Динамика разреженного газа. Кинетическая теория - Коган М.Н.

Автор: Коган М.Н.
Теги: механика газов аэродинамика физика плазмы эргономика физика
Год: 1967
Похожие
Тепломассообмен
Теория и приложения уравнения Больцмана
Мембранное разделение газов
Русско-английский физический словарь
Текст
                    М. Н. КОГАН
ДИНАМИКА
РАЗРЕЖЕННОГО
ГАЗА
КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
ц
1
х
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1967

Ml I
It I'/
У UK ;i.i,ifioi.|H
Михаил Наумович Коган
ДИНАМИКА РАЗРЕЖЕННОГО ГАЗА
(кинетическая теория)
М,, 1967 г., 440 стр. с илл.
Редактор В. М. Шахов
IVxu. редактор А. Л. Благовещенская Корректор Г. С. Плетнева
Слип» и нлйор 14/XI 1966 г. Подписано к печати 16/1II 1967 г. Бумага 60х9О'/,6.
«I'm. iil-ч. л. 27,5. Услови. печ. л. 27,5. Уч.-изд. л. 27,1. Тираж 600Э экз. Т-01824.
Цена книги I р. 91 к. Заказ № 424.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
Москва, B-7I, Ленинский проспект, 15.
Ленинградская типография № 2 имени ЕвгеиииСоколовой Главполиграфпрома
Комитета по печати при Совете Министров СССР.
Измайловский проспект, 29.
2-4-3
127-87

Оглавление
Предисловие 5
Глава I
Введение
§ 1.1. Молекулярная структура газа 7
§ 1.2. Законы взаимодействия молекул 8
§ .3. Столкновение частиц 14
§ 1.4. Длина свободного пробега 19
§ 1.5. Элементарная кинетическая теория 23
Глава II
Уравнения кинетической теории газов
§ 2.1. Описание движения системы многих частиц 30
§ 2.2. Уравнение Больцмана 34
§ 2.3. Вывод уравнения Больцмана из уравнения Лиувилля .... 43
§ 2.4. Некоторые свойства интеграла столкновений 58
§ 2,5. //-теорема Больцмана 59
§ 2.6. Уравнения кинетической теории для смеси газов и для газа,
состоящего из молекул с внутренними степенями свободы . . 66
§ 2.7. Интегральные формы уравнения Больцмана 67
§ 2.8. Линеаризированное и модельное уравнения Больцмана ... 70
§ 2.9. Постановка задач для уравнения Больцмана 76
§ 2.10. Взаимодействие молекул с твердыми поверхностями. Коэф-
Коэффициенты аккомодации 73
§ 2.11. Критерии подобия 8j9
Глава III
Общие методы решения уравнения Больцмана
§ 3.1. Уравнения сохранения 94
§ 3.2. Метод моментов 97
§ 3.3. Метод моментов. Разложение функции распределения по
полиномам Эрмита 100
§ 3.4. Метод моментов. Разрывные функции распределения .... 118
§ 3.5. Граничные условия для моментных уравнений 123
§ 3.6. Методы разложения по малому параметру 126
§ 3.7. Метод Гильберта разложения по малому параметру .... 132
§ 3.8. Метод Энскога — Чепмена. Вывод уравнений гидродинамики 145
§ 3.9. Вывод уравнений гидродинамики для смеси газов 163
§ 3.10. Вывод уравнений гидродинамики с учетом внутренних сте-
степеней свободы молекул. Релаксационные уравнения .... 176
§ 3.11. Решение линеаризированного уравнения Больцмана .... 196
1*

4 ОГЛАВЛЕНИЕ '
§ 3.12. Модельные уравнения для линеаризированного уравнения
Больцмана 213
§ 3.13. Метод дискретных скоростей 218
§ 3.14, Интегральные методы 221
§ 3.15. Методы Монте-Карло 224
§ 3.16. Принцип максимальной вероятности 232
§ 3.17. Кинетическая теория и неравновесная термодинамика . . . 237
Глава IV
Решение уравнения Больцмана для вырожденных течений
§ 4.1. Точные решения уравнения Больцмана 242
§ 4.2. Течение Куэтта . 252
§ 4.3. Течение Пуаасйля. Парадокс Кпудссна . 287
§ 4.4. Структура ударной полны 291
§ 4.5. Знукоиые колебания 310
Глава V
Течения при малых числах Кнудсена
§ 5.1. Скольжение и температурный скачок 317
§ 5.2. Пограничный слой с учетом скольжения и скачка температур 333
Глава VI
Течения при больших числах Кнудсена
§ 6.1. Свободномолекулярные течения. Обтекание выпуклых тел 345
§ 6.2. Свободномолекулярные течения. Обтекание вогнутых тел 361
§ 6.3, Свободномолекулярные течения по трубам 371
§ 6.4. Насадки для измерения давления в свободномолекулярном
потоке 379
§ 6,5. Течения, близкие к свободномолекулярным 381
§ 6.6. Гиперзвуковые течения, близкие к свободномолекулярным.
Молекулярный пограничный слой 390
§ 6.7. Теорема обратимости для течений, близких к свободномо-
свободномолекулярным 409
§ 6.8. Сравнение теоретических и экспериментальных данных о
течениях при больших числах Кнудсена 411
§ 6.9. Истечение в вакуум 422
Приложение I. Уравнение Больцмана в криволинейных, цилин-
цилиндрических н сферических координатах 431
Приложение П. Некоторые часто встречающиеся интегралы. . 432
Именной указатель 434
Предметный указатель ,.,.,,..... 437

Предисловие
Динамика разреженных газов или, как ее иногда называют, супер-
супераэродинамика изучает явления, имеющие место при произвольном
отношении длины пробега (времени между столкновениями) молекул
к характерному размеру (времени) явления. Изучаемые явления могут
быть сколь угодно далекими от равновесных. Исследование таких
явлений требует в общем случае учета молекулярной структуры газа,
кинетического описания, применения уравнения Больцмаиа. В круг
задач динамики разреженных газов входят, например, задачи об об-
обтекании летательных аппаратов, движущихся на больших высотах, о
движении газов в вакуумных аппаратах, ультразвуковых колебаниях
в газах, структуре ударных волн, неравновесных течениях и т. д.
В предельном случае малых длин пробега мы приходим к задачам,
которые могут быть решены в рамках теории сплошной среды или,
точнее, с применением уравнений Навье — Стокса. По существу, это
задачи обычной газовой динамики. Однако по установившейся традиции
некоторые из них изучаются динамикой разреженных газов. В число
таких задач входят, например, некоторые задачи о вязких течениях
при малых числах Рейнольдса, о течениях с взаимодействием погра-
пограничного слоя с невязким потоком, о близких к равновесным течениях
с релаксацией возбуждения внутренних степеней свободы, о течениях
со скольжением и температурным скачком на стенке и т. д. К решению
этих задач могут быть привлечены методы газовой динамики. В то же
время эти задачи, решаемые в рамках теории сплошной среды, тесно
связаны с кинетической теорией, так как только с помощью кинети-
кинетической теории, из анализа уравнения Больцмана, можно обоснованно
вывести уравнения Эйлера и Навье—Стокса и их аналоги для рела-
ксирующих сред, установить область их применимости и снабдить их
правильными начальными и граничными условиями и коэффициентами
переноса.
В настоящей монографии рассматриваются главным образом задачи,
требующие кинетического описания, для решения которых неприменимы
методы газодинамики и необходимы новые методы, подходы и образы.
Основное место уделено кинетическому уравнению Больцмана, изуче-
изучению его свойств и методов решения. В то же время большое внимание
уделено выводу из кинетического уравнения Больцмана уравнений
газовой динамики и соответствующих им граничных условий (условий
скольжения), установлению области их применимости.

\- iii|>iii>il i 'i.it iiiiiii.i (ii ионные понятия кинетической теории
i .мин I 1,1 iiD|i.ni и ||н'И.я посвящены выноду кинетических урав-
iii'itiiM и шипим Mci(i;t,;iM их решения. Несмотря на то, что рассматри-
рассматривании лини. i;i;ii,i, состоящие из нейтральных молекул, некоторые
ii;i изложенных методов находят применение и в теории плазмы, и мы
надеемся, что данная здесь трактовка общих методов будет способ-
способствовать более критическому подходу к их использованию. В четвер-
четвертой главе применение изложенных методов иллюстрируется на про-
простейших, главным образом одномерных, задачах. В пятой и шестой
главах рассмотрены предельные случаи течений при малых и больших
числах Кнудсеиа.
В выборе материала, естественно, сказались интересы автора.
Известное место отведено изложению результатов работ автора и его
сотрудников. Некоторые вопросы, не нашедшие отражения в книге,
заиптерееоиапшлй читатель сможет найти в уже имеющейся литера-
литературе '). Литературные ссылки не претендуют на полноту. Главным обра-
образом указана лишь литература, использованная при написании книги.
Чтение книги не требует предварительного знакомства с кинети-
кинетической теорией газов и статистической физикой. В некоторых местах
предполагается знание газовой динамики.
Основой для книги послужил курс лекций, читаемый автором
и Московском Физико-Техническом институте.
Автор искренне благодарен за полезные замечания Ю. П. Райзе-
ру, внимательно прочитавшему всю рукопись, А. А. Дородницыну,
прочитавшему первые ее главы, и В. С. Галкину, просмотревшему
отдельные места рукописи. Автор благодарен также Е. М. Шахову,
взявшему на себя труд по редактированию книги. Особую благодар-
благодарность аптор хотел бы выразить И. Н. Соколовой за помощь в под-
подготовке рукописи.
') См., например, Чепмен С, К а у л и и г Т., Математическая теория
неоднородных газов, перев. с англ,, ИЛ, I960; Гиршфельдер Дж.,
Ксртис Ч., Берд Р., А1олекулярная теория газов и жидкостей, перев.
с англ., ИЛ, 1961; П а т т е р с о н Г. Н., Молекулярное течение газов, перев.
с англ., Физматгиз, I960; Д е в и е н М., Течения и теплообмен разреженных
газоп, перев. с франц., ИЛ, 1962; Шидловский В. П., Введение в дина-
динамику разреженных газов, «Наука», 1965. Большое число работ по динамике
разреженных газов имеется в собраниях трудов четырех международных
симпозиумов; Dynamics of Rarefied Oases, First Symposium, ed. by M. De-
viemic, Pergamon Press (русский перевод; «Газодинамика разреженных газов»,
ИЛ. Н)Ю); Second Symp., ed. by L. Talbot, Academic Press, 1961; Third Symp.,
ed. by J. A. Laurman, Academic Press, 1963; Forth Symp., ed. by J. H. de Leew,
Academic Press, 1965, а также в сборниках «Аэродинамика разреженных га-
нов» под редакцией С. В. Валландера, ЛГУ 1 A963) и 2 A965). См. также
сборники переводов: «Некоторые вопросы кинетической теории газов»,
«Мир», 1965; «Взаимодействие газов с поверхностями», «Мир», 1965.

Глава I
Введение
§ 1,1. Молекулярная структура газа
Кинетическая теория основывается на гипотезе о том, что все
вещества, в том числе и газы, состоят из молекул. Хотя даже
с помощью самых мощных микроскопов нельзя проследить за движе-
движением отдельных молекул, тем не менее молекулярная гипотеза не
вызывает сомнений. В качестве молекул могут рассматриваться как
сложные многоатомные молекулы, так и отдельные атомы, ионы,
протоны, электроны и т. д.
Газом называется совокупность молекул, находящихся на столь
больших расстояниях друг от друга, что молекулы большую часть
времени слабо взаимодействуют друг с другом. Короткие промежутки
времени, в течение которых молекулы сильно взаимодействуют, рас-
рассматриваются как столкновения.
Если осредненной по времени потенциальной энергией взаимо-
взаимодействия молекул можно пренебречь по сравнению с их кинетической
энергией, то газ называется идеальным. В противном случае газ
называется газом Ван-дер-Ваальса.
Ниже рассматриваются лишь идеальные газы. Если молекулы
при больших удалениях друг от друга обладают слабым притягиваю-
притягивающим потенциалом и быстро убывающим потенциалом отталкивания
на малых расстояниях, то при уменьшении плотности газа (увеличении
среднего расстояния между молекулами) потенциальная энергия взаимо-
взаимодействия быстро падает. Практически газы из нейтральных молекул
при давлениях до сотен атмосфер могут рассматриваться как идеаль-
идеальные. До этих же давлений вероятность тройных столкновений (т. е.
таких столкновений, в которых принимают участие сразу три моле-
молекулы) мала по сравнению с вероятностью двойных (или парных)
столкновений.
Далее везде предполагается, что движение молекул может быть
описано с помощью классической ньютоновской механики. Квантовые
эффекты существенны лишь при очень низких температурах и для
легких молекул (водород, гелий, электроны). Для водорода и гелия

8 ВВЕДЕНИЕ [ГЛ. 1
квантовые поправки существенны уже при нормальных условиях.
Большинство же газов сжижается при температуре, при которой еще
нет необходимости применять квантовую теорию столкновения молекул.
Квантовые эффекты необходимо учитывать при неупругих столк-
столкновениях атомов и молекул (возбуждение внутренних степеней свободы
молекул, возбуждение электронных уровней и т. п.). Потенциалы
упругих взаимодействий молекул также могут быть вычислены лишь
с помощью квантовой механики. Однако при известном потенциале
взаимодействия упругие столкновения могут быть рассмотрены клас-
классически.
Релятшшстские эффекты существенны лишь при очень больших
температурах (больших скоростях молекул). Практически эти эффекты
можно не учитывать при температурах порядка десятков и сотен
тысяч градусов. Для водорода, например, средняя скорость молекул
при температуре в 105°К равняется 0,0001 скорости света. Даже
скорость электрона при такой температуре составляет тысячные доли
скорости света.
Таким образом, рассматриваемая ниже теория идеального газа
с учетом парных столкновений в рамках классической механики
удовлетворительно описывает движение газа в широком диапазоне
температур и давлений (для температур от десятков градусов Кельвина
до сотен тысяч градусов и для давлений до сотен атмосфер).
§ 1.2. Законы взаимодействия молекул
Состояние газа определяется взаимодействием молекул между собой
и с граничащими с газом твердыми или жидкими телами. В этом
параграфе будут приведены лишь некоторые сведения о взаимодей-
взаимодействии молекул между собойJ). Более сложный вопрос о взаимодей-
взаимодействии молекул с твердыми поверхностями будет кратко затронут
в главе П.
Л1олекулы или атомы состоят из положительных и отрицательных
зарядов (ядер и электронов). При рассмотрении взаимодействия двух
молекул, строго говоря, можно говорить лишь о взаимодействии всей
совокупности зарядов, составляющих обе молекулы. Потенциал взаимо-
взаимодействия этой системы зарядов зависит от положения всех ядер и
всех электронов. Обозначим через гаА и геА радиусы-векторы ядер и
электронов молекулы А и через г| и гев соответствующие величины
для молекулы В. Тогда потенциал взаимодействия всех зарядов имеет
вид U(r%, гА, г%, г%).
>) Более подробные сведения о взаимодействии молекул можно найти,
например, в монографиях: Гиршфельдер Дж., Кертис Ч., Берд Р.,
Молекулярная теория газов и жидкостей, ИЛ, 1961; Хастед Дж., Физика
атомных столкновений, «Мир», 1965.

S 1.2] ЗАКОНЫ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ МОЛЕКУЛ 9
Потенциалом взаимодействия молекул принято называть величину
U —П (га ге га г"\ U (га ге\ II (га ге\ С? \Л
АВ —^ У А' 'А< 'В' ' В) и aVA' 'А) и в{ГВ' ГВ)> \*л)
где UA(t"A, fA^—потенциал, зависящий лишь от взаимного располо-
расположения зарядов молекулы A, a Uв(гв, гев^— потенциал взаимного
расположения зарядов молекулы В. Функции UА и U в равны потен-
потенциальной энергии молекул лишь при бесконечном расстоянии между
молекулами. Потенциал взаимодействия молекул зависит от взаимного
расположения зарядов обеих молекул.
Силы, действующие между молекулами, грубо разделяют на хими-
химические, или валентные, силы отталкивания, проявляющиеся на малых
расстояниях, и ван-дер-ваальсовы силы притяжения, действующие при
больших удалениях молекул друг от друга. Такое разделение весьма
условно.
Химические, или валентные, силы являются определяющими, когда
электронные облака молекул перекрываются. Эти силы имеют кван-
товомеханическую природу, связанную главным образом с обменным
взаимодействием. Обычно потенциал такого взаимодействия убывает
экспоненциально с расстоянием:
иАВ = Ь1е • (z-z)
где С] и С2 — некоторые постоянные.
Силы Ван-дер-Ваальса имеют как электростатическую составляю-
составляющую, так и квантовомеханическую дисперсионную составляющую.
Нейтральные молекулы могут обладать дипольными, квадруполь-
цыми и т. д. моментами. Поэтому между молекулами возникают силы
взаимодействия диполя с диполем, диполя с квадруполем и т. п. Если
сталкивающиеся молекулы обладают дипольным моментом, то сила
взаимодействия убывает обратно пропорционально четвертой степени
расстояния между молекулами. Эта сила существенным образом зави-
зависит от ориентации диполей и монет быть как силой притяжения,
так: и отталкивания.
Часто энергию взаимодействия молекул усредняют по всем ориен-
тациям. Если газ находится в равновесии, то вероятность обнару-
обнаружения двух молекул, взаимодействующих с потенциалом UАВ, про-
пропорциональна больцмановскому множителю е~ АВ1г , где Т—темпе-
Т—температура газа и k — постоянная Больцмана. В этом случае усредненный
потенциал равен
п 9 , sin 9 „ dB . dw , dQnd(fn
sin Q^

Ю ВВЕДЕНИЕ [ГЛ. I
где 6 и ф—соответственно полярный и азимутальный углы, опреде-
определяющие направление оси диполя относительно линии, соединяющей
центры молекул. При слабых взаимодействиях (т. е. на больших
расстояниях), когда величина | UAB — £/ДЙ | мала по сравнению с kT
при всех ориентациях, экспоненциальный член может быть разложен
в ряд, так что получаем
где
d(u—sin§AsinQB dQA dq>A dQB dq>B.
Так как при диполь-диполыюм взаимодействии вероятность ориента-
ориентации с притяжением и отталкиванием одинакова, то первый член равен
нулю, и осредненный потенциал взаимодействия оказывается убываю-
убывающим обратно пропорционально шестой степени расстояния (Uав~~^1г%в)-
Следует заметить, что для типичных в теории разреженных газов
состояний, далеких от равновесия, приведенный выше способ усред-
усреднения неправомерен и диполь-дипольное. взаимодействие может ока-
оказаться сравнительно медленно убывающей функцией.
При взаимодействии двух молекул каждый заряд одной молекулы
поляризует другую молекулу, вызывая появление индуцированного
диполя. Простое электростатическое рассмотрение1) показывает, что
потенциал индуцированного взаимодействия убывает обратно пропор-
пропорционально шестой степени расстояния. Обратно пропорционально
шестой степени расстояния убывает также и дисперсионное взаимо-
взаимодействие, имеющее квантовомеханическую природу.
Для большинства молекул основной вклад в потенциал взаимодей-
взаимодействия дает дисперсионная составляющая. У некоторых молекул пре-
преобладающую роль играет диполь-дипольное взаимодействие. Инду-
Индуцированное взаимодействие почти всегда мало. Хотя в принципе
квантовомеханический расчет потенциала взаимодействия возможен
для любых молекул, практически более или менее точные расчеты
взаимодействия проведены лишь для простейших молекул.
На практике обычно пользуются эмпирическими и полуэмпириче-
полуэмпирическими законами взаимодействия. Приведем некоторые наиболее рас-
распространенные из них2).
') См., например, цитированную выше монографию Гиршфсльдера, Кер-
тиса и Берда.
2) Ниже будем обозначать расстояние между молекулами и потенциал
взаимодействия между ними сботёетственно через г и (/.

1.2]
ЗАКОНЫ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ МОЛЕКУЛ
11
1) Упругие шары (рис. \, а). Пусть d — диаметр шара, тогда
потенциал взаимодействия двух шаров представляется в виде
U (г) = оо при г <_d,
B.3)
U (г)--
■■ со
:0
при
при
Хотя эта модель грубо моделирует лишь короткодействующие силы
отталкивания, она весьма часто употребляется в расчетах благодаря
Utr)
а)
своей простоте. Эта модель также очень широко применяется для
качественных рассмотрений, связанных с процессом столкновения
молекул, так как для твердых шаров процесс столкновения предста-
представляется наиболее наглядно. Более того, при применении других, более
сложных законов взаимодействия обычно вводят так называемые
эффективные сечения столкновений (см. § 1.3), с помощью которых
столкновение реальных молекул заменяется столкновением в некото-
некотором смысле эквивалентных им упругих сфер. Следует заметить, что
реальную молекулу нельзя заменить какой-либо одной эквивалентной
сферой. Для каждого из типов столкновений (столкновения при раз-
разных относительных скоростях, неупругие столкновения с различными
переходами и т. д.) молено подобрать свою в том или ином смысле
эквивалентную сферу. Даже при упругих столкновениях с заданной
относительной скоростью сферы, эквивалентные реальным молекулам,
например, в отношении изменения импульса в каком-либо направле-
направлении, могут отличаться от сфер, эквивалентных в Отношении измене-
изменения импульса в другом направлении.
Тем не менее ниже в качественных рассуждениях часто молеку-
молекулы будут рассматриваться как упругие сферы с фиксированным
диаметром. Это во многих случаях допустимо, так как диаметры
эквивалентных сфер для различных типов взаимодействий имеют оди-
одинаковый порядок. Однако в некоторых случаях изменение эффектив-
эффективного диаметра молекул имеет принципиальное значение. Например,

12 ВВЕДЕНИЕ 1ГЛ. I
если относительные скорости молекул изменяются в широких преде-
пределах, то неучет изменения эффективных сфер от скорости может при-
принести к качественному искажению реальных явлений (см., например,
§§ 4.2, 4.4 или 6.6).
Диаметры молекул имеют порядок 10~8 см.
2) Центры отталкивания (рис. 1, б) с потенциалом
U = -^. B.4)
Величину s—1 (а иногда и s) называют показателем отталкивания,
благодаря чисто математическим удобствам (см. §§ 2.2, 3.3, 3.11
и т. д.) широкое распространение получили гипотетические моле-
молекулы с показателем отталкивания s — 5, называемые максвелловсками.
Газ, состоящий из таких молекул, называют максвелловским газом.
Ближе к реальным значения s, большие 5, например 9 или 12, Макс-
велловские молекулы слишком «мягкие», в то время как упругие
сферы слишком «жесткие». Реальные потенциалы взаимодействия
лежат между этими двумя наиболее распространенными модельными
потенциалами. Следует заметить, что применение весьма удобных
в математическом отношении максвелловских молекул иногда приво-
приводит к неверным эффектам. Так, например, s макс ее лло ее ком газе
отсутствует явление термодиффузии.
Большими математическими преимуществами обладают также так
называемые псевдомаксвелловские молекулы, определение которых
будет дано в § 2.2.
3) Потенциал Леннарда — Джонса (рис. 1, в)
U(.r) = -?i—ps:- B.5)
Первый член описывает отталкивание с показателем п, второй — при-
притяжение; d, e — константы.
Чаще всего применяется так называемый F-12)-потенциал Лен-
Леннарда — Джонса
Как указано выше, шестая степень убывания потенциала моделирует
электростатическое диполь-дипольное и дисперсионное притяжение.
Двенадцатая степень убывания отталкивающего потенциала выбрана
из соображений математического удобства. В то же время она моде-
моделирует достаточно жесткое отталкивание. При г = й потенциал равен
нулю. Величина е характеризует глубину потенциальной ямы.
4) Потенциал Морзе (рис. 1, г)
t/(r)==e [e-2P(r-o)_ 2е-Р(г-«)]. B.7)

§1.2] ЗАКОНЫ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ МОЛЕКУЛ 13
Здесь величина а определяет положение минимума потенциальной ямы,
s—глубина потенциальной ямы. Величина р определяет кривизну
потенциальной кривой вблизи минимума. С помощью этих параметров
потенциальная кривая может быть удовлетворительно аппроксимиро-
аппроксимирована вблизи минимума. Однако потенциал B.7) неправдоподобно
быстро спадает при г—>со. Этот потенциал удобен во многих слу-
случаях для расчетов.
Применяются также и другие, более сложные потенциалы с ббль-
шим числом свободных параметров.
Параметры, входящие в приведенные и подобные им формулы для
потенциала взаимодействия, чаще Rcero определяются эксперимен-
экспериментально. Для этой цели можно исследовать, например, рассеяние пучка
молекул на молекулах того же или другого газа. Однако чаще поль-
пользуются косвенными методами. Для выбранного вида закона взаимо-
взаимодействия рассчитывают те или иные макроскопические величины. Опре-
Определяя эти величины из макроскопического эксперимента, можно найти
входящие в них неизвестные параметры потенциала взаимодействия.
По-видимому, наиболее простым является опыт по определению вто-
второго вириального коэффициента. Как известно, для ван-дер-ваальсов-
ского газа уравнение состояния имеет вид1)
Я7 ' V ~ V2 ' ' ' ' '
где р, V и Т — давление, удельный объем и температура газа,
R—универсальная газовая постоянная и В2, В3 и т. д. — второй,
третий и т. д. вириальные коэффициенты. Изменяя температуру газа
в каком-либо сосуде и замеряя давление, можно найти зависимость
вириального коэффициента от температуры. С другой стороны, в ста-
статистической физике выводится зависимость вириального коэффициента
от потенциала взаимодействия. Используя экспериментальную зави-
зависимость вириального коэффициента от температуры, находим пара-
параметры взаимодействия молекул. Обычно при одном и том же законе
взаимодействия выбранные параметры позволяют удовлетворительно
аппроксимировать экспериментальную зависимость лишь для ограни-
ограниченного интервала температур.
Зная законы взаимодействия молекул, можно, как это будет пока-
показано в главе III, определить переносные свойства газов (вязкость,
теплопроводность, диффузию и т. д.). Измеряя эти величины, также
можно определить параметры, входящие в формулу потенциала взаимо-
взаимодействия.
Как правило, параметры закона взаимодействия, определенные
по измерениям вириального коэффициента и переносных свойств,
') См., например, Ландау Л. Д. и Л и ф ши ц Е. М., Статистическая
физика, «Наука», 1964.

14 ВВЕДЕНИЕ [ГЛ. I
несколько отличаются. Это обусловлено тем, что вириальный коэффи-
коэффициент в большей степени определяется дальнодействующими силами
притяжения, в то время как переносные свойства в большей мере
определяются отталкиванием молекул.
Законы взаимодействия молекул еще более усложняются, если при
столкновении молекула переходит из одного квантового состояния
в другое. Вообще говоря, для каждого состояния сталкивающихся
молекул должна существовать своя потенциальная кривая. Если в про-
процессе столкновения молекула переходит из одного состояния в другое
(например, из основного состояния в какое-либо возбужденное), то
в точке перехода необходимо перейти с одной потенциальной кривой
на другую.
Хотя исследование законов взаимодействия молекул еще далеко
от своего завершения, ниже мы будем считать законы взаимодействия
заданными и для оценок и конкретных расчетов использовать лишь
простейшие из приведенных эмпирических законов.
Выше приведены лишь сферически симметричные потенциалы.
Вообще говоря, потенциал взаимодействия зависит от взаимного угло-
углового расположения молекул. Простейшую модель несферической моле-
молекулы можно представить в виде эллипсоида вращения. Отсутствие
сферической симметрии у потенциала взаимодействия существенно
усложняет исследование. Иногда можно взаимодействие таких молекул
осреднить по углам, сведя рассмотрение к эквивалентным в некотором
смысле сферическим молекулам. Поскольку ниже будет идти речь
только О сферических молекулах, мы не будем приводить различные
модельные потенциалы, зависящие От углов, отсылая заинтересован-
заинтересованного читателя к соответствующей литературе').
§ 1.3. Столкновение частиц
Движение разреженного идеального газа, представляющего собой
совокупность молекул, определяется в конечном счете столкновениями
частиц. В дальнейшем нас будут интересовать только парные взаимо-
взаимодействия частиц. Напомним поэтому некоторые факты из теории столк-
столкновения двух тел 2).
Пусть сталкиваются две частицы соответственно с массами т1 и т2
и скоростями до столкновения %l^=(ln, |12, |13) и |2 = (|2l, |22, \^).
Потенциал взаимодействия U (г) будем считать зависящим лишь от
расстояния частиц друг от друга г, так что сила взаимодействия F
направлена по линии центров сталкивающихся частиц.
!) См., например, Гиршфельдер Дж., К е р т и с Ч., Б е р д Р., Моле-
Молекулярная теория газов и жидкостей, ИЛ, 1961; Чепмен С. иКаулингТ.
Математическая теория неоднородных газов, ИЛ, 1960.
2) См., например, Ландау Л. Д. и Лифшиц Е. М., Механика, М.,
Физматгиз, 1S58.

§ 1.3] СТОЛКНОВЕНИЕ ЧАСТИЦ 15
В процессе столкновения выполняются законы сохранения массы,
импульса и энергии, которые можно записать в виде
где
*=1. 2; У= 1.2.3,
и штрихами отмечены соответствующие величины после столкновения.
Величины фг называются сумматорныма инвариантами. Любая
аддитивная функция скоростей является линейной комбинацией сумма-
торных инвариантов. Будем предполагать, что массы частиц в про-
процессе столкновений не изменяются. Тогда уравнения C.1) налагают
четыре условия на шесть составляющих скоростей молекул после
столкновения. Для полного определения скоростей молекул после
столкновения необходимо задать еще два параметра.
Движение молекул подчинено уравнениям Ньютона:
m,r, = Fx (г), m2r2 = Fs(r), C.2)
FI=> — F2, r^=r2 — rl, r = \r\;
точка означает дифференцирование по времени. Вычтем из второго
уравнения C.2), умноженного на щ, первое, умноженное на т2.
В результате получим
^ = F2=-~-. [х= "'/"» , C.3)
r 2 dr г ^ яг, 4- Щ
т. е. задача О движении двух частиц свелась к задаче о движении
одной частицы с приведенной массой [i в центральном поле с потен-
потенциалом U (г). Найдя решение г (t) уравнения C.3), легко находим
закон движения каждой из частиц rk(t), если учтем, что скорость
центра инерции системы не изменяется при столкновении:
mlr1 -f- m2r2 = const. C.4)
В частности, в координатах центра инерции
m1r1 -f- m2r2 = О
и
Тл = i ?% Гп == : Т. C.01
1 /и, 4-«a ml-{-m2 ч
При движении частицы с массой (X в центральном поле сохраняется
момент количества движения системы M=n(rY.r) относительно
центра поля; действительно, используя C.3), имеем

и.
«ВЕДЕНИЕ
[ГЛ. I
| .'Hifuiiii ic.iii.im, /iitiDKciinc частицы происходит в одной плоскости.
Пп< iii'M и 'мой плоскости полярную систему координат (рис. 2).
У|ч мши iохрингнпя момента количества движения и энергии при-
приму! пил.
C.6)
i ■
I- ', ,i (r~ f
1 • м2
U (г) = £ ц г2 -+- ^ + U (г) = const.
C.7)
uiio'i.-ih из C.6) время с помощью C.7) и интегрируя, получим
dr
, . ■ И- const. C.8)
г V 2y.r2 [E — U (г)] — М2 к
Легко показать, что траектория частицы симметрична отпоси-
i г/к.но линии О А. Из закона сохранения энергии следует, что
(Ппоепгельпая скорость молекул не изменяется:
II на сохранения момента количества движения следует, что
gb = g'b' или b=b',
т. е. что при столкновении со-
сохраняется и прицельное расстоя-
расстояние. Обычно интересуются углом
отклонения % = Л—2тЭ-0, где
у __
dr
C-9)
Рис. 2.
Для молекул со степенным законом взаимодействия U = K\rs~x
получим
Эо
|/l__p2___i_
C.10)
[ ,п с
Р =
11 Is» ^/'"iiiiu определяется из уравнения
Р
р =
1
C.11)

$ 1.3]
СТОЛКНОВЕНИЕ ЧАСТИЦ
17
Интересно отметить, что при степенном законе взаимодействия столк-
столкновение определяется единственным параметром р.
Для твердых сфер
C.12)
Назовем столкновение молекул «обратным» к рассмотренному
выше, если сталкиваются молекулы со скоростями §' и §{ с тем же
прицельным расстоянием Ь. Легко видеть, что в результате такого
столкновения молекулы приобретут
скорости | и |j. Действительно, из-
изменим на обратный знак у коорди-
координат и времени. Тогда, очевидно,
уравнение C.3), описывающее про-
процесс столкновения, не изменится
(предполагается, что потенциал об-
обладает сферической симметрией).
Скорость при этом преобразовании
также не меняется. Но, так как __^_
время течет в обратном направле- у
нии, найденное выше решение опи-
опишет теперь обратное столкновение
(рис. 3), в котором до столкновения
скорости равны |' и %[, а после щ
столкновения | и §,.
Часто процесс рассеяния харак- ^
тсризуют эффективными сечения-
сечениями рассеяния. Рассмотрим молекулы, пролетающие через кольцо,
лежащее между кругами b и b-\-db в плоскости, перпендикулярной
относительной скорости g. Все эти молекулы рассеиваются в интервал
углов между % и X-f~^X йЛй в телесный угол
/ Обра.
Предположим, что х и b однозначно связаны соотношениями C.9)
или C.10). Дифференциальным эффективным сечением о (%, g)
называют площадь кольца, приходящуюся на единицу телесного
угла Q, т. е.
в(х.
Следовательно,
db_
d%
db
db
dQ.
sin x
(ЗЛЗ)
2 M. H. Koran

1R ВВЕДЕНИЕ [ГЛ. I
Иногда дифференциальное эффективное сечение относят не к единице
телесного угла, а к единице угла /, тогда
ох (х. е) =
C.14)
где индекс % при а указывает на то, что сечение отнесено к еди-
единице угла %,
Полное эффективное сечение равно
я *тах
o(g)= jo(x, g)dQ = 2л J a(%, g)sinyvtf)C = 2.t J ftdft, C.15)
где йтах—такое прицельное расстояние, что при Ъ ^ &fflax потен-
потенциал £/ = 0. Молекулы, у которых &тах конечно, называются моле-
молекулами, с конечным радиусом действия. Из приведенных в пре-
предыдущем параграфе потенциалов этому условию удовлетворяют только
тпердые шары. Для остальных законов взаимодействия как bm!LX, так
и полное эффективное сечение взаимодействия бесконечны. Если вместо
одной молекулы рассматривать однородный поток молекул с плот-
плотностью я частиц в единице объема, то очевидно, что nga (%, g)dQ
есть число молекул, испытавших отклонение на углы от )С ДО %-{-d%.
Тогда очевидно, что для молекул с неограниченным радиусом дей-
действия число молекул, испытавших отклонения на всевозможные углы,
бесконечно.
В то же время в результате столкновений часто остается конеч-
конечным изменение импульса, энергии и других величин. Например,
изменение продольного импульса молекулы в системе центра инерции
равно mg{\ — cos"/)- В качестве осредненной характеристики изме-
изменения импульса вводят эффективное сечение
= J
— cos%)bdb.
часто называемое транспортным сечением.
Эффективным сечением порядка v называют выражение
со
= 2it J(l— cos"%)bdb. C.16)
Употребляются и иные определения эффективных сечений.
Легко проверить, что для твердых сфер
(Зл7)
Подставляя C.10) в C.16), получим для молекул со степенным

i 1.4)
ДЛИНА СВОБОДНОГО ПРОБЕГА
19
законом взаимодействия
C.18)
Значения A (s), полученные численным интегрированием, даны
в таблице 1 1).
Важно отметить, что молекулу нельзя охарактеризовать каким-либо
одним эффективным сечением, так как для различных видов взаимо-
взаимодействия (по отношению к изменению импульса, энергии и т. д.)
они различны. В то же время, как
видно из таблицы 1, сечения при Таблица I
разных v имеют один порядок. По-
Поэтому при качественных рассмотре-
рассмотрениях часто можно говорить просто
об эффективном сечении для данной
молекулы.
В общем случае при увеличении
относительной скорости молекул эф-
эффективные сечения столкновений па-
падают. Так, для молекул со степенным
законом взаимодействия a-~g--4As-1. В частности, для максвелловских
молекул (s=5) сечение столкновений обратно пропорционально
относительной скорости: o<.v')~g~].
Время, в течение которого взаимодействуют молекулы, называется
временем столкновения тс. Строго говоря, молекулы могут взаимо-
взаимодействовать на любых расстояниях, и время столкновения таких
молекул бесконечно. Однако основной вклад в результат столкнове-
столкновения дают взаимодействия на расстояниях порядка эффективных диа-
диаметров взаимодействия, т. е.
Тс — -^. С3-19)
5
7
13
ЛИ) (s)
0,298
0,306
0,321
ЛB) (S)
0,308
0,289
0,279
§ 1.4. Длина свободного пробега
С введенным в предыдущем параграфе понятием эффективного
сечения тесно связаны другие понятия, играющие фундаментальную
роль в кинетической теории. Рассмотрим прежде всего газ, состоящий
из молекул-шаров диаметра d, равномерно распределенных с плот-
плотностью я и движущихся с одной и той же скоростью |j. Назовем
эти молекулы полевыми. Рассмотрим пробную молекулу, движущуюся
в этом газе со скоростью |, так что относительно газа ее скорость
') Более подробные таблицы можно найти в монографиях: Гиршфел fa-
дер Дж., К е р т и с Ч.. Б е р д Р., Молекулярная теория газов и жидко-
жидкостей, ИЛ, 1961; Чепмен С. и Каулинг Т., Математическая теория не-
неоднородных газов, ИЛ, 1960.

20 ВВЕДЕНИЕ [ГЛ. I
p;imi,[ к ■ Е; ^. Очевидно, что пробная молекула в единицу времени
i ioJiKiu-гс.я со всеми молекулами, центры которых лежат внутри
цилиндра с основанием nd2 = о и высотой, равной g. Число этих
молекул равно
\ = agn. D.1)
Эта величина называется частотой столкновения. Среднее время
между столкновениями равно
t=1/v.
За это время пробная молекула проходит расстояние, равное |/v>
которое называют длиной свободного пробега, длиной пробега или
просто пробегом.
Согласно D.1) длина пробега равна
А=—1-, D.2)
agn v '
Очевидно, что введенные понятия нельзя непосредственно при-
применить к молекулам с бесконечным радиусом действия, так как у них
о = со, Для таких молекул формально понятия длины пробега и
частоты столкновения можно ввести, если в определение D.1) и D.2)
подставить эффективные сечения типа C.16) предыдущего параграфа.
Смысл вводимых таким образом понятий можно проиллюстрировать
следующим рассуждением. Рассмотрим группу молекул-шаров с плот-
плотностью п., движущихся со скоростью | в газе из таких же, но
покоящихся молекул с плотностью щ. Легко видеть, что в слое
толщиной dx и единичным сечением, перпендикулярным |, в единицу
времени произойдет
опп£ dx = ri^hT dx
столкновений. Другими словами, если через сечение х проходит
поток молекул со скоростью §, равный N = rig, то через сечение
x~-\-dx—поток N(l — А~' dx), т. е, iVA~ dx молекул уходит из
первоначального пучка в результате столкновений.
Рассмотрим теперь такие же две группы молекул, но с произ-
польпым потенциалом взаимодействия. Через единицу площади сече-
сечения х налетающие молекулы проносят импульс, равный /яЛ/|. Из
рассмотрений предыдущего параграфа следует, что молекула, полу-
чшипая в результате столкновения отклонение на угол %, теряет
продольный импульс, равный '/г^О—C0SX)- Легко видеть, что на
uii.iiol! стоящей молекуле налетающие молекулы теряют импульс,
p.iiinull
со
та|2да A — cos %)bdb.
о
'Гик к.чк ii слое толщиной dx имеется nl dx стоящих молекул, то

$ 1.4] ДЛИНА СВОБОДНОГО ПРОБЕГА 21
всего в слое теряется импульс
№
nmnn&dx I A — cos%) b db = ~2 mlNniail) dx==Ym^N ~1Г'
о
Введенное здесь эффективное сечение оA) имеет очевидную интер-
интерпретацию. Когда молекулы с бесконечным радиусом взаимодействия
пролетают через слой толщиной dx, то каждая молекула испытывает
столкновения и теряет больший или меньший импульс. Если рассмат-
рассматриваемый газ заменить газом из шаров с сечением а*1', то в слое
толщиной dx происходит Мщат dx = NX~ dx столкновений, при
каждом из которых в среднем теряется импульс, равный 1J2m\-
Суммарный импульс, теряемый в слое реальным газом и газом из
шаров, одинаков. Таким образом, в разобранном примере газ из
шаров эквивалентен реальному газу по суммарному эффекту потери
импульса. Однако если интересоваться изменением переноса какого-либо
другого молекулярного признака, то эффективное сечение молекул-
шаров эквивалентного по этому признаку газа может оказаться
не равным о(!).
В дальнейшем, когда к нешарообразным молекулам с конечным
или бесконечным радиусом действия будет применяться понятие длины
пробега, то будет подразумеваться длина пробега, соответствующая
тому или иному эффективному сечению. Так как во многих случаях
длины пробега для переноса различных свойств имеют одинаковый
порядок, то при качественных рассмотрениях будем говорить о длине
пробега без указания свойства, к которому она относится.
Выше указывалось, что число dN молекул, выбывающих из
пучка интенсивности N(х) в результате столкновений, в слое тол-
толщиной dx равно
dN = —N^f-. D.3)
Если через сечение х = 0 проходит No молекул, то интенсивность
потока в сечении х, Очевидно, равна
N = Noe-x'k. D.4)
Число частиц, испытывающих столкновения между х и x-\-dx,
согласно D.3) и D.4) равно
dNx+x+ix = N<fi-*n-l£, D.5)
т. е., другими словами, вероятность того, что молекула пройдет без
столкновений расстояние х и столкнется в элементе dx, равна
W = e-Xlk-^. D.6)

<>'.» ЙШ'ДНПИЕ [ГЛ. 1
Ныпи' рассмотрены лишь две группы сталкивающихся молекул,
miinii'iiтемно с плотностями п и и,. Если имеется k групп молекул
г iijIoiiiocthmii Hi и скоростями |гG=^1 k), то можно ввести
длины пробега каждой из групп относительно любой другой группы.
Длппл пробега молекул t-й группы относительно молекул /-Й
группы piimiu
^ Л/= 16/-6/1. D-7)
где О/у—сечение столкновения молекул с-го сорта с молекулами у-го
сорта; Ojj может зависеть от относительной скорости g-tj. Длина
пробега /-молекул относительно /-молекул
^Г D-8)
и общем случае не равна Xtj.
Можно ввести среднюю длину пробега молекул данного сорта,
например сорта I, относительно любой совокупности групп молекул
кD.9)
Ъ
j
где сумма 2 берется по всем группам молекул, относительно кото-
/
рых рассматривается длина пробега.
Наконец, для характеристики состояния газа как целого часто
удобно ввести среднюю длину пробега по всевозможным столкнове-
столкновениям, которую можно определить, например, соотношением
1 v
2" li °4n'niSij
D.10)
Если все сталкивающиеся молекулы одинаковы и Оц = а не зависит
от gij, то средняя длина свободного пробега равна
I=-L, D.11)
agn
где
1-Х

§ 1.6] ЭЛЕМЕНТАРНАЯ КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
— средняя скорость молекул и
1
23
D.13)
— средняя относительная скорость.
Обратим внимание на то, что длина пробега различна в различ-
различных инерциальных системах координат.
В заключение параграфа приведем некоторые характерные зна-
значения (по порядку величины) для введенных выше понятий.
Таблица 2
Азот при давлении
100 атм и 300° К ....
Воздух при нормальных
условиях
Атмосфера Земли на
высоте 100 км
Атмосфера Земли на
высоте 300 км
Атмосфера Земли на
высоте 3000 км
л, \\см.ъ
о о о о о
\, см/сек
5-Ю4
5 ■ 104
W
105
X, см
ю-7
ю-6
ю-'
105
т, сек
10""
ю-9
10~6
1
тс, сек
I I I I
2 2 2 2
Как видно из приведенной таблицы, время между столкнове-
столкновениями т много больше времени столкновения тс даже при давлениях
порядка сотен атмосфер. Поэтому можно считать, что ббльшую
часть времени молекулы движутся в поле внешних сил (в отсутствие
таких сил — прямолинейно), резко изменяя направление и скорость
при кратковременных столкновениях.
§ 1.5. Элементарная кинетическая теория
В этом параграфе приводится элементарное рассмотрение с кине-
кинетической точки зрения основных понятий теории газов. Рассмотрение
является весьма грубым. По существу, это оценка порядков величин.
Однако с помощью элементарного рассмотрения удается выяснить
основные качественные закономерности. Рассматриваемые ниже эле-
элементарные подходы оказываются полезными и при анализе более
сложных явлений (см., например, § 6.6).
С молекулярной точки зрения давление газа на стенки сосуда
есть результат передачи импульса молекулами, ударяющимися

24 ВВЕДЕНИЕ [ГЛ. I
о стенку. Пусть газ находится в сосуде с характерным размером L,
и пусть числовая плотность молекул газа равна я, а средняя ско-
скорость с. Если газ находится в равновесии со стенками, то средняя
скорость молекул, отскакивающих от стенки, равна средней ско-
скорости падающих на стенку молекул. В среднем
в единицу времени каждая молекула испытыва-
испытывает cjL столкновений со стенкой, передавая при
каждом столкновении стенке импульс 2тс. Им-
Импульс, передаваемый единице поверхности в еди-
единицу времени (давление р), следовательно, равен
E.1)
Определим температуру газа как меру сред-
средней кинетической энергии молекул соотношением
Рис.4. |АГ=-^-, F,2)
где k — постоянная Больцмана. Тогда соотношение E.1) можно
переписать в виде
T E.3)
т. е. получаем уравнение состояния идеального газа.
Из определения E.2) следует, что тепловая скорость молекул
имеет порядок скорости звука а:
/3ftГ
m
m V m
(и — отношение теплоемкостей). Этой оценкой мы будем ниже не-
неоднократно пользоваться.
Если имеется смесь N газов, находящихся при одной и той же
температуре Т, то, очевидно,
Лг N N
р~ 2 mvnvcv2 = 2 кТпУ = 2 pv, E.4)
V—1 V=I V—1
где pv—парциальное давление v-компоненты смеси. Формула E.4)
выражает закон Дальтона.
Рассмотрим процесс адиабатического равновесного сжатия. Пусть
газ в сосуде сжимается под действием поршня (рис. 4), скорость
которого равна v. Для того чтобы процесс был обратимым, ско-
скорость v будем считать малой, в пределе равной нулю. За время Д£
поршень проходит расстояние Ax = wA^. За это же время молекула,
двигающаяся в направлении х, столкнется с поршнем сА^/2д: раз,
так как между последовательными столкновениями с поршнем она
Проходит расстояние, равное 2х. При каждом столкновении с порш-
поршнем молекула приобретает скорость 2v. Следовательно, за время Д^

§ 1.5] ЭЛЕМЕНТАРНАЯ КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
молекула приобретает энергию
mi , с г»Д^\2
—- п-А -
25
1иь о 1-^л 2
' /7Х L ■ /7Х 6 .
X П
Это изменение средней энергии молекулы пропорционально измене-
изменению температуры:
3 д„ 9 Дя Дя
тг- k ДГ'—■ тс2 ■— <— р ~^г.
2 п ^ л2
Вводя удельный объем 1^= Ijmn, получим хорошо известное в термо-
термодинамике соотношение:
pdV
,т 3 k
cvdT, с^ = -2- —
E.5)
2
где cv — теплоемкость, приходящаяся на одну молекулу.
Рассмотренные выше явления для идеального (не ван-дер-вааль-
совского) газа не зависят от законов взаимодействия молекул, а сле-
следовательно, и от длины пробега. Давление на стенку, например,
не зависит от того, одна и та же молекула движется от стенки
к стенке или же молекула, падающая на стенку, получила соответ-
соответствующий импульс от другой молекулы в результате столкновений.
Рассмотрим теперь простейшие процессы переноса молекулярных
признаков, которые существенным образом зависят от длины пробега.
Предположим, что в каждой точке течения газ находится в состоянии,
близком к равновесному. В этом слу-
случае тепловые скорости молекул, т. е.
скорости молекул в системе координат,
движущейся вместе с газом, по всем
направлениям имеют Одинаковый поря-
порядок. Средняя скорость, средняя квад-
квадратичная скорость и средняя относи-
относительная скорость теплового движения
молекул также одного порядка, и по-
поэтому ниже между ними не будет де-
делаться различия. С этой точностью в си-
системе координат, движущейся с газом,
длина пробега А<~~ 1/ло.
Рассмотрим для простоты одномер-
одномерное движение газа. Пусть вдоль оси х
меняется составляющая скорости газа uz= и. Две другие составляю-
составляющие скорости будем считать равными нулю (рис. 5). Плотность, тем-
температуру и давление газа будем считать постоянными. В результате
теплового движения молекулы пересекают площадку 00. Число таких
молекул пропорционально плотности п и средней тепловой скорости
молекул с. Молекулы, пересекающие площадку 00, испытали последнее
Рис. 5.

2ft ВВЕДЕНИЕ {ГЛ. I
столююиепме и среднем на расстояниях порядка длины пробега X. По-
Поэтому молекулы, пересекающие площадку 00 снизу вверх, несут импульс
и направлении оси z порядка
да
а молекулы, идущие вниз, — импульс
где и0—скорость газа при л: = 0. Следовательно, импульс, пере-
переносимый тепловым движением молекул через единицу поверхности
в единицу времени сверху вниз, порядка
С макроскопической точки зрения перенос тангенциального импульса
через площадку 00 равносилен напряжению трения
да ,~ „ „
ц-^г, E.6а)
где р, — коэффициент вязкости. Сравнивая E.6) и E.6а), имеем
тс V^kmT
. E.7)
Следовательно, коэффициент вязкости не зависит от давления и
является функцией температуры. Для газа из молекул — твердых
шаров (а = const) коэффициент вязкости ц ~ ]/Y. Для максвел-
ловских молекул сечение столкновения (см. § 1.3) обратно пропор-
пропорционально относительной скорости молекул, а следовательно, и корню
из температуры; в этом случае |i—■ Т.
Если газ покоится, а температура меняется вдоль оси х, то
энергия, переносимая тепловым движением молекул, по порядку вели-
величины равна
, д I тс2\ . , дТ
дх \ 2 )
^г— —у: <—' nCkk —-
дх \ 2 ) дх
С другой стороны, поток тепла равен
где Яг — коэффициент теплопроводности. Следовательно,
Хт—■nckX'— JA'-—' cv\i. E.8)
!")го соотношение справедливо при любом законе взаимодействия
молекул.

§ 1.5] ЭЛЕМЕНТАРНАЯ КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ 27
Рассмотрим теперь смесь двух газов с плотностями ге'1' и п^2К
В каждой точке оба газа имеют одинаковую температуру Т. Давле-
Давление газа будем считать однородным. Пусть плотности п^х) и геB) и
температура меняются только вдоль оси х. Вместе с изменением
температуры меняется и средняя тепловая скорость молекул
(v=l, 2). E.9)
Будем считать, что площадка 00 движется вместе с газом, так что
молекулы переносятся через нее только благодаря тепловому дви-
движению. Если, как и выше, нижним индексом 0 обозначить величины,
относящиеся к сечению 00, то число молекул v-ro сорта, проходя-
проходящих снизу вверх, порядка
<«•"»
Аналогично сверху вниз переносится
(^)(>+W.K<*) E.10а)
молекул.
Следовательно, общее .число молекул v-ro сорта, переносимых
снизу вверх через единицу поверхности в единицу времени, равно
по порядку величины
^^V)- EЛ1)
Скорость v-й компоненты газа равна
Для относительной скорости компонент газа или скорости диффузии
согласно E.11) имеем
я<2>
B),
']■
Обозначим через rej.v' = n^Jn концентрации компонент смеси. Оче-
Очевидно, парциальное давление p(v) равно

Следовательно,
dn<v)
дх
Р
~~ k
ВВЕДЕНИЕ
A 4V) п
\Т дх k
•
ov) дТ
Г2 дх
(ГЛ. I
Подставляя это выражение в E.12) и заменяя c(v) через Т
согласно E.9), получим для скорости взаимной Диффузии следующее
выражение:
j, ^ дх Т дх
где
коэффициент взаимной диффузии и
— коэффициент термодиффузии.
Здесь учтено, что п^ -f- rej,2' = 1 и, следовательно,
Длина пробега A*v) по порядку величины равна
(v, [1=1, 2), E.15)
где avv — сечения столкновений v-молекул между собой и
— сечение столкновений молекул разных сортов. Из E.15) видно,
что в общем случае длины пробега А* и Л,'"' различны.
Если аЯ) = АB), то более тяжелые молекулы диффундируют
в более холодную область. Если массы молекул равны, то в холод-
холодную область диффундируют молекулы с большим сечением столкно-

§ 1.5] ЭЛЕМЕНТАРНАЯ КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ 29
вения. Если массы молекул равны и А,A1=А<2), то термодиффузия
отсутствует. Коэффициенты диффузии обратно пропорциональны
давлению.
Установленные качественные закономерности подтверждаются
точной теорией.
Иногда теорию, подобную только что рассмотренной, называют
теорией средней длины пробега. Теория может быть уточнена
путем введения нескольких длин пробега или путем более точного
учета распределения молекул по скоростям. При этом уточнение
результатов, естественно, достигается за счет усложнения анализа.

Глава II
Уравнения кинетической теории газов
§ 2.1. Описание движения системы многих частиц
Рассмотрим газ, состоящий из N одноатомных молекул. Будем
считать, что состояние молекулы полностью определяется ее коорди-
шггами xt (вектором х) и компонентами скорости ее поступательного
/мшжения li (вектором |), где 1=1, 2, 3, т. е. не будем учитывать
нонможного возбуждения внутренних степеней свободы (вращатель-
пых, колебательных и электронных уровней). Все молекулы будем
считать одинаковыми. Если в момент времени £=0 заданы положе-
положения и скорости всех молекул, то дальнейшее поведение системы
полиостью описывается системой N уравнений Ньютона
где Xh—сила, действующая на k-ю молекулу, и т — масса моле-
молекулы.
Однако если даже предположить, что имеются вычислительные
средстпа для решения огромного числа1) уравнений A.1), то и
и этом случае очевидно, что такое описание движения газа является
тип-пине полным, ибо невозможно осмыслить всю информацию, полу-
получаемую в результате такого решения. Кроме того, мы не распола-
располагаем начальными данными, необходимыми для решения системы (Ы).
Поэтому приходится прибегать к менее полному статистическому
описанию поведения системы.
11;|;юием у-фазоеым пространством или просто у-пространст-
пом (i-мерное пространство, в котором состояние молекулы опреде-
определяется тремя ее пространственными координатами и тремя соста-
нлшош.ими ее скорости. В Y-пространстве система N молекул изо-
изображается N точками с координатами (х,, |г), где г= 1, ..., N.
Чисто удобно пользоваться бА/-мерным фазовым пространством
пли V-нространством, координатами которого являются декартовы
') Напомним, что в 1 см3 при атмосферном давлении находится 1019 мо-
молекул, а на высоте 300 км— 109 молекул. В самых совершенных вакуумных
успшонках в 1 см3 находится 107 —108 молекул.

§ 2.1] ОПИСАНИЕ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ МНОГИХ ЧАСТИЦ 31
координаты и составляющие скоростей всех N молекул. В таком
пространстве вся система из N молекул изображается одной точкой.
Вместо того, чтобы говорить об истинном состоянии системы
многих частиц, будем говорить о вероятности нахождения системы
в том или ином состоянии. Пусть
FN(t. rN, ■uN)drNdvN = FN(t, zx zN)dzx ... dzN =
= FN(t, xx xN, |1? .... |^)dxx ... dxNd\x ...dxN
(dx = dxx dx2 dx3, dl = d\x d\2 d\z, z == (x, |),
dz = dxdl, rN==(xx, .... xN), vN = (lv .... lN))
— вероятность нахождения системы в состоянии со значениями rN, 4)N
в интервале drNdvN около точки (rN, vlV) в Г-пространстве, FN —
функция плотности вероятности.
Если все молекулы одинаковы, то от перестановки (перемены
местами) молекул в у-пространстве состояние системы не меняется.
Однако каждой перестановке (перенумерации точек) в у-пространстве
в Г-пространстве соответствует новая точка. Поэтому одному и
тому же облаку из N одинаковых молекул в у-пространстве в Г-про-
Г-пространстве соответствует ЛП точек. При этом /V! точек распределены
так, что функция FN(t, zv .... zN) симметрична относительно
переменных zt. Если
/лг(*. х\ xN, |, lN) dxx ... dxN d\x ... d\N
есть вероятность нахождения системы в точках (хг, |f) Y-пространства
в интервалах dxt d^, то, очевидно, с учетом перестановок
fN dxx ... dxN d% ... dlN = N\ FN drN d<vN.
Для менее детального описания системы введем функции
'sV' z\> • • ■• zs)^Fs(t, Хг XN, |j, ..., £,s) =
nV. zx zN)dzs+l ... dzN. A.2)
Функция Fs определяет вероятность одновременного обнаружения s
молекул в состоянии (zlt ..., zs) независимо от состояний осталь-
остальных А/ — s молекул.
Соответственно
ЛП
/si*. zl zs)= (Af-s)l F^f- Zl zs)-
Все функции Fj^O я нормированы таким образом, что
Г FNdzx ... dzN = 1 и J Psdzx .. . dzs= 1.

,'tt УРАВНЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ [ГЛ. П
В дальнейшем нас будет интересовать главным образом одно-
частичная функция распределения Fx(t, х, |), определяющая вероят-
вероятность нахождения в момент времени t одной частицы в элементе
фазового пространства dx-ld'Stl в окрестности точки (хг, |;). Как
будет видно из дальнейшего, функции Fx достаточно для описания
движения газов умеренной плотности, составляющих предмет настоя-
настоящей книги. Состояние более плотных газов зависит от взаимного
расположения двух молекул (определяется бинарной функцией рас-
распределения) и т. д.
Для идентичных молекул функция
fit, х, l)dxdl = NF1it, xv lx)dxdl A.3)
есть ожидаемое число молекул в элементе объема физического про-
пространства dx около точки х, обладающих скоростями в элементе
пространства скоростей d| около точки |.
Функция распределения f(t, X, |) является основной во всей
кинетической теории газов. Однако и эта функция дает излишне
детальное описание газа. В результате какого-либо эксперимента мы
можем получить лишь некоторые осредненные величины, такие, как
плотность газа, его скорость, тензор напряжений или поток энергии.
Поэтому в подавляющем большинстве задач нас интересуют именно
эти осредненные характеристики. Но, как будет показано ниже,
гидродинамическое описание газа возможно лишь при достаточно
малых длинах пробега молекул. В общем же случае приходится ре-
решать задачу на молекулярном уровне, т. е. отыскивать функцию
распределения fit, x, |), а затем путем ее усреднения переходить
к интересующим нас макроскопическим величинам.
Из определения функции / легко видеть, что число молекул
в единице объема газа п равно
nit, x)= J fit, х, \)d\, A.4)
где интегрирование ведется по всем возможным скоростям молекул.
Аналогично средняя скорость молекул, тензор напряжений и вектор
потока энергии определяются соотношениями:
и it, x)=~ J lf{t, х, %)d%, A.5)
,x,l)dl, A.6)
i=^\ c4}f{t,x,l)dl. A.7)
Здесь c=|— ti — тепловая, или с об cm.ee иная, скорость молекул.
Среднюю энергию теплового движения молекул характеризуют
обычно температурой, определяемой в кинетической теории газов

i) ->.\) ОПИСАНИЕ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ МНОГИХ ЧАСТИЦ 33
1 оотношением
J ^Ddl, A,8)
i.d.c k—постоянная Больцмана. Коэффициент при Т в соотноше-
соотношении A.8) выбран таким образом, чтобы в равновесном состоянии
доля энергии, приходящаяся на каждую из поступательных сте-
степеней свободы, равнялась бы */г &Т.
Введем также величину
Р =1(^1+^22+^33). A-9)
совпадающую с обычным давлением при гидродинамическом описании
пш. С помощью A.6) и A.8) соотношение A.9) можно переписать
[| виде
p = nkT. A.10)
Заметим, что тензор /Ji;- симметричный и что введенные темпера-
iypa Т и давление р не являются независимыми параметрами, так как
они представляются через компоненты тензора Ptj. Поэтому при
щ/фодинамическом описании газа участвуют всего тринадцать неза-
ппсимых величии. Вместо тензора напряжений A.6) часто удобней
использовать тензор
A.11)
В заключение заметим, что связь между функциями распределения
рапного порядка не взаимно однозначна. Действительно, пусть в мо-
момент времени t-~0 задана функция Fs при 1 •< s < /V. Так как Fs
чпляется интегралом от FN, то, очевидно, существует целый класс
функций {/''л/С)), соответствующих одной и той же функции Fs@).
11 произвольный момент времени t > 0 семейству начальных состоя-
состояний системы {/'/ДО)} соответствует семейство состояний {FN(t)},
кнждому из которых соответствует своя функция Fs(t), т. е. одной
функции /%@) соответствует, вообще говоря, целое семейство
функций \Fs(t)}, т. е. описание движения газа на уровнях s < N
неоднозначно. Для того чтобы сделать это описание однозначным,
необходимо ограничить класс рассматриваемых функций F^, т. е.
ограничить класс рассматриваемых явлений.
Если, например,
= Fx(t, xv IJF^t, x2. gjj) ... Fx(t, xN, lN), A.12)
то начальной функции Fx @) соответствует единственная функция
FN@) и описание движения газа с помощью функции Fx однозначно.
Условие A.12) выполнено, если вероятности нахождения каждой из
3 М. Н. Коган

Ij-l УРАВНЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ [ГЛ. II
молекул системы в том или ином состоянии независимы. Это условие
называют условием молекулярного хаоса. По-видимому, реальные
газы всегда удовлетворяют этому условию1). Ниже рассматри-
рассматриваю гея лишь системы, удовлетворяющие предположению о молеку-
молекулярном хаосе.
§ 2.2. Уравнение Больцмана2)
Рассмотрим газ, в котором время между столкновениями х много
больше времени столкновения тс. Как отмечалось в § 1.4, этому
условию удовлетворяют как разреженные, газы, составляющие основ-
основной предмет настоящей книги, так и весьма плотные в обычном по-
понимании газы при давлениях порядка десятков и сотен атмосфер.
Как уже отмечалось в § 1.1, нас будут интересовать лишь
идеальные газы, т. е. газы, л которых объем, занятый молекулами,
мал по сравнению с объемом, занятым газом. Если d—эффективный
диаметр молекулы, то асимптотически в идеальном газе nd^ = e—.>■ О,
где п — число молекул в единице объема. Назовем идеальный газ
газом Болъцмана, если отношение длины пробега молекул в этом
газе к характерному размеру течения L конечно, т. е. если
Lnd2 = const при nd3-^0,
гак как длина пробега обратно пропорциональна nd2 (см. § 1,4).
Если одновременно
то такой газ будем называть газом Кнуосена. В таком газе столкно-
столкновения молекул несущественны. Ниже рассматривается больцманов-
ский газ.
1. Движение молекулы между столкновениями полностью опреде-
определяется внешними силами и не зависит от положения и скоростей
других молекул. Поскольку молекулы подавляющую часть времени
не взаимодействуют друг с другом, то состояние газа можно описать
одночастичной функцией распределения /(/, х, §), определенной
в предыдущем параграфе. Взаимное расположение молекул сказы-
сказывается лишь в момент столкновения. При 1с<^^х, очевидно, вероят-
вероятность тройных столкновений много меньше вероятности парных
столкновений, и ими можно пренебречь.
Согласно определению функции / в элементе физического
объема dx около точки х в момент времени t вероятное число мо-
молекул со скоростями в элементе d% около | равно f(t, x,
<) См. по этому поводу § 2.2 и 2.3.
2) Превосходное изложение основ кинетической теории дано Больцма-
ном: Больцыан Л., Лекции по теории газов. Гостехиздат, 1956.

§ 2.2]
УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА
35
Очевидно, что элемент объема dx должен быть достаточно малым,
чтобы изменения функции / в пределах этого элемента были малыми.
В то же время этот элемент не
должен быть слишком малым, так
как относительная флуктуация
функции / обратно пропорцио-
пропорциональна корню из числа частиц
в элементе. Поэтому необходимо,
чтобы Yndx^§> 1, т, е. чтобы
в элементе было достаточно боль-
большое число частиц.
Если молекулы не испыты-
испытывают столкновений, то в момент
времени t-\-dt все эти молекулы
окажутся в элементе объема dx
около точки лс —J- %dt и будут об-
обладать скоростями в элементе d\
около скорости \-\-{Xu\m)dt,
где X0(t, х) —внешняя сила,
действующая на молекулу. (Оче-
(Очевидно, что сила X0(t, x) должна мало меняться внутри элемента dx
и за время dt.)
Следовательно, в этом случае
Рис 6,
f(t, х,
B.1)
Однако и действительности эти две величины отличаются друг от
./фуги, гак как и результате столкновений часть A dxd\dt из рассмат-
|)iiii:ii-Mo(t памп группы молекул изменит свою скорость и в момент
/ | (II не попадет в элемент фазового пространства dxd\ около
точки (х \ \dt, |~f- (Xojtn}dt). С другой стороны, в этом элементе
в момент времени t-\-dt в результате столкновений может оказаться
Л '' dх dt, dt молекул, не находившихся в момент t в элементе dx dt,
около точки (х, |).
Таким образом,
fit -{-dt,
+ Idt,
= f(t, x,
B.2)
Определим число молекул Д dxd\dt, покидающих в результате
столкновений рассматриваемую группу молекул, движущихся со ско-
скоростью |. Рассмотрим столкновение одной из молекул группы (|-мо-
лекулу) с молекулой, движущейся со скоростью \х (с |]-молекулой).
Проведем через ^-молекулу прямую (рис. 6), параллельную вектору
относительной скорости ig-=g1—|. Примем эту линию за ось

36 УРАВНЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ [ГЛ. II
цилиндрической системы координат z, b, г. Сделанное в начале пара-
параграфа предположение о малости времени столкновения тс по сравне-
сравнению с временем между столкновениями равносильно предположению
о малости расстояния, на котором сказываются межмолекулярные
силы, по сравнению с длиной свободного пробега. Поэтому можно
считать, что на некотором расстоянии z0 от £,-молекулы траектории
1,-молекул практически не возмущены. Через элемент Ь db йг пло-
плоскости z0 = const за время dt проходит
f{t, х, lx)gbdbdzdt B.3)
gj-молекул. Для получения полного числа столкновений, испытывае-
испытываемых £,-молекулой, выражение B.3) нужно проинтегрировать по всем
углам 8, по всем прицельным расстояниям Ь и всем скоростям \х\
тогда получим
dtjf(t, х, Ugbdbdzdl,. B.4)
Отсюда общее число столкновений, испытываемых всеми ^-молекулами
в элементе dx d\, очевидно, равно
x, g)J/,(*, х, l)gbdbd&dlx. B.5)
В результате столкновения, характеризуемого углом е и прицель-
прицельным расстоянием Ь, £,- и |;-молекулы приобретут соответственно
скорости |' и |j. Будем считать потенциал взаимодействия молекул
обладающим сферической симметрией. Тогда (см. § 1.3)
g = g', Ъ = Ъ' и е = е', B.6)
где штрихами отмечены соответственно Относительная скорость и
прицельное расстояние молекул после столкновения. Если Ъ,'- и
lj-молекулы столкнутся с прицельным расстоянием b' = b, то, как
показано в § 1.3, в результате столкновения они приобретут ско-
скорости соответственно | и |j. По аналогии с соотношением B.5)
имеем
Д+ dtdxd\ = dtdxd\' J f(t, x, l')f(t, x, %)g'b' db' dz' dl[. B.7)
В отличие от выражения B.5) здесь функция fit, x, |') не может
быть вынесена из-под знака интеграла, так как каждому значению
скорости |j соответствует такая скорость |', чтобы в результате
столкновения ^'-молекула приобрела скорость |. Далее из теоремы
Лиувилля о сохранении фазового объема имеем
dldl^dl'd%^). B.8)
') См., например, Зоммерфельд А., Термодинамика и статистическая
физика, ИЛ, 1955. Этот факт легко также установить непосредственным
вычислением якобиана преобразования.

§ 2.2] УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА 37
Подставим выражения B.5) и B.7) в уравнение B.2), заменим г',
b', g' и fif|'fif|j с помощью соотношений B.6) и B.8) и разложим
левую часть B.2) в ряд по dt; сокращая на dtdxd\, получим
df
где!)
Ж = ft + 6 ' Й + 5 ' % = J iff г ~ //,) ** « Л **,. B.9)
. f = f(t,x, I), /, = /(*, *, 10. /' = /(*.*. Г).
Это уравнение является основным уравнением кинетической тео-
теории газов. Его называют обычно уравнением Больцмана или
Максвелла — Больцмана. Интеграл, стоящий в правой части урав-
уравнения, называется интегралом столкновений.
Следует заметить, что при выводе уравнения Больцмана мы следим
за молекулами вдоль их фазовой траектории. Поэтому для вывода
уравнения B.9) необходима лишь дифференцируемость функции
распределения вдоль фазовой траектории, т. е. существование
производной dfjdt, в то время как производные dfjdx, dfjd\ и dfjdt
могут и не существовать.
При выводе уравнения Больцмана мы сделали ряд существенных
предположений 2). Во-первых, мы ограничились учетом лишь парных
столкновений, что оправдано разреженностью газа.
Очевидно, что вероятность столкновений двух молекул опреде-
определяется бинарной функцией распределения P2(t, Xv |lF x2, 1г)- Второе
паше предположение состояло в том, что мы считали вероятности
нахождения молекулы 1 в фазовой точке (x[t |,) и молекулы 2
и точки (X,, £..) позанисимими, т. е. полагали
F2(t, xIt II x2, 12) = ^ft, xv h)F,(t, x2, g2).
Это предположение называют предположением о молекуляр-
молекулярном, хаосе.
Наконец, третье предположение состояло в том, что мы считали
одинаковой вероятность столкновения молекул с любым прицельным
|икч-.тонпием, т. е. предполагалось, что функция f(t, xv |j) не изме-
изменяется на расстояниях порядка диаметра взаимодействия и что
/(/, *,, £,) = /('. х, Ю-
1) Для любого вектора а = (аь а2, as)
д д . д , д
да~ ' da, 'rh да2 +hT^'
где i[, ii, h — орты декартовой системы координат.
-) Об анализе предположений см, также следующий параграф.

38 УРАВНЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ [ГЛ. II
Рассмотрим простой пример механической системы. Пусть имеются
две упорядоченные группы молекул — твердых шариков (рис. 7).
Диаметры шаров d будем считать малым по сравнению с шагом h.
Легко видеть, что эта система не удовлетворяет третьему предполо-
предположению. Действительно, если прицельное расстояние d < Ь < h — d,
то молекулы вообще не сталкиваются. При Ь < fif
|~"h ~*1 все молекулы сталкиваются с одним и тем же
' прицельным расстоянием, и поэтому после столк-
— О~~ новения молекулы каждой из групп опять об-
ладают одинаковой скоростью. Если бы мы
^Г1®1лл® f-N® рассмотрели эти же группы молекул в рамках
J [""" V~^ предположений, использованных при выводе
^~-£ уравнения Больцмана, то каждая молекула
w v щ одной группы могла бы столкнуться с-молеку-
Рис. 7. лой другой группы с любым прицельным рас-
расстоянием. В результате после столкновения мо-
молекулы приобрели бы целый спектр скоростей. Очевидно, что по-
поведение системы в этих двух случаях совершенно различно. Следо-
Следовательно, уравнение Больцмана применимо только к неупорядоченным
системам. Теоретически упорядоченная механическая система может
сколь угодно долго оставаться упорядоченной (это особенно легко
видеть на примере системы, показанной на рис. 7, при й = 0).
Однако в действительности всегда имеется некоторый разброс в на-
начальных данных. Для молекулярных систем наличие разброса сле-
следует из принципа неопределенности Гейзенберга. Действительно, рас-
рассмотрим, например, пучок молекул, налетающий на .молекулу. Если
Дй—разброс в прицельных расстояниях и Д|_|_ — разброс в попереч-
поперечной скорости (A|j_/|—расходимость пучка), то согласно принципу
неопределенности
где й= 1,054- 10~27 эрг/сек—постоянная Планка. Для оценки при-
примем A|j_= 104 см/сек (при с, —■ 10 см/сек) и т== 10~ г (масса про-
протона равна 1,67- 10" 4 г). Тогда для разброса в прицельных рас-
расстояниях получаем оценку &Ь—■ 10~ см, т. е. порядка диаметра
молекул. Чем больше разброс в начальных данных, тем меньшее число
столкновений необходимо для ликвидации порядка. Приведенная грубая
оценка показывает, что в молекулярных системах всегда имеется
значительный разброс, и поэтому можно считать молекулярные си-
системы неупорядоченными. Более того, очевидно, что наличие разбро-
разброса (неопределенности в прицельных расстояниях) должно в резуль-
результате столкновений приводить и к хаосу в указанном выше смысле
(к независимости), даже если молекулы коррелированы в началь-
начальный момент. Следовательно, можно ожидать, что для установления

(, :>..:'] УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМДНА ' 39
молекулярного хаоса необходимо время порядка времени между
столкновениями.
Урапнение Больцмана может быть применено для описания про-
цесео», происходящих за время между столкновениями или меньшее,
по много большее времени столкновения. В этих случаях необходимо,
чтобы условие хаоса выполнялось уже в начальный момент. В пода-
иляющем большинстве случаев реальные молекулярные системы удо-
илепюряют этому требованию. В тех исключительных случаях, когда
условие молекулярного хаоса в начальный момент или на границах
по выполняется, можно ожидать, что молекулярный хаос установится
аа премя порядка времени между столкновениями.
Как мы увидим дальше, основанное на обратимых законах меха-
механики ураннепие Больцмана описывает необратимые процессы. Именно,
внодя предположения о молекулярном хаосе и неупорядоченности
(pa.iopoce, неопределенности) в прицельных расстояниях, мы отсту-
отступили от чисто механического (детерминированного) обратимого опи-
описания движении системы. Вероятностный характер описания газа
обусловлен также вероятностными начальными и граничными условиями.
Обратимся опять к примеру, приведенному на рис. 7. Если в такой
(."inлч'.ме и какой-то момент изменить знак времени, то скорости
молекул также изменят знак, и система пойдет в обратном напра-
ПЛ1.ЧЦ1И черс-а ту же последовательность состояний, что и на прямом
нуги (плмгпеп будет лишь знак у скоростей). Если же мы и при
прямом и при обрашом движении будем считать систему неупоря-
.нпчсипоП (будем допускать ра.чброс), то, очевидно, прямой и обратный
iiv гп оулу i рпалмчшл, т. е. про-
нп I I'lV'iri П''оГ)рц MiMiiiM, It реаль-
реальны», Mll/ll KVi'lllplll.14 t III ICM.'IX hll.1 f / \ ,§
MMfi'M именно niopoll случи!!, млн
lilH'opnn> iojh.mi ii пмеег смысл
2. Можно несколько прсоб-
pii.ionari. уравнение Больцмана для
молекул и пиле тиердых сфер
р
Обозначим через v]) угол меж- Рис. 8.
/i,y пестром относительной ско-
poi in ;■> и линией центров молекул при столкновении (рис. 8). Легко
пиле п., Ч1о
ураниепие B.9) можно переписать в виде

40 УРАВНЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ [ГЛ. II
где k — единичный вектор вдоль линии центров в fifQ = sin ф й?ф йг —
элемент площади единичной сферы. Интегрирование ведется по всей
этой сфере. Поэтому интеграл необходимо разделить на два, чтобы
не учитывать одни и те же столкновения дважды.
В § 1.3 показано (формулы C.10), C.11)), что для молекул
со степенным законом взаимодействия угол отклонения % является
функцией одного параметра
4(s — \)K
Поэтому для таких молекул целесообразно в уравнении Больцмана B.9)
заменить интегрирование по Ь интегрированием по р. Произведя
замену переменных, получим
4f~(*SL=^I=TSv'x-fw^pdpto^. B.И)
Для максвелловских молекул s = 5 и уравнение принимает более
простую форму, не содержащую явно g:
I,- B-12)
Благодаря этому упрощению максвелловские молекулы получили
широкое распространение в теоретических исследованиях (см., на-
например, § 3.3).
Еще большими математическими удобствами обладают так назы-
называемые псевдомаксвелловские молекулы '). Это некоторые гипо-
гипотетические молекулы, которым, строго говоря, не соответствует
какой-либо потенциал взаимодействия. По определению псевдо-
псевдомаксвелловские молекулы—это молекулы, для которых уравнение
Больцмана может быть представлено в виде
I
B.13)
где
'2 Г
J
— некоторая константа. (Для максвелловских молекул А бесконечно.)
Так как Л = const, то интегрирование по р ведется до некоторого
конечного р=рШах и первый интеграл в B.13) ограничен.
Следует отличать псевдомаксвелловские молекулы от максвел-
максвелловских молекул с «обрезанным» потенциалом, т. е. молекул с
') О г a d H., Handbuch der Physik 12, 1958.

§ 2.2] УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА 41
потенциалом вида
j^ Ъ<Ъ0,
[ 0 при Ъ > Ьо.
Для таких молекул пределы интегрирования по р зависят от g и
переход от переменной Ь к переменной р не приводит к упрощениям,
свойственным максвелловским молекулам. Псевдомаксвелловские же
молекулы, обладая конечным эффективным сечением, сохраняют все
удобства максвелловских молекул, что позволяет для них суще-
существенно упростить многие доказательства и расчеты.
3. Уравнению Больцмана можно придать несколько иную форму.
Обозначим через W (%, %1 | §', §j) ^> 0 вероятность того, что в резуль-
результате столкновения молекул со скоростями § и §, g-молекула при-
приобретет скорость |', а gj-молекула — скорость gj. Тогда число
молекул в единице объема, покидающих группу |-молекул в единицу
примени, очевидно, равно
Аналогично
Л '■ dl = rfg f f'f[W (&'. l[ 11. 10 dl, dl' d%;
(мн'.моипu'Jiiiiio, vpaiiiii'iiiu: Польцмапа принимает вид
B-14)
Копиреinull пил функции W определяется свойствами взаимодействия
молекул и но нанпсит от вида функции распределения /.
U § {.'Л показано, что результат столкновения определяется отно-
относи u'jii.noil скоростью молекул и прицельным расстоянием. Так как
(пиоситсльпая скорость молекул одинакова до и после столкновения,
то иороятпость того или иного результата столкновений определяется
Ирмцилышм расстоянием. Если молекулы обладают сферическим потен-
нпплом и:шимодействия, то при столкновениях с одинаковым при-
прицельным расстоянием молекулы со скоростями | и |j приобретают
(нотшггстпеиио скорости |' и |J и, наоборот, молекулы со скоро-
скоростями £' и |j — скорости | и |j. Следовательно, вероятность прямых
И обратных столкновений одинакова, т. е.
W(t iiir, 1[) = ^(Г. II|i. 10- С2-15)

42 УРАВНЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ [ГЛ. II
Для молекул, удовлетворяющих условию B.15), уравнение Больц-
мапа B.14) принимает вид
iiZ_— \ iff ff\W(i S IS' E'WS df d'c' (9 16 s
III fj \ ' I
Как уже отмечалось, вероятность W определяется относительной ско-
скоростью и прицельным расстоянием. Каждому прицельному расстоянию
(при данной относительной скорости) соответствует определенный
угол рассеяния у. Поэтому вероятность W (%, |, | %', I',) можно заме-
заменить вероятностью рассеяния в данный телесный угол W^ (g, %).
Тогда уравнение Больцмана можно переписать в виде
df — * ' f
dt v ' V '
Между вероятностями перехода,, прицельными расстояниями и диф-
дифференциальными сечениями столкновений о существует очевидная
связь:
gb db cle = ga (%, g) sin % d% dt =
= Wl(g. %)sin%dxde^W(t Ijjl', l^rfl'rfi;. B-.18)
По существу, соотношения'B.18) являются определениями введенных
выше функций W и Wv
С использованием дифференциальных сечений уравнение Больцмана
принимает вид
~J[= ) [f f\ — ffi}Sa(%. g)sin%dxdEd^. B.19)
Часто уравнение Больцмана записывают в форме
-—-= ) Вф, g)(f'f'1—ff1)d&ded%l, B.20)
где
В(®, g) = g
и 2# = я—х (см. § 1.3).
Для молекул со степенным законом взаимодействия (ср. B.11))
2 , г
В частности, для максвелловских молекул (s = 5) функция В не
зависит от g, т. е. В = В (О).
Заметим, что далеко не для всех молекул уравнение B.14) может
быть сведено к уравнениям в форме B.16), B.17) или B.19). Соот-
Соотношение B.15) справедливо лишь для молекул с достаточной сим-
симметрией. Равенство B.15) существенным образом опирается на тот
факт, что при равных прицельных расстояниях в результате столк-

§ 2.3] ВЫВОД УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА ИЗ УРАВНЕНИЯ ЛИУВИЛЛЯ 43
новений происходят переходы g, |х-ч>%', |J и 1', 1J->1, lj. В § 1.3
для доказательства этого мы использовали преобразования инверсии
пространства (замена х, у и z соответственно на —х, —у, —z)
и времени (замена t на — t). Легко видеть, что для молекул без
достаточной симметрии нельзя сделать указанный вывод. Более того,
при инверсии молекулы, не обладающие достаточной симметрией,
перейдут в молекулы, которые нельзя совместить с рассматриваемыми
путем поворота, т, е, перейдут в молекулы, обладающие другими
свойствами, или, иными словами, в молекулы другого газа,
§ 2.3. Вывод уравнения Больцмана из уравнения Лиувилля1)
В предыдущем параграфе дан вывод уравнения Больцмана непо-
непосредственно для одночастичной функции распределения f(t, x, |).
Установим теперь связь уравнения Больцмана с общими положениями
статистической механики.
1. Рассмотрим больцмановский газ, состоящий из достаточно
большого числа N частиц. Будем описывать движение газа в бЛ/'-мер-
ном фазовом Г-пространстве, координатами которого являются SN
декартовых координат частиц и 3./V составляющих их скоростей.
В этом пространстве система из ./V частиц изобразится точкой. Дви-
Движение системы во времени изображается некоторой линией — фазовой
траекторией системы. Следуя основной идее статистической механики,
принадлежащей Гиббсу, будем рассматривать не одну систему, а целый
ансамбль тождественных систем, распределенных по фазовому про-
пространству в соответствии с Л^-частичной функцией распределения
f'iv(t, Х\. ■ ■ , -%> £i>---> ё/v)-
Вместо того чтобы утиерждать (как это обычно делается в ме-
механике), что и некоторый момент времени t система находится
и такой-то точке фазового пространства, будем говорить о вероят-
вероятности нахождения в момент t системы в том или ином элементе
фазового пространства, равной
dW=FN(t, xv ..., xN, i, lN)dXi ... dxNd% ... rfg^ =
= FNdzl ... dzN = FNaz, C.1)
где
dZf = dxt d%t, dz = dz{ . . . dzN.
') Читатель, интересующийся лишь приложениями уравнения Больцмана,
может выпустить этот параграф. Однако для более глубокого понимания
как свойств уравнения Больцмана и области его применения, так и связи его
С общими положениями статистической механики изучение этого параграфа
необходимо. Подходы, примененные в этом параграфе, будут неоднократно
использованы в дальнейшем.

44 УРАВНЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ [ГЛ. II
Для краткости будем в дальнейшем применять также следующую
запись:
FN(t, де„ ..., xN, Il -.., %N)=FN(t, zv .... zN) = FN(t, z).
Так как все молекулы одинаковы, то функция FN(tl, zv ..., zN)
симметрична относительно ./V переменных zt (см. § 2.1).
Если представить ансамбль в виде достаточно большого (в пределе
бесконечного) числа систем q/V°, to плотность вероятности FN равна
отношению числа фазовых точек ансамбля n(z) в единице фазового
объема к J\T.
Пусть в некоторый момент t0 фазовые точки ансамбля распре-
распределены в соответствии с заданной в этот момент времени плотностью
вероятности. Каждая фазовая точка ансамбля изображает систему
из ./V частиц, движущихся в соответствии с законами механики, т. е.
се движение описывается Аг уравнениями Ньютона
ml£$- = Xl(t, zx, ..., zN), (i=l N), C.2)
где Xt — сила, действующая на /-ю молекулу.
Очевидно, что фазовые траектории различных систем ансамбля
не могут пересекаться, так как если бы это случилось, то мы полу-
получили бы, что одна и та же механическая система (системы ансамбля
тождественны) может двигаться различным образом при одних и
тех же начальных условиях, что невозможно.
Движение ансамбля подобно движению газа с плотностью FN.
Очевидно, что системы, составляющие ансамбль, не возникают и не
исчезают в процессе движения. Поэтому общее число систем, вхо-
входящих в ансамбль, не изменяется, т. е., на языке гидродинамики,
нет источников и стоков. Следовательно, должно выполняться ура-
уравнение неразрывности, которое для Л/-мерного пространства примет
вид
6F.. *гч д
1 = 0, C.3)
l-l
где
и xt и \t—радиус-вектор и скорость г-й частицы системы. Оче-
Очевидно, что Xt=%i и согласно C.2)
mil = Xl{t, z).

§ 2.3] ВЫВОД УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНЛ ИЗ УРАВНЕНИЯ ЛИУВИЛЛЯ 45
Поэтому уравнение C.3) преобразуется к виду
Это — хорошо известное уравнение Лиувилля.
Если сила, действующая на частицы, зависит только от коорди-
координат частиц и не зависит от их скоростей, то в последнем члене Х1
можно вынести из-под знака дифференцирования '); имеем:
=* <■='
Уравнение Лиувилля C.5) утверждает, что плотность вероятности
или плотность фазовых точек ансамбля постоянна вдоль фазовой
траектории системы,
2. Боголюбовым, Кирквудом и другими авторами 2) предложены
общие методы, позволяющие получить из уравнения Лиувилля не
только уравнение Больцмана, учитывающее лишь парные столкнове-
столкновения, но более общие уравнения, учитывающие тройные и множе-
множественные столкновения молекул. Эти методы служат основой для
построения уравнений, описывающих плотные газы и жидкости.
Следующее ниже изложение опирается на идеи работы Н. Н, Бого-
Боголюбова. Мы также используем формализм метода многих масштабов 3).
Как уже отмечалось в § 2.1, Л/-частичная функция FN дает из-
излишне детальное описание процессов. Для получения уравнений,
которым удовлетворяют функции распределения более низкого
') Если сила перпендикулярна скорости движения молекулы, то она
также может быть вынесена из-под знака дифференцирования, К таким си-
силам относится, например, пондеромоторная сила Х= е/с (§ X Н), действую-
действующая на заряд, движущийся в магнитном поле Н.
2) Боголюбов Н. Н., ЖЭТФ 16, вып, 8, 681 A946); Боголю-
Боголюбов Н. Н„ Проблемы динамической теории в статистической физике, Гос-
техиздат, 1946; К i r k w о о d J. Q., J. Chem. Phys. 14, 180 (A946) и J. Chem.
Phys. 15, 72 A947); BornM., Green H. S,, Proc. Roy, Soc. A188, 10
A946); Green H. S., Proc. Roy. Soc. A189, 103 A947); Yvon J,, La Theo-
rie Statistique des Fenids et Г Equation d'Etat, Paris, 1935; Пригожий Н.,
Неравновесная статистическая механика, «Мир», 1964; см, также У л е н-
бек Дж. и Форд Дж„ Лекции по статистической физике, «Мир», 1965;
Гуров К. П., Основания кинетической теории газов, «Наука», 1966.
3) См., например, изложение этого метода в книге М. В а н-Д а й к а
(Van Dyke M., Perturbation Methods In Fluid Meckanics, Academic Press,
1964). К рассматриваемому вопросу метод применен в работе М с С u n e
J. E., Sandrl О., Frieman E. A., Rarefied Gas Dynamics, Third Syrap.,
Academic Press, 1963 (русский перевод в сб. «Некоторые вопросы кинети-
кинетической теории газов», «Мир», 1965) и в работе S u С, Н„ Phys. Fluids 7,
№ 8 A964). См, также Жигулев В. Н„ ДАН СССР 161, № 5 A965);
Коган М. Н„ Механика жидкости и газа, N° 6 A966).

46 УРАВНЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ [ГЛ. II
порядка (л-частичиые функции распределения Fs при s < N), проинте-
проинтегрируем уравнение Лиувилля C.5) по zsii, ..., zN:
Пусть газ находится в сосуде, объем которого равен V. Так как
пределы интегрирования не зависят от времени, то в первом члене
можно поменять порядок интегрирования и дифференцирования, и,
следовательно, имеем
6F" d- ' 3F~
s+l ■
Точно так же можно поменять порядок действий и во втором члене
при / <^ s:
При i^-s-\-\ имеем
" |.. ^ж dzs+l ...dzN=jh- ^^^r^^^dx.di^
= — Fs+\(t> z\ zs< zt)(?>i ■ n)dSd%i, C.9)
s
где S — поверхность сосуда и п—нормаль к ней, направленная
в сторону газа. Легко видеть, что последний интеграл определяет
вероятность проникновения i-й частицы через стенку сосуда в то
время, как s частиц находятся соответственно -в состояниях zy, . . ,
..., zs. Так как стенки непроницаемы, эта вероятность, а следова-
следовательно, и интеграл равны нулю.
Рассмотрим теперь последний член в уравнении C.6). Так как
энергия газа конечна, то плотность вероятности FN должна стре-
стремиться к нулю при |—>оо. Поэтому интегралы
— ■ ^r dzQ,. ... dzN= -™— • —^Fpj) dz,,, ... dzN == О
m d%i s+1 J dlt \ m NI
C.10)
равны нулю при l^.s-\-\.
Для простоты будем считать, что внешних сил нет и что
N
Jf ^р V f J?~ Г\\ /О 1 1 \
/=1 1)'
где Х^(Х1, Xj) — сила, действующая на i-ю молекулу со стороны
у'-й молекулы.

§ 2,3] ВЫВОД УРАВНЕНИЯ БОЛЫДМАНА ИЗ УРАВНЕНИЯ ЛИУВИЛЛЯ 47
Учитывая C,10) и C,11), третий член уравнения C.6) перепишем
в виде
J Zi m
i i
U m
m
,)dzi
Вследствие тождественности частиц это соотношение можно пере-
переписать в виде
N
i, j
- (ЗЛ2)
Собирая полученные результаты, окончательно для s-часгичной функ-
функции распределения имеем
i-l i. /
Л с» Г X,
/...i
Полагая последовательно s=l, 2 получим цепочку уравне-
уравнений Боголюбова '). Важно отметить, что в уравнение для функции /■',
входит функция F2, в уравнение для F2 входит функция Fs и, во-
вообще, в уравнение для Fs входят функции Fs+l, т. е. мы имеем
зацепляющуюся систему уравнений. Силы ХГ] предполагаются
быстро убывающими по мере увеличения расстояния между молеку-
молекулами е и у. Поэтому стоящие в левой части уравнений C.13) члены
вида-
отличны от нуля лишь в малых областях порядка радиуса взаимо-
взаимодействия молекул d. Внутри же этих малых областей эти члены
') В иностранной литературе эту систему уравнений иногда называют
BBQKY-иерархией (Боголюбов ~ Бори — Грин — Кирквуд — Ивон, см, сноску
на стр. 45),

48 УРАВНЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ [ГЛ. II
являются определяющими, гак как имеем очевидную оценку
.-ii^ia, C.14)
т d v '
где Е,ср — средняя скорость молекул. Эти пикообразные члены вхо-
входят во все уравнения, кроме уравнения для Fv Поэтому можно
ожидать, что функции Fs при s ф \ могут резко меняться в областях
порядка диаметра взаимодействия молекул, в то время как функция Fx
будет мало меняться на этом масштабе.
Приведем уравнения C.13) к безразмерному виду, введя безраз-
безразмерные величины соотношениями:
ft f г. Ъ.
- _
Г s V
C.15)
Безразмерные величины |, —- и Fs имеют порядок единицы J).
Переходя в уравнениях C.13) к безразмерным величинам, имеем
(черточки над безразмерными величинами опускаем)
V
dt + Za*1 ' dxt + Jj m ' dli ~
г, y=-i
f^^-^+i^.^i ns. zs+1)dzs+i C.16)
Здесь мы пренебрегли 5 по сравнению с N. Тот факт, что мы сна-
сначала считали газ заключенным в конечном объеме V, не является
существенным. Можно перейти к пргделу V—>оо при N—>оо и
п= N/V = const. При этом система уравнений C.16) не изменится.
3. Естественно искать решение уравнений C.16) в виде рядов
по малому для больцмановского газа параметру (■:.
Fs(t, xv \v e) = F°s(t, xr l.) + eF\(t, xv $,)+ ... C.17)
') Для Fs имеем по определению
| FsdZl ... dzs
Следовательно,

§ 2.3] ВЫВОД УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА ИЗ УРАВНЕНИЯ ЛИУВИЛЛЯ 49
Уравнения C.16) можно переписать в форме
^&- = eJ(Fs+1) = eJ(t. Zl zs), C.18)
где DjDt означает полную производную по времени от функции Fs
вдоль фазовых Траекторий взаимодействующих лишь между собой
s молекул. Пусть рассматриваемые 5 молекул в момент времени
t = t0 находятся соответственно в фазовых точках zt(t0). Пусть,
взаимодействуя лишь друг с другом, в момент времени i они ока-
окажутся в фазовых точках z-t(t). Тогда из уравнения C.18) имеем
F,(t, z, @. -.., zs(t)) — F,(t0, «,(*„), .... zs(t0)) =
t
= e [/(т, z,(t), ..., zs{x))dx. C.19)
и
Это уравнение утверждает тот очевидный факт, что s-частичная
функция распределения вдоль фазовых траекторий 5 молекул изме-
изменяется лишь в результате взаимодействия (столкновений) с другими
молекулами.
Подставляя ряд C.17) в уравнение C.19) и приравнивая коэф-
коэффициенты при равных степенях 6, получим:
F°(t)=F°s(t0)-
t
Fi(t)=Fl{h)+ \ j(Fvs+\{x))dx, (v=l, 2, ...). C.20)
tr
Из этих уравнений следует, что функции F\ постоянны вдоль
фазовых траекторий и что они полностью определяются их началь-
начальными значениями. Поэтому при определении Fls интегралы J(F's+i)
являются заданными функциями, вообще говоря отличными от нуля.
Безразмерная разность t—^0 = ОA) в течение времени порядка вре-
времени столкновения. Следовательно, когда время, в течение которого
мы следим за молекулами вдоль их фазовых траекторий, становится
много больше времени столкновения, функции Fs неограниченно
растут. Поэтому решение в виде ряда C.17) пригодно лишь для
описания процессов, происходящих в течение времени порядка
времени столкновения. И это не удивительно. По существу, этот
результат был уже предопределен принятой структурой функций Fvs,
когда мы предположили, что эти функции зивисят лишь от перемен-
переменных xjd и tjxc, и тем самым предположили, что d и тс являются
единственными характерными масштабами явления. В действитель-
действительности же функции Fs могут меняться на основную величину за времена
и на длинах различного масштаба,
4 М. Н. Когая

50 УРАВНЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ [ГЛ. II
Из физических соображений ясно, что, кроме диаметра взаимо-
взаимодействия d и времени столкновения тс, важную роль должны играть
длина пробега X и время между столкновениями т, а также харак-
характерный размер течения L и характерное время течения в. Для крат-
краткости мы будем в дальнейшем называть эти масштабы d-, Х- и
L-масштаб а ми соответственно.
Безразмерные уравнения C.16) содержат лишь характерные
величины rf-масштаба и параметр е. Поэтому решение этих уравне-
уравнений может зависеть, кроме переменных t и xt, также от переменных
ti, ti2, ,.., xfi, xfi2 и т. д. Кроме того, через начальные и гранич-
граничные Условия в решение должны войти характерная длина течения L
и характерное время в. Следовательно, решение конкретных задач
для уравнений C.16) должно иметь структуру
/-, \J L, /
= Fs(t0, xi0, tv xl{, .... tL, xiL, gj, e), ((=1, ..., s), C.21)
где
11 — tio> 'v — fc 'o. ri — "q- h> xil — ~£ -^го-
Переменные t0 и xm—это переменные в d-масштабе. По определе-
определению e—nd3 и X— \!nd2 = d/e. Поэтому
X^ Xj , . ft
Xjl — ^"^/0 ^^ ^ , ^== ~t— , ь j ^^^ €tj-| ^^ € — ^^^ —'»
Следовательно, переменные t]t Хц являются переменными в А,-мас-
штабе, Переменные ^-масштаба tL и xiL можно переписать в виде
, тс, .тст
d dX __
Xil — 7 Xi0 — X ~~L Xl° — e^lXt03
где е: -~ т/в --^ Я/Z, = Kn — параметр, характеризующий отношение
длины пробега (времени между столкновениями) к характерной длине
(характерному времени) течения. Этот параметр называют числом
Кнудсена. Число Кнудсена в общем случае произвольно. Здесь мы
интересуемся асимптотической теорией при е—>0 при произвольных,
но фиксированных X и L. Поэтому при разложении по £ мы должны
принимать параметр ег фиксированным.
Разложим функции Fs в ряд по е:
оо
р . X1 pv <t х- t х iv S-^ £v ( 22}
11 v-q ^ °' l°' v "' ' L' ll'

§ 2.3] ВЫВОД УРАВНЕНИЯ БОЛЫДМАНА ИЗ УРАВНЕНИЯ ЛИУВИЛЛЯ 51
Тогда для производных no t и xt имеем:
dF, dF'i I dF\ dF*l dF°:
i l i 6 l _±_
w— dt0 ^ *\dt0 T dt
"' ! C.23)
dFi dF»" . К J
^--—-3— i ч^ -т-^-т-е! з-1-
Xi @ \UXl0 UXl[ OXIL
Подставляя ряд C.22) и производные C.23) в уравнения C.16) и
приравнивая коэффициенты при равных степенях е, получим:
1=0 i, 7 = 1
о/1 ^ /?о J-i d ex
■-.. 1 -r,— 7, ~a|~ " ^ ' ' s 11 ll2js|I) 0 > (^O.ZOj
i = l
S I U S-h 1 n1^7 1 л „ Л, 1 \ /о £)Кп\
д| ■ ' — ' S-l-l »*(j-(-I) 0> ^v l > • ■ ■ )> (J.ZOd)
= 1
где
s / * \
dt dt ~Г T^ dx. l \^d(ev~ltA **L d (€v~lx(I) J
— полная производная вдоль траекторий s невзаимодействующих
молекул.
Переменные (tv, xiv) и (ev~1tL, €v-lx[L) входят в функции Fs
совершенно одинаково. Поэтому для сокращения письма будем писать
(tv, xiv) вместо совокупности переменных (tv< x-tv, ev~ltL, ev~lxiL).
Соответствующий этим переменным масштаб будем называть v-мас-
штабом (v= 1, 2, . . .).
При рассмотрении эволюции комплекса из s молекул в rf-мас-
штабе, очевидно, решающую роль играет их взаимное расположение.
Поэтому удобно ввести неременные
х10 = х]0, тХ1 = х10 хга. (о. 27)
Тогда
Fs — Fa(t0, Хю, Г12, ..., Ги, tv Хп, ..., Xsv ..., |[ S,s),
и
L>*r. drl __ dr, . -%r\ . . . or. . жл X, ,■ dr.
' Dtn -— dtj~ -r si ' lix^ "T" JU w ~' ^ '
C.28)

52 УРАВНЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ [ГЛ. И
Уравнение Больцмана является уравнением для функции Fv Из
уравнения C.24) при s = 1 имеем
d,/f dF dF,
т. е. функция F\ постоянна вдоль прямолинейных траекторий
ж10 4- |^0 = const в d-масштабе. Уравнение C.25) при s= 1 имеет вид
dxF\(tQ. xw 1Ь хп, h) drfVp. х10. %, л„. 1Q
<ft0 r" Л, ~~
Al й Fa ft v v 7 "v
~~m~ °' 10' 20' !> ll>
dl2 = Jl. C.30)
Преобразуем входящий сюда интеграл. Функция F° в d-масштабе под-
подчиняется уравнению C.24); используя уравнение C.24) в форме C.28),
получим
4 = " J -~ ■ -Щ dxK dl2 = J (Si — У • ^
+ J -^■•-5^-d*20rfg2. C.31)
Последний интеграл равен нулю по тем же причинам, что и ин-
интегралы C.10). Как мы увидим ниже, первый интеграл при выпол-
выполнении условия хаоса переходит в больцмановский столкновителышй
член. Второй интеграл в общем случае отличен от нуля, и, следо-
следовательно, уравнение не сводится к уравнению Больцмана.
Подынтегральное выражение второго интеграла определяется изме-
изменением функции распределения f^ за время столкновения и на рас-
расстояниях порядка диаметра молекул при неизменном расстоянии
между молекулами (т. е. при r12^ const). Ниже мы ограничимся рас-
рассмотрением лишь «однородного» случая. Однородными будем называть
процессы, для которых функции Fs r d-масштабе являются функ-
функциями Гц, но не зависят от t0 и х10. Другими словами, в d-масштабе
в однородном случае функции Fs меняются лишь при изменении
взаимного расположения s молекул, но не меняются при смещении
неизменного комплекса s молекул на расстояние порядка dl) или за
1) В частности, функция / (t, x, |) не меняется на расстояниях поряд-
порядка d, т. е. выполняется условие о равновесности столкновений с любыми
прицельными расстояниями, которое мы использовали при выводе уравнения
Больцмана в предыдущем параграфе.

