ВОПРОСЫ
ТЕОРИИ
пллзлы
Под редакцией М. А. ЛЕОНТОВИЧА
ВЫПУСК I
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ЛИТЕРАТУРЫ
ПО АТОМНОЙ НАУКЕ И ТЕХНИКЕ
ГОСУДАРСТВЕННОГО КОМИТЕТА
ПО ИСПОЛЬЗОВАНИЮ АТОМНОЙ ЭНЕРГИИ СССР
Москва 1963

УДК 533. 9.

ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящей книгой начинается издание ряда сборников,
посвященных различным вопросам теории плазмы. Разумеется,
читатель предпочел бы иметь одну книгу, содержащую полное
изложение названной теории с единой точки зрения. Учитывая
это, авторы года два тому назад предприняли попытку написать
связную монографию по теории плазмы. Однако в процессе работы
выяснилось, что такая задача пока не выполнима, поскольку
цельной и законченной теории поведения реальной плазмы
по существу еще нет.
Между тем, совсем недавно, всего каких-нибудь десять лет
назад, всем казалось совершенно очевидным, что с точки зрения
динамического поведения плазма мало отличается от обычного
газа, и поэтому, например, теория явлений переноса в плазме
(т. е. электропроводности, теплопроводности, диффузии и т. д.)
может быть развита в полной аналогии с соответствующей тео-
теорией Чепмена — Энскога для газов. Такая теория действительно
была создана усилиями многих авторов, и ее в настоящее время
принято называть «классической», хотя 10—20-летний срок иссле-
исследований вряд ли соответствует такому названию.
К сожалению, как показали последующие, прежде всего
экспериментальные, исследования, поведение реальной плазмы
далеко не всегда соответствует «классической» теории. Связано
это с тем, что из-за обилия различных видов неустойчивости
й плазме нередко развивается широкий спектр шумов и коле-
колебаний, которые в свою очередь оказывают существенное влияние
на усредненные параметры плазмы. Ввиду этого полная теория
плазмы обязательно должна включать в себя теорию нелиней-
нелинейного, зачастую турбулентного движения плазмы, которая в настоя-
настоящее время только лишь начинает развиваться.
з

Тем не менее уже сейчас можно представить себе контуры
будущей полной теории плазмы, значительную часть которой
можно считать в основном завершенной.
Если ограничиться только одной газовой (разреженной) пол-
полностью ионизованной плазмой и сосредоточить внимание на ее
динамике, отвлекаясь от таких вопросов, как элементарные
процессы, излучение (световое) и т. д., то теория при приме-
применении (в явном или неявном виде) в сущности искусственного
приема, касающегося учета взаимодействий частиц, может быть
целиком построена на классической основе — на уравнениях
Максвелла для полей и уравнениях Ньютона для заряженных
частиц *. Разумеется, мы должны при этом использовать стати-
статистическое описание.
Интегрируя уравнение Лиувилля по всем частицам, кроме
одной, ло всем частицам, кроме двух, и т. д., мы получим цепочку
уравнений Боголюбова, которая решается разложением по сте-
степеням малого параметра, равного обратному числу частиц в деба-
евской сфере. Эта процедура, естественно, приводит к кинети-
кинетическому уравнению с самосогласованными полями и столкнови-
тельным членом в форме Ландау.
Здесь мы впервые сталкиваемся с проблемой коллективных
процессов в плазме. Дело в том, что даже в слабо неравновесной
плазме столкновительный член в форме Ландау обладает лишь
логарифмической точностью. Как показал впервые Б. И. Давы-
Давыдов, • тепловые ленгмюровские колебания равновесной плазмы
вносят в столкновительный член вклад, меньший лишь в куло-
новский логарифм раз, чем парные соударения. Это значит, что
в умеренно неравновесной плазме необходимо учитывать «тепло-
«тепловые» флуктуации электрического поля, которые могут давать
заметный вклад в процессы' переноса.
Что же касается сильно неравновесной плазмы, то в этом слу-
случае ситуация может оказаться гораздо сложнее, а именно: ампли-
амплитуда шумов в такой плазме может достигать настолько больших
значений, что начинает проявляться взаимодействие между раз-
различными гармониками, т. е. происходит переход к турбулентной
плазме. В сильно неравновесной плазме парные взаимодействия
• Это утверждение не вполне точно. И в высокотемпературной плазме
для последовательного получения даже чисто термодинамических величин
необходимо квантовое рассмотрение (классический интеграл состояний расхо-
расходится).

отступают на второй план, так что изменение усредненных вели-
величин во времени целиком определяется коллективным эффектом
аазвитых шумов. Ясно, что в этом случае не может быть и речи
О перенесении на плазму тех представлений, которые были раз-
развиты для обычных газов.
Другими словами, в отличие от обычного газа, обладающего
только одним внутренним характерным временем (временем
1*ежду последовательными соударениями), плазме присущ гораздо
больший набор характерных времен. В термодинамически равно-
равновесной плазме эти времена выступают в виде периодов различного
рюда колебаний, а в сильно неравновесной плазме они могут
проявляться как характерные времена'развития колебаний вслед-
вследствие неустойчивости и обмена энергией между колебаниями.
Если не рассматривать такой микротурбулентности плазмы
и принять за основу кинетическое уравнение с обычным столкно-
вительным членом, то дальше теория развивается в двух напра-
направлениях. В случае медленных движений плазмы для решения
кинетического уравнения пользуются методом Чепмена—Энскога.
Этот метод, естественно, приводит к двухжидкостной гидродина-
гидродинамике, сводящейся во многих практически интересных случаях
к одножидкостной, т. е. к магнитной гидродинамике. В дру-
другом предельном случае, когда характерное время задачи значи-
чельно меньше времени между соударениями, столкновительным
Членом можно пренебречь, и мы приходим к бесстолкновитель-
-плазме, описываемой уравнением Власова. В случае силь-
магнитного поля можно, кроме того, использовать разло-
разложение по малому отношению среднего ларморова радиуса к харак-
характерной длине. Соответствующее уравнение принято называть
дрейфовым кинетическим уравнением. В настоящее время как
уравнения магнитной (а также двухжидкостной) гидродинамики,
так и уравнение Власова широко используются для решения
большого числа различных задач, в частности, для исследования
линейных и некоторых нелинейных колебаний, устойчивости
плазмы, а также некоторых турбулентных движений плазмы.
В предлагаемых вниманию читателей сборниках мы надеемся
осветить некоторые из упомянутых выше вопросов теории плазмы.
Мы ни в коей мере не претендуем на широкий охват всех явлений
в плазме, делая (в соответствии с кругом интересов большинства
авторов) определенный уклон в сторону приложения развивае-
развиваемых представлений К проблеме управляемых термоядерных реак-
.5

ций. Это проявляется, например, в том, что при исследовании
структуры силовых линий магнитного поля и движения частиц
в электромагнитных полях большое внимание уделяется вопросу
удержания Частиц внешними полями. Точно так же при изло-
изложении основных результатов «классической» теории явлений
переноса в плазме много места отводится изучению поведения
плазмы в магнитном поле. По той же причине в первом и после-
последующих выпусках предполагается сравнительно подробно осветить
вопросы равновесия и гидромагнитной устойчивости плазмы,
малых колебаний и кинетической неустойчивости плазмы в маг-
магнитном поле, излучения высокотемпературной плазмы, вопросы
нелинейных колебаний и турбулентности плазмы. Что же касает-
касается проблем, связанных с классическим" газовым разрядом, то в
пддготовляемых сборниках они практически не рассматриваются-
В .1963 году намечено выпустить в свет три сборника. Первый
из них посвящен некоторым общим вопросам описания плазмы;
второй — вопросам, связанным с проблемой удержания высоко-
высокотемпературной плазмы электромагнитным полем; третий —
теории колебаний плазмы. В последующих сборниках предпола-
предполагается осветить вопросы излучения и флуктуации в плазме,
а также некоторые вопросы турбулентности плазмы и магнитной
гидродинамики.
М. ЛЕОНТОВИЧ

ДРЕЙФОВАЯ ТЕОРИЯ ДВИЖЕНИЯ ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЫ
В ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЯХ
Д. В. Сивухин
§ 1. Движение заряженной частицы
в постоянном однородном магнитном поле
1. Движение частицы во внешнем электромагнитном поле
описывается уравнениями
г = v, A. 1)
A.2)
где Е и В — напряженности электрического и магнитного полей;
с — скорость света в вакууме; г — радиус-вектор частицы;
е, v и р = mv — ее заряд, скорость и импульс. Мы пользуемся
абсолютной гауссовой системой единиц.
При релятивистских скоростях масса т должна рассматри-
рассматриваться как величина переменная, определяемая формулой
—
=, A, 3)
из которой следует
(тсJ = (т0сJ + р\ A. 4)
Если нет электрического поля, а следовательно, магнитное
поле не зависит от времени, то уравнение A. 2) принимает вид
p = -f[v.B]. A.5)
Умножая обе части уравнения скалярно на р = mv, получим
РР = ~о IT 0°а) ~ ^'
?. ill
откуда заключаем, что длина вектора р не меняется во времени.
Масса частицы т, как это следует из уравнения A. 4), также
Т

Не меняется во времени. Поэтому остаются Постоянными длина
вектора v и полная энергия частицы
mc* = const. A.6)
|/i-4
Сохранение энергии, впрочем, следует из того, что сила, дей-
действующая на частицу в магнитном поле, перпендикулярна к ско-
скорости v и, следовательно, не производит работы.
2. Из различных частных случаев, в которых система уравне-
уравнений A. 1) и A. 2) интегрируется в замкнутой форме, особый инте-
интерес -представляет случай движения частицы в постоянном одно-
однородном магнитном поле В. Для нас этот случай важен потому,
что его можно рассматривать как нулевое приближение при изу-
изучении движения частицы в сильных магнитных полях со слабой
пространственной неоднородностью и при наличии слабых элек-
электрических полей. Отправляясь от нулевого, можно найти первое
приближение и получить таким образом приближенную теорию
движения частицы в электромагнитных полях указанного типа.
Эта теория дает приближенное описание движения частицы.
Она отвлекается от малых и быстрых дрожаний частицы вокруг
траектории плавного движения и называется дрейфовой. Ее изло-
изложение является основной задачей настоящей статьи. Поэтому
мы кратко напомним результаты, относящиеся к движению
частицы в постоянном однородном магнитном поле, хотя эти
результаты и общеизвестны.
Разложим полную скорость v на скорость v ц вдоль вектора В
и на скорость v_l, перпендикулярную к В,
v = у,, + vx. A. 7)
Так как масса т при движении остается постоянной, то для уц
и v_l уравнение A. 5) дает
vn =0, A.8)
^ A.9)
Из уравнения A. 8) заключаем, что уц = const, т. е. в направле-
направлении магнитного поля частица движется равномерно. Уравне-
Уравнение 'A. 9) показывает, что скорость изменения вектора vj_ пер-
перпендикулярна к самому вектору vx. Поэтому изменение век-
вектора v_l во времени может быть представлено как вращение
с некоторой угловой скоростью о. Вектор « можно найти из урав-
уравнения

которое дает
ш =
тс
A.11)
Отсюда видно, что угловая скорость (о постоянна по длине
и направлению. Это значит, что вектор v_l, не изменяя своей
длины, равномерно вращается вокруг направления магнитного
. поля с угловой скоростью
со = — — , A. 12)
называемой циклотронной частотой
2я
период вращения Т =
Соответствующий ей
называется циклотронным периодом.
Движение частицы, перпендикулярное к магнитному полю,
есть также равномерное вращение по окружности с той же угло-
угловой скоростью оэ. Радиус этой окружности
A.13)
V X
СО
mcvj^
еВ
и сама окружность называются ларморовыми. Для положительно
заряженной частицы вектор угловой скорости со направлен про-
против В, а для отрицательно заряженной — по В. Этому правилу
можно придать более выразительную форму, если ввести магнит-
магнитный момент |и, возникающий вследствие вращения частицы
по ларморовой окружности
/, /S со A ]4)
где 7 =
со
— средняя сила тока, создаваемого вращаю-
вращающейся частицей; S = яа2± — площадь ларморова кружка. Под-
Подставляя сюда значения со и а± из равенств A. 12) и A. 13), получим
ц=-^В. О-15)
Отсюда видно, что независимо от знака заряда частицы магнитный
момент ц, связанный с вращением по ларморовой окружности,
всегда направлен против магнитного поля В. Здесь проявляется
действие общего электродинамического принципа Ленца. Если
* Уравнение A. 10) определяет вектор а с точностью до произвольного
слагаемого, параллельного vx. Однако добавление такого слагаемого к выра-
выражению A. 11) физически ничего не меняет, поскольку оно соответствует вра-
вращению вектора Vj_ вокруг собственной оси, а при таком ^вращении вектор ^v^
не изменяется.
** Иногда со называют ларморовой частотой. Однако мы этим термином
пользоваться^не будем, так как в литературе под ларморовой частотой пони-
понимают (и это целесообразно) частоту, вдвое меньшую, чем со.

магнитное поле меняется от нуля до некоторого постоянного зна-
значения В, то во время этого изменения появляется электрическое
поле, ускоряющее частицу, а магнитное поле заставляет вра-
вращаться частицу вокруг направления этого поля. По принципу
Ленца направление возникшего вращения частицы должно быть
таким, чтобы возбуждаемое им магнитное поле ослабляло ско-
скорость нарастания внешнего поля. Поскольку магнитное поле
вращающейся по ларморовой окружности частицы может быть
представлено как поле магнитного диполя с моментом fj,,
то из принципа Ленца следует, что направления векторов р и В
должны быть противополож-
противоположными.
Если учесть равномерное
движение вдоль магнитного
8 i —. В w поля, то мы придем к сле-
i дующему результату. В по-
постоянном и однородном маг-
магнитном поле заряженная ча-
частица равномерно вращается
по ларморовой окружности,
центр которой перемещается
параллельно или антипарал-
лельно вектору В с постоян-
постоянной скоростью v ц. В резуль-
результате получается движение
по спирали (винтовой линии)
с постоянной по величине ско-
скоПоложительно заряжен- Отрицательно заряжен -
мая частица нал частица
Рис. 1.
ростью v. Ось спирали парал-
параллельна вектору В. На рис. 1
движение по спирали изобра-
изображено для положительно и отрицательно заряженных частиц.
Центр ларморовой окружности движется равномерно и прямо-
прямолинейно вдоль оси спирали. Подчеркнем, что он, вообще говоря,
не совпадает с центром кривизны спирали, по которой движется
частица. Эти точки совпадают друг с другом только в том частном
случае, когда спираль вырождается в окружность.
3, Найдем радиус-вектор R центра ларморовой окружности.
Если г — радиус-вектор частицы, то очевидно
vx = let (г —R)].
Умножая это уравнение векторно на © и пользуясь соотноше
нием A. 11), получим
* = г + 7^г[^В1 0-16)
или
A. 17)
Ю

Введем правую тройку взаимно перпендикулярных единич-
единичных векторов
h ---•= [щщ]; щ = [n2h]; n2 - [Ъщ], A. 18)
из которых первый (h) направлен вдоль магнитного поля, а вто-
второй (rij)—вдоль поперечной скорости частицы:
h I' Щ ^. A.19)
В этих обозначениях
y = v^h + v±n1. A.20)
Кроме того, введем два параметра:
из которых первый по абсолютной величине равен длине радиуса
ларморовой окружности. Второй параметр а\\ имел бы такой же
смысл, если бы поперечная скорость частицы была равна оц.
Поэтому параметры а± и а и, рассматриваемые совместно, мы
условимся называть ларморовыми длинами. Из выражений A. 16)
и A. 21) получаем
A.23)
Отсюда видно, что единичный вектор п2 направлен по радиусу
ларморовой окружности: для положительно заряженной частицы
от центра этой окружности к частице, а для отрицательно заря-
заряженной — от частицы к центру.
§ 2. Движение ведущего центра
1. В случае неоднородных и переменных магнитных полей,
а также при наличии электрического поля интегрирование урав-
уравнений движения A. 1) и A. 2) представляет собой очень трудную
математическую задачу и, вообще говоря, не может быть выпол-
выполнено в замкнутой форме. Для получения всех деталей движения
в конкретных частных случаях приходится прибегать к трудо-
трудоемким и утомительным численным методам интегрирования этих
уравнений. К работам такого рода относятся многолетние иссле-
исследования Штёрмера по движению заряженных частиц в магнитном
поле Земли. Важность и необходимость подобных исследований
не подлежит сомнению. Однако на этом пути трудно получить
общие результаты и нарисовать обозримую картину движения.
2. В одном частном и наиболее важном случае обозримая
картина движения, если отвлечься от несущественных ее деталей,
11

мбжет быть получена в общем вйДё, Не прибегая к численному
интегрированию уравнений движения. Это случай, когда магнит-
магнитное поле сильное и медленно меняется в пространстве и во вре-
времени, а электрическое поле слабое. В этом случае влияние электри-
электрического поля, а также пространственных и временных неодно-
родностей магнитного поля может быть учтено по методу возму-
возмущений, и картина движения приближенно может быть предста-
представлена в следующем виде.
В каждый момент времени частица быстро вращается по лар-
ларморовой окружности малого радиуса вокруг направления магнит-
магнитного поля. Центр ларморовой окружности, называемый также
ведущим центром частицы, движется не только вдоль магнитной
силовой линии, но и медленно перемещается в перпендикуляр-
перпендикулярном направлении. Это перемещение вызвано действием слабого
электрического поля, а также влиянием неоднородностей магнит-
магнитного. По той же причине движение частицы сопровождается мед-
медленными изменениями численных значений продольной и попе-
поперечной скоростей частицы.
Нетрудно заранее указать условия применимости этой кар-
картины движения. Необходимо, во-первых, чтобы магнитное и элек-
электрическое поля как по величине, так и по направлению мало
изменялись на протяжении ларморовых длин а± и а ц, опреде-
определяемых выражениями A. 21) и A. 22). Точнее, каково бы ни было
направление оси х, должно быть
дЪ
fll?
дЕ
ах
~дх
дЕ
«в;
«я.
B-1)
B.2)
Во-вторых, электрическое поле Е должно быть достаточно
слабым. Оно должно мало менять скорость частицы за время
порядка времени ее обращения по ларморовой окружности
Т =
2лшс
еВ
За это время скорость частицы меняется на величину порядка
еЕ rr E
— Т ^ С-jr.
m В
Это изменение должно быть мало по сравнению с v:
с ¦§¦ С v- B. 3)
В-третьих, поперечная скорость частицы vx должна быть
достаточно велика, чтобы проекция движения частицы на плос-
плоскость, перпендикулярную к В, за время порядка Т мало отли-
отличалась от кругового движения по ларморовой окружности. Иными
12

