Рй	р?
р
ским индексам от 0 до 4, а
р
оператор, зависящий от
и линейный, если р? считать известными; нелинейные выраже-
выражения E*(pl) содержат только р^ при k^n—\. После разложе-
разложения рР уравнение B.18) дает
?а(р06) = 0,	B.21)
?„вв = sa _ ?а' ,п>1. ?;« = 0|	B.22)
где
дх
о
(п(п)
и)
II
дх.
B.23)

2. РАЗЛОЖЕНИЕ ГИЛЬБЕРТА	267
a vf\ р{[*\ p(n) и q^ обозначают п-е члены степенных разложе-
разложений V{, Pij, p и qi соответственно. Равенство нулю свободного
члена в уравнении нулевого порядка B.21) обусловлено тем,
что /о — максвеллиан и, следовательно, имеет изотропный тен-
тензор напряжения и нулевой вектор теплового потока.
Теперь следует объяснить, почему S% рассматривались как
свободные члены. Имеем
4
С = S №п <* - $ ¦аУоАГ dl + ? < \ М>« Vo <& B.24)
C
Легко видеть (вычисляя в явном виде интегралы в B.17) и
B.24), не содержащие /?0)), что dp"/dt + div j" (п>1) можно
записать в виде суммы ?aCpf и слагаемого, зависящего только
от h{n и, следовательно, только от р? (k^.n—1). Таким обра-
образом, вклады я-го порядка в Sa выражаются через р? (k^.n— 1)
и на п-м шаге их можно считать известными.
Итак, в нулевом приближении мы должны решать обычные
уравнения для невязкой жидкости, а в следующих приближе-
приближениях— неоднородные линеаризованные уравнения для невязкой
жидкости.
Как было указано выше, основной результат метода Гиль-
Гильберта состоит в том, что если допустить возможность разложе-
разложения функции распределения в степенной ряд по числу Кнудсена,
то можно получить макроскопическое описание газа в терминах
плотности, массовой скорости и температуры. Это описание по
существу дается уравнениями невязкой жидкости, но содержит
поправки, вычисляемые путем решения линеаризованных урав-
уравнений. Необходимо отметить, однако, что мы действовали фор-
формально. Поэтому встает очевидный вопрос: когда допустимо
разложение Гильберта?
Чтобы ответить на этот вопрос, заметим, что разложение
Гильберта не дает равномерно пригодных решений. Это связано
с тем, что параметр е входит в уравнение Больцмана сингуляр-
сингулярным образом (полезно сравнить с неаналитическим характером
решений уравнения е df/dt -f- f = 0 при 8 = 0). Мы знаем также,
что в определенных ситуациях уравнения невязкой жидкости
нереалистичны и неприменимы; хуже того, регулярные методы
возмущений не позволяют исправить в следующих приближе-
приближениях неудовлетворительные свойства описания газа как невяз-
невязкой жидкости. Последняя трудность проявляется, в частности,
при изучении (вязких) пограничных слоев и заключительной
стадии эволюции в нестационарных задачах.

268	V. МАЛЫЕ И ВОЛЬШИЕ ДЛИНЫ СВОБОДНОГО ПРОБЕГА
Однако эти обстоятельства не мешают тому, чтобы оборван-
оборванное разложение Гильберта представляло решения уравнения
Больцмана с любой заданной точностью в подходящим, обра-
образом выбранных пространственно-временных областях (которые
будем называть нормальными областями) при условии, что рас-
сто51ния от известных сингулярных поверхностей конечны, а 8
достаточно мало. Действительно, если подставить оборванное
разложение Гильберта в уравнение Больцмана, то последнее
удовлетворится с ошибкой порядка еп; поэтому разложение
Гильберта можно использовать для аппроксимации определен-
определенных решений (нормальных решений) уравнения Больцмана,
причем ошибка будет сколь угодно малой для достаточно ма-
малого е (строгое доказательство с оценками существует в случае
линеаризованного уравнения Больцмана [3]).
Для того чтобы увидеть, что представляют собой эти нор-
нормальные решения, можно заметить, что упомянутый выше оста-
остаток порядка еп содержит производные по координатам порядка
п, поэтому для существования нормальных решений требуется
высокая степень гладкости. Это означает, что нормальные реше-
решения перестают быть справедливыми в тех пространственно-вре-
пространственно-временных областях, где профили плотности, скорости и темпера-
температуры становятся очень крутыми. Ясно, что к таким областям
относятся окрестности границ (пограничные слои), начальный
этап (начальный слой) и ударные волны (ударные слои). Пер-
Первые два типа слоев существуют также и для линеаризованного
уравнения Больцмана, что следует из (IV.6.9), где \х ~ г~1 и
(II.7.45), где %о~ г~1. Ударный слой —это область больших гра-
градиентов, возникающая внутри газового потока и обладающая
структурой, тесно связанной с нелинейностью уравнения Больц-
Больцмана.
В упомянутых выше слоях функция / заметно меняется на
расстоянии порядка средней длины свободного пробега, так что
df/dt или df/dx (или обе эти производные) являются величинами
порядка //е, в то время как в разложении Гильберта предпола-
предполагается, что производные от / по координатам и по времени имеют
тот же порядок, что и /. Существует еще одна область, где раз-
разложение Гильберта теряет силу: это «финальный слой», т. е.
эволюция в интервале времени порядка 1/е. В таком интервале
величина df/dt ~ е/ пренебрежимо мала по сравнению с /, а раз-
разложение становится неравномерным потому, что df/dx ~ f стре-
стремится стать величиной того же порядка, что и df/dt, в результате
чего в более высоких приближениях появляются вековые чле-
члены [4, 5].
Итак, проведенный анализ показывает, что нормальные ре-
решения аппроксимируют (для достаточно малых е) решения лю-
любых задач, если упомянутые слои исключены. Однако, чтобы

3. РАЗЛОЖЕНИЕ ЧЕПМЕНА —ЭНСКОГА	269
решить дифференциальные уравнения, которые, согласно мето-
методу Гильберта, определяют параметры течения ра, необходимо
дополнить их подходящими начальными данными, граничными
условиями или условиями сращивания на ударной волне, т. е.
нужно пройти через те области, где теория не имеет места. Оче-
Очевидно, для завершения теории необходимо решить три задачи
связи через слои, внутри которых разложение Гильберта теряет
силу. Эти задачи таковы.
A)	Установить связь между заданной начальной функцией
распределения и решением по Гильберту, справедливым после
начального переходного процесса.
B)	Установить связь между заданным граничным условием
для функции распределения и решением по Гильберту, справед-
справедливым вне пограничного слоя.
C)	Найти правильные условия сращивания решений по
Гильберту, существующих по обе стороны от ударного слоя.
Обзор современного состояния этих проблем будет дан
в разд. 5.
3. Разложение Чепмена — Энскога
Как было отмечено выше, решения уравнений сохранения
континуальной теории и решения уравнения Больцмана яв-
являются, вообще говоря, неаналитическими по некоторому пара-
параметру е, описывающему отклонение от уравнений невязкой жид-
жидкости. Таким параметром могут быть коэффициенты вязкости и
теплопроводности в теории сплошной среды и средняя длина
свободного пробега в кинетической теории. В связи с этим раз-
разложения в ряды по степеням е не дают равномерно пригодных
решений для задач с начальными и граничными условиями. Од-
Однако некоторые трудности можно преодолеть, если вместо раз-
разложения решений использовать разложение самих уравнений,
как это делается в так называемом разложении Чепмена — Эн-
Энскога. Чтобы понять это утверждение, заметим, что, умножив
уравнения B.22) на еп, просуммировав от 1 до оо и сложив ре-
результат с B.21), мы получим
6	C.1)
где Sa(pP) — такой же член типа источника, как и в уравнении
B.18), но теперь он представляет собой нелинейный оператор,
действующий на рР, в то время как Еа — нелинейный оператор
Эйлера (была использована формула B.20)). Оператор Sa стре-
стремится к нулю вместе с е, он известен пока лишь в случае, когда

270	V. МАЛЫЕ И БОЛЬШИЕ ДЛИНЫ СВОБОДНОГО ПРОБЕГА
величины рР разложены в степенные ряды по 8 (это основной
результат разложения Гильберта). Однако можно предполо-
предположить, что Sa существует (хотя бы в асимптотическом смысле
при е->0) и тогда, когда рР не раскладываются. Действитель-
Действительно, разложение Гильберта не дает равномерно пригодных ре-
решений, но, как было указано в разд. 2, оно дает верные реше-
решения, если ограничиться нормальными областями; следователь-
следовательно, Sa существует почти всюду (хотя бы в асимптотическом
смысле при е-> 0).
Можно считать, что S® содержит только производные по
координатам и не содержит производных по времени, так как
последние всегда можно исключить из B.6), заметив, что ве-
величины /n_i = /о^п-1 зависят от координат и времени только че-
через р? (&</г—1), а производные по времени от р? выражают-
выражаются через производные по координатам (см. формулу B.12)).
В соответствии с этим можно считать, что входящий в C.1)
оператор Sa действует только на зависимость величин рР от ко-
координат.
Идея метода Чепмена — Энскога [6—8] состоит в том, чтобы
разложить Sa, оставляя величины рР неразложенными, т. е.
предполагается, что, хотя зависимость рР от е во многих слу-
случаях оказывается неаналитической при 8 = 0, оператор Sa ана-
литичен по е (или по крайней мере представляется асимптоти-
асимптотическим разложением по степеням е) при 8 = 0. Это предполо-
предположение отнюдь не противоречиво, так как, например, уравнения
Навье — Стокса аналитически (линейно) зависят от коэффи-
коэффициентов вязкости и теплопроводности, но у них есть решения,
которые в общем случае нельзя разложить по степеням этих
параметров. Чтобы формализовать эту идею и превратить ее
в алгоритм, заметим, что уравнение C.1) можно записать
в виде
дрР/й = Яв(р°),	C.2)
где D$ — нелинейный оператор, действующий на пространствен-
пространственную зависимость величины ра и полученный вычитанием из
Sa(pP) производных по координатам в ?4 Ясно, что разложе-
разложению Sa соответствует разложение Dp:
D^Ze^'	C.3)
где D\P — нелинейные операторы, подлежащие определению
данным методом; в частности, D^ будет состоять из производ-
производных по координатам, входящих в Еа$ (с обратным знаком).
Разложение Dp означает, что рассматривается эволюция рр во
времени, обусловленная процессами, которые характеризуются
величинами различных порядков по 8.

3. РАЗЛОЖЕНИЕ ЧЕПМЕНА - ЭНСКОГА	271
Наше разложение по существу равносильно перегруппировке
разложения Гильберта в соответствии с новым критерием. По-
Поэтому мы должны сохранить основной результат разложения
Гильберта, являющийся необходимым условием построения зам-
замкнутой макроскопической теории из уравнения Больцмана, а
именно то, что функция распределения зависит от времени и
координат только через функциональную зависимость от ра.
Иначе говоря, мы имеем
V = У df д (V V)	C4)
dt ?od(vy) dt
где V/l обозначает производные k-то порядка по координатам.
В силу уравнения C.2),
^¦V*pe = V*Dp(p»),	C.5)
так что разложение D$ в C.3) означает и разложение опера-
оператора, описывающего изменение / во времени. Формально это
можно записать в виде
я-0
где dWf/dt — просто вклад в df/dt от D&n) в соответствии с фор-
формулами C.3) — C.5). В методе Чепмена — Энскога неизвестными
являются выражения для операторов d^jdt (или, что то же
самое, D^) и зависимость / от ра.
Как было отмечено выше, величины ра остаются неразложен-
ными; однако надо разложить /, если мы хотим избежать три-
тривиальных результатов. Чтобы согласовать эти два требования,
запишем просто
со
/=Ее7„	C.7)
0
afndl = 0 (n=l,... ; а = 0, 1, 2, 3, 4).	C.8)
Отсюда следует, что / как функция от х, §, t не есть разложение
в ряд по степеням е; в самом деле, коэффициенты fn зависят от
е сложным образом. Однако зависимость fn от е осуществляется
только через ра, и это определяет алгоритм полностью, так как
означает, что f как функционал от ра раскладывается в степен-
степенной ряд по е. Подставив теперь C.6) и C.7) в уравнение B.1),

272	V. МАЛЫЕ И БОЛЬШИЕ ДЛИНЫ СВОБОДНОГО ПРОБЕГА
получим
Qo = O,	C.9)
n («=1,2,...), (ЗЛО)
где обозначения те же, что и в разд. 2 (см. формулы B.6) —
B.8)).
Из уравнения C.9) следует, что /о— снова максвеллиан. Од-
Однако данный метод существенно отличается от метода Гильбер-
Гильберта, ибо параметры газа (плотность, скорость, температура), вхо-
входящие в этот максвеллиан, являются теперь точными (неразло-
женными), в то время как в методе Гильберта функция распре-
распределения нулевого порядка содержит только нулевые приближе-
приближения параметров газа.
Уравнения C.9) снова записываются в общей форме
(IV. 6.26), рассмотренной в разд. 6 гл. IV. Условия ортогональ-
ортогональности (IV. 6.27) здесь принимают вид
=0 (л = 0, 1, ...). C.11)
Но теперь в нашем распоряжении нет свободных параметров,
так как из C.8) следует, что hn e W (п ^ 1), т. е. hn (n7^ I)
определяется единственным образом как функция от § и как
функционал от ра.
Из C.8) вытекает также, что все интегралы, стоящие под
знаком суммы в C.11), обращаются в нуль, кроме одного, рав-
равного просто ра. Итак,
О Р , ,,_. П е... г ^Л=о (/2 = 0, 1 .. .).	C.12)
dt ' U1
Удовлетворить этим условиям совместности — значит решить
нашу задачу и найти d{n)pa/dt (или Z)^)* Действительно, как
только решено м-е уравнение цепочки C.10), из уравнения C.12)
сразу находится явное выражение D{a через производные от
ра по координатам.
Основной результат разложения Чепмена — Энскога состоит
в том, что N-e приближение для макроскопических уравнений
можно записать в виде
Г. /Д \ 
^\п lrfH=:0,	C.13)
71 = 0	^	-*
где fn — функционалы от ра и функции от |, известные в явном
виде из предыдущих приближений. Главное отличие от метода

3. РАЗЛОЖЕНИЕ ЧЕПМЕНА ~ ЭНСКОГА	273
Гильберта, основанного на нелинейном уравнении нулевого по-
порядка и линейных уравнениях для вычисления поправок более
высоких порядков, заключается в том, что теперь мы выбираем
фиксированное N и строим решение в этом приближении; для
получения решения более высокого порядка нужно решить со-
совершенно новую, более сложную систему нелинейных уравнений.
На нулевом уровне мы снова имеем уравнения невязкого
газа, поскольку /о остается максвелловской. Чтобы выяснить,
что происходит на следующем уровне, запишем уравнение C.10)
для п = 1:
1 ( д™ . t д \ . 1 ( с2 3\/<?@)	д
V\~dT + h ~дГ{) р + Т\JW ~ TJ [~дГ + ^1х~
Здесь использован явный вид f0 и, как обычно, с==| — v.
Уравнение C.12) теперь дает (п = 0)
C.15)
д{0)Т	дТ 2 dvf
dt	"l дх{ 3 дх.
Подставляя эти соотношения в C.14), получаем
v.
= L^ (ЗЛ6)
Это уравнение можно использовать для вычисления вели-
величины h\ или, что эквивалентно, величины f\ = fQhu которая тре-
требуется для записи в явном виде уравнения C.13) при N = I.
Уравнение C.16) нужно решать в пространстве W, ибо как ле-
левая часть, так и h\ принадлежат W. Поскольку L имеет обрат-
обратный оператор L~l в W, можно записать
= Г (ctch - jc%k)~^-
C.17)
где функции А (с; Т) и В (с; Т) определяются формулами
9~1А{с; 7)^0,-4^%,) = ^ (с1С1-Ч.сЧи),

274	V. МАЛЫЕ И БОЛЬШИЕ ДЛИНЫ СВОБОДНОГО ПРОБЕГА
Эти функции уже рассматривались в разд. 9 гл. IV, где зави-
зависимость от Г(= Го) не была выделена явно. Функция foh\ дает
следующие вклады в тензор напряжений и тепловой поток:
dv. d
дТ
где [х и к даются выражениями (IV. 7.66) и (IV. 7.67) с Т вместо
То. Таким образом, первые два члена (п — О, 1) разложения
Чепмена — Энскога приводят к макроскопической модели типа
Навье — Стокса с коэффициентами переноса, зависящими толь-
только от температуры и молекулярных констант (см. замечания
в разд. 7 гл. IV).
Вопрос о практическом вычислении \х и к (через А(с\Т) и
В(с\Т), которые, согласно C.18), появляются в (IV. 7.66) и
(IV. 7.67)) для конкретных молекулярных моделей всесторонне
изучен [8—10], и мы не будем его подробно рассматривать. За-
Заметим только, что, согласно C.18), задача о вычислении А (с; Т)
сводится к решению уравнения (IV. 6.26) для заданного поли-
полинома g <= W (и h <= W). Метод решения такого уравнения осно-
основан на разложении h в ряд по собственным функциям максвел-
ловских молекул gnim 0= 1, 2; 0^/г^оо); этот метод три-
тривиально точен, если мы имеем дело с максвелловскими молеку-
молекулами, для которых А(с;Т) = А{Т), В (с; Т) = В (Т) (с2 — 5RT),
где А(Т) и В (Т) не зависят от с.
Другой метод основан на применении вариационного прин-
принципа, рассмотренного в конце разд. 6 гл. IV. Берется пробная
функция Я, содержащая несколько параметров, которые подби-
подбираются так, чтобы минимизировать функционал /(Я) в
(IV. 6.28); в результате получается аппроксимация для h. Цен-
Ценность метода повышается тем обстоятельством, что значение
/(Я) при Я = h можно связать с коэффициентами переноса; дей-
действительно, из (IV. 6.28) при h = h (так что Lh = g) находим
р-'А^; Т) с{с2)=^ fQc{c2L~l (c{c2) dc = ixf
C.20)
/ [сф~1В (с; Т)} - (Cl (С2 _ 5ЯГ), р-1с{В (с; Т)) =
= - ^ foCiC2L~{ [с{ (с2 - 5RT)] dc = ART\ C.21)
где использованы соотношения (IV. 7.66) и (IV. 7.67) (с § = с
и Т0=Т). Благодаря этому относительная ошибка, скажем по-
порядка б, при аппроксимации h функцией Я влечет за собой от-
относительную ошибку порядка б2 в ji и ц.

4. ОБСУЖДЕНИЕ МЕТОДА ЧЕПМЕНА - ЭНСКОГА	275
Итак, основной результат теории Чепмена — Энскога состоит
в том, что можно вернуться к макроскопическому описанию
Навье— Стокса—Фурье, надлежащим образом разложив со-
соответствующие решения уравнения Больцмана. При этом пре-
преодолеваются некоторые из многочисленных неравномерностей
разложения Гильберта; вязкие пограничные слои (толщиной по-
порядка е1/з) и финальный слой (порядка е) описываются еди-
единым образом вместе с нормальными областями, однако началь-
начальный и кнудсеновский слой толщиной порядка е все еще не
охватываются. Теория Чепмена — Энскога просто учитывает су-
существование режимов с ^(ет)^! (где т и d — характерные
время и длина; т можно заменить некоторой длиной, отличной
от d).
Таким образом, можно ожидать, что теория Чепмена — Эн-
Энскога гораздо точнее теории Гильберта. Однако, если рассмат-
рассматривать высшие приближения метода Чепмена — Энскога, то бу-
будут получаться дифференциальные уравнения все более высокого
порядка (так называемые барнетовские и супербарнетовские
уравнения), относительно которых ничего не известно, нет даже
надлежащих граничных условий. Эти уравнения никогда не при-
приводили к сколько-нибудь заметным успехам при описании от-
отклонений от модели Навье — Стокса.
4. Обсуждение метода Чепмена — Энскога
Как было указано в конце предыдущего раздела, большим
преимуществом метода Чепмена — Энскога является то, что он
приводит непосредственно к уравнениям Навье —Стокса —
Фурье для вязкой сжимаемой жидкости. Но плохо то, что он
ведет к уравнениям более высоких порядков, статус которых не-
неясен, а практическая ценность ничтожна. Это происходит по-
потому, что, согласно C.6), допускаются режимы не только с
^(ет)"^!, но также и с dn+l (епх)~1 ^ I (п^2). В резуль-
результате «финальный слой» описывается слишком подробно (физи-
(физически неуместно), и к тому же учитываются пограничные слои
(возможно, несуществующие) порядка еп/(п+1> (я ^2). Практи-
Практически мы усложняем уравнения либо не относящимися к делу,
либо несуществующими подробностями.
Тот факт, что разложение Чепмена — Энскога может вносить
решения, которые просто не существуют, не является странным.
Действительно в методе Чепмена — Энскога оператор 5а(р^)
(существование которого доказано, по крайней мере асимпто-
асимптотически при е->0 с помощью разложения Гильберта) разла-
разлагается в ряд по дифференциальным операторам, несмотря на то
что о свойствах Sa(pP) ничего не известно. Такая процедура не

276	У. МАЛЫЕ И БОЛЬШИЕ ДЛИНЫ СВОБОДНОГО ПРОБЕГА
вызывает возражений (если вопросы сходимости не рассматри-
рассматриваются, а разложения понимаются только в асимптотическом
смысле), когда получающиеся уравнения применяются для ре-
решения задач с чисто начальными данными в бесконечном про-
пространстве (ибо тогда можно сказать, что Sa(pP) действует на
заданные функции), но она становится в значительной мере не-
неудовлетворительной в случае граничных задач, так как тогда
необходимо определять рР путем «обращения Sa». Последняя
операция может приводить к посторонним решениям, которые
должны исключаться с помощью надлежащих граничных усло-
условий. В качестве иллюстрации рассмотрим оператор Де, опреде-
определенный так:
Дв/ = /(* + е)-/(*),	D.1)
и уравнение
Дв/ = 0.	D.2)
Оператор А8 допускает разложение в ряд
д	е2 д2	еп дп
которое даже сходится, если применяется к достаточно гладким
функциям от х (аналитическим функциям). Обрывая разложе-
разложение на первом шаге, из уравнения D.2) получаем
в 1-0,	D.4)
а обрывая на втором шаге —
Уравнение D.4) имеет общее решение / = const, удовлетворяю-
удовлетворяющее также уравнению D.2). Общее решение уравнения D.5),
/ = А + В ехр Bx1 г), удовлетворяет уравнению D.2) только при
В = 0. Это означает, что разложение «Чепмена — Энскога»
внесло посторонние решения. Заметим, что помимо / = const
уравнение D.2) имеет и другие решения, а именно все перио-
периодические функции с периодом е. Однако эти функции изме-
изменяются настолько быстро (при малых е), что их нельзя полу-
получить разложением в ряд по степеням е. Разложение типа Гиль-
Гильберта для уравнения D.2) (/ разлагается по степеням 8 вместе
с Де) также дает / = const, но без дополнительных решений
(любого порядка).
Заметим еще, что решение «Чепмена — Энскога» первого по-
порядка содержит член (посторонний), который изменяется на
масштабе порядка е, т. е. таком же, что и отброшенные реше-
решения. Аналогичные явления наблюдаются при изучении членов

4. ОБСУЖДЕНИЕ МЕТОДА ЧЕПМЕНА - ЭНСКОГА	277
более высокого порядка в разложениях Чепмена — Энскога ре-
решения уравнения Больцмана.
Чтобы отсечь посторонние решения, нужно иметь граничные
условия, способные их выделять. Хотя и возможно приступить
к поискам таких условий, по-видимому, довольно неестественно
строить граничные условия с целью исключения большого клас-
класса решений без всякой связи с физическими задачами. Более
естественно, пожалуй, пользоваться системой уравнений, которая
не имеет лишних решений. Такие уравнения получаются путем
иного упорядочения членов в разложениях. Эту перегруппировку
можно сделать апостериори, переразлагая решение уравнений
Чепмена — Энскога по степеням средней длины свободного про-
пробега и сохраняя решение Навье — Стокса в качестве главного
члена. Однако удобнее выполнить перегруппировку априори, как
было предложено в частном случае Триллингом [13], а в общем
случае Трэдом [14] и Черчиньяни [15, 16]. Простой и общий ме-
метод, указанный автором [16], основан на следующем расщепле-
расщеплении производной по времени:
в то время как / разлагается в ряд
/=Ее7„.	D.7)
/г=0
Наличие второго члена в D.6) налагает ограничение на раз-
разложение /. Если учесть, что разбиение D.6) основано на взаи-
взаимодействии между членами п-го и (п + 1)-го порядков по е, то
проще всего предположить, что члены нечетных порядков не
дают вклада в параметры течения, т. е. что
afndl = 0 (n=l, 3, 5, ...).	D.8)
Ясно, что такое разложение только частный пример из бес-
бесконечного множества подобных разложений. Наиболее общее
разложение основано на усеченном разложении производных по
времени (разложение C.6), оборванное на п = N) и определен-
определенных условиях, регулирующих вклады различных порядков в па-
параметры течения (соотношение C.8) для п Ф (N -\- 1)&, k = 1,
2, 3, ...). Разложение Гильберта соответствует N = 0, а разло-
разложение Чепмена — Энскога — N — оо; только что описанный ча-
частный пример соответствует N —I.
Этот частный выбор диктуется информацией, имеющейся на
макроскопическом уровне описания, и к нему ведет также срав-
сравнение с результатами гл. IV. Там (разд. 7 и 11) мы обнару-
обнаружили, что решение стационарной задачи, линеаризованной около

278	V. МАЛЫЕ И БОЛЬШИЕ ДЛИНЫ СВОБОДНОГО ПРОБЕГА
максвеллиана с нулевой массовой скоростью, состоит из двух
частей, одна из которых hA по существу эквивалентна решению
Чепмена — Энскога с переменными, удовлетворяющими уравне-
уравнениям Навье — Стокса — Фурье, а другая hB содержит показа-
показательные функции, такие, как ехр(—х/г) (напомним, что Яо —е),
и, следовательно, не разлагается в степенной ряд по е. Взяв
N = I, т. е. выбрав для вычисления f уравнения D.6) — D.8),
можно быть уверенным в том, что по крайней мере для стацио-
стационарных линеаризованных течений мы сохраняем все необходи-
необходимые члены и отбрасываем все посторонние решения. Интересно
заметить, что разложение Гильберта дает тот же результат в
применении к частному случаю стационарных течений [14], ли-
линеаризованных около максвеллиана с нулевой массовой ско-
скоростью.
Все эти разложения, будучи оборванными, удовлетворяют
уравнению Больцмана с ошибкой &nRn(x, |, t\ e), которая фор-
формально имеет порядок &п. Для разложения Гильберта Rn не за-
зависит от е, но растет алгебраически как tn в задачах, зависящих
от времени (из-за вековых членов). Следовательно, разложение
Гильберта является асимптотическим только на ограниченном
интервале времени U<t < tx. Оценок остаточных членов раз-
разложения Чепмена — Энскога в приближениях, следующих за
приближением Навье — Стокса, конечно, не существует. Мето-
Методика, определяемая соотношениями D.6) —D.8), дает остаточ-
остаточный член, который убывает при больших t для любого п> 1;
поэтому соответствующее разложение превосходит ряд Гиль-
Гильберта по области применимости, а ряд Чепмена — Энскога — по
отсутствию лишних решений и приводит к известной системе
дифференциальных уравнений в частных производных.
Закончим этот раздел замечаниями по поводу часто зада-
задаваемого вопроса: сходится ли разложение Чепмена — Энскога?
В общем случае этот вопрос весьма труден, но в случае линеа-
линеаризованного уравнения Больцмана все же можно получить не-
некоторые результаты. В связи с этим отметим, что как линеари-
линеаризация уравнения Больцмана, так и разложение Чепмена — Эн-
Энскога являются результатом соответствующих методов теории
возмущений, примененных к уравнению Больцмана.
Эти два метода в своей основе различны, поскольку пара-
параметры разложения совершенно разные: отклонение начальных
и граничных распределений от однородного распределения в
случае линеаризации и отношение средней длины или среднего
времени свободного пробега к другим характерным длинам или
временам в случае разложения Чепмена — Энскога. Таким об-
образом, локальные градиенты в последнем случае и глобальные
разности в первом должны быть малы. Ясно, что, если реали-
реализуются оба обстоятельства, то метод Чепмена — Энскога можно

б. НАЧАЛЬНЫЕ, ГРАНИЧНЫЕ И УДАРНЫЕ СЛОИ	279
применять к линеаризованному уравнению Больцмана. Одна из
главных причин для такого шага состоит в том, что ответы на
некоторые вопросы, относящиеся к линеаризованному случаю,
помогут лучше разобраться в более сложном нелинейном слу-
случае.
Как мы знаем, теория Чепмена — Энскога в значительной
мере заключается в разложении оператора; поэтому сходимость
имеет смысл только по отношению к определенному классу
функций, на которые действует этот оператор. В случае линеа-
линеаризованного уравнения Больцмана легко указать нормальные
решения, разложения которых сходятся тривиальным образом,
так как содержат только конечное число членов. Такова, напри-
например, асимптотическая часть hA общего решения одномерных
задач (IV. 7.44).
Для исследования менее тривиальных случаев рассмотрим
решения с разделенными переменными, которые обсуждались в
разд. 8 гл. IV. Если такое решение записано в форме (IV. 8.1),
то ясно, что ряд Чепмена — Энскога будет сходиться или нет
в зависимости от того, сходится или нет разложение со = со (к)
(со@) = 0) в ряд по степеням |к|. Согласно результатам разд. 8
гл. IV, можно утверждать, что сходимость имеет место для
твердых сфер, если |к| достаточно мал, и предполагать, что
сходимость отсутствует для потенциалов с обрезанием по углу.
Можно также предполагать, что для твердых сфер радиус схо-
сходимости по |к| не бесконечен. Сходимость для |к| < е0, оче-
очевидно, означает сходимость разложения Чепмена — Энскога для
очень ограниченного типа зависимости от координат; все произ-
производные от параметров течения должны быть равномерно огра-
ограничены по порядку величины, а это значит, что они являются
не только аналитическими, но также и целыми функциями.
5. Начальные, граничные и ударные слои
В разд. 2 уже было указано, что теория Гильберта неполна.
Чтобысделать ее полной, нужно решить три задачи связи отно-
относительно начальных, граничных и ударных слоев. Те же задачи
связи возникают и при разложении Чепмена — Энскога, а также
и при модифицированном разложении, предложенном в разд. 4.
Прежде всего рассмотрим задачу о начальном слое, следуя
работе Грэда [3]. В полной теории должна рассматриваться
связь упомянутых выше разложений с произвольными началь-
начальными данными; но такая теория включала бы в себя решение
нелинейного уравнения Больцмана и была бы совершенно не-
непрактична. Однако, если принять во внимание характер рядоЕ
Гильберта, то можно ограничиться сращиванием с начальными

280	V. МАЛЫЕ И БОЛЬШИЕ ДЛИНЫ СВОБОДНОГО ПРОБЕГА
функциями того же типа, что и решение, т. е. брать функции,
которые сводятся к максвелловской при е->0. Итак, начальную
функцию f будем считать произвольной в рамках условия, что
она представима в виде fM + е/лг, где /м — максвеллиан.
Чтобы начальный слой имел конечную продолжительность,
изменим масштаб времени, введя
x = t/e.	E.1)
Будем искать решения уравнения Больцмана B.1) в виде
где главный член fn = /я(х, §, t\ e) соответствует разложению
Гильберта, а «остаток» fR допускает разложение
e/*=X>+'fJ?Ol+I)(x,&, *)•	(б.З)
Добавочный множитель е появляется из-за сделанного выше
предположения о допустимых начальных состояниях. Заметим,
что, поскольку t = ет, разложение Гильберта для fn уже не яв-
является степенным рядом по е, так что нужно провести перераз-
переразложение
оо
где главный член /що)—это не зависящий от времени локаль-
локальный максвеллиан. Заметим также, что при t = т = 0 разложе-
разложение E.4) совпадает с первоначальным разложением Гильберта.
Разложение Гильберта формально удовлетворяет уравнению
Больцмана, поэтому подстановка E.2) в B.1) дает
др	л?
, fR).	E.5)
Подставляя разложения E.3) и E.4) в E.5), находим
dgJdx = Lgn + Gn,	E.6)
где
ff	(>1)
? д/?(/г-0
n-l
+ Q(f«(*+,„ /.(.-,))] /яи, ¦ E.7)
Линеаризованный оператор столкновений L основан на макс-
веллиане 1щоь поэтому его собственные значения и собственные
функции зависят от координат, но не от времени. Поскольку f

Б. НАЧАЛЬНЫЕ, ГРАНИЧНЫЕ И УДАРНЫЕ СЛОИ	281
вида E.2) должна удовлетворять начальным условиям, то /щ)
есть не что иное, как максвеллиан /м, входящий в начальные
данные. Этот факт полностью определяет L. Разложим теперь
начальную функцию f по степеням е:
f=fe"L	E.8)
и потребуем почленного удовлетворения начальных условий
Проектируя E.6) на пространство ^Г, натянутое на инварианты
столкновений, получаем
"^ = S ^Я тО»«=- J *а6 • ^f^ d%,	E.10)
где р,ад)— вклад в ра от п-го члена, разложения остатка fR,ny
Уравнение E.10) дает
Р?«) (*¦ т) = Р^ (х, 0) - J rft J фа| • -%=^ dg. E.11)
о
Пусть р^ — вклад п-го порядка в начальное значение ра вели-
величины ра; разумеется, этот вклад можно определить из началь-
начальной функции ]. Тогда
Р?(х. 0) + р«п)(х, О) = р»(х).	F.12)
Было бы неточным положить p(art)(x, 0) = 0 и таким образом
приписать величине р^ истинное начальное значение р"(х). Дей-
Действительно, разложение Гильберта становится справедливым по
прохождении нескольких средних времен свободного пробега и
бессмысленно добиваться совпадения точного и асимптотиче-
асимптотического решений при t = 0. Вместо этого нужно потребовать,
чтобы при больших значениях времени полное решение / отли-
отличалось от /я на пренебрежимо малую величину (см. рис. 26, где
опущена зависимость от х и |). В частности, вклад остатка
р<* (х, t) в параметры течения должен стремиться к нулю при
оо; этого легко достичь, используя E.11) и полагая
p»rt) (х, 0) = J dx \ ф„|. Ы?~1) dl.	F.13)
6
Подставляя E.13) в E.12), получаем начальные условия для
уравнений Гильберта:
оо
91 (х, 0) = р» - \ dx \ фа|

282
V. МАЛЫЕ It БОЛЬШИЕ ДЛИНЫ СВОБОДНОГО ПРОБЕГА
Рис. 26. К правильному выбору начальных данных для решения Гильберта.
1 — начальные данные для разложения Гильберта, 2 — истинные начальные
данные, «5 — решение Гильберта, 4 — полное решение, 5 — решение Гиль-
Гильберта с неуточненными начальными данными.
Эти условия включают в себя как физические данные ра
так и вклад от решения [щп~1) на предыдущем шаге. Можно про-
проверить, что интегральный член не дает вклада в начальные дан-
данные первого порядка, и поэтому первая поправка имеет поря-
порядок е2. В этом приближении нет поправки к начальной плот-
плотности, а уточненные начальные условия для скорости и тем-
температуры принимают вид [3]
v(x, 0) = v — a [div (a'grad v)
T (x, 0) = f - b div {b' grad F),
73grad(a' divv)]>
E.15)
где v и Т — физические начальные данные для скорости и тем-
температуры соответственно, а коэффициенты а, а'у b и br — вели-
величины порядка средней длины свободного пробега. Эти коэффи-
коэффициенты можно вычислить точно для максвелловских молекул;
получается [3]
аа' — /2К ЬЬГ = 15/2/ Dл),	E.16)
где / — средняя длина свободного пробега, определенная выра-
выражением A.3).
Приведенные результаты показывают, что этот прямолиней-
прямолинейный подход, основанный на предположении р? (х, 0) = ра(х), по
существу является точным на уровне уравнений Эйлера и
Навье — Стокса; он не достаточен на уровне уравнений Барнета,
однако практическая ценность этих уравнений весьма мала. Это
означает, что разложение типа Гильберта корректно описывает

Б. НАЧАЛЬНЫЕ, ГРАНИЧНЫЕ И УДАРНЫЕ СЛОИ	283
(X2=const
=const
Рис. 27. Система координат для исследования кинетического слоя.
начальный слой, за исключением (обычно пренебрежимо малых)
членов порядка s2 (начальное скольжение).
Для пограничных слоев возникает ситуация, в принципе ана-
аналогичная описанной выше, но практически существенно отли-
отличающаяся от нее. Мы уже знаем, что в разложении Гильберта
совершенно не представлены не только кинетические, но также
и вязкие пограничные слои; последние учитываются методом
Чепмена — Энскога и методом, кратко описанным в разд. 4. Но
кинетические слои порядка е отсутствуют во всех существующих
разложениях по степеням е; чтобы учесть их, нужно использо-
использовать «растянутую» переменную X = х/&, аналогичную перемен-
переменной т, использованной ранее для начального слоя.
Рассмотрим граничные поверхности, радиус кривизны кото-
которых велик по сравнению со средней длиной свободного пробега,
и граничные условия, которые меняются медленно вдоль гра-
границы (в масштабе средней длины свободного пробега) и во вре-
времени (в масштабе среднего времени свободного пробега). Если
эти условия не удовлетворяются, то анализ усложняется и за-
задача из одномерной превращается в двух- или трехмерную (по
координатам). Примем также, что отклонение распределения от
максвелловского вблизи границы остается величиной порядка е;
это полностью аналогично случаю начального слоя.
При этих предположениях в окрестности границы удобно вве-
ввести следующую систему криволинейных координат (см. рис. 27).
Возьмем две координаты a* (i = 1, 2) на поверхности S, огра-
ограничивающей область течения. Затем через каждую точку х про-
проведем прямую, соединяющую х с точкой хоеЕ, ближайшей к х
(очевидно, эта прямая представляет собой нормаль к 2). На-
Наконец, в качестве координат точки х выберем расстояние х ио

284	V. МАЛЫЕ И БОЛЬШИЕ ДЛИНЫ СВОБОДНОГО ПРОБЕГА
нормали от х0 и координаты а* (/= 1, 2) точки х0. Если п —
единичный вектор нормали в точке х0, то
Xj — XOj -f- Xflj {]— 1, Z, Oj.	[0.11)
Из параметрических уравнений поверхности (xOj = xOj(a\, аг),
/ = 1,2,3) можно найти dai/dxh (i =1,2; k= 1,2,3) и nh как
функции от сбг и, значит, записать E.17) в виде Xj = Xj(x, at).
Таким образом,
f = fc(BX, aiy |, t\ e) + efR(X, a,, |, t\ e) (Х = ф). E.18)
Главный член /с определяется разложением Чепмена — Эн-
скога (или любым разложением, способным описывать вязкий
слой), а /я удовлетворяет уравнению
E.19)
Если теперь провести разложения, как и выше (меняя ро-
ролями X и т), то основным уравнением будет
|-n^f=Lgm + Gm	(m>l),	E.20)
где
E.21)
Решить уравнение E.20) значительно труднее, чем анало-
аналогичное уравнение E.6) (сравн. разд. 6 и 7 гл. IV); в частности,
проектирование E.20) на ЗГ не дает уравнений для параметров
течения Р(*т)>так как множитель |-п связывает такие параметры
со всей функцией распределения. Поэтому мы не можем напи-
написать уравнения, подобные E.14), до тех пор пока не разрабо-
разработана теория решения уравнения E.20). Качественно это было
сделано в разд. 7 гл. IV, но количественные результаты нелегко
получить даже для максвелловских молекул. Такую теорию
можно частично построить для модельных уравнений (см.
гл. VI). Кроме того, решение зависит от граничных условий, ко-
которые, согласно результатам гл. III, гораздо сложнее начальных
условий.

5. НАЧАЛЬНЫЕ, ГРАНИЧНЫЕ И УДАРНЫЕ СЛОИ	285
Рассмотрим члены первого порядка более подробно. Для
п = 1 уравнение E.20) принимает вид (/>@) = 0 по аналогии
с E.3))
l-n^- = Lgu	E.22)
т. е. совпадает с одномерным стационарным линеаризованным
уравнением Больцмана, исследованным в разд. 7 гл. IV (урав-
(уравнение G.1) при gi = |'n, x\ = X). В силу наших предположе-
предположений L представляет собой оператор столкновений, линеаризо-
линеаризованный около максвеллиана стенки fw при соответствующей
плотности. По аналогии с E.9) (для п = \) имеем
|/-п>0
d-n>0, X = 0), E.23)
где
/* (О = /«{А • (S A n) + BuL-{ (Ui - 7з6?в//) + С (f - 5RTW) +
+ D-L-1(Sb2 + 5/?ra,])};	E.24)
при этом скорость стенки и^ считается равной нулю (в проти-
противоположном случае § нужно заменить на | — иад), Г^ — темпера-
температура стенки и
dvJdxj
A = v/(RTW\	^
c=rT~Tw
W
T~Tw p = дТ/дх
Здесь v, Г, dv/дх, дТ/дх — скорость, температура и их производ-
производные у стенки. Постоянные А и С появляются из-за переразло-
переразложения решения Чепмена — Энскога нулевого порядка около
максвеллиана стенки. Остаток /С(п содержит члены первого по-
порядка разложения Чепмена — Энскога, вычисленные на стенке.
Рассуждая так же, как в случае начального слоя, заклю-
заключаем, что g\ должна стремиться к нулю при Аг->оо; значит, в
общем решении (IV. 7.4) следует положить Аа = 0, Ва = 0,
Ах=0 для X > 0. В уравнение E.23) входит только комбина-
комбинация fC(\) + fwg\. Таким образом, для того чтобы удовлетворить
граничным условиям при X = 0, мы располагаем функцией Ак
и постоянными A, Bij, С и D. Судя по тому, что известно для
частных случаев (см. разд. 3 гл. VI) и из общих теорем (см.
разд. 4 гл. VIII, ссылки [38—40]) должно быть достаточно по-
постоянных А, С и функции Лх; поэтому уравнение E.23) приво-
приводит к трем скалярным соотношениям между v, Г, dv/dx,
дТ/дх, а не к полному определению постоянных. Вследствие

286	V. МАЛЫЕ И БОЛЬШИЕ ДЛИНЫ СВОБОДНОГО ПРОБЕГА
инвариантности уравнений и граничных условий по отношению к
поворотам в касательной плоскости эти соотношения должны
иметь вид
где v, Г— соответственно скорость и температура границы; ?,
ю, т> X — коэффициенты, имеющие порядок средней длины сво-
свободного пробега, V/= v — n(n-v) и д/дп = п • д/дх. В частности,
? характеризует меру стремления газа к скольжению над твер-
твердой стенкой при наличии градиента скорости и называется коэф-
коэффициентом скольжения; т характеризует тенденцию отклонения
температуры газа от температуры стенки и называется коэффи-
коэффициентом температурного скачка. Коэффициенты ?, со, т были вы-
вычислены при помощи кинетических моделей для полностью диф-
диффузного отражения от стенки. В этом случае уравнение E.23)
сводится к следующему:
fc A) + fwgi = 0 (I • n > О, X = 0),	E.27)
так что если известны так называемые полупространственные
соотношения ортогональности (см. разд. 3 гл. VI), то задача ре-
решается явно. В противном случае можно применить вариацион-
вариационный метод, описанный в разд. 10 и 12 гл. IV, или решить чис-
численно соответствующую систему интегральных уравнений (см.
разд. 12 гл. IV). Все эти методы уже использовались [17—30].
Для нескольких моделей коэффициент скольжения был вычис-
вычислен с особой точностью; для БГК-модели вычисление ? сводится
к квадратурам (разд. 4 гл. VI), поэтому можно получить очень
точное численное значение [19]:
?= 1,1466/,	E.28)
где / — средняя длина свободного пробега, определенная выра-
выражением A.3). Аналогичный результат получается для простей-
простейшей модели с частотой столкновений, зависящей от скорости
[27]. Численные значения для реальных моделей частоты стол-
столкновений [28] лежат несколько ниже (на 3%) значений для мо-
моделей с постоянной частотой. Последняя оказывается по суще-
существу точной для максвелловских молекул [24, 26]. Коэффициент
т также вычислен с хорошей точностью [17, 23] для БКГ-модели.
В этом случае из-за того, что в БГК-модели число Прандтля
равно единице (разд. 6), а не 2/з, как должно быть для одно-
одноатомного газа, нужно проявлять осторожность при выборе зна-
значения для частоты столкновений; при вычислении т подходящим
будет значение, приводящее к точному коэффициенту теплопро-

S. НАЧАЛЬНЫЕ, ГРАНИЧНЫЕ И УДАРНЫЕ СЛОИ	28?
водности. Если для числа Прандтля использовать точное значе-
значение 2/3, то для т получается [23]
т = -^-1,1682/==2,1904/,	E.29)
где I снова задается выражением A.3). Величина со (коэффи-
(коэффициент температурного крипа) была вычислена Соуном [29],
Уильямсом [30] и Лоялкой [22]; в результате
со= —?рг 0,7662 /== 0,648/,	E.30)
2 у л
если частота столкновений в БГК-модели выбирается из усло-
условия, чтобы получился подходящий коэффициент теплопроводно-
теплопроводности. Влияние граничных условий на ?, т, со исследовали Чер*
чиньяни [31], Черчиньяни и Пагани [32], Лоялка и Чиполла [33],
Клинч и Кущер [34].
Отметим, что в случае, когда длина свободного пробега не
просто мала, а пренебрежимо мала, соотношения E.26) сво-
сводятся к равенствам v = v, T = Т, так что газ не скользит и
полностью аккомодирует к температуре стенки.
Граничные условия второго порядка значительно сложнее;
автором были выполнены расчеты в случае плоской границы
[12]. Эффекты, связанные с кривизной стенки, исследовали Грэд
[14] и Соун [35, 36].
В общем случае в E.26) нужно включить члены, содержащие
вторые производные от скорости и температуры, а также произ-
произведения первых производных и главных кривизн границы; коэф-
коэффициенты при этом, конечно, имеют порядок I2. Некоторые из
таких коэффициентов вычислены для БГК-модели [12, 35—37].
Другой подход предложил Даррозе [38], рассматривавший
степенные разложения типа Гильберта, но не по е, а по V8-
В результате он обнаружил два пограничных слоя: внешний
слой толщины О(е1/2), который можно отождествить с прандт-
левским вязким пограничным слоем, и внутренний слой толщины
О(е), соответствующий кнудсеновскому, или кинетическому, по-
пограничному слою. В прандтлевском слое функция распределе-
распределения не относится к гильбертовскому классу, но сохраняет
свойства функциональной связи с макропараметрами течения
(как это известно из успешного применения метода Чепмена—•
Энскога на уровне Навье —Стокса). Однако при таком разло-
разложении уравнения Навье — Стокса не появляются; вместо них по-
получаются уравнения Прандтля для пограничного слоя.
Другая неравномерность и, следовательно, другой тип погра-
пограничного слоя возникает при движении молекул почти парал-
параллельно границе. Действительно, если |§-п|/?~е, то первый
член в правой части уравнения E.19) имеет порядок edfR/dX\

$88	V. МАЛЫЕ II БОЛЬШИЕ ДЛИНЫ СВОБОДНОГО ПРОБЕГА
с другой стороны, для того чтобы задача была регулярной, этот
член на границе должен быть конечным. Следовательно, около
границы функция fR должна заметно меняться на масштабе
Х~е или х~е2. Конечно, поскольку е является величиной по-
порядка средней длины свободного пробега, соотношение вида
#~е2 верно только при условии, что его понимают в смысле
x~/2/Z/, где Lf — некоторая характерная длина (аналогично
||-п|/?~е означает |§-п|/Е- ~//Z/). Эта длина должна опреде-
определяться локальной геометрией границы и может быть отожде-
отождествлена с радиусом кривизны Rc самой границы. Таким обра-
образом, новый пограничный слой обусловлен кривизной границы
и не может появиться около плоской стенки (Rc = °°).
Рассмотрим, как возникает этот эффект. Заметим, что для
х, расположенных достаточно близко к границе, так что х —
— х0 = |х — Хо|§/?, влияние границы на функцию распределе-
распределения /(х, |) зависит главным образом от отношения расстояния
|х — хо| к средней длине свободного пробега /. Если начало ра-
радиуса-вектора выбрано в центре кривизны для точки х0, a Rc—
соответствующий радиус кривизны (для простоты мы рассмат-
рассматриваем плоский случай), то (см. рис. 28)
1X-X0|=A/^-^4^
— | x |2sin2cp — | x |coscp, E.31)
где ф — угол между х и §. Пусть |х| — Rc ± б, где минус соот-
соответствует вогнутой границе, а плюс — выпуклой. Из E.31) полу-
получаем
, 26 , о I 62 , о . (Rc dh 6) ,	,
± —tg2<p + -9-tg2cp-- c 4cos<pl.
E.32)
Если 1дф~О A), то для б < Rc имеем
I х — х01	б 1	, п ( б2 Ч	,- „„,
—i— = ±тт^ + °Ы	E-33)
и происходит заметное изменение при изменении б в масштабе
/; на этом масштабе остаточный член составляет O(l/Rc) и, зна-
значит, ведет себя регулярно при /->(). Если же tg ср с^ О (RJI), то
величина
становится сравнимой с единицей при 8 = OA2/RC). Следова-
Следовательно, величина |х — хо|// в E.33) меняется заметно на мас-
масштабе 6 = О(/2/7?с), когда coscpc^ ctgcp = O(l/Rc).

5. НАЧАЛЬНЫЕ, ГРАНИЧНЫЕ И УДАРНЫЕ СЛОИ
289
Рис. 28. К расчету | х — х0 I
При вычислении плотности, скорости и т. д. или вообще «мо-
«моментов» функции распределения
М
Ilk...
E.34)
следует интегрировать по цилиндрическим координатам р =
===л/^ "!¦"??» (Р» 6*> если рассмотренная выше плоскость соответ-
соответствует 2 = 0. Если / равномерно непрерывна по ср, то обуслов-
обусловленный кривизной пограничный слой толщиной б2/(RJ) исче-
исчезает, так как вклад от скользящих молекул сглаживается инте-
интегрированием. Это легко обнаружить, заменив угловую перемен-
переменную. Вместо ф, т. е. угла между § и х, возьмем в качестве
переменной интегрирования О — угол между х и х0. Тогда
х0 I
E.35)
Если ф меняется от 0 до 2я, то •& меняется от —я до я, и
множитель при cosfl1 изменяется очень мало (б</?с); следова-
следовательно, остается только зависимость от б//. Иначе говоря, мо-
моменты функции распределения не отражают существования по-
пограничного слоя, связанного с кривизной, а приводят лишь к
обычному кнудсеновскому слою, если интегрирование по ср не
ограничено соответствующим образом. Ограничение по ф возни-
возникает автоматически, когда граница (локально) выпукла.

290
V. МАЛЫЕ И БОЛЬШИЕ ДЛИНЫ СВОБОДНОГО ПРОБЕГА
Кнудсеновский слой
Рис. 29. Кинетический подслой, обусловленный кривизной, в случае вы-
выпуклого тела.
Действительно, в этом случае молекулы, достигающие точки
Я, прилетают как раз с того участка границы, для которого
sincp ^/?с/|х| или | cosd| > Vl x 12-~ ^с/| х |. Поэтому при вы-
вычислении моментов пределы интегрирования зависят от отноше-
отношения \x\/Rc. Углы, соответствующие этим пределам интегрирова-
интегрирования, таковы, что tg ф = Rc ( | х |2 — Я?)' = Rc [6 {2RC + 6)]~ъ
имеет порядок RJI, если б — величина порядка P/Rc. Следова-
Следовательно, в течении около (локально) выпуклого тела погранич-
пограничный слой, обусловленный кривизной, представлен также и в
моментах.
Этот пограничный слой состоит из точек, которые не дости-
достигаются с границы по отрезкам прямых, длина которых значи-
значительно превышает среднюю длину свободного пробега (см.
рис. 29, где РА = PBc^l). Данный факт был обнаружен Соу-
ном [39], который использовал частную модель на уровне инте-
интегрального уравнения для одного из моментов и поэтому упустил

6. ДАЛЬНЕЙШИЕ ЗАМЕЧАНИЯ О МЕТОДЕ ЧЕПМЕНА — ЭНСКОГА	291
из виду то обстоятельство, что новый пограничный слой суще-
существует даже для вогнутых тел, хотя и только на уровне функции
распределения.
Третья задача связи (ударный слой) должна привести к вы-
вычислению поправки к классическим соотношениям Рэнкина —
Гюгонио, необходимой для того, чтобы вычисления на контину-
континуальном уровне давали те же самые результаты, что и решение
уравнения Больцмана вдали от ударного слоя. Та же необходи-
необходимость возникает в теории Навье —Стокса [40], когда требуется
учесть взаимодействие между ударным и пограничным слоями.
Несмотря на то что уравнения Навье — Стокса дают гладкую
структуру ударной волны, они должны допускать разрывы, что-
чтобы описать кинетические эффекты. Для разложения Гильберта
кинетическое решение задачи связи трудно уже в нулевом при-
приближении (задача о структуре скачка; см. разд. 6 гл. VII), но
условия сращивания тривиальны (соотношения Рэнкина — Гю-
Гюгонио); аналогичная задача для теории Чепмена — Энскога (или
модифицированного разложения, рассмотренного в разд. 4) пока
еще не сформулирована.
6. Дальнейшие замечания о методе Чепмена — Энскога
и о вычислении коэффициентов переноса
Методы, изложенные в разд. 2—5, применяются не только к
нелинейному уравнению Больцмана для одноатомного газа, но
также к линеаризованному уравнению Больцмана, к уравнениям
типа Больцмана, которые получаются при замене квадратичного
столкновительного члена модельным членом J (f) (разд. 10 гл. II
и разд. 9 гл. IV), и к обобщенным уравнениям Больцмана, опи-
описывающим смеси и многоатомные газы. Сделаем в связи с этим
несколько замечаний.
Применение метода Чепмена — Энскога к линеаризованному
уравнению Больцмана уже рассматривалось в конце разд. 4.
Здесь мы только отметим, что упрощение по сравнению с пол-
полным уравнением обусловлено отсутствием Sn в уравнениях B.6)
и C.10).
При исследовании нелинейных столкновительных моделей,
таких, как описанные в разд. 10 гл. II, изменения возникают
только в связи с разложением нелинейных членов по степеням 8,
поскольку нелинейность модели, вообще говоря, сложнее, чем
квадратичная. Это обстоятельство, однако, не сказывается до
второго приближения (члены с е2). В результате модели точно
воспроизводят уравнения Эйлера и Навье — Стокса и даже мож-
можно добиться того, чтобы коэффициенты вязкости и теплопровод-
теплопроводности совпадали с точными, если модели содержат по крайней

292	v- МАЛЫЕ И БОЛЬШИЕ ДЛИНЫ СВОБОДНОГО ПРОБЕГА
мере два свободных параметра. Для простейших моделей, та-
таких, как, например, БГК-модель, это не выполняется и прихо-
приходится решать, что согласовывать — коэффициент вязкости или
коэффициент теплопроводности.
Поскольку модель БГК используется часто, кратко опишем
первые приближения теории Чепмена — Энскога для этой мо-
модели. Как уже упоминалось, уравнения нулевого и первого по-
порядков формально такие же, как и для уравнения Больцмана;
/о — максвеллиан, a f\z=fQh{ находится из решения уравнения
C.16), где теперь, однако, L — линеаризованный БГК-оператор.
Методика, примененная в разд. 9 гл. IV для построения моделей
Гросса и Джексона, показывает, что линеаризованный БГК-опе-
БГК-оператор столкновений имеет те же собственные функции, что и
оператор столкновений для максвелловских молекул; различных
собственных значений теперь только два: Х = 0 (соответствую-
(соответствующее пяти инвариантам столкновений) и 1 = —v (соответствую-
(соответствующее остальным собственным функциям).
В результате решение уравнения C.16) для БГК-модели сно-
снова имеет вид C.17) с А (с, Т) = А(Т), В (с, Т) = В(Т) (с2 — 5RT),
как и в случае максвелловских молекул, а (и и к определяются
выражениями (IV.7.66) и (IV.7.67) при Х02 = Х\\ =—v. Основ-
Основным следствием бесконечнократной вырожденности собственно-
собственного значения X =—v является равенство единице числа Прандт-
ля (все еще определяемого соотношением (IV.7.73)). Тем самым
подтверждается сделанное выше утверждение о невозможности
одновременно согласовать значения р, и к при использовании
БГК-модели, однако этого можно добиться, используя ЭС-мо-
дель или более сложные нелинейные модели.
Общая задача вычисления коэффициентов переноса для га-
газовых смесей может быть решена способом, аналогичным тому,
который применялся для простого газа [8—10]. Дополнительно
к вязкости и теплопроводности возникают два новых явления
переноса, а именно диффузия и термодиффузия: средняя ско-
скорость отдельных компонентов, вообще говоря, отличается от
массовой скорости смеси, и оказывается, что разность, представ-
представляющая собой скорость диффузии, содержит члены, пропорцио-
пропорциональные градиенту концентрации, градиенту давления, разности
между внешними силами, действующими на различные молеку-
молекулярные компоненты, и градиенту температуры. Первые три чле-
члена соответствуют обычной диффузии, а четвертый — термодиф-
термодиффузии. Термодиффузия была впервые предсказана Энскогом[41]
и Чеименом [6] на чисто теоретической основе и подтверждена
экспериментально Чепменом и Дутсоном [42]. Она выпала из
поля зрения предыдущих исследователей по той причине, что
для максвелловских молекул коэффициент термодиффузии в
точности равен нулю,

7. СВОБОДЫОМОЛЕКУЛЯРНОЕ ОБТЕКАНИЕ ВЫПУКЛЫХ ТЕЛ	293
Как отметил Грэд [43], в случае смеси возможны разные ва-
варианты при разложении в ряды по степеням средней длины сво-
свободного пробега. Вместо того чтобы перед каждым интегралом
столкновений Qap ставить множитель 8, можно различать ти-
типы столкновений, вводя перед разными интегралами разные
множители вида s~3, е~2, е~!, 1. Такие новые разложения можно
использовать для смесей с большой разницей масс. Этот метод
был недавно вновь рассмотрен Джонсоном [44].
Даже для многоатомных газов задача построения разложе-
разложения Чепмена — Энскога почти полностью сводится к длинным,
но сравнительно простым вычислениям. Подробности и ссылки
на литературу можно найти в книге Ферцигера и Капера [10].
7. Свободномолекулярное обтекание
выпуклых тел
В разд. 1 свободномолекулярное течение определялось как
течение, получаемое в пределе, когда число Кнудсена Кп стре-
стремится к бесконечности. В этом случае уравнение Больцмана
(при отсутствии внешних сил) принимает вид
+ .JL = o	G 1)
Так как мы пренебрегаем столкновениями молекул друг с дру-
другом, главную роль играет взаимодействие молекул с твердыми
стенками. Такая ситуация типична для спутников (на высоте
200 км средняя длина свободного пробега составляет около
50 м). Общее решение уравнения G.1) имеет вид
f(t, х, §) = g(x-g/, I),	G.2)
где g—произвольная функция двух векторов (формально g—
это значение / при t = 0). Равенство G.2) означает просто, что
f постоянна на прямолинейных траекториях молекул (х — %t =
= Хо); при отсутствии столкновений это вполне естественно.
В стационарном случае уравнение G.1) сводится к
1-^ = 0	G.3)
и имеет общее решение
f(x, 6) = ?(xAS, \),	G.4)
которое можно получить либо непосредственно, либо из G.2)
(заметим, что функция от х — \t, § является также функцией от
§?2/ Л)

294
V. МАЛЫЕ И БОЛЬШИЕ ДЛИНЫ СВОБОДНОГО ПРОБЕГА
Рис. 30. Классы векторов скорости и другие детали течения около выпук-
выпуклого тела.
Часто легче иметь дело с наглядным утверждением, что /
постоянна вдоль траекторий, чем с аналитическими решениями
G.2) и G.4).
Рассмотрим в качестве примера стационарное обтекание вы-
выпуклого тела однородным равновесным потоком с плотностью
роо, скоростью V и температурой 7\х>. Молекулы, падающие на
тело, прилетают непосредственно из бесконечности (рис. 30) и,
следовательно, их функция распределения /~ равна
U = Роо BnRT J'*1' exp [- (% - VJ Wo)].	G.5)
В точке Р вне тела (см. рис. 30) векторы скорости подраз-
подразделяются на два класса. Первый класс содержит такие векторы
|, что прямая, проведенная вдоль | через точку Р, пересекает
тело в некоторой точке Ро> и вектор | направлен от тела к бес-
бесконечности; векторы | из этого класса (отложенные из точки
Р) образуют конус с вершиной в Р. Функция распределения для
§ вне этого конуса (т. е. для |, принадлежащих второму классу)
равна /оо, в то время как функция распределения для § внутри
конуса равна функции распределения /+ молекул, отраженных
в точке Pq. Таким образом, решение полностью определяется,
как только функция распределения молекул, вылетающих с по-
поверхности тела, становится известной. Но эта функция как раз

7. СВОБОДНОМОЛЕКУЛЯРНОЕ ОБТЕКАНИЕ ВЫПУКЛЫХ ТЕЛ	295
и находится из граничных условий (III. 1.6); действительно,
f- = /oo, так что
G.6)
Следовательно, решение зависит главным образом от ядра рас-
рассеяния /?(|/->|; х), свойства которого были исследованы в гл. III.
Обычно интересуются лишь суммарными коэффициентами
обмена импульсом и энергией между молекулами газа и твер-
твердым телом. По ним легко вычислить как аэродинамические
силы, действующие на тело, так и теплопередачу между газом
и телом. Импульс и энергия молекул, падающих на единичный
элемент поверхности в единицу времени, вычисляются по фор-
формулам
р- = \ m-n\f~dl	G.7)
<Г= \ ^\1-п\ГЯ,	G.8)
S-n<0
а импульс и энергия молекул, вылетающих с единичного эле-
элемента поверхности в единицу времени, — по формулам
m-n\f+dt,	G.9)
|-n>0
-§-|g-n|f+dg.	G.10)
|-n>0
Вычисление р~ и q~ проводится легко. Рассмотрим элемент
поверхности, наклоненный к потоку под углом атаки 8; иначе
говоря, такой элемент, что скорость V потока образует с нор-
нормалью, направленной в газ, угол я/2 + 9 (см. рис. 31). Тогда,
подставляя в G.7) и G.8) /- = /«>, получаем
+ -?=¦ exp (~ S2 sin2 9)), G.12)
Л/я	J
-°X = -^1[1+erfEsine)],	-G.13)
<Г = 'АР» BRTjh [(S2 + 5/2) S sin 9 [1 + erf (S sin 6)] +
^^] G.14)

296
V. МАЛЫЕ И БОЛЬШИЕ ДЛИНЫ СВОБОДНОГО ПРОБЕГА
Рис. 31. Обозначения, используемые при вычислении обмена импульсом и
энергией на элементе поверхности.
Здесь 5 — так называемое скоростное отношение
G.15)
Моо — число Маха свободного потока, у — отношение удельных
теплоемкостей, а
G.16)
— функция ошибок [45].
Вектор р" записан таким образом, что его легко спроектиро-
спроектировать на направление V (причем проекция равна /?~) и на лю-
любое направление, перпендикулярное V (проекция равна р~[ =
= —p~cosp, если р — угол между этим направлением и п).
Результаты в такой форме полезны для вычисления сопротивле-
сопротивления и подъемной силы, действующих на тело. Однако часто
результаты представляются в компонентах по п:
р- = - p-D sin e - р- cos2 е=^?g?- {A + s2 sin2 e) x
X [1 + erf (S sin 6)] + S У exp (- S2 sin2 6) X G.17)

7. СВОБОДНОМОЛЕКУЛЯРНОЕ ОБТЕКАНИЕ ВЫПУКЛЫХ ТЕЛ
297
и „о t^
р- = р~ cos 0 — р~ sin 0 cos 0 =
25
cos 0 { S sin 0 [1 + erf E sin 0)] + —U exp (- S2 sin2 0)).
G.18)
Расчет р+ и q+ решающим образом зависит от вида ядра
рассеяния. В классическом изложении [46—48] эти расчеты об-
обходят путем введения подходящих «коэффициентов аккомода-
аккомодации» для нормальной составляющей импульса (ajv), касатель-
касательной составляющей импульса (сст) и энергии (аЕ)', формально
эти коэффициенты определяются выражениями вида (III. 5.3)
с ф = 11- п|, ф ~ | — п (|- п), ф = ?2/2 и считаются зависящими
от V, Vn, Too, а также от температуры стенки Tw. Таким обра-
образом, этот подход является в основном феноменологическим, од-
однако он дает точные результаты для ядер рассеяния с постоян-
постоянными ест, ос/у, а в. Выражения (III. 5.3) тогда принимают вид
(для ф = |&*|. ?/> I2!2)'-
G.19)
_ , w
Рп + Рп
Pt ~Pt
- qw
где pwn, p7f, qw равны p+, p+, q+, когда f+=JJw, где fw—мак-
свеллиан стенки, а /ш — нормировочный множитель, выбран-
выбранный так, что Jwfw дает тот же поток массы, что и /+. Тогда
= 0, в то время как
[ \1 • п | f
d\
\I
J
Г
" \ I
J
\ II • n
4
6) + V^S sin 0 [1 + erf (S sin 0)]},
G.20)
d%
4
Poo 1*- BRTjh f 4-
(- S2 sin2 0) +
S sin 0 [1 + erf (S sin 0)] J . G.21)