§ 2.3] ВЫВОД УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА ИЗ УРАВНЕНИЯ ЛИУВИЛЛЯ 53
время порядка тс. Два комплекса по s молекул, получаемые друг из
друга смещением в d-масштабе на расстояния порядка d и по времени
на величины порядка тс, будем называть подобными.
Легко видеть, что свойство однородности сохраняется, если оно
выполнено в начальный момент и на границах. Действительно, рас-
рассмотрим в момент времени t комплекс 1 из 5 молекул с фазовыми
координатами (х\, |i), . . ., {xs, £,$)■ Пусть подобный ему комплекс 2
отличается от комплекса 1 лишь тем, что все молекулы смещены на
расстояние 6 — О (d), т. е. jej = jc|-|-6. Если молекулы каждого
из комплексов взаимодействуют лишь между собой, то очевидно, что
эти комплексы будут подобными в любой момент времени.
Рассмотрим разность
)-F,(t, z\(t) z]{t)).
Согласно C.19)
0 1 = 1 '
Ввиду однородности системы, если ДДО) —0 для всех s и любых
комплексов, то и А^(^) = 0, и, следовательно, функции F^ не зависят
от tQ и хт.
В однородном случае уравнение C.24) при s^-2 принимает вид
^ ° X:, дРЧ
Поэтому интеграл C.31) можно переписать в виде
А = J (к ~ h)
= J A2-|,)--д~ F°2(r2V ...)drndlr C.33)
Введем цилиндрическую систему координат /, р, е с началом
координат в точке хы и осью /, параллельной вектору относительной
скорости g=l2 — lv Тогда
—j gpdpded%2 j -0j-dl =
= J
F2(— oo, tv xu, x21=xll, ij, i2)]prfprferfi2. C.34)

54 УРАВНЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ [ГЛ. II
Очевидно, что функция F<i(—оо |19 |2) есть вероятность нахо-
нахождения молекул соответственно со скоростями |: и |2 до столкно-
столкновения, а функция F\{-\-oo \v |2)—вероятность нахождения
молекул с теми же скоростями после столкновения. Если при столк-
столкновении с прицельным расстоянием р молекулы со скоростями |, и |2
приобретают соответственно скорости Щ и %'2, то, как показано
в § 1.3, молекулы со скоростями |j и. !£, сталкивающиеся при том
же прицельном расстоянии, приобретают скорости |L и |2. Поэтому
Следовательно, окончательно:
xn, Ж!1 = х11. I,, m9dpded%2. C.35)
Вернемся теперь к уравнению C.30), заменив в нем /, согласно C.35).
В однородном случае dFi/dto == 0 и уравнение принимает вид
— F2(tv xn, x2l=xll, l{)] pdp de d%. C.36)
Таким образом, мы получили уравнение для jP? в 1-масштабе.
Однако это уравнение, как и исходное уравнение C.13) при s= 1,
содержит не только функцию F\, но и функцию F\>. Но уравне-
уравнение C.36) отличается от уравнения C.13) тем, что входящая d пего
функция Ft теперь также определена в 1-масштабе, т. е. когда
молекулы 1 и 2 находятся вне зоны их взаимодействия до столкно-
столкновения. Для замыкания уравнения C.36) необходимы дополнительные
предположения о связи между функциями F^ и Fy
Если предположить, что до столкновения выполняется условие
хаоса
Fl(tv xn, X2l = xn, lv %) = F0(tv xn, i,)F?(rr *!!■ S2). (З-37)
то уравнение C.36) переходит в уравнение Больцмана
^? {?ь *и- IQ , р ,_^J(?iL*uJ^_
-ГУ "Т В1 ' " ~
dti дхп
v xu, Ц)Р°^. хп, |0-
0 F\(fv «и- h)] S9 dP de d\v C.38)

§ 2.3] ВЫВОД УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА ИЗ УРАВНЕНИЯ ЛИУВИЛЛЯ 55
отличающееся от уравнения B.9) предыдущего параграфа лишь обо-
обозначениями.
Таким образом, для получения уравнения Больцмана нам по-
потребовалось лишь два условия: условие молекулярного хаоса а
условие однородности в указанном выше смысле.
4„ Вообще говоря, трудно представить осуществление неоднород-
неоднородного в указанном выше смысле процесса, так как в таких процессах
одним из характерных масштабов изменения макроскопических (изме-
(измеримых) величин был бы размер молекулы. Если характерные мас-
масштабы граничных и начальных условий удовлетворяют выполняющимся
в большинстве практических задам неравенствам
то условие однородности выполнено.
Рассмотрим более подробно предположение о молекулярном хаосе.
Единственным механизмом, который может приводить к установлению
хаоса или нарушать его, является механизм столкновений молекул.
Естественно поэтому, что хаос не может установиться за время,
меньшее времени между столкновениями. Как мы видели, уравнение
Больцыана применимо и для описания процессов с характерным вре-
временем 6<^т. Следовательно, в этих случаях необходимо, чтобы
условие хаоса выполнялось в начальный момент.
С другой стороны, очевидно, что столкновения нарушают усло-
условия хаоса. Действительно, положение и скорости только что стол-
столкнувшихся молекул коррелированы. Однако вероятность вторичного
столкновения этих же молекул стремится к нулю при Л/->со. Прежде
чем молекулы столкнутся вторично, каждая из них испытает огромное
число столкновений с другими молекулами. Поэтому можно ожидать,
что условие хаоса сохраняется, если оно выполнялось в начальный
момент.
Как мы видели выше, для получения уравнения Больцмана необ-
необходимо выполнение условия хаоса лишь до столкновения молекул.
Покажем'), что это «одностороннее» условие хаоса сохраняется,
если в начальный момент корреляции отсутствовали. Введем корре-
корреляционные функции
%>. [ C 39)
z3),
!) Grad H., Handbuch der Physlk 12, 1958. См. также Кае М., Pro-
Probability and Related Topics in Physical Sciences, 1957 (русский перевод:
К а ц М., Вероятность и смежные вопросы в физике, «Мир», 1965); П р и-
г о ж и н И., Неравновесная статистическая механика, «Мир», 1963,

56
УРАВНЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ
[ГЛ. II
Полагая в цепочке Боголюбова C.16) последовательно s = 1, 2, ...
и заменяя Fs функциями Fs_t и корреляционными функциями со-
согласно C.39), получим цепочку уравнений для корреляционных функ-
функций. Выпишем одно из них:
dg\,2 i й dg12 , J_ x dF2 (zx, z3) .
dt
!- + \
dxt
I
т.
дх2 i
' (*i, z2)
7№7 m б1,23«гЗ — U- (O.W)
Это уравнение записано в безразмерных переменных C.15). Когда
молекулы 1 и 2 сближаются на расстояние |х2 — а^^С 1, члены,
определяющие их взаимодействие, становятся в этих переменных
порядка единицы. До их сближения изменение корреляционной функ-
функции gli2 определяется интегральными членами столкновений с третьими
молекулами, перед которыми стоит малый для больцмановского газа
параметр е.
Аналогичное уравнение можно написать для gh 23, g2t 13 и т. д.
В уравнение для трехчастичных корреляционных функций войдут
интегралы от чстырехчастичной корреляционной функции и т. д.
Пусть в начальный момент все корреляционные функции равны
нулю. Если бы к моменту времени t — t:=f=O ни одна молекула
не столкнулась, то во всей последовательности уравнений можно
было бы пренебречь большими (порядка единицы) членами взаимо-
взаимодействия молекул, и уравнения были бы однородными. Тогда, оче-
очевидно, все функции g были бы равны нулю для t<^.tv Однако
за сколь угодно короткое, время
при Л/—>со происходят столкнове-
столкновения, и в цепочке уравнений для
корреляционных функций появляются
большие неоднородные члены.
Нас интересует сохранение усло-
условия хаоса до столкновения молекул
на конечном интервале времени
(в 1-масштабе, т. е. в принятых
безразмерных переменных при t "-*
■—• 1/е^> О- Пусть молекулы 1 и 2
сталкиваются в момент времени
t = t: со скоростями |: и 12 соот-
соответственно. Проведем траектории этих частиц (рис. 9). Значение
функции gu 2 в момент времени t = tx определяется интегралами
от трехчастичных корреляционных функций, которые в свою очередь
определяются подобными же интегралами от четырехчастичных функ-
функций, и т. д. При вычислении, например, интеграла от трехчастичной
Рис. 9.

§ 2.3] ВЫВОД УРАВНЕНИЯ ВОЛЫДМЛНА ИЗ УРАВНЕНИЯ ЛИУВИЛЛЯ 57
функции ^1Bз в какой-либо момент времени t' всегда найдется траек-
траектория третьей молекулы (рис. 9), которая пересеклась с траекторией
молекулы 1 в некоторый момент времени t" < t'. Для таких траекто-
траекторий основную роль будут играть большие неоднородные члены
столкновений молекул 3 и 1 и функция glt23 будет порядка единицы,
даже если в начальный момент она была равна нулю. Однако легко
видеть, что при интегрировании по |3 область значений |3. Для кото-
которых g;23 порядка единицы, будет порядка d или е. Следовательно,
за время порядка е~! функция gl2 может стать порядка t (при
g'I2@) = 0). Для получения уравнения Больцмана в 1-масштабе нам
потребовалась лишь функция р\, и мы не учитывали функцию вРф.
С этой же точностью мы можем не учитывать и корреляционную
функцию ^Ь2=О(€) и считать условие молекулярного хаоса до
столкновения молекул 1 и 2 выполненным.
5= Выше мы не различали %- и L-масштабы, объединив их под
общим названием 1-масштаба.
Вспоминая, что согласно C.26)
dFl dF, «. dF, , IdFt dF,\ dF, dF,
dt. ~ dt
i
уравнение Больцмана можно переписать в виде
dPl(tvxn,tL,xw lx)
dt, T-£i dtL
— FiVv *n. h- *u. Id?Ah- xxx- h> *ц. h)]gpdpdedg2. C.41)
При £j = Kn <^ 1 мы теперь имеем два существенно разных
масштаба: малый Х-масштаб и большой /,-масштаб.
Важно oiметить, что для существования уравнения Больцмана
необходимо, чтобы выполнялось условие хаоса лишь в ^-масштабе,
когда молекулы находятся в одной точке в /,-масштабе.
Если же частицы находятся в разных точках (tL, xlL) в L-мас-
штабе, то условие хаоса может не выполняться. Хаос в А,-масштабе
и есть собственно молекулярный хаос.
Классическим примером течения, в котором имеется хаос в А,-мас-
штабе (на молекулярном уровне) и отсутствует хаос r /,-масштабе
(на макроскопическом уровне), является гидродинамическая турбу-
турбулентность, так как масштаб гидродинамической турбулентности L ~^> Я
и @^>х.
Именно благодаря наличию L-масштаба, много большего А,-мас-
штаба, собственно говоря, и возможны упорядоченные (турбулентные)
гидродинамические движения, несмотря на то что практически всегда

58 УРАВНЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ [ГЛ. II
начальные и граничные условия удовлетворяют условию молекуляр-
молекулярного хаоса1).
Если же Z. <С А, и в^т, то течение может быть турбулентным
только тогда, когда начальные и граничные условия не удовлетво-
удовлетворяют условию молекулярного хаоса. Однако такие условия трудно
осуществить на практике d газе низкой плотности (при €—>0), а сле-
следовательно, трудно осуществить и турбулентные течения с характер-
характерными масштабами L<^.X и в
§ 2.4. Некоторые свойства интеграла столкновений
Рассмотрим свойства симметрии интеграла столкновений, которые
будут неоднократно использованы в дальнейшем.
Входящий в правую часть уравнения Больцмана B.9) интеграл
столкновений
J(t, х, l)=\{f'f'l — ffl)gbdbd&d\l D.1)
является функцией от t, X и |. В дальнейшем часто придется инте-
интегрировать J с какой-либо весовой функцией ср(|) от скоростей:
'„= /ф (!)•/('. х, i)tf|= j (f(t) {f'f'i — f fi)gbdbds d%dty D.2)
Этот интеграл, очевидно, равен интегралу
V = J Ф (SO (//i - /70 g'b' db' dz' dl' dl[. D.3)
Используя B.6) и B.8), последний интеграл можно переписать в виде
V = - J Ф(&0(/7{ - //i) gb db dz d% dlv D.4)
Производя почленное сложение D.2) и D.4), получим
lv=j j (f-<?'){/'/[-/ft)gbdbdedtdlv D.5)
!) Град показал (Orad It, J. Chem, Phys. 33, № 5, (I960)), что хаоти-
хаотические начальные условия являются в некотором смысле наиболее вероят-
вероятными. Вообще говоря, молекулы могут коррелировать на ограничивающих
газ поверхностях. Однако вероятность корреляции отраженных от стенки
молекул возрастает с увеличением плотности газа и времени взаимодействия
молекул с поверхностью (см, § 2.10). Для того чтобы скорости двух или
нескольких отраженных молекул были коррелированы, они должны взаимо-
взаимодействовать между собой в момент взаимодействия со стенкой. При нор-
нормальных условиях (плотность газа я я 1019 сл1~3, |ср « 105 см/сек, время
адсорбции та я 10~13 сек) вероятность встречи молекул газа на поверх-
поверхности « 10~5-

§ 2.5] Я-ТЕОРЕМА БОЛЬЦМАНА 59
Интеграл D.2) симметричен относительно | и gj. Поэтому
4
= j { (Ф, - ФО (f'f'i - //,) Sb db rfe dl dlv D.6)
Складывая D.5) и D.6), получим
7ф = T J («Р + «Pi —Ф' — ФО (/7( - //,) ^ <** * d| dlv D.7)
Если в качестве весовой функции <р взять какой-либо из сумма-
торных инвариантов фг (см. § 1.3), то, очевидно,
/ф.==0, (t = 0, .... 4). D.8)
Уравнения D.8) выражают собой физически очевидные свойства
столкновений: суммарные масса, импульс и энергия столкнувшихся
молекул не изменяются при столкновении. Этот результат играет
важную роль при выводе из уравнения Больцмана уравнений для
макроскопических величин (см. § 3.1).
Из симметрии следуют также очевидные соотношения:
j (Ф — (p')fflgbdbdzd%dl1 =
= { W—^f^g'b'db'dz'd^a^, D.9)
/(Ф -fqy-q/ — ^fflgbdbdzd%dll =
|ф' + ф^ — y — yjffig'b'db'dedl'dty D.10)
Подставляя эти соотношения соответственно в D.5) и D.7) и исполь-
используя равенства B.6) и B.8), получим:
Гч = J (Ф' — Ф) ffigb db de dldlv D.11)
7«p = \ I (Ф' + Ф( - Ф - ФО ff&b db de d% d\. D.12)
Благодаря отмеченным свойствам симметрии интегралов /^ их факти-
фактическое вычисление для того или иного конкретного потенциала взаимо-
взаимодействия оказывается проще вычисления исходного интеграла столк-
столкновений J.
• § 2.5. Я-теорема Больцмана
Разобьем 6-мерное фазовое у-пространство (см. § 2.1) на элемен-
элементарные ячейки объема 6v, равные 6лсг61г. Пусть имеется ./V молекул,
распределенных в ^'"Пространстве в соответствии с функцией распре-
распределения f (х, |). Тогда, согласно определению функции распределения,

60 УРАВНЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ [ГЛ. II
число молекул в какой-либо г-й ячейке Nt равно f {xh %{)bv, где xh
%i—координаты центра 1-й ячейки. В бЛ^-мерном Г-пространстве
вся система изображается одной точкой. Если каждую из N молекул
в у-пространстве перемещать внутри своей элементарной ячейки
объема bv, то изображающая систему в Г-пространстве точка будет
перемещаться внутри объема Fv)N. Следовательно, каждому располо-
расположению N точек в у-пР0СТРанстве в Г-пространстве соответствует
объем (bv)N. Если при неизменной функции распределения поменять
местами две молекулы, то в Г-пространстве система изобразится
новой точкой и ей будет соответствовать новый объем (bv)N. N мо-
молекул могут быть переставлены ЛМ способами. Но так как переста-
перестановка N{ молекул внутри каждой из ячеек не меняет объема, соответ-
соответствующего системе в Г-пространстве, то различных будет АП/ТТЛ/г
' i
перестановок. Следовательно, объем Г-пространства, соответствующий
заданной функции распределения или данным числам заполнения Nt,
равен
Вероятность обнаружения системы в том или ином состоянии про-
пропорциональна объему Г-пространства, соответствующему данному
состоянию (данным числам заполнения Л/г). Следовательно, вероят-
вероятность того, что в первой ячейке у-пространства окажется Л^ молекул,
во второй — N2 и т. д., будет
mN Eл)
Возьмем логарифм от вероятности E.1), имеем
In W = In N ! + N In фу) — 2 In N!.
i
Используя известную формулу Стирлинга NI ~ NNe~N, получим
In W = N In N — N -н N In (bv) — 2 Ni In Nt + 2 Nt.
i i
Учитывая, что ^jNt — N, имеем
Подставляя
и устремляя 6v к нулю, получим для вероятности данного распре-
распределения (несущественную константу, определяющую лишь начало

§ 2.Б) Я-ТЕОРЕМА БОЛЫДМАНА 61
отсчета вероятности, опускаем)
\nW = ~ f flnfdxdt E.3)
J
Величину
HD(f)=f flnfdxd% E.4)
называют Н-функцией для области пространства D, по которой
ведется интегрирование в E.4). Аналогично функция
H(t, X)= j flafdl E.5)
есть //-функция для единицы объема или просто Н-функция Болъц-
мапа. Из определений E.4), E.5) и выражения E.3) видно, что
//-функция, взятая с обратным знаком, с точностью до несуществен-
несущественной постоянной равна логарифму вероятности данного распределе-
распределения /(/, х, £),
Умножим уравнение Больцмана B.9) на A-j-ln/) и проинтегри-
проинтегрируем по |'):
(г=1, 2, 3).
Легко видеть, что
* df д д' 6l \ E-7)
A+1"/)|Нж(/1п/) ]
и что на основании свойства симметрии D.7)
1-bln/)yde=
= - 4 J ln 77Г (/'/• - //i) ^ ^6 ^ rf| rf|r E.8)
Подставляя E.7) и E.8) в E.6) и интегрируя, получим
dt ~t~ dxt ~
dgv E.9)
') Ниже всюду предполагается суммирование по повторяющимся индексам.

A2 УРАВНЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ (ГЛ. И
где
i= \lj\nfdl.
Интеграл от третьего члена левой части уравнения E.6) равен нулю,
так как предполагается, что / достаточно быстро стремится к нулю
при |, стремящемся к бесконечности.
Интегрируя уравнение E.9) по области D физического лс-про-
странства, получим
ndS= J lA+ta/)dx=O, E.10)
D
где интегрирование во втором члене слева ведется по поверхности,
ограничивающей область D, и Нп — проекция на внешнюю к области D
нормаль вектора /# = (//[, H2, Н3).
Если этот поверхностный интеграл равен нулю, то
dHn
Но согласно E.8) интеграл /(i+m/) <J[ 0, так как f'f\ — ffx
и In (/'/(///,) всегда имеют одинаковые знаки; отсюда
dHn
Следовательно, функция HD убывает (вероятность состояния возра-
возрастает), если О ^k 0. Этот результат составляет основное содержание
так называемой Н-теоремы Больцмана. Легко видеть, что C—0,
т. е. система находится в равновесии только тогда, когда f f x = frf\ или
Таким образом, для того чтобы G = 0, необходимо, чтобы In/ был
сумматорным инвариантом столкновения молекул.
Как известно из механики, любой сумматорный инвариант может
быть представлен в виде линейной комбинации сумматорных инва-
инвариантов, приведенных в § 1.3, т. е.
\nf = am. + blmlr+-dml2, E.13)
где a, bt и d — функции от t и X,
Подставляя представленную таким образом функцию / в выра-
выражении A.4), A.5) и A.8), можем выразить пять величин a, bt и d
чорен пять физических величин п, иг и Т. Проделав несложные

§ 2.61 Н-ТЕОРЕМА БОЛЬЦМАНА 63
квадратуры 1), окончательно получим
/ (t, х, |) == /0 (t. х. |) = я( 2^-ГK/2 ехр { - -^r C21 E.14)
Распределение E.14) называется распределением Максвелла2) или,
точнее, локальным распределением Максвелла, так как входящие
в E.14) макроскопические величины зависят в общем случае от t и х.
Таким образом, для того чтобы газ в области D находился в рав-
равновесии, необходимо, чтобы функция распределения была локально-
максвелловской. С другой стороны, равновесное состояние должно
описываться уравнением Больцмана
г df I xi д/ __ , /с 1 е\
6'1^Г + "йГ11Г~ ( }
Очевидно, интеграл столкновений J равен нулю, так как для макс-
велловского распределения /'/, = ffv Однако легко зидеть, что урав-
уравнение Больцмана накладывает определенные условия на зависимость
функций га, us и Т от t и xv Очевидно, что максвелловское распре-
распределение удовлетворяет уравнению E.15), когда макроскопические па-
параметры re, ui и Т постоянны. Имеются также локально-максвеллов-
ские решения уравнения Больцмана, в которых гидродинамические
переменные га, ut и Т зависят от координат (см, § 4,1). Однако эти
решения не удовлетворяют принятому выше условию отсутствия по-
потока //-функции через границу области D.
Следовательно, газ находится в равновесии только при абсолютном
максвеллов с ком распределении, т. е. максвелловском распределении,
не зависящем от координат. При этом необходимо, чтобы на границе
области молекулы, идущие от границы, имели то же максвелловское
распределение. Очевидно, что в этом случае поверхностный интеграл,
входящий в E.10), равен нулю. Если газ заключен в сосуд, то ука-
указанное условие на границе будет выполнено как тогда, когда моле-
молекулы отскакивают от стенки зеркально, так и тогда, когда газ на-
находится в равновесии со стенкой3). Если же через границу имеется
') Правую часть E.13) для интегрирования удобно представить в виде
Be тречающиеся здесь интегралы даны в приложении II.
2) Maxwell J . С, Phil. Mag. D) 19, 22 A860).
3) Подробнее о граничных условиях см. §§ 2.9, 2.10.

64 УРАВНЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ [ГЛ. II
поток частиц, импульса или энергии, то поверхностный интеграл
в общем случае не равен нулю, и газ в области D не находится
в максвелловском равновесии.
В том, что максвелловское распределение является наиболее ве-
вероятным, можно убедиться непосредственно. Для этого необходимо
отыскать экстремум функционала
Н= j f In fdl E.16)
при условии сохранения числа частиц, импульса и энергии:
J / d% = п, т [ /| d% = тпи, j
j EЛ7)
Вводя множители Лагранжа, сведем задачу к отысканию экстремума
функционала
F=J(/ln/ + V + ^,S/ + ^i2/+^i3/ + U2/)di- E.18)
Уравнением Эйлера для этого функционала будет
2 = 0. E.19)
Подставляя / в виде E.19) в условия E.17), выразим Яу через га, и,-
и Г и снова придем к распределению Максвелла E.14).
В главе III будет показано, что уравнения гидродинамики Эйлера,
Навье — Стокса и Барнетта для максвелловских молекул получаются
из уравнения Больцмана, если функцию распределения приближенно
представить в виде
/ = /„(*. *,S) E.20)
для уравнения Эйлера и
Рпт <Jim I гисг \\
-lU-ТьтП E-21)
для уравнений Навье — Стокса и Барнетта. Здесь />г,- и qt — соот-
соответственно тензор напряжений и вектор потока тепла.
Вычислим Н и Ht для функций распределения E.20) и E.21);
имеем:
для максвелловского распределения E.20)
= п
— ~ =_ —-&>, E.22)

§ 2.5] Я-тЕоРЕМА БОЛЬЦМАНА 65
и для распределения E.21)
н Р+рР + М" E'24)
7lrqr, E.25)
или, оставляя лишь главные члены, соответствующие приближению
Навье — Стокса (см. главу III),
Я= — -^-^, E.24а)
н тп ,, ср т п /с г,с.г,\
Здесь
<2> In А Я1 (^ ')«\
G7 HI g „ —j— g/ q ^tJ.^UJ
— удельная термодинамическая энтропия макроскопической частицы
газа, еР0 — постоянная, определяющая начало отсчета энтропии.
Полученные формулы показывают, что для находящегося в ло-
локальном равновесии газа //-функция Больцмана пропорциональна
отрицательной энтропии. Поэтому в терминологии, предложенной
Бриллюэном'), //-функцию можно рассматривать как меру негэнтро-
негэнтропии. В то же время для неравновесного газа, согласно E.24), энтропия
не пропорциональна //-функции и, следовательно, не определяет ве-
вероятность состояния системы. Н-фушция является обобщением по-
понятия энтропии и негэнтропии на случай неравновесного газа.
Заметим, что в навье-стоксовском приближении, т. е. для со-
состояний, близких к равновесным, энтропия пропорциональна //-функ-
//-функции и, следовательно, сохраняет смысл вероятности состояния. Этот
факт существенным образом используется в термодинамике неравно-
неравновесных процессов (см. § 3.17).
Для газов, находящихся в локальном каксвелловском равновесии,
движение которых описывается уравнениями Эйлера, энтропия, со-
согласно E.23), переносится вместе с газом, т. е. энтропия макроско-
макроскопических частиц газа сохраняется постоянной. В течениях неравно-
неравновесного газа перенос //-функции (негэнтропии) обзгсловлен, кроме
того, теплопередачей, тензором напряжений и в случае функции рас-
распределения более общей, чем E.21), другими факторами.
Рассмотрим вновь некоторую область течения D. Как видно из
уравнения E.10), столкновения молекул ведут к непрерывному уве-
увеличению энтропии или уменьшению негэнтропии в рассматриваемом
объеме. Столкновения стремятся нарушить упорядоченность движения
молекул. Для того чтобы течение было стационарным, т. е. dHDjdt — 0,
:) Бриллюэн Л,, Наука и теория информации, Физматгиз, 1960.
5 м. н. Коган

66 УРЛИНкНИЯ КМННТИЧЬСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ [ГЛ. II
необходимо, чтобы возрастание энтропии (беспорядка) в объеме ком-
компенсировалось притоком негэнтропии (упорядоченности) через границы
области.
Из E.10) легко следует известный факт возрастания энтропии
в ударных волнах. Действительно, рассмотрим две контрольные пло-
плоскости, параллельные плоскости скачка, одну — в области равновес-
равновесного течения до скачка (плоскость 1) и другую — в области равно-
равновесного течения за скачком (плоскость 2). Примем ось, перпендику-
перпендикулярную плоскости волны, за ось х. Тогда из E.10) следует
Нх2-Нх1<0. E.27)
В области равновесного течения вне ударной волны для потока
//-функции справедливо соотношение E.23). Поэтому
Раи,2<^2 —&Ип^1>0. E.28)
Но так как в волне поток массы сохраняется, т. е. (V**2 = Pia;ti' T0
&г > &х- E.29)
§ 2.8. Уравнения кинетической теории для смеси
газов и для газа, состоящего из молекул с внутренними
степенями свободы
При выводе уравнения Больцмана в § 2.2 предполагалось, что
газ состоит из одного сорта молекул и что молекулы обладают только
поступательными степенями свободы (одноатомный газ). Для описания
поведения смеси газов необходимо ввести для каждой из компонент
газа свою функцию распределения ft(t, X, |), где г=1, ..., ./V и
N—число сортов молекул.
Изменение функции распределения молекул сорта I вдоль траекто-
траектории частицы в фазовом пространстве обусловлено столкновениями
как с молекулами того же сорта, так и с молекулами всех осталь-
остальных сортов. Поэтому интеграл столкновений в уравнении B.9) сле-
следует заменить на сумму подобных интегралов, каждый из которых
учитывает столкновения молекул 1-го сорта с молекулами сорта /:
F.1)
где X1— внешняя сила, действующая па молекулы /~го сорта. Таким
образом, изменение состояния N-компонентной смеси описывается
системой N уравнений для N функций распределения ft, причем
в каждое из уравнений F.1) входят все N функций /г.

§2.7] ИНТЕ1РАЛЬНЫЕ ФОРМЫ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА 67
К системе уравнений для смеси газов можно свести и описание
поведения газа, состоящего из молекул с внутренними степенями сво-
свободы 1). Рассмотрим газ, состоящий из молекул, обладающих внут-
внутренними степенями свободы. Под внутренними степенями свободы
можно понимать вращательные и колебательные степени свободы для
многоатомных газов и возбуждение электронных уровней. Будем рас-
рассматривать поступательные степени свободы классически, а внутрен-
внутренние— квантовомеханически. Тогда состояние молекулы может быть
описано заданием ее скорости § и квантового числа 1=1, 2, ...,
характеризующего возбуждение внутренних степеней свободы. Все
молекулы, находящиеся в каком-либо 1-й квантовом состоянии, со-
составляют газ г-го сорта. Таким образом, исходный газ с внутренними
степенями свободы заменен смесью реагирующих газов, так как при
столкновении молекулы в г-м состоянии с молекулой в состоянии ]
молекулы могут перейти соответственно в состояния Аи/. Обозна-
Обозначим через сг/,(|', | ; | , |) вероятность (эффективное сечение) того,
что в результате столкновения молекулы в состоянии I, движущейся
со скоростью |', с молекулой в состоянии j и скоростью |;' первая
молекула перейдет в состояние k и приобретет скорость §*, а вто-
вторая — соответственно в состояние / со скоростью |г. Тогда, предпо-
предполагая вероятности прямых и обратных переходов равными и повторяя
рассуждения § 2.2, получим
dt dt Г дх т1 ' д¥
Аналогичные уравнения можно выписать для смеси, в которой
происходят химические реакции, если под а¥. понимать соответ-
соответствующие вероятности (эффективные сечения) реакций.
§ 2.7. Интегральные формы уравнения Больцмаиа
Сравнивая уравнения B.9), F.1) и F.2), легко заметить, что
во всех случаях (для однокомпонентного газа или смеси, для ста-
стационарного или нестационарного состояния, для одиоатомного газа
или газа с внутренними степенями свободы и химическими реакциями)
уравнение Больцмана имеет одинаковую структуру.
■df(ta?'l)-=J(t. х, t) = Mt. x, l)-f(t, x. %)J2(t, x. I), G.1)
') См. Гнршфельдер Дж., К е р т и с Ч., Б е р д Р., Молекулярная
теория газов и жидкостей, ИЛ, 1961.

68 УРАВНЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОЕ ТЕОРИИ ГАЗОВ [ГЛ. II
где дифференцирование ведется вдоль траектории рассматриваемой
молекулы в фазовом пространстве и
= j f'f[gbdbdzdlv
G.2)
J2(t, x.l)= ' ' '
для одноатомного газа или сумме подобных интегралов для реаги-
реагирующей смеси и многоатомных газов:
1, К i "
J2{1, X, gj ^ J / j°lj\i ' 5 , 5 • 5 ) S ,;
Для молекул с неограниченным радиусом взаимодействия инте-
интегралы G.2), очевидно, расходятся, так как они включают в число
столкнувшихся молекулы, взаимодействующие на сколь угодно боль-
больших расстояниях со сколь угодно малыми результирующими измене-
изменениями состояния. В дальнейшем всегда, когда будут фигурировать
раздельно интегралы ,/j и J2. будет предполагаться наличие ограни-
ограниченного радиуса взаимодействия. Так как при достаточно быстро
спадающем потенциале взаимодействия далекие столкновения не дают
существенного вклада, то с известным приближением для таких мо-
молекул истинный потенциал можно заменить некоторым «обрезанным»
потенциалом с конечным радиусом взаимодействия. Однако в общем
случае правильный выбор эффективного радиуса взаимодействия пред-
представляется далеко не тривиальным.
Интеграл столкновений J сходится даже и в том случае, когда
каждый из интегралов J, и J2 расходится, так как для больших при-
прицельных расстояний |'—~>|, |j—~> gj и (/'/( — //i)-*0-
Интегро-дифференциальное уравнение G.1) можно рассматривать
как обыкновенное дифференциальное уравнение относительно / вида
% = J(t>f) G.3)
или
% + Ш*> f) = Mt>f)- G.3а)
Полагая временно функцию /, входящую в J, Jx и J2 известной,
легко записать решение линейных уравнений G.3) и G.3а); имеем
t
f(t, x, S) = /('o. x—t(t — t0), l)-f jj(s,x-l(t-s),t,)ds G.4)

§ 2.7] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМЫ УРАВНЕНИЯ ЬОЛЬЦМАНА 69
ИЛИ !)
/V.'x, %) =
= /(*„. x-l(t — td, |)ехр - Jy2(s, Jt-i(f-s), l)ds +
I *o . J
4- f Л(т, jtc — £(* — t). |)expj— Г J2(s. x—l(t — s), l)ds>dx.
*~. It j
G.5)
Так как правые части уравнений содержат искомую функцию /, то эти
уравнения можно рассматривать как интегральные уравнения для /.
Уравнения G.4) и G.5) выписаны для частного случая движения
в отсутствие внешних сил X(t, лс) = О. В этом случае вдоль траек-
траектории частицы | = const, и траектория частицы, приходящей со ско-
скоростью | в точку х в момент времени- t, дается уравнением прямой
x{s) —1(£—s) = x(t). Если бы не было столкновений, то, очевидно,
число частиц со скоростью § в точке х в момент t равнялось бы
числу этих же частиц в точке х — \{t—2) в момент t0, т. е.
f{t, X, %) = fit, x — lit — tQ), I). Входящие в G.4) и G.5) инте-
интегралы определяют изменение числа частиц в результате столкновений
на пути молекул от точки х—%{t—tQ) до точки х.
Если X(t, х)Ф0, то траектория частицы будет более сложной,
так как вдоль траектории меняется скорость |. В этом случае в урав-
уравнениях G.4) и G.5) выражение х—1(£—s) и | = const нужно за-
заменить соответственно на x(s) и |(s), определяемые уравнением дви-
движения частицы
при условии, что при s = ^ частица находится в заданной точке x(t)
и имеет заданную скорость | (t).
Вообще говоря, по аналогии с G.4) и G.5) можно выписать бес-
бесконечное множество различных форм интегральных уравнений. Дей-
Действительно, к правой части уравнения G.1) можно прибавить и вы-
вычесть произвольную функцию от f. Разбивая затем различным образом
правую часть уравнения G.1) на известную и неизвестную части, по-
получим различные дифференциальные уравнения, решение которых ведет
к различным интегральным уравнениям. Выбор той или иной инте-
интегральной формы уравнения Больцмана определяется удобством его
применения для той или иной задачи.
!) Enskog D., Ark. Mat. Astronom. Phys., Ser. A21 1 A928); Grad H.,
Handbuch der Physik 12, 1958; Коган М. Н, Прикладная математика и ме-
механика, вып. 4 A958); Валландер СВ., Доклады АН СССР 131, № 1
A960). В последней работе дан непосредственный вывод уравнения G.5),
минуя уравнение Больцмана.

70 УРАВНЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ [ГЛ. II
Функция распределения каждой из компонент смеси многоатомных
реагирующих газов (см. § 2.6), очевидно, удовлетворяет тем же инте-
интегральным уравнениям G.4) или G.5), но в которых интегралы J, и J2
заданы формулами G.2а).
§ 2.8. Линеаризированное и модельное уравнения
Больдмаиа
Благодаря сложной нелинейной структуре интеграла столкновений
уравнение Больцмана очень трудно решать и анализировать. Есте-
Естественно желание исследовать, хотя бы качественно, свойства решений
этого уравнения на упрошенных модельных уравнениях. Ниже будут
рассмотрены два приближенных уравнения Больцмана. Первое из них —
линеаризированное уравнение — естественным образом получается из
уравнения Больцмана для слабо возмущенных течений. Второе же —
модельное уравнение—является уравнением, обладающим многими
свойствами полного нелинейного уравнения Больцмана, но не следует
из него строго.
1. Линеаризированное уравнение. Если известно частное реше-
решение какого-либо нелинейного уравнения, то можно линеаризировать за-
задачу, исследуя решения, близкие к имеющемуся частному решению.
Для уравнения Больцмана известно (см. § 4.1) лишь небольшое число
весьма специальных частных решений. Поэтому наиболее универсаль-
универсальной представляется линеаризация от абсолютного максвелловского
распределения, являющегося решением уравнения Больцмана для газа,
находящегося в равновесии в отсутствие массовых сил (Х^О) (см.
§ 2.5).
Для слабо возм}гщенного движения функцию распределения можно
представить в виде
/(*.*,!) =/о A+ф), (8Л)
где
ф=<рС'' х'|)<;1
и индексом 0 отмечены величины, относящиеся к невозмущенному со-
состоянию. Так как п0 и То не зависят от t и х, то, подставляя (8.1)
в уравнение Больцмана B.9) при отсутствии массовых сил и прене-
пренебрегая квадратами и более высокими степенями ф, получим
При выводе уравнения (8.2) учтено, что f'of'ol=L fofol и что функция
/о(£) не зависит от переменной интегрирования gt и может быть вы-
вынесена из-под знака интегрирования.

§ 2.8] ЛИНЕАРИЗИРОВАННОЕ И МОДЕЛЬНОЕ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА 71
Уравнение (8.2) является довольно сложным интегро-дифферен-
циальным уравнением, но оно в силу линейности много проще пол-
полного уравнения Больцмана. Этим уравнением, в частности, описываются
малые звуковые и ультразвуковые колебания (см. § 4.5), а также очень
медленные движения газа. Однако в большинстве практически инте-
интересных случаев течения не являются слабо возмущенными. Например,
обтекание тонких тел или даже плоской пластины, установленной па-
параллельно потоку, сопровождается сильным возмущением функции рас-
распределения. Тем не менее исследование решений линейного уравнения
позволяет выяснить ряд особенностей, свойственных и полному урав-
уравнению Больцмана (см. § 4.2).
Запишем линейное уравнение Больцмана (8.2) в виде1) (см. § 2.2)
ЧГ = \ /о, (Ф' + «Pi - Ф- Ф,) W (|, §х | V, Ц)<*!, dl' d\'r (8.3)
Уравнение (8.3) можно переписать в более симметричной форме:
J. |,|Г. ^(ф' + ф! —ф —ф^!,^'^!, (8.4)
где
™\ъ> Si I 6 . S,j — {IQIo1/o/oij w \ь> &! | S • Sij-
Легко проверить равенства
\ v l[yhdlxdVdl[, (8.5)
= Jw(i, пц. g^^ijdijdr. (8.6)
получающиеся изменением обозначений.
Используя эти равенства, приведем интеграл столкновений к виду
мф)=-ф Jw(i, i^r. iQd^di'din-J^(g, i,)ф,di,. (8.7)
где
J i!. 10 +
W a 1 d m a n L., Handbuch der Physik 12. 1958.

72
УРАВНЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ
[ГЛ. II
Так как функция w обладает свойствами симметрии (см. фор-
формулу B.13)):
Щ ( Б'. Г,).
то
- J
Меняя местами |' и §[, получим
к а, ю= j [-w(ir
(8.9)
+ w(lv riSJ. |)jdr^ = ^(Ir I). (8..10)
т. е. ядро A'd, %i) симметрично.
Интеграл от К(%, %х) по |х перестановкой переменных интегриро-
интегрирования можно привести к виду
Следовательно, интеграл столкновений (8.7) равен
(8.12)
Таким образом, интегральный оператор линеаризированного урав-
уравнения Больцмана является оператором фредголъмовского типа
с симметричным ядром. Часто этот оператор записывают с выде-
выделением ф:
£J gt) ф1 rfgj, (8.13)
• (8.14)
где
КЦ)=\К (!,
Стандартный путь отыскания решений интегральных уравнений
с симметричным ядром состоит в разложении решения по собствен-
собственным функциям интегрального оператора /-(ф). Однако к этому вопросу
удобнее вернуться несколько позже (см. § 3.11).
2. Модельное уравнение. Наряду с этим математически коррект-
корректным для малых возмущений приближением, широкое применение нашло

§ 2.8] ЛИНЕАРИЗИРОВАННОЕ И МОДЕЛЬНОЕ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА 73
модельное уравнение1), не имеющее строгого математического обо-
обоснования, но, как будет видно из дальнейшего, дающее качественно
правильные результаты для широкого круга задач при произвольной
длине пробега и возмущениях любой интенсивности.
Запишем уравнение Больцмана в форме G.1):
4f = Ji-A. (8.15)
где
У, = J j'jxgbdb dRdlx, h = J fxgb dbdb d%v
В § 2.2 показано, что для максвелловских молекул уравнение Больц-
Больцмана можно записать в форме, не содержащей явно относительную
скорость в интеграле столкновений:
(8.16)
Как уже отмечалось, при столкновениях молекул с большими при-
прицельными расстояниями импульс и энергия сталкивающихся частиц
изменяются мало. Поэтому в уравнении Больцмана можно приближенно
интегрировать по прицельным расстояниям не до бесконечности, а до
некоторого конечного расстояния, равного эффективному диаметру
столкновений. Чем больше относительная скорость молекул, тем, оче-
очевидно, меньше эффективное сечение столкновений. Для псевдомакс-
велловских молекул (см. формулу B.13))
3/<\г/2 Г Г Г
— /] rf|t pdpde=A /idi, = /lra, (8.17)
где п число молекул в единице объема и
Л = \
т
)
Интегрирование здесь ведется до некоторого конечного р, т. е. до
некоторого прицельного расстояния Ь, обратно пропорционального
корню из относительной скорости g, так как
m ) Vg
Следовательно, эффективное сечение столкновения обратно пропор-
пропорционально g.
!) Bhatnagar P. L., Gross E. Р., К rook M., Pliys. Rev. 94, 511
A954); W е 1 a n d е г P., Arkiv for Fyslk 7, Hafte б, 507 A954); Коган М. Н„
Прикл. матем. и мех., вып. 4 A958).

74 УРАВНЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ [ГЛ. II
Таким образом, псевдомаксвелловская молекула со скоростью |
в единицу времени в единице объема столкнется с An молекулами
со всевозможными скоростями |г Следовательно, всего в единице
объема в единицу времени столкнется
N= f Anf(Qdl= An2 (8.18)
частиц.
Интеграл J2{t, X, £) определяет число частиц, имеющих после
столкновения скорость £, т. е. Jj есть функция распределения столк-
столкнувшихся молекул после столкновения.
Как следует из Н-теоремы, в результате столкновений функция
распределения стремится к наиболее вероятной. Предположим, что
функция распределения молекул после столкновения J2 является наи-
наиболее вероятной при заданных числе сталкивающихся частиц, их им-
импульсе и энергии. Это предположение в какой-то мере оправдывается
тем, что свободная система частиц стремится к равновесию по экспо-
экспоненциальному закону (см. §§ 3.3, 4.1) и характерным временем зату-
затухания является время между столкновениями. Уже в результате одного
столкновения система с произвольной начальной функцией распреде-
распределения переходит в состояние, близкое к равновесному. Частица со
скоростью £ участвует в An столкновениях, принося с собой импульс
тАп\. Следовательно, импульс Р всех столкнувшихся молекул равен
Р= Г mAn%f d%= An2ma, ■ (8.19)
где a(t, х) — средняя скорость газа (см. § 2.1).
Аналогично энергия сталкивающихся молекул Е равна
4*74-^). (8.20)
где T(t, x) — температура газа.
Легко видеть, что выражения (8.18) — (8.20) отличаются от соот-
соответствующих выражений E.17) лишь тем, что число частиц равно не п,
a An2. Поэтому наиболее вероятной функцией распределения при N, Р
и Е, заданных формулами (8.18) — (8.20), будет
Таким образом, при сделанных предположениях уравнение Больц-
мана принимает вид
■^• = Лл(/0 —/). (8.22)
Уравнение (8.22) является нелинейным иншгро-дифференциальным
уравнением, так как в /0 функция распределения / входит нелиней-

S 2.8] ЛИНЕАРИЗИРОВАННОЕ И МОДЕЛЬНОЕ УРАВНЕНИЯ БОЛЫДМАНА 75
ным образом (ге, и и Т— интегралы от функции /). Величина \JAti
имеет размерность времени и равна времени между столкновениями
%=(n.Gcpg)~ = \\Ап. Записанное в виде
9
уравнение Больцмана по форме совпадает с уравнениями теории релак-
релаксационных процессов и поэтому иногда называется релаксационным
уравнением.
Уравнение (8.22) можно представить в интегральной форме1). Для
этого достаточно в уравнения G.4) и G.5) подставить конкретные
значения интегралов У; и J,2, а именно:
Jj = Anf0 и J2 = An.
Имеем:
fit, x, l) = fitQ, x—Ht — t0), |) +
[fo(s, x—t(t — s), s) —
— fis.x—1(^ — s), |)j ds, (8.24)
t l t
X exp — Л га (s, jc — |(£ — s))ds у-f- Л «(т, jc — |(f — t)) X
и i
— i), l)exp
n(s, x— lit — s))dsydx. (8.25)
y
Рассмотрим газ, сосгояние которого в момент времени ^0 = 0
описывается функцией распределения /@, |), не зависящей от про-
пространственных координат. Из сохранения массы, импульса и энергии
следует, что п, и и Т постоянны во времени и пространстве, а сле-
следовательно, постоянна и функция /0. Тогда из уравнения (8.25) имеем
t_
/С 6)=/о + е т [/@. Б)-/oL (8-26)
где %~1/Ап — время между столкновениями.
Таким образом, функция распределения стремится к равновесной
функции /о по экспоненциальному закону с характерным временем
релаксации т, равным времени между столкновениями, т. е. чем плот-
плотнее газ, тем быстрее достигается равновесие2).
!) Ког ан М. Н., Прикл. матем. и мех., вып. 4 A958).
2) Этот же вывод следует из точного уравнения Больцмана (см. § 4,1),

76 УРАВНЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ [ГЛ. 11
Из уравнения (8.23) видно, что в данный момент времени в дан-
данной точке пространства время релаксации для молекул с любыми
скоростями одно и то же. Это является следствием сделанных при
выводе уравнения грубых предположений.
Для состояний, близких к равновесию, уравнение (8.22) или (8.23)
утверждает очевидное положение, что скорость стремления к равно-
равновесию пропорциональна отклонению от равновесия. Приведенные выше
соображения позволяют при известных допущениях считать это урав-
уравнение применимым и для качественного описания течений, далеких
от равновесия. Справедливость этого утверждения ниже (см. §§ 4.1,
4.2, 4.4) будет подтверждена путем сравнения с решениями полного
уравнения Больцмана.
В §§ 3,12 и 6.8 будут приведены более сложные модельные урав-
уравнения.
§ 2.9. Постановка задач для уравнения Больцмана
Пусть движение газа описывается уравнением Больцмана
i£ -iJl-LF JLLjl.x±. dL~ ut *■ %\
dt ~ dt ~^ёг dxi "• m dli —J{-c' x' SJ-
Для построения конкретного решения этого уравнения необходимо
задать начальные и граничные условия.
Функция распределения f (t0, х, |) ^> 0 в начальный момент вре-
времени t=t0 может быгь задана произвольным образом.
На ограничивающих область течения поверхностях S необходимо
задать функцию распределения молекул, летящих от границы в сто-
сторону течения. Если х—некоторая точка границы и п(х) — напра-
направленная в сторону течения нормаль к граничной поверхности в точке л;,
то необходимо задать функцию fit, x, |)^>0 для скоростей £, удо-
удовлетворяющих условию £ • »>- 0. Тогда функция распределения во всех
внутренних точках течения и в точках граничной поверхности для
| • п <J 0 определится из решения уравнения Больцмана.
Возможна и смешанная задача, когда на части граничной поверх-
поверхности S1 задана функция распределения f(t, x, 1)^-0 для всех |.
Тогда на оставшейся части поверхности 52 = 5 — Sj может быть
задана функция f(t, X, §) ^> 0 для |-га>0 и тех направлений век-
вектора скорости |, двигаясь вдоль которых из точки х на 52 мы не
пересекаем Sv
Поверхность S может быть как односвязной, так и многосвязной.
В задаче об обтекании конечных тел безграничным потоком на бес-
бесконечности функция распределения, очевидно, должна стремиться
к решению уравнения Больцмана, описывающему состояние газа, не
возмущенное обтекаемыми телами. Чаще всего изучается движение тел
в газе, находящемся в равновесии. Тогда, рассматривая течение в

§ 2.9] ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ БОЛЬцМАНА 77
координатах, связанных с обтекаемыми телами, имеем
(9-1)
где U^(UV U2, U3)—скорость набегающего потока, п^ и Т^— соот-
соответственно число частиц в единице объема и температура газа на бес-
бесконечности.
Рассмотрим несколько подробнее условия, которым должна удо-
удовлетворять функция распределения на ограничивающих течение твердых
поверхностях. Рассмотрим газ, атомы которого не претерпевают на
поверхности каких-либо химических превращений. Молекула, падаю-
падающая на поверхность со скоростью |г, отражается от нее с некоторой
скоростью |г. Обозначим вероятность того, что молекула, падающая
на поверхность со скоростью |2 в интервале скоростей d|2, отлетит
от нее со скоростью |г в интервале скоростей d\r, через W {\t, %r)d\idb>r
Число молекул, падающих в единицу времени на единицу площади
поверхности со скоростью |г в интервале d\ в точке х, равно
где п—нормаль к поверхности, направленная в сторону газа. Часть
из этих молекул, равная
-(!,•»)/(*. itW&t, lr)dltdln
отразится со скоростями в интервале d|r около точки |г. Полное
же число молекул, отраженных от единицы поверхности со скоро-
скоростями в интервале d%T около точки |г, равно
/ (х, %г) а,, ■ п) dlr ~= — d% J (i£ • я) / (х, lt) W (|£, lr) d\it (9.2)
%-n < о
где. интегрирование ведется по всем скоростям молекул, летящих
к стенке: | • п < 0. Так как число падающих молекул должно рав-
равняться числу отраженных молекул, т. е.
J f{x, !,)(|,•»)<*!,=— J (h-n)f(x, |,)d|£. (9.3)
i-n>o i-n<o
то функция W (^t, Ь,г) должна удовлетворять очевидному условию
нормировки
J W{lt, |r)dir=l. (9.4)
!•« > о
Сокращая па d%n условие (9.2) можно переписать в виде
= - J (lrn)fi(x)W{ll< lr)dlt (9.5)
1-я < 0

78 УРАВНЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ [ГЛ. IS
ИЛ 11
fr(x)= J K(%, Dftdtt, (9.6)
г-п<о
где
Из (9.6) видно, что функция распределения отраженных моле-
молекул fr может иметь совершенно иной характер, чем функция рас-
распределения падающих молекул /г, т. е. функция распределения в общем
случае разрывна по § вблизи поверхности (при |-в = 0).
Функция W (или К) зависит от физических и химических свойств
поверхности и падающей частицы, обработки поверхности и ее тем-
температуры Tw. В общем случае, например, при наличии адсорбиро-
адсорбированных слоев функция W может зависеть также от общего числа
падающих на элемент поверхности частиц, от их суммарных импульса
и энергии (см. следующий параграф).
Если поверхность движется со скоростью Uw(t), то, очевидно,
граничное условие в любой момент времени в системе координат,
связанной со стенкой, также будет иметь вид (9.6), т. е. имеем:
f(t.x. \r)((\r — Uw).n)d\rdt =
= d$rdt | ((Uw — %.) .n)f(t.x, h) X
(ir Vw).n <0
XW{t,%-Uw,lr-UJd% (9.7)
и
, uw, ^^i
w,
При выводе этого соотношения молчаливо предполагалось, что
время пребывания молекулы на поверхности 9 (время адсорбции)
много меньше характерного времени задачи. Если это условие не
выполнено, то необходимо знать вероятность
W(t, % — Uw. h-Uw, t-Q)dtdQd%dlr
того, что молекула, попавшая на поверхность со скоростью относи-
относительно поверхности |г — Uw в момент времени t — 9 в интервале dQ,
покинет поверхность со скоростью |r — Uw в момент времени t
в интервале dt; тогда
fit, х(t). %)\{lr — Uw(t)).n@1 d%dt =
l\W(t, % — Uw, t—§, li — Ujd^. (9.8)

§ 2.IC] ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МОЛЕКУЛ С ТВЕРДЫМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ 79
Вероятность W и время адсорбции 6 зависят как от физико-
химических свойств поверхности и падающей молекулы, так и от
скоростей и количества падающих на поверхность молекул, так как
от последних зависит состояние адсорбированных слоев ').
Имея указанные начальные и граничные условия, тем или иным
методом можно в принципе строить решение уравнения Больцмана.
Однако вопрос о существовании и единственности решения в столь
общей постановке в настоящее время еще не решен.
Проблема существования решений уравнения Больцмана изучена
лишь для задачи с начальными условиями в безграничной области и
для молекул с конечным радиусом взаимодействия (с обрезанным
потенциалом взаимодействия). Для пространственно-однородного слу-
случая теорема существования доказана как для молекул-шаров2), так
и для псевдомаксвелловских молекул3) для полного нелинейного урав-
уравнения Больцмана. Для линейного уравнения доказана теорема суще-
существования и изучено асимптотическое поведение решений для задачи
с начальными условиями, зависящими от пространственных коорди-
координат4). Пространственно-неоднородная задача для нелинейного урав-
уравнения Больцмана рассмотрена Градом5). Однако существование реше-
решений доказано для времен тем меньших, чем больше начальная функ-
функция распределения отличается от равновесной. Таким образом, для
времен макромасшгаба существование доказано лишь для малых на-
начальных возмущений.
§ 2.10. Взаимодействие молекул с твердыми поверхностями.
Коэффициенты аккомодации
Из склепного и предыдущем параграфе ясно, что для расчета
течении с границами, включающими твердые поверхности, необходимо
iiiwn> нерояпюсть отражения молекул с данной скоростью от поверх-
поверхности тела. В настоящее время теория взаимодействия молекул с твер-
твердыми или жидкими поверхностями начинает лишь развиваться
■) Де Бур Я. X., Динамический характер адсорбции, ИЛ, 1962;
Филиппов Б. В., сб. «Аэродинамика разреженных газов», ЛГУ, I A963)
и 11 A955).
2) Carl em an Т., Acta math., Stockh. 60, 91 A933).
3) Morgen stern D., Proc. Nat. Acad. Sci. 40, 719, A954).
4) К а р л е м а н Т., Математические задачи кинетической теории газов,
ИЛ, 1960; О г a d H., Phys. Fluids 6, 147 A963); О г a d H., Rarefied Gas
Dynamics, Third Syrnp., Acad. Press, 1963; русский перевод двух последних
работ имеется в сб. «Некоторые вопросы кинетической теории газов», «Мир»,
1965. Or ad H., Comm. Pure and Appl. Math. 18, № 1/2 A965); A p-
c e н ь е в А. А., Журнал вычислительной математики и математической
физики 5, № 5 A965). См. также § 3.7.
5) Orad H., Proc Amer. Math. Soc, Symposium on Application of Par-
Partial Differential Equations, 1964.

80. УРАВНЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ [ГЛ. II
Экспериментальных данных также совершенно недостаточно. Трудности
теоретического исследования взаимодействия обусловлены прежде всего
незнанием структуры поверхностных слоев твердых тел, а следова-
следовательно, и потенциалов взаимодействия налетающей молекулы с моле-
молекулами тела. Попав на поверхность, молекула адсорбируется, вступая
в физические и химические связи с молекулами поверхности. На по-
поверхности молекула может диссоциировать, потерять или приобрести
электрон. Падающие с большими энергиями молекулы могут выбивать
молекулы поверхности или молекулы, адсорбированные на поверх-
поверхности. В зависимости от атих взаимодействий молекула, покидающая
поверхность по истечении времени адсорбции, будет обладать различ-
различными импульсом и внутренней энергией.
Состояние поверхности зависит от обработки поверхности (шеро-
(шероховатости), чистоты поверхности, ее температуры и т. д. Характер
взаимодействия молекул с поверхностью одного и того же помещен-
помещенного в вакуум образца может меняться со временем из-за обезгажи-
вания поверхности. Предварительное нагревание поверхности также
способствует очищению поверхности от адсорбированных молекул.
Вообще говоря, характер взаимодействия данной молекулы с по-
поверхностью зависит от числа и скоростей других молекул, падающих
на тот же элемент поверхности.
Представим себе чистую от посторонних молекул поверхность.
В зависимости от потенциалов взаимодействия молекул поверхности
с молекулой газа время взаимодействия последней с поверхностью
может варьироваться в очень широких пределах. Если та—время
адсорбции, то доля поверхности, занятая адсорбированными молеку-
молекулами, очевидно, равна y = Ntxaa, где jV; — число молекул, падающих
в единицу времени на единицу поверхности, и а — сечение молекулы
газа. Время адсорбции та зависит от энергии падающих молекул.
Если Y не близко к нулю, то характер взаимодействия каждой нале-
таюшей молекулы зависит от общего числа и энергии падающих мо-
молекул. В условиях глубокого вакуума (например, в условиях спут-
спутника) у<^_ 1, даже если время физической адсорбции порядка 10" сек.
В этом случае каждая падающая молекула взаимодействует с поверх-
поверхностью независимо от других. В другом предельном случае, когда
Y= 1 (например, при химической адсорбции, когда время та может
быть очень большим, или в плотном газе), отражение также может
быть независимым, если не образуется второй адсорбированный слой.
В этом случае молекула взаимодействует с адсорбированным моно-
монослоем с меньшим временем адсорбции.
Для экспериментального исследования взаимодействия молекул
с поверхностью наиболее широкое распространение получил метод
молекулярных пучков. Методика получения пучков молекул с тепло-
тепловыми скоростями (порядка 104—105 см/сек) достаточно хорошо раз-
разработана, однако задача получения монохроматических хорошо кон-

§ 2.Ю] взаимодействие молекул с твердыми поверхностями gi
тролируемых пучков достаточной для измерений интенсивности со ско-
скоростями порядка 10б—107 см/сек (для азота и кислорода для энергий
10—100 эв) представляется в настоящее время весьма сложной. Вто-
Вторая трудность связана с контролем условий на поверхности тел,
в частности с анализом адсорбированных пленок. По-видимому, по-
последней причиной объясняется большой разброс экспериментальных
данных даже для теплового диапазона скоростей').
Отсутствие надежных экспериментальных данных приводит к тому,
что в настоящее время пользуются более или менее правдоподобными
предположениями о виде функции распределения отраженных молекул
или простейшими теоретическими моделями взаимодействия молекул с
поверхностью 2).
Из тех или иных соображений задается вид функции, аппрокси-
аппроксимирующей истинную функцию распределения отраженных молекул
и содержащей некоторое число свободных параметров, т. е, полагаем.
/(*, х, §,) = /,(*. x) = F(lr, Л„ ..., AN), A0.1)
где At{t, x) зависят от свойств поверхности и налетающих молекул,
температуры поверхности и т. п. Функция Р должна удовлетворять
очевидному условию равенства числа падающих и отраженных молекул:
J Ftf.x. |r)(Sr;«)d|r=- { f(t,x,li)(lrn)d%l. A0,2)
{■и>0 {-и<0
Это условие определяет один из параметров At. Остальные пара-
параметры At могут быть подобраны, например, так, чтобы функция Р
правильно определяла суммарные импульс, энергию и какие-либо еще
макроскопические характеристики отраженных молекул. Связь послед-
последних с соотпетствующими характеристиками падающих молекул за-
задастся обычно с помощью необходимого числа параметров, так
') Дев иен М, Течение и теплообмен разреженных газов, ИЛ, 1962;
W а с h m a n H. Y,, ARS Journal 32, № 1 A962); Н а г t n e 11 J. P., Rarefied
Gas Dynamics, Second Symp,, Acad. Press, 1961; H u г 1 b u t F. C, Dynamics
of Manned, Lifting Planetary Entry, Wiley, 1963.
2) См., например, Ba'ule В., Ann. Phys. 44, 145—176A914); Френ-
Френкель А. И., УФН 20, № 1 A938); Goodman F. O., J. Phys. Chem. Solids
23, 1269 A962); 24, 1451 A963); 26, 85 A965); Goodman F. O., Rarefied
Gas Dynamics, Forth Symp., Academic Press, 1966; Trilling L., W а с h-
man H. У., Scott P. В., Proc. 6th Symp. Fluid Mech. Pol. Acad. Sc. Zako-
Zakopane, Poland, A963); Trilling L., Journal de mecanique 3, № 2 A964);
Oman R. A., Bog an A., Weiser Q. H., Li С. Н., AIAA Journal 2,
№ 10 A964); Oman R. A., Bog a n A., Li С. Н., Rarefied Gas Dynamics,
Forth Symp. Acad. Press, 1966; Варанцев Р. Г., сб. «Аэродинамика раз-
разреженного газа» 2, ЛГУ, 1965; Ерофеев А. И., Инженерный ж. 4, в. 1
A964); 5, в. 5 A965); Леон а с В. Б., ПМТФ, № 3, 71 A965). Ряд теорети-
теоретических и экспериментальных работ последних лет можно найти в сб. «Взаимо-
«Взаимодействие газов с поверхностями», «Мир», 1965;
6 М, Н. Коган

82 УРАВНЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ [ГЛ. II
называемых коэффициентов аккомодации. В свою очередь коэффици-
коэффициенты аккомодации определяются экспериментально или с помощью
упоминавшихся выше теоретических моделей взаимодействия молекул
с поверхностью.
Одна из наиболее старых и распространенных аппроксимаций
функции распределения отраженных молекул вслед за Максвеллом 1)
строится в предположении, что часть молекул 1—ах отражается
от поверхности зеркально, а часть ах—диффузно с максвелловским
распределением
*, х, S,) = (l-at)/,(*. х, |,-2(§г (£)
A0.3)
r 2kTr '
т. е, ядро в интеграле (9.6) предыдущего параграфа имеет вид
A0.3а)
Здесь Ь(х)—дельта-функция, ft — функция распределения падающих
на поверхность молекул, ах, пг и Тг — свободные параметры. Во вто-
втором члене A0.3а) учтено условие A0.2).
Легко видеть, что параметр ах характеризует долю тангенциаль-
тангенциального импульса, передаваемую падающими молекулами стенке. Дей-
Действительно, тангенциальный импульс, приносимый на стенку падаю-
падающими молекулами, равен
(Ю.4)
l-n<0
где |гт—тангенциальная составляющая скорости падающей молекулы.
Тангенциальный импульс, уносимый отраженными молекулами, со-
согласно A0.3) равен
Prx=m j frlrAlr-n)dlr = (\-ax)Pix, A0.5)
1-и>0
т. е. d-fPtx есть тангенциальный импульс, переданный молекулами
стенке. Параметр ах можно назвать коэффициентом аккомодации
тангенциального импульса:
а^Ел^Ея.. A0.6)
') Maxwell J. С, On the Stresses in Rarefied Oases, The Scientific
Papers 2, Paris, 1890.

§ 2.10] ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МОЛЕКУЛ С ТВЕРДЫМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ 80
Очевидно, при полностью зеркальном отражении ат —0, а при пол-
полностью диффузном отражении оц,= 1.
Аналогично можно ввести коэффициент аккомодации энергии:
где Et— энергия, приносимая падающими молекулами, ЕГ — энергия,
уносимая отраженными молекулами, и Ew— энергия, которую уно-
уносили бы отраженные молекулы, если бы газ находился в равновесии
со стенкой, т. е. когда в формуле A0.3) параметр Тг равен темпе-
температуре стенки Tw.
Коэффициент аккомодации ае = 0, если молекулы не отдают
энергию стенке, и а(,= 1, если налетающие молекулы приходят
в термическое равновесие со стенкой (полностью аккомодируют).
В соответствии с общими законами механики энергия, отданная по-
поверхности, тем меньше (тем меньше ае), чем меньше отношение массы
налетающей молекулы к массе молекул поверхности.
Энергия отраженных молекул равна
Г mS. mnr
Er= J ~f {lr • ") A ^r = О ~ <*r) fi + «t 2 V~ \w ' A0-8)
5-и>0 V ' т
где Ei—энергия падающих молекул, равная
l2
J
\-n <0
Аналогично
i = — J -^(i, •»)/,*!,. (Ю.9)
0
A0.10)
Число молекул, отраженных в единицу времени от единицы поверх-
поверхности, равно
|;№)/rir(at)/ + at^
|.и>0 ' т
где
|-в<0
— число молекул, падающих на ту же поверхность в единицу
времени.
Аналогично, если бы молекулы отражались, находясь в равнове-
равновесии со стенкой, т. е. при Tr = Tw, то
^. A0.116)

84 уравнения кинетической теории газов [гл. П
Из условия A0.2) следует
Nt^Nr, или Nt=£ |
Nt = Nw, или Nt = —_ w ■. I
2 у ahw j
Если температура стенки и коэффициенты аккомодации заданы,
го, используя соотношения A0.8)—A0.11), из уравнений A0.7) и
A0.12) можно найти параметры nr, nw и Тг, входящие в функцию
распределения отраженных молекул A0.3).
Очевидно, что аппроксимация A0.3) может оказаться удовлетво-
удовлетворительной лишь для ограниченного класса задач не только благо-
благодаря частному виду аппроксимирующей функции, но и благодари
тому, что коэффициенты аккомодации предполагаются не зависящими
от функции распределения падающих молекул. Более того, аппрок-
аппроксимирующая функция A0.3) с заданными коэффициентами аккомода-
аккомодации в форме A0.6) и A0.7) противоречива. Действительно, пусть,
например, ат= 1 и ав ф 1. Рассмотрим два пучка молекул, падаю-
падающих на поверхность соответственно со скоростями gj и |2. Если
плотность падающих пучков молекул не очень велика, то функция
распределения отраженных молекул для каждого из пучков молекул
не должна зависеть от присутствия молекул другого пучка (речь
идет о пучках молекул, достигших стенки, и об отраженных моле-
молекулах непосредственно у стенки, так что столкновения молекул
между собой не могут изменить наших рассуждений). Функция рас-
распределения отраженных частиц при падении на стенку сразу двух
пучков должна быть равна сумме функций распределения отражен-
отраженных молекул каждого из пучков. Однако легко видеть, что функ-
функция A0.3) при ае ф 1 не удовлетворяет этому условию аддитивности.
Во всех трех случаях функция распределения отраженных молекул
имеет вид
f* = i NiAu ехР {- КиЩ (k = i ■ 2- 3)<
где k = 1 и k = 2 относятся к пучкам со скоростями |, и |2,
а индексом k = 3 отмечены соответствующие величины при падении
обоих пучков сразу, hrk отвечают соответствующим температурам
отраженных молекул. Очевидно, N1Ъ = Nix -)--Ni2. Из A0.7) имеем
^ __ °г^ / j q, \ I_. £_ /д, ___ j 2^

§ 2.Ш] ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МОЛЕКУЛ С ТВЕРДЫМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ 85
Непосредственной подстановкой убеждаемся, что
/гЗ =£ !т\ + /г2-
Аппроксимация A0.3) с условиями A0.6) и A0.7) приводит к пра-
правильной функции распределения, когда газ приходит в равновесие
со стенкой, что является некоторым ее оправданием.
Из физики явления легко видеть—и это подтверждается экспе-
экспериментом '), — что вероятность отскока молекулы с той или иной
скоростью в том или ином направлении зависит от скорости и угла
■Эксперимент
Аппроксимация по
формуле ('.О 13}
падения налетающей молекулы. Можно усовершенствовать фор-
формулу A0.3), предположив, например, что ат и ае зависят от угла
падения молекул и скорости. Имеющиеся экспериментальные данные
показывают, что чем больше угол падения 0г (угол между вектором
скорости и нормалью к поверхности), тем в большей мере сохра-
сохраняется тангенциальный импульс отраженных молекул, т. е. тем
меньше ах. При ат — 1 функция отраженных молекул симметрична
относительно нормали. Если изобразить число молекул, отражаемых
в каком-либо направлении, в виде вектора, то конец вектора в этом
случае, согласно A0.3), опишет сферу {закон косинусов). По мере
увеличения угла наклона падающих молекул эпюра отраженных
') См. работы, цитированные на стр. 81.

86
УРАВНЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ
[гл. п
молекул начинает все больше походить на эллипсоид со все возрастаю-
возрастающим углом наклона. В формуле A0.3) этот факт может быть учтен
уменьшением аг. Однако, например,
при падении монохроматического
пучка картина отраженных молекул
будет состоять из двух частей: из
молекул, отраженных по закону
косинусов, и параллельного пучка
(на эпюре 6-функция). Чем меньше
ах, тем больше будет пик, обуслов-
обусловленный зеркально отраженными мо-
молекулами.
По-видимому, экспериментальные
данные можно аппроксимировать
лучше, если вместо введения зеркаль-
зеркального отражения молекул считать, что
функция распределения является максвелловской, но с некоторой ма-
макроскопической скоростью')
hr(l-UrY}. A0.13)
На рис. 10 приведен заимствованный из работы Ночилла пример
обработки (подбора параметров hT и Ur) по этой формуле резуль-
результатов эксперимента по отражению азота на чистом кристалле LiF при
тепловых скоростях молекул.
Имеющиеся экспериментальные данные могут быть также аппрок-
аппроксимированы функцией распределения2)
рис
г= J
|-я<0
sn -hfil (л 9г-6\ frcosi
e cosr2 ~ar~j~SosT
1-и<0
о при er —0>eo,
sin 0 = (sin 04)v,
при 0r — I
A0.14)
где 0j и 0r — углы падения налетающей и отраженной молекул,
q — наклон оси конуса рассеяния отраженных молекул, 90 — предель-
предельный угол конуса рассеяния (рис. 11). Три параметра 0О, v и Тт для
заданных поверхности и налетающих молекул являются функциями
1) Or ad H., Handbuch der Physik 12, 1958; Nocilla S., Rarefied
Gas Dynamics, Third Symp., 1963.
2) Sham berg R., Heaf Transfer and Fluid Mech. Inst., Preprints of
Papers, Stanford, 1959.

§ 2.10] ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МОЛЕКУЛ С ТВЕРДЫМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ 87
\i и 0г. Четвертый параметр пг связан с условием (9.4) предыдущего
параграфа:
J
J W fc. I.) Ъ = J nT (h-f е-^%т cos (| ^
|-я>0 4-в>0
A0.15)
Если 90 = л:/2, 0 = 0 (т. е. v = oo) и пт и 7Г не зависят от |г, то
функция A0.14) переходит в распределение Максвелла
где согласно A0.14) и A0.15)
= nr J
, cos QJi d\ = 2 Уя/г, f £г cos 0г/, rfgf.
1-я<0 l-n<0
Параметры 0о(|г, 0г), vd,, 9,) и ТгЦ1з 9,:) в формуле A0.14)
могут быть найдены, если заданы три какие-нибудь макроскопические
характеристики отраженных молекул, например, доля нормального и
тангенциального импульса и энергия, передаваемые поверхности моле-
молекулами, падающими со скоростью |г под углом 0г.
Долю передаваемых импульса и энергии удобно характеризовать
коэффициентами аккомодации, представленными в форме
E—E (ШЛ6)
9.) == ' r ,
где
— соответственно тангенциальный и нормальный импульс и энергия,
приносимые молекулами, падающими со скоростью \г под углом 0г
с нормалью к поверхности; N{ — число молекул, падающих на еди-
единицу поверхности с этой скоростью;
sQrsinQrfrd%r, Prn = m J |2r<
1-я>0
1-я >0
A0.17)
— импульс и энергия, уносимые молекулами с поверхности. Если
ат(|(, 0/), «„(£/, 9,) и аеA[, 0г) известны, то, подставляя в A0.16)

88 уравнения кинетической теории газов [гл. и
функцию распределения A0.14) для падающего пучка молекул с оди-
одинаковой скоростью, получим три уравнения для определения трех
параметров: v(^, 6г), во(^, 6,.) и Гг(|г, 6г).
Коэффициенты аккомодации, заданные в форме A0.16), удобны
также при расчете обтекания выпуклых тел свободномолекулярным
потоком (см. § 6.1). При расчете обтекания выпуклых тел свободно-
молекулярным потоком не интересуются функцией распределения
отраженных молекул. Необходимо лишь знать импульс и энергию,
передаваемые падающими молекулами поверхности. В этом случае
знание коэффициентов аккомодации A0.16) полностью решает задачу,
так как ахРи, апР[п и аеЕг дают как раз импульс и энергию, пере-
переданные молекулами со скоростями \{ стенке. Тогда полные импульс
и энергия, передаваемые, стенке падающими молекулами всех скоро-
скоростей и направлений, равны
~m j
1-Ж0
I
2
Е—— а (£ 8
2 J e(y>r »J
A0.18)
l-n <0
Выше шла речь лишь об энергии поступательного движения мо-
молекул. При столкновении многоатомной молекулы со стенкой ее
внутренняя энергия может как уменьшаться, так и увеличиваться.
Внутреннюю энергию й-го вида отраженной молекулы в общем слу-
случае можно представить в виде
Здесь коэффициенты а^ определяют долю внутренней энергии
/'-сорта, переходящей при столкновении со стенкой в энергию
А-сорта, Коэффициент |3# определяет долю поступательной энергии
молекулы, переходящей во внутреннюю энергию й-сорта. Наконец,
коэффициент Y» определяет долю энергии стенки, идущей на воз-
возбуждение й-типа внутренней энергии. При единичном столкновении
легче всего молекула отдает и приобретает вращательную энергию.
В отличие от рассмотренных выше коэффициентов аккомодации,
введенные только что коэффициенты могут быть как положительными,
так и отрицательными.
В качестве 'грубых осредненных характеристик можно ввести по
аналогии с A0.7) еще два коэффициента аккомодации:
E.=E._a-(Z*-Ey-|-a[(Z?(-ig. A0.20)

§ 2.П] КРИТЕРИИ ПОДОБИЯ 89
Верхним индексом «в» отмечена величина внутренней энергии; аве и ате —
новые коэффициенты аккомодации.
Хотя коэффициенты аккомодации ат, ал, а,, a тем более а°, аге
и вероятности отражения W(%, |г) изучены еще далеко не доста-
достаточно, тем не менее в дальнейшем мы везде будем предполагать
характер взаимодействия молекул с поверхностью заданным, а для
конкретных расчетов будем применять одну из приведенных выше
аппроксимаций.
§ 2.11. Критерии подобия
Приведем уравнение Больцмана
1 (ил)
к безразмерному виду, отнеся входящие в уравнение A1.1) перемен-
переменные к соответствующим характерным величинам, положив
t=Je, Xi = ZtL, lt=%U, b = bR, g = gO, 1
Xi = XiX, / = /Ф, е = ёя. I
Здесь в—характерное время течения; L — характерная длина;
U — средняя скорость молекул, определяемая выражением
О — средняя относительная скорость:
-SiI//,<*&*!,;
X — характерная внешняя сила, действующая на молекулы; R—харак-
R—характерный линейный размер столкновения молекул, разный, например,
для твердых шаров диаметру молекул, и Ф — характерное значение
функции распределения, равное
где п0 — характерное число молекул в единице объема и с — средняя
тепловая скорость молекул, так как характерный объем пространства
скоростей, в котором функция распределения имеет основной поря-
порядок, очевидно, не зависит от скорости газа как целого. Очевидно,
что с3 является характерным объемом пространства скоростей, по
которому ведется интегрирование в интеграле столкновений. Обычно О
и с одного порядка.
Подставляя безразмерные величины A1.2) в уравнение Больц-
Больцмана A1.1), получим (черточки над безразмерными величинами

90 УРАВНЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ [ГЛ. II
опускаем)
А.М.Л.г J/. . Лк-х df —
ив dt ~T~6j' dxt "T" ml/2 l dli ~~
= ^S^L J (f'f't-ffdgbdbdedti A1.3)
или
Qh a/ Д-р <V д. ! у df —
= ^- §(/'/[-ffjgbdb dt^. A1.4)
Легко видеть, что')
Sh--^ . A1.5)
есть аналог числа Струхаля, а
— числа Фруда. Если течение происходит в поле силы тяжести, то
X/m — gT — ускорение силы тяжести, и число Фруда принимает
обычный для гидродинамики вид
Третий параметр подобия, входящий в уравнение Больцмана, назы-
называется числом Кнудсена:
Так как я/?2=а есть сечение столкновения, то (см. § 1.4)
nR2nQG = ап0О = v
равно числу столкновений, испытываемых молекулой в единицу вре-
времени, a v —т равно времени между столкновениями. Следовательно,
число Кпудсена можно представить в виде
где X — средняя длина свободного пробега молекул.
Характерные скорости молекул U и О введены так, чтобы соот-
соответствующие безразмерные величины были порядка единицы. Если
рассматривается газодинамическое течение с числом Маха М = У/а^.1,
то характерной скоростью молекул будет тепловая скорость, т. е.
U — О'~с-~^а. При М > 1 следует принять U-—V, a О ~ с—■ а.
') См., например, Седов Л. И., Методы подобия и размерности в меха-
механике, «Наука», 1965.

5 2.11] КРИТЕРИИ ПОДОБИЯ 91
Числа Кнудсена (так же как и длины пробега) различны в раз-
личных инерциальных системах координат. Пусть рассматривается
обтекание тела в системе координат, связанной с телом, при числе
М > 1. Тогда естественным параметром, определяющим относительную
величину членов уравнения Больцмана, будет число Кнудсена A1.7),
в котором U <-~^V, а следовательно, и длина пробега к в системе
координат, связанной с телом. Однако обычно для характеристики
набегающего потока применяют число Кнудсена Knm, построенное
по длине пробега в системе координат, связанной с набегающим
потоком (длина пробега Хет на данной высоте). В этой системе коор-
координат
ГЧПао n0oOL n0oL ~ L М '
Число Кнудсена можно связать с числом Рейнольдса. Как пока-
показано в § 1,5, коэффициент вязкости равен
Тогда
V М
Если молекулы взаимодействуют со степенным потенциалом K/rs~'t,
то характерный линейный размер процесса столкновения равен
(см. § 1.3)
l
В этом случае число Кнудсена принимает форму
Точно так же находятся критерии подобия для смеси газов и для
газов с внутренними степенями свободы. В общем случае каждая
компонента смеси имеет разные характерные сечения столкновения
с молекулами разного сорта. Поэтому для соблюдения подобия для
смеси необходимо соблюсти равенство нескольких чисел Кнудсена.
Для газа из твердых шариков при изменении масштаба L подобия
течения (равенства чисел Кнудсена) можно добиться изменением диа-
диаметра шариков а (изменением сорта газа), изменением плотности
газа п0, а также изменением отношения U/O. В частном случае при
моделировании течения в том же газе (т. е. при неизменном сечении
столкновения а) и при фиксированном U/O необходимо, чтобы про-
произведение Ln0 в обоих течениях было одинаковым. Очевидно, что этого

92 УРАВНЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ [ГЛ. И
условия достаточно для подобия течений произвольной смеси при
моделировании в газе того же состава.
В течениях с макроскопическими скоростями газа, меньшими или
порядка тепловых скоростей (до- и околозвуковые течения), U -^ О.
Поэтому в таких течениях нельзя воспользоваться изменением скоро-
скоростей для сохранения подобия. В гиперзвуковых течениях (U ^> О)
и некоторых других течениях, которые будут подробнее рассмотрены
в главе VI, возможно независимое регулирование U и О. В таких
течениях для достижения подобия можно пользоваться изменением
масштаба скоростей (например, изменять скорость и температуру
набегающего потока).
В газе, состоящем из молекул, взаимодействующих по степенному
закону, соблюдения условий подобия течений можно добиваться не
только изменением масштаба течения L, плотности пп и сорта газа
(изменением К), но и изменением масштаба скоростей молекул газа О
и U на всех режимах течений. На практике для моделирования
труднодостижимых режимов течений при очень низких давлениях
часто пользуются уменьшением масштаба течения.
Число Кнудсена характеризует степень разреженности газа. При
очень больших числах Кнудсена роль столкновений молекул стано-
становится пренебрежимо малой и в пределе при Кп~>оо интегралом
столкновений можно пренебречь. Течения, в которых можно прене-
пренебречь столкновениями молекул, называются свободномолекулярными.
Для свободномолекулярных течений уравнение Больцмана принимает
вид
т. е. функция распределения сохраняется вдоль фазовой траектории
молекул. В другом предельном случае, при Кп—>0, функция рас-
распределения в основном определяется столкновениями. Как будет
видно из дальнейшего, в этом случае течение поддается гидродина-
гидродинамическому описанию (см. главу III).
Выше при выводе критериев подобия мы не рассматривали началь-
начальных и граничных условий. При наличии границ для сохранения подо-
подобия течений необходимо удовлетворить дополнительным критериям.
Рассмотрим, например, обтекание тела с характерным размером L
безграничным газом, находящимся в равновесии и движущимся со
скоростью U. Тогда функция распределения на бесконечности равна
(ср. формулу (9.1))
()т A1.12)
Выбирая в качестве характерной скорости скорость /z^1/2 =
и в качестве характерной плотности молекул п , находим, что
в A1.12) входят три безразмерных параметра: Uh и два угла,

§ 2.П] КРИТЕРИИ ПОДОБИЯ 93
определяющих направление скорости набегающего потока. Первый
параметр с точностью до постоянного множителя совпадает с числом
Маха.
На границе тела должно выполняться условие (9.6):
Функция К зависит от координат точки тела xw, скоростей падаю-
падающей |; и отраженной |г молекул, температуры тела Tw, массы
молекул тела mw, шага кристаллической решетки /, эффективного
диаметра столкновения молекул газа с молекулами поверхности d и
других параметров, характеризующих физико-химические свойства и
состояние поверхности:
xw ■си-112 t г1'2 Tw I т \ п 1Л
у , lrh , l-fi , -у-, -j, —-, . . . , AJ.14)
где (Ж—безразмерная функция.
Таким образом, для подобия течений необходимо, чтобы при
подобной геометрии течений были равны числа Маха и Киудсена
(или, что то же самое, числа Маха и Рейнольдса), отношения тем-
температур TwjTon и т. д. Если состав газа и свойства поверхности
тела одинаковы, то для подобия течений достаточно соблюсти лишь
равенство чисел Маха, Рейнольдса и отношений температур Т^Т^.,
как и в гидродинамическом приближении.

Глава III
Общие методы решения уравнения Больцмана
§ 3.1. Уравнения сохранения
Выведенное в предыдущей главе уравнение Больцмана определяет
поведение функции распределения / (t, х, |), являющейся функцией
семи независимых переменных. Известно, что трудности решения
уравнений резко возрастают с увеличением числа независимых пере-
переменных. С другой стороны, как уже отмечалось в § 2.!, микроско-
микроскопическое описание с помощью функции распределения в большинстве
задач излишне детально. Поэтому естественно попытаться перейти
к менее детальному описанию с помощью макроскопических гидро-
гидродинамических величин, введенных в § 2.1 (см. формулы A.4) — A.10)).
Умножим правую и левую части уравнения Больцмана (уравне-
(уравнение B.9) главы II) на некоторую функцию скорости ф(|) и проин-
проинтегрируем по всем возможным скоростям молекул (—оо <^ |; <^ со):
где /„,—интеграл, введенный в § 2.4. Преобразуем левую часть
уравнения A.1). Поскольку пределы интегрирования по | не зависят
от времени, то, меняя порядок операций интегрирования и диф-
дифференцирования, получим
Аналогично
Г rt-f А С
Ф (S) —z-T d\ = -кт Ф/ d\. A.2)
I i \ o/ -5f /9 v*. ' r) A* j I \ * /
df Г 1г~°° Г dv
ф A) -щ. d\t d\j d\u = j Ф/ dljdlk— J f-^dl. A.4)
Очевидно, что при конечной энергии газа должно быть очень
мало молекул с очень большими скоростями. Поэтому функция /
должна стремиться к нулю по крайней мере быстрее, чем | при

§ 3.1] УРАВНЕНИЯ СОХРАНЕНИЯ 95
'с,—>оо. При максвелловском распределении f ^е~АЧ\ В дальнейшем
везде будет предполагаться, что величина <р/ достаточно быстро
стремится к нулю, так что первый член правой части A.4) следует
опустить. Тогда уравнение A.1) можно переписать в виде
Это — общее уравнение переноса.
Возьмем в качестве функций ср сумматорные инварианты т, т£>1
и '/гяг&2- В § 2.4 показано, что для сумматорных инвариантов /^^О.
Учитывая определения гидродинамических величин, преобразуем вхо-
входящие в A.5) интегралы:
A.6)
A.7)
где R = Щт — газовая постоянная; по повторяющимся индексам
производится суммирование.
При (f = m получаем уравнение неразрывности
dp ф^ = 0_
dt s dxi v '
При ф = т|£ получаем уравнения сохранения импульса
или, используя A.8),
(-лг + «,• д—) ai = т^- + —• A.9а)
И, наконец, при ср = 1/2*и|2 получаем уравнение сохранения энергии
-Л>«, = 0 A.10)
" J
или, учитывая A.8) и A.9),
Таким образом, для определения тринадцати гидродинамических
величин р, щ, Ptj и qi мы имеем только пять уравнений (темпера-
(температура Т выражается через Р^; см. § 2.1), т. е. система уравнений
A.8) — A-Ю) не замкнута. Чтобы замкнуть систему, необходимо найти
дополнительные связи между входящими в уравнения величинами.

96 ОБЩИК МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА [ГЛ. III
В гидродинамике тензор напряжений ptj и поток тепла qt выра-
выражают через компоненты скорости, плотность, температуру и их пер-
первые производные, предполагая, что тензор напряжений пропорцио-
пропорционален тензору скоростей деформаций, а вектор потока тепла —
градиенту температуры. Это позволяет замкнуть систему уравнений
A.8)—A.10). Однако, как мы увидим ниже, линейная связь тензора
напряжений и потока тепла с градиентами от гидродинамических вели-
величин является весьма частной и справедлива лишь для течений при
малых числах Кнудсена, т. е. для течений, близких к локально-
равновесным. В общем же случае течение не может быть описано
с помощью одних только гидродинамических величин и система
уравнений A.8)—A.10) не может быть замкнута. Поэтому необхо-
необходимо вводить новые описывающие течение функции и строить урав-
уравнения, которым они должны удовлетворять при заданных условиях.
Вообще говоря, для любого течения можно найти конечную или бес-
бесконечную совокупность макроскопических функций, с большей или
меньшей точностью описывающих течение, и построить управляю-
управляющие ими уравнения или, другими словами, построить соответству-
соответствующую макроскопическую модель некоторой сплошной среды, ко-
которая в тех или иных отношениях ведет себя подобно газу, со-
состоящему из молекул. (Так как молекулярный газ является системой
с бесконечным числом степеней свободы, то соответствующая ему
сплошная среда, которая моделировала бы поведение газа во всех
отношениях, должна определяться бесконечным числом параметров.)
Ниже будут рассмотрены методы построения моделей сплошных
сред, т. е. методы отыскания необходимого числа определяющих течение
параметров и построения управляющих ими уравнений, с помощью
кинетического уравнения Больцмана. В принципе соответствующие
уравнения для макроскопических величин можно построить и из
феноменологических (макроскопических) рассмотрений, минуя кинети-
кинетическую стадию '). Однако входящие в эти уравнения кинетические
коэффициенты (коэффициенты вязкости, теплопроводности, диффузии
и т. п.) не могут быть найдены из феноменологических теорий и для
их определения требуются дополнительные соображения или экспери-
эксперименты. Так, например, при феноменологическом выводе уравнений
Навье—Стокса, предполагая пропорциональность компонент тензора
напряжений компонентам тензора деформаций, мы должны ввести 81
неизвестный коэффициент пропорциональности. Вводя дополнительные
предположения об изотропности и однородности среды, все эти коэф-
коэффициенты удается выразить через два коэффициента вязкости, кото-
') Общая феноменологическая теория построения моделей сплошных
сред на основе вариационных принципов развита Л. И. Седовым. См. С е-
д о в Л. И., УМН 20, вып. 5 A965); Седов Л., И., Доклады АН СССР 165,
№ 3 A965).

3.2]
МЕТОД МОМЕНТОВ
97
рые в конечном счете должны быть найдены экспериментально или
с помощью кинетической теории. Как будет видно из дальнейшего,
в отличие от феноменологических теорий, кинетический подход с ис-
использованием уравнения Больцмана позволяет получить не только
макроскопические уравнения движения среды, но и выразить входя-
входящие в них коэффициенты через свойства молекул газа. В то же
время благодаря своей общности феноменологические теории позво-
позволяют построить уравнения (модели) для сложных сред, для которых
кинетическая теория еще не развита.
§ 3.2. Метод моментов
Наиболее универсальным методом, позволяющим в принципе замк-
замкнуть систему макроскопических уравнений при произвольных числах
Кнудсена, является метол, моментов.
Моментом N-го порядка от функции распределения называют
компоненты тензора Л/-г о порядка вида
/V /V
B.1)
=1, 2, 3; сар=Ц-иар
Очевидно, что Ж-моменты порядка N могут быть выражены через
-моменты порядка N и ниже, и наоборот:
= Ж'7* ~ U'MJk — U]Mkl — 4
= M
ijn
-f щикМи +
-f- tijUtMtk -f- ukulMij — 3nuiu)ukul,
B 2)
Введенные в § 2.1 гидродинамические величины также являются
моментами:
nit, x)=M°= [ fdl, B.3)
пщЦ, х) = М(Р= J IJdl (/= 1, 2, 3), B.4)
Рч (t, х) = moMf) = т J CiCjfdl, B.5)
Я-i =~~ ~о" ^^ t} j z=z ТГ \p^i\\ '\~ ®W'i2!y Н™ °^гз) === ~о~ ^ ;C f d^. B.6)
В уравнение неразрывности A.8) входят моменты нулевого и пер-
пого порядков, в уравнения движения A.9) входят моменты нулевого,
7 М. II. Коган

98 015ЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА [ГЛ. III
первого и второго порядков, и, наконец, в уравнение энергии входят
все моменты B.3)—B.6), включая свертку моментов третьего порядка
q. = 1 тМ1И = \т (М1и 4- Мт + MBZ).
Легко составить уравнения для Ptj, q, и всех остальных момен-
моментов Лт , моментов М ' и т. д. Для этого в общее уравнение пере-
переноса A.5) достаточно вместо ф подставить соответственно |г| •, \i\2,
|.|.|A и т. д. При этом в левую часть уравнений для моментов
порядка N входят моменты (/V-f-1)~го порядка. Следовательно, урав-
уравнение Больцмана можег быть заменено лишь бесконечной системой
совместных уравнений. При выводе уравнений A.8)—A.10) в каче-
качестве функции ф(|) выбирались сумматорные инварианты фг. В этом
случае интегралы / обращались тождественно в нуль. При построе-
построении же уравнений переноса для моментов более высокого порядка
интегралы /ф в общем случае в нуль не обращаются и в уравнение
моментов N-то порядка входят не только неизвестные моменты
(iV-f- 1)-го порядка, но и неизвестные интегралы 1^. Поэтому необ-
необходимо прежде всего выразить интегралы /ф через моменты.
Функцию распределения можно искать в виде ')
/(*. х, i) = F(|, Мф\ М{Х\ ...), B.7)
где моменты М1- —функции от t и х. Тогда, заменив в интегра-
интегралах /ф функцию распределения / по формулам B.7), получим беско-
бесконечную систему совместных уравнений для бесконечного числа момен-
моментов. Для некоторых весьма специальных течений и частных законов
взаимодействия система уравнений обрывается и течение описывается
конечным числом моментов (см. § 4.1). В общем же случае уравнение
Больцмана эквивалентно лишь бесконечной системе макроскопических
уравнений. Для решения практических задач столь сложные системы
уравнений, очевидно, неприемлемы,
Для приближенного решения уравнения Больцмана из тех или
иных соображений можно аппроксимировать функцию распределения
с помощью конечного числа моментов. Пусть, например, для данной
задачи функцию распределения можно аппроксимировать выражением
f(t.x, t) = F{l, Av ..., AN), B.8)
где At(t, X) — некоторые макроскопические величины, зависящие от I
и х. Конкретный вид функции F определяется характером рассма-
рассматриваемого течения, граничными условиями и необходимой точностью
1) См., например, К rook M., J. of Fluid Mechanics 6, № 4 A959). Рус-
Русский перевод в сб. «Некоторые задача современной аэродинамики», ИЛ, 1961.

§ 3.2] МЕТОД МОМЕНТОВ 9Э
аппроксимации. В §§ 3.3, 3.4, 4.2 и 4.3 будут даны примеры по-
построения таких аппроксимаций. С помощью аппроксимирующей функ-
функции B.8) можно выразить моменты любого порядка через функции At.
Пусть какие-либо /V моментов ') Ма или вМа мы выразили через N
функций Аа. В принципе можно обратить эту зависимость и выра-
выразить функции Аа, а следовательно и /, через N выбранных моментов:
/(*, *, |) = F(|. Mar Ма,2, .... Мам). B.9)
Тогда через эти N моментов можно выразить любые другие моменты
и интегралы /ф. Возьмем любые N уравнений моментов и выразим
все входящие в них моменты и интегралы /ф через выбранные N
моментов Ма. Таким образом, мы получаем N совместных дифферен-
дифференциальных уравнений для N моментов.
Из способа получения этой системы уравнений видно, что здесь
имеется большой произвол как в выборе аппроксимирующей функции,
так и в выборе моментов и уравнений, которым они удовлетворяют,
ибо при выбранных N моментах можно воспользоваться любыми N
уравнениями моментов.
Так как в конечном счете обычно интересуются лишь гидроди-
гидродинамическими величинами (первыми тринадцатью моментами), то удобно,
чтобы в число определяющих N моментов входили и эти гидроди-
гидродинамические величины. В число уравнений моментов естественно вклю-
включить пять уравнений сохранения массы, импульса и энергии (уравне-
(уравнения A.8) — A.10)). Выбор дополнительных моментов и уравнений
обычно производится более или менее произвольно из соображений
простоты решения.
Кош аппроксимирующая функция, содержащая N моментов, яв-
является точным решением уравнения Больцмапа, то, очевидно, решения
люомх niru'M, составленных из произнольно выбранных N уравнений
моментом, тождественны. Поэтому, чем точнее выбранная функция
аппроксимирует точное решение уравнения Больцмана, тем меньше
должны расходиться между собой решения различным образом вы-
выбранных систем моментных уравнений. Указанным обстоятельством
можно воспользоваться для оценки точности выбранной аппроксими-
аппроксимирующей функции. Для этого достаточно получить два решения с од-
одной и той же аппроксимирующей функцией, но при различном вы-
выборе моментных уравнений. Разность полученных таким образом ре-
решений характеризует их точность.
Указанной неоднозначности в выборе моментных уравнений можно
избежать, используя метод, предложенный И. Е. Таммом2). Метод
аналогичен методам Ритца и Галеркина.
') Среди этих TV моментов могут быть моменты любого порядка.
2) Т а м м И. Е., Труды Физического института им. Лебедева АН СССР
29 A965). Работа выполнена в 1947 г.

100 OIHIUII-1 МП ОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ |?О.ЛЬЦМАНА [ГЛ. Ill
Рассмотрим функционал
%%]2x<*- BЛ0)
Функционал J? положителен и обращается в пуль, если функция /
удовлетворяет уравнению Больцмаиа. Выбрав форму аппроксими-
аппроксимирующей функции, мы можем потребовать, чтобы входящие в нее мо-
моменты М/(х) или коэффициенты At(x) обращали в нуль первую ва-
вариацию функционала B.10):
0. B.11)
Можно надеяться, что функции M-t или Ah соответствующие мини-
минимуму функционала J?, обеспечивают наилучшую аппроксимацию ре-
решения в среднем при выбранной форме аппроксимирующей функции.
§ 3.3. Метод моментов. Разложение функции
распределения по полиномам Эрмита
Функцию распределения f(t, x, |) можно, например, представить
в виде B.7), если в каждой точке течения разложить / в ряд по |
с коэффициентами, зависящими от t и х, установив связь между
этими коэффициентами и моментами.
1. Как известно, широкий класс функций можно разложить, на-
например, по полиномам Эрмита1). Следуя Граду2), представим функ-
функцию распределения в виде ряда3)
где аа . ,,а —коэффициенты, зависящие от t и х,
. _ ( т \3'2 < т 2)_ ( т \3'2
— локальная функция Максвелла,
C.3)
') Выбор полиномов Эрмита связан главным образом с математическими
удобствами. Если пользоваться не декартовыми координатами скоростей мо-
молекул (Еь g2, g3). а полярными (£, 0, ф), то более удобным оказывается раз-
разложение по полиномам Сонина (см. §§ 3.8 и 3.11).
2) Grad H., Comm. Pure and Appl. Malh. 2. № 4 A949). Русский пере-
перевод в сб. «Механика», № 4, № 5 A952).
3) По повторяющимся нижним индексам производится суммирование.

§ 3.3]
МЕТОД МОМЕНТОВ. РАЗЛОЖЕНИЕ ПО ПОЛИПОМАМ ЭРМИТА
\Q\
На...а (vi> i>2, 1>з) — полиномы Эрмита от трех независимых пе-
пеа
ременных, определяемые соотношением
C.4)
Ряд C.1) сходится в среднем, если существует интеграл
1
■2„ ~1*' dv.
Это условие выполняется для функций, стремящихся к нулю при г»,
стремящемся к бесконечности, быстрее, чем е~'^. В дальнейшем
в явном виде потребуются лишь полиномы низших порядков:
ik +
Hf}m= vi
— (ytv
C.5)
Tine или при пиицчи'ппп порядка дифференцирования в C.4) ре-
пулмлг in- мгпж-roi, то полиномы /■/[, ___,, , получаемые друг из
друы ii(.|K4i'.iiiiiiii<o(l индексов, тождественны. Из определения C.4)
легки Hii.ii.i'i'i. также, что
_tj(N-\)
aI-av-l°v+l-V
(v=l, -.., N) C.6)
HiN) =.
a a....aA ~Па....а,м а a
v 1 ЛГ 1 Af v v
Полиномы Эрмита ортогональны с весом а:
J о (v) Н™... Одг (v) H^\..?,M(v)dv=0 при УИ ф N C.8)
) = Ь{а$ при M^=N, C.9)

!<)'.> оЫЦПК МНТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА [ГЛ. III
.<(N>
•• тензор порядка 2N:
..l20a2p1-rOaia2Op,p2 И Т.Д.
Компоненты тензора 6W) содержат BiV) 1/2лЛ/*! членов, предста-
представляющих собой всевозможные, но различные произведения символов
Кропекера, получающиеся при перестановке 2N индексов, причем
каждое произведение входит один раз. Поэтому полиномы /Л"^ „
1 " * yv
и ^' !..р„ ортогональны, если только at ... aN и |3, ... р^ не могут
быть получены друг из друга перестановкой.
Пользуясь ортогональностью полиномов Эрмита, найдем
JN) _ J_ f fH(N)
йа1 •••B7V~ П J /Ла,...ал
(З.Ю)
Коэффициенты а(ЛГ) могут быть выражены через моменты; подста-
подставляя C.5) в C.10), получим:
fl@)=i,
Ptl
ijk
V—
У ь.т '
р г kT
ijkl П1 1
H3.ll)
~f
где введен тензор
C.12)
Чтобы получить уравнения для «W, умножим уравнение Больцмана
(в отсутствие внешних сил) на H(J^\,,a и проинтегрируем по все-
всевозможным скоростям |. Имеем
где

§ 3.3] МЕТОД МОМЕНТОВ, РАЗЛОЖЕНИЕ ПО ПОЛИНОМАМ ЭРМИТА ЮЗ
Произведение vlH<£f).i.a во втором члене заменим через H{N+1)
и H*N~ с помощью C.7). Преобразуем производные от моментов;
из C.4), C.6) и C.7) имеем
a dva
m dun
dt
dt
.^h{n~1) It/
rf/ ' 2kT
m
dun
m fhTMW)
2kT
Аналогично
где
ОадЯа, ...ov.,n,+ I -"h-iVi "' V dt \Wj-
C.15)
dxt
= vt
dH{
(ЭХ;
C.16)
-_— —
■■,'
-v,H
V
'N-
1
III,
/,■'/'
1)
•av-
()X
-i%+i ■■•V
, h '2kT
X
ЙХ;
\ m \ -
r'iV-2)
,GV- lj
X
(
^ _ F
'dxl-~V
IT „n
W "а1
дщ
kT

104 ошцш; методы решения уравнения болыдмана [гл. in
Подстапляя полученные выражения в уравнение C.13), интегрируя
но | и деля па п, получим
dt ' "ai •••«v-Iav +
, Nm (N) d
ai ■•■ aN dt \ m
Ik
Г +
kT (Nth д , lkT\~2
m ai ■■■ aNl dX( { \ m
N+1
, lkT\2\ .
a I -3 In № 4-
■■■ aNl dX( { \ m ) J
+ ]/
kT
г
(N-l) ,
Xu«i •••«v-iS+i •••''m.-iV+i ■■■aNl UTiXHT
■ m d (kT\. aua I (Лг_2)
T'" К "йГ
При выводе уравнений C.17) использованы соотношения вида
а также уравнение неразрывности A.8)
rfn ди*
, _.„^ ?7 ————
<# ЙХ;
Используя соотношение симметрии D.12) главы II, стоящий справа
в уравнении C.17) интеграл можно переписать в виде
/я(Л, t = [ Н^ {f'f\ — ffx)gbdb dt d|, d| =
^Y j f/AH{Nl}^dbdedldl1, C.18)

§ 3.3] МЕТОД МОМЕНТОВ. РАЗЛОЖЕНИЕ ПО ПОЛИНОМАМ ЭРМИТА Ю5
где для сокращения письма введено обозначение
[А] = A (*') + А («,') —A(v)-A (w,). C.19)
Подставляя сюда вместо / разложение C.1), получим
где
Таким образом, правые части уравнений C.17) содержат беско-
бесконечное число коэффициентов а(ЛГ) или моментов любых порядков.
Левая часть уравнений C.17) содержит наряду с моментами порядка N
моменты порядка (Л/ -\- 1).
Следовательно, если функция распределения представила в виде
ряда C.1), то уравнение Больцмана можно заменить бесконечной
системой совместных уравнений для макроскопических величин а(лг)
или моментов.
Ряд C.20) обрывается для максвелловских молекул. Действи-
Действительно, согласно уравнению B.11) главы II в этом случае выраже-
выражение C.21) можно записать в виде
rf.N, it, X) 1 / 16/( у/2 ..
C.22)
или
V,R,S) __ ^1n(N, R, S) ,g_r
') Из первой формы интеграла C.18) видно, что коэффициенты
g(N, 0, 0) _ о^ Далее, в шестимерном пространстве векторов v и vt функции
fo(v)fo(vi) и g = l"i —»1 симметричны, а функции [Я(л0] и H{R)(v) //^'(s,)
симметричны или антисимметричны, если N и /?-f-S — соответственно
четные или нечетные числа. Поэтому коэффициенты BtN> R's' = 0, если
N -f- R -f- S — нечетное число. Из соображений симметрии легко видеть, кроме
того, что коэффициенты Sa,,,ap ..p y .. y отличны от нуля лишь
тогда, когда N -^- S -\- R индексов a, p и у содержат четное число единиц,
четное число двоек и четное число троек. (Индексы а, [3 и у принимают
значения 1, 2, 3.)

106 ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА [ГЛ. Щ
где
tWBv ЖЗ
X
Коэффициенты С^ ' зависят лишь от закона взаимодействия мо-
молекул (от величины К, входящей в закон взаимодействия).
В подынтегральное выражение C.24) не входит относительная
скорость \<о— vl\. В выражение \_Н^\,,а ] входят как полиномы
степени N по v и vv так и полиномы по v' и v'v Однако, как пока-
показано в § 1.3 (формулы C.10) и C.11)), для молекул со степенным
законом взаимодействия при столкновении частиц с заданным пара-
параметром р угол отклонения х одинаков при любых относительных
скоростях. Поэтому при интегрировании по v или v1 при фиксиро-
фиксированном р в выражении C.24) скорости после столкновения ю' и ю\
выражаются линейно через <о и <ov Следовательно, HiN^ (v1), H(N) (v'A
и [H^N>\ суть полиномы степени N от ts и <о1. Произведение поли-
полиномов H^\iv)H[/'>(v{) можно рассматривать как полином Эрмита от
шести независимых переменных порядка R -\-S с весовой функцией
т(г»)т(г»[). Этот полином ортогонален с весом а(дг к любому поли-
полиному от v и 1)х степени, меньшей R-\-S. Поэтому С^^' ' = 0 при
JV</?-|-S. С другой стороны, если разложение C.1) подставить
в первую форму интеграла C.18), то, очевидно,
X (Ж«> (г»') Я<5> (v{) — Я<«) (v)Я<5> (tJj) )Я(лг> (v)p dp dz dv dvv C.25)
Теперь выражение в скобках является полиномом степени R-\-S, и,
следовательно, С^к'S) — 0 при /?-)-5<N. Таким образом, коэф-
коэффициенты В^'у ' для максвелловского газа отличны от нуля лишь
при R-\-S = N и интеграл / (дг) является конечной квадратичной
суммой коэффициентов а(*' степени не выше N.
Однако и для максвелловских молекул бесконечная система сов-
совместных уравнений C.17) в общем случае не обрывается, так как
в левую часть уравнения для а(ДГ) входят коэффициенты a(-N+1K
Чтобы получить замкнутую систему с конечным числом уравнений,
приходится аппроксимировать функцию распределения конечным числом
членов ряда. Ограничиваясь членами третьего порядка, представим
функцию распределения в виде
^) C.26)

§ 3.3] МЕТОД МОМЕНТОВ. РАЗЛОЖЕНИЕ ПО ПОЛИНОМАМ ЭРМИТА {()?
Выражая коэффициенты a(/v) через моменты, а функции Эрмита
через скорости соответственно по формулам C.11) и C.5), получим
(Pi 4 tn meAl * ,ь / tn \2 о, I m \ \
Это—так называемое двадцатимоментное приближение, так как ап-
аппроксимирующая функция содержит двадцать моментов п, иь Т, pt,
и eMijk- При подстановке C.26) в C.10) из ортогональности поли-
полиномов Эрмита получим, что все aGV) = 0 при /V>3.
Уравнения, которым удовлетворяют указанные двадцать моментов,
можно получить, выписав уравнения C.17) для аB) и аC), положив
входящие в них моменты a^N^> при N ]> 3 равными нулю и выразив
коэффициенты а(лг> при N <; 3 через моменты согласно C.11).
В результате имеем:
дщ . 1 дР1т
3 tr дхг ' 3 dxr
2 dgr d«y
3 'j1' дхг ' ^ir dxr
и 2 di
C.28)
m
дщ duj дик
kT\ . д I kT\\ д ( kT\±
дРкг dPjr дР1г
+Р +
~I О) • C.30)
Здесь для полноты выписаны уравнения сохранения ^3.28).
Так как коэффициенты a(N) = 0 при N > 3, то интегралы /яB)
и / C) являются квадратичными формами, содержащими произведе-
произведения a(s'a(i<;) порядка /?-|-£<^6. Для максвелловского газа, как

108 ОПЩНК МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНЛ [ГЛ. III
отмечалось выше, интегралы ^„(ло содержат лишь произведе-
произведения a(s)fl(K), для которых S~JrR = N. Поэтому для максвелловских
молекул, поскольку «WseO, сумма C.20), входящая в выражение
для /„B). может содержать лишь члены вида а@>аB), а сумма для
I C) — лишь члены вида а@'а'3).
После проведения соответствующих выкладок для максвелловских
молекул получены следующие выражения '):
1/2 2 B)
/О О 1 '\
где а\) = aiu -J-- л^г + ^гзз—свертка по двум индексам и Л = 0,343.
При выводе уравнений C.29) и C.30) не обязательно исходить
из уравнений C.17), полученных для функции распределения, пред-
представляемой рядом по полной системе- функций (полиномам Эрмита).
Вообще говоря, после того как мы задали аппроксимирующую функ-
функцию C.26), можно получить уравнения C.29) и C.30) методом, изло-
изложенным в предыдущем параграфе, путем замены Alw>-моментов
в последовательности уравнений A.5) о^^-моментами с помощью
формул B.2).
Аппроксимация C.26) содержит двадцать моментов (все моменты
первого, второго и третьего порядков). С практической точки зре-
зрения предпочтительнее иметь систему уравнений, содержащую только
имеющие ясный физический смысл и поддающиеся измерению три-
тринадцать моментов ft, Uj, T, pt- и qt. Представим поэтому функцию
распределения в виде
/ = /о A + \ afjHfj +- ft(-M3>). C.32)
где Н(р = vt(v2 — 5) — свертка Hf]k по двум индексам. Как ясно из
изложенного в предыдущем параграфе, вообще говоря, можно исполь-
использовать любую аппроксимирующую функцию. При этом, конечно,
нужно знать, для каких задач выбранная аппроксимация функции
распределения может обеспечить желаемую точность. В конце пара-
1) Maxwell J. С, The Scientific Papers of James Clark Maxwell. On
the Dynamical Theory of Oases 2, Camb. Univ. Press, 1890; О r a d H., Comm.
Pure and Appl. Math. 2, № 4 A949). Русский перевод в сб. «Механика»,
№ 4, 5 A952). В последней работе приведены также приближенные значе-
значения этих интегралов для ^50лeкyл с иными законами взаимодействия. Инте-
Интегралы более высокого порядка можно найти в работе В. Д. Пер ми нов а
и О. Г. Фридлендера, Журнал прикл. механики и техн. физики, № 6
A965).