словами, скорость вращения частицы по ларморовой окружности
должна быть велика по сравнению со скоростью движения самой
окружности поперек магнитного поля. Только при этом условии
траектория будет иметь спиралеобразную форму.
Однако применимость уравнений дрейфовой теории, которые
будут выведены в дальнейшем, не связана с этим ограничением.
Если скорость вращения частицы по ларморовой окружности
мала по сравнению со скоростью движения самой окружности
поперек магнитного поля или сравнима с ней, то спиралеобраз-
спиралеобразной траектории не получится. Тем не менее траектория частицы
будет представлять собой извилистую линию, вьющуюся около
некоторой плавной кривой. Форма этой кривой, а также движе-
движение вдоль нее правильно описываются уравнениями дрейфовой
теории.
Поэтому третье условие не обязательно должно выполняться
для применимости уравнений дрейфовой теории. Мы, однако,
временно сохраним его, так как при выводе уравнений дрейфо-
дрейфовой теории будем исходить из картины движения частицы по спи-
спиралеобразной траектории, вьющейся вокруг магнитной силовой
линии и медленно перемещающейся в боковом направлении.
Получив систему дрейфовых уравнений, мы покажем затем, что
от третьего условия, использованного при выводе, можно осво-
освободиться.
3. Быстрые вращения частицы по ларморовой окружности
представляют малый интерес, и их целесообразно исключить
из уравнений движения. Это можно сделать, перейдя от движе-
движения частицы к движению ее ведущего центра. Движение веду-
ведущего центра, как будет видно из дальнейшего, состоит из плав-
плавного или систематического движения, на которое накладываются
быстрые малые колебания или дрожания около траектории плав-
плавного движения. Амплитуды этих колебаний малы по сравнению
с радиусом ларморовой окружности, поскольку они являются
результатом возмущающего влияния электрического и неодно-
родностей магнитного полей, т. е. исчезают при движении частицы
в однородном магнитном поле. Такие быстрые и малые колебания
ведущего центра не представляют большого интереса, и их сле-
следует отделить от плавного движения. В выражение для скорости
плавного движения ведущего центра войдут, однако, в качестве
параметров продольная и поперечная скорости частицы, точнее,
их плавно меняющиеся слагаемые. Необходимо поэтому полу-
получить уравнения, описывающие плавное изменение продольной
и поперечной скоростей частицы. В результате мы приходим
к следующей постановке задачи.
Требуется найти выражение для скорости плавного движения
ведущего центра, а также получить уравнения, описывающие
систематические изменения продольной и поперечной скоростей
частицы. Теория, рассматривающая движение заряженной частицы
в электромагнитных полях в такой постановке, получила
13

название дрейфовой теории или дрейфового приближения.
Указанная постановка вопроса является заслугой Альфвена.
В простейших случаях Альфвен [1 ] получил и уравнения движе-
движения дрейфовой теории, исходя из наглядных, хотя и нестрогих
соображений. Позднее Н. Н. Боголюбов и Д. Н. Зубарев [2, 3]
впервые получили дрейфовые уравнения в общем виде для дви-
движений с нерелятивистскими скоростями. Они воспользовались
асимптотическим методом интегрирования дифференциальных
уравнений, развитым ранее в работах Н. М. Крылова
и Н. Н. Боголюбова [13]. Благодаря этому вычисления Бого-
Боголюбова и Зубарева проводятся систематически по определенной
схеме и в принципе могут быть продолжены до любого прибли-
приближения. Однако эти вычисления даже при получении первого при-
приближения весьма громоздки и ненаглядны. Ниже приводится
иной вывод уравнений движения дрейфовой теории. Он отли-
отличается большей наглядностью и в вычислительном отношении
менее громоздок, если ограничиться той же степенью точности,
с которой были выведены уравнения Боголюбовым и Зубаревым.
Вычисления становятся очень громоздкими лишь при получении
следующего и более высоких приближений. Метод годится для
движения как с нерелятивистскими, так и с релятивистскими
скоростями. Релятивистские уравнения дрейфовой теории впер-
впервые получил Хеллвиг [4 ] методом, отличным от излагаемого
здесь, а также от метода Боголюбова и Зубарева.
Хотя мы и получим дрейфовые уравнения, пригодные для
релятивистских скоростей, однако форма этих уравнений будет
релятивистски нековариантной. Причина этого заключается
в том, что при выводе дрейфовых уравнений приходится пользо-
пользоваться такими релятивистски нековариантными условиями, как,
например, малость электрического поля по сравнению с маг-
магнитным.
Во всех работах дрейфовые уравнения получаются в первом
приближении. Мы ограничимся тем же приближением.
4. Прежде всего точно установим, что мы понимаем под нуле-
нулевым, первым, вторым и высшими приближениями. Мы рассматри-
рассматриваем электрическое, а также пространственные и временные
неоднородности магнитного поля как возмущения. В силу уравне-
уравнения Максвелла-^- == —с rot E, временные неоднородности маг-
магнитного поля можно исключить, заменив их соответствующими
пространственными неоднородностями поля Е. Обозначим через G
малые-области пространства, линейные размеры которых порядка
большей из ларморовых длин | Сх | и \ а\\ |, определяемых выра-
выражениями A. 21) и A. 22). Поля Е и В в пределах каждой из таких
малых областей могут быть разложены в степенные ряды по коор-
координатам. Наша классификация приближений определяется тем,
на каких членах обрываются эти разложения. Нулевым прибли-
приближением мы называем такое приближение, когда магнитное поле
14

в областях G рассматривается как однородное, а влиянием электри-
электрического поля пренебрегаем. В первом приближении магнитное
поле в областях G рассматривается как линейная функция коор-
координат, а электрическое поле — как однородное. Таким образом,
в первом приближении в дрейфовые уравнения могут входить
помимо вектора В только вектор Е и первые пространственные
производные В и притом в первых степенях. Во втором прибли-
приближении магнитное поле в областях G рассматривается как квадра-
квадратичная, а электрическое — как линейная функция координат.
В этом приближении могут входить вторые производные В
по координатам в первых степенях. Комбинации первых произ-
производных вектора В между собой, а также с вектором Е могут вхо-
входить во вторых степенях. Наконец, первые производные век-
вектора Е по координатам могут входить только в первых степенях.
Для быстрой оценки порядков малости тех или иных величин
можно пользоваться следующей схемой, понимая ее в несколько
условном смысле, который будет разъяснен ниже:
величина нулевого порядка — поле В;
величины первого порядка — поле Е и первые
производные В по координатам;
величины второго порядка — первые произ-
производные Е и вторые производные В по координатам и т. д.
Порядок малости произведения двух или нескольких величин,
как всегда, равен сумме порядков малости перемножаемых
величин.
Разумеется, сравниваемые величины должны иметь одина-
одинаковую размерность. Поэтому предполагается, что в приведенной
схеме все координаты, по которым производится дифференциро-
дифференцирование, являются безразмерными переменными. Точнее, предпола-
предполагается, что в качестве единиц длины берутся ларморовы длины а±
и а\\. Например, под производными вектора В понимаются
величины
дЪ дй
дВ дВ
= а || -г—
11 дх
причем ось х может быть направлена как угодно. Обе эти вели-
величины имеют смысл изменений вектора В на расстояниях
порядка а± и Оц.
5. Напряженности магнитного поля в точках нахождения
частицы В = В (г) и ведущего центра Во ^ В (R) с точностью
15

до членов второго или высшего порядка малости связаны соотно-
соотношением
или в силу соотношения A. 23)
В = В0 + ах(п2у)В0. B.4)
Вектор Во может быть представлен в виде
В0 = В0 + бВ0> B.5)
где Во — плавно меняющийся вектор, а 6В0 — малая добавка
к нему, обусловленная колебаниями ведущего центра около
траектории его плавного движения. В однородных магнитных
полях эти колебания исчезают. В неоднородных полях их ампли-
туды пропорциональны производным -г-. Поэтому изменения 6ВО
поля В о на протяжении таких амплитуд пропорциональны квад-
квадратам или произведениям таких производных, а потому 6ВО
будет величиной второго или высшего порядка малости. Так как
сверх того вектор 6В0 быстро колеблется около нулевого значе-
значения, то в принятом нами приближении им всюду следует пре-
пренебречь. Таким образом, с точностью до быстро колеблющегося
вектора второго порядка малости можно написать
В0^В0, B.6)
т. е. напряженность магнитного поля Во в точке нахождения
ведущего центра с указанной степенью точности может рассма-
рассматриваться как плавно меняющийся вектор. То же самое относится
к единичному вектору h0 вдоль направления магнитного поля
в той же точке пространства. Он связан с единичным вектором h
соотношением
h = ho + ax(n2V)ho*. B.7)
Таким образом, В и h могут быть представлены в виде
В = В0 + бВ, h = ho + Sh, B.8)
где Во и h0 — плавно меняющиеся векторы, а б В = ах (п2 V) Во
* Если h0—единичный вектор, то из соотношения B. 7) в силу тожде-
тождества h0 (п2 у) h0 = 0 следует, что h будет также единичным вектором. В самом
деле, h2 отличается от hjj на величину второго порядка малости, которой сле-
следует пренебречь. Использованное тождество является частным случаем тождества
А (С у) А = 0, B. 8а)
где А — вектор постоянной длины (А2 = const), а С — произвольный вектор.
Справедливость тождества B. 8а) легко усмотреть из следующих соображений.
(С у) А есть умноженная на С производная вектора А в направлении вектора С.
Поскольку длина вектора А постоянна, эта производная есть вектор, перпенди-
перпендикулярный к А, откуда и следует тождество B. 8а).
16

и б h = ах (n2V) h0 — быстро колеблющиеся векторы первого
порядка малости.
Аналогично напряженность электрического поля Ео в точке
нахождения ведущего центра представится в виде
Е0=Е0 + 6Е0,
где Ео — плавно меняющийся вектор, а 6Е0 — быстро колеблю-
колеблющаяся добавка к нему третьего порядка малости. Таким образом,
с точностью до быстро колеблющихся членов третьего порядка
малости вектор Ео меняется плавно. С той же точностью для
напряженности электрического поля Е гз Е (г) в точке нахожде-
нахождения частицы можно написать
Е = Ео + а± (п2 V) Ео. B. 9)
6. Перейдем теперь к вычислению скорости ведущего центра
и выделению из нее плавно меняющихся слагаемых. По определе-
определению радиус-вектор R ведущего центра дается выражением A. 17).
Дифференцируя это выражение по времени, находим скорость
ведущего центра
d Чтс dB dB
Подставим сюда вместо — выражение A. 2), положим В = В h,
а также воспользуемся соотношениями A. 18), A. 20), A. 21)
и A. 22). Тогда
[] B.10)
Используя соотношения
приведем выражение B. 10) к виду
lh-(hV)h] 4
-^V) h]
^) n2 + [Ol • (h V)h] + [h • (niV) h]
2 Вопросы теории плазмы 17

Это математически точное выражение для скорости движения
ведущего центра. Как и следовало ожидать, оно содержит член
нулевого порядка ?>ц h, к которому добавляются члены первого
и высшего порядка малости, обусловленные наличием электри-
электрического и неоднородностей магнитного полей.
Существенно, и этого следовало ожидать из общих соображе-
соображений, что в выражение B. 12) не входят быстро колеблющиеся
члены нулевого порядка малости. Напротив, скорость v самой
частицы содержит быстро колеблющийся член нулевого порядка,
возникающий из-за вращения частицы вокруг магнитной силовой
линии. Таким образом, переход от движения самой частицы
к движению ее ведущего центра повышает на единицу порядок
малости быстро колеблющихся членов. Благодаря этому упро-
упрощается задача отделения плавного движения от быстрых коле-
колебаний. В этом смысл введения понятия ведущего центра.
В соответствии с намеченной выше программой, мы должны
отбросить в выражении B. 12), во-первых, все члены второго
и высшего порядка малости, во-вторых, все члены первого
порядка, описывающие «дрожание» ведущего центра *.
Прежде всего можно отбросить все члены, стоящие в послед-
последней строке выражения B. 12): они второго порядка малости,
поскольку-^- и -щ выражаются через пространственные произ-
производные вектора Е.
Члены первого порядка во второй и третьей строках выраже-
выражения B. 12) содержат быстро вращающиеся векторы пх и п2, стоя-
стоящие в качестве множителей при медленно меняющихся коэффи-
коэффициентах. Для выделения из них плавно меняющихся слагаемых
первого порядка малости достаточно усреднить эти члены по невоз-
невозмущенному движению единичных векторов П! и п2, считая коэффи-
коэффициенты при п1 и п2 постоянными. Невозмущенное движение век-
векторов tii и п2 есть равномерное вращение вокруг направления
вектора h. При усреднении по такому вращению третья строка
выражения B. 12) даст нуль, так как все члены этой строки
содержат пг и п2 в первой степени. Остается усреднить выраже-
выражения (ni.VB)na и ln1- (n,V)h]. Имея однако в виду дальней-
дальнейшие приложения, мы произведем усреднение более общих выра-
выражений: (njA) n2, [n!- (nxV)A] и некоторых других, где А —
произвольный постоянный или медленно меняющийся вектор.
Начнем с усреднения выражений (г^А) пг и (п2А) п2. Оба век-
вектора rij и п2 равномерно вращаются вокруг направления век-
вектора h. Так как они взаимно перпендикулярны, то фазы этих
вращений сдвинуты одна относительно другой на четверть
периода. Но это обстоятельство, по крайней мере в первом при-
приближении, не может сказаться на значении средних. Поэтому,
* Как будет показано в § 4, влияние быстро колеблющихся членов первого
порядка малости может сказаться на скорости плавного движения ведущего
центра лишь во втором или высшем приближении.
18

обозначая чертой операцию усреднения, можно написать, с одной
стороны,
(n1A) rii = (n2A) n2.
С другой стороны, разлагая вектор А по ортам h, nt и п2, можно
написать
А = (A h) h + (AnJ nx + (An2) n2.
Усредняя это равенство и сравнивая с предыдущим, найдем
(П1А) щ = (п2А) щ = -^ {А - (hA) h}. B.13)
Заменяя здесь А на [hA] и замечая, что
щ [hA] = [n.h] A = — (паА),
n2 [hA] =-- [n2h] A = (щА),
получим
(пхА) па = — (n2A) nl = -r [hA]. B. 14)
Средние от выражений [пх ¦ (п, V) А ] и [п2 • (п2 V) А ], по край-
крайней мере в первом приближении, очевидно, также равны между
собой. Чтобы найти их, проще всего воспользоваться тождеством
],* B. 15)
которое дает
[n1.(n1V)A]-[n2-(n2V)A]=-^rotA i-[h.(hV)A]. B. 17)
Аналогично из тождества B. 16) получаем
= na.(n,V)A=-j-divA i-h.(hV)A. B. 18)
Справедливость этого тождества, а также тождества
n2v)A + h-(hv)A B. 16)
станет очевидной, если их правые части записать в координатах, направив ось х
вдоль nlt ось у — вдоль п2, ось 2 — вдоль h. Сделав это, получим для правых
частей тождеств B. 15) и B. 16):
ГА] + [h
19

Наконец, скалярным умножением на h из формулы B. 17) полу-
получаем
na-(n1V)A= — n1.(n2V)A=-?-(hrotA). B. 19)
Полагая в формуле B. 14) А = V В, а в формуле B. 17) А = h,
найдем значения интересующих нас выражений
Два последних слагаемых в первой строке выражения B. 12)
не содержат быстро колеблющихся членов первого порядка,
а потому они могут быть оставлены без изменения. Остается рас-
рассмотреть член нулевого приближения Уц h. Медленно меняю-
меняющуюся скорость у у можно представить в виде Уц = Уц + 6уц,
где у || —плавно меняющаяся величина, а 6уц —быстро коле-
колеблющаяся величина первого порядка малости. Воспользовавшись
соотношениями B. 8) и отбрасывая члены второго порядка
малости, можем написать
V\\h = у и ho + (t>||6h + ho6y,|).
Члены, заключенные в круглые скобки, первого порядка малости
и описывают дрожание. В принятом нами приближении они
должны быть отброшены.
Обозначим через vx, m, ах , ... плавно меняющиеся члены
в величинах v±, m, а± , ... (аналогично тому, как мы посту-
поступили с у ц) и воспользуемся тождеством
(hV)h+[hroth]=0, B.20)
которое легко получить, взяв градиент от обеих частей равенства
h2 = 1. Тогда для скорости регулярного движения ведущего
центра в первом приближении найдем
« = РII + 4" OjAl (ho ^t h,,)] h0 + -?L [E0B0] +
ho.-^-°] +y||a,|[ho.(hoV)h0]. B.21)
Строго говоря, под Во и Ео здесь следовало бы понимать не напря-
напряженности полей в точке нахождения ведущего центра, а их
плавно меняющиеся слагаемые. Однако последние отличаются
от самих полей на быстро колеблющиеся члены второго порядка
малости, которыми мы пренебрегаем. Поэтому, не рискуя впасть
в ошибку, мы можем под Во и Ео понимать напряженности полей
в точке нахождения ведущего центра.
20

Как ясно из вывода, масса т в принятом приближении может
определяться по формуле
т = т° . B. 22)
Аналогично
Pl, =ту„; рх = т»х; B. 23)
— т с v , ср ,
ai=—77JL = ^r-. B.25)
7. Первый член уравнения B. 21)
(r) „ = [ои + -±-Ъхах (Ь„ rot h0)] h0 B. 26)
дает скорость плавного движения ведущего центра в направле-.
нии h0, т. е. в направлении магнитной силовой линии, проходя-
проходящей через ведущий центр. Его можно также интерпретировать
как скорость плавного движения самой частицы в том же напра-
направлении. В самом деле в силу соотношения B. 7) проекция полной
скорости частицы на направление h0 в принятом приближении
равна
v h0 = (у и h -f vj. щ) {h — ах (п2 V) h0) =
= v у — vxa± щ (п2 V) h0 — v || ах h (n2 V) h0.
Усредняя это выражение по формуле B. 19), получим
1
vh0 = v || + ~2~ vxax (h0 rot h0),
что совпадает с проекцией скорости B. 26) на направление h0.
Таким образом скорости плавных движений частицы и ее веду-
ведущего центра в направлении h0 с точностью до членов второго
порядка одинаковы.
8. Остальные члены формулы B. 21) дают скорость плавного
движения ведущего центра в направлении, перпендикуляр-
перпендикулярном к h0. Такое движение называется дрейфом. Член —^ [Е0В0]
во
дает скорость так называемого электрического дрейфа. Эта ско-
скорость полностью определяется мгновенными значениями электри-
электрического и магнитного полей в точке нахождения ведущего центра.
2\

