Текст
                    К.ЧЕРЧШШШИ
ТЕОРИЯ
И ПРИЛОЖЕНИЯ
УРАВНЕНИЯ
БОЛЬЦМАНА


THEORY AND APPLICATION OF THE BOLTZMANN EQUATION CARLO CERCIGNANI Istituto di Matematica Politecnico di Milano, MiJano, Italy 1975 Scottish Academic Press Edinburgh and London
К. ЧЕРЧИНЬЯНИ ТЕОРИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА Перевод с английского Э. А, Гурмузовой, В. П. Мемнонова, Г. Е. Скворцова и И. А. Эндер Под редакцией Р. Г. Баранцева Издательство «Мир» Москва 1978
УДК 533 + 536 Уравнение Больцмана лежит в основе кинетической теории газов и находит широкое применение при изучении таких мате- математически родственных явлений, как перенос электронов в твер- твердых телах и плазме, перенос нейтронов в ядерных реакторах, перенос фононов в сверхтекучих жидкостях, перенос излучения. В новой книге К. Черчиньяни, известного советским читате- читателям по переводу его монографии «Математические методы в ки- кинетической теории газов» (М., «Мир», 1973), осуществляется еди- единый подход к указанным проблемам. Излагаются основы кинети- кинетической теории, рассматриваются граничные условия, линейная теория переноса, решение модельных уравнений, асимптотические методы для нелинейных задач, переходный режим, различные приложения к решению конкретных задач. Книгу целесообразно использовать в качестве учебного посо- пособия по углубленному курсу кинетической теории, а также как справочное руководство для специалистов по прикладной мате- математике, физике и аэродинамике. Редакция литературы по математическим наукам 20204-031 3] © Scottish Academic Press Ltd. 1975 041 @1)-78 " © Перевод на русский язык, «Мир», 1978
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА В сентябре 1972 г. в Вене состоялся международный симпо- симпозиум, посвященный столетию уравнения Больцмана. Труды этого симпозиума!) включают более двадцати лекций крупнейших ученых мира, и речь в них идет не столько об истории уравне- уравнения Больцмана, сколько о современном состоянии проблем, свя- связанных с этим неиссякаемым источником идей и приложений. В математической физике известно не так уж много уравнений, содержание которых со временем неуклонно обогащается. Труд- Трудно указать другое нелинейное уравнение достаточно сложной структуры, сочетающее в себе такие же глубину и общность, как уравнение Больцмана. Продолжая развиваться вглубь и вширь, метод Больцмана часто уподобляется узловой станции, на кото- которой пересекаются пути, идущие по очень разным областям фи- физики и других наук. Выпускаемая в русском переводе книга К. Черчиньяни «Теория и приложения уравнения Больцмана» представляет со- собой попытку объединить достижения разных ветвей метода и изложить теорию уравнения Больцмана в форме, одинаково приемлемой для различных приложений. Хотя изложение по- построено в основном на материале кинетической теории газов, данная книга отличается от предыдущей монографии этого ав- автора2) тем, что здесь содержится более глубокий анализ основ кинетической теории, в большей мере рассматриваются нелиней- нелинейные проблемы, шире применяется уравнение Больцмана для ре- решения конкретных задач. Краткий обзор содержания книги сделан в авторском пре- предисловии. Следует отметить, что почти в каждой главе есть но- новые результаты, принадлежащие автору. Особенно значителен его вклад в линейную теорию переноса (гл. IV) и аналитическое 1) The Boltzmann equation. Theory and applications. Proceedings of the international symposium 00 years Boltzmann equation" in Vienna, 4—8th September 1972 (Cohen E. G. D., Thirring W., eds.), Springer, 1973. 2) Cercignani C, Mathematical methods in kinetic theory, New York, Plenum Press, 1969; русский перевод: Черчиньяни К., Математические методы в кинетической теории газов, М., «Мир», 1973.
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА решение модельных уравнений (гл. VI). Удачные новинки в изложении свидетельствуют о выполненном автором плодо- плодотворном труде по подбору и расположению материала. В конце глав приведены списки литературы, с которой ав- автор имел дело в ходе работы. Так как многие существенные публикации, особенно на русском языке, в этой библиографии не отражены, переводчики и редактор сочли целесообразным до- дополнить списки литературы. Число добавочных ссылок состав- составляет примерно четверть числа авторских. По каждой главе эта литература расположена, как правило, в хронологическом по- порядке. Номера дополнительных ссылок отмечены звездочкой. Переводы на русский язык указаны во всех случаях, за ис- исключением статей из AIAA Journal, поскольку известно, что этот журнал с 1961 г. выходит в русском переводе (изд-во «Мир») под названием «Ракетная техника и космонавтика». Опечатки, замеченные в английском тексте, исправлены без оговорок. Изменения, сделанные в гл. VIII, согласованы с ав- автором. Исследования уравнения Больцмана, ведущиеся в нашей стране, в книге отражены мало. Поэтому перевод снабжен до- дополнением, в котором дан обзор результатов по двум таким на- направлениям, оставшимся вне поля зрения автора. Первая часть дополнения, написанная редактором перевода, посвящена иссле- исследованию законов взаимодействия газов с поверхностями, знание которых необходимо при записи граничных условий для уравне- уравнения Больцмана. Вторая часть, написанная Н. Б. Масловой, со- содержит теоремы о разрешимости начальных и граничных задач для уравнения Больцмана как в линейной, так и в нелинейной постановке. Перевод книги выполнили Э. А. Гурмузова (предисловие и гл. I, VI), В. П. Мемнонов (гл. II, III), Г. Е. Скворцов (гл. IV, VIII), И. А. Эндер (гл. V, VII). Р. Г. Баранцев
Посвящается Сильване ПРЕДИСЛОВИЕ Уравнение Больцмана — интегродифференциальное уравне- уравнение, описывающее поведение разреженного газа, —было выве- выведено Людвигом Больцманом в 1872 г. Оно до сих пор остается основой кинетической теории газов и оказывается плодотворным не только для исследования классических газов, которые имел в виду Больцман, но — при соответствующем обобщении —и для изучения переноса электронов в твердых телах и плазме, пере- переноса нейтронов в ядерных реакторах, переноса фононов в сверх- сверхтекучих жидкостях и переноса излучения в атмосферах звезд и планет. За последние двадцать лет эти исследования привели к значительным достижениям как в новых областях, так и в старой. В настоящей книге дается единый подход к задачам, воз- возникающим в этих областях, причем используются аналогии (каждый раз, когда они существуют) и подчеркиваются разли- различия (когда это необходимо). Однако основная линия изложения связана с классическим уравнением Больцмана, и поэтому под- подробное описание приложений относится почти исключительно к одноатомным нейтральным газам. Но при этом даются соот- соответствующие ссылки на работы, в которых рассматриваются аналогичные задачи, возникающие в других областях, причем особое внимание уделяется переносу нейтронов, газовым смесям и многоатомным газам. В первой главе излагаются основные идеи кинетической тео- теории, дается краткое введение в вероятностные концепции и об- обсуждаются уравнение Лиувилля, средняя длина свободного про- пробега и равновесное распределение. Во второй главе рассматри- рассматривается проблема неравновесных состояний; выводится уравнение Больцмана из уравнения Лиувилля для газа из твердых сфер без предположения о «молекулярном хаосе»1), а затем изла- излагаются основные свойства уравнения Больцмана и дается пред- представление о модельных уравнениях. Обсуждаются родственные J) Фактически автор показывает, что бесконечная цепочка уравнений ББГКИ (Боголюбова — Борна — Грина — Кирквуда — Ивона) имеет решение, удовлетворяющее условию хаоса. — Прим. ред.
ПРЕДИСЛОВИЕ уравнения, такие, как уравнения Больцмана для многоатомных газов, смесей, переноса нейтронов, излучения, а также уравне- уравнения Фоккера — Планка и Власова. Третья глава посвящена граничным условиям. В связи с этим обсуждаются явления, происходящие при взаимодействии газа с поверхностью, и роль, которую они играют при доказательстве //-теоремы Больцмана. В четвертой главе рассматриваются ли- линейные уравнения переноса, в особенности линеаризованное уравнение Больцмана, уравнения переноса нейтронов и излуче- излучения, а также линейные модельные уравнения. Основное внима- внимание уделяется общим аспектам этих задач и их решения. В пя- пятой главе обсуждаются предельные случаи бесстолкновитель- ного и почти континуального течений. Шестая глава посвящена аналитическому решению линейных кинетических модельных уравнений с приложением к ряду задач о течениях газа и рас- распространении звука в разреженных газах. В седьмой главе излагаются приближенные методы решения задач, в которых средняя длина свободного пробега сравнима с некоторой характерной длиной, фигурирующей в задаче (пе- (переходный режим); в частности, подробно обсуждаются течения разреженного газа между параллельными пластинами и коак- коаксиальными цилиндрами, структура ударной волны, задача о пе- передней кромке, истечение газа в вакуум; при этом обращается внимание на сравнение теории с экспериментом. Восьмая — и последняя — глава содержит обзор математически наиболее раз- развитой части теории, связанной с теоремами существования и единственности. Автор надеется, что данная книга будет полезна в качестве учебного пособия по углубленному курсу кинетической теории, а также как справочное руководство для специалистов по при- прикладной математике, физике и аэродинамике, интересующихся теорией и приложениями уравнения Больцмана. Милан, Италия Карло Черчиньяни Ноябрь 1974
I Основные положения кинетической теории газов 1. Введение Согласно молекулярной теории, макроскопический объем газа (скажем, 1 см3) представляет собой систему очень боль- большого числа (порядка 1020) молекул, двигающихся довольно бес- беспорядочно. В принципе, пренебрегая квантовыми эффектами, можно считать молекулы частицами (материальными точками или другими системами с небольшим числом степеней свободы), подчиняющимися законам классической механики. Можно также предполагать, что законы взаимодействия между молекулами полностью известны, так что в принципе эволюция системы вы- вычислима, если заданы соответствующие начальные условия. На- Например, если молекулы являются материальными точками, то уравнения движения имеют вид |/ = Х/| x/ = g,, A.1а) или Х/ = Х,, A.16) где Xi — радиус-вектор 1-й частицы (/= 1, ..., N), а §* — ее вектор скорости; как х*, так и |* являются функциями времени t\ точки сверху, как обычно, означают дифференцирование по /. Здесь Xj — действующая на i-ю частицу сила (на единицу мас- массы). Эта сила в общем случае равна равнодействующей внеш- внешних сил (например, гравитационной или — в случае неинерци- альыой системы — сил инерции, таких, как центробежная и ¦кориолисова) и сил, характеризующих действие других частиц системы на i-ю частицу. Как указывалось выше, выражение для таких сил должно быть задано как часть описания этой меха- механической системы. Для того чтобы рассчитать временную эволюцию системы, нужно решить систему из 6N дифференциальных уравнений пер- первого порядка A.1а) с 6N неизвестными — компонентами 2N векторов (x-hli) (i=l, 2, ..., N). Для этого необходимо за- задать QN начальных условий х,@) = х<°\ х. @) = |,: @) = Ц, A.2)
10 I. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ где компоненты x°t и Щ суть 6N заданных постоянных, описы- описывающих начальное состояние системы. Однако решение такой задачи с начальными данными для реального по порядку величины числа частиц (скажем, 1020) невозможно и бесполезно по следующим причинам. A) Необходимо знать начальные данные х^ и Ц, т. е. ра- радиусы-векторы и скорости всех молекул при / = 0, а получить эти данные трудно даже в принципе. В самом деле, это потре- потребовало бы одновременного измерения координат и скоростей всех молекул в момент времени t = 0. B) Даже если бы, несмотря на предыдущее замечание, ин- информация о начальных данных была доступна, она оказалась бы огромной, и всей человеческой жизни нехватило бы для того, чтобы зафиксировать хотя бы небольшую часть этих данных (допустим, что за секунду можно зафиксировать шесть данных для одной частицы, и заметим, что в году меньше чем 108 се- секунд, так что человеческая жизнь составляет менее 1010 секунд). C) Даже если бы было возможно получить эти данные и за- заложить их в вычислительную машину, кажется невозможным представить себе машину, способную решить такое количество уравнений (подумать только, сколько карточек потребовалось бы для того, чтобы снабдить ее начальными данными!). D) Независимо от того, насколько точно мы измеряем или задаем начальные данные, последние не могут быть абсолютно точными; например, мы никогда не рассматриваем в наших вы- вычислениях больше 100 десятичных значащих цифр, вводя тем самым ошибки аппроксимации порядка 10~100. Вследствие этого нужно рассматривать не эволюцию одной системы, а эволюцию ансамбля идентичных систем, начальные данные которых отличаются друг от друга на величины порядка допускаемых ошибок. Можно показать (разд. 5 настоящей гла- главы), что для системы из 1020 молекул ошибки аппроксимации порядка 10~100 не позволяют рассчитать движение этих молекул в течение времени, большего миллионной доли секунды. E) Даже если бы мы могли работать с бесконечно большим числом значащих цифр (I), в наши расчеты надо было бы вклю- включить все частицы Вселенной. Действительно, согласно Борелю (см. разд. 5), перемещение на один сантиметр одного грамма вещества на не слишком далекой звезде (скажем, Сириусе) при- приводит к изменению типичной силы, действующей на молекулу, большему произведения этой силы на 10~10°, и если мы не захо- захотим включить в наши вычисления все частицы Вселенной (!), то снова возникнут трудности, указанные в предыдущем пункте. F) Даже если преодолеть все указанные трудности и рас- рассчитать последовательную эволюцию рассматриваемой системы,
1. ВВЕДЕНИЕ 11 эта подробная информация будет бесполезной, потому что дан- данные о радиусах-векторах и скоростях отдельных молекул представляют собой информацию, которая не дает нам того, что мы фактически хотим знать, например давление газа на стенку при заданной плотности и температуре. Из всего этого следует вывод, что единственно значимыми и полезными являются статистические данные о поведении мно- многих систем, т. е. информация о вероятностных распределениях. Эту информацию можно получить путем усреднения по области нашего неведения (имея в виду неспособность макроскопиче- макроскопических тел воспринимать некоторые микроскопические детали других макроскопических тел) или по ошибкам, возникающим от пренебрежения влиянием других тел. В результате возможно вычислить лишь средние величины, но только они и нужны (если они связаны с такими макроско- макроскопическими величинами как давление, температура, напряжения, тепловой поток и т. д.). В этом состоит основная идея статисти- статистической механики. Первый тип усреднения, фигурирующий в любом основанном на статистических представлениях исследовании по механике, представляет собой, как подсказывают проведенные выше рас- рассуждения, усреднение по неизвестным начальным данным. Од- Однако для учета взаимодействия частиц в статистическом методе обычно требуются и другие процессы усреднения и предельные переходы. Сюда входит и взаимодействие молекул газа с же- жесткими стенками, ограничивающими область течения и также состоящими из молекул. Таким образом, когда мы имеем дело со статистической ме- механикой, речь идет о вероятностях вместо достоверностей, т. е. в нашем описании нельзя говорить об определенных положении и скорости данной частицы, а только о вероятностях реализации ее различных положений и скоростей. В частности, это справед- справедливо для кинетической теории газов, т. е. для статистической механики молекул газа, и для теории переноса частиц (нейтро- (нейтронов, электронов, фотонов и т. д.). При надлежащих предполо- предположениях информацию, требуемую для расчета средних в этих си- системах, можно свести к решению одного уравнения, так назы- называемого уравнения Больцмана. В случае нейтронов оно часто называется транспортным, в то время как для фотонов обычно используется название «уравнение переноса» (перенос излуче- излучения). Основная цель настоящей книги состоит в том, чтобы дать ведение в математические методы и идеи, связанные с уравне- уравнением Больцмана и в частности с граничными задачами, которые возникают в связи с этим уравнением.
12 I. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ 2. Вероятность Как отмечалось выше, вероятностные представления играют фундаментальную роль в кинетической теории газов и вообще в статистической механике. Общеизвестно, что при вероятност- вероятностном подходе основная трудность состоит в приписывании ве- вероятностей элементарным событиям. В некоторых случаях это тривиально, как, например, в известных опытах по бросанию «правильных» игральных костей или монеты, когда решается вопрос о вероятности выпадения чисел от одного до шести или герба и решетки. Вероятность реализации определенного события равна числу между нулем и единицей, которое на опыте, грубо говоря, можно интерпретировать как относительную частоту появления этого события в большой серии испытаний (в случае бросания мо- монеты Р(г) =Р(р) = ]/2, где Р(г) и Р(р) —вероятности выпа- выпадения герба и решетки соответственно). В случае взаимоисклю- взаимоисключающих событий сумма вероятностей всех возможных событий должна равняться единице, поскольку хотя бы одно из них за- заведомо произойдет (в предыдущем примере выпадет либо герб, либо решетка). Однако необходимо подчеркнуть, что в статистической ме- механике переменные пробегают непрерывное, а не дискретное множество значений (как в случае бросания монеты, когда мно- множество состоит из двух элементов: герба и решетки). Поэтому, строго говоря, вероятность получения любой заданной величины из континуума возможных в общем случае равна нулю; с дру- другой стороны, «сумма» вероятностей должна, равняться единице. Здесь нет ничего странного (или по меньшей мере нового), по- поскольку это утверждение совершенно аналогично тому, что гео- геометрическая точка не имеет длины, в то время как отрезок, яв- являющийся множеством точек, обладает ненулевой длиной. Сле- Следовательно, надо рассматривать вероятность получения резуль- результата, не имеющего фиксированного значения, а заключенного в бесконечно малом интервале (или, более общо, множестве). Эта вероятность будет, вообще говоря, бесконечно малой вели- величиной того же порядка, что и длина интервала (или мера мно- множества). Таким образом, в случае п непрерывных переменных 2ь Z2, •••» zn> т-е- векторной переменной z = (zb ..., zn), сле- следует ввести плотность вероятности P(z), такую, что P(z)dnz представляет собой вероятность того, что z лежит между z и z + dz, причем dnz — объем бесконечно малой ячейки, обозна- обозначаемый также через dzxdz2 ... dzn. В этом случае условие ра- равенства «суммы» вероятностей единице записывается в виде (z)dz = l, B.1)
2. ВЕРОЯТНОСТЬ 13 2 область /г-мерного пространства, которой принадлежит z (возможно, и все n-мерное пространство); верхний индекс п в обозначении элемента объема опущен, так как это не приво- приводит к путанице. Для чего нужна плотность вероятности? Ответ прост: плот- плотность вероятности необходима для вычисления средних — если известна плотность вероятности P(z), то можно рассчитать среднее значение любой заданной функции cp(z) вектора z. Дей- Действительно, средние можно определить формулой (Ф (z)> = ф) = \ Р (z) Ф (z) rfz, B.2) z где ломаные скобки или черта сверху — обычные обозначения усреднения. Иначе говоря, для того чтобы вычислить среднее значение функции, нужно проинтегрировать ее по всем значе- значениям z с весовой функцией, равной плотности вероятности ре- реализации события в dz. Ясно, что это определение согласуется с нашим интуитивным представлением о средних. Рассуждение о плотностях вероятности очень полезно, но на первый взгляд кажется связанным с серьезным неудобством. Иногда оказывается удобным рассматривать весьма идеализи- идеализированный случай, когда некоторые переменные известны с пол- полной определенностью. Тогда, если z достоверно имеет значение Zo, то плотность вероятности для любого z Ф z0, очевидно, будет равна нулю. С другой стороны, должно выполняться условие B.1). Никакая обычная функция не удовлетворяет этим двум условиям одновременно, и если мы хотим рассматривать досто- достоверность как частный случай вероятности, необходимо расши- расширить понятие функции. Требуемое обобщение достигается при помощи так называе- называемых «обобщенных функций» или «распределений». Обобщенные функции могут быть определены различными способами, напри- например как пределы последовательностей достаточно регулярных функций, подобно тому как вещественные числа являются пре- пределами последовательностей рациональных чисел. Поэтому можно сказать, что обобщенная функция g(z) «есть» последо- последовательность {gm(z)} (т = 1, 2, 3, ...) обычных функций в том же смысле, в каком вещественное число а «есть» последователь- последовательность, например, рациональных чисел {ctm}, получаемых усече- усечением десятичного представления а на т-й значащей цифре. Ана- Аналогично тому как при расчетах никогда не оперируют с ирра- иррациональным числом, а используют только его рациональные приближения, вместо «значений, принимаемых обобщенной Функцией», всегда имеют дело с последовательностью аппрокси- аппроксимирующих ее функций. И так же, как мы рассматриваем и
14 I. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ успешно используем сложение, умножение и т. д. действительных чисел, можно ввести и использовать операции над обобщенными функциями. Наиболее важным понятием является понятие скалярного произведения обобщенной функции g(z), определяемой после- последовательностью (g"m(z)}, и достаточно гладкой обычной функции cp(z) (основной функции): <g, Ф)= lim \gm(z)<p(z)dz B.3) для любой основной функции <p(z), для которой существует указанный предел. Обычно предполагается, что множество основных функций плотно в множестве непрерывных функций (т. е. любую непре- непрерывную функцию можно с любой заданной точностью аппрок- аппроксимировать линейной комбинацией основных функций). Для того чтобы последовательность {gm(z)} можно было называть обобщенной функцией (на выбранном классе основных функ- функций), должен существовать предел в правой части уравнения B.3). Для обобщенных функций легко вводится операция сложе- сложения: если g(z) и h(z) являются обобщенными функциями, опре- определяемыми последовательностями {gm(z)} и {/zm(z)}, то их сум- сумма g(z)-\-h(z) определяется последовательностью {g"m(z) + ,+ um(z)}. Однако в общем случае нельзя определить произве- произведение двух обобщенных функций g(z) и /i(z), удается определить лишь произведение обобщенной функции g(z) и обычной глад- гладкой функции ^(z); их произведение представляет собой обобщенную функцию, определяемую последовательностью {i|)(z)gm(z)}, причем основная функция cp(z) для \J)(z)g(z) та- такова, что \|)(z)cp(z) представляет собой основную функцию для ff(z). Наконец, можно определить интеграл от обобщенной функ- функции g(z) по области Z, которой принадлежит z, при условии, что функция u{z), тождественно равная единице в Z, является основной функцией для g(z). В этом случае полагают \ g (z) dz = <g, и) = lim \ gm (z) dz. B.4) Z ? Если <p'(z) — основная функция для g(z), то можно рассматри- рассматривать обобщенную функцию g(z)cp(z), которая допускает в ка- качестве основной, функции u(z) ss 1; согласно B.4), интеграл от g"(z)cp(z) определяется следующим образом: \ g (z) ф (z) dz — lim \ gm (z) ф (z) dz = (g, ф>. B.5) J m->oo J
2. ВЕРОЯТНОСТЬ 15 Следовательно, интеграл от произведения g(z)qp(z) по обла- области 1 равен «скалярному произведению» {g, ф), определенному равенством B.3). Простейшим примером обобщенной функции является так называемая дельта-функция Дирака, которая иллюстрируется плотностью вероятности для упомянутого выше случая, когда /г-мерный вектор z имеет достоверное значение z0. Дельта-функцию 6(z — z0) можно определить при помощи последовательности ^(i) B.6) где Н(х) — ступенчатая функция Хевисайда, равная 1 для х > О и 0 для х <С 0, а Хп — объем n-мерного единичного шара, свя- связанный с площадью поверхности этого шара соп соотношением Хп = (оп/п, причем (см. приложение к настоящей главе) 2nnl2 (л/2-1) (л/2-2) ... {П четное)' B.7) (п нечетное). В частности, при м = 2 имеем со2 = 2я, т2 = я, а при л = 3 имеем со3 = 4я, т3 = 4я/3. Для /г = 1 формула B.7) теряет смысл, но ясно, что п = 2 (одномерный единичный шар сво- сводится к отрезку от —1 до +1). Следовательно, в одномерном случае равенство B.6) принимает вид ) B.8) Эта последовательность для случая г0 = О иллюстрируется рис. 1. Функция 8m(z) равна нулю для z вне интервала (—1/т, 1/т) и равна т/2 внутри этого интервала; интеграл от 8m(z), взятый от — оо до + оо, равен площади соответствующего пря- прямоугольника, т. е. B/т) (т/2) = 1 для любого т. Ясно, что пре- предел последовательности {6т(г)} не может быть обычной функ- функцией: действительно, поскольку этот предел равен нулю при z ?= zQ и + °° при z = го, вряд ли его можно принять за опре- определение функции. Аналогично, в n-мерном пространстве 5m(z — z0) равна нулю вне шара радиуса 1/т с центром в точке z0 и равна тп/хп, т. е. величине, обратной объему этого шара, внутри него. Интеграл От $m(z — z0) по n-мерному пространству соответственно равен единице: $6m(z-z0)dz=i. B.9)
|5 I. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ /77=10 /77=6 /77=3 /77=2 777=1 -Ч -1/2 -1/3 -1/Ю 1/10 1/3 1/Z Рис. 1. Схематическое изображение последовательности функций, аппрокси- аппроксимирующих дельта-функцию. В более общем случае для функции, непрерывной в окре- окрестности точки z0, имеем \ 6 (z — z0) Ф (z) dz = lim ^ 6m (z — z0) Ф (z) dz = cp (z0) B.10) как среднее значение ф(г), когда вероятность сосредоточена в одной точке z = z0. Формула B.10), между прочим, показы- показывает, что для последовательности {5m(z — zoj} все непрерывные функции являются основными. Для того чтобы доказать B.10), заметим, что, в силу непре- непрерывности <p(z), при любом заданном е>0 можно найти такое т, что в замкнутом шаре |z — zo( ^c 1/т равномерно справед- справедливо следующее неравенство: - е <(f{z)- фB0) <е. B.11)
2. ВЕРОЯТНОСТЬ 17 Умножая его на 5m(z — z0) ^ 0, интегрируя результат по /2-мер- /2-мерному пространству и используя равенство B.9), получаем - е < J 6m (г - z0) ф (z) dz - Ф (z0) < е, B.12) откуда, согласно определению предела, следует формула B.10). Прежде чем возвращаться к общему рассмотрению плотно- плотностей вероятности, заметим, что, хотя последовательность {gm(z)} вполне определяет обобщенную функцию, последняя не опре- определяет первую однозначно, т. е. различные последовательности могут иметь пределом одну и ту же обобщенную функцию, ана- аналогично тому как различные последовательности рациональных чисел могут иметь пределом одно и то же вещественное число. Так, дельта-функцию можно было бы также определить через последовательность функций {дт}' Ьт(z - z0) = (тп~Цпехр [- т2 (г - z0J]. B.13) Еще одна последовательность, сходящаяся к одномерной дельта-функции, такова: &т (г - г0) = т/{п [1 + (* - z0J m2]}. B.14) Единственное различие между этими последовательностями и рассмотренной выше связано с основными функциями, которые помимо того, что они непрерывны в точке z = z0, должны удов- удовлетворять дополнительным условиям. В настоящее время по обобщенным функциям существует обширная литература (см., например, [1—3]), хотя часто в ней используются различные подходы к этому понятию; приведен- приведенные выше отрывочные сведения, надо полагать, будут достаточ- достаточными для понимания обобщенных функций в той ограниченной мере, в какой они используются в этой книге. Вернемся теперь к обсуждению плотностей вероятности для того, чтобы ввести приемлемый способ измерения отклонений от среднего значения, определенного равенством B.2). Локальное отклонение от среднего равно ф(г) — ep(z), но мы хотим опреде- определить среднее отклонение; среднее от локального отклонения бес- бесполезно, так как, согласно B.2) и B.1), 5 z) — <p(z)]P(z)dz = jJ9(z)P(z)dz~(p7z) jj P{z)dz = = Ф(^) - Ф(г) = 0. B.15) Среднюю меру отклонений от среднего значения cp(z) можно получить, вычисляя так называемое среднеквадратичное откло- отклонение, квадрат которого определяется следующим образом: -<^)]2 = J [Ф (z) ~ W)f P (z) dz. B.16)
18 I. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ Другой возможный способ измерения отклонения z от z0 при заданной плотности вероятности состоит в вычислении среднего |ф(z) — cp(z)| вместо [cp(z)— ф(г)]2. В общем случае результат не будет квадратным корнем из предыдущего выражения, но квадрат среднего не будет превышать среднего от квадрата. Из формул B.2), B.5) и B.10) следует, что, если P(z) = = 6 (z — z0), то (p(z) = (p(z0). Подставляя в эти формулы вме- вместо <p(z) выражения [cp(z) — (p(z)]2 и |ф(г)—q>(z)|, находим, что [Ф (z) - Ф (z)]2 = [Ф (z0) - Ф (z0)]2 = 0, | ф (z) — "cpTz") | = I Ф (z0) — Ф (z0) | = 0. Таким образом, в том случае, когда плотность вероятности рав- равна дельта-функции, среднее отклонение, независимо от того, как оно определено, оказывается равным нулю, что естественно для плотности вероятности, которая должна представлять достовер- достоверность. 3. Фазовое пространство и теорема Лиувилля Для исследования поведения системы N материальных то- точек, описываемого уравнениями A.1а), удобно ввести так на- называемое фазовое пространство. Оно представляет собой 6N- мерное пространство, образованное 3N декартовыми координа- координатами N радиусов-векторов хг- и ЗА/" компонентами N скоростей |г-. В этом пространстве состояние системы в заданный момент времени t (если оно точно известно) изображается точкой, имеющей 6N координат—компонент радиусов-векторов и ско- скоростей /V частиц. (Часто вместо скоростей рассматривают им- импульсы, но для наших целей это различие несущественно.) Вве- Введем 6Л^-мерный вектор z, который задает положение этой изо- изображающей точки фазового пространства. Ясно, что компоненты z задаются соответственно 3N компонентами N трехмерных век- векторов Хг и 3iV компонентами N трехмерных векторов |г. Из урав- уравнений A.1а) следует, что эволюционное уравнение для z имеет вид где Z представляет собой бАЛмерный вектор, компоненты кото- которого задаются соответственно 3N компонентами N трехмерных векторов Х{ и 3jV компонентами N трехмерных векторов |2-. Если задано начальное состояние, т. е. некоторая точка z0 в фазовом пространстве, то уравнение C.1) определяет значения z во все последующие моменты времени (при условии существования и единственности решения).
3. ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО И ТЕОРЕМА ЛЙУВИЛЛЯ 19 Если точные значения начальных данных неизвестны, то не- необходимо ввести плотность вероятности Pq(z), которая задает распределение вероятности для начальных данных, и попытать- попытаться поставить задачу нахождения плотности вероятности P(z,t) в последующие моменты времени. Для достижения этой цели нужно найти эволюционное уравнение для P(z,/); как будет видно из дальнейшего, это легко сделать, если силы известны, т е. если неопределенность содержится только в начальных данных. Основанный на интуиции способ получения уравнения для P(z, t) состоит в следующем. Заменим изображающую точку не- непрерывным распределением с плотностью, пропорциональной плотности вероятности. Это означает, что система точечных масс заменяется некоторой жидкостью с плотностью, пропорцио- пропорциональной Р, и скоростью z = Z. Тогда закон сохранения массы выражается уравнением 4f + div(PZ)=0, C.2) где, как обычно, для любого вектора и фазового пространства 6N Уравнение C.2) есть уравнение Лиувилля (отметим, что ком- компоненты вектора z являются независимыми переменными). Поскольку div (PZ) = Z • grad P + Р div Z, C.4) где, как обычно, grad P = дР/dz — вектор с компонентами dP/dZi, величина Р удовлетворяет уравнению яр -Of + г • grad Р + Р div Z = 0. C.5) Обычно divZ = 0. Действительно, так как х* и \х — незави- независимые переменные, имеем О-^.х,. о-в) и если сила, отнесенная к единице массы, не зависит от ско- скорости, то (d/dli) -Хг = 0, т. е. divZ = 0, как указано выше. Заметим, однако, что равенство (д/д&)-Х{ = 0 выполняется и для некоторых сил, зависящих от скорости. Одним из наибо- наиболее известных примеров таких сил является сила Лоренца, дей- действующая на заряженную частицу в магнитном поле. В даль- дальнейшем изложении всегда будут рассматриваться только такие
20 I. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ силы, для которых divZ = 0 (как правило, силы, не зависящие от скорости). Поэтому уравнение Лиувилля будем записывать в следующем виде: Уравнение C.7) можно, конечно, переписать в переменных xt и $t: дР 4V? dPLY\ дР О DR\ + L^ + L^0 C8) где дР/дХ{ — градиенты в трехмерном пространстве координат i-й частицы, а дР/д^ — градиенты в трехмерном пространстве скоростей i-й частицы. Чтобы вывести уравнение Лиувилля более строго, заметим, что эволюционное уравнение C.1) определяет в каждый момент времени отображение фазового пространства на себя; при этом отображении каждой точке z0 соответствует точка z = z(z0, 0» в которую в момент времени t приходит точка, находившаяся при t = 0 в точке z0. Отображение является взаимно однознач- однозначным, если, как предполагается в дальнейшем, уравнение имеет единственное решение, соответствующее заданным начальным ус- условиям, как при t < 0, так и при t > 0. (Если уравнение обла- обладает свойством временной обратимости, как в случае сил, не зависящих от скорости, то существование и единственность для t <С 0 вытекают из соответствующих свойств для t > 0.) * Вероятность нахождения точки, представляющей систему, в момент времени t в области R фазового пространства равна Prob (zsi?)=jp (z, /) dz, C.9) R где z<^R, как обычно, обозначает «z принадлежит R». Выше- Вышеупомянутая вероятность равна вероятности нахождения изобра- изображающей точки в момент времени / = 0 в области RQi образуе- образуемой точками z0, которые являются прообразами точек zei? в рассмотренном выше отображении. Действительно, точка может находиться в момент времени t в области R тогда и только тогда, когда в момент времени t = 0 она находилась в Ro. Сле- Следовательно, J Jo(zo)dzo. C.10) Здесь множество точек zEi? совпадает с множеством точек z = z(zo, 0> гДе z0 g i?o- Воспользуемся этим обстоятельством, чтобы произвести в первом интеграле замену переменной интег-
3. ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО И ТЕОРЕМА ЛИУВИЛЛЯ 21 рирования z на z0: J Р (z, /) dz = 5 Р (z (z0, /), 0 / (z/z0) dz0, C.11) где /(z/zo)—якобиан преобразования от старых переменных к новым (или абсолютное значение этого якобиана, если он ока- окажется отрицательным). Поскольку Rq — произвольная область, сравнение формул C.11) и C.10) дает P(z(z0, /), O/(z/zo) = Po(zo). C.12) Так как правая часть этого равенства не зависит от времени, полная производная по времени от левой части должна обра- обращаться в нуль: Здесь аргументами Р являются z и t, а аргументами / — со- соответственно z0 и t. Ниже будет показано, что / Ф 0. Использо- Использовав этот факт, а также уравнение C.1) (заметим, что dzfdt в уравнении C.13) есть производная z по времени при постоян- постоянных начальных данных, т. е. то, что в уравнении C.1) было обозначено через z), получим Вычислим теперь dJ/dt. Пусть /rs — алгебраическое дополне- дополнение элемента dzrjdz°s в якобиане; тогда по правилу дифферен- дифференцирования определителей dt Lj dt \dzl)rS La дг0 I dt \Jrs~ (T~ rs — * / n" — J dz ' * dz dz r, s=l s r, s = l 5 r r=l ""r где в соответствии с уравнением C.1) произведена замена ozr/dt на Zr и использовано известное равенство Jrs = Jdz°sldzr, которое следует из теоремы Лапласа об определителях и пра- правила дифференцирования сложной функции. Подстановка выражения C.15) в уравнение C.13) снова приводит к C.5), т. е. к уравнению Лиувилля C.2). В частно- ти, при divz = 0 получается уравнение C.7). div70n^TH0 заметим, что, как видно из C.15), / = const при s== 0, и поскольку / = 1 при t = 0, это означает, что / = 1 любого /. Следовательно, в случае divZ = 0 объем области
22 I. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ фазового пространства инвариантен относительно отображения, получаемого при движении системы (теорема Лиувилля). Этот результат записывается в виде C.11) при Р= 1: йъ = J / (z/z0) rfz0 = J rfz0. C.16) Уравнение Лиувилля C.7) или C.8) просто утверждает, что в момент времени / в точке z плотность вероятности Р имеет то же значение, какое она имела в момент времени ( = 0 в точке фазового пространства z0, которая переходит в точку z при движении, описываемом уравнением C.1) или A.1а) при условии, что divZ = 0. Действительно, левая часть уравнения C.7) представляет собой производную от Р по времени в си- системе координат, движущейся в фазовом пространстве со ско- скоростью z = Z. Поэтому, если вероятность постоянна в области /?о, то она будет сохранять то же самое значение в области Ru в которую Ro отображается преобразованием, описывающим движение системы в фазовом пространстве; в частности, если при / = 0 плотность вероятности равна нулю всюду, за исклю- исключением z = z0, в последующие моменты времени она будет равна нулю всюду, за исключением z = z(z0, t). Это утвержде- утверждение можно сформулировать также следующим образом: реше- решение, соответствующее начальному условию в виде дельта-функ- дельта-функции (сосредоточенной в z = z0), является дельта-функцией (со- (сосредоточенной в z = z(zo, 0) и ПРИ ^ ^ 0. Таким образом, уравнение Лиувилля представляет собой иную запись уравнений движения, содержащую информацию не только о данном движении, но также о движениях, близких к нему, в смысле, который следует кратко пояснить. Если на- начальные данные известны абсолютно точно, то Р является дель- дельта-функцией в момент времени / = 0 и решение уравнения Лиу- Лиувилля будет дельта-функцией во все последующие моменты вре- времени: точка z = z(z0,/), в которой дельта-функция имеет пик, дает решение уравнений движения (заметим, что для примене- применения уравнения Лиувилля к этому весьма идеализированному случаю необходимо обратиться к понятию производной от обоб- обобщенной функции, которое ради краткости не рассматривалось в разд. 2; однако его можно найти в предыдущей книге автора [4] и в цитированных книгах по обобщенным функциям [1—3]). Если, что более реально, задана просто плотность вероятности начальных данных, то уравнение Лиувилля определяет не толь- только наиболее вероятное движение, но также и распределение отклонений от него.
ТВЕРДЫЕ СФЕРЫ, ЖЕСТКИЕ СТЕНКИ, ДЛИНА СВОБОДНОГО ПРОБЕГА 23 4 Твердые сферы и жесткие стенки. Средняя длина свободного пробега В предыдущих разделах мы рассмотрели случай материаль- материальных точек, которые непрерывно взаимодействуют одна с другой согласно уравнениям движения A.1). Часто бывает удобно рас- рассматривать предельные случаи, в которых между точками про- происходят только дискретные взаимодействия с конечными им- импульсами (жесткие столкновения); при этом силы не могут быть описаны обычными функциями и с уравнением Лиувилля нужно обращаться иначе. Предельный случай жесткого столкновения полезен, так как он дает более наглядное представление об эво- эволюции системы и служит хорошим приближением для интенсив- интенсивных сил отталкивания, с которыми реальные молекулы взаимо- взаимодействуют на близких расстояниях. Эти соображения приводят к концепции газа из твердых сфер, т. е. системы многих «бил- «биллиардных шаров», которые не взаимодействуют на расстоянии и сталкиваются по законам упругого удара. Диаметр сфер о эквивалентен радиусу действия сил взаимодействия реальных молекул. Фактически газ из твердых сфер можно представлять как систему материальных точек, которые не взаимодействуют, если расстояние между ними больше а, и взаимодействуют с формально бесконечной центральной силой отталкивания, когда это расстояние становится в точности равным а, так что боль- большее сближение невозможно. Другой пример мгновенного взаимодействия рассматривается в том случае, когда предполагается, что молекула упруго от- отражается жесткой стенкой. Эта модель менее реальна, чем мо- модель твердых сфер, потому что жесткая стенка имеет макроско- макроскопические размеры и безусловно обладает весьма сложной струк- структурой на микроскопическом уровне. В гл. III будет подробно показано, что эта структура не допускает упругого столкновения с регулярной геометрической поверхностью, изображающей стенку в макроскопическом описании. Несмотря на это, для иллюстративных целей полезно рас- рассмотреть случай абсолютно упругих отражений на жесткой стенке. Если стенка считается неподвижной, то в результате столк- столкновения знак нормальной составляющей скорости изменится, в то время как касательная составляющая останется без измене- изменения. Таким образом, если %' обозначает скорость молекулы пе- РеД столкновением, а § — скорость после столкновения, то §' и 6 будут связаны соотношением ё = Г-2п(п.Г), D.1) пп П~~~~еАиничный вектор нормали к стенке. Равенство D.1) Y то.выражает тот факт, что молекулы зеркально отражаются
24 Т. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ Рис. 2. Зеркальное отражение материальной точки. стенкой (см. рис. 2). Если стенка не покоится, а движется со скоростью и0 относительно системы координат, выбранной для описания движения, то D.1) применяется к скоростям относи- относительно стенки, т. е. g и g/ должны быть заменены на g— u0 и g/ — u0. При этом формула D.1) запишется в виде В случае столкновения между двумя одинаковыми твердыми сферами соотношения, которые связывают скорости после столк- столкновения gi и g2 со скоростями до столкновения g' и gg, имеют вид ^=Г-пГп-(Г-ГI D>3) где п — единичный вектор, направленный вдоль прямой, соеди- соединяющей центры двух сфер (ориентация не имеет значения). Ра- Равенства D.3) получаются при помощи следующих соображений. Согласно законам сохранения импульса и энергии, D.4) Введем единичный вектор п, направленный вдоль g,—g'; это направление делит пополам угол между направлениями |j и —% (следовательно, п — единичный вектор, направлен- направленный вдоль линии, соединяющей центры молекул в момент столк- столкновения, так как предполагается, что импульс направлен вдоль этой линии, что соответствует центральному взаимодействию).
ТВЕРДЫЕ СФЕРЫ, ЖЕСТКИЕ СТЕНКИ, ДЛИНА СВОБОДНОГО ПРОБЕГА 25 При таком определении п имеем g^-nC, D.5) е с скаляр, который необходимо определить. Первое из уравнений D.4) дает УР 12 = % + пС. D.6) Подстановка выражений D.5) и D.6) в D.4) приводит к сле- следующему результату: tf - 2п • %'? + С2 + ^ + 2п . %С + С2 = %'* + ^2. D.7) Одинаковые члены в правой и левой частях взаимно уничто- уничтожаются, что дает ~n-(g;-^)C + C2 = 0. D.8) Следовательно, опуская случай С = О, который соответ- соответствует тривиальному решению уравнений сохранения (отсут- (отсутствию взаимодействия), получаем С = п •(%-%). D.9) Подставляя это значение в D.5) и D.6), приходим к фор- формулам D.3). Покажем теперь, что теорема Лиувилля (сохранение объема в фазовом пространстве) остается справедливой для мгновен- мгновенных взаимодействий, рассматриваемых в этом разделе. Заме- Заметим, что соотношения D.1) и D.3) являются обратимыми, т. е. их можно разрешить относительно отмеченных штрихами пере- переменных и получить Г = !-2п(п.|) D.10) соответственно. Это те же самые уравнения, что и D.1) и D.3), но в них переменные до столкновения и после него поменялись местами. Чтобы получить уравнение D.10), достаточно вычис- вычислить сначала п*!' (это легко сделать, скалярно умножив равен- равенство D.1) на п), а затем подставить результат п|/ = — п-? в D.1). Аналогично, чтобы получить уравнения D.11), вычис- вычислим сначала величину п • (% — IQ чеРез переменные после толкновения; для этого вычтем второе равенство D.3) из пер- Го» что даст соотношение между относительными скоростями i,-|2 = i;-i;-2n[n-(i;-|0]. D.12)
26 I. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ После скалярного умножения на п получаем п • (§[ — ^) = = — п • (|j — g2), а подстановка этого результата в D.3) приво- приводит к соотношениям D.11). Заметим теперь, что в обоих случаях (взаимодействие со стенкой и столкновение двух твердых сфер) составляющие ско- скоростей подвергаются линейному преобразованию, описываемому матрицей А C X 3 или 6X6), элементы которой зависят от п. В обоих случаях сравнение прямых и обратных преобразований (уравнения D.1) и D.10); D.3) и D.11)) показывает, что об- обратная матрица А равна А, т. е. А2 — единичная матрица. Сле- Следовательно, квадрат определителя матрицы А (который является просто якобианом J\ линейного преобразования) равен единице, так что J\ = ±\. Нетрудно видеть, что фактически J\ = —1. Действительно, в первом случае можно использовать в качестве переменных нормальную составляющую скорости, которая при столкновении меняет знак, и составляющие вдоль двух осей в касательной плоскости, которые остаются неизменными, откуда и следует этот результат. Во втором случае можно сначала перейти к переменным I"' = lk A[ + %)> 1= 72 A{ + §2) (СКОРОСТИ Центра масс до столк- столкновения и после него) и V/ = |j —|^ ^==b~h (относитель- (относительные скорости до столкновения и после него). При столкновении новые переменные подвергаются следующему преобразованию: ё = ^5 D.13) V = V' = -2n(n-V'). Первое из этих уравнений совпадает с первым уравнением D.4), а второе — с уравнением D.12). Поскольку |' не изменяется, якобиан преобразования D.13) дается просто якобианом преоб- преобразования от V к V, который равен —1 (так как матрица та же, что и в предыдущем случае взаимодействия с твердой стен- стенкой). Следовательно, /(I, У|Г, V') = -l. D.14) Но если Jo обозначает якобиан преобразований (?[, gQ->(?', V) и (|р |2)->(§, V) (очевидно, что они имеют одинаковый оп- определитель), то для якобиана J\ преобразования D.3) имеем /, = / (|„ 121 ъ\, %) = J (I,, h 11 v) / (I, v i r, vo / (F, v i g;, %)=* = -1. D.15) Якобиан / преобразования фазового пространства, соответ- соответствующий жесткому столкновению, представляет собой произве-
ТВЕРДЫЕ СФЕРЫ, ЖЕСТКИЕ СТЕНКИ, ДЛИНА СВОБОДНОГО ПРОБЕГА 27 . Рис. 3. Зеркальное отражение элемента объема от плоской стенки. дение двух якобианов Jx и /2, соответствующих преобразованиям пространственных и скоростных переменных. Мы показали, что /j = —1, и увидим, что /2 = —1; следовательно, / = 1, и инва- инвариантность объема фазового пространства с учетом C.16) до- доказана. Чтобы показать, что /2 = —1, достаточно рассмотреть слу- случай отражения точки от неподвижной стенки, так как столк- столкновение между двумя твердыми сферами сведется к этому слу- случаю преобразованием переменных х = 1/2(х1 + х2), г = х1 — х2, х/===1/г(х^ + х^), г/ = х[ — х^, если заметить, что х'—>х со- соответствует жесткому движению, агЧг эквивалентно отраже- отражению от неподвижной стенки. Рассмотрим сначала случай отражения материальных точек от плоской стенки; при этом отображение, создаваемое движе- движением, не деформирует бесконечно малую область пространства, но изменяет ее ориентацию (см. рис. 3; достаточно рассмотреть плоскую картину, поскольку изменения происходят в плоскости п ' Следовательно, в этом случае /2 = —1. Отражение от искривленных поверхностей является более ложным, потому что для конечных областей имеет место де- Ф рмация (см. рис. 4). Однако бесконечно малая область пре- ние 3^ется (за бесконечно малый промежуток времени, в тече- ема КОтоРОГО происходит столкновение) в область того же объ- > но противоположной ориентации.
I. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ 'Z? Рис. 4. Зеркальное отражение элемента объема от искривленной стенки. Чтобы показать это, заметим, что можно рассмотреть преоб- преобразование, которое происходит в плоскости (плоскости движе- движения). Так как законы отражения зависят только от ориентации касательной к кривой, от которой происходит отражение, то яко- якобиан будет содержать производные первого порядка от единич- единичного вектора касательной, т. е. самое большее вторые производ- производные от преобразованных координат по исходным. Следователь- Следовательно, границу можно заменить соприкасающейся окружностью; в этом случае якобиан, т. е. отношение объема бесконечно малой области после столкновения к объему соответствующей области до столкновения, вообще говоря, мог бы быть любой конечной безразмерной функцией радиуса этой окружности и угла паде- падения. Но он не может зависеть от радиуса, поскольку невоз- невозможно образовать безразмерную функцию, содержащую един- единственную длину; следовательно, якобиан должен быть одним и тем же для любого значения кривизны, т. е. он должен быть равен величине /i = —1, как при отражении от плоской стенки (что соответствует предельному случаю бесконечно большого радиуса). Рассматривая твердые сферы, удобно ввести понятие длины свободного пробега. Это расстояние, проходимое сферой Si ме* жду двумя последовательными столкновениями. Оно, конечно- зависит от количества сфер в единице объема /г, скорости вЫ'
5 РАССЕЯНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНОГО ОБЪЕМА В ФАЗОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 29 Рис. 5. Сфера действия и средняя длина свободного пробега. бранной сферы S\ и скорости сферы 52, с которой S\ сталки- сталкивается. В связи с этим имеет смысл только понятие средней длины свободного пробега. Простая оценка средней длины свободного пробега / твер- твердой сферы получается в предположении, что другие сферы по- покоятся. Окружая каждую из них сферой радиуса, равного диа- диаметру частиц а, движущуюся сферу S\ можно представлять точкой (рис. 5). Тогда, если 5i проходит в среднем между двумя столкновениями расстояние /, это означает, что в цилиндре с ос- основанием по2 и высотой / находится только одна молекула, а именно 5ь т. е. ппвЧ~\. D.16) Следовательно, средняя длина свободного пробега приближенно определяется формулой ^ DЛ7) 5. Рассеяние элементарного объема в фазовом пространстве Рассмотрим материальную точку, движущуюся вдоль неко- некоторой оси между двумя жесткими стенками. Пусть а: — абсцисса точки, ? — скорость, ±1 — абсциссы сте- стенок. Изобразим эволюцию этой системы в фазовой плоскости (см. рис. 6). Предположим, что начальное состояние системы задано неточно, но известно, что точка, соответствующая на- начальному состоянию, лежит в прямоугольнике 0<*<Дх, &o<g<go +Ag. E.1) кам Означает> что начальные условия для х и g задаются с ошиб- д .и> Не превосходящими Да' и Д? соответственно. Исследуем формацию этого прямоугольника в результате движения, т. е.,
30 I. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ о, s s ir1 о» в! О tf о и Он Si g3 3 CD «•§• о К Д о.
б РАССЕЯНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНОГО ОБЪЕМА В ФАЗОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 31 иначе говоря, эволюцию неопределенности состояния системы. Если на время пренебречь влиянием стенок (что приводит к дви- движению с постоянной скоростью), то точка, находящаяся при ^0 в (*,?)> в результате движения перейдет в точку (х + ?/, г). Матрица Якоби рассматриваемого преобразования имеет вид 1 / 0 1 E.2) а определитель, очевидно, равен единице, как и следовало ожи- ожидать (в силу теоремы Лиувилля). В момент времени t положе- положение точки будет известно с ошибкой Ах -\- /Д?, а скорость — с ошибкой Д?. Рис. 6 иллюстрирует эту ситуацию. Поскольку точ- точки с большими значениями g движутся быстрее, начальный пря- прямоугольник деформируется и образуется параллелограмм с теми же основанием и высотой и, следовательно, с той же пло- площадью. В момент t = х получается показанное на рис. 6 распре- распределение, наклон которого увеличивается с течением времени. Поскольку мы пренебрегли влиянием стенок, параллелограмм будет выходить за пределы интервала (—/, /) (см. незаштрихо- ванную площадку, соответствующую t = Зт). Чтобы перейти к случаю движения с отражением, достаточно рассмотреть движение без отражения, разрезать полосу ?о < < I < 5о + Д? на куски длины 2/ и затем помещать их пооче- поочередно на часть полосы между —/ и / и ее зеркальное отражение относительно оси х. При этом отражение переводит точку (/, ?) в (/, —g), а (—/, —|) в (—/, g). Таким путем можно получить распределения, соответствующие / = 2т, Зт, 4т, 5т, 6т (изобра- (изображенные на рис. 6) и т. д. С течением времени при движении область становится все уже и уже и, наконец, распадается на слои. Действительно, к некоторому моменту времени точки со скоростью ?о + ДЕ отра- отразились п -f- 1 раз, в то время как точки со скоростью ?0 еще не отразились n-й раз (см. рис. 7). Вообще, в некоторый момент времени точки со скоростью So + Д? отразятся на несколько раз больше, чем точки со ско- скоростью g0, что приводит к картине, схематически изображенной на рис. 8. Область распадается на большое число «нитей», ко- которые стремятся заполнить два прямоугольника ?о < I < ?о + Н-Д|, -go —Ag<g<-|0 (—Kx<l). Случай движения материальной точки в двух- или трехмер- ом пространстве значительно сложнее, поскольку для него от- отсутствует геометрическое представление фазового пространства. Ри движении в двух измерениях фазовое пространство четы- ^ ХМерно, однако, не рассматривая величины скорости, ошибка °торой постоянна во времени, эволюцию в фазовом простран-
32 1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ Рис. 7. Более поздняя стадия временной эволюции, начальная картина кото- которой изображена на рис. 6 (/ = 24т). Точки со скоростью ?0 + &1 уже отра- отразились п + 1 раз, в то время как точки со скоростью ?0 еще не отразились п-\\ раз. Рис. 8. Дальнейшая эволюция состояния системы, рассмотренной на рис. 6 и 7 (/ = 179т). Первоначальный прямоугольник распадается на большое число «нитей», которые стремятся заполнить всю доступную часть фазового про- пространства. стве можно представить трехмерной картиной. Для этого доста- достаточно построить траектории с координатами х и у в качестве абсциссы и ординаты декартовой системы и углом а между век- вектором скорости и осью х в качестве третьей координаты.
5. РАССЕЯНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНОГО ОБЪЕМА В ФАЗОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 33 Уравнения, описывающие движение при отсутствии стенок, таковы: у —yo-{-tR s'ma, а = а0, F.3) где Хо, Уо, &о — начальные значения я, у, os, a R — константа, связанная со скоростью. Если начальные данные расположены в интервалах между Хо, Уоу &0 и хо + Ах, уо + Д#, а0 + Да, то изображающая точка в момент времени t будет находиться в параллелепипеде (при Да <С 1) с двумя ребрами (длины Ах и Д#), параллельными пло- плоскости (х,у), но очень наклонном, поскольку его основания дви- движутся с различными скоростями. И снова через достаточно большое время параллелепипед превратится в очень длинный тонкий стержень, а с учетом отражений от стенок прямоуголь- прямоугольного ящика этот стержень распадется на большое число нитей. Точно такая же картина наблюдается при движении в трехмер- трехмерном ящике. При отражении от искривленной поверхности возникают до- дополнительные эффекты рассеяния, особенно если поверхность выпуклая и имеет малый радиус кривизны. Этот случай особен- особенно важен, так как он соответствует столкновению между двумя твердыми сферами; как было указано в конце разд. 4, рассмат- рассматриваемую сферу можно заменить точкой, сталкивающейся со сферической поверхностью радиуса а, равного диаметру твердых сфер (которые считаются одинаковыми). Элемент объема (в физическом, а не в фазовом простран- пространстве) за время свободного пробега после столкновения увели- увеличивается в 12/о2 раз (где / — средняя длина свободного пробега, введенная в конце разд. 4) в результате расхождения двух пер- первоначально параллельных прямых, проходящих через две раз- различные точки сферы и, следовательно, соответствующих различ- различным углам падения (см. рис. 4, где этот эффект пропорционален Ifa, так как, по предположению, движение происходит во вполне определенной плоскости). Вследствие этого т столкновений при- приводят к увеличению объема области, в которой может находиться частица, в A/оJт раз. Разумеется, этот объем является проек- проекцией из шестимерного фазового пространства частицы в физи- физическое, а соответствующая этому объему область в фазовом про- пространстве будет очень «длинной» (первоначальная «длина» ум- умножается на A/о)т) и очень «тонкой» (первоначальная «тол- Щина» умножается на (а//)т). При движении между жесткими танками область, представляющая нашу систему в фазовом Ространстве, должна складываться. ЛИ ^° ^ (чт0 является вполне допустимой оценкой для между длиной свободного пробега и диаметром мо- Не слишком плотного газа), то коэффициент уменьшения
34 I. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ толщины полос, образующих фазовую область нашей системы, будет величиной порядка 10~1000 после тысячи столкновений, т.е. для твердых сфер, представляющих молекулы газа при нор- нормальном давлении и температуре, через миллионную долю се- секунды. Число полос, на которые разбивается фазовая область возможных состояний данной молекулы, следовательно, будет порядка 101000. Э. Борель, которому принадлежат эти соображения [5, 6], до- добавил следующее интересное замечание. До сих пор мы пред- предполагали, что неопределенность содержится только в началь- начальных данных, в то время как дифференциальные уравнения дви- движения точно известны и разрешимы. Это означает не только то, что нам точно известны законы взаимодействия между любыми двумя частицами, но также и то, что мы включаем в дифферен- дифференциальные уравнения движения силы, действующие на частицы нашей системы со стороны любых других масс Вселенной и способные существенно изменить движение. Для того чтобы оценить значение последнего утверждения, заметим, что перемещение на один сантиметр одного грамма вещества на какой-либо звезде (скажем, Сириусе) приводит к изменению гравитационного поля Земли, превышающему произ- произведение типичной силы, наблюдаемой в повседневной жизни, на 10~100. Следовательно, если мы не хотим в качестве нашей си- системы рассматривать всю Вселенную, то невозможно избежать флуктуации порядка 10-100%. Но расслоенная на узкие ленты структура, в которую превращается область фазового простран-' ства, состоящая из первоначально очень близких одна к другой точек, представляется слишком тонкой, чтобы сохраниться; че- через миллионную долю секунды Ю1000 лент, теоретическая тол- толщина которых составляет 10~1000 начальной толщины, перекры- перекрываются и отображение первоначально небольшой области прак- практически целиком заполняет всю доступную часть фазового про- пространства, а не только область объема, равного начальному, как следовало бы из идеализированного расчета. Таким образом, плотность в фазовом пространстве не сохраняется, и мы полу- получаем распределение, значительно менее плотное, но гораздо бо- более «растянутое», чем первоначальное. Такое же замечание справедливо по отношению к погрешно- погрешностям в вычислениях; если мы работаем со ста значащими циф- цифрами, то вносим ошибки порядка Ю-100 и возникает упомянутое выше перекрывание лент в фазовом пространстве. Для того чтобы исследовать коллективные свойства рассмат- рассматриваемых молекул, устойчивые относительно небольших воз- возмущений, недостаточно усреднять только по начальным усло- условиям— необходимо усреднение и по деталям взаимодействия. Это задача статистической механики. Заметим, однако, что при-
6. ЭРГОДИЧЕСКАЯ ГИПОТЕЗА И РАВНОВЕСНЫЕ СОСТОЯНИЯ 35 веденные соображения справедливы для систем из твердых сфер вероятно, могут быть распространены на системы материаль- материальных точек, между которыми действуют интенсивные коротко- короткодействующие силы отталкивания; но только после тщательной проверки можно попытаться распространить их на системы то- точек, между которыми действуют силы притяжения, стремящиеся внести устойчивость и, следовательно, приводящие к более упо- упорядоченному поведению. Физически это означает, что мы нахо- находимся на верном пути, пока речь идет о газах, в то время как исследование жидкостей и твердых тел требует совершенно иного подхода. 6. Временные средние, эргодическая гипотеза и равновесные состояния Если принять гипотезу, что газ состоит из большого числа молекул (материальных точек или твердых сфер), то любая фи- физическая величина, характеризующая газ, должна определяться в данный момент времени совокупностью значений координат и скоростей молекул. Задача вычисления этих величин приводит к методологическим проблемам, обсуждавшимся в разд. 1 и 5. Для того чтобы в какой-то мере избежать этих трудностей, заметим, что измерение физической величины осуществляется не мгновенно, а требует некоторого промежутка времени, кото- который, сколь бы малым он нам ни казался, как правило, очень велик по сравнению с характерными временными масштабами, связанными с эволюцией системы. Последняя претерпевает су- существенные изменения за промежуток времени, необходимый для измерения, что приводит к большим изменениям измеряе- измеряемой величины. Таким образом, экспериментальные данные не- необходимо сравнивать не с отдельными значениями функций ко- координат и скоростей, а со средними значениями этих функций по относительно большим интервалам времени. Это означает, что вместо плотности вероятности Я, рассмотренной в разд. 3, следует ввести ее среднее по времени на промежутке т: t+x p o=4" S p{z< '•>*•• FЛ) Если, величина т постоянна для всех моментов времени и точек фазового пространства, то, интегрируя уравнение Лиувилля w<7) по времени и используя перестановочность операций диф- дифференцирования по z и усреднения по т, получаем ' ±t+T)-P{z, f)] + Z.|?-=O F.2)
36 Т. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ при условии, что Z не зависит от времени (т. е. что силы не за- зависят от времени) Из F.1) следует, что EL = Р (z, t + x)-P (z. t) F>3j и равенство F.2) показывает, что P(z, t), как и P(z, t), удовлет- удовлетворяет уравнению Лиувилля. Единственное отличие состоит в том, что начальное условие теперь задается функцией P(z, O) = 4JP(z,/i)*i, F.4) о в общем случае более гладкой, чем P(z, 0) (которая уже яв- является гладкой, так как содержит неопределенность начальных координат и скоростей). Следовательно, усреднение по времени сводится к дальнейшему усреднению начальных данных. Если т достаточно велико, то новое усреднение, как следует из приме- примеров разд. 5, будет стремиться к распространению вероятности по всей области, доступной этой системе. В частности, когда система находится в макроскопическом равновесии, так что лю- любое макроскопическое измерение дает результаты, не зависящие от времени измерения, можно взять т сколь угодно большим, т. е. положить т->оо. В этом случае из F.3) следует, что dP/dt^O, если P(z,0) ограничено почти всюду; действительно, величины P(z,/ + т) и P(z, t) таковы же, как и P(z, 0), и, следовательно, ограничены, поскольку, как мы видели в разд. 3, рассматриваемое движение переводит начальные значения P(z, 0) в различные точки, не меняя их величины. В соответствии с этим в состоянии равновесия после пере- перехода в F.1) к пределу при т->оо величина Р не зависит от вре- времени и удовлетворяет стационарному уравнению Лиувилля: Z-|f = O, F.5) ИЛИ Если бы удалось найти общее решение стационарного урав- уравнения Лиувилля Р = P(z) = Р(хг-, §г), то задача вычисления равновесного распределения, по-видимому, оказалась бы решен- решенной. Нетрудно указать рецепт для нахождения этого общего решения, но этот рецепт невозможно практически использовать. Прежде всего заметим, что функция P(z) удовлетворяет уравне- уравнению F.5) тогда и только тогда, когда она является интегралом
6. ЭРГОДИЧЕСКАЯ ГИПОТЕЗА И РАВНОВЕСНЫЕ СОСТОЯНИЯ 37 движения для нашей системы, т. е. функцией координат и ско- скоростей, производная по времени которой тождественно обра- обращается в нуль, когда z изменяется в соответствии с уравнениями движения C.1). Действительно, если z = z(t) удовлетворяет уравнениям C.1), то дР дР dz 7 дР ,fi -v так что равенство dPjdt = О приводит к F.5) и обратно. При наличии k функционально независимых интегралов дви- движения 1\, /2, /з, ..., /ft общее решение уравнения F.5) или F.6) имеет вид Р = /(/,, /2, ...,/*). . F.8) Однако существует трудность, которую нелегко преодолеть. Она состоит в том, что система из N взаимно не связанных то- точек, обладающая 3N степенями свободы, имеет 6ЛГ— 1 интегра- интегралов движения. (В самом деле, можно разрешить 6N скалярных соотношений, соответствующих векторному равенству z = = z(z0, t), что даст zo = zo(z, t), и затем использовать одну из компонент для исключения t.) Вычисление этих 6N—1 функ- функций от z столь же безнадежная задача, как и вычисление вре- временной эволюции системы. Допустим, однако, что мы знаем эти функции и что для данной системы в состоянии равновесия в качестве /j берутся величины //; тогда _ 6ЛГ-1 Р-ДП^^/Г), F.9) где А — нормировочный множитель, который должен выбирать- выбираться таким образом, чтобы \Pdz—\. Выражение F.9) опреде- определяет плотность вероятности, которая очень близка к «достовер- «достоверности» и которую можно было бы использовать, если бы только удалось экспериментально измерить 6N—1 величин, но при этом возникают те же трудности, что и обсуждавшиеся выше в связи с определением начальных условий. Существует, однако, обстоятельство, смягчающее все эти трудности. Одним из интегралов движения системы является полная энергия, которая хорошо известна и имеет вполне опре- определенный физический смысл. Для системы точек с короткодей- короткодействующими силами отталкивания оказывается, что все другие; интегралы движения отличны от полной энергии в том смысле,. что они являются весьма специфическими функциями, поверх-; ности уровня которых в фазовом пространстве сколь угодно близко подходят к любой точке данной поверхности постоянной
38 I. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ энергии (импульс и момент импульса можно или исключить из интегралов движения, если заключить эту систему в жесткий неподвижный ящик, или учесть тем же способом, что и энер- энергию). В качестве примера рассмотрим материальную точку в пря- прямоугольном ящике с зеркально отражающими стенками (рис.9). Ее движение можно описать уравнениями E.3), если учесть эффект отражения от стенок. Это можно сделать следующим формальным приемом: из E.3) вытекает, что если а и Ь— сто- стороны прямоугольника, то и = sin {ж) = sin {"W (*° + Rt cos a°0 ' F.10) v = sin (j^.) = sin [^- (y0 + Rt sin a0) J , где —a ^ x ^ a, —b <<: у <c:b, так что х и у можно заменить новыми координатами и и v. При этом эффект отражения учи- учитывается автоматически, ибо при х0-{-Rt cos ао > а значение и будет соответствовать точке с абсциссой 2а—(х0 + Rt cos ao), как и должно быть после отражения в точке х = а. В этом примере помимо рассмотренных интегралов движе- движения (т. е. полной энергии и а = сс0) еще один интеграл полу- получается исключением t из F.10). Проекция поверхности уровня на физическую плоскость есть не что иное, как траектория, со- соответствующая заданным начальным условиям; из рис. 9 ясно, что траектория будет проходить достаточно близко к любой точке прямоугольника, если отношение (b cos ao)/(asin ao) не является рациональным числом; если это отношение иррацио- иррационально, то траектория подходит сколь угодно близко к любой точке прямоугольника. Это справедливо также и для плоско- плоскости (и, v), в которой траектории не кусочно прямые, а кривые; здесь уравнения F.10) представляют траектории движения, по- получаемого наложением двух ортогональных гармонических дви- движений с частотами R/Da), R/Db), т. е. в результате возникают общеизвестные фигуры Лиссажу, которые, как мы знаем, яв- являются плотными в квадрате —1 < и < 1, —1 < v < 1, если отношение между частотами — иррациональное число. Ясно, что интегралы движения такого же вида, что и инте- интеграл, соответствующий рассмотренной выше траектории, не пре- препятствуют достижению любой области фазового пространства. Кром того, если не существует предпочтительных областей, т. е. если соответствующие траектории проходят одинаковое число раз (в течение длительного времени) через каждую область заданных размеров, то эти интегралы не накладывают никаких ограничений на какую-либо физически измеряемую величину и,
W Рис. 9. Эволюция в физическом пространстве материальной точки, движу- движущейся в прямоугольном ящике с зеркально отражающими стенками. На верхнем рисунке изображена физическая (х, #)-плоскость, па нижнем — вспо- вспомогательная (и, у)-плоскость.
40^ 1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ следовательно, не должны приниматься во внимание при вычис- вычислении равновесной плотности вероятности P(z). В частности, если для всех интегралов движения, за исклю- исключением полной энергии, не существует предпочтительных обла- областей фазового пространства (эргодическая гипотеза), то равно- равновесное распределение зависит только от полной энергии Е и имеет вид P(z) = A6(E-Eo), F.11) где Ео— (экспериментально измеримое) значение полной энер- энергии. Недавно Я- Г. Синай [7—8] доказал, что эргодическая гипо- гипотеза, приводящая к соотношению F.11), верна (и, следова- следовательно, переходит в эргодическую теорему) для систем из твер- твердых сфер в неподвижном зеркально отражающем ящике. Его доказательство сложно и длинно и потому выходит за рамки данной книги; при помощи интуитивных рассуждений мы попы- попытаемся только показать правдоподобность результатов. Прежде всего, достаточно ясно, что в физическом простран- пространстве не будет предпочтительных областей, если хмы исключим весьма специфические множества начальных данных меры нуль (это уже верно для нашего простого примера одной точки в пря- прямоугольном ящике); следовательно, Р будет зависеть не от про- пространственных координат Хг, а только от N скоростей §;. При каждом столкновении функция скоростей двух частиц остается постоянной тогда и только тогда, когда она зависит лишь от полного импульса {гп$х + тД' = т1§1 + т2^) и полн°й кинетиче- кинетической энергии G2^i2 + 72^22 = 1/2>и1??+ Чч^Ц) ДВУХ м°лекул. Поскольку это справедливо для любой пары /, / (i,/ = 1,... ...,УУ), все функции, которые сохраняют постоянное значение и устойчивы относительно начальных данных, должны быть N функциями полного импульса 2 т^} и полной кинетической N энергии 7г 2 тШ (фактически все интегралы движения не должны зависеть от того, какие частицы сталкиваются, а столк- столкновение между двумя частицами в заданный момент времени в значительной степени зависит от начальных условий и, сле- следовательно, не может быть описано точно, если начальные усло- условия известны приближенно). Однако при столкновениях со стен- стенками полный импульс не сохраняется, так что Р зависит только от полной кинетической энергии. При предположении, что ?0 можно измерить точно, отсюда следует соотношение F.11). Рассуждения такого рода можно распространить и на мо- молекулы с интенсивными короткодействующими силами оттал-
6. ЭРГОДИЧЕСКАЯ ГИПОТЕЗА И РАВНОВЕСНЫЕ СОСТОЯНИЯ 41 кивания, поскольку потенциальная энергия, соответствующая этим силам, мала по сравнению с кинетической, за исключением областей пренебрежимо малого объема (которые заполняются за очень короткое время). Строгое доказательство пока отсут- отсутствует, но есть основания ожидать, что теорема Синая можег быть обобщена и на этот случай. При комбинации сил отталки- отталкивания и притяжения справедливость эргодической гипотезы не очевидна, и эта гипотеза, вообще говоря, не верна для систем с конечным числом степеней свободы (вопрос о том, ведет ли к эргодичности предельный переход УУ->оо, остается откры- открытым). Мы будем рассматривать только случай механических си- систем, моделирующих поведение достаточно разреженных газов, и примем на веру справедливость эргодической гипотезы. Для описания равновесного состояния газа воспользуемся плотностью вероятности F.11). Чтобы подчеркнуть зависимость от числа частиц, будем писать PN вместо Р (черту можно опу- опустить без ущерба для понимания) и AN вместо А. Благодаря предположению о малости потенциальной энергии всюду, за исключением пренебрежимо малых объемов, имеем где \i* = rrij/ffi, tn = [Yi mi ImV — N(&y F.12) i средняя масса и введена энер- гия, рассчитанная на единицу массы: с- ** - \ N — Mm 1 которая является макроскопической величиной и точное значе- значение которой может считаться известным. Как указано выше, AN — постоянная, определяемая из условия dl{ ...dlN\dx{... dxN = l. F.13) Интеграл по пространственным переменным xj, ..., Xjy дает для каждого из них множитель V — объем ограничивающего ящика, а для вычисления интеграла по скоростям в F.13) введем пе- переменные У/= Vl1/ §/ и запишем N / N \ anvn П »f'' И П 'Л -2Ne) rfyi • • • а*к=! • F-{4)
42 I. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ Переходя в ЗУУ-мерном пространстве скоростей от декарто- декартовых координат, компонент векторов yj, к полярным, имеем I у) = Р2, dYl ... dyN = рзл^-i dpd^Q, F.15) где р — радиальная координата, a d3NQ— элемент поверхности единичного ЗУУ-мерного шара. Следовательно, уравнение F.14) принимает вид ANVN Д ^г3/* ^ 6 (р2 - 2Ne) p3^-1 dp J d™Q = 1. F.16) Обозначая через cosn поверхность единичного ЗЛ^-мерного шара (см. формулу B.6) и приложение) и используя одномерное уравнение B.9) (с z = p2, dz = 2pdp), получаем А»Ч-(Й *?•)№)*"-**«** = I F.17) откуда й Эта формула дает решение задачи о вычислении плотности ве- вероятности в фазовом пространстве для статистически равновес- равновесного газа. Однако в этой форме она не очень наглядна; преоб- преобразуем ее, чтобы извлечь полезную информацию. Допустим, мы выбрали наугад молекулу (не рассматривая других молекул) и интересуемся плотностью вероятности Р{м гого, что она имеет скорость между | и i + di и расположена между х и х + dx; это означает, что надо «просуммировать» PN по всем возможным положениям и скоростям всех молекул, кроме выбранной. Пусть выбранная молекула характеризуется величинами хь |ь что всегда можно сделать за счет маркировки молекул. Затем про- проинтегрируем по всем координатам и скоростям частиц с индек- индексами 2, 3, ..., W: P{n = J PN dli ... dlN J dx2 .. . dxN = = AnVn~1 \ «I E *$ - 2Ne F.19)
6. ЭРГОДИЧЕСКАЯ ГИПОТЕЗА И РАВНОВЕСНЫЕ СОСТОЯНИЯ 43 Последний интеграл отличается от предыдущего лишь тем, что интегрирование проводится не в ЗЛ^-мерном, а в (ЗЛ^ — 3)-мер- 3)-мерном пространстве и вместо 2Ne появляется 2Ne — \ifcf. Следовательно, вместо F.18) имеем /N-\ . — м ?2\CW-5)/2 . (при g? < 2Ne/ii{), F.20) (при % где второе соотношение обусловлено тем, что при ^ > 2Ne/\i[ аргумент дельта-функции, входящей в равенство F.19), нигде не равен нулю, так что интеграл обращается в нуль. Формула F.20) показывает, что, хотя случайная молекула с одинаковой вероятностью может находиться в любой точке пространства, занимаемого газом (Р{м не зависит от Xi), рас- распределение по скоростям отнюдь не является равномерным. Если сделать небольшое отверстие в любой точке границы и выпустить небольшое количество молекул (небольшое по сравнению с общим числом), измеряя их скорости и строя рас- распределение молекул по скоростям, то, повторяя испытание до бесконечности, в пределе получим, что плотность вероятности обнаружить скорость молекулы в интервале (§i,li+d|i) дей- действительно зависит от §i и дается формулой F.20). Фактически здесь нужно действовать несколько аккуратнее, так как после удаления молекул формулу F.20) применять нельзя, ибо она относится к газу, содержащему точно N моле- молекул. Однако удаление небольшого числа молекул не должно вызывать беспокойства; следует ожидать, что при больших N небольшое изменение числа молекул не повлияет существенно на F.20). Математически это означает, что должен существо- существовать предел при А^->оо; физически — что этот предел можно использовать в качестве функции распределения. (Второе утвер- утверждение оправдывается большим числом молекул, которые обычно рассматриваются, первое — непосредственным вычисле- вычислением предельной формы F.20).) Подставляя в F.20) выраже- выражение F.17) для Лдг, получаем -—) „ f~3. F.2i)
44 I. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ Далее, vCA/-5)/2 ^^-ш ^ yV->oo L д;__>0о и, как показано в приложении, lim ^Щ^ = (—^\ \ F.23) Следовательно, полагая РA)= lim Pft, F.24) получаем F.25) Рассматривая другую молекулу с массой m2 = j^m, мы по- получили бы аналогичное распределение с \х2 вместо \х\. Пара- Параметр е, энергия на единицу массы, входит во все распределения по скоростям независимо от массы выбранной молекулы; это означает, что е представляет собой величину, которая прини- принимает одно и то же значение для каждого из нескольких газов, находящихся в контакте друг с другом при тепловом равнове- равновесии. Иначе говоря, е должна быть функцией температуры смеси и может зависеть от средней массы т, но не от масс отдельных молекул. Из макроскопического уравнения состояния совершен- совершенного газа, которое будет рассмотрено ниже (разд. 8 гл. II), сле- следует, что e = 3/2RT, F.26) где R — газовая постоянная, связанная со средней молекуляр- молекулярной массой m и универсальной постоянной Больцмана k (k = = 1,38-Ю-23 Дж/К) соотношением R = k/tn. F.27L (Универсальность k вытекает из того факта, что если привести в контакт два газа с одинаковой температурой Г, то Т оста- останется неизменной, в то время как полная энергия Nine будет суммой энергий этих газов, скажем N\fri\e\ и /V2m2e2, и Nin = = Nxfni + N2m2, N = /Vi + N2.)
6. ЭРГОДИЧЕСКАЯ ГИПОТЕЗА И РАВНОВЕСНЫЕ СОСТОЯНИЯ 45 Если выражение F.26) подставить в формулу F.25), то по- последняя сведется к формуле Максвелла для распределения по скоростям, которая будет подробно обсуждаться в гл. III. В дополнение к одночастичной функции распределения P(n ^ д фуц рр (или ее пределу Р^) стоит сказать несколько слов о двухчас- двухчастичной функции распределения Р{м\ определяемой как плот- плотность вероятности того, что скорости двух случайно выбранных молекул заключены в интервалах |j и §1 + d%\ и %2 и §2 + ^12 соответственно, а координаты — в интервалах xi и xi + dx\ и х2 и х2 + dx2 соответственно независимо от положе- положений и скоростей остальных N — 2 молекул. Это означает, что надо «просуммировать» PN по всем возможным положениям и скоростям всех молекул, кроме двух выбранных. Тогда Р®(х„ х2; gp !2) = $/>„<%••• d%Ndx3... dxN = V-*AN Ц (при |2 + Щ < 2Ne), F.28) B)(х,, х2; ?„ |2) = 0 (при !? + !?> 2^е), где вычисления аналогичны предыдущим. Далее, положив IV->oo и перейдя к пределам (первый аналогичен F.22), вто- второй можно найти в приложении) Пш (.-? найдем, что рИ - it,р» - i, %\) Таким образом, мы получили замечательный результат: в газе из очень большого числа молекул в равновесном состоя- состоянии две случайно выбранные молекулы никак не коррелируют. Иначе говоря, плотность вероятности одновременного пребы- пребывания первой молекулы в заданном месте с заданной скоростью (т. е. в состоянии, которое назовем первым состоянием) и вто- второй молекулы в другом заданном месте с другой заданной
46 I. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ скоростью (во втором состоянии) равна просто произведению плотности вероятности пребывания первой молекулы в первом состоянии, а второй молекулы в любом состоянии на плотность вероятности пребывания второй молекулы во втором состоянии, а первой молекулы в любом состоянии. Это означает, что факт пребывания молекулы в заданном состоянии не влияет на вероятность пребывания второй моле- молекулы в другом заданном состоянии, т. е. что состояния молекул (в случае равновесного газа из молекул, являющихся твердыми сферами с пренебрежимо малым общим объемом или матери- материальными точками с пренебрежимо малой потенциальной энер- энергией, за исключением областей пренебрежимо малых размеров) статистически некоррелированны. В качестве элементарного при- примера статистически некоррелированных случайных событий можно привести результаты бросания двух игральных костей, когда мы получаем, что число, выпадающее на одной кости, не влияет на число, выпадающее на другой кости, и вероятность реализации заданной комбинации (скажем, 6 на первой кости и 1 на второй) равна 7зб, т. е. произведению вероятности выпа- выпадания заданного числа на первой кости и любого числа на вто- второй (равной 7б) и вероятности выпадания заданного числа на второй кости и любого числа на первой (также равной 7б). (Заметим, что в этом примере мы различаем кости — как если бы, например, одна была синей, а другая красной — и, следова- следовательно, события «один и шесть» и «шесть и один» считаем раз- разными.) Эти результаты относятся к функциям распределения дина- динамической системы, которая, по предположению, представляет собой одноатомный совершенный газ в равновесном состоянии. Слово «одноатомный» означает, что молекулы не имеют внутренних степеней свободы. Состояние каждой молекулы пол- полностью описывается тремя пространственными координатами и тремя компонентами скорости (как в случае материальных точек и гладких твердых сфер). Слово «совершенный» (или «идеальный», хотя последний термин часто употребляется в смысле «невязкий») означает, что потенциальная энергия межмолекулярных сил пренебрежимо мала, если не рассматри- рассматривать частицы, расстояние между которыми меньше некоторой ве- величины а («диаметра молекул»), обычно пренебрежимо малой по сравнению с любым другим интересующим нас линейным размером и такой, что суммарный объем областей со значитель- значительной потенциальной энергией (имеющий порядок No3) пренебре- пренебрежимо мал по сравнению с общим объемом газа V. Эти два обстоятельства (пренебрежимо малая потенциаль- потенциальная энергия вне некоторых областей и пренебрежимо малые размеры таких областей) не означают пренебрежимо малых
ПРИЛОЖЕНИЕ 47 взаимодействий; скорее они означают, что (на нашем уровне описания) единственно существенными эффектами интенсивных сил отталкивания, которые возникают между молекулами, на- находящимися одна от другой на расстоянии порядка а, являются отклонение этих молекул от их прямолинейных путей и измене- изменение их скоростей (которые вовсе не являются пренебрежимо малыми). Данные обстоятельства отражаются в том, что ра- равенство F.12) справедливо только в областях, где потенциаль- потенциальная энергия является пренебрежимо малой, в то время как в формулах F.13), F.19) и F.28) интегрирование ведется по всему объему V. Это означает, что полученные результаты верны в предельном случае, когда а->0 и /V—>оо таким образом, что Noz/V-+0 (совершенный газ). Приложение В настоящем приложении мы вычислим площадь поверхно- поверхности и объем шара в «-мерном пространстве, а также некоторые пределы, связанные с этими величинами. Пусть ] \ l 2 () — уравнение сферической поверхности в «-мерном простран- пространстве. Радиус сферы равен R, а центр ее расположен в начале координат. Объем соответствующего шара представляет собой объем области внутри поверхности, заданной уравнением (П. 1): xn(R)= \ \ • • • \ dzxdz2 ... dzn = dyx dy2... dyn, (П.2) где второе выражение получается путем замены переменных zk = Ryk (k = 1, ..., п). Поэтому, как и следовало ожидать, xn(R) = xnRnt (П.З) где хп = тпA)— объем единичного шара. Площадь поверхности шара лучше всего определить, исходя из данного Минковским общего определения, согласно которому она является пределом отношения разности объемов двух смежных шаров к расстоя- расстоянию б между их поверхностями при б->0. Отсюда /d\ и™ %п (/? + 6) — %п (R) d%n „^ пп-\ /Гт Лч
48 I. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ В частности, если (оп — площадь поверхности единичного шара, то ©я = птл; (П.б) этот результат упоминался в разд. 2. Для того чтобы вычислить %п и, следовательно, соп (при по- помощи (ГТ.5)), введем в плоскости (уп-иУп) полярные коорди- координаты У/1-1 = P cos ф, уп = psiny. (П.6) Поскольку dyn-.idyn = pdpdy, имеем %п = 55 ' '' 5 5 \ dyi dlj2 '' ' d 5 ' " 5 dyidfo--- dyn-2 \ 9 У^ + ...+^_2<1 (П.7) Если ввести сферические координаты в (п — 2)-мерном про- пространстве (#j, ..., Уп_2)> т- е- положить р2 = у\-\- ... -\-У2п_2> dn~2Q — элемент поверхности единичного шара, dyx ... dyn~2 = = р^~3 dpdn~2Q, то получится и, в силу (П.5), Таким образом, мы получили простую рекуррентную формулу для ©л. Применяя ее, имеем для четных я Т Т ~2 ' Т 2п 2*= ,. ч.. (П.10)
ПРИЛОЖЕНИЕ 49 а для нечетных п Т ~~2 [ A-0(т-0-4 -y-j- (ПЛ1> Формула B.7) основного текста следует из этих результатов. Вычислим теперь Допустим, что этот предел существует (это можно легко показать при более подробном анализе). Если это так, то «oB(n-2) = ,.т щА^ Ит шга-1 V^^Г lim n-2 \ln(n — 1) 2 = a2. (П. 13) В силу соотношения (П.9), левая часть этого равенства просто равна 2я, откуда а = л/2^. (П. 14) В качестве простого следствия вычислим предел, который встре- встречается в разд. 6, а именно lim v -> оо N!' ^У-1 /3(ЗуУ-1)(ЗЛ(~2)] При этом три раза используется формула (П.12): для п = 3Af— 2, л = ЗЛ/' — 1 и « = 3jV. Аналогично 2к 3 _ 3iV-2 ЗЛ/-4 ЗЛ^-6 m C# - 2) (ЗЛГ - 4) (ЗЛГ - 6) ._ / 3 \3. ! ) ._ / 3 \3. ~ V 2л ) ' здесь три раза используется формула (П.9): для n = 3Af, ЗА/' — 2 Ч ЗЛГ-4.
50 I. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ Более компактный вывод этих результатов можно осуще- осуществить при помощи гамма-функций, использования которых мы избежали. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ [1] Гельфанд И. М., Шилов Г. Е., Обобщенные функции и действия над ними, изд. 2, М., Физматгиз, 1959. [2] Lighthill J. M., Fourier analysis and generalized functions, Cambridge, Univ. Press, 1958. [3] Schwartz L, Theorie des distributions, Paris, Hermann, Part I, 1957; Part II, 1959. [4] Cercignani C, Mathematical methods in kinetic theory, New York, Ple- Plenum Press, 1969; русский перевод: Черчиньяни К., Математические ме- методы в кинетической теории газов, М., «Мир», 1973. [5] Borel E., Introduction geometrique a quelques theories physiques, Paris, Gauthier-Villars, 1914. [9* Borel E., Mecanique statistique classique, Paris, Gauthier-Villars, 1925. Синай Я. Г., УМН, 25, 141 A970). Синай Я. Г., Вестник МГУ, матем. серия, № 5 A962). Хинчин А. Я., Математические основания статистической механики, М. —Л., ГИТТЛ, 1943. [10*] Крылов Н. С, Работы по обоснованию статистической физики, М. — Л., изд-во АН СССР, 1950. [11*] Цянь Сюэ-сень, Физическая механика, М., «Мир», 1965. [12*] Уленбек Дж., Форд Дж., Лекции по статистической механике, М., «Мир», 1965. [13*] Гуров К. П., Основания кинетической теории, М., «Наука», 1966. [14*] Валландер С. В., Вероятностная трактовка вопросов кинетики разре- разреженных газов, в кн. «Аэродинамика разреженных газов», вып. 3, Л., изд-во ЛГУ, 5—21, 1967. [15*] Мирошин Р. Н., Уточненный анализ функций распределения и кинети- кинетических уравнений разреженного газа, в кн. «Аэродинамика разрежен- разреженных газов», вып. 3, Л., изд-во ЛГУ, 22—42, 1967.
II Уравнение Больцмана 1. Проблема неравновесных состояний В предыдущей главе мы видели, что задачу описания со- состояния теплового равновесия одноатомного идеального газа можно решить точно. В частности, для одно-частичной функции распределения Р^ была получена очень простая формула в виде максвелловского распределения. Этот результат находит раз- разнообразные применения при статистическом описании вещества в газообразном состоянии. Ясно, однако, что состояние теплового равновесия представ- представляет собой весьма специальный случай, ибо на практике нам обычно приходится иметь дело с неравновесной газовой средой, которой может быть, например, газ, окружающий летящее в ат- атмосфере тело или движущийся в трубе. Условия в такой среде существенно отличаются от условий, соответствующих содер- содержащемуся в сосуде газу, в котором поддерживаются равномер- равномерные температура и давление. Можно ли подходить к этим более общим задачам неравновесных газов, опираясь на те же пред- предпосылки, что и в разд. 6 гл. I? Ответ может быть отрицательным или положительным в за- зависимости от точного смысла вопроса. Разумеется, безнадежно пытаться, например, определить простыми средствами функцию распределения Р^ для газа в общем неравновесном состоянии, но кое-что все же можно сделать: можно вывести уравнение, которому удовлетворяет функция /W при тех же предположе- предположениях, что и в разд. 6 гл. I, за исключением, конечно, условия статистического равновесия. Это уравнение называется уравне- уравнением Больцмана. Затем можно пытаться решать уравнение Больцмана чисто математическими средствами при помощи бо- более или менее стандартных методов, приближенных или точных. С самого начала нужно сказать, что решить уравнение Больцмана весьма трудно даже для очень простых неравновес- неравновесных состояний. Об этом еще много придется говорить в дальней- дальнейшем, поскольку методы решения уравнения Больцмана будут подробно рассматриваться в следующих главах.
52 И. УРАВНЕНИЕ БОЛЫДМАНА Ради чего выводится и решается уравнение Больцмана? Можно различать два основных типа приложений. Первый свя- связан с установлением^аконом^щюстей макроскопического пиве^. дения газовой среды ja осно]вемикроскопическои модели^когда средняя длина свободного~~про5ега (определенная в конце разд. 4 предыдущей главы) много меньше других характерных длин. Эти приложения являются, следовательно, частным слу- случаем общей проблемы статистической механики — установить связь между дхшцюй структурой вещества и его_континуальным поведением на макроскопическом уровне. Ч^^пичнышР^^у^ь7 татами таких исследований являются объяснение макроскопи- макроскопического поведения газов и вычисление коэффициентов вязкости и теплопроводности на основе постулируемых законов взалма: действия пагш_^шлекул [1—3]. Помимо самостоятельного значе- значения, эти исследования интересны еще и потому, что они дают представление о том, что надо было бы сделать для других агрегатных состояний вещества (жидкостей, твердых тел, мно- многофазных систем). Приложения второго рода связаны не с построением макро- макроскопической теории в обычном смысле, а скорее с изучением поведения газа в тех случаях, когда средняя длина свободного пробега уже не является пренебрежимо малой по сравнению с характерным размером геометрии потока. В таких случаях, очевидно, нельзя ожидать, что «макроскопическое поведение» можно легко описать с помощью таких величин, как плотность, массовая скорость, температура, давление и т. д., хотя все эти понятия сохраняют смысл и конечные результаты выражаются в виде измеряемых и практически важных величин, таких, как лобовое сопротивление движущихся в разреженной атмосфере объектов. При этом оказывается полезной одночастичная функ- функция распределения и уравнение Больцмана приобретает особое значение как уравнение, охватывающее весь диапазон разреже- разрежений и соответствующее этому диапазону поведение, начиная от жидкостноподобного режима умеренно плотного газа и кончая свободномолекулярным режимом, при котором молекулярными столкновениями практически можно пренебречь. Наша первая цель состоит в том, чтобы вывести уравнение Больцмана для системы твердых сфер, не находящихся в ста- статистическом равновесии. Это означает, что мы возвращаемся к началу разд. 6 предыдущей главы, где доказано, что среднее по времени Р от плотности вероятности в фазовом простран- пространстве Р удовлетворяет уравнению Лиувилля. Временной интер- интервал т не будет строго определенным, но должен быть соизмерим со временем, которое требуется молекуле для прохождения рас- расстояния порядка ее собственного диаметра (или — для мате- материальных точек, взаимодействующих на расстоянии, — радиуса
1. ПРОБЛЕМА НЕРАВНОВЕСНЫХ СОСТОЯНИЙ 33 действия сил). Это усреднение по времени не вносит ничего существенно нового, и в дальнейшем мы будем писать Р вместо Р. На первый взгляд кажется невозможным описать приближе- приближение к равновесию, потому что объем в фазовом пространстве будет сохраняться даже после усреднения по времени, и, следо- следовательно, равномерное распределение на энергетической по- поверхности при t—> оо не может быть достигнуто. Мы обошли эту трудность в разд. 6, принимая временной интервал, по ко- которому проводится усреднение, равным бесконечности. Таким образом, равновесие характеризуется такими равномерными распределениями, которые не относятся к данному моменту или к короткому временному интервалу, а проявляются в среднем поведении в течение предельно большого интервала времени. Если мы хотим описать приближение к равновесию или, что более общо, описать неравновесные состояния, то нельзя пере- переходить к пределу т—* оо (напротив, т должно быть очень ма- малым); следовательно, в наше описание надо ввести некоторые новые характеристики. Прежде всего важно отметить, что газ состоит из большого числа одинаковых молекул (или — в случае смеси — из не- нескольких множеств молекул, каждое из которых состоит из большого числа одинаковых молекул), а в макроскопических экспериментах мы не в состоянии различать одинаковые моле- молекулы (давление на стенку, например, не зависит от номеров, которые мы придадим молекулам, соударяющимся со стенкой). Следовательно, макроскопически измеряемые средние будуг иметь вид х2, ..., х^; Ьи g2, |3, ..., УХ , х2, ..., Хдг; §ь g2, ..., lN; где можно считать, что ф(хьх2, ..., xN; |ь |2, ..., In) не ме- меняется при произвольной перестановке двух молекул (например, Xi -*x2, х2->хь ?i->-§2, l2-*-li) по крайней мере для простых га- газов (случай смеси требует очевидных модификаций). Тогда интеграл в формуле A.1) можно записать следующим образом: N XS[P (хь х2, .. ., х„; |ь |2> ..., lN; t)] Д dx, dlh A.2)
54 II. УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА где S[P] — функция, получающаяся из Р полной симметриза- симметризацией по всем N молекулам, т. е. сумма N1 плотностей Р, аргу- аргументы которых соответствуют N1 перестановкам N молекул, де- деленная на N\. Это означает, что для вычисления измеряемых величин Р можно заменить на S[P]. Очевидно, что было бы удобно с са- самого начала, если это возможно, работать с S[P]. Очень просто модифицировать наше описание таким образом, чтобы можно было заменить Р на S[P]. В самом деле,, достаточно заметить, что S[P] удовлетворяет уравнению Лиувилля, потому что по- последнее симметрично по отношению к одинаковым молекулам (одинаковость подразумевает, конечно, одинаковые законы взаи- взаимодействия между молекулами). Следовательно, единственное изменение, которое потребуется для того, чтобы использовать S[P] вместо Р, будет опять-таки относиться к начальным дан- данным, причем начальное значение для S[P] является, очевидно, симметризованным выражением S[P0] начального значения Ро для Р. В соответствии со сказанным в дальнейшем будем пользо- пользоваться функцией 5[Р], обозначая ее через PN для того, чтобы подчеркнуть число молекул. Единственное отличие от использо- использовавшейся ранее плотности вероятности состоит в том, что PN всегда предполагается симметричной по аргументам, относя- относящимся к одинаковым молекулам. Это условие влечет за собой дальнейшее рассеяние элементов объема в фазовом простран- пространстве, но еще не объясняет, почему возможно приближение к равновесию. Мы можем, однако, воспользоваться двумя обстоятель- обстоятельствами: во-первых, N можно устремить к бесконечности, как было сделано в случае равновесия, и, во-вторых, достаточно вычислить только 5-частичные функции распределения i=s+l с s<W (обычно 5 = 1, 2, как в разд. 6 гл. I). Второе обстоя- обстоятельство связано с тем фактом, что интересующие нас сред- средние ф относятся к функциям, представляющим собой симмет- симметричные суммы членов, каждый из которых содержит коорди- координаты и скорости одной или двух молекул. При N -> оо объем в фазовом пространстве теряет смысл (заметим, что, когда /г—юо, объем куба со стороной а, ап, стремится к 0, 1, оо при а< 1, а= 1, а>\ соответственно; это противоречит возмож- возможности произвольного выбора единицы длины!). В частности, «сохранение объема» в бесконечномерном фазовом простран-
1. ПРОБЛЕМА НЕРАВНОВЕСНЫХ СОСТОЯНИЙ 55 стве не препятствует заполнению подпространства произволь- произвольной (конечной) размерности. Следовательно, предельный переход при N—> оо дает нам возможность описать приближение к равновесию. Однако, если мы рассмотрим конечный объем V и допустим, что число моле- молекул N —>оо, то, если не потребовать одновременно а—>О, соб- собственный объем молекул (~jVg3) будет стремиться к бесконеч- бесконечности, что абсурдно (No3 < V). Поэтому статистическая меха- механика по существу имеет дело с предельным переходом Af->oo, g->0. Правда, возможны и другие варианты. Напри- Например, можно рассматривать газ, для которого в пределе Л/а3->6>0, или газ, для которого 7Vg3-»O; поскольку No* с точностью до тривиальных численных множителей совпадает с собственным объемом молекул, No3-*0 означает, что моле- молекулы занимают пренебрежимо малую часть доступного объема. В этом случае мы говорим, что газ совершенный (идеаль- (идеальный). В случае идеального газа в свою очередь существуют две возможности: либо No2 остается конечным, либо No2—>0. В пер- первом случае средняя длина свободного пробега I (/~ V/(nNa2), согласно A.4.17)) конечна, т. е. столкновения нужно учитывать (больцмановский газ); во втором случае средняя длина свобод- свободного пробега бесконечна, что позволяет пренебрегать столкнове- столкновениями (кнудсеновский газ). Более интересен, разумеется, слу- случай конечной длины свободного пробега (кнудсеновский газ может быть получен как предел больцмановского газа при /->оо). Для того чтобы дать представление о действительных порядках величин, заметим, что в обычных условиях, если 1/~ 1 см3, то число частиц N~ 1020, в то время как о— 10~8 см; отсюда yVa3~10-4 см3, Ма2^104 см2 (для более низких плот- плотностей обе величины, No3 и No2, уменьшаются и если /~1 см, то No2^± 1 см2, No3— 10~8 см3 в объеме V~ 1 см3). Для согласованности массу молекулы т следует считать стремящейся к нулю, в то время как полная масса газа остается конечной: m->0, Ntn->M <oo. A.4) Как мы увидим впоследствии, в этом пределе уравнение Лиувилля формально эквивалентно системе бесконечного числа уравнений, в которых неизвестными являются s-частичные функ- функции распределения (l^ss^oo, так как N-^oo). Будет пока- показано также, что эта система в свою очередь обладает частным решением, для которого s-частичная функция распределения представляется произведением s множителей, каждый из кото- которых равен одночастичной функции распределения, удовлетво- удовлетворяющей уравнению Больцмана.
56 И. УРАВНЕНИЕ БОЛЫДМАНА 2. Уравнения для многочастичных функций распределения в газе из твердых сфер В этом разделе мы выведем уравнения, которым удовлетво- удовлетворяют s-частичные функции распределения (s=l,...,N) для газа из N твердых сфер, находящихся в области R объема V. Для плотности вероятности PN = PN{Xi, I:, 0 имеем PN=~-0 (iX.-XyKcr, 1ф]\ B.1) так как сферы не могут проникать одна в другую; соответственно этому PN в общем случае будет разрывной в тех точках фазо- фазового пространства, где |хг- — Xj| = o, причем предел с одной стороны равен нулю, а с другой (|хг- — Xj|>a), вообще говоря, отличен от нуля. Поэтому, рассматривая PN при некоторых |х2- — хj | = а, мы всегда будем подразумевать «внешний» пре- предел, т. е. переход из области |х2- — Xj|>a. В этой области со- состояние молекул соответствует движению по инерции; следова- следовательно, уравнение Лиувилля A.3.8) сводится к уравнению dpN " dpN n__ i \ ? . E_ __ q (I x • x • I > cr i Ф j) B 2) где, согласно сказанному в разд. 1, PN симметрична по отноше- отношению к перестановке N молекул. Проинтегрируем уравнение B.2) в области его определения по координатам и скоростям N — s частиц. Без потери общности можно проинтегрировать по частицам с номерами от s + 1 до N. Если ввести s-частичные функции распределения Pffl, опреде- определенные формулами A.3), то B.2) дает / = 5+1 ^ /=S+I где интегрирование по ^ (/ = s + l, ..., N) распространяется на все пространство, а интегрирование по хг (/ = s+l, ... ..., N) — на область R, за исключением множеств |х^ — хг| < a (i = 1, ..., N, 1ф1). Для удобства члены с индексами 1 ^ i ^ s отделены от членов с индексами s + 1 ^ i ^ N. Типичный член первой суммы в уравнении B.3) содержит интеграл от производной по переменной хг-, по которой не про- производится интегрирование, однако изменить порядок интегри- интегрирования и дифференцирования нельзя, так как область имеет
2. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ МНОГОЧАСТИЧНЫХ ФУНКЦИЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 57 границы (|хг- — х/| = а), зависящие от х*. Для того чтобы полу- получить правильный результат, следует добавить граничный член s 1г - Sr \ Р» П dX; d|' - Z S p' • ntidoutii П / S+1 B.4) где пи — внешняя нормаль к сфере |х^ — Xj\ — о (с центром в точке Xj), doij — эле^мент поверхности той же сферы, а Р\у+1) является (s + 1)-частичной функцией распределения с аргумен- аргументами {xhAk) {k = 1,2, ...,s,/). Типичный член второй суммы в уравнении B.3) можно сразу же проинтегрировать (при помощи теоремы Гаусса), так как здесь подынтегральная функция включает производную по од- одной из переменных интегрирования. Получаем t=s+\ Vl%-nt!dau<*,+ t \lT*Sr* j-1 k=s+l jl \ p(s+i)s .n dA.dt. B 5) i ft о j j j о у > \ • и / где dAj — элемент поверхности границы области R в трехмер- трехмерном подпространстве, связанном с Xj, a rij — единичный вектор, перпендикулярный к такому элементу поверхности и направлен- направленный внутрь газа. Последний член в равенстве B.5) представ- представляет вклад от твердой границы области /?; если молекулы отражаются от нее зеркально, то рассматриваемый член, оче- очевидно, равен нулю, потому что при зеркальном отражении Ij-rij меняет знак. Этот граничный член, однако, равен нулю и при более общих предположениях; достаточно предположить, что результат взаимодействия твердой сферы со стенкой не за- зависит от эволюции состояния других сфер и что частицы не захватываются жесткими стенками. Мы обсудим этот вопрос в конце данного раздела, а пока опустим граничный член.
58 П. УРАВНЕНИЕ БОЛЫДМАНА _^ Подставляя выражения B.4) и B.5) в уравнение B.3), на- находим 1 дх. 2-j Li )^n yu nijaGija$j dt i-1 N ? \pi+2^^dydldxdl; B.6) здесь Vt-j = §;—|j — скорость i-й частицы относительно /-й и принято во внимание, что во второй сумме вследствие анти- антисимметрии t\ij по отношению к индексам можно заменить ij-iifj на V2V2-j«n2-j. Переменными интегрирования в уравнении B.6) являются Xj и Ijj следовательно, суммы по / составлены из одинаковых слагаемых, так же как и сумма по k во втором интеграле. Подчеркивая, что индекс / немой, будем писать х#, |* вместо Xj, §_,-; кроме того, будем писать х0, 1о вместо х/ь |^, а также просто Уг-, п^, doi вместо Vij, nz-j, da^j и Vo, n,o, doo вместо Vkjj ntijj dokj. Тогда получим i-l x i=l где Pn+]) зависит от аргументов (хь |ь ..., xs, |s, x#, |„ /), а Р^+2)--от аргументов (хь |ь ..., xs, |s, х#, |„ х0, go, О- Отметим теперь, что кратные столкновения (т. е. одновре- одновременные соприкосновения более чем двух сфер) не вносят вклада в эти интегралы (по крайней мере, если Pyv+I), P{n+2) — обычные интегрируемые функции). Действительно, интегралы по dou doo берутся по поверхности |х„-х?-| = (т (/ = 0,1, ...,s, s<A0 B.8) с центром в хг-, но не по всей поверхности, потому что следует вырезать те части, которые находятся внутри других подобных поверхностей: |х,-Х/| = G (/ = 1, ..., N, }Ф(). B.9) (Это обусловлено тем фактом, что внутри таких поверхностей PN = 0.) Кратные столкновения соответствуют границе области интегрирования, и, следовательно, одномерному подмножеству, так что их вклад в интегралы равен нулю, если не появляются сингулярности, которые мы исключаем, используя сглажен- сглаженные Pjv.
2. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ МНОГОЧАСТИЧНЫХ ФУНКЦИЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 59 Теперь важно разбить каждый из интегралов в B.7) на ана- аналогичные интегралы, распространенные по подмножествам Угпг<0 и Vi-t\i>0 (i = О, 1,..., s) соответственно. Первое подмножество соответствует молекулам, вступающим в столк- столкновение, в то время как второе соответствует молекулам, кото- которые только что испытали столкновение (следует помнить, что Р^+1) — предельное значение со стороны, внешней к сфере х* — хг =а с центром в х*, так что значение Р(я+1) для Xi — х* = а и Vrn2->0 соответствует пределу из состояния непосредственно после столкновения, поскольку п^ = (хг-—х*)/а). Согласно сказанному, уравнение B.7) принимает вид дх. (#_s)(#_s_ 1) ГГ(+) ( . ... . ? _ j L^ L V Р^+2) Vo • n0 daQ dfe dL dx0 — - \M П+2) I Vo • no I d% dk d% dxa] (s=l,..., N), B.10) где верхние индексы (+) и (—) у интегралов относятся кУг--Пг^0 (/ = 0, 1,..., s) соответственно. Приведенные уравнения еще не полны, потому что мы пока не использовали законов упругого соударения A.4.3) или A.4.11). Согласно этим законам, скорости после столкновения |г и |* связаны со скоростями перед столкновением Ц и |? соотноше- соотношениями ИЛИ «-!,-.,<¦,-V,). где Пг = (хг- — х#)/а — единичный вектор, направленный вдоль прямой, соединяющей центры двух сфер, и совпадающий с внеш- внешней нормалью к сфере |х* — х*| = а с центром в х* и перемен- переменной Xi или с внутренней нормалью к сфере |х# — xt\ = а с цент- центром в Хг и переменной х*. Относительные скорости до столкно-
60 И. УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА вения и после него V* и V* связаны между собой соотноше- соотношением A.4.12): v< = v;--2n,(ivv;). B.13) Таким образом, любая молекула, вступающая в столкнове- столкновение со скоростью |^ в х., оказывается в то же самое время (или после исчезающе малого промежутка времени) в после- столкновительном состоянии со скоростью !;, связанной с и п. = (х. — х#)/а соотношением B.11); поэтому + n(. (n. • v;)f /) (/ = 0,1, .... s, l<s<JV-1).- B.14) Рассмотрим сначала член в B.10), содержащий Р$+2>, и по- покажем, что он равен нулю, т. е. что Действительно, заменяя переменные 1^ и |^ на ^ и ?^, за- заданные соотношениями B.12) (с i = 0), и учитывая B.14) (с / = 0 и с s + 1 вместо s), левую часть равенства B.15) можно записать в виде Л. ч. = \ W P(J+2)' | VJ • п01 rf(T0 < ^ dxoy B.16) где аргументы Pjv+2) те же, что и у Pn+2\ только |% и |0 за- заменены на ^ и |J; при этом учтено, что якобиан преобразова- преобразования от |%, 1о к S^, go по модулю равен 1 (см. разд. 4 гл. I). Интеграл берется по полусфере Vq • п0 < 0, так как равен- равенство B.13) (с / = 0) означает, что V0.n0 = -V;.n0. B.17) Теперь в B.16) можно опустить штрихи, так как go и ^ •— переменные интегрирования; в результате получаем ^п.^ст^Хо^о^^П.ч., B.18) и равенство B.15) доказано. Подобное рассуждение нельзя применить к интегралам, со- содержащим Р(^+/> . Однако можно использовать соотношение B.14).для того, чтобы выразить оба интеграла через функцию распределения перед столкновением или, наоборот, через функ-
2. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ МНОГОЧАСТИЧНЫХ ФУНКЦИЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 61 цию распределения после столкновения. Действительно, соот- соотношение B.14) полностью обратимо и может применяться для выражения либо функции распределения молекул, которые только что испытали столкновение, через функцию распределе- распределения молекул перед столкновением, либо этой последней через первую. Очевидно, первый путь должен использоваться, если мы хотим предсказать будущее по прошлому, а не наоборот. Ясно, однако, что в этом месте мы связываем себя с определенным направлением времени, так сказать, вводим разницу между про- прошлым и будущим, как увидим подробнее в дальнейшем. В соответствии со сказанным получим из соотношения B.14) равенство v* • ni I dat dk = P ^+I)/IV n* I d°id^ B-19) где Plv+1) —значение, которое принимает P/J+1), когда аргу- аргументы \i и §* заменены на ?? и ^, заданные формулами B.12). С учетом соотношений B.19) и B.15) уравнение B.10) прини- принимает вид (S=l,..., АО; B.20) здесь мы заменили doi его выражением o2dt\i через радиус а сферы B.8) и элемент телесного угла йпг. Мы можем даже от- отказаться от индекса i у пь если аргумент х* в t-м интеграле заменить на х# = х/ —па. B.21) Наконец, два интеграла по Уг--п<0 и VVn>>0 можно преобразовать в один, заменив, например, п на —п во втором интеграле. В результате имеем = (N - s) a2 J] J [/>($+•>' - P(j+»] | V, • п | dn ¦ dlt B.22) (s=l, ..., N), где интегрирование проводится по полусфере Vrn;>0, а аргу- аргументы у Pyv + I) те же, что у P/v + '\ за исключением | , I,, ко- которые заменены на |^, |^, заданные формулами B.12), и х^ — па, который заменен на х* + па.
62 Н. УРАВНЕНИЕ БОЛЫДМАНА Подчеркнем то обстоятельство, что уравнение B.22) полу- получено только при условии симметричной зависимости Р$ от молекул и достаточной регулярности Р$ (последняя необхо- необходима для того, чтобы можно было пренебрегать вкладом линии в интеграл по поверхности, т. е. пренебрегать тройными столк- столкновениями). Кроме того, в уравнении B.5) мы пренебрегли ин- интегралом по поверхности. Чтобы оправдать это отбрасывание интеграла по поверхно- поверхности, следует обсудить граничные условия, которым удовлетво- удовлетворяет PN, когда Хг принадлежит границе OR области R, в кото- которую заключен газ. Этот вопрос будет детально рассматриваться в следующей главе. Здесь же мы предположим, что молекула, падающая на твердую границу OR в некоторой точке х со ско- скоростью §', вылетает практически в той же точке с некоторой другой скоростью |, причем длительность взаимодействия моле- молекулы со стенкой пренебрежимо мала. Характер этого взаимодействия определяет плотность ве- вероятности /?(§'—>Six, t) перехода от скорости §' к скорости | в точке х в момент времени t\ будем предполагать, что эта вероятность не зависит от состояния других молекул и что мо- молекулы не захватываются твердыми стенками. Вероятность того, что /-я молекула вылетает из элемента поверхности dAj около точки Xj в течение интервала времени dt со скоростью между |j и §j + d%, в то время как 1-я молекула (I ф j) находится в элементе объема dx\ и имеет скорость между I.- и & + d\u составляет N d*& = PN\lrnj\dt dAj dli П dxt d\u B.23) где tij — единичный вектор нормали в xj, направленный в сто- сторону газа. В самом деле, это вероятность того, что /-я молекула находится внутри цилиндра, заполненного частицами, покидаю- покидающими dAj в течение интервала времени dt (см. рис. 10) со ско- скоростью между |j и Ij + dlj, в то время как 1-я молекула (/ ф /) находится в элементе объема dxL со скоростью между |/ и %i 4- d\u и эти две вероятности, очевидно, одинаковы. Аналогично, вероятность того, что та же самая молекула ударит в тот же элемент поверхности со скоростью между Ц и Ц + йЦ в течение dt, в то время как 1-я (I ф /) молекула находится в dxi со скоростью между |/ и |z + d\u составляет = PfN | % • ny | dt dAJ dtj П dlt • dxh B.24)
2. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ МНОГОЧАСТИЧНЫХ ФУНКЦИЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 63 Рис. 10. Схема расчета числа молекул со скоростью ?ь соударяющихся с элементом поверхности dAi с единичной нормалью щ за время dt. где аргументы P'N те же, что и у PN, за исключением того, что Ц заменяет gj. Если умножить d*2Pr на вероятность изменения скорости при рассеянии на стенке от Ц до скорости между lj и §j + d|j, т. е. на /?(gy-*gy; х., /) dgy, и «просуммировать», т. е. проинтегрировать по всем возможным значениям gy, то мы должны получить d*{P; R (gj -> gy; X/, f) d*^J/ (gy • ny > 0), B.25) i.-n <o или, используя выражения B.23) и B.24) и сокращая на об- общий множитель dlj(]Jidl.idxi) dAjdt: |gy • Пу |Рдг (ХЬ gb ..., X/, gy, ..., XNi %N, 0 = • X n;. | d% n, 0). B.26)
64 П. УРАВНЕНИЕ БОЛЫЦМАНА Это граничное условие, которому удовлетворяет PN на твер- твердых границах в предположении мгновенного взаимодействия. В частности, если стенка отражает молекулы зеркально, то имеем R (Г -* I; х, 0 = б (Г - g + 2n (п • D). B.27) В общем случае /? должна удовлетворять некоторым ограни- ограничениям, которые будут обсуждаться в следующей главе. Един- Единственное ограничение, которое мы здесь рассмотрим, связано с предположением, что молекулы не захватываются стенками. Это означает, что любая молекула, падающая на стенку, в конце концов вылетает с некоторой скоростью 6, и, следовательно, «сумма» элементарных вероятностей /?(§'—>§)d| по всем воз- возможным значениям § должна быть равна единице: \ R(?-> 6; х, /) dl= 1 (х е= dR, Г • п < 0). B.28) ?-п>0 Равенство B.26) после интегрирования по §j с учетом B.28) дает ij-njX) t'-n <0 ij-tijKO (x}z=dR), (-2.29) где третье выражение получается заменой |' на |у. Соотноше- Соотношение B.29) можно переписать в виде B.30) где |j пробегает оба полупространства Ij-n^ ^ 0. Наконец, интегрируя равенство B.30) по dAj и координатам и скоростям N — s—l молекул (отличных от /-й), получаем J 6,^^55+^6,^ = 0, B.31) т. е. последний член в уравнении B.5) действительно равен нулю при наших предположениях. 3. Уравнение Больцмана для газа из твердых сфер Предыдущий раздел был посвящен выводу уравнений B.22) для Р$ (s= 1, . . ., N). В частности, при 5 = 1 имеем C.1)
3. УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА ДЛЯ ГАЗА ИЗ ТВЕРДЫХ СФЕР 65 Это уравнение показывает, что эволюция во времени одно- частичной функции распределения P{n зависит от двухчастич- двухчастичной функции распределения Р$. Чтобы получить уравнение для Р{м в замкнутой форме, необходимо выразить Р$ через Р$) простой интуитивный путь к этому состоит в том, что нужно предположить отсутствие корреляции и записать Р<*>(х„ |„ х„ $., t) = Ptf(x[, |„ t)P$(xt, $,, /). C.2) Это соотношение было получено в случае теплового равно- равновесия для N-+oo. Если принять его и в неравновесном случае и подставить C.2) в C.1), то получится уравнение, содержащее только Р{м- Это, в сущности, гипотеза молекулярного хаоса (Stosszahlansatz), использованная Больцманом [4—7, 1] при выводе уравнения для Р# > которое соответственно называется уравнением Больцмана. Однако мы не имеем права постулировать C.2), потому что Р{м определяется из другого уравнения (B.22) с 5 = 2), содер- содержащего P{n\ а последнее в свою очередь из уравнения B.22) с s = 3, содержащего Р$у и т. д. Поэтому минимальное требо- требование должно состоять в том, чтобы показать непротиворечи- непротиворечивость соотношения C.2) с уравнением, описывающим изменение P{n (s^2) во времени. В настоящий момент мы не можем до- доказать это утверждение, по крайней мере если понимать его буквально. Действительно, как было указано в связи с A.6.30), соотно- соотношение C.2) означает, что состояния двух рассматриваемых мо- молекул статистически не коррелированы. Это имеет смысл для любых двух случайно выбранных молекул газа, поскольку они не взаимодействуют, когда находятся далеко одна от другой и, следовательно, ведут себя независимо. В частности, это ка- кажется справедливым для двух молекул перед столкновением, потому что они представляют собой как раз две случайные мо- молекулы, пути которых пересеклись; но та же самая статистиче- статистическая независимость заведомо не имеет места для двух молекул сразу после столкновения. Отметим, однако, что уравнение C.1) включает Р$ для молекул перед столкновением, так как мы воспользовались соотношением B.14), чтобы исключить значе- значения Р%+1\ соответствующие состояниям после столкновения. Это замечание важно, но проблемы все же возникают, по- потому что уравнение B.22) для Р$ выполняется при условии, что X; (i=l,...,s) не принадлежит множествам |хг- — Xjj^a (/ = 1, ..., s; ]Ф1)\ объем этих множеств растет с s, будучи пропорциональным so3. Этими множествами, однако, можно
66 П. УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА пренебречь в пределе а —> О, /V -> оо при фиксированном s (или даже при росте s вместе с N (s ^ /V), если jVct3->•(), как в слу- случае идеального газа). Мы приходим к выводу, что гипотеза Больцмана C.2) неверна в буквальном смысле, но может стать верной в пределе при УУ-*оо, а-*0, если считать, что соотно- соотношение C.2) выполняется почти всюду, т. е. перестает быть вер- верным лишь на исключительных множествах меры нуль (в кото- которые нужно включить множество послееголкновительных со- состояний) , Таким образом, мы должны доказать, что условие C.2) (для iV->oo, а—>0) не противоречит уравнениям, описывающим из- изменение Р$ E^2) во времени. Мы докажем большее, а именно что свойство факторизации П(ь h,t), C.3) где P(s)=lim P{$\ C.4) N->oo не противоречит уравнениям B.22) при условии, что о—>0 та- таким образом, что No2 ограничено (следовательно, /Va3->0). Чтобы доказать это, предположим, что предел, указанный в C.4), существует для любого конечного s и что получающаяся в результате функция Р^ достаточно гладкая. Тогда, если зафиксировать s и положить в уравнении B.22) JV-+oo, a—>О таким образом, что No2 ограничено, то получится E=1,2,3,...), C.5) где аргументы у Р^+О' и P<s+!) такие же, как и ранее, за ис- исключением того, что x:)c = x' = xi. в соответствии с равенством B.21) при а—>0. Уравнения C.5) дают полное описание эволю- эволюции больцмановского газа во времени при условии, что для этой системы уравнений задача Коши поставлена корректно. Частное решение уравнений C.5) может быть найдено в фор- форме C.3), если одночастичная функция распределения удовле- удовлетворяет уравнению 4т где | и х стоят вместо |i и хь Р — вместо РA\ а Р%, Р\ Р^ означают, что аргумент |, входящий в Р, следует заменить на I*, ?', К соответственно. Это утверждение легко проверить под- % = Ф°2) \ (р/р- - РР*] IV - n|^nrf%_ C.6)
3. УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА ДЛЯ ГАЗА ИЗ ТВЕРДЫХ СФЕР 67 становкой выражения C.3) в уравнения C.5), используя пра- правило Лейбница для дифференцирования произведения при вы- вычислении производной по времени от P(SK Следовательно, если система уравнений C.5) при заданных начальных условиях допускает единственное решение, то можно сделать вывод, что решение, соответствующее начальным дан- данным, удовлетворяющим «гипотезе хаоса» s р(*) = Дри)(Х/, gb 0) (/ = 0), C.7) будет оставаться факторизованным во все последующие мо- моменты времени и одночастичная функция распределения Р = Р(!) будет удовлетворять уравнению Больцмана. Таким образом, предположение о факторизации C.3) не противоречит динамике твердых сфер в пределе N —> оо, а->0 (No2 ограничено) и ведет к уравнению Больцмана. Остается открытым вопрос, почему мы должны считать справедливым условие C.7) при t = 0. Ответ не вполне ясен, но можно использовать одно из следующих рассуждений. 1) Допустим, что в пределе а-*0, N —> оо теряется возмож- возможность описания переходного режима, в ходе которого произ- произвольно заданная начальная функция релаксирует к факторизо- ванному распределению. Это предположение не кажется до- достаточно обоснованным и, по-видимому, означает, что задача Коши для системы уравнений C.5) не является корректно по- поставленной, если начальное состояние не удовлетворяет усло- условию C.7). 2) Начальное состояние не выбирается специально, а яв- является следствием предшествующей эволюции, в течение кото- которой газ также удовлетворяет уравнениям C.5). Достаточно, следовательно, чтобы соотношение C.3) было справедливо в не- некоторый момент времени в отдаленном прошлом, чтобы выпол- выполняться в последующем (в частности, если газ был выведен из равновесного состояния вследствие взаимодействия с твердой границей). 3) Даже если рассматривать все возможные начальные дан- данные, большинство из них будут факторизованными [8] в следую- следующем смысле. Если PW задано, средняя величина (со знаком минус) логарифма Р& (которая является мерой правдоподобия распределения, как показано в приложении) достигает макси- максимума при P(s) = Ц РA) (хь h)y т. е. i — \ lnP«=J P(s)\np(s) YYdXidli C.8)
68 Н. УРАВНЕНИЕ БОЛЫДМАНА имеет минимум при P{s) = JJ РA)(Х;, gj). Это легко проверить, / = i так как w(z) = z In z — z ^ —1 {wf {z) = In z обращается в нуль тогда и только тогда, когда z=l, w"(z) = \/z >* 0 при z > О и доA) = —1) и, следовательно (положим z = x/y), х\пх — х^х\п у — у C.9) при любых ху у ^ 0; равенство имеет место тогда и только тогда, когда х = у. Подставив № вместо х и ЦРA)(Х;, g^) вместо у и проинтегрировав, получим In Р<*> Д dXi dg* > s J РA) (х, |)lnP(I)(X) |)dxdS, (ЗЛО) где равенство достигается тогда и только тогда, когда pis) = JJ р@# ПрИ выводе использовано равенство s P(s) Д dxf d^ = J P(I) dx dg = 1, i = i а также симметрия Р^ по отношению к перестановке молекул. Соотношение C.10) доказывает, что выражение C.8) достигает минимума при z' = 1 Если одно из этих рассуждений или какая-либо их комбина- комбинация справедливы, то уравнение Больцмана C.6) полностью описывает эволюцию больцмановского газа во времени. Следует заметить, что этот результат существенно зависит от того об- обстоятельства, что мы использовали соотношение B.14) для выражения функции распределения молекул непосредственно после столкновения через функции, относящиеся к молекулам перед столкновением, а не наоборот. Если бы мы сделали про- противоположный выбор, то получилось бы точно такое же уравне- уравнение как C.6), за исключением того, что правая часть имела бы знак минус! Этот результат кажется парадоксальным и яв- является таковым, если утверждать, что уравнение C.6) описы- описывает эволюцию системы для любого набора начальных данных. Фактически мы предположили гладкость функций распреде- распределения в пределе /V->oo, а—>О; если эта гладкость имеет место при ? = 0, то она сохранится в том и только том случае, когда система развивается в среднем не к более неоднородному рас-
3. УРАВНЕНИЕ БОЛЫДМАНА ДЛЯ ГАЗА ИЗ ТВЕРДЫХ СФЕР 69 пределению, а к более однородному. Это означает, что описы- описываются такие процессы, которые ведут от «маловероятного» распределения к более вероятному (совместному с данными граничными условиями), а не наоборот. Мы отмечали, что свой- свойство факторизации C.3) отсутствует на некоторых множествах пренебрежимо малой меры, среди которых мы ожидаем найти и состояния после столкновения. Это ожидание оправдано, если описывается процесс эволюции от «нерегулярной» функции рас- распределения к «регулярной» (заметим, что «регулярная» функ- функция распределения означает неупорядоченное однородное со- состояние и, следовательно, «вероятную» функцию распределе- распределения). Напротив, если эволюция происходит от неупорядочен- неупорядоченного состояния к упорядоченному, то это означает, что должна существовать сильная корреляция между двумя молекулами перед столкновением, и мы должны провести противоположное рассуждение и получить «антибольцмановское уравнение», т. е. уравнение C.6) со знаком минус перед правой частью! Это обстоятельство связано с тем, чго рассеяние элемента объема в фазовом пространстве (разд. 5 гл. I) является пол- полностью обратимым свойством, так что, в то время как близкие точки расходятся, некоторые другие точки, которые были уда- удалены одна от другой, в ходе эволюции системы сближаются. Если система находится в наиболее хаотическом микроскопиче- микроскопическом состоянии, то этот процесс смешения не меняет макроско- макроскопического состояния (описываемого симметричными средними), потому что цепочка событий, ведущих к упорядоченному состоя- состоянию, крайне маловероятна, хотя динамически и возможна. Од- Однако если микроскопическое состояние в какой-то степени упорядочено, то рассеяние элемента объема в фазовом про- пространстве ведет к смешению и превращению его в неупорядо- неупорядоченное состояние. Эта тенденция является не строгим динамиче- динамическим свойством, а лишь следствием того факта, что число неупорядоченных состояний, имеющих одни и те же макроско- макроскопические средние, несравненно больше числа упорядоченных состояний. Для того чтобы смысл этого утверждения стал ясен, рас- рассмотрим эксперимент с встряхиванием сосуда, содержащего большое число черных и белых шариков. Если два сорта шари- шариков первоначально разделены, то в конце концов вследствие встряхиваний они окажутся перемешанными; в то же время, встряхивая сосуд, содержащий достаточно однородную смесь, практически невозможно получить упорядоченное состояние, в котором оба сорта разделены. Последний процесс, однако, не является динамически невозможным, потому что он представ- представляет собой первый процесс в обратном порядке, а уравнения динамики обратимы во времени (если прокрутить кинопленку
70 И. УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА первого процесса в обратном направлении, то получится второй процесс; и если вглядеться в его детали, то не обнаружится ни- никаких противоречий с законами динамики). При выводе уравнения Больцмана удалось отсеять эти ма- маловероятные процессы; множество послестолкновительных со- состояний было исключено из уравнений, а все другие состояния предполагались достаточно неупорядоченными для того, чтобы их можно было описывать гладкими функциями распределения (столкновение создает некоторую степень корреляции и, сле- следовательно, порядка). Уравнение Больцмана нельзя использо- использовать для описания обратного процесса, потому что мы отказа- отказались от описания послестолкновительных состояний, которые в обратном процессе становятся достолкновительными. Перед тем как закончить этот раздел, рассмотрим более внимательно полученное уравнение C.6). Отметим, что оно представляет собой нелинейное интегродифференциальное (в частных производных) функциональное уравнение. Слово «функциональное» соответствует тому обстоятельству, что неиз- неизвестная функция Р входит в интегральный член не только с ар- аргументами | (текущая переменная скорости) и |* (переменная интегрирования), но также с аргументами |' и |*. Последние связаны с | и |* тем условием, что преобразуются в них в ре- результате столкновения, согласно равенствам B.12), т. е. I' = g _ п (п • V), i' = i + n(n.V, (V-6-y. C.11) Интеграл в правой части уравнения C.6), который назы- называется столкновительным членом, берется по всем значениям §* и по полусфере |п|= 1, V-n>>0. Отметим, что его можно распространить на всю единичную сферу, разделив результат на два, так как при замене п на —п подынтегральное выражение не меняется. Имея дело с уравнением Больцмана, часто вводят другую неизвестную /, связанную с Р соотношением f==^mP = MPi C.12) где N— число молекул, т — масса молекулы, М — общая масса. Функция / представляет собой (ожидаемую) массовую плот- плотность в фазовом пространстве одной частицы, так сказать (ожидаемую) «массу в единице объема» шестимерного про- пространства (х,|). Заметим также, что вследствие условия нор- нормировки [dxdl = l C.13)
4. ОБОБЩЕНИЯ 71 имеем \dxdl = M. C.14) Ясно, что f удовлетворяет уравнению где /# = /(gJ, /; = /(|;)э /'= /(?'). Эта форма уравнения Больц- мана для газа из твердых сфер будет использоваться в даль- дальнейшем. Проведенное рассуждение можно повторить для случая, когда на молекулы действует внешняя сила X, отнесенная к еди- единице массы. Влияние этой силы состоит лишь в том, что в левую часть уравнения C.15) добавляется член Х-д//д|. Поскольку мы обычно будем рассматривать случаи, когда внешнее воздей- воздействие на газ осуществляется через твердую границу (поверх- (поверхностные силы), этот член, представляющий объемные силы, мы обычно писать не будем. Однако не следует забывать, что такое упрощение, помимо всего прочего, означает пренебрежение гра- гравитацией. 4. Обобщения В предыдущем разделе, следуя статье автора [9], мы пока- показали, что при определенных предположениях уравнение Больц- мана получается из уравнения Лиувилля для газа из одинако- одинаковых твердых сфер в больцмановском пределе, определенном условиями N —> оо, а->0, No2 конечно. Напрашиваются четыре возможных обобщения: 1) молекулы, взаимодействующие на расстоянии, 2) системы, состоящие из нескольких сортов молекул, например смеси газов, 3) много- многоатомные газы, 4) плотные газы (N —>оо, а-^0, No3 конечно). На первый взгляд кажется, что случай молекул, взаимодей- взаимодействующих на расстоянии, приводит к уравнениям, совершенно отличным от уравнения Больцмана. Действительно, уравнение Лиувилля A.3.8) можно записать в виде Д Д дРкт 0. D.1) Здесь мы предполагаем, что объемная сила X*, действующая на i-ю молекулу, представляет собой равнодействующую /V—1 двухчастичных сил Xtj (Х2-г- = 0), обусловленных взаимодей- взаимодействием с остальными молекулами и таких, что Xij = X(Xi,Xj). ЗаВИСИТ ТОЛЬКО ОТ КООрДИНаТ Хг И Xj.