298	v- МАЛЫЕ И БОЛЬШИЕ ДЛИНЫ СВОБОДНОГО ПРОБЕГА
Далее,
Рп = Рп ~ Pt- B - %) Рп ~ Wn =
+ [ 1 + erf (S sin 9)] [B - а„) (s2 sin2 9 + ~) +
Pt = PT — Pt= атРТ =
= аг ~- cos e {S sin 0 [1 + erf (S sin в)] + лг1* exp (- S2 sin2 9)},
G.23)
q = q- + q+=aE(q- + qw) =
B/?Г JVl { (S2 + 4 - 2 ^) S sin 6 [1 + erf (S sin 9)] +
G.24)
Следует отметить, что выражение G.24) определяет энергию,
передаваемую стенке одноатомным газом. Для многоатомного
газа G.24) определяет вклад поступательных степеней свободы,
к которому следует добавить вклад от вращательных степеней
свободы [47].
Определение суммарных аэродинамических коэффициентов
сводится, таким образом, к квадратурам в случае ядер рассея-
рассеяния с постоянными коэффициентами аккомодации (как, напри-
например, максвелловского ядра (III.6.13), для которого aN = ат =
= аЕ = а не зависят от У, V-n, T^). Интегрировать выписан-
выписанные выше выражения фактически приходится по всей поверх-
поверхности обтекаемого тела; конечно, кроме случаев тел самой
простой формы, квадратуры будут сложными. Расчеты были
проведены для нескольких тел [46—48], включая плоские пла-
пластины, сферы, конусы и цилиндры.
Если искать температуру Тщ, которую принимает термиче-
термически изолированный элемент (^==0), то из формулы G.24) сле-
следует интересный результат. При этом получается
Z«j 1 + +
+ /i-
2	4 \	1 + nk S sin 6 exp {S2 sin2 6) [1 -f erf (S sin 6)]
G.25)
Очевидно, функция в знаменателе никогда не будет меньше
единицы и, следовательно, множитель при 1/А всегда неотрица-
неотрицателен. Значит,
(?)	G.26)

7. СВОБОДПОМОЛЕКУЛЯРНОЕ ОБТЕКАНИЕ ВЫПУКЛЫХ ТЕЛ 	299
Температура адиабатически заторможенного газа Го равна
С req, G.27)
где у = 5/3, как принято для одноатомного газа. Соответственно
коэффициент восстановления, характеризующий разность между
7'eq и Го и определяемый формулой
г= Тт*1т°° .	G-28)
оказывается больше чем 5/4, так что диссипация механической
энергии преобладает над теплопередачей. Этот результат резко
расходится с известным результатом теории ламинарного по-
пограничного слоя, согласно которому г всегда меньше единицы
[49]. Нужно заметить, что для конечного тела Teq определяется
как однородная температура, которую нужно поддерживать
в теле, чтобы получить нулевую суммарную теплопередачу. Сле-
Следовательно, указанный результат для Тщ не является строгим
для конечного тела; однако можно ожидать, что г ;> 1 для ко-
конечных тел достаточно симметричной формы. Этот результат
подтверждается как расчетами теплопередачи для конечных тел,
так и экспериментами, проведенными Столдером, Гудвином
и Кригером [50].
На практике, конечно, температура тела определяется балан-
балансом всех форм теплопередачи на его поверхности. Для искус-
искусственных спутников значительная часть тепла теряется за счет
излучения, и этот процесс необходимо надлежащим образом
учитывать в балансе.
Приведенные результаты примут особенно простую форму,
если в выражениях G.22) — G.24) формально положить 5->оо.
Тогда, если TJT^ — величина порядка 1 (и sin9>0), то
Рп = - 9«У2 B - а„) sin2 9, р = агРооУ2 sin В cos В,
г	G.29)
13
Соответственно
р = aT9ooVV sin 6 - B - аг - av) 9ooV2 sin2 6n. G.30)
Тогда вклад каждого элемента поверхности в сопротивление
и подъемную силу имеет вид
Pd = vTPooV2 sin 9 + B — aN — aT) p^V2 sin3 9,
Pl = ~ B - ar - aN) 9oQV2 sin2 9 cos p.	(/" l)

300	V. МАЛЫЕ И БОЛЬШИЕ ДЛИНЫ СВОБОДНОГО ПРОБЕГА
В частности если а г = ccN = 1, то подъемная сила обращается
в нуль и
где dA—площадь элемента поверхности, a dA*— площадь про-
проекции этого элемента на плоскость, перпендикулярную V. Соот-
Соответственно, если отнести коэффициент сопротивления к пло-
площади миделя A^=\dA^ то получится особенно простой ре-
j
зультат (при S->oo вклад от задней части поверхности тела
равен нулю)
[ Vr.uA
= 2.	G.33)
Выражения G.29) не являются равномерно пригодными по 9;
поэтому для любого фиксированного скоростного отношения су-
существует область значений 8 (такая, где S sin 9 с< 1), для кото-
которой формулы G.29) применять нельзя. Практически можно
пользоваться формулами G.29) в случае, когда S ^> 1, а пло-
площадь областей, где SsinB^l, мала. Результаты оказываются
более сложными, если оставить члены первого порядка по S~l
[51—52].
Использование коэффициентов аккомодации ат, aN, a^ со-
составляет как силу, так и слабость изложенной теории. Если эти
коэффициенты нельзя считать постоянными, то описанная выше
методика теряет силу. В частности, на коэффициент подъемной
силы решающим образом влияет отклонение от полной акко-
аккомодации, а значит механизм взаимодействия газа с поверх-
поверхностью. Мы не можем удовлетвориться приведенными выше ре-
результатами, так как отношение подъемной силы к сопротивле-
сопротивлению имеет решающее значение для расширения коридора входа
космического корабля с экипажем.
В связи с этим граничные условия рассматривались более
детально [53—59]. В частности, для вычисления аэродинамиче-
аэродинамических сил [57—58] и теплопередачи в свободномолекулярном по-
потоке применялась модель рассеяния, описанная в разд. 6 гл. III
(см. формулу (III. 6.20)). При этом выражения G.11) — G.13)
для р- и q~, конечно, сохраняются, в то время как р+ и q+ опре-
определяются формулами
Р+ = - Pi Т + Pt (п + -J- sin 9) ,	G.34)
pi = РоЪ) + рЛ%), р!-р±]Ы + РлК)> G-35)

7. СВОБОДЫОМОЛЕКУЛЯРНОЕ ОБТЕКАНИЕ ВЫПУКЛЫХ ТЕЛ	301
V-
— A — <*,) ^s" Р°° cos2 9 X
X {л-'/2 ехр (- S2 sin2 9) + 5 sin 6 [1 + erf (S sin 9)]}, G.36)
ехр
n/2 [± . тA-аге)соз2Ф
)\ dq)b + an + x(l-«ra)sin:n	}
[- S2 sin26T(! - «д) sin2 ф
	a- + TA-^)sin2(p
a,2 + т A — an) 8ш2ф	\ i
± _i_ f 2 _|_ П2Л тA-аАг)соз2Ф
G.38)
4+ = bo. B/?r Js/» {k-v2 exp (— S2 sin2 6) + S sin 6 [1 + erf (S sin 6)] X
X [A ~ ая) A + S2sin26) + A - a,J(l + 52cos2G) +
+ г-1 (ая + at [2 - a,])] + 1 A - an) SsinB [1 + erf (SsinB)] } ,
G.39)
где at и an — два параметра, входящие в формулу (III. 6.20), и
* = TJTW9	G.40)
U = aJfS sin 6 [<хл + т A - ап) sin2 ф]~1/2.^	G.41)
Расчеты, приводящие к этим результатам, до некоторой сте-
степени упростятся, если учесть, что at и ап имеют смысл коэффи-
коэффициентов аккомодации для касательной составляющей импульса
(так что ат = 0Lt) и части кинетической энергии, соответствую-
соответствующей движению по нормали (значит, а^фа.п). Для рассматри-
рассматриваемой модели aN и аЕ не постоянны.
Если считать, что S—>оо, а т — величина порядка единицы
(и sin 0 > 0), то для pDt pL, q получится
Pd = PooV2 sin 6 {a, + [A - aj7' + A - a,)] sin б},
PL=-pJ/2sin29cosp[(l-a,) + (l-aJ1/2],	G.42)
q = Щр. [an sin2 0 + a* B — a,) cos2 6].
Сравнивая эти выражения с G.31), видим, что результаты
для подъемной силы и сопротивления эквивалентны (при S—>оо)
результатам обычной теории, основанной на коэффициентах ак-

302	V. МАЛЫЕ И БОЛЬШИЕ ДЛИНЫ СВОБОДНОГО ПРОБЕГА
комодации, если эффективный коэффициент аккомодации нор-
нормальной составляющей импульса а^ определить следующим
образом:
а;=1-A-«„)¦/>.	G.43)
Однако стоит подчеркнуть, что такое отождествление воз-
возможно лишь потому, что рассматривается очень специальная
функция распределения падающих молекул, представляющая
собой предельный случай максвелловского распределения при
S -> оо (с фиксированной К), т. е. дельта-функцию. Что ка-
касается q, то сопоставление с G.29) дает
с? @) = а, B — а,) cos2 9 + ап sin2 9 =
= а, B - а,) cos2 9 + <v B - а;) sin2 9.	G.44)
Иначе говоря, даже для такого специального распределения на-
налетающих молекул, как дельта-функция, невозможно опреде-
определить постоянный коэффициент аккомодации энергии. Однако
если а^ = аг, т. е. если 1 — ап = A — а^J, то а^ = ат B — аг) =
=at B — at) — постоянная величина.
Расчеты суммарных аэродинамических коэффициентов на
основе двухпараметрической модели вида (III. 6.20) были про-
проведены [57, 58] для таких тел, как плоские пластины, сферы,
цилиндры, конусы и эллипсоиды. Конечно, результаты для эле-
элемента поверхности настолько сложны, что большинство вычис-
лений приходилось проводить численно. Однако расчет тепло-
теплопередачи проще и может быть проведен аналитически для таких
тел, как плоские пластины, цилиндры и сферы [59]. В случае
сферы результаты совпадают с классическими, если аЕ заме-
заменить на
d^ = yM2-a,) + aJ.	G.45)
Практически Тщ такая же, как и в классическом случае,
однако для плоской пластины и цилиндра Тщ зависит от отно-
отношения anjv*E. Это может привести к коэффициенту восстанов-
восстановления, меньшему единицы (при надлежащих значениях отно-
отношения о*п1о**Е).
8. Свободномолекулярные течения
в случае невыпуклых границ
При исследовании свободномолекулярных течений около гра-
границ с вогнутыми участками нужно учитывать как затенение
одних участков поверхности тела другими, так и падение на не-
некоторые участки поверхности молекул, отраженных от других
участков.

8. СВОБОДНОМОЛЕКУЛЯРН. ТЕЧЕНИЯ В СЛУЧАЕ НЕВЫПУКЛЫХ ГРАНИЦ 303
Рис. 32. Эффект затенения при обтекании невыпуклого тела.
Пусть Р — точка на поверхности 3R тела (см. рис. 32),
а о)(х) — телесный угол, под которым из точки Р (с радиусом-
вектором х) видна остальная часть тела (которая в действи-
действительности может состоять из нескольких несвязных областей).
Тогда функция распределения молекул, падающих на границу,
представляется в виде
Г (х, I) = L (I) (I • п > 0, х е dR, l ф со (х)), (8.1)
Г(х,Ю = |6-п/Г1 \ R(?->t х')Г(х', Г)|6'-п'|<*Г
Г-п'<0
(g-n>0, x<=dR, geEco(x)), (8.2)
где х7 — точка границы, которая достигается из точки х при
движении вдоль вектора —| (без пересечения с самой грани-
границей), а п/— единичный вектор нормали в точке х7. Уравнения
(8.1) и (8.2) образуют систему, определяющую /- (по крайней
мере в принципе). Решение можно найти с помощью сходяще-
сходящегося итеративного процесса (если исключить некоторые сингу-
сингулярные случаи), но аналитических решений, вообще говоря, не
получается.

304	V. МАЛЫЕ И БОЛЬШИЕ ДЛИНЫ СВОБОДНОГО ПРОБЕГА
Практически отражение часто считают диффузным, исполь-
используя формулу (III. 6.13) с а= 1. Тогда (8.2) приводится к виду
/" = / (х') [2л (ТО2] ехр [- 12/BRT'W)]
(х €Е dR, I • п > 0, § е= со (х)), (8.3)
где /(х')— поток массы молекул, падающих на стенку в точке
Xх, Trw — температура стенки в х'. Таким образом, задача сво-
сводится к нахождению J (х) для x<=dR.
Поток массы в точке х равен
/ (х) = /то (х) + J / (х') [2я (У^Г;J]-1 ехр [- ?2/BЯГУ] | g • n | dg;
l-n<0
(8.4)
здесь х' e E/? определяется соотношением х' = х — 11 хг — х |.
а /оо (хО — поток массы, приходящий непосредственно из беско-
бесконечности:
/со(х)= \ fоо (Ю I ё • п | dg,	(8.5)
S-n<0
а со7 — дополнение к со. Вводя величину скорости I и единич-
единичный вектор Q = |/g, можно выполнить интегрирование по I
в (8.4), что дает
J(x) = Joo(x) + ±- J /(xOlQ-nldQ.	(8.6)
(8.7)
Qgecd
Поскольку (см. рис. 33)
г4
х — х
где dA/ — элемент поверхности в точке хх, равенство (8.6)
можно преобразовать к виду
где dR(x) — часть поверхности тела, «видимая» из х. Уравнение
(8.8) представляет собой интегральное уравнение с симметрич-
симметричным ядром (если х/е<37?(х), то xe<3i?(x/)). Это ядро ограни-
ограничено, если, например, кривизна поверхности изменяется непре-
непрерывным образом.
Большое преимущество уравнения (8.8) состоит в том, что
его можно использовать для вычисления /(х), исходя непосред-
непосредственно из геометрии тела. В частности, уравнение (8.8) может
быть использовано для исследования свободномолекулярных

8. СВОБОДНОМОЛЕКУЛЯРН. ТЕЧЕНИЯ В СЛУЧАЕ НЕВЫПУКЛЫХ ГРАНИН 305
Рис. 33. К вычислению элемента поверхности dAf = dQ | х — х' р | п' • Q |.
Рис. 34. Два резервуара, соединенные трубкой, толщина которой много
меньше средней длины свободного пробега.
течений в трубах произвольного (постоянного) поперечного се-
сечения с диаметром, много меньшим средней длины свободного
пробега (для течений в капиллярах).
Такое течение возникает в тонкой трубке, соединяющей два
резервуара, которые содержат газ в равновесии при различных
давлениях р[} р2 и температурах Т\, Т2 (рис. 34). Поскольку
предполагается, что молекулы не сталкиваются друг с другом,
молекулярный поток образуется наложением двух независимых
потоков молекул, входящих в трубку слева и справа. Так как
эти потоки вычисляются независимо, без потери общности
можно считать /оо(х) потоком массы молекул, достигающих х
прямо из резервуара 1 без соударений. Тогда
I n -,(x — x') ||n' • (x — x[) 1 ,л,т
I x — x' |4
(8.9)

306	V. МАЛЫЕ И БОЛЬШИЕ ДЛИНЫ СВОБОДНОГО ПРОБЕГА
здесь интегрирование проводится по входному поперечному се-
сечению Si, a J\ — поток массы через Sf.
где /oi — максвеллиан, соответствующий плотности и темпера-
температуре в резервуаре 1.
В частности, если трубка представляет собой круговой ци-
цилиндр радиуса г и z— координата х вдоль оси трубки, а л/, у' —
координаты х' в соответствующей декартовой системе коорди-
координат, то
Г	У Г2" у'*
Hrf	z{r-xf)	_
- rJ
rJ
я J L z2 + 2r2 — 2r л/г2 — у'2 z2 + 2r2+ 2r<\fr2-y/
2я ЬЧ 2r2 - 2r2 cos Э
=JX / Z2 + 2 __7\	(
где Z = z/r и последнее интегрирование легко осуществляется
при помощи контурного интегрирования в комплексной плоско-
плоскости или, не так быстро, стандартными методами.
Аналогично, поскольку благодаря симметрии J(x') = J(z'),
имеем
I С /(x0Ui-(x-x-)i|n;.(x-x-)|
я J v ;	| х — Xх |4
dR (x)
L 2я
Р' &zf	/o i пч
— 1С [ Г (у'
о о
[4r2 sin2 (Ф72)
Интегрирование по q/ (углу между проекциями х' и х на плос-
плоскость, перпендикулярную оси трубки), дает
2л
sin4 (ф72) ^фх	_
_1_ Г	4г3 sin
я J [4r2 sin2 (Ф
2) + (г - zfJ\
+ 6 | (
/J]/2 J V ^
2r {	[4 + (Z-Z'J]'
где Z' = zf\r. Следовательно, уравнение (8.8) принимает вид
Т
% (Z) = % (Z) + J /С (| Z - Z' |) X B') dZ',	(8.14)
о

8. СВОБОДНОМОЛЕКУЛЯРМ. ТЕЧЕНИЯ В СЛУЧАЕ НЕВЫПУКЛЫХ ГРАНИЦ 307
где
Х = ///ь L=L/r,
<8Л5)
-z/i) = -(i -\z-z'
-Z02]/2 J
Уравнение (8.14)—это уравнение Клаузинга [60]. Если рассмот-
рассмотреть очень длинную трубку и пренебречь влиянием концов, то
удобно положить Z = У -f Г/2, Zr = У + Г/2, а затем устремить
Г к оо. Тогда член типа источника исчезает; следовательно, для
длинной трубки
-)-оо
Х(У)= \ K(\Y-Y'\)%(Y')dY'.	(8.16)
— оо
Легко проверить, что
+ ОО
K(\Y — Y'\)dY' = l.	(8.17)
Это предельный случай (Z=y + T/2, Zf = У + Г/2, Г->оо)
соотношения
Г
о
соответствующий тому факту, что %= 1, если поток одинаков
на обоих концах трубки. Формулу (8.18) можно использовать
также для вычисления K(\Z — Z'|)_, если найдена %o(Z). Дей-
Действительно, дифференцирование по L в (8.18) дает
•—Z'\),	(8.19)
где Хо — производная %0 по ее аргументу.
Таким образом, как и следовало ожидать, %(У) = const яв-
является решением уравнения (8.16) (равновесным решением).
Кроме того, существует решение с % пропорциональным У. Дей-
Действительно, если написать y^{Yr)= Yf = Y-\-(Yf—-Y), то сразу
можно увидеть, что Y'— У дает нулевой вклад в интеграл урав-
уравнения (8.16), поскольку (У — У)К(\ У— У|) — нечетная функ-
функция по переменной t = У— У. Тогда, благодаря условию (8.17),
этот интеграл сводится к Y = %(Y). Отсюда заключаем, что
в очень длинной трубке плотность, а следовательно, и давление,
линейно меняется вдоль трубки. Численные результаты показы-
показывают, что это приблизительно верно и для трубок умеренной

308	V. МАЛЫЕ И БОЛЬШИЕ ДЛИНЫ СВОБОДНОГО ПРОБЕГА
длины [61]. Влияние концов длинной трубки исследовали Пао
и Чао [62].
Из уравнения (8.18) следует, что %(Z) удовлетворяет соот-
соотношению
X(L-Z) = l-xB).	(8.20)
Действительно, уравнение (8.14) дает
X(Г- Z) + х(Z) - 1 = 5Со(? - 2) + Хо B) - 1 +
K{\Z-Z'\)[x(L-Z')
0
')-l]dZ', (8.21)
где последний переход основан на (8.18). Следовательно, выра-
выражение %(L — ZL~%(Z)—1 удовлетворяет однородному уравне-
уравнению Фредгольма. Поскольку К > 0, в соответствии с (8.18)
-Z'|)dZ'<l-c< 1,	(8.22)
о
где
с= inf Jxo(L-Z) + XoB)].	(8.23)
0<Z<L
Уравнение (8.21) имеет только тривиальное решение
%(L-Z) + %(Z)-l=0,	(8.24)
и (8.20) выполняется. В частности, (8.24) означает, что
(?27
Как только 7(х) (в частности, %(Z) в цилиндрическом слу-
случае) вычислена (итерациями, вариационным методом или мето-
методом дискретных ординат), сразу можно вычислить любую дру-
другую характеристику течения. Особенно интересен расход. Чтобы
его найти, заметим, что [Joo(x)/J\]dA представляет собой ве-
вероятность того, что молекула достигнет элементарной площадки
dA в точке х прямо из резервуара 1 без столкновений. Посколь-
Поскольку уравнения движения обратимы по времени, то с такой же
вероятностью молекула покидает элементарную площадку dA
в точке х, чтобы достичь резервуара 1 без столкновений.
Умножение на 7(х) и интегрирование по боковой поверхно-
поверхности 2 трубки дает обратный поток массы на входе. Следова-
Следовательно, массовый расход на выходе (разность между J\A\, где
А\—" площадь поперечного сечения входа, и обратным потоком)

8. СВОБОДНОМОЛЁКУЛЯРН. ТЕЧЕНИЯ В СЛУЧАЕ НЕВЫПУКЛЫХ ГРАНИЦ 309
равен
j- \jOQ(x)J{x)dA.	(8.25)
2
В частности, для цилиндрической трубки /оо(х) определяется
выражением /^(Z), причем в соответствии с (8.11), (8.15) эле-
элемент dA можно заменить на 2nrdz = 8jir2dZ, 7(x) = /(Z)
А\ = яг2; следовательно,
(8.26)
Для того чтобы использовать это равенство, полезно преобразо-
преобразовать его при помощи соотношения, вытекающего из (8.14)
и (8.19). Проинтегрируем (8.14) от 0 до Z":
Z"	Z»	Г rZ"	-I
J X (Z) dZ = J xo (Z)dZ - U J xo' {\Z-Z'\)dZ\x (Zr) dZ\ (8.27)
о	о	о Lo	J
Однако
= sgn (Z" - Zr) xo (| Z" - Zr |) + xo (Z') - Я (Z- - ZO, (8.28)
где H {Z — Zr) = [1 + sgn (Z — Z')]/2 — ступенчатая функция Хе-
висайда (в соответствии с (8.15) принято Хо{О) = 1/2). Подста-
Подстановка значения (8.28) в (8.27) дает
J Хо (Z) dZ - J sgn (Z" - ZO Xo (i Z" - Z' I) X (Л ^ +
0	0
+ $Xo(Z')x(Z')dZ'. (8.29)
о
Умножив теперь на x(Z") и проинтегрировав по Z" от 0 до Z,
получим
\ \\ to(Z)dz\X(Z")dZ" = ±\ to(Z')%(Z')dZ'. (8.30)
о Lo	J	о
При этом используется тот факт, что один из интегралов в пра-
правой части (8.29) обращается в нуль (он меняет знак при замене

310	v- МАЛЫЕ И БОЛЬШИЕ ДЛИНЫ СВОБОДНОГО ПРОБЕГА
Z' *r-* Z"). Кроме того, как следует из (8.24),
Г
J x(Z)dZ = 1/2.	(8.31)
0
Наконец, непосредственное интегрирование дает
Z"
\ Хо (Z) dZ = '/4 U" л/Z + 4 - Z)	(8.32)
о
и (8.30) можно переписать в виде
I	I
Хо (Z) х (Z) dZ = BL) J (Z д/^Т4 - Z2) x (Z) rfZ. (8.33)
В силу соотношений (8.31) и (8.33) из (8.26) следует, что
Г
(	^^J)	(8.34)
где в соответствии с (8.26) Qo = nr2j\ — расход при L = 0 (че-
(через входное отверстие).
В частности, если трубка очень длинная, то %(Z) — линейная
функция и х@) = 1, %(?/2) = 72, так что
X(Z)=1-Z/L	(8.35)
и равенство (8.34) дает
Г
Q/Qo = L-1 J A - Z/Z) [Z2 + 2 - Z (Z2 + 4f] dZ =
U
= — L2 + 1 + -4-	L- (Г2 + 4)Vl - -i-(l2 + 4)'/2 +
12	3L 12L	2L	У '
= -4-+J-lnL — --J- + 0 (L~3).	(8.36)
3L L2	2 L2	v '
Следовательно, для длинных трубок получается формула
восходящая к результатам Кнудсена [63] и Смолуховского [64].

9. ОКОЛОСВОБОДНОМОЛЕКУЛЯРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ	311
9. Околосвободномолекулярные течения
Рассмотрим течения, для которых число Кнудсена сравни-
сравнительно велико, но эффектом межмолекулярных столкновений
полностью пренебречь нельзя. Для стационарных течений урав-
уравнение Больцмана записывается в виде
S'"^ = eQ (/,/)•	(9-1)
где е, обратное число Кнудсена, мало.
Кажется естественным разложить f, как в B.2), в степенной
ряд по е (конечно, г имеет другой смысл). Тогда уравнение
(9.1) дает
6-Ж = °. ^TF = Q«-"	(9-2)
где Qn определяются по формулам (IV. 1.5). Первое из этих
уравнений, как и следовало ожидать, является уравнением сво-
бодномолекулярного течения. В следующих уравнениях свобод-
свободный член Qn-i определяется предыдущими приближениями. Та-
Таким образом, решение уравнения Больцмана сводится к реше-
решению последовательности линейных дифференциальных уравне-
уравнений. Эти уравнения имеют вид
g.-g = S(x, I),	(9.3)
где S — свободный член. Решение данной краевой задачи мо-
может быть найдено методом характеристик или при помощи
функций Грина. Последние можно получить из уравнения
(IV. 12.4), полагая v = 0:
UQ (х, g; х/, g') = Г1 # (I • [х - х']) б2 (| Д [х-х']) б (g-g'). (9.4)
При |=0 из-за множителя g-1 возникает особенность. По-
Поэтому следует ожидать, что решения, получаемые разложением
в ряд по 8 (так называемые кнудсеновские итерации, ибо то
же самое получается методом итераций, если в качестве нуле-
нулевого приближения выбрать свободномолекулярное решение), не-
непригодны для малых скоростей молекул. Однако при вычисле-
вычислении моментов при помощи интегрирования функции распределе-
распределения (см. E.34)) вкладом медленных частиц обычно пренебре-
пренебрегают, по крайней мере в ограниченной области, поскольку
tfg=g2d?<iQ и множитель |2 компенсирует сингулярность. Это
остается верным и в задачах с плоской двумерной симметрией,
для которых соотношение (9.4) будет справедливо, если заме-
заменить б2 одномерной дельта-функцией, а ? — величиной проек-
проекции | на соответствующую плоскость. Если же задача обладает

312	V. МАЛЫЕ И БОЛЬШИЕ ДЛИНЫ СВОБОДНОГО ПРОБЕГА
одномерной плоской симметрией, то 62 исчезает и Uo сводится к
^1)	1	-SO, (9-5)
но сингулярность при gi = 0, вообще говоря, не исчезает даже
при вычислении моментов. Кроме того, ясно, что в двух- или
трехмерном случае и слабая сингулярность, которой на первом
шаге можно пренебречь, в следующих приближениях может
вырасти до сильной. Трудности увеличиваются в неограничен-
неограниченных областях, где последовательные члены расходятся на бес-
бесконечности. Последнее объясняется тем, что отношение средней
длины свободного пробега / к расстоянию d от тела определяет
локальное число Кнудсена, которое стремится к нулю при
d—>оо; следовательно, столкновения обязательно возникают
в неограниченной области и преобладают на больших расстоя-
расстояниях. На этом основании мы должны ожидать, что на бесконеч-
бесконечности имеет место континуальное поведение даже тогда, когда
размеры твердого тела, движущегося в газе, много меньше
средней длины свободного пробега. Это подтверждается общим
решением стационарного линеаризованного уравнения Больц-
мана (разд. 11 гл. IV).
Как отметил Виллис [65—69], обе трудности можно устра-
устранить, если при построении функции Грина (IV. 12.4) сохранить
частоту столкновений. Конечно, для этого требуется, чтобы
столкновительный член можно было представить в виде
f) = Qi(f,f)—*f,	(9-6)
где частота столкновений
$.fi(e, |g-g,|)dg,dede	(9.7)
конечна. Величина v зависит от § и х через f неизвестным обра-
образом. Но это не мешает использовать итерационный метод сле-
следующего вида:
f_, —0.
?•-^Г + evn-,fB = eQ, (/„_,, fn-i) (« = 0, 1, ...), (9'8)
где Vn-i = v(fn_i). Следовательно, fn является приближением
п
п-го порядка к / и соответствует X! &kfk предыдущего метода;
однако теперь решение не представляется степенным рядом
по е. Функция Грина для дифференциального оператора в левой
части уравнения (9.8) (vn-i предполагается известной из пре-
предыдущего приближения), снова дается выражением (IV. 12.4)
при условии, что показатель v(|)|-(x— х')/|2 экспоненты за-

9. ОКОЛОСВОБОДНОМОЛЕКУЛЯРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ	313
меняется на
в$?/0(х, 6; х', Е'К-Пх', b')dt'dx'
(Uo определяется соотношением (9.4)). Таким образом, fn на-
находится в квадратурах, как только известно fn-\-
Обычно осуществляется лишь первая поправка к свободно-
молекулярному потоку. Поскольку можно получить тот же ре-
результат, если сначала с помощью функции Грина (IV. 12.4)
преобразовать уравнение Больцмана в интегральное уравнение
(с
вместо v(?)§-(x— х')/?2 в показателе экспоненты) и затем ре-
решать это интегральное уравнение итерациями со свободномоле-
кулярным решением в качестве нулевого приближения, этот ме-
метод обычно называется методом интегральных итераций. Для
одномерных задач типичные интегралы, вычисляемые при рас-
расчете моментов (см. E.34)), имеют вид
оо
/„ (еж) = \ ехр [- exv (&)?,] <Г% dg, (« = -1,0,1,...). (9.9)
0
Для двумерных задач п начинается с 0, а для трехмерных за-
задач с 1 (в последнем случае gi = g).
Можно разложить экспоненту в ряд по степеням е везде,
кроме малых значений \\. Чтобы учесть вклад от малых значе-
значений gi, следует рассмотреть интегралы вида
/г = — 1, 0, 1, ...),(9Л0)
где vo — значение v(?) для g2 == 0 и соответственно е 1 заме-
заменено единицей. Интегралы такого вида получаются при разде-
разделении в (9.9) вкладов от интервалов @,1) и A,оо) и разложе-
разложении первого интеграла по степеням gi. Если в (9.10) положить
^ = г]/^, то получится
j Г.- - "t^f
(n = -l, 0, 1 ...), (9.11)

314	V. МАЛЫЕ И БОЛЬШИЕ ДЛИНЫ СВОБОДНОГО ПРОБЕГА
где первый член в последнем выражении, конечно, отсутствует,
когда п = —1. Второй и четвертый интегралы — величины по-
порядка единицы при е-*0, причем второй конечен при е-+0,
а четвертый не зависит от е. Первый и третий интегралы легко
вычисляются, так что
(T]=evo;t; /i=*-l, О, 1, . . .). (9.12)
Здесь первый член также считается равным нулю при п = —1.
В этом случае
/_! fa) = - In л + О A) fa = evox).	(9.13)
Первая поправка к типичному моменту в одномерной задаче
дается величиной е, умноженной на интеграл вида (9.9). Сле-
Следовательно, она имеет порядок в1пв = ln(Kn)/Kn. В двумерном
случае та же поправка будет порядка е, но за ней следует e2lne;
в трехмерном случае логарифм появляется в членах третьего
порядка е31пе. В любом случае эти результаты показывают не-
невозможность разложения f в равномерно пригодный степенной
ряд по е.
Если исследовать зависимость от х, то необходимо рассмот-
рассмотреть эффект последующего интегрирования по х (скажем, от О
до х, где х = 0 соответствует границе).
Таким образом, для малых значений х (и любого фиксиро-
фиксированного е, так как в (9.13) важно только ц = evox) типичный
момент в одномерной задаче при х->оо будет вести себя как
х\пх, что означает логарифмическую расходимость производной
на границе.
Во внешней области наряду с влиянием частиц малой скоро-
скорости сказывается влияние частиц, прилетающих из бесконечно-
бесконечности. Вклад от этих частиц дается такими же интегралами, как
и выше, интегрирование проводится от оо до х. В этом случае
интегрирование по скоростям играет незначительную роль, и по-
поэтому мы рассмотрим
L (е) = ^ ехр (— ev^) Qo (x) dx,	(9.14)
X
где vi = v/gi, x — переменная, измеряющая, скажем, расстоя-
расстояние от границы, a Qo(x) — столкновительный член Q\(f,f) из
(9.6), вычисленный для отклонения fd свободномолекулярного
решения от максвеллиана на бесконечности. Функция fd от-
отлична от нуля в точке х внутри телесного угла, под которым
видно тело (или тела), ограничивающее поток газа. Таким об-

9. ОКОЛОСВОБОДНОМОЛЕКУЛЯРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ	315
разом, величина Qo (которая получается из fa интегрированием
по пространству скоростей) пропорциональна этому телесному
углу. Соответственно Qo = const в одномерной (полупростран-
(полупространственной) задаче, Q{ = О(х~{) в двумерной задаче, Q2 = О(х~2)
в трехмерной. Следовательно, интегралы, которые нужно вы-
вычислить, имеют вид
оо
In(e)=$exp(-evlJC)-gL („ = 0, 1, 2, . . .),	(9.15)
1
где п = 0 характеризует одномерный случай, п=\—двумер-
п=\—двумерный и т. д. Нижний предел для определенности взят равным 1
(вклады от конечных областей можно учесть непосредственно).
При п = 0 получаем
оо
L0(e)=jj exp(—ev1A:)dA:=l/(ev1)	(9.16)
и итерационная процедура приводит к совершенно неверным ре-
результатам, поскольку этот член, умноженный на е, дает вклад
того же порядка, что и нулевое приближение ! Поэтому положим
п ^ 1. Пусть х = //г|, г| = evf, тогда
rt-2
Z(— Tl) (— Г[)П~ t \	r\ / t,-\\
~m	1	n	7	ГТГ" In ri -4-	и (ti M
/г! (n — /г — 1) (n — 1)! ' '	v ' y
(Tl=evi; m=1, 2, ...). (9.17)
Следовательно, в двумерном случае (п = 1) вклад от дале-
далеких частиц дает член порядка 1пг| в Li(t|) и поправку порядка
8 In е, или ln(Kn)/Kn в моментах. В трехмерном случае по-
поправке порядка ln(Kn)/(KnJ предшествует член порядка Кп-1.
Заметим, что логарифмический член, обусловленный далекими
молекулами, имеет более низкий порядок, чем логарифмический
член, обусловленный медленными молекулами. Соответственно
во внешней задаче влияние далеких частиц преобладает над не-
неравномерностью, обусловленной медленными частицами.
При использовании приведенных выше результатов в конк-
конкретных численных расчетах необходима известная осторожность.
В самом деле, для больших (но не очень больших) чисел Кнуд-
сена (скажем, 10 ^ Кп ^ 100) In Kn невелик, хотя 1п(Кп)->оо
при Кп->оо. Таким образом, члены порядка 1п(Кп)/Кп, матема-
математически доминирующие над членами порядка 1/Кп, практически
тот же порядок, что и последние. Вследствие этого члены

316	V. МАЛЫЕ И БОЛЬШИЕ ДЛИНЫ СВОБОДНОГО ПРОБЕГА
порядка 1/Кп должны вычисляться вместе с членами порядка
1п(Кп)/Кп, если в указанном интервале чисел Кнудсена жела-
желательна численная точность.
С этим замечанием связан тот факт, что любой множитель
перед Кп в аргументе логарифма не имеет значения до тех пор,
пока одновременно не вычисляется член порядка Кп-1. Это осо-
особенно важно в тех случаях, когда такой множитель содержит
параметр, принимающий очень большие (или малые) значения
(обычно скоростное отношение). Так, Хамель и Купер [70—71]
показали, что первое приближение метода интегральных итера-
итераций не может правильно описать зависимость от скоростного
отношения, и применили метод сращивания асимптотических
разложений в областях вблизи тела и вдали от него. В частно-
частности, для гиперзвукового обтекания двумерной полосы газом из
твердых сфер они получили коэффициент сопротивления в виде
C0 = CDf.m.[l+(elne)/Bn)],	(9.18)
где обратное число Кнудсена отнесено к средней длине свобод-
свободного пробега X == n3/2o2nooSw (а— диаметр молекул, я<х>— чис-
численная плотность на бесконечности и Sw = S(rw?/roo)Va B обозна-
обозначениях разд. 7).
Если столкновительный член таков, что разбиение вида (9.6)
невозможно, то разложение решения при Кп —> оо содержит
дробные степени Кп. Для молекул, взаимодействующих по сте-
степенному закону (X~&r~s), первая поправка в одномерной за-
задаче имеет порядок Kn~(s-1)/(s+1) [72, 69].
Важное следствие этих закономерностей состоит в том, что
приближенные методы решения, которые не могут учесть неана-
неаналитичность при Кп->оо, дают плохие результаты для больших
чисел Кнудсена.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
fll Hilbert D., Math. Ann., 72, 562 A912).
[2] Hilbert D., Grundzuge einer allgemeinen Theorie der linearen Integral-
gleichungen, New York, Chelsea, 1953.
[3] Grad H., Phys. Fluids, 6, 147 A963); русский перевод: сб. «Некоторые
вопросы кинетической теории газов», М., «Мир», 7—92, 1965.
Boguslawski S., Math. Ann., 76, 431 A915).
Morse T. F., Phys. Fluids, 7, 1691 A964).
Chapman S., Phil. Trans. Roy. Soc, A216, 279 A916); 217, 118 A917).
Enskog D., Dissertation, Uppsala, 1917; Arkiv Mat., Ast. och. Fys., 16,
A921).
[8] Chapman S., Cowling T. G., The mathematical theory of nonuniform
gases, Cambridge Univ. Press, 1958; русский перевод: Чепмен С, Кау-
линг Т., Математическая теория неоднородных газов М., ИЛ., 1960.
[9] Hirschfelder J. О., Curtiss С. F., Bird R. D., Molecular theory of gases
and liquids, New York, Wiley, 1954; русский перевод: Гиршфельдер Дж.,

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ	317
Кертис Ч., Берд Р., Молекулярная теория газов и жидкостей, М., ИЛ,
1961.
[10] Ferziger J. Н., Карег Н. G., Mathematical theory of transport processes
in gases, Amsterdam, North Holland, 1972; русский перевод: Ферци-
гер Дж., Капер Г., Математическая теория процессов переноса в газах,
М., «Мир», 1976.
Chamberg R., Ph. D. Thesis, Calif. Inst. Technology, 1947.
Cercignanl C, Univ. of California, Rep. No. AS-64-18, 1964.
Trilling L, Phys. Fluids, 7, 1681 A964).
Grad H., in "Transport theory" (Bellman R. et al., eds.), SIAM-AMS
Proceedings, vol. I, p. 269, Providence, AMS, 1968.
[15] Cercignani C, in "Transport theory" (Bellman R. et al., eds.), SIAM-
AMS Proceedings, vol. I, p. 249, Providence, AMS, 1968.
[16] Cercignani C, Mathematical methods in kinetic theory, New York, Ple-
Plenum Press, 1969; русский перевод: Черчиньяни К., Математические ме-
методы в кинетической теории газов, М., «Мир», 1973.
[17] Welander P., Arkiv Fysik, 7, 507 A954); русский перевод (сокращен-
(сокращенный) в дополнении к кн. Девиен М., Течения и теплообмен разрежен-
разреженных газов, М., ИЛ, 164—186, 1962.
[181 Cercignani С, Ann, Phys., N. Y., 20, 219 A962).
[19] Albertoni S., Cercignani C, Gotusso L., Phys. Fluids, 6, 993 A963).
[20] Willis D. R., Phys. Fluids, 5, 127 A962); русский перевод: сб. Механи-
Механика, № 2 G8), 87—103 A963).
[21] Loyalka S. К.. Phys. Fluids, 14, 21 A971).
[22] Loyalka S. K., Phys. Fluids, 12, 2301 A969).
[23] Bassanini P., Cercignani C, Pagani C. D., Int. I. Heat and Mass Trans-
Transfer, 10, 447 A967).
241 Loyalka S. K., Ferziger J. H., Phys. Fluids, 10, 1833 A967).
251 Loyalka S. K., Ferziger J. H., Phys. Fluids, 11, 1668 A968).
261 Cercignani C, Tironi G., Nuovo Cimento, 43, 64 A966).
;27"j Cercignani C, Ann. Phys., 40, 469 A966).
[28] Cercignani C, Foresti P., Sernagiotto F., Nuovo Cimento, X, 57B, 297
A968).
291 Sone Y., /. Phys. Soc. Japan, 21, 1836 A966).
'301 Williams M. M. R., /. Fluid Mech., 45, 759 A971).
311 Cercignani C, /. Math. Anal, and Appl, 10, 568 A965).
32] Cercignani C, Pagani C. D., in "Rarefied gas dynamics" (Trilling L.,
Wachman H., eds), vol. I, p. 269, New York, Academic Press, 1969.
[331 Loyalka S. K., Cipolla J W., Phys. Fluids, 14, 1656 A971).
[341 КПпс Т., Kuscer I., Phys. Fluids, 15, 1018 A972).
[35] Sone Y., in "Rarefied gas dynamics" (Trilling L., Wachman H., eds.),
vol. I, p. 243, New York, Academic Press, 1969.
[361 Sone Y., 7th Symposium on Rarefied Gas Dynamics, Pisa, 1970.
[371 Ganz A., Sirovich L, Phys. Fluids, 16, 50 A973).
[38] Darrozes J. S, in "Rarefied gas dynamics" (Trilling L., Wachman H.,
eds.), vol. I, p. Ill, New York, Academic Press, 1969.
[391 Sone Y., Kyoto Univ. Research Rep. N. 24, 1972.
[40] Pan Y. S., Probstein R. F., in "Rarefied gas dynamics" (Laurmann J. A.,
ed.), vol. II, p. 194, New York, Academic Press, 1963.
[411 Enskog D., Physik Zeitschr., 12, 533 A911).
[42] Chapman S., Dootson F. W., Phil Mag., 33, 248 A917).
[43] Grad H., in "Rarefied gas dynamics" (Devienne M., ed.), p. 100, New
York, Pergamon Press, I960; русский перевод: сб. «Газодинамика раз-
разреженных газов», М., ИЛ, 171—232, 1963.
[44] Johnson F. A., Phys. Fluids, 16, 45 A973).
[45] Abramowitz M., Stegun I. A., Handbook of mathematical functions, Wa-
Washington, National Bureau of Standards, 1964.

318	v- МАЛЫЕ И БОЛЬШИЕ ДЛИНЫ СВОБОДНОГО ПРОБЕГА
[46] Schaaf S. A., Handbuch der Physik, Band VIII/2, S. 591, Berlin, Sprin-
Springer, 1963.
[47] Коган M. H., Динамика разреженных газов, М., «Наука», 1967.
[48] Шидловский В. П., Введение в динамику разреженных газов, М., «Нау-
«Наука», 1965.
[49] Schlichting H., Grenzschicht-Theorie, Karlsruhe, 1951; русский перевод:
Шлихтинг Г., Теория пограничного слоя, М., «Наука», 1974.
[50] Stalder J., Goodwin С., Creager M., NASA Rept.'Nos. 1032, 1951; 1093,
1952.
Gustafson W. A., A. R. S. Jour., 29, 301 A959).
Schrello В. М., A. R. S. Jour., 30, 8 A960).
Cook G. E., Planet. Space Sci., 13, 929 A965).
Мое О. К., Ph. D. Thesis, Univ. of Calif., Los Angeles, 1966.
Hurlbut F. C, Sherman F. S., Phys. Fluids, 11, 486 A968).
Riganti R., Chiado Piat M. G., Meccanica, 6, 132 A971).
Cercignani C, Lampis M., Entropie, 44, 40 A972).
Cercignani C, Lampis M., ZAMP, 23, 713 A972).
Lampis M., in "Rarefied gas dynamics" (Karamcheti K., ed.), p. 369,
New York, Academic Press, 1974.
Clausing D., Ann. Physik, 12, 961 A932).
Sparrow E. M., Johnson V. K., /. of Heat Transfer, 6, 841 A963)
Pao Y. P., Tchao J., Phys. Fluids, 13, 527 A970).
Knudsen M., Ann. Phys., 28, 75 A909).
Smoluchowski M, Ann. Physik, 33, 1559 A910),
Willis D. R., Princeton Univ. Aero. Engineering Lab. Rep. No. 440, 1950.
Willis D. R., in "Rarefied gas dynamics" (Devienne M., ed.), p. 246, New
York, Pergamon Press, 1960; русский перевод: сб. «Газодинамика раз-
разреженных газов», М.. ИЛ, 385—400, 1963.
[67] Willis D. R., Taub P., Princeton Univ. Gas Dynamics Lab. Rep. No. 726,
1965.
Willis D. R., General Electric Co. TIS 60SD399, 1960.
Willis D. R., Rand Corporation Memorandum TM, 4638, PR, 1965.
Cooper A. L., Hamel В. В., Phys. Fluids, 16, 35 A973).
Hamel В. В., Cooper A. L, Phys. Fluids, 16, 43 A973).
Smolderen J., in "Rarefied gas dynamics" (de Leeuw J. H., ed.), vol. I,
p. 277, New York, Academic Press, 1965.
[73*] Баранцев Р. Г., У Цзжень-юй, Силы и моменты, действующие на тела
вращения в свободиомолекулярном потоке, Вестн. ЛГУ, № 13, 79—92
A961).
[74*1 Баранцев Р. Г., Об асимптотических решениях кинетического уравнения,
в кн. «Аэродинамика разреженных газов», вып. 1, Л., изд-во ЛГУ, 246—
266, 1963.
[75*] Струминский В. В., О методе Гильберта решения кинетического урав-
уравнения Больцмана, Докл. АН СССР, 158, № 1, 70—73 A964); О неко-
некотором обобщении кинетической теории газов, Докл. АН СССР, 171,
№ 3, 541—544 A966).
[76*] Алексеева Е. В., Баранцев Р. Г., Свободномолекулярное обтекание тел
сложной формы, в кн. «Аэродинамика разреженных газов», вып. 3, Л.,
изд-во ЛГУ, 58—66, 1967.
[77*] Баранцев Р. Г., Аэродинамика невыпуклых тел в установившемся сво-
бодномолекулярном потоке, в кн. «Аэродинамику разреженных газов»,
вып. 4, Л., изд-во ЛГУ, 46—55, 1969.
[78*] Баранцев Р. Г., Федорова В. М., Применение лучевой схемы отражения
к расчету околосвободномолекулярных течений газа, в'кн. «Аэродина-
«Аэродинамика разреженных газов», вып. 5, Л., изд-во ЛГУ, 91 — 106, 1970.
[79*] Мусанов С. В., Сферическая полость в свободномолекулярном потоке,
Ученые записки ЦАГИ> 2> № 2, 40—49 A971); Аэродинамические харак-

список литературы	319
теристики осеспмметричных полостей в свободномолекулярном потоке,
там же, 3, № 5, 104—109 A972).
[80*] Струминский В. В., К теории кинетического уравнения Больцмана, в кн.
«Аэрогазодинамика», Новосибирск, «Наука», 11 — 16, 1973.
[81*] Алексеева Е. В., Баранцев Р. Г., Сергеев В. Л., Свободномолекуляр-
ная интерференция цилиндров при лучевом отражении по нормали,
в кн. «Аэродинамика разреженных газов», вып. 6, Л., изд-во ЛГУ,
40—46, 1973.
[82*] Алексеева Е. В., Диффузно отражающая сфера в гиперзвуковом потоке
сильно разреженного газа, в кн. «Аэродинамика разреженных газов»,
вып. 7, Л., изд-во ЛГУ, 148—157, 1974.
[83*] Галкин В. С, Коган М. Н., Макашев Н. К., Обобщенный метод Чепме-
на —Энскога, Ученые записки ЦЛГИ, 5, № 5, 66—76 A974); 6, № 1,
15—27 A975); Докл. АН СССР, 220, № 2, 304—307 A975).
[84*] Закиров М. А., Об аэродинамических коэффициентах некоторых слож-
сложных тел в свободномолекулярном потоке, Ученые записки ЦЛГИ, 6,
№ 4, 82—85 A975).
[85*] Баранцев Р. Г., Взаимодействие разреженных газов с обтекаемыми
поверхностями, М., «Наука», 1975.
[86*] Коган М. Н., Галкин В. С, Фридлендер О. Г., О напряжениях, возни-
возникающих в газах вследствие неоднородности температуры и концентра-
концентраций. Новые типы свободной конвекции, Успехи физич. наук, 119, № 1,
111—125 A976).
[87*] Жук В. И., Рыков В. А., Течение разреженного газа от сферического
источника при малых числах Кнудсена, Ж. вычисл. мат. и мат. фи-
физики, 16, № 3, 738—749 A976).
[88*] Копылова А. В., Поведение потока сильно разреженного газа около
сферы при лучевом отражении по нормали, в кн. «Аэродинамика разре-
разреженных газов», вып. 6, Л., изд-во ЛГУ, 29—33, 1973; Расчет полей
газодинамических величин при околосвободномолекулярном обтекании
сферы, там же, вып. 8, 136—152, 1976.
[89*] Шаповалов Г. К., О начальных условиях для уравнений гидродинамики
разреженного газа, в кн. «Аэромеханика», М., «Наука», 303—306, 1976.
[90*] Баранцев Р. Г., Сергеев В. Л., Свободномолекулярная интерференция
при околодиффузном отражении, в кн. «Аэродинамика разреженных
газов», вып. 8, Л., изд-во ЛГУ, 113—126, 1976.
[91*] Алексеева Е. В., Федорова В. М., Расчет гиперзвукового обтекания
конуса в околосвободномолекулярном режиме с отражением по норма-
нормали, в кн. «Аэродинамика разреженных газов», вып. 8, Л., изд-во ЛГУ,
127—135. 1976.
[92*] Буров А. В., Маслова Н. Б., Свободномолекулярное обтекание невы-
невыпуклых тел. Некоторые математические вопросы, в кн. «Аэродинамика
разреженных газов», вып. 8, Л., изд-во ЛГУ, 46—56, 1976.

VI
Аналитические решения
модельных уравнений
1. Метод элементарных решений
Теория, развитая в гл. IV, показывает, что изучение ли-
линеаризованного уравнения Больцмана имеет смысл и что многие
свойства его решений могут быть сохранены при использовании
модельных уравнений (разд. 9 гл. IV). Можно сказать даже
больше: правильно выбранное модельное уравнение практиче-
практически сохраняет все свойства. Преимущество этих уравнений за-
заключается, по существу, в упрощении аналитических и числен-
численных методов решения граничных задач, представляющих значи-
значительный интерес.
В частности, польза модельных уравнений неоценима в тех
случаях, когда их решение получается в явном виде (выра-
(выражается интегралами от функций, качественное поведение кото-
которых может быть изучено аналитически). Поэтому данная глава
будет посвящена аналитическим методам, при помощи которых
можно извлечь интересную информацию из модельных урав-
уравнений.
Всюду (за исключением разд. 13 и 14) будет использоваться
метод разделения переменных, уже описанный в общих чертах
в разд. 6—8 гл. IV. На первом шаге этого метода строится пол-
полная система решений с разделенными переменными («элемен-
(«элементарных решений») и общее решение представляется линейной
комбинацией найденных элементарных решений. На втором
шаге при помощи граничных и начальных условий определяются
коэффициенты, входящие в эту комбинацию.
Для модельных уравнений, рассмотренных в разд. 9 гл. IV,
можно решить первую задачу, вторую же удается точно решить
лишь в отдельных случаях. Тем не менее метод остается полез-
полезным даже тогда, когда вторая задача неразрешима или ре-
решается только приближенно, потому что он дает возможность
найти аналитическое представление решения и, следовательно,
качественно характеризовать его поведение (см. разд. 5).
Следует отметить, что метод разделения переменных не яв-
является единственно возможным для решения этих задач: метод
Винера — Хопфа [1—3] полностью эквивалентен методу элемен-
элементарных решений. Обсуждение этого вопроса будет продолжено
в разд. 11.

2. РАСЩЕПЛЕНИЕ ОДНОМЕРНОГО МОДЕЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ	321
2. Расщепление одномерного модельного
уравнения
Начнем с задач простейшего типа — стационарных и одно-
одномерных— и с простейшей модели столкновений (IV. 9.15), вклю-
включающей линеаризованную модель Крука с частотой, зависящей
от скорости.
Рассмотрим уравнение
li|j = ^,	B.1)
где х — декартова координата, от которой зависит /г, gi — соот-
соответствующая компонента скорости молекул §, а
Lh = v (I) Г t (viv, fi)-h], (*„, v%) = б .
L a=0	J
B.2)
Неизвестную функцию h можно представить в виде суммы
А = А1 + А2 + А3|	B.3)
где
1
А2 = П2Л = I (/ + Р2) (/ - Р3) К	B.4)
а Р^, как обычно, представляет собой оператор отражения
fc-й компоненты \ [P3f(^i, Ъ> Ь) = /(§ь ^2, — ЬI Таким образом,
гильбертово пространство Ж, которому принадлежит Л, разби-
разбивается на три взаимно орготогональных подпространства Ж\,
5^2, Жъ (из равенств Р| = 7 и PhPh = PhPh следует, что
операторы Щ удовлетворяют соотношениям ЩЩ = б^Щ,
з
2 Щ = 7). Частоту столкновений v будем считать четной по
всем компонентам | (обычно она зависит только от величины
скорости g); инварианты a|>0, i|;i, ф4, будучи линейными комбина-
комбинациями 1, gb g2, принадлежат Ж\, инвариант \|J принадлежит 5^2,
а инвариант -фз принадлежит Зёъ. Следовательно, применяя к
Уравнению B.1) операторы Пь П2, П3, получаем
Si -f~ = ^ [(vifro, Л!) я|H + (vi!^ А,) ф, + (vi|?4, А,) ф4 - А,], B.5)
Si -Ц" ^ v f^ (v*2. A2) - А2],	B.6)
43, Аз)-Аз].	B.7)

322	VI. АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ МОДЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Весьма существенно, что уравнения B.5)-—B.7) оказы-
оказываются независимыми; кроме того, в уравнения B.6) и B.7)
входит только по одному «моменту» (vipfc, hh) (ft = 2,3), а в
уравнение B.5) — три вместо пяти «моментов» уравнения B.1).
Уравнение B.5) описывает процессы теплопереноса вдоль
оси х, а B.6) и B.7) — эффекты сдвига, обусловленные тече-
течениями в направлениях осей у и z соответственно. Рассмотрим
сначала простейший случай уравнения B.7) (или B.6), кото-
которое отличается от B.7) только наименованием осей). Полагая
Нг = 1|93У, получаем
Заметим, что в случае простейших моделей переноса нейтро-
нейтронов, (IV. 9.25) и (IV. 9.27), такого расщепления не требуется,
поскольку столкновительный член с самого начала содержит
только один «момент». Положив в (IV. 9.25) / =/0У, получим,
что У удовлетворяет уравнению B.8) с у вместо i|:|%
3. Элементарные решения простейшего
уравнения переноса
Согласно результатам разд. 2, простейшие задачи переноса
нейтронов и динамики разреженных газов приводят к уравне-
уравнению
в котором
go(!) = vfoi|)! (сдвиговое течение газа),	C.2)
gro(|) = Yvfo (термализация нейтронов).	C.3)
Введем переменную w:
считая эту зависимость однозначно обратимой, так что
?i = li(a>, g2, У-	C.5)
Это, очевидно, возможно, если производная d[gi/v(gb ЬЛз)]/д^\
отлична от нуля при любых ?2> 1з- В таком случае уравне-
уравнение C.1) примет вид
k
W^- + Y= J Z{x, w^dwj,	C.6)
-к

3. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ РЕШЕНИЯ ПРОСТЕЙШЕГО УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА 323
ГД6	Г	да
Z (х, да) = \ go [|i (о», бг, У, 1ъ Ы У (х, ш, |2, У -g- 42 4з, C.7)
C.8)
считается не зависящим от ?2, |з (что выполняется, если
v = vF)).
Положим
^оИ = \ go [h (w9 |2> У, g2f у ^г42 dt3.	C.9)
Умножив C.6) на go{dlJdw) и проинтегрировав по |2, Ь> по"
лучим
w^+Z(x, w) = Z0(w) ] Z(xt wx)dwx.	C.10)
К аналогичному уравнению можно прийти, исходя из
(IV. 9.27), которое в стационарном случае при отсутствии внеш-
внешних источников записывается в виде
+ 1 2л
v-r	\-ау?=^ \ \ 4{х, ц/, фОФ'^ф',	C.11)
OX	4Jt J J
-1 0
где \х = cos 8 — косинус угла между х и Q, ф — азимутальный
угол ft (с и а — постоянные). Если положить
2я
М-	1 Р	/ j /	с
<у	'	2я J	'	2
о
а затем умножить C.11) на Bя)~~! и проинтегрировать по ф, то
получится уравнение C.10) с k= 1/а. Заметим, что
\ Zo dw = \ vfo\|)? rf| = 1 (сдвиговое течение газа),
\ Zodw = у \ ^[ой|= 1 (термализация нейтронов), C.13)
г	г1 с
\Zodw—\ yd\i = с (односкоростной перенос
_i	нейтронов).
В последнем случае интеграл равен единице только при
с == 1, т. е. в чисто рассеивающей среде. Это означает, что при
с ?= 1 законы сохранения отсутствуют. Общее решение уравне-
уравнения C.10) было изучено Кейзом [4] для случая односкоростного
переноса нейтронов и Черчиньяни для сдвигового течения газа

324	VI. АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ МОДЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
как с постоянной [5], так и с переменной [6] частотой столкно-
столкновений. В этих работах использован метод элементарных реше-
решений, который и описывается в данном и следующем разделах.
Начнем с разделения переменных. Полагая
Z(x, w) = X(x)g(w)ZQ(w),	C.14)
легко видеть, что либо Z = Ло (Ао — произвольная постоянная),
либо
Zu(x, w) = e-*'«gu(w)ZQ(w),	C.15)
где gu(l) удовлетворяет уравнению
к
(- w/u + 1) gu И = \ 8и {wi) ZQ (w{) dwu	C.16)
-k
а параметр разделения и использован как индекс элементар-
элементарного решения.
Хотя априори можно было предположить, что и — комплекс-
комплексная величина, легко видеть, что если \ Z^dw^X, то и — веще-
вещественное число, Это следует из непосредственных рассуждений
[4—6] или из общих результатов разд. 7 гл. IV. Если \ Zo dw >
> 1 (односкоростной перенос нейтронов с с > 1), то существует
дискретное множество комплексных собственных значений (см.
к
конец разд. 7 гл. IV); если \ Zo dw= 1 и k < оо? то легко по-
-к
казать, что вне интервала (—k, k) нет вещественных собствен-
собственных значений.
Эти результаты можно доказать [4—6] тем же способом, ко-
который используется в разд. 6 при рассмотрении дискретного
спектра в нестационарном случае; в частности, если \ Zo dw > 1,
то существует точно два комплексных собственных значе-
значения, которые оказываются чисто мнимыми [4]. Если не рассмат-
рассматривать достаточно простой случай \ Zodw ф 1 (см. разд. 6), то
значения и должны быть вещественными и находиться в интер-
интервале (—/г, k). Это требует некоторой осторожности, поскольку
уравнение C.16) нельзя разделить на и — w. Однако эта труд-
трудность преодолевается, если gu{w) считать обобщенной функ-
функцией (см. разд. 2 гл. I). Пренебрегая постоянным множителем
(т. е. нормируя gu так, чтобы правая часть C.16) равнялась 1),
получаем уравнение для gu(w)-
^ ft, («0 = 1.	C.17)

3, ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ РЕШЕНИЯ ПРОСТЕЙШЕГО УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА 325
Если w ф и, то gu (w) = и/ (и — w), но при w = и это теряет
смысл (в частности, интеграл в C.16) не существует в обычном
смысле). Однако можно ввести обобщенную функцию, напри-
например, как предел последовательности
gm (w) = тЧ (и - w)/(m2 (и - wf + 1).	C.18)
Этот предел, понимаемый в смысле, указанном в разд. 2
гл. I, существует и удовлетворяет уравнению C.17) [7]. Такая
обобщенная функция обозначается через
n U "= lim if^~WL>	C.19)
где Р может читаться как «главная часть...». Интегралы, содер-
содержащие эту обобщенную функцию, должны интерпретироваться
в смысле главного значения Коши [8]:
..... C.20)
| W — U |>8
Можно спросить, является ли Р[и/(и — w)] единственным ре-
решением уравнения C.17). Ответ на этот вопрос отрицательный.
В самом деле, наиболее общее решение будет суммой
Р[и/(и — w)] и общего решения однородного уравнения
(u — w)T(w) = 0.	C.21)
Наиболее общим решением уравнения C.21) является крат-
кратное дельта-функции Дирака 6 (и — w), определенной в разд. 2
гл. I. Следовательно, общее решение уравнения C.17) имеет вид
8и И = Р ^7 + р(и)Ь(и- «у),	C.22)
где множитель перед дельта-функцией может зависеть от а и
поэтому обозначается через р(и). Для того чтобы выражение
C.22) удовлетворяло уравнению C.16), должно выполняться
условие нормировки для gw(ifl), так что правая часть C.16)
должна быть равна единице. Это условие выполняется для лю-
любого вещественного и (—k < и <С k) и служит для определения
-к
C.23)
k
Здесь использован тот факт, что \ Z0(w)dw = l.
-k
Обобщенные собственные функции gu(w) обладают многими
свойствами ортогональности и полноты. Для полного интервала

326	VI. АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ МОДЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
(—k < w < k) эти свойства вытекают из результатов разд. 7
гл. IV. Другие свойства ортогональности и полноты в частичных
интервалах (особенно в интервале О <С w << k) доказать труд-
труднее, так как для этого требуются решения сингулярных инте-
интегральных уравнений. Однако к таким задачам можно применить
стандартные методы (см. [8] и приложение) и получить следую-
следующие результаты [4—6].
Теорема I. Обобщенные функции Z0(w)gu(w) (—k <C
< и <. k) и goo = Z0(w) вместе с функцией g* = wZ0(w) обра-
образуют полную систему для функций Z(w), определенных на ве-
вещественной оси, удовлетворяющих условию Гёльдера в любом
открытом интервале, содержащемся в (—ky k), и таких, что
w2Z(w)dw<°o.	C.24)
При этом коэффициенты обобщенного разложения
(и)gu(w)du Zo(w) C.25)
J
однозначно и в явном виде определяются формулами
Ло = И w2Z0 (w) dw J w2Z (w) dwf	C.26)
A\ = \\ w2Z0{w)dw\ J wZ(w)dw9	C.27)
k
А (и) = [С (и)Г] J wZ (w) gu (w) dw,	C.28)
-k
где
С (и) = uZ0 (и) {[p (и)]2 + n2u2}.	C.29)
Теорема П. Обобщенные собственные функции Z0(w)gu (w)
(О <С и <С k) и goo = Zq(w) образуют полную систему для функ-
функций Z(w), определенных на интервале 0 < w << k, удовлетво-
удовлетворяющих условию Гёльдера в любом открытом интервале, содер-
содержащемся в @, &)> и интегрируемых с весом w2. При этом коэф-
коэффициенты обобщенного разложения
Z (w) = Ло + \А (и) gu (w) dw Zo (w)	C.30)

3. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ РЕШЕНИЯ ПРОСТЕЙШЕГО УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА 327
однозначно и в явном виде определяются формулами
к	-,-1 k
U к	-,-1 k
j w2Z0(w) dw\ ^wP (w) Z (w) dw,	C.31)
¦k	Jo
k
A (u) = [C (u) P {u)]~{ J wP (w) gu (w) Z (w) dw.	C.32)
о
Здесь
C.33)
где арктангенс меняется от — я до 0, когда t меняется от 0 до k.
Согласно общим результатам разд. 7 гл. IV, теорема I
гарантирует, что общее решение уравнения C.10) имеет вид
Z (х, w) = Ло + Ах (х - w) + J Л (а) в-^и (ш) ^ Zo (ш). C.34)
Теорема II не менее (а может быть, и более) важна, по-
поскольку она позволяет решать граничные задачи. Эта теорема
показывает, что обобщенные собственные функции ортогональны
на @, k) с весом wZ0(w)P(w). Такое свойство ортогональности
является более стандартным, чем ортогональность на всем ин-
интервале, так как весовая функция положительна. Единственное,
в чем теперь состоит трудность, заключается в сложном виде
функции P(w)\ однако следует заметить, что, хотя P(w) отнюдь
не является элементарной функцией, она удовлетворяет двум
важным тождествам, которые позволяют преобразовать инте-
интегралы, содержащие P(w), гораздо легче, чем можно было бы
ожидать. Эти тождества таковы (см. [4—6]):
k	I k
Г k	I k
\ w2Z0 (w) dw J tZoi%Pu(t) dt- [P(и)Г\ C.35)
L-k	J о
Кроме того,
J u2ZQ(u)du .	C.37)

328	VI. АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ МОДЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
После того как уравнение C.10) решено, общее решение
уравнения C.6) и, следовательно, C.1) выписать легко, по-
поскольку все сводится к решению обыкновенного дифференциаль-
дифференциального уравнения с заданным свободным членом. В результате
получаем
Y(x, l) = AQ+Al{x-[yv(t)]} +
k
J А (и) e-*l»gu (-^-) du + B (§) е-*- ^, C.38)
где В{%) — произвольная функция, которая должна удовлетво-
удовлетворять только условию
\ |
© в (I) {JL (^)}\__%х 1щ fc ^ ^з = о. C.39)
Закончим этот раздел замечанием о том, какой вид прини-
принимают рассмотренные результаты в частных случаях. Если
v(g) = v постоянна (БГК-модель) и за единицу длины взята
Bi?roI/2v-1 = 2лг1/2/, а за единицу скорости B/?Г0I/2 (Го —не-
—невозмущенная температура, / — средняя длина свободного про-
пробега, определяемая формулой (V. 1.3)), то i|K=y2?3> ^0 = 2|2f0,
W = |j, k = oo И
ZoH — rt-V-t*	C.40)
Соответственно
J f^[\\ C.41)
Таким образом, р(ш) выражается через затабулированные
функции [9, Ю]. Выражения C.26), C.27), C.31), C.34), C.36),
C.37) несколько упрощаются, так как
~-
Если v(?) = ag (постоянная длина свободного пробега), at>3 =
= [3/Da)]V2 • Jtl/4g3, ^ = b/(la), k=l/a и за единицы скорости и
длины взяты соответственно B/?Г0I/з и 1/ст, то
2оМ = 4A-^),	C.43)
u2-\) . . /1-«Л /О/)л

4. ПРИМЕНЕНИЕ ОБЩЕГО МЕТОДА К ЗАДАЧАМ КРАМЕРСА И МИЛНА 329
Наконец, в случае, когда в уравнении C.11) с= 1 и за еди-
единицу длины взята сН, имеем
4. Применение общего метода к задачам Крамерса и Милна
В этом разделе мы применим полученные выше результаты
к решению двух типичных граничных задач теории переноса, за-
задач Крамерса и Милна.
Задача Крамерса состоит в нахождении функции распреде-
распределения молекул газа при следующих условиях (см. рис. 35). Газ
заполняет полупространство х > О, ограниченное стенкой в пло-
плоскости х = 0, будучи неоднородным из-за градиента г-компо-
ненты массовой скорости вдоль оси х, который стремится к по-
постоянному значению а при л:—>оо. Ясно, что такую ситуацию
можно рассматривать как предельный случай плоского течения
Куэтта (течение сдвига между двумя параллельными пласти-
пластинами), когда одна из пластин отодвигается на бесконечность, в
то время как отношение разности скоростей пластин к расстоя-
расстоянию между ними остается постоянным.
При более общем подходе задачу Крамерса можно интерпре-
интерпретировать как задачу связи через кинетический пограничный слой
(см. разд. 5 гл. V); в этом случае «бесконечность» означает
область, где справедливо решение Гильберта, а градиент скоро-
скорости «на бесконечности» можно считать постоянным, поскольку
в масштабе средней длины свободного пробега его изменения
незаметны.
Обе эти интерпретации задачи Крамерса наводят на мысль,
что удобно воспользоваться линеаризацией около максвеллиана
с,массовой скоростью ах вдоль оси z. Вследствие неоднородно-
неоднородности этого максвеллиана линеаризация приводит к неоднород-
неоднородному уравнению Больцмана
4- — = Lh	D П
где c = (ci, с2> Cz) = (?ь ?2, Ъ — ах). Уравнение D.1) сводится
к однородному уравнению Больцмана вычитанием частного ре-
решения. Одно частное решение, не зависящее от х, следует из
теории Гильберта; это решение Ь-1Bас\Сз) для модели B.2)
равно —2ас\сф{с). Таким образом,
Н = - 2аС]ф (с) + 2c:iY (x, с),	D.2)

330
VI. АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ МОДЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
X i
Кинетический
пограничный слой
Рис. 35. Схематический профиль скорости вблизи стенки при наличии гра-
градиента скорости в основной части потока.
где Y(x, |) удовлетворяет уравнению C.1). Массовая скорость
равна
о3 = ах + 2р-' \ ||У (х, ?) f0 (I) dl	D.3)
причем первый член является вкладом от максвеллиана /о(с).
Относительно граничных условий предположим, что моле-
молекулы отражаются от стенки с максвелловским распределением
при полной аккомодации к состоянию стенки (более общие
предположения см., например, в [11]). Поэтому граничное усло-
условие для h запишется в виде
или
МО, с) = 0
7@, g) = <?
-D.4)
D.5)
Кроме того, функция У должна быть ограничена на беско-
бесконечности.