§ 3.31 МЕТОД МОМЕНТОВ. РАЗЛОЖЕНИЕ ПО ПОЛИНОМАМ ЭРМИТА JOQ
графа мы проанализируем точность, обеспечиваемую двадцати- и
тринадцатимоментным приближением при малых числах Кнудсена
Умножая C.32) на Щ (ю) и интегрируя по v, найдем, что
Поэтому аппроксимацию C.32) можно переписать в виде
или, заменяя а(лг) через моменты,
-~ттт)Ч C-34)
Как и при аппроксимации C.26), все а{1ч) при N > 3 равны нулю
в силу ортогональности. Однако так как функция C.33) или C.34)
содержит не все моменты третьего порядка, то последние должны
быть выражены через моменты, входящие в C.33) и C.34).
Подставляя C.33) в C.10), получим
a?k = \ («f 6/ft H- *%* '+ 4%/) C.35)
или, выражая через моменты,
тМцк = 4 (qfijk 4- q/>lt f дфф. C.36)
Заменяя входящие в уравнения C.29) и C.30) моменты яМ^-ь по
формуле C.36), получим:
dt ' дхт vri'U' '
duj du-f 2 дит
^Lt^L^^iS _zz_)_l_ 6 —(-^-1 =o C37'
дхi ' dxi 3 ^ dXf I rn \ m I J
dqi . д . _7_ с)ц, . 2 d»r
| fe^ dpir . 7 d / ЙГ ■ ^ir ^, „ ,
1
m {
2
1
HK
m
д
J Pi
dPrs
№W/=0. C.38)
Уравнения C.37), C.38) вместе с уравнениями сохранения C.28)
составляют так называемую транадцатимоментную систему урав-
уравнений Града. Эта система проще системы C.28)—C.30) и содержит
лишь измеримые величины.

По общие Мктоды решения УРАВНЕНИЯ болыдманА [ГЛ. Щ
Заметим, что, вводя аппроксимацию C.27) или C.34), мы не на-
накладывали каких-либо ограничений на отношение длины пробега
молекул к характерному размеру течения или времени между столк-
столкновениями к характерному времени течения. Предполагалось лишь,
что истинная функция распределения течения достаточно хорошо
аппроксимируется зависимостями вида C.27) или C.34). Течения,
достаточно хорошо или даже точно описываемые функциями рас-
распределения C.27) или C.34), можно построить при любых числах
Кнудсена, однако для весьма специальных граничных и начальных
условий.
Перепишем уравнения C.37) и C.38) в виде
~Ы М/;+—Л; = 0, C.37а)
где тр—величина, имеющая размерность времени и равная
и An и Bt заменяют остальные члены уравнений, содержащие про-
пространственные производные.
Считая Ап, В{ и тр известными функциями времени, можно за-
записать решения уравнений C.37а) и C.38а) в виде
t I t
Pij V) = Ри @) exp { - J ~ | - f Au (s) exp
{ о p J о
о
о
ilUs, C.39)
_ f ^
J V
ds. C.40)
Интегрируя последовательно по частям, получим следующее асимп-
асимптотическое разложение для тр—>0:
t
dx
Р dt
ехР<— ,
!=0 J *n
О
Р dt
i=0
exp
t=t
t
, C.41)
dt
. C.42)

§ 3.3] МЕТОД МОМЕНТОВ. РАЗЛОЖЕНИЕ ПО ПОЛИНОМАМ ЭРМИТА HI
Из C.41) и C.42) видно, что по истечении времени порядка
нескольких тр начальные условия уже не сказываются, и тензор на-
напряжений Pij и вектор потока тепла qi полностью определяются
состоянием газа в момент времени t. Поэтому время т„ есть время
релаксации процесса.
В § 1.3 показано (формула C.18)), что эффективные сечения
столкновений для максвелловских молекул равны
т ) g
Следовательно, 1/тр'—' (ЛГ/ж) ' га~ ogn, т. е. время релаксации тр
имеет порядок времени между столкновениями (см. § 1.4).
При малых числах Кнудсена, когда характерное время течения 0
много больше времени между столкновениями (а следовательно, и
времени релаксации тр), влияние истории процесса из-за быстрого
убывания экспоненты пренебрежимо мало. Ограничиваясь в этом
случае первым членом разложения, имеем:
Pt} = —*PAij. C-43)
fc = -fTPS<- C-44)
Считая гидродинамические величины р, ut, р и Г и их произ-
производные величинами основного порядка, из C.43) и C.44) и опре-
определения Ац и Bt видим, что Pij и ql порядка тр. Оставляя в AV]
и Bt величины основного порядка и пренебрегая членами, содержа-
содержащими рц и qh получим:
ди: 2 диг
1
Легко видеть, что ехли положить
1 / т VP ,-г 15 k 5 k4
р Р^ 6Л \ 8К) 4 m p 8A У%Кт ' К '
где jj, и Я, — соответственно коэффициенты вязкости и теплопровод-
теплопроводности, то выражения C.45) и C.46) дают связь тензора напряжений
и вектора потока тепла с тензором скоростей деформаций и гра-
градиентом температуры, принимаемую обычно в уравнениях Навье —
Стокса. Подставляя выражения C.45) и C,46) в уравнения сохра-
сохранения C.28), получим обычные уравнения Навье — Стокса.
Напомним, что рассматривается максвелловский газ. Поэтому
полученные выражения для вязкости и теплопроводности пригодны

112 О11ЩИ1' МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАИА [ГЛ. III
лишь для газа, состоящего из молекул, взаимодействующих по за-
закону Максвелла. В § 1.5 из элементарных кинетических соображе-
соображений показано, что коэффициенты вязкости и теплопроводности мак-
свелловского газа пропорциональны температуре. Теперь этот факт
подтвержден строгой теорией.
Сохраняя в C.41) и C.42) два члена, получим так называемое
барнеттовское приближение:
Л; = _трЛ//-(-тр-^-, C.48)
9 бт„В,
Здесь в Atj и Вг в первых членах справа следует сохранить величины
порядка тр, содержащие рг и q-t, заменив последние по формулам
C.45) и C.46). Во вторых же членах справа в A-t- и Bt членами,
содержащими ри и q,, следует пренебречь, так как они имеют уже
порядок тР' Частные производные по t с точностью до тР можно
исключить с помощью уравнений Навье — Стокса. В результате по-
получается зависимость p(j и q-t от гидродинамических величин р,
й(, р и Т и их пространственных производных до второго порядка:
дх,-
р ldx[ \ m p dxj/ dxj dx;t dxjt дх<
дщ ди" |
к ^2 &т | к ^ дР Ц_ , к _н! ill 1L
3 рГ йлгг^ ~ГА4 ррГ" <?V ^ 5 Р7-2 dx dx
+ /СбЬ2_^|^, C.50)
дТ ц2 duj дТ
+ 0
Здесь для сокращения письма введено обозначение:

§3.3) МПТОД МОМЕНТОВ. РАЗЛОЖЕНИЕ ПО ПОЛИНОМАМ ЭРМИТЛ 113
Постоянные К; и Qt для максвелловских молекул имеют следующие
значения *): , . ~ _.
fC 4 7 7
15/7 Т dy. \ г, _ 45
35 1 T
Отметим, что для молекул с иными законами взаимодействия также
можно получить, пользуясь другими методами (см. §§ 3.7 и 3.8),
выражения C.50) и C.51), но с другими коэффициентами K-t и 9,-.
Так, для упругих сфер имеем:
КсЪ = О,8О6АГ5 — 0,990, cS 6
= 1,0350!, 0^=1,0350,, 0с3=1,ОЗО03, 6С4 =
9с5 = з|~ 0,918 ■+- 0,8061- iLJ _о, 160.
2. К уравнениям Навье — Стокса, Барнетта и т. д. можно прийти
также с помощью полных уравнений моментов.
Рассмотрим бесконечную цепочку моментных уравнений. Первые
пять уравнений — это уравнения сохранения A.8) — A.10), в кото-
которые кроме пяти гидродинамических величин п, и1 и Т входят момен-
моменты второго и третьего порядков р^ и qt. Для построения уравне-
уравнений Навье—Стокса, Барнетта и т. д. необходимо выразить послед-
последние через гидродинамические величины и их производные.
Для нахождения р{. и qt воспользуемся моментными уравнениями
более высокого порядка. Эти уравнения удобно записать не непо-
непосредственно для моментов, а для коэффициентов «W разложе-
разложения функции распределения в ряд по полиномам Эрмита. Коэффи-
Коэффициенты flW связаны с моментами соотношениями C.11). Функ-
al...aN
ции «W а удовлетворяют уравнениям C.17), которые (для iV^-2
и максвелловских молекул) можно записать в следующей структур-
структурной форме:
1_ ,(N) (N) ,, ctv
£ 1 "' N 1 " * /V ^
') См. Чепмеи С. и К а у л и н г Т., Математическая теория неод-
неоднородных газов, ИЛ, 1960,
8 М. Н. Когад

114 ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БОЛЫДМАНА [ГЛ. Ill
где е—отношение т„ к характерному времени течения. Оператор
i/ ' является линейным относительно функций а ', ct ', . . ., сг '
с коэффициентами, зависящими от гидродинамических величин и их
первых производных. В линейный относительно e(jV) оператор J3?^N^
входят все коэффициенты порядка iV, отличные от а(т . Опе-
Оператор £>аУ)...а —линейная форма от а(кЫA'>, где k, 1<^.N — 2,
k-\-l=^ N и Аа ,,,о, —коэффициенты, не зависящие от a(fe).
Проинтегрируем уравнения C.52), приняв временно L, Jg, D, А
и тр за известные функции t; имеем
A(N) !
dx
(s) exp { — ^—dx\ds. C.53)
Здесь
QW =
и для сокращения письма опущены индексы av . . ., aN у
и т. д.
Проинтегрируем последовательно k раз по частям входящий
в правую часть уравнений C.53) интеграл; имеем
C.54)
о" А"" °Т \ 6 € \
где
Если производные dP^l^dt ограничены, то при стремлении к ну-
нулю отношения т„ к характерному времени течения функции a(N)

§ 3.3] МЕТОД МОМЕНТОВ. РАЗЛОЖЕНИЕ ПО ЙОЛИНОМАМ ЭРМИТА 115
представляются отрезками асимптотически сходящихся рядов:
dt \ л<т w I • • • (rf.QS)
Заметим, что в уравнениях для а(р. и af\ т, е. для ptj и gt, опе-
операторы J? и D равны нулю, а в операторы L входят члены, со-
содержащие а(°)=1.
При N > 3 выражение QGV' имеет структуру (по порядку ве-
величин)
Так как определитель системы
в общем случае не равен нулю, то легко видеть, что
а^ г^ О (е), аC)-~^О(€) и а(ЛГ).<!б2 при N > 3. C.56)
Поэтому, если раскрыть значения <3(ЛГ) в выражениях C.55) для
а(?> и а(?', то увидим, что коэффициенты а'4' могут дать вклад лишь
в члены порядка б3 для тензора напряжений и потока тепла. Сле-
Следовательно, в навье-стоксовском и барнеттовском приближениях двад-
цатимоментные уравнения, которые получаются из точных при
а<4) = 0, совпадают с точными.
Рассмотрим теперь подробнее уравнения C.17) для afjk. Запи-
Запишем их в виде
Т дТ дТ \
-bjk+^bki + Y-btA + OW. C.57)
<Ci OXj OXfc Ч]
Образуя свертку, легко убеждаемся, что
Подставляя C.58) в C.57), имеем
| + а^N;.)-а^=О(^). C.59)
При выводе тринадцатимоментных уравнений из двадцатимомент-
ных было сделано единственное дополнительное предположение C.35),
связывающее af>.k с af). Сравнивая C.35) с C.59), мы видим, что
это предположение выполняется с точностью до величин О (б2). Так
как в уравнение для а^\ и а(р коэффициенты c$1k входят лишь в L,

ЦE 0ШЦ1-Ш МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БОЛЫДМАНА (ГЛ. Ill
го замена аФ!л но формуле C.35) может привести к ошибкам в вы-
выражениях для ptj и <7( лишь порядка <з3. Следовательно, для мак-
свелловских молекул выражения для p.j и qt в навье-стоксовском
и барнеттовском приближениях, получаемые из тринадцатимоментных,
двадцатимоментных и точных моментных уравнений, одинаковы. Дру-
Другими словами, решения уравнения Больцмана асимптотически стре-
стремятся к решениям уравнения Навье— Стокса или Барнетта при стрем-
стремлении числа Кнудсена к нулю1).
Положительная информация, которую могут дать двадцати-
или тринад цатимо ме нтные уравнения при малых числах Кнуд-
Кнудсена, содержатся в уравнениях Барнетта. Вся дополнитель-
дополнительная информация, содержащаяся в двадцати- и тринадцатимо-
тринадцатимоментных уравнениях, имеет тот же порядок, что и отбро-
отброшенная при их получении, т. е. О (б3).
Этот результат получен нами для максвелловских молекул. Для
произвольных немаксвелловских молекул в оператор D^N"> входит бес-
бесконечная сумма произведений aW!a(s> при R, 5=1, 2, ... В ча-
частности, входят члены вида а*0> а(й> se a<*> при всех k. Используя
{NRS)
свойства коэффициентов B
N'R'S)
(см. сноску на стр. 105), найдем,
что система моментных уравнений имеет следующий структурный
вид (коэффициенты порядка единицы не выписываем):
ii dui 2 диг'
J_ _|_ l ' ■
с; * dx, 3 d)
йF> -4- ■ ■ •
(k = 2, 3, .. .).
Отсюда видно, что для немаксвелловских молекул коэффициенты
а(Л0,-^б при любых N > 0. Для нахождения связи между ptj и
производными от скоростей, а также между qt и производными от
температуры необходимо решить бесконечные системы уравнений.
В конечном счете при данной структуре уравнений мы придем к
1) См. также §§ 3.7, 3.11, 3.12.

§3.31 МЕТОД МОМЕНТОВ. РАЗЛОЖЕНИЕ ПО ПОЛИНОМАМ ЭРМИТА Ц7
соотношениям
ди; 2 диг \
ui duj 2 диг
(как и выше, аD>, аE', . . . стоят вместо всей совокупности коэффи-
коэффициентов 4-го, 5-го и т. д. порядка).
В двадцати- и тринадцатимоментном приближении всеми a(/v>
при N > 3 пренебрегают. Так как в общем случае все a(N)—€
(для максвелловских молекул a(/v)c<62 при N > 3), то в двадцати-
моментном приближении мы определяем [i и Я, с ошибкой О (е), т. е.
с ошибкой того же порядка, что и сами эти величины. Можно по-
показать, что получаемые в тринадцатимоментном приближении коэффи-
коэффициенты [i и Я, соответствуют первому приближению [[X], и [Я,], к зна-
значениям коэффициентов вязкости в методе Энскога — Чепмена (см.
§ 3.8).
Таким образом, в общем случае при €->0 из двадцати- или
транадцатимоментных уравнений нельзя получить уравнения
Навье — Стокса с точными значениями коэффициентов вязко-
вязкости и теплопроводности. Однако, как уже отмечалось, тринадцати-
или двадцатимоментные уравнения могут быть получены методом мо-
моментов, если постулировать вид функции распределения (например,
C.34)). Поэтому эти уравнения могут оказаться достаточно точными
при произвольных числах Кнудсена для течений, для которых по-
постулированная функция распределения будет хорошо аппроксими-
аппроксимировать истинную функцию распределения. Более того, по-видимому,
имеется некоторый класс течений, для которого выбранная аппрок-
аппроксимирующая функция является точным решением уравнения Больц-
мана ').
Интересно отметить, что тринадцатимоментные уравнения для
нестационарных течений имеют гиперболический тип2), в то время
как уравнения Навье—Стокса параболичны. Точно так же стацио-
стационарные тринадцатимоментные уравнения в зависимости от скорости
течения имеют эллиптический (при малых скоростях) или гипербо-
гиперболический (при больших скоростях) тип, в то время как стационар-
стационарные уравнения Навье—Стокса всегда эллиптического тина.
') См. § 4.1. в котором приведены точные решения уравнения Больц-
мана, имеющие вид локально-максвелловского распределения. Аналогично
можно отыскивать точные решения, имеющие фужпию распределения бо-
более общего вида (например, вида C.34)). Однако трудно представить, сколь
широк будет класс соответствующих течений.
2) См. Qrad H, Comm. Pure and Appl. Math. 2, Ш 4 A949),

[18 общий Методы решения уравнения больцмана [гл. m
§ 3,4. Метод моментов.
Разрывные функции распределения
В предыдущем параграфе был рассмотрен один из возможных
методов представления функции распределения в виде ряда B.7).
Функцию распределения можно искать в виде разложения ие только
по полиномам Эрмита, но и по любым другим функциям. Выбор того
или иного представления для функции распределения определяется
прежде всего быстротой сходимости выбранных рядов, так как для
получения практически приемлемой системы уравнений моментов не-
необходимо получить наилучшую аппроксимацию при оставлении мини-
минимально возможного числа членов ряда. Однако, как мы увидим в
дальнейшем (см. §§ 4.2, 5.1, 6.5), очень часто функция распреде-
распределения разрывна по скоростям в каждой точке течения. В этом слу-
случае ряды (в частности, и ряд C.1) по полиномам Эрмита), представ-
представляющие функцию распределения, если и сходятся, то сходятся мед-
медленно.
Введем сферические координаты так, что
|л = | cos в, |у = | sin 9 cos ф, g^ = | sin 9 sincp, D.1)
где Н, — абсолютная скорость молекул. Пусть поверхность разрыва
дается уравнением
0 = 7(ф, х, t). D.2)
Коническая поверхность D.2) в каждой точке пространства х в мо-
момент времени t разделяет пространство на две области. Функцию
распределения можно представить в виде
f fА в области А,
f = \ D 3)
[ /в в области В.
Если в областях А и В нет больше поверхностей разрыва, то каждую
из функций fA и fB можно разложить в ряд соответственно в об-
областях А и В, которые, вообще говоря, должны сходиться быстрее,
чем ряд, представляющий полную функцию распределения /1).
Поскольку в областях А и В функция распределения в общем
случае имеет разный характер, то в каждой из них легче построить
хорошо аппроксимирующую функцию, чем во всей области. Функции
fA и f B можно записать в виде B.8):
fA = FA& А, Ат) в области А, \
-е Р it Я Rn * D I ■ (т< «)<ОЭ. D.4)
/в = рв& В\> ■■■' Вп) в области В ) у^
!) Если внутри областей А и В имеются еще поверхности разрыва, то
функцию распределения следует разложить в свой ряд в каждой из обла-
областей непрерывности.

§ 3.4] МЕТОД МОМЕНТОВ. РАЗРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
119
Функции F А и Fв непрерывны соответственно в областях А и В
и учитывают разрыв на границе областей D.2): F А Ф Fв. Подстав-
Подставляя аппроксимации D.4) в определения моментов, можно установить
связь коэффициентов A-L и BL с моментами. Дифференциальные урав-
уравнения для моментов (или коэффициентов At и Bj) можно строить
двумя путями аналогично изложенному в §§ 3.2 и 3.3. Умножая
уравнение Больцмана на соответствующие степени скоростей, можно
интегрировать либо по всему пространству скоростей, либо в обла-
областях А ж В раздельно. При интегрировании по области А (или В)
интегралы столкновений не исчезают даже при умножении уравнения
Больцмана на сумматорные инварианты. Поэтому применим и сме-
смешанный метод, когда уравнения для
первых моментов строятся интегри-
интегрированием по всему пространству ско-
скоростей, а для более высоких момен-
моментов— по полупространствам. Все
эти подходы представляются равно-
равноценными, и лишь конкретный вид
аппроксимирующих функций и спе-
специфика задачи позволяют Отдать
предпочтение одному из них (см.
§§ 4.2, 4.4).
Простейшим видом разрывной
функции является так называемое
двухстороннее максвелловское
приближение 1), Это приближение состоит в том, что в областях А
и В в каждой точке течения функция распределения заменяется своим
максвелловским распределением. Для области А
\ 3/2
Рис. 12.
= nA(t, х) U
2nkT. (t, х)
ехр
2kT . (t, x)
D.5)
Соответствующее выражение для области В получается заменой ин-
индекса А па В,
Функция распределения в виде D.5) может дать точное решение
для свободномолекулярного течения, если молекулы отражаются от
стенки диффузно с максвелловским распределением. Пусть, например,
рассматривается теплоотдача (рис. 12) между неподвижными поверх-
поверхностями Фл(х, у, z) и Фв(х, у, z), имеющими соответственно тем-
температуры отраженных молекул ТгА и ТгВ. Тогда функция распреде-
распределения D.5) дает свободпомолекулярное решение, если положить
пА=пгА и ТА — ТгА для векторов скоростей молекул, лежащих
1) См. Liu С, Lees L.. Rarefied Qas Dynamics, Second Symp, Acad.
Press, 1981.

120 ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БОЛЫДМАНА [ГЛ. Ill
внутри телесного угла QA, и пв = птВ пТв = ТгВ для скоростей, лежа-
лежащих внутри телесного угла О.в, равного 4л — Ол, и если ггл = »л = О.
Точно так же, если поверхность ФА (х, у, г) обтекается безграничным
потоком с температурой Тт и скоростью £/ = (£/,, U2, Us) на беско-
бесконечности, то внутри телесного угла QB (т, е. для молекул, прихо-
приходящих в данную точку х из бесконечности) в свободномолекулярном
случае нужно положить пв = п^, Тв = Тоо и uiB = U\.
В другом предельном случае очень малых длин пробега пА мо-
может стать равным пв, ТА = Тв и uiA = utB, и функция распределе-
распределения переходит в локально-максвелловскую функцию эйлеровского
приближения (см. §§ 3.7 и 3.8).
С помощью функции D.5) можно точно удовлетворить граничным
условиям с максвелловским распределением отраженных молекул (под-
(подробнее о граничных условиях — в следующем параграфе).
К более точной и универсальной (но в то же время значительно
более сложной) аппроксимации для функции распределения можно
прийти из следующего наводящего рассмотрения модельного урав-
уравнения Больцмана').
Рассмотрим формулу (8.25) главы II для стационарного течения
при п= const; имеем
f(x, l) = f{xw, l)exp| р (s—
j f(l®zx{(l)}dl D.6)
где xw—точка границы, с которой пересекается прямая, проведенная
из точки х в направлении —|, и 5 и /—параметры, характеризую-
характеризующие положения точки на этой прямой (l = s в точке х и l = sm
в точке xw). Входящий в правую часть D.6) интеграл проинтегри-
проинтегрируем дважды по частям:
f(x, |) =
S h e n S. F., Rarefied Gas Dynamics, Third Symp., Acad. Press, 1963,

§ 3.4] МЕТОД МОМЕНТОВ. РАЗРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 121
Перепишем это пыражение в виде
/ (л. |) = / (*„. |) ехр | - А^- (s - s J
7 (х гл % dfo(x,l)](, I An
/о (л. S) — -^ ■ ^ J ^1 - ехр | 1- (s —
,, 1) 1)
Хехр|- —(s —sj[-l--^- J _^f expj —-y-E —Oj-rf/. D.8)
■ w
В свободномолекулярном течении функция распределения не меняется
вдоль траектории частиц, и третий и четвертый члены правой части
D.8) равны нулю. В другом предельном случае малых длин пробега,
т. е. при Ап—>эо, последние члены также много меньше второго.
Поэтому в грубом приближении можно пренебречь этими членами и
аппроксимировать функцию распределения выражением
f(x, l) = f{xw,
Как будет показано в § 3.6, выражение, стоящее в квадратных скоб-
скобках, есть не что иное, как функция распределения /„. с, соответствую-
соответствующая навье-стоксовскому приближению. Таким образом, аппроксимация
D.9) для больших длин пробега {An—*-0) переходит в точное реше-
решение для свободномолекулярных течений, а для малых длин пробега
{An—>оо)—в функцию распределения Навье — Стокса. Функция рас-
распределения D.9) в общем случае разрывна и имеет различный харак-
характер в различных областях скоростного пространства в соответствии
с характером граничных условий.
Формула D.9) получена с помощью приближенного уравнения
Больцмана. Однако в квадратные скобки вместо приближенной навье-
стоксовской функции распределения можно подставить точную, соот-
соответствующую полному уравнению Больцмана. Сохранив общую струк-
структуру аппроксимации, можно в квадратные скобки подставить какую-
либо иную подходящую функцию, например двухстороннее максвел-
ловское распределение
f{x, l) = f{xw, l)exp{ -
где f A, в—двухстороннее максвелловское распределение D.5), рав-
равное /А в области А и fB в области В.

122 ОБЩИЙ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА {ГЛ. III
Функция D.9) обладает одним существенным преимуществом: в нее
входят лишь пять гидродинамических величин в точке х. Поэтому,
подставив эту аппроксимацию в выражения для тензора напряжений
и вектора потока тепла, входящие в уравнения сохранения A.8)—A.10),
получим замкнутую систему из пяти уравнений для пяти гидродина-
гидродинамических неизвестных, учитывающую в то же время граничные усло-
условия. Эти уравнения являются как бы обобщенными уравнениями
Навье — Стокса. Аппроксимация же D.10), так же как и D.5), со-
содержит большее число неизвестных параметров и требует поэтому
привлечения, наряду с уравнениями сохранения, дополнительных
момеитных уравнений, в выборе которых имеется известный про-
произвол.
В общем случае получающиеся макроскопические уравнения весьма
сложны. Однако некоторое представление о даваемой ими точности
можно получить, даже не выписывая их. Рассмотрим, например,
структуру ударной волны. Так как в этом случае граничные условия
ставятся на бесконечности, то экспоненциальные члены равны нулю,
и при аппроксимации D.9) приходим к навье-стоксовскому описанию
волны. Как было показано в § 2.8, величина \\Ап пропорциональна
длине пробега. Поэтому экспоненциальные члены существенны лишь
на расстояниях порядка нескольких длин пробега от границ. При
малых длинах пробега подавляющая часть течения описывается при
такой аппроксимации уравнениями Навье—Стокса. В частности,
в задаче об обтекании тела в этом случае уравнениями Навье — Стокса
описывается и структура ударной волны. Однако уравнения Навье—
Стокса удовлетворительно описывают структуру ударной волны лишь
при числах Маха, близких к единице (см. § 4.4).
В показатели экспонент входит значение плотности частиц
в точке х. Можно, однако, учесть изменение плотности на всем пути
молекул от границы до точки х. Для этого при выводе формулы D.8)
необходимо отбросить предположение о том, что п~ const. В этом
случае вместо формулы D.9) получим
/(*. 1) =
[+-Л.с(*.Ю И-
А , ,
— \ ndl
D.11)
При сильном изменении плотности в потоке эта аппроксимация должна,
по-видимому, давать лучшие результаты. Однако неясно, окупается ли
получаемым уточнением значительное усложнение соответствующих
макроскопических уравнений.
Аппроксимации, подобные приведенным выше, применены до сих
пор лишь к одномерным течениям, главным образом к задаче Куэтта.
Некоторые примеры таких решений даны в главе IV.

§ 3.5] ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ МОМЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ 123
§ 3.5= Граничные условия для моментных уравнений
В §§ 2.9 и 2.10 были сформулированы микроскопические гранич-
граничные условия для уравнения Больцмана. Моментиые уравнения для
конкретной задачи с большей или меньшей точностью заменяют урав-
уравнение Больцмана. Необходимо, также приближенно, заменить гранич-
граничные условия для функции распределения некоторым числом макро-
макроскопических условий для моментов. Можно построить бесчисленное
множество граничных условий для моментов. Действительно, выпи-
выпишем общее микроскопическое граничное условие (9.6) главы II:
/r(lr)= J *(S*. lr)fi(li)dli- E.1)
г-п <о
Пусть моментные уравнения, для которых отыскиваются граничные
условия, построены с помощью аппроксимирующей функции
f{t, х, 1)=/'A, Alt .... AN)=Fla. Mv .... MN). E.2)
Умножим левую и правую части уравнения E.1) на некоторую
функцию фг (|г) и проинтегрируем по |г, подставив вместо /r> t аппро-
аппроксимирующую функцию E.2). В результате этих операций получается
некоторое соотношение между функциями Aj или моментами Mj.
Число функций фг может быть выбрано конечным или бесконечным.
В соответствии с этим может быть получено конечное или бесконеч-
бесконечное число условий для моментов на границе. В качестве функций q>r
могут быть выбраны, например, полиномы по |г или какие-либо дру-
другие удобные для дайной задачи функции. Семейство функций (рг может
быть выбрано полным в пространстве |-га>0.
Возникает вопрос, сколько и каких условий нужно поставить для
данной задачи при данных моментных уравнениях на каждом из участ-
участков границы. Очевидно, нельзя взять число условий просто равным
числу моментов или порядку уравнений. Хорошо известно, например,
что граничные задачи для уравнений Эйлера ставятся по-разному при
до- и сверхзвуковых скоростях. Поэтому невозможно дать какой-либо
универсальный рецепт. Необходимо для каждой аппроксимации функ-
функции распределения, для каждой новой системы моментных уравнений
исследовать возможные постановки граничных задач. Так как момент-
моментные уравнения в подавляющем большинстве случаев сложнее уравне-
уравнений Эйлера или Навье—Стокса, то легко представить сложность
такого исследования.
В общем случае аппроксимирующая функция E.2) или разрывные
функции не совпадают с функцией распределения отраженных моле-
молекул ни при каких значениях входящих в них макроскопических пара-
параметров. В этом случае граничное условие может быть удовлетворено
лишь приближенно — в среднем,

124
ОБЩИЕ МПТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА
[ГЛ. 1П
Будем называть аппроксимирующую функцию приспособленной
к граничным условиям, если в каждой точке границы при некотором
выборе входящих в нее макроскопических параметров она совпадает
с функцией распределения отраженных молекул. Пусть, например,
рассматривается обтекание тела равновесным потоком газа со ско-
скоростью <7Ю, плотностью ию и температурой То. И пусть от поверх-
поверхности тела молекулы отражаются с максвелловским распределением
с температурой, равной температуре стенки:
h —
w
E.3)
Тогда в качестве приспособленной к граничным условиям аппрокси-
аппроксимирующей функции можно выбрать, например, обобщенное двухсто-
двухстороннее распределение Максвелла (рис. 12):
f{t, х. |)=
■A,
• • •) в области А,
3/2
E.4)
ехр
\—ha(l — \
I
Bijlitj~\- ...) в области В.
Если на бесконечности положить пА= nB = nQa, Тд—-Тв-=Тса,
uA = uB = Uco и At = Au= ... =Bi = Bij= ... =0, то функ-
функция E.4) будет точно удовлетворять условиям на бесконечности. Ана-
Аналогично, если на теле положить ил = 0, А{ = Atj = . . . = 0 и
TA = TW, то функция E.4) для молекул, идущих от стенки, точно
перейдет в функцию распределения отраженных молекул E.3), в кото-
которой пг определяется из условия непротекания
(b-n)ftd%- E.5)
%-п >«0 1-п < 0
Это условие связывает на границе пА с функциями пв, Тв, uR, Bt,
Btj и т. д. Заметим, что граничные, условия на стенке не требуют
обращения в нуль функций Bt, Bi-p . . .
С помощью приспособленной к граничным условиям аппроксими-
аппроксимирующей функции граничные условия могут быть удовлетворены точно.
Однако вид функции распределения отраженных молекул опреде-
определяется свойствами поверхности. Удовлетворяя точно граничным усло-
условиям с помощью приспособленной к этим граничным условиям функ-
функции распределения, мы полностью определяем граничные значения
входящих в аппроксимирующую функцию моментов, т. е., по суще-
существу, формулируем граничную задачу независимо от самих моме.нт-
ных дифференциальных уравнений, получаемых из уравнения Больц-
мана с помощью этой аппроксимирующей функции. Очевидно, что

§ 3.5] ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ МОМЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ 125
в общем случае моментные уравнения могут не иметь решения при
таких граничных условиях. Возникает естественный вопрос, при какой
приспособленной аппроксимирующей функции граничная задача ока-
оказывается корректной для дифференциальных моментных уравнений,
соответствующих этой функции ').
Во всяком случае справедливо следующее утверждение. Для аппро-
аппроксимирующей функции типа B.7) или D.4), приспособленной к гра-
граничным условиям и дающей точное решение уравнения Больцмана
в свободномолекулярном пределе, получающаяся граничная задача
является корректной для соответствующих этой функции моментных
уравнений независимо от их выбора. При этом, конечно, предпола-
предполагается, что при заданных микроскопических граничных условиях
уравнение Больцмана имеет решение и что аппроксимирующая функ-
функция не вносит в интеграл столкновений особенностей, несвойственных
этому интегралу. К числу функций, удовлетворяющих поставленным
условиям, относится, например, обобщенное двухстороннее максвел-
ловское распределение E.4).
Моментные уравнения, получаемые с помощью аппроксимирующих
функций B.7) или D.4), являются в общем случае неоднородными
квазилинейными дифференциальными уравнениями первого порядка.
Зависящая от интеграла столкновений неоднородная часть уравнений
представляет собой алгебраическую функцию искомых моментов. Тип
системы уравнений, а следовательно, и характер соответствующей
этой системе граничной задачи, очевидно, определяются дифферен-
дифференциальными частями моментных уравнений, получающихся из диффе-
дифференциального оператора уравнения Больцмана. Очевидно, что диф-
дифференциальная часть моментных уравнений одинакова при любых
числах Киудсена. По предположению аппроксимирующая функция при
определенном выборе входящих в нее моментов дает точное решение
уравнения Больцмана при Кп = оо, т. е. когда правая часть равна
нулю. Следовательно, входящие в нее моменты должны точно удо-
удовлетворять любой системе однородных (без интегральной части) мо-
моментных дифференциальных уравнений, полученных с помощью этой
аппроксимирующей функции. При этом граничные значения моментов
выбираются так, чтобы аппроксимирующая функция точно удовлетво-
удовлетворяла микроскопическим граничным условиям. Но так как при Кп = ео
однородная система моментных уравнений при этих граничных усло-
условиях имеет решение, то и для неоднородной системы (т. е. при
произвольном числе Кнудсена) справедлива та же постановка гранич-
граничной задачи, что обосновывает сделанные выше утверждения.
') Напомним, что с помощью одной и той же аппроксимирующей функ-
функции можно построить бесконечное число различных систем моментных урав-
уравнений, получаемых различным выбором системы функций от скоростей, на
которые умножается уравнение Больцмана при построении моментных урав-
уравнений.

123 ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА [ГЛ. Ill
В приведенном выше примере функция E.4), являясь приспособ-
приспособленной к микроскопическим граничным условиям, дает в то же время
решение задачи для свободномолекулярного режима. Легко видеть, что
при Кп = со все коэффициенты Аг = Ац = . . . = Bt = Вь-} = . . . = О
во всем течении. Однако граничные условия на теле требуют обра-
обращения в нуль на границе лишь коэффициентов Al = А^= ... По-
Поэтому в общем случае при Кп Ф со коэффициенты А и В не равны
нулю в поле течения и обращаются в нуль при Кп—оо лишь в силу
решения моментных уравнений.
Следует заметить, что сделанные утверждения неверны для аппро-
аппроксимирующих функций, содержащих явно в качестве одного из пара-
параметров число Кнудсена, так как при Кп—>со оно выпадает из урав-
уравнений, и ыоментные уравнения при Кп = °° могут иметь иную диф-
дифференциальную часть, а следовательно, иную постановку граничных
задач, чем при Кп ф 0. К таким аппроксимирующим функциям отно-
относятся, например, функции D.9) — D.11), рассмотренные в предыду-
предыдущем параграфе.
§ 3*6. Методы разложения по малому параметру
В § 2.11 показано, что в уравнение Больцмана входит число
Кнудсена, характеризующее степень разреженности газа. В предель-
предельных случаях при Кп^>1 и Кп <С^ 1 в уравнении Больцмана появ-
появляется малый параметр, равный соответственно £=Кп~1 и ё=Кп.
Естественно при больших и малых числах Кнудсена искать решение
уравнения Больцмана в виде разложения по малому параметру:
со
/ (*. х, 1) = 2 «V(S) V. х, i). F.i)
ft-0
Прежде чем перейти к изложению методов разложения по малому
параметру для полного уравнения Больцмана, рассмотрим некоторые
качественные особенности таких разложений на примере модельного
уравнения (8.22) главы II.
1. Запишем это уравнение в безразмерных координатах в инте-
интегральной форме (8.25) главы II:
f(t, *. |) =
I n f $ х £ (t s\) d
X exp
- IV \o , Л «j ft .
dx. F.2)

§ 3.6]
МЕТОДЫ РАЗЛОЖЕНИЯ ПО МАЛОМУ ПАРАМЕТРУ
127
Здесь плотность частиц отнесена к характерному значению п0
время — к некоторому времени 0, скорость — к характерной ско-
скорости молекул U и х—к расстоянию, проходимому молекулой, дви-
движущейся с характерной скоростью U, за время 0, т. е. к U&. В ка-
качестве 0 выбирается меньшее из двух времен: характерного времени
течения и времени, за которое молекула, летящая с характерной
скоростью U, проходит характерную длину L. В стационарном течении
© = /./£/. Параметр с = {AnQ®)~~1 = т/в= Кп, где т —
столкновениями.
Интегрирование ведется вдоль траектории молекул, летящих со
скоростью |. Максвелловское распределение /0 зависит от t и х
через посредство входящих в него макроскопических величин n(t, x),
u(t, х) и T(t, x).
Интеграл, содержащий /0 в правой части уравнения F.2), про-
проинтегрируем N раз по частям; тогда ')
время между
N
/(*,*.&)= У €*/<*> С
,,, х — i(t — g,
k-a
exp | — - n (s, x~~ I (t — s)) ds i -f-
(
— - I n(s, x—l(t—s))ds
dx, F.3)
где
/('о ^=-
n dt
Исследусм, когда решение уравнения Больцмана представимо
рядом F.1) или первым членом формулы F.3):
N
f (t, x, I) = 2 e*/(ft)(*. x, I). F.4)
Пусть в начальный момент t = t0 задана функция распределения
f (t0, x, l) = /(^o). Решение F.3) содержит два ряда типа F.4):
один в точке (t, х), другой в точке (/0, х—|(/—/0)). В квадратных
скобках уравнения F.3) стоит разность функции распределения
') Коган М. Н., Прикл. матем. и мех., в. 4 A958).

128 ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ВОЛЬЦМАНА [ГЛ. III
в начальный момент в некоторой точке и ее разложения в ряд F.4)
в той же точке. Для того чтобы ряд F.4) сходился в точке (t, x),
необходимо, чтобы остаток ряда стремился к нулю с увеличением N
и чтобы функция распределения f (t0) в начальный момент также
была представима рядом F.4). Так как произвольный момент может
быть принят за начальный, то необходимо, чтобы функция распре-
распределения была представима рядом F.4) в любой, момент времени и
в любой точке области течения.
Остаток ряда выражается через максвелловское распределение /0,
которое зависит от гидродинамических величин и, и и Г, зависящих
в свою очередь от функции распределения /. Так как нам заранее
свойства искомой функции распределения не известны, то в общем
случае оценить' остаток ряда, а следовательно, и установить сходи-
сходимость в обычном смысле невозможно.
В то же время, ограничиваясь конечным числом членов ряда
и устремляя <=—>0, можно ожидать асимптотическую сходимость
ряда F.4), т. е.
lim i -L
£=0
= 0.
Для асимптотической сходимости достаточно потребовать ограничен-
ограниченности N +■ 1 производных от гидродинамических величин. Влияние
начального момента, т. е. члена с квадратными скобками в F.3),
экспоненциально затухает при е —.> 0 и фиксированных t и х. При
фиксированном е влияние начального момента экспоненциально зату-
затухает по мере возрастания t—10. Поэтому при е —> 0 и при удале-
удалении от начального момента решение уравнения Больцмана асимпто-
асимптотически стремится к решению вида F.4). Однако, по-видимому,
могут представиться специальные случаи, когда ряд F.4) сходится
в обычном смысле.
Пусть ряд F.4) сходится в обычном или асимптотическом смысле.
Если мы ограничимся первым членом разложения в ряд, то вдали
от начального момента или границы можно положить
fit, х, Ю = /@)(*. *. !) = /„('. *. 1) =
= п\;)
\;шт) **
Легко проверить, что в этом случае
Pl.=bljakT = bup и qt~0. F.5)
Подставляя эти значения в уравнения сохранения A.8) — A.10), кото-
которые для модельного уравнения, очевидно, имеют тот же вид, что
и для точного уравнения Больцмана, так как интеграл столкновения

§ 3.6] МЕТОДЫ РАЗЛОЖЕНИЯ ПО МАЛОМУ ПАРАМЕТРУ
выпадает, получим обычные уравнения Эйлера:
дри/__п
129
3
dt ^
д , д
—h- U .
dt 'I dx.j
д д
1 др
р дх1 '
duj
" dxj
F.6)
Ограничиваясь двумя членами ряда, в размерных величинах имеем
if D ж^г) F)
Входящие сюда частные производные по t от гидродинамических
величин можно исключить с помощью уравнений Эйлера F.6). В урав-
уравнениях Эйлера отброшены величины порядка е. Поэтому, исключая
производные по t из F.7), мы отбрасываем величины порядка е2.
Проделывая несколько громоздкие, но несложные выкладки, получим,
что функция распределения имеет вид
f(t,x, |)=/0
где
F.8)
дщ
ОТ
5 k2T\
2 Am)'
Выражения F.9) соответствуют приближению Навье — Стокса.
Оставляя три члена ряда и исключая производные по t из второго
члена с помощью уравнений Навье — Стокса и из третьего с помощью
уравнений Эйлера, получим функцию распределения барнеттовского
приближения. Подставляя ее в выражения для тензора напряжений и
вектора потока тепла, входящие в уравнения сохранения A.8)—A.10),
получим уравнения Барнетта, и т. д.
Легко видеть, что решение в виде бесконечного или оборванного
ряда F.4), сходящегося в обычном или асимптотическом смысле,
не может представлять общее решение. Действительно, согласно F.4)
функция распределения в какой-либо точке (t, x) полностью опре-
определена гидродинамическими величинами я, й и Т в той же точке.
Но значения гидродинамических величии в любой момент времени
определяются в зависимости от приближения с помощью уравнений
Эйлера, Навье — Стокса и т. д. по значениям гидродинамических
величин при t = t0. Так как гидродинамические величины являются
интегралами по | от функции распределения, то очевидно, что
к одним и тем же начальным гидродинамическим данным приводит
У М. И. Коган

130 ОБЩИЕ МКТОДЫ РКШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА [ГЛ. Ill
бесконечное множество различных начальных функций распределения.
Поэтому решение в виде F.4) может в лучшем случае представлять
какое-либо одно из бесконечного множества решений, соответствую-
соответствующих различным начальным функциям распределения.
С другой стороны, общее решение модельного уравнения F.3)
асимптотически стремится к решению F.4) при возрастании t — t0
и €—>0. Таким образом, можно ожидать, что решения вида F.4),
а следовательно, уравнения Эйлера, Навье — Стокса и т. д., при-
применимы при е->0 во внутренних точках области течения на некото-
некотором удалении от границ или начальных условий (при t — to~^> e).
Вблизи границ или начальных условий, т. е. при t—to^.t, второй
член решения F.3) имеет тот же порядок, что и первый.
Естественно, возникает вопрос, каким начальным и граничным
условиям должны удовлетворять справедливые во внутренних точках
уравнения Эйлера, Навье — Стокса и т. п. Легко видеть, что решение
гидродинамических уравнений, полученное по начальным гидро-
гидродинамическим данным, вычисленным по истинной начальной функции
распределения, отличается на величину порядка е от асимптотического
решения, к которому стремится при t—£0>€ и €~>0 решение
модельного уравнения Больцмана, хотя это последнее решение асим-
асимптотически удовлетворяет тем же гидродинамическим уравнениям.
Действительно, запишем F.3) и F.4) соответственно в виде:
-
/==/„ +ЬИ-*. £/<*> +6, F.3a)
F.4а)
Умножая уравнение F.4а) на функции ф*(|) и интегрируя по |
при N = 0, 1 получим соответственно уравнения Эйлера,
Навье — Стокса и т. д. При интегрировании же по | общего реше-
решения F.3а) получатся те же гидродинамические уравнения, в правых
частях которых будут стоять интегралы по | от 6. Так как 6->0
при t — to~^g>e, то вне некоторого начального слоя точные неодно-
неоднородные уравнения асимптотически стремятся к однородным уравне-
уравнениям гидродинамики.
Если бы функция б была известна, то решение неоднородных
гидродинамических уравнений с начальными гидродинамическими дан-
данными, вычисленными по заданной начальной функции распределения,
представляло бы во внутренних точках решение уравнения Больцмана.
Так как б~/=£0 в области порядка €, то решения обычных
однородных гидродинамических уравнений с теми же граничными
условиями будут отличаться от точных на величины порядка £.
Следовательно, при достаточно малых t, т. е. при малых числах

§ 3.6] МЕТОДЫ РАЗЛОЖЕНИЯ ПО МАЛОМУ ПАРАМЕТРУ 131
Кнудсена, во внутренних точках течения применимы гидродинамиче-
гидродинамические уравнения, но с граничными условиями, отличающимися иа вели-
величину порядка е от истинных гидродинамических величин, заданных
в начальный момент. Для получения правильных начальных данных
необходимо исследовать структуру начального слоя. Точно так же
обстоит дело и с граничными условиями. К формулировке граничных
условий для уравнений Навье — Стокса, т. е. к исследованию гра-
граничного слоя, мы вернемся в главе V.
Выше (см. формулу F.9)) были введены следующие из релакса-
релаксационного уравнения выражения для коэффициентов вязкости и тепло-
теплопроводности. Сравнивая эти выражения с соответствующими выра-
выражениями, полученными для максвелловских молекул в § 3.3 (фор-
(формула C.47)), легко заметить, что при соответствующем подборе
входящей в релаксационное уравнение постоянной А можно получить
правильную зависимость от температуры для вязкости или для тепло-
теплопроводности, но не для обеих величин вместе. Отношение вязкости
к теплопроводности, согласно релаксационному уравнению, в 1,5 раза
меньше точного. Соответственно число Праидтля Рг=|лср/Я для
газа, описываемого модельным уравнением, равно единице вместо
Рг = 2/3 для максвеллопского Газа. Этот факт служит известной
оценкой точности модельного уравнения. По-видимому, лучшую точ-
точность модельное уравнение может дать в задачах, в которых имеют
место либо только процессы, обусловленные вязкостью, либо только
процессы, обусловленные теплопроводностью, по не те и другие
процессы вместе.
2. Рассмотрим теперь другой предельный случай, соответствую-
соответствующий большим числам Кнудсена. Естественно попытаться разложить
функцию распределения в ряд по Кп = £. Обратимся опять к модель-
модельному уравнению (8.22) главы II, записанному в безразмерной форме:
^ J. F.10)
Будем искать решение этого уравнения в виде1)
/ = /(О -J- ё/1) ■+- «2/B) _|_ . . . F.11)
Подставляя разложение F.11) в уравнение F.10) и приравнивая
коэффициенты при равных степенях е, получим:
dfi0) =0 F.12)
F.13)
F.14)
') Jaffe О., Ann. der Phys. 6, 195 A930).
9*

132 ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА [ГЛ. Ill
где Jk_1 — правая часть уравнения после подстановки в нее функ-
функций /С*-1), j(ft-2) и т, д. Построение решения сводится к последо-
последовательному решению линейных дифференциальных уравнений. Хотя
независимыми переменными в этих уравнениях являются t и х,
в функцию распределения как параметр входит |.
Если при малых числах Кнудсена в результате разложения по
малому параметру получаются сложные уравнения для макроскопи-
макроскопических величин, то в рассматриваемом случае больших чисел Кнуд-
Кнудсена, разлагая по малому параметру, приходим к рекуррентной системе
сравнительно простых по структуре дифференциальных уравнений
для самой функции распределения. Однако фактическое решение этих
уравнений представляет весьма сложную вычислительную задачу, так
как при решении уравнения для /С') нужно помнить функцию от семи
переменных р-к~г) (или одновременно решать всю цепочку до /W вклю-
включительно) и вычислять весьма сложный интеграл столкновений. Ис-
Исключение составляет решение для /(°), т. е. для свободномолекулярных
течений. Общее решение этого уравнения тривиально и имеет вид:
/<°> (t, x,l) = f(to,x — %(t- t0), 1). F.15)
Методы решения приведенных уравнений будут подробно рас-
рассмотрены в главах IV и VI при изучении свободномолекулярных и
близких к ним течений. На каждом шаге решения можно удовлетво-
удовлетворить произвольным начальным и граничным условиям. В этом смысле
можно ожидать, что полученное в виде ряда F.11) решение дает
общее решение уравнения Больцмана, однако вопрос об области
сходимости метода (если отвлечься от трудностей его практического
осуществления) в настоящее время остается открытым. Более того,
как будет показано в главе IV (§ 2), в некоторых случаях вообще
разложение вида F.11) не имеет места.
В двух последующих параграфах будет рассмотрен метод малого
параметра для течений при малых числах Кнудсена. К методу же
малого параметра для больших чисел Кнудсена при изложении общих
методов решения полного уравнения Больцмана больше возвращаться
не будем, так как специальный вид интеграла столкновений модель-
модельного уравнения при изложении метода пе имеет какого-либо значе-
значения. В § 6.5 будет показана эквивалентность этого метода некото-
некоторому методу последовательных приближений.
§ 3.7. Метод Гильберта разложения по малому параметру
Рассмотрим теперь методы отыскания решений точного уравне-
уравнения Больцмана в виде рядов по малому параметру (числу Кнудсена).
1. Запишем уравнение Больцмана в безразмерных переменных
§ 2.11 и § 3.6:
df —Ljtf л [JL~ д it д

§ 3.7] МЕТОД ГИЛЬБЕРТА РАЗЛОЖЕНИЯ ПО МАЛОМУ ПАРАМЕТРУ 133
где квадратичная форма
= у J (/'и + /У
и 6—малый параметр порядка числа Кнудсена,
В уравнении G.1) размерные время t* и длина х* отнесены соот-
соответственно к характерному времени течения в и характерной длине
течения L. Эти характерные масштабы определяются граничными
и начальными условиями задачи. Ни уравнение G.1), ни граничные
условия не содержат других характерных масштабов, кроме 0 и L
и параметра е. Поэтому1) из соображений размерности ясно, что
решение уравнения G.1) может зависеть лишь от следующих пере-
переменных: x=x*jL, t = t*!@, xjt, t/e, x(, ti и т. п. Ниже мы не будем
интересоваться движениями в больших масштабах /,/<=, Tj(. и т. д.
Поэтому функцию распределения можно представить в виде
f = f(tv ДСр tL, XL, €),
где tL = t, xL = x, tx = tl6 = t*j%, Xj = xji = x*jX, X и т — длина
свободного пробега и время между столкновениями соответственно.
Как и в § 2.3, будем переменные (tL, xL) называть переменными
/,-масштаба, а переменные (^, хг) — переменными Я,-масштаба.
В соответствии со структурой функции распределения для произ-
производных имеем
1t~ e ~Щ~^"Ж2> ~дх ~ 7 дхг ~т~ dxL ' ~dl ~~ 6 ~Щ ~г" dtL '
Будем искать решение уравнения G.1) в виде ряда по малому пара-
параметру е:
/(*„ *,. tL. xL, €) = /@)(f,, *„ lL, xL) + efV)(tv *„ tL
Подставим это разложение в уравнение G.1); учитывая приведенные
выражения для производных, приравняем нулю коэффициенты при
равных степенях е:
d/°l _
G.2)
Эта бесконечная последовательность уравнений описывает движе-
движение как в /.-масштабе, так и в Я,-масштабе, Легко видеть, что
производные df^jdt^ могут быть отличны от пуля лишь в тонких
областях с характерным размером порядка X или в течение времени
1) Ср. с § 2.3,

134 ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА [ГЛ. III
порядка х. В противном случае функции /<v) будут безгранично
расти. Эти тонкие области, которые называют слоями Кнудсена,
всегда имеются вблизи границ и начального момента. К ним при-
принадлежат и ударные волны.
Нашей первой задачей является построение решения в /.-масштабе,
т. е. вне слоя Кнудсена. К рассмотрению слоя Кнудсена мы вер-
вернемся позже (см. п. 2 настоящего параграфа, а также § 5.1).
Вне кнудсеновского слоя, т. е. при t1->oo, имеем:
/(*„ я,. tL. xL, e)->f(tL. xL. 6)
и
f(tL, xL. e)=
G.3)
Для того чтобы при ^—>со функции /М не росли безгранично
(чтобы не появлялось секулярных членов), необходимо потребовать
выполнения условий (теперь у нас остаются лишь переменные tL, xL,
поэтому для сокращения письма индекс L опустим):
, х), /«»(*, jc))=O, G.4)
(у£^_, G.5)
2J(/@), /(°)q)(ft)) ——— i ■ / j(f(°^(^, /(°W*-')). G.6)
Таким образом, мы получили систему уравнений G.4) — G.6),
описывающую течение в /.-масштабе вне кнудсеновских начальных
и граничных слоев и ударных волн !).
В главе II показано, что единственным решением уравнения G.4)
является функция распределения Максвелла
.3/2 т A-и№J
/@) — /. = п@) / % 1 е 2ЙГ(О)
Все уравнения, за исключением первого, являются линейными
неоднородными интегральными уравнениями. Однородному уравнению
= J
G.7)
очевидно, удовлетворяют пять сумматорных инвариантов. Легко видеть,
что уравнение G.7) не имеет других решений. Действительно, умножим
') Далее в трактовке методов Гильберта и Энскога—Чепмена мы
в основном следуем Граду (G r a d H., Handbuch der Physlk 12, 1958).

§ 3.7] МЕТОД ГИЛЬБЕРТА РАЗЛОЖЕНИЯ ПО МАЛОМУ ПАРАМЕТРУ 135
интеграл G.7) на некоторое решение ф(й) и проинтегрируем по |.
Повторяя рассуждения § 2.4, найдем, что
' + <р(*>' — ф5*) _ Ф(*)J f(°)ff)gt> db ds d|, d| = 0.
Следовательно, решение должно обращать в нуль содержимое скобок.
Но столкновения не имеют других инвариантов, кроне пяти, приве-
приведенных в § 1.3. Поэтому общее решение уравнения G.7) имеет вид
2 йг G.8)
г-0
где фг — сумматорные инварианты (фо = м, ф]]2_ 3 = /re|li2> 3 и т|L =
= 1j2ini>2). Коэффициенты ■у**) являются функциями ^ и я.
Из теории интегральных уравнений известно, что неоднородное
уравнение имеет решение только в том случае, если правая часть
уравнения ортогональна к собственным функциям однородного урав-
уравнения. Если условия ортогональности выполнены, то решение молено
представить в виде
2 rV i)
/■=0
где ф(*) — частное решение неоднородного уравнения. Чтобы сделать
выбор функций ф(*' однозначным, наложим пять условий:
J ^rtp(fe)/@)(ig = 0. G.10)
Условие ортогональности правой части интегрального уравнения
для ф(!^ собственным функциям уравнения (сумматорньш инвариантам)
имеет вид
I
ф,-2^-^ = 0. G.11)
В § 3.1 из таких же условий были получены уравнения сохране-
сохранения. Если в уравнения сохранения подставить / = /@)=/0, то, как
показано в предыдущем параграфе (см. F.5) и F.6)), эти уравнения
сцедутся к уравнениям Эйлера F.6) для пяти макроскопических вели-
величин, входящих в /0, т. е. для я'0) (или р(°>), tif> и 7'(°). Вообще
говоря, эти величины не совпадают с гидродинамической плот-
плотностью в данной точке п, скоростью ut, температурой Т.
Аналогично условия совместности для /■ + сводятся к
г-^—rfl = 0. G.12)

136 ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА [ГЛ. III
так как интегралы
J фг7(/(°)ф(", /«»ф(«-'>)^! = о
в силу свойств симметрии, аналогичных рассмотренным в § 2.4.
Условия G.12) суть не что иное, как уравнения переноса A.5),
в которых ср = фг и / = /@>ф(*>:
±- J фг/«»ф<*),*! + .^-. J y^oy^g^o G.13)
(i= I, 2, 3; r = 0 4).
Подставляя сюда функцию ф'А) из G.9) и учитывая условия G.10),
получим
Введем обозначения:
rr=Jiv/d6 и Г»*»=
где
G.16)
и Г4 = р(
Согласно G.15) между П*> и -yt.*) существует взаимно однозначная
связь с детерминантом, отличным от нуля. Используя соотноше-
соотношения G.15), можно переписать уравнения G.14) для IW вместо yf>.
Таким образом, для yf) или Г(*> при k *^> 1 получаются линейные
дифференциальные уравнения.
Если заданы начальные и граничные условия для всех у^ (или IWV
то можно последовательно найти эти величины в любой момент вре-
времени с помощью дифференциальных уравнений Эйлера G.11) и ли-
линейных неоднородных уравнений G.14), а также ф(й> — с помощью
интегральных уравнений G.5), G.6), т. е. можно построить все ф(*\
а следовательно, полностью решение G.3).
Таким образом, если решение уравнения Больцмана представимо
рядом G.3), то построение этого решения сводится к решению

§ 3.7] МЕТОД ГИЛЬБЕРТА РАЗЛОЖЕНИЯ ПО МАЛОМУ ПАРАМЕТРУ 137
нелинейных уравнений Эйлера и рекуррентной системы линейных
дифференциальных и интегральных уравнений. Решение полностью
определяется заданием функций 7^@. х) или Г**) @, х) в начальный
момент времени.
Пусть отыскивается решение уравнения Больцмана при заданной
функции распределения в момент ^==01). В безразмерных перемен-
переменных в уравнение Больцмана и в начальную функцию распределения
входит для конкретной задачи фиксированное значение числа Кнудсена
(параметра е0J). Отыскивая решение уравнения Больцмана в виде
ряда по €, в конечном счете необходимо положить е равным его
фиксированному значению е0. Легко видеть, что параметр е можно
ввести в начальную функцию распределения бесконечным множеством
способов, подчиненных единственному условию, чтобы при е = е0 на-
начальная функция /@, х, £, е) совпадала с заданной. Введя тем или
иным путем в начальную функцию распределения малый параметр «,
ее можно представить в виде ряда:
/(О, х, |. *) = /<"> @, х, |)A+«ФA)@, х. Ю+ •••)• GЛ7)
Соответственно
Гг@, х, 0= /ф,/@. х, |, i)dl =
= lf >@, х)+«Г(г1)@, x)-H2lf>@, x)+ ... G,18)
Следовательно, начальные значения гидродинамических величии Гг
могут быть более или менее произвольно распределены между функ-
функциями Г**) (или "sff\ В частности, можно положить все Г(А)=0 при
к > О, т. с. считать, что к начальный момент Г'о) @, х) = Г@, х).
По этим начальным данным с номошыо описанной выше процедуры
можно полностью построить представимое в виде ряда G.3) решение
уравнения Больцмана. В этом случае решение целиком опре-
определяется заданием в начальный момент гидродинамических
пелпчан ТГ.
') Система уравнений G.4) — G.6) описывает течение вне кнудсеиовских
слоев. Следовательно, решение G.5) непригодно внутри этих слоев и с его
помощью нельзя подойти к границам или к начальному моменту. Реше-
Решение G.3) отыскивается лишь при начальных и граничных условиях, заданных
line кпудсеновского слоя, например на его границе. Поэтому сейчас мы
подразумеваем именно такие условия. Как связать эти условия с истинными
условиями задачи на границах и в начальный момент, мы увидим несколько
иоажс. Очевидно, что для этого необходимо решить уравнение Больцмана
ин.утри кнудсеиовских слоев.
•') В истинную начальную функцию распределения длина пробега X, а
гл1'до1!ательно и е0. не входит. Однако в рассматриваемую начальную функ-
функцию распределения вне слоя Кнудсена е0 может входить, так как эта функ-
функция получается в результате решения содержащего X уравнения Больцмана
li слое Кпудсена.

138 ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ВОЛЫДМАНА [ГЛ. III
Возникает естественный вопрос: в какой мере такие гидродинами-
гидродинамические начальные условия являются особыми и как связаны между
собой решения, построенные по начальным гидродинамическим вели-
величинам Гг, различным образом «размазанным» по функциям Г, ? Ответ
на этот вопрос дает теорема Гильберта о единственности решения,
утверждающая, что все решения, полученные при различном распре-
распределении по Г(г ' одних и тех же начальных гидродинамических дан-
данных Гг, тождественны для фиксированного £ = @.
Действительно, рассмотрим уравнение, отличающееся от уравне-
уравнения G.1) лишь обозначениями:
Найдем решение этого уравнения в виде ряда по ц при следующих
начальных условиях:
Г<.О) = ГГ(О, х, е), r(S) = 0 при fe>l. G.20)
Решение является функцией двух параметров — yi и £, т. е.
F = F(t, х, |, е, ц). Это решение построено по гидродинамическим
условиям G.20) и справедливо, в частности, при \i = e. Полагая ц
равным фиксированному значению е и разлагая F(t, x, |, €, е)
и Гг@, х, е) в ряд по е, найдем, что, как функция е, найденное
решение удовлетворяет начальным условиям, в которых Г^ Ф 0 при
/е^>1, что доказывает теорему.
Таким образом, представимое в виде ряда G.3) решение уравнения
Больцмана f(t, x, |) однозначно определяется заданием гидродинами-
гидродинамических величин Гг@, х) в начальный момент. Поскольку начальный
момент ничем не отличается от других моментов времени, то и при
t = 0 функция распределения однозначно определяется заданием пяти
гидродинамических величин Гг@, х). Но любой момент времени можно
принять за начальный, и, следовательно, в любой момент времени
t Ф 0 функция распределения однозначно определяется значениями
гидродинамических величин в тот же момент времени.
Пять гидродинамических величин представляют собой пять инте-
интегралов по | от функции распределения. Очевидно, существует беско-
бесконечное множество функций распределения, интегралы от которых
равны одним и тем же гидродинамическим величинам, т. е. в общем
случае функция распределения не определена заданием пяти гидроди-
гидродинамических величин. Следовательно, представимые в виде ряда по
малому параметру решения уравнения Больцмана являются в этом
смысле особыми. По-видимому, лишь достаточно узкий класс решений
уравнения Больцмана может быть представлен в виде ряда по е.
Этот класс решений уравнения Больцмана называют гильбертовым
классом нормальных решений. Принадлежащие к этому классу реше-

§ 3.7] МЕТОД ГИЛЬБЕРТА РАЗЛОЖЕНИЯ ПО МАЛОМУ ПАРАМЕТРУ 139
ния будем обозначать /н. При этом, если функция распределения
принадлежит к этому классу в какой-то момент времени t, то она
принадлежит к этому классу и во все последующие моменты времени.
То, что решение уравнения Больцмана может быть представлено
в виде ряда G.3) лишь для специального класса функций, видно
и из следующего. Пусть ищется решение уравнения G.1) при началь-
начальной функции распределения /@, х, |), не зависящей от е. Тогда
при t = О все функции Г£*' = 0 для k > 0. Но так как уравнения G.14)
неоднородны, то при t > О функции Г^ Ф О и решение f(t, x, §, е)
является функцией е. В общем случае решение останется функцией е
и для £ = 0, т. е. полученное решение не равно исходной начальной
функции распределения. Для того чтобы решение при t = 0 совпа-
совпадало с заданной начальной функцией, на последнюю необходимо
наложить ограничения, выделяющие класс решений, представимых
в виде ряда G.3).
Таким образом, вне кнудсеновского слоя представимое рядом
по е решение уравнения Больцмана стремится к решению Гильберта,
полностью в каждой точке течения определяемому значениями гидро-
гидродинамических (термодинамических) величин.
2. Как мы уже отмечали, решение Гильберта строится по неко-
некоторым начальным и граничным условиям вне слоя Кнудсена, отличным
от истинных условий для функции распределения в начальный момент
и на границах. Рассмотрим теперь, каким образом решение уравнения
Больцмана, удовлетворяющее истинным граничным и начальным усло-
условиям, переходит в решение Гильберта по мере удаления от границы
или начального момента, т. е. исследуем решение внутри кнудсенов-
кнудсеновского слоя. Ограничим рассмотрение задачей с начальными условиями
для линеаризированного уравнения Больцмана.
Рассмотрим линейное уравнение Больцмана (см. (8.2) главы III)
где линейный оператор L равен
L (<р) = J /(/»(q/ + ф{ - Ф _ Ф[) gb db dad%v
Будем искать решение уравнения G.21) в виде
cp:n(t,x, I, <s) = e~ е S «*ф(*Ч'. *• !)• G.22)
>) Излагаемое здесь исследование принадлежит Граду (G г a d H., Phys.
I'lnlds 6, № 2 A963)). Русский перевод см. в сб. «Некоторые вопросы кине-
кинетической теории газов», «Мир», 19SS. См. также работу Сировича (S 1 г о -
v I с h L., Phys. Fluids 6, № 2 A963); русский перевод—в сб., цитированном
нише) и § 3.11.

140 ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА [ГЛ. ГГ1
Как и выше, подставим решение G.22) в уравнение Больцмана и при-
приравняем коэффициенты при равных степенях г; имеем:)
Ь(срЩ~1 ф@) = 0, G.23)
(A=l. 2. ...). G-24)
где %т — собственные значения уравнения G.23). Собственную функ-
функцию, соответствующую Хт, обозначим через фт2)- Функции <f>m будем
считать нормированными, т. е. положим
Введем новые макроскопические переменные
an(t. x,e) = et J <f>m(fmf^ d\ = \ ekaW, G.25)
где
G.26)
Решения уравнений G.23) и G.24) можно представить в виде
ф(О) = а(ои ф(*) = ф(*) + а<А><А , G.27)
где щ! — частное решение уравнений G.24), подчиненное условию
Для разрешимости неоднородных уравнений G.24) правые части
уравнений должны быть ортогональны собственной функции <f>m.
Умножая G.24) на <j>mf№ и интегрируя по |, получим
_^L = 0, -£- = ~ \Ытр) -~ d\, (A =1,2, ...), G.28)
dt dt J vtTmJ gx. s> v /• \ /
где учтено, что собственные функции оператора L обладают следую-
следующим свойством 3):
') Сравните с уравнениями G.2); t и х—координаты Л-масштаба.
2) Для простоты рассмотрим лишь случай невырожденных собственных
значений, т. е. когда каждому Хтф0 соответствует одна собственная функ-
функция. Более общий случай см. в оригинальной работе Града.
8) См. цитированную на предыдущей странице работу Града.

§ 3.7| МЕТОД ГИЛЬБЕРТА РАЗЛОЖЕНИЯ ПО МАЛОМУ ПАРАМЕТРУ 141
Из первого уравнения следует, что о!°> не зависит от t. Следова-
Следовательно, а)п имеют вид
= tkA{*)(x)-\-B<£>(x). G.29)
т. е. вблизи t =■- О разложение по е равносильно разложению по t.
Если в начальный момент времени £ = 0 заданы все а^ @, х),
то, как и в методе Гильберта, можно .последовательно найти все
о№ и ф(н для t > 0, т. е. построить решение G.22) для каждого
собственного значения кт. Решение Гильберта соответствует X = 0.
Как и в методе Гильберта, решение срт является функцией 6 (в част-
частности, для t ==. 0).
Пусть при £=0 задана функция распределения, не зависящая
от е:
Ф@. х, 6) = ф(ж. g). G.30)
Считая, что система собственных функций <j>m полная, будем искать
решение уравнения G.21) при граничном условии G.30) в виде супер-
суперпозиции решений G.22):
V
Необходимо по заданной функции ($(х, §) найти начальные усло-
условия для функций ф(*), т. е. связать (р(х, §) и о(^)@, ж). Изменим
в G.31) порядок суммирования и введем обозначения:
_ V.
Ф = 2€*Ф(*). Ф№) = 2е 6 ф(*>, G.32)
Так как при £=0 функция распределения не зависит от ё, то
q>(*)@) = 0 при k > 0. Следовательно, равны нулю и все интегралы
= O при &>0. G.33)
Условия G.33) позволяют установить искомую связь ср(х, |) и
о(^ @, х). При ^ = 0
2 2 G.34)
Используя ортогональность собственных функций ^>т с весом f(°\
отсюда получим
j==aV). G.35)

14/> (НИЦШ: М1ПОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА [ГЛ. 111
Преобразуем условия G.33). Согласно G.27) и G.32) имеем
J /^„(pw rfi = S J ЛУ/' dl + aif- G-36)
у _
Для нахождения частного решения ф<^ нужно знать функции фМ
для у < А. Пользуясь условиями G.35), из G.28) можно найти
о<°)(£, х), а следовательно, согласно G.27) и ф№. Решая уравне-
уравнение G.24), найдем фМ. Тогда условия G.36) позволяют установить
начальные условия для сгг?, при которых необходимо решить урав-
уравнение G.28), а следовательно, по G.27) найти ф<^). Решая G.24),
находим фй, из G.36) находим о^> и т. д.
Хотя каждое фт-решенис при t = 0 является функцией от (.,
комбинируя их, оказывается возможным удовлетворить начальным
условиям, не зависящим от е. Приведенная процедура позволяет,
в принципе, удовлетворить произвольным начальным условиям, и
поэтому решение G.31) дает общее решение уравнения G.21), в то
время как процедура Гильберта позволяла удовлетворить лишь спе-
специальным начальным условиям и построить лишь специальный класс
решений уравнения Больцмана. Но из G.31) видно, что при t~^>£
общее решение экспоненциально стремится к ф0, т. е. к решению
Гильберта. Однако это предельное гильбертово решение отлично на
величину порядка е от решения, которое получилось бы при непо-
непосредственном отыскании решения Гильберта с теми же начальными
условиями. Действительно, так как начальная функция распределе-
распределения G.30) не зависит от е, то в методе Гильберта необходимо при-
принять, что 0<Й)(О, х) = 0 при k > 0, в то время как при построении
решения G.31) в общем случае а[,*> ф 0 1). Для нахождения правиль-
правильных начальных условий для решения Гильберта необходимо найти aiSj
по описанной выше процедуре, для чего фактически требуется по-
построить все решение G.31).
3. Выше все операции над рядами выполнялись формально, так
как их сходимость не доказана. По-видимому, как и для модельного
уравнения, ряды сходятся лишь для некоторого специального класса
задач. Однако для линейного уравнения Больцмана для молекул
с достаточно быстро убывающим потенциалом с конечным радиусом
взаимодействия (s S^- 5) удается доказать, что оборванный ряд дает
асимптотическое решение уравнения Больцмана при е—>02).
Пусть ф — решение линейного уравнения Больцмана, удовлетво-
удовлетворяющее начальному условию G.30). Это решение можно представить
') При изложении метода Гильберта а^е) обозначались Т^к\
2) См. цитированную выше работу Града, а также конец § 3 и §§ 11 и 12
настоящей главы.

§ 3.7] МЕТОД ГИЛЬБЕРТА РАЗЛОЖЕНИЯ ПО МАЛОМУ ПАРАМЕТРУ 143
в виде
Ф = ФНС. *. I. «) + Ф^(^,, X S. «). G.37)
где
решение Гильберта,
— экспоненциально по zf, убывающий остаток и ti=t[e. В силу ли-
линейности уравнения функция ф^ также является решением уравнения
Больцмана. Асимптотическая сходимость решения понимается в том
смысле, что
е->о
G-38)
где фв — решение уравнения Больцмана и <pW = <р^)-|-ф(^); индекс Л/"
указывает иа то, что в каждой из сумм, входящих в G.37), оста-
оставлены лишь члены до £N включительно. Асимптотическое реше-
решение «pW должно удовлетворять тому же начальному условию, что и
точное решение фв.
При t~^S>>u экспоненциально затухающие члены стремятся к нулю,
и любой отрезок ряда Гильберта является асимптотическим решением
уравнения Больцмана. Ограничиваясь одним членом ряда, получим
приближение Эйлера, двумя — приближение Навье—Стокса. Однако
вблизи t = 0 экспоненциальные члены имеют тот же порядок, что и
члены ряда Гильберта. Поэтому для установления правильных началь-
начальных условий для эйлеровского, навье-стоксовского или более вы-
высокого приближения необходимо исследовать структуру начального
слоя, т. е. найти ф^.
По-видимому, аналогичными свойствами обладают решения урав-
уравнения Больцмана и при наличии границ. Как и для модельного урав-
уравнения, вдали от границ решение должно стремиться к решению
Гильберта или асимптотически при е—»-0 к приближению Эйлера или
Навье—Стокса. Для установления граничных условий необходимо
исследовать структуру пристеночного слоя толщиной О (бI). Однако
строго эти положения в настоящее время не доказаны даже для
линеаризированного уравнения Больцмана.
4. Для полного нелинейного уравнения Больцмана решение,
с помощью которого можно удовлетворить произвольной началь-
начальной функции распределения, можно искать в виде, аналогичном
>) См. § 5.1,

144 ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА [ГЛ. III
выражению G.37) *):
( ) G-39)
где первый член правой части /н есть решение Гильберта, завися-
зависящее лишь от координат А-масштаба t и х, и fv — добавка, завися-
зависящая от времени Х-масштаба ty Функция /н, как решение Гильберта,
сама удовлетворяет уравнению Больцмана. Поэтому функция / удо-
удовлетворяет уравнению
Ж-+^ l^ = J(fn> 4) + /(/й, О- G-40)
В это уравнение наряду с tx через посредство /н входит также
переменная t. Чтобы исключить ее, заменим в /н переменную t на tt;
fH(t, х, |, e)=fH(t1e, x, |, 6).
Разложим функции /н и / в ряды по £:
/н = 2 ^/йг) (',. хЛ) и / = S «*/<*) (^, х, I), G.41)
Легко видеть, что приведенное разложение /н по е отлично от раз-
разложения Гильберта. В частности, первый член разложения fi$(x, |),
являющийся первым членом разложения по t члена f$(t, x, 1) в ряде
Гильберта, есть не зависящее от времени локальное распределение
Максвелла. Подставляя разложения G.41) в уравнение G.40) и при-
приравнивая коэффициенты при равных степенях б, получим:
0' G'42)
Однако уже решение первого уравнения этой рекуррентной си-
системы представляет собой самостоятельную проблему.
Задача существенно упрощается для частного случая начальных
условий, когда начальная функция распределения /@, х, |) локально-
максведловская /fl (х, |). В этом случае /(°>@, X, |) = 0, а так как
уравнение G.42), которому удовлетворяет функция f^{t, x, |),
однородно, то функция /(°) тождественно равна нулю во все мо-
') См. цитированную работу Града и работу В. В. Струминского (До-
р:лады АН СССР 158, 1964, № 2).

§3.8] МЕТОД ЭНСКОГА - ЧЕПМЕНА !45
менты времени. Функции /^(t, x, |) при к > 0 удовлетворяют линей-
линейным уравнениям:
) = 0. G.44)
G-45)
Анализ граничного слоя представляет собой еще более трудную
задачу.
б. В проведенном выше анализе важную роль играет введение
различных масштабов. Если бы мы, например, в задаче с начальными
условиями искали функцию распределения вида
/(*,, х. I, 0 = /№(*„ х, D + e/Wft. лс„ 1L- • ■ .. G.46)
то, так как функции /№ зависят лишь от одного времени, мы, оче-
очевидно, имели бы:
G.48)
Очевидно, что ряд G.46) может сходиться лишь при t-^.e. При
^<~1 и больше /О неограниченно растет, т. е. в разложении по-
появляются секулярныс члены.
Иногда именно разложения G.46) называют решением Гильберта
и о методе Гильберта говорят как о методе, пригодном лишь для
описания процессов, происходящих в ^-масштабе.
§ 3.8. Метод Энскога —Чепмена.
Вывод уравнений гидродинамики
В предыдущем параграфе показано, что решение Гильберта урав-
уравнения Больцмана в виде ряда по малому параметру е (числу Кнуд-
сена) полностью определено заданием в начальный момент гидроди-
гидродинамических величин Гг@, х). Но если функция распределения
f(t, х, |) в произвольный момент времени t выражается через гидро-
гидродинамические величины при £ = 0, то и гидродинамические величины
\\{t, х), являющиеся интегралами по | от функции распределения,
определены заданием. Гг@, х). Следовательно, можно исключить
ji:i рассмотрения функцию распределения и установить прямую связь
|0 М- Н. Когач

146 ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БОЛЫДМАНА [ГЛ. Ill
между гидродинамическими величинами в различные моменты времени.
Тензор напряжений и вектор потока тепла также являются инте-
интегралами от функции распределения. Поэтому Рц и q{ могут быть
в конечном счете выражены через гидродинамические величины Гг (t, x)-
Если Ptj и qt выражены через гидродинамические величины, то,
подставив эти зависимости в уравнения сохранения A.8)—A.10)»
получим замкнутую систему из пяти уравнений для пяти гидродина-
гидродинамических величин.
Цель метода Энскога — Чепмена состоит в установлении указан-
указанной связи и получении замкнутой системы гидродинамических урав-
уравнений. Установим вначале искомую связь, несколько изменив рас-
рассуждения метода Гильберта, приведенные в предыдущем параграфе.
Вывод уравнений гидродинамики методом, близким к оригинальному
методу Энскога — Чепмена, приведем позднее.
1. Как было показано в предыдущем параграфе, в начальный
момент £ = 0, не уменьшая общности, можно положить1)
Г<0)@, х) = Гг@, х). Г^@, х) = 0 при &>0. (8.1)
Поэтому при £ = 0 в функцию /<°> = /0 входят гидродинамические
величины Г(ГО) = ГГ.
Функции Г№ Гили, что то же, y'f>~j удовлетворяют неоднородным
дифференциальным уравнениям G.14). Поэтому при £>0 функ-
функции Ту уже не будут равны нулю и Г, не будут равны гидроди-
гидродинамическим величинам Гг. В частности, производная дТ^г 'jdt при г* = 0
не равна нулю.
Для нахождения функции /0) необходимо решить интегральное
уравнение G.5), в правую часть которого входит производная от /W-
df(p) д/т д/т д/@)
Производные по времени можно исключить с помощью уравнений
Эйлера, которым должны удовлетворять функции Г(г°\ как условиям
разрешимости. Тогда правая часть уравнения G.5) будет выражена
через Г?' и их пространственные производные. Так как в интеграль-
интегральное уравнение G.5) координаты х; входят как параметры, то, оче-
очевидно, решение этого уравнения / будет функцией Iy и их про-
пространственных производных. Общее решение этого уравнения можно
представить в виде выражения G.9), в котором величины у<?> заменим
на rf0 согласно G.15).
') Напомним, что речь идет не о5 истинных начальных условиях, а об
условиях вне слоя Кнудсена.

S 3.8] МЕТОД ЭНСКОГА - ЧЕПМЕНА 14?
В правую часть интегрального уравнения G.6) для f~2\ очевидно,
войдут первые временные и пространственные производные от Гр и
вторые производные от Г,. . Частные производные по t от Tf1 и ГР
можно исключить соответственно с помощью уравнений Эйлера и
уравнений G.14) для Г,. Тогда общее решение уравнения G.6)
для /( будет выражено через Г' , Г, и их пространственные про-
производные и, согласно G.9), — через Гу. Продолжая процесс далее,
можно /'"' выразить через lf> Vy и их пространственные про-
производные до (я— ft)-го порядка соответственно для функций Т[\
Но при £ = 0 все Г> ' для &>0 и их пространственные производ-
производные равны нулю, а Г, = Гг. Следовательно, при t — О функции / '
выражаются через гидродинамические величины и их пространствен-
пространственные производные до я-го порядка включительно. Но момент ( = 0
не является исключительным. Любой момент может быть принят за
начальный. Следовательно, полученная зависимость /(") от гидроди-
гидродинамических величин справедлива в любой момент времени. Подставляя
Эту зависимость в определения Рц и q-t через /, выразим последние
через гидродинамические величины и их производные до «-го по-
порядка. Тогда, выражая в уравнениях сохранения Рц и q-t через Гг
и их производные, получим замкнутую систему уравнений для гидро-
гидродинамических величин.
Если ограничиться одним членом ряда и потребовать, чтобы
й@' = п. Г'0' = Т и ир = иг, то получим:
pij= Phj и ft = 0-
Уравнения сохранения A.8) — A-10) принимают вид уравнений
Эйлера (см. F.6)).
Если ограничиться двумя членами ряда, т. е. положить
/ — /И _^_ €f{i) = fifl) A _|_ ^A)), (8.4)
то необходимо решить интегральное уравнение G.5) для q/1). Под-
Подставляя в правую часть уравнения G.5) функцию /<°) (в которую
входят Г(г', а не Гг), исключая производные по времени с помощью
уравнений Эйлера для Г^и полагая затем и@) = и, 7"@) = Ги й(г0) = иг,
получим
10*

148 ОГ.1ЩШ МНТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА [ГЛ. III
Следомтглыю, интегральное уравнение G.5) принимает вид
/(")/(<» (.рП)' -f фA)' _ фа) _ фA)) gb db de rig, =
Легко видеть, что решение этого уравнения должно иметь вид
где коэффициенты Аь и В^— функции сг, и и Т.
Подставляя (8.7) в уравнение (8.6) и приравнивая коэффициенты
при одинаковых градиентах, получим интегральные уравнения для
Л, и В1}:
Т? 2т[\ТГ)С ~~
f^ff)(B'Uj-\-B'u~ Buj— Bt)) gb db dzd%,. (8.9)
Таким образом, интегральное уравнение (8.6) заменено двенадцатью
уравнениями: для трех компонент вектора At и девяти компонент
тензора Btj.
Вектор А зависит от c-v п, и Т. Единственный вектор, который
может быть образован из этих величин, есть вектор с. Поэтому
Al^ciA{c, n, T). (8.10)
Сложим диагональные уравнения (8.9), т. е. три уравнения с индексами
i=j. Левая часть обращается в нуль, и
/[/(»), /@){Вп + В22 + Вз8)]=0. (8.11)
Используя свойства симметрии § 2.4, легко находим, что интеграл
(8.11) равен нулю только тогда, когда
Яп + £224-Язз = 0. (8.12)
Аналогично вычитая ij'-e уравнение (8.9) из /г-го, получим
Л/<0>, f°4Btj—BJt)] = 0, (8.13)
и, следовательно,

§3.8]
МЕТОД ЭНСКОГА —ЧЕПМЁНА
149
Следовательно, тензор Вц есть симметричный бездивергенгный
тензор. Но из величин с, и и Т, от которых зависит этот тензор,
можно образовать единственный симметричный бездивергентный тен-
1 9s
зор cfij тг сюф поэтому
Btj = {Cicjr-±c\^B(c, я, Г). (8.15)
Таким образом, общее решение уравнения-(8.6) имеет вид
где yrtyr — общее решение однородного уравнения и i])r — сумматор-
ные инварианты. Для определения коэффициентов уг функцию (8.16)
нужно подчинить условиям G.10). Для выполнения квадратур несколько
удобнее переписать (8.16) в эквивалентной форме:
i-
т
(8.16а)
г и -к-пй? умножим на 1, сь и с2.
и вместо умножения на i|)r = m, т\г и к
Так как все интегралы G.10) равны нулю, то эти операции экви-
эквивалентны. Имеем:
при умножении на единицу
| = 0, (8.17)
при умножении на ct
при умножении на с2
(8.18)
.19)
Здесь учтено, что интеграл функции от с, умноженной на cl, равен
интегралу от этой функции, умноженной на '/з с2-
Из условий (8,17) и (8.19) следует, что а и у равны нулю,
а из условия (8.18), что Рг= р dT/dXi и р может быть включено
It А, т. е. Л можно заменить на Л*: = А—р, для которого выпол-
выполняется условие
— A*
= 0.
.20)
Таким образом, для / во втором приближении имеем следующее
выражение (не меняя обозначений, переходим к размерным переменным,

150 ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА [ГЛ. III
так что <ь из формул выпадает, но А" и В имеют порядок с):
(8.21)
Подставим выражение (8.21) в определение вектора потока тепла;
имеем
1 | AVf«>* = -K§L. (8.22)
Сравнивая (8.22) с обычным павье-стоксовским представлением для
вектора потока тепла, находим, что А, есть коэффициент теплопро-
теплопроводности, равный
% — —■ | AV/(°>rf|. (8.23)
Аналогично для тензора напряжений имеем
ciCjf d\ = 6tJp — и J BciCj (ckct ~i- C*6W) -^- /@) rf|.
Если F(с)— произвольная функция с, то1)
со 2я я/2
Г Г
/
Г Г Г Г
F(c)cjdl=:
J J J J
0 0 0
со 2я Я/2
= 4- С С С ^(^^sinBrfc^rfe^-i I ^(c)c4d|. (8.24)
& *) *) J & J
0 0 0
0 0 0
Далее, очевидно,
откуда, учитывая (8.24), имеем
j cjc)Fdl=:~ j c^Fdl — -i j ^Fdl^-^j c*Fd%. (8.2S)
Учитывая равенства (8.24) и (8.25), получим
где
г
') В сферических координатах
й| = с2 sin 9 dc dd d(f.

§ 3.8J МЕТОД ЭНСКОГА — ЧЕПМЕНА 151
Легко видеть, что (8.26) есть обычное навье-стоксовское выра-
выражение для тензора напряжений и \х — коэффициент вязкости. Для
получения численных значений коэффициентов вязкости [х и тепло-
теплопроводности А, необходимо еще решить интегральные уравнения
(8.8), (8.9) для А и В. Для решения этих уравнений функции А (с)
и В (с) разлагают в ряд по полипомам Сонина1):
г=0
Введем обозначения:
1,1
[Ф. ф] = — J /@) /f (Ф{ + ф' — ф, — Ф) Ф (Е) g* db de dl d|j.
Умножая уравнения (8.8) на CiS^S/l(mc2l2kT) и складывая их, после
замены Лг = с;Л(с) выше приведенным рядом получим
а, = S «г S [c*S3%
Таким образом, для определения коэффициентов разложения ат по-
получается бесконечная система уравнений. Аналогично для нахождения
коэффициентов Ьт получаем систему
%) 5 [c j 25) 5^1 (s = 1, 2, ...).
Практически бесконечные ряды по полиномам Сонина для А (с)
и В (с) заменяют конечными суммами. При этом для определения
коэффициентов ат и br получаются конечные системы линейных
') Полиномы Сонина определяются выражением
р-0
В частности, 5*^=1, Sf^ = от + 1 — х.
Полиномы Сонина удовлетворяют условиям ортогональности
О

152 ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА [ГЛ. III
уравнений. Однако решение этих систем довольно громоздко. Наиболее
просто коэффициенты вязкости и теплопроводности находятся, если
в разложениях по полиномам Сонина оставить лишь по одному члену.
Найденные таким образом коэффициенты переноса называют коэф-
коэффициентами первого приближения и обозначают обычно через [|я],
и [l]j. Приведем значения этих коэффициентов для простейших
моделей молекул ').
Твердые шары с диаметром d:
15 УШ ,,, 5 . ,.., .
cv — теплоемкость газа при постоянном объеме.
Максвелловские молекулы:
\ I т у/2
Заметим, что в первом приближении для любых молекул
[h]i = jcvln]v
Из приведенных выражений видно, что зависимость коэффициентов
переноса от температуры в строгой теории та же, что и установлен-
установленная в § 1.5 из элементарных кинетических соображений. Коэффи-
Коэффициенты вязкости и теплопроводности чистого газа определяются
в первом приближении достаточно точно. Хуже определяются эти
коэффициенты для смеси. Еще хуже определяются коэффициенты
диффузии и особенно термодиффузии.
Сравнивая приведенные для максвелловских молекул выражения
коэффициентов переноса первого приближения с точными значениями
этих коэффициентов, полученными в § 3.3 (см. формулу C.47)),
замечаем, что они совпадают. Легко показать, что это не случайно.
Действительно, в § 3.3 мы видели, что в тринадцатимоментном при-
приближении функция распределения имеет вид
где
дТ / diii . diij 2 да г
') Значения коэффициентов переноса для различных моделей молек)гл
как в первом, так и в более высоких приближениях для чистого газа и
газовых смесей можно найти в неоднократно уже цитированных моногра-
монографиях „Чспмена и Каулинга и Гиршфельдера, Кертиса и Берда.

$3.8] МЕТОД ЭИСКОГЛ — ЧЕПМЕНЛ 153
Сравнивая это выражение с функцией распределения (8.21) и
приравнивая коэффициенты при равных степенях сь найдем, что
Л*(с) = const f|—~^fC2) и в (с) = const.
Следовательно, функция распределения тринадцатимоментного при-
приближения получается из функции распределения (8.21), если в раз-
разложениях функций А (с) и В (с) по полиномам Сонина сохранить
лишь по одному члену. Следовательно, для произвольных молекул
тринадцатимоментное приближение приводит к уравнениям Навье —
Стокса с неточными коэффициентами вязкости и теплопроводности,
получаемыми лишь в первом приближении.
С другой стороны, в § 3.3 мы видели, что для максвелловских
молекул функция распределения тринадцатимоментного приближения
отличается от точной на величины порядка е2. Следовательно, с этой
точностью функция распределения (8.21) должна совпадать с тринадца-
тимоментной, т. е. для максвелловских молекул ряды для А (с) я В (с)
по полиномам Сонина должны содержать лишь первые члены. В спра-
справедливости этого утверждения можно также убедиться непосредст-
непосредственной подстановкой оборванных рядов в уравнения (8.8) и (8.9).
Продолжая описанный выше процесс дальше, аналогично можно
найти /<2) и вывести уравнения Барнетта и т. д. Однако, не говоря
о чрезвычайной сложности этих уравнений, следует иметь в виду,
что к методу Чепмена — Энскога применимы выводы, полученные
в предыдущем параграфе для метода Гильберта. Сходимость метода
в общем случае является асимптотической при е—*-0. Поэтому урав-
уравнения Барнетта уточняют решение в той области, где хорошей точ-
точностью обладают и уравнения Навье — Стокса, но в общем случае
нет уверенности в том, что с помощью уравнений Барнетта можно
продвинуться в сторону больших б, т. е. в сторону более разрежен-
разреженного газа, в тех случаях, когда уравнения Навье—Стокса уже
оказываются непригодными1). Как уже указывалось, могут, конечно,
представиться случаи, когда ряд Гильберта, а следовательно, и ряд
Энскога—Чепмена сходятся в обычном смысле и когда уравнения
Барнетта и более высокие приближения позволяют продвинуться
в сторону больших чисел Кпудсена, однако такие случаи являются
весьма специальными.
Как и метод Гильберта, метод Энскога — Чепмена не позволяет
решить задачу с произвольной начальной функцией распределения /,
так как эта теория учитывает лишь начальные гидродинамические
величины (первые моменты от /). В то же время решение уравнения
') Напомним, что у асимптотических рядов всегда имеется максималь-
максимальное число членов ряда, дающее наилучшую аппроксимацию при заданном
значении аргумента. При дальнейшем увеличении числа членов аппрокси-
аппроксимация не улучшается, а ухудшается.

154 ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ Б*ОЛЬЦМАИА [ГЛ. III
Больцмана стремится к некоторому решению Эискога — Чепмена при
t~^>e, гидродинамические начальные условия для которого отли-
отличаются на величину порядка б от начальных гидродинамических вели-
величин, вычисленных по начальной функции распределения /. Для
установления правильных начальных и граничных условий необходимо
исследование структуры начального или граничного слоев: О <J t d^
^О(еI).
2. К выводу гидродинамических уравнений можно подойти не-
несколько иначе.
Так как выше показано, что функция распределения зависит от
координат а времени лишь через посрецство гидродинамических
величин и их производных, функцию распределения можно пред-
представить в виде
/=/№)(&, Г,) + е/а)(|, 1\, УГг) + е2/B)(£, Г., УГг, VT,)+ .... (8.27)
где символами VFr, VTr и т. д. обозначены пространственные про-
производные от Гг соответственно первого, второго и т. д. порядков.
Смысл нижнего индекса «э» у функции распределения будет ясен
из дальнейшего. Кроме того, можно положить
El. = Ф(г0)(Гг) + еФ"'(Гг. Vrr) + б2Ф^2)(Гг, VTr. У2ГГ)-f ... (8.28)
Согласно этим определениям входящая в уравнение Больцмана про-
производная по времени равна
df uj}>- ^«n . AuJa' .т.ж , "J'a' ф@)
дГг г ^ \дГг г ^ дГг
Ё
- Ё
ц, v-0
Подставляя это выражение и (8.27) в уравнение Больцмана и
приравнивая коэффициенты при равных степенях б, получим
dXl
') Для линеаризированного уравнения Больцмана см. по этому поводу
работы: Or ad H., Handbuch der Physik 12 1958, Phys. Fluids 6, №2 A963),
Comin. on pure and Appl. Math. 18, № 1/2 A965); SlrovichL, Phys.
Fluids 6, № 2 A963). См. также §§ 3.7 и 5.1.

$ 8.8] МЕТОД ЭНСКОГА — ЧЕПМЕНА 155
Эти уравнения подобны уравнениям G.4) и G.6). В частности, для
k = 0, 1 и 2 имеем:
(8.31)
(8.32)
Из (8.31) следует, что /(°3 есть максвелловская функция от пяти
макроскопических гидродинамических величин:
так что
|ф./(о)й|=Г., |фг/дай| = О при fe>0. (8.35)
Отсюда следует, что
^O. (8.35a)
Для разрешимости уравнений (8.32), (8.33) и т. д. их правые части
должны быть ортогональны к ф,. Учитывая (8.35) и (8.35а), получим
следующие условия разрешимости:
(8.36)
Подставляя эти значения для Ф^- * в разложение (8.28), получим
Легко видеть, что эти уравнения—не что иное, как общие уравне-
уравнения сохранения (уравнения A.8) — A.10)).
Из условия разрешимости (8.36) по /<°> находим функции ф(°).
Подставляя их в правую часть линейного интегрального уравне-
уравнения (8.32) и решая это уравнение, найдем /W. Зная /W, из (8.36)
находим функции Ф*1', подставляя которые в уравнение (8.33) най-
найдем /<2) и т. д. Получаемые таким образом функции /М будут за-
зависеть от Гг и их пространственных производных до к-го порядка
включительно.

156 ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА [ГЛ. III
Подставляя последовательно полученные таким образом функ-
функции Дп->, Д!), /<э2> и т. д. в уравнение сохранения (8.37), получим
соответственно уравнения Эйлера, Навье—Стокса, Барнетта и т. д.
Необходимо отметить, что входящие в разложения (8.27) функ-
функции /(*) отличны от функций /№, входящих в разложение G.3)
Гильберта. Действительно, функции /(*> являются функциями от пол-
полных Гг и их производных. Но последние в свою очередь являются
рядами по б. Для того чтобы перейти к гильбертовским функциям /(*),
необходимо разложить функции /№ по е и после этого собрать
в разложении (8.27) члены при равных степенях е. Коэффициенты
при е равны гильбертовским функциям fk\ Различие между функ-
функциями /<*) и /(*) очень важно для понимания связи методов Гиль-
Гильберта и Энскога — Чепмена. Именно благодаря тому, что функции fW
являются функциями от полных гидродинамических величин Гг, можно
наложить условия (8.35), в то время как в методе Гильберта, со-
согласно G.15), ТгфТ(г0) и Г(/г)=£0. Поэтому
Д0) (Tr) =
/И(Г., Vrr, У2Гг) = Д2)(Г(°), УГ^, V2r(°))-f ..., (8.40)
Подставляя эти выражения в разложение (8.27) и собирая члены
при равных степенях е, получим следующие выражения для функций
f\k).— коэффициентов при е'{;
(8.41)
/A) = /а)(Г(?). V№) + df^(Tp rm, (8.42)
.44
Гильбертовские функции /(s) удовлетворяют уравнениям G.6), в то
время как функции Энскога — Чепмена /э удовлетворяют уравне-
уравнениям (8.30). Покажем, что определяемые формулами (8.41), (8.42),
(8.43) и т. д. функции /(*) удовлетворяют уравнениям G.6), если

§3.8] МЕТОД ЭНСКОГА - ЧЕПМЕНА 157
функции /W удовлетворяют уравнениям (8.30), т. е. покажем, что
/<*> —действительно функции Гильберта.
Подставим /(*), представленные в виде (8.41), (8.42) и т. д.,
в уравнения G.4), G.5) и G.6); имеем:
))]=°. (8-44)
iy)
^г;гг ^—• (8-45)
Г <э/@) (г<0^
"t йг; ' "I" ~wft~ V1 r J — wr ш—r-
(i) df^(rf
<ЭГГ
' (8-46)
Очевидно, что (8.44) совпадает с (8.31). Следовательно, функ-
функция /<°) удовлетворяет уравнению G.4), если функция Д°) удовле-
удовлетворяет уравнению (8.31).
Согласно определению G.2) квадратичной формы
Тогда
и, следовательно,
Н/. С1Ф1+С2ф2) = С1/(/, Ф,)Ч-С2/(/, Фа) (8.47)
/). (8.48)
Функции rf в методе Гильберта удовлетворяют условиям совме-
совместности G.13):
<ЭГ@) д

158 ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА [ГЛ. III
Тогда из (8.37) и (8.36) следует, что
?>. (8.50)
Подставляя (8.49) и (8.50) в уравнение (8.45), убеждаемся, что оно
совпадает с уравнением (8.32). Следовательно, функция Д!) удовле-
удовлетворяет уравнению G.5), коль скоро функции Д°) и ДЧ удовлетво-
удовлетворяют уравнениям (8.31) и (8.32). Проделывая аналогичные, но более
громоздкие выкладки, можно показать, что уравнение (8.46) или G.6)
удовлетворяется, коль скоро Д°), Д!) и /<э2) удовлетворяют уравне-
уравнениям (8.31), (8.32), (8.33) и т. д.
Таким образом, определенные выражениями (8.41), (8.42) и т. д.
функции /(*) действительно являются членами ряда Гильберта.
Процедура перехода от разложения Гильберта к разложению
Энскога — Чепмена, данная в начале этого параграфа, несколько
отличалась от только что изложенной. Там использовались решения
уравнений G.6), из которых исключались производные по времени
с помощью условий совместности G.13) и полагалось затем Г>' —0
при к > 0, что было законно, так как рассмотрение велось в неко-
некоторый выбранный момент времени ^—0. Легко проверить, что при
этом решения /(*) уравнения G.6) тождественны с решениями /(*)
уравнений (8.36). Действительно, если выразить функции /№ через Д*)
по формулам (8.41), (8.42) и т. д. и подставить в уравнение G.6),
то, как было показано выше, приходим к уравнениям (8.44), (8.45)
и т. д. Заменяя в этих уравнениях производные по t с помощью
уравнений совместности G.13), используя (8.37) и (8.36) и полагая
затем Г, = 0 при k Ф 0, получим уравнения (8.30). Но, как пока-
показано выше, ряд, построенный из решений уравнений (8.30), есть ряд
Энскога — Чепмена. Таким образом, процедура, изложенная в начале
параграфа, приводит к тому же ряду Энскога-—Чепмена, а следо-
следовательно, и к тем же уравнениям гидродинамики: к уравнениям Эйлера,
Навье—Стокса, Барнетта и т. д. Именно в этом смысле и пони-
понимается эквивалентность методов Гильберта и Энскога — Чепмена.
В самом же методе Гильберта (если не ставить целью получение
замкнутой системы из пяти гидродинамических уравнений для пяти
гидродинамических величин)величины Г*,.** удовлетворяют уравнениям,
которые могут быть получены из уравнений гидродинамики, если
входящие в них гидродинамические величины разложить по б и при-
приравнять коэффициенты при равных степенях е. Если, например, огра-
ограничиться учетом величин порядка е, то
Д = ДО)+ б/A) и ГГ = Р» + €ГA). (8,51)

§3,8] МЕТОД ЭНСКОГА — ЧЕПМЕНА 159
Уравнения гидродинамики в этом приближении, т. е. уравнения
Навье — Стокса, можно записать в виде (см. (8.37))
где f<P> и Д1) — функции полных Гг.
Заменим Д°) и Д1) по формулам (8.38) и (8.39); пренебрегая ве-
величинами порядка е2, получим
дтг д г д Г df<-0) (тЩ
—!_| /-(О)то)\ф % dt-4-e Г(!) - э *■ т '
д
Г(!)
5 %
P£-rfs = O. (8.53)
Учитывая связь (8.41) и (8.42) гильбертовских функций /(*> с функ-
функциями /(*' и приравнивая нулю коэффициенты при е° и е1, получим:
бГ<0) д Г <ЭГA) б Г
-4--Л-—- \ \brhf(O) d% = 0, -=f-4--x- Фг1//'A)^1 = 0- (8.54)
<Э^ ' dxi J ^гЪ" s dt ~ dxt J Yri=i/ a v ./
Эти уравнения, очевидно, совпадают с уравнениями G.13) или G.14)
для Y(r0) и YJ-1* (или 1"\0) и ^r^) B методе Гильберта.
В мгтоде Эискога — Чспмзна параметр е входит в решение более
сложным, вообще говоря, не аналитическим образом. Решение, полу-
получаемое в том же приближении (при одинаковом числе членов раз-
разложения) по методу Энскога — Чепмеиа, может оказаться более точ-
точным, чем в методе Гильберта.
В то же время имеются примеры того, что уравнения высших
приближений по методу Энскога — Чепмена не имеют решений, в то
время как метод Гильберта позволяет построить решение в любом
приближении.
3. Методу разложения по малому параметру можно придать не-
несколько более геометрически наглядный вид :). Запишем безразмер-
безразмерное уравнение Больцмана в интегральной форме G.4) главы II:
/it, xo+i(^-^o), ©—/в,, хо, i)=
= | j J(s, Xo+Ks — tJ, l)ds. (8.55)
Если t = t — tQ=O(e), то в левой части уравнения стоит разность
функций распределения в точках, расстояние между которыми по-
порядка б. Пусть в окрестности точки (t0, x0) течение таково, что
') Коган М. Н., Журнал прикл. механики и техн. физики, № 1 A965).