72 II. УРАВНЕНИЕ БОЛЫДМАНА Проинтегрировав уравнение D.1) по координатам и скоро- скоростям N — s молекул и использовав выражение A.3), опреде- определяющее 5-частичную функцию распределения Р§\ получим +{N -s) Z ж • S P"+°X/ rfx*rf|*=°« D-2) i = l где Хг- = X(xj, x*). Для вывода уравнения D.2) достаточно за- заметить, что в последней сумме уравнения D.1) слагаемые с i'^5+1 при интегрировании обращаются в нуль, так как их можно преобразовать в интеграл по бесконечно удаленной поверхности в пространстве скоростей i-и молекулы (считаем, что Р->0 при 1; —>оо), в то время как слагаемые с />s+l дают идентичные вклады; наконец, члены, содержащие произ- производные по Хг (i^s-\- 1), преобразуются в интегралы по по- поверхности, совпадающей с физической границей системы, кото- которые можно считать равными нулю по тем же соображениям, что и в разд. 2. Уравнения D.2) составляют так называемую цепочку ББГКИ (по именам Боголюбова [10], Борна и Грина [11], Кирк- вуда [12, 13], Ивона [14]). Не вполне ясно, как обращаться с этими уравнениями в больцмановском пределе. Существует, однако, другой предел, при котором из D.2) можно извлечь простой результат. Если каждая из сил X2-j является равно- равномерно малой порядка е, так что при /V->oo, e-*0 произведение Ne конечно (т. е. полная сила представляет собой величину конечного порядка), то из D.2) получаем где РE)= lim РE), как и ранее. Эта система уравнений обла- N->oo дает частным решением со свойством факторизации C.3), что проверяется непосредственной подстановкой. Одночастичная плотность вероятности Р = Р^ удовлетворяет уравнению дР . * дР . ^ дР п /л л. Здесь X (х) = N J Р (х„ 1», 0 X (х, х,) dx. dlt = ^ п (х- 0 Х причем \ D.6)
4. ОБОБЩЕНИЯ 73 ¦—численная плотность в физическом пространстве, т. е. число молекул в единице объема в окрестности точки х* в момент времени t. Уравнение D.4)—это замечательное уравнение, называе^ мое урадьщщщм^Вл^асова^Оно совершенно отлично от уравнения Больцмана и полезно для описания системы слабо взаимодей- взаимодействующих материальных точек в течение короткого промежутка времени; это случай разреженного газа, частицы которого взаи- взаимодействуют посредством сравнительно слабых дальнодей- ствующих сил, например электроны в ионизованном газе (кулоновская сила) или звезды в звездной системе (гравита- (гравитационная сила). Однако в~~обычном газе, когда частицы нахо- находятся близко одна от другой, межмолекулярная сила довольно велика; следовательно, модель жестких столкновений, хотя и весьма грубая, при описании существенных особенностей си- системы оказывается точнее модели непрерывно распределенной слабой силы. В кинетической теории газов обычно рассматривают моле- молекулярные модели, которые учитывают молекулярное взаимодей- взаимодействие более или менее точно. Одна из них — это модель твердых сфер, которая детально обсуждалась выше; другие модели представляются в виде материальных точек, взаимодействующих с центральными консервативными силами и отличаются одна от другой лишь видом выражения для потенциала U этих сил. Простейшая форма U такова: U(p) = /ер11, где р — расстояние между двумя взаимодействующими молекулами; при этом сила X = —grad U считается отталкивающей (А > 0). Часто исполь- используется (особенно при вычислении коэффициентов переноса) мо- модель Леннарда-Джонса, которая содержит как отталкивающую, так и притягивающую части (см. рис. 11): U = -~-~^ («>«') D.7) с типичными значениями /г =13, п' = 7. В других моделях первый член заменяется экспонентом от р или потенциалом твердой сферы: /7 = 0 при р > a, U = оо при р < а. Сила, со- соответствующая потенциалу типа Леннарда-Джонса D.7), хо- хорошо аппроксимируется степенным потенциалом на коротких расстояниях (р <(fe/fe/I/(a~n)) и может быть заменена обрезан- обрезанной силой с потенциалом kpl~n при р <ог, Если принять такой обрезанный потенциал, то можно вы- вывести уравнение Больцмана, предполагая а->0, Af->oo, /Va2 конечно, при условии, что U(а)— малая величина порядка
74 II. УРАВНЕНИЕ БОЛЫДМАНА У- № Рис. 11. Межмолекулярные потенциал и сила. массы молекулы тс^ о2Ml/V (V — объем, / — средняя длина сво- свободного пробега). Последнее условие неплохо выполняется для одноатомных газов, так как U(o)/(mR) (где R — газовая по- постоянная) по порядку величины соответствует типичной темпе- температуре (изменяющейся от 10 до 230 К). Чтобы доказать это утверждение, введем усеченные функции распределения Л' . . П -1 1- dxi dlh D.9)
4. ОБОБЩЕНИЯ 75 Рис. 12. Обозначения для двухчастичного взаимодействия. где область интегрирования не включает те части пространства, где PN обращалась бы в нуль по определению, если бы моле- молекулы были твердыми сферами радиуса а/2. Частные случаи та- таких усеченных функций распределения рассматривал Грэд [15]. Теперь можно повторить вывод, данный в разд. 2 и 3, за исключением следующих двух обстоятельств. (а) Кратные столкновения не являются множеством меры нуль на множестве всех столкновений, потому что теперь столк- столкновения заменяются взаимодействиями конечной длительности. Однако если положить jVa3->0, как должно быть для больцма- новского газа, то эта мера стремится к нулю, поскольку вероят- вероятность тройного столкновения мала как No3/V (V — объем). Сле- Следовательно, в случае больцмановского газа можно пренебречь кратными столкновениями и рассматривать каждое столкнове- столкновение как задачу двух тел, даже если мы имеем дело не с газом из твердых сфер. (б) Молекула вылетает из сферы действия (р = а) другой молекулы (см. рис. 12) в точке, отличной от той, в которой она вошла в эту сферу. Тем не менее закон рассеяния можно запи- записать в форме B.14), если вектор пг направить вдоль средней линии траектории «молекулы-пули» по отношению к «молекуле- мишени» (средняя линия проходит через центр молекулы-ми- молекулы-мишени и точку наибольшего сближения; см. рис. 12), а переменные
II. УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА (вых) Рис. 13. Проекция элемента поверхности сферы действия на плоскость, пер- перпендикулярную V Х{, х*, t в правой части заменить на xj, x?, t\ которые отли- отличаются от Хг, х*, t малыми членами порядка а. Эта поправка стремится к нулю при а—>О. Однако имеется еще одна деталь, которую мы сейчас рассмотрим. Пусть п<вх) и n<BbIX) — единичные нормали в точках, где «молекула-пуля» входит в сферу действия и выходит из нее; тогда а21 у7. п^вх) | dn<BX> = а21 V • п<вых> | dri™x\ D.10) потому что траектории полностью симметричны относительно средней линии и V = V. Но, вообще говоря, величина /' • п(вх) Un(Bx) I v - п(вых) | | V-n\dn IV-nlrfn D.11) не будет равна единице. Поэтому, если всюду использовать п, то нужно оценить это отношение. Элементарные геометрические соображения дают о2\ V • п(вых) | dn(BbIX) = Vrdrde, D.12) где V — относительная скорость, а г, г—полярные координаты в плоскости, перпендикулярной к V, так что rdrdz — проекция элемента поверхности сферы действия a2uWBbIX) (см. рис. 13). Когда точка an описывает сферу действия, точка (г, е) пробе-
4. ОБОБЩЕНИЯ 77 гает соответствующий диск дважды, но на положительной по- полусфере (V«n>>0) ее образ встречается только один раз. Ве- Величина г есть не что иное, как прицельный параметр, т. е. рас- расстояние наибольшего сближения двух частиц, если бы они продолжали свое движение без взаимодействия. Задача со- состоит в вычислении г как функции У и 6, где 6 — угол между п и V; мы имеем dn = sin QdQde и, следовательно, а21 V • п(вых) | dn(BbIX> = Vr j?- d9 de = 5 (9, V) dQ de = Vs (9, V) dn, D.13) где В F, V) = Vr^, D.14) ^^'Ж <4ЛБ> и величина s (Э, V) называется дифференциальным сечением рассеяния, так как она имеет размерность площади; для твер- твердых сфер г = а sin 9, 5(9, V) = Vg2 sin 9 cos 9, s (9, V) = о2 cos 9. Подробности вычисления 5(9, V) или, что эквивалентно, s@, V) при заданном потенциале ?/(р) будут даны в следующем раз- разделе. Если учесть все эти замечания, то точно так же, как и в случае твердых сфер, в пределе Л^~>оо, а—>О, No2 конечно, получится уравнение Больцмана, в котором | V• п<вых)| dn(BbIX) = = 5F, V) = dQds вместо \V-n\dn. Таким образом, уравнение Больцмана для материальных точек, между которыми дей- действуют центральные силы, имеет вид If+l • ¦§-=И ${f/f: ~~ ff*} в (9> v) de de dl*- D-16) Следовало бы обсудить еще один момент, связанный с тем, что мы используем обрезанный потенциал, но мы отложим это обсуждение до разд. 9. Далее рассмотрим вопрос о том, как обращаться со смесью различных газов. Если молекулы представляют собой твердые сферы, то единственное возможное различие состоит в том, что молекулы имеют разные радиусы и массы, но для точек, взаи- взаимодействующих на расстоянии, возможны различия также в за- законах взаимодействия и в значениях входящих в них парамет- параметров. При статистическом подходе первое отличие возникает в связи с /^-частичной функцией распределения PN, которая мо- может быть симметризована по отношению к молекулам каждого сорта, но не по всем молекулам смеси; следовательно, возни- возникает различие в s-частичных функциях распределения, которые
II. УРАВНЕНИЕ БОЛЫДМАНА отличаются тем, по каким N — 5 молекулам проводится интегри- интегрирование. В частности, если имеется п сортов молекул, то будет существовать п разных одночастичных функций распределения и п(п— 1)/2 двухчастичных функций распределения. Обозначе- Обозначения становятся громоздкими, но, вообще говоря, не требуется никаких новых идей, за исключением того очевидного факта, что нужно вывести п уравнений для п одночастичных функций рас- распределения fj (/ = 1, ..., п). В результате получаем + ^1 Е^5И№ад^(е V)dQddl, D.17) где rrii — масса молекулы i-то сорта, fiij(8, V) определяется фор- формулой D.14) при условии, что г = г(8, V) вычисляется из за- закона взаимодействия молекул /-го и /-го сортов, а аргументы ?', К У f/ и f'u в i-м члене выражаются через |, ?*, 9, 8 при помощи законов сохранения импульса и энергии (см. следующий раздел). Описание поведения многоатомных газов можно также све- свести к описанию поведения смеси газов с надлежащей модифика- модификацией. Заметим, что уравнение D.17) можно записать в виде где ?', ?', |, |.+ теперь не зависят друг от друга (т. е. не свя- связаны законами сохранения) и Wtl (t 1.11', К) = Stl (9, V) б (m,| + m& - m? - m?) X X 6 (/n;l2 + mg - m;r2 - mtf), D.19) причем 6 - arc cos Bit(B,V) 9 D'2°) S^7 (^ V^ = 21/cosesine {пг> + m/} m'm/- В частности, для твердых сфер с одинаковыми диаметрами а и массами m имеем Sfj = 2a2m4. Величина 1^.у. (|, ?# | |г5 ^) представляет собой плотность вероятности столкновения, при котором скорости молекул i и / изменяются от %\ \[ до |, ^. Дельта-функции, входящие в D.19), теперь обеспечивают выпол- выполнение законов сохранения импульса и энергии. Уравнение D.18) сводится к D.17), если воспользоваться D.19). Это легко
4. ОБОБЩЕНИЯ 79 проверить, выполняя тривиальное интегрирование по |^, заме- заменяя переменную интегрирования §' на^ = т/(| —Ю (d3^ = = m~^d3ty и переходя к соответствующим сферическим коорди- координатам X, 6, ф с полярной осью вдоль V (d3k = X2 dX sin 9d9dcp, mfc2 + /пД2 - mp - mg = 2XV cos 9 - {m} + т.) Интегрирование по X дает искомый результат, так как, полагая т{ + т, / tUjfti, \2 t = 1 ] \ X У— V cos В I т.т. \ т. -\- т, J и используя A.2.10), получаем [б( mf2/ X2 - 21V cos9)x2dX = mi + m\ X [л/—LJ- /H ^^Kcos6 -7-Д/—^^- = \ V rtii + rn, tn. -\- tn, / yt V m. + m. tn. -\- tn, 2(/п,ш,J (ш. V cos 9. D.21) После небольшой модификации уравнение D.18) можно рас- распространить на такую смесь, в которой столкновение может преобразовывать две молекулы сортов k, l в две молекулы дру- других сортов г, / (очень частный тип реакции). В этом случае соотношения для скоростей до столкновения и после него отли- отличаются от использованных до сих пор, но тем не менее можно написать систему уравнений Больцмана для п сортов молекул: ж + б• If = Z i\m-f,ft)wt«(i,g.|v, Г)«.drdv, D.22) где Wцк1 — плотность вероятности перехода от скоростей %', 1[ к скоростям |, |* в таком столкновении, где две молекулы сор- сортов /, k превращаются в две молекулы сортов /, / соответственно. В случае когда при столкновениях не происходят такие реакции, Wijhl = Wij8ik6ji, a Wij сводится к выражению, приведенному выше Fik~ символ Кронекера, т. е. 8ik = 1 при I = k, 6^ = 0 при i ф k).
80 П. УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА Молекулу многоатомного газа удобно моделировать следую- следующим образом [16, 2]. Молекула представляет собой механиче- механическую систему, которая отличается от точечно?! массы тем, что имеет набор внутренних состояний, которые обозначаются ин- индексом /, принимающим целочисленные значения (можно рас- рассматривать и непрерывное множество внутренних состояний). В простейших случаях (здесь будут рассматриваться только такие) эти состояния отличаются друг от друга тем, что моле- молекула, кроме кинетической энергии, обладает внутренней энер- энергией, принимающей различные значения Ej в различных состоя- состояниях. Столкновение между двумя молекулами наряду с измене- изменением скоростей может изменить внутренние состояния молекул, и, следовательно, внутренняя энергия входит в энергетический баланс. С точки зрения записи эволюционных уравнений статистиче- статистического поведения системы многоатомный газ удобно представлять себе как смесь различных одноатомных газов. Каждый из этих газов образуется молекулами, соответствующими данной внут- внутренней энергии, и столкновение, изменяющее внутреннее состоя- состояние хотя бы одной молекулы, можно считать реактивным столк- столкновением типа рассмотренного выше, причем Wijkl(%>, I*!!7, §*)— плотность вероятности столкновения, преобразующего две моле- молекулы с внутренними состояниями /г, / и скоростями |7, |' в мо- молекулы с внутренними состояниями iy j и скоростями §, |* соот- соответственно. Можно продолжить обобщение, чтобы включить химические реакции, в которых молекулы диссоциируют и атомы перегруп- перегруппировываются, или ядерные реакции, в которых происходит деление ядер с испусканием и поглощением нейтронов. Анало- Аналогичные подходы применимы к явлениям ионизации и процессам эмиссии и адсорбции излучения. В этом случае необходимы добавочные члены в /-м уравнении (по одному для каждой реакции, в которую вступает /-й сорт частиц); величина, пред- представляющая собой обобщение Wij, является плотностью вероят- вероятности того, что имеет место реакция, порождающая или уничто- уничтожающая частицу ./-го сорта. Перейдем теперь к последнему вопросу, связанному с обоб- обобщением уравнения Больцмана на плотные газы. При этом iV-*oo, lim{No3) > 0; следовательно, No2 —> оо и уравнение B.22) в пределе становится сингулярным. Соответственно мы пренебрегаем s лишь по сравнению с N и считаем 5 изменяю- изменяющимся от 1 до оо. В результате уравнения сохраняют форму C.5), но аргументы х* и х^ в i-ы члене правой части остаются в виде Ъ, = X; — па, х^ = х, + па, D.23)
б. СТРУКТУРА СТОЛКНОВИТЕЛЬНОГО ЧЛЕНА 81 а не стягиваются к х*. Другое существенное различие состоит в том, что мерой множества точек, для которых |xj — Xj\<Co (j?=i), пренебрегать нельзя, и при переходе к пределу а —*0 должен приниматься во внимание тот факт, что на этом множе- множестве РИ-1) обращается в нуль. Эффект такой экранировки одной молекулы другой должен уменьшать вероятность столкновений. Однако общий объем молекул сравним с объемом, занимаемым газом; это приводит к уменьшению объема, в котором может находиться центр любой молекулы, и тем самым к увеличению вероятности столкновения. Более подробное обсуждение этих эффектов завело бы нас слишком далеко. 5. Структура столкновительного члена Чтобы полностью раскрыть правую часть уравнения Болыд- мана тг + & • ж = i \ U'K ~ fU в <е> у)dQ d& dl*> E- *> нужно найти выражение 5@, V), определяемое формулой D.14). Для этого необходимо исследовать задачу двух тел при задан- заданном потенциале ?/(р). Пусть т и т* — массы двух молекул; тогда известно, что относительное движение происходит так, как если бы одна из молекул («молекула-мишень») находилась в по- покое, а другая («молекула-пуля») имела массу, равную приве- приведенной массе \i = —~L~ E.2) (в частности, если т = т*, то jji = т/2). Если р и ср — радиаль- радиальная и угловая координаты в плоскости движения (см. рис. 12), то законы сохранения энергии и момента импульса (по отноше- отношению к полюсу, расположенному в центре молекулы-мишени) дают 7,Мр2 + р2ф2) + ?/(р) = 72М/2 + [/@) (р<ог), ,_„. р2ф = гУ, E'3) где г — прицельный параметр, а V — относительная скорость; правые части этих уравнений вычисляются, когда молекула-пуля находится вне сферы взаимодействия, кинетическая энергия по- постоянна и равна \iV2/2, потенциальная энергия также постоянна и равна U(a), a момент импульса равен произведению импульса на прицельный параметр. В первом из равенств E.3) можно было бы опустить U(о), поскольку всегда возможно положить (У(о) = 0, однако более поучительно сохранить эту константу.
82 Н. УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА Ограничимся рассмотрением потенциалов отталкивания, кото- которые представляют собой важный случай ближних взаимодей- взаимодействий между молекулами в газе, как мы видели ранее. Теперь можно легко проинтегрировать приведенные выше уравнения (исключая производные по времени и используя ср как независимую переменную); траектория, как предполагалось в разд. 4, симметрична по отношению к средней линии. Угол 8 легко получить, так как это угол между V и средней линией (направленной по п), и решение уравнений E.3) дает u(a)] ~''2d9 in(-~), E.4) где ро— расстояние наибольшего сближения, которое удовлетво- удовлетворяет уравнению JL 1/2Л _jL^ = U(f>0)-U(o). E.5) JL 1/2Л _jL^ = Отметим, что ро ^ а (в противном случае не будет отклоне- отклонения, так как молекулы не попадут в область взаимодействия); ясно также, что г ^ а, как это следует из р0 ^ о и предположе- предположения об отталкивающем действии потенциала [которое означает, что ?/(ро)— t/ (сг) ^ 0]. Теперь нужно обратить функцию E.4), получить зависимость г = г(8) (предположение об отталкивающем действии потен- потенциала гарантирует монотонность зависимости 8 = 0(г)) и под- подставить ее в D.14), чтобы найти В(9, V). Если существует не- несколько сортов частиц, то нужно вычислить S2j(8, V) для всех возможных пар (всего п(п— 1)/2 для п сортов частиц). В случае смеси необходимо получить соотношение между 1\ II и |, §*, так как равенства C.11) верны только тогда, когда молекулы имеют одинаковые массы (см. разд. 4 гл. I). В этом общем случае уравнения сохранения энергии и импульса следует записать в виде ml + /ft*S* = mfc + w*!*, Первое из этих уравнений удовлетворяется тождественно, если положить I' = I + — п, с./ с. С
6. СТРУКТУРА СТОЛКНОВИТЕЛЬНОГО ЧЛЕНА 83 где п — единичный вектор нормали, а С — скаляр, который еще нужно определить. Подставив эти выражения во второе из урав- уравнений E.6), получим 2Сп • I + -g- - 2Сп • i + ^ = 0. E.8) Следовательно, если С ф 0, то С = - 2^in • (| - i) = - 2jxn • V, E.9) где V — относительная скорость ! — !*, а \х — приведенная масса, определенная формулой E.2). Подстановка значения E.9) в ра- равенства E.7) дает Г = |--^-п(п-У), (V = |-i). E.10) Чтобы выяснить геометрический смысл п, вычислим V' = = ^ — ^, т. е. относительную скорость перед столкновением: V' = V--2n(n-V). E.11) Значит, п делит пополам угол между прямыми, направлен- направленными вдоль — V и V, и направлен вдоль средней линии. Ис- Используя углы 6 и е, имеем, очевидно, п • V = V cos G, n = (sin9 cose, sin 9 sin e, cos 9), ' ^ так как 9 — угол между п и V, а 8 — азимутальный угол в плос- плоскости, перпендикулярной к V. Угол 8 меняется от 0 до 2л, а 9 от 0 (лобовые столкновения, г = 0) до я/2 (скользящие столк- столкновения, г = о). Отметим, что якобиан д (^, %>')/д (Щ, |) равен — 1, поскольку здесь можно повторить соответствующие рассуж- рассуждения разд. 5 гл. I. Видно, что все сложные детали двухчастичного взаимодей- взаимодействия концентрируются в функции В (9, V) (или 5^(8, V)), представляющей (ненормированную) плотность вероятности от- относительного отклонения я — 29 для пары молекул с относитель- относительной скоростью V. Функция В(9, V) не может быть выражена в элементарных функциях даже для таких простых потенциалов как степенные (U = kpl~n; пф2,3); случаи обратного квад- квадрата и обратного куба поддаются аналитическому исследова- исследованию, но описывают слишком мягкое взаимодействие на малых расстояниях, чтобы быть реальными для нейтрального газа.
84 П. УРАВНЕНИЕ БОЛЫДМАНА Несмотря на эти негативные замечания, стоит исследовать слу- случай степенных потенциалов более подробно. Равенство E.4) при этом принимает вид ,17)' E-13) где ро удовлетворяет уравнению Если положить то из E.13) имеем 6 = j *х —^ + arcsin (¦?-) , E.16) где х0 удовлетворяет уравнению — Xq — \Xq/O) U. \О.[() Ясно, что вычисление функций 9 = 9(г, У) — довольно слож- сложная задача. Существенное упрощение происходит в предельном случае сг->оо при анализе многочастичного взаимодействия как последовательности скользящих бинарных столкновений (см. обсуждение в разд. 9). Так как обычно вся работа по вычисле- вычислению коэффициентов вязкости и теплопроводности [1, 2] основы- основывается на этом предположении, приведем соответствующие фор- формулы: Х0 ==¦. E.18) ^=7. VI — х2 —(дс/*)"-1 -V<"-'> E.19) где Xq удовлетворяет уравнению E.17). Взятые совместно урав- уравнения E.18) и E.17) дают 8 = 9F), а после обращения Ъ =
б. СТРУКТУРА СТОЛКНОВИТЕЛЬНОГО ЧЛЕНА 85 = й(8). Тогда E.19) приводит к выражению -if)' которое показывает, что зависимость г от V и 8 факторизуется, и, следовательно, из D.14) имеем В (8, V) = V{n-s)J{n-l) (^)A° 6-^- = У7РF), E.21) где у = (п — 5)/(/г — 1) и 2/(п-1) Таким образом, существенное упрощение для необрезанных степенных потенциалов состоит в том, что В (8, V) становится произведением функции только от 8 на дробную степень V. Значительное упрощение возникает при п = 5, потому что тогда зависимость от V исчезает. Это упрощение было открыто Мак- Максвеллом [17], и фиктивные молекулы, взаимодействующие таким образом, обычно называются максвелловскими молекулами. Хотя в действительности молекулы не являются максвеллов- максвелловскими, все-таки эта концепция полезна, потому что предполо- предположение о законе обратной пятой степени часто сильно упрощает вычисления и дает удовлетворительные результаты или по край- крайней мере первое приближение к ним. Отметим, что |3(8) ведет себя следующим образом: () (), AF) = О [(я/2 - er(*+№-ir] (8 -> я/2), [ ] где О(х) означает величину порядка х. Первое из этих соотно- соотношений легко получить, заметив, что при 8—>0 имеем jc0 —>О, как видно из E.18), и, следовательно, Ь~л-0-»0, согласно E.17), а формула E.18) принимает вид 6 ~ dx Ъ \ du J Vl-UW 0J Ъ \ , du E.24) так что bc^KQ, где КфО, bdbc^k2Qd0, C(8) =0(8). Когда 8->я/2, имеем Ь —> оо (как видно из E.18) при переходе к пределу /?->оо). Таким образом, x\cz. I —bl~n, как это следует
11. УРАВНЕНИЕ БОЛЫДМАНА из E.17), и I Г dy 2 2 2Ьп~' 2йп~' J (i —г/2O' т;^г) E>25) В результате имеем db Г/я ч-(п+1)/(л~1I E.26) ]¦ откуда легко получаются соотношения E.23). 6. Элементарные свойства оператора столкновений. Инварианты столкновений Правая часть уравнения E.1) содержит квадратичное выра- выражение Q(/, f), определяемое формулой Q(f,f) = -^\ (ГК - ff,) В (в, V) dt dQ dz. F.1) Оператор Q действует на скоростные аргументы функции /. Он описывает эффекты взаимодействий и в связи с этим назы- называется оператором столкновений. Величина Q(/, f), т. е. интег- интеграл F.1), называется интегралом столкновений или просто столкновительным членом. В этом разделе мы изучим некото- некоторые свойства интеграла Q, которые, несмотря на его сложную форму, позволяют выполнять различные преобразования во мно- многих принципиально важных задачах. Фактически мы исследуем здесь несколько более общее выражение, а именно билинейное выражение [ . F.2)
6. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ОПЕРАТОРА СТОЛКНОВЕНИЙ 87 Ясно, что при g = f выражение F 2) сводится к F.1); кроме того, 0(/, g) = Q(g, П- F.3) Наша первая цель состоит в изучении некоторых преобразо- преобразований восьмикратного интеграла \Q(f, = i \ (f'g. + Kg' - fS. - f.g) Ф (I) B (9, V) d$ d?, dd dz, F.4) где интегрирование по § распространяется на все пространство скоростей, а ср(§) — произвольная функция |, для которой эти интегралы существуют. Произведем перестановку переменных ?—>§*, ?*-*! (которая означает также |'—>^, ?' —>$' вследствие C.11)). Тогда, по- поскольку как S(9, V), так и выражение в скобках преобразуются в самих себя, а якобиа.ч преобразования очевидно равен еди- единице, имеем = i \ (f'g: + № - fg. - Lg) Ф (У В (9, V) d\ dl. dQ de. F.5) Это уравнение совпадает с F.4), за исключением того, что вместо ф(|) появилась ф(?*). Рассмотрим теперь другое преоб- преобразование переменных в F.4): |—*§' и ^->|' (здесь, как и выше, единичный вектор п в C.11) считается фиксированным). Как мы знаем (разд. 4 гл. I), модуль якобиана этого преобра- преобразования равен единице, так что d\ c/S^ = d%' d% и формула F.5 принимает вид \Q(f, g)<p(l)dt = = i \ (f'g'* + № ~ fg. ~ Ш Ф (s) В (9, V) dV di: dQ ds, F.6) где нужно выразить | и §* через переменные интегрирования |г, ^ при помощи соотношений, обратных C.11). Эти соотно- соотношения (см. A.4.3)) таковы: g = 6'-n(n.V), i = i' + n(n-V/); ( ' здесь скорость V == %' — %,[ связана с V = | — |, равенством E.1) и, следовательно, V' • П = - Y • п. F.8)
II. УРАВНЕНИЕ БОЛЫДМАНА Полусфера V-n>0 соответствует полусфере V/-n<CO; од- однако, не меняя выражений, зависящих от |, |#, можно заменить п на —п и выполнить интегрирование по полусфере V'-n>0. Можно также сменить наименование переменных интегрирова- интегрирования и переобозначить |', ?Ц через |, |*. Тогда, в силу C.11) и F-7), |,|* превращаются в |', |^ и формула F.6) записы- записывается в виде \Q(f, =i 5 (fg.+и - fg: - гж) ф (Г) в (в, v) d\ d% dQ dz, F.9) где B(Q,V) при такой замене не меняется, так как из E.11) следует, что V = V. Перепишем выражение F.9) следующим образом: = - i S (f/?* + f*g/ ~ ^* - f*g) ф (Г) Б (e> V) dl dl*dQ d& ¦ F*10) Это выражение совпадает с F.4), за исключением того, что появился знак минус и вместо ср(|) стоит ф(Ю- Наконец, поменяем в F.10) местами | и §*, как при пере- переходе от F.4) к F.5). В результате получим Выражение F.11) отличается от F.4) только знаком минус и тем, что вместо ср(|) стоит ф (?,*). Таким образом, для одной и той же величины получены че- четыре различных выражения: F.4), F.5), F.10) и F.11). Теперь можно строить другие выражения, составляя их линейные ком- комбинации. В частности, нас интересует комбинация, которая по- получается сложением этих четырех выражений и делением на четыре, т. е. Q (f, §) ф (I) dl = ^- \ (f'gi + № - fg. - U) X F.12) Это равенство выражает основное свойство столкиовитель- ного члена, которое часто будет использоваться в дальнейшем.
6. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ОПЕРАТОРА СТОЛКНОВЕНИЙ 89 В частном случае g = / оно принимает вид V)dldtdQds. F.13) Заметим теперь, что независимо от f и g интеграл в F.12) равен нулю, если соотношение Ф + Ф* = Фг + ф; F.14) верно почти всюду в пространстве скоростей. Так как интеграл в левой части F.11) представляет собой среднее изменение функции ф(|) за единицу времени вследствие столкновений, то функции, удовлетворяющие соотношению F.14), обычно назы- называются «инвариантами столкновений». Имеет место следующее свойство: если ф(§) непрерывна, то равенство F.14) удовлетво- удовлетворяется в том и только том случае, когда Ф(|) = а + Ь.| + ^2, F.15) где а и с — скалярные, а Ь — векторная постоянные. Обычно функции гро = 1, (г|)ь г|J, г|)з) = 1, ^4 = ?2 называются элемен- элементарными инвариантами столкновений, так что общий инвариант столкновений представляет собой линейную комбинацию пяти величин \f>. Для доказательства утверждения, что равенство F.14) удов- удовлетворяется в том и только том случае, когда ф(§) имеет форму F.15), нам потребуется следующая Лемма. Пусть х— вектор в п-мерном пространстве Еп, и пусть функция /(х) непрерывна хотя бы в одной точке и удов- удовлетворяет функциональному уравнению f(x + x1) F.16) для любых х, xiGE?n. Тогда /(х)=А-х, где А — постоянный вектор. Действительно, если f непрерывна, скажем, в точке х0, то она будет непрерывна всюду, потому что из F.16) при xi = h имеем f(x + h)-f(x) = f(h) = f(xo + h)-f(xo). F.17) Уравнение F.16) для любого целого р по индукции дает Z,)Zf(,) F.18) в частности, для xz = х (/=1, ..., р) F.19)
90 П. УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА и, заменяя р на q9 a x на x/q, получаем f{x/q)=±f{x). F.20) Далее, учитывая F.19) (с x/q вместо х) и F.20), имеем f(fx)=pf{x/q)=ff{x)9 F.21) или просто f(ax) = a/(x) F.22) для любого рационального а > 0. Вследствие непрерывности f(x) равенство F.21) верно для любого вещественного а > 0. Из F.16) следует, что /@) = 0 (при x = xi = 0), и, полагая xi = —х, имеем /(—х) = —/(х); следовательно, равенство F.22) верно для любого вещественного а. Теперь легко полу- получается требуемый результат, ибо если aft (fe=l, ..., п) суть п ортогональных векторов, то любой вектор х можно записать п в виде X (х ' а/г)а/г- Поэтому, в силу F.18), получаем F.23) t (,),)Е /((*)л? k=\ / k=\ k=\ = x- (? f(aft)aft)=A- и лемма доказана. Равенство F.14) означает, что ф + ср* имеет одно и то же значение для всех пар векторов (§, |*), которые удовлетворяют уравнениям сохранения; т. е. ср + ср* является константой каж- каждый раз, когда | + |* и ?2 + Ц постоянны. Иначе говоря, ср + ф* представляет собой функцию только этих последних величин: Ф (§) + Ф (У = Ф (? + ?*Л + О- F.24) Определим F.25) и сложим F.24) с уравнением, полученным из него заменой (|, !#)->(—1, —§¦), а затем вычтем последнее уравнение из F.24). В результате найдем ф± © + ф± (i)=ф± (^2 + й. ^+i). F.26)
6. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ОПЕРАТОРА СТОЛКНОВЕНИЙ 91 Если в уравнении для qp± положить с^ = — S, то получим (ф±(— Ю = Ф±(Ю) равенство 2ф+A) = Ф+B^2, 0), F.27) которое показывает, что qp+ зависит только от ?2, <p+=i|)(?2). Тогда из F.26) следует, что Ф+ зависит только от ?2 + ?2, по- потому что никакая функция от |+|# не может быть образована из t и ?. (Равенство f(l + lj = g(fy fj при ^ = 0 озна- означало бы, что / (?) =h (g2); следовательно, h (g2 + ?2 + 2? • |J = = g(li%i), что невозможно, если h не является постоянной, ^ак как левая часть принимает различные значения при | • |# = 0, ?* = ^2Е2 и ^ = Я^, в то время как правая часть принимает оди- одинаковые значения при так выбранных аргументах функции /г.) Отсюда заключаем, что F.26) можно переписать в виде Ф (?2) + Ф (t2) - Ф+ (^ + ?) = * (^ + !•) + Ф @), F.28) где последнее выражение для Ф+ получается при ^ = 0. Если положить f (?2) = Ф (?2) ¦—¦ "Ф @), то равенство F.28) перейдет в F.16) для одномерного случая (с х —?;", X\=%j\ применяя лемму, приходим к выводу, что f (?2) = 2с?2, где с — некоторая постоянная. Следовательно, Ф+ (^2) = t Й2) = Ф @) + f (I2) = 2а + 2cl\ F.29) где 2а ===== г|э@) —постоянная. Рассмотрим уравнение F.26) для qp_. Если выбрать § и ^ взаимно ортогональными, то можно считать, что функция Ф_ зависит только от второго аргумента, так как при этом g2 + ?2 = (| + !j\ Значит, можно записать Ф_ п) + Ф_ (U = h(t + l) = Ф_ (| + У; F.30) последнее выражение для /i(| + U получается, если положить ?# = 0 и учесть тот факт, что ф_ @) = 0 в силу F.25). В F.30) можно не пользоваться условием §.Щ = 0. Чтобы показать это, возьмем произвольные ^ и ^ и третий вектор р, который орто- ортогонален этим двум: р . g = р . ^ = 0 F.31) и абсолютная, величина р которого задается соотношением Р2 = 1М1>О. F.32)
92 И. УРАВНЕНИЕ БОЛЫДМАНА Применяя F.30) к ортогональным векторам (|, р) и (У =F р), имеем Ф_(^ + р) = Ф_(Ю + Ф_(р), ф_ (i + р) = ф_ (У + ф_ (+ р) = Ф_ (У н= ф_ (р), F>33) где знак минус или плюс во втором уравнении берется в соот- соответствии с неравенством | • |% ^ 0. Теперь, в силу этого вы- выбора и соотношений F.31), F.32), имеем (|+p)-(i=Fp) = l-t=F|-p + p-|»::Fp2 = 0> F.34) и можно применить равенство F.30) кЦ-ри^ + р, а также к I + I* и р 4= р, что дает Ф_ (I + Р) + Ф_ (i =F P) = Ф_ (I + t + Р + P) = = Ф_(&+и + Ф_(рТр). F.35) Подставляя в левую часть F.35) выражения F.33), полу- получаем Ф_ (I) + Ф_ (к) + Ф_ (Р) + Ф^ (Р) = Ф_ (I + У + Ф_ (Р + Р). F.36) Если | • I, > 0, то имеет место знак минус и Ф_(Ю + Ф_(У = Ф_(? + У- F.37) В частности, если положить ! = |fc = p (p.p = p2>0), то фор- формула F.37) дает 2ф_(р) = Ф_Bр). F.38) Подставляя этот результат в F.36), когда | • ^ < 0 и имеет место знак плюс, мы, наконец, доказываем, что уравнение F.37) совпадает с F.16), если |, ^, ф_ отождествить с х, х{, f. При- Применяя лемму, получаем Ф_A) = 2Ь-|, F.39) где b — постоянный вектор. Поскольку из F.25) следует, что Ф = ^ф+ — Ф_)/2, соотношение F.15) доказывается сложением равенств F.29) и F.39). Итак, если qp — инвариант столкновений, заданный форму- формулой F.15), то 5 Ф (Ю Q (f, g)dl = 0. F.40) В случае смеси газов этот вывод можно обобщить и пока- показать, что, если Qijifi, fj) обозначает столкновительный член для взаимодействия между частицей /-го сорта и частицей 1-го сорта, как представлено правой частью уравнения D.17) (которая равна
f,)), 7. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ Q(/, I) = 0 93 TO $J]//(f*,f/)dS = o F.41) для любых /ь fy, если ф есть константа (сохранение массы частиц /-го сорта), и $?/(/*> fi)dl = O, F.42) если ф;- = const, ф;- = | или ф; = |2 (сохранение общей массы, импульса, энергии). Это, конечно, справедливо при отсутствии реакций; в противном случае равенство F.41), вообще говоря, не выполняется, а F.42) выполняется при ф^ = 1, ф;- = §, ф;- = = |2 -f- 2?j/mj, где Ej — внутренняя энергия молекул /-го сорта (это применимо, в частности, к исследованию многоатомных газов, согласно замечаниям разд. 4). 7. Решение уравнения Q(f,/)=O В этом разделе исследуется вопрос о существовании положи- положительных функций /, обращающих в нуль интеграл столкновений: Q (f, f) = J (ГК - ftt В (в, V) rfg, rfe rfe = 0. G.1) Мы хотим показать, что такие функции существуют и что все они даются выражением + b-|+^2), G.2) где a, b, с те же, что и в F.15). Для этого докажем сначала результат, который будет важен и в дальнейшем и который со- состоит в том, что независимо от вида функции распределения выполняется следующее неравенство (неравенство Больцмана): \\nfQ(f, G.3) причем равенство осуществляется в том и только том случае, когда / имеет вид G.2). Ясно, что первое утверждение есть простое следствие второго. Действительно, если равенство G.1) выполняется, то, умножая его на In/ и интегрируя, получаем G.3) со знаком равенства, откуда следует G.2), если справед- справедливо второе утверждение. И обратно, если имеет место G.2), то, применяя результаты предыдущего раздела к ф— in/, полу- получаем /'/* = /7+ и, следовательно, G.1).
94 И. УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА Докажем поэтому, что соотношение G.3) всегда выполняется для / > О, а знак равенства влечет за собой G.2) и вытекает из G.2). Используя уравнение F.13) с ср = 1п/, получаем = i J /7i 0 - A,) In ЯЯ (в, У) dg dg, ^9 de, G.4) где % G.5) Далее, /7' > О, Б^О (равенство достигается только при 6 = 0); кроме того, для любого Х^О A -X) In Я< 0 G.6) и равенство достигается тогда и только тогда, когда X = I (заметим, что 1—X и —\пХ отрицательны или положительны одновременно и оба обращаются в нуль только при Х=\). Используя соотношение G.6), из G.4) можно получить G.3), и равенство осуществляется тогда и только тогда, когда А=1, т. е. когда ff* = f'K почти всюду. G.7) Логарифмируя обе части этого равенства, находим, что Ф = In/ удовлетворяет уравнению F.14), так что ф = In/ имеет вид F.15). Следовательно, / имеет вид G.2), что и требовалось доказать. Заметим, что постоянная с в G.2) должна быть отрицатель- отрицательной, так как функция / должна быть интегрируемой по всему пространству скоростей. Если положить с = —a, b = 2av, где v — новый постоянный вектор, то G.2) можно переписать в виде (|-уJ], G.8) где А— постоянная, связанная с a, a, v2 (a, v, А составляют новый набор произвольных постоянных). Выражение G.8) — это известное распределение Максвелла; оно отличается от A.6.25). так как описывает газ, который не находится в состоянии покоя (при v=t^0). Однако G.8) сводится к A.6.25) (не считая три- тривиальных изменений), если перейти к системе отсчета, движу- движущейся со скоростью v по отношению к прежней, где выполнялось соотношение G.8), и должным образом выразить величины А и а через внутреннюю энергию и плотность. Справедливость такой интерпретации будет показана в следующем разделе. В случае смеси газов приведенное выше доказательство можно модифицировать и показать, что fi)dl<0, G.9)
8. СВЯЗЬ МЕЖДУ МИКРО- И МАКРОСКОПИЧЕСКИМ ОПИСАНИЯМИ 95 причем знак равенства достигается тогда и только тогда, когда -шп/(|-уJ], G.10) где Aj, v, a — постоянные. В случае многоатомного газа нужно учесть внутреннюю энергию; тогда fj = Aj exp [- com, (g - vJ - 2a?y]. G.11) 8. Связь между микроскопическим и макроскопическим (газодинамическим) описаниями В этом разделе рассмотрим задачу вычисления макроскопи- макроскопических величин при заданной функции распределения. Мы иногда уже пользовались плотностью в физическом простран- пространстве р(х, t), которая есть не что иное, как интеграл от плотно- плотности в одночастичном фазовом пространстве /(х, §, /) по всем возможным скоростям: 9{x,t)=\fdl. (8.1) Согласно вероятностному смыслу /, плотность р — математи- математическое ожидание массы в единице объема около точки (х, /) или произведение массы молекулы т на плотность вероятности нахождения молекулы в (х,/), т. е. на (ожидаемую) численную плотность /i(x, /) = p(x, t)/m=\pdl (8.2) где Р — плотность вероятности, связанная с / соотношением C.12). Массовая скорость v получается осреднением скорости мо- молекул |: [ [ifdl J (8.3) \Pdl \fdl ' где интеграл в знаменателе появляется потому, что Р не норми- нормирована на единицу при фиксированном х, а интегрирование ве- ведется только по |. С учетом (8.1) равенство (8.3) можно запи- записать в виде J/d|, (8.4) или в компонентах " ifdt (8.5)
96 II. УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА Массовая скорость v есть тот эффект молекулярного движе- движения, который мы можем воспринимать посредством макроскопи- макроскопических наблюдений; она равна нулю в случае стационарного со- состояния газа в замкнутом неподвижном сосуде с зеркально от- отражающими стенками. Каждая молекула обладает некоторой скоростью |, которая раскладывается на сумму v и другой ско- скорости c = g-v, (8.6) описывающей случайное отклонение скорости молекулы от упо- упорядоченного движения со скоростью v. Скорость с обычно на- называют собственной или тепловой скоростью; она совпадает с §, когда газ макроскопически покоится. Заметим, что в силу (8.6), (8.5) и (8.1) \=\hfdl-vi\fdl = pvt-pvi = O. (8.7) Величину pVi в (8.5) можно интерпретировать как плотность импульса или, иначе, как поток массы (в i-м направлении). В дальнейшем нам понадобятся также поток импульса, плот- плотность энергии и поток энергии. Так как импульс — векторная величина, нужно рассматривать поток /-й компоненты импульса в i-м направлении: ilifdl. (8.8) При этом используется следующее общее правило: если некото- некоторая величина имеет плотность G в фазовом пространстве (в на- нашем случае G — ^f), то ее поток через поверхность 5 (т. е. ко- количество этой величины, которое проходит через единицу по- поверхности 5 в единицу времени) определяется выражением J Gln dt dS dlj{dS dt) = J Gtn dt Здесь интеграл берется по всем возможным скоростям, dS обо- обозначает площадь элемента поверхности, а ?п компоненту § по нормали к этому элементу. Соотношение (8.8) показывает, что поток импульса описывается симметричным тензором второго ранга. Следует ожидать, что при макроскопическом описании иден- идентифицируется только часть микроскопически определенного по- потока импульса, поскольку интеграл в (8.8), вообще говоря, от- отличен от нуля, даже если газ макроскопически покоится (отсут- (отсутствует макроскопический поток импульса). Чтобы выяснить, как упомянутый поток импульса проявится при макроскопическом описании, воспользуемся разбиением § на массовую скорость v
8. СВЯЗЬ МЕЖДУ МИКРО- И МАКРОСКОПИЧЕСКИМ ОПИСАНИЯМИ 97 и тепловую скорость с согласно (8.6). Имеем Ш dl = J (vt + cl)(vJ + cj) f dl = v^ сfi dl + v, \ cj dl + J Cic,f d\ = icjfdl (8.9) где использованы соотношения (8.1) и (8.7). Таким образом, поток импульса распадается на две части, одна из которых опре- определяется как макроскопический поток импульса (плотность импульса, умноженная на скорость), а вторая часть представ- представляет собой скрытый поток импульса, обусловленный тепловым движением молекул. Как проявится эта вторая часть при мак- макроскопическом описании? Если взять фиксированную область газа и наблюдать за изменением импульса внутри нее, то можно обнаружить, что (при отсутствии внешних объемных сил) изме- изменение лишь отчасти может быть приписано веществу, входя- входящему в эту область и выходящему из нее. При этом остается вторая часть, для которой нет макроскопического объяснения, если не приписать ее действию некоторой силы, действующей на границу рассматриваемой области со стороны примыкаю- примыкающего газа. Иначе говоря, интеграл \ctcjf d%> появляется как вклад в тензор напряжений (и фактически единственный вклад в тензор напряжений, если газ является больцмановским, для которого действием молекул одной области на молекулы другой области пренебрегают). Поэтому запишем Pil-\ciclfdl (8.10) (отождествление вполне оправдывается тем фактом, что, как будет показано ниже, р^ играет в макроскопических уравне- уравнениях, полученных из уравнения Больцмаыа, ту же роль, что и тензор напряжений в уравнениях сохранения, выведенных из макроскопических соображений). Аналогичное разбиение нужно провести для плотности энер- энергии и потока энергии. Плотность энергии задается выражением Уг \ l2f d%, и достаточно лишь положить в (8.9) / = i и просум- просуммировать от i = 1 до / = 3, чтобы получить 2fdt (8.11) Снова первый член в правой части макроскопически отожде- отождествляется с плотностью кинетической энергии, тогда как второй член может быть приписан «внутренней энергии» газа.
98 It. УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА Следовательно, если ввести внутреннюю энергию единицы мас- массы газа е, то плотностью внутренней энергии единицы объема будет величина pe=±[c2fdt (8.12) Отметим, что существует связь между плотностью внутрен- внутренней энергии и следом (т. е. суммой трех диагональных членов) тензора напряжений. Действительно, из (8.12) и (8.10) следует, что \ (8.13) (Здесь и далее, если не оговаривается противное, будет исполь- использоваться условие суммирования по повторяющимся индексам от 3 \ 1 до 3; таким образом, ри =в J] ри. I След, деленный на 3, дает /=i / изотропную часть тензора напряжений; поэтому удобно отожде- отождествлять р = рц/3 с давлением газа по крайней мере в случае равновесия. Такое отождествление в случае одноатомного газа справедливо и для неравновесных состояний, но в общем случае неверно. Поэтому % (8.14) Соотношение (8.14) называется уравнением состояния газа; оно позволяет выразить любую из трех величин /?, р, е через две другие. Как мы видели в разд. 6 гл. I, для одноатомного иде- идеального газа е является функцией температуры, т. е. такой ве- величины, которая имеет свойство принимать одно и то же значе- значение для двух систем, находящихся в контакте в состоянии рав- равновесия. Из (8.14) следует, что р/р постоянно при постоянной температуре для разреженных одноатомных газов. Именно это свойство служит определением для идеального газа, подчиняю- подчиняющегося уравнению Клапейрона (8.15) где Т—абсолютная температура, a R — постоянная (зависящая от массы молекулы согласно A.6.27), где m — in для одноком- понентного газа). Соотношения (8.14) и (8.15) приводят к вы- выражению e==3/2RT, (8.16) которое использовалось в гл. I (формула A.6.26)). Теперь нужно исследовать поток энергии. Полный поток энергии, очевидно, равен ) $<S2M&. (8.17)
8. СВЯЗЬ МЕЖДУ МИКРО- И МАКРОСКОПИЧЕСКИМ ОПИСАНИЯМИ 99 Используя (8.6), получаем 11* 1 Г = -^vtv2^ f dl+ ViVj^ Cjf dl + — t\ y2f d\ + SI Г CiCff dl + ^ \ cic f d%» (8.18) или с учетом (8.1), (8.7), (8.12), (8.10) tc2fdt (8.19) В результате получились три члена. Первый из них, оче- очевидно, представляет поток энергии, обусловленный макроскопи- макроскопической конвекцией. Второй с макроскопической точки зрения интерпретируется как следствие работы, совершаемой напряже- напряжениями в единицу времени. Третий член представляет собой еще один вид потока энер- энергии. Этот добавочный член обычно называют вектором тепло- теплового потока и обозначают через q: iC2fd& (8.20) Как и в случае тензора напряжений, такое отождествление оправдывается тем, что, как будет показано в дальнейшем, q играет ту же роль, что и вектор теплового потока в макроско- макроскопических уравнениях. Однако термин «тепловой поток» отчасти вводит в заблуждение, так как встречаются ситуации, когда qi ф 0, а температура практически постоянна всюду; в этом слу- случае приходится говорить о тепловом потоке при постоянной тем- температуре. Термин «неконвективный поток энергии» был бы бо- более подходящим для q, но он не употребляется. Проведенные рассуждения связывают функцию распределе- распределения с величинами, которые используются при макроскопическом описании; в частности, рц, например, можно применять для рас- расчета силы сопротивления, действующей на движущееся в газе тело, a q — для определения теплопередачи от горячего тела к холодному, ргогда они разделены заполненным газом простран- пространством. Чтооы завершить описание этой связи и представить ее как простое математическое следствие уравнения Больцмана, выве- выведем теперь пять дифференциальных уравнений, которым удов- удовлетворяют рассмотренные выше макроскопические величины. Эти уравнения обычно называют уравнениями сохранения, так как физически их можно интерпретировать как уравнения, вы- выражающие сохранение массы, импульса и энергии.