4. ПРИМЕНЕНИЕ ОБЩЕГО МЕТОДА К ЗАДАЧАМ КРАМЕРСА И МИЛНА 331
Согласно результатам разд. 3, общее решение уравнения
C.1), удовлетворяющее условию ограниченности на бесконеч-
бесконечности, имеет вид
k
Y (х, I) = Ло + \ А (и) е- x'"gu (-A_) du + B (I) e~™ tt)/6,, D.6)
где ВЦ) удовлетворяет уравнению C.39). Условие на стенке
дает
k
^	\(^)u + B®.	D.7)
Из D.7) и C.39) легко получить, что В(|) = 0. Таким образом,
решить задачу — значит разложить Z(w) = awZ0(w) в соответ-
соответствии с теоремой II разд. 3; поэтому Ло и А (и) сразу находятся
из формул C.31) и C.32) в виде
Ло = — ая-1 \ arctg [nw/p (w)] dw,	D.8)
о
к
A(u) = -a[Zo(и)Р(и)]'1 {[р(и)]2 + A2} J w2Z(w)dw, D.9)
-k
где использовано тождество C.35), ведущее прямо к D.9), а
также тождество, получающееся асимптотическим разложением
для больших значений и и сравнением с C.36) или C.33), т. е.
тождество
I Г	If	If
\ w2Z0 (w) dw \ w2ZQ (w) P(w)dw = — —\ arctg [nt/p (t)] dt,
L-k	J о	о	DЛ0)
из которого следует формула D.8).
Подставляя выражения D.8) и D.9) в D.6), получаем ре-
решение задачи Крамерса. Массовую скорость легко найти из
D.3) и D.6) в виде
к
v3 (х) = ах + Ло + J Л {и) п (и) е~^ du,	D.11)
о
где
'I	D.12)
а Ло и А (и) определены формулами D.8) и D.9). Из D.11)
видно, что Ло —макроскопическая скорость скольжения газа на

332	VI. АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ МОДЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
стенке (см. разд. 5 гл. V); ее можно записать в виде ?а, где
?•—коэффициент скольжения:
к
? = — я-1 \ arctg [nw/p (w)] dw.	D.13)
о
Таким образом, вычисление коэффициента скольжения в
случае произвольной функции v(?) сводится к квадратурам.
В частности, если v(?) = const (БГК-модель), то, учитывая
C.40) и интегрируя по частям, получаем
, ™* 2=2l\ г "'Т?", 2- DЛЗа)
о
Здесь /? (ад) дается формулой C.41), а / — средняя длина сво-
свободного пробега, определенная формулой (V. 1.3) и, следова-
следовательно, связанная с 9 = v соотношением 0 = 2я~1/2/ BRT0 = 1).
В работе [12] численно найден интеграл, входящий в D.13а), и
получен результат
5=1,016159=1,1466/.	D.14)
Если v(?) не постоянная, то ? нужно вычислять по D.13).
Некоторые частные случаи были рассмотрены в [13]. Оказалось,
что для v(?), возрастающей линейно при ?->оо, значение ?
несколько ниже (на 3%), чем для БГК-модели (с постоянным
коэффициентом вязкости).
Далее в этом разделе ограничимся рассмотрением БГК-мо-
БГК-модели (постоянная частота столкновений). Тогда выражение
D.11) можно переписать в виде
щ (Х) = а [х + ? - (jtV.9/2) / (*/в)],	D.15)
где функция I(x/Q) практически равна нулю вне кинетического
слоя; профиль скорости изображен на рис.35. Функция I(x/Q)
легко вычисляется [14]; ее график приведен на рис. 36.
Непосредственное вычисление микроскопического скольже-
скольжения, т. е. скорости газа на стенке, не требует никакого числен-
численного интегрирования. В самом деле,
,з @) - a U - / \ е^2 <;>?, dw) = B/я)* а/, D.16)
о
где последний результат получается подстановкой и = 0 в фор-
формулу C.36) и учетом соотношений C.37), D.13) и C.42).
Аналогично находится функция распределения молекул, при-
прилетающих на стенку. Воспользовавшись C 36), получим
Y @, 1) = Y @, |,) = 2я-'/.а/|, + 2п~^а1Р (- |,) (|, < 0). D.17)

4. ПРИМЕНЕНИЕ ОБЩЕГО МЕТОДА К ЗАДАЧАМ КРАМЕРСА И МИЛНА 333
2	4 х/в 6
Рис. 36. График функции / (х/8), входящей в формулу D.15).
Тогда А (О, с) (возмущение максвелловского распределения на
стенке) определяется формулой
D.18)
и функцию P(w) (w > 0) можно физически интерпретировать,
используя функцию распределения молекул, прилетающих на
стенку. Из C.36) вытекает, что
\Cl I + 0,7071 <P(\cl\)<\cl\+ 1,01615.	D.19)
Следовательно, функция распределения прилетающих моле-
молекул довольно близка к распределению Гильберта; в самом деле,
разложение Гильберта приводит к формуле D.18) с линейной
функцией P(|ci|) (таково распределение вне кинетического
слоя согласно D.2) и D.6)). То, что распределение молекул,
прилетающих на стенку, близко к распределению вне кинетиче-
кинетического пограничного слоя, не удивительно; действительно, каж-
каждая молекула имеет скорость, приобретенную в результате по-
последнего столкновения, которое происходит на расстоянии сред-
средней длины свободного пробега от стенки, т. е. в области, где
функция распределения определяется по Гильберту. Интересно
отметить, что Максвелл [15] считал функцию распределения
прилетающих на стенку молекул такой же, как вдали от стенки;
используя это предположение и закон сохранения импульса, он

334	VI. АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ МОДЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
смог оценить коэффициент скольжения, не решая задачу Кра-
мерса, и нашел, что ? = I (с ошибкой 15%), а
h(О, с) = 4п~1Ыс3(\с{\ + 0,8863) (с{ < 0),	D.20)
что является хорошим приближением к точному результату,
определяемому соотношениями D.18) и D.19).
Задача о переносе нейтронов, соответствующая задаче Кра-
мерса, называется задачей Милна. Массовая скорость в направ-
направлении оси z заменяется плотностью нейтронов, после чего все
делается так же и формула D.11) относится к плотности ней-
нейтронов. Коэффициент скольжения заменяется так называемой
экстраполированной длиной г0. В частности, в односкоростном
приближении эта длина (с = I) определяется по формуле
D.13) с p{w) в виде C.45):
du =
_ о С	и	^_
~ ) [р (и)]2 + к2и2 \-и2'	D.21)
где 1=1/а — средняя длина свободного пробега. Численный
расчет дает
/1 = 0,710446.	D.22)
Подробности можно найти у Кейза и Цвайфеля [16].
5. Течение между параллельными пластинами
и задача о критическом слое
Как мы только что видели, задачи для полупространства,
связанные с уравнением C.1) или эквивалентным ему уравне-
уравнением C.10), можно решить аналитическими средствами. Для
течений газа между параллельными пластинами, таких, как
течения Куэтта и Пуазейля, или для переноса нейтронов в слое
получить аналитические решения не удается. Однако метод эле-
элементарных решений можно использовать для того, чтобы найти
решение в виде ряда и представить себе качественное поведение
этого решения.
Рассмотрим сначала задачи о течениях, ограничиваясь слу-
случаем постоянной частоты столкновений v = 0.

5. ТЕЧЕНИЕ МЕЖДУ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПЛАСТИНАМИ	335
Перепишем общее решение C.38) уравнения C.1) в виде
Г	( х	6 \
E.1)
Здесь последний член в правой части C.38) опущен, поскольку
он обычно отсутствует, ^ обозначено просто через g, так как
недоразумений при этом не возникает, 6 — расстояние между
пластинами (8 = 1 и 2RT0 = 1, как обычно), функция А (и)
для удобства переопределена введением множителя
ехр[—б/B|м|)] и предполагается, что пластины расположены
в плоскостях х = ±6/2.
Согласно теории, изложенной в разд. 7 гл. IV, формула
E.1) показывает, что для достаточно больших 6 картина тече-
течения такова: ядро потока, где доминирует континуальное опи-
описание сплошной среды (основанное на уравнениях Навье —
Стокса), окружено кинетическими пограничными слоями, созда-
создаваемыми взаимодействием молекул с пластинами и описывае-
описываемыми интегральным членом в E.1).
Однако с уменьшением 6 экспонентами в последнем члене
пренебрегать уже нельзя, так что кинетические слои сливаются
с ядром, образуя поле течения, которое нельзя описать на
уровне простых понятий. Наконец, когда 6 становится прене-
пренебрежимо малым, У(х, g) перестает зависеть от х и молекулы
сохраняют распределение, которое они имели сразу после их
последнего взаимодействия с границей. Течение Куэтта (когда
две пластины, расположенные в плоскостях х = ±6/2, движутся
со скоростями ±V/2 в направлении оси г) хорошо описывается
теорией, кратко изложенной выше, хотя можно получить более
подробную картину течения [17], если найти приближенные вы-
выражения для А\ и А (и) {Ао = 0, а А (и) — нечетная функция от
и вследствие присущей этой задаче антисимметрии). Поэтому
мы рассмотрим подробнее плоское течение Пуазейля между
двумя параллельными пластинами, исследование которого бо-
более интересно.
Плоским течением Пуазейля (рис. 37) называется течение
жидкости между двумя параллельными пластинами, вызывае-
вызываемое градиентом давления, параллельным пластинам. В случае
сплошной среды нет различия между градиентом давления, воз-
возникающим из-за градиента плотности, и градиентом давления,
обусловленным градиентом температуры. В кинетической тео-
теории, напротив, это различие должно приниматься во внимание.
Мы ограничимся первым случаем, следуя работе [18]; случай
градиента температур рассмотрен в [19].

336
VI. АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ МОДЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
*<•
X
д
;
.7
	у
Рис. 37. Профиль скорости в плоском течении Пуазейля.
Выведем основное линеаризованное уравнение Больцмана
для течения Пуазейля в трубе произвольного поперечного сече-
сечения (включая плоский слой как частный случай).
Предположим, что стенки отражают молекулы с максвел-
ловским распределением /,0, с постоянной температурой и неиз-
неизвестной плотностью р = р(г) (z — координата, параллельная
потоку). Если длина трубы много больше других характерных
длин (средней длины свободного пробега, расстояния между
стенками), то можно провести линеаризацию около максвел-
лиана /0; действительно, p(z) меняется медленно, а /0 должно
быть решением, когда р строго постоянна. Таким образом;
dh
"Г
1 dp fi
E.2)
В силу предположения о медленности изменения р (длинная
труба) можно считать величину A/р) (dp/dz) постоянной (т. е.
пренебрегать производными от р более высокого порядка и сте-
степенями производных первого порядка). Если (l/p) (dp/dz) по-
постоянна, то dh/dz = 0, поскольку z не входит явно ни в уравне-
уравнение, ни в граничное условие. Последнее можно записать в виде
h{х, у, z, |) = 0 ((х, у) е= (ЭЕ, хпх + уп2 > 0),
E.3)
где <Э2 — граница поперечного сечения, а п =(п\, п2).— нор-
нормаль, направленная внутрь трубы. Следовательно,
dh
dh
F.4)
где k= A/p) (dp/dz). Уравнение E.4) описывает линеаризован-
линеаризованные течения Пуазейля в очень длинных трубах произвольного

5. ТЕЧЕНИЕ МЕЖДУ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПЛАСТИНАМИ	337
поперечного сечения. Если ограничиться случаем плоского слоя
и воспользоваться модельным уравнением БГК, то получится
h = 2^W(x,%i),	E-5)
где W (х9 I) удовлетворяет уравнениям
+ оо
S-fr + T^"''1 S e~%'\V(x,Wdb-W(x,W, E.6)
0	E.7)
при условии, что х измеряется в единицах 9. Эти уравнения
получаются расщеплением, аналогичным рассмотренному в
разд. 2.
Так как W(x,%) не зависит от у- и 2-компонент | и v = 1,
уравнение E.6) отличается от C.1) свободным членом k/2.
Если известно частное решение уравнения E.6), то его общее
решение находится как сумма этого частного решения и общего
решения E.1) однородного уравнения. Дифференцируя равен-
равенство E.6), находим, что dW/dx удовлетворяет уравнению C.1)
с v == 1; поскольку общее решение этого уравнения содержит
экспоненты (которые воспроизводятся при интегрировании и
дифференцировании) и линейную функцию от х, будем искать
частное решение уравнения E.6) в виде квадратичной функции
от х (с коэффициентами, зависящими от ?). Нетрудно убедиться,
что решения в такой форме существуют и одно из них таково:
Wo (х, I) = 4 [*2 - "Г" - 2*? " (! -
Поэтому
W(x,l) = W*(x,l) + Y(x,l),	E.9)
где Y(x, g) имеет вид E.1). Уравнение E.7) дает следующее
граничное условие для Y(x, |):
r (—4s^nE. О	[161 —О—Зб2)-^]-^-. E.10)
В силу симметрии задачи
Y(x,l) = Y(-x, -I),	E.11)
так что А\=0 и А(и) = А(—и). С учетом этого из формул
E.1) и E.10) следует, что
\ A{u)gu(l)du =
о
E.12)

338	VI. АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ МОДЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
а уравнение для g < 0 не требуется, так как А(и) = А(—и).
Если обозначить правую часть этого равенства через n1/a^2Z(g)
и воспользоваться формулой C.40), то равенство E.12) перей-
перейдет в C.30) (й = оо); применяя C.31) и C.32), находим
А) = - \<* + т (т + а2) ~ \ ие~т [Р (u)rlA(u)du\^-, E.13)
^	о	)
Л («) = 4 я1'» (и + | + а) е'" [Р (и)]-1 {[^ (и)}2 + я2ы2}-' +
0	E.14)
при этом были произведены допустимые изменения последова-
последовательности интегрирования и использована формула C.35). Здесь
а = ?/0 (см. формулы D.13) и D.13а)). Таким образом, задача
сведена к решению интегрального уравнения E.14) с неизве-
неизвестной А (и). Это классическое- уравненние Фредгольма второго
рода с симметризуемым ядром. Можно показать, что соответ-
соответствующий ряд Неймана — Лиувилля сходится для любой задан-
заданной положительной величины б [18]. Очевидно также, что этот
ряд сходится тем быстрее, чем больше б. Это позволяет получить
некоторые результаты для режима, близкого к континуальному.
В частности, если членами порядка ехр[—3(б/2K^] можно пре-
пренебречь, то останется только член нулевого порядка
A (u) = ^nh {D + а) + и}е" [Р(и)]~1 {[p(u)f + я2н2}-'. E.15)
С той же точностью Ао определяется как
Отметим, что это приближение нулевого порядка гораздо
точнее решения уравнения сплошной среды (даже если исполь-
использовать для них граничные условия со скольжением). В самом
деле, даже в нулевом приближении выясняется следующее.
1)	Около стенок существуют кинетические пограничные слои.
2)	В основной части потока массовая скорость удовлетво-
удовлетворяет уравнению движения Навье — Стокса, но соответствующие
граничные условия, полученные экстраполяцией, обнаруживают
наличие скольжения не только первого, но и второго порядка:

5. ТЕЧЕНИЕ МЕЖДУ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПЛАСТИНАМИ	339
Для того чтобы получить эти результаты, заметим, что мас-
массовая скорость равна
оо
при этом учтены равенства E.8) и E.9). Формула E.18)
является точной; если членами порядка ехр [—3(б/2K/2] можно
пренебречь, то Ао и А (и) определяются равенствами E.16) и
E.15). В частности, интегральный член в E.18) описывает
быстрые переходы в кинетических пограничных слоях; в основ-
основной части потока интегральный член пренебрежимо мал и мы
имеем
vs (х) = 4 [х2 - 4 - С7б - (| + а2)] (б > 1). E.19)
Легко проверить, что E.19) удовлетворяет уравнению дви-
движения Навье — Стокса для плоского течения Пуазейля и гра-
граничным условиям E.17).
Нетрудно выписать и функцию распределения в основной
части потока. Фактически Y(x, g) сводится здесь к Ло, так что
E.8) и E.9) дают
E.20)
С учетом E.19) выражение E.20) можно переписать в виде
2^- (б>1), E.21)
где для х восстановлены размерные единицы (т. е. вместо x/Q
записано х). Равенство E.21) ясно показывает, что в основной
части потока, как и следовало ожидать, функция распределе-
распределения является функцией типа Гильберта — Чепмена — Энскога
(ряд по степеням 6). Ряд оборван, но не таким образом, кото-
который соответствует уровню описания Навье — Стокса. Фактиче-
Фактически E.21) дает функцию распределения Барнета, и с формаль-
формальной точки зрения это объясняет появление скольжения второго
порядка.
Интуитивно скольжение второго порядка можно объяснить
тем, что молекулы с ненулевой скоростью в направлении z по-

340	VI. АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ МОДЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
падают в область с другой плотностью, прежде чем испытают
столкновения, и поэтому существует перенос массы, обуслов-
обусловленный градиентом плотности. Иначе говоря, молекулы дви-
движутся преимущественно в область более низкой плотности, даже
еще не испытав столкновений, и поэтому на расстоянии средней
длины свободного пробега от стенки возникает эффект добавоч-
добавочного макроскопического скольжения.
Для заданных значений градиента давления и расстояния
между пластинами наличие дополнительного скольжения озна-
означает, что через поперечное сечение проходит больше молекул,
чем предсказывается уравнениями Навье — Стокса со скольже-
скольжением первого порядка. Это легко проверить для достаточно
больших б, используя равенства E.18), E.15) и E.16), которые
дают для расхода следующее выражение:
d/
d/
d/2
\ 9V3(x)dx~-±^d2{±6 + o+*^} F»1). E.22)
-d/2
Здесь х и z выражены в размерных единицах, a d = 69 —
расстояние между пластинами в тех же единицах. Следова-
Следовательно, для заданных геометрии и градиента давления безраз-
безразмерный расход равен
l
E.23)
Последний член представляет собой поправку к теории сколь-
скольжения первого порядка; он появляется отчасти из-за скольжения
второго порядка, отчасти из-за наличия кинетических погранич-
пограничных слоев. Действительно, газ около стенок движется медленнее,
чем можно было бы ожидать из экстраполяции формулы E.19),
это дает вклад в QF) того же порядка, что и скольжение вто-
второго порядка, тем самым уменьшая (но не исключая полностью)
влияние последнего. Ясно также, что, хотя формула E.23) верна
для больших значений б, увеличение QF) по сравнению с пред-
предсказанием теории скольжения первого порядка имеет место и
для малых значений б, потому что молекулы со скоростями,
почти параллельными стенке, заметно влияют на движение, пе-
перемещаясь вниз по потоку на расстояние среднего свободного
пробега. В частности, в предельном случае свободномолекуляр-
ного течения уравнение E.6) формально сводится к виду
*4г + Т = °.	E.24)
откуда
4(;)	<б-25)

5. ТЕЧЕНИЕ МЕЖДУ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПЛАСТИНАМИ	341
где использована размерная единица длины. Формула E.25)
показывает, что в свободномолекулярном течении нет молекул,
движущихся почти параллельно стенке (?~0). Можно считать,
что эта формула справедлива для |?|< 6 (напомним, что вели-
величина |5| безразмерна). Следовательно, при 6—*0 имеем
- -л-'Мпб F < 1).	E.27)
Это нестрогое рассуждение подтверждается при изучении
режима, близкого к свободномолекулярному F->0.) Такое ис-
исследование может основываться или на методе итераций, опи-
описанном в разд. 9 гл. V [19], или на ином использовании метода
элементарных решений [18]. В обоих случаях устанавливается,
что формула E.27) верна, и это означает, что при 6-*0 вклады
более высокого порядка, обусловленные кинетическими слоями,
уничтожают член порядка 1/6 в E.23), но оставляют слабую
расходимость при б->0 (существенно связанную с молекулами,
движущимися параллельно стенке). Поведение расхода при
больших (формула E.23)) и при малых (формула E.27)) зна-
значениях 6 указывает, что для расхода существует по меньшей
мере один минимум. Этот минимум давно обнаружен экспери-
экспериментально Кнудсеном [20], а затем и другими авторами для
длинных труб различного поперечного сечения. Исследование,
проведенное выше, качественно объясняет наличие минимума,
точное положение которого для плоских слоев и течений с более
сложной геометрией должно находиться другими методами (см.
разд. 5 гл. VII).
Аналогичное исследование можно провести в задаче о пере-
переносе нейтронов в слое с плоским источником (внутри слоя или
на его границе). Если в уравнении C.11) допустить с>1, то
обнаружится новое явление. В этом случае существует критиче-
критическое значение d толщины слоя, такое, что имеется ненулевое
решение при отсутствии источника. Это соответствует режиму,
при котором ядерные реакции являются самоподдерживаю-
самоподдерживающимися без разрушения системы. В таком случае говорят, что
слой достиг критического состояния.
Методы, аналогичные рассмотренным выше, были применены
к решению задачи о критичности Митсисом [21]; два элементар-
элементарных решения, соответствующих комплексным собственным зна-
значениям (см. разд. 3), играют при этом первостепенную роль.
Подробности, касающиеся результата Митсиса, приведены у
Кейза и Цвайфеля [16].

342	VI. АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ МОДЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
6. Нестационарные решения кинетических модельных
уравнений с постоянной частотой столкновений
В нестационарном одномерном БГК-уравнении эффекты
сдвига можно отделить от эффектов, связанных с нормальными
напряжениями и теплопередачей, так же, как и в стационарных
задачах. Соответствующее уравнение для течений сдвига имеет
вид
оо
^-+ |-g. + У (Л, !) = «-¦/, \e~4{x,Wdb.	F.1)
Это нестационарный аналог уравнения C.1) (если положить
v = 1 и считать, что У не зависит от ?2 и g3, что обычно вы-
выполняется). Как х, так и t здесь выражены в единицах 0, ибо,
по предположению, v = 8 = 1.
Односкоростное приближение теории переноса нейтронов
приводит к аналогичному уравнению, элементарные решения
которого были изучены Боуденом и Уильямсом [22] методом,
весьма сходным с тем, который применяется в данном разделе
к уравнению F.1). Этот метод заимствован из работы [23] и
состоит в следующем. Используется преобразование Лапласа по
времени и тем самым нестационарная задача сводится к стацио-
стационарной. Решение задачи теперь зависит от комплексного пара-
параметра 5. После разделения пространственных и скоростных пере-
переменных исследуется спектр значений параметра разделения и
в зависимости от 5 (это нужно для решения задачи обратного
преобразования).
Итак, применим к уравнению FЛ) преобразование Лапласа.
Не нарушая общности, начальное значение У будем считать
равным нулю. Действительно, частное решение неоднородного
преобразованного уравнения, соответствующее ненулевому на-
начальному условию, можно построить при помощи функции Гри-
Грина, которую легко найти, зная общее решение однородного
уравнения. Поэтому ограничимся однородным преобразованным
уравнением
°°	2
e~4{x,lx)dh,	F.2)
где ? — преобразование Лапласа от У. Такое же уравнение
(с s = ш) описывает состояние газа, испытывающего стацио-
стационарные поперечные колебания с частотой о.
Разделение переменных в F.2) дает
У и (*ь I; s) = gu (l\ s) exp [- (s f 1) х/и],	F.3)

6. УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННОЙ ЧАСТОТОЙ СТОЛКНОВЕНИЙ	343
где и — параметр разделения, а функция gu(l',s) удовлетво-
удовлетворяет уравнению
*	с»
u(h;s)e~lld$l. F.4)
Правая часть этого уравнения не зависит от g и может быть
нормирована на единицу. Таким образом, мы пришли к типич-
типичной задаче разделения, совершенно аналогичной задаче в ста-
стационарном случае. Если множитель и — g не обращается в
нуль, т. е. если и не является вещественным числом, то
gu(& s)~ обычная функция, равная
8u(l,s) = 1?l,	F.5)
при нормировочном условии
с»
п-ч, \ ??l!l4 = s+l.	F.6)
— оо
Если, напротив, и — вещественное число, то gu{?>) нужно
рассматривать как обобщенную функцию и из F.4) следует
8и & s) = P -4т + Р № s) 6 (« - S),	F.7)
где р{щ s), согласно F.6), имеет вид
р (щ s) = rii*eu's + р {и),	F.8)
а /?(м) определена формулой C.41). Формула F.7) дает обоб-
обобщенные собственные решения, соответствующие непрерывному
спектру (—оо<а<°°). Основной вопрос теперь состоит в
изучении возможных значений и, удовлетворяющих условию
F.6) и, следовательно, образующих дискретный спектр. Со-
Согласно F.6), такие значения совпадают с нулями следующей
функции комплексного переменного z:
M(z; s) = l-n-1/2E+l)-' \^=Таи	F'9)
— оо
Эта функция аналитична в комплексной плоскости z с раз-
разрезом вдоль вещественной оси, где M(z; s) претерпевает раз-
разрыв. Действительно, формулы Племеля (см. приложение) дают
для предельных значений М± (и\ s) = lim M± (wdb/e; s) {и веще-
е->0
ственно, е > 0) следующий результат:
р	оо	~|
М± {и; s) = 1 - я~'/г (s + I) \p J ~j dt ± лше-"!
F.10)

344	VI. АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ МОДЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Равенство F.10) можно переписать в виде
М±{щ s)==e~u2(s+ \)~'п~ъ[р{щ s)±niu].	F.11)
В предельном случае, когда s такое, что
р (щ s) ± niu = 0 (и вещественно),	F.12)
дискретный спектр переходит в непрерывный. Уравнения F.12)
выполняются на замкнутой сердцевидной кривой в комплексной
плоскости s (рис. 38). Параметрическое уравнение это кривой
(назовем ее у) таково:
Im 5 = — n/zue~u2 (— oo < и < оо).	\ • )
Эти уравнения получены из F.12) и F.8) с учетом того, что
р (и) вещественна. Уравнение M(z; s) = 0 определяет отображе-
отображение из плоскости z в плоскость s; действительно, оно однозначно
переводит точку плоскости z, не принадлежащую вещественной
оси, в точку плоскости s. Когда z приближается к вещественному
значению и, уравнение M(z; s) = 0 в силу F.11) переходит в
уравнение F.12); ясно, что двойной знак связан с возможно-
возможностью подхода к оси сверху или снизу.
Следовательно, когда и пробегает вещественную ось, 5 опи-
описывает кривую у против часовой стрелки, если считать веще-
вещественную ось границей верхней полуплоскости, и по часовой
стрелке, если считать вещественную ось границей нижней полу-
полуплоскости. В обоих случаях равенства F.13) устанавливают
взаимно однозначное соответствие между кривой у в плоскости
5 и вещественной осью в плоскости г. Из этого факта и из
принципа аргумента следует, что верхняя и нижняя полуплоско-
полуплоскости конформно отображаются в область внутри у посредством
уравнения M(z; s) = 0 и для каждой полуплоскости это отобра-
отображение взаимно однозначно. Отсюда следует, что для любого s
из области внутри у существуют два комплексных значения и,
удовлетворяющих условию F.6), а для s вне этой области — ни
одного такого значения. Из F.6) видно, что эти значения раз-
различаются только знаком; обозначим их ±Uo(s).
Теперь можно воспользоваться результатами для стационар-
стационарного случая 5 = 0 и, в частности, теоремами I и II разд. 3.
Свойства полноты остаются в силе, и лишь в самом уравнении
появляются незначительные изменения. Таким образом, в слу-
случае полного пространства (—оо < g < оо) любую функцию
g(?), такую, что Z (l) = e~?g (I) удовлетворяет условиям тео-
теоремы I, можно представить в виде
8 A) = V+ & s> + А-?- & s> + \ А (") Su (I; s) du, F.14)

6. УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННОЙ ЧАСТОТОЙ СТОЛКНОВЕНИЙ
345
Рис. 38. Кривая, ограничивающая область, в которой существуют два дискрет-
дискретных собственных значения.
гДе gu(l\ s) задается равенством F.7), a g±—равенством F.5)
с и = ±и0. Коэффициенты Л+ и А- вне у равны нулю (g+ и g_
вне у не определены), а внутри у принимают значения
F.15)
Для любой точки 5 функция А (и) определяется формулой
C.28) при условии, что р(и) всюду заменено на р(и\ s), Z(w) —
= Z0(w)g(w) и ZQ(w) задается формулой C.40). Очевидно, что
Д±> Аи и, возможно, g(?) зависят от s, хотя эта зависимость в
Уравнениях явно не указана. В случае полупространства
0 <; I < оо функцию g"(|) можно представить в виде
S (I) = A+g+ (I;
(и) gu (I; s) du,
F.16)

346	VI. АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ МОДЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
где А+ = О для s вне у и
оо
А+ = \2u%sn^P («„)]"' \ U A) g+ (I; s) P A; s) e~*d\ F.17)
О
для s внутри у. Здесь
Для любого s функция А (и) определяется по C.32), где Z(w) =
= Z<o(w)g(w) и ZQ(w) имеет вид C.40), а Р(и) задается фор-
формулой F.18), когда s находится внутри уу и той же формулой
с и0 = 0, когда s лежит вне у. Функция Р(и\ s) снова удовлетво-
удовлетворяет определенным тождествам, которые делают обращение с
ней проще, чем можно было бы ожидать [23, 14, 24].
7. Аналитические решения конкретных задач
Теорию, изложенную в общих чертах в разд. 6, можно при-
применить для аналитического решения задач о сдвиговом течении
газа в полубесконечной и бесконечной областях. Можно решить,
например, следующую задачу. Пусть два полупространства раз-
разделены плоскостью х = 0, и пусть первоначально газ в обеих
областях имеет одинаковую плотность р0 и температуру Го, но
в области х > 0 он равномерно движется в направлении z со
скоростью V, а в области х < 0 — в том же направлении со ско-
скоростью — V. Требуется найти эволюцию газа, включая сглажи-
сглаживание и диффузию разрыва скорости. Задачу можно решить
[25], используя теорему полноты во всем пространстве для по-
построения преобразования Лапласа. Можно даже получить ана-
аналитическое обращение преобразования Лапласа и записать ре-
решение для массовой скорости в виде
—
1-2Я-1/. J Н[и1х-ЩХ
где Я — ступенчатая функция Хевисайда, sgn х = Н (х) —
— // (- х) и
q(u) = n~4*e-u2p{u).	G.2)

7. АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ КОНКРЕТНЫХ ЗАДАЧ	347
Точное решение можно использовать для нахождения асимп-
асимптотических разложений в случае малых и больших значений
времени и для численного табулирования пространственно-вре-
пространственно-временного поведения газа. Решение показывает, что с ростом вре-
времени профиль скорости выравнивается, но после 12 столкнове-
столкновений все еще существует примерно десятипроцентное отличие от
решения уравнений Навье — Стокса.
Полупространственные задачи труднее для решения, по-
поскольку они требуют применения теоремы полноты для полу-
полупространства и, следовательно, уравнений, содержащих P(u;s).
Тем не менее для задач с начальными условиями решение
всегда можно свести к двойным квадратурам, а для задач со
стационарными колебаниями — к одной квадратуре, при условии
что граничные условия дают явное выражение для функции
распределения молекул, входящих в полупространство (как в
случае полной диффузии от стенки).
В качестве примера полупространственной задачи рассмот-
рассмотрим распространение волн Рэлея в полупространстве. Предполо-
Предположим, что полупространство заполнено газом с плотностью ро и
температурой 7",0 и ограничено бесконечной плоской стенкой, ко-
колеблющейся в своей собственной плоскости с частотой со. Мы
будем рассматривать систему в установившемся состоянии,
когда закончатся все переходные процессы. Поэтому, если ско-
скорость стенки равна вещественной части \]еш (/7 = const), то
решение линеаризованной задачи будет вещественной частью
функции /i, зависящей от времени, как ешу и удовлетворяющей
уравнению
mh + b^ = Lh.	G.3)
Линеаризованное граничное условие на стенке, согласно ко-
которому молекулы отражаются диффузно с основным распреде-
распределением Максвелла f0, можно записать в виде
h (О, |,0 = 2?/^|3 (li>0).	G.4)
Потребуем также, чтобы решение было ограниченным на
бесконечности. Если предположить, что столкновения описы-
описываются модельным уравнением БГК, то можно написать
h(x, lt) =
где Y (ху I) удовлетворяет уравнению F.2) (с s = ico) и гранич-
граничному условию
F@, i) — 1 F>0).	G.6)
Так как приведенные ниже результаты справедливы для лю-
любого комплексного s (Re s ^ — 1), будем писать s вместо too;

348	V1- АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ МОДЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
эта более общая форма будет полезна и позже. Используя гра-
граничное условие G.6) и полупространственную полноту (см.
разд. 6) вместе с ограниченностью на бесконечности в физиче-
физическом пространстве, находим [14, 24, 23]
-(.+ Uf+ *]*. 17.7)
О
для s вне у (тогда P(u;s) задается формулой F.18) с
Аналогично для s внутри у
У (х, &) = - 2g+ (&) exp[- (s + 1) х/и0] [Р («„; s)] -
оо
" ' 5 ехр , J.9	 du4
[р {и; s)]2 + п2и2
и
где.^о = ^оE) выбирается между двумя возможными значе-
значениями так, чтобы выполнялось неравенство
а Р{щ s) имеет врщ F.18).
Теперь вкратце обсудим найденное решение. Прежде всего
заметим, что существует предельная частота соо (шо^у), такая,
что при со >> соо имеются только собственные решения непрерыв-
непрерывного спектра. Поэтому, казалось бы, при со > соо плоских волн
сдвига нет. Однако можно показать, что при со > со0 суще-
существует дискретный член [24]. В самом деле, в формуле G.8)
можно повернуть путь интегрирования вниз при условии, что
добавляется вклад от всех полюсов подынтегрального выраже-
выражения, расположенных между этим лучом и вещественной полу-
полуосью. Легко показать, что для частоты, большей а>о, но все же
близкой к ней, найдется по крайней мере один полюс и0> удов-
удовлетворяющий условию
р{щ; s) — яшо = О,	G.10)
rnep{w,s) задается формулой F.8) и вторым выражением в
C.41), имеющим смысл для любого комплексного и. Уравнение
G.10) является аналитическим продолжением уравнения F.12)
при со >> «о- С этой точки зрения оH теряет характер критиче-
критической частоты.
Другая особенность наших результатов состоит в том-, что
на достаточно большом расстоянии от стенки при любой фикси-
фиксированной частоте вклад от непрерывного спектра доминирует
над вкладом дискретного члена, поскольку первый затухает
медленнее, чем экспоненциально. Эта особенность тесно связана
с тем, что спектр значений v простирается до бесконечности, и

7. АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ КОНКРЕТНЫХ ЗАДАЧ	349
он бы не существовал, если бы частота столкновений возра-
возрастала хотя бы линейно со скоростью молекул для больших
значений последней. Экспериментальная проверка этого асимп-
асимптотического поведения при современной технике эксперимента
не представляется возможной. Оказывается, что физически под-
подходящая область (скажем, от 1/10 до 10 длин свободного про-
пробега) характеризуется тем, что доминирующим является ди-
дискретный член (либо он сам, либо его аналитическое продолже-
продолжение), согласно оценкам Дорнинга и Тёрбера [26] для аналогич-
аналогичной задачи о нейтронных волнах.
Еще одна задача, которую можно решить таким путем,
состоит в следующем. Пусть полупространство заполнено газом
с плотностью ро и температурой То и ограничено плоской стен-
стенкой. Первоначально газ находится в абсолютном равновесии,
а стенка неподвижна; затем она мгновенно приводится в дви-
движение в своей плоскости с постоянной скоростью U. Требуется
исследовать распространение возмущений в газе, вызываемых
движением стенки. Эта задача известна под названием задачи
Рэлея; мы хотим решить ее аналитически с помощью линеари-
линеаризованного модельного уравнения БГК.
Возмущенная функция распределения удовлетворяет линеа-
линеаризованному уравнению Больцмана и следующим начальным и
граничным условиям:
Л(х, 0Д) = 0,	G.11)
/г@, ^, g) = 2C/g3 (Si>0).	G.12)
Кроме того, при х-^оо функция h(x, t, |) должна быть огра-
ограничена для любых фиксированных / и §. Применяя модельное
уравнение БГК, имеем
h(x,t; 1) = 2Щ3?(х, /,?,),	G.13)
где Y(x,t,%) удовлетворяет уравнению F.1) и следующим на-
начальным и граничным условиям:
Y(x, (U) = 0,	G.14)
ПО, *, Е)=1 (?>0).	G.15)
Вводя преобразование Лапласа от У, У(х, s, ?)', сводим
уравнение F.1) к F.2); при этом граничное условие на стенке
принимает вид
?@, 5, l)=l/s (|>0).	G.16)
Таким образом, Р можно найти из уравнений для колеблю-
колеблющейся стенки, умножив правую часть уравнения на 1/s; то же

350	VI. АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ МОДЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
самое справедливо для массовой скорости и напряжения. Важно
отметить, что функция У, определяемая формулами G.7) и G.8)
для s вне у и внутри ее, является аналитической функцией s не
только вне у и внутри ее, но также и на самой этой кривой [23];
иначе говоря, G.8) представляет собой аналитическое продол-
продолжение G.7) внутри Y- Это следует из того, что выражение в
G.7) претерпевает разрыв, когда s пересекает у, и этот разрыв
равен предельному значению дискретного члена в G.8). Следо-
Следовательно, если в каждой области используется соответствующее
выражение, то при обращении преобразования Лапласа можно
сдвигать путь интегрирования через у. С другой стороны, легко
видеть, что из-за выбора щ в G.9) отрезок (—1, 0) веществен-
вещественной оси является линией разрыва. Согласно известным теоремам
о преобразовании Лапласа, F(x, /, |) имеет вид
C+i оо
Y(х, t,l) = 4п \ ^-Y(x, s, I)ds,	G.17)
c—i со
где ? определяется формулой G.7), а путь интегрирования —
вертикальная прямая справа от у. Благодаря аналитичности F
этот путь интегрирования в плоскости s можно деформировать
в путь, состоящий из отрезка (—1,0) вещественной оси и вер-
вертикальной прямой Re(s+l) = 0. Получающиеся интегралы
можно записать в полностью вещественной форме.
Таким образом, задача решается в квадратурах, которые в
принципе можно вычислить с любой желаемой точностью. Од-
Однако наши результаты можно также использовать для получе-
получения интересной информации аналитическими методами. Напри-
Например, можно распространить эти результаты на малые и большие
значения времени [14].
Для больших значений времени массовая скорость опреде-
определяется формулой
v3 (x, t)/U с* 1 - (nvt)-l/2 v3 (x) (t -* оо),	G.18)
где v — кинематическая вязкость (9 = 2v, если 2/?Г0=1), а
^зМ—массовая скорость, соответствующая единичному гра-
градиенту на бесконечности в задаче Крамерса (формула D.15) с
а = 1). Следовательно, как в стационарном, так и нестацио-
нестационарном случаях (для больших значений времени) течение имеет
одну и ту же структуру кинетического пограничного слоя. Это
не удивительно, так как мы знаем, что уравнения, описывающие
кинетический слой (гл. V), не зависят от конкретной задачи.
В частности, коэффициент скольжения в этой нестационарной
задаче для достаточно больших значений t принимает те же са-
самые значения, что и в стационарном случае.

8. БОЛЕЕ ОБЩИЕ МОДЕЛИ	251
Аналитическое решение приводит также к простым выраже-
выражениям для скорости и напряжения на пластине [14]. Например,
±	j
О	О
G.19)
где 1\ обозначает, как обычно, модифицированную функцию
Бесселя первого рода первого порядка [27]. Эти выражения по-
показывают, что v3 @,t) медленно возрастает от первоначального
значения U/2 до окончательного значения U.
8. Более общие модели
После детального исследования как стационарных, так и
нестационарных течений сдвига представляется вполне есте-
естественным рассмотреть уравнение B.5), описывающее стацио-
стационарные процессы теплопередачи. Однако это уравнение содер-
содержит не один, а три момента. Можно использовать метод, опи-
описанный в разд. 3, определяя w формулой C.4) и полагая
/О 1 \
при этом до интегрирования gi, конечно, выражается через
ДО, Ъ и Ъ- Тогда, если Z и Zo обозначают вектор с компонентами
и матрицу с элементами lfk\ то
k
Ц- + Z = Zo \z(x,wx)dwu	(8.2)
w
ох
и, таким образом, мы получаем систему трех уравнений.
Оперируя с векторами и матрицами вместо скаляров, можно
повторить выкладки предыдущих разделов во всем, что касается
построения элементарных решений уравнений (8.2) и доказа-
доказательства их полноты во всем пространстве. Как будет показано
ниже, полнота в полупространстве имеет существенные отличия.
Поскольку те же самые методы можно применять к более
общим моделям, рассматривая (п Xп) матрицы вместо
CX3)- или B X 2)-матриц, то при решении задач теплопере-
теплопередачи или нестационарных задач с нормальными напряжениями
нет смысла исследовать столкновительную модель B.2) от-
отдельно от модельных уравнений более высокого порядка. По-
Поэтому рассмотрим здесь более общие модельные уравнения, опи-

352	VI. АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ МОДЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
санные в разд. 9 гл. IV. Чтобы упростить обозначения и вклю-
включить нестационарный случай, ограничимся моделями с постоян-
постоянной частотой столкновений. Наиболее общее модельное уравне-
уравнение такого рода можно записать (для одномерных задач) в
виде
м
чг+6i Sr - Е a*k (/г> */> ^ ~А- (8-3)
/г, /-1
где время столкновения v~l взято за единицу времени, a \pj —
собственные функции максвелловского оператора столкновений.
Прежде всего исключим поперечные компоненты массовой
скорости, представив h(x, t9 §) следующим образом:
А = Z А/ (*, /, Ю g, (|2> у + А* (х, /, I).	(8.4)
Здесь {gj}—последовательность полиномов, ортогональных в
смысле скалярного произведения
(h, gJ = я-1 5 5 /г (|2, |3) g (?2,1з) ехР (~ И ~ Щ) dh 43 (8-6)
а /1Д определяется однозначно как функция, ортогональная к gj
(/=1, 2, ..., /г); /г—целое число (^.М), такое, что все ypk
\k = 1, 2, ..., М) выражаются через gj (/= 1, ..., п) с коэф-
коэффициентами, представляющими собой полиномы от 1\. Тогда
уравнение (8.3) сводится к системе
п т
^ + ^Ж + ^(*>'.?) = ? Z(Ф*. Лг)|XikrF) (/ = 1, • • •. п), (8.6)
r=\ k=0
^+Ь^ + ня(х>*Л)==0,	(8.7)
где {фь(ё)} — последовательность полиномов, ортогональных в
смысле скалярного произведения
(h, g)i = я-v. J /г F) g (|) е-^! 4,	(8.8)
— оо
m — целое число (^.М), равное наивысшей степени коэффи-
коэффициентов разложения функций г|эл (k = 1, ..., М) по- gj
(/ = 1, ..., /г) э a Xjkr — соответствующие полиномы (степени не
выше т).

8. БОЛЕЕ ОБЩИЕ МОДЕЛИ	353
Уравнение (8.7) решается сразу, и, так как оно не связано
с системой (8.6), мы его не будем больше рассматривать. Раз-
Разделяя переменные в (8.6) обычным образом, находим
п т
у (|; и, s) = ? ? (Ф„ Аг), Zrtr (?). (8.9)
г = 1 /г=0
Из этого уравнения получаем следующую систему момент-
ных уравнений:
т п
u{s+ 1)(фг, hj){ — (?фг, Ау)! = и Z Z (Фъ К)\ (Фг, ^/Ji (8-Ю)
(г = 0, 1, . . ., т— 1; /= 1, .. ., п).
Так как |ф7. можно представить в виде комбинации фг_! и
фг+1, эту систему та уравнений можно непосредственно решить
относительно тп величин (фг, hj) (г = 1, 2, ..., т\ j = 1, ..., п),
которые тем самым выразятся через (фо, hj){. Коэффициенты
этой линейной комбинации будут рациональными функциями от
и и 5 (полиномами в случае максвелловских молекул). Тогда
уравнение (8.9) примет вид
т
A - |) Н, Ц; и, s) = J Tlk (|; и, s) Ak (и, s),	(8.11)
где Tjk ¦— полиномы по g, и, 5,
Ak(u, s) = (l, hk)x [D(u, s)(s+ I)],	(8.12)
a D(a, s)—определитель системы (8.10) (для максвелловских
молекул D(uy s)= 1, но для более общих моделей это полином
по и и 5). Систему (8.11) можно записать в матричной форме:
A - -I) h & м, s) = Т (|; и, 5) А (и, s),	(8.13)
где h и А —векторы, а Т —матрица. В соответствии с обычным
непрерывным спектром имеем теперь следующие собственные
функции:
h(|; и, s) = T{l; и, s)A(u, s)Pj^j + p(u; s)A(m,sN(m-J). (8.14)
Здесь в силу (8.9)
J Т(|;У j. (8.15)
где I — единичная матрица. Интеграл в (8.15) легко выра-
выражается через функцию р(и), введенную в разд. 3, и, следова-
следовательно, через затабулированные функции.

354	VI. АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ МОДЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Рассмотрим матрицу, элементы которой являются функциями
комплексного переменного г:
М (г; 8) = nW (u; s) I
— оо
Легко видеть, что дискретный спектр (если он существует) опре-
определяется комплексными решениями и уравнения
DetM(u;s) = 0.	(8.17)
Кривые плоскости s, ограничивающие область существова-
существования дискретных собственных значений, в случае БГК-мо(дели
были исследованы Р. Мэсоном [28].
Сравнительно легко доказать полноту собственных решений
во всем пространстве (—оо <; g <; оо) и найти коэффициенты
разложения через квадратуры. Для произвольной функции g(g)
разложение имеет вид
в (Е) = 2i 8t (I. 5) A/ (s) + J g & «. ^) А (и, s) du, (8.18)
^e 1	—OO
где
g (|; Uf s) — T (I; w, s) P u^_l + p (u\ s) 6 {u — |) (8.19)
и
g, (g; s) - T (|; ub s) P -jj-^y,	(8.20)
Причем щ (t=l, ..., Л^) — возможные решения уравнения
(8.17). Коэффициенты ki(s) и \(и, s) можно выразить в явной
форме через квадратуры, содержащие данную функцию g(g).
Главную роль здесь играет матрица М(г; s) и ее очевидная
связь с p(w; s), которая позволяет решить нужные интегральные
уравнения с помощью алгебраических операций над матрицами
[24]. Отметим также, что в стационарном случае E = 0) мы
должны прибавить к правой части (8.18) решения, полученные
из инвариантов столкновений, а также частные решения (ли-
(линейные по х), которые указываются формулой (IV 7.53). В этом
случае не существует комплексных решений уравнения (8.17) и,
следовательно, нет изолированных точек спектра для моделей
с постоянной частотой столкновений; эти точки могут появиться
для более общих модельных уравнений, таких, как (8.2) с
ife<0 в интервалах —оо < и < —k, k < и <С оо (см. работы
[29, 30] и разд. 9).
Нетрудно догадаться, что элементарные решения обладают
свойством полноты в частичном интервале. Это легко доказать
косвенными методами [24], но прямое доказательство, эффектив-

9. НЕКОТОРЫЕ ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ	355
ное в случае одного уравнения, нельзя перенести на случай
системы. Основная трудность состоит в том, чтобы найти замк-
замкнутую форму для некоторой матрицы (аналога функции Р(и)
в скалярном случае), играющей фундаментальную роль в ана-
аналитическом процессе решения. Блестящую, но безуспешную по-
попытку преодолеть эту трудность предпринял Даррозе [31] для
БГК-модели; в этом случае закон сохранения массы позволяет
избавиться от одного из трех уравнений, и остается задача с
BХ 2)-матрицами.
Даррозе указал, что задачу Гильберта, связанную с доказа-
доказательством полупространственной полноты, нужно привести к
диагональному виду; это возможно, но диагонализация внесла
дополнительные сингулярности в комплексной плоскости, при-
приводящие к трудностям, с которыми Даррозе не справился. Ре-
Решение найдено в недавней статье автора [32], где показано, что
для решения некоторого класса систем сингулярных интеграль-
интегральных уравнений полезно воспользоваться теорией интегралов от
алгебраических функций Мы не будем входить в детали метода,
использованного в этой статье, так как это увело бы нас слиш-
слишком далеко. Заметим только, что эти методы можно применить
также в многогрупповой теории переноса нейтронов, когда ней-
нейтроны делятся на группы с различной энергией (вместо исполь-
использования непрерывной переменной для скорости) [2, 3, 16].
9. Некоторые частные случаи
Результаты разд. 8 указывают на то. что задачи о течениях
сдвига для моделей, рассмотренных в разд. 2—7 (в частности,
БГК-модели при v— const), являются весьма частными в том
смысле, что для их решения можно использовать аналитические
методы в большей мере, чем для более общих модельных задач.
Можно, однако, рассмотреть и другие задачи, для которых ана-
аналитические методы могут быть развиты столь же успешно без
обращения к более сложным идеям, упомянутым в конце разд. 8.
Первый класс задач возникает при упрощении модельного
БГК-уравнения: можно нарушить закон сохранения энергии при
изучении так называемых изотермических волн [33, 34], или
можно оставить закон сохранения энергии, но рассматривать
только одномерные столкновения [35], или, наконец, отделить
одну из трех гтрпрт-трй свободы молекул от двух остальных [24].
Все эти модификации позволяют упростить уравнения таким об-
образом, что задача сводится к решению одного уравнения вместо
системы.
Другой интересный случай связан с использованием ЭС-мо-
дели (формула (IV. 9.8) с N = 9). Для одномерных задач о те-

356	VI. АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ МОДЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
чениях сдвига это уравнение отличается от БГК-модели лишь
интегралом, пропорциональным напряжению сдвига; но с по-
помощью закона сохранения импульса его можно исключить, вы-
выразив через интеграл, пропорциональный массовой скорости, и
тогда уравнение будет очень похоже на модельное уравнение
БП<. Для стационарных задач дело обстоит очень просто [36]:
решение задачи о течении сдвига с ЭС-моделью выражается
через аналогичное решение с БГК-моделью. В частности, можно
показать, что коэффициенты скольжения, полученные с этими
двумя столкновительными моделями, одинаковы.
Еще один частный случай получается при использовании мо-
модели B.2) рассмотренной в разд. 2, с частотой столкновения,
пропорциональной скорости, v(l)=ol (a = const). Кассел и
Уильяме [30], решая полупространственную задачу методом
Винера—Хопфа, показали, что в этом случае уравнение тепло-
переноса B.5) можно свести к уравнениям, содержащим только
один момент. Чтобы убедиться в этом, возьмем а за единицу
длины, B7?7,0I/2 за единицу скорости и рассмотрим уравнение
B.5), которое в данном случае принимает вид
K, (9.1)
где |i = |i/? и fo = Jt~3/2 exp (—?2). В пространстве скоростей
удобно использовать переменные ?, \х и ф (полярный угол в пло-
плоскости (Ь, Ы)- Пусть & — гильбертово пространство функций \
и ф, в котором скалярное произведение определяется по формуле
gte*did<v,	(9.2)
и пусть h\ представляется в виде суммы:
^	hx = Y + Yu	(9.3)
где У принадлежит подпространству пространства & с базисом
1, g, g2 — 2, а Ух— ортогональному дополнению к этому подпро-
подпространству.
Тогда
! + У
—¦ (I2 ~ 2) \ Г0Г (Г2 - 2) ^ dl' dq>' dvf, (9.4)
,и^ + Г± = 0.	(9.5)

9. НЕКОТОРЫЕ ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ	357
Последнее уравнение решается тривиально. Чтобы решить
уравнение (9.4), заметим, что, по определению, У можно запи-
записать в виде
Y = Y0 {х, \i) + У, (I ii) + (I2 - 2) Y2 (x, ii).	(9.6)
Подставив выражение (9.6) в (9.4) и приравняв коэффи-
коэффициенты при 1, I и ?2-— 2, получим
1	1
|i -^ + Ко = у J Ко (х, (х') dix' + 1V^ J К, (дс, цО ^',	(9.7)
-1	-I
-1
1
uTa^nOdn', (9-8)
j 52(x,/)^'.	(9.9)
-1	-!
После интегрирования по \i уравнения (9.7) — (9.9) дают
Y\d\x = O,	(9.10)
-l	-1
*	p	О	.	 Л
dx J	16	j
-l	-i
Использовав второе из этих соотношений для того, чтобы
1
исключить \ Y\ d\x из двух других, получим
1	1
(9.11)
77 f S Jl}/^fi|1 + T^ V« j »^ i ^ J = 0,

358	VI. АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ МОДЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ИЛИ
(9.12)
1	1
-1	-1
где Л и В—постоянные. При помощи (9.12) можно исклю-
исключить 70 и Y2 из (9.8), что приведет к следующему результату:
-1
Полагая
c=(l -^ я)-0,006,	(9.14)
Г, (х, ц) =4-Т^
имеем
1
ц Ц± + 2, = f- J р'% (х, цО Ф'-	(9.16)
-1
Как только это уравнение решено, Y{ находится из (9.15) и
подставляется в (9.7) и (9.9). Уравнения (9.16), (9.7) и (9.9)
можно решить методами, рассмотренными в предыдущих разде-
разделах. Заметим, что уравнение (9.16) не приводит к закону сохра-
сохранения и похоже на C.11). Так как, согласно (9.14), с <С 1, мож-
можно ожидать, что уравнение (9.16) имеет два дискретных веще-
вещественных собственных значения вне интервала (—1, 1) (см. за-
замечания в разд. 3). Действительно, если иф{—1,1)> то суще-
существует решение e~x/ugu(\x) при условии, что
-^7^ = 1.	(9-17)
-1
или
МЧ^)]1-	<9Л8>
Поскольку с довольно мало, можно ожидать, что корни бу<
дут очень близки к ±1. В самом деле, полагая и = ±A + е) и
пренебрегая членами более высокого порядка по е, получаем
-Х1*!-1»	(9.19)

10. УРАВНЕНИЯ С ПЕРЕМЕННОЙ ЧАСТОТОЙ СТОЛКНОВЕНИЙ	359
или
2/Cс)пм	Г40
-3- 1(Г40,	(9.20)
т. е. действительно очень малое число.
Поскольку Уь Уо, У2 можно найти из независимых уравнений,
полупространственные задачи решаются аналитически. В част-
частности, задача об определении коэффициента температурного
скачка (см. разд. 5 гл. V) была решена Касселом и Уильямсом
[30] методом, эквивалентным методу Винера — Хопфа. Этот ко-
коэффициент получен в виде
(^§)	(9.21)
где v — отношение экстраполированной длины к средней длине
свободного пробега 7 для односкоростного переноса при изотроп-
изотропном рассеянии D.22), а С/,о определяется аналогичным, хотя и
более сложным выражением [30]. Если принять во внимание, что
в уравнении (9.16) с мало, то это выражение упрощается и дает
?/0 = v/УЗ , так что
где / — средняя длина свободного пробега (V. 1.3), а Рг — число
Прандтля (для корректной модели одноатомного газа Рг^2/з).
Если этим упрощением не пользоваться, то поправка составит
примерно 0,15% [30].
10. Нестационарные решения кинетических
модельных уравнений с частотой столкновений,
зависящей от скорости
В этом разделе рассматривается возможность распростране-
распространения результатов разд. 6 на случай переменной частоты столкно-
столкновения. Вместо F.1) теперь имеем уравнение
,{l')Y{xib;)dl', (ЮЛ)
где h = г|KУ — возмущение функции распределения (см. B.7)),
a go(!) определяется формулой C.2). Предполагается, что час-
частота столкновений зависит от скорости молекул ?.
Если взять преобразование Лапласа от уравнения A0.1)
и, как обычно, не рассматривать возможный свободный член,
Связанный с начальным условием, то получится уравнение
[v (?) + s] Y + Ь §г = v (У \ go (Г) Y {х, I') df, A0.2)

ЗбО	vi. Аналитические решения Модельных уравнений
где У—преобразование Лапласа от Y. Такое же уравнение
(с s = /со) описывает установившиеся поперечные колебания
газа с частотой о. Если s — вещественное число, то ситуация
очень похожа на стационарный случай; достаточно ввести пе-
переменную w, связанную с ?i и g соотношением C.4) с v(?) + s
вместо v(g). Если же s — комплексное число, то w тоже ока-
оказывается комплексной величиной:
Для любого заданного комплексного значения s, когда
и р = д/ё! + ё§ меняются соответственно от —оо до оо и от О
до оо, величина w заполняет некоторую область G(s) в плос-
плоскости (а, E). Для вещественных значений s эта область сводится
к отрезку вещественной оси, но при Ims^O и dv/д^фО это
двумерная область. Удобно ввести функцию
где ф — полярный угол в плоскости (g2, Ы и для простоты за-
записи не указана явно зависимость Z от s. Полезно также отме-
отметить, что запись Z(x,w) не означает, что Z является аналити-
аналитической функцией комплексного переменного w\ это только со-
сокращенная запись Z(x, a, C). В новых переменных уравнение
A0.2) принимает вид
Z + ^fr= SS^MP^WZfo o>i).	A0.5)
' О is)
Здесь
1	12
Ф^- | Im
где
(g)e-n44,	(Ю.7)
а |, |i надо заменить их выражениями через а и C в соответ-
соответствии с A0.3). Разделение переменных в A0.5) дает
Zu (x, w) = gu (w) exp (- ,ф),	A0.8)
где м = ао + фо — параметр разделения, а функция gu(w) удов-
удовлетворяет уравнению
(\-w/u)gu(w)= \\dald^{wi)gu{wl).	A0.9)
a is)

10. УРАВНЕНИЯ С ПЕРЕМЕННОЙ ЧАСТОТОЙ СТОЛКНОВЕНИЙ	361
Правая часть в A0.9) не зависит от до, и ее можно норми-
нормировать на единицу. Таким образом, мы пришли к типичной
задаче разделения, совершенно аналогичной рассмотренным ра-
ранее. Если множитель (u—w)/u не обращается в нуль, то
) — обычная функция, определяемая по формуле
с условием нормировки
2а^6Ф(зд)—-— = 1.	A0.11)
и — хю
Q(s)
Если же (и — w)/u = 0 для некоторого до, то gu(w) нужно
считать обобщенной функцией. Это имеет место при u^G(s).
Мы должны тогда учитывать член с дельта-функцией, обращаю-
обращающийся в нуль при умножении на и — до. Обозначая б (ее —
— аоN(р — (Зо) через 6(u — w), имеем
где
р(щ s) = ll — \ \ da йрф (до) —"—1/Ф(м). A0.13)
L	G (s)	J /
Формула A0 12) дает собственные решения, соответствую-
соответствующие непрерывному спектру. Заметим, что в этом случае нет не-
необходимости брать интеграл от и/(и — до) в смысле главного
значения, поскольку двойной интеграл с полюсом первого по-
порядка в любой точке области интегрирования существует в обыч-
обычном смысле.
Что касается дискретного спектра, то анализ условия A0.11)
показывает [37], что решение качественно такое же, как для мо-
модельного уравнения БГК, т. е. существует такая кривая у, что
имеются две точки ztuo дискретного спектра, когда 5 находится
внутри у, и нет ни одной такой точки, когда 5 находится вне у.
Можно найти параметрическое представление кривой у и пока-
показать, что она симметрична относительно вещественной оси. Эта
кривая пересекает вещественную ось в двух точках: абсцисса
одной из них равна —v@), другая имеет положительную абс-
абсциссу @ в предельном случае k = оо).
Общее решение уравнения A0.5) можно теперь записать
в виде
Z (ху w) = \\ ~^— daQ rfC0 -f" p (w; s) A (w\ s) e~x!w +
Gis)
+ A+ „ "° , e~x/Uo + A~ uUl г, е*1щ> A0.14)

