/
Автор: Куликовский А.Г. Погорелов Н.В. Семенов А.Ю.
Теги: механика газов аэродинамика физика плазмы вычислительная математика численный анализ механика математика физика математический анализ математическая физика издательство физматлит
ISBN: 5-9221-0194-3
Год: 2001
Текст
А. Г. Куликовский Н. В. Погорелов
А. Ю. Семенов
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
ВОПРОСЫ
ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ
СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
УДК 533+519.6 Г Г Издание осуществлено при поддержке
ББК 22.25+22.19 ^ <"тФ> -^- Российского фонда фундаментальных
К90 J J исследований по проекту 01-01-14108
Куликовский А. Г., Погорелов Н. В., Семенов А. Ю. Математические воп-
вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. —
608 с. — ISBN 5-9221-0194-3.
Рассмотрены различные математические вопросы, возникающие при численном решении
гиперболических систем уравнений в частных производных. Материал представлен в тесной
взаимосвязи с такими важными областями применения этих систем, как теория мелкой воды,
газовая динамика, магнитная гидродинамика, динамика твердого деформируемого тела и ряд
неклассических областей механики сплошной среды. Отличительной чертой книги является то,
что она фокусирует внимание на приложениях, традиционных и новых. Это делает ее полезной
не только для интересующихся численными методами, но также для механиков, физиков и ин-
инженеров, которым приходится решать нелинейные системы дифференциальных уравнений все
возрастающей сложности.
Для специалистов в различных областях механики, физики и прикладной математики, аспи-
аспирантов и студентов старших курсов, сталкивающихся с необходимостью решения гиперболиче-
гиперболических систем уравнений.
Табл. 2. Ил. 160. Библиогр. 1036 назв.
Научное издание
КУЛИКОВСКИЙ Андрей Геннадьевич, ПОГОРЕЛОВ Николай Владимирович,
СЕМЕНОВ Андрей Юрьевич
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
Редактор Е. Ю. Ходан
Оригинал-макет авторов
ЛР № 071939 от 06.07.99. Подписано в печать 22.11.01. Формат 70 х 100/16. Бумага офсетная.
Печать офсетная. Усл. печ. л. 50,31. Уч.-изд. л. 55,34. Тираж 300 экз. Заказ тип. №
Издательская фирма "Физико-математическая литература"
МАИК "Наука/Интерпериодика"
117864 Москва, Профсоюзная ул., 90
Отпечатано с готовых диапозитивов в ППП "Типография "Наука"
121099 Москва, Шубинский пер., 6
Налоговая льгота — общероссийский классификатор
продукции ОК-005-93, том 2; 95300 — книги, брошюры
©ФИЗМАТЛИТ, 2001
© А. Г. Куликовский, Н. В. Погорелов,
ISBN 5-9221 -0194-3 А. Ю. Семенов, 2001
Оглавление
Введение 8
1. Гиперболические системы уравнений в частных производных 11
1.1. Квазилинейные системы 11
1.2. Гиперболические системы квазилинейных уравнений 12
1.2.1. Определения 12
1.2.2. Системы законов сохранения 15
1.3. Механические примеры 17
1.3.1. Нестационарные уравнения газовой динамики 17
1.3.2. Стационарные уравнения Эйлера 20
1.3.3. Уравнения теории мелкой воды 22
1.3.4. Уравнения идеальной магнитной гидродинамики 23
1.3.5. Уравнения теории упругости 27
1.4. Свойства решений 28
1.4.1. Классические решения 29
1.4.2. Обобщенные решения 34
1.4.3. Разрывы малой амплитуды 37
1.4.4. Условия эволюционности разрывов 39
1.4.5. Поведение энтропии на разрывах 41
1.5. Распад произвольного разрыва 42
2. Численное решение квазилинейных гиперболических систем 45
2.1. Введение 46
2.2. Методы, основанные на точном решении задачи Римана 52
2.2.1. Численный метод Годунова первого порядка точности 53
2.2.2. Точное решение задачи Римана 55
2.3. Численные методы, основанные на приближенных решениях задачи Римана ... 58
2.3.1. Схемы типа Куранта-Изаксона-Риса (КИР) 59
2.3.2. Схема Роу. 77
2.3.3. Схема Ошера 80
2.4. Обобщенная задача Римана 87
2.5 Метод типа Годунова второго порядка точности 90
2.6. Многомерные схемы и условия их устойчивости 95
2.7. Реконструкция функций и ограничители 99
2.7.1. Предварительные замечания 99
2.7.2. TVD-схемы 101
2.7.3. Монотонная и предельная реконструкции 103
2.7.4. TVD-реконструкция. Предельная TVD-реконструкция ПО
2.7.5. TVD-ограничители на несимметричном шаблоне 117
2.7.6. Многомерная реконструкция 119
2.8. Граничные условия для гиперболических систем 126
2.8.1. Общие понятия 126
2.8.2. Неотражающие граничные условия 128
2.8.3. Эволюционные граничные условия 132
2.9. Методы с выделением разрывов 134
2.9.1. Выделение плавающих разрывов 134
2.9.2. Выделение разрывов на подвижных сетках 138
2.10. Энтропийная коррекция 139
2.11. Заключительные замечания 144
3. Уравнения газовой динамики 147
3.1. Системы уравнений 147
3.1.1. Уравнения двухтемпературной газовой динамики 152
3.1.2. Смесь идеальных химически реагирующих газов 155
3.2. Метод Годунова для уравнений газовой динамики 157
3.3. Точное решение газодинамической задачи Римана 160
3.3.1. Элементарное решение 1: ударная волна 160
3.3.2. Элементарное решение 2: тангенциальный разрыв 163
3.3.3. Элементарное решение 3: волна разрежения 164
3.3.4. Точное решение общего вида 167
3.3.5. Учет уравнения состояния общего вида 177
3.4. Численные методы, основанные на приближенных решениях задачи Римана ... 181
3.4.1. Схемы типа КИР для уравнения состояния общего вида 182
3.4.2. Моделирование явлений, вызванных ударными волнами 185
3.4.3. Моделирование струй в лазерной плазме 190
3.4.4. Схема Роу. 195
3.4.5. Метод Роу для уравнения состояния общего вида 203
3.4.6. Метод Ошера-Соломона 205
3.5. Методы с выделением разрывов 209
3.5.1. Разрывы как границы вычислительной области 209
3.5.2. Выделение плавающих разрывов 220
3.5.3. Выделение разрывов движущимися сетками 223
3.5.4. Самоподстраивающиеся подвижные сетки 225
3.6. Стационарные уравнения газовой динамики 232
3.6.1. Система уравнений 232
3.6.2. Метод Годунова. Конечно-объемные схемы КИР и Роу. 236
3.6.3. Элементарные решения задачи Римана 239
3.6.4. Точное решение общего вида 247
3.7. Взаимодействие солнечного ветра с межзвездной средой 249
3.7.1. Взаимодействие нестационарного (периодического) звездного ветра с
межзвездной средой: постановка задачи 250
3.7.2. Неотражающие граничные условия 256
3.7.3. Взаимодействие периодического звездного ветра с межзвездной средой:
численные результаты 258
3.7.4. Взаимодействие солнечного ветра с неоднородной межзвездной средой. . 263
3.8. Замечание о методах Годунова в релятивистской гидродинамике 267
4. Уравнения теории мелкой воды 268
4.1. Системы уравнений 268
4.2. Метод Годунова для уравнений теории мелкой воды 272
4.3. Точное решение гидродинамической задачи Римана 276
4.3.1. Элементарное решение 1: гидравлический скачок (бор) 277
4.3.2. Элементарное решение 2: тангенциальный разрыв 280
4.3.3. Элементарное решение 3: волна Римана 280
4.3.4. Точное решение общего вида 282
4.4. Результаты численных расчетов, проведенных методом Годунова 293
4.5. Численные методы, основанные на приближенных решениях задачи Римана . . . 305
4.5.1. Разностные схемы типа Куранта-Изаксона-Риса (КИР) 305
4.5.2. Схема Роу. 307
4.5.3. Схема Ошера-Соломона 311
4.6. Стационарные уравнения теории мелкой воды 312
4.6.1. Система уравнений 312
4.6.2. Метод Годунова. Конечно-объемные схемы КИР и Роу. 315
4.6.3. Элементарные решения задачи Римана 317
4.6.4. Точное решение общего вида 325
5. Уравнения магнитной гидродинамики 327
5.1. Консервативная форма МГД-системы 328
5.2. Классификация МГД-разрывов 334
5.3. Эволюционные МГД ударные волны 338
5.3.1. Диаграмма эволюционности 338
5.3.2. Удобная форма соотношений на МГД ударных волнах 340
5.3.3. Эволюционность перпендикулярных и параллельных ударных волн и волн
включения и выключения 341
5.3.4. Точки Жуге 343
5.4. Методы высокого разрешения разрывов для МГД-уравнений 344
5.4.1. Метод типа Ошера 345
5.4.2. Кусочно-параболический метод 347
5.4.3. Метод характеристического расщепления Роу. 348
5.4.4. Численные тесты схем типа Роу 355
5.4.5. Модифицированная МГД-система 373
5.5. Метод сквозного счета и неэволюционные решения в магнитной гидродинамике . 378
5.5.1. Предварительные замечания 378
5.5.2. Упрощенная МГД-система и связанные с ней разрывы 382
5.5.3. Структура ударных волн в решениях упрощенной системы 384
5.5.4. Нестационарные процессы в структуре неэволюционных ударных волн. . 385
5.5.5. Численные эксперименты, основанные на полной МГД-системе 387
5.5.6. Численный распад составной МГД-волны 389
5.6. Сильное фоновое магнитное поле 396
5.7. Исключение численного магнитного заряда 399
5.7.1. Предварительные замечания 399
5.7.2. Применение векторного потенциала 400
5.7.3. Использование искусственного скалярного потенциала 401
5.7.4. Использование модифицированной МГД-системы 402
5.7.5. Применение смещенных сеток 403
5.8. Взаимодействие солнечного ветра с намагниченной межзвездной средой 408
5.8.1. Постановка задачи 409
5.8.2. Вычислительный алгоритм 411
5.8.3. Численные результаты: осесимметричный случай 415
5.8.4. Численные результаты: возмущенное течение 421
5.8.5. Замечание о МГД-течении около бесконечно проводящего цилиндра. . . . 424
5.8.6. Численные результаты: трехмерное моделирование 427
6. Динамика твердого деформируемого тела 431
6.1. Системы уравнений 432
6.1.1. Простейшая модель твердого деформируемого тела 433
6.1.2. Квазиконсервативные формы уравнений динамики деформируемых тел. . 445
6.1.3. Динамика тонких оболочек 448
6.2. Схемы типа КИР в динамике твердого деформируемого тела 452
6.2.1. Численное исследование процессов откола 457
6.3. Схемы типа КИР в динамике тонких оболочек 463
6.3.1. Уравнение Клейна-Гордона 471
6.3.2. Уравнения динамики изотропных оболочек 471
6.3.3. Уравнения динамики ортотропной оболочки 473
6.3.4. Выделение быстро осциллирующих компонент. 474
7. Неклассические разрывы и решения гиперболических систем 478
7.1. Условия эволюционности разрывов в неклассических случаях 480
7.2. Структура фронтов. Дополнительные граничные условия на фронтах 483
7.2.1. Уравнения, описывающие структуру разрыва 484
7.2.2. Постановка задачи о структуре и дополнительные предположения 487
7.2.3. Поведение решений при ? —>¦ ±оо 488
7.2.4. Дополнительные соотношения на разрывах 490
7.2.5. Основной результат и его обсуждение 492
7.2.6. Замечание о выводе дополнительных соотношений при нарушении усло-
условия непрерывности структуры ударной волны 493
7.2.7. Адиабата Гюгонио 494
7.3. Поведение ударной адиабаты в окрестности точек Жуге и неединственность авто-
автомодельных решений 496
7.4. Нелинейные волны малой амплитуды в упругих средах 503
7.4.1. Основные уравнения 503
7.4.2. Квазипродольные волны 506
7.4.3. Квазипоперечные волны 506
7.4.4. Подобие нелинейных явлений 508
7.4.5. Волны Римана 508
7.4.6. Ударные волны 509
7.4.7. Автомодельные задачи и неединственность решения 511
7.4.8. Волны в вязкоупругих средах. Исчезающая вязкость 513
7.4.9. Роль волновой анизотропии и переход к изотропному пределу. 516
7.4.10. Заключительные замечания 517
7.5. Электромагнитные ударные волны в ферромагнетиках 518
7.5.1. Приближение длинных волн. Упругая аналогия 519
7.5.2. Структура электромагнитных ударных волн 522
7.5.3. Множество допустимых разрывов 528
7.5.4. Неединственность решений 528
7.6. Ударные волны в упругих композитных материалах 529
7.6.1. Основные уравнения и структура разрыва 530
7.6.2. Структура разрыва. Допустимые разрывы 531
7.6.3. Случай h> О 532
7.6.4. Случай h< О 536
7.7. Продольные нелинейные волны в упругих стержнях 537
7.7.1. Крупномасштабная модель 537
7.7.2. Модель движений умеренного масштаба 539
7.7.3. Уравнения, описывающие структуру разрыва 539
7.7.4. Допустимые разрывы 540
7.7.5. Уточненная крупномасштабная модель. Неединственность 544
7.8. Фронты ионизации в магнитном поле 544
7.8.1. Крупномасштабная модель 544
7.8.2. Модель для умеренных масштабов 546
7.8.3. Множество допустимых разрывов 548
7.8.4. Простейшая автомодельная задача 552
7.8.5. Изменение скорости газа во фронтах ионизации 553
7.8.6. Построение решения задачи о поршне 557
7.9. Заключение 559
Список литературы 561
Введение
В этой монографии дается подробное описание различных математических аспектов
численного решения гиперболических систем уравнений в частных производных. Весь
материал излагается в тесной взаимосвязи с такими важными механическими прило-
приложениями этих систем, как газовая динамика, теория мелкой воды, магнитная гидроди-
гидродинамика и механика твердого деформируемого тела.
В книге рассмотрены как методы с выделением разрывов, так и методы сквозно-
сквозного счета, в которых эти разрывы заменяются тонкими областями резкого изменения
решения. Значительное внимание уделяется построению точных и приближенных ме-
методов решения задачи Римана о распаде произвольного разрыва, которое необходимо
для построения численных методов, принадлежащих типу Годунова. Анализируется
ряд сопутствующих вопросов, связанных с формулировкой граничных условий, ре-
реконструкцией функций на гранях ячеек по их значениям в центрах, которая позволяет
сохранить монотонность численного решения задачи, введением в алгоритм расчета
энтропийной коррекции с целью исключения нефизических решений и подавления
специфической неустойчивости, свойственной нелинейным схемам и др. При рассмот-
рассмотрении уравнений газовой динамики основное внимание уделяется их применению к
течениям сред со сложным широкодиапазонным уравнением состояния. Исторически
так сложилось, что схемы высокого разрешения, предназначенные для решения систем
гиперболических законов сохранения, впервые были применены к газодинамическим
задачам. Это объясняется тем, что в силу выпуклости системы уравнений газовой дина-
динамики совершенного газа задача Римана о распаде произвольного разрыва имеет един-
единственное решение. Это не так для более сложных уравнений магнитной гидродинамики
(МГД) и динамики твердого деформируемого тела. Хотя решение решение МГД-задачи
Римана и существует, оно слишком сложно и многовариантно для использования в ре-
регулярных вычислениях. В книге дается ряд рекомендаций по применению TVD-схем
(total variation diminishing) высокого порядка для моделирования сложных физических
задач методом сквозного счета. В последнее время в научной литературе дискутиро-
дискутировался вопрос о допустимости решений, которые являются неэволюционными с точки
зрения идеальной магнитной гидродинамики. В книге рассмотрено современное состо-
состояние этой проблемы и обсуждается ее взаимосвязь с численными методами сквозного
счета.
В книге также рассматривается ряд нестандартных задач, названных неклассически-
неклассическими. Среди них исследование распространения ударных волн в композитных материалах,
ионизационных фронтов в плазме, электромагнитных ударных волн в магнетиках и др.
Эти случаи характерны неединственностью решения задачи о распаде произвольного
разрыва. Показано, что если мелкомасштабная модель более высокого порядка приво-
приводит к колебаниям в структуре разрыва, то многообразие допустимых разрывов состоит
из отдельных частей, число которых неограниченно растет вместе с ростом относитель-
относительного влияния на эту структуру дисперсии по сравнению с диссипацией. При этом среди
допустимых имеются разрывы с дополнительными граничными условиями, которые не
следуют из гиперболических законов сохранения. Задача Римана в таких средах имеет
неединственное решение, причем число решений также растет с ростом относительного
влияния дисперсии.
Введение 9
Неединственность решений может иметь место даже в таких классических моделях,
как модель нелинейного упругого тела с общего вида зависимостью внутренней энер-
энергии от тензора деформаций, когда соотношения на разрывах определяются законами
сохранения и условиями априорной эволюционности. Весьма необычным является то,
что неединственность решения задачи Римана в этом случае может иметь место для
изотропной упругой среды при сколь угодно малых деформациях. Проведенный анализ
возникающих решений показывает, что все они имеют физический смысл как асимпто-
асимптотики решений задач в вязкоупругой среде при вязкости, стремящейся к нулю.
Книга разделена на семь глав. Для удобства читателя в главе 1 вводятся основные
определения и понятия теории гиперболических систем уравнений, которые позволяют
читать весь последующий материал без обращения к другой специальной литерату-
литературе. Даются примеры из разных областей механики сплошной среды, иллюстрирую-
иллюстрирующие существо проблем, которые будут рассматриваться в последующих главах. Об-
Обсуждаются свойства классических и обобщенных решений гиперболических систем.
В главе 2 формулируются основные подходы к численному решению квазилинейных
систем уравнений гиперболического типа, записанных в форме законов сохранения
и в неконсервативном виде. Рассматриваемые методы разделены на два класса: ме-
методы с выделением разрывов и методы сквозного счета. Среди последних основное
внимание уделяется тем, которые принадлежат типу Годунова, т. е. таким, в которых
решение нелинейной системы строится усреднением того или иного решения задачи
Римана о распаде произвольного разрыва. Так как точные решения этой задачи для
некоторых типов уравнений отсутствуют, рассматриваются также схемы, основанные
на приближенных решениях или решениях линеаризованной системы. Описываются
различные подходы к повышению порядка точности по времени и по пространству,
которые включают применение решения обобщенной задачи Римана и методов рекон-
реконструкции величин на гранях вычислительных ячеек по усредненным значениям в их
центрах (TVD-схемы). Формулируется понятие эволюционных граничных условий и
описываются характеристически согласованные подходы к их реализации. В частности,
рассмотрены некоторые типы неотражающих граничных условий. Глава 3 посвящена
уравнениям газовой динамики идеального газа. Представлено точное решение зада-
задачи Римана для газов, описываемых двучленным уравнением состояния, которое затем
используется для аппроксимации уравнений состояния общего вида. Подробно описа-
описаны численные методы Годунова, Куранта-Изаксона-Риса (КИР), Роу и Ошера, причем
особое внимание уделяется рассмотрению течений несовершенных газов. Кроме это-
этого, обсуждаются основные элементы различных разновидностей метода с выделением
разрывов, включая использование самоподстраивающихся сеток. Даны примеры ис-
использования описанных методов к сложным пространственным задачам, среди которых
нестационарные течения химически реагирующего воздуха около затупленных тел под
большими углами атаки; явления, вызванные распространением ударных волн в веще-
веществе; струеподобные структуры в лазерной плазме и др. В отдельных разделах глав 3
и 5 обсуждается применение численных методов высокого разрешения для решения
стационарных и нестационарных задач взаимодействия звездного (солнечного) ветра
со сверхзвуковым потоком межзвездной среды. В главах 3 и 4 описано также примене-
применение методов высокого разрешения к расчету стационарных сверхзвуковых течений газа
и сверхкритических течений мелкой воды. Кроме этого, глава 4 детально описывает
различные методы типа Годунова для решения гиперболических систем, возникающих
10 Введение
в теории мелкой воды, и дает ряд примеров их использования. Глава 5 посвящена
уравнениям магнитной гидродинамики. Вначале описаны физические предположения,
лежащие в основе этих уравнений, и приводится классификация МГД-разрывов. Обсу-
Обсуждается свойство эволюционности МГД ударных волн, обращая специальное внимание
на параллельные и перпендикулярные волны, а также волны включения и выключения.
Анализируется применение к этому классу задач разнообразных численных методов
высокого разрешения. Исследуется проблема допустимости неэволюционных решений
МГД-уравнений и ее взаимосвязь с применением методов сквозного счета, в которых
численная диссипация намного превосходит физическую, присущую космической плаз-
плазме. Описаны различные подходы к численной реализации условия соленоидальности
магнитного поля. В главе 6 приводятся примеры задач динамики твердого деформиру-
деформируемого тела, которые описываются гиперболическими системами уравнений. Для этих
задач формулируются методы типа Куранта-Изаксона-Риса и показывается их приме-
применение для численного моделирования процессов откола и динамики тонких оболочек.
В главе 7 вводится понятие неклассических разрывов, для которых формулируются
условия эволюционности. Изучается взаимосвязь между условиями эволюционности
разрывов и существованием их структуры. Объясняется поведение классических разры-
разрывов в окрестности точек Жуге на ударной адиабате. После этого приводятся многочис-
многочисленные примеры физических задач, которые в идеальной гиперболической постановке
по тем или иным причинам имеют неединственные решения. Обсуждаются проблемы
выделения физически обоснованных решений.
Книга представляет из себя существенно переработанный и дополненный вари-
вариант монографии "Mathematical Aspects of Numerical Solution of Hyperbolic Systems"
(Kulikovskii, Pogorelov, Semenov, 2001), опубликованной издательством Chapman &
Hall/CRC, London, Boca Raton, в качестве тома 118 серии монографий и обзоров по
теоретической и прикладной математике.
Выбор материала естественным образом отражает научные интересы авторов, и
некоторые важные проблемы, возникающие при решении гиперболических систем
уравнений, обсуждаются либо очень кратко, либо не рассматриваются вообще. Хо-
Хочется, однако, надеяться, что эта книга заметно дополняет существующую моногра-
монографическую литературу, посвященную рассматриваемому предмету, так как она касается
новых областей применения гиперболических уравнений и формулирует новые поня-
понятия, необходимые для прояснения неожиданных трудностей, которые могут встретиться
у исследователя, столкнувшегося с необходимостью решения невыпуклых гиперболи-
гиперболических систем.
Книга будет полезной студентам и аспирантам, специализирующимся в области
вычислительной и прикладной математики и механики сплошной среды. Она также ад-
адресуется специалистам — математикам, физикам и механикам, которые решают задачи,
описываемые гиперболическими системами.
Авторы выражают глубокую признательность В. А. Алексину, В. Б. Баранову,
А. А. Бармину, В. В. Беликову, Н. Г. Бураго, Е. Г. Евсееву, А. В. Забродину, С. А. Ива-
Иваненко, В. Д. Иванову, В. Л. Иванову, И. Э. Иванову, А. Т. Ильичеву, В. И. Кондаурову,
И. К. Красюку, И. А. Крюкову, В. Н. Кукуджанову, Т. Мацуде, А. Н. Милитееву, В. А. Ми-
халину, Г. П. Прокопову, Е. А. Пушкарю, Е. И. Свешниковой, Т. Ханаве, А. С. Холодову,
А. А. Чарахчьяну и Л. В. Шуршалову за плодотворные дискуссии и ценные замечания.
Особая благодарность А. Т. Ильичеву за помощь в подготовке рукописи.
Глава 1
Гиперболические системы
уравнений в частных
производных
В настоящей главе дается определение гиперболической системы квазилинейных урав-
уравнений и описываются некоторые свойства их решений, которые необходимы для чтения
последующих разделов книги. Вводится понятие системы уравнений в форме законов
сохранения и приводятся примеры механических задач, которые ими описываются. Об-
Обсуждаются вопросы, связанные с существованием и единственностью решения задачи о
распаде произвольного разрыва (задачи Римана) для гиперболической системы общего
вида.
1.1. Квазилинейные системы
Рассмотрим систему уравнений в частных производных первого порядка для неизвест-
неизвестного вектора и, зависящего от независимых переменных хи(,
FYv,u,|^|l...,i^=0, i=l,...,N. (l.l.l)
Здесь
т
ди
дип
Г 1Т Г 1Т dU
x=[xv...,xm\ , u=[uv...,un\ , ^ = дх.''"'дх.
являются векторами-столбцами, j = 1,..., т. Если N = п, то такая система называется
определенной. Далее рассматриваются только определенные системы.
Система A.1.1) называется системой квазилинейных уравнений, если функции Ft
линейны по отношению к производным и, входящим в A.1.1) в качестве аргументов.
Если Ft также линейны по и, то система называется линейной.
Система квазилинейных уравнений первого порядка может быть представлена в
виде
~ди Д ~ ди ... _
где матрицы коэффициентов А и В и свободный член с зависят от х, t и и.
Вектор-строка 1 = \1Х,..., 1п] и число Я называются левым собственным вектором и
собственным значением матрицы А, если
Ы = А1, ||1||^0. A.1.3)
12 Гл.1. Гиперболические системы
В качестве нормы некоторого вектора а принимается величина ||а|| = д/а-а =
= л/Х^=1 ^1- Точка между двумя векторами обозначает их скалярное произведение.
Аналогично вектор-столбец г = [гх,... ,ги]т называется правым собственным векто-
вектором матрицы А, если
Аг = Хг, ||г||#0. A.1.4)
Из соотношений A.1.3) и A.1.4) следует, что собственное значение Я матрицы А
является корнем характеристического уравнения
det(>4-A/) = O, A.1.5)
где / = diag[l,..., 1] есть единичная матрица размера n x п.
Предположим, что все собственные значения Я матрицы А действительны и прону-
пронумеруем их в порядке возрастания, так что
\ < ••• <\< ••• <К- A.1.6)
Знаки равенства в A.1.6) соответствуют случаю многократности собственных значений.
Если для любого собственного значения Я кратности а ранг матрицы А — XI ра-
равен п — а, то как правые, так и левые собственные векторы, соответствующие всем
собственным значениям, образуют базис в евклидовом пространстве Е^(и).
Легко проверить, что если Хк ф Хр, векторы \к и гр являются взаимно ортогональ-
ортогональными. В самом деле,
Следовательно, (Хк — Хр)\к • хр — 0.
В ряде механических приложений квазилинейных систем (газодинамические урав-
уравнения Эйлера, уравнения идеальной магнитной гидродинамики (МГД), уравнения те-
теории упругости и др.) кратность собственных значений может быть больше единицы
и выбор системы независимых, невырожденных собственных векторов требует допол-
дополнительного анализа.
Матрица А называется несингулярной, если Я = 0 не является ее собственным зна-
значением. Так как в приложениях, которые будут изучаться в дальнейшем, матрица Л,
входящая в A.1.2), является несингулярной, система может быть разрешена относи-
относительно du/dt:
2>^ = Ь, A.1.7)
P Jdxj
=А 1В-иЪ=А
1.2. Гиперболические системы квазилинейных
уравнений
1.2.1. Определения. Введем матрицу Р, которая связана с матрицами коэффи-
коэффициентов системы A.1.7) формулой
m
P = P(a) = ^ajAj, -oo < а^ < оо. A-2.1)
7=1
1.2. Гиперболические системы квазилинейных уравнений 13
Квазилинейная система A.1.7) называется гиперболической в точке (х,/,и), если
существует несингулярная матрица Q(a), диагонализирующая Р, так что
Q-1,PQ = A = diag[A1,...A] A.2.2)
и все собственные значения Хк матрицы Р действительны, причем нормы матриц Q
и Q равномерно ограничены по a = [а1?...,am]T. Если все собственные значения
различны, система называется строго гиперболической. Матрица Л, по определению,
является диагональной матрицей с элементами, равными собственным значениям мат-
матрицы Р.
Условие гиперболичности подразумевает, что в пространстве искомых функций су-
существует базис {I1,... ,Г}, составленный из левых собственных векторов матрицы Р.
Очевидно, что также существует базис, составленный из правых собственных векторов.
Отметим, что также выполняются следующие соотношения:
Таким образом, к-я строка матрицы Q состоит из компонент А>го левого собствен-
собственного вектора \к, соответствующего собственному значению Хк, см. A.1.3). Кроме того,
А>й столбец матрицы Q состоит из соответствующих компонент А>го правого собствен-
собственного вектора хк, см. A.1.4). В дальнейшем также будут использоваться обозначения
QL = Q-1 и QR = Q, где ?\QR = /. Тогда соотношения A.2.2) можно переписать в виде
В качестве нормы матрицы А принимается квадратный корень из спектрального
радиуса матрицы AAJ, где спектральный радиус равен максимальному по модулю соб-
собственному значению матрицы.
Так как численные решения встречающихся в механических приложениях гипербо-
гиперболических систем квазилинейных уравнений часто конструируются на основе системы с
двумя независимыми переменными, рассмотрим смысл гиперболичности для системы
-^-+А-^- = Ъ. A.2.3)
Путем ее умножения на левый собственный вектор \к получаем
Л, *=1,...,л, A.2.4)
dt k дх
Систему A.2.4) можно переписать в виде
1* (*Л -f k-\ n A2 5)
\dtjk~ к'
где (du/dt)k есть производная u no t в направлении dx/dt = Хк. Это направление называ-
называется характеристическим, а уравнение A.2.5) называется характеристической формой
14 Гл.1. Гиперболические системы
уравнения A.2.3). Если система A.2.3) линейна и ее коэффициенты постоянны, то соб-
собственные значения А^, которые также называются характеристическими скоростями,
тоже постоянны, а значит, характеристические линии в плоскости x-t становятся пря-
прямыми линиями
х = Xkt + const. A.2.6)
В некоторых случаях системы A.2.4) и A.2.5) можно упростить. Если А не зависит
от и, A.2.4) можно переписать в инвариантах Римана wk (Riemann, 1860)
где
дЙ dlk,
J_ _i_ Ч J_
dt k дх
Выбирая wk в качестве компонент нового искомого вектора, можно переписать си-
систему в таком виде, что каждое уравнение будет содержать только производные одной
функции, зависящей отх, t и и, а именно:
-!^ + bk-^=gk(x,t,w), *=1,...,л. A.2.8)
at ax
Хотя гиперболическая система квазилинейных уравнений в общем случае не может
быть записана в инвариантах Римана, они играют важную роль в построении численных
решений этих систем.
Отметим, что система гиперболических уравнений с двумя независимыми перемен-
переменными может быть любопытным образом расширена (Courant, Lax, 1949). При введении
обозначений
- = Р, -=q, A-2.9)
ах at
система A.2.4) принимает вид
l*-(q + A?p)=/?, *=1,...,л. A.2.10)
Дифференцируя каждое из уравнений A.2.10) по t и по х и принимая во внимание
условие интегрируемости dq/дх = dp/dt, получаем
dq ^dq\_ ,к {дР ,, дЛ _ г
где Ек и Gk являются функциями х, t, u, p и q.
Таким образом, в силу того что \к не зависят от q и р, расширенная система A.2.11)
всегда может быть записана в римановых инвариантах.
1.2. Гиперболические системы квазилинейных уравнений 15
1.2.2. Системы законов сохранения. Среди уравнений гиперболической
системы могут присутствовать уравнения, выражающие сохранение таких фундамен-
фундаментальных величин, как масса, импульс и энергия, или хотя бы одно из таких уравнений
может быть получено как следствие рассматриваемой системы. Подразумевается, что
изменение сохраняющейся величины в произвольно выделенном объеме FcE3 (x) мо-
может происходить только за счет ее притока через границу этого объема dV. При этом
интегральный закон сохранения записывается в виде
где п — компоненты вектора внешней нормали к dV, a dS— элемент площади поверх-
поверхности.
Предполагается, что U = U(u) и F.= F-(u) являются известными непрерывно диф-
дифференцируемыми функциями искомых величин u = [wj, / = 1, 2, 3, задающими плот-
плотность сохраняющейся величины и компоненты вектора ее потока через единицу пло-
площади.
Если функции ut(x,t) дифференцируемы, то из A.2.12) следует
О.2ЛЗ,
Левую часть этого уравнения можно рассматривать как дивергенцию вектора
[U,Fl,F2,F3] в пространстве переменных t,xl,x2,x3. Поэтому говорят, что оно записано
в дивергентной форме. Если уравнение A.2.13) является следствием гиперболической
системы вида A.1.7) и этому уравнению соответствует интегральное уравнение A.2.12),
то говорят, что уравнение A.2.13) выражает закон сохранения.
Известно (см., например, Рождественский, Яненко, 1978), что даже одному диффе-
дифференциальному уравнению может соответствовать несколько различных дивергентных
форм его записи. Например, уравнение
ди ди
—+ г/—= 0
dt дх
при условии гладкости функции и может быть представлено в виде
д-Ш + ^ = 0, A.2.14)
dt ax
где
Кроме того, дивергентному уравнению вида A.2.13) может не соответствовать ни-
никакой интегральный закон сохранения A.2.12), который был бы справедлив не только
для гладких, но и для разрывных решений ut(\,t). Выбором подходящего контура dV
интегрирования в законе сохранения A.2.12) можно показать (см. п. 1.4.2), что если ре-
решение претерпевает разрыв на некоторой поверхности, скорость которой в направлении
16 Гл.1. Гиперболические системы
нормали равна W, то из этого закона следует соотношение
j^jj 0, A.2.15)
7=1
которое должно выполняться на этой поверхности. Здесь п — компоненты вектора
нормали к поверхности разрыва, а фигурными скобками обозначены скачки стоящих в
них величин при переходе через разрыв.
Если в системе дифференциальных уравнений каждое из уравнений записано в
дивергентном виде и выражает при этом законы сохранения, будем говорить, что си-
система имеет консервативную форму, или форму законов сохранения. Если в системе
уравнений, записанной в дивергентной форме, только часть уравнений выражает зако-
законы сохранения, то будем говорить, что система имеет квазиконсервативную форму. При
этом на разрывах законам сохранения соответствуют граничные условия в виде A.2.15).
Вопрос о наличии и виде других граничных условий на разрывах должен решаться на
основе дополнительных соображений. Для некоторых конкретных систем уравнений
эта проблема рассматривается в гл. 7.
Часто понятия консервативности и квазиконсервативности применяются также к
более общим системам уравнений вида
dF(x,f,u)
+ X ъ = C(V>U) A.2.16)
dt
с ограниченной векторной функцией с(х, t, u). Величины U и F • называются векторами
(квази)консервативных переменных и потоков.
Система уравнений считается консервативной, если на разрывах ее решений выпол-
выполняются соотношения типа A.2.15), т. е.
-^{U} + S";{F;} = 0. (L2.17)
7=1
При выполнении A.2.17) из уравнений A.2.16) следует, что как для гладких, так и
разрывных решений справедливо интегральное уравнение, выполняющееся для произ-
произвольного объема V:
d
-
т Г Г
J^ J^nJ?J(x,t,u)dS= J^t^dV. A.2.18)
Большинство гиперболических систем решается численно на основе их консерва-
консервативной, а не квазилинейной формы. Если с = 0, то говорят, что система записана в
строго консервативной, или дивергентной форме. Источниковый член с может иметь
как физическое (объемное производство массы, импульса и энергии), так и геометриче-
геометрическое происхождение. Этот вопрос будет обсуждаться в последующих главах. Мы будем
предполагать с = О при общем описании гиперболических систем, хотя в приложениях
источниковый член может появляться.
1.3. Механиче ские примеры
1.3. Механические примеры
17
Рассмотрим несколько примеров гиперболических систем, которые часто встречаются
в механических приложениях. Формулы, которые будут здесь представлены, использу-
используются ниже для реализации современных численных методов высокого разрешения.
1.3.1. Нестационарные уравнения газовой динамики. Система неста-
нестационарных уравнений Эйлера для простых переменных в декартовых координатах име-
имеет вид
-^ +At-? = 0, u = [p,i/,v,w,/?]T. A.3.1)
Здесь и далее в этом разделе рассматриваются системы с тремя независимыми
пространственными переменными и предполагается суммирование по повторяющимся
индексам. Если ввести символ Кронекера с компонентами 5^, ij = 1,2,3, то матрица
коэффициентов системы может быть записана в виде
Л=
v,- 0 0 SJp
0 v,- 0 Sa/p
0 0 5в/р
<5/2рс2 <5/3рс2 v,-
A.3.2)
Элементы матрицы коэффициентов зависят от плотности р, давления р, компонент
vx = u,v2 = v,v3=w вектора скорости v и скорости звука с = с(р,р).
Из определения гиперболичности следует, что выписанная система остается гипер-
гиперболической при выполнении произвольного дифференцируемого обратимого преоб-
преобразования независимых переменных ?, = %(x,y,z), r\ = r](x,y,z), ? — ?(x,y,z). В этом
случае система A.3.1) приобретает вид
ди ди ди ди
-г- + А—-+В— + С— = 0, A.3.3)
dt д<; дц <??
где А = %xAj, В = Tfx.Aj и С = ?xAt. Здесь ^х. = dt;/dxt, r\x = dr\/dxi и С,х. = <Э?/сЦ.
Введем векторы
a = [§Cj^J^z]J J3 = [г\х,Цу, tjz], y= [<^,(^,^z]. A.3.4)
Если система A.3.3) является /-гиперболической в точке (х,/, и), должны существо-
существовать несингулярные матрицы Q^(a), Q^(jS) и Qr(/) такие, что
Q^AQ^ = diag[Aj^], Qf 5Q| = diag[Af ], QlCQ^ = diag[Af ], A.3.5)
где Я^, Я^ и Я^ действительны, А: = 1,..., 5. Нормы матриц Q^ R, O^ R и Q^ R должны
быть равномерно ограничены, соответственно, по a, j3 и у.
Без ограничения общности можно рассмотреть только диагонализацию матрицы
U ахр а2р ос3р О
О U 0 0 ах/р
О О U 0 а2/р . A.3.6)
О О О U а3/р
О ахрс2 а2рс2 а3рс2 U
А =
18
Гл. 1. Гиперболические системы уравнений
Здесь U = atvt является контравариантной компонентой вектора v вдоль криволинейной
координаты ?.
Собственные значения матрицы А равны
х = Я2 = А3 = U, A4?5 = U±c(al x a,I72.
A.3.7)
Ясно, что они всегда действительны.
Хотя матрица^ имеет трехкратное собственное значение, она имеет полную систему
линейно независимых собственных векторов. Они образуют матрицу
&г а2 а3 р/(суД) р/(суД)
О -ид &2 axjy/l -axj\fl
а3 0 -&г а2/л/2 -а2/л/2
-а2 бсх 0 а3/л/2 —6^/у/2
0 0 0 рс/л/2 рс/л/2 _
A.3.8)
где а = 0Cj/{at х а^I/2, a А>й столбец матрицы QR является правым собственным
вектором, соответствующим собственному значению Хк. Обратная к QR матрица может
быть сконструирована из левых собственных векторов матрицы А:
ал
0
а3
0
а2
а2 -а3 ^ 2/
а3 а2 — ftj 0 -бс3/с2
0 а^/л/2 а2/л/2 а3/л/2 (рсл/5)-1
. 0 -aJy/2-a2/y/2-a3/y/2{pcy/2)-l_
A.3.9)
Детерминанты QR and Q^ равны
=pc.
Спектральная норма матрицы QR может быть вычислена по формуле
где г — спектральный радиус соответствующей матрицы. Собственные значения ок
матрицы Q^(Q^)T суть
G\ — G2 — °3 = 1' °4,5 =
где ф = p2 + с2 + р2с4. Следовательно,
- 4р2с6
2^6
0 + д/^2 - 4р2с
2?
> 1.
Так как норма матрицы QR, а следовательно, и норма матрицы Q^ не зависят от
действительных параметров а/9 они равномерно ограничены по (X. Что и требуется для
гиперболичности рассматриваемой системы.
1.3. Механиче ские примеры
19
Можно показать (Warming, Beam, Hyett, 1975), что преобразование подобия, осно-
основанные на выписанной матрице Q^, не только диагонализирует^, но также симметри-
зует матрицы At, а следовательно, и матрицы В и С. Отметим, что такое представление
не может быть получено для произвольной линейной комбинации некоммутирующих
матриц.
Предположим, решается система уравнений в форме законов сохранения в ортого-
ортогональной декартовой системе координат х ¦:
dt + дх,
A.3.10)
где
и =
pv2
pv3
е
Pv2Vj+P52j
Py2
i
v =
Здесь е — полная энергия единицы объема газа, а 7— отношение удельных тепло-
емкостей, или показатель адиабаты.
Уравнение A.3.10) можно представить в виде
^Н+Л.|Н = 0, A.3.П)
где А- — якобиевы матрицы <9F /сШ.
Матрицы А- неконсервативной формы A.3.1) и матрицы А- консервативной фор-
формы A.3.11) связаны преобразованием подобия А- = М~ХА-М, где М— якобиева мат-
матрица д\]/ди. Нетрудно показать, что
М =
1
vl
V2
v3
,т /о
0
р
0
0
1 Л-. .
0
0
р
0
0
0
0
р
0
0
0
0
я-1
1
0
о
0 0
-vjp 1/р 0 0 0
-v2/p 0 1/р 0 0
-v3/p
0
0 1/р 0
A.3.12)
где /3 = у— 1.
Таким образом, собственные векторы гк и Р матрицы А можно вычислить по фор-
формулам
г =
Представленные здесь формулы оказываются также необходимыми при использо-
использовании различных неконсервативных квазилинейных форм записи системы уравнений,
обусловленных выбором вектора искомых переменных и.
20
Гл. 1. Гиперболические системы уравнений
1.3.2. Стационарные уравнения Эйлера. Предположим теперь, что си-
система газодинамических уравнений A.3.3) стационарна, а матрица А несингулярна.
Тогда получаем систему уравнений
ди
—
A.3.13)
Если эта система является ^-гиперболической в точке (х,и), то должны существо-
существовать несингулярные матрицы Qjf (a, J8) и Q^(a, у), такие что
Qf 3§Oi* = diag[Af ], Og Vnl = diag[Af ],
причем Xf и Xf действительны, k = 1,..., 5. Нормы матриц Qjf и QR должны быть
равномерно ограничены по х, a, J3 и у.
Без ограничения общности, можно рассмотреть (Погорелов, 1987, 1988b) только
диагонализацию матрицы
Q2U
VQ2 —pdxU -pd2U -pd3U aldl
0 Q2V+alc2dl alc2d2 alc2d3 (-U^^
0 a2c2dx Q2V+a2c2d2 a2c2d3 (-Ud2 + r2c2)/p
0 a3c2dx a3c2d2 Q2V+a3c2d3 (-Ud3+r3c2)/p
0 -p(?dxU -p(?d2U -p(?d3U {UV-qc?)U
Здесь U = atvt и V = pivi являются контравариантными компонентами вектора v,
соответственно, по криволинейным координатам ^ и г\. Кроме того,
б2 = U2 - (scJ, s2 = af + a% + a32,
q=alpl + а2/32 + а3/33, dt = axV - Д.С/,
)^ + (а2/33 - а3/32)а3,
Матрица 3S имеет следующие собственные значения:
ч0 ,3 10 V ч0 UV-q^TcT
Ч -
A.3.14)
где
T=[D2-(s2S2-q2)c2f2, f = t
Отсюда следует, что они вещественны при U2 > (scJ.
Матрицы Qjf и Qjf конструируются из правых и левых собственных векторов мат-
матрицы ?$ следующим образом:
\/Bс28Т) -\/Bс2еТ)
T + cbx)/B8pcD2T) (dxT-cbx)/BepcD2T)
cb2)/B8pcD2T) (d2T - cb2)/B?pcD2T)
T + cb3)/B8pcD2T) (d3T-cb3)/B?pcD2T)
1/B57) -l/BeT)
-d3/D
-d2/D
dJD
0
0
d2/D
-d3/D
0
dJD
0
dJD
0
d3/D
-d2/D
0
1.3. Механиче ские примеры
21
Of =
-d3/D-d2/D dx/D О [(alli2-a2lil)c2+Pd3]/(Pc2D)
d2/D -d3/D 0 dx/D [(alp3- аърх)с2 - pd2]/{pc2D)
djD 0 d3/D -d2/D [(a3/32-a2/33)c2-2
0 5pc^ 8pcd2 8pcd3 ST
0 epc^ epcd2 epcd3 -eT
где
b2 = (a2j33 - a3l52)d3
b3 = (аз/3! - axp3)dx + (a3/32 - a2/33)J2.
Величины 5 и ? в этих формулах являются произвольными действительными нену
левыми константами.
После подходящей нормализации, соответственно, столбцов и строк матриц Qj
и Qj^ эти матрицы не только будут диагонализировать матрицу ^, но также симметри
зовать матрицы^, линейная комбинация которых формирует 3$ и ^:
Для этой цели надо выбрать
,2 cf+UT
2p2c2D2UT' 2p2c2D2UT
Отметим, что из U2 > (scJ следует \U\T > c\f\.
r-JZ^L. f-tr-fj.
В этом случае получаем
of a; of =
где Sli и c€i являются диагональной и симметричной матрицами, соответственно опре-
определяемыми формулами
\vjZJ О О
0.= О vjU О
[ 0 0 vjU_
-iyp-a^iUT-cf)
UQ2T
UQ2T
Сл =
(a3/32-a2/33)c
QDT ' 2
с=[(а2/33-а3/32)г/ +
_а3/32-а2/33
с, =
QDT
Co =
QDT
= а1/33-а3/31
2 2pUDT '
_а2/31-а1/32
^3 " 2pUDT ^c'
22
Гл. 1. Гиперболические системы уравнений
w/8
-v/8
-и/8
-w/e
v/e
и/г
Кроме того, такая нормализация приводит к довольно разреженной форме матрицы
(uf)T Of =
1
0
0
0
—с~2
которая имеет собственные
1 2 3
где (р = р с + с + р .
Детерминанты матриц i
0
1
0
0
ах{ри)~
значения
1 /^
Х' °4,5
2f и Of ]
detOjf -
0
0
1
0
1 «2(Р^)
1 аз(/
\/(U(p)
0 -с~2
0 a^pt/)-1
0 ^(pt/)
1 oc3(PU)-1
iU)~l (c2+p2)p-2c~4_
2_4[^/2_^cJ]p2c6
2p2c4U
имеют следующий вид:
(detOf)
-i _
pcU
Спектральная норма матрицы Q^ равна \fr, где г — max\ok\. Легко видеть, что для
U > (sc) она равномерно ограничена по х, а и J8. То же справедливо и для матрицы
Qjf. Таким образом, система A.3.13) является гиперболической, если течение вдоль
координаты ? сверхзвуковое.
Если мы перейдем к консервативным переменным F, система A.3.13) примет вид
A.3.15)
где
A,=MA,M-
— якобиева матрица д? /d\J.
Очевидно, что SS и ^ диагонализируются с помощью матриц Qjf и
, таких что
QJ
Of = Of
1 ^ MQf =
— Cif «
Q
|.
1.3.3. Уравнения теории мелкой воды. Если рассмотреть течение несжи-
несжимаемой жидкости, закон сохранения массы в A.3.10) сведется к уравнению divv = 0.
Пусть гравитационная сила действует вдоль оси z прямоугольной декартовой систе-
системы координат, показанной на рис. 1.1. В этом случае условие бездивергентности поля
скорости нужно дополнить уравнением движения в виде
A.3.16)
где Fg = [0,0, —g]T, a g — ускорение свободного падения.
1.3. Механиче ские примеры
23
В приближении теории мелкой
воды субстанциональная производ-
производная по времени вдоль оси z пред-
предполагается пренебрежимо малой и
получается (Stoker, 1957), что
p = pg(?-z). A.3.17)
Здесь принято, что давление на
уровне свободной поверхности z =
= ?(x,y,t) равно нулю. Подстав-
Подставляя выражение A.3.17) в уравне-
уравнение A.3.16) и добавляя закон сохра- Рис. 1.1. Слой мелкой воды
нения массы, приходим к следующему виду системы уравнений, описывающей пове-
поведение мелкой воды:
dh duh dvh
— —
Свободная поверхность
———-_,
_ Профиль дна
X
Ь(х,у
Здесь h(x,y,t) = ? - b(x,y), где функция b(x,y) описывает профиль дна.
Эту систему можно переписать в консервативном виде
dv
ди
dv
"dx +
du
dv
VTy = ~
A.3.19)
где
U =
h
hu
hv
hu
huv
G =
hv
huv
+ \gh2
, s =
0
~ghbx
-ghby
Отметим, что если формально положить р = h и р = jgh2, при условии Ь(х,у) =
= const получается система уравнений баротропной газовой динамики с отношением
удельных теплоемкостей равным двум. Эта система сохраняет гиперболические свой-
свойства системы уравнений Эйлера. Методы ее решения будут обсуждаться в гл. 4.
1.3.4. Уравнения идеальной магнитной гидродинамики. Уравнения
идеальной магнитной газовой динамики обобщают уравнения Эйлера в случае присут-
присутствия электромагнитного поля. В этом случае в уравнения импульса и энергии в форме
Эйлера должны быть добавлены соответствующие члены и систему нужно дополнить
уравнениями Максвелла (см. Куликовский, Любимов, 1962; Jeffrey, Taniuti, 1964; Ахи-
езер и др., 1974; Ландау, Лифшиц, 1992)
до
^-
at
A.3.20)
24
<5В
— =rot(vxB).
Гл. 1. Гиперболические системы уравнений
A.3.21)
A.3.22)
A.3.23)
д\ . ^ V/? BxrotB
_ + (v.V)v= -
dt p 4тгр
dp__ 2dp_
dt e dt '
Здесь В — это вектор магнитной индукции, а се — акустическая скорость звука.
Для простоты, вместо уравнения энергии, которое будет выписано в гл. 5, использовано
уравнение, выражающее определение скорости звука (dp/dp)s = с*, где S—энтропия.
В соответствующем уравнении A.3.22) также введена субстанциональная производная
по времени
?=?+<- "¦
Если принять во внимание формулу из векторного анализа
rot (v х В) = (В • V)v - (v • V)B + vdivB - Вdivv,
квазилинейная форма МГД-системы примет вид
ди ди ди ди
— +АХ — +А2 — +А3 — = О,
dt [ дх z ду 5 dz
A.3.24)
где
и
О
О
О
О
О
О
О
р
и
О
О
pel
О
By
Bz
О
О
и
О
О
О
-вх
О
О
О
О
и
О
О
О
-вх
А
О
О
О
и
О
О
О
3 =
О
о
О
О
О
и
О
О
О
By
4л р
Вх
4л р
О -
О
О
и
О
~w О
О w
О О
О О
О О
О -Bz
О О
О О
О
4л р
О
вх
4л р
О
О
О
и
О
О
w
О
о /
О
-Bz
О
,А
Р
О
О
w
эе2е
вх
By
О
2 ~
О
О
О
р"
О
О
О
V
О
О
О
О
О
О
О
О
47TJC
О
4л р
О
О
О
О
V
О
О
О
-By
О
О
О
- О
L
4?
ji
О
О
W
О
р
О
V
О
pel
вх
О
О
О
О
V
О
О
О
Bz -By
О"
О
О
О
О
W
О
О
1
р
О
V
О
О
О
О
By
4л р
вх
4л р
О
О
V
О
О
О
О
О
О
О
О
V
О
О
О
4л р
By
4л р
О
О
О
V
Систему A.3.20)—A.3.23) нужно дополнить уравнением
divB = О,
A.3.25)
1.3. Механиче ские примеры
25
выражающим отсутствие магнитного заряда. Оно не важно для текущего рассмотрения,
так как если divB = 0 при t = 0, то уравнение Фарадея A.3.23) сохранит отсутствие
магнитного заряда с течением времени. Это можно увидеть, если применить оператор
дивергенции к обеим частям уравнения A.3.23):
<9divB
~~дГ~
= divrot(vxB) = 0.
Отметим, что при выводе системы A.3.24) уравнение A.3.25) не использовалось.
В этой главе мы рассмотрим только одномерную систему, откладывая детальное
рассмотрение МГД-уравнений до гл. 5. Решение характеристического уравнения
det(A1-Xl) = O
дает следующие собственные значения:
где
1
\
Щс
1/2
\
1/2-
Апр ' \[пр ) \ е ' 4лр т/Щ> )
A.3.26)
Скорость аА называется альфвеновской; af и as называются быстрой и медленной
магнитозвуковыми скоростями. Очевидно, что все собственные значения являются дей-
действительными.
Отметим, что уравнение для Вх в одномерном случае сводится к
дВх дВх
A.3.27)
т. е. к одномерному уравнению переноса для Вх. Естественно, для действительно од-
одномерной задачи, в которой все величины зависят только от одной пространственной
переменной х, можно просто положить Вх = const и опустить соответствующее урав-
уравнение. Опуская A.3.27), мы сводим систему к семи уравнениям для семи неизвестных.
Такая система, так же как и расширенная система из восьми уравнений для восьми
неизвестных, имеет только действительные собственные значения и полную систему
собственных векторов. Собственные значения истинно одномерной системы совпадают
с собственными значениями расширенной системы. Лишь только собственное значение
Я = и имеет кратность 1.
Ниже приводится полная система правых и левых собственных векторов для мат-
матрицы А1 расширенной системы
г1 = [1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]т, г2 = [0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0]т,
, Г Ь- bv
26
Гл. 1. Гиперболические системы уравнений
г4 = 0, 0, -—=, -?=, 0, 0, -bz^2npsignBx, by^2npsignBx\ ,
L л/2 л/2 J
г5 = [paf, afaf, -asasZ?ySign?x, -asasbzsignBXj afpc2, 0, 2а8У/крсеЬу, 2aSy/Kpcebz]T,
r6 = [paf, —afaf, asasZ?ySigni?x, asasZ?zsign5x, afpc2, 0, 2aSyJnpceby, 2а8Л/тгрсе^2]т,
r7 = [pas, astfS5 o^f^f^sign5x, afafZ?zsign5x, aspc2, 0, —2а^у/к1
r8 = [pas, —ocsas, — afafZ?ySigni?x, — afafZ?zsign5x, aspc2, 0, — 2af^
-2a,
1, 0, 0, 0, -1, 0, 0, ol , I2 = [0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0],
Le J
14 =
15 =
16 =
17 =
. л/2 л/2' 2
x/2'
afaf
afaf asas
asas
2pc2
asbv asbz
asas
r, 0, -
as
. 0, -
В этих уравнениях
af =
as =
Кроме того, по определению, полагается signO = 1.
Введены также нормализованные тангенциальные компоненты вектора магнитно-
магнитного поля
Величины Ьу и bz, очевидно, вырождаются при отсутствии тангенциального маг-
магнитного поля. Тем не менее, если заметить, что должно быть выполнено только одно
важное соотношение Ь2 + Ъ22 = 1, может быть выбрана следующая регуляризация:
by = sin i/A, bz = cos у/.
Величина угла if/ произвольна. Представленная выше компактная форма нормали-
нормализации МГД собственных векторов основана на работе Brio, Wu A988) (см. также Roe,
Balsara, 1996). Кроме того, авторы упомянутой работы использовали i/л = тг/4, хотя это
1.3. Механиче ские примеры 2 7
не представляется существенным и можно с тем же успехом положить у/ = О или тг/2.
Легко проверить, что detQR = \6кр2с5.
Формулы для собственных векторов вырождаются при as = af. Это происходит,
если В2 + В2 = 0 и се = аА. Чтобы обойти этот редкий случай, можно просто положить
Вх = (\ + ?)ВХ, где ? — небольшая константа.
1.3.5. Уравнения теории упругости. Рассмотрим в качестве примера ли-
линейное уравнение, описывающее колебание однородного стержня в рамках теории Ти-
Тимошенко (Timoshenko, 1921; Timoshenko, Young, Weaver, 1974). Уравнение Тимошенко
имеет вид
d2w d4w d4w d4w
+ + «з^ = 0, A.3.28)
где ах, а2 и аъ — это положительные константы, зависящие от плотности стержня, его
геометрических параметров и коэффициентов упругости, aw — отклонение стержня
от равновесного положения. В частности,
El I El I
HFP ' 2 " FP " knFP ' 3 ~ kFf '
где F — это площадь поперечного сечения стержня, / — его длина, /1 — модуль сдвига,
/ — момент инерции поперечного сечения относительно оси, проходящей через центр
масс, EI — изгибная жесткость стержня, Е — модуль Юнга, а А: — коэффициент,
зависящий от формы поперечного сечения. Величины х и w обезразмерены на /, a t —
на //с, где с = д/д/р, ар — это плотность материала, из которого сделан стержень.
Если ввести величины
~ dfi ' " дх2 '
уравнение A.3.28) можно переписать в виде
д2М д2М d2N
d2N д2М
Если также ввести
p^L n^L p^L :^L
dt ' Q~ dt ' dx1 dx'
уравнения A.3.29) и A.3.30) принимают вид
дР а2 dR a, dS I t,
-т --^— + —L-r— = М,
dt а3 "х аз "х аз
^?_^.-П ^--^L-п ^_^?-
dt дх ~ ' dt дх ~ ' dt дх ~
dt ~ ' dt ~y-
28
Гл. 1. Гиперболические системы
Эта система уравнений первого порядка может быть переписана в виде
где
А =
0
0
-1
0
0
0
0
0
0
-1
0
0
-а2
-1
0
0
0
0
dv
~дГ
ах
0
0
0
0
0
(9IJ
дх
00"
00
00
00
00
00
, ах
f'
ах
а3 '
2 а3
f= f-f"'
Матрица^ может быть приведена к диагональному виду, т. е. имеет место представление
А = QRAQL, где
A = diag[/31,-j31,j32)-/32,O,O],
«2
«2 "
а матрицы QR, QL имеют блочный вид
причем / = diag[l, 1] — диагональная матрица размерности 2 х 2, а имеющие размер-
размерность 4x4 матрицы В и В~1 имеют следующую структуру:
В =
-рх рх -р2 /32
A2 A2 ft2 ft2
I ^ -я ftft -ft3ftj
detB=-4(/32-ftJ(j32
1.4. Свойства решений
В этом разделе приводится краткое описание некоторых математических свойств реше-
решений квазилинейных гиперболических систем. При этом ограничимся теми свойствами,
которые существенны для последующего изложения. Более детальная информация мо-
может найдена в многочисленных монографиях и учебниках. Неполный перечень вклю-
включает в себя книги Jeffrey, Taniuti A964), Lax A972), Jeffrey A976), Рождественского,
Яненко A978), LeVeque A992), Godlewski, Raviart A996), Serre A996), Kroner A997),
Того A997), Годунова, Роменского A998), Куликовского, Свешниковой A998).
1.4. Свойства решений 29
1.4.1. Классические решения. Предположим, для простоты, что система од-
однородна и что вектор потока зависит только от самого неизвестного вектора, но не
зависит явно от независимых переменных
^ + =0. A.4Л,
at ax
Как показано в разд. 1.3, такая форма системы часто встречается в механических
приложениях.
Из A.1.7) видно, что неизвестный вектор должен, как минимум, быть дифферен-
дифференцируемым. Для того чтобы перейти от интегральной формы A.2.18) к соответствую-
соответствующей ей дифференциальной форме A.2.16), следует также предположить определенную
гладкость U. Если достаточно гладкое решение не существует, нужно использовать
интегральную форму записи.
Рассмотрим задачу Коши для системы A.4.1), полагая
U(x,0)=U0(x). A.4.2)
Вектор-функция U называется классическим решением задачи Коши A.4.1), A.4.2),
если U является непрерывно-дифференцируемой функцией, удовлетворяющей этим
уравнениям поточечно.
Существование гладких решений
Перед тем как будет дано определение обобщенного решения гиперболической систе-
системы уравнений, покажем, что классическое решение иногда существует только в преде-
пределах конечного промежутка времени даже для гладких начальных данных, задаваемых
функцией Uo. Для этой цели рассмотрим простейший случай одномерного скалярного
уравнения
с начальным условием
U(x,0) = U0(x), -оо<х<оо. A.4.4)
Отметим, что уравнение A.4.3) может быть также записано в квазилинейном виде
f + ^)f = 0, A.4.5)
если положить a(U) = dF(U)/dU. Следовательно, характеристическая линия A.2.6),
проходящая через точку (хо,О) в плоскости (x,t) задается формулой
x = xo+ta(Uo(xo)). A.4.6)
Из уравнения A.4.5) видно, что
30 Гл.1. Гиперболические системы
вдоль характеристической линии. Это позволяет найти гладкое решение с использова-
использованием, так называемого, метода характеристик. При этом полагаем
где х0 следует находить из формулы A.4.6), задающей характеристическую линию.
Для линейных систем, когда матрица А не зависит от U, характеристические линии
х = х0 + at являются прямыми, которые никогда не пересекаются. Это означает, что
можно найти точное решение в полуплоскости {-оо < х < оо, / > 0}. Это решение
имеет вид бегущей волны
U(x,t) = U0(x-at). A.4.7)
В противоположность этому, если a(U) ф const и для некоторыххх < х2 выполняется
a(U0(xl))>a(U0(x2)),
то характеристики, которые выходят из х = хх их = х2, неизбежно пересекутся. Клас-
Классическое решение за пределами точки пересечения обычно не имеет смысла и должно
стать разрывным. Это свойство, таким образом, дает пределы применимости метода
характеристик.
Здесь важно сделать одно замечание. Хотя далее и будут рассматриваться, в основ-
основном, только нелинейные системы, в некоторых численных методах, описанных в после-
последующих главах, для продвижения решения на короткий интервал времени используются
линеаризованные уравнения. Если линеаризовать систему
в малой окрестности некоторого постоянного значения и0, т. е. положить и = и0 + й(х, t),
то функция и должна удовлетворять линейной системе
g^("o)g=° A.4.9)
со вторым порядком точности. Характеристические скорости Xk и собственные векторы
rk матрицы коэффициентов А становятся в этом случае постоянными. Так как А диа-
гонализируема, т. е. А = QRAQL, умножая систему A.4.9) на QL и вводя переменные
Римана w = QLu, получаем
1
Таким образом, система распадается на отдельные уравнения, решения которых wk
представляют из себя бегущие волны
wk = wk(x-Xkt), *=1,...,л. A.4.11)
В этом случае функции wk называются инвариантами Римана системы A.4.9) с
постоянными коэффициентами at-, образующими матрицу А. Бегущие волны A.4.11)
распространяются с постоянными скоростями Я^, сохраняя свою форму.
1.4. Свойства решений 31
Общее решение системы A.4.9) есть сумма п бегущих волн, распространяющихся
с соответствующими характеристическими скоростями
к=\
Если собственные векторы гк нормализованы так, что |г^| = 1, величины wk можно
рассматривать как амплитуды соответствующих линейных волн.
Волны Римана
Перейдем к рассмотрению свойств нелинейных систем A.4.1). Рассмотрим важный
специальный класс решений задачи Коши A.4.1), A.4.2), называемый волнами Римана
или простыми волнами. Последнее понятие кажется более общим, так как оно также
включает в себя такие стационарные двумерные решения системы уравнений газовой
динамики A.3.13), как волны Прандтля-Майера и аналогичные волны в магнитной
гидродинамике и теории упругости.
Предполагается, что в таких волнах вектор U зависит от определенной комбинации
O(x,t) независимых переменных, то есть U = \J(O(x,t)). Тогда из A.4.1) получаем
(А-М)^ = 0, A.4.13)
где
А=-^/^. AА14)
dt I дх
Для нахождения нетривиальных решений надо потребовать
det(^-A/) = O, A.4.15)
т. е. А должна быть собственным значением матрицы^, таким образом совпадая с одной
из характеристических скоростей A^U) системы A.4.1). После этого становится понят-
понятным, что производная d\J/dO параллельна соответствующему собственному вектору
матрицы А
Уравнение A.4.16) определяет семейство интегральных кривых, касательных в каж-
каждой их точке к правому собственному вектору матрицы А. Количество решений в виде
простых волн равно количеству линейно независимых собственных векторов г. Так как
система гиперболическая, это число равно п.
Рассмотрим одну из волн Римана, соответствующую простому корню характеристи-
характеристического уравнения. На интегральной кривой вектор U является функцией единственного
параметра в. Этот параметр может выбираться произвольно по нашему усмотрению.
Это может быть длина дуги в пространстве U, измеряемая от начального значения
во = в (х, 0), одна из компонент Uk вектора U или характеристическая скорость А. Един-
Единственным требованием является то, что выбранный параметр должен быть монотонным
32 Гл.1. Гиперболические системы
на рассматриваемом сегменте интегральной кривой. После выбора параметра 0, его
значение можно определить с помощью A.4.14):
f ^ = 0. A.4.17)
Скалярная функция вектора здесь рассматривается как функция его компонент.
С другой стороны, характеристики
уравнения A.4.17) совпадают с выбранным семейством характеристик системы A.4.1).
Вдоль каждой характеристической линии системы A.4.17) выполняется dO/dt = 0, т. е.
0 = const и, следовательно, все компоненты Uk вектора U и сама А являются констан-
константами. Это означает, что в плоскости (x,t) характеристики представляются прямыми
линиями и их наклоны можно определить даже при t = 0. Остальные семейства харак-
характеристик в общем случае являются криволинейными.
Если требовать чтобы решение имело форму волны Римана, начальные условия для
U также должны быть представимы в виде некоторой функции от 0. Это означает, что
они должны содержать только одну произвольную функцию 0 (х, 0) = 00(х). Кроме это-
этого, решение содержит п—\ констант, которые необходимы для выделения единственной
интегральной кривой уравнения A.4.13). Как показано выше, решение в виде волны Ри-
Римана может быть сконструировано только в части плоскости (х,/), где характеристики
не пересекаются.
Предыдущие рассуждения показывают, что простые волны обобщают волны ма-
малых возмущений, которые описываются уравнениями A.4.9). Действительно, каждый
элемент d\J = (d\J/dO)dO волны Римана меняется пропорционально правому собствен-
собственному вектору матрицы коэффициентов системы, точно так же как и в случае распро-
распространения малого возмущения. Скорости их распространения тоже совпадают. Поэтому
простая волна может быть представлена как последовательность малых возмущений,
каждое из которых движется в следе за предшествующим возмущением. В зависимо-
зависимости от характера изменения характеристической скорости вдоль интегральной кривой
профиль волны Римана может деформироваться.
Если на интегральной кривой А@) = const, то характеристики являются прямыми
линиями в плоскости (x,t) и никогда не пересекаются. В этом случае волна Римана
является бегущей волной, в которой
U = U@), 0 = 0o(x-Af).
Если собственное значение А не постоянно, в интервалах монотонности характе-
характеристических скоростей его можно выбрать в качестве параметра 0. Таким образом,
получается уравнение
дХ ДА
—+ А—= 0
dt дх
с начальным условием А (х, 0) = Ао (х).
1.4. Свойства решений
33
Пусть начальный профиль зада-
задается функцией, представленной на
рис. 1.2а. Поведение прямолиней-
прямолинейных характеристик качественно при-
приведено на рис. 1.2Ь. Как показа-
показано выше для скалярного уравне-
уравнения A.4.3), решение может быть
единственным образом определено
на интервале с dX/ dx > 0. Это вызва-
вызвано тем, что предшествующие части
профиля движутся быстрее, чем по-
последующие. С другой стороны, на ин-
интервале с dX/dx < 0 элементы, более
близкие к максимуму функции Я0(х)
движутся быстрее предшествующих
и рано или поздно их догоняют. Этот
процесс известен как укручение вол-
волны. Он, в конечном итоге, приводит к
ее опрокидыванию (см. рис. 1.2с-е).
Так как в механике сплошной среды
неединственное решение чаще всего
не имеет физического смысла, подра-
подразумевается, что в момент пересече-
пересечения характеристик классическое ре-
решение перестает существовать и воз-
возникает разрыв.
Существует класс уравнений,
имеющий решения в форме волн Ри-
мана, в которых характеристическая
скорость Я постоянна. Это имеет ме-
место, если Я постоянна вдоль каждой
интегральной кривой волны. В этом
случае волна Римана является бегу-
бегущей волной, т.е., Uk = Uk(x — Xt), Я =
= const. Такие волны, которые распространяются без изменения своей формы, будут
называться не деформирующимися волнами. Если функция в разрывна в начальный
момент времени, она останется такой для всех последующих t. Каждый разрыв этого
типа имеет аналог с обратным изменением величин. Разрывы, которые в то же время яв-
являются волнами Римана, будем называть обратимыми. В качестве примеров обратимых
разрывов можно привести тангенциальные разрывы в газе и вращательные разрывы в
магнитной гидродинамике (Ландау, Лифшиц, 1992).
Отметим один важный частный случай волн Римана, а именно автомодельные вол-
волны Римана. Начальным условием при t = 0 для этих волн является кусочно-постоянная
функция в с разрывом в точке, которая принимается за начало координат х = 0. Ес-
Если Я|х>0 > Я|х<0, из начала координат выходит веер прямолинейных характеристик
x/t = Я (в), соответствующих рассматриваемой волне. Так как величины Uk постоянны
Рис. 1.2. Опрокидывание гладкого профиля
34 Гл.1. Гиперболические системы
вдоль характеристик, в качестве параметра в может быть выбрана сама характеристи-
характеристическая скорость Я = x/t.
Описанные в этом разделе свойства классических решений показывают, что для ква-
квазилинейной системы гиперболических уравнений область определения решения может
быть найдена только одновременно с ним самим. Кроме того, классическое решение и
его производные не остаются ограниченными.
1.4.2. Обобщенные решения. Предыдущие рассуждения приводят к необ-
необходимости введения обобщенных решений. Вектор-функция называется обобщенным
решением системы A.4.1), если она удовлетворяет системе A.2.18) для произвольного
объема V, ограниченного кусочно-гладкой поверхностью dV. Все классические реше-
решения образуют подмножество обобщенных решений. С другой стороны, XJ(x,t) может
быть и кусочно-непрерывной, с непрерывными первыми производными внутри каждо-
каждого интервала непрерывности.
Поверхность, на которой функция \J(x,t) имеет разрыв, называется поверхностью
сильного разрыва. Если разрывны только производные функции U, то говорят о наличии
слабого разрыва.
Соотношения на разрывах
Найдем формулы, связывающие неизвестные функции на разрыве. Хотя такие со-
соотношения можно получить сразу в многомерной форме (см., например, Godlewski,
Raviart, 1996), удобно рассмотреть их вывод для системы с двумя независимыми пере-
переменными хи/.В этом случае A.2.18) сводится к
-| Г 2Ц(и)<& + ^(и)|~ -F,(u)\x=x = Гc,(x,t,u)dx. A.4.18)
at Jxx Jxx
Пусть вектор u разрывен на линии х = X(t) в плоскости (x,t), но непрерывен с
обеих сторон этой линии. Здесь предполагается, что разрыв движется слева направо и
его скорость есть
W = ^. A.4.19)
at
Если обозначить через uf = ut(X+ 0, i) и и\ = ut(X—0,t) значения функции ut перед
и за разрывом, то для фиксированного момента времени из A.4.18) находим
г)Т1 гх
A.4.20)
где ^R = Ut(uR), U\ — Ut(uL), axj их2 постоянны.
Если хх —>X+0 их2 —УX — 0, а функции ct ограничены, то интегралы в A.4.20)
исчезают и мы получаем
W{U,} = {FI}. A.4.21)
Здесь, по определению,
1.4. Свойства решений 3 5
Отметим, что в системе координат, связанной с разрывом, выполняется равенство
W = 0 и, следовательно, {Ft} = 0. Это означает, что вектор потока в этой системе ко-
координат остается постоянным. Соотношения A.4.21) по аналогии с газовой динамикой
называются соотношениями Гюгонио.
Единственность обобщенного решения
Поскольку обобщенные решения гиперболической системы могут быть разрывными,
возникает вопрос о том, являются ли эти решения единственными. Известно (см., на-
например, Рождественский, Яненко, 1978), что удовлетворение законам сохранения и на-
начальным условиям недостаточно для определения единственного решения. Это можно
показать на примере простого модельного уравнения
с начальным условием
( (\\ (\ /uL прих<0,
u(x.O) = uJx) = < R ' A.4.23)
v ' ; ow \uR прих>0. V J
Так как мы интересуемся обобщенным решением, оно ищется в классе кусочно-
непрерывных функций, удовлетворяющих интегральному уравнению
= 0 A.4.24)
dv
и начальному условию A.4.23). Закону сохранения A.4.24) соответствуют соотноше-
соотношения на разрыве в виде -W{u} + \{и2} = 0. Из этого ясно, что для скорости разрыва
справедлива формула W = j(uL + uR).
Простейшее решение содержит единственный разрыв
<JWt A.4.25)
движущийся со скоростью W.
Пусть uL < uR. В этом случае можно сконструировать другое решение задачи
A.4.22), A.4.23) в виде
u2(x,t) =
uL при х < uLt,
- приг/Ч<х<Л, A.4.26)
uR при х > uRt.
Таким образом, наблюдается неединственность решения, в то время как хотелось бы
ожидать наличия единственного решения задачи Коши в классе разрывных функций.
Для выделения единственного обобщенного решения Рождественский, Янен-
Яненко A978) ввели следующие критерии:
36
Гл. 1. Гиперболические системы
Ох О
Рис. 1.3. Характеристики, соответствующие обобщенным решениям их (а) и и2 (Ь)
• любое классическое решение, если оно существует, должно также быть решением
в обобщенном смысле;
• пределы классических решений также являются решениями интегральных законов
сохранения в классе разрывных функций.
Первое предположение вполне естественно, а второе предполагает непрерывную
зависимость решения задачи Коши от начальных данных. Таким образом, вышепри-
вышеприведенные условия основаны на предположении о корректности задачи Коши. Далее
требования к обобщенным решениям будут обсуждены более детально. Тем не менее,
два приведенных выше предположения позволяют сделать выбор между решениями их
и и2 задачи Коши A.4.22), A.4.23).
На рис. 1.3 показано поведение характеристик х = х0 + и(х, t) t, соответственно, для
решений их и и2. Если сгладить начальные данные A.4.23) в окрестности разрыва и
использовать полученную функцию и$(х) в качестве нового начального профиля (см.
рис. 1.4а), который совпадает с ио(х) вне отрезка |х| < <5, представленное на рис. 1.4Ь
поведение характеристик при <5 —)> 0 будет стремиться к показанному на рис. 1.3Ь. Таким
образом, в соответствии с вышеуказанными предположениями, только и2 удовлетворя-
удовлетворяет условию непрерывной зависимости от начальных условий. Действительно, первое
решение является абсолютно искусственным, так как присутствующий в нем разрыв
образуется в результате пересечения характеристик, которые начинаются на бесконеч-
бесконечности, а не на оси начальных данных t = 0. Если же, наоборот, uL > uR, то разрыв
будет характеристически согласованным с начальными данными и решение их может
реализоваться.
Принципы, сформулированные Б. Л. Рождественским и Н. Н. Яненко очень важны
с точки зрения использования численных методов сквозного счета для нахождения раз-
разрывных решений гиперболических систем. При этом подходе разрывы представляются
резкими градиентами соответствующих функций на расчетной сетке. Естественно на-
надеяться, что эти решения будут стремиться к разрывным решениям гиперболической
системы по мере того как измельчается сетка. С другой стороны, зоны больших гради-
градиентов в численных решениях, очевидно, описываются схемными вязкостью и дисперси-
дисперсией. Таким образом, можно сказать, что разрыв является допустимым^ если он является
пределом соответствующего сглаженного профиля при стремлении диссипации и дис-
дисперсии к нулю.
1.4. Свойства решений
37
щ(х)
-8 0 8 х -8 0 8 j
Рис. 1.4. Сглаженный начальный профиль (а) и соответствующие характеристики (Ь)
1.4.3. Разрывы малой амплитуды Рассмотрим теперь разрывы, которые
удовлетворяют соотношениям Гюгонио A.4.21), где
?/L>R=lim U{X{t)Te,t),
?->-0
а х = Х(/) — положение разрыва в момент времени t.
В дальнейшем верхний индекс L опускается. Уравнения, описывающие непрерыв-
непрерывные гладкие решения, имеют стандартную квазилинейную форму A.4.1):
dt
11 дх
=
A.4.27)
Для любых фиксированных начальных условий Uf^ уравнение A.4.21) определяет
кривую в пространстве Ut и величину скорости W на ней. Эта кривая проходит через
начальную точку ^R и называется ударной адиабатой или кривой Гюгонио. Рассмотрим
разрывы малой амплитуды, для которых величины {Ut} малы (Lax, 1957). Разлагая {Ft}
в ряд по степеням {U-} и удерживая только первые два члена, получаем
}¦
A.4.28)
Коэффициенты разложения вычисляются по величинам перед разрывом.
В соответствии с A.4.28) уравнение A.4.21) можно переписать в виде
A.4.29)
где
(
O({Uk}2).
Матрица F* вычисляется в точке ^R + ^-{Щ, которая лежит в центре хорды, соеди-
соединяющей начальную точку ^R с точкой Ut на ударной адиабате.
38 Гл.1. Гиперболические системы
Из уравнения A.4.29) следует, что (i) W совпадает с характеристической скоростью
в центре вышеупомянутой хорды и (и) направление хорды совпадает с направлением
соответствующего собственного вектора г* матрицы ?г] в центральной точке хорды.
Пусть {Ut} —> 0. Тогда из уравнения A.4.29) находим, что скорость W бесконеч-
бесконечно слабого разрыва равна характеристической скорости AR, а вектор tR, касающийся
кривой Гюгонио в начальной точке, совпадает с правым собственным вектором rR
матрицы F^. Предполагая, что в малой окрестности начальной точки Uf^ характеристи-
характеристическая скорость А с точностью до малых корректирующих членов является линейной
функцией Uj, из (и) получаем, что
r = A* = ^(AR + A) + <9((A-ARJ). A.4.30)
Покажем, что кривизна ударной адиабаты в начальной точке совпадает с кривизной
интегральной кривой волны Римана, проходящей через эту точку. Следующие формулы
справедливы для единичных векторов t и г, которые касаются, соответственно, кривой
Гюгонио и интегральной кривой волны Римана:
A.4.31)
Здесь, согласно предыдущему, tR = rR, a / — расстояние от начальной точки Uf^
до Ц вдоль соответствующей кривой. Производные (<9t/<9/)R и (<9r/<9/)R являются кри-
кривизнами соответствующих кривых в начальной точке. Касательная к ударной адиабате
в точке 1/2 с точностью до О{12) направлена вдоль хорды дуги, имеющей длину /.
В соответствии с (и) это направление с той же точностью определяется собственным
вектором г* матрицы F* = Ftj(Uf- + j{Uk})-> т- е- матрицы F--, вычисленной в середине
хорды.
Так как интегральная кривая волны Римана и ударная адиабата касаются друг друга
в начальной точке, то точки, расположенные на расстоянии 1/2 на обеих кривых, и се-
середина хорды ударной адиабаты с длиной дуги / разделены расстоянием порядка О{12).
Таким образом, можно заключить, что левые части обоих уравнений A.4.31) совпадают
с точностью до величин ОA2). Из этого следует, что кривизны ударной адиабаты и
интегральной кривой волны Римана также одинаковы в начальной точке, т. е.
Si) \Э1) ¦ u '
Здесь производные берутся, соответственно, вдоль ударной адиабаты и интегральной
кривой волны Римана.
Из равенства A.4.30) следует, что изменение W и А происходит в одном и том же
направлении как на ударной адиабате, так и на соответствующей интегральной кривой
волны Римана. В частности, сегмент ударной адиабаты с растущей скоростью W и
сегмент волны Римана с убывающей А могут быть объединены в начальной точке в
одну кривую с непрерывными касательными и кривизнами. Это будет использовано в
дальнейшем для конструирования решений некоторых автомодельных задач.
1.4. Свойства решений 39
Результаты, представленные соотношениями A.4.30) и A.4.32), часто цитируются
как теорема Лакса.
1.4.4. Условия эволюционности разрывов. В общем случае разрывы ре-
решений являются поверхностями, на которых задаются условия, связывающие величи-
величины с обеих сторон разрывов. Эти условия обычно включают скорость разрыва W. Для
гиперболических систем уравнений в форме законов сохранения эти условия имеют
вид A.4.21), где Ut и Ft являются консервативными переменными и их потоками через
единичный элемент поверхности х = const.
Условия эволюционности являются необходимыми условиями однозначной разре-
разрешимости задачи о взаимодействии разрыва с малыми возмущениями, зависящими от
нормальной к поверхности разрыва координаты х и времени t. Рассмотрим малые возму-
возмущения <5?/L'R, распространяющиеся по состояниям ?/L'R за и перед разрывом. Линеари-
Линеаризуя уравнение A.4.21), получаем п соотношений, связывающих 8Uf, 8UR и возмущение
скорости разрыва 8W. Согласно равенству A.4.12) линейные одномерные возмущения
можно представить в виде суперпозиции п волн, каждая из которых является бегущей
волной, распространяющейся с характеристической скоростью ЯЬ'К. Это дает возмож-
возможность разделить все эти волны на приходящие и уходящие, в зависимости от знака
разности AL'R — W. Приходящие волны полностью определяются начальными услови-
условиями, в то время как уходящие должны определяться из линеаризованных граничных
условий на разрыве.
Каждая из линейных волн описывается единственной величиной wt, называемой
инвариантом Римана, или амплитудой, см. A.4.12). Возмущения всех величин можно
выразить через эти амплитуды. Очевидно, что wt и 8Ц связаны обратимым линейным
преобразованием.
Выполняя те же преобразования в линеаризованных соотношениях на разрыве, по-
получаем п линейных уравнений, связывающих 2п+ 1 величин w^,wf и 8W, причем
коэффициенты этих уравнений зависят от W, U\ и UR. В соответствии с предыдущими
рассуждениями, 8W я амплитуды w\ и wR, которые соответствуют уходящим волнам,
должны определяться из этой системы.
Пусть sR и sL — количества волн, уходящих вправо и влево от разрыва. Таким
образом, количество величин, которые нужно определить из линеаризованной системы
соотношений Гюгонио равно sR + sL + 1. Если это число равно количеству уравнений,
выражающих соотношения на разрыве, т. е.
sR + sL + l=n, A.4.33)
то в общем случае отличного от нуля определителя матрицы коэффициентов задача
однозначно разрешима. Это означает, что малые приходящие возмущения порожда-
порождают малые уходящие возмущения и малое приращение скорости разрыва 8 W. Равен-
Равенство A.4.33) называется условием эволюционности, или условием Лакса (Lax, 1957).
Если выполняется условие A.4.33), т. е. если число слабых уходящих возмущений
различного типа на единицу меньше количества граничных условий на разрыве, то
разрыв называется эволюционным (Ландау, Лифшиц, 1992). В противном случае он
называется неэволюционным.
Если
sR + sL + l>n, A.4.34)
40 Гл. 1. Гиперболические системы
т. е. если число подлежащих нахождению неизвестных величин больше числа гранич-
граничных условий, эти величины не могут быть найдены единственным образом и будут
зависеть от одной или более функций времени. Это подразумевает, что такие разрывы
или не существуют, или условия на них не доопределены и имеются физические причи-
причины наложения дополнительных, не зависящих от A.4.21), граничных условий, которые
сделают разрыв эволюционным (см. гл. 7).
Если
sR + sL + Kn, A.4.35)
то линеаризованные граничные условия в общем случае не могут быть удовлетворены с
помощью подлежащих определению величин. Таким образом, задача о взаимодействии
разрыва с малыми возмущениями не имеет решения в линейном приближении. Так
как ожидается, что корректно поставленная физическая задача будет иметь решение,
это означает, что должны иметь место конечные (не малые) отклонения от начального
состояния. Проведенные ранее исследования различных физических задач показывают,
что взаимодействие малых возмущений с неэволюционными разрывами приводит к
распаду последних на два или более эволюционных разрыва (см. гл. 5 и 7).
Условие A.4.33) можно переписать в виде неравенств, связывающих скорость W со
скоростями распространения малых возмущений AL'R. Если пронумеровать характери-
характеристические скорости на обеих сторонах разрыва, так что
>Ц <А2<...<А„, A.4.36)
условие A.4.33) можно переписать в виде (Lax, 1957)
Xf<W<Xf+l, X\_X<W <Х\, A.4.37)
где к = 1,..., п. В этих соотношениях надо положить А^ = — оо и А;^ = оо.
Неравенства A.4.37) позволяют разделить эволюционные разрывы на п типов в зави-
зависимости от значения к. Разрывы, удовлетворяющие соотношениям A.4.37) называются
^-разрывами. Приведенные выше соотношения можно представить в виде диаграммы
эволюционности (Ахиезер, Любарский, Половин, 1958). Величины W и AR на горизон-
горизонтальной оси этой диаграммы представляются в некотором фиксированном масштабе,
в то время как величины ff и Я[ на вертикальной оси масштабируются произволь-
произвольно, с сохранением неравенств между величинам. Прямые линии, параллельные осям
и проходящие через точки Xj: и AR, делят плоскость на несколько прямоугольников
(см. рис. 1.5). Если точка (W,W) лежит в одном из обведенных прямоугольников, то
неравенства эволюционности A.4.37) выполнены.
Проверим, являются ли эволюционными разрывы малой амплитуды. В этом случае,
в соответствии с п. 1.4.3, если разности А^ — Af- для выбранного к малы, скорость
А>разрыва есть
l\ f. A.4.38)
W{X
Разности А • - W для j ^kne считаются малыми и поэтому не могут изменить знак при
переходе через разрыв. В соответствии с A.4.38) неравенство А^ > W справедливо при
W > Af- и в этом случае характеристики одного (к-то) семейства подходят к разрыву с
обеих сторон. Оставшиеся п—\ характеристик приходят на разрыв с одной стороны и
уходят с другой. Таким образом, имеется п—\ уходящая характеристика и такой разрыв
эволюционен.
1.4. Свойства решений
41
w
Если W < Xf, то W > Х]?, и харак-
характеристики к-то типа являются уходящи-
уходящими с обеих сторон разрыва. В результате
этого имеется п+\ уходящая характе-
характеристика и этот разрыв неэволюционен.
На рис. 1.5 слабые разрывы показаны
как сегменты кривых, проходящих через
точки (Я^,Я^), к— 1,...,п, соответству-
соответствующие бесконечно слабым разрывам.
Разрывы, скорость которых совпада-
совпадает с одной из характеристических скоро-
скоростей, также могут быть эволюционными.
Эволюционность этих предельных раз-
разрывов (они будут называться разрывами
Жуге), однако, нужно проверять отдель-
отдельно в каждом конкретном случае. Напри-
Например, слабые разрывы, для которых вы-
выполняется соотношение Я^ = W = Я^,
эволюционны. Это является причиной использования знаков равенства в соотношени-
соотношениях A.4.37).
1.4.5. Поведение энтропии на разрывах. Понятие энтропии играет важ-
важную роль в механике сплошной среды. С. К. Годунов (Годунов, 1961, 1978; Годунов,
Роменский, 1998) ввел важный класс гиперболических дифференциальных уравнений
в частных производных, выражающих законы сохранения, для которых определено по-
понятие энтропии. Предполагается, что консервативная система A.4.1) имеет следствием
дополнительное уравнение сохранения для энтропии в форме
\
\
Kk=2
\
\
к=п
Рис. 1.5. Диаграмма эволюционности
dS(V) dF(V)
¦ н—^— = и.
dt
дх
A.4.39)
Оно может быть получено из A.4.1) умножением на множители qt и суммированием
по i. Выбирая ql в качестве независимых переменных и вводя функции
Q = S-qiUl, H = F-
можно переписать уравнения A.4.1) и A.4.39) в виде
dt{dgl) + dx\dgl) °'
= 0.
A.4.40)
A.4.41)
A.4.42)
Уравнения A.4.41), A.4.42) представляют из себя каноническую форму системы
Годунова. Очевидно, что уравнение A.4.39) можно получить из A.4.1) только если
dS=qidUi,
= qidFi.
42 Гл. 1. Гиперболические системы
Видим, что в одномерном случае имеется только две независимые функции Q и S,
определяющие конкретный вид системы Годунова. Функция Q(q) является выпуклой
функцией, если выпукла S(q), так как —S и Q связаны преобразованием Лежандра
В механике сплошной среды функция S интерпретируется как энтропия, а функ-
функция F — как ее поток.
Введем производство энтропии на разрыве как разность потоков энтропии за раз-
разрывом и перед ним
{P(q,,W)} = {WS-F} = WiQ-q&J-iH-qft], A.4.43)
a = f, », = ?
В соответствии со вторым законом термодинамики величина {Р} должна быть
неотрицательной. Оценим ее изменение вдоль кривой Гюгонио (ударной адиабаты).
Для заданного состояния перед разрывом qf она описывается уравнением
{Hi}-W{Qi} = 0, A.4.45)
которое соответствует закону сохранения A.4.41).
Дифференцируя уравнения A.4.43) и A.4.45) в предположении qf = const и исклю-
исключая dqt, получаем
^&* A.4.46)
Если функция Q(q) является выпуклой, знак правой части уравнения A.4.46) сов-
совпадает со знаком dW. В этом случае разрывы с W > AR, которые на кривой Гюго-
Гюгонио соответствуют точкам, примыкающим к начальной и принадлежащим сегменту с
неуменьшающейся скоростью W, не противоречат второму закону термодинамики.
1.5. Распад произвольного разрыва
Рассмотрим задачу Римана о распаде произвольного начального разрыва или, для крат-
краткости, просто задачу Римана. Она является частным случаем задачи Коши для системы
ЗУ | dF(U)=Q
dt дх
со специальными начальными условиями в виде (Riemann, 1860)
тт/ л\ /UR прих>0,
Uuc.O) = < ттТ ' A.5.1)
v ' ; \ UL при х < 0. v J
Найдем форму решения этой задачи при t > 0 для малых разностей ^R — U\, где Ut —
это компоненты вектора консервативных переменных U (Lax, 1957). Задача Римана
1.5. Распад произвольного малого разрыва 43
является автомодельной, и ее решение должно зависеть отх/t и состоять из волн Римана,
областей с постоянными Ц и разрывов.
Сначала исследуем решение линеаризованной задачи. Предположим, для простоты,
что все характеристические скорости А,- различны. Так как при / = 0их = 0 имеется
разрыв, решение состоит из п характеристических волн A.4.12), каждая из которых
представляет из себя полу бесконечный ступенчатый профиль с разрывом на правом
конце. Разрывы движутся с присущими им скоростями А,-. Изменение параметров в
/-волне пропорционально правому собственному значению собственного вектора г1
матрицы
F =^~
lm 7I1 '
которая в линейном приближении предполагается постоянной.
При условии что собственные векторы после соответствующей нормировки имеют
единичную длину, будем называть коэффициенты пропорциональности wt амплитудами
волн. Задача определения амплитуд волн сводится к разложению вектора UL — UR no
собственным векторам г1:
LR 2>
Так как собственные векторы, соответствующие различным собственным значени-
значениям, линейно независимы, задача имеет решение. Амплитуды wt можно рассматривать
как систему координат в окрестности начальной точки. Как следует из предыдущих
рассуждений, якобиан преобразования к новой системе координат не равен нулю. При
t = const > 0 движению справа налево вдоль оси х в пространстве Ut соответствует
система скачков, распределенных в порядке возрастания А,- и происходящих вдоль ко-
координатных линий Wj. Они образуют ломаную линию, соединяющую точки Uf^ и U\
Если необходимо принимать во внимание нелинейность, решение задачи Римана,
по-прежнему, ищется как последовательность из п волн. Самая правая волна соответ-
соответствует самой большой характеристической скорости Хп. В зависимости от направления
изменения величин в волне можно получить как расширяющуюся волну Римана с ха-
характеристической скоростью Аи, уменьшающейся от переднего фронта к заднему, так и
эволюционный разрыв с AR < W < Х„. Последнее неравенство исключает возможность
одновременного существования ^-разрыва и я-волны Римана. Состояние за ^-волной
является точкой в пространстве Ut, которая лежит на кривой, составленной из сегмента
интегральной кривой волны Римана с уменьшающейся Хп и эволюционного сегмента
кривой Гюгонио, вдоль которой скорость разрыва растет по мере удаления от начальной
точки. Как показано ранее, эта кривая имеет непрерывную касательную и кривизну в
начальной точке.
Следующее изменение происходит в волне (п- 1)-го типа, которая также может
быть либо волной Римана, либо ударной волной. Если п- и (п — 1)-ударные волны явля-
являются слабыми, их скорости близки к соответствующим характеристическим скоростям
и эти ударные волны на оси х оказываются разделенными областями параметров, не
зависящих отх. Состояние за (п — 1)-волной принадлежит кривой в пространстве Ut, ко-
которая составлена из эволюционного сегмента кривой Гюгонио и сегмента интегральной
кривой волны Римана, соответствующей расширяющейся волне.
Продолжая конструировать решение, получаем ломаную линию, у которой /-й сег-
сегмент является сегментом кривой, соответствующей /-й волне. Длины и направления
44 Гл. 1. Гиперболические системы
сегментов надо выбирать так, чтобы ломаная линия соединила точки Uf^ и U\. Длины
сегментов вместе со знаками, определяющими их направления, можно рассматривать
как новые координаты в окрестности точки Uf^ в пространстве Ц.
В бесконечно малой окрестности начальной точки это координатное преобразо-
преобразования сводится к рассмотренному выше при построении решения линеаризованной
задачи (сегменты кривых в этом случае заменяются отрезками их касательных, а изме-
изменением направления собственных векторов пренебрегается). Таким образом, якобиан
преобразования от Ut к новой системе координат не равен нулю в начальной точке.
По непрерывности это означает, что он не равен нулю и в некоторой окрестности этой
точки. Если U\ принадлежит этой окрестности, задача Римана имеет единственное
решение.
Нужно отметить, что описанное классическое поведение решения задачи Римана
может нарушаться при немалых UL - UR. У этого есть несколько причин. Одной из
них является неединственность преобразования от Ц к переменным, характеризую-
характеризующим амплитуды волн. Другой причиной является появление новых типов разрывов с
дополнительными соотношениями, которые должны на них выполняться. Эти случаи
будут детально рассмотрены в гл. 7.
Глава 2
Численное решение
квазилинейных
гиперболических систем
В этой главе описаны основные подходы, которые используются для построения явных
методов сквозного счета и методов с выделением разрывов для численного решения
гиперболических систем уравнений. Среди них основное внимание уделяется тем ме-
методам, которые основаны на точном или приближенном решении соответствующей
одномерной задачи Римана о распаде произвольного разрыва, а также методам, ко-
которые могут быть указанным образом интерпретированы. Такие методы называются
методами типа Годунова. Они доказали свою надежность и работоспособность при
решении многочисленных задач. Методы этого типа позволяют адекватно описывать
распространение и взаимодействие различного рода разрывов, которые возникают в
решениях квазилинейных систем уравнений гиперболического типа, и при этом сохра-
сохраняют монотонность профилей сеточных функций.
Среди них рассматриваются численные методы типа Куранта-Изаксона-Риса
(КИР), Роу и Ошера, которые основаны на различных приближенных решениях задачи
Римана. В методе Ошера решение задачи о распаде произвольного разрыва строится
с использованием только волн Римана. Методы типа КИР и Роу основаны на прибли-
приближенном решении задачи Римана, которое строится на основе использования различным
образом линеаризованных гиперболических систем уравнений. В этом случае решение
состоит только из элементарных решений типа бегущих разрывов, которые отделяются
друг от друга областями постоянных значений величин. Указанные методы позволяют
строить разностные схемы для консервативных и неконсервативных форм гиперболи-
гиперболических систем уравнений.
Рассматривается также ряд дополнительных вопросов, таких как обобщенная за-
задача Римана, задача реконструкции дискретных сеточных функций, алгоритмы моно-
монотонизации численного решения, процедуры отбора физически допустимых решений
(энтропийная коррекция), а также исследованы условия устойчивости некоторых мно-
многомерных разностных схем. Формулируется понятие эволюционных граничных усло-
условий, которое позволяет разрешить задачу о взаимодействии приходящих возмущений с
границей. Вводится понятие точек Жуге на ударной адиабате. Рассмотрены некоторые
подходы с построению неотражающих граничных условий, которые позволяют стро-
строить численное решение задачи в ограниченной области в тех случаях, когда физические
граничные условия существуют только на бесконечности.
Представленные в этой главе численные методы, записаны для гиперболических
систем уравнений общего вида. Далее, в гл. 3-6, они будут применены к уравнениям
газовой динамики, мелкой воды, магнитной гидродинамики и некоторым системам
уравнений динамики твердого деформируемого тела.
46 Гл. 2. Численное решение гиперболических систем
2.1. Введение
Разработка новых и модификация уже существующих численных методов для повыше-
повышения их эффективности всегда были актуальными задачами вычислительной математики.
Это связано как с практической необходимостью нахождения решений новых сложных
задач, так и самой логикой развития численных методов как раздела прикладной мате-
математики. "Следует иметь в виду, что разработка численного алгоритма не является делом
совершенно тривиальным и ни в коей мере не сводится к замене дифференциального
оператора разностным. Для построения численного алгоритма необходимо прежде все-
всего четко поставить математическую задачу, эквивалентную данной физической задаче.
Кроме того, алгоритм, позволяющий корректно производить вычисления, должен удо-
удовлетворять ряду требований, чего не всегда просто добиться в каждой конкретной ситу-
ситуации. Поэтому при написании разностной схемы нужна не только изобретательность,
но и глубокое понимание причин, которыми эти требования вызываются" (Бабенко
и др., 1964).
Известно, что решение различных задач математической физики, которые описыва-
описываются гиперболическими системами уравнений, могут быть гладкими в одних областях
и разрывными в других (Петровский, 1961; Рождественский, Яненко, 1978; Godlewski,
Raviart, 1996), см. также гл. 1. Разрывные решения могут при этом возникать из глад-
гладких начальных данных. Такие свойства решений налагают на алгоритмы численного
решения гиперболических систем уравнений достаточно противоречивые требования.
С одной стороны, численный метод должен уметь сохранять свойство монотонности
в тех областях, где искомые решения имеют большие перепады значений. С другой
стороны, тот же метод должен обладать высоким порядком точности в тех областях, где
решение является гладким. Теорема Годунова A959) показывает, что в рамках линейных
разностных схем эти два требования одновременно удовлетворены быть не могут.
Для преодоления этих трудностей могут применяться разностные методы с выделе-
выделением разрывов (shock-fitting methods). Эти методы основаны на прямом выделении,
или улавливании, разрывов, возникающих в численном решении. Такое выделение
обеспечивается построением дискретной сетки, связанной с этими разрывами. В част-
частности, для этой цели может быть использован метод характеристик (см., например,
Русанов, 1953, 1963; Жуков, 1960; Richardson, 1964; Магомедов, 1966; Чушкин, 1968;
Holt, 1977; Елисеев, 1983). Методы с выделением разрывов могут быть разделены на
несколько групп. Первая группа — это, собственно, классические методы выделения
разрывов. Они применяются тогда, когда заранее полностью известна структура реше-
решения, а также число, тип и примерный порядок расположения каждого из разрывов, име-
имеющихся в решении. Что касается конкретного расположения и скоростей этих разрывов,
то они определяются далее в процессе вычислений. В начале работы такого алгоритма
строятся некоторые начальные данные, учитывающие порядок разрывов в решении,
и организуется такая аппроксимация производных, что конечные разности, пересека-
пересекающие разрыв, не используются. Это подразумевает, что численная дискретная сетка
должна быть согласована с поверхностями разрывов. Например, точки сетки должны
лежать на этих поверхностях, причем с обеих сторон. Другой подход состоит в том, что-
чтобы, наоборот, границы ряда дискретных ячеек совпадали с поверхностями разрывов.
При этом заметим, что начальные условия могут и не удовлетворять соотношениям
на разрывах. В этом случае в процессе вычислений последние будут двигаться та-
2Л. Введение 47
ким образом, чтобы в конце концов удовлетворить этим соотношениям. Окончательное
стационарное решение получается тогда, когда все разрывы имеют нулевую скорость.
Применению такого рода подходов посвящен ряд работ (см., например, Moretti, 1963,
1975, 1987b; Бабенко и др., 1964; Moretti, Abbett, 1966; Moretti, Bleich, 1967; Richtmyer,
Morton, 1967; Любимов, Русанов, 1970; De Neef, Moretti, 1980; Макаров, 1982; Магоме-
Магомедов, Холодов, 1988).
В окрестностях разрывов разностная аппроксимация производных должна быть
проведена с использованием только односторонних конечных разностей. При этом для
учета направлений распространения возмущений и соответствующих им разностных
аппроксимаций должны быть использованы характеристические свойства гиперболиче-
гиперболической системы уравнений. Соотношения на разрывах в методах с выделением разрывов
должны выполняться точно, и для их реализации могут быть использованы, например,
различного рода итерационные процедуры. Отметим, что так как при этом производные
аппроксимируются только в областях гладкости решения, то требования к разностным
методам не являются здесь столь ограничительными, как было бы при использовании
однородных разностных схем, или разностных схем сквозного счета, см. далее.
Методы с выделением разрывов теоретически позволяют выделить все разрывы,
хотя практически это осуществимо, вообще говоря, только в одномерном случае. Что
касается двумерных и трехмерных задач, то выделение всех разрывов представляет из
себя достаточно сложную задачу. В таких случаях можно выделять только некоторые
основные разрывы. Что касается областей между ними, то там вычисления могут быть
проведены разностными методами сквозного счета. Такой подход с частичным выде-
выделением разрывов достаточно широко применяется (см., например, Годунов, Забродин,
Прокопов, 1961; Richtmyer, Morton, 1967; Roache, 1976; Годунов и др., 1976; Шеве-
Шевелев, 1986; Магомедов, Холодов, 1988). Некоторые результаты применения методов с
выделением разрывов будут описаны далее в гл. 3, где рассмотрено решение уравнений
газовой динамики.
Другая группа методов выделения разрывов называется методами с выделением
плавающих разрывов. Эти методы предназначены для выделения и тех разрывов, кото-
которые возникают с течением времени. Такие алгоритмы должны уметь обнаружить вновь
образующиеся разрывы, а затем сделать их границами подобластей гладкого решения.
Алгоритмы этой группы методов становятся все более сложными по мере возраста-
возрастания числа разрывов, которые требуется выделить. Этот подход будет рассмотрен более
подробно в разд. 2.9 и 3.5.
В методах сквозного счета (shock-capturing methods) производные аппроксимиру-
аппроксимируются и через разрывы. При этом разрыв "размазывается" на отрезке, величина которого
определяется численной диссипацией разностной схемы, и превращается в узкую об-
область с резкими перепадами значений сеточных функций. Ширина такого перехода
обычно уменьшается с увеличением порядка точности разностной схемы. При ис-
использовании сквозного счета в областях больших перепадов сеточных величин мо-
могут возникать нефизические осцилляции, которые должны быть каким-либо образом
устранены. Для этого могут быть использованы различного рода искусственные до-
добавки, например, искусственная вязкость (диссипация), линейная или квадратичная
(von Neumann, Richtmyer, 1950). Ряд деталей исследования, модификаций и примене-
применения такого рода добавок может быть найден в большом числе публикаций (см., на-
например, Самарский, Арсенин, 1961; Куропатенко, 1962, 1966; Richtmyer, Morton, 1967;
48 Гл. 2. Численное решение гиперболических систем
Higbie, Plooster, 1968; van Leer, 1969; Ляхов, 1974; Wilkins et al, 1974; Ивандаев, 1975;
Самарский, Попов, 1975; Федотова, Шокин, 1975;Roache, 1976;Головизнин, 1982; Шо-
кин, Яненко, 1985). Здесь упомянуты различные варианты классических линейной и
квадратичной вязкостей. Обобщение их на многомерные случаи обсуждается в обзо-
обзоре Wilkins A980). Упомянем также использование линейных и нелинейных фильтров
(Hamming, 1962; Vliegenthart, 1970;Harten,Zwas, 1972a; Колган, 1978; Alpert, 1981; Пин-
чуков, 1994а) и рассмотрение специальных диссипативных членов, которые учитывают
характеристические направления системы уравнений (Семенов, 1984; Дедеш, 1991).
Следует упомянуть, что использование искусственной вязкости может принципиально
изменить решение (Latter, 1955), см. также обзор такого рода нефизических явлений в
работе Roache A976), поэтому численные результаты, полученные с использованием
искусственной вязкости, должны тщательно тестироваться. Что касается гладких обла-
областей, то в них могут быть использованы, например, разностные схемы второго порядка
точности (Lax, Wendroff, 1960, 1964; MacCormack, 1969), которые обладают слабыми
диссипативными свойствами.
Часть основных методик выделения разрывов были созданы примерно ЗО^Ю лет
тому назад и применяются практически без изменения до сегодняшнего дня. Новые под-
подходы в этой области появляются достаточно редко. Что касается методов сквозного сче-
счета, то они находятся в состоянии непрерывного развития. Сначала были созданы явные
разностные схемы сквозного счета фиксированного порядка точности. Отметим схе-
схемы первого порядка точности, предложенные в работах Courant, Isaacson, Rees A952),
Lax A954), Годунова A957,1959). Далее были созданы схемы второго порядка точности
(Lax, Wendroff, 1960, 1964; MacCormack, 1969; Kutler, Lomax, Warming, 1973). Методы
третьего порядков точности предложили Русанов A968, 1970), Burstein, Mirin A970),
Балакин A970), Abarbanel, Zwas A971), Kutler, Lomax, Warming A973), Еремин, Лип-
ницкий A974). Были также созданы схемы четвертого и более высоких порядков точно-
точности (Балакин, 1970; Abarbanel, Zwas, 1971;Kreiss,Oliger, 1972; Abarbanel, Gottlieb, 1973;
Oliger, 1974; Abarbanel, Gottlieb, Turkel, 1975, 1976, см. также Gottlieb, Turkel, 1978).
Обзор развития явных разностных схем может быть найден в работах Roache A976),
Peyret, Taylor A983). С течением времени, параллельно практическому использованию
разностных схем, появились сравнительные обзоры их свойств (Emery, 1968; Taylor,
Ndefo, Masson, 1972; Anderson, 1974; Turkel, 1980, см. также Bramley, Sloan, 1977).
Сравнение свойств монотонности разных методов было проведено Минайлосом A977).
Были опубликованы даже обзоры опубликованных обзоров по изучению свойств раз-
различных численных методов (Srinivas, Gururaja, Krishra, 1976; Sod, 1978).
Для того чтобы вблизи разрывов не возникали не физические осцилляции, требует-
требуется применение либо монотонных схем первого порядка точности, либо искусственной
вязкости. С другой стороны, в областях гладкости решения требуется использование
схем более высокого порядка точности. Для выполнения упомянутых требований при
численном решении гиперболических систем уравнений применяют гибридные раз-
разностные схемы, или разностные схемы переменного порядка точности. Гибридность
означает, что численная разностная схема является нелинейной, зависит от характера
решения и может локально менять свои свойства, например, свой порядок аппроксима-
аппроксимации. В частности, гибридность позволяет проводить сквозной счет схемой повышенного
порядка точности в областях гладкости решения и использовать схему первого порядка
точности с хорошими монотонными свойствами в тех областях, где решение обладает
2Л. Введение 49
большими перепадами значений сеточных величин. Это позволяет совместить в одном
алгоритме сквозного счета различные положительные свойства схем разного порядка
точности. Несколько отличный подход к уточнению численного решения, получаемого
методами сквозного счета, основан на применении дифференциальных анализаторов
(Яненко, Ворожцов, Фомин, 1976). Дифференциальный анализатор — это численный
алгоритм, который позволяет по результатам сквозного счета определить расположение
разрывов в дискретных ячейках. Затем вблизи найденных и выделенных особенностей
производится уточнение решения (Ворожцов, Яненко, 1985).
Практические требования решаемых задач стимулировали создание и развитие ги-
гибридных схем, которые явились первой стадией развития разностных схем сквозного
счета с переменным порядком точности. В самом простом случае гибридная схема яв-
является комбинацией двух схем: gSx + A — g)S2. Схема Sx — это схема первого порядка
точности, S2 — схема второго порядка, a g — коэффициент гибридности, где 0 < g < 1.
Первая гибридная схема для линейного уравнения переноса была предложена в работе
Федоренко A962), где также было определено правило переключения между двумя базо-
базовыми схемами S^ и S2- Оно происходило на основе анализа отношения второй конечной
разности решения к ее первой разности. Голь дин, Калиткин, Шишова A965) построили
несколько гибридных схем для линейного и квазилинейного уравнений переноса, впер-
впервые применив гладкое переключение между схемами первого и второго порядков. В их
подходе коэффициент g зависит от градиента решения. Первые гибридные схемы для
системы уравнений предложили Harten, Zwas A972a, 1972b). В частности, Harten, Zwas
A972b) использовали комбинацию схемы Лакса-Фридрихса (Lax, 1954) первого поряд-
порядка точности и схемы Лакса-Вендроффа второго порядка точности (Lax, Wendroff, 1960,
1964). van Leer A973, 1974) предложил специальный алгоритм для монотонизации ме-
метода Лакса-Вендроффа, см. также обобщения этого подхода van Leer A977a, 1977b).
Гибридизация метода Годунова A957,1959) была впервые предложена Колганом A972,
1975а, 1975b). При введении гибридности внутри разностных ячеек использовались
кусочно-линейные распределения сеточных функций, а также была впервые исполь-
использована одна из версий ограничителя minmod. Kutler, Lomax, Warming A972), Beam,
Warming A976) гибридизировали симметричную и несимметричную схемы. В их раз-
разностной схеме коэффициент гибридности зависит от числа Маха. Далее были созданы
и другие гибридные схемы на переменном разностном шаблоне, где в зависимости от
характера течения используются либо центральные, либо ориентированные разности
(Санкин, Леви, Зайдель, 1983;Коныпин, 1985; Гущин, Коньшин, 1985,1990; Магомедов,
Холодов, 1988; Воробьев, Холодов, 1996). Успешное введение гибридности в неявные
разностные схемы с учетом характеристических направлений было осуществлено в
работах Гаджиева, Писарева A979), Гаджиева A982). Существует также ряд работ по-
посвященных выбору гибридности для явных численных схем с учетом характеристиче-
характеристических направлений (Петров, Холодов, 1984b; Семенов, 1984; Магомедов, Холодов, 1988;
Петров, Тормасов, Холодов, 1990), см. также п. 2.3.1.
Boris, Book A973, 1975, 1976) развили гибридный метод, который позволяет повы-
повысить порядок точности численных расчетов путем применения специальной процедуры
коррекции потоков — FCT (flux corrected transport). На первом шаге вычисления реше-
решения используется монотонная схема первого порядка точности. На втором шаге полу-
полученное численное решение должно быть модифицировано, с тем чтобы повысить его
порядок до второго по времени и по пространству. На этом шаге в численном решении
50 Гл. 2. Численное решение гиперболических систем
не должны возникать новые локальные экстремумы, а также возрастать (уменьшать-
(уменьшаться) значения локальных максимумов (минимумов), которые имели место на начало
этого шага. Заметим, что такие условия эквивалентны условию неувеличения полной
вариации численного решения, или условию TVD (total variation diminishing). Таким
образом, метод коррекции потоков содержит в себе элементы более поздних TVD-схем
(Harten, 1983, 1984), которые опираются на названное свойство более явно и конструк-
конструктивно. Для того чтобы решение удовлетворяло TVD-условию, развита специальная
техника кусочно-линейной (кусочно-полиномиальной) реконструкции сеточных функ-
функций. Наклоны кусочно-линейных распределений сеточных функций внутри дискретных
ячеек для выполнения TVD-условия ограничиваются специальными ограничителями
(limiters). Они действуют на конечные разности сеточных функций. Детальный анализ
свойств современных ограничителей дан в работе Sweby A984) и, с несколько другой
точки зрения, в работе Roe A985), см. также обзоры в работах Yee A989), Hirsch A990),
Того A997).
Первая стадия развития гибридных разностных схем, до создания TVD-схем, отно-
относится в основном к периоду 1970-1985 годов. Частичный обзор различных направле-
направлений в разработке гибридных разностных схем может быть найден в работах Копченова,
Крайко A980, 1983).
На сегодняшний день термин гибридностъ в контексте разностных схем практи-
практически не используется. Однако схемы переменного порядка точности не только су-
существуют, но и являются одним их основных инструментов при проведения числен-
численных расчетов. В процессе развития численных методов гибридные разностные схе-
схемы путем устранения ряда формальных и полу эмпирических подходов, присущих
более ранним вариантам, трансформировались в схемы переменного порядка точно-
точности. Практически все современные схемы переменного порядка точности основаны на
кусочно-полиномиальной реконструкции дискретных сеточных функций, удовлетворя-
удовлетворяющей TVD-свойству или свойствам, в некотором смысле, близким к нему или его обоб-
обобщающих. Интенсивное развитие TVD-алгоритмов привело к созданию ряда их много-
многочисленных модификаций, в частности, схем UNO, TVD2, UNO2 (Harten, Osher, 1987),
TVB(Shu, 1987), ENO (Harten, 1987; Harten, Osher, 1987; Harten etal, 1986,1987),AUSM
(Liou, Steffen, 1993; Liou, 1996), WENO (Liu, Osher, Chan, 1994), WAF (Того, 1989а,
1992a), см. п. 2.3.1 и разд. 2.11. Создание этих методик, а также их многочисленных
разновидностей привело к значительному повышению качества получаемых численных
решений по сравнению с классическими разностными схемами фиксированного поряд-
порядка точности. Это дало основание ввести в обращение понятие схемы высокого разреше-
разрешения (high resolution schemes), см. Yee A989), Hirsch A990), Того A997), Пинчуков, Шу
B000). Дальнейшее повышение разрешающей способности этих алгоритмов посред-
посредством простого расширения шаблонов аппроксимации и реконструкции представляется
проблематичным. Может быть полезной комбинация выделения в решении нескольких
основных разрывов и применения в областях между разрывами схем сквозного счета,
в том числе гибридных. Эффективным является использование схем сквозного счета
на движущихся адаптивных сетках, см. обзоры Ivanenko A999), McRae, Laflin A999),
Zegeling A999), а также работы Fursenko et al. A992), Ofengeim et al. A996), Timofeev,
Takayama, Voinovich A997), Sharov, Nakahashi A997), Иваненко A997), Voinovich et al.
A998, 1999), Azarenok, Ivanenko A999, 2001), Азаренка, Иваненко B000), Гильмано-
ва B000), Saito et al. B001). Такие сетки сгущаются к особенностям решения и тем
2Л. Введение 51
самым позволяют разрешать их с большей точностью. Использование схем сквозно-
сквозного счета на движущихся адаптивных сетках позволяет придавать численным методам
сквозного счета элементы не только высокого, но и практически точного разрешения
особенностей течения среды. Несколько примеров применения такого рода подходов
будут приведены далее.
Наше дальнейшее рассмотрение основано на специальном выборе таких явных раз-
разностных схем, которые имеют ясную физическую интерпретацию и связаны с использо-
использованием в качестве составного элемента решения задачи Римана. Этот класс численных
методов (схем) будем называть методами (схемами) типа Годунова. В частности, это мо-
могут быть методы, которые получаются упрощением исходного метода Годунова, такие
как схема Куранта-Изаксона-Риса (Courant, Isaacson, Rees, 1952), которая впервые бы-
была построена для неконсервативной формы систем уравнений, схема Лакса-Фридрихса
(Lax, 1954), дивергентного сеточно-характеристического метода (Холодов, 1978), схе-
схемы Роу A981а, 1981b), Ошера (Osher, 1981), Хартена-Лакса-ван Лира (Harten, Lax, van
Leer, 1983), а также некоторые гибридные схемы.
К настоящему моменту времени методы типа Годунова построены для уравнений
стационарной и нестационарной газовой динамики, в том числе релятивистской и нере-
нерелятивистской, двухтемпературной и трехтемпературной газовой динамики, а также раз-
различного рода обобщений этих систем на многофазные среды. Такие методы построены
также для стационарных и нестационарных уравнений теории мелкой воды, реляти-
релятивистской и нерелятивистской магнитной гидродинамики, различных систем уравнений
механики твердого деформируемого тела, в частности, систем уравнений типа Тимо-
Тимошенко, описывающих колебания тонких упругих оболочек, систем уравнений, описы-
описывающих динамику поведения сплошных сред с уравнением состояния общего вида и с
учетом свойств упругости и пластичности. Упомянем также задачи динамики сыпучих
сред и др.
Заметим, что знание решения задачи Римана может оказаться полезным и в дру-
других численных приложениях. В частности, использование решения задачи Римана,
а также некоторых его элементов, может повысить надежность, устойчивость или
точность того или иного метода. Недавние примеры успешного введения элементов
задачи Римана могут быть найдены в работах Monaghan A997), Паршикова A999),
Parshikov et al. B000). Они посвящены усовершенствованию метода гладких частиц
(smooth(ed) particle hydrodynamics method — SPH), см., например, Monaghan, Gingold
A983), Monaghan A989), Randies, Libersky A996), Chow, Monaghan A997), В. Д. Ива-
Иванов и др. A999). При этом если работа Monaghan A997) позволила усовершенствовать
вид искусственной вязкости, применяемой в данном методе, то применение линеаризо-
линеаризованных формул распада произвольного разрыва в работе Паршикова A999) позволило
отказаться от применения искусственной вязкости.
Наконец заметим, что гиперболические системы уравнений могут не только ре-
решаться на тех или иных дискретных сетках, но и применяться также для генерации
самих сеток. Это, так называемые, гиперболические генераторы сеток (Starius, 1977;
Steger, Chaussee, 1980; Thompson, Warsi, Mastin, 1985; Cordova, Barth, 1988; Steger, 1991;
Chan, 1999). Из недавних отметим работу Matsuno A999), который применил TVD-
схему высокого порядка точности для противопоточной генерации сеток в двумерных
и трехмерных задачах. Маршевый безытерационный метод генерации ортогональных
сеток (Semenov, 1990, 1991, 1995d, 1996, 2001; Семенов, 1995; Липчинский, Семе-
52 Гл. 2. Численное решение гиперболических систем
нов, 1997) был применен для решения системы уравнений, которая в продолженной
форме Куранта-Лакса является гиперболической (Courant, Lax, 1949; Рождественский,
Яненко, 1978), см. также п. 1.2.1.
Заметим, что приведенный выше обзор касался в основном явных численных ме-
методов, что связано со спецификой изложения дальнейшего материала. Следует упомя-
упомянуть, что помимо явных численных алгоритмов для решения гиперболических систем
уравнений созданы различные классы неявных и явно-неявных методов. Здесь сле-
следует отметить полностью консервативные методы (Самарский, Попов, 1975, 1992),
которые созданы для уравнений газовой динамики, включая двух и трехтемператур-
ные уравнения, а также для уравнений магнитной гидродинамики, теории упругости
и др. Разработан неявный метод потоков (Белоцерковский, Северинов, 1973; Бабаков,
Северинов, 1976; Северинов, 1978; Белоцерковский, 1984), позволяющий производить
расчет течений идеального и вязкого несовершенного газа, а также упруговязкопласти-
ческие течения среды. Построен класс неявных компактных разностных схем высокого
порядка точности (Толстых, 1990, 2000; Tolstykh, 1994; Tolstykh, Lipavskii, 1998). Со-
Созданы и применяются различного рода неявные версии метода расщепления (Ковеня,
Яненко, 1981; Ковеня, Тарнавский, Черный, 1990). Неявные схемы созданы также для
учета таких явлений как несжимаемость и вязкость среды, которые не описываются ги-
гиперболическими системами уравнений. Обзоры различных неявных разностных схем
могут быть найдены в ряде работ (см., например, Roache, 1976; Peyret, Taylor, 1983;
Белоцерковский, 1984; Yee, 1987,1989; Ковеня, Тарнавский, Черный, 1990; Самарский,
Попов, 1992; Головачев, 1996).
В дальнейшем различаются методы конечных объемов и методы конечных разно-
разностей. Конечно-объемные схемы (finite-volume schemes) аппроксимируют гиперболиче-
гиперболические системы уравнений, записанные в интегральной форме и выражающие законы
сохранения. В этом случае, несмотря на ошибки аппроксимации, схема обеспечивает
точное выполнение законов сохранения в расчетной области, при записи их в дивер-
дивергентном виде. Конечно-разностные схемы (finite-difference schemes) аппроксимируют
систему уравнений, записанную в дифференциальной форме.
Не все выписанные ниже схемы поддаются такой классификации в тех случаях,
когда система имеет частично консервативный вид, который характеризуется наличием
в своей записи консервативных и неконсервативных уравнений. Впрочем, в этом случае
схема не может быть причислена и к схемам типа Годунова, так как задача Римана для
нее требует специального исследования.
2.2. Методы, основанные на точном решении задачи
Римана
Рассмотрим задачу Римана (разд. 1.4) для одномерной гиперболической системы урав-
уравнений в консервативной форме
ЗдесьU = \J(t,x) = [UV...,Un]T, F(U) = [FV... ,Fn]T, t > 0, -oo <x < oo. Матрицы QR
и QL — это, соответственно, матрицы правых и левых собственных векторов матрицы
2.2. Методы, основанные на точном решении задачи Римана
53
А,аА= [Хр8' i\ — диагональная матрица составленная из ее собственных значений, где
8 * — символ Кронекера. При этом вектор начальных данных U@,x) = U0(x) является
ступенчатой векторной функцией
где
и U2
ту М _
постоянные векторы.
Ul
2 при х>0,
B.2.2)
2.2.1. Численный метод Годунова первого порядка точности.
С. К. Годунов (Годунов, 1957, 1959) предложил численный метод решения уравне-
уравнений газовой динамики, который существенно основан на использовании точного или
приближенного решения задачи Римана B.2.1),
B.2.2). Этот метод формулируется следующим об-
образом. Рассмотрим равномерную пространственную
сетку с шагом Ах. Значения сеточной функции будем
обозначать как Uf и U .± х ,2. Нижний целый индекс / =
= 1,2,... обозначает значения функции, отнесенные
к центру масс /-й дискретной ячейки (рис. 2.1). Полу-
Полуцелые нижние индексы /±1/2 обозначают значения
сеточной функции на границе между ячейками с но-
номерами / и / ± 1. Верхний целый индекс ?=0,1,2,...
обозначает номер слоя (шага) по времени. Положим,
что все сеточные функции являются постоянными
внутри каждой из дискретных ячеек (рис. 2.1). Тогда
на границе с номером / + 1 /2 на каждом шаге по вре-
времени будем решать задачу Римана со следующими
I + 1/2
Рис. 2.1. Кусочно-постоянное
распределение функции U
начальными данными: Uf = const при х < х.+1,2 и Uf+1 = const при х > х.+1,2. Пусть
U/+i/2 — это решение такой задачи в точке х = х/+1,2. Аналогично, IL^ ,2 — это реше-
решение задачи Римана для границы с номером / — 1 /2. Тогда явная конечно-объемная схема
Годунова имеет вид
At
Ах
= 0,
= F(U.±1/2).
B.2.3)
Здесь At — шаг по времени. Эта схема обладает первым порядком точности по времени
и по пространству. Исследование устойчивости схемы для линеаризованных уравне-
уравнений B.2.3) методом спектрального анализа (Richtmyer, Morton, 1967) приводит к усло-
условию вида
max|CJ <
р
с -х At
B.2.4)
где Хр — собственные значения якобиевой матрицы А для уравнений B.2.1). Нера-
Неравенство B.2.4) называется условием устойчивости Куранта-Фридрихса-Леви (Courant,
Friedrichs, Lewy, 1928), а С — числом Куранта. Физическая интерпретация условия
устойчивости состоит в обеспечении того, чтобы малые возмущения, распространяю-
распространяющиеся от одной границы дискретной ячейки, за время At не достигли другой.
54 Гл. 2. Численное решение гиперболических систем
Схему B.2.3) можно обобщить на неравномерные пространственные и подвижные
сетки. Она также может применяться в расчетах с выделением разрывов. Рассмотрим,
например, двумерную гиперболическую систему уравнений
dV dF(\J) дЩИ)
— + —^- + —^ = 0. B.2.5)
ot ох оу
Конечно-объемная схема для этой системы на равномерной декартовой сетке записы-
записывается в виде
+ +
At Ах Ay
F/±l/2,j =F(U/±l/2,j)' E/,y±l/2
=Q
где Ах и Ay — шаги сетки в направлениях оси х и у. Двойной целый нижний индекс
(/,у) обозначает значения сеточных функций, отнесенные к центрам соответствующих
двумерных дискретных прямоугольных ячеек, а полу целые нижние индексы относятся
к значениям функций на границах ячеек. Величины с полуцелыми индексами U.+1,2 ,
Ц-1/2 /' Ц /+1/2 и Ц /-1/2 нах°Дятся из решения соответствующих задач Римана.
Таким образом, для построения схемы следует решать задачу Римана на каждой из
границ дискретных ячеек.
Схему Годунова B.2.6) можно обобщить на произвольную пространственную сетку.
Перепишем систему B.2.5) в интегральной форме
4- ( /У U </G ) + /(F dy-Edx) = 0. B.2.7)
at \Jjg ) Js
Здесь G — это конечная область в двумерном пространстве (х,у) ,dG — dxdy — элемент
площади, a S — граница области G.
Построим явную конечно-объемную схему Годунова для уравнений в интеграль-
интегральной форме B.2.7). Покроем для этого вычислительную область дискретной сеткой,
состоящей из произвольных выпуклых конечных многоугольников с площадями G/9 где
/ = 1,2,..., и с числом сторон m = m(i), каждая из которых имеет длину S ¦ и внешнюю
нормаль Пу, где j = 1,2,..., m{i). Аппроксимируем интегральные уравнения на каждом
из многоугольников следующим образом:
ш ]=х
Здесь S • = Пу S ¦ = [iSx,iSj;]J = [S -,S ]T. Нижний целый индекс / в уравнении B.2.8) обо-
обозначает величины сеточных функций, отнесенные к центру масс /-го многоугольника,
а нижний целый индекс j обозначает величины сеточных функций, отнесенных к цен-
центру у'-й стороны сеточной ячейки. Значения величин F • и Е • определяются из решения
соответствующей задачи Римана вдоль направления у'-й внешней нормали.
Явная конечно-объемная схема Годунова на произвольной движущейся сетке запи-
записывается в виде
^ (jr. _ Dx U )^+1/2 + (E • - D U )^+1/2 = 0, B.2.9)
j=\l J XJ J XJ J yj J yj \
2.2. Методы, основанные на точном решении задачи Римана 55
1 1
^ y j/2) = 0. B.2.10)
Здесь Dy = [Dx, DyYj = [?>XJ, Dyj]T — скорость движения середины стороны с номером у;
а • b обозначает скалярное произведение двух векторов а и Ь. Значения величин F , Е
и U определяются из решения задачи Римана на соответствующей границе. Векторы
F = F - DX\J и Е = Е - Dy\J — это модифицированные потоки вдоль направлений х и у.
Значения Gt и Sy- на движущейся сетке зависят от времени. Полуцелый верхний индекс
к + 1/2 в уравнениях B.2.9) и B.2.10) обозначает значения функций для момента вре-
времени t + jAt. Уравнение B.2.10) является уравнением изменения объема дискретной
ячейки Gt. Оно играет роль дискретного условия совместности аппроксимаций для G и
S. При заданной аппроксимации площадей S уравнение B.2.10) можно использовать для
определения объемов Gf+1. В ряде случаев это дает поправку к величине объема, вычис-
вычисленного исходя только из геометрических соображений. Выполнения уравнения B.2.10)
можно также добиться выбором подходящих величин D^. Важнейшее свойство аппрок-
аппроксимаций G и S, которые удовлетворят соотношению B.2.10), заключается в следующем.
Решение системы уравнений B.2.5) в виде состояния U = Uo = const является также
решением дискретных уравнений B.2.9) и B.2.10). Соблюдения этого условия следует
добиваться при использовании движущихся и криволинейных систем координат.
Схема B.2.8) устойчива на равномерной прямоугольной сетке при условии
тах(|Сх| + \Су\) < тах|Сх| +тах|С,| < 1, B.2.11)
где Сх и Су являются числами Куранта, соответственно, для осей х и у и определяются
собственными значениями матриц d?/d\J и <ЭЕ/сШ. Аналогично строится конечно-
объемный метод Годунова для многомерного случая.
2.2.2. Точное решение задачи Римана. В данном пункте описаны основ-
основные подходы к построению точного решения задачи Римана общего вида. Сначала
следует построить основные элементарные решения, а затем точное решение общего
вида строится на основе их комбинации.
Элементарное решение 1: сильный разрыв
Первое элементарное решение уравнений B.2.1) — это движущийся разрыв. Рассмот-
Рассмотрим интегральную форму уравнений B.2.1)
?(\Jdx-Fdt) = 0, B.2.12)
Jl
где L — контур, ограничивающий конечную область интегрирования на плоскости (х, t).
В дальнейшем принимается, что функции U и F представляют собой плотности и по-
потоки сохраняющихся величин и что равенство B.2.12) справедливо для произвольного
контура L как в случае, когда решение непрерывно, так и тогда, когда оно разрывно.
Фактически уравнение B.2.12) принимается в качестве исходного уравнения, из которо-
которого для гладких решений следует справедливость дифференциального уравнения B.2.1),
а кроме того, соотношения на разрыве, получаемые ниже.
56 Гл. 2. Численное решение гиперболических систем
Будем искать разрывное решение уравнений B.2.12) в форме бегущей волны
U(/,x) = U(?) = \J(x — Wt), где W = const—ее скорость. Рассмотрим уравнение B.2.12)
в ортогональной системе координат (?, т), связанной с разрывом: С, =x—Wt ът =Wx +
+t. При этом координата ? по отношению к разрыву является нормальной, а координата
т — тангенциальной. Используя преобразование
_
W2
перепишем B.2.12) в виде
B.2.13)
Проинтегрируем B.2.13) по прямоугольной области т0 — <5т<т<то + <5ти?о — <5? <
< С < Со + ^С> гДе значение ? = ?0 соответствует разрыву. Находим, что
(WV -FI25t - (fFU -FJ25t = 0 =^>
=^> W{V} - {?} = 0. B.2.14)
Здесь использовано обозначение {q} = q^ — q2, где индексы 1 и 2 обозначают пере-
переменные, соответственно, слева и справа от разрыва. Пусть заданы Uj = const и U2 =
= const. Отметим, что состояния Uj и U2, каждое по отдельности, удовлетворяют урав-
уравнению B.2.12). Уравнение B.2.14) дает соотношения, которые связывают величины
Uj, U2 и W. Если эти условия выполнены, то рассматриваемый движущийся разрыв
является формальным решением уравнения B.2.12).
Выписанное решение является автомодельным решением относительно переменной
? = х - Wt, где W = const. Это решение является также автомодельным относительно
переменной Е, = x/t, если движение разрыва задается уравнением х — Wt. Заметим,
что такой автомодельный разрыв в координатах (x,t) представляется прямой линией
задаваемой уравнением Е, = W = const.
Элементарное решение 2: волна Римана
Задача Римана имеет также непрерывно-дифференцируемые элементарные решения,
которые называются волнами Римана. Будем искать непрерывное решение в виде
U(/,x) = U(^) = \J(x/t) и рассмотрим неконсервативную форму уравнений B.2.1)
= 0. B.2.15)
Уравнение B.2.15) может быть переписано для других переменных и, где U = U(u):
ut+Bux = 0. B.2.16)
Здесь В = М~ХАМ, аМ= сШ/<9и. Нижние индексы t их в уравнениях B.2.15) и B.2.16)
обозначают частные производные по этим переменным. Перейдем от этой систе-
системы уравнений к ее характеристической форме. Для этого умножим систему уравне-
уравнений B.2.16) на матрицу QL, состоящую из левых собственных векторов матрицы В.
Тогда система примет вид
2.2. Методы, основанные на точном решении задачи Римана
или, в развернутой форме,
57
к=\
к=\
Здесь и = [щ,..., un]T = [uk]T, где к = 1,..., п\ QL = [QLpk] и Л = [кр8рк]. Будем искать
гладкое решение в автомодельном виде uk(x,t) = uk(t;) = uk(x/t). Подставляя его в
уравнения, находим
du.
= 0, /?=1,...,И.
Таким образом, точное решение должно удовлетворять одной из следующих п систем
уравнений (а = 1,..., п)\
duk
= 0
B.2.17)
= 0 при ХофХа. B.2.18)
Здесь /3 = 1,...,л; /3 ф а. Если переменные и выбраны удачно, то решение уравне-
уравнений B.2.17), B.2.18) может быть выписано в замкнутой форме (см. гл. 3 и 4). Существует
не более, чем п различных точных решений в виде волн Римана (п. 1.4.1).
Точное общее автомодельное решение задачи Римана, если оно существует, состоит
из элементарных решений (разрывов и волн Римана), которые отделены друг от друга
областями с постоянными значениями параметров, так как последние также являются
точными решениями рассматриваемой системы.
Точное решение задачи Римана для линейной системы уравнений
Рассмотрим гиперболическую систему уравнений B.2.1) при F = A\J, где А — матрица
постоянных элементов. Уравнение B.2.1) принимает вид
= U, + (AU)X = U, +AVX = 0.
B.2.19)
Решение задачи Римана для линейной гиперболической системы с постоянными эле-
элементами выписано в п. 1.4.1, см. формулу A.4.12), и имеет вид
к=\
B.2.20)
B.2.21)
к=\
Здесь w = QLU и QR = [QR/7JJ. Это решение является комбинацией бегущих волн со
скоростями Хр. Проверим, что для этого решения выполнены соотношения B.2.14) и
B.2.17), B.2.18).
Соотношения B.2.14) для уравнений B.2.19) принимает вид
B.2.22)
58 Гл.2. Численное решение гиперболических систем
где / — единичная матрица размерности п х п. Следовательно, Хр = W — собственное
значение матрицы^, a {U} — соответствующий правый собственный вектор. Рассмот-
Рассмотрение формулы B.2.21) для ^-разрыва дает {U} = rk{wk}. Следовательно, {U} — это
k-и правый вектор, а решение B.2.21) удовлетворяет соотношению B.2.14).
Соотношения B.2.17) и B.2.18) для уравнения B.2.19) принимают вид
Xql/3?-^t=0 ПРИ я/з^я«> j3 = l,...,«; РФ а.
Напомним, что в гл. 1 волны Римана были введены с использованием правых собствен-
собственных векторов. Однако последнее условие означает ортогональность вектора [dUk/dl;]T
по отношению к (п - 1) левым собственным векторам. Из условия ортогональности ле-
левых и правых собственных векторов, соответствующих разным собственным значениям
Ао ф Ха, следует, что вектор [dUk/dt;]T коллинеарен правому собственному вектору с
номером а.
Для разрыва, движущегося со скоростью Ха, получаем
X Пь/*{?/Л = 0 при ХрфХа. B.2.23)
k=\
Здесь Р = 1,...,пи Р ф а. Действительно, из уравнения B.2.22) находим
0 =$> (A-Aa/)QL{U} = 0.
Это соотношение эквивалентно B.2.23), если Ха — собственное значение матрицы А.
Следовательно, решение B.2.21) удовлетворяет B.2.17) и B.2.18). Случай, когда неко-
некоторые из собственных значений Ао равны Ха может быть рассмотрен аналогично.
Решение задачи Римана для уравнения B.2.19) состоит из п разрывов, или ступен-
ступенчатых функций, двигающихся со скоростями Xk. В силу того, что начальная функция
в задаче Римана является ступенчатой функцией, то волны Римана wk также являют-
являются ступенчатыми функциями. Таким образом, разница между сильными разрывами и
волнами Римана для системы уравнений B.2.19) отсутствует.
2.3. Численные методы, основанные на приближенных
решениях задачи Римана
В этом разделе для решения уравнений B.2.1) описаны численные методы типа Го-
Годунова, которые основаны на приближенных методах решения задачи Римана. Особое
внимание будет уделено рассмотрению трех численных методов, основанных на при-
приближенном решении задачи Римана, а именно методам Куранта-Изаксона-Риса (КИР),
Роу и Ошера. Эти методы имеют следующие свойства.
Метод Куранта-Изаксона-Риса (КИР). Под методом КИР понимается метод,
основанный на приближенном решении задачи Римана для локально линеаризованной
системы уравнений. В этом случае решение состоит из движущихся разрывов, которые
разделяют области с постоянными значениями величин. Метод КИР дает возможность
2.3. Приближенные решения задачи Римана 59
строить разностные схемы для гиперболических систем уравнений, записанных в кон-
консервативной, частично консервативной и неконсервативной формах.
Метод Роу основан на точном решении задачи Римана для специальным образом
линеаризованной системы уравнений. Это решение также состоит из движущихся раз-
разрывов, которые отделены друг от друга областями с постоянными значениями величин.
Особенность этого решения в том, что оно точно сохраняет нелинейные соотноше-
соотношения B.2.14) на одиночных разрывах. Метод Роу дает возможность строить разностные
схемы только для гиперболических систем уравнений, записанных в консервативной
форме.
Метод Ошера. В этом методе приближенное решение задачи Римана строится для
квазилинейной системы уравнений. При этом решение является комбинаций только
волн Римана.
Все схемы типа Годунова для линейной системы уравнений с постоянными коэф-
коэффициентами эквивалентны. Таким образом, указанные методы опираются на использо-
использование отдельных точных элементарных решений задачи Римана, а именно движущихся
разрывов или волн Римана. В частности, методы КИР и Роу основаны на использование
только движущихся разрывов, метод Ошера опирается на использование только волн
Римана. Напомним, что точное решение строится на основе всех указанных элементар-
элементарных решений. Заметим, что все рассмотренные ниже методы решения задачи Римана
(Riemann problem solvers), с точки зрения используемых ими комбинаций элементар-
элементарных решений, могут быть отнесены к перечисленным. При этом следует отметить, что
в рамках указанных подходов возможно построение самых разных методов решения
задачи Римана, которые опираются на отдельные элементы названных методов, а так-
также различные их модификации, упрощения или частные особенности той или иной
системы уравнений. Некоторые из таких частных подходов далее будут описаны или
упомянуты.
2.3.1. Схемы типа Куранта-Изаксона-Риса (КИР). В данном пунк-
пункте будут рассмотрены различные версии конечно-разностной схемы КИР (Courant,
Isaacson, Rees, 1952), а также конечно-объемной схемы КИР (Холодов, 1978). Рассмот-
Рассмотрим сначала одномерное уравнение переноса с постоянным коэффициентом Я:
ut + Xux = 0. B.3.1)
Выпишем для уравнения B.3.1) разностную схему "уголок" (противопоточную схе-
схему, по зарубежной терминологии) первого порядка точности по времени и по простран-
пространству
uf'-u) u)-u)_x
+ А J A J = 0 при A>0, B.3.2)
A/ Ax
7 ' Q Wy+1 Uj -0 при A<0. B.3.3)
+ А^0
At Ax
Здесь Ах — шаг равномерной пространственной сетки, a At — шаг по времени. Нижние
целые индексы j = 1,2,... обозначают значения соответствующих величин в центрах
дискретных ячеек. Целый верхний индекс обозначает номер шага по времени. Число
Куранта есть С = XAt / Ах.
60 Гл. 2. Численное решение гиперболических систем
Исследование устойчивости разностной схемы проведем спектральным методом
Неймана (Richtmyer, Morton, 1967). Будем искать точное решение системы алгебраиче-
алгебраических уравнений B.3.2), B.3.3) в спектральной форме
где q — неизвестная функция. Подставляя i^m в уравнения B.3.2) и B.3.3), находим
1-С + Сехр(-/<р) при Я > 0,
~q[ 'ф;~\1+С-Сехр(+/ф) приЯ<0.
Применяя достаточное условие устойчивости \q\ < 1, получаем, что \С\ < 1. Напо-
Напомним, что необходимое и достаточное условие формулируется в виде \q\ < 1 + QAt, где
Q — константа, независящая от At и Ах (Годунов, Рябенький, 1977).
Разностную схему B.3.2), B.3.3) запишем в виде одной формулы
-Uk
~Uf
+Х0^ B3Л)
W l ^ ul-ukm+l), m=jj-l. B.3.5)
Здесь нижние полу целые индексы обозначают значения соответствующих величин на
границах ячеек.
Отметим, что для случаев С = 0иС = =Ы схема B.3.4) сохраняет точное решение.
В первом случае uk+l = uk, а во втором uk+l = ukJTl. Следует также отметить способ-
способность схемы переносить, в определенном смысле, без изменения произвольный началь-
начальный линейный профиль. Пусть значения величин uk принадлежат линейной функции.
Выпишем значения сеточных функций через 2 шага по времени. Получаем
uf2 = C2uk_2 + 2A -C)Cuk_x + A -Cfu).
Тогда при С = 1/2 находим, что uk+2 = uk_x. Аналогично показывается, что начальный
линейный профиль восстанавливается на N-м шаге по времени, если число Куранта
равно С = 1/N. Похожим образом показывается существование числа Куранта, обес-
обеспечивающего точный перенос данных, представимых в виде целой степени от х. Что
касается негладких начальных функций, то в вычислениях будет наблюдаться их по-
постепенное размазывание. Это касается ступенчатых функций и функции единичного
возмущения: \РП — 0 при пф j и if \ — 1. Действительно, для единичного возмущения
при С = 1/N, где N — целое число, получаем 1$+\ — A — C)N ф 1 при N > 1. При этом
с возрастанием^ происходит все большее искажение начальной функции: и^+1 = A —
-С)*->0.
Равенство B.3.5) определяет значение величины и на границе m + 1/2 между дву-
двумя дискретными ячейками с номерами m и т+ 1. Можно рассматривать ^т+1/2 как
приближенное решение задачи Римана для уравнения B.3.1) с начальными данными
ukm+l при х > хт+112 и ит ПРИ х < хт+\/2- Для упрощения далее будем записывать ре-
решение в локальной системе координат, где *т+1 /2 — 0. Решение ит+1,2 определяется
2.3. Приближенные решения задачи Римана 61
формулой B.3.5) для ^—xjt — 0. Для произвольного значения Е, = x/t, формула B.3.5)
принимает вид
^+i/2^) = T(^ + ^+i) + Tsign(A-^)(^-^+i)' -ос<^<+ос. B.3.6)
Действительно, если ? < А, то ww+1/2 = UL а если ^ > Я, то um+l/2 = г/^+1.
Рассмотрим гиперболическую систему уравнений с постоянными коэффициентами
U, + ?х = U, + (AU)X = U, + AVX = 0, B.3.7)
где F = A\J, A = QRAQL — матрица постоянных элементов, U = XJ(t,x) = \UX,..., Un]T,
t > 0, —oo <x< oohU@,x) =Uo(x). Умножив уравнение B.3.7) слева на матрицу QL,
получаем
QLU,+QL^UX = QLU,+AQLUX = (QLU),+A(QLU)X = wr+Aw, = 0, B.3.8)
где w = QLU.
Система B.3.8), записанная относительно w, эквивалентна системе уравнений ви-
вида B.3.1). Для каждого из этих уравнений запишем разностную схему B.3.4), B.3.5).
Затем, переходя от переменных w = QLU к U, получим
+ |5(U*-Ui+1), m=jj-l; B.3.10)
Умножив уравнение B.3.10) слева на матрицу А и используя равенство F = A\J, запишем
полученную схему в виде
= U, B.3.11)
ш Ах
\A\=QR[XpsignXp8pl]QL.
Достаточное условие устойчивости для схемы B.3.9), B.3.10) или B.3.11), B.3.12)
дается условием B.2.4):
At
С = тах|Ар|— < 1.
Так же как и в формуле B.3.6), построим решение задачи Римана, которое исполь-
используют уравнения B.3.9)-B.3.12):
um — Um+1J, B.3.13)
(Vkm - Vkm+l), B.3.14)
L, -oo < I < +oo.
62 Гл. 2. Численное решение гиперболических систем
Схемы типа КИР для квазилинейных систем уравнений
В данном подпункте описываются различные разновидности метода КИР, а также
конечно-разностные и конечно-объемные схемы КИР для гиперболических систем
уравнений, записанных, соответственно, в квазилинейной неконсервативной и консер-
консервативной формах
U, + A(U)\JX = О, A(U) = QRAQL, B.3.15)
U, + [F(U)]X = 0, — = A(JJ) = QRAQL. B.3.16)
Обе формы записи гиперболических систем будут далее использоваться независимо,
подразумевая, что векторы U, используемые в обеих системах уравнений, вообще гово-
говоря, отличны друг от друга. Поэтому матрица^ из B.3.15) в общем случае не совпадает
с якобиевой. Система B.3.15) в характеристической форме принимает вид
F.U, + APF.UX = O, />=1,...,л, B.3.17)
где левый собственный вектор V соответствует собственному значению Хр.
Различные конечно-разностные схемы для системы B.3.15) получаются из B.3.9)
и B.3.10) применением различных типов аппроксимаций матриц A (U) и S(XJ). Рассмот-
Рассмотрим первую из них.
Версия 1:
+1 _ тт? ТТ _ ТТ
V;yj+l/2>-l/2=0, B.3.18)
4(Um-Ui+i), m=jJ-\; B.3.19)
В обозначениях B.3.17) эта схема записывается в виде
.и* uk,-vk
=0 ПРИ (Яр)у>0, B.3.20)
= o при (Ар).<0. B.3.21)
Courant, Isaacson, Rees A952) построили конечно-разностную схему типа B.3.20),
B.3.21) для квазилинейной системы из п уравнений относительно двух переменных х
и у, которая была записана в неконсервативной форме, а также исследовали и доказали
ее сходимость. Эта схема обобщает схему "уголок" B.3.2), B.3.3) на случай системы
уравнений. Исходная схема КИР с точностью до обозначений эквивалентна схемам
B.3.9)-B.3.12)и B.3.18), B.3.19).
Еще одна версия схемы B.3.18), B.3.19) может быть построена с использованием
другой аппроксимации матрицы S(\J):
+Л(и);^-1/2 = 0, B.3.22)
At J Ax
m+l/2 = T(Um + Ui+1) + K+i/2(U^-Ui+1), m=j,j-\; B.3.23)
= QR[signAp5p/]nL.
2.3. Приближенные решения задачи Римана 63
Схема B.3.22), B.3.23) является несколько формальной, однако она позволяет построить
схему для системы законов сохранения B.3.16) в виде B.2.3):
_^_ j_ j^4,- j-4~ = 0 B.3.24)
At Ax
где U/±1/2 определены формулой B.3.23). Особенность такого подхода состоит в том,
что соответствующее выражение для потока F^+1 /2(^) при ?, —у =foo стремится, соот-
соответственно, к значениям F^ и F^+1. Однако в численных расчетах такая схема оказы-
оказывается ненадежной и на разрывных решениях проявляет свойства немонотонности, что
показали одномерные газодинамические расчеты распространения сильных ударных
волн (Семенов, 1987).
Модифицируем ее следующим образом. Приблизим векторную функцию F(U^+1,2)
двумя членами разложения в ряд Тейлора, полагая достаточную малость разности XJkm —
-и?+1. Тогда
Здесь знак ~ обозначает аппроксимацию первого порядка точности. Тогда схема B.3.24)
представляется в виде
^i+V/2-F,-,/I =
А? Ах
Fm+i/2 = T(F™ + Fm+i) + Tl<+i/2(Ui-U*+1), m=j,j-\; B.3.26)
И| =
Эта эффективная схема типа КИР была впервые предложена и применена А. С. Хо-
Холодовым (Холодов, 1978) для многомерных расчетов квазилинейных гиперболических
систем уравнений (см. также Belotserkovskii, Kholodov, Turchak, 1986; Магомедов, Хо-
Холодов, 1988).
По аналогии с B.3.13), B.3.14), выпишем решение задачи Римана, которое исполь-
используют схемы B.3.22), B.3.23) и B.3.25), B.3.26). Находим
i^ il/2 (Um-Um+l), B.3.27)
U?-U?+1), B-3.28)
-oo < § < +00.
При этом для всех матриц в выражениях для U^+1,2 (^) и F^+1 /2 (^) использована какая-
либо одна общая аппроксимация. Например, для любого коэффициента /, входящего
64
Гл. 2. Численное решение гиперболических систем
во все матрицы QR, QL и Л, можно использовать формулу усреднения вида fi+l ,2 =
= j(ft +/J+1). Формулы B.3.27), B.3.28) запишем в виде одного выражения
B.3.29)
= QR[sign(Ap-|Mp/]QL.
Здесь V = V(U) яУц = дУ/dV. Такая запись делает наглядным условие единой согла-
согласованной аппроксимации для всех матриц на границе. При V = U и V = F(U) получаем
B.3.27) и B.3.28).
Формулы B.3.27) и B.3.28) дают решение задачи Римана для линеаризованных
уравнений B.2.1). Оно является точным для U и приближенным для F и представляется
в виде комбинации областей с постоянными значениями величин, которые разделены
разрывами. Так же как в случае точного решения, данное приближенное решение явля-
является автомодельным относительно переменной ?. Недостатком метода B.3.28) является
то, что при ? ->• =f°o значение F^+1 /2(?) стремится, соответственно, к F^ + O(S?) или
SF = ?km -
B-3.30)
Однако работоспособность именно этого подхода полностью подтверждена опытом
многочисленных расчетов. Случай <5F = 0 реализуется в схеме Роу (см. п. 2.3.2).
Заметим, что значения величин Um+1/2 и Fm+1,2 на обеих сторонах />разрыва свя-
связаны соотношением
{Щ = ХР{Щ. B.3.31)
Действительно, для Я = Хх получаем
{U}= lim U(^)- lim U(^) = ^-QRdiag[2,0,...,0]QLAU, B.3.32)
{?}= lim F(^)- lim F(?) = ^ORdiag[2AlJ0,...J0]OLAU. B.3.33)
Здесь AU = XJhm — U^+1. Сравнивая соотношения B.3.32) и B.3.33), получаем, что {F} =
= Хх {U}. Это верно и для других Хр.
Таким образом, схемы типа КИР, которые обычно считаются близкими к характе-
характеристическим схемам (Richtmyer, Morton, 1967), основаны на некотором приближенном
решении задачи Римана, которое представлено формулами B.3.27), B.3.28) или B.3.29).
Такая интерпретация позволяет отнести их к численным методам типа Годунова.
Вычислим поток F = F — ^U, который используется вместо F в расчетах на подвиж-
подвижных сетках, см. B.2.9), B.2.10). Используя соотношения B.3.27) и B.3.28), получаем
(U* -
B.3.34)
2.3. Приближенные решения задачи Римана 65
Получим формулу B.3.26) еще одним способом, а именно из уравнений B.3.23).
Действительно, умножив B.3.16) слева на матрицу А, получим систему уравнений
JJy. B.3.35)
Применив для этой системы расчет потоков по B.3.23), получаем
Fm— Fm+1), B.3.36)
Подставляя соотношение
т т-\-\ —
выполненное с первым порядком точности, в B.3.36) получаем B.3.26).
Если подобрать специальный вид ^(U^,U^+1) матрицы ^+1/2> такой что при
любых U^ и U^+1 будет выполняться условие
то оказывается, что схема B.3.25), B.3.26) основана на точном решении задачи Римана
для таким образом линеаризованной системы. Такой подход обсуждается при построе-
построении схемы Роу (см. п. 2.3.2).
Заметим, что для построения численных методов типа Годунова достаточно ис-
использовать только формулы для потоков F вида B.3.28). Выражение B.3.27) для U
может быть полезным, например, для аппроксимации свободных членов в неоднород-
неоднородных системах уравнений. Иногда также необходимо вычислить значения вектора V(U)
на границе дискретной ячейки с номером т + 1/2, т. е. Ут+1,2- Выведем формулы для
этого случая. Подстановка U = U(V) в систему B.3.15) дает
Uv\t+AUv\x = 0, Uv=^,
Используя формулу B.3.23) и тождество Uv\x = Ux, получаем
< ^ ii ?-U*+1), B.3.37)
Отсюда следует B.3.29)
Далее представлены некоторые другие версии разностных методов КИР. Все эти вер-
версии являются модификациями формул B.3.18) и B.3.19) первого порядка точности по
времени и по пространству. Они демонстрируют гибкость подхода КИР и возможность
его применения как для систем уравнений в неконсервативном, так и частично консер-
консервативном виде. Необходимость решать такие системы возникает, например, в динамике
66 Гл. 2. Численное решение гиперболических систем
твердого деформируемого тела (Кондауров, Никитин, 1990), магнитной гидродинамике
(Zachary, Malagoli, Colella, 1994) и др.
Подставляя B.3.19) в B.3.18), перепишем версию 1 в несколько иной форме.
Версия 2:
= 0, B.3.38)
A± =
Использование версии 2 позволило Каменецкому, Семенову A989) построить алгоритм
неявной аппроксимации граничных условий на непроницаемой стенке.
Пусть требуется найти решение в области х > 0, где х = 0 соответствует жесткой
стенке. Будем считать, что точке х = 0 соответствует точка пространственной сетки с
номером 70. Перепишем схему B.3.38) в этой точке в явно-неявном виде
(Q )М^о ^ + (A-QT )Ш^±1 ^ + (A+QT )fl^ J-^- = 0, B.3.39)
L Jo At L Jo Ax L Jo Ax
В других точках с номерами j = j0 + 1,у0 +2,... можно использовать явную схе-
схему B.3.38) или другие разностные схемы типа Годунова без применения неявной
аппроксимации. Далее из системы B.3.39) исключаются все уравнения, зависящие
от конечной разности U- — U- _1э так как она не определена. Вместо исключенных
уравнений используются граничные условия. Заметим, что при корректной постанов-
постановке граничных условий, число их в точности равно числу положительных собственных
значений системы уравнений (разд. 2.8). Описанный одномерный подход обобщается
на многомерный случай (Каменецкий, Семенов, 1989). Для решения системы B.3.39)
в точке у'о был использован метод простой итерации. Выписанная аппроксимация гра-
граничных условий важна при численном исследовании существенно нестационарных
задач, в частности, таких как удары сильных струй газа о жесткую стенку. Применение
такой схемы позволяет сохранять аппроксимацию граничных условий по времени и
исключить появление немонотонностей в значениях сеточных функций около стенки.
Модифицируем версию 2.
Версия 3:
J+^ J + (QRA+QL))_1/2 J J-1 = 0. B.3.40)
Уравнение B.3.40) отличается от B.3.38) способом аппроксимации матриц QRA±QL
по пространству. По сравнению с B.3.38) версия 3 уменьшает число необходимых
вычислений и может быть записана в несколько другой форме.
Версия 4:
2Ax I • • J
At 2Ax
д^ j\A\j-l/2
\A\=QR[XP signXp 8pl]QL.
2.3. Приближенные решения задачи Римана 67
Эта версия позволяет еще одним способом построить конечно-объемную схему
для системы уравнений в консервативной форме B.3.16). Действительно, выпишем
следующую последовательность преобразований:
и,,,-U, F.-.j-F,
Подставляя формулы B.3.42) и B.3.43) в B.3.41), получаемуже знакомую схему B.3.25),
B.3.26):
TTi+1 _ IT* F — F
Ч/ VJ , 7+1/2 f 7-1/2 _
A? + Ax '
m+1/2 7 i) + |Mli+1/2(U*-Ui+1), m=j,J-l;
\A\=aR[\Xp\dpl]OL.
К. М. Магомедов и А. С. Холодов развили несколько разностных схем и использова-
использовали их при численном решении многомерных систем уравнений гиперболического типа,
записанных в неконсервативной (Магомедов, Холодов, 1969; Магомедов, 1971; Бело-
церковский и др., 1974а) и консервативной формах (Холодов, 1978). Все эти разност-
разностные схемы объединяются одним названием: сеточно-характеристическж численные
методы (Магомедов, Холодов, 1988). В использованных выше обозначениях, сеточно-
характеристические схемы в одномерном случае совпадают со схемами B.3.25), B.3.26),
B.3.38), B.3.40) и B.3.41).
Выпишем разностную схему для системы уравнений, записанной в специальной
неконсервативной форме, т. е. такой, которая содержит члены, представленные в кон-
консервативной и неконсервативной формах:
*9С
U, + G(U)X + ?(U)UX = 0, D=—+B = QRAQL. B.3.44)
Она имеет вид
Ах
2Ах Ах
= i(G*+G*+1), Bkm+l/2=B(\Jkm+1/2),
| Ry+1/2-Ry_1/2
Ах
\D\=QR[\Xp\8pl]QL.
Эта разностная схема является комбинацией схем B.3.25), B.3.26) и B.3.41). Заметим,
что можно использовать другие комбинации разностных схем типа КИР.
Описанная выше классификация схем типа КИР следует работам Семенова A984,
1987, 1988) и Каменецкого, Семенова A989).
68 Гл. 2. Численное решение гиперболических систем
Монотонизация схем для разрывной якобиевой матрицы
Далее описана специальная модификация разностных схем типа КИР для повышения
их монотонных свойств в тех точках, где матрица А в системах уравнений B.3.15),
B.3.16) имеет разрыв первого рода. Здесь предполагается, что в указанных точках при
одних и тех же значениях U существуют различные пределы для значений А справа
и слева. Такие случаи возникают, в частности, в течениях газа с существенно меняю-
меняющимися свойствами, а также в динамике твердого деформируемого тела с большими
градиентами упругих коэффициентов или величины предела текучести на сдвиг и т. д.
Причем изменение этих свойств не зависит в явном виде от вектора искомых перемен-
переменных U. В частности, это может иметь место при изучении явлений разрушения, фазовых
переходов или при рассмотрении многослойных сред.
Численное решение таких задач может привести к нефизическим осцилляциям в
значениях сеточных функций даже при применении в расчетах монотонных методов
сквозного счета первого порядка точности. Для исключения осцилляции необходи-
необходимо применение специальной монотонизации разностных схем, основанной на более
тщательном учете свойств гиперболической системы уравнений. В частности, такой
алгоритм монотонизации разностных схем типа КИР был развит и применен В. Д. Ива-
Ивановым (частное сообщение) для численного исследования некоторых задач динамики
твердого деформируемого тела (Иванов, Петров, Суворова, 1989; Иванов и др., 1990;
Иванов, Петров, 1992; Блажевич и др., 1999; В. Д. Иванов и др., 1999).
Предложенная монотонизация описывается для общего случая гиперболической
системы, состоящей из п уравнений. Рассмотрим сначала линейную систему B.2.1) с
F = A\J, где А = QRAQL — матрица постоянных коэффициентов, различных при х < 0
и прих > 0:
/QAQ ПРИ х<0>
при х>0;
и х<0'
при *>0.
Дополнительно положим, что знаки р-х собственных значений в матрицах А^ и Л2
являются одинаковыми, т. е. (signAj )(signA2 ) > 0 при р = 1,...,и. Это совпадение
знаков, в частности, имеет место при использовании лагранжевых систем координат.
Запишем систему уравнений в виде п уравнений переноса относительно инвариан-
инвариантов Римана:
-^-?- + Хр р = 0, Хр = const, p=l,...,n. B.3.46)
ot ox
Здесь w = [wx,..., wn]T = QLU — вектор, состоящий из n инвариантов Римана, a wp =
= \р • U, где \р — левый собственный вектор с номером р для матрицы А.
Пусть система уравнений B.3.46) имеет непрерывное решение. Запишем разност-
разностную схему B.3.2) для каждого из уравнений переноса:
=°
At +K Ах
^ivkiM.o при ^<0 B348)
2.3. Приближенные решения задачи Римана 69
Полагая, что точка разрыва х = 0 соответствует у'-й точке сетки, перепишем схему
B.3.47), B.3.48) для переменных U:
J +agif- д^ =° при я«>°> B-3-49)
' =°
В построенной схеме используется тот факт, что разность \Jk -\JkJ_l вычисляется
для точек принадлежащих области х < 0, где А = Ах и \a = If, а разность U^+1 — U^
вычисляется для точек принадлежащих области х > 0, где А = А2 и l^3 = 1^. Умножив
уравнения B.3.49), B.3.50) на соответствующие правые векторы, запишем их для про-
произвольной точки с номером j следующим однородным образом (ср. с B.3.9), B.3.10)):
тт?+1 тт? ту _тт
_ц L+A j+i/z —LM1=q B.3.51)
At J Ax
), m=j,j-\; B.3.52)
5,- = (QR)/[sign(Ap)/ 5p/](QL)y, Aj = (п^А/пъ)р QR = Ц;1,
^ + B.3.53)
Верхний индекс в матрицах Q^ обозначает, что они содержат только те строки,
которые соответствуют положительным собственным значениям Я, при этом другие
строки полагаются равными нулю. Верхний индекс в матрицах Q~ обозначает, что они
содержат только те строки, которые соответствуют неположительным собственным
значениям Я, при этом другие строки полагаются равными нулю. Аппроксимация,
которая применена в уравнениях B.3.53), обеспечивает выполнение равенства^ = Ах
слева от разрыва и равенство А — А2 справа от него. При этом в точке разрыва х = 0
использована специальная аппроксимация, не сводящаяся ни к какой из известных.
Обобщим разностную схему B.3.51)—B.3.53) на квазилинейные системы уравне-
уравнений B.2.15):
iff = У,у-1;
Рассмотрим случай, когда дискретная сетка выбрана таким образом, что значения
элементов матрицы А имеют разрыв на границе ячейки. Предполагая, что система
уравнений B.3.46) имеет непрерывное решение, запишем разностную схему B.3.2) для
каждого из уравнений переноса в форме B.3.47), B.3.48). В терминах wp = \р -U эта
70 Гл. 2. Численное решение гиперболических систем
схема принимает вид
J J
= 0 при Аа>0,
JJ+l Ж J J =0 при Яб<0.
F P
J At P Ax
Предполагая, что знаки собственных значений, соответствующих одному номеру в
матрицах Л ±1 и Л , совпадают (в противном случае следует измельчать сетку или
применять метод B.3.54)) запишем схему в виде
w w
^'\ >-"> = 0, B.3.55)
Вводя в рассмотрение численный поток F, получим
- wy_1/2) - (Fy+1/2-Fy_1/2)],
m - w^+i), w = QLU, m = 7,7-1.
Аналогично обобщению схемы B.3.54) этот метод применяется, в свою очередь, для
гиперболической системы уравнений, записанной в консервативной форме B.3.16).
Полученная схема позволяет модифицировать разностную схему B.3.25), B.3.26).
Схемы B.3.54) и B.3.56) дают возможность уточнить также схему B.3.45). Предло-
Предложенные модификации позволяют более точно описать случаи, когда А- ф А-±1 при
U • = Uy±i- Выписанная модификация позволяет разностным схемам типа КИР сохра-
сохранять свойства точного решения в случаях сильного изменения свойств среды. Замет-
Заметное улучшение численных результатов было достигнуто, в частности, при решении
задач динамики многослойных сред, находящихся под действием сильного импульса
давления, возникающего под действием лазерного излучения, в лагранжевой системе
координат.
Реализация рассмотренного метода монотонизации требует, в общем случае, анали-
аналитического вычисления матрицы QR = Q по найденной матрице QL, что может быть в
достаточной степени трудоемким. Аналитические выражения для элементов QR имеют
простой вид только для системы уравнений относительно несложного вида. В много-
многомерных расчетах QR и, следовательно, \А\ могут быть вычислены численно. Заметим,
что проведение монотонизации в каждой точке дискретной сетки понижает экономич-
экономичность численного метода. Поэтому ее следует проводить только в областях резкого
изменения параметров среды. Следует подчеркнуть, что использование описанной мо-
монотонизации важно даже в тех случаях, когда для расчетов используются монотонные
разностные схемы первого порядка точности.
2.3. Приближенные решения задачи Римана 71
Гибридные разностные схемы
Гибридные разностные схемы являются одним из промежуточных этапов развития
численных методов (разд. 2.1). Под термином "гибридность " понимается возможность
численного метода менять свои свойства, в частности, порядок аппроксимации. Введе-
Введение гибридности позволяет вести расчеты методом сквозного счета по схеме второго
порядка точности в областях гладкости решения, а в областях больших перепадов функ-
функций переходить к расчетам по монотонной схеме первого порядка точности.
Одним из недостатков первоначальной стадии развития гибридных схем было то,
что гибридизация проводилась формальными или полу эмпирическими способами, без
учета характеристических свойств гиперболических систем уравнений. Далее будет
кратко описан один из явных гибридных методов для произвольной квазилинейной
гиперболической системы, состоящих из п уравнений (Семенов, 1984, 1987), который
существенно опирается на использование этих свойств. При частных выборах коэф-
коэффициентов гибридности, метод переходит в ранее известные, а именно в разностные
схемы Лакса-Вендроффа и КИР. Одна из причин описания здесь этого метода гибри-
гибридизации состоит в том, что он естественным образом вводится во все описанные выше
версии схем типа КИР. При этом примененные для введения гибридности критерии ана-
анализа течения окажутся полезными в других приложениях, в частности, при введении
энтропийной коррекции (разд. 2.10).
Рассмотрим разностную схему B.3.4), B.3.5) со следующей модификацией :
_Л u . -и. 1/2
1 ^±ФJzltl = o B.3.57)
At Ах
um+\/2 = itfm + ^m+i) + h (ukm ~ «Ji+i), m = jj-l, B.3.58)
где g — коэффициент гибридности. Положим
g = C = A? B.3.59)
в областях гладкости решения и
g=signA B.3.60)
в областях негладкости. При использовании формулы B.3.59) получаем схему Лакса-
Вендроффа второго порядка точности по времени и по пространству. Выбор формулы
B.3.60) приводит к разностной схеме КИР первого порядка точности.
Описанный подход естественным образом обобщается и вводится во все разност-
разностные схемы B.3.11), B.3.12), B.3.38), B.3.40) и B.3.45). Действительно, модифицируем
выражение для матрицы \А\ в уравнении B.3.12) следующим образом:
\A\ = aR[xpgp8pl]aL, B.3.61)
где
Sp = Cp = Xp^ B.3.62)
72 Гл. 2. Численное решение гиперболических систем
в областях гладкости решения и
gp = sign Ар B.3.63)
в областях с большими перепадами функций. Заметим, что для каждого из характери-
характеристических направлений коэффициент гибридности выбирается независимо. Для отбора
областей гладкости или негладкости решения может быть использован следующий кри-
критерий (Евсеев, Семенов, 1990). При выполнении неравенств
(*/>)„+! > (*/>)*,, &р)т (Яр)т+1 > 0, B.3.64)
\Wp\m+l ~ \wpU\ ^ °'3(KL+1 + \wp\m), m=j,j-\,
считается, что данная область является областью гладкого решения для wp. В противном
случае полагается, что имеет место негладкое решение. Здесь wp — это инвариант Ри-
мана локально линеаризованной системы уравнений, который соответствует собствен-
собственному значению Хр: wp = (QLU)p = \р • U B.3.8). Таким образом, перенос wp считается
гладким, если, во-первых, относительный перепад wp является достаточно небольшим,
а во-вторых, в этом переносе отсутствует пересечение характеристик (разд. 1.4). Ины-
Иными словами, здесь производится анализ знака первой разности собственного значения
и величины перепада первой разности соответствующего инварианта Римана. Анализ
такого рода будет использован далее при введении энтропийной коррекции.
Если для всех р выбрать gp по формуле B.3.63), получаем схему КИР первого по-
порядка точности по t и по х. Если для всех р использовать B.3.62), получаем схему
Лакса-Вендроффа второго порядка точности по времени и по пространству. Примеры
применения такого рода гибридного метода могут быть найдены в ряде работ (Семе-
(Семенов, 1987; Семенов, Шарипов, 1987; Коробейников, Семенов, Шарипов, 1987, 1990).
Критерий B.3.64) отбора областей гладкости и негладкости обобщает некоторые из
ранее известных. В частности, Куропатенко A962, 1966) при решении уравнений газо-
газовой динамики использовал следующий критерий. При um+l < um считалось, что имеет
место негладкое решения, а при um+x >um — волна разрежения. Здесь и — значение
скорости, которое также является одним из собственных значений системы уравнений
газовой динамики. Аналогичный критерий рассматривался также при введении искус-
искусственной квадратичной вязкости (von Neumann, Richtmyer, 1950).
Упомянем другой характеристический критерий (Воробьев, Холодов, 1996) введе-
введения гибридности в монотонные схемы второго порядка точности переменного пяти-
пятиточечного шаблона, где в зависимости от характера течения используются либо цен-
центральные, либо ориентированные разности (Коныпин, 1985; Гущин, Коныпин, 1985,
1990; Магомедов, Холодов, 1988). Здесь гибридность выбиралась в зависимости от зна-
знака произведения первой (А) и второй (А2) конечных разностей инвариантов Римана wp,
а именно в зависимости от знака произведения (Awp) (A2wp), или (wp)x (wp)xx.
Условие устойчивости гибридной схемы находится спектральным методом и дает
C2p<gPCp<l. B.3.65)
Следовательно, выполнение условия тахр \СР\ < 1 обеспечивает устойчивость гибрид-
гибридной схемы при выборе gp по B.3.62) или B.3.63). Заметим, что возможны и другие
способы выбора гибридности. Например,
врСр,
2.3. Приближенные решения задачи Римана 73
где 0 < вр < 1 зависит от градиента wp таким образом, чтобы имел место гладкий пере-
переход вр ->• 0 в областях негладкости решения (Гольдин и др., 1965; Harten, Zwas, 1972a,
1972b).
При построении гибридных схем на основе схем КИР B.3.38) и B.3.40) следует
записать матрицы Л± с учетом зависимости от gp:
Л± = [?A ±gP) К 8р1] = [%{ХР ± XpgP) 8pl].
Такая модификация обеспечивает простой способ повышения порядка точности без
потери монотонных свойств схемы и может быть использована в качестве первого
простого шага при численном решении гиперболических систем уравнений.
Изложенный подход введения гибридности вида B.3.57), B.3.58) оказался рабо-
работоспособным в применении к таким методам расщепления по процессам, в которых
имеется отдельный этап учета процессов переноса. В частности, метод такой гибриди-
гибридизации был успешно применен к одномерным и двумерным версиям метода FLIC (Gentry,
Martin, Daly, 1966) и метода крупных частиц (Белоцерковский, Давыдов, 1971, 1982).
Особенности применения этого подхода, выбор величин гибридных коэффициентов,
исследование устойчивости и модификация используемой искусственной вязкости в
зависимости от числа Маха течения описаны в ряде работ (Лешкевич, Семенов, 1986,
1988, 1990; Семенов, 1987, 1988; Зильберштейн, Сафронов, Семенов, 1986, 1990).
Для отдельного этапа учета процессов переноса Boris, Book A973, 1976), Boris,
Book, Hain A975) разработали метод коррекции потоков, или метод FCT (flux corrected
transport), см. также Oran, Boris A987). Метод коррекции потоков — это двухшаговый
гибридный метод вида
первоначально созданный для решения многомерного квазилинейного уравнения пере-
переноса вида щ + divF(w) = G{u). На первом шаге численное решение находится монотон-
монотонной схемой Sx первого порядка точности. Второй шаг, который называется антидиффу-
антидиффузионным, имеет вид A —g) (S2 — Sx). На этом шаге численное решение корректируется, с
тем чтобы обеспечить ему второй порядок точности по времени и по пространству. При
этом выбор коэффициента гибридности g должен удовлетворять следующим условиям.
На антидиффузионной стадии в численных результатах не должно возникать новых
экстремумов, а также не должно наблюдаться возрастания значений локальных макси-
максимумов или уменьшения локальных мимнимумов, которые уже имеются в численном
решении. Эти требования эквивалентны условию ограниченности полной вариации
численного решения, т. е. тому условию, которому подчиняется точное решение ква-
квазилинейного уравнения переноса при определенных предположениях на F(w) и G(u)
(Рождественский, Яненко, 1978). Таким образом, метод коррекции потоков принадле-
принадлежит классу разностных схем, сохраняющих невозрастание полной вариации численного
решения (Harten, 1983, 1984), см. ниже п. 2.7.2.
При использовании метода коррекции потоков произвольная гиперболическая си-
система уравнений рассматривается как ряд неоднородных уравнений переноса с неко-
некоторыми дополнительными членами G(u) в правых частях уравнений, которые могут
быть учтены явным или неявным способом (Oran, Boris, 1987). Такой подход может
быть формально обобщен также на произвольные системы уравнений общего вида в
консервативной форме (Zalesak, 1979).
74 Гл. 2. Численное решение гиперболических систем
Для метода FCT создано большое число различных оригинальных модификаций
(см., например, Лобановский, 1979; Ikeda, Nakagawa, 1979; Craxton, McCrory, 1979;
Жмакин, Фурсенко, 1980; Knorr, Mond, 1980; Головизнин, Жмакин, 1982; Головизнин,
Жмакин, Фурсенко, 1982; Зелинский, Сапожников, 1983; Головизнин и др., 1984; Вяз-
Вязников, 1990; Пинчуков, 1991, 1994b, 1996). Ряд новых численных методов (Никишин,
Тюрина, Фаворский, 1999; Вабищевич и др., 2000) тестируется на скалярном уравнении
переноса. Отметим также создание новой версии метода коррекции потока (Головизнин,
Карабасов, 2000; Головизнин, Карабасов, Тишкина, 2000), примененной к трехслойной
численной схеме "кабаре"(Головизнин, Самарский, 1998а, 1998b; Головизнин, Караба-
Карабасов, 1998). В частности, для линейного уравнения переноса B.3.1) при А > 0 схема
второго порядка точности "кабаре" имеет вид
\к ' + J"' J~X +Я J A J~X = 0, -+—-^+Я J A / =0. B.3.66)
2Д? 2А? Ах А? Ах
Откуда
и*+1 = A - 2C)(i/j - u)_x) + и*:}, и). = A - С)и$
где С = XAt/Ax — число Куранта. Схема является является устойчивой при С < 1 и
точной для С = 0, С = 0.5 и С = 1. Требование точности численного решения при С =
= 0 и С = 1 приводит к схеме "уголок" B.3.4), B.3.5), а точности при трех значениях
чисел Куранта — к схеме "кабаре", которая формально является суммой схем явного и
неявного "уголков", аппроксимированных на разных шагах по времени. В построенном
численном методе коррекции потоков для выписанной выше схемы оказались исклю-
исключенными численные диссипация и дисперсия. Этот метод является методом точного
разрешения для неподвижной эйлеровой, в том числе неравномерной сетки. Он позво-
позволил для линейного и квазилинейного уравнения переноса, а также систем уравнений с
постоянными коэффициентами получать численное решение, совпадающее с точным,
даже через десятки тысячи шагов по времени. Напомним, что теоремы существова-
существования и единственности дискретного решения точного разрешения для квазилинейного
уравнения переноса были строго показаны только для решения типа бегущей ударной
волны (Rusanov, 1971; Jennings, 1974; Безменов, 1981; Русанов, Безменов, 1981а, 1981b,
1984).
Схема Лакса-Фридрихса
Схема Лакса-Фридрихса может быть интерпретирована как упрощенный вариант
конечно-объемной схемы КИР. Действительно, заменим все модули собственных зна-
значений \ХР\ в матрице \А\ в уравнениях B.3.12), B.3.26) и B.3.41) на |А| = maxp\?ip .
Тогда \А\ принимает более простой вид
\А\ = QR[ \ХР\ др1]Пь => \А\ = |A|QRQL = |А|/,
где / — единичная матрица размерности n x п. В частности, схема B.3.25), B.3.26)
принимает следующий вид:
/2-F /2
./+1/2 j 1/2 =
+
At Ax
2.3. Приближенные решения задачи Римана 75
K+i/2 = Hvi + vi+i) + hMUi/2(K-K+i)^ m=jj-l; B.3.68)
|А| =тах|Яр|.
Разностная схема для системы уравнений B.3.45) имеет вид
_ г>к
/2 /-1/2
At Ax
^y+l/2^Uy+l~U^+^y-l/2^Uy~Uy-l^ Kj+l/2~Kj-l/2
2Ах Ах
hl/2)> m=JJ~l'>
B.3.69)
Приведенная выше запись схемы Лакса-Фридрихса, основана на использовании ло-
локальных максимумов модулей собственных значений (Русанов, 1961). Исходная схема
Лакса-Фридрихса (Lax, 1954) использует в качестве |А| глобальный максимум всех
собственных значений во всей вычислительной области:
При этом полагается А/ = Ах/|А^|.
Методы Хартена-Лакса-ван Лира и WAF
До сих пор излагались приближенные методы решения задачи Римана для гиперболи-
гиперболических систем уравнений общего вида. При определенном виде собственных значений
можно строить и различные другие методы решения задачи о распаде произвольного
разрыва. Рассмотрим несколько таких примеров.
Пусть собственные значения матрицы^ размерности п х п имеют следующую струк-
структуру: Aj = AL, Хп = AR, А2 = ... = ?in_l = Ао, где AL < Ао < AR. В частности, таковы соб-
собственные значения в уравнениях газовой динамики и уравнениях мелкой воды. Тогда
для нахождения потока F^+1 /2(^) вида B.3.28) можно использовать соотношение
FL = F^ при ?, < AL,
FHLL _ \FL ~ \FR + W(UR - Ub) A < ? < A
AR-AL
FR = Fm , ^ при с, > AR,
где UL = XJkm и UR = U^+1. Для реализации такого метода требуется вычисление толь-
только AL и AR. Он называется методом Хартена-Лакса-ван Лира или HLL (Harten, Lax,
van Leer, 1983). Существуют также его различные модификации, в частности, метод
HLLE (Einfeldt, 1988; Einfeldt et al, 1991) и HLLC (Того, Chakroborty, 1994; Того, Spruce,
Speares, 1994). Подробное описание особенностей методов типа HLL дано, в частности,
в монографии Того A997).
76 Гл. 2. Численное решение гиперболических систем
Вывод выражений для FHLL и jjHLL основан на обеспечении точного выполнения
соотношения B.3.31) только на двух разрывах:
FHLL тл 0 /ttHLL ут \ ttHLL г? q /ttHLL тт \
~~ R = ^RV^ ~ R/> ~~ L = LV ~^l)'
Отсюда находятся FHLL и UHLL.
Метод HLL учитывает два основных разрыва, которые описывают распространение
сильных особенностей типа ударных волн, и не рассматривает разрывы типа контакт-
контактных или тангенциальных. В уточненном методе HLLC (Того, Chakroborty, 1994; Того,
Spruce, Speares, 1994; Того, 1997) производится дополнительный учет цетрального раз-
разрыва движущегося со скоростью Ао:
FL при ?, < AL,
FT* = FT + At (Ut* - UT) при AT < ? < An,
FHLLC fp\_)L L'LVL L/ ^ L^ 0'
F^ = Fj^ + Aj^(U^ — UpJ при Aq < l, < Aj^,
FR при ? > AR,
Значения левых и правых величин U? и UR находятся из соотношений на контактном
(тангенциальном) разрыве вида B.3.31). Эти соотношения зависят от выбранной си-
системы уравнений и выписаны для нестационарных и стационарных уравнений газовой
динамики, а также для уравнений теории мелкой воды.
В методе WAF (Того, 1989а, 1992а, 1992с; Billett, Того, 1997; Того, 1997) поток
на границе для произвольной гиперболической системы из п уравнений, имеющей пх
различных собственных значений, находится по формуле
^ — У W, f^) w, > о Уж — 1 к <п
Величины F^ , —это "частные" потоки, где F^1) , =FT hF^+V = Fp, а остальные
7W+1/2 /и+1/2 L /и+1/2 R
значения потоков находятся из решения задачи Римана для линеаризованной систе-
системы уравнений. Схема WAF успешно применялась к численному решению уравнений
газовой динамики и теории мелкой воды.
Величины Wk пропорциональны геометрическому размеру соответствующих обла-
областей постоянных течений и называются весами
где Ck — XkAt/Ax. При выписанных выше значениях весов схема WAF переходит в схему
Лакса-Вендроффа второго порядка точности. Для построения метода WAF необходимо
вычисление Хк, а затем применение специальной процедуры подправления величин Wk
для исключения осцилляции из численного решения (Того, 1989а). При построении
схемы для уравнений одномерной газовой динамики учитывалось различное число
слагаемых в сумме, а именно К = 2 или К = 3.
Особенность методики состоит в обеспечении второго порядка точности по времени
без применения дополнительного этапа пересчета по времени. В силе единственности
линейной схемы второго порядка точности по времени и пространству на трехточечном
2.3. Приближенные решения задачи Римана 77
шаблоне метод WAF и рассмотренные выше характеристические гибридные схемы
являются близкими по свойствам и по методу вычисления потока на границе дискретной
ячейки.
2.3.2. Схема Роу. Численная схема Роу основана на приближенном методе ре-
решения задачи Римана B.2.1), B.2.2). Эту схему можно рассматривать как особую разно-
разновидность конечно-объемной схемы КИР с вычислением потоков F по формуле B.3.28)
при специальном выборе аппроксимации матрицы А = d?/d\J, которую обозначим че-
через я/. При этом оказывается, что численный поток в схеме Роу определяется по точному
решению задачи о распаде произвольного разрыва для таким образом линеаризованной
системы уравнений. Матрица я/ должна удовлетворять следующим соотношениям:
При этом она должна иметь только действительные собственные значения и полную
систему собственных векторов. Рассмотрим невырожденную замену переменных U =
= U(Y). Тогда из точных соотношений AF = ^AY и AU = g/yAY следует, что srf —
= srfpgtfjj1. В силу нелинейности F как функции U, полученная матрица srf является
неединственной.
Для скалярного случая эту неединственность можно показать следующим образом.
Полагая F = U3 и U = 7, откуда F = 73, получаем
^ ui + u2u} + uf, щ = ит и2 = ит+1.
Полагая F = U3 и U = Y2, откуда F = Y6, находим
AU ^^щ
Таким образом, элементы srf в общем случае зависят от выбора Y. При этом разница
между элементами матрицы ^, соответствующими различному выбору параметриче-
параметрического вектора Y, будет порядка O(|AU|2).
Точные аналитические выражения для элементов матриц srfF и ^ могут быть все-
всегда выписаны в явном виде для случаев, когда U и F являются полиномами или ра-
рациональными функциями компонент Y. При нахождении элементов gfF и gfjj можно
использовать разностные тождества вида
A(ab) = bAa+aAb; B.3.70)
A(abc) = bcAa + acAb + abAc+ ±AaAbAc= B.3.71)
= (bc+ 6xAbAc)Aa+ (ac+ 62AaAc)Ab+ (ab+ 63AaAb)Ac, вг + 62 + 63 = \\
A{a2b) = Bab+ 6lAaAb)Aa+ (a1 + в2{АаJ)АЬ, вх + в2 = \\ B.3.72)
A(abcd) = bclAa + acdAb + abdAc + abcAd+ B.3.73)
+ j'dAaAbAc+ \aAbAcAd+ jbAaAcAd+ \cAaAbAd =
78 Гл. 2. Численное решение гиперболических систем
= (Ec'd+el'dAbAc+ KxbAcAd+nxcAbAd)Aa +
+ (ac~d+ Q^dAaAc + T]{aAcAd + n2cAaAd)Ab +
+ (аЫ+ Q^dAaAb + r\2aAbAd + K2bAaAd)Ac +
+ (abc+ n3cAaAb + г\3~аАЪАс + K3bAaAc)Ad,
Ox+O2+O3 = j, Щ+Ъ+Ъ = h пх+л2+л3 = ^ кх+к2+к3 = \.
Здесь Af = fl—f2,af=j(fl+f2) обозначает арифметическое среднее величины /, где
f=a,b,cnd. Для случая полинома второго порядка соотношения B.3.70) определяют
коэффициенты перед разностями Аа и АЬ единственным образом. В случае кубического
полинома, как следует из тождеств B.3.71) и B.3.72), коэффициенты перед разностями
Аа, АЬ и Ас вычисляются неединственным образом и принадлежат, соответственно,
одно- и двухпараметрическим семействам коэффициентов. Для полиномов более вы-
высокой степени неединственность получения коэффициентов при вычислении первой
разности становится еще более сложной, см. B.3.73). Примеры вычисления конечных
разностей B.3.71)-B.3.73) показывают источник неединственности при построении
матрицы srf.
Матрица srf аппроксимирует якобиеву матрицу А — <9F/<9U и должна сохранять
гиперболические свойства системы уравнений без возникновения при этом дополни-
дополнительных не физических особенностей и вырождений в собственных значениях и векто-
векторах. Нахождение параметрического вектора с такими свойствами представляет из себя
непростую задачу и, по-видимому, возможно не для всех систем уравнений.
Схему Роу можно рассматривать как особую, обладающую уникальными свойства-
свойствами разновидность конечно-объемной схемы КИР. При этом решение представляется в
виде, ср. формулы B.3.27) и B.3.28),
± ^ B.3.74)
+ M ;JQl> B-3.75)
где § = x/t, -oo < § < +oo, AU = Vm - Um+1, ?m = F(UW) и Fm+1 = F(Um+1). До-
Достоинством метода Роу является то, что при \ ->• +оо значения F(|) точно стремятся,
соответственно, к F^ и F^+1.
Соответствующий вектор потока F вида B.3.34) для вычислений на подвижной
сетке принимает вид
F = F(S) - §U(§) = |(Fm - §Um + Fm+1 - §Um+1) + 1K(§)|AU, B.3.76)
Уравнения B.3.74) и B.3.75) задают кусочно-постоянные функции U(^) и F(^), ко-
которые через систему разрывов связывают левые значения величин \Jm и ?т с правыми
значениями Um+1 и Fw+1. Для выбранной линеаризации системы уравнений выписан-
выписанное решение является точным и единственным.
Пусть левые значения XJm, ?m и правые значения Um+1, Fm+1 связаны соотношени-
соотношениями на движущемся разрыве B.2.14)
= W{V} ^^ AF = WAV,
2.3. Приближенные решения задачи Римана 79
где W — скорость разрыва, a AF = ?т — Fw+1. Тогда W является собственным значением
матрицы я/. Действительно, выполняются соотношения
AF - WAV = {^F - Wя/и)AY = (я/- WI)^ AY = (я/- WI)AV = О,
где / — единичная матрица размерности п х п. Для существования нетривиального
решения необходимо потребовать det (я/ — WI) = 0 и, следовательно, W является соб-
собственным значением матрицы я/, а вектор AU — ее собственным вектором. Таким
образом, схема Роу использует такое приближенное решение задачи Римана, что соотно-
соотношения на одиночных разрывах выполняются точно. Это является важнейшим свойством
схемы Роу. Заметим, что при использовании другой линеаризации исходной системы
уравнений условия на разрыве, в общем случае, выполняются с порядком точности
самой разностной схемы.
При построении метода типа Годунова требуется только формула для потока F
вида B.3.75). Тем не менее, формулы для U могут быть полезны при аппроксимации
правых частей неоднородных гиперболических систем уравнений. Заметим также, что
значения F(?) и U(^) до и после /^-разрыва связаны соотношением {F} = AP{U}, см.
B.3.32), B.3.33).
Для разностной схемы на неподвижной сетке значения величин F и U находятся
подстановкой равенства ? = 0 в уравнения B.3.74) и B.3.75). Тогда получаем
U@) = 1(UW + Um+1) + ±S{Vm - Um+1), S = S@) = QR[si
Схему Роу можно рассматривать как особую разновидность конечно-объемной схе-
схемы КИР с вычислением потоков по формуле B.3.28) при таком выборе аппроксимации
матрицы А, которая обеспечивает равенство <5F = 0 B.3.30).
Схема Роу была первоначально создана для уравнений газовой динамики
(Roe, 1981a, 1981b), см. также обзор Roe A986) и п. 3.4.4. Роу нашел такой вид парамет-
параметрического вектора Y(U), который известен в настоящее время как вектор переменных
Роу. Этот вектор позволил записать компоненты U и F в виде векторов полиномов второй
степени относительно компонент Y и тем самым получить единственную матрицу я/,
см. B.3.70). Единственность матрицы понимается в том смысле, что она единственным
образом представима в виде я/ = g/(Vm,Vm+l) = A(Y), где Y обозначает арифметиче-
арифметическое среднее вектора Y на границе,
Y=l[Y(Um)+Y(Um+1)].
Поэтому матрица Роу я/ сохраняет все гиперболические свойства матрицы А и все
ее элементы являются функциями одних и тех же переменных, которые усреднены
одинаковым способом (п. 3.4.4).
Метод Роу для решения газодинамической задачи Римана описан в гл. 3, а для
уравнений теории мелкой воды — в гл. 4. Метод Роу для магнитной гидродинамики
(МГД) также существует (см. гл. 5), но там он не является единственным.
Вычислительная практика показывает, что решение B.3.74), B.3.75) является обос-
обоснованным компромиссом между точным решением для нелинейной системы и прибли-
приближенным ее решением для линеаризованной системы, найденным методом КИР. Несмот-
Несмотря на свою относительную простоту, оно точно описывает соотношения на одиночных
80 Гл. 2. Численное решение гиперболических систем
разрывах и скорости их перемещения. Тем самым оно сохраняет свойства исходной
нелинейной системы уравнений. Этот факт позволяет точно выделять ударные волны
и тангенциальные разрывы, в частности, в методах одномерных и двумерных самопод-
самоподстраивающихся сеток (Harten, Hyman, 1983; Каменецкий, Семенов, 1994), см. п. 3.5.4.