100 Н. УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА Для получения этих уравнений рассмотрим уравнение Больц- мана l + ^ + Z(.|r = Q(U), (8.21) где ради общности введен член с объемными силами, который обычно опускается. Умножим обе части уравнения (8.21) на пять инвариантов столкновений фа (а = 0, 1, 2, 3, 4), опреде- определенных в разд. 6, и проинтегрируем по |. Из F.40) с g = f, Ф = г|)а имеем = O (a = 0, 1, 2, 3, 4) (8.22) для любой функции /. Следовательно, для любой /, удовлетво- удовлетворяющей уравнению (8.21), \aj^ d%=0 (a=0, 1,2,3, 4) (8.23) при условии, что Xi не зависит от §. Если взять последовательно a = 0, 1, 2, 3, 4 и воспользо- воспользоваться соотношениями (8.1), (8.4), (8.9) —(8.12), (8.19) и (8.20), то будем иметь и) = рХ,, (8.24) W [9 (т v2 + e) + -?r \_Pvi (y y2 + е) Здесь использованы также соотношения rfg = 0, \ I,(df/dld d$=-\ 6tif d% = - рбG, i f -25) которые получаются интегрированием по частям с учетом усло- условий lim (i|5a/) = 0, необходимых для существования встречаю- щихся в данном разделе интегралов. Здесь Sij = 1 при i = j и 5^- = 0 при 1ф\. Уравнения (8.24)—это основные уравнения механики сплошной среды, в частности макроскопической газо- газовой динамики. Однако в таком виде они являются пустой схе- схемой, поскольку дают 5 уравнений для 13 величин (если принять во внимание (8.13)). Чтобы получить уравнения, которыми можно пользоваться, нужно каким-то образом выразить pij и
8. СВЯЗЬ МЕЖДУ МИКРО- И МАКРОСКОПИЧЕСКИМ ОПИСАНИЯМИ ](I Цх через р, viy e. Или же надо вернуться к уравнению Больц- мана и решить его; но если это сделано, то сделано уже все и уравнения (8.24) бесполезны! При любом макроскопическом подходе к динамике жидко- жидкости приходится постулировать (на основе экспериментов или правдоподобных рассуждений) некоторые феноменологические соотношения (так называемые определяющие уравнения) ме- между pij, Ц{, с одной стороны, и р, Vi, e — с другой. В случае газа или вообще жидкости существуют две хорошо известные мо- модели: жидкость Эйлера (или идеальная): Ри = рЬц, Qi = Q (8.26) и жидкость Навье — Стокса — Фурье (или вязкая и теплопро- теплопроводная): (dvf dv. \ dvb дТ J lJ k (8.27) где \х и X— коэффициенты вязкости (обычно пренебрегают так называемой объемной вязкостью, тогда Х =—2/зц), а х—коэф- х—коэффициент теплопроводности (jx, X и х могут быть функциями плотности р и температуры Г). При микроскопическом описании таких соотношений вводить не нужно; единственная неизвестная функция / содержит всю информацию о плотности, скорости,, температуре, напряжениях и тепловом потоке! Конечно, это возможно только потому, что / является функцией семи переменных вместо четырех; макроско- макроскопический подход (пять функций четырех переменных) проще, чем микроскопический (одна функция семи переменных), и если он может быть применен, то его следует предпочесть. Поэтому одна из задач теории, основанной на уравнении Больцмана, со- состоит в получении некоторой приближенной макроскопической модели для газа при обычных условиях (в частности, соотноше- соотношений (8.27) с р,, X, х, выраженными через молекулярные кон- константы) и нахождении пределов применимости подобной мо- модели. Эта часть теории будет рассматриваться в гл. V. Существуют, однакй,^дежимы с таким разрежением, что никакая общая макроскопическая теория в обычном смысле не- возможна (определяющие уравнения типа (8.26) и (8.27) те- теряют силу); в этом случае нужно решить уравнение Больцмана, а не только использовать его для обоснования макроскопических уравнений. Заметим, что если в (8.1), (8.3), (8.12) подставить максвел- ловскую функцию распределения G.8), то окажется, что
-102 Н. УРАВНЕНИЕ БОЛЫЦМАН4. входящая в выражение G.8) постоянная v действительно пред- представляет собой массовую скорость, а а = 3 De)~l = BRT)~\ А = 9 (%ne)^k = р {2nRT)~4\ (8.28) Далее, Pi, = pbi, = 2l3pebth qt = 0, (8-29) так что газ с максвелловским распределением удовлетворяет определяющим уравнениям идеальной жидкости (8.26). Сказанное выше можно распространить на случай смеси га- газов. При этом для каждого компонента имеем все определен- определенные выше величины и, кроме того, можем рассматривать сум- суммарные или средние величины для всей смеси. В случае много- многоатомных газов полная внутренняя энергия на единицу массы, с, равна сумме 3/2RT (поступательной энергии) и средней внут- внутренней энергии молекулы 8 (вращательной и колебательной энергии). При отсутствии реакций в газе закон сохранения массы вы- выполняется для каждого компонента, но уравнения сохранения импульса и энергии справедливы только для суммарных вели- величин. Если в газе протекают реакции, то даже уравнение сохра- сохранения массы для отдельного компонента не выполняется. 9. Необрезанные потенциалы и скользящие столкновения. Уравнение Фоккера—Планка В этом разделе кратко обсуждаются некоторые вопросы, свя- связанные с использованием необрезанного потенциала, и в част- частности эффект скользящих столкновений. Эти вопросы возникают, если включить в уравнение Больц- мана влияние дальнодействующих сил. Можно было бы моди- модифицировать рассуждения разд. 4, допуская, что производная dU/dr отлична от нуля при г > а; тогда появляются дополни- дополнительные члены, точно так же, как в уравнениях D.2), D.3), D.4) (однако с отличной от нуля правой частью). Интеграл, определяющий X, берется теперь по области |х — х*| > о: J 9(x,,t)X(x,xJdx,, (9.1) I х-х* \>о где р = тп— массовая плотность, определенная формулой (8.1). Если X—центральная сила, величина которой меняется как |х — х*\~п при |х — х*|->оо, то этот интеграл пренебре- пренебрежимо мал для больцмановского газа при условии, что п >* 4. Действительно, если мы имеем |Х(х, х*) | ^ аа?2~71х — xjn для
9. НЕОБРЕЗАННЫЕ ПОТЕНЦИАЛЫ И СКОЛЬЗЯЩИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ 103 |х — хж|>о, где а ограничено при а—«-О, и Л = тах(|р(х) — -p(xj|/|x-xj), то mrv--, ) Xdx. Г>0 \ (p,- г>а (п _ 4) (9.2) а где г = |х — х*|, M = Nm — полная масса газа и \XdxJII = 0 для центральной силы. Из (9.2) следует, что |Х|->0 при /Va3->0, если л > 4. За- Заметим, что это условие достаточно, но может оказаться не не- необходимым, так как наши грубые оценки могли помешать воз- возможным сокращениям. Во всяком случае, условие п > 2 яв- является необходимым, и это исключает, например, кулоновские силы. В последнем случае, как упоминалось раньше, коллектив- коллективное поведение, описываемое власовским членом Х-(дР/д§), очень важно. Фактически власовский член достаточен для опи- описания влияния дальнодействующих сил на коротких интервалах времени, но не годится для изучения поведения на больших ин- интервалах времени и на больших расстояниях. Аналогичное за- замечание справедливо и в случае нейтрального газа, так как, хотя взаимодействия на больших расстояниях формально пре- небрежимы, они могут быть неравномерно малыми и дать ощу- ощутимый, а возможно, и доминирующий эффект, когда время и расстояние стремятся к бесконечности (как в е + е~\ где е <С 1 и /-> оо). Лучший способ учесть эффект дальнодействующих сил та- таков: надо рассматривать их влияние статистическим образом, основываясь на том, что они производят непрерывную последо- последовательность малых и почти случайных изменений скорости. Это можно сделать следующим образом. В уравнении движения час- частицы с координатами х и скоростью | сила на единицу массы заменяется случайно изменяющейся силой, средние свойства которой отражают влияние других частиц. Запишем -57-=Х(/, х, g) (9.3) и предположим, что, если R = Х(/)—средняя сила в момент времени /, то не существует корреляции между X(/i)—R(^) и Х(?2)—R(^) при t\ отличном от t2. Иначе говоря, сконцентри- сконцентрируем все корреляции (которые имеют место на некотором вре- временном интервале) в один момент времени, так что [X (А) - X (/,)] [X (/2) - X (/2)] = 2D6(t{ - /2), (9.4)
104 II. УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА где черта означает усреднение, a D — тензор с компонентами D{j, называемый тензором диффузии по причинам, которые вы- выяснятся впоследствии. Средняя сила R = X должна равняться нулю для частицы, скорость которой равна массовой скорости соседних частиц. Если же это условие не выполняется, то сле- следует ожидать среднего изменения | и, следовательно, R = = R(I) Ф 0. Для среднего изменения \ за временной интервал А/ уравнение (9.3) дает t + At Д? [ Y (r Y ?\ r\r (Q Ъ) t Отсюда - t + At А| . 1 Г И lim д^ = lim -^- \ Х(ть х, |)Х(т2, х, l)dxldx2 = = 2D (х, |). (9.7) Высшие корреляции, такие, как А|А|Д|А|, являются величи- величинами более высокого порядка относительно At по крайней мере при предположении о гауссовском распределении Х(/, х, 1) около среднего значения /?(х, §). Обозначим через Г(х, х', |, |r, At) плотность вероятности того, что молекула, находящаяся в точке х' и имеющая скорость !', в результате рассматриваемого случайного движения через время А/ будет находиться в точке х и иметь скорость | (сле- (следовательно, Т определяется уравнением (9.3) по крайней мере в принципе). Тогда функция распределения / в момент t-\-At выражается через / в момент / так: f (x, I t + A/) - \Т (х, х', I, Г At) f (х', Г, 0 dx' сЩ. (9.8) Соотношения (9.5) и (9.7) эквивалентны следующим: lim 1- \ (| - Г) Т (х, х', I Г, ДО dtdx = R (х', Г), lim -b\(t- Г) (S - Г) ^ (х, х', I, Г, ДО rfg rfx = 2D (х', Г), lim ' С(|_ п раз ХГ(х,
9. НЕОБРЕЗАННЫЕ ПОТЕНЦИАЛЫ И СКОЛЬЗЯЩИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ Ю5 Кроме того, поскольку dx/dt = %>9 lim -j- \(х - х') Т (х, х7, |, Г A/) dg dx = Г, lim -^ \ (x-xQCx-x7) ... (x-xQ X /г раз X Г (х, х', % g', At) d%dx = 0 (n> 1). (9. 0) Наконец, из самого смысла величины Т следует, что (х, х', I Г, A0rfxd|=l. (9.11) Если ф(х, |) — произвольная гладкая функция, то , 6Ч д{ (х, |, 0 , ,г (х I) b' ' dxdl = = lim ^-[(, |)f(, g, + )g -(ф(х, g)/(x, l,t)dxdl]. (9.12) Используя равенство (9.8) и разложение Тейлора по х', |', находим (к, |)/(х, I t +At)dxdl = S<p(xf 6)Г(х, х7, g, Г, M)f(x\ Г, t)dx'dl'dxdl=* где произведение произвольных тензоров А и В определяется так: А-В = 4^5^, а о (А/) означает члены, стремящиеся к нулю быстрее, чем kt. Заменив в (9.13) хг, |7 на х, |, уравнение (9.12) можно записать в виде $<р(х, g)-ff
106 П. УРАВНЕНИЕ БОЛЫДМАНА где последнее выражение получается в результате соответствую- соответствующего интегрирования по частям. В силу произвольности ф(х, |) из (9.14) вытекает, что / удовлетворяет следующему уравнению (обобщенному уравнению Фоккера — Планка в про- пространстве скоростей): Первый член в правой части описывает диффузию в про- пространстве скоростей и именно по этой причине D назван тензо- тензором диффузии. Поскольку рассматриваемая частица произвольна, а сила X создается другими частицами, не должно быть каких-либо по- потерь импульса и энергии в среднем; т. е. должны выполняться соотношения (9Л6) которые после интегрирования по частям принимают вид (9.17) где Tr(D) =DU = Dn + A22 + D33 — след D. Уравнения (9.17) не могут удовлетворяться для любых /, если R и D не зависят от самой функции / (тривиальный случай R = 0, Тг D = 0 ис- исключается). Это не только допустимо, но и необходимо, так как случайная сила X(t) зависит от распределения частиц. Соображения изотропии ведут к соотношениям D = DI, R = -F(g-V), (9.18) где I — фундаментальный тензор (единичная матрица), v — массовая скорость газа, определенная формулой (8.3), a D и F — соответствующие функции от х и || — v|. В этом случае уравнение (9.15) принимает вид |.+ 6.^ = Al(D/)+-^.[(i-v)Fn> (9.19) где Д| — оператор Лапласа в пространстве скоростей. Особенно простой вариант получается в том случае, когда D и F не зави- зависят от |. Тогда первое из уравнений (9.17) выполняется триви- тривиально, а второе — если воспользоваться определением темпера-
5. ННОБРЕЗАННЫЁ ПОТЕНЦИАЛЫ И СКОЛЬЗЯЩИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ Ю7 туры Т (см. разд. 8)—дает D = RTF. (9.20) При выводе уравнения Больцмана для молекул, взаимодей- взаимодействующих посредством центральной силы, можно повторить рас- рассуждения разд. 2, 3 и 4, за исключением того, что эволюция ве- N личины PN= 2 [f (хь !*, t)/m] между двумя последователь- z = i ными столкновениями включает диффузию и трение в простран- пространстве скоростей, описываемые уравнением (9.15). Это означает, что член того же типа, что в правой части последнего уравне- уравнения, должен добавляться и в правую часть уравнения Больц- Больцмана D.16). Еще один способ учета взаимодействий между далекими мо- молекулами состоит в допущении а->оо в столкновительном опе- операторе Больцмана, что приводит к распространению анализа парных столкновений на расстояния, где он, строго говоря, не применим. На первый взгляд это кажется очень странным, по- потому что а, как определено выше, является величиной порядка 10~8 см и при выводе уравнения Больцмана использовался пре- предельный переход а->0. Однако можно оправдать и предполо- предположение о= оо; дело в том, что а входит в D.16) только через ?@, V) и увеличение а означает, что учитываются «более сколь- скользящие» столкновения. Эти добавляемые столкновения настолько скользящие, что они едва отклоняют молекулы от их первона- первоначальных путей; молекула, претерпевающая такое скользящее столкновение в определенном состоянии движения, выходит из него практически в том же самом состоянии, и, следовательно, вклад от таких столкновений в интеграл в D.16) практически равен нулю (f'f я^ ff). Иначе говоря, если согласиться с этим рассуждением, то нужно сказать, что при произвольном увели- увеличении а, и в частности при а->оо, мы ничего не изменяем, по- поскольку просто добавляем одно и то же большое число к каж- каждому из двух членов разности EJ5 ). (9.21) Насколько велики эти числа, легко усмотреть из того, что для любого безграничного потенциала эти два интеграла расхо- расходятся! Для наглядности полезно вспомнить, что, например, вто- второй интеграл можно представить (см. 4.14) в виде а 2л J J \ fhV dlj drde = f (|)[J f (U | g, - g | rfgj na\ (9.22) 0 0 в котором расходимость при а->оо совершенно очевидна.
H. УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАМА Верно, что, хотя оба интеграла расходятся, если не разде- разделять их и записывать столкновительный член, как в D.16), то результат конечен (для достаточно гладких /). Однако это еще не оправдывает предельного перехода а->оо; такое оправдание должно быть основано на доказательстве, что скользящие столк- столкновения, соответствующие очень большим значениям прицель- прицельного параметра, правильно описывают эффект большого числа одновременных скользящих взаимодействий. В этом случае ин- интеграл столкновений должен содержать в себе эффекты, кото- которые ранее были описаны с помощью члена Фоккера — Планка. Это можно показать и формально, замечая, что для малых от- отклонений (8->я/2), |' близко к |, а ?' к ? , и пользуясь тем, что Г, - ff.) B(Q,V) d\ d% de = -ff,)B(Q,V)dtd$tdQdB = de [\\ qf'f'B F, V) dl d\ - \\ tffB F, V) = И \ \(cp' ~ ф) ff*B (e' v) dl dl*dQ de< где ф = ф(|) — достаточно гладкая функция, ф' = фA0 и пере- переменные интегрирования I и | в интеграле, содержащем ff, заменены на 1', % причем d%'d\^ = d%d.%, (см. разд. 4 гл. I, а также разд. 6 настоящей главы). Разложение в ряд Тейлора дает g|2), (9.24) где о(||' —1|) обозначает члены, которые для дважды диффе- дифференцируемой функции / являются величинами выше второго по- порядка по ||' —1| при ||' — Ц->0. Для скользящих столкнове- столкновений ||' —1| очень мало, и этими членами можно пренебречь. Подставляя выражение (9.24) в (9.23), находим
9. НЕОБРЕЗАННЫЕ ПОТЕНЦИАЛЫ И СКОЛЬЗЯЩИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ 109 где интегрирование по 0 относится только к скользящим столк- столкновениям (т. е. проводится по интервалу от я/2— г\ до я/2, ц < я/2) и ггг (9-2б) 20 ® = )) ) $' - 1) (Г ~ g) f*B F> V) dl* d6 йг' В силу произвольности ф из (9.25) вытекает, что вклад скользящих столкновений имеет в точности форму члена Фок- кера — Планка из уравнения (9.15). Этот вывод дает также точные выражения для R и D, которые в соответствии со ска- сказанным выше оказываются зависящими от f. Те же самые вы- выражения получатся из формул (9.6) и (9.7), если учесть, что частота столкновений данной молекулы с молекулой, имеющей скорость между |* и §* + d§*, при углах столкновения между Э и 6 + d8, е и е + de равна Приведенные выражения для R и D можно упростить, заме- заметив, что в системе отсчета с осью г, направленной вдоль V, = — V (sin 0 cos 0 cos s, sin 0 cos 0 sin e, cos2 0). (9.27) Следовательно, я/2 2я Л/2-П О я/2 == — V 5 В @, V) @, 0, cos2 0) dQ = - VF (V)y (9.28) я/2-Л где я/2 F(V)= j cos28?@, V)dQ, (9.29) я/2-ti и, значит, R = - [ VF (V) f (У dg, (V = g - i). (9.30)
110 it. УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА Аналогично я/2 2я я/2 -ti 0 о о \ = У2 М 0 72sin2e 0 cos2 QB (9, V) dQ = я/2-Л О О COS2 9/ я/2 = {V4 - VV) I J sin2 8 cos2 QB (8, F) d8 + я/2-Т] я/2 + VV J cos4 QB (8, К) d8. (9.31) Я/2-Л Интеграл, содержащий cos4 9, имеет порядок величины, уже отброшенной выше, а интеграл, который содержит sin2 8 cos2 8= = cos28 — cos48, отличается от F(V) на гакую же пренебрежимо малую величину. Следовательно, в рамках принятого приближе- приближения второе из выражений (9.26) принимает вид 2D (S) = у J (V4 - VV) F (V) f (U dg, (V = I - у. (9.32) Заметим, что R и D, заданные формулами (9.30) и (9.32), удовлетворяют уравнениям (9.17). Действительно, имеем *; ¦« vIS — S* I j / \Ъ) I [§*) wg ag^ — U, ^y.oc)^ так как интеграл меняет знак при замене Далее, - U • (? - U f (I) f (i) ^ A1 - UI rfidi= = -Tr(D), (9.34) где для симметризации интеграла использована та же замена, а для вычисления Tr(D) использовано соотношение V-V = = F = Tr(V2I —VV)/2. Для степенных потенциалов из (9.29), E.21) и E.23) (при п >» 2) имеем F(y) = H«-5№'-1>0(T]2*1)), (9.35)
10. МОДЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И 1 откуда следует, что D и R малы при п >> 2 (ц <С я/2). Следова- Следовательно, скользящими столкновениями формально можно пренеб- пренебречь (при п > 2) az/?w условии, что / — достаточно гладкая функ- функция и достаточно быстро убывает при §->оо. Тем не менее скользящие столкновения могут оказать влияние на поведение газа при больших значениях времени и расстояния. Соответ- Соответствующие масштабы длины и времени при этом имеют порядки ^_2+2/(п-1) и /гр2+2/(п-1)Д где /_ средняя длина свободного про- пробега, а с—подходящая средняя скорость; экспериментальная проверка эффектов при таких масштабах, видимо, очень трудна, поэтому скользящие столкновения можно опустить, если мы не собираемся обсуждать столь необычные эффекты. В этой связи нужно также указать, что разложения, использованные выше для вывода члена Фоккера — Планка из уравнения Больцмана, не являются равномерно пригодными. Таким образом, в большинстве задач включение дальнодей- ствующей части потенциала (при условии, что показатель сте- степени в выражении силы при г->оо больше двух, что исключает кулоновские силы) не должно иметь большого значения. Физи- Физический смысл соответствующей части оператора столкновений, однако, уже не тот, что при выводе уравнения Больцмана, так как ее нужно интерпретировать как описание многих одновре- одновременных отклонений вследствие многочастичного взаимодействия, а не описание двухчастичных столкновений. В самом деле, стро- строгий анализ на основе бинарных столкновений не имеет смысла для расстояний больше чем n~Xj\ где п — численная плотность. Чтобы быть последовательными, необходимо принять ограниче- ограничение а<ао ^ п~х/г [18]. Именно малость отклонений позволяет использовать бинарный анализ, так как можно применить прин- принцип суперпозиции и описать результат многочастичного взаи- взаимодействия как линейную комбинацию результатов нескольких двухчастичных взаимодействий. Другой подход к теме этого раздела, а также дополнитель- дополнительные подробности для случая кулоновских сил можно найти в ра- работах [19—21]. 10. Модельные уравнения Одна из главных трудностей, возникающих при решении уравнения Больцмана, обусловлена сложной структурой инте- интеграла столкновений F.1). Поэтому не удивительно, что для столкновительного члена были предложены другие, более простые выражения. Они из- известны как модели интеграла столкновений, и любое уравнение брльцмановского типа, в котором интеграл столкновении
112 И. УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА заменен его моделью, называется модельным уравнением или кинетической моделью. Идея, лежащая в основе такой замены, состоит в том, что многие детали двухчастичного взаимодействия (отраженные в столкновительном члене) вряд ли существенно влияют на зна- значения многих экспериментально измеряемых величин. Иначе го- говоря, если речь идет не об очень тонких экспериментах, то сле- следует ожидать, что тонкую структуру оператора Q(f,f) можно заменить смазанным изображением, основанным на более про- простом операторе /(/), который сохраняет только качественные и средние свойства истинного оператора столкновений. Наиболее известная модель интеграла столкновений обычно называется моделью Бхатнагара, Гросса и Крука (БГК-мо- делью), хотя Веландер предложил ее независимо примерно в то же самое время, что и упомянутые авторы [22, 23]. При по- построении БГК-модели (и более сложных моделей) полагают, что оператор столкновений обладает следующими основными свойствами. 1) Истинный оператор столкновений Q(f,f) удовлетворяет условию (8.22); поэтому и модель /(/) должна удовлетворять условиям $ = 0 (а = 0, 1,2, 3,4). A0.1) 2) Столкновительный член удовлетворяет неравенству G.3). Значит, и для /(/) должно выполняться условие 0, A0.2) где равенство достигается тогда и только тогда, когда f — мак- свелловская функция распределения. Как будет видно в гл. III, второе свойство выражает стрем- стремление газа к максвелловскому распределению. Это свойство, пожалуй, проще всего учесть, предположив, что средний эф- эффект столкновений сводится к изменению функции распределе- распределения f (§) на величину, пропорциональную отклонению f от макс- веллиана Ф(^I). Тогда, если v не зависит от §, получается следующая модель: J(f) = v[O(l)-f(l)]. A0.3) Согласно G.8) и (8.28), максвеллиан содержит пять свобод- свободных скалярных параметров (р, v, Г); однако они фиксируются условиями A0.1), из которых следует fa)dl A0.4) !) Для удобства читателя термин «максвеллиан» (Maxwellian) (вместо слов «максвелловская функция распределения») будет использоваться иногда Прим ред слов «максвелловская функция рас и в русском переводе, — Прим. ред.
10. МОДЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 113 так что в любой точке пространства и в любой момент времени функция Ф(§) должна давать точно те же плотность, скорость и температуру, что и функция распределения /(§) (см. (8.1), (8.3), (8.12), (8.16)). Так как последняя, вообще говоря, изме- изменяется во времени и пространстве, то это справедливо и для па- параметров функции Ф(§), которая соответственно называется локальным максвеллианом. «Частота столкновений» v на этом этапе ничем не ограничивается и должна определяться из до- дополнительных соображений; заметим, однако, что и v может быть функцией локального состояния газа и, следовательно, из- изменяться во времени и пространстве. Нужно еще доказать, что БГК-модель удовлетворяет усло- условию A0.2), причем знак равенства достигается тогда и только тогда, когда / — максвеллиан. Имеем In fj (f) dl = \ In (//Ф) / (f) dl + J In Ф/ (f) dl = = J v(D [A - f/Ф) In (f/Ф)] d|, A0.5) где интеграл, содержащий In Ф, равен нулю, потому что эта величина представляет собой линейную комбинацию функций г|эа и выполняются условия A0.1). Тогда из соотношения G.6) для X = f/Ф следует, что последний интеграл в A0.5) неполо- неположителен; он равен нулю в том и только том случае, когда f = ф, т.е. когда f — максвеллиан, что и требовалось доказать. Видно, что нелинейность модели /(/) много хуже, чем нели- нелинейность столкновительного члена Q(f,f)', действительно, по- последний просто квадратичен по f, в то время как J(f) содержит f в числителе и знаменателе экспоненты (v и Г, входящие в Ф, являются функционалами от /, согласно (8.3), (8.12) и (8.16)). Основное преимущество БГК-модели столкновительного члена состоит в том, что для любой задачи можно получить ин- интегральные уравнения для макроскопических переменных р, v, T (см. гл. VII); эти уравнения существенно нелинейны, но упро- упрощают некоторые итерационные процедуры и делают возможным решение интересных задач на ЭВМ. Другое преимущество БГК- модели проявляется при использовании ее в линеаризованной форме (см. гл. IV). БГК-модель сохраняет большинство основных свойств инте- интеграла столкновений Больцмана, но не лишена и недостатков. От некоторых из них можно избавиться путем соответствую- соответствующих модификаций, правда, ценой простоты модели. Первая мо- модификация состоит в том, чтобы допустить зависимость частоты столкновений от скорости молекулы, не оставляя ее просто ло- локальной постоянной; это изменение диктуется тем обстоятель- обстоятельством, что из расчетов частоты столкновений для физических
114 Н. УРАВНЕНИЕ БОЛЫДМАНА моделей молекул (твердых сфер, потенциалов конечного ра- радиуса действия) вытекает зависимость v от скорости молекул, и эта зависимость, по-видимому, важна для больших скоростей. Формально эта модификация совсем проста [24]; нужно толь- только допустить зависимость v от | (точнее, от абсолютной вели- величины с тепловой скорости с, определенной формулой (8.6)), тре- требуя в то же время, чтобы условия A0.1) по-прежнему выпол- выполнялись. Все основные формальные свойства, включая A0.2), сохраняются, но плотность, скорость и температура в максвел- лиане Ф теперь уже являются не локальными плотностью, ско- скоростью и температурой газа, а некоторыми фиктивными локаль- локальными параметрами, связанными с пятью функционалами /, от- отличными от р, v, Г; это следует из того, что A0.1) теперь дает J v (с) фвФ d| = J v (с) 4>ef d| A0.6) вместо A0.4). Другой тип коррекции БГК-модели получается при выводе модельного уравнения, приводящего к таким же уравнениям Навье — Стокса, что и полное уравнение Больцмана. Действи- Действительно, как будет показано в гл. V, БГК-модель дает значение числа Прандтля Рг = 1, т. е. значение, которое отличается от получаемых и из уравнения Больцмана, и из эксперимента для одноатомных газов (которые, согласуясь друг с другом, дают Рг~2/3). Чтобы получить правильное значение числа Прандтля, требуется дополнительный подгоночный параметр, кроме уже имеющейся частоты v. Это ведет [25, 26] к обобщению БГК-мо- БГК-модели путем подстановки локального анизотропного трехмерного гауссовского распределения вместо локального максвеллиана (который представляет собой изотропное гауссовское распреде- распределение) : Ф = 9я~ъ (det А)'/2 ехр [- ? Аи Ц, - vj) & - о,I L i, /=1 J A0.7) А = II Ац || = || BRT/Pv) 6и - 2 A - Рг) Л//(р Рг) Ц. Если положить Рг = 1, то мы вернемся к БГК-модели. Не- Недостатком модели A0.7) (называемой ЭС-моделыо, или эллип- эллипсоидной статистической моделью) является то, что для нее не удалось доказать (или опровергнуть) справедливость неравен- неравенства A0.2). Предлагались также другие модели с различными вариантами Ф [27, 28], но, за исключением линеаризованных за- задач (см. гл. IV), они не представляют интереса из-за крайне сложной для решения формы. Еще одна модель дается столкновительным членом типа Фок- кера — Планка в форме (9.18), упрощаемой предположением.
ПРИЛОЖЕНИЕ ЦБ что D не зависит от скорости; тогда в силу (9.20) F также не зависит от скорости и модель интеграла столкновений записы- записывается в виде {^ ^} по.8) где Vk (ft= 1, 2, 3) — компоненты (локальной) массовой скоро- скорости, а Г— (локальная) температура газа. По-видимому, впер- впервые эту модель предложили Фриш, Хелфанд и Лебовиц [29] в связи с кинетической теорией жидкостей, но она хорошо описы- описывает и скользящие столкновения в газе, как было показано в разд. 9. Интересно отметить, что если D считать пропорцио- пропорциональным давлению р = pRT, то в A0.8) будет тот же тип не- нелинейности (т. е. квадратичный), что и в полном уравнении Больцмана; это представляется преимуществом по сравнению с БГК-моделыо. Идею кинетических моделей можно естественно распростра- распространить на смеси и многоатомные газы [27, 30, 31]. Типичный столк- новительный член типа БГК имеет вид Л (/г) = t hi (fr) = t v7, (Фц - /у), A0.9) где vij—частоты столкновений, а Фг;-—максвеллианы, опреде- определяемые из соответствующих условий, обобщающих условия A0.1). Приложение В этом приложении будет показано, что если Р — плотность вероятности, то величина H(P) = -hTp = - ^PlnPdix (J Pd\i = l) (П. 1) (где d[i — элемент объема в пространстве М событий, плотность вероятности которых равна Р) является подходящей мерой правдоподобия плотности Р. Иначе говоря, если взять «случай- «случайно» несколько функций Р, положительных и нормированных, то большинство из них будет близко к плотности вероятности Р, для которой величина Н (Р) максимальна. Чтобы придать смысл слову «случайно», разобьем пространство М на п ячеек Qi объема ^ и заменим плотность вероятности Р множеством чисел Ри представляющих собой средние от Р по ячейкам:
Пб II. УРАВНЕНИЕ БОЛЫДМАНА Возьмем теперь N предметов и распределим их случайным образом по ячейкам. Если Ni из них окажутся в ячейке Qi (О ^ N{ ^ N), то будем считать, что число Р?- = Ni/(N\ii) дает вероятность для ячейки Q;. И обратно, заданную плотность ве- вероятности Р можно сколь угодно точно представить при помощи распределения N предметов по п ячейкам, выбирая п я N доста- достаточно большими. Однако для приближения заданного порядка существует только конечное, хотя и очень большое, число воз- возможных распределений. Если распределять предметы случайно, то существует W(P) = N\I(NX\N2\ ... Nn\) способов реализации распределения Р = (Рь Р2, ..., Рп). Действительно, первое множество N{ предметов можно вы- выбрать из N предметов N1 способами, второе множество N2 предметов из остальных Af — A^i fN-МЛ предметов — I „ I способами и т. д., так что распределение {Р\у ..., ^п) может быть реализовано N2 способами, как и утверждалось. Используя формулу для /V-й степени полинома, общее число возможных распределений мож- можно представить в виде J] W (Р) = J] NilNfl Nni = A_+JJ- ¦_11±})N = nN- (П. А) Nv ..., Nn n членов Следовательно, за меру правдоподобия для дискретного рас- распределения (Рь Р2, ..., Рп) мы имеем право принять величину W(P)/nN или ее натуральный логарифм, деленный на Af (чтобы получить конечный предел при jV->oo): Н(Р) = ~ In ( w). (П. 5) V ; ^V \N{\N2\ ... Nn\nN) } Вычислим предел при N -* оо, который должен дать выраже- выражение для Н(Р), когда Pi принимает все возможные вещественные значения. При N ~> оо справедлива следующая оценка: \nN\ = N\nN -N + o (AT), (П. 6)
ПРИЛОЖЕНИЕ И? где o(N) означает такую величину, что отношение o(N)/N стре- стремится к нулю при N -> оо. Эта оценка следует из формулы Стир- линга [32, 33] или из неравенства 2 < ^ < 37V, (П. 7) где е = 2,71828 ... — основание натуральных логарифмов. В свою очередь неравенство (П.7) вытекает из элементарного неравенства / 1 v'v / 1 \^+i A + |) <е<A+|) . (П.8) Действительно, положим aN = N\eNJNN; тогда aN±i >> aN и aN+\/{N-\-\) <CaN/N в силу (П.8), и неравенство (П.7) полу- получается по индукции, поскольку п\ = е >> 2 и aj\ = е < 3. Под- Подставляя оценку (П.6) в соотношение (П.5), находим H(P) = \nN-l-)^^-(\nNi-l)-\nn + ^- = !„ „ i o(N) (П. 9) / = 1 здесь учтены также соотношения X^f —^ и Рг = Ni/(N\ii). В пределе yV->oo последним членом в (П.9) можно пренебречь. Полагая n->oo, jiz-->0, всегда можно добиться того, чтобы Я|1г->й<г (суммарный объем ji пространства событий ради про- простоты считается конечным); для этого достаточно взять \ii = = ix/n. Тогда (Р\, Р2, ..., Рп) стремится к непрерывной плот- плотности вероятности Р и выражение (П.9) принимает вид Н (Р) = - J P In (РД) ^ = - J Я In Я dn - In Д 1пД. (П. 10) Эта формула совпадает с (П.1), если пренебречь несуще- несущественной аддитивной постоянной (которая к тому же обратится в нуль, если меру d\x нормировать так, что \х = 1). Отметим одну трудность. Если произвести замену перемен- переменных, описывающих пространство событий, то d\i превратится в d[x = Jd\x\ где djo/ — элемент объема в новых переменных, а J — якобиан перехода от старых переменных к новым. Тогда соответствующая плотность вероятности в новых переменных
118 II. УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА будет Р' = PJ (такая, что Prd]\! = Pd\x и, следовательно, ^'dn'=l), а Н(Р) примет вид Н(Р) = - J р' In (Р',7) Ф' = — $ Я' In />'ф' + J Я' In / d\i' = (П. И) Если якобиан / постоянный, то величина Н'(Р') отличается от Н(Р) на константу и, следовательно, эквивалентна ей как мера правдоподобия (в частности, если /=1, то Н'(Р') = = Н(Р)). Если / не постоянный, то Н'(Р') и Н(Р) не эквива- эквивалентны. Значит, формула (П.1) имеет смысл только при исполь- использовании специального класса переменных, такого, что два ва- варианта переменных этого класса связаны между собой преобра- преобразованием с постоянным якобианом. Этот класс выделяет меру, которая должна обладать некоторым физическим свойством, чтобы быть выбранной для такой цели. В случае динамической системы частиц, взаимодействующих посредством сил, не зависящих от скорости, естественно исполь- использовать физические переменные, например декартовы компоненты радиусов-векторов и скоростей частиц, или переменные, связан- связанные с ними преобразованием с постоянным якобианом (в ча- частности, для консервативных сил так называемые канонические переменные связаны с декартовыми компонентами радиусов-век- радиусов-векторов и импульсов преобразованием с единичным якобианом). Действительно, в силу теоремы Лиувилля элемент объема JJ dxk d\k не меняется при эволюции системы, и именно данное свойство выделяет этот элемент объема среди других возмож- возможных мер. При помощи формулы (П.1) в основном тексте было пока- показано, что при заданном Р*1) наиболее вероятное s-частичное рас- s пределение P(s) факторизуется, т. е. P{s =JJ_P{l)(xh ^). Дру- гое возможное применение формулы (П.1) — доказательство того факта, что наиболее вероятное одночастичное распределение для идеального газа с заданной полной энергией является максвел- ловским. В самом деле, максимизируя величину Н(Р) = - \ Pin Pdldx (П. 12) при условиях (е — энергия единицы массы) 2PdSdx = e, (П. 13)
ПРИЛОЖЕНИЕ 119 находим -(l+\nP) + ii + ±-i* = Oy (П. 14) где Я и м-— (постоянные) множители Лагранжа. Отсюда Р = Лехр (~ y^2) (Л = ехрA - \х)). (П. 15) Подстановка выражения (П.15) в (П.13) дает соответствующие значения А и X, и мы приходим к A.6.25). Для получения наиболее вероятной /V-частичной функции распределения требуется более тонкое доказательство. Исполь- Используя условия (ради простоты считаем массы равными) при максимизации величины N [dxkdlk, (П. 17) находим N -A4-!nPAr) + ^+4Zg?==0' (ПЛ8) i = \ ИЛИ так что не получается правильной функции распределения, за- заданной выражением A.6.12). Причина этого кроется во втором из условий (П. 16), которое слабее, чем точное условие для N- частичной функции распределения Р;У = 0 при ? у1| Ф Ne. (П. 20) Условие (П.20) можно учесть двумя способами. Во-первых, можно видоизменить величину H(PN) так, чтобы интегрирова- интегрировала ние распространялось на гиперсферу Zl?>5 = 2jVe с мерой, за- даваемой элементом поверхности (в этом случае условие (П.20) автоматически удовлетворяется и равенство Pn = const на по- поверхности максимизирует H(PN), что и требуется формулой A.6.12)). Во-вторых, можно считать, что P,Y = 0
120 И- УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНЛ N i = l Z l\ - > s, и положить затем е->0 (в этом случае i = l и AN должно быть пропорционально 1/е, чтобы удовлетворить условию нормировки Pn\ тогда при е->0 величина Р$ стре- стремится к дельта-функции с надлежащим множителем, что легко проверить, положив е = 1/ш, /п->оо и вспомнив соотношение A.2.8)), СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ [1] Chapman S., Cowling Т. G., The mathematical theory of nonuniform gases, Cambridge Univ. Press, 1952; русский перевод: Чепмен С, Кау- линг Т., Математическая теория неоднородных газов, М., ИЛ, 1960. [2] Hirschfelder J. О., Curtiss С. F., Bird R. В., Molecular theory of gases and liquids, New York, Wiley, 1954; русский перевод: Гиршфельдер Дж., Кертис Ч., Берд Р., Молекулярная теория газов и жидкостей, М., ИЛ, 1961. [3] Waldmann L, in "Handbuch der Physik", Band XII, S. 384, Berlin, Springer, 1958; русский перевод: сб. «Термодинамика газов», М., «Ма- «Машиностроение», 169—414, 1970. [4] Boltzmann L., Wissenschaftliche Abhandlungen (Hasenorl F., ed.), Band II, Leipzig, J. A. Barth, 1909; русский перевод: Больцман Л., Лек- Лекции по теории газов, М., Гостехиздат, 1956. [5] Carleman Т., Problemes mathematiques dans la theorie cinetique des gaz, Uppsala, Almqvist and Wiksells, 1957; русский перевод: Карлеман Т., Математические задачи кинетической теории газов, М., ИЛ, 1960. Jeans J., Dynamical theory of gases, New York, Dover, 1954. 71 Коган М. Н., Динамика разреженного газа, М., «Наука», 1967. Grad H., Comm. Pure Appl. Math., 14, 323 A961). Cercignani С, Transport Theory and Statistical Physics, 2, 211 A972). [91 [10] g p y y () Боголюбов Н. Н., Проблемы динамической теории в статистической ф МЛ ГИТТЛ 1946 физике, М.--Л., ГИТТЛ, 1946. [11] Born M., Green H. S., A general kinetic theory of fluids, Cambridge Univ. Press, 1949. [121 Kirkwood J. G., /. Chem. Phys., 14, 180 A946). [13] Kirkwood J. G., /. Chem. Phys., 15, 72 A947). [14] Yvon J., La theorie statistique des fluides, Actualites Scientifiques et Industrielles, no. 203, Paris, Hermann, 1935. [15] Grad H., in "Handbuch der Physik", Band XII, Berlin, Springer, 1958; русский перевод: сб. «Термодинамика газов», М., «Машиностроение», 5—109, 1970. [16] Wang Chang С. S., Uhlenbeck G. E., de Boer J., in "Studies in statisti- statistical mechanics" (de Boer J., Uhlenbeck G. E., eds), vol. II, Part c, Am- Amsterdam, North Holland Publishing Company, 1964. [17] Maxwell J. C, Phil. Trans. Roy.'Soc, 157^A866); перепечатано в "The scientific papers of J. C. Maxwell". New York, Dover, 1965. [181 Cercignani C, Phys. Fluids, 10, 2097 A967). [19] Prigogine I., Non-equilibrium statistical mechanics, New York, Inter- science, 1962; русский перевод- Пригожий И., Неравновесная статисти- статистическая механика, М., «Мир», 1964.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 121 [20] Balescu R., Statistical mechanics of charged particles, New York, Inter- science, 1962; русский перевод: Балеску Р., Статистическая механика заряженных частиц, М., «Мир», 1967. [21] Liboff R. L., Introduction to the theory of kinetic equations, New York, Wiley, 1969; русский перевод: Либов Р., Введение в теорию кинетиче- кинетических уравнений, М., «Мир», 1974. [22] Bhatnagar P. L., Gross E. P., Krook M., Phys. Rev., 94, 511 A954); русский перевод: сб. «Проблемы современной физики», № 2, стр. 82, М., ИЛ, 1956. [23] Welander P., Arkiv Fysik, 7, 507 A954); русский перевод (сокращен- (сокращенный): дополнение в кн. Девиен М., Течения и теплообмен разреженных газов, М., ИЛ, 1962. [24] Krook M., /. Fluid Mech., 6, 523 A959). [25] Holway L. H., Jr., Ph. D. Thesis, Harvard, 1963. [26] Cercignani C, Tironi G., in "Rarefied gas dynamics" (Brundin C. L., ed.), vol. I, p. 441, New York, Academic Press, 1967. [27] Sirovich L., Phys. Fluids, 5, 908 A962); русский перевод: сб. «Некоторые вопросы кинетической теории газов», М., «Мир», 1965 [28] Cercignani С, Mathematical methods in kinetic theory, New York, Plenum Press, 1969; русский перевод: Черчиньяни К., Математические методы в кинетической теории газов, М., «Мир», 1973. Lebowitz J. L., Frisch H. L., Helfand E., Phys. Fluids, 3, 325 A960). Morse T. F., Phys. Fluids, 7, 2012 A964). Hanson F. В., Morse T. F., Phys. Fluids, 10, 345 A967). Jeffreys H., Asymptotic approximations, Oxford Univ. Press, 1962. Artin E., The gamma function, New York, Holt, Rinehart and Winston, 1964. [34*] Валландер С. В., Новые кинетические уравнения в теории одноатом- одноатомных газов, Докл. АН СССР, 131, № 1, 58—60 A960). [35*] Баранцев Р. Г., Филиппов Б. В., Упрощенный вариант интегрального кинетического оператора, Ж. прикл. механ. и техн. физ., № 2, 129—131 A964). [36*] Эндер А. Я., Эндер И. А., Уравнение Больцмана в а, и-представлеиии, Механ. жидкости и газа, № 4, 117—123 A972). [37*] Хонькин А. Д., Шаповалов Г. Н., О выводе уравнений гидродинамики из кинетического уравнения Больцмана и области их применения, в кн. «Числ. методы мех. сплошной среды», Новосибирск, СО АН СССР, 4, № 4, 144—149, 1973. [38*] Шахов Е. М., Метод исследования движений разреженного газа, М., «Наука», 1974. [39*] Зубарев Д. Н., Новиков М. Ю., Ренормализованные кинетические урав- уравнения для системы со слабым взаимодействием и для газа малой плот- плотности, Теор. и матем физика, 19, 237 A974)* [40*] Климонтович Ю. Л., Кинетическая теория неидеального газа и неиде- неидеальной плазмы, М., «Наука», 1975. [41*] Бобылев А. В., О точных решениях уравнения Больцмана, Докл. АН СССР, 225, № 6, 1296—1299 A975); Об одном классе инвариантных решений уравнения Больцмана, Докл. АН СССР, 231, № 3, 571—574 A976). [42*] Дубровский Г. В., Богданов А. В., К выводу обобщенного кинетиче- кинетического уравнения больцмановского типа, Вестник ЛГУ, № 13, 66—76 A976). [43*] Ферцигер Дж., Капер Г., Математическая теория процессов переноса в газах, М., «Мир», 1976. [44*] Черемисин Ф. Г., К построению моделей интеграла столкновений Больц- Больцмана, Иною, ою-л, 5, № 6, 1058—1063 A965).
HI Взаимодействие газа с поверхностью и //-теорема 1. Граничные условия и взаимодействие газа с поверхностью В этом и следующих разделах мы будем исследовать усло- условия, которым должна удовлетворять функция распределения f на границе dR области R, где происходит движение рассматри- рассматриваемых частиц. Эта тема была частично затронута при выводе уравнения Больцмана для газа из твердых сфер (см. разд. 2 гл. II). Там обсуждение граничных условий, которым удовлетво- удовлетворяет iV-частичная функция распределения, понадобилось для того, чтобы избавиться от некоторых интегралов по поверхности. Ясно, что такие условия требуются и для решения уравнения Больцмана, так как оно содержит производные от f по коор- координатам. В случае течения газа около твердого тела или внутри обла- области, ограниченной одним или несколькими твердыми телами, граничные условия описывают взаимодействие молекул газа с твердыми стенками. Нетрудно проследить, что именно это взаи- взаимодействие является источником лобового сопротивления и подъемной силы тела в потоке газа, а также теплопередачи между газом и твердой границей. К сожалению, как теоретиче- теоретическая, так и экспериментальная информация о взаимодействиях газа с поверхностью довольно скудна. Трудности теоретического исследования обусловлены глав- главным образом недостатком сведений о структуре поверхностных слоев твердых тел и, следовательно, о потенциале взаимодей- взаимодействия молекул газа с молекулами твердого тела. Когда моле- молекула падает на поверхность, она адсорбируется1) и может обра- образовывать химические связи, диссоциировать, может стать иони- ионизованной или сместить молекулы поверхности. Состояние поверхностного слоя зависит не только от температуры поверх- поверхности, но также и от степени ее шероховатости и чистоты. По- Последняя в свою очередь может изменяться со временем, так как дегазация или предварительное нагревание способствуют очище- очищению. В общем случае на поверхности может существовать ад- ]) Автор расширяет здесь понятие адсорбции до сколь угодно малой по времени задержки молекулы на поверхности. — Прим. ред.
1. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ 123 сорбционный слой; тогда взаимодействие данной молекулы газа с поверхностью зависит также от распределения молекул, нале- налетающих на данный элемент поверхности1). Главным источником экспериментальных данных являются характеристики распределения молекул, вылетающих с поверх- поверхности при бомбардировке ее молекулярным пучком (см. разд. 7). Рис. 14. Скорость \ вылетающей молекулы однозначно определяется ско- скоростью, которой она обладала перед соударением со стенкой, только тогда, когда отражение является зеркальным (штриховая прямая). Простейшая возможная модель взаимодействия газа с по- поверхностью получается при предположении, что молекулы от- отражаются зеркально от твердой границы: /(х, I /) = /(x, g-2n(n-g), /), (хе=<Э/?, g • п >0), A.1) где п — единичный вектор нормали к поверхности в точке х (см. рис. 14). Это предположение, вообще говоря, весьма далеко от действительности и может быть использовано только в ча- частных случаях. В общем случае молекула, налетающая на по- поверхность со скоростью §', отражается от нее со скоростью §, которую можно строго определить только тогда, когда можно точно вычислить весь путь молекулы внутри стенки. Но это вычисление практически невозможно, так как оно зависит от очень большого числа деталей, таких, как местоположение и скорости всех молекул стенки. Следовательно, мы можем только надеяться подсчитать плотность вероятности 7?(I'-*!; x, /; т) того, что молекула, налетающая на поверхность со скоростью 1) Имеется в виду, что состояние адсорбционного слоя зависит от окру- окружающего газа. — Прим. ред.
124 I". ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ГАЗА С ПОВЕРХНОСТЬЮ И Я-ТЕОРЕМА между ?' и §' + d%' в точке х в момент времени t, вылетает практически в topi же самой точке со скоростью между | и g + d% по прошествии временного интервала т (время адсорбции или задержки). Если R известно, то легко записать граничное условие для f с помощью следующего рассуждения, в котором мы считаем, что стенка неподвижна (в противном случае ско- скорости g, g' всюду следует заменить на | — и0, g'— iio, где и0 — скорость стенки). Масса молекул, вылетающих со скоростью между g и g + d% с элемента поверхности dA около х в течение промежутка вре- времени от / до t-\-dt, записывается в виде (см. аналогичное рас- рассуждение при выводе формулы (П. 2.23)) d*Jl = f{x, I t)\l-n\dtdAdl (кед/?, g.n>0). A.2) Аналогично, вероятность того, что молекула сталкивается с тем же самым элементом поверхности со скоростью между g' и g' + dg' в течение промежутка времени от t — т до / — х-\-dtt равна rf*jT/ = /(x> Г, t-x)\V-n\dtdAd% (xs=dR, Г • п < 0). A.3) Если d*Mr умножить на вероятность рассеяния с изменением скорости от |7 до скорости между \ и \-\-d\ и временем адсорб- адсорбции между т и х + dx, т. е. на /?(|7 ->|; х, t\ x)d\dx, и просумми- просуммировать (проинтегрировать) по всем возможным значениям ?' и т, то получится d*M (здесь мы предполагаем, что каждая мо- молекула вылетает с того же самого элемента поверхности, с ко- которым сталкивается первоначально, хотя это и неправдоподобно, когда т не мало): R(r-+l;x,t;x)crjl' (х е= <Э#, g • п > 0). A.4) Подставляя сюда выражения A.2), A.3) и сокращая общий множитель dAd\dt, получаем |l-n|f(x, 6, /) = (хеЖ, g-n>0). A.Б) Если т —среднее время адсорбции, v — средняя нормальная составляющая скорости, с которой молекулы газа сталкиваются с поверхностью, а /г, как обычно, численная плотность газа, то nvdA молекул столкнется за единицу времени с элементом по-
1. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ 125 верхности dA и будет оставаться там в среднем в течение вре- времени т; если а0 — эффективный радиус взаимодействия газа с поверхностью, то каждая молекула займет площадь naf} и сум- суммарная площадь, занятая адсорбированными молекулами, бу- будет nvxnol dA, так что доля поверхности, равная nvxno2, будет занята. Это рассуждение является, конечно, грубой оценкой порядка величины, так как молекулы могут несколько прони- проникать внутрь твердой стенки, а не обязательно оставаться на ее поверхности. Если no^vx не близко к нулю, то характер взаимодействия каждой налетающей молекулы зависит от общего числа и энер- энергии налетающих молекул. В условиях очень низкой плотности (например, для находящегося на орбите спутника /го^от<С1) каждая налетающая молекула взаимодействует с поверхностью независимо от других. Такая же независимость может прояв- проявляться в другом предельном случае no~vx c^ 1 (например, при химической адсорбции, когда т может быть очень большим, или в плотном газе, когда п очень велико); в этом случае образуется адсорбционный слой и молекулы взаимодействуют с этим слоем, а не с атомами твердой поверхности (и время адсорбции при таком взаимодействии может быть много меньше). Каждый раз когда эффективное время адсорбции т и числен- численная плотность п таковы, что no^vx <C 1, можно считать, что R{\r->%\ х, t\ т) не зависит от функции распределения /(х, |',/); следовательно, можно вычислять /?(|/—>|; х, /; т) в предположе- предположении, что па стенку налетает одна молекула газа с заданной ско- скоростью ?'. Если к тому же т мало по сравнению с любым харак- характерным временем, важным для эволюции /, то в аргументе f, стоящей в правой части равенства A.5), можно положить т = 0; в этом случае оно принимает вид |g-n|f(x, §,/) = где R (Г ~> I; х, 0 = J R (Г -> 6; х, t\ x) dx. A.7) о Формула A.6) справедлива, в частности, для стационарных задач. Если стенка возвращает все молекулы газа (т. е. она не пориста и не является адсорбирующей), то полная вероятность того, что падающая молекула вылетит обратно с какой-либо
126 HI. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ГАЗА С ПОВЕРХНОСТЬЮ И Я-ТЕОРЕМА скоростью |, равна единице: R(l'-+l;x,t)dl=l (Г-п<0). A.8) 1-п>0 Отсюда вытекает простое следствие: нормальная компонента vn массовой скорости на стенке должна быть равна нулю. Физи- Физически это очевидно, особенно учитывая смысл равенства A.8), но формальное доказательство также представляет некоторый интерес: l-n>0 l-n<0 dgK(g'-*g)f(g')|g'-n|- g'-n|f(g')dg'- \ |Г-п|ПГ)^ = 0. A-9) Здесь опущены несущественные аргументы х, / и использо- использованы формулы A.6) и A.8). Очевидным свойством ядра R{%' —>§; х, t) является его неот- неотрицательность Я(Г->?; х, /)>0. A.10) В случае зеркально отражающей границы из A.1) и A.6) следует, что Я(Г->?; х, /) = 6(|-Г + 2п[п-Г]). A.11) Возможны ситуации, в которых стенка возвращает не все частицы и равенство A.8) нарушается. В предельном случае ни одна частица не попадает в область R с границы OR (при этом ядро R{%>'->& х, /) равно нулю); это имеет место в случае нейтронного газа на ограничивающей поверхности ядерного реактора, фотонного газа на поверхности полностью поглощаю- поглощающей среды или электронного газа на положительно заряженной пластинке. На практике встречаются и другие явления, такие, как хи- химические реакции на стенке или распыление ионов и атомов твердого тела вследствие ударов молекул газа о поверхность. В этом случае в газе появляются новые сорта молекул и нужно ввести ядра /?/(|'->|; х, /; т), определяющие вероятности пе- переходов от частицы сорта i со скоростью |' к частице сорта / со скоростью |.