В частности, она совершенно не зависит от массы, а также от вели-
величины и знака заряда частицы *.
Выражение для скорости электрического дрейфа допускает
важное обобщение. Природа силы F = еЕ, действующей
на частицу помимо магнитного поля, .совершенно не существенна.
Не обязательно, чтобы сила F была электрической. Она может
быть и другой природы, например гравитационной или силой
инерции, если движение рассматривается в неинерциальной
системе отсчета. Существенно только, чтобы сила F была «мала»,
чтобы ее влияние могло рассматриваться как малое возмущение.
При этом условии компонента силы Fx, перпендикулярная
к магнитному полю, будет вызывать дрейф частицы, т. е. плавное
движение ее со скоростью
B.27)
Электрический дрейф, однако, отличается от всех других
дрейфов тем, что его направление не зависит от знака заряда
частицы. По этой причине плазма, находящаяся в скрещенных
взаимно перпендикулярных постоянных и однородных полях Е
и В, движется как целое с дрейфовой скоростью w — -^- [ЕВ].
Напротив, в гравитационном поле, например, положительно
и отрицательно заряженные частицы будут дрейфовать в противо-
противоположных направлениях (если отвлечься от всех прочих видов
дрейфа).
9. Два последних члена в формуле B. 21) дают скорость
дрейфа из-за неоднородности магнитного поля. Этот дрейф вызы-
вызывается либо пространственным изменением магнитного поля
по величине, либо его изменением по направлению. В последнем
случае дрейф называется центробежным. Происхождение этого
названия будет выяснено в следующем параграфе. Сейчас же мы
придадим выражению для скорости центробежного дрейфа wc
несколько иную форму.
Вектор h0 есть единичный вектор касательной к магнитной
силовой линии в точке нахождения ведущего центра. По опреде-
определению кривизны
(hoV)ho = -i-NO) B.28)
* Согласно формуле B. 21) электрический дрейф должен существовать
и для незаряженной частицы, что, очевидно, неверно, поскольку электрическое
и магнитное поля на незаряженную частицу не действуют. Чтобы разрешить
этот парадокс, вообразим, что заряд частицы стремится к нулю. Тогда ларморовы
длины а|| и ах будут стремиться к бесконечности, и, следовательно, начиная
с некоторого момента условие применимости дрейфовой теории B. 1) перестанет
выполняться. Следовательно, для незаряженной частицы формула B. 21) не при-
применима, и никакого парадокса не возникает.
22

где q0 — радиус кривизны этой силовой линии, a No — единич-
единичный вектор главной нормали к магнитной силовой линии в той же
точке. Введем еще единичный вектор бинормали;
bo=[hoNo]. B.29)
Тогда для скорости центробежного дрейфа можно написать
Wf = i^Lb0 = -^b0. B.30)
Скорость центробежного дрейфа, таким образом, направлена
всегда по бинормали к магнитной силовой линии.
Дрейф, вызванный неоднородностью магнитного поля только
по величине, также нетрудно представить в иной форме. Восполь-
Воспользуемся уравнением Максвелла
rot Во - rot (Soho) = - [hoV5o] + B0rot h0 = ^~ jOf
где j0 — плотность электрического тока в точке нахождения
ведущего центра. Заменим далее в тождестве B. 20) h на h0 и обе
части полученного уравнения умножим векторно на h0. Тогда,
принимая во внимание соотношения B. 28) и B. 29), найдем
rot h0 = — Ьо + (ho-rot h0) h0.
Наконец, умножим предыдущее соотношение скалярно на h0.
Это дает
h0 rot Во = Во rot h0.
В результате получим
Через jO|| и joX мы обозначаем компоненты плотности тока
вдоль магнитного поля и перпендикулярно к нему. Теперь для
скорости wB рассматриваемого дрейфа нетрудно получить
пКу Во] =^±-Ъо~2лЦщ^-]оХ. B.31)
Если плотность тока поперек магнитного поля равна нулю,
то скорость рассматриваемого дрейфа также направлена по бинор-
бинормали к магнитной силовой линии.
Формулу B. 21) можно, таким образом, записать в виде
R = Го а + 4-у лил (h0 rot h0) 1 h0 + -]L [E0B0] -
\+^v2±)bo-2n^]oA_. B.32)
cB0
23

10. Скорость плавного движения ведущего центра в направле-
направлении, перпендикулярном к h0, в первом приближении совпадает
со скоростью плавного движения самой частицы в том же напра-
направлении. В самом деле в однородном и постоянном магнитном поле
длина ларморова радиуса а == ах остается постоянной. Она изме-
изменяется лишь из-за пространственных и временных неоднородно-
стей магнитного поля. Однако эти изменения за время порядка
периода обращения частицы по ларморовой окружности будут
величинами первого порядка малости по сравнению с длиной
ларморова радиуса. Заметив это, рассмотрим проекцию движе-
движения частицы на плоскость,
перпендикулярную к h0.
В начальный момент ча-
частица вращается по лармо-
ларморовой окружности ради-
радиуса а! с центром О г (р ис. 2).
Xt~t^ % % % % * За [время Т ~ -^ центр
ларморовой окружности
переместится в 02, а ее
радиус сделается равным
а2. Направление плавного
движения ведущего центра
Рис. 2. примем за координатную
ось х. Абсциссу частицы
будем обозначать через х, а абсциссу ведущего центра— через X.
Допустим, что начальное и конечное положения частицы нахо-
находятся на оси х. Тогда, как видно из рисунка, перемещение
частицы за время Т
Ах s= АхАг = АгОг + ОгО2 + О2А2 — АХ — (а2 — аг) =
= АХ — Да,
где АХ = ОХО2 — перемещение ведущего центра. Средняя ско-
Ах
рость частицы — за то же время будет поэтому меньше средней
АХ
скорости ведущего центра -у- на величину первого порядка
малости -^г-. Если бы частица сначала находилась в точке Ви
а затем перешла в точку В2, то для ее средней скорости мы полу-
получили бы
Ах__ АХ Аа
т. е. величину на -^ больше средней скорости ведущего центра.
Среднее из обоих значений совпадает со скоростью ведущего
АХ ,
центра -=-, если пренебречь величинами второго порядка малости.
24

Рассуждая так же, убедимся, что средняя за период Т скорость
движения частицы при ее начальном положении в точке Сг
меньше, а при начальном положении в точке D1 больше средней
скорости ведущего центра на величины первого порядка малости.
Однако если пренебречь величинами второго порядка, то среднее
арифметическое из этих двух скоростей будет равно скорости
ведущего центра. Отсюда видно, что если усреднить скорости дви-
движения частицы по всем возможным положениям ее на ларморо-
вой окружности, то в первом приближении результат будет
совпадать со средней скоростью ведущего центра. Но очевидно,
что усредненная таким образом скорость поперечного движения
частицы с точностью до величины второго порядка малости и есть
скорость плавного движения ее в направлении, перпендикуляр-
перпендикулярном к h0. Этим наше утверждение доказано. При доказательстве
мы отвлеклись от быстрых колебаний частицы около ее лармо-
ровой окружности. Однако, как уже подчеркивалось, амплитуды
этих колебаний представляют собой величины первого порядка
малости по сравнению с длиной ларморова радиуса. При усред-
усреднении такие колебания выпадают и в первом приближении
не влияют на скорость плавного движения частицы.
Поскольку ранее было доказано, что в первом порядке продоль-
продольные скорости плавных движений частицы и ее ведущего центра
также равны между собой, мы приходим к заключению, что этот
результат остается справедливым и для полных скоростей ука-
указанных движений. Именно этот результат оправдывает введение
понятия ведущего центра, ибо нас в конце концов интересует
движение самой частицы, а не какой-то связанной с ней вообра-
воображаемой математической точки.
11. При выводе всех формул настоящего параграфа предпо-
предполагалось, что скорость дрейфа мала по сравнению с поперечной
скоростью vx частицы. В частности, это относится и к электри-
электрическому дрейфу. Поэтому вывод предполагает выполнение усло-
условия
Ух»с-^. B.33)
Оно необходимо, чтобы частица двигалась по спирали, вью-
вьющейся вокруг траектории плавного движения ее ведущего центра.
Если условие B. 33) не выполнено, то спирали не получится.
Однако не существенно, чтобы траектория частицы имела спи-
спиралеобразную форму. Существенно, что все формулы для ско-
скорости движения ведущего центра, полученные в настоящем пара-
параграфе, остаются в силе и в том случае, когда условие B. 33)
не выполнено. Должно быть только изменено их доказательство.
Допустим поэтому, что условие B. 33) не выполнено, т. е. рас-
рассмотрим случай, когда
Е,
25

В этом случае
еВ
еВ*
\axvx
тс3
еВ3
Благодаря малым множителям Е± и Е\ третья строка в выра-
выражении B. 12) становится величиной второго порядка, а вторая
строка — третьего порядка малости. Поэтому эти строки могут
быть просто отброшены, как и соответствующие им в фор-
формуле B. 21) члены. Формула B. 21) остается справедливой.
Однако частица движется не по спирали, а описывает какую-то
сложную кривую около траектории плавного движения ведущего
центра.
§ 3. Происхождение дрейфов
1. С целью лучшего уяснения результатов предыдущего
параграфа рассмотрим частные случаи движения частицы в элек-
электромагнитных полях, в которых происхождение дрейфа можно
понять с помощью простых и наглядных соображений. Ради
простоты ограничимся рассмотрением движений с нерелятивист-
нерелятивистскими скоростями.
2. Электрический дрейф. Допустим, что электрическое и маг-
магнитное поля постоянны и однородны. Преобразуем уравнения
движения к системе отсчета, движущейся относительно исходной
с постоянной скоростью w?, значение которой будет определено
дальше. Скорость и импульс частицы в движущейся системе
отсчета обозначим через v' и р'. Тогда v = v' + w?, р = р' +
+ mw?, и уравнение A. 2) перейдет в
Выберем теперь скорость w? так, чтобы (Bw?) = 0 и Ех +
-| [w?-B] = 0, где Ех — слагающая электрического поля,
перпендикулярная к вектору В. Этими условиями скорость w?
определяется однозначно. Она равна
? C.1)
Уравнение движения примет вид
C.2)
где Е и — компонента электрического поля в направлении век-
вектора В. Уравнение C. 2) имеет тот же вид, что и уравнение A. 2),
26

но из него выпала перпендикулярная компонента электрического
поля Ех- Отсюда заключаем, что влияние компоненты Ех сво-
сводится к тому, что она вызывает движение частицы поперек маг-
магнитного поля с постоянной скоростью, определяемой форму-
формулой C. 1). Это движение и есть электрический дрейф.
Из вывода ясно, что природа силы F = еЕ, действующей
на частицу помимо магнитного поля, несущественна. Сила F
может быть, например, гравитационной или силой инерции, если
движение рассматривается в неинерциальной системе отсчета.
Существенно только, чтобы сила F была постоянной. При этом
условии компонента этой силы Fx. перпендикулярная к маг-
магнитному полю, вызовет дрейф частицы, т. е. равномерное дви-
движение ее с постоянной скоростью
C.3)
—к
На первый взгляд может показаться, что на величину поля Е
не надо накладывать никаких ограничений. Однако это не так.
Дело в том, что мы пользовались нерелятивистскими уравне-
уравнениями движения. Между тем электрическое поле Е или сила F
ускоряют частицу. Если они достаточно велики, то может слу-
случиться, что за время порядка циклотронного периода Т —
частица приобретает скорость, сравнимую со ско-
скоростью с, когда нерелятивистскими уравнениями пользоваться
уже нельзя. За время Т продольная скорость частицы увели-
увеличивается на
еЕ\\
" m
Это приращение скорости должно быть мало по сравнению с с,
что дает ?ц < В. Аналогично скорость дрейфа также должна
быть мала по сравнению с с и, следовательно, Ех -С В. Таким
образом, условием применимости нерелятивистских уравнений
движения является
Е < В C. 4)
или
•j-<B. C. 5)
Если эти условия не выполняются, то задача становится суще-
существенно релятивистской. При постоянных В, Е и F релятивист-
релятивистские уравнения движения точно интегрируются [5], но мы не
будем этим заниматься.
3. Полученные результаты легко обобщаются на случай
неоднородных полей. Требуется только, чтобы поле Е было сла-
слабым, а поле В медленно менялось (в пространстве и во времени).
27

В самом деле, теперь скорость w?, определяемая выраже-
выражением C. 1), будет величиной первого порядка малости, а ее изме-
изменение за циклотронный период Т — второго порядка. Пренебре-
Пренебрегая величинами второго порядка малости, можно в течение корот-
коротких промежутков времени (=^Т) рассматривать скорость w?
как величину постоянную. Переходя к системе отсчета, движу-
движущейся со скоростью wE и повторяя приведенные выше рассужде-
Рис. 3.
ния, мы снова придем к заключению, что влияние поперечной
компоненты электрического поля Е или силы F сказывается
только на появлении дрейфа, скорость которого определяется
формулой C. 1) или C. 3). Однако при наличии неоднородности
полей В и Е этот результат верен только в первом приближении.
4. Происхождение электрического дрейфа, а также анало-
аналогичного дрейфа, вызванного постоянной силой F, легко понять
Рис. 4.
и из следующих соображений [6J. Рассмотрим проекцию траек-
траектории частицы на плоскость, перпендикулярную к магнитному
полю В, которое предполагается постоянным и однородным.
Примем эту плоскость за плоскость рисунка (рис. 3 и 4). Пусть
магнитное поле направлено к читателю. Если бы не. было электри-
электрического поля, то рассматриваемая проекция была бы окруж-
окружностью радиуса а±. Положительно заряженная частица вра-
вращалась бы по часовой стрелке, а отрицательно заряженная —
против (см. рис. 3 и 4 слева). Рассмотрим теперь влияние элек-
электрического поля. Пусть перпендикулярная компонента Ех элек-
электрического поля направлена вверх. Тогда для положительно заря-
заряженной частицы скорость vx в точке А будет наибольшая,
а в точке В — наименьшая. Кроме того, в точке А силы электри-
электрического и магнитного полей действуют на частицу в противо-
28

положные стороны, а в точке В — в одну и ту же сторону. Обе
причины приведут к тому, что кривизна — проекции траектории
в верхней части сделается меньше, чем в нижней части, как это
видно из выражений
1 еВ еЕ
— — о- (в точке А),
r mv c mv%
еВ еЕ ,
mv±c
(в точке В).
В результате окружность перейдет в незамкнутую кривую, дви-
двигаясь по которой, проекция частицы будет медленно перемещаться
вправо (см. рис. 3). Это перемещение и есть электрический дрейф.
Для отрицательно заряженной частицы аналогичная проекция
траектории показана на рис. 4. В обоих случаях частица дрей-
дрейфует вправо, т. е. направление электрического дрейфа, как это
и должно быть, не зависит от знака заряда частицы.
5. Изложенным вопрос о природе электрического дрейфа
исчерпывается. Представляет, однако, интерес выйти за пре-
пределы дрейфового приближения, поскольку при постоянных
и однородных Е и В легко найти точное решение задачи. Перей-
Перейдем по-прежнему к системе отсчета, движущейся равномерно
со скоростью, определяемой выражением C. 1). Тогда из уравне-
уравнения C. 2)
РII = еЕ, C. 6)
pi = -f[vl-B]. C.7)
Уравнение C. 6) описывает равноускоренное движение частицы
в направлении магнитного поля, а уравнение C. 7) — равномер-
равномерное вращение ее по ларморовой окружности радиуса | а± \ =
та>\ „ „ еВ
с циклотронной частотой щ = . Чтобы получить
еВ
тс
полную скорость относительно неподвижной системы отсчета,
надо к скоростям этих двух движений добавить еще постоянную
скорость wE движущейся системы отсчета. Это приводит к сле-
следующему результату.
Движение частицы в постоянных однородных электрическом
и магнитном полях в нерелятивистском приближении слагается
из трех движений: равноускоренного движения вдоль магнитной
силовой линии, равномерного вращения по ларморовой окружности
и дрейфового движения с постоянной скоростью w? = -t™ [ЕВ].
Этот результат легко также получить из выражения B. 10), если
29

заметить, что в рассматриваемом случае — = 0. Таким обра-
образом, роль электрического поля двоякая: параллельная компо-
компонента Ец создает ускорение в направлении магнитного поля,
а перпендикулярная компонента Ej_ вызывает дрейф в попереч-
поперечном направлении со скоростью wE = -^-[ЕВ].
Равноускоренное движение вдоль В и перпендикулярное
к нему равномерное дрейфовое движение складываются в движе-
движение по параболе. На это параболическое движение накладывается
равномерное вращение по ларморовой окружности. Следовательно,
в общем случае движение про-
происходит по спирали или вол-
волнистой кривой, вьющейся
около указанной параболы.
Если электрическое и ма-
магнитное поля взаимно пер-
перпендикулярны, то Ец = 0.
В этом случае движение
вдоль магнитного поля вы-
вырождается в равномерное.
Вместо параболы получится
Рис- 5. прямая. Траекторией ча-
частицы будет спиралеобразная
или волнистая линия, вьющаяся около этой прямой.
Рассмотрим частный случай, когда Е и В взаимно перпенди-
перпендикулярны и, кроме того, v ц =0. Тогда траектория частицы будет
плоской кривой. Она получается в результате сложения равно-
равномерного вращения частицы по ларморовой окружности и равно-
равномерного прямолинейного движения последней в направлении,
перпендикулярном к электрическому и магнитному полям, т. е.
в направлении, лежащем в плоскости окружности. Следовательно,
траектория частицы есть циклоида — удлиненная, нормальная
или укороченная в зависимости от соотношения между угловой
скоростью вращения по ларморовой окружности и скоростью
движения центра самой окружности (рис. 5, на котором магнит-
магнитное поле перпендикулярно к плоскости рисунка).
6. Дрейф в неоднородном магнитном поле, меняющемся только
по величине. Происхождение дрейфа в этом случае аналогично
происхождению электрического дрейфа. Допустим, что магнит-
магнитное поле перпендикулярно к плоскости рисунка и. направлено
к читателю. На рис. 6 изображена проекция траектории частицы
на плоскость рисунка. Предполагается, что вектор grad В направ-
направлен вверх. Так как вверху магнитное поле сильнее, а величина
скорости v остается постоянной, то при перемещении снизу вверх
ларморов радиус ах убывает. Иными словами, кривизна верх-
верхних частей проекции траектории больше, чем нижних. Бла-
Благодаря этому проекция траектории переходит в незамкнутую
30

кривую — частица дрейфует влево, если ее заряд положитель-
положительный, и вправо, если он отрицательный (рис. 6 относится к поло-
положительно заряженной частице). Вообще дрейф происходит
в направлении вектора е th grad В].
{/raclB
efhgiadB]
Рис. 6.
Скорость дрейфа wB также легко определить. Примем напра-
направление вектора grad В за ось у, а перпендикулярное к нему
У гай В
Рис. 7.
и к вектору В направление — за ось х (рис. 7). По определению
кривизны
1 _ _ _Ах_
а± "' ds
где а — угол между осью х и направлением касательной к про-
проекции траектории, а дифференцирование ведется по длине этой
траектории (знак минус поставлен потому, что с возрастанием s
угол а убывает). Очевидно dx = ds cos а, и следовательно
dx = —a_i_ cos a da.
Разложим ах (у) по степеням у и оборвем это разложение
на линейном члене
da.
ах. = а± @)
dy
¦У-
31