362	VI. АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ МОДЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
где ztuo(s) — возможные собственные значения дискретного
спектра, А± — произвольные коэффициенты (равные нулю при
отсутствии дискретного спектра), a A(u\s)—«произвольная
функция».
Основное различие между A0.14) и общими решениями мо-
модельных уравнений, рассмотренных в предыдущих разделах, со-
состоит в том, что здесь мы имеем двойной интеграл (который су-
существует в обычном смысле) вместо однократного (типа Коши).
Трудность заключается в том, что не существует стандартной
теории для уравнений с комплексным ядром Коши {u—-w)~l
и двукратным интегрированием; такая теория необходима для
конструктивного доказательства полноты и ортогональности.
Однако эту теорию можно построить [37], используя некоторые
результаты теории обобщенных аналитических функций [38].
В общем случае, если w = а + ф — комплексная переменная, то
обобщенная аналитическая функция f = ср + *Ч> является ком-
комплексной функцией а и C, удовлетворяющей уравнению
-?- + ?i (w)f(w) + g2 (w) f(w) = h(w) (w <= G), A0.15)
где черта сверху означает комплексно сопряженное, g\9 g2i h —
заданные функции от а и р и
Последнее определение имеет смысл, если / дифференци-
дифференцируема по а и Р; в противном случае d/dw следует понимать как
обобщенную производную Соболева или ареолярную производ-
производную Помпыо [38]. Очевидно, что соответствующим подбором g\,
g2, h можно добиться того, чтобы любая дифференцируемая
функция от а и Р удовлетворяла уравнению A0.15). Но это
нецелесообразно, ибо обобщенные аналитические функции по-
полезны, когда имеется полностью весь класс функций, удовлетво-
удовлетворяющих уравнению A0.15) с фиксированными gu g2 (h может
меняться).
Название «обобщенные аналитические функции», очевидно,
связано с тем, что при g\ = g2 = h = 0 мы получаем уравнения
Коши — Римана для аналитической функции f (w) = ф(а, P)-f-
'+п|з(а, Р). Любую интегрируемую функцию h(w) от а и р
(а, р <= G, G — замыкание G) можно использовать для построе-
построения обобщенной аналитической функции, удовлетворяющей урав-
уравнению A0.15) с g"i == g*2 = 0. Эта функция имеет вид
A0.17)

10. УРАВНЕНИЯ С ПЕРЕМЕННОЙ ЧАСТОТОЙ СТОЛКНОВЕНИЙ	863
где ц = ао + фо — переменная интегрирования. Чтобы доказать
это утверждение, заметим, что
4=-—!—=-nd{u-w).	A0.18)
dw и — w	ч	'	х	'
Это равенство можно получить сразу, заметив, что безвихревое
векторное поле v = {v\,v2) (где V\ — iv2 = (и — w)~l) соответ-
соответствует единичному точечному источнику в плоскости (а, |3), и ис-
использовав формулу A0.16).
Из A0.17) и A0.18) следует (менее формальный вывод
можно найти в книге Векуа [38]) уравнение
JL = J J h (t/) 5 {и - w) daQ dp0 = ft (w) (w e= G), A0.19)
которое при g\ = g2 = 0 совпадает с A0.15). Заметим, что при
хюфй функция / аналитична по w и стремится к нулю при
w-+oo. Это доказывает, что для любой интегрируемой функ-
функции h функция TGh аналитична вне G, стремится к нулю на бес-
бесконечности и
-^Tah = h.	A0.20)
Обратно, если df/dw = h в G, функция / аналитична вне G
и стремится к нулю при w -> оо, то / = TGh. Это следует из того,
что разность f—TGh аналитична везде и равна нулю на беско-
бесконечности, а тогда, согласно теореме Лиувилля, она равна нулю
всюду. Эти результаты позволяют решить уравнение A0.15)
в квадратурах для случая g2(w) = 0 [37, 38]. С другой стороны,
если мы хотим доказать полноту во всей или в частичной обла-
области, мы должны решить уравнения вида
р (w) A (w) - пТн [wA (w)] = Z И,	A0.21)
где Тн — оператор, определенный равенством A0.17) (с Н вме-
вместо G), a Z(w) задана. Область Н может быть либо всей об-
областью G(s), либо частью ее (обычно это половина области G,
соответствующая Re t^ ^ 0). Ясно, что если положить
f(w) = TH[wA(w)],	A0.22)
то из A0.21) получится
р № lk """ nwf = wZ № ^w e Я>>	A0.23)
т.е. уравнение типа A0.15) с g2(w) = 0 и Н вместо G. Теперь
очевидно, что это уравнение можно решить аналитически. Дей-
Действительно, общим решением однородного уравнения является
[X{w)]~\ где
X (w) - ф И ехр { - Тн [fSLy] },	A0.24)

VI. АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ МОДЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
a \p(w)—аналитическая функция в Н. Тогда общим решением
уравнения A0.23) будет
/ = [X (w)]-{ Тн [X (до) -^у1! + Ф (ш) [X (до)], A0.25)
где ф(до) аналогична в области /7. Формула A0.25) следует из
результатов, относящихся к уравнению A0.20), и из того, что
равенство A0.23) можно переписать в виде
A0.26)
Аналитическая функция г|э(до) в A0.24) может быть вы-
выбрана раз и навсегда, в то время как функция ср(и) опреде-
определяется так, чтобы / была аналитической вне Н и обращалась
в нуль при до—>оо, согласно A0.22). Как видно из A0.25),
можно добиться аналитичности, взяв ф(до) = 0 при условии, что
А'(до)—аналитическая функция, отличная от нуля и ограничен-
ограниченная вне Я; согласно общим результатам для A0.20) (применен-
(примененным к A0.26)), других решений не существует. На границе ОН,
однако, X(w) должна быть такой, чтобы Л (до) была не слиш-
слишком сингулярна, когда /(до) регулярна (доЛ(до) должна быть
интегрируемой). Чтобы исследовать это условие, заметим, что
экспонента в формуле A0.24) может быть сингулярной только
в тех точках Я, где p(w)= 0, так что, согласно A0.23),
L{w)=\ — ядоГоФ = 0 (шеЯ).	A0.27)
При наличии дискретного спектра L(w) обращается в нуль
при до = dzUo) поэтому, когда w обходит границу 0G в поло-
положительном направлении, \nL(w) изменяется на —4ш. Следо-
Следовательно, при наличии дискретного спектра /.(до) должна об-
обращаться в нуль также в некоторой точке области G; иначе
In/.(до) будет однозначным и возникает противоречие. Если
п\ — один из таких нулей L(w)y то
L М = Ш).{W - Щ) + (ж), (® - й.) + О (I а> - «1 П. (Ю-28)
где dL/dw = —ядаФ ф 0 в Н. При обходе малого контура, окру-
окружающего «|, изменение \nL(w) дается выражением
и, следовательно, равно 2я/, 0, —2я/ в соответствии с тем, ка-
какое из условий имеет место: \ (dL/dw)\\>\ (dL/dw)\\,
\ {dL/dw) i\ = \ (dL/dw) {\9 | (dL/dw) {\ < \ (dL/dw), |. Вслед за

10. УРАВНЕНИЯ С ПЕРЕМЕННОЙ ЧАСТОТОЙ СТОЛКНОВЕНИЙ	365
Комплексная w-плоскостЬ
Рис. 39. Дискретное собственное значение и0 и «антинуль» щ.'
Клинчем и Кущером [39], которые первыми явным образом ука-
указали на существование нулей L(w) в области Н, будем назы-
называть и\ нормальным нулем, нейтральным нулем или антину-
антинулем соответственно. Кратные нули исключаются, потому что
dL/dw Ф 0; обращение в нуль на некоторой кривой возможно
только при равенстве | (dL/dw) \ = | (dL/dw) \ на этой кривой.
Если имеются только изолированные нули, то существование
дискретного спектра означает, что каждая половина области G
(по симметрии) содержит антинулей на единицу больше, чем
нормальных нулей. Можно предположить [39], • что в каждой
половине области G существует только один антинуль и нет ни
нормальных нулей, ни нейтральных нулей, ни нулевых кривых.
Следует ожидать, что если 5 изменяется так, что ±Шо подходят
к dH извне, то антинули ±щ одновременно подходят к границе
изнутри. В дальнейшем они сольются там с нулями ±:и0 и «ан-
«аннигилируют» (см. рис. 39). Это предположение, подтвержденное
пока только численными расчетами для частных случаев [39],
принимается в последующем рассуждении. Для простоты огра-
ограничимся случаем, когда Н является в точности половиной обла-
области G (Re^ ^ 0).
Используя комплексный вариант формулы Грина [38], имеем
ти[
\
nw
p(w)
In L (z)
1 Г lnL
2ш J z -
дН+Г
dz
A0.30)
dH+T
где Г — петля, окружающая разрез С, соединяющий щ с точкой
на д#, если щ существует (\n[L(w)] однозначен в Я—С),
и контур обходится против часовой стрелки. Как следствие при

366	VI. АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ МОДЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
w—+uu учитывая, что п\ — антинуль, и используя известные ре-
результаты для сингулярных интегралов Коши (см. [8], а также
приложение, формулу (П.5)), получаем
( О A)	при отсутствии дискрет-
т Г nw I j	ного спектра,
Hlp{w)]~\ — 2 In| щ — w | + О A) при наличии дискрет-
(	ного (Гпектра.
A0.31)
В соответствии с этим положим в A0.24) ty(w) = (ui — w)~h,
где h = 1 или 0 в зависимости от того, существует дискретный
спектр или нет. Таким образом, функция X(w) всюду ограни-
ограничена; хотя X(vi)z=0 при наличии дискретного спектра, [X(w)]~l
интегрируема. Решение f(w) уравнения A0.23) тогда имеет вид
Однако, согласно A0.22), /(ш)->0 при w—> oo, поэтому из
A0.32) следует, чго
V Е.—W \w ^(хф^ q (если существует дискретный спектр),
н Р W	A0.33)
так как при существовании дискретного спектра X(w) =
= (—w)~l + 0A) при w—>oo. Равенство A0.33) представляет
собой налагаемое на Z(w) условие, но оно легко удовлетво-
удовлетворяется, потому что, согласно A0.21), Z(w) равняется функции,
подлежащей разложению, минус член, соответствующий дис-
дискретному спектру, а условие A0.33) фиксирует коэффициент До
дискретной собственной функции, соответствующей щ (R
Раскроем A(w), дифференцируя согласно формулам A0.22)
и A0.20):
	 wZ(w) .	nw т Г wX(w)Z {w)l	(}(\ол\
~ p(w) ^ p(w)X(w) lHl p(w) У \М-Ж)
Трудность возникает из-за нуля щ функций p(w) и X(w)t
который в общем случае создает в A(w) полюс второго по-
порядка. Тем не менее интеграл в разложении по собственным
функциям существует в смысле главного значения [39].
Проведенное исследование показывает, что все задачи, раз-
разрешимые с помощью модельного уравнения БГК, могут быть
решены также и с помощью уравнения A0.1). В связи с этим
заметим, что функция Х(и) удовлетворяет нескольким важным

11. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ	367
тождествам, аналогичным тем, которые имеют место в случае
БГК-модели [37, 40]. Отметим также, что после того, как уста-
установлены основные формулы, удобнее вернуться от w = а + ф
к первоначальным переменным gi и g.
Ясно, что изложенный выше метод можно применить и к мо-
модельным уравнениям, описывающим перенос нейтронов. Не-
Несколько работ такого рода посвящено изучению нейтронных
волн [39, 41—43].
11. Аналитическое продолжение
Использование обобщенных аналитических функций, кратко
описанное в разд. 10, приводит к интересному явному пред-
представлению непрерывного спектра, заполняющего двумерную об-
область. Однако непрерывные спектры обычно не дают четкой ин-
информации о результатах, которые следует ждать из экспери-
эксперимента. Фактически может оказаться, что из экспериментальных
данных вытекает отчетливо выраженное собственное значение
даже в том случае, когда теория предсказывает непрерывный
спектр. Мы уже сталкивались с подобной ситуацией в разд. 7
при исследовании плоских волн сдвига с помощью модельного
уравнения БГК- Там было показано, что дискретные собствен-
собственные значения могут быть получены посредством аналитического
продолжения соотношения, определяющего дискретный спектр
(так называемого «дисперсионного соотношения»). Для модели,
рассмотренной в разд. 10, дисперсионное соотношение дается
формулой A0.9), или формулой
L (и; $)¦=(),	A1.1)
где
L(u-s)-l-
A1.3)
a v определяется равенством A0.7). Выполнив в A1.2) интегри-
интегрирование по |я, получим
> (I) + s] - Ец

3")8	VI. АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ МОДЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
если s таково, что и не принадлежит непрерывному спектру.
Следовательно, формулу A1.2) можно переписать в следующем
виде:
оо
L(u;s)=\-\ up (|) {|2 - и2 [v A) + sf} In { [; g + *j Ц}^ +
о
oo
+ 2u2\Uv(t) + s]p(i)dt. A1.6)
0
Первый интеграл теперь можно взять по частям, положив
оо
R (?; u;s)=\ up (?') {|/2 - ы2 [v (?') + s]2} d%'.	A1.6)
В результате имеем
v(!) + s]p(!)tf|. A1.7)
В этом выражении первый интеграл позволяет использовать
метод аналитического продолжения по и при условии, что час-
частота столкновений является аналитической (или кусочно ана-
аналитической) функцией \. Действительно, если положить
то рассматриваемый интеграл можно переписать в виде
т /	\	С Q (W, //, S) ,	/л л r\\
I (и s) = \ v	dw,	A1.9)
д
где А — часть границы области G в комплексной плоскости w
(см. рис. 40), a Q(w,u,s)—аналитическая функция от w, кото-
которая локально получается путем обращения равенства A1.8)
и подстановки ? = ?(m;,s) в A1.7).
Выражения A1.7) и A1.9) еще не свидетельствуют о нали-
наличии двумерного непрерывного спектра. Сингулярности распре-
распределены вдоль А, иначе говоря, вдоль части границы непрерыв-
непрерывного спектра. Следовательно, равенство A1.7) дает аналитиче-
аналитическое продолжение L в непрерывный спектр, так что функция
L(u;s) теперь определена в комплексной плоскости w с разре-
разрезом вдоль А. Можно продолжить функцию L(ii]s) через разрез,

11. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ
3^)9
i\Imw
Рис. 40. Непрерывный спектр и кривая Л.
деформируя путь интегрирования и вычитая 2niQ(w,u,s) в со-
соответствии с формулами Племеля (см. приложение).
Таким образом, мы рассматриваем L(u\s) как многозначную
функцию ш, значения которой лежат на многолистной римано-
вой поверхности; аналитическое продолжение ведет с физиче-
физического листа на другой лист (точно так же, как в случае вынуж-
вынужденных волн сдвига, которые исследовались с помощью БГК-
модели в разд. 7). Если Lc(u;s)—аналитическое продолжение
L(u\s) в непрерывный спектр (т. е. та ветвь многозначной
функции L(u\s), которая достигается через А из области вне
непрерывного спектра), то уравнение Lc(u; s) = 0 может иметь
корень по даже тогда, когда уравнение L(u;s)=0 не имеет
корня (здесь L(w;s) определяется формулой A1.2) даже при
wgC(s)). В частности, для s, близких к критическому значе-
значению, при котором uo = uo(s) вливается в непрерывный спектр,
Lc(u\s) будет иметь нуль, являющийся аналитическим продол-
продолжением Uq(s). Если решения граничной задачи достаточно
гладки, то можно попытаться использовать это обстоятельство
для того, чтобы найти аналитическое продолжение подынте-
подынтегрального выражения на непрерывный спектр и затем восполь-
воспользоваться этим результатом для стягивания контура интегриро-
интегрирования около сингулярных точек и линий аналитически продол-
продолженного подынтегрального выражения.
Рассмотрим процесс аналитического продолжения для полу-
полупространственных задач с заданной функцией распределения
молекул, входящих в это полупространство.
Функцию X(w), определяемую формулой A0.24) (с И, рав-
равной половине С), можно аналитически продолжить, преобразуя
сначала интеграл в экспоненте по второй формуле Грина

370	VI. АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ МОДЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
A0.30). Так как гр(tei) = (щ — w)~h (/г = 0,1), в результате
получим
hi-±f \ ln^(*)] dzX w^H, A1.10)
дН+Г	}
где Г — контур около разреза С (см. рис. 39), который суще-
существует тогда и только тогда, когда /г=1; зависимость от 5
здесь не указана.
Преобразуем интеграл в экспоненте. Если Шо — точка пере-
пересечения разреза С с дН (h = 1), то удобно выбрать w0 так,
чтобы она совпадала с краем А (см. рис. 40), что всегда можно
сделать. Тогда
1 С iLM?ld2= 1 С ^LlllLdz + hln(JS2lzJL)t A1.11)
2ni J z — w	2т J z — w	\ щ — w\ ) v	'
дН+Т	дН
и формула A1.10) принимает следующий вид:
I	дН
Заменяя L(z) на LCi можно сжать контур дН в Д и получить
= (ш0 - ш)^ ехр | - ^ ^ 1г cJwC AdzL тфН. A1.13)
При необходимости можно, конечно, преобразовать Д в дру-
другой путь Д/. Аналитическое продолжение X(w), таким образом,
лолучено. Заметим, что выражение A1.13) дает аналитическое
продолжение X (w) уже в Я — Д.
Формула A0 34) показывает, что wA(w), а значит и
wA(w)e~x/wy является производной по w от функции, выражае-
выражаемой через X(w) и граничные условия. Следовательно, при по-
помощи комплексных формул Грина вклад от непрерывного
спектра можно преобразовать в интеграл по границе. Подынте-
Подынтегральное выражение является аналитической функцией вне Н
и может быть аналитически продолжено в Н указанным выше
способом, если граничное условие Z(w) аналитически продол-
жимо в И. Таким образом, аналитическое продолжение воз-
возможно при соответствующих граничных условиях. Однако, сдви-
сдвигая путь интегрирования, мы включаем вклады вычетов от нулей
аналитически продолженного дисперсионного соотношения. Сле-
Следовательно, даже когда уравнение A1.1) не имеет решения, ос-
основной вклад в последнее может появиться от «дискретной соб-
собственной функции».
Создается впечатление, что аналитическое продолжение
устраняет двумерный непрерывный спектр. Это верно в том

11. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ	371
смысле, что интеграл по G можно преобразовать в интеграл по
границе; последующее преобразование в интеграл по разрезу
возможно только тшда, когда Z(w) может быть аналитически
продолжена в Н. Типичное граничное условие для возмуще-
возмущения h (задача волн сдвига, см. выражение G.4)) приводит
к Z(w)= const и, следовательно, допускает аналитическое про-
продолжение в Я; в этом случае двумерный спектр исчезает и вклад
в решение дают только полюсы и интегралы по разрезу.
На основании этих фактов часто утверждают [44—46], что
метод решения, опирающийся на использование обобщенных
аналитических функций, является излишне сложным и приво-
приводит к громоздким результатам. Эта критика сопровождается
рекомендацией использовать для полупространственных задач
метод Винера — Хопфа [1—3]. Пока нет сомнений, что любую
задачу, которая решается методом Винера — Хопфа, можно ре-
решить методом элементарных решений и обратно, выбор того или
иного метода определяется личным вкусом исследователя.
Например, автор данной книги предпочитает метод элемен-
элементарных решений потому, что он сразу же дает общее решение
уравнения A0.5), справедливое даже для задач, которые нельзя
решить точно ни тем, ни другим методом, в то время как метод
Винера — Хопфа приводит к тому же результату только после
сложного контурного интегрирования. С другой стороны, неко-
некоторые исследователи отдают предпочтение методу Винера —
Хопфа, поскольку он определяет L(u\s) сначала только для
мнимых и (и = (ik)-\ где к — переменная, соответствующая х
в преобразовании Фурье), в го время как метод обобщенных
аналитических функций использует функцию L(u; s), определен-
определенную равенством A1.2) для всех комплексных и (и, следова-
следовательно, неаналитическую в конечной области G комплексной
плоскости). Однако в любом случае мы прибегаем к аналити-
аналитическому продолжению, чтобы получить результаты в удобной
для применения форме.
В связи с этим заметим, что, хотя дисперсная функция
L(u;s) несомненно может быть продолжена и для более слож-
сложных модельных уравнений и даже для самого линеаризованного
уравнения Больцмана [47—49], это утверждение не очевидно
для подынтегральных выражений интегралов по непрерывному
спектру, возникающих в связи с граничными задачами, по-
поскольку возможность аналитического продолжения зависит от
гладкости граничных условий.
Подводя итоги, можно сказать, что отбрасывание области
непрерывного спектра допустимо при условии замены этой об-
области ее границей; дальнейшая замена на дискретные члены
плюс интеграл по линии ветвления, отличной от dG, возможна
только тогда, когда граничные условия являются «гладкими».

372	VI. АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ МОДЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Можно утверждать, что условие «гладкости» всегда выполняется
для «физических» задач, и его всегда можно допускать; но
нельзя считать, что область G (или, точнее, граница 0G) не
нужна в общем решении уравнения A0.2). Иными словами,
отрицание «реальности» непрерывного спектра, математически
нестрогое, может быть приемлемым для физических целей.
12. Распространение звука в одноатомных газах
Одной из задач, для которой полезна теория, развитая в
разд. 8, является задача о распространении звука. Пластина
колеблется в направлении своей нормали с частотой со; перио-
периодическое возмущение распространяется через газ, заполняющий
пространство по одну сторону пластины. Если частота со очень
велика, то даже при обычных плотностях уравнения Навье —
Стокса не достаточны, потому что со может быть величиной
одного порядка со средним временем свободного пробега.
Фазовую скорость и затухание возмущения можно опреде-
определить экспериментально, если считать это возмущение локально
плоской волной (что в общем случае неверно, поскольку суще-
существует вклад от континуума). Трудность состоит в том, что
имеется приемник, который в принципе не позволяет рассматри-
рассматривать эту задачу как полупространственную., особенно из-за того,
что иногда его помещают очень близко к пластине (на расстоя-
расстоянии, не превышающем среднюю длину свободного пробега
[50,51]). Пренебрегая возмущением от приемника, можно ис-
исследовать эту задачу как полупространственную [52] методом
элементарных решений.
Если принять простое, но реалистичное предположение, что
отражение молекул от пластины полностью диффузное, то за-
задача вычисления коэффициентов собственных функций, рассмот-
рассмотренная в разд. 8, сведется к использованию полупространствен-
полупространственной полноты (конечно, нужно учитывать также условие ограни-
ограниченности на бесконечности). Однако сам факт полноты еще не
дает полезных выражений для коэффициентов разложения, если
не используется недавно развитая более сложная теория, опи-
описанная в конце разд. 8.
Бакнер и Ферцигер [52] решили эту задачу приближенно.
Они начали с замечания о том, что граничную задачу можно
всегда заменить соответствующей задачей в бесконечном про-
пространстве, задавая распределение источников на границе. Бак-
Бакнер и Ферцигер предложили ввести распределение источников,
содержащее свободные параметры, которые затем выбираются
из условия минимизации решения в полупространстве лг< 0
(где точное решоние равно нулю). Их результаты (см. рис. 41

Рис. 41. Сравнение различных теоретических результатов по распростра-
распространению звука с экспериментальными данными. Величина, обратная безраз-
безразмерной фазовой скорости, в зависимости от отношения частоты столкнове-
столкновений к частоте звука.
	 расчеты Сировича и Тёрбера A1 моментов);	расчеты Сиро-
вича и Тёрбера (8 моментов); —1	)	\- расчеты Бакнера и Ферцигера
E моментов); —	 теория Навье — Стокса; * экспериментальные данные
Мейера и Сесслера; 0 экспериментальные данные Гринспена.
Рис. 42. Сравнение различных теоретических результатов по распростране-
распространению звука с экспериментальными данными. Скорость затухания в зависи-
зависимости от отношения частоты столкновений к частоте звука.
Обозначения те же, что на рис. 41.

374	VI. АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ МОДЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
и 42) хорошо согласуются с экспериментом для низких и очень
высоких частот (сплошная среда и свободномолекулярный ре-
режим); в переходном режиме хорошее согласование получено
^олько для фазовой скорости, а коэффициент затухания отли-
отличается от экспериментальных значений примерно на 30%. Это
означает, что либо недостаточно точна выбранная Бакнером и
Ферцигером аппроксимация свободного члена в уравнении, либо
оказались неподходящими взятые ими модели столкновений
(модели Гросса и Джексона с тремя и пятью моментами), либо
то и другое вместе. Этот вопрос будет обсуждаться ниже.
Метод, который приводит к хорошему согласованию с экспе-
экспериментом на всех режимах, — это метод аналитического продол-
продолжения дисперсионных соотношений, использованный Сировичем
и Тёрбером [47]. В принципе этот метод описан в разд. 7 и И
для случая волн сдвига. Однако в этом случае было известно
полное решение и аналитическое продолжение дисперсионного
соотношения делалось только для того, чтобы получить другое
представление решения. В частности (см., например, уравнение
G.10)) вклад от дискретного спектра может появляться даже
тогда, когда дисперсионное соотношение не имеет решения при
простом аналитическом продолжении самого дисперсионного
соотношения. Вопрос состоит в том, дает ли вклад от дискрет-
дискретного спектра (или его аналитического продолжения) точное
представление всего решения.
Согласно оценкам Дорниига и Тёрбера [26], существует об-
область, где этот вклад является достаточным для представления
решения; нужно лишь исключить области, очень близкие к гра-
границе и очень далекие от нее. В первой области доминируют
однократные столкновения свободных частиц, во второй—вы-
второй—высокоскоростные молекулы, так что функция распределения
зависит от хвоста максвеллиана стенки (см. разд. 7 и работы
[35, 33, 24, 53]). Последнее происходит на нескольких длинах
свободного пробега от стенки и не относится к области порядка
средней длины свободного пробега; это не имеет места и в слу-
случае частоты столкновений, растущей линейно при высоких ско-
скоростях, как для твердых сфер и потенциалов конечного радиуса
действия.
Размер области свободномолекулярного режима много мень-
меньше средней длины свободного пробега; фактически, согласно
оценкам Сировича и Тёрбера [54], даже если излучатель и при-
приемник находятся на расстоянии Vio длины свободного пробега,
то 25% молекул, покидающих излучатель, могут испытать столк-
столкновение прежде, чем достигнут приемника. Высокий процент
столкновений обусловлен тем, что молекулы имеют составляю-
составляющие скорости, параллельные плоскостям излучателя и прием-
приемника.

12. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКА В ОДНОАТОМНЫХ ГАЗАХ	375
Метод Сировича и Тёрбера состоит в том, что вместо гра-
граничной задачи рассматривается дисперсионное соотношение
(или его аналитическое продолжение). Это равносильно пред-
предположению, что в экспериментально изучаемой области доми-
доминируют вклады от дискретного спектра. Согласно упомянутым
выше оценкам Дорнинга и Тёрбера [26], это, по-видимому, верно
[55] для экспериментов Гринспена [50], а также Мейера и Сес-
слера [51].
Преимущество метода, используемого Сировичем и Тёрбе-
ром, состоит в том, что он требует только изучения дисперсион-
дисперсионного соотношения (равенства (8.17) с s = ico), а не решения
граничной задачи. Следовательно, можно выполнить расчеты
для довольно сложных модельных уравнений. Сирович и Тёрбер
[47] вычислили скорость звука и скорость затухания для моделей
Гросса и Джексона (IV. 9.8) с 3, 5, 8 и 11 моментами (максвел-
ловские молекулы) и обобщенных моделей, предложенных Си-
Сировичем, (IV. 9.12) с 3, 5, 8 и И моментами в линеаризованном
операторе столкновений для твердых сфер.
Результаты для максвелловского газа (с И моментами) ка-
качественно согласуются с экспериментальными данными (см.
рис. 41 и 42); в частности, поведение фазовой скорости при
со—* оо (свободномолекулярное течение) определяется с ошиб-
ошибкой порядка 15%, а скорости затухания — с ошибкой порядка
25% Для соФ < 5 (здесь b — среднее время свободного пробега,
определяемое по формуле О = \i/p, где [я — коэффициент вязко-
вязкости, р —давление). Результаты для газа из твердых сфер
(И моментов) хорошо согласуются с экспериментальными в
высокочастотной области (соО>>5), но затухание в переходном
режиме определяется с ошибкой в 20%.
Как ни странно, результаты Бакнера и Ферцигера для мо-
модели максвелловского газа E моментов) ближе к результатам
Сировича и Тёрбера для твердых сфер, чем к их результатам
для максвелловского газа. Дать точную оценку тем более труд-
трудно, что результаты Сировича и Тёрбера для восьмимоментной
модели твердых сфер ближе к экспериментальным, чем те же
результаты для одиннадцатимоментной модели.
Бесспорно, единственными методами, которые приводят к
хорошему согласованию с экспериментом, пока являются метод
элементарных решений, использованный Бакнером и Ферциге-
ром [52], и метод аналитического продолжения, использованный
Сировичем и Тёрбером [47]. Выбор между этими двумя мето-
методами—вопрос более тонкий. Совпадение с экспериментальными
данными немного лучше в методе аналитического продолжения,
как видно из приведенных выше примеров. Однако следует за-
заметить, что метод элементарных решений должен давать точное
решение, если его применять к достаточно сложным модельным

) 76	VI- АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ МОДЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
уравнениям (Бакнер и Ферцигч-р рассматривали только модели
низкого порядка из-за трудоемкости точных расчетов для моде-
моделей более высокого порядка) и с достаточно гибким свободным
членом (между прочим, большая часть расчетов Бакнера и Фер-
цигера по недосмотру была выполнена без аппроксимации сво-
свободного члена, соответствующей физическим условиям). Проб-
Проблему свободного члена можно вообще исключить при помощи
метода, описанного в конце разд. 8, но за счет громоздких
аналитических выражений.
Упомянем также интересную работу Р. Мэсона [56], который
рассматривал распространение звука в случае зеркально отра-
отражающего излучателя; при этом нужна лишь полнота во всем
пространстве (благодаря симметрии), и Мэсон смог решить
задачу аналитически (он использовал, однако, преобразование
Фурье, а не метод элементарных решений). Его результаты со-
согласуются с экспериментом хуже, чем у Бакнера и Ферцигера
или ^лровича и Тербера, но не ясно, связано ли это с особым
видом граничного условия ^что было бы интересным результа-
результатом) или, что более вероятно, с некоторыми аппроксимациями,
использованными Мэсоном при численной оценке его аналити-
аналитических результатов.
Следует особенно подчеркнуть замечательный успех описан-
описанных выше методов, потому что другие методы, основанные на
разложении решения линеаризованного уравнения Больцмана в
ряды по ортогональным полиномам, не оправдали ожиданий.
В первом из этих методов, которым пользовались Ван Чан и
Уленбек [57], а также Пекерис и его сотрудники [58], решение
раскладывалось по собственным функциям максвелловского
оператора; результаты совершенно не согласовались с экспери-
экспериментом. Поскольку Пекерис с сотрудниками использовал
483 момента (!), мы заключаем, что их разложение, если оно и
сходится, не приводит к правильному решению для больших
значений со.
Другой подход был предложен Каном и Минцером [59]; в их
решении неизвестные в линеаризованном уравнении Больцмана
раскладываются в ряды по ортогональным полиномам с весо-
весовой функцией, основанной на свободномолекулярном решении,
а не на максвеллиане. Неожиданно оказалось, что их резуль-
результаты стремятся к правильному континуальному пределу. В связи
с этим обстоятельством метод Кана и Минцера привлек боль-
большое внимание и вызвал благоприятные отклики [52, 53, 60—65].
Однако последующие работы [66, 67] показали, что эта неожи-
неожиданная точность объясняется некоторыми ошибками, допущен-
допущенными Каном и Минцером; в самом деле, Тоба [66] обнаружил
ошибку в граничных условиях, а Хансон и Морс [67] — ошибку
ц асимптотической оценке некоторых интегралов.

13. ОБТЕКАНИЕ ТВЕРДЫХ ТЕЛ	37/
Хансон и Морс заново провели асимптотику и нашли, что
согласование с экспериментами не улучшилось; наоборот, по-
поведение для низких частот оказалось совершенно неправильным
и даже физически абсурдным (возрастающие, а не затухающие
моды). Согласование с экспериментом для очень высоких ча-
частот, как и следовало ожидать, было достаточно хорошим.
13. Двумерные и трехмерные задачи.
Обтекание твердых тел
Как уже было указано выше (разд. 8 гл. IV), метод разде-
разделения переменных можно применять не только для одномерных
задач, но и в более общих случаях. Основная трудность состоит
не в разделении переменных и обсуждении возможных собствен-
собственных решений, а в выделении полной системы и в доказательстве
ее полноты. В силу этого решить до конца можно, по-видимому,
только задачи во всем пространстве или задачи, сводящиеся
к ним. В этом случае можно работать с функцией Грина, вве-
введенной в разд. И гл. IV.
Согласно полученным там результатам, функцию Грина
легко построить, как только найдены элементарные решения
(полупространственная полнота не требуется). Из-за громозд-
громоздкого вида результатов обычно лучше работать непосредственно
с фурье-преобразованием решения. Если имеются границы, то
в фурье-преобразованном уравнении Больцмана появляются
граничные значения неизвестной h в виде свободного члена.
Поскольку h на Гранине точно не известна (в простейшем слу-
случае она известна для § п > О, но не для |п < 0), задачи, со-
содержащие границы, решить этим методом совсем не просто.
Исключение составляет только внешняя задача с зеркальным
отражением (внутренняя задача для граничного условия такого
рода дает лишь тривиальные результаты, см. разд. 10 гл. III).
Если в этом случае границей является плоская пластина в пло-
плоскости (х, у) и задача симметрична относительно отражения
у—>—у, то можно явно вычислить свободный член в фурье-пре-
фурье-преобразованном уравнении (см. ниже).
При решении задач об обтекании тела, находящегося в покое
при фиксированной температуре, возникает трудность, связан-
связанная с использованием линеаризованного уравнения Больцмана
[68]. Ситуация совершенно аналогична так называемому пара-
парадоксу Стокса в линеаризованной теории вязких течений [69].
При линеаризации около максвеллиана тела /0 в двумерном
течении не существует решения, ограниченного на бесконечности
(за исключением случая h = 0, т. е. / = /0). Для доказательства
этого заметим, что h удовлетворяет линеаризованному уравне-

378	VI. АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ МОДЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
нию Больцмана (IV. 2.6) при однородных граничных условиях
на теле (IV. 4.1); следовательно, h = О является решением.
Если, кроме того,
\\-nh2dldS->0,	A3.1)
когда точки поверхности 2, окружающей тело, стремятся к
бесконечности, то единственным решением в соответствии с тео-
теоремой единственности, доказанной в разд, 4 гл. IV, будет реше-
решение h = 0. Поэтому, если условие A3,1) выполняется, то из него
вытекает очень неприятное следствие: единственной ситуацией,
которую описывает стационарное линеаризованное уравнение
Больцмана, является состояние покоя в газе, окружающем тело.
Этот результат связан с тем, что линеаризация не является
равномерно пригодной на бесконечности; на достаточно больших
расстояниях от тела производные по координатам в уравнении
Больцмана уже не превышают квадратичные члены, которыми
мы пренебрегли. Это имеет место на расстоянии //М, где
/ — средняя длина свободного пробега, а М — число Маха (во-
(вообще говоря, чтобы линеаризация была законной, должно быть
М<С 1). Однако задача состоит в том, чтобы проверить, спра-
справедливо ли условие A3.1) на бесконечности. Ответ на этот
вопрос может дать исследование общего решения линеаризо-
линеаризованного уравнения Больцмана, полученного в разд. 11 гл. IV.
Для того чтобы найти поведение h на бесконечности, нужно
знать асимптотику функции Грина. Согласно результатам
разд. 11 гл. IV, решение на бесконечности всегда определяется
оборванным разложением Чепмена — Энскога со скоростью,
давлением и температурой, удовлетворяющими стационарным
линеаризованным уравнениям Навье — Стокса. В таком случае
нетрудно выяснить, выполняется ли условие A3.1) для решений,
стремящихся на бесконечности к линейной комбинации инва-
инвариантов столкновений (линеаризованный вариант стремления
к максвеллиану).
Результат состоит в том, что условие A3.1) не выполняется
для трехмерных течений (так что для них существуют нетри-
нетривиальные решения), но должно иметь место для двумерных те-
течений [68]. Это следует из того, что в трехмерном случае реше-
решение Стокса, как известно, хорошо ведет себя на бесконечности
в том смысле, что профили скорости выходят на условия одно-
родного течения (для достаточно малых Ма/7, где а —характер-
—характерный размер тела) прежде, чем линеаризация станет некоррект-
некорректной, в то время как для двумерных течений это невозможно [69].
Во избежание только что описанной неприятности необхо-
необходимо имитировать процедуру, применяемую в аналогичной си-
ситуации в теории вязких течений [68]. Можно использовать либо

13. ОБТЕКАНИЕ ТВЕРДЫХ ТЕЛ	379
внутренние и внешние разложения, либо линеаризацию около
максвелловского распределения на бесконечности (что эквива-
эквивалентно линеаризации Озеена в вязком течении [69]). Необходи-
Необходимо отметить, что во втором случае получается уравнение Больц-
мана, линеаризованное около ненулевой скорости; когда задача
стационарна, это уравнение не эквивалентно уравнению Больц-
мана, линеаризованному около нулевой скорости, которым мы
до сих пор пользовались. Действительно, мы применяем систему
координат, связанную с телом, а линеаризацию проводим отно-
относительно потока на бесконечности; если же попытаться стать
на единую точку зрения, взяв систему координат, связанную с
потоком на бесконечности, то задача становится нестационар-
нестационарной. Полагая % = V^ -f- с, приведем уравнение Больцмаиа к виду
(V^ + cb-g-^LA,	A3.2)
где оператор L линеаризован относительно максвеллиана со
средним значением ?, равным Voo, и, следовательно, среднее
значение с равно нулю. В терминах с это уравнение больше
похоже на нестационарное уравнение Больцмана, чем на ста-
стационарное.
Уравнение A3.2) можно исследовать по аналогии с частным
случаем Коо = О, рассмотренным в разд. 11 гл. IV, однако вид
собственных решений в нашем случае более сложен. Таким
образом, общее представление асимптотической части решения
найти не легко. Шарф [70] получил разложение асимптотиче-
асимптотического решения в степенной ряд по k вплоть до членов второй
степени. Конечно, это равносильно решению Чепмена — Энскога,
оборванному на уровне Навье — Стокса; соответственно и ре-
результаты, получаемые с помощью решения Шарфа, могут быть
получены непосредственно из уравнений Навье — Стокса [71].
Уравнение A3.2) было использовано автором [72] для иссле-
исследования обтекания почти зеркально отражающего профиля
(рис. 43) при умеренно больших числах Маха. Предполагается,
что функция распределения удовлетворяет максвелловским гра-
граничным условиям (III. 5.1), а скорость набегающего потока VTC
направлена вдоль оси х. Коэффициент аккомодации а и угол
е(х) между поверхностью профиля и осью х считаются малыми.
Точнее, предполагается, что выполнены следующие неравенства
(М — число Маха набегающего потока):
<х<1, <хМ<1, е<1, еМ<1.	A3.3)
Конечно, при М < 1 достаточно ограничиться первым и
третьим из этих условий, а при М >> 1 — вторым и четвертым.
При этих предположениях задачу можно линеаризовать, по-
полагая
f)	A3.4)

380
VI. АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ МОДЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Рис. 43. Обозначения для случая обтекания тонкого профиля под малым
углом атаки.
где foe — максвеллиан набегающего потока, величина К2 пре-
пренебрежимо мала, a h удовлетворяет уравнению A3.2) с Моо =
= КоЛ (i и j — единичные векторы вдоль осей х и у соответ-
соответственно). Граничные условия (III. 5.1) принимают следующий
вид (членами высшего порядка пренебрегаем):
1J J/	/со (С)	RT0
< = 0 ±; 0<x<L; ± j • с > 0),
A3.5)
где г+{х) и г-(х)—углы наклона верхней и нижней поверхно-
поверхностей профиля, а L — длина его хорды. Заметим, что в A3.5)
граничные условия записываются на интервале @, L) оси х, а
не на границе профиля; это связано, конечно, с малостью е±(х).
Чтобы получить аналитическое решение задачи, целесооб-
целесообразно использовать для описания столкновений модель БГК;
тогда, если 1^ = '$1 /
^ 01 л/^ , где Ооо — время между столкнове-
столкновениями на бесконечности, уравнение A1.2) запишется так:
-4)-/г], A3.6)
где S =
ницах
— скоростное отношение, с измеряется в еди-
еди, c)dc,
A3.7)

13. ОБТЕКАНИЕ ТВЕРДЫХ ТЕЛ	381
Для решения задачи необходимо рассмотреть фурье-преоб-
разование h от h по пространственным переменным. Как было
отмечено выше, в фурье-преобразованном уравнении появляется
свободный член, включающий граничные условия для неизвест-
неизвестной функции h. Поскольку граничные условия записываются на
отрезке О <С х <С L оси х> этот член зависит только от скачка h
на оси у = 0 @<a:<L). В случае симметричного профиля,
когда подъемная сила отсутствует (е_(х) = е+(х) = г(х)), в
силу симметрии h(x, 0_, с) = h(x, 0+, с — 2] [j-c]) и условие A3.5)
можно записать в виде
h(x, 0+, с)-А(*, 0-, с) =
=аfo{c)uLi(c) sgn(c•j)~~4Sc']е{х) (°<*<*->> Aз-8)
так что скачок h на оси у = 0 известен в явном виде. Используя
этот результат, легко получить, что h удовлетворяет уравнению
t r + 2cu +т(с2 ~3/2) _j	v(kx, с)	l\4Qi\
l+^eoCS^-k.c) ^ \+i^oo(Skx + k-c) ' 11°'^
где
L
a (*x, c) = + 25 ^^ \ e (x) e~'V dx +
0
Уравнение, аналогичное A3.9), рассматривали Грэд [73] и
Сирович [74] при изучении дальнего поля в задаче обтекания
тела; однако в этом случае свободный член зависел от с и был
неизвестен.
Если для вычисления г, и, т по формулам A3.7) использо-
использовать выражение h из A3.9), то получится
оМ*№ = оа (a = 0, I, 2, 3, 4),	A3.11)
где || Ma|31| — матрица, а v^y cra —векторы, определяемые как
Ma
, = 6а,-я-''$
к. с)
( j )—скалярное произведение в Ж и фа нормированы обычным
образом ((i|?a> г|з^) = Sae).
При помощи надлежащего поворота в пространстве скоро-
скоростей можно показать, что четыре уравнения системы A3.11),

382	VI. АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ МОДЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
описывающие течение в плоскости (х, у) (а = О, 1, 2, 4), пре-
преобразуются в две подсистемы из одного и трех уравнений (для
этого достаточно взять две оси параллельно и перпендикулярно
к). Оказывается, что определители этих систем такие же, как
у уже изученных систем; обращение в нуль знаменателя реше-
решения одного уравнения эквивалентно обращению в нуль М (и, s)
из F.9) (с s = ikooSkx, и = —A + йоо5/гл)//С), а обращение в
нуль определителя системы трех уравнений эквивалентно ра-
равенству (8.17).
Задачу о корнях этих уравнений можно изучать при помощи
кривой у, рассмотренной в разд. 6, и аналогичных кривых, ис-
исследованных Мэсоном [28] и упомянутых в разд. 8. Обсуждение
этих корней, конечно, чрезвычайно важно для обращения пре-
преобразований Фурье; они вносят вклады в структуру акустиче-
акустических фронтов (слабых ударных волн), пограничных слоев и
волн. Эти результаты кратко изложены в упомянутой выше ста-
статье [72], но подробно до настоящего времени не обсуждались.
Ясно, что напряжение сдвига на стенке дается формулой
= -а \
Т1<0
где использованы равенства A1.4) и (III 5.1). Эта точная фор-
формула показывает, что касательное напряжение состоит из двух
частей. Первая часть имеет порядок а2 и соответствует свобод-
номолекулярному значению; вторая часть имеет порядок а2, по-
поскольку h — величина порядка а. Следовательно, поправка к
свободномолекулярному значению лобового сопротивления
имеет поря/ток ч>2\ таким обрядом мы випим что вычисление h
в первом приближении, которое лается линейной теорией, крат-
кратко изложенной выше обеспечивает правильное выражение для
лобового сопротивления с точностью до члена второго порядка
по а.
14. Флуктуации и рассеяние света
Как известно (см. гл. II), уравнение Больцмана является
усредненным уравнением, описывающим детерминированную
Эволюцию одночастичной функции распределения. Это означает,
что в уравнении Больцмана мы не учитываем флуктуации
функции распределения относительно ее среднего значения. Та-
Такие флуктуации можно формально учесть (по крайней мере, на
уровне линеаризованного уравнения Больцмана), добавляя
флуктуационный член S(x, |, t); но можно сделать и точные

14. ФЛУКТУАЦИИ И РАССЕЯНИЕ СВЕТА	388
утверждения относительно его среднего значения, которое
должно быть нулем, а также относительно корреляционной
функции E(х, §, t)S(x', g', *')), где ломаные скобки означают
усреднение. Эта задача исследовалась Фоксом [75—77]. Однако
если нас интересуют только флуктуации плотности, скорости и
температуры, то благодаря уравнениям сохранения можно вы-
вычислять корреляционные функции для этих величин
((р(х, t)p(x't t')) = (p(x, t — f)p(x, 0)) и т. д.), решеяа линеа-
линеаризованное уравнение Больцмана (без флуктуационного члена)
с начальным условием, соответствующим возмущениям плотно-
плотности, импульса и энергии частиц.
Флуктуации плотности могут наблюдаться экспериментально
при исследовании рассеяния лазерного света в одноатомных
газах. Характеристики света, рассеиваемого жидкостями, зави-
зависят от флуктуации диэлектрической постоянной материала, за-
заключенного в заданном элементе объема. Вообще говоря, ди-
диэлектрическая постоянная е зависит от локальной массовой
плотности и температуры, но для газообразных систем, состоя-
состоящих из простых неполярных молекул, зависимость е от тем-
температуры очень мала. Спектр рассеянного света зависит от вре-
временной корреляции флуктуации диэлектрической постоянной и,
следовательно, от корреляционной функции плотность-плотность
G(|x — х/|,*)= (р(х> 0р(х'» 0)) или, точнее, от ее фурье-преоб-
разования S(k, со).
Длина волны света, используемого в экспериментах, обычно
мала по сравнению со средней длиной свободного пробега ча-
частиц газа, но волновое число |к|, входящее в S(k, со), равно
21 к01 sin @/2), где ко — волновой вектор падающего излучения,
а О — угол между к0 и волновым вектором ks рассеянного света.
Соответственно для каждого угла наблюдения существует опре-
определенная флуктуация длины волны, и потому, меняя угол, мож-
можно измерить преобразование Фурье корреляционной функции
плотность-плотность. При достаточно малых углах мы нахо-
находимся в континуальном режиме и можно использовать гидроди-
гидродинамическую теорию, основанную на уравнениях Навье — Стокса.
Однако следует ожидать, что, если средняя длина свободного
пробега велика по сравнению с длиной волны, а угол Ф не очень
мал, то профили, предсказываемые континуальной теорией, не
совпадут с экспериментальными. Поэтому Ип и Нелькин [78]
предложили использовать эксперименты по рассеянию для про-
проверки линеаризованного уравнения Больцмана. Действительно,
согласно проведенному выше рассуждению, корреляционная
функция плотности G(r,t) определяется формулой
G(r, 0=5 fo(i)A(x, l,t)dl (r = |x|),	A4.1)

384	VI. АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ МОДЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
где /о(|)—равновесное максвелловское распределение, соответ-
соответствующее плотности и температуре газа, a h удовлетворяет ли-
линеаризованному уравнению Больцмана в бесконечном про-
пространстве и начальному условию
А(х, I 0) = 6(х),	A4.2)
представляющему заданную частицу в начале координат.
Эту задачу можно решить аналитически, если воспользо-
воспользоваться кинетическими модельными уравнениями. Решение легко
находится с помощью фурье-преобразования этих моделей ме-
методами, аналогичными изложенным в предыдущих разделах.
Некоторые из этих решений были получены Ипом и Нелькином
[78], Ипом и Ранганатаном [79] и Сугаварой, Ипом и Сировичем
[80]. Применимость этих результатов в широком интервале длин
волн и частот была подтверждена тщательными эксперимен-
экспериментами Грейтага и Бенедека [81].
Приложение
Изложим здесь некоторые результаты, относящиеся к сингу-
сингулярным интегральным уравнениям и лежащие в основе свойств
полноты собственных решений, изучаемых в основном тексте.
Напомним прежде всего некоторые свойства аналитических
функций, регулярных в комплексной плоскости с разрезом вдоль
кривой L; дальнейшие детали и доказательство можно найти
в [8].
Пусть f(z)—аналитическая функция, стремящаяся к нулю
при z-*oo, регулярная в комплексной плоскости с разрезом
вдоль ориентированной незамкнутой кривой L. Пусть пределы
f(z) при стремлении z к точке (eL существуют; обозначим эти
пределы при подходе к L слева и справа через f+(t) и f~(t)
соответственно. Если с обозначает любую из концевых точек
L, то пусть \f(z)\<cA(z — с)-у при z->c и некоторых А и
Y < 1. Пусть, наконец,
— скачок f (z) при переходе через разрез. Тогда A (t) — функция
типа Гёльдера на L (т. е. | f {tx) - f(t2) \< A \t{ - t2 |<\ 0 < а< 1
для /ь IogL) и
1® = Мт^7йи	(П-2)
Кроме того,
,-+(/) + Г(/)=~Я$-р^Л',	(П.З)
L
где Р — главное значение в смысле Коши.

Приложение	38:
Обратно, если задана функция д(/) типа Гёльдера на не-
незамкнутой кривой L и А(/)<Л|/ — с\~у в обеих концевых
точках для некоторых А и у <. 1, то функция f(z)y определяе-
определяемая формулой (П.2), регулярна в комплексной плоскости с
разрезом вдоль L, стремится к нулю при г—> оо, и ее пределы
при подходе к L слева и справа существуют, конечны и связаны
с А@ соотношениями (П.1) и (П.З). Эти соотношения, кото-
которые обычно называют формулами Племеля, можно переписать
в эквивалентной форме:
\T~jdl'±\Ht)-	(П.4)
L
Точное поведение f(z) при z-^c описывается формулой.
f(z) = ±-^ln(c-z) + Cr(l),	• (П.5)
если Д(с)=т^= оо; знак плюс берется для верхнего предела инте-
интеграла (П.2), а минус — для нижнего.
Рассмотрим теперь сингулярное интегральное уравнение с
ядром Коши
A(t)y(t) + B(t)P\f^fdt' = C(t) (/ei),	(П.6)
где A(t), B(t) и C(t) — заданные функции, a L — заданная не-
незамкнутая кривая в комплексной плоскости. Способ аналитиче-
аналитического решения уравнения (П.6) состоит в следующем. Введем
функцию комплексного переменного z:
N(z)=-J-
Тогда уравнение (П.6) можно переписать в виде
[А @ + niB @] N+ (t) - [А (/) - niB (t)) AT (t) = С @, .(П.8);
где использованы формулы Племеля (П.1) и (П.З) (с Д==у,
fz=N). По заданному соотношению (П.8) между Л^+(^) и
M~(t) нужно определить аналитическую функцию N{z)\ эта за-
задача известна как задача Гильберта. Будем считать, что
А ± 1В Ф 0 на L. Как только N{z) найдена, y(t) получается,
по формулам Племеля.
Чтобы решить задачу Гильберта, заметим, что если бы нуж-
нужно было найти функцию А'(г), аналитичную, отличную от нуля
в комплексной плоскости с разрезом вдоль L и такую, что
[А (/) + niB (/)] Х- (/) = [А (/) - мВ (/)] Х+ @,	(П.9)

386	VI. АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ МОДЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
то можно было бы записать соотношение (П.8) в виде
Х+ (() N+ (i) - Х- (О N- @ = /(~ ^ <^}	(П. 10)
и, согласно формулам Племеля, примененным к X(z)N(z),
получить
N() ^
N(z) = ^	LC	___	(пп)
'*' X(z) 2ш ) A(t)-niB(t) t-г	Ц1Л1'
при условии, что произведение X(z)N(z) стремится к нулю при
?->оо. Следовательно, мы можем решить неоднородную за-
задачу Гильберта, связанную с уравнением (П.6), если известно
решение однородной задачи Гильберта (П.9). Но формулу
(П.9) можно переписать в виде
- in х- (о=
и применение формул Племеля к \x\X{z) дает
где а и C — концевые точки L; у и б — целые числа, которые
должны выбираться так, чтобы в обеих концевых точках вы-
выполнялось соотношение \X(z)\~ k(z — сH (—l<a<l). Это
требуется для того, чтобы было справедливо равенство (П.П).
Следовательно, может оказаться, что N(z) определяется не
полностью, если можно выбрать более чем одну пару (у, б) или,
наоборот, если на функцию C(t) должно быть наложено какое-
либо ограничение, поскольку поведение X (z) на бесконечности
может быть таким, что N (г) в виде (П.П) не стремится к
нулю при z—> оо для произвольной C(t). Последнее имеет место
для уравнений, рассматриваемых в основном тексте, каждый
раз, когда собственные решения непрерывного спектра должны
быть дополнены дискретными членами; ограничение на C(t)
определяет коэффициенты этих дискретных членов.
Частным, но важным является случай, когда одна из конце-
концевых точек находится на бесконечности. Рассмотрим только при-
пример, когда
стремится к I при /->оо; тогда в (П.13) нужно взять ту ветвь
логарифма, для которой логарифм стремится к нулю при t—*oo.
Кроме того, 6 = 0, если a — концевая точка, лежащая не на
бесконечности.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ	387
Наконец, заметим, что теоремы I и II разд. 3 получены с по-
помощью применения описанного выше метода к разложениям
C.25) и C.30). В частности, P(w) — это просто [Х(—w)]~\ опре-
определенная формулой (П.13) с A(t) = p(t)f B(t)=t, a = 0,
Y = — 1 и 6 = 0. Этот факт можно использовать для того, чтобы
доказать соотношения C.35) — C.37), применив к Х(г) формулы
Племеля [4—6].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
[1] Noble В., The Wiener-Hopf technique, Oxford, Pergamon Press, 1950;
русский перевод: Нобл Б., Метод Винера — Хопфа, М., ИЛ, 1962.
[2] Davison В., Neutron transport theory, Oxford Univ. Press, 1957; рус-
русский перевод: Дэвисон Б., Теория переноса нейтронов, М., Атомиздат,
1960.
[3] Williams M. M. R., Mathematical methods in particle transport theory,
Butterworths, 1971.
Case K. M., Ann. Phys., N. Y., 9, 1 A960).
Cercignani C, Ann. Phys., N. Y. 20, 219 A962).
Cercignani C, Ann. Phys., N. Y., 40, 469 A966).
Гельфанд И. М., Шилов Г. Е., Обобщенные функции и действия над
ними, изд. 2. М., Физматгиз, 1959.
[8] Мусхелишвили Н. И., Сингулярные интегральные уравнения. Гранич-
Граничные задачи теории функций и некоторые их приложения к математиче-
математической физике, изд. 3, М., «Наука», 1968.
[9] Фаддеева В. Н., Терентьев Н. В., Таблицы значений интеграла вероят-
вероятностей от комплексного аргумента, М., Гостехиздат, 1954.
[10] Fried В. D., Conte S. D., The plasma dispersion function: the Hilbert
transform of the gaussian, New York, Academic Press, 1961.
[11] Cercignani C, J. Math. Anal. AppL, 10, 93 A965).
[12] Albertoni S., Cercignani C, Gotusso L., Phys. Fluids, 6, 993 A963).
[13] Cercignani C, Foresti P., Sernagiotto F., Nuovo Cimento, X, 57B, 297
A968).
[14] Cercignani C, Sernagiotto F., in "Rarefied gas dynamics" (Brundin C. L.,
ed.), vol. I, p. 381, New York, Academic Press, 1967.
[15] Maxwell J. C, Phil. Trans. Roy. Soc, I, Appendix A879); перепечатано
в The scientific papers of J. С Maxwell, New York, Dover, 1965.
[16] Case K. M., Zweifel P., Linear transport theory, Reading, Addison-Wes-
ley, 1967; русский перевод: Кейз К., Цвайфель П., Линейная теория
переноса, М., «Мир», 1972.
17] Cercignani С, /. Math. Anal. AppL, 11, 93 A965).
18] Cercignani С, /. Math. Anal. AppL, 12, 234 A965).
19] Cercignani C, in "Rarefied gas dynamics" (Laurmann J. A., ed.), vol.11,
p. 92, New York, Academic Press, 1963.
Knudsen M., Ann. d. Physik, 28, 75 A909).
Mitsis G. L., Nucl. Sci. and Eng., 17, 55 A963).
Bowden R. L., Williams С D., /. Math. Phys., 5, 1527 A964).
Cercignani C, Sernagiotto F., Ann. Phys., N. Y., 30, 154 A964).
Cercignani C, Elementary solutions of linearized kinetic models and
boundary value problems in the kinetic theory of gases, Brown Univ.
Rep., 1965.
Cercignani C, Tambi R., Meccanica, 2, 25 A967).
Doming J. J., Thurber J. K., in "Neutron transport theory conference",
ORO, 3858-1, USAEC, 1969.
[25] Cerci^
[26] Dorni

Щ	VI. АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ МОДЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
[27] Watson G. N., Theory of Bessel functions, Cambridge Univ. Press, 1958;
русский перевод изд. 1945 г.: Ватсон Г., Теория бесселевых функций,
Ч. 1, Ч. 2, М., ИЛ, 1949.
[28
[29:
[30"
'31
32
33
34
Mason R. J., Phys. Fluids, 13, 467 A970).
Williams M. M. R., Spain J., /. Fluid Mech., 42, 85 A970).
Cassel J. S., Williams M. M. R., Transport Theory and Statistical Phy-
Physics, 2, 81 A972).
Darrozes J. S., La Recherche Aerospatiale, 119, 13 A967).
Cercignani C, Transport Theory and Statistical Physics (в печати).
Ostrowski H. S., Kleitman D. J., Nuovo Cimento, XLIV В 49.
Mason R. J., in "Rarefied gas dynamics" (Brundin C. L., ed.), vol. I,
p. 395, New York, Academic Press, 1967.
[35] Weitzner H., in "Rarefied gas dynamics" (de Leeuw J. H., ed.), vol. I,
p. 1, New York, Academic Press, 1965.
36
'37"
Cercignani C, Tironi G., Nuovo Cimento, 43, 64 A966).
Cercignani C, Ann. Phys., N. Y., 40, 454 A966).
.38] Векуа И. Н., Обобщенные аналитические функции, М., Физматгиз, 1959.
'39] Klin? Т., Kuscer I., Transport Theory and Statistical Physics, 1, 41
¦'• A971).
[40] Cercignani C, Sernagiotto P., in "Rarefied gas dynamics" (Brundin C. L.,
ed.), vol. I, p. 381, New York, Academic Press, 1967.
[41] Kaper H. J., /. Math. Phys., 10, 286 A969).
[42] Duderstadt J. J., Ph. D. Thesis, California Inst. of Technology, Pasadena,
1968.
[43] Kaper H. G., Ferziger J. H., Loyalka S. K., in "Neutron thermalization
and'reactor spectra", Vienna, IAEA, 1968.
[44] Case K. M., in "The Boltzmann equation" (Griinbaum F. A., ed.), New
York Univ., 1972.
45] Case K. M., Hazeltine R. D., /. Math. Phys., 11, 1126 A970).
46] Case K. M., Hazeltine R. D., /. Math. Phys., 12, 1970 A971).
47] Sirovich L., Thurber J. K-, /. Acoust. Soc. Am., 37, 329 A965).
48] Nicolaenko В., Thurber J. K., Doming J. J., /. Quant. Spectrosc. Radiat.
Transfer, 11, 1007 A971).
[49] Nicolaenko В., in "The Boltzmann equation" (Grunbaum F. A., ed.),
p. 173, New York Univ., 1972.
Greenspan M.. /. Acoust. Soc. Am., 28, 644 A956).
Meyer E., Sessler G., Z. Physik, 149, 15 A957).
Buckner J. K., Ferziger J. H., Phys. Fluids, 9, 2315 A966).
Grad H., SI AM J. Appl. Math., 14, 935 A966).
Sirovich L, Thurber J. K., /. Acoust. Soc. Am,, 38, 478 A965).
Thurber J. K-, in "The Boltzmann equation" (Grunbaum F. A., ed.),
p.'211, New York, Univ., 1972.
[56] Mason R. J., in "Rarefied gas dynamics" (de Leeuw J. H., ed.), vol. I,
48, New York, Academic Press, 1965.
[57] Wang Chang" C. S., Uhlenbeck G. E., Univ. of Michigan Engineering
Research Institute Project M 999; перепечатано в Wang Chang C. S^,
Uhlenbeck G. E., The kinetic theory of gases, Studies in statistical me-
mechanics, vol. V, Amsterdam, North-Holland.
[58] Pekeris C. L, Alterman Z., Finkelstein L., Frankowski K-, Phys. Fluids,
5, 1608 A962).
[59] Kahn D., Mintzer D., Phys. Fluids, 8, 1090 A965).
[60] Abarbanel S. S., in "Rarefied gas dynamics" (Brundin C. L., ed.), vol. I,
p. 369, New York, Academic Press, 1967.
[61] Sessler G., /. Acoust. Soc. Am., 38, 974 A965).
[62] Maidanik G., Fox H. L., Heckl M., Phys. Fluids, 8, 259 A965); русский
¦'перевод: сб. Механика, № 6 (94), 53—64 A965).
[63] Hoi way L. H., Phys. Fluids, 10, 35 A967).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ	389
641 Lees L, SI AM J. Appl. Math., 13, 278 A965).
65] Cercignani C, Mathematical methods in kinetic theory, New York, Ple-
Plenum Press, 1969; русский перевод: Черчиньяни К., Математические ме-
методы в кинетической теории газов. М., «Мир», 1973.
661 Toba К., Phys. Fluids, U, 2495 A968).
671 Hanson F. В.. Morse Т. F., Phys. Fluids, 12, 1564 A969).
68] Cercignani C, Phys. Fluids, 11, 303 A968).
69] Van Dyke M., Perturbation methods in fluid mechanics, New York, Aca-
Academic Press, 1964; русский перевод: Ван-Дайк М., Методы возмущений
в механике жидкости, М., «Мир», 1967.
[701 Scharf G., Phys. Fluids, 13, 848 A970).
[711 Cercignani С, Phys. Fluids, 15, 957 A972).
[72] Cercignani С, 8th Symposium on Rarefied Gas Dynamics, Stanford
Univ., 1972.
[731 Grad H., New York Univ. HYO-2543, 1959.
[74] Sirovich L., in "Rarefied gas dynamics" (Talbot L., ed.), New York,
Academic Press, 1961.
75'
76"
77
78"
79'
80
'8\
[82*]
Fox R. F., Ph. D. Thesis. Rockefeller Univ., New York, 1969.
Fox R. F., Uhlenbeck G. E , Phys. Fluids, 13, 1893 A970).
Szu H. H., Ph. D. Thesis, Rockefeller Univ., New York, 1971.
Yip S., Nelkin M., Phys. Rev., 136, A1241 A964).
Yip S., Ranganathan S., Phys. Fluids, 8, 1956 A965).
Sugawara A., Yip S., Sirovich L., Phys. Fluids, 11, 925 A968).
Greytag T. J., Benedek G. В., Phys. Rev. Letters, 17, 179 A966).
Арсеньев А. А., О решении дисперсионного уравнения для линеаризо-
линеаризованного уравнения Больцмана в кинетической теории разреженных га-
газов, Ж. вычисл. мат. и мат. физики, 6, № 2, 375—380 A966).
[83*] Коган М. Н., Макашев Н. К., О течении газа в плоском канале, вызван-
вызванном продольным градиентом температуры при произвольном числе
Кнудсена, Ученые записки ЦАРИ, 1, № 2 A970).
[84*] Черемисин Ф. Г., Проверка качества аппроксимации интеграла Больц-
Больцмана релаксационной кинетической моделью Крука, Механ. жидкости и
газа, № 4, 3—7 A970).
[85*] Скворцов Г. Е., О динамике больцмановских систем, ЖЭТФ, 52, № 6,
1283—1297 A967).

VII
Переходный режим
1. Введение
Сложность результатов, полученных в гл. VI даже для срав-
сравнительно простых задач и моделей столкновений, заставляет
считать, что для более сложных задач и более точных моделей
необходимо искать менее тонкие методы, дающие приближен-
приближенные, но по существу правильные результаты. В пределе больших
и малых чисел Кнудсена такие методы исследованы в гл. V;
в настоящей главе будет рассмотрен переходный режим, про-
промежуточный между почти континуальным и почти свободномо-
лекулярным течениями.
В случае линеаризованного уравнения Больцмана для пере-
переходного режима можно развить последовательные, точные и
сравнительно простые методы решения. Они основаны на ва-
вариационных методах (разд. 3) и методе дискретных ординат
(разд. 2). Обычно результаты, полученные такими методами,
хорошо согласуются с экспериментом и вносят ясность в основ-
основные построения теории переходного режима в тех случаях, когда
нелинейными эффектами (в частности, ударными волнами)
можно пренебречь.
Для нелинейных задач можно воспользоваться «моментными
методами» (разд. 2), которые сводятся к решению системы не-
нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных.
Вообще говоря, решение этой системы вызывает большие труд-
трудности, чем решение уравнений Навье — Стокса, поэтому для
решения таких систем приходится прибегать к численным ме-
методам. Но тогда может оказаться более удобным применять
численный метод, основанный на методе дискретных ординат,
непосредственно к самому уравнению Больцмана (разд. 2). На-
Наконец, много исследований посвящено методу статистического
моделирования Монте-Карло (разд. 4).
Применяя все эти методы, можно упростить вычисления, если
использовать модельные уравнения, но следует заметить, что
в нелинейных задачах точность кинетических моделей менее
очевидна, чем в линеаризованных.