2. РАСЧЕТ ЯДЕР РАССЕЯНИЯ 127 2. Расчет ядер рассеяния Задача расчета ядра рассеяния /?(|'—>!; х, t), определен- определенного формулой A.7), допускает дальнейшее математическое ис- исследование при следующем дополнительном предположении: хотя молекулы газа возмущают отдельные атомы стенки, эти атомы перед столкновением с молекулой газа находятся в ло- локальном тепловом равновесии друг с другом при температуре Го, которая может меняться от точки к точке в макроскопиче- макроскопическом масштабе. В этом случае естественно предполагать, что зависимость /?(§' —>§; х, /) от х и / осуществляется только через температуру Го и химический состав стенки. Их можно считать известными, и далее мы не будем писать х и / в аргументах ЖГ->1). Рассмотрим математическую постановку задачи расчета ^(g'~*g) Для данной поверхности с известной температурой То при условии, что /?A' —>§) не зависит от х и / (т. е. naQovx <C 1\ Тогда молекула газа, захваченная поверхностью, и N атомов твердого тела образуют механическую систему, описываемую (N -{- 1)-частичной функцией распределения Р^+ь которая удов- удовлетворяет уравнению Лиувилля A,3.8). Если мы хотим вычис- вычислить ядро /?(g'->g), задаваемое формулой A.7), то достаточно взять стационарное уравнение Лиувилля (уравнение A.6.6) с N -f- 1 вместо N): где индекс нуль относится к молекуле газа, а Х^ = Xjfe(x/) обо- обозначает силу взаимодействия между /-й и k-и молекулами (от- (отнесенную к единице массы). Эти силы удерживают атомы твер- твердого тела вместе, но ради того, чтобы иметь вполне определен- определенную задачу, допустим, что на некоторой геометрической границе (границе твердого тела) все частицы, кроме молекулы газа, отражаются зеркально (это исключит возможность распыле- распыления). Так как, по предположению, ядро зависит только от ло- локального состояния поверхности, будем рассматривать плоскую стенку и считать, что твердое тело занимает полупространство х-п<0. Тогда *, h~ 2n(n . У, ..., Хдг, lN) <yV, x,.n = 0, gr fi<0). B.2)
128 HI. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ГАЗА С ПОВЕРХНОСТЬЮ И Я-ТЕОРЕМА Если обозначить через у0 двумерный радиус-вектор в плоско- плоскости хоп = 0, то граничное условие в этой плоскости запишется в виде Pn +1 (xft, У = б (§о - Г) б (у0 - уО Pn (хь У (хо-п = О, 1о-п<О), B.3) где й меняется от 0 до Л/, / от 1 до N и Pjv представляет собой Af-частичное равновесное распределение атомов твердой стенки. Равенство B.3) выражает условие, что молекула газа, попадаю- попадающая на поверхность в точке у' со скоростью \\ встречается с системой атомов, находящихся в тепловом равновесии. Если предположить, что равенство A.6.11) выполняется для твердого тела, то PN следует заменить дельта-функцией; так как моле- молекула газа взаимодействует со сравнительно небольшим количе- количеством атомов твердого тела и в конечном итоге мы будем интегрировать по координатам и скоростям всех атомов, можно записать PN = Z~l exp {- [I '/2m^ + V (x,)]/(kT°)}> B'4> где V(xj) — потенциальная энергия системы атомов, тг—масса /-го атома, k — постоянная Больцмана и ZN — нормирующий множитель (так называемая функция состояний). Выражение B.4) эквивалентно дельта-функции 6 Р/2 ?] т^ + V (х.) — ЕЛ проинтегрированной по большинству координат и скоростей в пределе jV->oo, как видно из выражений P{n и Pn\ рассмот- рассмотренных в разд. 6 гл. I. Если бы мы были в состоянии решить уравнение B.1) с гра- ничныхми условиями B.2) и B.3), то можно было бы вычислить /^(I'-^l) следующим образом: где dA0 — элемент поверхности в плоскости хо-п = О. Первое выражение в B.5) следует из A.6), если заметить, что в нашей задаче f пропорционально б(| — |г)» когда |-п<сО, и пропор- пропорционально одночастичной плотности вероятности Р^+1 (х0, |0), когда |о-п>О; интегрирование по dA0 связано с тем фактом, что мы не заботимся о точной точке вылета (при условии, что она не слишком далека от точки, где молекула столкнулась с поверхностью). Второе выражение в B.5) вытекает из опреде- определения PJJVi через P
2. РАСЧЕТ ЯДЕР РАССЕЯНИЯ 129 В такой постановке задача очень трудна для решения, за исключением, может быть, случая гармонических сил. Вообще удобнее перейти к уравнению, содержащему только одночастич- ную функцию распределения Р = Pyv+i, определяемую формулой N Р (хо, У = \pn+i (хь У Д dxk d$k. B.6) Для этой цели необходимо рассматривать дальнодействую- щие силы и кратковременные взаимодействия (столкновения) раздельно, поступая с первыми так же, как в уравнении Вла- Власова (см. разд. 4 гл. II), а со вторыми так же, как в уравнении Больцмана; если попытаться учесть промежуточный масштаб взаимодействий, то появится еще член Фоккера — Планка (см. разд. 9 гл. II). В результате получим уравнение др яр р где LP = J (P^P" - P0^P) Б (9, V) dlm dQ de + Здесь X обозначает дальнодействующую силу (отнесенную к единице массы), с которой атом твердого тела (находящийся в точке х*) действует на молекулу газа (находящуюся в точке x=(x,y,z) и имеющую скорость § = (?, г], ?)); /г(х») обозна- обозначает численную плотность атомов твердого тела; POsj! = Po(|#), Р^ = Р0(|^), где Ро — равновесное максвелловское распределе- распределение атомов твердого тела; /)^ и /%-j — тензоры диффузии и тре- трения в пространстве скоростей (см. разд. 9 гл. II). Величина В@, V) имеет тот же смысл, что и в уравнении Больцмана, за исключением того факта, что она должна вычисляться с учетом деталей столкновения между молекулой газа и атомом твердого тела. Интеграл в B.8) является столкновительным членом для столкновений типа газ — твердое тело; столкновениями типа газ — газ мы пренебрегли, а атомы твердого тела по предполо- предположению находятся в тепловом равновесии (см. также разд. 3 гл. IV). Если рассматриваемое твердое тело полностью однородно и неполярно, а ось х направлена вдоль п, то уравнение B.7) сводится к виду 5 Зак. 706
130 IH. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ГАЗА С ПОВЕРХНОСТЬЮ И Я-ТЕОРЕМА где Х(х) —среднее от Х(х*, х), вследствие симметрии имеющее лишь компоненту X, которая зависит только от х. Эти предпо- предположения исключают важный случай кристалла, для которого X зависит также от у и z (периодическим образом). Уравнение B.9) нужно решать с учетом граничного условия Р = б(|-Г), * = 0, ? = |-п<0, B.10) и условия обращения Р в нуль на бесконечности (Р->0 при х->—оо). Так как, снова в силу симметрии, Р не будет зависеть от у и 2, уравнение B.9) можно записать в форме и решать его при граничных условиях, указанных выше. Равен- Равенство B.5) в этом случае сводится к следующему: R (Г -> I) = fi^,- [Р (х, 1)]л_0. B.12) 3. Взаимность Как было указано выше, основная задача взаимодействия газа с поверхностью, уравнение B.1) с граничными условиями B.2) и B.3), представляется безнадежной для решения, и для вычисления /?(§'—>!) приходится использовать уравнение B.11) с граничным условием B.10). Тем не менее из уравнения B.1) можно получить важный результат для случая, когда двухча- двухчастичная сила Xjk не зависит от скоростей частиц. Обозначим через GN+\(xky |fe; x\k, liO функцию Грина урав- уравнения B.1) для полупространственной задачи, определяемой условиями B.2) и B.3); иначе говоря, предположим, что Gjv+i — функция (считаем, что она существует), удовлетворяю- удовлетворяющая уравнению ? ^ fTfe-|lfe) C.1) и условиям G = O (?0-n<0, xo-n = O), C.2). o, lo, хь h, •••, хь h> •••, A</<;V, x?-n = 0, ^-n>0). C.3) Функции GN+\ тоже должны обращаться в нуль на беско- бесконечности как в пространстве скоростей, так и в физическом
3. ВЗАИМНОСТЬ 131 пространстве. В C.3) мы опустили некоторые из аргументов, от которых зависит G = G(xk, У xIb %lk). Используя основное свойство дельта-функции (см. фор- формулу (I. 2.10)), имеем (Ь *k> Х1Ь Ы/г) === м (х2Ь I2k\ х1Ь llk) Д б (х2^ — xk) 6 (|2Л — у dx2k d\2k == ~~ J /V Л/ Ъ2 X X GyV+I (х2Ь — I2k\ xk, — У JJ dx2l dl2h C.4) где интегрирование распространяется на область х/(«п<0 и использовано уравнение C.1) (с х2/г, X\k, —|2л, —1-ift вместо Xft, xi/t, |ft, lift), чтобы исключить произведение дельта-функций. Интегрируя теперь по частям и замечая, что внеинтегральные члены обращаются в нуль вследствие граничных условий, по- получаем X 2Ь — ?з2/г; хь — У ^] dx2J dl2j = k=0 где использовано уравнение C.1) с §2&, x2yfe вместо |й, х^.. Поль- Пользуясь еще раз основным свойством дельта-функции, из C.5) получаем соотношение G/V+1(xb У xu, iu) = G^+i(xlfe, — ii/e; Хй, —У, C.6) которое выражает основное свойство функции Грина уравнения Лиувилля с граничными условиями C.2) и C.3). Это свойство решающим образом связано с обратимостью по времени уравне- уравнений динамики (когда силы не зависят от скоростей); как след-
132 III. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ГАЗА С ПОВЕРХНОСТЬЮ И //-ТЕОРЕМА ствие оп.ератор Лиувилля, входящий в уравнение C.1), меняет знак при замене § на —|. Для вычисления R (%'-+%) достаточно знать Gn+\- Действи- Действительно, если Pjv+i удовлетворяет уравнениям B.1) — B.3), то N где мы действовали так же, как выше, с той лишь разницей, что Pn+\ удовлетворяет уравнениям B.1) и B.3), а не C.1) и C.2). Символ dAOy конечно, обозначает элемент поверхности в плоскости х^ • п = 0. Используя B.5) и обозначая через М!) максвелловскую функцию распределения, соответствующую газу в равновесии при температуре и скорости стенки, имеем Хехр — /г = 0 C.8)
3. ВЗАИМНОСТЬ 133 где верхний индекс нуль у G°N+\ означает, что Gyv+i должно вычисляться при хо-п = Хд -n = 0, % = l\ Iq = 1- Теперь GN + обращается в нуль, если не выполняется соотношение Z G*6?) + V (х;) = ? С/2ткЦ) + V (х)), потому что она является функцией Грина уравнения Лиувилля C.1), которое выражает сохранение полной энергии. Следова- Следовательно, интеграл в правой части C.8) инвариантен по отноше- отношению к замене соответственно левая часть инвариантна по отношению к замене A, S/)->(—S'> —1)» и мы получаем (/0(—%) = Ml), так как стенка предполагается неподвижной): ) = /?(-6--60 F-n>0, Г-п<0). C.9) Соотношение C.9) является основным свойством ядра /?(§' —>§) и может быть названо «законом взаимности» или «принципом детального баланса». Физическая интерпретация его состоит в том, что, если газ находится в равновесии при тем- температуре стенки Го и, следовательно, имеет функцию распреде- распределения /о, то число молекул, рассеянных из интервала скорости (Vy V + d%') в интервал скорости (%, § + d%) (за единицу вре- времени на единичном элементе поверхности), равно числу моле- молекул, рассеянных с любой скорости между —\ и —\ — d% к любой скорости между —%' и — |х — d\'. Соотношение C.9) было предложено автором [1,2] на основе этих интуитивных пред- представлений, за исключением того факта, что § — 2п(п-§), %' — 2п(п-|/) заменены на —§ и —|х; это обстоятельство не имеет значения для обычных поверхностей, для которых суще- существует вращательная симметрия в касательной плоскости. Соотношение взаимности в виде C.9) впервые появилось в работе Кущера [3]. Выводы C.9) различной степени строгости были даны в последующих работах [4—6]. Приведенный здесь вывод по существу взят из статьи автора [6]. Следует отметить, что Кущер [5] доказал соотношение C.9) в случае квантово- механических систем и обобщил его на молекулы с внутренними степенями свободы. Соотношения, аналогичные C.9), появля- появлялись ранее в ряде статей по неравновесным процессам, где взаи- взаимодействие газа с поверхностью описывалось посредством им- импульсных членов, содержащихся в уравнении Лиувилля [7—9]. Отметим одно простое следствие взаимности. Если распре- распределение падающих молекул представляет собой максвеллиан /j
134 HI- ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ГАЗА С ПОВЕРХНОСТЬЮ И //-ТЕОРЕМА при температуре стенки и масса на поверхности сохраняется в соответствии с A.8), то функция распределения вылетающих молекул оказывается снова /0, или, другими словами, поверх- поверхностный максвеллиан удовлетворяет граничным условиям. Дей- Действительно, если проинтегрировать C.9) по %' и использовать A.8), то получится |g/-n|foft/)/?(S/^i)rfr = ll-n|fo(l) (ё-п>0), (ЗЛО) s'-n<0 и этот результат с учетом A.6) доказывает наше утверждение. Следует отметить, что равенство C.10), будучи следствием A.8) (когда выполняется C.9)), оказывается более общим, чем со- соотношение C.9), и может оставаться в силе даже тогда, когда C.9) нарушается. 4. Одно замечательное неравенство Докажем следующую теорему. Теорема. Пусть C(g) — строго выпуклая непрерывная функция аргумента g (см. рис. 15). Тогда для любого ядра рас- рассеяния ??(§' —*!), удовлетворяющего условиям A.8), A.10) и C.10), выполняется следующее неравенство: D.1) где /о — поверхностный максвеллиан, g = f/fOi а интегрирование распространяется по полным областям изменения компонент ?, причем значения f для |-п>0 связаны с ее значениями для |-.п<0 посредством. A.6). Равенство в D.1) имеет место тогда и только тогда, когда g = const почти всюду, если только /?¦(?'->|) не пропорционально дельта-функции. Действительно, выпуклость C(g) означает, что с( t «л) < I afC.fe), t щ = 1, D.2) ¦и, полагая щ = ш^А|г-, х\ ===== g(\%) и устремляя объем Д|г- к'нулю., имеем c{\w(Г)g(Г)rfr) < J w (Г) с(g(g'))d^ D.3) для любого набора положительных весовых функций, удовлетво- удовлетворяющих условию [ D.4)
4. ОДНО ЗАМЕЧАТЕЛЬНОЕ НЕРАВЕНСТВО 135 Рис. 15. Выпуклая функция. X Неравенство D.3) известно как неравенство Иенсена [39—41]. В частности, если взять (для любого фиксированного §) *^(§) = < I •t. n I f. (%\ » D.5) то условие D.4) удовлетворяется вследствие C.10), а A.6) и D.3) дают \|/-n<0 (g.n>o). Умножая на ||-n|fo(l), интегрируя по § и используя A.8), по- получаем J 16 ' n I fо (D С (g ( Г • п | fо (SO D.7) т- е. неравенство D.1). Равенство достигается в том и только том случае, когда оно имеет место в D.6) (за исключением множества меры нуль); это может случиться, если только одно значение g будет входить в обе части, т. е. если имеем либо
136 HI. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ГАЗА С ПОВЕРХНОСТЬЮ И //-ТЕОРЕМА g = const, либо 7?(Г->Шо(ГIГ-п1 * /?/ * ч (л 8ч Ы6)|6-п| —°[* *J' 1 ^ откуда g-(g) = g(g*) (здесь §* может быть любой функцией | при условии, что выполняется равенство A.8)). На этом дока- доказательство заканчивается. Эта теорема встречается у Даррозе и Гиро [10] в частном случае; приведенное доказательство взято из статьи автора [6]. Сформулируем результат Даррозе и Гиро в виде следствия. Следствие I. Для любого ядра рассеяния, удовлетворяю- щего условиям A.8), A.10), C.10), выполняется следующее не- неравенство: J I ¦ n/ In / dl < - ~ (qt + PijVj) nh D.9) где Qi — вектор теплового потока, рц— тензор напряжений в газе, Vj — скорость газа относительно стенки (значения f, pij, Vj берутся, конечно, на стенке), а То — температура стенки (R, как обычно, газовая постоянная). Равенство в D.9) имеет место в том и только том случае, когда f = fo (если ядро ^A'->1) не пропорционально дельта-функции). Действительно, если взять = g\ng fe>0), с(о) = о, DЛ0) то неравенство D.1) дает nglngfodi<O. D.11) Для f = fog, используя A.8), получаем а это и есть неравенство D.9). Отметим, что даже если газ движется относительно стенки, правая часть неравенства D.9) пропорциональна тепловому по- потоку от поверхности твердого тела к газу. Действительно, из закона сохранения энергии вытекает следующее соотношение (в системе координат, неподвижной относительно стенки): l(Qi + PijVj) nt]ra3 = [(qt + pijVj) М*]сТенка = fa * п]сТеика. D.13)
5. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ МАКСВЕЛЛА. КОЭФФИЦИЕНТЫ АККОМОДАЦИИ 137 Это равенство выражает тот факт, что, если газ скользит над стенкой, то возникает скачок нормальной составляющей тепло- теплового потока. Введем теперь линейный оператор, определенный следующим образом: = ) я& 1'Ж1')<*и', D.14) Г-п>0 где Я F, 60 = R (- Г -* 6) [/о F) I 6 • п 1Г1, D.15) d[i = |g-n|foF)rfS. D.16) Тогда имеем Следствие П. Оператор А определяет отображение сжа- сжатия в пространстве Lp (р > 1) функций от | (| • п > 0) с инте- интегрируемой р-й степенью по мере, определенной в D.16). То есть II ^г Ир < И г Ир, D.17) где Шр = Г \ \g{l)\Pd\iVP D.18) и знак равенства имеет место в том и только том случае, когда g постоянно почти всюду (если R(\'—*|) не пропорционально дельта-функции). Чтобы доказать это следствие, достаточно положить C(g) = = |g'|p в приведенной выше теореме. 5. Граничные условия Максвелла. Коэффициенты аккомодации Материал, изложенный в разделах 1 и 2, показывает, что теоретические исследования взаимодействия газа с поверхностью чрезвычайно трудны из-за сложности явлений, происходящих на поверхности. Даже если ограничиться линейными граничными условиями вида A.6) с не зависящим от / я/хром, то все равно мы сталкиваемся с необходимостью найти R(I7—>|). Общие рассуждения могут привести лишь к установлению ограничений на это ядро, таких, как закон взаимности C.9); чтобы достичь большего, нужно построить физическую модель поверхности и постараться вычислить соответствующее ядро /?A'—>|).
138 III. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ГАЗА С ПОВЕРХНОСТЬЮ И //-ТЕОРЕМА Первая попытка решить такую задачу была предпринята Максвеллом. В приложении к статье, опубликованной в 1879 г. [11], он обсуждает задачу нахождения граничного условия для функции распределения. В качестве первой модели физической стенки он принимает идеально упругую гладкую фиксированную поверхность, без малейших отклонений совпадающую с видимой формой тела. В этом случае молекулы газа отражаются зеркаль- зеркально, следовательно, газ не может создавать на поверхности ни- никаких напряжений, кроме нормальных. Затем Максвелл указы- указывает, что, поскольку в действительности газы создают на реаль- реальных поверхностях и касательные напряжения, такие поверхно- поверхности нельзя представлять идеально отражающими. В качестве второй модели реальной сгенки Максвелл рас- рассматривает слой из упругих шаров, расположенных достаточно далеко друг от друга, так что ни один из них не заслонен дру- другими от удара молекул. Он считает также слой настолько тол- толстым, что каждая молекула, которая попадает из газа на такую стенку, должна столкнуться хотя бы с одним шаром. Когда наконец она покидает этот слой и возвращается в газ, ее ско- скорость, конечно, должна быть направлена от поверхности в газ, но вероятность любой величины и направления скорости будет такой же, как в газе, находящемся в тепловом и механическом равновесии с твердым телом. Затем Максвелл рассматривает более сложные модели фи- физических поверхностей и приходит к выводу, что лучше всего трактовать поверхность как нечто промежуточное между иде- идеально отражающей и идеально поглощающей поверхностями и, в частности, считать, что часть каждого элемента поверхности поглощает все падающие молекулы, которые затем испаряются со скоростями, соответствующими таковым в неподвижном газе при температуре твердой стенки, тогда как остальная часть идеально отражает все падающие на нее молекулы. Если обозначить через а долю испаряющихся молекул, то предположение Максвелла эквивалентно выбору ядра в виде R (Г -> |; х, /) = A - а) 6 (Г - | + 2п [п • Щ ) + afQ (|) 11 • n | E.1) (| • п > О, I' • п < 0), где fo = [2я (ВДГ1 ехр [- I2 BRT0)-]l E.2) a To — температура стенки, причем нормировка проведена так, что выполняется условие A.8). Формула E.1) написана в предположении, что стенка непод- неподвижна; в противном случае | следует заменить на | — и0, где
5. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ МАКСВЕЛЛА. КОЭФФИЦИЕНТЫ АККОМОДАЦИИ 139 Uo — скорость стенки; величины а, и0, То могут зависеть от ко- координат и от времени. Легко видеть, что максвелловское ядро E.1) удовлетворяет условию C.9) и, следовательно, также C.10); условие A.8) выполняется при этом по построению. Следует подчеркнуть, однако, что Максвелл не имел возможности решить задачу полностью и был вынужден обратиться к качественным сообра- соображениям и ввести феноменологический параметр а. @ ^ а ^ 1), который непосредственно не связан со структурой поверхности. Отметим, что, согласно граничным условиям Максвелла, ка- касательная компонента импульса и тепловая энергия вылетаю- вылетающих молекул зависят частично от скорости и температуры по- поверхности и частично от импульса и тепловой энергии приходя- приходящего потока. Если а = 0 (зеркальное отражение), то выходя- выходящий поток не «ощущает» границы (по отношению к касательной компоненте импульса и кинетической энергии), если же а = 1 (полностью диффузное испарение), то выходящий поток полно- полностью утрачивает «память» о приходящем потоке (за исключе- исключением сохранения числа частиц). По этой причине коэффициент а (первоначально определенный как доля диффузно испарив- испарившихся молекул) иногда называется «коэффициентом аккомода- аккомодации», потому что он выражает тенденцию газа приспосабли- приспосабливаться к состоянию поверхности. Нужно отметить, однако, что аккомодация импульса и энергии при физических взаимодей- взаимодействиях происходит различно, причем импульс теряется или приобретается значительно быстрее чем энергия; это обстоятель- обстоятельство указывает на основную неточность граничных условий Мак- Максвелла. В общем случае можно определить коэффициент а(ср) акко- аккомодации для любой функции ф(|) от скорости молекул следую- следующим образом: 4>(l)\l-n\f(l)dl- jj 4>(l)\l-n\f(l)d? а (ф) = -L!!<2 L»^o , E.3) ] v(i)\i-n\f(l)dl-JQ \ q>(l)\l'n\fQ(l)dl ? • n < 0 I • n > 0 где fo(l) задана выражением E.2) и таким образом является поверхностным максвеллианом, а /0 — нормировочный множи- множитель, выбранный так, что /о/,о дает такой же поток массы, что и f. Числитель в E.3) представляет собой разность между при- приходящим и выходящим потоками величины фA), знаменатель имеет тот же смысл, но при полной аккомодации молекул (f = ~ ^о/о Для |-п>0). В частности, положив ф(|) = |Лп (где Л означает векторное умножение), получим коэффициент акко- аккомодации для касательной компоненты импульса; аналогично,
140 III. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ГАЗА С ПОВЕРХНОСТЬЮ И Я-ТЕОРЕМА положив ф = |-п или 12/2, получим коэффициент аккомодации для нормальной компоненты импульса и энергии. Заметим, что числитель в E.3) равен [ ср(|) g • x\f (g)dg. Удобно ограничить определение E.3) только функциями, об- обладающими свойством ф(|)=ф(| — 2п[п-|]), которые являются четными функциями от |-п. Это условие не выполняется при Ф = |-п; поэтому, если желательно определить коэффициент ак- аккомодации для нормальной компоненты импульса, то нужно взять <p(S) = IS-n|. E.4) Вообще говоря, а(ф) оказывается зависящим от функции распределения набегающих молекул, так что определение E.3) не очень удачно. Понятие коэффициента аккомодации стано- становится более осмысленным, если несколько ограничить /. С этой целью положим (ф, *) = (*, Ф)= где rfjii определено равенством D.16), а (ф, я|))— скалярное про- произведение в гильбертовом пространстве функций, определенных для |-п >0 и квадратично интегрируемых по мере d\i. Соответ- Соответствующая норма дается выражением D.18) с р = 2. Если вы- выполняется закон взаимности, то оператор Л, определенный фор- формулой D.14), симметричен относительно скалярного произведе- произведения E.5): = \\ Ф (S) /о (Ю R (-1 - Г) * (Г) I V -п | d% dl = (ЛФ, г[)). E.6) Определим теперь операторы отражения или инверсии в про- пространстве скоростей следующим образом: Я„Ф = Ф(|-2п[п-6]), E.7) Я*Ф = Ф(-? + 2п[п-Ш и отметим, что где / — тождественный оператор. Как указано выше, функция ф в выражении E.3) выбирается так, что она удовлетворяет усло- условию Рпу = ф.
6. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ HI Определим а|з(|) формулой / (Ю = hU (I) [1 + Ф (- Щ = /о/о A + Рф) (I • п < 0), E.9) где /о(Ю и Л) такие же, как в E.3). Тогда A, я|)) = 0, а выражение E.3) принимает вид , м _ (Рф, ф) - (Ф Лф) _ , (ф, Лф) _ 1 (Ф, Лф) = 1 _ (ф Р^ф) — 1 Здесь написано а(ср, г|)) вместо а(ф), чтобы подчеркнуть, что коэффициент аккомодации зависит также от -ф. Из E.10) видно, что, если в качестве ф взято некоторое ре- решение ф,- уравнения Лф = ЯР^ф, E.11) соответствующее собственному значению X = Xj (j = 0, 1, 2, ...), то коэффициент аккомодации -=1-1/ E.12) не зависит от г|э и, следовательно, от функции распределения набегающих молекул. Это представляет собой очевидное пре- преимущество данного определения а,-, принадлежащего автору [1, 2]; недостатком является то, что эти коэффициенты аккомода- аккомодации соответствуют собственным функциям ф;-, которые, вообще говоря, не имеют простого физического смысла. Другая возможность была рассмотрена Шеном и Кущером [12, 5]. Если взять набор физически значимых величин {ф?-(|)} и положить ф = фь ty = (рj (таким образом ограничивая функ- функцию распределения), то получится матрица коэффициентов ак- аккомодации с элементами Эти коэффициенты имеют ясный физический смысл, но лишь для специальной функции распределения / = /0(] 4-Рф,). В об- общем случае они вычисляются легче, чем приведенные выше, по- потому что не требуется предварительно решить уравнение E.11). 6. Математические модели взаимодействия газа с поверхностью Из-за трудности вычисления ядра R (%'->'?>) ы^ основе физи- физической модели поверхности (см. разд. 7) обсудим сейчас другой подход, который менее физичен по своей природе и аналогичен
142 III. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ГАЗА С ПОВЕРХНОСТЬЮ И Я-ТЕОРЕМА моделированию интеграла столкновений (разд. 10 гл. II). Идея состоит в том, чтобы построить математическую модель ядра /?(§' —> 1), удовлетворяющую основным условиям A.8), A.10), C.9) и не ограниченную более ничем, кроме требования не быть •слишком сложной. Возможный подход к построению таких моделей заложен в уравнении E.11). Пусть Xj— собственные значения, образующие дискретную последовательность, а ф,- — соответствующие соб- собственные функции (/= 0, 1, 2, ...)• Для простоты предполо- предположим, что Х{ ф Xj при i ф /. Тогда = (<Pi, Mi) = Ифм Ф/) = К (Pt%, Ф/) = К (Фь ^Ф/)- F.1) Если Xi ф Xj, т. е. фг ф ф;, то из F.1) вытекает, что (Фь ^Ф/) = 0 AФ1). F.2) Допустим, что (фг, P((pi) Ф 0 (справедливость этого для непо- неполярных поверхностей легко доказать), и нормируем ф$ так, что (фг, Лфг)= !"» ТОГДа (Фь ^Ф/) = б/у. F.3) Предположим далее, что ф7- образуют полную систему, так что любая достаточно регулярная функция \|? может быть раз- разложена в ряд Ф = Еад*. F.4) i Тогда из F.3) следует, что коэффициенты разложения опре- определяются так: F.5) Подставляя выражение F.5) в F.4), получаем Ф (I) = ? (Ч>, Ряд Ф/ (Ю = 2 J Ф (Г) Р^ [ф/ (Г)] Ф/ (Ю ^.и^ - = \ /=о где последний шаг справедлив, если уравнения понимаются в смысле теории обобщенных функций (см. разд. 2 гл. I). Следо- Следовательно, полнота эквивалентна выполнению соотношения /о do II' • n I ? pt [ф/ (Ю] ф/ A) = б а - г). F.7)
6. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ 143 Таким образом, используя соотношения E.11), E.5), E.6), F.7), D.16), имеем P/ F0] ф/ F) U (Г) { ? ^ /=о /=о /) Ф/ (I) = Ф/ (|) = у=о -?¦ 6) = /=о ] /, F.8) где предпоследний переход основан на равенствах F.4) и F.5) с /Ц) вместо г|). Так как г|э (§) в сущности является произволь- произвольной функцией |, из F.8) следует, что Заменив ^ на —-I7, а | на — л (б7 -> I) = h (Ю16 • n Е = k № /=0 /=0 |1;/Лф/(Г)]ф/(Ю 2п(п-?), получим , [Ф/ (- Г)] р, [ф/ F)] = - Г) ф/ A), где F.10) F.11) Формула F.10) представляет собой разложение ядра /?(|7->|); если Xj не стремятся к нулю достаточно быстро при /->оо, то его следует понимать в смысле теории обобщенных функций. Конкретный выбор Xj и г|),- в F.10) порождает модели ^(l7-^!)- Условие сохранения массы A.8) заставляет взять Яо= 1, фо=1, F.12) если поверхностный максвеллиан f0 нормирован, как в E.2). Условие взаимности при этом автоматически выполняется. Един- Единственным ограничением, которому остается удовлетворить, яв- является A.10). Это условие представляет некоторые затрудне-
144 III. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ГАЗА С ПОВЕРХНОСТЬЮ И //-ТЕОРЕМА ния, если пытаться оборвать сумму в F.10), как было сделано автором [1, 2]. Получающиеся ядра могут быть полезными в линеаризованных задачах (см. гл. IV), но в общем случае не- неприемлемы. Единственно удовлетворительный подход состоит в суммировании рядов для специальных бесконечных наборов Xj и ifj в надежде получить положительный результат. Простейший возможный вариант — полное вырождение, когда Xj = 1 (/= 0, 1,2, ...). Тогда формулы F.10) и F.7) приводят к тому, что R(V~>%)= б (§' — 1 + 2п[п-|]) и получается граничное условие для чисто зеркального отражения. Следующее возможное предположение — взять Хо = 1, Xj = = 1 — а (I = 1, 2, ...); тогда + ()S^(^( = fo (I) 11 ¦ п I [onto (- Г) 1>о (I) + A - а) I */ (- Г) Ч>/ AI = L /=о J = а/0 (g) | g • п | + A — а) б (Г — g + 2п [п • g]), F.13) где снова используется F.7) и тот факт, что фо = 1- Этот ре- результат совпадает с E.1), так что получается граничное усло- условие Максвелла. Отметим, что R ^ 0 означает 0 ^ а ^ 1. Ясно, что для получения более сложных ядер нужно либо делать более специальные предположения о собственных функ- функциях -ф^, либо использовать совершенно другой подход. В первом варианте простейшее предположение состоит в том, чтобы в ка- качестве собственных функций брать полиномы, взаимно ортого- ортогональные в том смысле, что выполняются равенства F.2). Если эти полиномы выбираются с определенной четностью по §*, так что Rttyj = ±t|)j, то это требование сводится к обычной ортого- ортогональности (скалярное произведение берется в виде E.5)). Можно выбирать \pj двумя путями, считая их полиномами либо по любой из трех компонент §, либо по двум тангенциаль- тангенциальным компонентам ^, 1и и квадрату ??п нормальной компоненты (как обычно, предполагаем, что § — скорость молекулы в си- системе отсчета, неподвижной относительно стенки; в противном случае § следует заменить на § — и0, где и0 — скорость стенки). Первый алгоритм порождает полупространственные полиномы, введенные Гроссом и сотрудниками [13] для других целей, в то время как второй обладает тем преимуществом, что порождает классические полиномы. Действительно, второй метод, которому мы будем сейчас следовать, дает собственные функции в виде F.14)
6. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ 145 где L[ есть 1-й полином Лагерра, а Нп есть п-й полином Эрмита (см. приложение). Численный коэффициент в F.14) выбран так, что функции tyimn не только ортогональны, но и нормированы по мере fl?|x, заданной равенством D.16)--(см. приложение). Справедлива также следующая формула (см. приложение): /, т, п 1 Г р f + g'2 = ехр — + A — р) V(l — 72) A — 52) Ч \-р 2RT0 ' 2A+^) 2RT0 2A — , f_l 2(l+s) 2^Г0 2A — s) (IPl.kl.hKl), F.15) где Iq{x) — модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка, определяемая так: /0 (х) = Bя)~1 [ exp (x cos ф) йф. F.16) Если сравнить выражения F.15) и F.10), то можно сразу найти ядро в замкнутой форме, выбирая собственные значения hmny соответствующие tyimn, в виде plqmsn, потому что тогда ряд, входящий в F.10), можно просуммировать при помощи F.15). Поскольку мы не интересуемся анизотропией в касательной пло- плоскости, для упрощения уравнений положим в F.15) s = q. Тогда получим заслуживающее внимания ядро вида Z, m, n <72Г' ехр [- 2A lt + %'tf q (lt-rtJl ( V^ U'n) = 2RT0 2A-?) 2RT0 J io V 1 — p RT0 ) r p L 1 - p 2RTQ 1 - q2 2RT0
146 HI. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ГАЗА С ПОВЕРХНОСТЬЮ И Я-ТЕОРЕМА я \г\'Л ( Vp -f9' 2RT0 J /о V 1 — lnl'n RT0 [-1 (Г-п<0, g-n>0), F.17) где !* = 1 — ngn — двумерный вектор с компонентами ^, и с,/,. Ядро в F.17) удовлетворяет условиям взаимности и норми- нормировки по построению, если \р\ < 1, \q\ < 1, а условию R ^ О в том и только том случае, когда q вещественно, а р веществен- вещественно и неотрицательно (при р < 0 аргумент /0 становится мнимым и /0 принимает как положительные, так и отрицательные зна- значения). Следовательно, выражение F.17) дает двупараметри- ческое семейство ядер, обладающих всеми требуемыми свой- свойствами при условии, что эти два параметра вещественны и удов- удовлетворяют неравенствам 0^ р <^;1, —1 ^ ^ ^ 1. Значения р = 1, q = ±1 являются предельными; при приближении к ним ядро становится пикообразным и в пределе стремится к произ- произведению дельта-функций. Если учесть формулы (П. 11) и (П.26) приложения, то легко видеть, что ядро F.17) вырождается в A.11), соответствующее зеркальному отражению. В чем состоит физический смысл параметров р и q? Из ска- сказанного выше ясно, что р и q связаны со свойствами аккомода- аккомодации поверхности. В частности, формула E.12) показывает, что q = А,ою можно связать с коэффициентом аккомодации величи- величины "фою (^) = &iC?^o)~I/2 (воспользовавшись представлением F.14) и тем фактом, что LQ(x) = Н0(х) = 1, Н\(х) = 2х со- согласно формуле (П.З) приложения). Множитель (/?Г0)~'/2 не имеет значения, так как в E.12) он сокращается, и мы прихо- приходим к выводу, что q очень просто связан с коэффициентом ак- аккомодации касательной компоненты импульса at: at-=\—q. F.18) Аналогично р связан с коэффициентом аккомодации вели- величины г|I00(?) = 1 ~ ^B^о)~'* Поскольку последняя не имеет простого физического смысла, исследуем коэффициент аккомо- аккомодации 2? или, что то же самое, *^гB/?Г0)~ = 1 — i|I00(iD- Со- Согласно E.10), этот коэффициент, который мы обозначим через ап, выражается формулой = 1 — П — И'юп» МО _ j _ р (i^ioq, 40 =_= j _ /Д19) где учтены соотношения /1A)= 1, Л (грюо) == Р^рюо, #*(i|>ioo) — = iEюо и A, 1E) =0, причем последнее вытекает из определения
6. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ 147 -ф (равенства E.9)). Следовательно, р = 1—ап, где ап — коэф- коэффициент аккомодации той части кинетической энергии, которая соответствует движению по нормали к стенке. Если попытаться вычислить коэффициенты аккомодации для нормальной компоненты импульса и полной кинетической энер- энергии, то сразу станет ясно, что в рамках рассматриваемой мо- модели они не являются постоянными, а зависят от функции рас- распределения налетающих молекул. Равенства F.18) и F.19) можно использовать для выраже- выражения ядра F.17) через физически значимые параметры ап и at. В результате получим §, ал> а,)_ У ггт* (&; < 0, gn > 0; 0<а,<2; 0<ая<1). F.20) Два параметра ап и а^ зависят, конечно, от физической при- природы газа и поверхности, а также от температуры последней. Заметим, что а, может быть больше чем 1, но меньше чем 2. Крайний случай имеет место при ап-^0 и а*->2; тогда /? (§' -> -> |) = б (| + Ю, так что каждая молекула меняет свою ско- скорость точно на противоположную. Для грубых физических по- поверхностей следует ожидать, что значения at довольно близки к единице и, возможно, несколько больше единицы. Ядро, заданное выражением F.17) или, что то же самое, F.20), никоим образом не является единственным ядром типа F.10) с функциями \р видя F.14). Ядра более общего вида мо- могут быть получены линейной комбинацией нескольких ядер типа F.17) с различными значениями р и q\ при этом весовые множители линейной комбинации должны иметь суммой еди- единицу (чтобы обеспечить нормировку) и быть положительными (чтобы обеспечить выполнение неравенства /?^0). Распреде- Распределение значений р и q может быть непрерывным; в этом случае получается ядро [ i w (p> q) ln V о -j 2RT0 pB) F.21)
148 Ш. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ГАЗА С ПОВЕРХНОСТЬЮ И Я-ТЕОРЕМА где 1 1 \w(p,q)(l-p)(l-qz)dpdq=l. F.22) 5 \ О -1 Выражение F.21) представляет собой наиболее общее ядро с полиномиальными собственными функциями F.14), удовлетво- удовлетворяющее всем физическим условиям (включая отсутствие выде- выделенных направлений в касательной плоскости), при условии, что весовая функция w(p,q) может быть обобщенной функцией. Вы- Выражение F.20), например, получается, если положить V) (р, q) = [ссЛ B - а,)Г1 6 (р + ап - 1) 6 (q + at - 1). F.23) Все ядра вида F.21) обладают коэффициентами аккомода- аккомодации для тангенциальной компоненты импульса и кинетической энергии движения по нормали, не зависящими от распределения падающих частиц. Чтобы получить ядра более общего вида, можно использовать полиномы г|^тп, заданные посредством F.14), как векторный базис в гильбертовом пространстве, не считая их собственными функциями оператора А в смысле E.11). В этом случае вместо F.10) имеем оо /?(r-*g)=ig-nifoF) z м>п-т/(ю, F.24) /, 1=0 где i и / заменяют тройки индексов (/, т, /г), (/', т\ п'). В силу взаимности ((?wj)) является симметричной матрицей. Матрицу (Fij — Xij)) можно рассматривать как «матрицу ак- аккомодации» [1, 2]. Такие модели были независимо исследованы Черчиньяни [1,2] и Шеном [14]. Определенную трудность опять представляет невозможность оборвать ряд без нарушения усло- условия R ^ 0. Можно ожидать, что любая попытка просуммировать ряд вида F.24) с %^ ф 0 для бесконечно большого числа i ф j приведет к чрезвычайно громоздким выкладкам. Для того чтобы получить простые, но не слишком специаль- специальные ядра, видимо, нужно исследовать другие подходы. Недавно было показано [15], что в выражении F.20) можно считать либо а; зависящим симметрично от ?Л и — ^, либо ап зависящим симметрично от ^ и —Ц без нарушения условий A.8), A.10) и C.9). При этом получаются ядра с непостоянными коэффи- коэффициентами аккомодации соответственно для тангенциальной ком- компоненты импульса или энергии движения по нормали. Общий метод построения ядер таков. Возьмем произвольную симметричную положительную функцию /С(|, |7) и положим /?(&/-^&) = |6-п|/оA)[Я(ЮЯ(-|/) + /С(|, -Г)] (Г • п< 0, | • п > 0), F.25)
7. ФИЗИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ 149 где , F.26) К (У, %)dp' dp Взаимность удовлетворяется тривиально, удовлетворяется и нормировка благодаря F.26). Условие R^O обеспечивается положительностью Я(|). В качестве примера возьмем К (I Г) = В F) б (§ + Г - 2п [п • Г]), F.27) где В (|) — произвольная положительная четная функция скоро- скорости молекулы. Тогда Я (|) = , ^-в&Пп1о&) F>28> t-n>0 и F.25) принимает вид +2n|;I> J F.29) где aS)=l-|nfoS)B(g) F.30) — произвольная четная функция от |, удовлетворяющая усло- условию 0<а(?)<1. Ядро F.29) было предложено Эпштейном в 1967 г. [16] как обобщение граничных условий Максвелла; действительно, F.29) переходит в E.1), когда а постоянна. Эпштейн выбирал свою модель из условий сохранения массы A.8) и сохранения поверх- поверхностного максвеллиана C.10). Интересно отметить, что взаим- взаимность, о которой в статье Эпштейна даже не упоминается, ока- оказывается автоматически выполненной благодаря принятым ог- ограничениям; это, конечно, является следствием специальной формы, выбранной Эпштейном для ядра. 7. Физические модели взаимодействия газа с поверхностью Подход, представленный в разд. 6, может быть очень полез- полезным для получения сравнительно простых выражений для се- семейств ядер рассеяния с несколькими параметрами. Недостат- Недостатком его является то, что эти параметры не связаны с основными
150 III. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ГАЗА С ПОВЕРХНОСТЬЮ И Я-ТЕО'РЕМА X) X Рис. 16. Движение молекулы газа внутри жесткой стенки. Фиктивная жест- жесткая стенка помещена при х — — d, чтобы моделировать объемную силу. Область —2d < х < — d является просто зеркальным изображением физи- физической области —d < х < 0. физическими величинами, такими, как массы атомов газа и твердого тела, интенсивность и радиус действия силы, темпера- температура и плотность атомов поверхности. В частности, например, параметры ап и аи входящие в выражение F.20), в этом смысле никак не охарактеризованы. Чтобы получить более детальную информацию, необходимо рассмотреть физическую модель поверхности и вычислить ядро рассеяния из динамики поведения молекулы, захваченной по- поверхностью. Ясно, что такие вычисления должны быть либо очень схематичными, либо очень сложными [17—24]. Этот под- подход может быть объединен с подходом разд. 5: второй дает ана- аналитические выражения для функции распределения, а первый — численные значения или простые выражения для параметров, оставшихся не определенными в этих аналитических выражениях. По-видимому, более полезный, хотя и мало развитый в на- настоящее время, подход состоит в использовании уравнения B.9) с LP, заданным посредством B.8), где В F, V), Dih F{j, X долж- должны вычисляться из динамических соображений. Представляется, что главной проблемой при этом будет решение уравнения B.9) для реальных или по крайней мере не слишком далеких от действительности выражений В, F^-, Dij, X. Здесь мы рассмот- рассмотрим предельно простой случай [6], в котором ?(9, V) ===== 0 (т. е.
7. ФИЗИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ 151 эффектом жестких столкновений можно пренебречь по сравне- сравнению с эффектом одновременных скользящих столкновений), а где l7l и lt — константы с физическим значением длин диффузии в нормальном и касательном направлениях (здесь i= 1, 2 со- соответствует двум взаимно перпендикулярным направлениям в касательной плоскости). Далее предположим, что объемная сила представляется дельта-функцией, сосредоточенной в к = = —d (х = х3), так что непрерывное взаимодействие заменяет- заменяется (фиктивной) жесткой стенкой, помещенной внутри физиче- физической поверхности (см. рис. 16). Тогда нужно решать уравнение в полосе — d < x < 0 (рис. 16) с граничными условиями P(-d,g) = />(-d, |-2nfn-|]), G'3) что эквивалентно решению того же уравнения в полосе — 2d^.x^0 (рис. 16) с граничными условиями Р (- 2d, I) = 6 (g - §' + 2n [n • §]) (ln > 0). G*4) Кроме того, для существования производных, входящих в уравнение G.2), Р и ^пдР/д^п должны быть непрерывными. Для решения нашей задачи воспользуемся следующим прие- приемом [6]; интерпретируя |1-п| как радиальную координату в фик- фиктивной плоскости, введем компоненты фиктивной скорости: J' G.5) где ф — фиктивный угол. Пусть Q = Q(x, gb g2, 6з, 64) непре- непрерывна, непрерывно дифференцируема и удовлетворяет уравне-
152 III. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ГАЗА С ПОВЕРХНОСТЬЮ И Я-ТЕОРЕМА НИЮ dQ 2RT0 Г d2Q , д / gj ч d2Q д ( ?2 \1 дх h L dl2i д%\ \%то ) д%1 д%<> \RTo /J — Ч ( —— 0)\ > G.6) 4 Тогда я Р = I Ъ'п I S Q (gl« ^2> I &a I C0S Ф. | S» | Sin Ф) d(P G-8> — Я удовлетворяет уравнению G.2) и условиям G.4) при ?п << 0, что видно после перехода в уравнениях G.6) и G.7) от g3, ^4 к ,||п|, Ф и интегрирования по ф. (Заметим, что я = вF»-О (^<0,^<0), G.9) как следует из преобразования дельта-функции из декартовой системы координат в полярную.) Уравнение G.6) допускает разделение переменных, так что решение может быть факторизовано следующим образом (за- (заметим, что граничное условие G.7) также факторизуется): G.10) Q = —~T\g{^-, L, (RTof jj-J-, \ л/ЛГо -\/RT0 Ik [I] = /2 = //', Z3 = /4 = /л), где G(y, у', f) удовлетворяет уравнению (проверяется непосред- непосредственной подстановкой) Теперь произведем замену г = уех\ G.12) Бри этом уравнение G.11) примет следующий вид (dG/dl-*dG/dt-{- + z dG/dz, dG/ду -> е' <5G/<52):
7. ФИЗИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ 153 Если положить W = Ge-*9 G.14) то G.13) запишется так: L^L G 15> Наконец, если ввести т=72(^-1), G.16) то W будет удовлетворять уравнению теплопроводности -=L G 17V дт dz2 ' {'Л1> имеющему общеизвестное фундаментальное решение [25] W = DятГ'л ехр [- (z - z'Jj{Ax)\ = = [2я (ё» - I)]2 ехр {- (z - z'fl[2 (e2t - 1)]}, G.18) откуда (z0 = г/о согласно G.12) при ^ = 0) G = [2л A - е-2')]"'7' ехр {- {z - z'O[2 (e2i - 1)] } = = [2я A - е-2')]~'/2 ехр {- (у - у'е-*J/[2 A - e~«)]}. G.19) Следовательно, 2 ft t' -I^I/'A2 4 ("t i'o~UUln\2 ехо - I1 ёе " & ёе 1 r' Х Ч 2лгвA_в-а|"/10 G.20) и, согласно G.8) и F.16), Р(хЛ) = 1пBпГ1 (RT0r2(l - е~2]хШ'У1 (I - е-2^шпГ[ X Х Ч 2*7-0 A -Г"""') 2«7-0(l-e-2|J""'.)JX . G-21)
154 HI. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ГАЗА С ПОВЕРХНОСТЬЮ И //-ТЕОРЕМА Для того чтобы найти /?(?' —> |), нужно вычислить Р@, |) при ?Л > 0. Но благодаря симметрии граничных условий G.4) и равенства B.12), G.21) дают 1- X ехр — , -ынл — / -4d« \ X х 7° IW;e n A -е ") J & < °' ^ > °)- G-22> Выражение G.22) совпадает с ядром F.20), если положить — Ad/l 1 —2d/lj. /rj oo\ — б п, OLf = I — в *. \( .Z6) Здесь коэффициенты аккомодации связаны с отношениями d/ln, d\lu где d — глубина проникновения, а /„ и lt— две харак- характерные длины, связанные с диффузией в пространстве скоро- скоростей. Любопытно, что при помощи решения уравнения Фоккера — Планка получено ядро, постулированное в разд. 6. Следует заметить, что такое же ядро было найдено Уильямсом [26] по- посредством аналогии с рассеянием электромагнитных волн по- поверхностью, а соответствующее одномерное ядро, содержащее %п и \'п вместо \t и Ц, было получено Кущером и др. [27] на основе аналогичного уравнения Фоккера — Планка и совершенно иной интерпретации. Возможно, кажется удивительным, что уравнение G.2) решено при %п <С 0 без какой-либо ссылки на то, что происходит при с,п > 0. Вообще следует ожидать довольно сложного взаимодей- взаимодействия между решениями при ?п > 0 и при gn < 0. Эта завязка происходит при раздельном рассмотрении областей потому, что при In == 0 требуется одно граничное условие для того, чтобы определить решение для gn > 0, а другое для того, чтобы опре- определить решение для gn <C 0. Эти условия суть не что иное, как з непрерывность Р и J D3idP/d^i ПРИ ?п = 0, и в случае общего уравнения Фоккера — Планка они приводят к системе двух ин- интегральных уравнений [6]. Если Dij = 0 при |п = 0, то все чрезвычайно упрощается, потому что тогда условия на границе гЕ,п = 0 выполняются авто- автоматически, если dP/d^i там конечна. Физически это происходит
8. РАССЕЯНИЕ МОЛЕКУЛЯРНЫХ ПУЧКОВ 155 благодаря тому, что молекула газа участвует в некотором диф- диффузионном процессе в пространстве скоростей, при котором знак In не может измениться, так как коэффициент диффузии обра- обращается в нуль при In = 0; следовательно, молекула может по- повернуть назад только на искусственной границе х = —dy моде- моделирующей объемную силу. 8. Рассеяние молекулярных пучков Как было указано ранее, рассеяние молекулярных пучков твердыми поверхностями является главным источником экспе- экспериментальных данных о взаимодействии молекул с твердой стенкой. В этих экспериментах пучок молекул с заданной функ- функцией распределения падает на стенку и функция распределения вылетающих молекул определяется подсчетом молекул. Экспе- Экспериментальные результаты по характеристикам рассеяния обычно представляются для рассеяния только в плоскости падения (т. е. в плоскости, содержащей вектор скорости падения U и нормаль к поверхности п). Кроме того, эти результаты обычно относятся только к угловым распределениям. Фактически изме- измеряется отношение числа молекул /V(9, cp), рассеянных в единич- единичный телесный угол, к общему числу рассеянных молекул без различения молекул по скоростям: N(Q, q>) = 4-\ f®\l-n\l2dl (g-n>0), (8.1) где 8 и гр — сферические углы в пространстве скоростей с поляр- полярной осью вдоль нормали, а ^о= \ f\l-n\dl. (8.2) г- п > о Идеальная функция распределения для падающего пучка представляет моноэнергетический коллимированный пучок: = NQ6 (Е - Ео) б (9 - в0) б (Ф - Фо)/(т sin 90 cos 90), (8.3) где Е = ?2/Bт)— энергия пучка (молекулы предполагаются одноатомными). Такие пучки, однако, трудно получить в лабо- лаборатории, и чаще используется другой гип падающего пучка — «коллимированный тепловой пучок». Он получается коллима- коллимацией атомов газа, вылетающих из равновесного печного источ-
156 HI. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ГАЗА С ПОВЕРХНОСТЬЮ И //-ТЕОРЕМА ника, и, следовательно, = No (RTS)~21 cos 90 sin 90 f1 exp [- E/(kTs)] 6 (9 - 90) 6 (Ф - Фо), (8.4) где Ts — температура источника. Полный поток в телесном угле вычисляется особенно про- просто, если принять предположение (8.3) и воспользоваться фор- формулой A.6); тогда S (Г6)( ЛinIE2rffe = '.п<0 J оо $ (U->l)?dl (8.5) Выражение (8.5) показывает, что если известно R (|'->|) и выполняется равенство (8.3), то простая квадратура дает iV(9, ф). Если равенство (8.3) заменить на (8.4), то потребуется дополнительное интегрирование по U. В частности, формулой (8.5) можно воспользоваться в связи. с ядром F.20) и сравнить результаты с экспериментальными [4, 28]. Согласование оказывается удовлетворительным. Здесь мы представили только один случай (рис. 17); данные взяты из эксперимента с пучком аргона при 295 К на платине при 1081 К [29]. Четыре полярные диаграммы относятся к четырем различным углам падения и представляют индикатрисы рас- рассеянных молекул в плоскости падения. Кружки соответствуют экспериментальным данным, а кривые вычислены с помощью ядра F.20) при ап = 0,3, а* = 0,1; отметим, что согласование достигается не просто хорошей подгонкой, так как величины ап и at одни и те же во всех четырех случаях. Стоит обратить вни- внимание на то, что экспериментальные данные существенно отли- отличаются от индикатрис, соответствующих зеркальному и диффуз- диффузному отражению. До того как изложенный метод моделирования ядер рассея- рассеяния был развит и применен, наилучший способ представления экспериментальных данных состоял в том, что для функции распределения вылетающих молекул подбиралось некоторое спе- специальное выражение, содержащее свободные параметры, кото- которые доопределялись путем поцгоики к экспериментальным дан- данным. Первые работы в этом направлении были выполнены Шамбергом [30] и Ночиллой [31, 32]. В модели Шамберга пред- предполагается постоянная скорость вылета, и эта модель довольно громоздка. Модель Ночиллы основана на сравнительно простой форме для функции распределения вылетающих молекул, кото-
8. РАССЕЯНИЕ МОЛЕКУЛЯРНЫХ ПУЧКОВ 157 Рис. 17. Сравнение модели, основанной на ядре рассеяния F.^0), с экспери- экспериментальными данными Хинчена и Фоли [29]. Значения угла падения 6/ (сверху вниз): 15; 22,5; 30; 45°. рая принимается максвелловской с массовой скоростью Ur и температурой Гг, отличной от температуры стенки: f = pr [2nRTry'2 exp [— (g - UrJ/BRTr)l (8.6) причем рг определяется из условия сохранения массы. Частные случаи этой модели были ранее рассмотрены Кнудсеном [33]
158 III. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ГАЗА С ПОВЕРХНОСТЬЮ И #-ТЕОРЕМА (Ur = 0) и Трэдом [34] (Тг= То). Расчеты, основанные на (8.6), приемлемы, но серьезным недостатком модели является отсут- отсутствие какой-либо корреляции между распределениями падаю- падающих и вылетающих молекул. Правда, эту трудность можно обойти, интерпретируя (8.6) [35, 27, 4] как распределение выле- вылетающих молекул в случае произвольного монохроматического падающего пучка (8.3). В этом случае (8.6) предполагает ядро рассеяния, являющееся максвелловским по |; условия взаимно- взаимности C.9) и нормировки A.8) сужают это семейство ядер, огра- ограничивая тем самым гибкость модели [4, 27]. В заключение отметим, что эксперименты по рассеянию на кристаллах при сравнительно низкой температуре обнаружили новое явление, состоящее в том, чго индикатриса рассеяния имеет несколько максимумов. Это обусловлено, вероятно, пе- периодичностью кристалла, свойством, которое не учитывалось в- моделях, описанных выше. 9. Я-теорема. Необратимость Покажем, что если ввести \\nfdl, (9.1) ffof<%, (9.2) где / — любая функция, удовлетворяющая уравнению Больц- мана (II.8.21), то Соотношение (9.3) есть очевидное следствие неравенства (II. 7.3) и того факта, что / удовлетворяет уравнению Больц- мана; достаточно умножить обе части уравнения (II. 8.21) на 1 ~f- In f и проинтегрировать по всем возможным скоростям §,. учитывая тождество d(f In f) = A + In f)df, неравенство (II. 7.3} и тот факт, что 1 есть инвариант столкновений (подразуме- (подразумевается также обращение / в нуль при |->оо). Теперь мы можем интерпретировать неравенство (9.3), пе- переписав его в виде и введя (9.5)
9. Я-ТЕОРЕМА. НЕОБРАТИМОСТЬ 159 где R— область, заполненная газом. Если бы имело место равенство Э = 0, то величина Я сохранялась бы, подобно массе, энергии и импульсу, поскольку вектор Ж — {2ё\, Ж>ъ 26 ъ) можно трактовать как поток величины Я (заметим, что здесь Ж — не модуль вектора Ж, а плотность, соответствующая по- потоку Ж). Так как, вообще говоря, 9 ф- О, а именно Sf ^ О, можно утверждать, что молекулярные столкновения действуют как сток для величины Я. Известно также, что источник 3 равен нулю в том и только том случае, когда функция распре- распределения является максвелловской. Наконец, заметим, что, как и в случае потока импульса (разд. 8 гл. II), вектор Ж может быть расщеплен на макроско- макроскопический (конвективный) поток величины Я, 26\х, и микроско- микроскопический поток Я, Ж — 26м, Интегрируя обе части уравнения (9.4) по х в пределах об- области R и учитывая возможное движение границы dR этой области со скоростью а0, получаем ~1Г ~ \ {Ж ' п ~ Жщ • n) rfS = J ^ dx < 0, (9.6) dR R где dS — элемент поверхности границы dR, а п — внутренняя нормаль. Второй член в интеграле появляется потому, что в случае движущейся границы при дифференцировании Я по времени нужно учитывать изменение во времени области инте- интегрирования. Из неравенств (9.4) и (9.6) выведем две классические фор- формулировки знаменитой Я-теоремы Больцмана. а) Если газ однороден (df/дх = 0 и, следовательно, дЖ\!дх{ = 0 в (9.3)), то величина 26 (которая зависит только от времени) никогда не возрастает во времени и постоянна в том и только том случае, когда функция распределения яв- является максвелловской (действительно, d26\dt = 0 означает У = 0 и в силу результатов разд. 7 гл. II f представляет собой максвеллиан). б) Если газ находится в такой области, что интеграл, стоя- стоящий в левой части равенства (9.6), неположителен: J (Я? — 50ио) • n dS < 0, (9.7) dR то величина Я (которая зависит только от времени) никогда не возрастает во времени и постоянна в том и только том случае, когда функция распределения является максвелловской. Вторая формулировка Я-теоремы охватывает более общие ситуации, но несколько неудовлетворительна, потому что может
160 HI. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ГАЗА С ПОВЕРХНОСТЬЮ И Я-ТЕОРЕМА применяться только после проверки выполнения условия (9.7). Например, это условие удовлетворяется (со знаком равенства) при зеркальном отражении молекул от границы dR (в системе отсчета, где dR неподвижна); это единственный случай, кото- который рассматривается в традиционных курсах [36, 35]. Можно, однако, получить более точную и важную формули- формулировку Я-теоремы, если границу dR считать такой поверхностью, на которой выполняется условие A.6). Достаточно заметить, что (Ж — Жщ) • n dS = ^ (I — щ) • n/ In f dl dS = = \l. nf In fdlrdSy (9.8) где Sr = 6. — u0 — скорость молекулы в системе отсчета, движу- движущейся вместе со стенкой. В этой системе отсчета выполняются соотношения D.9) и D.13). Следовательно, (Ж - Жщ) • n dS < - J -jL- [{q. + p.jVj) п.]гпз dS = 1 Г ~ R ) OR ) o OR и (9.6) дает dH . If (д-п)Тв.ТелОаЗ 1 f d*Q ,Q , где Го может изменяться от точки к точке на OR, a d*Q — тепло, передаваемое от тела к газу при температуре То. Таким образом, получается следующая Теорема (обобщенная Я-теорема). Если газ ограничен непористыми твердыми стенками, на которых выполняется ли- линейное граничное условие A.6), то величина Я, заданная фор- формулой (9.5), удовлетворяет неравенству (9.10). В частности, если ни в одной точке границы тепло не передается от газа к твердому телу (т. е. ни в одной точке dR не реализуется d*Q<C0), то Я всегда убывает со временем и может быть по- постоянной только при максвелловской функции распределения. Я-теорема Больцмана очень важна, так как выявляет фун- фундаментальное свойство уравнения Больцмана — необратимость: величина Я всегда уменьшается, даже когда она не уходи г в окружающее пространство (знак равенства в (9.7) или в (9.10)) при отсутствии обмена энергией между газом и его окружением. Кажется, что эти обстоятельства находятся в противоречии с тем, что молекулы, из которых состоит газ, подчиняются за-
9. Я-ТЕОРЕМА. НЕОБРАТИМОСТЬ 161 конам классической механики, обратимым во времени. Действи- Действительно, если задано некоторое движение в момент времени t = t0 со скоростями V], ..., Vjvi всегда можно рассматривать также движение со скоростями —vi, ..., —Vn (в тех же точках) при t = t0; эволюция назад последнего состояния будет одина- одинаковой с эволюцией вперед первоначального состояния. Следо- Следовательно, если dH/dt <0 в первом случае, то во втором будем иметь dH/d(—1)<0, т. е. dH/dt > 0, что противоречит Я-тео- реме Больцмана. Это парадокс Лошмидта (для простоты пред- предполагается, что газ заключен в сосуд с зеркально отражающими стенками; в противном случае такое же возражение применимо к неравенству D.9)). Ответ на этот парадокс, грубо говоря, состоит в следующем: при действии законов механики понятия «прежде» и «после» не имеют строгого значения, так что можно использовать уравне- уравнения движения для «предсказания» как будущего, так и про- прошлого. Однако мы перешли от строго динамического описания к статистическому, основанному на уравнении Больцмана. При выводе уравнения Больцмана (разд. 2 и 3 гл. II) было указано, что соотношение (II. 2.14) приходится использовать для выра- выражения функций распределения, соответствующих послестолкно- вительному состоянию, через функции распределения, соответ- соответствующие состоянию перед столкновением, а не последние че- через первые. Очевидно, что первый путь приемлем, если уравне- уравнение нужно использовать для предсказания будущего по про- прошлому, но не наоборот; ясно, однако, что этот выбор ввел связь с обиходными понятиями прошлого и будущего, чуждыми мо- молекулярной динамике. Иначе говоря, мы подготовили путь для определения этих понятий на основе статистического поведения многочастичных систем. Когда был взят больцмановский предел (N-+oo, g->0, No2 конечно), получилось уравнение — уравнение Больцмана,— описывающее статистическое поведение молекул газа. Порази- Поразительное следствие нашего основного выбора состоит в том, что это уравнение описывает только движения, для которых вели- величина Н уменьшается, в то время как противоположный выбор привел бы к уравнению, содержащему знак минус перед столк- новительным членом и, следовательно, описывающему только движения с возрастающим Я! Эти последние движения не не- невозможны, а только чрезвычайно маловероятны; они соответ- соответствуют начальным данным, при которых скорости молекул пе- перед столкновением проявляют необычную корреляцию (эта си- ситуация может быть смоделирована вычислительной машиной при изучении движения большого числа взаимодействующих частиц и приводит, как и следует ожидать, к эволюции с воз- возрастающей //, а то время как «случайно» выбранные начальные
162 HI- ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ГАЗА С ПОВЕРХНОСТЬЮ И Я-ТЕОРЕМА данные неизменно приводят к эволюциям с убывающей Я). Иначе говоря, то обстоятельство, что Я уменьшается, является не внутренним свойством динамической системы, а скорее свой- свойством уровня описания; в свою очередь выбор последнего дик- диктуется намерением описывать физически реализуемую совокуп- совокупность измерений над системой («макроскопических» изме- измерений). Тот факт, что Я проявляет свойство уменьшаться, а не увеличиваться, является вопросом определения; т. е. можно ска- сказать, что t2>t\ по определению, если Я (t2) <C Я (^), и это фиксирует стрелку направления времени в сторону будущего в согласии с обычными понятиями прошлого и будущего. Это может быть сделано, так как все физические системы Вселенной взаимодействуют одна с другой, и, следовательно, было бы необычно (представляется исключением, например, явление спи- спинового эхо), если то, что оказывается «раньше» для одной си- системы, будет «позже» для другой (распространение электромаг- электромагнитного излучения сыграло бы важную роль в исчерпывающем обсуждении этого вопроса). То обстоятельство, что система никогда в действительности не является изолированной, не следует забывать также и в связи с другим парадоксальным возражением относительно любой механической интерпретации необратимости. Это возражение много тоньше, чем доводы, основанные на обращении скоростей молекул. Оно основано на теореме Пуанкаре, которая утверж- утверждает, что любая конечная механическая система, подчиняю- подчиняющаяся законам классической механики, возвратится сколь угодно близко к своему начальному состоянию при почти любом выборе последнего, если подождать достаточно долго. Для со- состоящего из взаимно отталкивающихся молекул газа, заключен- заключенного в ящик с зеркально отражающими стенками, это следует из закона сохранения энергии, в силу которого изображающая точка в фазовом пространстве движется по ограниченной по- поверхности S (поверхности постоянной энергии). Эти факты означают, что мера \х(А) («площадь» А) связана с каждым подмножеством А поверхности 5 так, что если А{ есть множе- множество точек, в которые точки А трансформируются вследствие движения к моменту времени t, то \x(At)\= \х(А) и (иE)<сю. Чтобы доказать теорему Пуанкаре, рассмотрим такое под- подмножество А поверхности S, что все точки А никогда не воз- возвращаются назад к А. Выберем А достаточно малым, а т до- достаточно большим, так что Ах и А не перекрываются (если это невозможно, то теорема тривиально верна); тогда никакие из множеств А2х, А3х, ... не перекрываются, потому что если АпХ и Л(п+/г)т имели бы общие точки, то, прослеживая движение на- назад и пользуясь единственностью движения через любую дан-
9. Я-ТЕОРЕМА. НЕОБРАТИМОСТЬ 163 ную точку фазового пространства, мы получили бы, что А и Akx должны иметь общие точки, а это противоречило бы определе- определению А. Если множества Л, Ах, А2х, ... ке перекрываются, то, поскольку \i(A) = \i(Ax) = [а(Л2т) = •.., общая мера объедине- объединения этих множеств будет бесконечной (что невозможно, так как jx(S)< оо), если [i{A) не равно нулю, и теорема Пуанкаре доказана 1). Из этой теоремы следует, что рассматриваемые молекулы по истечении «времени возврата» могут иметь положения и ско- скорости, настолько близкие к первоначальным, что одночастичная функция распределения / будет практически той же самой. Сле- Следовательно, величина Я также будет практически той же самой, и если она возрастала вначале, то в некоторые последующие моменты времени должна была убывать. Ответ на это возражение (парадокс Цермело) состоит в том, что время возврата настолько велико, что практически никто никогда не наблюдал сколь-нибудь заметной части возвратного цикла; действительно, согласно приближенным расчетам, время возврата для типичного количества газа оказывается очень большим числом, даже если за единицу времени принять рас- расчетный возраст Вселенной. Ясно, что при таком огромном мас- масштабе нет нужды беспокоиться о том, что обратимость исчезает. (Снова заметим, что теорема должна применяться ко всей Все- Вселенной и включать излучение; при этом возникает интересная возможность связи между необратимостью и расширением Все- Вселенной.) В чем смысл функции Я? Существуют две интерпретации: одна для микроскопического описания, другая для макроскопи- макроскопического. Первая следует из того факта, что (см. приложение к гл. II) —Я можно истолковать как степень правдоподобия микроскопического состояния; соотношение (9.6) тогда утверж- утверждает, что в изолированной системе (при отсутствии интеграла по поверхности) эволюция происходит в направлении более ве- вероятных состояний. Можно сказать по-другому: чем вероятнее микроскопическое состояние, тем больше число состояний с той же самой функцией f, и, следовательно, знание / дает мало информации о микроскопическом состоянии; поэтому Я как мера неправдоподобия является также мерой информации, со- содержащейся в /, о микроскопическом состоянии, и эта информа- информация уменьшается со временем, поскольку уравнение Больцмана описывает эволюцию в направлении более вероятных состояний. Вторая интерпретация Я — интерпретация на макроскопическом Уровне— раскрывается при помощи соотношения (9.10). Если !) См. также примечание 4 к гл. I книги [I. \2*]. — Прим. перед.