Найдем приращение абсциссы Ал: = АВ, когда частица из началь-
начального положения А переходит в В (рис. 7). Оно равно
у cos a da.
Чтобы найти Ах в первом приближении, достаточно при интегри-
интегрировании взять у в нулевом приближении, т. е. у = ах cos a.
Вычислив интеграл и разделив Ах на
циклотронный период Т =
дем скорость дрейфа
2ла,
da,
наи-
C.8)
Так как а± =
const
В~~
dy
то этот резуль-
тат приводится к виду
Рис. 8.
Wr=
dB
2В
C.9)
что согласуется с формулой B. 30).
7. Центробежный дрейф. Исследуем теперь влияние кри-
кривизны магнитных силовых линий. Введем локальную систему
отсчета, вращающуюся с угловой скоростью Q вокруг центра
кривизны О магнитной силовой линии (рис. 8). В неподвижной
системе отсчета уравнение движения частицы имеет вид
maa6c = f, C. 10)
где аабс — ускорение частицы в этой системе, a f — полная сила,
действующая на частицу. По теореме Кориолиса уравнение дви-
движения во вращающейся системе отсчета будет
т aorH = i + 2m [v0THfi] — m [G [Qq]] - т [Qq], C.11)
где аотн и v0TH — ускорение и скорость частицы во вращающейся
системе отсчета, a q — радиус-вектор, проведенный из центра
кривизны О к частице. Полная скорость частицы: v = vnep +
voth> гДе vnep
б
р nep
1 — переносная скорость, т. е. скорость,
б
которую имела бы частица, если бы она покоилась во вращаю-
вращающейся системе отсчета. Выберем Q так, чтобы
V|, =vnep = [Qc], (Qq) = 0.
Тогда
Vo-к =
Й =
[hQ].
C. 12)
32

Если N — единичный вектор главной нормали к магнитной сило-
силовой линии, a b = [hN ] — единичный вектор бинормали, то
q = —qN, и следовательно
Й = ^Ь C.13)
Q
По определению кривизны
--?-, C.14)
откуда векторным умножением на h находим
-|-=[h.(hV)h]. C.15)
Из выражений C. 13) и C. 15) видно, что вектор Q первого
порядка малости. Его быстро колеблющаяся часть будет вели-
величиной второго порядка малости. Поэтому члены, содержащие й,
как величины второго или высшего порядка могут быть отбро-
отброшены. По той же причине можно не принимать во внимание изме-
изменение длины радиуса-вектора q во времени. Разложим далее
поперечную скорость Vj. по единичным векторам главной нор-
нормали N и бинормали Ь, т. е. представим эту скорость в виде v_l =
= vN N + vbh. Тогда, имея в виду выражения C. 12) и C. 13),
для кориолисовой силы получим
?к = 2т [v0TH Q] - 2mvN п [Nb] --= 2mvN Q h.
Поэтому в первом приближении уравнение C. 11) перейдет в
maOTH = f + mQ2Q -f 2mvNQ h. C. 16)
Это — уравнение движения в первом приближении в выбранной
нами локальной вращающейся системе отсчета. Система отсчета
выбрана так, что магнитное поле в точках, через которые про-
проходит движущаяся частица, в первом приближении имеет в этой
системе отсчета одно и то же направление. Переход к такой вра-
вращающейся системе отсчета эквивалентен как бы выпрямлению
магнитных силовых линий — относительное движение в первом
приближении происходит так, как если бы магнитные силовые
линии были прямолинейны. Зато в уравнении C. 16) для относи-
относительного движения добавились две силы инерции: центробеж-
наясила Fc = mQ2Q = -N и сила Кориолиса FK = 2mvNQ,h.
Влияние кривизны магнитных силовых линий, таким образом,
эквивалентно действию центробежной и кориолисовой сил. Кори-
олисова сила направлена по касательной к магнитной силовой
линии, а поэтому ее влияние скажется лишь в изменении про-
продольной компоненты полной скорости \— Dy h -j- v0TH. На попе-
¦i Вопросы теории плазмы 33

речное движение частицы влияет только центробежная сила.
Она согласно формуле C. 3) вызывает дрейф со скоростью
^^--4.b, C.17)
что с точностью до обозначений совпадает с формулой B. 29).
§ 4. О сглаживании и усреднении величин,
содержащих быстро колеблющиеся слагаемые
1. Уравнения B. 21), B. 22), B. 24) и B. 25) не составляют
полной системы уравнений дрейфовой теории. К ним необходимо
добавить два уравнения для определения медленно и плавно
меняющихся скоростей рц и vx или, что то же, для определе-
определения медленно и плавно меняющихся импульсов рц = rnv\\
и р± = mvx- Эти плавно меняющиеся величины могут быть
получены из уц, v± или рц, рх путем сглаживания, т. е. уда-
удаления всех быстро колеблющихся членов. Сглаженные величины
будем обозначать буквами с прямой чертой над ними. Посмотрим,
как можно с требуемой точностью получить значения сглаженных
величин, и исследуем их свойства.
2. Пусть / (t) — какая-либо величина, характеризующая
частицу или поле в точке ее нахождения. Все функции / (t),
с которыми нам придется иметь дело, могут быть разделены на два
гипа.
К функциям первого типа мы отнесем такие величины, которые
состоят из медленно и плавно меняющегося слагаемого и быстро
колеблющегося члена нулевого порядка малости. Эти функции
в нулевом приближении, т. е. при отсутствии электрического
поля и пространственно-временных неоднородностей магнитного
поля, строго периодичны, но не вырождаются в постоянные.
К ним относятся, например, векторы v, p, vx, пь п2, . . .,
а также их проекции на неподвижные координатные оси.
К функциям второго типа мы отнесем величины, которые
могут быть представлены в виде суммы медленно и плавно меняю-
меняющегося слагаемого и быстро колеблющегося члена первого или
высшего порядка малости. В нулевом приближении эти функции
вырождаются в постоянные. Примерами таких функций
являются т, иц, v±, рц, рL, В, h, . . .
Сглаживание величины сводится к простому отбрасыванию
быстро колеблющегося слагаемого. Так мы поступали, напри-
например, при выводе формул B. 13), B. 14) и т. д. Трудность здесь
заключается в том, что не ясно, как выделить «быстро колеблю-
колеблющееся слагаемое». Обычно это нетрудно сделать с точностью
до плавно меняющейся величины, порядок малости которой
превышает на единицу порядок малости быстро колеблющегося
члена, В качестве примеров, иллюстрирующих это утверждение,
34

могут служить сглаживания, выполненные в § 2. Если величина
относится ко второму типу, то приведенный способ сглаживания
вносит ошибку, вообще говоря, второго порядка малости. Такая
ошибка во многих случаях допустима. Если этот способ приме-
применить к величинам первого типа, то ошибка будет уже первого
порядка, что, как правило, недопустимо. В этом случае, а также
всегда, когда вообще необходимо повысить точность, сглаживание
можно выполнить с помощью промежуточных операций усредне-
усреднения. Можно пользоваться различными способами усреднения,
остановимся на следующем.
Каждому положению частицы соответствуют циклотронная
еВ
частота
со =
тс
и циклотронный «период»
T(t) =
2птс
еВ
D. 1)
Назовем «.усредненным циклотронным периодом» величину, опре-
определяемую уравнением
t+T(t)
Т (t) =
2T(t)
Г T(t')dt'.
D.2)
t-T(t)
Аналогично определим среднее значение функции f (t) для
момента времени t по формуле
t+T(t)
f(t) =
2T(t)
f(t')dt'.
D. 3)
t-T @
При / (t) si? T (t) формула D. 3) переходит в формулу D. 2).
Усредненная функция / (t) наряду с плавно меняющимся сла-
слагаемым будет, вообще говоря, содержать быстро колеблющуюся
часть. По этой причине операция усреднения в формуле D. 3)
обозначена волнистой линией в отличие от прямой черты, озна-
означающей сглаживание с устранением всех быстро колеблющихся
членов.
3. Введенная нами операция усреднения D. 3) повышает поря-
порядок малости быстро колеблющегося слагаемого, вообще говоря,
на единицу^. При этом сглаженные функции, получающиеся
из f (t) и / (t), могут отличаться одна от другой на плавно меняю-
меняющуюся величину, порядок малости которой превышает порядок
малости f (t) no крайней мере на два.
Для доказательства представим функцию / (t) в виде
где
/ @ = / @ + в @. D- 4)
/) — быстро колеблющееся слагаемое. Разлагая функ-
функцию / (?') по степеням (f — f) и обрывая разложение на члене
3* 35

второй степени, из формулы D. 3) находим
Tit) = fU) + {4- -%-WW + W)\ • D.5)
Допустим сначала, что / (t) — функция первого типа. Тогда
в нулевом приближении б (t) строго обращается в нуль. Следо-
Следовательно, при наличии электрического и неоднородностей магнит-
магнитного полей функция б (t) будет первого или высшего порядка
малости. То же относится и к быстро колеблющемуся слагае-
слагаемому, которое может содержаться в б (t). Что касается вели-
величины -г- ~ш~ IT (i)]2, то она второго (или высшего) порядка
малости. Таким образом, быстро колеблющееся слагаемое в / (f)
будет первого или высшего порядка малости — операция усред-
усреднения D. 3) повысила порядок малости быстро колеблющегося
слагаемого по крайней мере на единицу.
Функция / (t) и б (t), если задаться определенной точностью
расчета, определены не вполне однозначно. Пользуясь этим
произволом, б (t) можно выбрать так, чтобы плавно меняющееся
слагаемое, содержащееся в б (t), либо обращалось в нуль, либо
вообще было величиной второго порядка малости по сравне-
сравнению с / (t). Если бы это было не так, то мы изменили4 бы б (t)
на плавно меняющееся слагаемое соответствующего порядка
малости, включив его в / (t). В таком случае порядок малости
добавочного члена, заключенного в выражении D. 5) в фигурные
скобки, и его плавно меняющейся части будет не ниже двух,
и обе части теоремы для рассматриваемого случая доказаны.
Если функция / (t) второго типа, то доказательство остается
применимым и в этом случае. Достаточно только заметить, что б (t)
в этом случае может быть представлена в виде суммы членов
типа ебг (/), где е — величина первого (или высшего) порядка
малости, a 6t (/) — быстро колеблющаяся функция и притом
такая, что бх (t) в нулевом приближении обращается в нуль.
Доказанная теорема составляет основную идею методов,
которые применяются в настоящей статье. Если требуется сгла-
сгладить какую-либо функцию / (t) и простое отбрасывание ее быстро
колеблющейся части, которое может быть выполнено «на глаз»,
не дает требуемой точности, то для повышения точности можно
сначала перейти к усредненной функции f (t), а. затем сгладить ее.
Сглаживание / (t) выполнить легче, чем / (t), так как быстро
колеблющиеся слагаемые в / (t) более высокого порядка малости,
чем аналогичные слагаемые в / (t). В сущности та же идея была
положена в основу изложения § 2: переход от движения частицы
к движению ее ведущего центра преследовал цель повышения
порядка малости быстро колеблющихся членов.
36

4. Выясним в заключение возможность перестановки опера-
операций сглаживания, и дифференцирования по времени. При этом
будем предполагать, что / (t) — величина нулевого порядка
малости, т. е. не обращается в нуль в нулевом порядке. Обобще-
Обобщение на случай величин более высокого порядка не представляет
затруднений.
Заменяя в формуле D. 3) / (t) на / (t), получим
j f(t')dt' = J-
2T(t) J 2T(t)
Дифференцируя же выражение D. 3) по времени и используя
этот результат, найдем
щ.
или
ft) - Ш + ЩАП^^-тШ _. [f {t) _т j; D< 6)
где
Д/@=/ U + f(t)]-f(t).
При движении в постоянном однородном магнитном поле A/ (t)
обращается в нуль. Поэтому в общем случае A/ (t) будет первого,
a A/ (t) — A/ U — Т (t) ] — второго порядка малости. Следова-
Следовательно, порядок малости выражения в фигурных скобках фор-
формулы D.6) определяется, как правило, величиной f (t)—/ \t).
При / (t) e= T it) величина / (t) — fltf^ T (t) — tji) первого
порядка малости, поскольку Т (t) — функция второго типа.
Поэтому из формулы D. 6) следует
ПО = tjt) D. 7)
с ошибкой более высокого порядка малости по сравнению с f (t).
Производная f (t) относится также к функциям второго типа,
а потому быстро колеблющееся слагаемое в Т (t) будет второго
порядка малости. В силу равенства D. 7) то же самое справедливо
и для быстро колеблющегося слагаемого в Т (t). Отсюда заклю-
заключаем, что с точностью до быстро колеблющихся членов второго
порядка Т (t) является плавно меняющейся величиной первого
порядка малости. Если / (t) — функция первого типа, то / (t) —
— / (t) — быстро колеблющаяся величина нулевого порядка
малости и формула D. 6) дает
/ @ = / @ -i быстро колеблющаяся величина ,л ©\
первого порядка малости *¦ '
57

Если же / (t) — функция второго типа, то
/ (t) = / (t) + быстро колеблющаяся величина ц п\
второго порядка малости. *¦ '
^Величина/ (t) — функция второго типа, а потому содержащаяся
в / (/) быстро колеблющаяся часть будет второго порядка малости.
При сглаживании быстро колеблющихся частей первого порядка
малости их влияние может сказаться на плавно меняющихся
членах второго порядка малости. Быстро колеблющиеся части
второго порядка при сглаживании могут сказаться на членах
третьего порядка. Поэтому, сглаживая выражения D. 8) и D. 9),
получим ¦
/ @ = / (t). D. Ю)
Для функций первого типа это соотношение верно с точностью
до членов второго порядка малости, а для функций второго типа —
до третьего порядка. В дальнейшем нам придется сглаживать
только функции второго типа, а потому с принятой нами точностью
расчета соотношение D. 10) можно считать правильным. С этой
степенью точности операции сглаживания и дифференцирования
по времени перестановочны.
§ 5. Полная система уравнений движения
в дрейфовом приближении
1. Чтобы по формуле B. 21) или B. 32) найти скорость плав-
плавного движения ведущего центра в первом приближении, пара-
параметр v± достаточно определить в нулевом приближении, поскольку
он входит множителем только при величинах первого порядка
малости. Следовательно, производная и± должна быть найдена
в высшем, т. е. первом приближении. В самом деле, параметр
vx = J v± dt надо знать в любой момент времени, в течение
которого рассматривается движение. Это время может содержать
большое число циклотронных периодов. При интегрировании же
по большому промежутку времени порядок малости величин
понижается: величины первого порядка малости переходят,
вообще говоря, ввеличины нулевого, а величины второго порядка —
в величины первого порядка малости. Что касается параметра v ц ,
то он входит множителем при величине нулевого порядка h0.
По-этой причине этот параметр надо определить с большей точ-
точностью, т. е. в первом приближении, а его производную Уц —
во втором приближении. Разумеется, не будет ошибки, если
и производная v± будет вычислена в том же, т. е. во втором,
приближении. Это мы и сделаем в дальнейшем, так как знание
производной v± в таком приближении имеет самостоятельный
38

интерес. Впрочем, поскольку мы не исключаем движений с реля-
релятивистскими скоростями, целесообразно от сглаженных скоро-
скоростей v|| и v± перейти к сглаженным импульсам рц и рх, свя-
связанным с ними соотношениями B. 23). Поэтому мы ставим задачу
о нахождении производных рц и р± во втором приближении.
2. Представив р в виде р = pyh + Pi. Щ, из уравнения A. 2)
получим
dp и dh dp . wn I v ,
Умножая это уравнение скалярно сначала на h, а затем на п1,
найдем совершенно точно
Р\\ =е(Щ + Р±
Рх = е(Еп1)— р„ ( Щ
dt
dh
E.1)
причем мы воспользовались соотношением (п^) = 0, из которого
следует
и dni i „ dh
dt
dt
= 0.
E.2)
С помощью второй формулы B. 11) уравнения E. 1) можно
преобразовать к виду
р\ = е (Eh) + v и рх Щ ¦ (h V) h +
E.3)
— y!|P,|n]-(hV)h
dh
Импульсы рц @ и рх (t) относятся к величинам, которые
в предыдущем параграфе были названы функциями второго
типа. Для таких функций, если пренебречь величинами третьего
порядка малости, справедливо соотношение D. 10). Поэтому
задача вычисления рц и р± во втором приближении сводится
к сглаживанию правых частей уравнений E. 3) в том же прибли-
приближении.
Вычисления во втором приближении довольно кропотливы,
отложим их до § 7 и 8. Здесь же ограничимся вычислениями
производных р и и рх только в первом приближении. Такая
точность при рассмотрении многих вопросов достаточна. В самом
Деле, движение ведущего центра вдоль магнитной силовой линии
39

есть движение «быстрое», поскольку скорость этого движения
содержит член нулевого порядка малости ицЬ0- Во многих вопро-
вопросах при рассмотрении продольного движения можно ограничиться
только этим членом v ц h0 и отбросить все члены высших порядков
малости. Именно так поступили Н. Н. Боголюбов и Д. Н. Зуба-
Зубарев [2, 3]. Движение поперек магнитного поля (дрейф), напротив,
есть движение «медленное». Чтобы его учесть, в скорости плавного
поперечного движения ведущего центра необходимо сохранить
члены первого порядка малости. Если, таким образом, допустить
различную степень точности при вычислении скоростей продоль-
продольного и поперечного движений ведущего центра, то обе производ-
производные ри я рх достаточно найти в первом приближении.
3. Правые части в уравнениях E. 3) являются величинами
первого порядка малости. Поэтому в первом приближении сгла-
сглаживание быстро колеблющихся слагаемых в уравнениях E. 3)
может быть выполнено сразу без промежуточных операций усред-
усреднения. Если воспользоваться формулой B. 18) и принять во вни-
внимание соотношения B. 8), то без труда найдем
р у = е (Eoho) + -у- pxv х div h0;
Рх = — ~2- Рн f j_ div h0. E.4)
Уравнения B. 21), B. 22), B. 23), B. 24), B. 25) и E. 4) обра-
образуют полную систему уравнений дрейфовой теории. Целесообразно
теперь изменить обозначения, а именно: мы не будем ставить
черту над всеми буквами, понимая теперь под R, р\\, р±, . . .
сглаженные значения соответствующих величин. Далее, мы опу-
опустим нулики у Во, Ео, . . ., понимая под В, Е, . . . напряженно-
напряженности полей в точке нахождения ведущего центра*. В этих обозна-
обозначениях
^^^]; E.5)
E.6)
Рх = 2~рц их divh. E.7)
Входящие сюда величины связаны соотношениями
Ри = /лиц; Р± ^ mvx, E. 8)
* Прежними обозначениями мы будем пользоваться и в дальнейшем,
но только при доказательствах и выводах формул. Окончательные же резуль-
результаты будем формулировать в новых обозначениях.
40

т = — gb? ; E. 9)
Уравнение E. 7) может быть записано в виде
,_2я-^Чх. E.11)
Уравнения E. 6) и E. 7) также могут быть заменены двумя
эквивалентными им уравнениями. Одним из них является уравне-
уравнение энергии. Оно получится, если уравнения E. 6) и E. 7) умно-
умножить соответственно на р ц и рх и сложить. Это дает
E.12)
E.13)
или в силу соотношения A.4)
(mc*)
Второе уравнение найдется интегрированием выражения E. 7).
Так как div В = 0, то
divh-div-|-= (B-V-i-). E.14)
Далее, так как скорость поперечного движения ведущего центра —
величина первого порядка малости, то с точностью до величин
второго порядка
d I E 1,
т~в~= ~ж~в 1
и уравнение E. 7) примет вид
d PJ = Q,
dt В
откуда
А
—5- = const. E. 15)
Таким образом, —^- является интегралом движения. Однако
это не точный, а приближенный интеграл движения. Он сохраняется
вследствие малости электрического поля, а также вследствие
медленности пространственных и временных изменений В. Такого
41