При использовании неподвижных эйлеровых пространственных сеток преимущества,
получаемые при использовании метода Роу (кроме его относительной простоты по срав-
сравнению с использованием точного решения задачи Римана), не являются очевидными.
2.3.3. Схема Ошера. Как упомянуто выше, вычислительная схема Роу осно-
основана на решении линеаризованной задачи Римана и, следовательно, использует при
построении решения только разрывы. Таким образом, волны разрежения в решении
задачи Римана заменяются ударными волнами разрежения. Это опасная процедура,
так как нефизичные ударные волны разрежения могут появиться и при решении гло-
глобальной задачи. Специальные процедуры энтропийной коррекции, разработанные для
устранения этого явления, представлены в разд. 2.10.
Так как строятся численные методы, основанные на приближенном решении задачи
Римана, можно попытаться построить последнее с помощью простых волн. Как пока-
показано в разд. 1.4, такое решение может быть, в принципе, получено в той части плоско-
плоскости (х, t), где характеристики одного семейства не пересекают друг друга. Это позволяет
найти решение локальной задачи Римана указанного вида. Схема, использующая такое
решение, предложена в работе Engquist, Osher A981) для одного закона сохранения и в
дальнейшем распространена на строго гиперболические системы (Osher, 1981).
Перед тем как описать схему Ошера для системы уравнений, рассмотрим ее суть на
примере скалярного закона сохранения
^ + ^=0. B.3.77)
dt дх
В полном соответствии с идеей введения противопоточной аппроксимации уравне-
уравнения B.3.77), поток в схеме Энгквиста-Ошера представляется в виде
/Е0 (г/% г/к) =/(>*)- Г max(a(s),0)ds+ Г mm(a(s),0)ds, B.3.78)
JuL Ju*
где a{u) = dfjdu, а интегрирование проводится в ^-пространстве вдоль интегральной
кривой, соединяющей uL и uR (см. разд. 1.5). Входящая в B.3.78) величина и* относится
к произвольному промежуточному состоянию на интегральной кривой, а/Е0, очевид-
очевидно, не зависит от и*. Osher A984) показал, что интегральные члены в формуле 2.3.78
добавляют к численному потоку f(u*) диссипацию.
Рассмотрим аналогию между потоком Энгквиста-Ошера и потоком Годунова
Здесь и(х .+1 /2,s) при s > t — единственное, совместимое с условием Олейник A959)
2.3. Приближенные решения задачи Римана 81
решение задачи Римана для уравнения B.3.77) с начальными условиями
при
Отметим, что решение этой задачи Римана для одного закона сохранения существу-
существует для произвольных Uj и м,+1 и единственно при удовлетворении условия Олейник.
Напомним, что это условие позволяет выделить единственное обобщенное решение,
которое является пределом решения вязкого уравнения, соответствующего исходному
гиперболическому уравнению B.3.77), при стремлении диссипации к нулю. Важным
обстоятельством является то, что при других физических условиях, когда не только
диссипация, но и дисперсия определяют структуру разрывов, возможны решения, ко-
которые не удовлетворяют условию Олейник, но при этом все же имеют структуру и в
силу этого удовлетворяют условию неубывания энтропии (см. гл. 7).
Поток в схеме Годунова может быть представлен в виде (Osher, 1984)
{min f(u) приг/ <г/+1,
U-<U<U ¦ . , J J^
J~ " J+l r( ч B.3.80)
max f{u) при u.->u,,v v }
Uj>u>uJ+l J J+
Если теперь положить uL = u < uR = u +1 и предположить, что / является
монотонно-возрастающей функцией г/, то
В противном случае, если / является монотонно-убывающей функцией, то
Если функция / имеет экстремум внутри рассматриваемого интервала, нужно сде-
сделать выбор между ее значениями в точке экстремума и в граничных точках.
Аналогично и в схеме Энгквиста-Ошера, в случае монотонности функции-потока /,
в качестве г/* выбирается соответствующее граничное значение, а именно:
лю _ Г /OL) при a > 0,
7+1/2 l/(^R) прист<0,
где
G =
uR — uL
Это означает, что u* = uL при a > 0 и и* = uR в противном случае. Таким образом,
так же как и в схеме Годунова, если /монотонна между uL и г/к, выбирается подходящее
граничное значение. В этом случае потоки Ошера и Годунова совпадают. В противном
случае, нужно произвести поиск точек экстремума функции / на рассматриваемом
82 Гл. 2. Численное решение гиперболических систем
интервале и использовать формулу B.3.78). Osher A984) показал, что поток B.3.78) мо-
может быть представлен как численный поток схемы Годунова с добавлением некоторых
диссипативных членов. Диссипация в методе Энгквиста-Ошера для решения уравне-
уравнения B.3.77) с потоком выпуклым вниз отлична от нуля только для двух состояний,
описывающих трансзвуковое сжатие, т. е. при a(uL) > 0 и a(uR) < 0. Отметим, что это
имеет место только при uR < uL.
Отличительной чертой схемы Энгквиста-Ошера является поиск звуковых точек
функции df/du, т. е. точек, в которых
Эти точки в дальнейшем используются для нахождения численного потока. Добавление
численной вязкости вблизи звуковых точек помогает получить решение задачи, кото-
которое согласуется с условием Олейник, и тем самым избежать появления ударных волн
разрежения.
Преимущества схемы Энгквиста-Ошера также проявляются в тех случаях, когда
решается гиперболическое уравнение B.3.77) с невыпуклой функцией f(u). При усло-
условии что точки экстремумов известны, добавление численной вязкости в их окрестности
дает возможность эффективного нахождения физически допустимого решения, поиск
которого при невыпуклой/(г/) в противном случае был бы затруднен. С другой стороны,
этого недостаточно, если мелкомасштабная дифференциальная модель более высокого
порядка включает производные не только второго, но и третьего порядка, т. е. если не
только диссипация, но и дисперсия должна участвовать в выборе допустимого решения
(Куликовский, 1984; см. также гл. 7).
Величину а можно аппроксимировать с использованием первых и вторых производ-
производных функции / в точках uL и uR. Так как линейная интерполяция а, которая соответству-
соответствует параболической интерполяции /, не может отобразить точки перегиба функции /,
Bell, Colella, Trangenstein A989) предложили аппроксимировать функцию а на интерва-
интервале между uL и uR с помощью кубической эрмитовой функции а, которая, в свою очередь,
представляется кусочно-линейной аппроксимацией а, проходящей через uL, uR и точки
экстремума функции а. Таким образом, окончательная формула для численного потока
принимает вид
/Е0 (г/% г/к) =/(>*)- Г max(a(s),0)ds + Г mm(a(s),0)ds. B.3.81)
JuL Ju*
Другая форма записи может быть получена после введения неотрицательных вели-
вели1 fu* — 1 fuR
а+ = г I max(a(s),0)ds, а~ = -5 /
U* - UL JuL UK — U* Ju*
чин
If -\
Тогда
/EO(«L,MR)=/(M*)-[a+J8 + a-(l
Отметим, что 0 < /3 < 1 при и* G [г/ь, uR]. Таким образом, дополнительные инте-
интегральные члены в уравнении B.3.81) представляют диссипацию.
2.3. Приближенные решения задачи Римана
83
Удобная форма записи схемы Энгквиста-Ошера, которая позволяет избежать
неопределенности с выбором г/*, получается при записи численного потока в виде
среднего арифметического потоков при u* = uL и и* = гД
f(uL)+f{uR)- \a{s)\ds
При рассмотрении системы уравнений численный поток в схеме Ошера может быть
определен по формуле
B.3.82)
ИЛИ
\
+F(Uy) - ?J+1 \А(Щ dU
B.3.83)
Здесь
Для строго гиперболической системы собственные значения можно упорядочить:
Хх < ... < Хп. Пусть соответствующими собственными векторами будут г1,..., хп. Так
как решение ищется в виде комбинации простых волн, рассмотрим систему обыкно-
обыкновенных дифференциальных уравнений
в я-мерном фазовом пространстве (см. пункт 1.4.1).
Вдоль сегмента Г^ пути интегрирования (s — длина дуги) имеем
B.3.84)
эи
dV =
ds
Система B.2.1) называется "выпуклой", если каждое из ее характеристических по-
полей является либо истинно нелинейным, т. е.
либо линейно вырожденным, т. е.
Если UR принадлежит окрестности UL, то известно, что решение задачи Римана для
такой системы существует (Lax, 1957; см. также гл. 1). Это всегда справедливо для
84
Гл. 2. Численное решение гиперболических систем
системы уравнений Эйлера газовой динамики совершенного газа и многих других
физических систем. Для истинно нелинейных полей собственные векторы rk можно
нормировать так, что
Для линейно вырожденного поля собственное значение Хк постоянно вдоль пути Гк,
который всюду касается хк, и, следовательно,
Vk+l
—ufU=(signA,)F(U)
Гт С/ U
Здесь U^ и U^+1 являются величинами в начале и в конце сегмента ^
Для истинно нелинейного поля собственное значение Хк вдоль пути интегрирова-
интегрирования B.3.84) является монотонной функцией. Это означает, что на Г^ оно может изменить
знак только один раз, т. е. на дуге Гк, соединяющей U^ и XJk+l, может быть только един-
единственное значение функции U (обозначим его U), для которого A^U) = 0. Легко видеть,
что в этом случае
где
B =
д?
Vм при
U при
= 2F(B)-2F(A)
<0,
A =
U
при
при
КФк) < °-
Дуга, соединяющая U • и U +1, состоит из непрерывного объединения сегментов TJ
При этом остается выбор начать в уравнении B.3.82) с к = п, строя путь интегриро-
интегрирования от U • и продолжая его пока при к—\ последний сегмент Г^ не закончится в
U -+1э или начать с сегмента к — 1, выходящего из U -, и продолжать пока при к — п
последний сегмент TJn не закончится в U +1 (см. обсуждение в работе Pandolfi, 1984).
Оригинальная схема Ошера использовала первый из подходов. Тем не менее, второй
способ расположения сегментов интегрирования кажется более физичным, так как он
основывается на возрастающем порядке скоростей волн.
Форма численного потока B.3.82), B.3.83) позволяет избежать выбора отсчетного
состояния U*. Аналогично скалярному случаю можно ввести среднюю скорость
_ _ [F(UL) - F(UR)] • (UL - UR)
°~ |uL-uR|2
и положить U* = UL при а > 0 и U* = UR при а < 0. Отметим, что UL = U. и UR = U .+1.
Предположим, выбрано U* = UL, тогда
A-(JJ)dU,
2.3. Приближенные решения задачи Римана 85
или, используя уравнение B.3.84),
= F(UL) + У / A~(V)rkds = F(UL) + У /
Очевидно, что
ds = \k'dU = dwk.
Последнее соотношение в общем случае не может быть проинтегрировано с целью
нахождения инварианта Римана wk, и необходимо использовать приближенное инте-
интегрирование от U^ до U^+1 вдоль сегмента Тк, касающегося гк. Это дает верхний предел
для рассматриваемого интеграла в виде
Здесь А>й левый собственный вектор аппроксимируется в некоторой точке, распо-
расположенной между UR и UL, например, в среднем арифметическом от этих величин.
Таким образом, получаем
Теперь будет естественным использовать то же приближение для правого собствен-
собственного вектора, и получается следующая формула:
[kk) B.3.85)
к=\ Jo У
которая аналогична формуле B.3.81). При выводе B.3.85) неявно предполагается,
что wk > 0. Это всегда можно сделать, если принять во внимание, что собственные
векторы определены с точностью до постоянного множителя.
Заметим, что, вообще говоря, нет необходимости знать решение задачи вдоль пути,
который соединяет Uy- и U -+1. Достаточно определить нулевые точки функции Хк. По
аналогии с тем как это делалось выше для одного уравнения, на рассматриваемом
интервале можно аппроксимировать собственные значения кубическими полиномами.
В этом случае метод также можно применить к нестрого гиперболическим системам с
совпадающими собственными значениями и невыпуклым потоком F.
Предположим, что система не является строго гиперболической. Как видно из пре-
предыдущих рассмотрений, это не очень важно, если кратность собственных значений не
зависит от решения задачи, т. е. если эта кратность всегда одна и та же. В против-
противном случае может оказаться, что совпадение двух или более собственных значений в
некоторой точке фазового пространства приводит к вырождению первоначально нели-
нелинейного волнового поля. Если мы встречаемся с локальным линейным вырождением
характеристического поля, то нужно знать поведение скоростей волн во всех точках
вдоль интегральной кривой, соединяющей состояния перед и за волной. Кроме того,
единственными схемами для нелинейного невыпуклого скалярного закона сохранения
в одном пространственном измерении, о которых известно, что они сходятся к слабым
86 Гл. 2. Численное решение гиперболических систем
решениям, удовлетворяющим соответствующим условиям Олейник, являются моно-
монотонные схемы первого порядка аппроксимации (Osher, 1984). Добавление диссипации
в окрестности трансзвуковых сжатий, хотя и позволяет выделить решения, согласо-
согласованные с условием Олейник для строго гиперболической системы, может оказаться
недостаточным в вырожденном случае. Если некоторые собственные значения близки
друг к другу, то соответствующие собственные векторы могут оказаться почти па-
параллельными. Модификация ошеровского потока, которая учитывает такое поведение
собственных векторов была предложена в работе Bell et al. A989).
Собственные значения Я/ и Хт считаются близкими, если
k=\
где Xfm вычисляется в точке у (UR + UL), a
Коэффициент ? полагается равным 0.1.
На практике модификация зависит от того, связано ли вырождение собственных
векторов с изменением знака волновых скоростей при переходе от UL к UR. Введем
А/Г = min(A,L, A,R, А?,А*), AJT = max(A/L,A/R,AL,AR).
Если A^m и Я^ах имеют один знак, то трансзвуковая волна отсутствует. В этом
случае вариацию U в сумме характеристических волн м^ ? +wm rm можно заменить
единым скачком путем введения
Если Я^т и Я^ах имеют противоположные знаки, для вырожденных мод вводится
дополнительная диссипация путем их аппроксимации с помощью локальной схемы
типа Лакса-Фридрихса (Русанов, 1961), см. формулы B.3.67) и B.3.68).
Посмотрим внимательней на формулу B.3.81) в случае, когда отсчетное состояние
зафиксировано в u = uL. Ее можно переписать в следующей, удобной для численной
реализации форме:
f°=f(uL)+ Г mm(a(u),0)du = f(uL)+ Г X(u)a{u)du,
где
1 если а{и) < О,
О если а{и) > О.
Полный интеграл можно представить в виде суммы членов, имеющих вид
1:
2.4. Обобщенная задача Римана 87
где a < О для всех u Е [ик, г/+1]. Левый конец интервала определяется либо соотноше-
соотношением а(ик) = 0, либо ик = uL. Правый конец интервала определяется либо соотношени-
соотношением а(иш) = 0, либо иш = uR.
Таким образом, получаем
/Е0 = f(uL) + X (-1)№), B-3.86)
s=l
где qux < qu2 < ••• < qus (q = sign(i/R — uL)), а w* удовлетворяет либо a(us) = 0, либо
и1 = г/ь при а(и1) < 0 или г/5 = uR при а(г/5) < 0.
Можно также выписать модификацию уравнения B.3.85) для системы в виде
(Zachary, Colella, 1992)
п S(k)
F° = F(UL) + X S(-1)JF(U?), B.3.87)
k=ls=l
где
Здесь ^w| < ^w| < • • • < ^w^ (^ = signw^). Кроме того, w* удовлетворяет одному из
соотношений
Модификации этого потока, которые могут оказаться необходимыми для нестрого
гиперболических систем, аналогичны описанным ранее для другой формы потока
Энгквиста-Ошера.
Таким образом, суммируя, можно отметить, что так как численный метод Ошера
аппроксимирует ударные волны римановыми волнами сжатия, он исключает ударные
волны. Если система является невыпуклой, ее решение может быть неединственным.
В этом случае алгоритм Энгквиста-Ошера можно интерпретировать как усреднение
многозначного множества решений, в которых элементарное решение состоит только
из сжатий, разрежений и контактных волн (Osher, 1984). Применение этой схемы к
решению уравнений Эйлера, мелкой воды и магнитной гидродинамики будет описано
в гл. 3, 4 и 5.
2.4. Обобщенная задача Римана
Обобщенная задача Римана является задачей Коши для одномерной квазилинейной
гиперболической системы уравнений в консервативной форме с начальными данными
в виде кусочно-линейной функции. Рассмотрим систему уравнений
д?
0 А
Гл. 2. Численное решение гиперболических систем
i I+1/2 i+l
Рис. 2.2. Кусочно-линейное распределение значений функции U внутри дискретной
ячейки
= [Fv...,Fn]\t>0, -ос <х < ос, U(O,jc) = U0(jc).
Вектор начальных данных Uo имеет следующий вид (рис. 2.2):
f
\
fQ-o
\
при х<0,
ПРИ х>°.
B.4.2)
где Q_o, Q_l9 Q+o и Q+1 — постоянные векторы. Аналогично могут быть рассмотрены
кусочно-параболические или кусочно-полиномиальные начальные данные.
Обобщенная задача Римана формулируется для построения методов типа Годунова
второго порядка точности по времени и по пространству. Термин обобщенная задача
Римана был введен в работе Ben-Artzi, Falcovitz A984), где впервые изучалась задача
Римана с кусочно-линейными начальными данными и для нее были получены частные
точные соотношения на газодинамических разрывах. Следует отметить, что обобщен-
обобщенная задача не имеет автомодельного решения. Полное решение этой задачи методом
асимптотического разложения найдено Меньшовым A990, 1991).
Будем искать решение системы B.4.1), B.4.2) в виде ряда
+ ОО
m=0
B.4.3)
Выражения B.4.3) согласуются с начальными данными B.4.2), если
>_! ПрИ X < О,
?+0 при х > 0; Шб -i^' { Q+1 при х > 0.
Подставляя U(<^, в) из B.4.3) в уравнения B.4.1), получаем
2.4. Обобщенная задача Римана
Тогда
= 0.
B.4.4)
Таким образом, член нулевого приближения Vo может найден из решения уравнения
= о,
B.4.5)
где Ао = А(у0), а / — единичная матрица размерности пх п. Член первого прибли-
приближения V[ определяется из уравнения B.4.4) следующим образом. Подставим разложе-
разложение B.4.3) в уравнение B.4.4) и примем во внимание только члены ряда первой степени
относительно в, получая
Двоеточие в этой формуле обозначает свертку тензоров или матриц по двум индек-
индексам. Произведя подстановку \1=\1 у/l + ^2, можно привести уравнение к компактной
форме
дА\
= 0.
B.4.6)
Заметим, что для каждого из собственных значений Я матрицы коэффициентов
системы уравнений можно выписать разложение
где Ао и Хх — константы. Решение Vo уравнения B.4.5) — это точное решение зада-
задачи Римана, которое является автомодельным относительно переменной ?,. Уравнение
B.4.6) — это линейное уравнение относительно функции vl9 и при известном Vo ре-
решение \х можно найти стандартным способом. В частности, пусть начальные данные
имеют вид Qo + QjX, где Qo и Qx — постоянные векторы. Тогда получаем, что Vo(?) =
= Qo и d\0/dt; = 0. Из уравнения B.4.6) следует, что \1=Q1^ -^0Qi и vi = (Qi^ ~
+1,2. Таким образом, с точностью О(в2) получаем
B.4.7)
Разложения вида B.4.3) были применены для построения решения обобщенной за-
задачи Римана для одномерной системы нестационарных уравнений газовой динамики
(Меньшов, 1990, 1991). В частности, было получено аналитическое выражение для
Vj (^), когда нулевой член разложения Vo(?) является волной разрежения. Было также
получено решение в виде асимптотического разложения для стационарных двумер-
двумерных уравнений газовой динамики. При этом разложение проводилось по переменным
90 Гл. 2. Численное решение гиперболических систем
? = у/х и в = л/х2 +у2 (Меньшов, 1992). Упомянутые здесь работы содержат все необ-
необходимые формулы для вычисления потоков через границы, которые позволяют постро-
построить численный метод типа Годунова второго порядка точности для уравнений газовой
динамики, см. формулу B.2.8).
2.5. Метод типа Годунова второго порядка точности
В этом разделе описаны различные общие способы построения методов типа Году-
Годунова второго порядка точности. Рассмотрим равномерную пространственную сетку с
шагом равным Ах. Пусть At — шаг по времени. Проинтегрируем уравнение B.2.1) по
пространству и по времени в области xG [х,х + Ах], t Е [t,t + At]. Тогда
t+At rx+Ax / 3tj d?(\J) \ rx+Ax rx+Ax
L {t)I /
rt+At rx+Ax / 3tj
F[U(t,x+Ax)]dt - / F[U(t,x)]dt = 0. B.5.1)
Все интегралы в B.5.1) аппроксимируем по одноточечной квадратурной формуле
Гаусса. Получаем
^ = 0, B.5.2)
или
+ Ax
Явный метод типа Годунова принимает вид
At
Fy+1/2 =
+^-Ax), U) = U(/,x+^-Ax).
Здесь нижние целые индексы j = 1,2,... обозначают значения сеточных функций в
центрах дискретных ячеек, а полуцелые — на границах ячеек. Верхний целый индекс —
номер шага по времени. Значения потоков F .±1,2 на границах ячеек вычисляются из
решения соответствующей задачи Римана.
Предположим, что задача Римана B.2.1), B.2.2) с кусочно-постоянными начальны-
начальными данными (рис. 2.1) имеет решение, которое является автомодельным относительно
переменной ?, = x/t. Тогда функции F ±1/2(^) ПРИ * ? |/,?+Л?] будут постоянными для
фиксированных значений ^. При использовании решения обобщенной задачи Римана
2.5. Метод типа Годунова второго порядка точности 91
B.4.1), B.4.2) в значениях F .±1,2 требуется дополнительно учитывать зависимость не
только от ^, но и от в, см. формулу B.4.3), или от ^ и от времени. Учитывая такие зависи-
зависимости, можно построить разностную схему второго порядка точности по времени и по
пространству. Однако выражения для потоков являются довольно сложными. Заметим,
что в некоторых других подходах, например, в методе WAF (Того, 1989а, 1992а; Billett,
Того, 1997; Того, 1997) на границе ячеек используется более простые приближенные
выражения для потока F.
Построение схем высокого порядка точности осуществляется путем сочетания ис-
использования кусочно-линейной аппроксимации величин внутри ячеек с различными
алгоритмами пересчета по времени. Такие процедуры широко используются при реше-
решении обыкновенных дифференциальных уравнений и называются методами Рунге-Кутта
(Hairer, Norsett, Wanner, 1987). Далее будет использоваться, в основном, простейший
двухшаговый пересчет, который называется также предиктор-корректор (Годунов, Ря-
Рябенький, 1977).
Особенности применения алгоритма предиктор-корректор будет показаны на при-
примере конечно-объемной схемы второго порядка точности (van Leer, 1984; Borrel,
Montagne, 1985; Родионов, 1987а). Эта схема имеет ясную интерпретацию каждого из
своих шагов. В расчетах она показала высокую надежность и эффективность. В част-
частности, схема была впервые использована для расчетов трансзвуковых и сверхзвуковых
течений в рамках двумерных нестационарных уравнений газовой динамики (Borrel,
Montagne, 1985) и для расчетов двумерных стационарных сверхзвуковых уравнений
газовой динамики с химическими реакциями (Родионов, 1987а, 1987b).
Предиктор: первый шаг. Предположим, что внутри дискретных ячеек для всех
значений сеточных функций заданы кусочно-линейные распределения вида
\}{t\x) = Uj + Q) (*-*,-), х е [хГ±Ах, Xj+±Ax], B.5.5)
где Xj — пространственная координата центра ячейки с номером у, a Q^ — вектор
наклонов распределения функции U внутри ячейки.
Определим изменение функции U по времени в центре ячейки. Из уравнения B.2.1)
следует, см. также B.4.7), что
U, = -AVX = -AQkr B.5.6)
Запишем разностное уравнение для учета изменения U по времени в виде
= 0. B.5.7)
+ k
At Ax
Предиктор: второй шаг. Вычислим значение функции U на промежуточном слое
по времени t+jAt:
j ) j. B.5.8)
Корректор. На шаге корректор применим конечно-объемную схему
92 Гл. 2. Численное решение гиперболических систем
где все значения F .+1,2 определяются решением задачи Римана со следующими
кусочно-постоянными начальными данными:
при *у+1/2<0,
B.5.10)
при 0
Значения потоков F _1,2 определяются аналогичным образом. Для решения задачи
Римана можно использовать как точные, так и приближенные методы ее решения
(van Leer, 1984; Borrel, Montagne, 1985; Родионов, 1987а). Отметим, что описанную
выше схему предиктор-корректор в литературе иногда также называют схемой Хэнко-
ка (Hancock, частное сообщение, см. van Leer A984)). Что касается схемы предиктор-
корректор, то в выписанной выше форме она была впервые опубликована и применена,
по-видимому, в работе van Leer A984).
Заметим, что в качестве шага предиктор можно применять другие схемы, например,
аналогичные B.5.9) и B.5.10), но с несколько другими начальными данными для задачи
Римана:
при ^+1/2<0, [U) при xj+1/2<0,
или
Порядок точности при этом не изменяется.
Для построения схем высокого порядка точности используются более точные квад-
квадратурные формулы, а также многослойные алгоритмы пересчета и уточнения по вре-
времени (Harten, Osher, 1987; Shu, Osher, 1988).
Одним из простых способов вычисления наклонов Qm в дискретной ячейке с номе-
номером m для сеточной функции U-, где j = 1,2,..., который обеспечивает устойчивость
схемы, является использование функции minmod. При этом полагают
minmod(a,Z?) = y(signa+signZ?)min(|a|, \b\). B.5.11)
Функция minmod выбирает наклон с минимальным значением абсолютной величины,
при условии что знаки обоих аргументов совпадают. При различных знаках аргументов
функция равна нулю.
Докажем, что при использовании метода КИР выписанная выше схема предиктор-
корректор является схемой второго порядка по времени и по пространству. Для кусочно-
линейных начальных данных B.5.10) приближенное решение задачи Римана изменя-
изменяется во времени в соответствии с соотношением B.5.6), см. также B.4.7). Перепишем
формулы B.3.27) и B.3.28) в виде
Vm-Um,X B.5.12)
2.5. Метод типа Годунова второго порядка точности 93
S(?,t) = QR@ [sign(Xp(t) - §) SpJ QL@,
i ^Um-UlfI+1), B.5.13)
Точка x = 0 соответствует здесь границе с номером m + 1/2, а значения U^ + ^
и U^+i — yAxQ^+1 являются, соответственно, значениями слева и справа от этой гра-
границы при t = 0. В выражениях учтено изменение всех матриц, собственных значений,
а также величин \Jm и Um+1 по времени и по пространству. Необходимо также предпо-
предположить, что detQRG) /Ои detQL(f) Ф 0 при 0 < t < At. Выражения B.5.12) и B.5.13)
представляют собой приближенное решение задачи Римана для уравнений B.2.1) в виде
комбинации разрывов, которые движутся со скоростями hp(t), и областей параметров
со значениями, линейно зависящими от t и от х, которые расположены между этими
разрывами. При этом значения Um+1/2 и Fm+1/2 справа и слева от />разрыва связаны
соотношением {F} = Xp(t){XJ}, см. соотношение B.3.31). Полученное решение задачи
Римана обобщает использованное выше в методе КИР B.3.27), B.3.28).
Для построения метода Годунова второго порядка точности в виде B.5.4), исполь-
используем значения потоков F при t + jAt и ? = 0. Из формул B.5.13) при t = jAt и ? = 0
получаем
Um+1
m = F(Um), Fm+1=F(U
m+1)
Здесь полагается, что прямая х = 0 соответствует границе с номером m + 1/2, a U^ +
+ yAxQ^ и U^+1 — ^-AxQ^+1 — это значения, соответственно, слева и справа от грани-
границы при t = 0. Полученные формулы дают тот же результат что и шаг корректор B.5.9).
Таким образом схема предиктор-корректор B.5.7)-B.5.10) имеет второй порядок точ-
точности по времени и по пространству.
Схема предиктор-корректор может быть также применена для уравнений в некон-
неконсервативных формах B.3.15) и B.3.44). В частности, для конечно-разностной схемы
КИР B.3.40) последовательность шагов предиктор-корректор имеет следующий вид.
Предиктор: первый и второй шаги.
At Щ = о, uj+1/2 = i(u)+1 + uj) = и) - ^агаЩ.
В качестве шага корректор применим конечно-разностную схему B.3.40), модифи-
модифицированную с учетом кусочно-постоянных начальных данных B.5.10):
Л + (qraql); \
At K Lv+i/2 Ax
94 Гл. 2. Численное решение гиперболических систем
+ (QRA+QL) W -1 i -i izl i -JZL = o.
y—1/2 Ax
Аналогичным образом для повышения порядка точности могут быть применены
другие версии разностных схем КИР, в частности, B.3.41), B.3.45) и т. д.
Исследуем условие устойчивости схемы B.5.5), B.5.10) для случая скалярного урав-
уравнения переноса B.3.1) при Я = 1. Разностное решение имеет вид
Заметим, что для этого решения справедлив ряд свойств описанного выше решения,
полученного по схеме "уголок" B.3.4). Положим
_ um+\ ~ Um _ Um+\- Um Г? 5 1 V>
°W V a V BЭЛЭ)
где Wm+\ > 0 и i/Am > 0 — некоторые коэффициенты,. Тогда
^т+\=гт+Ж+\+Гт^ B.5.16)
rm+\ = 1 "С- jC(l -C)(V^+1 " Wm), rm = C+ lC(l "C)(V^+1 " Ы-
Выписанную схему можно представить в матричной форме
иШ =Ruk^ B.5.17)
где R = [Д7] — двухдиагональная матрица, a u = [um]T. Достаточное условие устойчи-
устойчивости схемы B.5.17) — это соотношение \\R\\k < 1. Откуда следует, что \XR\ < 1, где
XR — собственное значение матрицы R. Используя оценки вида \XR\ < X/ |^/у| (Когп,
Когп, 1968), получаем
|Ял|<|гт+1| + |гт|<1.
Таким образом,
0<C+jC(l-C)(v/m+1-V^)<l, B.5.18)
или
-Y^C<(Vm+l-Vm)C<2. B.5.19)
Полагая что 0 < Vm+l < у/ и 0 < у/т < у/, находим
-VC < (уи+1 - Vm)C < уС. B.5.20)
Неравенства B.5.19) и B.5.20) всегда выполнены при условии
<2, А» =«*,+!" «4- B-5.21)
Таким образом, достаточное условие устойчивости схемы B.5.5)-B.5.10) состоит из
условия С < 1 и ограничений на значения величин наклонов, которые записываются
в виде 0 < \f/ < 2. Ограничения на if/ автоматически вводят ограничения на величины
наклонов а. Одним из простейших способов обеспечить такие ограничения является
определение ост+1 и ат через функцию minmod B.5.11), см. также разд. 2.7. В этом
случае i/a = 1 и достаточное условие устойчивости B.5.21) выполнено.
2.6. Многомерные схемы и их условия устойчивости 95
2.6. Многомерные схемы и условия их устойчивости
В данном разделе рассмотрены условия устойчивости для многомерных разностных
схем. Выше были рассмотрены одномерные разностные схемы, которые в операторной
форме имеют вид
U^+i _jjk
* *1 * B.6.1)
где I — единичная матрица-оператор размерности пхп, а I — AtB — оператор перехода
на новый слой по времени первого или второго порядка точности. В частности, для
схемы B.5.5)-B.5.10) оператор В имеет вид
В = АA-^Д*А), B.6.2)
где I - jAt А соответствует предиктору B.5.6)-B.5.8), а оператор А соответствует кор-
корректору B.5.9). Операторы А и А соответствуют разностным аппроксимациям диф-
дифференциальных выражений A\JX или Fx. В этих обозначениях схеме первого порядка
точности соответствует равенство В = А. В дальнейшем рассмотрении ограничимся
частным случаем, когда А = А. Случаи А ф А должны исследоваться отдельно.
Рассмотрим разностную схему для двумерной системы уравнений в консервативной
форме B.2.5) или в квазилинейной форме
dv dv dv
dt 1 дх 2 ду
Первый метод построения двумерной разностной схемы состоит в использовании
одномерных схем B.6.1) вдоль каждого из пространственных направлений, см. форму-
формулу B.2.6). При этом получаем
+ 8^ + 82^ = 0, U*+1 = (I-AtBx -AtB2)Vk. B.6.3)
Здесь Bl соответствует одномерной схеме вдоль направления х, а В2 — вдоль направ-
направления у.
Разностная схема B.6.3) имеет первый порядок точности по времени. Схема второго
порядка точности по времени и по пространству может быть выписана в следующем
виде (Strang, 1963):
_ тт?
+ ВД1 |^B)U4B(I ±AtB)Vk = 0. B.6.4)
+ ВД1
Оператор перехода имеет вид
^A - А*8^A - А*В2) + j(l - AtB2)(I - AtBx). B.6.5)
Подставляя выражения для Вх и В2 из B.6.2) в B.6.4), перепишем схему Стрэнга с
точностью до O(At2) в виде
+ (Ах + A2)[I At(Ax + A2)]Uk = 0. B.6.6)
96 Гл. 2. Численное решение гиперболических систем
Выражение B.6.6) представляет собой более простую, по сравнению B.6.4), форму
схемы второго порядка точности для двумерного случая. В частности, оператор I -
- jAt(Ax + A2) эквивалентен предиктору B.5.5)-B.5.8), вычисляемому одновременно
вдоль направлений х и у. При этом на шагах предиктор и корректор используются одни
и те же двумерные кусочно-линейные распределения значений сеточных величин.
Strang A963) также обобщил схему второго порядка точности B.6.4) на системы
уравнений гиперболического типа в пространстве п измерений
dU dFJV) dFJXJ) dU dU d\J
—z—I =г 1-... Н =; = 0 или ——\-А-, — \-...+Ап——= 0.
at axx axn at axx ахп
В этом случае оператор перехода на следующий слой по времени имеет вид
— У (I-A/B- )...(I —AfB- ), B.6.7)
n\ t ^-al zi ln
где суммирование производится по всем п\ различным перестановкам целых чисел
1,...,«. Оператор B.6.7) может быть упрощен с точностью до членов O(At2), и схема
приводится к виду
]U* = 0. B.6.8)
+ (А1 + ... + Ая)[1
Условия устойчивости
Достаточные условия устойчивости для схем B.6.5) и B.6.7) сводятся к следующему
условию ограниченности для всех одномерных операторов: I —
HI-A/BJI = Ц1-Д/АД1- lA/AJH < 1. B.6.9)
Предположим, что норма исходного оператора первого порядка I - AtAt не превос-
превосходит единицы при условии
\\Л II
||А;||Д;<?„ ||А;|| = ^, B.6.10)
где ?j > 0 — некоторая константа, a Axt — шаг сетки вдоль направления xt. Условие
B.6.10) при ?j = 1 переходит в условие Куранта-Фридрихса-Леви B.2.4).
Из тождества
находим достаточное условие для выполнения неравенства B.6.9): ||1 — At At\\ < 1. Оно
справедливо при выполнении неравенства B.6.10). Таким образом схема Стрэнга B.6.7)
является устойчивой при выполнении одномерного условия устойчивости.
Рассмотрим схему B.6.8), которую представим в виде
= ^¦[1+A-А1Д*-...-АиД*J]и*. B.6.11)
2.6. Многомерные схемы и их условия устойчивости
Запишем для нее достаточные условия устойчивости
откуда получаем
Тогда
[-АгА(-...-АпА(\\<
I-
At
1 ах
I-
At
п ап
ax + ... + an=\, ax> 0, /=1,...,я.
Неравенство B.6.12) эквивалентно системе неравенств
\\Н\< l
97
B.6.12)
или
• ( ?Л
At < max mm
ах+...+ап=\ i \ ||А-||
Максимум правой части достигается, когда все e^/HAjl равны между собой. Тогда
(\ -1 / \
S-МЧ ^^ \i^-)At<1- B.6.13)
При ?t = 1 условие B.6.13) эквивалентно следующему:
B.6.14)
\i=l
Условие B.6.14) является достаточным условием устойчивости. Могут быть полу-
получены и другие условия устойчивости, которые по сравнению с ним являются более
или менее ограничительными. В частности, Turkel A977) для двумерной схемы Лакса-
Вендроффа вывел следующее, не совсем обычное достаточное условие устойчивости
вида
B.6.15)
l=l
Условие B.6.15) является более ограничительным, чем B.6.14). Действительно, пусть
матрицы^ и ^42 удовлетворяют соотношению Ц^Ц = ||^2||. Тогда условие B.6.15) дает
ограничение С < 1 /л/8, а условие B.6.13) сводится к С < 1/2. Однако следует заметить,
98
Гл. 2. Численное решение гиперболических систем
что верхняя граница устойчивости в этом случае соответствует условию С < 1/л/2
(Clifton, 1967; Turkel, 1977).
Из условий B.6.14) получаются более ограничительные условия устойчивости, на-
например,
шахЦА^-ЦЛ* < —.
Общее условие устойчивости для схемы B.6.3) имеет вид
\\I-AtBx-AtB2\\ < 1.
Тогда
2bn
3, b? > 0.
< 1
B.6.16)
Выведем условия устойчивости для схемы B.6.3) в случае, когда операторы Bj и В2
являются одномерными операторами разностной схемы КИР первого порядка точности.
Неравенство B.6.16) эквивалентно системе неравенств
где Ср и Cq — числа Куранта для направлений х и у. Отсюда получаем условия B.2.11).
Выведем условия устойчивости для схемы B.6.3), когда операторы Вх и В2 являются
гибридными одномерными операторами разностной схемы КИР, например, B.3.12) с
гибридной модификацией B.3.61)-B.3.63). Неравенство B.6.16) эквивалентно следу-
следующим одномерным условиям устойчивости B.3.65):
cl
CD
cl
с„
где Cp я gp — это числа Куранта и коэффициенты гибридности для направления х, а
Сд и gq — для направления у. Условия устойчивости принимают вид (Семенов, 1984,
1987)
Cpgp + Cqgq<\, —- + —- < 1, Cpgp>0, Cqgq>0. B.6.17)
gp gq
В частности, эти неравенства выполнены, когда в области негладкого решения полагают
gp = signAp, gq = :
2.7. Реконструкция функций и ограничители 99
а в областях гладкости используют выражения
gp = 2СР, gq = 2Cq
или
Sp = (\cp\ +max|Q|)signAp, g^ = (max|Cp| + |Q|)signA^.
Это приводит к достаточным условиям устойчивости max(|Cp|, \Cq\) < \ и
тах|Ср| +max|Q| < 1, соответственно. Аналогично определяются условия устойчи-
устойчивости в я-мерном случае.
2.7. Реконструкция функций и ограничители
При построении численных методов типа Годунова повышенного порядка точности по
пространству (разд. 2.5) применяются кусочно-линейные или кусочно-полиномиальные
распределения функций внутри дискретной ячейки (Colella, Woodward, 1984; Harten et
al., 1987; Harten, Osher, 1987) с определенными ограничениями на величины коэффици-
коэффициентов соответствующих полиномов. В этом разделе будут описаны методы построения
кусочно-линейных распределений сеточных функций. Одна из сложностей этой задачи
связана с неоднозначностью выбора величин наклонов для этих распределений.
2.7.1. Предварительные замечания. Рассмотрим равномерную простран-
пространственную сетку с шагом Ах. Пусть на этой сетке задана некоторая дискретная сеточная
функция um, где m = 1,... ,7V. Нижние целые индексы обозначают значения функции,
отнесенные к центру дискретной ячейки с номером т, а полуцелые индексы — зна-
значения функции на границах ячеек. Для определения значений функции и на границах
ячеек по ее значениям в центрах следует задать процедуру реконструкции. Положим,
что внутри каждой из дискретных ячеек имеет место кусочно-линейное распределение
и(х) = ит + сстх, хе[-±Ах^Ах]. B.7.1)
Здесь использованы локальные координаты, где значение х = 0 соответствует центру
ячейки с номером т. Положим, для упрощения, Ах = 1. Заметим, что наиболее про-
простой способ определения наклонов ост, например, по формуле ост = \{ит+х — ит_1)
или ат = ит+х — ит, может приводить к неустойчивости вычислений и возникнове-
возникновению в численных результатах не физических осцилляции. Таким образом, определение
наклонов От, во-первых, должно быть таким, чтобы не нарушить условие устойчиво-
устойчивости разностной схемы. Во-вторых, оно должно удовлетворять естественному условию,
требующему чтобы численное решение, хотя бы локально по времени, имело свойства
аналогичные свойствам начальной сеточной функции ит. Такие условия налагают опре-
определенные ограничения на величины наклонов, например, в виде ат = (ит+х — ит)\\/т,
где 0 < \f/m < 2, см. B.5.15), B.5.21). Таким образом, величины наклонов ат мо-
модифицируются, так называемыми, ограничителями \f/m (limiters). В простейшем случае
ограничитель является некоторой функцией, которая задает и одновременно ограничи-
ограничивает наклоны ат на основе анализа значений ит или конечных разностей ит+1 — ит.
Для изучения взаимосвязи между свойствами численного решения и его реконструк-
реконструкцией рассмотрим линейное уравнение переноса
-^- + !^- = 0, м@,х) = мо(х), а<х<Ъ. B.7.2)
100 Гл.2. Численное решение гиперболических систем
Точное решение этого уравнения u(t,x) записывается в виде u = uo(x — t). Это реше-
решение сохраняет свойство монотонности начальной функции и0. Рассмотрим свойства
численного решения полученного разностной схемой B.3.4), B.3.5) первого порядка
точности. Численное решение имеет вид
uk+l = (l-C)ukm + Ctl_u B.7.3)
где С = At /Ах — число Куранта и С < 1. Из уравнения B.7.3) можно получить следую-
следующую формулу изменения конечной разности Ат = ит+х — ит за шаг времени:
Aj,+1 = (l-C)A*+C/&_i- B-7.4)
Видно, что при этом разностная схема сохраняет монотонность начальных данных.
Действительно, при А^ > 0 будет выполнено А^+1 > 0.
Полученный результат выполняется для общего случая линейной разностной схемы,
которая записывается в форме
^+1= X 7,4 Ъ>0. B-7.5)
jeJ(m)
Здесь суммирование проводится по фиксированному сеточному шаблону J(m), вклю-
включающему в себя точку с номером т. Аналогично показывается, что такая схема также
является локально монотонной.
Рассмотрим разностные схемы второго порядка точности. Годунов A959) доказал,
что монотонной линейной схемы вида B.7.5) второго или более высокого порядков
точности не существует. Следовательно, для проведения расчетов с высоким поряд-
порядком точности при одновременном отсутствии в результатах не физических осцилляции
следует рассматривать другие классы разностных схем.
Альтернативный подход состоит во введении нелинейных схем. В частности,
рассмотренные ранее гибридные разностные схемы принадлежат этому классу (см.
п. 2.3.1).
Упомянем здесь также метод построения разностных схем первого порядка точности
с минимальной численной вязкостью (Холодов, 1978,1980; Магомедов, Холодов, 1988;
Холодов, 1991; Белоцерковский, Холодов, 1999). В этом подходе разностные схемы рас-
рассматриваются как точки в евклидовом пространстве, координаты которых равняются
коэффициентам в шаблоне схемы. В частности, с этой точки зрения схема B.7.5) яв-
является точкой с координатами у- в евклидовом пространстве с размерностью равной
числу точек в разностном шаблоне. Тогда схема первого порядка точности с минималь-
минимальной численной вязкостью определяется следующим образом. Во введенном евклидовом
пространстве рассматриваются множества коэффициентов, которые соответствуют схе-
схемам различного порядка точности. Схема с минимальной численной вязкостью — это
такая схема из множества схем первого порядка, коэффициенты которой наиболее близ-
близки к множеству схем второго порядка точности в смысле расстояния, определенного в
этом евклидовом пространстве. Для нахождения таких коэффициентов у- применяются
методы линейного программирования, так как при этом учитываются ограничения в
виде у,- >0. Аналогично находятся схемы высоких порядков точности с наилучшими
свойствами монотонности. Такие схемы являются наиболее близкими (с точки зрения
2.7. Реконструкция функций и ограничители 101
расстояния в евклидовом пространстве) к монотонным схемам первого порядка точно-
точности в выбранном пространстве коэффициентов.
Рассмотрение схем в виде точек евклидова пространства позволяет произвести так-
также естественную классификацию нескольких десятков известных явных и неявных схем
первого, второго и третьих порядков точности в порядке уменьшения их диссипативных
свойств (Магомедов, Холодов, 1988).
2.7.2. TVD-Схемы. Следующий подход связан с построением схем, которые вме-
вместо условия сохранения монотонности уменьшают или сохраняют полную вариацию
функции. Такое условие невозрастания вариации численного решения, или TVD (total
variation diminishing) принцип, является более слабым, чем требование монотонности
схемы. Напомним, что полная вариация TV[u] для ограниченной функции и — и(х)
определяется следующим образом (Натансон, 1974; Колмогоров, Фомин, 1981):
м
м т=\
или, для дифференцируемой функции и = и(х), в виде
ди
= /
J a
г ах.
ах
Если TV[w] существует при t = 0, то показывается, что решение и уравнения B.7.2)
является функцией с ограниченной вариацией, или функцией с конечным изменением
(Натансон, 1974). Кусочно-постоянная функция с конечным числом разрывов принад-
принадлежит классу функций с ограниченной вариацией. В частности, точное решение задачи
Римана для линейной системы уравнений с постоянными коэффициентами B.2.20)
также является функцией с ограниченной вариацией.
Определим полную вариацию для дискретной функции и = [м^]. Предположим, что
для этой функции построена ее реконструкция B.7.1). Тогда, если все ат = 0, то
TV[«] = TVg = X|и*+1 - «41 = 1 |А»|, Дт = «4-ы - «4- B-7-6)
т т
Здесь суммирование проводится по всем дискретным точкам вычислительного интер-
интервала [а,Ь], а нулевой индекс означает, что реконструкция проведена с использованием
нулевых наклонов а. Для произвольной кусочно-линейной реконструкции B.7.1), пол-
полная вариация TV [и] имеет вид
TV[«] = TV* = X (|Дт - уК+i + <*т)\ + il<VnI + l\<*»\) • B-7.7)
т
Если ввести в рассмотрение верхнюю грань модулей наклонов а = maxm|am|, то
Решим численно уравнение B.7.2) при помощи разностной схемы B.5.5)-B.5.10).
Решение записывается в виде
k± ± B.7.8)
102 Гл.2. Численное решение гиперболических систем
Заметим, что для решения справедлив ряд свойств схемы "уголок" B.3.4), описанных
выше. Вычитая г/^+1 из u^v получаем
Л*+1 = (l-C)Akm + CAkm_x - lc(l-C)am+1 +C(l-C)am - ±C{\-C)am_x. B.7.9)
Применяя неравенство \p + q\ < \p\ + \q\, находим следующую оценку:
B.7.10)
Это неравенство будет использовано для оценок изменений полной вариации.
Численная схема, удовлетворяющая свойству
<
B.7.11)
называется TVD (Harten, 1984), или TVNI (total variation non-increasing) схемой
(Harten, 1983). Заметим, что существует несколько обобщений или сужений понятия
TVD-схем (см. разд. 2.11). Под TVD-схемой для системы уравнений понимается та-
такая разностная схема, которая обладает этими свойствами для скалярного уравнения
переноса.
Схема B.5.5)-B.5.9) является TVD-схемой, если для всех m будут выполнены сле-
следующие неравенства:
\Akm-Rm\ + \Rm\<\AkJ.
Следовательно, TVD-свойство эквивалентно неравенствам
0<RmsignAkm<\Akm\,
откуда следуют следующие достаточные условия
0 < RmsigpAkm =C\Akm\ + i-C(l-C)(am+1 -am)signA^ < |A^|, B.7.12)
am+lAkm>0, amAkm>0.
Если положить am+1 = Akmym+x nam=Akm\i/m, где y/m+1 > 0 и ym > 0 — некоторые
коэффициенты, то TVD-условие записывается в виде
ИЛИ
-j^<Vm+l-Vm<-^. B.7.13)
Следовательно, TVD-условие совпадает с условием устойчивости B.5.19). При исполь-
использовании числа Куранта С, такого что 0 < С < Стах < 1, получаем
-2 < V^+i " W« < 7^-- B-7Л4)
2.7. Реконструкция функций и ограничители 103
При 0 < С < 1 достаточное условие принимает вид
-2 < ym+i - У* < 2. B.7.15)
Для выполнения неравенства B.7.15) достаточным является выполнение условий
0<yw+i<2, 0<1/лт<2. B.7.16)
Неравенство B.7.12) выполнено при всех 0 < С < 1, если
-2
*|
Д*| < К+1 - am)signA* < 2|Д*|, ат+1А* > 0, о^Д* > 0,
и, следовательно,
А^-|А^|<1(ат+1 + а.)<А^ + |А^|, B.7.17)
a^+iA^ > 0, а^ > 0.
Для уравнения переноса
^--^- = 0, г/@,х) = г/о(х), a<x<b, B.7.18)
TVD-свойство B.7.14) записывается в виде
-2<?m-?m+l<-^-. B.7.19)
^тах
Далее изучаются процедуры реконструкции функций для TVD-схем. При этом из
всех типов реконструкции, обеспечивающих выполнение TVD-свойств, выделим два
типа. Первый — это "монотонная" реконструкция, которая обеспечивает выполнение
TVD-свойства и, дополнительно, сохраняет полную вариацию реконструированной
функции. Второй тип реконструкции сохраняет только TVD-свойство.
2.7.3. Монотонная и предельная реконструкции. Найдем такие ат,
чтобы выполнялось условие
TV^ = TV§, B.7.20)
см. формулы B.7.6) и B.7.7). Соотношение B.7.20) выражает условие равенства полной
вариации для начальной сеточной функции до реконструкции и после нее. Сравнивая
B.7.6) и B.7.7), замечаем, что равенство B.7.20) эквивалентно следующим достаточным
условиям:
\(
(Ат-\Ат\) < ±(ат+1 + ат) < ±(Ат + \Ат\), B.7.21)
т > 0, amAm > 0, Ат = um+l - um.
Таким образом, если все а удовлетворяют неравенствам B.7.21), то условие B.7.20)
выполнено.
104
Гл. 2. Численное решение гиперболических систем
Докажем, что выполнение неравенств B.7.21) обеспечивает выполнение также TVD-
условия B.7.11). Для доказательства в B.7.10) положим А^ =
где 0 < ? < 2. Тогда
= ?и а
т+\
= 2 - ?,
Rm=C + C(\-C)(\-e), 0<е<2, 0<С<1.
При ? = 0 получаем Rm = 2С — С2 < 1, а при ? = 2, Rm = С2 < 1. Следовательно, нера-
неравенство Rm < 1 выполнено для всех допустимых значений Сие. Тогда справедливо
неравенство |A^-^m| + |^m| < |А^|, что доказывает выполнение TVD-условия B.7.11).
При доказательстве были рассмотрены величины ыт+х и ост, такие что ыт+х + сст =
= 2. Если соседние коэффициенты а удовлетворяют условию ыт+х + ат < 2, то схема
заведомо будет TVD-схемой.
Докажем теперь TVD-свойство, применяя неравенства B.7.21). Действительно,
хт+\
i
"m+1/2
\^ ' Д^ J — '
откуда следует выполнение достаточных условий B.7.16).
Заметим, что для проверки условий, при кото-
которых схема, удовлетворяющая B.7.20), проявляет TVD-
свойство, были также использованы доказательные вы-
вычисления. В частности, была проведена проверка спра-
справедливости выполнения неравенства B.7.11) на 2 х 106
равномерно распределенных значениях величин ыт+х и
От, удовлетворяющих неравенству B.7.21), при значе-
значениях С из интервала 0 < С < 1.
Таким образом, схема B.5.5)-B.5.10) с реконструк-
реконструкцией B.7.1) при условиях B.7.21) является TVD-схемой.
Будем называть такую реконструкцию монотонной
TVD-реконструкцией, так как полученные наклоны поз-
позволяют сохранить одновременно монотонность началь-
начальной функции, а также значение ее полной вариации. Дей-
Действительно, пусть имеет место неравенство ит < ит+х,
тогда условие сохранения монотонности после реконструкции приводит к следующим
неравенствам:
fffffff/9/ff/A
Vff//9ff//ff/f
т от+ 1/2
Рис. 2.3. Кусочно-линейное
распределение и
ит<ит + \ат <
Ь^+1,
B.7.22)
или
где величины
+1/2
= ит + \(Хт и ^+i/2 = ит+\ ~ Jam+\
это значения и слева и
справа на границе с номером гп+1/2 (рис. 2.3). Следовательно,
0 < iK+i + am) < ит+1 - ит, ат+1 > 0, ат> 0. B.7.23)
Для случая ит > ит+х будет выполнено неравенство
ит > ит + \ат > ит+х - ^ат+х > ит+х. B.7.24)
2.7. Реконструкция функций и ограничители 105
Следовательно,
um+i -um< у К+1 + am) < 0, am+l < 0, ат < 0. B.7.25)
Неравенства B.7.23) или B.7.25) должны быть выполнены для всех границ ячеек.
Заметим, что множество наклонов а не пустое, так как am = 0 удовлетворяют B.7.22),
B.7.23) или B.7.24), B.7.25). Объединим неравенства B.7.23) и B.7.25), представив их
в единой форме B.7.21). Получаем
^К+1 Л+, B.7.26)
m > 0, а^Лт > 0, Am = um+l - um,
где А~ < 0, А+ > 0 и А~А+ = 0. Условие B.7.26) совпадает с B.7.21). Таким образом,
условия сохранения монотонности при реконструкции приводят к сохранению полной
вариации.
Для того чтобы неравенства B.7.26) были выполнены автоматически, следует задать
алгоритм определения а. Такие алгоритмы задаются введением ограничителя. Про-
Простейший ограничитель — это обычно функция двух переменных L( a, b). Такая функция
ограничивает величины наклонов следующим образом:
Ах
B.7.27)
При этом L обычно удовлетворяет свойству симметрии L(a,b) = L(b,a) и условию
совместности L(a, a) = а. Условие совместности состоит в требовании точного опреде-
определения наклона функции в случае ее линейности. В более общем случае ограничитель
может быть функцией многих конечных разностей L(а, Ь,..., с). В этом случае условие
совместности имеет вид L(a, a,..., a) = a.
Ограничитель minmod
Рассмотрим два последовательных неравенства, выражающих условия монотонности
реконструкции B.7.26):
i A+, B.7.28)
Для замыкания этой системы положим am+1 = am и ccm_l = am. Тогда
А" < ат < А+, А~_х <ат< А+_1? B.7.29)
или
тах(А-,А-_1) < ат < min(A+,A+_1).
Используя тот факт, что А~А+ = 0, получаем
ат =max(A^,A^_1)+min(A+,A+_1) =minmod(Am,Am_1), B.7.30)
Ап = un+l -un, n = m,m-l;
106 Гл.2. Численное решение гиперболических систем
Непосредственно проверяется, что построенные а удовлетворяют условию B.7.26).
Другая форма ограничителя minmod дается формулой
am = minmod ( т+\ —, А т~
\ Ах Ах
minmod(a,Z?) = y(signa+signZ?)min(|a|, \b\). B.7.31)
Ограничитель minmod сохраняет монотонность реконструируемой функции и. Кол-
ган A972) был первым, кто применил ограничители в расчетах на основе численных
методов Годунова при моделировании двумерных газодинамических течений. При этом
использовался ограничитель
i при \а\ = min \\а , 161, 4- я + бП,
Г II [I ! I П / IJ"
> при \b\ =min [|a|,|Z?|,y|a + Z?|],
\(a + b) при j\a + b\ = min [|a|, \b\, j\a + b\\.
Когда а и b имеют разные знаки, то наклон может быть ненулевым.
Ограничитель minmod B.7.30), B.7.31) сохраняет монотонность реконструируемой
функции и TVD-свойство разностной схемы B.5.5)-B.5.10). Условие устойчивости
этой схемы при использовании ограничителя minmod сводится к условию С < 1. Та-
Такой ограничитель обеспечивает устойчивый счет, но имеет некоторые недостатки. При
его использовании схема переходит в схему первого порядка точности по простран-
пространству в окрестности локальных экстремумов функции г/(х), где наклоны, полученные с
использованием функции minmod, равны нулю. Это приводит к возрастанию числен-
численной диссипации схемы вблизи экстремумов. Такое резкое переключение приводит к
излишнему "размазыванию" численных результатов и искажению формы экстремумов.
Результаты исследований такого поведения газодинамический решений в окрестно-
окрестностях локальных экстремумов и разрывов приведены в работе Корецкого A982). Другое
искажение, которое вносит minmod, может возникать в тех областях, где вторая произ-
производная решения и(х) меняет свой знак и схема меняет точки, входящие в разностный
шаблон. При этом происходит изменение аппроксимационной ошибки и схемной вяз-
вязкости и могут возникать осцилляции кривизны даже на гладких участках кривой и(х).
Другой недостаток составляет заметное размазывание тангенциальных разрывов. Для
устранения таких недостатков разработаны другие алгоритмы ограничения наклонов в
кусочно-линейных распределениях функций.
Ограничитель minmod является не единственным ограничителем, который позво-
позволяет построить монотонную реконструкцию. Далее будет показано, что она является
частным случаем более общей процедуры "предельной" реконструкции (Semenov, 1992;
Каменецкий, Семенов, 1994; Семенов, 1995а).
Предельная minmod-реконструкция
Рассмотрим процедуру реконструкции для общего случая неравномерной сетки. Пусть
дано распределение узлов хт, где /77 = O,l,...,7Vnxm < xm+1. Пусть каждому сеточному
интервалу [xm,xm+1] приписано значение величины ит, которое является интегральным
2.7. Реконструкция функций и ограничители 107
средним функции и(х) на этом интервале. Реконструируем функцию и(х), а именно
построим кусочно-линейное распределение
u(x) = um + am[x- j(xm+xm+i)], * ? [*/w,*w+i] B.7.32)
таким образом, чтобы реконструированная функция оставалась монотонной в областях
монотонности исходной дискретной функции и, а сумма модулей разностей значений
функций слева и справа на границе ячеек была минимальной. Иными словами, потре-
потребуем, чтобы была минимальной сумма граничных скачков
N-1
-4 = X К1> Л™ = K+i-T(*m+i-**)°Wi] " Wm+j(xm-xm_x)am]. B.733)
m=0
Такую реконструкцию назовем предельной реконструкцией (Semenov, 1992). Предель-
Предельная реконструкция интерпретируется как естественное обобщение монотонной рекон-
реконструкции.
Построение предельной реконструкции является принципиально возможным. Этот
вывод следует из существования верхнего предела для суммы Jb, который достигается
при am = 0, что соответствует кусочно-постоянной реконструкции. В этом случае А® =
= ит+\ — ит- При </ь = 0 получаем непрерывную кусочно-линейную реконструкцию.
Из условия монотонности B.7.21) следует, что для ненулевого ат знак А^ совпадает
со знаком Ат. Поэтому будем строить предельную реконструкцию путем определения
величин От, удовлетворяющих системе следующих неравенств, ср. с B.7.21):
^um+l(xm+l-xm) + jam(xm-xm_1) < um+l -ит=Ат при Ат > 0. B.7.34)
При Ат < 0 знак неравенства B.7.34) заменяется на противоположный. Заметим, что
если для некоторых ат неравенства B.7.34) обратятся в равенства, то в этом случае
имеет место точная, непрерывная и кусочно-линейная аппроксимация.
Дадим описание итерационного алгоритма, который позволяет получать на каждой
итерации значения ат с возрастающими (неубывающими) значениями их модулей при
одновременном соблюдении неравенств B.7.34).
Представим Ат в виде Ат = sm|Am|, где sm = signAm. Заметим, для уменьшения
\Ат\ необходимо, чтобы знаки ат и o^+1 в B.7.33) совпадали со знаками Ат. Пусть
ост = sm\am\. С другой стороны ат = sm+1|am|, так как ат входит в два неравенства
вида B.7.34). Удобно выбрать ат в виде ат = j(sm +sm+l)\am\. Тогда для случая
sm + sm+\ — 0 автоматически получается ат = 0, что соответствует применению огра-
ограничителя minmod. Тогда соотношение B.7.34) принимает вид
^^ ^^^JIa^jKx^j-x^) < \Am\, B.7.35)
где т = 1,... ,7V - 1 и a0 = aN = 0. Нетрудно проверить, что
1 Хт_л Хт Хп
кт-\ л™ лт-2
является решением системы неравенств B.7.35).
B-7.36)
108 Гл.2. Численное решение гиперболических систем
Полученный результат дает те же величины ост, которые были бы получены при ис-
использовании ограничителя minmod. Однако полученные в B.7.36) наклоны ат, вообще
говоря, не максимальны по величине из возможных. Попытаемся уточнить (увеличить)
величины \ат\. Полагая \ат\ = \ос^\ + \(х?Ц, подстановкой в неравенство B.7.35) по-
получаем
M4 \MJ] ?> B.7.37)
Система неравенств B.7.37) имеет ту же форму, что и B.7.35). Решение этой системы
также дается выражением B.7.36), если только вместо Ат подставить А^1 • Повторив
эту процедуру, получаем следующее уточнение величин \ат\. Такой итерационный
метод позволяет последовательно уточнять величины наклонов. Можно доказать, что
итерации сходятся по крайней мере на N — 1 шаге. Однако N — 1 итерация требуется
только в случае, когда А^ при п = 1,2,... имеют одинаковый знак на каждой итерации.
На практике такая ситуация возникает крайне редко. Итерационный процесс сходится
достаточно быстро и требует обычно не больше трех-пяти итераций. Изучение сходи-
сходимости этого процесса было, в частности, проведено в работе Малышева A996). Таким
образом, предельная реконструкция практически эквивалентна тройному последова-
последовательному применению ограничителя minmod, которое проводится по специальному
правилу. Реализация такого алгоритма компактна и без труда вводится в соответствую-
соответствующие численные программы. Число операторов в реализации такого алгоритма обычно
не превосходит 25.
Предельная minmod-реконструкция сохраняет монотонность реконструируемой
функции и TVD-свойство разностной схемы B.5.5)-B.5.10). В соответствии с B.5.21)
и B.7.16) схема устойчива при условии С < 1, так как
Заметим, что предельная реконструкция включает в себя, вообще говоря, перемен-
переменное количество конечных разностей функции и. Поэтому разностная схема, исполь-
использующая предельную реконструкцию, не имеет заранее фиксированного разностного
шаблона.
Выпишем несколько модификаций предельной реконструкции. Например, заменим
величины Ат на 0тАт, где 0 < вт < 1. В этом случае после реконструкции т-я гра-
граничный скачок в формуле B.7.33) будет не меньше, чем A — вт)Ат. Можно заменить
Ат на 5т таким образом, чтобы signAm = sign<5m и \Ат\ > \8т\.В этом случае после ре-
реконструкции //7-й граничный скачок будет не меньше величины Ат-8т. Такие частные
модификации могут быть удобны для получения заданной величины скачка функции
на конкретной границе дискретной ячейки.
При построении предельной реконструкции можно также ограничить число итера-
итераций. Если число итераций равно /, то реконструкция использует разностный шаблон
из 2/ + 1 точки. Тот же результат получается, если в процессе итераций для точки с
номером т полагать, что А^ = 0 для всех М, таких что М> rn +1 + 1 и М < т — I —
— 1. Все описанные модификации предельной реконструкции являются монотонными
реконструкциями и сохраняют TVD-свойство разностной схемы B.5.7)-B.5.9).
2.7. Реконструкция функций и ограничители
109
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0,4 0.6 0.
и
/= 0.038
Ж=348
Ах= 0.01
1.0
0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Рис. 2.4. Взаимодействие взрывных волн (грубая сетка)
Продемонстрируем некоторые преимущества использования предельной рекон-
реконструкции в численных расчетах. На рис. 2.4 и 2.5 представлены численные резуль-
результаты расчетов одномерной газодинамической задачи по схеме B.5.7)-B.5.10) на основе
метода Роу и с использования предельной реконструкции. Численно было изучено вза-
взаимодействие двух взрывных волн (Woodward, Colella, 1984), которое включает в себя
множественное взаимодействие ударных волн, волн разрежения и тангенциальных раз-
разрывов. Начальные данные при t = 0 выбирались следующим образом:
р@<х<1) = 1, и@<х<1) = 0,
р@<х<0Л) = 1000, р@Л<х<0.9) = 0.01, р@.9<х<1) = 100>
где р, и яр—это, соответственно, плотность, скорость и давление. Показатель адиабаты
совершенного газа полагался равным 1.4. При этом при х = 0 и х = 1 ставились условия
непроницаемой стенки.
На рис. 2.4 и 2.5 маркерами отмечены численные результаты при t = 0.038, а сплош-
сплошной линией изображено "точное" решение, вычисленное на подробной сетке при N —
= 800. Число К на рисунках обозначает номер шага по времени. На рис. 2.4 показаны
результаты полученные при N = 100. Эти результаты практически совпадают с резуль-
результатами, полученными ENO-схемой (Harten et al., 1987) при TV = 200. Рис. 2.5 показывает
результаты при N = 200 с применением предельной реконструкции. Они практически
совпадают с результатами, полученными по ENO-схеме четвертого порядка точности
(Harten et al., 1987) при N = 200. Приведенные результаты демонстрируют эффектив-
эффективность предельной реконструкции, а также ее потенциальные возможности. Ее исполь-
использование позволило, в частности, без потери точности результатов сократить вдвое число
по
Гл. 2. Численное решение гиперболических систем
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
¦ и
121
t= 0.038043
^=666
Ах= 0.005
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Рис. 2.5. Взаимодействие взрывных волн (подробная сетка)
точек сетки. Следует заметить, что применение предельной реконструкции требует про-
проведения численных расчетов при несколько меньших значениях чисел Куранта, чем при
использовании ограничителя minmod. Численные результаты по исследованию других
задач можно найти в работе Малышева A996).
Рассматривая процедуру реконструкции вне связи с разностными схемами, можно
заметить, что предельная реконструкция позволяет использовать информацию о пове-
поведении реконструируемой функции в наиболее исчерпывающей форме. Эта реконструк-
реконструкция может быть использована в других приложениях (Каменецкий, Семенов, 1994;
Малышев, 1996). В частности, Каменецкий, Семенов A994) использовали предель-
предельную реконструкцию как один из этапов при построении самосогласованных сеток при
улавливания (выделении) головной ударной волны в численном решении задачи о дву-
двумерном сверхзвуковом обтекании гладкого тела схемой Роу (п. 3.5.4).
Введем в рассмотрение оператор реконструкции R. Тогда предельная minmod-
реконструкция удовлетворяет условию TV[Rw] = TV [u], а для реконструкции схем
ENO: TV[Rm] < TV[u] + О([Ах]1+р), где Р > 0 (Harten, 1989). Таким образом, пре-
предельная minmod-реконструкция может интерпретироваться как нижняя грань ENO-
реконструкции при Р —У +оо.
2.7.4. TVD-реконструкция. Предельная TVD-реконструкция.
TVD-реконструкция сохраняет только TVD-свойство B.7.11). При этом она может
не сохранять свойство монотонности B.7.20) для реконструируемой функции. Поло-
Положим для простоты Ах = 1. Ранее было показано, что TVD-свойство B.7.11) влечет
выполнение следующих достаточных TVD-условий B.7.17):
Ат - \Ат\ < \(
B.7.38)
2.7. Реконструкция функций и ограничители 111
Реконструкциям, удовлетворяющим только свойству B.7.11), можно дать следую-
следующую интерпретацию. Они сохраняют или уменьшают сумму модулей граничных скач-
скачков B.7.33)
N-1
т — V 1Ла1 Ла — \и — — гу 1 — 1"*/ + —гу 1 О 1 19"!
Действительно, чтобы удовлетворить TVD-свойству, для наклонов а должны быть вы-
выполнены неравенства
|7Д _ 7,L < | _ | L _ ,1 R _ _ 1
\um+\/2 um+\/2 — \um+\ Um\'> um+\/2 MmT2Wffl' um+\/2 um+\ 2u"m+\i
или
Следовательно, — \Am\ < — A% < \Am\, откуда
Am - \Am\ < \{amJrX + am) < Am + \Am\, B.7.40)
или
Неравенства B.7.21) для монотонной реконструкции являются более строгими,
чем B.7.40). Поэтому TVD-реконструкция может не сохранять монотонность рекон-
реконструируемой функции. При этом, в общем случае, выполнено соотношение TV[Riz] <
TV[w] + 0A), см. B.7.7) и B.7.39), где R — оператор реконструкции.
TVD-ограничители
Сравнивая условия B.7.38) и B.7.21), делаем вывод, что ограничитель
A + г) minmod(a, Ъ), 0 < г < 1 B.7.42)
также позволяет определять коэффициенты некоторой TVD-реконструкции. То же каса-
касается наклонов любой монотонной реконструкции, включая предельную, которые умно-
умножаются на коэффициент A + г), где 0 < ? < 1. Однако такими тривиальными случаями
TVD-ограничители далеко не исчерпываются. Опишем другие методы определения
наклонов а для B.7.38).
Сначала рассмотрим ограничители для TVD-реконструкции в форме функции
L(a, Ъ) B.7.27) и исследуем их свойства. Положим для определенности Ат > 0 и А/и_1 > 0
и рассмотрим два последовательных неравенства B.7.41)
:2Ат, B.7.43)
:2Ат-\- {2.1 ЛА)
112 Гл. 2. Численное решение гиперболических систем
Полагая ак = ^кАк > О, где к = m+ l,m,m-l, перепишем неравенства B.7.43) и B.7.44)
в виде
^±L <4, B.7.45)
<4. B.7.46)
Чтобы удовлетворить неравенствам B.7.45) и B.7.46), выпишем следующие достаточ-
достаточные условия:
которые должны быть выполнены для всех к и для всех величин отношений гк =
= Ак_х/Ак. Пусть х?к = ^(гк). Тогда неравенство B.7.41) выполняется при Ч^г), удовле-
удовлетворяющей неравенству
О < *?(г) < minB,2r). B.7.47)
Аналогично рассматривается случай отрицательных значений разностей. Для г < О
положим YfV) =0. Тогда все наклоны, определяемые формулой
где *Р удовлетворяет неравенству B.7.47), составляют TVD-реконструкцию. Таким об-
образом, функция ^(гт) — это TVD-ограничитель. В частности, ограничитель minmod
соответствует ^(r) = min(l,r) при г > 0 и ^(г) = 0 в других случаях.
Функция YfV) обладает также следующим дополнительным свойством:
Действительно, из симметрии функции L (а, Ь) следует, что
L(a,b) = V4 (|) = тЦг)=ЦЪ,а) = с№ (^) = rW (j\, г = |
Детальный анализ свойств ограничителей, представимых в форме YfV), был дан в
работе Sweby A984) и, с другой точки зрения, в работе Roe A985); см. также обзор в
книге Hirsch A990).
Все TVD-ограничители сохраняют TVD-свойство для схемы B.5.5)-B.5.10). Усло-
Условие ее устойчивости при этом будет С < 1, так как
\1/ = тах^О) < 2,
2.7. Реконструкция функций и ограничители 113
см. условия устойчивости B.5.21) и B.7.16).
van Leer A977a) предложил TVD-ограничитель вида
2ab
при ab > О,
L(a,b) = { a + b B.7.48)
О при ab < 0.
Этому ограничителю соответствует *?(г) = 2г/A +г). Покажем, что функция B.7.48)
задает TVD-ограничитель, а тем самым TVD-реконструкцию, которая, вообще гово-
говоря, является немонотонной. Положим для определенности Ак = uk+l —uk>0, где к =
= /77—1,/77,/77+1. Тогда в соответствии с B.7.40) получаем
1 , 1 Г 2А™^\^т 2АтА_
_ \2 Am Am 1a <7A
L A+A A+AJ
Это доказывает неравенство B.7.40). Следовательно, уравнение B.7.48) задает TVD-
ограничитель. Рассмотрим дискретную функцию
п=\
Имеем Ak = qk и
1 1
R= 2{OCm^ + (Xm)=2
q(m+X)
¦ + ¦
Таким образом, неравенство B.7.21) не выполняется и, следовательно, ограничитель,
определенный B.7.48), не является монотонным.
Другой ограничитель, предложенный van Leer A979), можно записать в виде
L(a,b) =minmod[y(a+Z?),2minmod(a,Z?)]. B.7.49)
Это также TVD-ограничитель и также немонотонный. Упомянем еще один ограничи-
ограничитель, соответствующий *F(r) = (г + |г|)/A + г), который также изучил van Leer A974).
В работе van Albada, van Leer, Roberts A982) был предложен ограничитель вида
-
где ? — малая положительная константа из интервала 10~7-10~5, которая применяется
для того, чтобы избежать деления на ноль. Этот ограничитель соответствует функции
*Р(г) = (г2 + г) I A + г2) и является непрерывно-дифференцируемым относительно пере-
переменной г. Покажем, что функция B.7.50) определяет немонотонный TVD-ограничитель.
114
Гл. 2. Численное решение гиперболических систем
Положим, для простоты, ? = 0. Пусть, для определенности, Ak = uk+l —uk>0, где k =
= m—l,m,m+l. Тогда в соответствии с B.7.40) имеем
1
1
¦ + ¦
Р2+Р
где Ат+1 = /7AW и А/и_1 = qAm, 0 < р < +оо, 0 < q < +оо. Функция R достигает макси-
максимума приp — q— 1 + л/5. Следовательно,
Ат
Это доказывает TVD-свойство B.7.40), однако неравенство B.7.21) выполняется не
всегда и этот ограничитель не является монотонным.
Рассмотрим однопараметрический ограничитель
0
kmmmod(a,b)
при ah < О,
при ah > О, max ( 777, тт I > К
\\Ъ\ И/ B.7.51)
) при ab > О, max ( {-}, ¦]—[¦ ) < к,
\\Ь\ \а\)
где 1 < к < 2. Функцию B.7.51) можно переписать в более компактном виде
Lk(a,b) = y(signa+signZ?)max[|minmod(A:a,Z?)|, |minmod(a,A:Z?)|].
При к —2 получаем, так называемый, ограничитель "superbee" (Roe, Pike, 1984). Ему
соответствует *?(г) = max[0,minBr, l),min(r,2)]. Для проверки TVD-свойства необхо-
необходимо последовательно рассмотреть все различные случаи отношений Ат_1, Ат и Ат+1.
Этот ограничитель не является монотонным. В частности, положим Ах = 1 и рассмот-
рассмотрим сеточную функцию ит в виде
Kq<2.
n=\
Тогда Ак = qk, ak = 2qk и
R — —(а
qm=Am.
Следовательно, неравенство B.7.21) не удовлетворяется и рассмотренный ограничитель
не является монотонным.
Предельная TVD-реконструкция
Заметим, что TVD-ограничитель является сжимающим оператором по отношению к
скачкам функции на границах B.7.33) и B.7.39). Следовательно, для TVD-ограничителя
2.7. Реконструкция функций и ограничители 115
с применением итерационной процедуры можно построить предельную реконструк-
реконструкцию. Потребуем, чтобы сумма
N-\
Л = X lAmU Am = K+l~jOCm+lAx} - [um + ±OCmAx]
m=0
достигала минимума. Рассмотрим, для простоты, равномерную дискретную сетку с
шагом Ах. Используя TVD-ограничитель в виде B.7.27), можно выписать следующую
итерационную процедуру для нахождения предельной реконструкции:
к=0:
= <> = 0;
Ax ' Ax )'
(f) « af = 0.
Ax, m = \,...,N\; a =
Здесь к — номер итерации. Тогда предельный наклон равен
к
am = Y,am\ m = 1,...,A^-1.
Вычисления показывают, что примерно после 3-5 итераций полученная линейная
реконструкция практически совпадает для всех ограничителей B.7.48)-B.7.51). Более
того, за исключением малых немонотонностей, она практически совпадает с предельной
реконструкцией, получаемой с использованием функции minmod (Семенов, ранее не
публиковало сь).
Рассмотрим более сложный ограничитель, который был использован при построе-
построении схем UNO (uniformly nonoscillatory), см. Harten, Osher A987). Схемы UNO являются
неосциллирующими в том смысле, что число локальных экстремумов N[u] в сеточной
функции и со временем не возрастает: N[i/+1] < N[i/]. Ограничитель в схеме UNO вто-
второго порядка по пространству включает в себя анализ первых конечных разностей А,
которые аппроксимируют первые производные функции г/, а также вторые конечные
разности 5, аппроксимирующие вторую производную ихх. Разностный шаблон этого
ограничителя состоит из 5 точек. Положим, для определенности, Ах = 1. Тогда
am = minmod(Am - \bm+xjv Am_x + jSm_l/2), B.7.52)
5Ш/2 = minmod(^+1 - 2uk + uk_v uk+2 - 2%+1 + uk).
Заметим, что am может быть ненулевым при Am = 0. Следовательно, ограничи-
ограничитель B.7.52) не являются ни монотонным ограничителем, ни TVD-ограничителем, см.
соотношения B.7.21) и B.7.38). Однако, в этом нет ничего удивительного, так как схемы
116 Гл. 2. Численное решение гиперболических систем
UNO и ENO (Harten, Osher, 1987; Harten et al, 1987) позволяют возрастать величине
полной вариации функции в пределах порядка точности схемы.
Отметим, что рассмотренные выше ограничители не зависели от числа Куранта.
Опишем методы определения наклонов а зависящих от С, которые получаются на
основе более точного анализа условий выполнения TVD-свойства. Положив для опре-
определенности Ат > О и Ат_1 > 0 и рассмотрим два последовательных неравенства, опи-
описывающих TVD-условие B.7.12), которые перепишем в виде:
-^<am+l-am<^L, B.7.53)
2AW i 2AW i
""fZc" ~am~ a^-! - ~~C^ B'7'54)
Полагая ak = Ч^А^ > 0, где к = aw+1, m, m—1, перепишем B.7.53)-B.7.54)в виде
< ш m+1 vr/ < f? 7 55"l
i y^r — m+\ д w — p ' y^.i .JJ)
<^т— ^т_1 < — • B.7.56)
Чтобы удовлетворить неравенствам B.7.55)-B.7.56), выпишем следующие достаточ-
достаточные условия:
2 2 А*_1
v- ^- 1-е' - ^- 1-С А^
которые должны быть выполнены для всех к и для всех величин отношений гк =
= A^j/A^. Пусть х?к = ^(^). Тогда неравенство B.7.12) выполняется при YfV) удо-
удовлетворяющей неравенству
/9 9^\
B.7.57)
Аналогично рассматривается случай отрицательных значений конечных разностей. Для
г < 0 положим YfV) = 0. Численное сравнение свойств ограничителя B.7.57) и ряда
других приведены в работе Агога, Roe A997).
Следует заметить, что система неравенств B.7.53), B.7.54) выполняется также для
наклонов, определенных следующим образом:
B 2 \
ат = minmod ( j--^Am, —Ат_х \ . B.7.58)
Ограничитель B.7.58) является несимметричным, кроме случаяС = 0.5, и соответствует
линейному уравнению переноса щ + их = 0. Для уравнения щ-их = 0 несимметричный
ограничитель принимает вид
2 2
I —Am_v —
B 2
ат = minmod I ——Am_v —Am
2.7. Реконструкция функций и ограничители 111
Предельному случаю С —> 0 соответствует
am = 2 minmod (AWJ Aw-1),
т. е. равный удвоенной функции minmod. Если применить таким образом определяемые
а для численного решения линейных уравнений переноса вида щ ± щ = 0 с началь-
начальными данными типа ступенчатой функции, то для любых допустимых значений числа
Куранта разностная схема позволяет получить решение типа бегущей ступеньки, кото-
которая движется по дискретной сетке без изменения и размазывания. Однако приведенные
ограничители являются чрезмерно сжимающими и для нахождения других типов ре-
решения нуждаются в дополнительной коррекции.
Обсуждение различных ограничителей может быть найдено, например, в работах
Yee A989), Hirsch A990), Того A997). В гл. 5 будет проведено тестирование различных
ограничителей в рамках задач магнитной гидродинамики. Сравнение различных огра-
ограничителей для одномерных и двумерных уравнений газовой динамики можно найти,
например, в работе Величко, Лифшица, Солнцева A999). Они расположили пять огра-
ограничителей в порядке возрастания их сжимающих свойств (Yee, 1989), т. е. в порядке
увеличения точности получаемых численных результатов и уменьшения степени разма-
размазывания разрывов. Ограничители расположились в следующем порядке: ограничитель
minmod B.7.31), ограничитель UNO B.7.52), ограничитель van Leer B.7.49), который
численно эквивалентен ограничителю B.7.51) при к = 1.4, и, наконец, ограничитель
"superbee", см. формулу B.7.51) при к = 2. Описанные выше подходы к построению
ограничителей позволяют построить новые ограничители.
Локально линеаризованная гиперболическая система уравнений может быть запи-
записана в виде системы уравнений переноса относительно инвариантов Римана. Поэтому
физически корректным является ограничение наклонов (или приращений) инвариантов
Римана или характеристических переменных
<5w = QL<5U. B.7.59)
В случае когда такой метод вычислений оказывается недостаточно быстрым, его следует
применять только в областях больших перепадов сеточных величин.
2.7.5. TVD-ограничители на несимметричном шаблоне. Выше были
описаны ограничители, которые при анализе конечных разностей использовали симмет-
симметричный шаблон точек. Это было связано с симметрией используемой функции L(a,b)
при определении ограничителей B.7.27). Представляет интерес построение ограничи-
ограничителей на несимметричном шаблоне точек. Несимметричный ограничитель позволяет
принимать во внимание направление движения среды.
Построим указанные TVD-ограничители на основе базового свойства B.7.26) моно-
монотонной реконструкции, которое записывается в виде неравенств (Семенов, ранее не пуб-
публиковалось). Аналогичным образом могут быть использованы соотношения B.7.38).
Вместо B.7.28)-B.7.30)рассмотрим три последовательных неравенства B.7.26) для
наклонов am+v am, am_x и am_2:
B.7.60)
118 Гл. 2. Численное решение гиперболических систем
Для замыкания этой системы неравенств удобно положить ocm+l = am и ocm_2 = <%m_x.
Получаем
A"<am<A+,
Следовательно,
А~<ат<А+,
«m_i<A+_2, A-m_2<am_l
Отсюда
А~т <ат< Д+,
Тогда
тах(Д-, 2А-т_!-Д+_2) < ат < min(A+, 2A+_!-A-_2). B.7.61)
Используя тот факт, что А^Дт = 0, получаем
ат = max(A-m, 2A-_!-A+_2) +min(A+, гД+^-Д-^), B.7.62)
b-k = uk+\~uk' k = m,m-\,m-2;
Для получения TVD-ограничителя модифицируем B.7.62) следующим образом:
ат = тах[Д", ЗД-_1-тт@,Д-_1+Д+_2)] +
+ тт[Д+, 3A+_1-max@,A+_1+A^_2)]. B.7.63)
Рассмотрение трех последовательных неравенств B.7.26) для наклонов «т+2, <хт+\,
ыт и О!т_1 позволяет построить TVD-ограничитель на основе трех разностей
ат = тах[Д-_1; ЗД--тт@,Д"+Д++1)] +
+ тт[Д+_!, ЗД+-тах@,Д++Д-+1)]. B.7.64)
При рассмотрении четырех последовательных неравенств B.7.26) для наклонов
слева ыт+\, сст, сст_1, сст_2 и сст_3 аналогичным способом получаем следующий TVD-
ограничитель на основе четырех конечных разностей:
ат =тах[Д-, ЗД-_1-тт@,Д-_1+2Д+_2-Д-_3)] +
+ min[A+, ЗД+_1-тах@,Д+_1+2Д-_2-Д+_з)]. B.7.65)
2.7. Реконструкция функций и ограничители
119
Рис. 2.6. Четырехугольная и треугольная дискретные ячейки
Наконец, рассмотрение других четырех последовательных неравенств B.7.26) для
наклонов справа о^+3, am+2> °Wi> am и am-\ дает ограничитель
am = тах[Д-_15 ЗА--тт@,А-+2А++1-Д-+2)] +
+ ШЦА+.!, ЗА+-тах@,А++2А-+1-А+т+2)]- B-™6)
Ограничители B.7.63) и B.7.65) удовлетворяют соотношениям
Сравнивая эти неравенства с B.7.14), получаем условия устойчивости в виде С < -|.
Ограничители B.7.64) и B.7.66) для уравнения переноса B.7.18) удовлетворяют
тому же самому условию устойчивости, см. B.7.19).
Если рассмотреть четыре последовательных неравенства B.7.26) для центральных
наклонов ост+2, ат+\? ат, ат-\ и ат-2-> то ПОЛУЧИМ четырехточечный симметричный
TVD-ограничитель с тем же шаблоном точек, который использовался в ограничителе
UNO B.7.52). Для уравнения переноса B.7.2) ограничитель принимает вид
сст =тах[А", ЗД-_1-тт@,А-_1+А+_2), 2А~-А++1] +
+ min[A+, ЗА+_1-тах@,А+_1+А^_2), 2A+-A~+1],
а ограничитель для уравнения B.7.18) принимает вид
сст =тах[А"_1,
+ тт[А+_15
-_!-A+_2, ЗД--тт@,Д-+А++1)]
_!-A-_2, ЗД+-тах@,Д++Д-+1)].
2.7.6. Многомерная реконструкция. До сих пор рассматривалась кусочно-
линейная реконструкция для функций одной пространственной переменной. Рассмот-
Рассмотрим вопросы реконструкции в двумерном и трехмерном случаях.
Начнем с двумерного случая. Предположим, что сетка состоит из конечных вы-
выпуклых многоугольников Go, Gl9 G2 и т. д. На рис. 2.6а изображена четырехугольная
ячейка Go с соседями Gl9 G2, G3 и G4, а на рис. 2.6Ь — треугольная ячейка Go с тремя
соседями Gl9 G2 и G3. Пусть на дискретной сетке определена сеточная функция ит.
120 Гл.2. Численное решение гиперболических систем
Целый нижний индекс m обозначает значения функции, вычисленной в центрах масс
многоугольника Gm. Пусть Gn,Tj\Qn = nx,...,nN — это многоугольники, которые явля-
являются соседями для Gm. Обозначим через umn значения сеточных величин в серединах
сторон между ячейками Gm и Gn (рис. 2.6).
Для определения значений сеточной функции на сторонах многоугольника следу-
следует определить процедуру реконструкции. Построим внутри многоугольника кусочно-
линейное распределение сеточной функции в виде
u(x,y) = um + (x-xm)am + (y-ym)Pm. B.7.67)
Здесь am и f5m — некоторые коэффициенты, а координаты (хт ,ут) соответствуют центру
масс ячейки с номером т. Тогда
ит = -Г77- \ \ u(x,y) dxdy, \Gm\ = / / dxdy,
IO/w J JGm J JGm
где \Gm\ — площадь ячейки Gm. Значения сеточной функции umn в середине стороны с
индексом тп определяется в виде
umn = u(xmn,ymn) = um + (xmn-xm)am + (ymn -ym)Pm, B.7.68)
где координаты (xmrhymn) соответствуют середине границы между ячейками Gm и Gn.
Алгоритм построения ат и j5m должен удовлетворять следующим условиям:
• ат = а и (im = /3 для линейной функции и(х,у) = и0 + ах + /Зу;
• наклоны ат и рт должны вычисляться для произвольной сетки;
• наклоны ат и f5m должны быть ограничены таким образом, чтобы в одномерном
случае разностная схема переходила в TVD-схему.
В частности, Barth, Jespersen A989) предложили ограничить ат и f5m таким образом,
чтобы были выполнены следующие минимаксные неравенства:
«mill < um + (Х-Хт)ат + (у-ут)Рт < ^max, (x,y) G Gm, B.7.69)
umin = min (um,mmunj , г/тах = max ( um,maxun) , n = nl,...,nN.
Для кусочно-линейной реконструкции экстремумы функции и(х,у) лежат в вершинах
ячеек-многоугольников и достаточные условия выполнения B.7.69) можно выписать в
явном виде. Найдем величины ut в вершине с номером /, где / = 1,.. .N, для ячейки Gm.
Тогда
mm I, при u7-um>0,
/mm Um
min(l/mm Um) при fi,-n
V Щ-U J
Щ-Um
при ut — um =
Пусть i/A = min (i/Aj,..., \(/N). Тогда ограниченные наклоны вида XffCXm и Ц/рт удовлетво-
удовлетворяют неравенствам B.7.69).
2.7. Реконструкция функций и ограничители 121
В двумерном и трехмерном случаях существуют различные определения вариа-
вариации функции, в частности, вариации Арцела, Фреше, Тонелли, Витали и др. (Витуш-
кин, 1955; Голубов, Витушкин, 1977). Многочисленность вариаций многомерных функ-
функций следует из того факта, что в многомерном случае она характеризуется несколькими
независимыми вариациями (Витушкин, 1955). В частности, вариация функции и(х,у)
характеризуется, так называемыми, линейной и плоской вариациями. На настоящий
момент времени, по-видимому, не получены достаточные условия, обеспечивающие
ограниченность всех вариаций численного решения на произвольной сетке. По этой
причине все известные методы многомерной реконструкции, включая описанные ни-
ниже, не имеют строгого обоснования. Применимость этих методов в каждом конкретном
случае должна быть проверена.
Заметим, что для прямоугольных сеток, все описанные выше одномерные алгорит-
алгоритмы линейной реконструкции, могут быть использованы вдоль каждой из координатных
осей независимо.
Тилляева A983, 1986) предложила следующий метод определения наклонов а и /3
в двумерном случае. Рассмотрим, для простоты, произвольную четырехугольную ячей-
ячейку Go с четырьмя соседями (рис. 2.6а). Решим следующие четыре системы линейных
уравнений относительно а0 и /30:
«0 + (х, -хо)а(<> + (у, -уо)Р^ = и„ B.7.70)
uo + (xi+l -*0)а« + (у,+1 -Уо)рМ = ui+v B.7.71)
где /= 1, 2, 3 и 4. При / = 4 положим м/+1 = их. Пусть
Hi Ч0 $0, «=1,2,3,4-
Приращения 8uff при вычислении значений на границе иОп ограничиваются следую-
следующим образом:
uOn = u0 + minmodEu^,8u^,8u^,5u^) , «=1,2,3,4,
где
0 в других случаях.
Для простоты будет использовано также обозначение
тттосЦая) = niinmod [ax,..., an).
В двумерных численных решениях стационарных задач газовой динамики, прове-
проведенных методом Годунова с точными формулами распада разрыва, изложенный подход
позволил сохранить монотонные профили функций, а также обеспечил слабую зависи-
зависимость результатов от выбора двумерного разбиения расчетной области (Тилляева, 1986).
Для прямоугольных сеток изложенный подход эквивалентен независимому примене-
применению ограничителя minmod вдоль направлений хиу. Более детальный анализ выбора
приращений при таком подходе проведен Родионовым A996).
122 Гл.2. Численное решение гиперболических систем
Рассмотрим некоторые модификации изложенного подхода. Заметим, что при газо-
газодинамическом моделировании достаточно проводить анализ только двух приращений
(Иванов, Крюков, 1996, 1999), т. е.
Чп = uo + minmod (<Ц^, <Ц3^) или uOn = u0 + minmod (j5u®, 8u^
Заметим, что вместо ограничения приращений можно ограничивать также наклоны:
(i) а0 = mimnodC^1), af.aW.aW), ft, = ^
(ii) a0 = minmod(aW, af>), ft, = minmod^»,
(iii) a0 = minmod(aB>, a<4)), j80 = minmod(j3f, /З^).
Вместо функции minmod могут быть использованы другие ограничители.
По аналогии с одномерным случаем, рассмотрим двумерную предельную рекон-
реконструкцию. В этом случае наклоны постепенно уточняются применением итерационной
процедуры аналогичной B.7.35)-B.7.37).
Предположим, что имеется алгоритм для решения следующей системы неравенств
относительно ат и f5m:
um<um + (xmn -xm)am + {ymn -xm)Em<
<un + (xmn-xn)an + (утп-хп)Рп < un. B.7.72)
Эти неравенства получены из условия сохранения монотонности реконструируемой
функции для значений в центрах ячеек и их сторон. При um > un знак неравенства
заменяется на противоположный. Из B.7.72) получаем
um<um + minmod^ [{xmn -xm)am + (ymn -xm)pm]<
< un + minmodm [{xmn -xn)an + (ymn-Xn)P
или
um<um<un<
, [(xki - xk) ak + (ykl -хк)рк], k = m, n.
Наиболее точная реконструкция достигается при наибольших значениях \ат\ и |/Зт
которые удовлетворяют неравенствам B.7.72).
Попытаемся уточнить значения ат и j5m. Пусть ат = ат + 8ат и j5m = j5m + 8j5
удовлетворяют неравенству B.7.72). Тогда для 5а и 5/3 выполнены неравенства
+ {хтп-Хт)8ат + (Утп-
<un + {xmn-Xn)8an + {ymn-Xn)8$n < un-
Их вид совпадает с B.7.72). Следовательно, можно повторить процедуру определения
наклонов 8ати Sf5m используя величины и. Тем самым значения ат и f5m будут уточне-
уточнены. Такой подход, при условии сходимости уточнений, может быть применен в других
методах определения наклонов.
2.7. Реконструкция функций и ограничители 123
Заметим, что для определения наклонов функций могут быть использованы аппрок-
аппроксимации контурных интегралов (Barth, Jespersen, 1989) или метод наименьших квадра-
квадратов (Vankeirsbilck, Deconinck, 1992). Запишем для общего случая теорему о градиенте
(Korn,Korn, 1968)
VudG= (fiudS => Vm« -— (fiudS, B.7.73)
G JS II JS
где G—это конечная область в евклидовом пространстве Е^, dG = dxx... dxk — элемент
объема, \G\ — объем G, V = [д/дхх,..., д/дхк]т, S — поверхность ограничивающая G,
dS = n dS — ориентированный элемент площади, где п — внешняя нормаль, dS —
элемент площади. В частности, в двумерном случае для четырехугольной ячейки Go
получим
с 1 / 1 1 1
0 \G\ JS |^| 2 1 2 1 2 2 4 1 4 1
r/ux - u3){y4 -y2) - (u4 - u2){yx -
2|G|L
- rC -
\G\ = <bxdy=- fydx= j[(x1-x3)(y4-y2)-(x4-x2)(y1-y3)],
где G—четырехугольная область с вершинами в точках с номерами 1,2,3 и 4 (рис. 2.6а).
С другой стороны, наклоны af и jSf могут быть выбраны таким образом, чтобы
сумма
Y, [ ]
п=\
достигала минимума. Для нахождения минимума используется метод наименьших квад-
квадратов. Заметим, что обе описанные версии вычисления наклонов дают похожие резуль-
результаты (Иванов, Крюков, 1996). Для оценки наклонов могут быть использованы другие
комбинации соседних ячеек.
При определении иОп можно ограничить приращения следующим способом:
uon = uo + minmod B
u0n
где
Для прямоугольной сетки такую реконструкцию впервые предложил van Leer A977b).
Двумерная реконструкция для общего случая выпуклых четырехугольных ячеек,
когда значения функций заданы в их вершинах, может быть найдена в работе Borrel,
MontagneA985).
Для проведения двумерных вычислений на треугольных ячейках (рис. 2.6Ь)
Durlofsky, Engquist, Osher A992) определяли наклоны а0 и /30 из решения трех систем
124
Гл. 2. Численное решение гиперболических систем
Рис. 2.7. Пример ячейки Дирихле
уравнений B.7.70), B.7.71). При этом полагалось, что м/+1 = их при / = 3. Окончатель-
Окончательные значения а0 = а^ и /30 = /3 W выбирались таким образом, чтобы [о^]2 + [J3q ]2
было минимальным. В экстремумах, т. е. когда и0 больше (меньше) всех величин м0, Щ,
и2 и м3, полагалось а0 = /30 = 0. Durlofsky et al. A992) предложили также более сжи-
сжимающий ограничитель, похожий на одномерный ограничитель "superbee", см. B.7.51)
при к —2.
Наклоны аОп и f5On могут определяться также в серединах границ ячеек. Тогда можно
полагать
= minmod (а01,..., аОп), /30 = minmod (j3
01,
B.7.74)
Все описанные выше алгоритмы построения реконструкции могут быть аналогич-
аналогичным образом обобщены на трехмерный случай.
Для определения реконструкций сеточных функций методом B.7.74) на неструк-
неструктурированных сетках, состоящих из произвольных выпуклых многоугольников или
образованных на произвольных системах точек, могут быть использованы интерпо-
интерполяция Сибсона (Sibson, 1980, 1981) или гармоническая (несибсоновская) интерполя-
интерполяция (Беликов и др., 1997; Belikov, Semenov, 1997'а). Упомянутые выше произвольные
системы точек возникают использовании в расчетах свободно-лагранжевых методов
(Fritts, Crowley, Trease, 1988; Пушкина, Тишкин, 2000), методов частиц (Brackbill,
Monaghan, 1988; Randies, Libersky, 1996), бессеточных методов (Дьяченко, 1965; Onate
et al., 1996; Belytshko et al., 1996) и др. Обе упомянутые интерполяции являются ин-
интерполяциями первого порядка и основаны на разбиении плоскости (пространства) на
ячейки Дирихле (многогранники Дирихле). Применение этих интерполяций гаранти-
гарантирует единственность результата интерполяции, непрерывность и устойчивость относи-
относительно малых возмущений геометрических параметров разбиения.
Напомним, что ячейкой Дирихле для данного узла х0 (рис. 2.7) называется мно-
множество точек, расстояние от которых до узла х0 является меньшим, чем до остальных
узлов. Для иллюстрации рассмотрим следующий метод построения ячейки Дирихле.
Соединим точку х0 со всеми остальными точками х- (/ ф 0) отрезком прямой. Проведем
из середины отрезка перпендикуляр (или гиперплоскость в Е^ при к > 3). Выпуклый
2.7. Реконструкция функций и ограничители 125
многоугольник (многогранник), который таким образом вырезается всеми перпенди-
перпендикулярами (или гиперплоскостями), называется ячейкой Дирихле. Такой метод является
медленным для практических расчетов, так как требует числа операций порядка О(М2),
где М— общее количество узлов. Существуют более быстрые алгоритмы построения
разбиения Дирихле, которые основаны на использовании триангуляции Делоне (George,
Borouchaki, 1998; Baker, 1999), см., в частности, метод Bowyer A981).
Ячейки Дирихле разбивают рассматриваемую область евклидова пространства на
выпуклые многоугольники (многогранники), каждый из которых содержит только один
из узлов. Запишем теорему о градиенте B.7.73), которая позволяет вычислить про-
пространственные производные в произвольной точке х0. Получаем
где \G0\ — объем ячейки Дирихле, соответствующей точке х0, а хп, где п— 1,... ,7V,
являются соседями ячейки Дирихле узла х0. Обозначим длины сторон (или площади
граней в трехмерном случае) через sn, где п = 1,... ,7V, а расстояния от х0 до стороны
(грани) с номером п через hn (рис. 2.7Ь).
Величины ип вычисляются в серединах сторон ячеек с использованием сибсонов-
ской или гармонической (несибсоновской) интерполяции. Такая процедура определе-
определения производных является точной для произвольной линейной функции. Со вторым
порядком точности можно полагать ип « j (un + w0).
В интерполяции Сибсона коэффициенты пропорциональны площадям (объемам)
многоугольников (многогранников) Gn, которые вырезаются из ячейки Дирихле для
точки х0 другими ячейками Дирихле, построенными для точек-соседей точки х0 без
учета при этом самой х0 (рис. 2.7а):
N I N
«o=X^w«' 7n = \Gn\ XlGyl' >?=1,...,7V.
n=\ ' j=l
Строгое определение интерполяции Сибсона и исследование его свойств можно найти
в работах Sibson A980, 1981), Farin A990).
Гармоническая интерполяция также основана на определении соседей по разбиению
Дирихле:
N I N s.
uo=^7nu«, ъ = ±/Ъ-±, „=l,2,. ..,7V.
и=1 Пп I ]=\ П]
Указанный метод вычисления коэффициентов уп является более простым, чем в методе
Сибсона, так как не требует определения площадей пересечения многоугольников в
двумерном случае или объемов многогранников в трехмерном случае. Строгое опреде-
определение гармонической интерполяции и исследование ее свойств может быть найдено в
работах Беликов и др. A997а, 1997b), Belikov, Semenov A997a), где она впервые была
предложена. Различные приложения этой интерполяции описаны в работах Belikov,
Semenov A998,2000), Sukumar et al. B001).
В заключение раздела опишем метод определения наклонов в реконструкции сеточ-
сеточных функций, который отличен от всех выше рассмотренных. Этот метод был, в частно-
частности, использован в рамках методов сквозного счета и выделения разрывов для решения
126 Гл.2. Численное решение гиперболических систем
одномерных и двумерных уравнений газовой динамики (Грудницкий, Прохорчук, 1977;
Белоцерковский, Грудницкий, 1980; Белоцерковский, Грудницкий, Прохорчук, 1983).
Для описания эволюции наклонов в этом подходе была использована продолженная си-
система уравнений (Courant, Lax, 1949); см. также п. 1.2.1. Рассмотрим уравнения газовой
динамики в общем виде
^М М 0. B.7.75)
at ах ау
Продифференцируем уравнения B.7.75) по х и по у. Это дает две гиперболические
системы уравнений
d\Jx dAVx dBUx Эи
-дГ + ^Г + ^Г = °' и*=лГ' B'7-76)
^ + ^ = 0, U,= ™, B.7.77)
at ax ay ау
где А = d?/d\J и В = <9Е/сШ. Далее нестационарную систему уравнений B.7.75)-
B.7.77) решают относительно переменных U, \JX и \Jy. Это позволяет автоматически
определять значения функций и их наклонов. Для решения уравнений B.7.75) была
использована специальная версия второго порядка точности схемы Лакса-Фридрихса
(Lax, 1954), которая учитывала наклоны \JX и \Jy (Грудницкий, Прохорчук, 1977; Бело-
Белоцерковский, Грудницкий, Прохорчук, 1983). Заметим, что для решения системы можно
также использовать численные методы типа Годунова.
Применение расширенной системы уравнений оказывается полезным при расчетах
с выделением разрывов. В частности, он позволяет выделять и разрывы, возникающие
с течением времени. Этот подход оказался удобным также для выделения слабых раз-
разрывов, так как в таком подходе разрывы производных определяются непосредственно
(Белоцерковский, Грудницкий, Рыгалин, 1983; Азарова и др., 1993а, 1993b). Если для
решения системы B.7.76), B.7.77) используется метод сквозного счета, следует искус-
искусственно уменьшать рост значений \JX и \]у в окрестностях ударных волн. Однако вблизи
тангенциальных разрывов, в волнах разрежения и областях гладких значений сеточных
функций коррекция \JX и \Jy не требуется. Используя расширенную систему уравнений
для Uz, описанный подход обобщается на трехмерный случай.
2.8. Граничные условия для гиперболических систем
2.8.1. Общие понятия. Рассмотрим начально-краевую задачу для гиперболи-
гиперболической системы в виде
где U — это вектор консервативных переменных, a F — вектор потока. Н является не
содержащим производных источниковым членом. Эту систему можно также переписать
в каноническом квазилинейном виде
5+-4 = Н, B.S.2)
at ax
2.8. Граничные условия
127
где А — это матрица размерности п х п. Так как рассматриваются системы уравнений
гиперболического типа, имеем
VA = Хг\\ Ay1 = А/, / = 1,..., п,
где А,- являются вещественными собственными значениями матрицы^, которые упоря-
упорядочены таким образом, что
Характеристические уравнения имеют вид
QL—+AQL-- =
L dt L dx
или
= V Н.
B.8.3)
B.8.4)
to+At
у
ч
Рис. 2.8. Вычислительная область
Во многих случаях решение системы B.8.1) ищется в ограниченной области незави-
независимых переменных х и должны быть сформулированы физические граничные условия.
С другой стороны, при использовании методов с
выделением разрывов, которые будут описаны в
разд. 2.9, граничные условия также необходимы на
разрывах, которые движутся с неизвестными ско-
скоростями. Постановка граничных условий на фик-
фиксированных границах вычислительной области не
представляет особенных математических трудно-
трудностей, хотя их численная реализация может оказать-
оказаться довольно сложной. В качестве таких фиксиро-
фиксированных границ можно указать, например, непро-
непроницаемые стенки, входные и выходные границы
(Hirsch, 1990).
Вначале определим количество граничных
условий, которое необходимо для получения един-
единственного решения в окрестности фиксированной границы х—Х2 (рис. 2.8). Функции Ut
вычисляются при^ < х < Х2, а их значения при t = t0 заданы. Хотя система B.8.3) и не
сводится к инвариантам Римана, она, тем не менее, может быть записана относительно
переменной Римана w, определенной как
Нелинейная система B.8.5) в общем случае не может быть разрешена относительно w,
однако полученная система
-^+Л-^ = 0 B.8.6)
удобна для проведения характеристического анализа.
Линеаризуем систему уравнений B.8.6) путем замораживания элементов диагональ-
диагональной матрицы Л в точке (X2,t0 + At). Входящие в Л собственные значения могут быть
в этой точке как положительными, так и отрицательными. Решение системы B.8.6)
128
Гл. 2. Численное решение гиперболических систем
является линейной комбинацией бегущих волн, и можно утверждать, что уравнения,
соответствующие в B.8.6) положительным собственным значениям, описывают волны,
приходящие в рассматриваемую точку изнутри области. Пусть количество таких урав-
уравнений равно s. Тогда, чтобы получить единственное решение в точке (Х2, t0 + At), нужно
задать n — s граничных условий. Они определяются физической постановкой задачи.
2.8.2. Неотражающие граничные условия. В ряде случаев поведение ре-
решения известно только при х <С Хх или при х ^> Х2. Тогда нужно либо найти способ
переноса величин из бесконечности на рассматриваемую границу, либо, если это невоз-
невозможно, обеспечить затухание волн, приходящих в расчетную область. Очевидно, что
волны являются приходящими, если Xt > 0 при х = Хх и если Xt < 0 при х — Х2. Осталь-
Остальные волны являются уходящими.
Граничные условия, которые подавляют или уничтожают приходящие волны, назы-
называются неотражающими, поглощающими, или излучательными. Engquist, Majda A977),
Bayliss, Turkel A982) изучали такие условия для
линейных гиперболических систем. Для нелиней-
нелинейной системы с двумя независимыми переменны-
переменными Hedstrom A979) предложил граничные условия,
которые оказались эффективными при решении
нестационарных задач (Gustafsson, Kreiss, 1979).
Они были позднее обобщены на многомерные за-
задачи (Thompson, 1987, 1990); см. также обзор Иль-
гамова A990). Отметим также применение анало-
аналогичного подхода к магнитогидродинамическим за-
задачам (Sun, Wu, Dryer, 1995). Суть его может быть
сформулирована следующим образом: амплитуды
приходящих внутрь расчетной области волн на границе предполагаются не зависящими
от времени. Математически это означает, что для этих волн
Рис. 2.9. Многомерная вычислитель-
вычислительная область
или
dt
^Н-1'.н
=0,
= 0.
B.8.7)
B.8.8)
Условие B.8.7) означает, что возмущения инвариантов Римана, соответствующих
приходящим в расчетную область волнам, т. е. их отклонения от невозмущенных значе-
значений, равны нулю независимо от наличия возмущений, уходящих из расчетной области.
Система уравнений, которая объединяет B.8.4) и B.8.8), имеет вид
= о,
B.8.9)
х=Х,
где
i,\ ¦ -д— для уходящих волн,
О для приходящих волн.
2.8. Граничные условия 129
В вычислительной процедуре производные по х в B.8.9) можно находить с помощью
разностей назад.
В многомерном случае начально-краевая задача для U(x,f) решается в объеме т,
ограниченном поверхностью X (рис. 2.9). Решение в этом случае зависит (i) от системы
уравнений, (и) от начальных условий для U в объеме т и (ш) от нестационарных
граничных условий на поверхности X. Если на поверхности X систему B.8.1) переписать
в виде
-^ + ^-=Н, B.8.10)
dt дхх
или
— +А^— = Н, А=^г±, B.8.11)
dt дхх dU
где координата хх направлена перпендикулярно X, то процедура, описанная выше для
двух независимых переменных, может быть обобщена. При этом в многомерном случае
свободный член Н содержит не только не дифференциальные члены, но также производ-
производные в направлениях, касательных к границе. После диагонализации якобиевой матрицы
д?х /дU и умножения системы B.8.11) на составленную из левых собственных векторов
матрицу QL получаем
QT — +AQT ^— = QT H. B.8.12)
L dt Ldxx L
Если ввести вектор
L = AQL —, B.8.13)
охх
система B.8.12) принимает вид
QT—+ L = QTH.
L dt L
Как только вектор L найден на границе X, на ней можно вычислить производную по
времени от искомой переменной:
^) =(H-ORL)y. B.8.14)
dt /x v R Ух
Для уходящих волн компоненты Ьг вычисляются по формуле B.8.13) с использованием
разностей назад, в то время как для приходящих волн они полагаются равными нулю,
в соответствии со сделанным ранее предположением о независимости амплитуд этих
волн от времени.
Несколько иная формулировка неотражающих граничных условий была предложе-
предложена Rizzi A982) (см. также Rizzi, Eriksson, 1984). Она также основана на простейших
локальных условиях, которые могут быть получены из теоретических нелокальных гра-
граничных условий (Engquist, Majda, 1977). При этом подходе в принадлежащей границе
точке Р система линеаризуется в окрестности состояния, известного на предыдущем
временном слое. После этого рассматривается характеристическая форма одномерной
системы
^-+А^- = 0 B.8.15)
130 Гл.2. Численное решение гиперболических систем
(отметим, что хх — это координатная ось, перпендикулярная к границе в точке Р). Так
как система линейна, она может быть записана в инвариантах Римана w = QLU:
—+Л— = 0, A = QL^QR. B.8.16)
CfT (УХ-i
Рассмотрим, для определенности, выходную границу. В этом случае компоненты
вектора w, соответствующие приходящим волнам, переносятся в точку Р из бесконеч-
бесконечности. Компоненты, соответствующие уходящим волнам, можно экстраполировать на
границу из внутренних точек. После определения w на границе можно восстановить
вектор искомых переменных по формуле U = QRw.
Проиллюстрируем этот подход используя простую противопоточную схему первого
порядка точности. Введем сеточные функции w^ = w(x•, tn) с х • = j Ах и tn = n At. После
введения матриц
+ ± 1 B.8.17)
характеристики в окрестности сеточной точки (x-,tn) будут расположены так, как по-
показано на рис. 2.10. Следовательно, характеристически согласованная численная схема
имеет вид
Матрица |Л|, по определению, является диагональной матрицей, построенной с помо-
помощью модулей собственных значений.
Если граница расположена в точке х/+1,2, то величины w • и wJ_1 относятся к вну-
внутренним точкам, a w -+1 соответствует наружной точке. Если предположить, что функ-
функции внутри вычислительной ячейки постоянны, что естественно для схемы первого
порядка, можно положить
Ы+1 = Ы при А, > 0,
Юу+1 = Юоо При Я,- < 0.
Здесь (w^oo относится к величине инварианта Римана на бесконечности. Таким обра-
образом, поскольку схема использует только те компоненты вектора w +1, которые соответ-
соответствуют отрицательным собственным значениям, можно просто положить
wy+1=Woo. B.8.20)
Как видно из вышесказанного, система уравнений вначале линеаризуется в окрест-
окрестности граничной точки Р (например, в ближайшей к ней внутренней точке), а затем опе-
операции производятся с инвариантами Римана. Очевидно, что применение формул B.8.19)
к нелинейным системам может привести к большим вычислительным ошибкам, если
только граница вычислительной области не расположена так далеко от области взаи-
взаимодействия, что она может рассматриваться как расположенная на бесконечности (см.,
например, расчеты взаимодействия солнечного ветра с намагниченной межзвездной
средой в работе Ratkiewicz et al, 1998).
Описанная методика получила развитие в работах Гриня, Крайко, Славянова A981),
Милешина, Тилляевой A982), Sawada et al. A986). Общая идея заключается в заморажи-
замораживании входящей в B.8.15) матрицы А не в точке, лежащей внутри области, а в состоянии,
2.8. Граничные условия
131
являющемся результатом решения одномерной задачи Римана с начальными условия-
условиями, состоящими из параметров на бесконечности и в расчетной ячейке, примыкающей
к границе.
Другой подход берет начало в численном методе Ошера, хотя из дальнейшего будет
ясно, что его реализация при решении уравнений газовой динамики и магнитной гидро-
гидродинамики не требует обязательного применения формул Ошера. Решение в виде волны
разрежения, кроме того, и не существует в аналитическом виде для МГД-уравнений.
Предположим, что нужно сформулировать граничные условия для правой выходной
границы (см. рис. 2.10). В рамках методов конечного объема необходимо найти числен-
численный поток F .+112 на этой границе. Вектор U в точке j + 1, вообще говоря, неизвестен.
Мы, однако, знаем его на бесконечности и можем вычислить знаки собственных значе-
значений (А^оо. Предположим (Ат)оо является наименьшим положительным собственным
значением, для которого (Xm)j < 0. Тогда граничный поток можно оценить по формуле
(ср. с 2.3.82)
и*
B.8.21)
где U^ соответствует точке сегмента Гт на пути, соединяющем U • и U +1, для кото-
которой Хт = 0. Такой подход позволяет найти поток на границе с использованием только
величин во внутренних ячейках. Он обеспечи-
обеспечивает максимально возможный объем информа-
информации о граничных величинах при использова-
использовании только внутренних точек. Такая форму-
формулировка предполагает использование варианта
схемы Ошера с "естественным" выбором рас-
распределения сегментов интегрирования, в кото-
котором сегмент Г^ начинается в точке U и путь
интегрирования заканчивается сегментом TJn в
точке U -+1 (см. п. 2.3.3).
Описанный подход можно рассматривать
как дополнение к методу, основанному на ре-
решении задачи Римана между параметрами во
внутренней ячейке и на бесконечности, так как
последний метод приводит к ошибочным ре-
результатам как раз в случае указанного пове-
поведения собственных значений. Реализация гра-
граничных условий, основанных на решении в
форме волн Римана, для уравнений газовой ди-
динамики и магнитной гидродинамики будет описана ниже в соответствующих главах.
Отметим, что здесь были описаны только неотражающие граничные условия,
которые основаны на локальном характеристическом подходе. С другой стороны
(см. Engquist, Majda, 1977), точные неотражающие граничные условия, которые уни-
уничтожают ошибки, вызванные обрезанием расчетной области, с необходимостью долж-
должны быть нелокальными и выражаться при этом в терминах псевдодифференциальных
операторов. Это делает их неудобными для практических приложений. Тем не менее,
Л"
Л
Рис. 2.10. Вычисления вблизи границы
132 Гл.2. Численное решение гиперболических систем
нелокальные методы успешно применялись для решения ряда задач (см., например,
Givoli, 1991; Tsynkov, 1995). Софронов A992, 1998, 1999), Sofronov A998a, 1998b)
предложил и исследовал эффективные граничные условия для нестационарных мно-
многомерных течений. Упомянем также работы Tsynkov A998), Рябенького, Турчанинова,
Цынкова B000). Следует, однако, констатировать, что эти и другие нелокальные гра-
граничные условия предполагают, что граница лежит в области гладкости решения. Это не
дает возможности использовать их в случаях, когда она пересекается разрывами. Это ка-
кажется справедливым также и для граничных условий в дальнем поле, предназначенных
для расчета нестационарных многомерных аэродинамических течений и основанных
на анализе бихарактеристик (Roe, 1989). Последняя работа полезна еще и тем, что она
описывает некоторые несостоятельные подходы к реализации граничных условий в
дальнем потоке.
2.8.3. Эволюционные граничные условия. Другой тип граничных усло-
условий возникает, если система решается в ограниченной области, причем неизвестные
величины с внешней стороны границы описывается той же или иной гиперболиче-
гиперболической системой уравнений. Такой границей может быть ударная волна, тангенциальный
разрыв, ионизационный фронт и т. д. По-
прежнему нужно сформулировать гранич-
граничные условия, которые позволят получить
единственное решение, однако, в отличие
X от предыдущего пункта, нужно также опре-
определить скорость поверхности разрыва.
Рассмотрим вопрос о количестве гра-
граничных условий, необходимом для полу-
получения единственного решения начально-
краевой задачи для линейной системы урав-
уравнений с постоянными коэффициентами
У А— = 0. B.8.22)
Рис. 2.11. Поведение характеристик вблизи
границы Пусть граница определяется законом
своего движения х = X(t) или скоростью
dX/dt = W(t). Положим также, что компоненты г/ неизвестного вектора и при t =
= t0 заданы в области х > X(t0). Нужно построить решение системы B.8.22) в области
х > X(t). Вначале предположим, что скорость границы не совпадает ни с одной из
характеристических скоростей рассматриваемой системы, т. е.
В этом случае некоторые волны в решении A.4.12) являются приходящими к гра-
границе, т. е. они приносят значения своих амплитуд wm из области начальных условий.
Остальные волны являются уходящими от границы, т. е. они несут информацию, кото-
которая не предписывается начальными условиями. Они зарождаются на рассматриваемой
границе (см. рис. 2.11). Значит, амплитуды этих волн должны быть известны на ней.
Это обеспечивает постановку начально-краевой задачи для B.8.22).
2.8. Граничные условия 133
Предположим, что
Величины инвариантов Римана wl вдоль приходящих характеристик известны, в то
время как s значений wr должны быть заданы на основе дополнительных соображений.
Так как скорость границы W в общем случае неизвестна заранее, то ее тоже нужно
определить. Следовательно, полное число граничных условий, которые должны быть
заданы, становится равным s+\.
В механических задачах часто случается, что даже если движение границы не за-
задано, то имеется выражение, задающее зависимость W от щ. С другой стороны, и
соотношения между неизвестными функциями на границе могут включать W. В этом
случае имеется s + 1 уравнений вида
Ol(wl,w2,...,wn,W)=0, /=1,...,j+1. B.8.23)
Соотношения B.8.23) должны однозначно определять wl5...,ws и W. Кроме то-
того, никакое их следствие не может связывать амплитуды приходящих к границе волн
ws+l,..., wn. Последнее может случиться только в случае, если
Результат предыдущих рассуждений может быть сформулирован следующим обра-
образом: начально-краевая задача для линейной системы B.8.22) может быть однозначно
разрешена в точке (x,t), только если имеется s+1 граничное условие в виде B.8.23)
с ненулевым якобианом по wx,..., ws и W, где s — число уходящих от границы харак-
характеристик в этой точке. Такие граничные условия называются эволюционными. Можно
также сказать, что сама граница является эволюционной в данной точке. Если любое из
выражений W — Xt меняет знак вдоль границы, то необходимое количество граничных
условий, очевидно, будет функцией положения точки на границе.
Если решается задача с движущейся границей, разделяющей вычислительную об-
область на части, в каждой из которых решение управляется одной и той же или разными
системами, то в качестве s нужно рассматривать полное количество уходящих характе-
характеристик, покидающих границу в обоих направлениях.
Граничные условия для нелинейных задач называются эволюционными, если они
эволюционны для линеаризованной задачи. Линеаризация проводится в окрестности
u = u0 + 5u(jc, t), где u0 = const, a |5u| мало. Таким образом, эволюционность в этом
случае понимается как единственность решения задачи о взаимодействии границы с
малыми возмущениями <5и и S W (ср. с п. 1.4.4). Если число граничных условий слишком
велико, то решение не существует. Если их число меньше s + 1, решение не может быть
определено единственным образом. При этом можно, например, построить произвольно
растущее решение.
Следует отметить, что хотя решение линейной задачи и невозможно при числе гра-
граничных условий более s + 1, решение нелинейной задачи может существовать, только
134 Гл.2. Численное решение гиперболических систем
величины возмущений становятся немалыми. Это может, в частности, привести к рас-
распаду произвольного разрыва.
Если скорость границы W в некоторой точке совпадает с одной из характеристи-
характеристических скоростей Я/9 эта точка будет называться точкой Жуге (по аналогии с теорией
детонационных волн, см. Ландау, Лифшиц, 1992). К границам такого типа относятся
некоторые разрывы в механике сплошных сред. Они будут подробно рассматриваться
в гл. 7.
2.9. Методы с выделением разрывов
Качество применяемого для решения гиперболической системы уравнений численного
метода сильно зависит от его способности воспроизводить профили разрывов в вычис-
вычислительной области. Самым хорошим подходом, конечно, является точное удовлетворе-
удовлетворение законам сохранения на всех разрывах при аппроксимации производных только в
областях гладкости решения. Методы, основанные на этом подходе, называются мето-
методами с выделением разрывов. Их применение, однако, может привести к значительному
усложнению численного алгоритма. Кроме того, разрывы могут появляться в процес-
процессе вычислений, тем самым требуя разработки эффективного метода их обнаружения.
Использование такой технологии позволило провести численное моделирование ис-
исключительно сложной структуры течения около реальных самолетных конфигураций
(Marconi, Salas, Yaeger, 1976).
В предыдущих параграфах этой главы был описан альтернативный метод, суть
которого заключается в трактовке разрывов как непрерывных, хотя и резких, профилей
величин. В этом случае следует соблюдать осторожность, чтобы избежать возможного
нарушения монотонности функций и как можно точнее удовлетворить соотношениям
Гюгонио. В этой связи следует напомнить, что, если оставаться в рамках линейных схем,
только первый порядок аппроксимации позволяет сохранить монотонность сеточных
функций (см. п. 2.1 Л).
Как упомянуто выше, система Эйлера уравнений газовой динамики имеет гипер-
гиперболический тип и часто встречается в различных механических приложениях. Более
того, из-за важности этой системы для моделирования аэродинамических течений и
принимая во внимание ее относительную простоту, численные методы решения урав-
уравнений газовой динамики весьма развиты по сравнению с методами для более сложных
гиперболических систем, представляющих механический интерес. По этим причинам
методы с выделением разрывов для уравнений Эйлера, описывающих течения идеаль-
идеального газа и химически реагирующих смесей, будут рассмотрены отдельно в гл. 3. Ниже
обсуждаются лишь некоторые общие черты метода с выделением плавающих разрывов.
2.9.1. Выделение плавающих разрывов. В классический методах с вы-
выделением разрывов отслеживаются только те из них, существование которых известно
заранее (Бабенко и др. 1964; Любимов, Русанов, 1970). Нужно только найти точное
положение каждого разрыва в вычислительной области. Этот метод оказался полез-
полезным и применялся для решения задач сверхзвукового обтекания тел сложной формы
под большими углами атаки с одной внешней ударной волной, отделяющей область
определения неизвестных величин от области, где все параметры заданы граничными
2.9. Методы с выделением разрывов 135
условиями (Погорелов, Шевелев, 1983; Шевелев, 1986). Другие разрывы, которые мо-
могут появиться с течением времени, в этом случае рассчитываются методом сквозного
счета.
В принципе, все разрывы, которые присутствуют в вычислительной области, мо-
могут быть выделены. При этом процедура выделения становится сложной и требует
значительных затрат вычислительных ресурсов. Здесь будет представлен только об-
общий подход к решению этой задачи, основанный, в качестве примера, на одномерной
гиперболической системе
Она, как обычно, может быть представлена в квазилинейной форме
Процедура точного выделения разрывов, которые движутся по расчетной области и
взаимодействуют друг с другом (они также могут появляться и исчезать), часто назы-
называется выделением плавающих разрывов (Moretti, 191АЪ, 1975). Основной идеей этого
метода является применение конечно-разностного или конечно-объемного метода вы-
высокого порядка точности для решения системы уравнений B.9.2) только в областях
гладкости. Аппроксимация производных разностями, пересекающими разрывы, не до-
допускается. Для обнаружения и последующего слежения за положением разрывов при-
применяется метод характеристик.
Если используется выделение разрывов, не обязательно численно аппроксимиро-
аппроксимировать законы сохранения B.9.1) или систему для консервативных переменных B.9.2).
Квазилинейная форма записи системы уравнений более проста и может быть выписана
для удобных зависимых переменных и (см. п. 1.3.1),
где
д\х
Например, в газовой динамике запись системы для логарифмов давления и плотности
(Moretti, 1979) оказывается очень удобной при расчетах сильных разрежений.
Предположим, что система B.9.3) является строго гиперболической. При умноже-
умножении ее на матрицу QL, составленную из левых собственных векторов (векторов-строк)
V матрицы <?/, получается система соотношений совместности вдоль характеристик Ct
в виде
Систему B.9.4) можно также выписать как набор уравнений
где производные берутся вдоль характеристических направлений Ct = dx/dt = Я/9 / =
136
Гл. 2. Численное решение гиперболических систем
Ниже описываются элементы процедуры выделения разрывов, предложенной в ра-
работе Henshaw A987). Разобьем часть оси х, на которой ищется решение системы, на
отрезки равной величины Ах с центрами
в х . Значения и в этих точках будут ис-
t+At
Р(х, t+At)
j'
пользоваться для расчетов только в обла-
областях гладкости. Для решения характери-
характеристических уравнений нужно ввести допол-
дополнительные наборы точек х = xc(k). Число
k этих наборов равно числу разрывов в
вычислительной области. Точки, принад-
принадлежащие введенным наборам, в процес-
процессе вычислений могут двигаться по фикси-
фиксированной сетке. Регулярные точки, лежа-
лежащие на интервалах, определенных набора-
наборами характеристических точек, не могут ис-
использоваться в вычислениях. В общем слу-
случае характеристические точки могут вна-
вначале быть выбраны среди точек фиксированной сетки в областях больших производных.
Одним из возможных алгоритмов является следующий. Назовем точку х ¦ приемлемой
для включения в набор характеристических точек, если
Рис. 2.12. Метод характеристик для регуляр-
регулярных точек
) + uAx,
max -
\<i<n
B.9.6)
где || мг-1| — некоторая глобальная норма ut на расчетной сетке. Так как выписанное
выражение имеет порядок (АхJ, в областях гладкости решения нужно потребовать,
чтобы ? было больше этой величины. Аналогичным образом можно исключать точку
из характеристического набора, если она не удовлетворяет приведенному критерию.
Такой способ создает точки как около сильных, так и около слабых разрывов.
В областях гладкости характеристические уравнения могут быть решены с исполь-
использованием следующей неявной вычислительной процедуры. Предположим, что q(x, t)
является функцией, которая совпадает с решением в сеточных точках и меняется линей-
линейно между ними. Эта функция известна в начальный момент времени t. Для нахождения
решения в точке P(x,t + At) (см. рис. 2.12) со вторым порядком точности имеется си-
система из 2п характеристических уравнений (/ = 1,..., п)
B.9.7)
B.9.8)
Они записаны для характеристик, выходящих из точки х на временном слое t + At.
Таким образом, как х/9 так и q в точке Р неизвестны.
Для переноса выбранного набора характеристических точек со слоя t на слой t + At
нужно решать ту же систему уравнений для неизвестного х и заданной одной из то-
точек х , принадлежащей характеристической группе. После этого из каждой точки х
можно выпустить п характеристик и получить nx m точек на новом временном слое,
2.9. Методы с выделением разрывов
137
где m — число точек в данной группе. Для того, чтобы принять решение о необхо-
необходимости их удержания в характеристическом наборе, каждая из точек должна пройти
тестирование B.9.6).
Процедура решения характеристических уравнений около разрывов должна вклю-
включать граничные условия на них. Для ударных волн имеются соотношения Гюгонио
F(UR) - F(UL) = W (UR - UL),
B.9.9)
где W — скорость ударной волны. Отличительной чертой ударной А>волны (см. п. 1.4.4)
является пересечение характеристик А>го семейства, проведенных с обеих сторон раз-
разрыва.
Уравнения B.9.9) справедливы также и на обратимых (см. п. 1.4.1), например, тан-
тангенциальных разрывах, но характеристики одного семейства становятся параллельны-
параллельными друг другу. В этом случае дополнительным соотношением является формула
W = k? = X\. B.9.10)
Перед тем как переходить к следующему временному слою, характеристические
точки нужно проверить на присутствие разрывов. Это делается путем проверки воз-
возможности пересечения характеристик, принадлежащих одному семейству. Если разрыв
уже был обнаружен среди рассматриваемого набора точек, то векторы UR и UL не явля-
являются произвольными и, если удовлетворяется соотношение B.9.9), имеется начальное
приближение для скорости разрыва. Если соотношение B.9.9) не выполняется, то имеет
место более общий случай и все величины должны определяться путем решения зада-
задачи Римана. Это может случиться, например, если в начальный момент времени задан
произвольный скачок параметров или если два или несколько разрывов приближают-
приближаются друг к другу столь близко, что нужно рассматривать взаимодействие между ними.
В качестве альтернативы, для некоторых
специальных систем, например, уравнений
Эйлера газовой динамики могут быть ис-
использованы (Di Giacinto, Valorani, 1989)
соответствующие аналитические реше-
решения, описывающие пересечение разрывов
(Courant, Friedrichs, 1976).
Предположим, что на интервале, задан-
заданном одним из наборов характеристических
точек, обнаружен ^-разрыв. Нужно опреде-
определить его скорость и параметры на его пра-
правой и левой сторонах. В этом случае харак-
характеристики с номерами от 1 до к при t + At
приходят в точку нахождения разрыва xs с
его правой стороны, а характеристики с номерами от к до п — с левой (см. рис. 2.13).
Таким образом, имеем систему из Ъп + 2 уравнений
t+At
Рис. 2.13. Метод характеристик для точек,
принадлежащих разрыву
V
i — 1..... /с,
-о,
138 Гл.2. Численное решение гиперболических систем
RL R-UL); B.9.11)
= *,..., л.
Неизвестными являются uR, иьДи начальные точки хх ,...,xk,xk,...,xn характери-
характеристик в момент времени t. Используя в качестве начального приближения полученную на
предыдущем временном шаге скорость разрыва Wo можно организовать итерационную
процедуру, полагая
2.9.2. Выделение разрывов на подвижных сетках. В этом пункте опи-
описывается другой подход к выделению разрывов, который основан на вычислении неиз-
неизвестных величин и скоростей разрывов с помощью решения задачи Римана о распа-
распаде произвольного разрыва (Годунов и др., 1976). При таком подходе каждый разрыв
должен совпадать с границей расчетной ячейки. Это, очевидно, требует проведения
вычислений на движущейся сетке, адаптированной к разрывам. Для простоты рассмот-
рассмотрим этот подход в применении к решению нестационарной гиперболической системы с
двумя пространственными переменными. Кроме того, рассмотрим решение в подобла-
подобласти между некоторой фиксированной границей и одним из движущихся разрывов (см.
рис. 2.14). Форма вычислительных ячеек может, вообще говоря, быть произвольной.
Система ячеек является структурированной в том смысле, что ячейки могут быть про-
пронумерованы аналогично нумерации элементов прямоугольной матрицы. Пусть точки
50,... ,Bj лежат на разрыве, начальное положение которого известно. Задачей являет-
является определение новых координат вершин ячеек, так как движение разрыва приведет к
деформации всей сеточной структуры. Заменим неизвестные величины внутри ячеек
некоторыми постоянными усредненными величинами. Скорость разрыва находится в
процессе решения задачи. Она также определяет перестройку сеточной системы.
Решение задачи состоит из следующих трех шагов. На первом шаге вычисляется
движение граничного контура Во,..., Bj в пределах временного интервала между t0
и t0 + At. На втором шаге определяются положения всех вершин внутренних ячеек,
соответствующие новому положению границы. На заключительном шаге, с помощью
законов сохранения для каждой ячейки, вычисляются новые значения неизвестных при
to+At. Алгоритм этого вычисления будет обсуждаться для частного случая уравнений
Эйлера в следующей главе.
В простейшем случае лучи^050,... ,А1В1 фиксированы и нужно только найти способ
вычисления новых положений вершин ячеек, лежащих на этих линиях. Предположим,
что задание координат граничных вершин, лежащих на линиях A0,...,Aj и50,...,5/5
однозначно определяет позиции остальных вершин. Для этой цели достаточно задать
закон их распределения вдоль лучей. Это может быть сделано, например, с помощью
простых формул
xld =xf(l-Sj) +xfSj, yld =yf(l-sj) +yfs/,
0 = s0 < ...<Sj < ¦¦¦ <Sj= 1,
2.10. Энтропийная коррекция
139
В.
/-I В
'I В
1+1
А, В,
Рис. 2.14. Распределение сеточных точек
где xf, yf и xf, yf — это декартовы координаты точек Аг и 5,. Построение сетки закан-
заканчивается, если соединить с помощью прямых линий точки, которые имеют один и тот
же индекс j и лежат на соседних лучах. Выбор s ¦ позволяет манипулировать размером
ячеек, уменьшая его в областях больших градиентов решения. Теперь нужно найти
скорость разрыва Во,... ,Bj. Это может быть сделано следующим образом. На каждом
сегменте Bt_хВг разрыва решается одномерная задача Римана с начальными данны-
данными, заданными внутри и вне рассматриваемой подобласти. Выбранная для этой цели
пространственная координата должна быть перпендикулярна сегменту Bt xBt. Возмож-
Возможность такого подхода зависит от наличия точного решения соответствующей задачи
Римана. В качестве скорости разрыва нужно выбрать ту, которая равна скорости разры-
разрыва, полученной в точном решении. Таким образом можно найти скорость, которая точно
согласуется с соотношениями Гюгонио. В газовой динамике решение задачи Римана су-
существует даже для довольно сложных уравнений состояния. Оно состоит из разрывов
и волн разрежения, разделенных областями постоянных величин. Если грань вычисли-
вычислительной ячейки является сегментом тангенциального разрыва, то ее скорость совпадает
со скоростью тангенциального разрыва в решении одномерной задачи Римана. Если
сегмент является частью ударной волны, то решение будет состоять из двух ударных
волн и тангенциального разрыва и искомая скорость должна быть выбрана равной ско-
скорости ударной волны, которая встречает набегающий поток (Годунов и др., 1976). Ясно,
что скорости соседних сегментов, вообще говоря, не согласованы. Это может привести
к некоторой неопределенности в новом положении точки Вг. Для нахождения скорости
точки Вг можно использовать линейную интерполяцию между скоростями соседних
сегментов.
2.10. Энтропийная коррекция
Процедура энтропийной коррекции — это алгоритм, который позволяет избежать появ-
появления в численных результатах не физических решений, в частности, газодинамических
ударных волн разрежения. Такая коррекция вводит дополнительный механизм отбора
физически приемлемого решения. Далее будет описано несколько алгоритмов энтро-
энтропийной коррекции, которые используются в методах типа Годунова, основанных на
точном и приближенных решениях задачи Римана.
Численные ударные волны разрежения могут возникать в области, где одно из соб-
140 Гл.2. Численное решение гиперболических систем
ственных значений А гиперболической системы уравнений меняет знак, например,
Хт < 0 и Ят+1 > 0, см., например, разностную схему B.3.25), B.3.26). Пусть |А| в
матрице \А\ вычисляется по формуле усреднения
При значениях |Ат+1| ф 0 и \Хт\ ф 0 величина |А| может оказаться близкой к нулю.
В этом случае возникает вычислительная область с малой или нулевой численной дис-
диссипацией (вязкостью), которая в линейном приближении пропорциональна величине
|А|. Это может локально нарушить устойчивость метода и, при исчезновении диссипа-
диссипации, привести к возникновению физически недопустимого решения, каким является, в
частности, ударная волна разрежения. Заметим, что в схеме Ошера все точки с нулевыми
значениями собственных чисел выделяются, что автоматически исключает возникно-
возникновение ударных волн разрежения. Алгоритмы энтропийной коррекции используются в
тех методах типа Годунова, которые не учитывают явно обращения в ноль собствен-
собственных значений. Например, это методы КИР и Роу, а также сам метод Годунова A957),
основанный на точном решении задачи о распаде произвольного разрыва.
Таким образом, причины возникновения нефизических решений связаны с отсут-
отсутствием численной диссипации в областях с нулевыми значениями собственных чисел.
В этом случае схема не различает случаи течений с одинаковыми встречными скоро-
скоростями, где uL = u > 0, a uR = — г/, и с расходящимся потоком, где скорости направлены
в противоположных направлениях, uL = — uvlur = u>0.B первом случае образуется
ударная волна, во втором — волна разрежения. Однако в обоих случаях на оси сим-
симметрии течения будет выполнено равенство |А| = | — u-\-u\ =0. Этот пример может
объяснить появление энтропийных следов (нефизических немонотонностей), которые
иногда возникают в численных результатах вблизи оси симметрии и непроницаемой
стенки, где нормальная к границе компонента скорости равна нулю. В более общем
случае энтропийный след образуется там, где зависимость диссипативных членов от
времени сильно отличается от зависимости в соседних дискретных ячейках (Куропа-
тенко, 1966). Различные алгоритмы устранения немонотонностей на оси симметрии
исследовали и применяли ряд авторов (см., например, Masson, Taylor, Foster, 1969;
Иванов, Крайко, 1971; Roache, 1976; Матвеев, 1977; Шуршалов, 1980; Hindman, 1982;
Моисеев, 1996). Метод устранения немонотонностей при постановке условий на жест-
жесткой стенке описан выше, см. B.3.39).
Энтропийная коррекция обычно добавляет в указанных областях численную дисси-
диссипацию путем корректировки способа вычисления величины | А |. В обозначениях схемы
B.3.25), B.3.26) энтропийная коррекция эквивалентна замене матрицы
на матрицу _
M|=QR|A|QL=QR(|A|+9)QL,
где 0 = diagf^,..., Qn] — диагональная матрица с неотрицательными коэффициентами.
В общем случае для каждого А можно предложить следующую энтропийную кор-
коррекцию:
ДА = Ат+1-Ат, А = ^(Ат+Ат+1).
2.10. Энтропийная коррекция 141
Тогда _
|А| = |А| + в>тах(|А|,^|ДА|)
и |А| —> 0 только при Хт —у 0 и Ат+1 —у 0.
Huynh A995), Величко и др. A999) использовали процедуру такого типа в одно-
одномерных и двумерных газодинамических расчетах для собственных значений, равных
А = г/ ± с и A = v ± с, где и и v — компоненты вектора скорости течения газа, соот-
соответственно, вдоль осей х и у, а с — скорость звука. Однако необходимость коррекции
собственных значений, равных и и v, может быть необходимой при подавлении не фи-
физического численного явления называемого "карбункул", которое является следствием
численной неустойчивости, возникающей при расчете ударных волн, движущихся под
малым углом к одной из координатных линий (Quirk, 1994; Pandolfi, D'Ambrosio, 1998;
Gressier, Moschetta, 1998). В частности, он проявляется при обтекании затупленных
тел в виде локального "вздутия" фронта головной ударной волны на оси симметрии.
Указанная коррекция линейно-вырожденных характеристических полей может также
стабилизировать решения, возникающие при использовании метода установления по
времени (Pogorelov, Ohsugi, Matsuda, 2000). В этих случаях, однако, часто бывает трудно
ответить на вопрос о том, является ли неустойчивость численной или физической.
Пусть Хт и Ат+1 являются значениями собственного числа А, лежащими, соответ-
соответственно, слева и справа от границы дискретной ячейки с номером m + 1 /2. В частности,
для двумерных уравнений газовой динамики собственные значения равны и±с, и и
v ± с, v. Тогда энтропийная коррекция , которую предложил Harten A983), имеет вид
при |А| > <5,
B.10.1)
при |А| < 8.
Здесь / дает скорректированное значение величины /, а / означает какое-либо из ее
усреднений /. В одномерном случае значение величины 8 может полагаться равным
константе в диапазоне от 0.1 до 0.5 (Harten, 1983). В двумерных вычислениях 8 выби-
выбирается равным (|й| + |v|)e, где ? — малый параметр из интервала от 0.1 до 0.25. Можно
также полагать 8 = (\й\ + |v| + c)e (Yee, 1989). При выполнении неравенства |А| <С 8
получаем |А| = j8. Что касается выбора усредненных величин, то для метода КИР
можно использовать арифметическое усреднение
1J — I 77 —I— 77 1 V "^Z. — A7 —I— 17 1
2 \ m m-\-\' ^ 2 ^ lit I X'
В методе Роу следует выбирать усреднение по правилу
и —
где р — плотность. Выбор усреднения в схеме Роу описан в п. 3.4.4.
Вместо коррекции B.10.1) могут быть использованы ее различные версии (Сазонов,
Семенов, 1993).
Версия 1:
X 'm|Am|+'m+l|Am+l1, B.10.2)
142
Гл. 2. Численное решение гиперболических систем
1.
2
0.0 1.0 2.0 3.0
Рис. 2.15. Обратное течение в канале со ступенькой. Изображены изолинии плотности
~^[ для метода Роу.
где sm = sm+l = 1 для метода КИР nsm = у/р^ и sm+l = у/
Комбинирование B.10.1) и B.10.2) дает следующую энтропийную коррекцию.
Версия 2:
*т+\
25
при |Я|^><5,
при \X\S < 8.
B.10.3)
Коррекцию B.10.3) можно также дополнить анализом поведения собственных зна-
значений в форме B.3.64) (Евсеев, Семенов, 1990). Это дает Версию 3 алгоритма коррек-
коррекции B.10.1). При этом если Хт < Ят+1, то характеристики являются расходящимися и
возможно локальное возникновение волны разрежения. В этом случае для соответству-
соответствующего Я применяется энтропийная коррекция B.10.3). Если выполняется соотношение
Хт > Ят+1, то характеристики сходятся. В этом случае возможно образование ударной
волны и вводить энтропийную коррекцию нет необходимости.
Изложенные версии энтропийной коррекции имеют достаточно широкое примене-
применение. Наиболее эффективной и универсальной среди них является версия 3. Ее исполь-
использование позволило исключить ударные волны разрежения и получать более точные
течения в веере разрежения, чем при применении версии 1. Однако несколько лучшие
результаты по исключению ударной волны разрежения в расчетах течения в канале
со ступенькой (Woodward, Colella, 1984) были получены с помощью версии 2. Тем не
менее, версия 3 является более универсальной и надежной в сравнении с версией 2.
На рис. 2.15 приведены результаты численного расчета стационарного газодинами-
газодинамического течения в канале со ступенькой. Скорость газа направлена справа налево. При
этом левый отрезок до ступеньки на оси х = 0 является свободной границей. Заметим,
что в этой задаче используются те же параметры течения, которые выбраны в тестовой
задаче Woodward, Colella A984), но скорость течения направлена в противоположную
сторону. На рис. 2.15 показано 15 изолиний плотности при ртах = 1.3124 и pmin =
= 0.0858. Вычисления проводились на равномерной сетки с шагами по пространству
равными Ах = Ау = 0.05. Начальные данные при t = 0 полагались равными
p@,x,j>0.2) = 1.4, p@,x,j<0.2) = 0.14, р@,х,у) = 1,
i/@,x,j>0.2) = -3, г/@,х,7<0.2) = 0, v@,x,j) = 0.
2.10. Энтропийная коррекция 143
Показатель адиабаты равен 1.4. Рассмотренная задача дает возможность проверить
точность численного метода. Для нее должно быть выполнено соотношение sin a =
= 1 /М, где М— число Маха в набегающем потоке, а а—угол наклона верхней изолинии
плотности на рис. 2.15; см. ниже соотношение C.6.63). Расчеты были выполнены при
М=3.
При численном решении этой задачи вблизи ступеньки могут возникать отрицатель-
отрицательные значения плотности. Применение энтропийной коррекции B.10.1)—B.10.3) позво-
позволило отдалить момент возникновения таких не физических значений. Однако только
применение версии 3 дает возможность их исключить (Сазонов, Семенов, 1993).
Для метода Годунова, основанного на точном решении задачи Римана, можно ре-
рекомендовать энтропийную коррекцию, предложенную Чарахчьяном B000а). Дадим ее
описание в применении к двумерной схеме для уравнений газовой динамики, записан-
записанной в виде B.2.6)
,+ l/2,,>l/2,y
А
At Ах Ay
l/2y). E,
,,,±1/2
где Ах и Ау — шаги равномерной пространственной сетки, соответственно, вдоль ко-
координатных осей х я у. Двойные нижние целые индексы (/,/) обозначают значения
величин в центрах соответствующих двумерных ячеек, а полуцелые нижние индексы
относятся к значениям величин на границах ячеек. Последние находятся из решения
соответствующей задачи Римана.
Опишем алгоритм процедуры коррекции. На каждом шаге по времени и в каждой
вычислительной ячейке (/,/) вычисляется величина
^тах = тах^у, 5/+1 ^ j, Sj_ i^j, S^ J+±, S^ j_i, 5/+i /2, у > ^z-1 /2, у > ^/, y+1 /2 •> ^/, y-1 /2)' B-10.4)
где S — энтропия. Величины S с полуцелыми индексами в B.10.4) учитываются толь-
только если внутрь ячейки через соответствующую границу движется ударная волна. Если
f1 x' то энтропийная коррекция не применяется. В противном случае полагается
ах и p)fl = p)fl •> гДе Р — давление, а / обозначает скорректированное значе-
значение величины /. Значения внутренней энергии e/7^+1 и плотности р^+1 определяются
исходя из значений <Smax, P и уравнения состояния среды. Значения других величин
не корректируются. Если внутрь дискретной ячейки от всех границ движутся только
волны разрежения, следует полагать S^+1 = S^ ир^х — ркг] и определить ?*+1 и р^+1
способом, который описан выше.
В случаях когда сложное уравнение состояния общего вида не позволяет вычис-
вычислять энтропию в явной аналитической форме, энтропийную коррекцию вида B.10.4)
следует использовать для любой газодинамической функции, которая возрастает с уве-
увеличением S. В частности, для проведения анализа можно использовать энтропийную
температуру Ts = T(S,p). Для идеального совершенного газа Ts = TJj (p/pfA , где
Т — температура, у— показатель адиабаты.
Описанный алгоритм энтропийной коррекции позволяет устранить любые энтро-
энтропийные следы, возникающие вблизи непроницаемых жестких стенок и в волнах раз-
разрежения. Этот алгоритм был применен при численном исследовании процесса обра-
образования двумерных кумулятивных струй и взаимодействия сильных ударных волн со
144
Гл. 2. Численное решение гиперболических систем
4
3
2
1
/л
О
О
" да
А ^
-
I
о3 °к
1 ! i
10
15
Рис. 2.16. Энтропийный след в значениях вычисленной температуры (о) вблизи левой непрони-
непроницаемой жесткой стенки и значения температуры после коррекции (А)
свободной границей металл-вакуум при использовании для металлов широко диапазон-
диапазонного УРС в лагранжевой системе координат (Чарахчьян, 2000а). На рис. 2.16 показаны
численные результаты одномерного моделирования удара алюминиевой пластины о
жесткую стенку в точке х = 0. Пластина имела относительную скорость 5 км/с. Точное
решение состоит из ударной волны, движущейся от стенки вправо. На рисунке изобра-
изображен профиль температуры через 30 шагов по времени после столкновения. Кружочки
отмечают результаты, полученные методом Годунова, основанном на точном решении
газодинамической задачи Римана. Треугольники отмечают результаты, которые прак-
практически совпадают с точным решением и были получены с применением алгоритма
энтропийной коррекции B.10.4).
Такая энтропийная коррекция, по-видимому, может также быть использована для
устранения неподвижных энтропийных слоев вблизи стенок и в волнах разрежения в
эйлеровой системе координат.
2.11. Заключительные замечания
В этой главе описаны некоторые основные приемы, используемые при построении
TVD-методов высокого разрешения для решения гиперболических систем уравнений.
Рассмотрены различные подходы к решению задачи Римана, которая является одним
из основных элементов численных методов типа Годунова. В этой связи нужно отме-
отметить, что здесь не анализировались детально различные методы продвижения решения
по времени и повышения порядка пространственного разрешения с применением ин-
интерполяции величин внутри ячеек полиномами высокого порядка. Основное внимание
уделялось монотонным противопоточным схемам для законов сохранения, основанным
на подходе MUSCL (monotone upstream schemes for conservation laws), который исполь-
использует интерполяцию сеточных переменных для достижения высокого порядка точности.
Методы, не использующие подход MUSCL, обсуждались мало. Рассмотрение этих во-
вопросов может быть найдено в работах Yee A989), Hirsch A990), Того A997).
Нужно также отметить наличие метода, использующего расщепление потока, ко-
2.11. Заключительные замечания 145
торый представляет из себя простейший способ введения противопоточности путем
представления потока F(U) на грани ячейки в виде суммы F~(UR) +F+(UL), такой
что можно применять разности вперед или назад, соответственно, при дифференци-
дифференцировании якобиевых матриц d?~(\J)/d\J и <9F+(U)/<9U. Этот поход ввели Mulder, van
Leer A983) и Anderson, Thomas, van Leer A985), добавившие подход MUSCL в схему
Стеджера-Уорминга (Steger, Warming, 1981). Van Leer A982) разработал такое расщеп-
расщепление специально для уравнений газовой динамики совершенного газа. Отметим в этой
связи предложенный в работе Liou, Steffen A993) метод AUSM (advection upstream
splitting method) и его модификацию (Liou, 1996). Эти методы основаны на расщепле-
расщеплении, которое различает конвективные и акустические волны. Разработанный алгоритм
позволяет получить точное разрешение одномерных ударных волн и тангенциальных
разрывов, сохраняя при этом положительность плотности при сильных разрежениях
потока. Это позволяет избежать появления эффекта "карбункула" (Quirk, 1994; Pandolfi,
D'Ambrosio, 2001), который тесно связан с нелинейной неустойчивостью ряда схем. Эф-
Эффективной является схема HLLE (Harten, Lax, van Leer, Einfeldt), см. Einfeldt et al. A991),
которая усовершенствует метод Роу в областях малой плотности. Нужно также отметить
неявные (Yee, 1989) и симметричные (Yee, 1987; Tadmor, 1997) TVD-схемы.
В основной части этой главы отмечено, что TVD-схемы любого порядка аппрок-
аппроксимации уменьшают его до первого на разрывах. Для устранения этого недостатка
TVD-ограничение должно быть ослаблено. Например, в TVB (total variation bounded)
схемах требуется только ограниченность полной вариации, т. е. TV[ww] < В, где ко-
коэффициент В положителен и зависит от м°. Очевидно, что TVD-свойство включает в
себя TVB. Такие схемы предложены Shu A987). Оказалось, что они могут быть рав-
равномерно точными по пространственным переменным. Дальнейшее развитие привело к
введению ENO (essentially nonoscillatory) схем (Harten, 1987; Harten, Osher, 1987; Harten
et al., 1986, 1987; Shu, Osher, 1988, 1989), в которых TVD-ограничение заменяется
требованием неувеличения количества экстремумов. Технически результат обеспечи-
обеспечивается выбором шаблона полиномиальной интерполяции высокого порядка, обеспе-
обеспечивающим наименьшие осцилляции из всех возможных. Недавно были разработаны
WENO (weighted essentially nonoscillatory) схемы (Liu, Osher, Chan, 1994). В то время
как ENO-схемы используют наиболее гладкий из нескольких шаблонов, WENO-схемы
выбирают усредненный с весами шаблон, использующий все возможные шаблоны. Ве-
Веса подбираются на основе локальной гладкости решения таким образом, чтобы они
были близки к нулю для негладких шаблонов, но были оптимальны в областях гладко-
гладкости решения. WENO-схемы действуют аналогично ENO-схемам возле разрывов, но в
областях гладкости они ближе к центрированным противопоточным схемам.
Нужно отметить, что современные методы сквозного счета (TVD, ENO, WENO),
имеющие порядок выше третьего, являются весьма неэкономичными и, очевидно, тре-
требуют специальных видоизменений в окрестности границ. С другой стороны, высокий
порядок аппроксимации необходим при моделировании сложных задач вязко-невязкого
взаимодействия, в особенности при наличии турбулентности. Заметим также, что нели-
нелинейным разностным схемам присущи высокоамплитудные колебания разностных про-
производных при схемной вязкости ниже определенного предела (Остапенко, 1998). Для
подавления возможных нелинейных неустойчивостей иногда вводят специальные ал-
алгоритмы (Pogorelov, Ohsugi, Matsuda, 2000; Pogorelov, Kryukov, 2000) увеличения вяз-
вязкости как в окрестности звуковых точек, так и в областях точек торможения потока
146 Гл.2. Численное решение гиперболических систем
(энтропийная коррекция). Отметим, однако, что использование процедур энтропийной
коррекции к линейно вырожденным характеристическим полям приводит к введению
чрезмерно большой вязкости у поверхностей тел и тангенциальных разрывов и поэто-
поэтому мало пригодно для правильного расчета вязко-невязких взаимодействий. Одним из
подходов, позволяющих избежать этого является введение ограничителей вязких по-
потоков (Того, 1992b). Yee, Sandham, Djomehri A999) предложили применение в рамках
базовой схемы узкого сеточного шаблона, присущего классическим схемам высокого
разрешения. В дальнейшем вводится TVD-, ENO- или WENO-диссипация в комбина-
комбинации с методом искусственного сжатия (Harten, 1978), которые действуют как характе-
характеристические фильтры. Окончательный сеточный шаблон в этом случае существенно
уменьшается. Применение этого подхода к существующим численным методам суще-
существенно улучшает разрешение тонкой структуры течения (Yee, Vinokur, Djomehri, 2000;
Vinokur, Yee, 2000; Yee et al, 2000).
Обратим внимание еще на одно немаловажное обстоятельство. Известно, что многие
физические явления характеризуются неустойчивостями. Они могут также появляться
в вычислениях. О природе неустойчивостей трудно сделать окончательное заключение
только на основе численных исследований, в особенности если используются нелиней-
нелинейные разностные схемы. Как отмечено в работе Yee, Sweby A998), прямое применение
даже хорошо проверенных численных методов для моделирования недостаточно понят-
понятных физических проблем может привести к неверным результатам, излишне медленной
сходимости или даже несходящимся решениям. Для понимания нелинейного поведе-
поведения численных алгоритмов и раскрытия происхождения численных неопределенно-
неопределенностей применяются, например, методы теории динамических систем (Yee et al., 1999).
Несмотря на их важность, вопросы существования и единственности численных реше-
решений гиперболических систем общего вида в настоящей книге не рассматриваются.
Глава 3
Уравнения газовой динамики
В этой главе описаны численные методы сквозного счета и методы с выделением раз-
разрывов, которые применяются для численного моделирования течений сплошной среды
в рамках многомерных уравнений газовой динамики. Рассматриваются методы типа
Годунова, основанные как на точном, так и на приближенных решениях задачи Римана
о распаде произвольного газодинамического разрыва. Среди них особое внимание уде-
уделяется схемам Куранта-Изаксона-Риса (КИР), Роу и Ошера-Соломона. Они позволяют
адекватно описывать распространение и взаимодействие различного рода разрывов и
при этом сохраняют в их окрестности монотонность профилей сеточных функций.
Описанные ниже методы типа Годунова позволяют проводить численные расчеты
с использованием уравнения состояния (УPC) сплошной среды достаточно общего ви-
вида. Хотя при решении широкого класса задач газовой динамики можно использовать
уравнение состояния идеального совершенного газа, ряд физических задач требует
использования более сложных УРС, например, для металлов, керамики, полимеров
и др. Современные УРС являются широко диапазонными, частично полу эмпирически-
эмпирическими, учитывают многофазность и описывают поведение не только газообразного со-
состояния вещества, но также плазменного, твердого, жидкого, а также их смесей (см.,
например, Бушман, Фортов, 1983; Ионов, Селиванов, 1987; Бушман, Ломоносов, Фор-
Фортов, 1992; Куропатенко, 1992; Ross, Young, 1993). В ряде случаев уравнения состояния
задаются в форме таблиц. Все это может приводить к определенным трудностям при
использовании сложных УРС в известных численных алгоритмах. Поэтому ниже будет
описан ряд практических рецептов по преодолению такого рода проблем. В качестве
примеров использования численных методов высокого разрешения рассматриваются
задачи о распространении волн в средах со сложными УРС, струях в лазерной плазме
и взаимодействии солнечного ветра с межзвездной средой.
3.1. Системы уравнений
Нестационарная система уравнений Эйлера газовой динамики, описывающая трехмер-
трехмерные течения идеального газа, имеет вид
^ C.1.1)
0, C.1.2)
C.1.3)
Здесь р = p(t,x,y,z) — это плотность, t — время, (x,y,z) — декартовы координаты в
пространстве, v = \(t,x,y,z) = [i/,v,w]T — скорость движения газа, I = diag[l, 1,1] —
148 Гл. 3. Уравнения газовой динамики
единичный тензор размерности 3x3, ? — удельная внутренняя энергия, е = ре +
+ \р [г? + v2 + w2) — полная энергия единицы объема, а р = р(р, е) — давление.
Соотношение между /?, р и ?, например, в форме /? = р(р,?) или ? = е(р,/>), назы-
называется уравнением состояния (УРС). В частности, УРС идеального совершенного газа
имеет вид
р = {у-\)ре, г = -^Г^- C-1.4)
Величина Т = (у— 1)е — это температура, выраженная в энергетических единицах, а
7 > 1 — показатель адиабаты. Более сложное, так называемое, двучленное УРС несо-
несовершенного газа записывается в виде
Оно позволяет в определенном приближении описывать свойства материалов, в том
числе находящиеся в жидком и твердом состояниях. В выражении C.1.5) величины
р0, р0 и с0 — это некоторые константы, где р0 = рос$/у. В частности, для численного
моделировании взрывной сварки металлов (Godunov et al, 1970; Годунов и др., 1976)
были использованы следующие константы: р0 = 8.93 г/см3 и с0 = 3.97км/с для меди,
р0 = 7.87г/см3 и с0 = 5.0км/с для железа. Для ряда металлов /находится в диапазоне
между 3 и 3.5 (Зельдович, Райзер, 1966). Для воды принимается р0 = 1.0 г/см3, р0 =
= 3047 бар и у = 7.15 (Cole, 1948). Условия р = 0 при р = р0 и ? = 0 дают возможность
сохранять начальное равновесие среды. Уравнение C.1.4) получается из C.1.5) при с0 =
= 0 и р0 = 0. Возможны и другие формы задания УРС, в частности, в виде р = р(р,Т),
е = е(р,Т) и др.
Из первого и второго закона термодинамики (Седов, 1976) следует тождество Гиббса
de = -pdr\ + dQ= -pdr\ + Tds,
где dQ — это приток тепла, Т — температура, а г\ = 1/р — удельный объем. Из
равенства C.1.5) при этом следует, что энтропия s является функцией только величины
S = у(р + ро)/рг, которую будем в дальнейшем называть энтропийной функцией.
Заметим, что уравнение состояние C.1.5), как и другие, более сложные, УРС допус-
допускает существование отрицательных значений давления. В частности, отрицательные
давления имеют место в C.1.5) при малых величинах ? и р < р0. Отрицательное дав-
давление описывает процесс растяжения среды. Если величина отрицательного давления
такова, что превосходится предел прочности материала, то может начаться процесс его
разрушения. Тем самым использование УРС, допускающих отрицательные давления,
позволяет учитывать процессы разрушения в рамках газовой динамики.
Приведем описание несколько более точного метода моделирования разрушения
сплошной среды, который основан на дополнительном введении в рассмотрение коэф-
коэффициента объемной пористости i/л, где 0 < \f/ < 1, см., например, Zukas et al. A982),
Канель, Фортов A987), Бушман и др. A988), Канель и др. A996). В этом случае эф-
эффективная плотность материала р полагается равной A — \р)р°, где р° — начальная
плотность неразрушенного материала. Тогда система уравнений записывается в виде
^ + div(pv) = 0, C.1.6)
at
3.1. Системы уравнений 149
-^- + div(pvv) + A - у) div(/?i) = 0, C.1.7)
at
de
— + div[ev+ A - у)р\] = 0, C.1.8)
где р = р(р°,е), а эффективное давление равно величине A - у)р. При разрушении
у = 1, следовательно, эффективное давление равно нулю и материал будет находиться
в порошкообразном состоянии.
Выписанные уравнения дополняются уравнением для i/л в виде
pn, C.1.9)
at
где функция П в правой части уравнения описывает кинетику зарождения и роста пор
(микропустот) в материале.
Консервативные уравнения C.1.1)-C.1.3) описывают законы сохранения массы га-
газа, его импульса и полной энергии. В развернутой форме эта система записывается в
виде
dp dpu dpv dpw
7 + ~~5 •" ~5 •" ~~5— = °' C.1.10)
at ax ay dz
дри d(pu2+p) dpuv dpuw _ mm
dt * dx dy ^ dz " ' ^' ' }
dpv dpvu d(pv2+p) dpvw m it*
at ax ay az
dpW dpWU dpWV d(pW2+p) /Q 11-24
H 1 1 = 0, C.1.13)
ax ay az
3 H11
at ax ay az
де д(е + р)и d(e + p)v d(e + p)w
^ + +
dx + dy + dz
_
Течения сплошной среды, которые описываются уравнениями газовой динамики, явля-
являются достаточно распространенными и включают в себя природные течения, а также
течения газа в различного рода технических и авиационных конструкциях, при обте-
обтеканиях аэродинамических профилей и тел сложной формы (см., например, Liepmann,
Roshko, 1957; Зельдович, Райзер, 1966; Абрамович, 1976; Courant, Friedrichs, 1976; Ро-
Рождественский, Яненко, 1978; Шевелев, 1986).
Система уравнений C.1.10)-C.1.14) для одномерного случая имеет вид
dV dF
^7 + ^ = 0' (ЗЛЛ5)
U= [p,pi/,pv,pw,e]T, e = pe+^-pO2 + v2 + w2); C.1.16)
F= [pu,pu2+p,puv,puw, (e + p)u]T. C.1.17)
В квазилинейной неконсервативной форме она записывается в виде
^-+^^- = 0, C.1.18)
at ax
150
где
Гл. 3. Уравнения газовой динамики
А =
0 10 0 0
—u2+Qb 2u—ub —vb —wb b
—uv v u О О
—uw w 0 u 0
—uh+u6b h—u2b —uvb —uwb u+ub
C.1.19)
h =
? e
q2
P
? ? ?
= u2+v2+w2,
Pe (dp\
Pe
Величина h называется полной энтальпией. Система уравнений C.1.18) является ги-
гиперболической. У матрицы ее коэффициентов А имеются только действительные соб-
собственные значения и полная система собственных векторов. Следовательно, она может
быть диагонализирована и записана в виде
Можно показать, что
1
и—с
V
w
0
0
1
0
0
0
0
1
1
и
V
w
1
и+с
V
w
h—uc v w h—c2/b h+uc
C.1.20)
:R = —, i=—; C.1.21)
R b p
Л = diag[w—с, г/, г/, г/, u+c],
C.1.22)
6+uc/b —u—cjb —v — w 1
-2vc2/b 0 2c2/b 0 0
-2wc2/Z? 0 0 2c2/b 0
2h-2q2 2u 2v 2w -2
Q—uc/b —u+c/Ъ —v -w 1
C.1.23)
PPe
C.1.24)
Величина с называется скоростью звука. Используя выражение C.1.24), выражение
для в можно переписать виде
с2
C.1.25)
P Pe b
Усреднением системы уравнений C.1.15)—C.1.17) по сечению канала получаются
3.1. Системы уравнений
151
уравнения газовой динамики, которые описывают квазиодномерные течения газа в ка-
канале с произвольным сечением s = s(x) > 0 (Рождественский, Яненко, 1978):
dps dp us
dt
dx
dpus d(pu2s
dt дх
des d(e + p)us
ds _
дх ~ '
dt
дх
~
C.1.26)
C.1.27)
C.1.28)
Добавляя к уравнениям C.1.26)—C.1.28) еще одно уравнение ds/dt = 0, получаем
"расширенную" систему из четырех уравнений. Эта система в квазилинейной форме
принимает вид
ди ~ди
dt дх
U= \ps,pus,es,s]T, e =
C.1.29)
где
А =
О 10 0
-u2+Qb 2u-ub Ъ -ррр
—uh+u6b h—u2b u+ub up—
0 0 0 0
C.1.30)
h =
e + p
n 2 e
0 = u
P
Pe ( dp\
2
= u z-
с2
Система уравнений (З.Ь29)кявляется гиперболической и матрица^ может быть диаго-
нализирована, так что А = QRAQL, где Л = diagfiz—с, г/, м+с, 0],
QT =
о 9
2cz
6+uc/b -u-c/b 1 p-pc3/[(c-u)b]
2h-2u2 2u -2 -2p
Q-uc/b -u+c/b 1 p- pc3/[(c+u)b]
0 0 0 2c4/[(c2-u2)b]
1 1 1 р
и—с и и+с О
h—uc h—c2/b h+uc (h—u2)p + (u2—c2)p/c2
OOO (с2-и2)/с2
C.1.31)
Здесь detQR = 2(c2—u2)c/b. Отметим, что вместо уравнения, которое описывает ста-
стационарность сечения ds/dt = 0, могут использоваться и другие уравнения, которые
описывают изменение сечения во времени, когда s = s(t,x).
152 Гл. 3. Уравнения газовой динамики
Для решения задач в рамках выписанных систем уравнений их нужно дополнить
соответствующими начальными и граничными условиями. В частности, для систе-
системы C.1.1)-C.1.3) при t = О должны быть заданы p@,x,j,z) = po(x,y,z), v@,x,j,z) =
= \0(x,y,z) и e@,x,y,z) = eo(x,y,z). При этом на границах вычислительной области
должны быть заданы граничные условия, которые, например, могут быть выражены че-
через потоки F C Л Л 7) или заданы в виде условий на неподвижной непроницаемой стенке,
когда нормальная компонента скорости полагается равной нулю. Корректная постанов-
постановка граничных условий ранее обсуждалась в разд. 2.8, см. также Годунов и др. A976),
Roache A976), Нажесткина, Русанов A980).
Существуют различные обобщения уравнений классической газовой динамики. Бо-
Более общие модели включают в себя описание смеси реагирующих газов (или компонен-
компонентов), которые могут иметь свои собственные плотности, скорости и энергии, а также
уравнения состояния (см., например, Soo, 1967; Дейч, Филиппов, 1968; Седов, 1976;
Салтанов, 1979; Oran, Boris, 1987). В общем случае при рассмотрении п газовых ком-
компонентов, обобщенная система уравнений газовой динамики включает в себя п законов
сохранения (изменения) массы компонентов, п векторных уравнений сохранения (изме-
(изменения) импульса и п уравнений описывающих изменения энергии. Иногда, принимая во
внимание дополнительные физические соображения или предположения, общее число
этих уравнений может быть уменьшено (см. п. 3.5.1). При этом все эти модели описы-
описываются гиперболическими системами уравнений. Две из таких обобщенных моделей
выписаны ниже.
3.1.1. Уравнения двухтемпературной газовой динамики. Рассмот-
Рассмотрим одну из простых моделей, обобщающих уравнения классической газовой дина-
динамики. Она описывает в гидродинамическом приближении течение квазинейтральной
плазмы, которая состоит из электронов и ионов, и называется системой уравнений
двухтемпературной газовой динамики. Течения плазмы, описываемые этими уравне-
уравнениями, достаточно распространены (Голант, Жилинский, Сахаров, 1977; Арцимович,
Сагдеев, 1979; Нога, 1981; Duderstadt, Moses, 1982).
Двухтемпературная газовая динамика обычно учитывает только плотность ионов,
так как масса электрона мала по сравнению с массой иона. В квазинейтральной плазме
пренебрегают разделением зарядов и считается также, что скорости электронов и ионов
совпадают и рассматривается только одна общая скорость среды. Однако при этом
электроны и ионы могут иметь различные собственные энергии и уравнения состояния.
Рассмотрим для простоты двумерный случай, в котором нестационарная система
двухтемпературных уравнений газовой динамики в эйлеровом описании имеет вид
^ C.1.32)
= 0, C.1.33)
at
дЕЛ
^ di(?)di /1, C.1.34)
-г^- + div(?2v) +/?2divv = /2. C.1.35)
Здесь р = p(t,x,y) — это плотность, t — время, (х, у) — двумерные декартовы коорди-
3.1. Системы уравнений 153
наты, v = \(t,x,y) = [u,v]T — скорость движения плазмы, I = diag[l, 1] — единичный
тензор размерности 2 х 2, Ех = р?х и Е2 = ре2 — внутренние энергии единицы объ-
объема, соответственно, для электронов и ионов, ?х и ?2 — удельные внутренние энергии
электронов и ионов, е = р?х + р?2 + jp (u2 + v2) — полная энергия единицы объема,
Р\ — P\(piE\) — электронное давление, а р2 = р2(р,Е2) — ионное давление. При
этом, следуя закону Паскаля о парциальных давлениях, полное давление равно р =
= р{р^Ех^Е2) = рх + р2. В общем случае правые части уравнений C.1.34) и C.1.35)
могут иметь свободные члены /j и/2, которые учитывают дополнительные физические
процессы, например, поглощение излучения, электрон-ионный обмен, электронную и
ионную теплопроводности и др. (Brueckner, Jorna, 1974; Duderstadt, Moses, 1982).
Электронный и ионный газы имеют свои собственные уравнения состояния. В част-
частности, УРС идеального совершенного газа C.1.4), при условии дополнительного учета
вырождения электронного газа (члены, помеченные индексом deg), может быть исполь-
использовано для описания электронов (Duderstadt, Moses, 1982; Зельдович, Райзер, 1966):
Здесь Тх — это температура электронов, выраженная в энергетических единицах, ух —
показатель адиабаты электронной компоненты, а /3 — константа, зависящая от свойств
вещества.
Модель идеального совершенного газа может быть использована также для опи-
описания ионов. При этом в выражениях для давления и энергии в ряде случаев следует
учитывать, так называемые, упругие свойства "холодного" вещества, т. е. свойства ве-
вещества при нулевой температуре (Ионов, Селиванов, 1987; Зельдович, Райзер, 1966):
?2 = уЗТ + ?сош(Р)> Р2=РТ2+Рсоы(Р)' (ЗЛ-36)
р ?cold__p2_^cold_ 7] = —. C.1.37)
сош dr\ dp p
Здесь Т2 — это температура электронов выраженная в энергетических единицах, а у2 —
показатель адиабаты для ионной компоненты. Сравнивая уравнения C.1.5), C.1.36) и
C.1.37), можно найти выражения ?cold и /?cold, например, для двучленного УРС C.1.5):
ecoid = С*РУ +y-^Tf' />соЫ = (У-1)с*Ру-/?с с, = const.
у-1 +Ро_
Если при р = р0 положить pcoXd = 0, получаем
17 Р V 1 - Ро
*-Г-и±-±\к
Ро/ \Р Ро
Уравнения C.1.32) и C.1.33) описывают законы сохранения массы и импульса двух-
температурной плазмы. Уравнения C.1.34) и C.1.35) описывают изменение внутренних
энергий Ех кЕ2. Заметим, что вместо уравнения C.1.34) или C.1.35) можно использо-
использовать уравнение C.1.3), выражающее закон сохранения полной энергии.
154
Гл. 3. Уравнения газовой динамики
Аналогично рассматривается трехтемпературная газовая динамика, которая описы-
описывает движение ионов и электронов, а также тепловое излучение в веществе. В этом
случае уравнения C.1.32)—C.1.35) должны быть дополнены еще одним уравнением,
которое описывает изменение внутренней энергии Еъ газа фотонов, или газа тепло-
теплового излучения. Это уравнение аналогично уравнениям C.1.34) и C.1.35). Уравнение
состояния для теплового излучения имеет вид
1 1 X ^а X ^а 4G
= —J-ъ
J> J> J р UL
Здесь ръ = ръ{р,Еъ) — давление, производимое тепловым излучением, а % — коэффи-
коэффициент, зависящий от скорости света cL и константы Стефана-Больцмана ст. Величина
Г3 — это температура теплового излучения, а ?3 — удельная внутренняя энергия теп-
теплового излучения (Зельдович, Райзер, 1966). В этом случае полное давление в уравне-
уравнении C.1.33) равно р — рх +р2+р3.
В одномерном случае уравнения C.1.32)—C.1.35) принимают квазилинейный вид
^7+^ЗГ = 0' U=[p,pi/,pv,?1,?2]T,
где
А =
О 10 0 0
-и2+а0 2и 0 ах а2
—uv v и 0 0
-uhx hx 0 и 0
—uhn hn 0 0 и
C.1.38)
C.1.39)
Ех+рх
А,=
Е2+р2
др
а, =
др
р "dp дЕх ' 2 дЕ2 '
Система C.1.32)—C.1.35)является гиперболической, и матрица^ приводится к диаго-
диагональному виду C.1.20), где
0
0
C.1.40)
— V
-к
-h2
ао-ис
ао+ис
0
0
0
+с
—с
1
0
0
0
0
0
1
0
ах
ах
1
a2
3;
detQL = -2с" \
А = diag[i/, и, и, и+с, и—с],
0 -2а,
1
2?
0
4Х
—2ua
2с2 -
0 2(ao+V2)
-2а2
—2иа2
—2va2
-2hxa2
1 1
и+с и—с
V V
A
0 -2h2ax 2{ao+hxax) h2
hx
C.1.41)
C.1.42)
i i i dp
_ др_ Е^ др_
p dEx p dE2 v '
Величина с — это скорость звука.
3.1. Системы уравнений
155
3.1.2. Смесь идеальных химически реагирующих газов. Может ока-
оказаться удобным представление системы уравнений в криволинейной системе координат
х1 (/ = 1,2,3). Векторы ковариантного базиса ?/9 которые касаются координатных линий
в любой точке, определенной радиус-вектором г, задаются формулами
?; =
дг
Пусть g — метрический тензор этой системы координат, a gt- и g1J — его ковари-
антные и контравариантные компоненты. Они образуют элементы взаимно-обратных
матриц (см. Седов, 1976, а также любой учебник по тензорному исчислению, например,
Векуа, 1978; Коренев, 2000). Тогда для любого бесконечно-малого элемента длины ds
имеем
ds2 = \dr\2 = dr-dr = dxldxJei • Sj = glJdxldxJ.
Из этого следует, что матрица [gt] и, следовательно, матрица [g/J] симметричны.
Используя g/J, можно ввести контравариантный базис Е1 = g/J?,. Контравариант-
Контравариантные А1 и ковариантные Аг компоненты вектора А могут быть введены как
Тензор второго ранга Т аналогично может быть представлен как
т = TueleJ = TiJeter
Легко видеть, что
где 8Jp — символ Кронекера.
Так как gtJ. = ?г • Ej и glJ = е1 • ?J, ясно, что длины базисных векторов ?г и г1 суть v/g~
и yfg". Эти векторы можно нормировать и ввести физические компоненты векторов А^
и А,л как
Рассмотрим систему уравнений
?i
dGf
дУ д^_ д?[ dG _
dt + дхх + дх2 + дх3 " '
C.1.44)
описывающую трехмерные невязкие течения многокомпонентного химически реагиру-
реагирующего газа и записанную в консервативном виде в произвольных координатахх1, х2, х3
с использованием физических контравариантных компонент u = v^\ v = v^2\ w = v^3)
вектора скорости v (Погорелов, Шевелев 1981; Погорелов 1988а, 1988b). Здесь
р
ри
pv
pw
е
ри
pu2+pgngn
puv + pgn^/g^g^
puw + pgn^/g^g^
(e + p)u
РЩ
156
Гл. 3. Уравнения газовой динамики
pv
puv + pgl
pv2+pgzzg22
pvw + jpg23v^g^
(e + p)v
pvct
puw + pgu,/g^g^
pvw + pg23,/g22g33
pw2+pg*3g33
(e + p)w
Pwci
Кроме того, р, />, e и cl = pjp — это плотность, давление, полная энергия единицы
объема смеси и массовые доли (концентрации) компонентов (/ = 1,... ,7V). Кроме того,
g — определитель метрического тензора, а Г1 ¦ — символы Кристоффеля. В послед-
последней формуле суммирование по индексу / не производится. Обратим внимание на то,
что переход к криволинейным координатам привел к появлению недифференциального
источникового члена Н'. Это иногда осложняет вычислительную процедуру решения
гиперболической системы (LeVeque, 1998; Hubbard, Garcia-Navarro, 2000). Появление
символов Кристоффеля обусловлено правилом дифференцирования тензора в криволи-
криволинейных координатных системах
dA dAkeh dAk
дх>
дх>
Акдек дАк ,
е _|_ АК IL = е _|_ AK
к+ дх, - дх- к+
Отметим, что структура системы уравнений не изменилась после введения уравнений
неразрывности для индивидуальных компонентов и легко проверить, что она остается
гиперболической.
Рассмотрим смесь с К химическими реакциями между N компонентами Af.
2>?
1=1 1=1
где kf и к~ — константы скоростей прямых и обратных реакций. Полная скорость г-й
реакции равна
N
N
где [Aj\ = pcl/Ml =
— это мольная плотность /-го компонента, а М1 и р/ —
его молекулярная масса и массовая плотность. Так как r-я реакция дает v^
молей А}, массовая скорость производства А1 равна
r> —
Проводя суммирование по всех химическим реакциям, находим
C.1.45)
г=\
В химическом равновесии все с1 тождественно равны нулю.
3.2. Метод Годунова для уравнений газовой динамики 157
3.2. Метод Годунова для уравнений газовой динамики
Интегральная форма уравнений газовой динамики C.1.1 )-C.1.3) имеет вид
d
prfG +*pv.<S = 0, C.2.1)
dt \J J Jg J Js
iUlIoedG)+fs{e+p)y-ds=0- C-23)
Здесь G — это конечная область в трехмерном пространстве (x,y,z), dG = dxdydz —
элемент объема, S—поверхность, ограничивающая область G, dS = n dS— ориентиро-
ориентированный элемент поверхности S, где п — внешняя нормаль к S, a dS—элемент площади;
а • b обозначает скалярное произведение двух векторов а и Ь.
Для построения схемы Годунова для уравнений C.2.1)—C.2.3), записанных в инте-
интегральной форме, применим метод конечных объемов, который также называют интегро-
интерполяционным методом (Самарский, Попов, 1992). Для этого покроем всю вычис-
вычислительную область дискретными ячейками состоящими из произвольных выпуклых
конечных многогранников с объемами G/9 где / = 1,2,..., и с числом граней m = m(i),
каждая из которых имеет площадь S ¦, где j — 1,..., m(i). Аппроксимируем интегральные
уравнения в каждом из многогранников следующим образом:
Qk+\ _ Qk m(i)
ОГ А/' + X Rj (V, ¦ Sy) = 0, C.2.4)
^ )l
At bj y jj
Ш 7=1 7=1
ек m(i)
i Af l +X(^ + i?y)(vy'sy) = 0' C-2-6)
Ш 7=1
где S • = n -S-, a At — шаг по времени. Нижний целый индекс / в уравнениях C.2.4)-
C.2.6) обозначает величины функций, отнесенные к центру масс /-го многогранника,
а нижний целый индекс j обозначает величины функций, отнесенные к центру у'-й
грани дискретной ячейки. Верхний целый индекс к обозначает номер шага по времени.
Соответствующие большие буквы в формулах обозначают плотность R, скорость V,
давление Р и полную энергию Е на гранях дискретной сеточной ячейки. Эти "большие"
величины вычисляются путем решения задачи Римана для уравнений газовой динамики
на этих гранях.
Явная конечно-объемная схема Годунова для общего случая движущейся простран-
пространственной дискретной сетки записывается в виде, см. также уравнения B.2.9) и B.2.10):
+^ду([ур]8) =о, C.2.7)
At J=1
)i + ^ ([у - D] • Sk+l% + X Pj Si+1/2 = 0, C.2.8)
7=1 7=1 J
158
Гл. 3. Уравнения газовой динамики
- (eG)?
7=1
,- ([V - D] ¦
pj (V •
7=1
C.2.10)
7=1
Здесь Dy — это скорость движения центра у'-й грани дискретной ячейки. Величины
/? -, V -, fey и Pj определены на у'-й грани. Заметим, что величины объемов Gt и ори-
ориентированных элементов площади S , вообще говоря, зависят от времени. Полуцелые
верхние индексы к + 1/2 в уравнениях C.2.7)-C.2.10) обозначают значения соответ-
соответствующих величин в момент времени t + jAt. Уравнение C.2.10) является дискретным
условием совместности аппроксимаций для G и S или, иными словами, уравнением
изменения объема дискретной ячейки Gt. При заданной аппроксимации площадей S
уравнение C.2.10) можно использовать для определения объемов Gf+1. В ряде случаев
это дает поправку к величине объема, вычисленного исходя только из геометрических
рассмотрений. Выполнения уравнения C.2.10) можно также добиться выбором подхо-
подходящих величин Dj. Важнейшее свойство таких аппроксимаций заключается в том, что
решение уравнений газовой динамики в виде состояния U = Uo = const является также
решением дискретных уравнений C.2.7)-C.2.9). Соблюдение этого условия важно при
использовании движущихся и криволинейных систем координат.
При D = 0 получаем уравнения C.2.4)-C.2.6) в эйлеровой форме. При D = V полу-
получаем уравнения газовой динамики в лагранжевой форме, когда поток массы газа через
грани дискретных ячеек является нулевым.
///////Р//////////////9//////
ff/fff/Pff/fffffffPfffff
h
Рис. 3.1. Выбор распределения сеточных функций внутри дискретных ячеек
Напомним идею численного метода Годунова на примере одномерной задачи. Рас-
Рассмотрим две соседние ячейки с номерами ix и /2 и общей границей с номером j
(рис. 3.1а). Будем считать, что плотность, скорость и энергия внутри каждой из таких
дискретных ячеек являются кусочно-постоянными функциями. Это позволяет вычис-
вычислить значения плотности р^ ир^, скорости у1- hvJ, внутренней энергии е^ и е^ на
левой (Z) и правой (К) сторонах у'-й границы. Используем найденные значения в каче-
качестве начальных данных для решения задачи о распаде произвольного газодинамическо-
газодинамического разрыва с целью нахождения величин R, V и Е на движущейся (или неподвижной)
границе дискретной ячейки.
3.2. Метод Годунова для уравнений газовой динамики 159
В трехмерном случае распределение плотности, скорости и энергии для решения
задачи Римана вычисляются в центре у'-й грани пространственной ячейки. При этом
вектор скорости удобно представить в виде V = [U, V,W]T, где U — его компонента по
нормали к границе дискретной ячейки, аГи^ — тангенциальные компоненты.
Полученная разностная схема C.2.4)-C.2.6)устойчива на равномерной прямоуголь-
прямоугольной сетке при условии
< тах|Сх| + тах|С>,| +max|Cz| < 1, C.2.11)
где Сх, Су и Cz — это числа Куранта, соответственно, для осей x,yviz:
Здесь Ax, Ay и Az — шаги равномерной сетки вдоль соответствующих направлений,
ас — скорость звука. Условие C.2.11) можно следующим образом обобщить на сетки,
состоящие из произвольных выпуклых многогранников (Беликов, Семенов, 1997с):
1
max-
Vn=\-n.
Для равномерной прямоугольной сетки и постоянной скорости потока этот критерий
дает условие устойчивости C.2.11).
Выписанная выше схема является схемой первого порядка точности по времени и
по пространству. Применение более высокого порядка точности может стать необходи-
необходимым по следующим причинам. Когда сетка является существенно неравномерной по
пространству, то схема первого порядка может давать решения с неприемлемо больши-
большими численными ошибками: ошибка может в этом случае быть порядка самого решения
(Иванов, Крайко, 1978; Русанов, Безменов, Нажесткина, 1984, 1986). При этом схема
первого порядка точности может иметь значительную численную вязкость, которая
будет "размазывать" профили сеточных функций.
Точность схемы может быть повышена путем применения ряда ранее рассмотрен-
рассмотренных методик (разд. 2.5 и 2.7). Порядок точности численного метода по пространствен-
пространственной координате можно увеличить применением тех или иных интерполяционных ал-
алгоритмов. Пусть распределения р, v и ? внутри каждой из дискретных ячеек описыва-
описываются линейными функциями (рис. 3.1Ь). Тогда величины pL,pR, vL, vR, ?L и ?R можно
вычислить на левой и правой сторонах границ со вторым порядком точности по про-
пространственным переменным. Линейное распределение плотности, скорости и энергии
внутри каждой из ячеек может быть построено применением алгоритмов реконструк-
реконструкции, описанных ранее в разд. 2.7. Повышение порядка точности метода по времени
производится применением методов типа предиктор-корректор (разд. 2.5 и 2.7).
Схема C.2.7)-C.2.10) записана в декартовой системе координат. При ее рассмотре-
рассмотрении в криволинейной недекартовой системе координат, в частности, в цилиндрической
или сферической, возникают вопросы связанные с выбором того или иного способа
дискретной аппроксимации интегральной формы уравнений в криволинейных коорди-
координатах. При этом выделяется класс инвариантных разностных схем, которые основаны
на специальном выборе аппроксимации, позволяющей сохранить те или иные дополни-
дополнительные виды симметрии исследуемого течения. Такая инвариантная разностная схема
160 Гл. 3. Уравнения газовой динамики
для двумерных уравнений газовой динамики, обладающая свойством сильного сохра-
сохранения симметрии, была построена в работе Годунова и др. A976). Разностная схема,
обладающая свойством сильного сохранения симметрии для трехмерных уравнений
газовой динамики, построена в работах Шведова A984, 1986, 1987, 1990).
3.3. Точное решение газодинамической задачи Римана
Построим точное решение задачи Римана для уравнений газовой динамики с различ-
различными двучленными УРС C.1.5) по обеим сторонам начального разрыва. Важность
нахождения такого решения обусловлена тем, что оно позволяет учитывать свойства
среды достаточно общего вида при использовании специальной аппроксимации дву-
двучленным УРС.
При конструировании решения будем следовать логике построения точного реше-
решения для случая одного двучленного УРС, использованной ранее Годуновым и др. A976).
При этом будут применяться соотношения на разрывах в компактной форме, получен-
полученной Н. Е. Кочиным (Kotchine, 1926). Сначала будут построены базовые элементарные
решения, а точное газодинамическое решение общего вида будет построено на основе
их комбинации.
3.3.1. Элементарное решение 1: ударная волна. Первое элементарное
решение уравнений газодинамики — это движущийся разрыв. Рассмотрим интеграль-
интегральную форму уравнений газовой динамики
<?(Udx-Fdt) = 0, C.3.1)
Jl
где L — контур, ограничивающий конечную область интегрирования на плоскости (х, i).
Проводя выкладки, аналогичные выводу формулы B.2.14), получаем соотношения на
разрыве в виде
^{U}-{F} = 0, C.3.2)
где W = const — это скорость движения разрыва. Здесь использовано обозначение
{q} = qx — q2, где индексы 1 и 2 обозначают переменные, соответственно, слева и
справа от разрыва. Пусть \]х = [pl,ul,vl,wl,el]T,pl =jr>(p1,e1) hU2 = [p2,i/2,v2,w2,e2]T,
р2 =/?(р2,?2) являются постоянными, а двучленное УРС имеет параметры у, р0 и
с0, см. C.1.5). Отметим, что однородные состояния Uj и U2, каждое по отдельности,
удовлетворяют уравнению C.3.1). Из уравнения C.3.2) находим следующие формулы,
связывающие величины Uj, U2 и W на движущемся разрыве
W{p}-{pu} = 0, C.3.3)
W{pu}-{pi? + p} = 0, C.3.4)
W{pv] - {puv} = 0, C.3.5)
W{pw}-{puw} = 0, C.3.6)
W{e}-{eu + pu} = 0. C.3.7)
Если эти условия выполнены, то рассматриваемый движущийся разрыв является фор-
формальным решением уравнения C.3.1).
3.3. Точное решение задачи Римана 161
Для удобства описания всех конфигураций разрывов удобно записать соотношения
C.3.3)-C.3.7) в системе координат, связанной с разрывом. Введем в рассмотрение новую
переменную V — u — W. Величина V представляет собой скорость потока газа в этой
системе координат. Используя равенство {W} = 0 и выражения для V и потока массы
газа через разрыв т = р V = рх Vx = p2 V2, перепишем соотношения C.3.3)-C.3.7) в виде
C.3.8)
:0, C.3.9)
{m[Uv2 + v2 + w2) + — + г]} = 0, C.3.10)
1 L2V р ]/
{mv} = {pVv} = 0, {mw} = {pVw} = 0. C.3.11)
Предположим, что поток массы газа через разрыв т = pV не равен нулю. В этом
случае будет иметь место ударная волна, для которой из условия C.3.11) следует
{v} = v1-v2 = 0, {w} = w1-w2 = 0. C.3.12)
Случай нулевого потока массы газа pV = 0 будет рассмотрен отдельно.