164 III. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ГАЗА С ПОВЕРХНОСТЬЮ И Я-ТЕОРЕМА Я связано с энтропией газа г\ формулой то соотношение (9.10) переходит в хорошо известное в термо- термодинамике неравенство Клаузиуса — Дюгема. В разд. 10 будет показано, что равенство (9.11) выполняется для равновесных состояний, если в качестве ц взять обычное выражение для идеального газа; для неравновесных состояний соотношение (9.11) можно рассматривать как определение эн- энтропии ц для больцмановского газа. При такой интерпретации Я ясно, что Я-теорема представляет собой не что иное, как дока- доказательство второго начала термодинамики (для больцмановского газа). В этой связи второе начало не является строгим след- следствием законов механики (в силу парадоксов Лошмидта и Цер- мело это было бы несостоятельно), но зависит от статистических аргументов, асимптотических оценок (для /V->oo, a->0, No2 конечно, см. разд. 2 и 3 гл. II) и определения будущего как на- направления времени, для которого существует статистическая тенденция переходить от маловероятных состояний к более ве- вероятным. 10. Равновесные состояния и максвелловские распределения Убывание Я при отсутствии обмена энергией с окружающей средой (d*Q = 0 в (9.10)) показывает, что уравнение Больц- мана описывает эволюцию в направлении состояния с миниму- минимумом Я (совместимого с наложенными ограничениями, такими, как объем области, содержащей газ, число молекул, темпера- температура соседних твердых тел и т. д.) при условии, что притока Я извне нет. Конечное состояние (которое должно достигаться при t—>oo) предположительно будет стационарным состоянием, если такое состояние допускается граничными условиями и яв- является устойчивым. Если в (9.10) d*Q ^ 0, то стационарное состояние может быть достигнуто в том и только том случае, когда имеет место знак равенства, а это, как известно, означает, что функция распределения почти всюду в пространстве ско- скоростей представляет собой максвеллиан. Если максвелловские распределения несовместимы с граничными условиями, то ни- никакое стационарное состояние не достигается. Аналогично, если рассматривать стационарную задачу, для которой максвелловское распределение не является решением, то интеграл \ d*Q/T0 должен быть обязательно отрицательным; это вполне естественно, потому что если f не максвелловская,
10. РАВНОВЕСНЫЕ СОСТОЯНИЯ PI МАК.СВЕЛЛОВСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 165 то столкновения порождают энтропию, которая должна уно- уноситься посредством надлежащего теплообмена с окружающей средой. Таким образом, если газ находится между двумя па- параллельными пластинами с температурами Го, и Го2, Т$х > 7'о,, то должен существовать тепловой поток от пластины 1 к плас- пластине 2, такой, что (d*Q)i<0, (d*QJ = — (d*Q) l < 0 и J dV/To - \ (d*Q)} (Го, - ToWoPo,) < 0; это, конечно, одна из элементарных иллюстраций второго на- начала термодинамики. Более частными, чем стационарные состояния, являются равновесные состояния, которые определяются как стационар- стационарные состояния без обмена энергией с окружающей средой. Из Я-теоремы при d*Q = 0 вытекает Следствие I, В равновесном состоянии функция распре- распределения должна быть максвелловской. В частности, обмен энергией на стенке всегда отсутствует при зеркальном отображении. Следовательно, как частный слу- случай имеем Следствие II. Когда газ ограничен зеркально отражаю- отражающими стенками, не существует никаких стационарных решений уравнений Больцмана, кроме максвелловских функций распре- распределения (описывающих равновесные состояния). Этот результат, конечно, неприменим для более реалистиче- реалистических граничных условий. Попытаемся найти наиболее общую максвелловскую функ- функцию распределения, которая удовлетворяет уравнению Больц- Больцмана. Добавим для общности силовой член, как в (II. 8.21), и, запишем !r + *"S- + x-f = Qtf.fl. A0Л) Если / — максвеллиан, то Q(f, /) = 0 и, согласно (П. 7.2), In / = а + Ъ • I + cl2 = а + bktk + с|2, A0.2) где a, bk и с — подлежащие определению функции / и х. Под- Подставляя A0.2) в A0.1), имеем J?fL 4-? dbk I- г2 дс 1 * да 1 г г dbk 1 dt ~t~ $k $1 i~ s ^ -f- & ^x -f- t^&k дх \ ? & = 0; A0.3)
166 1П. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ГАЗА С ПОВЕРХНОСТЬЮ И //-ТЕОРЕМА здесь, как обычно, подразумевается суммирование по повто- повторяющимся индексам от 1 до 3. Приравнивая коэффициенты при различных степенях g, по- получаем ^ + Xibi = 0, A0.4) ^- + ¦^ + 2^-0, A0.5) дс Л . 1 / dbk , dbt \ п /in а\ C/ ift ' 2 \^ ^^ ' dxk) ' х J Дифференцирование равенства A0.6) по х,- с учетом A0.7) дает Переставляя индексы в A0.8), имеем также дх.дх, дх. дх, ' Если сложить два уравнения A0.9) и вычесть из результата A0.8), то после сокращения на 2 получится d2bj dxt dxk = 0. A0.10) Так как все вторые производные каждого bj равны нулю, то bj имеют вид 6У(/, х) = ау(/) + Р//@^. A0.11) Уравнение A0.6) тогда принимает вид (согласно A0.7), с не зависит от координат) 7F^ + |(P« + ft*) = 0. A0.12) Следовательно, K=-^r^ik + ^ik{t), A0.13) где сог/i = —со/п — антисимметричный декартов тензор. Подставляя в A0.5) выражения A0.11) и A0.13), имеем da, d2c da,, да
10. РАВНОВЕСНЫЕ СОСТОЯНИЯ И МАКСВЕЛЛОВСКИЁ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 1б7 Дифференцируя по х\ и вычитая полученное уравнение из такого же уравнения, в котором переставлены индексы i и й, получаем (а*, с и <ow не зависят от координат) дХь dX о.. Следовательно, где ф = ф(^, х)—потенциал. Иначе говоря, внешняя сила не вполне произвольна: она должна быть суммой консервативной силы и неконсервативной силы весьма частного вида, линейно зависящей от координат (декартовых). Подставляя в уравнение A0.14) выражение A0.16), по- получаем da. d2c да дф -ir—IF^ + JTk-2cirk-0' A0Л7) откуда 1 d2c dah a = 2c<f(t, x)+-24Fx2--Jtxk + y(t)) A0.18) где y(t)—постоянная интегрирования, являющаяся произволь- произвольной функцией времени, а х2 = х{х{. Наконец, нужно удовлетворить уравнению A0.4). Подстав- Подставляя в это уравнение выражения A0.18), A0.11), A0.13), на- находим dep dc дф 1 dzc n d2ah dy I d(an 1 + +Ь A0Л9) Уравнение A0.19) можно рассматривать либо как уравнение в частных производных для потенциалов, совместимых с локаль- локальным максвелловским распределением, при произвольно задан- заданных величинах c = c(t), со^ = co^@ = — со^, а^ = а/г(/)» У = = у@» либо как ограничение, наложенное на эти последние величины при заданном потенциале. Важный частный случай имеет место, когда внешние силы допускают стационарный потенциал. Из A0.16) тогда следует, что (Okj постоянны, а A0.19) сводится к уравнению dc дф 1 d^c o d2a, dy 2?b 2+ A02°)
168 Ш. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ГАЗА С ПОВЕРХНОСТЬЮ И //-ТЕОРЕМА Предположим теперь, что потенциал ср четырежды диффе- дифференцируем в некоторой окрестности. Дифференцируя уравнение A0.20) последовательно по xh xm и хП9 имеем р- д3Ф dc E3ф а3ф дх1дхтдхп dt дх1дх1дхт Ы dx[dxldxk- Lm ^3Ф d4cp ( dc , Л Л /1ЛПП — "т =5 =;— wr/ — ~ л л ~л—" ! а/ ТТ %i \ ®ikXk I = U. ( lU.Zl) дХ1 дхш дХп • ОХ1 дХ1 дХпг дхп ^ dt } Это система десяти однородных линейных уравнений для семи неизвестных: dc/dt, со^ C различных компоненты), а* C компоненты). Детерминант, вообще говоря, отличен от нуля (заметим, что коэффициенты меняются от точки к точке, в то время как неизвестные функции не зависят от координат). Сле- Следовательно, можно заключить, что если потенциал не имеет какого-либо специального вида (такого, например, что третьи производные всюду обращаются в нуль), то сог-/г = 0, аг-= 0, с = const и в силу уравнений A0.20) и A0.18) а = 2сср(х) -f у, где с и у — постоянные. Поэтому для достаточно общих стацио- стационарных потенциалов единственно возможными максвелловскими решениями уравнения Больцмана являются стационарные макс- велловские распределения; если к тому же нет обмена энергией с окружающей средой, то любое заданное начальное состояние будет стремиться к равновесному состоянию с максвелловским распределением (так называемым барометрическим распределе- распределением или распределением Максвелла — Больцмана): f = ехр [2сФ(х) + Y + eg] = роехр[- j^- - -^-], A0.22) где Т = —BRc)~l—(постоянная) температура газа, а ро = еу — плотность в точке, где ср = 0. Рассмотрим теперь потенциалы с равными нулю третьими производными (это включает случай отсутствия внешних сил). Тогда ф == А(Х1 + у Blmxtxm9 A0.23) и из уравнения A0.20), приравнивая коэффициенты при соот- соответствующих степенях, получаем dc d'2a. А В f A0.24) im~cTt 2 ^ li itn'{ dt6
10. РАВНОВЕСНЫЕ СОСТОЯНИЯ И МАКСВЕЛЛОВСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 169 Это система десяти дифференциальных уравнений с восемью ¦неизвестными: у, аг-, с, щт. Несмотря на это, система имеет не- нетривиальные решения в случае, когда члены второго порядка изотропны, Вц = Вбц. В этом случае последнее из уравнений A0.24) сводится к единственному условию которое дает с = с0 + с{ cos B Vfi 0 + c2sin B л/lit), A0.26) где с0, с\, с2 — константы. Второе из уравнений A0.24) прини- принимает вид d2a. dc 2 А. / d3c dc ^ + B 2AA ^( + B A0.27) где последнее выражение получается с помощью A0.25). Урав- Уравнение A0.27) легко решается: 2 A. dc А.®,. / /— ч / / ч Щ = - -д- -?- Тп У1 + с3 cos (Vfi t) + с4 sin (л/В t); A0.28) здесь с3 и сА — константы, тогда как c(t) дается выражением A0.26). Первое из уравнений A0.24) записывается так: dy 1 • / d2a. dc\ 4T = Aial=1TAl(--1If + 2Ai-), A0.29) откуда У = - ~вА1ЧГ + 4 А^с + с*> A0-3°) где с^ — константа, а а* и с определяются формулами A0.26) и A0.28). Этот результат, принадлежащий Больцману [37], показывает, что в гармоническом поле равновесие не обязательно дости- достигается. Согласно A0.26), A0.29) и A0.28), плотность, скорость и температура осциллируют с собственной частотой поля или с удвоенной его частотой. Другой частный случай получается при отсутствии поля, Btm = At = 0. Тогда уравнения A0.24) дают dy - г/2а' - d6c -о по яп так что Y = Yo, а/=а/о + ап7, с == с0 + cxt + Ы2, A0.32) где Yo, otio, Co, an, ^i, c2 —константы. Особенно интересная си- ситуация возникает при поисках стационарного решения; тогда
170 HI. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ГАЗА С ПОВЕРХНОСТЬЮ И //-ТЕОРЕМА С\ = С2 = ац = 0 и равенства A0.2), A0.11), A0.18) приводят к выражению f = exp (yo + «о * ъ + (ujixilf + cl2) = = р BnRT)-% exp [- {l~Rf], (Ю.ЗЗ) где температура Т = — BRc)~] постоянна, и если vQ = RTaQj СО = RT{(U23> ©31, ©12). ТО V = V0 + G) ЛХ, / ©г A0.34) = роехр {) где г—расстояние от оси вращения, а ро — плотность при г = 0 (чтобы получить последнее выражение в A0.33), нужно в ка- качестве v0 взять скорость оси вращения, принятой, например, за ось z). Таким образом, наиболее общее стационарное максвеллов- ское распределение при отсутствии объемных сил описывает газ при постоянной температуре, жестком движении и плотности, заданных в виде A0.34); пространственное изменение плот- плотности отражает центрифугирование газа вследствие вращения. Эти результаты вместе с тем фактом, что при наличии зер- зеркально отражающих стенок единственными стационарными решениями являются максвелловские распределения (след- (следствие II), показывают, как мал класс стационарных задач, для которых может применяться предположение о зеркальном отра- отражении. Для более общих граничных условий на максвелловское распределение будут накладываться дальнейшие ограничения; следовательно, это распределение при наличии реальных гра- граничных условий является скорее исключением даже в стацио- стационарных (неравновесных) состояниях. Закончим этот раздел вычислением Н в равновесном со- состоянии, чтобы доказать равенство (9.11). Как было показано, в равновесном состоянии f задается выражением A0.33). Из формул (9.5) и (9.1) получаем (предполагая, что р и Т по- постоянны) Н = In [р Bя/?ГГя/1] \ f dl dx - BRTf] $ c2f d$dx = = M In [p Bя/?Г)~"/1] - у М = = - M In (rv7p) + [- у M InBnR) -^m], A0.35) где M — полная масса газа. Энтропия ц одноатомного газа равна т, == RM In (Т77р) + const, A0,36)
ПРИЛОЖЕНИЕ \7\ где константа может зависеть от полной массы газа, но не от его состояния. После надлежащей и допустимой идентификации аддитивных постоянных отсюда получается соотношение (9.11), что и требовалось доказать. Приложение В настоящем приложении дается краткий обзор основных сведений о полиномах Эрмита и Лагерра. Эги полиномы лучше всего определить при помощи разложений в степенные ряды так называемых производящих функций: оо ехр(- г2 + 2хг) = ? ~ Нп (х), (П. 1) A - г)'1 ехр [- (xz)/(l - г)] = ? znLn (x). (П. 2) Иначе говоря, /7.-й полином Эрмита, Нп(х) по определению представляет собой умноженный на п\ коэффициент при zn в разложении ехр(—z2 -f- 2xz) в степенной ряд, а /2-й полином Лагерра, Ln(x),— коэффициент при zn в разложении A—г)-1ехр[—(xz)l(\—z)] в степенной ряд. Тот факт, что Нп{х) и Ln(x) действительно являются полиномами степени п, очень легко проверить при помощи формул (П.1) и (П.2), из которых можно также получить явные выражения для Нп и Ln. В частности, H0(x)=l, Hl(x) = 2x, H2 = 2x*-U IoW=l, Lx(x)=l-x. ( * } Ряд (П.1) сходится для любых комплексных г, а ряд (П. 2) для |z|<; 1 (что сразу следует из сингулярности в левой части (П.2) и отсутствия сингулярности в левой части (П.1)). Заме- Заметим, что левая часть (П.1) инвариантна по отношению к пре- преобразованию х, z->—х, —z. Следовательно, так что полином Эрмита имеет четность своего собственного индекса. Если умножить (П.1) на то же самое выражение с zr вме- вместо z, а затем умножить результат на ехр(—х2) и проинтегри-
172 III. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ГАЗА С ПОВЕРХНОСТЬЮ И Н ТЕОРЕМА розать по х 01 —оо до оо, то получится оо .ПТГ \ HnMHn'(x)e-*dx = п—0 /г/==0 — оо оо ^ г2 — 2/2 + 2л-2 + 2xz' - х2 со оо = ^ ехр (— г2 — 2/2 + 2л-2 + 2xz' - х2) dx = ехр [- (л: - г - z'f\ dx = п=0 Сравнение двух степенных рядов, входящих в (П.4), пока- показывает, что со Нп (х) НП' {?) е-* dx = л/л /г! 2'г6,Ш'. (П. 5) Из (П.5) следует, что полиномы Эрмита ортогональны по мере exp(—x2)dx. Если теперь взять выражение (П. 1) с г = рехр(цр), умно- умножить его на такое л^е выражение с у вместо х и z = рехр(—кр) вместо г, а затем умножить результат на р ехр (—p2/s) и проин- проинтегрировать от ср = 0 до 2л и от р = 0 до оо, то получится •? = $ $ ехр [— р2/5 — р2 {e2h? + е~2и*) + 2р (хек? + уе~^)] р rfp dcp = о о со 2л оо = ^ -^т Нп (х) НП' (у) J e' {n-»r) ¦ сГф \ р«+»'- <е-^ dp = а, «'=0 О О со оо 1Ш Нп {х) Нп' <УJл5««' \ Ры+{е~^ dp = (П. 6) Интеграл & в (П. 6) легко взять, перейдя от полярных коор- д:1 -;.]т р, ср к декартовым координатам j/ = pcoscp, v = pslncpy
ПРИЛОЖЕНИЕ 173 так как тогда имеем оо со 2 (х + у) и + 2/ {х - у) и] du dv — оо —оо х Vl-4s2 Ч l+2s 1 — 2s здесь был использован известный интеграл (П. 7) ~а^-^с1и = л/ф^. (П. 8) Сравнивая два выражения для 3 и сокращая на общий мно- множитель jts, получаем Это очень важная формула для работы с операторами, соб- собственными функциями которых являются полиномы Эрмита. Це- Целесообразно заменить 5 на 5/2 и переписать (П.9) следующим образом: оо У — Нп (х) Нп {у) = -1J= ехр Р{х + vY - s {х ~ уУ~] (П. 10) Полагая, в частности, s->l, видим, что сходимость в обыч- обычном смысле отсутствует; однако имеет место сходимость в смысле обобщенных функций, и в этом смысле оо ЧГ Я« W Нп (у) = л/я e-*"fi (* - 0), (П. 11) что доказывает полноту системы полиномов Эрмита.
174 III. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ГАЗА С ПОВЕРХНОСТЬЮ И Я-ТЕОРЕМА Далее, если (П.2) умножить на такое же выражение с zf вместо г, а затем умножить результат на е~х и проинтегриро- проинтегрировать по х от 0 до со, то получится оо оо оо znz'm J Ln{x)Lm(x)e-*dx = = т-Л-г = У 2"z/n. (П. 12) о Сравнение двух рядов в этом равенстве показывает, что a(dLmiAe-*dx = ham, (П. 13) откуда следует ортогональность полиномов Лагерра на полу- полуоси @, оо) по мере e~xdx. Положим теперь в (П.10) x = pcoscp, r/ = p1coscpi, умно- умножим его на такое же выражение с х = psincp, у = pi sin ф1 и проинтегрируем по ерь Тогда п=0 cos (П. 14) где последнее выражение получается заменой ф! на ф1 + ф с учетом периодичности подынтегрального выражения. Правая часть (П. 14) не зависит от ф; следовательно, суммы п Sn (Р, Pi) = -g/f k\(n — k)\ k=0 X \ ЯЛ(р1СОЗф1)ЯЛ-Л(р18|'Пф1)с(ф1, (П. 15) «j о
приложение 175 являющиеся коэффициентами разложения правой части (П.14) в степенной ряд по s, тоже не зависят от ср. Таким образом, проинтегрировав обе части (П.15) от 0 до 2л, получим другое выражение для Sn(p, pi), симметричное по р, рь п 2я 2л Sn (P, Pi) = ^г Yj k\(n-k)\ 1^\ \Hk(P cos ф) Hn-k (p sin ф) X k = 0 0 0 ХЯл(р1зтф1)Яп-л(р1со8ф1)^фйф1=5п(р1, р). (П. 16) При замене ф на ф + л интегралы должны остаться неиз- неизменными, так как интегрирование проводится по периоду подын- подынтегрального выражения; с другой стороны, превращаются в (— 1 )п Hk (p cos ф) Hn-k (p sin ф) в силу свойства четности полиномов Эрмита. Следовательно, Snip, Pi) — —Sn(p, Pi) Для нечетных /г, так что S2m+i(p, Pi) = 0 (m = 0, 1, ...)• (П. 17) Теперь фиксируем р} и будем менять р. Из (П.16) ясно, что S2m(p, Pi)—полином, содержащий только четные степени р и имеющий степень 2т и, таким образом, являющийся (нену- (ненулевым, за исключением конечного набора значений pi) поли- полиномом степени т по р2. Применим формулу (П. 15) для вычисления интеграла оо 2л О О 1 X X сх> J — оо 2Л [ н 2м СХ) J / — СХ) Лр\ 2т Ik i*) t СОБфО B/2 - k] lh (x) H H2n~k 1 )! h\ {2m - 2n-k(y)H (р^ШфО v /2)' '2m-/j A ^iX 2л X \ Ял (Pi cos ф2) H2m~h (pi sin ф2) ^ф2, (П» 18) о
176 П1. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ГАЗА С ПОВЕРХНОСТЬЮ И Я-ТЕОРЕМА где произведена замена полярных координат р, ср на декартовы х = р cos ср, у = р sin ф. Воспользуемся теперь независимостью Sn(p, PiMm(p, pi) от ф, а также соотношением (П. 5); это даст оо 2 J S2n (р, р,) S2m (р, р,) е-<*р ф = Ф (р,) Ьпт, (П. 19) О где 2п 2Я 2я ф (ро=-^г Yj fei(/z-/g)i S Sя* (pi cos ф^Я2*-*(pi sin ф1^х /e=0 ' 0 0 X Hk (p! cosф2) H2m-k(p[ sinф2) ^ф! dy2 (П. 20) И ПРИНЯТО ВО ВНИМаНИе равеНСТВО Skh&2n-k,2m-h= Sfe/iSnm. Из (П.19) следует, что при фиксированном pi полиномы 5гп(р, pi) по р2 ортогональны по мере 2pe~p2rfp, так что полино мы Pft(#) = S2/i(V* > Pi) °Ртогональны по м^ре e—xdx. Однако последовательность полиномов всех степеней, которые ортого- ортогональны по данной мере, определяется с точностью до некото- некоторого множителя, поскольку они легко строятся рекуррентно (методом Грама — Шмидта). Следовательно, полином Рп(х) = = S2n('\/x, рОпри любом фиксированном pi должен быть про- пропорционален Ln(x), так что имеем 52n(p, pi) = Qn (p\)Ln (p2). С другой стороны, 52n(p, pi) = 52п(рьр); значит, Qn(pi) дол- должен совпадать с ^fl(p2) с точностью до постоянного множителя kn. В результате имеем Эта формула устанавливает связь между полиномами Эрмита и полиномами Лагерра. Тогда с учетом соотношений (П. 15) и (П.21) формула (П. 14) принимает следующий вид: 1л*А(р2)- n=0 Для того чтобы вычислить константы kn, положим pi = р и проинтегрируем обе части равенства (П.22) по р, предвари- предварительно умножив его на е~р22р dp.
ПРИЛОЖЕНИЕ 177 Используя (П. 13) с т = п и х = р2, получаем со 2Я 1 Г Г / 2so2 °s' \ 2п/еп = 1 __ ^2 \ \ exp f — р2 — 1 _^., + 1 ~_ s2 p2 cos ф J 2o dp dq = 2 tl = Q 0 0 2л = Lf 1 - S2 J L ^ 1 - S2 J 1 + 252 A - S2)-1 — 25 A - Я2)'1 COS ф где последнее выражение следует из разложения A—s2)-1. Сравнение коэффициентов двух рядов в (П.23) показывает, что kn = 2я. Если еще заменить s2 на s, то формула (П.22) запи- запишется в виде п = 0 <П.24) Здесь /о — модифицированная функция Бесселя нулевого по- порядка первого рода [38], которую можно определить с помощью интегрального представления 2я /о (х) — -^ j exp (x cos ф) йф. (П. 25) о Равенство (П.24) является основным соотношением при ра- работе с полиномами Лагерра. Если положить s->l, то получим в смысле теории обобщенных функций ЕоК (р2) Ln (pf) = е'Ъ (р2 - Р2), (П. 26) что доказывает полноту системы L.n(x). Соотношение (П.26) легко проверить, заметив, что правую часть формулы (П.24) можно записать в виде X i \ Т=7 схР[~ Т^Т (р' + Р> - 2рр> coscp)] rffP'
178 HI. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ГАЗА С ПОВЕРХНОСТЬЮ И Я ТЕОРЕМА где подынтегральное выражение положительно и стремится к нулю при s -> 1, за исключением случая, когда р2 + р2 — 2ppjX X cos ф = 0, т. е. когда р=рь ср = 0. С другой стороны, полагая к = р cos ф, у = р sin ф, имеем \ \ T^F ехр [- -р~ (р2 + р? - 2РР| cos Ф)] d (р2) ЙФ = о о ОО СО = 2 ( [ ,s ехр\ — , [(а: — р{J + у2] \dxdy = 2я. (П. 28) JJI— 5 V 1—5 ) — со —оо Следовательно, при s-> 1 подынтегральное выражение в (П. 27) стремится к 2яб(р2 — р2) 6(qp). Так как множитель вне интеграла в (П.27) стремится к легко вычисляемому конечному пределу, получаем s, р, Р1) = и соотношение (П.26) подтверждается. Из свойств полиномов Эрмита и Лагерра заключаем, что полиномы \|)/mn от компонент ln, tt, ^ вектора скорости, опре- определенные равенством F.14) основного текста: /тп (I) = (ml п\ 2т2п)-Ъ U (-^~) Ит {-jhJ] Hn тп V Ч 2RT) т\ л/2ЯТ ) п (П. 30) удовлетворяют соотношению 5 ¦/«««) ¦,w (9 fо © 16 •" I« = б;гбшт,б„„, (П. 3D Кроме того, из формул (П. 10) и (П. 24) следует, что имеет место равенство Z, т, п. A — р) V(i Р ъп ^ ьп 1 - р 2RT0 0 n 0 J "^ 2A+5) 2RT0 2A -s) dpi, kNs|< 1), (П.32) т. е. формула F.15) основного текста,
список литературы 179 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ [1] Cercignani С, in "Transport theory" (Birkhoff G. et al., eds.), SIAM- AMS Proceedings, vol. I, p. 249, Providence, AMS, 1968. [2] Cercignani C, Mathematical methods in kinetic theory, New York, Ple- Plenum Press, 1969; русский перевод: Черчиньяни К., Математические ме- методы в кинетической теории газов, М., «Мир», 1973. [3] Kuscer I., in "Transport theory conference", AEC Rep. ORO-3858-1, Blacksburg, Va., 1969. [4] Cercignani C, Lampis M., Transport Theory and Statistical Physics, 1, 101 A971). [5] Kuscer I., Surface ScL, 25, 225 A971). [6] Cercignani C, Transport Theory and Statistical Physics, 2, 27 A972); русский перевод: сб. Механика № 6 A48), 38—56 A974). Lebowitz J. L., Frisch H. L, Phys. Rev., 107, 917 A957). Bergmann P. G., Lebowitz J. L., Phys. Rev., 99, 56 A955). Lebowitz J. L, Bergmann P. G., Ann. Phys., N. Y., 1, 1 A957). [10] Darrozes J., Guiraud J. P., Compt. Rend. Ac. ScL, A262, 1368 A966). [11] Maxwell J. C, Phil. Trans. Roy. Soc, I, Appendix A879); перепечатано в The scientific papers of J. С Maxwell, New York, Dover, 1965. [12] Shen S. F., Kuscer I., in "Rarefied gas dynamics" (Dini et al., eds.), vol. I, p. 109, 1974. [13] Gross E. P., Jackson E. A., Ziering S., Ann. Phys., N. Y., 1, 141 A957); русский перевод: сб. Механика, № 5 E1), 33—55 A958). ру р [14] Shen S. F., Entropie, 18, 138 A967). [15] Cii C Li M "R Cercignani С, Lampis M., in "Rarefied gas dynamics" (Karamcheti K., ed.), p. 361, 1974. Epstein M., AIAA Journal, 5, 1797 A967). Goodman F. O., Phys. Chem. Solids, 23, 1269 A962). Goodman F. O., Phys. Chem. Solids, 23, 1491 A962). Goodman F. O., Phys. Chem. Solids, 24, 1451 A963). Goodman F. O., Surface ScL, 7, 391 A967). Trilling L, Surface ScL, 21, 337 A970). Logan R. M., Stickney R. E., /. Chem. Phys., 44, 195 A966). Logan R. M., Keck J. C, /. Chem. Phys., 49, 860 A968). Logan R. M., Keck J. C, Surface Sci., 15, 387 A969). [25] Соболев С. Л., Уравнения математической физики, М.—Л., ГИТТЛ, 1950. Williams M M. R., /. Phys., ser. D. Appl. Phys., 4, 1315 A971). Kuscer I., Mozina J., Krizanic F., in "Rarefied gas dynamics" (Dini et al., eds.), vol. I, p. 97, 1974. [28] Cercig-nani C, in "Rarefied gas dynamics" (Dini et al., eds.), vol. I, p. 75, 1974. [29] Hinchen J. J., Foley W. M., in "Rarefied gas dynamics" (de Leeuw J. H., ed.), vol. II, p. 505, New York, Academic Press, 1966. [30] Schamberg R., Proc. 1959 Heat Transfer and Fluid Dynamics Institute, p. 1, Stanford Univ. Press, 1959. [31] Nocilla S., in "Rarefied gas dynamics" (Talbot L., ed.), p. 169, New York, Academic Press, 1961. [32] Nocilla S., in "Rarefied gas dynamics" (Laurmann J. A., ed.), vol. I, p. 327, New York, Academic Press, 1963; русский перевод: сб. «Взаимо- «Взаимодействие газов с поверхностями», М., «Мир», 136—153, 1965. [33] Knudsen M., Ann. der Phys., 34, 593 A911). [34] Grad П., in "Handbuch der Physik", Band XII, S. 205, Springer, 1958; русский перевод: сб. «Термодинамика газов», М., «Машиностроение», 109, 1970. [35] Коган М. Н., Динамика разреженного газа, М., «Наука», 1967.
180 1П. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ГАЗА С ПОВЕРХНОСТЬЮ И //-ТЕОРЕМА [36] Chapman S., Cowling T. G., The mathematical theory of non-uniform gases, Cambridge Univ. Press, 1952; русский перевод: Чепмен С, Кау- линг Т., Математическая теория неоднородных газов, М., ИЛ, 1960. [37] Boltzmann L., Wissenschaftliche Abhandlungen (Hasenorl F., ed.), Band II, S. 83, Leipzig, J. A. Barth, 1909; русский перевод: Больц- ман Л., Лекции по теории газов, Д'\., Гостехиздат, 1956. [38] Watson G. N., A treatise on the theory of Bessel functions, Cambridge Univ. Press, 1958; русский перевод, изд. 1945 г.: Ватсон Г., Теория бесселевых функций. Ч. 1, Ч. 2, М., ИЛ, 1949. [39] Jensen J. L. W. V., Ada Mathematica, 30, 175 A906). [40] Zygmund A., Trigonometrical series, p. 67, New York, Dover, 1955; рус- русский перевод: Зигмунд А., Тригонометрические ряды, М., «Мир», т. I, т. II, 1965 (стр. 45 т. I). [41] Rudin W., Real and complex analysis, London, McGraw-Hill, 1970. [42*] l) Barantsev R. G., Some problems of gas-solid surface interaction, Pro- Progress in Aerospace Sci., vol. 13, 1—80, 1972. [43*] Баранцев Р. Г., Взаимодействие газов с поверхностями, в кн. «Итоги науки и техники. Гидромеханика», т. 6, М., ВИНИТИ, 5—92, 1972. [44*] Коган М. Н., Макашев Н. К., О граничных условиях для течений с хи- химическими реакциями на поверхности, Механ. жидкости и газа, № 1, 129—138 A972). [45*] Климонтович Ю. Л., Я-теорема Больцмана для неидеалыюго газа, Ж. экспер. и теор. физики, 63, № 1, 150—156 A972). [46*] Луцет М. О., О течении релаксирующего газа вблизи твердой поверх- поверхности, Ж. прикл. механ. и техн. физ., № 4, 33—39 A973). [47*] Филиппов Б. В., Аэродинамика тел в верхних слоях атмосферы, Л., пзд-во ЛГУ, 1973. [48*] Богданов А. В., Сергеев В. Л., Эйкональная модель отражения атома газа от кристаллической поверхности, Вестник ЛГУ, № 19, 69—72, A974); Индикатриса рассеяния атома газа на кристаллической поверх- поверхности в эйкональном приближении, в кн. «Аэродинамика разреженных газов», вып. 7, Л., изд-во ЛГУ, 71—76, 1974. [49*] Пярнпуу А. А., Взаимодействие молекул газа с поверхностями. М., «Наука», 1974. [50*] Barantsev R. G., Gas-surface interaction and free molecular interference, Rarefied gas dynamics, Proc 9th Intern. Symp., Gottingen, E2-1-E2-16, 1974. [51*] Steele W. A., The interaction of gases with solid surfaces, Oxford, Per- gamon Press, 1974. [52*] Kuscer I., Boundary conditions in linear kinetic theory, Colloques Intern. С N. R. S., № 236, 59—70, 1975. [53*] Kuscer I., Vidav I., Properties of surface scattering operators, ZAMP, 26, № 2, 165—171 A975). [54*] Nahr H., Atomic scattering, Surface science, Lectures, vol. II, 9—62, 1975. [55*] Waldman L., Vestner H., On the theory of boundary conditions, Physica, 80Л, No. 6, 523—549 A975). [56*] Кузнецов В. М., Кузнецов М. М., О граничных условиях для течений многоатомных газов, Ж. прикл. механ. и техн. физ., № 4, 93—102 A975). [57*] Goodman F. О., Wachman H. Y., Dynamics of gas-surface scattering, New York, Academic Press, 1976; готовится к печати русский перевод (пзд-во «Мир»). [58*] Москалев О. Б., Я-теорема Больцмана для газа в термостате, Докл. АН СССР, 232, № 3, 521—523 A977). [59*] Цибаров В. А., О граничных условиях для уравнений аэромеханики и параметрах граничной функции рассеяния на химически активной по- поверхности, Вестн. ЛГУ, № 1, 120—126 A977). 1) См. также список литературы к части I дополнения. — Прим. ред.
IV Линейная теория переноса 1. Линеаризованный оператор столкновений Из-за нелинейного характера столкновителы-юго члена реше- решение и анализ уравнения Больцмана связаны со значительными трудностями. В разд. 10 гл. III был исследован весьма частный класс решений, а именно максвелловские распределения. Смысл этих распределений ясен: они описывают равновесные состоя- состояния (или несколько более общий класс состояний, характери- характеризующихся отсутствием теплового потока и вязких напряжений). Для того чтобы описать более реальные неравновесные состоя- состояния, когда имеются вязкие напряжения и теплоперенос, прихо- приходится полагаться на приближенные методы. Часть наиболее действенных методов решения основана на теории возмущений: выбирается параметр 8, который в некото- некотором классе задач может быть малым, и функция распределения / раскладывается в ряд по степеням 8 (или, в более общем виде, по функциям ап(е), таким, что lim on+l (г)/оп(г) = 0). Получаю- 8>0 щееся разложение, которое является, вообще говоря, не обяза- обязательно сходящимся, а лишь асимптотическим решением уравне- уравнения Больцмана, дает полезные сведения для некоторого интер- интервала малых значений 8 (иногда большего, чем можно было бы ожидать). Существует много вариантов теории возмущений, соответ- соответствующих различным способам выбора е. В этом разделе мы намереваемся изучить общие свойства любого метода возмуще- возмущений применительно к оператору столкновений Q ()\ /), ограничи- ограничиваясь степенным разложением по е: оо f=Ze"/n. A.1) /2 = 0 Подставляя это разложение в Q (/, /) и принимая во внима- внимание квадратичность оператора столкновений, а также правило Коши для произведения двух рядов, находим Q(f,/) = !>* Ео(/Ь fn.k), A.2) 0 k 0
182 IV. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕНОСА где Q(f,g)—билинейный оператор, определенный формулой (II. 6.2). Симметрия полученного выражения обусловлена тем, что можно комбинировать члены с к — k0 и к = п— k0 (для любого к0, 0 <; k0 ^ п). Выражение A.2) показывает, что разложение / в ряд по сте- степеням е приводит к аналогичному разложению столкновитель- ного члена, коэффициенты которого равны Qn=tQ(fk, fn-k). A.3) Многие разложения теории возмущений, которые применяют- применяются к уравнению Больцмана, обладают тем свойством, что чле- членом нулевого порядка в них служит максвелловское распреде- распределение или как решение уравнения нулевого порядка, или как следствие предположений, лежащих в основе метода возмуще- возмущений. Ограничиваясь далее этим случаем, заметим, однако, что параметры максвеллиана (плотность, массовая скорость и тем- температура) могут произвольным образом зависеть от времени и координат (при этом он, вообще говоря, не является решением уравнения Больцмана), но это можно не принимать во внима- внимание при рассмотрении оператора столкновений, поскольку он не затрагивает зависимости функции / от координат и времени. С учетом принятого допущения имеем (см. разд. 7 гл. II) Q(fo, fo) = O, Q0 = 0. A.4) Отметим теперь, что величины Qn (n^l), согласно A.3), представляются следующим образом: Qn = 2Q(/о, L) + Е Q(fk, fn-k) (n>l), A.5) k=i причем первое слагаемое соответствует значениям к = 0 и к = п в A.3), а второй член включает в себя //< при к <С п и, следовательно, известен на п-м шаге теории возмущений (в ча- частности, он равен нулю при п= 1). Поэтому оператором, кото- который нужно рассматривать, является линейный оператор 2Q (fo, fn), действующий на неизвестную функцию fn\ остальную же часть можно считать членом типа источника (обозначим его че- через foSn). Обычно полагают fn = fohn и hn рассматривают как неизвестную; тогда выражение A.5) записывается в виде Qn = hLK + hSn, A.6) где, по определению, линеаризованный оператор столкновений L дается формулой Lh = 2/о" 'Q (/о, Ш = -^ J f0. (К + h' - К - h) X ХВ{в, V)dl,dedQ. A.7)
1. ЛИНЕАРИЗОВАННЫЙ ОПЕРАТОР СТОЛКНОВЕНИЙ 183 Второе выражение получено с учетом формулы (II. 6.2) и того факта, что /о, будучи максвеллианом, удовлетворяет урав- уравнению (П. 7.7). Используя свойства Q(f,g) и определение оператора L, по- получим некоторые основные свойства L. Если записать соотно- соотношение (II. 6.12) при / =/о, g = foh и ф = g, то будем иметь J fogLh dl = 2 \gQ (/0, № dl = - -^ \ /0/0+ (К + Ы -K-h)X X (g[ + ?'- g^ -§)В (в, V) d^ dl de d6. A.8) Это выражение показывает, что при перемене местами g и h интеграл переходит в комплексно сопряженную величину (и, следовательно, остается при такой перемене неизменным, если g и h вещественны). Поэтому естественно ввести гильбертово про- пространство Ж [1—5], в котором скалярное произведение (g,h) и норма ||/ill определяются формулами (?, А) = $ /о (Ю g (Ю А (Ю dg; || h ||2 = (A, h). A.9) Тогда соотношение A.8) принимает вид (g, Lh) = (Lg, A), A.10) и, следовательно, оператор L — самосопряженный (здесь g и h принадлежат области определения L). Полагая в A.8) g = h, получаем (A, LA)=-1ir5|A: + A'-A,-A|2flF> l/Jdldg^dede, A.11) и, так как fi@, V) > 0, имеем (A, LA)< 0, A.12) причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда ве- величина, квадрат которой стоит в подынтегральном выражении, равна нулю, т. е. когда А является инвариантом столкновений. Соотношение A.12) означает, что L — неположительный опе- оператор в Ж Если выражение A.11) равно нулю, т.е. если А — инвариант столкновений, то из A.7) следует, что Lh = O; A.13) обратно, умножив скалярно это равенство на А, согласно A.9), получим (A, LA) = 0, A.14) а это означает, что А — инвариант столкновений. Таким обра- образом, инварианты столкновений if>a (и только они) являются соб- собственными функциями оператора L, соответствующими собствен- собственному значению Я = 0; все другие собственные значения, если
184 IV. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕНОСА они существуют, в силу A.12) должны быть отрицательными. Как легко убедиться, неравенство A.12) представляет собой ли- линеаризованное неравенство (П. 7.3); действительно, если в по- последнее подставить f = fo(l -\- h) и пренебречь членами выше второго порядка (члены нулевого и первого порядков взаимно уничтожаются), то получится A.12). Отметим свойство L, выте- вытекающее из равенств La|)o = 0 (<z = 0, 1, 2, 3, 4) A.15) и A.10) (при g = tya), а именно свойство (я|>а, Щ = 0. A.16) Это линеаризованный вариант формулы (П. 8.22). 2. Линеаризованное уравнение Больцмана Как было отмечено в предыдущем разделе, значительная часть разложений теории возмущений, применяемых к уравне- уравнению Больцмана, имеет вид A.1). Результат подстановки такого разложения в уравнение Больцмана зависит от смысла параметра е. Если е не входит явно в урав- уравнение B.1), то, приравнивая коэффициенты при одинаковых сте- степенях е, получаем ^L + i-|i = Q(fo,fo). B.2) ¦%- + I--t" = QB, B.3) где Qn имеет вид A.3). Из B.2) следует, что функция f0 должна быть решением уравнения Больцмана. Так как мы не знаем других решений, кроме максвелловского (за исключением некоторых малоинте- малоинтересных), мы практически вынуждены выбрать в качестве /о максвелловское распределение; иначе начальный шаг теории возмущений будет столь же трудным, как и решение исходного уравнения. Хотя и существуют максвелловские распределения с переменными плотностью, скоростью и температурой, удовлет- удовлетворяющие уравнению Больцмана (см. разд. 10 гл. III), они имеют частный характер, поэтому в качестве /,0 возьмем макс- веллиан с постоянными параметрами. Такой выбор вполне до- достаточен для последующего анализа. Физически это означает, что изучаются случаи малых отклонений от состояния полного равновесия.
2. ЛИНЕАРИЗОВАННОЕ УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА 185 Можно положить fn = fQhn (n^l) и записать уравнение B.3) в виде д/г>1 _4_ ? • -^- =Ц 4-S B 4^ где, согласно A.5) и A.6), S, = 0, Sn = f;1 ? Q (/О/7Ь /оЛ,-.О. B-5) k= 1 Последовательность уравнений B.4) описывает алгоритм по- последовательных приближений для решения уравнения Больц- мана. Удобно, что на каждом шаге приходится решать одно и то же уравнение только с новым свободным членом, который вычисляется по предыдущим приближениям. Уравнения, кото- которые нужно решать, содержат сложный интегродифференциаль- ный оператор и по виду почти столь же сложны, как и исходное уравнение Больцмана, за тем исключением, что мы избавились от нелинейности. Поскольку на каждом шаге мы имеем дело с одним и тем же оператором, можно сосредоточиться на первом шаге и исследовать уравнение д/г . с. dh r 1 /о г-\ которое называется линеаризованным уравнением Больцмана. Наличие свободного члена в последующих шагах незначи- незначительно усложняет решение уравнений, поскольку хорошо изве- известным способом можно решить неоднородное линейное уравне- уравнение, как только мы справились с соответствующим однородным (см. разд. II). Однако практически обычно делается лишь пер- первый шаг и решается линеаризованное уравнение Больцмана вме- вместо нелинейного. Изучение линеаризованного уравнения Больцмана важно, по меньшей мере, по двум причинам. 1. Существуют условия (которые будут уточнены ниже), когда результаты, полученные с помощью линеаризованного уравнения, достаточно точно отражают физические явления. 2. Линеаризованное уравнение имеет такую же структуру (за исключением нелинейности в столкновительном члене), что и полное уравнение Больцмана; это позволяет надеяться получить ценные сведения относительно свойств решений полного уравне- уравнения, изучая линеаризованное; конечно, имеются в виду свойства, связанные не с нелинейными эффектами, а, например, с пове- поведением газа вблизи границы, для которых можно ожидать, что нелинейный характер столкновений не существен. Уточним теперь условия, при которых можно использовать линеаризованное уравнение Больцмана для получения физиче-
186 IV. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕНОСА ски интересных результатов. Поскольку параметр е, по предпо- предположению, не входит в само уравнение, следует рассмотреть на- начальные и граничные условия. Так как мы ищем решение в виде f = fo(l + h) при условии, что /i, в том или ином смысле, мало по сравнению с единицей, необходимо, чтобы h было мало и при / = 0 и на границах. Следовательно, первым условием является малость отклоне- отклонения начальных данных от основного максвеллиана Дь это не обязательно означает, что h мало всюду при t = 0, а может означать ||/i|ljC_l, где \\h\\ определена формулой A.9). В частно- частности, если р, v, T — начальные плотность, скорость и темпера- температура, а ро, Vo, ^о—соответствующие параметры в fOi то вели- величины |р — ро|/ро, \v — Vo\/(RTo) и \Т— То\/Т0 должны быть малы по сравнению с единицей. Аналогичная (хотя это менее очевидно) ситуация имеет ме- место при рассмотрении граничных условий. Если подставить / = /оA+Л) B.7) в граничное условие (III. 1.6), то получится h (х, 1, t) = /7о (х, I, t) + \ В {V -> 1; x, I) h (x, Г, /) dlf c'-n (xe=d/?, c-n>0), B.8) где с-п<0 заменяет ^-n < 0, чтобы учесть возможное движе- движение границы, и А0(х, |, /) = ^[foOlc-nir1 \ #(Г->!;х, Ofo(r)|c^. n|dr — 1, B.9) c/-n<0 В(Г->1;х, О = [/о(Ю1с-п|]/?(Г-^1; х, /)/0(Г) W • п|. B.10) Как видно из B.8), h может быть мало (в некотором смысле) лишь тогда, когда свободный член h0 тоже мал. Пусть /u?(|, x, t) (х е OR)— максвеллиан со скоростью и температурой, равны- равными скорости и температуре стенки. Тогда R (|х —> |, х, /) удовле- удовлетворяет условию (III. 3.10) с заменой f0 H^ fw и выражение B.9) можно переписать в виде \ с'-л <0 где аргументы х (x^dR) и t для краткости опущены. Из B.11) видно, что если скорость uw и температура Tw на стенках близки к скорости Uo и температуре То основного макс- максвеллиана /о» то ^о должно быть малым. Следовательно, линеа-
2. ЛИНЕАРИЗОВАННОЕ УРАВНЕНИЕ БОЛЫДМАНА 187 ризация допустима (по крайней мере формально), если отно- относительные возмущения скорости и температуры малы. Отметим также, что h0 может быть мало даже тогда, когда /о и fw не очень близки; крайний пример такого рода дает зеркальное отражение (формула (III. 1.11) с заменой §, §' на § — nWi §'— uw). В этом случае легко вычислить р. Qvn Г О \^п llwn) (иon uwn> 1 1 /q 1 o\ L /<i о J (индекс я обозначает нормальную составляющую), так что /io (формально) мало, если -<1. B.13) Это соотношение может удовлетворяться, в частности, когда вектор u0 — uw образует малый угол с касательной плоскостью в каждой точке границы (такая ситуация возникает при обте- обтекании тонкого профиля под малым углом атаки). Ясно, что ли- линеаризация еще возможна, если граница отражает не зеркально, но отклонение от зеркального отражения достаточно мало [6]. Рассмотрим более подробно случай, когда отражение моле- молекул от стенки существенно отличается от зеркального. При этом /?A'->1; х, t), вообще говоря, должно зависеть от Tw и uWi чтобы выполнялось соотношение взаимности, а величины \TW—• — 7^01/7"о и \uw — uo\BRT0)-lh должны быть малыми, чтобы ли- линеаризация была законной. Тогда удобно воспользоваться упро- упрощением, которое не влияет на точность линейного анализа. А именно линеаризуем /?A'->1; х, t) относительных малых параметров \TW — То\/Т0 и | uw — щ |/-y/2RT0. Такую линеари- линеаризацию можно провести в обеих формулах B.9), B.10). В пер- первом случае следует сохранить члены первого порядка (члены нулевого порядка взаимно уничтожаются вследствие взаимно- взаимности), а в B.10) достаточно сохранить лишь члены нулевого по- порядка, поскольку члены первого порядка в Б(|/->|; х, t) после умножения на h дадут члены второго порядка в B.8) — B.10). Нулевое приближение для /?A/->|; х, t) не зависит более от х и t (если эти аргументы и появляются, то лишь через иг^(х, t) и Tw(x, t), что обычно имеет место) и удовлетворяет тем же со- соотношениям, что и полное ядро Z?^—>§; х,/), только при этом максвеллиан стенки заменяется основным максвеллианом /о(|). В результате формулы B.8) и B.9) принимают вид /7+ = а0 + АРЫ (х е= dR), B.14) B.15)
188 IV. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕНОСА где /г+ и hr обозначают величину h для |-п >0 и |«п<0 соот- соответственно, операторы А и Р определены формулами (III. 4.14) и (III. 5.7), а Формула (III. 5.5) определяет скалярное произведение для функций, заданных на границе. Чтобы не путать его со скаляр- скалярным произведением, введенным в разд. 1, будем впредь добав- добавлять индекс В к скалярному произведению (III. 5.5), т. е. для любых функций g и /г, заданных на границе, будем писать g(l)(l)fo(l)\cn\ dl с • n >0 с • n > 0 (с E=g-u0) B.17) и аналогично для нормы, связанной с таким скалярным произ- произведением, \\gfB = (g, ё)в- B.18) Соотношения (III. 5.6) и (III. 4.17) показывают, что оператор А симметричен по отношению к рассматриваемому скалярному произведению: (g,Ah)b = {Ag9h)B, B.19) а его норма не превосходит единицы \\Ag\\B <\\gh, B.20) причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда g по- постоянна (если ядро /?(|'->§) не является дельта-функцией). Итак, мы нашли, что линеаризация формально оправдана, если неоднородные члены в начальных и граничных условиях малы. Чтобы выяснить, будут ли эти условия достаточными в строгом смысле, необходимо исследовать задачи с начальными и граничными условиями для линеаризованного уравнения Больцмана и доказать, что существует одно и только одно ре- решение данной задачи и это решение остается малым (в неко- некотором смысле), если упомянутые неоднородные члены доста- достаточно малы. Следует также доказать, что разность между реше- решениями линеаризованного и нелинейного уравнений мала п имеет более высокий порядок, когда формальные условия линеариза- линеаризации удовлетворяются. Эти вопросы будут обсуждаться в гл. VIII; здесь же будем считать формальные условия достаточными.
3. ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ БОЛЫДМАНА 189 3. Линейное уравнение Больцмана. Перенос нейтронов и излучения Рассуждения разд. 1—2 легко распространить на случай смеси многоатомных газов, исходя из уравнений (II. 4.17) и (П. 4.22) и полагая // = /о/П+й,), C.1) где foj — максвелловские распределения, отличающиеся друг от друга только плотностью и индексом внутреннего состояния и сорта /. Другая интересная возможность возникает в случае бинар- бинарной смеси, когда один из компонентов /V имеет очень малую плотность, так что столкновениями его частиц между собой можно пренебрегать по сравнению со столкновениями с части- частицами другого компонента М, которые в свою очередь являются редкими сравнительно с самостолкновениями частиц компонента М. При этом эволюция компонента Л' не влияет на состояние частиц М, в то время как его поведение зависит от состояния частиц М. Особо интересен случай, когда компонент М нахо- находится в равновесном состоянии, т. е. имеет максвелловское рас- распределение Fo; тогда функция распределения компонента N удовлетворяет уравнению + *'§ ==k\{f/nfF)B{B v)dQd*d% C-2) где т0— масса частицы М, а 5@, V) = BNM(Q, V) дается форму- формулой (II. 4.14), в которой г = г@) вычисляется из закона взаимо- взаимодействия частиц /V и М. Уравнение C.2) будем называть линей- линейным уравнением Больцмана. Частный случай уравнения C.2) уже встречался ранее в разд. 2 гл. III, где уравнение B.7) описывает поведение моле- молекул газа (компонента N), захваченных твердой стенкой (атомы которой образуют компонент М). Другими важными примерами являются перенос нейтронов в газовом замедлителе, перенос электронов в твердых телах и слабоионизованных газах и пере- перенос излучения в атмосферах звезд и планет, находящихся в ло- локальном тепловом равновесии. В этих случаях, однако, необхо- необходимы существенные уточнения, которые будут обсуждаться ниже. Уравнение C.2) удобно представить в несколько иной (и бо- более общей) форме. Для этого представим правую часть уравне- уравнения C.2) в виде разности ~ \ VF'^B @, V) dQ йг ^,- Г-L \ F0,B @, V) dQ de rfgj / (g) = C.3)
190 1V- ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕНОСА Здесь v (|) = -^- 5 f о (L) В (в, V) dd dt C.4) и /С (Г, ^^mCm + mo X б ('«I + '«ol» — тё' — то!0 X X 6 (т|2 + т0^ - т|'2 - т?*) < ___ (т + /я0J f 5 (9, V) C.5) где т — масса частицы компонента N и ] C-6) При этом использованы уравнение (II. 4.18) и соотношения (П. 4.19), (II. 4.20) и проведено интегрирование по ^ с учетом свойств дельта-функции. Дальнейшее интегрирование можно выполнить, если взять сферические координаты вектора V = | — I* (с полярной осью вдоль | — |') за переменные интегрирования. Тогда, полагая п = V/V = (sin 0 cos e, sin 0 sin e, cos 0), C.7) получаем (+J\ B{eaV)Fn($ + —&-$'}-n 2 cos 6 sin 6 V, Щ X б B11 - Г1V cos 6 - w + m° 11 - ri2) V dV dn = Согласно C.3), уравнение C.2) можно записать в виде W + S-JrHW' ^(SOdr-vdmi). C.9) Основное различие между линейным и линеаризованным уравнением Больцмана B.6) заключается в том, что линеаризо- линеаризованный оператор столкновений L A.7) имеет пять собственных
3. ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ БОЛЫДМАНА 191 функций для нулевого собственного значения К = О A.15), в то время как линейный оператор в правой части C.2) или C.9) имеет лишь одну собственную функцию (/= ЫЮ — = FoC^lm/mo]1!*) ). Последнее соответствует наличию лишь од: ного закона сохранения при столкновении (закона сохранения массы); импульс и энергия фактически передаются частицам М. Функция /о(|) представляет собой, конечно, равновесное реше- решение для компонента N. Другое различие вытекает из того, что f в уравнениях C.2) и C.9) должна быть положительной, тогда как в уравнении B.6) h может быть отрицательной, поскольку является малым отклонением от единицы, и требуется лишь, чтобы величина 1 + h была положительной, согласно B.7). Это различие может показаться несущественным, так как 1 -\-h удовлетворяет урав- уравнению B.6) одновременно с h и нужно сопоставлять / и 1 + h или /0A+Л). Однако это не совсем так, поскольку h, вообще говоря, не мало по сравнению с единицей в локальном смысле (не обязательно, чтобы было | /г (х, §, t) | <С 1 для всех х, §, /), а мало лишь в глобальном смысле (см. гл. VIII). В частности, 1 + h часто отрицательна для некоторого множества значений х, 1, t. Как уже было отмечено, линейное уравнение Больцмана нашло особенно широкое применение в теории переноса нейтро- нейтронов в связи с развитием технологии ядерных реакторов. При этом выписанное выше линейное уравнение Больцмана можно обобщить таким образом, чтобы охватить более широкий круг задач, имеющих важное практическое значение. Прежде всего, компонент М, который мы будем называть средой, не обязательно должен быть газом; он может быть или твердым замедлителем, или защитным экраном, или ядерным горючим реактора, или комбинацией различных материалов. Благодаря малой концентрации (число нейтронов в 10й раз меньше числа атомов замедлителя даже для реакторов с боль- большой плотностью потока нейтронов) и чрезвычайно малому ра- радиусу нейтрон-нейтронного взаимодействия (в 105 раз меньше радиуса молекулярных сил) столкновениями нейтронов между собой можно с уверенностью пренебречь и описывать нейтрон- атомные взаимодействия как парные. Конечно же, ядра рассеяния К(%', §) и частота столкновений в уравнении C.9) определяются природой среды и, следова- следовательно, будут меняться от точки к точке, если рассматриваемая область занята различными средами. Кроме того, могут проис- происходить такие явления, как неупругие столкновения, поглощение нейтронов и деление ядер, приводящее к появлению новых ней- нейтронов. В общем случае уравнение C.9) записывается с исполь- использованием поперечного сечения о(|, х) и дифференциального се-
192 IV. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕНОСА чения а(|/->|, х) в таком виде: dt дх ^ ^ ' ' ' Здесь добавлен еще член источника, чтобы учесть возможность появления нейтронов со скоростью § в точке х в момент t. Пол- Полное сечение о>(|, х) содержит вклады от столкновений или рас- рассеяния (как упругого, так и неупругого) os и от поглощения оа: o = as + oa. C.11) Дифференциальное сечение (иногда называемое также яд- ядром рассеяния) обычно содержит лишь вклад от рассеяния (уп- (упругого и неупругого). Таким образом, если рассеяние только упругое, то а(Г-*Ю = (?0-'/С(Г I) (ЗЛ2) где v(§) и К{%', |) —частота столкновений и ядро рассеяния из уравнения C.9). Иногда вклад от деления тоже включается в а(|'->|), и это легко сделать, когда можно считать, что испу- испускание нейтронов равносильно одновременному делению (бы- (быстрые нейтроны). Однако после процесса деления некоторые осколки оказываются в сильно возбужденном состоянии и в ко- конечном счете переходят в более устойчивое состояние за счет р-излучения, сопровождаемого нейтронной эмиссией [7]; поэтому удобнее учитывать испускание нейтронов, вызываемое процес- процессом деления, посредством члена источника 5(х, |,/). Наличие запаздывающих нейтронов в стационарных задачах несуще- несущественно, и этот член для них обычно записывается в виде S(x, g)= J<rf(g', x)f(x, g') vx (!'->& x)dg', C.13) где Of — сечение деления, xd'-^l'»*) — вероятность того, что в точке х нейтрон со скоростью |' породит нейтрон деления со ско- скоростью между | и | -f- d|, a v — среднее число нейтронов, возни- возникающих при одном делении. Часто с достаточной точностью можно считать, что % не зависит от |7 и направления g, так что Если эффекты деления включены в S, то а(§/~>|;х) описы- описывает лишь рассеянно. Следовательно, сохранение массы в про- процессе рассеяния о.^г :т
3. ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ БОЛЫДМАНА 193 или, согласно C.12), \К (Г, s)dl = v(IO- C.15) В случае одноатомного газового замедлителя для любых функций g и h имеем [fo(Ю1"'Л(Г) |g-|.|)d|rfi, C.16) где fo(l) = Fo(fa[tn/nia\"), как и выше, а |' и I' связаны с | и |» законами сохранения импульса и энергии, так что d\d%^== =d\'dvt,FQ{^)[h(i)]-i=Fu(^Mit)\~x и n-ij=ir-i:i. Поэтому последнее выражение в C.16) можно записать в виде {<d,\l-lt\)dltd% C.17) где последний переход сводится к смене ролей «штрихованных» и «нештрихованных» переменных (см. разд. 6 гл. II). Последнее выражение совпадает с C.16), только величины h и g перестав- переставлены. Следовательно, можно поменять местами h и g во всех выражениях, входящих в C.16). В результате получается I'* {%' -> I) [fo ©]"' h (Г) g (I) d% d% = Г -> S) [/o (I)]"' g A0 Л (I) d|' d% = ->r)[fo(r)]~1g(l)ft(g/)uflrfi/. C.18) Так как g и /i произвольны, это равенство эквивалентно соотношению I'or {%' -> I) [fo (I)]"' = la (!-* Г) [/о (Г)]"'. C-19) ИЛИ !'<т (Г -> I) h (Г) = &<т (I -> Г) f о (I); C.20) последнее является соотношением взаимности (называемым также детальным балансом) и подобно аналогичному свойству, исследованному в разд. 3 гл. III. Обобщение C.20) на случай, когда среда не является одноатомным газом, рассматривалось в работах [8, 9]; единственное возникающее при этом изменение
194 IV. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕНОСА в C.20) сводится к замене а(^->|/) на а(—|—>—%') в правой части (соотношение C.20) в том виде, как оно записано, полу- получается, если нейтрон-атомное взаимодействие симметрично от- относительно пространственного отражения). Свойство взаимности служит дополнительный причиной для отделения в C.11) деле- деления от рассеяния; ядро, описывающее деление, не обладает этим свойством. Еще одно свойство ядра в уравнении C.9) устанавливается следующим образом. Для любой функции f, в силу соотношений C.20) и C.12), имеем = J [К (Г, Wo (Г)]72 f F0 [К (I 6O//o (Г)]1/2 / (I) dl dl' где использованы неравенство Шварца [1—5] hg dl dl' < [J К1 dl dl' J g2 dl dl'f C.22) и формула C.15). Неравенство C.21) аналогично неравенству A.12). Таким образом, если положить h — f/f0, то перенос нейтро- нейтронов в чисто рассеивающей среде (без поглощения и деления) описывается уравнением, которое обладает всеми формальными свойствами линеаризованного уравнения Больцмана B.6), за исключением того, что при этом существует лишь один инва- инвариант столкновений г|H = 1. Если имеет место поглощение, а делением можно пренебречь, то ни одного инварианта столкно- столкновений не существует, но все другие свойства сохраняются, вклю- включая и неравенство A.12) (в котором равенство, однако, не до- достигается). Если же следует учитывать деление, то возникает качественно иное положение. В случае переноса излучения рассматриваемые частицы — фотоны различных частот; они рассеиваются, поглощаются и из-
3. ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА 195 лучаются атомами среды, как и нейтроны в ядерном реакторе. Среда обычно является атмосферой звезды или планеты. Если можно считать, что атомы находятся в состоянии теплового рав- равновесия (хотя бы локальном), то коэффициент испускания /v, соответствующий частоте v, определяется через коэффициент поглощения kv по закону Кирхгофа, который гласит, что в каж- каждой точке выполняется соотношение U = kvBv (Г), C.23) где Т — локальная (абсолютная) температура, и Bv(T) = ^(cWW -1) C.24) Ч — распределение Планка (ci — скорость света, k и h — постоян- постоянные Больцмана и Планка соответственно). Сечение поглощения определяется как kvp, где р — плотность атомов, и источник из- излучения характеризуется величиной /vp. Следовательно, уравне- уравнение переноса можно записать в виде [10] df . о df ( 2AvV2 Q')dQ'-f], C.25) где os — сечение рассеяния, osg(Q/ ->Q)— дифференциальное сечение, и Q = %lct. Часто делается предположение о «равно- «равновесности излучения»: \ C.26) Равенства C.25) и C.26) образуют усложненную нелинейную систему двух уравнений для f и Т. Упрощение возможно, напри- например, в случае так называемого серого излучения (см. разд. 9). Граничные условия для нейтронов и фотонов обычно намного проще, чем для молекул газа, и обладают теми же общими свой- свойствами. Например, соотношение B.14) с h0 = А = 0 часто ис- используется для нейтронов (см. разд. 1 гл. III). В заключение заметим, что рассуждения, относящиеся к пе- переносу нейтронов, можно использовать при исследовании пере- переноса электронов в твердом теле и ионизированных газах. При этом, однако, существенна роль силового члена (см. уравнение (II. 8.21)), который обычно опускается в уравнении Больцмана. Этот член описывает действие на электроны электрического и магнитного полей. Дополнительным свойством является малость массы электрона по сравнению с массой рассеивающих атомов..