рода приближенные интегралы движения называются адиабати-
адиабатическими инвариантами. Следовательно, величина E.15) является
адиабатическим инвариантом. Общей теории адиабатических
инвариантов посвящена работа Крускала [16].
4. Уравнение E. 15) можно записать в двух эквивалентных
ему формах. Во-первых, нетрудно видеть, что с точностью до
величин второго порядка малости средний магнитный поток Ф
через ларморову окружность частицы равен яа^В или в силу
соотношений E. 10)
Сравнивая это выражение с уравнением E. 15), видим, что сред-
средний магнитный поток через ларморову окружность является
адиабатическим инвариантом:
Ф = яа2±В = const. E. 17)
Во-вторых, как видно из выражения A. 15), средний магнит-
магнитный момент частицы, вращающейся по ларморовой окружности,
равен
и- ' ^ - Px°L (Ъ 18)
Значит тц — адиабатический инвариант:
m\i = const. E. 19)
В частности, для нерелятивистских движений
(л = const. E. 20)
Если ввести магнитный момент в уравнение E. 6) и восполь-
воспользоваться соотношением E. 14), то уравнение E. 6) легко привести
к виду
р„ =(eE—|iV?)h. E.21)
Это уравнение имеет простой физический смысл. Величина еЕ
есть сила, действующая на частицу в электрическом поле. Так как
вращающаяся по ларморовой окружности частица имеет средний
магнитный момент — \ih, то со стороны магнитного поля на нее
в среднем действует дополнительная сила —• ^ (Ну) В. Проекция
этой силы на направление h равна — (х (hy В). Сила еЕ — |яуВ
и- вызывает изменение продольного импульса частицы.
§ 6. Более точная система уравнений движения
в дрейфовом приближении
1. Система дрейфовых уравнений Н. Н. Боголюбова и Д. Н. Зу-
Зубарева, полученная в предыдущем параграфе, не вполне после-
последовательна, поскольку из нее поперечная скорость регулярного
42

движения частицы может быть найдена в первом приближении,
а продольная — только в нулевом. Эта непоследовательность
была устранена С. И. Брагинским [7]. По методу Боголюбова
и Зубарева он рассмотрел движение частицы с нерелятивистскими
скоростями и нашел выражения для производных V\\ и 1>х в нуж-
нужном, т. е. во втором, приближении. Мы получим уравнения Бра-
Брагинского в форме, применимой также и для релятивистских дви-
движений. Для этого, как было выяснено в предыдущем параграфе,
надо сгладить во втором приближении правые части уравнений
E. 3). Хотя в принципе сделать это и просто, но вычисления полу-
получаются довольно громоздкими и могут затемнить суть дела.
Поэтому в настоящем параграфе приводится полная система
дрейфовых уравнений без доказательства, а их вывод дается в § 8
после изложения некоторых вспомогательных чисто математи-
математических вопросов, которым посвящен § 7. Читатель, не интересую-
интересующийся доказательствами, может опустить оба эти параграфа,
а также § 9 без ущерба для понимания дальнейшего.
Последовательная система дрейфовых уравнений в первом
приближении имеет вид
F.1)
F.2)
R = [ v || + -g- v±a± (h rot h)J h + ~ [EB] +
+ 0||fl||[h.(hV)hj;
=-e(Eh) +-j- v±pxdivh + eal} (E [h- (hy) h]) —
= ^-f-LPn divh—
(Eh)(h rot h)
[h• (hV) h]
hrot(hV)h.
F.3)
Уравнения E. 8), E. 9) и E. 10) остаются без изменения. Здесь
приняты те же измененные обозначения, которые применялись
в конце предыдущего параграфа.
2. Уравнения F. 1), F. 2) и F. 3) можно упростить, если,
следуя С. И. Брагинскому [7], ввести новые импульсы и соответ-
соответствующие им скорости
Р и -- р и -\~ — рха± (h rot h);
Р± = Р± — -Fr
F.4)
43

v ii + -у-w -i-aj- (h
~- U||Gj.(hroth).
F. 5)
Смысл Vy и Р || был выяснен в § 2. Эти величины представляют
собой сглаженные проекции скорости и импульса частицы на
направление магнитного поля в точке нахождения ведущего центра
частицы. Легко убедиться также, что V х и Р± являются сгла-
сглаженными значгниями величин скорости и импульса частицы, пер-
перпендикулярных к тому же направлению. Впрочем, последнее
утверждение становится очевидным, если заметить, что из урав-
уравнений F. 4) и F. 5) следует с принятой нами степенью точности
рч 1 D2 _ С2 1 02 •
II V -L "" П1 ' ¦' X'
V\ + V\ --- v\ + v\. F. 6)
При преобразовании уравнений F. 1), F. 2) и F. 3) к новым
переменным воспользуемся тождеством B. 20). Взяв ротор от
обеих частей этого тождества, получим
rot (hV) h ¦= — rot [h rot h] = — (rot hV) h -\-
+ (hV) rot h + divh- roth,
откуда
h-rot(hV)h = h-(hV)roth+ (hrot h)div h*. F.7)
Из тождества B. 20) следует также
roth-(hV)h=- 0. F.8)
Используя тождества F. 7) и F. 8), а также соотношение
divB^div(Sh) = hV В + В div h, F.9)
нетрудно получить
+ Vnau[h-(hV)h]; FЛ0)
(hVB) + eau (E[h- (hV) h]) -
F.11)
* Это тождество используется при преобразовании производной от rot h.
Именно в нужном приближении
h — rot h = v ц h-(hV) rot h = v |( h-rot (hV) h — v (| (h rot h) div h.

за во.
(hV fi) _ _± (h rot E) + —t (E [hV
-1- ""Ух (Vfl[h-(hV)h]). F.12)
3. Уравнения F. 11) и F. 12) можно заменить двумя другими
эквивалентными им уравнениями. Одно из них выражает закон
сохранения энергии. Оно получится, если уравнения F. 11) и F. 12)
умножить соответственно на Рц и Р±, а затем сложить. Таким
путем находим
Первый член в правой части уравнения F. 13) выражает работу
электрического поля над частицей, если бы она двигалась со ско-
скоростью ведущего центра R. Второй член связан с работой, кото-
которую совершает вихревое электрическое поле над частицей, вращаю-
вращающейся по ларморовой окружности. Разумеется, в пределах при-
принятой степени точности Р и Vj_ можно заменить на р и v±. Ма-
Магнитное поле в уравнение F. 13) не вошло. Это естественно,
поскольку оно не совершает работы.
Для получения второго уравнения перепишем уравнение
F. 12) в виде
^=" |g-(RViJ)--^=(hrotE). F.14)
Так как
то
Выражение в фигурных скобках обращается в нуль в силу
уравнения Максвелла rot E -\ ^— = 0, и мы получим
p. -Zi_^ F. 16)
Интегрирование последнего уравнения дает
-^ = const, F- 17)
Р2
р
т. е. величина —~ является адиабатическим инвариантом с
45

точностью до членов второго порядка малости. При получении
этого инварианта было явно использовано уравнение Максвелла
rot E -Ь ——^— = 0. Если помимо электромагнитного поля
на частицу действуют другие силовые поля, то величина —~-
может и не быть адиабатическим инвариантом. В самом деле, при
наличии дополнительной силы F, действующей на частицу, урав-
уравнение F. 16) принимает вид
р. _ JLL-^L — iLthrotF F-18)
2В dt
Однако если силовое поле таково, что h rot F = 0, то равенство
{6. 17) по-прежнему остается в силе. В частности, это имеет место
тогда, когда поле F потенциальное.'
4. Окончательно систему дрейфовых уравнений удобно запи-
записать в виде
dt
ea.V ,
= e(ER) ^"i(hrotE);
В
— const.
F. 19)
К этим уравнениям должны быть присоединены уравнения
т ---
eB '
v\ + v2,
cP
F. 20)
Заметим, наконец, что уравнение F. 11) приводится к виду
F.21)
где ц — магнитный момент частицы, вращающейся по ларморовой
окружности; q — радиус кривизны магнитной силовой линии,
проходящей через ведущий центр частицы; b — единичный вектор
бинормали к этой силовой линии.
§ 7. Вывод некоторых вспомогательных формул
1. Чтобы вывести уравнения предыдущего параграфа, надо
сгладить правые части уравнений E. 3), удерживая при этом
плавно меняющиеся члены второго порядка малости. Для этого
46

надо сначала с точностью до членов первого порядка включительно
найти явные выражения для т, Е, h, г»ц, рц, v±, рх и п](
справедливые на малых интервалах времени порядка цикло-
циклотронного периода. Если подставить такие выражения в уравнения
E. 3), то правые части полученных уравнений явно разобьются
на слагаемые первого и второго порядков малости. После этого
нетрудно будет их сгладить либо непосредственным отбрасыва-
отбрасыванием быстро колеблющихся членов, либо при помощи промежуточ-
промежуточных операций усреднения, как описано в § 4. Целью настоящего
параграфа и является нахождение этих выражений, а также вывод
некоторых формул сглаживания.
Предварительно выведем несколько вспомогательных соотно-
соотношений, в которых предполагается, что векторы пх и па взяты
в нулевом приближении, т. е. равномерно вращаются вокруг
, „ еВ
вектора п с угловой скоростью о = .
2. Для производных по времени векторов tii и п2 можно напи-
написать
Щ = [tonj;
n2= [wn2].
G.1)
С помощью равенств A. 18) и A. 11) эти соотношения можно при-
привести к виду
откуда
п1 = о)П2;
п2 = —(л
1
n1dt = ——n2 + const;
j n2 dt — — nx + const.
G.2)
G.3)
Формулы G. 2) и G. 3) по существу являются формулами
дифференцирования и интегрирования синуса и косинуса, записан-
записанными в векторной форме. Интегрированием по частям нетрудно
получить
tnL dt n2 4—r n1 + const;
tn2dt = -i-iii + Д, n2 + const;
const;
G.4)
G.5)
47

Пусть А — произвольный постоянный или медленно и плавно
меняющийся вектор, характеризующий поле в точке нахождения
частицы. Пренебрегая его производными по времени по сравнению
с производными быстро меняющихся векторов rii и п2, в силу
уравнения G. 2) получим
dt
A} =— -rr (n2.(n2y) A} =
4 К'Ку) А} = 4-{nr(n2y) А} =--
dt
G.6)
=- со {n2 • (n2y) A — nx • (nxy) A}.
Очевидно
П2Ф(П1^) A -f- rij-(n2V) A -- 2n2-(nxV) A + rv(n2V) A— n2-(nxV) A =
= 2n2-(nxV) А — Ь-Цп^КУ) A] + [n2-(n2y) A]}
или в силу тождества B. 15)
n2#(niV) A + n1-(n2y) A --- 2n2-(n1y) A — hrot A =
= 2nx-(n2y) A 4-h rot A. G.7)
Аналогично, используя тождество B. 16), получим
п2-(п2у) А — ^-(^у) А = 2п2-(п2у) А — div A + h-(hy) A —
--=—2n1-(n-fi) A + div A — h-(hy)A. G.8)
С помощью тождеств G. 7) и G. 8) формулы G. 6) приводятся
к виду
откуда
2(п1у) А — a>hrotA =
— 2соп1-(п2у) А + cohrot A;
~ {n2-(nlV)A} =-^-{n1-(nBv)A} -
= 2©п2-(п2у) А — со {div A — h-(hy) А} =
1^A1^) А + со {div A — h-(hy) A},
j щ ¦ (щ\) A dt = — -^ п2 • (riiV) A
+ 4" (div А — h • (hy) A} + const -=--
G.9)
-18

= _ J^nr(n2v) a + -у- (div A — MM A) +const;
J n2• (n2v) Ай = -^п,.(n^) A +
-i- -y-{div A — h-(hV)A) + const -=
= •^-rvfn.sv) A 4 4" (divA — h>(M A) -r const;
J n2¦ (nxv) АЛ = -^п1.(n^
hrot A -}- const ==-
-~-= —y— n2-(n2y)A + -у- hrot A + const;
ni • (n2V) A dt = -o— tij • (nxv) A s~ h ret A -b const -
hrot A + censt.
G.10)
Из первых двух формул G. 10) непосредственно получается
j'{n2.(n2v) A — n,.(n1v)A}d*=™iv(n1v)A + const. G. 11)
3. Примем за оси х и у (с ортами i и j) мгновенные направления
векторов П! и п2 в момент времени t = 0. Ось z направим вдоль
вектора h. Тогда
щ = i cos at + j sin cot; n2 = —i sin со/ + j cos at. G.12)
Нетрудно получить соотношения
1
1 / дАи , дАх \ .
-\- -^ ~^- + S-^ Sin
1 2 \ дх ' ду I
n2.(n2V) А =
1G.
ду
2 V дх
Вопросы теории плазмы
ду
G. 13)
49

из которых следует
"i • KV) A + n2- (n2v) А = ~ +
= divA — h-(hy)A;
ду
na.(nlV)A-n1.(n8V)A = -^-1-*_ = hrotA;
n, • (nlV) A - n2- (naV) A = D4*- - Щ^-) cos 2ft,/ +
П1.(п2у) А + n,.(nlV) A =
cos
G. 14)
4. Выведенные формулы позволяют очень просто решить
поставленную в начале настоящего параграфа задачу — найти
выражения для т, Е, h, . . . в первом приближении, пригодные
на малых интервалах изменения времени порядка циклотронного
периода Т (t). В качестве примера найдем выражение для массы
частицы. По уравнению энергии
dm t
~Ж = "с
С принятой нами степенью точности все величины справа, за исклю-
исключением nlt могут считаться постоянными. Они могут быть выне-
вынесены из-под знака интеграла — это может внести ошибку второго
порядка малости. С той же степенью точности быстро вращаю-
вращающийся вектор т\х достаточно взять в нулевом приближении.
Таким образом
m (t) = j ~v„(hE) dt + J ~ v± A4E) dt =
откуда на основании первой из формул G. 3)
« @ = ^i- (hE) t - ^ (п,Е) + const.
Входящую сюда постоянную можно определить следующим
способом. Усредним выражение для m (t) по формуле D. 3), пола-
полагая в ней t = 0. При таком усреднении оба первые слагаемые
обратятся в нуль, и искомая постоянная окажется равной m @).
50

Итак,
где
m(t) = m @) + б/и,
ev,
с возможной ошибкой второго порядка малости.
Аналогично из формулы
17" - Ж
п,V)
G. 15)
G. 16)
находим
Далее
В @ = В @) + 6В;
h @ =-. h @) + 6h;
E(t) = E~@J
6E ^
G. 17)
G. 18)
G. 19)
Наконец, найдем в первом приближении рц (/) и Рх @-
Для этого проинтегрируем уравнения E. 3). Воспользовавшись
первой формулой G. 10), а также соотношением
G. 20)
получим
бр„ =
V±P±
4ш
(hroth)
v.p
X^-L
G.21)
* Это соотношение следует из того, что n2 (nxV) А содержит быстро колеб-
JI|25?e5i_cilfraeMOe первого порядка малости, а потому аналогичное слагаемое
в n2 (ijV) А будет второго порядка. Поэтому с точностью до ошибки второго
порядка малости 7Г7~(п1^Га должно совпадать с n2 (i^V) А. Значение послед-
последней величины дается формулой B. 19) и равно — (h rot A).
4* 51

Ър± -
CO
2c0
G. 22)
5. Несколько сложнее найти выражения для векторов n, (t)
и п2 (/). По определению
П-. - r^r ¦ ^
Дифференцируя это выражение по времени и пользуясь уравне-
уравнениями A.2) и E. 1), без труда найдем
G. 23)
В отличие от всех предыдущих примеров производная -—
наряду с членами первого порядка содержит также член
— -— [Впх] нулевого порядка малости, с наличием которого
и связано некоторое усложнение расчета. Предварительно надо
выделить из пг быстро вращающийся вектор п? нулевого порядка
малости, производная которого в этом порядке была бы равна
[Bni]. После этого вычисление малой поправки бп,
тс * f 1
к нему может быть сведено к простому интегрированию, совер-
совершенно аналогичному интегрированию при вычислении величин т,
В, h и т. д. Итак, представим единичный вектор пх в форме
п, = п° + бп,. G. 24)
Равномерно вращающийся единичный вектор п? определяется
не однозначно, а с точностью до величин первого порядка малости.
Распорядимся этим произволом так, чтобы вектор п° удовлетворял
уравнению
. ~-=[(о0п1], G.25)
где со0 — постоянная угловая скорость
©о = -ШШ- ¦ G. 26)
0 m(Q)c V ;
После этого вектор п^ определяется все еще не вполне одно-
однозначно, так как в нашем распоряжении остаются три произволь-
произвольные постоянные, определяющие начальное значение вектора nj.
52

Они связаны между собой лишь условием, чтобы вектор п? был
единичным с возможной ошибкой второго порядка малости.
Подставляя теперь выражение G. 24) в уравнение G. 23),
принимая во внимание уравнение G. 25) и опуская величины вто-
второго порядка малости, получим
причем
¦> В __В В7б) _ тбВ — Вб/п
т т
т@)
Заметим, что в членах первого порядка малости безразлично, что
писать: <»0, п? или <л, п1; так как разница скажется лишь во вто-
втором порядке. Этим мы будем пользоваться в дальнейшем без осо-
особых оговорок.
Уравнение G. 27) все еще не удобно для вычисления вектора
btii, так как в правой части оно содержит самый вектор бп!,
значение которого в первом приближении еще не известно. Поэтому
мы не можем прямо взять интеграл от правой части уравнения
G. 27) и вынуждены воспользоваться следующим искусственным
приемом. Так как п; и п° — единичные векторы, то из равенства
G. 24) с точностью до величины второго порядка малости следует
ii6ni = 0. Таким образом, вектор бп! перпендикулярен к пх
и, следовательно, может быть разложен по единичным векторам п2
и h:
fin! = an2 I- ph. G. 28)
Отсюда
a = (побпх); Р = (h6nx).
Задача свелась к вычислению коэффициентов а и р. Для ее
решения найдем сначала производные этих коэффициентов по време-
времени. При дифференцировании Р по времени вектор h можно не диф-
дифференцировать, так как пбпх — величина второго порядка мало-
сти. Далее, ^6^ =—(on^nj = 0. Наконец пб— =б —.
Принимая все это во внимание, из предыдущих формул и из
Уравнения G. 27) получим
da е А В 1 ( ,„ / dh
dt с т р± { " \ 2 dt
-77- т- — 0) (П2бИ) — П, -JT- *
dt v 2 / \ *¦ dt )
53