2. М0МЕМТ11ЫЙ МЕТОД И МЕТОД ДИСКРЕТНЫХ ОРДИНАТ	391
2. Моментный метод
и метод дискретных ординат
Если умножить обе части уравнения Больцмана на функции
ФгA) (*'=1, ..., N), образующие полную систему, и проинте-
проинтегрировать по всем скоростям молекул, то получится бесконеч-
бесконечная система уравнений
, f)dl (i=l, .... N, ...), B.1)
которой должна удовлетворять функция распределения. Эта
бесконечная система уравнений (максвелловские уравнения
переноса) эквивалентна уравнению Больцмана в силу полноты
системы функций {фг}. Общая идея так называемых моментных
методов состоит в том, чтобы удовлетворить только конечному
числу уравнений переноса, или моментных уравнений. Это при-
приводит к большой неопределенности в функции распределения f,
так как только бесконечная система уравнений B.1) с задан-
заданными начальными и граничными условиями может определить Д
Таким образом, можно выбирать f до некоторой степени произ-
произвольно и с помощью моментных уравнений доопределить те де-
детали, которые остались неопределенными.
Моментные методы отличаются друг от друга различными
системами функций {ср;} и степенью произвола самой функции /.
Их общей чертой является предположение о том, что / есть
заданная функция от § и содержит N произвольных параметров
Мг (/= 1, ..., /V), зависящих от х и t\ таким образом, если
взять N моментных уравнений, то получится N уравнений в
частных производных для определения неизвестных Mi(x,t).
Несмотря на значительную степень произвола, можно надеяться,
что любой алгоритм даст для достаточно больших /V резуль-
результаты, по существу не зависящие от первоначального выбора.
Более того, на практике можно надеяться, что и для достаточно
малых N при надлежащем выборе произвольных элементов
можно получить хорошие результаты.
В простейшем случае [1] предполагается, что f представляет
собой максвелловскую функцию распределения /0, умноженную
на полином
f = follQk(x, t)Hk(l),	B.2)
где для удобства полином представлен через трехмерные поли-
полиномы Эрмита #fe(D, ортогональные с весом /0- Удобно также
выбрать в качестве /0 локальный максвеллиан (при этом

392	VII. ПЕРЕХОДНЫЙ РЕЖИМ
Qo = 1, Q\ = Q2 — Q3 = Qa = 0). Если в уравнение B.1) под-
подставить ц){ = Нг (i = 0, ..., N— 1) и решить полученную си-
систему уравнений в частных производных, то можно определить
N произвольных величин, отождествив их с основными момен-
моментами (р, v{, Т, pij, qx и моментами более высокого порядка).
Подходящим будет N = 13; в этом случае неизвестными яв-
являются р, Vi, Г, pij — pbijy qu а соответствующие уравнения из-
известны под названием тринадцатимоментной системы Грэда.
Представление B.2) неудобно, так как функция распределе-
распределения предполагается непрерывной в пространстве скоростей, а
это не имеет места, например, на плоской границе. Более того,
в некоторых нелинейных задачах на вопрос о сходимости поли-
полиномиальных приближений можно дать определенно отрицатель-
отрицательный ответ; так, Холвей [2] показал, что для молекул с конечным
радиусом взаимодействия (таких, как твердые сферы) ряды
полиномов Эрмита, по которым разлагается функция распреде-
распределения в ударной волне, не сходятся, если число Маха набегаю-
набегающего потока М больше чем 1,851.
Чтобы избавиться от первого из упомянутых выше неудобств,
можно в качестве / выбрать функцию, которая уже учитывает
разрывы в пространстве скоростей, например функцию, которая
представляется различными выражениями типа B.2) в различ-
различных областях пространства скоростей. При этом в качестве си-
системы функций {(pi) можно выбрать либо кусочно непрерывные
[3—6], либо непрерывные функции [7]; Второй метод, по-види-
по-видимому, результативней и проще в обращении; в самой грубой
постановке он сводится к представлению функции распределе-
распределения кусочно непрерывной максвелловской функцией, причем
местоположение разрывов определяется свободномолекулярным
решением.
Для устранения расходимости решения в нелинейных зада-
задачах, особенно в течениях, включающих ударные волны, можно
использовать линейные комбинации максвелловских распреде-
распределений [8] и брать подходящие моменты "(см. разд. 6). С другой
стороны, в качестве /0 можно рассматривать не локальные, а
глобальные максвелловские распределения [9]. Кроме того, ре-
результаты Чорена [10], по-видимому, указывают на то, что в
задаче о структуре ударной волны при умеренных числах Маха
можно устранить трудности, связанные с расходимостью, если
рассматривать решение стационарной задачи как предел при
?->оо решения соответствующей нестационарной задачи.
Можно получить более точное (но обычно и более сложное)
приближение к функции распределения, используя результаты
аналитического исследования особенностей решения; для этого
нужно выбрать аппроксимирующие функции таким образом,

2. МОМЕНТНЫЙ МЕТОД И МЕТОД ДИСКРЕТНЫХ ОРДИНАТ	393
чтобы они точно воспроизводили особенности при соответствую-
соответствующем предельном переходе [11].
. Ясно, что, если разумно выбирать произвольные элементы,
то моментные методы могут давать хорошие результаты, но — и
это следует помнить — в конце концов они приводят к столь
сложным уравнениям, что для их решения могут быть приме-
применимы только численные методы.
Особым свойством обладают максвелловские молекулы: если
в качестве {срг} выбрать последовательность полиномов, то ин-
интегралы в правой части уравнений B.1) выражаются явно через
моменты по всему пространству скоростей xqp/fdl, причем в
правую часть /-го уравнения входят моменты степени не выше,
чем степень ср^. Это означает, что в пространственно однородном
случае можно последовательно определять зависимость момен-
моментов от времени путем решения обыкновенных дифференциаль-
дифференциальных уравнений (по существу линейных даже в нелинейном слу-
случае) [12].
Все описанные выше методы могут быть применимы и уже
применялись к линеаризованному уравнению Больцмана [13—
Г9, 3—5]. Аналогичные методы хорошо показали себя в задачах
переноса нейтронов и переноса излучения. Особенно много ра-
работ выполнено с помощью разложения по сферическим гармо-
гармоникам и полиномам Лежандра [20, 22] и так называемого двой-
двойного Pi-метода, основанного на кусочно непрерывной аппрокси-
аппроксимации [22—23].
Важной проблемой для моментных методов является выбор
граничных условий, которым должны удовлетворять решения
моментных уравнений. Особых трудностей не возникает для
методов, основанных на кусочно непрерывных функциях от §,
если разрывы расположены так, что они имеют место на гра-
границах при |-п = 0. В случае аппроксимации функции распре-
распределения непрерывными функциями типа B.2) мы сталкиваемся
с той трудностью, что граничные условия выражают функцию
распределения вылетающих с поверхности частиц через функ-
функцию распределения падающих; поэтому из граничных условий
можно получить соотношения только для полупространственных
моментов.
Помимо малой точности, которую следует при этом ожидать,
возникает вопрос, сколько условий нужно ставить в каждой
задаче на разных участках границы и каковы должны быть эти
условия. Очевидно, что число условий нельзя считать просто
равным числу моментов или порядку уравнений. Этот вопрос
детально обсуждался в задачах переноса нейтронов, где рас-
рассматривалось несколько вариантов граничных условий, причем

394	VII. ПЕРЕХОДНЫЙ РЕЖИМ
самыми известными из них являются условия Маршака и усло-
условия Марка [22].
Применительно к задачам кинетики газов граничные усло-
условия, аналогичные условиям Маршака, рассматривали Грэд [1],
а также Ван Чан и Уленбек [14—16] !).
Следует отметить, что моментные методы, основанные на
непрерывных аппроксимациях функции /, плохо применимы в
пределе свободномолекулярных течений, так как в этом случае
граничные условия играют определяющую роль.
К моментным методам тесно примыкает метод дискретных
ординат (или дискретных скоростей). Выберем ряд значений
скорости gj, где i — 0, 1, ..., N—1; затем, используя какой-
либо интерполяционный метод, выразим функцию распределе-
распределения через ее значения, соответствующие скоростям §г-. После
этого подставим срг- —6(§ —!;) в систему B.1) и получим си-
систему уравнений для fi(x, t), т. е. /(х, §, t) при § = §.;. В резуль-
результате интегродифференциальное уравнение Больцмана заме-
заменяется системой нелинейных дифференциальных уравнений для
/V функций fi. Решение полученных уравнений (численными ме-
методами) было найдено для БГК- и ЭС-моделей [24—31] и для
линеаризованного уравнения Больцмана и кинетических моде-
моделей [30, 32—38].
Этот метод, конечно, хорошо известен в задачах переноса
нейтронов и переноса излучения [23, 39, 40]. Если в качестве
скоростей |j выбрать нули полиномов Эрмита Hh(%) и восполь-
воспользоваться соответствующей интерполяционной формулой, то ме-
метод дискретных ординат будет по существу эквивалентен мо-
ментному методу, основанному на разложении B.2) с фиксиро-
фиксированной, а не локальной максвелловской функцией /0. Для пе-
переноса нейтронов в случае односкоростного приближения этот
результат был детально рассмотрен Гастом [41].
Уравнения, полученные методом дискретных ординат, всегда
содержат в левой части простой линейный дифференциальный
оператор, в то время как в моментных методах для полного
уравнения Больцмана получаются квазилинейные дифферен-
дифференциальные выражения (если разложение типа B.2) основано не
на фиксированном максвелловском распределении).
Существуют и другие типы методов дискретных ординат; мы
упомянем только так называемый 5Лг-метод Карлсона [42], ши-
широко используемый в задачах переноса нейтронов.
Моментные методы и метод дискретных ординат могут при-
применяться к интегральной форме уравнения Больцмана (разд. 12
гл. IV) еще с большим успехом, чем к его стандартной интегро-
дифференциальной форме [43—46]. Это обстоятельство должно
4) См. также [187*]. — Прим. ред.

3. ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД	395
быть принято во внимание, когда для описания столкновений
используются модели тина БГК. Действительно, в этом случае,
используя интегральную форму уравнения Больцмана, можно
получить конечную систему точных интегральных уравнений,
включающих только конечное число моментов (пять в случае
БГК-модели). Хотя эти уравнения могут быть очень сложными,
существенным преимуществом является переход от семи неза-
независимых переменных (х, §, t) к четырем (х, t), что очень важно
для численных расчетов. Эти точные интегральные уравнения
можно решать при помощи применения дискретной схемы по
координатам и времени (единственным оставшимся независи-
независимым переменным). В одномерных линеаризованных задачах
[47—53] это приводит к системе нескольких интегральных урав-
уравнений с одной независимой переменной, и тогда можно добиться
практически точного результата при ограниченном времени
счета.
3. Вариационный метод
При решении уравнения Больцмана методом моментов или
замене столкновительного члена простой моделью отказываются
от намерения точно, исследовать функцию распределения и огра-
ограничиваются изучением пространственных изменений некоторых
моментов, имеющих конкретный физический смысл, таких, как
плотность, массовая скорость, температура и тепловой поток.
Однако следует заметить, что для сравнения с некоторыми
экспериментальными данными не требуются даже столь огра-
ограниченные сведения. В самом деле, типичным результатом экспе-
экспериментального исследования течения Пуазейля является зави-
зависимость расхода от числа Кнудсена. Аналогично эксперимен-
экспериментально определяются константа напряжения в течении Куэтта.
константа теплового потока в задачах о теплопередаче, лобовое
сопротивление при обтекании тела потоком газа. С точки зрения
нахождения этих суммарных величин любое вычисление полей
потока представляется бесполезной тратой времени.
Конечно, знание полей потока всегда интересно и вносит
ясность во многое, но часто мы качественно представляем себе
пространственное поведение неизвестных величин настолько
четко, что можем предложить для них простые аналитические
аппроксимации, содержащие небольшое число неопределенных
констант. Естественно, поэтому, что наиболее полезным можно
считать метод, который наряду с правилами точного определе-
определения указанных выше констант позволял бы с высокой точностью
оценивать и другие средние характеристики, представляющие
практический интерес. Все эти черты являются типичными для

396	vu ПЕРЕХОДНЫЙ РЕЖИМ
вариационных подходов, так что именно в этом направлении
следует искать нужный метод.
Вариационный метод основан на существовании вариацион-
вариационного принципа, соответствующего данному уравнению. Вариа-
Вариационный принцип утверждает, что пробная функция Я, содержа-
содержащая некоторое число неопределенных постоянных си обращает
вариацию функционала /(Я) в нуль тогда и только тогда, когда
Я = /г, где h — решение данного уравнения. Выражение / яв-
является функцией констант сг-; приравнивая нулю частные про-
производные от этой функции по С{, получаем систему уравнений,
которая, согласно вариационному принципу, определяет «наи-
«наилучшие» значения сг. Метод особенно ценен благодаря тому
обстоятельству, что обычно суммарные величины, представляю-
представляющие ^наибольший интерес, можно выразить через величину /
при Я = /г; кроме того, если - ошибка в определении h имеет
порядок е, то ошибка в определении / имеет порядок е2.
Вариационные принципы для линеаризованного уравнения
Больцмана излагались в разд. 10 и 12 гл. IV. Если вариацион-
вариационный принцип применять к интегродифференциальному уравне-
уравнению (разд. 10 гл. IV), то трудно сделать простые, но разумные
предположения о функции распределения, однако если удается
сделать такие предположения, то они приводят к простым вы-
выражениям для приближенного решения. Использование модель-
модельных уравнений в интегральной форме (разд. 12 гл. IV) приводит
к длинным вычислениям и громоздким результатам даже для
простых пробных функций, но результаты окупаются даже при
не слишком удачных предположениях. В самом деле, примене-
применение модельных кинетических уравнений в интегральной форме
означает, что предположение о конечном числе моментов при-
приводит к функции распределения, которая автоматически удовле-
удовлетворяет граничным условиям; какие бы предположения ни
делались, результат все равно останется верным по структуре
в свободномолекулярном пределе.
В качестве примера применения вариационного метода рас-
рассмотрим решение задачи Крамерса (разд. 4 гл. VI) для БГК-
модели [54]; мы знаем, что данную задачу можно решить точно,
но теперь игнорируем это обстоятельство. Если следовать ме-
методу, изложенному в разд. 12 гл. IV, то возмущение функции
распределения можно выразить через единственный момент, а
именно через ^-компоненту массовой скорости, v$(x). Дело в
том, что плотность, температура и оставшиеся компоненты ско-
скорости остаются невозмущенными при линеаризованной поста-
постановке задачи (как нам известно из процедуры разбиения, ис-
использованной в гл. VI). Следовательно, можно записать инте-
интегральное уравнение для и3, взяв соответствующий момент от

1 ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД	ЗР?
функции /г, выраженной через v3. Если положить
(х) = [v3{x) — ах\/(ав),
т. е. вычесть из v% член, описывающий ее асимптотическое по-
поведение, и привести неизвестную к безразмерному виду, то по-
получится интегральное уравнение
(*>()), C.1)
где величина 0 считается равной единице, скорость, как обычно,
выражается в единицах B/?ГI/з, а трансцендентные функции
Тп(х) определяются формулой (IV. 12.23).
Положим
ц = Um Ф {х) = я'/*?/B/),	C.2)
где ?— коэффициент скольжения, а / — средняя длина свобод-
свободного пробега. Тогда, вводя функцию
*W = 9W-jx,	C.3)
получаем
оо
пН (х)-\т_1(\х-у\)^ (у) dy = Tl (х) - цГо (х) (х > 0), ' C.4)
U
где использовано соотношение (IV. 12.24).
Так как функция \\)(х) интегрируема на @, оо), уравнение
C.4) можно дважды проинтегрировать от х до оо, что даст
-T3(x) (х->0);	C.5)
здесь использованы соотношения (IV. 12.24) и (IV. 12.25).
Основной функционал для этой задачи имеет вид
оо
(х)]2- \т_1(\х-у\)у(х)ф(у)с1х-
} C.6)
Этот функционал достигает минимума, когда <р = ф, где ф —
решение уравнения C.1). Уравнение C,5) при х = 0 дает
(</Ж</)^/ = 7^'/2-72,	C.7)

398	vn- ПЕРЕХОДНЫЙ РЕЖИМ
так что в силу C.2)
= /1 2/я + D/я) J Ф (у) Тх (у) dy .	C.8)
Отметим теперь, что при ф==ср
оо
/ (ф) = min [J (ф)] = -\<t(y)Ti (у) dy	C.9)
U
и C.8) принимает вид
? = /{2/я -D/я) min [/(ф)]}.	(ЗЛО)
Таким образом, мы нашли прямую связь между коэффициентом
скольжения и минимальным значением, достигаемым функцио-
функционалом /(ф); это означает, что даже грубая оценка для ф может
дать точное значение для ?. Поэтому возьмем простейший ва-
вариант пробной функции: ф = с (константа).
Непосредственным вычислением находим
J(C)=1/2C2-1/2*1/*C	C.11)
Минимальное значение достигается при
с = 1/2п\	C.12)
что соответствует
J(l/&4*) = -l/Bn.	C.13)
При этом из C.10) получается значение
С=[72 +B/я)]/=1,1366/,	C.14)
сравнимое с точным значением (IV. 4.14), равным ?= 1,1466/.
Мы видим, что даже очень грубый выбор ф, выбор, который, как
известно, совершенно не соответствует описанию кинетического
пограничного слоя, дает довольно точную оценку коэффициента
скольжения ?.
Такую же процедуру можно применять к моделям с частотой
столкновений, зависящей от скорости [55, 56].
Приведенный пример показывает, что если мы располагаем
вариационным принципом, то небольшой объем вычислений
дает достаточно точные результаты; как станет ясно из даль-
дальнейшего изложения (разд. 5 и 7), тут не просто случайное
совпадение. Это обстоятельство побуждает искать вариацион-
вариационный принцип и для нелинейного уравнения Больцмана. К сожа-
сожалению, это не так просто. Дело в том, что для любого уравнения
N(f) = O,	C.15)

3. ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД	399
вообще говоря, можно построить вариационный принцип мето-
методом наименьших квадратов, полагая
J(I)=\[N(J)]2dQ, 67 = 0,	C.16)
где dQ— элемент объема в соответствующем пространстве (для
стационарного уравнения Больцмана dQ = W(x, §)dxd\, где
W(x, |) — любая функция, например W=l). Однако уравне-
уравнения, определяющие приближенные решения, обычно довольно
сложны. Кроме того, при f = f функционал / обращается в нуль
и не может давать значения физически интересных величин. Та-
Такие вариационные принципы мы будем называть тривиальными.
Нетривиальный вариационный принцип обычно отражает неко-
некоторую основную симметрию рассматриваемого уравнения; по-
подобные симметрии легче найти для линейных уравнений, хотя
систематические методы исследования существуют и для нели-
нелинейного случая [57].
С другой стороны, можно ввести дополнительную неизвест-
неизвестную ф и рассмотреть функционал
J(f, 4>)=\<pNfdQ.	C.17)
Тогда при варьировании f и ф по отдельности равенство б/ = 0
будет иметь место тогда и только тогда, когда
Nf = O, Л> = 0,	C.18)
где Nf — производная Гато [57] от N по f (Nf— линейный опе-
оператор, в общем случае нелинейно зависящий от f), a fitf — опе-
оператор, сопряженный Nf. В случае стационарного уравнения
Больцмана
C.19)
где используются стандартные обозначения (разд. 4 гл. II).
Подход, основанный на использовании функционала C.17),
полезен только в том случае, когда мы располагаем хорошими
приближенными представлениями не только для f, но и для ф
(решением уравнения C.19)). Вторую аппроксимацию сделать
трудно, поскольку ф не имеет простого физического смысла.
Вариационные методы широко применялись к задачам пере-
переноса нейтронов. Здесь, конечно, уравнение линейно и метод
работает вполне хорошо, хотя в тех случаях, когда доминируют
захват или деление, выбор пробных функций — дело нетриви-
нетривиальное [22, 58—66].

400	v^. ПЕРЕХОДНЫЙ РЕЖИМ
Упомянем также так называемый метод граничных условий
[67—69], который в какой-то мере связан с вариационным ме-
методом [69] и, по-видимому, может быть распространен на нели-
нелинейные задачи. Суть метода состоит в использовании уравнений
Навье — Стокса (при любых значениях числа Кнудсена!) с на-
надлежащими граничными условиями, моделирующими эффект
кнудсеновских слоев.
По самой своей природе этот метод удобен для вычисления
суммарных величин. Некоторые незамеченные численные ошиб-
ошибки привели к результатам, побудившим создателей метода отка-
отказаться от него. Появившаяся затем статья Лоялки [69], по-ви-
по-видимому, указывает на то, что метод заслуживает дальнейшего
изучения.
4. Методы Монте-Карло
Название метода Монте-Карло относится к целому ряду вы-
вычислительных процедур, общим свойством которых является
скорее математическое моделирование физических явлений на
быстродействующих вычислительных машинах, чем решение
уравнения Больцмана как такового.
_ Простейший случай — свободномолекулярное обтекание вог-
вогнутого тела [70]. Как было указано в разд. 8 гл. V, эта задача
приводит нас к решению интегральных уравнений. Согласно
методу Монте-Карло, прослеживаются траектории отдельных
молекул и вычисляется функция распределения по фактиче-
фактическому числу пробных частиц, находящихся в каждой дискретной
ячейке, на которые разбито все фазовое пространство. Частица,
столкнувшаяся с поверхностью, заменяется частицей, скорость
которой выбрана случайным образом в соответствии с вероят-
вероятностным распределением, заданным граничными условиями.
Этот метод можно обобщить на гиперзвуковое околосвобод-
номолекулярное течение, если рассматривать не только столкно-
столкновения с твердыми границами, но также и первые столкновения
отраженных частиц с молекулами свободномолекулярного тече-
течения [71, 72].
При меньших значениях числа Кнудсена уже нельзя ограни-
ограничиваться первыми столкновениями и анализ существенно услож-
усложняется. В связи с этим было предложено несколько модификаций
метода Монте-Карло.
Первый метод является обобщением метода «пробных ча-
частиц» и основывается на итерационном процессе. В этом случае
принимаются во внимание также столкновения пробных частиц
с полевыми. На первом шаге функция распределения полевых
частиц задается из априорных соображений, а на каждом еле-

4. МЕТОДЫ МОНТЕ-КАРЛО	401
дующем шаге итерационного процесса уточняется на основе
оценки, получаемой из всей истории пробных частиц. Итерацион-
Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока функция распреде-
распределения пробных частиц не совпадает с приемлемой точностью g
функцией распределения полевых частиц. Этот метод был впер-
впервые предложен Хэвилендом и Левином [73, 74], а затем обобщен
и модифицирован другими авторами [75—78].
Второй метод — это метод прямого моделирования, впервые
предложенный Бердом [79—89]. Газ представляется несколь-
несколькими тысячами частиц, распределенными в начальный момент
равномерно со скоростями, выбранными случайным образом из
максвелловского распределения с ненулевой средней скоростью.
Область пространства, в которой рассчитывается течение, де-
делится на ряд смежных ячеек такого размера, чтобы свойства
газа в пределах каждой ячейки были почти постоянными на
любой стадии движения. Граничные условия зависят от рас-
рассматриваемой задачи.
Например, стационарное обтекание твердого тела получается
как решение за большой промежуток времени задачи нестацио-
нестационарного обтекания, создаваемого мгновенным внесением тела
в равномерный поток При этом предполагается, что частицы,
представляющие газ, движутся с начальными скоростями в те-
течение времени А/т, малого по сравнению со средним временем
свободного пробега в невозмущенном газе. Частицы, попадаю-
попадающие за время Д?т на возмущающую границу, мгновенно отра-
отражаются с новой скоростью, выбранной случайно в соответствии
с принятым законом отражения. По прошествии времени Д/т
все молекулы «останавливаются» и те из них, которые располо-
расположены внутри данной конфигурационной ячейки, рассматри-
рассматриваются как возможные партнеры по столкновению (независимо
от их положения внутри ячейки).
Однако действительная вероятность столкновения случай-
случайной пары частиц зависит от молекулярной модели. Следова-
Следовательно, некоторая случайная пара включается в столкновение
с вероятностью, пропорциональной произведению относительной
скорости V на сечение столкновения o(V). Азимутальный угол е
и прицельный параметр b при расчете столкновения выбираются
случайным образом (с однородным и линейно возрастающим
распределением соответственно). Для степенных потенциалов
вводится обрезание по углу, так что b ^. bm!iX(V). Скорости
после столкновения вычисляются и запоминаются.
При расчете каждого столкновения счетчик времени для
данной ячейки продвигается на А/ = B/Mr)\n(bmuxJVn]-\ где
п — численная плотность, а Мс — фактическое число пред-
представляющих газ молекул в ячейке. Второй множитель в вы-
выражении для Д/ равен среднему времени между столкновениями,

402	VII. ПЕРЕХОДНЫЙ РЕЖИМ
когда пучок молекул плотности п проходит через один рассеи-
рассеивающий центр с относительной скоростью V. Множитель 2/Nc
уменьшает среднее время между столкновениями пропорцио-
пропорционально числу рассеивающих центров (множитель 2 вводится для
того, чтобы не считать каждую молекулу одновременно и рас-
рассеивающим центром, и частицей пучка).
Расчет столкновений ведется до тех пор, пока приращение
времени не достигнет в сумме величины порядка Д?т. Когда эта
процедура выполнена в каждой ячейке, общее время передвину-
передвинулось на Ыт и каждая молекула прошла расстояние, равное
произведению ее скорости на &tm. Затем следует другой интер-
интервал столкновений и т. д.
В избранных интервалах времени замеряется численная
плотность п в каждой ячейке. Это делается потому, что п тре-
требуется при расчете столкновений. Можно производить выбороч-
выборочные замеры и других величин, таких, как потоки массы, им-
импульса и энергии на границах. Для течений, которые в конечном
итоге становятся стационарными, последовательные выборки
после установления стационарных условий можно усреднять для
того, чтобы оценить объем выборки и уменьшить статистический
разброс в конечных результатах. Для нестационарных течений
подобный эффект достигается осреднением результатов ряда
отдельных серий.
Аналогичные процедуры широко использовались в задачах
переноса нейтронов [90—92], где можно опираться на тот факт,
что полевые частицы имеют фиксированное распределение, так
что метод пробных частиц применим без необходимости ите-
итераций.
Следует указать, что методом Монте-Карло называют также
статистический метод вычисления интегралов столкновений
[93—95] при численном решении уравнения Больцмана.
5. Течения и теплоперенос в областях,
ограниченных плоскостями
или цилиндрическими поверхностями
К простейшим задачам газовой динамики относится иссле-
исследование течений газа между двумя параллельными пластинами.
Таковы плоские течения Куэтта и Пуазейля, рассмотренные в
разд. 5 гл. VI, и теплоперенос в неподвижном газе, заключенном
между параллельными пластинами, на которых поддержи-
поддерживаются различные температуры. Следующими по сложности
являются соответствующие задачи цилиндрической геометрии:
течение Куэтта между двумя вращающимися коаксиальными
цилиндрами, течение Пуазейля в трубах цилиндрического и

5. ТЕЧЕНИЯ И ТЕПЛОПЕРЕНОС МЕЖДУ ПАРАЛЛЕЛЬН. ПОВЕРХНОСТЯМИ 403
кольцевого сечения и теплоперенос между коаксиальными ци-
цилиндрами.
Главная цель данного раздела состоит в том, чтобы изло-
изложить результаты, полученные для этих задач при помощи раз-
различных методов, описанных в предыдущих разделах.
Начнем с течения Куэтта между двумя параллельными пла-
пластинами (см. разд. 5 гл. VI). Такая задача решена точно для
линеаризованной БГК-модели. Если в этом случае через ф(х)
обозначить отношение массовой скорости к U/2 {±Uj2 — скоро-
скорости пластин), то получится следующее интегральное уравне-
уравнение [47]:
6/2
\ T_l(\x-y\)y(y)dy, E.1)
-6/2
где б — расстояние между плоскостями в единицах 6.
Аналогично можно найти
6/2
пхг = Г, F/2 - х) + Тх F/2 + х) - \ sgn (х-у) Го (| х-у \) ср (у) dy,
-6/2
E.2)
где nxz — отношение тензора напряжений рхг к его свободно-
молекулярному значению (—pUn~l/2/2). Заметим, что nxz по-
постоянно, несмотря на то что в уравнение E.2) входит х\ по-
постоянство nxz следует из закона сохранения импульса, в чем
легко убедиться, продифференцировав равенство E.2) и срав-
сравнив результат с E.1). Поэтому для вычисления пХ2 можно
использовать формулу E.2) в любой точке; проще всего взять
арифметическое среднее от значений выражения E.2) при
х = ±6/2. Тогда
6/2
пхг = У2 + Т, F) + у2 \ [Го F/2 + у) - Го F/2 - у)] Ф (у) dy. E.3)
-б'2
Уравнение E.1) было решено численно Виллисом [47] для б
в интервале от 0 до 20. Его результаты для пХ2 представлены
в табл.1 (второй столбец). В связи с уравнением E.1) исполь-
использовался также вариационный метод [54]. Рассмотрим функ-
функционал
6/2	6/2 6/2
/(ф)= \ [y(x)]2dx-nl!> J J T_{(\x-y\L(x)v(y)dxdy +
-6/2	-6/2 -6/2
6/2
+ 2я-'/. \ [Tu(b/2 + x)-T0F/2-x)}<p(x)dx, E.4)
-6/2

404	VII. ПЕРЕХОДНЫЙ РЕЖИМ
Таблица I
Зависимость напряжения от обратного числа
Кнудсена для течения Куэтта [54]
6
0,01
0,10
1,00
1,25
1,50
1,75
2,00
2,50
3,00
4,10
5,00
7,00
10,00
20,00
Результаты
Виллиса
147|
0,9913
0,9258
0,6008
0,5517
0,5099
0,4745
0,4440
0,3938
0,3539
0,2946
0,2526
0,1964
0,1474
0,0807
Линейная
пробная
функция
0,9914
0,9258
0,6008
0,5512
0,5097
0,4743
0,4438
0,3935
0,3537
0,2945
0,2524
0,1964
0,1474
0,0805
Кубическая
пробная
функция
0,9914
0,9258
0,6008
0,5511
0,5096
0,4742
0,4437
0,3933
0,3535
0,2943
0,2523
0,1963
0,1473
0,0805
который достигает своего минимального значения
6/2
(ф)-я-1/2 J [TQF/2 + x)-TQ{6l2-x)](f{x)dx, E.5)
-6/2
когда ф = ф(я) удовлетворяет уравнению E.1). Сравнивая
E.3) и E.5), имеем
"**¦= 72 + Тх (б) + 72^ min / (ф).	E.6)
Таким образом, напряжение непосредственно связано с мини-
минимальным значением функционала /(ф). В качестве пробной
функции можно взять решение, соответствующее сплошной
среде, т. е.
ф{) Ах,	E.7)
где А — неопределенная константа. После ряда несложных пре-
преобразований, основанных на свойствах функций ТП) находится
[54] выражение для J(Ах) через ГпF) (l^.n^.3). Условия
минимума легко определяются, и соответствующие величины
А = А о F) и J (Аох) снова выражаются через ТпF). Подставляя
J (Аох) в E.6), получаем яХ2. Результаты затабулированы в за-
зависимости от 5 в табл. I (третий столбец).

5. ТЕЧЕНИЯ И ТЕПЛОПЕРЕНОС МЕЖДУ ПАРАЛЛЕЛЬ!!. ПОВЕРХНОСТЯМИ 405
Сразу видно, что эти результаты прекрасно согласуются с
.результатами Виллиса. Но можно увидеть и нечто большее, а
именно что результаты, полученные при помощи вариационного
метода, точнее, чем результаты Виллиса. В самом деле, вариа-
вариационный метод дает для пхг завышенные значения. В то же
время величины в третьем столбце не превышают соответствую-
соответствующих значений во втором.
Четвертый столбец дает результаты, найденные с использо-
использованием кубической пробной функции
ф (Х) = Ах + Вх3.	E.8)
В этом случае алгебраические выкладки более громоздки, но все
еще осуществимы. Следует заметить, что полученные значения
nxz мало отличаются от предыдущих; это еще одна проверка
точности метода,
Вариационное решение линеаризованного интегродифферен-
циального уравнения Больцмана для плоского течения Куэтта
приводится в работе [96]. При любой молекулярной модели для
напряжения на пластине получается следующее приближенное
выражение:
п^ = ~а + Ь6 + с62 >	E.9)
где а, Ь, с — постоянные, которые для любой модели можно
вычислить при помощи квадратур. Если перейти к безразмерной
длине, используя равенство (\х/р) BRT)y2 = 21 j У я (jli — коэффи-
коэффициент вязкости, / — средняя длина свободного пробега, опреде-
определенная формулой (V. 1.3)), то значения а, Ь, с будут [96] та-
такими:
^	=^%-, с = \ (БГК-модель),	E.10)
а =0,2225, 6 = 2,1400, с=\ (максвелловские	E.11)
молекулы),
а=0,3264, 6 = 2,1422, с = \ (твердые сферы).	E.12)
Максимальное расхождение между формулой E.9) (с а, 6, с,
определенными из E.10)) и результатами Виллиса составляет
около 0,5%. Результаты для БГК-модели и максвелловских мо-
молекул очень хорошо согласуются друг с другом, за исключением
больших чисел Кнудсена (б<2), когда расхождение увеличи-
увеличивается до 3%. Достаточно неожиданным является то, что ре-
результаты для твердых сфер много ближе к результатам для
БГК-модели.

406	VII. ПЕРЕХОДНЫЙ РЕЖИМ
Моментные методы использовались широко, но для около-
свободномолекулярных течений их точность невысока. Это свя-
связано с тем, что аналитическое поведение при 6->0 не воспроиз-
воспроизводится с достаточной точностью моментными методами. В са-
самом деле, как известно (разд. 9 гл. V), в точные аналитические
выражения для скорости и напряжения сдвига входят логариф-
логарифмические члены, в то время как моментные методы имеют дело
лишь с рациональными функциями (те же возражения отно-
относятся, конечно, и к вариационному решению, приводящему к
E.9), но не к вариационному решению интегрального уравне-
уравнения). В простейшем варианте метод приводит к следующей фор-
формуле для напряжения сдвига:
EЛЗ)
которая отличается от точного численного решения примерно
на 5%. Точное, но громоздкое решение, дающее правильный
свободномолекулярный предел, получается при надлежащем
учете неаналитической зависимости / от длины свободного про-
пробега [11].
Те же методы применялись и к задаче теплопереноса между
плоскими пластинами в линейном приближении [15, 5, 53, 30,
97—99]. На рис. 44 приводится сравнение теплового потока, со-
соответствующего точному численному решению по БГК-модели
[53], с экспериментальными данными Тигена и Спрингера [100].
Численные результаты лежат всюду ниже, чем эксперименталь-
экспериментальные. То же самое имеет место и для вариационных решений,
основанных на различных моделях (твердые сферы, максвел-
ловские молекулы) [99], и это, по-видимому, исключает возмож-
возможность того, что расхождение обусловлено использованием БГК-
модели. Как указал в частном сообщении Спрингер, это рас-
расхождение, возможно, объясняется разницей между давлением
в камере и давлением между пластинами, в то время как
экспериментальные данные получаются в предположении, что
эти давления одинаковы. Расхождение такого же типа обнару-
обнаружено в работе [30], в которой течение Куэтта двухатомного газа
исследуется методом дискретных ординат на основе модели Хол-
вея [101].
Полные нелинейные задачи о течении Куэтта и теплопере-
носе между параллельными пластинами также рассматривались
разными авторами. Эти методы включают моментный метод
Лиза [102], численное решение интегральных уравнений для
БГК- и ЭС-моделей [103, 104, 461, методы дискретных ординат
[25, 30] и методы Монте-Карло [74]. Насколько известно автору,
сравнение с экспериментом в широких масштабах не прово-
проводилось.

5. ТЕЧЕНИЯ II ТЕПЛОПЕРЕМОС МЕЖДУ ПАРАЛЛЕЛЬН. ПОВЕРХНОСТЯМИ П7
0,8
0,6
0,4
0,2
\\х
\
6
10
Рис. 44. Тепловой поток между параллельными пластинами. Сравнение вариа-
вариационной теории [53] с экспериментальными данными Тигена и Спрингера [100].
Здесь q — нормальный тепловой поток, q* — его значение для свободно-
молекулярного течения; результаты расчета вариационным методом пред-
представлены сплошной кривой, данные Тигена — крестиками (для а = 0,826] и
кружками (для а = 0,759).
Следующий пример — течение Пуазейля. Отправным пунк-
пунктом служит уравнение (VI. 5.4). Если воспользоваться БГК-мо-
делью, то можно получить интегральное уравнение для массовой
скорости ^з(х), где х — двумерный вектор, описывающий попе-
поперечное сечение канала. Полагая ?>3(х) = V2&8 [1 — ф(х)], где
k = p~ldp/dz, запишем интегральное уравнение в виде [49, 50]
E.14)
(х)
где х измеряется в единицах Э, а 2(х)— та часть поперечного
сечения, все точки которой можно соединить с точкой х отрез-
отрезками прямых, не пересекая границ B (х) переходит в полное
сечение 2, когда кривизна границы знакопостоянна). Если ис-

408
VII. ПЕРЕХОДНЫЙ РЕЖИМ
пользовать вариационный метод, то нужно рассматривать функ-
функционал
E.15)
2 (х)
Он достигает своего минимума при ф= ф, где ф удовлетворяет
уравнению E.14); при этом
i(x)dx.	E.16)
Очевидно, что эта величина связана с расходом. Расчеты вариа-
вариационным методом проводились для плоского слоя [54] и ци-
цилиндра [105] в предположении параболического профиля (т. е.
решения, аналогичного решению задачи для сплошной среды).
В плоском случае можно выразить расход через функции Тп,
тогда как в цилиндрическом необходимо еще выполнить числен-
численное интегрирование, включающее эти функции.
Таблица II
Зависимость расхода от обратного числа Кнудсена
для плоского течения Пуазейля [54]
б
0,01
0,\0
0,50
0,70
0,90
1,Ю
1,30
1,50
2,00
2,50
3,00
4,00
5,00
7,00
10,00
Результаты
завы пленные
3,0499
2,0331
1,6025
1,5599
,5427
,5391
,5441
,5546
1,5963
1,6497
1,7117
1,8468
1,9928
2,2957
2,7669
работы [48]
заниженные

2,0326
1,6010
1,5578
1,5367
1,5352
1,5390
1,5484
1,5862
1,6418
1,7091
1,8432
1,9863
2,2851
2,7447
Вариационный
метод
3,0489
2,0314
,6017
1,5591
,5416
,5379
,5427
,5530
,5942
1,6480
1,7092
1,8440
1,9883
2,2914
2,7638

ТЕЧЕНИЯ II ТЕПЛОПЕРЕНОС МПЖДУ ПЛРДЛЛЕЛЬМ ПОВЕРХНОСТЯМИ 409
Зависимость
Таблица III
расхода от обратного числа Кнудсена
для цилиндрического течения Пуазейля [105]
X
о
0,01
0,10
0,20
0,40
0,60 k
0,80
1,00
1,20
1,40
1,60
2,00
3,00
4,00
5,00
7,00
10,00
Численное решение
[49]
,4768
,4043
,3820
,3796
,3982
,4261
,4594
1,4959
1,5348
1,5753
1,6608
1,8850
2,1188
2,3578
2,8440
3,5821
Вариационный
метод
1,4801
1,4039
1,3815
1,3788
1,3971
1,4247
1,4576
1,4937
1,5321
1,5722
1,6559
1,8772
2,1079
2,3438
2,8245
3,5573
В обоих случаях можно вычислить расход с большой точ-
точностью и сравнить с численными результатами Черчиньяни
и Данери [48] и Черчиньяни и Сернаджотто [49]. Как показано
в табл. II и III, совпадение очень хорошее. Результаты хорошо
согласуются также и с экспериментальными данными Донга
[106] и Кнудсена [107] (рис.45 и 46). В частности, расход имеет
минимум при 5^1,1 в плоском случае (б—расстояние между
пластинами в единицах 6) и при 6 — 0,3 в цилиндрическом
случае F — радиус цилиндра в единицах 8). Положение мини-
минимума прекрасно согласуется с экспериментальными данными,
а значения расхода для цилиндра отклоняются от эксперимен-
экспериментальных данных на величину порядка 3%. Следует указать, что
такая же задача может быть решена и для ЭС-модели [108],
причем если известно решение для БГК-модели (Рг=1), то
можно найти решение для ЭС-модели при любом числе Прандт-
ля; в частности, безразмерный расход в случае цилиндра равен
. QF, Pr) = QFPr, 1) + A — Рг)б/4.	E.17)
Если выбрать значение Рг = 2/з как наиболее подходящее для
'одноатомного газа> то получаются результаты, отклоняющиеся
"от экспериментальных данных только на 1 или 2% (см. [109]
и рис. 46).	¦'•¦•¦--