160
ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БОЛЫДМАНА
[ГЛ. III
функцию распределения можно представить для всех | в виде
d2f Т24
t = 0
= f(t0, х0,
Т = 0
2 dt*
/0о + '
(8.56)
Пусть на длине или за время порядка е изменением функции
распределения в первом приближении можно пренебречь. Тогда функ-
функция распределения в этом приближении должна удовлетворять условию:
I Jds~Q, или 7=0.
.57)
Легко видеть, что условие (8.57) тождественно уравнению G.4),
а следовательно, если течение таково, что на длине порядка е из-
изменением функции распределения можно пренебречь, то в первом
приближении функция распределения должна быть максвелловской:
/ = /0. Во втором приближении представим функцию распределения
в виде
/ = /оО+Ф). (8-58)
где ц>—малая добавка, и сохраним в разложении (8.56) второй член.
Вновь полагая х=О(е) из (8.55) и пренебрегая квадратами ц>, имеем
Mi
dt
dfo4!
т=о
т=- J(f0, foq>)ds.
(8.59)
Отсюда видно, что ф — 0F), т. е. ср —е/(!). Пренебрегая вели-
величинами О (е2), получим уравнение, тождественное G.5):
(8.60)
Так как момент t0 произволен, то это условие выполняется в любой
точке.
В третьем приближении
/ = /оA+6/A)+Ф), (8.61)
где ф—малая добавка, квадратами которой можно пренебречь.
В левой части уравнения (8.55) сохраним третий член разложения.
Имеем
dt
dt
"г
й!2/оф
т= [27(/0,
i!). /0/(!))(,+J27(/0, /^)|Jrf5. (8.62)

§3.8) МЕТОД ЭНСКОГА — ЧЕПМЕИА 161
Согласно (8.60)
Подставляя это выражение в (8.62), найдем, что <р —€2/B); пре-
пренебрегая величинами порядка е3, получим
= 2У(/о, /о/B)). (8.63)
Это уравнение, очевидно, совпадает с уравнением G.6) для k = 2.
Продолжая аналогично далее, можно построить функцию распределе-
распределения в любом приближении.
Приведенная интерпретация метода малого параметра показывает,
что возможность представления функции распределения в виде раз-
разложения по е является следствием представления функции распределе-
распределения в виде разложения (8.56) по пространству и времени для г—О (е).
Необходимо отметить, что для построения решения необходимо
лишь существование производных вдоль траектории молекул djdt,
в то время как частные производные djdt и djdxt могут и не суще-
существовать.
4. Из приведенного выше вывода уравнений Навье—Стокса может
создаться впечатление, что эти уравнения применимы лишь тогда,
когда навье-стоксовские (вязкие) члены малы по сравнению с эйле-
ровскими. Тогда исследования, например, течений в пограничном
слое или течения Стокса при малых числах Рейиольдса с помощью
уравнений Навье—Стокса были бы незаконными. Покажем, однако,
что это не так.
Выше функция распределения разлагалась в ряд по малому пара-
параметру, равному отношению длины пробега к характерному размеру
течения (числу Киудсеиа). В стационарном пограничном слое имеется
два характерных размера течения: продольный L и толщина погра-
пограничного слоя 6, равная
Здесь (/ — характерная макроскопическая скорость течения и а—ско-
а—скорость звука; вязкость \х заменена по формуле E.7) главы I; числа
Кнудсена Kn = 'KfL и Маха М = Uja определены по характерным
параметрам X и а внутри слоя.
Из приведенной только что трактовки метода малого параметра
ясно, что существенным является характер изменения функции
11 М. Н. Коган

162 ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БОЛЫДМАНА [ГЛ. Ill
распределения вдоль траектории частиц. Для подавляющего большин-
большинства траекторий (за исключением траекторий, составляющих малый
угол порядка bjL с пластиной) характерная длина, на которой изме-
изменяется функция распределения, имеет порядок 6. Поэтому в этом
случае малый параметр е = A,/S = ]/"Kn- Решение уравнения Больцмана
ищется, как и выше, в виде разложения по е. Поэтому тензор напряже-
напряжений рц и вектор потока тепла q-t, определяемые функцией /<", будут,
как и выше, порядка е, т. е. в рассматриваемом случае порядка |
Полученные для p{j и q-t значения, согласно методу Энскога — Чеп-
мена, должны быть подставлены в общие уравнения сохранения A.9)
и A.10). Выпишем для примера уравнение сохранения продольного
импульса:
ди , .. <Эи 1 др 1 [ дрхх t дрху -
V ~^— = ; • —-; ■ -А ,—
ил ду р дх р \ дх ' ду
Так как производная djdx—' 1/L, a djdy ~-> 1/6, то члены и dajdX'-^a2/L
и дрху/ду ~ с/б одного порядка. Таким образом, несмотря на то, что,
как и в общем случае, функция /'^ мала по сравнению с /0, в по-
пограничном слое член, обусловленный функцией f^\ оказывается
того же порядка, что и члены, определяемые функцией /<°>.
Другими словами, если в уравнении Больцмана и уравнениях со-
сохранения перейти к безразмерным координатам, отнеся х и у к ха-
характерной длине 6, то все рассуждения методов Гильберта и Энскога—
Чепмена остаются без изменения. Уравнения Навье—Стокса будут
иметь обычный вид, и член с вязкостью будет пропорционален малому
параметру е = Xj(. =]/Kn. Равенство этого члена эйлеровским чле-
членам, перед которыми нет малого множителя, обусловлено малостью
продольной производной, имеющей в этих переменных порядок €.
Применимость уравнений Навье—Стокса при этом не должна вызывать
сомнений, как не возникает сомнений в применимости этих уравне-
уравнений при рассмотрении течения Куэтта, в котором одна из производ-
производных вовсе равна нулю, а характерное расстояние между пластинами
может быть как порядка L, так и порядка б ~ L^X/L .
Более того, характерный размер течения может быть порядка Ха г
где а< 1. Тогда £—~>Х ~а и, очевидно, разложение по б будет схо-
сходиться при равных X тем хуже, чем а ближе к единице.
Аналогичное положение и в течении Стокса при малых числах
Рейпольдса. Здесь также /(^ в е раз меньше /'* и остаются в силе
все рассуждения, приводящие к уравнениям Навье—Стокса. Однако
инерционные члены оказываются малыми по сравнению с вязкими
вследствие малости макроскопических скоростей.

§ 3.9] ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ГИДРОДИНАМИКИ ДЛЯ СМЕСИ ГАЗОВ 163
§ 3.9. Вывод уравнений гидродинамики для смеси газов
В § 2.6 указано, что поведение смеси N газов описывается сов-
совместной системой N уравнений Больцмана для N функций распре-
распределения fk(t, х, |г) каждой из компонент смеси1)
dl Ш\ t* OIL ?LEl
dt dt ' dxr * mk dtr
N n
= 7S J (/*Л - АЛ) ^*г w» * d|' - i ^ J(U ft) (9-1)
(*=1 A/).
Будем считать, что уравнения записаны в безразмерной форме,
так что в иих вошел малый параметр €. В окончательных гидро-
гидродинамических уравнениях, не оговаривая этого особо, вновь перейдем
к размерным величинам, так что в уравнения гидродинамики малый
параметр явно входить не будет.
Прежде чем перейти к выводу уравнений гидродинамики, введем
определения основных гидродинамических величин для смеси газов.
По аналогии с § 2.1 (формулы A.4)—A.11)) введем следующие
обозначения:
»*= Г/*<*!* (9-2)
для числа частиц (концентрации) А-й компоненты газа в единице
объема,
N
Р=2т*я* (9.3)
для массовой плотности газа,
Vftdl* (9.4)
для средней скорости ^-компоненты газа,
N
и= — У, nkmkuk (9.5)
для средней скорости смеси,
да* = «* _ „ = J_ f (|* _ в) /ft d|* = J_ f c*/ft d|* (9.6)
и'- J я'г J
') По индексу k суммирование не производится.
11*

164 ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА [ГЛ. III
для скорости Диффузии /г-компоненты газа, ck =§/г—и — тепловая,
или собственная, скорость молекулы ^-компоненты,
для температуры смеси,
р), = tn | c?c*/ft <*£* (9-8)
для парциального тензора напряжений ^-компоненты,
ft-1
для тензора напряжений смеси,
■ —§—Jka$ (9.1U)
для парциального потока тепла ^-компоненты и
N
д=^д(к) (9.Ц)
для потока тепла в смеси.
Интегралы столкновений, стоящие в правых частях уравнений (9.1),
обладают свойствами симметрии, аналогичными установленным в § 2.4.
Действительно, рассмотрим интеграл
'Ч = j % (f'hf't — fbft) %ыЬ db de dlk dll> (9-12)
где фй = ф(|й). Очевидно, что интеграл (9.12) не изменится, если
поменять местами скорости до и после столкновения, т. с.
1Ы = Г ц>'к (fkfl — f'kf't)g'kp' db' de' d|ft' d%1'. (9.13)
Но при упругом столкновении частиц
Складывая (9.12) и (9.13) и учитывая соотношения (9.14), получим
i.dlkdll. (9.15)
Индексы k и / входят в это выражение несимметрично1). Однако
если просуммировать такие интегралы по к и /, то k и / будут
•) Функции

§ 3.9] ВЫВОД УРАВНЕНИИ ГИДРОДИНАМИКИ ДЛЯ СМЕСИ ГАЗОВ Щ
входить симметрично, и очевидно следующее равенство:
N N
"V /-W X1 rkl ,а , дч
h 4~hФг ( }
или в развернутом виде
J *P db йг dg* dg< =
J (Ф*
'(Pi — v'i) {f'if'k — fifk) £kP db dt d% dlu> (9-16a)
к, i
откуда
N N
V 1 V f I i i i
k, l к, I
(9.17)
Пользуясь полученными соотношениями симметрии, легко вывести
уравнения сохранения для смеси. Интегрируя й-е уравнение (9.1)
по |ft, имеем
(9.18)
Интеграл столкновений пропадает в соответствии с соотноше-
соотношением (9.15), в котором следует положить фй=1. Исчезновение пра-
правой части понятно и физически, так как интеграл по |* от суммы
интегралов столкновения частиц й-го сорта с частицами всех других
сортов выражает собой полное изменение числа А-частиц в единице
объема в результате столкновений молекул. Однако так как при
столкновениях частицы не претерпевают химических изменений, то
общее число частиц данного сорта не изменяется в результате столк-
столкновений.
Умножая fe-e уравнение (9.18) на да* и суммируя по k, получим
уравнение сохранения массы смеси газов:
Г9 19)
iLj_^£ft о
dt "+" дхг —и-
Если умножить k-e уравнение (9.1) на /к*|* и проинтегрировать
по Is, то интеграл от интеграла столкновений в нуль не обратится,
так как суммарный импульс й-молекул может быть при столкнове-
столкновениях передан молекулам других сортов. Однако если полученные
уравнения сложить, то правая часть обратится в нуль, так как общий
импульс молекул всех сортов сохраняется при столкновениях. Этот
факт следует и из соотношения симметрии (9.17). В результате

166 ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ЕОЛЫДМАНА [ГЛ. III
несложных выкладок получаем следующие уравнения сохранения
импульса для смеси:
/^i (/=1J, 3). (9.20)
Аналогично, умножая k-t уравнение (9.1) на -^ m | 2, интегрируя по
|* и складывая все уравнения, получим уравнение сохранения энергии
для смеси:
N
3 ,
k
N
д
Система 5-f-TV уравнений (9.18) — (9.21), кроме пяти гидродина-
гидродинамических величин для смеси р, ur, T и N плотностей пк, содержит
еще 3W неизвестных г/*, компоненты тензора напряжений Р\ . и
вектора потока тепла д.. Скорости й* = йг-]-г>*, по определению.
Для того чтобы замкнуть эту систему уравнений, необходимо
найти зависимость Р(., q. и vkT от 5 -f N гидродинамических величин
р, ит, Т и я6. Как было показано выше, уравнение (9.19) есть след-
следствие уравнений (9.18), но и входящая в него неизвестная я выража-
выражается через пк: и = 2га*- Поэтому имеется 4-f-iV независимых урав-
уравнений в 4-fiV неизвестных.
Для отыскания искомых зависимостей необходимо найти решение
уравнений Больцмана (9.1). Как и в предыдущем параграфе, будем
искать решение в виде
fk(t, х, |)= /£>(»*, и., Т, |L-«^>(»*, и., Т.. Vnk, Vat, VT, |)+ ...
(9.22)
и, кроме того, положим
<1](/, at, T, Чп\ Vat, Vr)+..., (9.22a)
, иь Т, Vn*. Ve,, Vr)+.-.. (9-226)
, и,-, Т, Уйй, Vn,, VT)-f .... (9.22b)
где символ VA указывает на зависимость от производных по коор-
координатам dAJdx,.

§ 3.9] ВЫВОД УРАВНЕНИИ ГИДРОДИНАМИКИ ДЛЯ СМЕСИ ГАЗОВ 167
Подставляя выражения (9.22) в уравнения Больцмана (9.1) и при-
приравнивая коэффициенты при равных степенях (, получим;
1=° I
£ $$$-* <•*>
=pf, (..25)
Здесь для сокращения письма совокупность макроскопических величии
nk, Uf и Т обозначена через Гц.
Уравнения (9.23) удовлетворяются распределением Максвелла
Так как в Д°> входят полные гидродинамические величины, то
= nk и |/Мй|* = 0 при v>0, (9.27)
N N
ft-1 ft-1
2 J /я*|?Д0)<*1* = ри, и S С даЙ^Д^ ^* = ° при v>0,
ft1"
(9.28)
г~г* 'Ф = 0 при v > °-
(9.29)
Функции /<;v> представим в виде
(v = l ,....)• (9.30)

168 ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БОЛЫДМАНА [ГЛ. III
Тогда уравнения (9.24), (9.25) и т. д. можно переписать в симметри-
зованной форме (для сокращения письма индекс v опускаем):
| fff]D>i + Ф; - Фй - Ф,) gkfi db йг dg = Pk. (9.31)
Легко видеть, что система однородных уравнений имеет решение:
или
ф/; = а!гт" 4-P>rtn"c* -\Гуткс11'1. (9.32)
Легко также показать, что других решений нет. Действительно, умно-
умножим £-е однородное уравнение (9.31) на его решение ф^(£*) и про-
проинтегрируем по Iй, тогда по аналогии с (9.15)
N
J + ф' - ф" - ф')g^ db d& dli rf|" =
N
- Ф; ~Ф/0
N
= S J Ф*
N
= 12](<")*-<)Л0)/ГК+(Р!-(Р*-ф1)^й*^е (9.33)
/=.1
Суммируя интегралы (9.33) по А и используя симметрию получаю-
получающихся при этом выражений по k и /, получим аналогично (9,17)
ft, г
N
= —-тУ\ I Ло)//О> (ф* + Ф/— Фь — Ф,J gh,b db йг d\i dlk. (9.34)
k, I
Квадратичную скобку обращают в нуль лишь сумматорные инва-
инварианты, входящих в решение (9.32). Поэтому решение (9.32) является
ебщим решением однородной системы уравнений (9.31).

§ 3.9] ВЫВОД УРАВНЕНИИ ГИДРОДИНАМИКИ ДЛЯ СМКСИ ГАЗОВ 169
Совершенно так же, умножая неоднородные уравнения на сумма-
торные инварианты фй = тк, mkck и ткск2, получим:
N
Фь ~\~ Ф; Фг Ф/4)] X
X gubdb de d\l d\k = j фЙ1 цР/г rf|ft,
IJ {(v*. ц+\, - ф;, (l - ф;, j (ф;+ф; - фй - ф,) /iO)/(,o)} x
Xgnlbdb de dll d|s = 2j J ipfti ЦРЙ rf|*.
Следовательно, неоднородные уравнения разрешимы только в том
случае, если их правые части удовлетворяют следующим уравнениям:
N
(9.35)
Если ограничиться первым членом разложения (9.22) функции рас-
распределения в ряд по £, т. е. положить /=/jO), то
=«r. (9-36)
й-1
В этом приближении диффузии компонент нет, как нет потока тепла
и составляющих тензора напряжений, отличных от давления. Под-
Подставляя эти значения в уравнения сохранения (9.18) — (9.21), полу-
получаем следующую систему уравнений Эйлера для смеси:
=0, (9.з9)

170 ОБЩИЕ МБТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА [ГЛ. III
где
— сила, действующая на единицу массы смеси. Если смесь находится,
например, в поле силы тяжести, то Ог- есть ускорение тяготения, и
уравнения для смеси (9.40) — (9.42) совпадают с уравнениями для
однокомпонентного газа. Концентрация компонент смеси пк может
быть найдена независимо с помощью уравнений (9.39) после опреде-
определения картины течения газа как целого.
Для определения функций /№, /<ft2>, ... необходимо последова-
последовательно решить уравнения (9.24), (9.25) и т. д. или, что то же самое,
уравнения (9.31). Для разрешимости этих уравнений их правые части
должны удовлетворять условиям (9.35). Из первого условия (9.35),
используя (9.27) для правой части уравнения (9.24), имеем
(9.43)
Из второго условия (9.35) с помощью (9.28) имеем
N N
fel Й1
J г
N . N
+-щг S и* J &*»г*Д0) rfSft - S ^ ^)
r ft-I *-l
И, наконец, из третьего условия (9.35) с помощью (9.29) получаем
|* = 0. (9.45)

§ 3.9] ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ГИДРОДИНАМИКИ ДЛЯ СМЕСИ ГАЗОВ 171
Отсюда после несложных преобразований
д
дхт
(9.43а)
S
Зкп
N
(9.45а)
Аналогично для правой части уравнения (9.25) условия разрешимости
дают:
iJw^*1 (9-46)
1 <Э V Г
2
тГ> fr I ОН т ^П I *.
-™ J T k дхт &а£ J 1 т
--4-yf
Тогда согласно определению ^9.22)
тс
~2~
1Г
(9.48)
(9.49)
ЛГ
N
J cfc? (/f
\ (9.50)

172
ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАИА
[ГЛ. III
дТ
dt
Zkn
3 , дТ
-^knU'~dx7~
дхг
лг
. (9.51)
Легко видеть, что уравнения (9.49), (9.50) и (9.51) суть не что иное,
как уравнения сохранения (9.18), (9.20) и (9.21).
Таким образом, для того чтобы правые части уравнений (9.31)
для v= 1, 2, ... удовлетворяли условиям разрешимости, необходимо
подставить в них вместо функций
г
Фг'
соответственно их выра-
жения (9.43а) — (9.45а), (9.46) — (9.48). Тогда правая часть уравне-
уравнения (9.31) для V— 1 примет вид
CiCr ~~T °'rC
,62
где
д
dxr
d\r\p
dxr
p
7,nXr.
Легко видеть, что к этому же выражению для
если бы формально записали
P9
(9.53)
мы пришли бы,
dt
dt
»—■+■£/
dfk
X.t
m
и исключили затем частные производные dTJdt с помощью уравнений
Эйлера (9.39)—(9.42). При этой формальной операции были бы авто-
автоматически выполнены условия разрешимости. На практике при выводе
уравнений Навье — Стокса именно так и поступают. Приведенные же
выше рассуждения служат обоснованием этой формальной процедуры.
Эта операция формальна потому, что в действительности гидро-
гидродинамические величины Г во всех приближениях, кроме нулевого,
не удовлетворяют уравнениям Эйлера. Может показаться, что исклю-
исключение частных производных по t с помощью уравнений Эйлера спра-
справедливо лишь с точностью до е2, т. е. при оставлении в разложении
для / только двух членов. В этом последнем случае достаточно
найти /' ^ с точностью до е. Так как решения точных гидродинами-

§ 3.9] ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ГИДРОДИНАМИКИ ДЛЯ СМЕСИ ГАЗОВ 173
ческих уравнений высших приближений отличаются от решений урав-
уравнений Эйлера на величины порядка е, то, исключая производные по t
с помощью уравнений Эйлера, мы делаем ошибку порядка е. Однако
приведенный выше метод получения правой части показывает, что это
не так и полученное выражение для правой части справедливо с любой
точностью. Найденное отсюда /С1) будет одним и тем же при оста-
оставлении в разложении / любого числа членов.
По виду правой части (9.52) рассуждение, аналогичное приведен-
приведенному в предыдущем параграфе, позволяет заключить, что решение
уравнения (9.31) для v = 1 должно иметь вид
b \Cscr 3
дхг " Vs-r 3 ^ / дхг г
Л'
___Ckvdvr-\-a"~]~$rc*-\-ycll':t, (9.54)
где Ak, В и Cv — функции Т, ck и всех п!. Из определения й{ видно,
что
N
Поэтому один из коэффициентов Cv может быть задан произвольно,
например положен равным нулю. 7V-^-4 неизвестных ак, рг и у опре-
определяются условиями:
d|*=J/g»d|* = n* или J/№cPftrfl* = O, (9.55)
N N
й = 1
ИЛИ
N
(9.56)
й-1 й=1
или
ЛГ
*=0. (9.57)
Из условия (9.55) имеем
= 0. (9.58)

174 ОГЛП.Ш! МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА [ГЛ. Ill
'Гак как одновременно должны быть выполнены и условия (9.55) и
(9.5G), то в последних можно заменить |* на с*. Тогда условие (9.56)
дает
N / N \
ft-I \ V=l /
Аналогично из условия (9.57) имеем
N
£Л ill
Из (N -\- 1)-го однородного уравнения (9.58) и (9.60) следует, что (Xй
и у равны нулю. Согласно (9.59) постоянную рг можно представить
в виде fidTjdXi и включить ее в переменные Ак.
Таким образом, функцию распределения в навье-стоксовском при-
приближении можно представить в виде
=Л»[■ -*V £ (W& |
(9.61)
Подставляя эти функции распределения в интегральные уравнения
(9.31) и приравнивая нулю коэффициенты при dlnT/dxn dujdxr и rf*>
получим интегральные уравнения для А , В1 и Cv. Эти уравнения
несколько более громоздки, чем интегральные уравнения для А и В
предыдущего параграфа для одного газа. Но принципиально они ана-
аналогичны и к ним применимы те же методы решения. Функции А, В
и С ищут в виде рядов по полиномам Сонина, сводя задачу к реше-
решению систем алгебраических уравнений (см. предыдущий параграф).
Детали расчетов и полученные для различных законов взаимодействия
молекул значения этих величин можно найти, например, в моногра-
монографиях Гиршфельдера, Кертиса и Берда и Чепмеиа и Каулинга.
Предполагая коэффициенты А , В и С^ известными, можно вы-
выразить тензор напряжений, вектор потока тепла и скорость диффузии
через гидродинамические величины и их первые производные и тем
самым замкнуть систему уравнений сохранения (9.18)—(9.21).
Подставляя решение (9.61) в определение скорости диффузии (9.6),
имеем
£ ь

§3.9] ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ГИДРОДИНАМИКИ ДЛЯ СМЕСИ ГАЗОВ 175
где
. {с )с /V. а§ , (9.63)
— соответственно коэффициенты диффузии и термодиффузии.
Аналогично для компонент тензора напряжений имеем
iJ~Zi J cic]Jkab —
k = i
k J
Учитывая равенства (8.24) и (8.25), получим
ui да: 2 diih
где
N
тк \ вк {cu) cuif{l] df (9.66)
й=1
— коэффициент вязкости.
Наконец, для компонент вектора потока тепла имеем:
N . . N
N N
v=l ft-1
ИЛИ
TV
9; ~—^т~7> h /j ^Vdj> (9.68)
где
—^— Л/г(с'г)сг Д0' й|й, (9.69)
N
k)ck4ff] d%fc. (9.70)
Подставляя выражения (9.62), (9.65) и (9.67) в уравнения сохра-
сохранения (9.18) — (9.21), получим замкнутую систему уравнений для
гидродинамических величин р, и,, Тип".

176 ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА [ГЛ. III
Интересно отметить, что явление термодиффузии было впервые
обнаружено Эпскогом и Чепмеиом из аналогичного вывода и позднее
подтверждено экспериментом. Отметим также, что для максвелловских
молекул коэффициент термодиффузии равен нулю.
§ ЗЛО. Вывод уравнений гидродинамики
с учетом внутренних степеней свободы молекул.
Релаксационные уравнения х)
В предыдущих параграфах предполагалось, что молек}'лы обла-
обладают лишь поступательными степенями свободы. Однако в действи-
действительности при столкновениях молекулы могут обмениваться поступа-
поступательной, вращательной, колебательной и другими видами энергии.
Как показано в § 2.6, рассмотрение газа с квантованными внутрен-
внутренними степенями свободы можно свести к рассмотрению реагирующей
смеси газов, каждый из которых состоит из молекул, находящихся
в данном квантовом состоянии v.
Если fv(t, х, |v)—функция распределения молекул, находящихся
в v-м квантовом состоянии с внутренней энергией Ev, то уравнения
Больцмана принимают вид (см. § 2.6; для простоты поле внешних
сил не рассматривается)
dfv dfv , ?v dfv
dt dt "rir dxr
Ц, k, I
Так как все компоненты образованной таким образом смеси состоят
из химически одних и тех же молекул, отличающихся лишь внут-
') Строгому выводу из уравнения Больцмана уравнений гидродинамики
для газов с внутренними степенями свободы посвящено много работ. Укажем
лишь некоторые из них: Wang Chang С. S., Uhlenbeck Q. F.,
University of Michigan Engineering Research, Rep. № CM-681 A951); см. также
Studies In Statistical Mechanics 2, 1964; Taxman N., Phys. Rev. 110, 1235
A958); С а му й л о в Е. В., сб. «Физическая газодинамика», Изд-во АН СССР,
1959; Мопс hick L, Mason E. A., J. Chem. Phys. 35, 1576 A961) и 36,
1622 A962); Жигулев В. Н„ Инженерный журнал, № 1 A963); В а л-
л а н д е р С. В., НагнибедаЕ. А., Вестник ЛГУ, № 12 A963); В а л л а н-
дер СВ., Егорова И. А., Р ы д а л е в с к а я М. А., сб. «Аэродинамика
разреженного газа» ЛГУ, 2, 1965; К о г а и М. Н„ Журнал прикл. механики
и техн. физики, № 1 A965).
В монографиях Чепмена и Каулинга и Гиршфельдера, Кертиса и Берда
приведены 'результаты ранних работ, в которых наличие внутренних степе-
степеней свободы учитывается путем замены молекул шероховатыми сферами,
овалоидами и т. п.
Ниже мы следуем цитированной только что работе М. Н. Когана.

§ ЗЛО] УЧЕТ ВНУТРЕННИХ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ МОЛЕКУЛ П7
ренней энергией, то массы всех молекул одинаковы. Поэтому опре-
определения (9.2)—(9.11) предыдущего параграфа примут вид:
\dlv A0.2)
— число частиц в единице объема, находящихся в v-м состоянии,
V
— плотность газа,
— скорость v-й компоненты газа,
u = —'Yin">ttv A0.5)
V
— средняя скорость газа,
^=и-~п = \ Г fv(g-u)df = \ \ cvfvdl? A0.6)
rv J rv J
— скорость диффузии компоненты в v-м состоянии,
3 ,-р i
— поступательная температура газа, являющаяся мерой энергии по-
поступательных степеней свободы,
— тензор напряжений и
— вектор потока тепла.
Кроме этих величин необходимо еще ввести среднюю внутреннюю
энергию молекул:
Уравнения сохранения в рассматриваемом случае отличаются от
уравнений (9.19), (9.20) лишь тем, что в уравнение энергии вместо
средней энергии поступательного движения молекул г\ъкТ нужно
12 М. Н. Коган

178 ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА [ГЛ. III
подставить полную среднюю энергию ^feT-f-e; имеем:
dt * дхг
(jL-Jrtir-JL-\ щ~ 1—J?£l£t A0.12)
Внешние силы не учитываются. Сумма
Уравнения (9.18) r рассматриваемом случае не имеют места, так
как при столкновениях молек)'лы переходят из одного состояния
в другое, так что число молекул в v-состояиии при столкновениях
с молекулами всех других «сортов», т. е. с молекулами в других
состояниях, не сохраняется. Общее же число молекул всех сортов
не меняется.
Чтобы замкнуть систему уравнений A0.11) — A0.13), необходимо
выразить Ptj, q( и е через гидродинамические величины п, иг и Т.
Однако внутренняя энергия в общем случае не является функцией
одной температуры, а, согласно A0.10), зависит от распределения
частиц по состояниям. Поэтому необходимы еще уравнения для опре-
определения функций пУ. Каждое v-состояние молекулы может быть оха-
охарактеризовано одним или несколькими квантовыми числами vlf v2, v3
и т. д., характеризующими соответственно состояния вращательных
уровней энергии, колебательных уровней энергии и т. д.
Вероятности переходов при столкновениях молекул различных
уровней энергии могут иметь различный порядок. Для характери-
характеристики скоростей перехода различных видов энергии сечения столкно-
столкновения запишем в виде
аы __ JL а**1
VII Ц \>Ц '
где о* — величины порядка единицы, a ei—параметр, характеризую-
характеризующий порядок вероятности перехода, пропорциональный отношению
времени релаксации для данного вида переходов 0, к характерному
времени течения ©. Пусть 0, ■< 92-< 93<! . . . Обычно наибольшей
вероятностью обладают переходы поступательной энергии от частицы
к частице без изменения внутренней энергии. Поэтому будем пола-
полагать, что 9j относится к этому виду переходов и равно по порядку
величины временя между столкновениями. Далее при не очень высо-
высоких температурах следуют вероятности обмена поступательной и вра-
вращательной энергией молекул.

§ 3.!0] УЧЕТ ВНУТРЕННИХ СТЁПГгНЕЙ СГГОВОДЫ МОЛЕК.УЛ 179
По мере увеличения температуры вероятность возбуждения вра-
вращений молекул надает, и при температурах порядка 25—30- 103°К
вероятность вращательных переходов становится одного порядка
с вероятностями возбуждения колебаний. Для возбуждения вращений
необходимо лишь несколько столкновений. Для возбуждения колеба-
колебаний при малых температурах нужно несколько тысяч и даже десят-
десятков тысяч столкновений. Наряду с обменом поступательной и колеба-
колебательной энергией между молекулами иногда существенную роль играют
так называемые резонансные переходы, при которых молекулы об-
обмениваются между собой колебательными квантами, не изменяя сум-
суммарной поступательной энергии сталкивающихся молекул. Возможны
случаи «зацепления» нескольких процессов, когда с близкой вероят-
вероятностью происходят различные типы переходов. Ниже предполагается,
что переходы можно разбить на группы так, что можно записать
неравенства
где в — характерное время задачи.
Разобьем интегралы столкновений в уравнениях A0.1) на группы,
соответствующие различным характерным временам релаксации. В без-
безразмерных переменных можем записать
(<«=4).
(Ю.14)
где под суммами 2^, S^j и т. д. объединены интегралы столкнове-
столкновений с коэффициентами ег одного порядка 1).
Проинтегрируем уравнения A0.14), введя новую переменную
x = t/e1 (см. конец § 3.8):
~fv(t, X, !V) =
= J Sji)dt-f J-Js^dt-h .... A0.15)
где % =
') Если 0ft < Эй < 9ft < ..., то при А2-переходах могут иметь место
также ^-переходы, при £3-переходах kr и й2-переходы и т. д. Но при кг
переходах уровни энергии, соответствующие k2, k3 и т. д., не меняются.
Пусть, например, 02 — характерное время возбуждения вращений, а 93 ^§>
^> 02 — характерное время возбуждения колебаний. Тогда очевидно, что
при столкновениях, приводящих к изменению колебательных уровней моле-
молекул (93-переходы), могут меняться и вращательные уровни @2-переходы).
Но в сумму с коэффициентом ej" объединены лишь столкновения с изме-
изменением вращательных уровней.
12*

180 ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНРНИЯ "ЯОЛЫЩАНА [ГЛ. III
!. Вывод уравнений Эйлера. Предположим, что в первом при-
приближении изменением функции распределения за время между столк-
столкновениями или на длине порядка длины пробега можно пренебречь
(см. § 3.8),
1.1. Пусть, например, 6i<^e2'—1<С1ез1)- Если ег<~1, то ха-
характерное время t-ro типа переходов порядка характерного времени
течения. Тогда третьим типом переходов можно пренебречь, т. е.
считать, что \>3-состояния заморожены. Суммируя уравнения A0.1)
по всем у3-состояниям, принадлежащим к одному и тому же состоя-
состоянию v2, получим систему уравнений того же вида для функций рас-
распределения по поступательным скоростям fv молекул в различных
■^-состояниях 2).
Из уравнения A0.15), пренебрегая величинами порядка ev в этом
случае получим, что в первом приближении Si =0 и, следовательно,
т. е. поступательные степени свободы каждого из v-газов находятся
в равновесии при одной и той же температуре Т. Диффузия v-kom-
понент в этом случае отсутствует, т. е. avr = uf. Подставляя в опре-
определения A0.8) и A0.9) для тензора напряжений и вектора потока
тепла функцию распределения в виде A0.16), получим:
Тогда уравнения сохранения A0.11) — A0.13) примут вид:
Это—система уравнений Эйлера для газа с учетом внутренних сте-
степеней свободы молекул. Однако эта система уравнений не замкнута,
>) Этот случай рассмотрен в цитированной выше работе С. В. Валлан-
дера и Е. А. Нагнибеда.
2
) Удобно ввести обозначения
f — f cskt — п*2*3'2'3
Предполагается, что 'v2-пepexoды не зависят от >K-состояний, т. е. что
независимо от \х3 и v8. Так как ниже мы интересуемся лишь v2-coCTOHHMMfi,
то вместо v2 будем писать v.

§ 3.10] УЧЕТ ВНУТРЕННИХ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ МОЛЕКУЛ 181
так как кроме пяти гидродинамических величин п, иг и Т (давление р
связано с я и Т уравнением состояния p = knT) входит еще вну-
внутренняя энергия молекул, для определения которой необходимо знать
распределение частиц по v-уровням энергии, т. е. все nvl). Для на-
нахождения последних проинтегрируем уравнения A0.1) по |v. Инте-
Интеграл от 2A), очевидно, равен нулю, так как в эту сумму входят
лишь интегралы столкновений, учитывающие обмен поступательной
энергией, при котором состояние молекул не меняется. Подставляя
вместо fv равновесную функцию распределения A0.16), получим
следующие полумакроскопические уравнения для числа частиц, нахо-
находящихся в данном v-состоянии (индекс 2 при v, [x, k и / опущен):
дпУ да nv -%nv
^~--\~ т = \ (n"nallt— пУп^а1^, A0.20)
[г, k, t
где
/(П)уг(О) И /jV jH tft t'U -ft* At1
fv f м ffvn \l ' I ' I ' i)Sv)x.dl dl
v J |i v|j
— осрсдпснная по скоростям вероятность перехода соответственно
v- и [х-молекул в состояния k и I.
Коэффициенты а зависят лишь от поступательной температуры Т.
Следовательно, равновесность газа по поступательным скоростям
позволяет для нахождения пУ обойтись менее детальными сведениями
о вероятностях перехода. Так как B —1 по предположению, то числа
заполнения уровней av* меняются в течении на свой основной поря-
порядок. Поэтому в общем случае систему уравнений A0.17) — A0.19)
необходимо решать совместно с уравнениями A0.20), т. е. в общем
случае нельзя выписать одно дополнительное уравнение для вну-
внутренней энергии е.
Для упрощения системы уравнений A0.20) или сведения ее к од-
одному уравнению для внутренней энергии необходимо сделать допол-
дополнительные предположения о вероятностях перехода akl.
Рассмотрим, например, газ, вероятности перехода в котором
обладают следующими свойствами 2). Наибольшей вероятностью об-
обладают переходы с изменением квантового числа на единицу, т. е.
переходы вида av+1> i* = av+1. Вероятность дезактивации, в соответ-
') пУ2 — это число молекул, находящихся в ■у2-состоянии при всевозмож-
всевозможных состояниях v3. Так как чусостояния заморожены, то число молекул,
находящихся в том или ином vs-состоянии, определяется начальными и гра-
граничными условиями.
2) Этими свойствами обладают при определенных условиях переходы
колебательной энергии. См., например, S с h w a r t z R. N., S 1 a w s k у Z.I.,
Herzfeld K. F., Chem. Phys. 20,' № 10 A952). Русский перевод в сб.
«Гидродинамика и теплообмен при наличии химических реакций», ИЛ, 1S62.

182 общие мнтоды решения уравнения"болыдманл [гл. in
ствии с принципом детального равновесия, в е^Е'кт раз больше веро-
вероятности возбуждения уровня, т. е.
где
Предположим, кроме того, что
и что уровни энергии расположены, как у гармонического осцил-
осциллятора, т. е.
где со — частота.
Пренебрегая переходами с изменением квантового числа на два
и более, получим
дпу . dnvur _
dt ~т~ дХг —
Суммируя в правой части по (J. и учитывая, что 2й^ = й> найдем
dt ' dxr 11
Умножая каждое из уравнений A0.21) на £v^vAco и суммируя по v,
получим
где
— равновесная энергия системы осцилляторов при температуре Т.
Это — так называемое релаксационное уравнение, которое чаще всего
записывают в виде
где т(и, Т) — время релаксации.
Таким образом, уравнения Эйлера A0.17) — A0.19) замыкаются
релаксационным уравнением вида A0.22а) лишь при весьма спе-
специальных предположениях о вероятностях перехода.

§ 3.10] УЧЕТ ВНУТРЕННИХ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ МОЛЕКУЛ 183
На практике чаще всего пользуются именно такими релаксацион-
релаксационными уравнениями для внутренней энергии. Однако из сказанного
выше ясно, что при произвольных вероятностях перехода они являются
приближенными.
1.2. Рассмотрим теперь газ с тремя видами переходов ^ -^ е2 ^
<!г3—!• В этом случае из уравнений A0.15) в первом приближении
следует, что 2ап\ ~\~ 2j,-2) ~ ^> откУДа
до)= „v, (-J^f2 в~ »г ° __? ' t A0.23)
J v \ 2ЯЙГ / v, E^lkT '
где
Входящие сюда макроскопические функции должны удовлетворять
уравнениям Эйлера A0.17) —A0.19), в которых внутренняя энергия
равна
(
■VS Zl 9
Mi
Поступательные степени свободы и г2-уровни находятся в равновесии;
релаксируют л?3-состояния. У2-состояния могут соответствовать, на-
например, вращательным уровням энергии, а \>3-состояния — колебатель-
колебательным. Очевидно, что все рассуждения останутся в силе, если будет
несколько типов переходов с £;<с^1сз-
Для определения числа частиц пУ' для у3-газа, т. е. газа, моле-
молекулы которого находятся в у3-состоянии и в произвольных состоя-
состояниях v2, проинтегрируем уравнения A0.1) по |v и сложим уравнения,
относящиеся к данному у3-состоянию. Так как суммы 2j^\ и 2а@)
не включают переходов v3-3HeprHH в другие виды энергии, то при
суммировании они тождественно пропадают. Тогда
V2, Ц, k, I
— akvlnVin^e-(EV2+E^lkT\ A0.24)
где учтено, что
\ V,
так как каждый из У3-газов имеет равновесное распределение по
энергии,

184 ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА [ГЛ. III
Суммируя в правой части по v2, придем к уравнениям типа A0.20),
в которых индексы v, u,, k и I заменены соответственно на v3, [x3, k3
и 13 и где
A0.24a)
Дальнейшее упрощение этой системы уравнений или сведение ее
к одному уравнению для внутренней энергии возможно лишь при на-
k i
личии дополнительных предположений о вероятностях перехода flVsVV
Если е2"пеРех°Ды включают резонансные переходы \?з-энергети-
ческих уровней и £2<С^ез. т0 Для внутренней энергии можно полу-
получить одно дополнительное уравнение при любых предположениях
о вероятностях перехода у3-энергии в поступательную. Действительно,
в этом случае \'3-уровни имеют равновесное распределение и
з/2 2^cv2 -Bv'/nr -eS"T,
e 2kT -ут^-у-^м' A0-25)
v2 v3
где T3 — температура, характеризующая среднюю у3-энергию, в общем
случае не равная Т. Температура Тг является единственной дополни-
дополнительной неизвестной. Среднюю внутреннюю энергию е можно пред-
представить в виде
1 " ' " Vj£Vi. A0.26)
Умножая уравнения A0.24) соответственно на Ещ и суммируя, слева
получим
dt '' дхг т jLk dt * дхт \dt ' г дхг) 3"
Подставляя в правую часть A0.24) ■
получим, что она зависит лишь от Т, п и Т3:
Таким образом, получается уравнение для единственной дополнитель-
дополнительной неизвестной Тъ.
Если вероятности нерезоиансных переходов таковы, что для
внутренней энергии получается отдельное уравнение, то наличие резо-

§ 3.10] ■ УЧЕТ ВНУТРЕННИХ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ МОЛЕКУЛ 185
нансных переходов, очевидно, не изменит этого уравнения, так как
при резонансных переходах внутренняя энергия не меняется. В част-
частности, если для резонансных переходов <=2~ 1, а все остальные
вероятности переходов внутренней энергии много меньше, то
dt uXf I
При приближенных расчетах обычно . для внутренней энергии
пользуются релаксационным, уравнением типа A0.22а) с эмпирическими
или полуэмпирическими зависимостями времени релаксации от п и Т.
Поэтому в таких расчетах резонансные переходы не фигурируют.
2. Вывод уравнений Навье — Стокса. Перейдем теперь к по-
построению уравнений Навье — Стокса для газа с внутренними степе-
степенями свободы. В этом случае уже нельзя пренебречь изменением
функции распределения на длине порядка длины пробега или за время
порядка времени между столкновениями. В то же время изменения
будем считать малыми, так что функцию распределения можно пред-
представить в виде (см. конец § 8)
jt. A0.29)
2.1. Рассмотрим прежде всего случай, когда все ^-^l1). Тогда
согласно A0.15) в первом приближении
Решением этого уравнения является, очевидно, функция распределе-
распределения, соответствующая равновесию между поступательной и внутрен-
внутренней энергией:
Легко видеть, что в этом приближении средняя внутренняя энергия
равна
(°\A0.32)
В\Т)=-У.
Ъе"? 1кТ
V
и гидродинамические величины удовлетворяют уравнениям Эйлера
A0.17) — A0.19), в которых нужно подставить г = е°(Т) согласно
A0.32).
') Именно этот случай рассматривается в подавляющем большинстве
работ, посвященных выводу уравнений Навье — Стокса с учетом внутренних
степеней свободы молекул.

186 01ШЦШ MI-ГОДЦ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАИА [ГЛ. 1I
Наличие резонансных переходов, очевидно, в этом, случае не изме-
изменяет функции распределения.
При учете изменения функции распределения за время или на
длине порядка ei функция распределения должна мало отличаться от
равновесной функции A0.31):
Подставляя A0.33) в A0.15) и отбрасывая члены порядка е*, по
аналогии с (8.60) получим
где
Подставляя в левую часть уравнения A0.34) равновесную функ-
функцию A0.31) и исключая частные производные по времени, с помощью
уравнений Эйлера имеем
5 Ev — е'-°)(Г)\ <?1п Г
rv [\2kT- 2 r kT
-3 kT
m
(T)
If— J
Легко проверить, что однородные интегральные уравнения A0.34)
имеют только пять сооственных функций фг ^= I, \г, ■=■ т\ -\-Е .
Форма левой части уравнений A0.34) позволяет искать решение в виде
. v v д In T Dv / v v 1 « v2\ би?
ф = — Л Cf —-; ■ О I Cj Сг -т- О-1ГС 1 -д—■
— Dv-^ + a4-Prcrv-fv(^-4-£V). A0.36)
где /lv, Bv и Dv — функции cv, Т и £v.
Для определения произвольных функций а, рг и Y потребуем, чтобы
A0.37)
A0.38)
V

тс"
§ 3.10] УЧЕТ ВНУТРЕННИХ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ МОЛЕКУЛ
2
187
или
mcv
A0.39)
Важно отметить, что при этих условиях входящая сюда тем-
температура Т уже не является мерой средней энергии поступа-
поступательного движения молекул, определяемой формулой A0.7).
Из условий A0.37) — A0.39) следует, что а, C,. и у можно пред-
представить в виде
а — а*-^ в —В* д1пТ v — v*dUr
дхГ ' дхт ' ' дхт
Это позволяет включить а, р, и у в Л' и Dv, положив
Ах'*{с\ Г, Ev) = — p-+-Av(cv, T, Ev),
Функции Av* и Dv* подчинены условиям A0.37) — A0.39). Так как
ниже фигурируют только эти новые функции, для упрощения записи
будем писать их без звездочки.
Подставляя решения в виде A0.36) в интегральные уравнения A0.34)
и приравнивая коэффициенты при д\пТ/дхг, duJdXj., durjdxr, получим
интегральные уравнения для определения Av, Bv и Dv, для решения
которых необходимо знать конкретный вид законов взаимодействия
молекул и вероятности перехода о*'. Однако некоторые качественные
выводы можно сделать, не решая уравнений.
Чтобы получить уравнения Навье — Стокса, нужно входящие
в уравнения сохранения A0.11) — A0.13) тензор напряжений Ptj-,
вектор потока тепла qt и внутреннюю энергию е выразить через п, ut
и Т и их производные с помощью полученного решения A0.36).
Из условия A0.39) следует, что входящая в уравнение энергии
A0.13) комбинация -я- kT-\~г может быть заменена на -к kT-\-£^ (T),
где е@)(Г) определено формулой A0.32).
Подставляя решение A0.36) в определения тензора напряжений
и вектора потока тепла, получим:
daj 2 duk
дх( ~3 1щ
7
A0.40)

188 ОБЩИН МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА [ГЛ. 111
(Ю.41)
qy = 7, I c,E
где
»="Ж S J s v^0) <*6V; С = -
V V
i _JLV { Avrv4f@) d£v- A —-5-V£v f J4vrv2/:@) rfSv
Заметим, что входящая в A0.40) величина р равна raft7\ но не
равна -ъ(Р\л-\-Ру>-\-Рз*)- Появление наряду со сдвиговой вяз-
о
костью [1 второй вязкости £ обусловлено наличием внутренних
степеней свободы. Для газа из одноатомных молекул £;^0. Коэф-
Коэффициенты [X и Я, зависят от вероятностей перехода. Поэтому в общем
случае [А и А, для многоатомного газа отличны от соответствующих
коэффициентов одноатомного газа или того же газа, но с невозбу-
невозбужденными молекулами.
Если e,7£j —аг<С[1 при г^>2 и е1->0, то коэффициенты ияз-
кости и теплопроводности могут быть приближенно определены без
знания уровней Ev и эффективных сечений а. Действительно, запишем
уравнения Больцмана в виде
Разложим функции /v в ряд
При определении коэффициентов переноса учтем член е,/10, отбрасы-
отбрасывая члены порядка е^/11 и выше. Для определения функций /^° = ™
вместо A0.34) получаем уравнения
df°° 4ST4
У iff00
dt ■"(!)
где функции /°° являются решением уравнений
Последние уравнения требуют лишь, чтобы функции /°° были равно-
равновесными по скоростям при произвольных пУ, и поэтому задача опре-

§ ЗЛО] УЧЕТ ВНУТРЕННИХ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ МОЛЕКУЛ 189
деления функций cpv свелась к задаче для смеси, рассмотренной в пре-
предыдущем параграфе. Левые части уравнений A0.34а) принимают
вид (9.52), где для равновесной смеси молекул равной массы
J- Ш = J- ( \ = ^ _
дхг \ п } дхт ^ о-рУ1ьт п КГ дхг
v
После подстановки этих выражений в (9.52) левые части уравне-
уравнений A0.34а) принимают вид A0.35), в которых отсутствует член
с darjdxr. Из вида полученных таким образом уравнений следует
(и это нужно было ожидать для смеси молекул, отличающихся только
внутренней энергией), что с рассматриваемой точностью перенос
импульса и поступательной энергии молекул должен быть тем же,
что и для одноатомного газа (т. е. те же \i и Я} и £ = 0). Для опре-
определения Х2 заметим, что Av можно представить в виде
где Л, и А2 не зависят от v. Используя условие A0.38) для А,2,
имеем
«6 —
= const (Г) ^Я = сст. const (Г),
где со/—теплоемкость внутренних степеней свободы; Я2 дает nonpar к
Эйкена1) к теплопроводности одноатомного газа, учитывающую на-
наличие внутренних степеней свободы молекул.
2.2. Рассмотрим теперь более общий случай, когда наряду с рас-
рассмотренными (е,*^!, i<^.n—1) имеется еще вид внутренней энер-
энергии с временем релаксации порядка характерного времени течения,
т. е. е„г~1, или, что то же, примем характерное время течения
равным наибольшему из времен релаксации 0Л для газа, рассматри-
рассматриваемого в предыдущем случае. Для простоты будем считать, что
имеется всего три характерных времени: е1-^е2<С!ез—'!• Это не
уменьшает общности, так как все et Ф 1 или еп можно включить в е2.
Как и в аналогичном случае, разобранном выше, каждое v-co-
стояние характеризуется двумя квантовыми числами; v2 и v3. В пер-
иом приближении поступательные степени свободы и У2-состояния
Е иск en A., Physik Z. 14. 324 A913).

ЭО ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАИА [ГЛ. III
находятся с равновесии, и функция До) дается формулой A0.23).
Представляй в следующем приближении функцию распределения
в вида A0.33), получим уравнение для <pv:
Здесь 2L (/v ) — сумма интегралов столкновений в уравнении для /v,
включающих только столкновения с переходами \'3-энергии, в кото-
которые вместо fv подставлены функции Д°>. Интегралы J(f, ф) имеют
то же значение, что и в A0.34), с той лишь разницей, что теперь cpv
и (pft относятся к одному и тому же у3-состоянию, а (^ и ср( —
к другому у3-состоянию, так как суммы 2V и 2^2) не включают
интегралов столкновений с переходами У3-энергии в другие виды
энергии. Отсюда следует, что cpv = aVi где av—любая константа,
зависящая от v3 и макроскопических параметров потока, есть реше-
решение однородного уравнения. Поэтому в рассматриваемом случае
имеется не пять собственных функций, как в предыдущем случае,
а NVj + 4 функций i|)y = aVj, |У, -^-ffif2-)-^; W^—число v3-со-
v3-состояний. Макроскопические величины пУ>, ат и Т в первом прибли-
приближении удовлетворяют уравнениям Эйлера A0-17) — A0.20). В урав-
уравнениях A0.20) нужно индексы v, [X, к и I заменить на v3, [X3, к3
и 13. Подставляя функции /W в виде A0.23) в левые части уравне-
уравнений A0.42) и исключая частные производные по t с помощью урав-
уравнений Эйлера, получим
CC °c } ^
kTc l~~R\2kT
Здесь для сокращения записи символом 21s (о) обозначена правая
часть уравнения A0.20) для пУ\

§ 3.10] УЧЕТ ВНУТРЕННИХ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ МОЛЕКУЛ 191
Такой вид левой части позволяет искать решение в следующей
форме:
„vdlnT v
°V + a, + (V; + V (^f + BV) ■ (Ю.44)
Функции A, B, D, F и G зависят от Т, уровней энергии, состава
смеси у3-газов, т. е. от всех пУ\ и скоростей молекул cv. Вели-
Величины же aVj, fir и у от cv не зависят. Решение подчиним условиям,
определяющим aVj, Cr и Y'-
= »V> «ли Sf/vVd6v = 0. A0.45)
Vi
4v или 2/Бг7А^ = 0. A0.46)
или
""pvrf|v = 0. A0.476)
Эти условия, как и условия A0.37) — A0.39), вводят температуру Т,
не равную средней энергии поступательного движения молекул, опре-
определяемую формулой A0.7).
Условия A0.45) и A0.47) показывают, что а, ну могут быть вклю-
включены в Dv и Gv, a условие A0.46) позволяет включить р, в Л' и Fyb.
При условиях A0.45) — A0.47) уравнения сохранения A0.11) —
A0.13) не изменяют своего вида. Входящая в A0.13) внутренняя
энергия определена условием A0.47а). Изменятся лишь выражения
для Ptj я qt. По сравнению с предыдущим случаем в выражение
для потока тепла войдет член, зависящий от диффузии компонент
у3-газа, пропорциональный dti°*ldxr. Кроме того, коэффициенты вяз-
вязкости [I и £ и теплопроводности А,, и Х2 в общем случае будут от-
отличны от рассмотренных выше даже для того же газа, но при
меньшем характерном размере явления.
Так как в общем случае Gv Ф 0, то в диагональные составляю-
составляющие тензора напряжений войдут члены, содержащие О и не зави-

192 ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНкНИЯ БОЛЬЦМАНА [ГЛ. III
сящие от градиентов скоростей. Эги члены можно присоединить либо
к членам с объзмной вязкостью, либо к давлению, положив давле-
давление равным
тс Q f d% .
Эго дополнительное давление назовем релаксационным давле-
давлением , так как оно имеет место лишь тогда, когда время релаксации
одной из внутренних степеней свободы порядка характерного вре-
времени течения (в нашем случае 93---'@ или £3—■ 1). Дополнительное
давление отсутствует как тогда, когда указанная внутренняя степень
свободы находится в равновесии (т. е. «3<dl)> так и тогда, когда
она заморожена (т. е. е3'^> \). Более того, релаксационное давление
равно нулю и в том случае, когда имеется лишь одна релаксирующая
степень свободы (т. е, в нашем случае, если £Vi=:0), так как в этом
случае. Dv=0 и вместо A0.476) мы бы имели условие
№ ^ S I т °v/lv0)«? = о
и, следовательно, релаксационное давление пропадает1).
В уравнениях движения члены, содержащие релаксационное да-
давление, имеют тот же порядок, что и члены, содержащие сдвиговую
и объемную вязкости. Релаксационное давление может проявляться,
например, когда вращательные степени свободы находятся в равно-
равновесии, а релаксируют колебательные степени свободы.
Система уравнений A0.11) — A0.13) незамкнута, так как кроме
переменных п, ut и Т в них входит еще NV3 неизвестных пУк Для
построения уравнений для nv> проинтегрируем уравнения A0.14)
по |v и просуммируем полученные уравнения по всем состояниям v2,
принадлежащим к одному у3-состояиию; имеем
dnv> . д V4 v v VI Г vC) ,o.v /-лп
Суммы S^1' и S*v'^ исчезают, так как в результате обмена тран-
трансляционной и \>а-энергией число молекул, находящихся в данном
Уз-состоянии, не меняется.
') По-видимому, впервые на релаксационное давление обращено внимание
в работе Л. И. Мандельштама и М. А. Леонтовича (ЖЭТФ 7, № 3 A937)).
Однако примененный в этой работе феноменологический подход не позволяет
делать выводов о величине этого давления или даже отличить те случаи,
когда оно фактически равно пулю. Эти сведения могут быть получены
только из кинетической теории (см. цитированную выше работу М. Н, Когана).

§ 3.10] УЧЕТ ВНУТРЕННИХ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ МОЛЕКУЛ 193
Преобразуем стоящую в левой части уравнения сумм}':
V2
Подставляя сюда <pv согласно A0.44), найдем
^(^, A0.49)
v2 \3
где L?' и /И11' зависят от Т, уровней энергии и локального состава
смеси \>3-газов.
Правую часть уравнения A0.48) можно записать в виде
1 (/»/«- /Л) <
V2, Ц, ft,
Здесь при интегрировании учтено, что вероятности перехода не
могут зависеть от ориентации и являются функциями относительной
скорости сталкивающихся молекул. Коэффициенты ЬУи1 отличны от
соответствующих коэффициентов а$ в уравнении A0.24), так как
в них включен вклад Ov.
Суммируя в последнем выражении по v2, окончательно получим
dti* ,du,nv' ■ д Г у, дТ у у, д (пУ''
dt ~^ дхг "г" (?хг I djcr "^ JU дхт \ п
-П^(&*А + 4£3|g)] ■ (Ю.50)
где b\°$l и rf^3A связаны с bvki и dff соотношениями вида A0.24а).
Эти уравнения замыкают систему A0.11) — A0.13) с указанными
выше значениями е, qt и Рц,
Дальнейшие упрощения системы A0,50) возможны лишь при спе-
специальных предположениях о вероятностях перехода.
13 М. Н. Коган

194 ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ВОЛЬЦМАНА [ГЛ, 111
Если к ^-переходам относятся также резонансные переходы v3-co-
стояний, то функцию распределения Ди) можно записать в виде A0.25).
В сумму 2^. в уравнении A0.42) в этом случае включены резонанс-
резонансные переходы. Левую часть уравнения можно записать в виде
_ уC) (Л0)\ _
v v v > —
dt
Ч 5 EVl — £fl\ д [п Т
, 3 E*
A0.51)
Здесь под 2^VsS 4°) подразумевается правая часть уравнения A0.27).
Это выражение является функцией Т3.
Из сравнения выражений A0.51) и A0.43) видно, что решение
уравнения A0.42) с упомянутыми выше изменениями в рассматривае-
рассматриваемом случае должно отличаться от решения A0.44) лишь наличием
члена с дТ3/дхг и отсутствием члена, пропорционального dnjdx.
Число произвольных постоянных в данном случае уменьшается,
так как функция <р = а при произвольном а, не является реше-
решением однородного уравнения, включающего резонансные переходы.
Решением в этом случае будет <pv = eEv\ так как при резонансных
и других €j- и е2-переходах У3-энергия сталкивающихся молекул
сохраняется. Поэтому общее решение однородного уравнения имеет
вид
(^)-о£Г: A0.52)
Наличие шести произвольных постоянных позволяет наложить на cpv
шесть условий так, чтобы
A0.54)

§3.10] УЧЕТ ВНУТРЕННИХ СПЬПЕННЙ СВОБОДЫ МОЛЕКУЛ 195
A0.55)
=2^2
V, V2
где
Здесь, как и выше, температура Т не является мерой средней энер-
энергии поступательного движения молекул.
При условиях A0.53)—A0.56) уравнения (ЮЛ 1) —A0.13) остаются
без изменения. В выражение для qr, как упоминалось выше, войдет
член, пропорциональный дТ3[дхг. Выражение для Рц по форме оста-
останется тем же, что и в предыдущем случае. Внутренняя энергия
Величины коэффициентов переноса в общем случае имеют другие
значения.
В уравнения A0.11) — A0.13) входят две температуры: Т и Т3.
Интегрируя уравнения A0.14) по £v, умножая на Ev' и складывая,
получим (см. вывод уравнений A0.27) и A0.50))
5 + ^, A0.57)
где bud зависят от п, Т и Т3. Это уравнение замыкает систему
A0.11)—A0.13).
Если имеются лишь У3-состояиия '), так что в е2-переходы входят
лишь резонансные переходы у3-энергии, то Е$)(Т) = 0 и темпера-
температура Т имеет обычный смысл меры поступательной энергии молекул,
р = nkT и объемная вязкость и релаксационное давление отсутствуют.
Важно отметить, что в общем случае для одного и того же
газа коэффициенты переноса имеют различное значение в зави-
зависимости от отношения характерного времени течения к харак-
характерным временам релаксации, т. е. в зависимости от того, какое
из бя=1. Коэффициенты вязкости, теплопроводности и т. д. газа
в некоторой точке течения зависят не только от температуры и давле-
давления в этой точке, но и от характерного размера или времени течения.
Выше получен лишь структурный вид уравнений релаксирующего
газа. Для нахождения конкретных значений коэффициентов перехода
!) Этот случай исследован в упомянутой выше работе В. Н. Жигулева.
13*

196 ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ* БОЛЬЦМАНА [ГЛ. Ill
необходимы знание вероятностей перехода и огромная работа по
решению соответствующих интегральных уравнений для функций
А, В, D и т. д. Решение этих интегральных уравнений усложняется
тем, что их ядра являются функциями не только скоростей молекул с,
но и дискретных уровней энергии Ev. Поэтому функции А, В и
т. д. должны быть разложены не по полиномам Сонина от с2, а по
более сложным функциям, содержащим уровни энергии').
Во многих практически важных случаях с достаточной точностью
можно упростить эти интегральные уравнения. Поскольку вероят-
вероятности обмена внутренней энергии обычно примерно на порядок
меньше вероятностей обмена поступательной энергии, т. е. ei^S>>ei
при г^2, 3 то в интегральных уравнениях для А, В, D и
т. д. можно оставить лишь сумму 2A), опустив все интегралы, содер-
содержащие вероятности перехода внутренней энергии (см. вывод поправки
Эйкена па стр. 188). Получаемые при этом интегральные уравнения
отличаются от интегральных уравнений одноатомного газа лишь не-
неоднородной частью. Решение этих уравнений значительно проще.
Функции А, В и т. д. могут быть представлены, как и в § 3.8, по-
полиномами Сонина по с1. В этом приближении коэффициенты вязкости,
теплопроводности и диффузии не зависят непосредственно от вероят-
вероятностей перехода внутренних видов энергии, находящихся в равновесии.
Для определения коэффициентов переноса необходимо знать лишь
эффективные сечения для релаксирующей степени свободы. Неодно-
Неоднородные части уравнений будут по-прежнему различны в зависимости
от того, какое из еп—'1, и, следовательно, коэффициенты переноса
будут различны при описании процессов с различным характерным
временем, происходящих в одном и том же газе.
§ 3.11. Решение линеаризированного уравнения Больцмана
1. Рассмотрим линеаризированное уравнение Больцмана
Как показано в § 2.8, интегральный оператор £(<р) является
оператором фредгольмовского типа с симметричным ядром. Естест-
Естественный путь решения этого уравнения состоит в разложении решения
по собственным функциям интегрального оператора. Собственные
') См. например, W aid man n L., Trubenbacher E., Z., Nalur-
forsch. 17a, № 5 A962); Кузнецов В. М., Инж. журнал 5, № 5 A965),
а также работы, цитированные в начале параграфа.

§ 3.11] РЕШЕНИЕ ЛИНЕАРИЗИРОВАННОГО УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА 197
функции этого оператора являются решениями уравнения
Яф==/.(ф). A1.2)
Легко указать несколько общих свойств интегрального уравне-
уравнения A1.2)."
а) Собственные функции ортогональны с весом /0. Рассмотрим
интеграл
= \ /о/о,Ф; (ф; + Ф'п - % ~ Фп)в
где фг и (fj — собственные функции, соответствующие собственным
числам Xt и Xj.
Рассуждениями, аналогичными проведенным в § 2.4, легко пока-
показать, что
7фу = - Т J Voi № + Фп - Ф( - Фп) (Фу + Ф'л — Фу — Ф/i) X
X(g, ) dz
Следовательно,
I = J L (ф;) /оФу dl^r- j L (фу) /офг rf£ =
откуда при А,г =^= Xj сразу следует ортогональность собственных
функций.
б) Собственному числу Х= 0 соответствует пять собственных
функций — сумматорных инвариантов. Это утверждение очевидно.
в) Собственные числа отрицательны. Умножим уравнение A1.2)
на /оф и проинтегрируем по |. Тогда согласно полученному только
что соотношению имеем
X
Более полно свойства интегрального оператора исследованы лишь
для максвелловских и твердых сферических молекул!). Молекулы,
') По-видимому, теория собственных функций для линеаризированного
уравнения Больцмана создана в работах Ван Чанга и Уленбека A952) и
Мотт-Смита A954). Однако эти оригинальные работы не были доступны
автору. Изложение некоторых результатов этих работ можно найти,
например, в работах: У л е н б е к Дж., Форд Дж., Лекции но статистичес-
статистической механике, «Мир», 1965; \V a I d m a n L., Handbuch der Physik 12, 1958;
Sirowich L., Physics of Fluids 6, № 1 AS63) (русский перевод в сб.
«Некоторые вопросы кинетической теории [азов», «Мир», 1965); О г о s s E. Р.,
Jackson E. Л., Phys. of Fluids 2, № 4 A959) (русский перевод в сб.
«Механика», № 5, I960).

198 ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА [ГЛ. Ill
потенциал взаимодействия которых спадает быстрее, чем у максвел-
ловских молекул (s > 5), будем называть «жесткими», а молекулы
с более медленным спаданием потенциала «мягкими». Для псевдомакс-
велловских молекул линейный оператор имеет дискретный полный
спектр собственных значений. Для молекул с конечным радиусом вза-
взаимодействия, немного более жестких и немного более мягких, чем
максвелловсрие, оператор L обладает непрерывным спектром собствен-
собственных значений !).
Действительно, для молекул с конечным радиусом взаимодействия
оператор L (<р) можно переписать в виде (см. § 2.7)
Очевидно, что уравнение
<p-/2(i) = — Кч>
имеет в общем случае непрерывный спектр собственных значений
А,2 = — i2(|).
Если даже уравнение
имеет дискретный спектр, то полный оператор L (ср) обладает непре-
непрерывным спектром собственных чисел % = %1 -\- А,2:
L (ф) = — фУ2 4- Л = А,2ф +- Л-!ф = А,ф.
Для псевдомаксвелловских молекул (см. формулу B.13) § 2.2) опе-
оператор
J2 (|) = const = An
не зависит от |. В этом случае, если оператор JY имеет дискретный
спектр, то дискретным спектром обладает и полный оператор,
Для жестких молекул спектр простирается от некоторого конеч-
конечного значения v0 до бесконечности, а для мягких — от v0 до нуля.
Последний факт существен для доказательства асимптотической схо-
сходимости общего решения уравнения Больцмана к гильбертовому нор-
нормальному решению (см. § 3.7). Именно благодаря тому, что для
мягких молекул собственные значения доходят до нуля, оказывается
невозможным показать, что при t—>oo общее решение уравнения
Больцмана стремится к решению, соответствующему собственному
значению Я = 0 (к нормальному решению).
l) Ora d H., Rarefied Gas Dynamics, Third Symposium, Academic Press,
1963 (русский перевод в с<5. «Некоторые вопросы кинетической теории газов»'
«Мир», 1965).

§ 3.11] РЕШЕНИЕ ЛИНЕАРИЗИРОВАННОГО УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА 199
Для молекул с бесконечным радиусом взаимодействия спектр соб-
собственных значений исследован лищь для максвелловских молекул,
для которых спектр является дискретным и полным. О характере
спектра собственных значений для молекул с другими законами взаи-
взаимодействия можно судить лишь по упомянутым результатам для соот-
соответствующих молекул с конечным радиусом взаимодействия.
Собственные значения и собственные функции могут быть найдены,
например, следующим образом1).
Введем обозначения § 3.3;
[ф]=ф/ + ф{ —Ф —фг
В этих обозначениях уравнение A1.2) принимает вид
tap = п0 Г 0(г»1)[ф] gb db de dvv (Л-3)
Умножим обе части уравнения на a>(v)Hl^\,,aN и проинтегрируем
по W, имеем .
fMi aN = % \ a(v)(o(v1)[((l]gbdbde.dvdv1, (П.4)
где
<>... адг = J Ю (V) фЯW .. aN dV = ~ J /0фЯ^... aN d%. A1.5)
Это определение коэффициентов a(/v) разложения функции ф п© по-
полиномам Эрмита, очевид[Ю, совпадает с определением C.10). Пред-
Представим ф в виде ряда по полиномам Эрмита подобно ряду C.11):
Если этот ряд подставить в интеграл, стоящий в правой части
уравнения A1.4), то интеграл также будет в общем случае пред*
ставлен в виде бесконечного ряда по a(m) с известными для данного
закона взаимодействия молекул коэффициентами. Таким образом,
получается бесконечная система совместных уравнений для опреде-
определения a(iv>.
Как показано в § 3.3, для максвелловских молекул представляю-
представляющий интеграл ряд содержит лишь конечное число членов, содержащих
1) О г а d К, Handbuch der Physik 12, 1958.

200 ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БОЛЫДМАНА [ГЛ. 111
коэффициенты а("() при m = N; в этом случае имеем
гще
<>... aNh ... Рдг = J со (v) со («,) Н™... Одг [Н%\.. Рдг] g
Зная значения BW), получаем системы однородных уравнений для
определения компонент a(/V) каждого из тензоров порядка N от-
отдельно. Каждая такая система определяет свои собственные значе-
значения А,. Каждому такому собственному значению соответствуют опре-
определенные значения а^\ дающие решения системы (П.7), подстановка
которых в A1.6) дает соответствующую собственную функцию. Сле-
Следовательно, собственные функции можно разбить на группы, в каждой
из которых собственные функции выражаются только через полиномы
Эрмита порядка N.
В приложениях чаще пользуются не декартовыми координатами
в скоростном пространстве, а полярными. В соответствии с этим
собственные функции выражаются не через полиномы Эрмита, а через
полиномы Сонина1).
В полярных координатах собственные функции (рг1т уравнения
1 D>rlm) = hlmVrlm
для максвелловских молекул имеют вид2)
Y*nr\Bl-\- 1) (I — \m
2
с'
РТ (cos 9) exp (im x),
A1.8)
где Sr i—полиномы Сонина, Pf — полиномы Лежандра и 0 и %—
полярный и азимутальный углы сферических координат в пространстве
скоростей.
2. В дальнейшем будут рассмотрены лишь одномерные задачи для
линеаризированного уравнения Больцмана. Выберем полярную ось
сферических координат в пространстве скоростей параллельной един-
единственной существенной пространственной координате, скажем xv Так
как функция распределения в одномерном случае симметрична отно-
относительно полярной оси, то зависимость от угла % нас интересовать
не будет.
') См. определение полиномов Сонина на стр. 151.
2) Уленбек Дж. и Ф о р д Дж., Лекции по статистической механике,
«Мир», 1965; Waldmann L., Handbuch der Physik 12, 1958.

§ 3.11] РЕШЕНИЕ ЛИНЕАРИЗИРОВАННОГО УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА 201
В этом случае уравнение Больцмана для максвелловских молекул
принимает вид
edl,. A1.9)
Для дальнейшего удобно перейти к безразмерным переменным:
т \3/2 I v 7
, / т \3/2
/oi = «о ("jfeT^-j a(Si)-
Здесь т — некоторое характерное время. Оставляя за безразмерными
переменными те же обозначения, что и для размерных величин, пере-
перепишем уравнение A1.9) в виде
A1.-11)
Собственные функции оператора L(q>) равны1)
/ У*г'BН-1)э yV (^
где cos9^|!/|. Собственные функции ортогональны с весом ю:
Соответствующие собственные значения равны
|) X
pG. A1.14)
)
Из A1.14) следует, что
А,г,<0 и Aw=^_I,i. A1.16)
Значения ^гг/^02 Для максвелловских молекул приведены в таб-
таблице 3 2).
Собственные значения возрастают (по абсолютной величине) при
увеличении f-\~l. Очевидно, что собственное число А,^0 должно
быть в общем случае пятикратно, а в одномерном случае трехкратно
1) См. Waldmann L., Handbuch der Physik 12, 1958; Sirowich L,
Phys. Fluids 6, № 1 A963).
2) Подробные таблицы собственных значений даны в работе: Alter-
raan Z., Frankowski К., Pakeris С. L., Astrophys. J., Suppl. Series, 7,
291 A962).

202 ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА [ГЛ. Ill
Таблица 3
\^ /
г\^
0
1
2
3
4
5
6
7
0
0
0
0,6667
1
1,2281
1,4037
1,5475
1,6698
1
0
0,6667
1
1,2281
1,4037
1,5475
1,6698
1,7767
1
1,1667
1,3422
1,4915
1,6193
1,7310
1,8302
3
1,5
1,5704
1,6670
1,7631
1,8533
1,9371
2,0148
4
1,8731
1,9106
1,8633
2,0288
2,0917
2,1533
2,1828
2,2066
2,2415
2,2824
2,3262
2,3710
2,4532
2,4703
2,4936
2,5215
2,5525
вырожденным, а соответствующие собственные функции должны
быть сумматорными инвариантами, Заметим также, что трижды вы-
вырожденным является собственное число А,02 = А.зо = А,21 и что соб-
собственные числа ?vo = V-i,i являются дважды вырожденными. Пер-
Первые собственные функции в одномерном случае имеют вид
■ V 2 И
Фог —•—2~
I'll = ]/
A1.16)
Возмущенная функция распределения может быть разложена по
собственным значениям:
г, I
где
ап = J
A1.17)
A1.18)
Подставляя в определения A1.18) собственные функции A1.16),
получим:
"Т- ■ ,1,
A1.19)
= — у -
где «;, Ир Tlt рп и Sj — безразмерные возмущенные плотность, ско-
скорость, температура, тензор напряжений и вектор потока тедла,

§3.11] РЕШЕНИЕ ЛИНЕАРИЗИРОВАННОГО УРАВНЕНИЯ ВОЛЬЦМАНА 203
определяемые соотношениями:
р
Ро
"I
(ЬТа)
3/2
A1.20)
Подстановка ряда A1.17) в интеграл столкновений, очевидно,
дает
r, I
A1.21)
Непосредственной подстановкой можно убедиться в справедливости
соотношения
1/2
■„=(*+ 1)Ф„,
2 r + t-
1/2
-Фг+1.1-1[BГГ
Подставим теперь функцию распределения в виде A1.17) в уравне-
уравнение Больцмаиа и, учтя соотношения A1.21) и A1.22), приравняем
нулю коэффициенты при одинаковых фгг. В результате несложных
выкладок получим бесконечную систему совместных уравнений для
функций arl (t, х):
1)
У
— а.
B1 + 3) B1 + 1)
==0- AL23)
Выпишем первые три уравнения, соответствующие
г=Х0] = 0; используя соотношения A1.19), получим:
р1 ])~" '
A1.24)
дТ, 2
dt ~^ 3

204 ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БОЛЫДМАНА [ГЛ. III
Очевидно, что эти уравнения—не что иное, как линеаризирован-
линеаризированные уравнения сохранения, записанные в безразмерной форме.
Для того чтобы качественно представить характер решений ли-
линеаризированного уравнения, рассмотрим изменение функции распре-
распределения, заданной в начальный момент времени. Проведем спектраль-
спектральный анализ решения.
Будем искать решение в виде1)
an — arle \ A1.25)
где ап — постоянные, а—частота колебаний, k = 2n(L — волновое
число и L—длина волны.
Подставляя A1.25) в уравнения A1.23), получим бесконечную
систему алгебраических уравнений для определения аг1:
@— Xrl)arl — i
^0- (П-26)
Дисперсионное уравнение, определяющее зависимость частоты коле-
колебаний а от волнового числа, дастся детерминантом этой системы:
D(a, k) = 0. A1.27)
Выпишем часть этого детерминанта в виде таблицы 4.
Легко видеть, что при & = 0 и 0 = Хг1 система A1.26) имеет
нетривиальные решения, следовательно,
а=кг1 A1.28)
являются корнями дисперсионного уравнения. При этом корни а = 0
и а = Х02 = Х30 = Х21 являются трижды вырожденными, а корни
a = Xr0= A,r-lj [ — дважды вырожденными.
Рассмотрим поведение корней дисперсионного уравнения при ма-
малых волновых числах (для длинных волн). Рассмотрим прежде всего
поведение корней вблизи трижды вырожденного корня а = 0. Пред-
Представим а в виде
A1.29)
1) См. Sirowich L., Phys. Fluids 6, № 1 A963).

. З.П] РЕШЕНИЕ ЛИНЕАРИЗИРОВАННОГО УРАВНЕНИЯ БОЛЫДМАНА 205
s,
Iм I
о о о
о о о
о о о
V
о о
о о
■В |
I x
о о
- Iе0 I»
>. ° °
о о о
О о О
о о о

206
ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА
[ГЛ. Ill
Легко видеть, что а, определяется коэффициентом при А3 в детер-
детерминанте
a —ik О
■ik
О
о
-тг ik
2"
A1.30)
Аналогично <х2 и а3 определяются коэффициентами при kA и kb соот-
соответственно в детерминантах
о
— Ik
О
— ik
0
/f
»
Tik
О ~ik
О
— yjik
О
— К
о —
5 .
iA
02
О
о
о
Ybk
о
= 0 A1.31)
а
ik
0
0
0
—
а
VI
2
0
ik
ik
ik
V
-V
0
т
3
а
0


/А
iA
0
2 -f-
0
а—А,02
0
0
-/!
'г а — 1
ik
ik
'п
= 0. A1.32)
Легко проверить, что если решение в виде A1.25) искать для
уравнений Эйлера, Навье — Стокса и тринадцатимоментных уравне-
уравнений Града, то дисперсионные уравнения приводят соответственно
к детерминантам A1.30), A1.31) и A1.32). Две последние строчки
в детерминанте A1,31) появляются из уравнений, определяющих
связь между тензором напряжений ри и вектором потока тепла 5,,
соответственно с градиентами скоростей и температур. При этом
коэффициенты вязкости и теплопроводности обратно пропорциональны
Х02 и 1п.

■ 3.11] РЕШЕНИЕ ЛИНЕАРИЗИРОВАННОГО УРАВНЕНИЯ БОЛЫДМАНА 207
Находя с помощью A1.30) — A1.32) значения а,, а2, •■■>
получим:
A1.33)
(П.34)
Выражения A1.33) и A1.34) определяют три ветви корней диспер-
дисперсионного уравнения, называемых гидродинамическими. Член О (k)
в A1.34) определяет незатухающие звуковые волны в эйлеровском
приближении. С учетом членов О (k2) выражения A1.33) и A1,34)
определяют затухающие волны в навье-стоксовском, а с учетом чле-
членов О(й3)—в тринадцатимоментном приближении (собственные числа
отрицательны).
Аналогично могут быть найдены и другие ветви корней диспер-
дисперсионного уравнения вблизи корней а=А.г;. Следует заметить, что
в тринадцатимоментиом приближении кроме гидродинамических вет-
ветвей A1.33) и A1.34) имеются еще две ветви, получаемые из детер-
детерминанта A1.32):
в = А,
'02"
5_
3
•4_
3
15(Лц —
8Я02
15 (Ао2 -
1.1
■О(&4).
A1.35)
A1.36)
Качественная картина корней дисперсионного уравнения показана
на рис. 13. В комплексной а-плоскости вдоль каждой ветви напра-
направление возрастания параметра k показано стрелкой. Таким образом,
б = 5,,+ 10,
'о=А,,
Рис. 13.
имеется последовательность волн со все возрастающей скоростью за-
затухания (по мере возрастания абсолютной величины hrl). Следова-
Следовательно, решение уравнения Больцмана для рассматриваемой нами за-
задачи с начальными условиями можно представить в виде суммы

208
ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА
[ГЛ. III
решений, стремящихся с различной скоростью к нулю. При этом
медленнее других выравниваются гидродинамические возмущения (при
k = 0 декремент затухания
гидродинамических возму-
возмущений равен нулю; а=0).
Характерное время затуха-
затухания для остальных возму-
возмущений—порядка времени
1между столкновениями.
Приведенный анализ от-
относился лишь к малым вол-
волновым числам k (к большим
длинам волн). Интересно рассмотреть дисперсионные соотношения
для произвольных волновых чисел. Для того чтобы представить
качественную картину, най-
найдем асимптотические значе-
значения при k—>oo.
Для уравнения Больц-
мана в целом сделать это
весьма трудно. Однако ес-
естественно ожидать, что при .вг
Рис. 14.
k —> оо затухание должно
увеличиваться, т. е. в ком-
комплексной а-плоскости зву-
звуковые ветви при k —> оо
должны уходить в беско-
бесконечность вдоль отрицатель-
отрицательной действительной оси.
В эйлеровском прибли- Рис. 15.
жении, как уже отмечалось,
затухания нет. В навье-стоксовском приближении из A1.31) при
k —> оо имеем:
а ==•
fOi
а=-^- + ОA), о =
5k2
-0A).
A1.37)
Дисперсионное соотношение для этого случая показано на рис. 14.
Как видно, звуковые ветви дают правильную качественную картину
(увеличение затухания) при уменьшении длины волны (при к—>оо).
В тринадцатимоментном приближении при k—>oo имеем:
о = ±
= ± /Ш/
№> ik -\- 0,22X02 -f- О (k~').
О (А).
A1.38)

З.П] РЕШЕНИЕ ЛИНЕАРИЗИРОВАННОГО УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА
209
Соответствующая дисперсионная картина показана на рис. 15.
Следовательно, в этом приближении декремент затухания звуковых
волн при k—>oo стремится к некоторому конечному значению. .
Эйлеровское приближение соответствует выделению в таблице 4
матрицы а, р <С 1, тринадцатимоментное приближение — матрицы
а, C < 2. Выделение матрицы а, р < 3 соответствует «26-моментной
теории» и т. д.
Можно показать1), что при любых сколь угодно больших а=р
дисперсионная картина соответствующей «обрезанной» системы будет
подобна тринадцатимоментной в том смысле, что действительная часть
корней дисперсионного уравнения ограничена:
0
кг.
где кг—некоторые значения, возрастающие по абсолютной величине
вместе с г.
Из сказанного следует, что дисперсионная картина при больших k,
даваемая уравнениями Навье—Стокса, качественно представляется
более правильной, чем картина, даваемая тринадцатимоментными урав-
уравнениями. Тринадцатимоментные уравнения (и более высокие прибли-
приближения) уточняют навье-стоксовскую картину лишь при малых k.
Общая дисперсионная картина дана на рис. 16.
Зал ее Зошокие
приближения
Рис. 16.
3, Изложенная выше теория собственных функций относилась
к максвелловским молекулам. Для немаксвелловских молекул с конеч-
конечным радиусом взаимодействия, как уже отмечалось в начале пара-
параграфа, полный оператор £(ф) имеет непрерывный спектр собственных
значений. Однако можно преобразовать этот оператор так, что спектр
нового оператора оказывается дискретным.
') Sirowich L, Phys. Fluids 6, № 1 A963).
14 М. Н. Коган

210 ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАПА [ГЛ. 111
Рассмотрим уравнение Больцмана для твердых сферических моле-
молекул (см. §'2.2, формулу B.10))
или для возмущенной функции распределения
g- k\fQfQl(y'l-+y'~-%-(p)dQdll=L(y). A1.39a)
В § 2.8 для произвольного закона взаимодействия молекул пока-
показано, что интеграл L(<p) можно привести к виду
L (Ф) = — k (|) Ф -f J /С (I. I,) Ф, dg,. A1 -40)
Найдем конкретные выражения функций й(|) и /С A, 1,) для твердых
сферических молекул').
Обозначим через а1J, з направляющие косинусы единичного век-
вектора k. Тогда
г-* = 2 ««(!»-У- (Ц-41)
Введем, кроме того, безразмерную скорость
и перепишем оператор £(ф) уравнения A1.39а) в виде
«0V2 г '■*■-*
Г -(v2+v2\
где
з
{-1
Функция й(|), как легко видеть, равна
»,. A1.43)
') Hilberl D., Grundziige einer allgemeinen Theory der linearen Inte-
gralgleichungen, N. Y., 1953.

§ 3.111 РЕШЕНИЕ ЛИНЕАРИЗИРОВАННОГО УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА 211
Рассмотрим теперь интегралы
2 2
G'= J \w\(p'e"Vl dQdvl и О\ = J | w\ ф^е" dQ rfor A1.44)
Так как при столкновении твердых сферических молекул
l' = \~\-k{g-k) и g; = !,-&(£•• *). (П.44а)
то и функции ф' и ф| входят в L совершенно симметрично (инте-
(интегрирование по Q ведется по всей сфере), и, следовательно,
'О[
О'=О[. A1.45)
Далее, легко проверить тождество
1
G'=3 J G'r2dr, A1.46)
о
где г—некоторая новая переменная. Если г—радиус, то r2drdQ —
■= da, da2da3 — элемент объема в пространстве 0 -^а2 — а^~\- а^-f-
Тогда A1.46) можно переписать в виде
', da, (da = da, da2 da3), A1.47)
2
G' = 3
0 < a2 < 1
где
Введем вместо переменных г>и новые переменные
h = ^^- (H.48)
Тогда
О' = 3 j | (a • Я.) | a7 exp {- [(», -+- Я^а^ + (v2 + Я,2а2J +
0<аг<1
-i-(v3 + kza*J}}(p'dldu, A1.49)
где.
Ф' = ф[г»1+а,(а-Я.), w2-f-a2(a ■ Я,), г»3 + а3(а • Я,)].
Введем, наконец, вместо аг переменные рг по формулам
рг = аг(а-Я,). A1.50)
14*

212 ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА [ГЛ. Ill
В новых переменных после несложных, но громоздких выкладок
имеем
. A1.51)
В этом интеграле можно провести интегрирование по X:
О' = 2я J 1 ехр{-(Р '(Р + »>>- }Ф(О< + Pt) dP. (П.52)
Обозначим г>; -(-рг = г>и; тогда окончательно имеем
(Ц.53)
Учитывая A1.42), A1.43), A1.45) и A1.53), получим следующее
выражение для L:
__
2 Г 2
ф Re ' dV\ -
Таким образом, линеаризированное уравнение Больцмана A1.39а) для
твердых сферических молекул можно записать в виде
где
1 Г -г
-|— ф(г»,)е
— — \ Re V{ d<v, = 1 -|—и—12t^ —j \e° erfi»,
Л2 — .,2 <- ' ' _ '
R2 ~ R2 ~\ R
A1.56)
и 6 — угол между ю и •»,.
Вместо функции ф удобно ввести новую неизвестную функцию')
A1.57)
!)Pekeris С. L., Alter man Z., Finkel stein L., Fran-
kowski K., Phys. Fluids 5, № 12 A962).

§ 3.12] МОДЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 213
которая удовлетворяет уравнению
~М (v) \'щ dt ^ l 6
= —rf*no/n [ф(«)Ч-^ |ф(«1)/С(«, «,)d«i]. (П.58)
где
l
Решение уравнения A1.58) удобно искать в виде разложения по
собственным функциям интегрального уравнения
= ■£ J Ф^)*^ «i)*»!- A1.59)
В соответствии со сделанными в начале параграфа замечаниями
стоящий справа оператор уравнения A1.55) имеет непрерывный спектр,
в то время как оператор правой части уравнения A1.58) обладает
дискретным спектром.
Для нахождения собственных значений и собственных функций
уравнения A1.59) можно воспользоваться, например, методом Галер-
кина, разлагая для этой цели функцию ф(#) по некоторой полной
системе функций, скажем по полиномам Эрмита или по собственным
функциям A1.8) больцмановского интегрального оператора для макс-
велловских молекул.
Значительное число собственных функций получено в цитирован-
цитированных выше работах').
§ 3.12. Модельные уравнения для линеаризированного
уравнения Больцмана
В § 2.8 из физических соображений было получено приближен-
приближенное модельное уравнение для полного (нелинеаризированного) урав-
уравнения Больцмана. Изложенная в предыдущем параграфе теория соб-
собственных значений позволяет развить некоторый регулярный процесс
построения подобных моделей для линейного уравнения Больцмана2).
Рассмотрим для простоты линейное одномерное уравнение Больц-
Больцмана, записанное в безразмерных переменных A1.10) предыдущего
параграфа:
г, I \ т,1
') См. работу Альтерман и др., цитированную на стр. 201, и работу
Пекериса и др., цитированную на предыдущей странице.
2) Gross E. P., Jackson E. A., Phys. Fluids 2, № 4 A959); Siro-
wich L., Th urber J. К., J. of Acousticul Soc. of America 37, № 2 A965).

214 ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА [ГЛ. III
Линейный интегральный оператор в правой части для максвел-
максвелловских молекул представлен в виде рядя по собственным функциям
по формуле A1.21).
Для дальнейшего удобнее перейти от суммирования по двум индек-
индексам к суммированию по одному индексу (см. работу Сировича и
Тарбера):
со со
Ф=--5>ггфгг = 2«*. A2.2)
r,l i
где
r=r(t), 1 = 1@, 4'rWHO = 4'<- аг= |©ФФ,-^. A2.3)
Выбор конкретного вида зависимостей A2.3) определяет после-
последовательность членов в ряде A2.2). Тогда для максвелловских мо-
молекул
Для произвольных молекул функцию распределения также можно
представить в виде
оо
S ( / ) A2.5)
где фг—собственные функции максвелловского оператора L(A).
Однако в этом случае
Для максвелловских молекул
X*f = 0 при I Ф j.
Один из путей построения моделей состоит в приближенной за-
замене L выражением
N оо
L(<p)«ZA= 2 Я,"яф4-С З'й.ф., C=const. A2.7)
Прибавляя к правой части A2.7) и пычитая сумму
N N
1-0 1,1

§ 3.12] МОДЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 215
приведем разложения A2.7) к виду
2 ' A2.8)
Тогда модельные уравнения можно записать в виде
ж +ь-^-=сФ+5;(^-*1,с)в|фу A2-9)
i, 1
Этим способом может быть построено бесчисленное множество
моделей путем надлежащего выбора постоянных С и N и соответ-
соответствующей последовательности членов в ряде A2.2), Т. е. путем выбора
зависимостей r(t) и 1A).
Собственные функции фгг суть полиномы степени 2г-■)-/. Выбе-
Выберем, например, r(t) и 1A) таким образом, чтобы в ряде A2.2) члены
располагались по возрастающим степеням полиномов, а все члены
с полиномами одной степени 2r -\~ l располагались по возрастающим
значениям индекса /.
При таком расположении членов ряд A2.2) запишется в виде
оо
где йг и фг заменены согласно A1.16) и A1.19). Если при этой по-
последовательности членов в уравнении A2.9) положить Л/^^З, то для
максвелловских молекул получим уравнение
j4)] A2.11)
так как для этих молекул Аоо= А,01 = Х!0= 0.
Легко видеть, что уравнение A2.11) есть линеаризированный ва-
вариант модельного уравнения (8.22) главы II.
Из таблицы 4 предыдущего параграфа видно, что эта модель
может быть получена заменой всех входящих в таблицу ki}- на С.
При этом детерминант A1.30), соответствующий уравнениям Эйлера,
не изменяется. В навье-стоксовском детерминанте A1.31) положено
\J=^ii = £- Как мы видели в предыдущем параграфе, А,о2 и Хп
обратно пропорциональны соответственно коэффициентам вязкости и
теплопроводности. Так как ?.п/А02= 2/3 (см. таблицу 4), то, пола-
полагая А02=А]]=С, мы должны получить в уравнениях Навье — Стокса
отношение коэффициентов вязкости и теплопроводности искаженным
ца коэффициент 2/3, т. е. число Прандтля Рг = 1 вместо Рг = 2/3,

216 ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА [ГЛ. III
как это должно быть для одпоатомного газа. К этому результату
мы уже пришли при выводе уравнений Навье — Стокса из нелиней-
нелинейного модельного уравнения в § 3.6.
Если в уравнении A2.9) положить Л/=5, то получим модельное
уравнение, у которого остается неискаженным тринадцатимоментный
детерминант A1.32):
dt
-^ )llSl. A2.12)
Из этого уравнения могут быть получены неискаженные уравнения
Эйлера, Навье — Стокса, Барнетта и тринадцатимоментные уравнения.
Уравнение A2.12) иногда называют трехрелаксационным, так как
оно содержит три времени релаксации Аог , ац и С , в отличие от
уравнения A2.11), содержащего всего одно время релаксации С
••Поскольку однорелаксационное уравнение A2.11) благодаря своей
относительной простоте получило широкое распространение, инте-
интересно рассмотреть его дисперсионную картину'). Для определенности
положим С= А,02.
Будем искать решение уравнения A2.11) вида
TV 1. в/ TVSy 1 1
„ „ pot-ikx, T Т pnt-ikx,
и\ — И1е ' I — 'Iе •
где стоящие справа величины п1, и, и Т, — постоянные, равные соот-
соответственно
A2.14)
Подставляя решение A2.13) в уравнение A2.11), имеем
(а — Щх - Я02) Ф= - Ха2 [я, +&i«i + (-у — |) Т\[' A2.15)
откуда
й1+|,и,+ -я—у Г,
Умножая это уравнение последовательно на со, £,ю и ("о-^,2—Ч
и интегрируя по |, получим систему трех однородных уравнений для
') См. Sirowich L., T h u r b e r J. К., Rarefied Gas Dynamics, Third
Symp., Acad. Press, 1963.

§ 3.12] МОДЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 217
пх, и, и 7',, приравнивая нулю детерминант которой, получим диспер-
дисперсионное уравнение уравнения A2.11). Не останавливаясь на анализе
этого весьма сложного уравнения '), укажем на один наиболее инте-
интересный для нас результат, видный непосредственно из уравнения A2.16).
Из уравнения A2.16) видно, чго действительная часть а ограничена при
k->co (в противном случае ср->0 во все времена, в том числе и при
( = 0). Более того, к такому же заключению можно прийти для модель-
модельного уравнения, образованного при любом конечном N. В то же
время, если из уравнения A2.11) вывести уравнения Навье — Стокса,
то они будут отличаться от уравнений Навье—Стокса, получаемых
из уравнения Больцмана, лишь тем, что в последних нужно положить
А,, = А02. Поэтому дисперсионная картина для уравнений Навье —
Стокса, полученных из модельного уравнения, будет качественно
той же, что и для уравнений Навье — Стокса, полученных из точного
уравнения (см. формулы A1.33), A1.34), A1.37) и рис. 14 преды-
предыдущего параграфа).
В предыдущем параграфе мы видели, что уравнения Навье —
Стокса дают при ft—>оо качественно более правдоподобную диспер-
дисперсионную картину, чем тринадцатимоментные уравнения и более высо-
высокие приближения. Казалось, что уравнения Навье — Стокса в какой-то
мере отражают поведение полного уравнения Больцмана при &—»-оо.
Однако теперь мы видим, что при &->оо навье-стоксовское прибли-
приближение модельного уравнения дает качественно иную картину, чем
само модельное уравнение. Следовательно, поведение решений урав-
уравнений Навье—Стокса при k-*oo представляется случайным.
В то же время и модельное уравнение искажает дисперсионную
картину уравнения Больцмана при k—>co. Однако представляется,
что модельное уравнение порядка N гораздо лучше аппроксимирует
решение, чем соответствующая система моментных уравнений.
Действительно, обратимся к таблице 4. Как уже отмечалось, урав-
уравнения Эйлера соответствуют детерминанту а, C<1, тринадцатимо-
ментные уравнения — детерминанту а, C < 2 и т. д. Следовательно,
моментные уравнения учитывают лишь элементы соответствующих
детерминантов, не учитывая вовсе остальную бесконечную часть та-
таблицы. Модельные же уравнения соответствующего порядка обра-
образуются путем замены в таблице Xtj на С, начиная с некоторого зна-
значения. Следовательно, модельное уравнение правильно учитывает эле-
элементы соответствующего детерминанта и приближенно (чем больше I
и у, тем хуже) остальную часть таблицы.
Так при N—?> точно учитывается эйлеровская часть таблицы и
приближенно остальная часть. Приближенный учет остальной части
таблицы позволяет с помощью однорелаксационного уравнения хотя бы
') Этот анализ приведен в только что цитированной работе Сировича
и Тарбера.

218 ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА [ГЛ. III
качественно учесть диссипативные процессы и рассматривать свободно-
молекулярные течения, в то время как уравнения Эйлера не позво-
позволяют этого сделать.
Следовательно, можно ожидать, что при одном и том же N с по-
помощью модельных уравнений можно получить лучшее качественное
описание явления для широкого диапазона волновых чисел (чисел
Кнудсена), чем с помощью соответствующих моментных уравнений.
Это подтверждается исследованием звуковых волн (см. § 4.5).
Точность модельного уравнения в каждой конкретной задаче может
быть повышена соответствующим подбором зависимостей r(i) и /(г),
определяющих последовательность членов рядов A2.2) и A2.4).
§ 3.13. Метод дискретных скоростей
Рассмотрим уравнение Больцмана в отсутствие внешних сил:
Выберем некоторое множество значений скоростей |v, где
v=l, ..., Л/. Выразим с помощью какой-либо аппроксимационной
формулы функцию распределения через значения этой функции, соот-
соответствующие скоростям |v, т. е. положим
f(t, х, l)=F(l, f\ .... /">). f™ = f(t, x, П A3.2)
Если подставить эту аппроксимацию в интеграл столкновений, то
последний также будет зависеть от /г и |:
J(l) = J(t /(I). ••■• fiN))- A3.3)
В дифференциальный оператор уравнения A3.1) скорость | вхо-
входит как параметр. Поэтому для выбранного множества скоростей |v
можно записать уравнения
i/J. + &<v> ifl = y(|v f\ .. .; /(v)) (v = ! 2 ЛО. A3.4)
Таким образом, интегро-дифференциальное уравнение Больцмана
заменено системой совместных нелинейных дифференциальных урав-
уравнений первого порядка для N функций /(v).
Общее граничное условие (9.6) главы II также может быть заме-
заменено Nj (t, x)-^.N условиями:

§ 3.13] МЕТОД ДИСКРЕТНЫХ СКОРОСТЕЙ 219
где v принимает значения, соответствующие тем скоростям из мно-
множества |v, которые в данной точке границы направлены в сторону
течения.
В качестве аппроксимирующих функций A3.2) могут быть вы-
выбраны, например, полиномы Лагранжа или Чебышева.
Как и в методе моментов, вместо отыскания функции распреде-
распределения, зависящей от семи переменных t, x и §, задача свелась к оты-
отысканию системы функций от четырех переменных t и х. Однако
уравнения, получающиеся в методе дискретных координат, всегда
обладают простым линейным дифференциальным оператором, в то
время как в методе моментов, как правило, получаются квазилиней-
квазилинейные уравнения. В методе дискретных координат не возникает труд-
трудностей с установлением граничных условий для получающихся урав-
уравнений (ср. § 5 настоящей главы). Правые же части моментных урав-
уравнений часто (особенно для максвелловских молекул) проще, чем
в методе дискретных скоростей. В обоих методах, в принципе, могут
быть использованы одни и те же аппроксимирующие функции. Пусть
функция распределения представлена через моменты аппроксимацией
f(t, х, |) = F(|, М,) A=1, 2 N).
Задавая | выбранные N значений, получим N уравнений, из которых
можно выразить N моментов М{ через N значений функции распре-
деления / ■
Методу дискретных скоростей можно придать также несколько
иную форму'). Можно считать, что имеется всего N групп молекул,
в каждой из которых все молекулы (tiv в единице объема) обладают
одной скоростью gv. При столкновении молекул группы v с молеку-
молекулами группы \х можно считать допустимыми только такие дискретные
прицельные расстояния b(v, \x) и такие дискретные азимутальные
углы е (v, \х), что в результате столкновений молекулы принимают
только скорости из выбранного множества скоростей |v.
В этом случае уравнение Больцмана A3.4) заменяется системой
дифференциальных уравнений вида
dt ! э< dxi
ft, i
где a(| , | I |v) — эффективное сечение столкновения молекул |* и |г,
при котором одна из молекул принимает скорость |v, и e(gkl) =
= 2 а (l • I llv) — полное сечение взаимодействия.
") К г оо k M., Astrophys. J. 128, 488 A955); Чандрасекар С, Пере-
Перенос лучистой энергии, ИЛ, ~М, 1953.

220 ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ "БОЛЬЦМАНА [ГЛ. III
Граничное условие A3.5) в этом случае принимает вид
где суммирование ведется по всем скоростям I1*, направленным d дан-
данной точке к границе; функции К удовлетворяют условию нормировки
По-видимому, второй вариант метода удобен при расчетах на
вычислительных машинах с большим числом дискретных скоростей.
Метод моментов и первый вариант метода дискретных скоростей
могут при удачной аппроксимирующей функции обеспечить хорошую
точность при небольшом числе моментов или дискретных скоростей.
Метод моментов, по-видимому, предпочтительнее при малых чис-
числах Кнудсена, а метод дискретных координат — при больших. Однако
в настоящее время еще невозможно с уверенностью выделить классы
задач, для которых предпочтительнее те или другие методы. Мето-
Методом дискретных скоростей решены до сих пор r весьма грубой
постановке лишь простейшие задачи.
Например, в задаче о течении Куэгга при малом числе Маха')
принималось, что молекулы могут двигаться лишь по восьми напра-
направлениям с одинаковой по величине скоростью. В задаче о структуре
ударной волны2) дозволенными принимались шесть направлений
с одинаковыми скоростями. По существу, грубые методы элементар-
элементарной кинетической теории (см. § 1.5 и § 6.6) являются простейшими
примерами применения метода дискретных координат. Для получения
грубых результатов часто оказывается достаточным очень небольшое
число дискретных скоростей. Однако для проведения уверенных рас-
расчетов с достаточной точностью необходимо решить огромное число
совместных уравнений.
Действительно, пусть решается трехмерная стационарная задача.
Если взять хотя бы по десять точек (что, очевидно, слишком мало)
по каждой скоростной координате, то задача сведется к решению
тысячи совместных уравнений в частных производных.
Для одномерных стационарных задач уравнения сводятся к обык-
обыкновенным.
>) В г о a d w е 11 J. E, J. Fluid Mech. 19, 401 A964). В более точной поста-
постановке линеаризированное течение Куэтта с помощью метода дискретных
координат рассмотрено в работе: Hamel С, Wachman M., Rarefied Gas
Dynamics, Forth Symp., Academic Press, 1965.
2) Broad we 11 J. E., Phys. Fluids 7, № 8 A964).

§ 3.14] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ 221
§ 3.14. Интегральные методы
Интегральными мы будем называть методы, использующие ту или
иную интегральную форму уравнения Больцмана.
Как уже отмечалось в § 2.7, можно построить бесчисленное мно-
множество интегральных уравнений, эквивалентных уравнению Болыдмана.
Однако наибольшее распространение получили два из них (см. § 2.7):
t
fit, х. &) = /(*„, x-l(t-t0), |)-|- J J(s, x-$(t-s), l)ds A4.1)
fit, x, i)=
= f(t0, х — и* — *о
' f 1
-f |у,(т, x — l(t — x), |)expj — j J2(s, x—l(t — s), l)ds\dx,
A4.2)
где
J = J1—fJ2,
J^t, x, 1)=J f'f\gbdbdtd\v
J2(t, x, |)= f f\gb db dt d.%.
Интегралы Jx и J2 сходятся лишь для молекул с конечным радиусом
взаимодействия. Поэтому и интегральное уравнение A4.2) применимо
только для таких молекул.
Естественный путь отыскания решений интегральных уравнений —
это метод итераций. Этот метод применялся к обеим приведенным
формам интегральных уравнений для доказательства существования
решений уравнения Больцмана при заданной в начальный момент вре-
времени функции распределения1). Как уже отмечалось, сходимость
метода для конечного интервала времени доказана лишь для про-
пространственно-однородного случая и молекул с конечным радиусом
взаимодействия (для сфер — Карлеманом и для псевдомаксвелловских
молекул — Моргенштерном). Если начальная функция распределения
зависит от х, то сходимость последовательных приближений удается
доказать лишь для малого интервала времени (Град).
') См. работы Карлемана. Моргенштерна и Града, цитированные на
стр. 79.