При этом
s, В тбВ — В&т ._ ОА.
6^г = —лг*—• G-3°)
Теперь в правых частях уравнений G. 29) стоят только функ-
функции, которые в первом порядке могут считаться известными.
Поэтому искомые коэффициенты а и Р могут быть найдены из
уравнений G. 29) тем же методом интегрирования, который ранее
применялся для нахождения функций т (t), В (t) и т. д.
Введем выражение G. 30) в уравнения G.29) и подставим вместо
6m, 6B и Sh выражения G. 16), G. 17) и G. 18). Кроме того, преобра-
преобразуем -JT- по формуле B. 11), отбросив в ней -^-. Интегри-
Интегрируя полученные выражения для -^- и ~ по времени с исполь-
использованием формул G. 3), G. 4), G. 10) и G. 11), найдем
a--^L (hV*)+-?-(hE)}—f-hroth-f
и2
mew2 ч -1 ;
tr
2
¦ na • (h\) h — — nx • (nxV) h -f const;
G. 31)
Единичный вектор nx определится теперь выражением пх =
= n? + an2 + §h. Остается определить аддитивные постоянные
в формулах G. 31). Эта задача не вполне однозначна, поскольку
равномерно вращающийся вектор п° до сих пор был определен
только дифференциальным уравнением G. 25), т. е. неоднозначно.
Выберем вектор п° так, чтобы он был перпендикулярен к h @).
Кроме того, постоянную в выражении для а определим так, чтобы
при t = 0 коэффициент а обращался в нуль. Значение этой по-
постоянной в дальнейшем не понадобится, а потому мы не будем
вычислять ее. Вычислим лишь постоянную в выражении для Р (t).
Полагая t = 0, получим rij @) = nj @) + |3h @), откуда скаляр-
скалярным умножением на h @) находим начальное значение р1:
P@)=-h@)n»@).
В силу соотношений G. 18)
(Нулик означает, что величина, заключенная в фигурные скобки,
берется при t = 0). А так как вектор h @) перпендикулярен к ni,
54

то
чем однозначно определяется f>(t). Аддитивная постоянная в выра
жении для р\ таким образом, равна
Здесь нулик можно опустить, так как в силу формул G. 14)
результат в принятом приближении не зависит от времени.
Сделаем одно существенное замечание о виде формул G. 31).
Вместо единичного вектора п° можно было бы взять какой-либо
другой равномерно вращающийся вектор с угловой скоростью,
отличающийся от выражения G. 26) постоянным слагаемым боH
первого порядка малости. Тогда в правой части уравнения G. 27)
добавилось бы слагаемое [dwo-nj. Это повело бы к тому, что
в первой формуле G. 29) появился бы дополнительный член
1бо> о Пх] п2 = (бо) oh), а во 2-й формуле G. 29) — член [бсоо-Пх] h =
= — (бю0п2). От их интегрирования в формулах G. 31) полу-
получились бы дополнительные члены Fft>oh)^ и (боцП^. Если
менять только длину вектора (о0, но не его направление, то 6ш0 =
= 6cooh @) или с точностью до величин второго порядка малости
бю0 = 6tooh. Следовательно, (бооГ^) = ёсоо (hnx) = 0 и вторая
формула G. 31) останется без изменения, а в первой появляется
добавочный член, линейный по t.
Таким образом, если вектор n° (t) выбрать перпендикулярным
к h @) и потребовать, чтобы коэффициент а обращался в нуль
при t = 0, то для а и Р получатся выражения
а = —— ( 1 + —И (En.) + —V (
-^~Щ (hV)h - -2~ Щ¦ (niV) h + (а/2 + bt + d); G- 32)
Эти формулы совместно с выражениями G. 24) и G. 28) и решают
задачу. Полином второй степени at2 + bt + d с постоянными
коэффициентами a, b, d является величиной первого порядка
малости. Как будет видно из дальнейшего, наличие этого поли-
полинома не сказывается на результатах сглаживания функций,
которое мы будем производить ниже. При этом длину вектора ю0
можно менять на произвольное слагаемое первого порядка малости—
это совсем не отразится на второй формуле G. 32), а в первой фор-
формуле скажется только на значении коэффициента в линейном
55

члене Ы. Этим произволом можно пользоваться для упрощения
вычислений.
6. Закончим этот параграф выводом нескольких вспомога-
вспомогательных формул, относящихся к усреднению и сглаживанию вели-
величин, содержащих быстро колеблющиеся члены. Будем полагать,
что А и С — постоянные или медленно и плавно меняющиеся
векторы, а п1 и п2 возьмем в нулевом приближении. Формулы
такого типа уже были получены, а именно: формулы B. 13),
B. 14), B. 17), B. 18) и B. 19). Этими, а также аналогичными
им формулами мы воспользуемся в следующем параграфе.
Общий прием нахождения сглаженных величин, который мы
будем применять, заключается в следующем. В некоторых слу-
случаях сглаживаемая величина может быть представлена в виде
постоянной (или медленно и плавно меняющейся) величины
и быстро колеблющейся величины первого порядка малости.
В таких случаях сглаживание сводится к простому отбрасыванию
этих быстро колеблющихся величин. Так мы поступали, напри-
например, при выводе формул B. 13), B. 14) и т. д. В других случаях
сглаживаемая величина может содержать быстро колеблющиеся
слагаемые нулевого порядка малости. Тогда мы сначала по фор-
формуле D. 3) находим среднее от этой величины для момента вре-
времени t = 0. Ввиду произвольности начала отсчета времени вычис-
вычисленное таким путем среднее легко представить в форме, примени-
применимой для любых t. Оно будет содержать, вообще говоря, быстро
колеблющуюся часть уже первого порядка малости, которую можно
просто отбросить. Обоснование такого метода сглаживания было
дано в § 4.
Прежде всего очевидно, что с принятой точностью
(Ап2) = 0. G.33)
Далее, умножая соотношения B. 14) скалярно на С, получим
(Ani)(Cn8)=-?-(h[AC]). G.34)
Выражения G. 13) на циклотронном периоде Т — орто-
ортогональны к выражениям (пгС) и (п2С). Это дает следующий ряд
соотношений:
Mi^V) A-(nuC) = n2(n2V)A-(n1C) =
== n7(n1V)A.(n1C) = ni(naV)A.(niC) -
A • (naC) = n2 (n2V) A • (naC) =
= ng (njV) A ¦ (n8C) - n, (n,V) A • (n8C) = 0. G. 35)
56

Для сглаживания выражения nt (hV) (n2V) А представим
его в виде
щ .(hV) (n2V) A = пи (hV) (n2x ™± + п2у^
и заметим, что в силу соотношений G. 12)
_
nlxn2y -¦ ntxnly —
Это дает
n.VJA =| (hV)
«u«su = nlyniy ---= 0; ]
i G.36)
J
или
iv(hV) (naV) A = - 4 (hv) (hrot A)- G-37)
В частности, при A s= h
n1-(hV)(n2V)h = ^-(hV) (hroth). G.38)
Это выражение можно преобразовать. Применяя правило
дифференцирования произведения к (hroth), получим
(hV) (h rot h) = rot h • (hV) h + h- (hV) rot h.
Первое слагаемое в правой части обращается в нуль в силу тож-
тождества F. 8). Поэтому
(hV) (h rot h) =-. h- (hV) roth G.39)
или в силу тождества F. 7)
(hV) (hroth) = h-rot(hV)h — (hroth) divh. G.40)
Таким образом
nx • (hV) (n2V) h == — -f h rot (hV) h +
+ 4"(hroth) divh. G.41)
Аналогично, переходя к координатной форме записи и сглажи-
сглаживая, нетрудно получить
4-((n2V)AV)A - - 4 {div A — h (hV) A} (h rot A); G. 42)
ni(n1V)(n2V) a =-- 0. G. 43)
57

Последнее соотношение является следствием ортогональности
функций п1х и п1у к функциям п1хп2х, пип2у, ... на циклотрон-
циклотронном периоде изменения времени.
Сгладим теперь выражение nx (i^V) A n2 (nxV) С. Преобразо-
Преобразовав его с помощью формул G. 13), а затем усредняя, получим
t/ / \ дх '' ду )
дСх
Су \
у ) '
дх "*" ду ) \ дх ду
Множители —г^ -^—х-^ = div А — h (hV) А и —^ ^- =
дх { ду v ' дх ду
— (hrotC) меняются плавно. Что касается остальных множи-
множителей, то они являются быстро колеблющимися. В этом можно
убедиться, если выражения
Ц^ + -^l = п2• (nxV) А + пх • (паV) А
сопоставить с формулами G. 14). Поэтому в результате сглажива-
сглаживания найдем
n1(n1V)A-n2(n1V)C = — tij^V) A-n1(n2V)C =
= -^{divA —h(hV) A} (hrotC). G.44)
Особого рассмотрения требует сглаживание вековых членов,
т. е. членов, содержащих время t в первой или второй степенях.
Такие члены появляются в правых частях уравнений E. 3) после
подстановки в них выражений для »ц, /?ц, пх, . . . Множители t
или ?2 при этом будут входить всегда в комбинации с коэффициен-
коэффициентами, являющимися величинами второго порядка малости.
За начало отсчета времени мы принимаем тот момент, для кото-
которого надо найти сглаженные значения производных рц и р±
в уравнениях E. 3). Поэтому сглаженные значения вековых чле-
членов следует найти также для момента времени t = 0. При. этом,
как следует из приведенного выше вывода выражений для вековых
членов, время t может принимать небольшие значения порядка
нескольких циклотронных периодов.
Каждый вековой член вносит соответствующий вклад в ско-
скорость изменения импульсов рц и р±. Усредняя этот член по
58

формуле D. 3), мы заменяем соответствующее ему слагаемое
в мгновенной скорости его средним значением на временном
интервале (—Т, -\-Т); в середине этого интервала находится
нулевой момент времени, для которого ищется значение соответ-
соответствующей скорости. Если нужно найти значение усредненной
скорости в другой момент времени, то при вычислении мы должны
сместить начало отсчета времени таким образом, чтобы этот дру-
другой момент времени сделался временно нулевым. Ясно поэтому,
что таким путем может быть получено среднее значение векового
члена для любого момента времени. Оно может меняться либо
плавно и медленно, либо содержать быстро колеблющиеся члены.
Последние будут второго порядка малости, и сглаживание све-
сведется к простому отбрасыванию этих членов.
Перейдем теперь к конкретным примерам сглаживания веко-
вековых членов, которые понадобятся нам в дальнейшем. Начнем
с членов tnx (t) и tn2 (t). Пользуясь формулами G. 4), найдем
В силу периодичности векторов nt (t) и n2 (t) в нулевом при-
приближении nt (T) = пг (—Т) = пх @) и аналогично для п2. Поэтому
Если изменить начало отсчета времени, то соответствующие члены
заменятся на — па@ и — nx (t). Это — быстро колеблющиеся
члены, выпадающие при сглаживании. Таким образом,
/п1@ = /п8@ = 0. G.45)
Совершенно аналогично с помощью формул G. 5) находим
*Ч (*) ='Ч @ = 0. G.46)
Формулам G. 45) и G. 46) можно придать другой вид, если
спроектировать их на неподвижные координатные оси х и у. Это
дает
G. 45а)
/2 cos at = t2 sin со/ -- 0. G. 46a)
Разумеется, эти соотношения останутся справедливыми при замене
© на 2со. Пользуясь ими, легко выполнить многие сглаживания.
Например, для сглаживания величины t (Апх) (Сп^ направим
х вдоль вектора А, совместив координатную плоскость ху
59

с плоскостью (А, С). Обозначив через б угол между векторами А
и С, можно написать
t (Atii) (Cnx) -=tAC cos at cos (at -f 6) =
tAC
= „ {cos 6 -f- cos б cos 2w? — sin б sin 2a>t),
откуда на основании равенств G. 45а) заключаем, что искомое
сглаженное равно нулю. Итак,
/ (Anx) (Cna) = t (Anj) (Cna) = 0. G. 47)
Аналогично из внешнего вида выражений G. 13) без всяких
вычислений следует
= 7na.(n2V)A = 0; G. 48)
/2 |n2 (niV) А + щ (nsV) А} = 0 *. G. 49)
Никаких вековых членов, кроме отмеченных выше, в дальней-
дальнейшем не встретится. Таким образом, сглаженные значения всех
вековых членов, которые будут встречаться в дальнейшем, равны
нулю.
% 8. Вывод последовательной системы уравнений движения
в дрейфовом приближении
1. Пользуясь результатами предыдущего параграфа, мы можем
теперь дать вывод системы дрейфовых уравнений, приведенной
в § 6 без доказательства. Для этого надо сгладить правые части
уравнений E. 3), удерживая регулярные члены второго порядка
малости и пренебрегая всеми членами высших порядков, а также
быстро колеблющимися членами второго порядка малости.
Прежде всего можно отбросить в этих уравнениях члены, содер-
содержащие -jrr, так как они являются быстро колеблющимися вели-
величинами второго порядка малости. Далее, очевидно
(Ih) = (Eoho). (8.1)
* Следует предостеречь читателя от неправильного понимания операций
усреднения и сглаживания вековых членов. Быдо бы ошибкой понимать эти
операции в следующем смысле: сначала усреднить вековой член для произволь-
произвольного момента времени t, т. е. на интервале (t — Т, t -f- Т), не полагая t = О,
а затем сгладить. При таком понимании результат применения операций усред-
усреднения и сглаживания к вековому члену явно содержал бы время t, что бессмыс-
бессмысленно. Правильное понимание, как уже отмечено выше, состоит в том, что сна-
сначала выполняется усреднение для момента времени t= 0, т. е. на интервале (—Т,
-\-Т); затем полученный результат распространяется на любой момент времени
и, наконец, сглаживается.
60

В члене первого порядка малости Etij заменим Е выражением
G. 19), а П! — выражением п1 = п°{ -\- <xn2 + (Jh. Тогда, опуская
величины третьего порядка малости, получим
Enx = 1ЩпО1 + vlltn1(hV)E-~
- -^ п, • (n2V) Е + а (Еп2) + Р (Eh). (8. 2)
В членах второго порядка малости мы не делаем различия
между П[ и п°, а также между Е @) и Е, поскольку это различие
может сказаться лишь в третьем или высшем порядке. Следова-
Следовательно, в членах второго порядка векторы пх и п2 можно считать
равномерно вращающимися, что дает возможность воспользоваться
всеми формулами усреднения и сглаживания, выведенными в § 7.
Первое слагаемое в выражении (8. 2) сначала усредним для
/ = 0. Пользуясь произволом в выборе длины вектора угловой
2л ~
скорости w0, положим со0 = д . Тогда при усреднении первый
член Е @) п? в точности обратится в нуль, поскольку вектор Е @)
постоянный, а вектор п° равномерно вращающийся с угловой
скоростью соо. Так как выбор начала отсчета времени произволь-
произвольный, то этот результат справедлив для всех значений I. Слагае-
Слагаемое V\\tnl (hV) E при сглаживании обратится в нуль в силу фор-
формул G. 45). Третье слагаемое в силу формул B. 19) даст
Ц
_i^ni.(naV) Е = -^L(hrotE) =-- -Ц- (hrot E).
При сглаживании четвертого слагаемого а (Еп2) с помощью
соотношений G. 32), G. 33), G. 45), G.46), G. 34) и G. 35) без
труда найдем
о
i
Аналогично из соотношений G. 32), G. 45) и B. 19) находим
Р (Eh) = - -gi- (h rot h) (Eh) -, -i- (Eh) (h rot h).
Окончательно
ea,. ea N v „
-± (Eh) (h rot h) + -XJ- (E [h • (hV) h]). (8. 3)
61

(h [E-(hV) h]) = -^L(E lh.(hV)h]);
= -4L (~) (E[h-(hV)h]);
с
i (hV) h = vl}p±an2 (hV) h =
1^pxn1-FhV)h = — aiipx"x (h rot h) div h;
y!iP±n1-(hVNh =
^L {(h rot h) div h — h rot (hV) h}.
Остальные (первые) два слагаемые в правой части выражения (8. 4)
при сглаживании дадут нули. Окончательно
Аналогично
i. (8.5)
-ollPlln1.(hV)h = -^p-(E[h.(hV)h]) +
h. (8.6)
Остается сгладить два выражения: ОхРцп^^У) h и
itixV) h. Имеем:
vхр „ щ ¦ КV) h = ^хТб) р7(б) п? • (n?V) h +
+ бр ц yxnL • (щV) h + брxv || nx • (n_tV) h — oxw и дтщ ¦ (щV) h -f
h + пг-FП1У) h} +
(n1VNh. (8.7)
62
Для сглаживания выражения Vfipxn1 (hV) h представим
его в виде

Все слагаемые в правой части, за исключением первого, при сгла-
сглаживании обратятся в нуль. Первое слагаемое представим в виде
= ЬТФ) PVW) n?• (n?V) МО) + и±Р±щ.(щV) в
Усредняя в смысле формулы D. 3), найдем для t = О
В силу произвольности выбора начального момента времени
значение аргумента t = 0 можно заменить на произвольное зна-
значение t. Далее, vx(t), p\\ (t), h(t) отличаются от vx(t), рц (t),
h (t) на быстро колеблющиеся члены второго порядка малости.
С той же точностью .h (t) совпадает с h0 (t) — значением единич-
единичного вектора h в точке нахождения ведущего центра. Поэтому
vxp || пх ¦ (nxV) h =—vxp\\ div h0. (8. 8)
Аналогично
y_Lp_Ln1.(n1V)h =-2-y_Lpj.divh0. (8.9)
2. В результате после сглаживания уравнений E. 3) получаем
искомые уравнения
_Л_ 1
Р |[ "= е (Eoho) + -о- V±P± div ho + еа ii (Eo tho ¦ (hoV) h0]) —
(8.10)
ivh0 -^ (h0rot Eo) + ^ (
+ -^ (Eoho) (h0 rot h0) + a^P± (^ [h0• (h0V) h0]
+ 4«n^iihorot(h0V)h0. (8.11)
При написании этих уравнений все поля мы отнесли
к ведущему центру и всюду написали сглаженные значения р ,
Рх, v v±. Это существенно, разумеется, лишь в членах пер-
первого порядка малости. В членах второго порядка нет надобности
Делать различие между р и р.., Во и В и т. д. Эти уравнения
только обозначениями отличаются от уравнений F. 2) и F. 3).
Об изменении обозначений было сказано в п. 3 § 5.
63

3. При выводе системы дрейфовых уравнений предполага-
предполагалось, что поперечная скорость частицы v (а следовательно;
и ее поперечный импульс) не слишком мала. Только при этом
условии первый член в уравнении G. 23) велик по сравнению
со вторым. Во втором члене р стоит в знаменателе, и при доста-
достаточно малом рх этот член может превзойти первый, как бы велико
ни было магнитное поле В. Если представить п2 в виде п2 =
= [Ипх], то легко видеть, что условием применимости приве-
приведенного выше вывода является выполнение неравенства
Случай
(8. 13)
требует особого рассмотрения. Легко, однако, видеть, что и в этом
случае система дрейфовых уравнений по-прежнему справедлива.
В самом деле, при соблюдении условия (8. 13) рх становится
величиной первого порядка малости. Благодаря этому, как было
показано в конце § 2, уравнение B. 21) упрощается и переходит в
R =о h0 -Ь-^[Е0В0] +о a [tv(h0V)h0]. (8. 14)
Поперечная скорость в это уравнение совсем не входит, а потому
достаточно получить уравнение только для р... Как видно из урав-
уравнения (8. 10), оно должно иметь вид
~р „ = е (Eoho) + т „ Ео [h0 • (h0V) h0]. (8. 15)
Задача, таким образом, сводится к доказательству справедли-
справедливости уравнения (8. 15) при соблюдении условия (8. 13). При этом
условии последние два члена в первой формуле E. 3) следует
отбросить, поскольку они будут третьего порядка малости. Пере-
Перепишем эту формулу в виде
/>|I=e(Eh)+o||px.(hV)h. (8.16)
Первое слагаемое в правой части при сглаживании переходит
в в (Eoho). Чтобы сгладить второе слагаемое, найдем рх в первом
приближении. Дифференцируя по времени р± = р — p,.h и пре-
пренебрегая величинами второго порядка малости, получим
64