Для этого случая уравнения C.3.8)—C.3.10) позволяют выписать компактные выра-
выражения для нахождения значения г/2, ?2 и р2 как функций р2, /?1э рх nW (Kotchine, 1926;
Годунов и др., 1976).
Из соотношения C.3.8) получаем
C.3.13)
Р2
Используя это соотношение и уравнение C.3.9), выводим формулу
= pV ± P2-P1
Подстановка выражений для Vl и V2 в C.3.10) дает соотношение
с _с -Р2+Р1
Используя УРС C.1.5) для исключения ? из уравнений C.3.15), получим, так называе-
называемое, соотношение Рэнкина-Гюгонио:
п п
Р2 " Pl (Р2+Р0КГ- 1) + (Pi +Po)G+ 1)
Таким образом Vx выражается через р2, pv и рх в виде
3 17)
Из уравнения C.3.8) следует, что {т} = 0. Тогда
162 Гл. 3. Уравнения газовой динамики
Знак перед квадратным корнем следует выбирать таким образом, чтобы имела ме-
место ударная волна с возрастающим за ней значением энтропии (Рождественский, Янен-
ко, 1978). Это условие используется для отбора физически приемлемых решений и
для рассматриваемого УРС оно эквивалентно условию возрастания давления (Ландау,
Лифшиц, 1986)
S2 >SX ^^p2 >Р\-
Дадим описание всех возможных конфигураций ударных волн.
Левая ударная волна
Будем называть ударную волну левой, если поток газа через нее вдоль оси х направлен
слева направо (рис. 3.2а), т. е. т = pV = (и— W)p > 0. Обозначим параметры потока
слева от данной ударной волны через р:, щ, е1 и /?1э а справа от нее — через R1,U,E1vlP
(рис. 3.2а). При этом будем полагать, что УРС газа характеризуется параметрами у:, р01
и с01. Используя соотношение {mV + р} = 0, получаем следующее уравнение, которое
связывает U яР при Р > р^.
t/-M+^Z^L = O, C.3.18)
у [(^ + ^oi)Gi + 1) + (ft +A)i)Gi " 1)].
В рассмотренном течении выполнены неравенства
ul-cl>W>u-c, C.3.19)
или Vj- Cj> 0 и V -с < 0. Отсюда следует, что характеристики одного из семейств
подходят к ударной волне с обеих ее сторон.
Правая ударная волна
Будем называть ударную волну правой, если поток газа через нее вдоль осих направлен
справа налево, т. е. т = pV = (и — W)p < 0. Обозначим параметры потока слева от
данной ударной волны через Ru, U, Еи и Р, а справа от нее — через рп, г/п, ?п и /?п
(рис. 3.2Ь). При этом будем полагать, что УРС газа характеризуется параметрами уп,
Рои и соп-
Применяя соотношение {rnV + р} = 0, получаем следующее уравнение, которое
связывает U яР при Р > /?п:
t4 0' C-3-2°)
/Ил
ХГп + 1) + (Ai+^oii)Gh - 1)]-
В рассмотренном течении выполнены неравенства
и + с> W>ull + cll, C.3.21)
3.3. Точное решение задачи Римана
163
Рис. 3.2. Схемы нестационарных течений; <
тангенциальный разрыв
) — это ударная волна или волна разрежения, О —
или V + с > 0 и Vu + cu < 0. Отсюда следует, что характеристики одного из семейств
подходят к ударной волне с обеих ее сторон.
Ударная волна является автомодельным решением относительно переменной ? =
= х - Wt, где W = const. Это решение может быть также автомодельным относительно
переменной ? = x/t, если движение разрыва задается уравнением x — Wt. Заметим,
что такой автомодельный разрыв в координатах (х, i) представляется прямой линией,
задаваемой уравнением Е, = W = const.
3.3.2. Элементарное решение 2: тангенциальный разрыв. Следую-
Следующим элементарным решением уравнений газовой динамики является, так называемый,
тангенциальный разрыв. Он представляет собой специальный случай разрыва, движу-
движущегося со скоростью W = U = const. Отсюда следует, что поток массы газа через него
будет нулевым, так как т — pV — (u — U)p = p\V\ — р2^2 ~ ®- Обозначим значения
переменных слева от тангенциального разрыва через p1,u1,v1nw1,a, справа от него —
через р2, u2, v2 и w2. Тогда из формул C.3.8) и C.3.9) получаем, что ux = u2 = U и
рх — р2 = Р9 а из соотношений C.3.11) получаем, что значения vl5 v2, Wj и w2 могут
164
Гл. 3. Уравнения газовой динамики
быть произвольными.
Контактный разрыв является частным случаем тангенциального разрыва. Он разде-
разделяет два газа с различными термодинамическими параметрами или уравнениями состо-
состояния при отсутствии относительного движения между этими газами. В более сложных
моделях течений, например, в магнитной гидродинамике разница между тангенциаль-
тангенциальным и контактным разрывами является более фундаментальной и принципиальной (см.
гл. 5).
3.3.3. Элементарное решение 3: волна разрежения. Уравнения газовой
динамики также имеют непрерывно-дифференцируемые элементарные решения. Такие
решения могут быть найдены из системы уравнений записанных, в неконсервативной
форме
C.3.22)
= 0, C.3.23)
C.3.24)
Рх
ut + uux-\ = О,
Р
Pt + Upx
Для решения этой системы преобразуем ее к характеристическому виду.
Относительно переменных W = [p,i/,v,w,/>]T система C.3.22)-C.3.24) принимает
вид
W,
= о,
C.3.25)
где
рица QL
Y(P+Po)
0
0
0
0
в =
и
0
0
0
0 )
р
и
0
0
</>+
левых собственных
0
0
0
у(/? + /?0)
Г(п+ Пъ)
0 0
1 0
0 1
0 0
0 0
-р"
0
0
—с
Л-с
0
0
и
0
Ро) °
0
0
0
и
0
векторов
, detQ
0
1/Р
0
0
и _
В записывается
L=2pV, c =
Пусть Л — диагональная матрица собственных значений матрицы В, а именно
Л = diag[i/, г/, г/, и — с, и + с]. Тогда рассматриваемая система уравнений записывается в
виде
Такая форма уравнений называется характеристической формой системы C.3.25). Ее
развернутый вид есть
dwh
k=\
5
к=\
=l,...,5,
3.3. Точное решение задачи Римана 165
Будем искать решение в автомодельном виде W(x,/) = W(^) = W(jc/f). Подставляя
его в характеристическую форму, находим
(kp-%)^QLpk-2T- = 0, р= 1,...,5.
к=\ d$
Таким образом, точное решение должно удовлетворять одной из следующих пяти си-
систем уравнений (а = 1,..., 5):
А„-?=0, C.3.26)
(Afi-?)VQTfi,^ = 0, /3 = 1,...,5; рфа. C.3.27)
Очевидно, что достаточно рассмотреть три вида систем уравнений C.3.26), C.3.27),
которые соответствуют трем различным собственным числам и, и — с и и + с. Обозна-
Обозначим эти случаи, соответственно, номерами I, II и III и рассмотрим каждый из них по
отдельности.
Случай I:
= 0.
Точное частное решение этих уравнений имеет вид и — ^.р— —р0 = const. При этом
значения v и w являются произвольными.
Случай II:
и-с-% = 0, C.3.28)
Y(P + Po)Pt;-pPt; = 0, у{р + Ро)и^+ср^ = 0, C.3.29)
Ve = 0, Wz=Q =^ v = const, w = const. C.3.30)
Второе уравнение этой системы эквивалентно уравнению S* = 0, или S = const, где
S = у(р + ро)/рУ — энтропийная функция. Из третьего уравнения и соотношения S =
= const следует
или wL = u + 2с/(у— 1) = const, где wL — это, так называемый, левый инвариант Римана.
Случай III:
C.3.31)
о$$ о^ ~ СР$ = °' 0332)
v = 0, We=0 =^ v = const, w = const. C.3.33)
Из этих уравнений следует, что S = const и wR = и — 2с/(у— 1) = const, где wR — правый
инвариант Римана.
166 Гл. 3. Уравнения газовой динамики
Левая волна разрежения
Будем называть волну разрежения левой, если поток газа через нее вдоль о сих направлен
слева направо (рис. 3.2с), т. е. (и — ?)р > 0. Это подразумевает, что в ней выполнены
соотношения
и-с=?п C.3.34)
2с
wL = и Л = const, C.3.35)
C.з.36)
Действительно, (и — ?,)р = рс > 0. Обозначим параметры потока газа слева от данной
волны разрежения через р:, щ, ?: и /?1э а справа от нее — через Rl9 U^EjVlP (рис. 3.2с).
При этом двучленное У PC газа задается параметрами у1? р01 и с01. Используя соотноше-
соотношение C.3.35), получим следующее уравнение, которое связывает U яР:
или, применяя C.3.36),
Правая волна разрежения
Будем называть волну разрежения правой, если поток газа через нее вдоль оси х направ-
направлен справа налево (рис. 3.2d), т. е. (и — Е, )р < 0. Это подразумевает, что в ней выполнены
соотношения
C.3.38)
2с
= const, C.3.39)
C.з.4О)
s
Р7
Действительно, (и — %)р = —рс < 0. Обозначим параметры потока газа слева от данной
волны разрежения через Ru, U, Еи и Р, а справа от нее — через рп, мп, е:1 ири (рис. 3.2d).
При этом УРС газа задается параметрами уп, рт и с011. Используя соотношение C.3.39),
выводим уравнение, связывающее U яР:
или, при использовании C.3.40),
и-илл-^— \( Р + Рт ) -lj=0, x=^—-' C.3.41)
7ц х LV/7
3.3. Точное решение задачи Римана 167
О постановке граничных условий на скачке площади сечения
Описанные выше одномерные элементарные решения при v = w = 0 могут рассмат-
рассматриваться как квазиодномерные течения газа в канале с постоянным сечением. Может
возникнуть вопрос о построении решения, когда в канале имеется скачок площади се-
сечения, см. уравнения C.1.26)—C.1.28). Этот вопрос изучался в ряде работ (Дулов, 1958;
Яушев, 1967), обзор экспериментальных и теоретических исследований по данной тема-
тематике может быть найден в работе Рождественского, Яненко A978), см. также Trebinski,
Wlodarczyk A983). В соответствии с этими работами на скачке сечения образуется ста-
стационарный разрыв (W = 0) с двумя типами условий. Первый тип условий получается
путем прямого формального интегрирования уравнений на разрыве C.1.26)—C.1.28):
{pus} = 0, C.3.42)
p-s + ps} - {s}p= 0, C.3.43)
} = 0, C.3.44)
где р — некоторое давление называемое реакций стенки, соединяющей каналы разных
диаметров и равное по величине давлению газа на срезанную стенку площади \{s}\.
Величина р зависит от газодинамических параметров потока и отношения сечений и
может быть определена либо из экспериментальных данных, либо исходя из каких-либо
дополнительных теоретических предположений (Дулов, 1958; Яушев, 1967).
Во втором типе условий полуэмпирическое соотношение C.3.43) заменяется на
условие изэнтропичности S = const. Такое решение справедливо, когда сужение канала
происходит, с одной стороны, на расстояниях много меньших характерной длины кана-
канала, но, с другой стороны много больше его диаметра. В принципе, возможны и другие
постановки задачи, в которых учитывается диссипация энергии. Это имеет место в тех
случаях, когда изменение поперечного сечения канала не является достаточно медлен-
медленным по сравнению с диаметром трубы. Такая задача требует специального изучения и
здесь рассматриваться не будет.
3.3.4. Точное решение общего вида. Общее точное решение задачи Римана
для уравнений газовой динамики с двучленным У PC состоит из элементарных решений,
которые отделены друг от друга областями с постоянными значениями параметров, так
как такие состояния также являются точными решениями уравнений газовой динамики.
Напомним, что характеристики одного из семейств подходят к ударной волне (УВ) с
обеих ее сторон. Поэтому если в решении есть ударная волна, то в этом решении не
может быть волны разрежения (ВР) распространяющейся по газу в эту же сторону
из-за противоречия между соотношениями C.3.19) и C.3.34) или C.3.21) и C.3.38).
Следовательно, в каждую из сторон от тангенциального разрыва (ТР) идет либо ударная
волна, либо волна разрежения (Kotchine, 1926), см. рис. 3.2е. При этом тангенциальный
разрыв, в общем случае, может разделять два газа с произвольными значениями {v}
и {w} и различными УРС. Следует заметить, что в случае учета разрыва площади
сечения к общей конфигурации должен быть добавлен еще один, дополнительный,
неподвижный разрыв, возникающий в месте разрыва сечения, см. замечания выше. В
дальнейшем этот достаточно редкий случай рассматриваться не будет. Заметим, что
правые и левые значения в начальных данных в постановке задачи Римана могут быть
168
Гл. 3. Уравнения газовой динамики
выбраны таким образом, чтобы точное решение имело одиночные УВ, ТР или ВР (см.
рис. 3.2a-d).
Построенное выше точное решение является автомодельным относительно пере-
переменной Е, = x/t. To, что точное решение задачи Римана следует искать в виде /(^),
связано с выбором кусочно-постоянных начальных данных. Если решение автомодель-
автомодельное, то оно является единственным (Рождественский Яненко, 1978). Для двучленного
У PC точное решение выписывается в явном виде.
Определение давления Р на тангенциальной поверхности для общего случая изобра-
изображенного на рис. 3.2е может быть проведено на основе решения единственного нелиней-
нелинейного уравнения. Вычитая уравнение C.3.20) (или, соответственно, C.3.41)) из уравне-
уравнения C.3.18) (или, соответственно, C.3.37)) и исключая тем самым величину U, получаем
следующее уравнение для Р:
C.3.45)
Рп
В этих формулах нижний индекс п — \ или II соответствует двум различным УРС,
соответственно, справа и слева от разрыва.
Можно показать, что dF/dP > 0 и 32F/dP2 < 0, так как
dfn
ЭР
d2fn
ЭР2
При Р>рп,
при Р < рп,
т
п
При Р>рп,
при Р <рп.
Такое поведение производных показывает, что функция F(P) является монотонной
и выпуклой вверх (рис. 3.3). Вследствие этого для численного решения уравне-
уравнения C.3.45) может быть применен итерационный метод Ньютона, см., например, Ortega,
Rheinboldt A970), Бахвалов A975), Kahaner, Moler, Nash A989). При этом положи-
положительность первой и неположительность второй производных обеспечивают сходимость
ньютоновских итераций при подходящем выборе начального приближения. Например,
можно использовать итерационный процесс вида
= р(т) _ [у<») +f(m) _ ц _
Л
ЭР
ЭР
(т)
-1
. C.3.46)
3.3. Точное решение задачи Римана
169
Рис. 3.3. График F(P) для случая р1 < /?п
Здесь w = 0,1,2,... — порядковый номер итерации, а Р^ — начальное приближение.
В силу неположительности второй производной, в качестве Р^ может быть выбра-
выбрано любое число, удовлетворяющее условию F(P^) — (щ — мп) < 0. Однако наиболее
приемлемым начальным приближением следует считать линейное (акустическое) при-
приближение. Оно получается из решения уравнения для Р, если для всех значений кп и
рп, входящих в fn, положить кп = 1 и рп = 1 (Годунов и др., 1976). Тогда
PlCI
4V
Plall
("I - "п)а10П
+ ап
«II =PlICII-
— (mj — мп) < 0 значение 75'0' лежит левее точного решения, что обеспечивает
монотонную сходимость метода Ньютона к решению.
Другой пример приближенного решения имеет следующий вид (Того, 1991):
= А +Рц + т
+ сп)(м1" мп)-
C.3.47)
Для уравнения C.3.45) при некоторых значениях параметров приближенное реше-
решение можно выписать в явном виде. В частности, для случая больших значений величины
щ — г/п, когда реализуется конфигурации решения состоящего из двух ударных волн и
тангенциального разрыва и Р ^> рОп, уравнение упрощается и принимает вид
F(P) « а.
Р-
¦«ir
V?
C.3.48)
«1 =
«11 =
170 Гл. 3. Уравнения газовой динамики
Выражение для а: и ап следуют из вида fn при Р > рп, см. C.3.45). Решая уравне-
уравнение C.3.48), находим
Аи + л/(Аг/J + 4(ai + а
Тогда приближенная формула для Р имеет вид
Р =
где член С^Ди!) следует из асимптотического анализа (Чарахчьян, 2000а).
После нахождения тем или иным способом значения для Р, находим U:
U= ±[lll + Ull+fn(P,plvpn)-f1(P,pvPl)]. C.3.50)
Приведенная формула для U получена суммированием формул C.3.18) (или, соответ-
соответственно, C.3.37)) и C.3.20) (или, соответственно, C.3.41)).
Исключая Р из уравнений C.3.18) и C.3.20), для U можно получить несколько иное
уравнение вида
(U-ul)Pl\ul-W\ + (U-ull)Pll\ull-W\=Pl-Pll. C.3.51)
Из этого уравнения можно вычислить U безытерационным способом, а затем найти
Р из аналогичного уравнения (Dukowicz, 1985). Этот подход применяется для УРС,
допускающих аппроксимацию вида W = cs +ASU, где cs и As — константы, W —
скорость ударной волны, а U — скорость газа после нее.
Существует еще несколько методик для приближенного, безытерационного, более
быстрого нахождения решения. Одно из них - это, так называемое, "звуковое" при-
приближение для идеального совершенного газа (Годунов, Забродин, Прокопов, 1961). Для
случая двучленных УРС это приближение запишем в виде
р = Pian + Pnai + (Щ ~ Цд)в1% и= Uiai + Unan+PiPn C 3 52)
ai = a\\ = V j Gi + Гц) (Pi + Pn + Poi + Pon) (Pi + Pn) •
Это упрощение получено при условии, что параметры газа по обе стороны разры-
разрыва близки между собой. Однако оно часто оказывается работоспособным также вне
предпосылок положенных в основу его вывода. Звуковое приближение дает неудовле-
неудовлетворительные результаты в случае, если в течении присутствуют очень интенсивные
волны разрежения. Заметим, что в качестве Р могут выбраны также выражения C.3.47),
C.3.49) и др. Сравнение нескольких различных вариантов звуковых приближений про-
провел, например, Pike A993). Существуют другие варианты приближенного (безытераци-
(безытерационного) нахождения решения, которые являются более универсальными, чем звуковое
приближение, и требуют при этом меньше операций для реализации, чем полный расчет
распада произвольного газодинамического разрыва методом Ньютона. Один из таких
вариантов может быть найден в работе Матвеева A977).
3.3. Точное решение задачи Римана 111
После вычисления значений Р и U находятся значения других переменных. Для
левой ударной волны C.3.18) получаем выражение |w:| = (щ - W^)pv Тогда
(ft
l) = Ml Pi _ Pimi
ft
l Pi ~ 2(P-pI)
Pi
где величины Ри[/ уже известны.
Для левой волны разрежения C.3.37) выполнено
с* = с: + ^-р-(щ ~ U) (wL = const), C.3.53)
(^= const); ^ = г(Л!,Р).
Отсюда следует, что левая волна разрежения на плоскости (х,/) ограничена лучами
Wl = Mj — Cj и W{ = t/ — Cj (рис. 3.2с). Обозначим параметры решения внутри волны
разрежения на луче Е, = ?*, где Ж: < ^* < Ж:*, через с*, р*, г/*, е* и/>*. Для этого случая
будут выполнены следующие соотношения:
„• + -lTc>=Bl + _lr.. (з.з.54)
Тогда
м* = <^* + с*. C.3.56)
Используя условие S = const, получим
2У,
"f) Г'~1 ' C3-58)
e* = e(p*,p*). C.3.59)
Для правой ударной волны C.3.20) получаем |аип| = — (мп — ^ii)Pii- Следовательно,
(fti
172 Гл. 3. Уравнения газовой динамики
где величины Р vlU уже известны.
Для правой волны разрежения C.3.41) получим
4 = си - ^г^К - и) К =const)' C-3-60)
Отсюда следует, что правая волна разрежения на плоскости (x,t) ограничена лучами
Wu = Mjj + Cjj и W{Y = С/ + Сд (рис. 3.2d). Обозначим решение внутри волны разрежения
на луче ? = |*,где ^ < ^* < Жп,черезс*,р*, г/*,е* и/?*. Для этого случая будут иметь
место следующие соотношения:
Тогда
C3.62)
C.3.63)
Используя условие S = const, получаем
2
С* \ Гц-1
» C-3-65)
е* = е{р\р*). C.3.66)
Все возможные конфигурации решения суммированы в таблице 3.1. В ней решение
для произвольного луча ^ в плоскости (х,/), где — оо < ^ < +оо, обозначено через Z =
= Z(?) = [р (?), м(^), е(^ ),/?(?), v(^), w(? )]T. Таким образом, используя эти результаты,
можно всегда определить величины р, г/, г, />, v и w на произвольном луче ^ = х//. При
этом случай ?, = 0 соответствует неподвижной границе дискретной ячейки, а случай
? = ?> соответствует движению границы со скоростью Д см. уравнения C.2.7)-C.2.10).
В таблице использован тот факт, что точное решение задачи Римана сохраняет непре-
непрерывность тангенциальных компонент скорости v(^) и w(%) как в ударной волне, см.
соотношение C.3.12), так и в волне разрежения, см. соотношения C.3.30) и C.3.33).
Таким образом, компоненты v(?) и w(t;) могут претерпевать разрыв только на танген-
тангенциальном разрыве. Следовательно, v(?) и w(^) на произвольном луче ? определяются
в соответствии с величиной компоненты скорости U на тангенциальном разрыве. Пола-
Полагаем, что v(?) = v: и w(^) = wl при U > %. В противном случае v(^) = vn и w(^) = wn.
На рис. 3.2е представлен общий вид автомодельного решения на плоскости (x,t).
Решение состоит из двух волн (ударной волны или волны разрежения), разделенных
3.3. Точное решение задачи Римана
173
Таблица 3.1. Конфигурации точного решения задачи Римана о распаде произвольного газо-
газодинамического разрыва
Тип течения
Ударная
волна (УВ)
Волна
разрежения (ВР)
Левая сторона
Если U > ?, иР>р19 то
Wl = ul-ml/pv
Wl — скорость УВ.
Если Е, > Wl9 то
Z = [RvU,El,P,vvwI]T.
Если % < Wl9 то
X = \pvuvevPvvv^.
Если U > Е, и Р < pl9 то
Wl = ul-cv W{ = U- c\
— границы ВР, см. C.3.53).
Если ? > W{, то
Z = [RvU,EvP,vvw1]T.
Если ^ < Wl9 то
см. формулы C.3.55)-C.3.59).
Правая сторона
Если U < Е, и Р > /7П, то
Жп = г/п + /77п/рп,
Wfi — скорость УВ.
Если Е, <Wll9 то
*~Ж Г Г) TJ 771 Г) -1, -и, ~|Т
#^ J^TT 1 ^-J 1 ^ТТ 1 -* 1 Vtt « Wtt
Если ^ > ^ii? то
Z = [pn,nn,eQ,Al,vn,wn]T.
Если U < 1; и Р < pll9 то
Жп = ии + сп, Жд = U + Сд
— границы ВР, см. C.3.60).
Если^ < Жд,то
'у Гг) Т J J7 ZD -1? -.1, ll
#^ -*^ТТ 1 ^ 1 ^ТТ 1 -* 1 Vtt • Vktt
Если ^ > Wll9 то
см. формулы C.3.62)-C.3.66).
тангенциальном разрывом. При этом все перечисленные элементарные решения отделе-
отделены друг от друга областями с постоянными значениями параметров. Чтобы полностью
решить задачу Римана для течения, представленного на рис. 3.2е, достаточно опреде-
определить U и Р в центральной зоне, знать скорости распространения разрывов и границ
волн разрежения, а также параметры потока газа внутри веера волны разрежения.
Заметим, что исследование поведения функции F(P) позволяет заранее опреде-
определить конфигурацию точного решения без проведения полных вычислений (Году-
(Годунов и др., 1976). Предположим, для определенности, что pl < plv В этом случае по-
поведение функции F(P) показано на рис. 3.3. Значение функции F(P) при Р = /?п, Р = р1
и Р = —р0 = тах(—/701, —Роп) равны, соответственно,
P\
2сТ1
Pi
P\i+Poi\
Pn + Poi
1 Л+Poi'
"[ v}i ^
i/u Pll '
174 Гл. 3. Уравнения газовой динамики
Н-Ро) = Ц.
В зависимости от величины щ - мп возможна реализация следующих случаев.
(i) Если щ - мп > Ulb тоР> /?п > р1и реализуется конфигурация течения жидкости
с правой и левой ударными волнами;
(и) Если Ul<ul — мп < Ц:, то р1 < Р < /?п и имеет место конфигурация, состоящая
из правой волны разрежения и левой ударной волны;
(ш) Если Uo < щ — Mjj < Ц, то — р0 <Р < р1я имеет место конфигурация, состоящая
из правой и левой волн разрежения;
(iv) Если щ — Mjj < Uo, то образуется область вакуума со значениями р = 0 и с = 0.
Эта область окаймлена или двумя волнами Римана, или единственной волной Римана
(правой или левой), см. рис. 3.4.
Проведенный анализ не является единственно возможным. Существует несколько
другой способ анализа конфигураций, который проводится в плоскости (Аи, Ар), где
Аи = щ — Mjj и Ар = pj — Рц (Шуршалов, 1981). Такой подход может быть удобным для
анализа конфигурации течения в случае использования УРС общего вида.
Если щ — Mjj > Uo , то уравнение C.3.45) имеет единственное решение. Рассмотрим
отдельно случай, когда это уравнение не имеет решения, т. е. когда щ — мп < Uo. В
этом случае образуется область вакуума р = 0 и с = 0, которая окаймлена, в общем
случае, левой и правой волнами разрежения (рис. 3.4). Рис. 3.4а, b показывают менее
общие случаи, когда область вакуума ограничена только одной (левой или правой) вол-
волной разрежения. Конфигурация с единственной правой волной разрежения (рис. 3.4Ь)
возникает, например, тогда, когда в начальный момент времени t = 0 плотность слева
от начального разрыва равна нулю. Полагая р: = 0 и с: = 0, получим единственную
правую волну разрежения, отделяющую область со значениями и = мп, р = рп и е = еп
от области с нулевыми значениями параметров. В этом случае
w\\ = и\\ ~ ~ г civ w\\ = и\\ + c\v
Эти выражения для скоростей получаются из уравнения C.3.61) подстановкой с* = 0.
Если предположить теперь, что рп = 0 и сп = 0, то получим конфигурацию, состо-
состоящую из единственной левой волны разрежения (рис. 3.4а). В этом случае
Эти выражения получаются из уравнения C.3.54) подстановкой с* = 0. Общий случай
двухстороннего окаймления области вакуума (рис. 3.4с) является комбинацией постро-
построенных таким образом левой и правой волн разрежения. Параметры течения газа внутри
левой и правой волн разрежения получаются, соответственно, из уравнений C.3.55)-
C.3.59) или C.3.62)-C.3.66).
Заметим, что в значениях ?* при р* —у 0 существует особенность, так как ?* ~
~ 1/р*. Эта особенность существует в двучленном УРС C.1.5) только при/?0 ф 0. Для
идеального совершенного газа при р0 = 0 этой особенности нет. Однако отметим, что
потоки при р* —>- 0 и р* = 0 являются ограниченными и равными F* = [0, — рОп, 0,0,0]т,
где п = 1 или П.
3.3. Точное решение задачи Римана
175
Р——Р
р=0
с=0
X
Рис. 3.4. Схемы течения газа с образованием области вакуума
При щ - Mjj < Uo точное решение всегда существует, если р01 = рт. При этом
решение содержит область вакуума, которая окаймлена левой и правой волнами разре-
разрежения (рис. 3.4с). В тех редких случаях, когда выполнены соотношения — р00 = min(—
—Poij—Рои) < Р < —Ро = m&x(—PoiJ—Pou)-> точное решение не существует, так как
выписанные значения давлений допустимы только для одного из двух уравнений со-
состояния. В этом случае следует использовать регуляризацию. В частности, в качестве
значений для газодинамических переменных в области вакуума могут быть приняты
значения параметров газа с малой плотностью, нулевыми скоростями и значением вну-
внутренней энергии, соответствующей их начальному фоновому значению.
Описанный алгоритм для нахождения точного решения задачи Римана вместе с пол-
полным анализом его конфигурации может быть оформлен в виде простой компьютерной
программы или численного кода с числом операторов, не превосходящим 200.
Уравнение для давления при использовании УРС общего вида
Для УРС общего вида ? = е(р,р) уравнение C.3.45) принимает вид
F(P)=fI(P,pI,pl)+fn(P,pn,pn) = uI-uJ1, C.3.67)
где
fn =
1 1
Рп Р
при Р>рп,
Здесь п = 1 или II, а с — скорость звука C.1.24).
176 Гл. 3. Уравнения газовой динамики
При этом уравнение C.3.18), или C.3.37), принимает вид
U-ul+fl(P,pl,pl) = 0, C.3.68)
а уравнение C.3.20), или C.3.41), принимает вид
U-un-fn(P,pn,pn)=0. C.3.69)
Уравнение C.3.67) для Р получается из этих уравнений путем исключения из них
величины U.
Выражение для функции / в случае ударной волны при Р>рп выводится из урав-
уравнений C.3.9) и C.3.13)—C.3.15). Выражение для функции / в случае волны разрежения
выводится из точных соотношений
du±—dp = 0, de = -pd(—). C.3.70)
рс \Р)
Они получаются из системы уравнений газовой динамики записанных относительно
переменных р, г/, v, w и г:
Pt + uPx + pux = 0, щ + uux + — = щ + шх + —-рх + —е-?х = 0,
vt + uvx = 0, wt + uwx = 0, ?f + u?x-\ г/х = 0; p
Гладкое течение в волне разрежения описывается автомодельным решением р = р(^),
и = м(?)э v = v(^), w = w(^) и ? = е(^), где ? = хД. В этом случае вместо уравне-
уравнений C.3.28)-C.3.30) получаем
u-c-? = 0, C.3.71)
j C.3.72)
— dp = 0, C.3.73)
pc
v, = 0, w* = 0 ^^> v = const, w = const, C.3.74)
а вместо уравнений C.3.31)—C.3.33) получаем
C.3.75)
^ C.3.76)
du-—dp = 0, C.3.77)
pc
v^ = 0, w, = 0 ^=> v = const, w = const. C.3.78)
Для двучленного УРС системы уравнений C.3.71)-C.3.74) и C.3.75)-C.3.78) эквива-
эквивалентны, соответственно, системам C.3.28)-C.3.30)и C.3.31)-C.3.33). Интегралы урав-
уравнений C.3.73) и C.3.77) являются левым и правым инвариантами Римана.
Выписанное выше уравнение C.3.67) может быть использовано для решения га-
газодинамической задачи Римана для УРС общего вида, при условии что такая задача
поставлена корректно.
3.3. Точное решение задачи Римана 111
3.3.5. Учет уравнения состояния общего вида. Выше были получены
формулы для решения задачи Римана при двучленном УРС C.1.5)
Опишем подход, который позволяет использовать выведенные формулы для дву-
двучленного уравнения состояния, в том числе для физически приемлемых УРС общего
вида. Аппроксимируем локально УРС общего вида с помощью двучленного уравнения
состояния C.3.79). Тогда три константы у, р0 и с0 находятся из следующей системы
уравнений:
Y-Y(pe)-0 —- Р + 7Ро - Рр -0 —-1 ^—-0
lPl) ' dp (r-l)p2 (y-l)p ' de l G-l)p
Здесь pp = (dp/dp)? ир? = (dp/de)p. Для известных значений р и ? получаем следу-
следующие аппроксимационные выражения:
f ^, cl = E^-{y-X)e. C.3.80)
Эта аппроксимация позволяет применить ранее найденные формулы точного распа-
распада произвольного газодинамического разрыва. Действительно, находим сначала вели-
величины у:, /?oi' % и 7ц> Лш> соп> кот°рые задают УРС относительно границы дискретной
ячейки, соответственно, слева (индекс "I") и справа (индекс"П") от нее. После этого
используются формулы точного распада произвольного разрыва для двучленного УРС.
Такая аппроксимация применяется как для одного газа, так и для двух контактирующих
газов со своими собственными УРС.
Описанный подход требует аппроксимации производных рр ир?. Если УРС в неко-
некоторых областях параметров обладает особыми свойствами, то для того чтобы исключить
нефизические результаты, иногда следует применить процедуру регуляризации. Напри-
Например, если вычисленное давление р (или внутренняя энергия е) меньше, чем значение
соответствующего "холодного" давления /?cold (или холодной энергии ?cold), см. C.1.36)
и C.1.37), то следует положить р = /?cold (или ? = ?cold). Если при этом вычисленный
показатель адиабаты у будет меньше единицы, то следует положить у = 1 + ?, где ? —
малое положительно число. Заметим, что если используемый численный метод требует
большого числа регуляризации, то следует использовать другие виды аппроксимаций
для рр яр?.
При использовании такого рода аппроксимаций оптимальными являются УРС, за-
задаваемые в аналитическом виде, который зависит от двух параметров. Что касается
однопараметрических аппроксимаций УРС, то, в общем случае, они не в состоянии
обеспечить одновременную передачу свойств различных сплошных сред справа и сле-
слева от разрыва, например, Colella, Glaz A985). Двучленное УРС C.3.79) удовлетворяет
этим требованиям. Оно имеет достаточно широкую область определения и общности
и при этом для него возможно построение решения в аналитической форме. Такая дву-
двучленная аппроксимация C.3.80) была впервые предложена А. В. Забродиным (Годунов,
Забродин, Плинер и др., 1968) и известна как "методика Б-71". Этот алгоритм более
тридцати лет успешно используется для численного моделирования газодинамических
178 Гл. 3. Уравнения газовой динамики
задач. В частности, такой подход использован при применении широко диапазонных
УРС для металлов в исследованиях Чарахчьяна с соавторами (Charakhch'yan, 1992,
1997; Чарахчьян, 1997, 2000а, 2000b; Charakhch'yan, Ivanenko, 1997; Charakhch'yan et
al, 1999; Красюк и др., 1997; Ломоносов и др., 1998, 2001). Другим недавним при-
примером применения двучленной аппроксимации является ее использование при моде-
моделировании трехтемпературных газодинамических течений (Забродин, Прокопов, 1998;
Прокопов, 1999,2000).
Рассмотрим в качестве примера газ, удовлетворяющий однопараметрическому урав-
уравнению состоянию
8 = \_ ^/^ ? y=const>l, Z? = const >0.
G-!)p
Оно описывает, в частности, задымленные смеси, образующиеся в процессе горения.
Для такого УРС аппроксимационные коэффициенты C.3.80) будут иметь вид
.._ v~bP ~ _ ьрр ,2_ ъР
и могут быть использованы при численном моделировании с использованием двучлен-
двучленного УРС. Точное решение задачи Римана для такого однопараметрического УРС ис-
исследовано Того A989b, 1997).
Пример одной из однопараметрических локальных аппроксимаций для УРС обще-
общего вида, применяемых для упрощения решения задачи Римана, можно найти в работе
Colella, Glaz A985). В этом подходе при нахождении точного решения и для упрощения
итераций использовался УРС идеального совершенного газа в приближении эффектив-
эффективного показателя адиабаты у, где у « 1+р/ер. Такая аппроксимация походит несколько
на аппроксимацию для показателя адиабаты C.3.80). Она обеспечивает точный резуль-
результат для совершенного газа, дает хорошее приближение для сред, где у локально меняется
достаточно слабо, и при этом обеспечивает приемлемую аппроксимацию для решения
при разрывах с не очень большими перепадами давления (Colella, Glaz, 1985), см. также
оценки, приведенные в работе Воробьева, Холодова A996). Суммарный эффективный
показатель адиабаты в этом подходе равен у = j(ji + у2), где ух и у2 — эффективные
показатели адиабаты, соответственно, слева и справа от разрыва.
Заметим, что однотемпературная двучленная аппроксимация C.3.80) обобщает-
обобщается на случай двухтемпературных и трехтемпературных газодинамических уравне-
уравнений (п. 3.1.1), усложненных дополнительным учетом процессов ионизации (Забродин,
Прокопов, 1998; Прокопов, 1999, 2000). В этом подходе задача Римана решается точно
для общего УРС, которое описывает поведение квазинейтральной смеси ионов, электро-
электронов и теплового излучения. Это возможно в силу рассмотрения в такой модели единых
общих значений плотности и скорости. При этом общее УРС является суммой соот-
соответствующих двучленных аппроксимаций C.1.5) для всех трех отдельных уравнений
состояния для ионов, электронов и теплового излучения. Получение точного реше-
решения задачи Римана сводится при этом к решению аналогичного .Р-уравнения C.3.45),
к которому должны быть присоединены некоторые дополнительные физические соот-
соотношения. Во-первых, на ударной волне должны быть выполнены условия {е2} = 0 и
{р3} = 0, где ?2 — удельная внутренняя энергия электронов, а ръ — давление тепло-
теплового излучения (Имшенник, Боброва, 1997). И, во-вторых, в волне разрежения должно
3.3. Точное решение задачи Римана 179
быть выполнено условие сохранения энтропии, соответственно, для ионов, электронов
и теплового излучения (Забродин, Прокопов, 1998). Другой подход состоит в прямом
использовании общего УРС (Прокопов, 2000)
У=-Цп?к' со = 1>оь /Ъ=G*-1)ре*+(р-РоLь *= 1,2,3.
Ь к к
После точного решения задачи Римана с учетом этого УРС, путем привлечения
дополнительных физических соотношении, аналогичных описанным выше, определя-
определяются парциальные давления компонентов ркиих внутренние энергии ек. Отметим, что
близкий подход был ранее развит для двухтемпературной газовой динамики, дополнен-
дополненной уравнением переноса для степени ионизации, но с учетом УРС только идеального
газа (Попов, Ромашкевич, 1977; Ромашкевич, 1980). В упомянутых исследованиях ис-
использовалось также несколько отличное от выписанного выше условие на ударных
волнах. А именно, считалось, что при переходе частиц газа через ударную волну сохра-
сохраняются значения степеней ионизации и электронной энтропии.
Следует заметить, что двучленная аппроксимация C.3.80) может быть использована
для УРС общего вида при условии, что оно удовлетворяет условиям нормального газа.
Пусть УРС задано в форме р = p{r\,S) и ? = е(г/,Г), где т\ = 1/р — удельный объем,
S—энтропийная функция и Г — температура. Пусть для газа выполнены соотношения
Бете-Вейля (Weyl, 1949)
»¦
Эти соотношения определяют, так называемый, нормальный газ. Выполнение этих усло-
условий гарантирует (i) существование автомодельного решения задачи Римана, (и) его
единственность и (ш) представимость в виде конфигурации, показанной на рис. 3.2е
(Рождественский, Яненко, 1978). Для других типов УРС решение задачи Римана может
быть неединственным, иметь сложную неклассическую структуру или даже нарушить
гиперболичность системы уравнений (Рождественский, Яненко, 1978; Ларькин, Нови-
Новиков, Яненко, 1983). В этих случаях использование двучленной аппроксимации может,
вообще говоря, давать посторонние или физически неприемлемые решения.
Существуют другие методы учета УРС общего вида в газовой динамике. В част-
частности, Наумова, Шмыглевский A978) создали свободно распространяемый численный
код для решения газодинамической задачи Римана при использовании уравнения состо-
состояния нормального газа, которое должно быть задано в гладкой аналитической форме.
Алгоритм построения решения подробно описан в работе Алалыкина и др. A970). Чис-
Численное решение строится путем прямого численного решения уравнения C.3.67) отно-
относительно Р. Этот код базируется на итерационных методах решения соответствующих
рациональных уравнений, на стандартных методиках численного решения соответству-
соответствующих обыкновенных дифференциальных уравнений и вычислении инвариантов Рима-
Римана. Результаты, полученные с применением этого кода, могут быть найдены в работах
Зубова и др. A980, 1986, 1990), Krivtsov et al. A992). Аналогичный метод, основан-
основанный на аналитической форме некоторых УРС, применялся Saurel, Larini, Loraud A994).
180 Гл. 3. Уравнения газовой динамики
Эти авторы исследовали, в частности, УРС для идеального совершенного газа и газа
Ван-дер-Ваальса и УРС с учетом вириальных коэффициентов пятого порядка. Вводя
некоторые предположения относительно вычисления волн разрежения для конкретных
УРС, авторы предложили и исследовали несколько приближенных алгоритмов решения
задачи Римана.
Для УРС общего вида, заданных в табличной форме, можно рекомендовать подход
развитый Чарахчьяном B000а). Пусть заданы таблицы Tt и р -э где / = 1,... ,п и j =
= 1,..., т, которые являются монотонно возрастающими массивами, соответственно,
температуры Т и плотности р, т. е. выполнены соотношения Ti+l > Tt и р +1 > р •.
Пусть таблицы pt- = р (Тг!, р •) и ?, = ? (Ti•, р •) являются двумерными массивами значений
давления р и удельной внутренней энергии ?, где ?l+\j > ?/J9 Pt+ij > Pip Ptj+i > Pij-
Заметим, что монотонные свойства массивов р и ? позволяют переписать их также в
форме ? = ?(р,р) или Т = Т(р,р).
Внутри каждой из прямоугольных областей Тг < Т < Т1+х и р} < р < р .+1 величины
р и ? могут быть аппроксимированы билинейными функциями р(Т,р) и е(Т,р), где
Т = Т — TjVLp = р — pj.B частности,
/?(Г,р) =ро+рхТ+р2р+рпТр,
где р0, рг, р2 ъ р12 при pj < р < Ру+1 и 7] < Г < 7]+1 являются константами. Эти
константы определяются следующим образом:
P0=Pij>
_ A+l,y+l i+l,j~PiJ+1
Таким же способом определяются коэффициенты ?0, ?l9 ?2 и ?12 для билинейной ап-
аппроксимации функции ?:
Представление р и ? в форме билинейных функций Г и р позволяет выписать в
квадратурах решение обыкновенного дифференциального уравнения, описывающего
волну разрежения, см. выражение для fn в C.3.67) в случае Р < рп. При этом для
скорости звука получается аналитическое выражение
\
(Р7+РJ
Тогда уравнение C.3.67) записывается относительно Р в более простом виде и его
решают итерационным методом Ньютона C.3.46). Билинейное представление таблич-
табличных значений является достаточно эффективным и быстрым, если массивы табличных
данных не слишком велики и подробны. В противном случае вычисление интегра-
интеграла в волне разрежения, см. C.3.67), может стать громоздким. В таких случаях более
3.4. Приближенные решения задачи Римана 181
эффективным будет использовать либо код, аналогичный созданному Наумовой, Шмы-
глевским A978) для точного решения уравнения C.3.67), двучленную аппроксимацию
C.3.80) или какой-либо из приближенных методов решения задачи Римана.
Существуют другие методы численного решения задачи Римана для сложных У PC
(Бушман и др., 1988; Vorobiev et al, 1995; Fortov et al, 1996; Воробьев, Холодов, 1996;
Vorobiev et al., 1997). В частности, Бушман и др. A988), Fortov et al. A996), Воробьев,
Холодов A996) использовали следующий подход для ускорения сходимости итерацион-
итерационного процесса при решении уравнений C.3.68) и C.3.69). На первом шаге неизвестные
величины Р и U вычислялись приближенно с использованием условия изэнтропичности
течения. Такое акустическое приближение соответствует случаю начальных разрывов с
малыми амплитудами. В этих случаях приближение является точным и может быть ис-
использовано для вычисления потоков на границе дискретных ячеек. Для сильных разры-
разрывов акустическое решение является хорошим начальным приближением для начала ите-
итерационного процесса. В качестве последнего при решении уравнений C.3.68) и C.3.69)
применялся метод секущих, см., например, Бахвалов A975), Kahaner et al. A989). Поми-
Помимо линейного (акустического) приближения может быть также полезным применение
"экспоненциального" приближения, получаемого линеаризацией, проведенной относи-
относительно других переменных (Воробьев, Холодов, 1996).
Малама, Кестенбойм, Хорнунг B000) при решении уравнений C.3.68) и C.3.69)
использовали следующий метод. На ударных волнах для нахождения решения приме-
применялся итерационный метод Ньютона, а для расчета волн разрежения использовались
подробные таблицы, которые предварительно были созданы, а затем хранились в памя-
памяти компьютера. Эти таблицы представляют из себя изэнтропы в форме рпт — p(pn,Sm),
где т — порядковый номер изэнтропы и I < т < 300, I < п < 400. При этом в табли-
таблицах хранились данные как для левых, так и для правых волн разрежения, см. C.3.70).
В случае возникновения волн разрежения начальные данные для р ир позволяют бы-
быстро определить изэнтропу, которая соответствует точному решению уравнений C.3.68)
и C.3.69). Это обеспечивает быстрое нахождение решения задачи Римана. Численные
результаты, полученные с применением описанной методики, могут быть найдены в
работе Hornung, Malama, Thoma A996).
3.4. Численные методы, основанные на приближенных
решениях задачи Римана
В разделе описаны численные методы типа Годунова, которые основаны на прибли-
приближенных решениях одномерной газодинамической задачи Римана. Дается описание трех
приближенных методов расчета распада произвольного газодинамического разрыва, а
именно: методов Куранта-Изаксона-Риса (КИР), Роу и Ошера-Соломона. Представле-
Представлены формулы, которые необходимы для использования в этих вычислениях. Изложение
начнем с описания характерных черт основных методов решения задачи о распаде
произвольного разрыва.
Точное решение задачи Римана. Напомним, что точное решение состоит из раз-
разрывов и простых волн разрежения, которые отделены друг от друга областями с посто-
постоянными значениями величин (рис. 3.2е). Такое точное решение в явном виде построено
для двучленного УРС C.1.5) несовершенного газа. Путем использования двучленной
аппроксимации C.3.80) это решение позволяет учитывать УРС достаточно общего вида.
182 Гл. 3. Уравнения газовой динамики
Метод Куранта-Изаксона-Риса (КИР) основан на использовании приближенно-
приближенного решения задачи Римана для локально линеаризованной системы уравнений газовой
динамики. Задача Римана для такой системы уравнений всегда имеет решение. Это ре-
решение является линейной комбинацией бегущих разрывов, которые отделены друг от
друга областями с постоянными значениями параметров. Такое решение может быть
построено для достаточно широких классов УРС. Отметим, что при использовании
этого метода скорости разрывов и их амплитуда определяются, в общем случае, при-
приближенно.
Метод Роу основан на точном решении задачи Римана для специальным образом ли-
линеаризованной системы уравнений. Оно также состоит из разрывов, которые отделены
друг от друга областями с постоянными значениями параметров. Особенность такого
решения в том, что оно точно сохраняет нелинейные соотношения Рэнкина-Гюгонио
на одиночной ударной волне и соотношения на одиночном тангенциальном разрыве.
Решение может быть построено для УРС более общего вида, чем C.1.5), с добавкой
произвольного члена, зависящего от плотности.
Заметим, что численные методы Годунова, построенные с использованием точно-
точного решения задачи о распаде произвольного разрыва, позволяют проводить расчеты
ударных волн произвольной интенсивности с числом Куранта С близким к единице,
т. е. когда 0.8 < С < 1. В случае интенсивных ударных волн давление Р находится по
формуле C.3.49). Заметим, что первое слагаемое в этом выражении можно интерпре-
интерпретировать, как результат линейной интерполяции давления. Второе слагаемое можно
интерпретировать, как квадратичную искусственную вязкость. Таким образом, в обла-
области взаимодействия сильных ударных волн метод Годунова с использованием точного
решения задачи о распаде произвольного разрыва проявляет численные диссипативные
свойства, которые аналогичны применению искусственной квадратичной вязкости. Ме-
Методы типа Годунова, основанные на решении задачи о распаде произвольного разрыва
по методам КИР и Роу, обладают линейной численной вязкостью. При моделировании
сильных ударных волн для устойчивости расчетов может понадобиться уменьшение
числа Куранта с 1 до 0.2. Это уменьшение зависит от интенсивности ударных волн и
используемого УРС (Чарахчьян, 1979, 2000а). В частности, для давлений до 1 Мбар
за ударной волной в алюминии нет необходимости уменьшать число Куранта, близ-
близкое 1. Для давлений около 30 Мбар и выше число Куранта следует полагать уже равным
0.2-0.6 (Семенов, 1997а; Чарахчьян, 2000а).
Метод Ошера-Соломона основан на использовании приближенного решения за-
задачи о распаде произвольного газодинамического разрыва, которое строится на основе
комбинации только волн Римана.
3.4.1. Схемы типа КИР для уравнения состояния общего вида. Для
уравнений C.1.15) рассмотрим одну из конечно-объемных схем типа КИР, например,
схему B.3.25), B.3.26):
Fm+1/2 = T(Fm + F^+1) + |M|^+1/2(Ui-U^+1), m=j,j-\; C.4.2)
M|=QR|A|QL. C.4.3)
3.4. Приближенные решения задачи Римана 183
Здесь Ах — шаг равномерной сетки по пространству, a At — шаг по времени. Целые
нижние индексы обозначают значения функции в центрах дискретных ячеек, а полуце-
полуцелые — на границах ячеек. Целый верхний индекс — номер шага по времени.
Конечно-разностный вариант схемы восходит к работе Courant, Isaacon, Rees
A952). Выписанный выше конечно-объемный вариант схемы был впервые предло-
предложен А. С. Холодовым (Холодов, 1978); см. также Belotserkovskii, Kholodov, Turchak
A986), Магомедов, Холодов A988). Различные версии методов типа КИР, или сеточно-
характеристических численных методов (см. п. 2.3.1), были успешно использованы
при численном моделировании многомерных задач газовой динамики (Белоцерковский
и др., 1974а, 1974b; Кострыкин, Фомин, Холодов, 1976; Белоцерковский и др., 1978;
Belotserkovskii, Kholodov, Turchak, 1986; Магомедов, Холодов, 1988; Андреев, Холо-
Холодов, 1989).
Для практического применения схемы C.4.1)-C.4.3) следует вычислять матрицу \А\
по формуле C.4.3), где QR,A и QL определяются соотношениями C.1.21)—C.1.23). При
решении уравнений на подвижных сетках, движущихся со скоростями D(x), следует
модифицировать вычисление потоков F в соответствии с формулой B.3.34). При этом
требуется также учесть изменение объемов дискретных ячеек по времени, см. C.2.7)-
C.2.10). Модифицированные формулы имеют вид
= 1(е? -Dm+1/2\Jkm
\A(D)\=uR[\Xp-D\8pl]uL.
Применение формул C.1.21)—C.1.23) требует использования каких-либо выражений
для р?ярр, так как они явно входят в C.1.22) и C.1.23). В случае когда функция р{р, е)
задана явно и в аналитической форме, применение разностной схемы не представляет
трудностей. Однако в широко диапазонных полу эмпирических У PC функция давления
может быть негладкой и при этом такие У PC могут задаваться в табличной форме. Это
может привести к существенной потере точности получаемых численных результатов
из-за неадекватной аппроксимации ре и рр для многофазных УРС. В частности, в
расчетах могут появиться нефизические значения термодинамических переменных.
Обычно такие не физические результаты принято регуляризировать, или подправлять.
Однако если в процессе вычислений такая коррекция производится слишком часто,
результаты расчетов становятся довольно спорными.
Далее описан специальный метод вычисления функции F в схеме C.4.2), C.4.3),
который позволяет устранить явное использование выражений для рр и р? (Семе-
(Семенов, 1997а). Тем самым устраняется из рассмотрения вопрос об аппроксимации этих
производных. Современные УРС дают возможность определять скорость звука сразу
как функцию р и ?. Причем в таблицы для определения скорости звука могут вклю-
включаться и экспериментальные данные. Поэтому в точке у ±1/2 она вычисляется обычно
сразу из широко диапазонного УРС.
Дадим следующее представление, которое может быть использовано для удобного
вычисления вектора Q =
Q = |^4|AU = QR|A|QLAU = QRdiag[|i/-c|, |w|, |w|, |w|, |i/+c|]QLAU =
(|w-cHw|)ORdiag[l Д 0,0,0]OLAU +
184
Гл. 3. Уравнения газовой динамики
f(|M+c|-|M|)QRdiag[0,0,0,0,1]QLAU,
r = Um-Um+1 = [Ap,A(pM),A(pv),A(pw),Ae]T.
Отсюда
Q=\u\
Ар
А(ри)
A(pv)
Ае
+(\u-c\-\u\)(f+g)
u—c
V
w
h—uc
+<\u+c\-\u\)V-g)
u+c
V
w
h+uc
C.4.4)
где
/= Y^2i°AP - uA(pu)-vA(pv)-wA(pw) +Ae], g= — [uAp-A{pu)\.
Производные pp и ре входят только в формулу для /. Преобразуем ее следующим
образом:
/=
2pc2
- uA(pu) - vA(pv) -wA(pw)+AD-p
2pc2 lv
+
р р?
где А обозначает конечные разности первого порядка. Полагая / = jAp/c2, полностью
устраняем производные р из расчетных формул C.4.1 )-C.4.3). Окончательные формулы
для вычисления Q = \QX,Q2,Q3,Q4,Q5]T запишем в виде
Q4 = |n
u\A(pu)+plu-p2c, Q3 = |i/|A(pv)
W, Q5 = \u\Ae+pxh-p2uc,
C.4.5)
= al+a2,
Ap
г/Ар -A(pu) pAu
Yc ^ 2c~'
Формулы C.4.5) применимы при условии с > ? > 0. Такая версия схемы КИР успеш-
успешно использована при численном решении задач со сложными У PC (Вовченко и др., 1994;
Семенов, 1997а; Batani et al, 1999a, 1999b). Расчеты показали надежность указанного
подхода при любых перепадах сеточных функций.
Следует заметить, что описанный выше метод не исключает применения адекватных
аппроксимаций для значений рр и ре при вычислении скорости звука с по данному
уравнению состояния в виде р = р(р,е). В этом случае устраняется использование
значений рр и р? по отдельности и они входят в уравнения только через значение с.
Необходимость использования такого приема состоит в том, что эти производные могут
быть по отдельности негладкими, тогда как функция с является гладкой.
В заключение пункта заметим, что при решении квазиодномерных задач с пере-
переменным сечением может быть использована расширенная система уравнений C.1.29)
3.4. Приближенные решения задачи Римана
185
(Семенов, ранее не публиковалось). Эта система уравнений имеет члены, которые за-
записываются в неконсервативной форме B.3.44), и для нее схема КИР записывается в
несколько ином виде B.3.45). Для ее реализации необходимо вычислять вектор
Q = QR|A|QLAU, О = [б!,б2,б3Д]Т> Аи=[Ар^А(рш),А(^),А^]т.
При этом формулы для вычисления модифицированных величин Q в уравнени-
уравнениях C.1.29) аналогичны формулам C.4.5) с поправкой на учет изменения сечения и
имеют следующий вид:
Qx
Qi
Qs
p\u-c\+sign(u-c) pc3/b
-2p\u\
p\u + c\ -sign(u + c) pc3/b
l
u—c
u+c
h—uc h—c2/b h-\-uc
Матрица Q^ размерности 3x3 получена вычеркиванием четвертого столбца и чет-
четвертой строки в матрице QR C.1.31). Можно видеть, что в выписанных формулах
отсутствуют особенности при и —у =Ьс, которые присутствовали в матрице C.1.31).
Далее будут представлены результаты численных расчетов различного рода взаи-
взаимодействия ударных волн и вызванных ими явлений в металлах и плазме (Красюк,
Семенов, 1992; Вовченко, Красюк, Семенов, 1992; Гончаров и др., 1992; Goncharov,
Semenov, 1995; Семенов, 1997а; Batani et al, 1999a, 1999b), которые знакомят с основ-
основными особенностями вышеописанной методики.
3.4.2. Моделирование явлений, вызванных ударными волнами.
На рис. 3.5 показаны численные результаты по моделированию распространения удар-
ударной волны в алюминиевой мишени, которые были получены при использовании лагран-
жевых координат. На алюминиевую мишень толщиной 50 мкм слева (рис. 3.5а) действу-
действует импульс давления трапециевидной формы длительностью 0.3 не и с участками роста
и падения давления, соответственно, равными 0.03 и 0.01 не. Максимальное значение
амплитуды импульса равно 28 Мбар. Численное моделирование проводилось для слу-
случая широкодиапазонного УРС (Бушман, Фортов, 1983; Бушман и др., 1988; Бушман,
Ломоносов, Фортов, 1992), который применялся как в табличной форме, так и в виде
аналитических аппроксимаций, оформленных в виде компьютерных программ. Резуль-
Результаты численного моделирования сравнивались с результатами расчетов, проведенных
по численному коду Lasnex (Trainor, Lee, 1982). На рис. 3.5а показаны профили давле-
давления в ударной волне на различные моменты времени после начала действия импульса
давления; кривые 1,2,3 и 4 соответствуют моментам 0.65,0.9,1.2 и 1.5 не. Треугольники
для кривых 2, 3 и 4 отмечают максимальные значения величин давления, полученные
при решении той же задачи по коду Lasnex. Рис. 3.5Ь показывает движение фронта
ударной волны, которая была вызвана действием импульса той же формы при ампли-
амплитуде максимального давления 13 Мбар. Кружочки относятся к результатам Trainor, Lee
A982). Небольшие расхождения в результатах на рис. 3.5а объясняются различиями в
используемых УРС. На рис. 3.5с приведены графики максимальных величин давления,
186
Гл. 3. Уравнения газовой динамики
20
30
40 50 0
х, мкм
10
20 30
40 50
х, мкм
Р, Мбар
40
30
20
10
О 10 20
Рис. 3.5. Моделирование распространения ударной волны в плоской алюминиевой мишени
30 40 50
X у МКМ
которое достигается в данной точке мишени за все время взаимодействия. Рисунок по-
показывает сходимость численных результатов при различных шагах пространственной
сетки Ах; кривые 1, 2 и 3 соответствуют Ах = 0.5, 0.25 и 0.125 мкм. Для подтверждения
надежности численного счета для всех задач проводилась проверка сходимости. В рас-
расчетах, приведенных на рис. 3.5, число Куранта полагалось равным 0.2. Использование
в вычислениях больших значений чисел Куранта, равных 0.8-0.9, приводило иногда к
появлению нефизических значений в термодинамических переменных, которые оказы-
оказывались лежащими ниже значений, определяемых "холодными" кривыми для давления
и внутренней энергии.
В расчетах было использовано широкодиапазонное полуэмпирическое уравнение
состояния, которое включало в себя описание твердого состояния, жидкости, газа и
плазмы и их смесей (Бушман, Ломоносов, Фортов, 1992). Данное УРС, зависит пример-
примерно от 50 параметров, большинство из которых являются фундаментальными констан-
константами вещества, при этом 15 из них выбираются из условия наилучшего представления
значений температур и плотностей в точках перехода, в частности, металл-диэлектрик,
на фазовых диаграммах. Численное моделирование производилось для УРС, представ-
представленного в двух формах. Первая форма — это таблицы скорости звука и давления как
функции плотности и внутренней энергии, которые хранились в компьютерной памяти.
Вторая форма—использование УРС в виде программного пакета, который с требуемой
точностью вычислял значения с(р,е) и р(р,е) в процессе работы программы. В та-
таблицах обычно использовались логарифмические шкалы для плотности и внутренней
энергии с заданием примерно 3-5 точек на один порядок величины.
При использовании версии схемы КИР с явным вычислением производных рр и ре
полученные результаты приходилось корректировать с целью избежания значений ве-
3.4. Приближенные решения задачи Римана
187
Л Кбар
-75
Рис. 3.6. Моделирование распространения импульса давления и его отражения от свободной
поверхности
личин из нефизических областей параметров. В частности, это имело место, когда
значение полученной внутренней энергии лежало ниже определяемой "холодной" кри-
кривой. Численный алгоритм C.4.5) был специально построен с целью устранения подоб-
подобных проблем. Результаты моделирования различных явлений, инициируемых ударной
волной в металлах, полученные с его помощью, продемонстрировали надежность и
эффективность алгоритма.
На рис. 3.6 показаны результаты численного исследования воздействия на материал
трапециевидного импульса давления с максимальной амплитудой 130 Кбар и длитель-
длительностью 20 не и его отражения от свободной поверхности. Импульс был приложен на
мишень слева (рис. 3.6а). Мишень выбиралась алюминиевой с толщиной 500 мкм, а
шаг дискретной сетки по пространству был равен Ах = 1 мкм. Решение этой задачи
связано с интерпретацией экспериментальных данных (Кильпио и др., 1992; Вовченко
и др., 1992).
На рис. 3.6а показаны профили давления на моменты времени 70, 120 и 170 не
(кривые 1, 2 и 3), отсчитываемые от начала действия импульса на мишень. При этом
стрелки показывают направление распространения импульса внутри материала мише-
мишени. Заметно, что давление сжатия, имеющее первоначально положительную амплитуду,
после отражения его от от свободной поверхности трансформируется в растягивающее
отрицательное давление. На рис. 3.6b показаны графики изменения давления по време-
времени в точке, отстоящей на расстояние 60 мкм от свободной поверхности. В этой точке
в экспериментах наблюдался откол, т. е. разрушение материала под действием растя-
растягивающего давления и с образованием при этом поперечной трещины и отлета части
188
Р, Мбар
0.4
0.2 h
0 20 40 60 80 100 0
х, мкм
Гл. 3. Уравнения газовой динамики
Р, Мбар b
Ю 20
Г, не
Рис. 3.7. Результаты расчетов столкновения алюминиевой мишени с ударником
материла в виде "откольной пластины" (Бушман и др., 1988; Вовченко и др., 1992). Наи-
Наибольшая по модулю величина отрицательного растягивающего давления, полученная
в численных расчетах в месте экспериментального откола, дает оценку для величи-
величины коэффициента динамической прочности материала. На рис. 3.6с изображен график
максимальной величины давления (по модулю) для всей мишени в зависимости от вре-
времени. На рис. 3.6d показана скорость свободной поверхности мишени в зависимости от
времени. Рис. 3.6 иллюстрируют основные черты явлений, инициируемых в материале
относительно несильной ударной волной, в частности, трансформацию сжимающего
положительного импульса давления в отрицательный импульс, который разрушал ма-
материал.
На рис. 3.7 представлены результаты расчетов генерации ударной волны путем
столкновения алюминиевой пластины толщины 100 мкм с алюминиевым ударником
толщиной 10 мкм, летящим со скоростью 4 км/с. В расчетах шаг пространственной сет-
сетки полагался равным Ах = 0.5 мкм. На рис. 3.7а показаны профили давления в ударной
волне на момент времени 4.96 не (кривая 1) и график максимальных значений давления
в мишени (кривая 2). Рис. 3.7Ь показывает графики зависимости давления от времени,
приведенные для точек х = 0 и 80 мкм (кривые 1 и 2). Кривая 3 — это график макси-
максимального давления по всей мишени в зависимости от времени, а кривая 4 — график
скорости свободной поверхности мишени. Постановка рассчитанной задачи связана с
проведенными экспериментами. Численные расчеты позволяют определить скорость
ударника по времени выхода ударной волны на свободную поверхность (Вовченко и
др., 1992).
Во всех приведенных выше расчетах на каждом из шагов вычислений производилась
проверка физической допустимости полученных значений, а именно: производилась
проверка неравенств р > рсо^9 € > ecold и с > 0. Эти требования нарушались только
при моделировании короткоимпульсных взаимодействий и только для случаев, когда
число Куранта было близким единице. Когда значение числа Куранта выбиралось из
интервала 0.2-0.6, таких нарушений не наблюдалось. Заметим, что моделирование тех
же задач с уравнением состояния совершенного газа выполнялось с числом Куранта
близким к единице.
На рис. 3.8 показана схема физических экспериментов по измерению нагрева веще-
вещества, которое имеет место за сильной ударной волной, вызванной действием лазерного
излучения (Ng, Parfeniuk, Da Silva, 1985a, 1985b; Ng et al, 1989; Godwal et al, 1990;
3.4. Приближенные решения задачи Римана
189
Т{х\ Р(х)
1УВ
DI
Т(х\ Р(х)
ВР
Рис. 3.8. Схема измерений свечения поверхности металла
Квитов и др., 1991; Вовченко, Красюк, Семенов, 1992; Batani et al, 1999a, 1999b). В
этом случае, сильная ударная волна (УВ) распространяется в металле (рис. 3.8а), а за-
затем выходит на свободную поверхность мишень-вакуум и вызывает свечение плазмы
металла в образующейся волне разрежения (ВР) (рис. 3.8Ь). Свечение измеряется детек-
детектором D одновременно для различных частот излучения V, обычно для частот красного
и голубого света. Полученные измерения позволяют определить значения температур
и давлений за фронтом ударной волны (Batani et al., 1999a, 1999b). Такое измерение
свойств материалов налагает требования к однородности и одномерности исследуемых
гидродинамических течений. Прямые измерения температуры плазмы в ударной волне
является сложной экспериментальной проблемой, так как тепловое излучение горя-
горячей плазмы металла экранируется и поглощается холодными парами металлов в волне
разрежения, которая образуется после выхода ударной волны на свободную поверх-
поверхность (Зельдович, Райзер, 1966). Экспериментально измеренное изменение темпера-
температуры свечения поверхности металла во времени сравнивалось с найденным численно.
Численное получение профилей изменения интегральной температуры во времени про-
производилось путем решения нестационарных одномерных уравнений газовой динамики
и вычисления профилей плотности р и температуры Т в различные моменты времени
процесса разгрузки металла в вакуум (рис. 3.8Ь). Затем по полученным профилям плот-
плотности и температурам производился расчет суммарного излучения по всей глубине
металла на данной частоте с учетом соответствующих коэффициентов поглощения
(Зельдович, Райзер, 1966)
Первые вычисления такого рода, проведенные для экспериментов с алюминием,
свинцом и висмутом (Полищук и др., 1991; Квитов и др., 1991; Semenov, 1995b), были
основаны на точном решении в виде волны разрежения, которая вычислялась для ши-
широкодиапазонного УРС данного металла. В дальнейшем, для определения параметров
ударной волны, генерируемой в экспериментах с алюминием, использовалась конечно-
объемная схема КИР. Вычислительная модель использовала уравнения одномерной
газовой динамики в лагранжевых координатах, которые дополнялись широко диапазон-
190 Гл. 3. Уравнения газовой динамики
ным полу эмпирическим УРС для алюминия (Бушман и др., 1988; Бушман, Ломоносов,
Фортов, 1992).
Численное исследование такого рода задач требует достаточно высокой точности
вычислений профилей газодинамических величин в волнах разрежения в металлах.
Для повышения точности расчетов использовалась следующая модификация числен-
численного метода. Для вычисления значений внутренней энергии в волне разрежения можно
использовать уравнение
%+Р% = 0, где Ч = 1, C.4.6)
см. соотношения C.3.72) или C.3.76). Уравнение C.4.6) следует из термодинамического
соотношения Т ds = de+ pdr\, где Т — температура, a s — энтропия. В волне разре-
разрежения выполнено условие ds = 0, или s = const, откуда получаем уравнение C.4.6).
В процессе вычислений оно применялось во всех точках расчетной области, где вы-
выполнялось неравенство du/dx > 0. Необходимость применения уравнения C.4.6) обу-
обусловлена использованием УРС со сложными свойствами. Описанный алгоритм расчета
обеспечивает корректное перераспределение внутренней энергии между ее тепловой
и холодной составляющими, см. C.1.36)-C.1.37), и может быть использован в любом
варианте численных методов типа Годунова. В противном случае значения температур
оказываются значительно завышенными и могут иметь место нефизические соотноше-
соотношения в волне разрежения типа lira 0 Т ф 0 и lira 0 с ф 0. Отметим, что такие ошибки
численного характера иногда встречаются в публикациях, посвященных вычислениям
параметров в волнах разрежения при использовании сложных УРС. Описанная моди-
модификация необходима только при использовании сложных УРС, но не для совершенного
газа.
При расчетах потоков на границах дискретных ячеек в схеме КИР для лагранжевой
системы координат использовались формулы вида C.4.5). Небольшая модификация
этих формул применялась только на границах с вакуумом: все значения коэффициентов,
входящих в эти формулы, рассчитывались по значениям газодинамических величин,
находящихся в ячейке примыкающей к вакууму. При этом полагалось, в частности, что
на правой границе с вакуумом выполнены соотношения Аи = 0 и Ар = рг, где рг —
значение давления в ячейке, прилегающей к вакууму.
3.4.3. Моделирование струй в лазерной плазме. В этом разделе при-
приведены численные результаты по двумерному моделированию некоторых физических
явлений, которые существуют в нестационарной лазерной плазме. Эти явления извест-
известны как струи (джеты) (jet-like structures). Такие специфические плотные струи были
обнаружены в ряде экспериментов по изучению лазерной плазмы (Willi, Rumsby, 1981;
Willi, Rumsby, Sartang, 1981; Willi etal, 1982; Stamper etal, 1981;Бондаренкоидр., 1981;
Denus et al, 1983; Burges et al, 1985; Thiell, Meyer, 1985; Xu et al, 1987, 1988, 1989;
Гончаров, Яновский, Серов, 1987; Dhareswar et al., 1987; Болыпов и др., 1987; Гончаров
и др., 1991; Гончаров и др., 1992). Приведенное ниже численные результаты обеспечили
качественное понимание зарождения плазменных струй, их эволюции, а также позволи-
позволили объяснить некоторые свойства струй, наблюдаемые экспериментально. Проведенное
численное моделирование позволило проверить и подтвердить надежность описанных
схем типа КИР при использовании их в случаях больших перепадов сеточных функций.
3.4. Приближенные решения задачи Римана
191
Рис. 3.9. (а) Экспериментальная теневая фотография со струями плазмы; (Ь) схема эксперимента,
в котором было получено фото
Рис. 3.10. Экспериментальная интерферограмма с плазменными струями
Существует целый ряд экспериментальных исследований, проведенных для изуче-
изучения свойств лазерной плазмы, которая образуется при взаимодействии интенсивного
лазерного излучения с твердой поверхностью. Это так называемая абляционная ла-
лазерная плазма. В некоторых из экспериментов было обнаружено заметное струеобра-
зование (рис. 3.9а). Схема экспериментов для случая плоской мишени изображена на
рис. 3.9b; (H,R) —цилиндрические координаты, где R—радиальная координата, а//—
осевая. Стрелки вверху рисунка показывают направление действия лазерного излуче-
излучения на мишень. Цифры 1 и 2 обозначают области, соответственно, образования струй
и холодной плазмы. Сплошная кривая на рисунке очерчивает границу области, кото-
которую занимает абляционная плазма. Такая граница соответствует изолинии плотности
плазмы с некоторым небольшим значением и получена из экспериментальных данных.
Теневая фотография (рис. 3.9а) была получена в Институте общей физики РАН на лазер-
лазерной установке УМИ-25 (Гончаров и др., 1992). На ней отчетливо заметны боковые струи
большого масштаба. Такие структуры называются крупномасштабными струями. Что
касается мелкомасштабных струй, то они представляют из себя небольшие возмущения
плотности и практически незаметны в масштабе представленной фотографии.
На рис. 3.10 представлена интерферограмма области лазерной плазмы вблизи твер-
твердой поверхности, которая также получена в экспериментах. Интерферограмма пред-
192 Гл. 3. Уравнения газовой динамики
ставляет из себя картину с множеством интерференционных полос. Эти полосы отде-
отделены друг от друга и начинают сближаться или сливаться только в областях больших
градиентов плотности. Такие области отчетливо заметны на рис. 3.10. Они соответ-
соответствуют крупномасштабным струям. Приведенные теневая фотография и интерферо-
грамма являются достаточно типичными для такого рода экспериментов (Гончаров
и др., 1992). Толщина наблюдаемой конической структуры достигает 100-200 мкм с
радиусом 1—1.5 мм у основания и углом 60°-70° к поверхности мишени (Гончаров, Се-
Серов, Яновский, 1987). Облучение производилось лазером на длине волны Я = 1.06 мкм
с длительностью импульса 8 не, интенсивностью лазерного излучения 1013 вт/см2, диа-
диаметром фокального пятна — 400 мкм. Мишенью явяляется 25-микронная пленка из
лавсана.
Интерферограммы типа представленной на рис. ЗЛО были использованы для вос-
восстановления двумерного распределения плотности плазмы. Это восстановление вы-
выполнялось путем численного решения интегрального уравнения Абеля методом Nestor,
Olsen A960) с некоторыми модификациями (Гончаров, Серов, Яновский, 1987; Гонча-
Гончаров и др., 1992). Создание упомянутых модификаций связано с трудностями обработки
экспериментальных интерферограмм, в которых имеются области слабого разделения
полос или практического их слияния (рис. 3.10). На рис. 3.11 показаны восстановлен-
восстановленные по экспериментальным интерферограммам двумерные распределения плотности
плазмы в некоторые моменты времени. На этих распределениях отчетливо заметны
плазменные струи, которые являются здесь областями с резкими, или пиковыми, гра-
градиентами плотности. Распределения показаны в цилиндрических координатах (H,R).
Начало координат соответствует здесь середине фокального лазерного пятна (рис. 3.9Ь).
Крупномасштабные струи с течением времени могут менять свою длину, толщину
и угол наклона по отношению к плоскости мишени. Однако при этом границы струй
всегда четко различимы и во многих случаях являются долгоживущими относительно
длительности лазерного импульса. В частности, в рассмотренных экспериментах время
существования струй превосходило длительность импульса в полтора раза.
Существует несколько теорий и гипотез относительно причин струеобразования в
лазерной плазме. К такому нарушению однородности плазменной короны могут приве-
привести различные факторы. В частности, неоднородное пространственное распределение
лазерного пучка может приводить к самофокусировке, что, в свою очередь, ведет к
неоднородному пространственному распределению в плазменной короне (филамента-
ции) (Willi, Rumsby, Sartang, 1981). Однако струеобразование появляется и тогда, когда
лазерный пучок делают пространственно однородным (Dhareswar et al., 1987). Кро-
Кроме того, оно наблюдается в корональной области плазмы вне фокусировки лазерного
луча. Возникновения плазменных струй объяснялось также различного рода термиче-
термическими и гидродинамическими неустойчивостями, которые возникают в горячей плазме
и мишени. Среди термических неустойчивостей следует упомянуть электротепловую
и магнитотепловую неустойчивости (Tidman, Shanny, 1974; Haines, 1974; Ogasawara,
Hirao, Ohkubo, 1980; Hirao, Ogasawara, 1981), неустойчивость Вайбеля (Weibel, 1959),
неустойчивость охлаждения излучением (Evans, 1981) и др. Эти теории объясняют
динамику мелкомасштабных струй, но не объясняют поведения крупных струй.
Динамика крупных струй была изучена численно (Гончаров и др., 1992; Goncharov,
Semenov, 1995) на основе решения нестационарных двумерных уравнений двухтем-
пературной газовой динамики C.1.32)—C.1.35). Для решения этих уравнений были ис-
3.4. Приближенные решения задачи Римана
193
t=43
Н
Рис. 3.11. Плазменные струи, полученные в экспериментах. Плоскость Н=0 — это поверхности
твердой мишени
пользованы конечно-объемная и конечно-разностная схемы КИР, которые оказались на-
надежным инструментом для моделирования задач струеобразования, характеризующих-
характеризующихся взаимодействием сильных ударных волн и большими перепадами сеточных функций.
Уравнения газовой динамики были выбраны для численной модели на основе анализа
экспериментальных данных. Предположим, что существует некий единый физический
механизм образования больших струй и что этот механизм имеет газодинамическую
природу. Это позволяет найти объяснение тому, что в различных экспериментах, где
существенно различаются виды неустойчивостей, полученные данные являются доста-
достаточно схожими. Кроме того, так как плазменные струи существуют значительно дольше
длительности лазерного импульса, на поздних стадиях разлета лазерной плазмы суще-
существенными становятся газодинамические явления. Таким образом, предположение о
газодинамическом характере образования больших струй не лишено оснований.
На рис. 3.12 приведены численные результаты для тех же моментов времени, что и
экспериментальные данные (рис. 3.11). Крупные струи здесь формируются после окон-
окончания действия лазерного импульса вне пятна лазерного излучения. Было получено
качественное и количественное совпадение экспериментальных и численных распреде-
распределений плотности. Численные результаты дают возможность воспроизвести эксперимен-
экспериментальные данные и объяснить особенности эволюции струй. Начальное распределение
плотности выбиралось в виде
p(R,H) = max \рх exp ( - А _ A J 5р2ехр ( - А _ A J I r > о, Н > 0.
Такой вид задания основан на экспериментальных измерениях и физических пред-
194
Гл. 3. Уравнения газовой динамики
Рис. 3.12. Плазменные струи, полученные в численных расчетах. Плоскость Н = 0 соответствует
поверхности твердой мишени
положениях. Индексы 1 и 2 соответствуют областям холодной (фоновой) и горячей
(абляционной) плазмы. При Н = 0 ставилось условие непротекания. Величины а и
Ъ — характерные линейные масштабы распределения плотности вдоль осей R и Н.
Начальные температуры Тх и Т2 (Тх <С Т2), соответственно, в областях холодной и го-
горячей плазмы полагались постоянными. В части расчетов распределение плотности в
холодной (фоновой) плазме также полагалось постоянным. Таким образом, в процессе
подгонки численных профилей плотности к экспериментальным следует варьировать
следующие семь параметров: я1э 61э a2, b2, Т\, Т2 и рх/р2. В численном моделирова-
моделировании полагалось, что а1 = 30 мкм, Ъх = 20 мкм, а2 = 40 мкм, Ъ2 = 300 мкм, рх/р2 = 30
и Тх — 400eV, а также варьировалась температура Т2. Начальное значение скоростей
полагалось равным нулю. В процессе расчетов выяснилось, что эффект двухтемпера-
турности в данном классе задач не является существенным и для моделирования можно
использовать также однотемпературные уравнения C.1.1)-C.1.3) и У PC совершенного
газа.
Выписанные выше значения параметров были определены сериями предваритель-
предварительных вычислений, а также анализом экспериментальных данных. При этом было про-
проведено исследование устойчивости и надежности полученных численных результатов.
Для этого варьировались параметры начальных данных, проводились расчеты на раз-
разных дискретных сетках, а также различными вариантами схем типа КИР.
Вычисления позволяют сделать вывод о том, что крупномасштабные струи возни-
3.4. Приближенные решения задачи Римана
195
^=4.3 не
R
кают в результате газодинамического взаимодействия горячей абляционной плазмы,
образующейся в фокальном пятне лазерного импульса, и холодной фоновой плазмы,
возникающей из-за рентгеновского (ультрафиолетового) излучения из горячей плазмы
или из-за рассеянного лазерного излучения. При этом существуют области параметров,
при которых струи возникают всегда. Отметим, что в их возникновении существенную
роль играет двумерная неоднородность распределения плотности холодной плазмы. В
случае рассмотрения холодной плазмы с однородным распределением плотности воз-
возникают только сферические ударные волны (см. Седов, 1972; Коробейников, 1985) и
плазменные струи в этом случае отсутствуют (см. рис. З.13а-Ь и 3.1 la—b).
Угол наклона струй к поверхности мише-
мишени зависит от температур 7j и Г2. С увели-
увеличением Тх и уменьшением Т2, значение этого
угла возрастает. Заметим также, что прове-
проведенное моделирование позволяет объяснить
зависимость величины угла от значения атом-
атомного веса вещества Z. Действительно, харак-
характерные длины а и Ъ зависят от вещества ми-
мишени, т. е. от Z, и поэтому можно заранее
предсказать характер изменения угла накло-
наклона при варьировании вещества или использо-
использовании мишени из двух веществ (Гончаров и
др., 1992). Таким образом, численное моде-
моделирование позволяет подтвердить газодина-
газодинамический характер образования крупномас-
крупномасштабных струй в лазерной плазме, возникаю-
возникающей под действием лазерного импульса. Ана-
Аналогию возникновения такого рода струй мож-
можно обнаружить на фотографиях надземного
ядерного взрыва (Седов, 1972). Когда огнен-
огненный шар взрыва касается земной поверхно-
поверхности и принимает с течением времени фор-
форму полушара, то происходит захват земного
грунта и выброс его в радиальном направ-
направлении или под углом к земной поверхности,
качественно похожий на рис. 3.9а.
Результаты, изложенные в данном разделе, а также численные результаты (Вовченко
и др., 1992, 1994; Красюк, Семенов, 1992), полученные в различных подвижных и
неподвижных системах координат, позволяют делать вывод о надежности описанной
выше разностных схем типа КИР для расчетов сильных ударных взаимодействий, при
больших перепадах сеточных функций, при учете сложных УРС вещества, включая
задание их в табличной форме.
Рис. 3.13. Распространение сферической
ударной волны
3.4.4. Схема Роу. Схема Роу основана на приближенном методе решения зада-
задачи Римана для уравнений C.1.15). Эта схема отличается от схемы КИР C.4.1)—C.4.3)
специальной аппроксимацией матрицы А, которую обозначим через я/. При этом ока-
оказывается, что численный поток F в схеме Роу определяется по точному решению задачи
196 Гл. 3. Уравнения газовой динамики
о распаде произвольного разрыва для таким образом линеаризованной системы урав-
уравнений. Эта матрица должна удовлетворять следующим соотношениям:
AF = F(U1)-F(U2), AU = U1-U2,
При введении невырожденной замены переменных U = U(Y) из точных соотношений
AF = i^AY и AU = g/jjAY следует, что srf — srfFsrf^x. В силу нелинейности функции
F(U), полученная матрица srf неединственна (см. п. 2.3.2).
Пусть левые и правые величины \JX и U2 связаны соотношениями Рэнкина-Гюгонио
C.3.3)—C.3.7): AF = WAV, где W — скорость распространения разрыва. Тогда W явля-
является собственным числом матрицы srf. Действительно,
AF - WAV = (&/F- Ws^jj)AY = (я/- WI)^AY = (я/- 07)AU = 0,
где / — единичная матрица размерности 5x5. Для нахождения нетривиального реше-
решения должно быть выполнено условие det (я/ — WI) = 0 и, следовательно, W является
собственным числом матрицы <?/, а вектор AU — ее собственным вектором. Таким
образом, при использовании линеаризации Роу соотношения Рэнкина-Гюгонио на раз-
разрывах, см. C.3.3)—C.3.7), выполнены точно.
Следуя работам Роу (Roe, 1981a, 1981b) выберем параметрический вектор Y следу-
следующим образом:
T T ^±Z C.4.7)
Этот вектор позволяет записать U и F в виде полиномов второй степени относитель-
относительно Y и тем самым получить матрицу srf единственным образом, см. тождество B.3.70).
Единственность матрицы понимается в том смысле, что srf = s^{\Jx ,U2) =A(Y), где Y
обозначает арифметическое среднее вектора Y на границе, т. е.
Y=l[Y(U1)+Y(U2)].
Матрица Роу я/ сохраняет гиперболические свойства матрицы А. Векторы U и F в
этих переменных принимают вид
R-p]T, C.4.8)
F = [RU, U2+p, UV, UW, UH]T. C.4.9)
Рассмотрим выражение для давления р = р(р,е) в общем виде
р(р,е) = G(R) + axH + a2RH + аъН2 + а4 (U2 + V2 + W2), C.4.10)
где я1э а2, аъ и а4 — константы, a G(R) — это некоторая гладкая функция. Здесь исполь-
использован тот факт, что только линейные и квадратичные члены относительно компонент
вектора U обеспечивают единственность коэффициентов в разностных разложениях
B.3.70)-B.3.73). Уравнение C.4.10) определяет давление р неявным образом, так как
3.4. Приближенные решения задачи Римана
197
Н = (е + рI у/р зависит от р. Подстановка выражений для R, U, V, W и Н в C.4.10)
дает уравнение
> + a4p (u2 + v2 + w2) =
+ a2 [pe + \p (u2 + v2 + w2) +p] + a3-^—— + a4p (u2 + v2 + w2).
Это уравнение должно быть явно разрешимо относительно давления р. Полагая аъ =
= 0, получаем линейное уравнение для р. Для устранения зависимости давления от
скоростей, полагаем а4 = — ^а2 и ах — 0. Тогда уравнение состояния (УРС) общего
вида, согласованное с методом Роу, принимает вид
/?(p,e) = (y-l)pe + g(Vp), C.4.11)
где g(R) = G(R)/(l — а2) — гладкая функция, а 7= 1/A ~ ai)' Описанное ранее урав-
уравнение состояния C.1.5), является специальным случаем C.4.11). Далее, в терминах
компонент параметрического вектора Y, получаем следующие выражения для ре, р и
е\
^
Тогда
и-
F-
Следователы
AU =
AF =
[r\RU,RV,RW
Г 2 У~ !
[ ' У
ю,
'2RAR
UAR + RAU
VAR + RAV
WAR + RAW
'UAR+RAU
2UAU+(?j-h
VAU+UAV
WAU+UAW
HAU+UAH
HR у-1
' У ^7
л^ I
Т11? (
2у {
C.4.12)
- ?j- (UAU + VAV + FA^) +
198
Гл. 3. Уравнения газовой динамики
Напомним, что выражение /= j(fi + /2) обозначает арифметическое среднее величи-
величины /, где в качестве / выбираются R, U, V, W или Я, а
_^g(Rl)-g(R2)
Л,-Л,
Для получения компактных формул разделим компоненты AU и AF на R = j(Rl+R2).
Тогда матрицы я/ц и srfF, где AU = g/jjAY и AF = i^AY, принимают вид
2
и
V
TV
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
Mh~2Sp)
7-1
det ?/TI = —
2R
v и
tv О
h О
О О
i—ЛЛ) -i-
о
о
о
о
и
Pl-p2
Здесь введены новые средние величины
U~ R "
. = =
C.4.13)
Для аналитического вычисления выражений для элементов матрицы srf — ^F
можно использовать формулы для решения хт линейной системы уравнений
C.4.14)
\z\
J™Z
>5 - у (A-gp)z5J
Z4
zT = [zzz
Здесь хт = [х1,х2,х3,х4,х5] и zT = [zl^z2^z?>^z^z5\. Пусть п-я строка матрицы s
равна zT, тогда находим хт, который является п-Vl строкой матрицы я/ = s$F?$^x, так
3.4. Приближенные решения задачи Римана
как srf'stfjj — s$F. Таким образом, получаем
О 10
G-lk2 C-у)й (l-y
0 0
—uv v u 0 0
—йм> w 0 п 0
2 h-(j-\)u2 (l-y)fiv A-у)йи> уй
199
C.4.15)
Матрицы C.1.19) и C.4.15) совпадают при и = й, v = v, w = w, h = h,
Из уравнения C.1.25) находим, что
C.4.16)
Эта формула в методе Роу определяет выражение для усредненной скорости звука с.
Таким образом, из C.1.21)—C.1.23) получаем выражения для матриц, необходимых для
применения этого метода:
-г; C.4.17)
C.4.18)
1
й—с
V
W
h—uc
0
0
1
0
V
0
0
0
1
w
1
и
V
w
h-c2/b
1
й+с
V
w
h+йс
2c
, detQR = —
b
Л = diag[w— с, й, й, й, й+с],
6+пс/Ь —й—с/Ь —V —w 1
-2vc2/Z? 0 2<32/6 0 0
-2wc2/b 0 0 2<32/6 0
2h-2q2 2й 2v 2w -2
в—йс/b —й+с/Ъ —v —w 1
Заметим, что для модели совершенного газа C.1.4) получается следующее выраже-
выражение для с:
200 Гл. 3. Уравнения газовой динамики
где сх — л/уТ\ и С2 = л/^2 — это скорости звука слева и справа от границы, а Тх и
Г2 — соответствующие значения температур, выраженных в энергетических единицах.
Функция с2 является в некотором смысле формальной, так как она зависит от величин
скоростей. Поэтому является полезным использование для нее процедуры регуляриза-
регуляризации (Yee, 1989). Следует использовать выражение C.4.16) для с только в тех случаях,
когда min(c1, с2) < с < max(cj, с2). При с < min(c1, с2) следует полагать с = min(c1, с2),
а при с > max(cj, с2) следует полагать с = max(cj, с2).
Для уравнений C.1.15) применим разностную схему C.4.1)—C.4.3) со специальным
выбором матриц QR, Л и QL:
/2-F /2
+ /2 j i/2 = C.4.19)
At Ax
Fm+l/2 = T(Fm + Fm+i) + |Kli+i/2(Ui-Ui+1), m=j,j-\; C.4.20)
M=QR|A|QL.
Эту схему можно рассматривать как разновидность конечно-объемной схемы КИР с
вычислением потоков по формуле B.3.28) и таком выборе аппроксимации для матрицы
А = <?/, что выполнено дополнительное равенство <5F = 0 B.3.30).
Величины U^+112 находятся по формуле B.3.74) при ?, = 0,
^+/^-U^+1), m=j,j-l; C.4.21)
5=QR[signAP5;rf]QL.
При решении уравнений на подвижных сетках, имеющих скорость D(x), см. C.2.7)-
C.2.10), следует модифицировать процедуру вычисления функции F в соответствии с
уравнением B.3.76). При проведении этих модификаций следует учитывать изменение
объема дискретной ячейки по времени. Модифицированные выражения для F имеют
вид
), C.4.22)
При решении системы уравнений C.1.26)—C.1.28) с учетом цилиндрической или
сферической симметрии
*WF Л^/, C.4.23)
dt ' Эх ""' "
можно использовать специальную модификацию метода Роу (Glaister, 1988a). Подста-
Подстановка р = s(x)p сводит уравнения C.4.23) к C.1.15)—C.1.17), где полагаем, что р =р.
Тогда при использовании метода Роу C.4.19), C.4.20) следует принять во внимание, что
pm = s(xm)pm и pm+l = s(xm+l)pm+v и усреднения C.4.13) принимают вид
. _
3.4. Приближенные решения задачи Римана
201
w =
h =
АТРГА1 + \f4P~2h2
S^=S{Xm), s2=S\Xm+V> J\ = Jm, J2~Jm+\i
где / = г/, v, w и h.
Для построения конечных-объемной схемы необходимо знание формул только для
потоков F, см. уравнения C.4.19) и C.4.20). Что касается формул C.4.21) для нахожде-
нахождения U, то они могут оказаться полезными, в частности, при аппроксимации в урав-
уравнениях недифференциальных свободных членов, при вычислении кусочно-линейных
распределений сеточных функций и т. д.
В ряде случаев на границе ячеек может понадобиться вычисление величин ви-
вида Wffl+1,2 для функции W(U). В частности, значение давления р на границах дис-
дискретных ячеек может быть использовано при аппроксимации правых частей в уравне-
уравнениях C.4.23), для вычисления начальных данных при решении .Р-уравнений C.3.45),
C.3.67) и т. д. Выведем соответствующие формулы. Подстановка U = U(W) в систему
C.1.18) дает
Применяя уравнение C.4.21), получаем
Wm+i/2 = l(™
)km+m (W* -W*+1), C.4.24)
Для сохранения свойств метода Роу, будем выбирать Wjj таким образом, чтобы для
любых конечных разностей имели место точные соотношения
C.4.25)
Если удается найти WU9 удовлетворяющее C.4.25), то уравнение C.4.24) принимает вид
,2«-]
Используя равенства AW = srfwbX и AU = л/иА\, находим, что Wv =
следующий вид вектора W:
W = [g{*Jp),pu2,pv2,pw2,p\T =
'
C.4.26)
. Выберем
= \g(R),U2,V2,W2,
Тогда
AW =
gAR
2UAU
2VAV
2WAW
202
Гл. 3. Уравнения газовой динамики
Rx-R2
Разделив все компоненты AW и AY на R = j (R\ + R2) и использовав уравнение AW
= й/^AY, получим
2gP
0
0
о
о
2п
0
О
О
о
2v
О
О
о
-w
О
О
О
О
7-1
7 -I
= g
gp 2R
Используя выражения для gfjj и
WTT = ^
= g g(R1)-g(R2) =
XY-{R2Y Pl-p2
и решение C.4.14), находим
—и
-v2
О
2й
О
О
О
О
2v
О
О
О
о
2w
О
о
о
о
Таким образом, в соответствии с уравнением C.4.26) вычисляем ри2, pv2, pw2 и р
на границе ячейки. При W = F формула C.4.26) переходит в формулу C.4.20). При
W = U уравнение C.4.26) переходит в C.4.21) с Wjj = /, где / — единичная матрица
размерности 5x5. Заметим, что формулы C.4.26) являются согласованными с C.4.20).
Действительно, легко проверить, что
{ри2 +р) = (ри2) + (р), (/) = /т+1/2. C.4.27)
Здесь (/) обозначает значение функции / на границе ячейки. Соотношение C.4.27)
следует из того, что вторая строка матрицы я/ равна сумме второй и четвертой строк
матрицы Wjj. Формулы C.4.21) и C.4.26) также являются согласованными. В частности,
легко проверить, что
C.4.28)
7-1
7-1
Соотношение C.4.28) следует из равенства четвертой строки единичной матрицы / и
суммы с первой по четвертую строк матрицы Wjj, которые берутся при этом с соответ-
соответствующими коэффициентами ±1/G— 1) и j.
Вычислим приближенное значение р на границе дискретной ячейки для одномер-
одномерного течения при v = w = 0. Применим для этого соотношение C.4.26). Положим S =
= diag[— l,s,s,s, + l], где s = signu. Проводя вычисления, находим выражение близкое
акустическому приближению C.3.47) и C.3.52):
Ли+1/2
3.4. Приближенные решения задачи Римана
203
3.4.5. Метод Роу для уравнения состояния общего вида. Наиболее об-
общее выражение для уравнения состояния среды, которое обеспечивает единственность
формул Роу, задается выражением C.4.11).
Пусть р = р(р,е). Тогда из уравнений C.4.8) и C.4.9) получаем
AF
где R = А
uAR+AU
2uAU + Ap/R
vAU + uAV
wAU+uAW
hAU + uAH
AU
R
2AR
uAR + AU
vAR + AV
wAR + AW
AH + hAR-Ap/R
[а имеет место соотношение
AF
~AU
" R'
где матрица А — некоторая аппроксимация матрицы C.1.19). Предположим, что А
совпадает матрицей Роу я/ и получается из C.1.19) при и = и, v = v, w = w, h = h, q2 =
= it2 + v2 + w2 и в = q2 - h + c1 /b C.1.25). При этом будем пока полагать коэффициент Ъ
и скорость звука с неизвестными и определим их далее. Тогда равенство
AF _ —AU
сводится к выполнению единственного соотношения
Ap=[2c2 + (q2-h)b]
г>
l+b
(AH - UAU - vAV - wAW)
bR
ТТь'
C.4.29)
С другой стороны, выполнены соотношения
=Я2, е =
R2
где коэффициенты рр и ре будут определены ниже. Отсюда находим, что
Ар = 2RAR,
Ае = (RAH + HAR-Ap-UAU-VAV-WAW)\\\ +рёА [-U
LR J LR
-Г 1
R
1 1 . —27
C.4.30)
C.4.31)
Здесь p = yjpxp2, a / = 7 (/1 +У2) обозначает арифметическое усреднение величины /.
Подставив Ар и Ае в C.4.30), получаем
Ар=
- (AH - uAU - vAV - wAW) ——, C.4.32)
204 Гл. 3. Уравнения газовой динамики
Сравнивая уравнения C.4.29) и C.4.32) находим, что Ъ — d и
Р
—
C.4.33)
Величины /?е и /?р могут быть, в частности, аппроксимированы следующим образом
(Glaister, 1988b):
Ре =
[2[ де
др(р2,е)
д?
C.4.34)
при Ар = рх — р2 ф О,
C.4.35)
При этом частные производные в равенствах C.4.34) и C.4.35) вычисляются по задан-
заданному У PC. Величины рр и р? могут быть аппроксимированы, например, в виде
(i) Ар = p(pv?x) -р(р2,?2) =
?х-?2
p(Pv?2)-p(p2,?2)
A)
_P(PV?X)-P(PV?2) (l)_p(pv?2)-p(p2,?2).
Р
?Х~?2
(И) Ар = p(pl,?l) -р(р2,?2) = p(pl,?l) -р(р2,?х) + р(р2,?х) -р(р2,?2) =
P1-P2
12) _
12) _
Р\~ Р2
Заметим, что линейная комбинация C.4.36) и C.4.37) дает также аппроксимацию
для/?р кр?:р? = ар^ + A - a)pf"> прр = рр^ + A - р)р®. При а = /3 = \ получим
C.4.34) и C.4.35).
Описанный подход не свободен от некоторых трудностей в реализации. В частности,
они возникают при аппроксимации рр и р? в случаях когда Ар —> 0 и Де —у 0 и преодо-
преодолеваются регуляризацией. Существуют и другие модификации формул для матриц Роу
для УРС общего вида (Glaister, 1988b; Куприянова, Михайлов, Чинилов, 1991). Разница
3.4. Приближенные решения задачи Римана 205
между всеми вариантами формул имеет порядок О(Л2), где А — конечные разности
газодинамических переменных. В отличие от рассмотрения формул C.4.29)-C.4.33),
Glaister A988b) использовал более громоздкий и сложный анализ соотношений между
собственными векторами. В его результатах выражение для ? совпадает с усредненным
по Роу C.4.13).
Используя УРС C.1.4) для совершенного газа, можно увидеть, что полученные
формулы для приближенного решения задачи Римана отличаются от оригинального
метода Роу. Действительно, используя C.1.4), из C.4.34) и C.4.35) находим, что р? =
= (у— 1)~рярр = (у— 1)г, гдер = j(pi +P2) иг= j(?i +?2)- Таким образом, в отличие
от оригинального метода Роу, в матрице srf появляются элементы р и р = Л/р1р2, а также
г и ? = ~pej~p. Эти коэффициенты являются различными усреднениями одних и тех же
переменных. Они описываются разными формулами и, в общем случае, не совпадают:
р' ф р иг^?. Тот же вывод касается и метода Роу с модификацией Glaister A988b).
Таким образом, построение метода Роу для УРС общего вида является неединственным.
3.4.6. Метод Ошера—Соломона. Опишем теперь, для полноты, реализа-
реализацию конечно-объемной схемы Ошера для уравнений газовой динамики (Osher,
Solomon, 1982). Ограничимся здесь только схемой первого порядка точности по про-
пространству. Распространение ее на более высокий порядок может быть осуществлено с
помощью стандартной TVD-интерполяции. Рассмотрим одномерную систему Эйлера
уравнений газовой динамики
где
U = [р, рщ е]т, F = [ри, pu2+p, (e + p)u]T.
Для определения численного потока в схеме Ошера-Соломона для многомерного
случая нужно направить координатную ось х вдоль нормали к границе вычислительной
ячейки. Система C.4.38) на практике рассматривается только как вспомогательная.
Ее решение используется для построения глобального решения многомерной системы
уравнений Эйлера.
Как обычно, система C.4.38) должна быть дополнена калорическим уравнением
состояния, которое в случае идеального совершенного газа имеет вид
е-у-\+ 2 '
где у— показатель адиабаты.
Для применения метода Ошера-Соломона (см. п. 2.3.3) необходимо знать якобиеву
матрицу
А =
<9F
<9U
0
j(y-3)u2
-I)u3-yeu/p у
C
A -)
1
-y)u
0
y-
p 7^
C.4.39)
Собственные значения этой матрицы суть
Aj = и — с, А2 = г/, А3 = и + с,
206
Гл. 3. Уравнения газовой динамики
где с = л/ур/р — адиабатическая скорость звука.
Определим численный поток F .+1,2 используя интегрирование по тем сегментам Г^
пути, соединяющем U • и U +1, которые соответствуют отрицательным собственным
значениям матрицы А, т. е.
J+1A-dV.
C.4.40)
Каждому собственному значению А,- соответствует собственный вектор г1. Путь
интегрирования состоит из трех сегментов Г7, касающихся г1 в фазовом пространстве U.
Каждому собственному вектору соответствует простая волна, которая разделяет области
с постоянными параметрами (см. п. 1.4.1).
Для проведения характеристического анализа перейдем к квазилинейной форме
системы C.4.38)
dt
dx
C.4.41)
где вектор состояния и, матрица коэффициентов А и ее собственные векторы г1 и Г
имеют следующий вид (ср. с п. 1.3.1):
А =
ирО
0 и \/р
0 рс2 и
рс
2с'2' 2 J
(Г
i3=
рс
2с'2' 2
Здесь V и г1 (/ = 1,2, 3) являются левыми и правыми собственными векторами,
соответствующими Хх = и — с, Я2 = г/ и Я3 = и + с. Вектор г2 в
пространстве и параллелен оси р (рис. 3.14). Это означает, что и
и /? остаются постоянными вдоль этого сегмента пути интегри-
интегрирования.
Очевидно, что
Рис. 3.14. Фазовое
пространство р-и-р
т. е. это характеристическое поле является линейно вырожден-
ным. Изменение параметров в нем соответствует тангенциаль-
ному разрыву.
Рассмотрим изменение величин в простых волнах, соответ-
соответствующих оставшимся истинно нелинейным характеристическим полям. Вначале най-
найдем инварианты Римана wt системы. По определению,
dwt = \
3.4. Приближенные решения задачи Римана 207
вдоль соответствующего характеристического отрезка и, следовательно,
1 dx
dp -dp = Q вдоль — = u, C.4.42)
1 dx
du-\ dp = 0 вдоль — = u +с, C.4.43)
du dp = 0 вдоль —- — u- с. C.4.44)
pc dt
Так как р = p(p,S), а квадрат скорости звука с2, по определению, равен (dp/dp)s,
соотношение C.4.42) эквивалентно сохранению эн-
энтропийной функции S = р/р7. Это означает, что Х=и
можно выбрать 3 / \J
W2 =S- C.4.45) X=u-c
Из уравнения C.4.43) интегрированием находим
, Г dp з У+1
и+ \ — = const.
" Рис. 3.15. Путь интегрирования
Если рассматривать изэнтропические течения с р — Sp7 и, следовательно, с2 =
= Syp7~l, приходим к соотношению
/с(р)-=<
u+ I c(p)—r = const,
которое дает
2c
w о = и Л = const. C.4.46)
7-1
Аналогично из C.4.44) получаем
wl=u = const. C.4.47)
Так как решение ищется в виде простой волны, т. е. в виде и(^(х,/)), получаем
(см. п. 1.4.1)
77F II г'", C.4.48)
где и1 представляет из себя элементарное решение, соответствующее /-му собственному
значению.
Так как \к • г1 = 0 при к ф /, то в простой волне, соответствующей /-му собственному
значению, все, кроме /-го, инварианты Римана постоянны. Таким образом, w2 и w3
остаются постоянными во первой простой волне, a Wj и w2 неизменны в третьей.
Это дает возможность выписать следующие формулы, связывающие U и U +1 (см.
рис. 3.15):
C.4.49)
(ЗА51)
208 Гл. 3. Уравнения газовой динамики
Как отмечено в п. 2.3.3, собственные значения Хх =u — cvlX3 =u + c могут изменить
свои знаки, соответственно, вдоль первого и третьего сегментов интегрирования. Если
отметить эти звуковые точки индексами j + 1/6 и j + 5/6, можно получить следующие
дополнительные соотношения:
(ЗА52)
Соотношения C.4.49)-C.4.53) дают возможность провести интегрирование вдоль
отрезков, соответствующих отрицательным собственным значениям:
= F(U,)+/ A~dU= C.4.54)
J Jvj
= F(U,-) +
+ (F(Uy+1/3)-F(Uy))+ если ну+1/3 - cy+1/3 < 0 и ну-су<0
+ (F(U.+1/6) — F(U-)) + если г/.+1/3 — c+1/3 > 0 и и- — с-<0
+ (F(Uy+1/3)-F(Uy+1/6))+ если Иу+1/3 -С/+1/3 < 0 и иу-су>0
+ (F(Uy+1)-F(Uy+2/3))+ если uJ+2/3 + cJ+2/3<0 и м/+1+с/+1<0
+ (F(Ui+1)-F(Uy+5/6))+ если uJ+2/3 + cJ+2/3 > 0 и м/+1+с/+1<0
+ (F(Ui+5/6)-F(Ui+2/3)) если uj+2/3 + cj+2/3 < 0 и иу+1+су+1 >0.
В схеме Ошера-Соломона решение задачи Римана строится с помощью простых
волн, в которых ортогональные оси х компоненты скорости v и w не изменяются. По-
Поэтому формулы C.4.54) остаются справедливыми и при учете наличия в выражениях
для консервативной переменной U и потока F этих компонент, см. формулы C.1.16)
и C.1.17). При этом при вычислении потоков, присутствующих в формулах C.4.54),
нужно положить
Vj+2/3 = VJ+5/6 = V7+l' W,+2/3 = Wj+5/6 = WJ+1'
Отметим, что точное решение задачи Римана обычно состоит из ударных волн, волн
разрежения и тангенциального разрыва, которые разделяют области постоянных вели-
величин. В схеме Ошера-Соломона ударные волны заменяются волнами сжатия. Так как в
этой схеме звуковые точки на пути интегрирования выделяются точно, она оказывается
свободной от проблем, связанных с энтропийной коррекцией. Имеются данные, что она
дает более качественное разрешение контактных разрывов (Godlewski, Raviart, 1996).
Схема Ошера-Соломона определенно менее экономична, чем схема Роу. С другой сто-
стороны, ее элементы могут включаться в процедуры численной реализации граничных
3.5. Методы с выделением разрывов
209
условий (Sawada et al.,1986; Pogorelov, 1993, 1995; Погорелов, Семенов, 1996). Распро-
Распространение этого метода на системы более сложные, чем уравнения газовой динамики,
может вызвать существенные трудности. Например, соотношения в МГД-волнах раз-
разрежения не могут быть точно проинтегрированы. Как показано в п. 2.3.3, часто нет
особой необходимости иметь какое-либо точное или приближенное решение в форме
простой волны для рассматриваемой системы. Схема Ошера может быть реализована,
если только найдены нули всех ее собственных значений на интервале между U и U +1.
Этот подход детально описан в работе Bell et al. A989).
3.5. Методы с выделением разрывов
Методы с выделением разрывов являются эффективным инструментом решения урав-
уравнений газовой динамики. Если структура решения известна заранее, а количество раз-
разрывов не очень велико, эти методы оказываются исключительно точными (Любимов,
Русанов, 1970). Методы сквозного счета могут обеспечить такой же уровень точно-
точности только при использовании адаптированных к решению сеток (McRae, Laflin, 1999;
Zegeling, 1999). Более того, так как в методах с выделением разрывов аппроксимиру-
аппроксимируются производные только гладких функций, для их вычисления можно использовать
конечно-разностные схемы повышенного порядка, уделяя меньше внимания их моно-
монотонности.
3.5.1. Разрывы как границы вычислительной области. Существу-
Существует несколько основных подходов для выделения разрывов при численном модели-
моделировании газодинамических течений. В одном из них разрывы рассматриваются как
поверхности, на которых подлежащие определению функции теряют непрерывность.
Таким образом, расчетные точки, ко-
которые лежат на поверхности разры-
разрыва, соответствуют двум наборам га-
газодинамических параметров, удовле-
удовлетворяющим соотношениям на раз-
разрыве C.3.3)—C.3.7). Значения неиз-
неизвестных функций на новом времен-
временном слое, так же как и новое поло-
положение разрыва, определяются путем
решения двух связанных начально-
краевых задач, см., например, Бабенко
и др. A964), Любимов, Русанов A970),
Roache A976), Шевелев A986), Маго-
Магомедов, Холодов A988).
Простейший случай имеет место,
если существует глобальный разрыв
(например, ударная волна), отделяю-
отделяющий область известных величин от об-
области, в которой функции подлежат определению. Положение этой ударной волны мо-
может быть неизвестно заранее и должно быть определено в процессе численного решения
задачи. Этот случай имеет место в одной из важных задач аэродинамики — задаче о
Рис. 3.16. Сверхзвуковое обтекание затупленного
тела
210 Гл. 3. Уравнения газовой динамики
сверхзвуковом обтекании тел. Так как возмущения не могут распространяться вверх
по сверхзвуковому потоку, такой разрыв, который называют головной ударной волной,
разделяет вычислительное пространство на две части. Параметры потока перед голов-
головной ударной волной заданы, и необходимо определить правильное положение ударной
волны и величины за ней (см. рис. 3.16).
Если система уравнений газовой динамики записана в консервативной форме, то
разрывы, находящиеся внутри невязкого ударного слоя между головной ударной вол-
волной и поверхностью тела, могут рассчитываться насквозь (Шевелев, 1986). Этот под-
подход использовался для расчета нестационарных и стационарных сверхзвуковых те-
течений совершенного газа (Погорелов, Шевелев, 1981, 1983, 1985; Кудряков, Погоре-
лов, 1989), равновесно (Погорелов, 1988а) и неравновесно реагирующего воздуха (По-
(Погорелов, 1988с, 1990, 1992) около тел сложной формы под большими углами атаки.
Рассмотрим применение разработанного в вышеупомянутых работах метода с вы-
выделением разрывов для решения задачи о гиперзвуковом проникновении затупленного
тела в воздушное облако, содержащее температурную и концентрационную неоднород-
неоднородности (Погорелов, 1990, 1992). Такого рода задачи встречаются в астрофизике (Krebs,
Hillebrandt, 1983; Ikeuchi, Spitzer, 1984), газодинамических лазерах (Горбачев, Жмакин,
Фурсенко, 1985) и высокоскоростной аэродинамике (Champney, Chaussee, Kutler, 1982;
Шугаев, 1983; Георгиевский, Левин, 1989; Левин, Терентьева, 1993, 1999). Можно со-
сослаться как на численные, так и экспериментальные исследования (Железняк, Мнаца-
канян, Первухин, 1986; Бархударов и др., 1987; Войнович, Жмакин, Фурсенко, 1988).
Однако в этих работах либо использовались упрощенные формулировки, не учитыва-
учитывающие полного набора химических реакций, либо рассмотрение ограничивалось крити-
критической линией тока. Здесь рассматривается неравновесный поток воздуха за головной
ударной волной, возникающей около затупленного тела, которое движется через нагре-
нагретую область, в детальной постановке задачи, принимая во внимание набор химических
реакций, которые могут проходить в сжатом ударном слое. Считается, что химические
реакции внутри самого облака являются равновесными. Воздух рассматривается как
смесь идеальных, реагирующих между собой, совершенных газов.
Пусть формы тела и головной ударной волны определяются функциями,/? = Rb (<p, #)
и R = Rs(t, ф, #), где R — расстояние точки до начала координат, причем R, (р и # об-
образуют некоторую, не обязательно ортогональную, криволинейную систему координат
(Погорелов, Шевелев, 1981), связанную с декартовой формулами х = х(Я,<р,#), у =
= y(R, <р, #) и z = z(R, <p, #). Отметим, что Rb фиксировано, в то время как зависимость
функции Rs от времени нужно определить.
Постановка задачи
Обезразмерим физические переменные v^, рир, входящие в C.1.44) на (роо/рооI^2,
Роо и Роо. Характерные длина и время равны L и f — L/(poo/pooI^2. Индекс оо отно-
относится к невозмущенным величинам перед облаком.
В рассматриваемых вычислениях смесь состоит из следующих шести компонентов:
A) молекулярный кислород О2; B) атомарный кислород О; C) молекулярный a3OTN2;
D) атомарный азот!Ч; E) окись азота N0 и F) аргон Аг. Между компонентами проходит
21 химическая реакция
3.5. Методы с выделением разрывов 211
N2 + 02 ^ 2N0,
где M — любая из шести компонентов.
Используя закон сохранения химических элементов, а также условие Xf=i ci — 1?
из C.1.44) можно исключить с1э съ и с6:
if 1 С2М1 С5М1
" 2 ^ С° М
5М1
М5
Здесь с0 « 0.2322, cN « 0.7542, сАг « 0.0136. Эти значения соответствуют обычному
содержанию химических элементов в воздухе.
Для удобства численных расчетов в источниковых членах уравнений C.1.44) ис-
исключаются константы скоростей прямых химических реакций и вместо них вводятся
константы равновесия
к_к
кг
Отметим, что константы равновесия обычно известны со значительно большей точно-
точностью, чем константы скоростей.
Константы скоростей к~ и равновесия Кг берутся из работы Бабенко и др. A980).
Их безразмерная форма имеет вид:
V - К
V - К
2~ 2
,- Plot* vx _ у М2М4
мхмА ' ^4~К4м2м5'
Poot*M2 ^ ^ М4М5
м4м5 '
Индекс / относится к реакциям, проходящим с участием /-го каталитического ком-
компонента М. Таким образом, для источникового члена C.1.45) получаются следующие
212
формулы:
1=1
6
2 2,a e
1=1
Гл. 3. Уравнения газовой динамики
1=1
^Ъ1 ci ~
i=\
+R5Jtr5-
5 "" РС3С4'
Систему уравнений C.1.44), C.5.1) нужно дополнить термическим и калорическим
уравнениями состояния. Первое из них есть
т =
-1
C.5.2)
где Г — температура, /1 — средняя молекулярная масса смеси, а Я — универсальная
газовая постоянная.
Удельная внутренняя энергия смеси есть
В идеальном газе внутренняя энергия предполагается равнораспределенной по внеш-
внешним степеням свободы (по RT/2 на каждый моль газа). Таким образом,
где с^1 — не зависящая от температуры удельная теплоемкость внешних (поступа-
(поступательной и вращательных) степеней свободы, е W — удельная энергия колебательных
степеней свободы, a hol — константы, равные удельной энергии образования /-го ком-
компонента. Естественно положить энергии образования молекулярных кислорода и азота
равными нулю, а для других компонентов эксперименты дают h02 = 1.537х107м2/с2,
А04 = 3.364 х 107 м2/с2, h05 = 2.965 х 106 м2/с2.
Кроме того,
@) =
v/
2M/
где щ = 5 для двухатомных молекул и щ = 3 для атомов.
Тогда
6
1=1
1=1
1=1
3.5. Методы с выделением разрывов 213
В некоторых работах (Reinhardt, 1977) предлагается считать внутренние колебатель-
колебательные степени свободы идеально возбужденными (Lighthill, 1957). При этом принимается,
что они возбуждены наполовину и калорическое уравнение состояния можно записать
в виде
C.5.3)
Удельная теплоемкость при постоянном объеме определяется формулой
m Ma
где
^ fL fL ^ L
^ = fL + fL + ^ _L= L + fl + i
мт мх мъ м5' Ma м2 м4 м
6
Объединяя C.5.2) и C.5.5), получаем соотношение, аналогичное случаю совершен-
совершенного газа:
т +2.5/Ма
C56)
В качестве альтернативы можно считать внутренние степени свободы равновесно
возбужденными. В этом случае
=
' М, eevi/T - 1'
где 0vl — характеристические температуры. Они равны 2230 К, 3340 К и 2690 К,
соответственно, для молекулярных кислорода и азота и окиси азота. Тогда
где
и калорическое уравнение состояния принимает вид
Начальные и граничные условия
Предполагается, что движущееся тело имеет форму затупленного конуса с углом по-
полураствора 20°. Оно движется со сверхзвуковой скоростью при числе Маха М^ =
= J'oo/coo = 15 в воздухе с давлением р^ = 24.12 Па и плотностью Роо = 3.32 х
х 10~4 кг/м3. Характерный размер тела (радиус его затупления) равен одному метру.
Ясно, что перед движущимся телом образуется головная ударная волна. Если связать
систему координат с телом, то можно ввести угол атаки, т. е. угол между вектором
скорости на бесконечности и осью конуса. Пусть этот угол равен 20°.
214 Гл. 3. Уравнения газовой динамики
Нагретое облако занимает полупространство и имеет плоский фронт (см. рис. 3.16).
Параметры внутри облака изменяются только в направлении, нормальном к этому фрон-
фронту. Вектор набегающего потока перпендикулярен невозмущенной границе нагретой
зоны. В некоторый начальный момент времени ударная волна перед движущимся с по-
постоянной скоростью телом касается границы облака. Изменение температуры воздуха в
слое определяется через начальную температуру Т^ = 253.7 К, которая соответствует
параметрам Роо и р^, по формуле
Т — Т
18 [Л +27^1 +1
d \d
где ? отсчитывается внутрь по нормали к фронту облака. Температура 7f = 2537 К при
? = d принимается равной температуре его ядра. Поэтому она считается постоянной
при ? > d. В анализируемом случае d = 1 м. Давление в облаке считается неизменным.
Плотность и концентрации в нем определяются из условий химического равновесия
внутри облака. Отметим, что при Т = 7f почти весь кислород находится в диссоцииро-
диссоциированном состоянии, в то время как азот только начинает свою диссоциацию. Движение
газа в слое перед головной ударной волной отсутствует, так как движение тела все вре-
время остается сверхзвуковым (эффективное число Маха, вычисленное по параметрам в
глубине разогретой области, приблизительно рано 4.3). Равновесные параметры внутри
облака рассчитываются путем решения системы уравнений Щ = 0 при известных Т и р
методом, описанным Погореловым A988с). Это дает pf = 0.275 х 10~5 кг/м3 и
cloo = 0.2322, clf= 0.0061;
с2оо = 0, c2f= 0.2234;
с3оо = 0.7542, c3f= 0.7517;
с4оо = 0, c4f=0.471xl0-4;
С5оо = °> c5f=0.518xl0-2;
с6оо = 0.0136, c6f= 0.0136.
В качестве начальных параметров в ударном слое около тела принимается стацио-
стационарное решение той же системы уравнений для невозмущенного движения тела. На по-
поверхности тела ставятся граничные условия непротекания. Очевидно, что течение имеет
плоскость симметрии. На ней ставятся соответствующие граничные условия, позволя-
позволяющие уменьшить расчетную область вдвое. Выходная граница является сверхзвуковой,
и на ней граничные условия не требуются. Головная ударная волна рассматривается как
поверхность разрыва.
Для идеального газа система законов сохранения на ударной волне в размерном виде
выражается формулами
U = V-S,
3.5. Методы с выделением разрывов 215
Здесь vn vLYt — проекции вектора скорости на внешнюю нормаль ns к разрыву и на
плоскость касательную к нему, s — скорость разрыва, аи — вектор скорости в системе
координат, связанной с ударной волной. Отметим, что всюду дальше s = sns. Энталь-
Энтальпия, по определению, связана с внутренней энергией по формуле h = ?+p/p. Все
величины рассматриваются в произвольной, фиксированной точке разрыва. Условие
\t2 = \ti выражает непрерывность тангенциальной компоненты скорости. Его можно
также выписать в виде векторного произведения \2 x n = Vj x n. Индексы 1 и 2 соот-
соответствуют величинам в неоднородном облаке перед ударной волной и параметрам в
сжатом ударном слое за ней. Вышеприведенные законы сохранения можно переписать
в безразмерном виде (для новых скоростей используются старые обозначения)
pxhx
h —
2 P
\n j_
Pl»lJ =
VU=V2P
Pi
-1
1/p'
U2«'
Vl,2~
Py
V1,2V
)(P"
p\
Ul,2 ~Ul,2l/^L
C-
C.
C.5
C.5
C.5
5.8)
5.9)
.10)
.11)
.12)
Pi Pi
Головная ударная волна считается тонкой, так что при переходе через нее концентра-
концентрации компонент не изменяются с12 = сп, а колебания полностью возбуждаются. Это до-
допустимо для скоростей движения порядка 5-6 км/с (Стулов, 1969; Стулов, Турчак, 1969).
На головной ударной волне ставятся граничные условия C.5.8)-C.5.11), однако удобнее
переписать соотношение Рэнкина-Гюгонио C.5.8) для внутренней энергии в виде
>+1)- <з-5лз>
При использовании модели идеального возбуждения колебательных степеней свободы
молекул, принимая во внимание равновесность смеси в облаке, можно получить
где у2 определяется уравнением C.5.6).
Рассмотрим процедуру вычисления величин за скачком. Предположим, что, исполь-
используя какую-нибудь конечно-разностную схему, удалось найти давление р за ударной вол-
волной не аппроксимируя производных через разрыв. Величины нормальной компоненты
вектора скорости перед ударной волной и плотность за ней могут быть выражены через
р с помощью соотношений C.5.9) и C.5.14).
Нормальные и касательные к поверхности разрыва компоненты вектора скорости
могут быть найдены как
C.5.15)
216 Гл. 3. Уравнения газовой динамики
Единичный вектор внешней нормали определяется формулой
ns = ^ (v^e*-^v^V>-^V^V>) , C.5.16)
где
Входящие в C.5.16) векторы e^,e^ и е^ — это контравариантные базисные векторы
криволинейной системы координат (R, (р, #).
Проекция \1п на внешнюю нормаль есть
Имеем
иы = v\n-s = (vi • ns)ns -sns = [(\x • ns) -s]ns. C.5.18)
Отметим, что s — это проекция вектора s на нормаль к разрыву, т. е. она может быть и
положительной, и отрицательной.
Следовательно,
C519)
( }
Скорость за ударной волной также можно разложить на векторы перпендикулярные
и касательные к разрыву, и при учете того, что тангенциальная компонента непрерывна,
получаем
V2 = У2п + y2t = У2п + Vlr C.5.20)
Из закона сохранения массы в системе координат связанной с разрывом имеем
PKI = Kl, »2* = V2«-S- C-5-21)
Следовательно,
C522)
Теперь \2п, v2t и v2 можно найти по формулам
s+\v C.5.24)
Пусть
N
3.5. Методы с выделением разрывов 217
тогда
v2=(v/1+6^^^e/., f = R-Rs(t,(p^). C.5.25)
Теперь можно найти производную по времени от радиус-вектора ударной волны как
компоненту скорости разрыва в R-м направлении:
Sr = it = № -*%> -*"*»>^Г- C-5-26)
Численные результаты
Введем преобразование независимых переменных, при котором ударная волна
Rs(t,(p,$) и поверхность тела Rb((p,$) совпадут с координатными поверхностями, а
ударный слой превратится в параллелепипед:
C'527)
Здесь ^ = 0 и ^ = 1 соответствуют телу и ударной волне. Система C.1.44) преобразуется
к виду (для производной по времени сохранено старое обозначение, так как т = t)
аи й да №
где
U = U', E=/1G/+/2E/+/3F/+/4U/, F = F', G = G',
Это простое преобразование координат позволяет подогнать расчетную сетку к го-
головной ударной волне. Отсутствие необходимости проведения расчета во внешней об-
области минимизирует расходы компьютерной памяти и расчетное время. Так как голов-
головной скачок выделяется, решение внутри ударного слоя можно найти с использованием
небольшого числа вычислительных точек. Здесь используется сетка Rx ф х 6 = 9 х
х 13 х 21 с AR = (Rs — /?b)/8, Аф = тг/8 и АО = тг/35. Для аппроксимации производных
внутри ударного слоя применяется явная схема предиктор-корректор Мак-Кормака вто-
второго порядка точности (MacCormack, 1969). Для преодоления "жесткости" системы
уравнений, связанной с присутствием экспоненциальных членов с1 в правой ее части,
они аппроксимируются неявно. Такой подход может также быть использован в рамках
методов сквозного счета, основанных на схеме Годунова.
Если ввести сеточные функции ffm n =f[kAt, (/- 1)Л?, (пг-З)Аф, (п -2.5)Л0]Э зако-
законы сохранения C.5.28) в системе координат {?,, ф, в) могут быть выписаны для каждой
расчетной точки как последовательность следующих двух временных шагов (/ — еди-
единичная матрица):
"предиктор"
At (vk vk \ At
~АФ
218
Гл. 3. Уравнения газовой динамики
"корректор"
lmn
2 dVk J \ l'm'n
At
_*L(E(i) _E(D
(i)
Здесь индексы меняются в следующих пределах: А; = 1,2,...; / = 1,...,Z; w =
= 1,..., М\ п = 1,... ,7V. При этом узлы с индексами т = 1,2, М— 1,Мил= 1,2 являются
вспомогательными (Погорелов, Шевелев, 1981).
По мере проникновения тела в область пониженной плотности происходит интен-
интенсивное движение газа в ударном слое по направлению от поверхности тела. В это
движение постепенно включается все большая часть газа, что приводит к значитель-
значительному увеличению отхода головной ударной волны и к ее деформации. Этот эффект
иллюстрирует рис. 3.17, где представлено распределение радиальной компоненты ско-
скорости и от поверхности тела 8 = 0 до головной ударной волны 8 = <5S, где <5S — величина
ее отхода от поверхности тела вблизи критической линии тока при в = Д0/2 в различ-
различные моменты времени t = 0 A), 0.0125 B), 0.05 C), 0.075 D) и 0.3 E). Отметим, что
безразмерная скорость движения тела приблизительно равна 17.75.
Начальному распределению соответствует
очень малая величина отхода ударной волны,
приблизительно 0.085, и воздух движется по
направлению к поверхности тела, огибая ее.
Уже при небольшом проникновении ударной
волны в нагретую область, когда плотность на
внешней стороне скачка составляет 0.44 от на-
начальной, а температура равна 572 К, происхо-
происходит резкая перестройка течения с появлением
зон движения как к поверхности тела, так и от
него (кривая 2). Кривая 3 показывает, что при
t = 5 х 10~2 значительная область газа заудар-
заударной волной оказывается вовлеченной в движе-
движение от поверхности тела вслед за удаляющим-
удаляющимся разрывом. В дальнейшем ударная волна от-
отходит на значительное расстояние (более 40%
радиуса затупления тела) и начинается релак-
релаксация течения к стационарному при парамет-
параметрах ядра слоя. Этот процесс приводит к уста-
установлению отхода ударной волны около 0.134 и
привычному распределению величины и.
Изобары в сечении расчетной области плоскостью симметрии ударного слоя в мо-
моменты времени t = 0.0125, 0.025 и 0.075 показаны на рис. 3.18. Точки экстремумов
отмечены маркерами и надписями. Сплошными прямыми линиями изображено поло-
положение границы нагретого слоя.
Распределение давления, представленное на рис. 3.18а, характерно для обычного
сверхзвукового обтекания, когда максимум лежит в точке торможения, а минимум —
0
1 \
з\
4\
о
0.25
Рис. 3.17. Зависимость радиальной ком-
компоненты скорости от расстояния от тела
вдоль луча <р = 0, # = Д#/2 при t = 0 A),
0.0125 B), 0.05 C), 0.075 D) и 0.3 E)
3.5. Методы с выделением разрывов
219
Рис. 3.18. Изобары при t = 0.0125 (а), 0.025 (Ь) и 0.075 (с)
173
Рис. 3.19. Изобары при t = 0.1375 (а), 0.1875 (Ь) и 0.3 (с)
в подветренной области. На рис. 3.18Ь картина существенно изменяется. Образуются
два максимума, расположенные симметрично относительно точки торможения. С даль-
дальнейшим течением времени (рис. 3.18с) образуется уплотнение газа около той части
головной ударной волны, которая еще не проникла в нагретый слой, при наличии про-
протяженной области разрежения вблизи поверхности тела. Это приводит к значительному
перераспределению сил, действующих на тело, что может привести к потере его устой-
устойчивости.
Форма головной ударной волны также претерпевает большие изменения, так как
проникновение возмущенной области в нагретый слой происходит неравномерно из-
за наличия довольно большого угла атаки. При дальнейшем движении тела внутрь
слоя разреженного диссоциированного воздуха максимум давления перемещается на
критическую линию тока, но не занимает сразу привычного положения на поверхности
тела в точке торможения. После t « 0.3 сильно выраженные нестационарные явления
220
Гл. 3. Уравнения газовой динамики
1780,
18400
Рис. 3.20. Изотермы при t = 0.0375 (а), 0.1 (Ь) и 0.3 (с)
исчезают, но еще в течение довольно значительного времени (до t > 1) возмущения
перемещаются от ударной волны к телу и обратно с затуханием на первой, после чего
устанавливается решение, соответствующее стационарному приМоо « 4.3 (рис. 3.19).
Изотермы в моменты времени t = 0.0375, 0.1 и 0.3 показаны на рис. 3.20. На первой
из этих фигур наблюдается резкое падение температуры за головной ударной волной
в области перехода через сильный скачок уплотнения близкий к прямому. Это связано
с быстрым расходом кинетической энергии на диссоциацию молекул смеси. Однако
по мере того как происходит углубление тела в нагретый слой, концентрация моле-
молекул кислорода быстро уменьшается и перепад температуры становится более поло-
пологим (рис. 3.20Ь). На рис. 3.20с приведены изотермы течения близкого к стационарному.
Распределения концентрации молекулярного кислорода также сильно изменяется
со временем. Если в начальный момент в узком слое за ударной волной, исключая под-
подветренную часть, происходит практически полная диссоциация молекул кислорода, то
по мере проникновения тела в нагретый слой области больших градиентов концентра-
концентрации расходятся от критической линии тока. В установившемся течении молекулярный
кислород, по существу, отсутствует.
3.5.2. Выделение плавающих разрывов. В разд. 2.9 были описаны основы
метода с выделением разрывов для общей формы гиперболической системы. Наиболь-
Наибольшее приложение этот метод получил в задачах газовой динамики (Moretti, 1963, 1974а,
1979, 1987а, 1987b; Salas 1976; Yamamoto, Karashima, 1980). Основной идеей метода
выделения плавающих разрывов является применение метода характеристик, вклю-
включенного в конечно-разностную схему. При численном решении системы производные
никогда не аппроксимируются через разрывы. Вместо этого на всех разрывах требуется
точное выполнение соотношений Рэнкина-Гюгонио. Это позволяет избежать появления
паразитных осцилляции, которые присущи конечно-разностным методам повышенного
порядка (см. п. 2.7.1).
Легко заметить, что по мере того как в вычислительной области растет количество
разрывов, расчет становится все более сложным. Поэтому, хотя при помощи метода с
3.5. Методы с выделением разрывов
221
выделением плавающих разрывов и были получены высокоточные решения сложных
пространственных задач (Marconi, Salas, Yaeger, 1976), в последнее время гораздо боль-
большее применение получили методы сквозного счета. С другой стороны, методы сквозно-
сквозного счета могут достичь точности методов выделения плавающих разрывов только при
использовании расчетных сеток, адаптированных к большим градиентам решения.
В качестве примера системы вида B.9.3) рассмотрим одномерную газодинамиче-
газодинамическую систему, записанную для скорости звука с, скорости и и энтропии s. В этом
случае (Di Giacinto, Valorani, 1989)
u = [с, г/, s]T , А =
и рс О
/Р и -с2
О 0 и
Матрица QL собственных векторов и матрица Л собственных значений (Хх =и + с,
Я2 = и — с, Я3 = и) этой системы суть
/р
/]3
0
1
-1
0
—с
—с
1
j Л =
и + с
0
0
0
и —
0
0
сО
и
Умножая B.9.3) на QL, получаем
ux = 0.
C.5.29)
После введения набора новых неизвестных (характеристических переменных)
_ с _ с _
wl = - + u, w2 = --u, w3=s
C.5.30)
приходим к системе
w2
(W\x ~ CW3x) ~ CW3t = °>
O2x - cw3x) - cw3t = 0,
C.5.31)
C.5.32)
C.5.33)
Удобно переписать ее в терминах производных вдоль характеристических направ-
направлений dx/dt = Я,- (/ = 1,2,3):
St
IF
8w,
~8t~
St
IF
1 -
= 0.
C.5.34)
C.5.35)
C.5.36)
222
Гл. 3. Уравнения газовой динамики
t
¦At
ЕВ х
Рис. 3.21. Аппроксимация производ-
производных около разрыва
Вид системы B.9.3) подразумевает, что либо
? разрывы в расчетной области отсутствуют, либо
если они имеются, то производные в уравнени-
уравнениях C.5.34)-C.5.36) не аппроксимируются попе-
поперек разрыва. В этом случае нужно знать точки
пересечения характеристик с разрывами. После
этого для получения решения в точке Р на вре-
временном слое п+\ можно применить метод ха-
характеристик (см. рис. 3.21). Величины при t =
= tn предполагаются известными. Ограничимся
здесь численной схемой, в которой все величи-
ны при t = tn+l явно выражаются через величины при t = tn.
Рассмотрим представленный на рис. 3.21 случай с ударной волной, уходящей влево.
Предполагая, что в течение короткого промежутка времени между t = tn и t = tn+l
характеристики остаются прямыми линиями, получаем
C.5.37)
C.5.38)
C.5.39)
Точки С2 и С3 могут легко быть найдены, принимая во внимание то, что наклоны
dx/dt = Xt соответствующих характеристик в сеточных точках на линии t = tn известны
и, следовательно, с помощью интерполяции могут быть найдены в любой промежу-
промежуточной точке, принадлежащей этой линии. Все обстоит иначе для характеристической
линии, которая в точке Сх пересекает ударную волну, представленную на рис. 3.21 двумя
параллельными прямыми, соответствующими ее сторонам. Пусть сторона АВ является
стороной большего давления. Это означает, что скорость на этой стороне является до-
дозвуковой. В точку F, наоборот, все три характеристики приходят с левой стороны, давая
возможность найти все величины в ней.
Со стороны высокого давления имеется только одно условие совместности:
/7+1 п | Л.,^+1 ЛЛЛ \ С1 ^ Л(\\
2 А — 2 С * С v 3 А — ЗС /• \J.D.4\J)
Точки Cj, конечно, различны для точек РяА. Для того чтобы определить недостающие
инварианты Римана в точке А и скорость ударной волны на более высоком временном
слое, нужны три дополнительных соотношения. Они даются соотношениями Рэнкина-
Гюгонио.
После этого можно найти линейное распределение величины Хх вдоль АВ, так как
значение Хх в точке В может быть получено интерполяцией вдоль линии t — tn. Это
позволяет найти точку Сх, принадлежащую отрезку АВ.
При описании алгоритма использовалась скорость ударной волны, т. е. наклон пря-
прямой линии АВ, основанная на данных при t — tn. Новая скорость волны при t — tn+l
по этой причине корректируется с использованием соотношений совместности на ха-
характеристиках. Рассмотрение течения в окрестности ударной волны, уходящей вправо,
тангенциального разрыва или границы вычислительной области может быть проведено
аналогичным образом (Di Giacinto, Valorani, 1989).
3.5. Методы с выделением разрывов 223
Рис. 3.22. Одномерный пример газодинамического выделения разрывов
Если первая характеристика не пересекает профиль ударной волны, предыдущий
шаг не нужен и величины в точке Р могут быть получены непосредственно из соот-
соотношений совместности C.5.37)-C.5.39). По-прежнему сохраняется необходимость в
процедуре нахождения новых разрывов, которые могут появиться в процессе вычисле-
вычислений. Эта задача тоже может быть решена путем анализа поведения характеристик.
Расширение описанного метода на случай многих пространственных измерений
дало начало, так называемой, Я-схеме (Moretti, 1979). Удобные процедуры выделения
разрывов были предложены в работах De Neef, Moretti A980) и Moretti A975, 1987а).
3.5.3. Выделение разрывов движущимися сетками. Как было отме-
отмечено в п. 2.9.2, численный метод Годунова A957, 1959) принципиально отличен от
описанных выше методик выделения и улавливания разрывов. В этом подходе поверх-
поверхность разрыва так же состоит из границ дискретных ячеек, а скорость движения разрыва
определяется по значениям газодинамических величин в ячейках по обеим его сторо-
сторонам. Для определения потока F через разрыв, а также скорости его движения, в этом
подходе используются граничные условия, которые зависят от типа выделяемой по-
поверхности. Однако в отличии от описанных выше традиционных методов выделения
разрывов, метод Годунова с выделением разрывов основан на точном решении задачи
о распаде произвольного разрыва.
Предположим, что анализ течения в некоторой одномерной газодинамической за-
задаче показал, что точки Bl9 В2 и В3 (рис. 3.22) связаны с правой ударной волной,
тангенциальным разрывом и правой границей волны разрежения (рис. 3.2). Пусть ско-
скорости этих точек равны, соответственно, Wlb U nW{. Значения этих скоростей будут
определяться на каждом шаге по времени из точного решения задачи о распаде произ-
произвольного разрыва на границе между соответствующими дискретными ячейками. Ско-
Скорости остальных границ дискретных ячеек могут быть вычислены путем применения
линейной интерполяции по значениям скоростей Жп, U и W{. Таким образом, будет
построена движущаяся дискретная сетка, которая соответствует данному конкретному
характеру течения газа. После задания движения сетки для численного моделирования
течения можно использовать конечно-объемную схему C.2.7)-C.2.10), записанную для
подвижной сетки.
В двумерном и трехмерном случаях построение движущихся сеток, которые вы-
выделяют разрывы, проводится аналогичным образом. На рис. 3.23 показано выделение
двумерного разрыва в задаче об обтекании гладкого затупленного тела (Годунов, Забро-
Забродин, Прокопов, 1961; Годунов и др., 1976). Пусть х — ось симметрии. В этом случае
достаточно изучить течение газа в полуплоскости. Пусть тело, поверхность которого
аппроксимируется ломаной линией А^АХ ...Ап, помещено в сверхзвуковой поток иде-
224
Гл. 3. Уравнения газовой динамики
О х
Рис. 3.23. Построение подвижной сетки в двумерном случае
ального совершенного газа. Проведем семейство лучей через точки At, где / = 0,1,..., я,
и некоторую внутреннюю точку 0, лежащую на оси симметрии. Зафиксируем некото-
некоторые точки Bj лежащие на этих лучах и разделим все сегменты лучей AtBt на равные
части. Соединив таким образом полученные точки последовательно отрезками прямых
линий, получаем разбиение области интегрирования на дискретные ячейки. Предполо-
Предположим, что поверхность ВОВХ ...Вп является головной ударной волной. Положение этой
ударной волны в процессе вычислений может меняться. Если решить задачу о распаде
произвольного разрыва на каждом из сегментов границы Вг_хВг, то можно определить
локальную скорость движения ударной волны W,. Далее следует определить скорость
точек Вг вдоль соответствующих неподвижных лучей. Их можно определить как сум-
сумму проекций на /-й луч скоростей Wz и W/+1, взятых с соответствующими весами.
При этом скорости остальных точек, лежащих между Bt и At, можно определить, ис-
используя, например, линейную интерполяцию скоростей точек Bt и At. Заметим, что в
рассматриваемом случае скорости точек At полагаются равными нулю.
Такой подход близок к методам сквозного счета, в которых вычисления внутри всей
расчетной области проводятся одним и тем же алгоритмом, включая области разрывов.
Тем не менее отличие заключается в том, что описываемый подход всегда содержит
в себе некоторый дополнительный алгоритм анализа конфигурации получающегося
течения. Такой алгоритм позволяет специальным образом определять поток через по-
поверхность разрыва, которая выделяется в процессе вычислений. Наличие такого ана-
анализа является основной чертой данного подхода (Годунов, Забродин, Прокопов, 1961;
Годунов и др., 1976; Крайко, Макаров, Тилляева, 1980; Потапкин, 1983). Определение
скорости выделяемого разрыва основано в нем на точном решении соответствующей
газодинамической задачи Римана, так как в противном случае ударная волна либо раз-
размазывается, либо начинает двигаться относительно дискретной сетки.
Для решения конкретных задач в описанном методе можно использовать те или
иные полезные дополнительные модификации. Они, например, могут быть связаны с
повышением порядка точности схемы (разд. 2.5 и 2.7) или со способами построения
3.5. Методы с выделением разрывов 225
фронтов выделяемых разрывов сложной формы (Крайко, Макаров, Тилляева, 1980; По-
тапкин, 1983). Отметим недавнюю работу Базыма, Холявко A996), в которой расчет
газодинамических параметров на верхнем слое по времени производился в два после-
последовательных этапа. На первом этапе происходил расчет параметров на сетке зафик-
зафиксированной на нижнем слое по времени. При этом определялись скорости движения
подвижных участков границ, которые учитывались на следующем этапе. На втором
этапе производился пересчет газодинамических параметров на подвижной сетке. Это
делается для снижения диссипативности схемы Годунова первого порядка точности.
Упомянем также модификацию, основанная на обратном пересчете газодинамических
данных из лагранжевой сетки в эйлерову (Чарахчьян, 1983).
Заметим, что методы типа Годунова можно также построить для расчета нестацио-
нестационарных течений запыленного газа (Плотников, Шуршалов, 1994, 1995; Васильев, 1996;
Плотников, 1998), нестационарных течений запыленного газа с учетом излучения
(Плотников, Шуршалов, 1996), течений среды при наличии нескольких конденсирован-
конденсированных фаз (Miller, Puckett, 1996), нестационарных течений в трехтемпературной газовой
динамике, в том числе с учетом ионизации (Забродин, Прокопов, 1998; Прокопов, 1999,
2000) и др.
3.5.4. Самоподстраивающиеся подвижные сетки. Использование схе-
схемы Роу позволяет построить, так называемые, самоподстраивающиеся (self-adjusting)
подвижные сетки для решения задач газовой динамики в рамках методов сквозного
счета. Такие сетки автоматически обнаруживают, выделяют, а затем начинают точно
отслеживать тот или иной разрыв, возникающий в течении. При этом выделяемые раз-
разрывы совсем не обязаны первоначально существовать в течении, а могут появляться
позже в процессе вычислений. В отличие от описанных выше методов выделения раз-
разрывов подвижной сеткой (Годунов, Забродин, Прокопов, 1961; Годунов и др., 1976),
самоподстраивающееся выделение разрывов производится полностью в рамках метода
сквозного счета на подвижных сетках и основано на следующем свойстве метода Роу.
Пусть в какой-либо из моментов времени положение тангенциального разрыва или
ударной волны совпадает с границей дискретной ячейки. Тогда даваемое формулами
метода численное решение на границе ячейки в данный момент времени совпадет с точ-
точным решением, т. е. с тангенциальным разрывом или ударной волной. Это связано с тем,
что метод Роу обеспечивает точное выполнение соотношений на одиночном разрыве и
точно вычисляет скорость его движения. Понятно, что в случае движущегося разрыва
численное решение достаточно долго будет совпадать с точным, если соответствующая
граница дискретной ячейки будет движется со скоростью разрыва.
Harten, Hyman A983) использовали это свойство для вычисления скорости движения
границ дискретных ячеек при решении задач одномерной газовой динамики с помощью
схемы Роу. При этом скорость Wm+l ,2 границы ячейки с номером m + 1/2 вычислялась
путем усреднения с весами всех собственных значений решаемой гиперболической
системы уравнений. Весовые коэффициенты выбирались пропорциональными "интен-
"интенсивности" разрывов.
Рассмотрим одномерную гиперболическую систему из п уравнений
dV dF(U)
dt dx
226 Гл. 3. Уравнения газовой динамики
Будем определять скорость движения каждой границы Wm+l ,2 следующим образом:
Wm+i/2 = (l^M/ 1^1) , C-5.41)
где Xk — собственные значения матрицы Роу C.4.15), а вектор <5w = [dw^,...,dwn]T
задается соотношением
5w = QL(Um-Um+1).
Для уравнений одномерной газовой динамики совершенного газа, используя выра-
выражения для QR, см. C.4.17), получим следующие формулы:
г2 + FtK (г+Т^т) А(Р"Н ¦
Sw2 = ^- \(^S—-iA Ap + 2UA(pu)-2Ae\ , C.5.42)
где Af = fm— fm+l. При этом величины п и с определены формулами C.4.13) и C.4.16),
а для собственных значений имеем
Х1=й — с, Я2 = й, Я3 = п + с.
Более компактные выражения типа C.5.42) имеют вид
Swx = \{bx-b2), Sw2=Ap-bv 8w3 = \{ЪХ+Ь2),
Ъх = ?j— [Ae+ ±u2A(pu) - UA(pu)] , b2 = -j[A(pn) - uAp].
Для одиночной ударной волны или одиночного тангенциального разрыва, величина
скорости W, заданная выписанным выше выражением C.5.42), будет в точности равна
скорости разрыва. Применение формулы C.5.42) для вычисления Wm+l ,2 на каждой
из границ дискретных ячеек позволяет минимизировать численную диссипацию схе-
схемы Роу. Чтобы избежать чрезмерного сближения или расхождения границ дискретных
ячеек, скорости W следует локально корректировать (Harten, Hyman, 1983).
Применения такого метода сквозного счета позволяет получать практически точ-
точные решения одномерных задач газовой динамики при полном отсутствии размазыва-
размазывания одиночных тангенциальных разрывов и ударных волн, так как дискретная сетка
автоматически подстраивается к ним в процессе счета. Все это делает данный подход
сравнимым с методами, основанными на выделении разрывов. К тому же его можно до-
дополнительно использовать для обнаружения разрывов, которые возникают с течением
времени из гладких начальных условий.
Таким образом, самоподстраивающиеся сетки в ряде аспектов совпадают с мето-
методами выделения разрывов подвижной сеткой. Однако есть и определенные различия,
3.5. Методы с выделением разрывов 227
которые связаны с разницей в методах решения задачи о распаде произвольного раз-
разрыва. Метод Роу, в силу его приближенности, не позволяет проанализировать точную
конфигурацию возникающего распада и принадлежит схемам сквозного счета. Вместе
с тем, метод Роу, при выборе движения границ ячеек по формуле C.5.41), обеспечивает
точное выполнение соотношений на одиночном разрыве. Ограничение такого подхо-
подхода состоит в том, что заранее неизвестно какая из границ совпадет с тем или иным
разрывом.
Отметим, что алгоритм вычисления всех скоростей, их анализа и коррекции являет-
является достаточно громоздким. Тем не менее, он может быть существенно упрощен для тех
задач, в которых заранее известны число и типы разрывов, образующихся в течении. В
этом случае этим разрывам можно поставить в соответствие только несколько соответ-
соответствующих границ дискретной сетки. Далее только на этих границах нужно вычислять
скорости по формуле C.5.42). Что касается скоростей оставшихся границ ячеек, то
они могут быть вычислены линейной интерполяцией. Результаты применения такого
упрощенного алгоритма будет приведены ниже. Такое упрощение алгоритма (Harten,
Hyman, 1983) для одномерного случая позволяет применить его для большего числа
пространственных измерений. Обобщение этого подхода на случай расчета двумерных
о се симметричных обтеканий дано Каменецким, Семеновым A993,1994). Оно позволи-
позволило использовать для нахождения решения схему Роу (п. 3.4.4) второго порядка точности
при одновременно точном выделении головной ударной волны.
Предложенный метод основан на специальной, более точной, процедуре вычисле-
вычисления скоростей границ дискретных ячеек и отличается от примененного в методе Harten,
Hyman A983). Сначала опишем процедуру вычислений в одномерном случае. Пусть п—
скорость, ас — скорость звука, полученные применением усреднения Роу по значениям
справа и слева от границы. Для одиночного тангенциального разрыва и одиночной удар-
ударной волны решение задачи о распаде произвольного разрыва по методу Роу дает точное
решение. Скорость тангенциального разрыва равняется й, а скорости правой и левой
ударных волн равны, соответственно, м + сим-с (разд. 3.3). Пусть заранее известно,
что в решении существуют п разрывов, где п ^ N я N — полное число дискретных
ячеек (см. рис. 3.22, где п = 3 и 7V = 21). Тогда отнесем эти п разрывов, например, к
соответствующим п правым границами ячеек и обозначим их через Bt, где / = 1,... ,п.
Каждый из разрывов имеет определенный тип. Если это тангенциальный разрыв, то по-
положим скорость границы ячейки равной п, а если это правая или левая ударные волны,
то скорости положим, соответственно, равными п + с или и —с. Скорости оставшихся
границ ячеек определим линейной интерполяцией по значениям скоростей границ Вг.
Далее применим схему Роу на подвижной сетке (разд. 3.2). При использовании схемы
второго порядка точности типа предиктор-корректор следует пересчитывать скорости
сетки на обоих шагах предиктор и корректор.
Для тестирования метода были использованы две задачи по распаду произвольно-
произвольного газодинамического разрыва (Sod, 1978; Harten, 1978; Harten, Hyman, 1983). В обе-
обеих задачах использовалось уравнение состояния совершенного газа. В первой задаче
(Sod, 1978) начальные величины слева и справа от разрыва равны
Uj = [l,0,0,0,2.5]T, U2 = [0.125,0,0,0,0.25]т.
В этой задаче точное решение состоит из левой волны разрежения, контактного разрыва
и правой ударной волны со следующими параметрами течения: с: = —1.183, с\ = —
228
Гл. 3. Уравнения газовой динамики
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
р
-4
0
4 лг
; 0.0
Р
О
Рис. 3.24. Результаты одномерных тестовых расчетов с применением самоподстраивающихся
сеток
-0.070, Щ = 0.426, U = 0.928, Е1 = 0.758, Лп = 0.266, ?п = 0.758 и Wu = 1.752 (рис. 3.2).
Во второй задаче начальные данные имеют вид
\]х = [0.445,0.311,0,0,8.928]т, U2 = [0.5,0,0,0,1.4275]т.
Точное решение также состоит из левой волны разрежения, контактного разрыва и
правой ударной волны со следующими параметрами течения: с: = —2.633, с^ = —1.636,
Rl = 0.345, U = 1.529, Е1 = 6.166, Ru = 1.304, Еп = 6.166 и *ГП = 2.480. Показатель
адиабаты у в обеих задачах равен 1.4.
Будем предполагать, что начальные данные заданы на интервале — 5 < х < 5, а
начальное положение разрыва находится в точке х = 0. Разделим весь интервал на
100 дискретных ячеек следующим образом. Поместим по 10 ячеек размера Ах = 0.05
справа и слева от начального разрыва и по 40 ячеек размера Ах = 0.1125 справа и
слева от первых двадцати ячеек. Зададим движение сетки. Первую подвижную границу
свяжем с 40-й границей дискретной ячейки сетки, вторую — с 50-й, третью — с 60-й и
четвертую — с последней, 100-й, границей ячейки. Положим скорость первой границы
равной нулю, скорость второй—равной й, а третьей—равной п + с. Скорость четвертой
границы положим равной скорости третьей границы, а ячейки, лежащие левее первой
границы, меняться во времени не будут.
На рис. 3.24 показаны величины плотности, полученные в численном решении
первой (а) и второй задач (Ь). Значения величин, которые принадлежат начальному
интервалу — 5 < х < 5 показаны кружочками. Все задачи решались с числом Куранта
равным 0.9. Результаты решения первой задачи приведены после 60-го шага по времени,
а второй задачи — после 95-го шага. Пунктирная линия на рисунках соответствует
точному решению. В численных результатах отсутствует размазывание ударной волны,
а максимальное размазывание контактного разрыва составляет две ячейки. При этом
заметим, что с течением времени размазывание контактного разрыва уменьшается, пока
положение разрыва не совпадет с положением соответствующей границы ячейки.
Описанная выше упрощенная одномерная разностная схема имеет несколько более
узкий диапазон применения, чем схема Harten, Hyman A983), но является при этом
более простой. Основное ограничение состоит в том, что рассматриваются только те-
течения с заранее фиксированным числом разрывов. Поэтому при решении задачи со
взаимодействием разрывов в процессе счета должны быть определены и учтены все
дополнительно возникающие разрывы. Однако, как и в схеме Harten, Hyman A983),
3.5. Методы с выделением разрывов 229
эти разрывы могут возникать в процессе вычислений. Необходимо только при этом
связывать границы дискретных ячеек со вновь возникающими разрывами.
Существует ряд многомерных газодинамических задач, в которых течение подраз-
подразделяется на некоторое число отдельных слоев различными поверхностями разрывов.
Описанный выше упрощенный алгоритм нетрудно распространить на решение таких
задач. Рассмотрим задачу о двумерном осесимметричном сверхзвуковом обтекании
гладкого затупленного тела (рис. 3.23). При решении этой задачи возникают определен-
определенные трудности при выборе алгоритма вычисления скоростей движения точек Bt вдоль
неподвижных лучей, который позволил бы устранить движение выделяемого разры-
разрыва относительно дискретной сетки. Заметим, что создание такого алгоритма является
основной проблемой при построении самоподстраивающихся сеток для выделения раз-
разрывов в двумерном и трехмерном случаях. В частности, использование метода Годунова
и др. A961) во всей области расчета (без специального анализа течения на выделяемом
разрыве) приводит к движению этого разрыва по сетке и, следовательно, он не может
быть выделен точно. Напомним, что в упомянутом методе, скорость точки Bt вдоль
неподвижного луча вычисляется как весовая сумма проекций векторов скоростей W, и
W/+1 на данный /-й луч (рис. 3.23).
Для устранения движения выделяемого разрыва относительно сетки при расчете
скоростей точек Bt Каменецкий, Семенов A994) применили процедуру предельной
реконструкции (Semenov, 1992), см. п. 2.7.3. Эта реконструкция позволила более точно
вычислять распределения скоростей на фронте двумерной ударной волны В0В1 ...Вп.
Пусть W, — скорость границы Bi_lBi в направлении внешней нормали. Положим
при этом, что для случая ударной волны IWJ = | uz- d= cz-1 э где скорость п и скорость
звука с определены из решения задачи о распаде произвольного разрыва методом Роу.
Определенная таким способом величина |WZ| является некоторой средней скоростью
движения. Для более точного вычисления скорости реконструируем ее распределение
вдоль пространственной координаты на сегменте Вг_хВг. В качестве независимой пе-
переменной для восстановления распределения скорости удобно выбрать длину дуги s
вдоль кривой ВОВХ...ВП. Тогда распределение модуля скорости IW^J на сегменте
Bi_lBi представляется в виде линейной формы
|W(s),| = |W;| + (s-5;)a,, 5,_!<^<5;, C.5.43)
где s = st_\ соответствует точке Btl, значение s = st соответствует точке Bt, а коэф-
коэффициент at — это неизвестный наклон линейной функции, который находится проце-
процедурой предельной реконструкции при использовании ограничителя minmod (п. 2.7.3).
Заметим, что центр сегмента Bt_1^/, соответствующий величине s = s*, может, вообще
говоря, не совпадать с арифметической серединой сегмента j(st_i +^). В частности,
такое несовпадение будет наблюдаться в цилиндрической системе координат. Исполь-
Используя реконструкцию, получаем значения скоростей движения точки Bt вдоль /-го луча,
причем эти значения будут получены как справа, так и слева от него. Разница этих двух
значений скоростей А, равна
А,= [|W;+1| + E;-5;+1)a;+1]A+1-[|W;| + E,-^)a;]j3;. C.5.44)
Выражения в квадратных скобках в правой части C.5.44) умножены на коэффициен-
коэффициенты /3, которые связаны с проекцией нормали скорости на направление /-го луча. Будем
230 Гл. 3. Уравнения газовой динамики
искать (Xj таким образом, чтобы сумма граничных скачков скорости
Jb = X|A,| C.5.45)
i
была минимальной. Заметим, что в соответствии с подходом Годунова и др. A961),
скорости точек Bt вдоль /-го луча можно находить, используя различные весовые суммы
проекций |\У,-| и |W/+11 на этот луч, как
ИЛИ
Для случая C.5.46) разница в скоростях C.5.44) имеет вид
Если Aj является достаточно малой величиной, то движение выделяемого разрыва от-
относительно самоподстраивающейся сетки будет малым. Таким образом минимизация
суммы скачков C.5.45) эквивалентна требованию минимизации движения разрыва от-
относительно сетки.
Предельная реконструкция, обеспечивающая минимизацию C.5.45), может быть
применена также для нахождения распределения скорости вдоль фронта ударной волны
или тангенциального разрыва. При Jh ->• 0 полученное распределение будет обеспечи-
обеспечивать максимальную подгонку к непрерывному распределению скоростей вдоль лучей.
Вычисления показали, что такой подход к определению скоростей позволяет постро-
построить самоподстраивающиеся сетки, которые в состоянии вначале точно уловить, а затем
точно отслеживать указанные разрывы.
Пусть скорость находится в виде C.5.43) и при этом требуется, чтобы проекции
скоростей справа и слева на данный луч совпадали. Тогда достаточно найти только
одну из величин наклонов а/9 например, al9 а остальные могут быть получены из
рекуррентных формул вида at = /До^).
Предположим, что величины наклонов at = a}im были получены процедурой пре-
предельной реконструкции. Будем считать эти величины предварительными, а окончатель-
окончательные их значения a* = ft{cc[) выберем таким образом, чтобы сумма
S = S(al) = Х« - a,"mJ = iWf) " «!'mJ
1=2 1=2
была минимальной. Использование рекуррентных формул позволяет представить S в
виде функции только одного параметра aj\ Заметим, что если полученная предельная
реконструкция обеспечивает непрерывность всех проекций скоростей, то будет выпол-
выполнено равенство a* = a]im.
Следует отметить, что построенное распределение скоростей вдоль фронта разрыва
зависит от всех точек Bt. Однако если течение является сверхзвуковым, то при кор-
корректно проведенных расчетах не должно наблюдаться численного влияния вверх по
3.5. Методы с выделением разрывов
231
Рис. 3.25. Выделение головной ударной волны применением самоподстраивающихся сеток
потоку. В случае возникновения такого рода эффектов, на фронте выделяемых разры-
разрывов возможно развитие неустойчивостей. Тем не менее, в вычислениях, проведенных
Каменецким, Семеновым A994), они не наблюдались.
Описанная методика выделения разрывов позволяет обобщить одномерный метод
Harten, Hyman A983) на двумерный случай. Это может быть проведено путем приме-
применения предельной реконструкции для нахождения распределения скоростей не только
отдельных границ дискретных ячеек, как это делается в одномерном случае, а целых
граничных координатных поверхностей, которые могут, например, перемещаться без
искажения формы параллельно самим себе. В частности, для случая изображенного на
рис. 3.23 лучи могут оставаться неподвижными, но при этом дополнительно вычис-
вычисляются скорости движения всех граничных линий, заключенных между ВОВХ ...Вп и
А^АХ ...Ап. Напомним, что ранее движение этих границ вычислялось только в зависи-
зависимости от движения фронта ударной волны В0В^ ...Вп.
Приведем результаты использования самоподстраивающихся сеток для расчетов
сверхзвукового обтекания сферы (рис. 3.23) при числах МахаМ0 в набегающем потоке
в диапазоне от 2 до 6. В начальный момент времени точки Bt принадлежали сфере,
концентричной обтекаемой. При этом лучи AtBt были проведены из центра сферы с
равными углами между ними. В качестве начальных данных выбирались постоянные
параметры потока на бесконечности. Далее вычисления проводились до тех пор, пока
решение не становилось стационарным. Изолинии плотности и расположение поверх-
поверхности выделяемой ударной волны (В0В1 ...Вп на рис. 3.23) для некоторых последова-
последовательных моментов времени при обтекании потоком с числом Маха Мо = 2 показаны на
рис. 3.25а-с. На стадии (а) алгоритм еще работает как метод сквозного счета. При этом
ударная волна не уловлена и не выделена. На рис. 3.25Ь показана стадия расчета, при ко-
которой самоподстраивающаяся сетка начинает улавливать, хотя пока и частично, голов-
головную ударную волну. При этом часть сетки, близкая к оси симметрии, уловила ударную
волну, а оставшаяся часть разрыва осталось еще не выделенной. На рис. 3.25с показана
232 Гл. 3. Уравнения газовой динамики
картина стационарного течения с выделенной ударной волной I. Изолинии плотности
показаны в области между сферой и этой волной I (В0В1 ...Вп на рис. 3.23). Линия II
показывает расположение поверхности ударной волны при обтекании потоком с числом
Маха Мо = 6. Кружочки на рисунке показывают расположение ударной волны, вычис-
вычисленной по методике с выделением разрывов (Любимов, Русанов, 1970). Эти результаты
приняты за эталон. Заметно, что точность определения расположения головной удар-
ударной волны в описанном методе является достаточно высокой. При этом получаемое
распределение газодинамических параметров совпадает с таблицами Любимова, Руса-
Русанова A970) с погрешностью не более 0.5%. Таким образом, самоподстраивающиеся
сетки могут отслеживать разрывы достаточно точно. Расчеты были проведены с шагом
по углу равным 5°, расстояние между телом и границей, соответствующей разрыву,
было разделено на 8 частей. В таких задачах можно выделить большее число разрывов,
в частности, тангенциальный разрыв, образующийся при вдуве газа с поверхности те-
тела и т. д. Максимальное число разрывов выделяемых при расчетах такого рода задач
достигало трех (Каменецкий, Семенов, 1994).
Методы с выделением разрывов (Годунов и др., 1961, 1979; Крайко и др., 1980; По-
тапкин, 1983), которые основаны на точных формулах распада произвольного разрыва,
не проявляют особой чувствительности к способу вычисления скоростей на фронте
выделяемого разрыва. В отличие от них метод самоподстраивающихся подвижных се-
сеток, основанный на приближенном решении задачи Римана по методу Роу, заметно
зависит от алгоритма вычисления скоростей. Однако при этом такой метод является ме-
методом сквозного счета, а вычисление скоростей подвижных сеток проводится отдельной
независимой процедурой. Для точного улавливания и выделения разрыва самоподстра-
самоподстраивающимися сетками оказалось удачным использование предельной реконструкции,
которая позволяет вычислять распределение скоростей вдоль фронта разрыва с требу-
требуемой точностью.
3.6. Стационарные уравнения газовой динамики
В этом разделе построено несколько методов типа Годунова для гиперболической си-
системы уравнений, которая описывает стационарные сверхзвуковые двумерные и трех-
трехмерные течения идеального совершенного газа.
3.6.1. Система уравнений. Система стационарных уравнений газовой дина-
динамики получается из уравнений C.1.1)-C.1.3) в предположении, что все производные
по времени равны нулю. Рассмотрим сначала плоские течения, т. е. положим w = 0, и
получим уравнения вида
div(pv) = 0, C.6.1)
div(pvv + /?I) =0, C.6.2)
div[(e + p)\} = 0. C.6.3)
Здесь р = р(х,у) — это плотность, (х,у) — декартовы координаты, v = \(х,у) =
= [г/, v]T — скорость течения, I = diag[l, 1] — единичный тензор размерности 2 х 2, г —
удельная внутренняя энергия, е — ре+ jp (u2 + v2) — полная энергия единицы объема
3.6. Стационарная газовая динамика
233
газа, ар = р(р,?) — давление. Для простоты будем использовать уравнение состояния
совершенного газа
(r-i)p'
C.6.4)
где 7 > 1 — показатель адиабаты.
Уравнения C.6.1)—C.6.3) описывают законы сохранения массы газа, его импульса и
энергии. В развернутой форме система уравнений принимает вид
= 0,
dpu dpv
дх ду
д(ри2+р) dpuv
дх ду
dpvu d(pv2+p)
дх ду
д(е + р)и
дх
ду
= 0,
= о.
C.6.5)
C.6.6)
C.6.7)
C.6.8)
Если течение является сверхзвуковым вдоль одной из пространственных координат,
то система стационарных газодинамических уравнений C.6.5)-C.6.8) будет гипербо-
гиперболической вдоль этой координаты (п. 1.3.2). В частности, такие течения встречаются в
аэродинамических трубах, соплах и диффузорах, а также при стационарном сверхзву-
сверхзвуковом обтекании тел (см., например, Liepmann, Roshko, 1957; Абрамович, 1976; Годунов
и др., 1976; Шевелев, 1986). Заметим, что стационарные сверхзвуковые течения можно
численно моделировать в рамках нестационарных систем уравнений методом установ-
установления по времени. Однако использование системы стационарных уравнений в ряде
случаев является значительно более эффективным. Такой подход заведомо предпочти-
предпочтителен, если система является гиперболической во всей вычислительной области.
Уравнения C.6.5)-C.6.8) в консервативной векторной форме имеют вид
д?
ay
Е =
' = ре+ jp(u2+v2);
F= [pv,puv,pv2+p, (e + p)v]T.
Уравнения C.6.9) могут быть переписаны в квазилинейной форме как
ди аи „ . _,
C.6.9)
C.6.10)
C.6.11)
C.6.12)
дЕ
и
о
о
R
V
н
о
и
о
о
о
и
234
Гл. 3. Уравнения газовой динамики
аи
R О
U О
о я
C.6.13)
где h — полная энтальпия. Здесь в качестве вектора искомых переменных U выбран
вектор переменных Роу C.4.7). При необходимости в качестве искомых можно ис-
использовать другие переменные, в частности, U = [p,pi/,pv, е]т или U = [p,i/,v,/>]T (см.
п. 1.3.2).
Матрица^ в уравнении C.6.12) приводится к диагональному виду
где
QR =
аЪс
О R2(r)
О R3(r)
ас2 „ , ,
2G-1)
C.6.14)
C.6.15)
r =
и =
detQR = -
l, R2(r)=2(br+l)(r-b)c,
1 Л
26с л-г-
0= hSlgnMX \ —*¦ + 1,
V z
QL =
47
(Ь2+\)ус (Ь2+1)ус
(y-l)u (y-l)v
2yc2
2yc2
LJr)
G_1)D7-,
2уас2
3.6. Стационарная газовая динамика
Lx{r) =
235
G-l)(l-b2)+2by/r
A = diag|A_, Ao, Ao, A+J, A± =
4yc(b2+lJ
7-1
2 + v2 - с2
2_ 2
v
, Ao = —;
с =
C.6.16)
C.6.17)
Здесь с — это скорость звука, а переменные b и г введены для упрощения представ-
представления матриц QR и QL. Система C.6.5)-C.6.8) является гиперболической при и2 +
+ v2 > с2. Однако это условие еще не дает ответа на вопрос од:- илиу-гиперболичности
системы (п. 1.3.2). Она будет х-гиперболической при и2 > с2, а при v2 > с2 будет у-
гиперболической. Далее будем рассматривать случай х-гиперболичности.
Матрица А = FyE^-, которая отличается от матрицы А перестановкой матриц-
сомножителей, также приводится к диагональному виду:
C.6.18)
где
I Lx{-r) L2{-r) L3(-r) L4(-r)
2b Ъ2-\
-cVr2+l
acr
b2+l
0
0
-1
C.6.19)
2G-1)
Lx{r) L2(r) L3(r) L4(r) J
Lx{r) = ±{b2 + 1)ас2чД2 + 1, L2{r) = {2br2{\ -7) + A -b2)r-2yb)c,
Z3(r) = G- 1)A -Ь2)сг2 + {\ -Ь2
L4(r) = G- \){b2 /
detQL =
R2(-r)
R3(-r)
2ab
~?+\
(b2-l)a
b2+l
2G-1)л/г2 + 1
c2
c2
(y-l)v
c2
Ur)
236 Гл. 3. Уравнения газовой динамики
~ . , 1 ~ 2Ь+A-Ь2)/г
~ _ Ь2-1+2Ь/г ~
Заметим, что правый собственный вектор матрицы QR с номером р и левый соб-
собственный вектор матрицы QL с номером q удовлетворяют соотношениям
Отсюда следует, что
=> p.%r^ = 0 при AP^V
Тем самым, матрица Q^^Or является диагональной.
Отсюда следует, что
=^> ^.?^ = 0 при Ap^V
Следовательно, QlEjjQr является диагональной матрицей.
Получим выражения для матриц^ и А при выборе других зависимых переменных и,
таких что U = U(u). Тогда
А (и) = М~ ХА (U)M, 2(u) = 2(U),
где М — <9U/<9u. Отсюда следует, что матрица А инвариантна относительно замены
переменных и поэтому ее использование может дать удобные формулы для численных
алгоритмов.
3.6.2. Метод Годунова. Конечно-объемные схемы КИР и Роу. По-
Построим двумерную разностную сетку с постоянными шагами Ау и Ах. Пусть U, обозна-
обозначает значения сеточной функции U в центре дискретной ячейки принадлежащей оси
у и имеющей номер /, где /= 1,2,... Предположим, что сеточные функции постоянны
внутри каждой из ячеек. Тогда для каждой границы с номером /+ 1/2 на каждом шаге
по х, можно решить задачу Римана для уравнений C.6.5)-C.6.8) со следующими на-
начальными данными: Uf = const при у < yi+li2 и Uf+1 = const при у > yi+li2- Пусть U/+1,2
— решение такой задачи. Тем же способом находится вектор ^1_х/2 для границы с но-
номером /— 1/2. Тогда конечно-объемная схема Годунова для уравнений стационарной
газовой динамики примет вид
ж/2;/'|/2C.6.20,
Здесь целый верхний индекс k = 0,1,... обозначает значения сеточной функции на k-м
шаге вдоль оси х. Такая конечно-объемная схема Годунова была впервые построена
3.6. Стационарная газовая динамика 237
в работах Иванова, Крайко, Михайлова A972), Иванова, Крайко A972). Ее подробное
описание дано также в работе Годунова и др. A976).
Спектральное исследование устойчивости (Richtmyer, Morton, 1967) линеаризован-
линеаризованных уравнений C.6.20) приводит к условию
С = тах|А±|^-< 1. C.6.21)
Решение разностной схемы C.6.20) сводится к решению системы нелинейных урав-
уравнений
pl=Nr C.6.22)
Запишем уравнения C.6.22) в терминах переменных Роу
где
pHR^(U + V), eHR+^
у 2у v J у 27
В этом случае они принимают вид
^ ^^ ^ =L,,
fx=Nt.
Используя соотношения
nfr+l _ Ki Vk+\ _ Ц ттк+\ _ Ni rj _ Tfk+\
получаем следующее уравнение для U:
w ' 7 IP 2y
или
А 2Г1,гг21 Г-1
U4 - —'-^-U2 + -!¦—-BКЖ - M) = 0.
7+1 7+1 v ' ' ';
Тогда
U=uf+l =signL/f:
\
7+1 V G+1J 7+1
После вычисления U вычисляем р, u, v и е.
При использовании произвольных трапециевидных ячеек, разностные уравне-
уравнения C.6.20) меняются с учетом соответствующих длин сторон и направления нормалей
к ним. Такие, более общие, разностные уравнения выписываются применением метода
конечных объемов к интегральной форме уравнений C.6.9), см. разд. 3.2, где этот подход
был применен для нестационарной системы уравнений. Описанная выше разностная
схема обладает первым порядком точности. Схемы более высокого порядка могут быть
построены с использованием тех же методов, что и для случая нестационарных систем
уравнений (см. разд. 3.2).
238 Гл. 3. Уравнения газовой динамики
Схемы Куранта-Изаксона-Риса (КИР) и Роу
Рассмотрим конечно-объемные схемы КИР и Роу, которые основаны на приближенном
решении задачи Римана. Одна из разностных схем типа КИР, например, схема B.3.25),
B.3.26) для двумерных уравнений C.6.9) принимает вид
+
Ах Ау
где
ИЛИ
C.6.23)
где |^41 = QR|A|QL. Вместо матрицы А может быть использована матрица А, опреде-
определенная формулой C.6.18). В этом случае разностная схема имеет тот же вид, что и
схема C.6.23), но с несколько более простыми формулами для вычисления потоков
l) + 7Mlm+l/2(Em-Em+l), W = /,/-l, C.6.24)
ИЛИ
где И| =QR|A|QL.
Схема Роу отличается от разностной схемы C.6.23) специальным выбором заморо-
замороженной на границе ячейки матрицы А (или А). Обозначим ее через srf (или, соответ-
соответственно, з/). Эти матрицы должны удовлетворять соотношениям
+ +1), AF = F(UW) -F(Um+1), C.6.25)
Матрицы <^у и ^у выбираются таким образом, чтобы эти соотношения были вы-
выполнены точно для любых конечных разностей. Матрицы ё-у и J^y удовлетворяют
соотношениям C.6.25), так как в качестве вектора U здесь выбран вектор переменных
Роу. Такой выбор матрицы srf позволяет обеспечить точное выполнение соотношений
на разрывах (п. 3.4.4). Заметим, что матрица srf совпадает с матрицей C.6.14), где
вместо соответствующих переменных г/, v и с должны быть подставлены переменные
усредненные по Роу: г/, v и с, см. C.4.13) и C.4.16) (Семенов, ранее не публиковалось).
Дадим следующее представление, которое может быть использовано для простых
вычислений, например, вектора |^|АЕ, см. C.6.24), который обозначим через Q =
= [6i Д,б3,б4]т. Здесь АЕ = Ет -Ет+1 = [Щ,АЕ2,АЕ3,АЕЛ]Т. Тогда
E = QRdiag[|A_|,|A0|,|A0|,|A+|]QLAE =
(|A_|-|Ao|)QRdiag[l,O,O,O]QLAE + (|A+|-|Ao|)QRdiag[O,O,O,l]QLAE.
3.6. Стационарная газовая динамика 239
Отсюда для компонент вектора Q получаем выражения
~ 4 4
Для использования преимуществ метода Годунова, основанного на точном решении
задачи Римана, построим это решение.
3.6.3. Элементарные решения задачи Римана. Построение точного ре-
решения задачи Римана для стационарных уравнений газовой динамики с УРС идеального
совершенного газа будет следовать логике построения решения, использованной ранее
Годуновым и др. A976). Сначала будут построены элементарные решения, а точное
решение общего вида получится затем на основе их комбинации.
Элементарное решение 1: ударная волна (скачок уплотнения). В качестве пер-
первого из элементарных решений уравнений газодинамики рассмотрим стационарный
разрыв. Рассмотрим интегральную форму уравнений C.6.9)
C.6.26)
где L — это контур, ограничивающий конечную область интегрирования на плоскости
(x,j). Проводя выкладки, аналогичные выводу формулы B.2.14), получаем соотноше-
соотношения на разрыве в виде
0{E(U)}-{F(U)} = O, C.6.27)
где в = const — наклон разрыва. Здесь использовано обозначение {q} = qx - q2, где
индексы 1 и 2 обозначают переменные, соответственно, сверху и снизу от разрыва
(см. рис. 3.26). Пусть Uj = [pl,ul,vl,?l,pl]T и U2 = [p2,i/2,v2,?2,/?2]T — постоянные.
Заметим, что однородные состояния \JX и U2, каждое по отдельности, удовлетворяют
уравнениям C.6.26). Уравнение C.6.27), связывающее величину в с \JX hU2, принимает
вид
0{pn}-{pv} = O, C.6.28)
в{ри2 +р} - {puv} = 0, C.6.29)
Q{puv] - {pv2 + p} = 0, C.6.30)
= 0. C.6.31)
Если эти соотношения выполнены, то рассматриваемый разрыв является формальным
решением уравнений C.6.26).
Введем в рассмотрение следующие переменные V и U, связанные со стационарным
разрывом:
V = vcos a - г/sina, C.6.32)
U — vsina + i/cosa, C.6.33)
где tana = в, см. рис. 3.26. В силу того, что справедливо равенство {в} = 0, из уравне-
240
Гл. 3. Уравнения газовой динамики
х
Рис. 3.26. Система координат, связанная с косым стационарным разрывом
ний C.6.28)—C.6.31) получаем соотношения
{PF} = 0,
{PV2+p} = 0,
{pUV} = 0.
C.6.34)
C.6.35)
C.6.36)
C.6.37)
Рассмотрим случай pV ф 0, который соответствует наклонной стационарной ударной
волне, или косому скачку уплотнения. Случай pV = 0 соответствует тангенциальному
разрыву и будет рассмотрен отдельно. Уравнения C.6.34)-C.6.36) позволяют выписать
формулы для р2, V2, ?/2 и ?2 в виДе функций отр2, Р\, р\ и в, см. Годунов и др. A976).
Из соотношения C.6.34) получаем
K2 .
Pi
Используя это равенство и уравнение C.6.35), получаем следующее выражение для Vx:
V - + P2~Pl Pi
l~ у ^-pi"p7'
Подставляя выражения для Fj и F2 в C.6.36), находим
е _е =^2±Zl/J L
21 2 VPi Pi
C.6.38)
Используя уравнение состояния C.6.4) для исключения ех и е2 в уравнении C.6.38),
получим соотношение Рэнкина-Гюгонио
или
Pi-Pi
Pi
2(P2-Pi)
C.6.39)
3.6. Стационарная газовая динамика
241
1
Pu
0'
\
"n
p
v
\
VII
\
e
P
Pa un
Pa Мп
Рис. 3.27. Схемы стационарных течений; (g) — это ударная волна (скачок уплотнения) или про-
простая волна разрежения, О — тангенциальный разрыв
Таким образом, Vx представляется в виде функции р2, Р\ и Pi •
Обозначим через m = pV поток массы через разрыв. Из уравнений C.6.34) и C.6.37)
следует, что {т} = 0 и {?/} = 0. Тогда
т — ру =
C.6.40)
Напомним, что может существовать только ударная волна сжатия (скачок уплот-
уплотнения). Это условие означает, что Vx выбирается в соответствии с тем, что скорость
направлена в сторону увеличения давления. Это позволяет однозначно определить знак
перед квадратным корнем в формуле C.6.40) и эквивалентно условию возрастания эн-
энтропии (п. 3.3.1).
242 Гл. 3. Уравнения газовой динамики
Верхняя ударная волна (скачок уплотнения)
Будем называть ударную волну верхней, если поток газа через нее вдоль оси у направлен
сверху вниз (рис. 3.27а), т. е. т = pV < 0. Обозначим параметры потока сверху от
ударной волны через р:, щ, v:, ?: и/?1э а снизу от нее — через р, г/, v, г яр (рис. 3.27а).
Используя соотношение {[/} = 0 и {т} = 0, получим следующие уравнения для р, и
и v при p>Pi'.
= vsina + i/cosa, C.6.41)
(vIcosa-i/Isina)pI = (vcosa- usina)p. C.6.42)
Введя обозначения (см. рис. 3.26)
tan/3T = —, tan/3 = —,
щ и
перепишем уравнения C.6.41) и C.6.42) в виде
(tan/3Itana+ \)щ = (tan/3 tana+ 1)г/, C.6.43)
(tan/3: -tana)pIi/I = (tan/3 -tana)pi/. C.6.44)
Разделив уравнение C.6.44) на уравнение C.6.43) и использовав тригонометриче-
тригонометрическое тождество
, tan/i±tanv
tan(/z±v) =
=Ftan/itanv
выведем соотношение
C.6.45)
где a > /3, так как F < 0, и /3 > /3:, так какр > р1 и из C.6.39) р > pv
Для случая V —VY преобразуем уравнение C.6.32) следующим образом:
—j8f) < 0, ql =
Тогда
2ft
ИЛИ
/ , \/2 / o_2 N-l/2
(
-^ 4 =Гт т^—^—-0 • C-6-46)
sin2 (a-ft) У VG+l)P+G-l)Pi У
Используя уравнения C.6.45) и C.6.46), находим tan (j3 — ft) как функцию р — pt:
tan (a - ft)-tan (а-Д) _ (р-pI)tan(a-ft)
tan(j3-ft) =
l+tan(a-ft)tan(a-j3) p + pttan2(a-ft)
3.6. Стационарная газовая динамика 243
Использование C.6.39) и C.6.46) дает
tan/3 -tan/3:
Следовательно,
C.6.48)
1/2
Для определения tan a следует использовать соотношение
tan(a-/3T)+tan/3T
tana = -—v , Q,—^", C.6.49)
l-tan(a-/3I)tan/3I' v J
которое зависит от tan(a-/3:), см. C.6.46), и tan/3:. Используя C.6.41) и равенство
v = i/tan/З, определяем и и v.
Нижняя ударная волна (скачок уплотнения)
Будем называть ударную волну нижней, если поток газа через нее вдоль оси у направлен
снизу вверх (рис. 3.27Ь), т. е. m = pV > 0. Обозначим параметры потока сверху от
ударной волны через р, и, v, е яр, а снизу от нее — через рп, мп, vn, еп и/?п (рис. 3.27Ь).
Используя соотношения {^/} = 0h{w} = 0, также как и для уравнений C.6.41 )-C.6.47),
получим следующие уравнения для и и р при р>Рц'.
Рп
Следовательно,
tan/3 =intanj3n - (p-/^)^, C.6.51)
1
2YPiiMl
1/2
244 Гл. 3. Уравнения газовой динамики
Для определения tan a следует использовать соотношение
-a)
l+tan/3ntan(/3n-a)
определяющее зависимость tan a от tan/3n и tan (a - /Зп). При этом
tan(/3II-a)=f
7
G+1)/?+ G-
где j8jj > а, так как V > 0. Далее, используя соотношения C.6.41) и v = i/tan/З, можно
определить г/ и v.
Стационарная ударная волна является автомодельным решением относительно пе-
переменной г\ = у — 6х, где в = const. Это решение также является автомодельным от-
относительно переменной % = у/х. При этом разрыв на плоскости (х,у) представляется
прямой линией, определяемой уравнением % = в = const.
Элементарное решение 2: тангенциальный (контактный) разрыв. Данное ре-
решение газодинамических уравнений является специальным случаем разрыва C.6.34)-
C.6.37), когда поток газа через разрыв равен нулю, т. е. т = pV = pxVx = p2V2 = 0.
Следовательно, из соотношения C.6.35)
V = Vx = V2 = 0, {р} = 0.
Обозначим переменные сверху от разрыва через p — px,u — ux nv = v1?a снизу от
него — через р — р2, и — г/2 и v = v2. Тогда из соотношений {р} = 0 и V = 0 получаем
рх —р1—р1 tana = tan/3x = — =tan/32 = —. C.6.53)
Элементарное решение 3: простая волна разрежения. Следующим элементар-
элементарным решением уравнений газовой динамики является простая волна разрежения, или
волна Прандтля-Майера. Это решение является непрерывно-дифференцируемым. По-
Поэтому найдем его из решения уравнений C.6.5)-C.6.8)в неконсервативной форме
-(ux + vy)p = 0, C.6.54)
• &L = 0, uvx + vvy+ ^ = 0, C.6.55)
Р Р
- {их + vy)yp = 0. C.6.56)
Будем искать решение в автомодельном виде f(x,y) = /(?) = fiy/x). Подставляя р =
= р(^), и = и(%), v = v(^) яр = р(%) в уравнения C.6.54)-C.6.56), получаем
= 0, C.6.57)
м,-^^- = 0, (-^+v)v, + —=0, C.6.58)
* Р * Р
= 0. C.6.59)
3.6. Стационарная газовая динамика
245
Система C.6.57)-C.6.59) для р^, Me, v^ и /?е может иметь ненулевое решение только
если детерминант матрицы ее равен нулю. Это требование сводится к следующим трем
независимым условиям существования нетривиального решения:
-uS, + v =
C.6.60)
C.6.61)
C.6.62)
Используя обозначения % = tan а и tan/3 =v/u (рис. 3.26), преобразуем C.6.61) и C.6.62)
к виду
C.6.63)
Последовательно рассмотрим теперь уравнения C.6.57)-C.6.59) для каждого из
трех случаев C.6.60)-C.6.62), которые пронумеруем, соответственно, как I, II и III.
Случай I:
= 0.
Решение системы тривиально, причем р = const и u = v = 0.
Случай II:
и, следовательно,
= — = const,
где S — энтропийная функция. Теперь, используя C.6.65) и C.6.63), находим
dtan/З д /v\ uv^—vu^ (M_|_v<?) dp cos(a-/3) dp
C.6.64)
C.6.65)
C.6.66)
и2 рси2л/1 + %2 д% pcucosp д^
cos(a-/3)(l+tan2/3)cos/3 dp _ A +tan2/3)v/^2 - l dp _ dp
p?
Следовательно,
C.6.67)
246 Гл. 3. Уравнения газовой динамики
Используя формулы C.6.65) и соотношения C.6.64) и C.6.66), можно проверить,
что имеет место уравнение
f
dt; ~ dt; { р ;-U'
Таким образом, в простой волне выполнено соотношение
C.6.68)
Р
Случай III:
_w?+v = -сл/\ + %2,
Рр Рр
(-U%+v)u~ - %-*- = 0, (-14% + V)V. + -2- = О,
$ р $ р
p^ = 0.
По аналогии со случаем II находим, что
^tan/3 (l+tan2/3)x/M^T dp dp
C.6.69)
Нетрудно показать, что в этом случае соотношения C.6.66) и C.6.68) также выполнены.
Верхняя простая волна разрежения
Будем называть простую волну верхней, если поток газа через нее вдоль оси у направлен
сверху вниз (рис. 3.27с), т. е. т = pV < 0. В этом случае будут выполнены следующие
соотношения:
C.6.70)
S = — = const, h = ' r = const.
P7 P
Тогда m = pV = (v- u%)p cos a = -pc < 0.
Обозначим параметры потока сверху от простой волны через р:, щ, v: и ?:, а снизу от
нее — через р, и, v и е (рис. 3.27с). Проинтегрировав уравнение C.6.70) по переменной
§ поперек простой волны, получим следующие соотношения связывающие tan/З и/?:
tan/3 =tanj8I + (/7-/7I)rlJ C.6.71)
/2-1
,/?) = (l+tan2/3)-
C.6.72)
Здесь знак ~ указывает на аппроксимацию второго порядка точности относительно %.
Здесь предполагается, что простая волна на плоскости (х,у) ограничена лучами % = ^: и
3.6. Стационарная газовая динамика 247
<¦? = <э1* (рис. 3.27с). Отметим, что вместо аппроксимации C.6.72) могут быть использо-
использованы и другие аппроксимационные формулы. Для повышения точности аппроксимации
в сильных простых волнах в расчетах вдоль оси у должна быть использована более по-
подробная пространственная сетка.
Нижняя простая волна разрежения
Будем называть простую волну нижней, если поток газа через нее вдоль оси у направлен
снизу вверх (рис. 3.27d), т. е. m = pV > 0. В этом случае будут выполнены соотношения
C.6.73)
S = — = const, h = = const.
P7 P
Действительно, m = pV = (v — ut;)p cos a = pc > 0.
Обозначим параметры потока сверху от простой волны через р, и, v и ?, а снизу
от нее — через рп, мп, vn и ?п (рис. 3.27d). Проинтегрировав уравнения C.6.73) по
переменной ?, поперек простой волны, получим следующие соотношения связывающие
tan/З и/?:
tan/3 = tan/3n - {p-p^r^ C.6.74)
гп = rn(j3,/>) = ^^ [^Rtf,p)^ dS, R{fi,p) = (/)^
P~P\\ Чц °ь РЯ
rn(p,p) ~ i[^(/3n^n) + ВД/7)]. C.6.75)
Здесь предположено, что простая волна на плоскости (х,у) ограничена лучами ? = <^д
3.6.4. Точное решение общего вида. Точное решение задачи Римана об-
общего вида состоит из двух волн (ударной волны или простой волны разрежения) с
тангенциальным разрывом между ними, которые отделены друг от друга областями
постоянного течения (рис. 3.27е). Решение представляет из себя стационарную карти-
картину течения, которая возникает в области х > 0 при взаимодействии двух равномерных
полубезграничных сверхзвуковых потоков газа, встречающихся на прямой линии у = 0.
Частными случаями общего решения являются одиночная ударная волна или одиночная
простая волна (см. рис. 3.27a-d).
Построим точное решение общего вида на основе полученных выше элементарных
решений. Следует заметить, что значения р и tan/З в центральной зоне для общего слу-
случая (см. рис. 3.27е), могут быть определены на основе решения двух нелинейных урав-
уравнений. Используя уравнение C.6.51) (или, соответственно, C.6.74)) и уравнение C.6.48)
(или, соответственно, C.6.71)) и соотношение на тангенциальном разрыве C.6.53), по-
получаем следующую систему уравнений для определения р и tan/3:
tan/3 = i//n(/?)tan/3n- (p-p^^^p), C.6.76)
tan/3 = ^(/Otanft + Q?-/^^/?), C.6.77)
248
где
Гл. 3. Уравнения газовой динамики
при п — \ и р> pv
при п = II и р> Рц,
при р<рп,
при р>Рп,
?)] При р<рп-
с =
Уравнения C.6.76) и C.6.77) можно решать методом простой итерации (Годунов и
др., 1976). При этом первое приближение задается в виде
A) =
Для итерации с номером к— 1,2,... положим
(Ш) = [ <PiPi
! - y^tanft 1
J
<pi+<pii
J '
Для вычисления р, г/, v и е в веере волны разрежения следует использовать формулы
h = = const, S = — = const, v = г/tan8, u —
C.6.78)
Так же как и в случае нестационарных уравнений, см. разд. 3.3, после решения
уравнений C.6.76) и C.6.77), необходимо провести анализ получившейся конфигурации
течения и определить решение р(^), м(?)э v(?) и р(%) для заданного луча ^, который
совпадает с наклоном границы дискретной ячейки к оси х. В частности, при ^ = О
это будет граница, параллельная оси х. Для определения параметров потока следует
3.7. СВ-ЛМС взаимодействие 249
использовать соотношения C.6.78) для конфигурации течения с простыми волнами и
соотношения C.6.49) или C.6.52) для ударных волн.