222 ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА 11 Л. II!
Интегральным методом итераций решен также ряд задач для
течений, близких к свободномолекулярным (см. § 4.2 и § 6.5).
Легко видеть, что решение стационарных и нестационарных задач
с помощью уравнений A4.1) и A4.2) совершенно одинаково. Поэтому
можно вместо последовательных приближений рассматривать нестацио-
нестационарный процесс установления').
Пусть отыскивается решение некоторой стационарной задачи.
Зададим в момент (=0 некоторую функцию распределения/@, х, |),
которая в общем случае может не удовлетворять граничным условиям.
Из физических соображений ясно, что с течением времени функция
распределения должна стремиться к некоторому стационарному реше-
решению уравнения Болыдмана, удовлетворяющему заданным граничным
условиям (однако, это строго не доказано, как не доказана и един-
единственность такого процесса установления).
Выберем достаточно малый интервал времени А^, такой, чтобы
за это время интеграл столкновений изменился лишь на величину
порядка ht. Тогда, пренебрегая величинами порядка (Д^J, уравне-
уравнение A4.1) можно переписать и разностной форме:
/(*„, *. £) = /(*„_!. x-lht, |) + ^-i(^-,. *. l)bt. A4.3)
Как и в методе дискретных скоростей (см. предыдущий параграф),
счет можно вести для некоторого множества значений |v (v=l, ...
..., т). Выбранные т направлений можно рассматривать как харак-
характеристики и строить решение подобно тому, как это делается для
гиперболических дифференциальных уравнений.
Два процесса ведут к изменению интеграла столкновений. С одной
стороны, в данную точку пространства приходят молекулы из других
областей течения. Если L — характерный размер течения и |—харак-
|—характерная скорость молекул, характерным временем этого процесса будет
0, = L\\. С другой стороны, если бы даже функция распределения
была однородной по пространству, то она изменялась бы в резуль-
результате столкновений молекул. Характерным временем этого процесса
является время релаксации, или время между столкновениями молекул,
62= 1^=: А,/|, где X—характерная длина пробега молекул. Поэтому
td должно быть меньше минимального из времен 0, и в2> и вычисли-
вычислительный процесс, определяемый формулой A4.3), практически при-
применим лишь при не слишком малых числах Кнудсена. Процесс A4.3)
аналогичен простейшему методу Эйлера численного интегрирования
обыкновенных дифференциальных уравнений. Используя более слож-
сложные аппроксимации интеграла столкновений, легко построить аналоги
более точных методов, типа, скажем, Рунге—Кутта.
Практическая реализация подобных вычислительных процессов
наталкивается на две трудности. Во-первых, вычисление интеграла
')' К о г а н М- Н., Журнал прикл. механики и техн. физики, № 3 A963)

§ 3.14] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ 223
столкновений представляет собой весьма сложную задачу, так как
необходимо не только выполнять квадратуры, но и попутно рассчи-
рассчитывать результат столкновения молекул. Во-вторых, и это принци-
принципиальная трудность, на каждом шаге необходимо запоминать функцию
распределения, зависящую, в общем случае, от семи независимых
переменных (число т выбранных скоростей для получения хорошей
точности должно быть очень велико).
Сокращения потребной памяти можно добиться введением удачной
аппроксимирующей функции
f(t,x,t,)=Fa, A,,..., Av)=r,(i, Мг MN). A4.4).
Как и в методе моментов (см. § 3.2), умножая уравнение A4.3) на
некоторые функции скоростей <р(§) и интегрируя по |, получим
уравнения типа
Mt(tn, x)=j /л-1Ф(|)^ + /ф1 „_, ■ А/. A4.5)
Для максвелловских молекул, как показано в § 3,3, интегралы /
могут быть сравнительно просто выражены через моменты. Заменяя
/я-i чеРез моменты с помощью аппроксимирующей функции A4.4)
и применяя некоторую подходящую квадратурную формулу, мы
в конечном счете находим зависимость моментов на я-м шаге в точке х
от моментов на (я— 1)-м шаге в той же точке и некотором мно-
множестве соседних точек.
Легко видеть, что если положить
= /(*„_„ х,
то мы перейдем к дифференциально-моментному методу § 3.2. Вообще
всегда можно установить переход от интегрально-моментного метода
к дифференциальному. В различных ситуациях может оказаться пред-
предпочтительнее тот или иной подход. При интегральном подходе мы
следим за эволюцией функции распределения вдоль траектории моле-
молекул, и при построении вычислительной схемы легко правильно учесть
физику явлений (области влияния, разрывы функции распределения
и т. п.). При дифференциальном подходе получающиеся дифференци-
дифференциальные уравнения различны для различных аппроксимирующих функ-
функций и при различном выборе функций ф(|), используемых для
построения моментных уравнений. Для построения корректной вычи-
вычислительной схемы необходимо исследование свойств (отыскание ха-
характеристик) сложных систем дифференциальных уравнений для каждой
аппроксимирующей функции.
При интегральном подходе естественным образом входят граничные
условия (точка (tn_x, х—| At, |) может лежать на границе). В § 3.5
мы уже упоминали о трудностях, связанных с формулировкой

224 ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БОЛЫДМАНА [ГЛ. Ill
граничных задач для дифференциальных моментных уравнений. По-
Поскольку всегда можно найти переход от интегрального подхода к диф-
дифференциальному, то с помощью интегральных методов можно устано-
установить корректные граничные условия для дифференциальных моментных
уравнений.
Использование метода установления для решения стационарных
задач представляется удобным, но не является обязательным. С по-
помощью уравнений A4.3) или A4.5) можно завязать значения функций
распределения или моментов в узлах некоторой сетки. Метод уста-
установления фактически является простейшей явной вычислительной
схемой решения получающейся сложной системы алгебраических ура-
уравнений. Сходимость метода должна быть установлена в каждом
конкретном случае.
Описанные подходы могут быть также применены к уравне-
уравнению A4.2)')•
§ 3.15. Методы Монте-Карло
Под методами Монте-Карло в приложении к задачам кинетиче-
кинетической теории будем понимать экспериментальные методы исследования,
в которых вместо проведения реального физического опыта произво-
производится математическое моделирование исследуемых явлений на быстро-
быстродействующих вычислительных машинах. Реальные молекулы заменя-
заменяются их статистическими моделями, и на вычислительных машинах
прослеживается движение одной или нескольких выбранных частиц.
Соответствующий математический эксперимент может быть поставлен
множеством способов. Ниже мы рассмотрим два типа экспериментов.
1. Одна из возможных реализаций метода Монте-Карло состоит
в следующем.
Пусть требуется, например, найти функцию распределения некото-
некоторого стационарного течения. Пусть граница рассматриваемой области
течения частично состоит из твердых поверхностей, а частично из
поверхностей, через которые газ может втекать или вытекать. На
твердых границах задана вероятность отражения со скоростью §,
частицы, падающей со скоростью |(- (см. §§ 2.9, 2.10). На осталь-
остальных частях границы будем считать заданной функцию распределения
молекул, скорости которых направлены внутрь области течения.
Пусть в начальный момент времени, скажем ^ = 0, функция рас-
распределения задана. Необходимо проследить за изменением функции
распределения в процессе установления стационарного течения, пред-
предполагая, конечно, что при заданных граничных и начальных условиях
такое предельное состояние существует. Однако не представляется
>) Б ар а и це в Р. Г., Доклады АН СССР 151, № 5 A963); Кук сен ко Б. В.,
Доклады АН СССР 151, № 5 A963).

§ 3.15] МЕТОДЫ МОНТЕ-КАРЛО 225
возможным проследить одновременно за движением огромного числа
(порядка числа Авогадро) молекул газа. Вместо этого выберем не-
некоторую частицу, которую будем называть пробной, и будем следить
за ее движением.
Разобьем фазовое пространсгпо на ячейки, число которых явля-
является результатом компромисса между требуемо!) точностью и распо-
располагаемой памятью вычислительной машины. Каждую ячейку можно
занумеровать шестью числами (Vj, v2, v3, [Ц, Ji^, !1з)' Первые три числа
определяют координаты, например, центра ячейки в физическом про-
пространстве, а последние три числа — центра ячейки в пространстве
скоростей.
Если в точке x = (ylt v2, v3) функция распределения известна, то
легко найти число частиц Wv ^ и И2М,з ==/Vv и в ячейке
обладающих скоростями в интервале
г'де Дл^ и Д|г —длины ребер ячеек соответственно в физическом и
скоростном пространствах. Если внутри ячейки функцию распределе-
распределения fit, х, §) можно принять постоянной, то, очевидно,
^ = /(^. v,, |x,)AjeAi, (Д4 = АЛ,АЛ2ДЛ3). A5.1)
Задание чисел N во всех ячейках фазового пространства равносильно
приближенному заданию функции распределения. Будем считать, что
в начальный момент все числа NVilli заданы.
Выберем теперь случайным образом пробную частицу. Для этого
необходимо разыграть шесть случайных чисел с плотностью вероят-
вероятности, пропорциональной функции распределения 1). Другими словами,
плотность распределения случайных чисел должна быть такой, чтобы
в результате достаточно большого числа розыгрышей количество
точек, попадающих в каждую из ячеек фазового пространства, было
пропорциональным заданным в них числам N.
Проследим за движением пробной частицы среди частиц с задан-
заданным распределением (полевые частицы). Будем считать, что характер-
характерный размер ячеек физического пространства Ах много меньше сред-
средней длины пробега молекул. В своем движении пробная молекула
одни ячейки проходит без столкновений, в других испытывает столк-
столкновения, изменяя скорость. Когда пробная частица переходит из
') Обычно стандартные программы дают случайные числа с равномер-
равномерным законом распределения в интервале 0<g<l. Методы получения слу-
случайных величин с заданным распределением описаны в руководствах по
методу Монте-Карло (см., например, Б у с лен ко Н. П. и Шрейдер Ю. А.,
Метод статистических испытаний, Физматгиз, М., 1961).
15 М. н. Коган

226 ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ЕоЛЫДМАНА [ГЛ. 111
одной физической ячейки в другую, она также переходит в другую
ячейку фазового пространства, соответствующую той же скорости.
Когда пробная молекула испытывает столкновение, она переходит
в другую ячейку фазового пространства, соответствующую той же
ячейке физического пространства, но другой скорости.
Молекула, входящая в некоторую физическую ячейку со ско-
скоростью (Цр ц2, ц3), имеет вероятность пройти расстояние L без
столкновения, равную (см. § 1.4)
x 1, A5.2)
где Xv ц — длина пробега пробной молекулы со скоростью \х относи-
относительно всех других групп молекул, имеющихся в ячейке (vu v2, v3),
'
При разыгрывании случайной величины L с плотностью вероятности
A5.2) возможны два исхода. Если окажется, что LjY\x\ -f ц|-)- ц|
больше времени нахождения молекулы в рассматриваемой ячейке tViil,
то молекула переходит в соседнюю ячейку, не изменив скорости, и
вновь разыгрывается вероятность пробега L. Если же окажется, что
^•/Wi + М| + Н-з ^ ^ , то в рассматриваемой ячейке произошло
столкновение. (Молекулы с данной скоростью, проходящие ячейку
в разных местах, имеют различное время пролета. Поэтому под tV(ll
понимается среднее время.)
Для того чтобы определить скорость молекулы \ij, с которой
произошло столкновение, необходимо разыграть случайное число
с плотностью вероятности
W^^g^a^N^.. ' A5.4)
После этого разыгрываются два случайных числа, определяющих
параметры столкновения (прицельное расстояние, и плоскость столк-
столкновения). Когда все эти числа выбраны, можно по законам механики
рассчитать результат столкновения.
Числа заполнения ячеек фазового пространства ^%Л> очевидно,
пропорциональны вероятности нахождения в соответствующей ячейке
(vi> v2. v3) физического пространства молекулы со скоросчыо (ц,,, (х2, ц3)
в интервале Д^. С другой стороны, Очевидно, вероятность нахожде-

§ 3.15] МЕТОДЫ МОЙТЕ КАРЛО 227
ния молекулы с данной скоростью в данной ячейке физического про-
пространства пропорциональна числу попаданий молекул с такой ско-
скоростью в ячейку и времени пребывания в ней молекулы. Поэтому,
если, следя за пробной молекулой, мы будем суммировать время,
проведенное пробной частицей в соответствующей физической ячейке
при соответствующей скорости, ю отношение этого времени к пол-
полному времени испытания определит некоторую функцию распреде-
распределения.
Возникает естественный вопрос: в течение какого времени следует
следить за выбранной пробной молекулой?
Как видно из сказанного выше, статистическая модель пробегов
и столкновений в рассматриваемом методе точно та же, что и при
выводе уравнения Больцмана. Поэтому можно ожидать, что если бы
заданная функция распределения полевых частиц была решением
уравнения Больцмана для рассматриваемой задачи, то, наблюдая за
пробной молекулой достаточно долго и запоминая время ее пребыва-
пребывания в ячейках фазового пространства, мы в пределе получили бы
ту же функцию распределения.
В рассмотренной же выше задаче заданная начальная функция
распределения не является решением задачи. Истинная функция рас-
распределения начнет перестраиваться. Поэтому естественно ограничить
время слежения за выбранной пробной молекулой временем, в течение
которого функция распределения меняется мало. Следовательно, для
моделирования физического процесса время слежения At должно удо-
удовлетворять неравенству
где | — характерная скорость молекул, L — характерный размер те-
течения и X—средняя длина пробега, По истечении времени слежения
At нужно тем же путем выбрать новую пробную молекулу и повто-
повторить описанный процесс.
Однако опыт расчетов (см., например, §§ 4.2 и 4.4) показывает,
что условие A5.5) является излишне, жестким и что процесс сходится
и при значительно большем времени слежения. Очевидно, что время
слежения может быть увеличено, если начальная функция распреде-
распределения близка к искомой.
Назовем процесс слежения за одной пробной молекулой циклом.
Время, проводимое каждой из пробных частиц в ячейках, суммируется.
Когда отношение этого времени к полному времени испытания (время
всех циклов) установится во всех ячейках, можно принять эти уста-
установившиеся величины за новую начальную функцию распределения и
повторить весь процесс сначала. Расчет заканчивается, когда полу-
получаемая функция распределения не отличается с необходимой точ-
точностью от функции распределения предыдущего приближения.
15*

228 ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БОЛЫДМАНА (ГЛ. III
Скорость сходимости процесса, конечно, в существенной мере
зависит от того, насколько удачно выбрана начальная функция* рас-
распределения.
Выше мы оставили в стороне возможность попалания пробной ча-
частицы на границу области. Если пробная частица попадет на границу,
то слежение за ней прекращается и выбирается новая пробная ча-
частица, идущая от границы. Если молекула попала на твердую стенку,
то новая молекула выбирается в точке падения с плотностью вероят-
вероятности, соответствующей закону отражения.
Если пробная молекула падает на проницаемый участок границы,
то разыгрывается (с плотностью вероятности, соответствующей за-
заданной функции распределения входящих в объем частиц) не только
скорость входящей частицы, но и точка входа. Суммарное число
входящих и выходящих частиц при такой процедуре одинаково.
Однако в каждой точке границы потоки частиц в ту и другую сто-
стороны в общем случае не равны.
Описанный выше метод построен по аналогии с процессами, про-
происходящими в реальном газе. В его основе лежат те же статисти-
статистические гипотезы, что и в уравнении Больцмана. Однако строгая тео-
теория метода, основанная на последовательном рассмотрении имеющих
здесь место марковских процессов, еще не создана. В имеющихся
к настоящему времени реализациях метода оправданием выбранной
постановки математического эксперимента служило правдоподобие по-
полученных результатов (см. §§ 4.2, 4.4, 6.6). Сходимость метода для
каждой задачи проверялась в процессе расчетов.
Результаты расчетов по методу Мопте-Карло являются осредне-
осреднениями некоторого множества случайных величин. Как и всякие сред-
средние статистические величины, результаты метода Монте-Карло под-
подвержены флуктуациям, тем большим, чем меньше число осредняемых
величин. Точность метода растет обратно пропорционально корню
квадратному из числа розыгрышей. Поэтому для получения большой
точности может потребоваться практически неприемлемый объем вы-
вычислений. На результаты метода Монте-Карло следует смотреть как
на результаты эксперимента, всегда подверженные определенному
разбросу, обусловленному ошибками измерений.
Одним из основных препятствий для широкого применения метода
является малая оперативная память современных вычислительных ма-
машин. Действительно, необходимо в каждой фазовой ячейке помнить
как искомую функцию распределения, так и функцию распределения
предыдущего приближения. Кроме того, целесообразно (чтобы при
каждом попадании частицы в ячейку не считать заново) для данного
приближения заранее рассчитывать во всех ячейках величины t^.^
и %v ц Если взять на каждой пространственной и скоростной коор-
координатах хотя бы по десять точек, то число ячеек для трехмерной

§ 3.15] МЕТОДЫ МОНТЕ-КАРЛО 229
задачи окажется порядка 106. Практически при расчетах количество
запоминаемых чисел еще в 10 или 100 раз больше. Поэтому в на-
настоящее время расчеты осуществлены лишь для одномерных задач,
когда имеются одна пространственная и две скоростных координаты.
Потребную память можно существенно сократить для псевдомакс-
велловских молекул или, точнее, для молекул, сечения столкновения
которых изменяются обратно пропорционально относительной ско-
скорости сталкивающихся молекул 1).
Действительно, так как в этом случае о*= o0g0lg, то длина про-
пробега, согласно A5.3), будет определяться выражением
и для определения вероятного свободного пробега пробной молекулы
необходимо в каждой геометрической ячейке помнить лишь полное
число находящихся в пей молекул ^VVlV2Vj, а не распределение этого
числа молекул по различным скоростям (т.е. числа Nvvv„„).
Вероятность столкновения (i-пробной молекулы с р^-полевой мо-
молекулой для рассматриваемых молекул равна
. A5.4a)
Если движение пробной частицы происходит в соответствии с функ-
функцией распределения /, то частота ее попадания в ячейку, очевидно,
пропорциональна f {\i)\i. Время же ее пребывания в ячейке пропор-
пропорционально l/|i, и, следовательно, вероятность обнаружения молекулы
в ячейке пропорциональна
Пусть в данной пространственной ячейке мы запомнили ско-
скорость ц*. Пусть при следующем, (&+1)-м попадании пробной мо-
молекулы в ячейку она имеет скорость \х. Тогда, если мы запомним
в ячейке с вероятностью g — 1Дх скорость ц, т. е. положим ц(* + 1> = ц
и с вероятностью 1—g положим ц,(*+1) = ц(*), то в среднем (при
достаточно большом числе попаданий пробной молекулы в ячейку)
вероятность обнаружения молекулы со скоростью \Xj будет пропор-
пропорциональна функции f(\ij). Но последней, согласно A5.4а), пропор-
пропорциональна и вероятность столкновения ц-молекулы с Цу-молекулой.
Поэтому в каждой геометрической ячейке достаточно запоминать
>) Власов В. И., Доклады АН СССР 167, № 5 A966).

230 ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БОЛЫДМАНА (ГЛ. III
лишь одну скорость цЛ по указанному рецепту. Если при (fe-f- 1)-м
попадании пробной молекулы в данной ячейке произойдет столкно-
столкновение, то оно произойдет с молекулой, обладающей скоростью цЛ,
Таким образом, для молекул с сечением столкновения, обратно
пропорциональным относительной скорости, в каждой геометрической
ячейке достаточно запоминать лишь общее число молекул в этой
ячейке и одну скорость, в то время как в общем случае нужно за-
запоминать всю функцию распределения. Если в трехмерном случае
для произвольных молекул вдоль каждой скоростной координаты за-
запоминать лишь по 10 скоростей, то в каждой пространственной
ячейке нужно запомнить 103 чисел. Следовательно, для псевдомакс-
велловских молекул потребную память можно понизить примерно на
три порядка, Это делает реальным расчет сложных двух- и трехмер-
трехмерных течений методом Монте-Карло на современных вычислительных
машинах.
Простейшие реализации метода Монте-Карло даны в §§ 4.2,
4.4, 6.6.
2. Рассмотрим теперь другую возможную схему расчетов, в ко-
которой одновременно следят за движением большого числа молекул.
В § 2.11 мы видели, что для сохранения подобия течений необ-
необходимо сохранение числа Кнудсена. Подобие может быть соблюдено
при сохранении произведения числа частиц на сечение столкновения.
Другими словами, рассматривая газ с небольшим числом больших
шаров, мы моделируем движение газа с большим числом малых ча-
частиц. Однако уменьшение числа частиц не беспредельно. Во-первых,
при уменьшении числа частиц увеличиваются флуктуации. Во-вторых,
при сохранении произведения яо*— const и уменьшении числа частиц
возрастает объем, занятый молекулами, и представляемый ими газ
с некоторого момента уже нельзя считать идеальным. В-третьих, за-
заменяя одной большой молекулой несколько малых молекул, мы фак-
фактически заменяем непрерывную функцию распределения ступенчатой.
В частности, пропадают молекулы с очень большими скоростями.
Представим себе, что все пространство разделено на кубические
ячейки, в каждой из которых еще. содержится достаточно большое
число молекул. Выберем некоторую ячейку и будем ее считать цент-
центральной. Пусть в начальный момент положения и скорости молекул
во всех ячейках одинаковы, т. е. функция распределения периодична.
Если в начальный момент распределение молекул отлично от макс-
велловского, то представленный себе газ в результате столкновений
начнет приближаться к равновесию. Будем следить за движением мо-
молекул в центральной ячейке. Если какая-либо молекула выходит из
этой ячейки, то вследствие периодичности через противоположную
грань войдет частица с той же скоростью. Движение молекул в цент-
центральной ячейке полностью определит движение во всем пространстве.

, 3,15]
МЕТОДЫ МОНТЕ-КАРЛО
231
В работах Олдера и Вайнрайта ') на вычислительной машине про-
проводился расчет для 32 и 100 молекул в ячейке. В начальный момент
все молекулы в виде сферических твердых шариков имели одинако-
одинаковую по величине скорость. Направление скорости выбиралось слу-
случайным. С помощью проведенных расчетов можно проследить про-
процесс установления равновесия.
Ниже приведены результаты расчетов для 100 шаров, занимавших
менее 1/14 объема. На рис. 17 приведено отношение числа частиц
И
10
3
8
7
6
5
4
3
г
Начальное
состояние
ПОСЛ9 SO
После /SO
столкновении
Но
1,3
1,2
'■'
"ее* « •• оа»
шо гоо
Число столкнобзкии
Рис. 17.
Рис. 18.
С данной скоростью Л/"(|) в рассматриваемом процессе к числу ча-
частиц Л/о(|) с той же скоростью в равновесии. По оси абсцисс от-
отложено отношение энергии частиц к средней энергии молекул. Когда
разыграно 150 столкновений, каждая молекула в среднем испытала
всего три столкновения. Из приведенного графика видно, что после
двух-трех столкновений распределение молекул уже весьма близко
к равновесному. Однако, вследствие малого числа рассматриваемых
частиц, в ячейке еще имеются значительные флуктуации.
Имея функцию распределения, можно в каждый момент времени
рассчитать /^-функцию Больцмана и проследить за ее стремлением
к равновесию. На рис, 18 показано изменение отношения Я-функ-
ции к ее равновесному значению во времени. Когда каждая молекула
') Alder В., W a In w rig hi Т., J. Chem, Phys. 27, 1208 A957);
Wain wright Т., Alder В., Nuovo cimento 9, Suppl. 1, 116 A958).

232 ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА (ГЛ. III
испытывает два столкновения, Я-функция уже весьма близка к рав-
равновесной, однако предельное значение Я-функции несколько выше
равновесного. Это объясняется упоминавшимся выше пропаданием
молекул с очень большими скоростями (скоростями в 4-5 раз больше
средней).
Флуктуации Я-функции значительно меньше флуктуации функции
распределения. Этот факт является естественным и типичным для ме-
метода Монте-Карло. Суммарные характеристики (в данном случае
Я-функция) появляются в результате осреднения значительно боль-
большего количества случайных чисел, чем локальных (в данном случае
число частиц с данной скоростью). Поэтому методы Монте-Карло
особенно экономичны для расчета суммарных характеристик. В част-
частности, приведенный пример показывает, что замена огромного числа
молекул в реальном газе сравнительно небольшим их числом позво-
позволяет получить удовлетворительную точность для суммарных величин.
§ 3.16. Принцип максимальной вероятности
В § 2,5 показано, что максвелловское распределение является
наиболее вероятным при заданных числе частиц, их импульсе и энер-
энергии, В результате решения соответствующей простейшей вариацион-
вариационной задачи была получена функция распределения для равновесного
случая. Естественно попытаться отыскивать функцию распределения
как функцию наиболее вероятную и для неравновесных процессов').
Вероятность какого-либо распределения определяется /f-фупкцией
Больцмана (см, § 2,5)
J/dS. A6.1)
Будем отыскивать экстремум функционала A6.1) при некотором мно-
множестве дополнительных условий (моментов):
(а,. ,,,,а^=1, 2, 3), A6,2)
Условия A6,2) могут включать как равновесные («, иь Т), так и
неравновесные (Pij, q-t и т, д.) свойства течения.
Как и в § 2.5, введем множители Лагранжа, образуя функционал
«) Epstein P, S., Verhan. der Deuisch, Phys. Oes. 21, 96 A919); Ein-
Einstein Z., Ann. der Physik 69, H. 4, № 20 A922); Epstein P. S., Phys.
Rev. 23, 710—733 A924) (русский перевод в сб. «Газовая динамика», ИЛ,
1950; Коган А. М., Доклады АН СССР 158, № 5 A964); Guiraud J. Р.,
Rarefied Gas Dynamics, Third Symp., Acad. Press, 1963.

§ 3.16] ПРИНЦИП МАКСИМАЛЬНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ 233
Уравнение Эйлера вариационной задачи принимает вид
1п/ + 1 + 2Я^...вя1а1 ■■■laN = 0. A6.4)
Следовательно, наиболее вероятная функция распределения имеет
форму
{B<))) A6.5)
Для нахождения входящих сюда множителей Лагранжа необходимо
подставить найденную функцию распределения в условия A6.2). По-
Получающиеся связи позволяют выразить множители Х^ через заданные
моменты Мт.
Имея функцию распределения, выраженную через определяющие
задачу моменты, можно далее воспользоваться методом моментов
(см. §§ 3.2 и 3.4) для построения системы уравнений, которым
должны удовлетворять моменты или множители Лагранжа X .
Как указывалось ранее, точность метода моментов определяется
правильностью выбора формы функции распределения. Описанная
формальная процедура дает возможность для каждой конкретной за-
задачи отыскать наиболее вероятную при заданных определяющих за-
задачу макроскопических параметрах функцию распределения. Однако
формальное применение метода сразу же наталкивается на известные
трудности.
Первая трудность—математического свойства. Пусть рассматри-
рассматривается задача, в которой наивысшим определяющим задачу моментом
является нечетный момент, например поток тепла qL, Тогда при под-
подстановке функции распределения / в виде A6.5) в условия A6.2)
мы получим расходящиеся интегралы типа
+СО
J & ехР
и задача не имеет решения.
Если наивысшие моменты четные, как это было в § 2,5 при по-
построении равновесной функции распределения, то обусловленные не-
нечетными моментами расходимости подавляются более высокими чет-
четными моментами.
Более принципиальная вторая трудность состоит в выборе необ-
необходимого конечного числа моментов. Очевидно, что если, например,
при описании течения с отличным от нуля потоком тепла не включить qi
в число определяющих параметров, то полученная функция распре-
распределения не только не сможет обеспечить достаточную точность, но
может привести к качественно неверным результатам. Вообще же

234 ОБЩИ Г! МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА [ГЛ. III
говоря, в любой не вырожденной задаче имеется бесконечное число
отличных от пуля моментов.
Если бы найденная при выбранном конечном числе определяющих
моментов наиболее вероятная функция распределения являлась истин-
истинной функцией распределения задачи, то, очевидно, она должна
была бы удовлетворять уравнению Больцмана точно, а не в среднем —
конечному числу моментных уравнений. Если же наиболее вероятная
функция распределения не является точной и не удовлетворяет урав-
уравнению Больцмана, то необходимо выяснить даваемую ею степень при-
приближения, т. е. выяснить, каков вообще смысл выбора наиболее
вероятной функции.
Рассмотрим около точки х, в которой отыскивается функция
распределения f(t, х, |), некоторый физический объем с таким наи-
наибольшим характерным размером 6, чтобы внутри этого объема
с известной точностью можно было еще считать определяющие мо-
моменты постоянными.
Если ббльшая часть молекул пролетает выделенный объем без
столкновений, то, очевидно, функция распределения в точке х опре-
определяется процессами (столкновениями) вне рассматриваемого объема.
Следовательно, вероятность состояния в точке X в этом случае
ни в коей мере не определяется параметрами течения в этой точке.
Имеется бесчисленное множество функций распределения, соответ-
соответствующих одним и тем же макроскопическим определяющим пара-
параметрам (если число последних конечно). Поэтому приходящие в объем
молекулы при заданных в точке х определяющих параметрах могут
обладать распределением с произвольной вероятностью, а не с макси-
максимальной.
Столкновения внутри рассматриваемого объема являются тем един-
единственным механизмом, который может сделать функцию распределе-
распределения наиболее вероятной при заданных в этом объеме определяющих
макроскопических параметрах. Следовательно, для того чтобы можно
было говорить о наиболее вероятной функции распределения, число
молекул, входящих в объем за время порядка времени между столкно-
столкновениями, должно быть много меньше числа молекул в объеме. Число
молекул со скоростями в интервале d\ около скорости \ в рассма-
рассматриваемом объеме по порядку величины равно f(t, х, §) rf| б3,
а число молекул, вошедших в объем с той же скоростью за время
между столкновениями, пропорционально /й|62|т или ^62А,й?|, где
X — средняя длина пробега. Следовательно, сформулированное выше
требование сводится к условию
. A6.6)
Если некоторая молекула, скажем со скоростью |, вышедшая
из объема, замещается другой молекулой с той же скоростью, то
процесс установления наиболее вероятного распределения не изме-

§3.16] ПРИНЦИП МАКСИМАЛЬНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ 235
нится (при выполнении условия A6.6) и предположения о хаосе)-
Изменение в объеме числа молекул со скоростью | за время т равно
т § <£-n)fdS~li№^-b. A6.7)
s
где интегрирование ведется по поверхности объема S.
Эта величина должна быть много меньше числа молекул с той же
скоростью внутри объема /б3, т. е.
Следовательно, можно говорить о функции распределения как
о наиболее вероятной лишь для течений при малых числах Кнудсена,
т. е. для течений, близких к локально-равновесным. В этом случае
все моменты, за исключением гидродинамических, можно считать
малыми и линеаризировать выражение A6.5) относительно равно-
равновесной функции распределения, т. е. записать его в виде
После линеаризации уже не возникает расходящихся интегралов,
о которых речь шла выше.
Возьмем, например, в качестве определяющих параметров тринад-
тринадцать моментов п., u-v T, РС)- и qt. Для упрощения выкладок удобно
перейти к системе координат, движущейся со скоростью газа
в точке X. Тогда к,-=:0, | = c-t и условия A6.2) принимают вид
п=\ fdc, и,= 0= I c-J dc, |"/гГ= [ ~~ / dc,
J J . J A6.10)
Рц = m I CiCjf dc, ql = -p- cj dc.
Выражение A6.9) для рассматриваемого случая можно пере-
переписать в виде
(^y2l\ ffc[c2). A6.11)
Подставляя A6.11) в условия A6.10), после несложных выкладок
получим:
Тогда наиболее вероятная функция A6.11) принимает вид
\з/2 Г р . I ш\ q.

236 ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА [ГЛ. Ш
Полученное выражение совпадает с функцией распределения
тринадцатимоментного приближения Града (см. формулу C.34)).
Подстановка его в моментные уравнения приводит к трииадцати-
моментным уравнениям и, следовательно, и ко всем следующим из них
выводам (см. § 3.3). Однако следует заметить, что при выводе
тринадцатимоментных уравнений в выражении A6.12) величины р„ и qt
произвольны, в то время как в приведенном выводе их следует
предполагать малыми. В § 3.3 для максвелловских молекул при
малых Pij и qi из тринадцатимоментных уравнений C.27) и C.28)
были получены выражения для ptj и qt в навье-стоксовском и бар-
неттовском приближениях. Однако, как мы видели, более высокие
приближения для ptj и qt, полученные из тринадцатимоментных
уравнений, отличны от соответствующих приближений, получаемых
из полных моментных уравнений. Поэтому следствия, получаемые
с помощью принципа максимальной вероятности при тринадцати
определяющих параметрах п, щ, 7", р{-} и qh для максвелловских
молекул не выходят за рамки барнеттовского приближения
метода Энского.. Все прочие результаты, которые могут быть полу-
получены из соответствующих тринадцатимоментных уравнений, являются
внепорядковыми.
Более того, в §§ 3.3 и 3.8 мы видели, что для произвольных
немаксвелловских молекул из тринадцати- и двадцатимоментных урав-
уравнений нельзя получить даже уравнения Навье — Стокса с правильными
значениями коэффициентов переноса (значения коэффициентов вяз-
вязкости и теплопроводности могут быть найдены лишь в первом при-
приближении в смысле Энскога, см. § 3.8). Как показано в § 3.3,
максвелловскис молекулы являются исключительными, так как для них
при малых числах Кнудсена (Кп = «-^-0) высшие моменты (точнее,
коэффициенты дИ разложения функции распределения в ряд по
полиномам Эрмита, являющиеся линейной функцией моментов) имеют
порядок б2 и выше. Для произвольных же молекул вся бесконечная
цепочка моментов (точнее, коэффициентов а^У) имеет порядок е,
как и ptj и qt. Поэтому, хотя в практических приложениях обычно
интересуются лишь первыми тринадцатью моментами, мы не имеем
права при выборе определяющих параметров ограничиться только
этими моментами, а необходимо учитывать бесконечное число
определяющих параметров даже для получения функции рас-
распределения в навье-стоксовском приближении, и, следовательно,
в скобку выражения A6.11) необходимо добавить бесконечное число
членов вида X<^f) а с„ . . . са .
I ' N I N
В то время как равновесное состояние газа определяется конеч-
конечным числом макроскопических параметров, состояния, близкие

§ 3.17] КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ И НЕРАВНОВЕСНАЯ ТЕРМОДИНАМИКА 237
к равновесным, в общем случае определяются бесконечным числом
макроскопических параметроя.
Таким образом, для произвольных молекул результаты, которые
могут быть обоснованно получены с помощью принципа максимальной
вероятности (энтропии), при учете бесконечного числа моментов равно-
равноценны учету членов порядка е в ряде Эискога, т. е. приближению
Навье — Стокса. Результаты, получаемые с учетом лишь тринадцати
моментов, не позволяют получить даже точные уразнения навье-
стоксовского приближения.
Использование наиболее вероятной функции распределения при
произвольных числах Кнудсена представляется не многим более обо-
обоснованным, чем применение произвольно выбранной функции.
По-видимому, в некоторых случаях принцип максимума энтропии
может быть использован для приближенного вычисления коэффи-
коэффициентов переноса, входящих в уравнения типа Навье—Стокса для
сложных систем, для которых строгая теория еще не создана.
К рассмотренному вопросу тесно примыкает проблема, выдвинутая
еще II. и Т. Эренфестами'). Рассмотрим некоторый неравновесный
процесс, скажем передачу тепла газом, расположенным между пласти-
пластинами с различной температурой. Если в начальный момент функция
распределения молекул газа между пластинами задана произвольно,
то, очевидно, начнется процесс установления, и при /—>оо устано-
установится стационарное состояние. Возникает Ronpoc, является ли стацио-
стационарная функция распределения в некотором смысле наиболее вероят-
вероятной. Для ограниченного круга задач, к которым применима термо-
термодинамика необратимых процессов, ответ в известной мере дается так
называемым принципом минимума возникновения энтропии2). Однако
при произвольных числах Кпудсона аналогичный принцип еще не уста-
установлен. В общем случае можно говорить лишь о вероятности для всей
системы, а не для функции распределения в точке. Во всяком случае
из соответствующего вариационного принципа, пригодного при всех
числах Кнудсена, должно вытекать уравнение Больцмана, т. е. решение
вариационной задачи должно удовлетворять и уравнению Больцмана.
§ 8.17. Кинетическая теория и неравновесная термодинамика
В термодинамике для характеристики состояния макроскопической
системы фундаментальное значение имеет понятие энтропии £Р.
Энтропия может изменяться как в результате притока ее через
границы системы, так и в результате ее возникновения внутри системы:
d£f = d&eArd&'i, A7.1)
^Ehrenfest P., Ehrenfest Т., Encyk. d. math. Wissenschafi. 4,
№ 32, Leipzig, 1911.
2) Пригож и и И., Введение в термодинамику необратимых процессов,
ИЛ, 1960.

238 ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БОЛЫДМАНА [ГЛ. III
где d&\—приток энтропии извне и d£Pt—производство энтропии
внутри системы. Второй закон термодинамики утверждает, что
d&t>0. A7.2)
Термодинамика и статистическая физика изучают обратимые про-
процессы, для которых Aа?1 = 0, т. е. процессы, в которых система
переходит из одних равновесных состояний в другие равновесные
состояния через последовательность равновесных же состояний.
Неравновесная термодинамика (или термодинамика необратимых про-
процессов, квазитермодинамика), как и кинетическая теория, изучает
неравновесные процессы. Цель настоящего параграфа — показать
соотношение этих дисциплин.
Основные положения неравновесной термодинамики') схематизи-
схематизирование рассмотрим на примере смеси идеальных одноатомных газов
в отсутствие внешних сил и химических реакций.
Термодинамика неравновесных процессов является наукой фено-
феноменологической и имеет дело с макроскопическими величинами. Для
смеси идеальных нсреагирующих газов должны выполняться уравнения
сохранения (9.18) — (9.21), которые запишем в виде
дпк дп"ик
~Ы 'г'~дх~^ = 0' A7-3)
dt^pdxr~U' \dt — dt Л Jr dxr)' {UA>
dlii дР>г , r.
dU _ dqr p дщ .
9ЧГ — ~дхг~~1г~Ш7' {и-Ь)
где U — внутренняя энергия единицы массы газа, равная для одно-
одноатомного газа энергии поступательного движения молекул:
A7.7)
В неравновесной термодинамике делается существенное пред-
предположение о том, что энтропия системы, в которой происходят не-
необратимые процессы, является той же функцией состояния, что и для
равновесной системы. В соответствии с этим считается, что изменение
энтропии вдоль траектории макроскопической системы определяется
') Систематическое изложение термодинамики неравновесных процес-
процессов можно найти в монографиях: Пригожим И., Введение в термо-
термодинамику необратимых процессов, ИЛ, 1960; де Гроот С, Мазур П.,
Неравновесная термодинамика, «Мир», 1964.

§ 3.17] КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ И НЕРАВНОВЕСНАЯ ТЕРМОДИНАМИКА 239
формулой Гиббса:
где V = p~l— удельный объем, ц*— термодинамический потенциал
и с* = р*/р—массовая концентрация /е-й компоненты газа. Для
идеального газа термодинамический потенциал равен
ц* =—- In «*(—)' [hk=-^—\. A7.9)
Можно принять выражение A7.8) за определение энтропии
в неравновесной термодинамике.
Для энтропии можно записать очевидное уравнение сохранения:
A7.10)
где Jg> — полный поток энтропии и о—интенсивность источника
энтропии, или производство энтропии в единице объема в единицу
времени.
С помощью уравнения неразрывности A7.4) это уравнение при-
приводится к виду
d#> ,. ,t , ^ A7.11)
где
Jlff=Jff—- puff1.
Для потока энтропии J& постулируется, что он обусловлен лишь
потоком тепла J =qt и диффузионными потоками вещества
где
Jk = pk(ak — a) A7.13)
— диффузионные потоки.
Подставляя это выражение для потока энтропии в уравне-
уравнение A7.11), заменяя в последнем do?jut из соотношения Гиббса A7.8)
и исключая полные производные от U, р и ск с помощью уравнений
сохранения A7.3) — A7.6) для смеси идеальных газов, получим
j^^—^pir^-. A7.14)

240 ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА [ГЛ. ИГ
Следовательно, производство энтропии можно записать в виде
o = 2lJlXl, A7.15)
i
где Jl — потоки и X-t— сопряженные им термодинамические силы
Соотношение A7.14) или A7.15) позволяет определить термо-
термодинамические силы, сопряженные соответствующим потокам. Потоки,
принимаются линейно связанными с сопряженными термодинамиче-
термодинамическими силами, т. е.
п
Ji=%LtjXf (/=1 п). A7.16)
В качестве потоков Jt могут быть потоки тепла, диффузионные
потоки и т. д., а термодинамическими силами Xt — градиенты тем-
температуры, концентрации, скоростей и т. д. Соотношение A7.16)
предполагает, что любые градиенты в общем случае могут вызвать
любой поток.
Для систем, удовлетворяющих перечисленным предположениям,
доказывается, что феноменологические или кинетические коэффи-
коэффициенты L-tj удовлетворяют соотношениям симметрии Онзагера:
Ll} = L}l. A7.17)
Заметим, что соотношения Онзагера выполняются лишь тогда, когда
в A7.16) входят сопряженные потоки и термодинамические силы
в соответствии с выражением A7.15).
Сравнивая постулаты квазитермодинамики с полученными в пре-
предыдущих параграфах кинетическими результатами, легко заметить,
что предположение о линейной связи потоков с градиентами спра-
справедливо лишь для навье-стоксовского приближения. Следовательно,
неравновесная термодинамика применима лишь для описания
состояний, близких к равновесным, а извлекаемая с ее помощью
информация не может превосходить информацию, даваемую учетом
первого члена разложения по отклонению от равновесия.
Часто к этому же результату приходят, сравнивая приведенные
выше выражения для энтропии, потока энтропии и производства
энтропии с соответствующими выражениями, полученными из кинети-
кинетического определения энтропии (см. § 2.5)
Однако это сравнение неправомерно, так как соотношения A7.8) и
A7.11) можно рассматривать как определения энтропии и произ-
производства энтропии в неравновесной термодинамике, не зависимые от
кинетического определения энтропии.

§ 3.17] КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ И НЕРАВНОВЕСНАЯ ТЕРМОДИНАМИКА 241
Важнейшим и, по-видимому, единственным результатом термо-
термодинамики неравновесных процессов являются соотношения Онзагера,
позволяющие связать различные явления. Легко проверить, что соот-
соотношения Онзагера выполняются и в кинетической теории в рамках
приближения Навье — Стокса. Для этого достаточно в выражениях
(9.62), (9.65) и (9.67) выделить коэффициенты при термодинамических
силах, определенных соотношением A7,14).
В отличие от кинетической теории, термодинамика необратимых
процессов не дает никаких сведений о величине кинетических коэф-
коэффициентов. В то же время методы термодинамики необратимых про-
процессов применимы к весьма широком}' классу явлений (химические
реакции, фазовые переходы, кристаллы, тела в присутствии магнит-
магнитных полей и т. д.). Кинетическая же теория в настоящее время
удовлетворительно развита лишь для разреженных газов.

Глава IV
Решение уравнения Больцмана
для вырожденных течений
§ 4.1. Точные решения уравнения Больцмана
Ввиду сложной структуры интеграла столкновений в настоящее
время получено очень небольшое число точных решений уравнения
Больцмана. Несмотря на то, что большая часть этих решений описы-
описывает весьма искусственные ситуации, они представляют большую
ценность как эталонные решения для апробации приближенных
методов расчета, а также дают ценную информацию о качественном
поведении решений уравнения Больцмана.
1. Наиболее важным точным решением является абсолютное
максвелловское распределение, характеризующее газ, находящийся
в равновесии в отсутствие поля сил:
т \3/2
) е
Эта функция обращает в нуль как интеграл столкновений, так
и левую часть уравнения Больцмана, так как входящие в нее макро-
макроскопические величины п и Т не зависят от координат.
Естественным обобщением этого решения является барометри-
барометрическая формула Больцмана. Запишем уравнение Больцмана для газа,
находящегося в стационарном состоянии в поле сил, обладающем
потенциалом ср:
dL±^d
*" dx-t m dxi dli
Будем искать решение этого уравнения в виде
f=A(x)e-BW. A.3)
Подставляя A.3) в уравнения A.2), имеем
i--|-2 ^^-1^-^ = 0, A.4)
i ' m dxi j fe" dxi ч '
так как функция A.3) обращает интеграл столкновений в нуль.
Так как скорость | является независимой переменной, то из A.4)

§1.1) ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА 243
следует, что
В — const и In А -| • ф = 1п С —■ const. A.5)
Следовательно,
чв
Для определения констант В я С используем соотношения:
й\ = С ^д е т Ф, A.7)
3 1 Г т-? 1 ^-3/2 ^-^
2 ' л J 2 у иь~ п Вз/2 2В
откуда
/и \з/2
где п0—плотность газа в точке нулевого потенциала сил ф = 0.
Окончательно имеем:
(yV^~^P A.10)
n=noe~Jr. A.11)
В частности, в поле тяготения Земли q>= gh, где g—ускорение
силы тяжести и h — высота, получаем известную барометрическую
формулу Больцмана:
gh
п=пйе"^, AЛ2>
где «о — плотность у поверхности Земли.
Следует, однако, заметить, что решение A.10) является точным
решением уравнения Больцмана либо в безграничном пространстве,
либо при наличии границ, не нарушающих этого распределения.
Отметим, что условия A,5) и A,9) требуют, чтобы температура была
постоянной. Полученное решение является частным случаем локально-
максвелловского распределения.
Общее локально-максвелловское распределение
т. е. распределение, в котором гидродинамические величины п, и и Т
зависят от координат и времени, также обращает в нуль интеграл
столкновений. Однако левая часть уравнения Больцмана налагает
16* М. Н. Коган

244 РЕШЕНИЕ УР-НИЯ БОЛЬЦМАНА ДЛЯ ВЫРОЖДЕННЫХ ТЕЧЕНИЙ [ГЛ. IV
на изменение гидродинамических величин по t и х условия, выде-
выделяющие класс точных решенийг).
Перепишем уравнение Больцмана в присутствии поля сил в виде
где gl = Xllm—згск°Рение молекулы.
Будем искать локально-максвелловские решения уравнения A.14).
Локально-максвелловскую функцию удобно переписать в виде
ln/ = Yo + Y^ + Y4£2. (/=1.2,3), A.15)
где
\Ш
=^-^ AЛ6)
Поделим уравнение A.14) на / и подставим в него решение A.15).
Тогда, приравнивая члены при различных степенях £, получим:
4r + S^ = 0, A.17)
ё. AЛ8)
0. A.19)
■=0. A.20)
dxt
Вернемся в этих уравнениях к физическим переменным р, и1 и Г.
Из уравнения A.20) имеем
§-=0, A.20а)
т. е. температура постоянна по пространству, но может изменяться
во времени.
Так как Y4 или Т ие зависит от xt, то уравнение A.19) при-
принимает форму
д In Г / диг dui\
в«> —-К^-ЫН- (L21)
') Карлеман Т., Математические задачи кинетической теории газов,
ИЛ, I960; Qrad H., Comm. Pure and Appl. Math. 2, № 4 A949); Фрид-
лендер О. Г., Прикл. матем. и мех. 29, №5 A965).

§ 4.1] ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ЕОЛЫДМАНА 245
Сложим уравнения для i = j=l, 2, 3. Очевидно, эта свертка дает:
dlnT _ 2 duk
Тогда условие A.21) принимает вид
аиг ди, 2 дик
j^—L—_6^-^-f- = o. A.19a)
Уравнение A.18) в физических переменных переходит в
дщ a In Г RT др ди,
—- — и,—, 1 - — я -— g- = 0. A23)
dt l dt ' p дХ( ) дХ{ l ч
Умножим A.21) на aj и просуммируем по J; имеем
a In Г да, ди i
и1~~м 1~ и*-л \-а]—- = 0. A-24)
По определению /? = р/?Г, и так как Т не зависит от х,, то
Подставляя A.24) и A.25) в уравнение A.23), получим
Перепишем, наконец, в физических координатах уравнение A.17):
j_ ар з a in г и2 a in г »г а«г »г _ п ,, ог.
р dt ~~ 2 ~дГ~"г^г' ^ л? а^ ~г" лг «г —и- U-^oJ
Используя A.22) и A.18а), преобразуем это уравнение к виду
ар duii dp p / и2 а«* и/ а«2\
Легко проверить, что содержимое скобок равно нулю. Действи-
Действительно, умножая уравнения A.19а) на я;-яг и суммируя по I и j,
получим
/ ди, аи,Л 2 аиь ди2 2
/ ди, аи,Л 2 аиь ди 2 йиь
и _±_|_^ _ б,;И,и/-г-^ = И;-1 ^я2^- = 0. A.28)
v \ (?лг7- ' дх/1 ?, , Ч i I dxk ) dXj 3 дхк ч ;
Следовательно, уравнение A.27) можно записать в виде
Нетрудно заметить, что уравнения A.17а) и A.18а) суть не что
иное, как уравнения неразрывности и уравнения движения в при-
приближении Эйлера. Уравнение энергии в эйлеровском приближении

246 РЕШЕНИЕ УР-НИЯ БОЛЫДМАНА ДЛЯ ВЫРОЖДЕННЫХ ТЕЧЕНИЙ [ГЛ. IV
имеет вид (см. § 3.6)
что, очевидно, совпадает с уравнением A.22) при температуре,
не зависящей от пространственных координат. Условия A.20а) и
A.19а), очевидно, совпадают с требованием равенства нулю вектора
потока тепла и тензора напряжений в навье-стоксовском приближении.
Таким образом, решения уравнений Эйлера, удовлетворяющие
условию равенства нулю вектора потока тепла и тензора напряже-
напряжений, а следовательно, являющиеся одновременно и решениями урав-
уравнений Навье — Стокса, являются точными решениями уравнения
Больцмана с локально-максвелловской функцией распределения.
Проанализируем теперь характер возможных локально-максвел-
ловских течений, определяемых системой уравнений A.17)—A.20).
Продифференцируем уравнение A.19) по xk; так как ду4/дхк = 0,
то
xj dxk + дх{
A.30)
Прибавляя к A.30) и вычитая из него уравнения, полученные из
A.30) циклической перестановкой индексов, получим
Следовательно, yt имеет вид
4i(t,x) = ai(t)+bt](t)x]. A.32)
Подставляя выражение A.32) в уравнение A.19), найдем, что
— Ьц при I ф J,
—-jf ПРИ l = J-
Поэтому A.32) можно переписать в векторной форме:
Y(*. *) = а(О—^r*H-(w@X*), A-33)
где (ft (t)—вектор угловой скорости вращения газа как твердого
тела.
Так как вектор,V. согласно связям A.16), пропорционален ско-
скорости и, то из A.33) следует, что возможные движения являются
суперпозицией поступательного движения, радиального расширения и
вращения как твердого тела.
Перепишем уравнение A.18) в векторной форме:
^ = О. A.186)

§ 4.1] ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА 247
Применив к этому выражению операцию ротора и представив Y
в виде A.33), получим
TOtg(t.X) = -±*jP; A.34)
откуда
4Ч
где q>(t, х)—потенциал.
Заменяя в уравнении A.186) функции g и \ соответственно их
выражениями A.35) и A.33), получим после интегрирования сле-
следующее выражение для Yo(^> •*)'•
2$ Bg ) ). A.36)
где b(t)—произвольная функция интегрирования.
Подставляя теперь найденные выражения для g и у0 в уравне-
уравнение A.17), получим
д2а Л dbjtl \ (Г \ дт 1 \\ ,
Уравнение A.37) можно рассматривать как дифференциальное
уравнение в частных производных первого порядка, определяющее
потенциал, совместимый с локально-максвелловскими течениями при
произвольно заданных функциях времени у4, а, а> и Ъ, так как на
последние уравнения A.17)—A.20) не налагают условий.
Наоборот, если считать потенциал заданным, то уравнение A.37)
накладывает связи на функции ^4- а< о> и 6. После нахождения
потенциала или функций Y-e а, <» и # плотность и скорость потока
находятся по формулам A.36) и A.33).
В стационарном течении из A.33) и A.37) Имеем
V = ©X*. (v-grad<p)=O,
т. е. газ может вращаться как целое (перенос с постоянной ско-
скоростью несуществен), а сила должна быть направлена перпендику-
перпендикулярно скорости. При со —y = 0 потенциал произволен, и мы возвра-
возвращаемся к барометрической формуле.
2. Локально-максвелловское распределение тождественно обра-
обращает в нуль интеграл столкновений. Поэтому, оставаясь в классе
локально-максвелловских решений, нельзя получить представления
о поведении решений уравнения Больцмана для диссипативных про-
процессов. Рассмотрим класс точных решений с не равным нулю инте-
интегралом столкновений :).
') Никольский А. А., Доклады АН СССР 151, N2 2 и № 3 A963).

248 РЕШЕНИЕ УР-НИЯ БОЛЬЦМАНА ДЛЯ ВЫРОЖДЕННЫХ ТЕЧЕНИЙ [ГЛ. IV
Будем искать решения уравнения Больцмана
f ^{()etfg1 A.38)
в виде
fit, х, |) =
где y^{t) — пока неизвестная функция. Подставляя A.39) в уравне-
уравнение A.38), получим
-f[X, t(l-j.)]p[X, t(%-±)]}gt>dt>dedlv A.40)
Введем новые переменные:
{^) A.41)
Будем считать газ состоящим из молекул-шаров. Очевидно, что
молекулы-шары, сталкивающиеся со «скоростями» tc,— X и t%x— х,
после столкновения будут иметь скорости t%'—X и Щ — X, где |'
и |j — скорости молекул после столкновения, сталкивающихся со ско-
скоростями | и £х при тех же параметрах b и е.
Поэтому уравнение A.40) можно переписать в виде
Полагая
t. A')F(t, A[)-F(t, A), F{t,
X\A1—A\bdddedAv A.42)
окончательно получаем
Е- = J {F'F[ — FFX) \Al—A\bdbdtdAl. A.44)
Таким образом, соотношение A.39) выделяет класс решений пол-
полного уравнения Больцмана, в котором функции распределения в каждой
точке сопоставляется некоторое однородное по пространству реше-
решение уравнения Больцмана A.44).
Согласно A.43)
Х = С-!-£.. A.45)

§ 4.1] ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА 249
где С—некоторая константа. Следовательно, решение уравнения
Больцмана A.39) можно переписать в виде
) A.46)
К сожалению, в настоящее время мы не располагаем решениями
однородного по пространству уравнения A.44) при отличном от нуля
интеграле столкновений.
Однако можно получить одно интересное следствие и не имея
решения.
Пусть, скажем, в момент времени ^=1 функция распределения
задана соотношением
/(Л*. |) = .Р(С—!,§-*), A.47)
где F(C—1/3, А) — отличное от равновесного однородное по про-
пространству состояние газа в момент времени х = £—Ч%- Согласно
//-теореме предоставленное само себе равномерное по пространству
состояние стремится к равновесному максвелловскому, т. е. при ^—>оо
функция F стремится к абсолютному максвелловскому распределению.
Но из A.45) и A.46) следует, что при изменении t от 1 до со пере-
переменная ^ меняется лишь от С— 1/3 до С, и, следовательно, задан-
заданное соотношением A.47) состояние газа за бесконечное время t не
приходит к максвелловскому равновесию. Конечно, полученный ре-
результат ни в коей мере не противоречит //-теореме. Действительно,
рассмотренный класс решений описывает разлет газа. Если выделить
произвольную область в пространстве, то через ее границу непре-
непрерывно идет поток Я-функции, т. е. условия, необходимые для
//-теоремы, не выполняются (см. § 2.5).
3. В главе III отмечалось, что полученная с помощью полной
системы функций бесконечная система моментных уравнений эквива-
эквивалентна уравнению Больцмана. К числу таких систем относится,
в частности, система уравнений Града, построенная в § 3.3 с помощью
полиномов Эрмита. Один из путей построения точных решений урав-
уравнения Больцмана состоит в отыскании решений эквивалентной ему
системы уравнений для макроскопических величин (моментов).
Рассмотрим в момент времени ^ = 0 однородное по пространству
состояние газа, макроскопическая скорость которого равна нулю,
плотность р и температура Т 1). Пусть в то же время все более
высокие моменты отличны от нуля, в частности, ptj ф 0 и qt ф 0.
Очевидно, что скорость, плотность и температура газа не меняются
при t > 0. Изменения во времени тензора напряжений рц и век-
вектора потока тепла ql для максвелловского газа можно получить
') Or ad H., Comm. Pure and Appi. Math. 2, № 4 A949). Русский пере-
перевод в сб. «Механика», N° 4, 5 A952).

250 РЕШЕНИЕ УРМИЯ БОЛЬЦМАНА ДЛЯ ВЫРОЖДЕННЫХ ТЕЧЕНИЙ [ГЛ. IV
непосредственно из формул C.39) и C.40) § 3.3. Действительно,
в этом случае, все производные по пространственным координатам
равны пулю, а следовательно, равны нулю и величины А1;- и Bt.
Поэтому, учитывая, что Тр в рассматриваемой задаче постоянно, имеем:
t 2 t
Pij(t) = Pij(O)e V ql(t) = qi(O)e 3 xv, . . . A.48)
Аналогичные выражения получаются для высших моментов. Эта же
задача рассматривалась нами в § 2.8 для модельного уравнения.
Там мы получили (см. формулу (8.26) главы II), что функция рас-
распределения стремится к равновесной по экспоненциальному закону.
Следовательно, по этому же закону с одним и тем же временем
релаксации затухают и моменты. В точной же постановке мы полу-
получили, что тензор напряжений затухает со временем релаксации т. ,
вектор потока тепла—со временем релаксации 3/2тр и т. д., т. е.
время релаксации для различных процессов различно. Поэтому мо-
модельное уравнение часто обоснованно называют однорелаксационным
уравнением.
В работе В. С. Галкина ') предложен более общий класс реше-
решений, также позволяющий оборвать бесконечную систему уравнений и
получить замкнутую систему уравнений для конечного числа моментов.
Для удобства вновь выпишем уравнения для моментов до третьего
порядка включительно (см. § 3.3):
1+т£-(Р«г) = 0. A-49)
ди. ди, 1 др 1 др.
dt ' т дхт ' р дх; ~ р дхт ' v '
°L+*ipar)+2plrp.+ 2pL=0i A.51)
dt ' дхг yr " ' 3 ir dxr ' 3 dxr ' y '
dp, j д даМ, ir 2 dqr du.
ди; ди-,
P + P + P
4-1 (9aMi/k - Щ& - 2blkq} — ^flu) = 0. A.53)
Г а л к и н В. С, Прикл. матем. и мех. 22, № 3, 1958.

« 4.Ц ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА 251
Здесь
« = ~•. М.о = -j- = const, Alf = ~ (Аи 4- Ап) — ~ ЪцАы.
Будем искать решение, в котором все моменты, кроме ut, зависят
лишь от времени t, a ai линейно зависит от ху.
ui = \\iij(t)xj. A.54)
Поскольку четвертые моменты оМи^ (t) входят в уравнения A.53)
лишь под знаком дифференцирования по координатам, то они выпа-
выпадают из этих уравнений, и выписанная система уравнений становится
замкнутой. В то же время, как это видно из уравнений C.17) главы III,
в уравнениях высших порядков скорости at входят лишь в произ-
производные по координатам, и, следовательно, пространственные коорди-
координаты исключаются из этих уравнений. Выпадают из уравнений по-
порядка N ^> 4 также моменты порядка N~\-l. Для максвелловских
молекул скорости ut и моменты более высокого порядка не входят
также в члены, определяемые интегралом столкновений. Таким обра-
образом, моменты порядка выше третьего для рассматриваемого класса
течений могут быть последовательно найдены из рекуррентной си-
системы обыкновенных дифференциальных уравнений по t.
Остановимся на отыскании низших моментов с помощью системы
A.49) —A.53).
Из уравнения неразрывности A.49) имеем
( С \
р = роехр — I(t)dt\, (/(Г) = фи4-^29 + Фзз)' A.55)
V о /
Подставляя A.55) в уравнения импульсов A.50), получим:
r-*lV/1V = 0- A-56)
Наконец, уравнения A.51)—A.53) дают
= 0
= 0. A -59)

252 РЕШЕНИЕ УР-НИЯ БОЛЬЦМАИА ДЛЯ ВЫРОЖДЕННЫХ ТЕЧЕНИЙ [ГЛ. IV
Таким образом, для рассматриваемого класса течений система
уравнений A.49) — A.53) распалась на ряд систем. Уравнения A.56)
определяют фгу. Когда функции ф(-у- найдены, из уравнений A.57),
A.58) можно найти р и р^, а из системы уравнений A.59) — неза-
независимо o/Hi-jf,- Уравнение A.55) определяет плотность.
Простейшими решениями рассматриваемого типа являются сдви-
сдвиговое течение !)
Kj = const • х2, и2 = и3 = 0, р= const A-60)
и одномерный разлет 2)
«!=^-. a2 = a3 = 0, р =-£?-. A.61)
Сравнение этих точных решений с соответствующими решениями
уравнений Навье—Стокса и Барнетта показало, что во многих слу-
случаях уравнения Барнетта оказываются значительно точнее уравнений
Навье — Стокса при увеличении чисел Киудсена. При больших числах
Кнудсена разложения около свободномолекулярных течений (т. е.
по 1/Кп) оказались достаточно точными в гораздо более широкой
области, чем это можно было ожидать (вплоть до чисел Кп ■—' 1).
Найденные из приведенных уравнений моменты не позволяют вос-
восстановить соответствующую им функцию распределения, являющуюся
решением уравнения Болыдмана, так как функция распределения опре-
определяется в общем случае бесконечным числом моментов и моменты
более высокого порядка не равны нулю.
§ 4.2. Течение Куэтта
Одной из простейших задач, для которой, однако, до сих пор
не "получено точное решение уравнения Болщмана, является задача
Куэтта о течении и теплопередаче между параллельными бесконечными
пластинками, движущимися друг относительно друга. На этом сравни-
сравнительно простом течении опробованы почти все известные методы
решения уравнения Болыдмана. С другой стороны, задача имеет и
самостоятельный интерес, так как позволяет прояснить характер тече-
течения вблизи поверхностей тел, обтекаемых разреженным газом.
Естественным обобщением этой задачи является задача о течении
и теплопередаче между вращающимися коаксиальными цилиндрами.
Опыты с цилиндрами позволяют сравнить результаты теории с экспе-
экспериментом при различных давлениях газа между цилиндрами.
>) Галкин В. С, Прикл. матем. и мех. 20, № 3 A956); Tr u e s d e 11 С,
J. Rational Mech. and Anal. 5 № 1 A956).
2) Г а л к и н В. С, Прикл. матем. и мех. 28, № 1 A964). Об общем
классе однородных движений см. работы: Никольский А. А., Инж. ж.
5, в. 6 A955); Галкин В. С, Механика жидкости и газа, № 5 A966).

§ 4.2]
ТЕЧЕНИЕ КУЭТТА
253
Основной целью настоящего параграфа является сравнение раз-
различных методов решения уравнения Больцмана на простом примере
течения Куэтта *). Следует, однако, иметь в виду, что при апробации
какого-либо метода, предназначенного для реальных трехмерных тече-
течений, на течении Куэтта могут проявиться особенности, несвойственные
реальным течениям. Эти особенности обусловлены тем, что в сколь
угодно разреженном газе для молекул, движущихся под малыми
углами 8 к стенке, число столкновений
пропорционально 1/9.
1. Свободномолекулярный режим
течения (Кп->оо). Для выяснения
некоторых качественных особенностей
течения начнем с рассмотрения сво-
бодномолекулярного течения.
Направим ось х перпендикулярно
пластинкам (рис. 19), и выберем начало
координат так, чтобы пластинки были
расположены в плоскостях х = lL d/2.
Пусть скорость пластинок соответст-
соответственно ± ljiw и температура Т ±. Те-
Течение между пластинками будет сво-
бодномолекулярным при X/d-^-oo, где Я—средняя длина пробега
молекул. В уравнении Больцмана в этом случае можно пренебречь
интегралом столкновений, и уравнение принимает вид
4-
г
d г
г
w_
'7
Т,„-
Рис. 19.
df (t, x, I)
dt
= 0
B.1)
или для рассматриваемого одномерного стационарного течения
^И=0. B.2)
Уравнения B.1) и B.2) имеют соответственно решения:
т. е. функция распределения постоянна вдоль траектории молекул.
Примем простейшую модель взаимодействия молекул с пластин-
пластинками (см. § 2.10). Предположим, что часть ат молекул отражается
') Ниже рассмотрено лишь течение между бесконечными пластинками.
Изложение результатов для течения между коаксиальными цилиндрами и
соответствующую библиографию читатель может найтн в книге В. П. Шид-
ловского (Шидловский В. П., Введение в динамику разреженного газа.
«Наука», 1965).

254 РЕШЕНИЕ УР-НИЯ БОЛЫДМАЫА ДЛЯ ВЫРОЖДЕННЫХ ТЕЧЕНИЙ [ГЛ. IV
(в системе координат, связанной с пластинкой) с максвелловским рас-
распределением и часть A—ат)—зеркально:
/(±4.1,
B.4)
где температуры отраженных молекул ТТ связаны с температурами
стенок Т^± через коэффициенты аккомодации ае и ах; f± — функ-
функция распределения для молекул со скоростями E,xsg;0 соответственно-
Решим вначале задачу, считая заданными температуры отраженных
молекул Т± и одну из величин п±. Для определенности зададим п~.
Этим определяется уровень плотности.
Согласно B.3) функция распределения скоростей одинакова во
всех точках потока х и равна
B-5)
Единственную неизвестную величину п+ необходимо выбрать из
условия непротекапия
d\ I , d
' 2
Число частиц А/~, проходящих в единицу времени через площадку,
перпендикулярную оси х, сверху вниз, равно числу частиц N , про-
проходящих через нее снизу вверх. Так как коэффициенты аккомода-
аккомодации ах на обеих пластинках предполагаются одинаковыми, то равны
между собой в отдельности числа идущих вверх и вниз зеркально

§ 4.2] ТЕЧЕНИЕ КУЭТТА 255
и диффузно отраженных частиц, т. е.
J
или
"" _ П+ /г, fi4
,/■——"— -.г—— • \.£-ъ)
В правой части формулы B.5) заменим /т на /* по этой же
формуле. Тогда
При чисто зеркальном отражении /+(|х) = /~(—£х), причем эта
функция может быть задана произвольно. Однако достаточно сколь
угодно малого количества диффуздо отражаемых частиц (at<^l),
чтобы распределение скоростей состояло из двух максвелловских
функций.
Из B.7) видно, что функция распределения в каждой точке тече-
течения разрывна по скоростям при |ж=0.
Найдем теперь связь между температурами отраженных молекул Т+
и температурами стенок Tw±. Рассмотрим, например, нижнюю пла-
пластинку. По формуле A0.7) главы 11 в системе координат, связанной
со стенкой,
Е'=A-сд/Г+аеЯв-, B.8)
где £f и Е~ — соответственно энергия отраженных и падающих
молекул и Ew- — энергия, которую уносили бы молекулы, если бы
они отражались с максвелловским распределением, соответствующим
температуре стенки Г -. Уносимая с единицы площади энергия равна
(ср. формулу A0.8) главы И)
£+=(l-aT)£-+aT /"—- ■ B-9)
2й+ У я/Г
Аналогично
РЛЩ
W

256 РЕШЕНИЕ УР-НИЯ БОЛЬЦМАНА ДЛЯ ВЫРОЖДЕННЫХ ТЕЧЕНИИ [ГЛ. IV
Для Е согласно B.7) имеем (в системе координат, связанной
с нижней стенкой)
т Г у
„2 ,-
mti
1gt ия . 1
'2-at 2^+/^ 2-at
mn~L
V
4A7—
Для определения nw- необходимо вычислить еще число N падающих
на нижнюю стенку молекул (см. формулу A0.12) главы II):
Подставляя выражения B.9)—B.11) в уравнение B.8) и используя
соотношения B.6) и B.12), получим
1 ,, . 1 — at 1 1 — ae 1
— A — a ) г. g. —
h+ 2 —aT \V 2 — v.rh
Это уравнение содержит две неизвестные величины: Т±. Очевидно,
что совершенно такое же уравнение, в котором нужно лишь поменять
местами индексы плюс и минус, выполняется на верхней пластинке.
Эти два уравнения позволяют выразить Т+ через Tw±. Решение этой
системы ис представляет труда. Однако ввиду громоздкости выпи-
выписывать его для общего случая не будем.
При ае = 1 отраженные молекулы принимают температуру стенки
Г± = ГдаТ. При чисто зеркальном отражении (at = 0) температура
молекул, очевидно, произвольна. При равных температурах стенок
(Jw- = Tw+ = T\ равны и температуры отраженных молекул:
■т- Т+ Т | 1— ае mm2 (О \л\
1 — ™+BJ~TFi ^AV
В случае ае = 0 энергия отраженных молекул в системе коорди-
координат, связанной со стенкой, равна энергии падающих молекул. Поэтому
на первый взгляд факт возрастания температуры газа при ае—>0

§ 4.2] ТЕЧЕНИЕ КУЭТТА 257
кажется странным. Однако легко видеть, что при диффузном отра-
отражении и любом ае стенки совершают работу над газом. При ае,
отличном от нуля, увеличение энергии газа за счет этой работы
компенсируется утечкой энергии через стенки. Чем меньше коэффи-
коэффициент аккомодации ае, тем более затруднена передача энергии стенкам
и тем выше температура газа. При ае—>0 температура газа Г+—>оо.
Вычислим теперь плотность, скорость и температуру газа между
пластинками, а также напряжение трения Pxz и поток тепла qx. Эти
величины не зависят от х и равны
■■di = i(n+ + T)' B.15)
B.16)
— kT=— Г -2*+
2 2« J
,>о
.=- Г
cxcj d\ —
mm
2—ctT 4Уя
, B.18)
: ~о~ схс J ug ~j 2~
\3/2
■ —П
2-at 2Кя L \ m j
/^)^!-^g. B.19)
]/r-
Таким образом, скорость и температура газа (в том числе и
у стенок) не равны скорости и температуре стенок. Напряжение тре-
трения и теплопередача не зависят от расстояния между пластинками,
т. е. определяются соответственно разностью скоростей и темпера-
температур, а не их градиентами.
Выше (формула B.7)) показано, что в свободномолекулярном
течении (т. е. при средней длине свободного пробега Я—>оо) функ-
функция распределения разрывна по скоростям при £^=0. Покажем на
17 М. Н. Коган

258 РЕШЕНИЕ УР-НИЯ БОЛЬЦМЛНЛ ДЛЯ ВЫРОЖДЕННЫХ ТЕЧЕНИИ [ГЛ. IV
примере модельного уравнения (8.22) главы II, что для рассматри-
рассматриваемой вырожденной одномерной конфигурации при любом конечном Я
функция распределения должна быть непрерывной при £,. = 0. Рас-
Рассмотрим молекулы, вектор скорости которых составляет малый угол
с плоскостью х = const. Сколь бы ни были велики длина пробега Я
(или время между столкновениями т) и скорость молекулы, всегда
можно выбрать столь малое \х, чтобы за время t порядка несколь-
нескольких т молекула прошла расстояние \xt в направлении оси х, много
меньшее расстояния между пластинками й, испытав некоторое число
столкновений. На столь малом расстоянии можно считать, что макро-
макроскопические величины, входящие в /0 уравнения (8.22) главы II,
постоянны, т. е. постоянна и функция /0. Тогда для траекторий
с малым углом наклона к плоскости х = const справедливо реше-
решение (8.26) главы II:
f(t. х, S) =/„(*. S) + «-"<[/@, x, |)-/о(*. Ш-
Следовательно, для модельного уравнения при £,х—>0 функция
распределения стремится к максвелловскомзг распределению, соответ-
соответствующему параметрам потока в данной точке х. В то же время
молекулы, летящие под большими углами к стенкам, т. е. при
\х > T^dfk = |/Kn. испытывают при X > d мало столкновений, гак что
функция распределения молекул, идущих вверх и вниз, близка к функ-
функциям распределения молекул, соответственно отскочивших от нижней
и верхней пластинки. Переход от закона распределения, заданного
стенками, к локально-равновесному происходит в интервале скоростей
0 < \х < |/Кп, т. е. толщина зоны размытия разрыва порядка 1/Кп.
Именно потому, что для рассматриваемой задачи при больших числах
Кпудсепа функция распределения резко меняется в малом интервале
скоростей порядка 1/Кп, ее трудно аппроксимировать. Благодаря
этому моментные методы обладают меньшей точностью при Kn 2s> 1-
Появление указанной особенности связано с вырожденной геометрией
задачи. Например, в задаче о теплопередаче между концентрическими
сферами эта особенность исчезает, и при больших конечных числах
Кнудсена функция распределения разрывна.
Легко видеть, что теми же свойствами обладает и решение пол-
полного уравнения Больцмана для молекул с конечным радиусом взаимо-
взаимодействия. В этом случае при 1)Х~>0 функция распределения стре-
стремится к У;/У2 (см. § 2.7).
2. Слабо возмущенное течение (линейная теория, 0^Кп-<!оо).
Рассмотрим теперь течение Куэтта при произвольном числе Кнудсена,
но при малых относительных скоростях пластинок и малых отноше-
отношениях температур пластинок Т ±, При этих предположениях задача
линеаризируется. Однако даже для линеаризированного уравнения
Больцмана задача оказывается сложной. Поэтому прежде всего рас-
рассмотрим задачу е помощью модельного уравнения. Можно надеяться.

§ 4.2] ТЕЧЕНИЕ КУЭТТА 259
что качественные выводы, полученные с помощью этого уравнения,
будут справедливы и для уравнения Больцмана. Модельное уравнение
можно трактовать как уравнение Больцмана для молекул со специфи-
специфическим законом взаимодействия, близким к максвелловскому.
Модельное уравнение (8.22) главы II для рассматриваемого одно-
одномерного стационарного течения имеет вид
\x^ = An(JQ—f). B.20)
Если w мало и Т+ и Т~ мало отличаются друг от друга, то функ-
функция распределения / мало отличается от некоторого максвелловского
распределения
(^K/2£-ад2> B-21)
где ср(лг, |) — малая добавка. Для удобства записи введем безраз-
безразмерную скорость
Согласно B.21) плотность частиц и температура могут быть пред-
представлены в виде
n(x) = no[l+v(x)], T(x) = TQ[\+t(x)], B.23)
где
v(*) = -1- J /00Ф d\, т (х) = -| -jlp- J Щ- /00ф d\ - v (х). B.24)
Скорость потока по определению равна
Ыг<Р<Ш. B.25)
В этих обозначениях для /0 в линейном приближении имеем
+ 2ei^ + (es-4)t], B.26)
где их — uz~\f h0 — безразмерная макроскопическая скорость.
Подставляя / из B.21) и /0 из B.26) в уравнение B.20), запишем
его в следующей линеаризированной форме:
• B>27)
где
Здесь использовано соотношение \хо = kT0/A из § 3.6, где [X — коэф-
коэффициент вязкости. Величина а обратно пропорциональна числу
Кпудсена.
17*

260 РЕШЕНИЕ УР-НИЯ БОЛЬЦМАНА ДЛЯ ВЫРОЖДЕННЫХ ТЕЧЕНИЙ (ГЛ. IV
Предположим для простоты, что отраженные от стенки молекулы
в системе координат, связанной с пластинкой, имеют максвелловское
распределение, соответствующее температуре стенки (коэффициенты
аккомодации равны единице):
о) = я* (^) ехр {-A* (g2-«.£,)}. B.28)
Заметим еще раз, что п± не равно n{z^lj2d) и Т т = Т± не равно
2d). Полагая
n± = n0(l+v±) и Т± = Т0A + х±) B.29)
и линеаризируя выражение B.28), получим
( |)*, B.30)
где w1 = wy h0.
Легко видеть, что рассматриваемая задача может быть разбита
на две: на задачу о чистом сдвиге при Т + = Г _, для которой
v = t = 0, и задачу о передаче тепла при w1 = 0, для которой а1 = 0.
Рассмотрим задачу о сдвиге1). Уравнение B.27) для этой задачи
принимает вид
Будем искать решение в виде
ф(*1. vx, vy, vz)=vzw1\\i(xv vx).
Вспоминая определение макроскопической скорости B.25), получим
уравнение
Граничные условия для ф принимают вид
= ±1, •ул.^о)==±1. B.33)
Обозначим через ф+ (Xj, vx) часть функции распределения, соот-
соответствующую vx > 0, и через ф~ (хи vx) функцию распределения
1) См. Q г о s s E. P., Jackson E. A., Z i e r i n g S, Ann. of Phys. 1,
№ 2 A957) (русский перевод в сб. «Механика», №5A958)); Willis D. R.,
Rarefied Gas Dynamics, First Symp., Pergamon Press, 1960 (русский перевод
в сб. «Газодинамика разреженного газа», ИЛ, 1963).

§ 4.2] ТЕЧЕНИЕ КУЭТТА 261
для vx < 0. Рассматривая g{x^) как известную функцию, проинте-
проинтегрируем уравнение B.32) соответственно от верхней и нижней границ
до произвольной точки хх, учитывая граничное условие B.33):
= ± ехр [— -^ |х, т
1
[- -£• (хг - s)] ds. B.34)
Это интегральная форма уравнения B.32), которую, очевидно,
можно получить также линеаризацией уравнения (8.25) главы И.
В свободномолекулярном потоке, т. е. при а—>0, имеем очевид-
очевидное решение
ф~(х1)=1, ф+(х,) = -1 B.35)
и соответственно
(p-(x1) = vzw1, ф+(лг1) = — vzwv B.36)
Решение в каждой точке хг разрывно по скоростям молекул. Как и
должно быть, в потоке без столкновений функция распределения
одинакова во всех точках между пластинками. Следовательно, должны
быть постоянными и все макроскопические величины. Согласно B.25)
скорость равна
у я
= 0, B.37)
т. е. скорость между пластинками равна среднему арифметическому
скоростей стенок. В частности, скорость газа у стенки не равна
скорости стенки.
Напряжение трения равно
- «J / d\ = i^JL J vxvs-°\ dv. B.38)
Подставляя вместо ф его значения из B.36), имеем
^ B.39)
Этот простой результат, который можно получить и из B.18),
пажен для понимания физики явления. Легко проверить, что в гидро-
гидродинамическом навье-стоксовском приближении для рассматриваемой
линейной задачи
>0)^-\i~, B.40)

262 РЕШГЛШЕ УР-НИЯ БОЛЬЦМАНА ДЛЯ ВЫРОЖДЕННЫХ ТЕЧЕНИИ (ГЛ. IV
причем коэффициент вязкости \i не зависит от давления. Следова-
Следовательно, в гидродинамическом приближении (т. е. при больших а)
напряжение пропорционально градиенту скорости и не зависит от
давления. При предельно низких же давлениях градиент скорости
в газе равен нулю, но, несмотря на это, имеется напряжение трения,
пропорциональное давлению и относительной скорости пластинок.
Наличие напряжения в течении с постоянными гидродинамическими
величинами еще раз показывает, что в общем случае тензор напря-
напряжений и поток тепла не могут быть выражены через пять гидроди-
гидродинамических величин и их производные любого порядка, а следова-
следовательно, общие уравнения сохранения (уравнения A.8)—A.10) главы III)
не могут быть замкнуты.
Построение решения для течений, близких к свободномолекуляр-
ным, т. е. для малых а, можно вести методом последовательных
приближений, беря за первое приближение полученное свободно-
молекулярное решение.
Метод последовательных приближений можно строить двояко.
Во-первых, можно воспользоваться интегральной формой B.34),
подставляя в правую часть свободномолекулярное значение g-(s) = 0;
тогда
* [£( 4)] B-41)
Наряду с интегральной формой B.34) можно ввести интегральную
форму, являющуюся линеаризацией уравнения (8.24) главы II:
ds. B.42)
v
±1/2
Подставляя в правую часть уравнения свободномолекулярные значе-
значения B.35), получим
^ ti i) B'43)
Вторая схема последовательных приближений равносильна разложе-
разложению функции распределения в ряд по а. В этом случае проявляется
особенность, о которой говорилось выше. Эта особенность связана
с вырожденной геометрией течения, и из ее существования не сле-
следует делать вывод о неприменимости разложения по о, для близких
к свободномолекулярным течений с иной геометрией. Из B.43) видно,
что особенность не позволяет найти следующее приближение или
вычислить скорость течения. В то же время можно вычислить напря-
напряжение трения Рхг, так как в этом случае ф умножается на vx и
особенность исчезает:
B.44)

§ 4.2] ТЕЧЕНИЕ КУЭТТА 263
Легко видеть, что напряжение трения, вычисленное с помощью
B.41), совпадает, с точностью до величин высшего порядка, с только
что полученным.
Скорость же, согласно B.41), конечна и равна при а—>0
B.45)
где
оо ...»
о
При х —> О
Следовательно, зависимость.скорости от а (числа Кнудсена) при а<^ 1
не аналитическая.
Для нахождения скорости при произвольном а можно составить
интегральное уравнение непосредственно для скорости ах (или g),
минуя функцию распределения. Действительно, подставляя B.34)
в определение g"(Xj), получим интегральное уравнение
= Jo [а ( "~ х')] ~"J» [а D + Xi)] +
+ aT[J [а(х-5)]-У [a(x+s)l)g(s)ds
J
о
Это уравнение решено численно. На рис. 20 приведены результаты
численного решения, а также дано сравнение со значениями скорости,
посчитанными по формуле B.45), полученной для малых а.
Процесс последовательных приближений можно продолжить. Можно
показать2), что процесс сходится при любом конечном а. Однако
сходимость ухудшается по мере увеличения а. Практически этот
метод приемлем лишь при <х< 1, так как при больших а требуется
слишком много приближений.
') Свойства этого интеграла изучены в работе: Abramowich M.
.1. Math, and Phys. 32, 188 A953).
2) Willis D. R., Rarefied Gas Dynamics, Second Symp., Acad. Press,
I1K51.

264 РЕШЕНИЕ УР-НИЯ БОЛЬЦМАНА ДЛЯ ВЫРОЖДЕННЫХ ТЕЧЕНИЙ (ГЛ. IV
Можно искать решения уравнения B.20) для рассматриваемой
задачи и в виде ряда Гильберта (см. формулы F.3) и F.4) главы III)'.
) dfo , (-1J d
У — J о ~Г An di -r An dt \ An dt
В нашем случае согласно B.26)
"/о е <^/о о"
и,
W L —'
и для ф получится ряд по vx с коэффициентами, зависящими от х{:
Если ряд B.47) сходится по vx при всех vx, то из граничных усло-
условий B.33) при vx = 0 следует, что
т. е. на стенке выполняется условие прилипания газа, что может
в действительности иметь место только при а—уоо.
Точное значение
А ппрпксимоция B. S3)
Лоформуле B.S4)
/7о формуле B45)
0,3 0,4
Рис. 20.
0,5 0,6 0,7 д(х,)
Ряд B.47) не может сходиться по а * для любых <ох, так как
всегда можно выбрать столь большое vx, что члены ряда не будут
убывать при и—>оо, если только dmU\\dx'\ не обращаются в нуль,
начиная с некоторого т. Однако легко видеть, что конечным поли-
полиномом нельзя удовлетворить уравнению B.32).

4.2] ТЕЧЕНИЕ КУЭТТА 265
К тому же выводу приводит рассмотрение и общего ряда по vx:
Более того, можно пытаться удовлетворить уравнению B.32) и гра-
граничным условиям, отыскивая решение в виде рядов по vx для каждой
из функций
? ,+ ..., B.48)
т. е. отыскивая разрывные по vx решения, Если эти ряды сходятся,
то, подставляя их в уравнение B.32) и приравнивая коэффициенты
при равных степенях vx, получим
(-1) da* (-1) Аг*_, (-1)" d'4
1 a dx} " a dx1 a" dxa
о
Таким образом, функции а+ равны а~, и снова приходим к ряду
Гильберта B,47), с помощью которого, как уже отмечалось, нельзя
удовлетворить граничным условиям.
Тем не менее, если не пытаться удовлетворить уравнению B,32)
точно, то функцию распределения в виде полиномов типа B.48) можно
с успехом использовать для отыскания решения в среднем с помощью
метода моментов.
Рассмотрим простейшую аппроксимацию
ф* = at (x), B.49)
соответствующую линеаризации двустороннего максвелловского рас-
распределения
Г = «о (■£) ехр {-*о[1»+
Для нахождения двух функций д* необходимо составить два урав-
уравнения моментов. Обозначим через Мп момент порядка п:
„=у= J №»xe-v*dvx. B.50)

266 РЕШЕНИЕ УР-НИЯ БОЛЬЦМАНА ДЛЯ ВЫРОЖДЕННЫХ ТЕЧЕНИИ (ГЛ. IV
2
Умножая уравнение B,32) последовательно на я~1/2е Vjc и
si~l^vte Zjc и интегрируя по ^ от —go до 4-°°« получим:
-Mv B.51)
dxi a dxx 1
Следовательно,
М,(х1) = с1 и М2(х1) = -- ac1xI-j-c2, B.52)
где с1; с2— постоянные,
С другой стороны, подставляя ф в B.50) при и= 1 и я =2.
имеем:
Следовательно,
ф* = at =(± Vn — 2axi)с, + 2с2.
и, определяя q и с2 из граничных условий B.33), окончательно
получим:
2ож^. B,53)
При а->0 решение стремится к точному свободномолекулярному
решению ф* = qz 1. При а—>оо решение стремится к точному навье-
стоксовскому решению ф=2х1.
При произвольных числах Кнудсена имеем:
„ _ wi г — wia у- /о «лл
_ Powi -_ ^ptf Kftp B 55)
В формуле B.55) входящая в модельное уравнение постоянная А
выражена через [i согласно формуле |i = kTJA, полученной в § 3.6.
В предельных случаях имеем:
т. е. точные значения соответственно для свободномолекулярного
течения и сплошной среды.
На рис. 21 дано сравнение значений PXzjP%, где P^z — значе-
значение Рхг при Кп = оо, и 1—g(\j2), полученных численным реше-
решением интегрального уравнения B.46) и по формулам B.54) и B.55),

,4.2]
ТЕЧЕНИЕ КУЭТТА
267
соответствующим простейшей аппроксимации B.49). В последнем
случае
На рис. 20 приведены также профили скоростей, подсчитанные по
формуле B.54).
Из приведенного сравнения видно, что уже эта простейшая аппро-
аппроксимация удовлетворительно дает значения напряжения (с максималь-
максимальной ошибкой 7%). Значения скоростей аппроксимируются хуже
(с ошибкой до 25%).
Более точные решения могут быть получены с помощью более
сложных аппроксимаций типа B.48)г) либо путем последовательной
подстановки найденного решения для g(x) в правую часть уравне-
уравнения B.46J).
При а—>оо функция распределения должна стремиться к рас-
распределению Энскога—Чепмена B.47). Аппроксимация B.49) позволяет
учесть лишь первый эйле-
ровский член этого раз-
разложения. Для того чтобы
при а—>оо функция рас-
распределения переходила в
навье-стоксовскую, необ-
необходима четырехмоментная
аппроксимация
ф* = ао -j- afvx.
B.48а)
В этом приближении для
нахождения четырех не-
неизвестных величин а± и
af необходимы четыре
моментных уравнения. Эти
уравнения можно полу-
получить интегрированием
умноженного на • некоторые степени vx уравнения B.32) либо по
псему пространству скоростей, либо но полупространствам. Не при-
нодя здесь соответствующие выкладки, приведем лишь некоторые
результаты вычислений 3).
Юа.
!) Gross E. P., Ziering S., Phys. Fluids 1, №3 A958). Русский
перевод в сб. «Механика», № 6 A959).
2) Gross E. P., Ziering S., Phys. Fluids 2, № 4 A959).
3) Willis D. R., Phys. Fluids 5, № 2 A962). Русский перевод в сб.
-гМеханика», № 2 A963).

268 РЕШЕНИЕ УР-НИЯ БОЛЬЦМАНА ДЛЯ ВЫРОЖДЕННЫХ ТЕЧЕНИЙ (ГЛ. IV
В таблице 5 цифрами обозначены следующие методы:
1—точное решение, 2—четырехмоментное приближение, 3—ре-
3—решение, полученное итерацией четырехмоментного приближения,
4—двухмоментное приближение B.49), 5 — проитерированное двух-
моментное приближение.
Таблица 5
а
0,01
од
1,0
од
од
1,0
Метод
1
2
1аклон профиля скорости
0,02509
0,1320
0,4444
0,008719
0,07412
0,3992
0,01294
0,1134
0,4890
1
0,008746
0,07846
0,4101
3
4
-—— —— 1 в точке х —
dx \wl J
0,02516
0,1310
0,4603
0,00561
0,0532
0,3607
Pxz
' xz
0,005610
0,05340
0,3637
5
3
0,02510
0,1277
0,4065
0,008741
0,07626
0,4113
Как сидно из таблицы о, приближение B.48а) значительно точ-
точнее двухмоментного. Аналогично строится и шестимоментное при-
приближение, которое, как показывают расчеты1), уже мало отличается
от четырехмоментного. Следует также отметить, что простейшая
аппроксимация B.49) приводит к линейному профилю скоростей при
всех числах Кнудсена, т. е. с помощью этой аппроксимации не
удается обнаружить пристеночный кнудсеновский слой, удовлетво-
удовлетворительно ухватываемый четырехмоментным приближением.
Лучшую точность можно получить с помощью также двухмомент-
ной, но более правильно учитывающей неаналитическую зависимость /
от а аппроксимации D.10) главы III2).
Для рассматриваемой линейной задачи эта аппроксимация прини-
принимает вид
B.56)
При малых а основным является первый член этого выражения,
совпадающий с решением B.41), достаточно точно ухватывающим не-
неаналитический характер функции распределения для течений, близких
к свободномолекулярным.
1933.
') См. работу Гросса и Циринга, цитированную па стр. 267 в сноске 1.
2) См. Shen S. F., Rarefied Oas Dynamics, Third Symp., Acad. Press,

§ 4.2J
ТЕЧЕНИЕ КУЭТТА
269
Для нахождения функций а^ можно воспользоваться моментными
уравнениями B.51) и их решениями B.52). Задача отличается от ра-
ранее рассмотренной лишь иной связью моментов Мх и М2 с функ-
функциями а±. Чтобы установить эту связь для рассматриваемого случая,
подставим выражение B.56) в определение B.50) моментов М[г имеем:
l- B-57)
— Л а -4-х
={j2 |а A — x,)j -i2 [a A
B.58)
Функция ф* в форме B.56) автоматически удовлетворяет гранич-
■ным условиям B.33). Постоянные сх и с2 находятся, как собствен-
собственные значения.
При х1=1/2 согласно B.57) и B.58) имеем:
у^ [^ — Л («) 1 = ci"+ ^ W (а) + Л @)] >
1
- — 2 ас1 + С2 -1
Исключая а*, получим
~/,(о)
B.59)
Аналогично при х1 = — 1/2
/я
1
-^= [Л (о) —У, @I

270 РВШШИЕ УР-НИЯ БОЛЬЦМАНА ДЛЯ ВЫРОЖДЕННЫХ ТЕЧЕНИИ [ГЛ. IV
И
с,+—[7, (о)+ 7,@)]
_ 1 «с, - с2 + -^= [Л (а) - Л @)]
.z р зт
B.60)
Из B.59) и B.60) следует, что
с2=0 и с,=-
т--М«>
B.61)
В приведенных соотношениях учтено, что
Зная С[ и с2, находим а± и тем самым завершаем решение. После
несложных выкладок получаем окончательные выражения для напря-
напряжения и скорости:
У~я
B.62)
Pxz ~ ' Гп~ Уп
. . . а Г1 , . Л
(о)+ -j [^~У' (tl)J
-Л [«A+ *,}]) + %- (?-л[« (т-
где
а.Т =-
— А [а ("
=-0<:1дг1 _pL{j,[a(i~ Х,)].-Л [о (| + лг,)]}.
*2=

§ 4,2] ТЕЧЕНИЕ КУЭТТА 271
Легко видеть, что при а->0 эти формулы переходят соответ-
соответственно в формулы B.44) и B.45), полученные методом последова-
последовательных приближений. Результаты расчета поля скоростей по фор-
формуле B.63) нанесены на рис. 20. Как и ожидалось, точность
аппроксимации B.63) выше точности аппроксимации B.49). Это оку-
окупает некоторое усложнение расчетов.
При малых а (т. е. при больших числах Кнудсена) решение может
быть существенно улучшено с помощью итераций. Например, если
найденное с помощью аппроксимации B.49) решение для g = 2aljwl
подставить в правую часть интегрального уравнения B.34), то полу-
получаемое после выполнения квадратур решение оказывается значительно
точнее, что видно из таблицы 5.
Выше для простоты различные моментные методы и их точность
продемонстрированы на модельном уравнении. Все эти методы при-
применимы и для линеаризированного уравнения Больцмана. Принципиально
решение строится, как и для модельного уравнения. При произволь-
произвольном законе взаимодействия молекул основная трудность состоит
в вычислении моментов от интеграла столкновений. Ниже будут рас-
рассмотрены лишь максвелловские молекулы, для которых эта трудность
легко преодолевается.
Уравнение Больцмана для рассматриваемой одномерной задачи
имеет вид
1,-g-=■/(*. !)■ B-64)
Аппроксимируем функцию распределения двухсторонним максвел-
ловским распределением или, в линеаризированной постановке, форму-
формулой B.49). Эта аппроксимация содержит две неизвестные функции,
а следовательно, необходимы два уравнения моментов. Первые пять
моментных уравнений (уравнения сохранения массы, импульса и энер-
энергии A.8) — A-10) главы III) для рассматриваемой задачи, очевидно,
дают
Нх —const = 0, Pxx= const, Pxy — const, PXZ — const, qx = const.
B.65)
Легко видеть, что при аппроксимации B.49), т. е. когда
условия ах = Рху = qx=0 и Рхх=р0 удовлетворяются тождественно.
Пятое условие имеет вид
где с1 — постоянная интегрирования, которая должна быть найдена
цп граничных условий.

272 РЕШЕНИЕ УР-НИЯ БОЛЬЦМАНА ДЛЯ ВЫРОЖДЕННЫХ ТЕЧЕНИЙ 1ГЛ, IV
Для определения двух функций а+ и а~ необходимо еще одно
моментное уравнение более высокого порядка. Выбор этого у.равне-
ния произволен. Умножим уравнение B.64) на |х|г и проинтегрируем
по |; имеем:
Л- т J fl% dg = и J lxydl B.67)
Это уравнение эквивалентно второму уравнению B.51). В обозначе-
обозначениях § 3.3 стоящий справа интеграл для максвелловских молекул
равен
=m lAlz—
= kTI B) =
xz
=— 6.0,343 (■22.) п0хг
где ц,— коэффициент вязкости. Тогда уравнение B.67) принимает вид
-~ т [ fl% (%= — ■£■ Рхг, B.68)
а следовательно,
; <д_ Е-р хо-л B.69)
J
где с2—постоянная интегрирования. Стоящий слева интеграл для
функции распределения B.49а) равен
°
Тогда соотношение B.69) принимает вид
Находя постоянные Cj и с2 из граничных условий а+ (— d/2) ■= — 1
и а~ (dj2)=\, после несложных выкладок снова приходим к реше-
решению B.53):
A.53а)
в котором, как и выше,
Аналогичное рассмотрение для упругих сферических молекул')
приводит к этим же соотношениям, но так как значения коэффи-
Gross E. P., Z i e r i n g S., Phys. Fluids 2, № 6 A959).

§ 4.2] ТЕЧЕНИЕ КУЭТТА 273
циента вязкости для молекул с различным законом взаимодействия
различны, то и течения не тождественны.
Как показано в § 3.6, зависимость вязкости от температуры,
получаемая из модельного уравнения, та же, что и для максвеллов-
ских молекул. Поэтому в данном случае можно так подобрать посто-
постоянную А в релаксационном уравнении, чтобы решение уравнения
Больцмана для максвелловских молекул и решение модельного урав-
уравнения полностью совпадали. Для этого необходимо положить A=kT\]x.
Выше мы подробно рассмотрели в линейном приближении задачу
о сдвиге. Все рассмотренные методы в равной степени применимы и
к задаче о передаче тепла между пластинками в линейном приближе-
приближении. Для этой задачи аппроксимирующая функция, переходящая
в предельных случаях в функцию распределения свободпомолекуляр-
ного и навье-стоксовского течений, имеет несколько более сложный
вид (ср. с формулой B.48а)):
Решение линейной задачи о передаче тепла методом моментов дано
в работах Гросса и Циринга1). Поскольку в линейном приближении
методы решения задачи о передаче тепла отличаются лишь деталями
от рассмотренных выше методов решения задачи о сдвиге, мы не
б}гдем на них останавливаться и перейдем к рассмотрению нелиней-
нелинейных задач.
3. Нелинейные задачи. Моментный метод. Рассмотрим прежде
всего решение задачи Куэтта при произвольных числах Кнудсена
методом моментов. Будем рассматривать полное уравнение Больцмана.
Чтобы упростить вычисления моментов от интеграла столкновений,
будем считать газ максвелловским. В нелинейном приближении задача
о сдвиге не отделяется от задачи о потоке тепла между пластинками.
Возьмем простейшую аппроксимирующую функцию в виде двух-
двухстороннего максвелловского распределения 2)
= \ 2 (*) Щ'% (*) еХР {- \ 2 (*) [&*+&$+(&, - \ 2 (*)I}. С2'73)
где л1>2, /г,2 и иь2 — шесть неизвестных функций; индексы 2 и 1
относятся к функциям распределения для |^.3gO соответственно
(см. § 3.4).
Для определения шести неизвестных функций необходимо построить
шесть моментных уравнений. Из первых пяти уравнений моментов
') См. только что цитированную работу Гросса и Циринга и работу Ци-
Циринга (Ziering S, Phys. Fluids 3, № 4 (I960)).
л) Liu С, Lees L., Rarefied Gas Dynamics, Second Symp., Acad-
Press, 1961.
IB M. II. Коган

274 РЕШЕНИЕ УР-НИЯ БОЛЫДМАНА ДЛЯ ВЫРОЖДЕННЫХ ТЕЧЕНИИ [ГЛ. IV
A.8) — A.10) § 2.1 имеем:
рах = const, Рл.х = const, Pxy = const, Рхг~ const,
Ях — Pxzuz = Const.
Так как на стенках их=0, то
и,(*)==0. B.75)
Уравнение Рху = const = 0 удовлетворяется тождественно. Обра-
Образуем два дополнительных уравнения моментов, умножив уравнение
Больцмана на т\Хг и ~2тЬ%х и проинтегрировав по всем скоростям.
Для максвелловских молекул имеем (см. § 3.3, формулы C.31)
и C.47)):
й Г
B.76)
B.77)
Подставляя во входящие сюда интегралы и в определения ux, uz,
Рхх, Pxz и дх аппроксимирующую функцию B.73), получим шесть
уравнений для определения шести неизвестных функций.
Уравнение неразрывности
W^ =~пУТг. B.78а)
Уравнения количества движения
п,х(пг—п1)Ут1 = а1, B.786)
ra17ri-)-«2^2 = a2. B.78в)
Уравнение энергии
"ft / ^ti I ^тч ггч * {Ъ > »л / Л О\! у- /-Ч ^*Т С\ \
и I/ / I / / 1 ААI (и £ „_ /t^\ ri а / v 7лГ1
Цл V ii | 1 о 1 1 Н— -т- /KI I мп W, | (XoLtq. ( Z> / Ol 1
1 I \ 4 i I ^. \ ^ 1/J ^ О V -*
Уравнение тензора напряжений
1 Re ~ ' Г2)=0. B.78д)
Уравнение потока тепла
Z ■ an flill] —I- flbltb U-
4" Yi (ж)Ma' (»i"i+
где щ, а2 и а3 — постоянные интегрирования, K =

§ 4.2] ТЕЧЕНИЕ КУЭТТА 275
В уравнениях B.78) введены безразмерные величины (обозначен-
(обозначенные черточкой вверху) и x1 = x]d. В качестве характерных величин
выбраны п+, Тт, w и d. Кроме того, введены числа Маха и Рей-
нольдса
" ^ B.79)
Tl=
1
2 '
при ^j
1 .
— у1
и2 =
—
1,
1
1
Одно граничное условие («х=0) уже использовано. Для функции
распределения отраженных молекул в форме B.4) г.ри at = cte=l
имеем еще пять граничных условий:
при *, = -!. B.80)
Легко видеть, что параметр M/Re пропорционален числу Кнудсена,
так что Re/M = 0 отвечает свободномолекулярному течению,
а Re/M—>оо — течению Навье — Стокса.
При малых числах Маха (М2<^ 1) система B.78) распадается на
две. Из уравнений B.78г) и B.78е) выпадают скоростные перемен-
переменные «i>2, так что система уравнений B.78а), B.78в), B.78г) и B.78е)
дает решение задачи о передаче тепла при любом отношении T~\TV-
После решения этой задачи из уравнений B.786) и B.78д) опреде-
определяются функции и1|2. При произвольном числе Маха все уравне-
уравнения B.78) должны решаться совместно.
На рис. 22 приведены результаты расчетов трения, полученные
с помощью уравнений B.78). Из рис. 22 видно, что кривые, соот-
соответствующие различным отношениям температур, сильнее всего рас-
расходятся при больших Re/M, т. е. вблизи навье-стоксовского режима.
Для течения по Навье— Стоксу легко получить (см., например, цити-
цитированную работу Лю и Лиса)
рсо
!'Де Р'хг — соответствующее свободномолекулярное значение, получае-
получаемое при тех же п+, Т+ и Г"; Pr =cp\y,jX — число Прандтля.
Очевидно, что при больших значениях Re/M кривые рис. 22, соот-
соответствующие различным отношениям температур стенок и различным
числам Маха, должны сблизиться, если их построить по переменной
18*

276
РЕШЕНИЕ УР-НИЯ БОЛЬЦМАНА ДЛЯ ВЫРОЖДЕННЫХ ТЕЧЕНИИ [ГЛ. IV
Перестроенные по этой переменной кривые рис. 22 приведены на
рис. 23. Корреляция данных значительно улучшилась. На рис. 24
и 25 приведены профили скоростей для числа М ^= 3 и двух отно-
отношений температур: Т~/Т+ = 4 и 1. Интересно отметить, что при
равных температурах стенок профили скоростей близки к линейным.
При всех числах Кнудсена (кроме Re/M = оо) наблюдается скачок
скоростей на стенке. Однако принятая аппроксимация для функции
распределения, по-видимому, является слишком грубой для выявления
структуры пристеночного кнудсеновского слоя (см. § 5.1).
0,03
Решение по Новье-Стоксу
для М=Д г/т*=*
Рис. 22.
Таким образом, метод моментов с простейшей аппроксимирующей
функцией B.73) позволяет выяснить качественную картину течения
между пластинками при произвольных числах Кнудсена и отношении
температур пластинок и числах Маха порядка единицы'). Однако
точность полученных результатов полностью определяется тем, на-
насколько удачно выбрана аппроксимирующая функция. При анализе
линейных задач мы видели, что двухмаксвелловская аппроксимация
не ухватывает целый ряд эффектов. Нет никаких оснований ожидать
большей точности при применении этой аппроксимации к нелинейным
задачам. Для получения точных решений необходим некоторый
алгоритм последовательного уточнения функции распределения. Но
') В работе Лю и Лиса показано, что при
система B.78) не имеет решения при малых Ra/M.
больших числах Маха

§ 4.2]
ТЕЧЕНИЕ КУЭТТА
277
дальнейшее продвижение на этом пути, естественно, сопряжено с даль-
дальнейшим существенным усложнением получающихся моментных урав-
уравнений и увеличением их числа. Рассматривая течение Куэтта как
0,1
Наёье-Стокс
0,О2
0,1
10
то
/Re\*
ы
Рис. 23.
ш
О 0.1 0,2 0.3 0,4 0.5
-0,5-0,4 '0.3 -0,2 -0.1 О
и_
ш
Рис. 24.
простейшую схематизированную модель для апробации методов, пред-
предназначенных для решения сложных практических задач, легко пред-
представить трудности, которые возникают при решении этих задач
момеитным методом с достаточно точной аппроксимирующей функ-
функцией.

278
РЕШЕНИЕ УР-ПИЯ БОЛЬЦМАНА ДЛЯ ВЫРОЖДЕННЫХ ТЕЧЕНИЙ [ГЛ. IV
4. Нелинейные задачи. Метод Монте-Карло. Весьма перепек-
тивным для решения сложных задач с достаточной для практики
точностью представляется метод Монте-Карло (см. § 3.15). Возможно
множество схем применения метода статистических испытаний. При-
Приведем одну из них для задачи О передаче тепла между пластинками1).
Функция распределения для этой задачи зависит От трех перемен-
переменных: X, \х И
t /Е2 I е2\'/2
Разобьем это трехмерное фазовое пространство на ячейки, каждая
из которых соответствует определенным значениям xt, lxj и lRk.
О О,/ 0,2 0,3 0,4 OJ
S-'
ом
■0.4 -0,3 -OJ -QJ ff
Рис. 25.
Задание в каждой ячейке чисел Nljk определяет функцию распреде-
распределения, для которой Ы^к—число молекул в элементе Ах около
точки х1 со скоростями lxj и \кп в элементе скоростного простран-
пространства А^А|Д.
Пусть задано некоторое исходное распределение, т. е. заданы
соответствующие числа Ntjk. Молекулы этого распределения будем
называть полевыми. Рассмотрим движение частицы, которую будем
называть пробной. Пусть пробная частица входит в некоторую ячейку
фазового пространства. Частица с определенной вероятностью, зави-
зависящей от закона взаимодействия молекул и функции распределения
полевых частиц, может либо испытать-столкновение в ячейке, либо
пройти ее без столкновения. В первом случае частица в результате
столкновения приобретает другую скорость, т. е. попадает в ячейку
с другой скоростью, но с той же координатой xt. Во втором случае
частица входит в соседнюю по xt ячейку, но с той же скоростью.
На vi land J. К., L a v i и M. L., Phys. Fluids 5, № 11 A962).