410
VTT. ПЕРЕХОДНЫЙ РЕЖИМ
2,5
2,0
1,5
к
?
А \^
оА А , ,
Аи
	1AJ
А
?
/
0,Z
0;5
10
Рис. 45. Сравнение теории [48] с экспериментом [108] для безразмерного
расхода в плоском течении Пуазейля. Здесь б — отношение расстояния d
между пластинами к 6 BRT)^2', Q — отношение потока массы к величине
—d2BRT)~i/2(dp/dz); О — водород (Н2); А — углекислый газ; Л — воздух;
? —фреон-12; • — гелий.
1,9
1,7
QF)
\5
13
~~~""~ ——-
—zzn~~
"-¦•—-- —
1
/ i
//;
If
i/i
1 i
i
Щ 0,02
0,05
0,5
Рис. 46. Сравнение между теорией и экспериментом для цилиндрического
течения Пуазейля. Здесь 6 — отношение радиуса цилиндра а к 6 {2RT)^2)
1' d)
Q — отношение потока массы к — па3 BRT)~1'2 (dp/dz); штрих-пунктирная кри-
кривая соответствует интерполяционной формуле Кнудсена, штриховая — реше-
решению для БГК-модели, сплошная — решению для ЭС-модели.

6. СТРУКТУРА УДАРНОЙ ВОЛНЫ	411
На основе интегрального уравнения точно решена также
задача о течении Пуазейля в кольцевой трубе [50]. Моментные
методы [ПО] и метод дискретных ординат [35] не дают удовле-
удовлетворительных результатов для задач такого рода. Из других
задач цилиндрической геометрии, решенных с использованием
БГК-модели, можно назвать цилиндрическое течение Куэтта
и теплоперенос между коаксиальными цилиндрами [111, 45].
6. Структура ударной волны
Как известно из теории невязкой сжимаемой жидкости,
в сверхзвуковом потоке могут возникать ударные волны. В рам-
рамках невязкой жидкости ударные волны описываются как по-
поверхности разрыва. При использовании уравнений Навье —
Стокса ударная волна представляет собой область, в которой
физические величины изменяются гладко, но быстро, а ударный
слой имеет конечную толщину, вообще говоря, порядка средней
длины свободного пробега. Эта малая толщина указывает на
то, что, строго говоря, уравнениями Навье — Стокса здесь поль-
пользоваться нельзя. Чтобы получить надежные результаты для
структуры ударных волн, нужно обратиться к уравнению
Больцмана.
Простейшим случаем является стационарная нормальная
плоская ударная волна: поток газа параллелен оси х и все ве-
величины не зависят от времени и двух остальных координат. Газ
находится в равновесии на бесконечности вверх и вниз по по-
потоку, так что соответствующие функции распределения /_ и /+
представляют собой максвеллианы:
f± = p± BnRT±y'hexp[-BRT±yl (I - vjf].	F.1)
Законы сохранения массы, импульса и энергии дают
F.2)
где Л, В, С — константы. В частности, при х->+оо значения р,
и, рм, Т, q\ стремятся к р±, v±, p± = p±RT±b T±i 0 соответственно
и равенства F.2) переходят в известные соотношения Рэнки-
на — Гюгонио:
Р+у+ = Р_?>_,
Р+ К + RT+) = Р_ К + RT_),	F.3)

412	VII. ПЕРЕХОДНЫЙ РЕЖИМ
Задача о структуре ударной волны является самой простой за-
задачей, в которой нелинейный характер уравнения Больцмана
играет существенную роль.
Если ударная волна слабая, так что разности значений плот-
плотности, скорости и температуры выше и ниже ее по потоку неве-
невелики, то можно ожидать, что производная df/dx — малая вели-
величина порядка интенсивности скачка е (определяемой, например,
как е = {р~ — р+) 1(р- + Р+)), и попытаться разложить решение
в ряд по степеням 8 [112, 113]. Результат аналогичен разложе-
разложению Гильберта, рассмотренному в разд. 2 гл. V, так как мы
приходим к соотношениям
Q(fo,fo) = O,	F.4)
п
YQifk, fn-J^b^^2- («=1,2,3).	F.5)
Z—i	OX
Поскольку 8 мало, решение должно описывать слабые от-
отклонения от однородного состояния. Следовательно, мы удовле-
удовлетворим уравнению F.4), так же как и условиям ортогонально-
ортогональности, появляющимся на следующем шаге, если будем считать
плотность р0, скорость v0 и температуру То в /0 постоянными.
Таким образом,
	f Гpl
г; 1 (	1
где pi, V\y T\ — вклады первого порядка в величины р, v, Т. Ус-
Условия ортогональности на следующем шаге приводят к урав-
уравнениям
9 ^Pl I О	^1 1 ПТ ^Pl I П	^^'	П
о dx ' *и и dx	и dx • ^и dx	J
,Т.	1	rfn.	FJ)
dv>
? RT* 47 + P°°o-rfT + ? P°Uo/? "dF + T wol?F +
,3 0 dv\ . nrr dv\ . nrp dpi . n dT\ л
+ 1 Poyo -J7 + роЛГо ^Г + VqRT* ~dx~ + ^Po ~ST = °'
которые представляют собой алгебраическую систему для
dp\/dx, dvi/dx, dT\/dx. Для того чтобы существовало ненулевое
решение, определитель
? = Po4[Wo-^o2]	" F.8)
должен обращаться в нуль. Если исключить v0 = 0, то полу-*
чим
^	= cQ,	F.9)

б. СТРУКТУРА УДАРНОЙ ВОЛНЫ	413
где с0 — скорость звука. Этот результат означает, что слабая
ударная волна может быть возмущением равномерного потока
только тогда, когда число Маха в нем равно единице; это
очевидно из теории ударных волн в невязком газе. Следуя
дальше, можно вычислить выражение для f2 [113]. Условия орто-
ортогональности на этом шаге приводят к неоднородной алгебраиче-
алгебраической системе для dp2ldx, dv2/dx, dT2/dx с тем же определителем
D = 0. Следовательно, свободный член алгебраической системы
должен удовлетворять условию ортогональности
~(^\2--l4-J^\	(б.ю)
где [113]
Здесь к и ji —коэффициенты вязкости и теплопроводности. Ин-
Интегрирование уравнения F.10) дает
	-??r = th/*~"*° V	.F.12)
РГ	\ L J
Заметим, что постоянная L, мера толщины ударного слоя, имеет
величину порядка отношения средней длины свободного пробега
к интенсивности ударной волны (р*~е). Уравнения Навье —
Стокса также приводят к соотношению F.12) для слабых удар-
ударных волн [114], и, следовательно, они верны с точностью членоз
низшего порядка.
Другой крайний случай —ударные волны бесконечно боль-
большой интенсивности. Грэд [115] предположил, что предел / при
е-*оо существует (для операторов с конечной частотой столк-
столкновений) и выражается через сумму величины, кратной дельта-
функции, которая сосредоточена в точке, соответствующей ско-
скорости набегающего потока, и сравнительно гладкой функции,
для которой нетрудно вывести уравнение. Последнее, видимо,
более сложно, чем само уравнение Больцмана, но предполагае-
предполагаемая гладкость позволяет надеяться на получение простого
приближенного решения. Проще всего в качестве гладкого оста-
остаточного члена взять максвеллиан [115], параметры которого
определяются из законов сохранения.
Приближение Грэда является, по-видимому, новейшим ана-
аналитическим методом для решения задачи о структуре ударной
волны. В простейшем варианте данный метод непосредственно
связан с первым подходом к рассматриваемой задаче (и, воз-
возможно, обязан ему своим появлением); этот подход предложил
в 1951 г. Мотт-Смит [8], представивший аппроксимирующую функ-

414	VII. ПЕРЕХОДНЫЙ РЕЖИМ
цию распределения в виде
f (х, I) = а+ (х) f + (§) + а_ (х) f_ (I),	F.13)
где f+ и /_ определяются формулой F.1), а а+ и а- находятся
из подходящих моментных уравнений. В качестве первых мо-
ментных уравнений естественно взять уравнения сохранения,
приводящие к F.2), т. е. уравнения
я+ (х) p+v+ + а_ {х) p_v_ = p±v±,
а+ (х) р+^2+ + а+ (х) RT+9+ + а_ (х) p_vl + а_ {х) RT_p_ =
= Р±о2± + Р±^±. FЛ4)
а+ W ^+Р+ (%vl + y2RT+) + а_ (х) 9_v_ G2^2_ + 5/2RT_) =
После деления на р+^+ = p-V- первое из этих уравнений дает
-{х) = 1.	F.15)
Остальные два уравнения выполняются автоматически, если,
конечно, значения величин выше ударной волны и ниже ее по
потоку удовлетворяют соотношениям F.3). Поэтому нужно еще
одно моментное уравнение. Можно положить Ф^1^^ в уравне-
уравнении B.1) (с d/dt = d/dy = d/dz = Q и / в виде FЛЗ)). Тогда
р_,_ CRT_ + vl) ^ + рЛ
= — аа+а-, F.16)
где
J	t F.17)
Если с помощью F.15) исключить а+, то получится
^=_pa_(l-a_),	F.18)
где, согласно третьему из соотношений F.3),
Уравнение F.18) легко интегрируется:
причем произвольная постоянная положена равной нулю, так
как это эквивалентно фиксации положения центра волны (ко-

б. СТРУКТУРА УДАРНОЙ ВОЛНЫ	415
торое произвольно). Следовательно,
W.	г _ i Г -4-
= ^-Р- + ^ + Р+ =	..*Х	= Р-
F.22)
р у	1 + е6*
iz-zi = 0-	,	F.22а)
pW	2( 2)-1^'
F.23)
где
М_ = v_ V3/E/?r-), M+ = у+ V ЗД5ЛГ+) F.24)
— числа Маха выше ударной волны и ниже ее по потоку.
Вычисление постоянной C оказывается сложным, за исклю-
исключением случая максвелловских молекул, для которых
Г 90М_	(Mj~lJ	/2Г1 _!
Р 1з + м1 1бМ4_~(з + м2_J V "Тб" J Z~ J
где L — средняя длина свободного пробега выше ударной волны
по потоку, вычисляемая по формуле (V. 1.3) при р = р_у ^ =
= |х_; Т = Г_. При М_ ~> оо имеем |3/_ ~ (бд/2я/15)/М_ -> О,
т. е. отношение средней длины свободного пробега выше удар-
ударной волны по потоку /_ к толщине ударной волны (~fH) стре-
стремится к нулю. Это происходит для любого степенного закона
молекулярного взаимодействия; для твердых же сфер такое от-
отношение стремится к конечному пределу.
Если вместо уравнения, соответствующего ср. = ?2, выбрать
другое моментное уравнение, то получатся те же самые резуль-
результаты, изменятся только выражение и величина постоянной C. По-
Последнее, однако, очень важно, так как связано с толщиной удар-
ударной волны. Выбрав, например, ср. = ?3 вместо ф; = [2, получим
изменение в толщине ударной волны на величину порядка 25%.
Этот факт указывает на то, что, хотя метод Мотт-Смита каче-
качественно корректен, он не точен количественно. Кроме того, ре-
результаты Мотт-Смита для слабых ударных волн (М->1) не
согласуются с теорией слабых ударных волн или, что эквива-
эквивалентно, с результатами Навье — Стокса. По этой причине не-
несколько авторов предложили различные модификации метода
Мотт-Смита. Наиболее интересными из них оказались предло-
предложения Солвена и др. [116], а также Холвея [117]. Согласно пер-

416	VII. ПЕРЕХОДНЫЙ РЕЖИМ
вому методу, формула F.13) заменяется формулой
f (*, Ю = а+ (х) f + (g) + а_ (х) L (ё) + а0 W f0 (Ю, F.25)
причем /+ и /_ определены так же, как выше, и
h = (Si - «о) (А/яK ехр {- A [(§ - ^iJ)},	F.26)
где //0 и vq — постоянные. Эти постоянные должны определяться
из уравнений сохранения, которые связывают также три функ-
функции ао{х), а+(х), а-(х).
Таким образом, нужны еще два моментных уравнения. Сол-
вен и др. [116] рассмотрели два варианта: Ф^ = Ff, t\) и ф. =
=(SpSiS2V Полученные в результате дифференциальные урав-
уравнения были решены численно. Разница между соответствую-
соответствующими решениями оказалась значительно меньшей, чем для «би-
«бимодального распределения» Мотт-Смита. Однако самым заме-
замечательным улучшением было устранение расхождения с тео-
теорией слабых ударных волн при М_—> 1.
Метод Холвея [117] сводится к использованию представления
F.13) с /_ в виде F.1), но с /+, определенной равенством
f + = (А,/*)*(Vя) ехР С- К A. - QJ - К (Ш + 61)]. F-27)
где Q, h\, h<2 — три функции, которые должны быть найдены
вместе с а±. Во всех этих теориях отмечается наличие макси-
максимума температуры, превышающего Т+. Максимум выражен не
очень четко, и не ясно, не получается ли он из-за неточности
аппроксимации. Примечательно, что тепловой поток не меняет
знака вместе с градиентом температуры. Сравнение различных
результатов для толщины ударной волны, определяемой фор-
формулой
L==
(dp/dx)ax'
дано на рис. 47; сравнение «бимодального распределения» для
межмолекулярного потенциала Леннарда-Джонса [118] с экспе-
экспериментальными результатами [119] проведено на рис. 48.
Ясно, что результаты Навье — Стокса не согласуются с экс-
экспериментальными при М-> 2. Положение не улучшается при
использовании уравнений Барнета (разд. 3 гл. V) или трина-
дцатимоментных уравнений Трэда. Эти системы уравнений фак-
фактически не имеют решений при М- > 2,1 и М_2>1,65 соот-
соответственно. Вообще, как было указано в разд. 2, при М_ >1,"851
в моментных методах возникают трудности.
Более общим, чем приближение Мотт-Смита, будет, видимо,
метод, использующий линейную комбинацию нескольких макс-

СТРУКТУРА УДАРНОЙ ВОЛНЫ
41?
М
Рис. 47ч Различные результаты для толщины ударной волны. Сплошные
кривые соответствуют результатам Солвена, Гроша и Зиринга для различ-
различных систем моментных уравнений (сверху вниз: (|р l^2), (|p 1\?2),
(|2> !?))• Штриховые кривые соответствуют результатам Мотт-Смита для двух
различных систем моментных уравнений (сверху вниз: |^ и ?^). Пунктирная
кривая соответствует результатам Холвея. Штрих-пунктирной кривой пред-
представлены значения величины, обратной толщине ударной волны, соответ-
соответствующие теории Навье — Стокса.
веллианов; в этой связи могут оказаться весьма ценными ана-
аналитические результаты Десхпанде и Нарасимхи [120].
Главной проблемой для методов типа приближения Мотт-
Смита остается выбор моментных уравнений; можно было по-
попытаться обойти эту трудность, применив вариационный метод,
но, как было указано в разд. 3, для нелинейных задач ситуация
здесь не очень обнадеживающая, хотя Обере [121], а также На-
расимха и др. [122] и получили интересные результаты для
структуры ударной волны, используя метод наименьших квад-
квадратов (см. формулу C.16)).
Точное численное решение задачи для БГК-модели было по-
получено Липманом и др. [43] на основе интегральной формы
уравнений. Они пришли к трем интегральным уравнениям для
трех макроскопических величин: р, v, Т. Эти уравнения реша-
решались методом последовательных приближений с решением
Навье — Стокса в качестве нулевого приближения. БГК-реше-
ние не дает отмеченного выше максимума температурной кри-
кривой, а профили плотности и скорости значительно менее анти-

418
VII. ПЕРЕХОДНЫЙ РЕЖИМ
Рис. 48. Сравнение результатов для величины, обратной толщине ударной
волны, вычисленных на основе бимодального распределения с потенциалом
Леннарда-Джонса [118], с экспериментальными данными различных авто-
авторов [119]. Верхняя кривая соответствует теории Навье — Стокса, нижняя —
бимодальному распределению.
симметричны относительно соответствующего центра волны, чем
профили, полученные с помощью бимодальной и трехмодальной
аппроксимаций решения уравнения Больцмана.
Решение на основе БГК-модели с большей точностью было
повторено Андерсоном [104]. Сегал и Ферцигер [123] недавно
исследовали задачу, используя несколько моделей уравнения
Больцмана: БГК- и ЭС-модели, описанные в разд. 10 гл. II,
полиномиальную модель из класса нелинейных моделей Сиро-
вича [124] и новую, так называемую трехмодальную модель ин-
интеграла обратных столкновений. Последняя была развита как
раз для решения задачи о структуре ударной волны; она осно-
основана, в сущности, на замене Ф в уравнении (II. 10.3) функцией
вида F.25), где коэффициенты и параметры выражаются над-
надлежащим образом через р, v, T и их значения выше ударной
волны и ниже ее по потоку. Таким образом, качественные черты
приближения Мотт-Смита включены в эту модель, но детальное
соответствие многомодальной аппроксимации искомому реше-
решению не гарантировано.
Задача о структуре ударной волны решалась рядом авторов
при помощи методов Монте-Карло [73, 76, 87, 95]. Полученные
результаты, как и численные результаты для трехмодальной
модели Сегала и Ферцигера [123], по-видимому, сходятся в том,

7. ВНЕШНИЕ ТЕЧЕНИЯ	419
что не обнаруживают каких-либо признаков температурного
пика, упомянутого выше.
Что касается сравнения с экспериментом, то в настоящий
момент не ясно, известны ли экспериментальные данные (вклю-
(включая и данные о свойствах газа) с точностью, достаточной для
сравнительной оценки различных результатов. Действительно,
как отмечал Берд [87], сравнение, основанное на толщине удар-
ударной волны или даже на полном профиле плотности, еще не дает
возможности оценить, какой из методов обеспечивает лучшее
описание структуры скачка, а перспективы достаточно точного
экспериментального определения высших моментов не слишком
обнадеживающи.
Много исследований было посвящено также задаче о струк-
структуре ударной волны в смесях и многоатомных газах. В частно-
частности, в случае бинарной смеси ударная волна может приводить
к диффузионному разделению компонентов. Шерман [125] раз-
разработал континуальную теорию этого эффекта. Согласно его
результатам, более тяжелый газ, проходя через волну, двигается
быстрее, чем смесь, которая в связи с этим обогащается легким
компонентом. При довольно малой концентрации тяжелого ком-
компонента B% Для смеси аргона и гелия с отношением масс, рав-
равным 10) Шерман обнаружил, что даже в очень слабых волнах
тяжелый компонент сначала ускоряется, а затем замедляется,
достигая максимальной скорости, на 18% превышающей ско-
скорость набегающего потока.
Эти результаты показали, что континуальная теория не до-
достаточна и необходима кинетическая теория. Обере [126] ис-
использовал метод Мотт-Смита и получил результат, которого
можно было ожидать: так называемая аномалия Шермана ли-
лишена физического смысла и обусловлена применением уравне-
уравнений сплошной среды там, где их применять нельзя. Задача пе-
пересматривалась несколькими авторами [83, 127, 128], и выводы
Обере подтвердились.
Изучение ударных волн в многоатомных газах приводит
к очень интересным задачам, связанным с процессами установ-
установления равновесия между энергией вращательных и поступатель-
поступательных степеней свободы. Мы ограничимся ссылками на некоторые
из основных работ [129—132].
7. Внешние течения
В этом разделе обсудим результаты, полученные для течений
и процессов теплопереноса, происходящих в бесконечном объеме
газа, ограниченного твердыми поверхностями. Математически
самыми простыми задачами являются чистый перенос тепла

420	VII. ПЕРЕХОДНЫЙ РЕЖИМ
(при малой разности температур) и обтекание медленно вра-
вращающихся тел. Задача теплопереноса от сферы решена вариа-
вариационным методом, и результаты хорошо согласуются с экспери-
экспериментом [133]. Задача о медленно вращающемся цилиндре (пре-
(предельный случай течения Куэтта) решена как численно, так
и приближенным аналитическим методом [51]. Крутящий мо-
момент на медленно вращающейся сфере был найден [68] методом
граничных условий, упомянутым в конце разд. 3.
Переходя к более интересным задачам обтекания твердых
тел, естественно сначала исследовать случай малых чисел Маха.
Здесь мы встречаемся с аналогом парадокса Стокса (см. разд. 13
гл. VI), который не позволяет применять простейшую линеари-
линеаризацию для двумерных течений. Можно, однако, рассмотреть об-
обтекание трехмерных тел. Течение около осесимметричного тела
при малых числах Маха рассчитывалось [134] вариационным ме-
методом, примененным к интегральной форме БГК-уравнения.
В явном виде вариационные расчеты были сделаны для случая
сферы [135].
На рис. 49 представлены результаты для коэффициента со-
сопротивления сферы CD, вычисленные вариационным методом
и по полуэмпирической формуле, предложенной Милликеном
[136] для интерполяции его экспериментальных данных. Там же
приведены результаты, соответствующие классической формуле
Стокса и интерполяционной формуле Шермана для коэффи-
коэффициента сопротивления. Последняя имеет вид
СD (R)/CDFM = [1 + 0,685т?]-1,	G.1)
где R— радиус сферы в единицах QBRTL*, a CDFM = CD@) —
коэффициент сопротивления в свободномолекулярном течении.
Формула G.1) —частный случай общей формулы [137], связы-
связывающей любую величину, зависящую от числа Кнудсена Кп
(здесь Кп = 1/R), с ее значением FFM для свободномолекуляр-
ного течения и значением /^(Кп), соответствующим континуаль-
континуальной теории, при условии, что Fc(Kn)/FFM-> 0 при Кп —>О. Эта
общая формула Шермана выглядит следующим образом:
F/FFM = (l+FFM/Fcr'-	G.2)
Она достаточно хорошо согласуется с экспериментальными дан-
данными для большинства дозвуковых экспериментов. Исключе-
Исключением является течение Пуазейля в длинных трубах, для кото-
которого формула Шермана (примененная к 1/Q (б)) не предсказы-
предсказывает минимума расхода. Это исключение обусловлено, по-види-
по-видимому, тем, что величина 1/QF) отличается от других суммар-
суммарных величин, таких, как коэффициенты сопротивления или теп-
теплопереноса, и связана не однозначно с потоком сохраняющейся
величины.

7. ВНЕШНИЕ ТЕЧЕНИЯ
421
0,8
0,6
J
0,4
0,2
о
2
Рис. 49. Коэффициент сопротивления сферы при малых скоростях в зависи-
зависимости от безразмерного радиуса R. Кривая Милликена (штриховая кривая)
интерполирует его экспериментальные данные. Сплошная кривая соответ-
соответствует расчетам по вариационному методу, штрих-пунктирная — по формуле
Шермана, пунктирная — по формуле Стокса.
Течение около тонких профилей в общих чертах рассматри-
рассматривалось в разд. 13 гл. VI для почти зеркально отражающих по-
поверхностей и умеренных значений числа Маха.
Когда число Маха не мало и взаимодействие газа с поверх-
поверхностью далеко от зеркального отражения, задача обтекания
твердого тела становится весьма сложной даже для тел про-
простейшей формы. Помимо аналитических исследований дальнего
поля [138, 139], использовались такие методы, как метод дис-
дискретных ординат и интерполяция между околосвободномолеку-
лярным режимом и течением со скольжением.
Особое внимание уделялось гиперзвуковому потоку (Moo^l),
так как результаты очень важны для полетов в верхней атмо-
атмосфере. Мы не можем здесь касаться деталей расчетов и резуль-
результатов, полученных различными авторами в режиме скольжения,
так как было бы невозможно отдать должное всем авторам

422	vn- переходный режим
в рамках настоящей книги. Отошлем читателя к монографиям
Шидловского [140] и Хейза и Пробстина [141], а также к обзорам
Шаафа [142], Шермана [137] и Поттера [143]. В связи с расче-
расчетами околосвободномолекулярных течений особенно заслужи-
заслуживают упоминания работы Виллиса [144—146] и асимптотические
результаты для тонких тел, полученные Трэдом и Ху [147], Xa-V
мелем и Купером [148], а также Пэном [149]1).
Фундаментальная задача возникает в связи с течением газа
около параллельной набегающему потоку плоской пластины
с заостренными кромками. Если число Рейнольдса Re =
= pooVcxX/jioo, вычисленное по длине пластины, очень велико, то
обычная картина потенциального течения с пограничным слоем
справедлива везде, за исключением окрестности передней и зад-
задней кромок. Оценки, основанные на недавних работах Стюарт-
сона [150] и Месситера [151], показывают, что число Кнудсена
на задней кромке является величиной порядка MooRe-3/", где
Моо — число Маха набегающего потока. Поэтому нет необходи-
необходимости в исследовании основных свойств течения около задней
кромки с точки зрения кинетической теории. Для передней же
кромки число Кнудсена является величиной порядка М^; следо-
следовательно, в сверхзвуковом или тем более гиперзвуковом потоке
течение в окрестности передней кромки следует рассматривать
как типичную задачу кинетической теории.
В частности, пограничный слой и внешнее течение уже не
разделяются, хотя структуру типа ударной волны все еще
можно различить [152—154]; в таком случае говорят о режиме
размытого слоя. Существует ряд методов, основанных на упро-
упрощенных моделях сплошной среды, представленных в работах
Огути [155], Шоренстина и Пробстина [156], Чоу [157, 158], Руд-
мана и Рубина [159], Чжена и др. [160], а также Кота и Тер-
котта [161], которые успешно предсказывают поверхностные
и другие общие свойства в режиме размытого слоя.
Хорошее согласование такого рода теории с экспериментом
вновь свидетельствует о важности уравнений Навье — Стокса.
Тем не менее, если подойти к передней кромке достаточно
близко, то следует отказаться от уравнений Навье — Стокса
в пользу уравнения Больцмана. Однако полное кинетическое
описание слишком трудно, и лишь небольшое число работ посвя-
посвящено этой задаче.
Коган и Дегтярев [162] исследовали течение около очень ко-
короткой плоской пластины, когда весь поток находился в около-
свободномолекулярном режиме; поэтому трудно сделать суще-
1) См. также дополнительные ссылки на работы советских авторов,-^
Прим- р<?д,

8. ИСТЕЧЕНИЕ ГАЗА В ВАКУУМ	423
ственные выводы об эффектах передней кромки. Харват [163]
предположил, что область передней кромки находится в свобод-
номолекулярном режиме, что весьма сомнительно. Хуанг и его
сотрудники [28, 29, 164] провели обширные вычисления, осно-
основанные на методе дискретных ординат для БГК-модели, и
смогли продемонстрировать процесс формирования картины по-
потока, принятой в упомянутых выше упрощенных континуальных
моделях. Вогенитц и др. [165] решили задачу о передней кромке
достаточно длинной пластины методом Монте-Карло.
Все эти работы свидетельствуют о наличии около пластины
области течения сдвига, отделенной от набегающего потока об-
областью сжатия. Результаты для давления на поверхности (или,
скорее, нормального напряжения pzz) показали, что у передней
кромки оно по меньшей мере вдвое превышает значение для
свободномолекулярного течения (при 5,5 < Моо < 30), что ука-
указывает на значительное влияние вверх по потоку (в опытах
Джосса и Богданова [166] было обнаружено влияние вверх по
потоку на расстоянии, равном по меньшей мере пяти длинам
свободного пробега при Моо — 26).
8. Истечение газа в вакуум
Одной из основных теоретических и экспериментальных за-
задач динамики разреженного газа является свободное истечение
газа в вакуум. Такое течение происходит, например, при выходе
газа через отверстие в камеру низкого давления. Эта задача
охватывает в простой форме переход от континуального до почти
свободномолекулярного течения без обычных сложностей, свя-
связанных с эффектами взаимодействия газа с поверхностью.
Как отметили Ашкенас и Шерман [167], течение вдоль оси
вытекающей струи в какой-то мере можно моделировать сфе-
сферически симметричным течением одноатомного газа от почти
континуального источника. Поэтому ряд авторов исследовали
течение от сферически симметричного источника. Согласно тео-
теории невязкого газа, такое течение расширения может ускорить
газ до любого числа Маха и произвольно низкой плотности.
Однако на больших расстояниях от источника плотность стано-
становится столь низкой, что молекулярные столкновения уже не мо-
могут поддерживать континуальный режим расширения. Действи-
Действительно, энергия теплового движения, перпендикулярного линиям
тока, непрерывно понижается и передается как среднему дви-
движению газа, так и тепловому движению вдоль линий тока. По-
Поскольку тепловое движение связано с температурой, то это
свойство часто называют «замораживанием» продольной тем-
температуры.

424	VII. ПЕРЕХОДНЫЙ РЕЖИМ
Первые попытки тщательного количественного описании та-
такой картины сферического расширения средствами кинетиче-
кинетической теории были сделаны Хамелем и Виллисом [168] и Эдвард-
сом и Чженом [169], которые использовали моментные уравне-
уравнения и так называемое гиперзвуковое приближение. Последнее
основано на разложении всех моментов функции распределения
по степеням S~\ где S — скоростное отношение. Таким образом
достигается рациональное усечение бесконечной системы мо-
ментных уравнений. Можно найти решение этих уравнений, ко-
которое асимптотически приближается к решению для изэнтропи-
ческого течения при малых значениях радиального расстояния,
измеренного в надлежащем масштабе. Математическая теория
была сформулирована Фрименом [170] и применена к нестацио-
нестационарным задачам Фрименом и Гранди [171].
Метод, предложенный Фрименом, фактически сводится
к асимптотическому разложению по степеням числа Кнудсена
для источника. Хотя на больших расстояниях от источника
обычное разложение (Чепмена — Энскога) теряет силу, в этой
внешней области можно изменить масштаб уравнения Больц-
мана и получить моментные уравнения, которые образуют сле-
следующую замкнутую систему:
Здесь р —нормальное напряжение в радиальном направлении,
a v — средняя частота столкновений. Радиальная скорость по-
постоянна с точностью до величины порядка ОA/г2), и, следова-
следовательно, р = pi(ri/rJ; здесь индекс 1 означает принадлежность
к точке вверх по потоку, где течение гиперзвуковое, но еще
изэнтропическое. Так как v пропорционально р, уравнения (8.1)
можно переписать в виде
^ = Ф/г2)(Г-Г„),	(8.2)
где
(8.5)
зависит только от Г, по крайней мере для максвелловских моле-
молекул (в более общем случае возможна зависимость как от 7\

8. ИСТЕЧЕНИЕ ГАЗА В ВАКУУМ	425
так и от Тц [168]). Исключая Тц из уравнений {8.2) и (8.3), по-
получаем
Для степенных потенциалов зависимость р от Т имеет вид
где показатель а связан с показателем потенциала. Полагая
е = 77Г0О> s = r/pwf	(8.8)
преобразуем уравнение (8.6) к виду
s2^+Cs + ea)-g + Ae1- = 0.	(8.9)
При а = О (максвелловские молекулы) уравнение (8.9) ре-
решается через вырожденные гипергеометрические функции и на-
находится единственное решение, удовлетворяющее условиям
6(s)->s при s->oo, 6 = O(s~4/3) при s-^0 (выход на изэнтро-
пическое решение). В других случаях уравнение (8.9) интегри-
интегрируется численно [168, 169]. Некоторые результаты для а = О
(максвелловские молекулы) и а = 7г (твердые сферы) приве-
приведены на рис. 50 и 51. Асимптотическое поведение 6 можно
найти, положив
е=1+|+ ....	(8.10)
Подстановка (8.10) в (8.9) и сравнение коэффициентов при сте-
степенях 1/5 дает с = 4/з- Теперь можно найти асимптотическое по-
поведение поперечной температуры:
Т± =	j-1.	(8.11)
Из (8.3) видно, что
т.	з ^е з с	1
^ t	+	+
Таким образом, для сферического источника имеет место
замораживание продольной температуры. Для цилиндрического
источника такого замораживания не получается в отличие от
более раннего весьма упрощенного анализа Брука и Омана
[172]. Обнаруженное явление замораживания для сферического
случая нельзя точно предсказать при помощи уравнений
Навье — Стокса в гиперзвуковом приближении, так как реше-
решение, начинаясь по изэнтропе на малых расстояниях от источ-
источника, в дальнейшем нарушает условие гиперзвукового течения,
на котором оно основано.

426
VII. ПЕРЕХОДНЫЙ РЕЖИМ
а=1/2 Твердые с до еры
сх=о Миксвелловские
молекулы
Рис. 5U. Результаты Хамеля и Виллиса для продольной температуры при
течении, создаваемом сферическим источником.
а=1/2 Твердые среры
а=0 Максвелловские
юлекулы
Рис. 51. Результаты Хамеля и Виллиса для поперечной температуры при
течении, создаваемом сферическим источником,

8. ИСТЕЧЕНИЕ ГАЗА В ВАКУУМ	427
Когда впервые были опубликованы результаты кинетической
теории по замораживанию поступательного движения, они каза-
казались противоречащими данным экспериментов на молекуляр-
молекулярных пучках относительно распределения тепловых скоростей,
перпендикулярных линиям тока. А именно, согласно (8.12),
энергия этих степеней свободы в конечном итоге уменьшается
как г~\ в то время как эксперименты ясно указывали на зави-
зависимость вида г~2 [173].
Это кажущееся противоречие было разъяснено Эдвардсом
и Чженом [174]. Они обнаружили, что при г-+оо распределение
тепловых скоростей, перпендикулярных линиям тока, имеет уз-
узкий центральный пик, но с довольно толстыми крыльями. Ши-
Ширина пика убывает как 1/г, и так как измерения поперечной тем-
температуры основаны на ширине пика, то ясно, почему они указы-
указывают на спад температуры, пропорциональный 1/г2. Однако из-
измерения энергетического вклада крыльев, если они возможны,
должны привести к закономерности вида г~х. Фримен и Томас
[175] исследовали моменты четвертого порядка функции распре-
распределения для максвелловских молекул. Их результаты каче-
качественно согласуются с предыдущими результатами Эдвардса
и Чжена [174].
Те же выводы косвенно подтверждаются результатами Мил-
Миллера и Андреса [176], которые, стремясь сделать межмолекуляр-
межмолекулярный потенциал реальным, взяли функцию распределения
в форме F.27), справедливую, согласно Виллису, Хамелю
и Лину [177], только при 71ц/Гхс<2. В результате поведение Т±
не следует закону /-1, вытекающему из (8.12). Законность пред<
положения о том, что свободную струю можно аппроксимиро-
аппроксимировать сферическим источником, была подтверждена Гранди [178]
при исследовании решения уравнения Больцмана для полностью
осесимме'тричной свободной струи. Чтобы построить правильное
решение уравнения Больцмана для максвелловских молекул,
Гранди использовал сращиваемые асимптотические разложения.
В последнее время задачу о сферическом истечении в ва-
вакуум рассматривал Берд, который, используя свой вариант ме-
метода Монте-Карло [89], изучил поведение как максвелловских
молекул, так и твердых сфер. Продольная температура Гц и по
его расчетам имеет тенденцию к постепенному замораживанию,
что хорошо согласуется с результатами предыдущих авторов.
Однако результаты для Т± не обнаруживают определенного
асимптотического поведения, не согласуясь с зависимостью вида
г~\ предсказываемой формулой (8.12). Неудачу метода в этом
случае Берд объясняет вычислительными ограничениями на мо-
моделирование столкновений в дальнем поле. Очень слабые столк-
столкновения лля экономии вычислений не учитывались. Кроме того,
случайная выборка, возможно, недостаточно представляет

428	VII. ПЕРЕХОДНЫЙ РЕЖИМ
крылья функции распределения, которые, согласно аналитиче-
аналитическим результатам, изложенным выше, содержат основную часть
кинетической энергии поперечного движения вдали от источ-
источника.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
[1] Grad H., Comtn. Pure and AppL Math., 2, 33 A949); русский перевод:
сб. Механика, № 4 A4), 71—97; № 5 A5), 61—96 A952).
[2] Holway L. W., Jr., Phys. Fluids, 7, 911 A964).
[3] Gross E. P., Jackson E. A., Ziering S., Ann. Phys., 1, 141 A957); рус-
русский перевод: сб. Механика, № 5 E1), 33—55 A958).
[4] Gross E. P., Ziering S., Phys. Fluids, 1, 215 A958); русский перевод:
сб. Механика, № 6 E8), 3—20 A959).
Gross E. P.. Ziering S., Phys. Fluids, 2, 701 A959).
61 Cercignani C, Nuovo Cimenio, X, 27, 1240 A963).
Lees L., GALCIT Hypersonic Research Project Memo. No. 51, 1959.
Molt Smith H. M., Phys. Rev., 82, 885 A951); русский перевод; сб.
Механика, № 1 A7), 72—91 A953).
[9] Butler D. S., Anderson W. M., in "Rarefied gas dynamics" (Brun-
din C. L., ed.), vol. I, p. 731, New York, Academic Press, 1967.
[10] Chorin A. J, in "The Boltzmann equation" (Grunbaum F. A., ed.),
Courant Institute, New York, Univ., 1972.
[11] Shen S. F., in "Rarefied gas dynamics" (Laurmann J. A., ed.), vol. II,
p. 112, New York, Academic Press, 1963.
[12] Ikenberry E., Truesdell C, /. Rat. Mech. Anal., 5, 1 A956).
[13] Wang Chang С S., Uhlenbeck G. E., Engineering Res. Inst., Univ. of
Michigan, Project M 999, 1952; перепечатано в The kinetic theory of
gases, vol. V, p. 43, Studies in statistical mechanics (de Boer J., Uhlen-
Uhlenbeck G. E., eds.), Amsterdam, North Holland, 1970.
[14] Wang Chang C. S., Uhlenbeck G. E., Engineering Res. Inst., Univ. of
Michigan, Rep. 1999-I-T, 1954.
[15] Wang Chang C. S., Unhlenbeck G. E., Engineering Res. Inst., Univ. of
Michigan, Project M 999, 1953.
[16] Wang Chang С S., Uhlenbeck G. E., Engineering Res. Inst. Univ. of
Michigan, Project 2457, 1956.
[17] Mott-Smith H. M., M. I. T. Lincoln Lab. Rep. V, 2, 1954.
[18] Pekeris С L., Alterman Z., Finkelstein L., Frankowski K-, Phys. Fluids,
5, 1608 A962).
[19] Frankowski K-, Alterman Z., Pekeris C. L., Phys. Fluids, 8, 245 A965).
[20] Williams M. M. R., The slowing down and thermalisation of neutrons,
Amsterdam, 1966.
[21] Conkie W. R., Nucl. Sci. Eng., 7, 295 A960).
[22] Davison В., Neutron transport theory, Oxford Univ. Press, 1957; рус-
русский перевод: Дэвисон Б., Теория переноса нейтронов, М., Атомиздат,
1960.
[23] Thompson J. J., Australian Atomic Energy Comm. Rep. AAEC/E 107,
1963.
[24] Huang А. В., Georgia Tech. Aerospace Engineering Rarefied Gas Dyna-
Dynamics Rep. No. 4, 1967.
25] Huang А. В., Hartley D. L., Phys. Fluids, 11, 1321 A968).
Huang А. В., Hartley D. L., AIAA Journal, 6, 2023 A968).
Huang А. В., Hartley D. L., Phys. Fluids, 12, 96 A969).
Huang А. В., Hwang P. F., Phys. Fluids, 13, 309 A970).
Huang А. В., in "Rarefied gas dynamics" (Trilling L., Wachman H.,
eds.), vol. I, 529, New York, Academic Press, 1969.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ	429
[30] Huang А. В., Hwang P. F., Phys. Fluids, 16, 466 A973).
[31] Wachman M., Hamel В. В., in "Rarefied gas dynamics" (Brundin С L,
ed.), vol. I, 675, New York, Academic Press, 1967; русский перевод:
сб. «Вычислительные методы в динамике разреженных газов», М.,
«Мир», 259—275, 1969.
[32] Hamel В. В., Wachman M., in "Rarefied gas dynamics" (de Leeuw J. H.,
ed.), vol. I, 370, New York, Academic Press, 1965; русский перевод: сб.
«Вычислительные методы в динамике разреженных газов», М., «Мир»,
231—258, 1969.
[33] Huang А. В., Giddens D. P., in "Rarefied gas dynamics" (Brundin С. L.,
ed.), vol. I, 481, New York, Academic Press, 1967.
34] Huang А. В., Phys. Fluids, 11, 61 A968).
35] Huang А. В., Giddens D. P., Bagnal С W., Phys. Fluids, 10, 498 A967).
36] Huang А. В., Giddens D. P., AIAA Journal, 5, 1354 A967).
37] Huang А. В., Giddens D. P., Phys. Fluids, 10, 232 A967).
'38] Huang А. В., Giddens D. P., Phys. Fluids, 11, 446 A968).
39] Wick G. C, Z. Phys., 121, 702 A963).
40] Chandrasekhar S., Radiative transfer, New York, Dover, 1960; русский
перевод: Чандрасекар С, Перенос лучистой энергии, М., ИЛ, 1953.
[41] Gast R. С, Bettis Report, WAPD-TM, 118, 1958.
[42] Carlson В. G., Lathrop К. D., in "Computing methods in reactor phy-
physics" (Greenspan H., Kalber С W., Okrent D., eds.), p. 171, New York,
Gordon and Breach, 1968.
[43] Liepman H. W., Narasimha R., Chahine M. Т., Phys. Fluids, 5, 1313
A962).
[44] Willis D. R., in "Rarefied gas dynamics" (Laurmann J. A., ed.), vol. I,
p. 205, New York, Academic Press, 1963.
[45] Anderson D., /. Plasma Phys., 1, 255 A968).
[46] Cercignani C., Tironi G., in "Rarefied gas dynamics" (Brundin С L,
ed.), vol. I, p. 441, New York, Academic Press, 1967.
[47] Willis D. R., Phys. Fluids, 5, 127 A962); русский перевод: сб. Механи-
Механика, № 2G8), 87—103 A963).
Cercignani С, Daneri A., /. AppL Phys., 34, 3509 A963).
Cercignani С, Sernagiotto F., Phys. Fluids, 9, 40 A966).
Bassanini P., Cercignani C, Sernagiotto F., Phys. Fluids, 9, 1174 A966).
Bassanini P., Cercignani C, Schwendimann P., in "Rarefied gas dyna-
dynamics" (Brundin C. L., ed.), vol. I, p. 505, New York, Academic Press,
1967.
[521 Cercignani C, Sernagiotto F., Phys. Fluids, 10, 1200 A967).
[53] Bassanini P., Cercignani C, Pagani С D., Int. Jour, of Heat and Mass
Transfer, 10, 447 A967).
[54] Cercignani C, Pagani С D., Phys. Fluids, 9, 11 A966).
[55] Cercignani C, Foresti P., Sernagiotto F., Nuovo Cimento, X, 57B, 297
A968).
[561 Loyalka S. K., Ferziger J., Phys. Fluids, 10, 1833 A967).
[57] Вайнберг М. М. Вариационные методы исследования нелинейных опе-
операторов, М., Гостехиздат, 1956.
Rowlands G., /. NucL Energy, A13, 176 A961).
Kladnik R., Kuscer I., NucL Sci. Eng., 11, 116.A961).
Kladnik R., Kuscer I., NucL Sci. Eng., 13, 149 A963).
Le Caine Т., Can. J. Res., A28, 242 A950).
Pomraning G. C, J. Math. Phys., 8, 2096 A967).
Pomraning G. C, J. Math. Phys., 9, 155 A968).
Pomraning G. C, Clark M., Jr., NucL Sci, Eng., 16, 147 A963).
Pomraning G. C, Clark M., Jr., NucL Sci. Eng., 16, 155 A963).
Cercignani C, in "Fisica del reattore", p. 633, Roma, Consiglio Nazio-
nale del la Ricerche, 1966.

430	VII. ПЕРЕХОДНЫЙ РЕЖИМ
[67] Cercignani С, Tironi С, У. Plasma Phys., 2, part 3, 293 A968).
[68] Cercignani С, Tironi G., in "Rarefied gas dynamics" (Trilling L, Wach-
man H., eds.), vol. I, p. 281, New York, Academic Press, 1969.
[69] Loyalka S. K-, Z. Naturforsch., 26a, 1708 A971).
[70] Stewart J. O., in "Rarefied gas dynamics" (Trilling L., Wachman H.,
eds.), vol. I, p. 545, New York, Academic Press, 1969.
[71] Коган M. H., Динамика разреженных газов, «Наука», М., 1967.
[72] Robertson S. J., in "Rarefied gas dynamics" (Trilling L., Wachman H.,
eds.), vol. I, p. 767, New York, Academic Press, 1969.
[73] Haviland J. K., Lavin M. L., Phys. Fluids, 5, 1399 A962).
[74] Haviland J. K., in "Rarefied gas dynamics" (Laurfnann J. A., ed.),
vol. I, p. 274, New York, Academic Press, 1963.
[75] Perlmutter M., in "Rarefied gas dynamics" (Brundin C. L, ed.), vol. I,
p. 455, New York, Academic Press, 1967; русский перевод: сб. «Вычис-
«Вычислительные методы в динамике разреженных газов», М., «Мир», 116—
139, 1969.
[76] Perlmutter M., in "Rarefied gas dynamics" (Trilling L., Wachman H.,
eds.), vol. I, p. 327, New York, Academic Press, 1969.
[77] Yoshizawa Y., in "Rarefied gas dynamics" (Trilling L, Wachman H.,
eds.), vol. I, p. 177, New York, Academic Press, 1969.
[78] Kondo J., Koura K., in "Rarefied gas dynamics" (Trilling L, Wach-
Wachman H., eds.), vol. I, p. 181, New York, Academic Press, 1969.
d A Ph Fld	58 6
),	p
[79] Bird G. A., Phys. Fluids, 6, 1518 A963).
[80] Bid G A i "Rfid	di
y	()
Bird G. A., in "Rarefied gas dynamics" (de Leeuw J. H., ed.), vol. I,
216, New York, Academic Press, 1965; русский перевод: сб. «Вычисли-
«Вычислительные методы в динамике разреженных газов», М., «Мир», 140—147,
1969.
[81] Bird G. A., AIAA Journal, 4, 55 A966).
[82] Bird G. A., /., Fluid Mech., 30, 479 A967); русский перевод: сб. «Вы-
«Вычислительные методы в динамике разреженных газов», «Мир», М.,
148—158, 1969.
[83] Bird G. А., /. Fluid Mech., 31, 657 A968).
[84] Vogenitz F. W., Bird G. A., Broadwell J. E., Rungaldier IT., AIAA
Journal, 6, 2388 A968).
[85] Bird G. A., in "Rarefied gas dynamics'? (Tirlling L., Wachman H., eds.),
vol. I, p. 301, p. 85, New York, Academic Press, 1969.
Bird G. A., /. Fluid Mech., 36, 571 A969).
87
90:
Bird G. A., Phys. Fluids, 13, 1172 A970).
Bird G. A., Phys. Fluids, 13, 2676 A970).
Bird G. A., AIAA Journal, 8, 1998 A970).
Goertzel G., Kalos M. H., Monte Carlo in transport problems, in "Pro-
"Progress in nuclear energy", Sect. I: Physics and mathematics, London,
Pergamon Press, 1958.
[91] Cashwell E. D., Everett C. J., The Monte Carlo method for random walk
problems, New York, Pergamon Press, 1959.
[92] Spanier J., Gelbard E. M., Monte Carlo principles and neutron transport
problems, Reading, Addison-Wesley, 1969.
[93] Nordsieck A., Hicks B. L., in "Rarefied gas dynamics" (Brundin С L.,
ed.), vol. I, p. 695, New York, Academic Press, 1967; русский перевод:
сб. «Вычислительные методы в динамике разреженных газов», М.,
«Мир», 215—230, 1969.
[94] Hicks В. L, Yen S. M., in "Rarefied gas dynamics" (Trilling L., Wach-
Wachman I-L, eds.), vol. I, p. 313, New York, Academic Press, 1969.
[95] Hicks B. L., Yen S. M., Railly B. J., /. Fluid Mech., 53, 85 A972);
русский перевод: сб. Механика, № 6 A48), 57—84 A974).
[96] Cercignani С, /. Stat. Phys., 1, 297 A969).
[97] Ziering S., Phys. Fluids, 3, 503 A960).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ	431
[981 Lavin M. L., Haviland J. К., Phys. Fluids, 5, 274 A962).
[99] Cercignani С, Cipolla J., VII Symposium on Rarefied Gas Dynamics,
Pisa, 1970.
[100] Teagan W. P., Springer G. S., Phys. Fluids, 11, 497 A968).
[101] Holway L. H., Jr., Phys. Fluids, 9, 1658 A966); русский перевод: сб.
Механика, № 6 A06), 46—83 A967).
[102] Lin С, Lees L.> in "Rarefied gas dynamics" (Talbot L, ed.), p. 391
New York, Academic Press, 1961.
[103] Willis D. R., in "Rarefied gas dynamics" (Laurmann J. A., ed.), vol. I,
p. 209, New York, Academic Press, 1963.
[1041 Anderson D., /. Fluid Mech., 25, 271 A966).
[10o] Cercignani C., Pagani С D., in "Rarefied gas dynamics" (Brundin C. L.,
ed.), vol. I, p. 555, New York, Academic Press, 1967.
[1061 Dong W., Univ. of Calif. Rept. UC RL, 3353, 1956.
[1071 Knudsen M., Ann. der Physik, 28, 75 A909).
[108] Cercignani C, Tironi G., Proceedings of the AIDA-A1R Meeting, p. 174,
Roma, AIDA-AIR, 1967.
[1091 Cercignani C, Phys. Fluids, 10, 1859 A967).
[110] Huang А. В., Stoy R. L, Jr., Phys. Fluids, 9, 2327 A966).
[Ill] Bassanini P., Cercignani C, Pagani С D., Int. J. Heat and Mass
Transfer, 11, 1359 A968).
112
113
114
151
dence, American Mathematical Society, 1969.
[1161 Salwen H., Grosch C, Ziering S., Phys. Fluids, 7, 180 A969).
[117] Holway L. H., Jr., in "Rarefied gas dynamics" (de Leeuw J. H., ed.),
vol. I, p. 193, New York, Academic Press, 1965.
Hu P. N., неопубликованная работа, цитируемая в [115].
Cercignani С, Meccanica, 5, 7 A970).
Taylor G. I., Proc. Roy. Soc. London, A84, 371 A950).
Grad H., in "Transport theory" (Bellman R. et al., eds.), p. 209, Provi-
Provi118
119
120
121
122'
Muckenfuss C, Phys. Fluids, 5, 1325 A962).
Linzer M., Hornig D. F., Phys. Fluids, 6, 166 A963).
Deshpande S. M., Narasimha R., /. Fluid Mech., 36, 545 A969).
Oberai M. M., /. de Mec, 6, 317 A967).
Narasimha R., Deshpande S. M., Ananthasayanam M. R., in "Rarefied
gas dynamics" (Trilling L., Wachman H., eds.), vol. I, p. 417, New York,
Academic Press, 1969.
[123] Segal B. M., Ferziger J. H., Phys. Fluids, 15, 1233 A972).
[124] Sirovich L., Phys. Fluids, 5, 908 A962); русский перевод: сб. «Неко-
«Некоторые вопросы кинетической теории газов», М., «Мир», 246—269, 1965.
[125] Sherman F. S., /. Fluid Mech., 8, 465 A960).
[1261 Oberai M. M., Phys. Fluids, 9, 1634 A966).
[127] Sirovich L., Goldman E., in "Rarefied gas dynamics" (Trilling L.,
Wachman H., eds.), vol. I. p. 407, New York, Academic Press, 1969.
[128] Abe K., Oguchi H., in "Rarefied gas dynamics" (Trilling L., Wach-
Wachman H., eds.). vol. I, p. 425, New York, Academic Press, 1969.
[129] Talbot L., Scala M.. in "Rarefied gas dynamics" (Talbot L., ed.),p. 603,
New York, Academic Press, 1961.
[130] Turcotte D. L., in "Rarefied gas dynamics" (Trilling L., Wachman H.,
eds.), vol. I, p. 331, New York, Academic Press, 1969.
[131] Brau С A., Simons G. A., Macomber H. K., in "Rarefied gas dynamics"
(Trilling L., Wachman H., eds.), vol. I. p. 343, New York, Academic
Press, 1969.
[132] Venkataraman R., Morse T. F., in "Rarefied gas dynamics" (Trilling L.,
Wachman IT., eds.), vol. I, p. 353, New York, Academic Press, 1969.
[133] Cercignani С , Pagani С D., in "Rarefied gas dynamics" (Brundin С L.,
ed.), vol. I. p. 555. New York, Academic Press, 1967.
[134] Cercignani C, Pagani С D., Phys. Fluids, 11, 1395 A968).

432	VII. ПЕРЕХОДНЫЙ РЕЖИМ
135] Cercignani С, Pagani С. D., Bassanini P., Phys. Fluids, 11, 1399 A968).
136] Millikan R. A., Phys. Rev., 22, 1 A923).
137] Sherman F. S., in "Rarefied gas dynamics" (Laurmann J. A., ed.),
vol. II, p. 228, New York, Academic Press, 1963.
[138] Grad H., Proceedings of the Conference on Aerodynamics and the
Upper Atmosphere, Rand Corp., 1959.
[139] Sirovich L., in "Rarefied gas dynamics" (Talbot L., ed.), New York,
Academic Press, 1961.
[140] Шидловский В. П., Введение в динамику разреженных газов, М.,
«Наука», 1965.
[141] Hayes W. D., Probstein R. F., Hypersonic flow theory, New York, Aca-
Academic Press, 1975; русский перевод: Хейз У. Д., Пробстин Р. Ф., Теории
гиперзвуковых течений, М., ИЛ, 1962.
[142] Schaaf S. A., in "Handbuch der Physik" (Flugge S., ed.), Band VIII,
S. 591, Berlin, Springer, 1963.
[143] Potter J. L, in "Rarefied gas dynamics" (Brundin C. L., ed.), vol. II,
p. 881, New York, Academic Press, 1967.
[144]
[1451
[146'
[147"
Willis D. R., Princeton Univ. Aeronaut. Eng. Lab. Rept. No. 440, 1958.
Willis D. R., /. Fluid Meek, 21, 21 A965).
Willis D. R., Phys. Fluids, 8, 1908 A965).
Grad H., Hu P. N., in "Rarefied gas dynamics" (Trilling LM Wach-
V_ll ClU AA., 11U J. . !>¦, K*-	I\U1 Oll^U &010 UJUU1U1VU	filming
man H., eds.), vol. I, p. 561, New York, Academic Press, 1969.
[148] Hamel В. В., Cooper A. L., in "Rarefied gas dynamics" (Trilling L.,
Wachman H., eds.), vol. I, p. 433, New York, Academic Press, 1969.
[149] Pan Y. S., in "Rarefied gas dynamics" (TrillingL, Wachman H., eds.),
vol. I, p. 779, New York, Academic Press, 1969.
[150] Stewartson K. O., Mathematika, 16, part 1, 106 A969).
[151] Messiter A. F., SI AM J. Appl. Math., 18, 241 A970).
[152] McCroskey W. J., Bogdonoff S. M., McDougall J. G., AIAA Journal, 4,
1580 A966).
[153] Harbour P. J., Lewis J. H., in "Rarefied gas dynamics" (Brundin С L.,
ed.), vol. II, p. 1031, New York, Academic Press, 1967.
[154] JossW. W., Vas I. E., Bogdonoff S. M., AIAA Paper 68-5,January 1968.
[155] Oguchi H., in "Rarefied gas Dynamics" (Talbot L., ed.), p. 501, New
York, Academic Press, 1961.
156
157]
158
159:
160
Shorenstein M., Probstein R. F., AIAA Journal, 6, 1898 A968).
Chow W. L., AIAA Journal, 5, 1549 A967).
Chow W. L., AIAA Journal, 6, 1 A968).
Rudman S., Rubin S. G., AIAA Journal, 6, 1883 A968).
Cheng H. K., Chen S. Y., Mobly R., Huber C, in "Rarefied gas dyna-
dynamics" (Trilling L., Wachman H., eds.), vol. I, p. 451, New York, Acade-
Academic Press, 1969.
[161] Kot S. S., Turcotte D. L., AIAA Journal, 10, 291 A972).
[162] Kogan M. N., Degtyariev L. M., Astron. Ada, 11, 36 A965).
[163] Charwat A. F., in "Rarefied gas dynamics" (Talbot L., ed.), p. 553,
New York, Academic Press, 1961.
[164] Huang А. В., Hwang P. F., IAF Paper RE 63, October 1968.
[165] Vogenitz F. W., Broadwell J. E., Bird G. A., AIAA Journal, 8, 504
A970).
[166] Joss W. W., Bogdonoff S. M., in "Rarefied gas dynamics" (Trilling L.,
Wachman H., eds.), vol. I, p. 483, New York, Academic Press, 1969.
[167] Ashkenas H., Sherman F., in "Rarefied gas dynamics" (de Leeuw J. 11.,
ed.), vol. II, p. 84, New York, Academic Press, 1965.
168
169
170]
171
Hamel В. В., Willis D. R., Phys. Fluids, 9, 829 A966).
Edwards R. H., Cheng H. K., AIAA Journal, 4, 558 A966).
Freeman N. C, AIAA Journal, 5, 1696 A967).
Freeman N. C, Grundy R. E., /. Fluid Mech., 31, 723 A968).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ	433
[172] Brook J. W., Oman R. A., in "Rarefied gas dynamics" (de Leeuw J. H.,
ed.), vol. I, p. 125, New York, Academic Press, 1965.
[173] Abuaf N., Anderson J. В., Andres R. D., Fenn J. В., Miller D. R., in
«Rarefied gas dynamics" (Brundin C. L., ed.), vol. II, p. 1317, New
York, Academic Press, 1967.
[174] Edwards R. H., Cheng H. K-, in "Rarefied gas dynamics" (Brundin C. L,
ed.), vol. I, p. 819, New York, Academic Press, 1967.
[175] Freeman N. C, Thomas D. R., in "Rarefied gas dynamics" (Trilling L.,
Wachman H., eds.), vol. I, p. 163, New York, Academic Press, 1969.
[176] Miller D. R., Andres R. P., in "Rarefied gas dynamics" (Trilling L.,
Wachman H., eds.), vol. II, p. 1385, New York, Academic Press, 1969.
[177] Willis D. R., Hamel В. В., Lin J. Т., Univ. of Calif. Berkeley Aero. Sci.
Rept. AS-70-8, 1970.
[178] Grundy R. E., Phys. Fluids, 12, 2011 A969).
[179*] Тамм И. Е., О ширине ударных волн большой интенсивности, Труды
ФИ АН, 29, 239—249 A965) (выполн. в 1947 г.).
[180*] Бараицев Р. Г., Об асимптотическом законе выравнивания скачка в
одноатомном газе, ЖЭТФ, 42, № 3, 889—895 A962); Структура скачка
максимальной интенсивности в одноатомном газе, в кн. «Аэродинами-
«Аэродинамика разреженных газов», вып. I, Л., изд-во ЛГУ, 234—245, 1963.
[181*] Куксенко Б В., Метод расчета течений разреженного газа, Докл. АН
СССР, 151, № 5, 1042—1045 A963).
[182*] Баранцев Р. Г., Метод интегральных моментных кинетических уравне-
уравнений, Докл. АН СССР, 151, № 5, 1038—1041 A963); в кн. «Аэродина-
«Аэродинамика разреженных газов», вып. 2, Л., изд-во ЛГУ, 62—78, 1965.
[183*] Бараицев Р. Г., 56-моментная система дифференциальных кинетических
уравнений, в кн. «Аэродинамика разреженных газов», вып. 2, Л.,
изд-во ЛГУ, 98—113, 1965.
[184*] Власов В. IT., Улучшение метода статистических испытаний (Монте-
Карло) для расчета течений разреженных газов, Докл. АН СССР, 167,
№ 5, 1016—1018 A966).
[185*] Перепухсв В. А., Аэродинамические характеристики сферы и затуплен-
затупленного конуса в потоке сильно разреженного газа, Ж- вычисл. мат. и
мат. физики, 7, № 2, 444—452 A967).
[186*] Баранцев Р. Г., О решении моментных уравнений, в кн. «Аэродина-
«Аэродинамика разреженных газов», вып. 3, Л., изд-во ЛГУ, 51—57, 1967.
[187*] Баранцев Р. Г., Луцет М. О., О граничных условиях для уравнений
Навье —Стокса, Докл. АН СССР. 173, № 5, 1021 — 1023 A967).
[188*] Маслова Н. Б., О решении уравнения Больцмаиа для случая простран-
пространственно-однородного газа из максвелловских молекул, Вестник ЛГУ,
№ 13, 88—95 A968).
[189*] Аиолик М. В., Бараицев Р. Г., Вторая итерация интегрального кине-
кинетического оператора в ударной волне одноатомного газа, в кн. «Ме-
«Методы вычислений», вып. 5, Л., изд-во ЛГУ, 43—48, 1968.
[190*] Шлажа Ю., Асимптотическое поведение потоков массы, импульса и
энергии на полубесконечнон пластинке при больших числах Маха,
Вестник ЛГУ, № 1, 120-138 A968).
[191*] Баранцев Р. Г., Луганская И. Б., Моменты высокого ранга в слабо
разреженном газе, Докл. АН СССР, 180, № 3, 554—555 A968).
[192*] Горелов С. Л., Коган М. Н., Решение линейных задач динамики раз-
разреженного газа методом Монте-Карло, Мех. жидкости и газа, № 6,
136—139 A968).
[193*] Численные методы в теории разреженных газов, Труды ВЦ АН СССР,
1969.
[194*] Баранцев Р. Г., Копылова А. В., К вопросу о замыкании уравнений
сохранения в разреженном газе, в кп «Аэродинамика разреженных
газов», вып. 5, Л., изд-во ЛГУ, 73—82, 1970,

434	VII. ПЕРЕХОДНЫЙ РЕЖИМ
[195*] Власов В. И., Расчет методом Монте-Карло потока тепла между па-
параллельными пластинами в разреженном газе, Ученые записки ЦАГИ,
1, № 4, 46—51 A970).
[196*] Горелов С. Л., Коган М. Н., Течение разреженного газа между двумя
параллельными пластинами, Ученые записки ЦАГИ, 1, № 6, 126—130
A970).
[197*] Черемисин Ф. Г., Численное решение кинетического уравнения Больц-
мана для одномерных стационарных уравнений газа, Ж. вычисл. мат.
и мат. физики, 10, № 3, 654—665 A970).
[198*] Власов В. И., Расчет аэродинамических характеристик плоской пла-
пластины бесконечного размаха в гиперзвуковом потоке разреженного
газа, Ученые записки ЦАГИ, 2, № 6, 116—118 A971).
[199*] Скакун С. Г., Суетин П. Е., Черняк В. Г., Плоское течение Куэтта для
трех молекулярных моделей, Мех. жидкости и газа, № 2, 158—160
A971); Бароэффект при произвольных числах Кнудсена, ЖТФ, 42,
№ 3, 642-646 A972).
[200*] Гусев В. Н., Климова Т. В., Липин А. В., Аэродинамические характе-
характеристики тел в переходной области при гиперзвуковых скоростях по-
потока, Труды ЦАГИ, вып. 1411, 3—53, 1972.
[201*] Черняк В. Г., Породнов Б. Т., Суетин П. Е., Движение разреженного
газа в длинных трубах с аккомодирующими стенками при произволь-
произвольных числах Кнудсена, ЖТФ, 43, № 11, 2420—2426 A973).
[202*] Численные методы в динамике разреженных газов, сборник статей,
М., ВЦ АН СССР, вып. 1, 1973; вып. 2, 1975.
[203*] Бунимович А. И., Соотношение между силами, действующими на тела,
движущиеся в разреженном газе, в потоке света и в гиперзвуковом
ньютоновском потоке, Мех. жидкости и газа, № 4, 89—95, 1973; Аэро-
Аэродинамические характеристики осесимметричных тел при обтекании в
условиях «закона локальности», Вестник МГУ, серия матем. и механ.,
№ 4, 97—102 A974).
[204*] Геодаков Н. А., Сходимость метода Хэвиленда — Левина решения
уравнения Больцмана, в кн. «Аэродинамика разреженных газов»,
вып. 7, Л., изд-во ЛГУ, 19—25, 1974; Сходимость в малом итераций
метода Хэвиленда — Левина решения уравнения Больцмана, там же,
вып. 8, 37—46, 1976.
[205*] Зворыкин Л. Л., Изучение структуры ударной волны в одноатомном
газе методом интегральных моментных уравнений, в кн. «Аэродина-
«Аэродинамика разреженных газов», вып. 7, Л., изд-во ЛГУ, 198—210, 1974.
[206*] Шахов Е. М., Метод исследования движений разреженного газа, М.,
«Наука», 1974; Решение осесимметричных задач теории разреженных
газов методом конечных разностей, Ж. вычисл. матем. и матем. фи-
физики, 14, № 4, 970—981 A974).
[207*] Щербак С. Я., Численное исследование задачи о передней кромке на
основе полного уравнения Больцмана, Вестник ЛГУ, № 19, 109—115
A974).
[208*] Эндер И. А., Построение ядра столкновительного оператора в (а, п)-
представлении уравнения Больцмана, Вестник ЛГУ, № 19, 116—125
A974).
[209*1 Баканов С. П., О некоторых интегральных соотношениях в кинетиче-
кинетической теории газов. ЖТФ, 44. № 12, 2625—2629 A974); Прикл. матем.
и механ. № 5, 932—934 A975): Расчет теплового скольжения пои про-
произвольной аккомодации газа на границе раздела фаз, ЖТФ. 47, № 2,
421—427 A977).
[210*] Бишаев А. М., Рыков В. А., Решение стационарных задач кинетиче-
кинетической теории газов при умеренных и малых числах Кнудсеиа методом
итераций, Ж- вычисл. мат. и матем. физики, 15, № 1, 172—182
A975).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ	435
[211*] Бумнмович А. И., Чистолинов В. Г., Аналитический метод расчета
аэродинамических сил в пространственной задаче в условиях «закона
локальности», Прикл. матем. и механ., № 3, 466—472 A975); Анали-
Аналитический расчет аэродинамических характеристик тел вращения в ус-
условиях закона локальности, Механ. жидкости и газа, № 5, 94—100
A975).
[212*] Власов В. И., Расчет течения разреженного газа около пластины под
углом атаки, Ученые записки ЦАГИ, 6, № 2, 48—55 A975).
[213*] Лимар Е. Ф., Расчет обтекания цилиндра разреженным газом, Ж. вы-
чысл. мат. и мат. физики, 15, № 1, 266—269 A975).
[214*] Трощиев В. Е., О математических свойствах 5п-методов решения ки-
кинетических уравнений, Ж. вычисл. мат. и мат. физики, 15, № 5, 1209—
1221 A975).
[215*] Ерофеев А. И., Перепухов В. А., Расчет обтекания пластины, располо-
расположенной вдоль потока разреженного газа, Ученые записки ЦАГИ, 6,
№ 3, 51—57 A975); Расчет обтекания пластины бесконечного размаха
потоком разреженного газа, там же, 7, № 1, 102—106 A976); Расчет
поперечного обтекания пластины потоком разреженного газа, Мех.
жидкости и газа, № 4, 106—112 A976).
[216*] Алексеева Е. В., Баранцев Р. Г., Локальный метод аэродинамического
расчета в разреженном газе, Л., изд-во ЛГУ, 1976.
[217*] Аристов В. В., Черемисин Ф. Г., Расщепление неоднородного кинети-
кинетического оператора уравнения Больцмана, Докл. АН СССР, 231, № 1,
49—52 A976).
[218*] Баранцев Р. Г., Копылова А. В., Об уравнениях сохранения в разре-
разреженном газе на поверхности тела, в кн. «Аэродинамика разреженных
газов», вып. 7, Л., изд-во ЛГУ, 191 —197, 1974; Построение газодина-
газодинамических полей в сильно разреженном газе на основе уравнений со-
сохранения, там же, вып. 8, 153—161, 1976; О замыкании уравнений
сохранения в разреженном газе на основе классов точных решений,
Труды IV Всесоюзной конференции по динамике разреженного газа,
418—421, М., ЦАГИ, 1977.
[219*] Горелов С. Л., Термофорез и фотофорез в разреженном газе, Механ.
жидкости и газа, № 5, 178—182 A976).
[220*] Гусев В. Н., Климова Т. В., Рябов В. В., Основные закономерности
изменения аэродинамических характеристик в переходной области
при гиперзвуковых скоростях потока, Ученые записки ЦАГИ, 7, № 3,
47—54 A976).
[221*] Ермаков С. М., Некруткин В. В., Прошкин А. Я-, Сизова А. Фм О ре-
решении методом Монте-Карло нелинейных кинетических уравнений,
Докл. АН СССР, 230, № 2, 261—265 A976).
[222*] Кудиш И. И., Рыков В. А., О схождении к центру и отражении сфе-
сферической волны в газе, Ж. вычисл. мат. и мат. физики, 16. № 5, 1209—
1216 A976).
[223*] Фридлендер О. Г., Интегрально-моментный метод решения задач дина-
динамики разреженных газов, Труды ЦАГИ, вып. 1742, 49—69, 1976.
[224*] Хлопков Ю. И., Клин в потоке разреженного газа, Ученые записки
ЦАГИ, 7, № 4, 144—147 A976).
[225*] Белоцерковский О. М., Яницкий В. Е., Статистическое моделирование
течения идеального одноатомного газа, в кн. «Аэродинамика», М.,
«Наука», 259—265, 1976; Численные методы в динамике разреженного
газа, Труды IV Всесоюзной конференции по динамике разреженного
газа, 101 — 183, М., ЦАГИ, 1977.
|22Ь"' Bird G. A., Molecular gas dynamics, Oxford, Clarendon Press, 1976.
[227*] Жук В. И., Некоторые асимптотические свойства макропараметров
разреженного газа при расширении в вакуум, Прикл. матем. и механ.,
41, № 1, 72—78 A977),

VIII
Теоремы существования
и единственности
1. Введение
В этой главе излагается математически наиболее развитая
часть теории уравнения Больцмана, которая основывается на
использовании методов функционального анализа.
Основное место занимают теоремы существования и един-
единственности и качественный анализ решений уравнения Больц-
Больцмана.
Построение полной теории существования и качественного
поведения решений уравнения Больцмана служит нескольким
целям. Первая из них — получить представление о том, имеют
ли решения конкретной задачи или модельного уравнения общее
значение или носят лишь частный характер. Более важная
цель — определить, существует ли решение вообще. Решение
в принципе может отсутствовать, несмотря на убедительность
физической аргументации относительно справедливости уравне-
уравнений и правдоподобность результатов, полученных нестрогими
приближенными методами.
Хотя первое из доказательств существования и единственно-
единственности решений уравнения Больцмана восходит еще к Карлеману
[1], наиболее существенные успехи были достигнуты за послед-
последнее десятилетие благодаря детальному анализу линеаризован-
линеаризованного уравнения Больцмана.
Этот анализ привел к развернутой теории существования
и единственности в линейном случае и к некоторым интересным
результатам для нелинейных задач.
2. Задачи с начальными условиями
Самая простая из всех задач, связанных с уравнением Больц-
Больцмана, это задача для безграничного газа с начальными дан-
данными, не зависящими от координат (пространственно-однород-
(пространственно-однородная задача). Первая теорема существования и единственности
была получена Карлеманом [1, 2] для модели молекул в виде
твердых сфер. Он получил достаточно сильный нелинейный ре-
результат «в большом» при довольно слабых предположениях от-

2. ЗАДАЧИ С НАЧАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ	437
носительно начального распределения; интегрируемость, неотри-