Для нахождения решения задачи Римана на грани ячейки в трехмерном случае
поступают следующим образом. Скорость течения записывается в локальной ортого-
ортогональной системе координат, связанной с гранью ячейки, в виде v = [i/,v,w]T. При этом
и — это компонента скорости в направлении оси х, v — это проекция скорости на
вектор, который ортогонален оси х, и лежит в плоскости, проведенной через ось х и
нормаль к грани ячейки, aw — тангенциальная компонента скорости. Далее решается
плоская газодинамическая задача Римана для значений р, г/, v и ?, которая описана вы-
выше. При этом тангенциальная компонента скорости w в точном решении определяется
следующим образом: w(%) = w: при ?, > tan/3, в противном случае w(%) = wn.
Заметим, что для ускорения сходимости простых итераций в уравнениях C.6.76)
и C.6.77) или, соответственно, в C.6.47), C.6.50), C.6.70) и C.6.73)можно использовать
замены переменных. Например, может быть полезной замена (Годунов и др., 1976)
7-1
& = р 2Г .
Итерационный процесс может быть организован несколько иначе. Этот подход опи-
описан ниже при построении решения задачи Римана для стационарных уравнений мелкой
воды (разд. 4.6). В этом случае (рп является более гладкой функцией, в частности, непре-
непрерывной при /3 = рп и р = рп.
3.7. Взаимодействие солнечного ветра с межзвездной
средой
В этом разделе представлен ряд результатов численного исследования взаимодействия
сверхзвукового потока со сверхзвуковым точечным источником. Задачи такого рода
возникают в многочисленных астрофизических приложениях, когда звезда — эжектор
заряженных частиц — движется сквозь межзвездную среду. Наше Солнце принадлежит
именно к таким звездам. Поток частиц от звезды (Солнца) принято называть звездным
(солнечным) ветром. Взаимодействие звездного ветра, включая солнечный ветер, с меж-
межзвездной средой давно является предметом исследования как астрофизиков, так и гид-
гидродинамиков (Parker 1961; Brandt 1970; Axford 1972; Баранов, Краснобаев, 1977). Для
солнечного ветра это, во-первых, связано с возможностью сравнения численных моде-
моделей взаимодействия с непосредственными измерениями, проводимыми космическими
аппаратами. С другой стороны, сложная структура течения, содержащего несколько
разрывов, делает эту задачу прекрасным предметом исследования с применением со-
современных численных методов как в чисто газодинамическом, так и в МГД-случаях.
Представленные ниже решения получены с помощью MUSCL TVD-схемы, использу-
использующей для нахождения потоков через грани вычислительных ячеек метод Роу прибли-
приближенного решения задачи Римана.
При рассмотрении собственно солнечного ветра задача становится еще более слож-
сложной, так как нужно принимать во внимание процессы обмена зарядом между заря-
заряженными и нейтральными частицами, которые присутствуют в межзвездной среде.
Континуальные уравнения неприменимы для описания движения нейтральных частиц,
так как длина свободного пробега последних намного больше характерного размера
250 Гл. 3. Уравнения газовой динамики
задачи. В этом случае применяются или приближенные подходы согласования моде-
моделей, или прямое моделирование методом Монте-Карло. Пространственные неоднород-
неоднородности солнечного ветра, его временные возмущения и периодичность делают задачу
пространственной и нестационарной. Присутствие межзвездного магнитного поля для
правильного анализа получаемых результатов требует использования МГД-уравнений.
Если вектор магнитного поля не параллелен вектору скорости, то задача также стано-
становится трехмерной.
Здесь описываются некоторые результаты исследования взаимодействия звездного
ветра с межзвездной средой. Во всех задачах, касающихся солнечного ветра, прене-
брегается резонансной перезарядкой между заряженными и нейтральными частицами.
Это, конечно, является недостатком, если речь идет о глобальном моделировании взаи-
взаимодействия солнечного ветра с межзвездной средой. По этой причине выбираются та-
такие постановки задач, которые позволяют моделировать лишь отдельные, хотя и очень
важные, элементы такого взаимодействия. Это можно сделать и оставаясь в рамках
только газодинамического/МГД подхода. При этом нужно иметь в виду то, что многие
аспекты постановки задачи до сих пор остаются не вполне ясными и не получили экс-
экспериментального подтверждения. В основном это касается влияния неоднородностей,
не стационарно стей и магнитных процессов. Именно такие задачи обсуждаются ниже.
При этом, вольно или невольно, приходится сталкиваться с необходимостью разреше-
разрешения сопутствующих механических и математических задач. К ним относятся вопросы
эффективной постановки граничных условий в дальнем потоке, которые были описаны
ранее в разд. 2.8, обеспечения тонкого разрешения многочисленных разрывов, иссле-
исследование поведения неэволюционных решений при использовании МГД-подхода и т. д.
Эти задачи носят общий характер и их решение представляет интерес для специалистов
в смежных областях механики и астрофизики.
Ниже в этом разделе рассмотрены только нестационарные газодинамические задачи.
Влияние магнитного поля будет обсуждаться в гл. 5.
3.7.1. Взаимодействие нестационарного (периодического) звездно-
звездного ветра с межзвездной средой: постановка задачи. Интерпретация из-
измерений, проводимых космическими аппаратами, требует разработки теоретических
моделей для взаимодействия солнечного ветра (СВ) с локальной межзвездной средой
(ЛМС). Большой интерес представляют нестационарные задачи, связанные с перемен-
переменностью солнечной активности и возмущениями солнечного ветра, а также с неоднород-
неоднородностью межзвездной среды. Важны также магнитогазодинамические аспекты взаимо-
взаимодействия. Применение уравнений механики сплошной среды к взаимодействию СВ с
ЛМС систематически обсуждается в монографии В. Б. Баранова и К. В. Краснобаева
(Баранов, Краснобаев, 1977). Parker A961) первым предложил количественную модель
взаимодействия солнечного ветра с локальной межзвездной средой. Он, однако, пред-
предположил, что межзвездная среда является дозвуковым потоком с числом Маха М^ <С 1.
Строго говоря, это предположение неверно, так как скорость межзвездной среды есть
Foo ~ 20 км/с, а эксперименты по рассеянию солнечного излучения показывают, что
температура Т^ заряженных частиц, образующих ЛМС, приблизительно равна 104 К.
Принимая во внимание тот факт, что числовая концентрация заряженных частиц обычно
считается равной Поо ~ 0.1 см~3, поток ЛМС можно скорее предположить сверхзвуко-
сверхзвуковым, чем дозвуковым. Сверхзвуковая модель взаимодействия была впервые предложена
3.7. СВ-ЛМС взаимодействие
251
Барановым, Краснобаевым, Куликовским A970). Очень важной чертой этого подхода
является применение континуальных газодинамических уравнений Эйлера только к
заряженным частицам обоих сталкивающихся ветров. Хотя предполагается, что при-
присутствие турбулентных пульсаций в плазме слабо влияет на среднюю картину течения,
их влияние сказывается через сильное изменение коэффициентов переноса из-за воз-
возможности рассеяния заряженных частиц на электромагнитных флуктуациях плазмы.
Это приводит к существенному уменьшению длины их свободного пробега по сравне-
сравнению с рассчитанным на основе кулоновских столкновений. Плазма солнечного ветра
состоит, в основном, из электронов и протонов с числовой концентрацией пе ~ 10 см~3 и
скоростью Ve ~ 400 — 500 км/с и также является сверхзвуковой. Индекс е соответствует
здесь величинам, измеренным на одной астрономической единице 1AU = 1.5 х 10 п м,
т. е. на расстоянии от Солнца до Земли. Эти предположения послужили источником мо-
модели, содержащей две основных ударных волны. Такая модель естественно появляется,
если смотреть на решение задачи как на результат распада произвольного газодинами-
газодинамического разрыва между параметрами солнечного ветра и межзвездной среды. Картина
течения в этом случае, по существу, яв-
является комбинацией течения в сверхзву-
сверхзвуковой струе и течения, образующегося
при сверхзвуковом обтекании затупленно-
затупленного тела. Оба этих течения хорошо изу-
изучены в классической газовой динамике
(Черный, 1959; Пирумов, 1988; Авдуев-
скийидр., 1989; Пирумов, Росляков, 1990).
Различные режимы течения и конфигу-
конфигурации ударных волн при взаимодействии
звездного ветра с межзвездной средой
и комет с солнечным ветром обсужда-
обсуждали Wallis, Dryer A976). Baranov, Lebedev,
Ruderman A979) и Зайцев, Радвогин A990)
рассмотрели осесимметричные задачи вза-
взаимодействия с использованием метода с
выделением разрывов. При этом рассчиты-
рассчитывалась только наветренная часть течения.
Sawada et al. A986) и Matsuda et al. A989)
рассмотрели задачу взаимодействия звездного ветра с межзвездной средой в замкну-
замкнутой области вокруг звезды. Их численные результаты подтвердили схему Wallis,
Dryer A976), хотя для более широкого диапазона параметров была получена пулеоб-
разная форма внутренней ударной волны. Схематическая картина течения приведена
на рис. 3.28. Здесь TS — это внутренняя ударная волна, останавливающая поток сол-
солнечного ветра внутри тангенциального разрыва, называемого гелиопаузой (HP), a BS —
головная, или внешняя, ударная волна. TS в некоторой точке может резко повернуться с
образованием диска Маха (MD). В этой тройной точке возникают отраженная ударная
волна (RS) и линия проскальзывания (SL). Такая форма внутренней ударной волны
обусловлена ее маховским отражением от оси z. Если речь идет о солнечном ветре, то в
присутствии нейтральных частиц оказывается (Baranov, Malama, 1993), что диск Маха
исчезает вместе с тройной точкой и отраженной ударной волной.
Рис. 3.28. Схематическая картина сверхзвуко-
сверхзвукового взаимодействия звездного ветра с меж-
межзвездной средой
252 Гл. 3. Уравнения газовой динамики
Важными являются также нестационарные задачи, связанные с переменной актив-
активностью точечного источника. Barnes A993), Pogorelov A993, 1997), Steinolfson A994),
Steinolfson, Pizzo, Holzer A994) изучали влияние нестационарных возмущений сол-
солнечного и звездного ветра на общую картину течения. Нестационарные течения и от-
отклик разрывов на 11-летний цикл солнечной активности рассматривали Barnes A995),
Pogorelov A995, 2000а), Karmesin, Liewer, Brackbill A995), Baranov, Zaitsev A998).
Здесь еще раз нужно отметить некоторые важные эффекты СВ-ЛМС взаимодей-
взаимодействия, которыми пренебрегается в последующем изложении. Основной из этих эффек-
эффектов —это резонансный обмен зарядом между нейтральными и заряженными частицами,
образующими оба ветра (Blum, Fahr, 1969; Wallis, 1971,1975; Baranov et al, 1979). Дви-
Движение нейтральных частиц не может быть описано в рамках механики сплошной среды.
По этой причине в работе Баранова, Ермакова, Лебедева A982) был предложен прибли-
приближенный метод учета влияния нейтральных частиц. Baranov, Malama A993) разработали
самосогласованную модель описания процесса обмена зарядом. В этой модели для
расчета траекторий заряженных частиц используется метод Монте-Карло. В газодина-
газодинамических и МГД задачах, решение которых обсуждается в дальнейшем, принимается
континуальный подход.
В работе Matsuda et al. A989) обсуждаются неустойчивости тангенциального разры-
разрыва, разделяющего потоки звездного ветра и межзвездной среды. Они иногда возникают
на его боковой части и в окрестности точки торможения. Эти неустойчивые решения
были получены для диапазона параметров, не вполне подходящего для взаимодействия
солнечного ветра с межзвездной средой, и поэтому ставились под сомнение (Steinolfson
et al. 1994). Liewer, Karmesin, Brackbill A996) представили результаты по гидродина-
гидродинамической неустойчивости гелиопаузы в окрестности точки торможения. При этом эта
неустойчивость приписывается влиянию процессов обмена зарядом между ионами и
нейтралами. Недавно в работе Белова, Мясникова A999) изучалась устойчивость по-
поверхности контакта между сталкивающимися ветрами. Ее авторы показали, что эта
поверхность лишь конвективно неустойчива. По этой причине амплитуда осцилляции
HP растет не во времени, а по мере удаления от точки торможения. При этом колебания
в этой точке определяются только приходящими внешними возмущениями. Таким об-
образом, неустойчивости, в действительности, могут возникать при использовании очень
подробных расчетных сеток.
Формулировка задачи
Как показано на рис. 3.28 и широко принято, солнечный ветер меняет свою скорость
от сверхзвуковой до дозвуковой при переходе через внутреннюю ударную волну. Су-
Существует ряд причин, которые могут вызвать временную асимметрию этого разрыва
и поэтому всей картины взаимодействия в целом. Среди них кратковременные воз-
возмущения солнечного ветра и его 11-летняя периодичность. По этим причинам гелио-
сферная ударная волна будет реагировать на изменения в параметрах солнечного вет-
ветра. Baranov A990) показал, что число Струхаля в нестационарной газодинамической
задаче пренебрежимо мало только в областях порядка L <С 1013 м. Характерный раз-
размер гелиопаузы составляет приблизительно 1013 м. По этой причине полная задача
о взаимодействии, строго говоря, не может рассматриваться как стационарная. Мож-
Можно также упомянуть не стационарность, связанную с неоднородностью межзвездной
3.7. СВ-ЛМС взаимодействие
253
среды (Pogorelov, 2000a),
Система уравнений газовой динамики A.3.10) для осесимметричного течения иде-
идеального совершенного газа в ортогональной декартовой системе координат х, z, пока-
показанной на рис. 3.28, принимает вид
at ox dz
C.7.1)
где
p
pu
pw
e
pu
pu2+p
puw
.(e + p)u_
pw
puw
pw2-\-p
(e + p)w
U =
Эта система справедлива в полуплоскости xQz и может быть получена из A.3.10) в
предположении цилиндрической симметрии. Ее другая форма есть
1
и
w
dxV dxE dxG
¦ + +
dt дх
dz
C.7.2)
где
Н= [0,-/7,0, О]1
Хотя оба представления являются математически эквивалентными, по вычислитель-
вычислительным причинам часто более удобным использовать первую, так как считается, что она
дает более устойчивые результаты в окрестности геометрической особенности х = 0
(Годунов и др., 1976).
В выписанных уравнениях е = р/(у— 1) + р (и2 + w2)/2. Величины плотности, дав-
давления и скорости обезразмерены, соответственно, на Роо, Роо^ и ^оо, где индекс оо
соответствует параметрам в межзвездной среде. Время и линейные размеры обезраз-
мериваются, соответственно, mZ/Foo иЬ. Здесь L равно 1 AU.
Так как рассматривается только движение заряженных частиц, а основной заряжен-
заряженной компонентой ветров являются ионизированные атомы водорода Н+, под числовой
плотностью подразумевается плотность Н+. Безразмерными параметрами задачи явля-
являются числа Маха М^ и Ме, отношения динамических давлений К = ре V2 /р^ V^ и тем-
температур торможения х = ^ое/^0оо- Параметры солнечного ветра существенно меняются
в пределах 11-летнего периода солнечной активности. Для проведения качественного
анализа поведения разрывов под действием периодичности источника примем следую-
следующие значения безразмерных параметров: К = 6250, % — 256, М^ — 2, Ме = 5 в минимуме
и К — 50000, х — 400, Моо = 2, Ме — 5 в максимуме активности (Pogorelov, 1995). Эти
величины используются как базовые точки для синусоидальной функции, аппроксими-
аппроксимирующей временную зависимость К и % в пределах 11 лет. Такие значения безразмерных
параметров возникают, например, при параметрах межзвездной среды п^ — 0.1 см~3,
Коо = 20 км/с, Cqo = 10 км/с и в предположении, что пе = 1.56см~3, Ve = 400 км/с для
минимума активности и пе = 8 см~3 и Ve = 500 км/с — для ее максимума (Brandt, 1970).
Стационарное сверхзвуковое течение от сферически-симметричного источника, ес-
если принять во внимание его адиабатичность и закон сохранения массы pUR2 = const
(здесь U — это радиальная компонента скорости, a R — расстояние от рассматриваемой
254 Гл. 3. Уравнения газовой динамики
точки до звезды), с очень большой точностью может быть представлено следующими
формулами:
р = ||, U=Ue = const, P=jgj. C.7.3)
Из C.7.3) следует, что скорость звука и число Маха изменяются как
^FT C.7.4)
Принимая во внимание то, что для полностью ионизованной плазмы у= 5/3, по-
получаем М = MeR2/3. Это означает, что число Маха в солнечном ветре на типичных
расстояниях TS от Солнца очень велико и поэтому результаты лишь незначительно
зависят от самого Ме.
Безразмерная единица времени соответствует 86.8 дням. Шаг по времени выбира-
выбирается равным At « 0.4 дня. Отношения удельных теплоемкостей предполагаются равны-
равными 5/3 как в межзвездной среде, так и в звездном ветре. В качестве начальных данных
используется стационарное распределение, соответствующее сошедшемуся по време-
времени решению для солнечного минимума. Для получения этого решения применяется
описанный ниже численный метод. Этот же метод потом используется для решения
нестационарной задачи.
Метод решения
Уравнений Эйлера в виде C.7.1) решаются численно с использованием MUSCL TVD-
схемы второго порядка аппроксимации по времени и по пространству. Начальные зна-
значения для задачи на установление могут быть довольно произвольными. При этом они
должны удовлетворять граничным условиям, которые состоят из фиксированных па-
параметров источника на внутренней границе (сферической, для простоты) и условий
однородного межзвездного потока на бесконечности.
В полуплоскости xOz (x > 0) введем полярную сетку
Rl=Rmin + (I-l)*R,I=l,2,...,L; AR=(Rmax-Rmm)/(L-l);
6п = (п-2.5)Д0, п = 1,2,...,7V; Ав = n/(N-4).
с центром в положении источника. Эта сетка представляет из себя разрез сферической
сетки вышеупомянутой полуплоскостью; угол в отсчитывается от оси z. Тогда систе-
система C.7.1), записанная для каждой ячейки в фиксированный момент времени, принимает
вид
dvln
^ + (ЛЕ )
Здесь Е — это поток по нормали к границе, определяемый формулой
E = ^E + ^2G, C.7.6)
3.7. СВ-ЛМС взаимодействие 255
где n=(nl,n2) — вектор внешней единичной нормали к поверхности ячейки. Очевидно,
что для полярной сетки (nx)ln = sin^ и {n2)ln = cos^ для сторон ячеек, перпенди-
перпендикулярных радиальным координатным линиям и (^i)/^+1/2 = cos^+i/2 и (w2)/«+i/2 =
= — sin6^+112 для сторон, перпендикулярных круговым координатным линиям. Общая
процедура, описанная в разд. 2.7, требует определения величин на правой и левой сторо-
сторонах граней каждой ячейки с использованием соответствующей интерполяции величин,
имеющихся в центрах ячеек. Эта процедура должна включать в себя определенные
ограничители наклонов распределений, для того чтобы удовлетворить свойству TVD.
Внутри каждой ячейки предполагается линейное распределение параметров как в ради-
радиальном, так и в угловом направлениях. Результаты, полученные в этом разделе получены
с использованием гладкого ограничителя наклонов (van Albada et al, 1982)
_
, UR = U/+M-^ki, C.7.7)
C.7.8)
j+l/2rH + e)Sw,_1/2)n
/-l/2,n
(Пь)^(и;)Я-и;_1)Я). C.7.10)
Здесь ? — это небольшая положительная константа, равная 10~п — 10~8и используемая
чтобы избежать деления на ноль. Отметим, что матрицы QL и QR имеют размер 4 х 4 и
конструируются, соответственно, из левых и правых собственных векторов якобиевой
матрицы <ЭЕ/сШ. Численный поток, присутствующий в первой из формул C.7.7), опре-
определяется с использованием решения линеаризованной задачи о распаде произвольного
газодинамического разрыва методом Роу (Roe, 1981a, 1981b). Потоки через другую пару
границ определяются аналогично. Отметим, что используется ограничение наклонов
характеристических переменных. Хотя этот подход и требует большего расчетного вре-
времени, чем, например, ограничение приращений простых переменных, доказано, что он
дает наилучшие результаты в большом количестве газодинамических задач.
Продвижение решения по времени осуществляется с помощью метода предиктор-
корректор второго порядка точности
для t = kAt, к— 1,2,... и шага по времени А/, определенного или условиями Куран-
Куранта, или соображениями хорошего разрешения производных по времени при решении
существенно нестационарных задач.
Вычисления проводятся в кольцевой области с внутренним и внешним радиусами
равными, соответственно, Rmin = 14 и 7?тах = 700. Так как радиальная скорость сверх-
сверхзвуковая, на внутренней границе задаются все параметры как функции времени. Точки
на внешней границе можно разделить на точки входа и выхода потока. Во входных точ-
точках можно фиксировать величины, соответствующие однородному потоку межзвездной
среды. Выходные точки могут быть как сверхзвуковыми, так и дозвуковыми. В первом
случае все величины экстраполируются вниз по потоку. Во втором случае, однако, такая
256 Гл. 3. Уравнения газовой динамики
экстраполяция нарушит характеристические свойства эйлеровой системы. Этот случай
является хорошим кандидатом на применение неотражающих граничных условий, опи-
описанных в разд. 2.8. Это потребует специального рассмотрения, которое будет сделано
в следующем пункте. Поскольку речь идет о граничных условиях, остается только до-
добавить, что нет необходимости решать задачу во всей круговой области, так как можно
наложить граничные условия симметрии на оси z.
3.7.2. Неотражающие граничные условия. В разд. 2.8 описаны различ-
различные подходы к реализации неотражающих граничных условий. Основной целью этих
условий является нахождение подходящего способа перенесения физических гранич-
граничных условий, заданных на бесконечности, на конечные расстояния или, по крайней
мере, минимизации отражения от границ вычислительной области внутрь нее. Условия
в дальнем поле течения очень часто встречаются в астрофизических приложениях и в
существенной мере определяют эффективность численного алгоритма. В этом разделе
нас интересуют, в основном, дозвуковые выходные границы. Постановка условий на
входных сегментах границы является аналогичной. Для того чтобы остаться в рамках
локального подхода, вводится слой искусственных ячеек, примыкающий к границе с
внешней стороны. Этот слой заполняется параметрами межзвездной среды на бесконеч-
бесконечности. Численный поток в этом случае может быть найден с использованием решения
одномерной задачи (линейная ось направлена по нормали к грани ячейки) о распаде
произвольного разрыва между параметрами на бесконечности и в соответствующих
внутренних ячейках, примыкающих к границе. Особенность рассматриваемой задачи
заключается в том, что на бесконечности течение всегда является сверхзвуковым. Это
означает, что если выходная скорость дозвуковая, то где-то между выходной границей и
бесконечностью должна располагаться звуковая точка. Использование решения задачи
Римана в этом случае неприменимо, так как оно содержит ударную волну, распростра-
распространяющуюся внутрь расчетной области. Эта ударная волна рано или поздно приходит
к диску Маха, который является частью внутренней гелиосферной ударной волны, и
стационарное решение задачи становится неосуществимым.
Погорелов, Семенов A996) описали подход, основанный на двух неотражающих
условиях: экстраполяционном условии на сверхзвуковом выходе, которое обеспечивает
характеристически согласованную аппроксимацию уравнений на границе, и условии
в волне разрежения. Идея применения условий в волне разрежения для реализации
граничных условий в дальнем поле тесно связана с искусственным расположением
звуковой точки на выходной границе. Если течение является сверхзвуковым на бес-
бесконечности такая процедура дает приемлемые результаты и позволяет проводить вы-
вычисления в тех случаях, когда другие известные подходы являются безуспешными.
Другой интерпретацией этого метода является следующая. Предположим, что парамет-
параметры внутри выбранной расчетной области полностью определяют поведение решения
вне границы. В случае дозвукового выхода, для описанных начальных условий, един-
единственной возможной элементарной конфигурацией в решении задачи Римана является
волна разрежения, веер которой покрывает границу. В этом случае, если известно зна-
значение автомодельной переменной, можно локально продолжить внутреннее течение до
границы. Поэтому недостающее граничное условие обеспечивается предположением о
том, что скорость потока достигает звукового значения на ней.
В окрестности границы (правой, для определенности) рассмотрим гиперболиче-
3.7. СВ-ЛМС взаимодействие 257
скую систему
для неизвестного вектора U.
Здесь U = XJ(x,t), х — координата в направлении нормальном к границе Г, t —
время, a A(U) — матрица коэффициентов с полным набором собственных векторов и
действительными собственными значениями. Будем искать решение в форме простой
волны U = U(x, t) = U(?), где ?, = x/t. После подстановки этого представления в C.7.12)
получаем
(Л - A/)U§ = О, А = ?, C.7.13)
где /—единичная матрица. Из уравнения C.7.13) видно, что вектор Ue является правым
собственным вектором матрицы А для собственного значения А = ?,. Это означает,
что нужно решить следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений,
дополненную недифференциальным соотношением:
U§ = rf(U,A)r(U,A), A(U) = §, C.7.14)
где г — это правый собственный вектор (вектор-столбец) матрицы А, определенный
с точностью до скалярного множителя d. Собственное значение в простой волне из-
изменяется как A (U) = ?,. Это условие замыкает систему для определения U и d. При
реализации этого граничного условия нужно интегрировать уравнение C.7.14) по ?, от
?0 = A(U0), где Uo представляет дозвуковые величины внутри области, до ? = ?г = О,
т. е. до звуковой точки. Интересно посмотреть на описанный подход с точки зрения схе-
схемы Ошера. Можно видеть, что предложенная процедура подразумевает интегрирование
в фазовом пространстве переменных U от состояния в центре ячейки, примыкающей к
границе (или от состояния на внутренней стороне границы), до первой звуковой точки,
соединяющей внутренние параметры с состоянием на бесконечности. Другие звуковые
точки и, следовательно, другие возможные сегменты интегрирования игнорируются.
Рассмотрим этот подход в применении к газовой динамике. Выберем вектор неиз-
неизвестных величин, входящий в C.7.12), в виде U = [p,i/,v,w,с]т, где р — плотность,
и — компонента скорости, перпендикулярная Г, v и w — тангенциальные компоненты,
ас — скорость звука. Наименьшее собственное значение в этом случае есть А = и — с,
а соответствующий собственный вектор есть
где 7— показатель адиабаты. Система C.7.14) в этом случае принимает вид
d 0 0 G
^ ^ j § § j 2p u-c=%. C.7.16)
Ее можно точно проинтегрировать, так как ее инварианты суть
i=0. C.7.17)
258 Гл. 3. Уравнения газовой динамики
Таким образом, получаем
C.7.18)
Индекс 0 относится к величинам, принадлежащим внутренним точкам. На дискрет-
дискретной сетке это означает, что они берутся в центрах (или на левой стороне границы)
ячейки, примыкающей к границе области. Для сверхзвукового выхода, когда (м/сH > 1,
условия C.7.18) нужно дополнить условием
иг = и0.
Эти две группы условий взаимно совместимы и совпадают при ио = со. Отметим, что
здесь не понадобилось явное выражение для d, которое можно легко найти из второго
и пятого уравнений системы C.7.16).
Кроме точного вывода, основанного на соотношениях в волне разрежения, ниже
приводятся также приближенные формулы, имея в виду такие системы, для которых
точные соотношения не могут быть выписаны. Для этой цели вначале исключим d,
подставляя первое из уравнений C.7.16) в остальные. После этого получаем
cpt (у- \)cpt
uE = ^ v?=0, wB=0, сЕ = ^ u-c=%. C.7.19)
Теперь, аппроксимируя C.7.19) конечными разностями, приходим к следующим
соотношениям:
у-1
с =
Решение C.7.20) в этой аппроксимации отличается от C.7.18) только в энтропийном
инварианте и представляет собой его линеаризацию.
Так как соотношения C.7.18) и C.7.20) основаны на искусственном сдвиге звуковой
точки на внешнюю границу, полученные граничные условия будут только прибли-
приближенными. Для определения действительного влияния параметров внутреннего тече-
течения, нужно экспериментировать с положением внешней границы (Погорелов, Семе-
Семенов, 1996). Компромисс находится между ее положением "близко" к бесконечности или
наилучшим разрешением при использовании меньшей по величине расчетной области.
Применение метода, описанного в этом разделе, дает устойчивые результаты в отличие
от попыток прямого применения широкоизвестных неотражающих граничных условий
(Thompson, 1987).
3.7.3. Взаимодействие периодического звездного ветра с межзвезд-
межзвездной средой: численные результаты. Контуры постоянных логарифмов дав-
давления (ниже оси симметрии) и плотности, соответствующие начальным данным, при-
приведены на рис. 3.29а. Результаты показаны в полярной области с радиусами внутренней
3.7. СВ-ЛМС взаимодействие
259
lg p =0.977
1 max -ол.
lg р . =-7.824 — -
Igp =-0.049 Igp . =-9.210 Igp =-0.049 Igp . =-9.210
Igp =1.291
lgpma=™6.812
Igp =1.669
lgpmax=-7.131
Igp =1.805 Igp . =-9.210 Igp =1316 Igp . =-9.210
Igp =1.590
lgpmax=-7D13
Igp =1.408
lg pmax=-6.908
Igp =1.505 Igp . =-9.210 I Igp =0.979 lg/? . =-9.210
Igp =1.328
lgpmax=™7.601
Рис. 3.29. Изолинии давления и плотности, ^=0 (а), 20 (Ь), 36 (с), 60 (d), 84 (е) и 148 (f)
260
Гл. 3. Уравнения газовой динамики
Igp =1.266
1 max r r%rr
lg р . =-6.266,
\gp =0.903 Igp . =-9.210 \gp ^ =1.083 Igp . =-9.210
Igp =1.219
i max r гпл
lg p =-6.671 .- — -
min
Igp =1.185
lg pmax=-7.264
\%p =0.896
\%p . =-9.210
Igp =1.161
lgpmax=^7.419
=0.776
=-9.210
Рис. 3.30. Изолинии давления и плотности, 7=160 (а), 172 (Ь), 184 (с) и 192 (d)
и внешней окружности равными, соответственно, 14 и 560 AU. Здесь можно видеть все
особенности ударно-волновой конфигурации, показанной на рис. 3.28 (набегающий
поток ЛМС направлен слева направо).
Рассмотрим начальную стадию развития течения. Увеличение параметра К во вре-
времени приводит к удалению внутренней ударной волны от звезды. Волна сжатия пе-
пересекает внутренний скачок, приводя к появлению дополнительной нестационарной
ударной волны, движущейся к тангенциальному разрыву, разделяющему два потока
(см. рис. 3.29Ь). Эта ударная волна проникает через ее наветренную часть и движется
дальше к головной ударной волне. Так как плотность межзвездной среды с внешней
стороны тангенциального разрыва намного больше, чем плотность звездного ветра на
ее внутренней границе, скорость распространения ударной волны становится мень-
меньше. Ее интенсивность, кроме этого, падает из-за естественного радиального затухания.
Форма внутренней ударной волны существенно изменяется со временем (рис. 3.29c,d),
так как возмущения от звезды достигают ее в различные моменты времени. Ниспадаю-
3.7. СВ-ЛМС взаимодействие 261
щая часть периодического возмущения вызывает движение внутренней ударной волны
в обратную сторону — к звезде-эжектору. Это приводит к появлению дополнительных
областей раздела потока, возвратных зон и вихрей переменной величины в зоне следа.
На рис. 3.29е можно видеть очередную ударную волну, следующую за первой. Мож-
Можно также отметить увеличение отхода головной ударной волны. Позднее по времени
появляется последовательность вновь возникающих ударных волн (см. рис. 3.29f).
Интересно проследить поведение картины течения в пределах периода активности
звезды, достаточно удаленного от начального момента времени. Временная развертка
показана на рис. З.ЗОа-d. Видно, что в форме внутренней ударной волны устанавлива-
устанавливается вполне определенная периодичность. В то же время ясно, что эта форма очень от-
отличается от начальной и вряд ли когда-нибудь совпадает с каким-либо установившимся
решением в выбранном диапазоне изменения звездного ветра. Присутствие последо-
последовательности движущихся друг за другом ударных волн также является новой чертой
нестационарного течения.
Нужно отметить, что вычисления, проведенные на основе обработки новых данных
временных наблюдений (Baranov, Zaitsev, 1998) показывают, что вариации отношения
динамических давлений солнечного ветра и межзвездной среды не столь высоки, как это
было принято в приведенных выше результатах. В результате движение головной удар-
ударной волны мало существенно. Кроме того, амплитуда колебаний внутренней ударной
волны и, в особенности, гелиопаузы не столь велики, хотя качественно результаты оста-
остаются сходными. В любом случае, полученные результаты не дают никакого основания
считать, что осцилляции гелиопаузы могут привести к исчезновению головной ударной
волны, как это предсказывалось теоретически некоторыми авторами (Richardson, 1997).
Отметим, что в работе Baranov, Zaitsev A998) рассматривалась только наветрен-
наветренная область взаимодействия. На рис. 3.31 показаны результаты аналогичных расчетов
в замкнутой области вокруг солнца (Pogorelov, 2000a). Параметры потоков следую-
следующие: Яоо = 0.07 см, Foo = 25 км/с, Т^ = 5677 К, пе0 = 7 см, щ = пе0A + \ sincot),
Ve = Ve0 = 450 км/с, Те = Те0 = 0.8 х 106 К. Здесь пе, Ve ж Те — числовая плотность,
скорость и температура в солнечном ветре на расстоянии земной орбиты. Индексы
оо и 0 относятся, соответственно, к параметрам ЛМС ик/ = 0. Фигуры представляют
двумерные распределения плотности в полукруге с радиусом 978 AU для трех характер-
характерных моментов времени в пределах солнечного цикла. Видно, что движение внутренней
ударной волны вблизи наветренной точки торможения можно приближенно считать
квазистационарным. Это, однако, неверно, если речь идет о ее форме в целом. Боль-
Большинство мгновенных фигур не соответствует никаким стационарным распределениям
разрывов, полученным на основе параметров СВ внутри солнечного цикла.
Суммируя описанные результаты, можно сказать, что внутренняя ударная волна,
которая замедляет сверхзвуковой поток солнечного ветра на внутренней части гели-
гелиопаузы, испытывает заметные осцилляции. Их природа становится понятной, если
осознать, что возмущения даже сферически-симметричного солнечного ветра дости-
достигают внутренней ударной волны неодновременно для различных гелиовысот. Кроме
того, отклик TS на вариации солнечного ветра больше в подветренном направлении.
В результате поверхность TS совершает колебания с фазой и амплитудой, зависящи-
зависящими от полярного угла в системе координат, связанной с Солнцем. Нужно подчеркнуть,
однако, что присутствие нейтралов делает внутренний скачок не столь асимметрич-
асимметричным. 11-летние вариации солнечного ветра влияют также на форму гелиопаузы, хотя
262
Гл. 3. Уравнения газовой динамики
Рис. 3.31. Изменение картины разрывов в пределах солнечного цикла
3.7. СВ-ЛМС взаимодействие 263
амплитуда ее колебаний мала в диапазоне изменения параметров, которое было ранее
принято до измерений, сделанных космическим аппаратом Улисс, который завершил в
начале 1998 г. полный оборот вокруг Солнца по орбите, наклоненной к солнечному эк-
экватору под углом 80° и предоставил данные для трехмерного моделирования СВ-ЛМС
взаимодействия (Neugebauer, 1999).
С другой стороны, в солнечном минимуме СВ не является сферически симмет-
симметричным. Один из первых расчетов, учитывающих асимметричность солнечного ветра,
представлен в работе Tanaka, Washimi A999). Эти результаты подтверждают присут-
присутствие головной ударной волны в пределах солнечного цикла, несмотря на осцилляции
гелиопаузы. Во всех упомянутых здесь работах, однако, не учитывались нейтральные
частицы. Известно, что при этом число Маха перед TS становится существенно мень-
меньше, чем в чисто газодинамическом случае (Baranov, Malama, 1993). Уместно отметить,
что в этом случае температурные вариации солнечного ветра (включенные в модель
Pogorelov, 1995, но исключенные в модели Baranov, Zaitsev, 1998) могут оказаться бо-
более существенными. Причина этого довольно проста. Расстояние TS от гелиопаузы,
в основном, определяется числом Маха солнечного ветра перед ударной волной. Для
очень больших чисел Маха такая зависимость становится пренебрежимо малой. В то
же время солнечный ветер является гиперзвуковым именно при отсутствии нейтраль-
нейтральных частиц. Поэтому вариации температуры не могут сильно изменить расположение
разрывов. Это не так для меньших чисел Маха. К сожалению, информация о темпера-
температурных вариациях внутри солнечного цикла пока недоступна.
3.7.4. Взаимодействие солнечного ветра с неоднородной межзвезд-
межзвездной средой. Данные о структуре межзвездного облака, его морфологии и степени
ионизации (Frisch, 1994, 1996) приводят к заключению о возможности существенных
нестационарных явлений, которые могут быть вызваны неоднородностью межзвездной
среды. Эти явления непросто идентифицировать из-за их большой временной шкалы.
С другой стороны, 10-15% диффузной ЛМС содержит холодные плотные структу-
структуры с температурами порядка 50 К и плотностями частиц порядка 6 х 103-105 см~3 с
размерами 5-100 AU (Frisch, 1996). Ratkiewicz, Barnes, Spreiter A997) анализировали
влияние неоднородностей межзвездной среды на поток солнечного ветра в сферически-
симметричной постановке задачи. Zank, Frisch A999) провели двумерное моделирова-
моделирование взаимодействия солнечного ветра с межзвездной средой для случая, когда плотность
атомов водорода пи изменяется от 0.2 до 10 см~3. Было найдено, что гелиосферная по-
полость может существенно уменьшиться в размерах, причем отход гелиосферной (вну-
(внутренней) ударной волны может составить приблизительно 10-14 AU. При этом эта
ударная волна может исчезать и появляться вновь в процессе движения солнечной
системы через межзвездное облако.
В представленных ниже результатах присутствием нейтральных частиц пренебре-
гается и рассматривается только эффект изменения в плазменной компоненте ЛМС.
Для того чтобы остаться в рамках двумерной осесимметричной постановки задачи,
предполагается, что изменение плотности в межзвездном облаке происходит только
в направлении параллельном скорости межзвездной среды, т. е. возмущение является
плоским. Расчет проводится в полярной области между Rmin = 24 AU и Rmax = 1200 AU.
Граничные условия в солнечном ветре задаются при R = 1AU следующим образом:
пе — 1 см~3, Ve = 450 км/с, Ме = 10. Это позволяет найти все величины при R = ^min.
264
Гл. 3. Уравнения газовой динамики
-800-600-400-200 0 200 400 600 800 z
-800-600-400-200 0 200 400 600 800 z
-800-600-400-200 0 200 400 600 800 z
-800-600-400-200 0 200 400 600 800 z
Рис. 3.32. Изолинии плотности при t = 720 (a), t = 2160 (b), t = 2400 (с) и t = 3600 (d)
3.7. СВ-ЛМС взаимодействие
265
Здесь Ме — это число Маха в солнечном ветре на земной орбите. Скорость межзвездной
среды полагается равной Fqo = 25 км/с. При/ = 0 плотность ЛМС есть п^ = 0.07см~3,
аМхH = 2- Поскольку Voq = const, пространственное изменение плотности ЛМС можно
представить как нестационарное распределение при z = 1200:
Поо = ^ооО A + ? sin Я*/240) ,
C.7.21)
1200
где ? = 0.2 (распределение давления предполагается адиабатическим). Такая величи-
величина ? совместима с рассуждениями Frisch A994), касающимися диапазона изменения
концентрации водорода и степени
его ионизации в межзвездном об-
облаке. Нет никакой особенной при-
причины в таком выборе периода воз-
возмущения плотности, так как дан-
данные наблюдений не дают опреде-
определенной информации о типах воз-
возмущений. Введенное распределе-
распределение можно рассматривать как од-
ночастотную волновую компонен-
компоненту в разложении в ряд реального
распределения параметров в меж-
межзвездном облаке. Поэтому пред-
представленные ниже результаты дают
лишь качественный анализ влия-
влияния неоднородностей набегающе-
набегающего потока на общую картину те-
течения. В формуле C.7.21) вели-
величина t — это безразмерное вре-
время, отнесенное к 1 AU/Fqo ~
69.4 дней. Таким образом, пери-
период функции C.7.21) равен 91.3 лет
D80 в безразмерных единицах).
Период пространственной неодно-
неоднородности равен 480 AU.
Расчет проводится с исполь-
использованием равномерной полярной
сетки с 501 ячейкой в радиальном
направлении и 504 ячейками в уг-
1200
200 400 600 800 1000 1200
Рис. 3.33. Распределения плотности вдоль оси сим-
симметрии при t = 720 (a), t = 2160 (b) и t = 2400 (с)
ловом направлении. Шаг по времени выбирается достаточно малым (At — 0.025), для
того чтобы аккуратно разрешить временную эволюцию картины взаимодействия. Вы-
Вычислительная область встречает область вариации плотности при t = 0. Начальные
условия находятся для постоянных параметров потока с п^ = я^ и М^ = M^q с
использованием схемы типа Роу (Pogorelov, 1995). Эта начальная картина показана на
рис. 3.32а, где приводятся изолинии логарифмов плотности при t = 720, т. е. в мо-
момент, когда неоднородность приближается к головной ударной волне. Распределения
плотности вдоль оси симметрии показано на рис. 3.33. Можно видеть, что головная
ударная волна совершает колебания и ее интенсивность изменяется в пределах 60%.
266
Гл. 3. Уравнения газовой динамики
240
960
480
-480
-960
Рис. 3.34. Сетка, адаптированная к решению
Движение гелиопаузы в наветренном направлении не больше чем 16 AU. Воздействие
неоднородности межзвездной среды на всю форму поверхности гелиопаузы гораздо
более существенно. Ее изменение во времени показано на рис. 3.32c-d. Можно видеть,
что гелиопауза испытывает сильную гидродинамическую неустойчивость. В результате
сгустки горячей разреженной плазмы проникают из гелиослоя в область межзвездной
среды. Эти сгустки покидают вычислительную область, совершая вращательные движе-
движения. Также возникают дополнительные разрывы в слое между гелиопаузой и головной
ударной волной. Отклик гелиосферной ударной волны в подветренной области тече-
течения очень велик, что, по-видимому, связано с колебаниями гелиопаузы, приводящими
к изменению толщины гелиослоя в его боковой части. Несколько слов нужно доба-
добавить в этой связи об устойчивости гелиопаузы как поверхности, разделяющей два газа.
Как отмечено выше, анализ устойчивости таких поверхностей, сделанный Беловым,
Мясниковым A999), позволил классифицировать эту неустойчивость как конвектив-
конвективную. Она становится более выраженной при удалении от точки торможения потока,
если сеточное разрешение достаточно высоко. С другой стороны, Wang, Belcher A998)
(см. также несколько ссылок в этой работе) сообщали о неустойчивости гелиопаузы
в окрестности точки торможения потока. Уместно заметить, что такая неустойчивость
вполне может быть приписана численным эффектам. Одной из важных проблем, возни-
возникающих при проведении вычислений с использованием нелинейный численных схем
высокого разрешения, основанных на сквозном счете, является то, что эти схемы, хотя и
сохраняют монотонность функций, могут приводить к высокоамплитудным осцилляци-
ям разностных производных, если величина численной вязкости меньше определенного
предела (Остапенко, 1998). Эти осцилляции могут стимулировать численную неустой-
неустойчивость. Способ борьбы с таким явлением обсуждается в работе Pogorelov, Ohsugi,
Matsuda B000) и состоит применении энтропийной коррекции как к истинно нелиней-
3.8. Методы Годунова в релятивистской гидродинамике 267
ным, так и к линейно вырожденному характеристическим полям или, другими словами,
как в окрестности звуковых точек, так и в окрестности точек торможения потока. Ин-
Интересно отметить, что при решении той же задачи на грубой сетке (R х в = 99 х 116)
колебания гелиопаузы не приводят к проникновению солнечной плазмы в межзвездную
среду. Объяснением этого в данном случае является демпфирование колебаний схемной
вязкостью.
В этом разделе показано применение метода годуновского типа, основанного на ре-
решении линеаризованной задачи Римана (Roe, 1981a, 1981b) и использующего ограничи-
ограничитель наклонов (van Albada et al., 1982), для решения нестационарных осесимметричных
задач. В комбинации с эффективными внешними граничными условиями он позволяет
достичь высокой точности расчетов. Дальнейшее усовершенствование метода может
быть осуществлено путем введения подвижных сеток, подстраивающихся к разрывам.
На рис. 3.34 показан пример такой сетки, сгенерированной для решения задачи о СВ-
ЛМС взаимодействии (Pogorelov et al., 1998; Ivanov, Kryukov, Pogorelov, 1999).
3.8. Замечание о методах Годунова в релятивистской
гидродинамике
Рассмотренные в этой главе задачи решались с помощью уравнений газовой динамики
в ньютоновском приближении. Характерные скорости в этом случае гораздо меньше
скорости света. С другой стороны, ряд астрофизических задач характеризуется реля-
релятивистскими скоростями, и во внимание должны приниматься эффекты специальной и
общей теории относительности. Упомянем здесь только несколько работ, которые вне-
внесли вклад в развитие методов типа Годунова для решения уравнений релятивистской
гидродинамики. Marti, Miiller A994) получили точное решение задачи Римана в спе-
специальной релятивистской гидродинамике (СРГД). На основе этого метода в 1996 г. те
же авторы разработали СРГД-версию кусочно-параболического метода (РРМ). СРГД-
версия метода Роу была предложена в работе Eulderink, Mellema A995). Нужно также
упомянуть более ранние работы Marquina et al. A992), Schneider et al. A993), Dolezal,
Wong A995), Falle, Komissarov A996). Последние авторы распространили метод ENO
на СРГД. Так как этот список, конечно, является неполным, заинтересованный читатель
может обратиться к подробному обзору (Marti, Miiller, 1999).
Глава 4
Уравнения теории мелкой воды
В этой главе описаны явные методы сквозного счета принадлежащие типу Годунова,
которые построены для численного моделирования одномерных и двумерных тече-
течений жидкости в рамках уравнений теории мелкой воды. Указанные численные методы
основаны на решении одномерной задачи Римана о распаде произвольного гидроди-
гидродинамического разрыва для уравнений теории мелкой воды. Рассмотрены численные ме-
методы, основанные как на точном решении, так и на приближенных решениях задачи
Римана, которые используются схемами Куранта-Изаксона-Риса (КИР), Роу и Ошера-
Соломона. Методы типа Годунова позволяют учесть произвольный рельеф дна. Особое
внимание в главе уделено точному решению задачи о распаде произвольного разрыва.
Это связано с тем, что данное решение позволяет без регуляризации, в рамках схемы
сквозного счета, проводить прямое численное моделирование течений, в том числе как
с учетом сухого дна, так и процессов множественного нестационарного обмеления,
например, с образованием озер конечных размеров.
Течения в рамках уравнений мелкой воды характеризуются значениями числа Фруда
Fr, которое определяется как Fr = |v|/c, где v — скорость потока жидкости, с = ^/gh —
скорость распространения малых возмущений, h — глубина жидкости, a g—ускорение
свободного падения. В уравнениях теории мелкой воды число Фруда играет ту же роль,
что и число Маха в газовой динамике (Рождественский, Яненко, 1978). Использова-
Использование явных методов типа Годунова является предпочтительным для расчетов течений
жидкости при средних и больших значениях чисел Фруда, т. е. при 0.1 < Fr < 1 или
Fr > 1. Отметим, что такие течения могут включать в себя области, характеризующиеся
большими перепадами параметров потока, или гидравлические разрывы, в частности,
скачки (боры) или прыжки — аналоги газодинамических ударных волн (Stoker, 1957).
Описанные ниже численные методы позволяют адекватно описывать разрывы и при
этом сохраняют в их окрестности монотонность профилей сеточных величин. Заметим,
что явные численные методы, которые будут далее описаны, могут быть применены
также к расчету течений с малыми значениями чисел Фруда Fr ^С 1. Но в этом случае
их использование может стать неэффективным из-за чрезмерного ограничения на шаг
по времени из условия устойчивости Куранта-Фридрихса-Леви.
4.1. Системы уравнений
Нестационарная система уравнений теории мелкой воды (уравнения Сен-Венана), опи-
описывающая двумерные в плане движения жидкости, имеет вид
^ + div(Av)=0, D.1.1)
ot
dhv
-^— + div(Aw) +gAdiv(f I) = f. D.1.2)
at
4.1. Системы уравнений
269
Здесь h = h(t,x,y) — глубина жидко-
жидкости (рис. 4.1), t — время, (х,у) — де-
декартовы координаты на горизонтальной
плоскости, v = \(t,x,y) = [w,v]T — ско-
скорость течения жидкости усредненная по
вертикальной координате, g — ускоре-
ускорение свободного падения, Ъ = Ь(х,у) —
отметка рельефа дна, т. е. однозначная
функция задающая его рельеф, измерен-
измеренная относительно произвольного гори-
горизонтального уровня; величина ? = h+
+ Ъ — уровень (отметка) свободной по-
поверхности; I = diag[l,l] — единичный
тензор размерности 2x2, недифференциальный член f = [fi,f2]T, стоящий в правой
части уравнений, описывает действие внешних сил, например, силы Кориолиса или
трения. В частности, квадратичное трение задается формулой f = -yAv|v|, где ко-
коэффициент гидравлического трения Я равен, например, 2gn2h~1^, n — коэффициент
шероховатости дна по Маннингу (Киселев, 1950; Альтшуль, 1970; Вольцингер, Пясков-
ский, 1977).
Уравнения D.1.1) и D.1.2) описывают законы сохранения массы жидкости и со-
сохранения (изменения) ее импульса при условии постоянства плотности жидкости. В
развернутой форме система уравнений D.1.1), D.1.2) принимает вид
Рис. 4.1. Обозначения для уравнений теории
мелкой воды
dh dhu dhv
dhu
~dT
dhv
~dt
dx
¦ + ¦
dhvu
~~dx~
dhuv
\sh2)
dy
db
l^x~
db
D.1.3)
D.1.4)
D.1.5)
Течения жидкости, которые описываются в рамках теории мелкой воды, встреча-
встречаются на практике достаточно часто. Например, это распространение волн прорыва и
приливных бор в реках (Stoker, 1948), распространение волн цунами (Лятхер, Мили-
теев, 1974; Марчук, Чубаров, Шокин, 1983), течение в нижних бьефах гидроэлектро-
гидроэлектростанций (Лятхер, Милитеев, Тогунова, 1978), течения в водозаборниках, технических
сужениях и лотках (Stoker, 1957), атмосферные движения больших масштабов, исполь-
используемые при предсказании погоды (Spotz, Taylor, Swarztrauber, 1998; Gottelmann, 1999)
и т. д.
Уравнения теории мелкой воды могут быть выведены, в частности, из нестацио-
нестационарных трехмерных уравнений Эйлера или Навье-Стокса процедурой усреднения по
вертикальной координате. Различные способы вывода классических уравнений мелкой
воды и их обоснование могут быть найдены в ряде работ (см., например, Friedrichs, 1948;
Stoker, 1957; Лятхер, Милитеев, 1981; Овсянников, 1985; Макаренко, 1985). Выписаны
также уравнения многослойной мелкой воды, в которых рассматриваются течения, со-
состоящие из нескольких слоев. Эти слои получаются путем усреднения различных слоев
исходного трехмерного течения жидкости (Ляпидевский, Тешуков, 2000).
270
Гл. 4. Уравнения теории мелкой воды
Гладкие решения уравнений теории мелкой воды впервые были получены Б. Рима-
ном (Riemann, 1860). Гиперболическая система D.1.1), D.1.2) допускает существование
разрывных решений (разд. 1.4), которые могут возникать даже из первоначально глад-
гладких начальных данных, что впервые показал Б. Риман. Точное решение общего вида для
уравнений теории мелкой воды впервые построил Stoker A948,1957). Обобщение этого
решения на случай призматических русел дано Гладышевым A968). Решение задачи
о распаде произвольного гидродинамического разрыва для уравнений двухслойного
течения мелкой воды описаны Ляпидевским, Тешуковым B000).
Система уравнений D.1.3)-D.1.5) в одномерном случае принимает вид
dh_ dhu _
dhu d(hu2 + ^
dt dx
dhv dhvu
D.1.6)
_ db_
dt dx JT
В консервативной векторной форме уравнения D.1.6)—D.1.8) записываются как
D.1.7)
D.1.8)
dt dx
где
D.1.9)
D.1.10)
D.1.11)
D.1.12)
Эта система уравнений может быть записана также в неконсервативной (квазили-
(квазилинейной) форме
и =
F =
В =
[h,hu, hv]
[hu, hu2 +
?>U + d,
т
D =
huv]T,
0
-gbx
0
0
0
0
0
0
0
dv dv
~dt~+ ~dx~
где матрица^ = d?/d\J определяется как
А =
0 1 0
gh — u2 2u 0
—uv v и
D.1.13)
D.1.14)
Система D.1.6)—D.1.8) является гиперболической: матрица ее коэффициентов А
имеет только вещественные собственные значения и полную систему собственных
векторов. В этом случае эта матрица приводится к диагональному виду А = QRAQL,
где
10 1
и—с 0 и+с
v -I v
1
~2~с
с+и -1 0
2vc 0 -2с
с-и 1 0
D.1.15)
4.1. Системы уравнений
Л = diag[i/- с, г/, и + с],
271
D.1.16)
D.1.17)
В теории мелкой воды функция с описывает скорость распространения малых воз-
возмущений. Заметим также, что ?2R?\ = ^ и detQR = 2с. Матрицу А можно записать также
в виде
А =
О
1 О
с2-и2 2и О
—uv v и
D.1.18)
Наряду с системой уравнений D.1.9) выпишем расширенную систему уравнений,
которая записывается не относительно трех, а относительно четырех переменных //, /ш,
hv и Ь:
dh dhu
at
dhu
dhv dhvu
¦ + ¦
dt
dt
dx
= /2.
Эта система уравнений в неконсервативной форме имеет вид
dV ~d\J _~
dt дх ~ '
U = [А, Aw, hv, Z?]T, d = [0, fvf2, 0]T,
D.1.19)
D.1.20)
D.1.21)
D.1.22)
D.1.23)
D.1.24)
где матрица А равна
A =
0 10 0
с2 — и22и0 с2
—uv v и О
0 0 0 0
Система D.1.19)-D.1.22)является гиперболической, так как матрица^ имеет только
вещественные собственные значения и полную систему собственных векторов. Следо-
Следовательно, эту матрицу можно привести к диагональной форме А = QRAQL, где
10 1с2
и—с 0 и+с 0
v —1 v vc2
0 0 0 и2-с2
detQR = 2(>2-c2)c;
D.1.25)
272 Гл. 4. Уравнения теории мелкой воды
с+и -1 0 с2/(с-и)
2vc О -2с О
с-и 1 О с2/(с+и)
ООО 2с/(и2-с2)_
D.1.26)
Л = diag[i/ - с, г/, и + с, 0].
Из нестационарных двумерных уравнений теории мелкой воды D.1.1), D.1.2) полу-
получают гиперболическую систему уравнений, описывающую двумерные стационарные
сверхкритические, или бурные, течения мелкой воды. Численные методы Годунова для
такой системы уравнений будут рассмотрены в разд. 4.6.
При решении конкретных задач в рамках выписанных уравнений их нужно допол-
дополнить соответствующими начальными и граничными условиями. В частности, при t = 0
должны быть заданы /z(O,x,j) = ho(x,y) и v@,xj) = vo(x,j). При этом на границах
вычислительной области должны быть заданными граничные условия, которые, в част-
частности, могут быть определены в терминах потоков F D.1.11), заданы в форме уровня
свободной поверхности, в виде условий на непроницаемой границе, когда нормаль-
нормальная к стенке компонента скорости полагается равной нулю. Корректность постановки
граничных условий для уравнений мелкой воды исследована, в частности, в работе
Баклановской, Пальцева, Чечель A979), а для общего случая гиперболических систем
уравнений была ранее обсуждена в разд. 2.8, см. также Нажесткина, Русанов A980).
4.2. Метод Годунова для уравнений теории мелкой воды
О численных методах для уравнений мелкой воды. Для решения уравнении теории
мелкой воды могут быть применены численные методики, первоначально созданные
для решения уравнений газовой динамики. Такой подход является достаточно есте-
естественным, так как уравнения теории мелкой воды для горизонтального дна аналогичны
течениям баротропного газа с показателем адиабаты равным 2, т. е. когда давление
газа пропорционально значению плотности в квадрате. В частности, локальная схема
Лакса-Фридрихса (Русанов, 1961), была применена Лятхером, Милитеевым, Тогуно-
вой A978) для численного анализа водоворотных потоков в каналах с расширением
и растекания сверхкритического потока по наклонной плоскости. Схема Мак-Кормака
(MacCormack, 1969) была использована для моделирования течений в каналах с кри-
криволинейными стенками (Pandolfi, 1975). По аналогии с газовой динамикой Алалыкин
и др. A970) построили неявную конечно-разностную схему с выделением разрывов
для решения одномерных уравнений теории мелкой воды с горизонтальным дном.
Инвариантные разностные схемы, развитые для газовой динамики Шокиным A973),
а также Шокиным, Яненко A985), были применены и для решений уравнений тео-
теории мелкой воды (Федотова, 1978). Универсальная разностная схема сквозного счета
для уравнений мелкой воды, позволяющая рассчитывать области обмеления и сухого
дна построена Лятхером и др. A982, 1986). Метод случайного выбора (Glimm, 1965;
Chorin, 1976, 1977; Concus, Proskurowski, 1979) был применен для решения уравне-
уравнений мелкой воды (Marshall, Mendez, 1981; Marshall, Menendez, 1981). Разностная схема
Куранта-Изаксона-Риса была применена для моделирования уравнений мелкой воды
(Papa, 1984). Явный метод Годунова для уравнений мелкой воды, основанный на точ-
4.2. Метод Годунова для уравнений теории мелкой воды 273
ном решении задачи о распаде произвольного гидродинамического разрыва, с учетом
рельефа дна реализован, по-видимому, впервые Семеновым A983), а затем был развит
в работах Беликова, Семенова A985,1988,1997а). Газодинамический метод Стеджера-
Уорминга (Steger, Warming, 1981) модифицирован для уравнений мелкой воды в работе
Евсеева, Шония A990). Схема Роу (Roe, 1981 а, 198 lb), созданная для газовой динамики,
была адаптирована для уравнений теории мелкой воды (Glaister, 1991, 1995) и широко
используется для моделирования различных типов течений, в частности, на неструк-
неструктурированных треугольных сетках (Garsia-Navarro, Hubbard, Priestley, 1995; Hubbard,
Baines, 1997), в каналах со сложной геометрией (Vazquez-Cendon, 1999).
Приведем также список нескольких работ, которые содержат современные обзоры
численных методов и их сравнительный анализ на различного рода тестах и практи-
практически важных задачах уравнений теории мелкой воды. В частности, Aurelli, Mignosa,
Tomirotti B000) рассмотрели современную формулировку метода Мак-Кормака с эле-
элементами TVD-схем; Delis, Skeels, Ryrie B000a) изучили четыре различных численных
схемы для решения уравнений теории мелкой воды, а именно: две модификации схе-
схемы Лакса-Фридрихса и модификации схем Роу и HLLE (Harten, Lax, van Leer, 1983;
Einfeldt, 1988; Einfeldt et al, 1991); в работе Delis, Skeels, Ryrie B000b) изучены три
различные TVD-схемы с элементами неявности; Khan B000) описал особенности при-
применения конечно-элементных подходов при решении уравнений теории мелкой воды;
Mingham, Causon B000) изучили применение схем HLL (Harten, Lax, van Leer, 1983)
и Роу, имеющих второй порядок точности, при использовании различных ограничите-
ограничителей в расчетах наклонов кусочно-линейных распределений сеточных функций внутри
ячеек. Упомянем также сравнительный обзор Neta, DeVita A988) и недавно вышедшую
монографию Того B001).
Метод Годунова. Интегральная форма уравнений D.1.1), D.1.2) такова
"dL = 0> D'2Л)
hvdG) + lhvvndL+\glh2ndL + g [f hVbdG = [[ fdG. D.2.2)
) Jl Jl JJg JJg
4- ( [[
dt \J Jg
Здесь G—это конечная область на плоскости (х,у), dG — dxdy—элемент площади, L —
граница области G, dL — элемент длины границы; vn = v • п, где n — внешняя нормаль
к dL, V = [д/дх, д/ду]Т, а р • q обозначает скалярное произведение двух векторов р и q.
Для построения схемы Годунова для уравнений D.2.1), D.2.2), записанных в инте-
интегральной форме, применим метод конечных объемов, который также называют интегро-
интерполяционным методом (Самарский, Попов, 1992). Для этого покроем всю вычис-
вычислительную область ячейками, состоящими из произвольных выпуклых конечных мно-
многоугольников с площадями G/9 где / = 1,2,..., и с числом сторон т = m(i), каждая из
которых имеет длину L- и внешнюю нормаль п -, где j — 1,2,..., m(i). Аппроксимируем
интегральные уравнения на каждом из многоугольников следующим образом:
Ь _ Uk m(i)
Gt l Kf l + X №?),- = 0, D.2.3)
At J=l
+ X(HVVnL); + igX И" - (hjJ]("Lh = G$, D-2.4)
7=1 7=1
274
Гл. 4. Уравнения теории мелкой воды
где Vn = V • n, a At — шаг по времени. Нижний целый индекс / в уравнениях D.2.3) и
D.2.4) обозначает величины сеточных функций, отнесенные к центру масс /-го много-
многоугольника, а нижний целый индекс у обозначает величины сеточных функций, отнесен-
отнесенных к центру у'-й стороны сеточной ячейки. Верхний целый индекс к обозначает номер
шага по времени. Соответствующие большие буквы в формулах обозначают глубину Я
и скорость V на границах дискретных ячеек. Такие "большие" величины вычисляются
из решения соответствующей задачи Римана для уравнений теории мелкой воды на
границах дискретных ячеек. Коэффициент а задает способ аппроксимации по времени
для члена системы уравнений, учитывающего рельеф дна. Аналогично коэффициент
/1 задает аппроксимацию по времени для недифференциального члена f в разностных
уравнениях. В частности, в рассмотренных далее численных расчетах, трение учиты-
учитывалось по формуле f = — yAv|v| при Я = 2gn2h~1^ следующим образом:
(/?+1L/3
D.2.5)
Напомним идею численного метода Годунова на примере одномерной задачи. Рас-
Рассмотрим две соседние ячейки с номерами ix и /2 и общей границей с номером у
(рис. 4.2а). Будем считать, что скорость v и уровень свободной поверхности ? = h + b
внутри каждой из таких ячеек являются кусочно-постоянными функциями, а рельеф
дна описывается кусочно-линейной непрерывной функцией. Это позволяет вычислить
значения глубины h1- и Щ и скорости v^ и v^ на левой (Z) и правой (R) сторонах у'-й
границы. Используем затем найденные значения как начальные данные для решения за-
задачи о распаде произвольного разрыва и нахождения величин Я и V на границе ячейки.
Следует отметить, что вычисления Я • и V • для точного решения о распаде произволь-
произвольного разрыва могут быть выполнены без какого-либо ограничения, в том числе и для
случаев когда оба значения h1- или hj равны или близки к нулю, т. е. когда ячейка не
полностью заполнена водой. Это связано с тем, что решение задачи Римана существует
и для этих случаев.
В двумерном случае начальные глубины потока и значения скоростей для решения
задачи Римана вычисляются в центре у'-й стороны многоугольника. При этом вектор
К
Iff
Рис. 4.2. Выбор распределений сеточных функций внутри дискретных ячеек
4.2. Метод Годунова для уравнений теории мелкой воды 215
скорости решения равен V = [U, V]T, где U — компонента скорости вдоль нормали к
границе ячейки, а V — тангенциальная компонента. Отметим, что если в двумерных
расчетах требовалось определение уровня свободной поверхности, то она вычислялась
обычно в вершинах дискретной ячейки.
В уравнении D.2.2) рельеф дна учитывался по формуле
--IL
hVb dG~-±gY А/П X .. D.2.6)
G J=l
Выведем ее следующим образом. Рассмотрим значения h на каком-либо из шагов по
времени. Пусть внутри каждой из дискретных ячеек ? = const. Тогда, полагая b= ? — h
и используя теорему Гаусса, получим
П
dG = g II AV(f -h)dG= -g 11 hVh dG = -g 11 \^h2 dG =
ndL^-\gJj
7=1
Одно из важнейших свойств такой аппроксимации заключается в том, что решение,
соответствующее равновесному положению жидкости v = 0 и ? = const, является также
решением построенных разностных уравнений D.2.3) и D.2.4) (Семенов, 1983; Беликов,
Семенов, 1985). Может также оказаться полезной характеристически согласованная
аппроксимация свободного члена (LeVeque, 1998; Hubbard, Garcia-Navarro, 2000).
Полученная разностная схема устойчива на равномерной прямоугольной сетке при
условии
тах(|Сх| + \СУ\) < тах|Сх| +max|Cv| < 1, D.2.7)
где Сх и Су — числа Куранта, соответственно, для осей х и у:
Здесь АхиАу—шаги равномерной сетки вдоль соответствующих направлений. Условие
D.2.7) можно следующим образом обобщить на сетки, состоящие из произвольных
выпуклых многоугольников (Беликов, Семенов, 1997b):
1
/ 2G7
At<l, Vn=\-n.
Для равномерной прямоугольной сетки и постоянной скорости потока этот критерий
дает условие устойчивости D.2.7).
Выписанная выше схема является схемой первого порядка точности по времени и
по пространству. Точность схемы может быть повышена путем применения ряда ранее
рассмотренных методик (разд. 2.5 и 2.7). Применение более высокого порядка точности
может стать необходимым по следующим причинам. Когда сетка является существенно
неравномерной по пространству, то, как упоминалось выше в разд. 3.2, схема пер-
первого порядка точности может давать решения с неприемлемо большими численными
276
Гл. 4. Уравнения теории мелкой воды
ошибками: ошибка может быть в этом случае порядка единицы (Иванов, Крайко, 1978;
Русанов, Безменов, Нажесткина, 1984, 1986). Схема первого порядка обладает также
значительной численной вязкостью, которая может заметно "размазывать" профили
сеточных функций в области гладких течений, особенно в областях волн разрежения.
Порядок точности численного метода по пространственной координате можно уве-
увеличить применением тех или иных интерполяционных алгоритмов. Пусть функции
и и h внутри каждой из дискретных ячеек описываются линейными функциями (см.
рис. 4.2Ь). Тогда величины /zL, /zR, uL и uR можно вычислить на левой и правой сторонах
границ со вторым порядком точности по пространственным переменным. При этом
линейное распределение скорости и отметок свободной поверхности внутри каждой
из ячеек может быть построено применением алгоритмов реконструкции, описанных
ранее в разд. 2.7. Что касается повышения порядка точности по времени, то оно произ-
производится применением методов типа предиктор-корректор (разд. 2.5 и 2.7).
Заметим, что кусочно-линейная
аппроксимация уровня свободной по-
поверхности применительно к уравне-
уравнениям теории мелкой воды, являет-
является более естественной по сравнению
с кусочно-постоянной аппроксимаци-
аппроксимацией. Это становится особенно замет-
заметным при расчетах стационарных мел-
мелководных течений с существенно на-
наклонным дном, когда tan 8 > 2h/Ax,
где 5 — угол наклона дна. В этом
случае численное решение, получен-
полученное схемой первого порядка, облада-
обладает нефизическими разрывами и пуль-
сационным режимом обмеления (см.
рис. 4.3). При этом в расчетах не на-
наблюдается установления стационар-
стационарного течения. Применение схемы вто-
второго порядка по пространству позволяет проводить расчеты такого рода стационарных
течений (Беликов, Семенов, 1997а, 1997b).
Для построения методов Годунова на произвольных подвижных адаптивных сетках
могут быть использованы подходы, описанные ранее для уравнений газовой динамики
в разд. 2.9 и 3.5.
Рис. 4.3. Кусочно-постоянная и кусочно-линейная
аппроксимации отметок свободной поверхности
мелкой воды
4.3. Точное решение гидродинамической задачи Римана
Построение точного решения задачи Римана для уравнений теории мелкой воды прове-
проведем на основе подхода Дж. Дж. Стокера (Stoker, 1948,1957). Важным свойством точного
решения является его универсальный характер. А именно, оно позволяет учитывать ре-
режимы обмеления и не требует применения специального алгоритма для выделения
границ такого рода течений или регуляризации, когда, например, глубину меньше неко-
некоторой малой величины е > 0 полагают искусственно равной е.
При построении решения будем следовать логике построения точного решения,
4.3. Точное решение задачи Римана 277
использованной ранее для уравнений газовой динамики в разд. 3.3. Сначала построим
базовые элементарные решения, а точное решение общего вида будет строится на
основе их комбинации.
4.3.1. Элементарное решение 1: гидравлический скачок (бор). Пер-
Первое элементарное решение уравнений теории мелкой воды — это движущийся разрыв.
Рассмотрим интегральную форму уравнений теории мелкой воды D.1.9)
<?(XJdx-Fdt) = [[Bdtdx, D.3.1)
Jr J Je
где Г — конур, ограничивающий конечную область интегрирования 0 на плоскости
(х, t). Проводя выкладки, аналогичные выводу формулы B.2.14), получаем соотношения
на разрыве в виде
0, D.3.2)
где W = const — это скорость движения разрыва. Здесь использовано обозначение
{q} = qx — q2, где индексы 1 и 2 обозначают переменные, соответственно, слева и
справа от разрыва.
Пусть Uj = [/zpi/^vj1, U2 = [h2, z/2,v2]T и b постоянны. Однородные состояния Uj
и U2, каждое по отдельности, удовлетворяют уравнению D.3.1). Из уравнения D.3.2)
находим следующие формулы, которые связывают величины Uj, U2 и W на движущемся
разрыве:
W{h}-{hu} = 0, D.3.3)
W{hu] - {hu2+±gh2} = 0, D.3.4)
W{hv] - {huv} = 0, D.3.5)
где и и v — компоненты вектора скорости вдоль осей х и у.
Если эти условия выполнены, то рассматриваемый движущийся разрыв является
формальным решением уравнения D.3.1) при Ъ — const. Введем в рассмотрение новую
переменную V — u — W. Величина V представляет собой скорость потока жидкости в
системе координат, связанной с движущимся разрывом. Используя соотношение {W} =
= 0 и выражение для V, перепишем D.3.3)-D.3.5) в виде
D.3.6)
= 0, D.3.7)
{hvV} = 0. D.3.8)
Предположим, что поток массы жидкости через разрыв т = hV = hxVx = h2V2 не
равен нулю. В этом случае имеет место "гидравлический скачок", для которого выпол-
выполняется условие
{v} = v1-v2 = 0. D.3.9)
Случай нулевого потока массы жидкости т = hV = 0 соответствует тангенциально-
тангенциальному разрыву и будет рассмотрен отдельно.
278 Гл.4. Уравнения теории мелкой воды
Заметим, что разрывы удовлетворяющие соотношениям D.3.6)-D.3.8) называют
также ударными волнами или просто скачками, хотя такое явление больше известно
в гидромеханике жидкости под названием "бора" или, если оно стационарно, то под
названием "гидравлического прыжка" (Stoker, 1957).
Уравнения D.3.6), D.3.7) позволяют получить компактные выражения для значений
и2 и h2 как функций hx,ux и W. Из соотношения D.3.6) получаем
Используя это соотношение и уравнение D.3.7), получаем выражение для
Из уравнения D.3.6) следует, что {т} = 0. Следовательно,
i = hV = h1Vl= ±sj\g{hx+h2)hxh2.
Знак перед квадратным корнем следует выбрать таким образом, чтобы имел место
гидравлический скачок с возрастающим значением //, т. е. глубина жидкости h за гид-
гидравлическим скачком должна превосходить ее глубину перед ним. Это условие впервые
было сформулировано Рэлеем (Stoker, 1957). Оно используется для отбора физически
приемлемого решения по аналогии с принципом возрастания энтропии (или давления
при выполнении теоремы Цемплена) за ударной волной в газовой динамике (Рожде-
(Рождественский, Яненко, 1978).
Дадим энергетическую интерпретацию условия Рэлея. Вычислим разницу АЕ в
потоке полной энергии массы жидкости, проходящей через разрыв за время At, в системе
координат, связанной с разрывом. Получаем
{hV2 + \gh2} = ЩУ2} + ЩУ2} + Vi{h} +gh{h} = 0,
АЕ = {^v
Из соотношения D.3.7) следует, что
ЩУ} +
где h = j (hl + h2) и У2 = \ (У2 + У2). Отсюда получаем
Щ2- Щу2} =
т2 2\
Следовательно,
АЕ = —v_2o У At.
Ahh\h22
Таким образом, условие Рэлея
{h2-hx)m>0 D.3.10)
4.3. Точное решение задачи Римана
279
1ц щ
."V
Рис. 4.4. Схемы нестационарных течений; (g) — это гидравлический скачок или волна Римана,
О — тангенциальный разрыв
эквивалентно условию уменьшения полной механической энергии жидкости или ее
необратимой диссипации на фронте бора, которая, в частности, имеет место из-за теп-
тепловых потерь на нагревание жидкости из-за турбулентности.
Дадим описание всех возможных конфигураций гидравлических скачков.
Левый гидравлический скачок (бор)
Будем называть гидравлический скачок левым, если поток жидкости через него вдоль
оси х направлен слева направо (рис. 4.4а), т. е. т = {и - W)h > 0. Обозначим параметры
потока слева от данного скачка через \ и м1э а справа от него — через кии (рис. 4.4а).
Используя соотношение {mV+ jgh2} = 0, см. D.3.7), получаем следующее уравнение,
связывающее кии при h > /z::
и-щ + g-
= 0,
D.3.11)
280 Гл.4. Уравнения теории мелкой воды
В рассмотренном течении выполнены неравенства
ul-cl>W>u-c, D.3.12)
или Vl — Cj >0 и V — с < 0. Отсюда следует, что характеристики одного из семейств
подходят к скачку с обеих его сторон.
Правый гидравлический скачок (бор)
Гидравлический скачок назовем правым, если поток жидкости через него вдоль оси
х направлен справа налево (рис. 4.4Ь), т. е. m = (u- W)h < 0. Обозначим параметры
потока слева от скачка через h и г/, а справа от него — через йп и мп (рис. АЛЬ).
Применяя соотношение {rnV+ jgh2} = 0, получаем уравнение связывающее //иг/ при
h>hu:
Dзлз)
В рассмотренном течении выполнены неравенства
и + с> W>uII + cII, D.3.14)
или V + с > 0 и Fn + Cjj < 0. Отсюда следует, что характеристики одного из семейств
подходят к скачку с обеих его сторон.
Гидравлический скачок является автомодельным решением относительно перемен-
переменной г\ = x—Wt, где W = const. Это решение может быть также автомодельным отно-
относительно переменной ? = x/t, если движение разрыва задается уравнением х = Wt.
Заметим, что такой автомодельный разрыв в координатах (x,t) представляется прямой
линией, задаваемой уравнением ? = W = const.
4.3.2. Элементарное решение 2: тангенциальный разрыв. Следую-
Следующим элементарным решением уравнений мелкой воды является, так называемый, тан-
тангенциальный разрыв. Он представляет собой специальный случай разрыва движущего-
движущегося со скоростью W — и — const. Отсюда следует, что поток массы газа через него будет
нулевым, так как m — hV — hxVx — h2V2 = 0. Обозначим значения переменных слева и
справа от тангенциального разрыва через hl,ul,vln h2, г/2, v2. Тогда из формул D.3.6),
D.3.7) получаем, что их — и2 — иипх = h2 = //, а из соотношений D.3.8) следует, что vx
и v2 могут быть при этом произвольными.
4.3.3. Элементарное решение 3: волна Римана. Уравнения теории мел-
мелкой воды также имеют непрерывно-дифференцируемые элементарные решения. Они
могут быть найдены из системы уравнений D.1.6)—D.1.8), записанной в неконсерватив-
неконсервативной квазилинейной форме при условии, что дно является горизонтальным ф = const)
nf=0:
ht + uhx + hux = 0, D.3.15)
ut + uux + ghx = 0, D.3.16)
= 0. D.3.17)
4.3. Точное решение задачи Римана 281
Будем искать гладкое решение в автомодельном виде f(x,t) = /(?) = f(x/t). Под-
Подставляя h = //(?)? w = u(%) и v = v(?) в уравнения D.3.15)—D.3.17), получим систему
уравнений
(и-?)й§+/ш§=0, D.3.18)
gA§ + (n-§)n§ = 0, D.3.19)
(n-§)v§=0. D.3.20)
Система D.3.18)-D.3.20) допускает существование ненулевого решения для h^,u^ и v^
при условии, что детерминант этой системы равен нулю. Это будет иметь место при
выполнении одного из трех независимых условий: и — ^ = 0, и — ^ = ±y/gh. Обозна-
Обозначим эти случаи, соответственно, номерами I, II и III и рассмотрим каждый из них по
отдельности.
Случай I:
и-1;= 0, // = 0, й§=0.
Точное решение для этого случая имеет вид и = Е, и h — 0. Здесь функция v является
произвольной. Такое решение является формальным и не имеет физического смысла,
так как h = 0.
Случай II:
= 0,
v =0 => v = const. D.3.21)
В этом случае второе уравнение эквивалентно соотношению {и + 2с) ^ = 0, или wL =
= и + 2с = const, где величина wL называется левым инвариантом Римана.
Случай III:
и + с— ^ = 0, c=y/gh,
ghr — си* — 0,
v^ = 0 => v = const. D.3.22)
Из уравнений следует, что wR = и — 2с = const, где wR — правый инвариант Римана.
Левая волна Римана
Будем называть волну Римана левой, если поток жидкости через нее вдоль оси х на-
направлен слева направо (рис. 4.4с), т. е. т = (и — t; )h > 0. Это подразумевает, что в волне
выполнены соотношения
и-с=|, D.3.23)
wL = и + 2с = const. D.3.24)
282 Гл.4. Уравнения теории мелкой воды
Действительно, m = (г/ — ?, )h = he > 0. Обозначим параметры потока слева от данной
волны Римана через \ и г/:, а справа от нее — через //иг/ (рис. 4.4с). Тогда, используя
уравнение D.3.24), получим следующее уравнение для //иг/:
D.3.25)
Правая волна Римана
Назовем волну Римана правой, если поток жидкости через нее вдоль оси х направлен
справа налево (рис. 4.4d), т. е.т= (и — ^ )/г < 0. В этом случае в волне Римана выполнены
соотношения
D.3.26)
wR = и - 2с = const. D.3.27)
Действительно, m — {u — ^)h — —he < 0. Обозначим параметры потока слева от
данной волны Римана через h и г/, а справа от нее — через /гп и г/п (рис. 4.4d). Тогда
уравнение D.3.27) позволяет получить следующее соотношение для //иг/:
0. D.3.28)
4.3.4. Точное решение общего вида. Точное решение задачи Римана для
уравнений теории мелкой воды с горизонтальным дном состоит из элементарных ре-
решений, которые отделены друг от друга областями с постоянными значениями парамет-
параметров, так как такие состояния также являются точными решениями уравнений теории
мелкой воды. Напомним, что к гидравлическому скачку (ГС) характеристики одного из
семейств подходят к нему с обеих его сторон. Поэтому если в решении есть скачок,
то в этом решении не может быть волны Римана (ВР), распространяющейся по жид-
жидкости в эту же сторону из-за противоречия между соотношениями D.3.12) и D.3.23)
или D.3.14) и D.3.26). Следовательно, в каждую из сторон от тангенциального разрыва
(ТР) идет либо гидравлический скачок, либо волна Римана (см. рис. 4.4е). Заметим, что
правые и левые значения в начальных данных в постановке задачи Римана могут быть
выбраны таким образом, чтобы точное решение имело одиночные ГС, ТР или ВР, см.
рис. 4.4a-d, или двойные их конфигурации. Например, Stoker A948, 1957) исследовал
систему уравнений теории мелкой воды при условии v = 0. В этом случае в решении
отсутствует тангенциальный разрыв.
Построенное выше точное решение является автомодельным относительно пере-
переменной Е, = x/t. Указание на то, что точное решение задачи Римана следует искать в
виде /(§), связано с заданием кусочно-постоянных начальных данных. Автомодельное
решение для уравнений теории мелкой воды является единственным.
Заметим, что вычисление глубины h в центральной зоне для общего случая, изоб-
изображенного на рис. 4.4е, может быть проведено на основе решения единственного нели-
нелинейного уравнения. Вычитая уравнение D.3.13) (или, соответственно, D.3.28)) из урав-
уравнения D.3.11) (или, соответственно, D.3.25)) и, исключая величину г/, получаем следу-
следующее уравнение для h:
=fI(h,h1)+f1I(H,h1I) = uI-un, D.3.29)
4.3. Точное решение задачи Римана
283
о
-2с,
-2сп
-1(с +с )
'F(c)
I
I
.. .1. ......
I
I у^
/У
1//F
// /
1 >^/ х ^
.у*<\ /X...*•......
/
А
/
/
с
Рис. 4.5. График F(c) для случая ст < сп
fn=fn(h,hn) =
при А > Аи,
n = l или П.
при А < Аи,
Можно переписать D.3.29) в более компактной форме введением переменных с =
д/gA, Cj = \/Ф\ и сц = \[Ф\\ (Беликов, Семенов, 1985, 1997а):
F(c) =
D.3.30)
(с- сп)(оп+
при
оп = с/сп> 1,
При <7я < 1,
где я = I или я = II, а си = \/ghn.
Уравнение D.3.30) справедливо для случаев сп > 0, где п = \ или П. Если с: = 0 или
сп = 0, то в этом случае существует единственная волна Римана, которая удовлетворяет
соотношению D.3.25) или, соответственно, D.3.28). Таким образом, решение задачи
Римана может быть сведено к решению одного уравнения D.3.30) для с. Обозначим это
решение через Ъ. Рис. 4.5 иллюстрирует поведение функции F(c).
Аналитические вычисления показывают, что dF/dc > 0 и d2F/dc2 > 0, так как
г-2
дс
при ап = с/сп > 1,
при оп < 1,
284 Гл.4. Уравнения теории мелкой воды
при о„ = с/с„>1,
дс2 \
^ 0 при оп < 1.
Такое поведение производных показывает, что функция F(c) является монотонной
и выпуклой вниз. Вследствие этого для численного решения уравнение D.3.30) мо-
может быть применен итерационный метод Ньютона, см., например, Ortega, Rheinboldt
A970), Бахвалов A975), Kahaner, Moler, Nash A989). При этом положительность первой
и второй производных обеспечивают сходимость ньютоновских итераций при подходя-
подходящем выборе начального приближения. Например, можно использовать итерационный
процесс
Здесь /77 = 0,1,2,... — порядковый номер итерации, ас0 — начальное приближение.
В силу положительности второй производной, в качестве с0 > 0 может быть выбрано
любое положительное число удовлетворяющее условию F(c°) — (щ — г/п) > 0. Одна-
Однако наиболее приемлемым начальным приближением следует считать линейное, или
акустическое, приближение
со = i(wi-«ii) +j(ci + ch)j D.3.31)
где с0 является точным решением D.3.30) в случае с < сх и с < сп. При этом с0 лежит
правее точного решения (рис. 4.5), что обеспечивает монотонную сходимость к нему
метода Ньютона.
Для повышения скорости вычислительной процедуры при практической реализа-
реализации численного метода использовался тот факт, что 1 < q = 1 + о~2 < 2 при оп > 1.
Это позволяет для вычисления y/q использовать наилучшую трехчленную аппроксима-
аппроксимацию y/q « q0 = 0.443451 + 0.629462g- 0.072268g2, которая дает максимальную отно-
относительную ошибку 0.00066. При необходимости уточнение результата производилось
использованием одношаговой процедуры Ньютона: y/q « qx — \ (q0 + q/q0). Таким об-
образом, максимальная ошибка уменьшалась до величины 3 х 10~7, которая уже более
чем достаточна для точности вычисления любого решения задачи Римана.
После вычисления значения с, находим //иг/:
с2 ,
— 5 — 9 Т '^ ТТ '^ тТТ V 5 ТТ / чЛ \ ^ 5 Т / *
g
Приведенное уравнение для и получается суммированием уравнений D.3.11) и
D.3.13) или, соответственно, уравнений D.3.25) и D.3.28).
Для левого гидравлического скачка D.3.11) получаем выражение \тх\ = (щ — }
Следовательно,
4.3. Точное решение задачи Римана 285
Для левой волны РиманаD.3.25) выполнено
С1 = С\ + Т (Ul ~ U) (WL = const) •
Отсюда следует, что левая волна Римана на плоскости (х, t) ограничена лучами Wl =
= Mj — Cj и ^j* = u — Cj, см. рис. 4.4c. Обозначим параметры решения внутри волны
Римана на луче ^*, где Wl<?>* < Wf, через А* и г/*, т. е. А* = А(^*) и г/* = г/(^*). Для
этого случая будут выполнены следующие соотношения:
D.3.32)
Таким образом,
с* = |С, + 1(«1-Г), D3.33)
А* = ^^, D.3.34)
D.3.35)
Для правого гидравлического скачка D.3.13) получаем |аип| = — (мп -
довательно,
g(hll + h)huh, Wu = uu + ^ = «ц + C)/l(l + og).
Для правой волны Римана D.3.28) выполнено
С11 = С11 ~ \ (WII ~ U) (WR = COnSt)'
Отсюда следует, что правая волна Римана на плоскости (x,t) ограничена лучами
Wu = Mjj + Cjj и Wn = м + cjj (рис. 4.4d). Обозначим параметры решения внутри волны
Римана на луче ?*, где Жд < ^* < Жп, через А* и г/*, т. е. А* = А(?*) и г/* = м(^*). Для
этого случая будут выполнены следующие соотношения:
г/* + с* = ^*,
u*-2c* = uu-2cu. D.3.36)
Таким образом,
c* = ±cn + ±(Z*-un), D.3.37)
А* = -^-, D.3.38)
г/* = ^*-с*. D.3.39)
Все возможные случаи и конфигурации точного решения суммированы в таблице 4.1
(Беликов, Семенов, 1985, 1997а). В ней решение для произвольного луча ^ в плоско-
плоскости (x,t), где — оо < ^ < +оо, обозначено через Z = Z(^) = [A(^),i/(^),v(^)]T. Таким
286
Гл. 4. Уравнения теории мелкой воды
Таблица 4.1. Конфигурации точного решения задачи Римана о распаде произвольного гид-
гидродинамического разрыва
Тип течения
Гидравлический
скачок (ГС)
Волна
Римана (ВР)
Левая сторона
Если и > % и с > с:, то
^ = ^-^A + ^2),^ = ^,
Wl — скорость ГС.
Если ? > Wl9 то
Если ? < Wb то
Z = [/zpWpvJ1.
Если г/ > ^ и с < с:, то
— границы ВР.
Если^ >Ж:*,то
Z = [//,i/,v:]T.
Если ^ < Ж:, то
см. формулы D.3.33)-D.3.35).
Правая сторона
Если и < % и с > сп, то
Жп — скорость ГС.
Если ^ < Жп, то
Если ? > Жп, то
Z = [An,nn,vn]T.
Если г/ < ?, и с < сп, то
Жп = мп+сп и Жд = г/+4
— границы ВР.
Если^ < W?, то
Z = [//,^,vn]T.
Если ?, >JVU, то
Z = [An,nn,vn]T.^
Z = [//*,i/*,vn]T,
см. формулы D.3.37)-D.3.39).
образом, используя эти результаты, можно всегда определить величины //, и и v на про-
произвольном луче ^ = jc//". При этом случай ^ = 0 соответствует неподвижной границе
дискретной ячейки. В таблице использован тот факт, что точное решение задачи Римана
сохраняет непрерывность тангенциальной компоненты скорости v = v(^) на гидравли-
гидравлическом скачке, см. соотношение D.3.9), и в волне Римана, см. соотношения D.3.21) и
D.3.22). Таким образом, компонента v(^) может претерпевать разрыв только на тан-
тангенциальном разрыве. Следовательно, v(?) на произвольном луче ? определяется в
соответствии со скоростью и на тангенциальном разрыве, см. таблицу. Поэтому пола-
полагаем v(?) = v: при и > %, иначе v(?) = vn.
На рис. 4.4е представлен общий вид автомодельного решения на плоскости (x,t).
Решение состоит из двух гидравлических скачков, или двух волн Римана, или гидрав-
гидравлического скачка и волны Римана, разделенных тангенциальным разрывом. При этом
все перечисленные элементарные решения отделены друг от друга областями с посто-
постоянными значениями параметров. Чтобы полностью решить задачу Римана для течения,
представленного на рис. 4.4е, достаточно определить и и h в центральной зоне, знать
скорости распространения скачков, тангенциальной поверхности и волн Римана, а так-
также характеристики потока жидкости внутри веера волн Римана.
Заметим, что исследование поведения функции F(c) позволяет заранее определить
конфигурацию точного решения без проведения полных вычислений (Беликов, Семе-
Семенов, 1997а, 1997b). Предположим для определенности с: < сп. В этом случае поведение
функций (f>i(c), (рц(с) и их суммы F(c) показано на рис. 4.5. Значения функции F(c) при
4.3. Точное решение задачи Римана
287
с = сп, с = Cj и с = 0 равны, соответственно,
= У, = 2(с, - с„), Г@) = Ц, = -2(с
В зависимости от величины щ — uu возможна реализация следующих случаев.
(i) Если щ — Mjj > Ц:, то с > Cjj > c: и реализуется конфигурация течения жидкости
с правым и левым гидравлическими скачками;
(и) Если Ц < Mj — Mjj < Ц1э то Cj < с < сп и имеет место конфигурация, состоящая
из правой волны Римана и левого гидравлического скачка;
(ш) Если Uo <щ- Mjj < Ц, то 0 < с < сх и течение состоит из правой и левой волн
Римана;
(iv) Если щ — Mjj < Uo, то образуется область обмеления или сухого дна со значени-
значениями h = 0 и с = 0. При этом область сухого дна окаймлена или двумя волнами Римана,
или единственной волной Римана (правой или левой), см. рис. 4.6.
Если щ — Mjj > Uo, то уравнение D.3.30) имеет единственное решение. Рассмотрим
отдельно случай, когда это уравнение не имеет решения, т. е. когда щ — ull<U0 = —
—2(cj + сп). В этом случае образуется область сухого дна h = 0, которая окаймлена, в
общем случае, левой и правой волнами Римана (см. рис. 4.6с). Рис. 4.6а-Ь показывают
менее общие случаи, когда область сухого дна ограничена только одной (левой или пра-
правой) волной Римана. Конфигурация с единственной правой волной Римана (рис. 4.6Ь)
возникает тогда, когда в начальный момент времени t = 0 глубина слева от начального
разрыва равна нулю. Полагая \ — h = 0 и щ = и = 0, получим единственную правую
волну Римана, отделяющую область со значениями и = г/п и h = /zn от области с нуле-
i
/7=0
>
h=Q
X
X
Рис. 4.6. Схемы течения воды с обмелением
288 Гл.4. Уравнения теории мелкой воды
выми значениями параметров. В этом случае W? = мп — 2сп и Wu = мп + сп. Выражения
для этих скоростей следуют из уравнения D.3.36) подстановкой с* = 0.
Если предположить теперь, что /гп = h = 0 и мп = г/ = 0, то получим конфигурацию
из единственной левой волны Римана (рис. 4.6а). В этом случае W( = щ + 2с: nWl =
= Mj — Cj. Эти выражения следуют из уравнения D.3.32) подстановкой с* = 0. Общий
случай двухстороннего окаймления области сухого дна (рис. 4.6с) является комбина-
комбинацией построенных таким образом левой и правой волн Римана. Параметры потока
жидкости внутри левой или правой волн Римана определяются, соответственно, из
уравнений D.3.33)-D.3.35)или D.3.37)-D.3.39).
Обобщенная задача Римана
До сих пор было рассмотрено построение точного решения для системы уравнений
D.1.9) с учетом горизонтального дна b(x) = const и f = 0. Для произвольных кусочно-
линейных начальных данных U@,x) = U0(x) и непрерывного кусочно-линейного про-
профиля дна Ь(х) (рис. 4.2Ь) можно решить обобщенную задачу Римана, см. разд. 2.4, где
она была рассмотрена для однородной системы уравнений, т. е. в отсутствии не диф-
дифференциальных членов. Рассмотрим обобщенную задачу в случае, когда вектор Uo и
функция Ь(х) имеют вид
Q-o + Q-i* ПРИ * < °> Ых) _ / Ь0+В_х при х < 0,
тт (х) _ [ Ых)
oW~lQ + Q прих>0, Ь[Х)-\Ьо+В+х прих>0,
где Q_o, Q_ 1 э Q+o и Q+i являются постоянными векторами, а Ьо, В_ иВ+ — константы.
Будем искать решение системы D.1.9) в виде ряда
2 D.3.41)
Выражения D.3.41) согласуются с начальными данными D.3.40), если будут выпол-
выполнены соотношения
_! При X < О,
Q+o прих>0; ^MV="~\Q+1 при x > О.
Подставляя U(?, 0) из D.3.41) в уравнения D.1.9) при d = 0, получаем
D.3.42)
Таким образом, член нулевого приближения Vo может найден из решения уравнения
D.3.43)
где / — единичная матрица размерности 3 х 3, а Ао = ^4(V0) определяется из D.1.14).
Член Vo нулевого приближения, полученный из D.3.43), является точным решением
43. Точное решение задачи Римана 289
задачи Римана с горизонтальным дном, зависит при этом только от автомодельной
переменной ?, но не зависит от рельефа дна. Таким образом, при построении метода
Годунова первого порядка точности можно использовать ранее найденное точное реше-
решение, а рельеф дна учитывать аддитивным образом, например, в соответствии с D.2.6).
Чтобы построить при таком подходе метод Годунова второго порядка точности следует
использовать специальные алгоритмы повышения порядка по времени, в частности,
методы предиктор-корректор (см. разд. 2.5).
Другой подход построения метода Годунова второго порядка состоит в том, чтобы
приблизить решение в виде суммы двух членов ряда D.3.41). Для газовой динами-
динамики аналитическое выражение для Vj было получено Меньшовым A990, 1991). Такой
подход позволяет получить конечные аналитические формулы для потоков F на грани-
границах ячеек. Непосредственное использование таких формул позволяет построить метод
Годунова второго порядка. Однако аналитические формулы для обобщенной задачи
Римана являются при этом довольно непростыми. Выражение для Уг может быть полу-
получено из уравнения D.3.42). Подставляя ряд D.3.41) в D.3.42) и, учитывая члены только
до второго порядка относительно в, выводим следующее уравнение для Уг:
дУ
где двоеточие в формуле обозначает свертку тензоров или матриц по двум индексам.
Дополнительное обозначение Vj = Vj у 1 + ^2 позволяет привести уравнение к ком-
компактной форме
45 (?) U^f) ^0. D.3.44)
Уравнение D.3.44) является линейным относительно vl5 и, если Vo известно, то можно
определить Vl9 решая D.3.44).
В частности, пусть начальные данные имеют вид Qo + Q^x, b(x) = b0 + Bx, — oo <
x < +oo, где Qo и Qj являются постоянными векторами, а Ьо и В — константы. Тогда
получаем, что Vo(^) = Qo и дУ0/д^ = 0. Из уравнения D.3.44) следует, что Vj = Q^ —
— ^0Qi +^Qo> или ^l = (Qi^ ~AQi +DQ0)/y/\ + %2. Таким образом, с точностью
О@2) получаем
Численные расчеты, основанные на решении обобщенной задачи Римана для урав-
уравнений теории мелкой воды, а также ее полное исследование с теоретической оценкой
ошибки асимптотического разложения на настоящее время отсутствуют.
Об учете разрыва в рельефе дна
До сих пор рассматривалось построение точного решения для системы уравнений
D.1.9) с непрерывным рельефом дна. При этом дно считалось либо горизонтальным
290 Гл. 4. Уравнения теории мелкой воды
с b(x) = const, либо непрерывным и кусочно-линейным. Отметим, что такой подход
не является исчерпывающим. В ряде случаев горизонтальный масштаб и связанный с
ним выбор дискретной сетки могут быть таковы, что дно однозначно может быть пред-
ставимо только в виде кусочно-постоянных функций. В частности, таковы задачи о
распространении океанских волн цунами. Дополнительным фактором, заставляющим
рассматривать разрывный рельеф дна, является применяемая до сих пор численная
аппроксимация рельефа через правую часть системы уравнений. Такое представление
может повлечь дополнительное ограничение на шаг по времени из-за устойчивости по
тем же причинам, как это происходит при решении обыкновенных дифференциальных
уравнений (Hairer, Norsett, Wanner, 1987; Hairer, Wanner, 1996).
Пусть имеет место разрыв дна в точке х = 0. Сгладим разрыв дна, например, функ-
функцией пропорциональной arctan(x/e), где ? — малая величина, определяющая масштаб
сглаживания. Такое сглаживание является корректным в силу независимости рельефа
дна от искомых переменных. Рассмотрим сначала гладкое стационарное течение над
сглаженным дном удовлетворяющее уравнениям
(hu)x = 0, (hu2 + \gh\ + ghbx = 0, (huv)x = 0.
Интеграл первого уравнения дает соотношение h = mo/u, где m0 = const ф 0. Под-
Подставляя выражение для h во второе уравнение, получаем
откуда
Окончательно получаем, что для гладкого решения над сглаженным дном выполнены
соотношения
{hu} = h2u2 - hxux = 0, D.3.45)
{^2+gC} = ^2-^i+g(C2-Ci)=0, Z = h + b; D.3.46)
{v} = v2 - vx = 0, где т0 ф 0. D.3.47)
Соотношение D.3.46) описывает закон сохранения механической энергии, справед-
справедливый для гладкого решения. Заметим, что это условие не является единственным.
В частности, при сверхкритическом течении мелкой воды над сглаженным дном мо-
может возникнуть стационарный гидравлический скачок или гидравлический прыжок
(Stoker, 1957). В этом случае следует описать структуру возникающего течения в окрест-
окрестности прыжка с постановкой на нем соответствующих условий (Ляпидевский, Тешу-
ков, 2000). Далее необходимо изучить поведение этого течения при уменьшении радиуса
сглаживания дна по сравнению с масштабом задачи. Это приводит к задаче по исследо-
исследованию и классификации разрывов неклассического типа (см. гл. 7), которые имеют свою
собственную внутреннюю структуру и на которых должен быть задан определенный
закон диссипации, определяемый из экспериментальных или теоретических исследо-
исследований, проводимых вне рамок теории мелкой воды. Такая задача требует специального
отдельного изучения и здесь рассматриваться не будет.
4.3. Точное решение задачи Римана 291
Все эти рассуждения приводят к выводу, что к конфигурации точного решения зада-
задачи Римана для горизонтального дна, которая может состоять из гидравлических скачков
или волн Римана разделенных тангенциальным разрывом, см. рис. 4.4е, в случае учета
разрыва рельефа дна должен быть добавлен еще один, дополнительный, неподвижный
разрыв в течении, возникающий в месте скачка дна. На этом дополнительном разрыве
должны быть выполнены определенные соотношения в зависимости от характера воз-
возникающего в его окрестности движения. В частности, в случае докритических течений
с малыми значениями чисел Фруда до и после разрыва дна ставятся условия D.3.45)-
D.3.47). Следовательно, возможно построение общего решения задачи Римана с учетом
разрыва рельефа дна (Alcrudo, Benkhaldoun, 2001). Некоторой аналогией к возникно-
возникновению еще одного дополнительного разрыва в течении может служить одномерная
газодинамическая задача Римана, решаемая в канале со скачком сечения (Дулов, 1958;
Яушев, 1967; Рождественский, Яненко, 1978), см. выше с. 167.
Практическое использование общего решения с учетом разрыва рельефа дна мо-
может быть затруднено сложностью аналитических формул. Поэтому ниже рассмотрим
методы построения приближенных решений для такой задачи Римана. Эти решения мо-
могут быть получены, в частности, разностными схемами типа Куранта-Изаксона-Риса
(КИР) или Роу при использовании расширенной системы уравнений D.1.19)—D.1.22)
(Семенов, ранее не публиковалось). Повышение числа рассматриваемых уравнений
связано здесь с увеличением числа возможных разрывов в решении. В связи с тем, что
число их может достигать четырех, физически осмысленным является рассмотрение
гиперболической системы уравнений, состоящей именно из четырех уравнений. При
этом, применяя численные методы, следует следить за тем, чтобы в решении получа-
получались физически приемлемые решения (разд. 2.10). О реализации численного метода для
решения расширенной системы уравнений будет сказано ниже, см. формулу D.5.6).
Вместо уравнения db/dt = 0 могут быть рассмотрены уравнения переноса вида
db db db ди
-+*- = 0 или ^+*^ = 0, Х = Х(и),
описывающие, в том числе, динамику медленного размыва и деформации дна.
Оценка погрешности линейного приближения
Исследуем величину ошибки линейного приближения D.3.31) для величины с0 в срав-
сравнении с точным решением ?(Belikov, Semenov, 1988a; Беликов, Семенов, 1997а, 1997b).
Без потери общности будем предполагать далее, что с: < сп. Как было отмечено выше,
с0 является точным решением уравнения D.3.30) в области значений параметров, где
с < Cj. Рассмотрим теперь область с: < с < сп. Оценка вида
приводит к неравенству
292 Гл. 4. Уравнения теории мелкой воды
Решение с* уравнения F*(c) =щ — мп определяется формулой с* = 2^/CjCq — cv Это
решение лежит слева от точного решения (рис. 4.5). Подставляя с0 = A + а)с:, где
О < а < 1, можно получить оценку для относительной ошибки Ь\:
4). D.3.48)
Рассмотрим теперь область значений где выполнено с > сп. Тогда
с2 -с2 с2- с2
%М < —— > Фп(^^п) < ——
и поэтому решение
уравнения
/ ч С2 — С? С2 — С?т
также лежит левее точного решения с = Ъ. В силу с: < с0 < с:1 положим с:1 = A + /3)с:,
где 0 < a < /3 < 1. Из соотношения
получаем, что щ - мп = Bа - /3Jс:. Тогда
1 + Т^т?|= С4-3-49)
- с
Если a = /3, или с0 = сп, то ошибки Ь\я 8^ равны; это показывает непрерывность
ошибки при с > Cj. Можно показать, что максимум оцененных ошибок D.3.48) и D.3.49)
имеет место при a = 0, или с: = с0, и имеет вид
cW = тахE„5,г) = 1/32 - 1/33 + О(K4) < }K2.
Таким образом, максимум относительной ошибки линейного приближения с0 не
превосходит ^/З2; следовательно, оценка ошибки для h = c2/g не превосходит \$2.
Проводя аналогичное рассмотрение, найдем оценку погрешности линейного прибли-
приближения для скорости
В этом случае для a = 0 получаем, что
4.4. Результаты численных расчетов
293
X X X Ж М К
Рис. 4.7. Задача о распаде начального разрыва щ = г/п = 0 и /zj:/zn = 10:1
Представленные выше формулы могут быть использованы для априорной оценки
ошибки в решении D.3.30) относительно с0 и с:. В частности, если a = (с0 — c^/cj =
= 0.1 и щ « мп, то из D.3.31) получим, что сп = 1.2с1э /3 = 0.2 и йп = \AAhv В этом
случае отношение глубин по обе стороны от разрыва не превышает 1:1.44. Следова-
Следовательно, применение линейного приближения для вычисления величины с обеспечивает
погрешность, не превосходящую 1%, так как jji2 <0.01.
Использование точного решения задачи Римана в численных расчетах показало, что
получение решения с относительной погрешностью 1% является достаточным для боль-
большинства встречающихся задач о распаде произвольного гидродинамического разрыва.
Только в относительно малом числе распадов произвольного разрыва, соответству-
соответствующих гидравлическим скачкам большой интенсивности, требуются дополнительные
уточнения, проводимые по итерационному методу Ньютона. Таким образом, использо-
использование линейного приближения D.3.31) в качестве начального приближения позволяет
существенно уменьшить число итераций в наиболее затратной части алгоритма распа-
распада произвольного гидродинамического разрыва и позволяет повысить быстродействие
алгоритма в целом.
4.4. Результаты численных расчетов, проведенных
методом Годунова
В разделе описаны численные результаты (Семенов, 1983; Беликов, 1987; Беликов,
Семенов, 1985, 1988b, 1997a, 1997b; Belikov, Semenov, 1988a, 1998) по моделированию
одномерных и двумерных течений жидкости на основе решений уравнений теории
мелкой воды методом Годунова, основанном на точном решении задачи Римана.
На рис. 4.7 представлены результаты численного решения одномерной задачи Ри-
Римана с начальными величинами отношений глубин //:://n = 10:1 и нулевыми значениями
скоростей; при этом дно полагалось горизонтальным. Решение данной задачи впервые
построил Stoker A948,1957), и оно широко используется при тестировании работоспо-
работоспособности численных алгоритмов. На рисунке приведен график глубины h, полученный
294
Гл. 4. Уравнения теории мелкой воды
2.0
1.5 -
1.0 -
0.5
_
¦
¦
/-10.7
21.4
31.9
42.4
52.9
\^
с
с
с
с
Iv,
0 0.5 1.0 1.5 4
Рис. 4.8. Распад произвольного разрыва для случая узкого 8 (х)-образного столба жидкости
u=^60g м/с
; h = 10 м
60'
40
20
1 h, м
0.2 с /.,|_t^.-'7v
/= 1.15-1.42с/ '""¦/"•/•
y._.__j.__ij
А=50м
м
[А=30м
(
^ = 0
ч\
а
b
10
25
30
35 N
Рис. 4.9. Моделирование гидравлического прыжка
4.4. Результаты численных расчетов 295
на равномерной сетке из 100 дискретных ячеек и представленный в автомодельной
переменной ? =x/(t^/ghl). Сплошная линия изображает аналитическое решение на
момент времени, когда область, занимаемая нестационарным решением, составляет
почти 100 дискретных ячеек; крестики на кривой 1 — результаты вычислений по схеме
первого порядка точности на этот момент времени; крестики на кривой 2 — результаты
вычислений по схеме второго порядка точности с использованием функции minmod в
качестве ограничителя наклонов кусочно-линейных распределений сеточных функций
внутри дискретных ячеек. Использование схемы второго порядка точности позволило
удалить излом, который был получен при расчетах по схеме первого порядка точности
в точке разрыва начальных данных (start-off error), см. стрелку на рис. 4.7. При исполь-
использовании схемы второго порядка относительная погрешность в вычислениях глубины
по отношению к начальному уровню \ — 10 не превосходило 1%. При этом обе схе-
схемы первого и второго порядков точности позволяют получить монотонные профили в
решении и размазывают гидравлический скачок на две-три дискретные ячейки.
На рис. 4.8 представлены результаты решения одномерной задачи, которая является
достаточно трудной для численного моделирования. Она формулируется следующим
образом. В начальный момент времени вычислительная область 0 < х < L делится на
100 одинаковых дискретных ячеек. В двух-четырех первых дискретных ячейках, приле-
прилегающих к левой границе х = 0, глубина жидкости полагается равной h = h0 = 100 м, а в
остальных ячейках задается h = 0. Начальная скорость полагается нулевой, дно считает-
считается горизонтальным. При этом считается, что течение симметрично относительно х = 0.
Физический процесс, описываемый данной задачей, интерпретируется как эволюция
узкого 5-образного (<5(х) — дельта-функция) плоского столба жидкости под действием
гравитации в рамках уравнений теории мелкой воды. Такое решение является анало-
аналогом газодинамического решения задачи о точечном взрыве (Седов, 1946; Taylor, 1950),
более подробное описание см. Седов A972) и Коробейников A985). Отметим, что та-
такой тест имеет несколько формальный характер, вследствие того что уравнения теории
мелкой воды не учитывают, в частности, таких физически значимых эффектов как гид-
гидродинамическая неустойчивость или трехмерность реального течения. Однако этот тест
удобно использовать для проверки численных алгоритмов.
Рис. 4.8 иллюстрирует динамику распада столба жидкости в координатах ц =
= th(t,x)/h0 и ? = x/(ty/gh^), где t — время, измеряемое в секундах. Заметим, что
с течением времени распределения глубины h постепенно асимптотически выходят на
некоторое автомодельное решение. Что касается скорости, то по мере возрастания ?,
она возрастает практически линейно, а затем за фронтом волны падает до нуля. Ре-
Результаты, показанные на рис. 4.8, были получены по схеме первого порядка точности.
Результаты, полученные с применением схем более высокого порядка точности, давали
решение с небольшими неустранимыми осцилляциями.
На рис. 4.9Ь показаны результаты расчетов гидравлического прыжка. Этот тест (Ива-
(Иванов, Корецкий, Курочкина, 1980а, 1980b, 1980c) также является важным при проверке
работоспособности численных методов. На рисунке приведены графики h в различные
моменты времени, которые показывают этапы формирования гидравлического прыжка.
Начальные условия для задачи выбраны таким образом (см. рис. 4.9а), чтобы обеспе-
обеспечить его образование. Полученный в расчетах прыжок был размазан на две дискретные
ячейки.
Для изучения дисперсионных свойств разностной схемы было проведено численное
296 Гл. 4. Уравнения теории мелкой воды
исследование процесса длительного распространения солитона (Иванов и др., 1980а,
1980b, 1980c). Исследуемый солитон (рис. 4.10) распространялся в конечной области
размером в 70 дискретных ячеек с пространственным шагом Ах = 0.06. При этом на-
начальная длина солитона равнялась 10 ячейкам. На границах области были поставлены
условия непроницаемости. Целое число k на рисунке обозначает номер шага по вре-
времени. С течением времени солитон трансформировался в бегущую волну монотонного
треугольного профиля с передним фронтом, численно размазанным на три дискретные
ячейки. Нефизических дисперсионных свойств, приводящих образованию нескольких
солитонов, в численном решении не наблюдалось.
Помимо одномерного моделирования были проведены также расчеты двумерных
задач. Постановка одной из них схематично изображена на рис. 4.11.
Здесь рассматривается сверхкритическое течение жидкости с числом Фруда Fr =
= u\/y/gh = \u\/c> 1, которая перетекает из прямоугольного широкого лотка в узкий
канал через симметричное сужение, стенки которого сходятся под углом в. Гидравли-
Гидравлический прыжок, который первоначально был наклонен под углом /3 к стенкам сужения,
начинает далее последовательно отражаться от линии симметрии потока и от его стенок.
Такое отражение формирует достаточно сложную структуру областей повышения и по-
понижения уровня свободной поверхности жидкости. Численные результаты, приведен-
приведенные на рис. 4.12, были получены для значений параметров в = 10°, ?гх = 3, hx — 100 мм,
Ъх — 1 м, Ъъ — 0.511 м и при нулевом наклоне дна. Результаты представлены на сетках с
последовательно увеличивающимся числом узлов, а именно при 7 х 26 (а), 14 х 52 (Ь)
и 28 х 104 (с). При этом фрагменты используемых дискретных сеток на рис. 4.12Ь-с,
изображены на врезках. Приведенные численные результаты получены по схеме пер-
первого порядка точности по пространству вдоль направления потока и второго порядка
точности в поперечном направлении. По мере увеличения числа узлов пространствен-
пространственной сетки численное решение сходится к точному решению, показанному на рисунке
пунктиром. Точное решение представляет собой систему гидравлических прыжков (см.
разд. 4.6). Сплошные кривые на рисунке показывают вычисленные изоплеты уровня
свободной поверхности воды (т. е. изолинии ? = const), а соответствующие числа —
это уровни, измеренные в миллиметрах. По мере измельчения пространственной сетки
локализация каждого из гидравлических прыжков становится более отчетливой.
На рис. 4.13 проведено сравнение вычисленных и измеренных уровней свободной
поверхности h, показанных, соответственно, сплошной линией и крестиками. Видно,
что полученные численные результаты находятся в удовлетворительном согласии с экс-
экспериментом. При численном решении этой задачи были использованы несколько другие
величины параметров потока, которые были взяты из экспериментов, проведенных Вол-
ченковым и др. A985). Наклон дна принимался равным 0.1, параметр шероховатости
дна п был равен 0.014 (бетон), Yxx = 2.37, hx — 30 мм и их — 1.3 м/с. Геометрические
параметры сужения были следующими: в = 10°, Ьх = 0.52 м и Ъъ — 0.26 м. В расчетах
использовалась формула для трения в виде D.2.5) при 0.5 < A < 1.
На рис. 4.14 и 4.15 приведены постановка задачи и результаты численных расчетов
процесса растекания воды при Fr = 3 из трубы диаметром 6.6 см через оголовок с углом
раствора 20° вдоль бетонной плоскости лотка с наклоном 0.05 и коэффициентом шеро-
шероховатости п = 0.014. Средняя скорость воды на выходе из трубы (рис. 4.14а) равнялась
1.78 м/с, ее глубина — 3.5 см, что соответствует расходу воды 4.1 л/с. Параметры задачи
согласованы с экспериментами Волченкова и др. A985). Учитывая симметрию задачи,
4.4. Результаты численных расчетов
297
14 л:/0.06, м
Рис. 4.10. Расчет распространения солитона
численное моделирование было проведено в прямоугольной области длиной 3.3 м и
шириной 0.9 м. При этом использовалась схема второго порядка точности на простран-
пространственной сетке, изображенной на рис. 4.14Ь. Расчеты проводились методом установ-
установления, распределение искомых сеточных функций предполагалось кусочно-линейным,
наклоны линейных распределений функций пересчитывались каждые десять шагов по
времени. На рис. 4.15 проведено сравнение экспериментальных профилей скорости и
глубин потока, отмеченных крестиками, с численными значениями, полученными при
уклоне дна 0.05. Видно хорошее согласие экспериментальных и численных данных.
298
Гл. 4. Уравнения теории мелкой воды
Рис. 4.11. Схема сверхкритического течения воды в сужающемся симметричном канале
На рис. 4.15 сплошными и пунктирными линиями отмечены, соответственно, вычис-
вычисленные границы растекания воды и границы, наблюдаемые в экспериментах. Заметим,
что в расчетах не производился учет оголовка. Тем не менее, влияние оголовка тру-
трубы на течение, как видно из рисунка, сказывается только в относительно небольшой
окрестности начального отрезка течения воды. Все численные результаты получены с
использованием разностной схемы сквозного счета, которая не предполагает какого-
либо специального выделения границ растекания воды, т. е. границ сухого и смочен-
смоченного водой дна. На рис. 4.16 представлены результаты численного моделирования той
же задачи при меньшем уклоне дна, равном 0.001. При таком режиме течения области
обмеления дна отсутствуют и возникают зоны возвратного или водоворотного течения.
На рис. 4.17 показаны схема постановки задачи о набегании волны солитонного
вида с амплитудой и скоростью, пропорциональными | cos (Ах — /)|, где \Хх — /| < ^-тг,
на береговой откос с наклоном 0.3 (рис. 4.17а). На рис. 4.17Ь приведен график вели-
величин относительных заплесков (превышения и понижения) уровня воды относительно
положения равновесия: Ah_ = \hmin — /zoo | и АА+ = \hmax — Аоо | • При этом абсцисса явля-
является расстоянием от солитона до береговой линии, выраженная в длинах солитона //Я.
Сплошная линия представляет собой результаты, вычисленные по схеме первого по-
порядка точности при варьировании величин параметров / и Я. Крестики обозначают
экспериментальные результаты Мишуева, Сладкевича, Сильченко A984), Лятхера и
др. A986). При //Я > 0.67 вычисленная кривая Ah±/hoo лежит ниже эксперименталь-
экспериментальных точек. Это может быть объяснено тем, что приближение мелкой воды для этого
случая применимо не полностью. При этом для малых величин //Я наблюдается полное
совпадение с экспериментальными данными.
На рис. 4.18 и 4.19 показаны результаты численного моделирования течений типа
цунами. При этом происходит приход волн из областей с большой глубиной в область
мелководья или сухого дна. Начальные условия показаны на врезках. Заштрихованный
объем воды имел начальную скорость 5 м/с.
На рис. 4.20 представлены начальные данные и численные результаты моделирова-
моделирования взаимодействия мелководного потока с подводным препятствием в рамках теории
мелкой воды. Можно увидеть, что при таком взаимодействии образуется гидравличе-
гидравлический скачок (бор), который движется вверх по потоку. Интересно сравнить численные
результаты данного моделирования, проведенного в рамках теории мелкой воды, с
расчетами на основе двумерных уравнений Навье-Стокса с учетом и выделением сво-
свободной поверхности воды (Коныпин, 1985; Белоцерковский, Гущин, Коныпин, 1987).
Результаты расчетов одной из таких задач в рамках подхода Навье-Стокса дают в один
из моментов времени скорость гидравлического скачка W, равную 0.28 м/с, и его вы-
4.4. Результаты численных расчетов
299
100 130
7x26
100 130
160
100 130 198
162
235
198
14x52
130 198 235
237
28x104
130 235
237
Рис. 4.12. Сходимость численных результатов при измельчении сеток: 7x26 (а), 14x52 (Ь) и
28x104 (с)
V, М
3 х, м
Рис. 4.13. Сравнение экспериментальных данных (крестики) и результатов численных расчетов
по измерению глубин течения в канале с сужением
300
Гл. 4. Уравнения теории мелкой воды
3
4
а
I
1
1.8м
\\ 20
У, м
0.9;
0.3 |
о
ъ
1
2 х>м
Рис. 4.14. Схема выходной трубы с оголовком (а): 1 — труба, 2 — оголовок, 3 — дно (бетон) и 4
— стенки (бетон); (Ь) фрагмент пространственной сетки, используемой в численных расчетах
-0.9 -0.6 -0.
0.6 v, м
х, м
Рис. 4.15. Течение воды при Fr = 3 в симметричном лотке за трубой с оголовком. Слева пред-
представлено распределение скоростей, а справа — глубин. Крестики обозначают экспериментальные
данные
4.4. Результаты численных расчетов
301
о
n
m
in
¦
-/
"Tv/
я s n ?i
1 _
Гй й Я Я
о
¦Jt
§1
* ? я я
о
—( П ЧО (N
|-| -х- ч.
if-! °s /
ч / / / f "^i "*¦ /
Г- О —I /
// /S " -
/'
/
J f
2
со 2
О -хГ
о 2
1
p
ю
о
p
о
m
о
d
I
Рис. 4.16. Моделирование симметричного водоворотного течения. Представлены распределения
скоростей течения и его глубин
302 Гл.4. Уравнения теории мелкой воды
соту Ah, равную 2.30 м (В. Н. Коныпин, частное сообщение). Моделирование в рамках
уравнений теории мелкой воды дает W = 0.6 м/с и Ah = 2.35 м. Наблюдаемая разница
в скоростях может быть объяснена относительно более длительным процессом форми-
формирование двумерного вращательного движения воды (так называемый валец), которое
существует вблизи бора и которое не учитывается уравнениями теории мелкой воды.
Метод Годунова пригоден для расчета течений с большими или умеренными числа-
числами Фруда, когда в течении могут образовываться или существовать области с большими
перепадами параметров или разрывы. Здесь число Фруда аналогично числу Маха в газо-
газовой динамике. Явный метод Годунова, безусловно, может быть применен и для расчета
потоков с малыми числами Фруда, когда Fr = \u\/c <^ 1, но его эффективность может
быть неудовлетворительной из-за ограничений на шаг по времени. Поэтому для такого
рода задач следует использовать неявные разностные схемы (Алалыкин и др., 1970, Ми-
литеев, Яшин, 1978; Воеводин, Шугрин, 1981; Милитеев, Базаров, 1997; Delis, Skeels,
Ryrie, 2000b). Другой подход, который может быть применен для численного решения
таких задач, основан на использовании вместо модели мелкой воды других теоретиче-
теоретических моделей, например, модель диффузионной волны (Вольцингер, Пясковский, 1977;
Беликов, Милитеев, 1992). В частности, эта модель описывает мелководные и медлен-
медленные потоки жидкости уравнением параболического типа
^=div(DV?)+R, D.4.1)
где D > 0, а величина ? = h + b—уровень свободной поверхности воды (рис. 4.1). Такая
модель выводится из уравнений теории мелкой воды в предположении малости инер-
инерционных сил и слабой зависимости функции hv от времени. Действительно, подставляя
dhv/dt — div(Aw) = 0 в уравнения D.1.2) и предполагая трение линейно зависящим от
скорости, так что f = -Av, где Я — коэффициент гидравлического трения, находим
Подставляя выражение для v в уравнение неразрывности D.1.1), получаем уравне-
уравнение D.4.1), где D = gh2/X. Для закона квадратичного трения f = —yAv|v| коэффициент
D получается аналогично и равен
D =
Описание особенностей численных расчетов и алгоритмов для этой модели может
быть найдено, например, в работах Маханова, Семенова A994, 1995а, 1995b, 1996),
Makhanov, Semenov A998), см. также Семенов A996, 1997b).
Построенный в данной главе метод Годунова адекватно описывает динамику рас-
распространения гидравлических скачков, статику прыжков и сохраняет в их окрестности
монотонные профили сеточных функций. Алгоритм позволяет рассчитывать параметры
потока в дискретных ячейках, не полностью заполненных водой, а также моделировать
процессы обмеления и рассчитывать области сухого дна без применения каких-либо
дополнительных алгоритмов регуляризации или выделения границ такого рода обла-
областей.
4.4. Результаты численных расчетов
303
Ah±
0 0.2
Рис. 4.17. Форма солитонной волны (а); графики превышения и понижение уровня воды (Ь)
5 м/с
t=0 Им
tga=2.6
3 5 7 9
Рис. 4.18. Течения типа волны цунами
11 х, м
304
Гл. 4. Уравнения теории мелкой воды
h, м
°
— Г= 0,416 с
Г=0 Юм
Г =0.837 с
0.005 м
и = 5 м/с при 1м<л;<4м
\а tga = 2.8 5
л-,м
Рис. 4.19. Течение типа волны цунами при взаимодействии с сухим дном
2.0
2.5
5.0
7.5
0.2 м
10.0
X, М
з
2
1
LAi
м
f=18c
jr
1 _У
t= 12c
у
b
5.6 м/с
-—______
1*м
-——-_
0.45 m
0 5 Ю 15 20 х> м
Рис. 4.20. Моделирование взаимодействия потока мелкой воды с подводным препятствием
4.5. Приближенные решения задачи Римана
305
Развитый подход отличают от ранее известных следующие характерные черты. Для
точного решения задачи Римана здесь построен быстрый и эффективный численный
алгоритм и получены оценки скорости сходимости итерационного процесса. При этом
преодолена трудность, связанная с построением численного метода, который допускал
бы сквозной расчет обмеления и областей сухого дна. Применение формул точного
решения задачи Римана вместо формул приближенных решений по методам Куранта-
Изаксона-Риса и Роу, включающих в себя операцию деления на квадратный корень из
глубины (разд. 4.5), позволяет преодолеть такого рода трудности без привлечения до-
дополнительных процедур регуляризации. Таким образом, точное решение задачи Римана
является более универсальным по сравнению с приближенными решениями, описыва-
описываемыми далее.
4.5. Численные методы, основанные на приближенных
решениях задачи Римана
В разделе описаны методы типа Годунова, основанные на приближенных решени-
решениях одномерной задачи Римана. Дается описание трех таких методов принадлежащих
Куранту-Изаксону-Рису (КИР), Роу и Ошеру-Соломону.
4.5.1. Разностные схемы типа Куранта-Изаксона-Риса (КИР). Рас-
Рассмотрим одну из одномерных численных схем, например, схему B.3.25), B.3.26) для
уравнений D.1.9):
At
Ах
¦+ "v~. ' ч =Bf, D.5.1)
D.5.3)
Здесь Ах — шаг равномерной сетки по пространству, At — шаг по времени. Целые
нижние индексы / = 1,2,... обозначают значения функции в центрах дискретных ячеек,
а полуцелые индексы — на границах ячеек. Целый верхний индекс — это номер шага
по времени. Для практического применения схемы D.5.1)-D.5.3) следует вычислять
матрицу \А\ по формуле D.5.3), где QR,A и QL определяются формулами D.1.15),
D.1.16). Следующее представление может быть использовано для удобного вычисления
вектора Q = |^4|AU:
Q = |^4|AU = QR|A|QLAU = QRdiag[|i/-c|, |г/|, |i/+c|]QLAU =
= |ii|AU+(|ii-c|-|ii|)nRdiag[l,O,O]QLAU+(|ii+c|-|ii|)nRdiag[O,O,l]QLAU,
где
AU = Um - Um+1 = [ДА, А(Аи), A(Av)]T,
откуда
Q=M
Ah
A(hu)
A(Av)
+ (\u-c\-\u\)(p+q)
1
u—c -f
V
(\u+c\-u\){p-q)
1
u+c
V
D.5.4)
306
Гл. 4. Уравнения теории мелкой воды
Ah
uAh - A{hu)
2c
Окончательные формулы для вычисления Q = \QX ,Q2,QiY запишем в виде
Ql = \u\Ah+Pv Q2=
D.5.5)
ах = (\u-c\-\u\)(p+q), a2 =
Ah
uAh — A{hu)
lc
hAu
~2c~'
Для использования формул D.5.5) при с —у 0 необходимо преобразовать величины
ах ~ \/с и а2 ~ \/с по следующему правилу:
ах = (\u-c\-\u\)(p+q) = -(p+q)csignu= -j[cAh-A(hu) + uAh],
а2 = (\u+c\-\u\)(p-q) = (p-q) с sign u = j[cAh + A(hu) - uAh].
Таким образом, можно исключить неопределенности в формулах, если полагать
с = ? при с < ?, где ? — малое положительное число.
В двумерном случае потоки F на границе ячейки с номером j вычисляются по
формулам D.5.2) и D.5.5). Тогда разностные уравнения D.2.3), D.2.4) принимают вид
= [bvb2,b3}]=
Для учета сил трения и рельефа дна могут быть использованы аппроксимации D.2.5)
и D.2.6).
Для решения уравнений теории мелкой воды с большими перепадами дна может
быть применена расширенная система D.1.19)—D.1.22). Эта система уравнений имеет
неконсервативную форму B.3.44), и для нее схема КИР записывается в несколько ином
виде B.3.45). Для реализации схемы КИР необходимо вычислять вектор
= QR|A|QLAU,
AU=
При этом формулы для модифицированных величин Q в уравнениях D.1.19)-
D.1.22) аналогичны формулам D.5.5) с несложной поправкой на учет рельефа дна:
ft
ftj
cAb
-sign(tt-c)
0
+ sign(i/+c)
D.5.6)
Заметно, что в выписанных формулах отсутствуют особенности при и —> ±с, которые
присутствовали в матрице D.1.26). Что касается особенности при с —У 0, то она может
4.5. Приближенные решения задачи Римана 307
быть устранена, если полагать с равным малому положительному числу. Непосред-
Непосредственно проверяется, что построенная таким образом схема КИР сохраняет равновесное
решение v = 0h( = const.
Поясним, что при выводе формул D.5.6) было использовано разложение:
QR = Q0 + Qb ^ QL = Q0 + Qb ^ AJJ = AlJ0 + д^
где для матриц в правых частях выполнены блочные представления
о
0] Qb _ Г[0] х] о _ [Ц, 0] Qb _ [[0] х
"R "l i2L
jb_f[O]xl
Qr ~ I 0 0 I' "R - I 0 x I' "L ~ I О О I' "L ~ I 0 x
Здесь [0] — нулевая матрица размерности 3 х 3, а вместо крестиков должны быть
подставлены соответствующие четвертые столбцы из матриц D.1.25), D.1.26).
Далее получаем
AU° = [Дй,Д(/ш),Д(йу),0]т, AUb = [0,0,0,Л6]т.
Тогда в выбранных обозначениях Q принимает простой для вычислений вид
Q = QR|A|QLAU = Q?°o ??b
который и выписан в D.5.6).
Для модифицированных уравнений аналогичным способом может быть выписана
схема Лакса-Фридрихса B.3.69). При этом условие сохранения схемой равновесно-
равновесного решения приводит к требованию, чтобы четвертое, нулевое, собственное число не
модифицировалось и оставалось тем же самым.
4.5.2. Схема Роу. Схема Роу, так же как и схема КИР, основана на приближенном
методе решения задачи Римана для уравнений D.1.9). Этот метод отличается от метода
КИР специально выбранной аппроксимацией матрицы А. Обозначим ее через я/, см.
п. 2.3.2 и 3.4.4. Эта матрица должна удовлетворять следующим соотношениям:
= F(Um)-F(Um+1), AU = Um-U
m+1,
Рассмотрим невырожденную замену переменных U = U(Y). Тогда из точных соотно-
соотношений AF = i^AY и AU = g/jjAY следует, что srf — g/Fg/jl. В силу нелинейности F
как функции U, полученная матрица я/ неединственна (п. 2.3.2).
Пусть левые и правые величины Uj и U2 связаны соотношениями D.3.3)-D.3.5):
AF = WAV, где W — скорость распространения разрыва. Тогда W является собственным
числом матрицы srf. Действительно, пусть выполняются соотношения
AF - WAV = {^F - W^V)AY =(#/- WI) я/и AY = (я/- WI)AV = 0,
где / — единичная матрица размерности 3x3. Для нахождения нетривиального реше-
решения необходимо потребовать det (я/ — WI) = 0 и, следовательно, W является собствен-
собственным числом матрицы я/, а вектор AU оказывается ее собственным вектором. Таким
308
Гл. 4. Уравнения теории мелкой воды
образом, при использовании приближения Роу соотношения на одиночных разрывах
выполняются точно.
Выберем параметрический вектор Y по аналогии с вектором Роу для уравнений
газовой динамики (п. 3.4.4):
Y=
D.5.7)
Этот вектор позволяет записать U и F в виде полиномов второй степени относительно Y
и тем самым получить матрицу srf единственным образом, см. B.3.70). Единственность
матрицы понимается в том смысле, что srf — ^(Um,Um+1) =A(Y), где Y обозначает
арифметическое среднее вектора Y на границе,
Матрица srf сохраняет гиперболические свойства матрицы А. При этом все элементы
srf являются функциями одних и тех же переменных, которые усреднены одним и тем
же способом.
Вектора U и F в этих переменных, см. формулы D.1.10) и D.1.11), переписываются
как
и =
Откуда следует, что
AU =
D.5.8)
2RAR
UAR + RAU
VAR + RAV
AF =
UAR+RAU
2UAU + 2gR
VAU+UAV
где/= j(fx +/2) обозначает арифметическое среднее функции/. В качестве/выбира-
качестве/выбираются R,R2,U или V. Для получения более компактных формул разделим все компоненты
AU и AF на R. Тогда матрицы ^и и gtfF принимают вид
и 1 О"
2gh 2й 0 . D.5.9)
О и v_
Символ / обозначает специальное усреднение переменной / (Roe, 1981a, 1981b):
и
V
0
1
0
0"
0
1
R
l
R
При нахождении аналитических выражений для элементов матрицы srf — ,
можно использовать формулы для решения хт линейной системы уравнений
D.5.11)
= ~
~^Z
-^VZ
4.5. Приближенные решения задачи Римана
309
где хт = [jc-|_,jc2,jc3] и zT = [zx,z2,z3]. Пусть п-я строка матрицы ??F, где п— 1,2,3, равна
zT, тогда получаем хт, который является п-и строкой матрицы srf — s^F^x, так как
— g/F. Таким образом, находим, что
0 1 0
gh-u2 2п 0
—uv v й
Матрицы D.1.18) и D.5.12) совпадают при условии и = й, v = v и
с = Jgh.
D.5.12)
D.5.13)
Формула D.5.13) задает способ вычисления усредненной скорости распространения
малых возмущений с в методе Роу. Из формул D.1.15) и D.1.16) получаем выражения
для матриц, необходимые для применения схемы Роу:
1 0 1
и—с О й+с
v —1 v
Л = diag[^ — с, й, й + с].
с+й -1 О
2vc О -2с
с-й 1 О
Для уравнений D.1.9) запишем разностную схему D.5.1)-D.5.3) со специальным
выбором матриц QR, Л и QL:
uf+1 - uf
At
¦ Н
Ах
D.5.14)
D.5.15)
Для практического вычисления F можно применить компактные выражения D.5.5).
Аналогичным способом , см. B.3.45), строится разностная схема для расширенной
системы уравнений D.1.19)—D.1.22). При реализации такого подхода в соответствую-
соответствующих матрицах следует использовать переменные усредненные по Роу, а для вычисления
потоков в этом случае следует применять выражения D.5.6).
Для построения метода конечных объемов необходимо знание формул только для
F, см. уравнение D.5.15). Для определения Um+1/2 из B.3.74) при ? = 0 получим
D.5.16)
Формулы U могут оказаться полезными, например, при аппроксимации недиффе-
недифференциальных членов, при вычислении наклонов кусочно-линейных распределений се-
сеточных функций в процедуре реконструкции, при построении подвижных систем ко-
координат, см. B.3.76) и C.4.22).
310
Гл. 4. Уравнения теории мелкой воды
В ряде задач может быть необходимым вычисление на границе ячеек величин вида
Wm+1/2 для функции W(U). Выведем формулы для данного случая. Подстановка U =
= U(W) в систему уравнений D.1.13) дает
*. Щг =
Применяя уравнение D.5.16), получаем
)*+1/2 (W*-
D.5.17)
S=uR[signXpdpl]uL.
Для сохранения свойств метода Роу будем выбирать Wv таким образом, чтобы для
любых конечных разностей выполнялись точные равенства
вид
D.5.18)
Если существует WU9 удовлетворяющие D.5.18), то уравнение D.5.17) принимает
Ukm-Vkm+X), D.5.19)
l
Используя равенства AW = i^AY и AU =
Выберем в качестве W следующие функции:
, находим, что
w =
Тогда
AW =
2RAR
2UAU
2gRR2AR _
Поделив все компоненты AW на R, получим
2 0 0
0 2п 0
2с2 0 0
Используя формулы D.5.9) и D.5.20) для нахождения
находим выражение для Wv = srfwsrf^x\
1 0 0
-u2 2u 0
с2 0 0
D.5.20)
и решение D.5.11),
4.5. Приближенные решения задачи Римана 311
Таким образом, в соответствии с уравнением D.5.19) можно вычислить hu2 и jgh2
на границе ячейки. При W = F уравнение D.5.19) переходит в уравнение D.5.15).
При W = U уравнение D.5.19) совпадает с соотношением D.5.16) при Wv — /, где /
— единичная матрица размерности 3x3. Заметим, что при этом формулы D.5.15) и
D.5.19) являются согласованными. Действительно, легко проверить, что
{hu2 + ytf) = {hl?) + ^gA2)j {f) =/m+i/r D.5.21)
Здесь (/) обозначает значение на границе функции /. В частности, соотноше-
соотношение D.5.21) следует из того, что вторая строка матрицы я/ равна сумме второй и третьей
строк матрицы Wjj.
При построении схемы Роу для случая произвольной подвижной криволинейной си-
системы координат можно использовать методы, описанные ранее для уравнений газовой
динамики в разд. 3.2.
4.5.3. Схема Ошера—Соломона. Метод Ошера-Соломона, применение ко-
которого для уравнений газовой динамики описано в п. 3.4.6, может быть легко распро-
распространен на уравнения теории мелкой воды. При этом нужно найти инварианты Римана
для системы D.1.1), D.1.2). Это можно сделать, приняв во внимание то, что инвари-
инвариант Римана Wj, соответствующий собственному значению Я/9 должен удовлетворять
соотношению
d
Используя формулы D.1.15) для правых собственных векторов, можно непосред-
непосредственно проверить, что инварианты Римана, соответствующие собственному числу Хх =
= и — с, записываются в виде
v = const, и + 2с = и + 2 л/gh = const.
Аналогично для собственного числа Я2 = и инварианты суть
h = const, и = const.
Соответствующий этому собственному значению сегмент интегральной кривой,
соединяющей U • и U +1, связан с тангенциальным разрывом, разделяющим жидкости
с одинаковыми компонентами скорости и и уровнями свободной поверхности h, но
имеющими произвольный скачок тангенциальной компоненты скорости v.
Для сегмента, соответствующего Я3 = и + с, имеем
v = const, u-2c—u -2^/ф — const.
Как обычно делается в схеме Ошера-Соломона, введем точки U /+1 ,ъ и U +2/з>
соответствующие конечным точкам первого и второго сегментов путей интегрирования
в фазовом пространстве (рис. 3.15). Значения функций в этих точках связаны формулами
Cj+2/3 = Cj+\/V Uj+2/3 =
Uj+\ - 2cj+\ = Uj+2/3 ~ 2cj+2/V Vj+1 = Vj+2/3'
312 Гл. 4. Уравнения теории мелкой воды
Следовательно,
1 г I
4 L J J
1
h — h (A S ?4"l
nj-\-2/3 — у+1/3' V+.^.z-^+y
И/+2/3 = Иу+1/3- D-5-25)
Ясно, что собственные значения Aj и А3 могут изменить знаки вдоль соответствую-
соответствующих сегментов. Если обозначить значения искомого вектора в соответствующих точках
через Uy+1/6 и Uy+5/6, то получим
D.5.26)
D.5.27)
Отсюда находим, что
Аналогично имеем
:v,+1, D.5.29)
2с/+1 -
Так как с = л/gh, приходим к заключению, что равенства D.5.22)-D.5.31) позволяют
вычислить поток в схеме Ошера-Соломона, используя формулу C.4.54).
4.6. Стационарные уравнения теории мелкой воды
В этом разделе построены методы типа Годунова для системы уравнений, описываю-
описывающей стационарные сверхкритические (бурные) двумерные течения жидкости в рамках
теории мелкой воды (Семенов, ранее не публиковалось).
4.6.1. Система уравнений. Система стационарных уравнений теории мелкой
воды получается из уравнений D.1.1), D.1.2) в предположении, что все производные по
времени равны нулю:
div(Av)=0, D.6.1)
div(Aw) +gAdiv(f I) = f. D.6.2)
4.6. Стационарные уравнения теории мелкой воды 313
Уравнения D.6.1) и D.6.2) выражают законы сохранения массы жидкости и сохра-
сохранения (изменения) ее импульса. В развернутой форме эта система принимает вид
dhu dhv _
dx dy
dx
+ ¦
dhuv
dhvu
dx
dy
_ db
2 dy
D.6.3)
D.6.4)
D.6.5)
Течения воды, описываемые стационарными уравнениями, включают в себя сверх-
сверхкритические течения с числом Фруда Frx = \u\/c> 1 или Fr^ = \v\/c > 1, где с = л/gh.
Такие сверхкритические течения имеют место в нижних бьефах гидроэлектростанций,
в различного рода технических сужениях и водозаборниках (см., например, Stoker, 1957;
Daily, Harleman, 1966; Емцев, 1967). Примеры таких стационарных потоков приведе-
приведены на рис. 4.11—4.15. Заметим, что стационарные сверхкритические потоки можно
численно моделировать в рамках уравнений D.1.1), D.1.2) с использованием метода
установления по времени. Однако использование уравнений D.6.1) и D.6.2) для сверх-
сверхкритических течений во всей вычислительной области может дать решение значительно
более быстро.
В векторных обозначениях система D.6.3)-D.6.5) принимает вид
— + — = в,
dx dy
где
Е = [/ш,/ш2 + ^-g/z2,/шу]т,
B = [o,A-ghbx,f2-ghb/, bx=d±, by = fy.
Эти уравнения в квазилинейной форме записываются как
— dv - в
dx dy
D.6.6)
D.6.7)
D.6.8)
D.6.9)
D.6.10)
аи
U R 0
2gR3 2U 0
0 V U
d?
аи
V О R
О V U
2gR3 О 2V
U=
D.6.11)
Здесь в качестве вектора искомых переменных U был выбран вектор переменных Роу
D.5.7). Можно использовать в качестве искомых также другие переменные, в частности,
U = [hMMY или U = [//,i/,v]T.
Матрица^ в уравнении D.6.10) приводится к диагональному виду
D.6.12)
314
где
Гл. 4. Уравнения теории мелкой воды
иХх — v 0 иХ2 — v
{и2 — 2с2) Хх — uv и {и2 — 2с2) А2 - uv
2с2 — v2 + г/vAj v 2с2 — v2 + i/vA2
D.6.13)
detQR
= diag[A1,A0,A2],
(i/+vA2Jc2 (г/А2 — v)v (г/А2 — v)(—г/)
O2 + v2-2c2Jc2AA -2г/с2АА -2vc2AA
(г/Aj — v)(—v) {uXl—v)u
D.6.14)
о _ л _ uv± cVu2 + v2-c2 _ v _ _
Ar> i — A_i_ — ^ ^ , Лл — —, ДА — Л^ — Ai, С —
' и2 —с2 и
Здесь с — это скорость распространения малых возмущений в течениях мелкой
воды. Система D.6.3)-D.6.5) является гиперболической при условии и2 + v2 > с2. Это
условие не позволяет пока определить является ли эта системах- или у- гиперболической
(п. 1.3.2). Она будет х-гиперболической при и2 > с2 и у-гиперболической при v2 > с2.
Далее будем рассматривать случай х-гиперболичности.
Матрица А = FyE^1, которая отличается от матрицы А перестановкой матриц-
сомножителей, также приводится к диагональному виду
A=FjjE7}1 = QRAQL, D.6.15)
где
QT =
QR =
и + v
—и —V
2{uX2-v) -A2
1
L = (i/2+v2)AA;
D.6.16)
detQT
—АА
-(и2 -v2 + 2uvX2) -2uAX и2 -v2 +2uvXx
-Buv+(v2-u2)X2) -2vAA
(v2-u2)l
l J
Заметим, что правый собственный вектор матрицы QR с номером р и левый соб-
собственный вектор матрицы QL с номером q удовлетворяют соотношениям
Отсюда следует, что
¦ (Fu-
)rP = О, \%FU-XqEv)
= Q при ХрфХС1.
4.6. Стационарные уравнения теории мелкой воды 315
Тем самым, матрица QLEUQR является диагональной.
Получим выражения для матриц А и А при выборе других переменных и, где U =
= U(u). Имеем
А (и) = М" ХА (U)M, 2(u) = A(\J),
где М— d\]/du. Следовательно, матрица^ инвариантна относительно замены перемен-
переменных и поэтому ее использование может дать более компактные формулы для численных
алгоритмов.
4.6.2. Метод Годунова. Конечно-объемные схемы КИР и Роу. По-
Построим двумерную разностную сетку с постоянными шагами Ау и Ах. Пусть \Jt обозна-
обозначает значения сеточной функции U в центре дискретной ячейки, принадлежащей оси
у и имеющей номер /, где / = 1,2,... Предположим, что сеточные функции постоян-
постоянны внутри каждой из ячеек. Тогда для каждой границы с номером / + 1/2 на каждом
шаге по х, можно решить задачу Римана для уравнений D.6.1), D.6.2) со следующими
начальными данными: Uf = const при у < 7/+1/2 и Uf+1 = const при у > J/+1/2- Пусть
U/+1/2 — решение такой задачи. Тем же способом находится вектор U.^ ,2 для грани-
границы с номером /— 1/2. Тогда конечно-объемная схема Годунова для рассматриваемых
уравнений примет вид
где правая часть Bt аппроксимирует рельеф дна, см. формулу D.2.6). Здесь целый
верхний индекс k = 0,1,... обозначает значения сеточной функции на k-м шаге вдоль
осих.
Спектральное исследование устойчивости (Richtmyer, Morton, 1967) линеаризован-
линеаризованных уравнений D.6.17) приводит к условию устойчивости
С = тах|Я+|— < 1.
±1Ау ~
Решение разностной схемы D.6.17) сводится к решению системы нелинейных урав-
уравнений
(/ш)*+1=е„ (hu2 + tgh2)^1 = Р„ (huvf+^R,. D.6.18)
Разрешая ее относительно //, и и v, получаем
2Р О
3g g
Используя формулы для корней кубического уравнения (см., например, Бронштейн,
Семендяев, 1954; Korn, Korn, 1968), определяем следующее физически согласованное
решение для h:
^ + -^V cos у =4-, г =
3 3 / г*
316 Гл. 4. Уравнения теории мелкой воды
После этого можно найти г/^+1 и ^
При использовании произвольных трапециевидных ячеек разностные уравнения
D.6.17) меняются с учетом соответствующих длин сторон и направления нормалей к
ним. Такие, более общие, разностные уравнения выписываются применением метода
конечных объемов к интегральной форме уравнений D.6.6), см. разд. 4.2, где этот подход
был применен для нестационарной системы уравнений. Описанная выше разностная
схема обладает первым порядком точности. Схемы более высокого порядка могут быть
построены с использованием тех же методик, что и для случая нестационарных систем
уравнений (разд. 4.2).
Схемы Куранта-Изаксона-Риса (КИР) и Роу
Рассмотрим конечно-объемные схемы КИР и Роу, которые основаны на приближенном
решении задачи Римана. Одна из схем типа КИР, например, схема B.3.25), B.3.26), для
двумерных уравнений D.6.6) принимает вид
m+l/2 2 j )m+\/2^m ~^m+\)^ m = M~1j
ИЛИ
p
При использовании схемы D.6.19) следует вычислять матрицу \А\, где выражения
для QR, QL и Л выписаны ранее, см. формулы D.6.13), D.6.14). Вместо матрицы А
может быть использована также матрица А, определяемая формулой D.6.15). В этом
случае разностная схема имеет тот же вид, что и схема D.6.19), но с более компактными
формулами для вычисления потоков:
или
F
m+l/2
Схема Роу отличается от разностной схемы D.6.19) специальным выбором замо-
замороженной матрицы А (или А). Обозначим ее через я/ (или, соответственно, &/). Эти
матрицы должны удовлетворять соотношениям
sf = g-l&w ^=^vg-\ AF = J^AU, AE = 4/AU, D.6.20)
^ )], D.6.21)
, D.6.22)
1), AF =
4.6. Стационарные уравнения теории мелкой воды 317
Матрицы S'jj и &jj выбираются таким образом, чтобы соотношения D.6.20) были
выполнены точно для любых конечных разностей. Матрицы ^v и ijj удовлетворяют
соотношениям D.6.21) и D.6.22), так как в качестве вектора U был выбран вектор
переменных Роу. Такой выбор матрицы srf позволяет точно выполнить соотношения
на гидравлическом прыжке (разд. 4.3). Заметим, что матрица srf совпадает с матрицей
D.6.12), где вместо соответствующих переменных г/, v и с должны быть подставлены
соответствующие переменные г/, v и с, усредненные по Роу D.5.10).
Для использования преимуществ метода Годунова, основанного на точном решении
задачи Римана, построим сначала это решение.
4.6.3. Элементарные решения задачи Римана. Построение точного ре-
решения задачи Римана для стационарных уравнений теории мелкой воды будет следовать
логике построения решения для стационарных уравнений газовой динамики, изложен-
изложенного ранее в разд. 3.6. Сначала будут найдены элементарные решения, а точное решение
общего вида получится затем на основе их комбинации.
Элементарное решение 1: косой гидравлический прыжок. Первым из элемен-
элементарных решений уравнений теории мелкой воды рассмотрим стационарный разрыв.
Рассмотрим интегральную форму уравнений D.6.6)
<f(Edy-Fdx)= П Kdxdy, D.6.23)
Jl J Jg
где L — это контур, ограничивающий конечную область интегрирования G на плос-
плоскости (х,у). Проводя выкладки, аналогичные выводу соотношения B.2.14), получаем
соотношения на разрыве в виде
0{E(U)} - {F(U)} = 0. D.6.24)
где в = const — это наклон разрыва. Здесь использовано обозначение {q} = q^ — q2, где
индексы 1 и 2 обозначают переменные, соответственно, сверху и снизу от разрыва.
Пусть Uj = [hx, ux, vj1, U2 = [h2, u2, v2]T и b постоянны, a f = 0. Отметим, что одно-
однородные состояния Uj и U2, каждое по отдельности, удовлетворяют уравнению D.6.23).
Тогда уравнение D.6.24), связывающее величину в с Uj и U2, принимает вид
e{hu}-{hv} = 0, D.6.25)
в{Ы2 + \gh2} - {huv} = 0, D.6.26)
Q{huv] - {hv2 + \gh2} = 0. D.6.27)
Если эти соотношения выполнены, то такой разрыв является формальным решением
уравнений D.6.23) при f = 0 и Ъ = const.
Введем в рассмотрение следующие переменные V и U, связанные с наклоном ста-
стационарного разрыва:
V = vcos a - г/sina, D.6.28)
U — vsina + i/cosa, D.6.29)
где tana = в, см. рис. 4.21.
318
Гл. 4. Уравнения теории мелкой воды
х
Рис. 4.21. Система координат, связанная с косым стационарным разрывом
В силу выполнения равенства {в} = 0 из уравнений D.6.25)-D.6.27) следуют соот-
соотношения
{hVU} = 0.
D.6.30)
D.6.31)
D.6.32)
Рассмотрим случай hV ф 0, который соответствует наклонному, или косому, гид-
гидравлическому прыжку. Случай hV = 0 соответствует тангенциальному разрыву и будет
исследован отдельно. Заметим, что полученные соотношения следуют из формул для
нестационарных уравнений, см. D.3.6)-D.3.8), при W = 0. Уравнения D.6.30) и D.6.31)
позволяют выписать формулы для V2 и h2 в виде функций hx иУх.
Из соотношения D.6.30) получаем
Используя это равенство и уравнение D.6.31), находим выражение для Vx:
Таким образом, получено выражение для Vx как функции h2 nh^. Обозначим через
m = hV поток массы через разрыв. Из уравнений D.6.30) и D.6.32) следует, что {т} = 0
и {?/} = 0. Тогда
D.6.33)
Напомним, что может существовать гидравлический прыжок только с возрастани-
возрастанием глубины h за прыжком. Это условие означает, что Vx должно быть направлено к
более высокому значению глубины, и позволяет однозначно определить знак в форму-
формуле D.6.33). Иными словами, знак перед корнем выбирается в соответствии с условием
необратимой диссипации полной механической энергии жидкости на фронте гидрав-
гидравлического прыжка, см. условие Рэлея D.3.10).
4.6. Стационарные уравнения теории мелкой воды
\\9
b .
1
к
\
h
и
\
X
X \^
\
Рис. 4.22. Схемы стационарных течений; (g) — это гидравлический прыжок или простая волна,
О — тангенциальный разрыв
Верхний косой гидравлический прыжок
Будем называть гидравлический прыжок верхним, если поток жидкости через него вдоль
оси у направлен сверху вниз (рис. 4.22а), т. е. m — hV < 0. Обозначим параметры потока
сверху от прыжка через \, щ и v:, а снизу от него — через h, и и v (рис. 4.22а). Используя
соотношения {?/} = 0 и {т} = 0, получим следующие уравнения для h, и и v, где h>hl
(или с > Cj):
Vj sina + Mj cos a = vsin a + г/cos a,
(vjcosa-i/jsina)^ = (vcosa- usina)h.
Введя обозначения, см. рис. 4.21,
tan/3T = —, tan/3 = —,
1 Mj г/
перепишем уравнения D.6.34) и D.6.35) в виде
(tan/3Itana+ 1)г/: = (tan/3 tana + 1)г/,
D.6.34)
D.6.35)
D.6.36)
320 Гл.4. Уравнения теории мелкой воды
(tan/3: -tana)/^ = (tan/3 -tana)hu. D.6.37)
Разделив уравнение D.6.37) на уравнение D.6.36) и использовав тригонометриче-
тригонометрическое тождество
tanaitanv
tan(/z±v) = ,
l=Ftan/itanv
получаем соотношение
tan(a-/3) = -^tan(a-/3I), D.6.38)
где /3 > /3:, так как h > А1э и a > /3:, так как F < 0. Для случая V = Vl преобразуем
уравнение D.6.28) следующим образом:
x jj j —j8f) < 0,
Итак
sin(o-ft) = M = M = 1
или
/ 1 \ -1/2 / -, 2 X/2
tan(a-ft)= —5-1 1 =( „ l?\ , -1) ¦ D.6.39)
v Hi; ^ sin2 (a-ft) У V(* + *i)g* У
Используя уравнения D.6.38) и D.6.39), находим tan (j3 - /3j) как функцию /г - АГ:
rfl Дч= tan(«-ft)-tan(«-ff) =(h-hl)tm(a-pl)
[Р Pl> l+tan(a-ft)tan(a-j3) /г + ^tan2 (a-ft) '
В результате получаем
Fri = -г» ft = V ^
ci v
Следовательно,
= (c-cI)(l+tan/3tan/3I)JI, D.6.41)
4.6. Стационарные уравнения теории мелкой воды 321
Заметим, что уравнение D.6.41) может быть разрешено также относительно tan/3.
Тогда
В разд. 3.6 такой подход был развит и применен для решения уравнений стационар-
стационарной газовой динамики. Он дает несколько другое уравнение для определения решения
и может быть также использован в уравнениях теории мелкой воды.
Для определения tana по известному h можно использовать соотношение
tan (а- 8Т) + tan 8Т
tan а = -—v , Qx—Щг > D.6.42)
l-tan(a-j8I)tanj3I
которое зависит от tan (а — /3:), см. уравнение D.6.39), и от tan/3:. Применяя уравне-
уравнение D.6.34) и соотношение v = i/tan/З, можно определить величины и и v.
Нижний косой гидравлический прыжок
Будем называть гидравлический прыжок нижним, если поток жидкости через него
направлен вдоль оси у снизу вверх, т.&.т = hV > 0. Обозначим параметры потока сверху
от прыжка через h, и и v, а снизу от него — через /zn, мп и vn (рис. 4.22Ь). Используя
соотношения {U} = 0 и {т} = 0, так же как и для уравнений D.6.34)-D.6.39), получим
следующие уравнения для /3 и h, где h> //п, или с > сп:
D.6.43)
Frn = "Г. Яп = V «п + vn> сп =
с v
Следовательно,
tanj3n -tan/3 = (с- сп)A +tanj3tanj3n)Jn, D.6.44)
Для определения tana его следует выразить через tan/3n и tan(/3n - а), применяя
соотношения
+tan/3ntan(/3n-a)'
v^n J \(h + h)gh )
где /Зп > а, так как V > 0. Далее, используя уравнение D.6.34) и соотношение v = i/tan/3,
можно определить г/ и v.
Гидравлический прыжок является автомодельным решением относительно пере-
переменной г/ = у — Qx, где в = const. Это решение также является автомодельным относи-
относительно переменной ^ =у/х. Поэтому разрыв на плоскости (х,у) представляется прямой
линией с уравнением ^ = в = const.
322 Гл.4. Уравнения теории мелкой воды
Элементарное решение 2: тангенциальный разрыв. Данное решение уравне-
уравнений теории мелкой воды является специальным случая разрыва, когда поток жидкости
через разрыв равен нулю, T.t.m — hV — hx Vx — h2V2 = 0. Следовательно, из соотноше-
соотношения D.6.31)
V=Vx = V2 = 0, {h} = 0.
Обозначим значения переменных сверху разрыва через А1э их и vl9 а переменные
снизу разрыва — через А2, u2i&v2. Тогда из соотношений {//} = 0 и V = 0 получим, что
hx=h2 = A, tana = tan/3x = — = tan/32 = —. D.6.46)
Элементарное решение 3: простая волна разрежения. Следующим элементар-
элементарным решением уравнений теории мелкой воды является простая волна, или волна раз-
разрежения. Это решение является непрерывно-дифференцируемым. Поэтому найдем его
из решения уравнений теории мелкой воды D.6.3)-D.6.5) в неконсервативной форме
при горизонтальном рельефе дна (b = const) и f = 0:
uhx + vhy + (ux + vy)h = 0,
uvx
Будем искать гладкое решение в автомодельном виде f(x,y) =
ставляя h = А(?)э и — w(?) и v = v(^) в D.6.47)-D.6.49), получаем
= 0,
D-
D.
D.
D.
D-
D-
6.47)
6.48)
6.49)
Под-
6.50)
6.51)
6.52)
Система D.6.50)-D.6.52) для Ае, и* и v^ может иметь ненулевое решение только
если детерминант матрицы ее коэффициентов равен нулю. Это требование приводит к
следующим трем независимым условиям существования нетривиального решения:
-w?+v = 0, D.6.53)
-u$ + v = +сЛ/ГТ|1, D.6.54)
_w?+v = -сл/1 + %2, с=л/ф. D.6.55)
Используя обозначения Е, = tana и tan/3 = v/u, см. рис. 4.21, преобразуем D.6.54) и
D.6.55) к виду
sin(a-/3) = T^^- = T- = T —, Fr=^, q=V^+v^. D.6.56)
и q Fr с
Рассмотрим последовательно уравнения D.6.50)-D.6.52) для каждого из случа-
случаев D.6.53)-D.6.55), которые пронумеруем, соответственно, как I, II и III.
4.6. Стационарные уравнения теории мелкой воды
Случай I:
323
Искомое решение имеет вид А = const и u = v = 0. Это решение физически триви-
тривиально.
Случай II:
Следовательно,
Используя D.6.56), находим
D.6.57)
dh _ gcos(q-/3)
gcos(a-j3)(l+tan2j8)cosj3 dh _ A+Ш2
c«cosj3
r2 - 1 Э/г
Следовательно,
D.6.58)
Используя формулы D.6.57), находим
Таким образом, в простой волне выполнено соотношение
L
= const,
D.6.59)
которое описывает сохранение полной механической энергии массы жидкости.
Случай III:
По аналогии со случаем II находим
dtan/3 _ (l+tan2/3)gv^r2^T
= 0.
= R(p,c)^-. D.6.60)
Нетрудно показать, что и в этом случае выполнен закон сохранения D.6.59).
324 Гл.4. Уравнения теории мелкой воды
Верхняя простая волна разрежения
Будем называть простую волну верхней, если поток жидкости через нее вдоль оси у
направлен сверху вниз, т. е. rn = hV <0.В этом случае будут выполнены соотношения
D.6.55), D.6.59) и D.6.60):
D.6.61)
jq2 +gh = const.
Тогда т = hV = (v — i/^)//cosa = —he < 0.
Обозначим параметры потока сверху от простой волны через \, щ и v:, а снизу от
нее — через h, и и v (рис. 4.22с). Проинтегрировав уравнение D.6.61) по переменной %
поперек простой волны, получим следующие соотношения, связывающие tan/З и с:
tan/З -tan/3: = (с- с:)г:, D.6.62)
)||^, 7?(/3,c)=2(l+tan2/3)-
D.6.63)
Знак ~ указывает на аппроксимацию второго порядка точности относительно ^.
Здесь предполагается, что простая волна на плоскости (х,у) ограничена лучами ^ =
= с^ и ? = ?j* (рис. 4.22с). Отметим, что вместо аппроксимации D.6.63) могут быть
использованы и другие способы. Для повышения точности аппроксимации в сильных
простых волнах следует в расчетах вдоль направления у использовать более подробную
пространственную сетку.
Нижняя простая волна разрежения
Будем называть простую волну нижней, если поток жидкости через нее вдоль оси у
направлен снизу вверх, т. е. rn = hV > 0.B этом случае будут выполнены соотношения
D.6.54), D.6.58) и D.6.59):
| D.6.64)
jq2 + gh = const.
Тогдаm — hV— (v-u^)hcosa = he > 0.
Обозначим параметры потока сверху от простой волны через h, и и v, а снизу от нее
— через hu, мп и vn (рис. 4.22d). Проинтегрировав уравнение D.6.64) по переменной ?
поперек простой волны, получим следующие соотношения, связывающее tan/З и с:
tan/3n - tan/З = (с - cu)rIV D.6.65)
гп = rn(j3,c) =
C~C
rn(j3,c) ~ ^[^(ftI)Cn) +^(j3,c)]. D.6.66)
4.6. Стационарные уравнения теории мелкой воды 325
Здесь предполагается, что простая волна ограничена на плоскости (х,у) лучами
|=?пи|=|п(рис.4.22<1).
4.6.4. Точное решение общего вида. Точное решение задачи Римана общего
вида может состоять из двух гидравлических прыжков, или двух простых волн разре-
разрежения, или гидравлического прыжка и простой волны разрежения, с тангенциальным
разрывом между ними, которые отделены друг от друга областями постоянного тече-
течения (рис. 4.22е). Решение представляет из себя стационарную картину течения, которая
возникает в области х > О при взаимодействии двух равномерных полубезграничных
сверхкритических потоков мелкой воды, встречающихся на прямой линии у = 0. Част-
Частными случаями общего решения являются одиночный гидравлический прыжок или
одиночная простая волна (рис. 4.22a-d).
Построим точное решение общего вида на основе полученных выше элементарных
решений. Отметим, что значения с и tan/З в центральной зоне для общего случая, см.
рис. 4.22е, могут быть определены на основе решения двух нелинейных уравнений.
Используя уравнение D.6.44) (или, соответственно, D.6.65)) и уравнение D.6.41) (или,
соответственно, D.6.62)) и соотношения на тангенциальном разрыве D.6.46), получаем
следующую систему уравнений для определения с и tan/3:
tan/3n- tan/3 = (с-c^QM, D.6.67)
tan/3-tanft = (с-^(/3,с), D.6.68)
где
,c)}, R(p,c) = 2A+tan2p)Vq 2 ° прис<сп.
Здесь n = I или II, a Fr = q/c, q = \/u2 + v2 и с = y/gh. Будем решать уравне-
уравнения D.6.67), D.6.68) методом простых итераций. При этом первое приближение можно
задать в виде
(i) <p[cI + (p[IcII+tan ftt-tanft
= tanft + (CW - Cl)<p, = tanftj -
<pn = <pn(Pn,Cn), Я = 1,11.
Для итерации с номером к = 1,2,... положим
+ tan ft;- tanft (k)
= tanft + (c(*+1> - cjf^ = tanj3n -
l% и = 1,11.
326 Гл.4. Уравнения теории мелкой воды
Для вычисления h,q,uvL v в веере волны разрежения следует использовать формулы
h = c2/g, v = i/tan/3, u = q/y/l + tan2/3 и соотношение D.6.59).
Во многих случаях для сходимости этого итерационного процесса с погрешностью
не более 1% для с требуется от двух до восьми итераций. Для определения точно-
точного решения могут быть применены другие итерационные алгоритмы (см., например,
разд. 3.6).
Так же как и в случае нестационарной системы уравнений, см. разд. 4.3, после реше-
решения уравнений D.6.67) и D.6.68), необходимо провести анализ получившегося течения
и определить решение //(?), м(^) и v(^) для заданного луча ^, который совпадает с на-
наклоном границы дискретной ячейки к оси х. В частности, при ?, = О это будет граница
параллельная оси х. Для определения параметров потока следует использовать также
соотношения для конфигурации течения с простыми волнами или соотношения для
гидравлических прыжков.
Построенное точное решение о взаимодействии двух сверхкритических потоков
мелкой воды может быть использовано в маршевом методе Годунова, который ранее
был описан в п. 4.6.2. Опишем особенности его применения на примере задачи, схема-
схематично изображенной на рис. 4.12. Приступая к решению этой задачи, следует построить
в самом начале профиля канала первый слой дискретных четырехугольных ячеек, кото-
которые ограничены двумя прямыми параллельными оси у. Далее, на этих четырехугольных,
в общем случае трапециевидных, ячейках записывается и решается система разност-
разностных уравнений типа D.6.17). При этом значения параметров воды на левых сторонах
ячеек считаются известными из входных параметров потока, а значения на нижних и
верхних сторонах ячеек находятся из точного решения задачи о взаимодействии двух
сверхкритических потоков мелкой воды. На нижней границе области точное решение
находится из условия симметрии потока, а на верхней — из решения задачи об об-
обтекании непроницаемой стенки. Решая затем разностные уравнения D.6.17), находим
значения параметров потока на правых сторонах ячеек. Далее строится следующий
слой дискретных ячеек и процедура повторяется. Таким образом, решение строится
последовательно, или маршевым методом, вдоль оси х: после нахождения решения в
одном слое ячеек, строится решение в следующем слое и т. д.
Глава 5
Уравнения магнитной
гидродинамики
В п. 1.3.4 приведена квазилинейная система МГД-уравнений для идеальной, бесконечно
проводящей плазмы, показано, что она имеет гиперболический тип, и выписана невыро-
невырожденная система собственных векторов матрицы ее коэффициентов. Как упоминалось
ранее, решения гиперболических систем в общем случае должны содержать разрывы.
Это, конечно, справедливо также и для уравнений магнитной гидродинамики. Поэтому
должны развиваться численные методы решения МГД-системы, записанной в консер-
консервативной форме. Эта система включает в себя интегральные законы сохранения массы,
импульса и энергии с учетом действия электромагнитных сил и дополняется уравнени-
уравнениями Максвелла, описывающими поведение электромагнитного поля. Последняя подси-
подсистема в магнитогидродинамическом приближении также может быть записана в форме
законов сохранения. Для полноты изложения в разд. 5.1 описываются предположения,
обычно принимаемые при получении классической гиперболической МГД-системы.
В разд. 5.2 и 5.3 описываются возможные типы разрывов, присущие решениям МГД-
уравнений, и указаны те из них, которые удовлетворяют свойству эволюционности.
Отдельно обсуждается вопрос об эволюционности параллельных ударных волн и волн
включения и выключения. В разд. 5.4 представлены различные подходы к получению
приближенного решения МГД-задачи Римана в одномерной постановке. Описываются
численные методы решения МГД-уравнений, основанные на использовании решения
задачи о распаде произвольного МГД-разрыва для определения потоков через грани
вычислительных ячеек (методы типа Годунова). Приводятся также результаты тесто-
тестовых расчетов, позволяющие сделать заключение о предпочтительности использования
тех или иных разновидностей TVD-схем годуновского типа. В разд. 5.5 описываются
некоторые особенности численного решения МГД-уравнений методами сквозного сче-
счета. Эти особенности связаны с наличием схемных вязкости и сопротивления, которые
неизбежно возникают при использовании конечно-разностных и конечно-объемных ме-
методов. Присутствие численной диссипации может затормозить распад неэволюционных
разрывов или их комбинаций, который в идеальном случае происходит мгновенно под
действием бесконечно малого возмущения. Так как схемная вязкость зависит от выбора
расчетной сетки и, естественно, от выбора самого численного метода, время расщеп-
расщепления неэволюционного разрыва на эволюционные оказывается схемно-зависимым. В
разд. 5.6 обсуждается возможность распространения численного метода Роу, основан-
основанного на решении линеаризованной задачи о распаде произвольного разрыва, на МГД-
задачи, содержащие сильное фоновое магнитное поле. Разд. 5.7 содержит некоторые
соображения о численной реализации условия бездивергентности магнитного поля (от-
(отсутствия магнитного заряда). И, наконец, в разд. 5.8 показано применение описанных
численных методов для решения двумерных и трехмерных задач о взаимодействии
солнечного ветра с намагниченной межзвездной средой.
328
Гл. 5. Уравнения магнитной гидродинамики
В данной главе рассматриваются только уравнения нерелятивистской магнитной
гидродинамики. Отметим лишь, что недавно предложен метод типа Годунова для реля-
релятивистского случая (Komissarov, 1999).
5.1. Консервативная форма МГД-системы
Рассмотрим вначале подсистему, состоящую из уравнений сохранения массы, импульса
и энергии в присутствии электромагнитных сил. Общая форма таких уравнений для
динамики сплошной среды имеет вид (Седов, 1976)
E.1.1)
4 f p\dr= (?pndZ+ [fdr,
at Л Jx Л
J Vn
E.1.2)
E.1.3)
Эта система основана на лагранжевом рассмотрении сплошной среды, в котором
прослеживается изменение во времени величин в первоначально зафиксированном
индивидуальном объеме. Производная d/dt в этом случае — это субстанциональная
производная, которая равна производной по времени от соот-
соответствующего интеграла, взятого по индивидуальному объ-
объему т, окруженному поверхностью X, имеющей внешнюю
единичную нормаль п (см. рис. 5.1).
В уравнениях E.1.1)-E.1.3) v — это скорость, р —
плотность, ? — удельная внутренняя энергия. Физический
смысл системы в том, что временное изменение величин мас-
массы (уравнение 5.1.1), импульса (уравнение 5.1.2) и энергии
(уравнение 5.1.3) состоит из объемного вклада и поверхност-
поверхностных эффектов. С этой точки зрения рп — это плотность по-
поверхностной силы, f— плотность объемной силы, qn — поток
тепла через X, а А — это приток/отток энергии за счет локаль-
ных объемных источников и стоков (например, гравитации и
радиации). Действие электромагнитного поля на заряженные
частицы проявляется через силу Лоренца, которая в нерелятивистском случае |v| <С с
(с — это скорость света в вакууме) задается формулой
Рис 5 1 Объем интегри-
рования
E.1.4)
где ре и j — это плотности заряда и электрического тока, а Е и В — напряженности
электрического и магнитного полей. Эта формула в принятом нерелятивистском при-
приближении является галилеевым инвариантом. Это означает, что выражение E.1.4) для f
одинаково в любой системе координат, движущейся со скоростью v. Вспомним, что
электромагнитное поле в такой системе координат преобразуется по формулам (Лан-
(Ландау, Лифшиц, 1992)
' = E + -(vxB),
с
E.1.5)
5.1. Консервативная форма МГД-системы 329
B' = B--(vxE). E.1.6)
с
Важно, что величина j в E.1.4) — это плотность тока в неподвижной системе
координат и поэтому может быть представлена в виде
где \f — это ток проводимости, а второе слагаемое описывает токи, связанные с движе-
движением среды как целого. Полный приток энергии, который приносится электромагнит-
электромагнитным полем в единичный объем за единицу времени задается формулой
А=\Е. E.1.7)
Обусловленное токами проводимости выделение тепла J (джоулево тепло) — это раз-
разница между полной энергией А и работой силы Лоренца
Введем тензор напряжений
Р =[#./]> Pij=Pjv
где ptj — это напряжение в среде в направлении е,- на площадке, перпендикулярной
единичному базисному вектору е • выбранной системы координат. Если ввести вектор
р7 = Pij^i, то полная сила, действующая на единичный элемент площади X с вектором
нормали п, есть
ри = ру«у, E.1.8)
где п- — это проекция п на е •. По повторяющимся индексам здесь подразумевается
суммирование.
Интегралы по поверхности в правой части уравнений E.1.1)—E.1.3) с помощью
формулы Гаусса могут быть преобразованы в объемные интегралы
E.1.9)
/(). E.1.10)
Jx
Если рассматривать течения идеального газа в отсутствии вязкости и теплопровод-
теплопроводности, то
Р = -Д E.1.11)
где I — единичный тензор, и после замены субстанциональных производных d/dt на
эйлеровы частные производные d/dt уравнения E.1.1)—E.1.3) принимают вид
E.1.12)
= O, E.1.13)
- j • e] dx = 0. E.1.14)
330 Гл.5. Уравнения магнитной гидродинамики
Здесь т — неподвижный объем в фиксированной системе координат, и
Эту систему нужно дополнить уравнениями Максвелла (Ландау, Лифшиц, 1992)
^j + I^, E.1.15)
с at
-^-, E.1.16)
с at
E.1.17)
divB = 0, E.1.18)
где ре — плотность заряда.
Между напряженностью магнитного поля Н и магнитной индукцией В не делается
различия, так как в используемой гауссовой системе единиц
а магнитная проницаемость /1 для полностью ионизированной плазмы полагается рав-
равной единице.
Подставляя величины ре и j из уравнений Максвелла в выражение для силы Лоренца,
последнее можно переписать в виде
f = РеЕ + -Q х В) = --?- + divf, E.1.19)
с ат
где
=^(ExB); f=[7;J> 7Jy = ^W
Аналогично
j.E = -divs-^, E.1.20)
где
Вектор g имеет смысл электромагнитного импульса в единичном объеме, Т—тензор
напряжений электромагнитного поля, w — плотность электромагнитной энергии, as —
вектор Пойнтинга, т. е. вектор потока энергии электромагнитного поля через единицу
площади.
Таким образом, если принять во внимание тот факт, что интегрирование в урав-
уравнениях E.1.12)—E.1.14) выполняется по произвольному объему т, систему уравнений
можно записать в форме законов сохранения (Ландау, Лифшиц, 1992)
^ + div(pv) = 0, E.1.21)
at
5.1. Консервативная форма МГД-системы 331
—- + divU = O, E.1.22)
ot
4 + divS = 0, E.1.23)
ot
где
Е2 + В2
G = pv + g, П=[ко] = \ру^+р8и-То], е = ё+ ^ , S = s+l
Величины G, П, е и S можно интерпретировать как полные плотность импульса,
тензор плотности потока импульса, плотность энергии и плотность потока энергии.
Выписанная система может быть вновь представлена в интегральном виде для непо-
неподвижного объема т, ограниченного поверхностью X, который более пригоден для чис-
численного решения:
— / pdx+i рупсП: = 0, E.1.24)
ot JT Jh
— / GdT+ ф П-П(^Х = 0, E.1.25)
ot Jt Jx
^- [ edT+ I SndZ = 0, E.1.26)
ot U Ji,
где
П • n = П-,nte ¦ = (pvtv + pSj- — T-- J ntep Sn = (e + p) vn -\ (E x B) • n.
Для разрешения системы E.1.24)-E.1.26), дополненной уравнениями Максвел-
Максвелла E.1.1 5)-E.1.18), нужно задать уравнение состояния
е = е(р,р) E.1.27)
и привлечь закон Ома, например, в простейшем виде
: + -vxB)+pev, E.1.28)
с )
где а — коэффициент проводимости.
Последняя формула может рассматриваться как экспериментальный факт. Как от-
отмечено ранее, первый член в сумме — это ток проводимости, а второй член ре\ —
конвективный ток.
Оставляя в стороне детали (Куликовский, Любимов, 1962) предположим, что про-
проводимость столь велика, что
^-«1, -^«1, E.1.29)
332 Гл.5. Уравнения магнитной гидродинамики
где /*, v* и L — это характерные время, скорость и длина. Легко видеть, что в этом
случае членами dTL/dt и 4npev в уравнении
1 ЭЕ Ак Г / 1 \ 1
rotB — = — a E + -vxB +pevL
с dt с [ V с ) \
следующем из E.1.15) и E.1.28), можно пренебречь по сравнению с 4тго"Е.
Таким образом, в предположениях E.1.29) из системы E.1.24)—E.1.26), E.1.15)-
E.1.18) можно исключить напряженность электрического поля:
1 с2
E = -[vmrotB-vxB], vm = —. E.1.30)
Коэффициент vm имеет ту же физическую размерность, что и кинематическая
вязкость, и поэтому называется магнитной вязкостью. Таким образом, из уравне-
уравнений E.1.16) и E.1.30) получаем
—- =rot(vxB)-rot(vmrotB). E.1.31)
at
Сравнивая величины членов в правой части уравнения E.1.31), находим, что если
выполняется условие
Z
Rem = — = ^- » 1, E.1.32)
то вторым членом можно пренебречь, и получаем
-5-=rot(vxB). E.1.33)
at
По аналогии с гидродинамикой Rem называется магнитным числом Рейнолъдса.
Уравнение E.1.33) называется уравнением индукции, или уравнением Фарадея. Легко
покомпонентно проверить, что
rot (v х В) = div (vB - Bv).
Поэтому уравнения Максвелла E.1.15)-E.1.18) сводятся к уравнению Фарадея
— = div(vB-Bv) E.1.34)
at
и уравнению отсутствия магнитного заряда
divB = 0. E.1.35)
Отметим, что если <7 = const, то
rot (vm rotB) = -vmAB,
и уравнение E.1.31) принимает вид
-?- = rot (v х В) + vmAB. E.1.36)
at
5.1. Консервативная форма МГД-системы 333
В нерелятивистском случае, при
2
^«1, E.1.37)
прямая оценка показывает, что при выполнении предположений E.1.29) токи смещения
(l/4n)dTL/dt и конвективные токи ре\ малы по сравнению с полным током с х rotB/4;r
и, следовательно,
B) E.1.38)
Таким образом, уравнение E.1.15) принимает вид
rotB=^j, E.1.39)
т. е. плотность тока j и напряженность электрического поля Е могут быть найдены
после решения МГД-системы, соответственно, из уравнений E.1.39) и E.1.30).
Заметим, что в предположениях E.1.29), E.1.32), E.1.37) электрической силой реЕ
и энергией электрического поля Е2/8п можно пренебречь по сравнению с магнитной
силой j х В/с и магнитной энергией В2/8п. Следовательно, можно принять
w=^ 4(jxB)-
Отметим также, что в предположениях E.1.29) и E.1.37) оказывается, что В и j
остаются неизменными в любой инерционной системе координат. Действительно, пре-
преобразование Лоренца дает формулу E.1.6) для магнитного поля в системе координат,
движущейся со скоростью v. Инвариантность В следует из оценки величины Е на
основе E.1.30):
\сВ, V,\
Е < тах< , —В* >,
\оЬ с J
где L и величины с индексом * являются характерной длиной и характерными величи-
величинами соответствующих векторов. Тогда
V2
< В* max
\aV с2
Таким образом, получается окончательный вид системы МГД-уравнений в форме
законов сохранения
^ + divpv = 0, E.1.40)
at
E.1.41)
E.1.42)
334
Гл. 5. Уравнения магнитной гидродинамики
Здесь принята во внимание формула
(v х В) х В = -\В2 + В (v • В)
и введены полная энергия единицы объема газа и полное давление
в2
в2
Как отмечено ранее в п. 1.3.3, уравнение E.1.35) математически излишне, так как
после применения оператора дивергенции к уравнению Фарадея, принимая во внимание
формулу векторного анализа divrota = 0, получается, что
Это означает, что если divB = 0 при t = 0, то это равенство будет выполняться
всегда. Хотя это справедливо в математическом смысле, некоторый численный магнит-
магнитный заряд может накапливаться, если МГД-система решается в консервативном виде
(см. далее разд. 5.7).
В разд. 5.4 будет рассмотрено применение численных методов к системе E.1.40)-
E.1.42), E.1.34). Как может быть показано прямым дифференцированием, эта система
эквивалентна системе A.3.24) и является гиперболической. Решение этой системы,
записанной в интегральном виде, позволяет эффективно находить разрывные решения
численно.
Если переписать эту систему для компонент вектора консервативных переменных U,
получим консервативную систему МГД-уравнений в виде
Эи дЕ д? ^ = 0, E.1.43)
где U = [р, ри, pv, pw, е, Вх, Ву, BZ]J,
Е =
ри
0
uBz - wBx
uBy-vBx
ay
pv
D
BvBz
vBx - uB
0
у
vB: - wBy
pw
BVBZ
wBx - uBz
0
wBy - vB-_
5.2. Классификация МГД-разрывов
В этом разделе классифицируются возможные типы МГД-разрывов и указываются те
из них, которые удовлетворяют свойству эволюционности. Так как этот предмет хоро-
хорошо описан в различных монографиях по магнитной гидродинамике, мы обсудим только
5.2. Классификация МГД-разрывов 335
факты, необходимые для последующего изложения. Из уравнений E.1.24)-E.1.26)вид-
E.1.24)-E.1.26)видно, что в системе координат, связанной с поверхностью разрывах, должны выполняться
следующие соотношения:
R
{рМ = 0, {ft.n}=0, {Sn}=0, E.2.1) L
где {/} = /R — /L — это скачок функции/в точке, принадлежащей X
(см. рис. 5.2, где вектор нормали обращен в сторону движения раз-
разрыва по отношению к газу). Эти соотношения выражают сохранение
потоков массы, импульса и энергии через X. ^
Уравнение Фарадея E.1.34) дает
Рис. 5.2. Поверх-
{(vB - Bv) • n} = 0. E.2.2) ность разрыва
Здесь п — это вектор единичной нормали. Соотношения E.2.1) и E.2.2) можно спро-
спроецировать на нормальное и касательное направления и получить
= 0, E.2.3)
0, E.2.4)
E.2.5)
= 0, E.2.6)
{Bn\t-VnBt} = 0, E.2.7)
{Вп} = 0. E.2.8)
Формула E.2.8) является следствием бездивергентности магнитного поля. Индек-
Индексы п и t относятся, соответственно, к нормальным и тангенциальным компонентам
векторов, а скорость v берется в системе координат, связанной с разрывом.
Если обозначить поток массы как т = pvn, система E.2.4)-E.2.8) примет вид
{т} = 0, E.2.9)
E.2.10)
E.2.11)
E.2.13)
Здесь введена удельная энтальпия h = ?+p/p.
МГД-разрывы обычно разделяются на четыре группы (Ландау, Лифшиц, 1992): кон-
контактные разрывы, тангенциальные разрывы, вращательные (альфвеновские) разрывы
336 Гл.5. Уравнения магнитной гидродинамики
и ударные волны. Первые два типа имеют место при отсутствии потока через поверх-
поверхность разрыва, т. е. при т = 0. Это означает, что vR = v^ — О и газ движется вдоль обеих
сторон разрыва. В этом случае, принимая во внимание то, что 5R = В^ = Вп, получаем
{р*} = 0> ~ё{в'} = 0> e{BrV'} = 0> *»{*} = о.
Если Вп ф О, то
{В,}=0, {v,} = 0, {B»-vr}=0, {p} = 0, E.2.14)
что означает, что скорость, магнитное поле и давление непрерывны, а плотность имеет
произвольный скачок. Это контактный разрыв.
Если Вп = 0, то только полное давление /?* остается непрерывным, а все остальные
величины могут иметь произвольный скачок. Это тангенциальный разрыв.
Если тфО, реализуются два случая. При {р} = 0 нормальные компоненты векторов
скорости и магнитного поля, а также модули этих векторов и все термодинамические
величины непрерывны. Это соответствует вращению векторов скорости и магнитного
поля. Поэтому такие разрывы называются вращательными, или альфвеновскими. Из
уравнений E.2.11) и E.2.13) вытекает, что для них справедливы следующие формулы:
Вп E.2.15)
т. е. такой разрыв движется по газу впереди и позади него с альфвеновской скоро-
скоростью (п. 1.3.4) и
{V'j Акр •
Случай тфОя{р} фО соответствует МГД ударным волнам. Отметим, что тангенци-
тангенциальной компоненте скорости \t в E.2.11)—E.2.13) может быть добавлен произвольный
постоянный вектор. Это означает, что связанная с разрывом система координат фикси-
фиксируется в пространстве только скоростью ударной волны в ее нормальном направлении.
Таким образом, соотношения на ударной волне остаются неизменными в любой си-
системе координат, движущейся вдоль поверхности волны с постоянной скоростью. Это
позволяет нам, например, выбрать систему координат, в которой vR лежит в плоскости,
определяемой векторами BR и п. Сравнивая соотношения E.2.11) и E.2.13), видим, что
при Впф0
LR
Так как pL ф pR, то В^ || BR и, следовательно, векторы vR, BL, BR и п лежат в одной
плоскости. Так как vR — v^ также принадлежит этой плоскости, то же верно для самого
вектора vL. Этот результат не изменяется при Вп = 0, так как в этом случае
E.2.16)
и, следовательно, В^ || BR. Описанное свойство означает, что МГД ударные волны по
своей природе являются плоско-поляризованными.
5.2. Классификация МГД-разрывов 337
Для последующего изложения важны МГД ударные волны в следующих специаль-
специальных случаях: (i) Вп = 0 и (и) В^ = BR = 0. Нетрудно заметить, что в первом случае
одномерные движения в МГД не отличаются от чисто газодинамических, если терми-
термическое давление в системе C.1.1)-C.1.3) заменить на полное давление /?* и в полную
энергию включить энергию магнитного поля. Отметим, что в этом случае на разрывах
|В|/р = const. Такие ударные волны называются перпендикулярными в том смысле, что
магнитное поле впереди и позади них перпендикулярно вектору нормали п. В случае (и)
ударные волны называются параллельными.
Пусть состояние справа от разрыва принадлежит течению перед ударной волной.
Если BR = 0 и В)" ф 0, то ударная волна называется ударной волной включения. И
наоборот, если Bf / 0 и В^ = 0, имеем волну выключения. Ударные волны, которые
не являются ни перпендикулярными, ни параллельными называются косыми. Ранее
отмечалось, что тангенциальная компонента вектора скорости перед ударной волной
может быть повернута в плоскости разрыва путем выбора подходящей движущейся
системы координат. Если Впф 0, можно выбрать систему координат, движущуюся в
плоскости разрыва со скоростью
_ VR _
получая при этом vL || BL и vR || BR.
Соотношения E.2.11)иE.2.13) дают
гвл в2п
\ р / Акт2^ ** '
или
Bf. E.2.17)
4pL Акт2) f \pR 4тш2
Для ударных волн выключения В^ = 0 и, следовательно,
или
где vA = В/д/4тгр — скорость Альфвена (ср. с формулой A.3.26)).
В комбинации с E.2.13) это дает
vR = v^. E.2.18)
Аналогично на ударных волн включения
vL=vi E.2.19)
Отметим, что соотношения E.2.18) или E.2.19) справедливы только в системе коорди-
координат, в которой vR || BR или, соответственно, vL || BL.
Объединяя законы сохранения на ударной волне можно получить ударную адиа-
адиабату, аналогичную адиабате Рэнкина-Гюгонио в газовой динамике (см. Ландау, Лиф-
шиц, 1992):
Ч}Ы}2=о- <5220)
338
Гл. 5. Уравнения магнитной гидродинамики
5.3. Эволюционные МГД ударные волны
5.3.1. Диаграмма эволюционности. Предположим, что полупространство
справа от ударной волны (рис. 5.2) занято невозмущенным газом перед ударной волной и
что нормальная компонента v^ его скорости по отношению к ней отрицательна. Таким
образом, полупространство L занято газом, перешедшим через разрыв. Поверхность
ударной волны является границей между двумя областями непрерывности параметров.
Как отмечено, например, в п. 1.4.4, количество характеристик, уходящих от разрыва,
должно равняться п — 1, где п — количество соотношений на разрыве. В этом случае
ударная волна эволюционна, т. е. задача о ее взаимодействии с малыми возмущениями
имеет единственное решение. Такая ударная волна может существовать, не распадаясь
на другие типы волн.
Как указано ранее, можно выбрать систему координат, движущуюся в плоскости
разрыва с постоянной скоростью таким образом, чтобы векторы скорости, магнитного
поля и нормали лежали в одной плоскости.
Хорошо известно (Ахиезер, Любарский,
Половин, 1958; Сыроватский, 1958; Лан-
Ландау, Лифшиц, 1992), что линеаризованные
соотношения на МГД-разрывах, рассматри-
рассматриваемые как уравнения относительно ампли-
амплитуд малых возмущений состояний перед и
за разрывом и возмущения скорости раз-
разрыва, расщепляются на две группы. Одна
А
из них связывает плоско-поляризованные
(магнитозвуковые) возмущения компонент
векторов, т. е. такие, которые принадлежат
вышеупомянутой плоскости, а также воз-
возмущения плотности и давления. Во вто-
вторую группу входят только возмущения ско-
скорости и магнитного поля, выходящие из
этой плоскости (поперечные, или альфве-
новские). Таким образом, условие эволю-
эволюционности нужно проверять отдельно для поперечных и продольных возмущений.
В магнитной газовой динамике условия эволюционности выделяют быстрые и мед-
медленные ударные волны. Соотношения
Рис. 5.3. МГД-адиабата Гюгонио
определяют быстрые ударные волны, а соотношения
4 < -v* < 4, о < -v\ <
E.3.1)
E.3.2)
определяют медленные ударные волны. Величины медленной магнитозвуковой скоро-
скорости as, быстрой магнитозвуковой скорости af и альфвеновской скорости аА задаются
формулами
\Вп\
В2 , \Вп\се
+
4тгр
В2
Апр
Вп се
E.3.3)
5.3. Эволюционные МГД ударные волны 339
где се — акустическая скорость звука. Как уже упоминалось, магнитозвуковые воз-
возмущения являются плоско-поляризованными, а альфвеновские возмущения векторных
величин ортогональны к плоскости поляризации, проходящей через нормаль к волне и
вектор магнитного поля.
Диаграмма, показывающая эволюционные области представлена на рис. 5.3. Прямо-
Прямоугольники, соответствующие ударным волнам, эволюционным по отношению к альфве-
новским возмущениям, отмечены вертикальной штриховкой. Области, эволюционные
по отношению к возмущениям магнитозвуковых величин (плоско-поляризованным),
отмечены горизонтальной штриховкой.
Можно видеть, что медленные ударные волны являются доальфвеновскими, а бы-
быстрые — сверхальфвеновскими. Все неэволюционные ударные волны являются транс-
альфвеновскими. Вертикальные и горизонтальные полосы на диаграмме эволюцион-
ности пронумерованы. Таким образом, все ударные переходы можно также пронумеро-
пронумеровать. Например, быстрые ударные волны соответствуют переходу 1 —> 2, а медленные —
переходу 3 —у 4. Ударная адиабата на рис. 5.3 (и далее на аналогичных рисунках) приво-
приводится схематически. При этом по горизонтальной оси скорость можно откладывать без
искажений, а по вертикальной оси — качественно, соблюдая только неравенства между
скоростями, откладываемыми вдоль этой оси.