§4.2]
ТЕЧЕНИЕ КУЭТТА
279
В первом случае время пребывания пробной частицы в ячейке
т < b.xf\x, во втором т = Дх/|Л. Разыгрывая на вычислительной
машине распределенные с плотностью, пропорциональной вероятности
столкновений, случайные числа, определяем то или иное «время жизни»
т пробной молекулы в данной ячейке. Слежение за пробной моле-
молекулой начинается, когда она покидает одну из стенок, и заканчи-
заканчивается, когда она возвращается на стенку. После этого выбирается
новая пробная молекула, скорость которой определяется разыгры-
разыгрыванием случайных чисел с плотностью, зависящей от закона взаимо-
взаимодействия молекул со стенкой. Прослеживая движение достаточно
большого числа пробных молекул и запоминая время, проведенное
этими молекулами в каждой ячейке, тем самым запоминаем новую
функцию распределения. Молекулы, соответствующие новой функции
распределения, принимаются за полевые молекулы, и начинается
расчет следующего приближения.
На рис. 26 приведены результаты расчета теплопередачи, про-
проведенного для максвелловских молекул, при отношении температур
пластинок 4:1. Здесь р — сред-
средняя плотность,
= Vrf—число
Кнудсена, где длина пробега
определена по формуле
1 _16_
5р
Г,4
1,2
1,0
0,8
О,в
0,4
0,2
~~ 1,203 ' ~~='
Для максвелловских молекул воз-
возникает затруднение, связанное
с тем, что молекулы взаимодей-
взаимодействуют на сколь угодно большом
расстоянии друг от друга. По-
Поэтому приходится ограничивать
радиус взаимодействия молекул,
Отбрасывая столкновения, приво-
приводящие к отклонениям, меньшим
некоторого малого угла.
За исходную функцию распре-
распределения принималось распределе-
распределение, соответствующее свободно-
молекулярному течению. Если учи-
учитывать неизбежные флуктуации, свойственные методу статистических
испытаний и убывающие обратно пропорционально корню из числа
испытаний, то можно считать, что итерации сходятся. Для получения
более убедительных результатов необходимо уменьшить статистиче-
статистический разброс. Но для уменьшения флуктуации на порядок нужно
унеличить число розыгрышей на два порядка. Однако для этого
нужно увеличить на два порядка время счета. Для сравнения на
о 1-ое приближение
v 2-ов приближение
а 3-е приближение
Двухстороннее макс-
ееллоескоераспределе-
ееллоескоераспределение
— Линейная теория
О
Рис. 26.
0,5 -x/d

280 РЕШЕНИЕ УР-НИЯ БОЛЬЦМАНА ДЛЯ ВЫРОЖДЕННЫХ ТЕЧЕНИЙ [ГЛ. IV
рис. 26 нанесены результаты расчетов с помощью описанного выше
метода моментов для нелинейного уравнения Больцмана при двухсто-
двухсторонней максвелловской аппроксимирующей функции и для линейного
Ю x/d
уравнения при аппроксимирующей функции с восемью искомыми
функциямиJ)
Ф = в0* (х) + а? (х) vx -\- afv2 ■+■ а± (х) vxv\
Как видно из этого сравнения, монте-карловские данные несколько
ближе к решению линейного уравнения с более детальной функцией
распределения, чем к решению нелинейного уравнения с более грубой
') Последние результаты взаимствованы из работы Циринга (Z i e-
ringS., Phys. Fluids 3, № 4 A960)).

4.2]
ТЕЧЕНИЕ КУЭТТА
281
двухсторонней максвелловской функцией. Возможно, что в рассма-
рассматриваемом случае при Т~/Т+ =4 влияние нелинейных эффектов еще
не столь велико, так что решающим является выбор аппроксими-
аппроксимирующей функции.
В рассматриваемой одномерной задаче функция распределения
осесимметрична. Пространство между пластинками разбивалось на
десять полос. В каждой полосе пространство скоростей разбивалось
на 288 ячеек. Таким образом, всего имелось 2880 ячеек. Так как
нужно помнить как функцию распределения предыдущего приближе-
приближения, так и новую функцию распределения, то минимальный объем
памяти, необходимый для расчета, равен 5760. Как уже указывалось
в § 3.15, для псевдомаксвелловских молекул необходимый объем
памяти можно значительно уменьшить. Эта задача решена В. И. Вла-
Власовым1). Как указывалось в § 3.15, принципиально для псевдомак-
псевдомаксвелловских молекул достаточно запоминать лишь скорость одной
молекулы в геометрической ячейке (полосе). Однако опыт расчетов
показал, что счет идет значительно лучше, если в каждой геометри-
геометрической ячейке запоминать несколько скоростей. Результаты В. И. Вла-
Власова, приводимые на рис. 27, получены при запоминании скоростей 7
молекул в каждой геометрической ячейке. Всего запоминалось 350
чисел. Как видно из графика, совпадение результатов Власова с ре-
результатами Хевиленда и Левина вполне удовлетворительное.
б. Нелинейные задачи для модельного уравнения. Относитель-
Относительную точность различных методов можно оценить с помощью модель-
модельного уравнения Больцмана, для которого гораздо проще получить
точное решение2). Модельное уравнение для задачи Куэтта можно
записать в виде
х, |) =
|)
ехР
■f- I n(s)ds
ЪХ
4-
— 4- { n(s)ds\ds1, B.83)
ЪХ J I
где
B.84)
') Власов В. И. Доклады АН СССР 167, № 5 A966).
2) W III i s D. R., Rarefied Qas Dynamics, Third Syrap., Acad. Press, 1963.

282 РЕШЕНИЕ УР-НИЯ БОЛЬЦМАНА ДЛЯ ВЫРОЖДЕННЫХ ТЕЧЕНИИ [ГЛ. IV
Подставляя эти выражения в определения п, uz и Т через функ-
функцию распределения, получим следующие интегральные уравнения:
У л гс(со) = га+/0 М + ге~^о [^- (а — ш)] +
а
-i- J «((o'M((o')/_i[S((o)|(o — со'ЦЛо', B.85a)
о
2 У"л ггг« (и) = — га+/0 (со) -j- ra~/0 [S_ (а — со)] -|-
а
o', B.856)
Y~n
о @3}
= С
_ (а - со)]
o'. B.85в)
Здесь введены следующие обозначения:
co = .
а = со (|-) =
V ~h+ nQd,
n0
5 (со)
|/ Г (ш)
S =
—, /1+
п+ = —
Щ
п~ =
Па
и, = -
С = п+J2(со) + — J2 [S_ (a-со)]4-
B.86)
ге0—- средняя плотность газа между пластинками, С — постоянная,
пропорциональная Рхх. Интегралы Jn(x) определены в B.45).
Это три совместных интегральных уравнения для трех макроско-
макроскопических переменных п, S и uz. В них входят также три постоян-
постоянные п+, пг и п0, задание одной из которых определяет степень
разреженности газа между пластинками. Будем считать заданной
') Это преобразование аналогично преобразованию Дородницына в тео-
теории пограничного слоя (Дородницын А. А., Прикл. матем. и мех.
6, № б A942)).

§4.2]
ТЕЧЕНИЕ КУЭТТА
283
величину п0. Тогда для определения двух других постоянных имеется
два условия:
условие равенства нулю скорости их
О =
(со) — 4~ Ji fS- О —
+ sign (со — со') п (со') /0 [S (&>') | со — ш' | ] Ао' B.87)
и определение средней плотности
По
i U
1 Г ... С da
= -г п(х)ах или а = ■=—.
"■ J J И (од)
B.88)
Соотношения B.86) и B.87) также являются интегральными урав-
уравнениями. Однако эти уравнения являются следствием уравнения B.85а),
которое получается дифференцированием по со уравнения B.87).
Последнее в свою очередь может быть получено дифференцированием
уравнения B.86).
W
е
в
4
г
о
Двухстороннее
моксвелловское
распределение
Точное рвшение
—- Первая и/лероция
W
Рис. 28.
г5 а,
Полученная система интегральных уравнений в общем случае
может быть решена только численно.
На рис. 28 и 29 приведены результаты расчета теплопередачи
(при <йу = О) между пластинками для широкого диапазона перепадов
температур. Величина теплового потока qx отнесена к свободно-

284 РЕШЕНИЕ УР-НИЯ БОЛЬЦМАНА ДЛЯ ВЫРОЖДЕННЫХ ТЕЧЕНИИ [ГЛ. IV
молекулярному значению д^, подсчитанному при том же значении га0:
тп„ у h~ — у h+
B.89)
Следует заметить, что сравнение течений при равных % т. е. при
одинаковом числе молекул между пластинками, представляется более
физически обоснованным, 'чем сравнение при равных п+, данное на
рис. 22 и 23.
Имея точное решение модельного уравнения, можно оценить точ-
точность приближенных методов решения уравнения Больцмана, приме-
применив эти методы к модельному уравнению и сравнив полученные
■ Двухстороннее
Чх максвеллоес/сов'
распределение■
0,8
48
Годное решение
— Первая ипгероция
О
3
Рис. 29.
5 а
результаты с точным решением. Применим метод моментов с двух-
двухсторонней максвелловской аппроксимирующей функцией B.73) к мо-
модельному уравнению. Так как у первых пяти моментных уравнений
правая часть обращается в нуль как для точного, так и для мо-
модельного уравнения Больцмана, то соотношения B.74) справедливы
и в рассматриваемом случае. Умножая модельное уравнение B.20)
на т%х%г и -н- т\х^ и интегрируя, получим вместо B.76) и B.77):
d
~Jx
d
~dx
—
2
B.90)
B.91)
Выше при рассмотрении линеаризированной задачи о сдвиге при
двухсторонней максвелловской аппроксимации мы видели, что под-
подбором постоянной А можно было сделать решения модельного урав-

§ 4.2] ТЕЧЕНИЕ КУЭТТА 285
нения и уравнения Больцмана тождественными. Как видно из срав-
сравнения уравнений B.76), B.77) и B.90) и B.91), в нелинейном случае
этого сделать нельзя.
В задаче о передаче тепла, так как az и Рхг равны нулю, до-
достаточно одного уравнения B.77) или B.91). В этом случае реше-
решения вновь могут быть сделаны тождественными соответствующим
выбором константы А. Однако если з задаче о сдвиге необходимое
для этого значение А равнялось kTj\x, то в задаче о передаче
2
тепла А нужно положить равным -^hTI\i, что находится в соответ-
о
ствии со сказанным в § 3.6. Этот факт, в частности, показывает
точность, которую можно ожидать от замены уравнения Больцмана
модельным уравнением в тех случаях, когда существенны и вязкость
и теплопроводность одновременно. Таким образом, в задаче о пере-
передаче тепла для модельного уравнения можно непосредственно вос-
воспользоваться решением уравнений B.78) для точного уравнения
Больцмана. Решение уравнений B.78) строилось по безразмерному
параметру Re/M- Легко установить связь между этим параметром и
входящим в решение модельного уравнения параметром а. Действи-
Действительно, полагая Л = -д-АГ+/|х(Г+), имеем
На рис. 28 и 29 дано сравнение решения модельного уравнения,
полученного моментным методом, с точным. Как видно из графиков,
точность моментного метода уменьшается по мере увеличения пере-
перепада температур. На этих же рисунках приведены результаты рас-
расчета теплопередачи методом последовательных приближений. При-
Приведенные результаты получены путем подстановки свободномолеку-
лярного решения в правую часть уравнений B.85а) и B.85в) и
выполнения соответствующих квадратур. Совпадение этих результа-
результатов с точным решением при больших а гораздо лучше, чем можно
было ожидать.
Следует обратить внимание на интересную особенность течения
при больших перепадах температур или большой разности скоростей.
Рассмотрим, например, теплопередачу при достаточно большом числе
Кнудсена между пластинками с температурами Тх и Т2, и пусть
Т2"^§>Т1. Будем различать два сорта молекул. Молекулы, идущие
от «горячей» пластинки будем считать молекулами сорта 2, а моле-
молекулы, идущие от холодной пластинки, — молекулами сорта 1. Пусть
fj, v2 и /i], ra2—средние скорости и плотности молекул соответ-
соответственно 1-го и 2-го сорта. Очевидно, 1>2'^>1>1. Из непрерывности
течения имеем
B.92)

286 РЕШЕНИЕ УР-НИЯ БОЛЬЦМАНЛ ДЛЯ ВЫРОЖДЕННЫХ ТЕЧЕНИИ [ГЛ. IV
Молекулы каждого сорта испытывают столкновения как между собой,
так и с молекулами другого сорта. Обозначим через к^ длину про-
пробега молекул сорта I на молекулах сорта у. Пусть сечение столкно-
столкновения при относительной скорости молекул порядка г1, равно а.
Рассмотрим максвелловский газ. Как отмечалось в гл. I, у максвел-
ловских молекул- сечение столкновений меняется обратно пропор-
пропорционально относительной скорости молекул. Поэтому при относи-
относительной скорости молекул порядка v2 сечение столкновения будет
равно av1/v2<^a. Учитывая это и соотношение B.92), для соот-
соответствующих длин пробега получаем оценки:
V\ 1 л ^1^*2 1 1^2
vv 1 v vv 1 v2 С2-93)
Таким образом,
Следовательно, медленные молекулы, прежде чем столкнуться с бы-
быстрыми молекулами, сталкиваются много раз между собой.
При очень больших отношениях температур может, например,
оказаться, что
22 ^^> 12 — 21 '*^> II ^^^. \£г<ЗО)
В этом случае молекулы, идущие от горячей стенки, достигают
холодной стенки без столкновений, как в свободномолекулярном по-
потоке. Холодные молекулы также не сталкиваются с горячими, но
многократно сталкиваются между собой.
При kn<^d на расстояниях в несколько длин пробега ки от
холодной стенки функция распределения холодных молекул (сорта 1)
должна стать близкой к локально-максвелловской. В то же время
горячие молекулы могут либо вовсе не испытывать столкновений
(как в случае B.95)), либо испытывать очень мало столкновений
с молекулами 1-го сорта. Поэтому функция распределения горячих
молекул близка к распределению молекул, отраженных от стенки.
В приведенном на рис. 28 и 29 сравнении в моментном методе при-
применено двухстороннее максвелловское распределение. Из проведен-
проведенного только что качественного анализа видно, что это распределение
может удовлетворительно аппроксимировать лишь функцию распре-
распределения горячих молекул (идущих от горячей стенки) и плохо
аппроксимирует функцию распределения молекул, идущих от холод-
холодной стенки, близкую, как показано выше, к локально-максвелловскому
распределению. Этим, по-видимому, и объясняется отмеченное выше
большое расхождение точных расчетов с результатами, полученными
методом моментов при больших перепадах температур.

i 4.3]
ТЕЧЕНИЕ ПУАЗЕЙЛЯ. ПАРАДОКС КНУДСЕНА
28?
Как следует из самого вывода модельного уравнения, оно соот-
соответствует максвелловскому газу (см. § 2.8). Поэтому при использо-
использовании модельного уравнения проявляется разобранное выше явление.
Если бы рассматривался газ из твердых сфер (а = const), то
1
1
■\,22 -
п,а
B.96)
В этом случае отмеченное явление наблюдаться не будет. Однако
соответствующие расчеты могут быть получены лишь с помощью
полного уравнения Больцмана.
§ 4.3. Течение Пуазейля. Парадокс Кнудсена
Рассмотрим течение между двумя бесконечными параллельными
неподвижными пластинками (рис. 30)').
Пусть температура пластинок постоянна и равна Tw. Предполо-
Предположим, что течение происходит под действием малого градиента да-
давления и что стенки отражают молекулы по максвелловскому закону
с температурой, равной температуре стенки (т. е. что коэффициент
аккомодации ае=1).
Течение будем описывать модельным
уравнением, которое для рассматриваемой
задачи принимает вид
-/)• C.1)
На стенках при сделанных предположениях
/(+|, *,|*^ О] = /„(*, |) =
'^\ C.2)
ш=0,
Рис. 30.
Будем искать решение уравнения C.1) в следующем виде:
/ = /ооA-+Ф). foo=no(^-f2e-h^\ C.3)
где (р(х, z, |) — малая добавка и п0 — постоянная.
Подставляя C.3) в уравнение C.1), после линеаризации получим
vx
a
-
а
3\
— ■7r\x.
2 /
C.4)
l) Tak a о К., Rarefied Gas Dynamics, Second Symp., Acad. Press, 1961;
Cercignani C, Rarefied Gas Dynamics, Third Symp., Acad. Press, 1963.

288 РЕШЕНИЕ УР-НИЯ БОЛЬЦМАНА ДЛЯ ВЫРОЖДЕННЫХ ТЕЧЕНИЙ [ГЛ. IV
Здесь введены те же обозначения, что и при выводе уравнения B.27)
в предыдущем параграфе:
= z/d, ul =
o(i-(-v), v = -l2 J «-«"qxfo.
C.5)
Давление можно представить в виде
Величина
к dp
есть градиент давления.
С другой стороны, по определению
i. C.7)
Отсюда видно, что функция ф должна иметь вид
ф = — Kz-\-vz\\> (х, z, vx, vy, vz). C.8)
После подстановки решения C.8) в уравнение C.4) оно прини-
принимает вид
а
На стенках (л;, = + 1/2) согласно C.2)
(| ) = о. (зло)
Так как ни уравнение C.9), ни граничные условия C.10) не
содержат z, то ф не зависит от z. Тогда уравнение C.9) можно
записать в виде
а охх ' а
Запишем это уравнение в интегральной форме:
'"**"' ~. C.12)
фГ/2"

§ 4.3] ТЕЧЕНИЕ ПУАЗЕЙЛЯ. ПАРАДОКС КНУДСЕНЛ 289
Умножая на n~3/2v2e~v' и интегрируя по V, получим
+ 1/2
1/ тт ) ^(Х
-1/2
где У„(лг) — интегралы, введенные в предыдущем параграфе.
Функция J_l(a\xl—s\) имеет логарифмическую особенность
при s = xl. Поэтому в грубом приближении в правой части уравне-
уравнения C.13) можно И[ (s) заменить на ul(xl). Тогда, учитывая, что
Л(х) =
11 у ' dx
без труда получим
кл
«iW~25 7Г71 \] , . г /1 ~
Л a -5--ДГ, +/„ a y +
Функция JQ(x) обладает следующими асимптотическими свойствами '):
/0(jc) ->-^~--\-x In x при х~>0
е2 ^ 2 ^1 +]/ -/ ПРИ
Следовательно, согласно грубому приближению C.14) скорость их
стремится к бесконечности как при а->0 (т. е. при Кп —>оо), так
и при а—>аэ (т. е. при Кп—>0). Таким образом, скорость мини-
минимальна при некотором значении а. Аналогично ведет себя и объем-
объемный расход, равный
+ 1/2
Q=d J и, (я,) d*!
(скорость измеряется в единицах тепловой скорости молекул hw ).
Наличие минимального расхода при некотором давлении (при
О < а < сю) получается и из численного решения уравнения C.13J).
') A b r a m о w i t z M., J. Math, and Phys. 32, 188 A953).
2) См. работу Черчиньяни, цитированную выше.
19 м. н. Коган

290 РЕШЕНИЕ УР-НИЯ БОЛЬЦМАНА ДЛЯ ВЫРОЖДЕННЫХ ТЕЧЕНИЙ [ГЛ. IV
Это явление впервые обнаружено экспериментально1) и известно как
парадокс Кнудсена. На рис. 31 приведено изменение величины 2QjKd2
но a, a na рис. 32 даны профили скоростей, полученные но формуле
C.14).
т
Kd2
г/]
ПоформулеC 14)
■ « « Численное решение
1,0
2,0
Рис. 31.
3,0
4,0 а
При больших давлениях (при а^>1) справедливо решение Пуа-
зейля, согласно которому расход растет пропорционально давлению:
2Q_ __а_
Kd°- ~ "'
При малых давлениях Кнудсен обнаружил логарифмический рост
расхода с уменьшением давления.
Качественно те же результаты дает и решение уравнения C.13).
Количественное сравнение затруднено, так как опыты Кнудсена про-
проведены в круглых трубах, в то время как приведенное решение
относится к плоской конфигурации.. Более того, для рассмотренной
вырожденной геометрии расход стремится к бесконечности при о ->0
') К n ads en M., Ann. Physic Ъ&, 75 A909); Kuudsen M, Theory of
Gases, 1934.

§ 4.4] СТРУКТУРА УДАРНОЙ ВОЛНЫ 291
в то время как в трубе с ограниченной площадью поперечного сече-
сечения в свободномолекулярноы пределе расход остается конечным.
Поэтому даже для очень узкой щели конечной ширины при а->0
величина расхода будет отходить от полученного выше решения,
стремясь к конечному свободномолекулярному пределу.
§ 4.4. Структура ударной волны
Задача о структуре ударных волн, как и задача о течении Куэтта,
относится к числу классических. Течение Куэтта и течение в ударной
волне являются простейшими представителями характерных типов
течений, возникающих около тел, обтекаемых газом. Течение, по-
подобное течению в ударной волне, возникает при обтекании тупых
тел при малых числах Кнудсена. Толщина зоны сжатия при доста-
достаточно малых числах Кнудсена может быть соизмерима с характерным
размером тела. Однако изучение структуры ударной волны весьма
актуально и в тех случаях, когда толщина ударной волны прене-
пренебрежимо мала по сравнению с характерным размером тел. В сильных
ударных волнах разыгрывается целый ряд процессов, существенным
образом влияющих на все течение. Изучению структуры ударных
волн с учетом диссоциации, ионизации, излучения, релаксации воз-
возбуждения внутренних степеней свободы молекул и тону подобных
процессов для многоатомных газов и газовых смесей в рамках тео-
теории Навье—Стокса посвящено большое число работ, результаты
которых суммированы в монографии Зельдовича и Райзера1). В то же
время известно, что уравнения Навье — Стокса, строго гогзоря, не-
неприменимы к описанию структуры сильных ударных волн, толщина
которых порядка длины пробега молекул. Ниже будет рассмотрена
структура ударных волн с кинетической точки зрения с помощью
уравнения Больцмана для одноатомных газов.
1. Пусть ось х направлена вдоль потока перпендикулярно удар-
ударной волне. Пусть fij, щ, Г, и й2, п2, Г2—средние скорость, плот-
плотность и температура газа соответственно до и после ударной волны.
На бесконечности до и после волны газ находится в равновесии,
так что соответствующие функции распределения являются макс-
велловскими:
/(*-► — °о) = /,(!) = V, =
*х*[-к№х-*$+11+%\}- DЛа)
') Зельдович Я- Б., Райзер Ю. П., Физика ударных волн и вы-
высокотемпературных гидродинамических явлений, «Наука», 1966.
19*

292 РЕШЕНИЕ УР-НИЯ БОЛЬЦМАНА ДЛЯ ВЫРОЖДЕННЫХ ТЕЧЕНИИ [ГЛ. IV
Так как в волне масса газа, его импульс и энергия сохраняются, то
т
m \xf,d.\^m \xf2d\ или P[«, = р2й2 = ./, D.2a)
I l2/i^§ = m I I2/q^ или ■/Wi 4~ йя.Г = /и,-(- knj~v D.26)
ИЛИ
2 J
D.2в)
Это — хорошо известные условия Гюгонио — Ренкина.
Уравнение Больцмана для рассматриваемой одномерной задачи
принимает вид
lx^L=J{x,l). D.3)
Исследование структуры ударной волны требует решения урав-
уравнения D.3) при граничных условиях ^4.1). Как и для задачи Куэтта,
для этой задачи нет пока точного решения. Для приближенного
решения задачи естественно применить метод моментов.
Представим аппроксимирующую функцию распределения в виде1')
/(*. l) = ai(x)Fl(S)) + a2(x)F2(g)-\-a3(x)F3(g), D.4)
где Fb2(|) определены формулами D.1),
и и3 и Т3 — некоторые постоянные. При а3=0 распределение D.4)
переходит в бимодальное распределение Тамма—Мотт-Смита2).
Из граничных условий D.1) следует:
al(—00)=»!, а2 (-}- со) = п2, a[(-f-oo) =
= а2 (— со) = а3 (— со) = а3 (-(- со) = 0. D.6)
') Saiwen Н., О г о s с h С, Z 1 е г i n g S., Phys. Fluids 7, № 2 A964)
2) Это распределение введено И. Е. Таммом для исследования струк-
структуры ударной волны в 1947 г. в цитированной на стр. 99 работе. Незави-
Независимо это же распределение использовано Мотт-Смитом (М о t t-S m 11 h H. M.,
Phys. Rev. 82, 885 A951); русский перевод в сб. «Механика», № 1 A953)).

§ 4.4] СТРУКТУРА УДАРНОЯ ВОЛНЫ 293
Уравнения сохранения A.8)—A.10) главы III для рассматриваемой
задачи принимают вид:
т J IJ d\ = тли (х) = тпхих = /, D.7а)
J \\f d% = ju (x) + Pxx(x) = уи, -f knxTv D.76)
m
j
.13
- 4- «Р« 4- ч* = J (j |- tx +. 1 и?). D.7b)
Подставляя в левую часть уравнений D.7) функцию распределения
D.4), получим:
ихах-\- «2a2 + —— a3 =д1и1, D.8а)
D.86)
D-8B)
Из граничных условий D.6) и соотношений D.8) следуют условия
Гюгонио — Ренкина D.2). Используя условия D.2), соотношения D.8)
можно переписать в виде
2 а3. D-9а)
(W ^) ,4-й«17\ -yg «з. D-96)
т хТ^щ) (Ulul + Й2а2) =
Г14З?) D.9в)
Для того чтобы эти уравнения были разрешимы, должны выполняться
следующие условия совместности:
и 5 -М± = («2 + 5-^-1 — Зи.2, D.10)
tu \ от/ ^
определяющие до сих пор произвольные параметры и3 и Т^.
Если условия совместности D.10) удовлетворены, то уравнения D.9)
сводятся к одному уравнению, например к уравнению D.9а). Поэтому

294 РЕШЕНИЕ УР-НИЯ БОЛЬЦМАНА ДЛЯ ВЫРОЖДЕННЫХ ТЕЧЕНИИ [ГЛ. [V
для определения трех неизвестных функций а,, а2 и а& необходимо
образовать еще два моментных уравнения. Как уже неоднократно
отмечалось, о точности выбранной аппроксимирующей функции можно
судить, сравнивая между собой решения, полученные с помощью
одной и той же аппроксимирующей функции, но с применением раз-
различных моментных уравнений. Будем рассматривать три группы
дополнительных моментных уравнений, образованных умножением
уравнения Больцмана D.3) соответственно на Q,= |2, |2, |3 и Q2= |J,
|^|2, l^l2- Левую дифференциальную часть моментных уравнений для
функции распределения D.4) можно записать в виде
г-i
где
— интегралы, вычисление которых для выбранных функций Ft и Q
не представляет труда.
Несколько сложнее вычисление моментов от интегральной части
уравнения Больцмана. Преобразуем правую часть, воспользовавшись
свойством симметрии D.11) главы II:
з
IQ= \{Q'—Q)fflgbdbdEdldll= ^J[J(Q)a[aJ, D.12)
i, /=1
где
Jij (Q) =j(Q'— Q) FiFiSb db de d^ d\. D.13)
Следовательно, искомые моментные уравнения имеют вид
3 3
1-1 I, У-1
Для нахождения трех функций at(x) необходимо решить систему
двух нелинейных дифференциальных уравнений D.14) совместно
с алгебраическим уравнением D.9а).
Для максвелловских молекул интегралы D.13) можно выразить
через интегралы, значения которых нам уже известны. Действи-
Действительно, функции Q могут быть выражены через полиномы Эрмита.
В обозначениях § 3.3 имеем, например,

§ 4.4] СТРУКТУРА УДАРНОЙ ВОЛНЫ 295
Поскольку интегралы от интеграла столкновений, умноженного на
сумматорные инварианты 1 и vx, равны нулю, то соответствующий
интеграл может быть выражен через известный интеграл C.31)
главы III:
г ЬТ . а A j 8K \1/2 ,, 1КЧ
/ 2 — / С2> = — 6 — Пр..г. D.15)
х
Входящие сюда величины п и рхх могут быть представлены в виде
интегралов от функции распределения, а следовательно, в виде
линейных функций от al(x) с коэффициентами, зависящими от щ,
и,- и ht. Таким образом, интеграл D.15) будет квадратичной функ-
функцией а-г Приравнивая коэффициенты при равных a-fij в D.12)
и D.15), найдем значения интегралов ^-(QI). Имея значения инте-
интегралов Jtj(Q), можно численно решить систему уравнений D.14)
и D.9а). Мы не будем приводить детали решения, но, прежде чем
привести результаты расчетов для распределения D.4), остановимся
несколько подробнее на частном случае бимодальной функции рас-
распределения (a3s=0J). В этом случае уравнения D.9) сводятся к урав-
уравнению
ип= и1а1 -f- u2a2 = щиг. D.16)
В качестве единственного дополнительного моментного уравнения
примем уравнение с Q = |J. Используя D.15), имеем:
. 1/2
Преобразуем правую часть уравнения:
Wxx = пРхх —пр = тп j c2j rf| — -
= -g- mala
la2
Исключая из D.17) функцию а2(х) с помощью D.16) и подстав-
подставляя в правую часть только что полученное выражение, получим
') Таблицы этих интегралов даны в цитированной выше работе Солвина,
Гроша и Циринга.
2) Мои-Smith H. M., Phys. Rev. 82, 885 A951).

296 РЕШЕНИЕ УР-НИЯ БОЛЬЦМАНА ДЛЯ ВЫРОЖДЕННЫХ ТЕЧЕНИЙ [ГЛ. IV
уравнение
где
D.20)
5 рУ2яЯТ{ 15 АУАлК
■ длина пробега молекул до волны и
— число Маха набегающего потока.
Решение уравнения D.18) легко находится и равно
в]М = -^_. D.22)
Тогда
| 4М2
3+М2
я,
D23)
D.24)
■а l/Ж
Структура волны при распределении D.4) и при бимодальном рас-
распределении показана на рис. 33 и 34.
Точку, в которой профиль той или иной величины в волне имеет
максимальный наклон, принято считать центром профиля. Центр про-
профиля будем обозначать дгг, где индекс Г указывает ту гидродинами-
гидродинамическую величину (плотность, скорость, температуру и т. д.), про-
профиль которой рассматривается.
Из приведенных кривых видно, что центр температурного про-
профиля сдвинут вперед по отношению к скоростному центру, а послед-
последний расположен впереди центра профиля плотности.
Как видно из формул D.23) и D.24), скоростной и плотностный
профили при бимодальной функции распределения обладают симме-
симметрией инверсии относительно своего центра. Для характеристики

§ 4.4] СТРУКТУРА УДАРНОЙ ВОЛНЫ
симметрии профиля можно ввести величину
[Г (оо) - Г (*г)] - [Г (*г) - Г (- оо)]
297
1 Г (оо) — Г (— оо)
Очевидно, что для бимодального распределения Sn=Sa—O, в то
время как соответствующие профили для распределения D.4) обла-
обладают слабой несимметрией Sn~3,5% и Su—1,2%.
rl.ffJ
-100 -ЩГ^ЗО^-^О -20 О
— — бимодальное п
По формуле D 4)
QQH£££$
1,00 20 40 SO SO WO
ж
M
qg?
Рис. 33.
-1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,S 0,8 1,0
М
Рис. 34.
Интересно отметить, что профиль температуры, соответствующий
распределению D.4), имеет максимум. При этом расчеты показывают,
что при изменении знака градиента температуры знак потока тепла
не изменяется. Очевидно, что подобных эффектов не может быть

298 РЕШЕНИЕ УР-НИЯ БОЛЬЦМАНА ДЛЯ ВЫРОЖДЕННЫХ ТЕЧЕНИИ [ГЛ. IV
в рамках теории Навье—Стокса. В то же время нельзя с уверен-
уверенностью утверждать, что обнаруженный слабый максимум не обусло-
обусловлен неточностью аппроксимации.
Одной из осредненных характеристик волны, удобной для срав-
сравнения с экспериментальными данными, является ее толщина. Конечно,
понятие толщины условно. Примем определение толщины волны,
данное Прандтлем:
/ _ Г,-Г,
ат
D.25)
Определенные таким образом толщины волны для различных Г,
вообще говоря, различны. Так, для бимодального распределения
температурная толщина волны несколько меньше равных между собой
плотностной и скоростной толщин.
■-^(М
Формула D.4)
Иаёье -Стоке
Рис. 35.
На рис. 35 приведено изменение толщины волны (отнесенной
к длине пробега молекул до фронта) по числам Маха как для бимо-
бимодального распределения, так и для распределения D.4) при различ-
различном выборе Q(|). Согласно обеим теориям толщина волны порядка
длины пробега. При увеличении чисел Маха толщина волны сначала
падает, а затем растет пропорционально числу Маха.
При малых числах Маха решения, соответствующие распределе-
распределению D.4), достаточно хорошо согласуются между собой и с нане-
нанесенным для сравнения решением, полученным по теории Навье —

§ 4.4] СТРУКТУРА УДАРНОЙ ВОЛНЫ 299
Стокса для максведловских молекул. При больших числах Маха рас-
расхождение кривых выбранных момеитных уравнений (для различных Q)
значительно меньше, чем для бимодального распределения. Следова-
Следовательно, добавление одного члена к распределению Тамма—Мотт-
Смита позволило повысить точность. Однако оставшееся расхо-
расхождение кривых еще значительно. Увеличения точности можно
добиться либо добавлением еше одного члена, либо более удачным
выбором функции F3.
Лучшей точности можно добиться и в бимодальном приближении,
варьируя функции Z7, и F2. Результаты, близкие к найденным с по-
помощью распределения D.4), получены, например, с бимодальной
функцией распределения, вводящей различный масштаб скоростей
молек'ул в различных направлениях, в которой *)
D.26)
где Q, йи и /z22— три функции, подлежащие определению наряду
с а,(х) и а2(х). Толщина оолпы, рассчитанная при этом распреде-
распределении для максвелловских молекул, приведена на рис. 35. При этой
функции распределения также получается максимум в температурной
кривой.
Выше структура волны рассмотрена лишь для максвелловских
молекул. При других законах взаимодействия ход решения остается
тем же, но усложняется вычисление моментов от интеграла столкно-
столкновений. При бимодальном распределении сделанные выше качествен-
качественные выводы справедливы и для других законов взаимодействия2).
Толщина волны неограниченно растет при М->оо при лю-
любом s в степенном законе взаимодействия молекул. Лишь при s—>оо
(т. е. для твердых сфер) толщина волны стремится к конечному
пределу. Качественно этот результат можно обосновать следующим
образом. Грубо толщину волны можно принять пропорциональной
длине пробега молекул набегающего потока в газе за скачком уплот-
уплотнения. Обозначим эту длину через %12. Тогда (см. § 1.4)
12 ща^ии '
где и12—скорость молекул набегающего потока относительно моле-
молекул газа за скачком и а]2— сечение столкновений при относитель-
относительной скорости молекул и12. При больших числах Маха
О Но 1 w а у L. Н., Rarefied Gas Dynamics, Forth Symp., Acad. Press, 1965.
2) Cm. Muckenfuss C, Pliys. Fluids 5, № 11 A962).

300 РЕШЕНИЕ УР-НИЯ БОЛЬЦМАНА ДЛЯ ВЫРОЖДЕННЫХ ТЕЧЕНИЙ [ГЛ. IV
и выражение для длины пробега можно записать в виде
1
«2^12 \ «2 / «У 12
е
п2
Если молекулы жесткие, то их можно моделировать твердыми
сферами и О12=О1. В этом случае
Хю—'ёЯ^.
При числе Маха волны М—>со в совершенном газе отношение
плотностей е стремится к
х-1
где х — отношение удельных тепло емкостей. Следовательно, для
твердых сфер толщина волны меньше длины пробега в набегающем
потоке и стремится к конечному пределу при М^оо.
В предельном случае мягких молекул, моделируемых максвеллов-
скими молекулами (см. § 1.3),
Здесь Cj—средняя тепловая скорость молекул, примерно равная
скорости звука ах в набегающем потоке. В этом случае толщина
волны
Я-12 — еМ • Яоо,
т. е. растет пропорционально числу Маха.
Заметим, что длина пробега молекул друг относительно друга к22
за волной пропорциональна к12. Следовательно, при М^со для
всех молекул, кроме твердых шаров, длина пробега молекул за
волной становится больше, чем до волны, несмотря на увеличение
плотности в волне.
Как уже отмечалось, большое число эффектов (излучение, диф-
диффузия компонент смеси и т. д.), возникающих в ударных волнах
(особенно сильных), широко изучаются в рамках теории Навье —
Стокса. Поэтому важно знать область применимости полученных
таким образом результатов и оценить их точность. Возможность
описания структуры ударных волн с помощью уравнений Навье —
Стокса весьма заманчива также и потому, что во многих случаях
ударные волны занимают сравнительно узкую зону течения, во всех
других частях которого иавье-стоксовское описание вполне оправ-
оправдано.
Расчет структуры волны по теории Навье — Стокса сводится
к решению уравнений D.7), в которых в соответствии с рассматри-

!) 4.4] СТРУКТУРА УДАРНОЙ ВОЛНЫ 301
ваемым приближением следует положить (см., например, формулы
C.45) и C.46) главы III)
4 да , ОТ
f хх Ъ дх чх дх
где и, и X являются различными функциями от Г в зависимости от
закона взаимодействия молекул. В общем случае эта система урав-
уравнений решается лишь численно !). Система D.7) с граничными усло-
условиями
п{—оо)=и., 7" (—oo) = 7"j, й(—оо) = и1,
ге2, Т(оо)=Т2, я(оо) = и2
имеет решение при любых числах Маха волны. Однако, согласно
теории Энскога — Чепмена, сами уравнения Навье — Стокса приме-
применимы лишь для течений, характерный размер которых много больше
длины пробега, т. е. в рассматриваемом случае лишь к слабым удар-
ударным волнам. Из приведенного на рис. 35 сравнения видно, что
навье-стоксовское решение удовлетворительно согласуется с реше-
решением, соответствующим распределению D.4), при малых числах Маха
и сильно расходится с ним при больших числах Маха. Естественно
ожидать, что при больших числах Маха более точным является ре-
решение, соответствующее распределению D.4). Однако без точного
решения окончательного вывода сделать нельзя. Поэтому приходится
обратиться к сравнению с экспериментом.
При сравнении теории с экспериментом следует иметь в виду,
что наряду с погрешностями, связанными с приближенным характе-
характером сравниваемых теоретических результатов, расхождение между
теоретическими и экспериментальными данными может быть обуслов-
обусловлено также плохим соответствием принятого в теории закона взаи-
взаимодействия молекул с истинным законом взаимодействия молекул
в опыте. Константы, входящие в теоретические законы взаимодей-
взаимодействия молекул, берутся обычно из каких-либо макроскопических
опытов. Толщина волны очень чувствительна к выбору модели взаи-
взаимодействия молекул. Поэтому экспериментальные данные о толщинах
волн весьма удобны для определения законов взаимодействия мо-
молекул. Для сравнения же теоретических и экспериментальных данных
о структуре волны необходимы законы взаимодействия, взятые из
независимых испытаний, например из опытов по определению вяз-
вязкости. Однако экспериментальные данные по вязкости имеются лишь
для температур, меньших температуры в сильных ударных волнах.
') При числе Прандтля Рг = 3/4 уравнения Навье — Стокса для струк-
структуры волны имеют аналитическое решение (см. Becker R., Zs. Phys. 8,
321 A922)).

302 РЕШЕНИЕ УР-НИЯ ВОЛЫДМАНА ДЛЯ ВЫРОЖДЕННЫХ ТЕЧЕНИЙ [ГЛ. IV
В приводимом на рис. 36 сравнении1) для аргона в теоретиче-
теоретических расчетах принят закон Леннарда — Джонса с коэффициентами,
взятыми из опытов, проведенных до температуры 1100° К- Эта тем-
температура соответствует ударным волнам до М = 3. Для М > 3 при-
принятый закон взаимодействия следует рассматривать как экстраполя-
экстраполяцию. Экспериментальные данные получены с помощью зонда в виде
тонкой нити в аэродинамиче-
аэродинамической трубе разреженного газа
до М = 2 2) и оптическим ме-
методом, основанным на отраже-
отражении волной направленного под
некоторым углом к ней луча,
в ударной трубе3). Толщина
волны отнесена к длине сво-
. , . бодного пробега, определенной
бимодальное pachpefaewe По Формуле D.20), В КОТО-
КОТОРОЙ и, соответствует закону
взаимодействия молекул Лен-
Леннарда— Джонса.
Учитывая сделанные выше
замечания, из приведенного
сравнения можно все же сде-
сделать вывод, что при малых
числах Маха теория Навье —
Стокса согласуется с экспериментом. При больших числах Маха
экспериментальные данные гораздо ближе к теории Тамма — Мотт-
Смита. Навье-стоксовские профили плотности и скорости обладают
значительной несимметрией (S—10 — 20%), в то время как несим-
несимметрия профиля температур меньше, чем по Тамму — Мотт-Смиту.
2. Относительную точность решения Навье—Стокса можно оце-
оценить также с помощью модельного уравнения, для которого можно
построить точное решение4).
Запишем релаксационное уравнение для рассматриваемой одно-
одномерной задачи в интегральной форме (см. формулу (8.25) § 2.8):
S
6
м
Рис. 36.
An
ds
dx. D.27)
!) Schwartz I. М., Ног nig D. F., Phys. Fluids 6, № 12 A963).
2) Sherman F. S., Talbot L., Rarefied Gas Dynamics, First Simp.,
Pergamon Press, 1960.
3) L i n s e r M., Hornig D. F., Phys. Fluids 6, № 12 A£63).
*) L i e p m a n n H. W, N a r a s i m h a R, G h a h i n e M. Т., Phys.
Fluids 5, № 11 A962).

n =—=
§ 4.4] СТРУКТУРА УДАРНОЙ ВОЛНЫ 303
Так как интегрирование ведется от «-)-» и «—» бесконечности, то
экспоненциально затухающий член, содержащий начальную функцию
распределения, пропадает.
Проинтегрируем уравнение D.27) по всем §; имеем
X , X •.
An2 A1/2 jA \ Ands, ajdx+-
1 '" -"со ^т
ОО
+ -7=- | An7hll2J_x\ j Ands, —u\dx, D.28a)
x \t
где1)
Jv(x, u)= [
о
Аналогично, умножая уравнение на \х и lj2nc2 и интегрируя по |,
получим уравнения для и и Т:
X
—-4=- Г Аппт]
/я J u
4=
/я
оо / т
.L- Г Л«2й'Ч Г Ands, —u\dx, D.286)
у я J \ J J
6 , „ m . 2,-1/2, I , , 1
— knl = =- An h J, Anas, и (
'га Г л 2,-1/2,
Ands,—u)dx
2
, u\dx
2F л
X ^X
Ands, —u\dx. D.28b)
Таким образом, получается три интегральных уравнения для трех
макроскопических величин п, и и Т. Эти уравнения решались методом
') Свойства этого интеграла и таблицы его значений даны в работах:
Chahine М. Т., Naraslmha R., J. of Math, and Phys. 43, Kk 2 A964) и
JPL tech. rep. № 32-459, California hist, of Technology, Pasadena, 1963.
В последней работе даны более подробные таблицы-

304 РЕШЕНИЕ УР-НИЯ БОЛЬЦМАНА ДЛЯ ВЫРОЖДЕННЫХ ТЕЧЕНИЙ 1ГЛ. IV
последовательных приближений. За исходное принималось реше-
решение Навье — Стокса. Навье-стоксовские значения п, и и Т подста-
подставлялись в правую часть, и находились новые значения этих величин,
которые вновь подставлялись в правую часть, и т. д. Анализ десяти
последовательных приближений1) показал достаточно быструю схо-
сходимость этого процесса. На рис. 37 дано сравнение профилей тем-
температуры и скорости, рассчитанных по Навье — Стоксу, с описанным
«точным» решением. Использовались уравнения Навье — Стокса, по-
получаемые из модельного уравнения (см. § 3.6), т. е. уравнения, со-
соответствующие числу Прандтля, равному единице. Расчеты проведены
для сазерлендовской зависимости вязкости и теплопроводности от
температуры. В § 3.6 показано, что из релаксационного уравнения
следует:
kx , 5 k2T
A " "— 2 Am ■
Для того чтобы решение модельного уравнения D.27) также соот-
соответствовало закону Сазерленда, величина А считалась функцией тем-
температуры.
Из рассмотрения приведенных кривых можно сделать те же вы-
выводы, что и выше: теория Навье — Стокса достаточно точно опре-
определяет структуру волны при числах Маха, близких к единице, и
точность теории падает по мере увеличения чисел Маха. При этом
наибольшие отклонения наблюдаются у температурного профиля.
Точное решение модельного уравнения не дает отмеченного выше
максимума в температурной кривой.
Интересно отметить, что в области высоких давлений в структуре
ударной волны и при больших числах Маха теория Навье—Стокса
хорошо согласуется с точной2). Отметим также, что полученный
в точном решении при больших М пологий профиль на стороне,
обращенной к набегающему потоку, обнаружен экспериментально
А. В. Ивановым3).
3. Чтобы получить большую, чем п.о теории Навье — Стокса точ-
точность, были сделаны попытки применить уравнения Барнетта и три-
надцатимоментные уравнения Града. Однако оказалось, что уравне-
уравнения Барнетта при числах М>2,1 и уравнения Града при числах
М > 1,65 не имеют решений4).
') Chahine M. Т., Narasimha R., Rarefied Gas Dynamics, Forth
Symp., Acad. Press, 1965.
2) Этот факт использован Вальо-Лауреном, предложившим теорию,
в которой склеиваются решения Навье — Стокса для области высоких да-
давлений с решением кинетического уравнения в области низких давлений
(доклад в Вычислительном центре АН СССР, январь 1964 г.).
3) Иванов А. В., Журнал прикл. механики и техн. физики, №. 6 A964).
4) Grad H, Согщп. Рте and Appl. Math. 5, № 3 A962).

M = 15
S Я 7/J_4
S" 5 Я
1.0
0.3
o.s
0.7
o.s
0,5
0.4
0.3
0.2
~ i
7_
T,
9
8
7
6
5
_._e— 2-ое л
—-о— 1-ое приближение
НвВве-Ствкс
-7 -6 -5-4-3-2-101234
—5— t!-treir/
—-о— р
—— набье-С/тжс
-в '7 S -5 -4 -3 -2-1 0 /
2 3 4
3< 5 7
10
0.8
О.в
0.7
0.S
0.5
0.4
0.3
о.г
г
П'Ю
■о— 2-ое прубпизяеше
-о— г- asприближение
-20-18-18-14-12-Ю-8 -в-4 '2 О 2
'L
2S
5 5 k,
—о— 2-ое приближение
—о.— /-get.
-20-18 46-14-12-Ш-в -S-4-2 О 2
Рис. 37.

306 РЕШЕНИЕ УР-НИЯ БОЛЬЦМАНА ДЛЯ ВЫРОЖДЕННЫХ ТЕЧЕНИЙ [ГЛ. IV
Можно было бы пытаться получить более точное решение, со-
сохраняя все большее число членов ряда по полиномам Эрмита. Однако
для молекул с конечным радиусом взаимодействия можно показать !),
что вообще ряд по полиномам Эрмита, представляющий функцию
распределения в волне, не сходится.
Действительно, разложение по полиномам Эрмита (см. § 3.3)
D.29)
сходится в среднем, если функция / (|) стремится к нулю при £—>со
быстрее, чем e-h"/2. Покажем, что функция распределения в волне
не удовлетворяет этому условию при числах Маха волны, больших
М = 1,851.
Для молекул с конечным радиусом взаимодействия уравнение
Больцмана можно записать в интегральной форме (см. формулу G.5)
§ 2.7; в формуле проведена замена t=xjl,x):
— ~ I Ms. l)ds
dx. D.30)
/,(т, Dexpj—4-
Рассмотрим функцию распределения / (х, §) в некоторой точке х
внутри фронта волны для молекул, движущихся вверх по потоку
(Ijt "^ 0)' ВЬ1брав точку х0 в бесконечности, получим
т
U- f
Ss- «I
D.31)
Так как подынтегральная функция положительна, то
/(х,
D.32)
для х, > я. При х, -> оо функция распределения / стремится
к равновесной функции распределения за скачком
_
/02
') См. Holway L. H., Phys. Fluids 7, № 6 A964).

§ 4.41 СТРУКТУРА УДАРНОЙ ВОЛНЫ 307
а интеграл J{ стремится к /o2-4(°°> !)■ '^ак как интеграл J2 конечен,
то согласно D.32)
/ (х, 1, \х < 0) > С ехр (- h&*), D.33)
где С—некоторая положительная постоянная.
С другой стороны, для точек х, лежащих вверх но потоку от
центра волны, / стремится к
3/V?
при х-* оо. Для того чтобы для этих точек решение могло быть
представлено в виде сходящегося в среднем ряда D.29), необхо-
необходимо, чтобы
lim /(х, |) < С, ехр(— 1 h,\г\, D.34)
где С1 > 0. При наличии неравенства D.33) условие D.34) может
быть выполнено лишь при
/22>-i/2, или 72<27V D.35)
Согласно условиям Гюгонио 72 = 2Г, при числе Маха волны, рав-
равном 1,851.
Следовательно, решение в виде сходящегося в среднем ряда D.29)
существует лишь при М < 1,851.
Конечно, из того факта, что при М > 1,851 решение не может
быть представлено в виде ряда D.29), еще не следует, что, напри-
например, тринадцати- или двадцатимоментные уравнения или уравнения
еще более высокого порядка ие должны иметь решений при этих
числах Маха. Так, уравнения Навье — Стокса имеют решение при
любом числе Маха волны, в то время как соответствующая им функция
распределения для максвелловских молекул тождественна тринадцати-
моментной функции распределения. Однако из доказанного следует,
что нельзя надеяться на получение все более точного решения путем
сохранения все большего числа членов ряда в разложении по поли-
полиномам Эрмита.
В той области, где решения уравнений Града существуют, они
хуже согласуются с опытом, чем решения уравнений Навье — Стокса
и Барнетта 1).
4, В принципе точные решения для структуры волны можно полу-
получить методом Монте-Карло (см. § 3.15J). Однако этот метод требует
слишком много времени при расчете на существующих вычислитель-
вычислительных машинах. Поэтому полученные результаты носят предварительный
') См. работу Шермана и Толбота, цитированную на стр. 302.
1963.
2) Н a v 11 a ri d J." К., Karefied Oas Dynamics, Third Symp., Acad. Press,
20*

308 РЕШЕНИЕ УР-НИЯ БОЛЬЦМАНА ДЛЯ ВЫРОЖДЕННЫХ ТЕЧЕНИР1 [ГЛ. IV
характер. Метод расчета аналогичен описанному в § 4.2 для задачи
о потоке тепла между двумя бесконечными стенками. Для рассма-
рассматриваемой одномерной задачи фачовоз пространство вновь можно
характеризовать всею тремя координатами: геометрической коорди-
координатой х, продольной скоростью молекул 1>х и радиальной скоростью
молекул Е,д (функция распределения имеет ось симметрии |А.). Фазовое
пространство разбивается на ячейки путем деления каждой из ука-
указанных координат на равные части Ах, &%,х, Д|д. Каждая ячейка,
отмечаемая тремя индексами i, J, k, соответствует определенным
значениям xh \xi и \Rk. Функция распределения во всем простран-
пространстве полностью определена, если в каждой ячейке заданы некоторые
числа Ntjk, равные числу молекул, находящихся в элементе про-
пространства Ах с центром в точке xt со скоростями \к и \Rk соот-
соответственно в интервалах А\х и Д|д.
Хотя область, занятая волной, бесконечна, для применения метода
Монте-Карло условия Гюгонио — Ренкина необходимо ставить на
некотором конечном расстоянии, которое путем проб молено выбрать
таким, чтобы решение не изменялось при дальнейшем раздвижении
границ. Приводимые ниже результаты получены для границ, распо-
расположенных друг от друга на расстояниях трех толщин волны, опре-
определяемых по формуле D.25).
Пусть задана некоторая функция распределения, т. е. заданы
числа Мць во всех ячейках фазового пространства. Молекулы задан-
заданного распределения являются полевыми. Возьмем теперь некоторую
пробную молекулу, входящую в область течения через одну из границ
со скоростью (Ё,л, |д). Число молекул, входящих через переднюю
и заднюю границы, должно быть выбрано пропорциональным числу
молекул, входящих через эти границы согласно распределениям /j
и /2 на бесконечности. Числа |v и |д определяются случайными
числами, выбираемыми с плотностью, соответствующей максвелловским
распределениям /, и /2. Входя в область течения, пробная молекула
пересекает границу некоторой ячейки. При этом у нее имеется две
возможности: или она пройдет эту ячейку и пересечет границу сле-
следующей, или испытает столкновение. Вероятность обоих исходов
определяется законом взаимодействия молекул и плотностью полевых
молекул. С плотностью, соответствующей этой вероятности, выби-
выбирается случайное число, определяющее время т свободного полета
молекул до столкновения. Если т > Axjiix, то имеет место первый
из упомянутых исходов. В этом случае время пребывания молекулы
в рассматриваемой ячейке равно Ах(%х. Молекула входит в следую-
следующую (по х) ячейку, где вновь разыгрывается время свободного про-
пролета т. Если т < Axj%x, то столкновение произошло в первой ячейке.
В результате столкновения пробная молекула приобретает новую ско-
скорость, т. е. попадает в ячейку с другими скоростными индексами.

§4.4]
СТРУКТУРА УДАРНОЙ ВОЛНЫ
309
В этой ячейке снова разыгрывается время свободного пробега и т. д.
Выбранная пробная молекула прослеживается таким образом до тех
пор, пока она не выйдет через одну из границ. Тогда выбирается
Исходное распределение
--- f-oeприближение, стандарт-
стандартный разброс
0 £-ве'приближение
4 6
Рис. 38.
8 х/
Cqoepuv9CKU9 молекулы
новая пробная молекула, и процесс начинается сначала. Запоминая
время, проводимое пробными молекулами в ячейках, определяем тем
самым новую функцию
распределения. Необхо-
Необходимое число пробных мо-
молекул определяется из
условия, чтобы функция
распределения не изме-
изменялась при увеличении их
числа. После этого мо-
молекулы, соответствующие
новой функции распреде-
распределения, принимаются за
полевые, и расчет начи-
начинается снова. Получение
новой функции распреде-
распределения составляет одну
итерацию. Для этих рас-
расчетов требуется большая
оперативная память, так
как необходимо одновременно помнить исходную и рассчитываемую
функции распределения.
Приводимые расчеты проведены на вычислительной машине IBM-709
для молекул в виде упругих сфер. За исходную функцию распре-
распределения принималось соответствующее бимодальное распределение
L
0,4
0.3
0,2
OJ
О
— Навое-Стоке
Мотт- 17м(/т
о Мимте -Карло
t,s
2,5
3,0
3,5
м
Рис. 39.

310 РЕШЕНИЕ УР-НИЯ БОЛЬЦМАНА ДЛЯ ВЫРОЖДЕННЫХ ТЕЧЕНИЙ [ГЛ. IV
Мотт-Смита. Выбиралось 25 ячеек по л: и 180 скоростных ячеек
при каждом х, т. е. для одной функции распределения необходимо
запомнить 4500 значений.
На рис. 38 показан типичный профиль плотности, а на рис. 39
дано сравнение толщины скачка, рассчитанной по методу Монте-
Карло, с результатами других методов.
Расчетные точки, в соответствии со сделанными ранее выводами,
лежат ближе к навье-стоксовской кривой при числах М, близких
к единице, и ближе к кривой Мотт-Смита при больших М. Однако
слишком ограниченное число расчетов без доказательства сходимости
метода не позволяет рассматривать полученные решения как точные.
Тем не менее полученные результаты показали возможность стати-
статистического моделирования сложных молекулярных течений. Исполь-
Использованная схема счета до некоторой степени аналогична методу после-
последовательных приближений, в котором в правую часть уравнения Больц-
мана подставляется функция распределения предыдущего приближения.
Сходимость метода в существенной мере зависит от удачного выбора
исходной функции распределения.
§ 4.5. Звуковые колебания
До сравнительно недавнего времени звуковые колебания одно-
одноатомного газа изучались в гидродинамическом приближении. Однако
такое рассмотрение справедливо лишь для длин волн, значительно
больших длины свободного пробега молекул, или для частот, много
меньших частоты столкновения молекул. Для описания высокочастот-
высокочастотных (ультразвуковых) колебаний в широком диапазоне частот необ-
необходимо исходить из линеаризированного уравнения Больцмана:
Уравнение записано в безразмерных координатах, употреблявшихся
в §§ 3.11 и 3.12, а именно:
^^ш ^ \ ■ E>2)
Для упрощения письма черточки над безразмерными величинами
в уравнении E.1) опущены.
Дисперсионные уравнения уже рассматривались в §§ 3.11 и 3.12.
Рассмотрим два метода исследования звуковых волн '). В первом
из них возмущенная функция распределения ф представляется в виде
1) Использовались также тринадцатимоментные уравнения (Моисеев-
Ольховский И. И., Доклады АН СССР 118, № 3 A958)).

§ 4.5] ЗВУКОВЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЗП
отрезка ряда по собственным функциям оператора L (ср) для максвел-
ловских молекул:
Подставляя ф в виде E.3) в уравнение Больцмана E.1), умножая
его последовательно на соф^ и интегрируя по |, получим систему N
линейных уравнений для N моментов а]Х:
, N N
оа,. vi oui vi
i-i г-i
где
Для максвелловских молекул Я,г= 0 при г =/= |х и система E.4)
упрощается
"да ^~ 2и ^1 ~дх~ = flH.V> (^г= ^а')- E-4 а)
Для твердых сферических молекул удобнее использовать урав-
уравнение Больцмана в виде A1.58) § 3.11.
Отыскивая решение вида
fl/ = e,e""+*Jr', E.5)
получим систему линейных однородных уравнений для определения
постоянных а{. Приравненный нулю детерминант этой системы (дис-
(дисперсионное соотношение) определяет связь между сг и k.
Этим путем были исследованы звуковые колебания для максвел-
максвелловских молекул с использованием до 483 моментов ') и для твердых
сфер с использованием до 105 моментов2).
Второй метод состоит в использовании модельных уравнений
(см. § 3.12, формулу A2.9)):
где
РгУ = *"l) *ljA-N + Ii Д/ + ].
') P e k e r i s C, L., A ! t e r m a n Z., F I a k с I s t с I n L, Symp. on the
Numerical Treatment of Ordinary Dlff. Equations, Burhauser-Verlag, Basel, 1960.
2) Pekeris С L. Alterman Z, Finkelstein L., Fran-
kowskl K-, Phys. Fluids 5, № 12 A962).

312 РЕШЕНИЕ УР-НИЯ БОЛЬЦМАНА ДЛЯ ВЫРОЖДЕННЫХ ТЕЧЕНИЙ [ГЛ. IV
Решение для ф ищем в виде
ф= £(!)«,'<"+**, ai = wtaf+h*. E.7)
где а1 — постоянные. Тогда уравнение E.6) приобретает вид
N
(ia + kl1 — %N+hN+1)g= 2 afitfij, E.8)
i, i
откуда
N
Умножая это уравнение последовательно на оп|)й и интегрируя по
получим систему уравнений для определения ak:
E.10)
Приравненный нулю детерминант этой системы дает дисперсионное
уравнение1).
Заметим, что, подставив разложение E.3) в интегральный член
уравнения Больцмана, можно вместо системы уравнений E.4) полу-
получить для максвелловских молекул уравнение
N
аналогичное уравнению E.6). Представляя решение этого уравнения
в виде E.7), придем тем же путем, что и выше, к системе уравне-
уравнений типа E.10). Следовательно, рассматриваемые методы отличаются
лишь исходными уравнениями.
Поскольку аналитическое Отыскание корней дисперсионного урав-
уравнения представляется весьма сложным, была составлена программа
для вычислительной машины и найдены корни дисперсионного урав-
уравнения для ./V=3, 5, 8 и II2). Исследовалась лишь гидродинами-
гидродинамическая ветвь (ем. §§ 3.11 и 3.12).
В § 3.12 отмечалось, что можно выбирать различную последова-
последовательность членов ряда E.3). В приведенных расчетах порядок сле-
следования собственных функций в ряде E.3) был выбран таким, чтобы
соответствующие им Х(-;- располагались в порядке возрастания величины.
') Таблица величин Сц дана в работе: S I г о w I с h L., T h u r b e r J. К.,
Rarefied Gas Dynamics, Third Symp., Acad. Press, 1963.
2) Sirowich L, Thurber T. K, J. of Acoustical Soc. of America 37,
№ 2, 329—339 A965).

§ 4.5] ЗВУКОВЫЕ КОЛЕБАНИЯ 313
В §§ 3.11 и 3.12 мы интересовались зависимостью а от k, т. е.
зависимостью частоты колебаний от длины волны. Такой подход
закономерен при решении задачи о затухании начального возмущения.
В экспериментальных исследованиях обычно изучаются вынужденные
колебания. Поэтому для сравнения с экспериментом необходимо счи-
считать сг заданной действительной величиной, a k искомой комплексной
величиной."
Величина а характеризует затухание волны (декремент затухания),
а [3 — длину волны (волновое число). Скорость распространения
волны а равна
сг
a
В качестве параметра, определяющего режим течения, естественно
взять отношение частоты столкновений к частоте колебаний.
В § 1.5 мы видели, что коэффициент вязкости \i и давление р
пропорциональны соответственно
\i -—-- птсХ и р <—-- птс2.
Следовательно, частота столкновений
1 с_ р
Поэтому введем параметр
/• = -£-. E.11)
На рис. 40—43 приведено сравнение результатов расчета различ-
различными методами скорости звука а и декремента затухания а с экспе-
экспериментальными результатами :). Скорость звука отнесена к адиабатиче-
адиабатической скорости звука ao = (xJ»/pI/'2, а декремент затухания — к со-
соответствующему волновому числу |30 = сг/а0.
Опыты проводились в аргоне, гелии, неоне, криптоне и ксеноне.
Приведенное сравнение показывает, что уравнение Навье — Стокса
обладает удовлетворительной точностью лишь при низких частотах
колебаний. Решение, полученное с помощью разложения в ряд E.3),
оказывается более точным, чем решение Навье—Стокса, вплоть до
чисел г~1. Однако при еще меньших числах г оно также резко
расходится с экспериментом.
Для каждого модельного уравнения (для каждого N) существует
некоторая критическая частота сго(Л/) такая, что при cr;>croGV)
модельное уравнение не имеет решения в виде плоских волн (ср.
') О г е е n s p e n M, J. Acous. Soc. 28 644 A956); Meyer E, Sessler
О. Z., Z. Phys. 149, 15 A957).

314 РЕШЕНИЕ УР-НИЯ БОЛЬЦМАНА ДЛЯ ВЫРОЖДЕННЫХ ТЕЧЕНИЙ [ГЛ. IV
с § 3.12). Критическая частота возрастает вместе с N. Для максвел-
ловских молекул критические частоты соответствуют г ^ 0,701
при 7V = 3 и г = 0,413 при Л/=11. Для твердых сфер соответ-
соответствующие критические значения равны г = 0,701 и г=0,290. Однако
Максбелловский газ
ные уродяе//ия,/У*403
Зкслеримент Гринспена
Зксгеримент Мей ер о и Сеслера
S 10 20 50
Рис. 40.
0,002 0,0050,0? 0,02 0,05 O.I
i i i i I i i i i I
Максввл/таскип газ
— Навое-Ста/сс
^
Мадв/юнае уравнение. N-3
Модельное уравнение, N=11
Маментные уравнения, N-483
Эксперимент Гранспено
Эксперимент Me пера а Свслеро
12 5 10 20 50
i_i i i '
Рис. 41.
в комплексной ^-плоскости соответствующие ветви решений дис-
дисперсионного уравнения могут быть аналитически продолжены в область
больших частот1). Аналитическое продолжение решения модельного
См. работу Сиров и ча и Тарбера, цитированную на стр. 312.

§4.5]
ЗВУКОВЫЕ КОЛЕБАНИЯ
315
уравнения для меньшего Л/ близко к решению (в области между
соответствующими критическими частотами) модельного уравнения
для большего N. Поэтому можно предполагать, что аналитические
0,002 0,005 0,01 0,02 0,05 О,!
Навье-Стокс
Модельное уравнение, N=3
— Модельное уравнение, N=ft
Маментныеуравнения,М405
о Зкслерименл? Гринслена
Зкслеримент Мейера и
а Сеслера
2 5 Ю 20 SO
■0,5
Рис. 42.
Сферичяс/ше молекулы
-0,2
-0,1
-0,05
-О,
-0.0!
Набье-Стока
Модельное уравнение. N-3 N\
~—- Модепьнае ураднение,№11 ЛХ
Мс?ме,чтнь1е урад°нен(/я} N-105
о Эксперимент Гринспена
о Эксперимент Мейера и Сеслера
0,002 0,005 ОД/ 0,02 0,05 0,0!
i i i i i
г
/О 20 50
i i i
Рис. 43.
продолжения определяют с точностью, возрастающей вместе с N,
звуковые волны. Однако если это предположение и правомерно, то,
как легко видеть из самого способа построения модельных уравне-
уравнений, при каждом конечном N можно указать столь большие частоты,

31 б РЕШЕНИЕ УР-НИЯ БОЛЬЦМАНА ДЛЯ ВЫРрЖДЕННЫХ ТЕЧЕНИИ [ГЛ. IV
для которых можно надеяться лишь на получение качественно пра-
правильной картины.
На рис. 40—43 при значениях г, меньших критических, нанесены
аналитические продолжения соответствующих решений.
Построенные таким образом решения модельного уравнения
при АЛ = 11 вполне удовлетворительно совпадают с экспериментом
в широком диапазоне частот, что в известной мере оправдывает
сделанное выше предположение.
Как и следовало ожидать, решение модельного уравнения с одним
временем релаксации (Л/ = 3) расходится с остальными решениями
и экспериментом в навье-стоксовской области, так как оно соответ-
соответствует искаженному числу Прандтля. Однако оно дает удовлетвори-
удовлетворительную качественную картину во всем диапазоне частот.
Вполне понятно также несколько лучшее совпадение с экспери-
экспериментом расчетов для сферических молекул, чем для максвелловских.
Действительно, зависимость коэффициента вязкости, например, для
гелия (|i •—- 70-647) ближе к зависимости, даваемой сферическими
молекулами (ц.—'Т0'5), чем к зависимости, соответствующей максвел-
ловским молекулам (jx.—■ 71).
Наиболее разительной является разница между результатами, по-
полученными с помощью разложения в ряд E.3) и с помощью модель-
модельных уравнений. Несмотря на то, что в первом методе учитывалось
гораздо больше моментов (до 483 для максвелловских молекул
и до 105 для твердых сфер), чем в модельных уравнениях (до 11),
первый метод оказался совершенно непригодным в переходной
и кнудсеновской областях (при больших частотах колебаний). В то
же время при низких частотах точность возрастает с увеличением
числа членов ряда E.3). Это заставляет думать (хотя это строго
и не доказано), что ряд E.3) сходится лишь при числах г, боль-
больших некоторого критического значения.
Как и для других задач, отсутствие точных решений уравнения
Больцмана не позволяет сделать окончательных заключений о харак-
характере звуковых колебаний при г —> 0. Следует при этом иметь
в виду трудности экспериментального исследования этих режимов.
Обычно звуковые волны генерируются колеблющейся пластинкой.
Как видно из рис. 41 и 43, при малых г характерное расстояние
затухания порядка длины волны:
. 1л 2ла0
которая становится меньше длины пробега при сг —> оо. С другой
стороны, на расстояниях, меньших длины пробега от возмущающей
пластинки, звуковые волны еще сформироваться не могут и могут
быть замерены возмущения, вызванные молекулами, испытавшими
последнее столкновение с пластинкой.

Г л а в а V
Течения при малых числах Кнудсена
S-
Область Навве-С/покса или логранич-
s о слоя Лримдтля
' du
—s
§ 5.1. Скольжение и температурный скачок
В главе III (см. §§ 3.6—3.8) показано, что разложение Гиль-
Гильберта— Энскога — Чепмена во внутренних точках течения дает реше-
решение, асимптотически сходящееся к решению уравнения Больцмана при
числах Кнудсена, стремящихся к нулю. Однако при любом сколь
угодно малом числе Кнудсена вблизи границ имеется область, в ко-
которой этот ряд не представляет решение уравнения Больцмана. Как
мы видели в §§ 3.6—3.8 (и что
несколько иначе будет вновь
показано ниже), толщина этой
области, названной слоем Киуд-
сена, порядка длины пробега %.
Рассмотрим течение вне
слоя Кнудсена в навье-стоксо-
вском приближении, т. е, огра-
ограничимся двумя членами ряда
Гильберта или Энскога —
Чепмена. Нашей целью является
установление таких фиктивных
макроскопических гранич-
граничных условий для уравнений
Навьс — Стокса на твердой
стенке, при выполнении кото-
которых решение уравнений Навье — Стокса вне кнудсеновского слоя со-
совпадало бы (с точностью навье-стоксовского приближения) с реше-
решением уравнения Больцмана с заданными истинными кинетическими
условиями на стенке.
Характер взаимодействия молекул со стенкой определяет гранич-
граничные условия для функции распределения на нижней границе кнудсе-
кнудсеновского слоя (рис, 44). Поскольку навьс-стоксовская функция рас-
распределения представляет решение уравнения Больцмана лишь на не-
некотором расстоянии от стенки, то для установления граничных условий
для уравнений Навье— Стокса необходимо исследовать слой Кнудсена.
Рис. 44.

318 ТЕЧЬНИЯ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ КНУДСЕНА (ГЛ. V
Пусть скорость стенки равна нулю. Очевидно, что присутствие
покоящейся стенки при любом законе отражения молекул (кроме пол-
полностью зеркального) должно приводить к затормаживанию газа. С дру-
другой стороны, у нас нет никаких оснований считать скорость газа
у стенки равной скорости стенки. Точно так же у нас нет оснований
считать температуру газа у стенки равной температуре стенки.
Пусть сплошной кривой на рис, 44 изображено изменение истин-
истинной скорости газа у стенки. Пусть, скажем, линия 55 на рис. 44 на-
находится в области, где решение уравнения Больцмана уже с необхо-
необходимой точностью аппроксимируется иавье-стоксовским приближением.
Если бы мы знали скорости и температуру газа на этой линии, то,
решая уравнения Навье — Стокса, мы могли бы построить решение
во всей внешней (вне слоя Кнудсена) области. Тогда, продолжая ре-
решение уравнений Навье—Стокса внутрь слоя Кнудсена (пунктирная
линия на рис. 44), мы можем определить некоторые фиктивные зна-
значения скорости и температуры у стенки, В общем случае получен-
полученные таким образом скорость и температура не равны ни истинной
скорости и температуре газа у стенки, ни скорости и температуре
стенки. Разность между фиктивной скоростью и скоростью стенки на-
называют скоростью скольжения, а соответствующую разность темпера-
температур— температурным скачком.
Из описанного способа получения фиктивных скорости и темпе-
температуры видно, что, принимая их в качестве граничных условий на
стенке для уравнений Навье—Стокса, мы получим решение, совпа-
совпадающее вне слоя Кнудсена с истинным, Поскольку при рассмотре-
рассмотрении течений при малых числах Кнудсеиа нас, как правило, не инте-
интересуют детали течения в кнудсеновском слое1), то скорость сколь-
скольжения и температурный скачок — это, собственно, все, что необходимо
для расчета течения в навье-стоксовском приближении. Но, как мы
видели, для нахождения этих величии необходимо знать значения
истинных скоростей и температуры на границе слоя Кнудсена (грубо
на линии 55), для определения которых нужно решить уравнение
Больцмана внутри слоя при заданном законе отражения молекул на
стенке, В настоящее время эта задача решена лишь для модельного
Зфавнения,
Однако прежде чем перейти к построению этого решения, заме-
заметим, что часто делаются попытки установления условий скольжения
без решения уравнения Больцмана. Можно было бы пытаться оты-
отыскивать условия скольжения, используя законы сохранения, подобно
тому как это делается при выводе условий Гюгонио в ударных вол-
волнах. В качестве контрольных поверхностей можно взять, например,
линию 55 и стенку. Однако легко видеть, что этот вывод не может
') Подробнее об общей картине течения при малых числах Кнудсена
см. следующий параграф.

§ 5.11 ' СКОЛЬЖЕНИЕ И ТЕМПЕРАТУРНЫЙ СКАЧОК 319
быть завершен. Так как на линии 55 и выше (рис, 44) справедливы
уравнения Навье — Стокса, то из решения внешней задачи можно
выразить потоки массы, импульса и энергии на линии £5 через пока
неизвестные значения скоростей и температуры на этой линии. Од-
Однако иа второй контрольной поверхности (на стенке) мы эти потоки
найти не можем, так как нам задан лишь закон отражения молекул,
т. е. связь между функцией распределения отраженных молекул и
функцией распределения налетающих молекул, по последняя без ре-
решения уравнения Больцмана в слое найдена быть не может. Поэтому
здесь поступают следующий образом1). Продолжают решение урав-
уравнений Навье — Стокса до стенки, т, е, полагают, что линия 55 сов-
совпадает со стенкой и скорость и температура на ней равны искомым
фиктивным скоростям и температуре на стенке. Так как из решения
уравнений Навье — Стокса мы можем через эти величины выразить
и производные от гидродинамических величин на этой линии, то тем
самым мы можем выразить через них и функцию распределения в навье-
стоксовском приближении. Принимая эту функцию распределения за
функцию распределения падающих на стенку молекул и пользуясь
законом отражения молекул, можно записать теперь потоки массы
энергии и импульса на нижней контрольной поверхности — на стенке.
Приравнивая эти потоки потокам через верхнюю контрольную поверх-
поверхность (через линию 55), получают уравнения для определения неиз-
неизвестных гидродинамических величин иа линии 55 т, е, условий сколь-
скольжения, которые затем и закладываются в решение внешней задачи
в навье-стоксовском приближении.
Легко видеть, что такая схема течения у стенки существенно ис-
искажает описанную выше действительную картину. Кроме того, эта
схема противоречива. Принимая функцию распределения падающих
молекул той же, что и на линии 55, мы как бы предполагаем, что
в кнудсеиовском слое функция распределения не меняется. В то же
время принимается, что, какова бы ни была функция распределения
отраженных молекул, молекулы, приходящие от стенки на линию 55,
приобретают навье-стоксовское распределение. Схема приводит к пере-
переопределенной системе уравнений (имеем уравнение сохранения массы,
три уравнения сохранения импульса и уравнение сохранения энергии
и только четыре неизвестных: их, ау, uz и Т — на линии 55), что
в свою очередь ведет не только к количественным, но и качествен-
качественным ошибкам. Так, например, из-за переопределенности задачи при-
приходится вводить скачок давления на стенке (пятую неизвестную), хотя,
как мы увидим ниже, давление в пределах рассматриваемого прибли-
приближения постоянно поперек кнудсеновского слоя.
') См., например, изложение этого вопроса в монографиях: Патер-
Патерсон Г. Н., Молекулярные течения газов, Физматгиз, 1960; Широков М. Ф,
Физические основы газодинамики, Физматгиз, 1958; Шидловский В. П..
Введение в динамику разреженного газа, «Наука», 1965.

320 ТЕЧЕНИЯ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ КНУДСЕНА [ГЛ. V
Иногда пытаются улучшить дело, принимая функцию распреде-
распределения падающих на стенку молекул не в навье-стоксовском, а в бар-
неттовском или трннадцатимоментном приближении. Однако очевидно,
что это не может исправить положения, так как сама схема течения,
не учитывающая изменений функции распределения в кнудсеновском
слое, неверна, и для нахождения правильных условий скольжения
необходимо решить уравнение Больцмана в слое Кнудсена.
1. Рассмотрим эту задачу для модельного уравнения. Ограни-
Ограничимся рассмотрением плоского случая1).
Запишем модельное уравнение в безразмерных переменных в сле-
следующих интегральных формах (см. формулу F.3) главы III):
f(x, &) = /„<*, |) + ехр{-1 J n[x-^[l(x)-i)]f\[f(x1)-
I (x)
—/o(*i)] —
J n[x
l\dl, A.2)
I
где x отнесено к характерной длине L течения вне кнудсеновского
слоя, | отнесено к характерной скорости молекул U -~>(kTQ[mI^, n —
к характерной плотности п0, I—длина, отсчитываемая вдоль траек-
траектории молекулы, и
U
i— КП— Апо1 ■
Первый член в этих уравнениях соответствует приближению Эй-
Эйлера2). В навье-стоксовской области функция распределения пред-
представляется двумя первыми членами формулы A.2). Если обе точки х
и х1 лежат в навье-стоксовской области, то содержимое квадратных
') По-видимому, впервые зга задача была корректно поставлена Велан-
дером (We I an der P., Arkiv far Fysik 7, Ilafte 6, 507 A954). Сокращенный
русский перевод в книге: Д е в и е н М., Течения и теплообмен разрежен-
разреженных газов, ИЛ, 1962).
2) См. § 3.6.

§ 5.1] СКОЛЬЖЕНИЕ И ТЕМПЕРАТУРНЫЙ СКАЧОК 321
скобок в A.2) с точностью до величин порядка е2 равно нулю, а от-
отношение остаточного члена к навье-стоксовскому — порядка е. Пусть
теперь точка х, расположена на стенке (у, = 0); рассмотрим моле-
молекулы, движущиеся от стенки (|у > 0). Тогда
/(*„ &)-=/,(*„ g)
есть функция распределения отраженных от стенки молекул. Так как
внутри слоя Кнудсена навье-стоксовское представление функции рас-
распределения несправедливо, то содержимое квадратных скобок не
равно нулю. Однако благодаря стоящему перед скобкой экспонен-
экспоненциальному члену вклад стенки в функцию распределения убывает по
мере удаления от стенки.
Определим толщину слоя Кнудсена 6Й из условия, что внутри
слоя член, определяющий влияние стенки, и навье-стоксовский член
имеют одинаковый порядок. При у > bk можно считать справедливым
представление Навье — Стокса.
Предположим, что закон отражения молекул от стенки имеет вид
(см. §§ 2.9, 2.10)
/г==Л@. U h > 0, U = nr[-^-fe'hr^, A.3)
т. е. предположим, что молекулы отражаются диффузно с максвел-
ловским распределением. Температура отраженных молекул связана
с температурой стенки коэффициентом аккомодации
Ег=£, — ав (£,— £„). A.4)
Величина пг находится из условия непротекания.
Сделаем также естественное предположение, что производные по х
и у от гидродинамических величин, а следовательно, и от /0 внутри
слоя имеют тот же порядок, что и вне его. Это предположение
оправдывается решением, получаемым для слоя.
Возьмем точку хг на расстоянии 6*, от стенки и рассмотрим мо-
молекулы, идущие к стенке (|у < 0). Тогда содержимое квадратных
скобок в A.1) — порядка (.dfajdy, и функция распределения па-
падающих на стенку молекул при у = 0 имеет вид
/(=/о@. 1) + 0(^). A.5)
т. е. функция распределения падающих молекул близка к равновес-
равновесной функции распределения, соответствующей гидродинамическим
величинам у стенки »@), ахф) и Г@).
21 Л1. Н. Коган

322 ТЕЧЕНИЯ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ КНУДСЕНА |ГЛ. V
Легко видеть, что в этом случае близка к равновесной и функ-
функция распределения отраженных молекул /г Действительно,
A.6а)
~ J
Из этих соотношений видно, что пг и Тг отличаются на величины
порядка i от «@) и 7@). Из соотношения A.66) видно, кроме того,
что нг@) = О(б). Так как Тт отличается лини, на величину порядка е
от 7@), то из A.4) при ае Ф 0 следует, что 7@) отличается на
величину порядка (. от температуры стенки Tw.
Пусть теперь точка я, находится на стенке, а точка х—произ-
х—произвольная точка внутри слоя. Рассмотрим молекулы, летящие от стенки
(|у > 0). В соответствии со сделанными оценками содержимое квад-
квадратных скобок в A.2) имеет порядок edfjdy. Приравнивая член
с квадратной скобкой к навье-стоксовскому, получаем
п ill n dl
откуда следует, что 6j = O(e). При этом остаточные члены в урав-
уравнениях A.1) и A.2) также имеют тот же порядок, что и член
Навье — Стокса.
Тогда из A.1) и A.2) следует, что функция распределения везде
внутри слоя имеет вид
/(х, l) = fo(x, Ю-т-О(е).
Так как входящие в /0 гидродинамические величины изменяются по-
поперек слоя на величину порядка е (производные от я, п и 7 — по-
порядка единицы), то функция распределения внутри слоя может быть
представлена в виде
/(*, |) = /оэ(*. ЙО+Ф). (Ф = О(«)) 0-7)
где foo(x, |) — некоторая постоянная поперек слоя равновесная функ-
функция распределения. Хотя функция распределения внутри слоя близка
к максвеллосскому распределению, она непредставима рядом Энскога,

§ В.I] СКОЛЬЖЕНИЕ И ТЕМПЕРАТУРНЫЙ СКАЧОК 323
и для ее определения необходимо решить уравнение Больцмана внутри
слоя.
Таким образом, имеется две области: одна — с характерным раз-
размером L (в безразмерных переменных—единица) и другая—с ха-
характерным размером iL (в безразмерных переменных — е) в направ-
направлении, перпендикулярном стенке, и размером L вдоль стенки. Не-
Необходимо найти асимптотическое (при £—>0) решение уравнения
Больцмана
В кнудсеновском слое удобно ввести переменную у[ = у/£:
В обеих областях решение ищется соответственно в виде рядов
по (.. Внешнее разложение:
f = ri0\x, у, %) + eF{1)(x, у, %)+..., A.10)
внутреннее разложение:
Разложение A.10) есть не что иное, как ряд Гильберта (см. § 3.7).
Граничные условия для функций /(А>(х, у\, £•) внутреннего разло-
разложения на стенке (yt = 0) непосредственно следуют из условия непро-
непротекания
J lyft(*. о. Dd|+ J Sy/r(*. o, Dd| = o. (i.i2)
которое при законе отражения молекул от стенки A.3) принимает
вид
A.12а)
где hT определяется соотношением A.4):
(о,—1) | ^2/id| = ^=(|£—f). О-18)
Разлагая /;, пг и hr в ряды по € и приравнивая члены при равных £,
находим связь между /'*', г^Р и А^.
Граничные условия для внешнего разложения при у—>0 и для
внутреннего разложения при уг~>оо находятся из условия склейки
решений.
21*

324 ТЕЧЕНИЯ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ КНУДСЕНА [ГЛ. V
Запишем внешнее разложение в координатах внутреннего разло-
разложения (т. е. заменим у на у^:
f=F{0)(x, eylt i) + ^<V, еу,. |)-f... A.14)
и разложим функции F{k)(x, еу{, |) в ряд по е при у, = const; имеем
/ = F<V 0, 6) +<[>(*. О, 1) + ^^-у]+-.. AЛ5)
Очевидно, что при yl—>oo внутреннее разложение должно совпа-
совпадать с внешним разложением A.15), т.е.
/ОСу,-* оо) = /*»«)). /'>(yI->TO)s=/*>@) + yI^M и т.д.
A.16)
Конечной целью настоящего параграфа является установление гра-
граничных условий для уравнений Навье — Стокса.
Если в разложениях Гильберта A.10) и A.15) ограничиться двумя
членами (навье-стоксовское приближение), то с точностью до членов
порядка е2 их мо-кно заменить соответствующими разложениями Энс-
кога—Чепмена с помощью формул (8.41) и (8.42) главы III:
у, i) + e^'(x, у, l)=r-"'{x, у, D — t-^- ffi^L
A.10а)
о, &) + «[>(*. о. 5L- ^УЛ| у,]
. о,
Здесь и далее гидродинамические величины без индексов относятся
к внешнему (навье-стоксовскому) течению. Гидродинамические вели-
величины в слое будем Отмечать нижним индексом 1.
В навье-стоксовском приближении в разложении A.11) также
можно ограничиться двумя членами. Вместо того чтобы отыскивать
функции / и / с граничными условиями A.16), можно, опираясь
на приведенные выше оценки, отыскивать функцию <р(х, у,), опреде-
определенную выражением A.7), в котором можно положить, например,

§ 5.1] СКОЛЬЖЕНИЕ И ТЕМПЕРАТУРНЫЙ СКАЧОК 325
Подставляя функцию распределения A.7) в уравнение A.9) и
линеаризируя его, получим
1
п (х, 0) Vh {х, 0)
<5cp , f dw д 1 л п (х, 0)
3 Л <Э1пй(лг, 0)\] , , „ . . , / , 3\ „ 17.
2~vl—ar^)j = ~<p+v + 2u^(^)+r т)Т| Aл7)
где приняты обозначения, близкие к введенным в § 4.2:
, 0),
, 0)],
, у,)],
я(х, 0) = ах(х, 0)hV2(x, 0), й;(х, ^,) = ял(х, у,)Аш(х, 0),
A.18)
Производные ду/дх и йф/dy, одного порядка (порядка е), но пе-
перед ду/дх стоит малый параметр е. Поэтому членом с ду'дх можно
пренебречь.
Уравнение Больцмана A.9) записано в безразмерных переменных,
в которых переменные х к у отнесены к характерному размеру те-
течения L вне слоя Кнудсена.
Если течение происходит при больших числах Рейнольдса (но
малых числах Кнудсена ё=Я,//.), то внешним будет течение в погра-
пограничном слое с характерным размером L, равным толщине погранич-
пограничного слоя 6 в направлении у, и характерным размером /.<„-
в направлении х. Так как
то в этом случае L^^LM/t и производные dlnn/dx и d\nhjdx
порядка й/ЬЛ и ими можно пренебречь.
Если же Recoil, то во внешнем навье-стоксовском течении ха-
характерные размеры в направлении х к у одинаковы и L — L^. В этом
случае производные д]пп/дх и d\nhjdx порядка единицы и их сле-
следует сохранить. Но в таком течении из уравнений Навье—Стоке?

326 ТЕЧЕНИЯ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ КНУДСЕНА [ГЛ. V
имеем
1 др д In Т . д\пп [1 / дйи . д%~\ ^ „
~р~дх~ дх *~ (9л: "р УЖ5" ""^ <Эу2 J ' |£"
Поэтому с рассматриваемой точностью можно положить
д\пп(х,0) __ _ din Г (х, 0) _ д\п!г(х, 0)
" " дх дх дх
и производную от In n из уравнения A.17) исключить.
Таким образом, уравнение для <р принимает вид
vy дц>
, = — ф -)- v 4- 2г;,н1 О»,) 4-
n(x,0)Vh(x,0) дух
4-ft»2 — -)t— «С5/2-»')»* . rfln*(jc,O) „ 1Оч
2 У я (х, 0) У Л (х, 0) dx
Это уравнение аналогично уравнению, описывающему течение
Куэтта (уравнение B.27) главы IV).
Граничное условие на стенке A.3) для функции ф принимает вид
A.20)
При з*1 ~>-оо, пренебрегая членами порядка £2, согласно A.16)
и A.15а) имеем
ф (у, -> оо) = 2и (х, 0) г»^—
л (х, 0) У Л (х, 0) / До (-г) ду
A.21)
л (л-, 0) У Л (л:, 0) /о,, (л:) (9л:
Представим ф в виде суммы:
ф = х(х, у,, |L-г/жф(х, у,, 1). A.22)
Тогда для % и ф из A.19) получаем уравнения
v дуг I 3\
у Л _ .. i .. i 1,л т A.23)
n{x,0)Vh(x,0) дУ1 V 2
V,. <5ib
1 «(л:, 0) К/г (л:, 0) \ 2
Соответственно граничные условия принимают вид
, A.25)
A.26)

§ 5.1J СКОЛЬЖЕНИЕ И ТЕМПЕРАТУРНЫЙ СКАЧОК 327
на стенке и
/ vy \ / 5 Д d In h (x, 0)
у = — е у7==- — уЛ[ v2) -—-, A.27)
L \n(x,0)Vli(x, 0) ■yiJ\2 J dy
, - „ , ди(х, 0)
) = 2я(лг, 0)—2e y .. \ у • >
, 0) /л (х, 0)
A.28)
п (л:, 0)/А (л:, 0) V2 / йГл:
при у, —> оо.
Уравнение A.23) имеет тот же вид, что и в линейной задаче
о передаче тепла между бесконечными пластинками (см. § 4.2).
Задачи об определении скачка температуры и скачка скорости раз-
разделились.
2. Начнем с последней задачи. Перепишем уравнение A.24) в ин-
интегральной форме:
ф (У2, Vy > 0) =
^it(|) ^°> (r£) A.29)
> ( a (S)e %4 dS E ,fi\d\^h(x,Q) n 3m
где
= — 2
У2
Xn t л/Цл, WJ V It ^Xj \J) .
Переменная х входит как параметр.
Умножим уравнения A.29) и A.30) на ji'3/2v'2xe~v' и проинтегри-
проинтегрируем по скоростям молекул; используя определение A.18) для
щ (х, yj), получим:
Уг »
1 Г ] Г
где
0
Из условия A.28) следует, что при у->оо
* , к-. du(x. 0) /1 qq\
"i (Уг) = " С-^» 0) 4~ Уа—т~^— • (Loo/

328 ТЕЧЕНИЯ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ КНУДСЕНА [ГЛ. V
С другой стороны,
| dUl^yi) dy2. A.34)
о
Скорость а(х, 0), являющаяся граничным условием на стенке
для уравнений Навье— Стокса, называется скоростью сколъжеяия.
Она не равна истинной скорости газа у стенки щ (х, 0). Согласно
A.33) и A.34) скорость скольжения равна
«(*. 0) = «,(*. 0)+J(*^_«>)rfy,. A.35)
о
Удобно ввести новую переменную
0Ш = "гШ — ^-У2- A.36)
Тогда A.35) запишется в виде
СО
а(х, O) = G(O) + J ~-dy2 = 0(oo). A.37)
о
Уравнение A.32) для переменной О принимает вид
О (У2) V* = J ° (s) J-\ (Уз — s)ds+jQ(s) /_, (s — y2) ds -f
0 У2
+ Ji (У2) 8, -f [ j /0 (Уа) — i-f-2 (Уз)] 02. A-38)
где обозначено:
9 _ c>" (^ °) и e =d\nh (x, 0)
1 <5x2 2 <5x2
Входящие в A.38) интегралы проинтегрируем по частям; имеем
О @) /0 (з>2) — 7, (у2) Э, — i [| /0 (у2) -
0 У2
Несколько более удобную форму уравнению можно придать,
проинтегрировав его по у2:
о @) у, @) - о @) у, (У2) - е,у2 @) + е,у2 (у2) —
- 92 [4 Л @) - \ Л @)] + 02 [1 У, (у2) — 1У8

§ 5.1] СКОЛЬЖЕНИЕ И ТЕМПЕРАТУРНЫЙ СКАЧОК 329
При з^—>°° все члены, содержащие у2, стремятся к нулю, поэтому
- О @) 7, (y2) -f в,72 (у2) + 62 [17, (у2) — 17.
СО
Г AG
ds 1У*У2 I' v '
о
Представим функцию О в виде суммы:
так что функции Ох и О2 удовлетворяют соответственно уравнениям
i2) = —~г--1\(\У2—я )ds A.42)
со
>—Т7з 0'2)] = J ^Л (I У2-*1) **• 0 -43)
о
Уравнение A.42) впервые получено в цитированной выше работе
Веландера. Имеются различные методы аналитического решения
уравнения A.42I). Однако решение дается в столь сложных квад-
квадратурах, что более простым представляется прямое численное реше-
решение методом итераций. При этом Gx @) и О2@) могут быть найдены
квадратурами из A.38) при у2~0.
Согласно A.37) и A.41) для скорости скольжения имеем
/ а\ /- / \ да (х, 0) , ~ , , d In A (x, 0)
я (х, 0) = О, (со) ^ '■-{- О ^"-ч — —v
Для входящих сюда коэффициентов в результате численного реше-
решения получены значения2)
G,(oo)= 1,012, О2(оо) = —0,42. A.45)
Переходя к размерным величинам и заменив входящую в е вели-
величину А по формуле Л =/гГ0/A0, получим (ср. § 4.2)
') См. Willis D. R., Phys. Fluids 5, № 2 A962): С е г с i g n a n i С, Ann.
of Physics 20, 219 A962); A I b e r f о n i S, Cercignani C, OotussoL,
Phys. Fluids 6, № 7 A963).
2) Численное решение интегрального уравнения для G2 проведено
по просьбе автора М. Истоминой. Расчеты проведены со сравнительно
небольшой точностью. Для оценки точности решено также уравнение для С?,.
При этом получено значение G, (со) = 1,009 вместо значения О{ (со) = 1,012,
полученного в указанных в сноске ') работах.

330
ТЕЧЕНИЯ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ КНУДСЕНА
[ГЛ. V
Это—так называемое условие скольжения на стенке. На рис. 45
приведен профиль скоростей в кнудсеповском слое.
Если внешним по отношению к слою Кнудсена является погра-
пограничный слой Прандтля, то вторым членом в формуле A.46) можно
пренебречь, так как производная по у в j/Re^>l раз больше
J=-/W/
Рис. 45.
производной по х. Второй член может стать соизмеримым с первым,
когда число Кнудсена мало, а число Рейнольдса порядка единицы,
т. е. при малых числах Маха. В этом случае переменные х и у
равноправны.
Если в разреженный газ поместить неравномерно нагретое тело,
то, согласно A.46), газ начнет двигаться от холодных частей тела
к более горячим.
3. Для построения профиля температур в слое и определения
скачка температур необходимо решить уравнение A.23) с граничными
условиями A.25) и A.27)'). Аналогично A.29) и A.30) имеем:
х(у2, •»у>о) =
<-~U\e~ v> -#
"» 7Г' A-47)
A.48)
') См. цитированную выше работу Веландера.

$5.1)
СКОЛЬЖЕНИЕ И ТЕМПЕРАТУРНЫЙ СКАЧОК
331
Интегрируя по скоростям, получим интегральные уравнения для
макроскопических величин v и т:
я~т = v, [1J2 (y£~J0 (у2)] + т, [|-Л(у2)—4Л (У*) + |
СО
со
/я" v = vr70 (у2) -f tr [i2 (>'2) — у ^о (Уг)] + J v7_! (| у2 —
о
. A-49)
) ds -f-
со
+ J t [Л (I Уа -s|)-Y-/-i(|y2-s|)]^. A.50)
Из условия A-27) на бесконечности имеем:
д In Т (х, 0)
д In 7" (*, 0)
v= — У г1 -
A.51)
Введем новые переменные
х, 0)
и Ov=
д\пТ(х, 0) ,, коч
^-i-. A.52)
В новых переменных вместо уравнений A.49) и A.50) получим:
х = vr [4 J2(y2)- 170 (уа)] -f тг [|74(У2)- § -/2(Уз) + |"
СО
J ov[4^(|y2-
0
J ^[4-/з(|У2-5|)-4
+ a In Пх. 0)
/я Оv = vr/0 (y2) -f tr [У2 (у2) — 2" ^o (У2)] +
CO CO
+ J
д In T (x, 0) Г 3 . .I .
—dy2 [3 (Уа) ~" 7l (>>2)J • (

332 ТЕЧЕНИЯ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ КНУДСЕНА [Гл. V
Температурный скачок по определению равен
&Т=Т(х, 0)-Tw(x)=-T(x,0)xa. (Tw^T(x,0)(l+xJ). A.55)
Для определения хт, xw и vr можно воспользоваться условием не-
непротекания, соотношением A.4) и условием постоянства потока
энергии поперек слоя:
со со
vr + j \ = — 2 J Ч 00 ds — 2 ft [j2 (s) —\ JQ (s)] ds. A.56)
о о
E E — ?. dT {x' 0) n 4R\
Ci — CT — K щ , (l.t)8)
где к — коэффициент теплопроводности. Из соотношения A.57)
для температурного скачка имеем
Из вида уравнений A.53) и A.54) и условий A.56) —A.58)
видно, что
Т(х 0)хг=СдТ{х>0)=*С дТ{х'О)
ду2 п(х, 0)Vh(x, 0) ду
где С — постоянная, получаемая в результате решения интегральных
уравнений A.53) и A.54). Выражая входящую в е величину А
через Я, по формуле (см. § 3.6)
■ _ 5
2
5 WT (х, 0) / _ и
2 Хпг ' \е— An0L
получим
т kn(x, 0) ду
где С1 — новая постоянная. Поэтому выражение для температурного
скачка можно переписать в виде
дт_ V^hJITW) 2-аае ■ дТ(х, 0)
а' — 2kn(x, 0) ~ К ~~Ту ' {l-W)
где постоянная а связана очевидным соотношением с коэффициен-
коэффициентом Cj. В работе Веландера в результате решения интегральных
уравнений A.53) и A.54), записанных несколько в иных переменных,
для а найдено значение а = 0,827.
Заметим, что формула A.60) непригодна при ае—>0, так как
при этом теряют силу оценки, сделанные при формулировке задачи
о слое Кнудсена в начале параграфа (см. анализ соотношений A.6)).

§ 5.2] ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ С УЧЕТОМ СКОЛЬЖЕНИЯ 333
4. Таким образом, при решении задачи обтекания тела при малых
числах Кнудсена в рамках уравнений Навьс — Стокса на стенке
должны быть поставлены условия скольжения A.46) и температур-
температурного скачка A.60). Отметим еще раз, что температура Т (х, 0) и
скорость их(х, 0), являющиеся условиями на стеике для уравнений
Навье—Стокса, не равны истинной температуре Т1 (х, 0) и ско-
скорости их1 (х, 0) газа у стенки на дне кнудсеновского слоя.
Величины р, at и Т, получаемые с помощью уравнения Навье —
Стокса при граничных условиях скольжения на стеике (uyw = 0,
uxw — ах(х, 0), TW = T(х, 0)), отличаются от соответствующих
величии, получаемых с помощью уравнения Больцмана при кинети-
кинетическом граничном условии A.3), на величины порядка е2 вне слоя и
на величины порядка е внутри слоя Кнудсена.
Иногда считают, что течение около тела при малых числах
Кнудсена можно представить в виде слоев: внешний слой, описывае-
описываемый уравнениями Эйлера, под ним слой, описываемый уравнениями
Навье—Стокса, далее — уравнениями Барнетта и т. д. В действи-
действительности же, если рассмотреть течение в барнеттовском приближе-
приближении, то, как легко видеть, слой Кнудсена будет иметь толщину
порядка е\пё, т. е. больше, чем в навье-стоксовском приближении,
так как, естественно, влияние стенки соизмеримо с барнеттовскими
членами на больших расстояниях от стенки.
Граничные условия для уравнений Барнетта могут быть устано-
установлены подобно тому, как они были выше установлены для уравнений
Навье — Стокса. При этом только в разложениях A.10) и A.11)
необходимо сохранить по три члена.
§ 5.2. Пограничный слой с учетом скольжения
и скачка температур
1. В предыдущем параграфе были выведены условия (условия
скольжения), которые необходимо ставить на твердых границах
при решении уравнений Навье — Стокса. В гидродинамике обычно
принимают так называемые условия прилипания, т. е. считают, что
скорость газа у стенки и его температура равны скорости и тем-
температуре стенки. Рассмотрим, к каким изменениям приводит учет
скольжения и температурного скачка в теории пограничного слоя.
В предыдущем параграфе показано, что гидродинамические вели-
величины р, at и Т вне кнудсеновского слоя, получаемые с помощью
уравнений Навье — Стокса с граничными условиями скольжения A.46)
и A.60), отличаются от соответствующих больцмановских (точных)
значений на величины порядка е2. Напомним, что когда внешним
по отношению к кнудсеновскому слою является пограничный слой
Прапдтля, то характерным размером, входящим в 6, является тол-
толщина пограничного слоя 6, пропорциональная по порядку величины

334 ТЕЧЕНИЯ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ КНУДСЕНА [ГЛ. V
корню из Длины пробега X. Поэтому 6 = Я/6 тоже порядка ]/Я,
т. е. разложение в ряде Энскога — Чепмена ведется по |/Я.
При исследовании пограничного слоя Прандтля в конечном счете
интересуются силами, действующими на стенку, и передаваемой
стенке энергией.
Импульс и энергия, передаваемые стенке, равны
т
m \iyi.J dl = m CyCxf dl=Pxy,
B.1)
Эти величины на стенке могут быть найдены непосредственно
из решения уравнений Навье — Стокса с граничными условиями сколь-
скольжения. С другой стороны, с помощью уравнений Навье — Стокса
их можно найти вне кнудсеновского слоя (где решение этих урав-
уравнений отличается от точного на величины порядка е2) и продолжить
решение внутрь слоя (где с помощью уравнений Навье — Стокса
гидродинамические величины р, и и Т находятся с ошибкой по-
порядка е) с помощью уравнения Больцмана. Сравнивая между собой
результаты, полученные этими двумя путями, оценим ошибки, воз-
возникающие при вычислении трения и теплопередачи на стенке непо-
непосредственно из уравнений пограничного слоя с условиями скольжения.
Рассмотрим общие уравнения сохранения (см. § 3.1), справедли-
справедливые при любом числе Кнудсена, а следовательно, справедливые и
внутри слоя Кнудсена в любом приближении:
дих дах 1 1дРхч дРхх\
дх +ЙУ ду — J\ ду~^~ дх
диу 1 [дРуу дРху,
+ п
~ дх' ду w ду х* дх *у ду хх дх ' К '
Внутри слоя Кнудсеиа их~ O(YX) и dux/dx~O(yty. Тогда, так
как толщина слоя Кнудсена О (X)]), то из уравнения неразрывности
!) В предыдущем параграфе показано, что размерная толщина слоя
Кнудсена 6^ ~ eZ.. Но так как все величины были отнесены к характерной
длине течения, которая в рассматриваемом случае L ~ б-^У к, и е <~1/ЛА,, то
толщина слоя Кнудсена порядка Л.