196 IV. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕНОСА 4. Единственность решения для задач с начальными и граничными условиями В этом разделе мы рассмотрим в общих чертах вопрос о единственности решения линеаризованного (или линейного) уравнения Больцмана для задач с начальными и (или) гранич- граничными условиями. Пусть задано начальное значение, и пусть на твердых границах выполняется условие B.14). Обозначим через hi и h2 два возможных решения задачи, а через h = h\ — h2 их разность. Тогда функция h удовлетворяет уравнению B.6) и однород- однородным граничным условиям, соответствующим B.14): h+ = APh~. D.1) Чтобы включить случай области R, простирающейся до бес- бесконечности, предположим, что • nh2 d^dS—>0, D.2) когда точки поверхности 2 cz R стремятся к бесконечности. Поскольку h зависит не только от х, но и от |, удобно ввести также скалярные произведения и нормы: ((g, h)) = $ (g, h) dx = JJ Ugh dl dx, D.3) R |||A|||2 = ((A, A)), D.4) ((g, h))B = \ (g, h)B dS=\ \ ghfo 11 • n | dl dS, D.5) dR dR |-n>0 \\\h\\fB=((h,h))B. D.6) Неравенства A.12) и B.20) означают, что для любого h ((h, LA))<0, 1ИА|||в<|||А|||в> D.7) причем равенство в первом случае достигается тогда и только тогда, когда h (почти всюду) является инвариантом столкнове- 4 ний 2 ^оФа* a B0 втором тогда и только тогда, когда h по- а=0 стоянна почти всюду на границе. Предположим, что ||| h |||, ||| РЫ |||в, ((A,LA)), ((h,l'dh/dx)), ((/г, dh/dt)) существуют и конечны. Умножив уравнение B.6) на h и проинтегрировав, получим &))™((А' Lh))-
4. ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ 197 Второй член левой части можно преобразовать к интегралу по поверхности; тогда -§Г (т HI h I11') = Ш h+ Шв - HI ph~ HIb + ^ Lh))- D-9) В силу D.1) и D.7), отсюда следует, что причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда h является инвариантом столкновений в /? и постоянной на 3R. Из D.10) следует, что |||А||| не может возрастать со временем, и так как она не может быть отрицательной, а при t = 0 равна нулю (как разность решений, удовлетворяющих одному и тому же начальному условию), то очевидно, что ||| h \\\ = 0 для t > 0, или hi = h2 (почти всюду). Таким образом, единственность решения задачи с началь- начальными и граничными условиями установлена. Доказательство непосредственно переносится на линейное уравнение Больцмана (с h = f/fo)} когда среда является чисто рассеивающей или когда поглощение преобладает над испусканием. Однако дока- доказательство проходит и тогда, когда испускание частиц пре- преобладает над поглощением, как в случае ядерного реактора. Тогда первое из неравенств D.7) теряет силу и заменяется не- неравенством ((Л, L/2))<c|||/H||2, D.11) где с — некоторая положительная константа, а вместо D.10) имеем i-^ III Л |||2 < с ||| Л |||2, D.12) так что ¦J-(III А ||| е-") < 0, D.13) и по тем же соображениям, что и выше, величина |||А||| e~ct, и следовательно |||Л|||, должна быть равна нулю. Довольно интересное положение возникает для стационар- стационарных задач (dh/dt = 0). В этом случае нет начальных условий и равенство D.9) сводится к виду 0 = ||| h+ \\\B — HI Ph~ \\\в + ((Л, LA)). D.14) Соотношения D.1) и D.7) при этом указывают, что h долж- должна быть инвариантом столкновений в R и постоянной на гра-
198 IV. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕНОСА нице: Л=Е ^а, х^Я, D.15) а=0 h = c0, x<=dR. D.16) Подставляя D.15) в уравнение B.6) с dh/dt = О, получаем с0 = const, c4 = const и ^ + ^7 = ° (',* = !, 2,3). D.17) Как известно (см. (III. 10.6) и (III. 10.11)), это означает <ч = *>!*** +с?, DЛ8) где с9 и a)ik — постоянные, причем со^= —со^?. Соотношения D.18), D.16) и D.17) могут одновременно удовлетворяться только в том случае, когда с4 = 0 и D.19) Последнее равенство может выполняться только тогда, когда граница вырождается в прямую линию или когда со^ = 0? с9 = 0. Если граница представляет собой обычную поверхность, то Сг = с4 = 0 и h сводится к постоянной. Следовательно, в ста- стационарном случае два решения одной задачи могут отличаться на аддитивную постоянную; последнюю можно фиксировать, если задать полное число частиц, например, условием «Фо, й)) = 0 D.20) или условием ((*о,А+))в = О. D.21) Для линейного уравнения Больцмана получается такой же результат в случае чисто рассеивающей среды; если, кроме того, имеет место поглощение, получается то же самое, и даже более простым путем. В случае возникновения частиц, например по- появления нейтронов вследствие распада ядер, положение суще- существенно изменяется. При заданной форме области существует ее критический размер, ниже которого единственность сохраняется; когда размер становится критическим, решение существует при отсутствии внешних источников (самоподдерживающийся ядер- ядерный реактор). Выше критического размера стационарное решение с поло- положительной функцией распределения / отсутствует, т. е. нет фи- физически приемлемого стационарного решения [11, 12]; в этом случае число нейтронов непрерывно возрастает со временем и ядерный реактор становится атомной бомбой.
5. АНАЛИЗ ЛИНЕАРИЗОВАННОГО СТОЛКНОВИТЕЛЬНОГО ЧЛЕНА 199 5. Дальнейший анализ линеаризованного столкновительного члена В разд. 3 было показано, что линейное уравнение Больцмана C.2) можно представить в виде C.3), который удобен тем, что столкновительный член разбивается на две части. Первая часть содержит интегральный оператор с ядром К{%', |), которое дает- дается выражением C.8), вторая же получается умножением иско- искомой величины на функцию, зависящую от скорости и имеющую физический смысл частоты столкновений. В этом разделе будет изучено аналогичное преобразование линеаризованного опера- оператора столкновений A.7). Можно записать Lh = K2h -Kih-v (g) h, E.1) где ^\\fo (U А (g') В (9, | g - gj) dl dQ ds, E.2) ^"Sfo(i*)B(e' I S — S* 1) ^в] Л (gj rf^, E.3) (I) = -I- \ fо Ю В (9, 1g - gj) dg, d9, E.4) при условии что все эти интегралы существуют (см. ниже). Два последних члена в правой части E.1) имеют желаемую форму (интегральный оператор и оператор умножения). Первый член требует дополнительного преобразования. Согласно E.2), Kih— сумма двух интегралов, отличающихся аргументом у /г, который равен ^ = ^ + п (п • V) в первом интеграле и §' = § — п(п-V)—¦ во втором (V = | — |*). Но g; = g - V + п (п • V) = g - m (m • V), E.5) где т — единичный вектор в плоскости V и п, ортогональный к п (так что V = n(n- V) + m(m- V)). Следовательно, если мы повернем п на угол я/2 (что сводится к замене 9 -> я/2 — 9, е—> г ± п, с учетом равенства якобиана единице), то % перей- перейдет в \' и E.2) запишется в виде KJi = -| 5 fo (i) h(Г) В F, 11 - i |) d%,dQde, E.6) где В (9, V) = В (9, У) + В (я/2 - 6, F). E.7) Выражение E.6) можно записать так: Д2/г — Ш ) i° {l*>h (ё ) \i -i.\ cose sine x X б (Г + % -1 -1) б (Г-' + g;2 -12 -12) rfg' d6, dl>:, E.8)
200 IV. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕНОСА здесь угол б определен формулой (II. 4.20) и использованы ра- равенства (II. 4.18) (II. 4.19) (для однокомпонентного газа). Если провести тривиальное интегрирование по !' и перейти от |* к сферическим координатам ||*—1|, 9, е, то получится X cos-1 86B| §-I'll t- -2ii-ri2)drii-l|rf =i \ h (Г) f0 a+n 11 - ri/cos e) x X cos-3 0B (в, '^"l4) dr dQ de, E.9) где n — единичный вектор с угловыми координатами 0 и е. Под- Подставляя в равенство E.1) выражения E.9) и E.3), получаем Lh - \К (Г, 1) h (Г) йГ - v (Ю /г, E.10) где /с (г, а = *2(г, 1)-кл\ ю, E.П) | 6 — Г I/cos в) + В (я/2 — в, | g — Г I/cos в)] X X cos-3 6f о (I + п || - Г I/cos 6) d6 de, E.12) Г)В(е, |g-ri)d6de. E.13) Выражение E.12) можно еще упростить, так как = h (? + II - П + n 11 - Г I/cos 6) = = po Bя/?Г0)-"/2 exp {- BЙГ0)"! [|/2 +11 - Г |2/cos2 6 + 2Г • (I - Г) + + I g — П2 + 2n • П g — Г I/cos в + 2n • (g — Г) I 6 — Г I/cos §J> E.14) Здесь и далее предполагается, что массовая скорость в макс- веллнане равна нулю (в противоположном случае достаточно заменить | на относительную скорость с); при этом частота v зависит только от модуля вектора Е, так что вместо v(|) мы бу- будем писать v(?). Если плоскость 8 = 0 выбрана надлежащим образом и а @ ^ а ^ к) обозначает угол между |' и полярной осью, на-
5. АНАЛИЗ ЛИНЕАРИЗОВАННОГО СТОЛКНОВИТЕЛЬНОГО ЧЛЕНА 201 правленной вдоль §' — |, то имеют место соотношения п • (g — Г) = — I & — П cos 9, E.15) п • I' 11 - I' I = || - I' ||' cos 6 cos а + II - I' I \' sin 6 sin а cos e = = -(|-r)-rcos0 + l(g-l/)Al/|sinGcose = = - (| - g') • |' cos 6 + || Л I' I sin G cos e, E.16) где | Л %' обозначает векторное произведение § и \'. В резуль- результате E.14) принимает вид /о (ё + п | g — Г I/cos 9) = = ро BяД7-оГ7' ехр [- BRT0)-1 (Г2 + I S - ПV 9 + + 2 U Л П tg в cos e)], E.17) а E.12) — вид К2 (Г, I) = Pom-1 BnRT0)-'h J [В (в, 11 - Г I/cos 6) + + В (я/2 - 6, || - Г |/cos 6)] cos-3 6 X X ехр [- BДГоГ' (Г2 + 11 - I' f tg2 6 + + 2|iAS'|tgecose)]dede. E.18) Интеграл по е выражается через модифицированную функ- функцию Бесселя первого рода нулевого порядка (см. формулу (III. 6.16)), так что Я/2 X \ [В (в, | !-Г |/cos 9) + В (я/2-е, И-!'|/cos 6)] X о X cos-3 9 ехр [- B/гГоГ1 (Г2 + 11 - I' |2tg 9)] X X /о (I & Л П [/?Г0]~' tg в) de. E.19) В результате получим Lh = Kh — v(l)h, E.20) где v (|) дается формулой E.4) и Kh=\K(tf,t)h(t')dV, E.21) К(Ъ'Л)=\К{%, I; 6)de, E.22)
202 IV. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕНОСА X { [В (9, || - Г I/cos 9) + Б (я/2 - 9, || - Г |/cos 9)] X X (cos9)-3exp[- BRTQyl \ | - |' Р tg? 9]/0 ( | | Л Г l -В (в, ||- П)}. E.23) Проделанные выкладки имеют смысл, если радиус действия потенциала конечен (в частности, для твердых сфер); если же потенциал безграничен, то три члена K\h, Kih, v/i в E.1) не существуют порознь1). В этом случае можно сначала ограни- ограничить угол рассеяния 9 некоторым значением 9о < я/2, а затем провести все указанные выше преобразования и получить Lh = \ [\ К (Г' g; 9) h (Г) dl' ~ v & 9) h (l)] d9' E*24) где К{%>\ I; 9) определено формулой E.23) и v (I; 9) = 2яРот-1 Bя/?Г0)"^2 J ехр [- ^2B/?Г0)"!] В (9, 11 - Г |) йГ. E.25) Выражение в E.24) сохраняет смысл даже тогда, когда Эо-^я/2, т. е. когда ограничение на 9 снимается; следовательно, для безграничных потенциалов можно представить L как ин- интеграл по параметру 9 от разности интегрального оператора К& и оператора умножения ve, зависящих от 9. Так как, однако, зависимость каждого оператора от 9 не интегрируема в окре- окрестности 9 = я/2, нельзя интегрировать каждый член отдельно и получить выражение E.20). В случае твердых сфер в E.19) можно выполнить интегри- интегрирование по 9. Действительно, для твердых сфер В (9,1/) = = o2V sin 9 cos 9 (см. разд. 4 гл. II), так что /С (Г, I; 9) = 2яроа2т-1Bя/?Го)/-1ехр[-B/?Го)Г2]Х X {211 - Г I tg 9 (cos 9Г2 ехр[- BRTQ)'1 (| - |'J tg29] X X/o(llAl/|[^0]-1tg9)-||-|/|sin9cos9}. E.26) Чтобы провести интегрирование, положим / = tg9 (dt = »=cos~29d9) и используем известную формулу [13] оо /о (at) ехр (- p2t2) t dt = B/?2) ехр [а2 Bр)] E.27) 1) Классические представления, на которых основывается это утвержде- утверждение, несправедливы для скользящих столкновений; согласно квантовой меха- механике, дифференциальные сечения конечны и интегралы существуют для потен- потенциалов, убывающих на бесконечности быстрее, чем г~3. — Прим. перев.
5. АНАЛИЗ ЛИНЕАРИЗОВАННОГО СТОЛКНОВИТЕЛЬНОГО ЧЛЕНА 203 с р = || - g' | BRT0)~i/2y а = | g Л g' I (ОТ; в результате получим К (Г, g) = Роа2^-1 Bя7?Г0)-1/2 ехр [- B7?Г0)~1 Г2] {21 g - g' Г1 X X ехр lBRT0rl | g - g' Г2 (| Л ГJ] - I g - g' I B/^Го)-1}. E.28) Интеграл E.4), определяющий частоту столкновений v(g), можно легко вычислить для любого потенциала конечного ра- радиуса (в частности, для твердых сфер). В самом деле, вспом- вспомнив, что 5(9, V) связана с прицельным параметром г формулой (II. 4.14), а г меняется от 0 до а (радиус потенциала или диа- диаметр сфер), получим о X 5 5 ехр [- {2RT0yl (?2 + 2VI cos 9 + У2)] V2 dV sin 9 dd = о о оо = ^ Ро BnRT0)-'h Г' $ ехр [- BВД-1 (^2 + F2)] X о X {ехр[(^Г0)~' VI] - ехр[— (/?Г0)~' F^]} V2dF == - J exp[- BRT0yl (V + IJ] V2 dV \ = о j = poor2™-1 Bя^Г0I/2 г|) (g B^Г0I/2). E.29) При интегрировании по |# мы перешли здесь к сферическим координатам У= |g — g#|, 9, ф и ввели величину г оо оо _ L-x х Л г- X х оо оо _ L-л: -л; л: -л; J = -|- J e-*'t2 dt + 2x\ e~t2 dt о о x + -1) \ e~t2 dt, E.30)
204 IV. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕНОСА где последнее выражение получено интегрированием по частям. Общим свойством частоты столкновений для твердых сфер, потенциалов конечного радиуса и потенциалов с обрезанием по углу является монотонная зависимость v(?) от g. Действи- Действительно, из E.4) и (II. 5.21) находим || 5 fo FJ 6 • (& — 6J16 — 6* Г rfe*. E.31) где Я/2 Поскольку fo(?) пропорциональна ехр(— ag2), где а>0 и э^==&2 + (^ — ? J— 2| • (| — IJ, вклад в этот интеграл от по- полупространства §• (| —?*) < 0 по абсолютной величине меньше, чем от полупространства %•(§— §*) > 0. Так как первый вклад отрицателен, а второй положителен, весь интеграл положителен и dv/dl больше или меньше нуля одновременно с величиной у. Далее, у = (п — 5)/(п—1) для потенциалов с обрезанием по углу и у= 1 для твердых сфер и потенциалов конечного ра- радиуса. Следовательно, частота столкновений монотонно возра- возрастает для твердых сфер и потенциалов конечного радиуса. Для степенных потенциалов с обрезанием по углу она монотонно воз- возрастает при п > 5 и монотонно убывает при п < 5. Таким об- образом, в последнем случае (п < 5) частота ограничена сверху, 0<v(?)<v0, E.33) а при п > 5 — снизу, v(?)>vo>O, E.34) где vo = v @) — конечная величина. 6. Подход к равновесию и спектр оператора столкновений Простейшая задача, которую можно изучать с помощью ли- линеаризованного уравнения Больцмана, формулируется так: пусть газ при t = 0 имеет распределение, не зависящее от координат и мало отклоняющееся от максвелловского fo- f = fo(l + h). Что будет при t > 0? (Это — задача с чисто начальными данными.) Согласно Я-теореме, можно ожидать, что f будет стремиться к максвелловскому распределению, т. е. h должна стремиться к нулю при /->оо, если f0 выбрано так, что имеет те же плот- плотность, скорость и температуру, что и /. Этот результат непосред- непосредственно вытекает из линеаризованного уравнения Больцмана
6. ПОДХОД К РАВНОВЕСИЮ И СПЕКТР ОПЕРАТОРА СТОЛКНОВЕНИЙ 205 для возмущения ft, которое получается из B.6) при dh/dx = 0: Действительно, если функция ft такова, что ||ft|| и (ft, Lh) су- существуют, то, в силу A.12), умножение на ft и интегрирование по скоростям дает 4т [т II h II2] = №, Щ<0, F.2) так что IIA fo) II < IIA ('OH (/2>/i), F.3) причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда ft — инвариант столкновений; но так как было принято, что f и /о имеют одинаковые плотность, скорость и температуру, то (фа, А) = 0 (а = 0, 1, 2, 3, 4) F.4) и единственный инвариант столкновений, удовлетворяющий этим соотношениям, есть ft = 0. Следовательно, ||ft|| всегда убывает (если она отлична от нуля); при /->оо величина ||ft||, будучи ограниченной снизу и убывающей, должна достигать предела с нулевой производной. Этот предел должен удовлетворять со- соотношению F.2) с d||ft||2/c^ = 0, т. е., по предыдущему, должен быть равен нулю. Следующий вопрос заключается в том, каким образом ft стремится к нулю. Чтобы ответить на него, нужно изучить ре- решения уравнения F.1) и, в частности, их поведение при /->оо. Некоторые общие свойства могут оказаться достаточными для решения проблемы: если, например, удастся показать, что (Л, Lft)<-Mft||2 (^o>O) F.5) для любого ft, удовлетворяющего условию F.4), то F.2) можно свести к неравенству -§Г [j IIh II2] < - Л. IIЛII2, или -?¦ (е^ || А ||2) < 0, F.6) и, следовательно, IIА @1КIIА @I1 *-*>', F.7) что означает экспоненциальный подход к равновесию при ^->оо. Анализ затухания ft при t-> оо приводит к задаче о собствен- собственных значениях оператора L: Lg = Xg. F.8) Как нам известно (разд. 1), эта задача имеет пять собственных решений (g = г|)а, а = 0, 1, 2, 3, 4) для X = 0; все другие зна- значения X должны быть отрицательными.
206 IV. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕНОСА Заметим, что уравнение F.8) могло бы вообще не иметь ре- решений при X Ф 0, если бы потребовать, чтобы g была обычной функцией. Если, однако, допустить, что g может быть обобщен- обобщенной функцией, то, поскольку оператор L самосопряженный (см. A.10)), общие теоремы [14] гарантируют не только существова- существование решений уравнения F.8), но и возможность представления общего решения уравнения F.1) в виде разложения -Но 4 h = ) e^gK (g) A^dK + Y, АЛа, F.9) где g% — решение, соответствующее «собственному значению» Х> Ах — произвольная функция X, а интеграл берется по всем зна- значениям X ф 0, для которых существует gx ф 0 (если все X или часть их образуют дискретное множество, то соответствующий интеграл нужно заменить суммой ? e~^ktgk(l) Ak). Если в F.9) k jlio ф 0, то h затухает экспоненциально к инварианту столкнове- столкновений 2] Лаг|)а (в частности, к нулю при условии F.4)); если же jx0 = 0, то подход к равновесию не является экспоненциальным и зависит от начальных данных (которые определяют коэффи- коэффициенты Ак) 1). Из сказанного ясно, что очень важно изучить множество зна- значений X, для которых уравнение F.8) имеет ненулевые решения, т. е. спектр оператора L. Согласно обычному определению [1—5], спектр оператора представляет собой множество значений X, для которых опера- оператор (L — Я/) не существует как ограниченный оператор в Ж или не является однозначно определенным; в рассматриваемом случае (L — самосопряженный оператор, и допускаются обоб- обобщенные решения) оба определения эквивалентны. При этом «дискретный» и «непрерывный» спектры в точности соответ- соответствуют своим названиям. Прежде чем рассматривать спектр оператора столкновений для частных случаев, полезно оценить порядок величины X в F.8). Переходя к безразмерной скорости, отнесенной, напри- например, к средней | = Bi?r,0I/2, и вспоминая, что, согласно (II.4.14), Б@, У)~ Уа2, где V—% и а — эффективный радиус молекулы, будем иметь Lh = p0o2m~ll2'h, где S?h — безразмер- безразмерная величина порядка единицы. Следовательно, Я —росг2|/т^ 1) В случае взаимодействий с частотой столкновений, убывающей как. (v/vT}~y при v-> оо, закон затухания имеет (в существенном) вид ехр [— Р^у, а = 2/B + у) [60*]. В указанной работе рассмотрена более общая задача о подходе к равновесию больцмановских систем. — Прим. перев.
6. ПОДХОД К РАВНОВЕСИЮ И СПЕКТР ОПЕРАТОРА СТОЛКНОВЕНИЙ 207 ~1/1, где / — средняя длина свободного пробега A.4.17), сим- символ ^ означает равенство по порядку величин, 6 = 1/1 можно рассматривать как время среднего свободного пробега моле- молекулы (см. разд. 1 гл. V). Полное решение уравнения F.8) найдено лишь в случае максвелловских молекул, т. е. молекул, отталкивающихся с си- силой, обратно пропорциональной пятой степени расстояния. В этом случае Ван Чан и Уленбек [15, 16] доказали, что спектр является дискретным и определяется двумерным набором соб- собственных значений Xnt: Л/2 %ni = 2яр0т-1 jj {Р, (sin 6) sin°*+/ 6 [|3 F) + |3 (я/2 — 6)] — о -(влов*о+1)Р(9)}<*е (л, / = 0, 1, 2, ...), F.10) где р@) определяется формулой (П. 5.22) с у = 0 (что соответ- соответствует максвелловским молекулам), a PL есть 1-й полином Ле- жандра. Для каждого собственного значения Xni существуют 2Z+1 собственных функций, которые удобно снабдить тремя индексами и записать в виде (п, 1 = 0, 1, 2, ...; -/<т</), где |, 0, ф — сферические координаты в пространстве скоростей, Г — гамма-функция, L^/+V2) — присоединенные полиномы Л а- герра и F/m@, ф) — сферические гармоники [17, 18]. Эти собственные функции удовлетворяют соотношению ор- ортогональности F.12) где черта над буквой означает комплексное сопряжение. В частности, для п = 0, / = 0; п = 0, / = 1; п = 1, 1 = 0 фор- формула F.10) дает Kni = 0, и соответствующие пять собстгенных функций являются линейными комбинациями гнвариантов столкновений \|)а. Для я-*оо, как можно показать, собственгше значения Kni стремятся к —оо (по абсолютной величине они рас- растут асимптотически как п4*) [16, 19]. Их расположение на ком- комплексной ^-плоскости показано на рис. 18. Несколько первых собственных значений приведены в табл. I; более подробные таблицы содержатся в работе [20].
208 IV. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕНОСА Х-плоскость Рис. 18. Спектр оператора столкновений для максвелловских молекул. Случаи молекул — твердых сфер также изучен довольно по- подробно. Для него полезная информация получается из теоремы Вейля о возмущении спектра самосопряженного оператора V при добавлении достаточно регулярного интегрального опера- оператора /С, так что получается оператор W = V -\-К. Согласно тео- теореме Вейля [2—4], если К — вполне непрерывный оператор, т. е. переводит ограниченную последовательность функций {gk} в сходящуюся последовательность {Kgk} (сходимость пони- понимается в подходящем функциональном пространстве, в данном случае в гильбертовом пространстве Ж, где норма дается фор- формулой A.9)), то непрерывные спектры W и V совпадают. Таким образом, влияние К сводится к изменению дискретного спектра. Точнее говоря, остается неизменным так называемый суще- существенный спектр (т. е. множество предельных точек спектра). Грэд [21] и Дорфман [22] показали, что оператор К в E.15) вполне непрерывен в Ж для степенных потенциалов, если ис- Таблица I Значения 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 0 0 0,6667 1 1,2281 1,4037 1,5475 1,6698 1,7767 1 0 1 0,6667 1 1,2281 1,4037 1,5475 1,6698 1,7767 2 1,6667 1,3432 1,4915 1,6193 1,7310 1,8302 3 1,5 1,5704 1,6670 1,7631 1,8533 1,9371 2,0148 4 1,8731 ' 1,9106 1,8633 2,0288 2,0917 2,1533 5 2,1828 2,2066 2,2415 2,2824 2,3262 2,3710 6 2,4532 2,4703 2,4936 2,5215 2,5525
6. ПОДХОД К РАВНОВЕСИЮ И СПЕКТР ОПЕРАТОРА СТОЛКНОВЕНИЙ 209 ключаются скользящие столкновения или рассматриваются твердые сферы1). Следовательно, в этих случаях непрерывный спектр L, если он существует, определяется непрерывным спек- спектром оператора умножения —v(?). Спектр же последнего нахо- находится из уравнения -v(S)g = *g, F.13; или [* + v(g)]g = 0. F.14) Следует различать два случая: или v(?) — постоянная (как для максвелловских молекул с обрезанием по углу), и тогда уравнение F.14) дает %=—v, т. е. спектр сводится к одной точке, или же v(?) не является постоянной и ^ + v(?) может равняться нулю не более чем в одной точке (по крайней мере, если v(?) монотонна, как в случае степенных потенциалов и твердых сфер, рассмотренном в разд. 5), и тогда уравнение F.14) означает, что g" должно равняться нулю всюду, за исклю- исключением одной точки. Так как g— нетривиальное решение, то с точностью до множителя оно должно быть 6-функцией: 2 = 6(b + v(S)). F.15) Действительно, х8(х) = 0 в смысле теории обобщенных функций (разд. 2 гл. I), и можно показать, что нет другой об- обобщенной функции, обладающей этим свойством (произвольный постоянный множитель, конечно, допускается). Выражение F.15) дает решение, отличное от нуля, тогда и только тогда, когда A, + v(g) обращается в нуль для некоторого ?, т. е. когда X — одно из значений, принимаемых функцией —v(g). Эти зна- значения образуют континуум, и следовательно, теорема Вейля утверждает, что для твердых сфер и степенных потенциалов с обрезанием по углу имеется непрерывный спектр, который чможет быть описан явно. В частности, для твердых сфер и сте- степенных законов взаимодействия с показателем, большим пяти, v(?) изменяется от минимального значения v0, соответствую- соответствующего ? = 0, до -f-oo (разд. 5). Следовательно, оператор столк- столкновений имеет непрерывный спектр, простирающийся от —vo до —оо (рис. 19). Для степенных законов с показателем, мень- меньшим пяти, непрерывный спектр заполняет интервал (—vo, 0) (рис. 20); случай п = Ъ (рис. 21), очевидно, является особым. Из приведенных результатов вытекает, что подход к равно- равновесию является экспоненциальным для твердых сфер и степен- степенных законов взаимодействия с показателем, большим или рав- 1) Условие полной непрерывности, указанное Трэдом [21], охватывает ве- весьма широкий класс сечений, вычисляемых согласно квантовой механике; это можно установить проверкой для малых и больших энергий взаимодействия. — Прим. перев.
210 IV. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕНОСА Я -плоскость Рис. 19. Спектр оператора столкновений для твердых сфер и степенных законов взаимодействия с обрезанием по углу и показателем, большим пяти. Х-плоскость Рис. 20. Спектр оператора столкновений для степенных законов взаимо- взаимодействия с показателем меньшим пяти и с обрезанием по углу. Х-плоскость Рис. 21. Спектр оператора столкновений для максвелловских молекул с об- обрезанием по углу. ным пяти, поскольку дискретные собственные значения не могут произвольно близко подходить к началу (К = 0, в силу теоремы Вейля, не может быть предельной точкой спектра) и, значит, в формулах F.5) и F.9) \х0 > 0. Следующий вопрос заключается в том, существуют ли в дей- действительности наряду с непрерывным спектром дискретные соб- собственные значения (кроме А, = 0). Для случая твердых сфер положительный ответ на этот вопрос дали Кущер и Уильяме [23], которые пришли к такому выводу при помощи метода Ле- нера — Винга [24], использованного ранее в теории переноса нейтронов. Метод основан на введении искусственного пара-
6. ПОДХОД К РАВНОВЕСИЮ И СПЕКТР ОПЕРАТОРА СТОЛКНОВЕНИЙ 211 метра с множителем при [v(g) + X]ft в уравнении для собствен- собственных значений F.8) (где Lh заменялся на Kh — vh) и изучении собственных значений сп = сп(К) как функций непрерывного параметра а, меняющегося от 0 до —v0. Тогда собственные зна- значения рассматриваемой задачи получаются как корни уравне- уравнения сп(К)= 1. В результате оказывается, что L имеет бесконеч- бесконечное число дискретных отрицательных собственных значений в интервале (—v0, 0) с точкой сгущения X* ¦= —v@). Рассмотрим теперь общий случай молекул с центральным законом взаимодействия. Как мы видели выше, для степенны к законов обрезание по углу рассеяния приводит к результатам, аналогичным тем, которые имеют место для твердых сфер. Ре- Результат Кущера и Уильямса не обобщался на этот случай, од- однако кажется правдоподобным, что он может быть обобщен таким образом. Если же не вводить обрезание по углу, то для безграничных потенциалов положение существенно усложняется; единственным случаем, который анализируется просто, оказы- оказывается рассмотренный выше случай максвелловских молекул. Интересно, что спектр при этом получается точно таким, как можно ожидать при непосредственном предельном переходе в результате с обрезанием по углу; действительно, при удале- удалении —vo в —оо из рис. 19 получается рис. 18. Заманчиво пред- предположить, что аналогичное положение имеет место для степен- степенных законов с п ^ 5; это приведет к чисто дискретному спектру. Недавно Пао [53] дал строгое доказательство справедливости этого предположения. В случае потенциалов с конечным радиусом для того, чтобы произвести указанное в E.15) разбиение, обрезание по углу не требуется, однако оператор /( намного труднее анализировать; в частности, нелегко доказать или опровергнуть, что К вполне непрерывен в Ж [25]. Легко доказывается следующий довольно общий резуль- результат [25]. Теорема I. Неравенство F.5) имеет место для любой функции h, такой, что выполняется условие F.4) и существует (h,Lh), если межмолекулярный потенциал удовлетворяет ус- условию F.16) Чтобы это доказать, рассмотрим общее выражение A.7) для L и разобьем L на два слагаемых: L = L6 + L6y F.17) где L6 и L6 определяются тем же выражением A.7), что и L, причем Б @,1/) заменяется соответственно на В6 и Вь, которые
21 2 IV. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕНОСА записываются в виде 5@, V) для Э <6, 0 для В > б, о для е<а, FЛ8) 13(9, V) для е>6; здесь б — произвольный фиксированный угол в интервале между 0 и я/2. Операторы L6 и L6 с общим выражением A.7) обладают свойством A.12), в частности (A, L6A)<0. F.19) Если, однако, неравенство F.16) выполняется, то L6 — опе- оператор с обрезанием по углу для потенциала более жесткого, чем максвелловский, и, согласно приведенным выше результатам, (A, L6A) < - ii01| А |р (цо > 0, (г|>а, А) = 0). F.20) Складывая неравенства F.19) и F.20), получаем требуемый результат F.5). Обобщая это рассуждение, можно показать, что при 6->я/2 все собственные значения возрастают по абсо- абсолютной величине, т. е. сдвигаются влево. Если разбиение E.20) применимо, то существование (A, LA), необходимое для того, чтобы неравенство F.5) имело смысл, вытекает из существования (A,vA), как показывает следующая Теорема II. Оператор /(, входящий в выражение E.20), удовлетворяет неравенству | (A, Kh) | < A, (vA, А) (А €= А°) F.21) для некоторого положительного X. Здесь JT означает (гильбер- (гильбертово) пространство функций, таких, что (vh, А) существует (JT— подпространство Ш для потенциалов более жестких, чем макс- максвелловский). Предварительный простой результат (A, Kh) < (vA, A) F.22) следует из соотношений A.12) и E.20). Заметим также, что, согласно E.1) и E.20), /С=/B — /Ci, причем операторы К\ и /B имеют неотрицательные ядра (см. форхМулы E.12) и E.13)). Поэтому, используя тривиальные неравенства и ре- результат F.22), получаем I, K2\h\) + (\h\, Ki\h\) = , vA) F.23)
6. ПОДХОД К РАВНОВЕСИЮ И СПЕКТР ОПЕРАТОРА СТОЛКНОВЕНИЙ 213 (в последнем члене знак модуля не требуется). Далее, в силу формулы E.3) и неравенства Шварца [2], имеем X {[/о (D h (У B(Q,\i,-l\ )]Чг I а (У 1} < X { J d\ dlj, (l) f0 (|J fi (8, | !. - g |) | A (|s) I2 }Vl. F.24) Интегралы в скобках равны, в чем можно убедиться, поме- поменяв местами | и 1*. Учитывая равенство E.4), находим Sv (|) /о F) IА (Ю |2 = (vA, A). F.25) Подстановка этого результата в соотношение F.23) дает нера- неравенство F.21) с К = 3. Из теоремы I вытекает очень важное Следствие. Уравнение Lh = g (g^Ze) F.26) имеет решение тогда и только тогда, когда свободный член g ортогонален пяти инвариантам столкновений, (Фа, г) = 0, F.27) при условии, что потенциал удовлетворяет неравенству F.16). Решение определяется с точностью до аддитивной линейной комбинации величин ipa. Для того чтобы доказать это следствие, допустим, что- g^3$ удовлетворяет условиям F.27) и уравнение F.26) ре- решается в подпространстве W' с^Ж, ортогональном подпростран- подпространству с базисом из пяти инвариантов столкновений (заметим, что gelF по предположению, а LAgIF согласно A.16)). В под- подпространстве W оператор L является самосопряженным и его спектр не содержит нуля, в силу теоремы I; по определению спектра L~l существует в W и имеется единственное решение А<°>е=№с:<50 (/i<°> = L~lg). Хотя в W решение А<°> единственно, возвращаясь к Ж, можно добавить к W°) произвольную линей- линейную комбинацию пяти инвариантов; при этом уравнение F.26) по-прежнему удовлетворяется, и, таким образом, доказатель- доказательство завершено.
214 IV. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕНОСА Заметим, что решение hW^W уравнения F.26) минимизи- минимизирует функционал J(h) = Bg-Lh, ft) {hs=W). F.28) Зто вытекает из того простого факта, что если положить Я = = Ж°) + 6ft, то / (ft<°> + 6ft) = /(ft@)) + 2 (g - Lft@), 6ft) - (L6ft, 6ft) > (ft@)) + ^o II 6ft ||2 Fft e= W), F.29) где использовано неравенство F.5) и то обстоятельство, что А<°) — решение уравнения F.26). Последнее неравенство показы- показывает, что /(Я) ^/(ft<°)), причем равенство будет иметь место тогда и только тогда, когда 6ft = 0, или Я = ft(°). 7. Стационарные одномерные задачи. Коэффициенты переноса Соображения, развитые в предыдущем разделе, дают до- довольно полную картину временной эволюции решения линеари- линеаризованного уравнения Больцмана в пространственно однородном случае. Успех, достигнутый в задачах такого рода, побуждает к изучению формально похожих задач, решения которых не за- зависят от времени и двух координат, скажем х2 и я3; при этом нужно решить уравнение относительно функции ft = ft (хи 5ь ?2> Ы = ft (#1,1). Сходство уравнений F.1) и G.1) наводит на мысль, что ре- решение следует искать в виде h = e^g(l), G.2) где g удовлетворяет уравнению •аналогичному уравнению F.8). Прежде всего встает вопрос, имеет ли уравнение G.3) достаточно решений для того, чтобы посредством их суперпозиции можно было построить общее решение уравнения G.1), подобное F.9). Далее нужно иссле- исследовать множество значений А,, для которых уравнение G.3) имеет решение. Задача здесь труднее вследствие взаимного влияния опера- операторов L и умножения на gi. Кроме того, наличие инвариантов столкновений препятствует тому, чтобы оператор L был строго
7, СТАЦИОНАРНЫЕ ОДНОМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ. КОЭФФИЦИЕНТЫ ПЕРЕНОСА 215 отрицательным. Для уменьшения этой трудности разобьем гиль- гильбертово пространство Ж на два ортогональных подпростран- подпространства: Ж+, содержащее все четные функции |ь и Ж~, содержа- содержащее все нечетные функции. Любая функция g соответственно представляется в виде g = g+ + g~, G.4) где g+ = 72 (g + Pig), g~ = xh (g - Pig), G.5) a Pi — оператор отражения по ^: Pig&i, h, W = g(-lu h, h)- G.6) Ясно, что Pi(hg) = -hPig, G.7) причем P{Lg = LPlg, G.8) так как при центральных силах оператор L инвариантен отно- относительно любого отражения в пространстве скоростей при усло- условии, что максвеллиан /0 изотропен. Применяя к обеим частям равенства G.3) операторы V2 (/ ± ^i), где / — тождественный оператор, при помощи соотношений G.7) и G.8) получаем эк- эквивалентную систему: Lg+ = 4xg" (g+ е= Ж+, g~ €= Ж"\ G.9) Lg-=4ig+. G.10) В этих уравнениях L означает, конечно, сужение опера- оператора L на Ж+ и Ж~ соответственно. Далее, четыре инварианта столкновений (г|>о, tfa, "ф3, г|?4) ПРИ" надлежат Ж+ и лишь один, грь принадлежит Ж~. Вместе с тем любое решение системы G.9) и G.10) для К Ф 0 таково, что g~ ортогонально ярi = gi, поскольку скалярное произведение в Ж обеих частей равенства G.9) на -фо = 1 дает Ч?ь g-) = 0. G.11) Воспользуемся этим обстоятельством и заменим уравнение G.10) следующим: -Ng-=Xllg+, G.12) где Ng- = -Lg-y если (?ь g") = 0, GЛЗ> й — любая фиксированная положительная постоянная. Система Уравнений G.9) и G.12) по существу эквивалентна системе G.9) и G.10), поскольку оператор —iV отличается от L лишь на одномерном подпространстве 91, которое ортогонально g-, со-
216 IV. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕНОСА гласно G.11), если ХфО] здесь теряется лишь одно решение g—= gi, отвечающее X = О, которое при необходимости можно добавить позднее. Таким образом, Ж~ представляется в виде суммы ЖТ ф Ж, где ЖТ ортогонально ipi и, следовательно, всем инвариантам столкновений. Оператор N имеет единствен- единственный обратный Л^ в Ж~ (оператор А' даже является огра- ограниченным, как ясно из следствия, доказанного в конце преды- предыдущего раздела, при условии, что потенциал достаточно же- жесткий). Это означает, что N имеет обратный оператор и в ,Ж~ = Ж\ @&, а именно W~V = - L~lg-, если (|ls g~) = О, Следовательно, g- = - МГ1 (|,g+). G.15) Подставляя это выражение в G.9), получим уравнение для g+: Lg+ = -X2(hN-lh)g+ {g+^m+). G.16) Как только функция g+ найдена, функция g~ определяется из G.15). На первый взгляд может показаться, что рассмат- рассматриваемая задача чрезмерно усложнена, так как мы заменили уравнение G.3), содержащее операторы L и ?ь уравнением G.16), которое включает L и оператор ?iAH?i; последний на- намного сложнее оператора умножения и в явном виде не изве- известен. Выигрыш, однако, состоит в том, что оператор giTV—1 gi, действующий на функции из Ж+, является положительно опре- определенным. Это вытекает из того, что, согласно G.14), М~1 — положительно определенный оператор (L~l — отрицательно определенный в любом подпространстве, ортогональном инва- инвариантам столкновений, и к > 0). В результате имеем (g+, hN-%ig+) = (hg+, ЛГ'(|.?+))>0. G.17) Следовательно [3], существует самосопряженный оператор С, такой, что tiN-% = C2. G.18) Видно, что С, вообще говоря, неограниченный оператор, ко имеет единственный обратный С, поскольку ?iAM?i — поло- положительно определенный оператор; в общем случае С — также неограниченный оператор. Будем сначала использовать С фор- формальным образом, а затем учтем его неограниченность. Учитывая равенство G.18), уравнение G.16) можно пред- представить в виде Lg+ = - l2C2g+, G.19)
7. СТАЦИОНАРНЫЕ ОДНОМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ. КОЭФФИЦИЕНТЫ ПЕРЕНОСА 217 ИЛИ ЛГф= — йАр, G.20) где <P = Cg+, G.21) M = C~lLC~l. G.22) Отметим, что М — самосопряженный и неотрицательный опе- оператор, т. е. = —(ср, С~11С~Ч) = -(С~1ф, LC) = , -ф) = (Мф, -ф), G.23) []]) G.24) Равенство здесь достигается тогда и только тогда, когда С~!ф — инвариант столкновений. Следовательно, уравнение G.20) до- допускает множество собственных функций ср*. с X2 > 0 или X2 = 0, причем нулевому значению соответствуют четыре соб- собственные функции фа = Офа (а = 0,2,3,4), в общем же слу- случае спектр может быть частично непрерывным и частично дис- дискретным. Множество функций фЛ, согласно общей теории [14], является полным в Ж~\, так что для любой ф <= 5ё/~ имеем tt=0 где 0 ^ до <С оо, 0 < Хоо ^ оо, ^4а — произвольные постоянные и Ах — произвольные функции Я; интеграл по дискретной части спектра, если она есть, должен быть заменен суммой. Выраже- Выражение G.25) означает, что любая функция /г , такая, что Ch e Е^ ИЛИ |(/Л bN~\xh+)\<<x>, G.26) может быть представлена в виде разложения ЕЛА+ \ gt®KdK G-27) где g+ = C-\p*. G.28) Конечно, здесь следует расширить оператор С за рамки Ж\ (если функция ф^ принадлежит непрерывному спектру); это можно легко сделать, интерпретируя выражение G.29) в смысле
218 IV. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕНОСА обобщенных функций (такая же интерпретация требуется для G.25) и G.27)). При заданной функции h+ коэффициенты Аа и At в G.25) и G.27) определяются при помощи соотношений ортогонально- ортогональности, которые получаются из уравнения G.20): (ф^ cpv) = O, если Хфк', G.29) или (gK) 1{N-1 [^,]) = 0, если X Ф К'. G.30) Таким образом, коэффициенты Аа в G.27) (при h = h+) имеют вид Л = (^Ч[ад^)/(^Л"'[^а]. \) (« = 0,2,3,4) G.31) при условии, что о|эа означают не инварианты столкновений 1, ?2, ?з, ?2> а линейные комбинации этих инвариантов, удовлетворяю- удовлетворяющие условиям feitf~'[ii1>«], %) = 0 (а^р). G.32) В частности, формула G.31) дает \ = (Щ> Л)/F?. О' )/("'Ш *J (o = 2,3,4). G.33) Как только вычислена g?, соотношение G.15) дает нам не- нечетную часть g~ собственного решения уравнения G.3); точ- точнее говоря, каждая функция g? (кФО) порождает две функции g~, отличающиеся знаком, поскольку в G.12) в качестве % можно взять любое значение квадратного корня из X2. Далее, из G.27) получаем, что любая функция h~, которую можно за- записать в форме /Г = N~ll{h+ (hh+ = Nh~) G.34) (здесь /i+ — четная функция, имеющая вид G.27)), допускает разложение h~ = ? A«N~l (^i*a) + S N~l № №)] At dK G.35) или, согласно G.14) и G.15), 4 ~l BaL~l (l{%) + S ^Л~ dX, G.36) a=2 Яо
7. СТАЦИОНАРНЫЕ ОДНОМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ. КОЭФФИЦИЕНТЫ ПЕРЕНОСА 219 где А стоит вместо A0/k, а Ва вместо Аа (а = 2, 3, 4) и At — =— Ак/Х. Разложение G.36) справедливо при условии IOV/Г, /Г)|<оо, G.37) как следует из G.26) и G.34). Теперь можно доказать следующее утверждение. Теорема. Любая функция /i = /i(§), четная и нечетная части h+ и hr которой удовлетворяют условиям G.26) и G.37)^ может быть представлена в виде разложения \{l)AKdX, G.38) <х=0 gEe gK = g+ -{- g~ — собственные решения уравнения G.3), со- ответствующие X ф 0, а коэффициенты даются формулами. G.33) и формулами G.39) при условии, что гра удовлетворяет соотношению G.32) и g"v надлежащим образом нормирована (в рассуждении предпола- предполагается, что g\ ф g\> при X ф V, что, вообще говоря, неверно; однако вырождение легко снимается, и при доказательстве мы этого не касаемся). Чтобы доказать теорему, достаточно представить h в виде суммы /i+ + h~ и использовать выражения G.27) и G.36). Это- приводит к G.38) с Л = ^4^> Л_Х = ^Ц^ (А>0), G.40) так как g% = gti и g^ = — gZ^ Коэффициенты вычисляются с учетом того, что уравнение G.3) после стандартных операций дает (^Л,?л') = ° (*¦?=*'). G.41) В частности, при %' = 0 feb gi*o) = 0 (a = 0, 1, 2, 3, 4, ХФ 0), G.42) и, как следствие, имеем (^"'[ЕЛЫ, gJ = U~'[?i4>e], liffJ = x^«. а) = 0 G.43) (a =2, 3,4, Л^=0).
220 IV- ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕНОСА При надлежащей нормировке g\ коэффициенты G.39) полу- получаются при помощи скалярных произведений выражения G.38) и величин lig^ l^a, giZ.-1 (gii|5a). Заметим, что ограничения, наложенные на h, сильнее, чем это необходимо. Фактически существования скалярных произ- произведений в G.33) и . G.39) (в смысле теории обобщенных функ- функций, если требуется) достаточно для гого, чтобы оправдать раз- разложение G.38) (также в смысле обобщенных функций). Полученный результат очень похож па теорему полноты для собственных решений уравнения G.3). Действительно, в G.38) находятся все такие собственные решения, соответствующие К ф 0, цъ и К = 0, г|)а. Теорема утверждает, однако, что этих решений недостаточно, чтобы представить любую функцию h\ необходимо добавить три функции 1Н(?1г|)а) (а. = 2,3,4), ко- которые не являются собственными решениями. Этот факт представляет несомненный интерес. В самом деле, мы считаем, что можно найти решение h уравнения G.1), кото- которое принимает, по существу, произвольное значение в некоторой точке х (скажем, х = 0); поэтому указанный результат озна- означает, что невозможно представить любое решение уравнения G.1) как суперпозицию решений с разделенными переменными вида G.2). Данная выше теорема вместе с тем утверждает, что хотя этацель не достигается, однако мы очень близки к ней; до- достаточно найти три частных решения ha (a = 2,3,4) уравне- уравнения G.1), которые принимают в данной точке х, например х = 0, в точности значения L~l(^i^a), и добавить их к множе- множеству решений, имеющих форму G.2), чтобы получить общее решение уравнения G.1) в виде линейной комбинации расши- расширенного набора решений. Три требуемых решения ha (a = 2, 3,4) можно взять в форме ha = x^a + L"l(h^a\ G.44) в чем легко убедиться, подставив эти выражения в G.1). Таким образом, справедлива следующая Теорема. Любое решение h уравнения G.1), такое, что скалярные произведения, входящие в выражения G.33) и G.39), существуют (в смысле теории обобщенных функций, если не- необходимо), может быть представлено в виде разложения а=2 S + \ gADe^dh G.45) @ < Хо < Хх < оо),
7. СТАЦИОНАРНЫЕ ОДНОМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ. КОЭФФИЦИЕНТЫ ПЕРЕНОСА 221 где фа (а = О, I, 2, 3, 4) — пять инвариантов столкновений, ёх($) — собственные функции уравнения G.3), отвечающие X Ф 0, и Аа, ?а, Ах — произвольные коэффициенты (если зна- значения % образуют дискретное множество, то интеграл, как обычно, должен быть заменен суммой). Действительно, пусть h — решение уравнения G.1); умно- умножив это уравнение скалярно на g\(§), получим ~2—(?i?b h) — (eh> Lh) = (Lgx, h) = K(?)igK, /г), G.46) или (?lgb h) = Axe%x\ G.47) где Ах — постоянная. Аналогично -^~(?i%x, л) = ('Фа» Щ = 0, G.48) или _ (^г|5а, h) = Aa, G.480 Аа — постоянная. Наконец, 1—— v^i^ fei^nl, h) = {L~ fSi^nl, LA) = ft;i\bn, й) = Л„ (а=2 3 4) G.49) ИЛИ _ fe^ lhi\], h) = Aaxx + Ba, G.490 Ba — постоянная. Теперь /z для любого фиксированного Xi можно представить разложением G.38) с коэффициентами Аа(х{), Ва(х\) и ^(^i), которые вычисляются по формулам G.33) и G.39). Используя соотношения G.47), G.480 и G.490, сразу находим 4 (*i) = \еКхх\ К (х{) = Аа (а = 0, 1); Aa(xl) = Aa + Bax] (a = 2, 3, 4); Ва(х1) = Вау G.50) где Ах — постоянная, входящая в разложение G.45), а Аа и Ва — постоянные, связанные с Аа, Ва простыми соотноше- соотношениями. В результате получается разложение G.45). Общее решение G.45) составляется из двух частей hA и hB, причем 4 4 а=0 а=2 G.52)
222 IV. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕНОСА где собственные значения X имеют порядок величины, обратной длине свободного пробега /; действительно, обсуждение порядка величины собственных значений оператора L (разд. 6) пока- показало, что Lh/hc^: |/7, и так как ?i —|, то, согласно G.3)у Х^1~[. Ясно, что hB описывает пространственную зависимость, которая существенна вблизи границ и исчезает на расстояниях от них, равных нескольким длинам свободного пробега. То об- обстоятельство, что G.52) содержит экспоненты с i > 0 и К О, отражает необходимость описывать затухание как при х\ > хх> так и при Х\ < x\t где х\ — координата границы. Общее решение G.45) теперь показывает, что если размеры области, в которой содержится газ (полупространство или слой толщины d, так как, по предположению, h не зависит от двух координат), много больше средней длины свободного пробега, d^> /, то hB пренебрежимо мала всюду, кроме пограничных слоев толщины порядка нескольких длин пробега. Эти слоя называются «кнудсеновскими» или «кинетическими погранич- пограничными» слоями, чтобы отличать их от прандтлевских погранич- пограничных слоев, известных в гидродинамике. Вне кнудсеновских слоев решение достаточно точно описывается асимптотической частью /гл, определенной формулой G.51), которую удобно переписать в виде hA = а + b • I + с (I2 - 5RT0) + ? [*& + L-1 Ш] dt + + [я, (I2 - 5RT0) + /Г1 (|, Ш2 - 5/гг0])] g, G.53) где а, Ь, с, diy g — восемь произвольных постоянных, а г|;а взята в виде \JL = I2 — 5RT® для согласования с условием G.32), ко- которое для а = 0 и р = 4 дает (г|>0 = 1) AЬ %) = 0. G.54) Интересно вычислить плотность р, скорость щ, температуру Т, напряжения рц и тепловой поток qit соответствующие hA. Для этого отметим сначала, что если произвести линеаризацию относительно максвеллиана f0 с нулевой скоростью, плотностью ро и температурой То, то получатся следующие результаты: oAd?, G.55) tQ G.56) Т = C/?р) ~' J Isf о A + A) rf| = ро7-ор -' + C/?рГ' J g2foh dl = = ^о - Ро"' S ^oA <& + (З^Ро)"' 5 ^А.Л ^ + О (Л2) = - Го + (ЗДроГ1 ^ fe2 ~ ЗДГо) /0Л ^5 + О (/г2), G.57)
7, СТАЦИОНАРНЫЕ ОДНОМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ. КОЭФФИЦИЕНТЫ ПЕРЕНОСА 223 Pit = \ ctcifo A + h) d\ = рфи + J S&foA d\ + О (/г2), G.58) <7* = у S с^° A + Л) rfs = ^ S ^~7о/г d| ~ Т \ u&2f* dl - — 4- S 6iE*«ftfо di Ч- О (Л2) = = i \ lil2hh dl - 4 Яро7>; + О (Л2) = = \ \ \i (I2 - 5^Г0) /0/г d| + О (/г2), G.59) где O(h2) означает члены второго порядка по возмущению, не учитываемые в линейной теории. Подставляя h = hA и прене- пренебрегая членами второго порядка, получаем G.60) (i = 2,3), G.61) G.62) G-63) а) 6и - ix (dj6n + dfi^RTy G.64) ^ nlg, G.65) где li=-(RT0)~i \ hhfoL~l (hh) dl=-(RT0)~[ \ hhfoL~l Ш dl, G.66) 0^"' [Б. (^ - 5^Го)] ^ G-67) при этом использована инвариантность L относительно отраже- отражений в пространстве скоростей, чтобы установить равенство кулю некоторых содержащих L~{ интегралов. Формулы G.64), G.65), G.61) и G.63) показывают, что piA)==p(A)==^lb^L_ {j?=l)i G.68) Р23 = 0, рп - р22 = раз = 9{A)RT{A) + О (/г2), G.69) q\A) ==-* --_ , q(A) = q(A) = о. G.70) Эти равенства показывают, что на расстояниях в несколько длин свободного пробега от стенки (где применимо распределе- распределение f = fo(l -{- hA)) тензор напряжений и вектор теплового по- потока связаны со скоростью и температурой соотношениями Навье — Стокса и Фурье (II. 8.27), причем коэффициенты вяз-
224 IV. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕНОСА кости jli и теплопроводности к даются формулами G.66) и G.67). Второй коэффициент вязкости не появляется, поскольку dvjjdxh = dvi/dxi = 0. Однако формула (П. 8.27) дает для следа pij выражение dv. Pii=3p-Bii + 3X)-0±, G.71) где давление р есть равновесное значение рц. Но формулы (П. 8.13) и (П. 8.16) указывают, что (для одноатомного газа) ри = Зр независимо от вида /; следовательно, % = —2/з \х и вы- выполняется так называемое соотношение Стокса. Полученные результаты нас вполне устраивают. Действи- Действительно, мы нашли, что, когда средняя длина свободного про- пробега пренебрежимо мала по сравнению с макроскопической длиной, удовлетворяются определяющие соотношения Навье — Стокса для сжимаемой жидкости (обобщение на трехмерный случай дается в разд. 11). Кроме того, получены общие фор- формулы G.66) и G.67) для коэффициентов вязкости и теплопро- теплопроводности. Следует отметить, что эти коэффициенты переноса оказываются зависящими только от температуры и молекуляр- молекулярных констант (плотность исключается, поскольку она входит в /о и L~l как множитель с показателями степени 1 и —1 соответ- соответственно). Этот факт независимости вязкости от плотности был одним из первых успехов кинетической теории, так как он был предсказан до соответствующего эксперимента. Ясно также, что х и \х пропорциональны средней длине сво- свободного пробега (так как Lh ~ (|//)й согласно оценкам разд. 6); это объясняет, почему число Прандтля Рт = ср(ф) G.72) (где ср — удельная теплоемкость при постоянном давлении) для газа всегда является величиной порядка единицы. В случае максвелловских молекул jli и %, а следовательно, и Рг вычис- вычисляются легко, поскольку gig2 и ?i(g2— 5RT0) являются собствен- собственными функциями оператора столкновений с собственными зна- значениями Х02 и In, определяемыми формулой F.10). Соответ- Соответственно, так как для одноатомного газа ср = 5/?/2, то ц = - P0/?W и = - 5/2 ро/^/Яи = - cp9QRT0l\v Рг = Я11Уа02; G.73) используя формулу F.10), можно показать, что последнее отно- отношение равно 2/3 (см. также табл. I в разд. 6). Для немаксвел- ловских молекул число Прандтля (которое для нестепенных по- потенциалов зависит от температуры, хотя и очень слабо) всегда близко к 2/3.