Легко проверить, после преобразования E.2.17) в
/ d2 \
RL - ( п vR I RR
или
Bf, E.3.4)
что тангенциальные компоненты магнитного поля не только коллинеарны на обеих
сторонах быстрых и медленных ударных волн, но также имеют одно направление.
На обеих сторонах медленных ударных волн выполняется неравенство
Так как при обычных предположениях относительно термодинамических свойств газа
энтропия может возрастать только в волнах сжатия (Иорданский, 1958), из закона со-
сохранения массы имеем |v^| < |v^|. Тогда из соотношения E.3.4) следует, что |В^| < |В^ .
Это означает, что при переходе через медленную ударную волну величина тангенци-
тангенциальной компоненты магнитного поля уменьшается. Аналогично можно найти, что при
переходе через быструю МГД ударную волну она увеличивается.
Иногда удобнее представить показанную на рис. 5.3 диаграмму в терминах скорости
ударной волны W. В этом случае необходимо записать уравнения E.3.1) и E.3.2) в
неподвижной системе координат. Получаем:
Xf<W<Xf, X^<W<Xl E.3.5)
для медленных и
W>Xf, X\<W<X\ E.3.6)
340 Гл.5. Уравнения магнитной гидродинамики
для быстрых ударных волн.
Здесь введены характеристические скорости
где
vn = vn + W
является нормальной к разрыву компонентой вектора скорости в неподвижной систе-
системе координат. Собственные значения выписаны в порядке возрастания. Соотношения
E.3.5) и E.3.6) совпадают с общими условиями эволюционности ударных волн, также
называемых условиями Лакса, которые представлены в п. 1.4.4.
5.3.2. Удобная форма соотношений на МГД ударных волнах. Выпи-
Выпишем удобные формулы, которые связывают величины на эволюционных МГД ударных
волнах (Бармин, 1962). Предположим, выбрана система координат, в которой векторы
В, v и п лежат в одной и той же плоскости на обеих сторонах ударной волны. Введем
два безразмерных параметра:
!
*¦=!)¦
Благодаря выбору системы координат, принимая во внимание свойства тангенциаль-
тангенциальных компонент векторов напряженности магнитного поля и скорости при пересечении
ударной волны, векторные обозначения для этих компонент можно опустить.
Может быть показано, что через введенные параметры могут быть выражены скачки
всех величин при переходе через ударную волну:
pL _ l + (l
E38)
В этих равенствах тильдой отмечены компоненты вектора скорости в неподвижной
системе координат. С использованием равенств E.3.8) может также быть получена точ-
точная формула W = vn — vn для скорости ударной волны. Представленные соотношения
весьма удобны, если нужно проверить точность найденных численно скоростей удар-
ударных волн и распределений величин. В частности, для расчетов течений совершенного
газа, когда
можно заметить, что
В2
5.3. Эволюционные МГД ударные волны 341
5.3.3. Эволюционность перпендикулярных и параллельных удар-
ударных волн и волн включения и выключения. Рассмотрим эволюционность
предельных случаев, когда ударные волны являются перпендикулярными, параллель-
параллельными, волнами включения или выключения.
Если ударная волна перпендикулярная, то В^ = В^ = 0 и, следовательно, Яди = а\п =
= 0. Таким образом,
Г Г
В этом случае медленные ударные волны отсутствуют и одномерные МГД-движения
совпадают с одномерными газодинамическими движениями для среды с измененным
уравнением состояния, которое должно теперь включать также и магнитное давление.
Если исходный газ был совершенным, то все перпендикулярные ударные волны сжатия
оказываются эволюционными.
В параллельных ударных волнах В^ = В^ = 0. Соотношения на ударных волнах
E.2.9), E.2.10), E.2.12) в случае параллельной ударной волны принимают форму, совпа-
совпадающую со случаем газовой динамики идеального газа. Как ранее упомянуто в разд. 5.2,
всегда можно выбрать такую движущуюся в плоскости ударной волны систему коор-
координат, в которой также v^ = v^ = 0. Имеем
as = се, af = аА при аА > се,
as = aA, af = се при се > аА.
Наличие этих двух возможностей влияет на условие эволюционное™ параллельных
ударных волн.
Пусть ад < с^. Так как плотность увеличивается при переходе через ударную волну,
то аА и се являются, соответственно, убывающей и возрастающей функциями плотно-
плотности, так что а\ остается больше, чем с*гэ и, следовательно,
Совпадение а}: и а\ означает, что условие эволюционности E.3.2) не может удовле-
удовлетворяться для медленных ударных волн. Что касается быстрых ударных волн, условие
эволюционности E.3.1) преобразуется в
Это справедливо для всех интенсивностей разрыва pL /pR. Отметим, что, как и в
общем случае, быстрые ударные волны являются сверхальфвеновскими.
Ситуация является более сложной при а\> с^. Очевидно, что в этом случае для
малых интенсивно стей ударной волны а\ будет оставаться больше, чем с^, в то время
как для больших интенсивно стей, наоборот, а\ < с?. Найдем диапазон vR, в котором
выполняется свойство эволюционности. Соотношения на ударной волне в совершенном
газе с показателем адиабаты у имеют вид
7 PL , (^J _ Г PR , (vRJ
-—г + ¦
y-lpL 2 7-1рБ
342 Гл.5. Уравнения магнитной гидродинамики
Из этих соотношений легко получить, что
vL = G~ 1)(rVi)i2(^) ' E-зло)
где се = у/ур/р-
Аналогично можно выписать соотношения, которые определяют зависимость аку-
акустической скорости звука и альфвеновской скорости за разрывом от скорости перед
ним:
<h = ^ т^ттт^ -, E-3.11)
<»¦*>
Функции (^ и а\ являются, соответственно, возрастающей и убывающей функция-
функциями |vR|. Точка, в которой с^ = а\, соответствует
При |vR| = cf имеем
|VL, = L = R Г = R > R = L
Функция |vL| убывает с ростом |vR| до тех пор, пока |vR| не достигнет значения
— 1), а затем начинает расти. Легко видеть, что при |vR| = aR выполняется
неравенство
\_H_J_ /(У-1)Ю2+2D)Г
Точка, в которой |vL| = a\, достигается при
Пусть |vR| G [<^,vR]. Тогда |vL| < c^ = а}: и мы имеем эволюционную медленную
ударную волну.
Пусть |vR| G [vR, aR]. Тогда |vL| < а\ = а}: и мы, по-прежнему, имеем эволюционную
медленную ударную волну. Таким образом, параллельные ударные волны при условии
(^ < |vR| < aR эволюционны и являются медленными.
При |vR| e [aR, vRJ имеем |vL| < a\. Эта ударная волна неэволюционна, так как она
трансальфвеновская.
При |vR| e [v^, оо), имеем а\ < \vL\ < c^. Это быстрая ударная волна.
Таким образом, параллельные ударные волны эволюционны при |vR| G [c^, aR], когда
они являются медленными, и при |vR| > v^, когда они являются быстрыми.
5.3. Эволюционные МГД ударные волны 343
Рассмотрим эволюционность ударных волн включения. Эволюционность волн вы-
выключения исследуется аналогично. Как показано в разд. 5.2, |vL| в этом случае точно
совпадает с альфвеновской скоростью а\. Соответствующая характеристическая вол-
волна не может рассматриваться как уходящая, что ставит под вопрос эволюционность
рассматриваемой МГД ударной волны. С другой стороны, ударные волны включения и
выключения всегда присутствуют в решениях задач о поршне (Бармин, Гогосов, 1960) и
о распаде произвольного разрыва (Гогосов, 1961). Так как в реальных разрывах танген-
тангенциальные компоненты магнитного поля обычно возмущены, эти ударные волны можно
рассматривать как пределы быстрых ударных волн при |BR| —у 0.
Из соотношений на ударной волне E.2.9)-E.2.13) можно получить следующее вы-
выражение для тангенциальной компоненты магнитного поля за ударной волной:
(В^J у- 1
8тгр
Для быстрых ударных волн |vR| > aR. Таким образом, второй множитель в квадрат-
квадратных скобках должен быть положительным, т. е. для того чтобы быстрая ударная волна
включения была эволюционной, нужно потребовать выполнения неравенства
lvRl
\vn I
-. \аА) у_ 1
Это означает, что быстрые ударные волны включения эволюционны в том интерва-
интервале, где параллельные ударные волны неэволюционны. Таким образом, быстрые ударные
волны с магнитным полем перед волной, параллельным нормали к ней, могут суще-
существовать при любых интенсивностях волны. Если выполняется условие E.3.13), имеем
волну включения. В противном случае, при vR > v^ ударная волна будет параллельной
(иногда ее также называют газодинамической, так как соотношения Гюгонио, опре-
определяющие ее, совпадают с соответствующими для чисто газодинамической ударной
волны).
5.3.4. Точки Жуге. Кривую Гюгонио можно рассматривать как кривую в про-
пространстве в пространстве переменных UL с начальной точкой в UR. Если известны все
семь компонент вектора состояния перед ударной волной и одна компонента вектора
состояния UL за ней, то имеется достаточно соотношений, чтобы определить скорость
ударной волны W и остальные компоненты вектора состояния. В этом смысле кри-
кривая Гюгонио является функцией только одного параметра, то есть vjjnff могут быть
представлены как
W = W(g), v^=vL(cj), E.3.14)
где а — параметр на кривой Гюгонио, например, длина дуги в выбранном простран-
пространстве, вычисленная от начальной точки UR . Кривая Гюгонио в проекции на плоскость
(AR, AL) схематически показана на диаграмме эволюционности (рис. 5.4). На таких диа-
диаграммах W(g) может быть отложена вдоль горизонтальной оси в реальном масштабе,
а вдоль вертикальной оси — схематически, выполняя только неравенства между W(g)
и АД О") и сохраняя непрерывность скорости ударной волны. Как указывалось ранее,
эволюционные сегменты кривой Гюгонио лежат внутри затененных прямоугольников.
344
Гл. 5. Уравнения магнитной гидродинамики
Окрестности точек AnF соответствуют слабым ударным волнам, где ASR = ASL и Я^ =
= Ajh Как показано П. Лаксом (Lax, 1957), см. также п. 1.4.3, в этих случаях кривая
Гюгонио и интегральная кривая волны Римана с простой характеристической скоро-
скоростью Я имеют точку касания второго порядка и
Так как имеется два типа эволюционных ударных волн, кривая W(c) имеет две
ветви, проходящие через начальную точку.
Другой важной чертой поведения кривой Гюгонио является наличие, так называе-
называемых, точек Жуге. Это такие точки, где скорость ударной волны W совпадает с одной из
характеристических скоростей за волной. В
окрестности этих точек имеется дополни-
дополнительная информация (Hanyga, 1976): соот-
соотношения
dW
W
da
= 0
E.3.15)
Е
, R
К
2 Xf I W
могут удовлетворяться только одновремен-
одновременно (см. разд. 7.3).
У такого поведения ударной адиабаты
имеется важное следствие. Рассмотрим точ-
точку Жуге С на рис. 5.4 и заметим, что сег-
сегмент ВС соответствует МГД ударным вол-
волнам, которые неэволюционны только по от-
отношению к альфвеновским возмущениям.
В то же время сегмент CD неэволюционен
также по отношению к возмущениям маг-
Рис. 5.4. МГД-адиабата Гюгонио нитозвуковых величин. Так как в точке С
выполняется равенство dW/da = 0, то наряду с начальным разрывом можно рассмот-
рассмотреть другую, имеющую малую амплитуду, ударную волну ЕЕ', движущуюся с той же
скоростью W = Я8Ь. Ударная волна ЕЕ' является эволюционной медленной ударной вол-
волной. Это связано с тем, что ее скорость больше, чем характеристическая скорость Я8Ь до
разрыва и меньше нее за ним. Как следует из теорем Лакса (см. п. 1.4.3), обратный пере-
переход Е'Е может с точностью до е3 (е — амплитуда волны) представлен расширяющейся
со временем волной Римана. Отсюда следует,что можно построить решение, которое
состоит из скачка из начальной точки А в точку С и неопрокидывающейся волны Рима-
Римана, передний фронт которой движется той же скоростью W = Я8Ь, что и ударная волна.
Отметим, что волна Римана близка к сегменту CD кривой Гюгонио, который неэволю-
неэволюционен по отношению к альфвеновским возмущениям. Мы вернемся к этому вопросу
позже при обсуждении появления неэволюционных решений в МГД-вычислениях.
5.4. Методы высокого разрешения разрывов
для МГД-уравнений
Противопоточные и симметричные TVD-схемы в последнее время стали эффективным
средством расчета сложных газодинамических течений с многочисленными ударными
5.4. Методы высокого разрешения для МГД-уравнений
345
волнами. Это связано с их робастностью при расчете сильный ударных волн. Распро-
Распространение этих схем на уравнения магнитной газовой динамики не очевидно. Точное
решение (Гогосов, 1961) задачи о распаде произвольного МГД-разрыва (МГД-задачи Ри-
мана) слишком многовариантно для использования при проведении систематических
расчетов. По этой причине естественно ожидать применения приближенных решений.
Первыми кандидатами среди них являются схемы Роу и Ошера, описанные в предыду-
предыдущих главах. В этих схемах численный поток находится на основе решения одномерной
системы МГД-уравнений на границе между ячейками. Эта система имеет вид
E.4.1)
где U = [р, рг/, pv, pw, е, By, BZ]T и
F(U) =
О + p*
pu
pu2+p*-B2x/4n
puv-BxBy/4n
puw-BxBz/4n
u- {uBx + vBy + wBz)Bx/4k
uBy - vBx
uBz - wBx
В этих уравнениях е = p/(y- 1) + p (u2 + v2 + w2)/2 + (B* + B2 +B2)/$n — это пол-
полная энергия единицы объема, р* = р + (В2 + В2 + В2)/$к — полное давление, р и р —
давление и плотность, v = [i/,v,w]T — вектор скорости, В = [BXjByjBz]T — вектор на-
напряженности магнитного поля, а 7 — показатель адиабаты. Предполагается, что все
функции зависят только от времени t и линейной координаты х, направленной перпен-
перпендикулярно грани вычислительной ячейки. Уравнение E.4.1) на основе метода конечных
объемов может быть аппроксимировано как
и
f+1=
«*-?[»«
«-',-,«]
E.4.2)
Нашей целью является конструирование решения уравнения E.4.1) при t > 0 в
предположении кусочно-постоянного распределения U: U = UL при х < 0 и U = UR
при х > 0. Очевидно, что условие бездивергентности магнитного поля дает Вх = В\ =
= Bf = const.
5.4.1. Метод типа Ошера. Ранее был сформулирован метод Ошера для про-
произвольной строго гиперболической системы законов сохранения. Система газодинами-
газодинамических уравнений не является строго гиперболической, так как собственное значение,
соответствующее энтропийным волнам имеет кратность три. Это вырождение, однако,
не зависит от решения и не создает особых трудностей в реализации метода с использо-
использованием римановских инвариантов системы уравнений Эйлера. При этом не возникает
необходимости поиска точек вырождения собственных значений на пути, соединяющем
\Jj и U/+1 в фазовом пространстве.
346 Гл.5. Уравнения магнитной гидродинамики
В МГД-случае ситуация совершенно иная ситуация. Если Вх = 0, то медленная и
альфвеновская скорости становятся равными нулю и соответствующие характеристи-
характеристические скорости вырождаются вместе с энтропийной волной. Если В2у+В\ = О, то
Таким образом,
• если аА > се, то af = аА, as = ce и быстрая магнитозвуковая волна становится
вырожденной вместе с альфвеновской волной;
• если аА < се, то af = ce, as = aA и медленная магнитозвуковая волна становится
вырожденной вместе с альфвеновской;
• если аА = се, то все эти волны вырождаются.
Проблема заключается в том, что эти вырождения зависят от решения и могут про-
проявлять себя в окрестности изолированных сингулярных точек. Общий метод выхода из
такой ситуации предложен в работе Bell et al. A989). Он заключается в поиске точек
вырождения, так как ожидается, что собственные векторы, соответствующие вырожден-
вырожденным волнам будут плохо определены в окрестности этих точек. В магнитной газовой
динамике полная система из собственных векторов существует всегда (см. п. 1.3.3).
С другой стороны, те МГД-волны, которые исходно являются истинно нелинейными
(магнитозвуковые волны), могут стать линейно вырожденными, если их собственные
значения совпадают с собственными значениями изначально линейно вырожденных
(энтропийных и альфвеновских). Если это произойдет на пути соединяющем U, и U/+1,
то формулировка схемы Ошера нарушается (см. п. 2.3.3) и энтропийное условие может
быть не выполнено. Предполагается, что UL = U, и UR = U/+1 — векторы консерва-
консервативных переменных в соседних вычислительных ячейках. Индексы L и R относятся к
левому и правому положению по отношению к совместной грани ячеек.
В методах типа Годунова решение системы E.4.1) строится с использованием потока
F(UL,UR), вычисляемого вдоль лучах// = 0 в локальной задаче Римана с начальными
данными, которые определяются величинами в соседних ячейках. На самом деле нет
необходимости знать полное решение задачи Римана. Хотя такое решение и существует
в магнитной гидродинамике, оно может не существовать или быть неединственным
для других гиперболических систем. Это касается не только нестрого гиперболических
систем, упомянутых в работе Zachary, Colella A992). Решение может быть неединствен-
неединственным, хотя и удовлетворяющими энтропийному условию, даже для одного скалярного
закона сохранения с невыпуклой функцией потока (Куликовский, 1984, см. также гл. 7).
Важным моментом является то, что вместо нахождения полного решения, достаточ-
достаточно получить только численный поток как аппроксимацию решения задачи Римана. Не
вполне ясно, тем не менее, можно ли использовать полученные формулы, если решение
задачи Римана неединственно.
Zachary, Colella A992) разработали метод решения МГД-уравнений, основанный
на разновидности схемы Ошера, предложенной Bell et al. A989). В дальнейшем ме-
метод был развит Zachary, Malagoli, Colella A994). Тесты показали хорошее разрешение
ударных волн, однако оказалось, что в окрестности волн разрежения могут появиться
малые возмущения. Предложенная схема автоматически добавляет некоторую схемную
вязкость около трансзвуковых точек. Как отмечено в п. 2.3.3, вязкость также нужно до-
добавочно увеличивать в окрестностях точек, где трансзвуковой переход сопровождается
5.4. Методы высокого разрешения для МГД-уравнений
347
вырождением собственных значений. Это делается путем переключения на схему типа
Лакса-Фридрихса при аппроксимации этих волн.
Можно ожидать, что вязкость поможет в этом случае выделить физически допусти-
допустимые решения, так как мелкомасштабная МГД-модель, учитывающая конечную прово-
проводимость, молекулярную вязкость и теплопроводность, содержит только вторые произ-
производные. Далее в гл. 7 будет показано, что это не так в случаях, когда мелкомасштабная
модель содержит и третьи производные.
5.4.2. Кусочно-параболический метод. Dai, Woodward A994b) обобщили
на МГД-задачи кусочно-параболический метод PPM (Piecewise Parabolic Method), ко-
который был первоначально разработан для газовой динамики (Colella, Woodward, 1984).
Как указывалось ранее, точное решение задачи Римана слишком сложно для включения
в алгоритм. По этой причине в РРМ используется приближенное решение нелинейной
задачи. Упрощение достигается путем аппроксимации волн разрежения ударными вол-
волнами разрежения, удовлетворяющими условиям на разрывах и приводящими к умень-
уменьшению энтропии. Это позволяет организовать итерационный процесс для нахождения
скоростей волн и распределений параметров в областях гладкости RI-RS (см. рис. 5.5).
Границы между этими областями представлены быстрой (FW), альфвеновской, или вра-
вращательной (RW), и медленной (SW) волнами, распространяющимися по обе стороны
от тангенциального разрыва (TD).
FW
RW
RW
FW
R1
Рис. 5.5. Общая схема распада произвольного разрыва (SW и FW могут быть ударными волнами
сжатия или разрежения)
Итерационный процесс существенно зависит от качества начального приближения
для поперечных компонент магнитного поля В 2, Ву4, Ву1 в областях R2, R4 и R1 и для
ориентации \f/ поперечных компонент в областях R3, R4, R5 и R6 (Dai, Woodward, 1994b).
Здесь tani/A = Bz/By. Это начальное приближение в РРМ находится на основе предва-
предварительного решения линеаризованной задачи Римана, которая имеет инварианты вдоль
соответствующих характеристик. Для повышения пространственного разрешения ис-
используются кубические полиномы, интерполирующие римановы или простые физи-
348 Гл.5. Уравнения магнитной гидродинамики
ческие переменные для определения величин на внутренней и внешней поверхностях
граней вычислительных ячеек. Эти величины служат в дальнейшем начальными усло-
условиями для соответствующей задачи Римана.
Так как описанный метод является итерационным, могут возникнуть трудности со
сходимостью итераций. В частности в работе Dai, Woodward A994a) имелась ошибка
в результатах расчетов, в дальнейшем исправленная в работе Dai, Woodward A994b).
Разработчики метода предлагают оставаться в таких случаях в рамках решения лине-
линеаризованной задачи. Сильной стороной этого метода является возможность точного
удовлетворения соотношениям на всех разрывах, а также постоянное присутствие аль-
фвеновского разрыва в возможной конфигурации решения. Отметим, что он должен
присутствовать даже в тех случаях, когда задача Римана является компланарной. Это
очень важно, если принять во внимание тот факт, что МГД-уравнения по своей приро-
природе трехмерны и ограничение множества допустимых решений компланарными может
приводить к появлению неэволюционных ударных волн (см. далее разд. 5.5). Это ста-
становится ясным, например, при рассмотрении разрыва с поворотом вектора магнитного
поля на 180°. Такой поворот может быть осуществлен либо альфвеновским разрывом,
либо неэволюционной ударной волной. Первый же в плоской постановке задачи не
существует.
5.4.3. Метод характеристического расщепления Роу. Численный по-
поток E.4.2) в подходе Роу строится путем разложения по простым волнам функции
потока, вычисленной на основе замороженной якобиевой матрицы J = <9F/<9U. После
линеаризации исходной системы уравнений поток можно выписать как
F,+ l/2 = \
Особенность применения подхода Роу к нелинейным системам состоит в такой за-
заморозке матрицы У, которая позволяет точно удовлетворить законам сохранения на
разрывах. Эта процедура в применении к уравнениям газовой динамики была описана
в п. 3.4.4. Тем не менее, она не может быть непосредственно перенесена на МГД-
уравнения. Brio, Wu A988) показали, что оригинальный метод Роу может быть реали-
реализован только в специальном случае с показателем адиабаты у = 2. Авторы упомянутой
работы предложили, в противном случае, для нахождения потока F.+1,2 использовать
арифметическое усреднение неконсервативных переменных. Таким образом, предло-
предложенная схема будет принадлежать семейству Куранта-Изаксона-Риса. Полученная та-
таким образом противопоточная схема второго порядка продемонстрировала ряд пре-
преимуществ по сравнению со схемами Лакса-Фридрихса, Лакса-Вендроффа и FCT (flux-
corrected transport) методом (De Vore, 1991). Как будет позднее показано путем прямых
математических выкладок, причиной таких свойств МГД-уравнений является отсут-
отсутствие единой процедуры усреднения при нахождении замороженной якобиевой матри-
матрицы системы. Другие методы линеаризации предложены в работах Hanawa, Nakajima,
Kobuta A994), Pogorelov et al. A995), Asian A996a, 1996b), Cargo, Gallice A995, 1997),
Balsara A998a, 1998b). В этих работах замороженная якобиева матрица не является
функцией единого усредненного вектора переменных, как это имеет место в обычной
газовой динамике, но сложным образом зависит от значений переменных на правой и
левой сторонах поверхности вычислительной ячейки. Pogorelov, Semenov A996), По-
5.4. Методы высокого разрешения для МГД-уравнений 349
горелов, Семенов A997а, 1997b) показали, что такая процедура усреднения не является
единственной. Получено многопараметрическое семейство решений линеаризованной
задачи Римана, обеспечивающих точное выполнение законов сохранения на разрывах.
Для получения физически допустимых решений важным является правильный выбор
параметров.
Последуем общему подходу создания методов типа Роу. Он применим к любым
гиперболическим системам. Найдем вначале точное выражение для матрицы А, удо-
удовлетворяющей соотношению AF = AAU, где AU = UL - UR и AF = FL - FR. Так как
функция F является нелинейной, выражение для А неединственно. Действительно, ес-
если выбрать некоторую невырожденную замену переменных s = s(U), то из равенств
AF = AFAs и AU = ^As следует, что А = AFA~^. Точные аналитические выражения
для AF и Ац могут быть явно выписаны, если U и F являются линейными функция-
функциями s или полиномами от его компонент. Для этого нужно использовать эквивалентные
преобразования типа А(ВС) = \(BL + ?R)AC + \(CL +CR)AB. Структура и простота
матрицы А зависит от выбора s. Матрицу А можно рассматривать как аппроксимацию
якобиевой матрицы J = <9F/<9U. Она должна сохранять ее гиперболические свойства,
т. е. быть представимой в виде А = QRAQL, где QL и QR — невырожденные матри-
матрицы ее левых и правых собственных векторов и QRQL = / (/ — единичная матрица),
а Л = [АД- ] — диагональная матрица, составленная из действительных собственных
значений матрицы А E/у — символ Кронекера).
Тогда искомое автомодельное решение задачи Римана для системы уравнений E.4.1)
при t > О принимает вид
|L R E.4.3)
|( ) E.4.4)
где % =x/t, 5(§) = [sign(A/ - §) х 8г]] и \Щ)\ = [A/sign(A/ - §) х 8tJ]. Уравнения E.4.3)
и E.4.4) определяют кусочно-постоянные функции U(^) и F(^), которые соединяют
правые и левые состояния начального распределения системой разрывов. Если выпол-
выполняется условие Гюгонио AF = AAU, где А — скорость разрыва, то А является одним из
собственных значений матрицы А, так как AF - A AU = (AF — XA^As = (A - Xl)AuAs =
= (А — XI) AU = 0. Для получения нетривиальных решений потребуем выполнения усло-
условия det(^4 — А/) = 0, и AU ф 0 оказывается собственным вектором матрицы А, причем
соотношения E.4.3) и E.4.4) описывают одиночный разрыв точно.
Решение такого вида было впервые получено для газовой динамики (Roe, 1981).
Brio, Wu A988) получили его для МГД в случае у—2. Hanawa et al. A994) предложили
одну из аппроксимаций для произвольного отношения удельных теплоемкостей (не
опубликовано). Здесь последовательно описывается процедура (Pogorelov et al., 1995;
Pogorelov, Semenov, 1996; Погорелов, Семенов, 1997а, 1997b) нахождения решения типа
Роу для линеаризованных МГД-уравнений и показывается, что она неединственна. В
результате, предложенное Hanawa et al. A994) решение оказывается частным случаем
многопараметрического семейства приближенных решений МГД-задачи Римана.
Вектор s выбирается как обобщение такого же вектора в обычной газовой динамике
s = [R, U, V, W, S, 7, Z]T = [у/р, у/pu, д/Р v, VP w, ^P#, Ву/у/р, Bz
350
Гл. 5. Уравнения магнитной гидродинамики
где Н = (е + р*)/р — полная энтальпия.
Таким образом,
U = [R2, RU, RV, RW, U5, RY, RZ]T,
где
?/ = -RJ? +
5 7
RJ + ^
5 7 27
V2 + W2) -
2Х + (Y2 +Z2)R2].
Вектор F выражается через компоненты вектора s как
RU
F =
uv—
RYBX
4л
UJ-
4л
(UBX/R+VY+WZ)BX
UY-
uz—
4л
VB^
R
R
где
F2 = U2
7
32X + (Y2+Z2)R2]-—B2X.
Используя новые выражения для U и F, можно найти матрицы Ajj,Af wA^ =AF —
Ац. Представим только выражение для А^:
AX=R
А
*21
31
M-2A 1 0 0 0 0 0
77 7
v u-X 0 0-^0
w 0 u-X 0 0 -^
^52 ^53 ^54 W~7 ^56 ^57
где
7- 1
А -Л%
51 " Акр
Ж -
-f о
о -^
вхъу
4л
0 м-А О
О 0 и-Х
А41 = -
Bxbz
Aw,
4л
wBx
7
1-7
7
4тгр
ДЛ_^ 1-7
4л у
5.4. Методы высокого разрешения для МГД-уравнений 351
В вышеприведенных соотношениях приняты следующие обозначения:
г^-^7 Ш 7& Rw _ Ш , BJR , BJR
где / означает арифметическое среднее. Кроме того,
q =
2 +Z2 + ^(ДУJ + %AZJ + ^YAYAR+^
4 4 4Д AR
(y +Z + ^(ДУ) + %AZ) + ^YAYAR+^
Any V 4 4 4Д AR
где 0v 02, Щ и г\2 — произвольные параметры. Их происхождение вызвано присут-
присутствием в выражениях для AF членов, содержащих сомножители ARAY и ARAZ. Эти
сомножители можно приписать как к членам пропорциональным AR, так и к членам
пропорциональным AY или AZ. В результате получается дополнительная параметриза-
параметризация матриц AF иАц. Имеем
detA, =
Л у
где
b — q (bl + bl)p. b\ — qy bvp. 8Z = qz bzp.
Здесь се — это выражение для усредненной акустической скорости звука. Известно
(Yee, 1989), что нужно специально позаботиться о том, чтобы се не выпадало из ин-
интервала, определенного с^ и с%. Если это происходит на левом или на правом конце
интервала, полагается се = min (c*r, с^) или се = max {c\, с%).
Выражение для а можно переписать в виде
,ZAZAR
(в 1)
+ (в2 + 772 1)=+ (|,2
Собственные значения матрицы А равны г/, г/=Ь аА, где аА = \Вх\/у/4кр, и четырем
корням биквадратного уравнения
42 0, E.4.5)
352 Гл.5. Уравнения магнитной гидродинамики
где
Если с2 + а > 0 и (by + 62)р/4тг + /3 > О, то корни этого уравнения действительны
и диагональная матрица, составленная из собственных значений, принимает вид
Л = diag[i/ + af, u + аА, г/ + as, г/, г/ — as, г/ — аА, г/ — af].
Величины af и as являются наибольшей и наименьшей скоростями распростране-
распространения волн (быстрых и медленных магнитозвуковых), а аА соответствует альфвеновским
волнам. Собственное значение Я = и соответствует энтропийным волнам. Представлен-
Представленный поход обеспечивает строгое упорядочение собственных значений. Он гарантирует
отсутствие каких-либо их дополнительных нефизических вырождений, которые не при-
присущи якобиевой матрице J. Отметим, что выбор других параметрических векторов s
может, в принципе, нарушить это свойство. Кроме того, это имеет место если qy и qz
не пропорциональны, соответственно, Y и Z. Таким образом получается наиболее про-
простой допустимый выбор коэффициентов: Qx = 02 = 1. В отличие от газовой динамики, в
МГД-случае невозможно сконструировать матрицу А, зависящую от единого усреднен-
усредненного вектора. Исключение, которое представляет из себя случай у = 2, рассмотренный
Brio, Wu A988), тривиально, так как в нем q = qy = qz = 0.
Легко проверить, что
что дает /3 = 0 и а > 0 при г\1 = г\2 = 2. Этот простейший выбор принимается в даль-
дальнейшем. Кроме того, вводится новое обозначение
Найдем матрицы QR и QL. Удобно ввести такую матрицу Qr, что QR = AjjQt. Эта
матрица состоит из семи столбцов г1. Для собственных значений вида Я = и + sa, где s =
= =Ы и а = af, as или 0, соответствующие векторы-столбцы г = r(s, а) имеют следующий
вид:
гО, а) = [1, и + 2sa, v - sbyM, w - sbzM, r5, byN, bzN]T , E.4.6)
где
\2a2-q-(qyby + qz
r5 = -Ж +|v|2 + 2sau- (vby + wbz)sM+ 7-\\
M=M(a)= o rafx 9. , N = N(a)= a? + ^, |v|2 = г/2 +v2 + w2. E.4.8)
2тт(а2 - ajj a2 - a2A
5.4. Методы высокого разрешения для МГД-уравнений
353
Для собственных значений Я = u + saA (s = =Ы) соответствующие векторы суть
О
О
К
vbt-wbl
r(s) =
-sb*y/fsigiBx
E.4.9)
где Ь; = Ьу/\Ъ\ и b*z = bz/\b\ (b = [by,bz]).
При использовании формул для |b| —)> О, нужно разрешить неопределенности типа
0/0. Это может быть сделано, например, подстановкой Ъу = |b|sin<p и bz = |b|cos<p.
Очевидно, что выбор фазового угла (р не важен. В наших вычислениях при |Ь| = 0
полагаем (Brio, Wu, 1988)
4 = « = -L.
Матрицу QL можно найти аналогично путем введения Qj = DQL, где D — диаго-
диагональная матрица, задаваемая равенством Ajj?lxD~l?lx = /. Qj состоит из семи строк.
Для собственных значений Я = и + sa, где s = =Ы и a = af, as или 0, соответствующие
векторы-строки \ = \(s,a) суть
с? — я2 + sau и2 + v2 + w2 „ . .tr ., , . х
25л:(угу + wr:)M+ (ЬуГу + bzrz)L,
7-1
L = u-
SCI
? /3 = v + 2nMsry, /4 = w + 2nMsrz,
E.4.10)
4л: '
где
-» ^=^- + -
4я ' рG-1)' 'гя р(у- 1)' v У~
Для Я = г/ + ^аА (^ = =Ы) получаем
h = wby ~ vbz> h = h = °' h = bz> U =
-ь;,
E.4.11)
Матрица D имеет вид
D = dmg[d(af), 2, d(as), -d@), d(as), 2, d(af)},
где
d(a) =
7-1
An J
354 Гл.5. Уравнения магнитной гидродинамики
На практике, если Вх —> 0 или |Ь| —у О, в выражениях для М = М(а) и N = 7V(a)
при а = as и а = af нужно разрешать неопределенность типа 0/0. С использованием
биквадратного уравнения для корней, можно получить
a2sa2f = a2Ac2e, E.4.12)
E.4.14)
E.4.15)
гдее = р/4тг.
Нетрудно найти, что
E.4.16)
E.4.17)
E.4.18)
E.4.19)
Очевидно, что при |Ь| = 0 либо af, либо as равны се. Для устранения этой неопреде-
неопределенности в уравнениях E.4.16)—E.4.19)умножаем N(as) иМ(аБ) наа8, a7V(af) nM(af)
на af, где
и преобразуем результат с использованием E.4.15).
Заметим, что
M(as) = asM(as)|b| = -
N(a{) = a{N(a{)\b\=
M(af) = afM(af)|b| = 2
уже не могут иметь нулевых знаменателей.
Для окончательного разрешения неопределенности собственные векторы г(=Ы, af)
и 1(=Ы, af) умножаются на af, а соответствующие d(af) на af. После этого делается под-
подстановка, аналогичная использованной при регуляризации альфвеновских собственных
векторов и получается
r(s, af) = [af, [u + 2saf) af, afv - sb*M(af), afw - sb*M(af), ^, b*N(af), Z?*7V(af)]T,
E.4.20)
5.4. Методы высокого разрешения для МГД-уравнений 355
где
- 2safu) — (vb* + wb*)sM(af) -
Аналогично находятся формулы для компонент собственных векторов l(s, af)
fV y-1''3 f У
/5 = -af, l6 = -
где
r* = —^-j r* = —,
|b| |b|
Отметим также, что
Формулы для l(^,as) и r(s,as) такие же, но вместо af и af нужно подставить, со-
соответственно, as и as. Легко заметить, что теперь не может произойти вырождения
собственных векторов, так как as и af не могут равняться нулю одновременно, ес-
если только не выполняются условия b = 0 и аА = се. В этом случае можно положить
Вх = A + ?)Д*, где ? небольшая константа.
Никакого нефизического вырождения набора собственных значений не происходит
при 7=2, так как в этом случае а = 0и/3 = 0и характеристическое уравнение имеет
только действительные корни. Выбор Qx = 02 = 1 и г\х = г\2 — 2 для произвольного у
приводит к тому, что a > 0 и /3 = 0, давая только действительные корни характери-
характеристического уравнения для всех допустимых правых и левых величин. Представленное
здесь семейство приближенных решений МГД-задачи Римана, обобщает приближенные
квазилинеаризованные и линеаризованные решения этой задачи (Колдоба, Кузнецов,
Устюгова, 1992) и обеспечивает точное выполнение соотношений Гюгонио на разры-
разрывах. Выполнение этих соотношений проверялось сравнением с точными формулами
(Бармин, 1962).
Nakajima, Hanawa A996) (см. также Balsara, 1998a; Kim et al, 1999) распространили
метод типа Роу на изотермические МГД-уравнения. Cargo, Gallice A997) построили
метод Роу для лагранжевой формы системы уравнений идеальной магнитной газовой
динамики.
5.4.4. Численные тесты схем типа Роу Как описано в разд. 2.7, про-
пространственное разрешение годуновских схем может быть повышено заменой кусочно-
постоянных начальных данных в задаче Римана на кусочно-линейные или кусочно-
полиномиальные распределения. С использованием специальных методов реконструк-
реконструкции величин на внешних и внутренних сторонах поверхностей вычислительных ячеек
356 Гл.5. Уравнения магнитной гидродинамики
по усредненным величинам в их центрах можно повысить порядок точности при по-
получении потоков в E.4.2). В этом случае индексы R и L нужно относить к величинам
на правых и левых сторонах граней вычислительных ячеек, полученных после такой
реконструкции.
Рассмотрим одномерный случай, в котором все величины зависят только от времени
t и пространственной координаты х. МГД-система для этого случая представлена урав-
уравнением E.4.1). Благодаря условию divB = dBx/dx = 0 и уравнению Максвелла для Вх,
имеем Вх = const. По этой причине в этой системе уравнение для Вх опущено. Найдем
численно решение задачи Римана для уравнений идеальной магнитной гидродинамики.
Введем сеточные функции
Uf = U(/*)*/))F* = F(Uf);/*=M/,^= (»-1)Дх, к= 0,1,...,/= 1,...,/,
с шагом по пространству Ах и шагом по времени А/, определяемым условием Куранта.
Для получения второго порядка точности как по пространству, так и по времени
используем метод предиктор-корректор. На шаге предиктор используется схема Роу
первого порядка точности
//)^ EА22)
где F^+1 /2 — это поток Роу первого порядка
} +Ff - (QR|A|QL)f+1/2(Uf+1 -U?)], E.4.23)
a QR, QL и |Л| вычислены по формулам из п. 5.4.3. После этого проводится интерполяция
функций, известных в центрах ячеек, для нахождения их значений U*^/2 и ^%\п на
левой и правой сторонах границ каждой ячейки и осуществляется шаг корректор:
E.4.24)
1
= I [F K1/2) + F K1/2) - (^A|Q4+y22(uf+1/2 - U^)] . E.4.25)
В дальнейшем представлены результаты численных тестов на основе различных
процедур реконструкции. Некоторые из последних могут быть выписаны в виде двух-
параметрического семейства (van Leer, 1979)
1/2], E.4.26)
т[A " 4L-1/2 + (! + ^Am/Ji E-4.27)
E.4.28)
4+1/2 = minmod(A/+1/2,0)A/+3/2), E.4.29)
/ C
Выберем здесь интерполяцию простых переменных u = [p,v,/>,B]T, что опреде-
определенно является наиболее экономичным подходом. Пространственная аппроксимация
5.4. Методы высокого разрешения для МГД-уравнений 357
определяется величиной г/, а именно: г\ = — 1 соответствует полностью противопоточ-
ной схеме, ц = 1 — трехточечной центральной схеме, а ц = 1/3 — противопоточно-
обусловленной схеме третьего порядка. Параметр со отвечает за искусственное сжатие,
введение которого необходимо для улучшения разрешения тангенциальных и альфве-
новских разрывов.
Рассмотрим также следующие процедуры:
-lAf+1, E.4.30)
m/ f + TAi\ EА31)
где А^ — гладкий ограничитель наклонов (van Albada et al., 1982):
E.4.32)
+2?
a e — малая положительная константа в диапазоне от 10~7 до 10~5, используемая для
избежания деления на ноль.
Вместо АА уравнениях E.4.30) и E.4.31) можно использовать ограничитель, пред-
предложенный Colella, Woodward A984)
Afw =mimnodBA/+1/2,2A/_1/2,0.5(A(+1/2 + A(_1/2)) , E.4.33)
который соответствует кусочно-параболическому распределению параметров в вычис-
вычислительных ячейках или
Af^=Sxmax[o,mmB|A.+1/^ E.4.34)
где S = signA/+1/2. Последняя формула представляет из себя, так называемый, огра-
ограничитель "superbee" (Roe, 1985). Известно, что он исключительно эффективен для за-
заострения профиля тангенциального разрыва в газовой динамике. Далее будет показано,
что он так же хорошо работает при расчетах течений с вращательными разрывами.
В качестве теста (Pogorelov, Zhurov, 1999) выбирается МГД-задача Римана со сле-
следующими начальными условиями: [р, р, г/, v, w, By, Bz] = [0.18405, 0.3541, 3.8964,
0.5361, 2.4866, 2.394, 1.197] длях < 0.5 и [0.1, 0.1, -5.5, 0, 0, 2, 1] длях > 0.5 с Вх = 4.
Результаты будут представлены при t = 0.15 D00 ячеек располагаются между 0 и 1).
Решение этой задачи характеризуется наличием всех типов разрывов, присущих маг-
магнитной газовой динамике. Эта задача также была выбрана в качестве тестовой в работе
Dai, Woodward A994а).
Вначале положим со = 1, таким образом переключая функцию-ограничитель на наи-
наименее сжимающую функцию minmod. Положим г\ = 1/3, хотя для выбранной сетки и
значении параметра со другие значения г\ дают, в целом, те же результаты. На рис. 5.6
показаны распределения простых переменных. Как и можно было ожидать, разрешение
быстрых МГД ударных волн очень хорошее. Они размазаны только на три вычисли-
вычислительных ячейки. Медленные ударные волны занимают четыре ячейки.
358
Гл. 5. Уравнения магнитной гидродинамики
0.2 0.4 0.6 0
О 02 0.4 0.6 0.8
О 0.2 0.4 0.6 0.8 х
02 ОА 0.6 0.
0.2 0.4 0.6 0.8 х
О 0.2 0.4 0.6 0.
О 0.2 0.4 0.6 0.8
Рис. 5.6. Решение тестовой задачи. Реконструкция простых переменных по ван Лиру при со = 1
И 71 = 1/3
5.4. Методы высокого разрешения для МГД-уравнений
359
0.2 0.4 0.6 0.
0 0.2 0.4 0.6 0.
0.2 0.4 0.6 0.
О 0.2 0.4 0.6 0.8 х
О 0.2 0.4 0.6 0.8 х
О 0.2 0.4 0.6 Oi
Рис. 5.7. Решение тестовой задачи. Реконструкция простых переменных по ван Лиру при со = 2
и г/ = —1
Гл. 5. Уравнения магнитной гидродинамики
4
2
О
0 0.2 0.4 0.6
Рис. 5.8. Решение тестовой задачи. Реконструкция простых переменных по ван Лиру при со = 2
И 71 = 1/3
361
5.4. Методы высокого разрешения для МГД-уравнений
4
2
О
и
^2
-4
-6
О 0.2 0.4 0.6 0.8 х 0 0.2 0.4 0.6 0.8 х
О 0.2 0.4 0.6 0.
О 0.2 0.4 0.6 0.8 х
0.2 0.4 0.6 О
О 0.2 0.4 0.6 0.8 х
О 0.2 0.4 0.6 0.8 х
Рис. 5.9. Решение тестовой задачи. Реконструкция простых переменных по ван Лиру при со = 2
и г/ = 1
362 Гл.5. Уравнения магнитной гидродинамики
Как известно из газовой динамики, разрешение тангенциальных разрывов обычно
не столь хорошее при использовании ограничителя наклонов minmod (см. Hirsch, 1990).
В магнитной газовой динамике, кроме тангенциальных разрывов, альфвеновские, или
вращательные, разрывы также довольно сильно размазаны по пространству. Причина
такого поведения вращательных разрывов вполне понятна. Известно, что они не имеют
стационарной диссипативной структуры (Ландау, Лифшиц, 1992). Задачи о диссипа-
тивной и дисперсионной структуре разрывов играют важную роль в решении вопроса
о допустимости последних. В действительности, идеальная плазма представляет из
себя некоторую идеализацию, призванную подчеркнуть, что диссипативные и диспер-
дисперсионные эффекты пренебрежимо малы по сравнению с конвективными процессами.
Толщина разрыва в этом случае предполагается равной нулю. Течения реальных сред
всегда непрерывны. С этой точки зрения критерий допустимости разрыва может быть
сформулирован как существование вязкого профиля в решении дифференциальных
уравнений более высокого порядка, которые описывают процессы, отбрасываемые в
идеальной постановке задачи. В магнитной гидродинамике такими процессами явля-
являются вязкость, перенос тепла, джоулево тепловыделение, конечная проводимость и
т. д. Допустимыми являются ударные волны, которые возникают как пределы вязких
профилей при исчезающей диссипации. Физической причиной отсутствия стационар-
стационарной структуры вращательного разрыва проста. Кинетическая, внутренняя и магнитная
энергии одинаковы с двух сторон этого разрыва (см. разд. 5.2). Это значит, что не
существует источника энергии, покрывающего диссипацию, связанную с вращением
скорости и магнитных силовых линий. С другой стороны, вращательные разрывы неиз-
неизбежны, например, в общем решении задачи о МГД-поршне (Бармин, Гогосов, 1960).
Поэтому такие разрывы должны иметь нестационарную структуру, т. е. их ширина DA,
вызванная диссипацией будет увеличиваться со временем по закону
DA~
где v и vm — молекулярная и магнитная вязкости. Отметим, с другой стороны, что
численные вязкость и дисперсия всегда присутствуют в расчетах идеальных течений.
Это означает, что для того чтобы получить хорошо разрешенные тангенциальные и
вращательные разрывы, нужно использовать их искусственное заострение. Одна из
возможных процедур заключается в выборе значений параметра со, входящего в фор-
формулы E.4.28) и E.4.29), больших единицы. На рис. 5.7, 5.8 и 5.9 показаны решения для
О) = 2 и г/ = —1, 1/3 и 1. Очевидно, что применение противопоточной интерполяции в
этом случае приводит к появлению высокочастотных колебаний, в особенности около
быстрых МГД-разрывов. Присутствуют также заметные колебания в области постоян-
постоянных распределений. Применение схемы третьего порядка (г/ = 1/3) дает существенно
лучшие результаты, хотя осцилляции не исчезают полностью. Наилучшие результаты
получены в случае с г\ = 1, т. е. симметричная интерполяция работает гораздо лучше,
чем в чистой газовой динамике. С другой стороны, существенного улучшения разре-
разрешения вращательных разрывов не наблюдается.
Следует отметить, что для различных величин можно применять разные типы ре-
реконструкции. В приведенных выше случаях были использованы одинаковые формулы
для плотности, термического давления и компонент скорости и магнитного поля. Опыт
показывает, что общая эффективность интерполяции может быть улучшена, если для
восстановления давления и нормальной компоненты вектора скорости использовать
5.4. Методы высокого разрешения для МГД-уравнений 363
простейшую реконструкция minmod Амплитуда паразитных осцилляции в этом случае
меньше, хотя они все еще присутствуют, особенно при использовании противопоточной
интерполяции.
Хотелось бы также подчеркнуть, что применение арифметического усреднения для
нахождения параметров на поверхностях ячеек для выбранной пространственной дис-
дискретизации дает результаты решения рассматриваемой задачи, которые весьма близки
к полученным с помощью метода типа Роу.
На рис. 5.10 и 5.11 представлено численное решение с использованием ограни-
ограничителей E.4.32) и E.4.33) для всех переменных за исключением р и г/, для которых
используется реконструкция minmod. Эти подходы дают улучшающееся разрешение
тангенциальных и вращательных разрывов, хотя они также не свободны от паразит-
паразитных осцилляции. Применение первого из этих двух ограничителей приводит также к
заметному искажению гладких областей.
Анализ представленных результатов показывает, что только симметричная интер-
интерполяция простых переменных более или менее сохраняет монотонность численной
схемы. Присутствие осцилляции во всех других случаях делает их малонадежными для
решения многомерных задач, для которых выбор интерполируемых функций еще более
сложен. Эти осцилляции можно, в принципе, подавить искусственной диссипацией,
как это, например, делается в работе Dai, Woodward A994a), хотя это представляет-
представляется шагом назад в методах получения монотонных профилей разрывов при их высоком
разрешении. Нужно отметить, что амплитуда осцилляции может быть несколько умень-
уменьшена, если на шаге предиктор E.4.24), E.4.25) для аппроксимации производных потока
использовать стандартную центральную схему второго порядка (Barmin, Kulikovskii,
Pogorelov, 1996; Kulikovskii, Pogorelov, Semenov, 1998).
Для нахождения более подходящих методов решения многомерных задач предпо-
предпочтительно использовать процедуры интерполяции с ограничением приращений харак-
характеристических переменных, тем более что они хорошо себя проявили при расчетах чи-
чисто газодинамических течений. С другой стороны, применение характеристических пе-
переменных в рамках описанной выше процедуры интерполяции является в МГД-случае
весьма неэкономичным. В этом случае может оказаться полезным использование ин-
интерполяции потоков.
Введем положительные и отрицательные разности потоков с помощью соотношений
Ff+1/2 - F? = 5F-1/2, Е?_1/2 - F? = -5F+1/2, E.4.35)
где F^+1 /2 — это численный поток первого порядка, определенный формулой E.4.23).
Вводится обычное расщепление на положительные и отрицательные потоки
SF-+1/2 = OrA"Ql 5U,+1/2, 5F+1/2 = QRA+QL 5U,+1/2, E.4.36)
где диагональные матрицы Л+ и Л~ конструируются с помощью положительных и
отрицательных собственных значений якобиевой матрицы <9F/<9U, а именно
Л+ = diag
Л = diag
VIя
364
Гл. 5. Уравнения магнитной гидродинамики
0.2 0.4 0.6 0.8 х
0.2 0.4 0.6 0
0.2 0.4 0.6 0.8 х
О 0.2 0.4 0.6 0.8 х
0.2 0.4 0.6 0.8 х
О 0.2 0.4 0.6 0.
О 0.2 0.4 0.6 0.8 х
Рис. 5.10. Решение тестовой задачи. Реконструкция простых переменных по ван Альбаде
5.4. Методы высокого разрешения для МГД-уравнений
365
О 0.2 0.4 0.6 0.
0.2 0.4 0.6 О
О 0.2 0.4 0.6 0.8 х 0 0.2 0.4 0.6 0.8 х
0.2 0.4 0.6 0.8 х 0 0.2 0.4 0.6 0.8 х
О 0.2 0.4 0.6 0.8 х
Рис. 5.11. Решение тестовой задачи. Реконструкция простых переменных по Колелле и Вудворду
366 Гл.5. Уравнения магнитной гидродинамики
Собственные значения и векторы в E.4.36) вычисляются через решение соответствую-
соответствующей задачи Римана с использованием параметров в центрах ячеек в качестве начальных
данных.
Интерполируя потоки с использованием формул E.4.26)-E.4.29), примененных ра-
ранее к простым переменным, можно выписать численный поток второго порядка в виде
- 1 [A - T7)SF~+3/2 + A + tjMF/+1/2] , E.4.37)
5F/+1/2 = minmodidF^^codF^yJ, 5F.+1/2 = minmodEF/+1/2,eMF/+3/2).
E.4.38)
Как говорилось ранее, МГД-задачи оказываются довольно чувствительными к вы-
выбору интерполяционной процедуры. Выбор базиса для расщепления разностей вектора
потока также очень важен. Fukuda, Hanawa A999) показали, что существует выбор ба-
базиса разложения, который особенно хорошо сохраняет форму профиля альфвеновской
волны. А именно, если мы хотим вычислить численный поток на грани ячейки / + 1 /2, то
все разности потоков <5F~ и <5F+, входящие в E.4.37), нужно разлагать в координатном
базисе, связанным с этой гранью. Принимая это во внимание, легко получаем
где
й/+1/2 =minmod(a/+1/2,0)a/_1/2), a/+1/2 =mmmod(a/.+1/2Ja)a/.+3/2)J
а F^+1/^ получается из решения задачи Римана на временном слое &+ 1/2. Таким
образом, за шагом предиктор E.4.22), E.4.23) должен следовать шаг корректор
Другие формулы для реконструкции могут быть получены с использованием ограни-
ограничителей E.4.30)-E.4.34).
Представленный здесь подход, который основан на реконструкции вектора потока,
является весьма экономичным с вычислительной точки зрения. Рассмотрим его каче-
качества при решении выбранной задачи Римана. На рис. 5.12 представлено решение с
использованием ц = 1 и со = 2. Выбор ц = -1 дает в этом случае практически те же
результаты. Это говорит в пользу применения реконструкции потока с интерполяцией
характеристических переменных, так как полученная в этом случае схема становится
более робастной. При сравнении полученных результатов с аналогичными на рис. 5.6
можно увидеть, что разрешение ударных волн остается практически тем же. С дру-
другой стороны, разрешение тангенциального и вращательных разрывов, хотя и остается
5.4. Методы высокого разрешения для МГД-уравнений 367
4
2
О
и
^2
-4
-6
О 0.2 0.4 0.6 0.8 х 0 0.2 0.4 0.6 0.8 х
О 0.2 0.4 0.6 0.8 х 0 0.2 0.4 0.6 0.8 х
О 0.2 0.4 0.6 0.8 х
О 0.2 0.4 0.6 0.8 х
О 0.2 0.4 0.6 0.8 х
Рис. 5.12. Решение тестовой задачи. Реконструкция характеристических переменных по ван Лиру
при со = 2 и г\ = 1
368
Гл. 5. Уравнения магнитной гидродинамики
0.2 0.4 0.6 0
0.2 0.4 0.6 0.
О 0.2 0.4 0.6 0.
О 0.2 0.4 0.6 0.
0.2 0.4 0.6 0.
Рис. 5.13.
Альбаде
О 0.2 0.4 0.6 Oi
Решение тестовой задачи. Реконструкция характеристических переменных по ван
5.4. Методы высокого разрешения для МГД-уравнений
0.6 I ¦ ¦ ¦ ¦ ¦—¦ ¦ ¦ ¦ 1 4
0.5 I- ¦ \ 2
Р
369
0.3
0.2
0.1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 х
-2
^4
-6
О 0.2 0.4 0.6 0.8 х
О 0.2 0.4 0.6 0.8 х
О 0.2 0.4 0.6 0.8 х
0.2 0.4 0.6 0.
О 0.2 0.4 0.6 0.
Рис. 5.14.
"superbee'
О 0.2 0.4 0.6 0.8 х
Решение тестовой задачи. Реконструкция характеристических переменных по методу
370 Гл.5. Уравнения магнитной гидродинамики
недостаточным, все же лучше, чем в случае интерполяции простых переменных. Если
использовать более сжимающий ограничитель наклонов, например, ограничитель van
Albada et al. A982) (рис. 5.13) или Roe A985) (рис. 5.14), разрешение может быть су-
существенно улучшено. Ограничитель Roe A985), к примеру, дает удивительно тонкие
тангенциальный и вращательные разрывы D-5 вычислительных ячеек). Нужно при-
признать, тем не менее, присутствие определенной волнистости распределений в областях
постоянных величин. Однако другим преимуществом использования интерполяции ха-
характеристических переменных является возможность сознательного применения более
сжимающих ограничителей к характеристическим полям, ответственным за поведение
энтропийных и альфвеновских волн и обычных minmod-ограничителей к быстрым и
медленным магнитозвуковым полям. Это позволяет устранить нежелательные осцил-
осцилляции (см. рис. 5.15).
Таким образом, существует семейство решений линеаризованной задачи Римана, ко-
которое может быть эффективно включено в различные TVD-алгоритмы, разработанные
для получения разрывных решений МГД-систем. Соотношения на разрывах в этом слу-
случае удовлетворяются точно. С другой стороны, МГД-уравнения, в отличие от простой
газовой динамики, являются существенно трехмерными. Если использовать решение
одномерной задачи Римана для нахождения численного потока через грань ячейки в
многомерной задаче, возникает противоречие с выполнением условия бездивергентно-
сти магнитного поля (отсутствия магнитного заряда). Действительно, в одномерном
подходе предполагается, что нормальная к грани ячейки компонента магнитного поля
постоянна. Это, однако, несправедливо для многомерных задач. Противоречие должно
быть устранено специальными процедурами удаления численного магнитного заряда,
которые будут описаны в отдельном разделе этой главы.
Описанный подход из-за сложности формул является более громоздким, чем ме-
метод линеаризации Роу в газовой динамике. Это даже в большей степени касается МГД
кусочно-параболического метода и метода типа Ошера. Принимая это во внимание,
можно разработать упрощенные подходы, которые должны (i) удовлетворять TVD-
свойству и (и) быть достаточно экономичными и робастными. Для решения МГД-задач
Barmin, Pogorelov A995), Pogorelov A996), Barmin et al. A996) предложили и иссле-
исследовали применение TVD-расширения схемы Лакса-Фридрихса на второй порядок ап-
аппроксимации, которое существенно упрощает конечно-объемный численный алгоритм
по сравнению со схемами, использующими точное характеристическое расщепление
якобиевых матриц. Результаты, полученные по этой схеме сравнивались с аналогичны-
аналогичными результатами, полученными по методам Brio, Wu A988) и Dai, Woodward A994a)
и по методу типа Роу, описанному в п. 5.4.3, и было получено хорошее их соответ-
соответствие. В TVD-схеме Лакса-Фридрихса диагональная матрица собственных значений
в E.4.2) заменяется на диагональную матрицу Rl+l/2 со спектральным радиусом г (мак-
(максимальным по модулю собственным значением) якобиевой матрицы, занимающим все
позиции на диагонали
4n)/p, с2е=ур/р,
где Vn, Bn и В — нормальные компоненты векторов скорости и магнитного поля и ве-
величина последнего. В этом случае удается избежать вычисления собственных векторов
5.4. Методы высокого разрешения для МГД-уравнений
4
371
Рис. 5.15. Решение тестовой задачи. Реконструкция характеристических переменных по методу
"superbee" для избранных характеристических полей
372
Гл. 5. Уравнения магнитной гидродинамики
0.2 0.4 0.6 0
О 0.2 0.4 0.6 0.8 х
0.2 0.4 0.6 О
О 0.2 0.4 0.6 0.
0.2 0.4 0.6 0.
О 0.2 0.4 0.6
О 0.2 0.4 0.6 Oi
Рис. 5.16. Решение тестовой задачи. Схема типа Лакса-Фридрихса
5.4. Методы высокого разрешения для МГД-уравнений 373
и получить численный поток в виде
\ -ri+l/2x (uf+1/2-U^1/2)] . E.4.41)
Аппроксимация более высокого порядка достигается применением подходящей про-
процедуры реконструкции величин на гранях расчетных ячеек. Имея второй порядок, пред-
предложенная схема гораздо менее диссипативна, чем исходный метод Лакса-Фридрихса, и
обеспечивает несравнимо лучшее разрешение разрывов. Будучи намного более простой,
чем схемы, основанные на линеаризации типа Роу, эта схема все же дает результаты с
приемлемой точностью. Для иллюстрации на рис. 5.16 представлено решение выбран-
выбранной нами тестовой задачи Римана с использованием метода типа Лакса-Фридрихса
и процедурой реконструкции, основанной на формулах E.4.26)-E.4.29) с г\ = 1/3 и
со = 2 для всех простых переменных, кроме р и г/, для которых используется со = 1.
Видно, что этот простой метод позволяет получать ударные волны, размазанные на
пять ячеек против трех в методе типа Роу. Нужно признать, что остальные разрывы
тоже сильнее размазаны, что не удивительно, принимая во внимание весьма упрощен-
упрощенное рассмотрение характеристических полей в этом методе. Преимуществами метода
типа Лакса-Фридрихса заключаются в его исключительной робастности и экономич-
экономичности. Кроме того, эта схема автоматически удовлетворяет энтропийному условию
и не требует никаких модификаций в тех случаях, когда ищутся установившиеся по
времени решения (см. разд. 2.10). Схема типа Лакса-Фридрихса, удовлетворяющая
TVD-свойству, была впервые предложена в работах Nessyahu, Tadmor A988,1990). Она
представляет из себя расширение на второй порядок аппроксимации локальной схемы
Лакса-Фридрихса, предложенной Русановым A961). Мы вернемся к обсуждению этой
схемы в разд. 5.8. Ряд численных тестов применения TVD-схем к решению многомер-
многомерных МГД-задач представлен в работе Toth, Odstrcil A996).
5.4.5. Модифицированная МГД-СИСТема. Попытаемся построить метод Роу
для модифицированной восьмиволновой системы МГД-уравнений (восемь уравнений для вось-
восьми неизвестных), которая является математическим следствием (Годунов, 1972; Powell, 1994)
квазилинейной системы A.3.20)—A.3.23), приведенной к консервативному виду. Прямое обобще-
обобщение процедуры, описанной в п. 5.4.3, не удается. Причину этого можно понять при рассмотрении
исходной системы МГД-уравнений, записанной в консервативном виде E.1.43). Формальный
переход к квазилинейной форме дает
М+Л™+В™+С™=0, E.4.42)
dt dx ду dz
7-i!L R-il r-2SL
dV dV 9V
Легко видеть, однако, что каждая из матриц А, В, С имеет по нулевой строке и, следовательно,
по одному нефизическому нулевому собственному значению. Для получения несингулярных
матриц можно преобразовать систему E.4.42) следующим образом. Если выделить в E.4.42)
члены, пропорциональные divB, получим
™+^+**Uc*UfdivB = 0, E.4.43)
dt дх dy dz
Bx By Bz vB
4tf 4tf 4tf 4tf
374
Гл. 5. Уравнения магнитной гидродинамики
дВ2
дх
дх
?двх dv ~dv дву dv ~dv
I——, В^— — В— 1——, С-г— —С-г—
дх ду ду ду dz dz
dz '
Если принять, что дивергенция магнитного поля тождественно равна нулю и опустить сво-
свободный член f div В, то получим систему уравнений
dv
дх
dv
ду
E.4.44)
с несингулярными матрицами А, В и С.
Форма E.4.44) является более корректной, так как, в отличие от системы E.4.42), она инва-
инвариантна относительно преобразования Галилея, несингулярна и симметризуема (Годунов, 1972).
Обратный переход к консервативной форме E.1.43) приводит к появлению в правой части систе-
системы члена f div В.
При построении одномерного решения типа Роу ниже будет использоваться аналогичная
процедура. Выделим, а затем опустим в выражениях для АЕ те разности, которые соответствуют
аппроксимации членов, пропорциональных div В. Вместо формальной аппроксимации матриц^,
В и С в решении будут аппроксимироваться физически уместные матрицы А, В и С.
Аналогично случаю семи уравнений для семи неизвестных (см. п. 5.4.3), выберем парамет-
параметрический вектор s в виде
s = [R, U, V, W, J,X, 7, Z]T = [^Р, VP «, VP^ л/Р
где Н = (е + /?*) /р — полная энтальпия.
Тогда
и = Lr2, ru, rv, rw, u5, rx, ry, rz\ ,
где
V2 + W2) -
+Z2)R2.
Вектор Е, выраженный через компоненты вектора s принимает вид
RU
1
Е =
UV XYR2
4к
UW-—XZR2
\п
- — ( UX+ VY+WZ)XR
4тг
О
UY-VX
UZ-WX
где
Е1 = U2
1
7
27
- —X2R2.
4л:
Следуя процедуре построения решения Роу, из равенств АЕ = АЕAs и AU = AjjAs нужно найти
матрицу з/, удовлетворяющую равенству АЕ = sz/AV, т. е. я/ = АЕА~^. Рассмотрим вначале
5.4. Методы высокого разрешения для МГД-уравнений
приращение AU. Имеем
=АСЛ = 2AR, =AU, = uAR+AU, =AU, = vAR+AV, =AUA = wAR+AW,
R 1 ' R 2 ' R 3 ' R 4
375
=AU5 = -
-АЯ + ?^
i AU6 = bxAR + AX, LaU7 = byAR + A7, i АЩ = bzAR + AZ,
R R R
где
_Ru _Rv _Rw ^_RH h B*/R h _ BylR
D ' 7?' 7?' 7?' D ' "^ 7?'
jv jv jv /V /V /V
a / означает арифметическое среднее. Кроме того,
2-у (—2 -2 -2 0i ? 02
m
m
где 01? 02? ^3' ^1' ^2 и ^3 — некоторые параметры. Их происхождение вызвано наличием в
выражениях для AU и АЕ членов, содержащих сомножители ARAX, ARA7 и ARAZ. Их можно
приписать к членам пропорциональным AR и к членам пропорциональным АХ, AY или AZ. Это
приводит к дополнительной параметризации матриц АЕ и Av. В п. 5.4.3 было найдено, что
предпочтительными значениями этих параметров являются вх = 62 = 63 = 1 и щ = г/2 = г/3 = 2.
Матрица ^4 ^ имеет вид
2
г/
V
w
Г-q
ьх
by
ы
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
; 1
г
0
0
0
0
0
0
0
-qx
1
0
0
0
0
0
0
-Чу
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
Для построения решения типа Роу для модифицированной системы нужно предварительно
преобразовать АЕ = [^,..., ^8]т следующим образом:
27
- \^-XRA(XR)
4n
376
Гл. 5. Уравнения магнитной гидродинамики
& = A(UV) - —XRA(YR) - —7RA(XR) ,
4к [4к J _
4к
4к
?d = A(UW) - -—XRAiZR) - -—ZRAiXR) ,
4к [4к \_
?5 = A(UH) - -^-XR[A(UX)+A(UY)+A(UZ)] - -^-(UX+UY+UZ)A(XR) ,
*6=\(^Щхя)
<?7=A(UY)-XRA[^) - (^ )A(XR)
, = a(uz)-xra(^^\-\(^)a{xr)
Здесь, в соответствии с преобразованием, сделанным в уравнениях E.4.43) и E.4.44), опускаемые
члены помечены индексом минус, [ ] _, а вновь появившийся член в <#6 помечен индексом плюс,
[ ]_|_. Отметим, что для получения в решении Роу совместимой с дифференциальным случаем
аппроксимации следует постулировать
E.4.45)
так как, в общем случае,
Ru
Это единственное допущение, принятое в обсуждаемом подходе.
После такой модификации выражения для АЕ, матрица АЕ принимает вид
AE=R
n
'xbz
1
r
v
0
u
0
Bxby
0
by
\bz
An
0
y-1
0
0
u
0
0
0
0
Чу
-Ml
An
0
0
u
0
b
где
Собственные значения Я могут быть найдены из уравнения
dct(AE-XAu)=0,
= o,
5.4. Методы высокого разрешения для МГД-уравнений 377
где
K = u-X, aA= j^L, a=^(q-qxbx-qyby-qzbz), /3 = y{by
^
Здесь се — это усредненная акустическая скорость звука. Отметим, что у формулы для се есть
недостаток, так как она содержит члены, пропорциональные
Bf в\ \
. \/р* л/р17/
которые, в общем случае, могут быть неположительными. Тем не менее, можно специально
позаботиться о том, чтобы с2е не выходило из интервала, определяемого (с\J и (cfJ (Yee, 1989).
Если это происходит на левом или правом конце этого интервала, то полагаем, соответственно,
с2 = min((cgJ,(c^J) или с2 = тах((с^J,(с^J).
Выражение для а можно переписать в виде
2-у
а =
32л:
7 R
Собственные значения матрицы А суть и, и ± аА и четыре корня биквадратного уравнения
К4 - 2рК2 + 6 = 0, E.4.46)
где
2р = с1 + а + а2А + — (bl + b2) + B, 0= (с2 + а)а2А.
Если с2,-\-ос > 0 и (Ь2-\-Ь2)р/4ж-\-р >0, корни этого уравнения действительны и диагональная
с,-\-ос > 0 и (Ь-\-Ь
матрица, составленная из них, принимает вид
Л = diag[w + <2f, u-\-aA, u-\-as, и, и, u — as, u — aA, и — а^].
Величины af и as являются наибольшей и наименьшей скоростями распространения магни-
тозвуковых волн (быстрые и медленные МГД-волны), а аА соответствует альфвеновским волнам.
Два совпадающих собственных значения Я = и соответствуют волнам, переносящим энтропию и
магнитный заряд. Предложенный подход обеспечивает строгое упорядочение собственных зна-
значений. Он гарантирует отсутствие их нефизического вырождения, которое не присуще исходной
дифференциальной системе. Аналогично случаю семи уравнений для семи неизвестных полагаем
0^ = 02 = 0^ = I. Легко проверить, что
378 Гл.5. Уравнения магнитной гидродинамики
таким образом обеспечивая при щ = Т72 = Щ = 2 выполнение неравенств /3 = 0 и a > О, так как
при этих значениях г/ и в имеем
32nR2
Собственные векторы г и 1 могут быть найдены аналогично случаю семи уравнений для семи
неизвестных (п. 5.4.3).
В работе Powell et al. A995) предложено иное решение для модифицированной системы,
которое оказалось не очень удачным, так как даже альфвеновская скорость для линеаризованной
системы могла оказаться мнимой (Pogorelov, Zhurov, 1999). Gallice A996) построил еще одно
решение этого типа. При этом в выражении для я/, полученном для системы из семи уравнений,
были формально добавлены одна строка и один столбец с совпадающими элементами, из которых
только один был ненулевым и равным и. Полученное решение, в действительности, не имеет
вырождений, хотя его трудно отнести к типу Роу. Это имеет место только при Вх = const. В
противном случае, решение имеет тип Куранта-Изаксона-Риса.
Хотя нам и кажется, что предложенный здесь подход, который использует лишь одно дополни-
дополнительное предположение E.4.45), дает естественный и физически состоятельный алгоритм, легко
видеть, что распространение решения Роу на модифицированную систему неединственно. Даже
если принять специальные меры для того, чтобы сделать собственные значения действительны-
действительными, полученная схема не может обеспечить точного удовлетворения соотношений Гюгонио на
многомерных разрывах. Это, по-видимому, явилось причиной того, что в работе Powell et al. A999)
в численном моделировании на основе модифицированной системы использовалась схема типа
Куранта-Изаксона-Риса с арифметическим усреднением переменных. Такой подход совпадает
с предложенным Brio, Wu A988). Для реализации этого метода, очевидно, достаточно знать
формулы для собственных значений и собственных векторов, выписанные в п. 1.3.4.
5.5. Метод сквозного счета и неэволюционные решения
в магнитной гидродинамике
5.5.1. Предварительные замечания Ситуация с построением решений в
магнитной гидродинамике отличается от аналогичной в обычной газовой динамике
совершенного газа, где все ударные волны, через которые возрастает энтропия, являют-
являются эволюционными и физически допустимыми. Как уже отмечалось, эволюционность
подразумевает единственность решения задачи о взаимодействии разрыва с малыми
возмущениями, а допустимость — наличие у разрыва структуры. Такие структуры воз-
возникают, если рассматривать физические модели более высокого порядка, учитывающие
эффекты молекулярной вязкости, теплопроводности и электрического сопротивления
плазмы. В таких моделях разрывы не существуют. В мелкомасштабных решениях они
заменяются относительно узкими переходными зонами с непрерывным изменением
величин. Структурой разрыва называется переходное решение в виде бегущей волны,
принимающее различные постоянные значения при удалении на бесконечность в обе
стороны от переходной зоны. В магнитной гидродинамике условие возрастания эн-
энтропии является необходимым, но не достаточным для физической осуществимости
разрыва.
Напомним результаты, касающиеся эволюционных и неэволюционных ударных
волн в магнитной гидродинамике, подробно рассмотренные в разд. 5.3. Существует
простое правило (см. кривую Гюгонио на рис. 5.3) для определения того, является ли
5.5. Метод сквозного счета и неэволюционные решения в МГД
379
ударная волна эволюционной (быстрой или медленной). Быстрые МГД ударные волны
всегда сверхальфвеновские, т. е. нормальная компонента скорости перед и за ними все-
всегда больше альфвеновской. Медленные ударные волны являются доальфвеновскими по
состояниям перед и за ними. Неэволюционные ударные волны — трансальфвеновские.
Другими словами, ударная волна называется сверхальфвеновской, доальфвеновской
или трансальфвеновской, если выполняются следующие соотношения между альфве-
новскими числами А = \vn\/aA до и после разрыва: AR > AL > 1, AL < AR < 1 или
AR > 1 > AL. Таким образом, скорости альфвеновских волн, которые движутся в од-
одном направлении относительно среды, имеют противоположные знаки по отношению
к неэволюционной ударной волне с ее разных сторон.
Ударная адиабата Гюгонио, спроецированная на диаграмму эволюционности в наи-
наиболее общем случае имеет вид, представленный на рис. 5.17 (ср. с рис. 5.3). Все ударные
волны можно классифицировать по положению состояний перед и за волной относи-
относительно интервалов, помеченных на горизонтальной и вертикальной осях числами от 1
до 4. Germain A959) показал, что только переходы / —У j с / < j удовлетворяют условию
неубывания энтропии. Эти ударные вол-
волны представлены на рис. 5.17 прямо-
прямоугольниками, лежащими ниже биссек-
биссектрисы координатной четверти. Эволю-
Эволюционные быстрые и медленные удар-
ударные волны представлены, соответствен-
соответственно, переходами 1 —> 2 и 3 —> 4. В
этих ударных волнах направления векто-
векторов В^ и В^ совпадают (индекс t означа-
означает касательную составляющую вектора).
Соответствующие прямоугольники зате-
затенены. Согласно разд. 5.3, промежуточ-
промежуточные ударные волны 2—> 3, 1—>- 3, 2 —> 4
и 1 —> 4 являются неэволюционными по
отношению к альфвеновским (попереч-
1
\
/
г1
\\
\ /
\^
3 >4
-
2^3 "
2 >4
I >2
1->4
4
1
Рис. 5.17. МГД ударная адиабата
ным) возмущениям. Эти ударные волны
неэволюционны потому, что число ухо-
уходящих альфвеновских волн недостаточ-
недостаточно для эволюционности разрыва. В этом случае решение линаризованной задачи о
взаимодействии ударной волны с малыми альфвеновскими возмущениями не имеет
решения. Ударные волны 2 —у 3 и 1 —У 4 неэволюционны также относительно возму-
возмущений магнитозвуковых величин (продольных), хотя первые из них и удовлетворяют
условиям эволюционности для полного набора возмущений. Линеаризованная задача
о взаимодействии ударных волн 1 —У 4 с малыми магнитозвуковыми возмущениями
не имеет решения. Для ударной волны 2—^3 такое решение неединственно. Во всех
неэволюционных ударных волнах вектор Bt меняет направление на противоположное.
Изучение поведения неэволюционных ударных волн под действием возмущений
обычно проводится с двух точек зрения. Первая рассматривает их как разрывы в иде-
идеальной плазме с пренебрежимым электрическим сопротивлением. Неэволюционность
трансальфвеновских ударных волн позволила сделать вывод об их физической недопу-
недопустимости для идеальной магнитной гидродинамики. Эта точка зрения также подтвер-
380 Гл.5. Уравнения магнитной гидродинамики
ждается тем фактом, что решение МГД-задачи Римана может быть представлено в виде
комбинации эволюционных разрывов и волн разрежения (Гогосов, 1961), что справед-
справедливо, в частности, и для неэволюционных ударных волн. В то же время эволюционные
ударные волны не имеют другого представления. Для малых величин тангенциальной
компоненты магнитного поля тот же результат был получен Любарским и Полови-
ным A959), а для волн малой интенсивности — Половиным и Черкасовой A961). Дру-
Другим аргументом против существования неэволюционных ударных волн является то, что
они являются изолированными решениями задачи Римана, которые не имеют близких
решений, которые соответствуют малым отклонениям граничных условий (Kantrovitz,
Petschek, 1966).
В другом подходе МГД ударные волны трактуются как тонкие слои в неидеаль-
неидеальной плазме с диссипативными коэффициентами, отвечающими за структуру ударной
волны, т. е. за распределение параметров внутри этих слоев. Отметим, что диссипатив-
ные эффекты все же считаются малыми и не играют существенной роли вне ударного
слоя. Ударные волны в идеальном смысле считаются допустимыми, если они являются
пределами решений системы уравнений более высокого порядка при стремлении дисси-
диссипации к нулю. Оказывается, что в присутствии различных диссипативных механизмов
как эволюционные, так и неэволюционные ударные волны могут иметь стационарную
структуру, представленную не деформирующейся бегущей волной (Germain, 1959). Учет
диссипативных процессов при рассмотрении переходных процессов, происходящих в
неэволюционных ударных волнах, был применен в работах Todd A964, 1965, 1966).
Влияние возмущений на ударные волны включения и выключения, которые являются
предельными случаями быстрых и медленных ударных волн, исследовалась как анали-
аналитически, так и численно (Todd, 1966; Chu, Taussig, 1967).
Вращательные (альфвеновские) разрывы всегда имеют нестационарную структуру,
толщина которой растет как \ft (Ландау, Лифшиц, 1992). С другой стороны, если рас-
рассматривать нестационарные задачи, когда характерный линейный масштаб растет со
временем как t, вращательные волны остаются относительно тонкими и могут рассмат-
рассматриваться как разрывы.
Структура неэволюционных МГД ударных волн в общем случае неплоская
(Todd, 1965). Если в неидеальном случае выписать уравнение индукции для выходящей
из плоскости поляризации ударной волны z-компоненты магнитного поля, в одномер-
одномерном случае можно получить
Так как vz = 0 и Bz = 0 при х = ±оо, то интегрируя уравнение E.5.1) по структуре
разрыва, получаем
-1=0, /z= / Bzdx. E.5.2)
Ot J-oo
Аналогично из уравнения импульсов имеем
д Г°°
— pvzdx = 0. E.5.3)
Ot J-oo
Для эволюционных ударных волн, структура которых лежит в плоскости z = 0,
эти интегралы тождественно равны нулю. Если неэволюционная ударная волна имеет
5.5. Метод сквозного счета и неэволюционные решения в МГД 381
неплоскую структуру, то интегралы E.5.2) и E.5.3) постоянны (Todd, 1964). Если зафик-
зафиксировать значение интеграла /z, характеризующего структуру ударной волны, неплос-
неплоская структура ударных волн 1 ->• 3 и 2 ->• 4 будет однозначной (Todd, 1964, 1965, 1966;
Kennel, Blandford, Wu, 1990).
Wu A990) и Hada A994) предположили, что амплитуды чисто диссипативных неста-
нестационарных линейных волн должны быть включены в решение задачи об эволюцион-
ности ударных волн. Очевидно, тем не менее, что чисто диссипативные волны за-
затухают на масштабе длины порядка толщины структуры. Поэтому их амплитуды не
входят в граничные условия и ими нужно пренебрегать при проверке эволюционности
(см. Markovskii, 1998a, 1998b).
Myong, Roe A997), изучая плоские задачи МГД, где Bz = 0, показали, что проме-
промежуточные ударные волны необходимы для того, чтобы плоская задача Римана была
хорошо обусловленной.
Важные результаты, касающиеся нестационарных процессов, проходящих вну-
внутри структуры неэволюционных ударных волн, были получены в работах Wu A990),
Kennel et al. A990), Wu, Kennel A992a, 1992b, 1993) на основе упрощенных урав-
уравнений, описывающих МГД-течения в случае, когда вектор магнитного поля образует
малый угол с осью х. Путем численного эксперимента было показано, что структу-
структуры неэволюционных ударных волн могут быть довольно устойчивыми к расщеплению
под действием альфвеновских возмущений. Они могут поглощать эти возмущения, ме-
меняя или свою внутреннюю структуру, если она описывается свободным параметром,
или интенсивность. Неэволюционная ударная волна может также расщепиться на эво-
эволюционную ударную волну и неэволюционную волну другого типа. При накоплении
достаточного (в смысле интеграла по времени или по пространственной координа-
координате) количества альфвеновских возмущений, характеризующегося величиной /z, такой
вторичный неэволюционный разрыв приближается по своим параметрам к альфве-
новскому с вращением вектора магнитного поля на 180°. Количество альфвеновских
возмущений, необходимых чтобы это произошло, зависит от величины диссипативных
коэффициентов, определяющих толщину структуры, а следовательно, от возможности
неэволюционной ударной волны абсорбировать приходящие возмущения. В пределе ис-
исчезающей диссипации достаточно бесконечно малого альфвеновского возмущения, для
того чтобы сделать неэволюционный разрыв неотличимым от вращательного. В этом
смысле полученные в вышеупомянутых работах результаты не противоречат классиче-
классическим результатам, относящимся к идеальной магнитной газовой динамике. Исключение
могли бы составить такие случаи, в которых, по мере того как диссипативные коэффи-
коэффициенты стремятся к нулю, все более и более жесткие ограничения накладываются на
малость приходящих альфвеновских возмущений.
Ниже будут более подробно изложены перечисленные выше результаты, касающи-
касающиеся поведения неэволюционных ударных волн, и результаты численных экспериментов
на основе МГД-уравнений, упрощенных для случая движений с малыми углами отно-
относительно магнитного поля перед ударной волной (Rogister, 1971; Cohen, Kulsrud, 1974;
Kennel et al., 1990). Использование этих уравнений делает интерпретацию результатов
более наглядной.
382 Гл.5. Уравнения магнитной гидродинамики
5.5.2. Упрощенная МГД-система и связанные с ней разрывы. Рас-
Рассмотрим распространение одномерных МГД-волн, в которых все величины зависят
только от х и t. Если угол между вектором магнитного поля и осью х мал, то в от-
отсутствие диссипации скорости двух семейств характеристик оказываются близкими.
Одно из этих семейств соответствует вращательным волнам, а другое — магнитозву-
ковым волнам: быстрым, если аА > се, или медленным, если аА < се. Следуя работам
Kennel et al. A990) и Wu, Kennel A993), рассмотрим случай аА> се.
Оказывается, что для волн малой амплитуды можно получить систему уравнений
для распространяющихся в положительном направлении оси х возмущений, связанных
с двумя вышеупомянутыми семействами характеристик. Она имеет вид
^ ^ О, i=y,z, E.5.4)
где В% = Ву+В%, а с0 и а постоянны. Если аА > се, то а > 0. Система E.5.4) опи-
описывает плоско-поляризованные магнитозвуковые волны с неизменным направлением
вектора Вт, которые соответствуют характеристической скорости равной с0 + ЗаВ2, и
вращательные (альфвеновские) волны с характеристической скоростью с0 + аВ\. Си-
Система E.5.4) выражает закон сохранения поперечного импульса, и поэтому имеют место
следующие соотношения на разрывах:
{aB2TBI} + (c0-W){BI}=0. E.5.5)
Эти соотношения допускают разрывы двух типов, а именно вращательные разрывы
и ударные волны, на которых выполняются следующие соотношения:
{Вт} = 0, W = aB2T; E.5.6)
Bf = B^ = 0, Ж' = ^Щ, E.5.7)
\ву\
где W' = W - с0 и выбрана подходящая ориентация осей у и z.
Рассмотрим эволюционность этих ударных волн. На рис. 5.18 изображены графи-
графики функции осВу. В соответствии с E.5.6) скорости вращательного разрыва и малых
альфвеновских возмущений характеризуются наклоном секущей, проведенной через
начало координат и точку на графике с фиксированным значением Ву. Скорость ма-
малого магнитозвукового возмущения определяется наклоном касательной к графику в
рассматриваемой точке. В соответствии с E.5.7) скорость ударной волны W' равна
наклону секущей, проведенной через точки графика с абсциссами By и В^. Это поз-
позволяет довольно легко указать типы состояний перед различными ударными волнами
и за ними. Это сделано на рис. 5.18а для фиксированного By и на рис. 5.18Ь для фик-
фиксированного By. На рис. 5.18а точка С представляет состояние перед ударной волной.
В этой точке Ву = By. Если Biy > В^, то ударная волна имеет тип 1 ->• 2 (быстрая). Если
выполняется неравенство —Ву < ВJ; < Ву, то в соответствующих разрывах происходит
убывание энтропии и они не могут реализоваться. Если Ву(?) < Bl; < —В^, где Ву(?) —
значение Ву в точке F, то ударная волна имеет тип 2—^3 (неэволюционная), а если
В^ < Ву(?), — тип 1 —у 3 (тоже неэволюционная).
5.5. Метод сквозного счета и неэволюционные решения в МГД
383
оВ.
Рис. 5.18. Ударные переходы для упрощенной МГД-системы
В дальнейшем при изучении нестационарных процессов, когда неэволюционной
ударной волной будут излучаться быстрые магнитозвуковые волны, уходящие от неэво-
неэволюционного разрыва вперед, принимаемая отрицательной величина^ будет оставаться
постоянной, как это изображено на рис. 5.18Ь. Заметим, что прямая, проведенная через
точку (Ву,ос(ВуK), может касаться графика функции аВъу в точке |^|/2. Изучаемые
неэволюционные ударные волны 1 ->• 3 и 2 ->• 3, как это видно из того же графика,
соответствуют значениям 0 < Щ < \В^\, лежащим симметрично по разные стороны от
точки \Ву\/2. Если By = \Ву\/2, то ударная волна удовлетворяет условию Жуге W =
= af по состоянию впереди, которое может быть обозначено как 1 = 2, а сама ударная
волна как 1 = 2 —)> 3. При В^ < By < О ударная волна имеет тип 1 ->• 2 (быстрая). При
|.В^| > |.В^| в разрывах убывает энтропия и они не могут реализоваться.
Сравнение разрывов, отмеченных на рис. 5.18, с диаграммой эволюционности на
рис. 5.17 показывает, что на первом рисунке отсутствуют части ударной адиабаты, соот-
соответствующие таким скоростям газа относительно ударной волны, которые меньше или
сравнимы с медленной магнитозвуковой скоростью as. Поэтому случай, показанный на
рис. 5.18, соответствует частям рис. 5.17, которые лежат выше и правее проведенной на
ней штриховой ломаной линии. Вспомним, что только ударные переходы с увеличива-
увеличивающимся номером состояния согласуются с условием неубывания энтропии.
384
Гл. 5. Уравнения магнитной гидродинамики
5.5.3. Структура ударных волн в решениях упрощенной системы.
Если принять во внимание диссипативные процессы, уравнение E.5.4) заменится урав-
уравнением Коэна-Кулсруда-Бюргерса (Kennel et al, 1990)
3 Bi i=y,z, E.5.8)
Щ_
~дГ
д_
~дх~
дх2 '
где v — это определенная комбинация диссипативных коэффициентов, рассматривае-
рассматриваемая как постоянная величина. Рассмотрим решение, зависящее от ^ = — х+ Wt. Кроме
того, предположим, что ^ = —оои^ = оо соответствуют состояниям перед и за удар-
ударной волной. Будем считать состояние за ударной волной фиксированным. Принимая во
внимание тот факт, что при В = BL все производные равны нулю, из E.5.8) получаем
dB у о т т оп
v—± = W (В -В)") -a \B-Bi-By(Bby\ . E.5.9)
dq
Пусть By < 0 и В\ = 0. Тогда интегральные кривые системы E.5.9) имеют вид,
показанный на рис. 5.19. Для фиксированного состояния 3 за разрывом, каждое из
состояний 1 или 2 может быть выбрано в
качестве состояния перед фронтом ударной
волны. При этом из рис. 5.18Ь можно заклю-
заключить, что
В
К:
}у(\) - 2 ' 2
Соотношения между В ,.
\> ВуB) И
висят от скорости W' = W — с0. Заключен-
Заключенные в скобки числа 1, 2 и 3 обозначают
типы состояний перед или за разрывом.
Существует скорость ударной волны, соот-
соответствующая касательной к графику функ-
функции аВу, проведенной из точки (By, a (ByK)
(см. рис. 5.18Ь), когда возможные состояния
типов 1 или 2 перед разрывом сливаются.
Это происходит при Ву = |^|/2. Ударная
волна 1—^2 является быстрой эволюционной ударной волной (рис. 5.19). Неэволю-
Неэволюционная ударная волна 2 —)> 3 имеет структуру, представленную одной из двух сим-
симметричных интегральных кривых. Неэволюционной ударной волне 1—^3 может быть
приписано однопараметрическое непрерывное множество интегральных кривых, соот-
соответствующих различным структурам этого разрыва. Как упомянуто выше, в качестве
такого параметра удобно выбрать интеграл Iz = /^ Bzdt;. Тогда из рис. 5.19 видно, что
для ударной волны 1—^3 выполняется соотношение
Рис. 5.19. Интегральные кривые упрощен-
упрощенной МГД-системы
где /* — это значение / для ударной волны 2—^3, соответствующей той же скорости W'.
Вместо W в качестве параметра, характеризующего ударную волну, можно выбрать
величину q = В^/\В^\. Как видно из рис. 5.18Ь, она изменяется между 0 и 1. При q =
= 0.5 скорость ударной волны минимальна. Значения д>0.5ид<0.5 соответствуют,
5.5. Метод сквозного счета и неэволюционные решения в МГД 385
ударным волнам 2 —у 3 и 1 —у 3. Зависимость Iz от q, полученная численно при By = const
(Kennel et al, 1990), качественно показана на рис. 5.20.
Затененная часть рисунка соответствует допустимым значениям Iz для ударных волн
1 —у 3. Кривая 1 = 1* (q) при q > 0.5 соответствует значению Iz для ударной волны 2 —у 3.
Сама кривая симметрична относительно прямой q = 0.5. Стремление /^ (#) к бесконеч-
бесконечности при q —У 0 и q —У 1 обусловлено тем фактом, что ударные волны 1 —у 3 и 2 —у 3,
как видно из рис. 5.18Ь, стремятся в этих случаях, соответственно, к ударной волне
включения и вращательному разрыву. При этом ширина структуры и, следовательно,
величина /* стремятся к бесконечности, что соответствует отмеченной выше возмож-
возможности неограниченного расширения структуры вращательного разрыва во времени.
5.5.4. Нестационарные процессы в структуре неэволюционных
ударных волн. Из записанного для Bz уравнения E.5.8) получается закон сохра-
сохранения
jt ?2 Bzdx + Q:\X=X2 - Q:\x=Xl = 0, E.5.10)
где хх их2 — константы, а
Q: = (c0 + aB2r)B:-v^- E.5.11)
представляет собой поток Bz через х = const. Если, по мере того как х —У =Ьоо, величина
Bz стремится к нулю достаточно быстро, то выполняется E.5.2) и, следовательно,
/•оо
=
J — oo
Bzdx = const. E.5.12)
Если рассмотреть явления большого масштаба, основной вклад в поток Qz дается
конвекцией (первый член в E.5.11)), связанной с переносом Bz со скоростью альфве-
новской волны. Для промежуточных волн, которые являются трансальфвеновскими,
это означает, что возможные потоки Bz направлены в сторону структур рассматривае-
рассматриваемых ударных волн типа 2 —у 3 и 1 —у 3. Знаки относительных скоростей альфвеновских
волн видны из рис. 5.18Ь и 5.17. Изменение Iz происходит под действием приходящих
альфвеновских возмущений.
Как упомянуто выше, различные численные эксперименты показали высокую
устойчивость структур неэволюционных ударных волн. Некоторые из этих результа-
результатов можно описать следующим образом.
Вне некоторого сегмента оси х задаются некоторые векторы B0L и B0R параллель-
параллельные оси у, причем ByL < 0, a B®R может иметь любой знак. На самом сегменте задаются
некоторые распределения Щ(х) и В%(х) (детали см. в работах Kennel et al., 1990; Wu,
Kennel, 1993). Если ByR <0h5z°(i)e 0, то в соответствии с классическими результа-
результатами, в зависимости от соотношения между B®R и B®L, в решении присутствует или
быстрая ударная волна, или быстрая волна Римана. Если В® ф 0 при тех же B®L и B®R,
то, помимо быстрой волны, образуется вращательная волна, которая накапливает ком-
компоненту магнитного поля Bz. Эти волны движутся с различными скоростями.
386
Гл. 5. Уравнения магнитной гидродинамики
Рис. 5.20. Зависимость Iz от q
Если ByL < 0, возникающая структура волн за-
зависит не только от q° = ByR/\ByL |, но и от 1%, т. е. от
интеграла^ пох. Для определенности, пусть/^ > 0.
Если точка (q°,I^) принадлежит графику Iz(q) при
q > 1/2 или затененной области на рис. 5.20, то с
течением времени решение достигает асимптоти-
асимптотики, состоящей из одной неэволюционной ударной
волны 2 ->• 3 или 1 ->• 3. Если точка с координата-
координатами (q°jl^) не принадлежит указанному множеству
и при этом ftz > I*(q0), образуется промежуточная
ударная волна 2 —>- 3, соответствующая заданному
Iz = 7^, а вперед уходит быстрая ударная волна, в
которой Ву достигает такого значения Ву, которое
требуется кривой Iz{q) для ударной волны 2 —у 3
при IZ = I%. Это изменение изображено на рис. 5.20
горизонтальной стрелкой. Если/2* @.5) < /° < /* (q0)
при 0.5 < q° < 1 или если q° > 1, a /z* @.5) < /z°, то в
описанном выше решении место быстрой ударной
волны займет быстрая волна Римана.
Если q° > 0.5 и |/° | < I* @.5), вперед уходит бы-
быстрая волна Римана сВу = \B®L | /2 за ней. Неэволю-
Неэволюционная ударная волна с q = 0.5, которая образуется
в этом случае, имеет скорость равную быстрой маг-
нитозвуковой скорости по состоянию перед этой волной (см. рис. 5.18Ь). Это волна
Жуге. Состояние перед ней можно обозначить как 1 = 2, в то время как состояние за
ней есть 3. Эта волна, аналогично волнам 1 —>- 3, имеет множество структур с про-
произвольным Iz из интервала \IZ\ < /*@.5). В рассматриваемой задаче образуется волна
описанного типа со структурой, соответствующей начальному значению Iz = I^. Мно-
Множество вышеописанных решений показано в плоскости (IZjq) (см. рис. 5.20). Исполь-
Использованы следующие обозначения: S+ и R+ — быстрые ударная волна и волна Римана,
<$2^з и ^1^з — промежуточные волны, a S* — промежуточная волна 1 = 2 —> 3, соот-
соответствующая q = 0.5. Как было сказано выше, при B®R < 0, т. е. при q° < 0, образуется
классическое решение S+A при — 1 < q° < 0 и R+A при q° < — 1.
Таким образом, если образуется промежуточная волна 1 ->• 3, ее параметры опре-
определяются 1^ viq0, принадлежащими затененной области на рис. 5.20. Если образуются
ударные волны 2—^3 или 1 =2—^3, они определяются только величиной/?. Необходи-
Необходимое изменение в величине Ву, которое осуществляется в быстрой волне, определяется
положением начальной точки {q^^) по отношению к кривой, представляющей на
рис. 5.20 волны 2чЗи1=2->3 (кривые Iz = ±I*(q) при q > 0.5 и отрезок прямой
линии q = 0.5).
Для того чтобы представить переход к бездиссипативному случаю, заметим, что
ширина структуры ударной волны пропорциональна коэффициенту V, стоящему в урав-
уравнении E.5.8). Отсюда следует, что и величина Iz(q) также пропорциональна V. Если
v -у 0, то график функции I*(q) на рис. 5.20 превращается в отрезок [0, 1] оси q и две
прямые q = 0 и q = 1. Первая из этих прямых соответствует ударной волне включе-
включения, а вторая — вращательному разрыву. При этом из рис. 5.20 видно, что при любых
5.5. Метод сквозного счета и неэволюционные решения в МГД 387
q° > О, т. е. при изменении знака магнитного поля, образуется вращательный разрыв
и быстрая волна — ударная при q° < 1 и волна Римана при q° > 1. Это соответствует
классическому бездиссипативному решению задачи.
Если при v ф 0 рассмотреть аналогичную задачу, в которой угол между вектора-
векторами B0R и B0L отличается от 180°, решение, как показало численное моделирование,
проведенное Wu, Kennel A993), сохраняет многие черты описанных выше решений.
Это особенно ясно, если угол между B0R и B0L близок к 180°. В этом случае инте-
интеграл Iz по структуре неэволюционных ударных волн будет зависеть от времени. Если
это изменение не очень быстрое, то структура неэволюционной ударной волны успевает
приспособиться к текущей величине /z. В этом случае эволюция решения определяется
зависимостью Iz от времени.
Рассмотрим, например, случай, в котором заданное начальными данными состояние
(q°,I^) принадлежит затененной части рис. 5.20. Это означает, что вначале образуется
ударная волна 1 —>¦ 3. По мере роста /z, точка, представляющая эту ударную волну на
рис. 5.20, движется параллельно оси Iz в плоскости (q,Iz). На рис. 5.19 этот случай
характеризуется переходом от более низкой к более высокой интегральной кривой, со-
соединяющей точки 1 и 3. Этот процесс длится до тех пор, пока интегральная кривая
1 —у 3 не расщепится на кривые 1 —у 2 и 2 —у 3. Это подразумевает излучение быстрой
ударной волны 1 —у 2 и переход точки плоскости (q,Iz), представляющей исходную
неэволюционную ударную волну, на кривую I^(q), соответствующую ударным волнам
2 —у 3 и лежащую в области с 0.5 < q < 1. Дальнейшее увеличение Iz приводит к дви-
движению точки, представляющей неэволюционную волну 2 —>- 3 вверх по кривой /* (q).
В этом случае q приближается к значению 1 и разрыв становится близким к вращатель-
вращательному с поворотом магнитного поля на 180°. Его скорость тоже стремится к скорости
вращательного разрыва.
Если направления B°L и B°R образуют угол, отличающийся от 180° на 10 или бо-
более градусов, то, хотя все возможные ударные волны имеют коллинеарные В^ и BR,
образуется расширяющаяся со временем волна, в которой сосредоточено все враще-
вращение вектора Вт. Значение Iz увеличивается со временем, и эта волна в конце концов
становится вращательной. Ширина этой нестационарной, неэволюционной волны рас-
растет приблизительно как л/i. На начальных стадиях своей эволюции эта волна близка к
неэволюционным ударным волнам 1 —>¦ 3 или 2 —у 3, а ее ширина значительно больше
ширины альфвеновского разрыва, если бы такой образовался одновременно с ней. Бо-
Более детальное описание поведения решения для различных начальных данных можно
найти в работе Wu, Kennel A993).
5.5.5. Численные эксперименты, основанные на полной МГД-
системе. Свойства трансальфвеновских ударных волн недавно изучались с помо-
помощью численного моделирования в рамках полной системы МГД-уравнений с включе-
включением членов, описывающих диссипативные процессы (Markovskii, Skorokhodov, 2000a,
2000b). Анализировался случай с аА < се. По сравнению с рассмотренным выше слу-
случаем аА > се роль волны 1 —у 3 играет теперь волна 2 —у 4, в то время как ударная
волна 2 —>- 3 сохраняет свои свойства. Численные эксперименты, проведенные в выше-
вышеупомянутых работах, имели дело с откликом стационарных структур неэволюционных
ударных волн типа 2—>3и2->- 4 на альфвеновские возмущения, приходящие к ним с
передней стороны. Если бы упрощенная система в п. 5.5.2 была выписана для случая
388 Гл.5. Уравнения магнитной гидродинамики
аА < се, тов результате взаимодействия были бы получены медленные МГД-волны (в
отличие от быстрых, имевших место при аА > се\ распространяющиеся в одном на-
направлении с неэволюционной ударной волной, но отстающие от нее. Однако так как
решалась полная система МГД-уравнений, в дополнение к упомянутой медленной волне
образовывались и все другие волны, которые могли сформироваться в этом случае. Их
амплитуды оказались существенно меньшими амплитуды медленной волны.
Изменения, происходящие с неэволюционной ударной волной под действием аль-
фвеновских возмущений неизменного знака, качественно соответствуют описанным
в предыдущем пункте на основе упрощенной системы. В частности, ударные волны
2 —>- 3 без задержки реагируют на приходящие возмущения изменением своих парамет-
параметров (точка, представляющая эту волну движется вдоль кривой 2 —у 3 на рис. 5.20) и
излучением волн других типов. Ударная волна 2 —>- 4 начинает генерировать уходящие
возмущения только по истечении временного интервала, необходимого для того, чтобы
интеграл Iz достиг критического значения I^(q). Это также качественно согласуется с
описанием такого же явления на основе упрощенной системы.
Markovskii, Skorohodov B000a) также провели численное моделирование взаимо-
взаимодействия ударной волны 2 —у 3 с приходящей периодической альфвеновской волной.
Если значение Iz не принадлежит интервалу [—7^ @.5),/* @.5)], результат может быть
приближенно описан как движение точки, представляющей эту неэволюционную удар-
ударную волну, вдоль кривой 2 -у 3 на рис. 5.20. Если в процессе осцилляции значения Iz
попадают в упомянутый выше интервал, неэволюционная ударная волна приобретает
тип 2 —у 3 = 4 (аналогичный типу 1 = 2 —у 3, описанному в предыдущем пункте) и при
этом изменение Iz происходит при неизменном q = 0.5.
Численные эксперименты показали, что все изменения в неэволюционной ударной
волне являются обратимыми даже в тех случаях, в которых осцилляции приводят к очень
большим абсолютным значениям Iz и волна 2 —>- 3 становится практически неотличимой
от вращательного разрыва. Наряду с периодическими изменениями интеграла/z, соглас-
согласно рис. 5.20, имеют место соответствующие периодические изменения q. В численном
эксперименте это приводит к испусканию периодической медленной волны вместе с
другими волнами существенно меньшей амплитуды. Таким образом, если накачивать в
неэволюционный скачок возмущения, увеличивающие интеграл /z, то как бы близко мы
не приблизились к альфвеновскому разрыву, при обращении знака возмущения опять
будет восстанавливаться неэволюционный разрыв того же типа.
Другая серия численных экспериментов (Markovskii, Skorohodov, 2000b) относится
к отклику неэволюционных ударных волн на резкое изменение диссипативных коэффи-
коэффициентов среды. Следует упомянуть, что вместо Iz вдоль вертикальной оси на рис. 5.20
можно откладывать величину v~lIz. Здесь v — это некоторый обобщенный диссипатив-
ный коэффициент, определяющий ширину структуры ударной волны. При этом график
функции v/* (q) не будет зависеть от V. Результаты вышеупомянутых численных экс-
экспериментов можно качественно интерпретировать следующим образом. При измене-
изменении v точка, представляющая неэволюционную ударную волну в плоскости (q, v~lIz),
изменяет свою ординату. В результате, распад начальной волны происходит в соответ-
соответствии со сценарием, описанным ранее.
В связи с вышеупомянутыми результатами можно сделать несколько комментариев,
касающихся устойчивости промежуточных ударных волн при фиксированных диссипа-
диссипативных коэффициентах. Эти волны являются довольно устойчивыми по отношению к
5.5. Метод сквозного счета и неэволюционные решения в МГД 389
альфвеновским возмущениям, если последние оценивать по величине интеграла v~lIz,
привносимого приходящей волной-возмущением в структуру неэволюционной удар-
ударной волны. В этом случае, если изменение v~xIz невелико, то изменение внешних
параметров промежуточной ударной волны также будет небольшим (или равным нулю
для ударных волн 1 —>- 3 и 2 —у 4). Это обуславливает малость (или отсутствие) испу-
испущенной ею при этом магнитозвуковой волны. В то же время промежуточная ударная
волна неустойчива, если характеризовать приходящие альфвеновские волны только их
амплитудой (как это и делается в классическом случае), не интересуясь величиной Iz.
Малость амплитуды приходящей волны сама по себе не гарантирует малости вариации
параметров промежуточной волны и испущенных магнитозвуковых волн, так как даже
волна малой амплитуды, будучи достаточно длинной, может привнести в структуру не
малую величину интеграла Iz.
В действительности, трансальфвеновские ударные волны могут существовать в
межпланетной плазме, где Rem > 1, хотя и не столь часто как эволюционные удар-
ударные волны (Chao et al, 1993). При этом их можно считать тем более редкими, чем
больше Rem.
В приближении идеальной магнитной гидродинамики (при Rem = oo) неэволюцион-
неэволюционные ударные волны не просто неустойчивы. Их расщепление на эволюционные волны
происходит мгновенно под действием бесконечно малого возмущения. С другой сто-
стороны, при проведении расчетов численная вязкость, включая численное электрическое
сопротивление, и численная дисперсия схемы могут сделать такие волны существую-
существующими в течение определенного интервала времени до распада. Важно понимать, что
этот интервал не имеет ничего общего с действительным временем существования
промежуточных ударных волн в неидеальной плазме и зависит от сетки и от выбора
численной схемы. Если численная диссипация или сопротивление достаточно вели-
велики, то промежуточные структуры могут существовать в течение довольно длительного
времени, зависящего от диссипации.
В заключение хотелось бы еще раз подчеркнуть, что все вышеописанные явления
связаны с присутствием диссипативных эффектов, обеспечивающих существование
ударно-волновых структур конечной толщины. С другой стороны, важным является
отсутствие стационарной структуры у вращательных разрывов и связанная с этим воз-
возможность бесконечного роста ширины структуры неэволюционного разрыва, сопро-
сопровождающаяся приближением его параметров к параметрам вращательного разрыва с
поворотом на 180°. Поэтому нужно иметь в виду, что даже в задачах с большими числа-
числами Рейнольдса, на самом деле, вначале могут образовываться неэволюционные ударные
волны, которые, однако, мало отличаются от вращательных разрывов. Эти замечания
особенно важны, когда речь идет о применении методов сквозного счета, в которых
ширина ударной волны не соответствует реальной.
5.5.6. Численный распад составной МГД-волны. В этом пункте в ка-
качестве численного примера рассматривается задача о распаде произвольного МГД-
разрыва, причем начальные данные состоят из двух однородных состояний, лежащих
по правую и левую стороны от центра вычислительной области. При этом решение ав-
автомодельной задачи ищется в неавтомодельной постановке. Если задача решается как
компланарная, возникает составная ударная волна, состоящая из неэволюционной удар-
ударной волны Жуге и примыкающей непосредственно к ней волны Римана (Brio, Wu, 1988,
390 Гл.5. Уравнения магнитной гидродинамики
см. также п. 5.3.4). При очень больших магнитных числах Рейнольдса такая волна
должна быстро распасться под действием альфвеновских возмущений и не должна ре-
реализоваться в физических процессах. Как упоминалось ранее, особенность магнитной
газовой динамики заключается в том, что существуют разрывы, которые неэволюци-
онны только по отношению к альфвеновским (вращательным) возмущениям. Поэтому,
если рассматривается строго компланарная задача (векторы скорости и магнитного поля
лежат в одной плоскости с вектором нормали к разрыву, и система уравнений включает
в себя только две компоненты векторов), построение решения возможно как с помо-
помощью эволюционных, так и с помощью неэволюционных ударных волн, которые, однако,
эволюционны при строгой компланарности. Таким образом, решение неединственно.
В зависимости от использованного метода неэволюционное решение в виде состав-
составной волны может реализоваться в вычислениях, так как в фазовом пространстве оно
лежит ближе к начальным условиям. Если решается полная система МГД-уравнений
с тремя компонентами векторов скорости и магнитного поля и небольшое поперечное
возмущение добавляется к вектору магнитного поля, при достаточно больших временах
составная волна распадается на вращательный разрыв и медленную ударную волну. Это
является следствием того, что составная волна неустойчива к нормальным, т. е. завися-
зависящим только от времени и линейной координаты нормальной к разрыву, возмущениям
поперечных величин и неэволюционна по отношению к альфвеновским возмущениям
(BarminetaL, 1996).
Необходимость рассмотрения МГД-задач Римана с учетом трех компонент векто-
векторов скорости и магнитного поля также отмечалась в работе Dai, Woodward A994a).
Как указывалось ранее в п. 5.4.2, численный метод, разработанный авторами проци-
процитированной работы, непосредственно использует вращательные разрывы в качестве
компонент приближенного решения МГД-задачи Римана, даже если задача является
плоско-поляризованной. Это позволяет авторам использовать только эволюционные
элементарные решения при конструировании глобального решения многомерной МГД-
задачи. Ниже исследуется процесс перестройки течения, приводящий в конечном итоге
к распаду неэволюционного решения.
Вернемся к ударной адиабате, приведенной на рис. 5.4. Пусть векторные переменные
лежат в одной и той же плоскости (ху) с обеих сторон ударной волны. Области, соот-
соответствующие эволюционным ударным волнам, затенены. Интервал АВ соответствует
медленным ударным волнам 3->4с5^ = 0в точке В (скачок выключения). Другой
затененный прямоугольник соответствует быстрым ударным волнам 1 —>¦ 2. Интервал
BCD на кривой Гюгонио соответствует неэволюционным ударным волнам. Волны, при-
принадлежащие сегментам адиабаты Гюгонио, которые лежат в прямоугольниках выше
биссектрисы, проходящей через точки A,DnF, не могут иметь структуры, так как они
соответствуют ударным волнам разрежения и не удовлетворяют энтропийному усло-
условию. Интервал BCD кривой Гюгонио неэволюционен по отношению к вращательным
(выходящим из исходной плоскости) возмущениям. Структура ударных волн, принад-
принадлежащих сегменту ВС ударной адиабаты, неединственна. Сегмент ВС (переходы 2 ->• 4)
соответствует решениям, неэволюционным по отношению к альфвеновским возмуще-
возмущениям, но устойчивым по отношению к магнитозвуковым (плоскость ху). Как указано в
п. 5.4.1, следствием является то, что при рассмотрении плоско-поляризованного течения
(z-компоненты магнитного поля и импульса опускаются) может существовать составная
волна с точкой сопряжения ударной волны и волны разрежения в точке Жуге С.
5.5. Метод сквозного счета и неэволюционные решения в МГД 391
Как отмечено ранее, поскольку изучаемая волна относится к типу 2 —у 4, то если к
неэволюционной волне приходят возмущения, содержащие р w и В2, они будут накапли-
накапливаться в слое <5х, содержащем неэволюционный разрыв, т. е. можно ожидать появления
нестационарного процесса. Этот процесс определяет зависимость от времени величи-
величины /z, необходимой для фиксации единственного решения в форме диссипативной вол-
волновой структуры. Он не близок к квазистационарному в модели идеальной магнитной
газовой динамики, так как линеаризованная задача не имеет решения. Автомодельное
решение, которое образуется в конечном результате этого процесса, будет состоять из
эволюционной медленной ударной волны и вращательного разрыва. Так как после рас-
распада эти волны покидают точку Жуге С, они начинают двигаться с разными скоростями.
В идеальной магнитной гидродинамике распад составной волны происходит мгновен-
мгновенно. Нашей целью является рассмотрение этого процесса при использовании численного
метода сквозного счета. Можно ожидать, что численная диссипация замедлит процесс
распада.
Для проведения исследования выбирается та же идеальная МГД-задача Римана,
которая решалась Brio, Wu A988). Это задача Коши с начальными данными, состоящими
из постоянных состояний uL и uR. Пусть
pL = l, wL = 0, vL = 0, / = 1, 2^ = 1,
pR = 0.125, г/к = 0, vR = 0, /?R = 0.1, Щ = -\.
Кроме того, Вх = 0.75 и у = 2. Здесь В = В/л/4тг. Отметим, что компонента магнитного
поля Ву меняет знак, или вращается на угол тг, при пересечении разрыва.
Brio, Wu A988) тестировали несколько численных методов решения этой задачи
в чисто плоской постановке. Все они дают качественно одинаковые результаты, но
схема типа Роу обеспечивает более тонкие профили разрывов при отсутствии пара-
паразитных осцилляции. Напомним, что в случае у = 2 схему Роу для уравнений газовой
динамики можно единственным образом обобщить на МГД-уравнения. Важно под-
подчеркнуть, что альфвеновские разрывы не могут возникать в численном решении этой
задачи, поскольку не существует механизма изменения величин w и В2. В результате,
так как эволюционные разрывы не могут изменить знака тангенциальной компонен-
компоненты магнитного поля, это оказывается сделанным неэволюционной составной волной.
На рис. 5.21 показаны автомодельные распределения плотности, компонент скорости
и и v, компоненты напряженности магнитного поля Ву и термического давления, по-
полученные при решении плоско-поляризованной задачи численным TVD-методом типа
Лакса-Фридрихса, впервые примененным для МГД-задач в работе Barmin et al. A996).
Для достижения второго порядка точности по времени используется процедура
предиктор-корректор. Для простоты, в отличие от подхода, описанного в п. 5.4.4, на шаге
предиктор используется центральная аппроксимация пространственных производных:
E.5.13)
Известно, что сама по себе эта аппроксимация является неустойчивой и необходимо
добавить шаг корректор. Для этой цели постулируется линейное распределение вели-
величин в вычислительных ячейках и используется процедура ограничения наклонов для
определения величин на обеих сторонах границ ячеек. В настоящем случае такая про-
процедура применяется к простым физическим переменным. Для этой цели используются
392
Гл. 5. Уравнения магнитной гидродинамики
р,
о
ОС
о"
0.6
0.4
0.2
R+\
1 1 1 1 1 Ь-
1 CW
\
CD
1
ц
S"
—1—1—1—1—1—
R+
Н 1 1
0.2 0.4 0.6 0.8 x
\
-. 1—
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8
Р
о
u
d
о
о
0.4
Л
. 1 . 1 . 1—
—. 1 .
0.2 0.4 0.6 0.8
Bv
0.8
0.4
0.0
d "
I
00
d "
I
\
™\
1 1 . 1 1 1 1 1 1
0 0.2 0.4 0.6 0.8
\
1 1 1 1 1 1—
0 ' 0.2 0.4 0.6 0.8 x
Рис. 5.21. Автомодельные распределения зависимых переменных (компланарная задача)
5.5. Метод сквозного счета и неэволюционные решения в МГД 393
интерполяционные формулы E.4.26)-E.4.29)с г\ = 1/3 и &) = 2 для всех переменных за
исключением термического давления и нормальной компоненты скорости г/, для кото-
которых используются формулы с со = 1. Этот выбор кажется предпочтительным для схемы
типа Лакса-Фридрихса. Интерполяцию характеристических переменных можно рас-
рассматривать как слишком неэкономичную для данной схемы. При использовании такой
интерполяции более естественным выглядит применение схем типа Роу или Куранта-
Изаксона-Риса.
Итак, после реконструкции следует модифицированный шаг Лакса-Фридрихса
(корректор)
(^^)?, E-5.14)
где R — диагональная матрица с одинаковыми элементами на диагонали, которые равны
спектральному радиусу г (максимальному по модулю собственному значению) якоби-
евой матрицы <9F/<9U.
Количество расчетных ячеек равно 800 с Ах = 1 и At = 0.2 (число Куранта ~ 0.8).
Это решение показано через 400 шагов по времени. Начальный разрыв располагается
в середине расчетного интервала. В решении присутствуют быстрые волны разреже-
разрежения R+, контактный разрыв CD, медленная ударная волна S~ и медленная составная
волна CW. Результаты находятся в хорошем соответствии с полученными с помощью
метода типа Роу (Brio, Wu, 1988). В то же время схема типа Лакса-Фридрихса E.5.13)-
E.5.15), формально имеющая второй порядок аппроксимации по времени и по про-
пространству и удовлетворяющая TVD-свойствам, обеспечивает значительное упрощение
вычислительного алгоритма, так как при ее использовании нет необходимости вычис-
вычислять собственные векторы якобиевых матриц.
В работе Brio, Wu A988) приведен ряд аргументов для оправдания существования
вышеупомянутой составной ударной волны. На самом деле эта волна распадется как
неэволюционная под действием поперечных возмущений. Возмущения этого типа не
проявляются при решении задачи в плоско-поляризованной постановке. Конечно, в при-
природе они естественным образом существуют при условии, если течение искусственно
не ограничено в одной из тангенциальных плоскостей.
Если рассмотреть трехмерную задачу с параметрами, зависящими только от t и х,
и ввести равномерное возмущение Bz = 0.1, просто для того чтобы заставить работать
соответствующие уравнения, решение существенно изменяется и реализуется другая
конфигурация. Компонента В2 постепенно увеличивается, и нестационарная, подобная
ударной волне, структура в конечном итоге отщепляется от составной ударной волны.
В бесконечном пределе по времени эта структура преобразуется во вращательный раз-
разрыв. Медленная ударная волна, остающаяся после распада, уже не является ударной
волной Жуге и начинает взаимодействовать с волной разрежения в соответствии с сег-
сегментом АВ кривой Гюгонио (рис. 5.4). Интенсивность этой ударной волны постепенно
уменьшается до полного исчезновения волны разрежения.
Изменение величин во времени представлено на рис. 5.22 и 5.23, где показаны
распределения плотности и компонент магнитного поля Ву и В2 в окрестности инте-
интересующей нас зоны. Рисунки даны в плавающем вычислительном окне с количеством
394
Гл. 5. Уравнения магнитной гидродинамики
чо"
?¦
'_'
--
--
N
p
\
a
By_
О
чо
о
0.4
CN
О "
о
о "
о "
о "
чо
Л- р
b
Bz
IK By
. 1 . 1 . 1 . 1 .
О
0.2 0.4 0.6 0.8
?0
0.2 0.4 0.6 0.8
Рис. 5.22.
задача)
Распределение величин после 8000 (а) и 16000 (Ь) шагов по времени (трехмерная
о
о"
¦
о"
CN
о"
о
о
CN
О
о"
J
г~
J——
—1 1 . 1 1 1—
р
а
д.
—i 1 .
чо'
сч
р_
оо
о
чо
<->
о"
-J
b
|Bt|
1—^^
—1 1 1 1 1 1 1 1 1
Рис.
0.2 0.4 0.6 0.8 x 0 0-2 0.4 0.6 0.8 x
5.23. Распределение величин после 58000 шагов по времени (трехмерная задача)
о
ЧО
о'
Cn|'
о"
f
ЧО'
о"
-
. 1 . Ь
К
р
. 1 . 1 .
0 0.2 0.4 0.6 0.8 х
Рис. 5.24. То же, что и на рис. 5.22а при меньшей численной вязкости
5.5. Метод сквозного счета и неэволюционные решения в МГД
395
-¦
1
. 1
а
1
ft '
г
i—i—i—i—i—
у
О "
0.0
о"
о
1
К
U
L
2
—1 . 1 .—
b
0.0 02 0.4 0.6 01
0 0.2 0.4 0.6 0i
Рис. 5.25. Распад неэволюционной ударной волны. Распределения плотности (а) и Ву (Ь) после
200 A) и 6000 B) шагов по времени
ячеек равным 6000 на рис. 5.22а и 4000 на рис. 5.22Ь и 5.23. Начальный шаг сетки
есть Ах = 2, а число Куранта равно 0.8. После первых 8000 шагов результаты переин-
переинтерполировались на сетку с Ах = 1 и вычислительное окно в 4000 ячеек помещалось
вокруг составной ударной волны. На рисунках размер окна нормализован. Для того что-
чтобы взглянуть внутрь распределения параметров в структуре, близкой к вращательному
разрыву, на рис. 5.23Ь показаны распределения тангенциальных компонент векторов
скорости v и магнитного поля В.
Ранее упоминалось, что устойчивость диссипативных структур, соответствующих
в идеальной МГД промежуточным волнам, зависит как от величины возмущения, так
и от его длительности. По этой причине, если мы рассматриваем решения идеальной
системы уравнений, устойчивость составной ударной волны зависит от размера вычис-
вычислительной ячейки, т. е. от привнесенного количества схемной вязкости. Это свойство
иллюстрируется на рис. 5.24, где показаны распределения р,Ву vlBz для той же самой
задачи Римана, точно в тот же момент времени и в той же расчетной области, что и на
рис. 5.22а, но количество расчетных ячеек равно 12000, а Ах = 1. Очевидно, что на этой
сетке к приведенному моменту времени составная волна уже распалась. Таким обра-
образом, решение оказывается сеточно-зависящим. Это нужно принимать во внимание при
решении задач МГД, особенно в тех случаях, когда используется адаптивное сгущение
сетки.
Рассмотрим другую иллюстрацию описанных неустойчивостей. Для этого выберем
следующий набор правых и левых параметров:
pR = 1.12895, uR = -0.117236, vR = -1.753716,
pR = 1.12895, Ef = -O.S, Ef = OA.
Кроме того, Bx = 1иу=5/3. Если не принимать во внимание компоненту Bz, эти началь-
начальные условия соответствуют неэволюционной ударной волне разрежения. Распределе-
396 Гл.5. Уравнения магнитной гидродинамики
ния плотности и компоненты напряженности магнитного поля Ву показаны на рис. 5.25
после 200 A) и 6000 B) шагов по времени. Количество расчетных ячеек равно 8000,
Ах = 0.5, а число Куранта равно 0.8. Мгновенный распад ударной волны разрежения
очевиден, в то время как результирующая структура содержит промежуточную волну,
которая должна быть неустойчива к поперечным возмущениям. Видно, что после 6000
шагов по времени от первоначально сформировавшейся составной волны отщепляет-
отщепляется неэволюционный разрыв. С течением времени он в конце концов превращается во
вращательный разрыв.
Показанные результаты говорят о том, что для получения действительно эволюцион-
эволюционных решений нужно очень осторожно уменьшать размерность МГД-задачи. Это также
следует принимать во внимание при применении методов сквозного счета к решению
этих задач. Эволюционное автомодельное решение МГД-уравнений будет автоматиче-
автоматически получено в бесконечном временном пределе, если используется полная трехмерная
система и допускается вращение вектора магнитного поля. Разработка вычислитель-
вычислительных схем, которые могли бы облегчить распад неэволюционных ударных волн, для
модельной задачи рассматривалась в работе Myong, Roe A998).
5.6. Сильное фоновое магнитное поле
В этом разделе будет рассмотрена модификация МГД-системы в форме законов со-
сохранения, которая позволяет проводить расчеты с высоким разрешением разрывов в
присутствии сильного фонового магнитного поля. Это очень важно, когда решаются
астрофизические задачи. Потенциальное магнитное поле белого карлика или нейтрон-
нейтронной звезды столь велико, что это может привести к определенным трудностям в числен-
численном моделировании из-за накопления ошибок округления при операциях с большими
числами. Подход, основанный на исключении фонового дипольного магнитного поля,
может легко быть реализован в TVD-схемах типа Лакса-Фридрихса (Barmin et al, 1996)
и Куранта-Изаксона-Риса (Brio, Wu, 1988). Для последней схемы он был впервые при-
применен в работе Tanaka A994). Ниже будет показано, что схема типа Роу требует лишь
небольшой модификации, чтобы стать применимой для модифицированной системы
МГД-уравнений, которая выводится ниже.
Если предположить, что фоновое магнитное поле Во потенциально и не зависит от
времени, то
rotB0 = 0 E.6.1)
и, следовательно,
rotB0 х Во = 0. E.6.2)
Соотношение E.6.2) может быть преобразовано к виду
^V^-(B0-V)B0 = 0. E.6.3)
Это векторное уравнение следует вычесть из уравнения импульсов E.1.41). Результи-
Результирующее уравнение будет выписано ниже, когда будет представлен окончательный вид
модифицированной МГД-системы.
Уравнение неразрывности E.1.40) не зависит от Во. Уравнение Фарадея E.1.33)
нельзя упростить в его правой части. Для преобразования уравнения энергии введем
5.6. Сильное фоновое магнитное поле 397
обозначения
В1=В-В0, E.6.4)
1 An 8тг 7-1 2 8тг
В этих обозначениях получаем
дел В. дВл „\( В\\ (Вл В,
An dt
B, (B, ¦ v) B, (Bo ¦ v) BQ (B, ¦ v) BQ (Bp - v) 1 =
\
An An An An \ '
Из уравнения Фарадея E.1.33) имеем
S Чг = ^rot(v х в) = ^ [rot(v х Во)+rot(v х Bi)l • E-6-7)
Используя формулу векторного анализа
div (а х b) = b • rot a - а • rot b,
можно получить
Во -rot(v х Во) - (v х Во) -rotB0 = div[(v х Во) х Во]. E.6.8)
Отметим, что второй член в левой части уравнения E.6.8) тождественно равен нулю.
Аналогично,
BQ-rotfVxBj) =div[(vxB1) xB0]. E.6.9)
Используя формулу
а х (Ь х с) = Ь(а • с) - с(а • Ь),
получаем
E.6.10)
(vxB1)xBo = B1(vBo)-v(Bo-B1). E.6.11)
Объединяя E.6.6)—E.6.11), приходим к уравнению
дел „Г/ 5? В^Вп
An J An
= 0. E.6.12)
Эта форма уравнения энергии довольно удобна, так как хорошо известно, что именно
это уравнение часто ответственно за потерю точности, когда давление находится через
полную энергию е.
Таким образом, окончательная форма преобразованной системы есть
dU dt д? dG /
-^- + ^— + -тг- + ^— = 0, E.6.13)
dt дх ду dz v У
398
Гл. 5. Уравнения магнитной гидродинамики
Г 1Т
гдеи= \p,pu,pv,pw,evBlx,Bly,Blz\ ,
Е =
F =
G =
pUW
ри
В2_В|_52_
вхву | воЛу
An An
ВА , ВоЛ;
An An
Щ вгво
8тг An
О
l/?Z - W^v
рг/v-
pv
¦ + ¦
4tt
4tt
pvw-
В2 В, B(
An An
8tt ' 4tt
vBz - wBy
рг/w —
pvw —
pw
BA | %%
4tt 4tt
4tt An
B2 B2 52 52
в2 вГв0
bz
wBx - uBz
wBy - vBz
0
Для того чтобы построить метод типа Роу для новой системы, необходимо выразить
АЕ через приращение АЕ вектора Е, который фигурирует в исходной системе E.1.43).
5.7. Исключение численного магнитного заряда
399
Если оставаться в рамках одномерной системы из семи уравнений для семи неизвест-
неизвестных, шестое уравнение для В1х нужно опустить. Легко проверить, что
AE = REAE, A\] = R^1AiJ,
где
RE =
10000
0 1000
00 100
000 10
00001
00000
00000
о
о
о
о
%
о
1
10000
0 1000
00 100
000 10
0000 1
00000
00000
о
о
о
о
4л
1
4л:
о
0 1
Таким образом,
АЕ = REARoeAV = REARoeRi/AV = RERL^,
где ^4Roe, ?2R и QL — это матрицы, полученные в п. 5.4.3.
Если обозначить
ur = reqr, &ь = ад-Д
то получается требуемое соотношение
АЁ = QRAQLA(J,
которое позволяет нам построить метод типа Роу для модифицированной системы, если
он сформулирован для исходной. Очевидно, что собственные значения, фигурирующие
в обоих методах совпадают. Кроме того,
&RQL = REClRQLRul = RERul = I-
Таким образом, нормировка собственных ветров системы тоже сохраняется.
Этот же подход может быть использован для модификации метода типа Куранта-
Изаксона-Риса в применении к восьмиволновой системе МГД-уравнений (см. п. 5.4.5).
5.7. Исключение численного магнитного заряда
5.7.1. Предварительные замечания. Как отмечалось ранее в п. 1.3.3, усло-
условие отсутствия магнитного заряда (или условие соленоидальности магнитного поля)
автоматически удовлетворяется в математическом смысле, если в начальных условиях
магнитный заряд отсутствует. Это не так при проведении многомерных вычислений
из-за дискретизационных ошибок аппроксимации, особенно в тех случаях, когда вы-
вычисляются производные от разрывных функций.
Другой очевидной причиной накопления магнитного заряда является применение
одномерного решения МГД-задачи Римана для нахождения численных потоков при
решении многомерной МГД-системы. Это вводит дополнительные, иногда очень боль-
большие, ошибки, и необходим дополнительный механизм для исключения постороннего
400 Гл. 5. Уравнения магнитной гидродинамики
магнитного заряда. Его отсутствие, в смысле закона Гаусса в виде интеграла по поверх-
поверхности S всей вычислительной области т, есть
B-ndS=0. E.7.1)
s
Отметим, что так как сила Лоренца равна
f=— div(BB-—:
4тг V 2
для divB ф 0 она приобретает паразитную компоненту
/ = f. В = -^-(В • В) divB, E.7.2)
4тг
параллельную вектору магнитного поля, которая может нарушить правильное физиче-
физическое поведение течения (Brackbill, Barnes, 1980).
Другим важным следствием накопления магнитного заряда является трудность в
осуществлении расщепления многомерного дифференциального оператора, в котором
полный многомерный шаг осуществляется комбинированием серии одномерных шагов
в переменных направлениях (Яненко, 1967). Условие divB = 0 перекрестно связыва-
связывает эти пространственные направления (Zachary et al, 1994). Эта проблема может быть
решена, если аппроксимировать уравнение импульсов A.3.21) в неконсервативной фор-
форме. Этот факт впервые был отмечен в работе Brackbill, Barnes A980). Действительно,
компонента fB магнитной силы не входит в уравнение импульсов A.3.21), записанное
в форме закона Ньютона. Таким образом, если решать уравнения массы, энергии и ин-
индукции в консервативной форме, но аппроксимировать импульс из неконсервативного
векторного уравнения, паразитный магнитный заряд не может повлиять на течение.
Тем не менее, нужно отметить, что применение модифицированной таким образом си-
системы не подходит для ряда численных схем и, что более важно, может привести к
нефизичным результатам, так как сохранением импульса пренебрегается.
5.7.2. Применение векторного потенциала. Существует несколько под-
подходов для обеспечения соленоидальности магнитного поля. Самый очевидный заклю-
заключается в том, чтобы переписать уравнение индукции для векторного потенциала А. Этот
потенциал определяется формулой
B = rotA. E.7.3)
Объединяя уравнение E.7.3) с E.1.33), получаем
ЭХ
— =vxB. E.7.4)
Отметим, что векторный потенциал А определен с точностью до добавления градиента
произвольной функции Ф.
Уравнение для векторного потенциала становится особенно простым, если решается
о се симметричная задача с равной нулю тороидальной компонентой магнитного поля.
5.7. Исключение численного магнитного заряда 401
Очевидно, что векторный потенциал А имеет в этом случае только одну компоненту.
Действительно, в цилиндрической системе координат г,ф, г имеем
dz r дг
Таким образом, уравнение E.7.4) сводится к
1уф , Vr4> =Q
dt z dz r dr
Хотя этот подход и обеспечивает точное выполнение условия бездивергентности
магнитного поля, так как
divrotA = 0,
в уравнении импульсов нужно аппроксимировать вторые производные векторного по-
потенциала. Это делает невозможным конструирование схем, основанных только на
стандартных характеристически-согласованных аппроксимациях высокого разреше-
разрешения, обеспечивающих безосцилляционное поведение функций вблизи разрывов. Как
указали Evans, Hawley A988), не будет удивительным, если определенные схемы вы-
высокого разрешения приведут к появлению выбросов в распределении вторых произ-
производных, что также подтверждается недавними исследованиями Остапенко A998). Это
может привести к резким разворотам тока j = с/An rotrot А, которые могут стать основ-
основной проблемой при использовании векторного потенциала в МГД-моделировании.
5.7.3. Использование искусственного скалярного потенциала. Дру-
Другой метод использует для уничтожения магнитного заряда искусственный скалярный
потенциал <р (Potter, 1973). Легко заметить, что если после некоторого количества шагов
по времени получается такое магнитное поле, что divB ф 0, можно ввести функцию <р,
удовлетворяющую уравнению Пуассона
Acp = -divB, E.7.5)
и после этого модифицировать вектор напряженности магнитного поля В, используя
простую формулу
Очевидно, что
divB' = divB + div V<p = 0.
Уравнение Пуассона E.7.5) можно решать численно после его дискретизации, на-
например, в двумерных декартовых координатах х и у:
4(АхJ 4(Ау)
J
2Ay
Если структура поля периодична на некотором пространстве, можно использовать
быстрое преобразование Фурье, которое дает точное решение для ф/ m. В противном
402
Гл. 5. Уравнения магнитной гидродинамики
случае, нужно использовать непосредственное интегрирование дискретизированного
уравнения Пуассона (Tanaka, 1994). На его решение часто используется до 30% полного
процессорного времени (Ryu, Jones, Frank, 1995). Отметим также, что граничные усло-
условия для уравнения E.7.6) могут быть довольно сложными, например, неотражающими.
Кроме того, обычно нужно аппроксимировать негладкие функции (р и В. Такая аппрок-
аппроксимация может привести к появлению паразитных осцилляции искомых функций в
окрестности разрывов. Несмотря на наличие этих недостатков, метод искусственного
скалярного потенциала в настоящее время широко используется для моделирования
ряда астрофизических задач (Tanaka, 1994; Nakajima, Hanawa, 1996; Ryu et al., 1998).
5.7.4. Использование модифицированной МГД-системы. Идеологи-
Идеологически отличный подход описан в работе Powell et al. A999) (см. также Годунов, 1972;
Asian, 1993, 1999; Powell, 1994; Powell et al., 1995). Основная идея этого подхода состо-
состоит в конструировании метода, который естественно бы вписывался в существующие
методы высокого разрешения годуновского типа, в частности, методы типа Куранта-
Изаксона-Риса и Роу. Для того чтобы понять возможность такого подхода, нужно опре-
определить консервативную форму системы МГД-уравнений, которая является следствием
ее квазилинейной формы A.3.20)-A.3.23)в пренебрежении условием divB = 0. Можно
видеть, что в этом случае получается следующая неоднородная система (п. 5.4.5):
Р
pv
е
В
+ div
pv
, BB
pvv + рЛ- -г-
4л
B(v В)
4тг
vB-Bv
О
в
4тг
v В
х divB.
E.7.7)
Стоит отметить, что источниковый член пропорционален divB и на дифференциаль-
дифференциальном уровне только члены равные нулю добавлены к стандартной консервативной форме
МГД-уравнений E.1.40)—E.1.42). Результирующая система (i) имеет нестрого консер-
консервативную форму, что предпочтительно для устранения магнитного заряда (Brackbill,
Barnes, 1980), и (и) ее левая сторона имеет вид, подходящий для аппроксимации мето-
методами типа Куранта-Изаксона-Риса и Роу. Как уже отмечалось, якобиева матрица E.4.43)
имеет в этом случае размерность 8 х 8 и можно решать одномерную задачу Римана с
непостоянной нормальной компонентой вектора магнитного поля. Это вполне может
иметь место, если одномерная задача Римана используется для получения решения
многомерной задачи.
В гл. 1 показано, к чему приводит такая процедура в одномерном случае. Разница
между двумя формами записи системы в случае решения полной системы уравнений
видна при рассмотрении соответствующих соотношений, описывающих эволюцию ди-
дивергенции магнитного поля (Годунов, 1972). В классическом случае имеем
— (divB) = 0
at
и магнитный заряд отсутствует, если его нет в начальный момент времени.
5.7. Исключение численного магнитного заряда 403
Если в E.7.7) применить оператор дивергенции к уравнению Фарадея, получаем
— (divB) + div(vdivB) = 0,
at
т. е. добавление источникового члена преобразует условие отсутствия магнитного за-
заряда в уравнение для его конвекции за пределы расчетной области. Таким образом, в
этом подходе подразумевается, что магнитный заряд будет иметь такую возможность.
Отметим, что процедуры, использующие введение дополнительных (нефизических)
характеристических волн, уже давно существуют в релятивистской магнитной газовой
динамике (см. работу Komissarov A999) и приведенные в ней ссылки). Эта элегантная
процедура, по-видимому, хорошо работает для задач с открытыми внешними граница-
границами (Linde et al, 1998; Pogorelov, Matsuda, 1998a), но не для других. Также сомнительно,
что она может быть эффективно использована в окрестности точек торможения и, во-
вообще, в нестационарных задачах. Последнее замечание вызвано тем фактом, что метод,
основанный на расширенной МГД-системе, удовлетворяет условию соленоидальности
магнитного поля только в бесконечном пределе по времени, когда устанавливается ста-
стационарное решение задачи.
5.7.5. Применение смещенных сеток. В предыдущих пунктах были описа-
описаны трудности, возникающие при введении векторного потенциала и при уничтожении
магнитного заряда с использованием искусственного скалярного потенциала. Эти труд-
трудности, в основном, связаны необходимостью аппроксимировать вторые производные
функций А и (р. Кроме того, при решении уравнения Пуассона необходима глобальная
информация, что не предпочтительно для существующих параллельных алгоритмов.
Более того, процедура очищения от магнитного заряда может нарушить свойства схем
типа Годунова (Dai, Woodward, 1998). С другой стороны, как отметил Toth B000),
нет особой необходимости в нахождении точного решения уравнения Пуассона E.7.5)
и достаточно использовать тот или иной итерационный способ решения разностной
системы E.7.6), итерируя до исчезновения магнитного заряда с некоторой, наперед
заданной точностью.
Пусть магнитное поле и другие гидродинамические функции точно удовлетворя-
удовлетворяют законам сохранения до уничтожения магнитного заряда. После неконсервативной
процедуры очистки законы сохранения для энергии и вектора магнитного поля удовле-
удовлетворяются только с порядком точности схемы и ошибка аппроксимации может иметь
первый или даже более низкий порядок. Такого рода ошибки легко могут быть обнару-
обнаружены, когда сильная МГД ударная волна, движущаяся по вычислительной области под
углом к сеточным линиям, рассчитывается с помощью неконсервативной схемы.
Еще одно важное наблюдение заключается в том, что для точной реализации условия
соленоидальности магнитного поля его надо знать скорее на границах расчетных ячеек,
чем в их центрах. Это стимулирует применение смещенных расчетных сеток, в которых
магнитное поле задается на гранях ячеек, а остальные величины — в их центрах. Такая
идея кажется весьма плодотворной, хотя и существует недостаток, обусловленный тем
фактом, что для проведения интегрирования системы уравнений с целью нахождения
величин в центре ячейки также понадобятся значения магнитного поля и в нем самом.
Это может, конечно, быть сделано с помощью интерполяции, но при этом точность
вычислений уменьшится, если допустить, что магнитное поле может быть разрывным.
404 Гл. 5. Уравнения магнитной гидродинамики
Рассмотрим метод смещенных сеток (Dai, Woodward, 1998) на равномерной де-
декартовой сетке х/9 ym, zn с шагами Ах, Ay, Az. Точки на гранях ячеек будут поэтому
иметь полуцелые индексы. Обобщение этого метода на другие типы регулярных сеток
очевидно.
Рассмотрим систему E.1.43), записанную в консервативной форме. Общая запись
метода конечных объемов для нахождения неизвестного вектора U на временном слое
к+ 1 по его значениям на нижнем слое к имеет вид
тт?+1 тт? ^L /Ъ _ F "i _ — (Т? F "I
Л/1/2
(Е Е/2) ' E.7.8)
где U^+^ — это усредненное по объему значение U при tk+l = (к+ 1)А/, а Е представ-
представляют из себя усредненные потоки на различных гранях ячейки, зависящие от выбора
индексов /, т, п. Они могут быть выписаны в виде
к-\-\
/Ц^^)^, E.7.10)
-\j2 и-1/2
E-7Л2)
Усредненные по времени потоки могут быть найдены, например, с использованием
приближенного решения задачи о распаде произвольного разрыва между параметрами
в смежных ячейках с помощью метода Роу. Процедура становится в особенности про-
простой, если в E.7.10)—E.7.12) интегралы по времени вычисляются с первым порядком
точности, используя величины с нижнего временного слоя.
В соответствии с описанной выше идеей вводятся усредненные по поверхностям
граней компоненты вектора напряженности магнитного поля, перпендикулярные к со-
соответствующей смежной грани, т. е.
щ-1/2 и-1/2
E-7Л4)
ixdy. E.7.15)
7-1/2 "ym-l/2
Отметим, что х-, у-, z-компоненты E.7.13)—E.7.15) вектора b определены на раз-
различных гранях ячейки. С помощью этого вектора условие соленоидальности можно
5.7. Исключение численного магнитного заряда 405
выразить как
В ¦ dS = AyAz (bxJ+l/2mn - bxJ_l/2mn) +
где Slmn — поверхность вычислительной ячейки, a dS — вектор, по величине равный
площади элементарной поверхности и ориентированный вдоль ее нормали.
В двумерной постановке задачи, когда производные по z равны нулю и bz / m и+1,2 =
= bzlm n_-[/2-> двумерный вариант уравнения E.7.16) принимает вид
Консервативная форма уравнения Фарадея есть
— + div(vB-Bv) = 0.
ot
Она удобна для аппроксимации, если мы интегрируем по объему вычислительной ячей-
ячейки. С другой стороны, если решается уравнение индукции для компонент вектора Ь,
определенного на гранях вычислительного объема, нужно выбрать другую его инте-
интегральную форму, связанную с уравнением E.1.33). Действуя таким образом, для каждой
поверхности S, натянутой на контур Z, с использованием теоремы Стокса получаем
— [h-dS= /(vxB)-d, E.7.17)
Ot JS JL
где d\ — это элемент длины контура, ориентированный в соответствии правилом што-
штопора по отношению к направлению глобальной нормали к грани ячейки.
Векторное произведение v x В может быть следующим образом выражено через
компоненты одного аксиального вектора Q (отметим, что Q = — сЕ):
z = uBy-vBx.
Таким образом, в декартовой системе координат получаем
дЪх дп2
дЪ2 дпу дпх
dt дх ду
Система для определения компонент вектора b имеет следующий вид:
h ^_ (о _ о _
х,1+\/2,т,п - °х,1+\/2,т,п "+" д I1 ?z,l+l/2,m+l/2,n L?z,l+l/2,m-l/2,n)
^^,и-1/2)' E.7.19)
406 Гл. 5. Уравнения магнитной гидродинамики
rk+\ _ тЛ _|_ _ (П — О "\ —
°у,1,т+1/2,п — °у,1,т+1/2,п "•" ^ \^1х,1,т+\/2,п+\/2 х,1,т+\/2,п-\/2)
~ ? (Ч,/+1/2,.+ 1/2,, " Ч,/-1/2,.+ 1/2,п) ' E'7-2°)
//+1 _ hk i ^ ГО _ О
uz,l,m,n+l/2 ~ uz,l,m,n+\/2 "•" д^. \Ьйу,/+1/2,/и,и+1/2 * z,l-l/2,
где
^^л,/,/я-1/2,и+1/2)' E.7.21)
k-\-\
>к+1
и-1/2
Отметим, что Пл>/>т+1/2>и+1/2, ^,/+1/2,^+1/2 И "*,/+i/2,m+i/2,* являются усреднен-
усредненными по времени значениями соответствующих компонент вектора Q вдоль ребер
вычислительного параллелепипеда. Таким образом, для решения системы E.7.19)-
E.7.21) нужно вычислить вектор Q на ребрах ячеек. Одним из естественных способов
(Ryu et al., 1998) определения усредненных компонент этого вектора является исполь-
использование магнитных потоков E.7.10)—E.7.12), определенных в процессе аппроксимации
законов сохранения E.7.8). Например, если принять во внимание то, что Qx = vBz - wBy,
получаем (ср. с системой 5.1.43)
и, аналогично,
_ 1 ,
1 z,l+l/2,m+l/2,n ~ 4 I
Другой возможный подход вычисления вектора Q на ребрах ячеек был предложен в
работе Dai, Woodward A998). Его суть также в усреднении имеющихся данных (величин
компонент векторов v и В), хотя описанный выше метод кажется предпочтительным
из-за своей согласованности с потоками, вычисленными на гранях ячеек (ср. с Balsara,
Spicer, 1999).
Теперь обратим внимание на вычисление величин, усредненных по объему ячейки.
Так как магнитное поле входит не только в уравнение Фарадея, но и в уравнения
импульсов и энергии, понадобятся компоненты вектора магнитного поля не только на
гранях ячеек, но и в их центрах. Их можно найти путем интерполяции вектора Ь:
5.7. Исключение численного магнитного заряда 407
(By)l,m,n = 2 (*y,/,W+l/2,W + by,l,m-l/2,r)> E.7.23)
Эта интерполяционная процедура имеет второй порядок точности на гладких функ-
функциях и потому может быть использована в МГД-алгоритмах, основанных на TVD-
схемах того же порядка точности. Она ухудшается, тем не менее, если вектор магнит-
магнитного поля разрывен, и ошибки могут порядка 0A). Кажется, этого трудно избежать во
всех методах, основанных на прямой аппроксимации уравнения Пуассона и использо-
использовании интерполяции разрывных функций. С другой стороны, известно, что TVD-схемы
в окрестности разрывов также понижают порядок аппроксимации до первого. Усо-
Усовершенствования можно достичь применением ENO-схем (Jiang, Wu, 1999) и более
сложных методов интерполяции. Упомянем также недавно предложенную процедуру
повышенного порядка (Londrillo, Del Zanna, 2000), объединяющую подходы, основан-
основанные на векторном потенциале и использовании смещенных сеток.
Нетрудно заметить (Toth, 2000), что вектор b посредством алгебраических преоб-
преобразований может быть исключен из расчетной процедуры. При этом получается, что
, 7 At , ~ ~ чА//~
у,1,т,п у,1,т,п д \
где
_ г>к _ _(р _ р \ _ _(р _ Р
+1,и ~ ^7,/-1/2,/и,и ~ ^7,/-1/2,/и+1, J '
"з"(^7,/+1/2,/и,и + ^7,/+1/2,/и+1,и +
~ ^6,/+1,/я+1/2,и ~ E6,l,m-\/2,n ~ E6,l+\,m-\/2,n) '
(^ + ^
2 ~ E6,l,m,n-\/2 ~ E6,l+\,m,n-\/2) '
E7,l,m,n-\/2
408 Гл.5. Уравнения магнитной гидродинамики
В работе Toth B000) представлено несколько других разновидностей метода уда-
удаления магнитного заряда на смещенных сетках. Различие между ними заключается в
форме разностного аналога условия divB = 0, который удовлетворяется точно.
5.8. Взаимодействие солнечного ветра с намагниченной
межзвездной средой
В разд. 3.7 задача о взаимодействии солнечного ветра (СВ) с локальной межзвездной
средой (ЛМС) рассматривалась в чисто газодинамической постановке. Влияние меж-
межзвездного магнитного поля может быть важным в областях, где магнитное давление
сравнимо с динамическим давлением потока. Присутствие магнитного поля, как прави-
правило, увеличивает максимальную скорость распространения малых возмущений в плазме
ЛМС, таким образом уменьшая эффективное число Маха (Fahr, 1986; Fahr, Grzedzielski,
Ratkiewicz, 1988). Обычное число Маха в ЛМС вычисляется по акустической скорости
звука и часто принимается равным М^ = 2. В то же время величина межзвездного маг-
магнитного поля, хотя и не очень хорошо известна, оценивается в пределах между 7 х 10~7
и 3 х 10~6 Gs (Axford, 1972). Это означает, что магнитное давление может превышать
термическое, и приводит к необходимости специального рассмотрения МГД-эффектов.
В действительности, если межзвездное магнитное поле достаточно велико, течение
становится домагнитозвуковым и головная ударная волна может исчезнуть (Fahr, 1986).
Взаимодействие звездного ветра с намагниченной межзвездной средой численно впер-
впервые изучалось в работе Matsuda, Fujimoto A993). При этом некоторые из полученных
результатов были подвергнуты критике в работе Baranov, Zaitsev A995). Авторы по-
последней работы при решении задачи использовали метод с выделением разрывов и
рассматривали только наветренную область взаимодействия. Pogorelov, Semenov A997)
и Pogorelov, Matsuda B000) получили решение осесимметричной задачи (вектор меж-
межзвездного магнитного поля предполагался параллельным вектору скорости) СВ-ЛМС
взаимодействия в замкнутой области вокруг Солнца при различных величинах меж-
межзвездного магнитного поля (в частности, были рассмотрены магнитные поля, более
сильные, чем в работе Baranov, Zaitsev, 1995).
Fahr et al. A988) исследовали форму гелиопаузы в трехмерном случае при различных
углах между векторами скорости и магнитного поля в ЛМС. При этом использовалось
ньютоновское приближение, в котором форма гелиопаузы находится путем приравни-
приравнивания величин полного давления на обеих ее сторонах. В более полной постановке
трехмерные задачи рассматривали Washimi, Tanaka A996), Pogorelov, Matsuda A998a),
Linde et al. A998), Ratkiewicz et al. A998), McNutt et al. A999). Влияние направления
магнитного поля на форму глобальной гелиопаузы было впервые рассмотрено в работах
Pogorelov, Matsuda A997, 1998а).
В этом разделе рассматриваются МГД-задачи в двумерной осесимметричной и трех-
трехмерной постановках. Кроме непосредственного физического значения, настоящее ис-
исследование иллюстрирует применение методов сквозного счета высокого разрешения к
многомерным МГД-уравнениям (см. обзор Pogorelov, Matsuda, 1998b). При этом приво-
приводится решение задачи о СВ-ЛМС взаимодействии в замкнутой области, окружающей
Солнце, для различных величин вектора напряженности межзвездного магнитного по-
поля Bqo и для различных углов, которые он образует с вектором скорости Vqo. Исполь-
Используются два численных метода. Первый из них является TVD-расширением локального
5.8. Взаимодействие солнечного ветра с намагниченной межзвездной средой 409
метода Лакса-Фридрихса на второй порядок аппроксимации по времени и по про-
пространству (Pogorelov, 1996; Barmin et al, 1996). Этот метод обеспечивает существенное
упрощение численного алгоритма по сравнению с методами, основанными на точном
характеристическом расщеплении якобиевых матриц в МГД-уравнениях. Второй ме-
метод представляет из себя вариант метода типа Куранта-Изаксона-Риса (Brio, Wu, 1988)
в приложении к восьмиволновой МГД-системе уравнений. Описываются простые, но
эффективные граничные условия в дальнем следе, которые позволяют избежать вли-
влияния паразитных отражений от дозвуковых выходных границ. В алгоритмы включена
процедура удовлетворения условию соленоидальности магнитного поля, которая осно-
основывается на подходе, предложенном в работе Powell A994).
При рассмотрении взаимодействия солнечного ветра с локальной межзвездной сре-
средой уделяется внимание регулярным случаям, в которых имеется единая головная удар-
ударная волна, и нерегулярным, — характеризующимся наличием неэволюционных удар-
ударных волн. Они могут присутствовать как в двумерных, так и трехмерных течениях.
Рассмотрено поведение этих волн под действием поперечных возмущений набегающе-
набегающего потока. Для прояснения некоторых вопросов структурной устойчивости неэволюци-
неэволюционных волн обсуждается задача о сверхзвуковом и сверхальфвеновском МГД-течении
около бесконечно проводящего цилиндра.
5.8.1. Постановка задачи. Картина течения уже приводилась схематически на
рис. 3.28. Система уравнений, которые описывают МГД-течения идеальной, бесконечно
проводящей и термически совершенной плазмы в ортогональной декартовой системе
координат х, у, z (ось у перпендикулярна плоскости рисунка) приведена в E.7.7). Эта
система содержит дополнительный источниковый член, связанный с процедурой удале-
удаления магнитного заряда. Постановка задачи предполагает пренебрежение молекулярной
и магнитной вязкостями, теплопроводностью и аномальными эффектами переноса. Об-
Обмен зарядом между нейтральной и плазменной компонентами обоих ветров также не
учитывается, хотя и является важным физическим явлением, заметно влияющим на
процесс взаимодействия (см. обсуждение в разд. 3.7).
В осесимметричном случае (В^ || Voo) система E.7.7) сводится к
<5Е
dx
<5G
dz
Эи <5Е <5G
37 + Т~ + Т~ + Hi +Н2 =
dt d d l A
E.8.1)
где
U =
" р "
ри
pv
pw
е
вх
Ву
Bz
F -
pu
puv —
puw -
вхву
An
BXBZ
An
0
-
uBz - wBx
uBy-vBx
G =
pw
puw —
pvw-
вхв:
An
ByBz
An
w-^(
wBx - uBz
wBy - vBz
0
410
Гл. 5. Уравнения магнитной гидродинамики
ри
p(uz-v2)-
Ап
puv —
puw—
вхву
An
BXBZ
An
BX/
0
О
uBz — wBx
An
By_
An
Bz
An
v В
~An~
u
V
w
x divB.
Эта система справедлива в полуплоскости xQz и может быть получена из E.7.7) в
предположении цилиндрической симметрии. Ее другая форма есть
dxU
dt dx
dxG
тт Л
+ хЩ = 0,
E.8.2)
где
= 0, -р* - pvz + ^, 0, 0, 0, 0, -
, О
Хотя оба представления системы уравнений и являются математически эквивалент-
эквивалентными, по вычислительным причинам часто более удобно использовать первую из них,
так как предполагается, что она дает более устойчивые результаты в окрестности гео-
геометрической особенности х = 0 (Годунов и др., 1976). Отметим, что система E.8.1)
может быть дальше упрощена, если v = Ву = 0. Газодинамические уравнения Эйлера
могут быть получены в различных формах из систем E.8.1) или E.8.2) в предположении
В = 0.
Отношение удельных теплоемкостей, соответствующее полностью ионизованной
плазме, есть у = 5/3. Величины плотности, давления, скорости и напряженности маг-
магнитного поля обезразмерены, соответственно, на Роо, Роо^, Уоо и V^^fp^, где ин-
индекс оо относится к величинам в однородном потоке ЛМС. Время и линейные размеры
нормализованы, соответственно, на LjV^ и Z, где L равно 1AU = 1.5 х 10пм, т. е.
расстоянию от Солнца до Земли.
Расчеты проводятся в вычислительной области между внутренней и внешней сфери-
сферическими поверхностями. Течение от Солнца предполагается сверхзвуковым на расстоя-
расстояниях до внутреннего (гелиосферного) скачка. По этой причине на внутренней граничной
сфере задаются все величины. Однородный поток межзвездной среды также является
сверхзвуковым, и можно задавать все величины на входной части внешней границы.
Рассмотрение выходных сегментов этой границы является более сложным. Здесь ис-
используется модификация поглощающих граничных условий (Pogorelov, Semenov, 1997),
которые являются распространением на магнитную гидродинамику аналогичных гра-
граничных условий, разработанных и примененных ранее для чисто газодинамических
течений (Sawada et al, 1986; Pogorelov, 1993; Погорелов, Семенов, 1996).
В качестве начальных условий выбирается скачок между параметрами солнечного
ветра и межзвездной среды на фиксированном расстоянии Rf от Солнца. Причем это
расстояние меньше, чем отход гелиосферного скачка от центра системы координат. На
5.8. Взаимодействие солнечного ветра с намагниченной межзвездной средой 411
расстояниях R < Щ задаются распределения параметров сферически-симметричного
солнечного ветра. Магнитное давление в этой области предполагается пренебрежимо
малым по сравнению с гидродинамическим давлением; поэтому Ве = 0. Это может быть
не вполне оправданным, если речь идет о тороидальной компоненте магнитного поля
Солнца (см. Washimi, Tanaka, 1996; Linde et al, 1998). При R> Rf задаются распределе-
распределения давления и плотности в однородной межзвездной среде. Если решается МГД-задача,
т. е. если поток ЛМС намагничен, то предпочтительно задавать распределение магнит-
магнитного поля таким образом, чтобы выполнялось условие его соленоидальности. По этой
причине магнитное и скоростное поля межзвездной среды и солнечного ветра вначале
сопрягаются в расчетной области таким образом, что В имеет постоянный угол с v и
divB = 0. Это делается, полагая
i-l f
cose,
E.8.3)
w= v,
при R > Rf. Здесь U,VvlW суть сферические компоненты вектора скорости в направ-
направлениях R, (р и в. Эти формулы соответствуют распределению скорости при течении
несжимаемой жидкости около сферы, причем оно ориентировано вдоль оси z (оси от-
отсчета угла в). Магнитное поле инициализируется таким же образом, за исключением
того, что конфигурация поля поворачивается около оси у, с тем чтобы вектор магнитного
поля образовал заданный угол с вектором скорости.
Выбраны следующие параметры солнечного ветра и межзвездной среды: пе =
= 7см~3, Ve = 450км/с, Ме = 10, п^ = 0.07см~3, Voq = 25км/с иМ^ = 2 Безразмерная
величина магнитного поля задается через число Альфвена^оо = V /Щ^^
5.8.2. Вычислительный алгоритм. Выпишем численный алгоритм реше-
решения задачи о взаимодействии солнечного ветра с межзвездной средой. Некоторые его
аспекты могут быть применены к различным другим задачам магнитной газовой дина-
динамики.
Метод конечных объемов
Известно, что методы конечных объемов являются наиболее подходящими для нахожде-
нахождения разрывных решений гиперболических систем уравнений. В этих методах система
уравнений в форме законов сохранения интегрируется по конечным контрольным объ-
объемам произвольной сложности. Для избежание появления геометрического свободного
члена, который может появиться в криволинейной системе координат (см. разд. 3.1),
применяется интегрирование системы, записанной для декартовых компонент векторов
и тензоров. В этом случае конкретная система координат, если ее существование подра-
подразумевается, проявляет себя не через метрические коэффициенты и символы Кристоф-
феля (см. п. 3.1.2), а через форму вычислительных объемов и площади их поверхностей.
Для решения системы E.7.7) или E.8.1), введем сферическую сетку
412 Гл.5. Уравнения магнитной гидродинамики
(pm = (m-3)A(p, m=l,2,...,M; вп = {п-2.5)Ав, и= 1,2,...,ЛГ;
AR=(Rmax-Rmm)/(L-l), A6 = n/(N-4), А<р = л/(М-5)
с центром на Солнце. Тогда система E.7.7) для каждой ячейки может быть следующим
образом переписана в конечно-объемной формулировке:
,ти,и 1,т,п 1
At ЛЯ
1
+ A(p (™еп+1/2Щ>т>п+1/2 + 5теп_у2Щтп_1/2)] +Н*т>„ = 0. E.8.4)
Здесь Е — это поток по нормали к границе ячейки, определяемый формулой
Ё , E.8.5)
где n = («j,п2,п3) — вектор внешней единичной нормали к грани ячейки.
Уравнение E.8.4) имеет форму дискретизированного по времени закона сохранения
для индивидуальной вычислительной ячейки. В то время как значения функций зада-
заданы в центрах ячеек, для нахождения численных потоков Е нужно знать их также на
гранях. Строго говоря, конкретные методы конечного объема отличаются только фор-
формулами для вычисления потоков. Величины на гранях могут быть найдены с помощью
интерполяции величин в центрах. Для достижения второго порядка аппроксимации по
пространству принимается кусочно-линейное распределение параметров внутри вы-
вычислительных ячеек. С другой стороны, для избежания появления паразитных осцил-
осцилляции около разрывов, при вычислении векторов состояния течения UL и UR на левой и
правой сторонах каждой грани вычислительной ячейки применяются некоторые огра-
ограничения на производные интерполируемых функций (их наклоны). Здесь используется
следующая процедура реконструкции в радиальном направлении (индексы тип опу-
опущены):
Uf+i/2 = Uf+i -minmod(AU?+1/2,AUf+3/2,A),
U^+1/2 = U? + minmod(AUf_1/2,AUf+1/2,A),
A = 0.25 (AUf+1/2 + AUf+3/2), A = 0.25 (AU*_1/2 + AU*+1/2),
minmod(x,j,z) = sign(x)max{O,min[|x|,jsign(x), |z|]}.
Приведенные формулы применяются в рамках TVD-схемы типа Лакса-Фридрихса
ко всем простым переменным за исключением термического давления. Для последнего
используется простая реконструкция minmod. Это согласуется с результатами из п. 5.4.4.
Если для определения потоков через грани вычислительных ячеек используется схема
типа Куранта-Изаксона-Риса, то процедура реконструкции применяется к приращени-
приращениям характеристических переменных. В этом случае более сжимающие ограничители
наклонов, представленные вышеприведенными формулами, используются к энтропий-
энтропийной и альфвеновской характеристическим волнам, в то время как для магнитозвуковых
5.8. Взаимодействие солнечного ветра с намагниченной межзвездной средой 413
волн используется реконструкция minmod. Процедуры реконструкции в угловых на-
направлениях аналогичны.
Потоки E(UR,UL) через поверхности вычислительных ячеек можно находить раз-
разными способами. Широкое распространение приобрели TVD-методы сквозного счета,
основанные на том или ином, точном или приближенном, решении задачи Римана о
распаде произвольного разрыва между UR и UL. За исключением одного случая, будут
представлены результаты, полученные с использованием неосцилляционного расшире-
расширения схемы Лакса-Фридрихса (Lax, 1954) на второй порядок аппроксимации (Yee, 1989).
Эта схема проще схем типа Роу и Куранта-Изаксона-Риса для МГД-уравнений, но в то
же время сохраняет ряд их позитивных свойств.
Численный поток E.8.5) через радиальные поверхности ячеек находится при этом
по формуле
Е/+1/2,т,я = ~2 [Е (U/+l/2,m,^J +E (U/+l/2,m,^J ~Rl+\/2,m,n (U/+l/2,m/2 ~ Vl+\/2,m,n) J •
Здесь Щ+\птп — диагональная матрица с одинаковыми элементами на диагонали,
которые равны спектральному радиусу г якобиевой матрицы <ЭЕ/сШ:
r=\U\+ap a2f = ^( ^
21 12 2 2/An)/p, a2 = yp/p,
где U — это радиальная компонента скорости, a BR, B^ и5е — радиальная и угловые
компоненты вектора напряженности магнитного поля. Аналогичные формулы могут
быть выписаны для потоков в угловых направлениях. Матрица R оценивается с помо-
помощью приближенного решения МГД-задачи Римана (Pogorelov et al, 1995; Pogorelov,
Semenov, 1996; Погорелов, Семенов, 1997а, 1997b). Обладая вторым порядком аппрок-
аппроксимации, предложенная схема менее диссипативна, чем оригинальный метод Лакса-
Фридрихса, и обеспечивает намного лучшее разрешение разрывов. Вычисления, если
не указано противное, проводятся в сферической области с Rmin = 24 и Rmax = 1200.
Сетка имеет размеры Rx (р х 6 = 99 х 21 х 116. В осесимметричном случае вычисли-
вычислительная область становится круговой, так как опускается координата (р.
Граничные условия в дальнем потоке для МГД-моделирования в астрофизике
В этом пункте описывается подход к реализации неотражающих граничных условий
для гиперболических систем типа уравнений Эйлера и МГД-уравнений (Pogorelov,
Semenov, 1997). Его применение к газодинамическим уравнениям представлено в
разд. 3.7. Граничные условия в дальнем потоке часто встречаются в астрофизических
приложениях, характеризующихся очень большими линейными масштабами. К сожа-
сожалению, ряд широко известных неотражающих граничных условий (Софронов, 1999)
оказывается неприменимым в случаях, когда течение вблизи такой границы далеко от
потенциального и некоторые разрывы пересекают ее.
Рассмотрим локальную одномерную систему уравнений
?-М^ = 0. E.8.6)
at ox
414
Гл. 5. Уравнения магнитной гидродинамики
Ось х направлена перпендикулярно грани ячейки Г.
Выберем следующий вид неизвестного вектора, входящего в E.8.6):
U=[p, и, v, w, се, Дс, Ву, BZ]T.
E.8.7)
В отличие от чисто газодинамического случая сюда также входят компоненты векто-
вектора напряженности магнитного поля по нормали (Вх) и по касательной (Ву и Bz) к Г,
см. A.3.24).
Рассмотрим, для определенности, выходную границу (и > 0). Минимальное соб-
собственное значение в этом случае равно Я = и — af, где af — наибольшая из двух магни-
тозвуковых скоростей af и as (af > се > as):
«г, = г
1/2"
E.8.8)
Правый собственный вектор, соответствующий этому собственному значению, есть
г = [l, -% ссВу, <хВ:, (У~1)Се
_ ceassignBx _ 4nas(aj-c2e)signBx
-aj)-y p
, 0, рВу, рВ2] ,
E.8.9)
Ц + Щ "
Если решение системы E.8.6) ищется в форме простой волны V(x,t) = U(<jj) с § =
= x/t, получаем
где / — единичная матрица. Таким образом, вектор LU пропорционален правому соб-
собственному вектору матрицы^, соответствующему Я = |. Если обозначить коэффициент
пропорциональности через d, можно переписать систему E.8.6) в виде
—Ц v^ = ccByd,
= aBzd,
2p
E.8.10)
E.8.11)
Теперь в системе E.8.10), E.8.11) заменим уравнение для се уравнением для af,
которое легко получить из E.8.8) прямым дифференцированием по ^ и использованием
уравнений E.8.10) и E.8.11):
daf
E.8.12)
Легко заметить, что собственный вектор E.8.9) вырождается при се = as. Это про-
происходит при By +Bl = 0 и се < аА. Из формул E.8.11) видно, что производные (Ву)к
5.8. Взаимодействие солнечного ветра с намагниченной межзвездной средой 415
и (Bz)k становятся бесконечными в точках вырождения. Тем не менее, можно показать,
что
где Ъу^ — Ву^/(Ву+В?;I/2. Правая часть этого соотношения никогда не вырождается,
если, по аналогии с п. 1.3.3, принять Ъу — Ъ2— 1/л/2 при В^+В\ = 0.
Если заметить, что
II
asaf = ce
уравнения для производных поперечных компонент вектора скорости также можно
преобразовать к форме, пригодной для дальнейшего применения:
$ 4npaf y ь ь 4npaf $
Таким образом, переходя от d к р е, получаем систему уравнений, которую можно
аппроксимировать аналогично системе C.7.20):
^) (Рг-Ро),
ZP/ о
Рг - р0), (Вх)г = (ВхH,
Отметим, что в отличие от газодинамического случая компоненты вектора скорости,
касательные к границе, вообще говоря, отличны от своих значений внутри расчетной
области.
5.8.3. Численные результаты: осесимметричный случай. В этом
пункте представлены численные результаты, полученные для трех различных альф-
веновских чисел ^оо = 10,2 и у/2. При этом предполагается, что в расчетной плоскости
у-компоненты векторов равны нулю.
Регулярная конфигурация
Случай с Аоо = 10 соответствует слабому магнитному полю (см. рис. 5.26а), которое
только очень слабо влияет на положение разрывов. На приведенном рисунке представ-
представлены изолинии логарифмов давления (ниже оси симметрии) и плотности.
В идеальной магнитной гидродинамике обусловленные магнитным полем напря-
напряжения представляются натяжением вдоль вектора В и давлением перпендикулярно к
нему. По этой причине, когда речь идет об осесимметричном случае, увеличение меж-
межзвездного магнитного поля приводит к увеличению расстояния гелиопаузы от Солнца,
в то время как ее боковое расстояние до оси симметрии становится меньше (Бара-
(Баранов, Краснобаев, 1971). Этот эффект виден на рис. 5.26Ь, где показаны аналогичные
416
Гл. 5. Уравнения магнитной гидродинамики
\
/
1 1 1
\ vv^ 1
/
/
I V I 1
а -
-
i i
800
400
0
-400
-800
^800 400 0 400 800
-800 400 0 400 800
Рис. 5.26. Изолинии логарифмов давления (ниже оси симметрии) и плотности при А = 10 (а)
и А = 2 (Ь): схема типа Лакса-Фридрихса
800
\
—.—.—¦ ^~__^
1 1 1
\
\
\ \
\
щ
1 /
\
\
к \
m 1
/
/
I
а -
-
-
-
i
- 400
о
-400
-800
-800 -400
0
400 800
-800 -400 0 400 800
Рис. 5.27. Изолинии логарифмов давления (ниже оси симметрии) и плотности (а) и линии тока
(ниже оси симметрии) и магнитного поля (Ь) при А = 2: схема типа Куранта-Изаксона-Риса
изолинии для альфвеновского числа А = 2. Эта величина соответствует отношению
магнитного и термического давлений приблизительно равному 0.83 на бесконечности,
т. е. Вы ^ 1-82 (размерная величина ~ 1.6 х 10~6 Gs), что достаточно ниже оценоч-
оценочных пределов. На всех картах изолиний показано двадцать эквидистантных изолиний.
В рассматриваемом случае головная ударная волна является быстрой. Так как М^ =
= Aqq =2, максимальная скорость распространения возмущений параллельно линиям
тока межзвездной среды остается такой же как и в случае без магнитного поля. Эта
величина магнитного поля недостаточна, чтобы оказать воздействие на гелиопаузу, ко-
которое было бы сравнимо с воздействием, обусловленным присутствием нейтральных
атомов (Baranov, Zaitsev, 1995). Однако размер слоя между головной ударной волной и
5.8. Взаимодействие солнечного ветра с намагниченной межзвездной средой 417
- 600
- 400
- 200
0
- -200
- -400
- -600
гелиопаузой очень важен с точки зрения
процессов обмена зарядом, проходящих
внутри него. Конечно, более сильное маг-
магнитное поле (меньшие альфвеновские чис-
числа) существенно влияет на картину разры-
разрывов (Pogorelov, Semenov, 1997). Хотя маг-
магнитное поле и отсутствует внутри гелиопа-
узы, его воздействие сказывается через по-
повышение полного давления на бесконечно-
бесконечности. Это приводит к значительному умень-
уменьшению отхода внутренней ударной волны
в подветренном направлении. Дальнейшее
увеличение магнитного поля приводит к
уменьшению отхода головной ударной вол-
волны от гелиопаузы в наветренной области
взаимодействия.
Результаты, представленные на рис. 5.26
были получены с помощью схемы ти-
типа Лакса-Фридрихса. Для сравнения на
рис. 5.27а показано расположение разрывов
для случая ^оо = 2, полученное с помощью
схемы типа Куранта-Изаксона-Риса. Вспо-
Вспомним, что численные потоки в таких схемах
вычисляются через величины, полученные
простым арифметическим усреднением ве-
величин на левой и правой сторонах грани вы-
вычислительной ячейки. Видно, что разреше-
разрешение разрывов в этом случае заметно лучше.
Представляет интерес также поведение линий тока и силовых линий магнитного поля
в установившемся решении. Его можно увидеть на рис. 5.27Ь. Линии тока, естествен-
естественно, получились параллельными силовым линиям. Кроме того, нужно отметить очень
хорошее экранирование гелиосферной полости от внешнего магнитного поля, которое
удалось получить с помощью использованной методологии нахождения решения.
Как отмечено ранее, Baranov, Zaitsev A995) представили расчеты взаимодействия
солнечного ветра с межзвездной средой при Vqo 11 В^, полученные с помощью метода с
выделением разрывов в области встречи двух потоков. Очевидно, что точность выделе-
выделения разрывов в таких расчетах всегда выше, чем при использовании методов сквозного
счета. По этой причине естественно провести сравнение полученных результатов. Вы-
Выберем случай с Aqq = у/к/ХЛ, соответствующий максимальной величине магнитного
поля, при которой представлены вышеупомянутые результаты. На рис. 5.28 показаны
изолинии, соответствующие нашим расчетам на сетке R х в = 501 х 404. На этом же
рисунке полученные в работе Baranov, Zaitsev A995) положения разрывов отмечены
буквой "а". Как видим, совпадение результатов в передней и боковой частях области
взаимодействия очень хорошее. Весьма примечательным является практически полное
совпадение поверхностей гелиопаузы.
< 1, головная ударная волна исчезнет. Методы, которые следует применять
Рис. 5.28. Сравнение результатов принос =
418 Гл. 5. Уравнения магнитной гидродинамики
для решения задачи в этом случае, выходят за рамки содержания этой книги.
Нерегулярное взаимодействие
Если вектор магнитного поля параллелен нормали к ударной волне, то реализуется
параллельная ударная волна. Поведение параллельных ударных волн, как видно из
п. 5.3.3, зависит от того, является ли альфвеновская скорость перед ними меньше или
больше акустической скорости звука. В первом случае, медленные МГД ударные волны
не существуют, а быстрые эволюционны и физически допустимы при всех их интен-
сивностях. Во втором случае, наоборот, медленные ударные волны могут иметь любую
интенсивность (скорость их заключена между се и аА), а быстрые параллельные удар-
ударные волны могут существовать только в определенном диапазоне параметров перед
ударной волной. Напомним, что существуют еще ударные волны включения и выклю-
выключения, в которых тангенциальная компонента магнитного поля равна нулю перед (за)
волной и отлична от нуля за (перед) ней. Ударные волны включения всегда быстрые,
а ударные волны выключения — медленные, так как тангенциальная компонента маг-
магнитного поля всегда растет при переходе через быстрые и уменьшается при переходе
через медленные ударные волны.
Рассмотрим, что произойдет, если увеличивать межзвездное магнитное поле В ж,
оставляя все остальные величины постоянными. У нас есть только два безразмерных
параметра, связывающих величины перед ударной волной, а именно число Маха Моо =
= Уоо1сеоо {Реоо — акустическая скорость звука) и число Альфвена^оо = Voo/aAoo. Если
Сеоо > аАоо И^оо > 1, передняя точка головной ударной волны соответствует быстрому
параллельному скачку, который всегда существует. При дальнейшем увеличении В^,
рано или поздно аАоо станет больше, чем сеоо при^ > 1. В этом случае параллельная
ударная волна, оставаясь быстрой, все еще будет существовать до тех пор, пока В^ не
примет величины, соответствующей интервалу (см. разд. 5.3)
Для Aqq из интервала E.8.13), число Альфвена за параллельной ударной волной
меньше единицы и реализуется трансальфвеновская ударная волна, которая неэволю-
ционна. С другой стороны, быстрая ударная волна включения становится допустимой
точно в том же диапазоне А^ (см. разд. 5.3). На ударной волне включения В || п перед
ударной волной, но В |/п за ней, т. е. при переходе через переднюю точку головной
ударной волны должна появиться тангенциальная компонента магнитного поля. Од-
Однако этого не может произойти по геометрическим причинам, так как в этом случае
существует бесконечное число направлений включения и все они равноправны. Кроме
того, такое включение, очевидно, нарушит осесимметричность течения. Естественно
ожидать, что для упомянутых величин В^ картина течения должна качественно изме-
измениться. Это, по-видимому, и привело к тому, что соответствующий вариант течения не
был рассчитан методом с выделением разрывов (Baranov, Zaitsev, 1995).
Несмотря на то, что эта проблема рассматривается в приложении к частной задаче
о взаимодействии солнечного ветра с межзвездной средой, она очень важна при МГД-
моделировании разнообразных астрофизических явлений. Поведение МГД ударных
волн не только важно для интерпретации наблюдений — оно должно быть совершенно
5.8. Взаимодействие солнечного ветра с намагниченной межзвездной средой 419
TSx
(к
%
—--"
HP
1 1 1
\'
\
ii
i
\
\bs
Lj
114.1 ч
/
i i
- 600
- 400
- 200
о
^-200
- -400
—600
-600-400-200 0 200 400 600
Рис. 5.29. Общая конфигурация взаимодействия:
изолинии плотности (ниже оси симметрии) и ло-
логарифма полного давления
понятно тем, кто создает численные
алгоритмы для магнитогидродинами-
ческого моделирования. В отличие от
задач обычной газовой динамики, чис-
численное решение которых может быть
обычно получено прямым решением
дискретизированной системы уравне-
уравнений Эйлера, более сложные физические
явления, также описываемые гипербо-
гиперболическими системами уравнений, тре-
требуют более глубокого понимания неко-
некоторых математических аспектов пове-
поведения решения (Kulikovskii et al., 1999).
Картина течения, возникающая око-
около передней точки головного скачка
в интервале неэволюционности парал-
параллельной ударной волны обсуждалась в
работах Steinolfson, Hundhausen A990),
Matsuda, Fujimoto A993). Baranov,
Zaitsev A995) показали невозможность
стационарной ударноволновой конфи-
конфигурации, представленной в работе Matsuda, Fujimoto A993), но не объяснили причину
полученного явления. Myasnikov A997) получил решение аналогичное найденному
Matsuda, Fujimoto A993). Такие же результаты, естественно, получались и нами при
проведении расчетов на грубых сетках. De Sterk et al. A999) изучали течения плаз-
плазмы около бесконечного цилиндра и нашли многочисленные типы МГД ударных волн,
некоторые из которых были неэволюционными.
Ниже приводятся результаты расчетов двумерных и 2.5-мерных осесимметричных
течений с использованием методов высокого разрешения. В последнем случае к векто-
векторам скорости и напряженности магнитного поля межзвездной среды добавляется малое
о се симметричное вращательное возмущение. В результате, в основном, только эволю-
эволюционные ударные волны остаются в расчетной области. Этот подход находится в рамках
примененного в работе Barmin et al. A996), где изучалось поведение неэволюционной
составной волны под действием поперечных возмущений.
Выберем такую напряженность магнитного поля В^, при которой^оо = л/2 и число
Альфвена попадает в диапазон E.8.13). Безразмерное магнитное поле в этом случае
равно
Это соответствует 5оо « 2.3 /iGs.
Вычисления для этого случая проводятся в полукольце с Rmin = 24 AU и Rmax =
= 1000 AU. Число ячеек равно 501 в радиальном и 504 в угловом направлениях. Такая
подробная сетка необходима для разрешения тонкой структуры CB-JIMC взаимодей-
взаимодействия для параметров, соответствующих интервалу E.8.13).
На рис. 5.29 представлено решение, отражающее общий вид взаимодействия для
двухскачковой модели (Баранов, Краснобаев, Куликовский, 1970). Показаны 19 изо-
420
Гл. 5. Уравнения магнитной гидродинамики
Ч 400
200
--200
-400
-200
^00
400
1 400
- 200
—200
-400
-400 -200
200
400
Рис. 5.30. (а) Линии тока (ниже оси симметрии) и магнитные силовые линии; (Ь) изолинии
плотности (ниже оси симметрии) и термического давления
2.5
1.5
1 ¦
0.5 ¦
0 ¦—^
линий логарифма плотности (ниже оси симметрии) и логарифма полного давления с
постоянным шагом между их экстремальными значениями. Напомним, что BS, TS и
HP — это головная и внутренняя ударные волны и гелиопауза.
Если сравнить этот рисунок с
рис. 5.26 и 5.27, то видно, что уве-
увеличивая разрешение по простран-
пространству и избавляясь от переходных ре-
решений удается получить качествен-
качественно иную форму головной ударной
волны. Она теперь является вогну-
вогнутой в окрестности оси симметрии.
На рис. 5.30а показаны линии то-
тока (ниже оси) и магнитные силовые
линии. Замечательным в поведении
линий тока является то, что суще-
существует окрестность оси симметрии,
где они отклоняются к этой оси, в от-
отличие от стандартного отклонения в
газовой динамике и МГД при боль-
больших числах Альфвена (при более
слабом магнитном поле). Отметим,
что стандартное поведение магнит-
магнитных силовых линий имеет место при
выпуклости быстрой головной удар-
ударной волны. В случае ее вогнутости
отклонение должно измениться на противоположное. В рассматриваемом случае новый
поворот в противоположном направлении происходит на дополнительной, или вторич-
-0.5
р —
ювх ---
р*—-
А —¦ нр
/*
i
\ TS\
- ^-^ » <'
\
\к
\ л
is./'
1
1
\
\
\
\
¦
BS
,.
1
0
100
200
300
400 z
Рис. 5.31. Распределение величин вдоль прямой х =
= 1.296
5.8. Взаимодействие солнечного ветра с намагниченной межзвездной средой 421
ной, ударной волне, которая хорошо видна на рис. 5.30Ь. На этом рисунке представлены
изолинии термического давления B0 изолиний между минимумом и максимумом) и
изолинии плотности (ниже оси симметрии). В последнем случае для визуализации
интересующей нас области показаны только изолинии между 1 и 2.6 с шагом 0.04. От-
Отметим, что термическое давление испытывает скачок на гелиопаузе всюду, кроме точки
торможения. Поэтому интенсивность этого разрыва уменьшается по мере приближения
к оси, пока он не превратится в волну сжатия. На изолиниях плотности можно видеть
область повышенной плотности около гелиопаузы. Этот слой возникает из-за разно-
разности в параметрах между линиями тока, пересекающими вторичную ударную волну под
прямым углом около оси и под острыми углами на удалении от нее. Это можно интер-
интерпретировать как появление тангенциального разрыва, так как полное давление в слое
практически не изменяется. В результате появляется протяженная область накопления
протонов около гелиопаузы.
Что касается эволюционности разрывов, хотелось бы посмотреть на распределение
параметров вдоль оси симметрии. На рис. 5.31 показаны профили некоторых пере-
переменных вдоль прямой линии х = 1.296. Хорошо видно, что кривая, изображающая
распределение числа Альфвена^ = 2 |V| л/тгр"/|В|э пересекает значение А—\ как на го-
головной, так и на вторичной ударных волнах. Это означает, что они неэволюционны при
наличии поперечных возмущений. Небольшая х-компонента магнитного поля возника-
возникает за головной ударной волной. Далее Вх гладко стремится к нулю, меняет знак, потом
увеличивается на вторичной ударной волне и исчезает на гелиопаузе. Профиль числа
Альфвена внезапно обрывается, так как при переходе через гелиопаузу А увеличивается
до бесконечности. Представленные здесь результаты качественно отличаются от полу-
полученных в работах Matsuda, Fujimoto A993) и Myasnikov A997). Они также отличаются
от результатов Pogorelov, Semenov A997), полученных для больших чисел Альфвена.
Таким образом, в отличие от обычной газовой динамики, вариация параметров меж-
межзвездной среды может привести к существенным качественным изменениям в картине
СВ-ЛМС взаимодействия.
5.8.4. Численные результаты: возмущенное течение. Из общей тео-
теории эволюционных ударных волн ясно, что головная ударная волна в окрестности оси
симметрии может быть модифицирована вращательным возмущением потока. По этой
причине, оставаясь в рамках осесимметричной постановки задачи, к векторам маг-
магнитного поля и скорости добавляются ^-компоненты (перпендикулярные плоскости xz)
равные Ву = 0.05 и Vy = 0.05/Bzoo. После этого МГД-система решается в 2.5-мерной
формулировке, т. е. с учетом вращения векторов и, следовательно, изменения их у-
компонент. Картина разрывов для этого случая показана на рис. 5.32а, где приведены
те же изолинии, что и на рис. 5.30Ь. Хотя картина течения и изменилась количественно,
общая схема течения осталась аналогичной, так как вторичная ударная волна и тан-
тангенциальный разрыв по-прежнему существуют. Картина линий тока, в основном, тоже
аналогична, как видно из рис. 5.32Ь, где она показана совместно с ударными волнами
и изолинией А = 1. Видно, что вторичная ударная волна становится ударной волной
выключения, так как ее поверхность совпадает с линией А = 1, а векторы скорости и
магнитного поля теряют тангенциальную компоненту при переходе через нее.
Имеется также узкая область вокруг оси симметрии, где А < 1. Для того чтобы
понять, что происходит в этой области, приводятся распределения некоторых вели-
422
Гл. 5. Уравнения магнитной гидродинамики
-400 -200
200 400
—200
-400
-400 -200
200
Ш - -200
-400
400
Рис. 5.32. Изолинии плотности (а) и линии тока совместно с изолинией А = I: возмущенная
межзвездная среда (Ь)
чин вдоль линии х = 1.296 (рис. 5.33). Видно, что число Альфвена становится мень-
меньше единицы при переходе через головную ударную волну. С другой стороны, замет-
заметно, что в пределах одного скачка плотности х-компонента напряженности магнитного
поля включается, а потом выключа-
выключается без какого бы то ни было про-
пространственного интервала. Этот эф-
эффект можно также трактовать как
наличие неплоской структуры у го-
головного скачка уплотнения вбли-
вблизи оси симметрии. Уже отмечалось,
что неэволюционные трансальфве-
новские ударные волны в общем
случае имеют неплоскую структу-
структуру. Можно также сказать, что на оси
мы имеем две слившиеся ударные
волны: ударную волну включения
и ударную волну выключения, ко-
которая следует за первой без про-
пространственного интервала. Вторич-
Вторичная ударная волна тоже видна на
профиле полного давления ближе к
гелиопаузе (ср. с профилем числа
Альфвена, которое при переходе че-
через ударную волну падает от едини-
единицы до некоторой величины меньше
нее). В принципе, указанная комби-
комбинация слившихся ударных волн тоже неэволюционна (Jeffrey, Taniuti, 1964) и могла
бы быть разрушена вращательной компонентой вектора магнитного поля, если бы она
из-за граничных условий не исчезала на оси симметрии.
Когда х становится приблизительно больше 50, ударная волна выключения в паре
слившихся разрывов исчезает, как видно из рис. 5.34, показывающей профили вдоль
линии х = 55.5, и головная ударная волна становится обычной быстрой МГД ударной
волной с А > 1 за ней. По мере продвижения от х = 0 до х = 55.5 интенсивность
вышеупомянутой волны уменьшается.
-0.5 ¦
50 100 150 200 250 300 350 400
Рис. 5.33. Распределение величин вдоль прямой х =
= 1.296: возмущенная межзвездная среда
5.8. Взаимодействие солнечного ветра с намагниченной межзвездной средой 423
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
р —
А ¦¦¦¦¦¦¦¦
В
Я —
HP
TS )
V
h
т
|\
BS
\J \ 1
\
О 50 100 150 200 250 300 350 400 х
При переходе от вогнутой части головной ударной волны к ее выпуклой части, оче-
очевидно, встречается точка перегиба. В этой точке вторичная ударная волна приближается
к головной, хотя скачок плотно-
плотности через нее становится неболь-
небольшим. Если посмотреть на распреде-
распределение параметров вдоль линии х =
= 153 (рис. 5.35), которая проходит
в окрестности точки максимальной
выпуклости головной ударной вол-
волны, видно, что она вновь становит-
становится ударной волной включения, так
как А = 1 за ней. При этом тан-
тангенциальная компонента магнитно-
магнитного поля включается в направлении
от оси симметрии. При удалении
от этой точки, головная ударная
волна преобразуется в регулярную
быструю ударную волну. Отметим,
что ^-компонента магнитного поля
принимает довольно большие зна-
значения, хотя начальное возмущение
очень мало. Это означает, что те-
течение при х < 200 чувствительно к
вращательным возмущениям. Даль-
Дальше от оси симметрии ^-компонента
за ударной волной становится на-
намного меньше, чем х-компонента
(доля процента).
Таким образом, решена задача
о взаимодействии солнечного ветра
с межзвездной средой в противоре-
противоречивом случае, когда числа Альфве-
на близки к единице. Картина тече-
течения в области вокруг оси симмет-
симметрии в этом случае становится со-
совершенно отличной от той, которая
наблюдается при больших числах
Альфвена^оо и характеризуется на-
наличием вогнутой головной ударной
волны, дополнительного разрыва и
слоя повышенной плотности, кото-
который простирается на поверхности
гелиопаузы вплоть до х ~ 300 AU.
Показано, что от неэволюционных
МГД ударных волн можно успешно избавляться при помощи поперечных возмуще-
возмущений. Такие ударные волны часто возникают в случаях, когда трехмерная система МГД-
Рис. 5.34. Распределение величин вдоль прямой х =
= 55.5: возмущенная межзвездная среда
2.5
-0.5
0
100 150 200 250 300 350 х
Рис. 5.35. Распределение величин вдоль прямой х =
= 153: возмущенная межзвездная среда
424 Гл. 5. Уравнения магнитной гидродинамики
уравнений урезается до двух измерений, или даже в трехмерных случаях, когда плазма
неидеальна и/или поперечные возмущения искусственно ограничиваются, например,
геометрией задачи. В этих случаях неэволюционные ударные волны могут существо-
существовать довольно долго в зависимости от величины молекулярной и магнитной вязкостей
(Barmin et al., 1996). Нет нужды говорить, что возмущения любых типов могут встре-
встречаться в межзвездной среде, так как ее нельзя считать абсолютно однородной. Картина
течения, которая может реализоваться при наличии различных типов возмущений бу-
будет, конечно, количественно другой, хотя неэволюционные ударные волны будут либо
отсутствовать, либо проявлять себя как нестационарные, подобные ударным волнам
структуры. Картина течения, полученная в осесимметричном случае, может существо-
существовать как переходная. Она стационарна только если трехмерные возмущения не дей-
действуют вообще. Эта картина, тем не менее, довольно устойчива к возмущениям при
проведении численных расчетов. Это связано с наличием численных вязкости и сопро-
сопротивления. В таких случаях возмущения должны либо быть достаточно большими, либо
действовать достаточно продолжительное время (иметь малую частоту).
Исследование показывает, что намагниченность межзвездной среды имеет боль-
большое значение для интерпретации данных, полученных в космических экспериментах.