§ 5.2] ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ С УЧЕТОМ СКОЛЬЖЬНИЯ 335
следует, что
■5^-~О(А,1/2), и„~
ду 6:
Далее,
ОТ /-, / 1 \ дТ
руу = оо), я,, = 0A), рху
qy~O(Yl), qx~O(l
Учитывая эти оценки, из B.2) — B.4) имеем:
dPxv дРхх
ду
B.3а)
х
ду х ду '
= — tix?^~ -\- О(У~Х)= О (УХ). B.4а)
Из соотношений B.3а) и B.4а) следует, что Руу и qy -\- ихРху
изменяются поперек слоя Кнудсена на величину порядка X '2. Вели-
Величина Рхх внутри слоя Кнудсена, полученная с помощью уравнений
Навье — Стокса, отличается от соответствующей точной на величину
порядка УХ. Поэтому согласно B.2а) значение напряжения Рху
на стенке, полученное с помощью уравнений Навье — Стокса, отли-
отличается от соответствующего больцмановского значения на величину
порядка X' , если на границе кнудсеновского слоя значения Рху
одинаковы. Точно так же Руу и qy~\-uxPxy с помощью уравнений
Навье—Стокса определяются с ошибкой, не большей X3' , если они
найдены с этой точностью вне слоя Кнудсена.
Вне слоя Кнудсена справедливы уравнения Навье — Стокса и
оценки пограничного слоя Прандтля. Если считать справедливым
барнеттовское представление для тензора напряжений и вектора
потока тепла, то
где О {X1) — оценка барнеттовских членов в пограничном слое
Прандтля (см. § 3.3I).
') Величины ах и Т находятся вне слоя с ошибкой е2~А,. Поэтому
ошибка в дих/ду и дТ/ду порядка Ух. Но ц~А,, и следовательно, ошибку
в Рху и qy порядка А,3//2,

336 ТЕЧЕНИЯ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ КНУДСЕНА [ГЛ. V
Таким образом, находя Рху, qy и ау-\-ихРл.у на стенке с по-
помощью уравнений Навъе — Стокса, решаемых при условиях сколь-
скольжения, мы совершаем ошибки порядка X , т.е. ошибки того же
порядка, что и опуская барнеттовские члены в уравнениях
гидродинамики.
Давление р—0A) находится вне слоя с ошибкой е2— X. Со-
Согласно B.3а), с той же точностью оно находится и на стенке. В не-
некоторых работах вводится скачок давления на стенке порядка У X,
что, как указывалось в начале предыдущего параграфа, является
следствием неправильной схемы течения.
Скорость скольжения и температурный скачок имеют порядок
У~Х -~ Re™ '2 ')• Поэтому, заменяя условия прилипания условиями
скольжения, мы получим поправки порядка УХ к скорости их и тем-
температуре Г, что, согласно B.5), должно привести к поправкам по-
порядка X в Рху и qy. Так как теория Навье — Стокса обеспечивает
получение этих величин с ошибкой порядка X ' , то в рамках этой
теории правомерен учет условий скольжения и обусловленных ими
поправок к РХу и qy.
Следует заметить, что величина ихРху также имеет порядок X и
поэтому должна включаться, согласно B.1), в выражение для потока
энергии на стенку в рамках теории пограничного слоя с учетом
скольжения.
При выводе уравнений пограничного слоя Прандтля на плоской
пластинке в уравнениях Навье—Стокса пренебрегают величинами
порядка Rem'-^-'A, по сравнению с единицей. Так как учет сколь-
скольжения приводит к поправкам порядка УХ, то при расчете погранич-
пограничного слоя на плоской пластинке с учетом скольжения можно поль-
пользоваться обычными уравнениями пограничного слоя.
При выводе обычных уравнений пограничного слоя для криво-
криволинейной поверхности пренебрегают как величинами порядка Re^1.
так и величинами порядка Re™ К, где К—кривизна поверхности.
Однако последние при конечной кривизне имеют порядок ух и,
следовательно, дают тот же вклад, что и учет скольжения. Поэтому
в уравнениях пограничного слоя на криволинейной поверхности при
учете скольжения необходимо сохранять члены порядка Reeo , учи-
учитывающие продольную и поперечную кривизну стенки.
Точно так же необходимо учитывать и другие эффекты второго
порядка в теории пограничного слоя Прандтля, вклад которых имеет
тот же порядок, что и скольжение. Поскольку толщина погранич-
') Число Рейнольдса, как обычно в теории пограничного слоя, опреде-
определяется по параметрам набегающего потока и характерной длине L^ течения
вне пограничного слоя Прандтля (длине пластинки),

§ 5.2] ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ С УЧЕТОМ СКОЛЬЖЕНИЯ 337
ничного слоя имеет порядок Y%. то вытесняющее действие погра-
пограничного слоя приводит к изменениям того же порядка во внешнем
потоке, а следовательно, и к соответствующим изменениям в гранич-
граничных условиях на внешней границе пограничного слоя. При обтека-
обтекании тупых или затупленных тел гиперзвуковым потоком возникают
также эффекты второго порядка, обусловленные резким градиентом
энтальпии и энтропии (вихревое взаимодействие) на границе погра-
пограничного слоя. Однако объем настоящей монографии не позволяет
остановиться на всех эффектах второго порядка1). В соответствии
с общим планом книги из всех эффектов второго порядка мы рас-
рассмотрим скольжение и температурный скачок, наиболее тесно свя-
связанные с кинетической теорией.
К числу эффектов второго порядка следует отнести также явле-
явления, имеющие место вблизи передней кромки пластинки (на расстоя-
расстояниях порядка X от носика), которые не могут быть правильно учтены
в рамках теории Навье — Стокса и для исследования которых также
необходимо решать уравнение Больцмана. Как будет показано в кон-
конце настоящего параграфа, вклад в сопротивление и потоки тепла,
даваемый этой малой областью, того же порядка, что и вклад от
скольжения.
Взаимодействие пограничного слоя с внешним потоком сущест-
существенным образом зависит от числа Маха. Толщина пограничного слоя
пропорциональна некоторой степени числа Маха, зависящей от зако-
законов изменения вязкости от температуры. Характер взаимодействия
пограничного слоя с внешним потоком зависит от формы тела. Для
тупых тел в рамках применимости уравнений пограничного слоя при
любых числах Маха имеет место только слабое взаимодействие. На
топких телах, если при фиксированном числе Рсйпольдса увеличивать
число Маха, взаимодействие становится сильным, носит существенно
нелинейный характер, и раздельное рассмотрение различных эффектов
второго порядка невозможно. В этом случае взаимодействие стано-
становится эффектом первого порядка и влияние скольжения, особенно на
охлажденных телах, много меньше влияния взаимодействия2). Если же
при фиксированном числе Маха стремить к бесконечности число Рей-
нольдса или, что то же, стремить, как мы это делали при выводе
условий скольжения, к нулю число Кнудсена, то всегда можно до-
достигнуть условий, при которых взаимодействие пограничного слоя
с внешним потоком будет слабым, задача может быть линеаризиро-
линеаризирована, и каждый из упомянутых эффектов второго порядка может быть
') Заинтересованному читателю можно рекомендовать работы: X е й з У. Д.,
П р"о б с т и н Р. Ф., Теория гнперзвуковых течений, ИЛ, 1962; Van
Dyke M., Rarefied Gas Dynamics, Third Symp., Acad. Press, 1963; Л о й-
ц я и с к и й Л. Г., Ламинарный пограничный слой, Физматгиз, 1962; Van
Dyke M., Perturbation Method in Fluid Mechanics, Acad. Press, 1964-
2) См., например, Галкин В. С, Инж. ж. 3, № 1 A963).
22 М. ц. когэи

338 ТЕЧЕНИЯ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ КНУДСЕНА [ГЛ. V
изучен отдельно. Имея в виду именно этот асимптотический случай,
рассмотрим влияние скольжения и температурного скачка, не учиты-
учитывая взаимодействия пограничного слоя с внешним потоком, кривизны
тела и других вторичных эффектов.
Таким образом, рассмотрим задачу о течении газа в пограничном
слое, отличающуюся от классической лишь тем, что условия прили-
прилипания на стенке заменены условиями скольжения A.46) и A.60):
= 1,012
Tw
^1 = ШЩ
ду pw ду
2~аа" т/ лт~ Kwm дТ(х,0)
где [хш, \w— вязкость и теплопроводность, вычисленные при темпе-
температуре стенки Tw. В такой постановке задача рассмотрена в ряде
работ')•
Условие B.7) можно переписать в виде
■*-, B,7a)
где
3 2 —act,, ]Ли и
8 ' o£ ТЖ2"РТ
™ „ 1 •
Геометрический смысл условий скольжения состоит в том, что
скорость ах становится равной нулю, а температура газа равной тем-
температуре стенки не на истинной стенке при у = 0, а на эффективных
границах соответственно при
Так как в общем случае Сф\, а |5 и р зависят от х, то эффек-
эффективные стенки для температуры и скорости различны и криволинейны,
т< е- Уэфф = У(х)- Однако для интересующего нас здесь качествен-
качественного рассмотрения можно положить С=1. При числе Прандтля
Рг = 2/3, ае^1, а = 0,827 для одноатомного газа С= 1,9, т. е.
в действительности сдвиг «тепловой» эффективной стенки почти в два
.раза больше сдвига «скоростной» стенки. При С=\ обе эффектив-
эффективные стенки совпадают. «Волнистость» эффективной стенки (т. е. зави-
зависимость уЭфф от х) обусловлена изменением по х плотности pw и
отношения №w/yTw- Если !i~]/7\ как для молекул — твердых
') Maslen S. П., J. Aeronaut Sci., № 6 A958); Шидловский В. П.,
Изв. АН СССР, ОТН, № 9 A958); Бунимович А. И., Изв. АН СССР,
Механика и машиностроение, № 5 A959); Мясников В. П., там же; Гал-
Галкин В. С, Ладыженский М. Д., Доклады АН СССР 154, JVs 6 A964).
Ниже мы следуем последней работе.

§ 5.2]- ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ С УЧЕТОМ СКОЛЬЖЕНИЯ 339
сфер, то последнее отношение, а следовательно, и р не зависят от х.
Величина р постоянна также для изотермической стенки. Что касается
волнистости эффективной стенки, обусловленной переменностью плот-
плотности, то от нее легко избавиться, перейдя к переменным Дородни-
Дородницына '):
х у
l=\p(x)dx, т]= Jp(*, y)dy. B.8)
о о
В этих переменных условия скольжения при С= 1 примут вид
/ ^ч п дах(х, 0) -р, лч т \ п дТ (х, 0) „ ,п „s
их(х, 0) = р—^j-^-. Т(х, О)=Гш + р-—у—!-, ау = 0. B.9)
При р= const в этих переменных сдвиг эффективной стенки постоя-
постоянен: т) = — р.
Как известно, уравнения пограничного слоя имеют вид (см., на-
например, монографию Л. Г. Лойцянского2))
даах dpMv
^пГ+^нГ = 0' BЛ°)
B.11)
-з—1"т-д I-1—з— (цйг-^Ч B.12)
ду \ ду ) ' ду у х ду j к '
или, в неременных Дородницына B.8),
дрих дц до и,.
BЛОа)
/ дау . дъ дах . дах\ др , д I дах\ ,п , , .
д
B.12а)
Если й*(|, 11), я* (|, т|) и Г*(|, т|) есть решение уравнений по-
пограничного слоя при граничных условиях прилипания я*(|, 0)=0,
н'(|, 0) = 0и7'!'(Е, 0)=rw(|), то, очевидно, и функции я* (^, г] -f P),
и* A> Л"+" Р) и ^*A> Л + Р) также являются решением уравнений
1962.
') Дородницын А. А., ПММ б, № 6 A942).
2) Лоицянский Л. Г., Ламинарный пограничный слой, Физматгиз,

340 ТЕЧЕНИЯ ПРИ .МАЛЫХ ЧИСЛАХ КНУДСЕНА [ГЛ. V
B.10а) — B.12а), удовлетворяющим условиям прилипания при т) =—р.
Так как нас интересует обусловленная скольжением линейная добавка
к основному решению порядка |3~е~]/Я, то указанное решение
можно разложить в ряд по р, сохранив лишь первые члены:
дм„($, 11) - да*. (£. п)
Р.
B.13)
При т| ^= 0 по определению а* — a* = 0 и 7'*= 7^. Из уравнения
неразрывности B.10) следует, что да* 1ду = 0. Поэтому решение B.13)
удовлетворяет при т]=0 условиям скольжения B.9) и тем же усло-
условиям, что и а*., и* и Т* на бесконечности.
Таким образом, при С= 1 и C = const решение уравнений по-
пограничного слоя с условиями скольжения может быть непосредственно
выражено по формулам B.13) через решение тех же уравнений без
скольжения. Это позволяет легко выяснить влияние скольжения на
трение и теплопередачу.
Трение при т) = 0 равно
ду ~^''"'' дц
дах (х, 0) I дV (х, 0) dp"\i" дТ" да' (х, 0) \
^ + р(У^ + ^). B.14)
Здесь обозначено !1* = !1(Г*) и р*^р(|, Т*). Из уравнения дви-
движения B.11а) следует, что содержимое скобок равно dpjdx, т. е.
да* (|, 0) др ди*г (х, 0) др
Следовательно, если dpjdx = 0, то наличие скольжения не изменяет
трения. При положительном градиенте давления трение возрастает,
при отрицательном — падает. Заметим, что полученный результат
является точным при р = const и теплоизолированной поверхности
(т. е. если дТ/ду=0 при у = 0), так как в этом случае величина С
выпадает из рассмотрения.
Поток энергии к стенке, как отмечалось выше, в течении со
скольжением равен
дТ . _, дих
-^- + ax\i (Г) р^ =
)J B.16)

5.2]
ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ С УЧЕТОМ СКОЛЬЖЕНИЯ
341
Но из уравнения энергии B.12а) следует, что при т]=0 содержимое
квадратных скобок равно нулю и
ду
B.17)
т. е. наличие скольжения и температурного скачка не влияет на
теплопередачу.
Этот результат получен при существенном предположении, что
С=1. Однако в цитированной работе Маслена показано, что он
верен для плоской пластинки и при С Ф \.
Предложен ряд методов расчета трения и теплопередачи пла-
пластинки при любых числах Кнудсена1). Однако методы эти носят
сугубо приближенный, интерполяционный характер. Согласно этим
методам коэффициенты трения и теплопередачи монотонно растут
с увеличением числа Кнудсена (уменьшением числа Рейнольдса),
достигая свободномолекулярного значения при Кп = со. Однако
в действительности при больших числах Маха при уменьшении числа
Кнудсена сопротивление и теплопередача сначала растут от их сво-
бодномолекулярных значений, достигают максимума, а уже затем
уменьшаются до значений, соответствующих сплошной среде2).
Течение, близкое к
свободномолеку-
лярному
СВободномолекуляр-
ныЗ предел ч
Переходный Пограничный слой
режим со скольжением
/Гаграми чный слой
- Сплошная среда
*—»К
Течение, описыва-
"~ емоекинетИР
vec/caa теорией
Рис. 46.
2. Конечно, уравнения пограничного слоя неприменимы вблизи
передней кромки. Часто картину течения около пластинки при боль-
больших числах Рейнольдса представляют следующим образом (рис. 46K).
') Sch aaf S. A., University of Michigan. Heat Transfer Symposium, 1953;
S с h a a f S. A., Scherman F. S., J. of Aeron. Sci. 21, 85 A959) (русский пере-
перевод в сб. «Механика», № 1 A955)); Па персон Г, Н., Молекулярное
течение газов, Физматгиз, 1960; Сухнев В. А., Изв, АН СССР, Механика
и машиностроение, № 3 A962).
2) К о г а и М. Н., Прикл. матем. и мех. 26, № 3 A962); см. также § 6.6.
3) См., например, С h a r w a t A. F.; Rarefied Gas Dynamics, Second Symp.,
Acad. Press, 1961; Chuan R. L., Waiter S. A., Rarefied Gas Dynamics,
Third Symp., Acad. Press, 1963; Vidol R. J., Witt I iff С. Е., там же;
Z i e r i n g S., Chi L., F a u t e R., Rarefied Gas Dynamics, Forth Symp., Acad.
Press, 1965; I i J. M., S t r e e t R. E., там же.

342 ТЕЧЕНИЯ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ К.НУДСЕНА [ГЛ. V
Считают, что в той области, где число Рейнольдса, построенное
по расстоянию от передней кромки, Rex^> h справедливы с точ-
точностью Re,:1'2 уравнения пограничного слоя с условиями скольжения.
Вблизи передней кромки, где. Re.r<5^1. имеет место свободномоле-
кулярное или близкое к свободпомолекулярному течение. Между
двумя этими предельными областями осуществляется какой-то про-
промежуточный режим течения.
Однако легко показать, что эта картина не точна. Картину тече-
течения при малых числах Кнудсена около любого тела, в том числе
и около пластинки, можно представить состоящей из двух частей
Область Но he - Cm о к со~_ —
I I Пограничный слой
Рис. 47.
(рис. 47): из области течения, описываемой уравнениями Навье —
Сгокса, и дискретного числа областей, ширина которых порядка
длины свободного пробега к, в которых течение описывается лишь
уравнениями Больцмана1).
Действительно, пусть L—характерный размер течения. Тогда
в формуле A.2) предыдущего параграфа б = Я//,= Кп — число Кнуд-
сена течения, где % — характерная длина пробега. Вообще говоря,
длина пробега А.-*~(ш)~ может быть различной в разных точках
течения. Изменение длины пробега зависит от изменений плотности
и, если сечение столкновений зависит от относительной скорости
молекул, — от изменений температуры. В свою очередь изменение р
и Т зависит от числа Маха М набегающего потока и отношения
удельных теплоемкостей и. Однако при фиксированных М и и можно
считать длину пробега во всем течении одного порядка.
Рассмотрим картину течения около тела при е —>0. Пусть точка xY
в формуле A.2) лежит в области, в которой уравнения Навье —
Стокса неприменимы. Оценим порядок членов в этом уравнении для
некоторой точки х. Если точка х отстоит от точки Xi на расстоянии
нескольких длин пробега, то очевидно, что член, содержащий ква-
квадратную скобку, пренебрежимо мал по сравнению с первыми двумя
членами, соответствующими приближению Навье — Стокса.
Пусть (d2f0/dl2)Cp — среднее значение второй производной от /0
на интервале А/ от точки jc, до некоторой точки х. Тогда остаточ-
остаточный член в A.2) имеет порядок €2 (tf2//tf/2)cp. Предположим, что
') Коган М. Н., Доклад на 7-й конференции по проблемам и методам
гидродинамики, Польша, Юрата, 1965.

§ 5.2] ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОИ С УЧЕТОМ СКОЛЬЖЕНИЯ 343
в рассматриваемом интервале остаточный член порядка или больше
навье-стоксовского, т. е.
)p^e dl
Но
1 /cp
И следовательно, t ~^> А/. Таким образом, остаточный член может
быть одного порядка с павьестоксовским лишь в областях порядка
или меньше длины пробега. Вне этих узких зон течение может быть
описано уравнениями Навье — Стокса.
Очевидно, что к числу таких узких зон относятся скачки упло-
уплотнений и слой Кнудсена у стенки. Так как при Кп->0 при фикси-
фиксированном числе Маха число Рейнольдса Re->oc, внутри навье-сток-
совской области образуется пограничный слой Прандтля. При этом
на пластинке на расстояниях, больших X, от передней кромки
справедливы условия скольжения. То, что в пограничном слое и вне
его производные имеют разный порядок и что вследствие этого
в пограничном слое разложение фактически ведется по УХ, а не по X,
очевидно, не меняет справедливости сделанных выше утверждений,
Структура течения вблизи передней кромки пластинки при гипер-
гиперзвуковых скоростях набегающего потока в рамках приближения
Навье — Стокса рассмотрена в целом ряде работ'). В работах Богдо-
пова, Нагаматцу и др. проведено экспериментальное исследование
таких течений 2).
Из описанной выше картины течения ясно, что участок пластинки
длиной порядка X от передней кромки не. может быть рассчитан
в рамках теории Навье — Стокса. С другой стороны, нельзя ожидать,
что трение и давление у передней кромки пластинки будут равны
соответствующим свободномолекулярным значениям3).
Как будет показано в § 6.6, даже в близком к свободномолеку-
лярному гиперзвуковом потоке давление и трение у передней кромки
могут быть больше, чем в свободномолекулярном потоке.
Пристеночный кнудсеновский слой присутствует всегда на любых
телах. В рамках теории Навье—Стокса он может быть учтен введением
условий скольжения (исключение составляют отмеченная выше
') Probstein R., Pan Y. S., Rarefied Oas Dynamics, Third Symp.,
Acad. Press, 1963; Ognchi H., там же; см. также работы, цитированные
на стр. 341 в сноске3).
2)Nagamatzu H. J., Weil J. A., Sheer R. E., ARS Journal 32,
533 A962); Bogdonoff S. М., Доклад на 7-й конференции по проблемам
и методам гидродинамики, Юрата, Польша, 1965; М с С г о s k е у W. J.,
Bogdonoff S. H., Me Doug all J. О., AIAA, Paper № 66-31 A966); см.
также сноску 3) на стр. 341.
3) Это подтверждается экспериментами Богдоновд,

344 ТЕЧЕНИЯ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ КНУДСЕНА [ГЛ. V
область вблизи передней кромки пластинки, угловые точки и т. п.).
Скольжение может не учитываться лишь в рамках теории погранич-
пограничного слоя Прандтля, когда в уравнениях Навье — Стокса пренебре-
пренебрегают не только членами порядка Re, но и членами порядка Re~ly/2-
Из теории пограничного слоя следует, что коэффициент сопро-
сопротивления трения Сх—1/у Re- Учет слабого взаимодействия погра-
пограничного слоя с внешним течением, скольжения и других эффектов
второго порядка добавляет члены порядка I/Re- Выше мы видели,
что течение около элемента пластинки у передней кромки длиной
порядка % может быть описано только с помощью уравнения Больц-
мана. С другой стороны, вклад этого элемента в сопротивление
пластинки как в рамках теории пограничного слоя, так и в свободно-
молекулярном пределе порядка I/Re- Поэтому можно ожидать такого
же результата и из уравнения Больцмала.
Следовательно, корректно член порядка I/Re не может быть
получен ни в рамках теории Навье — Стокса, на в рамках
теории Барнетта, на в более высоких приближениях. Теория
пограничного слоя второго, третьего и т. д. порядков учитывает
члены того же порядка, что и отброшенные. Единственной замк-
замкнутой в рамках уравнений Навье — Стокса теорией является
теория Прандтля 1).
Как мы уже отмечали, при гиперзвуковых скоростях эффекты
сильного взаимодействия пограничного слоя с внешним потоком ста-
становятся эффектами первого порядка и поэтому также могут замкнуто
рассматриваться в рамках уравнений Навье — Стокса.
Заметим, что применение уравнений Барнетта и более высоких
приближений не позволяет выяснить структуру или как-то продви-
продвинуться в глубь указанных выше тонких областей порядка % (слой
Кнудсена, ударные волны). Наоборот, если пытаться рассчитать все
течение в рамках барнеттовского приближения, то, как указано в пре-
предыдущем параграфе, толщина слоя неприменимости этих уравнений
станет не тоньше, чем в навье-стоксовском случае, а толще (по-
(порядка A, In %). Уравнения Барнетта позволяют получать более
точное описание течения в области, где применимы и уравнения
Навье — Стокса, но не позволяют продвинуться в область, где
последние неприменимы.
') То есть теория пограничного слоя без учета эффектов второго порядка.
Теория второго приближения дает правильные поправки лишь к местным
Значениям трения и теплопередачи при х ~^> X от передней кромки.

Глава VI
Течения при больших числах Кнудсена
§ 6.1. Свободномолекулярные течения.
Обтекание выпуклых тел
Свободномолекулярным течением называют течение, реализующееся
в пределе, когда число Кнудсена Кп-»со. В этом случае уравнение
Больцмана принимает вид (см. также §§ 2.11 и 4.2)
В таких течениях основную роль играет взаимодействие молекул
со стенками, в то время как столкновениями молекул между собой
можно пренебречь. Газ, в котором молекулы не сталкиваются, назы-
называется газом Кнудсена. При заданном характерном размере течения
газ Кнудсена можно представить как газ, в котором яа-»0, т. е.
либо плотность, либо диаметр молекул стремится к нулю. При этом
длина пробега стремится к бесконечности.
Общее решение уравнения A.1) в отсутствие внешних сил имеет вид
f(t, х, g) = /('o. *-&('-'о). I). A-2)
т. е. функция распределения сохраняется вдоль прямолинейной траек-
траектории частиц. В поле сил Х(х) функция распределения также сохра-
сохраняется вдоль траектории частиц:
f(t, x(t), t(f)) = f(t0. x0, У, A.3)
где функции x(f), §(f) являются решениями уравнений Ньютона
\~ dt
с начальными условиями
x(to) = xo и |(^0) = |0. A.5)
Рассмотрим обтекание выпуклого тела безграничным потоком
кнудсеиовского газа в отсутствие внешних сил. Пусть fw(t, x, |) —
функция распределения набегающего потока. Поскольку столкнове-
столкновениями молекул пренебрегаем, то, помещая в поток выпуклое

ТЕЧЕНИЯ ПРИ БОЛЬШИХ ЧИСЛАХ К.НУДСЕНА
(ГЛ. VI
неподвижное тело, мы не изменяем функции распределения налетающих
на тело молекул1), т. е. функция распределения падающих на тело
молекул ff равна
ft(t, xw, !,) = /„(*, xw, g;), A.6)
где xw— точка на поверхности тела.
Обычно интересуются суммарным потоком молекул, их импульсом
и энергией, приносимыми молекулами па тело. Так как молекулы,
отраженные от одних частей выпуклого тела, в отсутствие внешних
сил не попадают на другие его части, то каждый элемент поверх-
поверхности можно рассчитывать отдельно. Если п(хш) — внешняя нормаль
к телу, то
Nt (t, xw) = ~ J (| • n) /т (t, xw,
|-я<0
pt(t. *J=- J
m
■(l-»)/^^, xv. l)dl,
i-n<0
A.7)
где N[, Pt и El—число молекул, импульс и энергия, приносимые
на единицу поверхности в единицу времени. Для определения полного
импульса и энергии, передаваемых элементу поверхности, необходимо
еще учесть реактивный импульс и энергию отраженных молекул:
Pr (t. xj = J (| • я) /, (t, xw, I) I dt
ml2
l-n>0
A.8)
Функция распределения отраженных молекул fr(t> xw, |) опре-
определяется законом взаимодействия молекул с поверхностью (см. § 2.10)
и должна удовлетворять условию непротекания
x
j = J (I • ») fr (*. х„, I) d\ = Nt (t,xw). A.9)
1-я > 0
Рассмотрим в качестве примера стационарное обтекание тела
однородным равновесным потоком со скоростью V, плотностью геет
и температурой Тт. Функция распределения такого течения, оче-
') Если тело меняет свою геометрию во времени, то даже на выпуклое
тело могут попадать молекулы, отраженные от iела в более ранние моменты
времени. (См., например, Пащенко Н. Т., ПММ, № 4 A959).)

§ 6.1] СВОБОДНОМОЛЕКУЛЯРНОЕ ОБТЕКАНИЕ ВЫПУКЛЫХ ТЕЛ
видно, равна
t f /$• I 7\91 ? №
347
Рассмотрим (рис. 48) элемент поверхности тела, расположенный под
углом атаки 9 к потоку (вектор V образует угол я/2—9 с вну-
внутренней нормалью к поверхности).
Подставляя функцию распределения A.10) в выражения A.7),
после несложных квадратур получим:
-X(Se).
erf*)),
See
erf
AЛ2)
A.13)
Здесь S — так называемое скоростное отношение:
где Мсо—число Маха, vroo = h^/2 — наиболее вероятная скорость
в распределении Максвелла, и — отношение удельных теплоемко-
стей, и
erf x — -
e~wd%. A.16)
В частности, при V = 0, т. е. для тела,
погруженного в покоящийся газ, имеем:
^ = -^=-, Ял,=
A.17)
Рис. 48.
Если нас не интересует поле течения, а задача состоит лишь
в определении действующих на тело сил и передаваемой ему энер-
энергии, то в свободномолекуляриом течении нет необходимости знать
функцию распределения отраженных частиц. Как уже отмечалось
в § 2.10, импульс и энергия, переданные поверхности, полностью

348 ТЕЧЕНИЯ ПРИ БОЛЬШИХ ЧИСЛАХ КНУДСЕНА [ГЛ. VI
определяются, если заданы коэффициенты аккомодации (ср. фор-
формулы A0.16) § 2.10)
xi A.18)
'
где Р„,:, Pt/ и Е-ь — импульс и энергия, приносимые молекулой пучка
молекул, движущегося со скоростью \ под углом Ь к поверхности,
а Рпг, Ргг и £г — соответственно импульс и энергия, уносимые
в среднем одной отраженной молекулой, Tw — температура стенки.
Когда функция распределения молекул набегающего потока одно-
однородна (как в рассматриваемом случае, когда она задана выраже-
выражением A.10)), определяемые соотношениями A.18) импульс и энергия
отраженных молекул могут быть для каждого элемента поверхности
проинтегрированы и вместо A.18) введены новые осредненные коэф-
коэффициенты аккомодации, зависящие от V, Т и 9:
A.19)
ап (."■ v > ' оо' ' w' — р . '
p p
l r
p p I
n /fl V T T } l r I
ae(p, v, /ш, iw)— -щ—. J
где теперь Pnl, Pxi и Ei — импульс и энергия, приносимые на еди-
единицу поверхности тела всеми падающими на данный элемент моле-
молекулами, а Рпт, Рхт и Ег — импульс и энергия, уносимые этими моле-
молекулами при отражении. Введенные таким образом коэффициенты
аккомодации определяют непосредственно долю импульса и энергии
падающих молекул, переданную стенке. Форма коэффициентов акко-
аккомодации A.19) удобна, когда течение далеко от равновесия со стен-
стенкой, например при больших S- Когда газ находится в равновесии
со стенкой, т. е. V — 0 и T!a=Tw, импульс и энергия отраженных
частиц должны быть равны импульсу и энергии падающих молекул
независимо от величины коэффициентов аккомодации. Поэтому часто
коэффициенты аккомодации вводят в форме
<Ч(в. V. Тю. Tw)=-^p~^, \ A.20)

§ 6.Ц СВОБОДНОМОЛСКУЛЯРПОЕ ОБТЕКАНИЕ ВЫПУКЛЫХ ТЕЛ 349
где Pnw и Ew—нормальный импульс и энергия отраженных молекул,
если бы они отражались с ыаксвелловским распределением, соответ-
соответствующим температуре стенки:
[^fe^. A.21)
Выражение для Рт и Ew, очевидно, можно получить из формул A.17),
заменив в них Т^ на Tw:
р __^L E _ mNi a O0-)
Как уже указывалось в § 2.10, характер взаимодействия молекул
с поверхностью зависит от времени адсорбции молекул на поверх-
поверхности. Доля поверхности, занятая адсорбированными молекулами,
пропорциональна времени адсорбции и числу падающих на поверх-
поверхность молекул. Если эта доля не пренебрежимо мала, то коэффи-
коэффициенты аккомодации могут зависеть еще от пт, т. е. от давления.
Величина коэффициентов аккомодации A.20) может колебаться
между нулем и единицей. Значения этих коэффициентов связаны друг
с другом. Эта связь определяется конкретным законом взаимодействия.
Зная коэффициенты аккомодации, заданные, например, в форме
A.20), используя A-И) — A-14) и A.22), для полного импульса
и энергии, передаваемых единице поверхности, получим:
A.23)
A.24)
(L25)
Коэффициенты аккомодации A.19) или A.20) являются в общем
случае функциями тех же переменных 9, V, Т^, п^, Tw, что и р,
х и q. Введение коэффициентов аккомодации было бы совершенно
бесплодным, если бы они не были более консервативными. Пред-
Представляется, что коэффициенты аккомодации являются сравнительно
медленно меняющимися функциями своих аргументов. Поэтому часто
принимают, например, коэффициенты аккомодации постоянными по
поверхности тела (не зависящими от 8) или постоянными в широком
диапазоне скоростей и температур набегающего потока и т. д.
Формула A.25) определяет поток энергии, передаваемый стенке
поступательными степенями аюбоды молекул. Если молекулы

350 ТЕЧЕНИЯ ПРИ БОЛЬШИХ ЧИСЛАХ КНУДСЕНЛ [ГЛ. VI
набегающего потока находятся в равновесии при температуре Тт, то на
каждую внутреннюю степень свободы приходится энергия, равная
1/2^Тоо. Средняя внутренняя энергия молекулы, обладающей jB сте-
степенями свободы, равна 7э pkT^. Для совершенного газа /в =
= E — Зи)/(и—1). Следовательно,
t N bN
Во многих работах поток внутренней энергии молекул учитывают,
заменяя в формуле A.25) энергию Et на £г-|"^? и Ew на Ew~\-Ew',
тогда
J^l( * Iii±i^)I^li.(L27)
к —1 2 к — 1 Гш/ 2 J
Другими словами, предполагается, что обмен внутренней энергией
молекул со стенкой можно охарактеризовать коэффициентом акко-
аккомодации
£В £В
а« = -± т- A.28)
е рврв v '
и, кроме того, ав=^а. Однако формула A.27) не учитывает воз-
возможного перехода поступательной энергии молекул во внутреннюю
при столкновении со стенкой. Например, если 7ЧСО~'7ЧК,, то согласно
A.28) внутренняя энергия молекул при столкновении не изменяется
при любом коэффициенте аккомодации а8,. Но если трансляционная
энергия молекул много больше внутренней энергии (например, в ги-
гиперзвуковом течении, т. е. при S ^$> 1), то очевидно, что при столк-
столкновении со стенкой внутренним степеням свободы молекул может
быть передана известная доля поступательной энергии. Грубо воз-
возможность переходов можно учесть, введя дополнительный коэффи-
коэффициент аккомодации и положив (ср. § 2.10)
Епг = Е'1 - ае {Ei - Ew) — с^ (Е* - El). A.29)
где E" — Ei-\~Ei и Е" = Ег-\--Ег — полная энергия падающих и отра-
отраженных молекул.
Каждый из входящих сюда коэффициентов аккомодации состоит
из двух частей. Коэффициент ае, например, можно представить в виде
ае = а^г — ар3, где атет определяет долю поступательной энергии
молекул, переданную стенке, а коэффициент о£в — долю трансля-
трансляционной энергии, пошедшей на возбуждение внутренних степеней сво-
свободы отраженных молекул. Аналогично а^=с^в — а°г, где а|в
определяет долю внутренней энергии, переданной стенке, и и|г —

§ 6.1] СВОВОД1ЮМ0ЛЕКУЛЯРНОН ОБТЕКАНИЕ ВЫПУКЛЫХ ТЕЛ 351
долю внутренней энергии, идущей на увеличение трансляционной
энергии отраженных молекул.
В этом случае для q получается выражение
q = El - Епг = ае (Е{ - Е„) + аве (E*t — El) =
2 4 2
При гиперзвуковых скоростях, когда поступательная энергия
налетающих молекул много больше их внутренней энергии, членом,
содержащим ав, в A.30) можно в первом приближении пренебречь,
и формула A.30) переходит в формулу A.25) для одноатомного газа.
Однако коэффициент аккомодации ае в этом случае должен быть
уменьшен за счет доли энергии, идущей на возбуждение внутренних
степеней свободы.
Если ай = аЦ, то формула A.30) совпадает с формулой A.27)
для многоатомного газа, по также с уменьшенным коэффициентом
аккомодации. Можно думать, что, как и для свободно сталкиваю-
сталкивающихся молекул, при однократном столкновении со стенкой легче
всего возбуждаются вращательные степени свободы молекул ■).
При выводе формул A.23) — A.25), A.27) или A.30) не пред-
предполагается какой-либо конкретный вид функции распределения отра-
отраженных частиц. При таком подходе невозможно рассчитать поле
течения или произвести учет столкновений молекул между собой.
Поскольку вероятности отражения молекул еще изучены слабо, обычно
пользуются простейшими схемами отражения.
Наибольшее распространение получила схема зеркально-диффуз-
зеркально-диффузного отражения (см. формулу A0.3) § 2.10). В этом случае
A.31)
A.32)
2)<rSe_b
1 T \
A.33)
') См. Ерофеев А, И., Журнал прикл. механики и техн. физики, „N"» 3
A966).

352 ТЕЧЕНИЯ ПРИ БОЛЬШИХ ЧИСЛАХ КНУДСЕНА [ГЛ. VI
Температура Тт может быть определена через коэффициент аккомо-
аккомодации энергии ае:
ET^Ei-ae{Ei-Ea). A.34)
В этом случае даже для тела с постоянной температурой поверх-
поверхности Tw= const и ае= const температура отраженных молекул
различна в различных точках.
Вообще говоря, Тг и ае определяются одними и теми же пара-
параметрами (см. выше), и можно непосредственно установить связь между
Г, и У в виде Гг = р@, V, T^, TW). Предпочтение должно быть
отдано более консервативной величине.
В ряде работ считают заданной величину Т, или принимают
ее постоянной по поверхности тела. Если Tw = const, то положенную
постоянной величину Тг находят из уравнения A.34), в котором
Elt Ег, Ew—соответствующие суммарные по всему телу потоки,
а ае — некоторый осредненный коэффициент аккомодации. Подобные
предположения позволяют существенно упростить расчеты.
Определение суммарных аэродинамических характеристик обтекае-
обтекаемых тел сводится к весьма сложным квадратурам. В настоящее время
при тех или иных моделях взаимодействия или предположениях
о коэффициентах аккомодации рассчитаны аэродинамические коэф-
коэффициенты значительного числа различных тел1).
Приведем формулы лишь для простейших из них.
Для пластинки (одноатомный газ):
sin 6 [B ~~ a«
+ aTcos20]erf S9[. A-35)
+ cos 6 [2 B - aT - aB) sin2 6 +1=^] erf Se } . A.36)
Q = ae = Pp^Lk(Teq-Tm) [e-S* +f я Seerf Se] • A.37)
') Cm. T s i e n H. S., J. Aeronaut. Sci. 13, № 12 A946) (русский перевод
в сб. «Газовая динамика», ИЛ, 1950); St alder J., Goodwin О., Сгеа-
ger M., NACA, Report № 1032 A951) и № 1093A952); Talbot L., JASS26,
№ 1 A959); Schaaf S. A., Talbot L., Handbook of Supersonic Aerody-
Aerodynamics, Sec. 16, Mech. of Raref. Gases, Washington, 1959; Б а р а н ц е в Р. Г.,
У Изжень-гой, Вестник ЛГУ, № 13 A961); Monti R., L'aerotecnica 41,
№ 6 A961); Si r in an M. D., Miss» 3, № 5 A961); Schaaf S. A., Mecha-
Mechanics Raref. Gases, Handbnch der Physik 8/2, 1963; Паттерсон Г. Н.,
Молекулярное течение газов, Физматгиз, 1960; Шидловский В. П.,
Введение в динамику разреженного газа, «Наука», 1965.

§6.1] СВОБОДИОМОЛЕКУЛЯРНОЕ ОБТЕКАНИЕ ВЫПУКЛЫХ ТЕЛ 353
Здесь X — сопротивление пластинки, Y — ее подъемная сила, Q —
суммарный тепловой поток, А—площадь одной стороны пластинки,
8 — угол атаки и Те —температура теплоизолированной пластинки
(Q = 0):
]} О-38)
2
l+j/jtSee eerf Se
Для сферы диаметра D (одноатомный газ):
2S
^ уц т 3S
k(Tea—Tw
A.40)
— T
r 4 2S2 (S-f ierfc S) + erf S
Здесь
)
Ж со
ierfc jc = -|L f^« f e-/
у 11 J J
r
у 11 J
r о и
Для многих приложений интересно обтекание бесконечного ци-
цилиндра свободномолекулярным потоком, перпендикулярным оси
цилиндра. В лабораторных условиях весьма трудно получать свободно-
молекулярные потоки больших размеров. Поэтому для получения
потоков с большим отношением длины пробега к характерному раз-
размеру модели приходится идти по пути уменьшения последней. В этом
отношении идеальным объектом исследования являются цилиндры —
тонкие проволочки, диаметром до сотых долей миллиметра. Зная
аэродинамические характеристики тонких проволочек (термоанемо-
(термоанемометров) в свободномолекулярном течении, можно с их помощью
определять параметры потоков разреженных газов ■).
Принимая схему полностью диффузного отражения (at=l), для
цилиндра, перпендикулярного потоку, имеем:
ЦР A.42)
') Т s i e n H. S, JAS 15, № 10 A948) (русский перевод в сб. «Газовая
динамика», ИЛ, 1950).
23 м. н. Коган

354 ТЕЧЕНИЯ ПРИ БОЛЬШИХ ЧИСЛАХ КНУДСЕНА [ГЛ. VI
где
A.43а)
для одноатомного газа и
%
A.436)
для двухатомного газа.
Здесь D—диаметр цилиндра, L—его длина, /„ (х)—модифициро-
(х)—модифицированная функция Бесселя порядка я,
gl = *e-w и *2 = nS2*-8^ (■!-)+/,("г)]-
При получении формул A.42) и A.43) предположено1), что T^^const
и Tr = const по всей поверхности цилиндра. Величина Тг определена
через коэффициент аккомодации из формулы A.34) по суммарным
потокам к цилиндру. Считалось также, что внутренняя энергия двух-
двухатомного газа равна kTm и аккомодирует с тем же коэффициентом
аккомодации, что и поступательная энергия, т. е. ag —a°.
Из A.43) следует, что при сделанных предположениях температура
теплоизолированного цилиндра (т. е. при 0 = 0) не зависит от коэф-
коэффициента аккомодации. Так как суммарная энергия отраженных
молекул Ег должна быть равна энергии падающих молекул, то со-
согласно A.34) и Ei=Ew, т. е. Tr = Tw = Teq. Но именно Тт
является единственным неизвестным параметром, входящим в выраже»
ние A.42) для сопротивления. Следовательно, в рассматриваемой схеме
и сопротивление цилиндра также не зависит от коэффициента акко-
аккомодации. Это позволяет провести экспериментальную проверку выбран-
выбранной схемы, которая (так как коэффициент аккомодации из рассмот-
рассмотрения выпадает) содержит для одноатомного газа предположения
о полностью диффузном отражении и о постоянстве температуры Тг
по поверхности. На рис. 49, 50 приведено сравнение расчетных
значений сопротивления и равновесной температуры цилиндра с экспе-
экспериментом. Учитывая возможные экспериментальные ошибки, сов-
совпадение можно признать удовлетворительным.
*) См. цитированные выше работы Столдера и

§6.1
СВОБОДНОМОЛЕКУЛЯРНОЕ ОБТЕКАНИЕ ВЫПУКЛЫХ ТЕЛ
355
Отметим, что равновесная температура цилиндра выше тем-
температуры торможения (рис. 49). Это интересное свойство харак-
характерно не только для цилиндра1)-
4,0
3,4
2,8
2,2
Кб
0
?? / теория
l эксперимент
о Азот}
Гелий v A
//
М/
0,6 1,2 !,8
Рис. 49.
/
/
S
//
12
8
4
0
\ Двухатомный
I газ
- \ * Гел««\зкс/7е-
\ о Азот V
\ *
! I
'0,8 1,6 2,4 S
Рис. 50.
Действительно, рассмотрим теплоизолированный элемент поверх-
поверхности тела. Его температура для одноатомного газа согласно A.25)
не зависит от коэффициентов аккомодации и равна
Т ==Т 1 -I- — -i- —
J 0ft х ,^_^ _/ -^ I r-_ t -1
;]}■
Величина, заключенная в квадратных скобках, всегда положи-
положительна, и, следовательно.
Температура же адиабатически заторможенного газа равна
Teq,
') Cm. X e й з У. Д., ПробстинР. Ф., Теория гиперзвуковых течений,
ИЛ, 1962 и указанные выше работы Столдера и др-
23*

350 ТЕЧЕНИЯ ПРИ БОЛЬШИХ ЧИСЛАХ КНУДСЕНА [ГЛ. VI
т. е. равновесная температура любого (8 <^ я/2) теплоизолированного
Элемента поверхности в свободномолекулярном потоке выше темпе-
температуры торможения.
Этот факт очевиден при S—>оо. Действительно, в этом случае
вся энергия набегающего потока достигает стенки. Каждая налетаю-
налетающая молекула приносит энергию 1\<1тУ2. Эту же энергию в среднем
должна уносить каждая отраженная молекула. Для этого температура
стенки должна быть согласно A.22) равна
1 w ' г ' eq
г ' eq 4k '
При адиабатическом же торможении часть энергии налетающих мо-
молекул расходуется на работу против сил давления и
т
lo~ 5k '
При уменьшении S не вся энергия набегающего потока достигает
стенки, так как молекулы, летящие с большими тепловыми скоростями
против потока, не достигают стенки. Поэтому разница между Тед и
То при уменьшении S должна уменьшаться.
Эти выводы полностью согласуются с приведенными на рис. 49
экспериментальными данными.
Экспериментальная проверка применимости выбранной схемы для
теплопередачи затруднена, так как в формулы A-43) для потока
тепла входит неизвестный коэффициент аккомодации. Измерения,
проведенные при числах М = 1,6 -г- 2,0 для проволочек из платины,
никеля и некоторых других материалов, достаточно хорошо согла-
согласуются с теорией при ае = 0,91).
Для иллюстрации влияния коэффициента аккомодации на рис. 51
и 52 приведены значения аэродинамических коэффициентов для пла-
пластинки и ракетоподобного тела. Расчет проведен в схеме полностью
диффузного отражения при S—7.
Особенно наглядными становятся результаты при S->co, т. е.
либо при V—>со, либо при 7^-*■(). В этом случае можно считать,
что на тело налетает моноэнергетический пучок молекул со скоро-
скоростью V. Если тело холодное (т. е. V Y hw -> со) и ае~1, то ско-
скорость отраженных молекул также мала и ею можно пренебречь.
В этом предельном случае
p = Pay2sin2 в, T^p^l/2sine cos6, 9=yPco^/3sine. A.44)
Для любого тела сопротивление и поток тепла, отнесенные к лобовой
') См. работы Столдера и др.

§6.1] СВОБОДНОМОЛЕКУЛЯРНОЕ ОБТЕКАНИЕ ВЫПУКЛЫХ ТЕЛ
проекции (миде.гю) тела А, равны
IX
9oaVA
= 2,
2Q
PooV3A
= 1.
357
A.45)
Подъемная сила равна нулю. В свободномолекулярном потоке подъ-
подъемная сила появляется в результате реактивного дейстпия отражен-
отраженных молекул и теплового движения молекул набегающего потока.
0,8
са
12
8,0
4,0
п
+■■
X
*^7
-
/
/
/
/
Ч. 40'
Gm
—ав.
♦
- П
\
\
i\
80°\
\
~ —
ч
\
\
V
X
120°
\ ^^<
<xff О
^■сп
\
КО0'
Рис. 51.
Рис. 52.
Поэтому при S ~^> 1 величина подъемной силы очень чувствительна
к изменению коэффициента аккомодации. При уменьшении ае возра-
возрастает импульс отраженных частиц, а следовательно, и подъемная
сила (рис. 51).
Сравним характеристики холодной пластинки, обтекаемой гипер-
гиперзвуковым свободномолекулярным потоком при а„—^1 и потоком
сплошной среды, рассчитанным для простоты по методу Ньютона.
В методе Ньютона предполагается1), что после встречи с телом газ
') См., например, Черный Г. Г., Течения газа с большой сверхзвуко-
сверхзвуковой скоростью, Физматгиз, 1959 и цитированную выше монографию Хейза и
Пробстина.

358
ТЕЧЕНИЯ ПРИ БОЛЬШИХ ЧИСЛАХ КНУДСЕНА
[ГЛ. VI
движется вдоль его поверхности, отдав телу свой нормальный импульс.
В рассмотренном же выше предельном случае гиперзвукового сво-
бодномолекулярного течения пластинке передается не только нормаль-
нормальный, но и весь тангенциальный импульс. Поэтому сила, нормальная
к пластинке, в обоих течениях одинакова, но в свободномолекуляр-
ном течении имеется еще тангенциальная сила.
Теория Ньютона не учитывает вязкости жидкости, в то время
как при кинетическом расчете учитываются все эффекты. Поэтому
к силам, подсчитанным по теории Ньютона, следует добавить еще
силы трения, рассчитанные, например, по теории пограничного слоя.
Однако ясно, что в пограничном слое поглощается лишь часть тан-
тангенциального импульса. Следовательно, и с учетом трения сопроти-
сопротивление в свободиомолеку-
лярном потоке должно быть
больше, чем в сплошной
среде, и соответственно
аэродинамическое качество
(т. е. УIX) меньше.
Если предположить, что
молекулы отражаются зер-
зеркально, то, очевидно, нор-
нормальная сила будет в два
раза превосходить ньюто-
ньютоновскую, а касательная будет
равна нулю, как и в теории
Ньютона.
Для гиперзвуковых сво-
бодномолекулярных тече-
течений, как и для гиперзву-
Рис. 53. ковых течений сплошной
среды, характерны незави-
независимость аэродинамических характеристик от числа Маха (от S). Точнее,
при S ^ё> 1 и Se^> 1 течение зависит лишь от скорости набегающего
потока V и его плотности р^, ио не зависит от его температуры.
Для иллюстрации этой стабилизации аэродинамических характеристик
на рис. 53 и 54 приведены значения коэффициента сопротивления и
числа Стантона для пластинки, цилиндра и сферы. Число Стантона
Определено соотношением
На рис. 54 в качестве характерной площади А выбрана площадь
поверхности тела. Коэффициент сопротивления на рис. 53 отнесен
для цилиндра и сферы к миделю, а для пластинки — к площади
одной ее стороны. Принято ТГ = ТЮ=Т1Х или, что то же самое,

16.1]
СВОБОДНОМОЛЕКУЛЯРНОЕ ОБТЕКАНИЕ ВЫПУКЛЫХ ТЕЛ
359
ат —ал = ае= 1. Практически для холодного тела при S ^ 5 сопро-
сопротивление равно своему асимптотическому значению при S—>со.
Для тонких тел, т. е. при Se<l> стабилизация, естественно,
не наблюдается.
Температура тела устанавливается в результате баланса тепловых
потоков к поверхности тела. Наряду с теплом, передаваемым поверх-
поверхности падающими на нее молекулами, поверхность может получать
тепло от источников тепла внутри тела, теплопроводностью от дру-
других частей тела и излучением. В условиях полета по близкой к Земле
орбите значительная часть
тепла уносится излуче- St
нием и обычноTwjToa-^.\,
т. е. тело можно счи-
считать холодным ■)•
Выше приведены вы-
выражения для аэродина-
аэродинамических характеристик
лишь для простейших
тел. В общем же случае
расчет сводится к весьма
трудоемким квадратурам,
особенно если не делать
предположения о посто-
постоянстве Тт по поверхности
тела.
Для упрощения рас-
расчетов при S ^> 1 пред-
предложено ряд приближен-
, ////Оскар ллос/тшн/со, 9 - ~
, Цилиндр
ных
методов2), и с
Рис. 54.
их помощью рассчитаны
аэродинамические характеристики ряда тел. Если тело таково, что
доля поверхности тела, где Se<l> мала- т0> пренебрегая в A.23)
и A.24) членами порядка выше Sf2, приближенно получим:
т =
B — ая) Se + ««Se Vя V-3- + 2 — а„ ],
' ' со >
2 sin 9 cos 8.
A.46)
В этом приближении для аэродинамических характеристик осесим-
метричного тела, обтекаемого под углом атаки а, после интегриро-
') Abarbanel S., JASS 28, № 4 A961).
2 Gust arson W. A., ARS Journal 29, № 9 A959); Schrello B. At,
ARS Journal 30, Ш 8 A960). Метод последней работы распространен
В. С. Галкиным на случай вращающихся тел (Инж. ж., № 5 A965)).

360 ТЕЧЕНИЯ ПРИ БОЛЬШИХ ЧИСЛАХ КНУДСЕНА [ГЛ. VI
вания р и т по поверхности получаем:
A.47)
2-оя ^м . (*пУ_п_ -у/ 1ж. £2sina ... na'c&39
A.48)
(Q—H)
. A.49)
Здесь принята цилиндрическая система координат, ось л; которой
направлена вдоль оси тела, начало координат выбрано в носике тела,
момент
берется относительно начала координат, г (л;)—уравнение тела,
a — угол атаки, £ = {drjdx) ctg a и
0=1 -f-ggr при
~::^] при
при
Я=1 при
1=—arccos(—О ПРИ С<1. Ж=1 при

§ 6.2] СВОБОДИОМОЛЕКУЛЯРНОЕ ОБТЕКАНИЕ ВОГНУТЫХ ТЕЛ 361
Отсюда, например, для сопротивления конуса с углом полураствора б
и сферы соответственно имеем (отнесено к миделю тела):
С = 2 B — ап — at) F sin2 б cos3 a + а" jf" i/-|^- О sin6cos2a +
cosa, A.50)
A.51)
Для сферы при S ^ 1 формула A.51) хорошо согласуется с точной.
Однако рассмотренное приближение не обеспечивает необходимой
точности для вытянутых вдоль потока тел.
Выше предполагалось, что тело обтекается равновесным равно-
равномерным потоком. Однако в ряде случаев представляет также интерес
обтекание тел с иными граничными условиями на бесконечности. Как
уже отмечалось, тонкие проволочки (термоанемометры) могут служить
инструментом для измерения параметров потока. В частности, термо-
термоанемометры могут использоваться для определения параметров потоков,
в которых имеются градиенты скоростей или температур. Для тече-
течений, близких к равновесным, в качестве функции распределения
набегающего потока fm может быть взята функция распределения
навье-стоксовского приближения. Обтекание цилиндра таким неодно-
неоднородным потоком рассмотрено в работах Белла и Шаафа1). Проведен-
Проведенный анализ показал, что наличие неоднородности существенно лишь
при очень малых скоростях потока или для очень сильных градиентов.
§ 6.2. Свободномолекулярные течения.
Обтекание вогнутых тел
В предыдущем параграфе рассмотрено обтекание свободномоле-
кулярным потоком выпуклых тел. На каждый элемент поверхности
выпуклого тела падает столько же молекул, сколько их падало бы
на этот элемент в отсутствие других частей тела. При рассмотрении
обтекания свободномолекулярным потоком тел, обладающих вогнуто-
вогнутостями (а также групп тел), необходимо учитывать затенение одних
частей тела другими, а также падение на одни части тела молекул,
отраженных от других частей.
Рассмотрим некоторую точку Мг на поверхности тела. Обозначим
через И(М{) телесный угол, под которым из точки М: видна осталь-
остальная часть тела или другие тела (рис. 55), Примем закон отражения
') Bell S., Schaaf S. A,, J. Am. Roc. Soc. 23, 314 A953), Jet Pro-
Propulsion 25, 168 A955),

362 ТЕЧЕНИЯ ПРИ БОЛЬШИХ ЧИСЛАХ КНУДСЕНА [ГЛ. VI
молекул (9.6) главы II:
fr{xl,lr)= \ К(хх, %, lr)ft(xv l)dl, B.1)
где К (%,{, lr) — заданная функция, зависящая от свойств поверхности,
п—внешняя нормаль и xY— радиус-вектор точки Мг. Тогда функцию
распределения падающих молекул в точке М: можно представить
в виде
J U »,-!!< 0, B.2a)
ft (*i. Ii) = J К (x2, 12, 1,) / (x2, 12
если скорость |] лежит внутри Q {M^, и
ft(*i. У = /„(!,).
B.26)
если 1] лежит внутри телесного угла Q = 2я—Q(M{). Точки
М2—это точки поверхности тела, в которые можно попасть из
точки Afj, двигаясь вдоль вектора (—1]).
Уравнение B.2а) связывает между собой
функции распределения в разных точках по-
поверхности тела. Аналитическое решение этого
уравнения в общем случае чрезвычайно сложно.
В приложениях чаще всего принимают за-
закон полностью диффузного отражения (ат=1)
с максвелловским распределением, т. е. по-
полагают (см. A0.3) и A0.3а) главы II)
К (х2,
-л,
Рис. 55.
B-3)
В этом случае вместо B.2а) для падающих молекул в точке Л11 имеем
внутри Q
ft(xu h)^=
0,
B.4)
где N (х2) — число молекул, падающих в единицу времени на единицу
поверхности около точки Мг(х2).
Аналогично для отраженных молекул (|, ■ В, > 0) в точке М1
имеем
f(x1>b) = N{xl)^hl(xl)e'hr(x^K B.5)
Вообще, если вид функции распределения отраженных молекул
не зависит .от конкретного вида функции распределения падающих
молекул, то можно записать
К (хр |2, !,) = - F (хр 10 (|2 ■ п2). B.6)

I 6.2] СВОБОДНОМОЛЕКУЛЯРНОЕ ОБТЕКАНИЕ ВОГНУТЫХ ТЕЛ 363
Функция F может зависеть от одного или нескольких макроско-
макроскопических параметров налетающих молекул (от их суммарной энергии,
импульса и т. п.). Для такого ядра
f(xv y = N(x2)F(x2, У при §!■»!< О, |, внутри Q,
при I,-»!><).
Число молекул, падающих на поверхность в точке Мг, равно
1,)(|, -и,)^, B.8)
где N^^Xi) — число молекул невозмущенного потока, падающих на
рассматриваемый элемент поверхности, равное
\г t г Л —- f f (Р \ (Ъ. ■ п WS Ъ. ■ я <" 0 B Q1
'^ооУл1) J J оо\Ъ\) l.Sl П\) "Si' Si п1 ^ и> \^-у)
Введем полярные координаты £, 0 и ф, где 6 — полярный угол,
отсчитываемый от нормали п, и ф—азимутальный угол. Тогда
N(xl) = Noo(xi)-\- \ N(х2) F(x2) sinQ1 cosQ^Q^p, B.10)
а
где
СО
р / 4- \ Г р (v £ \ 13rJt
Г [Ху) — * I Хп, §. I Lwji .
J \ * 1/11
о
Интегральное уравнение B.10) можно переписать также в виде
<а) = Л^оо (-^i) -+■ I М(л;2)О(л;2, jCj) ЙЛ2,
Лг B.11)
cos 9, cos 92
Здесь dA2 — элемент площади поверхности, Oj и 02 — углы между
линией, соединяющей точки Му и М2, и нормалями пх и Щ соответ-
соответственно, г 12—расстояние между точками Мх и М2 и интегрирование
ведется по всей поверхности, видимой из точки М{.
В частности, для ядра B.3) интеграл /?=я~1 и
0{Х2, Xl) = S^l^L = O(x1. x2), B.12)
Г12
В этом случае уравнение B.11) является уравнением Фредгольма
с симметричным ядром.

364 ТЕЧЕНИЯ ПРИ БОЛЬШИХ ЧИСЛАХ КНУДСЕНА [ГЛ. VI
Заметим, что при сделанных предположениях в уравнение B.11)
не входит ни температура поверхности, ни коэффициенты аккомо-
аккомодации, т. е. число молекул, падающих на различные элементы поверх-
поверхности тела, зависит лишь от функции распределения набегающего
потока и геометрии тела. Отметим также, что ядро интегрального
уравнения B.11) имеет вид B.12) при любой функции F, зависящей
лишь от модуля |, или, еще общее, если F^icT^i не зависит от
8 и ф.
Действительно, согласно B.7)
= + J
а следовательно,
со Я/2 2я
1= J F(xv Si)dr»i)<%=J n\dh J J sine
l,.n,>0 0 0 0
CO
= я J nUh = nF.
0
Отражение, удовлетворяющее этим условиям, называют отраже-
отражением по закону косинусов, так как число молекул, покидающих
единичную площадку поверхности в направлении 6, пропорционально
cos 6.
Приведенные рассуждения показывают, что в случае отражения
по закону косинусов число молекул, отраженных от элемента поверх-
поверхности dA2 и падающих на элемент поверхности dAx, равно
N(х2)О(х2, x1)dA2dA1.
Аналогично число молекул, отраженных от элемента dAt и падающих
на элемент dA2, равно
N(x}) £}(*,, x2)dA1dA2.
При этом
Функцию О (хх, Х2) можно рассматривать как функцию влияния эле-
элемента dA1 на элемент dA2 или GdA1dA2—как вероятность того,
что молекула, отраженная от элемента dAv попадает на элемент dA2.
Отметим, что рассмотренная картина свободномолекулярного тече-
течения аналогична рассеянию света на поверхностях по закону Ламберта1).
Эта аналогия может быть использована для моделирования свободно-
молекулярных течений.
i) Лариш Э., Изв. АН СССР, Механика и машиностроение, №3 A960).

§ 6.2] СВОЕОДНОМОЛЕКУЛЯРНОЕ ОБТЕКАНИЕ ВОГНУТЫХ ТЕЛ 365
Пусть известен коэффициент аккомодации энергии
a.^-fcf^ B-13)
Энергия падающих на единицу поверхности молекул равна
£<(*i) = £too(*i)—J4Fi)W (x2)F(x2, l,)^. в,)^, B.14)
Q
!,-»,< о,
где Eloo — энергия, приносимая молекулами, приходящими из бес-
бесконечности, и er (Ij) — энергия, уносимая с поверхности молекулой,
имеющей скорость |,,
Аналогично
Er(x1) = J er(li)^(*i)^(*i> S,)(li-»i)^i- B-15)
ti-ni>0
Для Ew, как и в предыдущем параграфе, получим
Если F и ет зависят лишь от модуля скорости |, то во входящих
в B.14)—B.16) интегралах можно выполнить интегрирование по \\
+ J
Л2
Er
где
со
F(xt) =\eT (I,) F (xt, |,) 1? dg,. B.18)
о
Подставляя найденные выражения в B.13), получим интегральное
уравнение для F:
= aeN(xl)^hl(x1) J erF,)«~Ae((*l)E^ +
0
-ae) f Л/(х2)^(л:2)^^^^йЛ2. B.19)
a ri2
Замечая, что Er (x2) — nF(x2) N (x2), уравнение B.19) перепишем в виде
(x2, x,)dA2.
B.20)

366 ТЕЧЕНИЯ ПРИ БОЛЬШИХ ЧИСЛАХ КНУДсЕНА [ГЛ. VI
Следовательно, если функция F не зависит от <р и 0, то nF(x2) есть
энергия, приносимая в среднем одной молекулой, отраженной от эле-
элемента dA2, и Er(x2)O(x1, x2)dAldA2— доля энергии отраженных
от элемента dA2 молекул, приносимая на элемент dAv Другими сло-
словами, вместо реальной схемы отражения можно считать, что все моле-
кулы отражаются равномерно во все стороны с одинаковой энергией.
Если молекулы не несут внутренней энергии и отражаются с максвел-
ловским распределением, то энергия, приходящаяся на молекулу, равна
m\hr. В этом случае можно считать, что все молекулы как бы летят
с одной скоростью, равной B/й^1/2. Таким образом, задача сводится
к решению интегральных уравнений B.11) и B.19) или B.20). Если
ядро К задано в виде B.3), то, имея решение для F, с помощью
B.18) можно найти hr(x{). Имея N(xY) и hr(x{), с помощью очевид-
очевидных квадратур можно рассчитать все аэродинамические характеристики.
Рассмотрим адиабатическую стенку, т. е. положим, что в каждой
точке тела Е( = ЕГ. В этом случае из определения ае следует, что
Et = E,w = Er. Заменяя в уравнении B.20) энергию Ew на Ет, получим
Er (*l) = £/co ( J4
Легко видеть, что это уравнение аналогично уравнению B.11). Следо-
Следовательно, если Eioo(x1)= constNo0(x1), то
N(xt) — N(Xl) — Nm{Xi) • ^^
Если принять, что отраженные молекулы обладают как поступатель-
поступательной, так и внутренней энергией, соответствующей температуре стен-
стенки Tw, то получим (см. § 6.1)
N{Xt) — 2 к-
Таким образом, равновесная температура стенки вогнутого тела равна
Наиболее просто записывается это выражение для гипертерми-
гипертермического потока (S —>-оо); в этом случае условие пропорциональности
Е Л/
(
Е1со и Л/^ выполнено и
Г«»=-Щ-Ту! = ^^-Ь«,)- B-23)
Интересно отметить, что в этом случае равновесная температура
одинакова как для участков поверхности, на которые попадают моле-
молекулы непосредственно из бесконечности, так и для затененных участ-
участков, на которые падают лишь молекулы, отраженные другими частями

. 6.2]
СВОБОДНОМОЛЕКУЛЯРНОЕ ОБТЕКАНИЕ ВОГНУТЫХ ТЕЛ
367
тела. Этот результат не зависит от коэффициента аккомодации и фор-
формы fejia.
В качестве простейшего примера рассмотрим обтекание бесконеч-
бесконечной цилиндрической поверхности (рис. 56) гиперзвуковым потоком
Рис. 56.
газа. Тепловыми скоростями молекул набегающего потока будем пре-
пренебрегать (гипертермическое течение). Будем считать, что а < со, так
что затенение одних участков другими отсутствует.
Используя обозначения рис. 56, имеем:)
COS 6j = COS 62 = 4- COS ф,
rp d6i dty ]
! cos2 Ф ' I
p= 2rsin
G(xx, X2) =
cos ф' """^ cos2 ф
cos 9i cos92 cos4\|) j
B.24)
Л,
В этих же обозначениях уравнение B.11) запишется в виде
62йф. B.25)
Так как
не зависит от ф, то можно провести интегрирование по ф:
+ С0
-a) + | J /VF2)sin
B.26)
1) С h а h i n e M. Т., Rarefied Oas Dynamics, Second Symp., Acad. Press,
1961; Pratt M. Т., AIAA Journal I, № 7 A963); Sparrow E. W., Jons-
son V. K., L u n dgr e e n T. S., ChenT. S, Transactions of the ASME, J.
of Heat Transfer 86, № 1 AS64).

,-|(jg ТЕЧЕНИЯ ПРИ БОЛЬШИХ ЧИСЛАХ КНУДСЕНА [ГЛ. VI
Продифференцируем это уравнение дважды по 6^ имеем
. B.27)
1
Умножая уравнения B.26) на 1/4 и складывая с B.27), получим
= _|1/«cocosF1-a). B.28)
Общее решение этого уравнения
N F,) = А + 56, + -| Упт cos F, — a)
B.29)
содержит две произвольные постоянные, зависящие от геометрии
течения, т. е. от а и о. Для их определения подставим B.29) в инте-
интегральное уравнение B.26) и приравняем коэффициенты при одинако-
одинаковых функциях 6. В результате имеем
COS3 | у
2 cos -=-
.in (f
Таким образом, число молекул /V(-£,), падающих на поверхность,
полностью определено. Вычислим теперь силу, действующую на тело,
предполагая для простоты ае=1, т. p.. hr = hw.
Нормальный и тангенциальный импульсы, передаваемые молеку-
молекулами единице площади поверхности тела, можно представить в виде
. B.30)
где рпЬ и рхЬ—соответственно нормальный и тангенциальный им-
импульсы, передаваемые данному элементу поверхности молекулами,
отраженными от других частей тела, и рпт — реактивный импульс.
Для рПа0, рпт и рХсо, очевидно, имеем:
— 6), р =
Рхоэ = mnj/2 sin (a — 6) cos (a — 6).
Несколько сложнее вычисляются pnb и рхЬ. По аналогии с B.10)
можно записать:
Pxb = — m J N (X2) F2 {X2> h) 6? C0S Ф C0S 6I C0S 91

§ 6.2] СВОБОДНОМОЛЕКУЛЯРНОЕ ОБТЕКАНИЕ ВОГНУТЫХ ТЕЛ 369
Подставляя F = 2я~ &i,exp(—Ада| ) и интегрируя по |ь получим:
^(/(jCj, je2) cos QxdA?.
Э(хи x2) N (x2)costysm61 dA2.
При подсчете импульса можно считать, что все молекулы движутся
с одинаковой скоростью, равной 3/4 Аш • Используя переменные
B.24) и интегрируя по г|), окончательно получим:
B.32)
, — 62)d62. B.33)
Подставляя сюда найденное ранее выражение для /VF) и проводя
квадратуры, можно вычислить распределение нормальных и танген-
тангенциальных сил по поверхности тела.
Если необходимо найти только суммарные аэродинамические ха-
характеристики, то вычисления этих интегралов можно избежать, так
как суммарные силы, действующие на тело, обусловлены лишь им-
импульсом, передаваемым телу молекулами, пришедшими из бесконеч-
бесконечности и уходящими на бесконечность. Силы, создаваемые молекулами,
движущимися от одних участков тела к другим, являются внутрен-
внутренними. Точно так же можно рассчитать суммарный поток энергии.
Импульс и энергия, уносимые уходящими на бесконечность молеку-
молекулами, можно записать в виде
B.34)
, = mN(Xl)j F(Xl. |,)вг(|,)(|, •«,)<*&
Расчет аэродинамических сил, действующих на вогнутый цилиндр,
проведен в ряде работ '). В работе Сперроу и др. расчеты проведены
') См. цитированные выше работы.
24 М. Н. Когац

370
ТЕЧЕНИЯ ПРИ БОЛЬШИХ ЧИСЛАХ КНУДСЕНА
[ГЛ. Vt
с учетом затенения и для произвольного ае. В работах Лариша,
Пратта и Шахина рассмотрено обтекание вогнутой сферы. Некото-
Некоторые результаты проведенных расчетов Сперроу и др. приведены
на рис. 57—59.
"'"О Ю 20 30 40 50 ВО 70 80 а.
Рис. 57.
О /О 20 30 40 50 60 70 SO'ее,
Рис. 58.
На рис. 57 и 58 приведены значения осевой и поперечной сил,
действующих на внутреннюю поверхность цилиндра (рис. 56). Через
Fjq и Fy0 обозначены силы, действующие на ту же поверхность,

СВОБОДНОМОЛЕКУЛЯРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ПО ТРУБАМ
371
без учета повторных ударов отраженных молекул. На рис, 59 приве-
приведен полный поток тепла на изотермическую внутреннюю поверхность
О
Рис. 59.
тела, отнесенный к потоку без учета энергии, приносимой моле-
молекулами, отраженными от других частей тела.
§ 6.3. Свободномолекулярные течения по трубам
Рассмотрим теперь задачу о течении газа по трубе, соединяю-
соединяющей два сосуда. Исторически это одна из наиболее старых задач
динамики разреженных газов *).
I. Рассмотрим прежде всего два сосуда, разделенных бесконечно
тонкой перегородкой с отверстием, диаметр которого много меньше
длины пробега молекул в обоих сосудах. Пусть в каждом из сосу-
сосудов газ находится в равновесии соответственно при давлениях рх
и р2 и температурах 7\ и Т2. Сосуды будем считать достаточно
большими, так что молекулы, проникаюшие из одного сосуда в дру-
другой через малое отверстие, не изменяют состояния газа в сосудах.
Попавшая через отверстие в сосуд молекула сталкивается с другими
молекулами или со стенкой на большом расстоянии от отверстия
') См., например, книгу Кнудсона (К п u d s e n M., Kinetic Theory of Oa-
Oases, 1934), а также Knudsen M., Ann. der Physik 28 A909): S moluc ho-
hows ki M., Ann. der Physik 33 A910).
24*

3?2
ТЕЧЕНИЯ ПРИ БОЛЬШИХ ЧИСЛАХ КНУДСЕНА
[ГЛ. V!
и может снова оказаться около отверстия, лишь испытав много
столкновений и придя в равновесие с. газом в сосуде.
При максвелловском распределении молекул в сосудах число
молекул, проходящих из сосуда 1 в сосуд 2 через единицу площади
отверстия в единицу времени, очевидно, равно
C.1)
где п — нормаль к плоскости отверстия. Аналогично число молекул,
проходящих через отверстие из сосуда 2 в сосуд 1, равно
М _ «2
C.2)
Следовательно, полный поток частиц из сосуда 1 в сосуд 2 равен
]fh2
C.3)
Как известно, для того чтобы газ не перетекал из одного со-
сосуда в другой (N=0), в классической газодинамике (т. е. когда
длина пробега много меньше диаметра отверстия) необходимо и до-
достаточно, чтобы давление в обоих сосудах было одинаковым. Из
C.3) видно, что в кнудсенов-
ском газе расход через отвер-
отверстие равен нулю, если
или
так как
р{ — kn.iT.
Pi
==Р2=Г C.4)
Vt2 k !
Рис. 60.
и ft, =-
Уравнение C.3) экспериментально проверено Кнудсеном1), который
исследовал поток газа через пористую перегородку. Расхождение
между теорией и экспериментом оказалось в пределах точности
эксперимента.
2. Пусть теперь сосуды соединены цилиндрической трубкой
диаметром 2r = d и длиной L (рис. 60). Диаметр трубки много
меньше длины пробега. Если бы внутри трубки молекулы отража-
отражались зеркально, то, очевидно, каждая молекула, попавшая в трубку
с одного конца, вышла бы с другого конца. Поэтому расход газа
был бы тем же, что и в рассмотренном выше случае течения через
отверстие. При диффузном же отражении часть молекул может в ре-
') "См. цитированную монографию Кнудсена.-

§ 6.3]
СВОБОДНОМОЛЕКУЛЯРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ПО ТРУБАМ
373
зультате одного или нескольких столкновений со стенкой выйти
из трубки с того же конца, с которого она туда попала. При этом
расход газа, очевидно, должен уменьшиться.
Так как молекулы не сталкиваются между собой, то поток мо-
молекул можно разбить на два не взаимодействующих друг с другом
потока: поток из левого резервуара и поток из правого резервуара.
Эти потоки можно рассмат-
рассматривать отдельно.
Рассмотрим, например,
истечение газа из резер-
резервуара 1 *).
Пусть Xj — некоторая
точка внутренней поверхно-
г
о
Рис. 61.
сти трубы (рис. 61). Пред-
Предположим, что молекулы
рассеиваются поверхностью
трубы диффузно по закону
косинусов. Тогда для числа молекул N (х{), падающих на единицу
поверхности, вновь, очевидно, получим интегральное уравнение B.11),
в котором теперь A/^Xj) — число молекул, падающих на единицу
поверхности непосредственно из резервуара 1 без столкновений:
, x,)dA2,
C.5)
где А2—внутренняя поверхность трубки и йЛ2= г depdx. Так
как N (х) не зависит от <р, то
2я
I M(x2)G(x2, x})rd4idx= r I N(x2)dxj
А оо
cos 81 cos 82
ЛГ12
Без ограничения общности угол ф можно отсчитывать, например,
от точки хи так что ф, = 0. Из рис. 61 легко видеть, что
cos 9i cos 92
sin*
sin*
') Clausing D, Ann. d. Physik 12, 5 rep. A932); Patterson 0. N.,
UTIA Review, № 18 A962); Sparrow E. M., Jons son V. K., Heat Tran-
Transfer Transactions of ASME, № 2 A963).

374 ТЕЧЕНИЯ ПРИ БОЛЬШИХ ЧИСЛАХ КНУДСЕНА [ГЛ. V!
где X ■=. х/2г. Тогда
2л
1 л sin4-^-Ap2 v
i £ i \v у \ * И1~^1Г + Д /ч ах
~"л ] Г ——g- — 1— | Л 2 — Л, [• y^2l№' *■ -*
J (X2_X,J + sin2-^- 2[1+(А:Х)Ц
Вычислим теперь Nco(x1). Пусть теперь dA.2—элемент поверхности
входа. Тогда число молекул, прошедших через элемент dA2 и по-
попавших на элемент поверхности трубки dAlt равно
2/SAT -^•^-"«-"i. p~2.tr
C.7)
где /г, — числовая плотность молекул в резервуаре 1. Интегрируя
это выражение по площади входа, равной яг2, после громоздких,
но не сложных выкладок получим
1 Г \2\ / л, \
где Nm — число молекул, входящих в трубку из сосуда 1 через
единицу площади входа.
Заметим, что если в C.7) заменить /V0I на N (хх), то выраже-
выражение C.7) будет определять число молекул, стартовавших с эле-
элемента dAx и вышедших из трубки через элемент dA2. Поэтому число
молекул, отраженных от площадки dAx и выходящих без столкно-
столкновений со стенкой через левый конец трубки (в сосуд 1), равно
1 Г 1 + Х]
\^J2X\dAN(Al. C.9)
Аналогично число молекул, выходящих через правый конец трубки,
равно
^,2 dA, = N(xx) 1 [-1+2(£~~^ — 2 (L — *,)! dA, =
Функции yuj. _^j и хх _^2 определяют вероятности выхода молекулы,
стартовавшей с элемента dAu соответственно через сечения 1 и 2
без столкновений. Учитывая C.6) и C.8) и вводя новую переменную

§ 6.3] СВОБОДНОМОЛЕКУЛЯРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ПО ТРУБАМ 375
% = N(x{)IN01, запишем уравнение C.5) в форме (L = L[d)
Это уравнение называют уравнением Клаузинга. Если уравнение C.11)
решено, то расход газа из резервуара 1 через единицу площади
входа определяется выражением
C.12)
Совершенно так же рассчитывается ноток частиц из резервуара 2.
Функция %(х) обладает интересным свойством симметрии:
C.13)
Запишем уравнение C.11) в виде
Z
t(X,) = lXl^+\t{X2)G"{Xv X2)dXr C.14)
о
Обозначим через g (Х^ = N(XX)!NQ2 удельный поток на элемент dAv
обусловленный потоком молекул с плотностью /V02 из правого
сосуда. Тогда
Очевидно, что
g(x1) = x(L — xl). (зле)
Кроме того,
Z
Ч^+Хх^2+ j °*{Xv X2)dX2^\, C.17)
о
так как суммарная вероятность того, что молекула, стартующая
с элемента dAx, либо выйдет через концы, либо стукнется о стенку
трубки, очевидно, равна единице. Складывая уравнения C.14) и C.15)

376 ТЕЧЕНИЯ ПРИ БОЛЬШИХ ЧИСЛАХ КНУДСЕНА
и учитывая соотношения C.16) и C.17), получим
[ГЛ. VI
Единственным решением этого интегрального уравнения является три-
тривиальное решение C.13). Свойство C.13) позволяет рассчитывать
функцию х лишь для половины трубки. При этом всегда
Расчеты показывают, что зависимость % от X близка к линейной.
На рис. 62 приведено изменение расхода газа между двумя резер-
резервуарами, полученное численным интегрированием уравнения C.11I).
Численное решение
Приближение Клаузинга
Решение &лл бесконечной
трубы
— Решение Зля короткой
трубы
Рис. 62.
Для сравнения нанесено решение Клаузинга, получаемое при замене %
линейной функцией % (х) = а -)- A — 2a)(x/L).
Расход газа N отнесен к расходу газа No, который имел бы
место, если бы сосуды были соединены непосредственно (L = 0).
Величина -^(djL)NQ дает расход для очень длинных труб2).
') Расчеты из цитированной выше работы Сперроу и Джонсона.
2) Эта формула для очень длинных труб получена в упомянутых в начале
параграфа работах Кнудсена и Смолуховского.

■ 6.3]
СЁОБОДНОМОЛЕКУЛЙРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ПО ТРУБАМ
377
Если функция зс найдена, то с помощью очевидных квадратур
можно найти изменение расхода газа по сечению канала. Некоторые
результаты таких расчетов показаны на рис. 63х) (р—расстояние
от оси трубы). На рисунке видно скольжение у стенки.
p_
г
о
0,2
0.4
0.8
0.8
1,0
О
0,8 1,2
0.4
0.8 1,2
Рис. 63.
Для трубы с переменным сечением также легко составить инте-
интегральное уравнение, аналогичное уравнению C.11J).
Уравнения типа уравнения Клаузинга получаются также при рас-
рассмотрении течений в сложных каналах с перегородками, подобных
ловушкам в вакуумных аппаратах. Важно отметить, что расход газа
через такие каналы при отражении по закону косинусов зависит
лишь от температуры и давления газа на входе и на выходе
из канала и не зависит от температуры стенок канала. Поэтому
охлаждение стенок ловушек, например высоковакуумных насосов, не
может дать эффекта, если их температура недостаточно низка для
вымораживания газа (при вымораживании молекулы «прилипают»
к стенкам).
3. Для не очень длинных труб эффективным представляется при-
применение метода Монте-Карло. Расход газа через трубку с входным
сечением Л, и выходным Л2 равен
где NQl — число молекул, входящих в трубку через сечение Лг;
Pi->2 — вероятность того, что молекула, вошедшая через сечение 1,
!) Sparrow E. M-, Haij-Sheikh A., Phys. Fluids 7, № 8 A964).
2) Отмах ов а И. П., Вестник МГУ, №6A959); Sparrow E. M-,
Jonsson V. К-, AIAA Journal 1, № 5 A963); Torkowski R. P. J., Phys.
Chemistry 67, Ns. 2 A963).

3/8 ТЕЧЕНИЯ ПРИ БОЛЬШИХ ЧИСЛА'х КНУДСЕНА [ГЛ. VI
выйдет через сечение 2, и Рг-»1— вероятность того, что молекула,
вошедшая через сечение 2, выйдет через сечение 1.
Если распределение молекул газа в обоих сосудах максвеллов-
ское, то
A\P\^2==L AJri-^x- C.19)
Действительно, когда давление и температура газа в обоих сосудах
равны, то ,/V=0, a /V01 и N02 пропорциональны сечениям Аг и А2.
В то же время вероятность пролета одинакова для подобных функ-
функций распределения молекул па входе. Соотношение C.19) позволяет
ограничиться расчетом только вероятности Pi_»2-
При произвольных функции распределения молекул на входе и
законе отражения молекул от стенки канала вероятность Pi _»2 может
быть определена следующим образом. Разыгрываются с постоянной
плотностью вероятности две случайные величины, определяющие неко-
некоторую точку (у, z) входного сечения канала. Далее с плотностью
вероятности, соответствующей функции распределения входящих
в канал частиц, в точке (у, z) разыгрываются еще три случайные
величины, определяющие направление и скорость входящей в канал
частицы. Если выбранное направление оказывается таким, что частица
выходит через сечение 2, то в запоминающее устройство посылается
единица. В противном случае находится точка падения частицы на
стенку. В этой точке разыгрываются направление и скорость отра-
отраженной частицы в соответствии с законом отражения частиц (плот-
(плотность вероятности K(£,t, lr), § 6.2). Возможны три исхода:
1. Молекула выходит через сечение 2, в память посылается единица.
2. Молекула выходит через сечение 1, в память посылается 0.
3. Молекула вновь ударяется о стенку канала. В этом случае
разыгрываются новое направление и скорость частицы. Этот процесс
продолжается до тех пор, пока частица не выйдет через сечение 2
(результат 1) или сечение 1 (результат 0). Обозначая через Nt число
положительных исходов (сумму всех единиц) и через N общее число
розыгрышей, очевидно, имеем
П 1- Nl
Pi-»2= lim -д^-.
Для частных конфигураций канала и законов отражения процедура
может быть упрощена. В частности, если молекулы отражаются по
закону косинусов, то нет надобности разыгрывать величину скорости
отраженной частицы').
') См., например, Davis D. Н., Levenson L. L, M i 11 e г о п N..
Rarefied Gas Dynamics, Second Symp., Acad. Press, 1961. См, также преды-
предыдущий параграф.

§ 6.4| НАСАДКИ ДЛЯ ИЗМЕРЕНИЯ ДАВЛЕНИЯ 379
§ 6.4. Насадки для измерения давления
в свободномолекулярном потоке
Наиболее простой насадок для измерения давления в свободно-
молекулярном потоке представляется в виде резервуара с малым
отверстием (рис. 64), диаметр которого должен быть много меньше
длины пробега молекул как в набегающем
потоке, так и в сосуде!). Если этот на-
насадок (резервуар) помещен в движущийся
поток, его размеры также должны быть
меньше длины пробега молекул набегаю-
набегающего потока, так как в противном случае
поток молекул, попадающих в отверстие, Рис. 64.
будет возмущен насадком. Даплеиие в ре-
резервуаре (приемнике давления) установится, когда число молекул набе-
набегающего потока, проникающих через отверстие в резервуар, станет
равным числу молекул, выходящих из резервуара. Если нормаль
к плоскости входа резервуара составляет угол ]j2n — 6 с вектором
скорости V однородного равновесного потока, то согласно фор-
формуле A.11) число молекул, проходящих через единицу площади
отверстия в единицу времени, равно
] D.1)
Число молекул, выходящих через единицу площади отверстия, оче-
очевидно, равно
N = 1} = Р' D 2)
т 2/лA, V2nmkTi
где индексом 1 отмечены параметры газа в резервуаре.
Приравнивая число входящих и выходящих молекул, получим сле-
следующее выражение для давления в резервуаре:
Рг = Р~ У-г- [е~ ^ + /я Se A + erf Se)]. D.3)
'со
Если измерить pY при трех значениях 6, то можно определить
скоростное отношение S, не зная температуры и давления набегаю-
набегающего потока и температуры резервуара. Обозначим, например, пока-
показание насадка полного давления (т. е. при 9 = л/2) через р'о, по-
показание насадка при 9=—л/2 через р3 и показание насадка
') См., например, Patterson Q. N.. UTIA Review № 18 A962).

380 ТЕЧЕНИЯ ПРИ БОЛЬШИХ ЧИСЛАХ КНУДСЕНА
статического давления (9 = 0) через рс. Тогда
- erfS)].
откуда
о
[ГЛ. VI
D.4)
D.5)
При больших скоростях (больших S) давлением р3 можно прене-
пренебречь по сравнению с давлением р'о и для определения S достаточно
двух измерений:
се
Q
J2
Рс
D.5а)
Отметим, что давление, по-
показываемое насадком, не равно
давлению, действующему на
элемент поверхности твердого
тела, расположенный так же,
как отверстие.
Рассмотренный простейший
тип насадка, когда приемное
отверстие находится непосред-
непосредственно на приемнике давления,
удобен для измерений в сво-
бодномолекулярных потоках
0,01
Рис. 65.
0 Ц2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,8 0,8 0,4 02 О
к ±
a L
Рис. 66.
больших размеров (например, в полете). Резервуар может служить
одновременно и манометром, например манометром типа Пирани.
Однако область применения его ограничена требованием, чтобы длина
пробега набегающего потока была больше и отверстия и насадка.
Рассмотрим поэтому насадок полного давления традиционного типа,
выполненный в. виде трубки, диаметр которой много меньше длины
пробега (рис. 65). Длина трубки должна быть выбрана так, чтобы

§ 6.5] ТЕЧЕНИЯ. БЛИЗКИЕ К СВОБОДНОМОЛЕКУЛЯРНЫМ 381
возмущение потока, создаваемое резервуаром, не сказывалось вблизи
открытого конца трубки.
В установившемся режиме давление в резервуаре должно быть
таким, чтобы поток молекул из резервуара через трубку был равен
потоку молекул через трубку в резервуар. Так как молекулы внутри
трубки не сталкиваются между собой, оба потока могут быть вычи-
вычислены независимо.
Истечение из сосуда через трубку рассмотрено в § 6.3. Задача
о движении по трубке молекул набегающего потока отличается
от задачи об истечении из сосуда лишь функцией распределения
молекул на входе в трубку. Поэтому, не останапливаясь па деталях,
приведем лишь интересный для приложений результирующий график
(рис. 66), заимствованный из работы Ротте и Лю'). Здесь р0—да-
р0—давление, которое было бы в резервуаре при тех же параметрах набе-
набегающего потока, если бы Z = 0. Эти результаты получены в при-
приближении Клаузинга, т. е. при линейной аппроксимации функции х(^О-
§ 6.5. Течения, близкие к свободномолекулярным
Рассмотрим течения при больших числах Кнудсена с учетом столк-
столкновений. Запишем уравнение Больцмана для стационарного течения
в отсутствие внешних сил в безразмерной форме (см. § 2.11):
ад
Здесь координаты физического пространства отнесены к характер-
характерному размеру течения или обтекаемого тела L, скорости молекул—-
к характерной скорости U. Как будет показано ниже, в общем случае
в одной и той же точке х отношение U к О — характерной отно-
относительной скорости молекул—для различных групп молекул может
иметь различный порядок. Поэтому течение в общем случае нельзя
характеризовать одним параметром или одним числом Кнудсена. Однако
в этом параграфе для простоты будем считать, что рассматриваемое
течение может быть охарактеризовано одним параметром (. или,
другими словами, будем считать, что все молекулы имеют в среднем
одинаковую длину свободного пробега Я,.
J) Rotte D. E., Leew J. H., AIAA Journal 1, № 1 A963). См. также
Chambre D. L, Schaaf S. A., JASS 15, № 12 A948); Иванов-
Ивановский А. И., Труды Центральной аэрологической обсерватории, вып. 56
A984); Whang J. С, AIAA Journal 1, №8 A963); Towns end S. J., Pat-
Patterson O. N, Sinclair S. R. M., Rarefied Gas Dynamics, Forth Symp,,
Acad. Press, 1965. В длух последних работах рассмотрены конические на-
насадки. Свободномолекулярное течение в насадке, установленном под углом
атаки к потоку, рассмотрено в работе: Н u g n e s Р. С, L e e w J. H., Rare-
lied Gas Dynamics, Forth Symp., Acad. Press. 1965.

382 ТЕЧЕНИЯ ПРИ БОЛЬШИХ, ЧИСЛАХ КНУДСЕНА [ГЛ. VI
Решение уравнения E.1) естественно отыскивать либо в виде
ряда по t, либо методом последовательных приближений, приняв за
исходное решение для свободномолекулярного течения (е->0 или
Представим функцию / в виде ряда (см. § 3.6):
/ (х, I) = /@> (х, |) + €/(i) (х, 1) + • • • E.2)
Подставляя это разложение в уравнение E.1) и приравнивая члены
при равных степенях е, получим
л АО) zfW ЙА2)
Г r
E.3)
Первое из этих уравнений есть уже знакомое нам уравнение для
свободномолекулярных течений. Таким образом, решение нелиней-
нелинейного интегро-дифференциального уравнения Больцмана сведено к
решению рекуррентной системы линейных дифференциальных урав-
уравнений.
Легко видеть, что к системе уравнений, эквивалентной E.3),
приводит и метод последовательных приближений, если за первое
приближение взять свободномолекулярное решение и для получения
каждого последующего приближения подставлять предыдущее реше-
решение в правую часть уравнения Больцмана.
Действительно, обозначим через F(Ar) N-e приближение функции
распределения. Пусть f@) — свободномолекулярное решение задачи.
Тогда
E.4)
Сравнивая уравнения E.3) и E.4), легко найдем, что с точностью
до величин более высокого порядка
Метод последовательных приближений можно несколько видоизме-
видоизменить, применив его к одной из интегральных форм уравнения Больц-
Больцмана.
Запишем уравнение Больцмана в виде (ср. формулу G.1) главы II)
Здесь дифференцирование ведется вдоль траектории молекул со ско-
скоростью |. Перепишем это уравнение в интегральных формах (ср.

§ 6.5] ТЕЧЕНИЯ, БЛИЗКИЕ К СВОБОДНОМОЛЕКУЛЯРНЫМ 3§3
G.4) и G.5) главы II):
к
к
f(x2, l) — f(xv l)exp
к
£
)dx, E.
7)
где л2 — любая точка на прямой, проходящей через точку х{ в на-
направлении вектора |, а /, т и s координаты, отсчитываемые вдоль
этой прямой.
Последовательные приближения строятся, как и выше, путем
подстановки предыдущего приближения в правую часть уравнения.
При этом имеется известный произвол в выборе функции f (хх, |).
Можно в каждом приближении при вычислении функции / (х2, !)
интегрировать от границ области, т. е. точки х{ выбирать принадле-
принадлежащими границе. Можно однако идти и более мелкими шагами, вы-
выбирая, например, х1 = х2 — |ДЛ где А^ — некоторый временной
интервал. Чем меньше интервал А/", тем большее число приближений
необходимо для получения искомого решения. В то же время можно
ожидать, что при уменьшении А^ процесс будет сходиться в тех
случаях, когда при ббльших А^ или при выборе хх на границе про-
процесс не сходится.
Хотя характер сходимости ни для одной из упомянутых вычи-
вычислительных схем не выяснен, тем не менее можно думать, что для
расчета течений в конечной области с характерным размером по-
порядка L все они примерно эквивалентны1).
Однако легко показать, что для бесконечной области схема по-
последовательных приближений, основанная на уравнениях E.3), E.4)
и E.6), приводит к появлению секулярных членов.
Рассмотрим обтекание тела с характерным размером L безгра-
безграничным однородным равновесным потоком с характерной длиной
пробега Ху§> L. Предположим для определенности, что молекулы
отражаются от поверхности тела диффузно. В нулевом (свободно-
молекулярном) приближении функция распределения молек"ул в произ-
произвольной точке течения отлична от функции распределения набегаю-
набегающего потока лишь для молекул, приходящих от тела (внутри
') Мы уже пользовались подобными схемами при рассмотрении течений
Куэтта в § 4.2

384
ТЕЧЕНИЯ ПРИ БОЛЬШИХ ЧИСЛАХ КНУДСЕНА
[ГЛ. VI
телесного угла Q, (рис. 67). Поэтому интеграл столкновений J(x, |)
убывает при удалении от тела пропорционально Q~l/r2 для всех
скоростей |, лежащих вне Q. Вдоль же траекторий, идущих От тела,
интеграл столкновений не убывает. Поэтому функция распределения
первого приближения F'1* или /A) неограниченно растет при удале-
удалении от тела вдоль этих траекторий.
По существу, этого результата следовало ожидать, коль скоро
мы приняли, что решение уравнения E.1) дается рядом E.2), в ко-
котором функции /<7> зависят лишь от пере-
переменной x = x*/L и не зависят от {'). В дей-
действительности в функции /(v) переменная х
t2x = x2
0
и т. д. Поэтому вместо
E.2) в общем случае следует искать реше-
решение в виде (см. §§ 2.3 и 3.7)
ас. б2л, ..
— / (Х0>
Х2
Х2>
2. ••■• 1L-
.., 1L- •••
E.2а)
Рис. 67.
Тогда для производных имеем
df = df c df . с2
ОХ иХп иХх
dx2
Подставляя это выражение для производных и ряд E.2а) в уравне-
уравнение E.1) и приравнивая коэффициенты при равных степенях е, по-
получим вместо уравнений E.3)
дхо
• = о. s-
/A)
дхо
■4-1
df
@)
дх.
■4-1
df
A)
■4-1'
/@)
E.3а)
te дха ' s dxt
Легко видеть, что xl — tx = £X*jL. — x*l'k, т. е. координаты
х{ — это координаты Х-масштаба. Из второго уравнения E.3а) видно,
что /A) не будет расти безгранично при Хо—>оо, если в ^-масштабе
функция /@) удовлетворяет уравнению
я АО)
l-^^JifV, /@)),
т. е. опять уравнению Больцмана. Устремляя теперь в этом уравне-
уравнении Xi к бесконечности, мы видим, что функция /@) (х2) в Х/е-мас-
]) Здесь xt—размерные координаты.

§ 6.5J ТЕЧЕНИЯ, БЛИЗКИЕ К СВОБОДНОМОЛЕКУЛЯРНЫМ 385
штабе удовлетворяет уравнению
/(/(о), /<о)) = о.
Из третьего уравнения E.3а) следует, что /'" в этом масштабе удо-
удовлетворяет уравнению
| . д/ _ 2J(f<°\ /(D).
Легко видеть, что последние два уравнения принадлежат рекур-
рекуррентной системе интегральных уравнений для функций /(v> в теории
Гильберта — Энскога1). Следовательно, на расстояниях, много боль-
тих к, т. е. при jc* = O(A./«), решение уравнения Больцмана стре-
стремится к решению Гильберта, и если ограничиться двумя членами
ряда E.3а), то течение может быть описано уравнениями Навье —
Стокса (см. § 3.8). Вблизи тела, т. е, в L-масштабе, решение урав-
уравнения Больцмана при малых е также упрощается, так как сводится
к решению рекуррентной системы дифференциальных уравнений
E.3а). Однако в промежуточной области, т. е. на расстояниях по-
порядка Я, от тела, течение описывается иитегро-дифференциальными
уравнениями (уравнением Больцмана для /10) и линейными уравне-
уравнениями для /'VJ при v^>l), и, следовательно, исследование течения
в целом не упрощается.
Ограничим нашу задачу получением лишь первой поправки к сво-
бодномолекулярному значению для функции распределения на теле.
Рассмотрим модельное уравнение, которое запишем в тех же
безразмерных координатах, что и уравнения E.1) и E.2):
fc|f =«(/<>-/)■ E.8)
Запишем решение этого уравнения в виде
/ (х,2, l) = f(xl, |) ехр ] — - п ds
(
j j nfo(x, |)exp| — j I n
ds
1
dr. E.9)
Пусть требуется, например, найти функцию распределения в некото-
некоторой точке x2~Xw на теле.
Рассмотрим траекторию, приходящую в точку х2 из бесконеч-
бесконечности. Выберем на этой траектории точку х,, расположенную на
достаточно большом расстоянии R от тела. Легко видеть, что иа
') См. §§ 3.7 и 3.8.
25 М. Н. Коган

386
ТЕЧЕНИЯ ПРИ БОЛЬШИХ ЧИСЛАХ К.НУДСЕНА
[ГЛ. VI
больших расстояниях от тела гидродинамические величины п, ut и Т
отличаются от значений на бесконечности на величины порядка 1/г2.
Следовательно, на больших расстояниях
/О = /+ЧЦ6).+ «*!«). + . . . E.10)
Будем считать, что при г > R справедливо разложение E.10) и ана-
аналогичные разложения для гидродинамических величин. В то же время,
так как мы интересуемся асимптотическим решением при е->0,
всегда можно выбрать Я столь большим, что R<<S^\.
Функция распределения в точке х2 определяется выражением
E.9), в котором интегрирование ведется из бесконечности. При этом
первый член в E.9), очевидно, обращается в нуль, и мы имеем
—f nds ]dx, E.11)
1 i !
где предел /^ указывает на интегрирование из бесконечности и ин-
индексом w отмечены величины, относящиеся к точке л2 на поверх-
поверхности тела.
Перепишем E.11) в виде
f(Xw, l)=~ ( «/„(Dexp
1 J
w ]
—| Г nds \dx-\-
6 i I
«(/О"/co)eXP
dx =
—/oo)exp{—|-
E.12)
Разобьем последний интеграл на три интеграла:
'... f ' )
E.13)
где для сокращения письма стоящее слева подынтегральное выраже-
выражение заменено квадратными скобками, 1Х — значение переменной х.

§ 6.5J ТЕЧЕНИЯ, БЛИЗКИЕ К СВОБОДНОМОЛЕКУЛЯРНЫМ 387
соответствующее точке пересечения прямой интегрирования со сфе-
сферой г = R, и /^ — значение т, соответствующее пересечению со сфе-
сферой радиуса г= 1/е, т. е. со сферой с радиусом, равным длине
пробега Я.
В первом и втором интегралах с точностью до величин порядка 1/г2
можно заменить интегрирование по т интегрированием по г. Так как
при г > R разность /0 — /^ можно представить в виде E.10), та
легко получаем, что первый интеграл имеет порядок е2. Действи-
Действительно,
со ( г |
т [га7^ехР|-Т [ nds
Ъ Х'£ ' r"w
СП
-^-exp^—i j ndy \dx — О (е2). E.14)
Точно так же легко видеть, что второй интеграл равен
EЛ5)
Заметим, что замена стоящей под интегралом экспоненты единицей
вносит погрешность порядка е2.
В последнем интеграле E.13), очевидно, экспоненту также
можно заменить с той же точностью на единицу, так как интегри-
интегрирование ведется на расстояниях порядка единицы. Таким образом,
функцию распределения на теле можно представить в виде
/ (*„, I) = /ш (|) Н- f л (/0 - /J rfT + О {(? 1п 6). E.16)
'я.
Следовательно, функция распределения на теле f (хт, |) отличается
от функции распределения свободноколекулярного течения /ет(|) на
величину порядка е. Совершенно так же можно показать, что в лю-
любой точке х2 внутри сферы радиуса R
f(X2, |) = Л*, (|) + О (€) при | вне Q E.17)
/(JC2, l) = ff(xw, |)+O(£) при 1 внутри Q. E.18)
Здесь /!•'—свободномолекулярное значение функции распределения
отраженных молекул на теле.
25*

ТЕЧЕНИЯ ПРИ БОЛЬШИХ ЧИСЛАХ КНУДСЕНА [ГЛ. VI
Аналогично вне сферы радиуса R, учитывая E.10), имеем:
Щ при I вне Q E.19)
f(x2. !)==#(*». 1)«^Яо
при | внутри Q. Экспонента в первом члене учитывает затухание
потока отраженных молекул на набегающих.
Для нахождения функции распределения на теле по формуле
E.16) необходимо вычислить функцию /0(£). Используя оценки
E.17)—E.20), легко найдем, что, отбрасывая члены порядка е21п£,
функцию /0 можно заменить се свободномолекулярным значением f0
без учета затухания отраженного и набегающего потоков. Поскольку
формула E.16) учитывает столкновения молекул лишь внутри сферы
с радиусом, равным длине пробега, то вероятность вторых столкно-
столкновений мала, и вносимые ими поправки имеют порядок €2.
Аналогичный анализ порядков величин легко провести и для
плоских тел. Очевидно, что гидродинамические величины в плоском
случае убывают, как 1/г, а следовательно, и /0 — /:XJ~ cP/r> ^ соот-
соответствии с этой оценкой рассуждения, аналогичные приведенным
выше, показывают, что функция распределения на теле содержит
поправочные члены как порядка е'те, так и порядка е1). Первая
поправка может быть, как и в пространственном случае, получена
с учетом лишь первых столкновений внутри сферы с радиусом, рав-
равным длине пробега. Однако для получения поправки порядка е необ-
необходимо учитывать как затухание отраженных молекул, так и стол-
столкновения вне сферы радиуса г = X, т. е. необходимо учитывать
многократные столкновения.
Перенося результаты, полученные для модельного уравнения, па
уравнение Больцмана, можно утверждать, что в трехмерном случае
первая поправка к функции распределения на теле порядка е может
быть получена как с помощью уравнения E.6), так и с помощью
уравнения E.7) путем подстановки свободномолекулярной функции
распределения без учета затухания в их правую часть. В то же
время первая итерация от свободномолекулярного течения не дает
правильной поправки порядка е на больших расстояниях от тела.
Сходимость неравномерна по пространству. При фиксированном числе
Кнудсена, по-видимому, последующие итерации исправляют решение,
и на больших расстояниях. Однако интервал чисел Кнудсена, для
которого итерационный процесс сходится, еще не выяснен.
•) Ирошников Р. С, Инж. ж. I, № 3 A961).

§ 6.Б] ТЕЧЕНИЯ. БЛИЗКИЕ К СВОБОДНОМОЛЕКУЛЯРПЫМ 389
В плоском же случае для получения решения последовательными
приближениями с учетом членов порядка е можно воспользоваться
лишь уравнением E.7), справедливым, строго говоря, только для
молекул с конечным радиусом взаимодействия. Схему расчета в атом
случае можно представить следующим образом'). Рассчитывается
функция распределения набегающих молекул /f с учетом затенения
телом. Очевидно,
/?>(!) = /„(£)
для траекторий вне Q и
внутри Q. По /^(i) на теле и закону отражения находится функ-
функция распределения отраженных молекул на теле f^Hx^, gV Далее
по формуле E.7) находится функция распределения отраженных
молекул ff>(x, !)• При этом в E.7) интегралы Jl и J2 вычисляются
по функции /(°), а /(#], |) полагается равной ffUxw, £)• После
этого вновь по формуле E.7) рассчитывается функция распределе-
распределения на теле. Так как интегрирование ведется из бесконечности,
то первый член выпадает. Интегралы /, и /2 рассчитываются по
функции /t°> вне Q и функции /<?) внутри Q.
Чаще всего под теорией первых столкновений понимают теорию,
в которой учитываются лишь столкновения между набегающими и
отраженными молекулами. Выше показано, что в пространственном
случае учет лишь первых столкновений достаточен для получения
поправки порядка е па теле. Однако в общем случае необходимо
учитывать как столкновения отраженных молекул с набегающими,
так и столкновения молекул обеих групп между собой. По мере
увеличения чисел Маха набегающего потока роль двух последних
видов столкновений уменьшается. В предельном случае гипертерми-
гипертермического течения (М=оо) столкновения набегающих молекул отсут-
отсутствуют. Если при этом скорости отраженных молекул много меньше
скорости набегающих молекул, то импульс и энергия, приносимые
на тело в результате столкновения отраженных молекул между собой,
малы по сравнению с импульсом и энергией, приносимыми на тело
в результате столкновения отраженных молекул с набегающими.
Получение первой поправки к функции распределения как с по-
помощью формулы E.6), так и с помощью формулы E.7) сводится
к вычислению многомерных интегралов с громоздким ядром. Расчеты
упрощаются для гипертермического набегающего потока, так как
сокращается кратность интегралов, а также существенно упрощается
расчет столкновений.
■) См, например, работу Виллиса: Willis D. R., Rarefied Gas Dyna-
Dynamics, First Sym'p., Pergamon Press, 1960.
26 M. H. Koran

390 ТЕИЕНИЯ ПРИ БОЛЬШИХ ЧИСЛАХ КНУДСЕНА [ГЛ. VI
Вычисление1многократных интегралов удобно выполнять методом
Монте-Карло. Однако проще рассчитывать одностолкновительные
течения непосредственно методом Монте-Карло, не выписывая инте-
интегралов. .Как и выше, рассчитывается функция ff>(x, §). Зная
■Л0)'('**»' Щ на теле' п0 закону отражения молекул находим функ-
функцию'/(^(д^, Щ. Из равномерно распределенных по поверхности слу-
случайных чисел выбираем два числа, определяющих точку xw поверх-
поверхности. Далее, выбирая три случайных числа с плотностью вероят-
вероятности, соответствующей ff4%w, I). выбираем некоторую отраженную
молекулу, т. е. определяем ее скорость и направление. Разыгрывая
далее случайные, величины, соответствующие вероятностям свобод-
свободного пробега отраженной молекулы и параметрам столкновения, рас-
рассчитываем результат столкновения отраженной и набегающей молекул.
Если после столкновения одна или обе молекулы попадают в какие-
либо Ячейки и а поверхности тела, то в этих ячейках запоминаются
приносимые ими импульс и энергия. После этого выбирается новая
отраженная молекула, и расчет повторяется. Здесь, как и выше,
расчет существенно упрощается для гипертермического течения.
Примеры расчетов методом Монте-Карло приведены в следующем
параграфе.
§ 6.6. .Гиперзвуковые течения, близкие к свободномолекулярным.
Молекулярный пограничный слой
• I В предыдущем параграфе предполагалось, что течение может
быть, охарактеризовано одной длиной пробега X. При обтекании тела
при умеренных числа Маха (М <—• 1) в качестве такой единственной
характерной длины пробега может быть выбрана длина пробега
молекул на бесконечности (см. § 2.11).
Для того чтобы течение было свободномолекулярным при уме>
ренных числах Маха, достаточно потребовать, чтобы число Кнуд-
сена А,ет//.]^§> 1 •). Как показывают эксперименты, в некоторых случаях
свободномолекуляриый режим достигается при Кп~2~н-3.
Как будет показано ниже, при гиперзвуковом обтекании нельзя
указать одного критерия, определяющего область свободномолеку-
лярных течений или близких к ним. Эти критерии оказываются
зависящими от формы тела и законов взаимодействия молекул между
собой и с поверхностью тела (коэффициентов аккомодации).
Рассмотрим особенности гиперзвуковых течений 2). Для получения
качественных результатов ограничимся рассмотрением в рамках эле-
')Tsien H. S, J. Aeronaut. Sci. 13, №12 A946), русский перевод
в сб. «Газовая динамика», ИЛ, 1950.
2) Ниже мы следуем работе Когана М. Н, Прикл. матем. и мех. 26,
№ 3 A962).