или
-it = hPx] + A, (8.17)
где
A =eE± — pllvVi (hV)h. (8. 18)
Нас интересуют значения вектора р± на небольших интервалах
изменения времени порядка циклотронного периода Т. Для таких
времен угловая скорость ю и вектор А могут рассматриваться
как постоянные. В этом случае уравнение (8. 17) легко решается.
Действительно, положим рх = р°± + С, где С — постоянный
вектор. Выберем его так, чтобы [юС] + А — 0; кроме того,
выберем вектор С так, чтобы он был перпендикулярен к со- Тогда
C = -U©A];
dt " L Pi-I "
Таким образом,
Р, =Р°, +Л[юА], (8. 19)
где р^ — вектор постоянной длины, равномерно вращающийся
с постоянной угловой скоростью ю и притом перпендикулярный
к магнитному полю В. При подстановке в формулу (8. 16) это
слагаемое не играет роли, так как вносимый им член при сгла-
сглаживании обратится в нуль. Поэтому при сглаживании второе
слагаемое в формуле (8. 16) перейдет в
чем и завершается доказательство формулы (8. 15).
§ 9. Другой подход к уравнению движения ведущего центра
Методы, развитые в предыдущих параграфах, позволяют
подойти к уравнению движения ведущего центра с другой точки
зрения. С этой точки зрения совсем не требуется вводить понятие
ведущего центра. Задача может быть поставлена как задача о нахо-
нахождении сглаженной скорости самой частицы, а не ее ведущего
центра. Так как мы располагаем всеми необходимыми формулами
Для решения задачи в такой постановке, то имеет смысл это реше-
решение привести. При этом, чтобы не усложнять вычисления, огра-
ограничимся рассмотрением нерелятивистского случая. В реляти-
релятивистском случае никаких дополнительных трудностей не возни-
возникает, только вычисления становятся немного длиннее. Найдем
0 Вопросы теории плазмы 65

сначала сглаженный вектор импульса частицы. Разделив его
затем на массу частицы, получим искомую сглаженную скорость.
Сглаживание проведем для момента времени t = 0. Поскольку
начальный момент времени может быть выбран произвольно,
это не является каким-либо ограничением.
Представив импульс частицы в форме
V = p^n + pj\lt (9.1)
введем сюда выражения G. 21), G. 22), G. 18) и G. 24). Ограни-
Ограничиваясь членами первого порядка малости, получим
Мб)
+ р^Щ n° + бр^ + рхбП1. (9. 2)
Первый член в правой части при сглаживании перейдет в р h.
Члены ЪЬр и p..6h при усреднении обратятся в нули. В самом
деле, согласно определению ёр = р —р @), откуда усред-
усреднением находим, что в принятом нами приближении Ьр = 0.
Аналогично 6h = 0. Член р± @) п° также обратится в нуль
при усреднении, так как п? есть равномерно вращающийся еди-
единичный вектор. Остается только сгладить члены 6p.ni и р бн^
Для первого из них из выражения G. 22) находим
6рхпх = - -L (En2) nx + ^Ll (n2. (hV) h) П1 +
Третье слагаемое в правой части обратится при усреднении в нуль,
так как в силу формул G. 13) функция п^НхУ) h на цикло-
циклотронном периоде ортогональна к функции пх = i cos tot + j sin (at.
Два последних слагаемых при сглаживании также обратятся
в нули; в силу формул G. 45) и nx (if) = 0. Поэтому, сглаживая
два первых слагаемых с помощью формул B. 14), получим
Далее, из выражений G. 28) и G. 32) находим в нерелятивистском
приближении
р , 6п, = — (Епх) п2 + ¦—¦ (n, VB) n2 — -^i- (nx • (hV) h) n2 —
' X 1 СО V 17 а ' СОJ XI /2 СО //2
(па • (nxV) h) n2 + px (ai2 + 6/ + d) n2
66

- pxv u t К (hV) h) h + -^ (n, ¦ (naV) h) h.
Отсюда путем сглаживания получим
44 Ц^- fh • (hV) h]
Принимая теперь во внимание соотношения A. 12), A. 21)
и A. 22), нетрудно получить
^1+Р|1аи [h-(hV)h]. (9.3)
После деления на т это выражение переходит в формулу B. 21),
что и следовало ожидать.
§ 10. Примеры
Р2
1. Адиабатическая инвариантность выражения ——- может
быть пояснена на следующем простом примере. Пусть частица
движется в однородном, но переменном магнитном поле. Пусть
скорость частицы перпендикулярна к магнитному полю. В постоян-
постоянном магнитном поле частица двигалась бы с постоянной ско-
скоростью по ларморовой окружности радиуса, определяемого фор-
формулой A. 21). Если магнитное поле меняется во времени медленно,
то траектория, описываемая частицей в течение циклотронного
периода, будет мало отличаться от окружности. Ее радиус можно
2
найти, если центробежную силу — приравнять силе — v В,
О, | С •*•
с которой на частицу действует магнитное поле. Ради простоты
мы рассматриваем движение с не релятивистскими скоростями.
Это дает
^^^ (Ю.1)
в согласии с выражением A. 21). Ларморов радиус а± будет
медленно изменяться во времени. Поперечный импульс р± также
будет медленно меняться. Это происходит потому, что переменное
магнитное поле индицирует электрическое поле, имеющее каса-
касательную компоненту Es вдоль траектории частицы. Для скорости
изменения поперечного импульса р можно написать
р± = еЕ,, A0.2)
5* 67

Здесь Es, вообще говоря, медленно меняется с течением времени.
Однако изменениями этой компоненты за время порядка цикло-
циклотронного периода можно пренебречь. Далее, ввиду незначитель-
незначительного отклонения траектории частицы от ларморовой окружности
(последняя на рис. 9 изображена пунктиром) Es можно заменить
проекцией вектора Е на направление касательной к ларморовой
окружности. Тогда Es определится из уравнения
па2.
dt
dB
dt'-
.В. (ю.з)
которое дает
F ^_ ^±_ dB _
s 2c ' dt ~ 2еВ ' dt
В результате уравнение A0. 2) пе-
переходит в
dPx Pj-_ _ dB
dt
dt
A0.4)
Интегрируя это уравнение, найдем
А
в
~ const.
A0.5)
Рис. 9.
Рассмотрим теперь случай посто-
постоянного, но неоднородного магнитного
поля. Для простоты предположим, что ведущий центр ча-
частицы движется в направлении одной из магнитных силовых
линий. В этом случае причина изменения импульсов Р., и Р±
несколько иная. На частицу со стороны магнитного поля дей-
действует сила F = — [vB ] = — [vh]. Она имеет составляющую
Fho =-— [vh] h0 = [hh0] v вдоль вектора h0, так как
угол между h и h0, вообще говоря, отличен от нуля. Эта состав-
составляющая будет менять продольный импульс Р... В силу сохранения
энергии Р\ + Р\ = const, а потому будет меняться также
и поперечный импульс Р .
К рассматриваемому случаю применимо также рассуждение,
с помощью которого была получена формула A0. 5). Более того,
оно применимо и в том случае, когда неоднородное магнитное
поле меняется во времени. Существенно только, что ведущий
центр частицы в рассматриваемый момент времени движется
вдоль одной из магнитных силовых линий, которая может счи-
считаться прямолинейной. Чтобы сделать. очевидным это утвержде-
утверждение, достаточно перейти к системе отсчета, в которой в рассматри-
рассматриваемый момент времени ведущий центр покоится. Траектория
частицы в этой системе отсчета, правда, не будет замкнутой линией,
так как наличие продольной компоненты ^д, силы поведет к появ-
68

лению продольной скорости. Но приращение этой скорости за цик-
циклотронный период мало, его квадратом можно пренебречь. Можно
также пренебречь незамкнутостью траектории частицы за цикло-
циклотронный период, а также изменением магнитного потока вслед-
вследствие движения ларморова кружка вдоль магнитной силовой
линии. Все изменения магнитного потока в рассматриваемой
системе отсчета будут происходить только из-за изменений
магнитного поля во времени, а потому рассуждение, приведенное
при выводе формулы A0. 5), остается в силе.
2. В некоторых случаях интеграл A0. 5) является не адиа-
адиабатическим, а точным интегралом уравнений движения. Сюда
относится тривиальный случай движения частицы в постоянном
однородном магнитном поле. Приведем другой — не тривиаль-
тривиальный — случай.
Пусть электрическое поле Е радиальное, т. е. направлено
к неподвижному центру О или от него. В остальном поле Е может
быть произвольным. Пусть в точке О помещен точечный маг-
магнитный полюс, создающий также радиальное магнитное поле,
не меняющееся во времени. Примем точку О за начало координат.
Момент силы еЕ относительно точки О равен нулю, и уравнение
моментов принимает вид
dt
или в силу коллинеарности векторов г и В
Замечая, что
перепишем уравнение A0. 6) в виде
Для кулонова магнитного поля Вг2, а следовательно, и
величины постоянные. Обозначая последнюю постоянную че-
через —А и интегрируя уравнение A0. 7), получим
[rpj + А -у = С = const, A0.8)
где С — интеграционная постоянная. Скалярным умножением на г
из формулы A0. 8) получаем
Аг = (Сг). A0. 9)
69

Перенесем теперь в формуле A0. 8) член А — в правую часть
и возведем в квадрат. Тогда, используя равенство A0. 9), получим
г2р\ = С2— А* = const. A0. 10)
Так как для кулонова поля В = —^- , то равенство A0. 10)
переходит в
~ = const. A0.11)
Таким образом, в рассматриваемом случае величина A0. 11)
является точным интегралом движения. Полученный результат
в значительной степени обесценивается из-за невозможности точ-
точной реализации кулонова магнитного поля.
2
3. С адиабатической инвариантностью —~ связано явление
отражения частиц от областей сильного магнитного поля. Допу-
Допустим, что магнитное поле не меняется во времени. Пусть частица
движется вдоль магнитной силовой линии в сторону возрастаю-
возрастающей напряженности магнитного поля. Обозначим через ft угол
между направлениями скорости частицы и магнитной силовой
линии. Тогда р., = р cos ft, p± = р sin ft. В силу уравнения
энергии полный импульс частицы р остается постоянным. Однако
поперечный импульс р± должен возрастать в соответствии с урав-
уравнением ~~- = const. Поэтому должен уменьшаться продольный
импульс р Это видно также из уравнения E. 21) или более
точного уравнения F. 21). Уравнение E. 21) показывает, что
вдоль магнитной силовой линии действует в среднем замедляю-
замедляющая сила, равная проекции силы —\xVB на направление маг-
магнитного поля. Эта сила направлена против вектора VB и поэтому
замедляет движение частицы.
По мере продвижения в область сильного магнитного поля
может случиться, что в некоторой точке М магнитной силовой
линии продольный импульс частицы обратится в нуль, а следова-
следовательно, поперечный импульс сделается равным полному импульсу.
В этой точке р cos ft = 0, р sin ft = р, т. е. ¦& = ¦—. Поэтому,
обозначив через Ви напряженность магнитного поля в точке М,
можно написать
р\ ____ р2 sin2 ft _ р2
в ~ в - вм '
откуда
sin ft =V~. A0.12)
70

Достигнув точки М, частица не сможет продвигаться дальше
в сторону еще большей напряженности магнитного поля,1 так как
в противном случае в силу адиабатической инвариантности —~-
ее поперечный импульс р± должен был бы сделаться больше р,
что противоречит закону сохранения энергии. Поэтому частица
в точке М отразится и начнет двигаться в противоположном
направлении. Явление вполне аналогично оптическому явлению
полного внутреннего отражения. Области сильного магнитного
поля по отношению к налетающим на них частицам ведут себя,
таким образом, как зеркала. Они называются магнитными зер-
Рис. 10.
В
калами или магнитными пробками. Если sin О > 1/- ,
то частица до точки М не дойдет и отразится раньше. Если же
sin d ¦< 1/-б—, то она пройдет за точку М. Такая частица
либо отразится в некоторой другой точке М', для которой sin 0 =
Г)
-— , либо вообще не отразится, а будет двигаться вдоль
силовой линии в одном направлении.
4. Явление отражения частиц от магнитных зеркал исполь-
используется для устройства различного рода магнитных ловушек, т. е.
устройств, предназначенных для удержания заряженных частиц.
Ловушки, построенные на этом принципе, относятся к классу
так называемых адиабатических ловушек, поскольку их действие
А
основано на адиабатической инвариантности —g- . Одной из про-
простейших ловушек такого типа является предложенная Г. И. Буд-
кером [8] и независимо от него Йорком [171 ловушка с аксиально
симметричным магнитным полем. Она представляет собой цилин-
цилиндрическую трубу, помещенную в соленоид, создающий сильное
однородное магнитное поле В, параллельное оси ловушки. На кон-
концах трубы имеются дополнительные обмотки, усиливающие маг-
магнитное поле. Схематически магнитные силовые линии в ловушке
представлены на рис. 10, на котором изображено сечение ловушки
плоскостью, проходящей через ее ось. Сильное магнитное поле В
71

заставляет частицу двигаться по ларморовым кружкам малого
радиуса, препятствуя уходу частиц на боковые стенки ловушки.
От областей сильного магнитного поля частицы отражаются.
Обозначим через fiMaKC максимальное значение магнитного поля
на концах ловушки. Если ft — угол, образуемый вектором ско-
скорости частицы с направлением магнитного поля в центральной
части ловушки, где поле однородно, то частица будет отражаться
от магнитных зеркал, если sin ft > 1/ -5 . Если же sin ft <
^ л/г в
<С I/ -и , то магнитные зеркала не смогут удержать частицу—
' "макс
такая частица из ловушки уйдет. Адиабатическая ловушка Буд-
кера способна удерживать не все частицы. Существует предель-
предельный конус ft = ft0, где ft0 определяется уравнением
^-. A0.13)
макс
Если направление скорости частицы проходит вне предельного
конуса (ft > ft0), то частица ловушки удерживается. Если же оно
попадает внутрь конуса (ft <C ft0), то частица из ловушки уходит.
Для изотропного распределения скоростей частиц легко вычис-
вычислить коэффициент отражения R [5], определяемый как отноше-
отношение числа частиц, отраженных от магнитного зеркала в течение
определенного времени, к общему числу частиц, падающих на зер-
зеркало в течение того же времени. Пусть абсолютные значения
скоростей всех частиц одинаковы. Обозначим через п число частиц
в кубическом сантиметре. Полное число частиц, падающих на квад-
квадратный сантиметр поверхности зеркала в одну секунду, при
изотропном распределении скоростей равно — nv. Полное число
частиц, отражающихся в одну секунду от квадратного сантиметра
поверхности зеркала,
nv С
2-J
п • о I ft 1^ о п
cos ft sin ft dft = -j- cos2 ft0.
Коэффициент отражения
tf==cos2ft0=: 1 - д-^-. A0.14)
Он не зависит от величины скорости v, а потому выражение A0. 14)
справедливо при любом распределении скоростей, если только
оно изотропно.
В области неоднородности магнитного поля частица испыты-
испытывает дрейф. Согласно уравнению E. 11) скорость дрейфа
72

так как в рассматриваемом случае Е = 0 и предполагается, что
ток j в ловушке отсутствует. Дрейф происходит, таким образом,
вдоль бинормали b и, следовательно, заставляет частицу вра-
вращаться вокруг оси ловушки. Поэтому этот дрейф называется ази-
азимутальным. При переходе через точку перегиба магнитной сило-
силовой линии меняется на противоположное направление вектора Ь.
В соответствии с этим азимутальный дрейф также меняет свое
направление при переходе через точку перегиба силовой линии
магнитного поля.
5. Допустим теперь, что магнитное зеркало медленно движется
с постоянной скоростью и в направлении магнитных силовых
линий. В ловушке Будкера такой случай можно реализовать,
приведя в движение дополнительную обмотку, создающую уси-
усиленное магнитное поле на одном из концов ловушки.
Рассмотрим отражение частиц от медленно движущегося маг-
магнитного зеркала. В силу адиабатической инвариантности —^-,
поперечный импульс частицы после отражения от зеркала не изме-
изменяется, поскольку после отражения частица попадает в то же
самое однородное магнитное поле, в котором она находилась
до того, как отразилась от зеркала. Продольный импульс, а с ним
и продольная скорость частицы при отражении от движущегося
зеркала, однако, изменятся. Легче всего решить этот вопрос,
если перейти к системе отсчета, в которой магнитное зеркало
покоится. В такой системе налетающая на зеркало частица будет
отражаться с той же самой продольной скоростью, с какой она
двигалась до отражения от зеркала. Поэтому в исходной системе
отсчета продольная скорость частицы после отражения изменится
на удвоенное значение скорости движения зеркала (ради простоты
мы ограничимся движениями с нерелятивистскими скоростями).
Если частица и зеркало движутся навстречу одна другому, то про-
продольная скорость частицы после отражения увеличится на 2 \и\;
если же они движутся в одну и ту же сторону, то продольная
скорость частицы уменьшается на ту же самую величину 2 \и\.
Допустим ради определенности, что частица и зеркало дви-
движутся навстречу одна другому. Тогда при каждом отражении
кинетическая энергия продольного движения частицы будет уве-
увеличиваться на
т (о и + 2uf mv\
" 7Г- = 2muv „.
(Мы пренебрегли членом, квадратичным по и.) Кинетическая
энергия поперечного движения частицы при отражении не ме-
меняется. Пусть п — число частиц в кубическом сантиметре ловушки
с продольной скоростью v .. Половина их движется по направле-
направлению к зеркалу, другая половина — от зеркала. Допустим, кроме
того, что магнитное поле зеркала настолько сильно, что от него
73

отражаются все частицы. Если 5 — площадь зеркала, то от него
будет отражаться в 1 сек -—- Snv. частиц рассматриваемого
типа. Увеличение кинетической энергии <§ ц продольного движе-
движения частиц в ловушке будет поэтому равно
dSи г 8 и
" =-- 2muv.. -4- Snv.. = 2 -J- Su,
d
"dt
где V — объем ловушки. Так как Su = -л-, то это уравне-
уравнение принимает вид
^1 + 2^ = 0 A0.16)
и после интегрирования переходит в
(§ПУ2 = const. A0. 17)
Сюда совершенно не входит величина v , а потому введенное
при выводе уравнения A0. 17) предположение об одинаковости v
всех частиц не существенно. Уравнение A0. 17) можно предста-
представить в другой форме, если ввести продольную кинетическую тем-
температуру Т , пропорциональную средней кинетической энергии
продольного движения частиц. Тогда
T]{V2 = const A0. 18)
или
^i = const. A0.19)
Это уравнение адиабаты с показателем у = 3. Такое значение у
объясняется тем, что наша модель газа, в которой нет обмена
энергиями продольного и поперечного движения частиц, ведет
себя как одномерный газ, т. е. такой газ, каждая частица которого
имеет только одну степень свободы (N = 1). Показатель же адиа-
адиабаты, как известно, в общем случае определяется выражением
Если допустить, что в результате столкновений или какого-
либо другого механизма в ловушке непрерывно восстанавливается
изотропное распределение скоростей, то средняя кинетическая
энергия & продольного движения будет связана с полной кине-
кинетической энергией <§ соотношением <§ .. =-к-<§ и вместо уравне-
уравнения A0. 16) мы придем к соотношению
^?__l — — — О
74