С другой стороны, результат воздействия магнитного поля на полную картину течения
может быть более существенным при Boo |/Voo. Очевидно, что картина течения в этом
случае трехмерна. Кроме того, скорость распространения быстрых магнитозвуковых
возмущений вдоль вектора скорости межзвездной среды становится больше, если угол
между Bqo и Vqo приближается к тг/2. Это означает, что головная ударная волна в форме
быстрой ударной волны имеет больше шансов для исчезновения. Легко видеть, что при
Bqo -L Vqo быстрая магнитозвуковая скорость определяется формулой af = л с* + я?д.
Из этого следует, что при выбранных нами параметрах солнечного ветра и межзвездной
среды достаточно только, чтобы В^ > 2.4 /iGs, и V^ станет меньше afoo.
5.8.5. Замечание о МГД-течении около бесконечно проводящего ци-
цилиндра. Ранее упоминались результаты параметрических расчетов МГД-течений
плазмы около бесконечно проводящих цилиндра и сферы (De Sterk et al., 1999), см.
также De Sterk, Low, Poedts A998), De Sterk, Poedts A999). De Sterk A999). Анализ
этих результатов приводит к выводу о том, что необходимость решения полной задачи
о взаимодействии солнечного ветра с локальной межзвездной средой могло привести
к понижению разрешения в окрестности сложной ударно-волновой картины, имеющей
место при нерегулярном режиме течения. С другой стороны, при решении двумерной
задачи есть возможность введения возмущений, которые невозможны при ограничени-
ограничениях, накладываемых осевой симметрией задачи.
Для прояснения этого вопроса получено решение задачи о поперечном обтекании
идеальной плазмой бесконечно проводящего цилиндра в случае, когда магнитное поле
параллельно скорости (Pogorelov, 2000b, 2001). Безразмерными параметрами однород-
однородного потока являются число Маха Мое = л/13.5, число Альфвена^оо = 1.5 и отношение
удельных теплоемкостей у = 5/3. Установившаяся картина плоского течения показана
на рис. 5.36а, где представлены изолинии логарифмов плотности. Легко проверить, что
параметры рассматриваемого случая принадлежат интервалу E.8.13). В отличие выше-
вышеприведенного решения задачи о СВ-ЛМС взаимодействии, здесь удалось разрешить
5.8. Взаимодействие солнечного ветра с намагниченной межзвездной средой 425
Рис. 5.36. Изолинии плотности для чисто плоского (а) и возмущенного (Ь) течений идеальной
плазмы около бесконечно проводящего цилиндра
еще две ударных волны. Видно, что возникла тройная точка, отщепленная от головной
ударной волны. На рис. 5.37 показана увеличенная картина интересующей нас обла-
области течения. Кроме того, на этом же рисунке приведены силовые линии магнитного
поля. Анализ показывает, что если двигаться вверх от точки пересечения головной
ударной волны с прямой линией симметрии, то этот разрыв является эволюционной
быстрой ударной волной A —У 2). Отметим, что она вогнута внутрь, в соответствии
с приведенным выше решением задачи о СВ-ЛМС взаимодействии и результатами
De Sterk et al. A998). В силу вогнутости быстрой ударной волны магнитные силовые
линии отклоняются к оси. Видно, что далее ударная волна становится выпуклой, и
на ее профиле должна появиться точка перегиба. Начиная с этой точки ударная волна
становится неэволюционной A —>¦ 3). Это длится до тех пор, пока не встретится точка
максимальной выпуклости, где ударная волна 1 —>¦ 3 превращается в ударную волну
включения A —)> 2 = 3). Далее вверх она опять становится быстрой и эволюционной.
Все ударные волны, лежащие между головным скачком и телом, являются неэволюци-
неэволюционными. В ударном слое можно также видеть несколько тангенциальных разрывов. Их
присутствие становится понятным, если обратить внимание на поведение линий тока,
426
Гл. 5. Уравнения магнитной гидродинамики
Рис. 5.37. Изолинии плотности и магнитные силовые
линии для чисто плоского обтекания цилиндра
пересекающих различные комби-
комбинации ударных волн, показан-
показанных на рис. 5.37. Подчеркнем,
что в рассматриваемом случае ли-
линии тока везде параллельны си-
силовым линиям магнитного по-
поля. Как отмечено в работе De
Sterk A999), полученное реше-
решение является метастабильным, ес-
если ввести малый угол между
Vqo и Bqo. Очень важным яв-
является то, что вовсе необяза-
необязательно переходить к трехмерной
формулировке задачи для раз-
разрушения полученного решения.
Как видно из обсуждения, при-
приведенного в разд. 5.3, достаточ-
достаточно ввести в набегающем пото-
потоке небольшие компоненты маг-
магнитного поля и скорости, парал-
параллельные оси цилиндра (сохра-
(сохранив при этом параллельность век-
векторов). Таким образом, вектору
магнитного поля дается возмож-
в этом случае выделяется одно
ность выйти из начальной плоскости. Так как
из направлений, оно становится направлением для включения поперечной ком-
компоненты магнитного поля в передней точке головной ударной волны и никаких
нерегулярных конфигураций более не нужно для сохранения симметрии течения. Полу-
Полученное стационарное решение приведено на рис. 5.36Ь. Головная волна везде является
быстрой, все дополнительные разрывы исчезают, и решение в плоскости перпенди-
перпендикулярной оси цилиндра становится очень похожим на наблюдавшееся в регулярном
течении. Отметим, что введение возмущения никоим образом не нарушает независи-
независимости решения от координаты параллельной оси цилиндра. Естественно, компоненты
скорости и магнитного поля приобретают довольно большие значения при переходе че-
через головную ударную волну. Можно, конечно, аппелировать к тому, что было введено
возмущение однородного потока, которое действовало достаточно долго, чтобы разру-
разрушить вязкую структуру начального решения и что последнее может продолжать суще-
существовать, если направление возмущения изменить на обратное. Это, однако, не столь
справедливо как в сценарии эволюции плоских трансальфвеновских ударных волн, опи-
описанном в разд. 5.5. Вспомним, что в последнем случае, путем обращения возмущения, в
отдельных случаях, в решении задачи удается сохранить присутствие неэволюционной
ударно-волновой структуры. Теперь же, даже если по прошествии некоторого време-
времени обнулить поперечную компоненту магнитного поля в набегающем потоке, нам не
удастся избавиться от областей ее больших значений в ударном слое. Таким образом,
полученное вначале неэволюционное решение не сможет появиться вновь.
5.8. Взаимодействие солнечного ветра с намагниченной межзвездной средой 427
А
Интересно посмотреть на трехмерный головной ска-
скачок, полученный около сферы (De Sterk, 1999) для случая
ненулевого угла между Voo и В^ (рис. 5.38). Здесь В —
точка, в которой внешнее магнитное поле нормально к по-
поверхности ударной волны. Сегменты АВ, ВС и CD являют-
являются, соответственно, быстрой, 1 —>¦ 3 трансальфвеновской и
опять быстрой ударными волнами. На сегменте СЕ удар-
ударная волна изменяет тип от 2 —у 4 трансальфвеновского до
медленного. Из рисунка видно, что различные типы неэво-
неэволюционных ударных волн кажутся неизбежными. Причи-
Причиной такого утверждения может быть тот факт, что всегда
можно выбрать плоскость, в которой будут лежать как век-
вектор скорости, так и вектор напряженности магнитного по-
поля, и эта плоскость окажется новой плоскостью симметрии
задачи. При этом ясно, что для разрушения неэволюцион-
неэволюционного решения, необходимо возмущать плоскость симмет-
симметрии. Это подразумевает, что если ожидается присутствие неэволюционных ударных
волн, обусловленное симметрией задачи, то ее нужно решать, пренебрегая присутстви-
присутствием этой плоскости и вводя возмущения, выводящие Boo и Voo из нее. Приведенные
здесь рассуждения в равной мере относятся и к случаю СВ-ЛМС взаимодействия в
диапазоне неэволюционности отдельных сегментов головной ударной волны.
Рис. 5.38. Трехмерная форма
головной ударной волны
5.8.6. Численные результаты: трехмерное моделирование. В преды-
предыдущих пунктах рассматривалось влияние величины магнитного поля на картину взаи-
взаимодействия солнечного ветра с межзвездной средой в осесимметричном случае, когда
Boo || Vqo. Теперь нашей целью является показать (Pogorelov, Matsuda, 1997, 1998а),
что угол между Boo и Voo также может заметным образом изменить форму гелиопаузы
и всю картину течения даже при ^4оо = ^Уоо\/^роо1^оо = 2 (обратим внимание, что
неэволюционные волны не появляются при этих параметрах). Это происходит из-за
увеличения максимальной скорости распространения возмущений в направлении, па-
параллельном вектору скорости межзвездной среды. В этом случае эффективное число
Маха, вычисленное по быстрой магнитозвуковой скорости, становится меньше, при-
приводя к существенному увеличению отхода головной ударной волны. Интенсивность ее
становится меньше. На рис. 5.39а и 5.39Ь показаны изолинии десятичных логарифмов
плотности, соответственно, в плоскости xz, где лежат векторы скорости и напряжен-
напряженности межзвездной среды на бесконечности, и в экваториальной плоскости (плоскости
yz) при угле между В^ и V^ равном к/2. В этом случае обе указанные плоскости
являются плоскостями симметрии. На рис. 5.40 представлены линии тока и силовые
линии магнитного поля в плоскости xz. Можно видеть, что гелиопауза более сплюснута
в экваториальной плоскости по сравнению с ее профилем в плоскости xz, что является
результатом комбинированного действия натяжения и давления магнитного поля. Маг-
Магнитные силовые линии окутывают экваториальные области гелиопаузы. Кроме того,
магнитное давление, действуя на поверхность гелиопаузы в окрестности критической
линии тока, приближает ее к Солнцу.
Если магнитное поле ориентировано под углом тг/4 к вектору скорости межзвездной
428
Гл. 5. Уравнения магнитной гидродинамики
Щ
1 \
а
-
-
800
400
0
—400
—800
-0.222
/
i i
/1
)
ОО
В
р
Г
¦ 1
ь_
,,,, 1
800
400
0
Н -400
- -800
-800 -400 0 400 800 -800 -400 0 400 800
Рис. 5.39. Изолинии логарифма плотности при А = 2в плоскостях xz (a) nyz (b): В^ J_
===::====:^^^^Н№--
900
300
0
-300
-900
-900 -300 0 300 900
Рис. 5.40. Линии тока и магнитные силовые линии при А = 2 в плоскости xz:
800
400
0
- -400
- -800
J_
i i i A
A i i
а
-
-
iiii
- -800
-800 -400 0 400 800
-800 -400 0 400 800
Рис. 5.41. Изолинии логарифма плотности при А = 2в плоскостях xz (а) и j/z (b). Угол между Во
и Vqo равен 45°
5.8. Взаимодействие солнечного ветра с намагниченной межзвездной средой 429
vL\ \
Hr\\
-HA
¦W ч
rx \
\ \
\ ч
\
\
s \
\
\ v
\ 4
4 \ \
\ \ \ \
\ \
4 \
\ \
4 \
\ \
\ \
\
\
среды на бесконечности, тангенциальный
разрыв оказывается повернутым по отно-
отношению к его положению при В^ || Voo
таким образом, который согласуется с
приближенными рассмотрениями (Fahr et
al, 1988). Это можно видеть на рис. 5.41а
и 5.41Ь, которые показывают изолинии
логарифмов плотности, соответственно,
в плоскости симметрии xz ж в экватори-
экваториальной плоскости yz. Это происходит из-
за сильной анизотропичности распреде-
распределения давления по поверхности гелиопа-
узы. Под действием магнитного давления
гелиопауза на рис. 5.41а поворачивается
против часовой стрелки. В результате это-
этого головная ударная волна поворачивает-
поворачивается по часовой стрелке. Эффективное чис-
число Маха также изменяется вдоль головно-
головного скачка, приводя к сильному изменению
его отхода от гелиопаузы. Линии тока и
магнитного поля для этого случая представлены на рис. 5.42. Обволакивающее по-
поведение магнитных силовых линий можно качественно увидеть на рис. 5.43, которая
показывает линии, начинающиеся на плоскости, расположенной слегка выше плоскости
симметрии и параллельной ей.
900
300
0
-300
-900
-900 -300 0 300
900
Рис. 5.42. Линии тока и магнитные силовые
линии при А = 2 в плоскости xz. Угол между
Boo и Voo равен 45°
Рис. 5.43. Магнитные силовые линии обволакивают гелиопаузу
На рис. 5.44 представлены профили плотности вдоль ochz. Показанные случаи от-
относятся к отсутствию магнитного поля В = 0 и к углам а между Voo и В^ равным 0,
тг/2 и тг/4. Разрывы, присущие картине течения разрешены с достаточной точностью,
принимая во внимание малое число ячеек в одном из угловых направлений (Rx ф х
Х0 = 99х21х 116), и без паразитных осцилляции. Отметим, что алгоритм не требует
введения никакой искусственной вязкости. Ошибка в скачке плотности через большин-
большинство разрывов не превышает 3-5% от точного значения. Несколько большие ошибки
430
Р
2.5
2
1.5
1
0.5
0
<х = 0 —
а = п/2 ¦ ¦ ¦ ¦
а = 7с/4-—
Гл. 5. Уравнения магнитной гидродинамики
Р
0.025
0.02
0.015
0.01
0.005
0
100 300 500 700 900 -900 -700 -500 -300 -100
Рис. 5.44. Профили плотности вдоль оси z
имеют место в областях очень малых величин давления и плотности за диском Ма-
Маха в тыльной части гелиосферной ударной волны, хотя они и не могут существенно
повлиять на общую картину течения.
Представленные в этой главе результаты вычислений показывают особенности при-
применения численных методов высокого разрешения для расчета сложных разрывных
МГД-течений. Становится ясным, что хотя методы типа Годунова показывают высокие
качества, сравнимые с обычной газовой динамикой, существование неединственных
решений МГД-задачи Римана в ее двумерной формулировке может приводить к воз-
возникновению переходных решений, которые существуют только благодаря присущей
численным методам диссипации. Эти решения имеют лишь небольшой отношение к
реальным процессам, проходящим в плазме в присутствие физической диссипации.
Более того, если численная диссипация намного больше физической, при использова-
использовании методов сквозного счета могут появиться посторонние неэволюционные решения.
Численная схема, которая смогла бы автоматически устранять паразитные решения, все
еще ожидает разработки.
Довольно общепринято, что диссипативные процессы обеспечивают механизм для
выделения допустимых разрывов в решениях ряда классических задач механики сплош-
сплошной среды, среди которых важную роль важную роль играют газовая динамика и магнит-
магнитная гидродинамика в плотных средах. Это вызвано тем, что для них мелкомасштабная
модель более высокого порядка определяется вторыми производными по простран-
пространственным координатам. С другой стороны, такие модели для некоторых других физи-
физических явлений содержат и третьи производные. Это означает, что дисперсия может
играть важную роль в выборе допустимых решений крупномасштабной модели. Такие
явления будут рассмотрены в гл. 7.
Глава 6
Динамика твердого
деформируемого тела
В этой главе описаны явные численные методы сквозного счета, принадлежащие типу
Годунова, для нескольких систем уравнений динамики твердого деформируемого тела.
Рассматриваются различные варианты метода Куранта-Изаксона-Риса (КИР), который
основан на приближенном решении локально линеаризованной гиперболической систе-
системы уравнений. Дается описание особенностей применения этого подхода для различ-
различных систем уравнений, учитывающих явления упругости и пластичности в изотропной
среде.
Сначала рассматриваются гиперболические системы уравнений, которые обобщают
ранее рассмотренные уравнения газовой динамики (см. разд. 3.1). Эти системы учиты-
учитывают достаточно широкий класс уравнений состояния (УPC) сплошной среды, а также
явления упругости и пластичности и представимы в неконсервативной или консерва-
консервативной формах. Численные методы КИР, описанные ранее в гл. 2, позволяют построить
численные методы для любых из этих форм уравнений. Предложенные методы позво-
позволяют адекватно описывать распространение и взаимодействие движущихся разрывов и
при этом сохраняют в их окрестности монотонность профилей сеточных функций.
Далее будут рассмотрены гиперболические системы уравнений второго порядка,
которые описывают динамику тонких упругих оболочек, включая так называемые си-
системы уравнений типа Тимошенко. На конкретных примерах будет дано описание их
основных особенностей и свойств. В частности, эти системы уравнений, записанные
в виде гиперболических систем уравнений первого порядка, могут иметь специфи-
специфические недифференциальные свободные члены, благодаря которым в решении могут
существовать нестационарные компоненты, быстро осциллирующие и при этом слабо
затухающие по времени. Неучет такого явления может приводить к быстрому развитию
неустойчивости в вычислениях. Для решения такого рода систем уравнений разра-
разработаны специальные алгоритмы, обеспечивающие устойчивость расчетов в широком
диапазоне определяющих параметров.
Рассмотрение перечисленных систем уравнений позволяет продемонстрировать
некоторые специфические черты уравнений динамики твердого деформируемого те-
тела, которые не встречались в предыдущих главах. Результаты данной главы могут быть
применены также для решения других гиперболических систем уравнений динамики
твердого деформируемого тела, которые здесь либо не упомянуты вообще, либо упо-
упоминаются достаточно кратко.
Отметим, что динамика твердого деформируемого тела является обширной и бы-
быстро развивающейся дисциплиной. По этим причинам изложение используемых ею
основных понятий и моделей в одной главе заведомо не может быть полным. Непол-
Неполнота изложения компенсирована ссылками на соответствующую монографическую и
обзорную литературу, где затронутые вопросы изучены более детально.
432 Гл. 6. Динамика твердого деформируемого тела
6.1. Системы уравнений
Нестационарные системы уравнений, которые описывают динамику твердого дефор-
деформируемого тела, могут иметь разную форму (см., например, Freudental, Geiringer, 1958;
Thomas, 1961; Germain, 1973; Седов, 1976; Годунов, 1978; Коларов, Балтов, Бонче-
ва, 1979;Бердичевский, 1983;Кукуджанов, 1985; Кондауров, Никитин, 1990;Быковцев,
Ивлев, 1998; Годунов, Роменский, 1998). Это связано с наличием различных типов
движения сплошной деформируемой среды, а также с большим количеством моделей,
применяемых при их описании. В отличие от газовой динамики, выбор той или иной
модели может здесь существенно изменить структуру и свойства уравнений. Следу-
Следует отметить, что при этом могут существенно меняться, как переменные, требуемые
для описания движения среды, так и их количество. Наконец, сама математическая
модель может дополнительно зависеть от малости (или конечности) величин дефор-
деформаций среды, учитываемых процессов и явлений и формы их описания. В частности,
могут быть рассмотрены такие свойства и явления как линейная или нелинейная упру-
упругость, пластичность, вязкость, упрочнение и разупрочнение, разрушение и спекание
(консолидация), анизотропия и др. (см., например, Новожилов, 1948; Kolsky, 1953;
Eirich, 1956; Седов, 1962; Mase, 1970; Backofen, 1972; Bell, 1973; Лурье, 1970, Лу-
Лурье, 1980; Zukas et al, 1982; Kobayashi, 1987; Ландау, Лившиц, 1987; Ионов, Сели-
Селиванов, 1987; Pluvinage, 1989; Клюшников, 1993; Бушман и др., 1993; Панин, 1999;
Кукуджанов, 1999; Павлов, Хохлов, 2000; Бураго, Глушко, Ковшов, 2000). Заметим,
что при рассмотрении сплошной среды на более подробном уровне, близком к микро-
микроуровню, следует производить учет также внутренних электромагнитных полей и таких
сопутствующих им свойств и явлений как магнитоу пру гость, магнитотермоу пру гость,
пьезоэлектричество, ферромагнетизм и др. (см., например, Амбарцумян, Багдасарян,
Белубекян, 1977; Партон, Кудрявцев, 1988; Maugin, 1988; Годунов, Роменский, 1998).
Таким образом, число моделей твердого деформируемого тела достаточно велико,
чтобы их можно было, хотя бы даже кратко, описать в одной главе. Ограничимся по
этой причине следующими системами уравнений.
Сначала рассматриваются гиперболические системы уравнений динамики твердого
тела, которые можно интерпретировать как некоторое обобщение рассмотренных вы-
выше уравнений газовой динамики. При этом в определенном диапазоне параметров они
будут прямо переходить в них и в этом случае описывать течения идеального газа с тем
или иным уравнением состояния. Необходимость рассмотрения таких систем уравне-
уравнений возникают в случае, когда для описания движения неидеальной среды при наличии
внутренних контактных взаимодействий бывает недостаточно учета напряжений, дей-
действующих только вдоль нормали к поверхности элементарного объема.
Затем будут рассмотрены гиперболические системы уравнений второго порядка,
которые описывают динамику колебаний тонких упругих оболочек. В частности, будут
обсуждены три системы уравнений для цилиндрических изотропных и ортотропной
оболочек, а также уравнение Клейна-Гордона.
Структура изложения дальнейшего материала выбрана следующим образом. В соот-
соответствующих разделах выписываются та или иная система уравнений динамики твердо-
твердого деформируемого тела. Затем дается описание принятых обозначений и приводятся
краткие сведения, дающие представление о характере учитываемого явления, кото-
которые ориентированы, в первую очередь, на физиков и вычислителей, приступающих к
6.1. Системы уравнений 433
решению задач механики сплошной среды. Далее основное внимание будет уделено
численным аспектам решения приведенных систем уравнений.
6.1.1. Простейшая модель твердого деформируемого тела. Рассмот-
Рассмотрим нестационарную трехмерную эйлерову систему уравнений динамики твердого де-
деформируемого изотропного тела, выписанную с учетом уравнения состояния (УРС),
определяющего шаровую часть напряжений в сплошной среде, линейного закона для
описания девиаторной части напряжений и возможности идеально-пластического тече-
течения по теории Прандтля-Рейсса. Теоретические основы модели рассматривали, напри-
например, Седов A976), Ландау, Лифшиц A987), Ильюшин A990). Некоторые особенности
численного решения такого рода моделей могут быть найдены в ряде работ (см., напри-
например, Wilkins, 1964, 1971; Wilkins et al., 1974; Кукуджанов, 1985; Магомедов, Холодов,
1988). При выборе соответствующих переменных такая система уравнений в эйлеровой
системе координат принимает вид
-р- + div(pvv - Р) = 0,
де
— + div(>v - Р • v) = 0,
at
DS
— + f /xtr(V) I - 2дУ+ 0(s)(S : V) S = 6.
Здесь p = p(t,x,y,z)—плотность,/ — время, (x,y,z) = (xl,x2,x3)—декартовы коор-
координаты, v = \(t,x,y,z) = [v1,v2,v3]T = [i/,v,w]T — скорость движения среды, а формула
1 1
e= -p(u2 + v2 + w2)+pe, pe = pe+—(S:S) F.1.1)
задает полную энергию е единицы объема материала для линейно-упругого и идеально-
пластического твердого тела. Величина ? — это удельная внутренняя энергия, ? =
= е(р,Т) — та часть е, которая не зависит от сдвига, а Г — температура. Последний
член в равенстве F.1.1) описывает ту часть внутренней энергии, которая определяется
только величиной упругих деформаций при чистом сдвиге (Ландау, Лифшиц, 1987),
где /1 = const — модуль сдвига. Представление внутренней энергии в виде суммы двух
членов позволяет учесть в вычислениях широко диапазонные уравнения состояния вида
? = е(р,Т), р = р(р,Т) или р = р(р,е), которые использовались ранее в уравнениях
газовой динамики. Более общее выражение для внутренней энергии будет описано
ниже. Выписанная система уравнений отличается от уравнений газовой динамики (см.
разд. 3.1) учетом процессов упругих и пластических деформаций сплошной среды.
Он производится путем введения в рассмотрение симметричного тензора напряжений
Коши Р = [Ри], PtJ = Pj,, где i,j = 1,2,3.
Симметричный эйлеров тензор скоростей деформаций V = [Vt] имеет компоненты
434 Гл. 6. Динамика твердого деформируемого тела
а включающий 0(s) член уравнений описывает пластическое течение среды в соответ-
соответствии с теорией пластичности Прандтля-Рейсса. Имеем 0(s) =0 при s = S : S < 2k2 или
при разгрузке, т. е. когда S : V < 0, и 0(s) = \i/k2 при нагружении, т. е. когда S : V > О,
где к — предел текучести на сдвиг. В пластическом течении выполнено равенство s =
= S : S = 2к2. Более подробное описание этой модели будет дано ниже. Тензор 0 — это
нулевой тензор размерности 3x3.
В записи уравнений использовано представление тензора напряжений в виде
р= — i+s = -/?i+s, trs = o,
где trP = X/Li Рц = P : I — это след тензора P, а давление
может рассматриваться как функция различных переменных, например, р = р(р,Т) или
р = ^(р,е). Симметричный тензор S = [St] размерности 3x3 — это девиатор тензора
напряжений Р, а тензор I = diag[l, 1,1] — единичный тензор.
Разделительные точка и двоеточие в выписанных уравнениях обозначают свертки
векторов или тензоров, соответственно, по одному или двум индексам. В частности,
А • b = J,3p=\Aipbpel обозначает свертку (внутреннее произведение) тензора А = [At] и
вектора b = [Ъх, Z?2, Ь3]т, где е^, е2 и е3 — орты декартовой системы координат. Обозначе-
Обозначение А : В = Xp=i Y?q=\AqpBpq описывает двойную (полную) свертку тензоров А = [AtJ]
и В = [BtJ]. Аналогично может быть определено свертка (произведение) двух тензоров,
A-B=[I?p=lAipBj.
Выражение DA/Dt обозначает производную Яуманна по времени для тензора А =
= [At] размерности 3x3:
DAn dAn з \ ( dv dvf\
где df/dt — это полная (субстанциональная, или материальная) производная по вре-
времени от функции /:
r±x
Из производной Яуманна исключено изменение тензора за счет поворота систе-
системы координат. Такая производная удовлетворяет следующим свойствам (Седов, 1960;
Prager, 1961; Коларов и др., 1979):
• выполняется правило дифференцирования Лейбница для свертки двух тензоров:
где через Dt обозначена производная Яуманна;
• DtA является линейной функцией компонент тензора А;
6.1. Системы уравнений 435
• производная тензора размерности 3x3 также является тензором той же размер-
размерности;
• если Dt A = 0, то компоненты тензора А не меняются в системе координат движу-
движущейся вместе со средой и вращающейся с угловой скоростью у rot v;
• производная сохраняет симметрию дифференцируемого тензора.
Следует заметить, что ряд обозначений и понятий вводится и рассматривается пока
предварительно. Вопросы, связанные с описанием явлений упругости и пластичности,
а также с рассмотрением тензоров конечных деформаций, рассмотрены ниже.
Рассматриваемая система уравнений в упругом приближении является линейной
относительно тензора девиатора напряжений, нелинейной по давлению и справедлива
в следующем приближении. Считается, что упругие деформации малы, но повороты
материального элемента могут быть конечными; модуль сдвига и предел текучести
от деформаций и температуры зависят слабо; пластические деформации материально-
материального элемента могут быть конечными, но объемная пластическая деформация является
пренебрежимо малой (Кондауров, Никитин, 1990).
Выразив Р через S и считая функцию р = р(р,?) заданной, запишем систему урав-
уравнений в следующей частично консервативной форме:
^ + div(pv) = 0, F.1.5)
dt
^ S)=0, F.1.6)
dt
де
dt
\- j-u.tr(V)I-2u.V+ 6(s)(S : V)S = O. F.1.8)
При S —>- 0 система переходит в уравнения газовой динамики C.1.1)-C.1.3).
Соотношения между р, /> и ? в форме/? = р(р,е) и ? = е(р,р), или р = р(р,е), на-
называется уравнением состояния. Приведем несколько примеров. Например, двучленное
уравнение состояния среды имеет вид
где у > 1 — показатель адиабаты, а р0, р0 и с0 — некоторые константы и р0 =
При ? = 0 и р = р0 выполнено равенство р = 0. Более детальное рассмотрение этого У PC
проведено в разд. 3.1. Из уравнения F.1.9) при с0 = 0 и р0 = 0 получается уравнение
состояния совершенного газа
Р = (Г-1)ре, е= ( J\) • F-1.10)
Для твердых тел может быть также использовано УРС в виде
^Т^ ?=СуГ' К=РШТ' а=^Ш; FЛЛ1)
436 Гл.6. Динамика твердого деформируемого тела
где р0 — плотность не деформированного материала, Т — температура, То — началь-
начальная температура, К — модуль всестороннего сжатия, a — коэффициент линейного
теплового расширения (а = За — коэффициент объемного теплового расширения), а
су = [Эе/дТ]р — теплоемкость при постоянном объеме.
Консервативные уравнения F.1.5)-F.1.7) описывают законы сохранения массы, им-
импульса и энергии. Неконсервативное уравнение F.1.8) описывает эволюцию девиатора
напряжений с учетом явлений упругости и пластичности. Уравнение эволюции деви-
девиатора напряжений S в упругом приближении следует из закона Гука. Рассмотрим его
более подробно.
Линейно-упругое движение среды; закон Гука
Уравнение F.1.8) в области упругости является следствием дифференцирования по
времени определяющих соотношений, которые связывают напряжения и деформации.
Простейшим определяющим соотношением является предложенный в 1678 году за-
закон Гука, в котором постулируется линейная зависимость между напряжениями и ма-
малыми деформациями в случае одномерного напряженно-деформированного состояния.
В трехмерном случае обобщенный закон Гука постулирует линейную зависимость меж-
между тензором напряжений Р и тензором малых деформаций f, компоненты которого
определяются соотношением
где d = [й?1?й?2?^з] — это вектоР смещения, а V = [д/дх1,д/дх2,д/дх3]т. При этом в
выражении для f оставлены только члены, линейные относительно Vd (см., например,
Prager, 1961; Седов, 1976). Таким образом, обобщенный закон Гука записывается в виде
P = C:f =>¦ PIJ= icIJpqTqp, F.1.13)
p,q=l
где С = [Cjjpq] — тензор упругих постоянных, имеющий размерность 3x3x3x3.
Используя симметрию тензора С и условие изотропии, можно найти, что из З4 = 81
элементов этого тензора только два будут независимы, см., например, Блох A964), Седов
A976). В отсутствии изотропии число независимых элементов С может достигать 21.
Доказывается, что ClJpp = 0 для / ф j, Clipp = Cppii, С11П = С2222 = Сзш = Я + 2д и
С1122 = С1133 = ^2233 = М, где Я и /i — это, так называемые, коэффициенты Ламэ.
Последний также называется модулем сдвига. Тогда соотношение F.1.13) принимает
более простой вид
Ри = ХХг(ТMи + 2^1Т1р Р = Я1г(ТI + 2дТ, F.1.14)
где Stj — символ Кронекера. Заметим, что вместо /1 и Я могут использоваться другие
упругие коэффициенты, в частности, модуль Юнга
F.1Л5)
А ~\- jl
6.1. Системы уравнений 437
и коэффициент Пуассона
FЛЛ6)
В общем случае анизотропии структура тензора С в обобщенном законе Гука опре-
определяется шестью собственными упругими модулями Я > 0, где j = 1,... 6, и шестью
собственными решениями, зависящими от 15 параметров (Остросаблин, 1986, 1991).
Соотношения между величинами упругих модулей позволяет классифицировать виды
анизотропии линейно-упругой среды (см., например, обзор литературы у Остросаблина
B000)).
Перепишем уравнение F.1.14) в терминах девиатора S = [Sf] тензора напряжений Р.
Получаем
StJ = -jjitr(rf)8lJ-\-2jiTip S = -j /xtr(f )I + 2/xf. F.1.17)
Заметим, что формула F.1.17) зависит в этих переменных только от коэффициента /1.
Продифференцируем уравнение F.1.17) по времени, учитывая, что повороты мате-
материального элемента могут быть конечными. В силу равенства
dd _
dt
имеем V = dT j dt, где V — тензор скоростей деформаций F.1.2). Тогда получаем следу-
следующее уравнение, описывающее эволюцию тензора S в линейно-упругом приближении:
Щ,- 2 DS 2 ~ ~
= /xtr(V)&/ + 2/xK-/J = /xtr(V)I + 2/xV. F.1.18)
Dt 3 J J Dt 3
При этом производная Яуманна по времени DA/Dt определена формулой F.1.3). В ней
учитывает тот факт, что компоненты тензора в эйлеровой системе координат меняются
даже в том случае, если они постоянны в системе координат, связанной с материальным
элементом, вращающимся с мгновенной угловой скоростью yrotv. Более подробное
рассмотрение этой производной может быть найдено в работе Thomas A961), где вы-
выведены также более высокие производные по времени, а также в работах Prager A961),
Коларовой и др. A979).
В гипоупругой среде соотношение вида F.1.18) постулируется, т. е. считается, что
в напряженном состоянии компоненты скоростей изменения напряжений должны быть
однородными линейными функциями компонент скоростей деформаций, например,
DP/Dt = С : V, ср. с формулами F.1.13). Это минимальное требование, при котором
материал может рассматриваться как упругий в общепринятом смысле. В дальнейшем
будем полагать, что рассматриваемый изотропный материал в области упругости явля-
является гиперупругим. В этом случае постулируется, что существует внутренняя энергия
деформации среды. Для уравнений F.1.5)—F.1.8) она была задана выше в виде двух
последних слагаемых в равенстве F.1.1).
Пластические и вязкопластические течения
Рассмотрим несколько моделей пластических сред, которые могут быть использованы
в рамках системы уравнений F.1.5)—F.1.8).
438 Гл.6. Динамика твердого деформируемого тела
Выше рассматривались малые упругие деформации, которые описываются законом
Гука. Упругое движение среды может перейти в пластическое течение. При этом, как
следует из экспериментов для сред с идеально-пластическими свойствами, в пласти-
пластическом течении во многих случаях некоторая комбинация компонент девиатора на-
напряжений не возрастает (Bell, 1973). Пластические течения, по сравнению с упругим
деформированием, необратимы и сопровождаются диссипацией механической энергии.
Существует ряд теорий для описания упругопластичесих течений. В теории пла-
пластичности Прандтля-Рейсса, созданной в 1924-1930 годах, для определения начала
пластического течения используется критерий Мизеса (Mises, 1913), а именно, если
s = S:S = 2&2, F.1.19)
то считается, что может иметь место пластическое течение. Приз < 2к2 движение среды
будет упругим (Reuss, 1930). Коэффициент к называется пределом текучести на сдвиг,
а поверхность S : S — 2к2 = 0 — поверхностью текучести Мизеса в пространстве на-
напряжений. Поверхность Мизеса является выпуклой и гладкой. Заметим, что выражение
S : S пропорционально квадрату среднего касательного напряжения в рассматриваемой
точке среды (Новожилов, 1952).
В уравнении F.1.8) определим функцию (см., например, Prager, Hodge, 1951)
0 при s = S : S < 2к2,
0 при s = 2k2 и при разгрузке (S:V<0), F 120)
. -у при s = 2к2 и при нагружении (S : V > 0),
/с
и покажем, что она позволяет удовлетворить условию невозрастания свертки компо-
компонент девиатора напряжений в случае пластического течения. Действительно, последо-
последовательно умножив уравнение F.1.8) справа и слева на S и суммируя два получившихся
уравнения, получаем
DS DS
S : + : S-2/z(S : V + V: S) +20(»(S : V)S : S = 0.
Следовательно при s = S : S —> 2k2
d(S: S)
dt
= [2ц - O(s)(S : S)]2(S : V) -> 0. F.1.21)
Таким образом, в пластическом течении компоненты тензора S не могут оказаться вне
поверхности текучести s = 2k2. Заметим, что в пластическом течении последний член
формулы F.1.1), описывающий энергию деформации чистого сдвига, при неизменном
к будет постоянным.
Существуют также другие критерии пластичности и модели неупругих сред (см.,
например, Kolsky, 1953; Freudental, Geiringer, 1958; Wilkinson, 1960; Работнов, 1979). В
частности, переход в пластическое состояние может происходить на поверхности
sT = T(S)-k=O F.1.22)
6.1. Системы уравнений 439
в пространстве компонент девиатора напряжений, которая называется поверхностью
текучести Треска. Она также используется в этой модели для определения возможности
пластического течения вместо поверхности текучести Мизеса. В формуле F.1.22)
t(S) = ^maxfl^-^l^-^U^-^l] ,
где sl9 s2 и s3 — собственные значения девиаторной матрицы [^ •]. Поверхность Треска
является выпуклой и кусочно-гладкой. Ее физический смысл заключается в том, что она
представляет их себя максимальное касательное напряжение в рассматриваемой точке
среды. Поверхность Треска является исторически первым критерием для определения
пластических течений. При этом поверхность Мизеса может интерпретироваться как
аналитическая аппроксимация поверхности Треска. Заметим, что обычно между ре-
решениями одной и той же задачи с двумя описанными критериями пластичности нет
значительной разницы (Новожилов, 1952).
В общем случае полная энергия единицы объема определяется следующим образом
(ср. с формулой F.1.1))
Здесь f — это тензор деформаций, fр — тензор пластических деформаций, а % —
параметр упрочнения. Величина предела текучести к в процессе пластического течения
может меняться. Его изменение называется процессом упрочнения или разупрочнения.
В случае линейного закона упрочнения будет выполнено соотношение к = к0 + fix, где
к0 — начальная величина предела текучести; /3 > 0 является константой, а % — это
параметр упрочнения, зависящий, например, от работы пластических деформаций
dx = P:dTv. F.1.23)
При /3 < 0 будет иметь место процесс разупрочнения. Соотношение F.1.23) спра-
справедливо при малых упруго-пластических деформациях. В других случаях следует ис-
использовать соотношение
% — р • ттР
где Up — тензор скорости пластических деформаций, a FD — тензор диссипативных
напряжений (см., например, Седов, 1976; Кондауров, Никитин, 1990).
В 1868 году Максвелл предложил упруговязкую модель среды, которая описывается
соотношением
пс 2 S
— + -Mtr(V)I-2MV=--, F.1.24)
где по сравнению с F.1.18) в уравнениях появляется новый не дифференциальный сво-
свободный член. Параметр т — это время релаксации (затухания) девиатора напряжений.
Действительно, в этом случае в компонентах девиатора напряжений появляются зату-
затухающие по времени составляющие, которые пропорциональны ехр(—tjx).
Предположим, что затухание Максвелла существует только в области пластического
течения. В этом случае
DS 2 Л Л S
Ь— /xtr(V)I-2/xV= -\f/(s) — . F.1.25)
Dt 3 т
440 Гл. 6. Динамика твердого деформируемого тела
Тогда описываемое этим уравнением течение называется упруговязкопластическим.
Функция
0 при s = S:S<2k2,
при s = 2k2,
обеспечивает асимптотическое выполнение условия s = S : S < 2k. Действительно,
действуя по аналогии с выводом соотношения F.1.21), получаем
при s = S : S = 2k2. Следовательно, асимптотически будет выполнено vS : S — у/2 k < 0.
Дополнительный учет соответствующих релаксационных членов в правой части
уравнения F.1.8) позволяет исследовать упруговязкопластические течения.
Структура упруговязкопластических волн была исследована на основе различных
подходов и систем уравнений Кукуджановым A967) и Годуновым A978). При этом в ре-
решении могут существовать как гладкие упругие и пластические волны, так и разрывы.
Следует заметить, что структура пластических волн существенно зависит от величины
параметра релаксации т, включая его зависимость от параметров состояния вещества
(Годунов, 1978). С увеличением т наблюдается все более сильное "размазывание" фрон-
фронтов пластических волн. Упруговязкопластичеекая модель при т —> 0 переходит в теорию
пластичности Прандтля-Рейсса. Для строгого предельного перехода в решении урав-
уравнения F.1.25) следует использовать асимптотические методы (Кукуджанов, 1967).
Варианты систем уравнений
В трехмерном случае система уравнений F.1.5)—F.1.8) имеет десять переменных р,
г/, v, w, e, Sn, /S12, Sl3, S22 и 523. При этом компонента <S33 находится из соотноше-
соотношения Sn +S22 + S33 = 0. В полностью неконсервативной форме эта система уравнений
записывается в виде
^ 0, F.1.26)
dv I
+ di
dt p p ' 4/i /1
nc
+ f /ztr(V) I - 2дУ+ 0E)(S : V) S = 0. F.1.29)
Если ввести замену переменных S = /is, где /i ф 0, то эта же система уравнений
примет вид
Р , ^„v = Oj F.1.30)
6.1. Системы уравнений 441
d\ I
— + — div(/?I- /is) = 0, F.1.31)
a/ p
M^I ? ^; F.1.32)
dt p p N ' 4 /z N
—+ f tr(V)I-2V+/ze(.s)(s:V)s = 6. F.1.33)
Рассмотрим отдельно случай двух пространственных переменных и запишем си-
систему F.1.26)-F.1.29) для семи переменных р, г/, v, г, 5П, S22 и 512. Получаем
= 0, F.1.34)
1 / др дБлл дБл
dt ' р х ^- ^- D- ; VJ F.1.35)
$¦ + - ( ^ - ^ ~ ^ ) = 0, F.1.36)
dt p l D" D" D" '
^ + f^ + ?V(^V)=O, F.1.37)
dt p \дх dyj p K J ' У J
^4й^=0' FЛ38)
=o' (блз9)
^|^|^ F.1.40)
Здесь t — время, (х,у) = (xl,x2) — декартовы координаты, р = p(t,x,y) — плотность,
v = \(t,x,y) = [vx, v2]T = [г/, v]T — скорость движения среды, г — не зависящая от сдвига
часть внутренней энергии единицы массы среды, р = р(р,е) — давление, aSn, S22-> Sl2
и S33 = —Sn — S22 — ненулевые компоненты девиатора напряжений. Для пластических
течений будет иметь место соотношение F.1.20), где
5" — SiS — Ьц +*->22 "I" Wll ~l~^22/ "I" ^12
По определению положим
DSU dSu , ^ f dv du\ DS22 _ dS22
Dt ~ dt *ъ2\дх dyj' Dt ~ dt +^n\dy dx)'
DSU _ dSu t 1 „,„ „ ч ( du dv^
Dt dt
Здесь параметр ^ может принимать значения 1 или 0. Это позволяет при численном
моделировании либо учитывать вращательные члены в производной Яуманна, либо не
рассматривать их.
442 Гл. 6. Динамика твердого деформируемого тела
Выпишем другие формы представления системы уравнений F.1.5)—F.1.8). В трех-
трехмерном случае эту же систему уравнений можно выписать, например, относительно
переменных, v, e и Р:
-4^- + div(pvv - Р) = О,
at
де
— + div(ev-P-v) = 0, F.1.41)
DP
A tr(V) I - 2дУ + 6(s)(S : V) S = б.
При этом системы F.1.5)—F.1.8) и F.1.41), имеют один и тот же порядок, так как пять
скалярных уравнений для компонент S, в силу условия trS = 0, ранее дополнялись
уравнением неразрывности. В системе уравнений F.1.41) вместо этих шести уравне-
уравнений используются шесть уравнений для компонент Р. Для замыкания системы F.1.41)
используем уравнение состояния в виде р = — jtrP = /?(р,е)э из которого после на-
нахождения Р и ? определяется плотность р. Используя соотношение р — — jtrP, из
уравнения эволюции тензора Р получим уравнение для изменения давления
Тогда
dp de dp dp ,. о ч i-
-^- — + -^-~t- + (A + f M)divv = 0.
<9г Л 5p dt 3
Подставляя сюда уравнения F.1.26) и F.1.28), находим, что в области упругости
Здесь А, вообще говоря, не является постоянным коэффициентом Ламэ, а некоторой
функцией состояния среды.
Использование уравнений F.1.41) является несколько более предпочтительным по
сравнению с применением системы F.1.5)—F.1.8) для случаев малых изменений плот-
плотности, так как в последнем случае может уменьшиться точность вычисления плотности.
В полностью неконсервативной форме система F.1.41) принимает вид
dv 1 . ~
— divP = 0,
dt p
F.1.43)
Dp
— - A tr(V) I - 2дУ+ 6(s)(S : V) S = б.
Для изотермических процессов можно выписать систему F.1.5)—F.1.8) в перемен-
переменных р, v и S:
6.1. Системы уравнений 443
DS
_ +
где р является функцией только плотности р.
В терминах р, v и Р та же система принимает вид
+ div(pvv - Р) = 0, F.1.44)
ot
DP
A tr(V) I - 2дУ + 6(s)(S : V) S = б.
Здесь
3 dp
Плотность определяется из уравнения р(р) = - у trP.
Все выписанные выше системы уравнений в достаточно широком диапазоне значе-
значений искомых переменных и параметров, для физически допустимых уравнений состо-
состояния, являются гиперболическими.
Заметим, что выписанные уравнения могут быть пополнены учетом процессов
разрушения (см., например, Работнов, 1979; Zukas et al., 1982; Кукуджанов, 1985;
Atluri, 1986; Канель, Фортов, 1988; Панасюк, Андрейкив, Партон, 1988; Черных, 1996;
Кукуджанов, 1999 Канель и др., 1999; Глушко, Нещеретов, 1999а, 1999b; Брызгалов,
Кукуджанов, 2001; Кондауров, Фортов, 2001). При этом два простых метода модели-
моделирования разрушения на основе учета предела прочности материала и рассмотрения
объемной пористости, описанные ранее в разд. 3.1, могут быть также использованы в
динамике твердого деформируемого тела.
Нестационарные уравнения линейной и нелинейной упругости могут быть записа-
записаны в консервативном виде. Это позволяет построить для них различного рода реше-
решения, включая обобщенные, и при этом корректно исследовать вопросы их существо-
существования и единственности (см., например, Bland, 1969; Mihailesku, Siliciu, 1975; Keyfitz,
Krauzer, 1980; Волков, 1983; Поручиков, 1986; Куликовский, Свешникова, 1998). Что
касается уравнений динамики твердого деформируемого тела, которые учитывают те-
теорию пластичности Прандтля-Рейсса, то относительно рассмотренных выше перемен-
переменных, см. уравнения F.1.5)—F.1.8), они не приводятся к дивергентной форме. Этот факт
может быть строго доказан аналитически (Кукуджанов, 1978; Кондауров, 1982а). Некон-
Неконсервативность уравнений приводит к трудностям при получении точных разрывных
решений, а также при выводе соотношений на движущихся или стационарных разры-
разрывах, которые, тем не менее, существуют в упругопластических течениях, в частности,
в модели Прандтля-Рейсса.
Упомянем методики, которые позволяют строить соотношения на разрывах для
неконсервативных уравнений упругопластичности (см., например, Быковцев, Крето-
ва, 1972; Каменярж, 1972; Друянов, 1982; Куксин, 1984; Балашов, 1993; Клюшни-
ков, 1993; Садовский, 1997), обеспечивая при этом для получаемых результатов при-
приемлемый уровень физической обоснованности. В работе Куксина A984) при опре-
определенных условиях доказаны теорема существования и единственности решения для
444 Гл. 6. Динамика твердого деформируемого тела
теории пластичности. Для получения соотношений на разрыве могут быть привлече-
привлечены дополнительные предположения или гипотезы, например, в форме неклассических
вариационных принципов или неравенств, которые впервые были применены в работе
Haar, Karman A909), см. также Ziegler A963), Седов A976). В частности, оказывается
плодотворной гипотеза о достижении на пластических разрывах режима максималь-
максимальной диссипации энергии (Быковцев, Кретова, 1972). Чтобы удовлетворить вариацион-
вариационным неравенствам рассматриваются решения, принадлежащие специальным классам
напряжений, которые составляют выпуклое множество в пространстве допустимых на-
напряжений и при этом допускают параметризацию. Для такого класса напряжений фор-
формулируется замкнутая система соотношений на разрывах для различных моделей пла-
пластичности и их критериев F.1.19) и F.1.22) (Быковцев, Кретова, 1972; Каменярж, 1972;
Друянов, 1982; Садовский, 1983; Балашов, 1993; Клюшников, 1993; Садовский, 1997).
В таком подходе используется система уравнений F.1.44) относительно переменных
v и Р при различных предположениях. Некоторым ограничением рассматриваемого
подхода является неоднозначность процедуры параметризации класса допустимых на-
напряжений. Этот подход находится в стадии дальнейшего развития и исследования (Са-
(Садовский, 1997). Его применение не ограничивается упруго-пластическими средами,
см., например, работу Садовского B001), где исследовалась динамика сыпучих сред и
построены численные методы типа Годунова.
Тензоры конечных деформаций
В выписанных выше уравнениях был использован тензор малых деформаций F.1.12).
Рассмотрим тензоры, учитывающие конечность деформаций. Это позволит ввести тен-
тензор градиента полных перемещений, необходимый далее для записи уравнений термо-
термоупругости и упруговязкопластичности в квазиконсервативном виде.
Опишем тензоры конечных деформаций в терминах линейного отображения среды,
которое описывается матрицей J размерности 3x3. Эта матрица J является матрицей
преобразования, которое задается формулами xt(t) = x^x^x^x^t), i= 1,2,3, с усло-
условием xt(t = 0) = х®. Здесь координаты xl9 x2 и х3 являются эйлеровыми, в частности,
декартовыми координатами. Координаты х®, х2 и х® являются лагранжевыми. Якобиева
матрица J определяет тензор градиента перемещений J. Иногда его также называют
тензором градиента деформации.
"*' F.1.45)
Этот тензор можно привести к диагональному виду
J= [j ] = Udmg[kx,k2,k3]W, F.1.46)
UUT = WWT = /, detU = detW = 1,
где ортогональные матрицы U nW описывают пространственное вращение элементар-
элементарного объема и определяют соответствующие ортогональные тензоры U и W. Диаго-
Диагональная матрица diag[A:1, k2, k3] описывает линейное расширение элементарного объема
в трех соответствующих направлениях. В случае кх — к2 = къ = 1 среда движется как
жесткое твердое тело.
6.1. Системы уравнений 445
Тензор конечных деформаций Грина определяется следующим образом:
I* = ?(jt . j-i) = c/diag [i(*2 _ i),i-(A| _ 1)j ^(^ _!)] с/т) F л 47)
а тензор деформаций Альманси есть
f а = 1[I- (J1)-1. J-1] = t/diag [1A - 1/*?), 1A - 1/уф, 1A - 1/^)] ?/т, F.1.48)
или fA = 1A - g), где g = (JT)~lJ~l — метрический тензор.
Для случая кх — к2 = къ = 1 все эти тензоры равны нулю. Использование того
или иного тензора деформаций связано со спецификой решаемых задач и позволяет
сохранить те или иные дополнительные свойства систем уравнений (см., например,
Eirich, 1956; Prager, 1961; Bland, 1969; Годунов, 1978).
В предположении малости деформаций все эти тензоры сводятся к тензору F.1.12).
Действительно,
= (J-I)J-1 =Ф J=(/-Vd). F.1.49)
В частности, для тензора Альманси получаем
fА = ![/- (JTylJ-1} = ![/- (/- Vd)T(/- Vd)] =
= 1 [Vd + (Vd)T - Vd (Vd)T] » 1 [Vd + (Vd)T]. F.1.50)
Можно построить другие тензоры деформаций, которые являются функцией J,
или kj, где / = 1,2,3, при условии, что они обращаются в нуль при кг; = 1, т. е. в отсут-
отсутствие изменения формы и объема, сводятся к деформации определяемой уравнением
F.1.12), когда kt — 1 мало, и инвариантны по отношению к вращению (Eirich, 1956).
6.1.2. Квазиконсервативные формы уравнений динамики дефор-
деформируемых тел. В этом пункте выписана квазиконсервативная форма уравнений
динамики твердого деформируемого тела для случая нелинейной термоупругости (Кон-
дауров, 1981). В качестве искомых переменных в этих уравнениях использованы компо-
компоненты тензора градиента перемещений J. Выбор этих переменных позволяет привести
уравнения динамики деформируемого тела к дивергентному (квазиконсервативному)
виду. Другой причиной, объясняющей внимание к этим системам, является возмож-
возможность построения для них численных методов типа Годунова.
Обсудим основные свойства тензора градиента перемещений J. В начальный момент
времени t = 0 рассмотрим некоторый объем сплошной среды Go с распределением
плотности р0 = р0 {х\, ^2, Хз), где х® — лагранжевы координаты. Пусть эйлерова система
координат Xj при t = 0 совпадает с х®. Из закона сохранения массы следует, что
po = pdetJ. F.1.51)
Построим уравнения, описывающие изменение компонент тензора градиента пере-
перемещений [Jtj] во времени. Получаем
dJu d (дхЛ dv, з dv^dx^ = з dyt
' ?x dxp дх® ~ ?x dxp
446
Гл. 6. Динамика твердого деформируемого тела
и, следовательно,
?+I
х
р=\
dJu dvt
' дх„ дх„
= 0.
F.1.53)
Дифференцируя соотношение F.1.51) по t, находим
dp р0 ddetJ р ddetJ
dt ~ (detJJ dt ~ detJ dt
Используя тождество Эйлера (см., например, Mase, 1970; Truesdell, 1977)
1 rfdetJ
detJ dt
= divv,
F.1.54)
получаем
dp
— = —pdivv
dt
и, следовательно, уравнение F.1.5). Соотношение F.1.54) может быть также доказано
проведением прямых аналитических выкладок.
Сложим уравнение F.1.53), умноженное на р, и уравнение F.1.5), умноженное
на Jtj. Получаем, что
dt
Докажем соотношение
3
PJ
F.1.55)
PJ _
дхр
= 0.
Пусть D = J 1. Тогда, по определению,
_ 1
lJ~ detD jr Jl p J"
где AJt — детерминант матрицы, которая получается из D вычеркиванием у'-й строки и
/-го столбца, взятый с коэффициентом (-1)/+J. Следовательно,
После этого видим, что
PJ —
= 0.
F.1.56)
Это равенство может быть также проверено прямыми аналитическими выкладками.
6.1. Системы уравнений 447
Следовательно, правая часть уравнения F.1.55) равна нулю и система уравнений
изотермической упругости записывается в квазиконсервативной форме
Для замыкания этой системы уравнений нужно задать тензор Р. Для этого можно ис-
использовать закон, связывающий напряжения с одним из зависящих от Jt- тензоров ко-
конечных деформаций (см., например, Truesdell, 1977; Лурье, 1980). При этом плотность
р может быть найдена из соотношения F.1.51). В трехмерном случае число перемен-
переменных в такой системе уравнений равно 12. Вместо одного из уравнений для какой-либо
из компонент pJtJ может быть использовано уравнение неразрывности.
В отсутствии изотермичности уравнения термоупругости записываются в квазикон-
квазиконсервативном виде следующим образом (Кондауров, 1981, 1982а, 1982b):
-р- + div(pvv - Р) = 0, F.1.57)
dt
где
de
— + div(ev-P-v) = O, F.1.58)
/.. 3 ;) / ч
= 0, F.1.59)
dF dF p0
^-~3^' P-
p=\ ajJP ai aetJ
Здесь F = ? — ST — это свободная энергия единицы массы, ? = е(р, Т7,^ ,•) — удельная
внутренняя энергия, S — энтропия, Т — температура и е = ре + ^-р (г/2 + v2 + w2).
В трехмерном случае число переменных в этой системе уравнений равно 13. Уравне-
Уравнения F.1.57) и F.1.58) описывают законы сохранения количества движения и энергии.
Уравнение F.1.59) называют уравнением совместности градиента перемещений и ско-
скоростей. Здесь также вместо одного из уравнений для некоторой компоненты pJ{ может
быть использовано уравнение неразрывности.
Для системы уравнений F.1.57)—F.1.59) были построены методы типа Годуно-
Годунова, которые успешно использованы в численном моделировании одномерных и дву-
двумерных задач для упруговязкопластических течений (Vorobiev et al, 1995; Lomov,
Kondaurov, 1995, 1998).
На основе уравнений F.1.57)-F.1.59) Кондауровым A982а, 1982b) были выписаны
квазиконсервативные уравнения динамики упруговязкогшастической среды, которые
записываются относительно переменных pv, e, pJt , pft ир^, где ft. — компонен-
компоненты симметричного тензора градиента пластического перемещения. Вместо одного из
уравнений для некоторой компоненты pJt может быть также использовано уравнение
неразрывности. В трехмерном случае число переменных в такой системе уравнений
равно 20.
448 Гл. 6. Динамика твердого деформируемого тела
Следует обратить внимание на то, что если условие F.1.56) выполнено в начальный
момент времени, на математическом уровне оно останется справедливым и в даль-
дальнейшем. Это, однако, не так, когда речь идет о численном решении, и необходимы
специальные меры для обеспечения его соблюдения. Ситуация в этом случае напо-
напоминает ту, которая встречалась ранее в магнитной гидродинамике при необходимости
удовлетворения условию соленоидальности магнитного поля divB = 0 (разд. 5.7). Один
из способов обеспечения стационарной дифференциальной связи F.1.56) заключается
в использовании модифицированной формы записи исходной квазиконсервативной си-
системы уравнений, аналогичной предложенной для МГД-уравнений Годуновым A972)
и примененной в работе Powell et al. A999) (см. также пп. 5.4.5 и 5.7.4). В этом случае
в правой части системы появляется дифференциальный свободный член, пропорцио-
пропорциональный F.1.56). Miller, Colella B001) использовали модифицированную по Годунову
систему для нахождения разрывных решений трехмерных уравнений упругопластич-
ности.
6.1.3. Динамика тонких оболочек. Большое число сооружений и конструк-
конструкций (здания, промышленные сооружения, самолеты, ракеты, корабли и др.) построены с
использованием тонких металлических или композитных мембран, пластин и оболочек.
Вследствие этого исследование, анализ и численное моделирование их поведения при
различного рода нагрузках имеют большое практическое значение. Существует ряд раз-
различных систем уравнений, которые описывают движение и колебания тонких оболочек
(см., например, Вольмир, 1956; Новожилов, 1962; Вольмир, 1972; Григолюк, Селе-
зов, 1973; Donnel, 1976; Гольденвейзер, 1976; Гольденвейзер, Лидский, Товстик, 1979;
Бердичевский, 1983; Горшков, Тарлаковский, 1990). Эти системы выводятся при различ-
различных предположениях относительно кинематических и статических условий, имеющих
место в исследуемых задачах.
Тонкая оболочка — это упругое трехмерное тело, которое ограничено двумя кри-
криволинейными поверхностями. При этом предполагается, что расстояние h между ними
мало в сравнении с характерными радиусами R их кривизны. В частности, оболочка
считается тонкой при /3 = h/R < 0.02-0.05, где R — минимальный из характерных ра-
радиусов кривизны оболочки. Тот факт, что оболочка тонкая, вместе с предположением
об упругом характере ее деформирования, позволяет свести полные трехмерные урав-
уравнения динамики твердого деформируемого тела к более простым двумерным уравнени-
уравнениям. При выводе уравнений теории тонких оболочек могут привлекаться упрощающие
гипотезы Кирхгофа-Лява и Лява (см., например, Donnell, 1976; Гольденвейзер, 1976;
Григолюк, Мамай, 1997, упомянем также недавние обзоры Васильева A998), Пикуля
B000)). При этом получается, так называемая, классическая теория оболочек, которая
описывает большинство статических задач и значительную часть динамических задач
при действии сравнительно гладких и относительно длительных нагрузок. Обзор ме-
механических экспериментов можно найти в работе Григолюка, Селезова A973). Однако
поведение оболочек под действием достаточно коротких импульсных нагрузок может
описываться этой теорией неадекватно. Отметим также, что нестационарные уравне-
уравнения классической теории оболочек, в отличие от полных трехмерных уравнений теории
упругости, не являются гиперболическими.
С. П. Тимошенко (Timoshenko, 1921,1922) предложил плодотворный метод уточне-
уточнения классической теории оболочек путем дополнительного учета в уравнениях дефор-
6.1. Системы уравнений 449
мации поперечного сдвига и инерции вращения поперечного элемента оболочки. Систе-
Системы типа Тимошенко, так же как и исходные трехмерные уравнения упругости, являются
гиперболическими. Это позволяет адекватно описывать эффекты коротких импульсных
нагрузок и процесс распространения волн в оболочках, пластинах и стержнях. Методи-
Методика вывода систем типа Тимошенко может быть найдена в ряде работ (Timoshenko, 1921;
Огибалов, 1963; Григолюк, Мамай, 1997).
Для иллюстрации разницы между классическими теориями стержней, пластин и
оболочек и теорией Тимошенко, рассмотрим, в качестве примера, не оболочку, а про-
простое линейное уравнение, описывающее колебания однородного стержня (Григолюк,
Селезов, 1973). Классическое уравнение Бернулли-Эйлера, описывающее колебание
стержня, имеет вид
d2w d4w л
, о + a-t , , = 0.
dt2 1 дх4
Это же уравнение с дополнительным членом, предложенным Рэлеем, записывается как
д w д w ^ д w
Уравнение Тимошенко для колебаний стержня записывается в виде (Timoshenko, 1921;
Timoshenko, Young, Weaver, 1974)
d2w d4w d4w d4w
0
В вышеприведенных уравнениях al9 a\, a2 и a3 — это некоторые положительные посто-
постоянные, зависящие от плотности материала стержня, его геометрических параметров и
коэффициентов упругости, aw — амплитуда колебаний. Последнее уравнение является
гиперболическим (см. п. 1.3.5). Эксперименты показывают, что уравнения типа Тимо-
Тимошенко лучше описывают распространение волн при относительно коротких импульс-
импульсных нагрузках по сравнению с классическими уравнениями (Григолюк, Селезов, 1973).
Это обстоятельство является важным при изучении вибрационных, в том числе ре-
резонансных, характеристик конструкций. Упомянем также недавнюю работу Нетребко,
Новотного, Созоненко A999), где проведено сравнение решений уравнений динамики
цилиндрических оболочек по теориям Тимошенко и Кирхгофа-Лява.
Для простоты будем рассматривать далее только одномерные системы уравнений
динамики оболочек. Это подразумевает, что один из радиусов кривизны бесконечен,
т. е. оболочки являются цилиндрическими.
Одномерные уравнения движения тонких оболочек с учетом деформаций попереч-
поперечного сдвига и вращательной инерции представляют из себя гиперболическую систему
уравнений второго порядка. Например, эта система уравнений может иметь вид
V,, + [G(t,x, V, \х)]х = H(f ,*, V, \х), F.1.60)
где V= [Vx ..., VM}\ G = [Gv... ,GM]T, H = [#l5... ,tfM]T, a V = V(f,*) —вектор пе-
ремещений точек срединной поверхности оболочки и углов вращения нормали к сре-
срединной поверхности, t — время, ах — пространственная или угловая координата.
Рассмотрим некоторые частные случаи этих систем уравнений.
450 Гл. 6. Динамика твердого деформируемого тела
Уравнение Клейна-Гордона
Уравнение Клейна-Гордона является примером уравнения, моделирующего нестацио-
нестационарные волновые переходные процессы. Оно имеет вид
d2u d2u u
^-^ + F = 0- FЛ'61)
Это уравнение является специальным случаем одномерного волнового уравнения более
общего вида
д2и 9 д2и ди , , ч ,
^++bq{t>x)- FЛ-62)
Коэффициент с2 в уравнении F.1.62), равный единице в уравнении F.1.61), опре-
определяется скоростью распространения малых возмущений с. Отметим, что уравнение
Клейна-Гордона является одним из основных уравнений математической физики и
описывает ряд физических явлений (см., например, Владимиров, 1971; Слепян, 1972;
Павлов, 1998). В двумерном случае оно описывает краевые волны в жидкости под упру-
упругой пластиной имеющей трещину (Гольдштейн, Марченко, Семенов, 1994; Марченко,
Семенов, 1994). Некоторые особенности численного исследования распространения
этих волн описаны в работе Марченко, Семенова A995).
Уравнения динамики цилиндрической изотропной оболочки
Уравнения динамики для случая бесконечной цилиндрической изотропной оболочки
под действием внешней нагрузки, не зависящей от осевой координаты, могут быть
представлены в виде (Огибалов, 1963; Григолюк, Горшков, 1976)
F.1.63)
= -Мх - вМ+ 12/3 ~2Q,
где
R' 1 2
В уравнениях F.1.63), величины h и R задают, соответственно, толщину оболочки и
радиус срединной поверхности; V и W — тангенциальное и нормальное смещения
срединной поверхности, *? — угол поворота нормали к срединной поверхности, о —
коэффициент Пуассона, q — q(t,x) — внешняя нагрузка, ах — полярный угол.
Уравнения динамики бесконечной цилиндрической однородной изотропной обо-
оболочки для о се симметричных деформаций принимают вид
Vtt = (T- 4Q)X - 4QQ - 4q,
F.1.64)
6.1. Системы уравнений 451
где
Здесь х — это осевая координата.
Перемещения в уравнениях F.1.63) и F.1.64) и осевая координата в уравне-
уравнении F.1.64) обезразмерены на величину R, напряжения — на В = Eh/(l — <72), где
Е — модуль Юнга. При этом крутящий момент, время t и внешняя нагрузка обезразме-
риваются, соответственно, на величины Bh2/(l2R), R^/ph/B и B/R, где р — плотность
материала оболочки.
Уравнения динамики цилиндрической ортотропной оболочки
Анализ движения тонких оболочек может также быть основан, например, на модели
цилиндрической ортотропной (неизотропной) оболочки. К такой модели сводятся ряд
реальных конструкций после пересчета соответствующих геометрических и жесткост-
ных характеристик. Рассмотрим, например, цилиндрическую ортотропную композит-
композитную тонкую оболочку, которая состоит из линейно упругой однородной жесткой мат-
матрицы армированной линейно упругими гибкими нитями. Уравнения динамики тонкой
оболочки в случае осесимметричных деформаций в безразмерных переменных может
быть записаны в виде (Рикардс, Тетере, 1974; Баничук, Кобелев, Рикардс, 1988):
utt-a\uxx = bxwXj
wtt — a2wxx = Ь2(рх — с2их — d2w + e2q, F.1.65)
(ptt - a2(pxx = -b3wx - c3q>,
где
Q — 1 /1 \ ^12 Q
/7 ^^ T^l) ОС ^= I 1 — CXi CX-» ) —^-^— r) ~^z. — ^/ ~^z. —
ch ~A~ o\<79)Z
^ q = q kEx
x
В уравнениях F.1.65)величины h,RnL являются, соответственно, толщиной оболочки,
радиусом ее срединной поверхности и размером оболочки; и и w — продольное и
радиальное перемещения, <р —угол поворота нормали, q = q(t,x) —внешняя нагрузка,
ах — осевая координата. Тильдой обозначены размерные величины, а величины Ех, Е2
и cjj, а2 — это, соответственно, два модуля Юнга и два коэффициента Пуассона для
матрицы композита и армирующих ее нитей, /112 — эффективный модуль сдвига, ар —
плотность материала. В данной модели, по сравнению с изотропной моделью F.1.64),
учтено различие упругих свойств в радиальном и продольном направлениях. При этом
данная модель является системой линейных уравнений.
452
Гл. 6. Динамика твердого деформируемого тела
6.2. Схемы типа КИР в динамике твердого деформиру-
деформируемого тела
Уравнения динамики твердого деформируемого тела могут быть представлены как в
полностью неконсервативной, так и смешанной, частично консервативной формах за-
записи. Для каждой из этих форм могут быть использованы различные варианты метода
Куранта-Изаксона-Риса (КИР), которые были описаны ранее в разд. 2.3. Напомним,
методы КИР, в определенном смысле, принадлежат численным методам типа Году-
Годунова, так как при их построении используется приближенное решение задачи Рима-
на, полученное на основе соответствующей локально линеаризованной гиперболиче-
гиперболической системы уравнений. Как показывает практика, такой подход позволяет изучать
движения среды с наличием взаимодействующих разрывов и получать монотонные
профили сеточных функций в окрестности разрывов и областей с большими гради-
градиентами величин. Методы типа Годунова были успешно использованы для численного
моделирования различных одномерных и многомерных задач динамики твердого де-
деформируемого тела с учетом различных явлений и уравнений состояния сплошной
среды (см., например, Кукуджанов, Кондауров, 1975; Мержиевский, 1980; Афанасьев,
Баженов, 1980; Веденяпин, Кукуджанов, 1981; Петров, Кондауров, 1984; Петров, Холо-
Холодов, 1984а, 1984b; Кондауров, Петров, Холодов, 1984; Афанасьев, Баженов, 1985; Зап-
паров, Кукуджанов, 1984, 1986; Коротин и др., 1987; Афанасьев, Козлов, 1987; Иванов,
Петров, Суворова, 1989; Коротин, Петров, Холодов, 1989; Иванов и др., 1990; Петров,
Тормасов, Холодов, 1990; Петров, Тормасов, 1990; Юхно, 1990,1992;Trangenstein, 1991;
Trangenstein, Colella, 1991; Иванов, Петров, 1992;Trangenstein,Pember, 1992; Vorobievet
al, 1995; Lomov, Kondaurov, 1995, 1998; В. Д. Иванов и др., 1999; Абузяров и др., 2000;
Miller, Colella, 2001). Хотя полный обзор различных направлений в применении версий
методов типа Годунова в настоящее время отсутствует, частичная библиография может
быть найдена в ряде работ (Кукуджанов, 1985; Магомедов, Холодов, 1988). Что касается
применения методов типа КИР в численном моделировании задач динамики упругих
тонких оболочек, то обзор численных методов может быть найден, в частности, в книге
Анисимова, Богульского A995).
В данном разделе будут выписаны формулы, которые необходимы для численной
реализации метода КИР для решения двумерных задач в рамках системы уравнений
F.1.34)—F.1.40). В векторной форме она принимает вид
^Г+/A-^+Л2-г-=0, U=[p,M,v,e,5n,522,512]T,
F.2.1)
и
zo
0
0
0
0
0
Р
и
0
ах
ъх
с\
«1
z0 =
0
0
и
а2
ъ2
с2
52
1
" Р
0
zi "
0
и
0
0
0
др
0
-1/р
0
0
и
0
0
J zl
0
0
0
0
0
г/
0
0
0
-1/р
0
0
0
и
1 дР
р де
. ^2 =
V
0
zo
0
0
0
0
"' й1 = 7"
0
V
0
а2
1
4
р
0
V
С1
ъ\
311'
0
0
zl
V
0
0
0
с
0
0
0
0
V
0
0
h
0
0
-1/р
0
0
V
0
в
Р
0
-1/р
0
0
0
0
V
^12'
, F.2.2)
6.2. Метод КИР в динамике деформируемого тела 453
t>i = -jH- + 6SnSn, Ъ2 = ?Sn + OSuSn,
Cl = ln + eSuS22, c2 = -^Sn + eSnS22,
8l = esnsu, 82 = -д - iEn -522)C + esusn,
« = *-?*, «* = -?*,. e = ?e,
\ es22s22, b*2 = csu + esus22,
5f = 9S22Sn, 52* = -Д - ^E22 -5n)C + 0512512.
Матрица A2 может быть получена из матрицы А х взаимной заменой u<->v,Sn <-> S22,
а также взаимной перестановкой вторых и третьих, пятых и шестых строк и столбцов.
Как далее будет показано, достаточно описать процедуру диагонализации только для
матрицы A j (или^42)-
Для численной реализации схемы КИР следует диагонализировать матрицу А1 (или
А2) и представить ее в виде А = QRAQL, где А обозначает либо Ах, либо А2. Мат-
Матрицы QL и QR состоят, соответственно, из левых и правых векторов матрицы А, а
Л = diagfAj,..., Я7] — диагональная матрица действительных собственных значений
матрицы^. Собственные значения Я матрицы А х удовлетворяют уравнению
(L4-L2r + q)L3 =0, L = X-u,
= с — ¦
rS2 g22 (b2-zla2p)Sl
Р Р2 Р2 4 V2 Р ) Р2
где ?— газодинамическая скорость звука C.1.24). Матрица А х имеет семь собственных
значений, и
Л = diagfi/,щи,и- Я20,и + Я20,и - Я10,и + Я10],
где
Система уравнений имеет только действительные собственные значения при вы-
выполнении условий г2>4д>0иг>0. При этом выполнено неравенство Я20 > Я10.
Предположим также, что <52 ф 0 и ^ ф 0, откуда следует, что Я10Я20 т^ 0 и г > 0. Предполо-
Предположение 52 ф 0 при ? = 0 эквивалентно условию A > 0 и отсутствию чисто пластического
сдвигового движения со значениями параметров Sn = S22 = 0 и Su — к.
Для одномерного упругого течения при 0(s) = 0 и ? = 0 можно найти, что
F.2.3)
454
Гл. 6. Динамика твердого деформируемого тела
где
~ dp ps dp 2 _9 2 ps — р dp
Я = р^- + ^-f- - -11 = рс2 - -11 + ^—^з^-
<9р р <9г 3 3 р <9г
Здесь /1 — это модуль сдвига, а Я определяется по формуле F.1.42). Для одномерного
пластического течения при 0(s) = ji/k2, Sl2 = 0 и ? = 0 можно найти, что
^20
г5?„
Матрицы QL и!
QL =
р рк2 п'
имеют следующий вид (Семенов, 1988):
2[D,d\
-[а,5]/р
-[М]/р
-[с,5]/р
О
О
О
52
О
о
О О -а.
-zodx
-z0d2 Я
-Z0J2 ->
~КЛ -
82 О -Z?2
О д2 -с2
2 -zj^ d2/p О D2
J -^i^2 d2/p О D2 _
А =
d2 = 8v
= a2z! -
p8{
detQL =
X X X 7
xxx —D2/X20
xxx d2/pX20 -d2/pX20 -
-Dxp/X20 -DxpjX\{
f0
XXX
XXX
XXX
XXX
?,=
G2
г- a2dx
d2
я =
-c2^
F.2.4)
F.2.5)
F.2.6)
РЧо
/=1,2.
Здесь элементы матрицы, обозначенные крестиками в каждом из первых трех столбцов
г1, г2 иг3, равны, соответственно,
= с*! г1 + Oj?2 + а3г3,
+ j32r2 + j33r3, г3 = ух г1 + 72?2 + у3г3;
Yl = [zvO,O,-zo,O,O,O]T, ^ = [0,0,0, ^pzpO^]1, r3 = [0,0,0,0,0,1,O]T,
2[D,d\ „ _ [Ь,8]о „ _ [c,S]a a _ a
ал = о" =
6.2. Метод КИР в динамике деформируемого тела
455
([a,8]Zl+Zo82p)a
zlP2
[с,5]а
qa
Векторы г1, г2 и г3 получены ортогонализацией векторов г1, г2 и г3, чтобы выполнялось
соотношение ?2R?\ = ^- ^ак будет показано ниже, конкретное знание этих векторов,
кроме наличия факта их существования, может быть необязательным при реализации
методов КИР. Поэтому в выражении для QR они были заменены крестиками. Матрицы
QL, Л и QR для матрицы А2 могут быть выписаны аналогичным образом.
Для использования метода КИР (см. п. 2.3.1) необходимо вычислять векторы вида
где \\fx = \\f2 = 1//3 в силУ равенства Хх = А2 = Я3 = и. Для векторов вида Q справедливо
следующее представление (см. также формулы для газовой динамики C.4.4)):
F.2.7)
k=4
= 4,5,6,7,
где диагональная матрица diagjO,..., 1,...] содержит единицу в А>й позиции. Векто-
Векторы R^ могут быть без труда вычислены. В частности, для к = 4 имеем
G2
d,
p?i20Dl
1
—
P
Подстановка
где p — это давление, во многих случаях позволяет избежать явного использования
производных dp/dp и dp/de. По аналогии с формулами C.4.5) может быть выписан
компактный алгоритм вычисления F.2.7). Он позволяет без дополнительных вычисле-
вычислений формально рассмотреть случай Я10 = 0 в виде некоторой процедуры регуляризации.
Действительно, в этом случае Aj = А2 = А3 = А6 = А7 = г/, и, следовательно, \\fx —Щ —
= Уз = ?6 = V
к=4
Следует, однако, отметить, что в данной системе уравнений нужно избегать частых
регуляризации при /1 —У 0, так как при /1 = 0 выписанная система собственных векторов
становится вырожденной. Что касается предельного перехода к газовой динамике, то
456 Гл. 6. Динамика твердого деформируемого тела
он существует и является в этих переменных непрерывным при условиях k —> О и
/1 > ?0 > 0, где ?0 = const. Заметим также, что можно строго доказать, что при /I = О
в данных переменных не существует полной системы собственных векторов. Такое
положение меняется только в случае перехода от переменных St- к нормированным
переменным ^ •, таким, что St- = /1^ •, см. уравнения F.1.30)—F.1.33).
Заметим, что взаимные замены и *-> v (или 2?2 *-> <^з)> ^п ^ ^22 (или ^ъ ^ ^б)
вместе с заменами Q2 «->¦ Q3 и Q5 *-> Q6 позволяют вычислить Q для матрицы А2.
Для строгого соблюдения соотношения S : S = 2k2 в области пластических течений,
которое может численно нарушаться, необходимо проводить коррекцию всех компонент
девиатора напряжений St- на каждом шаге по времени по правилу (Wilkins, 1964)
Дополнительный учет в уравнениях соответствующих релаксационных членов поз-
позволяет в рамках рассмотренной системы также описывать упруговязкопластические
течения.
Вышеприведенные выражения для матриц QL, Л и QR можно использовать при
построении методов КИР для других систем уравнений, например, для системы F.1.43).
В этом случае уравнения F.1.43) в векторной форме принимают вид
х l22
Матрицы М — M(W) = <9U/<9W и М-1(\У) = <9W/<9U — якобиевы матрицы для
отображений, соответственно, U-^WhW^U. Эти матрицы вычисляются по фор-
формулам прямого преобразования р = р(/?,е), Sn = Рп +р, S22 = Р22 +р, Sl2 = Ри, где
р— —\(Р\\ +^22 +^зз)' и, соответственно, обратного преобразования Рп = Sn — р,
Р22 = S22 — р, Рп = Sl2, Р33 = — 3/7(р ,?)—Рп—Р22- При необходимости таким же обра-
образом осуществляется переход к другим переменным, в частности, г/, v и г. Формулы для
диагонализации матрицы А ^ могут быть найдены в работах Петрова, Холодова A984а),
Магомедова, Холодова A988).
Уравнения F.1.26)-F.1.29) могут аналогичным образом быть записаны в терминах
переменных р, pv, e и S. Это дает возможность представить систему уравнений в
частично консервативной форме F.1.5)—F.1.8).
При исследовании общего случая произвольной криволинейной системы координат
в уравнениях F.2.1) следует диагонализировать матрицы общего вида ахАх + ос2А2, где
ах и а2 — это коэффициенты, зависящие от локального вращения системы координат.
Это необходимо также для исследовании гиперболичности системы уравнений в об-
общем случае. При этом следует отметить, что нахождение таких общих формул может
быть совсем необязательным при конкретной реализации методов типа КИР. При их
реализации достаточно иметь формулы для диагонализации, например, только матрицы
Ах. Действительно, совершим локальный поворот ортогональной системы координат
таким образом, чтобы координата х совпала с направлением нормали к поверхности
дискретной ячейки. Теперь можно использовать формулы диагонализации матрицы Ах,
6.2. Метод КИР в динамике деформируемого тела
v, м/с
200
457
4 t , мс
I, мс
Рис. 6.1. (а) Распространение упругопластической волны, возникающей при столкновении двух
железных дисков; (Ь) графики скоростей свободной поверхности мишени под действием прихо-
приходящей волны
подразумевая под и и v, соответственно, нормальную и тангенциальную к границе ком-
компоненты вектора скорости. Аналогично в Ах производится замена соответствующих
компонент тензоров.
В трехмерном случае уравнения динамики твердого деформируемого тела записы-
записываются в виде
или
dt
+ A,
dx
+A2
2 dv
+A3
dz
= 0, W =
F.2.8)
Для исследования системы F.2.8) в произвольной криволинейной системе координат
следует диагонализировать матрицы вида^ = ахАх + сс2А2 + сс3А3, которые имеют раз-
размерность 10 х 10. Формулы для такой диагонализации в трехмерном случае являются
достаточно громоздкими. По этой причине при решении трехмерных задач (Петров и
др., 1990; Петров, Тормасов, 1990) для А аналитически вычислялась только одна из
ее диагонализирующих матриц, например, QR. Что касается другой матрицы, то она
вычислялась численно.
6.2.1. Численное исследование процессов откола. Рассмотрим резуль-
результаты численного решения некоторых задач динамики твердого деформируемого тела,
которые были получены с использованием метода КИР. Они предоставлены В. Д. Ива-
Ивановым (Иванов и др., 1990; Иванов, Петров, 1992). Эти численные результаты были
получены с использованием неконсервативной формы уравнений F.1.43) при использо-
использовании подвижной системы координат, связанной с границей тела. Во всех приведенных
далее расчетах использовалось уравнение состояния F.1.11). Значения коэффициентов
материалов взяты из таблиц.
На рис. 6.1-6.3 представлены результаты одномерного численного моделирования
упругопластических течений, сопровождающихся процессом откола. Рис. 6.1а показы-
458
Гл. 6. Динамика твердого деформируемого тела
Рис. 6.2. Результаты одномерного моделирования экспериментов по отколу в двух сталкиваю-
сталкивающихся дисках из стали и алюминия
вает распространение упругопластической волны, которая была вызвана столкновени-
столкновением двух дисков, ударника и мишени, сделанных из железа марки Армко. На рисунках
изображены профили Р22 в трех различных точках мишени, которая имеет толщину
10 мм. Сплошная линия изображает результаты численного моделирования, пунктир-
пунктирные линии — результаты экспериментов (Канель, Щербань, 1980). Впереди фронта пла-
пластической волны заметно движение фронта упругой волны, движущегося с несколько
большей скоростью, см. формулы F.2.3) и F.2.4). На рис. 6.1а справа от пластиче-
пластической волны заметно также начало формирования волны разрежения. Эксперименты и
численное моделирование выполнены для железных дисков-ударников с толщинами 2
и 5 мм и со скоростями 590 ± 10 м/с; при этом диски-мишени имели толщины 2, 10
и 15 мм.
На рис. 6.1Ь показаны профили скорости v свободной поверхности мишени под
действием приходящей упругопластической волны. Скорость остается нулевой до при-
прихода упругой волны на свободную поверхность в момент времени 0.5 мкс. Затем, под
действием упругой волны, скорость сначала растет и на некоторое время стабили-
стабилизируется. Дальнейшее увеличение скорости при временах больших 1.5 мкс связано
с действием пластической волны, приходящей вслед за упругой волной. Пунктирная
линия соответствует экспериментальным данным, а сплошная линия — результатам
численного моделирования. Колебания в скорости при временах больших 4.0 мкс свя-
связаны с распространением волн и последующими их отражениями в отлетевшей узкой
пластине, которая возникает из-за откола, или отрыва, части материала от начального
диска под действием растягивающего напряжения (отрицательного давления), кото-
которое превзошло динамический предел прочности для железа Армко. Ранее численное
исследование процесса откола было проведено в газодинамическом приближении и
представлено в п. 3.4.2, где возникновение откола также предполагалось при дости-
достижении отрицательным давлением уровня предела прочности. Результаты исследования
6.2. Метод КИР в динамике деформируемого тела
459
1.5
0.5
0.
-vSj км/с
X
Щ
О<
10.
20. А, мм
откола, полученные в рамках уравнений газовой динамики с широкодиапазоным УРС,
допускающим отрицательные значения давления, во многом совпадают с результатами,
полученными в рамках динамики твердого деформируемого тела с упрощенным УРС
вида F.1.11). Однако исследование распространения сопутствующих упругих волн,
характера откола (произошел ли он в упругой области или в области пластического
течения) производится только в рамках динамики твердого деформируемого тела.
Рис. 6.2 и 6.3 показывают результаты одномер-
одномерного численного моделирования процесса откола
при столкновении стального и алюминиевого дис-
дисков и сравнения его с экспериментальными данны-
данными (Тарасов, 1974; Рыбаков, 1977). На рис. 6.2 ли-
линия у = 0 представляет собой свободную, или тыль-
тыльную, поверхность пластины-мишени, а две штрих-
пуктирные вертикальные линии справа — это гра-
границы пластины-ударника. Кривые 1-7 показывают
профили Р22 в упругопластической волне до откола,
а кривые 8-10 с отрицательными давлениями (по-
(положительными напряжениями) соответствуют мо-
моментам времени после откола. При этом тонкая вер-
вертикальная линия помеченная знаком ® обознача-
обозначает границу откола, полученную в экспериментах, а
две другие тонкие линии, ее окаймляющие, показы-
показывают наиболее вероятную область откола, которая
определена из численного моделирования.
На рис. 6.3 кружочками отмечены величины
скорости откольной пластинки vs в зависимости от толщины h стальной мишени. При
этом экспериментальные данные (Рыбаков, 1977) отмечены крестиками. Эксперименты
были выполнены для стальных ударников толщиной 1.06 и 1.52 мм, имеющих скорости
соответственно, 0.96 и 0.65 км/с. При этом стальные пластины-мишени имели толщины
3-50 мм. Экспериментально измеренные величины динамического предела прочности
менялись в пределах 815 ± 47 кг/мм2 и 750 ± 46 кг/мм2 для экспериментов с ударниками
толщиной, соответственно, 1.06 мм и 1.52 мм.
Во всех одномерных задачах число дискретных ячеек менялось от 40 до 320.
Рис. 6.4-6.7 иллюстрируют особенности отколов в двумерном случае для цилиндри-
цилиндрических мишеней с вырезом. Схема экспериментов (Вовченко, Красюк, Семенов, 1992)
представлена на рис. 6.4a-d. Стрелки обозначают направление действия лазерного им-
импульса с величиной интенсивности около 1011 вт/см2. В экспериментах использовались
мишени как без выреза (рис. 6.4а-Ь), так и с цилиндрическим вырезом (рис. 6.4c-d). Эти
рисунки изображают особенности возникновения откола в этих двух случаях. Заметим,
что вырез может способствовать процессу образования трещин. Поэтому откол может
возникать при одном и том же лазерном импульсе только в конфигурации, представ-
представленной на рис. 6.4с, в то время как в другой конфигурации (рис. 6.4а) он не возникает.
Рис. 6.5а-с демонстрируют результаты откольных явлений в алюминии (сплав
АМгбМ) под действием лазерного импульса для мишеней с вырезом. Фотографии спра-
справа соответствуют различным стадиям откола при лазерных экспериментах с интенсив-
ностями импульса, равными, соответственно, З.Ох 1011, 3.5 х 1011 и4.3 х 1011 вт/см2.
Рис. 6.3. График скорости откольной
пластины в зависимости от толщины
стальной пластины-мишени
460
Гл. 6. Динамика твердого деформируемого тела
Ф Ф Ф
ф ф ф
U—U—jJU
Рис. 6.4. Схема лазерных экспериментов для исследования откола
и.. I м м
mm
MM
Рис. 6.5. Фотографии результатов лазерных экспериментов по изучению отколов в алюминиевых
мишенях с вырезом
6.2. Метод КИР в динамике деформируемого тела
461
1=0.00353 мкс
О.ЗОц
/=0.1022 мкс
Рис. 6.6. Результаты двумерного численного моделирования процесса откола для мишени без
выреза для моментов времени t = 0.00353, 0.0734 и 0.1022 мкс
462
Гл. 6. Динамика твердого деформируемого тела
1.2
1=0.0362 мкс
1.6
1= 0.0743 мкс
1.6
0.30 ¦
0 0-Е
p
¦ i
= 0.1032 MKC
У > см
Рис. 6.7. Результаты двумерного численного моделирования процесса откола для мишени с вы-
вырезом при t = 0.00362, 0.0743 и 0.1032 мкс
63. Метод КИР для тонких оболочек 463
Абляционное давление, возникающее при этом под действием лазерного импульса,
определяется по соответствующему закону (скэйлингу) (Вовченко и др., 1994) и равно
154, 187 и 247 Кбар. При этом длительность лазерных импульсов треугольной формы
полагалось равной 40, 10 и 40 не. Расчеты проводились на квадратной сетке с числом
узлов вдоль оси х от 40 до 320 (на Рис. 6.6 и 6.7).
Фотография справа на рис. 6.5а соответствует случаю неполного откола (рис. 6.4с),
фотография справа на рис. 6.5с соответствует случаю полного откола (рис. 6.4d).
При этом фотографии слева показывают структуру расплавленного алюминия, кото-
которая возникает под действием лазера на верхней стороне мишени.
Рис. 6.6 и 6.7, соответственно, представляют результаты двумерного численного
моделирования процессов откола в мишени без выреза и с вырезом. Моделирование
производилось в подвижной цилиндрической системе координат связанной с границей
мишени. На этих рисунках изображены изолинии максимальных напряжений. При этом
больший номер изолинии обозначает большую величину напряжения.
Рис. 6.6 и 6.7 соответствуют случаю, когда откол в экспериментах возникал только
для мишени с вырезом. На рис. 6.7 заштрихованы области, где могут возникнуть трещи-
трещины. При этом вертикальная трещина может возникнуть при t = 0.0743 мс, см. рис. 6.7,
а горизонтальная трещина может возникнуть позже, при t = 0.1032 мс. Действитель-
Действительно, такого рода трещины наблюдаются в экспериментах. Наиболее точные результаты
этой задачи могут быть получены при использовании выделения трещин и постанов-
постановки на них соответствующих граничных условий. Что касается мишени, показанной на
рис. 6.6, то в ней не возникает условий для образования трещин и эффект откола не
наблюдался, что подтверждается экспериментами (Вовченко, Красюк, Семенов, 1992).
6.3. Схемы типа КИР в динамике тонких оболочек
В разделе описано несколько вариантов метода КИР для численного решения квази-
квазилинейных гиперболических систем уравнений, которые описывают динамику тонких
деформируемых оболочек. Такие системы используются, в частности, для исследова-
исследования переходных волновых процессов под действием коротких импульсных нагрузок
(см., например, Огибалов, 1963; Рикардс, Тетере, 1974; Григолюк, Горшков, 1976).
Сначала описывается неявный метод (Иванов, 1987) для численного решения си-
систем уравнений с постоянными коэффициентами. Затем дается описание явного метода
(Евсеев, Семенов, 1985, 1989, 1990), который использует метод расщепления и специ-
специально ориентирован, в первую очередь, на решение квазилинейных систем уравнений.
Сначала он описывается для общего случая, а затем обсуждаются особенности его при-
применения для конкретных систем уравнений, таких как уравнение Клейна-Гордона и
системы динамики цилиндрических изотропных и ортотропной оболочек.
Одна из трудностей при численном исследовании систем динамики оболочек явны-
явными методами состоит в том, что системы этих уравнений имеют свободные не дифферен-
дифференциальные члены с большим множителем пропорциональным /3~2, где /3 — отношение
толщины оболочки к минимальному радиусу кривизны срединной поверхности, причем
/3 = 0.02-0.001. В этом случае в точных решениях могут возникать быстро осциллиру-
осциллирующие и слабо затухающие по времени и пропорциональные ехр(=Ь7//3) компоненты
решения. Здесь / = У—1, a t — время. Если специально не принимать во внимание воз-
возможность появления в решении такого рода компонент, то численные расчеты в ряде
464 Гл. 6. Динамика твердого деформируемого тела
случаев, особенно при решении на больших интервалах по времени, могут привести
к быстрому развитию неустойчивости или потребовать для устойчивости вычислений
чрезвычайно малого шага по времени At. При этом требуемая величина At может быть
много меньше определяемой из условия устойчивости Куранта-Фридрихса-Леви.
Для численного решения такого рода задач был разработан ряд подходов. Напри-
Например, увеличение шага At может быть основано на методе усреднения по времени (Ба-
(Баженов, Чекмарев, 1983; Абдукадыров, Пинчукова, Степаненко, 1984), введении неяв-
неявной аппроксимации для правой части уравнений (Иванов, Кукуджанов, 1981; Гурья-
Гурьянов, 1985; Луговой, Мейш, 1986), а также на выполнении дополнительных итераций
(Паничкин, 1981; Иванов, Кукуджанов, 1981). Все эти подходы могут быть успешны
для случаев относительно небольших значений /3~2 или для строго диссипативных
свободных недифференциальных членов, когда тонкие конструкции опираются, на-
например, на шероховатую поверхность (Малышев, 1998, 2000). Обзор и сравнительное
исследование численных методов могут быть найдены, например, в книге Анисимова,
Вогульского A995).
Развитие численной методики Иванова, Кукуджанова A981) привело к созданию
метода Иванова A987), который в классе систем уравнений с постоянными коэффи-
коэффициентами является наилучшим (Анисимов, Вогульский, 1995). Дадим описание этого
метода для одномерной гиперболической системы уравнений первого порядка с посто-
постоянными коэффициентами, имеющей симметричную форму
AVt+BVx + DV = 0 => \Jt-\-A~1BUx = -A~1DU, F.3.1)
где А, В и D — матрицы размерности п х п с постоянными элементами, причем А =
= АТ > 0, В = BT,D + DT < 0,A~lB = QRAQL, A = diagfAj,..., А„]. Запишем эту систему
уравнений в инвариантах Римана:
wt + Awx = —Gw, w = QLU, G = QLA
Применим для численного решения следующую разностную схему:
= -G(yw)+1 + A - 7)w)), F.3.2)
At Ax Ах
-к _ к ^ Л-/ к к\ ^ Л + /
^ з Ах ^ Ах
Здесь Ах — шаг равномерной сетки по пространству, a At — шаг по времени. Коэффи-
Коэффициент у должен удовлетворять условию \ < у < 1. Нижний целый индекс обозначает
значения сеточных функций в соответствующих центрах дискретных ячеек, а полуце-
полуцелый индекс указывает на соответствующие границы ячеек. Верхние целые индексы к
или к+\ относятся к номерам шагов по времени. В схеме F.3.2) аппроксимация гипер-
гиперболической части системы проведена по методу КИР, а для свободного недифференци-
недифференциального члена использована специальная неявная КИР-согласованная аппроксимация.
Несмотря на то, что схема является неявной, она может быть реализована безытера-
безытерационным способом путем прямого обращения соответствующего оператора перехода
на следующий шаг по времени в каждой из точек шаблона. Условием устойчивости
для этой схемы является условие Куранта и дополнительно к нему может также иметь
63. Метод КИР для тонких оболочек 465
место условие lyXAt < 1, где Я > О — это наибольшее собственное значение матрицы
— \А~Х (D + D1) (Иванов, 1987). Заметим, что для недиссипативных систем уравнений,
для которых выполняется закон сохранения механической энергии, второе ограничение
на шаг по времени снимается, так как в этом случае D + D1 = 0 и, следовательно, Я = 0.
Численные результаты полученные с использованием этой схемы описаны в ряде ра-
работ (Иванов, 1987; Анисимов, Вогульский, 1995). Изложенный численный метод может
применяться не только для линейных, но также для локально линеаризованных систем
уравнений.
Тем не менее, остаются вопросы построения разностных схем для решения квазили-
квазилинейных систем уравнений динамики оболочек, а также о возможности построения для
них явных численных методик. Дадим описание метода предложенного в работах Евсе-
Евсеева, Семенова A985,1989,1990), который ориентирован, в первую очередь, на решение
квазилинейных систем уравнений типа Тимошенко. Этот алгоритм принадлежит классу
явных численных алгоритмов и использует идеи метода расщепления. При его исполь-
использовании можно производить выделение быстро осциллирующих и слабо затухающих
компонент решения таким образом, чтобы обеспечить устойчивость явных разностных
схем, в том числе, и при At/j5 ^> 1. Метод позволяет определить пределы применимости
других подходов, а также причины возникновения в них численных неустойчивостей.
В общем виде одномерные уравнения динамики тонких оболочек в перемещениях,
с учетом поперечных сдвигов и инерции вращения, являются гиперболическими си-
системами уравнений второго порядка, записываемых в различных формах. В частности,
системы могут быть записаны в форме F.1.60).
Уравнения F.1.60) могут быть сведены к квазилинейной гиперболической системе
уравнений первого порядка типа F.3.1) путем введения следующего нового вектора
переменных U размерности ЗМ (Евсеев, Семенов, 1985, 1989):
т 7)+ ' М+т ~\v
ОТ ОХ
В этих переменных получаем
dUm ^ Г dGm dUM+D dGm^ 1 „ dGn
дх
515=0'
at dx
Соответствующая векторная форма есть
^^ F.3.4)
где А—матрица размерности ЪМ х ЗМ, а векторы F и U = \J(t, х) имеют размерность ЗМ.
Для решения системы F.3.4) используется метод расщепления, который включает
в себя несколько этапов. На первом этапе в каждом узле разностной сетки Xj, где j =
= 1,... ,7V, и на каждом временном интервале [tk,tk+l], где th+l = tk + At и k = 0,1,...,
аналитически решается задача Коши для системы обыкновенных дифференциальных
уравнений (ОДУ)
L (fj) 0 0@ °(^)(^) F.3.5)
466 Гл. 6. Динамика твердого деформируемого тела
Здесь правая часть f содержит все члены из F с множителями /3 , а также другие члены
(обычно линейные), такие чтобы задача Коши F.3.5) имела бы выписываемое в явном
виде решение Uy (*), которое является суммой членов вида R(xj) exp[±(l + 5)#//3], где
величина S — действительна и | S | <С 1. Анализ показывает, что такое представление f
существует для всех систем, рассмотренных Огибаловым A963), Григолюком, Горшко-
Горшковым A976), Тетерсом, Рикардсом, Нарусбергом A978) и другими авторами. Этот факт
является, с одной стороны, следствием того, что все члены в F, содержащие большой
множитель /3 ~2, линейны относительно U, а с другой стороны, следствием механическо-
механического содержания задач динамики тонких оболочек. Присутствие растущих составляющих
указало бы на неадекватность уравнений механическому содержанию описываемых
явлений. При этом именно использование системы уравнений первого порядка F.3.4),
делает такое выделение f наиболее удобным и алгоритмизуемым. Ряд примеров тако-
такого рода процедуры будет приведен ниже. Заметим, что такой выбор f необязательно
будет единственным. В ряде случаях это позволяет получить более простые и компакт-
компактные формулы для данного этапа алгоритма. Возможно, что такой подход может быть
применен для решения в других случаях, в частности, для диссипативных свободных
членов описывающих решения, которые сильно затухают по времени. Обычно в та-
таких случаях применяют неявные разностные схемы (Kahaner, Moler, Nash, 1989; Hairer,
Wanner, 1996). Изложенный подход выделения осциллирующих компонент следует ло-
логике метода перенормировки (Nayfeh, 1973), который впервые был применен Рэлеем в
1917 году к задаче о рассеянии света. Получив формулу для рассеяния света в тонком
слое, он придал ей вид экспоненты, чтобы сделать ее пригодным для многих слоев.
В описанном выше подходе каждая из компонент решения, описывающего колебания
тонкой оболочки на одном шаге по времени, может рассматриваться в виде двучленного
разложения
Применение к разложению метода перенормировки, позволяет записать его в виде
ограниченной осциллирующей экспоненты
раду
где U0(x) иЦ(х) ф О — вещественные функции.
На втором этапе в каждом узле разностной сетки и на каждом временном шаге
решается задача Коши для систему ОДУ
-р- = F(t,xpUj) - i(t,xpvLj), Uj = иДО, иу(^=^) = U°(/+1). F.3.6)
Эта система может быть решена в каждом узле х- каким-либо из стандартных явных
многошаговых процедур с порядком аппроксимации по времени/? > 2 (Hall, Watt, 1976;
Hairer et al., 1987; Kahaner et al., 1989). В этом случае условие аппроксимации по времени
для системы ОДУ приводит к ограничению на шаг по времени вида (At/f5)p < ?, где ? —
малая величина, задающая точность интегрирования по времени. Заметим, что условие
устойчивости для интегрирования F.3.6) является обычно менее ограничительным, чем
условие аппроксимации по времени.
63. Метод КИР для тонких оболочек 467
На конечном этапе, используя тот же шаг по времени, численно интегрируется
гиперболическая однородная система уравнений первого порядка
^+A(t,x,V)^ = 0, \}{t=t\x=Xj)=Vkj = vij{tk+x). F.3.7)
Квазилинейная система F.3.7) может быть численно решена любой из явных схем КИР
первого или второго порядков точности (п. 2.3.1 и разд. 2.5) при выполнении условия
устойчивости Куранта-Фридрихса-Леви.
При численном решении гиперболической системы уравнений может быть исполь-
использована, в частности, гибридная разностная схема
С )
В силу гиперболичности уравнений F.3.7) матрица их коэффициентов может быть
приведена к диагональному виду А = QRAQL. Тогда 5± = QRA±QL, где А± =
= [уA ±gn)hn8nm], a gn — коэффициенты гибридности. Они выбираются независимо
для каждого из характеристических направлений с номером п, см. формулы B.3.62)-
B.3.64) и B.3.40). При выборе коэффициентов гибридности по правилу gn = signA^
получаем метод КИР, см. схему F.3.2) при G = 0.
В соответствии с механическим смыслом моделей динамики оболочек типа Тимо-
Тимошенко физически приемлемое решение таких систем уравнений является достаточно
гладким и не имеет разрывных решений. Поэтому при решении этих уравнений исполь-
использование численных методов высокого разрешения разрывов не обязательно.
Исследование условий аппроксимации по времени и пространству для метода
F.3.5)-F.3.7) дает следующие результаты (Евсеев, Семенов, 1989). Норма разницы
между точным и численным решениями пропорциональна величине [(At)p + (Ах)р +
+ (At) ] //3, где р — порядок применяемого метода КИР. Следовательно, для схем первого
порядка точности для сохранения точности при уменьшении /3 должны быть выполне-
выполнены условия At = О(/3) и Ах = О(/3), а для схем второго порядка точности—At = O( л/Р)
и Ах = О(л/р). Таким образом, уменьшение /3 должно сопровождаться одновременным
уменьшением At и Ах. Этот факт может быть интерпретирован следующим образом.
При выводе уравнений динамики тонких оболочек используется малый параметр h —
толщина оболочки. Этот параметр можно также трактовать как шаг пространствен-
пространственной сетки в направлении нормали к поверхности оболочки. Поэтому для сохранения
порядка аппроксимации численного решения величины шагов по времени At и по про-
пространству Ах должны быть согласованы с величиной /3 и удовлетворять выписанным
соотношениям.
В соответствии с принципом суммарной аппроксимации алгоритм F.3.5)-F.3.7)
имеет второй порядок точности по х на гладких решениях. На решениях с сильными
градиентами он имеет первый порядок точности. Разностная схема F.3.5)-F.3.7) может
быть обобщена на двумерные системы динамики тонких оболочек (см. разд. 2.6).
Численное решение тестовых задач, а также исследование динамики цилиндриче-
цилиндрических изотропных и ортотропных оболочек подтверждает надежность и эффективность
предложенного алгоритма.
Рассмотрим результаты численного исследования колебаний цилиндрической ор-
тотропной оболочки, описываемых уравнениями F.1.65). Постановка задачи следует
468
Гл. 6. Динамика твердого деформируемого тела
¦2.22:
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
I
5
\ 10/
\ А
ц
I
Г\
\
\
\
15
\
\
..25
/ \
/ \
20 f ->
Рис. 6.8. Графики w(t, jL) — радиального прогиба от времени в точке х =
w(t,x) ~
0.4
0.2
0.0
/
У
h =3.0
Г2=1.6
^ =0.7
0.0
0.25
0.50
Рис. 6.9. Зависимость прогиба w(t,x) по длине оболочки в моменты времени tx = 0.7, t2 = 1.6 и
^3 = 3.0
работе Лугового, Мейша A986). Рассматривается поведение жестко защемленной по
обоим торцам цилиндрическая ортотропная оболочка под действием осесимметрич-
ной нагрузки q, нормальной к поверхности оболочки. Граничные условия имеют вид
u = w = 0, (р = 0 при х = 0 и х = L. Начальные условия таковы: u = w = (p = ut = wt =
= щ = 0.
Рис. 6.8 представляет изменение радиального прогиба по длине оболочки при пара-
параметре /3~2 = 30 000. Заметим, что в упомянутой работе задача решалась при значениях
/3~2 = 2 500. Исследовались колебания оболочки под действием нагрузки вида q =
= 1 —t/T, где 0</< Г, а 7 = 0.01 — время действия нагрузки. При t > Т нагрузка
полагалась равной нулю. При этом во временном масштабе, принятом на рисунке, дли-
длительность импульса равна единице. Число дискретных ячеек в расчетах полагалось
6.3. Метод КИР для тонких оболочек
469
w(t,x)
равным 100 или 200.
Под действием приложенного импульса оболочка начинает совершать вынужденные
колебания, а после снятия импульса они продолжаются в свободном режиме. Сплошная
линия показывает численные результаты, полученные при использовании для реше-
решения явной разностной схемой типа КИР с учетом правой части методом аналогичным
использованному в работе Лугового, Мейша A986). Пунктирной линией изображены
результаты, полученные методикой с яв-
явным выделением быстро осциллирую-
осциллирующих компонент (Семенов, 1987). Замет-
Заметно, что схема без выделения осциллирую-
осциллирующих компонент не обеспечивает адекват-
адекватных численных результатов при больших
величинах /3~2. При значении параметра
тонкости оболочки /3~2 = 2 500 получа-
получаемое численное решение совпадает с ре-
результатами упомянутой выше работы.
На рис. 6.9 и 6.10 представлены графи-
графики зависимости w от х для шести после-
последовательных моментов времени tl,... ,t6.
Из рис. 6.8 можно заметить, что числен-
численные результаты теряют устойчивость при
t > 12. При этом из рис. 6.10 видно, что
потеря устойчивости происходит несколь-
несколько ранее, при t > 6.5. Прерывистая линия
показывает полученное по предложенной
методике устойчивое численное решения
для t = t6. При расчетах до момента време-
времени, равного двум или трем продолжитель-
продолжительно стям приложенной нагрузки, неустой-
неустойчивость еще практически не проявляется. и t =6.5
Потеря устойчивости при численном
решении задач динамики тонких оболочек
по имеющимся методикам явилась непосредственной причиной создания описанного
выше численного алгоритма (Евсеев, Семенов, 1985, 1989, 1990). Примеры различных
численных решений, полученных на его основе, могут быть найдены в ряде работ (Ев-
(Евсеев, 1985, 1987; Евсеев, Зайцев, 1990; Евсеев, Морозов, 1994; Evseev, Morozov, 1994,
1997, 2000). Следует отметить похожую методику (Малышев, 1998, 2000), где для чис-
численных расчетов динамики тонких конструкций с учетом диссипации (шероховатости)
так же использовался метод расщепления и метод КИР.
Причины возникновения неустойчивости расчетов в примененных методиках могут
быть разделены на две группы. Одну из них проиллюстрируем на модельном уравнении
-0.4
-0.8
Рис. 6.10. Зависимость прогиба w (t, x) по длине
оболочки в моменты времени t4 = 3.5, t5 = 4.5
dt ~ J3 "'
Это уравнение имеет точное решение
= C/(O)exp(i7/0).
F.3.8)
470 Гл. 6. Динамика твердого деформируемого тела
Отсюда следует, что
\U(t)\ = \U@)\. F.3.9)
Применение явной схемы
?/*+!_[/* i
приводит к численному решению
Отсюда следует, что
\иш\ =
Следовательно, при А/ = Оф) в численном решении будет наблюдаться рост
что противоречит точному решению F.3.8). Заметим, в частности, что использование
неявной схемы
позволяет сохранить в численном решении свойство F.3.9). Однако не существует
простого обобщения такого рода схемы для произвольной системы ОДУ F.3.5), F.3.6).
Другая группа неустойчивостей связана с использованием той или иной неявной или
многошаговой аппроксимации для свободных недифференциальнх членов в уравнени-
уравнениях. Такие аппроксимации позволяют добиться адекватного описания колебательных
режимов, но при этом может оказаться, что при малых /3 гиперболическая часть систе-
системы уравнений аппроксимируется неустойчивой разностной схемой. Это также может
приводить к появлению численных неустойчиво стей.
Таким образом, выше было представлено общее описание явного, условно устой-
устойчивого варианта метода расщепления для численного решения уравнений динамики
тонких оболочек. Он основан на сведении уравнений динамики оболочек к квази-
квазилинейной гиперболической системе уравнений первого порядка и точном выделении
быстро осциллирующих компонент решения. Этот метод позволяет проводить вычис-
вычисления в широком диапазоне параметров без потери устойчивости и без необходимо-
необходимости привлекать какие-либо дополнительные процедуры сглаживания или численные
фильтры (см., например, Hamming, 1962; Vliegenthart, 1970; Harten, Zwas, 1972a; Кол-
ган, 1978; Alpert, 1981; Пинчуков, 1994а). Метод позволяет также определять пределы
применимости других методов, а также причины потери ими устойчивости. Описан-
Описанный метод может, по-видимому, быть использован для решения других близких типов
гиперболических систем уравнений описывающих, например, динамику тонких упру-
говязкопластических (Иванов, Кукуджанов, 1984) или упругопластических оболочек
(Иванов, 1996).
Рассмотрим основные черты применения описанного метода на конкретных приме-
примерах систем уравнений динамики тонких упругих оболочек.
6.3. Метод КИР для тонких оболочек
471
6.3.1. Уравнение Клейна—Гордона. Рассмотрим уравнение Клейна-
Гордона
d2u d2u u
~д1т~~дхт + ~рт =
F.3.10)
При переходе к новым переменным
ди
ди
F.3.11)
оно сводится к гиперболической системе уравнений первого порядка
dt дх
или, в векторной форме,
3'
dt дх
dt
^+^ = F, V=\UVU2,U3]\
?=[Fl,F2,F3]T, Fl = -% F2 = (
A =
" 0
-1
0
-1
0
0
0"
0
0
F.3.12)
F.3.13)
Система F.3.12)—F.3.13) является гиперболической: матрица ее коэффициентов А
имеет только действительные собственные значения и полную систему собственных
векторов. Следовательно, эта матрица может быть записана в форме А = QRAQL, где
QR =
Г 1
2
1
2"
0
1
2
1
— 2"
0
0"
0
1
QL =
1
0
1
-1
0
0"
0
1
F.3.14)
6.3.2. Уравнения динамики изотропных оболочек. Уравнения динами-
динамики бесконечной цилиндрической однородной изотропной оболочки, находящейся под
действием внешней нагрузки, не зависящей от осевой координаты, представляются
в форме F.1.63). Уравнения динамики бесконечной цилиндрической однородной изо-
изотропной оболочки, находящейся под действием внешней нагрузки, зависящей от осевой
координаты х, представляются в форме F.1.64).
Вводя замену переменных
F.3.15)
472
Гл. 6. Динамика твердого деформируемого тела
уравнения F.1.63) и F.1.64) можно свести к виду F.3.12), где
О О О -1-а О ООО
О 0 0-0-/0 000
0 0 0 0 0-1000
-10 0 0 0 0 0 00
А= 0-10000000
0 0-10
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 00
0 0 0 00
0 0 0 00
0 0 0 00
при
F.3.16)
F.3.17)
Вектор F = [Fx,... ,F9]T в правой части системы уравнений F.1.63) имеет вид
-qU9, F.3.18)
где, принимая во внимание уравнения F.1.63), F.3.15) и F.3.17), имеем
e = U5-U7, Q=(O- U9)8l, Т = U4 + Us + \Q2, F.3.19)
M=-U6, a = e-8xU9, r=T + 02 + 8v
Вектор F = [F^,... ,Fg]T в правой части системы уравнений F.1.64) имеет вид
Fl = -6QU9 + 5XU6U9 - QU6 - qU9, F.3.20)
F2 = 6Q-T-5lU6 + q,
F3 = 122
где, в соответствии с уравнениями F.1.64) и F.3.15), имеем
6 = U5, Q=F-U9)8V T = U4 + ±e2, M=-U6.
F.3.21)
Матрицы Л, QR и QL для матрицы А из формулы F.3.16) выпишем в соответствии
с работами Евсеева, Семенова A985, 1989). Они имеют вид
= diag[-l,-*,-6,M,l,0,0,0],
F.3.22)
При этом QL и QR имеют блочно-матричную форму
i2L" [оiу Ur" [ о /J'
6.3. Метод КИР для тонких оболочек
473
где / = diag[ 1,1,1] — это единичная матрица размерности 3 х 3, а матрица В размерности
6x6 имеет следующую структуру:
В =
0
X
X
X
X
0
0
х
X
X
X
0
1
X
X
X
X
1
0
X
X
X
X
0
0
X
X
X
X
0
1
X
X
X
X
-1
F.3.23)
Здесь элементы, отмеченные крестиками внутри каждой из строк с точностью до
множителя равны либо величинам
либо величинам
А2-у, а, 0, -(А2-у)А, -Аа, О,
0, А2-1, О, -А0, -(А2-1)А, О,
F.3.24)
F.3.25)
где А = — а, — Ь, Ъ и а. В случае а — 1 имеет место двойная кратность двух собственных
значений. Для того чтобы матрица В была в этом случае невырожденной, в F.3.23)
элементы, отмеченные крестиками, следует выбирать следующим образом:
В =
0
0
10 0 1
а2-у а 0 (а2-у)а аа 0
в Ъ2-\ 0 Ьв {Ъ2-\)Ъ О
в Ъ2-\ 0 -Ьв A-Ь2)Ь О
а2-у а 0 (у-а2)а -аа О
0
0
10
0
-1
F.3.26)
О (Ъ2-\)аЪ -aba -aba (b2-\)ab 0
О -ваЬ (a2-y)ab (a2-y)ab -ваЬ О
е О О О О в
О (Ь2-1)Ь -аа
аа
A-Ь2)Ь О
О -06 (а2-у)а (у-а2)а вЬ О
в О О О О -е
F.3.27)
где е = (a2b2 - yb2 -а2 + у- ав)аЬ = (а2 - Ъ2){Ъ2 - \)аЪ.
Гиперболичность систем уравнений F.1.63) и F.1.64) обеспечивается действитель-
действительностью собственных значений F.3.22). Условия, при которых все собственные значе-
значения системы являются действительными, позволяют определить область применимости
данной математической модели динамики тонких оболочек.
6.3.3. Уравнения динамики ортотропной оболочки. Уравнения дина-
динамики тонкой цилиндрической ортотропной оболочки в случае осесимметричных де-
деформаций представляются в виде F.1.65). Вводя вектор переменных
F.3.28)
474
Гл. 6. Динамика твердого деформируемого тела
можно записать F.1.65) в виде системы уравнений F.3.12) с разреженной матрицей
А = [At] размерности 9 х 9 со следующими ненулевыми элементами
А41=А52=А63 = -1.
F.3.29)
Остальные элементы матрицы равны нулю. Для этой матрицы А можно найти, что
Л = diag[tf!,а2,аъ, -ах, -а2, -а3,0,0,0] и
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
-ах
0
0
ах
0
0
0
0
0
0
-а2
0
0
а2
0
0
0
0
0
0
-а3
0
0
аъ
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
0
0
-ах
0
0
0
0
0
0
1
0
0
-а2
0
0
0
0
0
0
1
0
0
-а3
0
0
0
1
0
0
ах
0
0
0
0
0
0
1
0
0
а2
0
0
0
0
0
0
1
0
0
а3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
где ах = 1/ах, а2 = \/а2, а3 = 1/а3. При этом компоненты вектора правой части F
имеют вид
Fx = bxU5J F2 = b2U6 - c2U4 - d2U8 + e2q(t,x),
= -b3U5 -
F.3.30)
= U3.
6.3.4. Выделение быстро осциллирующих компонент. Далее на кон-
конкретных примерах описана процедура по выделение быстро и слабо осциллирующих
компонент решения систем ОДУ F.3.5) для систем уравнений F.1.61), F.1.63), F.1.64)
и F.1.65).
Уравнение Клейна-Гордона
Задача Коши F.3.5) для уравнения Клейна-Гордона F.1.61) принимает вид
li. _
dt 3 dt
Jx(t=O) = UX0, U2(t=0) = <
dt
F.3.31)
E/3(/=O) =
При этом точное решение уравнения F.3.31) записывается в виде
?/?(/) = U10cos(t/p) - С/зо/Г1 sin(//j3),
= U20,
= C/30cos(///3) + Ul0
Для t = At это решение дает начальные данные для следующей задачи F.3.6). Для
адекватной аппроксимации правой части уравнения следует потребовать выполнения,
по меньшей мере, неравенства
At я
63. Метод КИР для тонких оболочек 475
Для уравнения Клейна-Гордона нет необходимости решать задачу F.3.6), так как
f = F. Однако если к первому уравнению F.3.31) добавить член уЩ, то задача F.3.6)
принимает вид
Следовательно,
ux{t) = U?(At) + yt[U$(At)]2, и2@ = U$(At), u3{t) =
В случае малых /3 в UJ*(At) для упрощения можно пренебречь членами порядка О(р).
Динамика изотропных оболочек
В переменных U, задаваемых формулой F.3.15), компоненты F уравнений F.1.63) (см.
также F.3.18) и F.3.19)) выражаются следующим образом:
Fx = Q + U5 + вТ - aU4 + (8{и9 - Q)U6 - qU9 =
= (U5 -U7- C/9Mj + U5 + вТ - aU4 + EjC/9 - Q)U6 - qU9,
= l2fi~2Q-eM= (U5 -U7- U9)l2ji~2dl - 6M,
=F5=F6 = 0, F7 = UV FS = U2, F9 = U3.
Задача F.3.5) принимает вид
F.3.33)
dt ' dt v dt
с начальными данными ЦA=0) = Uj0, i= 1,3,5,7,9. Подставляя U{ = dU7/dt, U3 =
= dU9/dt nU5 = U50 в первые два уравнения F.3.33), получаем следующую систему из
двух ОДУ:
Лтт
Складывая эти уравнения, получаем
476 Гл. 6. Динамика твердого деформируемого тела
Отсюда следует, что
ДО = U9(t) + U7(t) = (U90 + U70) cos(at) +
+ (U30 + Ul0)a~l sin(at) + A + a~2)[\ - cos(af)]?/50
и, следовательно,
Тогда
Щ (t) = Ul0 + [U50t - (U90 + U70)a-1 sin(at)
l0
Ul0)a-2cos(at) - (t - a~l sm(at))(l
При J3 -» 0 имеют место оценки: Ux(t) = U7(t) = U9(t) = 0A) и ?/3(/) = O(p~l).
Описанное выделение быстро осциллирующих компонент не является единствен-
единственным и простейшим. Рассмотрим другой подход. Вместо первого уравнения в системе
F.3.33) используем более простое уравнение dUx /dt = 0. В этом случае уравнения для
C/j, иъ, U5, U7 и U9 принимают вид
dt
Тогда
u3
ug
b~-
@ =
@ =
(t) =
= u50
c+(U30
b + ct +
-u70,
-c)
(TJ
с =
= U70 + Ux
cos{at) - (
-c)a~lsk
ot, U5(t) = U50,
U90-b)asin(at),
\{at) + (U90 — b) cos(at);
При /3^0 имеют место оценки С/х (г) = С/7(г) = С/9(г) = ОA) и Ц@
Рассмотрим систему уравнений F.1.64) с правой частью F, записанной в перемен-
переменных U, см. F.3.20), F.3.21). Для нее задача F.3.5) принимает вид
dt v 5 y/ ' dt ' dt
63. Метод КИР для тонких оболочек 477
Точное решение этих уравнений выписывается в явной форме
U3(t) = U30cos(at) - (U90 - U50)asin(at), U5(t) = U50,
Ц@ = ^50 + иъоа~1 sin(af) + (U90 - U50) cos(at).
При /3-^0 имеют место оценки U5(t) = U9(t) = O(l)n U3(t) = Оф~1).
Заметим, что величины скоростей С/1э U2 и U3 могут принимать большие значе-
значения. Но это не ведет к возникновению неустойчивостей при решении задач F.3.6) и
F.3.7). Это связано с тем, что правые части Fi9 i— 1,...6, гиперболической системы
(см. формулы F.3.18) и F.3.20)) не зависят от значений скоростей. Более того, F7,
F8 и F9 соответствуют нулевым собственным значениями и не оказывают влияния на
этап F.3.7).
Динамика ортотропной оболочки
Для системы уравнений F.1.65) с правой частью F, задаваемой в переменных U фор-
формулой F.3.30), можно точно решить соответствующую систему ОДУ
^-=Ft, Ц^=0) = ию, /=1,...,9.
В предположении отсутствия внешней нагрузки q = q(t,x) получаем, что это решение
имеет вид
U2(t) = U20cos(Dt) - (С/80 - as)Dsm(Dt),
U3(t) = U30cos(Ct) - (Ugo - ag)Csm(Ct),
U4(t) = U40, Us(t) = US0, U6(t)=U60,
Us(t) = as + (U80 - a8) cos(Dt)
Ug(t) = (ц + (Ugo - Og)cos(a) + S1"^a) U30;
a8, <Xg.
При j8^-Oh?/J3<Ax будут иметь место оценки Ul(t) = U4(t) = U5(t) = U6(t) = U7(t)
= hUs(t) = Ug(t) = O(l)nhU2(t) = U3(t) = х
Глава 7
Неклассические разрывы и
решения гиперболических
систем
В предыдущих главах изучалось поведение разрывов и строились решения одномерных
уравнений газовой динамики и некоторых других систем уравнений. Для волн малой
амплитуды, описываемых произвольными гиперболическими системами уравнений в
форме законов сохранения, обобщение стандартного классического поведения волн Ри-
мана, разрывов и автомодельных решений в совершенном газе обеспечивается теорема-
теоремами Лакса (Lax, 1957, см. также п. 1.4.3). Эти теоремы утверждают, что если на разрывах
выполняются соотношения, следующие из законов сохранения, то все разрывы делятся
на п типов (п — порядок системы). Если скачки величин малы (не превосходят е), то для
скорости Wk разрыва к-го типа справедлива формула Wk = (Я^ + Я^)/2 + О(е2), где Я^ и
Я^ — k-Q характеристические скорости за и перед фронтом разрыва, причем должно вы-
выполняться неравенство Я^ <Щ < Я^, определяющее направление изменения величин
на разрыве. При переходе через разрыв это изменение совпадает (с ошибкой порядка е3)
с изменением величин в некоторой подходящей непрерывной волне Римана, связанной
с к-м семейством характеристик.
Мы будем называть разрыв в решении гиперболических систем уравнений первого
порядка классическим, если (i) гиперболические системы одни и те же по обе стороны
от разрыва, (и) имеются законы сохранения, число которых п совпадает с числом урав-
уравнений, (ш) только соотношения, являющиеся следствием законов сохранения, должны
удовлетворяться на разрыве. Эти условия (за исключением отсутствия требования ма-
малости скачков величин) соответствуют условиям теорем Лакса.
Наиболее известным неклассическим разрывом является фронт горения в горючей
смеси газов (см., например, Зельдович, Баренблатт, Либрович, 1980, Emmons, 1958).
Кроме законов сохранения, на этом фронте должно выполняться дополнительное со-
соотношение, которое обеспечивает существование структуры фронта и определяет ско-
скорость его распространения. Подобные разрывы хорошо известны также в других за-
задачах с фазовыми превращениями. Дополнительные соотношения и, следовательно,
поведение разрывов зависят от физических процессов внутри структуры.
В рассмотренных в настоящей главе примерах будет изучено множество допусти-
допустимых, т. е. имеющих непрерывную структуру разрывов и показано, что разрывы с допол-
дополнительными соотношениями могут существовать также и при отсутствии процессов,
имеющих сходство с фазовыми переходами. Кроме того, если внутри структуры разрыва
имеет место колебательный процесс, вызванный дисперсией, то множество допусти-
допустимых разрывов, распространяющихся по заданному состоянию, может соответствовать
как интервалам непрерывного изменения скорости разрыва, так и дискретному набору
скоростей, определяемых дополнительными соотношениями. Таким образом, множе-
Гл.7. Неклассические разрывы и решения гиперболических систем 479
ство допустимых разрывов приобретает сложное строение, распадаясь на части. Число
этих частей зависит от процессов, протекающих в структуре разрыва, и становится
большим, когда внутри структуры разрыва дисперсионные процессы преобладают над
диссипативными (см. разд. 7.5, 7.6, и 7.7). В других физических ситуациях могут су-
существовать разрывы с несколькими (более одного) дополнительными соотношениями
(разд. 7.8).
Множество допустимых разрывов определяет решения конкретных задач. В частно-
частности, упомянем здесь такую важную задачу, как задача Римана о распаде произвольного
разрыва. Решение этой задачи может быть неединственным, причем неединственность
решения может иметь место и в случае, когда все допустимые разрывы являются клас-
классическими. Такое явление наблюдалось для газов и продольных волн в средах с доста-
достаточно сложными уравнениями состояния (Галин, 1958а, 1958b; Gardner, 1959). Можно
также упомянуть примеры уравнений в частных производных гиперболического типа,
построенные Годуновым A961), Дьяченко A961) и Введенской A961). В этих при-
примерах задача Римана для гиперболической системы уравнений имеет неединственное
решение. Однако при введении диссипации с последующим устремлением ее к ну-
нулю решение оказывается зависящим либо от способа введения диссипации, либо от
начальных условий в исчезающе малой области.
Как показано в разд. 7.4, весьма необычная неединственность имеет место при рас-
распаде произвольного разрыва для нелинейных уравнений теории упругости при общем
виде зависимости внутренней энергии среды от деформаций. Обнаружено, что при
сколь угодно малых начальных деформациях изотропной упругой среды, можно задать
начальный разрыв таким образом, что решение задачи о распаде разрыва окажется
неединственным. При этом множество способов задания таких начальных разрывов в
пространстве параметров, задающих разрыв, не является множеством меры нуль.
Во многих случаях, когда задача о распаде произвольного разрыва имеет неедин-
неединственное решение, существуют ударные волны, которые, в соответствии с законами
сохранения, могут распадаться на систему волн, распространяющихся с различными
скоростями. В тех случаях, когда подобная волна существует, именно ее присутствие
приводит к неединственности решения задачи Римана. Однако, возможность распада
ударной волны, допускаемая законами сохранения, не подразумевает, что ударная волна
обязательно распадается и что волны, которые могут распадаться, не существуют. Это
обстоятельство отмечалось рядом авторов, в том числе в обзорной работе Кузнецова
(Кузнецов, 1989), посвященной связи устойчивости ударных волн в газе с возможно-
возможностью их распада. Разрывы, распад которых разрешен законами сохранения, могут быть
названы метастабильными (Truskinovskii, 1994). Как хорошо известно, при определен-
определенных условиях метастабильные состояния могут существовать длительное время.
Для выяснения возможности физической реализации метастабильных разрывов и
исследования единственности решений соответствующих задач необходимо предпри-
предпринять более детальное их рассмотрение с учетом явлений более мелкого масштаба, где
разрывы "размазаны", а также изучение взаимодействия между соответствующими
непрерывными волнами. В разд. 7.4, в частности, представлены результаты, относя-
относящиеся к взаимодействию между вязкоупругими волнами. При помощи численного ис-
исследования получено, что метастабильные волны довольно устойчивы по отношению к
конечным возмущениям. Этот факт позволяет рассматривать эти метастабильные волны
как физически реализуемые.
480 Гл.7. Неклассические разрывы и решения гиперболических систем
Выбор примеров, рассматриваемых в данной главе, не претендует на полноту или
покрытие всех качественных эффектов, а диктуется научными интересами авторов. Тем
не менее, этот выбор демонстрирует достаточно большое число различных качествен-
качественных особенностей решений. Эти особенности должны быть приняты во внимание при
развитии численных методов для решения задач механики сплошной среды.
Рассмотрению конкретных проблем предпосылаются три раздела общего характе-
характера. В разд. 7.1 обсуждаются условия эволюционности для неклассических фронтов. В
разд. 7.2 изучается взаимосвязь между разрывами и существованием их структуры, а
также оценивается число граничных условий на разрыве, получаемых из требования
существования его структуры. В разд. 7.3 обсуждается поведение классических раз-
разрывов около точек Жуге на ударных адиабатах. При определенных условиях наличие
на ударной адиабате точек Жуге может привести к отсутствию или неединственности
автомодельных решений.
Так как основной целью данной главы является рассмотрение разрывных решений, а
также с учетом того обстоятельства, что во многих случаях поведение решений можно
рассматривать как одномерное в малой окрестности точки, принадлежащей гладкой
поверхности разрыва, ниже будут рассматриваться задачи только с одной независимой
пространственной переменной.
7.1. Условия эволюционности разрывов
в неклассических случаях
Ниже рассматриваются решения одномерных гиперболических систем дифферен-
дифференциальных уравнений первого порядка при наличии поверхностей, или фронтов, раз-
разделяющих области, в которых строятся эти решения. Обсуждается случай, когда рас-
рассматриваемые уравнения и их число не предполагаются одинаковыми по обе стороны
от фронта. Примерами подобных фронтов могут служить поверхности, разделяющие
среды с различными свойствами, например, твердые тела и жидкости, проводящие и
непроводящие среды, в том числе фронты плавления или фронты ионизации.
Для корректности задачи с начальными и граничными данными, также как и в слу-
случае классических разрывов (гл. 1), необходимо определить число граничных условий
на разрыве в соответствии с уравнениями, которые выполняются по обе стороны от
границы. Эти граничные условия связывают величины перед и за разрывом и его ско-
скорость.
Пусть движение фронта описывается уравнением х = X(t), где ось х декартовой си-
системы координат направлена вдоль вектора нормали к фронту, скорость которого опре-
определяется соотношением W = dX/dt. Обозначим число уравнений (порядок системы)
перед (х > X(t)) и за фронтом (х < X(t)), соответственно, через nR и nL. Характери-
Характеристические скорости, относящиеся к состояниям перед и за фронтом будем обозначать
Хх , Я2 ,..., A^R и Хх , Я2 ,..., A^L.
Условия эволюционности (Lax, 1957; Ландау, Лифшиц, 1986) на фронте представ-
представляют собой условия, позволяющие найти решения линеаризованной задачи о взаимо-
взаимодействии фронта с малыми возмущениями. Они налагают ограничения на граничные
условия, которые выполняются на фронте и связывают величины перед и за разрывом
и скорость последнего.
7.1. Условия эволюционности разрывов в неклассических случаях 481
Для гиперболических систем неизвестные величины, подлежащие определению из
линеаризованных граничных условий, представляют собой амплитуды уходящих от
фронта линейных волн и возмущение скорости фронта. В связи с этим условия эво-
эволюционности на фронте могут быть сформулированы так же как и в п. 1.4.4: число
характеристик, уходящих от фронта в обе стороны, должно равняться N — 1, где N —
число граничных условий. Число уходящих характеристик определяется числом нера-
неравенств А* - W > О и X) - W < 0.
Пронумеруем характеристические скорости так, что
*iL < AL < ... < A*l, A* < А* < ... < A*R,
и предположим, что выполняются неравенства
Xl<W<Xl+l, Xf<W<Xf+l, 0<k<nL, 0<l<nR, G.1.1)
где по определению положено
A0R = -оо, A0L = -оо, А^+1 = оо, A^L+1 = оо.
Здесь nR — I и к — числа различных типов характеристик, уходящих, соответственно,
вправо и влево от фронта. Из условия эволюционности следует, что должно удовлетво-
удовлетворяться равенство
k + nR-l=N-l. G.1.2)
Полное число N граничных условий на разрыве не всегда известно априори. Пред-
Предположим мы знаем, что М условий (М < N) определенно удовлетворяются (например,
эти условия следуют из законов сохранения). В дальнейшем эти М условий будут на-
называться основными соотношениями на разрыве. Тогда неравенства G.1.1) вместе с
равенством
k + nR-l = M-l G.1.3)
будут называться априорными условиями эволюционности.
Как и в случае классических разрывов, разрыв будет представляться точкой с ко-
координатами (Ж, W) на диаграмме эволюционности (рис. 7.1), на которой значения ско-
скоростей AZR, W и AZL, W изображены соответственно на горизонтальной и вертикальной
осях. Если состояние перед разрывом известно, то на горизонтальной оси все скорости
могут быть изображены в некотором фиксированном масштабе, в то время как на верти-
вертикальной оси для масштабов скоростей допускаются искажения при сохранении, тем не
менее, неравенств между A;L и Ж. Для заданного числа N разрывы, представленные на
диаграмме точками, лежащими внутри последовательности прямоугольных областей,
удовлетворяющих неравенствам G.1.1) и G.1.2), оказываются эволюционными. При
фиксированном N выделенные области, восходящие вверх и направо, имеют общие
угловые точки (рис. 7.1). Для краткости, будем называть эти прямоугольные области
эволюционными прямоугольниками.
Так как, вообще говоря, N может быть различным для различных разрывов
(см.,например, разд. 7.8), эволюционные прямоугольники не всегда представляют собой
последовательность, подобную представленной выше. Фронты, принадлежащие одно-
одному или различным эволюционным прямоугольникам, будем называть, соответственно,
фронтами одного или различных типов.
482
Гл. 7. Неклассические разрывы и решения гиперболических систем
Априорно эволюционные разрывы, для которых равенство G.1.3) должно удовлетво-
удовлетворяться для заранее известного М = const, отвечают точкам последовательности пря-
прямоугольных областей {априорно эволюционные прямоугольники), восходящих вверх и
направо. Если М = N, т. е. если все N граничных условий совпадают с основными
граничными условиями, то условия эво-
эволюционности и условия априорной эво-
эволюционности совпадают. Неравенство
N > М означает, что кроме М основ-
основных граничных условий имеет место еще
N — М дополнительных условий на раз-
разрыве. В этом случае эволюционные пря-
прямоугольники смещены вверх по отноше-
отношению к последовательности априорно эво-
эволюционных разрывов.
Для прямоугольников, лежащих ни-
ниже, чем последовательность априорно
эволюционных прямоугольников, число
граничных условий больше, чем необ-
необходимо для того чтобы разрывы были
эволюционными. Добавление новых гра-
Рис. 7.1. Диаграмма эволюционности ничных условий не может сделать эти
разрывы эволюционными. Как правило,
эти неэволюционные фронты представляют собой результат слияния двух или более
эволюционных разрывов, распространяющихся с одинаковой скоростью. Они могут
приобретать различные скорости под действием малых возмущений, в результате чего
начальный разрыв распадается (см. разд. 7.3).
Аналогично случаю классических разрывов, в определенных ситуациях линеаризо-
линеаризованная система соотношений на разрыве может распадаться на две (или более) незави-
независимые подсистемы. Каждая из амплитуд волн возмущений (на каждой стороне фрон-
фронта) и возмущение 8 W входит только в одну из подсистем. Условие эволюционности
представляет собой условие разрешимости каждой подсистемы и означает, что число
соотношений в каждой подсистеме должно быть равно числу неизвестных величин. Эк-
Эквивалентным образом можно потребовать удовлетворения условия G.1.2) для полной
системы и условия разрешимости для одной из подсистем. Таким образом, в рассматри-
рассматриваемом случае существует дополнительное требование эволюционности, вытекающие
из разрешимости одной из подсистем. В этом случае на диаграмме эволюционности
имеется два множества прямоугольных областей и те разрывы, изображения которых
расположены в перекрывающихся прямоугольниках, являются эволюционными (см. так-
также обсуждение этого вопроса в связи с магнитной гидродинамикой и соответствующий
рис. 5.3).
Так же как и в случае классических разрывов, фронт, скорость которого совпадает
с одной из характеристических скоростей перед или за фронтом, будет считаться эво-
эволюционным, хотя и подразумевается, что взаимодействие подобного разрыва с малы-
малыми возмущениями требует специального анализа. Поэтому в дальнейшем неравенства
G.1.1) будут рассматриваться как нестрогие, т. е.
1 ,R < W < 1 ,R л 1J" < W < 1J" л A 1 АЛ
1.2. Структура фронтов. Дополнительные граничные условия на фронтах 483
Если одно из неравенств в соотношениях G.1.4) трансформируется в равенство для
ненулевого разрыва, то это равенство будет называться условием Жуге, а соответствую-
соответствующий фронт—фронтом Жуге, аналогично терминологии, принятой в теории детонации.
Фронты Жуге отвечают точкам на границах эволюционных прямоугольников. Условие
Жуге может быть выполнено как за фронтом, так и впереди него.
7.2. Структура фронтов. Дополнительные граничные
условия на фронтах
В этом разделе будут изучаться некоторые следствия из анализа структуры фронтов
или разрывов. При этом считается, что имеется некоторая полная система уравнений в
частных производных, решения которой непрерывны и для которой гиперболические
уравнения могут рассматриваться как асимптотическая форма, пригодная для описания
крупномасштабных явлений (Гельфанд, 1959). С этой точки зрения фронты и разрывы
отвечают относительно узким зонам резких изменений решений полной системы. Если
пренебречь шириной этих зон, то они могут рассматриваться как разрывы. Соотноше-
Соотношения на разрывах должны связывать параметры по обе стороны этих узких зон и могут
быть получены построением в узких зонах решений полной системы уравнений. Эти
решения называются решениями задачи о структуре разрыва. Требование существо-
существования решения задачи о структуре разрыва обеспечивает выполнение определенных
соотношений между величинами по обе стороны от переходной зоны, которые при
крупномасштабном рассмотрении могут быть приняты в качестве граничных условий
на разрыве.
В некоторых случаях эти соотношения совпадают с основными соотношениями,
известными заранее и вытекающими из законов сохранения и других физических за-
законов. В других случаях возникают ограничения в форме неравенств. Гипотеза о том,
что существуют только фронты, имеющие структуру, будучи использована для постро-
построения решений, приводит к единственности решений ряда задач для гиперболических
уравнений (Галин, 1959; Олейник, 1959; Калашников, 1959; Рождественский, Янен-
ко, 1978), решения которых неединственны без принятия этой гипотезы. Однако из-
известно, что упомянутая гипотеза не всегда приводит к единственности решений задач
крупномасштабного (гиперболического) приближения. В частности, при одних и тех
же начальных и граничных условиях в горючей смеси газов могут осуществляться как
чисто газодинамические решения так и решения с фронтами горения, так и с детона-
детонационными волнами. При этом реализующийся процесс зависит от способа зажигания
горючей смеси, который не входит в постановку задачи крупномасштабного прибли-
приближения. В связи с этим можно заметить, что единственность решений гиперболических
систем не является физически обязательной. Эта точка зрения высказывалась также
(Годунов, 1962) в связи с упоминавшимися выше математическими примерами систем
гиперболических уравнений, допускающих неединственные решения (Годунов, 1961;
Дьяченко, 1961; Введенская, 1961).
Требование существования структуры очень часто показывает, что имеются разры-
разрывы, на которых должны удовлетворяться дополнительные граничные условия в форме
равенств. Без дополнительных условий эти разрывы были бы неэволюционными и,
следовательно, должны были бы отбрасываться. Упоминавшиеся выше фронты горе-
горения относятся к таким разрывам. Фронты с дополнительными соотношениями играют
484 Гл.7. Неклассические разрывы и решения гиперболических систем
важную роль в различных областях механики и физики, включая примеры рассмотрен-
рассмотренные в этой главе.
Этот раздел в основном посвящен оценке числа дополнительных условий на раз-
разрывах, обусловленных требованием существования решения задачи о структуре. Ре-
Результаты могут быть кратко сформулированы следующим образом. При некоторых
естественных и общих предположениях, приведенных в пп. 7.2.1 и 7.2.2, показано,
что если основных соотношений недостаточно для эволюционности разрыва, то из
требования существования решения задачи о его структуре вытекает как раз столько
дополнительных граничных условий, сколько требуется условиями эволюционности
(Куликовский, 1968). Кроме того, очевидно, что если разрыв имеет структуру, то условие
неубывания энтропии также выполняется. Следовательно, требование существования
структуры представляет собой достаточно жесткое правило для отбора разрывов.
Будет предполагаться, что структура разрыва может быть описана системой обыкно-
обыкновенных дифференциальных уравнений, являющихся следствием полной системы урав-
уравнений в частных производных при условии, что решение зависит от одной переменной
? = -х + Wt, где х — пространственная переменная, изменяющаяся вдоль нормали к
волновому фронту, W — скорость разрыва, a t — время. Для построения структуры
разрыва ниже рассматриваются два множества решений обыкновенных дифференци-
дифференциальных уравнений, а именно множество решений, стремящихся к постоянным значени-
значениям при Е, —У оо или Е, —У — оо. Каждое из этих множеств зависит не только от скорости
разрыва W и величин, задающих решение при ^ = оо или % = — оо, но также от про-
произвольных констант С\ или Cj, характеризующих процесс изменения величин внутри
структуры. Число этих констант оценивается в п. 7.2.3. Для того чтобы получить ре-
решение, описывающее структуру и справедливое при всех ^, необходимо произвести
сращивание решений, приходящих из^=оои^ = — оо при конечных значениях ^,
т. е. внутри структуры. Простейший вариант такого сращивания представляет собой
требование непрерывности решения.
Исключая С\ и Cj из условий сращивания, получим соотношения между величи-
величинами, определяющими решение при ? = ±оо, и скоростью W. Они дают условия на
разрыве для гиперболических уравнений, описывающих крупномасштабные явления.
Полученная в результате этой процедуры оценка числа соотношений (см. п. 7.2.4) в об-
общем случае приводит с сформулированному выше результату. Полученный результат,
наряду с особенными ситуациями, в которых он не справедлив (например, если число
основных соотношений на разрыве превосходит число соотношений, необходимое для
эволюционности разрыва), обсуждается в п. 7.2.5. Возможность существования в струк-
структуре внутренних разрывов, исключенная из рассмотрения предположением, сделанным
в п. 7.2.1, обсуждается в п. 7.2.6.
7.2.1. Уравнения, описывающие структуру разрыва. Рассмотрим сна-
сначала полную систему уравнений, пригодных в том числе для описания структуры
разрыва. Иногда структура может описываться исходной системой гиперболических
уравнений, допускающей разрывные решения. Это происходит для разрывов, имею-
имеющих место в решениях линейных уравнений, а также для разрывов соответствующих
волнам Римана, распространяющимся с сохранением формы. Однако в общем случае
для решения задачи о структуре разрыва необходимо использовать систему уравнений,
которая отличается от исходной гиперболической системы.
1.2. Структура фронтов. Дополнительные граничные условия на фронтах 485
Уравнения, описывающие структуру разрыва, должны отражать физические про-
процессы внутри разрыва. С другой стороны, полная система должна согласовываться с
крупномасштабными уравнениями, разрывные решения которых изучаются.
Предположим, что при больших характерных временах Т и длинах L уравнения,
описывающие структуру, трансформируются в одну или две гиперболических системы,
выполняющиеся по разные стороны от разрыва.
Таким образом, будем предполагать, что описывающая структуру разрыва полная
система уравнений определена везде и обращается в соответствующую гиперболиче-
гиперболическую систему вдали от разрыва, где решение, в соответствии с нашим предположением,
характеризуется большими масштабами Т и L. Представим полную систему в форме
системы уравнений первого порядка
A»Jlir+B"'Jlb+Fm = 0' m,j=\,2,...,Q. G.2-1)
Предполагается, что Fm и коэффициенты А , В ¦ являются гладкими ограниченны-
ограниченными функциями от v -, j = 1,2, ...,Q. Ранг матрицы [А ] может быть меньше Q. В част-
частности, система G.2.1) может быть параболической. В этом случае слагаемые без произ-
производных возникают в результате записи этих уравнений в виде системы первого порядка
с помощью переобозначений. В многокомпонентной среде члены без производных опи-
описывают взаимодействие между компонентами, внешние силы и т. д. Предположим, что
уравнения
Fm(vk)=0, /и=1,2,...,е, G.2.2)
взаимно зависимы и их решения зависят от п независимых переменных Ul9 U2,... ,Un,
где п < Q. Это означает, что система G.2.1) может быть записана в таком виде, что в
первые п уравнений не входит Fm, т. е. Fm = 0 для m = 1,2,.. .п. В уравнении G.2.1) и
в дальнейшем при написании зависимостей, например, F(vk), если не будет оговорено
противное, будет подразумеваться, что F зависит от полного набора величин vk, в
рассматриваемом случае от vx, v2,..., Vq. По повторяющимся коэффициентам в G.2.1) и
в дальнейшем предполагается суммирование.
При наличии фазовых переходов, внутри структуры часто существует некоторая
критическая поверхность, по обе стороны от которой число независимых уравне-
уравнений G.2.2) различно, скажем, п = nR и п = nL, соответственно, на правой и левой сторо-
сторонах. В связи с этим множество переменных Um, вообще говоря, может быть различным
по обе стороны от критической поверхности: UR, т— 1,2,..., nR и Uj", j = 1,2,..., nL.
Например, при изучении фронтов в электромагнитном поле (разд. 7.8), в которых
проводимость среды становится ненулевой (или, наоборот, исчезает), закон Ома (в од-
одномерном случае) используется в виде
дВ
с с/Б ( v \
г = а Е + -хВ ,
4л дх V с J
где проводимость а зависит от температуры Т и тождественно равна нулю при темпе-
температурах Т <Т*. Величина Т* может зависеть от плотности и других параметров. Если Т
принимает значение Т* внутри структуры, то поверхностьх = const, на которой Т = Г*,
является критической. В непроводящей области величины Е, v и В являются незави-
независимыми переменными, в то время как в проводящей области для крупномасштабных
486 Гл.7. Неклассические разрывы и решения гиперболических систем
явлений они подчиняются соотношению Е = —vxB/c. Аналогичным образом, если
упругое твердое тело испытывает фазовый переход в жидкое состояние (или наобо-
наоборот), то упругий коэффициент, ответственный за сдвиговую упругость, исчезает (или,
соответственно, становится ненулевым).
При рассмотрении явлений, характеризующихся медленным изменением по про-
пространству и времени, в частности, явлений, происходящих далеко от переходной зоны
(структуры), можно пренебречь членами с пространственными и временными произ-
производными в тех из уравнений G.2.1), где присутствует Fm. Это позволяет выразить v •, j =
= l,2,...,g, через U%, m = 1,2,...,яа, а = R, L, и подставить их в оставшиеся na
уравнений. В этом случае мы получим систему из nR уравнений для nR неизвестных
функций UR, а также систему nL уравнений для nL неизвестных U^. Обе системы будут
предполагаться имеющими гиперболический тип и отождествляться с гиперболически-
гиперболическими системами уравнений, описывающими процессы вдали от переходной зоны разрыва.
Таким образом, описывающая крупномасштабные явления система может быть запи-
записана в виде
dUf dUf
^~dt + b^~dt = 0' hm^\,2,...,na, a = R,L, G.2.3)
где a® и b® зависят от UJ*. В дальнейшем, системы G.2.3) по сравнению с системами
G.2.1) будут называться упрощенными системами.
Сделаем некоторые дополнительные предположения, касающиеся полной систе-
системы G.2.1). Первое из этих предположений относится к поведению решений линеа-
линеаризованной системы G.2.1). Линеаризуя систему G.2.1) в окрестности постоянных
величин Vy, удовлетворяющих соотношениям G.2.2), получим систему с постоянными
коэффициентами. Будем искать ее решения в форме
где v* —константы, а А:—волновое число. Из линеаризованной системы G.2.1) получим
(_/(а4о,. + *< + <>* = О,
где A°mj,B°mj иF%j — значения Amj,Bmj и dFm/dVj при v; = v°. Если
- icoA0mj + ikB°mj] = 0, G.2.4)
то система имеет ненулевое решение v*.
Уравнение G.2.4), связывающее со и к, называется дисперсионным уравнением.
При помощи дисперсионного уравнения определяются многозначные функции со (к)
или к(со). Число ветвей этих функций определяется старшими степенями со и к в дис-
дисперсионном соотношении G.2.4).
Будем предполагать, что удовлетворяется следующее условие диссипативности:
если со и к подчиняются дисперсионному уравнению, то
1тш<0, если Im& = 0, кфЪ. G.2.5)
Таким образом, система является диссипативной в некоторой области простран-
пространства Vy, если любое синусоидальное по х решение системы, получающейся линеариза-
линеаризацией системы G.2.1) около состояния v^ = const, экспоненциально убывает со временем
1.2. Структура фронтов. Дополнительные граничные условия на фронтах 487
для любой конечной длины волны. Значение к = О может отвечать значениям со, для
которых Im со = 0.
Еще одно предположение обеспечивает непрерывность решения задачи о структуре
разрыва. Переходя к движущейся системе координат
x'=x-Wt, W = const,
систему G.2.1) можно преобразовать к форме
Amj^+B'mj^+Fm = 0, B'mj = Bmj - WAmj. G.2.6)
В дальнейшем будем предполагать, что
] Ф 0 G.2.7)
в области изменения величин v • и W\ представляющей интерес для дальнейшего. Да-
Далее под W будет подразумеваться скорость волны, представляющей собой структуру
разрыва. Предположение G.2.7) сделано для удобства. Если отбросить его, то структу-
структура может иметь внутренние разрывы, однако число дополнительных соотношений на
разрывах в решениях крупномасштабных уравнений остается тем же (см. обсуждение
этого вопроса в п. 7.2.6).
Очевидно, что если система G.2.1) является диссипативной, то это справедливо
также и для системы G.2.6). В самом деле, решения линеаризованной системы G.2.1)
в форме exp[/(fcc— cot)], а также решения линеаризованной системы G.2.6) в форме
exp[/(?V - co't)] являются одним и тем же множеством решений, записанным в разных
системах координат. Если при этом решения G.2.1) убывают со временем, то решения
G.2.6) также убывают. Совпадение аргументов экспонент влечет за собой равенство
со' = со (k) — kW для к1 = к, где функция со (к) должна удовлетворять дисперсионному
уравнению G.2.4).
7.2.2. Постановка задачи о структуре и дополнительные предполо-
предположения. Исследуем существование стационарной структуры разрыва в форме бегу-
бегущей волны
vm = vw(§), § = -jc+ Wt = -х\ G.2.8)
cvm4v^ при ? -> -оо и vm -> vj, при ^ ^ оо.
Ясно, что величины v^ и v^ должны удовлетворять системе G.2.2) и, следовательно,
им может быть поставлен в соответствие набор переменных С/^С/^,...,^/^ и ^К
Uh...,U\.
Определим число связей между переменными W, U^ и U}^, которое позволяет по-
получить решение в форме G.2.8). При изучении структуры ударных волн будет пред-
предполагаться, что скорость разрыва W не совпадает ни с одной из характеристических
скоростей упрощенных систем гиперболических уравнений G.2.3) для Um = Ц%, m =
= 1,2,...,«R и U; — Uj", j = 1,2,...,«L. В этом случае известно сколько граничных
условий требуется для эволюционности разрыва.
Без ограничения общности, предположим, что существует только одна критиче-
критическая поверхность внутри структуры. На этой поверхности некоторые из функций
488 Гл. 7. Неклассические разрывы и решения гиперболических систем
А -,В -,Fm, которые предполагаются непрерывно зависящими от своих аргументов,
могут обратиться в нуль и быть тождественно равными нулю по одну сторону от нее.
Такие поверхности могут соответствовать физическим превращениям, происходящим
в среде. Положение критической поверхности должно определяться некоторым соот-
соотношением, связывающим переменные v , которые определяют состояние среды
Ф0(у,.) = 0. G.2.9)
Будем предполагать, что на рассматриваемой критической поверхности выполнены
Q условий, выражающих, например, непрерывность функций v-,j=l,2,...,Q. Если
принять в рассмотрение условие G.2.9), то полное число условий на критической по-
поверхности равно Q+1. Далее эти Q+ 1 условия будем называть условиями склейки.
Уравнения, описывающие стационарную структуру разрыва имеют вид
где В' ¦ определены равенствами G.2.6).
Вследствие условия G.2.7) каждое решение должно быть всюду непрерывным и
единственным образом продолжаемым по переменной %. При этом Fm (vk) предпола-
предполагаются ограниченными и дифференцируемыми. Решение будет строиться по обе сто-
стороны от разрыва, начиная от состояний, соответствующих ?, = =Ьоо, и продолжаться
до критической поверхности. Если критическая поверхность фактически отсутствует,
то выражение G.2.9), связывающее v • и определяющее точку склейки, должно быть
задано формально и необходимо требовать непрерывности Vj на поверхности, задан-
заданной этим соотношением. Таким образом, случаи отсутствия критических поверхностей
формально не отличаются от случаев, когда она присутствует.
Итак, были приняты следующие предположения:
• в случае крупномасштабных явлений полные системы уравнений G.2.1) могут
быть упрощены, в результате чего они превращаются в гиперболические уравнения
G.2.3);
• должны быть выполнены условия диссипативности G.2.5);
• должно выполняться соотношение G.2.7), обеспечивающее непрерывность реше-
решений уравнений, описывающих структуру;
• скорость W не совпадает с соответствующими характеристическими скоростями
уравнений крупномасштабного приближения как перед, так и за разрывом.
Кроме того, должно выполняться Q+\ условий склейки.
7.2.3. Поведение решений при ? —>> ±оо. Линеаризуем систему G.2.6) в
окрестности однородных состояний, принимаемых решением при ?, —у =Ьоо, и рассмот-
рассмотрим некоторые следствия предположений G.2.5) и G.2.7) (Любарский, 1961). Из условия
диссипативности G.2.5) следует, что для Ima/ > 0 система уравнений, получающая-
получающаяся линеаризацией системы G.2.6), не может иметь решений в форме exp[/(?V — co't)]
с вещественными А7. Рассмотрим дисперсионное уравнение, соответствующее линеа-
линеаризованной системе G.2.6). Обозначим через р и q число корней к'(со') (с учетом их
кратности), расположенных в нижней и верхней половинах комплексной плоскости А7
при Ima/ > 0.
1.2. Структура фронтов. Дополнительные граничные условия на фронтах 489
Из условия G.2.7) следует, что p + q = Q. При изменении параметров Vy, харак-
характеризующих состояние, около которого проводилась линеаризация, а также скорости
разрыва W корни к!(со') меняются непрерывно . Поэтому числа/? и q не меняются, когда
Ъпсо' остается в верхней полуплоскости со'. Действительно, в силу условия G.2.5) при
таком изменении параметров никакой из корней к1 не может пересечь действительную
ось к'. В соответствии с условием G.2.7) \к!\ < оо для конечных значений со' и знак Imk'
не может измениться при переходе корня к! через бесконечность.
Будет предполагаться, что существует пересечение множества всех возможных со-
состояний vf, s = l,2,...,g, соответствующих Е, = — оо и зависящих от Uj^, где г =
= 1,2,..., nR, с множеством всех возможных состояний v1-, j = 1,2,..., Q, соответству-
соответствующих Е, = оо и зависящих от U^, где s = 1,2,... ,t?l. Так например, когда поверхность
разрыва разделяет проводящую и непроводящую среды, величины Е, В и v в проводя-
проводящей среде связаны соотношением Е = В х (\/с). Это множество величин представляет
собой подмножество значений величин Е, В и v, которые независимы в непроводящей
среде. Таким образом, если множество состояний vf пересекается с множеством состо-
состояний Vy, в объединении этих множеств величины р и q остаются теми же, что и будет
принято в дальнейшем. Совпадение чисел р и q для состояний vf и Vy имеет место и
при некоторых других достаточно естественных предположениях (Куликовский, 1988).
Так как для Ъпсо' > 0 в диссипативной системе все возмущения убывают в на-
направлении своего распространения, величины р и q равны числу малых линейных
возмущений, описываемых полной системой уравнений и распространяющихся, соот-
соответственно, направо и налево (Briggs, 1964; Соболев, 1958).
Оценим число корней k!j(co') дисперсионного уравнения, для которых Imk' > 0 при
со' = 0. Если со' —> О так, что Im со' > 0, некоторые из корней к' также стремятся к ну-
нулю из верхней полуплоскости и в пределе обращаются в нуль. Определим число этих
корней. Заметим, что если со' и к! стремятся к нулю одновременно, то временной и
пространственный масштабы соответствующего решения стремятся к бесконечности.
Поэтому это экспоненциальное решение должно описываться упрощенной гиперболи-
гиперболической системой уравнений G.2.3). Величины со = со' + Wk! и к = к' должны удовле-
удовлетворять дисперсионному уравнению системы уравнений, полученных линеаризаци-
линеаризацией уравнения G.2.3). Так как система уравнений G.2.3) гиперболическая и не содержит
недифференциальных членов, решение дисперсионного уравнения имеет вид
ка = со/Х?, у = 1,2,...,яа; a = R,L,
где Aj* — характеристические скорости упрощенной системы уравнений G.2.3).
В системе отсчета, движущейся со скоростью W, для ^, таких что к!] ->• 0 при со' ->• О,
получим
^а = со'/Ца, Ца = Х?-1?, у = 1,2,...,яа. G.2.11)
Согласно сделанному предположению все Х'а являются ненулевыми. Из этого сле-
следует, что имеется в точности па корней к1 (со'), стремящихся к нулю при со' —> 0, а число
корней kj¦, которые стремятся к нулю со стороны верхней полуплоскости, равняется чис-
числу характеристических скоростей упрощенной системы G.2.3), которые удовлетворяют
неравенствам Aj* — W > 0. В дальнейшем будем обозначать число этих характеристи-
характеристических скоростей через га.
490 Гл.7. Неклассические разрывы и решения гиперболических систем
Очевидно, что ra зависит от W и от значений величин v^, в окрестности которых
произведена линеаризация системы. В нижней полуплоскости &г имеем la корней, стре-
стремящихся к нулю при со' -у 0, где la — na — ra'. Таким образом, если со' = 0, то р — ra и
q — la корней дисперсионного уравнения линеаризованной системы уравнений G.2.6)
остаются, соответственно, в верхней и нижней полуплоскостях.
Решение задачи о стационарной структуре ударной волны, представляющее собой
решение системы уравнений G.2.10), будет строиться начиная с Е, = ±оо. Для больших
отрицательных % и фиксированных значений vR решение должно мало отличаться от
vR и, следовательно, поправки к v^ могут быть получены из линеаризованной системы
уравнений. В общем случае, решения этих уравнений экспоненциально зависят от ^ и
их удобно получать из решений вида Qxp[i(k'x' — co't)], где х' = х — Wt = — ^, переходом
к пределу а/ -у 0.
Поскольку решения линеаризованных уравнений должны стремиться к нулю при
? -У -оо, то экспоненциальные функции, из которых состоят решения, могут соответ-
соответствовать только тем значениям к! = kR, которые после обращения со' в нуль остаются
в верхней полуплоскости. Отсюда следует, что неизвестные решения зависят от р — rR
произвольных констант CR, являющихся множителями при экспоненциальных функци-
функциях ехр(—ikRt;). При увеличении Е, каждое из этих решений может быть единственным
образом продолжено, даже если решение становится нелинейным, что обеспечивается
условием G.2.7).
Таким образом, совокупность решений системы G.2.10), стремящихся к постоян-
постоянным значениям при % —у — оо при заданном W, определяется p — rR произвольными
постоянными CR и состоянием ^ = — оо, которое, в свою очередь, определяется nR
величинами UR, UR,..., Uj^. Аналогично, при том же W совокупность решений, стре-
стремящихся к постоянным значениям при Е, —у оо определяется q — /L произвольными по-
постоянными С1- (которые стоят множителями при экспонентах, убывающих с ростом ^),
а также nL величинами U\,U\',. • • •>U^L. Напомним, чтоp — rR ид — /L равны разностям
чисел малых возмущений, описываемых полной и упрощенной системами уравнений
и распространяющих вперед (х > 0) и назад (х < 0) по отношению к ударной волне.
7.2.4. Дополнительные соотношения на разрывах. Как упомянуто вы-
выше, для решения задачи о структуре разрыва необходимо удовлетворить Q+1 усло-
условию склейки. Их можно рассматривать, как условия, связывающие параметры, которые
определяют решения по разные стороны от точки склейки:
0.(^...,Ц*,С*,...,С*_г^ G.2.12)
гдея=1,2,...,й+1.
Величина W добавлена в аргументы функций Ga, поскольку сращиваемые решения
зависят от W. В общем случае можно исключить p — rR + q — lL = Q — rR — /L величин CR
и Су . В результате получим Q+l - (Q-rR-lL) =rR + lL + 1 соотношений вида
Ob(U?,...,U%U];,...,U^,W)=0, 6=l,2,...,rR + /L + l, G.2.13)
где Ф^ — некоторые функции. Напомним, что rR и /L представляют собой число ухо-
уходящих характеристик упрощенной системы уравнений G.2.3), направленных вправо и
1.2. Структура фронтов. Дополнительные граничные условия на фронтах 491
влево от разрыва. Таким образом, в рассматриваемом случае число соотношений, полу-
полученных из требования существования решения задачи о структуре разрыва, равно числу
условий эволюционности, необходимых для разрыва, имеющего место в упрощенной
гиперболической постановке задачи, описывающей крупномасштабные явления.
Сделаем ряд замечаний по поводу полученных результатов. Если уравнения G.2.10)
описывают стационарное движение сплошной среды, то соотношения, выражающие
законы сохранения массы, импульса и энергии (а также, возможно, другие законы,
отвечающие рассматриваемой задаче), должны являться следствиями этих уравнений.
Первые интегралы рассматриваемой системы, отвечающие законам сохранения, нала-
налагают связь на величины Uj^, U\ и W. Совершенно ясно, что эти соотношения должны
содержаться среди равенств G.2.13). Соотношения на разрывах, которые выражают
законы сохранения или другие универсальные законы, являются независимыми от про-
процессов, имеющих место внутри структуры (если эти процессы не противоречат законам
сохранения), и, как правило, известны заранее. В разд. 7.1 мы назвали их основными
соотношениями на разрыве. Кроме основных соотношений, система уравнений G.2.13)
может содержать дополнительные соотношения на разрыве, которые зависят процессов
внутри структуры, т. е. от выбора полной системы G.2.1) при одних и тех же крупно-
крупномасштабных уравнениях G.2.3).
При выводе соотношений G.2.13) предполагалось, что решение задачи о структуре
разрыва существует. В некоторых случаях такое предположение оправдано. Так при
изучении волн малой амплитуды из полной системы достаточно общих уравнений при
любом числе законов сохранения (или в их отсутствии) может быть получено уравне-
уравнение Бюргерса для некоторой комбинации искомых функций, обладающее переходными
решениями, которые могут рассматриваться как структуры разрывов. При этом все ис-
искомые функции выражаются через решение уравнения Бюргерса. Эти решения дают
n = nR = nL соотношений между U^, Uj^ и W и неравенство, определяющее направление
изменения этих величин в волне. Соответствующие разрывы подобны классическим.
Условие существования решения, представляющего собой структуру разрыва, в об-
общем случае также может накладывать определенные ограничения на Uj^ и U^, которые
имеют форму неравенств
4>q(U^,U*,W)>0. G.2.14)
Подобные неравенства включают, например, часто используемое условие неубывания
энтропии на разрывах без притока тепла. Это условие, очевидным образом, должно
выполняться на разрывах, имеющих структуру.
Существует еще одно важное обстоятельство. При выводе соотношений G.2.13) из
G.2.12), для нахождения величин С^ и С1- была использована часть равенств G.2.12),
а затем произведена их подстановка в оставшиеся соотношения. Указанные величины
могут быть найдены при условии существования соответствующего им ненулевого ми-
минора в якобиане, полученном дифференцированием левых частей соотношений G.2.12)
по этим величинам. Если это условие не выполнено, то некоторые из величин С^ и С1- не
входят в соотношения G.2.12) или входят в них не независимо, т. е. в виде комбинаций.
В этом случае исключение С^ и С1- из G.2.12) приводит к соотношениям G.2.13), чис-
число которых больше чем rR + /L + 1. Очевидно, этот случай отвечает неэволюционным
разрывам.
Если это происходит, то вышеупомянутые константы С^ и С1- не могут быть од-
однозначно определены. В результате решение, представляющее собой структуру такого
492 Гл.7. Неклассические разрывы и решения гиперболических систем
неэволюционного разрыва, если оно существует, определяется неединственным обра-
образом и зависит от одного или более параметров. Как и всякое вырождение, вырождение
всех миноров рассматриваемого якобиана может рассматриваться как исключительное
обстоятельство. Тем не менее, если начальная и конечная точки структуры таковы,
что число основных соотношений больше чем rR + /L + 1, то упомянутое вырождение
предопределено. Примеры неэволюционных разрывов такого рода известны в магни-
магнитогидродинамике (Germain, 1959, см. также разд. 5.3 и 5.5 этой книги).
7.2.5. Основной результат и его обсуждение. Приведенные выше рас-
рассмотрения позволяют сформулировать основной результат следующим образом. Если
число основных соотношений на разрыве меньше, чем необходимо для его эволюци-
онности, то из условия существования решения, представляющего структуру разрыва,
может быть получено столько дополнительных условий, сколько необходимо для его
эволюционности. Конкретный вид дополнительных соотношений зависит от уравне-
уравнений, описывающих структуру ударной волны.
Если разрыв является априорно эволюционным или, другими словами, если чис-
число основных соотношений соответствует условиям эволюционности, то рассмотрение
структуры разрыва не дает никаких дополнительных условий в форме равенств. Тем не
менее, могут возникать определенные неравенства, выполнение которых гарантирует
существование решения, представляющего структуру разрыва.
Если число основных соотношений больше чем необходимо для эволюционности
разрыва, структура такого неэволюционного разрыва, если она существует, неедин-
неединственна и решение зависит от произвольных параметров. Напомним, что обычно такие
разрывы распадаются под действием малых возмущений.
Заметим, что наряду с нетривиальными разрывами, когда не все С^ иС^ одновремен-
одновременно равны нулю, возможны ситуации, когда все эти величины обращаются в нуль. Такое
случается на непрерывных фронтах, разделяющих состояния, описываемые различны-
различными упрощенными системами уравнений. Подобные непрерывные фронты известны,
например, в магнитной гидродинамике (Butler, 1965), когда проводимость предполага-
предполагается не равной нулю только при достаточно высоких температурах Т > Т*.
В заключение следует отметить, что были рассмотрены только одномерные и стаци-
стационарные структуры разрывов. Реальные структуры могут оказаться нестационарными
и неодномерными, причем осцилляции по времени и неодномерность возможны вну-
внутри узких зон, описывающих разрыв. Решение, представляющее собой одномерную
стационарную структуру, может оказаться неустойчивым или вообще не существовать.
Переходная зона может также расширяться со временем, оставаясь, тем не менее, узкой
по сравнению с внешним масштабом задачи.
Таким образом, вообще говоря, существование стационарной структуры разрыва
не гарантирует физической реализуемости разрыва. Для того, чтобы быть уверенным
в последнем, необходимо убедиться, что полученное непрерывное решение является
устойчивым. Это трудная и, к сожалению, не очень часто рассматриваемая задача.
Отсутствие стационарной структуры также не означает, что соответствующий разрыв
не существует, так как он может иметь нестационарную или неодномерную структуру.
В частности, в координатной системе, связанной с разрывом структура может быть
периодической по времени или по координатам на фронте волны. Вопрос о получении
дополнительных соотношений для таких разрывов рассматривался Куликовским A988).
1.2. Структура фронтов. Дополнительные граничные условия на фронтах 493
7.2.6. Замечание о выводе дополнительных соотношений при на-
нарушении условия непрерывности структуры ударной волны. При
рассмотрении конкретных задач о структуре разрыва могут встречаться случаи, когда
полная система уравнений не удовлетворяет условию G.2.7), обеспечивающему непре-
непрерывность структуры ударной волны. В большинстве случаев такие системы получаются
в результате "переупрощения" диссипативных или других механизмов, "размазываю-
"размазывающих" разрывы. Если предположить, что структура описывается довольно полным на-
набором таких механизмов, то условие G.2.7) будет выполнено и переход к упрощенной
системе уравнений для которых G.2.7) не выполняется может быть произведен устрем-
устремлением части коэффициентов при производных к нулю. В пределе, разрывы могут воз-
возникнуть внутри структуры. Если соотношения на этих внутренних разрывах известны
или могут быть получены указанным переходом к пределу, то они должны быть исполь-
использованы для построения структуры разрыва в целом и для получения дополнительных
соотношений.
Предположим G.2.7) не выполняется и рассмотрим поведение решения задачи о
структуре разрыва, не используя указанный выше предельный переход. Пусть для неко-
некоторых значений W и v • имеет место равенство
det[Bmj-WAmj]=0, m,j =1,2,...,Q. G.2.15)
Пусть это равенство выполняется для определенного набора значений W = А*, являю-
являющихся функциями vs. Предположим также, для простоты, что эти величины являются
простыми корнями уравнения G.2.15). Величины А* представляют собой характери-
характеристические скорости полной системы уравнений G.2.1). Так как эта система уравнений
может не иметь гиперболический тип, число корней уравнения G.2.15) может отличать-
отличаться от порядка Q системы.
Если со и к стремятся к бесконечности будучи одного порядка, дисперсионное урав-
уравнение G.2.4) дает следующее асимптотическое соотношение между со и к для выбран-
выбранной характеристической скорости А*:
kj = «/я;.
Значения Im со для действительных к предполагается ограниченными сверху и из
последнего равенства следует, что все А* вещественны, так как, наряду с А*, и его
комплексно сопряженное значение также удовлетворяет уравнению G.2.15).
В координатной системе, движущейся с произвольной скоростью W\ при к1 —у оо и
со' —> оо получим
где А*' — характеристическая скорость системы уравнений G.2.6).
Из равенства G.2.16) видно, что если при Im со' > О разность А* — W проходит через
нуль от отрицательных значений к положительным, то соответствующий корень kj
переходит из нижней полуплоскости комплексной плоскости к' в верхнюю, проходя
через бесконечность. Это позволяет следить за изменением числа корней к' @), лежащих
при со = 0 в верхней и нижней полуплоскостях, при изменении W nv ¦. Эти числа равны
числу констант C^'L в асимптотическом представлении решения задачи о структуре
494 Гл.7. Неклассические разрывы и решения гиперболических систем
разрыва, соответственно, при ?, —>- оо и ^ —у — оо (см. п. 7.2.3). Обычно бывает нетрудно
определить эти числа для очень больших W, превосходящих все характеристические
скорости как в упрощенной, так и в полной системах, и затем следить за изменением
этих чисел при уменьшении W.
Таким образом, в соответствии с предыдущими рассмотрениями и результатами,
полученными в п. 7.2.3, числа р и q корней kfj, лежащих в верхней и нижних полуплос-
полуплоскостях А7, изменяются, когда W переходит, соответственно, через характеристические
скорости полной G.2.1) или упрощенной G.2.3) систем уравнений. В этом случае, в
соответствии с п. 7.2.3, если W, убывая, становится меньше некоторой характеристи-
характеристической скорости упрощенной системы уравнений (одна из разностей Xk — W меняет
знак с плюса на минус), то один корень А7 @) переходит из верхней полуплоскости в
нижнюю через действительную ось к'. Если W становится меньше характеристической
скорости Я* полной системы уравнений, тогда в соответствии с предыдущими рас-
рассмотрениями имеет место противоположная ситуация, а именно число корней А^@) в
верхней полуплоскости увеличивается на единицу, в то время как один корень к!т@)
исчезает из нижней полуплоскости, проходя через бесконечность.
Не обсуждая общую ситуацию, рассмотрим частный случай, когда при фиксирован-
фиксированном W только одна разность Я* — W меняет знак внутри структуры разрыва, переходя от
отрицательного (перед фронтом) к положительному (за фронтом) значению. Сравним
этот первый случай со случаем, когда разности Я^ — W не меняют знака внутри струк-
структуры (второй случай), а знаки всех разностей Яг* — W и Я^ — W в начальном состоянии
при ?, = — оо такие же как в первом случае. Асимптотическое представление реше-
решения при ?, —У оо в первом случае имеет одной произвольной константой меньше, чем
во втором случае. Однако в первом случае внутри структуры должен присутствовать
эволюционный разрыв на котором Я^ - W терпит разрыв и меняет знак. Такой раз-
разрыв характеризуется одним произвольным параметром — амплитудой этого разрыва.
Поэтому в случае общего положения при процедуре сращивания имеется достаточ-
достаточное число параметров для получения соотношений в форме G.2.13), удовлетворяющих
условиям эволюционности. Условия, при которых внутренние разрывы могут возникать
в структуре ударной волны были изучены в работе Дементий, Дементий A978).
Когда одна из разностей Я* — W меняет знак с плюса перед разрывом на минус
за ним, асимптотическая форма решения при ?, —У =Ьоо содержит на одну константу
больше чем в случае определенных знаков разностей Я^ — W. Однако в этом случае,
когда Я* — W обращается в нуль, система уравнений G.2.10) имеет особую точку и
условие прохождения интегральной кривой через эту точку дает необходимое условие
для нахождения дополнительной произвольной постоянной.
7.2.7. Адиабата Гюгонио. Часто бывает удобным задать состояние Uf перед
разрывом и изучать множество состояний, возникающих по другую сторону от разрыва,
т. е. множество точек в пространстве ?/^, координаты которых удовлетворяют гранич-
граничным условиям на разрыве (на скорость разрыва W ограничений не накладывается).
Вначале рассмотрим множество значений величин С/^э которые определяются толь-
только основными граничными условиями и назовем это множество (по аналогии с газовой
динамикой и магнитной гидродинамикой) ударной адиабатой, или адиабатой Гюго-
Гюгонио . В дальнейшем будем также называть это множество многообразием Гюгонио,
если размерность его больше единицы. Когда все величины Uf- фиксированы и число
1.2. Структура фронтов. Дополнительные граничные условия на фронтах 495
основных соотношений равно nL (т. е. числу переменных С/^)э как в газовой динамике,
магнитной гидродинамике и теории упругости, ударная адиабата представляет собой
кривую в пространстве U^ и скорость разрыва W является функцией, заданной на этой
кривой.
Множество точек Uj^, которые при % —У оо являются предельными точками решения
задачи о структуре ударной волны для заданных начальных данных Uj^, будет назы-
называться допустимой частью ударной адиабаты .
При изучении адиабаты Гюгонио на ней можно различить три типа областей: обла-
области I, где условия эволюционности выполняются в силу основных соотношений, т. е.
число уходящих длинноволновых возмущений, описываемых упрощенными система-
системами уравнений, на единицу меньше, чем число основных соотношений; области II, где
число основных соотношений меньше, чем требуется для эволюционности разрыва; об-
области III, где число основных соотношений больше чем требуется для эволюционности
разрыва.
В соответствии с доказанными выше утверждениями, полная система граничных
условий на разрыве G.2.13), соответствующем области I, не включает дополнительных
граничных условий и требование существования решения может привести только к
возникновению ограничений в форме неравенств. В этом случае только часть области I
принадлежит к допустимой части адиабаты Гюгонио.
В области II требование существования решения задачи о структуре ударной волны
дает дополнительные граничные условия, которые делают разрыв эволюционным. Эти
соотношения выделяют в области II на адиабате Гюгонио подобласть меньшего числа
измерений, которая является допустимой частью многообразия Гюгонио.
Точки, принадлежащие области III, отвечают неэволюционным разрывам, так как
имеется слишком много основных соотношений для того, чтобы разрыв мог быть эво-
эволюционным, и это положение не может быть улучшено. Как показано в п. 7.2.4, струк-
структура таких разрывов, если она существует, зависит от произвольных параметров. В
определенных случаях, такие разрывы могут состоять из нескольких эволюционных
разрывов, движущихся с одинаковой скоростью. Очевидно, малое возмущение может
вызвать появление относительной скорости этих разрывов. В таком случае начальный
неэволюционный разрыв распадается на эволюционные разрывы, движущиеся с раз-
различными скоростями.
В классических случаях, в частности, в газовой динамике и магнитной гидроди-
гидродинамике, достаточно знать величины по одну сторону от разрыва и еще один параметр
(например, скорость разрыва) для определения параметров по другую сторону, исполь-
используя полный набор граничных условий на разрыве. Такие разрывы могут быть названы
однопараметрическими разрывами. С этой точки зрения фронты горения в горючей
смеси являются нульпараметрическими разрывами. В случае общего положения, когда
выполняются условия эволюционности, могут существовать многопараметрические
разрывы. Разрывы с "отрицательным числом параметров" могут возникать, если состо-
состояние перед разрывом не может быть произвольным, а в силу полного набора граничных
условий на разрыве параметры впереди оказываются зависимыми. Такие зависимости
могут существовать в решениях конкретных механических задач, если разрыв может
индуцировать соответствующие возмущения, распространяющиеся вперед, которые ви-
видоизменяют начальное состояние U^. В дальнейшем будут приведены примеры таких
разрывов (см. разд. 7.8). В этих случаях при изучении адиабаты Гюгонио бывает удоб-
496 Гл.7. Неклассические разрывы и решения гиперболических систем
но задавать не все, а только часть величин Uj^. Это увеличивает размерность адиабаты
Гюгонио.
Естественно рассматривать многопараметрические разрывы как результат слияния
однопараметрических разрывов. В этом случае для того чтобы результирующий разрыв
был эволюционным, число параметров, характеризующих его, должно равняться числу
параметров, характеризующих слившиеся разрывы. Примеры слияния и расщепления
разрывов приводятся в разд. 7.8.
Как замечено выше, во многих случаях структура ударных волн малой амплитуды
описывается уравнением Бюргерса. Соответствующие разрывы являются однопарамет-
рическими и возникновение разрывов, отличающихся от однопараметрических, так же
как их распад и слияние, возможны, если разрыв имеет конечную интенсивность или
изменяет свойства среды.
В дальнейшем будет рассмотрен ряд задач механики сплошных сред и изучена струк-
структура разрывов с целью получения полной системы граничных условий на них. Анализ
решений некоторых таких задач, в частности, результаты, касающиеся существования
решений для различных значений определяющих параметров, единственности решений
и их зависимости от начальных и граничных условий, позволяют делать заключения о
корректности моделей, выбранных для построения крупномасштабных решений.
7.3. Поведение ударной адиабаты в окрестности точек
Жуге и неединственность автомодельных решений
В этом разделе будут рассматриваться классические ударные волны, для которых одна
и та же гиперболическая система уравнений описывает процессы по обе стороны от
разрыва, а уравнения и соотношения между величинами на разрыве следуют из законов
сохранения. Будут изучены свойства ударной адиабаты в окрестности точек Жуге, в
которых скорость ударной волны совпадает с одной из характеристических скоростей
за ударной волной.
В рассматриваемом случае, в соответствии с гл. 1, все эволюционные разрывы
(ударные волны) подразделяются на п типов и скачок А>го типа ассоциируется со своей
собственной характеристической скоростью Хк. Будем различать на ударной адиабате
свои и не свои точки Жуге. В своей точке Жуге скорость разрыва А>го типа равна его к-й
характеристической скорости Wk = Я^ за разрывом, а в не своей точке Жуге выполняется
равенство Wk = A^ij.
Итак, уравнения и соотношения на разрывах принимаются в виде (см. п. 1.4.2)
^ |^=0, {Fl(Uk)} = W{Ul}; i,k=l,2,...,n. G.3.1)
Здесь, как обычно, фигурные скобки обозначают скачок величин взятых в скобки, т. е.
{Щ = Ц- Uf, {F,(Uk)} = F,(Uk) -F,{Uf),
где Uf- и Ut отвечают, соответственно, состояниям перед и за разрывом.
Рассмотрим случай общего положения, в котором для заданного состояния перед
разрывом Uf^ соотношения на разрывах G.3.1) определяют ударную адиабату, представ-
представляющую собой кривую в пространстве Ut. Докажем, что (i) в случае общего положения
7.3. Точки Жуге и неединственность решений 497
скорость разрыва W имеет экстремум в точке Жуге на ударной адиабате и, наоборот,
если скорость скачка имеет экстремум в некоторой точке на ударной адиабате, то это
точка Жуге (Hanyga, 1976); (и) присутствие не своих точек Жуге на ударной адиабате
может привести к неединственности или несуществованию решений автомодельных
задач (Куликовский, Свешникова, 1996).
Продифференцировав равенство G.3.1), предполагая что Uf^ = const, т. е. рассмат-
рассматривая изменение величин вдоль ударной адиабаты, получаем
(F4 - W8tj)dUj = (Ц - Uf)dW, FtJ = Fu(Uk) = Щ§^- G.3.2)
Матрица [Ft- — WS^] является характеристической матрицей исходной системы
уравнений. Согласно G.3.2) для ненулевых dU равенство dW = 0 может быть верно,
только если det[i^ • - W8t] = 0. Это означает, что W = AL, где XL — одна из характе-
характеристических скоростей в точке, где произведено дифференцирование, т. е. за ударной
волной. Другими словами, равенство W = XL выполняется в точках ударной адиабаты,
в которых
dW
где da — элемент дуги вдоль ударной адиабаты.
С другой стороны, если W = XL в определенной точке на ударной адиабате, то
умножая уравнение G.3.2) на компоненты левого собственного вектора 1 = [lt] матрицы
[Ft- — WSjj] и суммируя, получим
Если
(Ц - Uf)lt ф 0, G.3.3)
то dW = 0 для ненулевых dUj. Это означает, что в общем случае производная скорости
разрыва по длине дуги ударной адиабаты в точке Жуге равна нулю.
Для объяснения поведения скорости разрыва в окрестности точки Жуге и понимания
следствий нарушения условия G.3.3), введем в точке Жуге локальную координатную
систему с базисными векторами, со-направленными с правыми собственными вектора-
векторами матрицы [Ftj], т. е. направленными вдоль касательных к интегральным кривым волн
Римана. В этой координатной системе равенства G.3.2) могут быть записаны в виде
(Я,- - W)dui = utdW, i= 1,2,..., л. G.3.4)
Здесь по повторяющимся индексам / суммирование не производится, a dui и ut являются
компонентами d\J и U — UR в новых осях.
Предположим, что разность Xx — W равняется нулю и меняет свой знак в рассматри-
рассматриваемой точке, в то время как другие разности Я, - W не равны нулю в ней. Величина их
пропорциональна скалярному произведению вектора U — UR на левый собственный век-
вектор матрицы [Ft] и, следовательно, пропорциональна левой части соотношения G.3.3).
Если выполняется неравенство G.3.3), то из первого равенства в G.3.4) можно видеть,
что W имеет экстремум (максимум или минимум, в зависимости от знака их) в рассмат-
рассматриваемой точке Жуге.
498
Гл. 7. Неклассические разрывы и решения гиперболических систем
л
С ^^
^-—
—"Н
А'
в
\Е
в'
W
Рис. 7.2. Слабые ударные волны в окрестности своей и не своей точек Жуге на диаграмме
эволюционно сти
Если условие G.3.3) не выполняется и их обращается в ноль и меняет знак в точке
Жуге, то W монотонно меняется вдоль ударной адиабаты. Если матрица [FtJ] симметрич-
симметрична, то ее левый и правый собственные векторы совпадают и условие G.3.3) означает,
что касательная к ударной адиабате в точке Жуге не ортогональна вектору U — UR.
В дальнейшем, предположим, что неравенство G.3.3) выполнено. Это отвечает случаю
общего положения.
Еще одно важное свойство ударной адиабаты состоит в том, что она касательна
к одному из правых собственных векторов матрицы [Ft] в точках Жуге и только в
них. Это следует из равенств G.3.4), если выписать их в определенной точке ударной
адиабаты. Если двигать эту точку вдоль ударной адиабаты к точке Жуге, в которой
W = Я1э то для заданной длины вектора d\J величина dW стремится к нулю вместе
со всеми dup за исключением dux. Таким образом, ударная адиабата и интегральные
кривые соответствующей волны Римана имеют общую касательную в точке Жуге.
Из изложенного, в частности, следует, что кривая W(g) (<7 - некоторый параметр
на ударной адиабате), представляющая собой ударную адиабату на диаграмме эволю-
ционности, будет иметь вертикальные касательные в точках ее пересечения с гори-
горизонтальными линиями W = AZL, поскольку W(o) достигает экстремумов в этих точках
(рис. 7.2).
Физическая причина описанных выше свойств ударной адиабаты в точках Жуге
очень проста (Куликовский, 1979). Если выполнено условие Жуге W — AL = 0, то наря-
наряду с начальным разрывом можно рассматривать последовательность волн, состоящую
из начального разрыва и малого возмущения, распространяющегося вслед за разры-
разрывом с той же скоростью. Можно интерпретировать эту последовательность как один
комбинированный разрыв, который имеет ту же скорость, что и начальный. Отсюда
следует, что в рассматриваемой точке dW = 0 для ненулевых dU . С другой стороны,
если ударная адиабата имеет две близкие точки, соответствующие разрывам, движу-
движущимся с одинаковой скоростью, то разрыв, соответствующий скачку из одной из этих
точек в другую может рассматриваться как малый разрыв, движущийся с той же скоро-
7.3. Точки Жуге и неединственность решений 499
\
Рис. 7.3. Взаимное расположение эволюционной части ударной адиабаты и интегральной кривой
расширяющейся волны Римана в окрестности "своей" (а) и "не своей" (Ь) точек Жуге
стью что и скачок из начальной точки в состояние перед таким образом определенным
малым разрывом. Это означает, что условие Жуге W — AL должно выполняться, если
эти близкие точки совпадают и малый разрыв исчезает. Очевидно, что это происходит
в точке экстремума W[c).
Рассмотрим эволюционный фрагмент ударной адиабаты в пространстве Ut, который
заканчивается в точке Жуге, а также интегральную кривую соответствующей волны
Римана, проходящей через эту точку.
На рис. 7.3а и 7.3Ь сплошные кривые представляют собой дуги ударной адиабаты в
пространстве Ut в окрестности точек Жуге — своей точки J и не своей точки Е. Штри-
Штриховые кривые изображают интегральные кривые волн Римана, проходящих через эти
точки. Жирные линии представляют собой эволюционные отрезки ударной адиабаты.
Из вышеизложенного следует, что ударная адиабата и интегральная кривая волны
Римана имеют общую касательную в точке Жуге. Определим направление измене-
изменения величин в расширяющейся волне Римана, характеристическая скорость которых
уменьшается от переднего до заднего фронта. Для этой цели используем диаграмму,
изображенную на рис. 7.2.
Так как скорость разрыва W(o) имеет экстремумы в точках Жуге, то можно отыскать
пару точек, соответствующих одному и тому же значению скорости разрыва, которое
близко к значению скорости с точке экстремума. Ясно, что скачок из одной точки этой
пары в другую точку удовлетворяет всем законам сохранения и скорость этого скачка
будет равна скорости скачка из начальной точки в каждую из этих точек. Например, на
рис. 7.2 показаны малые скачки (ударные волны) А —у А' и В —у В'. Скорость каждого
скачка близка к соответствующей характеристической скорости Я.
Малый разрыв, распространяющийся со скоростью, близкой к характеристической
скорости Я является эволюционным, если W > Я перед скачком и W < Я за скачком. Это
означает, что малые разрывы эволюционны, если скачок происходит сверху вниз при
переходе через горизонтальную прямую линию W = Яь на диаграмме эволюционности
рис. 7.2. На рис. 7.3 в пространстве Ut стрелками показаны слабые эволюционные
скачки А —у А' и В —у В'. В соответствии с теоремой Лакса (см. гл. 1), изменение Ut в
расширяющейся волне Римана противоположно изменению в слабом эволюционном
разрыве. Это определяет направление изменения величин в расширяющихся волнах
Римана, которое показано наклонными стрелками на рис. 7.3, проведенными около
пунктирных кривых, изображающих изменение величин в волнах Римана.
Таким образом, если ударная адиабата пересекает верхнюю границу области эво-
500 Гл. 7. Неклассические разрывы и решения гиперболических систем
люционности, т. е. реализуется своя точка Жуге J, то интегральная кривая, которая в
пространстве Ц соответствует расширяющейся волне Римана того же типа, является
продолжением эволюционной части ударной адиабаты с общей касательной в точке
Жуге (рис. 7.3а).
Наоборот, если точка Жуге является не своей (точка Е) и соответствует пересечению
ударной адиабаты с нижней границей области эволюционности, показанной на рис. 7.2,
то в пространстве Ut эта точка является началом отрезка интегральной кривой, которая
соответствует расширяющейся волне Римана, которая имеет тип, отличный от типа
ударной волны. Этот отрезок интегральной кривой и эволюционная часть ударной
адиабаты образуют кривую с точкой возврата в точке Жуге Е (рис. 7.3Ь).
Отметим, что за ударной волной &-го типа, соответствующей своей точке Жуге, в
физическом пространстве может следовать расширяющаяся со временем волна Римана
того же k-то типа, скорость переднего фронта которой совпадает со скоростью ударной
волны Я^ = W. Такая комбинация волн может присутствовать и в автомодельных ре-
решениях типа x/t. Следование волны Римана А>го типа за любой другой эволюционной
ударной волной А>го типа в автомодельных решениях, зависящих от x/t невозможно.
Рассмотрим решение автомодельной задачи с независимой переменной x/t. Эти
решения на плоскости (х, t) состоят из волн Римана и разрывов, разделенных областями
с постоянными значениями Ц.
Как показано в гл. 1, в стандартных ситуациях автомодельные решения содержат п
волн и могут быть построены подбором амплитуд этих волн. Для заданного состояния
перед волной Римана или ударной волной, состояние за этой волной принадлежит опре-
определенной кривой в пространстве Ut, а именно интегральной кривой волны Римана или
ударной адиабате. Для того чтобы определить изменение всех величин в рассматрива-
рассматриваемой волне, достаточно определить единственную величину, называемую амплитудой.