§ 6.6] ГИПЕРЗВУКОВЫЕ ТЕЧЕНИЯ 391
ментариой кинетической теории (см. § 1.5). Пусть тело обтекается
невозмущенным равновесным гиперзвуковым потоком со скоростью V,
плотностью пм и температурой Т^. Длина пробега молекул в си-
системе координат, связанной с газом, равна
где с — средняя тепловая скорость, g—средняя относительная ско-
скорость и а^ —сечение столкновения молекул. Так как при максвел-
ловском распределении скорости с и g одного порядка, то F.1)
можно переписать в виде
Если движение газа рассматривается в неподвижной системе коор-
координат, например в системе координат, связанной с соплом или обте-
обтекаемым телом, то путь, проходимый молекулами между столкнове-
столкновениями вдоль потока, очевидно, равен
Ьц—у^ — МА.» приМЭ>1. F.3)
Если L — характерный размер течения, то
?f-~ ^M~KnM. F.4)
Следовательно, в гиперзвуковом, потоке молекулы проходят
между столкновениями вдоль потока путь в М раз больший, чем
в поперечном направлении. Благодаря этой анизотропии наличие
сравнительно небольших продольных градиентов делает несправедли-
несправедливыми уравнения сплошной среды 1), в то время как последние остаются
справедливыми при наличии больших поперечных градиентов (напри-
(например, в гиперзвуковом пограничном слое).
В определение длины пробега входит сечение столкновения
молекул. Как мы видели в первой главе, в общем случае эффек-
эффективное сечение столкновения зависит от относительной скорости
молекул. Для оценки изменения сечения столкновений используем
связь длины пробега с вязкостью:
УТ У1 F.5)
Принимая закон Сазерленда изменения вязкости от температуры,
получим
') Этот эффект проявляется, например, при истечении газа в вакуум.
См. § 6.9.
26*

392 ТЕЧЕНИЯ ПРИ БОЛЬШИХ ЧИСЛАХ КНУДСЕНА [ГЛ. VI
где 5^-постоянная Сезерленда и А — некоторая постоянная. Постоян-
Постоянная 5 для таких газов, как азот, кислород, гелий и водород, лежит
в диапазоне 80 н-140.
Если ам — сечение столкновения при температуре Тсо и относи-
относительной скорости с — a,za"-JY Т'со ■ т0 ПРИ относительной скорости V
сечение столкновения будет равно
где T-TJ^Ial-TJA*.
При нормальных условиях в воздухе относительная скорость
молекул порядка 5- 104 см/сек (так как 7"^—300° К). При увели-
увеличении относительной скорости молекул сечение максимально может
измениться на одну треть (при Т—>со). Сравнительно слабое изме-
изменение сечения столкновения обусловлено тем, что уже при комнат-
комнатной температуре относительная скорость молекул оказывается доста-
достаточно большой, так что взаимодействие молекул определяется крутым
участком потенциальной кривой. Если же температура Гш достаточно
низка, так что столкновения молекул определяются дальними поло-
пологими участками потенциальной кривой, то при увеличении относи-
относительной скорости молекул эффективное сечение может измениться
во много раз. С таким явлением можно встретиться, например,
в гиперзвуковых аэродинамических трубах, работающих иа гелии.
Температура потока в рабочей части трубы может равняться 5—10°К,
в то время как скорость набегающих молекул относительно молекул,
отраженных от помещенного в поток тела, может соответствовать
температуре 7>.300оК-
Ниже для иллюстрации влияния изменения сечения столкновения
в зависимости от относительной скорости рассмотрим два предель-
предельных случая: «жестких» молекул с о = const и «мягких» молекул
с 0, обратно пропорциональным относительной скорости молекул.
Последний случай соответствует максвелловскому газу.
Отражение молекул будем считать диффузным с максвелловским
распределением. Средняя скорость отраженных молекул У2 опре-
определяется температурой стенки Tw и коэффициентом аккомодации ае.
При рассмотрении обтекания тела необходимо рассматри-
рассматривать несколько характерных длин пробега: длину пробега набе-
набегающего потока в поле отраженных от тела молекул Х12, длину про-
пробега отраженных молекул на набегающих молекулах Хп, длину про-
пробега Отраженных молекул на отраженных %22, а также введенные
выше длины пробега А,п и 1ет. Заметим, что в общем случае \2 Ф %21.
Рассмотрим два характерных случая: обтекание гиперзвуковым
потоком пластинки, перпендикулярной и параллельной набегающему
потоку. Ниже будет также кратко рассмотрено обтекание конуса
и клина.

§ 6.6] ГИПЕРЗПУКОВЫЕ ТЕЧЕНИЯ 393
1. Пластинка, перпендикулярная потоку. В этом случае наличие
тепловых скоростей у молекул набегающего потока для качествен-
качественного рассмотрения несущественно (так как скорость звука а <^ V).
Поэтому можно считать, что иа тело налетает моноскоростиой пучок
молекул со скоростью V. Длина пробега молекул А,^ в этом случае
характеризует лишь плотность молекул набегающего потока.
Определяющим безразмерным параметром течения является отно-
отношение М2 —V/V2, так как скорость V2 определяет плотность отра-
отраженных молекул л2. Из условия непротекания имеем
re2~H7f ~«JV12. F.8)
Если температура тела Tw порядка Т^ («холодное» тело), как это
бывает, например, при полете па больших высотах, и коэффициент
аккомодации ае'~^\, то V->r~^cico и М22§> !• Если же коэффициент
аккомодации мал (практически, скажем, меньше 0,5), то скорость
отраженных молекул одного порядка с V, т. е. М2— 1- Если тело
«горячее», т. е. его температура порядка температуры торможения,
то М2'—• 1 и при ае— 1. Заметим, что гиперзвуковой режим М2^> 1
может быть реализован и при М~1- Это может быть достигнуто,
например, сильным охлаждением тела при ае—'1.
1.1. Пусть М2^>1, a=aoo = const и М2=М1)- Из F.8) сле-
следует, что п2 — ncof<A2'^$> п-со, т. е. около тела образуется «подушка»
из отраженных молекул. Так как в этом случае относительные ско-
скорости V,,.— V21.— V, а V22—I^o. то для характерных длин пробега
имеем оценки:
F.9)
т. е. все длины пробега одного порядка.
Для того чтобы течение было свободномолекуляриым или близким
к нему, необходимо, чтобы
L 1Г~ Z Ж "^ ' \ • )
где L — характерный размер пластинки.
Таким образом, в рассматриваемом течении характерным крите-
критерием разреженности является Кп/М2, а не Кп-
В свободиомолекулярном потоке число молекул, падающих на пла-
пластинку, приносимый ими импульс и энергия соответственно равны:
N*~n VL2, Рп~шУп1/, Q = mNnV2. F.11)
') Так же просто рассматривается случай, когда М2 ф М. Однако в этом
случае во все формулы входит множитель типа }^fco/Tw, усложняющий
формулы, но мало добавляющий по существу.

394 ТЕЧЕНИЯ ПРИ БОЛЬШИХ ЧИСЛАХ КНУДСЕНА [ГЛ. VI
Молекула, идущая к телу, испытывает .— «2°<х/- столкновений (по
порядку величины). Поэтому число молекул, импульс и энергия,
теряемые из-за столкновений, по сравнению со свободномолекуляр-
ным потоком соответственно равны:
Наряду с этим на пластинку в результате столкновений дополни-
дополнительно попадают молекулы, которые в свободномолекулярном потоке
пролетали мимо пластинки. Легко видеть, что число молекул N+,
импульс Pf и энергия Q+, дополнительно приходящие на поверх-
поверхность, имеют тот же порядок, что и !\1_, Р_ и Q_.
Действительно, выделим около тела полусферическую область
с радиусом L и с центром в середине пластинки. Внутри этой
области плотность отраженных молекул грубо можно считать по
порядку величины равной п2. При расстояниях от центра пластинки г,
больших L, плотность отраженных молекул убывает, как ti2(L\rf.
Внутри полусферы происходит Vn^n^L? столкновений молекул набе-
набегающего потока с молекулами, отраженными от пластинки. Так как
для точек внутри сферы телесный угол, под которым видна пла-
пластинка, порядка единицы, то число молекул, падающих на пластинку
после столкновений, будет также порядка Vn^ntfjL?, а приносимые
ими импульс и энергия — соответственно mn^n^aL3]/2 и mnoan2olJiVz■,
В шаровом слое толщиной dr вне сферы, очевидно, происходит
n(xyn2(LjrJaaor2dr столкновений. Так как число молекул, падающих
на пластинку, после столкновения пропорционально телесному углу,
под которым видна пластинка, то число таких частиц равно
ncoVn2(Llr)i o^r2dr. Интегрируя от L до оо, очевидно, получим, что
из пространства вне сферы радиусом ~£ приходит на пластинку
после столкновений молекул по порядку величины столько же, что
и из сферы радиусом L. Сравнивая с F.12), видим, что их число
и приносимые ими импульс и энергия того же порядка, что и теряе-
теряемые вследствие Столкновений.
Изменение приносимых на пластинку энергии и импульса, обусло-
обусловленное столкновением отраженных молекул между собой, мало
ввиду малой их скорости.
Поэтому
,-"• Г) Ро Р— ~\- Р+ Г' , AW /fi1Q\
с2 C*° + -Kir- FЛЗ)
где индекс 0 относится к свободномолекулярному течению, А —
константы.
Из геометрии течения видно, что большая часть столкновений
происходит вблизи тела и бблыпая часть столкнувшихся молекул

§ 6.6]
ГИПЕРЗВУКОВЫЕ ТЕЧЕНИЯ
395
после столкновения попадает на пластинку, принося те же импульс
и энергию, что и без столкновения. Поэтому для пластинки, пер-
перпендикулярной потоку (и вообще для тупых тел), коэффициент А
должен быть мал. Расчеты показывают, что он отрицателен, т. е.
сопротивление и тепловой поток меньше, чем в свободномолекуляр-
ном потоке.
На рис. 68 приведены результаты расчета сопротивления в рам-
рамках теории первых столкновений для круглой !) и прямоугольных 2)
пластинок, а также для сферы 3) и конуса 4). Расчеты приведены для
газа из твердых сфер
ОгхГОв
в предположении полно-
стью диффузного отраже-
ния. 0,2-
На графике предста-
представлена величина
х
7~т—
Knm =
2kT2
1
0,1
1 ■
2
3
4
3
д
7
Круг
Квадрат
Прямоугольник
Конус в=вО°
Сфера
Конус в-45°
Конусв=30°-
О
Рис. 68.
о = псР- — сечение стол-
столкновения молекулы, Г2 —
температура отраженных
молекул и А — площадь
миделя; 9 — угол полу-
полураствора конуса; отноше-
ние сторон прямоуголь-
прямоугольника 1 :5. Как и ожидалось, отличие от свободномолекулярного
случая невелико.
1,2. Рассмотрим теперь то же течение, но предположим, 'что
эффективное сечение столкновений меняется обратно пропорционально
относительной скорости сталкивающихся молекул. Как и выше,
') II е р е п у х о в В. А., Журнал вычисл. математики и матем. физики
1, № 4 A961).
2) Фрид л ей дер О. Г., Журнал прикл. механики и техн. физики,
№ 3 A963).
3) П е р е п у х о в В. А., Журнал вычисл. математики и матем. физики
№ 2 A967).
4) Коган М. Н., Дегтярев Л. М., Astronautica Act а, № 1 A965).

396 ТЕЧЕНИЯ ПРИ БОЛЬШИХ ЧИСЛАХ КНУДСЕНА [ГЛ. VI
считаем М-~--М2^>'- и Tw'~~-Tw. Так как У12 •—• У21 ~ V, то
Тогда
Легко видеть, что если меньшая из длин пробега X.22^>L, т. е.
если Кп/М ^> 1- то течение может быть рассмотрено точно так же,
как и в случае. 1.1. Однако в рассматриваемом случае число столкно-
столкновений отраженных молекул между собой в М раз больше числа стол-
столкновений с молекулами набегающего гютока. Поэтому приносимый на
пластинку импульс в результате столкновений отраженных молекул
между собой имеет тот же порядок, что и импульс, приносимый в ре-
результате столкновений отраженных и набегающих молекул. В то же
время энергия, приносимая в результате отраженно-отраженных стол-
столкновений, в М раз меньше энергии, приносимой в результате столкно-
столкновений отраженных молекул с набегающими.
С помощью оценок, аналогичных проведенным выше в случае 1.1,
имеем:
^ А (КпГ>М). F.16)
Если X^^^L, но X2o^.L, то течение не является близким к сво-
бодномолекулярному, так как отраженные, молекулы на расстояниях
порядка L испытывают много столкновений. Однако движение моле-
молекул набегающего потока в поле отраженных молекул может рас-
рассматриваться как близкое к свободномолекулярному.
Действительно, рассмотрим предельный случай А,22-=^£ или 1 <^
<^Кп<С^М. В этом случае на малом расстоянии от стенки, порядка
нескольких длин пробега Я22, поток отраженных молекул можно уже
рассматривать как истечение сплошной среды в вакуум. При столк-
столкновении отраженной молекулы с молекулой набегающего потока она
приобретает скорость порядка V', т. е. скорость ее возрастает при-
примерно в М раз. Следовательно, в М раз возрастает и ее длина про-
пробега на отраженных молекулах, т. е. она становится порядка А,2г?Л~'\л).
При таком столкновении отраженная молекула как бы перерождается
в молекулу другого сорта с в М раз меньшим сечением столкнове-
столкновения. Молекула набегающего потока как бы вырывает молекулу из
сплошио-среднего потока отраженных молекул, после чего обе мо-
молекулы уже обладают большой длиной пробега Хсо'^>L. Следова-
Следовательно, если течение отраженных молекул известно, то взаимодейст-
взаимодействие отраженных и набегающих потоков может быть рассчитано как
близкое к свободиомолскулярному течению. Основную трудность

§ 6.6] ГИППРЗВУКОБЫЕ ТНЧПНПЯ 397
представляет расчет потока отраженных молекул. Расчет такого те-
течения представляет и самостоятельный интерес1).
1.3. Пусть теперь М2-—■ 1 и a=const = am. Как уже отмечалось,
такое течение может иметь место при ае<^\ и 1'W<~^TLO или при
сильно нагретой стенке, когда ее температура порядка температуры
торможения. Последний случай часто встречается при исследованиях,
в аэродинамических трубах.
Легко видеть, что в рассматриваемом случае Щг~~'Пса и
^12^^21 ~"^22'—'^ю- F.17)
Течение аналогично рассмотренному в случае 1.1, с той лишь раз-
разницей, что теперь течение свободномолекулярно или близко к нему
при Кп^ 1, а не при Кп/М ^> 1.
Подобно случаю 1.1 получим:
при Кп ^ 1-
.1.4. Если 1VU<•—' 1 и о меняется обратно пропорционально скорости,
то о2 — Oqo/M. В этом случае о22 также равно о2. Так как щ — яда,
имеем
^Il~V2' ^21^ К2 М^. F.19)
Поэтому при М Кп ^> 1
Отметим, что это течение при достаточно больших числах Маха мо-
может реализоваться и при Х^ <^ L или Кп <С^ 1. т. е. в плотной среде.
При М Кп ^Э> 1 характер течения будет близким к свободномолеку-
лярному, даже если набегающий поток рассматривать как сплошную
среду.
Течение в рассматриваемом случае можно представить следующим
образом. Представим себе, что пластинка поглощает все падающие
на нее молекулы, а затем испускает молекулы нового сорта, обла-
обладающие в М раз меньшим сечением, а следовательно, и в М раз
большей длиной пробега. Так как характерная длина пробега для
взаимодействия новых молекул между собой и с молекулами набе-
набегающего потока теперь порядка hoJA'^>L, то столкновения редки
и течение близко к свободномолекуляриому. Отраженные молекулы,
сталкиваясь с молекулами набегающего потока, как бы выхватцвают
из этого потока молекулы, превращая их в молекулы нового сорта.
Выбивание из набегающего потока молекул вызывает возмущения,
распространяющиеся в набегающем потоке со скоростью звука о^.
!) Подобное течение возникает, например, при испарении в вакууме.
См. также конец § 4.2.

398 ТЕЧЕНИЯ ПРИ БОЛЬШИХ ЧИСЛАХ КНУДСЕНА [ГЛ. VI
Однако эти возмущения за время пролета газом расстояния порядка L
распространяются на расстояние Z./M <5^ ^оа- Поэтому газодинамиче-
газодинамической перестройкой набегающего потока можно пренебречь. Это осо-
особенно ясно в предельном случае, достаточно плотного пучка парал-
параллельно летящих молекул.
Интересно отметить, что в зависимости от условий критерий
подобая меняется в М2 раз от Кп/М в случае 1.1 до М Кп в слу-
случае 1.4. Если в первом случае при сколь угодно малой плотности
набегающего потока неограниченно увеличивать его скорость, то те-
течение стремится к течению сплошной среды. Во втором же случае
при сколь угодно большой плотности течение стремится к свободно-
молекулярному при неограниченном увеличении скорости.
В соответствии с этим смещается и граница свободномолекуляр-
ных течений. Очевидно, например, что в случае 1.1, т. е. при ае-—■ 1,
свободномолекулярное течение реализуется при гораздо меньшей плот-
плотности (на гораздо большей высоте), чем в случае 1.3, т. с, при
2. Пластинка, параллельная потоку. В этом случае молекулы
попадают на пластинку либо вследствие теплового движения, либо
в результате столкновений. В свободномолекулярном потоке на пла-
пластинку падает No — f^n-^a^ молекул, где скорость звука ат харак-
характеризует скорость теплового движения.
Рассмотрим те же четыре случая, что и для пластинки, перпен-
перпендикулярной потоку.
2.1. Пусть М'--'М2 ^ 1 и а = const = ош. В этом случае из
условия непротекания следует, что щ — ям, так как У2'—асо. Для
характерных длин пробега имеем оценки:
V V Я, V
^12 п а V ~ ^°°' ^21 п а V ~ ~W ' ^2 я я V "—^°°"
F.21)
Следовательно, при гиперзвуковом обтекании пластинки наименьшей
длиной пробега обладают отраженные молекулы на молекулах набе-
набегающего потока.
Пусть ^2i 2?> L, т.е. Кп]!^М^>1. Каждая молекула набегаю-
набегающего потока испытывает вблизи тела n2oL столкновений или в рас-
рассматриваемом случае n^aL столкновений. Поэтому из No — LPti^a^
молекул набегающего потока на тело не попадает
— О со сю сю [^ f|
2 %
молекул. Всего около тела происходит HojVaL столкновений, и, сле-
следовательно, число молекул, падающих на пластинку в результате
•столкновений,
., М

§ 6.6] ГИГШРЗВУКОВЫЕ ТЕЧЕНИЯ 399
т. е. в результате столкновений па пластинку падает в М раз больше
молекул, чем теряется из-за столкновений. Так как в среднем моле-
молекулы после столкновения имеют скорость порядка V, то импульс
и анергия, приносимые в результате столкновений на установ-
установленную параллельно гиперзвуковому потоку пластинку, больше
теряемых, т. е. сопротивление пластинки и тепловой поток
больше, чем в свободномолекулярном потоке:
•х0__^., F.22)
Особенно сильно возрастает нормальный импульс (давление).
В свободномолекулярном потоке каждая молекула приносит нормаль-
нормальный импульс порядка та^, а каждая молекула, попавшая на пла-
пластинку после столкновения, приносит импульс порядка mV, т. е.
в М раз больший. В свободномолекулярном потоке р = р^. В рас-
рассматриваемом же случае
F.23)
Течение около пластинки обладает интересным свойством: оно
остается близким к свободномолекулярному и в том случае, когда
Я,21 порядка или даже меньше L. Дело в том, что при столкновении
отраженной молекулы с молекулой набегающего потока первая при-
приобретает скорость порядка V, а следовательно, ее длина пробега
возрастает в М раз, так что второе столкновение она может испы-
испытать лишь на расстоянии Я,^, много большем L.
Очевидно, что чем меньше Х2], тем большее число отраженных
молекул будет испытывать столкновения на малых расстояниях от
тела и, следовательно, тем большее их число будет возвращаться на
пластинку. Поэтому число падающих на пластинку молекул Nw бу-
будет все больше отличаться от No, а следовательно, будет возрастать
и плотность отраженных молекул щ.
Рассмотрим предельный случай Хп ^ L Или ' "d Kn <С1 М- В этом
случае все отраженные молекулы испытают столкновения на рас-
расстояниях порядка Я21 -—• А^/М <СС L. Так как после столкновения
длина пробега молекул имеет порядок Я,^, то внутри слоя толщиной
6 — Я/^/М молекулы могут испытать лишь по одному столкновению.
В единицу времени пластинку покидает Nw молекул. Все эти мо-
молекулы испытывают столкновения внутри слоя с Nw молекулами на-
набегающего потока. Так как скорость отраженных молекул порядка
тепловой скорости аш<^1/, то грубо можно считать, что при столк-
столкновении налетающая молекула не имеет тепловой скорости, а отра-
отраженная стоит. Тогда в среднем при столкновении половина молекул
пойдет к пластинке, а половина—к верхней грани слоя. Таким об-
образом, на стенку возвращаются почти Nw молекул. Утечка молекул

400 ТЕЧЕНИЯ ПРИ БОЛЬШИХ ЧИСЛАХ КНУДСЕНА [ГЛ. VI
из слоя может происходить только через его торцы. Число таких
молекул пропорционально отношению площади торцов слоя к пло-
площади пластинки, т. е. равно
N ±^N J<IL.
w i w щ
С другой стороны, в слой попадает No — N_ -f- Na частиц, где.
yVCT — число частиц, попадающих в слой в результате столкновений
вне слоя, и N_ — число молекул, выбывающих из потока No в ре-
результате столкновений. Как отмечалось выше, из слоя через его
внешнюю грань выходит ~ Nw молекул со скоростью V. Поэтому
плотность этих молекул га2 — NwjL2V. Следовательно, число молекул,
попадающих в слой в результате столкновений с этими молекулами,
будет порядка
Убыль молекул N_ складывается из убыли из-за столкновений вне
слоя и внутри слоя. Первая равна N0n2aL-—■ NwjMKn. Вторая же
определяется числом столкновений молекул набегающего потока в слое
«gOL, где п^^Nw!a^L2 — плотность отраженных молекул в слое.
Для того чтобы течение было близким к свободномолекулярному, не-
необходимо наложить условие, чтобы
«*oL<Cl. F.24)
Поэтому
N_~Nor$aL~^<^:No. F.25)
Учитывая F.25), условие баланса молекул в слое можно записать
в виде
NO~NW^-. F.26)
Следовательно,
\т \т М * М ,г. О-7Ч
Nw~NQl^ И П2~П^1^- F-27>
Условие F.24) теперь можно записать в виде
Кп2»М^>Кп>>1. F.28)
Условия F.28) есть условия существования слоя. Очевидно, что
эти условия могут быть выполнены лишь при очень больших числах
Кнудсена и Маха. Таким образом, при соблюдении условий F.28)
в сильно резреженном гиперзвуковом потоке около пластинки может
существовать тонкий слой толщины 6^-^Z.Kn/M с плотностью частиц

§ 6.6] ГИПЕРЗВУКОВЫЕ ТЕЧЕНИЯ 401
в М/Кп раз большей, чем в набегающем потоке (рис. 69). Такой
слой будем называть молекулярным пограничным слоем1).
Подавляющее большинство отраженных от пластинки молекул
испытывает первое столкновение с набегающими молекулами внутри
слоя. После столкновения они либо
возвращаются на стенку, либо ухо-
уходят из слоя и испытывают второе -i—а»-
столкновение вдали от тела (на рас-
расстояниях порядка l^^p-L). Так как
вклад этих далеких соударений не-
несуществен, то молекулярный погра-
пограничный слой может быть рассчитан
в рамках теории первых столкновений, несмотря на то что одна из
длин пробега (А.21) много меньше характерного размера течения L.
Легко проверить, что сопротивление и давление при наличии слоя
вновь определяются формулами F.22) и F.23). Однако так как
в случае молекулярного слоя М ~^>> Кп, то вклад, вносимый столк-
столкновениями, много больше соответствующих свободномолекулярных
значений. Для режимов, промежуточных между Кп ^£> М и Кп2^>
З^М^^-Кп, сопротивление и давление также определяются форму-
формулами F.22) и F.23).
Приведенное рассмотрение легко обобщается на случай, когда
МгЗ^ 1> н0 не равно М. Легко проверить, что в этом случае
Соответственно вместо F.22) и F.23) имеем:
*™) F.30)
Условия существования молекулярного пограничного слоя примут вид
М,
;§> 1- F.31)
Сделанные оценки хорошо согласуются с расчетами.
На рис. 70—72 приведены примеры расчета обтекания пластинки
в рамках теории первых столкновений с учетом затухания плотности
отраженных молекул из-за столкновений с молекулами набегающего
потока. Молекулы рассматривались как твердые шары. Отражение
от стенки диффузное. Расчет проведен методом Монте-Карло2).
') См. цитированную выше работу М. Н. Когана.
2) Коган М. Н., Дегтярев Л. М., Astronautica Ada, № 1 A965);
см. также Пере пухов В. А., Журнал вычисл. математики и матем
физики 3, № 3 A963).

402
ТЕЧЕНИЯ ПРИ БОЛЬШИХ ЧИСЛАХ КЙ^ДСЕНА
[ГЛ. VI
Число Кнудссна Кпх = А./-* = (ап^х) , где х — расстояние, отсчи-
отсчитываемое от передней кромки пластинки.
В соответствии с приведенными оценками энергия и импульс»
приносимые на пластинку в результате столкновений, тем больше»
Рис. 70.
Рис. 71.
чем больше отношение Ma/Knx- Особенно сильно возрастает давле-
давление р = Р . Обусловленное столкновениями давление в несколько
раз превосходит соответствующее свободномолекулярное значение.
Давление в случае молекулярного слоя возрастает в десятки раз
(рис. 72), Интересно отметить, что течение около пластинки прак-
практически обладает свойством параболичности, т. е. увеличение длины

§ 6.61
ГИПЕРЗВУКОВЫЕ ТЕЧЕНИЯ
403
пластинки мало изменяет течение вверх по потоку. Однако следует
заметить, что параметры течения у переднего края пластинки
не равны соответствующим свободномолекулярным значениям.
Это указывает на то, что свойство параболичности устанавливается
лишь на некотором расстоянии от передней кромки >).
Отметим также, что трение, давление и поток тепла растут
по длине пластинки, в то время как по теории пограничного слоя
с учетом взаимодействия с внешним потоком эти величины падают
ЛСп.
по длине пластинки. Теория пограничного слоя является асимптоти-
асимптотической при х—>оо. Приведенные же расчеты в известной мере
(вследствие отмеченной параболичности) отражают поведение потока
в малой окрестности переднего края пластинки2).
По-видимому, трение, давление и теплопередача по мере воз-
возрастания х вначале возрастают, достигая некоторого максимума,
а затем падают, стремясь при больших х к значениям, определяемым
теорией пограничного слоя.
В соответствии с этим и сопротивление пластинки при заданном
числе Маха имеет максимум при некотором числе Рейнольдса. При
уменьшении числа Рейнольдса сопротивление вначале возрастает
в соответствии с предсказаниями теории пограничного слоя. При
') Для выявления процесса перехода к параболичности необходим более
детальный расчет течения у носика пластинки.
2) По этому поводу см. также § 5.2.

404 ТЕЧЕНИЯ ПРИ БОЛЬШИХ ЧИСЛАХ КНУДСЕНА [ГЛ. VI
некотором числе Рейнольдса оно достигает максимума и затем умень-
уменьшается до свооодномолекулярного значения.
К явлению молекулярного пограничного слоя можно подойти
несколько иначе. Рассмотрим обтекание пластинки потоком парал-
параллельно летящих частиц со скоростью V и плотностью и .
Пусть этот поток падает на пластинку под малым углом 0.
Пусть, Кроме того, скорость отраженных молекул V2<^V, т. е.
Мг^^Ь В этом случае, около пластинки образуется молекулярный
пограничный слой толщиной L Kn/Мг. условия существования кото-
которого определяются неравенствами Кп <^, М2 и Кп2^> 0Ма- Эти
условия могут встретиться в различного рода разгонных установках
типа молекулярных лучей.
2.2. Рассмотрим теперь течение, отличающееся от только что
рассмотренного лишь тем, что о обратно пропорционально относи-
относительной скорости, т. е. положим М-—■М2^>^ и о2—^М-
Так как при этом V2 •—■ аш и я2 ~ йш, то
112-~"^у—1^' КЪ~-^-£у~К' K~J~y~%^- F-32)
Рассмотрим три случая: Kn^^i, Кп~1 и Кп<^[1. Если
Xco'^>L, т. е. Kn^s> 1, то вблизи пластинки происходит ra^VOoo^M"
столкновений молекул набегающего потока с отраженными, и, следо-
следовательно,
+ рA + аш)- <6-33>
Поправка к сопротивлению, обусловленная столкновением отраженных
молекул между собой и потерей импульса набегающими молекулами
на отраженных, имеет порядок (Кп М2)~ . Здесь сопротивление и
особенно давление опять больше, чем в свободномолекуляриом потоке.
Если Кп ^ М, то следует учитывать импульс, уносимый отраженными
молекулами, порядка М~ .
При Я^—L, т. е. при КП'-—!, все отраженные молекулы испы-
испытывают столкновения между собой и с молекулами набегающего
потока на расстояниях порядка L от пластинки. Столкновения отра-
отраженных молекул между собой не меняют порядка плотности и ско-
скорости отраженных молекул. Столкновение же отраженной молекулы
с молекулой набегающего потока как бы превращает отраженную
молекулу в молекулу другого сорта с в М раз большей длиной
пробега, равной Я,етМ.
Легко видеть, что в этом случае для сопротивления и давления
справедливы формулы F.33), которые при Kn'—'l можно переписать
.в виде
)±, р = РооA + АМ). F.34)

§ 6.6] ГИПЕРЗВУКОВЫЕ ТЕЧЕНИЯ 405
В предельном случае XCO<^L, т. с. при Кп^С'. все отражен-
отраженные молекулы сталкиваются с молекулами набегающего потока в тон-
тонком слое толщиной Я,^. Рассуждения, аналогичные приведенным выше
в случае 2.1, показывают, что и молекулярном пограничном слое
Nw ~ A/Q КгГ1, «2 ~ лсо Кп"'1- Поэтому для характерных длин пробега
з молекулярном слое имеем:
Для того чтобы набегающий поток мало ослабевал в молекуляр-
молекулярном слое, необходимо потребовать, чтобы Xi2~^$> L или Кп2МЗ>1.
В противном случае приводимые оценки должны быть изменены.
В рассматриваемом случае вновь справедливы выражения F.33),
но так как Кп<^[1, то можно ожидать значительного увеличения
сопротивления, теплопередачи и особенно давления при учете
столкновений.
Как и в случае 2.1, вследствие «перерождения» молекул отра-
отраженные молекулы испытывают в молекулярном слое не более одного
.столкновения с молекулами набегающего потока. Но так как длина
пробега отраженных молекул на отраженных Я22 много меньше тол-
толщины слоя А,^, то отраженные молекулы испытывают большое число
столкновений между собой, прежде чем столкнутся с молекулой
набегающего потока. Поэтому это течение не может быть рассчитано
с учетом лишь первых столкновений.
2.3. Рассмотрим теперь случай высокоскоростных отраженных
молекул V2~V', т. е. М2 ■—'!• Положим 0=0^. В этом случае
ПЪ~ ПаМ~1 И
А.12—!№-«,. Л-21 ~ Л-оо. ^22 ~M*w F.35)
Этот случай подобен случаю 2.1 в том отношении, что наименьшей
длиной пробега является Я-21. Однако здесь все молекулы имеют
одинаковый порядок скорости <--V, и перерождения молекул не
происходит. Поэтому течение будет близким к свободномолекулярному
лишь при Ъса~^$>L, т. е. при Kn^^-i- В этом случае
Постоянные А > 0.
2.4. Если М2'~~' 1 и а обратно пропорциональна относительной
скорости, то
^^ ^^ ^^
Этот случай подобен предыдущему. Течение будет близким к свободно-
молекулярному, если МА,Ш ~^> 1. В этом случае

406 ТЕЧЕНИЯ ПРИ БОЛЬШИХ ЧИСЛАХ КНУДСЕНА [ГЛ. VI
Течение может быть близким к свободиомолекулярному и при Кп<С1 1*
если Кп'М^Г.
3. Обтекание пластинки под углом атаки. Здесь, как и в теории
гиперзвуковых течений сплошной среды, необходимо различать тече-
течения при М sin fb ^^> 1 и MsinO<^l, где Ф—угол атаки, В первом
случае характер течения близок к течению около пластинки, перпен-
перпендикулярной потоку, во втором — к течению около пластинки, парал-
параллельной потоку.
Пусть М sin $ ^> 1 и М = М2^>Ь Рассмотрим только случай
о = 0^= const. Так как Nor~-> Vn^L2 shift и w.2~ псаМ2 sin О, то
x ~ X Х~^ F>38)
Если Х21^> L, то течение близко к свободномолекулярному. Легко
видеть, что '
^a и N+^niyjA2a^L3 sin ■». F.39)
Поэтому сопротивление и подъемная сила, отнесенные к Z,2, равны
F.40)
Подъемная сила при М2^§> 1 в основном определяется столкно-
столкновениями. Аэродинамическое качество К = CyjCx много больше, чем
в свободномолекулярном потоке. Это положение характерно не только,
для пластинки. В § 6.1 мы видели, что в гипертермическом свободно-
молекулярном потоке подъемная сила любых тел создастся реактив-
реактивным импульсом отраженных молекул и, следовательно, Су >-~ \/М2-
Поэтому обычно принято считать аэродинамическое качество при
Кп]3§>1 малым. Однако учет столкновений при М2~^£> 1 при-
приводит к радикальному изменению подъемной силы и моментпых
характеристик тел, в то время как сопротивление сравнительно
мало отличается от свободномолекуляриого. Эти выводы получены
для течений, близких к свободномолекуляриым (при М2/Кп <С^ О-
При дальнейшем увеличении М2 и фиксированном числе Кнудсена
течение стремится к течению сплошной среды, и аэродинамическое
качество тел продолжает расти.
Выше мы видели, что Аг > А2 > 0 при # = lj2 я и сопротивление
пластинки меньше, чем в свободномолекулярном потоке. Из фор-
формул F.40) видно, что при ft—»-0, но Msin§^>l сопротивление
пластинки становится больше, чем в свободномолекулярном потоке.
При дальнейшем уменьшении Ф, когда М^—>0, в пределе приходим
к обтеканию пластинки, параллельной потоку.

§ 6.6]
ГИПЕРЗВУКОВЫЕ ТЕЧЕНИЯ
407
4. Обтекание конуса. При обтекании конуса с углом полу-
полураствора 6 также следует отличать режимы MsinO^> 1 и Msin6<^ 1.
Рассуждения, подобные только что проведенным для пластинки,
показывают, что сопротивление, отнесенное к миделю конуса (при
0,04
Рис. 73.
M sin 9 ^> 1, М = Мг ^> 1 и о = oj, дается формулой (для малых 9)
СЛ-~Сх0 — А1 -^-+ Л Кпе •
где Кп = ^-oa/R и /? — радиус основания конуса.
F.41)

ТЕЧЕНИЯ ПРИ БОЛЬШИХ ЧИСЛАХ КНУДСЕНА
[ГЛ. VI
' При М9 <g^ 1 молекулы попадают на поверхность конуса главным
образом за счет теплового движения. В этом случае iV0~ LRn^a^,
где Z. —/?/6—длина конуса и п2~-^поо. Легко видеть, что при
стремлении 9 к нулю при фиксированном диаметре 2R сопротивление
конуса будет безгранично расти. Однако для того, чтобы течение
можно было рассматривать как близкое к свободномолекулярному,
необходимо, чтобы длина конуса L<^Xoo. При выполнении этого
условия сопротивление, отнесенное к миделю, будет
Кп92
AM
с
хО
А.
МО
F.42)
Интересно отметить, что при стремлении 0 (или, что то же,
диаметра основания конуса) к нулю при фиксированных L и %со
течение около конуса при нулевом угле атаки не стремится
к свободномолекулярному. В то же время течение около конуса,
обтекаемого под углом атаки а, при Ма^§> 1 стремится к свободно-
свободномолекулярному при стремлении к нулю диаметра конуса.
На рис. 73 приведены некоторые результаты расчетов конуса
методом Монте-Карло!) для гипертермического течения (Щ = со).
Приведенные кривые полностью подтверждают сделанные качествен-
качественные выводы. По мере уменьшения угла 9 отрицательная добавка
к свободномолекулярному значению в формуле F.4!) убывает, а поло-
') Коган М. Н., Дегтярев Л. М., Astronautica Ada, № 1 A965).

§ 6.7] ТЕОРЕМА ОБРАТИМОСТИ 409
жительная возрастает. На графике N — число испытаний в методе
Монте-Карло, соответствующее приведенным результатам. Отметим,
что силы, действующие на тело, заметно отличаются от свободно-
молекулярных значений, хотя число Кпудсена
На рис. 74 приведены результаты расчетов для усеченных конусов.
Расчет также проведен методом Монте-Карло!).
§ 6.7. Теорема обратимости для течений,
близких к свободномолекулярным 2)
Пусть плоская пластинка произвольной формы, расположенная
в плоскости ху, обтекается потоком разреженного газа, вектор ско-
скорости которого V лежит в плоскости хг и составляет угол у
с осью z (рис. 75). Пусть характерный
размер пластинки равен L.
В свободно молекулярном потоке на
любой элемент пластинки площади dS
падает одинаковое количество молекул,
передающих этому элементу одинаковые
импульс и энергию. В результате взаимо-
взаимодействия молекул с поверхностью пла-
пластинки 3) каждый элемент создает одина-
одинаковое поле отраженных молекул. Функция
распределения молекул набегающего по- Рис. 75.
тока вблизи пластинки отлична от функ-
функции распределения на бесконечности, так как часть молекул экрани-
экранируется пластинкой. Очевидно, что все элементы пластинки экрани-
экранируют течение одинаковым образом.
Рассмотрим в первом приближении влияние столкновений молекул
на число частиц, импульс и энергию, приносимые молекулами на
пластинку. В § 6.5 показано, что при расчете столкновений в первом
приближении можно не учитывать затухания набегающего потока на
отраженных молекулах. Столкновения отраженных молекул с отра-
отраженными существенны лишь внутри сферы радиуса /? ~L<^X. Но
на расстояниях, много меньших X, затуханием можно пренебречь.
Таким образом, существенно лишь затухание потока отраженных
молекул па набегающих молекулах. Благодаря этому поле набегающих
') Перепухов В. А., Журнал вычисл. математики и матем. фи-
физики, № 2 A967).
2) Коган М, Н., Доклады АН СССР 144, № 6 A962).
3) Конкретный закон взаимодействия здесь несуществен. Важно лишь
чтобы все элементы пластинки отражали молекулы одинаково.
27 м. Н. Коган

410 ТЕЧЕНИЯ ПРИ БОЛЬШИХ ЧИСЛАХ КНУДСЕНА [ГЛ. VI
и отраженных молекул, создаваемое каждым элементом поверхности,
не зависит от присутствия других элементов. Очевидно, что в этом
случае картина рассеяния молекул после первого столкновения является
суперпозицией рассеяния молекул на молекулах, отраженных отдель-
отдельными элементами пластинки.
Как отмечалось выше, в свободномолекулярном течении все эле-
элементы пластинки равноправны, так что нормальный и тангенциальный
импульсы и поток тепла, приносимые на пластинку молекулами, оди-
одинаковы для пластинок произвольной формы заданной площади. При
наличии столкновений число частиц, импульс и энергия, падающие
на какой-либо элемент пластинки, отличны от соответствующих вели-
величин в свободномолекулярном потоке. Изменение количества молекул
и приносимых ими на данный элемент импульса и энергии, очевидно,
зависит от поля отраженных молекул, которое, как указано выше,
представляет собой суперпозицию полей отдельных элементов. В за-
зависимости от взаимного расположения элементов меняются аэродина-
аэродинамические характеристики элементов пластинки, а следовательно,
и аэродинамические характеристики всей пластинки заданной площади
зависят от формы.
Обозначим через wij(xl—Xj, yt— yj) функцию влияния /-го эле-
->
мента на у'-й. Величина wf.dS^S. есть изменение k-то свойства,
приносимого на элемент dSj, в результате столкновений набегающих
молекул и молекул, отраженных от у'-го элемента, с молекулами,
отраженными от /-го элемента.
Индекс k указывает свойство, о котором идет речь (нормальный
или тангенциальный импульс, поток тепла, число частиц и т. д.).
Полное изменение ft-ro свойства в результате столкновений, оче-
очевидно, равно
\\ \\^dSidSj, G.1)
где интегрирование ведется по всей пластинке.
Вектор скорости набегающего потока лежит в плоскости xz и
составляет угол у с нормалью к пластинке (рис. 75). Наряду с пря-
прямым потоком рассмотрим течение, вектор скорости которого также
лежит в плоскости xz, но составляет угол —ус нормалью. Этот
<-
поток назовем обратным. Скорость обратного потока |V| равна ско-
->
рости прямого потока |V .
Для рассматриваемого течения имеет место теорема обратимости,
утверждающая, что на пластинку произвольной формы в прямом
и обратном потоках падают один и тот же нормальный импульс,
энергия и число частиц и противоположный по знаку танген-
тангенциальный импульс.

§6.8) СРАВНЕНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ 411
Введем функцию влияния в обратном потоке да*.. Легко видеть, что
-> <-
i j j i
для числа частиц, нормального импульса и энергии и
w., = — w,. G.3)
для составляющих тангенциального импульса.
Полное изменение числа частиц, нормального импульса и энергии
в обратном потоке равно
ч) V ч) V -* -* ч) ч) ч) ч) -* -* ч) ч) ч) ^
G.4)
Аналогично для тангенциального импульса имеем
Таким образом, аэродинамические характеристики пластинок в пря-
прямом и обратном потоках одинаковы.
Выше предполагалось, что все элементы отражают одинаково.
Однако принцип суперпозиции справедлив и тогда, когда различные
элементы отражают различным образом. В общем случае, например,
различные элементы поверхности могут иметь различную температуру.
Наличие суперпозиции позволяет один раз найти функцию влияния
и затем простыми квадратурами определять характеристики пластинок
разной формы. Эта возможность использована в ряде работ !), а также
при расчетах обтекания пластинки под нулевым углом атаки, резуль-
результаты которых приведены в предыдущем параграфе.
§ 6.8. Сравнение теоретических и экспериментальных данных
о течениях при больших числах Кнудсеиа2)
I. В настоящее время как теоретических, так и эксперименталь-
экспериментальных данных об обтекании тел при больших числах Кнудсена еще
очень мало. Теоретические исследования ограничиваются главным
') См., например, работы: Фридлендер О. Г., Журнал прикл. меха-
механики и техн. физики, № 3 A963); Перепухов В. А., Инж. ж. № 5A965).
2) См. Коган М. Н., Доклад на 7-й конференции по проблемам и ме-
методам гидродинамики, Польша, Юрата, 1965.
27*

412 ТЕЧЕНИЯ ПРИ БОЛЬШИХ ЧИСЛАХ КНУДСЕНА {ГЛ. VI
образом приближением первых столкновений для твердых сфер!).
Проведено также небольшое число расчетов с помощью модельных
уравнений2). Экспериментальные данные в широком диапазоне чисел
Кнудсена получены лишь для цилиндра (тонкие проволочки) и полосы,
перпендикулярной потоку.
При сравнении результатов расчетов с экспериментальными дан-
данными наряду с погрешностями метода вычислений возможны также
погрешности, обусловленные недостаточным знанием законов взаимо-
взаимодействия молекул со стенкой и между собой.
Если тело теплоизолировано, то энергия, уносимая отраженными
молекулами, равна энергии, приносимой падающими молекулами, и не
зависит от коэффициентов аккомодации. Если теплоизолирована каждая
точка поверхности тела (абсолютно нетеплопроводная стенка) и если
импульс отраженных молекул и температура стенки однозначно свя-
связаны с энергией, уносимой отраженными молекулами, то, очевидно,
и сопротивление каждого элемента тела и распределение температуры
по его поверхности не зависят от коэффициентов аккомодации.
В другом предельном случае — случае абсолютно теплопроводного
тела имеет место независимость сопротивления и температуры тела
от коэффициента аккомодации энергии, если последний определять
в среднем по всему телу (ср. § 6.1). Таким образом, сравнивая
теоретические и экспериментальные результаты по сопротивлению и
температуре теплоизолированного тела, можно исключить из рассмо-
рассмотрения коэффициент аккомодации.
Как уже отмечалось выше, имеющиеся теоретические результаты
получены либо для твердых сферических молекул, либо с помощью
модельных уравнений. Поэтому необходимо найти связь между свой-
свойствами реальных молекул и диаметром шаров или параметрами взаимо-
взаимодействия молекул, входящими в модельное уравнение. Напомним, что
модельное уравнение лучше всего аппроксимирует уравнение Больц-
мана для максвелловского (точнее, псевдомаксвелловского) газа3).
Как показано в § 6.5, основную роль в течениях, близких к сво-
бодномолекулярным, особенно при гиперзвуковых скоростях, играют
столкновения набегающих и отраженных молекул. Следовательно,
диаметры твердых сфер или другие параметры теоретических моделей
молекул должны выбираться так, чтобы наилучшим образом аппро-
') Среди ранних работ отметим работы: Heinemann М., Comm. of
Pure and Appl. Math. 1, № 3 A948) (русский перевод: «Механика», №2 A951));
L u n с M., L u b о n s k i J., Arch. Mech. Stos. 8, 597 A956) (русский перевод:
«Механика», № 2 A958)); Baker R. M. L, Charwat A.F., Phys. Fluids 1,
73 A958). См. также работы, цитированные в двух предшествующих пара-
параграфах.
2) См. Rose M., Phys. Fluids 7, № 8 A964); Maslach О. J., Wil-
Willis D. R., Tang S, Ко D., Rarefied Gas Dynamics, Forth Symp., Acad.
Press, 19S5.
3) Cm. § 2.8.

§ 6.8] СРАВНЕНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ 413
ксимировать характер взаимодействия молекул именно при этих
столкновениях.
Как экспериментальные, так и теоретические результаты в конеч-
конечном счете необходимо выразить через параметры набегающего потока.
При переходе от параметров взаимодействия молекул, соответствую-
соответствующих набегающему потоку, к параметрам взаимодейстиия при столкно-
столкновении молекул необходимо учитывать, что этот переход у выбранной
математической модели может отличаться от действительного измене-
изменения взаимодействия реальных молекул. Так, например, если в расчетах
принята модель твердых сфер, то, по самому определению модели,
сечение столкновения остается одним и тем же как в набегающем
потоке, так и при столкновениях набегающих молекул с отраженными.
Однако в реальном газе сечения столкновений уменьшаются при
увеличении относительной скорости молекул. Очевидно, что сопоста-
сопоставимые данные можно получить только в том случае, если сечение
столкновения модельных молекул-шаров принять равным действитель-
действительному сечению при столкновениях отраженных и набегающих молекул,
а переход к параметрам набегающего потока производить в обоих
случаях в соответствии с реальным законом изменения взаимодействия
молекул. При этом надо иметь в виду, что для одного и того же
газа переход к параметрам набегающего потока в условиях трубного
эксперимента (особенно в гиперзвуковых трубах) и в натурных усло-
условиях может оказаться различным. Как уже отмечалось в § 6.6,
в аэродинамических трубах при больших числах Маха температура
набегающего потока Т^ часто много ниже температуры набегающего
потока в условиях натурного полета при тех же числах Маха.
В соответствии с этим и относительные скорости молекул в набе-
набегающем потоке в трубных условиях много меньше, чем в натуре.
Но при меньших относительных скоростях сечение столкновений
изменяется .гораздо быстрее при изменении относительной скорости
сталкивающихся молекул, чем при больших относительных скоростях.
В результате, например, может оказаться, что в условиях аэродина-
аэродинамической трубы молекулы ведут себя подобно максвелловским моле-
молекулам, .в то время как в условиях натурного полета их сечение
изменяется мало и, следовательно, их поведение удовлетворительно
аппроксимируется молекулами-шарами. Поэтому расчет, проведенный
для молекул-шаров при определенных числах Маха и Кнудсена, будет
согласовываться с результатами натурных исследований при тех же
числах Маха и Кнудсена, в то время как этот же расчет соответ-
соответствует трубным испытаниям при другом числе Кнудсена набегающего
потока.
Примем, например, грубо, что в аэродинамической трубе сечения
столкновений молекул изменяются, как и у максвелловского газа,
обратно пропорционально относительной скорости сталкивающихся
молекул. Так как относительная скорость молекул в набегающем

414 ТЕЧЕНИЯ ПРИ БОЛЬШИХ ЧИСЛАХ КНУДСЕНА [ГЛ. VI
потоке порядка скорости звука а, а относительная скорость молекул
при столкновении набегающей молекулы с отраженной порядка ско-
скорости набе-гающего потока V, то сечение столкновений молекул
в набегающем потоке в М раз больше сечения молекул в момент столк-
столкновения набегающей молекулы с отраженной. Обозначим через
Кпш — число Кнудсена расчета, проводимого с молекулами-шарами,
а через Кп^тр—число Кнудсена, определенное по параметрам набе-
набегающего потока в трубе. Из сказанного выше ясно, что результаты
расчета могут быть сопоставимы с результатами эксперимента лишь
в том случае, если выбрать
Кпш = КпоотрМ. (8.1)
Наоборот, расчет, проведенный для максвелловских молекул,
сопоставим с результатами трубного эксперимента при одинаковых
числах Маха и Кнудсена набегающего потока. Однако для сравнения
с результатами натурного эксперимента (для которого мы положили
а = const) расчет должен быть проведен при числе Кнудсена
-2)
где КПоон—число Кнудсена натурного эксперимента.
Следует заметить, что при переходе от трубного эксперимента
к натурному в общем случае также нельзя сравнивать данные при
одинаковых числах Маха и Кнудсена набегающего потока. По су-
существу, эксперименты, проведенные при существенно разных
температурах набегающего потока, можно рассматривать как
эксперименты, проведенные в разных газах, так как при низких
температурах вязкость изменяется примерно пропорционально темпе-
температуре, а при высоких — пропорционально корню из температуры.
В разбираемом примере трубный эксперимент проводится в максвел-
ловском газе, а натурный — в газе из молекул-шаров. Их данные
будут сопоставимы, если
КПсхр--^- (8-3)
Формулы (8.1) — (8.3) носят, конечно, лишь оценочный характер.
При фактическом сравнении экспериментальных и теоретических дан-
данных необходим более аккуратный расчет. Так, выше относительная
скорость молекул в набегающем потоке принималась равной скорости
звука а = |/"ий7со/от , в то время как более точно средняя относи-
относительная скорость молекул при максвелловском распределении равна
— Г ьт
£ 4 1/ __с°
ёотн — ч у n/?f-

5 6.8] СРАВНЕНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ И ЭКОПК РПМГЛП'АЛЬНЫХ ДАННЫХ 415
В качестве средней скорости отраженных молекул можно принять,
например, наиболее вероятную скорость или скорость молекул, при
которой уносимый ими импульс равен импульсу, уносимому молеку-
молекулами, обладающими максвелловским распределением.
Если молекулы отражаются диффузно с максвелловским распре-
распределением, соответствующим температуре Тг, то средняя скорость,
определенная первым способом, равна
2kTr
m
а вторым
Для холодного тела vT <^ V и различие между этими определениями
средней скорости несущественно.
Реальный закон изменения сечения столкновений можно найти,
например, из закона изменения вязкости в зависимости от температуры.
Приведем пример сравнения экспериментальных и теоретических
данных для сферы. Качественно обтекание сферы подобно разобран-
разобранному в § 6.6 обтеканию пластинки, перпендикулярной потоку. При
данном числе Маха величина Сх — Сх0 изменяется пропорцио-
пропорционально Кп независимо от закона взаимодействия молекул с поверх-
поверхностью и между собой. На рис. 76 дано сравнение экспериментальных

416 ТЕЧЕНИЯ ПРИ БОЛЬШИХ ЧИСЛАХ КНУДСЕНА [ГЛ. VI
данных с результатами различных теорий!). Кривая 1 получена по
теории первых столкновений для молекул-шаров2). Кривая 2 полу-
получена с помощью модифицированного модельного уравнения3)
4F = А №<■ + ^Рп 4" »?ф„) - Anf. (8.4)
Здесь
T» =
Индексом г обозначены величины, соответствующие молекулам, ско-
скорости которых лежат в телесном угле Qr, под которым из данной
точки видно тело (молекулам, идущим от тела). Индексом i обо-
обозначены величины, соответствующие всем другим направлениям ско-
скоростей молекул. Такая форма столкновительного члена позволяет
более полно учесть взаимодействие отдельных групп молекул (отра-
(отраженных с набегающими rl, набегающих с набегающими и и отра-
отраженных с отраженными г г).
Все расчеты проведены в предположении диффузного отражения.
Расчеты для модифицированного модельного уравнения проведены
методом итераций. При рассмотрении течения Куэтта (см. § 4.2) мы
видели, что в линейном приближении результаты расчетов для модель-
модельного уравнения совпадали с соответствующими решениями уравнения
Больцмана, если коэффициент А выразить через вязкость:
Диаметр молекул-шаров также можно выразить через вязкость
(см. § 3.8):
0 = яй?2= - ,-. . ■ (8.6)
') На графике приведены экспериментальные данные работы: К i n s -
low M., Potter J. L., AIAA 1, 2467 A963). Эксперименты выполнены при
числах Кнудсена, при которых сравниваемые теории, строго говоря, уже
непригодны.
2) П е р е п у х о в В. А., Журнал вычисл. математики и матем. физики 6,
№ 2 A967).
8) См. М a s 1 а с h G. J., Willis D. R., Tang S., Ко D., Rarefied Gas
Dynamics, Forth Symp., Acad. Press, 1965.

§ 6.8] СРАВНЕНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ 417
Число Кнудсеыа Кп,». выраженное через М^ и Re^ набегающего
потока, равно
-1 /"
Как видно из приведенного графика, построенные по этому пара-
параметру результаты расчетов, полученных с помощью модельного урав-
уравнения и по теории первых столкновений для сфер, существенно
расходятся1). Однако, как говорилось выше, такое сравнение непра-
неправомерно, так как сравниваются результаты расчетов, выполненных
не только двумя различными методами, но и для двух различных
газов. Чтобы данные для шаров стали сопоставимы с результатами,
полученными с помощью модельного уравнения, т. е. для максвел-
ловских молекул, данные для шаров нужно построить по числу
Кнудсена, измененному согласно формуле (8.1). С учетом указанных
выше поправочных коэффициентов ее можно переписать в виде
!/„ !/„ 1У„ ЬОГН S /О 1 „\
V
Пересчитанная таким образом кривая / показана на рис. 76 пункти-
пунктиром. Если учесть приближенный характер расчетов, то после пере-
перестроения согласование результатов расчетов, выполненных различ-
различными методами, можно признать удовлетворительным. Тот факт, что
и экспериментальные результаты теперь ближе к расчетным, показы-
показывает, что поведение реальных молекул в условиях указанного экспе-
эксперимента ближе к поведению максвелловских молекул, чем к поведе-
поведению твердых шаров. К этому же выводу приводит приведенное на
рис. 77 и 78 сравнение экспериментальных данных с результатами,
полученными с помощью модифицированного модельного уравнения
для цилиндра и полосы2).
Часто для корреляции теоретических и экспериментальных резуль-
результатов в вязком газе используют число Рейнольдса, в котором вяз-
вязкость соответствует температуре за скачком уплотнения или темпе-
температуре торможения. На языке кинетической теории это равносильно
выбору характерной относительной скорости молекул, равной отно-
относительной скорости молекул при температуре торможения |ОТН(Г0).
') Заметим, что приводимые здесь результаты расчетов Перепухова дают
поправку к свободномолекулярному сопротивлению сферы, примерно вдвое
меньшую, чем в работе Бейкера и Хорвата (Baker R. M. L., Char-
wat A. F., Phys. Fluids 1, 73 A958)).
2) См. работу Маслача и др., цитированную на предыдущей странице.

418
ТЕЧЕНИЯ ПРИ БОЛЬШИХ ЧИСЛАХ КНУДСЕНА
[ГЛ. VI
Как мы видели, относительная скорость молекул при первых столкно-
столкновениях несколько больше V. Легко видеть, что относительная ско-
скорость молекул |отнG"о) несколько меньше V для одноатомного газа,
3,5 -
3,0
2,5
2,0
Цилиндр
течение.диффузное отре-
жение
Зксперимект
Росчет, модифициробонное
модельное уравнение
f в /о г
Рис. 77.
3,0
2,5
2,0
полоса
отроже'ние
Pocverftj MotfutpuyupoSo
модельное ура$ир.иий
' ?,о г
S 8 Ю 20 40 ВО 80100
Рис. 78.
тем более для двухатомного, для которого при больших числах
Маха справедлива оценка
V 1 .. /~г, х~
|охн

§ 6.8] СРАВНЕНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ 419
При этом вместо формулы (8,1а) оченндпо, имеем
. (8.16)
Пересчитанные по этой формуле данные для твердых сфер показаны
па рис. 76 штрих-пунктиром.
Следовательно, применяя для корреляции данных число Рей-
нольдса, построенное по параметрам торможения, мы несколько за-
занижаем относительные скорости молекул при первых столкновениях.
Однако при уменьшении числа Кнудсена роль столкновений молекул
набегающего потока с отраженными молекулами падает и корреляция
данных по температуре торможения становится более правомерной.
Поэтому корреляцию данных в широком диапазоне чисел Кнудсена
можно вести, например, по параметру !)
a~-L(JJL\±SI^L (8 7)
который для максвелловских молекул переходит в 1/Кп, а для твер-
твердых сфер соответствует формуле (8.16).
Выше коррелировались данные для «холодного» тела (Sr^>l)-
Если тело «горячее» или ае мало, то скорость отраженных молекул
порядка V и, следовательно, относительная скорость молекул при
первых столкновениях будет более чем вдвое превышать скорость
|ОТН(Г0). В этом случае пересчет по температуре торможения (по
формуле (8.16)) значительно менее оправдан, чем пересчет по фор-
формуле (8.1а). С такой ситуацией можно часто встретиться в аэроди-
аэродинамических трубах непрерывного действия, где температура тела
порядка температуры торможения, а в близких к свободномолеку-
лярным течениях, как отмечалось в § 6,1, и больше температуры
торможения.
2. Для сравнения теории с экспериментом при больших числах
Кнудсена весьма интересным объектом исследования является истече-
истечение газа через малое отверстие з вакуум. Характеристики течения
не зависят от взаимодействия молекул со стенками, и тем самым
исключается элемент неопределенности, связанный с незнанием зако-
законов отражения молекул от твердых поверхностей. В то же время
расход газа через отверстие при не слишком низких давлениях
является хорошо измеряемой величиной.
В § 6.3 уже было рассмотрено свободномолекулярное истечение
через отверстие. Влияние столкновений можно учесть методом ите-
итераций, используя, например, интегральную форму уравнения Больцмана
') Ср. с аналогичным параметром в работе; Sherman F. S., Wil-
Willis D. R., M a s 1 а с h Q. J., Доклад на 11-м Международном конгрессе по
прикладной механике, Мюнхен, 1964.

420
ТЕЧЕНИЯ ПРИ БОЛЬШИХ ЧИСЛАХ КНУДСЕНА
[ГЛ, VI
(см. § 2.7 и § 6.5)
/("+I)(#, |) = /(л;0, |)ехр
J 2 \1 ,
+ J J{n\l, |)ехр - J
-у-. (8.8)
5
Напомним, что это интегральное уравнение справедливо лишь для
молекул с конечным радиусом взаимодействия.
Так как измеряемой величиной является расход газа, то доста-
достаточно определить функцию распределения в плоскости отверстия.
Для траекторий молекул, приходящих в плоскость отверстия из сосуда
высокого давления, функцию f (х0, |) в формуле (8.8) следует поло-
положить равной равновесной максвелловской функции распределения
молекул в этом сосуде, так как предполагается, что размеры сосуда
столь велики, что функция распределения на достаточном удалении
от отверстия не возмущена процессом истечения. Для траекторий,
идущих из сосуда низкого давления (теоретически из вакуумной
камеры), функцию /(,% |), очевидно, следует положить равной нулю.
За нулевое приближение для функции распределения можно принять,
например, функцию распределения свободномолекулярного истечения.
Легко видеть, что на достаточном удалении от отверстия при сколь
угодно низком давлении функция распределения будет существенно
отличаться от свободномолекулярной. Это должно, очевидно, при-
привести к неравномерной сходимости последовательных приближений,
подобно тому как она появляется при расчете обтекания тел потоком,
близким к свободноыолекулярному (см. § 6.5). В то же время можно
надеяться, что первая итерация, как и при вычислении функции рас-
распределения на теле, дает правильный результат вблизи отверстия.
Фактически даже первая итерация для полного уравнения (8.8) до
сих пор не выполнена и для простейших моделей молекул.
В работе Виллиса1) вычислена первая итерация для модельного
уравнения, т. е. для уравнения (8.8), в котором интеграл J2 заменен
на An, а интеграл J{ — на Anf0, где /0—локальное максвелловское
распределение и А—коэффициент, определяющий взаимодействие
молекул. При проведении расчетов предполагалось, что доля молекул,
возвращающихся в результате столкновений в сосуд высокого давле-
давления, мала, и ею пренебрегали. Следовательно, локальный массовый
расход определялся выражением
lxfd%, (8.9)
Willis D. R., Fiuid Mech. 21, 1 A9G5).

§ 6.8] СРАВНЕНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ 421
где |т — составляющая скорости вдоль оси течения; при этом |х > О
для молекул, вылетающих из сосуда высокого давления.
Для круглого отверстия при достаточно больших числах Кнудсена
или достаточно малых числах Рейнольдса массовый расход можно
представить в виде
(8.10)
где R—радиус отверстия, т0—расход в свободпомолекулярпом
потоке, Т — температура газа в сосуде.
Вообще говоря, первая итерация дает не только значение коэф-
коэффициента а, но и значения части членов более высокого порядка,
учет которых лежит вне точности
приближения. Поэтому обоснован-
обоснованной является лишь величина
iim [~
Re->0
W (8.П)
=0,00
На рис. 79 приведено изменение
локального расхода по отверстию
при разных давлениях или разных
числах Re (начало координат вы-
выбрано в центре отверстия). Кривая,
соответствующая Re = 0, опреде-
определяет местное значение коэффи-
коэффициента а. Все остальные кривые
учитывают внепорядковые члены и
служат лишь для оценки области
применимости первого приближения.
Полный расход через отвер-
отверстие М также можно представить
в форме (8.10):
M=M0(l+ARe + ...). (8.12)
Предел, аналогичный (8.11), дает для А значение А =0,083.
На рис. 80 приведено сравнение кривой
О 0,25 0,50 0,75 1,00
Рис. 79.
М =М0 A+0,083 Re)
(8.13)
с результатами измерений расхода, сделанных Липманом :) для гелия,
азота и аргона, На рисунке нанесена также кривая, соответствующая
полному первому приближению. Результаты опытов качественно
') Liepmann H. W., J. Fluid. Mech. 10, 65 A961).

422
ТЕЧЕНИЯ ПРИ БОЛЬШИХ ЧИСЛАХ КНУДСЕНА
[ГЛ. VI
согласуются с кривой (8.13), единственной обоснованной в рамках
первого приближения.
М_
t,3
1,2
',0
по
- □ \/ пп
- /7epoaj/ итерация
.- Ill i
о Гелий
• Аргон
а Дзот
° 8°
о о
о
1 1 1
2 / 0,5 0,2 О,/ 0,05 0,02 О,01
и
Рис. 80.
К сожалению, разброс экспериментальных точек еще слишком
велик при Re < 1, где можно ожидать удовлетворительной точности
от первой итерации.
§ 6.9. Истечение в вакуум
Ряд практических задач требует создания высокоскоростных пото-
потоков сильно разреженного газа. Необходимость в таких потоках воз-
возникает, например, при создании струйников для управления косми-
космическими аппаратами или при создании установок, моделирующих
условия полета на больших высотах. Последняя задача является
особенно сложной, так как для проведения аэродинамических испы-
испытаний не достаточно выбросить газ с нужным удельным импульсом,
но необходимо получить хорошо контролируемые (уверенно рассчи-
рассчитываемые или легко экспериментально измеряемые) потоки с равно-
равномерным ядром достаточных размеров.
1. Один из простейших путей получения хорошо рассчитываемых
потоков сильно разреженного газа (молекулярных пучков) был уже
рассмотрен в §§ 6.3 и 6.8. Это свободномолекулярное истечение газа
в вакуум через отверстие, диаметр которого много меньше длины
свободного пробега молекул в сосуде. Однако этот способ обладает
двумя существенными недостатками: малой скоростью потока и малой
его интенсивностью. Действительно, молекулы вылетают из сосуда

§6.9]
ИСТЕЧЕНИЕ В ВАКУУМ
423
с тепловыми скоростями, пропорциональными корню из температуры
газа в сосуде и обратно пропорциональными массе молекул. Для
азота, например, при нормальной температуре газа в сосуде средняя
тепловая скорость молекул £ср < 105 см/сек. Следовательно, для
получения молекул со скоростями, скажем, соизмеримыми со ско-
скоростью спутника Земли, т. е. /~ Ю6 см/сек, необходимо нагреть газ
на несколько десятков тысяч градусов. Создание и длительное удер-
удержание такого газа выливается в самостоятельную проблему. Однако
если бы даже удалось получить столь высокотемпературный газ, то
его молекулы обладали бы совершенно иными свойствами, так как
произошла бы их диссоциация и ионизация.
Интенсивность потока, т. е. число молекул, проходящих через
единицу площади отверстия в единицу времени, пропорциональна
плотности и скорости молекул, а следовательно, корню из темпера-
температуры. Увеличение температуры связано с трудностями, о которых
уже говорилось выше. Увеличение плотности газа ограничено, так как
длина пробега должна быть много больше диаметра отверстия. В про-
противном случае течение становится трудно рассчитываемым и определе-
определение параметров потока весьма сложным. Однако и ограниченную
этими условиями интенсивность пучка нельзя реализовать. Так как
вылетающие молекулы распределены по закону косинусов, то интен-
интенсивность потока убывает обратно пропорционально квадрату рас-
расстояния от отверстия. Поэтому в месте установки испытуемой модели
интенсивность потока еще во много раз (на порядки) меньше.
Для увеличения интенсивности потока интересная схема предло-
предложена Каитровицем и Греем1). Их идея состоит в том, чтобы забирать
свободномолекуляриый поток не из покоящегося газа, а из газа,
Рис. 81.
разогнанного в сопле (рис. 81). Известно, что скорость газа, разог-
разогнанного в сопле до больших чисел Маха, близка к максимальной
скорости и примерно в два раза больше тепловой скорости молекул
в форкамере.
Kantrowitz A., Ore у J,, Rev. Set. Instr. 22, 328 A951).

424 ТЕЧЕНИЯ ПРИ БОЛЬШИХ ЧИСЛАХ КНУДСЕНА [ГЛ. VI
При больших числах i4axa скорость направленного движения
молекул много больше их тепловой скорости, т. е. молекулы летят
почти параллельным пучком :).
Поэтому, если газ перед скиммером разогнан до больших чисел
Маха (практически M--5-J-8), то при том же диаметре отверстия
скиммера, что и в описанном выше простом источнике, и при той же
плотности газа перед скиммером расход газа будет в несколько раз
больше не столько из-за увеличения скорости потока, сколько за
счет направленного движения молекул. Но основной эффект напра-
направленности потока проявляется в том, что интенсивность пучка между
скиммером и испытываемой моделью изменяется сравнительно мало.
Однако эта идеальная схема может быть реализована лишь в том
случае, если все молекулы, попадающие на поверхность скиммера,
будут ею поглощаться (как на криогенных панелях). В противном
случае отраженные от скиммера молекулы будут искажать течение
у входа в отверстие скиммера, нарушая его направленность. Для
увеличения интенсивности пучка стараются иметь максимально воз-
возможную плотность газа перед отверстием, а следовательно, минимально
возможную длину пробега молекул. Обычно ее выбирают соизмери-
соизмеримой с диаметром отверстия. Поэтому по отношению к характерным
размерам скиммера длина пробега оказывается малой. Перед ским-
скиммером возникает уплотненная зона (или скачок уплотнения), течение
существенным образом отличается от идеальной схемы, его напра-
направленный характер нарушается и интенсивность источника уменьшается
во много раз. Иногда это уменьшение объясняют недостаточным
заострением стенок отверстия скиммера. Однако на самом деле оно
связано с общей картиной обтекания скиммера газом и имеет место
при любой сколько угодно малой толщине стенок2). Течение вблизи
отверстия скиммера становится весьма сложным, проходя через все
режимы от сплошной среды до почти свободномолекулярного. Как мы
видели в предыдущих главах, методы расчета переходных течений
еще лишь отрабатываются на одномерных задачах. Поэтому сложное
переходное двухмерное течение около отверстия скиммера пока интен-
интенсивно изучается лишь экспериментально 3).
Вообще говоря, расчет и исследование течения вблизи отверстия
скиммера представляют собой проблему, по сложности соизмеримую
с проблемами, для изучения которых и создаются подобные установки.
:) Подробнее о структуре газодинамического истечения в вакуум смот-
смотрите ниже.
2) В § 5.2 мы лидели, что даже у передней кромки бесконечно тонкой
пластинки, параллельной потоку, при Я. < L течение не является свободно-
молекулярным.
3) Большое число работ, посвященных экспериментальному исследованию
течения в установках подобного типа, можно найти в трудах всех симпо-
симпозиумов по динамике разреженных газов.

§ 6.9] иотгчг.пш: в плкуум 4УГ>
2. Как ни видели выше, интенсивность истечения из отверстия
увеличивается при увеличении плотности газа в сосуде. В предельном
случае мы приходим к условиям, когда длина пробега молекул ста-
становится много меньше Диаметра отверстия и происходит газодинами-
газодинамическое истечение в вакуум.
Теоретически при идеальном (без учета диссипативных процессов)
газодинамическом истечении в вакуум через отверстие или с помощью
сопла можно разогнать поток до любых чисел Маха при любой
сколь угодно малой плотности. Однако в действительности при полу-
получении потоков разреженного газа с помощью сопел быстрое нара-
нарастание пограничного слоя в расширяющейся части сопла препятствует
реализации режима, рассчитанного по идеальной схеме. Чтобы избе-
избежать этой трудности, в последние годы уделяется большое внимание
изучению свободно расширяющейся струи *). В этом течении нет сте-
стенок сопла и, следовательно, нет и мешающего реализации режима
пограничного слоя. Однако оказывается, что и в этом течении нали-
наличие диссипативных процессов не позволяет получить сколь угодно
большие числа Маха.
Рассмотрим это интересное явление.
Истечение струи в вакуум представляет собой сложное двухмер-
двухмерное течение, в котором имеются все режимы от сплошной среды до
почти свободномолекулярного. Отыскание решения уравнения Больц-
Больцмана для этой задачи представляется в настоящее время слишком
сложным. Однако задача может быть упрощена, так как течение от
цилиндрического или сферического источника в известной мере моде-
моделирует течение вдоль оси соответственно плоской или осесимметрич-
ной струи2). Таким образом, исследование сводится к решению одно-
одномерной задачи для уравнения Больцмана. Однако, точное решение
уравнения Больцмана, соответствующее точечному или линейному
источнику, не найдено.
Можно надеяться построить приближенное решение задачи, рас-
рассматривая течение от звуковой линии до некоторого достаточно боль-
большого числа Маха с помощью обычного невязкого гидродинамического
источника и лишь далее вниз по потоку с помощью уравнения Больц-
Больцмана (рис. 82). Линия склейки должна находиться в той области,
где диссипативными процессами еще можно пренебречь и где реше-
решение уравнения Больцмана на некотором участке еще совпадает с реше-
решением уравнений Эйлера. В такой постановке задача рассмотрена в работе
') См., например, Sherman F. S., Archiwum Mechanikl Stosowanej
2, 16 A964); Гусев В. Н., Механика жидкости и газа, № 1 A967).
2) См. Ладыженский М. Д., Доклады АН СССР 134, № 2 A9С0);
Ладыженский М. Д., Прикл. матем. и мех. 26, № 4 A962); A s h k e-
nas H., Sherman F. S., Rarefied Gas Dynamics, Forth Symp., Acad-
Press. 1965.
28 М- Н. Koran

420 ТЕЧЕНИЯ ПРИ БОЛЬШИХ ЧИСЛАХ КНУДСЕНА [ГЛ. VI
Брука и Омана1) для модельного уравнения Больцмана, которое, как
мы неоднократно убеждались выше, позволяет получить удовлетво-
удовлетворительные качественные результаты.
Строго говоря, решение уравнений Эйлера и кинетического урав-
уравнения склеить нельзя.
Действительно, в соответствии с постановкой задач для уравнения
Больцмана (см. § 2.9) на линии склейки можно задать лишь функцию
распределения для молекул, у кото-
рых скорость 4Г > 0.
Значения функции распределения
для молекул со скоростями |г < 0
должны быть получены из решения
уравнения Больцмаиа при условии,
' ( <у I л"——и что на бесконечности давление стре-
* \ ^^^ I
\ ^^^-а^. 35уксба» Если бы во внутренней (гидро-
7 wo* динамической) области решение было
точным решением кинетического
уравнения, то найденные из решения
Рис. 82. внешней задачи значения функции
распределения для |г < 0 совпали
бы с соответствующими значениями, полученными для внутренней зада-
задачи. Однако газодинамическое решение соответствует приближенной
замене функции распределения локальным максвелловским распреде-
распределением. Поэтому строгую склейку произвести нельзя.
В излагаемой работе эта трудность обходится дальнейшим загруб-
лением схемы течения. Так как линия склейки находится в области
больших чисел Маха, то большая часть молекул имеет скорости \г > 0
и лишь небольшая их часть возвращается обратно. Поэтому молеку-
молекулами, летящими обратно, вообще пренебрегают, считая функцию рас-
распределения отличной от нуля лишь при \т > 0. Далее, проводя гру-
грубую оценку членов модельного уравнения и опуская большую часть
его членов, приходят к уравнению
bri(r<>f) = Anrv<J0-f), (9.1)
где v = 2 для сферического источника и v=l для цилиндрического
источника.
Это уравнение, переписанное в интегральной форме, решалось
численно методом последовательных приближений.
Расчеты показали, что скорость и плотность потока как в цилин-
цилиндрическом, так и в сферическом источнике мало отличаются от ско-
') Brook J. W., Oman R. A., Rarefied Gas Dynamics, Forth Symp.,
Acad. Press, 1965.

6.9]
ИСТЕЧЕНИЕ В ВАКУУМ
427
рости и плотности идеального источника. Наиболее интересным ока-
оказалось изменение температуры. При расширении газа температура
сначала падает, как и у идеального источника, но затем резко изме-
изменяется и стабилизируется (на рис. 83 приведены результаты расчетов
1,0 $
Г*
0,1
0,01
Недязкае
газодинамическое решение^
1,0
W,0
Рис. 83.
M Ю00 °К
100
г/г*
для сферического источника; для цилиндрического источника картина
аналогична). Место стабилизации температуры зависит от числа Рей-
нольдса Re* или Кнудсена в критическом сечении (на линии М=1).
Чем выше Re*, тем дольше реальное течение следует идеальному
источнику, тем при больших числах Маха начинается стабилизация1).
') На рис. 83 нанесено несколько кривых, соответствующих одному и то-
тому же числу Re*. Каждая кривая отвечает несколько иному месту склейки (г0)
или, что то же, несколько иному числу Маха или скоростному отношению So
до начала кинетического расчета. Интересно отметить, что сдвиг г0 сопро-
сопровождается соответствующим сдвигом замороженной температуры, несмотря
на то что температура, полученная из кинетического расчета, на большом
протяжении совпадает с температурой для идеального источника. Причина
столь «хорошей памяти» у решения до конца ие выяснена.
28*

428
ТЕЧЕНИЯ ПРИ БОЛЬШИХ ЧИСЛАХ КНУДСЕНА
. VI
Так как скорость стремится к некоторому предельному значению,
близкому к максимальной скорости истечения, и температура стаби-
стабилизируется, то происходит стабилизация и чисел Маха!).
Таким образом, диссипативные процессы препятствуют получению
сколь угодно больших чисел Маха и в свободной струе. Можно ска-
сказать, что препятствующее возрастанию чисел Маха нарастание погра-
пограничного слоя на стенках сопла обусловлено действием «поперечной
вязкости» (диссипативными процессами, вызванными градиентами пара-
параметров потока, перпендикулярными направлению потока). Тогда опи-
описанное выше явление замораживания температуры и чисел Маха можно
считать обусловленным действием «продольной вязкости» (продоль-
(продольными градиентами).
т
ю
-г
Ш 1СИ?
Рис. 84.
Проведенный анализ благодаря предельной схематизации задачи
может претендовать лишь на качественные результаты.
Более тщательный анализ проведен в работах Эдвардса и Ченга2)
и Гамеля и Виллиса3). В этих работах используются моментиые урав-
уравнения. Для сферического источника качественные результаты совпа-
совпадают с описанными выше. В работе Гамеля и Виллиса, в которой
проведена строгая склейка асимптотических решений моментных
уравнений во внешней и внутренней областях, показано, что во внеш-
внешней области можно получить те же результаты, если представить
') Стабилизация температуры и чисел Маха обнаружена эксперимен-
экспериментально. См. Anderson J. В., A n d е г s R. P., F e n n J. В., М a i s e Q.,
Rarefied Gas Dynamics, Forth Symp., Acad. Press, 1965.
2) Edwards R. H., Cheng H. K., AIAA Journal 4, № 3 A966).
3) H a m e 1 В., Willis D. R, Phys. Fluids 9, № 5 A966).

§6.9]
истпчкпш: в вакуум
429
функцию распределения и виде
2nkTn
1/2
exp — •
2л7\,
/г?1
10
,-4
(9.2)
Это — эллипсоидальное распределение, аналогичное введенному
Холвейем для исследования структуры скачка уплотнения (см. § 4.4).
Распределение содержит две
температуры: 7ц — параллель-
параллельную температуру, характери-
характеризующую разброс по скоростям
|ц = \г, и Т ± — поперечную
температуру, характеризую-
характеризующую разброс по поперечным
скоростям |j_. Поперечная тем-
температура определяется столк-
столкновениями молекул. По мере
расширения потока столкнове-
столкновения становятся все более ред-
редкими. Течение все более при-
приближается к радиальному раз-
разлету. Поэтому параллельная
температура стабилизируется
(рис. 84), в то же время по-
поперечная температура падает
почти так же, как и у идеаль-
идеального источника (рис. 85). Од- " " " г'
нако это падение более мед- Рис- 85.
ленное, чем этого можно было
ожидать из геометрических соображений (т. е. пропорционально г~2).
Это объясняется, по-видимому, столкновениями. Хотя столкновения
и редки, при каждом столкновении поперечная температура получает
существенную (по отношению к 7j_) «подпитку». Так как Т^"^>Т±,
то эта «перекачка» энергии не сказывается на параллельной темпе-
температуре.
В противоположность работе Брука и Омана, работы Эдвардса
Ченга и Гамеля и Виллиса показали, что в цилиндрическом источнике
не происходит замораживания температуры.
Стабилизация температуры в цилиндрическом источнике была уже
ранее обнаружена М. Д. Ладыженским 1), который исследовал течение
в плоском и сферическом источниках с помощью уравнений Навье—
Стокса. Принимая степенной закон изменения вязкости от температуры
го>'
') Ладыженский М. Д., Прикл. матом, и мех. 26, № 4 A962).

430 ТЕЧЕНИЯ ПРИ БОЛЬШИХ ЧИСЛАХ КНУДСЕНА [,ГЛ, VI
|j, <—^ Тл (и=1 для максвелловских молекул, д=0,5 для сфери-
сферических молекул), М. Д. Ладыженский показал, что при п J> nQ (nQ = 1
для плоского случая и п0 > 1 для сферического) вязкость не иска-
искажает течения идеального источника. При п <С п0 в плоском случае
происходит стабилизация температуры, а в сферическом—стабилиза-
сферическом—стабилизация температуры и падение скорости до нуля.
Кинетический анализ работы Гамеля и Виллиса также показывает,
что при п > щ реальное течение не отличается от идеального источ-
источника.
Однако при п < п0, т. е. в той области, где проявляются дисси-
диссипативные процессы, результаты, полученные с помощью кинетического
анализа и с помощью уравнений Навье — Стокса, расходятся. Навье-
стоксовский анализ приводит к завышению влияния диссипации.
Для рассматриваемой задачи уравнения Навье—Стокса позволя-
позволяют правильно определить границу той области, в которой необ-
необходимо уже учитывать диссипативные процессы, однако они при-
приводят к качественно неверным результатам при оценке самого
влияния этих процессов. Как отмечено еще М. Д. Ладыженским1),
диссипативные процессы становятся существенными в той области, где,
строго говоря, уравнения Навье — Стокса уже несправедливы.
') См. цитированную выше работу.

Приложение I
Уравнение Больцмаиа в криволинейных координатах1)
Н\ &Ч\ Я2 dq2 Я3 dq3 \ H\H2 dq2 H\H$ д(
dqj dl^\H{H2 dq2 H2H
я2я3 а?3
Я3Я, <??1 Н3И2 dq2
Я\' Ч<2< Яг—криволинейные ортогональные координаты, |,, |2> ^з —
проекции вектора скорости молекулы на криволинейные оси коорди-
координат, //j, //2. ^з — коэффициенты Лямэ.
Уравнение Больцыана в цилиндрических координатах
Я, = 1, Я2 = г, Я3=1,
Уравнение Больцмана в сферических координатах
9i = г, Яг = Ф. <7з = 6.
') Вывод уравнения Больцмана в криволинейных координатах можно
найти, например, в монографии А. А. Власова (Власов А. А., Статисти-
Статистические функции распределения, «Наука», 1966) или в работе Е. М. Шахова
(Шахов Е. М., Механика жидкости и газа, № 2, 1967).

Приложение II
Некоторые часто встречающиеся интегралы
J
J
х е
,2я + 1
2.
oo
■""Ж1 J"
l
2P '
OO
nl
2р
я+1
3.
3
14
— oo
+ C
J J
4 R7/2

ПРИЛОЖЕНИЕ II 433
4. F (х) — произвольная функция, х2 = х'\ -\- х22 -f- х2ъ.
+ оо 1со
Г Г j x\ F (x) dxy dx,2 с1хл = -i Г Г Г х'1 F (x) dx{ dx<2 dxy
— ОО -UO
+ СО I «>
Г Г [ х'\х2 F {x)dxldx2dxi = ~\ \ \ хЧ-(x)dx{dx2dxv
-т -со
+ оо +оо
Г \ x2lx2.F(x)dxidx2dxz~-^\ I J x4 Z7 (x) rfXj dx2 dxy

Именной указатель
Абарбанель (Abarbanel S.) 359
Абрамович (Abramowich M.) 263, 289
Альбертони (Albertoni S.) 329
Альтерман (Alterman Z.) 201, 212,
311
Андерс (Anders R. Р.) 428
Андерсон (Anderson J. В.) 428
Арсеньев А. А. 79
Ашкенас (Ashkenas H.) 425
Баранцев Р. Г. 81, 224, 352
Бауле (Baule В.) 81
Бейкер (Baker R. M. L.) 412, 417
Беккер (Becker R.) 301
Бел (Bell S.) 361
Берд (Bird R. В.) 6, 8, 10, 14, 19,
67, 152, 176
Боган (Bogan A.) 81
Богданов (Bogdonoff S. М.) 343
Боголюбов Н. Н. 45
Больцман Л. (Boltzmann L.) 34
Борн (Born M.) 45
Бриллюэн Л. 65
Бродвел (Broadwell J. E.) 220
Брук (Brook Т. W.) 426, 429
Бунимович А. И. 338
Бусленко Н. П. 225
Бхатнагер (Bhatnager P. L.) 73
Вайнрайт (Wainwright T. J.) 231
Валландер С. В. 6, 69, 176, 180
Вальдман (Waldman L.) 71, 196, 198,
200
Вальо-Лаурен (Vaglio-Laurin R.) 304
Ванг (Whang J. С.) 381
Ван-Дайк (Van Dyke M.) 45, 337
Ван Чанг (Wang Chang С. S.) 176,
197
Вахман (Wachman H. Y.) 81
Вахман (Wachman M.) 220
Вейль (Weil J. A.) 343
Вейсер (Weiser G. Н.) 81
Вейтер (Waiter S. А.) 341
Веландер (Welander P.) 73, 320, 330,
332
Видол (Widol R. J.) 341
Виллис (Willis D. R.) 260, 263, 267,
281, 329, 389, 412, 416, 419, 428
Витлиф (Wittliff С. Е.) 341
Власов А. А. 431
Власов В. И. 229, 281
Галкин В. С. 250, 252, 337, 338, 359
Гамель (Hamel С.) 220, 428
Гёрниг (Hornig D. F.) 302
Гильберт (Hilbert D.) 210
Гиро (Guiraud J. P.) 232
Гиршфельдер (Hirschfelder J. О.) 6,
8, 10, 14, 19, 67, 152, 176
Готуссо (Gotusso L.) 329
Град (Grad H.) 40, 55, 58, 69, 79, 86,
100, 117, 134, 139, 144, 154, 198,
199, 221, 244, 249, 304
Грей (Grey J.) 423
Григер (Greager M.) 352
Грин (Green H. S.) 45
Гринспен (Greenspen M. Т.) 313
Гросс (Gross E. Р.) 73, 198, 213, 260,
267, 272
Грош (Grosh С.) 292
Гудвин (Goodwin G.) 352
Гудман (Goodman F. О.) 81
Гуров К. П. 45
Гусев В. Н. 425
Густавсон (Gustafson W. А.) 359
Де Бур Я. X. 79
Девиен (Devienne M.) 6, 81, 320
Девис (Davis D. Н.) 378
Де Гроот (De Groot S. R.) 238
Дегтярев "Л. М. 395, 401, 408
Джексон (Jackson E. А.) 198, 213,
260
Джонсон (Jonson V. К.) 367, 373,
377
Дородницын А. А. 282, 339

ИМЕИНОП УКАЗАТЕЛЬ
435
Егорова И. А. 176
Ерофеев А. И. 81, 351
Жигулёв В. Н. 45, I7G, 195
Зельдович Я. Б. 291
Зоммерфельд (Sommcxlcld А.) 36
Иванов А. В. 304
Ивановский А. И. 381
Ивон (Yvon J.) 45
Ирошников Р. С. 388
Истомина М. 329
Кантровиц (Kantrowitz A.) 423
Карлеман (Carleman Т.) 79, 221, 244
Каулинг (Cowling T. G.) 6, 14, 19,
113, 152, 176
Кац (Кае М.) 55
Кертис (Cirtiss Ch. F.) 6, 8, 10, 14,
19, 67, 152, 176
Кинслоу (Kinslow M.) 416
Кирквуд (Kirkwood J. G.) 45
Клаузинг (Clausing D.) 373
Кнудсен (Knudsen M.) 290, 371, 376
Коган А. М. 232
Коган М. H. 45, 69, 73, 75, 127, 159,
176, 192, 222, 341, 342, 390, 395,
401, 408, 409, 411
Коу (Ко D.) 412, 416
Крук (Krook M.) 73, 98, 219
Кузнецов В. М. 196
Куксенко Б. В. 224
Ладыженский М. Д. 338, 425, 429
Ландау Л. Д. 13, 14
Лариш Э. 364, 3G9
Левенсон (Levenson L. L.) 378
Левин (Lavin M. L.) 278
Лсонас В. Б. 81
Леонтович М. А. 192
Ли (Li С. Н.) 81
Ли (Li J.) 341
Лив (Leew J. H.) 381
Линсер (Linser M.) 302
Липман (Liepmann H. W.) 302, 421
Лис (Lees L.) 119, 273, 275
Лифшиц Е. М. 13, 14
Лойцянский Л. Г. 337, 339
Лундгрин (Lundgreen T. S.) 367
Лунц (Lunc M.) 412
Лю (Liu С.) 119, 273, 275
Любонский (Lubonski J.) 412
Мазур (Mazur P.) 238
Майе (Maise G.) 428
Мак-Дугал (McDougall J. G.) 343
Мак-Кыои (McCiino J. E.) 45
Максвелл (Maxwell .1. C.) 63, 82, 108
Мпиделынтам .П. И. 192
Мж-лач (Miisl.-icli О. .1.) 412, 416, 417,
419
Маслен (M.-islcn S. II.) 338, 341
Meiiep (Meyer Г..) :il:i
Me.iiroil (Mason 1-1. A.) 176
Мпллероп (Milleron N.) 378
Моисеев-Ольховский И. И. 310
Монти (Monti R.) 352
Мончик (Monchick L.) 176
Моргенштерн (Morgenstern D.) 79,
221
Мотт-Смит (Mott-Smith H. M.) 197.
292, 295
Мукенфус (Muckenfuss C.) 299
Мясников В. П. 338
Нагамацу (Nagamatzu H. J.) 343
Нагнибеда Е. Н. 176, 180
Нарасимха (Narasimha R.) 252
Никольский А. А. 247, 252
Ночилла (Nocilla S.) 86
Огучи (Oguchi H.) 343
Олдер (Alder В.) 231
Оман (Oman R. А.) 81, 426, 429
Отмахова И. П. 377
Пан (Pan Y. S.) 343
Паттерсон (Patterson G. N.) 6, 319,
341, 352, 373, 379, 381
Пащенко Н. Т. 346
Пейкерис (Pakeris С. L.) 201, 212,
311
Перепухов В. А. 395, 401, 409, 411,
416
Перминов В. Д. 108
Прандтль Л. (Prandtl L.) 298
Пратт (Pratt M. Т.) 367, 370
Пригожий (Prigogine I.) 45, 55, 237,
238
Поттер (Potter J. L.) 416
Пробегам (Probstein R. F.) 337, 343
355, 357
Райзер Ю. П. 291
Ротте (Rotte D. E.) 381
Роуз (Rose M.) 412
Рыдалевская М. А. 176
Сайринен (Sirinan M. D.) 352
Самуилов Е. В. 176
Сандри (Sandri G.) 45

436
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Седов Л. И. 90, 96
Сеслер (Sessler G. Z.) 313
Синклер (Sinclair S. R. М.) 381
Сирович (Sirovich L.) 139, 154, 198,
201, 204, 213, 216, 312, 314
Скотт (Scott P. В.) 81
Славский (Slawsky Z. I.) 181
Смолуховский (Smoluchowski M.) 371,
376
Солвин (Salwen H.) 292, 295
Сперроу (Sparrow E.M.) 367, 373, 377
Столдер (Stalder J.) 352
Стрит (Street R. Е.) 341
Струминский В. В. 144
Сухнев В. А. 341
Сю (Su С. Н.) 45
Такао (Такао К.) 287
Таксман (Taxman N.) 176
Тамм И. Е. 99, 292
Таш- (Tang S.) 412, 416
Тарбер (Turber J. К.) 213, 216, 312,
314
Таунсенд (Townsend S. J.) 381
Тзян (Tsien H. S.) 352, 353, 390
Толбот (Talbot L.) 302, 307, 352
Торковский (Torkowski R. Р.) 377
Триллинг (Trilling L.) 81
Трусделл (Truesdell С.) 252
Трюбенбахер (Trubenbacher E.) 196
У Изжень-гой 352
Улснбск (Uhlenbcck G. F.) 45, 176,
197, 198, 200
Фейют (Fautc R.) 341
Фен (Fenn J. В.) 428
Филиппов Б. В. 79
Финкельштейн (Finkelstein L.) 212, 31!
Франковский (Frankowski K-) 201,
212, 311
Френкель А. И. 81
Фридлендер О. Г. 108, 244, 395, 411
Фримеи (Frieman E. А.) 45
Форд (Ford G. W.) 45, 198, 200
Харлбут (Hurlbut F. С.) 81
Хартнет (Hartnett J. P.) 81
Хастед (Hasted J. В.) 8
Хевиленд (Haviland J. К.) 278, 301
Хейз (Hayes W. D.) 337, 355, 357
Хейнеман (Heinemann M.) 412
Хей-Шейх (Haij-Sheikh A.) 377
Херцфельд (Herzfeld K. F.) 181
Холвей (Holway L. H.) 299, 306
Хорват (Charwat A. F.) 341, 412, 417
Хугнес (Hugnes P. C.) 381
Циринг (Ziering S.) 260, 267, 268,
272, 273, 280, 292, 295, 341
Чай (Chi L.) 341
Чандрасекар (Chandrasekhar S.) 219
Чен (Chen T. S.) 367
Ченг (Cheng H. K.) 428, 429
Чепмен (Chapman S.) 6, 14, 19, 113,
152, 176
Черный Г. Г. 357
Черчиньяни (Cercignani С.) 287, 289,
329
Чун (Chuan R. L.) 341
Шааф (Schaaf S. A.) 341, 352, 361,
381
Шамберг (Schamberg R.) 86
Шамбре (Chambre D. L.) 381
Шахйн (Chahine M. T.) 302, 303, 304
Шахов Е. M. 431
Шварц (Schwartz R. N.) 181
Шен (Shen S. F.) 120, 268
Шерман (Sherman F. S.) 302, 307,
419, 425
Шидловский В. П. 6, 253, 319, 338,
352
Шир (Sheer R. E.) 343
Широков М. Ф. 319
Шрейдер Ю. А. 225
Шрелло (Schrello В. М.) 359
Эдварде (Edwards R. Н.) 428, 429
Эйкен (Eucken A.) 189
Эйнштейн Ц. (Einstein Z.) 232
Эпског (Enskog D.) 69, 176
Эпштейн (Epstein P. S.) 232
Эрснфсст П. (Ehrenfest P.) 237
Эреифест Т. (Ehrenfest Т.) 237
Яффе (Jaffe G.) 131

Предметный указатель
Ансамбль систем 43
Вероятность нахождения системы в
некотором состоянии 31
— переходов при столкновениях мо-
молекул, обладающих внутренними
степенями свободы 178, 181
Время адсорбции 78
— между столкновениями молекул
20, 75, 90
— релаксации 111, 178
— столкновения 19
Вязкость вторая (объемная) 188
— «поперечная» 428
— «продольная» 428
Газ Больцмана 34
— Ван-дер-Ваальса 7
— идеальный 7
— Кнудсена 34
— максвелловский 12
Давление газа 24, 33
— в насадке, обтекаемом свободно-
молекулярным потоком 379
— парциальное 24, 27
— релаксационное 192
— смеси идеальных газов 24
Движения газа пространственно-одно-
пространственно-однородные 248 и д., 252
Длина пробега в системе координат,
связанной с газом 391
— — молекул при обтекании тела
392
свободного 20
средняя 22
Закон Дальтона 24
— косинусов 85, 364
— Ламберта 364
Иерархия BBGKY 47
Инварианты сумматорные (столкно-
(столкновений) 15
Интеграл столкновений, свойства сим-
симметрии 37, 58
Истечение в вакуум 419, 422 и д.
Колебания звуковые 310 и д.
Комплексы молекул подобные 53
Концентрация компонент газа 163
Коэффициенты аккомодации 82, 348
внутренней энергии молекул 88,
350
импульса 82
— — энергии 83
— вязкости, теплопроводности 26
,
150, 151
—,— для
степенями
и д.
, — для
газов с
свободы
внутренними
молекул 188
простейших моделей
молекул 252
, — для смеси газов 175
— диффузии, термодиффузии 28, 175
Масштаб v 51
Масштабы d, к, L 50
Метод дискретных скоростей 220 и д.
— малого параметра 126
Гильберта 133 и д.
для течений при больших
числах Кнудсена 131
— — — Энскога — Чепмена 145 и д.
— многих масштабов 45
— молекулярных пучков 80, 422 и д.
— моментов 97 и д.
для задачи о распространении
звука 311
— о структуре ударной вол-
волны 292 и д.
— линеаризованного течения
Куэтта 265 и д.
— — — нелинейного течения Куэтта
273
— Монте-Карло для задачи о релак-
релаксации 230

438
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Метод Монте-Карло для задачи
о структуре ударной волны 307 и д.
— — — — о теплопередаче между
пластинами 278, 281
— псевдомаксвелловских моле-
молекул 229, 281
— — — течений, близких к свобод-
номолекулярным 395, 398, 408, 409
— — свободномолекулярных
через трубы 377
— последовательных приближений
для течений, близких к свободно-
молекулярным 382
Методы интегрально-моментные 223
— интегральные 221 и д.
— Монте-Карло 224 и д.
— построения моделей сплошных
сред 96, 237
Молекулы максвелловские 12
— полевые 19, 225
— пробные 19, 225
— псевдомаксвелловские 12, 40
— с конечным радиусом взаимодей-
взаимодействия 18
Моменты интеграла столкновений 105,
108
— функции распределения 97
Обтекание почти свободномолекуляр-
ным гиперзвуковым потоком кону-
конуса 407
— — — — — пластины, параллель-
параллельной потоку 398
— — —,перпендикулярной
потоку 393
— — — — под углом атаки
406
сферы 395
Отношение скоростное 347
Отражение молекул зеркально-диф-
зеркально-диффузное 82, 351
Парадокс Кнудсена 290
Плотность вероятности нахождения
системы в некотором состоянии 31
— молекул числовая 32
— смеси газов 163
Потенциал взаимодействия молекул 9
— Леннарда —Джонса 12
— Морзе 12
Поток тепла 32, 150
— — в навье-стоксовском приближе-
приближении 111
для смеси газов 164
— — — — в навье-стоксовском при-
приближении 175
Поток тепла парциальный 164
Приближение барнеттовское 112
— двадцатимоментное 107
— двухстороннее максвелловское 119
— обобщенное 124
— навье-стоксовское 111, 129
— тринадцатимоментное 109
Пробег 20
Пространство фазовое 30
Процессы однородные 52
Разлет газа 249
— — одномерный 252
Распределение бимодальное Тамма —
Мотт-Смитта 292
— максвелловское абсолютное 63,
242
для смеси газов 167
— — локальное 63, 243
— наиболее вероятное 64, 232, 235
Расстояние прицельное 16
Расход газа при свободномолекуляр-
ном истечении через отверстие
372
— цилиндрическую
трубку 372 и д.
Ряд Гильберта 143 ид.
Сечение транспортное 18
— эффективное 17
— — дифференциальное 17
первого порядка 18, 21
— — полное 18
— — порядка v 18
Скачок температурный 318, 332
Скорость диффузии 164, 175
— молекул средняя 23, 32
— — тепловая (собственная) 32
— — — компоненты газа 164
— скольжения 318, 328, 329
— средняя компоненты газа 163
— — смеси газов 163
Слой Кнудсена 134, 137, 139, 317,
343
— пограничный молекулярный 401
— — со скольжением 334 и д.
Собственные функции линеаризиро-
линеаризированного оператора столкновений
197 и д., 200, 201
Соотношения симметрии Онзагера
240
Сопротивление тел по теории первых
столкновений 389, 390 и д., 409,
413
Стабилизация чисел Маха в течении
от источника 428

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
439
Столкновение молекул 14 и д.
обратное 17
Структура волны ударной 291 и д.
Струя, расширяющаяся свободно 425
Температура газа 24, 33
поступательная 177
с внутренними степенями сво-
свободы молекул 187, 191, 19Г>
— смеси газов 164
Тензор напряжений 32, 150
в приближении Навье—Сток-
са 111
для газа с внутренними степе-
степенями свободы 187
для смеси в приближении на-
вье-стоксовском 175
— — парциальный 164
Теорема Н Больцмана 62
— Гильберта 138
— обратимости для течений, близких
к свободномолекулярным 410
Теория средней длины пробега 23 и
д., 29, 320 и д.
Теплопередача между пластинками
278
Термодинамика неравновесная (необ-
(необратимых процессов) 238
Течение газа d слое Кнудсена 320 и д.
сдвиговое 252
— Куэтта линеаризированное 259 и д.
нелинейное 273 и д.
— — свободномолекулярное 253
— от цилиндрического или сфериче-
сферического источника 425
— Пуазейля 287
— свободномолекулярное через от-
отверстие 371
через цилиндрическую трубку
372
длинную 376
Толщина волны ударной 298, 302
— слоя Кнудсена 321
Траектории фазовые 44
Угол отклонения 16
Уравнение Больцмана 37
— — в криволинейных ортогональ-
ортогональных координатах 431
— — в сферических координатах 431
в цилиндрических координатах
431
линеаризированное 71, 310
— дисперсионное 204
— Клаузинга 375
— Лиувилля 45
Уравнение модельное (релаксацион-
(релаксационное) 75
— — модифицированное 416
— переноса обща; 95
— ■ релаксационной для энергии вну-
внутренних cTCMicncii свободы моле-
молекул 182
— состояния гнал В.-ш-дер-Ваальса 13
- - - идеального 24
Уравнения Ьарпетта 113, 129, 153
— Вольцчаиа для пион из молекул
с внутренними степенями свободы
66, 176
— — для смеси газов 66
— гидродинамики для смеси сазов
163 и д.
— кинетические интегральные 69
— модельные для линеаризирован-
линеаризированного уравнения Больцмана 215,
311
— Навье—Стокса для газов с вну-
внутренними степенями свободы мо-
молекул 185 и д.
— сохранения для газов с внутрен-
внутренними степенями свободы 178
линеаризированные 203
массы, нмиульса энергии 95
для смеси газов 165,
166
— тринадцатимоментные Града 109
— Эйлера для газа с внутренними
степенями свободы молекул 180
для смеси газов 169
Условия граничные для кинетического
уравнения 76 и д.
— — для моментных уравнений 123
и д.
при скольжении 329, 332
фиктивные 317
Формула Больцмана барометрическая
243
Функции корреляционные 55
Функция Н Больцмана 61
— распределения 32
в приближении барнеттовском
112
— _ двадцатимоментном 107
— навье-стоксовском 111,
129
. для смеси газов 174
— — тридцатимоментном 109
— — наиболее вероятная 64. 232, 235
— —, приспособленная к граничным
условиям 124
= разрывная 118

440
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Функдия распределения s-частичная
31, 46
Хаос молекулярный 34, 57
Цепочка уравнений Боголюбова 47
Частота столкновений 20
Число Кнудсена 50, 90
— — в аэродинамической трубе 414
— — натурного эксперимента 414
—. — расчета 414
— Маха 90
— Прандтля 131
— Рейнольдса 91
— Стантона 358
— Струхаля 90
— Фруда 90
Энергия молекул внутренняя средняя
Энтропия термодинамическая 65
Эффекты второго порядка в теории
пограничного слоя 337