неотрицательность и ограниченность сверху величиной А\A +I§1)~а>
где Л1 >0 и а ^ 6 — постоянные. При этом показано, что ре-
решение существует, положительно и не превосходит А\{\ + |||)~а
для всех t ^ 0.
Доказано также, что функционал Я, определенный формулой
(III. 9.5), существует, является невозрастающей функцией t для
любого t ^ 0 и стремится к максвелловскому распределению
при /—>оо. Уилд [3] и Моргенштерн [4] получили аналогичные
результаты для более простого случая обрезанного максвеллов-
ского потенциала, однако эти результаты слабее теоремы Кар-
лемана в той части, где рассматривается переход к равновес-
равновесному состоянию. Недавно Аркерид [5] доказал результат, по-
подобный карлемановскому, даже при более слабых ограничениях
на начальное распределение /, считая лишь, что оно интегри-
интегрируемо и имеет функционал Н.
Хотя математическая сторона дела достаточно сложна, ука-
указанные результаты физически тривиальны в том смысле, что
они не содержат гидродинамики: плотность, скорость и темпе-
температура остаются постоянными.
Ситуация становится более интересной и сложной в том слу-
случае, когда начальные данные зависят от координат. Морген-
Моргенштерн [6] и Повзнер [7] решили задачу Коши для видоизменен-
видоизмененного уравнения Больцмана, содержащего «размазку», т. е. опе-
оператор, сглаживающий пространственную зависимость. Такие
уравнения были выбраны из-за математического удобства; их
не следует путать с модельными уравнениями, неоднократно
используемыми в настоящей книге и не вносящими заметных
упрощений в нелинейную теорию существования. В частности,
операторы столкновений со сглаживанием не имеют инвариан-
инвариантов столкновений, за исключением пространственно-однородного
случая. Грэду [8] удалось доказать теорему существования и
единственности для обрезанного максвелловского взаимодей-
взаимодействия при довольно жестких условиях, наложенных на началь-
начальное распределение (которое должно быть ограничено некоторым
максвеллианом), и лишь для конечного интервала времени.
Изучение существования и единственности для линеаризо-
линеаризованного уравнения Больцмана было начато Карлеманом [2],
который установил эти результаты для (линеаризованного)
уравнения в случае взаимодействия типа твердых сфер с учетом
зависимости от координат; однако при этом получалась экспо-
экспоненциальная оценка роста et/e F — среднее время свободного
пробега).
Позднее Грэду [9, 10] удалось построить довольно общую тео-
теорию линеаризованного уравнения для случая твердых сфер и по-
потенциалов с обрезанием по углу. Он доказал [9] ограниченность

438	VIII. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ
решения для всех t ^ О, равномерную относительно средней
длины свободного пробега, и даже конечный переход к равно-
равновесному состоянию [10].
Факт независимости оценок от средней длины пробега озна-
означает, что они распространяются на макроскопический режим и
могут быть использованы для строгого обоснования теории
Гильберта [11].
На основе этих результатов для линеаризованного уравнения
при не слишком больших отклонениях от линейности была по-
построена ограниченная нелинейная теория, охватывающая значе-
значения времени, представляющие интерес для макроскопической
газодинамики [12].
Доказательство Грэда строится следующим образом. Прежде
всего линеаризованное уравнение преобразуется к интегральной
форме:
h(x, I t) = ho(x- g/, I)exp(- v/) +
t
-?(/-s), s)ds. B.1)
Здесь предполагается, что оператор столкновений L представ-
представляется в виде разности (IV. 5.20), причем
k = Kh,	B.2)
a /i'o(x, |) — заданное начальное значение h. Уравнение B.1)
можно решить при помощи итераций. Грубая оценка, получен-
полученная в результате замены экспонент в B.1) единицами, дает
сходящийся итерационный процесс с ростом exp(kt) в любой из
следующих норм:
N [h]=[\fo\hfdldxf = ihi ,	B.3)
Nr [h] = max [/0 A + |2)г] | h (x, I) |,	B.$
X, s
Nr [h] = max A + I2)m [\ fQ \ h f dxf	B.5)
и даже в более сложных нормах, в которые входят производные
по координатам. Постоянная к в экспоненте exp(kt) является
границей для К в выбранной норме. Для любого гладкого ре-
решения h можно, кроме того, получить априорную оценку
yV(/z)<yV(/z0),	B.6)
которая есть не что иное, как линеаризованный вариант //-тео-
//-теоремы (см. разд. 4 гл. IV). Использование B.6) приводит к рав-

2. ЗАДАЧИ С НАЧАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ	439
номерной оценке в L2, которая может быть перенесена на дру-
другие нормы, указанные выше.
Заметим, что результаты Грэда для нелинейного случая по-
получаются простым итерационным процессом с использованием
интегральной формы уравнения Больцмана. Доказательство схо-
сходимости далеко не тривиально, результат же довольно слабый,
поскольку существование и единственность получаются в классе
функций с весьма ограничительной нормой N3(h) (h = (f —
-fo)/fo).
Аналогичные результаты для линейных уравнений на основе
предварительного изучения спектральной задачи (уравнение
(IV. 8.4) с вещественным к) получил А. А. Арсеньев [13] при
помощи преобразования Фурье.
Шарф [14] также воспользовался преобразованием Фурье и
доказал теорему существования в целом и слабую форму стрем-
стремления к равновесию при довольно широких предположениях от-
относительно начального значения h0. Он использовал теорию ли-
линейных полугрупп [15] и диссипативность оператора
А = L — /к • § (к вещественно)	B.7)
вместе с его сопряженным в гильбертовом пространстве Ж
функций к и |, в котором норма берется с весом /0- Диссипа-
Диссипативность оператора А легко устанавливается, согласно опреде-
определению диссипативного оператора [15, 16], поскольку А задан на
плотном множестве и для любого элемента Н<=Ж из области
определения А имеем
Re ((Я, Лй)) = ((й, Lft))<0.	B.8)
Далее, так как область значений X — А совпадает с Ж для
любого К > 0, существует семейство линейных операторов Г',
таких, что решение уравнения
^j = Ah + g	B.9)
(это решение существует и единственно) дается выражением
t
h = Tth0+\jTi-sg(s)ds.	B.10)
0
Такой же полугрупповой метод применили Фец и Шен [17],
не пользуясь, однако, преобразованием Фурье. Преимущество
полугруппового подхода заключается в том, что он может быть
применен и при наличии границ при условии, что граничные
условия однородны [14, 17].
Неоднородность граничных условий осложняет анализ, как
будет видно из дальнейшего изложения,

440 .	VIII. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ
Метод полугрупп был также применен Грюнбаумом [18] для
слабо нелинейного пространственно-однородного случая.
Аналогичные результаты получаются, конечно, и для задач
с начальными условиями при однородных граничных условиях;
такие задачи возникают в теории переноса нейтронов. Среди
работ по этой тематике особого внимания заслуживают работы
Марти [19], Мики [20, 21], Альбертони и Монтаньяни [22, 23],
а также Беднаржа [24]. Хотя последние авторы не доказывали
теорем существования, они обнаружили важные спектральные
свойства оператора переноса.
Более подробный обзор этих результатов вместе с приложе-
приложениями функционального анализа к задачам переноса нейтронов
дается в капитальном труде Рибарича [25].
3. Оператор свободного переноса
Как следует из предыдущего раздела, теория существования
и единственности решения задачи с начальными условиями для
полного уравнения Больцмана весьма сложна; соответствующая
же линеаризованная задача достаточно проста в том смысле,
что здесь значительные усилия требуются лишь для получения
точных оценок предельного подхода к равновесию.
Более глубокое изучение свойств уравнения Больцмана не-
необходимо в тех случаях, когда рассматривается стационарная
граничная задача (или нестационарная задача с неоднородными
граничными условиями).
Действительно, непосредственное использование итератив-
итеративного метода, применяемого в задаче с начальными условиями,
позволяет доказать существование решения только при огра-
ограничениях, наложенных на размер области [26, 27]. Первые дока-
доказательства существования и единственности для области произ-
произвольных размеров [28, 29] основываются на детальном изучении
[29] оператора свободного переноса D = r§-d/dx, и в частности
на неравенстве вида
N{Dh)^yN{hl)y	C.1)
где N означает подходящую норму, у — постоянная, зависящая
от размера области, a h удовлетворяет однородным граничным
условиям вида (IV. 4.1), т. е. (IV. 2.8) с h0 = 0.
Было бы весьма желательно доказать неравенство C.1) для
любой области /?, граница которой dR имеет конечную кри-
кривизну в любой точке, и для любого граничного условия вида
(IV. 2.8), где ядро fii|'->|) удовлетворяет лишь условиям
(IV. 2.10), (III. 3.9), (III. 1.8), (III. 1.10).

3. ОПЕРАТОР СВОБОДНОГО ПЕРЕНОСА	441
Для доказательства, которое удается сейчас провести, при-
приходится использовать норму вида
Nte) = lllPVIH,	C.2)
где р==р(?) — соответствующий вес, а норма |||g||| опреде-
определяется формулой (IV. 4.4). При этом приходится опираться на
усиленный вариант неравенства (IV. 4.7), а именно на нера-
неравенство
||| Ш1/2 Ah |||в < Яо III (№1/2 h |||в @ < Хо < 1),	C.3)
где h — функция, определенная на dR для |-п > 0 и удовлетво-
удовлетворяющая условию
(№о, А))в = 0 (г|H = const).	C.4)
Обозначения (( ))в и ||| |||Б определены формулами (IV. 4.5)
и (IV. 4.6). Физический смысл неравенства C.3) не очевиден,
однако оно удовлетворяется, например, для максвелловских гра-
граничных условий (III. 5.1).
Заметим, что однородные граничные условия h+ = Ah- не-
недостаточны для того, чтобы сделать оператор D взаимно одно-
однозначным; действительно, если взять h = \|>о = const, то h удов-
удовлетворяет граничным условиям и уравнению Dh = О и неравен-
неравенство C.1) не может выполняться. Это обстоятельство отражает
тот факт, что существует некоторый произвол в распределении
плотности между /0 и возмущением fQh; данную трудность можно
обойти, введя некоторое дополнительное условие. Выбор точной
формы последнего не имеет существенного значения, и мы бу-
будем придерживаться условия C.4), означающего, что h не дает
вклада в полный поток приходящих частиц.
Начнем с уравнения
|.-g- = g(x, I) (хеД, g€=S),	C.5)
где h удовлетворяет указанным выше условиям; для того чтобы
h могла Удовлетворять условиям сохранения числа молекул на
стенке (v-n = 0 на границе), функция g должна удовлетворять
уравнению
((Фо, ff)) = 0,	C.6)
которое получится, если проинтегрировать C.5) и использовать
лемму Гаусса.
Интегрируя C.5) вдоль характеристик оператора %-д/дх,
имеем
A=gi(s) + Ai,	C.7)
(o)do,	C.8)

442	VI11. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ
где 5 — параметр, меняющийся вдоль характеристики, a h\ —
значение /i, соответствующее s = 0, которое должно опреде-
определяться граничными условиями. Здесь используется сокращен-
сокращенное обозначение g(s) для величины go(x,I), вычисляемой в опре-
определенной точке 5 выбранной характеристики. На границе соот-
соотношение C.7) для прилетающих молекул записывается в виде
Ai (хо, Щ = gi (хо, Ю + Ai (х0, ?) (х0 efl/?J.n> 0), C.9)
где точка х0 (которую назовем сопряженной для х0 относи-
относительно |) определяется равенством х0 — х0 = /е| (&>0); если
же имеются несколько точек границы, удовлетворяющих по-
последнему соотношению, то следует взять такую, для которой
значение k наименьшее (заметим, что |-п>>0 в точке х0) если
|-п < 0 для того же | в х0).
В силу граничных условий соотношение C.9) принимает вид
Ai = gi + i4ftb	(ЗЛО)
где
Ahx = APhu Я1 = А1(^0, I),	C.11)
а Р, как обычно, — оператор отражения в пространстве ско-
скоростей.
Равенство C.10) представляет собой уравнение для h{; оно
связывает значения h\ в различных точках границы dR для раз-
разных значений | (|-п>0). Как только это уравнение решено,
можно подставить результат в C.7) и таким образом получить
решение h уравнения C.5), выраженное через g. Для того
чтобы обсудить решение уравнения C.10), представим hx и g\
следующим образом:
hi (х0, I) = М- (х0) + h2 (х0, ?),
ё\ (ХО, Ю = V (ХО) + ё2 (ХО, |),
причем P/i2 и Pg2 удовлетворяют условию
*))в = 0.	C.13)
Очевидно, что разбиение C.12) всегда возможно, если положить
И = (я|>о, ^A0B, v = (-фо, .Pgi)B.	C.14)
Если h2 удовлетворяет уравнению C.13), то ему удовлетворяет
и Л/г2; тогда уравнение (ЗЛО) соответственно разбивается
на два:
li (х0) = v (х0) + ~ \ I Q • п | jx (хо) dQ, Q • п < 0, C.15)
h2 = g2 + Ah2,	C.16)
где Q= &/? = (х0 —хо)/|х.о —хо|.

3. ОПЕРАТОР СВОБОДНОГО ПЕРЕНОСА	443
Согласно нашему предположению, условие C.3) выпол-
выполняется одновременно с C.4); это означает, что
||| (Ю1/2 Ah2 HI* < А,о III №L2 h2 \\\в а0 < 1),	C.17)
если учесть, что выражение |§-n|di<2s не меняется при зеркаль-
зеркальном отражении или при переходе к сопряженным относительно
% граничным точкам. Теорема об отображении сжатия гаранти-
гарантирует существование единственного решения h2 уравнения C.16),
которое удовлетворяет неравенству
h\\\s< y—^ \\\ (№4'g2 \l	C-18)
С другой стороны, уравнение C.15) можно записать в виде
I г ( хп — хп ) • п ( хп — хп ) • п
- ii-5	° "Ч°4 0}	l\i(xZ)dS', C.19)
dR (xo)
где Хо стоит вместо х0 (так как учитывать сопряженность х0
точке х0 здесь уже не нужно), используются зависимости
х0 — Xq = Q | х0 — х^ |, dQ = cos (xj — х0, n') dS', n' и dS' — нор-
нормаль и элемент поверхности в точке хо; dR (х0) — часть dR,
которая видна из точки Хо; для односвязной области с выпуклой
границей она совпадает со всей границей dR.
Интегральное уравнение C.19) имеет симметричное квадра-
квадратично интегрируемое ядро для любой области с границей конеч-
конечной кривизны. В этом легко убедиться, если учесть, что х0 и х^
лежат на границе dR, следовательно, сингулярность при х^->х0
намного слабее, чем кажется на первый взгляд.
Заметим также, что [х = const — единственное решение
уравнения C.19) при v = 0 (это вытекает из того факта, что
| Q' • п | dQ' = я, и из неравенства Шварца); следовательно,
й'.п<0
необходимым условием существования квадратично интегрируе-
интегрируемого решения при заданной квадратично интегрируемой функ-
функции источника является ортогональность v(x0) и •фо=1, т. е.
выполнение равенства \v(xo)dS = O. Из определений v (вто-
(второе из равенств C.12)) и gx (равенства C.8) и C.6)) вытекает,
что v(xo) автоматически ортогональна единице (заметим, что
|?-n|ds dS = d3x). Теперь решение (li(x0) определяется с точ-
точностью до аддитивной постоянной, однако значение последней
фиксируется условием C.4). Таким образом, доказано, что
(j.. (х.о) и /i2(xo, I) существуют и определяются единственным об-
образом; следовательно, это же справедливо для /ii.(x0, §).

444
VIII. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ
Доказано также, что
C.20)
Это следует из неравенства C.18) и полной непрерывности ядра
в C.19) (в силу чего выполняется неравенство \ | ц |2 dS <
C-21)
Теперь равенство C.7) дает нам
Используя определение g\ C.8) и неравенство Шварца, получаем
s (х, I)
J 8 (о) da
s (х, I)
\g(a)\2dodldx. C.22)
Так как |s(x, 5)|^rf/|, где d — наибольшая хорда в /?, то,
полагая ^ = ^а и меняя порядок интегрирования, получаем
d
III P'A6A III2 < d \ *t \ p (E) I g (х, |) |2 di dx =
о
= d2 5 р (I) | g (x, |) |2 d\ dx = d2 HI pv.gr |||2. C.23)
Аналогично имеем (учитывая, что d3x = | \, ¦ п \dSda и
III P4Ai IIP = $ P (E) I21 Л1 (xo, |) |21 ? • n | dl dS da <
n-|>0
Pd)||A,(xo, l)?\l-n\dldS' =
5 (x0,
l-n>0
, l)?\l-n\dldSdo =
= ^^2 III P% IIP-
C.24)

4. ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ	445
Подставляя результаты C.23) и C.24) в неравенство C.21),
получаем
iiii
что совпадает с C.1), если учесть C.2) и положить v =
d2(l + k)K	Y
4. Существование и единственность решения
граничных задач
Как было отмечено в разд. 12 гл. IV, из стационарного ли-
линеаризованного уравнения Больцмана можно получить инте-
интегральное уравнение. В действительности можно получить
сколько угодно таких уравнений, так как можно написать
l'-j^ + \ih = Hh,	D.1)
где {а — любая положительная функция |, Н — L -f \x, а далее
действовать по схеме, совершенно аналогичной использованной
в гл. IV, где роль \х играла частота столкновений v (см. фор-
формулу (IV. 12.1)). Таким образом, мы строим оператор U, об-
обратный оператору D + \iL и получаем
D.2)
где Но находится как решение уравнения
1--^ + Н-(?)Ао = О,	D.3)
удовлетворяющее неоднородным граничным условиям (IV. 2.8).
По существу произвольную функцию f.i(?) можно выбирать
различным образом:^ ее положительность гарантирует, что экс-
экспоненты, входящие в С/, компенсируют рост множителей 1/g
и их степеней в окрестности ? = 0, как это требуется для осу-
осуществимости итерационного метода. Поскольку будут рассмат-
рассматриваться лишь случаи, когда Lh представляется в виде
Lh = Kh — v(?)ft,	D.4)
естественно выбрать jli(|) как v(g); при этом Н = К. Так
обычно и поступают, однако полезней выбрать р так чтобы опе-
оператор Н был положителен:
(A, Hh) > 0.	D.5
Это всегда возможно в силу теоремы, дико -и й в разд. 6
гл. IV; достаточно взять Н = /( + >U/, где X— постоянная, вхо-
входящая в неравенство (IV.6.21). Естественно ожидать, что не-

446	VIII. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ
равенство D.5) будет выполняться и при Н=К (Х = 0), так
как для модели твердых сфер доказана положительность К [30].
При отсутствии подробной информации о свойствах К можно
придерживаться более общего описания с использованием И
вместо /С. Заметим, что в любом случае из определения Н
(Н = К -\- ^v/) и неположительности L следует неравенство
0<(А, ЯА)<(А, цА).	D.6)
Уравнение D.2), так же как линеаризованное уравнение
Больцмана с граничными условиями (IV. 2.8), заведомо не опре-
определяет функцию h однозначно. (Если h— решение уравнения
D.2), то h + ф0 при любой постоянной ф0 тоже является его ре-
решением.) Можно, однако, получить интегральное уравнение
Больцмана, имеющее единственное решение. Положим
Drh =zDh + \ih — Pu/z, tf' = L + \il — Рц,
_!	D.7)
i, 1))]
и рассмотрим уравнение
D'h = g	D.8)
с граничными условиями
fi = APh + Ло, ((^о, 1))Б = 0.	D.9)
Задача D.8), D.9) (так же как соответствующая задача для
уравнения C.5)) разрешима только для функций g, удовлетво-
удовлетворяющих условию C.6). Решение задачи D.8), D.9), удовлетво-
удовлетворяющее условию C.4), допускает представление
/z = /zo+ ?/'?,	D.10)
где Ло — решение задачи
D//Zq = O, hf0== APhfQ-\- hQ, ((h'o, ^o)) == 0. D.11)
Полагая в D.10) g = H'hy получаем интегральное уравнение
h = ho + U'H'h.	D.12)
Если R — область с гладкой границей, а оператор А удовлетво-
удовлетворяет условию C.3), то при весьма общих предположениях
о свойствах оператора L имеет место следующая теорема1).
Теорема {.Интегральное уравнение D.12) имеет един-
единственное решение, удовлетворяющее условию {(p1/z/i, h)) < оо3
]) В английском издании теорема I (вошедшая и в предыдущую
книгу К. Черчиньяни [32]) сформулирована и доказана неверно, что было
обнаружено Н. Б. Масловой. С согласия автора мы помещаем здесь пра-
правильную формулировку теоремы и опускаем ее доказательство; последнее
можно извлечь из результатов части II дополнения. — Прим. ред.

4 ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ	447
где р — функция, определяемая равенством
{[»a(|)]2 + tiI2}I/8,	D.13)
г| — некоторая положительная постоянная, зависящая от об-
области R.
Замечай pie. Как следует из сказанного выше, решение,
гарантированное теоремой I, удовлетворяет условию C.4).
Теорему I можно рассматривать как отправной пункт при
построении строгой теории граничных задач, так как она поз-
позволяет нам обсуждать решение, существование и единственность
которого доказаны. При этом заметим, что ft, как показано, яв-
является квадратично интегрируемой функцией по х и |, однако
ничего не известно о свойствах гладкости решения; в частности,
мы не знаем, имеет ли Л производные по координатам почти
всюду, т. е. удовлетворяется ли наряду с интегральным уравне-
уравнением D.2) исходное интегродифференциальное линеаризованное
уравнение Больцмана (IV. 2.6) с dh/dt = 0. Довольно просто
доказать, что исходное уравнение удовлетворяется по меньшей
мере в некотором обобщенном смысле.
Для того чтобы получить более сильные результаты, необхо-
необходимо показать, что дополнительные ограничения на /i0 приводят
к новым свойствам ft; в частности, если Яо ^ Жг{аЖ)у то ft e
^Ж', где (в общем случае) Ж'—банахово подпространство
пространства Ж. Начало исследованиям в этом направлении по-
положил Пао [31], получивший некоторые интересные результаты
для функциональных пространств °Ы и & с нормами
||| h f4l = max \ d% p (|) fо (|) /г2 (x, g),	D.14)
|	2	Ш2.	D.15)
||||	i,
Xi 5
Пао рассмотрел лишь стационарный одномерный случай
с граничными условиями частного вида А = 0; при этом он ис-
исходил из первоначального варианта теоремы I [28], справедли-
справедливого для указанного случая, и рассмотрел лишь оператор столк-
столкновений с обрезанием по углу. При этих ограничениях ему уда-
удалось получить следующие результаты [далее h\ обозначает ре-
решение уравнения D.3) для (lx (g) = v (g) (илиХ = 0), a ho — член
источника в граничных условиях].
Теорема II. Если h\<^°U, то линеаризованное уравнение
Больцмана имеет единственное решение h <=°U и \\\h \\\n <
< Р III h\ 111^, где |3 — постоянная.

448	Vill. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ
Теорема III. Если h\^<§, то линеаризованное уравнение
Больцмана имеет единственное решение h<^(g и ||| h |||g <
< rn |]| hi |||s.
Теорема IV. Если ho^S? (или hQ^°ll), то все моменты
/oft непрерывны по х.
Теорема V. Существует т > 0, такое, что граничная за-
задача для нелинейного уравнения Больцмана имеет единствен-
единственное решение f = /0A + ft*), ft*e<§f, при всех Яь удовлетворяю-
удовлетворяющих условию |||fti|||g<T. Тогда, если ft— решение линеаризо-
линеаризованного уравнения Больцмана с той же функцией Яь то при
\\h{\\\%->0 имеем
III А- Л* Ilk/Ill А |||? -0.	D.16)
Последняя теорема дает строгое обоснование законности ис-
использования линеаризованного уравнения.
Применяя методику, аналогичную использованной выше,
можно доказать сходимость решений подходящей последова-
последовательности модельных уравнений к решению соответствующего
(линеаризованного) уравнения Больцмана [29, 32].
Дальнейшие результаты по граничной задаче были получены
Гиро [33—37], который изучал стационарную и нестационарную
задачи. Гиро использовал вместо неравенства C.3) другие пред-
предположения относительно оператора Л, входящего в граничные
условия. В частности, Гиро [37] доказал экспоненциальное
стремление к равновесию в случае газа из твердых сфер при
однородных граничных условиях.
Внешняя задача приводит к некоторым трудностям, как
явствует из результатов разд. 13 гл. VI. Риголо-Турба удалось
обойти эти трудности для одномерного случая и доказать тео-
теоремы существования и единственности для некоторых стацио-
стационарных и нестационарных, линейных и слабо нелинейных задач
[38—40].
Проблема существования и единственности для стационар-
стационарных задач теории переноса нейтронов имеет ряд отличий. Дей-
Действительно, поглощение и деление нарушают законы сохране-
сохранения; взаимодействие нейтронов со средой приводит к их уничто-
уничтожению или рождению (в среднем). В первом случае существо-
существование и единственность могут быть доказаны довольно просто
[41], во втором же случае они могут иметь или не иметь места
в зависимости от размера области, и при этом возникает кри-
критическая задача (см. разд. 5 гл. VI). Обсуждение существования
и единственности положительного решения соответствующей за-
задачи на собственные значения содержится в работе Мики [42].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ	449
Случай чисто рассеивающей среды (соответствующий газоди-
газодинамической задаче), кажется, не был исследован (за исключе-
исключением тривиальных случаев).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
[1] Carleman Т., Ada Mathematica, 60, 91 A933).
[2] Carleman Т., Problems mathematiques dans la theorie cinetique des gaz,
Uppsala, Almqvist and Wiksells, 1957; русский перевод: Карлеман Т.,
Математические задачи кинетической теории газов, М., ИЛ, 1960.
р
Wild E., Proc. Camb. Phil. Soc, 47, 602 A950).
Morgenstern D., Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 40, 719 A954).
Arkeryd U Archiv Rat. Mech. and Anal., 45, 1, 17 A972).
Morgenstern D., /. Rat. Mech. Anal., 4, 533 A955).
Повзнер А. Я., Мат. сборник, 58, № 1, 62 A962).
Grad H., in "Handbuch der Physik", Band XII (Flugge S., ed.), Sekt. 26,
Berlin, Springer, 1958; русский перевод: сб. «Термодинамика газов», М.,
«Машиностроение», 5—109, 1970.
[9] Grad H., in "Rarefied gas dynamics" (Laurmann J. A., ed.), vol. I, p. 26,
New York, Academic Press, 1963; русский перевод: сб. «Некоторые во-
вопросы кинетической теории газов», М., «Мир», 93—128, 1965.
[101 Grad H., SIAM /., 13, 259 A965).
[11] Grad H., Phys. Fluids, 6, 147 A963); русский перевод: сб. «Некоторые
вопросы кинетической теории газов», М., «Мир», 7—92, 1965.
[12] Grad H., Proc. Symp. Appl. Math., vol. 17, p. 154, Providence, American
Math. Soc, 1965.
[13] Арсеньев А. А., Ж. вычисл. мат. и матем. физики, 5, № 4, 864 A965).
[14] Scharf G., Helv. Phys. Ada, 40, 929 A967).
[15] Hille E., Phillips R. S., Functional analysis and semigroups, Providence,
American Math. Soc, Colloquium Publications, 1957; русский перевод:
Хилле Э., Филлипс Р., Функциональный анализ и полугруппы, М., ИЛ,
1962.
[16] Kato Т., Perturbation theory for linear operators, Berlin Springer, 1966;
русский перевод: Като Т., Теория возмущений линейных операторов,
М., «Мир», 1972.
[171 Fetz В., Shen S. F., ^VII Rarefied Gas Dynamics Symposium, Pisa, 1970.
[18] Grunbaum F. A., in "The Boltzmann equation" (Grunoaum F. A., ed.),
p. \03, Courant Institute, New York Univ., 1972.
[191 A^arti J. Т., Nukleonik, 8, 159 A966).
[201 Mika J., Nukleonik, 9, 200 A967).
[211 Mika J., Nukleonik, 9, 303 A967).
[22] Albertoni S., Montagnini В., in "Pulsed neutron research", vol. I, p. 239,
IAEA, Vienna, 1966.
[231 Albertoni S., Montagnini В., /. Math. Anal, and Appl.,\S, 19 A966).
[24] Bednarz R., in "Pulsed neutron research", vol. I, p. 259, Vienna, IAEA,
1966.
[25] Ribaric M., Functional analytic concepts and structures in neutron trans-
transport theory, Slovenska Akademya Znanosti in Umetnosti, Ljubljana, 1973
[26] Willis D. R., in "Rarefied gas dynamics" (Talbot L., ed.), p. 429, New
York, Academic Press, 1961.
271 Grad H., SIAM J., 14, 935 A966).
281 Cercignani C, /. Math. Phys., 8, 1653 A967).
291 Cercignani C, /. Math. Phys., 9, 633 A968).
30] Finkelstein L, Ph. D. Thesis, Hebrew Univ., Jerusalem, 1962.
311 Pao Y. P., /. Math. Phys., 8, 1893 A967).

450	vni- ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ
[32] Cercignani С, A'lathematical methods in kinetic theory, New York, Ple-
Plenum Press, 1969, русский перевод: Черчиньяни К., Математические ме-
методы в кинетической теории газов, М., «Мир», 1973.
Guiraud J. P., Journ. Mecanique, 7, 171 A968).
Guiraud J. P., Journ. Mecanique, 9, 443 A970).
Guiraud J. P., Journ. Mecanique, 11, 2 A972).
Guiraud J. P., Comptes Rendus A. S., 274, 417 A972).
Guiraud J. P., Comptes Rendus A. S., 275, 1259 A972).
Rigolot-Turbat C, Comptes Rendus A. S., 272, 617 A971).
Rigolot-Turbat C, Comptes Rendus A. S., 272, 763 A971).
Rigolot-Turbat C, Comptes Rendus A. S., 273, 58 A971).
Case K. M., Zweifel P. F., Linear transport, Reading, Addison-Wesley,
1967; русский перевод: Кейз К., Цвайфель П., Линейная теория пере-
переноса, М., «Мир», 1972.
[42] Mika J., /. Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer, 11, 879
A971).
[43*] Канторович Л. В., Акилов Г. П., Функциональный анализ в нормиро-
нормированных пространствах, М., Физматгиз, 1959.
[44*] Владимиров В. С, Математические задачи односкорсстной теории пе-
переноса частиц, Труды Матем. ин-та имени В. А. Стеклова, LXI, М., 1961
[45*] Шихов С. Б., Вопросы математической теории реакторов, М., Атом-
издат, 1973.
[46*] Guiraud J. P., The Boltzmann equation in kinetic theory. A survey of
mathematical results, in "Fluid dynamics transactions", vol. 7, part. II,
Warszawa, 37—83, 1976.
[47*] Веденяпин В. В., Об одном неравенстве лля выпуклых функций и об
оценке интеграла столкновений уравнения Больцмана для газа упругих
шаров, Докл. АН СССР, 226, № 5, 997—1000 A976).
[48*] Маслова Н. Б., Теоремы о существовании и единственности решений
нелинейного уравнения Больцмана, в кн. «Аэродинамика разреженных
газов», вып. 8, Л., изд-во ЛГУ, 4—22, 1976.
[49*] Маслова Н. В., Стационарные задачи для уравнения Больцмана при
больших числах Кнудсена, в кн. «Аэродинамика разреженных газов»,
вып. 9, Л., изд-во ЛГУ, 140—156, 1978.

ДОПОЛНЕНИЕ
I
О взаимодействии газов
с твердыми поверхностями
Р. Г. Баранцев
Постановка и решение граничных задач для уравнения
Больцмана требуют знания законов взаимодействия газов с по-
поверхностями. Как правильно отмечает автор книги в гл. III,
сведения об этих законах пока недостаточны для надежного
решения многих практически важных и теоретически интерес-
интересных задач. Однако в настоящее время ведутся интенсивные
исследования, и теория взаимодействия газа с поверхностью
приобретает структурный вид. Дадим общую характеристику
положения дел в этой области и краткий обзор новейших ре-
результатов. Подробное изложение основных разделов теории и
текущей информации можно найти в монографиях [1, III. 57*] и
обзорах [III. 43*, 2].
1. Основные понятия и структура задач
При ударе газовой частицы в состоянии i о твердую поверх-
поверхность со скоростью !' возможно отражение данной частицы в
состоянии / со скоростью § (рассеяние), выбивание других ча-
частиц (распыление) и^захват данной частицы поверхностью. Эти
явления описываются соответственно плотностями распределе-
распределения потоков рассеянных V[(%', ?) и распыленных \V[{%\ §)
частиц и вероятностью захвата S(i'). Функции взаимодействия
I/, W, S входят в граничное условие для одночастичной функции
распределения /, удовлетворяющей внутри газа уравнению
Больцмана. В общем случае смеси газов с внутренними степе-
степенями свободы это граничное условие имеет вид
, A.1)
где R{ = Vi + W{, a 3*(§) —плотности распределения потоков
частиц, спонтанно эмитирующих с поверхности. Для бесструк-
бесструктурного газа при отсутствии распыления, захвата и спонтанной
эмиссии взаимодействие полностью характеризуется функцией

452	ДОПОЛНЕНИЕ. I. Р. Г. БАРАНЦЕВ
1/, а граничное условие A.1) упрощается и принимает вид
\f&)V(l\ l)<%'.	A.2)
Это равенство совпадает с (III. 1.6), если в последнем опустить
аргументы х, t и вместо скалярного произведения |п писать
проекцию gn. Ядро V(|7, %), следуя [1], будем называть функцией
рассеяния.
Импульс и энергия, передаваемые газом поверхности, в слу-
случае A.2) характеризуются безразмерными коэффициентами об-
обмена
if- S w.a-Hj. (L3)
q (Г) = cos 0, Г1 - \ V (Г, ShK- dll,	A.4)
где 0i = Z (n,—I7), a n — внешняя нормаль. На изотропной
поверхности
р(Г) = -т(ГН-р(Г)п,	A.5)
где т и р— коэффициенты обмена касательной и нормальной
компонентами импульса. Величины т(§'), p(S')> ^(Ю — частные
коэффициенты обмена, соответствующие заданной скорости па-
падения |/. Полные коэффициенты обмена получаются из частных
интегрированием:
Р=4
= \ \ f{l')q{l')^dl\ A.6)
где п, С/ — характерные численная плотность и скорость распре-
распределения падающих частиц f{\'). Если частные коэффициенты
обмена A.3), A.4) вполне определяются функцией рассеяния
V(%\ |), то функционалы A.6) вычисляются только после нахож-
нахождения /(|7)- При решении уравнения Больцмана методом момен-
моментов (см. разд. 2 гл. VII) равенства A.6) связывают коэффи-
коэффициенты р и q с макропараметрами, через которые представлена
функция распределения, и превращаются в граничные условия
для моментных уравнений.
Коэффициенты обмена т, р, q легко связать с распростра-
распространенными в литературе соответствующими коэффициентами акко-
аккомодации а, а', а. В условиях, далеких от равновесия, величины
т, р, q естественнее и удобнее для употребления, чем а, а7, а.
Практически постепенно к ним и переходят, хотя термин «акко-
«аккомодация» пока сохраняется. Но он архаичен, ибо неравновесный

О ВЗАИМОДЕЙСТВИИ ГАЗОВ С ПОВЕРХНОСТЯМИ	453
обмен импульсом и энергией на поверхности, вообще говоря, не
носит характера «приспособления» атомных частиц к поверхно-
поверхностным условиям.
Динамика взаимодействия разреженного газа с твердой по-
поверхностью захватывает три уровня описания: молекулярный,
больцмановский и газодинамический. На молекулярном уровне
моделируется структура поверхности и межатомные потенциалы,
на больцмановском — функция рассеяния, на газодинамиче-
газодинамическом— коэффициенты обмена. Для каждого уровня существует
своя экспериментальная информация и свой набор теоретиче-
теоретических моделей.
2. Моделирование поверхности
Функция рассеяния V(%', |) связывает больцмановский уро*
вень с молекулярным, и ее приходится строить, начиная с мо-
молекулярного уровня, с дальнейшим усреднением по параметрам,
теряющим детерминированность в больцмановском масштабе.
Точная постановка задачи в рамках классической механики со-
содержит систему уравнений Ньютона взаимодействующих частиц
вместе с начальными условиями для координат и скоростей.
Силы взаимодействия обычно определяются центральными пар-
парными аддитивными потенциалами U(r). Когда время эффектив-
эффективного взаимодействия т* не велико по сравнению с периодом
колебаний атомов твердого тела to, используются атомные мо-
модели поверхности. При этом моделируется геометрия кристалли-
кристаллической решетки и потенциалы взаимодействия.
Существует масса работ, посвященных численному решению
различных вариантов такой задачи (см. упомянутые обзоры).
Во многих из них используется решетка Эйнштейна, т. е. мо-
модель независимых гармонических осцилляторов. В [3] эта мо-
модель дополняется свойствами, призванными учесть явленияг
связанные с увеличением энергии падения. В [4—6] развивается
стохастическая теория, опирающаяся на идеи и результаты
теории обобщенного броуновского движения, включающей мно-
многочастичные столкновения. Центральное место занимает обоб-
обобщенное уравнение Ланжевена, в котором явно фигурируют
только координаты атома газа и п атомов поверхности. Осталь-
Остальная часть решетки влияет на столкновение через диссипативное
ядро и гауссовскую случайную силу. При решении уравнения
Ланжевена находятся п-\-\ траекторий и осредненная по тем-
температуре поверхности функция рассеяния.
Когда т* мало по сравнению с т0, во взаимодействие успе-
успевают включиться только один-два атома поверхности. Области
действия соответствующих упрощенных моделей исследуются в
[7], где решение задачи рассеяния на полубесконечной решетке

454	ДОПОЛНЕНИЕ. I. Р. Г. BAPAHUEB
упруго связанных атомов строится в виде ряда по степеням
отношения т*/то.
Полная постановка задачи рассеяния атома на кристалличе-
кристаллической решетке содержит большое число параметров. Возможные
аналитические решения, конечно, будут различными в отдельных
характерных областях пространства этих параметров. В каждой
области целесообразно найти простейшую модель и строить
асимптотическое решение в окрестности такой модели. При
энергиях падения Е\ ~ 1 -f- 100 эВ для легких газов эффектив-
эффективное взаимодействие исчерпывается одним-двумя парными столк-
столкновениями, причем главную роль играет отталкивающая ветвь
потенциала. Аппроксимируя ее вертикальным барьером, в каче-
качестве простейшей атомной модели поверхности имеем решетку
твердых сфер. Теория рассеяния на такой решетке содержит
три основных параметра: угол падения 0ь отношение масс jn и
радусов а* атомов,
В [1,8] разработана модель мягких сфер, которая дает воз-
возможность учесть наклон потенциала отталкивания, существенно
влияющий на распределение рассеянных частиц по направле-
направлениям. Малость наклона v при асимптотическом подходе позво-
позволяет строго расщеплять коллективное взаимодействие на после-
последовательность парных столкновений и строить решение в ана-
аналитической форме. Оценка реального наклона в газокинетиче-
газокинетической области по экспериментальным данным для потенциалов
отталкивания дает значения v порядка 10.
Силы притяжения и колебательное движение атомов поверх-
поверхности характеризуются параметрами га и es, которые во многих
задачах можно считать малыми. Задача учета сил коллектив-
коллективного притяжения разрешима в общем виде для произвольной
модели решетки и потенциала отталкивания. Функция рассея-
рассеяния на поверхности с притягивающим полем выражается непо-
непосредственно через функцию рассеяния на поверхности без поля.
Асимптотика коэффициентов обмена при малых га зависит от
аналитических свойств функции V. Асимптотические поправки
ПО 8а И 8S МОЖНО НаЙТИ В [1].
При наличии потенциальной ямы появляется возможность
захвата газовой частицы поверхностью. Адсорбционный слой
существенно усложняет задачу взаимодействия. Численные ра-
расчеты, выполненные в [9], опираются на схему бинарных столк-
столкновений и модельный потенциал взаимодействия двухатомной
молекулы с поверхностью. Другие работы по адсорбции осве-
освещаются в [2].
Возможные постановки обратной задачи взаимодействия
атома газа с поверхностью обсуждаются в [10]. Выделяется мо-
модель, включающая главные факторы взаимодействия и допу-
допускающая аналитическое решение для потенциала с последую-

О ВЗАИМОДЕЙСТВИИ ГАЗОВ С ПОВЕРХНОСТЯМИ	455
щим уточнением по дополнительным параметрам. Подчерки-
Подчеркиваются существенные отличия от обратной задачи столкновения
двух свободных атомов. Доказывается, что при фиксированном
угле падения потенциал восстанавливается не во всей области
действия; на некотором интервале г его приходится считать
известным. Исследуются также асимптотические постановки и
решения прямой и обратной задач для малых прицельных па-
параметров и крутых потенциалов.
Развернутая и достаточно строгая квантовомеханическая
теория рассеяния газа поверхностью с детальным исследова-
исследованием различных дифракционных эффектов излагается в моно-
монографии [III. 57*]. Эйкональный подход, естественный для доста-
достаточно высоких энергий, развивается в работах [III. 48*].
3. Модели функции рассеяния
Наряду с решением молекулярных задач взаимодействия при
различных моделях потенциалов ведутся работы по моделиро-
моделированию У(|,|.) путем приближенного представления этой функ-
функции многих переменных через функции от меньшего числа пере-
переменных. Использование моделей функции рассеяния позволяет
замыкать постановку задач на больцмановском уровне описа-
описания, не обращаясь к молекулярному, так же как использование
моделей потенциалов взаимодействия позволяет замыкать по-
постановку задач на молекулярном уровне, не обращаясь к элек-
электронно-ядерному.
Наиболее простые и распространенные модели, например
зеркально-диффузная (III. 5.1), дают представление У(|', 1) че-
через две-три функции от %'. В [fll.42*] обсуждается вопрос о си-
систематизации моделирования V и предложен алгоритм после-
последовательного построения моделей путем простейшего представ-
представления V через расширяемую совокупность макропараметров,
характеризующих рассеяние. На первом этапе учитываются
только средние характеристики рассеяния, затем дисперсионные
и т. д. На изотропной поверхности выделяются две средние ха-
характеристики рассеяния: средняя величина ?т и среднее на-
направление 6Ш скорости вылета. Простейшее представление V
через эти параметры осуществляется с помощью 6-функции:
1/(|', |) = б [|— |п (!')]• Сингулярность б-функции влечет за со-
собой некоторые изменения в интегральном кинетическом уравне-
уравнении. Соответствующие особенности исследуются в [11] путем
предельного перехода к этой модели от непрерывной функции
рассеяния.
Расширением лучевой модели является дисперсионная мо-
модель функции рассеяния. В [1] она строится последовательно как

456	ДОПОЛНЕНИЕ. I. Р. Г. БАРАНЦЕВ
суперпозиция с возрастанием числа функций при уменьшении
числа аргументов. Распределение отраженных частиц по вели-
величине скорости при фиксированном направлении вылета (9, ср)
характеризуется положением максимума gm(§'; 0, ср) и шириной
пика на полувысоте А,?(^';0, ср). Эти величины связаны со сред-
средней скоростью la и дисперсией сг| распределения вылетающих
частиц f(|), ?п > 0. Формулы связи зависят от вида /. Анало-
Аналогично вводятся параметры Qm(V)> ^оA')> связанные со средним
направлением 0а и дисперсией а^ углового распределения выле-
вылетающих частиц /и. Наряду с 0т используется параметр ц =
= 0Ш — Эь характеризующий отклонение пика от зеркального
луча. В [12] собраны и систематизированы данные физического
и численного эксперимента, содержащие информацию о поведе-
поведении параметров функции рассеяния для нейтральных и атмо-
атмосферных газов и металлических поверхностей при энергиях па-
падения Ю-1 -f- 10 эВ.
В разд. 6 гл. III модели ядра рассеяния строятся в классе
неотрицательных нормированных по полупространству \п >> 0
функций, удовлетворяющих соотношению взаимности (III. 3.9).
Такие исследования продолжаются [13—15]. Следует, однако, от-
отметить, что соотношение взаимности имеет ограниченную об-
область действия. При выводе его фактически подразумевается,
что в момент вылета частицы газа атомы поверхности уже на-
находятся в квазиравновесном состоянии; тогда обращенное дви-
движение дает V(—§.,—I') • В тепловом режиме рассеяния это так,
потому что время релаксации в решетке меньше, чем время
эффективного взаимодействия атома с поверхностью. При более
высоких энергиях дело обстоит сложнее.
4. Коэффициенты обмена и граничные условия
На локальном газодинамическом уровне описания речь идет
о моделировании зависимости р, q и других возможных момен-
моментов функции рассеяния от скорости падения и прочих парамет-
параметров взаимодействия. При лучевом отражении из A.3) — A.5)
имеем
T = cos61Ysin01	^-sin 0mj ,
р = cos 0! (cos 9i + -у- cos 0m) ,
0 1 1	т
1 y1 ~~ Y1
В случае дисперсионной модели рассеяния аналогичные простые
формулы получаются при помощи асимптотических разложений

О ВЗАИМОДЕЙСТВИИ ГАЗОВ С ПОВЕРХНОСТЯМИ	45?
по параметрам а|, о^. Аппроксимация зависимости gm, Bm, сг$,
ffa> от I' ведет к аналитическим моделям для т, ру q\ некоторые
из этих моделей предложены в [1]. Однако надежных сведений
о зависимости средних и дисперсионных параметров рассеяния
от скорости падения пока мало
Вопросы моделирования р(§0> 9A0 можно решать и не
обращаясь к функции рассеяния. Общие критерии выбора опти-
оптимальной аппроксимации зависимости коэффициентов обмена от
утла падения анализируются в [1]. С учетом требований просто-
простоты, эффективности и универсальности выделяются разложения
T = sin61cos91(T0 + T2cos26i + . . •),
р = cos2 0! (ро + р2 cos 26, + . . .),	D.1)
q = cos Q{ (q0 + q2 cos 20! + . . .).
В аэродинамике сильно разреженных газов сейчас актуален
вопрос о критериях подобия, связанных с законами взаимодей-
взаимодействия газа с поверхностью. Температурного фактора уже недо-
недостаточно для хорошей корреляции экспериментальных данных,
а на микроуровне количество параметров слишком велико. На
промежуточном уровне можно использовать средние по 6i ха-
характеристики рассеяния. Вслед за средней скоростью вылетаю-
вылетающих частиц, связанной в тепловом режиме взаимодействия с
температурным фактором, естественно брать среднее направле-
направление вылета и т. д. Но все параметры, содержащиеся в моделях
lm, Qm> сг?, а©, вливаются затем в коэффициенты разложений
D.1). И хотя эти коэффициенты не имеют прямой физической
интерпретации, именно их удобно принять за параметры подо-
подобия в аэродинамике сильно разреженных газов.
В околоравновесном режиме феноменологический анализ
аккомодации газа на поверхности выполнен в [16]. При фикси-
фиксированной скорости падения имеются 4 частных коэффициента
аккомодации а%: три для компонент импульса и один для энер-
энергии. Усреднение по скоростям набегающего потока дает полные
коэффициенты аккомодации. Если распределение падающих ча-
частиц отличается от равновесного за счет малой скорости сдвига
и разности температур, то в линейном приближении получается,
вообще говоря, 16 коэффициентов аккомодации a*j (см.
(III. 5.13)). Если учесть, что функция рассеяния должна удовле-
удовлетворять условию нормировки и соотношению взаимности, то на
изотропной поверхности остается 4 независимых коэффициента:
а1Ь сб22 = сбзз, ^44 и ос\4 = ос4ь Первые три являются общеиз-
общеизвестными коэффициентами аккомодации нормальной компо-
компоненты импульса, касательной компоненты импульса и энергии.
Четвертый коэффициент описывает энергообмен под влиянием
нормального сдвига или аккомодацию нормальной компоненты

458	ДОПОЛНЕНИЕ. I. Р. Г. БАРАНЦЕВ
импульса под влиянием разности температур и называется ра-
радиометрическим коэффициентом аккомодации.
При i или / > 4 коэффициенты ац характеризуют потоки
моментов более высокого ранга. В свободномолекулярном ре-
режиме все газодинамические величины выражаются через аи, ыть
а44, аи- При малых значениях числа Кнудсена коэффициенты
аккомодации высшего порядка а,25, ass, a^io входят в граничные
условия через скорость скольжения и температурный скачок
[III. 52*].
Нелинейный анализ граничных условий для моментных урав-
уравнений одноатомного газа при произвольной функции рассеяния
выполнен в [17]. На основе принципа сочетания физической и
математической замкнутости постановки задачи сделан вывод
о необходимости в общем случае согласования функции рассея-
рассеяния V с представлением / через моменты. Исследованы форма
и характер этой связи, указан широкий класс функций рассеяния,
допускающих замкнутую постановку задачи при разложении /
по полиномам Эрмита в полном пространстве скоростей. Для
структурных газов граничные условия изучаются в работах
[III. 44*, III. 46*, III. 55*, III. 56*, III. 59*].
5. Шероховатая поверхность
При определении функций взаимодействия имеется в виду
площадка поверхности dS, соответствующая размерам простран-
пространственного элемента, по которому усредняется функция распре-
распределения в уравнении Больцмана. Такая площадка представляет
для падающего атома газа громадное поле с неровностями
случайного характера и сложной структурой. Поэтому для
построения функций взаимодействия нужно не только решить
задачу столкновения атома с малой площадкой ds молекуляр-
молекулярных масштабов, но и дать статистическое описание встреч и
блужданий в пределах dS. В [1] показано, что, зная функцию
рассеяния 1/0 на ровной поверхности, можно построить функцию
рассеяния V на статистически шероховатой поверхности с помо-
помощью оператора шероховатости S*. В общем случае этот опера-
оператор содержит континуальный интеграл, описывающий условную
вероятность пролета П без столкновений с поверхностью.
В практических расчетах используются различные аппроксима-
аппроксимации континуального интеграла. Одна из них рассматривается в
[20], где учитывается также анизотропность поверхности.
На однородной изотропной гауссовской поверхности в при-
приближении однократного отражения единственным параметром
шероховатости является флуктуация наклона о\. Измерения а\
на поверхностях различных материалов дали значения порядка

О ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ ГАЗОВ С ПОВЕРХНОСТЯМИ	459
1O~24-1CH, что позволяет считать реальные поверхности слабо
шероховатыми. Асимптотические исследования для малых зна-
значений параметра а = О\ tg 9i привели к интересным результа-
результатам относительно моментов числа пересечений наклонной пря-
прямой гауссовским стационарным процессом. Полученная асимпто-
асимптотика дает эффективные оценки точности аппроксимаций П для
широкого класса корреляционных функций [18, 19].
В случае сильно шероховатой поверхности моделирование и
вычисление континуальных интегралов становится затрудни-
затруднительным. Предпочтительней оказывается метод прямого моде-
моделирования поверхности. Правда, при этом труднее ответить на
вопрос, какой класс реальных поверхностей такие модели пред-
представляют. В [21] моделируется гауссовский стационарный диф-
дифференцируемый процесс. Используется прием экономии памяти,
пригодный для процессов с быстроубывающими корреляцион-
корреляционными функциями. При зеркальной и диффузной Уо вычисляются
вероятности многократных .отражений Л^ (i=l, 2, 3, 4) для
о\ = 0,5 и 1, 0i = 45 и 85°. В [22] моделируемая поверхность
состоит из случайно ориентированных плоских элементов, имею-
имеющих форму треугольника или четырехугольника. Методом ста-
статистических испытаний с числом траекторий порядка 105 вы-
вычисляются индикатриса рассеяния и коэффициенты аккомода-
аккомодации при зеркальной и диффузной Уодля в\ =0,5 и 1, 0i = 0, 30,
60, 75°. Сравнение с плоской моделью показывает, что простран-
пространственные эффекты существенно зависят от Vq.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
[1] Бараыцев Р. Г., Взаимодействие разреженных газов с обтекаемыми по-
поверхностями, М., «Наука», 1975.
[2] Баранцев Р. Г., Современное состояние теории взаимодействия газов с
поверхностями, Труды IV Всесоюзной конференции по динамике раз-
разреженного газа, 221—248, М., ЦАГИ, 1977.
[3] Гусев К. И., Рыжов Ю. А., Стриженов Д. С, Шкарбан И. И., Коэффи-
Коэффициент аккомодации энергии частиц, падающих на поверхность твердого
тела при Ео = 100 -f- 500 эВ, Труды МАИ, вып. 351, 50—55, 1976.
[4] Adelman S. A., Doll J. D., Generalized Langevin equation approach for
atom/solid-surface scattering: general formulation for classical scattering
oi harmonic solids, /. Chem. Phys., 64, No. 6, 2375—2388 A976).
[5] Adelman S. A., Garrison B. J., Generalized Langevin theory for gas/solid
processes: dynamical solid models, /. Chem. Phys., 65, No 9 3751—3761
A976).
[6] Doll J. D., Dion D. R., Generalized Langevin equation approach for atom/
solid-surface scattering: numerical techniques for Gaussian generalized
Langevin dynamics, /. Chem. Phys., 65, No. 9, 3762—3766 A976).
[7] Ерофеев А. И., О моделировании взаимодействия атомных частиц с по-
поверхностью твердого тела, Механ. жидкости и газа, № 1, 94—102 A973).
[8] Баранцев Р. Г., Меркулова Н. И., Рассеяние на решетке мягких сфер.
IV. Трехмерная задача. Однократное отражение, Вестник ЛГУ, № 13,
53—60 A975).

460	ДОПОЛНЕНИЕ. I. Р. Г. БАРАНЦЁВ
[9] McCreery J. H., Wolken G., Jr., Dynamics of adsorption: model calcula-
calculations for several interaction potentials, /. Chem. Phys., 65, No. 4, 1310—
1316 A976).
[10] Баранцев Р. Г., Сергеев В. Л., Обратная задача рассеяния атома газа
поверхностью, в кн. «Аэродинамика разреженных газов», вып. 9, Л.,
изд-во ЛГУ, 91 — 102, 1978.
[11] Федорова В. М., Лучевая модель как предел максвелловской функции
рассеяния, в кн. «Аэродинамика разреженных газов», вып. 8, Л., изд-во
ЛГУ, 102—112, 1976.
[12] Алексеева С. К, Баранцев Р. Г., Определение параметров функции рас-
рассеяния из экспериментальных данных, в кн. «Аэродинамика разреженных
газов», вып. 7, Л., изд-во ЛГУ, 83—102, 1974.
[13] Kinslow M., A mathematical description of gas-surface interactions based
on reciprocity, AIAA Journal, 14, No. 10, 1358—1361 A976).
[14] Cowling T. G., On the Cercignani-Lampis formula for gas-surface inter-
interactions, /. of Phys., 7D, No. 6, 781—785 A974).
[15] Muller W. J. C, Parametric representation of beam accommodation coeffi-
coefficients, Rarefied gas dynamics, Proc. 9th Intern. Symp., Gottingen, E12-1—
E12-12, 1974.
[16] Kuscer I., Phenomenology of gas-surface accommodation, Rarefied gas dy-
dynamics, Proc. 9th Intern. Symp., Gottingen, El-1—El-21, 1974.
[17] Баранцев Р. Г., Луцет М. О., О граничных условиях для моментных
уравнений разреженного газа, Вестник ЛГУ, № 1, 92—101, 1969.
[18] Мирошин Р. Н., Цветков В. И., О нормировке вероятности встречи в за-
задаче об отражении атомов газа от шероховатой поверхности, в кн.
«Аэродинамика разреженных газов», вып. 7, Л., изд-во ЛГУ, 33—37,
1974; Асимптотика граничной трансформанты по параметру шероховато-
шероховатости. III, там же, вып. 8, 85—102, 1976; IV, вып. 9, 113—130, 1978.
[19] Мирошин Р. Н., Использование неравенств при решении задачи об отра-
отражении молекул газа от шероховатой поверхности, в кн. «Аэродинамика
разреженных газов», вып. 8, Л., изд-во ЛГУ, 57—85, 1976; Параметры
слабошероховатой поверхности, влияющие на точность аэродинамиче-
аэродинамического расчета в разреженном газе, там же, вып. 9, 103—112, 1978.
[20] Ложкин В. Л., Рыжов Ю. А., О вероятности однократного отражения и
о передаче импульса при взаимодействии молекул разреженного газа с
шероховатой поверхностью, в кн. «Аэродинамика разреженных газов»,
вып. 7, Л., изд-во ЛГУ, 38—50, 1974.
[21] Анолик М. В., Кюлвари И., О прямом моделировании отражения атомов
газа от шероховатой поверхности, в кн. «Аэродинамика разреженных
газов», вып. 7, Л., изд-во ЛГУ, 26—32, 1974.
[22] Жук В. И., Трехмерная задача о взаимодействии потока газа с шерохо-
шероховатой поверхностью, в кн. «Численные методы в динамике разреженных
газов», вып. 2, М., ВЦ АН СССР, 154—165, 1975.

II
Теоремы о разрешимости
нелинейного уравнения Больцмана
Я. Б. Маслова
Теоремы, приведенные в гл. VIII, касаются в основном во-
вопросов разрешимости линейных задач кинетической теории га-
газов при предположении, что внешние поля отсутствуют, а меж-
межмолекулярные силы задаются центрально-симметричным потен-
потенциалом конечного радиуса действия. Здесь мы остановимся
более подробно на соответствующих результатах для нелиней-
нелинейного уравнения Больцмана (см. (П. 5.1) и (V. 9.6)):
Df = Q(f, f),
f, f)(t, I, x)= \dh \dxf(t, V, x)f(t, Ц, x)B(v, |
I x)=
где В — неотрицательная функция, вид которой определяется
типом межмолекулярного взаимодействия. В частности, для
степенных потенциалов Kr~s с обрезанием по углу B(v,z) =
= vx~A/s$(z)y причем C непрерывна на [0, 1] и существуют поло-
положительные постоянные С\, с2, такие, что С\ ^ §(z)z~l ^ с2.
В предельном случае твердых сфер В (v, z) = c2vz.
1. Задача Коши
Начнем с самого простого частного случая — задачи о релак-
релаксации в пространственно-однородном газе. Требуется найти
функцию /(/,1), t > 0, |ei?3, удовлетворяющую условиям
-§ = Q(f, f\ />0; f = f0, t = 0t	(U.I)

462	ДОПОЛНЕНИЕ. II. Н. Б. МАСЛОВА
где /о — заданная неотрицательная функция. Хотя гидродина-
гидродинамические параметры в задаче A.1.1) не меняются, ее решение
необходимо для построения асимптотических решений неста-
нестационарных задач при малых значениях числа Кнудсена [I. 12*,
VIII. 8]. Кроме того, существуют численные алгоритмы [VIII. 8,
VII. 185*], позволяющие свести решение общей задачи к не-
нескольким более простым, одной из которых является задача
(l.i.i).
Первые математические результаты о решении задачи A.1.1)
получены Карлеманом [VIII. 2] для случая твердых сфер. Обоб-
Обобщение результатов Карлемана на случай степенных потенциа-
потенциалов получено в работах [1—3]. Приведем эти результаты сразу
в общей форме.
Теорема 1. Пусть выполнены следующие условия: 1) су-
существуют положительные постоянные С\, с2, такие, что сх ^
<5(р, г)о-^-'<с2, А>0; 2)/„еС(П sup(l + ?2)a/2/о(!)<«>,
а> а0,
ао = 2 + тах{3, 4с2с-'}.	A.1.2)
Тогда существует единственное решение задачи A.1.1), удовлетво-
удовлетворяющее условиям f > 0; f, -|-еС ([0, оо) X R3),
sup (\+1ГП f(t, IX».
Теорема 2. Ее пи М — максвелловское распределение с
параметрами, соответствующими /0, то в условиях теоремы 1
при t —> оо
Для приложений интересна оценка скорости сходимости /
к максвелловскому распределению. В условиях теоремы 1 ее.
получить не удается. Однако при более жестких предположениях
относительно начального распределения такая оценка получена
в работе Грэда [VIII. 12] для твердых сфер и жестких степенных
потенциалов.
Теорема 3. Положим f = M+M^F, M(F) = sup(l +^2\F\.
Если при /=.0 N(F) достаточно мала, то существуют положи-
положительные постоянные Сь С2, такие, что N(F)^. C{ ехр {—C2t).
Условия теоремы 1 можно несколько ослабить, сняв требова-
требование непрерывности /0 и сохранив только требование ограничен-
ограниченности A + ?2)а/2/о. Тогда при всех t существует единственное

РАЗРЕШИМОСТЬ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ГЮЛЬЦМАНА	463
решение задачи A.1) как решение интегрального уравнения
t
f(t, S) = MS)+$Q(/, /)(т, l)dx.	A.1.3)
Однако в этом направлении существенно более общий резуль-
результат вытекает из работы Повзнера [VIII. 7].
Теорема 4. Пусть
sup 5 (и, z)(v+ I) <oo, \A+I2)al2fo(%<°o, a>4.
Тогда при всех t существует единственная функция /, удовлетво-
удовлетворяющая уравнению A.1.3) (для почти всех |) и условию
SUp Wl+?2)a/2/(/, |Ы!<оо, Г<оо.
В работе [VIII.5] доказано, что если в условиях теоремы 4
\ /01 In /о I d-l < оо, то w|ln/|d|<oo при всех t. Этот факт
использован для доказательства слабой сходимости решения к
максвелловскому распределению при дополнительных ограни-
ограничениях на функцию В. Частный случай максвелловских молекул
исследовался в [VIII. 6].
Перейдем теперь к рассмотрению задачи Кош и в общем слу-
случае. Требуется найти функцию /: [О, Т] Х^-ИО, сю), удовлетво-
удовлетворяющую условиям
Df = Q(f, f), te=[O, Л; f = fo, t = 0,	A.1.4)
где /о — заданная неотрицательная функция. Не накладывая
серьезных ограничений на начальное распределение, можно про-
простыми средствами доказать локальные теоремы о разрешимости
задачи A.1.4) на промежутке времени [О, Г], величина которого
зависит от начальных условий (теоремы 5, 6). С другой сторо-
стороны, для начальных распределений, близких к равновесным, мож-
можно доказать однозначную разрешимость задачи A.1.4) в целом
(на бесконечном промежутке времени) и получить оценки ско-
скорости установления равновесия (теоремы 7, 8).
Для того чтобы сформулировать эти теоремы, нужно ввести
несколько функциональных пространств. Пусть Q — область в
Rn. Через W{p (Q) будем обозначать множество функций / из
LP(Q), которые имеют обобщенные производные D7</, k^.1,

464	ДОПОЛНЕНИЕ. II. Н. Б. МАСЛОВА
причем Dhf e LP(Q). Норма в этом пространстве определяется
равенствами
с i	у/Р
V Я k = 0 (k)	'
H<»
= vrai sup Z Z\D"f\,
Q fe 0 (fc)
где X означает суммирование всех возможных производных
ш
порядка k. Через B{rnp{Q) (В{®Р^ВГ,Р) будем обозначать мно-
множество функций f (|, х), I ^ i?3, xgQ, которые для почти всех |
принадлежат Wpl)(Q>) и удовлетворяют условию ||/(|, )^
(=Lr(R3). Норма f в В^р определяется равенством
№р (/) = II f (l) \\п f d) = II / F, x) и^ (jvr. P ^ jv^
Наконец, через ^^(^^^(Qr) будем обозначать множество
функций /(/, |, х), / е [О, Г], |ei?3, x e Q, которые для почти
всех / из [О, Т] принадлежат В^р и удовлетворяют условию
vrai sup N{rl)p {f) < 00. Норма f в В определяется равенством
t<=[O,T]
Nr!P (/) = vrai sup iVf^f).
<[0Г]
Удобно иметь дело не с самим уравнением Больцмана, а с
соответствующим интегральным уравнением. Проводя в A.1.4)
формальное интегрирование, получаем
f = V(f, /),
V (/, g) (t, Ь х) = f0 (|, x - I/) + J Q (f, g) (x, I, x - ! (/ - т)) dx.
0
A.1.5)
Ясно, что решение нужно искать в классе функций, для которых
имеет смысл правая часть A.1.5). Предположим, что функция
В удовлетворяет условию
i
+|o|V \b(v, z)dz<™, Я,€=[0, 1]. A.1.6)
о
Простые оценки показывают, что если выполнены соотношения
q>f0 е= В,, м (Q), 9feBliOO(Qr), Ф = A+|2)л/2, A.1.7)
то правая часть A.1.5) принадлежит B,^(Q,T). Поэтому реше-
решением задачи A.1.4) будем называть функцию, удовлетворяю-

РАЗРЕШИМОСТЬ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА	465
щую соотношениям A.1.7) и уравнению A.1.5) (для почти всех
U t х).
Если соотношение A.1.6) выполняется с К = О, то легко
указать пространство, в котором оператор V{f,f) ограничен.
Точнее, если выполнено одно из следующих условий:
1) г=1, Ф=1; 2) г = оо, <р = ехр{р?2}, р > 0, A.1.8)
то верно неравенство
#г. ^У (/, f) < Nr> ^ф/о + 2CrT [Nn „ (ф/)]2,	A.1.9)
где С1 = Я, Coo^Binfi-1)^.
Используя оценку A.1.9) и метод итераций, можно доказать
локальную разрешимость задачи A.L4).
Теорема 5. Предположим, что соотношение A.1.6) выпол-
выполнено с X = 0. Пусть cpf0 e B^^ (R3) и выполнено одно из условий
A.1.8). Тогда существует Т\ (Т\>0), такое, что при Т ^Т\
задача A.1.4) имеет единственное решение, удовлетворяющее
условию <р/е= В^оо (#г) (см. [VIII. 8, 4]).
Условия теоремы 5 исключают важные для приложений за-
законы межмолекулярных взаимодействий (для твердых сфер и
степенных потенциалов Kr~s с s > 4 условие A.1.6) с Х = 0
не выполняется). Трудности, возникающие в связи с такими за-
законами взаимодействия, можно преодолеть при помощи идей
Карлемана.
Теорема 6. Пусть функция В удовлетворяет условию 1)
теоремы 1 с Я > —1. Пусть, далее, ф/0 <= В^ ^ G?3), ф =
= A + ?2)а/2ехр {|3g2}, причем выполнено одно из следующих
условий: 1) |3 = 0, а > ао, ссо определяется равенством A.1.2);
2) |3 > 0, а > 2. Тогда существует Т\ {Т\>§), такое, что при
Т^Т\ задача A.1.4) имеет единственное решение, удовлетво-
удовлетворяющее условию ф/ е B{J, оо (Rt) [5, 6].
Доказательство теоремы 6 опирается на оценки интеграла
столкновений, которые приводятся в следующей лемме.
Лемма 1.5 условиях теоремы 6 при любых положительных
у, 6 выполняется неравенство
XL со («pQi (f, f) (Y + v (Г)Г') < Л^оо, со (ФП (fei + *2Y-W«. оо (ф/)),