Нахождение автомодельного решения сводится к соединению точек в пространстве Ut,
которые определяют состояния по разные стороны системы волн, используя ломаную
линию, состоящую из интегральных кривых расширяющихся волн Римана или ударных
адиабат, соответствующих эволюционным разрывам. Действуя таким образом, необхо-
необходимо удовлетворить неравенствам между скоростями волн: скорость переднего фронта
волны, распространяющейся вслед вслед за другой, должна быть не больше скорости
заднего фронта предшествующей волны. Решение существует в окрестности опреде-
определенной точки Ut = U*, если оно существует в самой этой точке и якобиан dQt[dUjda]
в ней не равен нулю. Здесь at - амплитуды волн, которые составляют решение.
Рассмотрим теперь решение автомодельной задачи, в которой один из разрывов за-
задается точкой, близкой к своей точке Жуге J или совпадающей с ней (рис. 7.2). Как
показано выше, в этом случае эволюционный отрезок ударной адиабаты, соответству-
соответствующий А:-разрыву в пространстве Ц может быть гладко продолжен за точку Жуге при
помощи отрезка интегральной кривой расширяющейся А>волны Римана. Отрезок удар-
ударной адиабаты, соответствующий А>разрыву вместе с его продолжением в виде А>волны
Римана может рассматриваться как одна кривая &-волн в пространстве Ц с единствен-
единственным параметром (амплитудой), изменяющейся вдоль это кривой. Это не препятствует
определению амплитуд волн, так как нет никаких особых причин, чтобы упомянутый
выше якобиан принимал нулевые значения.
Другая ситуация имеет место в окрестности не своей точки Жуге Е, в которой ра-
равенство W = A^ij выполняется для А>разрыва (рис. 7.2). В этом случае отрезок ударной
7.3. Точки Жуге и неединственность решений
501
адиабаты, соответствующий А>разрыву, касается в точке Жуге интегральной кривой
(к — 1)-волны Римана. Этот отрезок вместе с интегральной кривой, соответствующей
расширяющейся (к— 1)-волне Римана образует точку возврата в точке Жуге (см. кри-
кривую ВЕС на рис. 7.4, в которой Sk и Rk_x обозначают соответствующие части ударной
адиабаты и интегральной кривой расширя-
расширяющейся волны Римана; пунктирная линия
ЕВ' соответствует неэволюционному отрез-
отрезку ударной адиабаты).
Если в малой окрестности точки Жуге Е
заменить ударную адиабату Sk и интеграль-
интегральную кривую Rk_x их общей касательной, то
изменение амплитуд этих волн очевидным
образом приведет к движению вдоль одного
и того же луча. Следовательно, при измене-
изменении амплитуд п различных волн, использу-
используемых для построения решения, точки U*,
соответствующие состоянию за системой
волн, занимают не всю ^-мерную окрест-
окрестность точки Жуге, а только (п — 1)-мерную
гиперповерхность. Это означает, что якоби-
¦к-\
В
Рис. 7.4. Области в пространстве парамет-
параметров, в которых имеют место решения, содер-
содержащие ударную волну Sk в окрестности "не
своей" точки Жуге
ан dQt[dUf/da] в точке Жуге становится равным нулю и в принятом линейном прибли-
приближении решение в ее окрестности не существует.
Для построения автомодельного решения с учетом нелинейности рассмотрим сна-
сначала более простой случай, в котором при помощи специального выбора начальных
или граничных условий решение делается состоящим только из двух волн: А>волны и
(к— 1)-волны. Заметим, что каждая точка, лежащая на эволюционном отрезке Sk удар-
ударной адиабаты (например, точка В на рис. 7.4) соответствует состоянию за А>разрывом.
Вслед за ним могут распространяться либо эволюционный (к— 1)-разрыв Sk_l9 либо
непрерывная расширяющаяся автомодельная (к— 1)-волна Римана Rk_v В простран-
пространстве Ц, состояние за этими волнами при фиксированной волне Sk принадлежит кривой,
составленной из эволюционной части ВВ! ударной адиабаты для ударной волны Sk_x
и ее продолжения, представляющего собой интегральную кривую ВВ" волны Рима-
Римана Rk_x. Когда точка В движется вдоль отрезка ударной адиабаты Sk, составная кривая
В"ВВ' заметает двумерную поверхность. Для точек, лежащих на этой поверхности, мож-
можно построить решение, состоящее из последовательности эволюционного А>разрыва и
(к— 1)-волны (непрерывной или разрывной). Это решение будем называть решением I.
Покажем, что область существования решения I представляет собой поверхность,
ограниченную кривой, на другой стороне которой нет автомодельных решений типа I.
Найдем эту кривую. Обозначим скорость А>разрыва, соответствующего точке В че-
через WB. Скорость достаточно малого (к— 1)-разрыва близка к Хк_х и, в соответствии с
условиями эволюционности, WB — Xl_x > 0. Если увеличить амплитуду этого (к— 1)-
разрыва при фиксированном состоянии В, то его скорость также увеличится и станет
равной WB, когда точка, представляющая собой состояния за этим разрывом, приходит
в состояние, которое обозначим буквой В' (рис. 7.4). В физическом пространстве к- и
(к— 1)-разрывы будут сливаться и образовывать единственный неэволюционный раз-
разрыв, соответствующий точке В'. Эта точка принадлежит той же ударной адиабате, что
502 Гл.7. Неклассические разрывы и решения гиперболических систем
и ударная волна Sk.
Дальнейшее увеличение амплитуды (к — 1)-разрыва не отвечает никакому решению
автомодельной задачи, так как (к— 1)-разрыв не может иметь скорость больше чем у
^-разрыва. В пространстве переменных Ц это означает, что область, в которой суще-
существует решение SkSk_ х, состоящее из двух разрывов к-то и (к — 1) -го типов, представляет
собой поверхность, ограниченную кривой, состоящей из точек подобных В или В', т. е.
ударной адиабатой с точкой В, лежащей на ее эволюционной части и точкой В' на
неэволюционной части по другую сторону от точки Жуге Е.
Как упомянуто выше, на другой стороне эволюционного отрезка ударной адиаба-
адиабаты Sk можно построить автомодельное решение, состоящее из ^-разрыва Sk и (к— 1)-
волны Римана Rk_v Будем обозначать это решение SkRk_v Двумерная поверхность,
соответствующая решениям SkSk_x и SkRk_x ограничена кривой, которая состоит из
неэволюционной части ударной адиабаты (дуга ЕВ' на рис. 7.4) и интегральной кривой
волны Римана (дуга ЕС), касательной к ударной адиабате в точке Е.
На другой стороне кривой СЕВ' двумерной поверхности автомодельное решение
или не существует, или, если существует, то должно иметь другое строение (решение
типа II). Возможны два случая.
Случай а. Область в которой решение типа II существует ограничена той же кривой.
Таким образом, в окрестности точки Е решения существуют и единственны, хотя их
строение различно на различных сторонах разделяющей кривой В'ЕС. Для того чтобы
это имело место, необходимо, чтобы второе решение, так же как и первое, обсуждав-
обсуждавшееся выше, было генетически связано с неэволюционной частью ударной адиабаты
(дугой ЕВ' на рис. 7.4). Это возможно, если существует другая, отличающаяся от об-
обсуждавшейся выше комбинация двух разрывов, которые сливаются в единый разрыв
при приближении к кривой ЕВ' с другой стороны. Именно эта ситуация может реали-
реализоваться, если существует другая ветвь ударной адиабаты, соответствующая интервалу
скоростей, содержащему WE, например, если существует своя точка Жуге J и выпол-
выполняется неравенство Wj > WE , т. е. точка J лежит справа от точки Е (рис. 7.2). В этом
случае, для скоростей меньших WE имеется две различных ударных волны, отвечающих
к-му эволюционному прямоугольнику (рис. 7.4). Эти разрывы вместе с подходящими
(к— 1)-разрывами могут составлять две комбинации, соответствующие неэволюцион-
неэволюционному разрыву, близкому к точке Е.
Заметим, что в окрестности неэволюционной части ударной адиабаты около точ-
точки Е два автомодельных решения могут быть интерпретированы как результат двух
вариантов распада неэволюционного разрыва под действием малых возмущений. Эти
решения не являются близкими в смысле абсолютного значения их разности, но они
остаются близкими в смысле других мер различия, например, учитывающих объем об-
области физического пространства, где эти решения сильно различаются. Это связано с
тем обстоятельством, что скорости ударных волн, образующихся в результате распада
неэволюционного разрыва, близки к его скорости.
Случай Ъ. Если при W близком к WE нет других ^-разрывов, то существует только
одна (рассмотренная выше) комбинация SkSk_x двух разрывов, которые сливаются в
неэволюционный разрыв. Например, это выполняется, если точка./лежит левее точкиЕ
на рис. 7.2. Могут иметь место две различных ситуации. В первой из них некоторые
автомодельные решения существуют везде в окрестности точки Е. В этом случае справа
от кривой В'ЕС (рис. 7.4) должно существовать некоторое другое решение П. Это
7.4. Нелинейные волны малой амплитуды в упругих средах 503
решение прямо не связано с ударной адиабатой в окрестности точки Е и в общем случае
значительно отличается от решения I в области его существования. Поэтому граница
области существования решения II не располагается вблизи точки Е, и это решение
существует во всей окрестности точки Е. Это означает, что в той полуокрестности точки
Е, где существует решение I, имеются два различных автомодельных решения, а именно
решения I и П. Вторая возможность заключается в полном отсутствии автомодельных
решений в той полуокрестности точки Е, в которой решение I не существует (вправо
от кривой В'ЕС на рис. 7.4).
Таким образом, если на ударной адиабате существует не своя точка Жуге в слу-
случае а решение меняет свой тип при пересечении неэволюционного отрезка на ударной
адиабате, а в случае Ъ решение либо неединственно, либо не существует для значений
определяющих параметров, соответствующих окрестности точки Е.
Выше рассматривался случай, когда имеет место только две волны ненулевой ам-
амплитуды (к- и (к — 1)-волны). Тем не менее, можно легко проверить, что все заключения
будут справедливы, когда эти волны являются частью более сложной последовательно-
последовательности волн.
Поведение решения в присутствии на ударной адиабате не своей точки Жуге было
сначала исследовано при изучении квазипоперечных волн в упругой анизотропной
среде (Куликовский, Свешникова, 1985а, 1985b, 1998) . Было показано, что ситуация,
описанная в случае а, имеет место при Wj > WE, a если Wj < WE (случай b), то имеет
место неединственность. Упругие волны будут далее обсуждаться в разд. 7.4.
В качестве обобщения заметим, что отмеченная выше неединственность на самом
деле связана с существованием неэволюционных разрывов, которые могут быть пред-
представлены как последовательность двух эволюционных ударных волн, движущихся одна
за другой с одной и той же скоростью. Если такое представление единственно, то анало-
аналогично случаю Ъ можно утверждать, что в окрестности соответствующей части ударной
адиабаты решение автомодельных задач либо не существует, либо неединственно неза-
независимо от наличия не своей точки Жуге (Куликовский, Свешникова, 2001).
7.4. Нелинейные волны малой амплитуды
в упругих средах
В этом разделе будет кратко рассказано о результатах исследований нелинейных волн
малой амплитуды в упругой среде, когда нелинейность и анизотропия взаимодействуют
между собой (детали см. в книге Куликовского, Свешниковой, 1998). При этом анизо-
анизотропия может быть как изначально присущей среде, так и наведенной предварительной
деформацией изотропной среды. Как будет изложено ниже, в присутствии нелиней-
нелинейности и анизотропии ряд классических задач, таких как задача о поршне или задача
Римана о распаде произвольного разрыва, имеют более одного решения. Будет рас-
рассмотрен вопрос об условии физической реализуемости этих решений в вязкоупругой
среде при исчезающей вязкости. Обсуждается также случай исчезающей анизотропии.
7АЛ. Основные уравнения. Будем рассматривать движение упругой среды
в форме плоских волн. Это означает, что решение зависит от единственной декартовой
координаты и времени. Основные уравнения для непрерывных движений записываются
504 Гл.7. Неклассические разрывы и гиперболические системы
в виде (Bland, 1969)
dv, д дФ дщ dvl dS л 1 ^ о /
и at ax aul at ax at
Здесь использован подход Лагранжа, в котором xl,x2,x3 =х — декартовы координаты
начального состояния среды. Неизвестными величинами являются vt и м/э где vt =
= dwjdt — компоненты скорости, a ut = dwjdx — производные от компонент вектора
смещения wt. Эти величины, так же как и энтропия S, считаются функциями от х и
времени t. В системе G.4.1) Ф = PqU, где U обозначает внутреннюю энергию едини-
единицы массы, а р0 — плотность начального состояния. Предполагается, что внутренняя
энергия зависит от тензора деформаций Грина
Из-за геометрии задачи производные dwo /dxa; а, /3 = 1,2 (здесь и далее, латинские
и греческие индексы принимают значения соответственно 1, 2, 3 и 1, 2), не зависят от
времени. Без ограничения общности, производные dw3/dxa в плоских волнах можно
считать равными нулю. В самом деле, это не ведет к потере общности, так как эти вели-
величины могут быть обращены в ноль вращением твердого тела как единого целого. Функ-
Функция Ф зависит также от энтропии S и от некоторых внутренних постоянных параметров,
включающих параметры, которые определяют анизотропию (Лохин, Седов, 1963). В об-
общем случае эти параметры зависят от лагранжевых координат. В рассматриваемой ниже
задаче, однако, они будут полагаться постоянными. Таким образом, внутренняя энер-
энергия зависит от переменных ut и S (энтропия S может менять свое значение на ударных
волнах). Система полностью определяется заданием функции Ф(м/?5). Заметим, что
уравнения G.4.1) не изменяются при добавлении к Ф произвольной линейной функ-
функции ut. Для несжимаемой среды щ = const, v3 = const, и система уравнений G.4.1)
содержит только уравнения с / = 1 и 2.
Для устойчивой среды уравнения G.4.1) представляют собой гиперболическую си-
систему в частных производных. Они выражают второй закон Ньютона, уравнение для
изменений деформаций под воздействием смещений и уравнение отражающее обрати-
обратимость рассматриваемых процессов.
На разрывах при отсутствии внешних воздействий (ударных волнах) должны вы-
выполняться соотношения
Фигурные скобки обозначают скачки величин, взятых в скобки. Так, например, {Ф} =
= фь - OR = ф(г/^,?ь) _ ф(г/^,^к). Здесь верхние индексы R и L отвечают, соответ-
соответственно, величинам перед и за разрывом. W = dx/dt — скорость разрыва, вычисленная
в лагранжевых переменных. Первые две группы уравнений G.4.2) выражают сохране-
сохранение импульса и непрерывность смещений. Последнее из уравнений G.4.2) получено
из закона сохранения энергии. Скорость исключена из этого уравнения при помощи
первой группы уравнений G.4.2). Разрыв термодинамически допустим, если {S} > 0.
7.4. Нелинейные волны малой амплитуды в упругих средах 505
Если среда изотропна в плоскости (xl,x2) (будем называть это условием волновой
изотропии), то аргументы их и и2 входят в Ф в виде комбинации и\ + и\. Таким обра-
образом, в случае волновой изотропии Ф зависит от и\ + и2, и3 и S. Будем рассматривать
случаи, когда волновая анизотропия мала и Ф мало отличается от функции указанных
аргументов, т. е.
O(ut,S) =F(uj + uiuvS)+qp(uv и2, н3), G.4.3)
где q — малый параметр, a p(ut) — определенная функция "порядка единицы." Фак-
Фактически, в дальнейшем будет предполагаться, что p(ut) может быть разложена в ряд
по степеням иг и что первые коэффициенты разложения являются величинами того же
порядка, что и коэффициенты в разложении функции F.
В случае волновой изотропии (т. е. при q = 0) ряд подробных исследований нели-
нелинейных волн предприняли Bland A969), Hanyga A976), Ленский A981, 1982, 1983а,
1983b).
Bland A969) рассмотрел волны малой амплитуды, распространяющиеся в изотроп-
изотропной среде при отсутствии начальных деформаций. Этот случай, очевидно, отвечает
q = 0 в равенстве G.4.3). Выражение для F бралось в виде суммы нескольких первых
членов разложения внутренней энергии в ряд по компонентам тензора деформаций etj
и энтропии S. Принималось во внимание то, что F зависит от etj через инварианты
этого тензора. В общем случае для слагаемого, удовлетворяющего условию волновой
изотропии, верно следующее представление:
F= -1л(и1 + и1) + (-Х + 1л)и23 + аи1 + Ьи3(и2х+и22)-
-^{ui + u22J + PoTo(S-So). G.4.4)
Здесь /I, Я, а, Ъ и h — постоянные коэффициенты, которые определяют упругие свой-
свойства среды (в изотропном случае A и Я — коэффициенты Ламе), р0, То и So — плотность,
температура и энтропия определенного состояния, которое выбрано в качестве началь-
начального. В уравнении G.4.4) оставлены только те члены четвертого порядка по ut, которые
обеспечивают главные нелинейные эффекты, имеющие место для волн. Среди содер-
содержащих энтропию членов оставлен лишь главный член, поскольку изменение энтропии
S — So в рассматриваемых волнах оказывается очень малым. Для несжимаемой среды в
выражении G.4.4) отсутствуют члены с иъ.
Hanyga A976) и Ленский A981, 1982, 1983а, 1983b) рассмотрели нелинейные вол-
волны конечной амплитуды в изотропной (q = 0) упругой среде при различном выборе
функции F. Упомянем также исследование магнитогидродинамических волн (Куликов-
(Куликовский, Любимов, 1962; Ландау, Лифшиц, 1992). Магнитная гидродинамика идеально
проводящих сред является, по существу, частным случаем теории упругости. Во всех
перечисленных случаях, соответствующих равенству q = 0, поведение волн обладает
определенными общими свойствами, обусловленными волновой изотропией. В частно-
частности, в случае волновой изотропии существуют, так называемые, вращательные волны
для которых и2 + и\ — const. Они могут быть как непрерывными, когда они распростра-
распространяются в виде бегущей волны в которой направление вектора [щ,и2] представляется
произвольной функцией, так и разрывами с {S} = 0, распространяющимися с той же
скоростью, что и непрерывные волны. Наличие таких волн определяет специальную
506 Гл.7. Неклассические разрывы и гиперболические системы
форму условий эволюционности на разрывах. Кроме того, решения задач о структуре
имеют некоторые особенности. Ниже задачи о поведении волн при волновой изотропии
будут исследованы при помощи сравнения случаев cq^0nq=0n перехода к пределу
при q —у 0.
Рассмотрим волны малой амплитуды в присутствии малой анизотропии и выберем
в качестве уравнений состояния равенства G.4.3) и G.4.4). Функция p(uk) в G.4.3)
может быть также разложена в ряд по степеням ut. Для малых q в этом разложении
будут оставлены только квадратичные члены. Вращением осей их и и2 зависимость
анизотропной части внутренней энергии от их и и2 может быть сведена к виду
Р=\D-"Ъ- GА5)
В случае волновой изотропии линейные волны могут подразделяться на продольные
и поперечные. В продольных волнах изменяется только г/3, в то время как в попереч-
поперечных — только их и г/2. При наличии малой нелинейности и малой анизотропии волны
могут подразделяться на квазипродолъные и квазипоперечные.
7.4.2. Квазипродольные волны. Несмотря на то что в квазипродольных вол-
волнах их и и2 изменяются вместе с м3, относительные изменения их и и2 по сравнению с иъ
не превосходят по величине max(e,g), где ? = тах(м1?м2). Квазипродольные волны,
распространяющиеся в положительном (или отрицательном) направлении оси х, со-
соответствуют одному семейству характеристик. Ограничиваясь рассмотрением только
главного порядка нелинейности, изменение величин в распространяющейся по одно-
однородному фону квазипродольной волне малой амплитуды, может быть описано уравне-
уравнением
^ ^ A 3), G.4.6)
где Я, A и а — коэффициенты разложения в G.4.4).
Величины их и и2 в квазипродольных волнах могут быть выражены через и3. В
случае волновой изотропии их и и2 равны нулю, т. е. волны оказываются строго про-
продольными. При переходе к движущейся системе координат, выбором соответствующего
масштаба для г/3, коэффициент при дщ/дх может быть сделан равным щ. Уравне-
Уравнение G.4.6) при этом приводится стандартному виду. Наряду с непрерывными волнами,
решения могут иметь разрывы (ударные волны). В рассматриваемом здесь малоампли-
малоамплитудном приближении последние подчиняются теоремам Лакса (п. 1.4.3).
7.4.3. Квазипоперечные волны. Квазипоперечные волны, отвечающие двум
семействам характеристик с близкими скоростями (совпадающими при отсутствии
нелинейности и анизотропии), представляют наибольший интерес. Сложное взаимо-
взаимодействие нелинейности и анизотропии наиболее ярко проявляется в поведении квазипо-
квазипоперечных волн. По этой причине последующий анализ целиком посвящен этим волнам.
Для описания взаимодействия двух квазипоперечных волн, движущихся с близкими
скоростями в положительном направлении оси х, при наличии малых нелинейности
и анизотропии, при достаточно общих условиях из полной системы G.4.1) уравнений
7.4. Нелинейные волны малой амплитуды в упругих средах 507
теории упругости можно вывести следующую систему из двух уравнений (Куликов-
(Куликовский, 1986; Куликовский, Свешникова, 1998):
GA7)
где к — коэффициент, связанный с нелинейностью, g — малый параметр, характеризу-
характеризующий анизотропию, а /—характеристическая скорость при отсутствии нелинейности
и анизотропии (т. е. при g = 0 и к = 0). В системе G.4.7) оставлены только главные
члены, отвечающие за нелинейность и анизотропию. В выражении для Н(щ, м2) член,
отвечающий анизотропии, пропорционален g. Он возникает из аналогичных членов
в формулах G.4.3) и G.4.5). В случае волновой изотропии (g = 0) система уравне-
уравнений G.4.7) была получена и использована в магнитной гидродинамике (см. разд. 5.5).
Одной из причин, вызывающей волновую анизотропию, может служить наличие
малой предварительной деформации изотропной среды. В этом случае величина g ока-
оказывается пропорциональной разности е2 - е1э где ех и е2 — главные значения тензора
деформации в плоскости волны.
При выводе системы уравнений G.4.7) были использованы равенства G.4.3)-G.4.5).
В предположении, что ненулевые начальные условия соответствуют волнам, связанным
только с двумя семействами упомянутых выше характеристик, были приближенно ре-
решены уравнения для возмущений на других характеристиках и полученные решения
подставлены в оставшиеся два уравнения для квазипоперечных волн. В частности, для
волн, распространяющихся в положительном направлении оси х, имеет место прибли-
приближенное соотношение, при помощи которого щ можно выразить через их и ы2:
иъ = -- (и?+ «2) +const- G.4.8)
А + /1
Системе уравнений G.4.7) соответствуют следующие соотношения на разрыве:
^К}, а =1,2, G.4.9)
где W = dx/dt — его скорость. Эти уравнения выражают сохранение поперечных ком-
компонент импульса. Так как упрощенная система уравнений G.4.7) не включает энтропию
или какую-либо другую термодинамическую переменную, условие неубывания энтро-
энтропии на разрыве должно выражаться как условие невозрастания механической энергии
На квазипоперечных разрывах соотношение между и3,щ и м2 дается тем же соотно-
соотношением G.4.8), что и в случае непрерывных квазипоперечных волн. Хотя большинство
результатов, приведенных ниже изначально были получены при помощи приближенных
решений полной системы уравнений теории упругости G.4.1), G.4.2), их представление
будет здесь производиться на основе упрощенной системы уравнений G.4.7), G.4.9).
508 Гл.7. Неклассические разрывы и гиперболические системы
7.4.4. Подобие нелинейных явлений. Как видно из выражения для Я, ко-
коэффициент g может иметь любой знак. В дальнейшем будет считаться, что знаки g и к
совпадают, чего можно достичь путем соответствующего выбора нумерации величин
их и и2. Переходя к движущейся системе координат, можно исключить /. Кроме того,
величины g и \к\ изменением масштабов зависимых и независимых переменных могут
быть сделаны равными единице. В этом случае система уравнений и соотношений на
разрыве сохраняет свою форму и функция Н приобретает одну из двух канонических
форм, соответственно, для к < 0 и к > 0:
Я=1(«2-М?)±1(М2 + М2J_
Для приведения уравнений к канонической форме, соответствующей выписанной функ-
функции //, масштабы времени, длины и м/э равные Г, L и U, следует определить так, что
Две задачи о нелинейных волнах подобны, если у них при совпадающих величинах t/T
и x/L совпадают также г/а/?/, а = 1,2. Очевидно, что для подобия решений достаточно
подобия начальных и граничных условий. В частности, для подобия решений задач
Коши необходимо совпадение пар функций U~xua(xjL), a — 1,2, с произвольными
масштабами L для каждой их задач, где ua(x) — функции, задающие начальные усло-
условия. Для задачи с граничными условиями, заданными при х = const, необходимо также
совпадение функций U~xua{tjT\ где T,LvlU удовлетворяют выписанным выше усло-
условиям. Важно заметить, что решение задачи с некоторыми заданными функциями ua(x),
a = 1,2, может оказаться подобным решению с меньшими ua, если во второй задаче
окажется меньше масштаб величины U = л/g/k. Для изотропной среды с конкретным
значением к, величина U может быть сделана сколь угодно малой при малых деформа-
деформациях, поскольку, как об этом было сказано выше, величина g пропорциональна ?2 — в1э
где ех, ?2 — главные значения деформаций в плоскостях, параллельных фронту волны.
Таким образом, все нелинейные эффекты, о которых пойдет речь далее, в изотропном
теле могут проявляться уже при сколь угодно малых деформациях. В дальнейшем,
однако, при написании уравнений коэффициенты g и к будут удержаны для удобства
изучения зависимости решений от этих физически значимых параметров. Возможность
сведения Н к одной из двух канонических форм показывает, что существует только два
качественно различных случая поведения волн для к > 0 или к < 0.
7.4.5. Волны Римана. Название волны Римана (простые волны) относится к
решениям вида
М( = М((е(х, 0), G.4.11)
где в — неизвестная функцияхи/. Подставляя G.4.11)в G.4.7), получим
Здесь а, /3 = 1,2, а 5- — символ Кронекера. Как видно из уравнения G.4.12), харак-
характеристическая скорость Я должна равняться одному из собственных значений матрицы
7.4. Нелинейные волны малой амплитуды в упругих средах
509
[Яао], которые пронумеруем так, что Хх < Х2. Так как Хх и Х2, будучи собственными
значениями матрицы [//„«], являются функциями Uy, из второго уравнения в G.4.12)
получим следующее уравнение для функции 0:
дх
G.4.13)
которое показывает, что в и, соответственно, ur@) постоянны на каждой из харак-
характеристик этого уравнения, представленных прямыми линиями в плоскости (х, t) и
определяемых формулой
^ G.4.14)
На плоскости (м1?м2) равенство Хх = Я2 удовлетворяется только в точках их = 0 и
и2 = ±л/^, G = 4g/k (предполагается, что g/k > 0). Интегральные кривые волн Рима-
на касаются собственных векторов матрицы Я~ и в плоскости (м1?м2) образуют два
ортогональных семейства (рис. 7.5) (Свешникова, 1982). Оси ul и и2 для множества
интегральных кривых являются осями сим-
симметрии. Решения, соответствующие Хх и Я2,
называются соответственно медленными и
быстрыми квазипоперечными простыми вол-
волнами.
Рассмотрим уравнения G.4.12) для Я = Хх
и Я = Я2. Точки, в которых Я1 = Я2, являют-
являются особыми точками обоих семейств инте-
интегральных кривых. Для к > 0 эллипсоподоб-
ные кривые соответствуют быстрым волнам
(Я = Я2), а кривые гиперболического вида
отвечают медленным волнам (Я = Хх). Для
к < 0 ситуация является противоположной.
В принятой аппроксимации полная картина
интегральных кривых квазипоперечных волн
всегда одинакова с точностью до масштаба,
определяемого \J~G, и не зависит от знака к.
При g —У 0 или и\ + г/2 —У оо интегральные
кривые трансформируются в лучи и окруж-
окружности, что отвечает волнам изотропного слу-
случая (Bland, 1969). На рис. 7.5 стрелки указывают направления убывания Яа вдоль ин-
интегральных кривых для к > 0. Если к < 0, то Яа убывают в противоположных направ-
направлениях. Если изменение величин в волне соответствует отрезку интегральной кривой,
вдоль которой Я убывает, то она расширяется со временем, так как передний фронт
волны движется быстрее, чем задний.
7.4.6. Ударные волны. Из соотношения G.4.9) может быть получено равен-
равенство (Куликовский, Свешникова, 1980, 1982, 1998)
Рис. 7.5. Интегральные кривые квазипопе-
квазипоперечных волн Римана в слабо анизотропной
упругой среде
{u\ + u\-R2)(Uxu2-U2ux)+2G{ux -Ux)(u2 -U2) = 0,
G = 4g/k, R2 = C
G.4.15)
510
Гл. 7. Неклассические разрывы и гиперболические системы
а также определена скорость разрыва W. Здесь Ц и U2 соответствуют величинам перед
разрывом. Величины за ним, по-прежнему, будут обозначаться через их и и2.
Ударная адиабата в плоскости (ul,u2) определяется уравнением G.4.15) при фик-
фиксированных значениях Ux и ?/2. Как видно из уравнения G.4.15), ударная адиабата не
зависит от знака А:, так как была принята нумера-
нумерация переменных их и и2 такая, что signg = sign A:.
На рис. 7.6 изображен один из возможных вари-
вариантов этой кривой. Он отвечает случаю, когда
Ux и U2 значительно больше, чем \/~G. Условие
неубывания механической энергии G.4.10), или
невозрастания энтропии, может быть записано
в форме
k(u\ + u22- R2) ((щ -Uxf + (и2 - U2f) < 0.
G.4.16)
Здесь левая часть неравенства противополож-
противоположна по знаку и пропорциональна производству
энтропии на скачке. Окружность u\ + u\ = R2,
где скачок энтропии меняет знак, будет назы-
называться энтропийной окру леностью. Заметим,
что ударная адиабата пересекает энтропийную
окружность в точках с координатами (—UX,U2) и (Ux,—U2). Первая из них на рис. 7.6
представлена точкой N.
В рассмотренном случае априорные условия эволюционное™ для разрывов могут
быть сведены к одной из систем неравенств
D
Рис. 7.6. Ударная адиабата квазипопе-
квазипоперечных ударных волн
W,
G.4.17)
определяющих, соответственно, быстрые и медленные разрывы. Неравенства G.4.17)
на диаграммах эволюционности могут быть графически представлены как отрезки
ударной адиабаты, принадлежащие эволюционным прямоугольникам. На рисунках 7.7а
и 7.7Ь воспроизведены некоторые варианты ударных адиабат, соответственно, в случаях
с?>0и&<0.
Как упоминалось в разд. 7.1, вдоль горизонтальной оси диаграммы эволюцион-
эволюционности скорость разрыва воспроизводится в реальном масштабе. Вдоль вертикальной
координаты выполняются только неравенства между W, Х\ и Х2. На рис. 7.6 и 7.7
одинаковые буквы относятся к одним и тем же точкам. На диаграмме эволюционности
начальная точкам (их =UV u2 — U2) представлена двумя точками, соответствующими
ее положению на двух пересекающихся ветвях ударной адиабаты. На рис. 7.6 эволюци-
эволюционные отрезки ударной адиабаты показаны жирными кривыми для к > 0 и поперечными
штрихами для к < 0.
Если рассматривать ударную адиабату как функцию щ/y/G и u2/y/G, то в уравне-
уравнении G.4.15) останутся только два параметра, а именно координаты начальной точки.
Эволюционные части ударной адиабаты зависят от знака к. Случаи, представленные
на рис. 7.7а и 7.7Ь, отвечают достаточно большим uxj\fG и u2j\J~G (больше 2). При
уменьшении этих величин точка Е на рис. 7.7а движется влево и эволюционный от-
отрезок КЕ исчезает. Одновременно с этим точка Н на рис. 7.7Ь движется вправо, и в
7.4. Нелинейные волны малой амплитуды в упругих средах
511
области быстрых волн появляется отдельный дополнительный эволюционный отре-
отрезок. Более полное описание формы ударной адиабаты дано Куликовским, Свешниковой
A982, 1998).
В разд. 7.1 точки F,E,K,J,D,L и Я, представляющие собой такие точки, где ско-
скорость ударной волны совпадает с одной из характеристических скоростей перед или
за скачком, были названы точками Жуге.
Ударные волны, отвечающие граничным
точкам эволюционных интервалов, игра-
играют важную роль в построении автомодель-
автомодельных решений. Следует отметить, что для
рассматриваемых здесь упругих волн тре-
требование априорной эволюционности, как
видно из рис. 7.6, влечет за собой выпол-
выполнение условия неотрицательности произ-
производства энтропии.
Наряду с эволюционными отрезками
на ударной адиабате, могут оказаться важ-
важными также неэволюционные отрезки. На-
Например, точки отрезка FE (рис. 7.7а) от-
отвечают одной или двум комбинациям из
двух эволюционных ударных волн, движу-
движущихся с одинаковыми скоростями. Неэво-
Неэволюционные отрезки, примыкающие к точ-
точке А, отвечают состоянию перед ударной
волной, состояние за которой представля-
представляется точкой^.
При g —> О для фиксированных Ux и ?/2,
ударная адиабата в плоскости (их, и2) при-
приближается к окружности с центром в на-
начале координат, пересеченной прямой ли-
^-—^
А
^
L
A^\j
^—/
К
J5
F
а)А;>0
X1
А
L
Е( ^^
А \#
'
^^ —
А
А'
D
—
1 >
Ъ)к<0
Рис. 7.7. Диаграммы эволюционности
нией, проходящей через начало координат
и точку А. В пределе, эволюционный от-
отрезок ЕК ударной адиабаты (рис. 7.7а) за-
занимает часть дуги окружности и отрезок прямой линии от окружности до середины
радиуса.
Следует отметить, что при g = 0 вся окружность соответствует эволюционным раз-
разрывам, скорость которых совпадает с характеристической скоростью по обе стороны
от фронта разрыва и, кроме того, весь луч, исходящий из центра в направлении проти-
противоположном начальной точке, соответствует неэволюционным разрывам. Причина для
такого качественного отличия между эволюционными отрезками ударной адиабаты при
g ->• 0 и в предельном случае g = 0 будет обсуждаться ниже.
7.4.7. Автомодельные задачи и неединственность решения. Реше-
Решения автомодельных задач могут служить проверочным тестом при исследовании про-
простых и ударных волн. Пусть состояние упругого полупространствах > 0 задано посто-
постоянными значениями их = UX vlu2 = U2 при t = 0, а граничные условия их = ихли2 = и2
512
Гл. 7. Неклассические разрывы и гиперболические системы
A{UbU2)
заданы при х = 0 и t > О. Это так называемая "задача о поршне". Необходимо отыс-
отыскать решение уравнений G.4.7) как функцию от x/t > 0. Решение должно состоять из
волн Римана и разрывов, разделенных областями, занимаемыми однородными состоя-
состояниями. В дальнейшем предположим, что возможны только изученные выше априорно
эволюционные ударные волны. Обоснование этого будет дано ниже.
При возврате от упрощенной
,,* системы G.4.7) к полной си-
системе уравнений теории упруго-
упругости G.4.1), решая рассматривае-
рассматриваемую задачу, можно рассмотреть
два случая. В первом из них иъ
пренебрежимо мало как в началь-
начальных, так и в граничных услови-
условиях, а в другом решается задача по-
построения системы квазипопереч-
квазипоперечных волн, остающихся после ухода
продольных волн.
Ниже приводятся без выво-
вывода некоторые сведения о реше-
решении задачи о поршне (Куликов-
(Куликовский, Свешникова, 1985а, 1985b,
1998). На рис. 7.8 воспроизведен
один из вариантов решения для за-
заданных значений Ux и U2 и про-
произвольных граничных значений и\
и и2 при к > 0. Плоскость пере-
переменных и\ и и2 разделена на об-
S2JR2Rl
Рис. 7.8. Решение задачи о "поршне" для k > 0: за-
зависимость решения от граничных данных щ \х=0 = и*
при ut\t=0 = Ц. Заштрихована область двузначности
решения
ласти, в которых отмечены волны,
составляющие решение. Исполь-
Использовались следующие обозначения:
Rx и R2 — медленные и быстрые волны Римана; Sx — медленная ударная волна; S2 и
S^ — быстрые ударные волны, соответствующие отрезкам AJ и ЕК ударной адиабаты;
S2J и S2K — ударные волны Жуге того же типа, что ударные волны А —у J и А —у К.
Возможность построения двух различных решений для точек, принадлежащих за-
заштрихованной области Q'QPETE' (рис. 7.8), по-видимому, представляет основной ин-
интерес. Каждое из двух решений может быть непрерывно продолжено в одну из соседних
областей. Например, в области QPE (рис. 7.8) имеем решение S~SX, непрерывно продол-
продолжаемое в область QKFP через границу QP. Это решение содержит две ударных волны,
которые в плоскости (х, t) разделяют зоны с постоянными значениями их и и2. Поми-
Помимо этого, в области QEP имеем решение S~R2S2KSX, непрерывно продолжаемое через
границу PET. Это решение состоит из последовательности быстрых волн S2JR2S2K,
которые непосредственно следуют одна за другой без промежутка между ними, а так-
также из медленной ударной волны Sx, отделенной от описанной системы быстрых волн
зоной постоянных величин. Оба решения совпадают на кривой QP, но различны на
кривой РЕЕ'. Представленное на рис. 7.8 множество решений отвечает ударной адиа-
адиабате, изображенной на рис. 7.6, и имеет место при к > 0 и Ux vlU2 значительно больших,
7.4. Нелинейные волны малой амплитуды в упругих средах 513
чем y/G. Заметим, что отмеченная неединственность возникает из-за наличия не своей
точки Жуге (точки Е) на ударной адиабате. Это обстоятельство с общей точки зрения
рассматривалось в разд. 7.3.
То, что часть QE эволюционного отрезка ударной адиабаты лежит в области неедин-
неединственности (рис. 7.8), говорит о том, что ударные волны, соответствующие точкам от-
отрезка QE, могут распасться, образуя при этом систему волн, соответствующую второму
решению, существующему в этой области. Такие разрывы было предложено назвать ме-
тастабильными (Truskinovskii, 1994). Однако, возможность такого распада во многих
случаях не осуществляется (см. п. 7.4.7). Интересно, что для заданных Ux и U2 при
G —у О область неединственности стремится к внутренности некоторого ненулевого
угла с вершиной в начале координат. Тем не менее, при G = О решение оказывается
единственным. Объяснение этого кажущегося противоречия дано ниже в п. 7.4.9 .
Наряду с задачей о поршне, задача Римана о распаде произвольного разрыва также
представляет большой интерес в связи с тем, что решение этой задачи часто исполь-
используется в численных методах для вычисления потоков через границы вычислительных
ячеек. Решение задачи ищется во всем пространстве при наличии следующих началь-
начальных условий:
f = 0, x>0: ux=Uv u2 = U2;
t = 0, x < 0: ul=ul, u2 — u\.
Задача может быть сведена к решению двух задач о поршне в областях х > О и х < О
с неизвестными заранее условиями прих = 0. Исследование этой задачи (Куликовский,
Свешникова, 1988,1998) также приводит к заключению о возможности неединственно-
неединственности решения. К задаче Римана с неединственными решениями может привести задача
о взаимодействии квазипоперечных волн (как догоняющих одна другую, так и стал-
сталкивающихся). Это означает что уравнения теории упругости не позволяют однозначно
предсказать решения естественным образом возникающих задач. Требование гладко-
гладкости начальных условий не может помешать образованию ударных волн, столкновение
которых приведет затем к неоднозначному продолжению решения по времени. Столк-
Столкновение более чем двух ударных волн отвечает специальным начальным или граничным
условиям. Эти условия представляют собой, в определенном смысле, множество меры
ноль среди множества всех начальных или граничных условий. Следовательно, для того
чтобы строить единственное решение задач, отвечающих начальным условиям общего
положения, достаточно иметь правило для отбора решений задачи Римана, возникаю-
возникающей как результат взаимодействия двух ударных волн.
В заключение напомним, что, как это показано в п. 7.4.4, в изотропном теле нели-
нелинейные эффекты могут проявляться при сколь угодно малых деформациях с сохранени-
сохранением подобия соответствующим явлениям, происходящим при умеренных деформациях.
Таким образом, неединственность решения задач о поршне и распаде произвольного
разрыва в изотропной упругой среде имеет место уже при сколь угодно малых дефор-
деформациях. Это весьма необычная ситуация, и авторы не знают другой системы уравнений
механики сплошной среды, для которой она имела бы место.
7.4.8. Волны в вязкоупругих средах. Исчезающая вязкость. Для вы-
выбора допустимых разрывов и нахождения единственных решений рассмотрим структу-
структуру разрывов, а также задачи, подобные рассмотренным выше, для вязкоупругой среды
514 Гл.7. Неклассические разрывы и гиперболические системы
(в рамках модели Кельвина-Фойхта). Наличие вязкости приводит к появлению допол-
дополнительных членов в уравнениях G.4.7):
dt дх \ диа) дх2
Здесь коэффициент v предполагается постоянным и пропорциональным коэффици-
коэффициенту вязкости. Заметим, что этот коэффициент может быть сделан равным единице
изменением масштаба независимых переменных без изменения величин / и g в выра-
выражении G.4.7) для Н. Рассматривая упругую среду как предел вязкоупругой среды при
v —у О ("исчезающая вязкость"), хотелось бы получить принцип отбора, обеспечиваю-
обеспечивающий единственность решений задач, которые при отсутствии вязкости неединственны.
Структура ударных волн была исследована Куликовским, Свешниковой A987) для
к > О и Чугайновой A991) для к < 0. Решения уравнений вязкоу пру гости разыскивались
в форме бегущих волн, т. е. функций от ^ = —x+Wt, причем считалось, что иа стремят-
стремятся к конечным пределам при % —у ±оо. Очевидно, что при v —У 0 ширина переходной
зоны, где решение значительно отличается от предельных значений, стремится к нулю
и это решение переходит в ударную волну, на которой удовлетворяются законы сохране-
сохранения G.4.9). При к > 0 существование решений, отвечающих разрывам, принадлежащим
отрезку ЕК ударной адиабаты было доказано аналитически. В серии численных расче-
расчетов было показано, что структура всегда существует для всех эволюционных ударных
волн. Таким образом, эти исследования не позволяют отбросить какую-либо часть удар-
ударных волн как нереализуемую. В то же самое время среди априорно неэволюционных
разрывов, не было найдено допустимых разрывов.
Ряд нестационарных неавтомодельных задач для вязкоупругой среды был численно
решен Чугайновой A988, 1993а). Для этих задач рассмотренные выше автомодельные
решения представляют асимптотику при t —У оо. Рассмотрим полупространство х > 0,
где величины ul = Ulnu2 = U2 постоянны при t < 0. Изменим граничные значения их
и и2 при х = 0 либо мгновенно при t = 0, либо в течение конечного интервала времени
0 < t < т, так что их и и2 приобретут постоянные значения и\ и и2 при t > т. Рассмотрим
большие значения времени t ^> т, когда характерный линейный размер задачи велик.
В этом случае можно ожидать, что эффект вязкости и изменения граничных условий
внутри интервала т слабеет и решение будет стремится к определенному, хотя и из-
изначально неизвестному, автомодельному решению задачи без вязкости. Это решение
может зависеть от функций, определяющих граничные значения их и и2 при 0 < t < т.
В результате серии расчетов показано, что в области Q'QPETE' на плоскости (и\, и2)
при больших t обычно реализуются более простые решения S*SX или S~RX (рис. 7.8).
Получить сложные решения S2JR2S2KSX или S2JR2S2KRX оказалось возможным только
в том случае, когда в течении некоторого временного интервала тх граничные условия
при х = 0 сохранялись в области E'TEPF2K2 (рис. 7.8). Эта область примыкает снизу к
области неединственности, и в ней существует только сложное решение. Это решение
будет развивается в течении времени тх. Если тх достаточно велико и граничные усло-
условия подвергаются изменению таким образом, что точка, задающая граничные условия,
переходит при t > тх в область неединственности, то возмущения, возникающие на
границе при изменении граничных условий, уже не могут изменить тип решения и оно
остается сложным.
7.4. Нелинейные волны малой амплитуды в упругих средах 515
Кроме того, Чугайнова A993b) выполнила серию вычислений для описания взаимо-
взаимодействия между ударными волнами. Здесь под ударными волнами понимается решение,
описывающее их структуру с учетом вязкости. Было рассмотрено два варианта задачи.
В первом варианте, при выполнении соответствующих граничных условий от границы
х = О излучается волна, которая с течением времени переходит в решение, представля-
представляющее структуру ударной волны в области х > 0. Затем граничные условия меняются,
в результате чего подобным же образом создается вторая ударная волна со своей соб-
собственной структурой и большей скоростью, так что она догоняет первую. Конечное
состояние, соответствующее состоянию за второй ударной волной, выбиралось при-
принадлежащим области неединственности. Оказалось, что в результате взаимодействия
между этими ударными волнами, когда вторая волна догоняет первую, решение во всех
рассчитанных вариантах выходило на более простую асимптотику, представленную
волнами S^Sl или S^RX.
Во втором варианте рассматривалось взаимодействие ударных волн, движущихся в
разных направлениях. Для того чтобы вместо полной системы уравнений теории вязко-
упругости можно было пользоваться упрощенной системой уравнений G.4.18), описы-
описывающей волны, распространяющиеся только в одну сторону, проводились следующие
рассмотрения. Изучаемые явления связаны со взаимодействием эффектов нелинейно-
нелинейности, анизотропии и вязкости. Если амплитуды взаимодействующих волн достаточно
малы, эффекты нелинейности и вязкости (в отношении которых предполагается, что
они имеют одинаковый порядок величины) не могут развиться в течение времени вза-
взаимодействия структур ударных волн. Таким образом, вначале взаимодействие ударных
волн, движущихся в противоположных направлениях, может быть рассмотрено как
взаимодействие линейных невязких волн. После взаимодействия каждая волна будет
двигаться по фону, создаваемому другой волной, как будто одна волна взобралась на
другую. Однако в этом случае состояния перед и за такой волной не будут удовле-
удовлетворять соотношениям G.4.9) на разрыве, и действие малых эффектов нелинейности,
анизотропии и вязкости в конечном итоге приведет к распаду этой волны. Чем меньше
соответствующие члены в уравнениях G.4.18), тем больше время распада. Параметры
сталкивающихся волн в расчетах намеренно выбирались так, что задача имела две воз-
возможных асимптотики с одной или с обеих сторон от области взаимодействия. Расчеты
показали, что во всех рассмотренных столкновениях ударных волн, двигающихся в про-
противоположных направлениях, решение всегда выходит на более простую асимптотику,
содержащую две волны.
В результате описанных численных экспериментов с вязкоупругими квазипопереч-
квазипоперечными волнами можно сделать следующие заключения по поводу асимптотического
поведения решений в случаях, когда соответствующая невязкая задача имеет более од-
одного решения. Во-первых, выставляя начальные или граничные условия (например,
надлежащим образом размазывая изменение по времени граничных условий в задаче
о поршне или изменение по пространству начальных условий в задаче о распаде про-
произвольного разрыва), можно получить решения, стремящиеся к любой из двух асим-
асимптотик. Во-вторых, более простая асимптотика, состоящая из двух волн, в некотором
смысле имеет большую "область притяжения". В-третьих, результаты расчетов позво-
позволяют высказать гипотезу, в соответствии с которой при взаимодействии двух ударных
волн должна всегда осуществляться более простая асимптотика.
Если упругая среда является пределом вязкоупругой среды при стремлении вяз-
516 Гл. 7. Неклассические разрывы и гиперболические системы
кости к нулю, начальные условия определены для всех х, непрерывны и, кроме того,
отвечают "случаю общего положения", при котором в дальнейшем происходит только
попарное взаимодействие ударных волн, то предложенная гипотеза делает возможным
построение единственного решения.
Тем не менее, следует заметить, что эта гипотеза требует доказательства или более
подробных численных проверок. Кроме того, заметим, что все ситуации, рассмотренные
в этом разделе, относятся к вязкоупругой среде. Принципы отбора решений могут быть
другими, если в среде существуют другие "размазывающие"механизмы (см. разд. 7.5
и 7.6).
Упомянем еще об исследованиях, касающихся устойчивости вязкой структуры ме-
тастабильных ударных волн, соответствующих точкам отрезка QE на рис. 7.8 (Куликов-
(Куликовский, Чугайнова, 1998,2000,2001), продемонстрировавших устойчивость этих ударных
волн по отношению к одномерным и двумерным возмущениям малой и конечной ам-
амплитуды.
7.4.9. Роль волновой анизотропии и переход к изотропному преде-
пределу. Выше было замечено, что только одно, более сложное, решение задачи о поршне
имеется в области E'TEPF2K2, примыкающей снизу к области неединственности в
плоскости (м|, м2). Это решение непрерывно продолжается через границу PETE' этих
областей. Исчезновение другого решения, когда точка (u^u2), задающая граничные
значения, пересекает эту границу при движении сверху вниз, проявляется в опреде-
определенном специфическом поведении исчезающего решения, которое может быть названо
катастрофической перестройкой. Заметим, что, в противоположность этому, на верхней
границе QQ'P области неединственности автомодельные решения не отличаются друг
от друга и подобное явление отсутствует.
Катастрофическая перестройка может иметь место (Куликовский, 1989), например,
в случае k > 0 для малых значений Г = G/(u\ + u2) в процессе эволюции быстрой про-
простой волны, представленной на плоскости (щ, м2) интегральной кривой эллипсовидной
формы. Эта интегральная кривая близка к окружности для малых Г (рис. 7.5). В резуль-
результате эволюции волны Римана возникает ударная волна S*; причем чем меньше величина
Г, тем медленнее протекает этот процесс. Если точка, представляющая собой состоя-
состояние за ударной волной S&, движется вдоль ударной адиабаты, приближаясь к точке Е,
то ударная волна S& генерирует медленную простую волну Rl9 которая отстает от S&.
Когда точка, представляющая S*, двигаясь вдоль ударной адиабаты достигает точки Е,
волна S* распадается на комбинацию ^2JR2S2KSX • Последняя в этой комбинации удар-
ударная волна S^, занимает место впереди образовавшейся ранее волны Rl. Для малых Г
профиль медленной составной волны, т. е. комбинации S^R^, имеет некоторую харак-
характерную форму. Амплитуда этой медленной волны имеет порядок величины тах(г/1, м2) •
При Г —у 0 амплитуда стремится к \ Щ + Щ/2, а эффективная ширина профиля волны
стремится к нулю. Это явления наблюдалось в численных расчетах Чугайновой A993а).
И эта перестройка решения, и неединственность решения имеют место только при
g ф 0, в то время как при g = 0 они отсутствуют. В этой связи рассмотрим более детально
различие между случаями, когда g = 0 и когда g очень мало. Начнем с вопроса об
эволюционности ударных волн. Как отмечено выше, часть ударной адиабаты при g —У 0
стремится к совпадению с изэнтропической окружностью. В этом пределе скорость
7.4. Нелинейные волны малой амплитуды в упругих средах 517
соответствующих ударных волн совпадает с быстрыми (для к > 0) характеристическими
скоростями по обе стороны разрыва. В результате, при g ->• 0 скорость расплывания
неэволюционных разрывов, отвечающих точкам ударной адиабаты, принадлежащим
окрестности изэнтропической окружности, уменьшается и стремится к нулю. При g =
= 0 этот процесс вообще не происходит, и эволюционным разрывам отвечает целая
окружность.
Часть отрезка ЕК ударной адиабаты, лежащая в окрестности прямой АО является
эволюционной для малых g ф 0. Дадим объяснение тому, почему она становится неэво-
неэволюционной в пределе, когда g стремится к нулю. Рассмотрим взаимодействие между
ударной волной S& и малыми быстрыми возмущениями. Для малых g быстрые возму-
возмущения отвечают смещению точки (щ, и2) приблизительно вдоль окружности с центром
в начале координат, в то время как медленные возмущения отвечают почти радиаль-
радиальным смещениям. Если для малых g малое быстрое возмущение, в котором величина и2
растет, догоняет ударную волну &, отвечающую достаточно удаленной от изэнтропи-
изэнтропической окружности точке ударной адиабаты, то состояние за этими волнами лежит на
рис. 7.8 несколько выше ударной адиабаты начального состояния А. В решении зада-
задачи о взаимодействии упомянутых волн это приводит к некоторому смещению точки,
представляющей ударную волну S*, вдоль ударной адиабаты и возникновению (отраже-
(отражению) медленной волны. При этом и смещение точки, представляющей S&, и амплитуда
медленной волны оказываются тем больше, чем больше \dr/d6\ (г = г (в) - уравне-
уравнение кривой Гюгонио в полярных координатах). При g = 0 эта производная становится
бесконечно большой, что отвечает бесконечно большому коэффициенту отражения,
т. е. неэволюционности. В то же время, можно отметить следующее обстоятельство. На
плоскости (u\, и2) площадь области в которой решение содержит скачок &, принадлежа-
принадлежащий той части отрезка ЕК, которая расположена достаточно далеко от изэнтропической
окружности, уменьшается при g ->• 0 и обращается в ноль при g = 0.
Рассмотрим поведение двух различных решений одной и той же задачи, когда реше-
решение неединственно при очень малых g. Для этой цели рассмотрим случай, когда точка
(u\, и2) фиксирована и лежит внутри области неединственности. При переходе к преде-
пределу g ->• 0 скорости быстрых волн, входящих в оба решения, стремятся к одному и тому
же значению, равному скорости вращательной волны. Состояния за быстрой ударной
волной S* и за комбинацией быстрых волн S2JR2S2K также стремятся к совпадению.
Следовательно, для малых g область плоскости (x,t), в которой решения различаются
на конечную величину, представляет собой узкий сектор с вершиной в начале коорди-
координат. Угол при вершине этого сектора стремится к нулю при g ->• 0. Он имеет тот же
порядок величины, что и угол, соответствующий волне R2 в комбинации S2 R2S2k. При
g = 0 решения совпадают и, следовательно, автомодельная задача имеет единственное
решение. Таким образом, несмотря на то что при g ->• 0 область неединственности на
плоскости (u\,u2) стремится к конечному пределу, на плоскости (х, t) область, где со-
соответствующие решения различаются на любую заданную величину, уменьшается до
нуля.
7.4.10. Заключительные замечания. Подытожим свойства задач, связан-
связанных с квазипоперечными волнами в анизотропной упругой среде. Во-первых, решения
даже очень простых автомодельных задач могут быть неединственными. Во-вторых,
решения этих задач не зависят непрерывным образом от определяющих параметров
518 Гл. 7. Неклассические разрывы и решения гиперболических систем
и под действием малых возмущений допускают возможность быстрой перестройки,
сопровождающейся распадом разрывов. Отметим, что вышеупомянутые явления об-
обнаружены для волн малой амплитуды в упругой среде с наиболее общим уравнением
состояния. Описанные свойства присущи не только достаточно сложной системе урав-
уравнений теории упругости, но также и простой системе уравнений второго порядка G.4.7),
описывающей распространение квазипоперечных волн в одном направлении. Случай
g = 0, где нет неединственности, по-видимому, следует считать вырожденным.
Заметим также, что эти свойства решений были получены в предположении, что
только априорно эволюционные разрыв могут быть использоваться для построения ре-
решений. Это справедливо, если упругая среда рассматривается как предел вязкоупругой
среды. Другой случай будет рассмотрен в следующем разделе.
Следует также заметить, что неединственность решений должна рассматриваться
как "физически" неустранимая. В самом деле, неавтомодельное решение для системы
с ненулевой вязкостью может стремиться с течением времени к одной из двух возмож-
возможных асимптотик, представляющих собой автомодельные решения задачи без вязкости.
Результирующее решение зависит от деталей постановки начальных или граничных
условий, которые относятся к малым временным (или пространственным) интервалам,
тем меньшим, чем меньше вязкость. Эти детали не учитываются автомодельной поста-
постановкой задачи для невязкой среды. Однако для частного класса задач о взаимодействии
ударных волн на основании предпринятых численных расчетов можно заключить, что
асимптотика решений всегда относится к единственному (более простому) типу. Из
изложенного следует, что все численные методы решения гиперболических уравнений
теории упругости не могут давать обоснованных результатов в случаях, когда могут
возникать неединственности в решениях задач. Особенно критична ситуация в случае
изотропных сред, для которых, как это следует из п. 7.4.7, неединственность может
иметь место при сколь угодно малых деформациях.
7.5. Электромагнитные ударные волны
в ферромагнетиках
В настоящем разделе будут рассмотрены плоские нелинейные электромагнитные вол-
волны в непроводящих покоящихся ферромагнетиках. Для длинных волн, на которые вли-
влияние дисперсии и диссипации пренебрежимо мало, основные уравнения представляют
собой гиперболическую систему (систему уравнений Максвелла). Эта система уравне-
уравнений может быть приведена к форме, совпадающей с уравнениями нелинейной теории
упругости, с теми же условиями на разрывах. Ниже будут рассмотрены случаи, когда
магнитное поле направлено под малым углом по отношению к нормали ударной волны.
В таких случаях все соотношения на достаточно слабых электромагнитных ударных
волнах совпадают с соотношениями на ударных волнах в упругой среде с малой ани-
анизотропией. Таким образом, все результаты, полученные в предыдущем разделе каса-
касающиеся волн Римана, ударных адиабат и априорной эволюционности ударных волн,
оказываются верными для электромагнитных волн.
Для того, чтобы описать более короткие волны и, в частности, структуру электро-
электромагнитных волн, будет использоваться уравнение Ландау и Лифшица, описывающее
изменение вектора намагниченности. При этом множество допустимых разрывов и их
структура существенно отличаются от случая, описываемого уравнениями вязкоупру-
7.5. Электромагнитные ударные волны в ферромагнетиках 519
гости, рассмотренного в предыдущем разделе. Для обсуждаемых здесь электромагнит-
электромагнитных волн это множество имеет сложное строение и, в частности, содержит априор-
априорно неэволюционные разрывы. Нелинейные электромагнитные волны в непроводящих
ферромагнетиках были ранее с различных точек зрения изучены Богатыревым A974),
Катаевым A963), а также Гапоновым, Островским, Фридманом A967). Существенным
обстоятельством дальнейшего изложения является то, что принимается во внимание
одновременно нелинейность, дисперсия, диссипация и анизотропия среды. Одновре-
Одновременный учет всех этих факторов приводит к неклассическому поведению разрывов
(Гвоздовская, Куликовский, 1997). Волны, для которых магнитное поле наклонено под
конечным углом к направлению нормали волнового фронта, были изучены в работе
Gvozdovskaya, Kulikovskii A999).
7.5.1. Приближение длинных волн. Упругая аналогия. Основой для
длинноволнового приближения служат уравнения Максвелла и равновесные соотноше-
соотношения между напряженностью магнитного поля Н и магнитной индукцией В. Предполо-
Предположим, что среда неполяризуема, т. е. напряженность электрического поля Е совпадает с
вектором электрической индукции D и отсутствуют электрические заряды. Тогда урав-
уравнения Максвелла для плоских волн имеют вид (Ландау, Лифшиц, 1992)
() n n n
с dt + dx ~ ' с dt dx ' dt ' dx
G.5.1)
1 dB2 dE, 1 dB, dE2 dB3 dB3
2_ i i_ — о 1 — — 0 - — 0 - — 0
с dt + dx ~ ' с dt dx ' dt ' dx
Здесь использованы стандартные обозначения и гауссова система единиц. Предпо-
Предполагается, что волны распространяются вдоль осих3 = х декартовой системы координат.
Из G.5.1) следует, что Еъ — const и53= const. Эти величины должны находиться из
внешних условий. Для прояснения аналогии с теорией упругости выберем масштаб t
или х таким образом, чтобы в новой системе единиц выполнялось равенство с = 1.
В дополнение положим Е2 = ?х и Ех — -е2. Тогда уравнения приобретают вид
де дН дВ де а-12 A5 2)
а12
dt ~ дх ' dt " дх ' а-1^-
Эти уравнения инвариантны относительно одновременного умножения величин еа,
На и Ва на одно и то же число. Выберем единицы измерения так, чтобы эти величины
были меньше гауссовых в \J~\n раз. В этом случае полная энергия единицы объема поля
и среды может быть записана в виде
U=^{?2l+?i)+d>(Ba)+p0T0(S-S0). G.5.3)
Заметим, что магнитная часть энергии Ф параметрически зависит от В3. Последний член
в уравнении G.5.3) представляет собой плотность тепловой энергии на единицу объема
среды. Тепловая энергия, так же как и в случае малоамплитудных нелинейных упругих
волн, представляется аддитивным членом. Это связано с тем фактом, что в дальнейшем
будут рассматриваться либо волны с S = const, либо с весьма малым изменением S. Как
хорошо известно, в равновесном случае На могут быть выражены через производные
520 Гл.7. Неклассические разрывы и решения гиперболических систем
магнитной энергии Ф по Ва. В выбранной системе единиц эти выражения записываются
в виде
дФ
Я« = -^-. G-5.4)
Уравнения G.5.2) и G.5.4) совпадают с первыми двумя дифференциальными урав-
уравнениями системы G.4.1), описывающей упругие волны в несжимаемой среде. В этом
случае роль величин va и иа играют, соответственно, величины ?а и Ва.
Кроме того, если процесс намагничивания обратим (в дальнейшем примем это для
достаточно медленных процессов), к уравнениям G.5.2) и G.5.4) должно быть добав-
добавлено уравнение
t=..
Во многих случаях магнитная энергия среды может быть представлена в виде,
пригодном как для равновесных, так и неравновесных состояний. Предполагается, что
магнитная энергия является функцией двух независимых векторных аргументов:
фт = фт(В1,М]с), Мг=Вг-Щ /,?=1,2,3. G.5.6)
Здесь компоненты Mt вектора намагничивания определены таким образом, что их ве-
величина меньше соответствующих величин в гауссовой системе единиц в \J~\n раз. В
состояниях равновесия (в частности, перед и за разрывом) магнитная энергия может
быть представлена (Ландау, Лифшиц, 1992; Maugin, 1988) в виде
Фф) = ттФт(В;,Мк), /,*= 1,2,3, G.5.7)
и для заданных значений Bt величины Мк находятся из уравнений
|^ = 0. G.5.8)
дмк
Для магнитных полей, величина которых превосходит порог насыщения, вектор на-
намагничивания может полагаться постоянным: |М| = М= const (Ландау, Лифшиц, 1992;
Maugin, 1988; Гуревич, Мелков, 1994). В дальнейшем, величины Ма, а = 1,2, выбраны
в качестве независимых переменных. При этом М3 = */М2 — М2 — М2. Если энергия
магнитного поля главным образом определяется взаимной ориентацией векторов В
и М и слабо зависит от взаимной ориентации вектора М и кристаллической решетки
(что является типичным случаем), тогда, принимая во внимание равенства Въ = const
и М = const, может быть получено выражение для внутренней энергии, имеющее, с
точностью до постоянного слагаемого, следующий вид (Ландау, Лифшиц, 1992):
Фт(Ва,Ма) = I {В\+В1) -BaMa-B3y/Afi-Aq-Aq+g<p(Ma). G.5.9)
Здесь функция (р(Ма) определяется энергией взаимодействия магнитного момента М
со средой, a g — малый параметр. В дальнейшем будем пренебрегать членами поряд-
порядка g2. Два средних члена правой части G.5.9) представляют собой скалярное произве-
произведение М • В. Для сравнения этих выражений со стандартной формой М • Н заметим, что
М• В = М• Н + const, так как В = Н + МиМ2 = const.
7.5. Электромагнитные ударные волны в ферромагнетиках
521
н
D
Рис. 7.9. (а) Априорно эволюционные фрагменты (заштрихованные) ударной адиабаты. (Ь) До-
Допустимая часть ударной адиабаты для волн в анизотропных ферромагнетиках: жирные кривые и
черные точки
Принимая во внимание первое из равенств G.5.6), из соотношений G.5.8) и G.5.9)
получим
д
дФ
дВп
= Ba-Ma=Ha,
G.5.10)
Ja ulJa
т. е. соотношения G.5.4).
Используя малость g, а также равенство G.5.8), из G.5.9) имеем
Ф(Ва) = |
G.5.11)
Здесь <р* — значение, принимаемое равным ф(Ма), если вектор М полагается парал-
параллельным вектору В (что справедливо в пренебрежении членами высших порядков по g).
В дальнейшем, будем рассматривать случай, в котором вектор В составляет малый
угол с осью х3, так что Ва малы. Тогда определяемая равенством G.5.11) функция Ф
может быть разложена в ряд по степеням Ва:
G-5Л2)
В силу малости g в последнем члене разложения gcp* оставлены только квадратич-
квадратичные по Ва слагаемые (линейные члены, не влияющие на поведение разрывов, опущены).
ЧленВХВ2 исключается вращением координатных осейВх иВ2. Слагаемое, содержащее
В\ +B2, лишь несущественно изменяет первый член правой части равенства G.5.12).
Существуют материалы, например, ферромагнитные кубические кристаллы, для
которых (р*(Ва), независимо от малости Ва, представляет собой квадратичную форму
по отношению к Вх ий2 (Гуревич, Мелков, 1994).
522
Гл. 7. Неклассические разрывы и решения гиперболических систем
л
L
Y—Ч^.
A !
D \j'
W
Рис. 7.10. Допустимая часть ударной адиабаты на диаграмме эволюционности. Обозначения те
же, что и на рис. 7.9
Наряду с непрерывными волнами, уравнения Максвелла допускают разрывные ре-
решения. Соотношения на разрывах следуют из интегральных представлений этих урав-
уравнений. В выбранной системе единиц эти соотношения имеют вид
= 0, {Е3} = 0,
G.5.13)
где W — скорость разрыва, поделенная на скорость света с. Эти соотношения, с учетом
упомянутой выше смены обозначений, совпадают с соотношениями на разрывах в
упругих средах.
Заметим, что в рамках аналогии с упругими волнами разложение G.5.12) показывает,
что электромагнитные волны отвечают упругим волнам в случае к < 0. Соответственно,
для того чтобы облегчить сравнение с результатами разд. 7.4 изменена нумерация осей
хх их2. Это видно из последнего члена в уравнении G.5.12). Все результаты, полученные
для этого случая в разд. 7.4 в отношении волн Римана, ударных адиабат и априорно
эволюционных скачков, могут быть перенесены на случай электромагнитных волн.
Напомним форму ударной адиабаты и ее отображение на диаграмму эволюционно-
эволюционности для к < 0 (рис. 7.9а и 7.10). На рис. 7.9а воспроизведены априорно эволюционные
отрезки (АА' отвечает быстрым волнам, а АН и LD — медленным волнам).
7.5.2. Структура электромагнитных ударных волн. В ферромагнети-
ферромагнетиках изменение вектора намагниченности описывается уравнением Ландау и Лифшица
(Ландау, Лифшиц, 1992)
^ = 7(МхНе/)-ЯНе/. G.5.14)
Вектор Не^г является градиентом функции Фт{В^Мк) по переменным Мк при фик-
фиксированных Ва. В рассматриваемом приближении |М| = М— const. Таким образом,
градиент вычисляется на поверхности сферы М\ + М% + М| = М2 и лежит в плоско-
плоскости, касательной к этой сфере. Параметры у и Я определяются свойствами материала.
7.5. Электромагнитные ударные волны в ферромагнетиках 523
В различных материалах А/(уМ) изменяется от 10~2 до 5 х 10~5. Последний член в
уравнении Ландау и Лифшица обычно записывается в форме ЯМ х (М х Не^)/М2,
совпадающей с использованной выше, так как М • Не^ = 0.
Уравнение Ландау и Лифшица было успешно использовано Гуревичем, Мелко-
вым A994) для описания быстро движущихся волн. Ахиезер, Барьяхтар, Петлемин-
ский A967), а также Nakata A991a) на основе этого уравнения изучили поведе-
поведение солитонов в изотропном случае без диссипации. Влияние слабой дисперсии на
распространение электромагнитных волн в изотропном ферромагнетике исследовал
Nakata A991b). Maugin A988) и Косевич, Иванов, Ковалев A990) использовали бо-
более сложные системы уравнений для описания движения стенок магнитного домена. В
этом случае принималась во внимание зависимость Фт от производных напряженно-
напряженности магнитного поля. По этой причине в уравнении G.5.14) дополнительно появляются
члены в производными третьего порядка d3Ma/dx3. В целях пренебрежения этими
эффектами необходимо потребовать, чтобы длина волны / удовлетворяла условию / =
= cWjyHej- > /*, где W — скорость волны, а /* — толщина стенки домена (/* ~ Ю~6
см). Ниже предполагается, что это условие выполнено.
Выберем переменные Ма в качестве криволинейных координат на сфере |М| —М.
Тогда, используя уравнение G.5.9) и проецируя уравнение G.5.14) на оси Мх и М2,
получим
дМ±--Ъ- -1 -г { ^l \ _rMi__^j ^ G.5.15)
^ = Гмз(^г) -^M2;f\f2{d-^) G-5.16)
dt \ о Мл ) о Mz — Mr \ oMry J о
4 1 у Ва 1 V 2 / Ва
Умножая эти уравнения соответственно на (дФт/дМх )в и (дФт/дМ2)в и суммируя,
получим
Заметим, что левая часть уравнения G.5.17) равна производной магнитной энер-
энергии по времени, взятой при В = const. Эта величина представляет собой диссипацию
энергии, связанную с изменением магнитного момента.
Левая часть неравенства G.5.17) равна нулю, если одновременно (дФт/дМ1)в =
= 0, (дФт/дМ2)в = 0 и, как следует из уравнений G.5.15) и G.5.16), dMl/dt = 0,
dM2/dt = 0.
Будем искать решение задачи о структуре электромагнитной ударной волны в форме
бегущей волны, в которой все величины зависят от переменной Е, —Wt—x. Значения
^ = -оои^=оо отвечают состояниям перед и за разрывом, a W обозначает безраз-
безразмерную скорость рассматриваемой волны. Решение может быть определено из диффе-
дифференциальных уравнений G.5.2), G.5.15) и G.5.16), в которых д/dt и д/дх должно быть
заменено, соответственно, на Wd/dt; и — d/dt;. В этом случае уравнения G.5.2) могут
524 Гл.7. Неклассические разрывы и решения гиперболических систем
быть проинтегрированы. При помощи равенства Ва = На +Ма и условий при ?, —У — оо
получим
% ^(%) G.5.18)
где В^ и М^ — значения Ва и Ма при Е, = — оо. Это делает возможным введение
функции
- v"i,™2J - 2A -W2)
где
G.5.19)
Эта функция не зависит от текущих значений В1 и52 и удовлетворяет условиям
\дма)в- дма ¦ G'5-20)
Равенства G.5.20) позволяют представить уравнения G.5.15) и G.5.16), описыва-
описывающие структуру электромагнитной ударной волны, а также соотношение G.5.17) в
замкнутом виде
М2-М\-М22
ТЪ ТЪ ) а-
Учитывая то, что в соответствии с G.5.18) производные от Ма по ?, пропорцио-
пропорциональны производным Ва и принимая во внимание то, что при ?, —у =Ьоо все производ-
производные решения задачи о структуре скачка должны стать равными нулю, можно сделать
вывод, что состояния при ? = =Ьоо могут отвечать только особым точкам системы
G.5.21), G.5.22).
Особые точки системы G.5.21), G.5.22) совпадают с критическими точками функ-
функции Ф*(М1,М2), в которых ее частные производные равны нулю. Эти точки отвечают
состояниям равновесия.
Если исключить из соотношений на разрыве G.5.13) компоненты электрического
поля, то равенство Mt = Bt — Ht позволяет представить их в виде
G-5.24)
Равенства G.5.24) отличаются от G.5.18) только наличием верхнего индекса L. При
помощи равенств G.5.18) каждой переменной Ма можно поставить в соответствие
7.5. Электромагнитные ударные волны в ферромагнетиках 525
переменную Ва. Переход из одной из особых точек системы уравнений G.5.21), G.5.22)
в другую обеспечивает выполнение соотношений на электромагнитных ударных волнах
с термодинамически равновесными состояниями перед и за разрывом.
Соотношения G.5.24) показывают, что для данного значения W расположение осо-
особых точек системы уравнений G.5.21), G.5.22) в плоскости (МХ,М2) отличается от
расположения точек, характеризующих возможные состояния перед и за разрывом в
плоскости (Вх ,В2), только растяжением и сдвигом. Это позволяет использовать резуль-
результаты разд. 7.4 для определения расположения особых точек.
Левая часть неравенства G.5.23), которая совпадает с левой частью уравнения
G.5.17), представляет собой диссипацию магнитной энергии. В принятом приближе-
приближении она с точностью до множителя —PqT0 совпадает с производством энтропии. Таким
образом, соотношения {Ф*} > 0 и {Ф*} < 0 выполняются на ударной адиабате, соответ-
соответственно, внутри и снаружи энтропийной окружности. В частности, {Ф*} = 0 в точке N
с координатами (—Bf, В^).
В соответствии с неравенством G.5.23) функция Ф*(М1,М2) убывает с ростом %
вдоль всех интегральных кривых системы уравнений G.5.21), G.5.22), пересекающих
вследствие этого линии уровня этой функции на плоскости {Мх ,М2). Чем меньше от-
отношение А/у, тем меньше углы между интегральными кривыми и линиями уровня.
Заметим, что при Я = 0, т. е. при отсутствии диссипации, интегральные кривые сов-
совпадают с линиями уровня функции Ф* (Мп). При этом замкнутые линии уровня функ-
функции Ф* (М1,М2), которые не содержат критических точек, отвечают решениям системы
G.5.21), G.5.22), периодичным по ^, т. е. периодическим незатухающим волнам. Линии
уровня, две конечных точки которых совпадают с особой точкой, отвечают уединенным
волнам.
Вследствие соотношения G.5.23) типы особых точек системы уравнений G.5.21),
G.5.22) очевидным образом связаны с типами соответствующих критических точек
функции Ф*(Ма). Если Ф*(Ма) имеет максимум, то в соответствии с G.5.23) целая
окрестность этой точки занята интегральными кривыми, выходящими из нее при уве-
увеличении %. Следовательно, особая точка является либо узлом, либо фокусом. Для доста-
достаточно малых А/уМ (что соответствует рассматриваемому случаю) особая точка пред-
представляет собой фокус с выходящими интегральными кривыми. Если Ф*(Ма) имеет
минимум, то для малых А/уМ особая точка является фокусом с входящими интеграль-
интегральными кривыми. Аналогично можно получить, что седловая точка функции Ф*(М1 ,М2)
отвечает седловой точке системы уравнений G.5.21), G.5.22).
Изменяя определяющие функцию Ф* параметры (ниже будет рассмотрено только
изменение W), невозможно изменить тип критической точки до тех пор, пока она изо-
изолирована. Это изменение может иметь место, если две критические точки сливаются.
Один из главных коэффициентов квадратичной формы, представляющей функцию Ф*
в окрестности каждой критической точки, при таком слиянии исчезает. Перед слия-
слиянием, соответствующие коэффициенты в рассматриваемых критических точках имеют
противоположные знаки. В случае общего положения второй коэффициент остается
ненулевым и знакоопределенным (положительным или отрицательным) и имеет один
и тот же знак в обеих точках. Это означает, что одна из сливающихся точек является
седлом, а другая — узлом. После слияния точки могут либо исчезнуть, либо поменять-
поменяться местами. В процессе слияния двух особых точек интенсивность соответствующего
разрыва стремится к нулю, и в момент слияния скорость W разрыва равняется харак-
526
Гл. 7. Неклассические разрывы и решения гиперболических систем
теристической скорости, вычисленной для состояния, соответствующего этой точке.
Если изменять скорость ударной волны W, так что она переходит через одно из значе-
значений характеристической скорости в заданной фиксированной точке А, то особая точкам
с данными координатами (Mf^M^) меняет свой тип, как бы обмениваясь типами с дру-
другой особой точкой, с которой она сливается при указанном значении W. При этом тип
разрыва не меняется, а меняются местами начальная и конечная точки разрыва.
Рассмотрим другой пример. Пусть две критических точки при увеличении W исче-
исчезают после их слияния в точке Н (рис. 7.9, 7.10). При слиянии особых точек скорость W
равняется характеристической скорости за раз-
разрывом. Если W достаточно близко к единице
и координаты М^, М^ точки А фиксированы,
то из G.5.19) следует, что начальная точка А
представляет из себя точку максимума функции
Ф*(М15М2). Из сказанного выше вытекает, что
для всех W > Х^ в плоскости (М^,А/^) началь-
начальная точка А является точкой максимума функ-
функции Ф*(М15М2) и система уравнений G.5.21),
G.5.22) имеет в этой точке неустойчивый фо-
фокус. Точка R на плоскости GЦ, М2), отвечающая
точке R на рис. 7.10, является седловой точкой
функции Ф*(М1?М2), а также системы уравне-
уравнений G.5.21), G.5.22). Точка /j, соответствую-
соответствующая той же скорости W что и точка R (рис. 7.10),
является устойчивым фокусом системы урав-
уравнений G.5.21), G.5.22). На рис. 7.11 изображе-
изображено положение особых точек (ср. с рис. 7.10)
W > Х^ и линий уровня функции Ф*(М1?М2). Так как
для W > Х^ окрестность точки А занята инте-
интегральными кривыми, выходящими из этой точки, то очевидно, что всегда существует
интегральная кривая, приходящая в седловую точку R при ^ —У оо. Неэволюционная
ударная волнам -у 1[ (со слишком большим количеством граничных условий) отвечает
множеству интегральных кривых, зависящих от одного произвольного параметра и со-
соединяющих А и 1[. В рассматриваемом случае все, кроме одной, интегральные кривые,
выходящие из А, входят в 1[. Это согласуется с общими рассмотрениями структуры по-
подобных неэволюционных разрывов, проведенными в разд. 7.2. Ударные волны А —у 1[
не представляют интереса, так как они должны распадаться на эволюционные разрывы.
Рассмотрим теперь интервал WH < W < Х^. В этом случае линии уровня и поведение
интегральных кривых качественно подобно предыдущему случаю. Необходимо только
поменять местами буквы А и R на рис. 7.11. Существует две интегральных кривых
соединяющих точки А и 1[ (сепаратрисы седловой точки А). Каждая из этих интеграль-
интегральных кривых представляет собой структуру медленной ударной волны, существующей,
таким образом, для любого W в указанном интервале скоростей.
Главный интерес представляет из себя интервал скоростей WE <W < JVH, для ко-
которого система уравнений G.5.21), G.5.22) имеет пять особых точек (см. пунктирную
линию, проходящую на рис. 7.10 через точки G, 51э /2,1Х). Среди этих особых точек
находится начальная седловая точкам, два устойчивых фокуса 1Х и /2, другая седловая
Рис. 7.11. Линии уровня функции
Ф*(М1?М2) (см. формулу G.5.19)) для
7.5. Электромагнитные ударные волны в ферромагнетиках
527
точка iSj и неустойчивый фокус G. При WN < W <
WH имеем Ф
i(A)>O*(Sl) и для
Рис. 7.12. Линии уровня функции
Ф*(М15М2)
) для WN < W < WH
определенных значений W может существовать интегральная кривая, соединяющая
седловые точки (А^ Sx). Поведение линий уровня
Ф* GЦ ,М2) = const для этого случая изображено на
рис. 7.12. Интегральная кривая^ —у Sx показана на
рис. 7.13.
При ^ —> оо каждая их двух выходящих из точ-
точки А интегральных кривых должна приходить в
одну из особых точек /1?/2 или Sx. Приход инте-
интегральной кривой в седловую точку Sx представля-
представляется исключительным случаем. Это возможно при
особых значениях параметра W. В некоторой точке,
скажем Г, интегральная кривая пересекает линию
уровня, которая проходит через точку Sx и имеет
форму восьмерки. Перед тем как интегральная кри-
кривая, выходящая из точки А, приходит к линии уров-
уровня в форме восьмерки, она делает некоторое число
оборотов вокруг этой кривой. Число оборотов опре-
определяется разностью Ф* (А) - Ф* (Sx) и углом между
интегральной кривой и линией уровня. Как упо-
упоминалось выше, этот угол имеет величину поряд-
порядка А/уМ. Если разность Ф*(А) — Ф*^) конечна,
а А/уМ мало, то число оборотов велико. В этом
случае малого (порядка А/уМ) изменения W доста-
достаточно, чтобы прибавить или убавить один оборот
к числу оборотов интегральной кривой вокруг кри-
кривой в форме восьмерки. При таком изменении W
точка Т обегает всю кривую в форме восьмерки,
приходя в седловую точку Sx дважды с разных сто-
сторон. Таким образом, значения W, для которых инте-
интегральные кривые соединяют точки AnSx, разделе-
разделены малыми интервалами, имеющими длину поряд-
порядка А/уМ. Каждое из этих значений соответствует
точке на ударной адиабате. Эта точка принадлежит
априорно неэволюционному отрезку HN ударной
адиабаты. С другой стороны, в силу того факта, что
значение W в этой точке изолировано, выделение
отдельных значений W должно трактоваться как наличие дополнительного соотноше-
соотношения на разрыве. С учетом этого разрыв A^SX оказывается эволюционным.
При изменении скорости ударной волны возникают интервалы W, на которых обе
кривые, выходящие из точки А, приходят в одну из особых точек 1Х или /2. Это означает,
что только одна из медленных ударных волн имеет структуру. На отрезках ударной
адиабаты ЦН и /f/}', соответствующих медленным ударным волнам, множество до-
допустимых разрывов может быть представлено как прерывистая линия, состоящая из
отдельных отрезков. На рис. 7.9Ь и 7.10 эти отрезки расположены так, что в случае
общего положения для любого W по крайней мере одна из медленных ударных волн
Рис. 7.13. Интегральная кривая, со-
соединяющая AnS^
528 Гл. 7. Неклассические разрывы и решения гиперболических систем
имеет структуру.
Если W лежит внутри интервала WE <W < WN, то линия уровня Ф* GЦ, М2) = Ф* (А)
имеет форму восьмерки с точкой А в центре. Выходящие из точки А интегральные
кривые не могут теперь прийти в седловую точку Sl9 так как Ф*^) > Ф*(А). В этом
случае каждая сепаратриса точки А, выходящая в направлении уменьшения Ф* и идущая
к точкам минимума 1Х и /2, с необходимостью приходит в эти точки. Таким образом, для
любого W на этом интервале скорости обе медленных ударных волны имеют структуру.
На интервале Xf- < W < WE имеет место три особых точки А, 1Х и /2. Как и прежде,
точка А связана с точками 1Х и/2 интегральными кривыми. Это обеспечивает существо-
существование структуры для обеих медленных ударных волн.
7.5.3. Множество допустимых разрывов. Проведенное выше исследова-
исследование позволяет выделить множество точек ударной адиабаты, которые отвечают допу-
допустимым разрывам, т. е. допустимую часть ударной адиабаты. Она содержит как всю
быструю ветвь AAf, так и отрезки А1%, LIl,nI"D (рис. 7.9Ь и 7.10), отвечающие медлен-
медленным ударным волнам.
Отрезки ударной адиабаты, отвечающие WN < W < WH, могут иметь лакуны, т. е.
интервалы внутри которых какая-либо из медленных ударных волн не имеет структуры.
В данной точке, например, /2 это происходит, если две сепаратрисы, выходящие из точ-
точки^, приходят в другую особую точку (/j). Как показано выше, в этом случае длины этих
лакун и длины допустимых интервалов между ними имеют порядок Я/уМ<^ 1. Кроме
того, априорно неэволюционный отрезок NH ударной адиабаты содержит множество
изолированнных точек, отвечающих допустимым разрывам. Расстояние между этими
точками также имеет порядок Я/уМ. На рис. 7.9Ь и 7.10 множество допустимых разры-
разрывов изображено жирными интервалами ударной адиабаты и изолированными точками.
Ударная адиабата и ее допустимые элементы были получены численно (Gvozdovskaya,
Kulikovskii, 1999b).
7.5.4. Неединственность решений. Суммируя проведенное выше исследо-
исследование структуры разрывов, можно дополнить сформулированную в п. 7.5.1 крупномас-
крупномасштабную модель требованием того, чтобы все разрывы, используемые для построения
решений задач, принадлежали множеству допустимых разрывов.
Однако можно показать, что даже если принято это ограничение, крупномасштабная
модель не гарантирует единственности решения. Неединственность возникает вслед-
вследствие присутствия на ударной адиабате множества изолированных точек со специфи-
специфическими (выделенными) значениями скорости разрыва. Эти точки лежат на диаграмме
эволюционности внутри прямоугольника Я^ < W < Я^, Х\ < W < Я^ на (рис. 7.10).
Соответствующие разрывы будем называть промежуточными разрывами.
Для того чтобы убедиться в неединственности решений можно рассмотреть следую-
следующий пример автомодельной волновой задачи в области х > 0 с начальными (при t = 0) и
граничными (при х = 0) условиями, определяемыми точками А и Р в плоскости (Мх, М2)
(рис. 7.14). Решение является функцией x/t. В автомодельных задачах волны Римана
или ударные волны умеренной амплитуды могут распространяться перед или за проме-
промежуточным разрывом (быстрые волны распространяются перед разрывом, а медленные
волны — за ним). На рис. 7.14 изображены кривые СХС[, С2С'2, ..., СПС'П описываемые
изолированными точками Сх ,С2,... ,СИэ изображающими состояния за промежуточны-
7.6. Ударные волны в композитных материалах
529
Рис. 7.14. Неединственность решения автомодельной задачи с граничными условиями для элек-
электромагнитных волн в ферромагнетиках
ми разрывами, когда точка, для которой построена ударная адиабата, движется вдоль
кривой АА', которая отвечает состояниям за быстрыми ударными волнами, распростра-
распространяющимися по состоянию А. Изображена также интегральная кривая Р'Р медленной
волны Римана, распространяющейся позади промежуточных разрывов. В соответствии
с разд. 7.4 характеристическая скорость Я2 уменьшается вдоль интегральной кривой
при уменьшении В2 и, следовательно, уменьшении М2.
Одно из решений сформулированной выше задачи имеет следующее строение. Впе-
Впереди распространяется быстрая ударная волнам —у А", которая переводит состояние А в
такую точку А", что состояние за промежуточным разрывом характеризуется точкой С",
лежащей на интегральной кривой волны Римана, проходящей через точку Р. Эта волна
Римана, расширяясь со временем, соответствует интегральной кривой С'/Р и распро-
распространяется за промежуточным разрывом. Состояние за волной Римана характеризуется
точкой Р и удовлетворяет граничному условию при х = 0. Очевидно, таких решений
имеется столько же, сколько и изолированных точек Сг на ударной адиабате, соответ-
соответствующей точке А, и существует конечная область граничных значений, для которых
решение автомодельной задачи неединственно.
Таким образом, даже если расширить крупномасштабную модель для нелинейных
электромагнитных волн требованием допустимости разрывов, это не приведет к един-
единственности решения задач, в частности, автомодельных.
Необходимо, однако, сделать следующее замечание. Может оказаться, что струк-
структура некоторых из промежуточных разрывов неустойчива и потому соответствующий
разрыв не реализуется. С другой стороны, в отличие от эволюционных разрывов, про-
промежуточные разрывы могут следовать один за другим. Поэтому могут существовать
другие решения, содержащие несколько промежуточных разрывов.
7.6. Ударные волны в упругих композитных материалах
В этом разделе будут рассмотрены нелинейные квазипоперечные волны в упругих
композитных материалах, т. е. в упругой среде, обладающей внутренней структурой,
связанной с периодичностью свойств среды (Бахвалов, Панасенко, 1984; Бахвалов,
Эглит, 1990; Ерофеев, 1999). Если рассматривать достаточно длинные волны, то по-
530 Гл. 7. Неклассические разрывы и решения гиперболических систем
ведение композитной среды подобно поведению некоторой упругой среды, свойства
которой находятся путем осреднения. Коэффициенты упругости могут быть подсчита-
подсчитаны, если известно строение исходной периодической среды. Таким образом, процессы
в длинноволновом приближении могут быть описаны упругой моделью. В частности,
возникающая в результате осреднения упругая среда может быть нелинейной и слабо
анизотропной и, следовательно, описываться моделью, использованной в разд. 7.4.
Для явлений меньшего масштаба осредненное описание движений упругой среды
оказывается, по-прежнему, возможным. Однако в уравнениях, которые следует решать,
могут возникнуть определенные дополнительные члены, наличие которых приводит к
волновой дисперсии (Бахвалов, Эглит, 2000; Ерофеев, 1999). С другой стороны, всегда
существуют те или иные диссипативные механизмы, которые будут учитываться ни-
ниже. Учет дисперсии наряду с диссипацией вызывает необходимость правильного рас-
рассмотрения структуры разрывов для отбора допустимых разрывов. Это исследование
является необходимым элементом для построения новой крупномасштабной модели,
описывающей рассматриваемую осредненную среду.
7.6.1. Основные уравнения и структура разрыва. Как упоминалось вы-
выше, крупномасштабные уравнения для композитной упругой среды совпадают с урав-
уравнениями теории упругости G.4.1). Как и в разд. 7.4, будем рассматривать малоампли-
малоамплитудные волны в слабоанизотропной среде. Таким образом, соотношения G.4.3)-G.4.5)
для Ф будем считать, по-прежнему, выполненными.
Для простоты рассмотрим несжимаемую среду, система основных уравнений для
которой имеет вид
dvr д дФ du1 dvr dS л ^ ,
и at ax aul at ax at
Выражение для Ф дается формулой
1B 2)АB 2J ^A?M0). G.6.2)
Заметим, что коэффициенты h и q характеризуют, соответственно, нелинейность
среды и волновую анизотропию. Их роль та же, что и соответствующих коэффициентов
к и g в системе G.4.7). Можно показать, что все последующие основные заключения
также справедливы и для сжимаемой среды.
Переходя к полной системе уравнений, в которой учтены дисперсия и диссипация,
дополнительно предположим, что дисперсионные и вязкие члены в рассматриваемых
решениях имеют порядок нелинейных членов. Дисперсионные члены включают более
высокие производные от ut по х. Предполагая что эти члены и нелинейность малы,
можно рассматривать все коэффициенты как постоянные, т. е. учитывать дисперсион-
дисперсионные и вязкие члены только в линейном приближении. Более того, в дисперсионных
членах оставим только производные низшего порядка по х, так как для длинновол-
длинноволновых решений величины производных убывают с возрастанием их порядка. Волны
предполагаются длинными по сравнению с внутренним геометрическим масштабом
среды. Длинноволновая природа, или большой пространственный масштаб решений,
обусловлен принятой малостью нелинейности. Это будет очевидным при изучении за-
задачи о структуре разрыва.
7.6. Ударные волны в композитных материалах 531
Как следует из результатов, полученных Бахваловым, Эглит B000), дисперсионные
члены могут быть введены добавлением третьих или вторых производных от иг по х в
первую группу уравнений G.6.1). Производные второго порядка могут войти в уравне-
уравнения движения в виде bj-u'j, где и" = д2и /дх2 и bt- — ко со симметрическая матрица 2x2.
Именно такая форма матрицы bt- обеспечивает дисперсию в отсутствии диссипации.
Выражения b^-u'j в уравнениях движения должны представлять из себя компоненты
двумерного вектора. Для антисимметричных матриц Ьг] этот вектор может быть запи-
записан в форме и" х Ь, где и = и1е1 + г/2е2 — вектор, a b — псевдовектор, направленный
вдоль оси х.
Таким образом, если в уравнениях движения мы хотим иметь члены с производ-
производными второго порядка, в формулировку задачи необходимо вводить псевдовектор. В
точности такая же ситуация имеет место, когда нелинейные электромагнитные волны
распространяются в ферромагнетиках (разд. 7.5). В этом случае невозмущенное маг-
магнитное поле может рассматриваться как псевдовектор, задающий свойства симметрии
задачи.
В дальнейшем рассмотрим случай, когда псевдовекторы в формулировке задачи
отсутствуют, так что дисперсионные члены представлены производными третьего по-
порядка туд3 Uj/dx3 с ml} — const. Так как в изотропном случае ml} — mSj-, дисперсионные
члены могут быть записаны в виде md3ui/dx3.
Похожие члены с m > 0 должны возникать, например, в левой части уравнений
движения, если однородная, упругая, легко деформируемая среда содержит однородно
распределенные жесткие стержни с достаточно высокой жесткостью на изгиб, которые
параллельны или почти параллельны оси х.
В дополнение предположим, что диссипативные процессы представлены вязкими
членами r\{d2vjdx2), где r\ = const > 0, причем в левой части первой группы урав-
уравнений G.6.1) они входят со знаком минус. Таким образом, полная система уравнений,
которая может быть использована для описания структуры разрывов, может быть при-
принята в виде (/ = 1,2)
dv, д ( дФ\ д3иг d2vl л диг dvt
Ро—^-— -— +7W—^--TJ—-*-=(), _L = _L. G.6.3)
^° dt дх \диг) дх3 дх2 dt дх
7.6.2. Структура разрыва. Допустимые разрывы. При m = 0, т. е. когда
отсутствует дисперсия и принимается во внимание только вязкость, задача о структуре
разрыва была рассмотрена в разд. 7.4, где утверждалось, что все априорно эволюцион-
эволюционные разрывы имеют структуру, т. е. все эти разрывы являются допустимыми.
Рассмотрим влияние дисперсии на структуру разрыва и найдем множество допусти-
допустимых разрывов. Будем искать ограниченные решения системы уравнений G.6.3), которые
являются функциями ? —x — Wt. Интегрируя первые два уравнения по х и исключая v/9
можно представить систему G.6.3) в виде
^--^-, /=1,2; G.6.4)
1 2 ( 2 2) 1 ( 2 2) h
2 2 4
р = w(Pow2 ~ М) ( + и1) ~ ^Я {и\ ~ ui) + Т К + и^J +А\и\
532 Гл. 7. Неклассические разрывы и решения гиперболических систем
где At — константы интегрирования выбранные так, чтобы удовлетворить соотноше-
соотношениям дР/ди1 = 0 для состояния ut = uf перед разрывом. Штрихи здесь обозначают
производные по ?.
Умножая уравнения G.6.4) на u't и суммируя, получим
Заметим, что г/Ji/J = u'2 + и22 > 0.
Правая часть этого уравнения представляет собой диссипативную функцию, взятую
с противоположным знаком. Полное изменение {Р} через структуру разрыва имеет знак,
противоположный знаку производства энтропии, так что {Р} = 0, если производство
энтропии равно нулю.
Уравнения G.6.4) имеют форму, сходную с формой уравнений движения матери-
материальной точки массы m под действием потенциальной силы, заданной потенциальной
энергией Р, и трения, пропорционального скорости и\. Переменная ?, играет роль време-
времени. Ниже эта аналогия будет использоваться для получения определенных качествен-
качественных заключений о структуре разрыва и их допустимом множестве. Более детальное
исследование требует применения численных методов.
Для данной функции Р и фиксированного значения W вид интегральных кривых си-
системы уравнений G.6.4) в пространстве (щ, м2, u\, и2) и, следовательно, существование
структуры разрыва или ее отсутствие, определяется отношением 7]/у/т, которое ха-
характеризует отношение вязких и дисперсионных членов в уравнениях. Для простоты,
ограничимся рассмотрением случая малой анизотропии, когда q/hR2 <C 1, где R2 =
7.6.3. Случай h > 0. Если положить q = 0 vlAj = 0, то для р0 W2 < ji график функ-
функции Р(щ, м2) обладает осевой симметрией и имеет форму кольцевого желоба, внешние
стенки которого уходят неограниченно вверх, а локальный максимум расположен в
точке их — и2 = 0. Если q ф 0 и Аг¦, — 0, то глубина желоба не постоянна и он имеет два
локальных минимума, разделенных двумя седловыми точками. Локальный максимум в
начале координат сохраняется при условии p0W2 < д. Для достаточно малых Аг число и
типы особых точек остаются теми же (см. рис. 7.15 и 7.16, на которых желоб обозначен
пунктирной кривой), а качественная форма функции Р(щ, м2) сохраняется.
Стационарные точки функции P(u1,u2), наряду с равенствами и\ = 0, определяют
особые точки системы G.6.4) и могут соответствовать состояниям при ?, = =Ьоо. Слу-
Случай, когда существует пять особых точек, представляет наибольший интерес. Это имеет
место, например, при WH <W <Xf (см. рис. 7.17а, на котором вертикальные прямые
W = const изображены пунктирными линиями). На плоскости (м1?м2) точки ударной
адиабаты IX,I2,S и G соответствуют стационарным точкам функции Р. Кроме того,
имеется стационарная точка А, соответствующая начальному состоянию. В рассмат-
рассматриваемом случае точка G является точкой максимума, 1Х и /2 — точки минимума, a S
и А — седловые точки функции Р(щ, м2). Проекции интегральных кривых в четырех-
четырехмерном пространстве (м1? м2, г/1? м2) на плоскость (м1? м2) представляют собой траекто-
траектории точечной массы т, движущейся с трением по этой плоскости под действием силы,
определяемой потенциальной энергией P(ul,u2). Структура разрыва с заданным точ-
7.6. Ударные волны в композитных материалах
533
Рис. 7.15. Линии уровня функции P(ul,u2)
коя А состоянием перед волной, отвечает траектории, приходящей в точку А из одной из
критических точек IX,I2,G или S при ? -у оо. Скорость массы m при начале ее движения
из одной из указанных особых точек предпо-
предполагается равной нулю, т. е. u[ = и2 = 0 при
Е, = — оо. В этом случае точка, из которой
начинается движение массы т, представля-
представляет собой состояние за волной.
Ясно, что интегральные кривые не могут
выходить из точки минимума потенциаль-
потенциальной энергии AХ или /2) с нулевой скоростью
u[ = и2 = 0, т. е. структура неэволюционных
ударных волн А-у^иА-у^ отсутствует.
Рассмотрим множество траекторий, вы-
выходящих из точки G (максимум) при и[=0 =
= uf2 = 0. Это множество представляет собой
узел на плоскости (м1?м2) и, следовательно,
зависит от одного параметра. При ?, —У оо все
траектории должны оканчиваться в одной из
точек^4,/j ,/2 или?. Траектории, приходящие
в точки 1Х и /2 (минимумы), очевидно, также
зависят от одного параметра. Это означает,
что существуют интегральные кривые, при-
приходящие в точки А и S, которые разделяют
эти потоки. Таким образом, структура удар-
ударной волны А —у G, которая является медлен-
медленной ударной волной, существует (рис. 7.17а).
Поясним вопрос существования инте-
интегральной кривой, идущей от S к А при уве-
увеличении ?. Ясно, что точка S должна быть
расположена выше, чем точка А на графи-
графике функции Р (рис. 7.15). Это выполняется,
если WN < W < Х^ (точка N на плоскости
(ux,u2) симметрична точке А по отношению
к оси и2). Принимая во внимание вышеупо-
вышеупомянутое соотношение между {Р} и произ-
производством энтропии, можно заключить, что
равенство P(S) = P(A) удовлетворяется при
условии совпадения точки S с точкой N (см.
разд. 7.4). Если W < WN, то точка А лежит
выше точки S и не существует интеграль-
интегральной кривой, идущей от S к А. Следовательно,
структура ударной волны А -у S отсутствует
(рис. 7.16).
Рассмотрим случай P(S) > Р(А), представленный на рис. 7.15. Имеются две про-
противоположно направленных траектории, выходящие из точки S с и[ = 0 = и'2 = 0. Тя-
Тяжелые точки, выходящие из седловой точки S, движутся в основном вдоль желоба и в
щ
Рис. 7.16. Линии уровня функции P(ul,u2)
534
Гл. 7. Неклассические разрывы и решения гиперболических систем
А1
А 1
i
i
-<&-,
i
i
\G
i
i
A\J
Ч
F i
i
1 1 *-
^
V
D
i
i i i/2
1 .
G
W,
W
W
Рис. 7.17. Диаграммы эволюционности и допустимые разрывы в композитных материалах для
случаев h > 0 (а) и /z < О (Ь)
общем случае заканчивают свое движение в одном из минимумов 1Х или/2. Эффект тре-
трения характеризуется отношением ц/фп. Если оно достаточно мало, то при движении
массивная точка совершает несколько колебаний вдоль желоба, каждый раз проходя
через окрестность точки А. Можно ожидать, что при изменении параметров в уравне-
уравнении G.6.4) (например, при изменении W), число колебаний будет также изменяться.
При этом можно указать чередующиеся интервалы оси W, соответствующие останов-
остановке движения в точках 1Х или /2. Ясно, что эти интервалы разделяются значениями W,
при которых массивная точка при ^ —У оо не стремится ни к /1э ни /2. В этом случае
имеется единственная возможность, а именно: при ?, —у оо массивная точка стремит-
стремится к неустойчивой (седловой) особой точке А. Это означает, что для этих значений W
ударная волна А ->• S имеет структуру. Как видно из рис. 7.17а, ударная волна А ->• S
является априори неэволюционной. Она становится эволюционной в случае, если ее
скорость равна одному из выделенных значений, при которых существует структура
ударной волны. Это равенство должно рассматриваться как дополнительное условие на
разрыве. В этом смысле ударный фронт подобен фронту горения в горючей смеси, для
которого также имеется одно дополнительное соотношение, определяющее скорость
фронта.
Для малых значений коэффициента трения количество колебаний, которые произ-
производит тяжелая точка вдоль желоба, очень велико и малого изменения W достаточно,
чтобы заменить точку остановки 1Х точкой /2 или наоборот. В этом случае W проходит
через значение WQ, соответствующее точке остановки в А. Это означает, что при малых
7]/у/т разность между значениями W, для которых существует структура^ ->• S, мала.
Эти значения, как показано на рис. 7.17а, расположены на интервале WN < W < Х^.
На интервале Xf <W <Wj форма линий уровня качественно сохраняет форму, по-
показанную на рис. 7.15. Однако буквы А и 12 следует в этом случае поменять местами.
Очевидно, что структура быстрой ударной волны А^ 12 существует всегда G2 принад-
принадлежит отрезку AJ ударной адиабаты). Структура неэволюционного разрыва А ->• 1Х не
существует. Структура разрывав —у G, где G принадлежит интервалу FE на рис. 7.17а,
неединственна. Это типично для неэволюционных разрывов этого типа.
7.6. Ударные волны в композитных материалах
535
D
Рис. 7.18. Структура множества допустимых разрывов в композитных материалах на ударных
адиабатах в плоскости и^,и2: h > О (a), h < О (Ь)
Рассмотрим структуру ударной волны А —у S на интервале Х^ <W <Wj (S принадле-
принадлежит отрезку A^g на рис. 7.17а). Каждая из траекторий, выходящих из точки S с нулевыми
начальными скоростями в противоположных направлениях, может заканчиваться в точ-
точке А (которая соответствует точке /2 на рис. 7.15). Эта траектория представляет собой
структуру быстрой ударной волны, соответствующей на ударной адиабате отрезку QK.
Однако колебательный характер движения вдоль желоба имеет важное следствие. Для
каждой траектории, выходящей из S, значения W могут быть разделены на интервалы
в зависимости от того, заканчивается ли траектория в А или в 1Х. Чем меньше ц/у/т,
тем меньше длина этих интервалов. Структура ударной волны А —у S не существует,
если обе интегральных кривых, выходящие из S, приходят в точку 1Х. Можно ожидать,
что этот случай имеет место для достаточно малых г\ и при W близких к Х^. В самом
деле, в этом случае точки /2 и А близки друг к другу и впадина у желоба в окрестности
точки А мала. В этом случае можно ожидать, что длины интервалов на оси W, соответ-
соответствующие приходу каждой траектории в А, меньше, чем длины интервалов для /2 и для
двух траекторий интервалы не занимают всю ось W. Это приводит к тому, что отрезок
KQ ударной адиабаты разбивается на короткие интервалы допустимых и недопустимых
разрывов (рис. 7.17а).
Для W > Wj желоб имеет только одну впадину, расположенную в точке А. В этом
случае обе интегральные кривые, выходящие из точки S, приходят в точку А. Таким
образом, для этого интервала значений W структура ударной волны А -у S существует
(точка S принадлежит отрезку QE ударной адиабаты).
Для иллюстрации вышеприведенных рассуждений, на рис. 7.17а и 7.18а при помощи
жирных отрезков и изолированных точек изображено множество допустимых разрывов
в случае h > 0. Число этих изолированных точек и коротких отрезков, как упоминалось
выше, зависит от параметра 7]/у/т, который определяет структуру с точностью до
масштаба.
536 Гл. 7. Неклассические разрывы и решения гиперболических систем
7.6.4. Случай h < 0. В случае h < 0 график функции P(ux,u2) для малых q и
Аг имеет сходство с поверхностью кратера вулкана. Если W — Wx (см. вертикальную
пунктирную линию на рис. 7.17Ь) и Xf < Wx < Xf, то функция P(ul,u2) имеет пять
стационарных точек. Форма линий уровня остается такой же, как представлено на
рис 7.15 и 7.16. Однако направление изменения функции Р от одной линии к другой
становится противоположным. В этом случае точка G — это точка минимума, точки 1Х
и /2 — точки максимума, а А и S — седловые точки.
Для малых значений q nAt высота стенок кратера изменяется мало. В этом случае
во всем множестве траекторий, выходящих из меньшего максимума (на рис. 7.15 и 7.16
это точка /2), можно различить два пучка траекторий, идущих в разных направлениях
почти вдоль гребня (верхнего края) кратера (см. пунктирную кривую на рис. 7.15 и 7.16).
Когда траектория тяжелой частицы отклоняется на достаточно большие расстояния от
гребня, частица довольно сильно ускоряется в поперечном направлении и уходит в
сторону, а ее траектория покидает рассматриваемый пучок. Каждый из пучков может
сталкиваться с препятствием, которое отвечает второму, большему, максимуму. Как
отмечалось выше, от траекторий каждого пучка отделяются траектории. Одна их часть
идет внутрь, а другая — во внешность кратера. В этом случае в каждом из пучков
существует разделяющая траектория, которая остается на гребне бесконечно долго.
Очевидно, эти траектории должны заканчиваться соответственно в точках^ и S. Первая
из них представляет структуру медленной ударной волны А —у /2.
Рассмотрим теперь траектории, выходящие из большего максимума (точка 1Х). Как
и в предыдущем случае, для малых q можно различить два пучка траекторий, идущих
почти вдоль гребня. В каждом пучке находится траектория, которая после нескольких
колебаний вдоль гребня должна заканчиваться в точках А или S, переходя (для доста-
достаточно малых г\/\J~rn) через меньший максимум. Для достаточно малых ц/у/т можно
ожидать, что существуют интервалы значений W, внутри которых обе траектории закан-
заканчиваются в точке S. В этом случае на отрезке DL ударной адиабаты находятся интервалы,
не соответствующие допустимым ударным волнам (рис. 7.17Ь и 7.18Ь). В любом случае
это верно на ее части, примыкающей к точке D. Как длины этих интервалов, так и
расстояния между ними стремятся к нулю при ц/фп -у 0.
Исследуем существование структуры у промежуточной ударной волны А —у S. Обе
особые точки А и S являются седлами. Очевидно, эта структура отсутствует для
P(S) < Р{А) (рис. 7.15), т. е. для W < WN. Если W становится равным WN и продолжает
увеличиваться, то должно найтись значение Wo > WN, такое что при W > Wo траектория,
выходящая из точки S в направлении кратера (эта траектория единственна), преодоле-
преодолевает более низкую часть гребня в окрестности точки А и выходит во внешнюю область.
Из непрерывности ясно, что во всяком случае для разделяющего значения W = Wo
существует траектория S —> А, отвечающая структуре промежуточной ударной волны
А —у So. Таким образом, получено множество допустимых разрывов, которое изобра-
изображено на диаграмме эволюционности (рис. 7.17Ь) жирными отрезками и изолированной
точкой ?0.
В заключение, на рис. 7.18Ь в плоскости (м1?м2) изображена ударная адиабата с
характерным множеством допустимых разрывов. Как и в случае электромагнитных
ударных волн для случая h > 0 можно утверждать, что наличие множества допустимых
промежуточных разрывов (которое включает много точек для h > 0) может привести к
неединственности решений задачи.
7.7. Продольные нелинейные волны в упругих стержнях 537
7.7. Продольные нелинейные волны в упругих стержнях
В этом разделе будет рассмотрен простой пример неклассического поведения разры-
разрывов в решениях крупномасштабных уравнений, демонстрирующий сложную структуру
множества допустимых разрывов. Простота крупномасштабной модели задачи о рас-
распространении продольных волн в стержне связана с тем, что в каждом направлении
по стержню могут распространяться возмущения только одного типа. По этой причине
для получения неклассического поведения разрывов в этом случае, помимо дисперсии,
необходима более сложная нелинейность. Эта нелинейность должна обеспечивать су-
существование на ударной адиабате по меньшей мере двух точек Жуге. В предыдущих
разделах две точки Жуге существовали в случае общего положения, что было обеспе-
обеспечено присутствием двух семейств характеристик с одинаковым направлением.
7.7.1. Крупномасштабная модель. При рассмотрении длинных продоль-
продольных волн в однородных прямолинейных стержнях предположим, что стержень является
упругим и полное давление в его сечении (определяющееся интегралом по сечению от
нормального напряжения) дается формулой
P = P(u), «=^р G-7-l)
где w — смещение материала стержня вдоль его оси, совпадающей с осью х. Здесь пред-
предположено, что деформации и изменяются на расстояниях много больших, чем диаметр
стержня, так что можно положить w = w(x,t). Следующее предположение, сделанное в
формуле G.7.1), подразумевает, что зависимостью Р от энтропии S пренебрегается. Это
предположение делается для упрощения задачи и может быть опущено. В дальнейшем
рассмотрим зависимость Р от г/, представленную на рис. 7.19 кривой ABECHDGL.
Если выполняется условие G.7.1), то уравнение движения для однородного стержня
может быть представлено в виде
*± *WL G72)
dfl ~ Эх2 '
Здесь х — лагранжева координата. Используется такой масштаб координаты х, что
коэффициент в левой части уравнения равен единице.
Уравнение G.7.2) для дР/ди < О имеет гиперболический тип. В этом случае, наря-
наряду с непрерывными, должны рассматриваться также и разрывные решения. Основные
соотношения на разрывах являются следствием интегральной формы основных уравне-
уравнений. В рассматриваемом случае они представлены законом сохранения х-компоненты
импульса. Уравнение G.7.2) выражает этот закон сохранения для гладких решений.
Соотношение на разрывах имеет форму
P(uR)-W2(u-uR)=P(u). G.7.3)
Здесь W — это скорость на разрыве.
Верхний индекс R отвечает величинам перед разрывом и на рис. 7.19 соответствует
точке^4. Величины без индекса соответствуют состоянию за разрывом. Уравнения G.7.2)
и G.7.3) определяют крупномасштабную модель. Они совпадают с соответствующими
538
Гл. 7. Неклассические разрывы и решения гиперболических систем
соотношениями, описывающими одномерные движения газа, если Р его давление, а
1 + и = V — удельный объем. При этом считается, что Р = Р(у), т. е. зависимостью
давления от энтропии пренебрегается.
Выполнение соотношения G.7.3) означает, что скорость разрыва W и скорость ма-
малых возмущений Я определяются следующими выражениями:
dP
G.7.4)
РА
D
Н
С точки зрения закона сохранения импульса на разрыве G.7.3) любая пара точек
на кривой Р(и) в плоскости (и,Р) может быть выбрана в качестве состояний перед и
за разрывом, если скорость разрыва удовлетворяет равенству G.7.4). Таким образом,
в рассматриваемом случае ударная адиаба-
адиабата является кривой Р = Р(и) с выделенной
начальной точкой А (uR, Р (uR)).
Используя равенства G.7.4), можно лег-
легко проверить, что на рис. 7.19 отрезок АЕ и
часть ударной адиабаты, лежащая над точ-
точкой Н являются априорно эволюционными
отрезками ударной адиабаты, для которых
выполняется неравенство AR <W < AL.
Для заданного значения W и состояния
A(uR,P(uR)) перед разрывом состояния за
ним в плоскости (и,Р) могут быть пред-
представлены точками пересечения кривой Р(и)
с прямой линией, заданной левой частью
уравнения G.7.3). Эта прямая линия назы-
называется прямой Михельсона. Для достаточ-
Рис. 7.19. Полное давление Р в стержне как но сложной функции Р(и) могут существо-
функция деформации и. Изображены прямые вать несколько точек пересечения (точки В,
Михельсона, состояние перед разрывом (А) и С и D на рис. 7.19).
возможные состояния за разрывом (В, С, D) Если предположить, что существуют
ударные волны, отвечающие всем этим точ-
точкам, то очевидно, что решения задач о движении стержня оказываются неединственны-
неединственными. Необходимо среди всех разрывов, удовлетворяющих соотношению G.7.3), дополни-
дополнительно отбирать только физически допустимые разрывы. Как показано Галиным A958а,
1958b), который исследовал продольные ударные волны в средах со сложными урав-
уравнениями состояния, нефизическая неединственность решений может существовать для
ударных адиабат, имеющих форму, изображенную на рис. 7.19, даже если требовать
неубывания энтропии на разрыве и априорной эволюционности разрыва. Заметим, что
выше была предположена независимость Р от S, так что ударная адиабата определяется
зависимостью Р = Р(и).
Для того чтобы получить единственное решение задач о продольных волнах Га-
Галин A959) предложил сохранять только допустимые разрывы, которые имеют структу-
структуру в присутствии вязкости и теплопроводности газа. В этом случае для и <uR эволю-
эволюционные разрывы, описываемые на прямой Михельсона скачком из начальной точки
в соседнюю, оказываются допустимыми. Для начального состояния А, см. рис. 7.19,
7.7. Продольные нелинейные волны в упругих стержнях 539
допустимые состояния могут представляться точками, принадлежащими на графике
функции Р(и) отрезкам АЕ и GL. Эти сегменты изображены жирными кривыми на
рис. 7.19. Здесь Е — точка касания кривой Р(и) и прямой линии, которая выходит из А.
Было показано также, что не существует разрывов с дополнительными граничными
условиями на них. Олейник A959) пришла к таким же заключениям изучая уравнения
первого порядка с аналогичной нелинейностью.
7.7.2. Модель движений умеренного масштаба. Уравнения G.7.2) не
учитывают ни дисперсионных, ни диссипативных явлений, которые могут оказаться
важными при описании структуры разрыва. Присутствие дисперсии связано с конеч-
конечными поперечными размерами стержня. Если рассматривать продольные линейные
волны, длина которых / удовлетворяет неравенству d <С / <С Z, где L — характерный
внешний размер задачи, a d — характерный поперечный размер стержня, то основ-
основной вклад дисперсионных эффектов, как известно, может быть представлен членом
J52d4u/dx2dt2 с /3 = const (Rayleigh, 1877; Работнов, 1979). Этот член надо добавить в
правую часть уравнения G.7.2). Для кругового стержня должно выполняться равенство
р = or, где ст — коэффициент Пуассона, а г — радиус стержня. Если нелинейность
мала, то для умеренно длинных волн дисперсионный член сохраняет свою форму с
/3 = const. Если диссипативными процессами в стержне пренебрегается, то в результате
присутствия нелинейности вдоль стержня могут распространяться солитоны и нелиней-
нелинейные периодические волны (Островский, Сутин, 1977; Кукуджанов, 1977; Потапов, 1985;
Дрейденидр., 1995).
Далее предположим, что среда вязкоупругая. В этом случае в правую часть уравне-
уравнения G.7.1) необходимо еще добавить член —\idu/dt, (/1 > 0), который описывает вязкие
напряжения. В результате для умеренно длинных волн (/ ^> г) получим уравнение (Ку-
(Куликовский, Гвоздовская, 1998)
=\^ + Р +М G.7.5)
dt2 дх2 dt2dx2 dtdx2
При / —У оо два дополнительных новых члена по сравнению с членами в уравне-
уравнении G.7.2) становятся бесконечно малыми, так как они содержат производные высших
порядков.
Как будет видно из уравнений, описывающих структуру разрыва (см. следующий
раздел), чем меньше Р(и) отличается от линейной функции, тем больше будет харак-
характерный линейный масштаб / изменения решения. Условие / > г обеспечивает примени-
применимость приближенного уравнения G.7.5). Для того чтобы удовлетворить этому условию,
нелинейность должна быть малой.
Важным отличием уравнения G.7.5) от уравнений, используемых Галиным A959)
и Олейник A959), является присутствие в нем при /З2 ф 0 дисперсионного члена.
7.7.3. Уравнения, описывающие структуру разрыва. Будем искать ре-
решения задачи о структуре разрыва в форме бегущей волны (W — скорость волны):
lim u = uR, lim u = uL.
§—>¦—oo §—too
540 Гл.7. Неклассические разрывы и решения гиперболических систем
Из уравнения G.7.5) следует
/3 W + uWvl = F(w), G.7.6)
где
F(w) = W2(u- uR) -P(uR) +P(u).
Здесь штрихи обозначают производные по ?. Был использован тот факт, что производ-
производные от г/ по ^ при u — uR становятся равными нулю.
Заметим, что уравнение G.7.6) с точностью до обозначений совпадает с уравнением,
использованным Куликовским A984) для исследования структуры разрывов, имеющих
место в решениях уравнения первого порядка
которое рассматривалось в качестве крупномасштабной модели для соответствующего
полного уравнения вида
ди дР(и) д2и дъи / оч
+ ^ G78)
Уравнение G.7.5) описывает волны, распространяющиеся в обоих направлениях
оси х. Если нелинейность мала, то взаимодействие между этими волнами является
малым. В этом случае волны могут быть исследованы независимо и для каждой из
них можно получить отдельное уравнение вида G.7.8). В сущности, уравнение G.7.8)
представляет собой общую форму уравнения, описывающего связанную с одним се-
семейством характеристик волну с малой, но произвольного вида нелинейностью, а также
дисперсией и диссипацией. Отметим, что нелинейность, задаваемая функцией Р(и) в
уравнении G.7.8), принимается здесь существенно более сложной, чем в уравнении
Кортевега-де Вриза-Бюргерса, где Р(и) = и /2. Поскольку описывающее структуру
уравнение G.7.6) с точностью до обозначений оказывается одним и тем же для обо-
обоих уравнений G.7.5) и G.7.8), уравнение G.7.8) нет необходимости выводить здесь из
уравнения G.7.5).
7.7.4. Допустимые разрывы. Рассмотрим ситуацию, представленную на
рис. 7.19. Здесь начальная точкам и значение W2 выбраны таким образом, что наряду
с точкой А имеются три точки пересечения В, С и D прямой Михельсона с графиком
функции Р(и). Это означает, что функция F(u), заданная выражением G.7.6), равна
нулю для значений своего аргумента и равных иА — uR, uB, uc vlud. Одно из значений
ив,ис или uD совпадает с uL, где uL = lira, ^z/f^), а иА =\ш1к_^_оои(%). Любое из
значений ив, ис или uD, очевидно, удовлетворяет соотношению на разрыве G.7.3).
Как упоминалось выше, если предположить, что уравнение G.7.3) является един-
единственным соотношением на разрыве, то разрывы uR —> ив и uR —У uD являются эволю-
эволюционными, в то время как разрыв uR —у ис не эволюционен.
Для дальнейшего качественного исследования решения, представляющего собой
структуру, заметим, что для данного и функция F(u) представляет из себя разность
между ординатами кривой Р(и) и прямой Михельсона. Из вида уравнения G.7.6) с
7.7. Продольные нелинейные волны в упругих стержнях 541
необходимостью вытекает, что форма решения, т. е. вид функции м(^), определенной
с точностью до изменения масштаба ?, зависит только от комбинации /3//I, но не от
/3 и /1 отдельно. В самом деле, если изменить масштаб вдоль оси х, то коэффициенты
при и" и и' также изменятся и величины /3 и /1 примут новые значения, в то время как
отношение /3//I остается постоянным. В частности, значение г/ь, т. е. выбор uL равного
ив, ис или uD зависит от той же комбинации.
Для того чтобы упростить последующий анализ, выберем масштаб переменной %
таким образом, что уравнение G.7.6) примет вид
P2i/' + Hi/ = F(u), G.7.9)
а выражение G.7.6) для F(u) останется прежним. Величина W входит теперь только в
это выражение.
Если /3 = 0ид^0, тов соответствии с G.7.9) получим du/dt; = F(u)/ji. Направ-
Направление изменения и определяется знаком F(u). На рис. 7.19 это направление на прямой
Михельсона показано стрелками. Видно, что разрыв, заканчивающийся в ближайшей
к А точке В, имеет структуру при условии, что эта точка на рис. 7.19 лежит слева
от uR . Множество точек с координатами (и,Р(и)), которые могут представлять со-
состояния за разрывом для подходящих значений W, составляют отрезки графика Р(и),
изображенные жирным на рис. 7.19. В рассматриваемом случае все разрывы со струк-
структурой являются априорно эволюционными, но не все априорно эволюционные разрывы
имеют структуру. Эволюционные разрывы, с состояниями за ними принадлежащими
отрезку HG кривой F(u), не имеют структуры. Точки Н яЕ являются точками касания
кривой F(u) с прямыми линиями, выходящими из точки А. Не существует разрывов
с дополнительными соотношениями. Множество значений г/, представляющих собой
конечные состояния uL в структуре разрыва, состоит из двух интервалов: интервала
[г/к, иЕ] и интервала, примыкающего к точке u — uG слева. В соответствии с этим усло-
условия, наложенные на состояния за допустимым разрывом, могут быть записаны в виде
неравенств. Эти выводы согласуются с результатами Галина A959) и Олейник A959).
Заметим, что в математической литературе на упомянутые условия ссылаются как
на условия Олейник. Иногда их также называются энтропийными условиями (Harten,
Hyman, Lax, 1976), хотя они не являются условиями неубывания энтропии и для /3^0
существуют разрывы с положительным производством энтропии, но не удовлетворяю-
удовлетворяющие условиям Олейник. Это будет видно из последующего.
Рассмотрим теперь случай с/3>0и/1>0 (Куликовский, 1984; Куликовский, Гвоз-
довская, 1998). Тогда уравнение G.7.9) может рассматриваться как уравнение движения
для точки массы /3 под действием силы F(u)b присутствии трения, определяемого вы-
выражением iLdu/dt,. Здесь ? играет роль времени. Если определить начальное состояние
как А (рис. 7.18) и менять W внутри определенного интервала, то имеется четыре со-
состояния равновесия, в которых F(u) = 0.
Аналогия между решениями уравнения G.7.9) и колебательными движениями точ-
точки позволяет, варьируя W, качественно исследовать структуру множества допустимых
состояний за разрывом uL. На рис. 7.20 при помощи жирных отрезков и изолированных
точек показано множество uL, т. е. допустимая часть ударной адиабаты для фиксиро-
фиксированного умеренного значения /3//I. Видно, что это множество состоит из интервалов
AR,RfJfJJK,KfMfJMNJNfPfJPQ и QfL, изображенных жирными кривыми, и изолиро-
изолированных точек Сх ,С2,... ,СИэ (в случае, изображенном на рисунке, п = 7). Для заданной
542
Pa
Гл. 7. Неклассические разрывы и решения гиперболических систем
>. С„
Рис. 7.20. Допустимые состояния за разрывами для умеренных значений /3//I: жирные кривые
и черные точки
функции F(u) число изолированных точек и интервалов зависит от отношения /3//I и
неограниченно увеличивается с увеличением этой величины.
Для обоснования сказанного заметим, что для малых значений W, которые соот-
соответствуют точкам интервала AR (рис. 7.20), массивная точка приобретает скорость,
двигаясь вдоль интервала АВ (рис. 7.19), на котором F < 0, и для достаточно больших
/3//I минует точку равновесия В, попадая в область с F > 0. Если W не велико, то
массивная точка возвращается в точку В, которая лежит на отрезке AR графика Р(и) и,
после колебаний в окрестности этой точки, останавливается в точке В под действием
трения.
Если увеличить W, сила Fm, интервале ВС уменьшается (рис. 7.19) и длина этого
интервала также уменьшается. Одновременно ускорение массивной точки увеличива-
увеличивается вдоль интервала АВ. Следовательно, для достаточно малых /3//I существует такое
значение W = Wl, что массивная точка, проходящая через устойчивое состояние равно-
равновесия В, при t —у оо приближается к неустойчивой точке равновесия типа С (точка Сх
на рис. 7.20). При W — Wx эта точка отвечает состоянию за допустимым разрывом.
Если W и дальше увеличивается, то массивная точка проходит через неустойчивую
7.7. Продольные нелинейные волны в упругих стержнях
543
точку типа С и оказывается в зоне притяжения устойчивой точки равновесия типа D, где
она и останавливается после колебаний. Легко понять, что существует интервал W, для
которого этим точкам соответствуют состояния за допустимым разрывом (на рис. 7.20
они занимают интервал R'J1).
Если продолжать увеличение W, то для достаточно больших /3//I существует такое
значение W = JV2, что массивная точка, ускоренная на интервале АВ, проходит через
точки С и D справа налево с такой скоростью, что в обратном движении при t —у
оо массивная точка стремится к неустойчивой точке равновесия типа С слева. Эта
отдельная точка С2, как и точка С1э соответствует некоторому допустимому разрыву.
При W > W2 массивная точка проходит через неустойчивую точку типа С слева
направо и при t —У оо стремится к устойчивой точке равновесия типа В. Эти решения
отвечают точкам, принадлежащим
интервалу JK (рис. 7.20). д _ jM
Аналогичные рассмотрения Р d^
могут быть продолжены. Для
очень больших скоростей W ре-
решения очевидным образом будут
заканчиваться в устойчивых точ-
точках типа D, лежащих на интервале
Q'L. Количество допустимых ин-
интервалов и изолированных точек
на ударной адиабате для заданных
/3//1 определяется максимально
возможным числом колебаний
около неустойчивых точек равно-
равновесия типа С (максимум берется
по отношению к W). Очевидно,
что если /3 = const, а трение
уменьшается с уменьшением /I,
то максимально возможное число ас,
этих колебаний возрастает.
Приведенные рассмотрения основывались на аналогии между уравнением G.7.9) и
уравнением движения массивной точки. Можно также качественно исследовать поле
интегральных кривых в плоскости переменных иир = m{du/d^), а также зависимость
этого поля от W. В качестве иллюстрации на рис. 7.21 изображено упомянутое поле
интегральных кривых, соответствующих случаю с устойчивой точкой типа D.
Изолированные точки Ct принадлежат допустимой части ударной адиабаты и от-
отвечают определенным значениям скорости разрыва W. Равенство W одному из этих
значений представляет собой дополнительное граничное условие. Другими словами,
оно является дополнительным соотношением на разрыве, которое делает его эволюци-
эволюционным. Это соотношение возникает как условие существования структуры.
Если /3 и /1 стремятся к нулю при /3//I = const или если характерный линейный
размер задачи стремится к бесконечности вместе с масштабом длины, то решение,
представляющее собой структуру разрыва, трансформируется в разрыв, допустимый
для данных F(u), /3//i и uR. Если /3//I —у оо, число допустимых интервалов и изолиро-
изолированных точек на ударной адиабате стремится к бесконечности.
Рис. 7.21. Интегральные кривые на плоскости (и,р),
2 du
544 Гл.7. Неклассические разрывы и решения гиперболических систем
7.7.5. Уточненная крупномасштабная модель. Неединственность.
Для формулировки уточненной модели крупномасштабных явлений потребуем, чтобы
все разрывы, используемые для построения решений, были допустимыми, т. е. име-
имели структуру. Нестационарные решения, содержащие подобные разрывы для больших
/3 //I, не будут обсуждаться в деталях. Будет лишь показана очевидная неединственность
решений автомодельных задач, которая может быть установлена в рамках этой круп-
крупномасштабной модели. Ясно, что при этом не учитываются нестационарные явления,
происходящие на длинах порядка ширины структуры скачка.
В качестве примера рассмотрим автомодельную "задачу о поршне" с начальным
состоянием при t = О для х > О, заданным точкой А, и состоянием при х = 0 и t > О,
заданным точкой /, принадлежащей интервалу J'R1 (рис. 7.20). Решение должно со-
состоять из автомодельных непрерывных волн вида u = u(x/t), где x/t > 0, разрывов с
W > 0 и зон с постоянными распределениями и. Ясно, что существует решение, состо-
состоящее из одного разрывав ->• /. Кроме того, существуют решения, состоящие из одного
из разрывов А ->• С/9 / = 2,3,... ,я, и другого разрыва Сг ->• /, двигающегося с неко-
некоторой меньшей скоростью позади первого. Легко видеть, что разрывы Ct —> f имеют
структуру. Неединственность может также иметь место для других граничных условий,
отличающихся от заданных точкой /.
Хотя это специально не исследовалось, можно предположить, что построенные
выше автомодельные решения представляют собой асимптотики решений неавтомо-
неавтомодельных задач для уравнения G.7.4) при t ->• оо (неисследованным вопросом остается
пока устойчивость структур разрыва). Формулировки неавтомодельных задач, приводя-
приводящих к различным асимптотикам, могут различаться вследствие различных постановок
начальных или граничных условий для малых интервалов значений х или t, определя-
определяемых шириной структуры ударной волны / и временем I/W. Эти величины являются
пренебрежимо малыми с точки зрения большого масштаба. Однако именно эти исче-
зающе малые интервалы в формулировке крупномасштабной задачи могут определять
реализацию одного или другого ее решения.
7.8. Фронты ионизации в магнитном поле
В качестве еще одного примера неклассического поведения фронтов и разрывов в дан-
данном разделе будут изучены фронты, распространяющиеся по газу с проводимостью,
изменяющейся от нуля до бесконечности. Присутствие магнитного поля определяет
существование фронтов различных типов и является важным для обсуждаемого явле-
явления. Системы уравнений, описывающих поведение электромагнитных полей и среды,
различны по разные стороны от разрывов. Таким образом, рассматриваемые фронты
являются фронтами фазовых переходов.
7.8.1. Крупномасштабная модель. Если достаточно сильная ударная волна
распространяется по непроводящему газу, то возрастание температуры может вызвать
появление электрической проводимости газа. В этом случае газ начинает взаимодей-
взаимодействовать с магнитным полем. Перед фронтом взаимодействие между электромагнитным
полем и газом отсутствует. Тогда электромагнитное поле может быть описано уравне-
7.8. Фронты ионизации в магнитном поле 545
ниями Максвелла, которые в отсутствии электрических токов и зарядов имеют вид
-^- + crotE = 0, divB = O, G.8.1)
at
— с rotB = 0, divE = 0. G.8.2)
ot
Поведение газа описывается уравнениями газовой динамики
-^-+pdivv = 0, р—^ = -grad/?, -^- + —divv = 0. G.8.3)
Здесь е = е{р,р) — внутренняя энергия единицы массы газа. Для совершенного газа,
течения которого будут далее изучаться, имеем
8 =
(r-i)p'
Другие обозначения стандартные. В уравнениях G.8.1)—G.8.3) не учитываются дис-
сипативные процессы. Это означает, что эти уравнения отвечают крупномасштабному
приближению.
В этом крупномасштабном приближении проводящий газ, магнитное и электриче-
электрическое поля за фронтом ионизации могут быть описаны уравнениями магнитной гидро-
гидродинамики (гл. 5), соответствующими отсутствию магнитной вязкости и других дисси-
пативных процессов,
-?¦ + р divv = 0, р —^ = - grad/? + —- rotB x В, G.8.4)
at at 4л
^ + — divv = 0, -?--rot(vxB) = 0, E = --xB, G.8.5)
at p ot с
divB = 0, j = —rotB. G.8.6)
4тг
Последние равенства в G.8.5) и G.8.6) определяют электрическое поле Е и плот-
плотность электрического тока j, которые не входят в другие дифференциальные уравнения.
Однако, в непроводящей среде вектор Е является независимой величиной, определяе-
определяемой из уравнений Максвелла.
Заметим, что уравнения Максвелла G.8.1) имеют одинаковый вид как для прово-
проводящей, так и для непроводящей среды. Это следует из двух последних уравнений в
G.8.5) и первого в G.8.6). Из выражения G.8.5) для Е видно, что в проводящей среде
|Е| является малой величиной порядка |v||B|/c. В дальнейшем предположим, что эта
оценка справедлива всюду.
На фронте ионизации, который разделяет области, занятые проводящим и непрово-
непроводящим газами, должны выполняться определенные соотношения (в разд. 7.2 названные
основными соотношениями). Они могут быть получены из интегральной формы основ-
основных уравнений. Система основных соотношений на разрыве E.2.3)-E.2.8) может быть
записана в виде (Germain, 1959; Куликовский, Любимов, 1962)
BXV \L _ (B2V \L_
77"Vi) +?n-0, \-r— -ВсРъ) -0,
546 Гл.7. Неклассические разрывы и решения гиперболических систем
{^-ВД^О, {v2-B0B2} = 0, L + w2K+^L±_M=0, G_8_7)
где
V=—, v,=mV, {w} = 0, ? =—^-, Ег,=сЕЛкш, G.8.8)
Р J U 47Г/77 U Z
dim — поток массы. Величины т, ВоиЕо непрерывны на разрыве. Как обычно, верхние
индексы R и L обозначают, соответственно, величины перед и за разрывом, а фигурные
скобки обозначают скачок взятой в них величины, так что
Буквой J обозначена величина р + m2V + (В\ -{-B^/Sn, которая согласно одному из
соотношений G.8.7) одинакова по обе стороны от фронта.
В записи соотношений G.8.7) использована декартова система координат, связанная
с фронтом разрыва и осью х3, направленной по нормали к его поверхности. Таким
образом, скорость разрыва равна нулю, а направления осей хх и х2 выбраны так, что
впереди него Ех = 0. Отсюда, используя последнее равенство в G.8.5), видим, что за
разрывом vx = 0 и В2 = 0.
Как будет показано ниже, соотношения на фронтах ионизации не всегда исчерпыва-
исчерпываются основными граничными условиями G.8.7). Для того чтобы получить дополнитель-
дополнительные соотношения, надо рассматривать модель для умеренных масштабов и исследовать
структуру фронтов ионизации.
7.8.2. Модель для умеренных масштабов. Рассмотрим случай, когда
ионизация газа везде достаточно мала (Куликовский, Любимов, 1959; Taussig, 1967;
Бармин, Куликовский, 1968), чтобы пренебречь ее вкладом в уравнение состояния. В
дальнейшем газ считается совершенным. Предполагается, что магнитная вязкость r\m =
= с2/4тг<7 является наибольшим диссипативным коэффициентом.
Обзор исследований ионизационных фронтов при других предположениях имеется
в работе Бармина, Куликовского A971), а также в монографии Великовича, Либерма-
на, A987).
Модель для явлений умеренного масштаба в принятом приближении сводится к си-
системе уравнений магнитной гидродинамики с конечной электрической проводимостью,
но в отсутствии вязкости и теплопроводности. Уравнения G.8.4) и G.8.6) сохраняют
свою форму, а уравнения G.8.5) должны быть заменены уравнениями
^- + — divv = -^(rotBJ, -^- -rot(v х В) +rot(?]mrotB) = 0, G.8.9)
at р 4тгр ot
j = a (e + ^ x в) , rfm =
<r
Ana
Правая часть первого из уравнений G.8.9) представляет собой действие джоулева теп-
тепла. Соотношение для j является простейшей формой закона Ома (без учета эффекта
7.8. Фронты ионизации в магнитном поле 547
Холла). При ст —у оо закон Ома переходит в последнее из соотношений G.8.5). Второе
из уравнений G.8.9) является следствием уравнений Максвелла и закона Ома.
Для исследования структуры разрыва предположим, что все величины являются
функциями единственной координаты х = х3, т. е. рассмотрим стационарное течение
газа в координатной системе, связанной с разрывом. Тогда система, описывающая из-
изменение величин в структуре, может быть записана в следующей форме:
dBx Акт (BXV
1 ' 1 B
dx цт V 4тг и
) ч G.8.10)
<Ж2 Акт B2V \
аХ цт \ 47Г /
^-5^=0, v2-B0B2 = 0,
да КН -=J, J= const,
G.8.11)
)
-EOBX +B0(Blvl +B2v2) + VJ=?>, g = const.
Уравнения G.8.10) выражают тот факт, что тангенциальные компоненты электри-
электрического поля являются постоянными. Это является следствием первого из уравне-
уравнений G.8.1) для не зависящих от времени решений. При записи G.8.10) был учтен закон
Ома и последнее равенство в уравнениях G.8.6). Равенства G.8.11) выражают сохра-
сохранение потоков импульса и энергии и имеют структуру, похожую на уравнения G.8.7).
Уравнения G.8.10) и G.8.11) записаны в координатной системе, движущейся в плос-
плоскости разрыва таким образом, что потоки компонент импульса вдоль осей хх и х2 рав-
равняются нулю. Потоки х-компоненты импульса и энергии через единицу поверхности
х = const обозначаются, соответственно, как Уи S.
При этих предположениях величины в непроводящей области не могут меняться
непрерывным образом. Это следует из уравнений G.8.10) и G.8.11), так как правые
части уравнений G.8.10), пропорциональные ст, исчезают для a — 0 и дают Вх — const,
В2 — const, что, согласно G.8.11), приводит к постоянству остальных величин, если они
меняются непрерывно и скорость газа не равна скорости звука.
Система G.8.10), G.8.11) допускает разрывные решения. Так как магнитная вязкость
является единственным диссипативным коэффициентом, присутствующим в системе,
магнитное поле должно быть непрерывным на разрывах, в то время как остальные
величины могут претерпевать разрыв. Очевидно, эти разрывы представляют собой
газодинамические ударные волны.
Для описания фронта ионизации необходимо определить условия включения прово-
проводимости. В простейшем случае можно предположить, что а является функцией термо-
термодинамического состояния газа, например, a — о(Т), где Т - температура, так что ст = О
при Т < Т* и ст > 0 при Т > Т*. В этом случае проводимость включается, если Т <Т*
перед фронтом и Т > Т* за ним. Однако, как следует из системы уравнений G.8.10), па-
параметры, управляющие проводимостью, не очень важны. Нужно только знать на каких
фронтах включается проводимость. Это позволяет одновременно рассматривать случаи
с неравновесной проводимостью.
548 Гл.7. Неклассические разрывы и решения гиперболических систем
7.8.3. Множество допустимых разрывов. Уравнения G.8.11) представля-
представляют собой четыре равенства, которые связывают величины vx,v2,p, V,BX и В2. Эти соот-
соотношения позволяют выразить v,,v2,^hF через Вх и В2. Как следует из предыдущих
рассмотрений, для совершенного газа эти функции двузначны и возможные значения
при одинаковых ВхиВ2 могут отвечать состояниям перед и за газодинамическим скач-
скачком, который не движется в выбранной системе координат.
Для определенности рассмотрим пространство (V,BX,B2). Уравнение, связывающее
V,BX и В2, может быть получено из соотношений G.8.11). Для совершенного газа оно
имеет вид
У^-т2У2-2-У—- y-Yl V + 2?>-B20B2+2E0Bx =0, G.8.12)
где
2 2 2
Двузначная функция V(Bl,B2), которая может быть найдена из уравнения G.8.12),
задает поверхность X в пространстве (Bl,B2,V). Большие и меньшие значения V со-
соответствуют сверхзвуковой и дозвуковой частям поверхности X, которые обозначим
соответственно Xj и Х2. Поверхности Их и Х2 стыкуются по кривой, на которой х-
компонента скорости v3=mV равна скорости звука в газе се = \JypV.
Состояние перед фронтом ионизации (х = — оо) может быть задано произвольной
точкой на части поверхности X, где о = 0. В этом случае, как упоминалось ранее, правые
части уравнений G.8.10) равны нулю. В состоянии за фронтом ионизации (х = оо, о ф
= 0) выражения в круглых скобках в правых частях уравнений G.8.10) должны быть
равны нулю. Таким образом, это состояние описывается особыми точками системы
уравнений G.8.10), которая может быть записана в виде
J\
Акт
^bJ^-b2).
dx
~dx~
Здесь V = V(BX,B2) — это введенная выше двузначная функция, которая задает поверх-
поверхность X. При написании уравнений G.8.13) использовались два первых соотношения
из системы G.8.11).
Особые точки At системы уравнений G.8.13) — это особые точки одномерных МГД-
течений. Они были изучены в работе Germain A959) при рассмотрении структуры
МГД-разрывов, для которых всюду а ф 0. Если газ совершенный, то существует не
более четырех особых точек А Х,А2,А3 яА4,в которых должны выполняться следующие
неравенства:
mV(A4) < as, as < mV(A3) < aA, G.8.14)
aA < mV(A2) < af, af < mV(Al).
Здесь mV = v3 — это скорость газа по отношению к разрыву, as < aA < af — харак-
характеристические скорости (медленная, альфвеновская и быстрая) по отношению к газу,
7.8. Фронты ионизации в магнитном поле
согласно гл. 5 выражающиеся следующим образом:
549
Вп\
где
с2 =
Эволюционные быстрые и медленные магнитогидродинамические ударные волны
соответствуют переходам Ах —у А2 и Аъ —у А4. Если эти волны бесконечно слабые, то
скорости быстрых и медленных удар-
ударных волн равны, соответственно,
af и as. Вращательная (альфвенов-
ская) волна Римана, которая сохраня-
сохраняет свою форму, а также соответству-
соответствующий обратимый вращательный раз-
разрыв распространяются в проводящем
газе со скоростью аА (разд. 5.3).
Ограничимся рассмотрением
фронтов ионизации, распространяю-
распространяющихся по заданному непроводящему
состоянию со сверхзвуковой ско-
скоростью (сверхзвуковые фронты
ионизации). Так как, согласно пре-
предыдущему, непрерывное изменение
параметров течения невозможно при
G = 0, то газ может стать проводя-
проводящим, только если структура фронта
ионизации начинается разрывом
(газодинамической ударной волной),
за которым проводимость становится не равной нулю. Решение, представляющее
собой структуру фронта ионизации, должно в этом случае состоять из скачка с Xj на
Х2 при постоянном магнитном поле и отрезка одной из магнитогидродинамических
интегральных кривых системы уравнений G.8.13), входящих в одну из особых точек ^-.
Могут также существовать дозвуковые фронты ионизации (Бармин, Куликов-
Куликовский, 1968а). В этом случае состояние впереди фронта должно принадлежать кривой,
разделяющей на Х2 проводящее и непроводящее состояния. Такая ситуация в решениях
задач также соответствует одному из случаев общего положения, так как перед дозвуко-
дозвуковым фронтом ионизации может распространяться газодинамический скачок, который
переводит газ в состояние, которое разделяет на поверхности X области с<7>0и<7 = 0.
Исследование структуры дозвуковых фронтов ионизации требует информации о гра-
границе между проводящим и непроводящим состояниями. Для простоты, эти случаи не
будут рассматриваться.
Во многих случаях поверхность X представляет собой замкнутую выпуклую поверх-
поверхность (ее форма не влияет на дальнейшее рассмотрение), сечение которой плоскостью
В2 = 0 показано на рис. 7.22 (кривая а). Все особые точки системы лежат в этой плос-
Рис. 7.22. Состояние перед фронтом ионизации (AQ)
и возможные состояния за ним (А2, А3, А^)
550
Гл. 7. Неклассические разрывы и решения гиперболических систем
Рис. 7.23. Интегральные кривые, описывающие изменение магнитного поля в структуре фронта
ионизации
кости на пересечении поверхности X с гиперболой
V
4^"j
G.8.15)
Точка Ах всегда лежит на верхней сверхзвуковой части Ъх поверхности X, в то
время как точка А4 всегда лежит на нижней, дозвуковой части Х2. Это следует из
неравенств G.8.14) с учетом того, что af > ce и as < ce. В зависимости от параметров
течения точки А2 и Аъ могут лежать как на Х2, так и на Ъх.
Так как структура сверхзвукового фронта ионизации начинается с газодинамической
ударной волны (скачку, на котором Вх и В2 непрерывны с верхней части поверхности Ъх
на нижнюю часть Х2), рассмотрим интегральные кривые
системы уравнений G.8.13), принадлежащие Х2 в проек-
а 1 ции на плоскость (ВХ,В2). На рис. 7.23 качественно изоб-
изображены интегральные кривые для случая, когда точка А2
лежит на Х2. Стрелки показывают направление изменения
величин при уменьшении х, т. е. вдоль потока газа.
Рассмотрим различные типы сверхзвуковых фронтов
ионизации. При этом будем различать типы фронтов по
типу особых точек, соответствующих состоянию за фрон-
фронтом, т. е. в зависимости от того, какие неравенства в
G.8.14) выполняются. На рис. 7.24 показана диаграм-
диаграмма эволюционности фронтов. Конечные особые точки
Аъ
К=2
К=\
к=о
01
АХ,А2,АЪ яА4 фронтов отмечены в соответствующих им
Рис. 7.24. Диаграммы эволю-
эволюционности фронтов иониза-
ионизации
прямоугольниках. На горизонтальной оси нанесена газо-
газодинамическая скорость звука се. В прямоугольниках также указано число К дополни-
дополнительных соотношений на разрыве, необходимых, чтобы сделать его эволюционным.
Основными соотношениями при этом считались равенства, выражающие непрерыв-
непрерывность потоков массы, импульса и энергии. Соотношения, связывающие касательные
7.8. Фронты ионизации в магнитном поле 551
составляющие электрического поля, служат для нахождения электрического поля пе-
перед разрывом и не учитываются (см. обсуждение этого вопроса ниже).
Медленный фронт ионизации G~) соответствует состоянию А4 за фронтом. Для /~
выполняется первое из неравенств G.8.14). Интегральные кривые приходят в особую
точку А4, которая является узлом (рис. 7.23). Эти интегральные кривые на плоскости
{В^В^) занимают область Q, ограниченную кривыми /, приходящими в точку А3, ко-
которая является седловой точкой. На рисунке изображен случай, когда А2 лежит на Х2
и кривые / выходят из А2. Так как фронт имеет фиксированное конечное состояние,
начальное состояние должно лежать на Xj над областью Q. Решение, представляю-
представляющее собой структуру разрыва, начинается с газодинамической ударной волны, а затем
величины изменяются на поверхности Х2 непрерывно вдоль рассмотренных выше ин-
интегральных кривых.
Требование существования структуры не накладывает дополнительных условий,
кроме условия типа неравенства, выражающего то, что начальная точка лежит над об-
областью Q. Это согласуется с условиями эволюционности. Если вместо конечного состоя-
состояния зафиксировать скорость фронта ионизации W и начальное состояние, то множество
конечных состояний в общем случае будет двумерным. Принимая во внимание возмож-
возможность изменения W, можно заключить, что допустимая часть многообразия ударной
адиабаты, соответствующая медленным фронтам ионизации, является трехмерной.
Промежуточный фронт ионизации G~) отвечает состоянию Аъ за фронтом. Вы-
Выполняется второе из неравенств G.8.14). Если особая точка А3 лежит на Х2 (рис. 7.23),
то эта точка является седловой. В эту точку приходят две вышеупомянутые интеграль-
интегральные кривые /. Точка, представляющая собой начальное состояние, должна лежать на Xj
непосредственно над кривыми / (т. е. при тех же значениях Вх и В2). После газоди-
газодинамической ударной волны, которой начинается структура фронта ионизации, точка,
представляющая собой состояние среды, попадает на одну из интегральных кривых / и
приходит в Аъ вдоль нее.
Если точка Аъ лежит на Ъх, то только точка А4 остается на Х2 и все интеграль-
интегральные кривые приходят в эту точку. Следовательно, после газодинамического скачка из
начального состояния на Х2 в особую точку А3 попасть невозможно.
Таким образом, если сверхзвуковой промежуточный ионизационный фронт имеет
структуру, то возникает простое ограничение на множество начальных состояний, а
именно: Bf и В^ должны принадлежать кривой /. Это ограничение должно рассматри-
рассматриваться как дополнительное соотношение на фронте ионизации. Это отвечает условиям
эволюционности. Таким образом, для данного состояния перед фронтом и фиксиро-
фиксированного W, множество состояний за фронтом одномерно. Следовательно, если принять
во внимание изменение W, то допустимая часть ударной адиабаты, соответствующая
промежуточному фронту ионизации, представляет собой двумерное множество.
Быстрый фронт ионизации G+) отвечает состоянию А2 за фронтом. Выполняется
третье из неравенств G.8.14). Если точка А2 лежит на Х2, эта точка является узлом с ин-
интегральными кривыми, выходящими из него. В этом случае из начальной точки в точку
А2 можно попасть только при помощи газодинамического скачка непосредственно в
эту точку. Это приводит к двум дополнительным соотношениям {Вх} = 0 и {В2} = 0, и
изменение всех величин в быстром фронте совпадает с изменениями в газодинамиче-
газодинамической ударной волне. Часть ударной адиабаты, которая отвечает этим фронтам, является
одномерной.
552 Гл.7. Неклассические разрывы и решения гиперболических систем
Если точка А2 лежит на Х1э то эта точка является седловой. Приходящие в эту
точку интегральные кривые лежат на плоскости В2 = 0. На кривой, разделяющей Xj
и Х2 приходящая в А2 интегральная кривая меняет свое направление. Таким образом,
не существует интегральных кривых, приходящих в точку А2, которые начинались
бы из состояния за газодинамической ударной волной, лежащего на Х2. В результате
быстрый фронт ионизации со сверхзвуковой скоростью за фронтом не имеет структуры.
Очевидно также, что не существует фронтов ионизации, таких что состояние за фронтом
отвечает точке Ах.
Заметим, что при представлении результатов этого пункта, не учитывалось наличие
электрического поля. В проводящей области электрическое поле может быть опре-
определено из соотношения G.8.5), в то время как в непроводяшей области касательные
компоненты электрического поля могут быть найдены из условия их непрерывности на
фронте в связанной с ним системе координат. Если к параметрам, подлежащим опре-
определению, добавить электрическое поле перед разрывом, необходимо также добавить
два дополнительных соотношения на фронтах ионизации для касательных компонент
электрического поля. Обсуждаемые выше ударные адиабаты фронтов ионизации полу-
получены в результате определения перед фронтом всех величин, кроме Ех и Е2. Однако
так как электромагнитное поле не взаимодействует с газом в непроводящей области,
при определенных условиях задача определения напряженности электрического поля
отщепляется от задачи определения других величин. Это оправдывает развитый выше
подход.
Тем не менее, если наряду с величинами р, р, В и v перед фронтом ионизации опре-
определять также Ех яЕ2, то оказывается, что быстрые фронты ионизации могут, например,
существовать не для произвольных комбинаций этих величин. Электромагнитная вол-
волна, излучаемая фронтом вперед, изменяет электромагнитное поле таким образом, что
обеспечивает возможность реализации рассматриваемого фронта ионизации.
7.8.4. Простейшая автомодельная задача. Рассмотрим задачу о поршне.
Пусть непроводящий газ занимает полупространство х > 0 при t = 0. Предположим,
что при t = 0 газ находится в покое, его плотность и давление постоянны, а магнитное
и электрическое поля В и Е однородны, причем Е2 <^В2.
Бесконечно проводящий плоский поршень при t = 0 начинает двигаться из поло-
положения х > 0, сохраняя свою скорость при t > 0, так что х = Ut. Предположим, что в
этом случае образуется фронт ионизации. Если бесконечно проводящий газ находится
в контакте с поверхностью бесконечно проводящего тела, то на контактной поверхно-
поверхности должны быть непрерывны все три компоненты скорости. Это следует из условия
непроницаемости и из непрерывности касательных компонент электрического поля в
системе координат, связанной с поршнем.
Таким образом сформулированная задача является автомодельной и ее решение
должно зависеть отх/t. Впереди фронта ионизации, который предполагается сверхзву-
сверхзвуковым, могут распространяться только электромагнитные волны. Это предположение
верно, если скорость поршня достаточно высока и направлена в сторону газа. Как хо-
хорошо известно, в электромагнитных волнах изменения магнитного и электрического
полей равны по абсолютной величине. За и непосредственно перед фронтом ионизации
имеем Е = O{vB/c). Следовательно, если величина начального электрического поля Е
достаточно мала, то его изменение и, следовательно, изменение магнитного поля В
7.8. Фронты ионизации в магнитном поле 553
оказываются также малыми. В дальнейшем изменением В в электромагнитной волне
пренебрегается. Это означает, что магнитное поле перед фронтом ионизации можно
считать известным, а граничное условие, определяющее электрическое поле на фронте
ионизации, выполненным. Таким образом, если не интересоваться электрическим по-
полем, это граничное условие можно не рассматривать. Изменение электрического поля
полностью определяет электромагнитную волну, которая излучается фронтом иониза-
ионизации. Заметим, что величина Въ не зависит от х и t и должна быть задана заранее.
Решение задачи должно состоять из фронта ионизации и, возможно, следующих
за ним МГД-волн. Если фронт ионизации медленный, то из первого неравенства в
системе G.8.14) следует, что МГД-волны не могут распространяться за фронтом иони-
ионизации, так как их скорости выше, чем скорость фронта. Так как часть ударной адиабаты,
соответствующая этому типу фронтов ионизации, трехмерна, то можно выбрать состо-
состояние за фронтом таким образом, что векторы скорости газа и поршня совпадут. Значит,
можно ожидать, что если формируется медленный фронт ионизации, то все величины
постоянны за ним и скорости газа и поршня совпадают.
Если фронт ионизации является промежуточным, то в соответствии со вторым нера-
неравенством в системе G.8.14) автомодельное решение может включать в себя медленную
МГД волну, распространяющуюся за фронтом. Эта волна может быть либо ударной
волной, либо волной разрежения. Изменение величин в этой волне характеризуются
единственным параметром. Изменение величин на фронте ионизации характеризуется
двумя параметрами. Используя эти три параметра, можно удовлетворить трем гранич-
граничным условиям на поршне.
Если фронт ионизации является быстрым, то в соответствии с третьим неравенством
в системе G.8.14) за фронтом могут распространяться две волны, а именно медленная
магнитогидродинамическая волна и вращательный разрыв, скорость которого по отно-
отношению к газу равна аА. Изменение величин в быстром фронте ионизации и в каждой
последующей волне характеризуется единственным параметром. Используя эти три
параметра, можно удовлетворить условиям на поршне.
7.8.5. Изменение скорости газа во фронтах ионизации. Для того что-
чтобы избежать рассмотрения дозвуковых фронтов ионизации вместе со сложными явле-
явлениями, возникающими когда состояние газа оказывается близким к порогу ионизации,
ограничимся исследованием изменения скорости во фронтах ионизации, в которых
увеличение плотности и давления превосходит определенные величины. Изменение
скорости газа во фронтах ионизации и соответствующая задача о поршне, в том числе
и без этого ограничения, были изучены Барминым, Куликовским A968b).
Предположим, что рассматриваемые фронты ионизации распространяются по за-
заданному состоянию покоящегося газа при следующих начальных условиях V = V0,
р = р°, v = О, В = В3е3 + В®ех. Для простоты рассмотрим ситуацию, в которой как ско-
скорость поршня, так и начальное магнитное поле лежат в плоскости (xl,x3) (напомним,
что х3 = х).
Как упоминалось выше, рассматриваются разрывы с достаточно большими измене-
изменениями величин, т. е. фронты ионизации, за которыми v3 > v3 (К), где К — определенная
точка на оси v3 (рис. 7.25), и v3(K) > О — значение v3 в этой точке. Подчеркнем, что в
этом пункте vx и v3 — это компоненты вектора скорости газа по отношению к газу перед
фронтом ионизации (а не по отношению к фронту ионизации, как это было в п. 7.8.3).
554
Гл. 7. Неклассические разрывы и решения гиперболических систем
Среди всех, рассмотренных в п. 7.8.3, типов фронтов ионизации находятся фронты с
неизменяющимися компонентами магнитного поля Вх и В2. Изменение других величин
в этих фронтах является таким же, как и в газодинамических ударных волнах.
Начнем с рассмотрения фрон-
фронтов ионизации с такими скоростя-
скоростями распространения W и нормаль-
нормальной компонентой магнитного по-
поля В3, что выполняется неравенство
V0 < 4пВ\. ЗдесьВо =В3/4кт,т =
= W/V°, a V0 — удельный объем
газа перед фронтом, т. е. в невоз-
невозмущенном состоянии. Это неравен-
неравенство означает, что скорость фрон-
фронта W меньше альфвеновской скоро-
скорости аА = Въ л/У°/4к, вычисленной
по начальной плотности. Равенство
D I H
3 V = 4kBq отвечает горизонтальной
асимптоте гиперболы G.8.15). Ве-
Величина 4пВ^ убывает при возраста-
Рис. 7.25. Проекция ударной адиабаты на плоскость нии W я т.
(v3, vx) для плоских фронтов ионизации При заданной W и достаточ-
достаточно больших значениях Въ взаимное
расположение кривой а и горизонтальной асимптоты гиперболы G.8.15) для фронтов с
неизменным значением Вх показано на рис. 7.26. Состояние перед фронтом обозначено
точкой Ао. Состояние за фронтом ионизации, в котором не меняется магнитное поле,
представлено точкой А4.
При увеличении W взаимное расположение кривой а, точки Ао и гиперболы G.8.15)
меняется; качественно оно изображено на рис. 7.27 и 7.28. При этом конечной точ-
точкой за фронтом ионизации, не меняющим магнитное поле, становится А3, а затем А2.
Поэтому на рис. 7.25 отрезки, соответствующие медленному (KD), промежуточному
(DH) и быстрому фронтам ионизации (Я, оо), расположены на оси v3 слева направо в
перечисленном порядке.
Рассмотрим теперь случаи, в которых Вх меняется. При этом структура медленного
фронта ионизации состоит из газодинамического скачка из начальной точки на нижнюю
часть кривой а при фиксированном Вх и изменения Вх и V вдоль кривой а из состояния за
газодинамическим скачком в точку А4. Положение точки^44 по отношению к положению
Вх = В\ может меняться при изменении Ео (кривая а зависит от Ео, но изменения Ео
мало влияют на ее форму), и в зависимости от знака изменения Ео точка А4 может
смещаться от прямой В = В\ в любую сторону.
Компонента скорости vx изменяется одновременно с Вх в соответствии с первым
равенством в системе G.8.11). При этом знаки изменений vx и Вх совпадают. В рассмат-
рассматриваемых медленных фронтах ионизации /~ максимальные изменения Вх и vx имеют
место, если гипербола G.8.15) касается кривой а справа или слева (эти крайние поло-
положения гиперболы показаны на рис. 7.26). В точках касания точки Аъ иА4 сливаются и,
следовательно, за разрывом выполняется условие Жуге, т. е. скорость газа за фронтом
по отношению к нему равна медленной магнитозвуковой скорости as (скорости беско-
7.8. Фронты ионизации в магнитном поле
555
нечно малой медленной МГД ударной волны). Фронты с Вх — О расположены между
фронтами ионизации Жуге, обозначае-
обозначаемыми /~. На рис. 7.25 изображена об-
v=a о
Рис. 7.26. Состояния перед и за фронтом иони-
ионизации (Aq и А4) и расположение точек Жуге в
ласть изменения компонент vx и v3, обо- ' :——" °
значенная /~, которая отвечает изме-
изменению скорости в медленных фронтах
ионизации. Эта область ограничена свер-
сверху и снизу кривыми Жуге, обозначенны-
обозначенными /~. Каждая точка этих кривых со-
соответствует медленному фронту иониза-
ионизации, для которого условие Жуге W = as
выполняется за фронтом.
Очевидно, что в точке D (рис. 7.25)
выполняется условие Жуге. Сравнение
рис. 7.22 и 7.27 показывает, что при v3 =
= v3 (D) точка Жуге расположена там, где
Вх = В°х. Это отвечает пересечению кри-
кривой Жуге /~ оси v3 (рис. 7.25) снизу вверх
при возрастании v3. На рис. 7.25 кривая
Жуге для v3 > v3 (D) продолжена пунк- слУчае У
тирной линией.
Рассмотрим возможные изменения vx
для v3 (D) < v3 < v3 (Я). Точки на отрезке
DH отвечают промежуточным фронтам
ионизации /~. Как видно из рис. 7.27,
также возможен сложный разрыв, со-
составленный из газодинамической удар-
ударной волны Ао —у Аъ и медленной МГД
ударной волны Аъ —у А4, которая распро-
распространяется с той же скоростью. В даль-
дальнейшем эта медленная МГД ударная вол-
волна будет обозначаться S~. Направление
изменения Вх определяется первым из
уравнений G.8.13). На рисунках оно по-
показано стрелками. Легко видеть, что ин-
интегральная кривая не может прийти в
точку А4, если точка Аъ лежит слева от
прямой линии Вх —В\. Соответственно,
крайне правое положение точки А4 на
рис. 7.27 соответствует наличию выше-
вышеупомянутого двойного разрыва Ао —у Аъ —у А4, обозначенного I~S~. Обозначим этот
медленный фронт ионизации как I'~ = I~S~. Очевидно, что точка Жуге, в которой
Вх > О, лежит между точками Аъ яА4. Кривая DF на плоскости (v3,v1) отвечает фрон-
фронту 1'~ и представляет собой нижнюю границу области /~. Пунктирная кривая DJ соот-
соответствует точкам Жуге. Как и ранее, верхняя граница области /~ представлена кривой
Жуге/~, соответствующей Вх < 0.
Рис. 7.27. Промежуточный фронт ионизации
(Aq —у А3) для непрерывного магнитного поля.
Предельное расположение состояния за мед-
медленным фронтом ионизации (А4)
556
Гл. 7. Неклассические разрывы и решения гиперболических систем
Рис. 7.28. Быстрый (AQ —>> А2) и промежуточ-
промежуточный (Ао -^ Аъ) фронты ионизации
При Ео = О кривая /' , выходящая
из точки Д приходит в точку F, в ко-
которой Вх = 0. Линия, на которой Вх =
= 0, обозначена на рис. 7.25 штрих-
пунктиром. Горизонтальная асимптота
гиперболы G.8.15) в этом случае прохо-
проходит через точку, которая представляет со-
собой состояние за газодинамическим скач-
скачком из точки Ао. Когда Ео проходит че-
через ноль и меняет знак, точки А2 и А3,
представляющие собой состояние за га-
газодинамической ударной волной, меня-
меняются местами. Таким образом, скачок S~
в точку F происходит из точки Н оси v3,
которая разделяет отрезки, соответству-
соответствующие разрывам /~ и /+. При Ео = 0 кри-
кривая а становится симметричной относи-
относительно оси V (см. уравнение G.8.12)). В
этом случае возможен также скачок из со-
состояния Н (т. е. из состояния за газодинамической ударной волной) в точку с Вх = — В\
иК= VH, т. е. в точку, симметричную относительно оси V. Он представляет из себя
вращательный (альфвеновский) разрыв, который распространяется относительно газа
перед и за разрывом со скоростью aA = В3 ^JV'/An. В дальнейшем будем обозначать его
как А. В рассматриваемом плоском случае касательная компонента магнитного поля
Вт = В - В3е3 поворачивается на 180°. Известно, что вращательный разрыв не имеет
стационарной структуры. Однако при больших t ширина А увеличивается медленнее,
чем масштаб длины в автомодельном решении. Это позволяет рассматривать А как
разрыв.
На рис. 7.25 точка Р обозначает состояние за комбинацией движущихся с одинаковой
скоростью разрывов 1няА. Здесь 1Н обозначает фронт ионизации, состояние за которым
отвечает точке Н.
Вместе с промежуточными фронтами ионизации, отвечающими интервалу DH
оси v3, существуют другие промежуточные фронты. Их структура состоит из газо-
газодинамической ударной волны Ао -^А2к интегральной кривой /, соединяющей точки А2
яА3 (рис. 7.23). Очевидно, что скорости этих фронтов совпадают со скоростью разрыва
Ао —у А2, представляющего собой фронт ионизации /+. Состояние за /+ принадлежит
части оси v3 справа от точки Н (рис. 7.25). Фронты Ао —у А2 —>¦ Аъ будут обозначаться
как /~. Множество фронтов /~ в плоскости {у^У\) отвечает кривой (кривая PG на
рис. 7.25), которая выходит из точки Р.
Следует заметить, что существует медленный фронт ионизации, состоящий из вы-
вышеупомянутого фронта /~ (переход Ао ->• А2 ->• А3) и медленной ударной волны S~,
движущейся с той же скоростью. На рис. 7.28 это отвечает переходу А3 ->• А4. Это
фронты ионизации будут обозначаться 1'~, так как они состоят из промежуточного
фронта ионизации /~ и медленной МГД ударной волны S~, движущихся с одинако-
одинаковой скоростью. Множество возможных состояний за такими фронтами представлено
кривой FG, которая на рис. 7.25 является продолжением кривой DF.
7.8. Фронты ионизации в магнитном поле 557
Если в точках за газодинамической ударной волной выполняется соотношение
V > 4kBq, т. е. если на плоскости BVV эти точки лежат над асимптотой гиперболы,
то, как следует из направления изменения Вх, для того чтобы интегральная кривая кон-
кончалась в точке А4 необходимо, чтобы точка А2 на рис. 7.28 лежала справа от начальной
точки. С возрастанием \Е01 точка А4 перемещается вдоль кривой а из своего положения,
показанного на рис. 7.28 (это состояние за фронтом 1'~) в точку Жуге. На рис. 7.28
точка Аъ, отвечающая состоянию за фронтом 7'~, лежит слева от точки Жуге. В соответ-
соответствии с этим, в плоскости (v3, Vj) кривая, отвечающая фронтам 7'~, лежит выше кривой
Жуге 7~, в то время как кривая, отвечающая точкам типа А4, лежит ниже кривой Жуге.
Если скорость разрыва увеличивается, горизонтальная асимптота гиперболы опус-
опускается и точки Аъ и А4, представляющие собой состояния за 7'~ и 1'~, сближаются
(рис. 7.28). При определенной скорости разрыва эти точки сливаются и при дальней-
дальнейшем увеличении скорости исчезают. В соответствии с этим, при увеличении v3 кривые
7'~, /~ и 1'~ в плоскости (v3,vx) вначале сближаются, а затем заканчиваются в един-
единственной точке (точка G на рис. 7.25).
Таким образом, на плоскости (v3,vx) (рис. 7.25) множество состояний за всеми
возможными фронтами ионизации, распространяющимися по состоянию с заданными
р = р°, V — V°, v = 0 и В = #зез +^iei> состоит из следующих частей : A) части
плоскости, ограниченной плоской кривой KBDFGC, точки которой представляют собой
состояния за /~; B) интервала DH на оси v3 и кривой PG, точки которых представляют
собой состояния за /~ и 7'~; C) точек оси v3 справа от точки 77, которые представляют
собой состояния за /+. Множества A)+B)+C) являются допустимой частью ударной
адиабаты в плоскости (v3, vx). Более точно, это множество — проекция на эту плоскость
плоско-поляризованной части ударной адиабаты. Напомним, что величина В2 была
принята равной нулю и, следовательно, за фронтами равна нулю и величина v2.
Если не ограничиваться рассмотрением плоско-поляризованных фронтов, т. е. если
также рассматривать фронты с v2 / 0, то медленные фронты ионизации G~) будут
соответствовать трехмерной области в пространстве (vj, v3, v2), промежуточные фронты
ионизации G~) будут соответствовать поверхности, пересекающей плоскость (v3,v1)
вдоль кривых DH и PG, а быстрые фронты ионизации G+) будут соответствовать лучу,
который принадлежит оси v3 и идет от точки 77 в бесконечность.
7.8.6. Построение решения задачи о поршне. Ударная адиабата, постро-
построенная выше для плоско-поляризованных фронтов в плоскости (v3, vx), с другой стороны
представляет собой решение задачи о поршне при скорости поршня, принадлежащей
ударной адиабате. В этом случае решение состоит из единственного фронта ионизации.
Рассмотрим следствия присутствия в решении задачи о поршне других волн.
Одна из этих волн — медленная волна Римана R~. Без детального рассмотрения из-
изменения физических величин в этой волне можем заметить, что знаки изменения удель-
удельного объема V (и, следовательно, v3) и компоненты магнитного поля Вх в медленной
волне Римана противоположны соответствующим знакам в медленной МГД ударной
волне (Ландау, Лифшиц, 1992; Куликовский, Любимов, 1962). Следовательно, можно
заключить, что в расширяющейся медленной волне Римана v3 убывает, a |vx | возрас-
возрастает. Заметим, однако, что для того чтобы избежать необходимости введения фронтов
рекомбинации (Butler, 1965; Куликовский, 1968; Бармин, 1970) не следует продвигаться
слишком далеко вдоль интегральных кривых, описывающих медленные волны Римана,
558
Гл. 7. Неклассические разрывы и решения гиперболических систем
Q' /
I
I+AR~
ГА—-
Q'
Рис. 7.29. Решение задачи о поршне в присутствии фронта ионизации как функция скорости
поршня
расширяющиеся со временем.
Заметим, что медленная волна Римана может распространяться за медленным фрон-
фронтом ионизации, только если последний представляет собой фронт Жуге /~. Это позволя-
позволяет построить решение задачи о поршне для областей, которые примыкают к кривым /~,
ограничивающим область /~ снаружи. На рис. 7.29 эти области обозначены как I*R~.
За быстрым и промежуточным фронтами ионизации могут распространяться мед-
медленная волна Римана и медленная ударная волна. На рис. 7.29 соответствующие области
скорости обозначены как I~R~, I~S~, I+R~ и I+S~. Заметим, что область I~S~ при-
примыкает к области /~ по кривой DF. На этой кривой скорости волн /~ и S~ становятся
равными. Решение I~S~ перестает существовать над кривой DF в силу того факта, что
скорость S~ становится больше, чем скорость /~ (обратное соотношение между скоро-
скоростями фронтов). Область, соответствующая решению /+S~, ограничена кривой FF', на
которой В1 = 0.
Существуют также примыкающие к кривой PG области P'PGQQ' vlPMFG. В первой
и второй областях имеются, соответственно, решения вида I'~R~ и I'~S~. На кривой
FG скорости I'~S~ и 1'~ совпадают, а ниже этой кривой решение Ir~S~ перестает
существовать из-за обратного соотношения между скоростями разрывов.
На кривой PQQ" решение имеет форму 1+А. Сама кривая характеризуется тем,
что на ней Вх = —В®. В областях Q"QPMFF' и P'PQQ" существуют, соответственно,
решения вида I+AS~ и I+AR~.
Таким образом, на плоскости (у^у^) в области P'PMFGQQ' имеется несколько
решений задачи о поршне. В остальной части плоскости (v3,vx) решение существует и
единственно.
7.9. Обсуждение 559
Перечислим решения в области неединственности. Они представлены I^R~, I'~R~
и I+AR- в области P'PQQ'; I~R~, I'~R~ и I+AS~ в области PQG; I~R-, I'~S~ hI+AS~
в области PGM; I~, I'~S~ и I+AS~ в области MGF.
Заметим, что при рассмотрении задачи о поршне с тремя ненулевыми компонентами
скорости поршня решения, содержащие /~,/~ и /+, отвечают трехмерным областям.
В этом случае, если фронт ионизации медленный, то этот фронт представляет собой
единственную волну в решении задачи. Если фронт ионизации промежуточный, то
существует также медленная волна (волна Римана или ударная волна). Наконец, если
фронт ионизации быстрый, то в дополнение к упомянутым волнам, решение содержит
вращательный разрыв.
При переходе из одной области изменения величин v1? v3 в другую число волн,
составляющих решение, изменяется. Типичную ситуацию представляют распад или
слияние разрывов на границе между областями. Например, на одной стороне кривой
DF решение состоит из одной волны Г, в то время как на другой стороне решение
состоит из двух волн I~S~. На самой кривой DF скорости волн /~ и S~ совпадают.
При слиянии или распаде разрывы сохраняют число характеризующих их свободных
параметров.
7.9. Заключение
В этой главе представлены некоторые примеры необычного поведения разрывов в ре-
решениях гиперболических систем уравнений механики сплошной среды и обсуждаются
задачи, автомодельные решения которых неединственны. Указаны некоторые возмож-
возможные причины неединственности.
Из изложенного видно, что в моделях механики сплошной среды, описываемых
гиперболическими системами уравнений, в том числе в общепринятых классических
моделях, могут возникать проблемы с неединственностью, которые разрешаются толь-
только введением дополнительных гипотез о механизмах, действующих в узких зонах с
резким изменением величин. Зависимость множества допустимых разрывов от того,
какими уравнениями описывается их структура, была продемонстрирована в разд. 7.4,
7.5 и 7.6, где обсуждались некоторые физические задачи с одними и теми же круп-
крупномасштабными гиперболическими моделями. Множество допустимых разрывов, т. е.
разрывов, согласованных с соответствующими более полными моделями, пригодными
также для описания мелкомасштабных явлений, оказывалось различным, так как были
различными модели, описывающие структуру разрыва. Было показано также на при-
примере, рассмотренном в разд. 7.8, что число дополнительных соотношений на разрыве
может быть больше единицы, а ударная адиабата — многомерной.
Если полная модель приводит к колебаниям в структуре разрыва, то множество до-
допустимых разрывов может иметь специфическую дисперсную конфигурацию, описан-
описанную в разд. 7.5, 7.6 и 7.7. В таких случаях решения, которые могут быть построены для
автомодельных задач с использованием только допустимых разрывов, неединственны.
Решения автомодельных задач могут быть неединственными также в случаях класси-
классического поведения разрывов, например, в упругой среде (разд. 7.4), а также в случаях
присутствия разрывов с фазовыми переходами (разд. 7.8).
Если использовать более полную систему уравнений, для которой решения непре-
непрерывны, причем использовать ее не только для исследования стационарных структур
560 Гл. 7. Неклассические разрывы и решения гиперболических систем
разрывов, но также и для решения нестационарных задач, то можно ожидать, что реше-
решения будут единственны. Поэтому при изучении крупномасштабных явлений, в допол-
дополнение к выбору допустимых разрывов, необходимо знать как произвести правильный
отбор среди нестационарных решений, когда в этом возникает необходимость. Одно из
правил отбора для частного класса задач было найдено на основе анализа численных
экспериментов для решения задачи о взаимодействии двух ударных волн в упругой сре-
среде (разд. 7.4). В общем случае, по-видимому, невозможно сформулировать более или
менее универсальные правила для определения типа автомодельного решения, пред-
представляющего асимптотику решений полной системы уравнений.
Все это необходимо иметь в виду при разработке численных методов решения за-
задач, описываемых гиперболическими системами и содержащих разрывные решения.
Очевидно, при анализе крупномасштабных явлений в случаях, похожих на рассмотрен-
рассмотренные в этой главе, необходимо выполнить по меньшей мере локальные расчеты в узких
пространственных областях или для коротких временных интервалов, более детально
используя системы, подходящие к описанию мелкомасштабных явлений. Решающим
является то, что расчеты в узких областях должны учитывать физику процессов, про-
происходящих в них. В противном случае, можно совершить ошибку даже в определении
множества допустимых разрывов. В частности, подобные ошибки могут возникнуть в
результате попыток применить определенные численные методы, развитые для физиче-
физических ситуаций без дисперсии, для расчета процессов с колебаниями, развивающимися
в структуре ударной волны.
Список литературы
Абдукадыров С. А., Пинчукова Н. И., Степаненко М. В. A984) Об одном способе числен-
численного решения уравнений динамики упругих сред и конструкций, Физико-техн. проблемы разраб.
полезных ископаемых, № 6, 34-41.
Абрамович Г. Н. A976) Прикладная газовая динамика, Наука, Москва.
Абузяров М. X., Баженов В. Г., Котов В. Л. и др. B000) Метод распада разрывов в динамике
упругопластических сред, Ж вычисл. матем. иматем. физики 40, № 6, 940-953.
Авдуевский В. С, Ашратов Э. А., Иванов А. В., Пирумов У. Г. A989) Газодинамика
сверхзвуковых неизобарических струй, Машиностроение, Москва.
Азаренок Б. Н., Иваненко С. А. B000) О применении адаптивных сеток для численного
решения нестационарных задач газовой динамики, Ж. вычисл. матем. и матем. физики 40, № 9,
1386-1407.
Азарова О. А., Власов В. В., Грудницкий В. Г., Попов Н. А., Рыгалин В. Н. A993) Раз-
Разностная схема на минимальном шаблоне и ее применение в алгоритмах выделения разрывов,
в кн. Алгоритмы для численного исследования разрывных решений, В. М. Борисов (Ред.), 9-55,
Вычисл. центр РАН, Москва.
Азарова О. А., Власов В. В., Грудницкий В. Г., Рыгал ин В. Н. A993) Расчеты одномерных
нестационарных газодинамических течений с выделением ударных волн и контактных разрывов,
в кн. Алгоритмы для численного исследования разрывных решений, В. М. Борисов (Ред.), 56-79,
Вычисл. центр РАН, Москва.
Алалыкин Г. Б., Годунов С. К., Киреева И. Л., Плинер Л. А. A970) Решение одномерных
задач газовой динамики в подвижных сетках, Наука, Москва.
Альтшуль А. Д. A970) Гидравлические сопротивления, Недра, Москва.
Амбарцумян С. А., Багдасарян Г. Е., Белубекян М. В. A977) Магнитоупругостъ тонких
оболочек и пластин, Наука, Москва.
Андреев А. А., Холодов А. С. A989) О сверхзвуковом пространственном обтекании затуп-
затупленных тел с учетом интерференции, Ж. вычисл. матем. и матем. физики 29, № 1, 142-147.
Анисимов С. А., Вогульский И. О. A995) Численное решение задач динамики упругих тел,
Новосиб. гос. ун-т, Новосибирск.
Анучина Н. Н., Бабенко К. И., Годунов С. К. и др. A979) Теоретические основы и констру-
конструирование численных алгоритмов задач математической физики, К. И. Бабенко (Ред.), 201-234,
Наука, Москва.
Арцимович Л. А., Сагдеев Р. 3. A979) Физика плазмы для физиков, Атомиздат, Москва.
Афанасьев С. Б., Баженов В. Г. A980) О построении разрывных решений одномерных урав-
уравнений динамики упругопластических сред, в кн. Прикладные проблемы прочности и пластично-
пластичности. Статика и динамика деформируемых систем, № 15, 76-83, Горьк. гос. ун-т им. Н. И. Лоба-
Лобачевского, Горький.
Афанасьев С. Б., Баженов В. Г. A985) О численном решении одномерных нестационарных
задач упругопластического деформирования сплошных сред методом Годунова, в кн. Приклад-
562 Список литературы
ные проблемы прочности и пластичности. Алгоритмизация и автоматизация решения задач
упругости и пластичности, №31, 59-65, Горьк. гос. ун-т им. Н. И. Лобачевского, Горький.
Афанасьев С. Б., Козлов Е. А. A987) Алгоритм решения двумерных волновых упругопла-
стических задач методом Годунова, в кн. Прикладные проблемы прочности и пластичности.
Алгоритмизация и автоматизация исследований, № 36, 91—100, Горьк. гос. ун-т им. Н. И. Лоба-
Лобачевского, Горький.
Ахиезер А. И., Барьяхтар В. Г., Пелетминский С. В. A967) Спиновые волны, Наука, Москва.
Ахиезер А. И., Любарский Г. Я., Половин Р. В. A958) Об устойчивости ударных волн в
магнитной гидродинамике, Ж. экспер. и теор. физики 35, № 3, 731-737.
Ахиезер А. И., Ахиезер И. А., Половин Р. В., Ситенко А. Г., Степанов К. Н. A974) Элек-
Электродинамика плазмы, Наука, Москва.
Бабаков А. В., Северинов Л. И. A976) Стационарный вариант метода потоков для решения
задач механики сплошной среды, Ж. вычисл. матем. иматем. физики 16, № 1, 140-151.
Бабенко К. П., Воскресенский Г. П. A961) Численный метод расчета пространственного
обтекания тел сверхзвуковым потоком воздуха, Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1, № 6,
1051-1060.
Бабенко К. П., Воскресенский Г. П., Любимов А. Н., Русанов В. В. A964) Пространст-
Пространственное обтекание гладких тел идеальным газом, Наука, Москва.
Бабенко К. П., Иванова В. Н., Косоруков А. Л., Радвогин Ю. Б. A980) Сверхзвуковое
обтекание гладких тел с учетом неравновесных химических реакций, Препринт № 54, Ин-т
прикл. матем. им. М. В. Келдыша АН СССР, Москва.
Баженов В. Г., Чекмарев Д. Т. A983) Об одном подходе к конечно-разностной аппрокси-
аппроксимации функций и производных при численном решении задач теории пластин и оболочек типа
Тимошенко, в кн. Прикладные проблемы прочности и пластичности. Алгоритмизация и авто-
автоматизация решения задач упругости и пластичности, № 25, 78-86, Горьк. гос. ун-т им. Н. И. Ло-
Лобачевского, Горький.
Базыма Л. А., Холявко В. И. A996) Модификация конечно-разностной схемы Годунова на
подвижной сетке, Ж. вычисл. матем. иматем. физики 36, № 4, 124-133.
Баклановская В. Ф., Пальцев Б. В., Чечель И. И. A979) О краевых задачах для системы
уравнений Сен-Венана на плоскости, Ж. вычисл. матем. и матем. физики 19, № 3, 708-725.
Балакин В. Б. A970) О методах типа Рунге-Кутта для уравнений газовой динамики, Ж. вы-
вычисл. матем. иматем. физики 10, № 6, 1512-1519.
Балашов Д. Б. A993) О распаде разрыва в линейно упрочняющейся упругопластической
среде, Изв. РАН. Мех. твердого тела, № 2, 124-131.
Баничук Н. В., Кобел ев В. В., Рикардс Р. Б. A988) Оптимизация элементов конструкций
из композиционных материалов, Машиностроение, Москва.
Баранов В. Б., Краснобаев К. В. A971) О модели взаимодействия солнечного ветра с меж-
межзвездной средой, Космические исследования 9, № 4, 620-622.
Баранов В. Б., Краснобаев К. В. A977) Гидродинамическая теория космической плазмы,
Наука, Москва.
Баранов В. Б., Ермаков М. К., Лебедев М. Г. A982) Трехкомпонентная газодинамическая
модель взаимодействия солнечного ветра с межзвездной средой, Изв. АН СССР. Мех. жидкости
и газа, № 5, 122-128.
Баранов В. Б., Краснобаев К. В., Куликовский А. Г. A970) Модель взаимодействия сол-
солнечного ветра с межзвездной средой, Доклады АН СССР 194, № 1, 41-44.
Бармин А. А. A962) Исследование поверхностей разрывов с выделением (поглощением)
энергии в магнитной гидродинамике, Прикл. матем. и мех. 26, № 5, 801-810.
Бармин А. А. A970) Фронты рекомбинации при произвольно ориентированном магнитном
поле, Изв. АН СССР. Мех. жидкости и газа, № 3, 8-12.
Список литературы 563
Бармин А. А., Гогосов В. В. A960) Задача о поршне в магнитной гидродинамике, Доклады
АН СССР 134, № 5, 1041-1043.
Бармин А. А., Куликовский А. Г. A968а) Об ударных волнах, ионизующих газ, находящийся
в электромагнитном поле, Доклады АН СССР 178, № 1, 55-58.
Бармин А. А., Куликовский А. Г. A968b) Изменение скорости газа в ионизующих ударных
волнах. Задача о проводящем поршне, Прикл. машем, и мех. 32, № 3, 495-499.
Бармин А. А., Куликовский А. Г. A971) Фронты ионизации и рекомбинации в электромаг-
электромагнитном поле, в кн. Гидромеханика, Итоги науки и техники, 5, 5-31, ВИНИТИ, Москва.
Бархударов Э. М., Мдивнишвили М. О., Тактакишвили М. И., Цинцадзе Н. Л., Че-
Челидзе Т. Я. A987) Исследование прохождения ударной волны через лазерную искру методом
интерферометрии, Ж. техн. физ. 57, № 12, 2331-2334.
Бахвалов Н. С. A975) Численные методы. Анализ, алгебра, обыкновенные дифференциаль-
дифференциальные уравнения, 2-е изд., 1, Наука, Москва.
Бахвалов Н. С, Панасенко Г. П. A984) Осреднение процессов в периодических средах.
Математические задачи механики композиционных материалов, Наука, Москва.
Бахвалов Н. С, Эглит М. Э. A990) Вариационные свойства осредненных моделей перио-
периодических сред, Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР 192, 5-19.
Бахвалов Н. С, Эглит М. Э. B000) Эффективные уравнения с дисперсией для распростра-
распространения волн в периодических средах, Доклады РАН 370, № 1, 1-4.
Безменов И. В. A981) Образование предельного профиля дискретного разрыва при расчете
ударной волны разностными схемами, Препринт № 60, Ин-т прикл. матем. им. М. В. Келдыша
АН СССР, Москва.
Безменов И. В., Русанов В. В. A984) Асимптотика профиля дискретного разрыва при расчете
ударной волны разностными схемами, в кн. Актуальные проблемы математической физики и
вычислительной математики, А. А. Самарский (Ред.), 22-29, Наука, Москва.
Беликов В. В. A987) Численное моделирование течений жидкости со свободной поверхно-
поверхностью и деформируемым дном, Дисс. на соиск. учен. степ. канд. физ.-мат. наук, Моск. гос. ун-т,
Вычисл. центр АН СССР, Москва.
Беликов В. В., Милитеев А. Н. A992) Двухслойная математическая модель катастрофиче-
катастрофических паводков, Вычислительные технологии 1, № 3, 167-174, Новосибирск.
Беликов В. В., Семенов А. Ю. A985) Метод Годунова с модификацией Колгана для чис-
численного решения двумерных уравнений мелкой воды, в сб. Труды 10-ой конф. молодых ученых
МФТИ, 23 мар.-7 апр. 1985, Ч. 1, № 5983-85 Деп, 179-214, деп. в ВИНИТИ, Москва.
Беликов В. В., Семенов А. Ю. A988) Явный численный метод распада разрыва для решения
уравнений мелкой воды, Препринт № 42, Ин-т общей физики АН СССР, Москва.
Беликов В. В., Семенов А. Ю. A997а) Численный метод распада разрыва для решения
уравнений теории мелкой воды, Ж. вычисл. матем. и матем. физики 37, № 8, 1006-1019.
Беликов В. В., Семенов А. Ю. A997b) Построение численных методов распада разрыва
для решения уравнений теории мелкой воды, в кн. Вычислительная гидродинамика природных
течений, Труды Ин-та общей физики РАН, 53, 5-43, Наука/Физматлит, Москва.
Беликов В. В., Иванов В. Д., Конторович В. К., Корытник С. А., Семенов А. Ю. A997а)
Несибсоновская интерполяция — новый метод интерполяции значений функции на произвольной
системе точек, Ж. вычисл. матем. и матем. физики 37, № 1, 11-17.
Беликов В. В., Иванов В. Д., Конторович В. К., Корытник С. А., Семенов А. Ю. A997b)
Геометрический анализ несибсоновской интерполяции, в кн. Вычислительная гидродинамика
природных течений, Труды Ин-та общей физики РАН, 53, 187-198, Наука/Физматлит, Москва.
Белов Н. А., Мясников А. В. A999) О неустойчивости контактной поверхности, разделяю-
разделяющей два гиперзвуковых источника, Изв. РАН. Мех. жидкости и газа, № 3, 96-105.
Белоцерковский О. М. A984) Численное моделирование в механике сплошных сред, Наука,
Москва.
564 Список литературы
Белоцерковский О. М., Грудницкий В. Г. A980) Исследование нестационарных течений га-
газа со сложной внутренней структурой методами интегральных соотношений, Ж. вычисл. машем,
и машем, физики 20, № 6, 1400-1415.
Белоцерковский О. М., Давыдов Ю. М. A971) Нестационарный метод "крупных частиц"
для газодинамических расчетов, Ж вычисл. машем, и машем, физики 11, № 1, 182-207.
Белоцерковский О. М., Давыдов Ю. М. A982) Метод крупных частиц в газовой динамике,
Наука, Москва.
Белоцерковский О. М., Северинов Л. И. A973) Консервативный метод "потоков" и расчет
обтекания тела конечных размеров вязким теплопроводным газом, Ж. вычисл. машем, и машем,
физики 12, № 2, 385-397.
Белоцерковский О. М., Холодов А. С. A999) О мажорантных схемах на неструктурирован-
неструктурированных (хаотических) сетках в пространстве неопределенных коэффициентов, Ж. вычисл. машем, и
машем, физики 39, № 11, 1802-1820.