1. СТАЦИОНАРНЫЕ ОДНОМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ. КОЭФФИЦИЕНТЫ ПЕРЕНОСА 225 А-плоскость Л-пмосжть Рис. 22. Спектр собственных значений задачи G.3). Верхний рисунок отно- относится к твердым сферам, нижний — к степенным потенциалам с обрезанием по углу. Эти результаты хорошо согласуются с экспериментальными данными. Главный результат этого раздела — разложение G.45), де- демонстрирующее структуру общего решения линеаризованного уравнения Больцмана для одномерных задач. Следующий шаг состоял бы в отыскании значений Хо и А,оо для любого заданного оператора L. Основной вопрос здесь в том, равно Яо нулю или нет; во втором случае стремление к асимптотическому решению hA экспоненциально на масштабах длины, не зависящих от гра- граничных условий. Качественное обсуждение возможно, когда до- допустимо разбиение Lh = Kh — vh, где К вполне непрерывен. Действительно, можно применить теорему Вейля или ее над- надлежащее обобщение [3] и прийти к заключению, что если К — вполне непрерывный оператор, то множество особых точек (L — ^i)-1 = {К — [v(?) + ^Si]} (т- е- спектр рассматриваемой задачи) отличается от множества нулей функции v(?)+^?i лишь дискретным множеством точек. Это справедливо в случае твердых сфер и степенных потен- потенциалов с обрезанием по углу. Для них получаем, что непрерыв- непрерывный спектр представляет собой множество значений, принимае- принимаемых функцией — v (ь) /ёь когда компоненты § меняются от —со до + оо. Соответственно имеем )= lim — lim G.74)
226 IV. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕНОСА В частности, для твердых сфер Хо > О, tao = оо, а для сте- степенных потенциалов с обрезанием по углу ^о = 0, А,<х> = оо (см. рис. 22). Вопрос о том, существуют ли собственные значения в интервале 0 < \Х\ < Яо, для твердых сфер, кажется, не был исследован. В заключение сделаем несколько замечаний относительно обобщения этих результатов на случай переноса нейтронов. Оче- Очевидно, что если отсутствует деление или преобладает поглоще- поглощение, так что L является отрицательным оператором, то основные построения в приведенном рассуждении не нужны, поскольку спектр можно получить из уравнения для собственных значений оператора (—Ь)~Щ\(—L)~~1/2; собственные решения образуют полный набор. В случае чистого рассеяния доказательство проходит даже в более простой форме, так как нечетные инварианты столкно- столкновений отсутствуют. Однако рассуждения теряют силу, когда спектр L содержит точки на положительной полуоси; при этом можно лишь сказать, что если деление описывается вподне не- непрерывным оператором, то (согласно обобщенной теореме Вейля [3]) невещественные собственные значения образуют дискретное множество. 8. Общий случай Достаточно общие результаты, полученные в разд. 6 и 7, по- побуждают нас исследовать, можно ли представить общее решение линеаризованного уравнения Больцмана как суперпозицию «эле- «элементарных решений» с разделенными переменными. При разде- разделении переменных мы находим, вообще говоря, что простран- пространственно-временная зависимость экспоненциальна: A = ff(S)*/a)'-'k-*, (8.1) причем функция g"(l), описывающая зависимость от скорости молекул, удовлетворяет уравнению (fo-/k-gJ = Lg, (8.5) а со и к в общем случае представляют собой комплексные ска- скаляр и вектор (со = —iX, к = 0 в разд. 6; со = 0, к = (IX, О, 0) в разд. 7). Уравнение (8.2) будет иметь решения только тогда, когда со и к связаны между собой определенным образом; для допустимых значений со и к можно найти соответствующие реше- решения g, которые либо принадлежат Ж («собственные решения»), либо не принадлежат ему («обобщенные собственные реше« ния»).
8. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ 227 В первом случае связь между со и к обычно называется дис- дисперсионным соотношением, а решение gexp(iwt— /к-х) — нор- нормальной модой. Для того чтобы получить общее решение линеа- линеаризованного уравнения Больцмана, нужно построить комбина- комбинацию как собственных, так и обобщенных собственных решений: h= [ Л(ю, к) ехр (Ш — /к • х) g (|; 0, V)dD\ (8.3) D (о), к) здесь g — решение уравнения (8.2), нормированное надлежа- надлежащим образом, а интеграл представляет собой набор интегралов по всему множеству Z)(co, к) допустимых значений со и к (соот- (соответственно здесь будут суммы по дискретным значениям со и к и интегралы по непрерывным множествам). В общем случае вы- выражение (8.3) не будет самым общим решением, как показы- показывает G.45), но есть основания ожидать, что исследование мно- множества D(co, к) внесет ясность и в этот вопрос. При изучении уравнения (8.2) имеется несколько возможно- возможностей, так как можно фиксировать три из четырех комплексных параметров со, ku k2} къ и искать спектр значений параметра, ос- оставленного свободным. В частности, можно фиксировать к и рассматривать со; подробно исследован случай вещественных к. Этот случай возникает при изучении свободных звуковых волн [26—28] и является стандартной задачей о собственных значе- значениях оператора L-\-ik-\\ (L + ik-l)g = Xg (Я = /©). (8.4) Основная трудность здесь заключается в том, что оператор L + ik-g не самосопряженный. Это означает, что общих теорем о полноте собственных функций не существует. Кроме того, не- непросто провести качественный анализ спектра при помощи тео- теоремы Вейля, когда L = K — v и К — компактный оператор. Дей- Действительно, теорема Вейля утверждает, что если оператор А замкнут и самосопряжен, а К вполне непрерывен и самосопря- самосопряжен, то ов(А + К) = ов(А), (8.5) где аеИ) обозначает существенный спектр, т. е. множество пре- предельных точек спектра А. Однако А=—v + ik - § не является самосопряженным, и теорема Вейля в такой форме не приме- применима [29] *). Чтобы устранить это неприятное обстоятельство, было предложено несколько модификаций определения ае\ для некоторых из них теорема Вейля не выполняется в полной мере !) Обобщенная теорема Вейля, учитывающая это обстоятельство, приведе- приведена в работе [54*]. На ее основе в статьях [55*, 60*] была указана общая карти- картина спектра. — Прим. перев.
228 IV. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕНОСА Рис. 23. Спектр собственных значений задачи (8.4) для фиксированного ве- вещественного значения к. [29, 30]. Николаенко [28] заметил, что это обстоятельство поро- породило ряд неточностей в некоторых статьях, где используется инвариантность ае в связи с уравнением Больцмана. Так, ав- авторы работ [27, 31, 34] утверждали, что ае ([- v + ft • Щ + К) = ае ([ -v + А (8.6) следуя, таким образом, определению существенного спектра, при котором справедлива теорема Вейля, однако предполагая не- неявно, что ое — множество предельных точек спектра, т. е. что дополнение ое—множество, где (L + ft-g)-1 существует, за ис- исключением изолированных точек. Основное упущение, как заме- заметил Николаенко [28], состоит в том, что ае может не включать целые открытые множества точечного спектра. Он показал так- также, что для изучаемого оператора этого не происходит. Таким образом, непрерывный спектр оператора L-(-/k-|, где к —вещественный вектор и L = K — v с вполне непрерывным К (как в случае твердых сфер), состоит из точек ft (8.7) где | пробегает все возможные значения (см. рис. 23).
8. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ 229 Относительно дискретного спектра, по-видимому, еще ничего не доказано, за исключением результата Мак-Леннана [32] для случая твердых сфер. Согласно [32], L -\- ьк.% при достаточно ма- малых к имеет пять изолированных собственных значений №а)(к) (а = 0, 1, 2, 3, 4) (не обязательно различных), которые сво- сводятся к Х{а) = 0 при к = 0 и аналитичны по |к|. Это вытекает из теоремы о возмущении спектра [3], в которой утверждается, что если К есть m-кратное собственное значение самосопряжен- самосопряженного оператора L и V — самосопряженный оператор, удовлетво- удовлетворяющий неравенству WL'hW^MiUW + WLhW) (8.8; (М не зависит от h для любой h из области определения как L, так и L'), то оператор L -f- zLr при достаточно малых значе- значениях комплексного параметра z имеет т изолированных соб- собственных значений, которые приводятся к К при z = 0 и анали- аналитичны по z. Для того чтобы применить этот результат к пятикратно вы- вырожденному собственному значению Я = 0 оператора L, нужно лишь положить k = ke (e — единичный вещественный вектор), z = ik, Z/ = e-g и доказать, что неравенство (8.8) выполняется. Последнее непосредственно вытекает из следующих фактов. 1. L = K — v. 2. В случае твердых сфер v(?) линейно возрастает при боль- больших | (значит, существует такое Ми что |е-§| <. Afxv (g)). 3. К — вполне непрерывный и, следовательно, ограниченный оператор (значит, существует такое М2, что \\Kh\\ <CM2\\h\\). 4. Выполняется неравенство треугольника (Il/ + g1l ^ 11/11 + 1И Используя эти свойства, получаем ||;Z.XA || = || (е •'g) Л ||<ЛГ! || v/г || = Af! [|(/С—Z.)Л ||< Af, (|| /С У <M,(A12||A||+||LA||)<M(||A||+I|LA||) (M==max(Mb М{М2)), (8.9) чте и следовало доказать. Это локальный результат, так как радиус сходимости рядов для №<*) = №a)(k), по-видимому, не превосходит величины Ко, определенной формулой G.74). Дей- Действительно, для z вещественных, а не чисто мнимых L-\-z(^-e) имеет непрерывный спектр, который достигает нуля при z = = ztKo. По этой же причине следует ожидать, что. для потея-
230 IV. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕНОСА Рис. 24. Спектр собственных значений задачи (8.10) для фиксированного вещественного значения со. циалов с обрезанием по углу (Хо = 0) не существует дискрет- дискретных собственных значений, разложимых в ряды по степеням к. Это завершает обсуждение случая вещественного и фиксиро- фиксированного к. Полнота собственных функций, по всей видимости, еще не обсуждалась в литературе, хотя должно быть не трудно получить результаты при помощи методов теории полугрупп. Подробно рассматривался и другой случай, а именно случай, когда % = ш фиксировано (со вещественна), а к = &е, где ве- вещественный единичный вектор е также фиксирован. Здесь k иг- играет роль собственного значения, но является множителем при неограниченном операторе умножения |-е, что, конечно, создает дополнительную трудность. Теперь следует изучить уравнение (ш — L)g = ik (I • е) g. (8.10) Если L = К — v и К вполне непрерывен, то, как доказал Ни- колаенко [28], непрерывный спектр для обобщенной задачи на собственные значения (8.10) дается значениями k} определяе-
8. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ 231 мыми формулой , со —- iv (?) /о 1 1 \ к = —|ГГ~> V8-11) где § пробегает все возможные значения (см. рис. 24) *). Более сложное положение возникает в случае, когда к нельзя записать в виде к = ke с вещественным единичным вектором е. Тогда задача на собственные значения является нестандартной. Случай со = 0, соответствующий уравнению -&.gg = Ig, (8.12) особенно интересен, так как соответствует стационарной задаче. Если k = ke (e-e=l, e — вещественный вектор), то, выбирая в пространстве скоростей первую ось декартовых координат в направлении е и полагая —ik = А, мы вновь приходим к урав- уравнению G.3). Согласно известным для него результатам, реше- решения уравнения (8.12) не образуют полного набора. Случай комплексного е не рассматривался. Следует заметить, однако, что в общем случае множество всех значений со и к, для которых уравнение (8.2) имеет реше- решение, слишком велико в том смысле, что не все решения из него являются линейно независимыми. Это обстоятельство затруд- затрудняет получение выводов из анализа «задачи на собственные зна- значения» для более чем двух комплексных параметров. Альтерна- Альтернативой является использование преобразования Лапласа — Фурье ft(x, t)dxdt. (8.13) о r Тогда (/со — ik-Qh = Lh + gOi (8.14) где свободный член g0 включает граничные и начальные значе- значения. Уравнение (8.14)—неоднородное уравнение, соответствую- соответствующее (8.2) с вещественным к. Изучение спектра и собственных функций уравнения (8.2) приводит, хотя бы в принципе, к по- построению обратного оператора (L — fco + tk-g)-1 (см. разд. 11, где обсуждается стационарный случай со = 0). Таким образом, величину Я = (L — ш + ik-g)^ можно считать известной, если известна g0. Трудность заключается в том, что для задачи с граничными условиями величина, go, во- вообще говоря, неизвестна, так что решение можно получить лишь 1) Картина непрерывного спектра, определяемого формулой (8.11), была установлена в работах [55*, 60*]; при этом рассматривался весьма широкий класс взаимодействий, включающий и случай стремящейся к нулю частоты столкновений. — Прим. перев.
232 IV. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕНОСА для частных случаев при помощи специальных методов (напри- (например, некоторые полупространственные задачи могут быть ре- решены методом Винера — Хопфа [35]). 9. Линеаризованные кинетические модели В разд. 10 гл. II обсуждалась возможность замены столкно- вительного члена в уравнении Больцмана более простым выра- выражением, названным столкновительной моделью. Идея состояла в том, что многие детали парного взаимодействия, содержа- содержащиеся в столкновительном члене и отражающиеся, например, в тонких свойствах спектра линеаризованного оператора, вероят- вероятно, не влияют существенным образом на значения многих экспе- экспериментально измеряемых величин. Это привело к БГК-модели и ее вариантам, которые обсуждались в гл. II. Та же возможность существует для линеаризованного и ли- линейного уравнения Больцмана, для которых имеются удовлетво- удовлетворительные систематические методы построения моделей. Простейшая модель линеаризованного оператора столкнове- столкновений получается при линеаризации БГК-модели. Полагая в (II. 10.3) / —fo(l + h) и пренебрегая степенями А выше первой, имеем Л) — /г! , (9.1) J где инварианты столкновений г|эа нормированы таким образом, что (Фа, %) = Ч (а' Р==0' ^'З, 4), (9.2) а ( , ) обозначает скалярное произведение в <3#, определенное формулой A.9). Очевидно, что выражение (9.1) определяет опе- оператор существенно более простой, нежели точный линеаризован- линеаризованный оператор. Заметим, что выражение (9.1) можно переписать в виде Lh = v(IUi — h) = — v(I — П) А, (9.3) где П — оператор проектирования в пятимерное пространство^, построенное на инвариантах -ф, а / — единичный оператор (соот- (соответственно / — П есть проектор в W, ортогональное дополнение gr в Ж). Выражение (9.1) или (9.3) означает, что линеаризо- линеаризованный БГК-оператор обладает свойствами A.10), A.12), A.15) и, следовательно, A.16). Для свойств A.10), A.12) и A.16) это почти очевидно, а свойство A.15) вытекает из (9.3) с учетом того, что (A, LA) = -v(A, (/ —' П) Л) = — v || (/ — Щ Л ||2
9. ЛИНЕАРИЗОВАННЫЕ КИНЕТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ 233 где равенство достигается, очевидно, только тогда, когда (/_П)Л = 0, или а Алгоритм уточнения линеаризованной БГК-модели, вклю- включающий ее как первый член в последовательность моделей, ап- аппроксимирующих оператор столкновений для максвелловских молекул с любой заданной точностью (в подходящей норме), предложен Гроссом и Джексоном [36]. Исходным при этом яв- является разложение h в ряд по собственным функциям оператора столкновений для максвелловских молекул (разд. 6), образую- образующим полную систему ортогональных функций а = 0 -а, Л), (9-4) где а —единый индекс, представляющий тройку (nj,m) так, что инварианты столкновений /фа соответствуют значениям а = 0, 1, 2, 3, 4. Тогда, поскольку для максвелловских молекул ?фа = ^-аФа» имеем оо оо Lh=Z L^a(M?a, h) = ? М>аD>а, А). (9-5) а=0 а=0 Алгоритм аппроксимации L заключается в частичном на- нарушении тонкой структуры спектра L посредством сведения всех собственных значений для a > N к одному, которое будем обо- обозначать через —vAr. Это равносильно замене L аппроксимирующим оператором LiY, определенным так: N с» LNh=Z M>aD>a, h)-VN Z Фа (Фа, А). (9.6) а=0 a=N+l Разложение (9.4) дает оо N Е Фа (Фа, А) = А - ? Фа (Фа, А), (9.7) а=ЛГ-Ы а»0 и (9.6) принимает вид LNh = ? (A,e + vw) ta (г|>в, /г) - v^A. (9.8) a=0 В частности, при N = 4, Яа = 0 для 0 ^ а ^ N и выраже- выражение (9.8) сводится к (9.1) (с v4 = v); увеличивая N, мы вклю- включаем в модель все больше деталей спектра L. Если взять N == 9, подключив пять собственных функций, соответствующих
ХМ IV. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕНОСА /г = 0, 1 = 2 в F.10), то получится линеаризованный вариант ЭС-модели (II. 10.7). Указанная схема применима лишь к случаю максвелловских молекул. Однако небольшое обобщение разложения (9.5) поз- позволяет получать столкновительные модели, соответствующие любым линеаризованным операторам столкновений [37]. Дей- Действительно, ничто не мешает использовать разложение (9.4) даже в том случае, когда \ра (собственные функции максвел- ловского оператора столкновений) не являются собственными функциями рассматриваемого оператора. Применение L к обеим частям (9.4) дает оо LA = ? L\(%, А), (9.9) 3=о ' ' но ко второму знаку равенства в (9.5) мы перейти не можем. Однако можно разложить правую часть (9.9) в ряд по \ра и по- получить L/г = 2 ^ав ('Фа» A)i|)a, (9.10) где Выражение (9.10) является обобщением (9.5) и сводится к нему, когда Яар = ^а6ар. Если теперь ввести аппроксимацию Хар = —Vjv6af3 для a, p >> N, то получится модель N LNh = S (V/AB + ^a6) ta СФв> h) - VA (9-12) которая обобщает (9.8) на немаксвелловские операторы. Вы- Выбор N = А снова дает БГК-модель. Заметим, что LN можно записать в виде LN = Кк — v^/, где vN — постоянная, / — единичный оператор и Kn отобра- отображает любую функцию в конечномерное пространство 91™ с ба- базисом г|)а (a^yV). Если написать уравнение F.8) для соб-. ственных значений оператора LN и взять его проекции в 2frN s и в его ортогональное дополнение, то окажется, что эти два уравнения не связаны; тогда легко показать, что спектр состоит из N собственных значений между —vN и 0 (с собственными функциями в виде полиномов; в частности, \|эа для модели, опре- определяемой (9.8)) и собственного значения — vN бесконечной кратности. Отметим снова, что операторы столкновений для твердых сфер и жестких потенциалов с обрезанием по углу являются неограниченными и имеют непрерывный спектр; операторы для жестких потенциалов без обрезания также неограниченны. Если
9. ЛИНЕАРИЗОВАННЫЕ КИНЕТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ 235 эти свойства операторов и влияют как-то на решение конкрет- конкретных задач, то это влияние исчезает, когда применяются модели вида (9.12) (или — в частном случае — вида (9.8)). Поэтому удобно ввести и исследовать модели, которые сохраняют ука- указанные выше характерные черты линеаризованного оператора столкновений; сделать это можно несколькими способами. С общей точки зрения простейшая схема основывается на обстоятельстве, которое известно (для твердых сфер и обреза- обрезания по углу) или предполагается (для потенциалов конечного радиуса) и состоит в том, что L = К — v/ и К* = v~l/2Kv~l/2 — самосопряженный и вполне непрерывный в Ж оператор (см. разд. 6). При этом ядро К* можно разложить в ряд по его квадратично суммируемым собственным функциям cpav1/2 (та- (таким, что /Сфа = |iavcpa), т. е. можно написать *A = v(S)i; ^acpa(vcpa, А). (9.13) Обрывая этот ряд (приближение вырожденного ядра), по- получаем модель [38]: LNh = v (S) ? ^аФа (v<Pa, А) - v (|) А. (9.14) а = 0 Этот оператор автоматически удовлетворяет всем основным требованиям, выраженным соотношениями A.10), A.12), A.15) и A.16). Так как первые пять собственных функций сра являются инвариантами столкновений г|)а и соответствуют \ха = 1 @ ^ а ^ 4), из (9.14) при N = 4 следует = v (|) t % И>в, h) - v (?) h, (9.15) a = 0 где инварианты столкновений нормированы так, что (Фа> V4>p) = 6op. (9.16) Выражение (9.15) как раз представляет собой линеаризо- линеаризованный вариант нелинейной модели, в которой частота столкно- столкновений зависит от скорости и которая кратко обсуждалась в разд. 10 гл. II. При получении моделей, соответствующих N ^ 5, мы стал- сталкиваемся с той трудностью, что у нас нет аналитических выра- выражений для фа (а ^5); правда, их можно определить численно, но это, очевидно, значительно усложнит задачу. Вместе с тем способ получения моделей (9.14) и (9.15) показывает, что v(|) фиксируется выбором исходной молекулярной модели, и, следо- следовательно, у нас не остается свободных параметров, чтобы полу- получить точные значения коэффициентов вязкости и теплопроводно-
236 IV. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕНОСА сти (которые, согласно G.66) и G.67), однозначно определяют- определяются оператором L). Заметим, что БГК-модель, построенная методом Гросса и Джексона, содержит свободный параметр vNy который можно использовать для получения верного значения одного из двух коэффициентов переноса. Эта гибкость достигается и в рассмат- рассматриваемой модели, если несколько изменить рассуждение и вве- ввести дополнительный параметр. Вместо простого обрывания ряда в (9.13) (\ia = О для a>N) можно положить Xa = kN для а > N (имея в виду, что kN~^0 при N —>oo). В результате по- получается та же модель (9.14), только вместо v(g) будет A —&jv)v(?), а вместо \ла—величина (jma — kN)/(\ —kN)\ в ча- частности, при N = 4 единственным изменением будет появление перед v(?) свободного множителя, который сообщает модели желаемую гибкость (однако смещает непрерывный спектр). Можно достичь большей гибкости, используя модели более высокого порядка), но при этом мы встречаемся с упомянутой трудностью — отсутствием функций cpa (а ^5). Эту трудность можно обойти, применив способ, аналогичный использованному выше при немаксвелловском моделировании, т. е. взяв полный набор ортогональных функций и разложив все величины по этим функциям, как это делалось при получении (9.10). Конеч- Конечно, если мы хотим сохранить характерные свойства моделей (9.14), (9.15), то следует выбрать подходящую систему функ- функций; проще всего взять множество полиномов, ортонормироваи- ных с весом /o(?)v(?), где /0 — основной максвеллиан. Простей- Простейшая модель снова принимает вид (9.15), однако теперь можно без особых трудностей получить модели произвольно высокого порядка (при этом численно определять нужно лишь коэффи- коэффициенты, а не функции); способ построения очевиден, и мы не будем описывать его подробно1). Полезные схемы построения моделей могут основываться на требовании, чтобы для малых длин свободного пробега эти мо- модели верно воспроизводили поведение не только некоторых ко- коэффициентов, но и самой функции распределения. Согласно .результатам разд. 7, решения уравнения Больцмана для стацио: нарных одномерных задач принимают вид h = hA на расстоянии от границ в несколько длин пробега, hA дается выражением G.51). Поэтому для получения из столкновительной модели верного асимптотического поведения необходимо, чтобы выпол- выполнялось равенство L A$а) = L~l (e,^a), если LN — оператор, заменяющий L. С учетом того, что Ln и L~l — операторы, об- 1) Рациональные модели, о которых здесь говорится, введены, обосно- обоснованы и эффективно использованы для решения задач, связанных со спект- спектром, в работах [36, 55* — 57*, 60*]. — Прим. перев.
9. ЛИНЕАРИЗОВАННЫЕ КИНЕТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ 237 ратные LN и L в подпространстве W, ортогональном инвариан- инвариантам столкновении, это условие можно записать в следующем виде: L~n (h% - П [Ш) = L-1 (|А - П [|,фа]), (9.17) где i= 1 и П — проектор на ^F, подпространство с базисом фа. Так как первая ось равноправна с другими, (9.17) должно быть справедливо и для / = 2, 3. Условие (9.17) указали Лоялка и Ферцигер [39]. Заметим, что, хотя а может принимать пять зна- значений, при а = 0 это условие дает тождество 0 = 0. Поэтому остается L~N{ (U-l/*l\) = L"' {Ы-4*1%,) = А (I) (|Ду-'/з 1%,)> О-18) L-1 F, [6s - 5^Г0]) = L-1 Ff [6s - 5RT0)) = |(.B (g), (9.19) где вследствие симметрии зависимость L-1^-^- — ЧзЕ>28ц) и ^~!(&Л&2 — 5/?Г0]) от | определяется с точностью до множителя, зависящего от величины скорости. Вместе с тем, поскольку ?г-Б(?) должно принадлежать W, функция S(g) должна быть такой, что (?2, В(Ъ)) = О. Условия (9.18), (9.19) могут быть удовлетворены, если выбрать модель такого рода: Lish = v(t)№oMo, A) + ^(v^, A) + *4(vx|L, h) + + ^/(v^7, A) + г|>м (vi|)M, A) -A], (9.20) где, как обычно, подразумевается суммирование по повторяю- повторяющимся индексам i, / от 1 до 3, а гр^-, 1|)гч имеют вид причем С(?) и D(|)—функции скорости молекул g, которые определяются из формул (9.18) и (9.19) и выражаются через Л(|), В (g) и v(g). Простое вычисление дает D(l) = {В A) + [v (g)]-1 (|2 - 5RT0) - [(v, |2)]-' (v, 12B)} X (9.22) X Gз[№ ?-5RT0) + (vB, ^2B)]-[3(v, I2)]'1 [(v, Z2B)f}~'12 Трудность опять состоит в том, что, за исключением максвел- ловских молекул (А = const, В = const), мы не имеем аналити- аналитических способов вычисления А(^) и В(?). Однако иногда мо- модель (9.20) оказывается полезной, так как она позволяет полу-
238 IV. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕНОСА чить достаточно точные результаты для молекул, отличных от максвелловских; это справедливо, в частности, в тех случаях, когда конечные зависимости выражаются через квадратуры, ко- которые берутся численно. Аналогичные рассуждения пригодны и для случая переноса нейтронов. Положение здесь несколько проще, так как имеется, самое большее, один закон сохранения. Поэтому можно выки- выкинуть четыре из пяти членов в (9.15) и заменить правую часть уравнения C.9) выражением Ц = YV (?) /о (?) J v (?') f (Г) d% - v (У / (|), (9.23) где (ЮЫЮ^- (9.24) Эта модель для переноса нейтронов, по-видимому, предло- предложена Корнгольдом и др. [40]. Ее, конечно, можно улучшить, до- добавив интегральные члены, как в случае газов. Такие модели, однако, недостаточны для описания кристаллических замедли- замедлителей, где возникает явление когерентного рассеяния, вызывае- вызываемое интерференцией нейтронных волн. Это явление существенно влияет на спектр, рассмотренный в разд. 8, и его нельзя игно- игнорировать [41, 42]. Особую осторожность при использовании упро- упрощенных моделей следует проявлять в том случае, когда имеются высокоэнергетические источники; в этом случае существуют мо- модели [43], в которых нарушается взаимность (последняя не имеет особого смысла, когда энергия нейтронов существенно, напри- например в 10б раз, превосходит энергию теплового движения замед- замедлителя). Модель (9.23) приводит к следующему виду линейного урав- уравнения Больцмана: Приближение другого рода, которое часто делается в теории переноса нейтронов, состоит в исключении зависимости от ско; рости на основе допущения, что все частицы имеют одну и ту же скорость |; при этом уравнение C.10) записывается в виде I dt dx J (9.26) где 4f = 4f(x, Q)—некоторое среднее по скорости значение f, а | — подходящая средняя скорость. Часто рассеяние считается изотропным, т.е. а(?У-Й, х) предполагается не зависящим от
10. ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП 239 QQ'. Тогда, поскольку источник нейтронов деления также при- приближенно изотропен, можно записать dQ/ + q{x> Q>/)- (9-27) Здесь q(x, Q, t) — внешний источник, а с—среднее число вто- вторичных нейтронов на столкновение, определяемое так: (crs, оа и Of — сечения рассеяния, поглощения и деления соот- соответственно; О = Os-\- Оа) . Уравнения (9.26) и (9.27) используются также в теории пе- переноса излучения. Если предположить, что аа и as в C.25) не зависят от частоты (так называемое серое излучение) и проин- проинтегрировать C.25) по частоте, то с учетом C.26) получится уравнение (9.26) с |== ct (скорость света) и При этом четвертая степень температуры играет роль, анало- аналогичную плотности нейтронов. В частности, если рассеяние; от- отсутствует или изотропно, то получается уравнение (9.27) (с с = = 1 и 1= ci). 10. Вариационный принцип В этом разделе исследуем возможность получения вариаци- вариационного принципа для линеаризованного уравнения Больцмана. Будем рассматривать стационарный случай, хотя, используя свертку или преобразование Лапласа, можно изучать и неста- нестационарный случай. Итак, рассмотрим уравнение g.i?. = LA + ff0, A0.1) где go — член типа источника, который обычно равен нулю, однако сохраняется здесь ради общности. Граничные условия, которые следует добавить к уравнению A0.1), записываются в виде B.14), а основной максвеллиан /о имеет нулевую массо- массовую скорость. Нетривиальный вариационный принцип для линейного урав- уравнения обычно основывается на самосопряженности линейного оператора 3?, который входит в уравнение S, A0.2)
240 IV. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕНОСА где S — член типа источника. Как только будет показано, что 3? является самосопряженным относительно определенного ска- скалярного произведения (( , )), так сразу же доказывается, что функционал ? ? - 2 «s, А)) (Ю.З) удовлетворяет условию 67 = 0 A0.4) тогда и только тогда, когда Я = А+6/г, где h — решение урав- уравнения A0.2), а 6А бесконечно мало. Хотя L — оператор, самосо- самосопряженный в Ж и, значит, в гильбертовом пространстве Ж®91, где скалярное произведение задается формулой D.3), оператор D = ^-д/дх с граничными условиями вида B.14) с Ао = 0 (Ао можно, хотя бы формально, отнести к источнику) не является самосопряженным в Ж®$& или в любом гильбертовом простран- пространстве с положительной нормой. Однако легко видеть, что имеет место равенство ((?, PDh)) = ((PDg, /г)) + ((?+, PA"))B-((Pg", А+))д, A0.5) где Р — оператор четности в пространстве скоростей, определен- определенный формулой (III.5.7). Тогда соотношения B.14), B.19) и D.5), в которых g и А заменены на Pg~ и Ph~, дают ((?, PDh)) = ((PDg, А)), A0.6) так что оператор PD является самосопряженным относительно скалярного произведения в Зё®31. Заметим, что для любого центрального взаимодействия L коммутирует с Р при условии, что в основном максвеллиане /о скорость Uq равна нулю (см. G.8)). Соответственно (g, PLh) = (g, LPh) = (Lg, Ph) = (PLg, A), A0.7) так что не только L, но также и PL — оператор, самосопряжен- самосопряженный вЖ и, следовательно, в Ж®&. Иначе говоря, хотя опера- оператор D — L не является самосопряженным в 36®91, оператор P(D — L) таковым является, или, если угодно, D — L — самосо- самосопряженный оператор в псевдогильбертовом пространстве с би- билинейной формой ((/, g))p= ((/, Pg))t которая обладает всеми обычными свойствами скалярного призведения, за исключением того, что ((/, f))P не является нормой, поскольку может прини- принимать как положительные, так и отрицательные значения. Самосопряженность P(D — L) означает, что можно сразу же сформулировать вариационный принцип, отождествляя Р (D—L) с & и Pg0 с S в A0.3). В этом вариационном принципе Я долж- должна удовлетворять тем же граничным условиям, что и А, а это
10. ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП 241 оказывается неудобным во многих приложениях. Поэтому обоб- обобщим /(/г) следующим образом [44]: -2ho))B. A0.8) Легко вычислить 6/ = ((бА, P(D-L)h- 2Pg0)) + + ((Я+ - APh~ - 2А0, РбА"))в. A0.9) Теперь можно использовать симметрию P(D — L); однако следует учесть, что, вообще говоря, Я не удовлетворяет гранич- граничным условиям. Соотношение A0.5) тогда дает ((A, P(D-L) 6А)) = ((Р (D - L) Я, 6А)) + + ((Я\ Р6А~))В - ((ра-, бЯ Кроме того, в силу B.19) с А — РбЯ~, g = Ph ((Р#~, ЛР6А~))В = ((ЛРА~\ РбА")). Подставляя A0.10) и A0.11) в A0.9), получаем б/ = 2 ((Р (D - ЦЙ - Pg0, вА)) + 2 ((Я+ Й )в- (Ю- имеем A0. РбН~))в. A0. Ю) 11) 12) Соответственно, если Я = h, где Л — решение уравнения A0.1) с граничными условиями B.14), то б/ = 0. Обратно, если б/ = 0 для любой 6Я в занятой газом области и на ее границе, то отсюда следует, что Я = h. Заметим, что этот вариационный принцип отличается от прин- принципа минимума, данного в конце разд. 6 для уравнения Lh—g. Интересно рассмотреть значение, принимаемое функциона- функционалом / при Я = Л; из A0.8) имеем ]{h) - - ((h, Pg0)) - ((Ао, Ph~))B. A0.13) Смысл этого результата полностью раскрывается лишь пое- поело изучения выражений для Ло и g0. Вообще говоря, g0 = 0 (см., однако, разд. 5 гл. VI), a h0 имеет вид B.15); при этом = — (("Фо". Ph-))B = - ((f9+, Ph'))B +)) (( - *0+)V A0.14)
242 IV. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕНОСА Последний член представляет собой известную величину, в то время как первый и второй члены можно записать в таком виде (принимаем в B.16) и0 = 0, чтобы выполнялось равенство A0.7)): dS + J Il=^?- qndS\ A0.15) Здесь р(П) — вектор нормальных напряжений, a gn = q-n — нормальная компонента потока тепла. Учтено также сохранение массы на границе. Заметим теперь, что, не уменьшая общности (вследствие ли- линейности задачи), удобно рассмотреть отдельно два случая: uw = 0 и Tw = Го. Часто бывает, хотя это и не обязательно, что в этих случаях Tw и иш можно считать постоянными (как, на- например, в важном случае обтекания твердого тела). Когда по- последнее имеет место, функционал становится пропорциональным некоторой суммарной величине, представляющей физический интерес (например, коэффициенту сопротивления или теплопе- теплопередачи). Как отметили Ланг и Лоялка [45, 46], рассмотренный прин- принцип можно обобщить, введя наряду с h решение А* линеаризо- линеаризованного уравнения Больцмана с другим свободным членом g*; в этом случае вводится функционал /(Я, Я*), который стацио- стационарен при Я = h и Я* = ft*, и можно выбрать величину, которая связана с /(A, h*) при подходящем выборе g*. 11. Функция Грина Как указано в конце предыдущего раздела, наряду с урав- уравнением Больцмана, линеаризованным относительно максвеллиа- на с нулевой массовой скоростью, Dh = Lh + g0, A1.1) где D — оператор %-д/дх, рассмотренный в разд. 10, иногда удоб- удобно использовать то же уравнение с другим свободным членом: »о' .2)
11. ФУНКЦИЯ ГРИНА 243 Мы рассматриваем стационарный случай, так как зависи- зависимость от времени учитывается при помощи преобразования Лап- Лапласа и замены L на L — s/, где s — параметр Лапласа (при этом нужно обращаться с s как с вещественной величиной — даже когда это не так — для того, чтобы в скалярные произведе- произведения не входило комплексно сопряженное значение s). Самосо- Самосопряженность L и оператор четности Р дают {{Ph\ g0)) - ((h, Pg*)) = {{Ph\ Dh - Щ) - ((P (D - L) h\ h)) = = ((h',PDh))-{(PDh;h)). A1.3) Из A0.5) получаем ((Ph\ go))-((A, Pg*o)) = ((ht+, Ph-))B-((Ph*-, h+))B. A1.4) Это — общее соотношение между решениями h, h* и соответ- соответствующими свободными членами g0, g*0. Представляют интерес частные случаи. Если, например, g удовлетворяет уравнению A1.1) в области R с обычными граничными условиями на OR и /г* удовлетворяет уравнению A1.2) со свободным членом вида х0б(|-Г) A1.5) (скалярное произведение (( , )) имеет смысл даже для элемен- элементов, не принадлежащих пространству Ж) во всем пространстве с подходящими условиями на бесконечности, то соотношение A1.4) принимает вид (для х е R) \\ G(x, -g; x', g0go(x, l)h(l)dldx-h(x', — Г)fo(iO = R = - 5Jg-nG(x, -g; x', gOA(x, l)fo(l)dldS, A1.6) где Gfx, g; x', gO обозначает решение уравнения A1.2) со сво- свободным членом A1.5) и соответствующими условиями на беско- бесконечности. После простых преобразований получаем из A1.6) /о (g) h (х, I) = \ \ G (х/, - Г; х, - g) g0 (x', gO /о (gO ^Г dx! + + JJ g' • nG (x\ -Г; x, -g) A (x/, gO f0 (gO ^Г ^5Г (х е /?). A1.7) dR Это равенство показывает, что решение h уравнения A1.1) выражается через свободный член и значения h на dR, коль скоро известна функция Грина для бесконечного пространства. Трудность здесь, конечно, состоит в том, что значения h на гра- границе не известны (в простейшем случае, когда в B.14) А = О, А известна для g'-n >> 0, но не для |'-п •< 0).
244 iv. линейная теория переноса Если взять ?0 = ?ц, где g* имеет вид (Н-5), и принять под- подходящие граничные условия для А, то А = А* = G (х, |; х', ?') и A1.7) сводится к соотношению /о (|) G (х, |; х/, Г) = G (х7, - Г; х, - g) f0 (Г), (П.8) где интеграл по поверхности отброшен в силу предположения, что при dR-^oo он обращается в нуль. Соотношение A1.8) яв- является условием взаимности для функции Грина линеаризован- линеаризованного уравнения Больцмана. С учетом A1.8) равенство A1.7) можно переписать в виде h (хЛ) = \ \ G (х> |; х'> ?) ?°(х'> Г) dl' dx' + R Г • n'G(x, I; х/, Ю А(х/, Г) dr dS. A1.9) Чтобы полностью использовать этот результат, можно попы- попытаться определить при его помощи А(х, |) для x<^R. Для этого устремим х в A1.7) к точке границы, что даст h (х, \) = \\ G (х, |; х', Г) go (х-', I') d%' dx' + R A1.10) здесь G+ обозначает предел G(x//, |; x', |7) (х^бУ?) для х/7—>х изнутри /? (как показывает интегрирование A1.2) с g*0 в виде A1.5) по тонкому слою, содержащему участок dR, при переходе через границу G претерпевает разрыв, пропорциональный дельта-функции). В частности, если в качестве А взять функцию Грина для бесконечного пространства G+(x, ?; х", |"), x"^dR, то g0 = 0 и A1.10) принимает вид G+ (х, I; х", Г) = \ J Г • п^+ (х, I; х', Г) X OR X G+ (х7, Г; х", Г) dr dS7 (x, x"<=dR). A1.11) Если, с другой стороны, мы возьмем в качестве А функцию Грина G(x, §; х", Г), x^i?, то go = б (х —х") 6 (§ - Г) и из A1.10) имеем (первый интеграл в правой части взаимно унич- уничтожается с левой частью) 0 = ^ g' • WG+ (х, |; х', Г) G (х/, Г; х", Г) dl' dS' A1.12)
11. ФУНКЦИЯ ГРИНА 245 Соотношения A1.11) и A1.12) —основные тождества, кото- которым удовлетворяет функция Грина линеаризованного уравнения Больцмана. Некоторые из них были указаны Кейзом [47]. Дан- Данные тождества полезны при обсуждении одного парадоксального замечания относительно равенства A1.10). Можно попытаться решить это интегральное уравнение для /i(x, §) (x<=dR) и най- найти h на dR и, следовательно, h в R при помощи A1.9). С другой стороны, значения h на границе для |-п > 0 могут быть заданы произвольно' или во всяком случае должны быть связаны с та- таковыми для |-п<0 граничным условием B.14), где Л —изве- —известный оператор и h0 — заданный свободный член. Таким обра- образом, получается, что уравнение A1.10) решить нельзя, но си- система уравнений B.14) и A1.10) должна быть разрешима относительно неизвестных h+, hr% В связи с этим заметим, что уравнение A1.10) можно записать в виде h = Wgo + Bh, A1.13 где W и В — интегральные операторы, определяемые очевидным образом. Соотношения A1.11) и A1.12) суть тождества для ядер этих операторов и эквивалентны равенствам В2 = В, BW = 0. (П.14) Если применить оператор В к обеим частям уравнения A1.13) и использовать A1.14), то получится тождество Bh = Bh, и это -подтверждает, что A1.13) не определяет h единственным обра- образом. Введем /i+, h~ и операторы ?++, В+-, В~+, В—, W+, W~, определяемые как сужения IF и 6 из одного из двух подпрост- подпространств функций, определенных для |-п>0 и |-п<0 соответ- соответственно, в другое (возможно, то же) подпространство. Тогда уравнение A1.13) принимает вид h+ = W+g0 + B++h+ + B+~h~, A1.15) /Г = W~g0 + B~+h+ + B~~h~ A1.16) и равенства A1.14) порождают шесть тождеств, в частности A1.17) B++W+ Применяя к обеим частям A1.15) оператор В++ и учитывая A1.17), получаем 0 = В+~ (/Г - W~g0 - B~+h+ - B~~h~) A1.18)
246 IV. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕНОСА и в силу правдоподобного предположения, что оператор /За- /Заимеет обратный, уравнения A1.15) и A1.16) оказываются экви- эквивалентными, так что одно из них можно исключить, а второе объединить с B.14), составив систему A1.19) h- = w-g0 + B~+h+ + B—h-, или /Г = W~gQ + fi~+A0+ + (B~+AP + B~) /Г. A1.20) Это интегральное уравнение для Ьг в принципе решает гра- граничную задачу для линеаризованного уравнения Больцмана. Так как этот метод не применяется на практике, мы не будем углубляться в детали и обосновывать проведенный формальный анализ. Рассмотрим теперь задачу о построении функции Грина; не умаляя общности, возьмем х' = 0, поскольку G(x, |; хх, |х) =¦ = G(x — Xх; |; 0, |х). Нужно решить уравнение Воспользуемся преобразованием Фурье по пространственным переменным G (к, |; Г) = \ G (х, 6; Г) ^'к'х ^х A1.22) с формулой обращения <7(х, 6; Г) = Bя)~3 ^ G (к, 6; Г)в"'к^ dk. A1.23) Из A1.21) тогда имеем (если G не стремится к нулю при х~>оо, то уравнения следует понимать в смысле обобщенных функций) - /к • IG = LG + б (| - Г). A1.24) Если первую ось направить вдоль к, то получится - iklxG = LG + 6 (I - Г), A1.25) где & — абсолютное значение к. То же самое уравнение полу- получается, если исходить из соответствующего A1.21) одномерного уравнения f (g-g') A1-26)
11. ФУНКЦИЯ ГРИНА 247 (источник здесь не точечный, а плоский, в плоскости х\ = 0) и использовать одномерное преобразование Фурье 5, (k, |р 1Х; g;, ?±)=\ G, (л-„ |„ |х; ^ l^e'^-rf*,, A1.27) где |i—двумерный вектор с компонентами |г, ?з- Таким обра- образом, если мы сможем решить уравнение A1.26), то E (к, ?;?') = = C^/г, |; §') вычисляется по A1.27) при gi = (§-к)/& и |± = = | — [(|'к)//г]. Далее, можно выразить решение уравнения A1.26) с подходящими условиями на бесконечности через соб- собственные решения, рассмотренные в разд. 7. Предположим, что G\ не возрастает экспоненциально при х\ —> оо и Х\-+—оо. Урав- Уравнение A1.26) показывает, что для хх > 0 и х\ < 0 функция G{ удовлетворяет уравнению G.1) и, следовательно, дается выра- выражением вида G.45), т. е. а=2 -К A1.28) а—О а«=2 где учтены условия на ±оо. С другой стороны, если проинте- проинтегрировать A1.26) от Х\ = —8 до Х\ = е и затем положить е->0, то получится 6i[lim Gx- lim Gx\ = b(l-\'). A1.29) at->0+ ai->0- Есл1-1 при помощи A1.29) определить At, Aa, Ba , Вп, Ак , А},, то A1.28) дает решение уравнения A1.26) с указанными усло- условиями на бесконечности. Следовательно, должно быть А 4 —К а=«0 а=0 4 gi *'
248 IV- ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕНОСА Согласно теореме, доказанной в разд. 7, для любой функ- функции h имеем а=2 « = 2,3,4). A1.32) ОО О Равенство A1.31) означает, что Si + ?¦ , v ^^"^^^Т + ^' С, ' Zj Са ' (l')gK{l)dX = -^6A-%'). A1.33) Г 'VO 'vooT [\+\ ¦ •— — А Ал —¦ Интеграл по непрерывному спектру здесь следует понимать в смысле теории обобщенных функций (так чтобы можно было умножить A1.33) на h(%'), проинтегрировать по |х и изменить порядок интегрирования для достижения равенства G.38) вме- вместе с G.39) и G.33)). Значения А^ — Л~, ?+ — В~, Ах можно выбрать путем сравнения равенств A1.33) с A1.30). Величины At, Аа, Ва, Вй определяются однозначно, если принять Аа = = Аа , Ва = — Ва • Итак, из A1.28) имеем a=2 A1.34) а=2 где %' = 'ksgnxu Зная Gi, можно по формуле A1,27) вычислить EЬ а затем из A1.23) определить G. Ясно, что G разбивается на асимптотическую часть GA и оста- остаток GB в соответствии с разбиением h на йА и /гв, рассмотрен- рассмотренным в разд. 7 (формулы G.51) и G.52)). Величина GB важна лишь вблизи начала координат и пренебрежимо мала на рас-
li. Функция грипа 249. стоянии в несколько длин свободного пробега от него (затуха- (затухание экспоненциальное, если Ко>О). Интересно исследовать асимптотическую часть решения, которая получается из a=2 ^-. (П.35) Вместо вычисления преобразования Фурье от sgn хх и \х\\у которое требует использования теории обобщенных функций, заметим, что соотношения G.70) — G.72) выполняются для G!A, являющейся частным решением уравнения G.1) (прих^^О). Следовательно, преобразования Фурье для давления, скорости, температуры, тензора напряжений и теплового потока связаны следующими соотношениями (^Л) = const): q(A) = мЬТе19 p)f = p{A)bjl + wku№eH + щШ^е[р A1.36) где ei = (?ц, е\2, е\$) —единичный вектор в направлении оси х\ (так что еи = 6и). Далее, заменив в\ на e = k/k, из A1.36) получим соответствующие соотношения для фурье-преобразова- ний тензора напряжений и вектора теплового потока в трехмер- трехмерном случае, а именно q(A) = ыкгРА\ рМ = pWbn + i\i (kfiW + kfiW). A1.37) Если произведем обратное преобразование Фурье в трехмер- трехмерном пространстве, то получим, что^Л) и p^f связаны с Г(Л) и'и\А) соотношениями Навье — Стокса — Фурье (II.8.27) (dvh/dxh = 0 Для х =? 0, как следует из интегрирования умноженного на /о уравнения A1.21)). Уравнение A1.9) показывает, что при go = 0 решение задачи с граничными условиями можно выразить через интеграл, вклю- включающий G(x — х7, |, |7) для х е OR. Поэтому если для любой точки х', x'<=dR, значение |х — х7| велико по сравнению со средней длиной свободного пробега (т. е. если точка х удалена от границы на расстояние в несколько средних длин свободного пробега), то решение зависит от координат и скорости так же, как и GA. В частности, заключаем, что все решения будут удо- удовлетворять соотношениям Навье — Стокса — Фурье на расстоя- расстояниях от границы в несколько длин свободного пробега, причем коэффициенты вязкости и теплопроводности даются формулами G.66) и G.67),
250 IV. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕНОСА 12. Использование интегрального уравнения Результаты разд. 11 показывают, что решение граничной за- задачи для линеаризованного уравнения Больцмана можно свести к решению интегрального уравнения A1.20) для функции рас- распределения молекул, падающих на границу. Даже для простей- простейших граничных условий (А = 0) это уравнение решить нелегко, так как ядро оператора В~~ выражается через функцию Грина, в свою очередь выражающуюся через собственные решения уравнения G.3), которые, вообще говоря, неизвестны в явном виде. Однако для некоторых задач и при изучении вопросов су- существования и единственности решений полезно свести гранич- граничную задачу к решению интегрального уравнения. В частности, это наиболее целесообразно, как мы увидим ниже, для модель- модельных уравнений, описанных в разд. 9. Можно получить полезное интегральное уравнение, когда оператор столкновений представляется в виде Ыг = Kh— v/г, где К— интегральный оператор. Это, как известно, возможно для твердых сфер, обрезанных потенциалов и модельных урав- уравнений. В этих случаях можно записать уравнение A1.1) в виде Dh + vh = gl (gl = go + Kh) A2.1) и считать g\ свободным членом. Затем можно повторить рас- рассуждения разд. 11, используя функцию Грина ?/(х, §; х', §') уравнения A2.1) (g"i == б(х — х/)б(| — §')) вместо функции Гри- Грина уравнения A1.1) (go = б(х — х')б(| — Iх))- Результат анало- аналогичен равенству A1.10) (G-* [/, go-+g\): h(x, I) = \\ U(х, 6; х', Г)gl (x'f 60dx' d? + R + J J Г • n?/+ (x, I; x', 10 h (x', Г) dV dS' (x s dR), A2.2) OR или, если через V и f/0 обозначить операторы с ядрами U(x, 1; х7, Ю и l'-x\U+{x, %\ х7, Ю (xei?, x'ezdR) и, согласно A2.1), положить g\ =з go + Kh, то A2.3) Основное преимущество заключается в том, что f/fogjxMO можно вычислить явно: A2.4)
12. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 251 где Н — ступенчатая функция Хевисайда, 62 — двумерная дель- дельта-функция в плоскости, ортогональной %, а Л — векторное умножение. Выражение A2.4) получить легко: следует учесть, что так как оператор D -f- v не перемешивает различные значе- значения |, то | можно рассматривать как параметр, a D -\- v как дифференциальный оператор в частных производных первого порядка с постоянными коэффициентами. В любом случае это выражение легко проверяется прямой подстановкой. Уравнение A2.3), таким образом, эквивалентно следующему: А(х, |) = X \go (x', 1) + \к (!', 1) h (x', 60 dl'\ dx' + + \ 6 • nV'tfF • [x- x'] N2(i- Л [x - x']) X X exp[- *-fr-f>v(e)Jй(x'( g) rfs# A2.5) Заметим, что это уравнение справедливо для области R лю- любой формы, а также для области, простирающейся до бесконеч- бесконечности. Однако для невыпуклых областей (см. рис. 25) интегралы по объему и по поверхности достаточно распространить на те части jRx и dRx области R и ее границы dR, которые «видны» из точки х (т. е. на такие х', что прямая, соединяющая х' с х, не пересекает OR). Физически это очевидно, так как функция Грина описывает влияние точки х' на х, a U — функция Грина, описывающая прямолинейные движения частиц. Математически это получается применением уравнения A1.9) с g\ вместо g0 и U вместо G к «невидимой» области R — Rx. Тогда, поскольку хе^х, левая часть равна нулю (а не h(xf |)), и мы получаем (/(х, |; + J t/ (x, 6; x', Г) Г • nA (x', Г) dl' dSr + ?/ ix, 6; x', 60 i' • nh (x', 60 ^' dS' = 0, A2.6)
IV. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕНОСА Рис 25 Невыпуклые области. За область интегрирования в A2.5) можно взять ту часть R, которая «видна» из точки х. где2 — поверхность, отделяющая /?х от R — R*. Но формула A2.4) дает $Г-пЧ/(х,6; x',F)h(x',l')dl'dS' = = J 6 • п'Г'Н {I • [х - х']) 62 (| Л [х - xi) X 7/)УF)]/в0> A2J) так как |'-п = 0 на S. Таким образом, согласно A2.6), вклады -^х и dR~dRxB A2.2) или A2.5) взаимно уничтожаются, от
12. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 253 что и нужно было показать. Благодаря этому обстоятельству, уравнение A2.5) можно записать в виде А(х, s)= X exp [- S-('-fvF)] б2 (| л [x - x']) X X [go (x', l) + \K «', Ю ft (x', Xexp[- A2.8) где #(|-[x— x7]) заменено на //(g-n'), поскольку для x^dRx и прямых х — х', параллельных § (согласно аргументу дельта- функции), знаки величин |-(х — х') и g-n' одинаковы. Следова- Следовательно, в A2.8) интеграл по поверхности содержит лишь значе- значения hy соответствующие выходящим молекулам, что физически естественно. Если граничные условия задают на границе /i+ явно, то A2.8) представляет собой интегральное уравнение, решающее исход- исходную граничную задачу; в ином случае следует рассматривать систему уравнений A2.8) и B.14). В частности, можно, напри- например, использовать уравнение A2.8), чтобы выразить hr (x^dR) через ft (xg/?) и Л+ (x^dR) и, подставив результат в B.14), получить уравнение, которое вместе с A2.8) образует систему двух интегральных уравнений для h и /г+. Применение интегрального уравнения особенно удобно в том случае, когда используется одна из столкновительных моделей, описанных в разд. 9. В этом случае Kh — явная функция |, ли- линейным образом зависящая от нескольких неизвестных функций от х, Ма = (vcpa, h), Поэтому уравнение A2.8) выражает h че- через величины Ма (и граничные значения); используя эти выра- выражения для вычисления Ма = (vcpa, h) (a = 1, ..., /V), получаем линейные зависимости между ними, которые дают систему N уравнений для N неизвестных величин Ма (а = 1, ..., /V). Пре- Преимущество такого способа состоит в том, что теперь мы имеем дело с N функциями от трех переменных (координат) вместо одной функции от шести переменных (компонент х и |). Это большое преимущество, особенно если jV мало и имеют место симметрии, которые дополнительно уменьшают число перемен- переменных. Рассмотрим подробнее случай моделей вида (9.14), когда граничное условие соответствует полной диффузии (соотношение
254 IV- ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕНОСА B.14), где Л задается формулами (III.4.14) и (III.5.1) с а= 1), т. е. когда h+ = hQ + N{x) (xGd/?, g-n>0). A2.9) Если Го — температура основного максвеллиана f0, то ]h- (l)\l-n\dt A2.10) Для краткости положим в A2.8) go = O (обобщение на слу- случай g0 ф 0 провести легко). Уравнение A2.8) принимает вид (поскольку (х — х') • \ = | х — х' | \ из-за дельта-функции и сту- ступенчатой функции) 0-0 Ях X 62 (Q Д [х - х']) Фр (|Q) Mp (xO dx' + S (х, I) + Хехр[- |x~x||v(l)]jV(x/)^S/, A2.11) где Q = !/|, S(x, 1) дается последним интегралом в A2.8) с h0 вместо h и ^а(х) = (тФа, К) (а = 0, 1, .... yV). A2.12) Теперь используем формулы A2.12) и A2.11) для вычисле- вычисления Ма\ N E = 0 Rx Ка (х - хО N (xO rfS' + Sa (х) (а - 0, 1, ..., N); A2.13) дЯх здесь X ехр[- |х~^|л?Ш]фа (|О) Фр (|Q) fo(|) 4 ^, A2.14) /С«(х- х')= J v(|)|2Q • п'Я(Й • [х - х'] N2(О Л [х - х']) X X ехр [- 'х ~ xt'v (l) ] Фа (|Q) /о (I) dl du, A2.15) S«(x) = (vq>e, 5). A2.16)
12. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 255 Равенства A2.13) образуют систему N + 1 интегральных урав- уравнений для N + 2 неизвестных Afp(x) (Р = 0, 1, ..., N) и N (х). Еще одно уравнение получается путем использования A2.11) при xedi? для вычисления N {х): N N (х) = ? \к; (х - х') Мр (хО dx' + C=0 tfx + J K(x^x/)iV(x/)rfx/ + S(x), A2.17) dRx где /CJ (x - хО = Bя/(ЛГ0)у/« ро-1^з (х - хО; Xexp[- ^^'g-^'J/ofe)^^, A2.18) 1/2p-1 A, S(x, |))B. A2.19) Уравнения A2.13) и A2.17) образуют систему интегральных уравнений, решение которых дает Ма(х) (а = 0, 1, ..., N) и N {х) и, следовательно, функцию А(х, |) посредством A2.11). Благодаря наличию дельта-функции б2 интегрирование по единичному вектору Q в A2.14), A2.15) и A2.18) проводится явно и дает b (|)]2|I х - х' Г2 ехр [-1 х - х' | v (|Ш X о X Фа F-iSftK ^l^r)^(i) *. A2-20) Ка = 5 v (|) Е2 (х - х') • п' | х - х' Г3 ехр [- | х - х' | v (|)/|] X О = Bя/(ЛГ0)у/. p-i Jl31 (х - х') • п 11 (х - х') • п' 11 х - х' Г4 X X ехр [- | х - х' | v (DM /0 (I) й%. A2.22) Дополнительное интегрирование по g нельзя провести, не кон- конкретизируя v(g); однако, даже если зависимость v(§) достаточно проста, ядра Ка(з, Ка и К не являются элементарными функ- функциями х — х7. В простейшем случае, когда v постоянна и фа —
256 IV. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕНОСА полиномы (см. (9.8) и (9.12)), ядра выражаются через извест- известные трансцендентные функции Тп(х): оо Тп (х) = J f exp [- t2 - x/t] dt. A2,23) о Функции Тп обладают некоторыми примечательными свой- свойствами, которые легко выводятся из их определения A2.23): dTn т ^= — * n-U dx Л/л 2 (п A2. A2. нечетное), четное), A2. 24) 25) 26) где Г — гамма-функция. Имеются разложения этих функций для малых и больших значений х (см. [18], где функции Тп обозначаются через fn), которые можно использовать для вы- вычисления Тп(х) с любой желаемой точностью. Заметим, что вме- вместо Тп часто используется обозначение Jn. Особенно простой случай имеет место в теории переноса нейт- нейтронов, когда в (9.26) используется односкоростное приближение. В этом случае, если сечение не зависит от х и ядро апроксими- руется вырожденным, можно повторить предыдущий анализ, не выделяя максвеллиана у возмущения и не интегрируя по скоро- скоростям в A2.14) —A2.16) и A2.18) —A2.22). При этом ядра Ка&, /Ср, К окажутся элементарными функциями. Если рассеяние предполагается изотропным (см. (9.27)), то происходит дальней- дальнейшее упрощение. Тогда при обычном граничном условии, г|з = О для Q-n>0, остается только одно интегральное уравнение = \ A2.27) известное под названием уравнения Пайерлса [48]. Несколько сложнее случай, когда рассеяние изотропно, но поперечное се- сечение а зависит от х; при этом в A2.27) показатель экспоненты 1 заменяется на —\ о (xr-\-X[x —x^) dl^ а множитель а перед о р(хг) на а(х'). Интеграл в показателе экспоненты часто назы- называют «оптической толщиной»; в этом, очевидно, сказывается -влияние теории переноса излучения.
12. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 257 Если обозначить через и вектор-столбец, образованный из jV + 2 величин Ма> N, то уравнения A2.3) и A2.17) можно за- записать в форме u = u(°) + Аи, A2.28) где А — матричный интегральный оператор и и@) — член типа источника. Ядра элементов матрицы А суть /Саз, Ка, К&, К- Легко проверить, что вариационный принцип, изложенный в разд. 10, можно применить к уравнению A2.28) (см. [49—52]), если функ- функционал J\(u), такой, что б/i = 0 при и = и, записать в виде /1 (й) = (РК, и - Аи - 2и<°>), A2.29) где Р — диагональная матрица с элементами (—1)р6ар, (—1)р= = ±1 согласно четности сра, а К — диагональная матрица, эле- элементы которой \хп9 Bn/(RT0))~i/2 p0. Равенство A2.29) справедли- справедливо, потому что РКА = РКА, A2.30) где А — оператор, сопряженный А, т. е. получающийся из А перестановкой строк и столбцов, х и х'. Соотношение A2.30) не- непосредственно следует из выражений для Р, К, А. Преимущество применения вариационного принципа б/i = 0 с функционалом A2.29) заключается в том, что J\ содержит лишь функции координат, относительно которых проще делать предварительные предположения, нежели относительно h\ кро- кроме того, для некоторых задач с той или иной симметрией этот принцип сводится к принципу истинного максимума или мини- минимума [49, 50, 52]. Наконец, част