где k2 — положительная постоянная, зависящая лишь от а, C, Я;
kx = 0, если К < 0 или |3 > 0, К > 0, а > 2; k{ = 4^-' X
1	= 0, а> 5.

466	ДОПОЛНЕНИЕ. II. Н. Б. МАСЛОВА
Замечание 1. Существенно, что за счет выбора постоян-
постоянных а и б можно добиться выполнения неравенства к\ <С 1.
Перейдем теперь к теоремам, относящимся к ситуациям,
близким к равновесным. Пусть М — некоторое максвелловское
распределение с постоянными параметрами Положим / = М +
-j- М1/2/7, ср = A -\- |2)а/'2, а ^ 3 и ограничимся случаем твердых
сфер.
Теорема 7 ([7, 8]). Пусть cpF0 e= В^, (#3) П В». 2 (^3)> p е=
е[1, 3/2). Существует положительная постоянная с0, такая, что
если
N{<L\P(yF0) + N® 2 (ф^0) < со,	A.1.10)
то задача A.1.4) при любом Т имеет единственное решение,
удовлетворяющее условию
3 а м е ч а н и е 2. Из теорем вложения следует, что в условиях
теоремы 7 qp/7^ B{J, оо (/?г). Условие cpFo <=/&! л характеризует
близость начального распределения к равновесному при боль-
больших |х|. Условие A.1.10) означает, что начальное распределе-
распределение близко к равновесному при всех х.
Скорость приближения к равновесию с ростом / в условиях
теоремы 7 описывается следующими оценками:
Доказательство теоремы 7 опирается на использование свойств
решений линеаризованного уравнения Больцмана, установлен-
установленных в работах А. А. Арсеньева [VIII. 13] и Трэда [VIII. 12]. Урав-
Уравнение для функции F можно записать в следующем виде:
DF = LF + vT (F, F),
где L — линеаризованный оператор столкновений, v = v(M),
vT(F, F) = M~1/2Q(M1/2F, Ml/2F). Рассмотрим следующую вспомо-
вспомогательную задачу. Найти F: [0, Т] X R6-+R\ удовлетворяющую
условиям
DF = LF + vg, />0; /^ = ^,/ = 0.	A.1.11)
Используя результаты Арсеньева, можно получить следующие
оценки решений задачи A.1.11):
, A.1.12)
«)(t-x, g)dx\, A.1.13)

РАЗРЕШИМОСТЬ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ БОЛЫДМАНА	467
где Сг—положительная постоянная, ср = A + |2)а12, а ^ 3,
ре [1,2],
Х$ A, F) = {1+ tymp) N%, p (cpF0) + exp {- ct) Nl+? (q>F0) (c > 0),
X? (t, F) = A + /)"Vl B-")/p #«>. P (<pF0) + exp {- c/} Л» (<pfo).
Имея оценки A.1.12), A.1.13) и используя идеи Трэда
[VIII. 12], можно получить оценки Д^, оо (ф/7), Л^,2 (ф/7)- При
этом можно доказать следующую лемму.
Лемма 2. Обозначим через U(G) решение задачи A.1.11)
с g = Y(G, G) и положим
II F || = N^ те (cp,F) + Л?0) 2 (Ф/) + ^®. 2
где Ф| = A+/Г3ЧР) ф2 = A^+/)-в'ф) Фз = Ф = A +|2)О/2. Р.=
= 3 Bр) ', р2 = 3 B — р) {Ар) ', pG[l, 3/2). бе^но следующее не-
неравенство:
|| t/ (О,) - t/ (G2) || < с4 (|| G, || + || G21|) || G, - G21|,
где с4 — положительная постоянная, не зависящая от G\, G2.
На основании леммы 2 теорема 7 доказывается без всякого
труда. Действительно, если Я0) = 0, то U (Я0))—решение ли-
линеаризованного уравнения Больцмана. В условиях теоремы 7
||?/(Я°)) ||^ с5 для некоторой постоянной с$. Из леммы 2 сле-
следует, что если 4с4С5<1, то [7 является оператором сжатия в
шаре {F: ЦЛ1 ^ 2с5}. Отсюда следует, в частности, оценка точно-
точности линейного уравнения: если / — решение задачи A.1.4), Я1)
— решение соответствующей линейной задачи (т. е. задачи
A.1.11) с g = 0), то
Описание релаксации газа, находящегося в ящике с зер-
зеркально отражающими стенками, сводится к решению задачи
A.1.4) с периодической по координатам функцией /0. Для перио-
периодической функции /о условия теоремы 7, конечно, не выполнены.
Свойства решений задачи Коши в этой ситуации описываются
в теореме 8. Без ограничения общности можно считать, что ко-
координаты принадлежат области й = {х: —л ^ Xj ^ я}. По-
Построим по /о максвелловское распределение М с параметрами,
соответствующими \ /0 dx, и снова положим f = М -\- Mxl*F,
ф —A -\-12)а/2. Для твердых сфер и степенных потенциалов Kr~s
с s ^ 4 и обрезанием по углу верна следующая теорема.

468	ДОПОЛНЕНИЕ. II. И. Б. МАСЛОВА
Теорема 8 ([9, 10]). Пусть cpfo e= S2}B (Q). Существует по-
положительная постоянная с0, такая, что если N{^ 9 (ф^0) ^ со> т0
задача A.1.4) имеет при всех Т единственное решение, удовлетво-
удовлетворяющее уСЛОвиЮ ф/7 <ЕЕ В®, 2 (Й71)-
Равновесие в рассматриваемой ситуации устанавливается
экспоненциально быстро: существует положительная постоян-
постоянная с, такая, что N^ 2(F) = O(e~ct). Доказательство этой тео-
теоремы аналогично доказательству теоремы 7.
2. Граничные задачи
1. Стационарные нелинейные задачи. Пусть газ находится
в области Q (QaRn), ограниченной твердой поверхностью В.
Требуется найти функцию f(|, х), % е Rs, j^gQ, удовлетворяю-
удовлетворяющую условиям
S--!r=Kn-<Q(f, f), xgeQ,	B.1.1)
f+ = %(f-), xe?.	B.1.2)
Здесь Kn — положительная постоянная (число Кнудсена), R —
заданный линейный оператор (см. (III. 1.5)), связывающий
функции распределения частиц, падающих на границу (f~) и
отраженных от границы (/+). Если на поверхности не происхо-
происходит адсорбции и эмиссии частиц, то выполняется равенство
\ (Rf~) II * п | d|= \ /~ || • n \d\. В этом случае к условиям
w	я1
B.1.1), B.1.2) нужно присоединить нормировочное условие, фик-
фиксирующее среднюю плотность газа. Зададим это условие в сле-
следующем виде:
Z(f)^\dx \dlf+(l, х)||.п| = Л,	B.1.3)
s v
где А — положительная постоянная, п(х) — внутренняя нормаль
к В в точке х. Ясно, что если diamQ < со, то без ограничения
общности можно считать, что А = 1, diam Q = 1; это и будет
предполагаться в дальнейшем. (В одномерной задаче граница В
состоит из двух точек, В = {0, 1}, и условие B.1.3) сводится к
следующему: ^ ^ /+ (|, /) || • n | d|=l.) Для простоты ограни-
/ = 0,1 #!
чимся случаем, когда отражение диффузное:
х) \Г(и )\h
B.1.4)
h > 0, u-n = 0,

РАЗРЕШИМОСТЬ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНЛ	469
где /i, u — заданные на В функции. Начнем с рассмотрения те-
течений при больших значениях числа Кнудсена Кп. Для того
чтобы получить интегральное уравнение, соответствующее за-
задаче B.1.1) — B.1.3), рассмотрим две вспомогательные задачи.
Задача 1. Найти /: R3XQ->R[, удовлетворяющую усло-
условиям
|. -g- = Кп-' (gl - fg2), x ее Q, 6 g= /?з,
где gi, g2, g+ —заданные функции, g2^0.
Задача 2. Найти /: /?3X2->^', удовлетворяющую усло-
условиям
_ .
где g — заданная функция, удовлетворяющая условию
%g(l, х)=.О.
Решение задачи 1 легко выписать в явном виде, а решение
задачи 2 при п = 2, 3 сводится к решению линейного интеграль-
интегрального уравнения (при я= 1 задача 2 решается тривиально).
Лемма 3. Пусть выполнены следующие условия: 1) Q —
открытое ограниченное множество в Rn (п = 2, 3), граница ко-
которого есть поверхность Ляпунова; 2) существует число /, такое,
что любые две точки В можно соединить ломаной, лежащей в Q
и содержащей не более чем I звеньев; 3) /i,ue Loo (В), inf A >> 0;
4) jeBi)Oo(Q). Тогда задача 2 имеет единственное решение,
удовлетворяющее условиям
<р = A + l2f2 exp {pg2}, 0 < р < inf
где В+ — оператор сужения на мноо/сество
Решение задачи 1 обозначим через ?/(g+, gi, g2), а решение
задачи 2 через V(g). Ясно, что если функция / удовлетворяет
условиям B.1.1) —B.1.3), то она должна быть решением инте-
интегрального уравнения
f = Wf; Wf = U(B+VQ(f, f), Q{(f, f), v (f)). B.1.5)

470	ДОПОЛНЕНИЕ. II. Н. Б. МАСЛОВА
С другой стороны, предположим, что функция В удовлетворяет
условиям A.1.6), область Q — условиям леммы 3, а функция
/ — условию
ф/еВЬио@). ф = A+|2I/я.	B.1.6)
Тогда если / удовлетворяет уравнению B.1.5) для почти всех
!., х, то выполнены следующие условия: 1) для почти всех §. х
функция / абсолютно непрерывна на луче /(|, х) = {у: у =л:+|т,
т<0}, функции ? • -— , Qi(/,/), /v(/) принадлежат В\гОО, и вы-
выполнено соотношение B.1.1); 2) если В—оператор сужения /
на множество {%, х: |g/?3, xgS}, to (g-n)B/e BLoo(B) и
выполнены условия B.1.2), B.1.3). Поэтому решением задачи
B.1.1) — B.1.3) будем называть функцию /, удовлетворяющую
условию B.1.6) и уравнению B.1.5) для почти всех §, х.
Теорема 9 ([11, 12]). Пусть функция f удовлетворяет усло-
условию 1 теоремы 2 и выполнены условия 1—3 леммы 3. Тогда
существует положительное число /Со, такое, что при Кп >* Ко за-
задача B.1.1) — B.1.3) имеет решение, удовлетворяющее условию
cpf^B1)OO(Q), ф = A +^2)а/2ехр{р^2}, (Зсн[0, inf/i), а^О. Это
решение может быть получено методом, итераций f(m) = W(fim-1)),
Р = 0.
Скорость сходимости метода итераций дается следующими
оценками:
Nu ооФ (f - fim)) < (С Кп- V Nh теФ[(О,	п = з, B.1.7)
А/1.а;ф(/-Р))<(СКп-МпКп)шуУ1,0оф^1\ л=1,2, B.1.8)
где С — положительная постоянная, не зависящая от /, /<ш), Кп.
Как нетрудно понять, f^ представляет собой решение соот-
соответствующей свободномолекулярной задачи, так что при m = 1
неравенства B.1.7), B.18) дают оценку точности свободномо-
свободномолекулярной модели
Доказательство теоремы 9 опирается на оценки интеграла
столкновений, которые даются в следующей лемме. Положим
Ф = ехр Ш A + 12Т'\ Р > 0, а > 0,
x)L€ xg[0, 1],
I f |k = sup \ <p (I) II f (I x) Щ rfE? rf|3,	| = (|,, |2, |3).

РАЗРЕШИМОСТЬ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАПА	471
Л е м м а 3. Если функция В удовлетворяет условию 1 тео-
теоремы 1, то
IIQ, (f, g) ILX < с2с МII f Но II g ||_ (Х_Х), а,
IIQtf I-1/, р>0,
где с (ус)—положительная постоянная, зависящая только от %.
Разрешимость задачи B.1.1) —B.1.3) доказана также в си-
ситуациях, близких к равновесным. Положим h0 = inf h, M =
= С ехр {—/io?2}, где постоянная С определяется из условия
Z(M)=\. Предположим, что молекулы газа взаимодействуют
как твердые сферы (В (v, z) = c2vz). Тогда для широкого класса
областей Q верна следующая теорема.
Теорема 10. Предположим, что ft, ие1ю(В), inf h > 0.
Существует постоянная Со, такая, что если
то задача B.1.1) — B.1.3) ^ш^г решение, удовлетворяющее усло-
условию Ф^€еБ^.1Оо(О), где F = (f-M)M-l/i, Ф = A+^2)а/2, а>3
(см. [VIII. 31, VIII. 35]).
Доказательство этой теоремы основано на оценках решения
соответствующей линейной задачи:
Kn I • -g- = L (F) + vT (G, G), x e Q,	B.1.9)
F+ = Ro(F~) + E+ (G), xg5,	B.1.10)
Z(M4'F) = 0,	B.1.11)
где
()	ъ \ M/2F~ 11, • n | rf|b с - (mes B)
/2F~ 11 n | rf| с (m B)~\
E+ (G) = (M (I x) - cM) /VF1/2 Tc'1 + \ MI/2G" | g, • n | dg,l.
Пусть U(G)~ решение задачи B.1.9) — B.1.11), 11/^1 = ^ (ФЯ.
Тогда существует постоянная Си такая, что '	°°'^
|| UG || < С, [|| G \f-\- || G H-t-1],
II t/ (G,) - U (G2) || < С, || G, - G21| (|| G, || + || G21|+ 1).
Эти оценки позволяют доказать сходимость метода итераций
Fm = U(Fm'1), Я°) = 0 и оценить точность линейного уравнения.

472	ДОПОЛНЕНИЕ. II. Н. Б. МАСЛОВА
Имея соответствующую теорему для линеаризованного урав-
уравнения, можно получить обобщение теоремы 10, включив в рас-
рассмотрение весьма широкий класс законов взаимодействия моле-
молекул друг с другом и с твердой поверхностью. В связи с этим
исследуем линейную задачу более подробно,
2. Стационарные линейные задачи. Рассмотрим задачу о на-
нахождении стационарных решений линеаризованного уравнения
Больцмана в ограниченной области Q с границей В, которая
удовлетворяет условиям Ляпунова. Задача состоит в отыскании
функции А(х, %), xgQ, |ei?3, удовлетворяющей условиям
l^ = Lh (xgQc/?3), h+ = APh- + ho (xe=S) B.2.1)
(см. (IV. 2.6), (IV. 2.14)). Здесь и ниже через ft+ = B+h (соот-
(соответственно ft-= B~h) обозначается сужение функции ft на мно-
множество В+= {х, %\ хе5, %-п;>0} (соответственно на множе-
множество В- = {х, 11 х е В, ? • п < 0}).
Укажем свойства операторов L, А и функции ft0, которые в
этом пункте будут предполагаться выполненными.
1.	Оператор L допускает представление L = К — v/, где К —
вполне непрерывный симметричный оператор из 2%? в Ж, v—
функция от g, удовлетворяющая следующим условиям: ve^,
inf v ^ v,o > 0 (см. (IV. 5. 20), (IV. 5.24); полная непрерывность
К при широких предположениях о законах межмолекулярного
взаимодействия доказана Трэдом [VIII. 9]).
2.	Если v'^/ig^, то (г|за, Lh)=0, L^a = 0, (ft, L/z)< 0 и
из соотношения (ft, Lft) = 0 следует, что ft — инвариант столк-
столкновений (см. (IV. 1.12), (IV. 1.15), (IV. 1.16)).
3.	Положим П/Г = /Г— 1~(Р/Г, 1~)вA, 1)в]; тогда будут
иметь место следующие соотношения:
Л1 = 1, (Ah, 1)В = (А, 1)Б, (ft0, l)B = 0,	B.2.2)
||| ЛРЙ" |? < ||| PhT \t - a HI РП/Г |||2S, a > 0. B.2.3)
Первое из равенств B.2.2) является следствием равенства
(III. 3.10), второе и третье — следствиями равенства (III. 1.8).
Наконец, неравенство B.2.3) гарантирует, что равенство з
(IV. 2.12) выполняется только в том случае, когда hr не зави-
зависит от скорости. Соотношения B.2.2), B.2.3) заведомо выпол-
выполняются для зеркально-диффузного отражения (III. 5.1) с а< 1.
Для того чтобы получить интегральное уравнение, соответ-
соответствующее задаче B.2.1), рассмотрим следующую вспомогатель-
вспомогательную задачу:
!-J?- + vft = cp, B+h = h+,	B.2.4)

РАЗРЕШИМОСТЬ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА	473
где ф, h+— заданные функции. Решение этой задачи, которое
легко выписать в явном виде, допускает представление h =
= f/ф + Eh+. Обозначим через Я (соответственно Нв) про-
пространство квадратично суммируемых функций на Q X ^3 с ве"
сом М (соответственно на В X R3 с весом |?-п|М). Легко убе-
убедиться, что если ф е Я, h+ e Яв, то верны соотношения
III vtAp HI < III Ф III, HI v/2PB-Uy \\\B < HI Ф HI, HI Шср HI < 2 HI Ф HI,
B.2.5)
III v/2Eh+ HI < HI h+ \\\Bt HI PB~Eh+ |||B < III A+ |L,
B.2.6)
B.2.7)
где D = %'dldx определяется как соответствующий предел в
Н с весом v.
Решением задачи B.2.1) будем называть функцию h из Я,
удовлетворяющую следующим уравнениям:
h = f//CA + Eh+, h+ = АРЫ + К	B.2.8)
Теорема 11. Задача B.2.1) имеет по крайней мере одно
решение h\. Любое решение задачи B.2.1) допускает представ-
представление h = h{ -f- const.
План доказательства теоремы состоит в следующем. Исклю-
Исключив из уравнений B.2.8) функции h+, h~, сведем решение задачи
B.2.1) к решению уравнения h = SUh + &hQ с ограниченными
операторами $ и &. Затем докажем, что оператор $ вполне
непрерывен из Я в Я (лемма 5) и, следовательно, к оператору
31 применима альтернатива Фредгольма. Таким образом дока-
доказательство теоремы сводится к исследованию уравнений h = 3$h
и g = gft*g (Sft* — оператор, сопряженный 3$) и проверке условия
((ЙГА.О, g)) = 0 (леммы 6, 7).
Для того чтобы исключить из уравнений B.2.8) функции ft+,
ft-, рассмотрим следующую вспомогательную задачу:
Mh = Ф, /г+ = АРЫ + Ао,	B.2.9)
где ф — заданная функция из Я.
Лемма 4. Задача B.2.9) имеет единственное решение в Я.
Это решение допускает представление
А = Гф + ^А0,	B.2.10)
где Ж= U	XABU
Доказательство. Имеем h~ = B~Uy + B~Eh+. Следо-
Следовательно, функция ft+ должна удовлетворять уравнению
Д+ = Th+ + APB~Uq> + AQ.	B,2.11)

474	ДОПОЛНЕНИЕ. II. Н. Б. МАСЛОВА
Ясно, что задача сводится к решению уравнения B.2.11). Пока-
Покажем сначала, что это уравнение имеет единственное решение в
Я в- Действительно, пусть /г/", h$ — два решения, А+ = А* — hi.
Тогда /г+ = 77г+. Положим /г = Eh+. В силу B.2.7) /г является
решением задачи B.2.11) при ф = Ао = 0. Для любого решения
задачи B.2.4) верно равенство
((Ф, A)) = ((v/z, А))~72(|1|/г+||Гв-|||РА"|||в). B.2.12)
(Равенство B.2 12) легко получить, скалярно умножив в Н пер-
первое из соотношений B.2.4) на А и использовав формулу Гаус-
Гаусса — Остроградского.) При ф = Ао = 0, А+ = APh~ равенство
B.2.12) дает
А)) - 72 (III АРЫ |||* - ||| РА" |Q = 0.
Из этого равенства и условия B.2.3) следует, что
Vo|l|A|||2<((vA, Л)) = 0.	B.2.13)
Поскольку А = Eh+, из соотношения B.2.13) следует, что А+ = 0
почти всюду. Для того чтобы доказать разрешимость задачи
B.2.11), рассмотрим следующую вспомогательную задачу:
h+ = kTh++ kAPB~Uy + h0, A,€=[72, О- B.2.14)
При к <С 1 уравнение B.2.14) заведомо разрешимо, так как в
силу условий B.2.3), B.2.6) при таких к оператор кТ является
сжатием в Нв. Если мы докажем, что при А,е[7г, 1) для реше-
решений задачи B.2.14) верна оценка
11|Л+|1|в<С(|||ф||| + !||А0|||Б)	B.2.15)
с постоянной С, не зависящей о г к, то решение уравнения
B.2.11) можно получить как предел решений задач B.2.14)
при к-* 1. Таким образом, для завершения доказательства лем-
леммы нужно доказать B.2.15).
Положим снова А = Е1г+. Тогда
Jlh = Ф, А+ = КАРЫ + Ао.	B.2.16)
На основании соотношений B.2.16), B.2.12), B.2.2) и B.2.3)
имеем
<	- (а/2) ||| РПЫ \\\2В + ({АРЫ, Ао))в + ]/2 \\\ Ао |||2Б =
= - (а/2) |[| РПЫ % + ((АРПЫ, А0))в + 72 III Ao \t
<	- (а/2) ||| РПА~ ||Р + ||| РПЫ |||в HI Ао |||Б + 72 III h |l||

РАЗРЕШИМОСТЬ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ БОЛЫДМАНА	475
следовательно,
((vA, h)) + (а/2) HI ЯП/Г \fB < (Be2)"' + 2) ||| Ло |||2B +
|||2в + |||/г I2), B.2.17)
где e — произвольно малое положительное число. Из соотноше-
соотношения B.2.17) очевидным образом следует оценка
Шяпл-т^с^тФт + щАоШв) B.2.i8>
с постоянной С\, не зависящей от %. Покажем теперь, что ана-
аналогичное неравенство верно для функции (Р/г~, 1)Б. Полагая
F = (Р/г~, 1)в — (РВ~Eh+, \)B, из уравнения B.2.14) получаем
$(х, уN(х, y)F(y)dy + G,	B.2.19)
в
где
G = (l, PB~Eho)B + k(l9 PB~EAPUh~)B + X(l, PB~EAPB~Uq>)B,
oo
6(x, y) = (l, 1)д' 5
0
Г4
b(x ) = i !х-уГ4|(х-у)-п(х)||(х-у)-п(у)|> yefi(x),
I	0,	y^B(x),
B(\)—часть поверхности В, которая «видна» из точки х. Инте-
Интегральный оператор с ядром &9 вполне непрерывен в L2(B).
В силу сказанного выше однородное уравнение B.2.19) при
^ «ее [0, 1] имеет только тривиальное решение. Поэтому в силу
известных теорем верна оценка ||| F \\\в ^ С21|| G \\\L {B) с постоян-
постоянной С2, не зависящей от X. Последняя оценка вместе с оценками
B.2.6), B.2.7), B.2.18) гарантирует справедливость неравен-
неравенства
||| Р/Г |||в< С,
Из последнего неравенства и условия B.2.3) очевидным обра-
образом вытекает неравенство B.2.15). Лемма доказана.
Полагая в B.2.10) ср = /С/г, на основании леммы 4 получаем,
что соотношения B.2.8) эквивалентны уравнению
/г = х/г + <ГА0 (f = УГК).	B.2.20)
Лемма 5. Оператор $ вполне непрерывен из Н в Н.
Доказательство. Покажем сначала, что оператор
Z = KUK вполне непрерывен из Н в Н. Поскольку К вполне

476	ДОПОЛНЕНИЕ. П. Н. Б. МАСЛОВА
непрерывен из Ж в Ж, достаточно доказать полную непрерыв-
непрерывность оператора Z' = K'UK', где К' — конечномерный оператор
в Ж. Пусть k'(I, т])— ядро оператора К'. Тогда
K'Uh(x, l)=
г|х-х*|
1\ J а(х-Ч|т)ГЧ т))Х
L 0
1, B.2.21)
где х* = х*(т])—ближайшая к х точка на пересечении луча
/(х, ц) = {у: у = х — т| |Ti |"~1тг, т > 0} с границей В. Вводя в ин-
интеграле B.2.21) новые переменные v, у по формулам u = |ri|,
у = х — "nl^l^ получаем -
K'Uh(x, g)=J vM(v)l\\x-y\-2exp{-v(v)\v\-[\x-y\}X
о	Ly
ХА(у, v{x-y)\x-y\-l)k'(l, v(x-y)\x-y\-1)dy]dv.
Заменяя в последнем интеграле h на K'h, имеем
Z'h(x, l)=\dy \M(r\)dnz'(x, I, y, Tj)A(y, ц),
а л»
z'(x, l, у, t|) =
oo
= 5 oexpl-vMlyf'lx-yl}^^, о(х-у)|х-у|~')Х
0
X k' {v (x - y) I x - у Г1, ti) I x - у Г2 dv. B.2.22)
He ограничивая общности, можно считать функцию k' финитной.
Тогда из равенства B.2.22) следует, что
sup U'||x-y|2<oo.	B.2.23)
х, у, I, ц
Согласно критерию Канторовича [VIII. 43*, теорема 3B. X)],
оператор Z' вполне непрерывен из И в //, если при каком-либо г
из A,2) выполнено условие
, у,
<oo.
В силу B.2.23) это условие выполняется при любом г из A,3/2>.
Итак, мы доказали, что Z', а следовательно и Z, вполне непре-
непрерывен из И в /У. Докажем теперь, что [7А' вполне непрерывен из
Н в Н, а В UK — тНвНв. Пусть {hn} — произвольная слабо

РАЗРЕШИМОСТЬ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ БОЛЫДМАНА	477
сходящаяся в Н последовательность. Покажем, что выполняется
соотношение
\\\gn- gm\\\ + \\\PB~ (gn- gm)\\\B->0 при /i,/n-*oo, gn = UKhn.
B.2.24)
Заметим, что функция g = gn — gm является решением задачи
Поэтому в силу B.2.12) верно равенство ((J(g, g)) = ((vg, g)) +
+ '/2 Ill^g"" l'll|- ^a основании этого равенства и уже доказанной
полной непрерывности оператора KUK имеем
72 III Pg~ \\\l + vo III g III2 < ((* (hn - AJ, UK (hn - hm))) =
= ((A/i-Am, KUK(hn-hm)))-+0 при /г, m->oo.
Таким образом, соотношение B.2.24) доказано, а вместе с ним
доказана полная непрерывность операторов UK и B~UK. Полная
непрерывность оператора 38 следует теперь из ограниченности
оператора ЕA — Т)~1АР. Лемма 5 доказана.
Лемма 6. Имеют место следующие эквивалентности'.
h = &ht=}h = const, g = j/g^g = v • const. B.2.25)
Доказательство. Справедливость соотношения с = 38c
для любой постоянной с очевидна. Пусть h = Sfth. Тогда в силу
B.2.7), B.2.11) имеем
j(h = Kh, h+ = Ah~, v'/2AgW.	B.2.26)
Используя B.2,12) и B.2.3), на основании соотношений B.2.26)
получаем
а|||РПА"|||2 —(LA, А) = 0.
В силу предположения 2 из последнего равенства вытекают со-
соотношения
4
(х, §) = ? аа (х) фо, аа \в = 0 при а ф 0. B.2.27)
а 0
а = 0
Но для таких h имеем Lh = 0 и, следовательно, ||| v~1/2 DA ||| == 0,
1	а, 3=0 ft, 1=1	У й	^
Полагая в последнем равенстве сначала | = ?ег-, а затем
5 == g(ei + Cj) (ег-, ej — орты осей координат), получаем
дап да*	да,- да,
= ° + ° У У12з)

478	ДОПОЛНЕНИЕ. П. Н. Б. МАСЛОВА
Отсюда и из B.2.27) следует (см. (IV. 4. 18)), что аа = О при
а ф О, а0 = const. Первое из соотношений B.2.25) доказано; до-
докажем второе. По определению оператора 38* для любых ft, g
из Н выполняется равенство ((/г, &g)) = ((g, $*h)). Полагая
в этом равенстве h = v, получаем
((v, <gff)) = ((gr, .*%)).
Покажем, что левая часть этого равенства равна {{g,v)). Дей-
Действительно, пусть f = 3Sg; тогда J{f + vf= Kg, f+ = Af-. Инте-
Интегрируя первое из этих равенств по QX^3 с весом М и исполь-
используя условия B.2.2), получаем
((v, f)) = ((Kg, l)) = ((vg, l)) = ((g, v)).
Таким образом, для любой g из Н выполняется равенство
{{g,v)) = ((g,35*v)). Отсюда вытекает, что $*v = v. Следова-
Следовательно, g" = cv при любой постоянной с является решением
уравнения g = 03*g. В силу первого из соотношений B.2.25) это
уравнение не может иметь других решений. Лемма доказана.
Лемма 7. Справедливо равенство (((oho, v)) = 0.
Доказательство. Положим g = (§h§. В силу соотноше-
соотношений B.2.7), B.2.11)
Скалярно умножая в Н первое из этих соотношений на 1 и
используя условие B.2.2), получаем
0 = ((v, g))-[((APg-9 l))B-((Pg-, 1))в]-((Ао, D)b = ((v, g)).
Лемма доказана, а вместе с ней доказана и теорема 11.
Замечание 3. Утверждение теоремы остается верным в,
том случае, когда Q — ограниченная область в Rn (n=l, 2),
а также в том случае, когда задача B.2.1) заменена задачей
Dh = Lh + g, h+ = APh~ + Ao,
((ff, l)) = 0, ((Ao, l)) = 0, g^H.
Замечание 4. Для случая твердых сфер при несколько
более жестких предположениях о свойствах оператора А сфор-
сформулированная выше теорема доказана Гиро [VIII. 34]. В приве-
приведенном выше доказательстве использованы некоторые идеи ра-
работ Гиро [VIII. 34] и В. С. Владимирова [VIII. 44*].
3. Нестационарные задачи. Локальные теоремы о разреши^
мости нестационарных задач можно доказать при тех же усло-
условиях, что и теоремы 5, 6, и при весьма общих предположениях
о форме границы и законах взаимодействия молекул с грани-

РАЗРЕШИМОСТЬ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА	479
цей. Задача ставится следующим образом. Требуется найти
функцию f(t, %, х), t <= [О, Г], |Gi?3, х <= Q, удовлетворяющую
условиям
Df = Q(f, /), f>0, xgQ,	B.3.1)
/ = /0, / = 0; /+ = /?Г, t > 0, х ее В.	B.3.2)
Для того чтобы получить соответствующее интегральное урав-
уравнение, положим f = Fe^1 и рассмотрим две вспомогательные
задачи:
I F f / 0 F+ RF~ />0	fi,
считая заданными в обоих случаях функции gb g2 (g^0),
а в первой задаче и функцию F+. Ясно, что если f — решение
задачи B.3.1) —B.3.2), то F = fe-v* — решение задачи (II) с
gi = e^Q[(F, F), g2 = eylv(F). Решение первой задачи можно
записать в следующей форме:
f = Vx(F+9 g2) + V2{f0, g2) + V3(gu g2)	B.3.3)
(функции Vj легко выписать в явном виде). Решение второй
задачи сводится к нахождению функции F+, а задача нахожде-
нахождения F+ сводится в свою очередь к решению линейного инте-
интегрального уравнения
F+ = VA(F+) + G,	B.3.4)
где
y4(F+) = JRB-y,(F+, g2),
G = RB-(V2(L g2) + V?,(gl, g2))
(B~F — сужение F на множество {§> x: x^B, |-n(x)<0}).
Пусть фСе!,,^), ф = A+^2)а/2ехр^2}. При довольно
общих предположениях относительно Q и R существуют поло-
положительные постоянные Yo и С, такие, что при у > уо уравне-
уравнение B.3.4) имеет единственное решение F+ = (I — V4)~l G, удо-
удовлетворяющее условию
^со, ооФ (/ - VA)-1 G < CN^ ^,G, ф1 = Ф A + 12)ъ B.3.5)
(если Q —внешность выпуклого тела, то V4F = 0). Полагай в
B.3.3) gi = e^Ql(F,F), g2 = ev*v{F), F+= (I—V4)-lG, полу-
получаем интегральное уравнение, соответствующее задаче B.3.1) —
B.3.2):
B.3.6)

480	ДОПОЛНЕНИЕ. П. Н. Б. МАСЛОВА
Теорема 12 ([4, 12]). Пусть выполнено соотношение A.1.7)
с % = 0 и неравенство B.3.5) с а = 0, р > 0. Если ф/0 е
gBco, оо (Й), ^о существует Ти такое, что при Т^Т\ уравнение
B.3.6) имеет единственное решение, удовлетворяющее условию
Теорема 13 ([5, 6, 12]). Пусть выполнены условия теоремы
6 (с / = 0) и условия B.3.5) с теми же а, р, что и в теореме 6.
Тогда существует Ти такое, что при Т ^ Тх уравнение B.3.6)
имеет единственное решение, удовлетворяющее cpF e Boo, ()
Разрешимость задачи B.3.1) — B.3.2) на бесконечном проме-
промежутке времени доказана только для ситуаций, близких к рав-
равновесным, ограниченной области Q и однородных граничных
условий (т. е. в предположении, что существует максвелловское
распределение М с постоянными параметрами, такое, что
М+ = RM~). Один из примеров соответствующей теоремы —
теорема 8 из § 1. Более общий результат в этом направлении
получен в работе [13],
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
[1] Маслова Н. Б., Чубенко Р. П., Предельные свойства решений уравнения
Больцмана, Докл. АН СССР, 202, № 4, 800—803 A972).
[2] Маслова Н. Б., Чубенко Р. П., Релаксация в одноатомном простран-
пространственно-однородном газе, Вестник ЛГУ, № 13, 90—97 A976).
[3] Маслова Н. Б., Чубенко Р. П., Миноранты решений уравнения Больцма-
на, Вестн. ЛГУ, № 7, 109—113 A976).
[4] Ильинская Г. Б., Филиппов Б. В., К вопросу о существовании и един-
единственности решения кинетического уравнения, в кн. «Аэродинамика раз-
разреженных газов», вып. 3, Л., изд-во ЛГУ, 44—50, 1967.
[5] Маслова И. Б., Чубенко Р. П., О решениях нестационарного уравнения
Больцмана, Вестник ЛГУ, № 19, 100—105 A973).
[6] Буров А. В., О решениях нестационарных граничных задач для урав-
уравнения Больцмана, Депон. в ВИНИТИ № 2425-76, Л., 1976.
[7] Маслова Н. Б., Фирсов А. Н., Решение задачи Коши для уравнения
Больцмана. Теорема существования и единственности, Вестник ЛГУ,
№ 19, 83—88 A975).
[8] Маслова Н. Б., Фирсов А. Н., Решение задачи Коши для уравнения
Больцмана. II. Оценки решений неоднородного линеаризованного урав-
уравнения Больцмана, Вестник ЛГУ, № 1, 97—103 A976).
[9] Ukai S., On the existence of global solutions of mixed problem for non-
nonlinear Boltzman equation, Proc. Japan Acad., 50, № 3, 179—184 A974).
[10] Фирсов А. Н., Об одной задаче Коши для нелинейного уравнения Больц-
Больцмана, в кн. «Аэродинамика разреженных газов», вып. 8, изд-во ЛГУ, Л.,
22—36, 1976.
[11] Маслова Н. Б., Стационарные задачи для уравнения Больцмана при
больших числах Кнудсеыа, Докл. АН СССР, 229, № 3, 593—596 A976).
[12] Буров А. В., Существование и единственность решения стационарных
граничных задач для уравнения Больцмана, Депои. в ВИНИТИ,
№ 4153—76, Л., 1976.
[13] Guiraud J. P., An Я-theorem for a gas of rigid spheres in a bounded do-
domain, Colloq. int. CNRS, No. 236, 23—56, 1975.

Именной указатель
Акилов Г. П. 460
Алексеева Е. В. 318, 319, 435
Алексеева С. Н. 460
Альбертони (Albertoni S.) 317, 387,
440, 449
Андерсон (Anderson D.) 418, 429, 431
Андрее (Andres R. D.) 427, 433
Анолик М. В. 433, 460
Аристов В. В. 435
Аркерид (Arkeryd L.) 437, 449
Арсеньев А. А. 389, 439, 449, 466
Ахиезер Н. И. 258
Ашкеназ (Ashkenas H.) 423, 432
Баканов С. П. 434
Бакнер (Buckner J. К.) 372, 373, 375,
376, 388
Балеску (Balescu R.) 121
Баранцев Р. Г 121, 180, 318, 319, 433,
435, 459, 460
Беднарж (Bednarz R.) 440, 449
Бейтмен Г. 258
Белоцерковский О. М. 435
Бенедек (Benedek G. В.) 384, 389
Берд (Bird G. А.) 401, 419, 427, 430,
435
Берд (Bird R. В.) 120, 316
Бишаев А. М. 434
Бобылев А. В. 121
Богданов А. В. 121, 180
Богданов (Bogdonoff S. М.) 423, 432
Боголюбов Н. Н. 72, 120
Больцман (Boltzmann L.) 65, 120,
169, 180
Борель (Borel E.) 10, 34, 50
Борн (Born M.) 72, 120
Боуден (Bowden R. L.) 342, 387
Брук (Brook J. W.) 425, 433
Буиимович А. И. 434, 435
Буров А. В. 319, 480
Вайнберг М. М. 429
Валландер С. В. 50, 121
Ван Чан (Wang Chang С. S.) 120,
207, 258, 376, 388, 394, 428
Ван-Дайк (Van Dyke M.) 389
Ватсон (Watson G. N.) 180, 258, 388
Веденяпин В. В. 450
Вейнберг (Weinberg A. M.) 258
Векуа И. Н. 363, 388
Веландер (Welander P.) 112, 121, 317
Вигнер (Wigner E. Р.) 258
Виллис (Willis D. R.) 317, 318, 403—
405, 422, 424, 426, 427, 429, 431—
433, 449
Владимиров В. С. 450, 478
Власов В. И. 433—435
Вогенитц (Vogenitz F. W.) 423, 430, 432
Галкин В. С. 319
Гельфанд И. М. 50, 258, 387
Геодаков Н. А. 434
Гильберт (Hilbert D.) 263, 316
Гиро (Guiraud J. P.) 136, 179, 448—
450, 478, 480
Глазман И. М. 258, 259
Горелов С. Л. 433—435
Гранди (Grundy R. Е.) 424, 427, 432,
433
Грейтаг (Greylag Т. Т.) 384, 389
Грин (Green H. S.) 72, 120
Гринспен (Greenspan M.) 373, 375,
388, 429
Гросс (Gross E. Р.) 121, 144, 179, 233,
259, 428
Грош (Grosch С.) 417, 431
Трэд (Grad H.) 75, 120, 158, 179, 208,
209, 258, 277, 279, 287, 293, 316, 317,
381, 388, 389, 394, 413, 422, 428, 431,
432, 437, 449, 462, 466, 472
Грюнбаум (Grunbaum F. А.) 259, 388,
428, 440, 449
Гудвин (Goodwin С.) 299, 318
Гуров К. П. 50
Гусев В. Н. 434, 435
Гусев К. И. 459

482
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Данери (Daneri A.) 409, 429
Данфорд (Dunford N.) 258
Даррозе (Darrozes J.) 136, 179, 287,
317, 355, 388
Девиен (Devienne M.) 121, 317, 318
Дегтярев М. Л. 422, 432
Десхпанде (Deshpande S. М.) 417,
431
Джексон (Jackson E. А.) 179, 233,
259, 428
Джонсон (Johnson E. А.) 293, 317
Джосс (Joss W. W.) 423, 432
Донг (Dong W.) 409, 431
Дорнинг (Doming J. J.) 349, 374, 375,
387, 388
Дорфман (Dorfman J. R.) 208, 258,
259
Дубровский Г. В. 121
Дутсон (Dootson F. М.) 292, 317
Дэвисон (Davison В.) 260, 387, 428
Клинч (Klin? Т.) 287, 317, 365, 388
Кнудсен (Knudsen M.) 157, 179, 318,
341, 387, 409 431
Коган М. Н. 120, 179, 180, 318, 319,
389, 422, 430, 432, 433, 434
Копылова А. В. 319, 433, 435
Корнгольд (Corngold N.) 238, 259
Кот (Kot S. S.) 422, 432
Кригер (Creager M.) 299, 318
Крылов Н. С. 50
Кудиш И. И. 435
Кузнецов В. М. 180
Кузнецов М. М. 180
Куксенко Б. В. 433
Купер (Cooper A. L.) 316, 318, 422,
432
Кущер (Kuscer I.) 133, 141, 154, 179,
180, 210, 258, 259, 287, 365, 388, 429,
460
Кюлвари И. 460
Ермаков С. М. 435
Ерофеев А. И. 435, 459
Жук В. И. 319, 435, 460
Закиров М. А. 319
Зворыкин Л. Л. 434
Зигмунд (Zygmund A.) 180
Зиринг (Ziering S.) 179, 417, 428, 430
Зубарев Д. Н. 121
Иванов В. В. 260
Ивон (Yvon J.) 72, 120
Ильинская Г. П. 480
Ип (Yip S.) 383, 384, 389
Кан (Kahn D.) 376, 388
Канторович Л. В. 450
Капер (Карег Н. J.) 121, 293, 317, 388
Карлеман (Carleman Т.) 120, 436,
437, 449, 462
Кассел (Cassel J. S.) 356, 359, 388
Като (Kato T.) 258, 449
Каулинг (Cowling T. G.) 120, 178,
316, 460
Кейз (Case К. М.) 245, 259, 323, 334,
341, 387. 388, 450
Кертис (Curtiss С. F.) 120. 316, 317
Кирквуд (Kirkwood J. G.) 72, 120
Климова Т. В. 434, 435
Климонтович Ю. Л. 121, 180
Ланг (Lang H.) 242, 259
Лебовиц (Lebowitz J. L.) 115, 121,
179
Левин (Lavin M. L.) 401, 430, 431
Либов (Liboff R. L.) 121
Лиз (Lees L.) 389, 406, 428, 431
Лимар Е. Ф. 435
Лин (Lin J. T.) 427, 433
Липин А. В. 434
Липмаи (Liepman H. W.) 417, 429
Ложкин В. Л. 460
Лоялка (Loyalka S. К.) 237, 242, 259,
287, 317, 388, 429, 430
Луганская И. Б. 433
Луцет М. О. 180, 433, 460
Макашев Н. К. 180, 319, 389
Мак-Леннан (McLennan J. A.) 229,
259
Максвелл (Maxwell J. С.) 85, 120,
138, 139, 179, 333, 387
Марти (Marti С. С.) 440, 449
Маслова Н. Б. 319, 433, 446, 450, 480
Мейер (Meyei E.) 373, 375, 388
Меркулова Н. И. 459
Месситер (Messiter A. F.) 422, 432
Мика (Mika J.) 258, 440, 448—450
Миллер (Miller D. R.) 427, 433
Милликен (Millikan R. A.) 420, 432
Минцер (Mintzer D.) 376, 388
Мнрошин Р. Н. 50, 460
Митсис (Mitsis С J.) 341, 387
Монтаньяни (Montagnini B.) 440, 449

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
483
Моргенштерн (Morgenstern D.) 437,
449
Морс (Morse Т. F.) 121, 316, 376, 377,
389, 431
Москалев О. Б, 180
Мотт-Смит (Mott-Smith H. М.) 258,
413, 428
Мусанов С. В. 318
Мусхелишвили Н. И. 387
Мэсон (Mason R. J.) 354, 376, 382,
388
Нагирнер Д. И. 260
Нарасимха (Narasimha R.) 417, 429,
431
Некруткиы В. В. 435
Нелькин (Nelkin M. С.) 258, 383, 384,
389
Николаенко (Nicolaenko В.) 228, 230,
259, 388
Нобл (Noble В.) 387
Новиков М. Н. 121
Ночилла (Nocilla S.) 156, 179
Обере (Oberai M. М.) 422, 431, 432
Огути (Oguchi H.) 417, 419, 431
Оман (Oman R. А.) 425, 433
Пагани (Pagani С. D.) 259, 287, 317,
429, 431, 432
Пао (Pao Y. Р.) 211, 259, 308, 318,
446, 449
Пекерпс (Pekeris С. L.) 258, 376, 388,
428
Перепухов В. А. 433, 435
Повзнер А. Я- 437, 449, 463
Породнов Б. Т. 434
Поттер (Potter J. L.) 422, 432
Пригожим (Prigogine I.) 120
Пробстин (Probstein R. F.) 317, 422,
432
Прошкин А. Я. 435
Пэн (Pan Y. S.) 317, 422, 432
Пярнпуу А. А. 180
Ранганатан (Ranganathan S.) 384,
389
Рибарич (Ribaric M.) 440, 449
Риголо-Турба (Rigolot-Turbat С.) 448,
450
Рисе (Riesz F.) 258
Рубин (Rubin S. G.) 422, 432
Рудман (Rudman S.) 422, 432
Рыжов Ю. А. 459, 460
Рыков В. А. 319, 434, 435
Рябов В. В. 435
Сегал (Segal В. М.) 418, 431
Секефальви-Надь (Sz. Nagy В.) 258
Сергеев В. Л. 180, 319, 460
Сернаджотто (Sernagiotto F.) 317,
387, 388, 409, 429
Сесслер (Sessler G.) 373, 388
Сизова А. Ф. 435
Синай Я. Г. 40, 50
Сирович (Sirovich L.) 121, 258, 259,
317, 373—376, 381, 384, 388, 389,
431, 432
Скакун С. Г. 434
Скворцов Г. Е. 259, 389
Соболев С. Л. 179
Солвен (Salwen H.) 415—417, 431
Соун (Sone Y.) 287, 290, 317
Спрингер (Springer G. S.) 406, 407,
431
Столдер (Stalder J.) 299, 318
Стриженов Д. С. 459
Струминский В. В. 318, 319
Стюартсон (Stewartson К- О.) 422,
432
Сугавара (Sugawara A.) 384, 389
Суетин П. Е. 434
Тамм И. Е. 433
Тёрбер (Thurber J. К.) 258, 259, 388
Терентьев Н. В 387
Теркотт (Turcotte D. L.) 422, 431, 432
Тиген (Teagan W. Р.) 406, 407, 431
Тоба (Toba К.) 376, 389
Томас (Thomas D. R.) 427, 433
Триллинг (Trilling L.) 179, 277, 317,
428, 430—433
Трощиев В. Е. 435
У Цзжень-юй 318
Уилд (Wild E.) 437, 449
Уильяме (Williams С. D.) 342, 387
Уильяме (Williams M. M. R.) 154,
179, 210, 258, 259, 287, 356, 359, 388,
428
Уленбек (Uhlenbeck G. Е.) 50, 120,
207, 258, 376, 388
Фаддеева В. Н. 387
Федорова В. М. 318, 319, 460

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Ферцигер (Ferziger J. Н.) 121, 237,
259, 293, 317, 372, 373, 375, 376, 388,
418, 429, 439
Фец (Fetz В.) 439, 449
Филиппов Б. В. 121, 180, 480
Филлипс (Phillips R. S.) 449
Фирсов А. Н. 480
Фокс (Fox R. F.) 383, 389
Фоли (Foley W. М.) 157, 179
Форд Дж. 50
Фридлендер О. Г. 319, 435
Фримен (Freeman N. С.) 424, 427,
432, 433
Фриш (Frisch H. L.) 115, 121, 179
Хамель (Hamel В. В.) 316, 318, 422,
424, 426, 427, 429, 432, 433
Хансон (Hanson F. В.) 121, 376, 377,
380
Харват (Charwat A. F.) 423, 432
Хейз (Hayes W. D.) 422, 432
Хелфанд (Helfand E.) 115, 121
Хилле (Hille E.) 449
Хинчен (Hinchen J. J.) 157, 179
Хинчин А. Я. 50
Хиршфельдер (Hirschfelder J. О.) 120,
316
Хлопков Ю. И. 435
Холвей (Holway L. H., Jr.) 121, 388,
392, 406, 415—417, 428, 431
Хонькин А. Д. 121, 260
Ху (Ни P. N.) 422, 431, 432
Хуанг (Huang А. В.) 423, 428, 429,
431, 432
Хэвиленд (Haviland J. К.) 401, 430,
431
Цвайфель (Zweifel P.) 334, 341, 387,
450
Цветков В. И. 460
Цибаров В. А. 180
Цянь Сюэ-сень 50
387—389, 409, 428, 429—432, 446,
449, 450
Чжен (Cheng H. К.) 422, 424, 427
Чиполла (Cipolla J. W.) 287, 317, 431
Чистолинов В. Г. 435
Чорен (Chorin A. J.) 392, 428
Чубенко Р. П. 480
Шааф (Schaaf S. А.) 318, 422, 432
Шамберг (Schamberg R.) 156, 179,
317
Шаповалов Г. Н. 121, 319
Шарф (Scharf G.) 259, 379, 389, 439,
449
Шахов Е. М. 121, 434
Шварц (Schwartz J.) 258
Шен (Shen S. F.) 141, 148, 179, 428,
439, 449
Шерман (Sherman F. S.) 318, 419, 422,
423, 431, 432
Шидловский В. П. 318, 422, 432
Шилов Г. Е. 50, 258, 387
Шихов С. Б. 450
Шкарбан И. И. 459
Шлажа Ю. 433
Шлихтинг (Schlichting H.) 318
Шоренстии (Schorenstein M.) 422, 432
Щербак С. Я. 434
Эдварде (Edwards R. Н.) 424, 427,
432
Эндер А. Я. 121
Эндер И. Я. 121, 434
Энског (Enskog D.) 292, 316, 317
Эпштейн (Epstein M.) 149, 179
Эрдейи А. 258
Яницкий В. Е. 435
Чандрасекар (Chandrasekhar S.) 258,
429
Чао (Tchao J.) 308, 318
Чау (Chow W. L.) 422, 432
Чепмен (Chapman S.) 120, 180, 292,
316, 317
Черемисин Ф. Г. 121, 389, 434, 435
Черняк В. Г. 434
Черчиньяни (Cercignani С.) 50, 120,
121, 148, 179, 258, 259, 277, 287,
Abarbanel S. S. 388
Abe К. 431
Abramowitz M. 258, 317
Abuaf N. 433
Adelman S. A. 459
Alterman Z. 258, 388, 428
Ananthasayanam M. R. 431
Anderson J. B. 433
Anderson W. 428
Artin E. 121

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
485
Bagnal С. W. 429
Bassanini P. 259, 317, 429, 431, 432
Bellman R. 259, 431
Bergman P. G. 179
Bhatnagar P. L. 121
Bixon M. 259
Boguslawski S. 316
Brau С. А. 431
Broadwell Т. Е. 430, 432
Brundin С L. 387, 388, 428—433
Butler D. S. 428
Habetler G. I. 258
Harbour P. J. 432
Hartley D. L. 428
Haseltine R. D. 388
Heckl M. 388
Hicks B. L. 430
Hornig D. F. 431
Huber С 432
Hurlbut F. С 318
Hurwitz H. 258
Hwang P. F. 428, 429, 432
Carlson B. G. 429
Cashwell E. D. 430
Chanine M. T. 429
Chen S. Y. 432
Chiado Piat M. G. 318
Clark M., Jr. 429
Clausing D. 318
Conkie W. R. 428
Conte S. D. 387
Cook G. E. 318
De Boer J. 120, 428
De Leeuw J. H. 258, 318, 429—433
Dion D. R. 459
Doll J. D. 459
Duderstadt J. 260, 388
Everett С J. 430
Fenn J. B. 433
Finkelstein L. 388, 428, 449
Flugge S. 432, 449
Foresti P. 317, 387, 429
Fox H. L. 388
Frankowski K. 258, 388, 428
Fried B. D. 387
Ganz A. 317
Garrison B. J. 459
Gast R. С 429
Gelbart E. M. 430
Giddens D. P. 429
Goertzel G. 430
Goldman E. 431
Goodman F. O. 179, 180
Gotusso L. 317, 387
Gustafson K. 259
Gustafson W. A. 318
Ikenberry E. 428
Jeans J. 120
Jeffreys H. 121
Jensen J. L. W. V. 180
Johnson V. K. 318
Kalber С W. 429
Kalos M. H. 430
Karamcheti K. 318
Keck J. С 179
Kinslow M. 460
Kladnik R. 429
Kleitman D. J. 388
Kondo J. 430
Koura K. 430
Krizanik F. 179
Krook M. 121
Lampis M. 179, 318
Lathrop K. D. 429
Laurmann J. A. 258, 317, 387, 428, 429,
431, 432, 449
Le Caine T. 429
Lewis J. H. 432
Lighthill J. M. 50
Lin С 431
Linzer M. 431
Logan R. M. 179
Macomber H. K. 431
Maidanik G. 388
Marek I. 258
McCreery J. H. 460
McCroskey W. J. 432
McDougall J. С 432
Mo К. С 259
Mobly R. 432
Мое О. К. 318
Mozina J. 179

486
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Muckenfuss С. 431
Muller W. J. С. 460
Nahr H. 180
Nordsiek A. 430
Stegun I. A. 258, 31/
Stewart J. 0. 430
Stickney R. E. 179
Stoy R. L., Jr. 431
Summerfield G. С 258
Szu H. H. 389
Okrent D. 429
Ostrowski H. S. 388
Pejerls R. E. 259
Perlmutter M. 430
Pomraning G. C. 429
Talbot L. 179, 389, 431, 432, 449
Tambi R. 387
Taub P. 318
Taylor G. I. 431
Thompson J. J. 428
Tironi G. 121, 317, 388, 429, 430
Truesdell C. 428
Railly B. J. 430
Riganti R. 318
Robertson S. J. 430
Rowlands G. 429
Rudin W. 180
Rungaldier H. 430
Scale M. 431
Schechter M. 258, 259
Schrello В. М. 318
Schwartz L. 50
Schwendimann P. 429
Shapiro Ch. S. 259
Simons G. A. 431
Smolderen J. 318
Smoluchowski M. 318
Spain J. 388
Spanier J. 430
Sparrow E. M. 318
Steele W. A. 180
Ukai S. 480
Vas I. E. 432
Venkataraman R. 431
Vestner H. 180
Vidav I. 180
Wachman H. J. 180, 317, 428, 430—433
Wachman M. 429
Waldmann L. 120, 180
Weissman T. 259
Weitzner H. 388
Wick G. С 429
Wing G. M. 258
Wolken G. 460
Yen S. M. 430
Yoshizawa Y. 430

Предметный указатель
Адсорбции время 124
Адсорбционный слой 122—123
Адсорбция 122
Аккомодации коэффициенты 139—
141, 146—148, 154, 297, 298, 301,
302, 452, 457
— матрица 148
Аналитическое продолжение 367—
371, 374, 375
«Антнбольцмановское уравнение» 69
Антинуль 365
Ареолярная производная см.
пью производная
Атомная бомба 198
Аэродинамические силы 295, 300
Банахово пространство 447
Барнета уравнения 275, 282, 416
—	функция распределения 339
Барометрическое распределение 169
ББГКИ цепочка 72
БГК-модель 112—115, 232—234, 286,
287, 292, 328, 332, 337, 342, 347,
349, 354—356, 366, 367, 380, 394—
396, 405—407, 409, 411, 417, 418,
423
Бесселя функции 145, 1/7, 201, 351
Больцмана неравенство 93
—	постоянная 44, 195
—	уравнение 11, 51, 52, 55, 64, 65,
67, 68, 70, 71, 73, 77, 79, 80, 99,
100, 107, 111, 122, 158, 161, 164.
165, 181, 182, 184, 185, 261—263,
267—269, 277—279, 291, 311, 390,
391, 394, 395, 398—400, 411—413,
424, 427, 436, 437, 439, 440, 451,
461, 464, 467, 472
—	— в интегральной форме 250,
253, 395, 396, 438, 439, 445, 446,
464
Больцмана уравнение линеаризован-
линеаризованное 184, 185, 190, 191, 194, 204, 214,
225—227, 239, 242, 244—246, 250,
261, 268, 278, 279, 285, 336, 371,
376—378, 382—384, 393, 436—438,
445, 446, 448, 466, 467
	линейное 189, 191, 238
— — обобщенное 291
Вариационные методы 286, 390, 395,
396, 399, 400, 403, 405, 420, 421
Вариационный принцип 239—242,
257, 274, 396, 398, 399
Вейля теорема 208, 210, 225—228
	обобщенная 226, 227
Вероятности плотность 12, 13, 17—
19, 37, 40—42, 45, 46, 62, 95, 115
Вероятность 11, 12, 18—20, 62
Взаимность 130, 133, 137, 148, 149
158, 187, 193, 238, 244
Взаимодействие газов с поверхно-
поверхностями 122, 129, 130, 133, 423, 451 —
460
—	молекул 34
Винера—Хопфа метод 232, 320, 356,
359, 371
Власова уравнение 72, 73, 129
Власовский член 103
Внешние течения 416, см. также Об-
Обтекание твердого тела
Внутреннее состояние 80
Возмущений методы 267
Волны нейтронные 367
—	Рэлея 347
—	ударные 268, 390, 392, 411—419
Восстановления коэффициент 299,
302
Вселенная 10, 34, 162, 163
Выпуклая функция 135
Вырожденного ядра приближение
235

488
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Вязкий пограничный слой 267, 275,
283, 284, см. также Прандтлев-
ский пограничный слой
Вязкости коэффициент 84, 101, 223,
224, 235, 291, 292, см. также Пе-
Переноса коэффициенты
Вязкость объемная 101
Газ больцмановский 55, 66, 68, 75,
102, 164
—	двухатомный 406
—	идеальный 46, 55, 98
—	кнудсеновский 55
—	одноатомный 46, 298, 299, 372
—	совершенный 46
Газовая постоянная 44, 74, 98, 136
Газы ионизированные 195
—	многоатомные 71, 78, 80, 93, 95,
102, 115, 189, 291, 293, 298, 419
—	плотные 71
Гамма-функция 50, 207, 256
Гармоники сферические 207, 393
Гато производная 399
Гауссовское распределение 104, 114
Гёльдера условие 326, 384, 385
Гильберта задача 355, 385, 386
—	разложение 263, 267—272, 275—
278, 280—283, 287, 329, 333, 412,
438
Гильбертово пространство 140, 148,
240, 439
	Ж 183, 208, 215, 240, 321
Гиперзвуковое приближение 424, 425
—	течение 400, 421, 424
Главное значение в смысле Кошп
325, 361, 384
Границы твердые 57, 122, 123, 127,
см. также Стенки жесткие
Граничные задачи 11, 369, 372, 445,
468—480, см. также Задачи с
граничными условиями
—	условия 62, 64, 122, 124, 137, 180,
239—241, 243, 245, 253, 275, 283,
287, 300, 330, 380, 381, 393, 394,
439—442, 446, 456, 458
Грина функция 130, 131, 133, 242—
246, 250, 251, 311—313, 342, 377,
378
Давление 11, 98, 305
Движение жесткое 170
Движения случайные 103
Двойной Pi-метод 393
Двухчастичное взаимодействие 75
Действия сфера 29, 75, 76
Деление 191 — 192, 194, 226
Дельта-функция Дирака 15, 17, 22,
41, 78, 120, 128, 131, 134, 136, 137,
151, 152, 188, 190, 209, 251, 253—
255, 302, 325
Детальный баланс 133, 193
«Диаметр молекул» 46
Дискретных ординат метод 390, 391,
394, 406, 423
Дисперсионное соотношение 367, 370,
374, 375
Диссипативный оператор 439
Диффузии тензор 104, 106, 129
Диффузия 292
Диэлектрическая постоянная 383
Единственность решения 20, 196, 197,
250, 436, 437, 440, 445, 448, 463,
465, 469, 480
Задачи с граничными условиями
188, 196, 197, 249, 250, см. также
Граничные задачи
	начальными условиями 188,
196, 197, 436—440, см. также Ко-
ши задача
Закон взаимности см. Взаимность
—	сохранения импульса 24, 82, 93,
99, 102, 193, 403, 411
—	— массы 19
—	— момента импульса 81
	энергии 24, 81, 82, 93, 99,
102, 136, 193, 411
Законы сохранения 266, 414
Замедлитель газовый 189, 193
Замораживание продольной темпе-
температуры 423, 425, 427
Затухание возмущения 372, 374, 375
Захват 451
Звука распространение 372, 376
—	скорость 263, 375, 413
Иенсена неравенство 135
Излучение 299
Излучения перенос 11, 189, 239, 393
—	равновесность 195
—	эмиссия 80
Импульс 38, 40, 295, 296
Импульса плотность 80, 96
—	поток 81, 96, 97
Инверсии оператор 140, см. также
Отражения оператор
Интегральных итераций метод 313, 316
Ионизация 80

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
48 Э
Испарение диффузное 139
Истечение в вакуум 423
Итерации кнудсеновские 311
Канонические переменные 118
Канторовича критерий 476
Карлсона Sn-метод 394
Квантовомеханические системы 133
Кинетическая теория 11
—	— жидкостей 115
Кинетические модели см. Модель-
Модельные уравнения
	 линеаризованные 232—234
Кинетический пограничный слой 222,
268, 283, 330, 332, 333, 335, 338—
341, 350, 398, см. также Кнудсе-
новскип слой
—	подслой, обусловленный кривиз-
кривизной 287—291
Кирхгофа закон 195
Клапейрона уравнение 98
Клаузинга уравнение 307
Клаузиуса — Дюгема неравенство
164
Кнудсена число 262, 263, 267, 293,
311, 312, 315, 316, 390, 395, 400,
405, 420, 422, 424, 458, 462, 468—
470
	обратное 311, 316, 404, 408,
409
Кнудсеновский слой 275, 287, 289,
400
Коллимированный поток моноэнерге-
моноэнергетический 155
—	— тепловой 155
Корреляции 103, 104
Корреляционная функция плотности
383
Коши задача 461
Коши — Римана уравнения 362
Крамерса задача 329, 331, 334, 350,
396
Кристаллы 130, 158
Критическая задача 448
Критический размер 198
Критическое состояние 341
Крука модель 321
Кулоновская сила 73, 103, 111
Куэтта течение 329, 334, 335, 395,
402—406, 411, 420
Лагерра полиномы 145, 171, 174,
176—178, 207
Ланжевепа уравнение 453
Лапласа оператор 106
—	преобразование 231, 239, 243, 342,
346, 349, 350, 359, 360
Лежандра полиномы 207, 393
Леннарда-Джонса	потенциал 73,
416
Лиссажу фигуры 38
Лиувилля оператор 129
—	теорема 18, 22, 25, 31, 118
—	уравнение 19—22, 35, 36, 52, 54—
56, 71, 127, 131, 133
Лоренца сила 19
Лошмидта парадокс 161, 164
Макроскопическая	газодинамика
100, 438
Макроскопические уравнения 97, 100,
272
Макроскопическое описание 95, 96,
266, 274
Максвеллиан 112, 113 см. Максвел-
ловское распределение
Максвелловские граничные условия
137, 138, 144, 149, 379, 441
—	молекулы 85, 207, 211, 233, 234,
274, 282, 284, 286, 292, 353,
375, 393, 405, 406, 415, 425, 427,
463
Максвелловское распределение 45,
51, 94, 101, 102, 112, 129, 132—134,
159, 160, 164, 165, 167, 170, 181 —
184, 186, 187, 189, 204, 264, 267, 272,
273, 280, 281, 283, 285, 297, 329,
330, 336, 377—380, 391, 392, 401,
411, 462, 466, 467, 480
Масса молекулы 55
—	приведенная 81, 83
Маха число 262, 263, 296, 378, 379,
392, 415, 420—423
Микроскопическое описание 95, 266
Милна задача 329, 334
Многогрупповая теория переноса
нейтронов 355
Мода нормальная 227
«Молекула-мишень» 75, 81
«Молекула-пуля», 75, 81
Молекулярный пучок 123, 155
Момент импульса 38, 81
Моментные методы 390—395, 406
Моменты функции распределения
265, 289, 322, 375, 376, 424
Монте-Карло методы 390, 400—402,
418, 423, 427
Мотт-Смита метод 413—416
Мягкие сферы 454

490
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Навье—Стикса уравнения 114, 223,
224, 270, 274, 275, 287, 291, 335,
338—340, 347, 372, 379, 383, 390,
400, 411, 413, 422, 425
Навье — Стокса — Фурье жидкость
101
Н-м °пьших квадратов метод 399,
417
Н. , явление времени 61, 162
Напряжений тензор 97—99, 136,
223, 266, 267, 274, 403
—	— , след его 98
Напряжения 11, 99, 136, 222, 350,
351, 405
Неймана—Лиувилля ряд 338
Нейтронов перенос 189, 195, 210, 226,
238, 256, 322—324, 334, 341, 342,
367, 394, 399, 402, 440, 448
—	термализация 322, 323
Нейтроны 11, 126, 189, 191, 195, 198,
238, 239, 448
—	быстрые 192
Необратимость 158, 160, 163
Неравновесное состояние 98, 133
Ночиллы модель 156
Нуль нейтральный 365
—	нормальный 365
Обмена коэффициенты 452, 457
Обобщенные функции 13, 15, 17,
142, 143, 173, 177, 218, 220, 325,
326, 343, 361
—	— аналитические 325, 334
Обрезание по углу 209, 211, 235, 401
Обрезанные потенциалы 73, 77, 250,
261
Обтекание твердого тела 242, 377,
378, 381, 395, 400, 401, 420—423
—	— — иевыпуклого 302—304
Озеена линеаризация 379
Ортогональность 218, 325—327, 412
Отклонение от среднего 17, 18
—	— — среднеквадратичное 17
Отношение скоростное 296, 424
Отражение зеркальное 23, 24, 27
28, 57, 64, 123, 138, 139, 146, 165,
170, 187, 376
Отражения оператор 140, 321, 442
Пайерлса уравнения 256
Переноса коэффициенты 214, 236
274, 292
—	уравнения 11, 391
Переходный режим 390
Планка постоянная 195
—	распределение 195
Племеля формулы 343, 36U. 384—•
387
Плотность массовая 95, 111, 113,
224, 264, 266, 267, 272, 282, 294,
383, 412
—	численная 28, 95, 111, 129, 401,
402
Поглощение нейтронов 195
Поглощения коэффициент 195
—	сечение 195
Подъемная сила 122, 296, 299—301
Поле гармоническое 169
Полеты в верхней атмосфере 421
Полнота 220, 325, 326, 334, 348, 354,
355, 363, 372, 377
Полугрупп мЪтод 439, 440
Полу пространственные	полиномы
144
Помпью производная 362
Потенциалы с обрезанием по углу
204, 234, 437, 461, 467
—	степенные 83, 84, ПО, 204. 209,
465
Поток массы 96, 297, 304, 305
Правдоподобия мера 115, 118, 163
Прандтлевский пограничный слой
222, 287
Прандтля число 114, 224, 286, 287,
359
Прицельный параметр 77, 81, 203,
401
Профиль тонкий 187, 379, 380, 421
Пуазейля течение 334—336, 339, 395,
402, 407—411, 420
Пуанкаре теорема 162
Равновесные состояния 35, 36, 41,
42, 45, 53, 164, 204
«Размазка» 437
Размытого слоя режим 422
Распределения функция одночастич-
ная 43—45, 65, 66, 78, 99, 118, 451
—	— двухчастичная 45, 65, 75
	Л'-частичная 77, 119, 122, 127
—	— 5-частичная 77, 78, 118
—	— усеченная 74, 75
Распыление 126, 451
Рассеяние изотропное 238, 239, 256,
359
Рассеяния сечение 195
—	функция 452, 453, 457, 458
—	— , модель дисперсионная 455,
456
—	— , — зеркально-диффузная 455
	 , — лучевая 455
—	характеристики 155—157

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
491
Расход массы 308, 310, 340, 341,
408—410
Расхода минимум кнудсеновский 341
Реакции химические 80, 102, 126
—	ядерные 80
Рейнольдса число 263
Решения элементарные 226, 320, 324,
334, 341, 375, 376
Риманова поверхность 369
Рэлея волны 347
—	задача 349
Рэнкина — Гюгонио соотношения 291,
411
Света рассеяние 382
Свободного переноса оператор 440
Серое излучение 195, 239
Сечение деления 239
—	дифференциальное 77, 192, 195
Силы аэродинамические 295, 300
—	внешние 71, 165
—	молекулярные 191
—	объемные 71, 100, 151
—	отталкивания 35, 40—41, 47
—	притяжения 35
Синая эргодическая теорема 40, 41
Сингулярные интегральные уравне-
уравнения 326, 355, 384, 385
Скалярное произведение 14, 15, 140
183, 188, 196, 240
Скольжение второго порядка 338,
339
Скольжения коэффициент 286, 332,
334, 350, 397, 398
Скорость массовая 95, 96, 102, 115,
222, 263, 264, 266, 267, 272, 282,
285, 286, 294, 383, 412
—	тепловая 97, 114, 115, 427
—	фазовая 372—374
Слой начальный 268, 275, 279, 280,
283
—	поверхностный 122
—	ударный 268, 279
—	«финальный» 268, 275
Смеси 51, 71, 77, 78, 92, 94, 102,
115, 189, 291, 293, 419
—	с большой разницей масс 293
Соболева производная 362
Собственные значения 142, 145, 183,
205—207, 210, 212, 226, 229—231,
234, 292, 324, 341, 358, 448
—	решения 226
—	— обобщенные 226
—	функции 142, 144, 183, 230, 233,
234, 274, 292, 354, 3G6, 372, 376,
377
Сопротивление 99, 122, 242, 296, 299,
300, 301, 395
Сохранение массы 93, 99, 102, 242,
411
Спектр оператора столкновений 204,
206—211, 217, 225—230, 233, 324,
343, 344, 348, 353, 354, 364, 366—
372, 375
Спонтанная эмиссия 451
Спутник 125, 293, 299
Среднее время свободного пробега
262, 281, 283, 372
Средние значения 13, 17, 18, 35,
53, 69
Средняя длина свободного пробега
28, 29, 52, 55, 74, 111, 207, 222,
224, 261, 262, 268, 282, 283, 286, 288,
293, 305, 312, 328, 332-334, 336,
340, 359, 372, 374, 378, 397, 411,
415
Статистическая механика 11, 12, 34,
52
Стенки жесткие 11, 23, 24. 57. 62.
124, 127
Стирлинга формула 117
Стокса парадокс 377
—	решение 378
—	соотношение 224
Столкновение 23, 24, 28, 29, 40, 58—
61, 65, 68—69, 75
Столкновений инварианты 86, 89,
92 100, 183, 194, 197, 198, 205,
213, 215—221, 232, 233, 235, 264,
265, 354
—	интеграл 81, 293, 465, см. также
Столкновительный член
—	оператор 86, 292, 438, см. также
Столкновительиый член
—	— линеаризованный	182—185,
190, 191, 205, 232, 280, 466
—	— линейный 191
Столкновения кратные 58, 75
—	скользящие 83, 84, 102, 107—
109, 111, 115
Столкновительный член 81, 88, 92,
93, 107, 111, 112, 113, 181, 185,
322
Структура ударной волны см. Удар-
Ударные волны
Струхаля число 262
Существование решения 20, 250, 436,
437, 439, 440, 445, 448, 462, 463,
465, 469, 470
Твердые сферы 23, 24, 26—29, 34, 35,
46, 52, 56, 64, 71, 73, 78, 202, 204,

492
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
209, 229, 234, 235, 250, 261, 375, 405,
406, 425, 427, 437, 446, 448, 459,
461, 462, 465—467, 470, 471, 478
Температура 11, 44, 98, 99, 101, 114,
115, 127, 138, 168, 170, 222, 264,
266, 267, 272, 274, 282, 285, 286,
294, 305, 383, 412
•— адиабатически заторможенного
газа 299
—	поперечная 425, 426
— продольная 423—426
Температурного крипа коэффициент
287
—	скачка коэффициент 286
Тепловой поток 99, 101, 136, 222,
223, 266, 267, 274, 406, 407
Теплоемкости удельные 224, 296
Теплопередача 99, 295, 299, 300, 302,
322, 342, 351
Теплопередачи коэффициент 242
Теплоперенос 402, 403, 406, 411, 419
Теплопроводности коэффициент 84,
101, 223, 224, 235, 291, 292, см.
также Переноса коэффициенты
Термодиффузия 292
Течение гиперзвуковое 400, 421, 424
—	в капилляре 305
	 окрестностях кромок пластины
422, 423
—	околосвободномолекулярное 311,
400
—	свободиомолекулярное 52, 262,
293, 302, 304, 313, 340, 341, 400,
470
—	сдвига 322, 327, 329, 342. 346,
351, 423
Толщина оптическая 228
Трения тензор 129
Уравнение состояния газа 98
Уравнения модельные 111, 112, 250,
284, 286, 291, 320, 351, 352, 359,
396, 418, 448
—	моментыые 353, 391, 392, 414—
417, 424
—	определяющие 101, 102, 224
—	супербарнетовские 275
Усреднение по времени 37
..__ — деталям взаимодействия 34
	неизвестным начальным дан-
данным 11
Фазовое пространство 18, 20,29,38,42
Флуктуации 382
Фоккера — Планка уравнение 102,
106, 154
	член 108, 109, 111, 114, 129
Фотоны 11, 126, 194, 195
Фредгольма альтернатива 473
—	уравнение 338
Функции основные 14, 16, 17
—	Тп 256, 397
Фурье преобразование 231, 246, 247,
249, 371, 376, 377, 381—383, 439
Хаоса молекулярного гипотеза 65, 67
Хевисайда ступенчатая функция 15,
251, 254, 346
Цермело парадоко 163, 164
Частота столкновений 113, 191, 203,
204, 235, 262, 286, 287, 312, 321,
324, 332, 334, 342, 352, 354, 356,
359, 413, 416
Чепмена — Энскога	разложение
269—279, 283—285, 291—293, 379,
424
Четности оператор 240, 243, см. так- .
же Отражения оператор
Шамберга модель 156
Шварца неравенство 194, 213, 443
Шермана аномалия 419
—	формула 420
Шероховатости оператор 458
Эйлера жидкость 101
—	оператор 266
Эйнштейна решетка 453
Экстраполированная длина 334, 359
Электроны 11, 126, 189, 195
Энергии плотность 96
—	поток 80, 82, 83, 96, 98, 99
Энергия внутренняя 41, 44, 80, 97,
98, 102
—	кинетическая 40, 81, 428
—	полная 37, 38, 118, 295, 296
—	потенциальная 46, 81
Энтропия 164, 165, 170
Эргодическая гипотеза 35, 39, 40
Эрмита полиномы 145, 171 —176,
178, 391, 392, 394
ЭС-модель 114, 234, 355, 394, 409
Ядерный реактор 126, 191, 195,	198
Ядро рассеяния 126—130, 136,	141,
143—145, 148, 149, 154, 156,	191,
192, 295, 297
Я-теорема 158—161, 164, 204, 438
Stosszahlansatz 65

Оглавление
Предисловие редактора перевода 	 5
Предисловие 	 7
I.	Основные положения кинетической теории газов	9
1.	Введение		9
2.	Вероятность		12
3.	Фазовое пространство и теорема Лиувилля		18
4.	Твердые сферы и жесткие стенки Средняя длина свободного
пробега	 ...	23
5.	Рассеяние элементарного объема в фазовом пространстве . . .	?9
6.	Временные средние, эргодическая гипотеза и равновесные со-
состояния		35
Приложение		47
Список литературы . . .		50
II.	Уравнение Больцмана	5/
1.	Проблема неравновесных состояний	51
2.	Уравнения для многочастичных функций распределения в газе
из твердых сфер	56
3.	Уравнение Больцмана для газа из твердых сфер	64
4.	Обобщения	71
5.	Структура столкиовительного члена	81
6.	Элементарные свойства оператора столкновений. Инварианты
столкновений 	 86
7.	Решение уравнения Q(f, f) = 0 .	93
8.	Связь между микроскопическим и макроскопическим (газодина-
(газодинамическим) описаниями	95
9.	Необрезанные потенциалы и скользящие столкновения. Урчвне- *
ние Фоккера — Планка	102
10. Модельные уравнения	111
Приложение	115
Список литературы 	 120
III.	Взаимодействие газа с поверхностью и JT-теорема	122
1.	Граничные условия и взаимодействие газа с поверхностью . . .122
2.	Расчет ядер рассеяния	127
3.	Взаимность	130
4.	Одно замечательное неравенство	134

494	ОГЛАПЛЕНИЕ
5.	Граничные условия Максвелла. Коэффициенты аккомодации . 137
6.	Математические модели взаимодействия газа с поверхностью 141
7.	Физические модели взаимодействия газа с поверхностью . . .149
8.	Рассеяние молекулярных пучков	155
9.	Я-теорема. Необратимость	158
10. Равновесные состояния и максвелловские распределения . . .164
Приложение	171
Список литературы	179
IV.	Линейная теория переноса	181
1.	Линеаризованный оператор столкновений	 181
2.	Линеаризованное уравнение Больцмана	184
3.	Линейное уравнение Больцмана. Перенос нейтронов и излучения 189
4.	Единственность решения для задач с начальными и граничными
условиями	196
5.	Дальнейший анализ линеаризованного столкновительного члена 199
6.	Подход к равновесию и спектр оператора столкновений .... 204
7.	Стационарные одномерные задачи. Коэффициенты переноса . . 214
8.	Общий случай . . .	226
9.	Линеаризованные кинетические модели	232
10.	Вариационный принцип	239
11.	Функция Грина	242
12.	Использование интегрального уравнения	250
Список литературы .	258
V.	Малые и большие длины свободного пробега	261
1.	Число Кнудсена	261
2.	Разложение Гильберта	263
3.	Разложение Чепмена — Энскога	 . 269
4.	Обсуждение метода Чепмена — Энскога	?75
5.	Начальные, граничные и ударные слои	279
6.	Дальнейшие замечания о методе Чепмена — Энскога и о вычис-
вычислении коэффициентов переноса	291
7.	Свободномолекулярное обтекание выпуклых тел	293
8.	Свободномолекулярные течения в случае невыпуклых границ . . 302
9.	Околосвободномолекулярные течения	311
Список литературы 	 316
VI.	Аналитические решения модельных уравнений	320
1.	Метод элементарных решений	320
2.	Расщепление одномерного модельного уравнения	321
3.	Элементарные решения простейшего уравнения переноса . . . 322
4.	Применение общего метода к задачам Крамерса и Милна . . . 329
5.	Течение между параллельными пластинами и задача о критиче-
критическом слое	334
6.	Нестационарные решения кинетических модельных уравнений с
постоянной частотой столкновений	 * . 342

ОГЛАВЛЕНИЕ	495
7.	Аналитические решения конкретных задач	346
8.	Более общие модели	Зо1
9.	Некоторые частные случаи	355
10.	Нестационарные решения кинетических модельных уравнений с
частотой столкновений, зависящей от скорости	359
11.	Аналитическое продолжение	367
12.	Распространение звука в одноатомных газах	372
13.	Двумерные и трехмерные задачи. Обтекание твердых тел . . .377
14.	Флуктуации и рассеяние света	382
Приложение	384
Список литературы	387
VII.	Переходный режим	 . .390
1.	Введение	390
2.	Моментный метод и метод дискретных ординат	391
3.	Вариационный метод	395
4.	Методы Монте-Карло	400
5.	Течения и теплоперенос в областях, ограниченных плоскостями
или цилиндрическими поверхностями	402
6.	Структура ударной волны	411
7.	Внешние течения	'	419
8.	Истечение газа в вакуум	42^
Список литературы	4Г8
VIII.	Теоремы существования и единственности	 .43^
1.	Введение	^36
2.	Задачи с начальными условиями	436
3.	Оператор свободного переноса	440
4.	Существование и единственность решения граничных задач . .445
Список литературы	449
Дополнение	~51
I. О взаимодействии газов с твердыми поверхностями. Р. Г. Баранцев 451
П. Теоремы о разрешимости нелинейного уравнения Больцмана.
Я. Б. Маслова	461
Именной указатель	 . . J81
Предметный указатель	-.^7

УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!
Ваши замечания о содержании книги, ее оформ-
оформлении, качестве перевода и другие просим присы-
присылать по адресу:
129820, Москва, И-ПО, rCfl,
1-й Рижский пер., д. 2, издательство «Мир».
ИБ № 952
К. Черчиньяни
ТЕОРИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ
УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА
Редактор Г. М. Ильичева
Художник Н. Я. Вовк
Художественный редактор В. И. Шаповалов
Технический редактор Е. С. Потапенкова
Корректор Е. Г. Литвак
Сдано в набор 26.07.77,	Подписано к печати 20.0J.78.	Бумага тип. № 1 60X90/,
Бум. л. 15,5С, печ. л. 31,00. Уч.-изд. л. 32,14. Изд № 1/9386. Цена 3 р. 10 к. Зак. 706
Издательство «Мир»
Москва, 1-й Рижский пер., 2
Ордена Трудового Красного Знамени
Ленинградская типография № 2 имени Евгении Соколовой
Союзполиграфпрома при Государственном комитете Совета Министров СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли,
198052, Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29,