Белоцерковский О. М., Грудницкий В. Г., Прохорчук Ю. А. A983) Разностная схема
второго порядка точности на минимальном шаблоне для гиперболических уравнений, Ж. вычисл.
машем, и машем, физики 23, № 1, 119-126.
Белоцерковский О. М., Грудницкий В. Г., Рыгалин В. Н. A983) Выделение разрывов при
расчете одномерных нестационарных течений газа, Доклады АН СССР 272, № 1, 49-52.
Белоцерковский О. М., Гущин В. А., Коньшин В. Н. A987) Метод расщепления для иссле-
исследования течения стратифицированной жидкости со свободной поверхностью, Ж. вычисл. машем,
и машем, физики 27, № 4, 595-609.
Белоцерковский О. М., Демченко В. В., Косарев В. И., Холодов А. С. A978) Числен-
Численное моделирование некоторых задач лазерного сжатия оболочек, Ж. вычисл. машем, и машем,
физики 18, № 2, 420-444.
Белоцерковский О. М., Осетрова С. Д., Фомин В. Н., Холодов А. С. A974) Гиперзвуковое
обтекание затупленных тел потоком излучающего газа, Ж. вычисл. машем, и машем, физики 14,
№ 4, 992-1003.
Белоцерковский О. М., Головачев Ю. П., Грудницкий В. Г. и др. A974) Численное ис-
исследование современных задач газовой динамики, О. М. Белоцерковский (Ред.), Наука, Вычисл.
центр АН СССР, Москва.
Бердичевский В. Л. A983) Вариационные принципы механики сплошной среды, Наука,
Москва.
Блажевич Ю. В., Иванов В. Д., Петров И. Б., Петвиашвили И. В. A999) Моделирование
высокоскоростного соударения методом гладких частиц, Мат. моделирование 11, № 1, 88-100.
Блох В. И. A964) Теория упругости, Харьк. гос. ун-т им. А. М. Горького, Харьков.
Богатырев Ю. К. A974) Импульсные устройства с нелинейными распределенными пара-
параметрами, Советское радио, Москва.
Большов Л. А., Бурдонский И. Н., Великович А. Л. и др. A987) Исследование ускорения
фольг при их облучении импульсным лазерным пучком, Ж. экспер. и теор. физики 92, № 6,
2060-2075.
Бондаренко Ю. А., Бурдонский И. Н., Гаврилов В. В. и др. A981) Экспериментальные
исследования ускорения тонких фольг под воздействием мощных лазерных импульсов, Ж. экспер.
и теор. физики 81, № 1, 170-179.
Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. A954) Справочник по математике для инженеров и
учащихся втузов, 4-е изд., Гостехиздат, Москва.
Брызгалов Ю. Б., Кукуджанов В. Н. B001) Численное моделирование разрушения и ло-
локализация деформаций при импульсном нагружении стержней, Мат. моделирование 13, № 6,
99-103.
Бураго Н. Г., Глушко А. И., Ковшов А. Н. B000) Термодинамический метод получения
определяющих уравнений для моделей сплошной среды, Изв. РАН. Мех. твердого тела, № 6,
Список литературы 565
4-15.
Буренин А. А., Чернышев А. Д. A978) Ударные волны в изотропном упругом пространстве,
Прикл. машем, и мех. 42, № 4, 711-717.
Бушман А. В., Фортов В. И. A983) Модели уравнения состояния вещества, Успехи физ.
наук 140, № 2, 177-232.
Бушман А. В., Ломоносов И. В., Фортов В. Е. A992) Уравнения состояния металлов при
высоких плотностях энергии, Ин-т хим. физики РАН, Черноголовка.
Бушман А. В., Канель Г. И., Ни А. Л., Фортов В. Е. A988) Теплофизика и динамика
интенсивных импульсных воздействий, Ин-т хим. физики АН СССР, Черноголовка.
Быковцев Г. И., Ивлев Д. Д. A998) Теория пластичности, Дальнаука, Владивосток.
Быковцев Г. И., Кретова Л. Д. A972) О распространении ударных волн в упругопластиче-
ских средах, Прикл. матем. и мех. 36, № 1, 106-116.
Вабищевич П. Н., Первичко В. А., Самарский А. А., Чуданов В. В. B000) Нелинейные ре-
гуляризированные разностные схемы для многомерного уравнения переноса, Ж. вычисл. матем.
и матем. физики 40, № 6, 900-907.
Васильев В. В. A998) Классическая теория пластин — история и современный анализ, Изв.
РАН. Мех. твердого тела, № 3, 46-58.
Васильев Е. И. A996) W-Модификация метода С. К. Годунова и ее применение для двумер-
двумерных нестационарных течений запыленного газа, Ж. вычисл. матем. и матем. физики 36, № 1,
122-135.
Введенская Н. Д. A961) Пример неединственности обобщенного решения квазилинейной
системы уравнений, Доклады АН СССР 136, №3, 532-534.
Веденяпин Е. Н., Кукуджанов В. Н. A981) Метод численного интегрирования нестационар-
нестационарных задач динамики упругой среды, Ж. вычисл. матем. и матем. физики 21, № 5, 1233-1248.
Векуа И. Н. A978) Основы тензорного анализа и теория ковариантов, Наука, Физматлит,
Москва.
Великович А. Л., Либерман М. А. A987) Физика ударных волн в газах и плазме, Наука,
Москва.
Величко С. А., Лифшиц Ю. Б., Солнцев И. А. A999) Расчет нестационарных течений при
помощи схемы повышенной точности, Ж. вычисл. матем. и матем. физики 39, № 5, 850-864.
Витушкин А. Г. A955) О многомерных вариациях, Гостехиздат, Москва.
Владимиров В. С. A971) Уравнения математической физики, 2-е изд., Наука, Москва.
Воеводин А. Ф., Шугрин С. М. A981) Численные методы расчета одномерных систем,
Наука, Новосибирск.
Войнович П. А., Жмакин А. И., Фурсенко А. А. A988) Моделирование взаимодействия
ударных волн в газах с пространственными неоднородностями параметров, Ж. техн. физ. 58,
№ 7, 1259-1267.
Волков Л. Г. A983) Задача о распаде разрыва для несжимаемого изотропного упругого
тела, Динамика сплошной среды. Динамические задачи механики сплошной среды, № 63, 33-46,
Новосибирск.
Волченков В. Я., Беликов В. В., Пейч Ю. Л., Писарев Ю. В., Семенов А. Ю., Цы-
пин В. Т. A985) Разработка методики определения деформаций и оптимальных размеров укреп-
укреплений на выходах из косогорных водопропускных труб, Научно-техн. отчет, № 02.85.0082641,
тема ИП-Х1-5-84/85 A), Центр, научно-исслед. ин-т трансп. стр-ва (ЦНИИС), Москва.
Вольмир А. С. A956) Гибкие пластинки и оболочки, Гостехтеориздат, Москва.
Вольмир А. С. A972) Нелинейная динамика пластинок и оболочек, Наука, Москва.
Вольцингер Н. Е., Пясковский Р. В. A977) Теория мелкой воды. Океанологические задачи и
численные методы, Гидрометеоиздат, Ленинград.
Вовченко В. И., Красюк И. К., Семенов А. Ю. A992) Абляционные и динамические харак-
характеристики лазерного воздействия на плоские мишени, в кн. Физические процессы в оболочечных
566 Список литературы
конических мишенях, Труды Ин-та общей физики РАН, 36, 129-201, Наука, Москва.
Вовченко В. И., Красюк И. К., Пашинин П. П., Семенов А. Ю. A994) Широкодиапазонная
зависимость абляционного давления от интенсивности лазерного излучения, Доклады РАН 338,
№ 3, 322-324.
Вовченко В. И., Красюк И. К., Пашинин П. П., Прохоров А. М., Семенов А. Ю., Фор-
Фортов В. Е. A992) Импульсное сжатие и нагрев газа в конических мишенях, в кн. Физические
процессы в оболочечных конических мишенях, Труды Ин-та общей физики РАН, 36, 5-82, Наука,
Москва.
Воробьев О. В., Холодов Я. А. A996) Об одном методе численного интегрирования
одномерных задач газовой динамики, Мат. моделирование 8, № 1, 77-92.
Ворожцов Е. В., Яненко Н. Н. A985) Методы локализации особенностей при численном
решении задач газодинамики, Наука, Новосибирск.
Вязников К. В. A990) Квазимонотонные разностные схемы повышенного порядка аппрок-
аппроксимации на неравномерных сетках, Мат. моделирование 2, № 3, 127-149.
Гаджиев А. Д. A982) О сходимости конечно-разностного метода "ромб" решения гипербо-
гиперболических систем уравнений, Ж. вычисл. матем. и матем. физики 22, № 4, 871-879.
Гаджиев А. Д., Писарев В. Н. A979) Неявный конечно-разностный метод "ромб" для числен-
численного решения уравнений газовой динамики с теплопроводностью, Ж. вычисл. матем. и матем.
физики 19, № 5, 1288-1303.
Галин Г. Я. A958а) Об ударных волнах в средах с произвольным уравнение состояния,
Доклады АН СССР 119, № 6, 1106-1109.
Галин Г. Я. A958b) О распространении возмущений в средах с нелинейной зависимостью
напряжений от деформаций и температуры, Доклады АН СССР 120, № 4, 730-733.
Галин Г. Я. A959) К теории ударных волн, Доклады АН СССР 127, № 1, 55-58.
Гапонов А. В., Островский Л. А., Фрейдман Г. И. A967) Ударные электромагнитные волны,
Изв. высш. учебн. заведений. Радиофизика 10, № 9-10, 1376—1413.
Гвоздовская Н. П., Куликовский А. Г. A997) Об электромагнитных ударных волнах и их
структуре в анизотропных магнетиках, Прикл. матем. и мех. 61, № 1, 139-148.
Гвоздовская Н. П., Куликовский А. Г. A999) Квазипоперечные ударные волны в упругих
средах с внутренней структурой, Ж. прикл. матем. и техн. физ. 40, № 2, 174-180.
Гельфанд И. М. A959) Некоторые задачи теории квазилинейных уравнений, Успехи мат.
наук 14, № 2 (86), 87-158.
Георгиевский П. Ю., Левин В. А. A989) Сверхзвуковое обтекание тела при подводе тепла
перед ним, Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР 186, 197-202.
Гильманов А. Н. B000) Методы адаптивных сеток в задачах газовой динамики, Физматлит,
Москва.
Гладышев М. Т. A968) К задаче о распаде начального разрыва в открытых руслах, Изв. высш.
учебн. заведений. Энергетика, № 4, 81-88.
Глушко А. П., Нещеретов И. И. A999а) О континуальных моделях разрушения твердых тел
при нестационарных нагрузках. Ч. 1, Изв. РАН. Мех. твердого тела, № 1, 124-138.
Глушко А. П., Нещеретов И. И. A999b) О континуальных моделях разрушения твердых тел
при нестационарных нагрузках. Ч. 2, Изв. РАН. Мех. твердого тела, № 2, 125-138.
Гогосов В. В. A961) Распад произвольного разрыва в магнитной гидродинамике, Прикл.
матем. и мех. 25, № 1, 108-124.
Годунов С. К. A957) Разностный метод расчета ударных волн, Успехи мат. наук 12, № 1 G3),
176-177.
Годунов С. К. A959) Разностный метод численного расчета разрывных решений гидродина-
гидродинамики, Мат. сборник 47 (89), № 3, 271-306.
Годунов С. К. A961) О неединственности "размазывания" разрывов в решениях квазилиней-
квазилинейных систем, Доклады АН СССР 136, № 2, 272-273.
Список литературы 567
Годунов С. К. A962) Проблема обобщенного решения в теории квазилинейных уравнений и
в газовой динамике, Успехи мат. наук 17, № 3 A05), 147-158.
Годунов С. К. A972) Симметрическая форма уравнений магнитной гидродинамики, Числ.
методы мех. сплошн. среды 3, № 1, 26-34, Новосибирск.
Годунов С. К. A978) Элементы механики сплошной среды, Наука, Москва.
Годунов С. К., Роменский Е. И. A998) Элементы механики сплошных сред и законы сохра-
сохранения, Университетская серия 4, Научная книга, Новосибирск.
Годунов С. К., Рябенький В. С. A977) Разностные схемы. Введение в теорию, 2-е изд.,
Наука, Москва.
Годунов С. К., Забродин А. В., Прокопов Г. П. A961) Разностная схема для двумерных неста-
нестационарных задач газовой динамики и расчет обтекания с отошедшей ударной волной, Ж. вычисл.
матем. иматем. физики 1, № 6, 1020-1050.
Годунов С. К., Забродин А. В., Иванов М. Я. Крайко А. Н., Прокопов Г. П. A976) Численное
решение многомерных задач газовой динамики, Наука, Москва.
Годунов С. К., Забродин А. В., Плинер Л. А. и др. A968) Методика расчета двумерных
нестационарных задач газовой динамики в областях со сложной геометрией, Научно-техн. от-
отчет, Ин-т прикл. матем. АН СССР, Москва, (ограниченный доступ).
Гол ант В. Е., Жилинский А. П., Сахаров И. Е. A977) Основы физики плазмы, Атомиздат,
Москва.
Головачев Ю. П. A996) Численное моделирование течений вязкого газа в ударном слое,
Наука/Физматлит, Москва.
Головизнин В. М. A982) Об одном способе введения искусственной диссипации в
вариационно-разностные схемы магнитной гидродинамики, Ж. вычисл. матем. и матем. фи-
физики 22, №1, 144-150.
Головизнин В. М., Карабасов С. А. A998) Нелинейная коррекция схемы Кабаре, Мат.
моделирование 10, № 12, 107-123.
Головизнин В. М., Карабасов С. А. B000) Метод прыжкового переноса для численного ре-
решения гиперболических уравнений. Точный алгоритм для моделирования конвекции на эйлеровых
сетках, Препринт № IBRAE-2000-04, Ин-т пробл. безопасного разв. атомной энергетики РАН,
Москва.
Головизнин В. М., Самарский А. А. A998а) Разностная аппроксимация конвективного
переноса с пространственным расщеплением временной производной, Мат. моделирование 10,
№ 1, 86-100.
Головизнин В. М., Самарский A. A. A998b) Некоторые свойства разностной схемы "кабаре",
Мат. моделирование 10, № 1, 101-116.
Головизнин В. М., Карабасов С. А., Тишкина Л. В. B000) Метод прыжкового переноса для
численного решения систем линейных гиперболических уравнений, Препринт № IBRAE-2000-06,
Ин-т пробл. безопасного разв. атомной энергетики РАН, Москва.
Головизнин В. М., Рязанов М. А., Самарский А. А., Сороковникова О. С. A984) Полно-
Полностью консервативная коррекция потоков в задачах газовой динамики, Доклады АН СССР 274,
№ 3, 524-528.
Головизнин В. П., Жмакин А. И. A982) Однородная разностная схема для исследования
равновесных течений, Диф. уравнения 18, № 7, 1161-1167.
Головизнин В. П., Жмакин А. П., Фурсенко А. А. A982) Об одном методе расчета нестаци-
нестационарных взаимодействий ударных волн, Ж. вычисл. матем. и матем. физики 22, № 2, 484-484.
Гольденвейзер А. Л. A976) Теория упругих тонких оболочек, Наука, Москва.
Гольденвейзер А. Л., Лидский В. Б., Товстик П. Е. A979) Свободные колебания тонких
упругих оболочек, Наука, Москва.
Гольдин В. Я., Калиткин Н. Н., Шишова Т. В. A965) Нелинейные разностные схемы для
гиперболических уравнений, Ж. вычисл. матем. и матем. физики 5, № 5, 938-944.
568 Список литературы
Гольдштейн Р. В., Марченко А. В., Семенов А. Ю. A994) Краевые волны в жидкости под
упругой пластиной с трещиной, Доклады РАН 339, № 3, 47-50.
Голубов Б. И., Витушкин А. Г. A977) Вариация функции, в кн. Математическая энцикло-
энциклопедия, 1, 606-608, Советская энцикл., Москва.
Гончаров С. Ф., Серов Р. В., Яновский В. П. A987) Обработка интерферограмм лазерной
плазмы с резким градиентом на профиле плотности, Крат, сообщ. по физике, № 7, 24-26.
Гончаров С. Ф., Семенов А. Ю., Серов Р. В., Яновский В. П. A991) Крупномасштабные
джетообразования в короне лазерной плазмы, Препринт № 2, Ин-т общей физики АН СССР,
Москва.
Гончаров С. Ф., Семенов А. Ю., Серов Р. В., Яновский В. П. A992) Крупномасштабные
джетообразования в короне лазерной плазмы при облучении плоских мишеней, в кн. Физические
процессы в обол очечных конических мишенях, Труды Ин-та общей физики РАН, 36, 228-246,
Наука, Москва.
Горбачев Ю. Е., Жмакин А. И., Фурсенко А. А. A985) Численное моделирование процессов
в релаксирующем газе при быстром вкладе энергии, Ж. прикл. матем. и техн. физ., № 2, 22-30.
Горшков А. Г., Тарлаковский Д. В. A990) Нестационарная аэрогидро-упругостъ тел сфе-
сферической формы, Наука, Москва.
Григолюк Э. И., Горшков А. Г. A976) Взаимодействие упругих конструкций с жидкостью.
Удар и погружение, Судостроение, Ленинград.
Григолюк Э. И., Мамай В. И. A997) Нелинейное деформирование тонкостенных конструк-
конструкций, Наука/Физматлит, Москва.
Григолюк Э. И., Селезов И. Т. A973) Неклассические теории колебаний стержней, пластин
и оболочек, Итоги науки и техники, Мех. твердых деформируемых тел, 5, ВИНИТИ, Москва.
Гринь В. Т., Крайко А. Н., Славянов Н. Н. A981) Решение задачи о запуске сопла, поме-
помещенного в конце ударной трубы, Изв. АН СССР. Мех. жидкости и газа, № 6, 117-123.
Грудницкий В. Г., Прохорчук Ю. А. A977) Один прием построения разностных схем с
произвольным порядком аппроксимации дифференциальных уравнений в частных производных,
Доклады АН СССР 234, № 6, 1249-1252.
Гуревич А. Г., Мелков Г. А. A994) Магнитные колебания и волны, Наука/Физматлит, Москва.
Гурьянов А. А. A985) Численное решение динамических задач теории оболочек методом
коррекции потоков, Рукопись, деп. в ВИНИТИ, № 2832-85 Деп, Москва.
Гущин В. А., Коньшин В. Н. A985) Численное моделирование волновых движений жидко-
жидкости, Сообщения по прикладной математике, Вычисл. центр АН СССР, Москва.
Гущин В. А., Коньшин В. Н. A990) Численное моделирование отрывных течений жид-
жидкости около цилиндра в широком диапазоне чисел Рейнольдса, в кн. Рациональное численное
моделирование в нелинейной механике, О. М. Белоцерковский (Ред.), 62-69, Наука, Москва.
Дедеш В. В. A991) Об одном методе построения схем типа Годунова, Доклады АН СССР 321,
№ 1, 36-39.
Дрейден Г. В., Порубов А. В., Самсонов А. М., Семенова И. В., Сокуринская Е. В. A995)
Об экспериментах по распространению солитонов продольной деформации в нелинейно-упругом
стержне, Письма в Ж. техн. физ. 21, № 11, 42-46.
Дейч М. Е., Филиппов Г. А. A968) Газодинамика двухфазных сред, Энергия, Москва.
Дементий О. И., Дементий С. В. A978) Фазовые скорости и структура ударных волн, Прикл.
мех. и теор. физ., № 6, 25-32.
Друянов Б. А. A982) Обобщенные решения динамической теории пластичности и термо-
термопластичности, Доклады АН СССР 267, № 5, 1073-1075.
Дулов В. Г. A958) Распад произвольного разрыва параметров газа на скачке площади сечения,
Вестник Ленинградского ун-та, Сер. математики, механики и астрономии, № 19, вып. 4, 76-99.
Дьяченко В. Ф. A961) О задаче Коши для квазилинейных систем, Доклады АН СССР 136,
№1, 16-17.
Список литературы 569
Дьяченко В. Ф. A965) Об одном новом методе численного решения нестационарных за-
задач газовой динамики с двумя пространственными переменными, Ж вычисл. машем, и машем,
физики 5, № 4, 680-688.
Евсеев Е. Г. A985) Метод решения нелинейных уравнений динамики тонких оболочек вра-
вращения, в кн. Нелинейная теория тонкостенных конструкций и биомеханика. Труды IВсесоюзного
симп., 191-193, Тбилиси.
Евсеев Е. Г. A987) Анализ динамического поведения ортотропных оболочек на основе
сеточно-характеристических методов, в кн. Труды XIVВсесоюзной конференции по теории пла-
пластин и оболочек, 1, 512-517, Тбилисский гос. ун-т, Тбилиси.
Евсеев Е. Г., Зайцев Г. П. A990) Исследование задач динамического поведения тонкостенных
конструкций явными конечно-разностными методами, в кн. Труды XV Всесоюзной конференции
по теории оболочек и пластин, 1, 155-158, Казанский гос. ун-т, Казань.
Евсеев Е. Г., Морозов Е. В. A994) Неплоская деформация кругового тонкостенного компо-
композитного стержня при динамическом нагружении, Изв. РАН. Мех. твердого тела, № 5, 159-168.
Евсеев Е. Г., Семенов А. Ю. A985) О сведении уравнений динамики оболочек типа Тимо-
Тимошенко к гиперболической системе первого порядка и гибридный метод ее численного решения, в
сб. Труды 10-ой конф. молодых ученых МФТИ, 23 мар.-7апр 1985, Ч. 1, № 5983-85 Деп, 169-178,
деп. в ВИНИТИ, Москва.
Евсеев Е. Г., Семенов А. Ю. A989) Численный метод решения систем уравнений динамики
тонкостенных оболочек, Препринт № 20, Ин-т общей физики АН СССР, Москва.
Евсеев Е. Г., Семенов А. Ю. A990) Метод для численного решения уравнений динамики
тонкостенных оболочек, основанный на выделении сильноосциллирующих компонент, Доклады
АН СССР 310, № 4, 785-788.
Евсеев Е. Г., Шония В. В. A990) Разностные схемы расщепления вектора потока для урав-
уравнений мелкой воды, Мат. моделирование 2, № 3, 119-126.
Елисеев С. Н. A983) Модифицированный метод характеристик для расчета двумерных сверх-
сверхзвуковых течений газа с выделением разрывов, Труды ЦАГИ, № 2199, 3-36.
Емцев Б. Т. A967) Двумерные бурные потоки, Энергия, Москва.
Еремин В. В., Липницкий Ю. М. A974) О построении многомерных разностных схем
третьего порядка точности, Ж вычисл. матем. иматем. физики 14, № 2, 379-389.
Ерофеев В. И. A999) Волновые процессы в твердых телах с микроструктурой, Моск. гос.
ун-т, Москва.
Железняк М. Б., Мнацаканян А. X., Первухин С. В. A986) Нестационарное и неравновес-
неравновесное течение воздуха в окрестности критической линии тока, Изв. АН СССР. Мех. жидкости и
газа, № 6, 170-172.
Жмакин А. И., Фурсенко А. А. A980) Об одной монотонной разностной схеме сквозного
счета,Ж вычисл. матем. иматем. физики 20, № 4, 1021-1031.
Жуков А. И. A960) Применение метода характеристик к численному решению одномерных
задач газовой динамики, Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР 58, 1-152.
Забродин А. В., Прокопов Г. П. A998) Методика численного моделирования двумерных
нестационарных течений теплопроводного газа в трехтемпературном приближении, Вопросы
атомной науки и техники, Сер.: Мат. моделирование физ. процессов, № 3, 3-16.
Зайцев Н. А., Радвогин Ю. Б. A990) Численный метод решения задачи о сверхзвуковом
течении около сферически-симметричного источника, Препринт № 86, Ин-т прикл. матем.
им. М. В. Келдыша АН СССР, Москва.
Заппаров К. И., Кукуджанов В. Н. A984) Решение нестационарных задач динамики упру-
гопластической среды методом подвижных сеток, в кн. Численные методы в механике твердого
деформируемого тела, Г. И. Пшеничнов (Ред.), 65-86, Вычисл. центр АН СССР, Москва.
Заппаров К. И., Кукуджанов В. Н. A986) Математическое моделирование задач импульс-
импульсного деформирования, взаимодействия и разрушения упругопластических тел, Препринт № 280,
570 Список литературы
Ин-т пробл. мех. АН СССР, Москва.
Зелинский Н. И., Сапожников В. А. A983) Об одном методе построения разностных схем
для расчета разрывных решения газовой динамики, Числ. методы мех. сплошн. среды 14, № 2,
57-67, Новосибирск.
Зельдович Я. Б., Райзер Ю. П. A966) Физика ударных волн и высокотемпературных гидро-
гидродинамических явлений, 2-е изд., Наука, Москва.
Зельдович Я. Б., Баренблатт Г. И., Либрович В. Б., Махвиладзе Г. М. A980) Математи-
Математическая теория горения и взрыва, Наука, Москва.
Зильберштейн О. И., Сафронов Г. Ф., Семенов А. Ю. A986) Применение разностной
схемы переменного порядка для расчета приливов, в сб. Труды 11-ой конф. молод, ученых МФТИ,
24мар.-5 апр. 1986, Ч. 1, № 5697-В86 Деп, 175-189, деп. в ВИНИТИ, Москва.
Зильберштейн О. И., Сафронов Г. Ф., Семенов А. Ю. A990) Гидродинамическое модели-
моделирование приливов и нагонов в Баренцевом море на основе разностного гибридного метода, в кн.
Природные катастрофы и стихийные бедствия в Дальневосточном регионе, 2, 277-293, ДВО
АН СССР, Владивосток.
Зубов В. И., Кривцов В. М., Наумова И. Н., Шмыглевский Ю. Д. A980) Расчет взимодей-
ствия лазерного излучения с алюминиевым сосудом и его парами, Ж. вычисл. матем. и матем.
физики 20, №6, 1513-1524.
Зубов В. И., Кривцов В. М., Наумова И. Н., Шмыглевский Ю. Д. A986) О численном
сравнении различных моделей испарения металла, Ж. вычисл. матем. и матем. физики 26, № 11,
1740-1743.
Зубов В. И., Кривцов В. М., Наумова И. Н., Шмыглевский Ю. Д. A990) Взаимодействие
пучка лазерного излучения с алюминиевым сосудом и его парами, Мат. моделирование 2, № 6,
19-25.
Ивандаев А. И. A975) Об одном способе введения "псевдовязкости" и его применение к
уточнению разностных решений уравнений гидродинамики, Ж. вычисл. матем. и матем. физи-
физики 15, № 2, 523-527.
Иваненко С. А. A997) Адаптивно-гармонические сетки, Вычисл. центр РАН, Москва.
Иванов В. Д., Петров И. Б. A992) Моделирование деформаций и разрушения в мишенях под
действием лазерного излучения, в кн. Физические процессы в оболочечных конических мишенях,
Труды Ин-та общей физики РАН, 36, 247-266, Наука, Москва.
Иванов В. Д., Петров И. Б., Суворова Ю. В. A989) Численное решение двумерных динами-
динамических задач наследственной теории вязкоу пру гости, Мех. композитных матер., № 3, 419-424.
Иванов В. Д., Кондауров В. И., Петров И. Б., Холодов А. С. A990) Расчет динамического
деформирования и разрушения упругопластических тел сеточно-характеристическими методами,
Мат. моделирование 2, № 11, 11-29.
Иванов В. Д., Петров И. Б., Тормасов А. Г., Холодов А. С, Пашутин Р. А. A999) Сеточно-
характеристический метод расчета динамического деформирования на нерегулярных сетках,
Мат. моделирование 11, № 7, 118-127.
Иванов В. Л. A987) Метод аппроксимации систем гиперболических уравнений, содержащих
большие параметры в недифференциальных членах, Ж вычисл. матем. и матем. физики 27, № 9,
1388-1394.
Иванов В. Л. A996) Моделирование деформирования тонких тел в акустической среде при
взрывных нагрузках, в кн. IX конференция по прочности и пластичности, 22-26 янв. 1996,
Москва, Труды конференции 2, 98-103, Ин-т проблем механики РАН, Москва.
Иванов В. Л., Кукуджанов В. Н. A981) Исследование волновых процессов деформирования
сферических куполов при нагружении скачком давления, Строит, механика и расчет сооруже-
сооружений, № 6 A38), 56-60.
Иванов В. Л., Кукуджанов В. Н. A984) О численном моделировании процессов динами-
динамического прогиба упруговязкопластических балок, в кн. Численные методы в механике твердого
Список литературы 571
деформируемого тела, Г. И. Пшеничнов (Ред.), 100-114, Вычисл. центр АН СССР, Москва.
Иванов И. Э., Крюков И. А. A996) Квазимонотонный метод повышения порядка точности
для расчета внутренних и струйных течений, Мат. моделирование 8, № 6, 47-55.
Иванов И. Э., Крюков И. А. A999) Пульсационные режимы течения в газодинамическом
воспламенителе, Мат. моделирование 11, № 2, 45-54.
Иванов М. Я., Крайко А. Н. A971) Расчет смешанного течения газа в соплах, в кн. Труды
секции по числ. методам в газовой динамике Второго межд. коллоквиума по газодинамике взрыва
и реагирующих систем. Новосибирск, Авг. 19-23, 1969, 2, 3-26, Вычисл. центр АН СССР, Москва.
Иванов М. Я., Крайко А. Н. A972) Метод сквозного счета для двумерных и пространствен-
пространственных сверхзвуковых течений. II, Ж вычисл. матем. иматем. физики 12, № 3, 805-813.
Иванов М. Я., Крайко А. Н. A978) Об аппроксимации разрывных решений при использо-
использовании разностных схем сквозного счета, Ж. вычисл. матем. и матем. физики 18, № 3, 780-783.
Иванов М. Я., Корецкий В. В., Курочкина Н. Я. A980а) Исследование свойств разностных
схем сквозного счета первого порядка аппроксимации, Числ. методы мех. сплошн. среды 11, № 1,
81-110, Новосибирск.
Иванов М. Я., Корецкий В. В., Курочкина Н. Я. A980b) Исследование свойств разностных
схем сквозного счета второго порядка аппроксимации, Числ. методы мех. сплошн. среды 11, № 2,
41-63, Новосибирск.
Иванов М. Я., Корецкий В. В., Курочкина Н. Я. A980с) Исследование свойств разностных
схем сквозного счета повышенного порядка аппроксимации, Числ. методы мех. сплошн. среды 11,
№ 4, 83-103, Новосибирск.
Иванов М. Я., Крайко А. Н., Михайлов Н. В. A972) Метод сквозного счета для двумерных
и пространственных сверхзвуковых течений. I, Ж. вычисл. матем. и матем. физики 12, № 2,
441-463.
Ильгамов М. А. A990) Обзор работ по неотражающим условиям на границах расчетной
области, в кн. Численные граничные условия, Труды семинара, № 26, 6-54, Казан, физико-техн.
ин-т, Казан, научн. центр АН СССР, Казань.
Ильюшин А. А. A990) Механика сплошной среды, Моск. гос. ун-т, Москва.
Имшенник В. С, Боброва Н. А. A997) Динамика столкновителъной плазмы, Энергоатом-
издат, Москва.
Ионов В. Н., Селиванов В. В. A987) Динамика разрушения деформируемого тела, Маши-
Машиностроение, Москва.
Иорданский С. В. A958) Теорема Цемплена в магнитной гидродинамике, Доклады АН
СССР 121, № 4, 610-612.
Калашников А. С. A959) Построение обобщенных решений квазилинейных уравнений
первого порядка без условия выпуклости как пределов решений параболических уравнений с
малым параметром, Доклады АН СССР 127, № 1, 27-30.
Каменецкий В. Ф., Семенов А. Ю. A989) Построение гибридных схем на основе харак-
характеристических соотношений, Сообщения по прикладной математике, Вычисл. центр АН СССР,
Москва.
Каменецкий В. Ф., Семенов А. Ю. A993) Самосогласованное выделение разрывов при сквоз-
сквозных расчетах одномерных и двумерных осесимметричных газодинамических течений, Препринт
№ 36, Ин-т общей физики РАН, Москва.
Каменецкий В. Ф., Семенов А. Ю. A994) Самосогласованное выделение разрывов при
сквозных расчетах газодинамических течений, Ж. вычисл. матем. и матем. физики 34, № 10,
1489-1502.
Каменярж Я. А. A972) О простых волнах и распаде разрыва в упругопластической среде с
условием Мизеса, Прикл. матем. и мех. 36, № 2, 320-329.
Канель Г. И., Фортов В. Е. A987) Механические свойства конденсированных сред при
интенсивных импульсных воздействиях, Успехи механики 10, № 3, 3-82.
572 Список литературы
Канель Г. И., Щербань В. В. A980) Пластическая деформация и откольное разрушение
железа "Армко" в ударной волне, Физика горения и взрыва 16, № 4, 93-103.
Канель Г. И., Разоренов С. В., Уткин А. В., Фортов В. Е. A996) Ударно-волновые явления
в конденсированных средах, Янус-К, Москва.
Канель Г. И., Разоренов С. В., Уткин А. В., Фортов В. Е. A999) Исследование механических
свойств материалов при ударно-волновом нагружении, Изв. РАН. Мех. твердого тела, № 5, 173—
188.
Катаев И. Г. A963) Ударные электромагнитные волны, Советское радио, Москва.
Квитов С. В., Бушман А. В., Кулиш М. И., Ломоносов И. В., Полищук А. Ю., Семе-
Семенов А. Ю., Терновой В. Я., Филимонов А. С, Фортов В. Е. A991) Измерение радиационных
характеристик плотной плазмы висмута при ее адиабатическом расширении, Письма в Ж. экстр,
и теор. физики 53, № 7, 338-342.
Кильпио А. В., Кочиев Д. Г., Малютин А. А. и др. A992) Мощная одноканальная лазерная
установка "Камертон", в кн. Физические процессы в оболочечных конических мишенях, Труды
Ин-та общей физики РАН, 36, 202-212, Наука, Москва.
Киселев П. Г. A950) Справочник по гидравлическим расчетам, Энергоиздат, Москва.
Клюшников В. В. A993) Теория пластичности: современное состояние и перспективы,
Изв. РАН. Мех. твердого тела, № 2, 102-116.
Ковеня В. М., Яненко Н. Н. A981) Метод расщепления в задачах газовой динамики, Наука,
Новосибирск.
Ковеня В. М., Тарнавский Г. А., Черный С. Г. A990) Применение метода расщепления в
задачах аэродинамики, Наука, Новосибирск.
Кол аров Д., Балтов А., Бончева Н. A979) Механика пластических сред, Мир, Москва.
Колган В. П. A972) Применение принципа минимальных значений производных к построе-
построению конечно-разностных схем для расчета разрывных решений газовой динамики, Ученые зап.
ЦАГИ 3, № 6, 68-77.
Колган В. П. A975а) Конечно-разностная схема для расчета разрывных решений нестацио-
нестационарной газовой динамики, Ученые зап. ЦАГИ 6, № 1, 9-14.
Колган В. П. A975b) Численный метод решения пространственных задач газодинамики и
расчет обтекания тела при наличии угла атаки, Ученые зап. ЦАГИ 6, № 2, 1-6.
Колган В. П. A978) Применение операторов сглаживания в разностных схемах высокого
порядка точности, Ж вычисл. матем. иматем. физики 18, № 5, 1340-1345.
Колдоба А. В., Кузнецов О. А., Устюгова Г. В. A992) Квазимонотонные разностные схемы
повышенного порядка аппроксимации для МГД уравнений, Препринт № 69, Ин-т прикл. матем.
им. М. В. Келдыша РАН, Москва.
Колмогоров А. Н., Фомин С. В. A981) Элементы теории функций и функционального ана-
анализа, 5-е изд., Наука, Москва.
Кондауров В. И. A981) О законах сохранения и симметризации уравнений нелинейной
теории термоупругости, Доклады АН СССР 256, № 4, 819-823.
Кондауров В. И. A982а) О дивергентной форме уравнений нелинейной термоупругости, Ж.
прикл. матем. и техн. физ., № 3, 132-140.
Кондауров В. И. A982b) О законах сохранения упруговязкопластической среды с конечными
деформациями, Изв. АН СССР. Мех. твердого тела, № 6, 100-111.
Кондауров В. И. A982с) Об уравнениях упруговязкопластической среды с конечными де-
деформациями, Ж. прикл. мех. и техн. физ., № 4, 133-139.
Кондауров В. И., Никитин Л. В. A990) Теоретические основы реологии геоматериалов,
Наука, Москва.
Кондауров В. И., Фортов В. Е. B001) Основы термомеханики конденсированных сред, Изд-
во МФТИ, Москва.
Список литературы 573
Кондауров В. И., Петров И. Б., Холодов А. С. A984) Численное моделирование процес-
процесса внедрения жесткого тела вращения в упругопластическую преграду, Ж. прикл. машем, и
техн. физ.,№4, 132-139.
Коньшин В. Н. A985) Численное моделирование волновых движений жидкости, Дисс. на
соиск. учен. степ. канд. физ.-мат. наук, Моск. физико-техн. ин-т, Москва.
Копченов В. И., Край ко А. Н. A980) Построение монотонной конечно-разностной схемы
второго порядка аппроксимации для уравнений гиперболического типа, Научно-техн. отчет,
№ 9108, ЦИАМ им. П. И. Баранова, Москва.
Копченов В. И., Край ко А. Н. A983) Монотонная разностная схема второго порядка для
гиперболических систем с двумя независимыми переменными, Ж. вычисл. матем. и матем.
физики 23, № 4, 848-859.
Коренев Г. В. B000) Тензорное исчисление, Изд-во МФТИ, Москва.
Корецкий В. В. A982) О свойствах монотонной разностной схемы, построенной на осно-
основе метода С. К. Годунова с использованием принципа минимальных значений производной,
Числ. методы мех. сплошн. среды 13, № 4, 52-62, Новосибирск.
Коробейников В. П. A985) Задачи теории точечного взрыва, Наука, Москва.
Коробейников В. П., Семенов А. Ю., Шарипов А. К. A987) Численное моделирование
задачи о радиационно-конвективном переносе энергии от мгновенного источника, Препринт,
Вычисл. центр ДВО АН СССР, Владивосток.
Коробейников В. П., Семенов А. Ю., Шарипов А. К. A990) Численное моделирование
задачи о радиационно-конвективном переносе энергии от мгновенного источника, в кн. Мате-
Математическая физика и математическое моделирование в экологии, Ч. 1, 34-42, ДВО АН СССР,
Владивосток.
Коротин П. Н., Петров И. Б., Холодов А. С. A989) Численное моделирование поведения
упругих и упругопластических тел под воздействием мощных энергетических потоков, Мат. мо-
моделирование 1, № 7, 1-12.
Коротин П. Н., Петров И. Б., Пирогов В. Б., Холодов А. С. A987) О численном реше-
решении связанных задач сверхзвукового обтекания деформируемых оболочек конечной толщины,
Ж. вычисл. матем. и матем. физики 27, № 8, 1233-1243.
Косевич А. М., Иванов Б. А., Ковалев А. С. A983) Нелинейные волны намагниченности.
Динамические и топологические солитоны, Наукова думка, Киев.
Кострыкин В. С, Фомин В. Н., Холодов А. С. A976) Пространственное обтекание затуплен-
затупленных конусов и эллипсоидов вращения потоком излучающего газа, Ж. вычисл. матем. и матем.
физики 16, №2, 451-459.
Крайко А. Н., Макаров В. Е., Тилляева Н. И. A980) К численному построению фронтов
ударных волн, Ж. вычисл. матем. и матем. физики 20, № 3, 716—723.
Красюк И. К., Семенов А. Ю. A992) Численное моделирование газодинамических процес-
процессов в конических мишенях, в кн. Физические процессы в оболочечных конических мишенях, Труды
Ин-та общей физики РАН, 36, 83-111, Наука, Москва.
Красюк И. К., Пашинин П. П., Семенов А. Ю. A994) Новые соотношения подобия на
основе статистического анализа экспериментов по лазерному термоядерному синтезу, Доклады
РАН 336, №1,43-45.
Красюк И. К., Пашинин П. П., Семенов А. Ю., Чарахчьян А. А. A997) О механизме
нагрева дейтерия при лазерном воздействии на конические мишени, Доклады РАН 354, № 3,
324-326.
Кудряков А. М., Погорелов Н. В. A989) Численное исследование задач идеального обтека-
обтекания затупленных тел на ЭВМ конвейерного типа, Моделирование в механике 3 B0), № 1, 96-106,
Новосибирск.
Кузнецов Н. М. A989) Устойчивость ударных волн, Успехи физ. наук 159, № 3, 493-527.
574 Список литературы
Куксин С. Б. A984) Условия на разрыве решений уравнений Прандтля-Рейсса, Доклады АН
СССР 279, № 5, 1065-1068.
Кукуджанов В. Н. A967) Распространение упруго-пластических волн в стержне с учетом
влияния скорости деформации, Вычисл. центр АН СССР, Москва.
Кукуджанов В. Н. A977) Одномерные задачи распространения волн напряжений в стерж-
стержнях, Сообщения по прикладной математике, № 7, Вычисл. центр АН СССР, Москва.
Кукуджанов В. Н. A978) К исследованию уравнений динамики упруго-пластических сред
при конечных деформациях, в кн. Нелинейные волны деформации. II. Материалы симпозиума,
Таллин, 31 янв.—З февр. 1978, 102-105, Таллин.
Кукуджанов В. Н. A985) Численное моделирование динамических процессов деформиро-
деформирования и разрушения упругопластических сред, Успехи механики 8, № 4, 21-65.
Кукуджанов В. Н. A999) Микромеханическая модель разрушения неупругого материала и
ее применение к исследованию локализации деформаций, Изв. РАН. Мех. твердого тела, № 5,
72-87.
Кукуджанов В. Н., Кондауров В. И. A975) Численное решение неодномерных задач дина-
динамики твердого деформируемого тела, в кн. Проблемы динамики упруго-пластических сред, Сер.:
Механика, Новое в зарубежной науке, № 5, 39-84, Мир, Москва.
Куликовский А. Г. A968) О поверхностях разрыва, разделяющих идеальные среды с раз-
различными свойствами. Волны рекомбинации, Прикл. матем. и мех. 32, № 6, 1125-1131.
Куликовский А. Г. A979) О свойствах ударных адиабат в окрестности точек Жуге, Изв. АН
СССР. Мех. жидкости и газа, № 2, 317-319.
Куликовский А. Г. A984) О возможном влиянии колебаний в структуре разрыва на множе-
множество допустимых разрывов, Доклады АН СССР 275, № 6, 1349-1352.
Куликовский А. Г. A986) Об уравнениях, описывающих распространение нелинейных ква-
квазипоперечных волн в слабоанизотропном упругом теле, Прикл. матем. и мех. 50, № 4, 597-604.
Куликовский А. Г. A988) Сильные разрывы в течениях сплошных сред и их структура,
Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР 182, 261-291.
Куликовский А. Г. A989) Особенности поведения нелинейных квазипоперечных волн в
упругой среде при малой анизотропии, Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР 186,
132-139.
Куликовский А. Г., Гвоздовская Н. И. A998) О влиянии дисперсии на множество допусти-
допустимых разрывов в механике сплошной среды, Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова РАН 223,
63-73.
Куликовский А. Г., Любимов Г. А. A959) О магнитогидродинамических ударных волнах,
ионизующих газ, Доклады АН СССР 129, № 1, 52-55.
Куликовский А. Г., Любимов Г. А. A962) Магнитная гидродинамика, Физматгиз, Москва.
Куликовский А. Г., Свешникова Е. И. A980) Об ударных волнах, распространяющихся по
напряженному состоянию в изотропных нелинейно-упругих средах, Прикл. матем. и мех. 44,
№ 3, 523-534.
Куликовский А. Г., Свешникова Е. И. A982) Исследование ударной адиабаты квазипопе-
квазипоперечных ударных волн в предварительно напряженной упругой среде, Прикл. матем. и мех. 46,
№5,831-840.
Куликовский А. Г., Свешникова Е. И. A984) О некоторых свойствах ударной адиабаты
квазипоперечных упругих волн, Прикл. матем. и мех. 48, № 5, 793-798.
Куликовский А. Г., Свешникова Е. И. A985а) Автомодельная задача о действии внезапной
нагрузки на границу упругого полупространства, Прикл. матем. и мех. 49, № 2, 284-291.
Куликовский А. Г., Свешникова Е. И. A985b) Нелинейные волны, возникающие при изме-
изменении напряжений на границе упругого полупространства, в кн. Вопросы нелинейной механики
сплошной среды, Н. В. Зволинский и др. (Ред.), 133-145, Валгус, Таллин.
Список литературы 575
Куликовский А. Г., Свешникова Е. И. A987) О структуре квазипоперечных упругих удар-
ударных волн, Прикл. машем, и мех. 51, № 6, 926-932.
Куликовский А. Г., Свешникова Е. И. A988) О распаде произвольного начального разрыва
в упругой среде, Прикл. машем, и мех. 52, № 6, 1007-1012.
Куликовский А. Г., Свешникова Е. И. A996) О существовании и единственности автомо-
автомодельных решений при наличии точек Жуге на ударной адиабате, Прикл. машем, и мех. 60, № 1,
66-71.
Куликовский А. Г., Свешникова Е. И. A998) Нелинейные волны в упругих средах, Моск.
лицей, Москва.
Куликовский А. Г., Свешникова Е. И. B001) Признак несуществования или неединствен-
неединственности решений автомодельных задач механики сплошной среды, Прикл. машем, и мех. 65, № 6,
971-982.
Куликовский А. Г., Чугайнова А. П. A998) Об условиях распада нелинейной волны в
вязкоупругой среде, Журн. вычисл. машем, и мат. физики 38, № 2, 315-323.
Куликовский А. Г., Чугайнова А. П. B000) Об устойчивости квазипоперечных ударных
волн в анизотропных упругих средах, Прикл. машем, и мех. 64, № 6, 1020-1026.
Куликовский А. Г., Чугайнова А. П. B002) Об устойчивости к двумерным возмущениям
метастабильной ударной волны в вязкоупругой среде, Прикл. машем, и мех. 66, в печати.
Куприянова Т. В., Михайлов Ю. А., Чинилов А. Ю. A991) К построению консервативной
приближенной задачи о распаде разрыва для равновесного газа, Ж. вычисл. машем, и машем,
физики 30, № 4, 551-560.
Куропатенко В. Ф. A962) Метод построения разностных схем для численного интегрирова-
интегрирования уравнений гидродинамики, Изв. высш. учебн. заведений. Математика, № 3 B8), 75-83.
Куропатенко В. Ф. A966) О разностных методах для уравнений гидродинамики, Труды
Машем, ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР 74, Ч. 1, 107-137.
Куропатенко В. Ф. A992) Уравнения состояния в математических моделях механики и фи-
физики, Мат. моделирование 4, № 12, 112-136.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. A986) Гидродинамика, Теоретическая физика 6, Наука, Москва.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. A987) Теория упругости, Теоретическая физика 7, Наука,
Москва.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. A992) Электродинамика сплошных сред, Теоретическая фи-
физика 8, Наука, Москва.
Ларькин Н. А., Новиков В. А., Яненко Н. Н. A983) Нелинейные уравнения переменного
типа, Наука, Новосибирск.
Левин В. А., Терентьева Л. В. A993) Сверхзвуковое обтекание конуса при теплоподводе к
его вершине, Изв. РАН. Мех. жидкости и газа, № 3, 110-123.
Левин В. А., Терентьева Л. В. A999) Влияние локальной области энерговыделения на
пространственное обтекание конуса, Изв. РАН. Мех. жидкости и газа, № 3, 106-113.
Ленский Э. В. A981) Об ударной адиабате плоского ударно-сдвигового разрыва, Вест-
Вестник МГУ, Сер. Математика, Механика 36, № 1, 94-96.
Ленский Э. В. A982) Распространение плоских волн двухкомпонентного деформированного
состояния в нелинейно-упругой сжимаемой среде, Вестник МГУ, Сер. Математика, Механи-
Механика 37, №6, 101-106.
Ленский Э. В. A983а) Плоские волны сжатия-сдвига в нелинейноупругой несжимаемой
среде, Изв. РАН. Мех. твердого тела, № 6, 90-98.
Ленский Э. В. A983b) Простые волны в нелинейно упругой среде, Вестник МГУ, Сер.
Математика, Механика 38, № 3, 80-86.
Лешкевич С. Л., Семенов А. Ю. A986) Исследование гибридизации численных методов
типа FLIC и крупных частиц, в сб. Труды 11-ой конф. молод, ученых МФТИ, 24 мар.-5 апр. 1986,
Ч. 1, № 5697-В86 Деп, 164-174, деп. в ВИНИТИ, Москва.
576 Список литературы
Лешкевич С. Л., Семенов А. Ю. A988) Гибридные разностные схемы методов крупных
частиц и FLIC, Препринт № 12, Ин-т общей физики АН СССР, Москва.
Лешкевич С. Л., Семенов А. Ю. A990) Алгоритмы гибридизации численных методов круп-
крупных частиц и FLIC, в кн. Исследование свойств вещества в экстремальных условиях, 169-172,
Объедин. ин-т высоких температур АН СССР, Москва.
Липчинский Е. А., Семенов А. Ю. A997) Построение ортогональных сеток на плоскости
и поверхностях безытерационным маршевым методом, в кн. Вычислительная гидродинамика
природных течений, Труды Ин-та общей физики РАН, 53, 173-186, Наука/Физматлит, Москва.
Лобановский Ю. И. A979) О монотонизации конечно-разностных решений в методах сквоз-
сквозного счета, Ж вычисл. матем. иматем. физики 19, № 4, 1063-1069.
Ломоносов И. В., Фортов В. Е., Фролова А. А. и др. A998) Об одном возможном подходе к
получению искусственных алмазов, Доклады РАН 360, № 2, 199-201.
Ломоносов И. В., Фортов В. Е., Фролова А. А. и др. B001) Моделирование превращения
графита в алмаз при динамическом сжатии в конической мишени, Препринт № 1-454, Объедин.
ин-т высоких температур РАН, Москва.
Лохин В. В., Седов Л. И. A963) Нелинейные тензорные функции от нескольких тензорных
аргументов, Прикл. матем. и мех. 27, № 3, 597-629.
Луговой П. 3., Мейш В. Ф. A986) К решению осесимметричных задач динамики цилиндри-
цилиндрических оболочек численными методами, Прикл. механика 22, № 2, 29-33.
Лурье А. И. A970) Теория упругости, Наука, Москва.
Лурье А. И. A980) Нелинейная теория упругости, Наука, Москва.
Любарский Г. Я. A961H структуре ударной волны, Прикл. матем. и мех. 25, №6,1041-1049.
Любарский Г. Ю., Половин Р. В. A959) О расщеплении неустойчивых ударных волн в
магнитной гидродинамике, Ж. экспер. и теор. физики 36, № 4, 1272-1278.
Любимов А. Н., Русанов В. В. A970) Течения газа около тупых тел, 1-2, Наука, Москва.
Ляпидевский В. Ю., Тешуков В. М. B000) Математические модели распространения
длинных волн в неоднородной жидкости, Изд-во СО РАН, Новосибирск.
Лятхер В. М., Милитеев А. Н. A974) Расчет наката длинных гравитационных волн на откос,
Океанология 14, № 1, 37-42.
Лятхер В. М., Милитеев А. Н., Тогунова Н. П. A978) Исследование плана течений в нижнем
бьефе гидротехнических сооружений численными методами, Гидротехн. строительство, № 6,
27-32.
Лятхер В. М., Милитеев А. Н. A981) Гидравлические исследования численными методами,
Водные ресурсы, № 3, 60-79.
Лятхер В. М., Мишуев А. В., Милитеев А. Н., Сладкевич М. С. A982) Численный метод
расчета наката длинных волн на берег, в кн. Процессы возбуждения и распространения цунами,
С. Л. Соловьев и В. П. Маслов (Ред.), 103-108, Ин-т океанологии им. П. П. Ширшова АН СССР,
Москва.
Лятхер В. М., Мишуев А. В., Милитеев А. Н., Сладкевич М. С. A986) Исследование наката
волн цунами на берега численными методами, в кн. Исследования цунами 1: Возникновение и
распространение в океане волн цунами, С. Л. Соловьев (Ред.), 110-119, Межведомств, геофиз.
комитет АН СССР, Москва.
Ляхов В. Н. A974) Сглаживание и искусственная вязкость при расчетах двумерных нестаци-
нестационарных течений с разрывами, Числ. методы мех. сплошн. среды 5, № 3, 69-74, Новосибирск.
Магомедов К. М. A966) Метод характеристик для численного расчета пространственных
течений газа,Ж вычисл. матем. иматем. физики 6, № 2, 313-325.
Магомедов К. М. A967) Расчет пространственного обтекания притуплённых конусов мето-
методом характеристик с учетом равновесных физико-химических превращений, Изв. АН СССР. Мех.
жидкости и газа, № 3, 130-137.
Список литературы 577
Магомедов К. М. A971) Сеточно-характеристический метод для численного решения задач
газовой динамики, в кн. Труды секции по числ. методам в газовой динамике Второго межд.
коллоквиума по газодинамике взрыва и реагирующих систем. Новосибирск, Авг. 19—23, 1969, 1,
328-356, Вычисл. центр АН СССР, Москва.
Магомедов К. М., Холодов А. С. A969) О построении разностных схем для уравнений
гиперболического типа на основе характеристических соотношений, Ж вычисл. матем. иматем.
физики 9, № 2, 373-386.
Магомедов К. М., Холодов А. С. A988) Сеточно-характеристические численные методы,
Наука, Москва.
Макаренко Н. И. A985) Обоснование трехмерной и двуслойной плоской моделей мелкой
воды, в кн. Нелинейные проблемы теории поверхностных и внутренних волн, Л. В. Овсянников и
В. Н. Монахов (Ред.), 78-96, Наука, Новосибирск.
Макаров В. Е. A982) К выделению поверхностей разрывов при численном решении сверх-
сверхзвуковых конических течений, Ж. вычисл. матем. и матем. физики 22, № 5, 1218-1226.
Малама Ю. Г., Кестенбойм X. С, Хорнунг К. B000) Численное моделирование высокоско-
высокоскоростного удара космической пылинки по преграде методом Годунова второго порядка точности,
Препринт № 664, Ин-т пробл. мех. РАН, Москва.
Малышев А. П. A996) Монотонная разностная схема повышенной точности для численного
моделирования волновых процессов,Ж. вычисл. матем. иматем. физики 36, № 9, 155-158.
Малышев А. П. A998) Численное моделирование волновых процессов в балке, соприкаса-
соприкасающейся с шероховатой поверхностью, Изв. РАН. Мех. твердого тела, № 6, 149-155.
Малышев А. П. B000) Численное моделирование динамики и статики стержневых кон-
конструкций на шероховатой поверхности, Изв. РАН. Мех. твердого тела, № 4, 154-172.
Марченко А. В., Семенов А. Ю. A994) Краевые волны в мелкой жидкости под упругой
пластиной с трещиной, Изв. РАН. Мех. жидкости и газа, № 4, 185—189.
Марченко А. В., Семенов А. Ю. A995) Вычисление определенных интегралов в методе
Винера-Хопфа суммированием рядов по вычетам, Ж. вычисл. матем. и матем. физики 35, № 3,
445-452.
Марчук А. Г., Чубаров Л. Б., Шокин Ю. И. A983) Численное моделирование цунами, Наука,
Новосибирск.
Матвеев С. К. A977) Некоторые аспекты применения метода Годунова к решению задач
нестационарной газовой динамики, Ученые записки Ленинградского ун-та, Сер. математиче-
математических наук, № 393, вып. 55, сб. 5 (Газодинамика и теплообмен), 41—54.
Маханов С. С, Семенов А. Ю. A994) Устойчивый неотрицательный численный метод для
расчетов течений жидкости в открытом русле, Ж. вычисл. матем. и матем. физики 34, № 1,
104-116.
Маханов С. С, Семенов А. Ю. A995а) Моделирование движения жидкости со свободной
поверхностью при обмелениях, Водные ресурсы 22, № 4, 389-394.
Маханов С. С, Семенов А. Ю. A995b) Новая методика расчета поверхностного стока,
Метеорология и гидрология, № 2, 72-82.
Маханов С. С, Семенов А. Ю. A996) Двумерный неотрицательный алгоритм расчета тече-
течений жидкости в открытых руслах, Ж. вычисл. матем. и матем. физики 36, № 4, 97-105.
Маханов С. С, Семенов А. Ю. A997) Класс неотрицательных численных методов и его при-
применение для расчетов течений жидкости со свободной поверхность, в кн. Вычислительная гид-
гидродинамика природных течений, Труды Ин-та общей физики РАН, 53, 55-74, Наука/Физматлит,
Москва.
Меньшов И. С. A990) Повышение порядка аппроксимации схемы Годунова на основе реше-
решения обобщенной задачи Римана, Ж. вычисл. матем. и матем. физики 30, № 9, 1357-1371.
Меньшов И. С. A991) Обобщенная задача о распаде произвольного разрыва, Прикл. матем.
и мех. 55, №1,86-94.
578 Список литературы
Меньшов И. С. A992) Повышение точности схемы Годунова для расчета стационарных
сверхзвуковых течений газа на основе решения обобщенной задачи Римана, Ж. вычисл. машем,
и машем, физики 32, № 2, 311-319.
Мержиевский Л. А. A980) Метод расчета течений вязкоупругой среды, Динамика сплошной
среды. Динамика твердого тела, № 45, 141-151, Новосибирск.
Милешин В. И., Тилляева Н. И. A982) Сравнение вычислительных и экспериментальных
данных о течении около осесимметричных воздухозаборников в режимах с испущенной ударной
волной, Ученые зап. ЦАГИ 13, № 2, 135-141.
Милитеев А. Н., Базаров Д. Р. A997) О пулъсационных решениях двумерных уравнений мел-
мелкой воды при стационарных краевых условиях, Сообщения по прикладной математике, Вычисл.
центр РАН, Москва.
Милитеев А. Н., Яшин В. Н. A978) Расчет плана течений волн попуска в открытых потоках,
в кн. Волны в сплошных средах, И. Л. Селезов (Ред.), 19-28, Наукова думка, Киев.
Минайлос А. Н. A977) О значении монотонности конечно-разностных схем в методах сквоз-
сквозного счета, Ж вычисл. матем. иматем. физики 17, № 4, 1058-1063.
Мишуев А. В., Сладкевич М. С, Сильченко А. С. A984) Анализ экспериментальных
результатов и численного метода расчета длинных волн на откос, в кн. Совещание по цунами,
Горький, Сент. 18-21, 1984, 121-123, АН СССР, Горький.
Моисеев Н. Я. A996) Согласованная аппроксимация в разностных схемах типа С. К. Годунова
для решения одномерных задач газовой динамики, Ж. вычисл. матем. и матем. физики 36, № 1,
149-150.
Нажесткина Э. И., Русанов В. В. A980) Аппроксимация граничных условий в разностных
схемах, Ж. вычисл. матем. иматем. физики 20, № 6, 1483—1499.
Натансон И. П. A974) Теория функций вещественной переменной, 3-е изд., Наука, Москва.
Наумова И. Н., Шмыглевский Ю. Д. A978) Алгоритм и программа расчета распадов разры-
разрывов в несовершенном газе, Алгоритмы и программы. Информ. бюллетень, № 3 C3), программа
П002809, 45-45, ВНТИЦентр, Москва.
Нетребко А. В., Новотный С. В., Созоненко Ю. А. A999) Сравнение решений уравнений
динамики цилиндрических оболочек по теориям Тимошенко и Кирхгофа-Лява, Изв. РАН. Мех.
твердого тела, № 3, 140-149.
Никишин В. В., Тюрина Н. Н., Фаворский А. П. A999) Энергетически согласованные
консервативные схемы для квазилинейного уравнений переноса, Диф. уравнения 35, № 2, 266-
272.
Новожилов В. В. A948) Основы нелинейной теории упругости, Гостехиздат, Ленинград.
Новожилов В. В. A952) О физическом смысле инвариантов напряжения, используемых в
теории пластичности, Прикл. матем. и мех. 16, № 5, 617—619. [То же: Новожилов В. В. A989)
Вопросы механики сплошной среды, 151-154, Судостроение, Ленинград.]
Новожилов В. В. A962) Теория тонких оболочек, 2-е изд., Судпромгиз, Ленинград.
Овсянников Л. В. A985) Лагранжевы приближения в теории волн, в кн. Нелинейные пробле-
проблемы теории поверхностных и внутренних волн, Л. В. Овсянников и В. Н. Монахов (Ред.), 10-77,
Наука, Новосибирск.
Огибалов П. М. A963) Вопросы динамики и устойчивости оболочек, Моск. гос. ун-т, Москва.
Олейник О. А. A959) О единственности и устойчивости обобщенного решения задачи Коши
для квазилинейного уравнения, Успехи мат. наук 14, № 2 (86), 165-170.
Остапенко В. В. A998) О сильной монотонности нелинейных разностных схем, Ж. вычисл.
матем. иматем. физики 38, № 7, 1170-1185.
Островский Л. А., Сутин А. М. A977) Нелинейные упругие волны в стержне, Прикл. матем.
и мех. 41, №3,531-537.
Остросаблин Н. И. A986) О структуре тензора модулей упругости и классификации анизо-
анизотропных материалов, Ж. прикл. мех. и техн. физ., № 4, 127—135.
Список литературы 579
Остросаблин Н. И. A991) О матрице коэффициентов в уравнениях линейной теории упру-
упругости, Доклады АН СССР 321, № 1? 63-65.
Остросаблин Н. И. B000) Анизотропия и общие решения уравнений линейной теории упру-
упругости, Дисс. на соиск. уч. степ. докт. физ.-мат. наук, Ин-т гидродинамики им. М. А. Лаврентьева
СО РАН, Ин-т теор. и прикл. мех. СО РАН, Новосибирск.
Павлов В. П. A998) Клейна-Гордона уравнение, в кн. Математическая физика. Энциклопе-
Энциклопедия, 211—212, Большая российская энцикл., Москва.
Павлов П. В., Хохлов А. Ф. B000) Физика твердого тела, Высшая школа, Москва.
Панасюк В. В., Андрейкив А. Е., Партон В. 3. A988) Основы механики разрушения мате-
материалов, Механика разрушения и прочность материалов, Справочное пособие 1, Наукова думка,
Киев.
Панин В. Е. A999) Физическая мезомеханика материалов, Изв. РАН. Мех. твердого тела,
№ 5, 88-108.
Паничкин В. И. A981) Осесимметричные волновые процессы в обол очечных конструкциях
с амортизаторами, в кн. Прикладные проблемы прочности и пластичности. Статика и динамика
деформируемых систем, № 18, 74-84, Горьк. гос. ун-т им. Н. И. Лобачевского, Горький.
Партон В. 3., Кудрявцев Б. А. A988) Электромагнитоупругость пьезоэлектрических и
электропроводных тел, Наука, Москва.
Паршиков А. Н. A999) Применение решения задачи Римана в методе частиц, Ж. вычисл.
матем. иматем. физики 39, № 7, 1216-1225.
Петров И. Б., Кондауров В. И. A984) Численное исследование процесса внедрения жест-
жесткого цилиндра в упругопластическую преграду, в кн. Численные методы в механике твердого
деформируемого тела, Г. И. Пшеничнов (Ред.), 115-132, Вычисл. центр АН СССР, Москва.
Петров И. Б., Холодов А. С. A984а) Численное исследование некоторых динамических
задач механики деформируемого твердого тела сеточно-характеристическим методом, Ж. вычисл.
матем. и матем. физики 24, № 5, 722-739.
Петров И. Б., Холодов А. С. A984b) О регуляризации разрывных численных решений урав-
уравнений гиперболического типа,Ж вычисл. матем. иматем. физики 24, № 8, 1172-1188.
Петров И. Б., Тормасов А. Г. A990) О численном решении пространственных задач соуда-
соударения, Мат. моделирование 2, № 2, 58-72.
Петров И. Б., Тормасов А. Г., Холодов А. С. A990) Об использовании гибридизированных
сеточно-характеристических схем для численного решения трехмерных задач динамики дефор-
деформируемого тела,Ж вычисл. матем. иматем. физики 30, № 8, 1237-1244.
Петровский И. Г. A961) Лекции об уравнениях с частными производными, Физматгиз,
Москва.
Пикуль В. В. B000) Современное состояние теории оболочек и перспективы ее развития,
Изв. РАН. Мех. твердого тела, № 2, 153-168.
Пинчуков В. И. A991) О построении монотонных схем типа предиктор-корректор произ-
произвольного порядка аппроксимации, Мат. моделирование 13, № 9, 95-104.
Пинчуков В. И. A994а) Нелинейные разностные фильтры и их использование при численном
интегрировании разрывных решений, Доклады РАН 337, № 3, 312—315.
Пинчуков В. И. A994b) О построении монотонных схем произвольного порядка аппрокси-
аппроксимации для одного класса уравнений, Ж вычисл. матем. и матем. физики 34, № 11, 1723-1729.
Пинчуков В. И. A996) Коррекция потоков в многомерных задачах гиперболического и па-
параболического типов, Ж вычисл. матем. и матем. физики 36, № 4, 26-40.
Пинчуков В. П., Шу Ч.-В. B000) Численные методы высоких порядков для задач аэрогид-
аэрогидродинамики, Изд-во СО РАН, Новосибирск.
Пирумов У. Г. A988) Обратная задача теории сопла, Машиностроение, Москва.
Пирумов У. Г., Росляков Г. С. A990) Газовая динамика сопел, Наука, Москва.
580 Список литературы
Плотников П. В. A998) К расчету двумерного взаимодействия облака космических пылевых
частиц с атмосферой, Ж. вычисл. машем, и машем, физики 38, № 11, 1943-1952.
Плотников П. В., Шуршалов Л. В. A994) О взаимодействии космического пылевого облака
с атмосферой, Ж. вычисл. машем, и машем, физики 34, № 1, 117-129.
Плотников П. В., Шуршал ов Л. В. A995) О характере интенсивного взаимодействия облака
космических пылевых частиц с атмосферой Земли, Ж. вычисл. машем, и машем, физики 35, № 8,
1233-1244.
Плотников П. В., Шуршал ов Л. В. A996) Эффекты излучения при интенсивном взаимодей-
взаимодействии облака космической пыли с земной атмосферой, Ж. вычисл. машем, и машем, физики 36,
№ 9, 120-133.
Погорел ов Н. В. A987) Диагонализация и одновременная симметризация матриц в стацио-
стационарных уравнениях газовой динамики, Доклады АН СССР 295, № 3, 562-566.
Погорел ов Н. В. A988а) Исследование сверхзвукового обтекания затупленных тел равно-
равновесным воздухом под большими углами атаки, Моделирование в механике 2 A9), № 3, 116-125,
Новосибирск.
Погорел ов Н. В. A988b) О преобразованиях подобия матриц в стационарных уравнениях
газовой динамики, Ж. вычисл. машем, и машем, физики 28, № 6, 952-953.
Погорел ов Н. В. A988с) Исследование сверхзвукового обтекания затупленных шел неравно-
неравновесно реагирующим воздухом, Препринт № 350, Ин-т пробл. мех. АН СССР, Москва.
Погорел ов Н. В. A990) Пространственное движение неравновесно реагирующего воздуха
около тела, проникающего в равновесную нагретую область, Изв. АН СССР. Мех. жидкости и
газа, № 6, 130-137.
Погорел ов Н. В. A992) Сверхзвуковое движение тела через температурные и концентра-
концентрационные неоднородности, в кн. Методы исследования аэротермодинамических характеристик
гиперзвуковых летательных аппаратов, 158-159, ЦАГИ им. Н. Е. Жуковского, Жуковский.
Погорел ов Н. В., Семенов А. Ю. A996) Модификация неотражающих граничных условий
при газодинамическом моделировании в астрофизике, Ж. вычисл. машем, и машем, физики 36,
№ 3, 135-146.
Погорел ов Н. В., Семенов А. Ю. A997а) Семейство приближенных решений задачи о рас-
распаде МГД-разрыва, сохраняющих условия на скачках, Ж. вычисл. машем, и машем, физики 37,
№ 3, 325-333.
Погорел ов Н. В., Семенов А. Ю. A997b) Семейство приближенных решений задачи о распа-
распаде магнитного газодинамического разрыва, сохраняющих условия на скачках, Доклады РАН 352,
№ 2, 196-200.
Погорел ов Н. В., Шевелев Ю. Д. A981) Об использовании неортогональных криволинейных
систем координат при расчете сверхзвукового обтекания передней части затупленных тел под
большими углами атаки, Числ. методы мех. сплошн. среды 12, № 6, 65-79, Новосибирск.
Погорел ов Н. В., Шевелев Ю. Д. A983) Численное исследование сверхзвукового обтекания
затупленных тел сложной формы под большими углами атаки, в кн. Численные методы динамики
вязкой жидкости, 262-268, Ин-т теор. и прикл. мех. СО АН СССР, Новосибирск.
Погорел ов Н. В., Шевелев Ю. Д. A985) Маршевый явно-неявный метод расчета сверхзву-
сверхзвукового обтекания тел, Ж. вычисл. машем, и машем, физики 25, № 9, 1391-1400.
Полищук А. Я., Семенов А. Ю., Терновой В. Я., Фортов В. Е. A991) Численное моделиро-
моделирование свечения поверхности металла под действием ударной волны, Препринт № 25, Ин-т общей
физики АН СССР, Москва.
Половин Р. В., Черкасова К. П. A961) О расщеплении неэволюционных ударных волн,
Ж. экспер. и теор. физики 41, № 1, 263-266.
Попов С. П., Ромашкевич Ю. И. A977) Применение метода расщепления для расчета двух-
температурных и ионизационно неравновесных течений газа, Ж. вычисл. машем, и машем, физи-
физики 17, №6, 1602-1607.
Список литературы 581
Поручиков В. Б. A986) Методы динамической теории упругости, Наука, Москва.
Потапкин А. В. A983) Об использовании сгущающихся сеток в расчетах течений с большими
градиентами, Числ. методы мех. сплошн. среды 14, № 3, 126-139, Новосибирск.
Потапов А. И. A985) Нелинейные волны деформации в стержнях и пластинах, Горьк. гос.
ун-т им. Н. И. Лобачевского, Горький.
Прокопов Г. П. A999) Исследование процесса релаксации в трехтемпературной мо-
модели нестационарных течений теплопроводного газа, Препринт № 66, Ин-т прикл. матем.
им. М. В. Келдыша РАН, Москва.
Прокопов Г. П. B000) Аппроксимация уравнений состояния в трехтемпературной мо-
модели нестационарных течений теплопроводного газа, Препринт № 32, Ин-т прикл. матем.
им. М. В. Келдыша РАН, Москва.
Пушкина И. Г., Тишкин В. Ф. B000) Адаптивные расчетные сетки из ячеек Дирихле для
решения задач математической физики: методика, построение, примеры, Мат. моделирование 12,
№ 3, 97-109.
Работнов Ю. Н. A979) Механика деформируемого твердого тела, Наука, Москва.
Рикардс Р. Б., Тетере Г. А. A974) Устойчивость оболочек из композитных материалов,
Зинатне, Рига.
Родионов А. В. A987а) Монотонная схема второго порядка аппроксимации для сквозного
расчета неравновесных течений, Ж. вычисл. матем. и матем. физики 27, № 4, 585-593.
Родионов А. В. A987b) Повышение порядка порядка аппроксимации схемы С. К. Годунова,
Ж. вычисл. матем. и матем. физики 27, № 12, 1853-1860.
Родионов А. В. A996) Численный метод решения уравнений Эйлера с сохранением аппрок-
аппроксимации на деформируемой сетке, Ж. вычисл. матем. и матем. физики 36, № 3, 117-129.
Рождественский Б. Л., Яненко Н. Н. A978) Системы квазилинейных уравнений и их прило-
приложения к газовой динамике, Наука, Москва.
Ромашкевич Ю. И. A980) О расчете течений неравновесной плазмы методом С. К. Годунова,
Ж. вычисл. матем. и матем. физики 20, № 3, 790-793.
Русанов В. В. A953) Метод характеристик для пространственных задач, в кн. Теоретическая
гидромеханика, Л. И. Седов (Ред.), вып. 3, № 11, 3-62, Труды Мин-ва авиац. пром-ти СССР,
Оборонгиз, Москва.
Русанов В. В. A961) Расчет взаимодействия нестационарных ударных волн с препятствиями,
Ж. вычисл. матем. и матем. физики 1, № 2, 267-279.
Русанов В. В. A963) Характеристики общих уравнений газовой динамики, Ж вычисл. матем.
и матем. физики 3, № 3, 508-527.
Русанов В. В. A968) Разностные схемы третьего порядка точности для сквозного счета
разрывных решений, Доклады АН СССР 180, № 6, 1303-1305.
Русанов В. В., Безменов И. В. A981а) Асимптотика профиля дискретного разрыва при
расчете ударной волны разностными схемами, Доклады АН СССР 261, № 4, 817-820.
Русанов В. В., Безменов И. В. A981b) Асимптотика решения типа ударной волны для
конечно-разностного уравнения, Труды Матем. ин-таим. В. А. СтекловаАН СССР 157, 178-190.
Русанов В. В., Безменов И. В., Нажесткина Э. И. A984) Вычислительные погрешности раз-
разностных схем для расчета разрывных течений, Препринт № 13, Ин-т прикл. матем. им. М. В. Кел-
Келдыша АН СССР, Москва.
Русанов В. В., Безменов И. В., Нажесткина Э. И. A986) Вычислительные погрешности
разностных схем для расчета разрывных течений, в кн. Численное моделирование в аэрогидроди-
аэрогидродинамике, Г. Г. Черный (Ред.), 174-187, Наука, Москва.
Рыбаков А. П. A977) Отколы в стали при нагружении с помощью взрыва листового заряда
ВВ и удара пластиной, Ж. прикл. мех. и техн. физ., № 1, 151-155.
Рябенький В. С, Турчанинов В. П., Цынков С. В. B000) Неотражающие искусственные
граничные условия для замены отбрасываемых уравнений с лакунами, Мат. моделирование 12,
582 Список литературы
№ 12, 108-127.
Садовский В. М. A983) О динамической корректности теории упруго идеально-пластичес-
идеально-пластического течения, Динамика сплошной среды. Динамические задачи механики сплошной среды, № 63,
147-151, Новосибирск.
Садовский В. М. A997) Разрывные решения в задачах динамики упругопластических сред,
Наука/Физматлит, Москва.
Садовский В. М. B001) Задачи динамики сыпучих сред, Мат. моделирование 13, № 5, 62-74.
Сазонов И. А., Семенов А. Ю. A993) Комбинированные алгоритмы энтропийной коррекции
в газодинамических ENO-расчетах, в кн. Прикладные задачи аэромеханики и геокосмической
физики, Т. В. Кондранин (Ред.), 63-67, Моск. физико-техн. ин-т, Москва.
Салтанов Г. А. A979) Неравновесные и нестационарные процессы в газодинамике однофаз-
однофазных и двухфазных сред, Наука, Москва.
Самарский А. А., Арсенин В. Я. A961) О численном решении уравнений газодинамики с
различными типами вязкости, Ж. вычисл. матем. и матем. физики 1, № 2, 357-360.
Самарский А. А., Попов Ю. П. A975) Разностные схемы газовой динамики, Наука, Москва.
Самарский А. А., Попов Ю. П. A992) Разностные методы решения задач газовой динамики,
Наука, Москва.
Санкин В. М., Леви Б. П., Зайдель Я. М. A983) Использование разностных схем с пере-
переменным шаблоном для повышения точности численного решения уравнений фильтрации, Числ.
методы мех. сплошн. среды 14, № 4, 156-170, Новосибирск.
Свешникова Е. И. A982) Простые волны в нелинейно упругой среде, Прикл. матем. и
мех. 46, № 4, 642-646.
Северинов Л. И. A978) Способ решения нелинейных разностных краевых задач механики
сплошной среды, Ж. вычисл. матем. и матем. физики 18, № 4, 974-986.
Седов Л. И. A946) Движение воздуха при сильном взрыве, Доклады АН СССР 52, № 1,17-20.
Седов Л. И. A960) Понятия разных скоростей изменения тензоров, Прикл. матем. и мех. 24,
№ 3, 393-398.
Седов Л. И. A962) Введение в механику сплошной среды, Физматгиз, Москва.
Седов Л. И. A972) Методы подобия и размерности в механике, 7-е изд., Наука, Москва.
Седов Л. И. A976) Механика сплошной среды, 3-е изд., 1—2, Наука, Москва.
Семенов А. Ю. A983) Применение метода Годунова к уравнениям теории мелкой воды с
учетом рельефа дна, в сб. Труды 8-ой конф. молодых ученых МФТИ, 27 мар.—7 апр. 1983, Ч. 1,
№ 5927-83 Деп, 150-157, деп. в ВИНИТИ, Москва.
Семенов А. Ю. A984) Метод построения гибридных разностных схем для гиперболических
систем, Доклады АН СССР 279, № 1, 34-37.
Семенов А. Ю. A987) Построение гибридных разностных схем для численного решения
гиперболических систем, Дисс. на соиск. учен. степ. канд. физ.-мат. наук, Моск. физико-техн.
ин-т / Ин-т общей физики АН СССР, Вычисл. центр АН СССР, Москва.
Семенов А. Ю. A988) Характеристический метод построения гибридных разностных схем.
Приложения к газовой динамике, Препринт № 32, Ин-т общей физики АН СССР, Москва.
Семенов А. Ю. A995) Маршевый метод построения ортогональных сеток на плоскости и
поверхностях, Ж. вычисл. матем. и матем. физики 35, № 11, 1689-1704.
Семенов А. Ю. A996) Метод расчета нелинейного уравнения фильтрации, обеспечивающий
выполнение двусторонних оценок для решения, Ж. вычисл. матем. и матем. физики 36, № 11,
173-175.
Семенов А. Ю. A997а) Модификация метода Куранта—Изаксона-Риса для уравнений газо-
газодинамики с произвольным уравнением состояния, Ж. вычисл. матем. и матем. физики 37, № 11,
1376-1383.
Семенов А. Ю. A997b) Численный метод расчета нелинейного уравнения фильтрации, обес-
обеспечивающий строгое выполнение двусторонних оценок для решения, в кн. Вычислительная гид-
Список литературы 583
родшамиш природных течений, Труды Ин-та общей физики РАН, 53, 75-88, Наука/Физматлит,
Москва.
Семенов А. Ю., Шарипов А. К. A987) Гибридный разностный метод для численного ре-
решения задач радиационной газовой динамики, Препринт № 285, Ин-т общей физики АН СССР,
Москва.
Слепян Л. И. A972) Нестационарные упругие волны, Судостроение, Ленинград.
Соболев С. Л. A958) О смешанной задаче для уравнений в частных производных с двумя
независимыми переменными, Доклады АН СССР 122, № 4, 555-558.
Софронов И. Л. A992) Условия полной прозрачности для трехмерного волнового уравнения,
Доклады РАН 326, № 6, 453-457.
Софронов И. Л. A998) Нелокальные искусственные граничные условия для задач трехмер-
трехмерного стационарного обтекания, Мат. моделирование 10, № 9, 64—86.
Софронов И. Л. A999) Точные искусственные граничные условия для некоторых задач
аэродинамики и дифракции, Дисс. на соиск. уч. степ. докт. физ.-мат. наук, Ин-т прикл. матем.
им. М. В. Келдыша РАН, Москва.
Стулов В. П. A969) О законе подобия при сверхзвуковом обтекании затупленных тел, Изв. АН
СССР. Мех. жидкости и газа, № 4, 142-146.
Стулов В. П., Турчак Л. И. A969) Неравновесные химические реакции в ударном слое при
обтекании сферы смесью углекислого газа, азота и аргона, Изв. АН СССР. Мех. жидкости и газа,
№ 5, 147-150.
Сыроватский С. И. A958) Об устойчивости ударных волн в магнитной гидродинамике,
Ж. экспер. и теор. физики 35, № 6, 1466-1470.
Тарасов Б. А. A974) Сопротивление разрушению пластин при ударном нагружении, Про-
Проблемы прочности 6, № 3, 121-122.
Тетере Г. А., Рикардс Р. Б., Нарусберг В. Л. A978) Оптимизация оболочек из слоистых
композитов, Зинатне, Рига.
Тилляева Н. И. A983) Исследование возможностей модификации В. П. Колгана численной
схемы С. К. Годунова, сохраняющей аппроксимацию на произвольных расчетных сетках, Научно-
техн. отчет, № 9860, ЦИАМ им. П. И. Баранова, Москва.
Тилляева Н. И. A986) Обобщение модифицированной схемы С. К. Годунова на произволь-
произвольные нерегулярные сетки, Ученые зап. ЦАГИ 17, № 2, 18-26.
Толстых А. И. A990) Компактные разностные схемы и их применение в задачах аэрогидро-
аэрогидродинамики, Наука, Москва.
Толстых А. И. B000) О построении схем заданного порядка с линейными с линейными
комбинациями операторов, Ж. вычисл. матем. и матем. физики 40, № 8, 1206-1220.
Федоренко Р. П. A962) Применение разностных схем высокой точности для численного
решения гиперболических уравнений, Ж. вычисл. матем. и матем. физики 2, № 6, 1122-1128.
Федотова 3. И. A978) О применении инвариантной разностной схемы к расчету колебаний
жидкости в бассейне, Числ. методы мех. сплошн. среды 9, № 3, 137-146, Новосибирск.
Федотова 3. И., Шокин Ю. И. A975) Инвариантные разностные схемы с полиномиальной
матрицей вязкости, Доклады АН СССР 122, № 1, 51-53.
Холодов А. С. A978) О построении разностных схем с положительной аппроксимацией для
уравнений гиперболического типа, Ж вычисл. матем. и матем. физики 18, № 6, 1476-1492.
Холодов А. С. A980) О построении разностных схем повышенного порядка точности для
уравнений гиперболического типа, Ж вычисл. матем. и матем. физики 20, № 6, 1601-1620.
Холодов А. С. A984) О построении разностных схем с положительной аппроксимацией для
уравнений параболического типа, Ж вычисл. матем. и матем. физики 24, № 9, 1346-1358.
Холодов А. С. A991) Монотонные разностные схемы на нерегулярных сетках для эллипти-
эллиптических уравнений в области со многими несвязными границами, Мат. моделирование 3, № 9,
104-113.
584 Список литературы
Чарахчьян А. А. A979) Об одном варианте полностью консервативной схемы для уравнений
газовой динамики, Ж вычисл. машем, и машем, физики 19, № 1, 259-263.
Чарахчьян А. А. A983) Модификация схемы С. К. Годунова в переменных Эйлера, Ж. вычисл.
машем, и машем, физики 23, № 5, 1240-1244.
Чарахчьян А. А. A997) Об устойчивости кумулятивных струй, возникающих при импульс-
импульсном воздействии на конические мишени, Ж. прикл. мех. и техн. физ. 38, № 3, 10-13.
Чарахчьян А. А. B000а) Об алгоритмах расчета распада разрыва для схемы С. К. Годунова,
Ж. вычисл. машем, и машем, физики 40, № 5, 782-796.
Чарахчьян A. A. B000b) Неустойчивость Рихтмайера-Мешкова границы раздела сред при
прохождении через нее двух последовательных ударных волн, Ж. прикл. мех. и техн. физ. 41,
№ 1, 28-37.
Черный Г. Г. A959) Течения газа с большой сверхзвуковой скоростью, Физматлит, Москва.
Черных К. Ф. A996) Введение в физически и геометрически нелинейную теорию трещин,
Наука/Физматлит, Москва.
Чугайнова А. П. A988) О формировании автомодельного решения в задаче о нелинейных
волнах в упругом полупространстве, Прикл. машем, и мех. 52, № 4, 692-697.
Чугайнова А. П. A991) Исследование структуры квазипоперечных ударных волн для опре-
определенного класса упругих сред, в кн. Проблемы механики, экологии и технологии, Наука, Москва.
Чугайнова А. П. A993а) О перестройке нелинейной упругой волны в среде с малой анизо-
анизотропией, Изв. РАН. Мех. твердого тела, № 5, 75-81.
Чугайнова А. П. A993b) О взаимодействии нелинейных волн в слабоанизотропной вязко-
упругой среде, Прикл. машем, и мех. 57, № 2, 149-156.
Чушкин П. И. A968) Метод характеристик для пространственных сверхзвуковых течений,
Вычисл. центр АН СССР, Москва.
Шведов А. С. A984) Инвариантные разностные схемы для уравнений газовой динамики,
Препринт № 170, Ин-т прикл. матем. им. М. В. Келдыша АН СССР, Москва.
Шведов А. С. A986) Инвариантные разностные схемы для уравнений газовой динамики,
Вопросы атомной науки и техники, Сер.: Методики и программы численного решения задач
матем. физики, № 2, 37-44.
Шведов А. С. A987) Инвариантные разностные схемы для уравнений газовой динамики,
Доклады АН СССР 292, № 1, 46-50.
Шведов А. С. A990) Разностная схема для уравнений газовой динамики, сохраняющая груп-
групповые свойства решений, Матем. заметки 48, № 4, 140-151.
Шевелев Ю. Д. A986) Пространственные задачи вычислительной аэрогидродинамики, На-
Наука, Москва.
Шокин Ю. И. A973) О методе первого дифференциального приближения в теории разност-
разностных схем для гиперболических систем уравнений, Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова АН
СССР 122, Ч. 2, 66-84.
Шокин Ю. И., Яненко Н. Н. A985) Метод дифференциального приближения. Применение
к газовой динамике, Наука, Новосибирск.
Шугаев Ф. В. A983) Взаимодействие ударных волн с возмущениями, Моск. гос. ун-т, Москва.
Шуршалов Л. В. A980) О выборе исходной дивергентной формы уравнений при расчете осе-
симметричных течений конечно-разностными методами, Ж. вычисл. матем. и матем. физики 20,
№ 3, 793-800.
Шуршал ов Л. В. A981) К анализу конфигураций, возникающих при распаде произвольного
разрыва, Ж. вычисл. матем. и матем. физики 21, № 3, 748—758.
Юхно Л. Ф. A990) О некоторых разностно-характеристических схемах для неодномерных
нестационарных задач теории упругости, Ж. вычисл. матем. и матем. физики 30, № 1, 135-143.
Юхно Л. Ф. A992) Об одном варианте численного метода решения неодномерных гипербо-
гиперболических систем, Ж. вычисл. матем. и матем. физики 32, № 6, 867-877.
Список литературы 585
Яненко Н. Н. A967) Метод дробных шагов решения многомерных задач математической
физики, Наука, Новосибирск.
Яненко Н. Н., Ворожцов Е. В., Фомин В. М. A976) Дифференциальные анализаторы удар-
ударных волн, Доклады АН СССР 227, № 1, 50-53.
Яушев И. К. A967) Распад произвольного разрыва в канале со скачком площади сечения,
Изв. СО АН СССР, Сер. технических наук, № 8, вып. 2, 109-120, Новосибирск.
Abarbanel S., Gottlieb D. A973) Higher order accuracy finite difference algorithms for quasi-
linear, conservation law hyperbolic systems, Math. Comput. 27, No. 123, 505-523.
Abarbanel S., Zwas G. A971) Third and fourth order accurate schemes for hyperbolic equations
of conservation law form, Math. Comput. 25, No. 114, 229-236.
Abarbanel S., Gottlieb D., Turkel E. A975) Difference schemes with fourth order accuracy for
hyperbolic equations, SIAMJ. Appl. Math. 29, No. 2, 329-351.
Abarbanel S., Gottlieb D., Turkel E. A976) Multidimensional difference schemes with fourth-
order accuracy, J. Comput. Phys. 21, No. 1, 85-113.
Alcrudo F., Benkhaldoun F. B001) Exact solution to the Riemann problem of the shallow water
equations with bottom step, Computers and Fluids 30, No. 6, 643-671.
Alpert P. A981) Implicit filtering in conjunction with explicit filtering, J. Comput. Phys. 44, No. 1,
211-219.
Anderson D. A. A974) A comparison of numerical solutions to the inviscid equations of fluid
motion, J. Comput. Phys. 15, No. 1, 1-20.
Anderson W. K., Thomas J. L., van Leer B. A985) A comparison of finite volume flux vector
splittings for Euler equations, AIAA Paper, No. 85-0122.
Arora M., Roe P. L. A997) A well-behaved TVD limiter for high-resolution calculations of
unsteady flow, J. Comput. Phys. 132, No. 1, 3-11.
Asian N. A993) Computational Investigations of Ideal MHD Plasmas with Discontinuities, Ph. D.
Thesis, Nuclear Engineering Department, University of Michigan.
Asian N. A996a) Numerical solutions of one-dimensional MHD equations by a fluctuation approach,
Int. J. Numer. Meth. Fluids 22, No. 7, 569-580.
Asian N. A996b) Two-dimensional solutions of MHD equations with an adapted Roe method,
Int. J. Numer. Meth. Fluids 23, No. 11, 1211-1222.
Asian N. A999) MHD-A: A fluctuation splitting wave model for planar magnetohydrodynamics,
J. Comput. Phys. 153, No. 2, 437-466.
Atluri S. A. (Ed.) A986) Computational Methods in the Mechanics of Fracture, Computational
Methods in Mechanics 2, Elsevier, New York. [Рус. пер.: Атлури С. (Ред.) A990) Вычислительные
методы в механике разрушения, Мир, Москва.]
Aurelli F., Mignosa P., Tomirotti M. B000) Numerical simulation and experimental verification
of Dam-Break flows with shocks, J. Hydraulic Res. 38, No. 3, 197-205.
Axford W. I. A972) The interaction of the solar wind with the interstellar medium, in Solar Wind,
NASA SP-308, 609-658.
Azarenok B. N., Ivanenko S. A. A999) Moving grid technology for finite volume methods in gas
dynamics, in Finite Volumes for Complex Applications II - Problems and Perspectives, R. Vilsmaeier,
F. Benkhaldoun and D. Hanel (Eds.), 795-802, Hermes, Paris.
Azarenok B. N., Ivanenko S. A. B001) Application of moving adaptive grids for numerical solution
of 2D nonstationary problems in gas dynamics, Int. J. Numer. Meth. Fluids, to be published.
Backofen W. A. A972) Deformation Processing, Addison Wesley, Reading, MA. [Рус. пер.:
Бэкофен В. A977) Процессы деформации, Металлургия, Москва.]
Baker Т. J. A999) Delaunay-Voronoi' methods, Chapter 16 in Handbook of Grid Generation,
J. F. Thompson, B. K. Soni and N. P. Weatherill (Eds.), CRC, Boca Raton, FL.
Balsara D. S. A998a) Linearized formulation of the Riemann problem for the adiabatic and
isothermal magnetohydrodynamics, Astrophys. J. Suppl. 116, 119-131.
586 Список литературы
Balsara D. S. A998b) Total variation diminishing scheme for adiabatic and isothermal
magnetohydrodynamics, Astrophys. J. Suppl 116, 133-153.
Balsara D. S., Spicer D. S. A999) A staggered mesh algorithm using high order Godunov fluxes to
ensure solenoidal magnetic fields in magnetohydrodynamic simulations, J. Comput. Phys. 149, No. 2,
270-292.
Baranov V. B. A990) Interaction of the solar wind with the external plasma, in Physics of the Outer
Heliosphere, 287-297, Pergamon Press, New York.
Baranov V. В., Malama Yu. G. A993) Model of the solar wind interaction with the local interstellar
medium: Numerical solution of self-consistent problem, J. Geophys. Res. 98, A15157-A15163.
Baranov V. В., Zaitsev N. A. A995) On the problem of the solar wind interaction with magnetized
interstellar plasma, Astron. Astrophys. 304, 631-637.
Baranov V. В., Zaitsev N. A. A998) On the problem of the heliospheric interface response to cycles
of the solar activity, Geophys. Res. Lett. 25, 4051-4054.
Baranov V. В., Lebedev M. G., Ruderman M. S. A979) Structure of the region of solar wind-
interstellar medium interaction and its influence on H atoms penetrating the solar wind, Astrophys.
Space Sci. 66,441-451.
Barmin A. A., Kulikovskii A. G. A969) Gas-ionizing shock waves in an arbitrary oriented magnetic
field, in Problems of Hydrodynamics and Continuum Mechanics, 39-54, SIAM, Philadelphia.
Barmin A. A., Pogorelov N. V. A995) Shock-capturing methods and nonevolutionary solutions in
magnetohydrodynamics, Proc. 1st Asian Conf. on Comput. Fluid Dyn., Hong Kong, 1, 353-359.
Barmin A. A., Kulikovskii A. G., Pogorelov N. V. A996) Shock-capturing approach and nonevo-
nonevolutionary solutions in magnetohydrodynamics, J. Comput. Phys. 126, No. 1, 77-90.
Barnes A. A993) Motion of the heliospheric termination shock: A gas dynamic model, J. Geophys.
Res. 98, 15137-15146.
Barnes A. A995) Motion of the heliospheric termination shock at high heliographic altitude, Space
Sci. Rev. 72, 233-236.
Barth T. J., Jespersen D. C. A989) The design and application of upwind schemes on unstructured
meshes, AIAA Paper, No. 89-0366.
Batani D., Koenig M., Benuzzi A., Krasyuk I. K., Pashinin P. P., Semenov A. Yu., Lomo-
nosov I. V., Fortov V. E. A999a) Problems in the optical measurement of dense plasma heating in laser
shock wave compression, Plasma Phys. Control. Fusion 41, No. 1, 93-103.
Batani D., Koenig M., Benuzzi A., Krasyuk I. K., Pashinin P. P., Semenov A. Yu., Lomo-
nosov I. V., Fortov V. E. A999b) Problems of measurement of dense plasma heating in laser shock-wave
compression, Laser Part. Beams 17, No. 2, 265-273.
Bayliss A., Turkel E. A982) Far field boundary conditions for compressible flows,
J. Comput. Phys. 48, No. 2, 182-199.
Beam R. M., Warming R. F. A976) Upwind second-order difference schemes and applications in
aerodynamic flows, AIAA J. 14, No. 9, 1241-1249.
Belikov V. V., Semenov A. Yu. A988b) Godunov's type method for numerical solution of the
two-dimensional shallow water equations, in Proc. 17th Session Sci. Methodol. Seminar on Ship
Hydrodynamics, Varna, Oct. 17-22, 1988, 2, 56/1-56/6.
Belikov V. V., Semenov A. Yu. A997a) New non-Sibson interpolation on arbitrary system of points
in Euclidean space, in 15th IMACS World Congress on Scientific Computation, Modelling and Applied
Mathematics, Berlin, August 1997, 2: Numerical Mathematics, A. Sydow (Ed.), 237-242, Wissenshaft
und Technik Verlag, Berlin.
Belikov V. V., Semenov A. Yu. A998a) Non-Sibsonian interpolation on arbitrary system of points
in Euclidean space and adaptive generating isolines algorithm, in Numerical Grid Generation in
Computational Field Simulations, M. Cross et al. (Eds.), 277-286, Proc. 6th Int. Conf., July 6-9,
1998, University of Greenwich, London.
Список литературы 587
Belikov V. V., Semenov A. Yu. A998b) A Godunov's type method based on an exact solution to
the Riemann problem for the shallow water equations, in Proc. 4th European Comput. Fluid Dyn. Conf.,
Athens, Sept. 7-11, 1998, K. D. Papailiou et al. (Eds.), 1, No. 1, 310-315, John Wiley, Chichester, U.K.
Belikov V. V., Semenov A. Yu. B000) Non-Sibsonian interpolation on arbitrary system of points
in Euclidean space and adaptive isolines generation, Appl Numer. Math. 32, No. 4, 371-387.
Bell J. F. A973) Encyclopedia of Physics. Mechanics of Solids I, Volume VIa/1, С A. Truesdell (Ed.),
Springer, New York. [Рус. пер.: Белл Дж. Ф. A984) Экспериментальные основы механики дефор-
деформируемых твердых тел, 1-2, Наука, Москва.]
Bell J. В., Colella P., Trangenstein J. A. A989) Higher order Godunov methods for general systems
of hyperbolic conservation laws, J. Comput. Phys. 82, No. 2, 362-397.
Belotserkovskii O. M., Kholodov A. S., Turchak L. I. A986) Grid-characteristic methods in
multidimensional problems of gas-dynamics, in Current Problems in Computational Fluid Dynamics,
О. М. Belotserkovskii and V. P. Shidlovsky (Eds.), 125-189, Mir, Moscow.
Belytshko Т., Krongauz Y, Organ D., Fleming JVL, Krysl P. A996) Meshless methods: An
overview and recent developments, Comput. Meth. Appl. Meek Eng. 139, No. 1-4, 3-47.
Ben-Artzi M., Falkovitz J. A984) A second-order Godunov-type scheme for compressible fluid
dynamics, J. Comput. Phys. 55, No. 1, 1-32.
Billett S. J., Того Е. F. A997) On WAF-type schemes for multidimensional hyperbolic conservation
laws, J. Comput. Phys. 130, No. 1, 1-24.
Bland D. R. A969) Nonlinear Dynamic Elasticity, Blaisdell, Waltham, MA. [Рус. пер.: Бленд
Д. A972) Нелинейная динамическая теория упругости, Мир, Москва.]
Blum P. W., Fahr H. J. A969) Solar wind tail and the anisotropic production of fast hydrogen
atoms, Nature 223, 936-937.
Boris J. P., Book D. L. A973) Flux-corrected transport. I. SHASTA, a fluid transport algorithm
that works, J. Comput. Phys. 11, No. 1, 38-69.
Boris J. P., Book D. L. A976) Flux-corrected transport. III. Minimal-error FCT algorithms,
J. Comput. Phys. 20, No. 4, 397-431.
Boris J. P., Book D. L., Hain K. A975) Flux-corrected transport. II. Generalizations of the method,
J. Comput. Phys. 18, No. 3, 248-283.
Borrel M., Montagne J. L. A985) Numerical study of a non-centered scheme with application to
aerodynamics, AIAA Paper, No. 85-1497. [Idem, in AIAA 7th Comput. Fluid Dyn. Conf. Cincinnati,
Ohio, 1985, July 15-17. A Collect. Techn. Papers, 88-97, AIAA, New York.]
Bowyer A. A981) Computing Dirichlet tessellations, Comput. J. 24, No. 2, 162-166.
Brackbill J. IL, Barnes D. C. A980) The effect of nonzero V • В on the numerical solution of the
magnetohydrodynamic equations, J. Comput. Phys. 35, No. 3, 426-430.
Brackbill J. IL, Monaghan J. J. (Eds.) A988) Particle Methods in Fluid Dynamics and Plasma
Physics, Comput. Phys. Comm. 48, No. 1.
Bramley J. C, Sloan D. M. A977) A comparison of boundary methods for the numerical solution
of hyperbolic systems of equations, J. Engrg. Math. 11, No. 3, 227-239.
Brandt J. C. A970) Introduction to the Solar Wind, W. H. Freeman, New York. [Рус. пер.: Брандт
Дж. A973) Солнечный ветер. Введение в проблему, Мир, Москва.]
Briggs R. J. A964) Electron-Stream Interaction with Plasmas, MIT Press, Cambridge, MA.
Brio M., Wu С. С A988) An upwind differencing scheme for the equations of ideal magneto-
hydrodynamics, J. Comput. Phys. 75, No. 2, 400-422.
Brueckner K. A., Jorna S. A974) Laser-driven fusion, Revs. Mod. Phys. 46, No. 2, 325-367. [ Рус.
пер., дополн. авторами: Бракнер К., Джорна С. A977) Управляемый лазерный синтез, Атомиздат,
Москва.]
Burges M. D. J., Dragila R., Luther-Davies В. et al. A985) Characterization of plasmas produced
by a laser line focus, Phys. Rev. A: Gen. Phys. 32, No. 5, 2899-2908.
588 Список литературы
Burstein S. Z., Mirin A. A. A970) Third order difference methods for hyperbolic equations,
J. Comput. Phys. 5, No. 3, 547-571.
Burenin A. A., Chernyshov A. D. A978) Shock waves in an isotropic elastic medium under plane
finite strain, J. Appl Math. Meek 42, 758-765.
Butler D. S. A965) One-dimensional flow in an ionizing gas, J. Fluid Meek 23, 1-21
Cargo P., Gallice G. A995) Un solveur de Roe pour les equations de la magnetohydrodynamique,
С R. Acad. Set Paris 320, Serie 1, 1269-1272.
Cargo P., Gallice G. A997) Roe matrices for ideal MHD and systematic construction of Roe
matrices for systems of conservation laws, J. Comput. Phys. 136, No. 2, 446-466.
Chakravarthy S. R., Osher S. A983) Numerical experiments with the Osher upwind scheme for
the Euler equations, AIAA J. 21, No. 9, 1241-1248.
Champney J. H., Chaussee D. S., Kutler P. A982) Computation of blast wave-obstacle
interactions, AIAA Paper, No. 82-0227.
Chan W. M. A999) Hyperbolic methods for surface and field grid generation, Chapter 5 in Handbook
of Grid Generation, J. F. Thompson, B. K. Soni and N. P. Weatherill (Eds.), CRC, Boca Raton, FL.
Chao J. K., Lyu L. H., Wu В. Н. et al. A993) Observation of an intermediate shock in interplanetary
space, J. Geophys. Res. 98, 17443-17450.
Charakhch'yan A. A. A992) Application of moving regular grids to computation of gasdynamic
flows with interfaces, in Modern Problems in Computational Aerohydrodynamics, A. A. Dorodnicyn
and P. I. Chushkin (Eds.), 189-210, CRC Press, London.
Charakhch'yan A. A. A997) Numerical investigation of circular cumulative jets compressing
deuterium in conical targets, Plasma Phys. Control. Fusion 39, No. 2, 237-247.
Charakhch'yan A. A., Ivanenko S. A. A997) A variational form of the Winslow grid generator,
J. Comput. Phys. 136, No. 2, 385-398.
Charakhch'yan A. A., Krasyuk I. K., Pashinin P. P., Semenov A. Yu. A999) On mechanism of
deuterium heating in laser experiments with conical targets, Laser Part. Beams 17, No. 4, 749-752.
Chorin A. J. A976) Random choice solution of hyperbolic systems, J. Comput. Phys. 22, No. 4,
517-533.
Chorin A. J. A977) Random choice methods with applications to reacting gas flow, J. Comput.
Phys. 25, No. 3, 253-272.
Chow E., Monaghan J. J. A997) Ultrarelativistic SPH, J. Comput. Phys. 134, No. 2, 296-305.
Chu C. K., Taussig R. T. A967) Numerical experiments of magnetohydrodynamic shocks and the
stability of switch-on shocks, Phys. Fluids 10, 249-256.
Clifton R. J. A967) A difference method for plane problems in dynamic elasticity,
Quart. Appl. Math 25, No. 1, 97-116. [Рус. пер.: Клифтон Р. Дж. A968) Разностный метод в
плоских задачах динамической упругости, Механика, № 1 A07), 103-123, Мир, Москва.]
Cohen R., Kulsrud R. A974) Nonlinear evolution of parallel-propagating hydromagnetic waves,
Phys. Fluids 17, 2215-2225.
Cole R. H. A948) Underwater Explosions, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ. [Рус. пер.: Коул
P. A950) Подводные взрывы, Иностр. лит., Москва.]
Colella P., Woodward P. R. A984) The piecewise parabolic method (PPM) for gas-dynamical
simulations, J. Comput. Phys. 54, No. 1, 174-201.
Colella P., Glaz H. M. A985) Efficient solution algorithms for the Riemann problem for real gases,
J. Comput. Phys. 59, No. 2, 264-289.
Concus P., Proskurowski W. A979) Numerical solution of a nonlinear hyperbolic equation by the
random choice method, J. Comput. Phys. 30, No. 2, 153-166.
Cordova J. Q., Barth T. J. A988) Grid generation for general 2-D regions using hyperbolic
equations, AIAA Paper, No. 88-0520.
Courant R., Friedrichs К. О. A977) Supersonic Flow and Shock Waves, Applied Mathematical
Sciences 21, Springer, New York. [Рус. пер.: Курант Р., Фридрихе К. A950) Сверхзвуковое течение
Список литературы 589
и ударные волны, Иностр. лит., Москва.]
Courant R., Lax P. A949) On nonlinear partial differential equations with two independent
variables, Comm. Pure Appl. Math. 2, No. 2-3, 255-273.
Courant R., Friedrichs K., Lewy H. A928) Uber die partiellen Differenzengleichungen der
mathematischen Physik, Math. Annalen 100, H. 1/2, 32-74. [Рус. пер.: Курант Р., Фридрихе К.,
Леви Г. A940) О разностных уравнениях математической физики, Успехи машем, наук 8, 125—
160.]
Courant R., Isaacson E., Rees M. A952) On the solution of nonlinear hyperbolic differential
equations by finite differences, Comm. Pure Appl. Math. 5, No. 3, 243—255.
Craxton R. S., McCrory R. L. A979) A simple resoning technique for use with the Flux-Corrected
Transport algorithm, J. Comput. Phys. 33, No. 3, 432-440.
Dai W., Woodward P. R. A994a) An approximate Riemann solver for ideal magnetohydro-
dynamics, J. Comput. Phys. Ill, No. 2, 354-372.
Dai W., Woodward P. R. A994b) Extension of the piecewise parabolic method to multidimensional
ideal magnetohydrodynamics, J. Comput. Phys. 115, No. 2, 485-514.
Dai W., Woodward P. R. A998) On the divergence-free condition and conservation laws in
numerical simulations for supersonic magnetohydrodynamic flows, Astrophys. J. 494, 317-335.
Daily J. W., Harleman D. R. F. A966) Fluid Dynamics, Addison Wesley, Reading, MA. [Рус.
пер.: Дейли Дж., Харлеман Д. A971) Механика жидкости, Энергия, Москва.]
Delis A. I., Skeels С. P., Ryrie S. С. B000а) Evaluation of some approximate Riemann solvers for
transient open channel flows, J. Hydraulic Res. 38, No. 3, 217-231.
Delis A. I., Skeels C. P., Ryrie S. C. B000b) Implicit high-resolution methods for modelling
one-dimensional open channel flow, J. Hydraulic Res. 38, No. 5, 369—382.
De Neef Т., Moretti G. A980) Shock fitting for everybody, Computers and Fluids 8, No. 3,
327-334.
Denus S., Fiedorowicz H., Nagraba S. et al. A983) Time-delayed filaments of prolonged durability
on laser irradiated microspheres, Opt. Commun. 47, No. 2, 127-130.
De Sterk H. A999) Numerical Simulation and Analysis of Magnetically Dominated MHD Bow
Shock Flows with Applications in Space Physics, Ph. D. Thesis, Katholieke Universiteit Leuven and
National Center for Atmospheric Research.
De Sterk H., Poedts S. A999) Field-aligned magnetohydrodynamic bow shock flows in the switch-
on regime. Parameter study of the flow around a cylinder and results for the axi-symmetrical flow over
a sphere, Astron. Astrophys. 343, 641-649.
De Sterk H., Low В. С, Poedts S. A998) Complex magnetohydrodynamic bow shock topology
in field-aligned low-/3 flow around a perfectly conducting cylinder, Phys. Plasmas 5, 4015-4027.
De Sterk H., Deconinck H., Poedts S., Roose D. A999) A bow shock flow containing (almost)
all types of ("exotic") MHD discontinuities, in Hyperbolic Problems: Theory, Numerics, Application,
International Series on Numerical Mathematics 129, 195-204, Birkhauser Verlag, Basel, Switzerland.
De Vore C. R. A991) Flux-corrected transport techniques for multidimensional compressible
magnetohydrodynamics, J. Comput. Phys. 92, No. 1, 142-160.
Dhareswar L. J., Naik P. A., Nandwana P. D., Pant H. C. A987) Characteristics of plasma flow
from laser irradiated planar thin foil targets, J. Appl. Phys. 61, No. 9, 4458-4463.
Di Giacinto M., Valorani M. A989) Shock detection and discontinuity tracking for unsteady flows,
Computers and Fluids 17, No. 1, 61-84.
Dolezal A., Wong S. S. M. A995) Relativistic hydrodynamics and essentially non-oscillatory shock
capturing schemes, J. Comput. Phys. 120, No. 2, 266-277.
Donnell L. H. A976) Beams, Plates, Shells, McGraw-Hill, New York. [Рус. пер.: Дон-
нел Л. Г. A982) Балки, пластины и оболочки, Наука, Москва.]
Duderstadt J. J., Moses G. A. A982) Inertial Confinement Fusion, John Wiley, New York. [Рус.
пер.: Дюдерштадт Дж., Мозес Г. A984) Инерциалъный термоядерный синтез, Энергоатомиздат,
590 Список литературы
Москва.]
Dukowicz J. К. A985) A general, поп-iterative Riemann solver for Godunov's method, J. Comput.
Phys. 61, No. 1, 119-137.
Durlofsky L., Engquist В., Osher S. A992) Triangle based adaptive stencils for the solution of
hyperbolic conservation laws, J. Comput. Phys. 98, No. 1, 64-73.
Einfeldt B. A988) On Godunov-type methods for gas dynamics, SIAMJ. Numer. Analysis 25, No. 2,
294-318.
Einfeldt В., Munz C.-D., Roe P. L., Sjorgreen B. A991) On Godunov-type methods near low
densities, J. Comput. Phys. 92, No. 2, 273-295.
Eirich F. R. (Ed.) A956) Rheology. Theory and Applications, Academic Press, New York. [Рус.
пер.: Эйрих Ф. (Ред.) A962) Реология. Теория и приложения, Иностр. лит., Москва.]
Emery A. F. A968) An evaluation of several differencing methods for inviscid flow problems,
J. Comput. Phys. 2, No. 3, 306-331.
Emmons H. W. (Ed.) A958) Fundamentals of Gas Dynamics, Princeton Univ. Press, Princeton,
NJ. [Рус. пер.: Эммонс М. A963) Основы газовой динамики, Иностр. лит., Москва.]
Engquist В., Majda A. A977) Absorbing boundary conditions for the numerical simulation of
waves, Math. Comput. 31, No. 139, 629-651.
Engquist В., Osher S. A981) One-sided difference approximations for nonlinear conservation
laws, Math. Comput. 36, No. 154, 321-351.
Eulderink A., Mellema G. A995) General relativistic hydrodynamics with Roe solver, Astron.
Astrophys. Suppl. 110, 587-623.
Evans R. G. A981) Radiation cooling instabilities in laser-heated plasma, J. Phys. D: Appl. Phys. 14,
No. 10, L173-L177.
Evans C. R., Hawley J. F. A988) Simulation of magnetohydrodynamic flows: A constrained
transport method, Astrophys. J. 332, 659-677.
Evseev E. G., Morozov E. V. A994) The finite-difference techniques for static and dynamic
problems in mechanics of composite structures, in Advances in Structured and Heterogeneous Continua,
D. A. Siginer and Y. G. Yanovsky (Eds.), 390-399, Allerton Press, New York.
Evseev E. G., Morozov E. V. A997) Explicit finite difference method in the dynamic analysis of
laminated composite structures, Composite Structures 39, No. 3-4, 215-229.
Evseev E. G., Morozov E. V. B000) Dynamic analysis of orthotropic shells by grid-characteristic
method, Composite Structures 48, No. 1, 91-94.
Fahr H. J. A986) Is the heliospheric interface submagnetosonic? Consequences for the LISM
presence in the heliopause, Adv. Space Res. 6, 13-25.
Fahr H. J., Grzedzielski S., Ratkiewicz R. A988) Magnetohydrodynamic modeling of the 3-
dimensional heliopause using the Newtonian approximation, Annales Geophysicae 6, 337-354.
Falle S. A. E. G., Komissarov S. S. A996) An upwind numerical scheme for relativistic
hydrodynamics with a general equation of state, Month. Notices Royal Astron. Soc. 278, 586-602.
Farin G. A990) Surfaces over Dirichlet tessellations, Comput. Aided Geom. Design 7, No. 1-4,
281-292.
Fortov V. E., Goel В., Munz C.-D. et al. A996) Numerical simulations of nonstationary fronts and
interfaces by the Godunov method in moving grids, Nuclear Science and Engineering 123, 169-189.
Freudental A. M., Geiringer H. A958) The Mathematical Theories of the Inelastic Continuum,
Springer, Berlin. [Рус. пер.: Фрейденталь А., Гейрингер X. A962) Математические теории неупру-
неупругой сплошной среды, Физматлит, Москва.]
Friedrichs К. О. A948) On the derivation of the shallow water theory: Appendix to the formation
of breakers and bores by J. J. Stoker, Comm. Pure Appl. Math. 1, No. 1, 81-85.
Frisch P. C. A994) Morphology and ionization of the interstellar cloud surrounding the solar
system, Science 265, 1423-1427.
Frisch P. С A996) LISM structure - fragmented superbubble shell? Space Sci. Rev. 78, 213-222.
Список литературы 591
Fritts M. J., Crowley W. P., Trease H. A988) The Free-Lagrange Method, Lect. Notes Phys. 238,
Springer, Berlin.
Fukuda N., Hanawa T. A999) Gravitational and parametric instabilities of the interstellar medium
in which the Alfven wave travels, Astrophys. J. 517, 226-241.
Fursenko A. A., Sharov D. M., Timofeev E. V., Voinovich P. A. A992) Numerical simulation of
shock wave interactions with channel bends and gas nonuniformities, Computers and Fluids 21, No. 3,
377-396.
Gallice G. A996) Resolution numerique des equations de la magnetohydrodynamique ideale
bidimensionnelle, in Actes du workshop Methode Numerique pour la M. H. D., CMAP, Ecole Poly-
technique, Fevrier 12-13, 1996, 101-132.
Gardner С S. A963) Comment on "Stability of Step Shocks," Phys. Fluids 6, 1366-1367.
Garsia-Navarro P., Hubbard M. E., Priestley A. A995) Genuinely multidimensional upwinding
for the 2D shallow water equations, J. Comput. Phys. 121, No. 1, 79-93.
Gentry R. A., Martin R. E., Daly B. J. A966) An Eulerian differencing method for unsteady
compressible flow problems, J. Comput. Phys. 1, No. 1, 87-118.
George P.-L., Borouchaki H. A998) Delaunay Triangulation and Meshing. Application to Finite
Elements, Hermes, Paris.
Germain P. A959) Contribution a la theorie des ondes de choc en magnetodynamique des fluides,
Office National d'Etudes et de Recherches Aeronautiques, Publ. 97, Paris.
Germain P. A973) Cours de Mecanique des Milieux Continus, 1, Masson, Paris. [Рус. пер.: Жер-
мен П. 1983 Курс механики сплошных сред. Общая теория, Высшая школа, Москва.]
Givoli D. A991) Nonreflecting boundary conditions, J. Comput. Phys. 94, No. 1, 1-29.
Glaister P. A988a) Flux difference splitting for the Euler equations in one spatial co-ordinate with
area variation, Int. J. Numer. Meth. Fluids 8, No. 1, 97-119.
Glaister P. A988b) An approximate linearized Riemann solver for the Euler equations for real gas,
J. Comput. Phys. 74, No. 2, 382-408.
Glaister P. A991) A Riemann solver for "barotropic" flow, J. Comput. Phys. 93, No. 2, 477-480.
Glaister P. A995) A weak formulation of Roe's approximate Riemann solver applied to the
St. Venant equations, J. Comput. Phys. 116, No. 1, 189-191.
Glimm J. A965) Solutions in the large for nonlinear hyperbolic systems of equations, Comm. Pure
Appl. Math. 18, No. 4, 697-715.
Godlewski E., Raviart P.-A. A996) Numerical Approximation of Hyperbolic Systems of Conser-
Conservation Laws, Springer, New York.
Godunov S. K., Deribas A. A., Zabrodin A. V., Kozin N. S. A970) Hydrodynamic effects on
colliding solids, J. Comput. Phys. 5, No. 3, 517-539.
Godwal B. K., Ng A., Da Silva L. et al. A990) Shock melting and Hugoniot calculation for gold,
Phys. Rev. Lett. 144, No. 1, 26-30.
Goncharov S. F., Semenov A. Yu. A995) Numerical simulation of jet-like structures in laser plasma,
in Laser Interaction and Related Plasma Phenomena, 12 Int. Conf, April 1995, Osaka, S. Nakai and
G. H. Miley (Eds.), Amer. Inst. Phys. Conference Proc. 369, Pt. I, 499-504, Woodbury, NY.
Gottelmann J. A999) A spline collocation scheme for the spherical shallow water equations,
J. Comput. Phys. 148, No. 1, 291-298.
Gottlieb D., Turkel E. A978) Boundary conditions for multistep finite-difference methods for
time-dependent equations, J. Comput. Phys. 26, No. 2, 181-196.
Gressier J., Moschetta J.-M. A998) On the pathological behaviour of upwind schemes, AIAA
Paper, No. 98-0110.
Gustafsson В., Kreiss H.-O. A979) Boundary conditions for time dependent problems with an
artificial boundary, J. Comput. Phys. 30, No. 3, 333-351.
Gvozdovskaya N. I., Kulikovskii A. G. A999) Investigation of electromagnetic shock-wave
structure in anisotropic ferromagnets with easy axis, Wave Motion 29, 23-34.
592 Список литературы
Haar A., Karman Th. A909) Zur Theorie der Spannungszustande in plastischen und sanartigen
Medien, Nachr. von der Koniglichen Gesellshaft der Wissenshaften zu Gottingen, math. -phys. Klasse,
H. 2, 204-218. [Рус. пер.: Хаар А., Карман Т. A948) К теории напряженных состояний в пла-
пластических и сыпучих средах, в кн. Теория пластичности. Сборник статей, 41-56, Иностр. лит.,
Москва.]
Hada Т. A994) Evolutionary conditions in the dissipative MHD system: Stability of intermediate
MHD shock waves, Geophys. Res. Lett. 21, 2275-2278.
Haines M. G. A974) An electron thermal instability in a resistive non-equilibrium fully ionized
plasma, J. Plasma Phys. 12, No. 1, 1-14.
Haines M. G. A981) Thermal instability and magnetic field generated by large heat flow in a
plasma, especially under laser-fusion conditions, Phys. Rev. Lett. 47, No. 13, 917-920.
Hairer E., Norsett S. P., Wanner G. A987) Solving Ordinary Differential Equations I. Nonstiff
Problems, Springer, Berlin. [Рус. пер.: Хайрер Э., Нёрсетт С, Ваннер Г. A990) Решение обыкно-
обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи, Мир, Москва.]
Hairer E., Wanner G. A996) Solving Ordinary Differential Equations II. Stiff and Differential-
Algebraic Problems, 2nd ed., Springer, Berlin. [Рус. пер.: Хайрер Э., Ваннер Г. A999) Решение
обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические за-
задачи, Мир, Москва.]
Hall G., Watt J. M. (Eds.) A976) Modern Numerical Methods for Ordinary Differential Equations,
Clarendon Press, Oxford. [Рус. пер.: Холл Дж., Уатт Дж. (Ред.) A979) Современные численные
методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений, Мир, Москва.]
Hamming R. W. A962) Numerical Methods for Scientists and Engineers, McGraw-Hill, New York.
[Рус. пер.: Хемминг Р. В. A972) Численные методы для научных работников и инженеров, Наука,
Москва.]
Hanawa Т., Nakajima Y., Kobuta К. A994) Extensions of Roe s Approximate Riemann Solver for
General Equation of State and Magnetohydrodynamics, Preprint DPNU-94-3 4, Department of Physics,
Nagoya University.
Hanyga A. A976) On the solution to the Riemann problem for arbitrary hyperbolic system of
conservation laws, Polish Acad. Sci. Publications of Geophysics, A-l (98), Panstvowe wydavnitstvo
naukowe, Warszawa, 1-123.
Harten A. A978) The artificial compression method for computation of shocks and contact
discontinuities: III. Self-adjusting hybrid schemes, Math. Comput. 32, No. 142, 363-389.
Harten A. A983) High resolution schemes for hyperbolic conservation laws, J. Comput. Phys. 49,
No. 3, 357-393.
Harten A. A984) On a class of high resolution total-variation-stable finite-difference schemes,
SIAMJ. Numer. Anal. 21, No. 1, 1-23.
Harten A. A987) Preliminary results on the extension of ENO schemes to two-dimensional
problems, in Nonlinear Hyperbolic Problems (St. Etienne, 1986), С Carasso, P.-A. Raviart and D. Serre
(Eds.), Lect. Notes in Math. 1270, 23-40, Springer, Berlin.
Harten A. A989) ENO schemes with subcell resolution, J. Comput. Phys. 83, No. 1, 148-184.
Harten A., Hyman J. M. A983) Self-adjusting grid methods for one-dimensional hyperbolic
conservation laws, J. Comput. Phys. 50, No. 2, 235-269.
Harten A., Osher S. A987) Uniformly high-order accurate nonoscillatory schemes. I, SIAM
J. Numer. Anal. 24, No. 2, 279-309.
Harten A., Zwas G. A972a) Switched numerical Shuman filters for shock calculations, J. Engrg.
Math. 6, No. 2, 207-216.
Harten A., Zwas G. A972b) Self-adjusting hybrid schemes for shock computations, J. Comput.
Phys. 9, No. 3, 568-583.
Harten A., Hyman J. M., Lax P. D. A976) On finite-difference approximations and entropy
conditions for shocks, Comm. Pure Appl. Math. 29, No. 3, 297—322.
Список литературы 593
Harten A., Lax P. D., van Leer B. A983) On upstream differencing and Godunov-type schemes
for hyperbolic conservation laws, SIAMReview 25, No. 1, 35-61.
Harten A., Engquist В., Osher S., Chakravarthy S. R. A987) Uniformly high order accurate
essentially non-oscillatory schemes, III, J. Comput. Phys. 71, No. 2, 231-303.
Harten A., Osher S., Engquist В., Chakravarthy S. R. A986) Some results on uniformly high-
order accurate essentially nonoscillatory schemes, Appl. Numer. Math. 2, No. 3-5, 347-377.
Hedstrom G. W. A979) Nonreflecting boundary conditions for nonlinear hyperbolic systems,
J. Comput. Phys. 30, No. 2, 222-237.
Henshaw W. D. A987) A scheme for numerical solution of hyperbolic systems of conservation
laws, J. Comput. Phys. 68, No. 1, 25-47.
Higbie L. C, Plooster M. N. A968) Variable pseudoviscosity in one-dimensional hyperbolic
difference schemes, J. Comput. Phys. 3, No. 1, 154-156.
Hindman R. G. A982) Generalized coordinate forms of governing fluid equations and associated
geometrically induced errors, AIAA J. 20, No. 10, 1359-1367.
Hirao A., Ogasawara M. A981) Magnetic field generating thermal instability including the Nernst
effect, J. Phys. Soc. Jap. 50, No. 2, 668-672.
Hirsch C. A990) Numerical Computation of Internal and External Flows 1-2, John Wiley,
Chichester, U.K.
Holt M. A977) Numerical Methods in Fluid Dynamics, Springer, New York.
Hora H. A981) Physics of Laser Driven Plasmas, John Wiley, New York. [Рус. пер.: Хора X. A986)
Физика лазерной плазмы, Энергоатомиздат, Москва.]
Hornung К., Malama Yu. G., Thoma К. A996) Modeling of the very high velocity impact process
with respect to in-situ ionization measurements, Adv. Space Res. 17, No. 12, A2O7-( 12)86.
Hubbard M. E., Baines M. J. A997) Conservative multidimensional upwinding for the steady
two-dimensional shallow water equations, J. Comput. Phys. 138, No. 2, 419-448.
Hubbard M. E., Garcia-Navarro P. B000) Flux difference splitting and the balancing of source
terms and flux gradients, J. Comput. Phys. 165, No. 1, 89-125.
Huynh H. T. A995) Accurate upwind schemes for Euler equations, AIAA Paper, No. 95-1737.
Ikeda Т., Nakagawa T. A979) On the SHASTA FCT algorithm for the equation pt + [v(p)p]x = 0,
Math. Comput. 33, No. 148, 1157-1169.
Ikeuchi S., Spitzer L. A984) Scattering of shock waves by a spherical cloud, Astrophys. J. 283,
825-832.
Ivanenko S. A. A999) Harmonic mappings, Chapter 8 in Handbook of Grid Generation,
J. F. Thompson, B. K. Soni and N. P. Weatherill (Eds.), CRC, Boca Raton, FL.
Ivanov I. E., Kryukov A. I., Pogorelov N. V. A999) Grid adaptation for gas dynamic and astro-
physical flows, mProc. 8th International Meshing Roundtable, Lake Tahoe, Oct. 10-13, 1999, Sandia
Report 99-2288, 313-319, Albuquerque, NM.
Jeffrey A. A976) Quasilinear Hyperbolic Systems and Waves, Research Notes in Mathematics,
Pitman, London.
Jeffrey A., Taniuti T. A964) Nonlinear Wave Propagation, Academic Press, New York.
Jennings G. A974) Discrete shocks, Comm. Pure Appl. Math. 27, No. 1, 25-37.
Jiang G.-S., Wu C.-C. A999) A high-order WENO finite difference scheme for equations of ideal
magnetohydrodynamics, J. Comput. Phys. 150, No. 2, 561-594.
Kahaner D., Moler C, Nash S. A989) Numerical Methods and Software, Prentice-Hall, Englewood
Cliffs, NJ. [Рус. пер.: Каханер Д., Моулер К., Нэш С. B001) Численные методы и программное
обеспечение, 2-е изд., Мир, Москва.]
Kantrovitz A., Petschek H. A966) MHD characteristics and shock waves, in Plasma Physics in
Theory and Applications, W B. Kunkel (Ed.), 148-206, McGraw-Hill, New York.
Karmesin S. R., Liewer P. C, Brackbill J. U. A995) Motion of the termination shock in response
to an 11 year variation in the solar wind, Geophys. Res. Lett. 22, 1153—1156.
594 Список литературы
Kennel С. F., Blandford R. D., Wu С. С. A990) Structure and evolution of small-amplitude
intermediate shock waves, Phys. Fluids В 2, 253-269.
Khan A. A. B000) Modeling flow over an initially dry bed, J. Hydraulic Res. 38, No. 5, 383-388.
Keyfitz B. L., Krauzer H. C. A980) A system of non-strictly hyperbolic conservation laws arising
in elasticity theory, Arch. Rational Mech. Anal. 72, No. 3, 219—241.
Kim J., Ryu D., Jones T. W., Hong S. S. A999) A multidimensional code for isothermal
magnetohydrodynamic flows in astrophysics, Astrophys. J. 514, 506-519.
Knorr G., Mond M. A980) The representation of shock-like solutions in an Eulerian mesh,
J. Comput. Phys. 38, No. 2, 212-226.
Kobayashi A. S. (Ed.) A987) Handbook of Experimental Mechanics, Prentice-Hall, Englewood
Cliffs, NJ. [Рус. пер.: Кобаяси А. (Ред.) A990) Экспериментальная механика 1-2, Мир, Москва.]
Kolsky Н. A953) Stress Waves in Solids, Claredon Press, Oxford. [Рус. пер.: Кольский Г. A955)
Волны напряжения в твердых телах, Иностр. лит., Москва.]
Komissarov S. S. A999) A Godunov-type scheme for relativistic magnetohydrodynamics, Month.
Notices Royal Astron. Soc. 303, 343-366.
Korn G. A., Korn Т. М. A968) Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw-
Hill, New York. [Рус. пер.: Корн Г., Корн Т. A974) Справочник по математике для научных
работников и инженеров, Наука, Москва.]
Kosevich A. M., Ivanov В. A., Kovalev A. S. A990) Magnetic solitons, Phys. Reports 194, 3-4.
Kotchine N. E. A926) Sur la theorie des ondes de choc dans un fluide, Rendicotti del Circolo
Matematico di Palermo 50, 305-344. [Рус. пер.: Кочин Н. Е. A949) К теории разрывов жидкости,
в кн. Собрание сочинений 2, 5-42, АН СССР, Москва.]
Krasyuk I. К., Pashinin P. P., Semenov A. Yu. A994b) New scalings based on statistical analysis
of laser fusion experiments, Laser Physics 4, No. 3, 532-537.
Krebs J., Hillebrandt W. A983) The interaction of supernova shockfronts and nearby interstellar
clouds, Astron. Astrophys. 128, 411-419.
Kreiss H.-O., Oliger J. A972) Comparison of accurate methods for the integration of hyperbolic
equation, Tellus 24, No. 3, 199-215.
Krivtsov V. M., Naumova I. N., Shmyglevskii, Yu. D., Zubov V. I. A992) Computation of the
interaction of a laser radiation beam with an aluminium vessel and its vapor, in Modern Problems in
Computational Aerohydrodynamics, A. A. Dorodnicyn and P. I. Chushkin (Eds.), 165-188, CRC Press,
London.
Kroner D. A997) Numerical Schemes for Conservation Laws, Wiley and Teubner, Chichester,
Stuttgart.
Kulikovskii A. G., Pogorelov N. V., Semenov A. Yu. A999) Mathematical aspects of numerical
solution of hyperbolic systems, in Hyperbolic Problems: Theory, Numerics, Application, International
Series on Numerical Mathematics 130, 589-598, Birkhauser Verlag, Basel, Switzerland.
Kulikovskii A. G., Pogorelov N. V., Semenov A. Yu. B001) Mathematical Aspects of Numerical
Solution of Hyperbolic Systems, Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics 188,
Chapman and Hall/CRC, Boca Raton, FL.
Kutler P., Lomax H., Warming R. A972) Computation of space shuttle flowfields using
noncentered finite-difference schemes, AIAA Paper, No. 72-193. [Idem, A973), in AIAA J. 11, No. 2,
196-204.]
Kutler P., Lomax H., Warming R. F. A973) Second- and third-order noncentered difference
schemes for nonlinear hyperbolic equations, AIAA J. 11, No. 2, 189-196.
Latter R. A955) Similarity solution for a spherical shock wave, J. Appl. Phys. 26, No. 8, 954-960.
Lax P. D. A954) Weak solutions of nonlinear hyperbolic equations and their numerical computation,
Comm. Pure Appl. Math. 7, No. 1, 159-193.
Lax P. D. A957) Hyperbolic systems of conservation laws II, Comm. Pure Appl. Math. 10, No. 4,
537-566.
Список литературы 595
Lax P. D. A972) Hyperbolic Systems of Conservation Laws and the Mathematical Theory of
Shock Waves, Conf. Board Math. Sci. Regional Conference Series in Applied Mathematics 11, SIAM,
Philadelphia.
Lax P. D., Wendroff B. A960) Systems of conservation laws, Comm. Pure Appl. Math. 13, No. 2,
217-237.
Lax P. D., Wendroff B. A964) Difference schemes for hyperbolic equations with high order of
accuracy, Comm. Pure Appl. Math. 17, No. 3, 381-398.
LeVeque R. J. A992) Numerical Methods for Conservation Laws, Birkhauser Verlag, Basel,
Switzerland.
LeVeque R. J. A998) Balancing source terms and flux gradients in high-resolution Godunov
methods: The quasi-steady wave-propagation algorithm, J. Comput. Phys. 146, No. 1, 346-365.
Liepmann H. W., Roshko A. A957) Elements ofGasdynamics, John Wiley, New York. [Рус. пер.:
Липман Г. В., Рошко А. A960) Элементы газовой динамики, Иностр. лит., Москва.]
Liewer Р. С, Karmesin S. R., Brackbill J. U. A996) Hydrodynamic instability of the heliopause
driven by plasma-neutral charge-exchange interactions, J. Geophys. Res. 101, A17119-A17127.
Lighthill M. L. A957) Dynamics of dissociating gas. Part I. Equilibrium flow, J. Fluid Mech. 2,
1-32.
Linde T. J., Gombosi T. I., Roe P. L., Powell K. G., DeZeeuw D. L. A998) Heliosphere in the
magnetized local interstellar medium: Results of a three-dimensional MHD simulation, J. Geophys.
Res. 103, A1889-A1904.
Liou M.-S. A996) A sequel to AUSM: AUSM+, J. Comput. Phys. 129, No. 2, 364-382.
Liou M.-S., Steffen C. J., Jr. A993) A new flux splitting scheme, J. Comput. Phys. 107, No. 1,
23-39.
Liu X.-D., Osher S., Chan T. A994) Weighted essentially non-oscillatory schemes, J. Comput.
Phys. 115, No. 1, 200-212.
Lomov I. N., Kondaurov V. I. A995) Application of Godunov-type methods for the solution
of condensed matter problem, in Shock Compression of Condensed Matter-1995, S. С Schmidt and
W. С. Тао (Eds.), 259-262, The American Institute of Physics.
Lomov I. N., Kondaurov V. I. A998) Fracture of brittle material with initial porosity under high
energy density flows, in Shock Compression of Condensed Matter-1997, S. С Schmidt et al. (Eds.),
247-250, The American Institute of Physics.
Londrillo P., Del Zanna L. B000) High-order upwind schemes for multidimensional magneto-
hydrodynamics, Astrophys. J. 530, 508-524.
Love E. H. A892) A Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity, Cambridge University
Press. [Рус. пер.: Лав А. Э. X. A935) Математическая теория упругости, ОНТИ, Москва.]
MacCormack R. W. A969) The effect of viscosity in hypervelocity impact cratering, AIAA Paper,
No. 69-354.
Makhanov S. S., Semenov A. Yu. A998) Numerical methods for non-linear parabolic boundary-
value problems with a priory bounded solution, in Proc. 4th Europ. Comput. Fluid Dyn. Conf, Athens,
Sept. 7-11, 1998, K. D. Papailiou et al. (Eds.), 1, No. 1, 78-82, John Wiley, Chichester, U.K.
Marconi F., Salas M. D. A973) Computation of three-dimensional flows about aircraft
configurations, Computers and Fluids 1, No. 2, 185-195.
Marconi F., Salas M. D., Yaeger L. S. A976) Steady super/hypersonic inviscid flow around real
configurations, NASA CR-2675.
Markovskii S. A. A998a) Oscillatory disintegration of nonevolutionary magnetohydrodynamic
discontinuities, Ж. экспер. и теор. физики 113, No. 2, 615-628.
Markovskii S. A. A998b) Nonevolutionary discontinuous magnetohydrodynamic flows in a dissi-
pative medium, Phys. Plasmas 5, 2596-2604.
Markovskii S. A., Skorokhodov S. L. B000a) Oscillatory disintegration of a trans-Alfvenic shock:
A magnetohydrodynamic simulation, Phys. Plasmas 7, 158-165.
596 Список литературы
Markovskii S. A., Skorokhodov S. L. B000b) Disintegration of trans-Alfvenic shocks due to
variable viscosity and resistivity, J. Geophys. Res. 105, No. A6, 12705-12712.
Marquina A., Marti J. M., Ibaiiez J. M., Miralles J. A., Donat R. A992), Ultrarelativistic
hydrodynamics: High-resolution shock-capturing methods, Astron. Astrophys. 258, 566-571.
Marshall G., Mendez R. A981) Computational aspects of the random choice method for shallow
water equations, J. Comput. Phys. 39, No. 1, 1-21.
Marshall G., Menendez A. N. A981) Numerical treatment of nonconservation forms of the
equations of shallow water theory, J. Comput. Phys. 44, No. 1, 167-188.
Marti J. M., Muller E. A994) The analytical solution of the Riemann problem in relativistic
hydrodynamics, J. FluidMech. 258, 317-333.
Marti J. M., Muller E. A996) Extension of the piecewise parabolic method to one-dimensional
relativistic hydrodynamics, J. Comput. Phys. 123, No. 1, 1-14.
Marti J. M., Muller E. A999) Numerical hydrodynamics in special relativity, Living Reviews in
Relativity 2, 1999-3 [http:/www.livingreviews.org/Articles/Volume2/1999-3marti].
Mase G. E. A970) Theory and Problems of Continuum Mechanics, McGraw-Hill, New York. [Рус.
пер.: Мейз Дж. A974) Теория и задачи механики сплошных сред, Мир, Москва.]
Masson В. S., Taylor Т. D., Foster R. М. A969) Application of Godunov's method to blunt-body
calculations, AIAA J. 7, No. 4, 694-698.
Matsuda Т., Fujimoto Y. A993) MHD interaction between the solar wind and local interstellar
medium, mProc. 5th Int. Symp. on Comput. Dyn., Sendai, Aug. 31-Sept. 3, 1993, 2, 186-193.
Matsuda Т., Fujimoto Y., Shima E., Sawada K., Inaguchi T. A989) Numerical simulations of
interaction between stellar wind and interstellar medium, Progr. Theor. Phys. 81, 810-822.
Matsuno K. A999) Higher-order upwind method for hyperbolic grid generation, Computers and
Fluids 28, "No. 7, 825-851.
Maugin G. A. A988) Continuum Mechanics of Electromagnetic Solids, North-Holland, New York.
[Рус. пер.: Можен Ж. A991) Механика электромагнитных сплошных сред, Мир, Москва.]
McNutt R. L., Jr., Lyon J., Goodrich С. С, Wiltberger M. A999) 3D MHD simulations of
the heliosphere-VLISM interaction, in Solar Wind Nine, S. R. Habbal et al. (Eds.), 823-826, CP471,
The American Institute of Physics.
McRae D. S., Laflin K. R. A999) Dynamic grid adaption and grid quality, Chapter 34 in Handbook
of Grid Generation, J. F. Thompson, B. K. Soni and N. P. Weatherill (Eds.), CRC, Boca Raton, FL.
Mihailesku M., Siliciu I. A975) Riemann and Goursat step data problems for extensible strings,
J. Math. Analysis andAppl. 52, No. 1, 10-24.
Miller G. N., Puckett E. G. A996) A high-order Godunov method for multiple condensed phases,
J. Comput. Phys. 128, No. 1, 134-164.
Miller G. N., Colella P. B001) A high-order eulerian Godunov method for for elastic-plastic flow
in solids, J. Comput. Phys. 167, No. 1, 131-176.
Mingham C. G., Causon D. M. B000) Calculation of unsteady bore diffraction using a high
resolution finite volume method, J. Hydraulic Res. 38, No. 1, 49-56.
Mises R. A913) Mechanik der festen Korper im plastisch deformablen Zustand, Nachr. von der
Koniglichen Gesellshaft der Wissenshaftenzu Gottingen, math.-phys. Klasse, H. 4, 582-592. [Рус. пер.:
Мизес Р. A948) Механика твердых тел в пластически-деформированном состоянии, в кн. Теория
пластичности. Сборник статей, 57-69, Иностр. лит., Москва.]
Monaghan J. J. A989) On the problem of penetration in particle methods, J. Comput. Phys. 82,
No. 1, 1-15.
Monaghan J. J. A997) SPH and Riemann solvers, J. Comput. Phys. 136, No. 2, 298-307.
Monaghan J. J., Gingold R. A. A983) Shock simulation by the particle method SPH, J. Comput.
Phys. 52, No. 2, 374-389.
Moretti G. A963) Three-dimensional supersonic flow computations, AIAA J. 1, No. 9, 2192-2193.
Список литературы 597
Moretti G. A974a) Three-dimensional, supersonic, steady flows with any number of embedded
shocks, AIAA Paper, No. 74-10.
Moretti G. A974b) Floating shock fitting technique for imbedded shocks in unsteady
multidimensional flows, mProc. 1974 Heat Transfer and Fluid Meek Inst., Corvallis, Ore, 184-201,
Univ. Press, Stanford, CA.
Moretti G. A975) On the matter of shock fitting, Lect. Notes Phys. 35, R. D. Richtmyer (Ed.),
287-292, Springer, Heidelberg. [Рус. пер.: Моретти Дж. A977) К вопросу о выделении скачка, в
кн. Численное решение задач гидромеханики, Сер.: Механика, Новое в зарубежной науке, № 14,
55-63, Мир, Москва.]
Moretti G. A979) The A-scheme, Computers and Fluids 7, No. 3, 191-205.
Moretti G. A987a) A technique for integrating two-dimensional Euler equations, Computers and
Fluids 15, No. 1, 59-75.
Moretti G. A987b) Computations of flows with shocks, in Annu. Rev. Fluid Meek 19, 313-337.
Moretti G., Abbett M. A966) A time dependent computational method for blunt body flows,
AIAA J. 4, No. 12, 2136-2141.
Moretti G., Bleich G. A967) Three-dimensional flow around blunt bodies, AIAA Paper, No. 67-222.
Mulder W. A., van Leer B. A983) Implicit upwind methods for the Euler equations, AIAA Paper,
No. 83-1930.
Myasnikov A. V. A997) On the Problem of the Solar Wind Interaction with Magnetized Interstellar
Medium, Preprint No. 195, Institute for Problems in Mechanics, Russian Academy of Sciences, Moscow.
Myong R. S., Roe P. L. A997) Shock waves and rarefaction waves in magnetohydrodynamics.
Part 2. The MHD system, J. Plasma Phys. 58, 521-552.
Myong R. S., Roe P. L. A998) On Godunov-type schemes for magnetohydrodynamics. 1. A model
system, J. Comput. Phys. 147, No. 2, 545-567.
Nakajima Y., Hanawa T. A996) Formation and evolution of filamentary molecular clouds with
oblique magnetic field, Astrophys. J. 467, 321-333.
Nakata I. A991a) Nonlinear electromagnetic waves in a ferromagnet, J. Phys. Soc. Japan 60,
77-81.
Nakata I. A991b) Shock waves in ferromagnet, J. Phys. Soc. Japan 60, 2179-2183.
Nayfeh A. H. A973) Perturbation Methods, John Willey, New York. [Рус. пер.: Найфэ А. X.
A976) Методы возмущений, Мир, Москва.]
Nessyahu H., Tadmor E. A988) Non-oscillatory central differencing for hyperbolic conservation
laws, ICASE Report, No. 88-51.
Nessyahu H., Tadmor E. A990) Non-oscillatory central differencing for hyperbolic conservation
laws, J. Comput. Phys. 87, No. 2, 408-463.
Nestor О. Н., Olsen H. N. A960) Numerical methods for reducing line and surface probe data,
SIAMReview 2, No. 3, 200-207.
Neta В., DeVita C. L. A988) The transfer function analysis of various schemes for the two-
dimensional shallow-water equations, Comput. Math. Appl. 16, No. 1-2, 111-137.
Neugebauer M. A999) The three-dimensional solar wind at solar activity minimum, Rev.
Geophys. 37, 107-126.
Ng A., Parfeniuk D., Da Silva L. A985a) Hugoniot measurements for laser-generated shock wave
in aluminum, Phys. Rev. Lett. 54, No. 24, 2604-2607.
Ng A., Parfeniuk D., Da Silva L. A985b) Measurement of shock heating in laser-irradiated solids,
Opt. Commun. 53, No. 6, 389-393.
Ng A., Chin G., Da Silva L. et al. A989) Laser-produced shock wave in aluminum-gold targets
for the study of Hugoniot melting in gold, Opt. Commun. 72, No. 5, 297-301.
Ofengeim D., Timofeev E., Galyukov A. et al. A996) A locally adaptive structured/unstructured
2D/3D Navier-Stokes finite-volume solvers for steady and unsteady compressible flows, in
598 Список литературы
Computational Fluid Dynamics '96, Proc. 3rd European Comput. Fluid Dyn. Conf, Paris, Sept. 9—
13, 1996, J. A. Desideri et al. (Eds.), 187-192, John Wiley, Chichester, U.K.
Ogasawara M., Hirao A., Ohkubo H. A980) Hydrodynamic effects on field-generating thermal
instability in laser-heated plasma, J. Phys. Soc. Jap. 49, No. 1, 322-326.
Oliger J. A974) Fourth order difference methods for the initial boundary-value problem for
hyperbolic equations, Math. Comput. 28, No. 125, 15-25.
Onate E., Idelsohn S., Zienkiewicz O. C, Taylor R. L., Sacco C. A996) A stabilized finite
point method for analysis of fluid mechanics problems, Comput. Meth. Appl. Mech. Eng. 139, No. 1-4,
315-346.
Oran E. S., Boris J. P. A987) Numerical Simulation of Reactive Flows, Elsevier, New York. [Рус.
пер.: Оран Э., Борис Дж. A990) Численное моделирование реагирующих потоков, Мир, Москва.]
Ortega J. M., Rheinboldt W. С. A970) Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several
Variables, Academic Press, New York. [Рус. пер.: Ортега Дж., Рейнболдт В. A975) Итерационные
методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными, Мир, Москва.]
Osher S. A981) Numerical solution of singular perturbation problems and hyperbolic systems of
conservation laws, in North Holland Mathematical Studies 47, 179-205.
Osher S. A984) Riemann solvers, the entropy condition, and difference approximations, SIAM
J. Numer. Anal. 21, No. 2, 217-235.
Osher S., Shu C.-W. A988) Efficient implementation of essentially non-oscillatory shock-capturing
schemes, J. Comput. Phys. 11, No. 2, 439-471.
Osher S., Solomon F. A982) Upwind difference schemes for hyperbolic systems of conservation
laws, Math. Comput. 38, No. 158, 339-374.
Pandolfi M. A975) Numerical experiments of free surface water motion with bores, Lect. Notes
Phys. 35, R. D. Richtmyer (Ed.), 304-312, Springer, Heidelberg. [Рус. пер.: Пандольфи М. A977)
Численные эксперименты при движении воды со свободной поверхностью и ступенчатыми вол-
волнами, в кн. Численное решение задач гидромеханики, Сер.: Механика, Новое в зарубежной науке,
№ 14, 64-75, Мир, Москва.]
Pandolfi М. A984) A contribution to the numerical prediction of unsteady flows, AIAA J. 22, No. 5,
602-610.
Pandolfi M., D'Ambrosio D. A998) Upwind methods and carbuncle phenomenon, in Compu-
Computational Fluid Dynamics 98, 1, 126-131, John Wiley, Chichester, U.K.
Pandolfi M., D'Ambrosio D. B001) Numerical instabilities in upwind methods: Analysis and cures
for the "carbuncle" phenomenon, J. Comput. Phys 166, No. 2, 271-301.
Papa L. A984) Application of the Courant-Isaacson-Rees method to solve the shallow-water
hydrodynamic equations, Appl. Math. Comput. 15, No. 1, 85-92.
Parker E. N. A961) Stellar wind regions, Astrophys. J. 134, 20-27.
Parshikov A. N., Medin S. A., Loukashenko I. I., Milekhin V. A. B000) Improvements in
SPH method by means of interparticle contact algorithm and analysis of perforation tests at moderate
projectile velocities, Int. J. Impact Eng. 24, No. 8, 779-796.
Peyret R., Taylor T. D. A983) Computational Methods for Fluid Flow, Springer, New York. [Рус.
пер.: Пейре Р., Тейлор Т. Д. A986) Вычислительные методы в задачах механики жидкости,
Гидрометеоиздат, Ленинград.]
Pike J. A993) Riemann solvers for perfect and near-perfect gases, AIAA J. 31, No. 10, 1801-1808.
Pluvinage G. A989) Mecanique elastoplastique de la rupture (criteres d'amorcage), Cepadues-
Editions, Toulouse. [Рус. пер.: Плювинаж Г. A993) Механика упруго-пластического разрушения,
Мир, Москва.]
Pogorelov N. V. A993) Numerical investigation of a nonstationary gas dynamic stellar wind-
interstellar medium interaction, in Proc. 5th Int. Symp. on Comput. Fluid Dyn., Sendai, Aug. 31-Sept. 3,
1993, 3, 7-12.
Список литературы 599
Pogorelov N. V. A995) Periodic stellar wind / interstellar medium interaction, Astron. Astro-
phys. 297, 835-840.
Pogorelov N. V. A996) TVD Lax-Friedrichs scheme and its application to gas dynamics and
magnetogasdynamics, in Proc. 2nd Asian Comput. Fluid. Dyn. Conference, 1, 231-236, Tokyo
University.
Pogorelov N. V. A997) Numerical simulation of nonstationary gasdynamic interaction of the solar
wind with the local interstellar medium, Comput. Fluid Dyn. J. 6, No. 2, 213-222.
Pogorelov N. V. A998) Computational fluid dynamics methods for astrophysical applications, in
Computational Fluid Dynamics '98, 2, 815-820, John Wiley, Chichester, U.K.
Pogorelov N. V. B000a) Nonstationary phenomena in the solar wind and interstellar medium
interaction, Astrophys. Space Sci. 274, No. 1/2, 115-122.
Pogorelov N. V. B000b) Numerical solution of exotic problems in magnetohydrodynamics, in Book
of Abstracts, 7th Russia—Japan Joint Symposium on CFD, 9-10, Изд-во ВЦ РАН, Москва.
Pogorelov N. V. B001) Numerical modeling of discontinuous gas dynamic and MHD astrophysical
flows, in Computational Fluid Dynamics 2000, Proc. 1st Int. Conf. on Comput. Fluid. Dyn., ICCFD,
Kyoto, Japan, July 10-14, 2000, N. Satofuka (Ed.), 145-150, Springer, Berlin.
Pogorelov N. V., Kryukov I. A. B000) Accretion flows: Aspects of gas dynamic modeling,
Astrophys. Space Sci. 274, No. 1/2, 275-284.
Pogorelov N. V., Matsuda T. A997) Three-dimensional modeling of the solar wind interaction with
the magnetized interstellar medium, Proc. 5th International School/Symposium for Space Simulation,
Uji, Kyoto, 278-281.
Pogorelov N. V., Matsuda T. A998a) Influence of the interstellar magnetic field direction on the
shape of the global heliopause, J. Geophys. Res 103, A237-A245.
Pogorelov N. V., Matsuda T. A998b) Application of numerical methods to modeling the stellar
wind and interstellar medium interaction, in CFD Review 1998,2, 932-962, World Scientific, Singapore.
Pogorelov N. V., Matsuda T. B000) Nonevolutionary MHD shocks in the solar wind and interstellar
medium interaction, Astron. Astrophys. 354, 697-702.
Pogorelov N. V., Semenov A. Yu. A996) Peculiarities of numerical modelling of discontinuous
MHD flows, in Numerical Methods in Engineering 96, 1022-1027, John Wiley, Chichester, U.K.
Pogorelov N. V., Semenov A. Yu. A997) Solar wind interaction with the magnetized interstellar
medium: Shock-capturing modelling, Astron. Astrophys. 321, 330-337.
Pogorelov N. V., Zhurov A. I. A999) High-resolution numerical methods for MHD equations,
8th Int. Symp. on Comput. Fluid Dyn., Bremen, Sept. 5-10, 1999. Collection of Papers, CD-ROM
Publication, ZARM, Bremen.
Pogorelov N. V., Ohsugi Y., Matsuda T. B000) Towards steady-state solutions for supersonic
wind accretion on to gravitating objects, Month. Notices Royal Astron. Soc. 313, 198-208.
Pogorelov N. V., Barmin A. A., Kulikovskii A. G., Semenov A. Yu. A995) Approximate Riemann
solvers and valid solutions of MHD calculations, in 6th Int. Symp. on Comput. Fluid. Dyn., Collection
Tech. Papers, Lake Tahoe, 1995, 2, 952-957.
Pogorelov N., Ivanov I., Kryukov I., Matsuda T. A998) On the numerical modeling of high-
highspeed astrophysical flows, in Proc. 6th Japan—Russia Joint Symp. on Comput. Fluid. Dyn., Nagoya,
1998, Y. Nakamura (Ed.), 46-49, Nagoya University.
Potter D. A973) Computational Physics, John Wiley, New York. [Рус. пер.: Поттер Д. A975)
Вычислительные методы в физике, Мир, Москва.]
Powell К. G. A994) An approximate Riemann solver for magnetohydrodynamics, 1СASE Report
No. 94-24, ICASE NASA Langley Research Center, Hampton, VA.
Powell K. G., Roe P. L., Myong R. S., Gombosi Т., De Zeeuw D. A995) An upwind scheme for
magnetohydrodynamics, in AIAA 12th Comput. Fluid Dyn. Conf, San Diego, CA, June 19-22, 1995,
661-680.
600 Список литературы
Powell К. G., Roe P. L., Linde Т. J., Gombosi T. I., De Zeeuw D. A999) A solution-adaptive
upwind scheme for ideal magnetohydrodynamics, J. Comput. Phys. 154, No. 2, 284-309.
Prager W. A961) Einfu'rung in die Kontinuumsmechanik, Birkhauser Verlag, Basel, Switzerland.
[Рус. пер.: Прагер В. A963) Введение в механику сплошных сред, Иностр. лит., Москва.]
Prager W., Hodge P. G., Jr. A951) Theory of perfectly plastic solids, John Wiley, New York. [Рус.
пер.: Прагер В., Ходж Ф. Г. A956) Теория идеально пластических тел, Иностр. лит., Москва.]
Quirk J. J. A994) A contribution to the great Riemann solver debate, Int. J. Numer Meth. Fluids. 18,
No. 6, 555-574.
Randies P. W., Libersky L. D. A996) Smoothed Particle Hydrodynamics: Some recent impro-
improvements and applications, Comput. Meth. Appl. Mech. Eng. 139, No. 1-4, 375-408.
Ratkiewicz R., Barnes A., Spreiter J. R. A997) Heliospheric termination shock motion in response
to LISM variations: Spherically symmetric model, Geophys. Res. Lett. 24, 1659-1662.
Ratkiewicz R., Barnes A., Molvik G. A. et al. A998) Effect of varying strength and orientation of
local interstellar magnetic field on a configuration of exterior heliosphere: 3D MHD simulations, Astron.
Astrophys. 335, 363-369.
Rayleigh J. W. S. A877) The Theory of Sound, Macmillan, London. [Рус. пер.: Релей Д. В. A955)
Теория звука, Гостехиздат, Москва.]
Reinhardt W. А. A977) Parallel computation of unsteady, three-dimensional, chemically reacting,
nonequilibrium flow using a time-split finite-volume method on the Illiac IV, J. Phys. Chem. 81, No. 25,
2427-2435.
Reuss A. A930) Berucksichtigung der elastischenFormanderung in der Plastizitatstheorie, Z. angew.
Math. Mech. 10, H. 3, 266-274. [Рус. пер.: Рейс А. A948) Учет упругой деформации в теории
пластичности, в кн. Теория пластичности. Сборник статей, 206-222, Иностр. лит., Москва.]
Richardson D. J. A964) The solution of two-dimensional hydrodynamic equations by the method
of characteristics, in Methods in Computational Physics 3, B. Alder, S. Fernbach and M. Rotenberg
(Eds.), 295-318, Academic Press, New York. [Рус. пер.: Ричардсон Д. Дж. A967) Метод харак-
характеристик для решения уравнений гидродинамики двумерных неустановившихся течений, в кн.
Вычислительные методы в гидродинамике, Б. Олдер, С. Фернбах и М. Ротенберг (Ред.), 292-315,
Мир, Москва.]
Richardson J. D. A997) The heliosphere-interstellar medium interaction: One shock or two?
Geophys. Res. Lett. 24, 2889-2892.
Richtmyer R. D., Morton K. W. A967) Difference Methods for Initial-Value Problems,
Interscience, New York. [Рус. пер.: Рихтмайер Р., Мортон К. A972) Разностные методы реше-
решения краевых задач, Мир, Москва.]
Riemann В. A860) Uber die Fortpflanzung ebener Luftwellen von endlicher Schwingungsweite,
Abhandl. von der Koniglichen Gesellshaft der Wissenshaften zu Gottingen, math. Klasse 8, 43-65. [Рус.
пер.: Риман Б. A948) О распространении плоских волн конечной амплитуды, в кн. Сочинения,
376-395, Гостехиздат, Москва.]
Rizzi A. A978) Numerical implementation of solid-body boundary conditions for the Euler
equations, Z. angew. Math. Mech. 58, T301-T304.
Rizzi A. A982) Damped Euler-equation method to compute transonic flow around wing-body
combinations, AIAA J. 20, No. 10, 1321-1328.
Rizzi A., Eriksson L.-E. A984) Computation of the flow around wings based on the Euler equations,
J. Fluid. Mech. 148, 45-71.
Roache P. J. A976) Computational Fluid Dynamics, Hermosa, Albuquerque, NM. [Рус. пер.: Роуч
П. A980) Вычислительная гидродинамика, Мир, Москва.]
Roe P. L. A981a) The use of the Riemann problem in finite difference schemes, Lect. Notes Phys.,
[Proc. 7th Int. Conf. Numer. Meth. Fluid Dynamics, June 23-27, 1980], 141, 354-359.
Roe P. L. A981b) Approximate Riemann problem solvers, parameter vectors, and difference
schemes, J. Comput. Phys. 43, No. 2, 357-372.
Список литературы 601
Roe P. L. A985) Some contributions to the modelling of discontinuous flows, in Lectures in Applied
Mathematics 22, 163-193, AMS, Providence, RI.
Roe P. L. A986) Characteristic-based schemes for the Euler equations, in Annu. Rev. Fluid Meek 18,
337-365.
Roe P. L. A989) Remote boundary conditions for unsteady multidimensional aerodynamic compu-
computations, Computers and Fluids 17, No. 1, 221-231.
Roe P. L., Balsara D. S. A996) Notes on the eigensystem of magnetohydrodynamics, SIAMJ. Appl.
Math. 56, No. 1, 57-67.
Roe P. L., Pike J. A984) Efficient construction and utilization of approximate Riemann solutions,
in Computing Methods in Applied Sciences and Engineering, VI, [Proc. 6th Int. Symp. on Comput.
Meth. in Appl. Sci. and Eng., Versailles, France, Dec. 12-16, 1983], R. G. Glowinski and J.-L. Lions
(Eds.), 499-518, North-Holland, Amsterdam.
Rogister A. A971) Parallel propagation of nonlinear low-frequency waves in high-/3 plasma, Phys.
Fluids 14, 2733-2739.
Ross M., Young D. A. A993) Theory of the equation of state at high pressure, in Annu.
Rev. Phys. Chem. 44, 61-87.
Rusanov V. V. A970) On difference schemes of third order of accuracy for non-linear hyperbolic
systems, J. Comput. Phys. 5, No. 3, 507-516.
Rusanov V. V. A971) Non-linear analysis of the shock profile in difference schemes, Lect. Notes
Phys. 8, 270-278.
Ryu D., Jones T. W., Frank A. A995) Numerical magnetohydrodynamics in astrophysical
algorithm and test for multidimensional flow, Astrophys. J. 452, 785-796.
Ryu D., Miniati F., Jones T. W., Frank A. A998) A divergence-free upwind code for multi-
multidimensional magnetohydrodynamic flows, Astrophys. J. 509, 244-255.
Saito Т., Voinovich P., Timofeev E., Takayama K. B001) Development and application of high-
resolution adaptive numerical techniques in Shock Wave Research Center, in Godunov Methods: Theory
and Applications, Edited Review, E. F. Того (Ed.), Kluwer Academic/Plenum Publishers, to be published.
Salas M. D. A976) Shock fitting method for complicated two-dimensional supersonic flows,
AIAA J. 14, No. 5, 583-588.
Saurel R., Larini M., Loraud J. C. A994) Exact and approximate Riemann solvers for real gases,
J. Comput. Phys. 112, No. 1, 126-137.
Sawada K., Shima E., Matsuda Т., Inaguchi T. A986) The Osher upwind scheme and its
application to cosmic gas dynamics, Mem. Fac. Eng. Kyoto Univ. 48, 240-264.
Schneider V., Katschner IL, Rischke D. H. et al. A993) New algorithms for ultra-relativistic
numerical hydrodynamics, J. Comput. Phys. 105, No. 1, 92-107.
Semenov A. Yu. A990) Marching generation of orthogonal contour-fitted coordinates, in Proc.
2nd Japan-Soviet Union Symp. on Comput. Fluid Dyn., Tsukuba, Aug. 27-31, 1990, Y. Yoshizawa and
K. Oshima (Ed.), 2, 153-161.
Semenov A. Yu. A991) Noniterative Marching Algorithm for Generation of Orthogonal Contour-
Fitted Coordinates, Preprint No. 50, General Physics Institute, USSR Academy of Sciences, Moscow.
Semenov A. Yu. A992) Algorithms for monotone nonoscillatory reconstruction of mesh function, in
The 3rd Russia-Japan Joint Symp. on Comput. Fluid Dynamics, Vladivostok, Russia, 1992, Aug. 25-30,
Abstracts, 2, 165-166.
Semenov A. Yu. A995a) The limiting monotonic reconstruction and its application in gas dynamic
calculation, in 6th Int. Symp. on Comput. Fluid. Dyn., Collection Tech. Papers, Lake Tahoe, 1995, 3,
1093-1098.
Semenov A. Yu. A995b) Modelling of the shock-induced luminescence of free metal surface, in
Laser Interaction and Related Plasma Phenomena, 12 Int. Conf, Osaka, April 1995, E. Nakai and
G. H. Miley (Eds.), Amer. Inst. of Physics, AIP Conference Proc. 369, Pt. I, 434-442, Woodbury, NY.
602 Список литературы
Semenov A. Yu. A995d) Noniterative marching generation of orthogonal contour-fitted grids, in
6th Int. Symp. on Comput. Fluid. Dyn., Collection Tech. Papers, Lake Tahoe, 1995, 3, 1087-1092.
Semenov A. Yu. A996) Marching noniterative generation of orthogonal contour-fitted grids, in
Numerical Grid Generation in Computational Field Simulations, В. К. Soni et al. (Eds.), Proc. of the
5th Int. Conf., April 1-5, 1996, 1, 117-125, Mississippi State University.
Semenov A. Yu. B001) Marching noniterative generation of orthogonal grids, in Grid Generation:
New Trends and Applications in Real-World Simulations, [Proc. of Minisymp. in Int. Conf.
Optimiz. Finite-Element Approximations, Splines and Wavelets, St.-Petersburg, June 25-29, 2001],
S. A. Ivanenko and V. A. Garanzha (Eds.), 100-114, Computing Centre, Russian Academy of Sciences,
Moscow.
Serre D. A996) Systemes de Lois de Conservation, Diderot, Paris.
Sharov D., Nakahashi R. A997) Reordering of 3-D hybrid unstructured grids for vectorized
LU-SGS Navier-Stokes computations, AIAA Paper, No. 97-2102.
Shu C.-W. A987) TVB uniformly high-order schemes for conservation laws, Math. Comput. 49,
No. 179, 105-121.
Shu C.-W., Osher S. A988) Efficient implementation of essentially non-oscillatory shock-capturing
schemes. I, J. Comput. Phys. 11, No. 2, 439-471.
Shu C.-W., Osher S. A989) Efficient implementation of essentially non-oscillatory shock-capturing
schemes. II, J. Comput. Phys. 83, No. 1, 32-78.
Sibson R. A980) A vector identity for the Dirichlet tessellation, Math. Proc. Cambridge Philos.
Soc. 87, No. 1, 151-155.
Sibson R. A981) A brief description of the natural neighbour interpolant, in Interpreting
Multivariate Data, V. Barnett (Ed.), 21-36, John Wiley, Chichester, U.K.
Sod A. G. A978) Review. A survey of several finite difference methods for systems of nonlinear
hyperbolic conservation laws, J. Comput. Phys. 27, No. 1, 1-31.
Sofronov I. L. A998a) Artificial boundary conditions of absolute transparency for two- and three-
dimensional external time-dependent scattering problems, European J. Appl. Math. 9, No. 6, 561-588.
Sofronov I. L. A998b) Non-reflecting inflow and outflow in a wind tunnel for transonic time-
accurate simulation, J. Math. Anal. Appl. 221, No. 1, 92-115.
Soo S. L. A967) Fluid Dynamics of Multiphase Systems, Blaisdell, London. [Рус. пер.: Coy
С. A971) Гидродинамика многофазных сред, Мир, Москва.]
Spotz W. F., Taylor M. A., Swarztrauber P. N. A998) Fast shallow-water equation solvers in
latitude-longitude coordinates, J. Comput. Phys. 145, No. 1, 432-444.
Srinivas K., Gururaja J., Krishra K. P. A976) An assessment of the quality of selected finite
difference schemes for time dependent compressible flows, J. Comput. Phys. 20, No. 2, 140-159.
Stamper J. A., Gold S. H., Obenschain S. P., Mclean E. A., Sica L. A981) Dark-field study of
rear-side density structure in laser-accelerated foils, J. Appl. Phys. 52, No. 11, 6562-6566.
Starius G. A977) Constructing orthogonal curvilinear meshes by solving initial value problems,
Numerische Mathematik 28, No. 1, 25-48.
Steger J. L. A991) Grid generation with hyperbolic partial differential equations for application to
complex configurations, in Numerical Grid Generation in Computational Fluid Dynamics and Related
Fields, A. S. Arcilla, J. Hauser, P. R. Eiseman and J. F. Thompson (Eds.), 871-886, Proc. 3rd Int. Conf.,
June 3-7, 1991, North-Holland, Amsterdam.
Steger J. L., Chaussee D. S. A980) Generation of body-fitted coordinates using hyperbolic partial
differential equations, SIAMJ. Sci. Stat. Comput. 1, No. 4, 431^137.
Steger J. L., Warming R. F. A981) Flux vector splitting of the inviscid gasdynamic equations with
application to finite difference methods, J. Comput. Phys. 40, No. 2, 263-293.
Steinolfson R. S. A994) Termination shock response to large-scale solar wind fluctuations,
J. Geophys. Res. 99, A13307-A13314.
Список литературы 603
Steinolfson R. S., Hundhausen A. J. A990) Coronal mass ejection shock fronts containing the
two types of intermediate shocks, J. Geophys. Res. 95, 20693-20699.
Steinolfson R. S., Pizzo V. J., Holzer T. A994) Gasdynamic models of the solar wind/interstellar
medium interaction, Geophys. Res. Lett. 21, 245-248.
Stoker J. J. A948) The formation of breakers and bores, Comm. Pure Appl. Math. 1, No. 1, 1-87.
Stoker J. J. A957) Water Waves: The Mathematical Theory with Applications, Interscience, New
York. [Рус. пер.: Стокер Дж. Дж. A959) Волны на воде. Математическая теория и приложения,
Иностр. лит., Москва.]
Strang G. A963) Accurate partial difference methods I: Linear Cauchy problems, Arch. Rational
Mech. Anal. 12, No. 5, 392-402.
Sukumar N., Moran В., Semenov A. Yu., Belikov V. V. B001) Natural neighbour Galerkin
methods, Int. J. Numer. Meth. Eng. 50, No. 1, 1-27.
Sun M. Т., Wu S. Т., Dryer M. A995) On the time-dependent numerical boundary conditions for
magnetohydrodynamic flows, J. Comput. Rhys. 116, No. 2, 330-342.
Sweby P. K. A984) High resolution schemes using flux limiters for hyperbolic conservation laws,
SIAMJ. Numer. Anal. 21, No. 5, 995-1011.
Tadmor E. A997) Approximate Solutions of Nonlinear Conservation Laws, CAM Report 97-51,
Univ. Calif., Los Angeles.
Tanaka T. A994) Finite volume TVD schemes on an unstructured grid system for three-dimensional
MHD simulation of inhomogeneous systems including strong background potential fields, J. Comput.
Rhys. Ill, No. 2, 381-389.
Tanaka Т., Washimi H. A999) Solar cycle dependence of the heliospheric shape deduced from
a global MHD simulation of the interaction process between a nonuniform time-dependent solar wind
and the local interstellar medium, J. Geophys. Res. 104, A12605-A12616.
Taniuti Т., Nishihara K. A983) Nonlinear Waves, Pitman Monographs and Studies in Mathematics
15, Pitman, London.
Taussig R. T. A967) Comparison of oblique, normal and transverse ionizing shock waves, Rhys.
Fluids 10, Ш. 6, 1145-1161.
Taylor G. I. A950) The formation of a blast by a very intense explosion, Rroc. Roy. Soc. A201,
No. 1065, 159-186.
Taylor M. A996) Partial Differential Equations, Applied Mathematical Sciences 117, Springer,
New York.
Taylor T. D., Ndefo E., Masson B. S. A972) A study of numerical methods for solving viscous
and inviscid flow problems, J. Comput. Rhys. 9, No. 1, 99-119.
Thiell G., Meyer B. A985) Thermal instabilities as an explanation of jet-like structures observed
on laser irradiated thin planar targets at 1.06 and 0.35 /im wavelengths, Laser Part. Beams 3, No. 1,
51-58.
Thomas T. Y. A961) Plastic Flow and Fracture in Solids, Academic Press, New York. [Рус. пер.:
Томас Т. A964) Пластическое течение и разрушение в твердых телах, Мир, Москва.]
Thompson К. W. A987) Time-dependent boundary conditions for hyperbolic systems, J. Comput.
Rhys. 68, No. 1, 1-24.
Thompson K. W. A990) Time-dependent boundary conditions for hyperbolic systems. II,
J. Comput. Phys. 89, No. 2, 439-461.
Thompson J. F., Warsi Z. U. A., Mastin C. W. A985) Numerical Grid Generation, Foundations
and Applications, North-Holland, New York.
Tidman D. A., Shanny R. A. A974) Field-generating thermal instability in laser-heated plasmas,
Phys. Fluids 17, No. 6, 1207-1210.
Timofeev E., Takayama K., Voinovich P. A997) Numerical and experimental observation of
three-dimensional unsteady shock wave structures, AIAA Paper, No. 97-0070.
604 Список литературы
Timoshenko S. A921) On the correction for shear of the differential equation for transverse
vibrations of prismatic bars, Philosophical Magazine and J. of Science, Ser. 6, 41, No. 245, 744-746.
[Рус. пер.: Тимошенко С. П. A975) К учету сдвига в дифференциальном уравнении попереч-
поперечных колебаний призматических стержней, в кн. Тимошенко С. П. Статические и динамические
проблемы теории упругости, 56-57, Наукова думка, Киев.]
Timoshenko S. A922) On the transverse vibrations of bars of uniform cross section, Philosophical
Magazine andl of Science, Ser. 6, 43, No. 253, 125-131. [Рус. пер.: Тимошенко С. П. A975) О попе-
поперечных колебаниях балок постоянного поперечного сечения, в кн. Тимошенко С. П. Статические
и динамические проблемы теории упругости, 62-65, Наукова думка, Киев.]
Timoshenko S., Young D. H., Weaver W., Jr. A974) Vibration problems in engineering, 4th ed,
John Wiley, New York. [Рус. пер.: Тимошенко С. П., Янг Д. X., Уивер У. A985) Колебания в
инженерном деле, Машиностроение, Москва.]
Todd L. A964) Evolution of the trans-Alfvenic normal shocks in a gas of finite electrical
conductivity, J. Fluid Meek 18, 321-336.
Todd L. A965) The evolution of trans-Alfvenic shocks in gases of finite electrical conductivity,
J. Fluid Mech. 21, 193-209.
Todd L. A966) Evolution of switch-on and switch-off shocks in a gas of finite electrical conductivity,
J. Fluid Mech. 24, 597-608.
Tolstykh A. I., Lipavskii M. V. A998) On performance of methods with third- and fifth-order
compact upwind differencing, J. Comput. Phys. 140, No. 2, 205-232.
Tolstykh M. A. A994) Application of fifth-order compact upwind differencing to mosture transport
equation in atmosphere, J. Comput. Phys. 112, No. 2, 394-403.
Того Е. F. A989a) A weighted average flux method for hyperbolic conservation laws, Proc. Royal
Soc. London, Ser. A 423, No. 1865, 401-418.
Того Е. F. A989b) A fast Riemann solver with constant covolume applied to the random choice
method, Int. J. Numer. Meth. Fluids 9, No. 9, 1145-1164.
Того Е. F. A991) A linearized Riemann solver for the time-dependent Euler equations of gas
dynamics, Proc. Royal Soc. London, Ser. A 434, No. 1892, 683-693.
Того E. F. A992a) The weighted average flux method applied to the Euler equations, Philos. Trans.
Royal Soc. London, Ser. A 341, No. 1662, 499-530.
Того E. F. A992b) Viscous flux limiters, in Notes Numer. Fluid Mech. 35, J. B. Vos, A. Rizzi and
I. L. Ryhming (Eds.), 592-600, Vieweg, Braunschweig.
Того Е. F. A992c) Riemann problems and the WAF method for solving the two-dimensional shallow
water equations. Philos. Trans. Royal Soc. London, Ser. A 338, No. 1649, 43-68.
Того Е. F. A997) Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics. A Practical
Introduction, Springer, Berlin.
Того E. F. B001) Shock-Capturing Methods for Free-Surface Shallow Flows, John Wiley, Chi-
chester, U.K.
Того Е. F., Chakroborty A. A994) The development of a Riemann solver for the steady supersonic
Euler equations, Aeronaut. J. 98, No. 979, 325-332.
Того E. F., Spruce M., Speares W. A994) Restoration of the contact surface in the HLL-Riemann
solver, Shock Waves 4, 25-34.
Toth G. B000) The V • В constraint in shock-capturing magnetohydrodynamic codes, J. Comput.
Phys. 161, No. 2, 605-652.
Toth G., Odstrcil D. A996) Comparison of some flux corrected transport and total variation
diminishing numerical schemes for hydrodynamic and magnetohydrodynamic problems, J. Comput.
Phys. 128, No. 1, 82-100.
Trainor R. J., Lee Y. T. A982) Analytic models for the design of laser-generated shock-wave
experiments, Phys. Fluids 25, No. 10, 1898-1907.
Список литературы 605
Trangenstein J. A. A991) A comparison of two numerical methods for shocks in one-dimensional
elastic-plastic solids, in Viscous profiles and numerical methods for shock waves, M. Shearer (Ed.),
175-208, SIAM, Philadelphia, PA.
Trangenstein J. A., Colella P. A991) A higher-order Godunov method for modeling finite
deformation in elastic-plastic solids, Comm. Pure Appl Math. 44, No. 1, 41-100.
Trangenstein J. A., Pember R. B. A992) Numerical algorithms for strong discontinuities in
elastic-plastic solids, J. Comput. Phys. 103, No. 1, 63-89.
Trebinski R., Wlodarczyk E. A983) Application of S. K. Godunov's method for solving the
problem of quasi-one-dimensional gas flow with a shock wave, J. Tech. Phys. 24, No. 1, 105-120.
Truesdell C. A. A977) A First Course in Rational Continuum Mechanics, Academic Press, New
York. [Рус. пер.: Трусделл К. A975) Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред,
Мир, Москва.]
Truskinovsky L. A994) Transition to detonation in dynamic phase changes, Arch. Rational Mech.
Anal. 125, No. 4, 375-397.
Tsynkov S. V. A995) An application of nonlocal external conditions to viscous flow computations,
J. Comput. Phys. 116, No. 2, 212-225.
Tsynkov S. V. A998) Numerical solution of problems on unbounded domains. A review, Appl.
Numer. Math. 27, No. 4, 465-532.
Turkel E. A977) Symmetric hyperbolic difference schemes and matrix problems, Linear Algebra
and Appl. 16, No. 2, 109-129.
Turkel E. A980) On the practical use of high-order methods for hyperbolic systems, J. Comput.
Phys. 35, No. 3,319-340.
van Albada G. D., van Leer В., Roberts W. W. A982) A comparative study of computational
methods to cosmic gas dynamics, Astron. Astrophys. 108, 76-84.
Vankeirsbilck P., Deconinck H. A992) Solution of the compressible Euler equations with higher
order ENO-schemes on general unstructured mesh, in Computational Fluid Dynamics '92, С Hirsch,
J. Periaux and W. Kordulla (Eds.), 2, 843-850, Elsevier, Amsterdam.
van Leer B. A969) Stabilization of difference schemes for the equations of inviscid compressible
flow by artificial diffusion, J. Comput. Phys. 3, No. 4, 473-485.
van Leer B. A973) Towards the ultimate conservative difference scheme. I. The quest of mono-
tonicity, Lect. Notes Phys. 18, No. 1, 163-168.
van Leer B. A974) Towards the ultimate conservative difference scheme. II. Monotonicity and
conservation combined in a second-order scheme, J. Comput. Phys. 14, No. 4, 361-370.
van Leer B. A977a) Towards the ultimate conservative difference scheme. III. Upstream-centered
finite-difference schemes for ideal compressible flow, J. Comput. Phys. 23, No. 3, 263-275.
van Leer B. A977b) Towards the ultimate conservative difference scheme. IV. A new approach to
numerical convection, J. Comput. Phys. 23, No. 3, 276-299.
van Leer B. A979) Towards the ultimate conservative difference scheme. V. A second-order sequel
to Godunov's method, J. Comput. Phys. 32, No. 1, 101-136.
van Leer B. A982) Flux-vector splitting for the Euler equations, ICASE Report 82-30.
van Leer B. A984) On the relation between the upwind-differencing schemes of Godunov,
Engquist-Osher and Roe, SIAMJ. Sci. Stat. Comput. 5, No. 1, 1-20.
Vazquez-Cendon M. E. A999) Improved treatment of source terms in upwind schemes for the
shallow water equations in channels with irregular geometry, J. Comput. Phys. 148, No. 2, 497-526.
Vinokur M. A974) Conservation equations of gas dynamics in curvilinear coordinate systems,
J. Comput. Phys. 14, No. 2, 105-125.
Vinokur M., Yee H. C. B000) Extension of efficient low dissipation high order schemes for 3-D
curvilinear moving grids, NASA TM-209598.
Vliegenthart A. C. A970) The Shuman filtering operator and the numerical computation of shock
waves, J. Engrg. Math. 4, No. 4, 341-348.
606 Список литературы
von Neumann J., Richtmyer R. D. A950) A method for the numerical calculation of hydrodynamic
shocks, J. Appl. Phys. 21, No. 3, 232-237. [Сокр. рус. пер.: Нэйман Дж., Рихтмейер Р. A951) Метод
численного расчета гидродинамических скачков, Механика, № 1 E), 27-30.]
Voinovich P., Timofeev E., Takayama К., Saito Т., Galyukov A. A998) 3D unstructured adaptive
supercomputing for transient problems of volcanic blast waves, AIAA Paper, No. 98-0540.
Voinovich P., Timofeev E., Saito T. et al. A999) An adaptive shock-capturing method in real 3-D
applications, in Shock Waves, Proc. of the 22th Int. Symp. on Shock Waves, London, July 18—23, 1999,
G. J. Ball, R. Hillier and G. T. Roberts (Eds.), 1, 641-646, Univ. of Southhampton.
Vorobiev O. Yu., Lomov I. N., Shutov A. V. et al. A995) Application of schemes on moving grids
for numerical simulation of hypervelocity impact problems, Int. J. Impact Eng. 17, No. 4-6, 891-902.
Vorobiev O. Yu., Shutov A. V, Lomov I. N. et al. A997) Comparative analysis of computer codes
for hypervelocity impact problems with large deformations, Int. J. Impact Eng. 20, No. 6-10, 805-816.
Wallis M. K. A971) Shock-free deceleration of the solar wind? Nature Phys. Sci. 233, 23-25.
Wallis M. K. A975) Local interstellar medium, Nature 254, 202-203.
Wallis M. K., Dryer M. A976) Sun and comets as sources of an external flow, Astrophys. J. 205,
895-899.
Wang C, Belcher J. W. A998) Numerical investigation of hydrodynamic instabilities of the
heliopause, J. Geophys. Res. 103, 247-256.
Warming R. F., Beam R. M., Hyett B. J. A975) Diagonalization and simultaneous symmetrization
of the gas dynamic matrices, Math. Comput. 29, No. 132, 1037-1045.
Washimi H., Tanaka T. A996) 3-D magnetic field and current system in the heliopause, Space Sci.
Rev. 78, 85-94.
Weibel E. S. A959) Spontaneously growing transverse waves in a plasma due to an anisotropic
velocity distribution, Phys. Rev. Lett. 2, No. 3, 83-84.
Weyl H. A949) Shock waves in arbitrary fluids, Comm. Pure Appl. Math. 2, No. 2-3, 103-122.
Whitham G. B. A974) Linear and Nonlinear Waves, Pure and Applied Mathematics, Wiley
Interscience, New York. [Рус. пер.: Уизем Дж. A977) Линейные и нелинейные волны, Мир, Москва.]
Wilkins M. L. A964) Calculation of elastic-plastic flow, in Methods in Computational Physics 3,
B. Alder, S. Fernbach and M. Rotenberg (Eds.), 211-263, Academic Press, New York. [Рус. пер.:
Уилкинс М. Л. A967) Расчет упруго-пластических течений, в кн. Вычислительные методы в
гидродинамике, Б. Олдер, С. Фернбах и М. Ротенберг (Ред.), 212-263, Мир, Москва.]
Wilkins M. L. A971) Calculation of elastic-plastic flow, в кн. Труды секции по числ. методам в
газовой динамике Второго межд. коллоквиума по газодинамике взрыва и реагирующих систем.
Новосибирск, Авг. 19-23, 1969, 1, 408-517, Вычисл. центр АН СССР, Москва.
Wilkins M. L. A980) Use of artificial viscosity in multidimensional fluid dynamic calculations,
J. Comput. Phys. 36, No. 3, 281-303.
Wilkins M. L., Blum R. E., Cronshagen E., Grantham P. A974) A method for computer
simulation of problems in solid mechanics and gas dynamics in three dimensions and time, Lawrence
Livermore Lab. Report, No. UCRL-51574, Univ. of California/Livermore.
Wilkinson W. L. A960) Non-Newtonian Fluids. Fluid Mechanics, Mixing and Heat Transfer,
Pergamon Press, London. [Рус. пер.: Уилкинсон У. Л. A964) Неньютоновские жидкости. Гидро-
Гидромеханика, перемешивание и теплообмен, Мир, Москва.]
Willi О., Rumsby P. Т. A981) Filamentation on laser irradiated spherical targets, Opt. Commun. 37,
No. 1, 45-48.
Willi O., Rumsby P. Т., Sartang S. A981) Optical probe observations of nonuniformities in
laser-produced plasmas, IEEEJ. Quant. Electron. 17, No. 19, 1909-1917.
Willi O., Rumsby P. Т., Hooker C, Raven A., Lin Z. Q. A982) Observations of instabilities in
the corona of laser produced plasma, Opt. Commun. 41, No. 2, 110-114.
Williams F. A. A965) Combustion Theory. The Fundamental Theory of Chemically Reacting Flow
Systems, Addison Wesley, Reading, MA. [Рус. пер.: Вильяме Ф. А. A971) Теория горения, Наука,
Список литературы 607
Москва.]
Woodward P., Colella P. A984) The numerical simulation of two-dimensional fluid flow with
strong shocks, J. Comput. Phys. 54, No. 1, 115-173.
Wu С. С A990) Formation, structure, and stability of MHD intermediate shocks, J. Geo-
phys. Res. 95, 987-990.
Wu C. C, Kennel C. F. A992a) Structure and evolution of time-dependent intermediate shocks,
Phys. Rev. Lett. 68, 56-59.
Wu C. C, Kennel C. F. A992b) Evolution of small-amplitude intermediate shocks in a dissipative
and dispersive system, J. Plasma Phys. 47, 85-102.
Wu C. C, Kennel C. F. A993) The small amplitude MHD Riemann problem, Phys. Fluids В 5,
2877-2886.
Xu Z. Z., Lee P. H. Y., Lin L. H. et al. A987) Filamentation and jets in linefocused laser-produced
plasmas, Opt. Commun. 61, No. 3, 199-202.
Xu Z. Z., Jiang Z. M., Lin L. H. et al. A988) Large-scale jet structures in laser-produced plasmas,
Opt. Commun. 69, No. 1, 49-53.
Xu Z. Z., Chen S. S., Lin L. H. et al. A989) Characteristics and evolution of plasma-jet-like
structures in line-focused laser-produced plasmas, Phys. Rev. A: Gen. Phys. 39, No. 2, 808-815.
Yamamoto Y., Karashima K. A980) Floating shock fitting for three-dimensional inviscid super-
supersonic flows. Part I. General description, Trans. Jap. Soc. Aeronaut. Space Sci. 23, No. 59, 1-17.
Yee H. C. A987) Construction of explicit and implicit symmetric TVD schemes and their
applications, J. Comput. Phys. 68, No. 1, 151-179.
Yee H. C. A989) A Class of High-Resolution Explicit and Implicit Shock-Capturing Methods, von
Karman Institute for Fluid Dynamics Lecture Series 1989-04 (NASA TM-101088).
Yee H. C, Sweby P. K. A998) Aspects of numerical uncertainties in time marching to steady-state
numerical solutions, AIAA J. 36, No. 5, 712-724.
Yee H. C, Sandham N. D., Djomehri M. J. A999) Low-dissipative high-order shock-capturing
methods using characteristic-based filters, J. Comput. Phys. 150, No. 1, 199-238.
Yee H. C, Vinokur M., Djomehri M. J. B000) Entropy splitting and numerical dissipation,
J. Comput. Phys. 162, No. 1, 33-81.
Yee H. C, Sjogreen В., Sandham N. D., Hadjaj A. B000) Progress in the development of a class
of efficient low dissipative high order shock-capturing methods, RIACS Technical Report, No. 00.11,
NASA Ames Research Center, Moffett Field, CA.
Yee H. C, Torczynski J. R., Morton S. A., Visbal M. R., Sweby P. K. A999) On spurious behavior
of CFD simulations, Int. J. Numer. Meth. Fluids 30, No. 6, 675-711.
Zachary A. L., Colella P. A992) A higher-order Godunov method for the equations of ideal
magnetohydrodynamics, J. Comput. Phys. 99, No. 2, 341-347.
Zachary A. L., Malagoli A., Colella P. A994) A higher-order Godunov method for
multidimensional ideal magnetohydrodynamics, SIAMJ. Sci. Comput. 15, No. 2, 263-284.
Zalesak S. T. A979) Fully multidimensional flux-corrected transport algorithms for fluids,
J. Comput. Phys. 31, No. 3, 335-362.
Zank G. P., Frisch P. C. A999) Consequences of a change in the galactic environment of the Sun,
Astrophys. J. 518, 965-973.
Zegeling P. A. A999) Moving grid techniques, Chapter 37 in Handbook of Grid Generation,
J. F. Thompson, B. K. Soni and N. P. Weatherill (Eds.), CRC, Boca Raton, FL.
Ziegler H. A963) Some Extremum Principles in Irreversible Thermodynamics with Application
to Continuum Mechanics, North-Holland, Amsterdam. [Рус. пер.: Циглер Г. A966) Экстремальные
принципы термодинамики необратимых процессов и механика сплошной среды, Мир, Москва.]
Zukas J. A., Nicholas Т., Swift H. F., Greszczuk L. В., Curran D. R. A982) Impact Dynamics,
John Wiley, New York. [Рус. пер.: Зукас Дж. А., Николас Т., Свифт X. Ф., Грещук Л. Б., Курран
Д. Р. A985) Динамика удара, Мир, Москва.]
A. G. Kulikovskii, N. V. Pogorelov, A. Yu. Semenov
MATHEMATICAL PROBLEMS OF NUMERICAL SOLUTION
OF HYPERBOLIC SYSTEMS
PHYSICS AND MATHEMATICS PUBLISHERS
International Academic Publishing Company "Nauka "
Russian Academy of Sciences
Moscow, 2001
608 pages, 160 figures, 2 tables, bibl. 1036
This Monograph sets forth a comprehensive description of various mathematical
aspects of problems originating in numerical solution of hyperbolic systems of partial
differential equations. The authors present the material in the context of the important
mechanical applications of such systems, including the Euler equations of gas dynamics,
magnetohydrodynamic (MHD), shallow water and solid dynamics equations, and a number
of nonclassical problems, such as propagation of shocks in composite materials, ionization
fronts in plasma, electromagnetic shock waves in magnets, etc. This treatment provides—for
the first time in book form—a collection of recipes for applying higher-order non-oscillatory
shock-capturing schemes to MHD modelling of physical phenomena.
The authors' treatment systematizes methods for overcoming the difficulties inherent in
the solution of hyperbolic systems. Its unique focus on applications, both traditional and new,
makes Mathematical Problems of Numerical Solution of Hyperbolic Systems particularly
valuable not only to those interested in the development of numerical methods, but to physicists
and engineers who strive to solve increasingly complicated nonlinear equations.
Readership: Researchers and students in mathematics, mechanics, physics, and
engineering interested in the solution of problems described by hyperbolic systems
A. G. Kulikovskii is a Corresponding Member of the Russian Academy of Sciences,
Dr. Sci., Ph. D., Head of the Department of Mechanics in the Steklov Mathematical Institute
of the Russian Academy of Sciences, Professor in Moscow State University.
N. V. Pogorelov, Dr. Sci., Ph. D., is a Senior Research Scientist in the Institute for Problems
in Mechanics of the Russian Academy of Sciences, Associate Professor in Moscow Aviation
Institute (Technical University) and Kobe University (Japan).
A. Yu. Semenov, Ph. D., is a Senior Research Scientist in the General Physics Institute of
the Russian Academy of Sciences, Associate Professor in Moscow Institute of Physics and
Technology.