Оно приводит к показателю адиабаты Y = -т > как и Должно быть
для одноатомного газа.
6. Рассмотренный пример может иметь значение в теории про-
происхождения космических лучей. Последняя должна выяснить
механизм ускорения заряженных частиц в космосе. Ускорение
электростатическими полями по-видимому неправдоподобно,
поскольку высокая проводимость ионизованного газа в звездах
и межзвездных туманностях ограничивает величину таких полей.
Поэтому выдвигались гипотезы о том, что ускорение вызывается
переменными магнитными полями. По одной из них, предложен-
предложенной Ферми [9], заряженная частица движется в магнитном поле
между двумя облаками межзвездной материи. Если предположить,
что в облаках магнитное поле больше, чем между ними, то частица
может оказаться захваченной подобно тому, как это имеет место
в адиабатической ловушке Будкера. Захваченными могут быть
частицы, у которых вектор скорости направлен под сравнительно
большим углом к магнитному полю. Предположим теперь, что
облака движутся навстречу друг другу. Тогда заряженная частица
при каждом отражении будет получать энергию, так как движу-
движущееся облако ведет себя так же, как движущееся магнитное
зеркало.
Описанный механизм ускорения частиц имеет одно существен-
существенное ограничение. По мере увеличения Уц угол ¦& уменьшается,
и в конце концов частица перестает захватываться. Поэтому отно-
отношение общей энергии к поперечной увеличивается лишь до опре-
определенного предела, зависящего от коэффициентов отражения
облаков, как магнитных зеркал. Кроме того, поперечная скорость
не может быть увеличена, пока напряженность магнитного поля В
2
между облаками неизменна, так как -—¦ , а следовательно, и р±
остаются постоянными при отсутствии столкновений и других воз-
возмущающих факторов. Чтобы получить непрерывное ускорение
частиц, необходимо поэтому предположить, что столкновения или
какие-либо другие причины непрерывно восстанавливают изотроп-
изотропное распределение скоростей, нарушающееся в результате отра-
отражения частиц от облаков, и что в результате этого частицы вновь
могут захватываться и ускоряться. Для частиц с очень большой
энергией столкновения мало эффективны. Поэтому Ферми пред-
предположил, что изотропное распределение скоростей частиц в меж-
межзвездном пространстве восстанавливается ударными волнами или
колебаниями плазмы.
7. Допустим теперь, что в адиабатической ловушке Будкера
конфигурация магнитных силовых линий остается неизменной,
но величина напряженности магнитного поля меняется во вре-
времени. Рассмотрим движение ведущего центра частицы с помощью
формулы E. 11) [10]. Первый член v h в правой части этой фор-
формулы дает скорость ведущего центра вдоль магнитной силовой
75

отражаются все частицы. Если S — площадь зеркала, то от него
будет отражаться в 1 сек -у- Snv. частиц рассматриваемого
типа. Увеличение кинетической энергии § ц продольного движе-
движения частиц в ловушке будет поэтому равно
" --- 2muv,. .-i-Snu.. = 2 -J- Su,
dt
lymwM Той \zc\xt S\ii = .
dt
где V — объем ловушки. Так как Su = ~гг, то это уравне-
уравнение принимает вид
5± +2-^ = 0 A0.16)
и после интегрирования переходит в
g{lV2 = const. A0. 17)
Сюда совершенно не входит величина v.., а потому введенное
при выводе уравнения A0. 17) предположение об одинаковости v
всех частиц не существенно. Уравнение A0. 17) можно предста-
представить в другой форме, если ввести продольную кинетическую тем-
температуру Т , пропорциональную средней кинетической энергии
продольного движения частиц. Тогда
Г„У2 = const A0. 18)
или
^|- = const. A0.19)
Это уравнение адиабаты с показателем у = 3. Такое значение у
объясняется тем, что наша модель газа, в которой нет обмена
энергиями продольного и поперечного движения частиц, ведет
себя как одномерный газ, т. е. такой газ, каждая частица которого
имеет только одну степень свободы (N = 1). Показатель же адиа-
адиабаты, как известно, в общем случае определяется выражением
Если допустить, что в результате столкновений или какого-
либо другого механизма в ловушке непрерывно восстанавливается
изотропное распределение скоростей, то средняя кинетическая
энергия § продольного движения будет связана с полной кине-
кинетической энергией <§ соотношением ё .. = -^ <§ и вместо уравне-
уравнения A0. 16) мы придем к соотношению
dS_ 2_ dV _ »
74

Оно приводит к показателю адиабаты у = -^ , как и должно быть
для одноатомного газа.
6. Рассмотренный пример может иметь значение в теории про-
происхождения космических лучей. Последняя должна выяснить
механизм ускорения заряженных частиц в космосе. Ускорение
электростатическими полями по-видимому неправдоподобно,
поскольку высокая проводимость ионизованного газа в звездах
и межзвездных туманностях ограничивает величину таких полей.
Поэтому выдвигались гипотезы о том, что ускорение вызывается
переменными магнитными полями. По одной из них, предложен-
предложенной Ферми [9], заряженная частица движется в магнитном поле
между двумя облаками межзвездной материи. Если предположить,
что в облаках магнитное поле больше, чем между ними, то частица
может оказаться захваченной подобно тому, как это имеет место
в адиабатической ловушке Будкера. Захваченными могут быть
частицы, у которых вектор скорости направлен под сравнительно
большим углом к магнитному полю. Предположим теперь, что
облака движутся навстречу друг другу. Тогда заряженная частица
при каждом отражении будет получать энергию, так как движу-
движущееся облако ведет себя так же, как движущееся магнитное
зеркало.
Описанный механизм ускорения частиц имеет одно существен-
существенное ограничение. По мере увеличения Уц угол Ф уменьшается,
и в конце концов частица перестает захватываться. Поэтому отно-
отношение общей энергии к поперечной увеличивается лишь до опре-
определенного предела, зависящего от коэффициентов отражения
облаков, как магнитных зеркал. Кроме того, поперечная скорость
не может быть увеличена, пока напряженность магнитного поля В
2
между облаками неизменна, так как -~ , а следовательно, и р±
остаются постоянными при отсутствии столкновений и других воз-
возмущающих факторов. Чтобы получить непрерывное ускорение
частиц, необходимо поэтому предположить, что столкновения или
какие-либо другие причины непрерывно восстанавливают изотроп-
изотропное распределение скоростей, нарушающееся в результате отра-
отражения частиц от облаков, и что в результате этого частицы вновь
могут захватываться и ускоряться. Для частиц с очень большой
энергией столкновения мало эффективны. Поэтому Ферми пред-
предположил, что изотропное распределение скоростей частиц в меж-
межзвездном пространстве восстанавливается ударными волнами или
колебаниями плазмы.
7. Допустим теперь, что в адиабатической ловушке Будкера
конфигурация магнитных силовых линий остается неизменной,
но величина напряженности магнитного поля меняется во вре-
времени. Рассмотрим движение ведущего центра частицы с помощью
формулы E. 11) [10]. Первый член v h в правой части этой фор-
формулы дает скорость ведущего центра вдоль магнитной силовой
75

линии — эта скорость нас сейчас не интересует. Третье слагае-
мое ( v\ -)—~- \ Ь дает так называемый азимутальный
дрейф, т. е. движение по окружности с центром на оси системьь
оно происходит в направлении бинормали к магнитной силовой
линии и также нас сейчас не интересует. Последнее слагаемое
в формуле E. 11) обращается в нуль из-за отсутствия токов (j = 0).
Если бы даже в ловушке текли токи, то последующее рассмотре-
рассмотрение и его результаты остались бы без изменения; требуется только,
чтобы обращалась в нуль радиальная компонента вектора плот-
плотности тока — параллельная /.. и азимутальная компоненты
вызвали бы движение вдоль магнитного поля и азимутальный
дрейф, которые сейчас нас не интересуют. Остается второе слагае-
слагаемое -щ [ЕВ], описывающее электрический дрейф. На нем мы и со-
сосредоточим все внимание. Этот дрейф, как сейчас будет показано»
приближает ведущий центр частицы к оси ловушки, если магнит-
магнитное поле нарастает во времени, и удаляет его от оси ловушкш
когда магнитное поле убывает.
Для простоты предположим, что размеры области однород-
однородности магнитного поля велики по сравнению с областями, зани-
занимаемыми магнитными зеркалами. Тогда можно отвлечься от про-
процессов, происходящих внутри магнитных зеркал. Роль последних
сводится лишь к отражению налетающей на них частицы. Поэтому
мы будем считать переменное магнитное поле однородным. Элек-
Электрическое поле Е возникает благодаря тому, что магнитное поле В
меняется во времени. Из соображений симметрии ясно, что элек-
электрические силовые линии будут концентрическими окружностями
с центрами на оси ловушки. Поэтому скорость -^ [ЕВ] электри-
электрического дрейфа направлена радиально, т. е. к оси или от оси ловушки.
Как нетрудно сообразить, пользуясь общими правилами для
определения направления электрического поля Е электромагнит-
электромагнитной индукции, в случае нарастания поля В во времени эта скорость
направлена к оси ловушки, а в случае убывания В — от оси ловушки.
Величину поля Е легко найти из закона электромагнитной индук-
индукции. Обозначим через г расстояние ведущего центра частицы
от оси ловушки и применим теорему о циркуляции вектора Е,
взяв в качестве контура интегрирования окружность радиуса г
с центром на оси ловушки, плоскость которой перпендикулярна
к этой оси. Тогда
2пгЕ =
dt
где Ф = яг2В — магнитный поток, пронизывающий площадь,
ограниченную этой окружностью.
76

Таким образом
-de:
2с
dt
и скорость электрического дрейфа определится из уравнения
• _ с р _ г dB
r ~ ~~в~ ~~~2ЁЧГ'
интегрирование которого дает
пг2В эф- const. A0. 21)
Полученному результату можно дать другое истолкование,
находящееся в связи с общими принципами магнитной гидро-
гидродинамики. Допустим, что в ловушке находится не одна, а много
частиц с объемной концентрацией п. Пусть эта концентрация
достаточно мала, так что взаимодействием частиц можно прене-
пренебречь. Тогда частицы могут рассматриваться независимыми одна
от другой и к движению каждой из них можно применить резуль-
результаты, полученные для отдельной частицы. При изменении магнит-
магнитного поля будет меняться расстояние г каждой частицы (точнее,
ее ведущего центра) от оси ловушки. Рассмотрим частицы, распо-
расположенные в некоторый момент времени на окружности с центром
на указанной оси. при изменении магнитного поля эта окруж-
окружность будет деформироваться, однако пронизывающий ее магнит-
магнитный поток будет оставаться неизменным.
Сопоставляя формулу A0. 21) с формулой E. 17), замечаем,
что расстояние г частицы до оси ловушки изменяется с изменением
магнитного поля по тому же закону, по которому меняется лар-
моров радиус а . Возрастание магнитного поля приводит к уско-
ускорению вращения частицы по ларморовой окружности, т. е. к уве-
увеличению поперечной скорости v Сближение магнитных зеркал
ведет к увеличению продольной скорости v . В результате увели-
увеличивается полная скорость движения частицы, что ведет к нагре-
нагреванию плазмы в ловушке. Одновременно нарастание поля В при-
приводит к стягиванию плазмы к оси ловушки.
8. Нарастание магнитного поля без изменения конфигурации
магнитных силовых линий приводит к сжатию плазмы не только
в поперечных, но и в продольном направлениях. Это явление легко
понять, рассматривая движение отдельной частицы. При постоян-
постоянном магнитном поле частица в адиабатической ловушке Будкера
совершает продольные колебания между магнитными зеркалами.
Положение точек отражения в областях нахождения магнитных
зеркал зависит от отношения поперечной скорости частицы
к ее продольной скорости I —) в какой-либо фиксированной
\vi\/
точке магнитной силовой линии. В качестве фиксированной
мы будем брать точку, лежащую в плоскости поперечного сечения
77

ловушки, проходящей через ее центр. Чем больше указанное отно-
отношение, тем ближе расположены точки отражения к центру
ловушки, тем меньше амплитуды продольных колебаний. Но про-
простое возрастание напряженности магнитного поля без изменения
конфигурации магнитных силовых линий увеличивает, как мы
видели, поперечную скорость v , оставляя продольную v неиз-
неизменной. Это ведет к увеличению отношения —-, а тем самым
к уменьшению амплитуды продольных колебаний и связанному
с ним сжатию плазмы в продольном направлении.
Следующий простой пример -[10] может служить для иллю-
иллюстрации этого эффекта. Допустим, что магнитное поле на оси
ловушки имеет вид
В (г, t) = B0(t) + ±-k(t)z\
где B0(t) и k (t) — медленно меняющиеся функции времени.
Приращения этих функций за период продольных колебаний
предполагаются малыми. Ось г мы совместили с осью ловушки,
поместив начало координат в ее центре. Уравнение продольных
колебаний частицы вдоль оси г получится из уравнения F. 21)
и имеет вид
г = Q2 @ г - 0, A0. 22)
где Q (t) — медленно меняющаяся функция, определяемая выра-
выражением
Предполагается, что функция k (t) — существенно положительна,
так что частота Q (t) — вещественна.
Решение уравнения A0. 22) можно искать в виде
z = aei(f,
где а и ср — вещественные функции времени, из которых первая
меняется во времени медленно. После подстановки в уравнение
A0. 22) и отделения вещественной части от мнимой получится
аср2 — а = аи2;
В первом уравнении можно пренебречь второй производной мед-
медленно меняющейся амплитуды а, и тогда оно дает ср = ±Q,
после чего из второго уравнения получаем
а2п = const. A0. 23)
78

Отсюда заключаем, что величина a2Q является адиабатическим
инвариантом. Переходя теперь к вещественной форме решения,
можем написать
z = a cos JQ (t) dt. A0. 24)
Решение имеет вид «гармонического колебания с медленно
меняющимися амплитудой и частотой». Так как магнитный
момент |л также является адиабатическим инвариантом, то с увели-
увеличением k возрастает также и частота Q. Поэтому из формулы
A0. 23) ^заключаем, что амплитуда колебаний а уменьшается.
С этим и связано в рассматриваемом случае сжатие плазмы в про-
продольном направлении.
9. Земное магнитное поле может рассматриваться как гран-
грандиозная ловушка для заряженных частиц космического происхо-
происхождения. В таком поле сглаженное движение заряженной частицы
происходит вдоль магнитной силовой линии. На него наклады-
накладывается дрейфовое движение на восток или на запад в направлении
геомагнитной параллели. Силовые линии земного магнитного поля
сгущаются вблизи магнитных полюсов Земли. Поэтому заряжен-
заряженные частицы, двигаясь вдоль магнитных силовых линий, могут
испытывать отражения вблизи этих полюсов — последние играют
роль магнитных зеркал. Частица будет совершать колебательное
движение между северным и южным магнитными полюсами
Земли, как в магнитной ловушке. Исследования, выполненные
с помощью искусственных спутников Земли и космических ракет,
действительно показали, что земное магнитное поле является
эффективной магнитной ловушкой для заряженных частиц, обра-
образующихся в результате различных ядерных процессов в про-
пространстве, окружающем земной шар. С этими исследованиями
можно познакомиться, например, по обзорным работам С. Н. Вер-
нова и А. Е. Чудакова [11 ] и Дж. А. Ван Аллена [12], где при-
приведена также подробная библиография. Мы ограничимся здесь
краткими сообщениями о результатах этих исследований.
Вокруг Земли существуют две пространственно разобщенные
зоны корпускулярных излучений высокой интенсивности. Внешняя
зона, состоящая из электронов, в экваториальной плоскости
начинается на расстоянии около 20 000 км от центра Земли и про-
простирается до расстояния около 60 000 км. Границей зоны является
соответствующая силовая линия земного магнитного поля. В интер-
интервале геомагнитных широт 55—70° внешняя зона наблюдается
на сравнительно небольших высотах C00—1500 км над поверх-
поверхностью Земли). По мере удаления от Земли вдоль силовой линии
наблюдается резкое возрастание интенсивности корпускулярного
излучения, что является экспериментальным подтверждением
существования вокруг Земли магнитной ловушки для заряжен-
заряженных частиц. По своей энергии электроны внешней зоны разби-
разбиваются на две группы. Энергия электронов первой группы состав-
составляет несколько десятков килоэлектронвольт. Максимальный поток
79

электронов с энергией больше 20 кэв составляет около
109 см~г • сек'1 • стерад'1. Энергия электронов второй группы
порядка 1 Мэв. Поток таких электронов в максимуме составляет
около 105 см~2-сек~1-стерад~1.
Внутренняя зона, состоящая в основном из протонов с энер-
энергией около 100 Мэв, в экваториальной плоскости западного
полушария начинается на высоте около 600 км и простирается
до высот порядвд радиуса Земли. Границей внутренней зоны
является силовая линия, выходящая из Земли на геомагнитной
широте 35°. Поток протонов во внутренней зоне составляет около
102 см~2-сек~х -стерад'1. Помимо протонов высоких энергий
внутренняя зона содержит также частицы малых энергий, являю-
являющиеся, по-видимому, электронами.
Корпускулярное излучение обнаружено и между этими двумя
зонами. Однако потоки электронов- и протонов здесь примерно
на три порядка меньше, чем соответствующие потоки во внешней
и внутренней зонах.
Нетрудно определить положение точек отражения, в которых
заряженная частица испытывает отражение в земном магнитном
поле. Последнее может быть приближенно аппроксимировано как
поле точечного магнитного диполя, находящегося вблизи центра
Земли. Обозначим через М магнитный момент этого диполя.
Его магнитное поле, как известно, определяется выражением
В = -^г—?. A0.25)
откуда
inU+1, A0.26)
где К — геомагнитная широта. Нетрудно найти уравнение магнит-
магнитной силовой линии диполя. Разложим вектор М (рис. 11) на две
компоненты: М„, параллельную радиусу-вектору г, и МЛ, пер-
перпендикулярную к нему. Первая в точке наблюдения А дает поле
2М „ М.
В „ = ——, вторая — поле Вх = ~ . Поэтому угол р между
радиусом-вектором г и магнитной силовой линией определится
по формуле
. _ В, м, 1
Проекция бесконечно малого участка силовой линии на направ-
направление вектора В может быть, с одной стороны, представлена
как dr tg p = -^- ctg К; с другой стороны, как —rdX. Поэтому
80

откуда и получается уравнение силовой линии
A0. 27)
где постоянная гэ имеет смысл длины радиуса-вектора г в эквато-
экваториальной плоскости, т. е. при К = 0.
Пусть Фэ — угол между направлениями движения частицы
и силовой линии в экваториальной плоскости. Тогда значение
Рис. 11.
поля В в точке, где частица испытывает отражение, может быть
найдено по формуле A0. 12), если в ней сделать замену В -> Вэ,
В
В. Это дает
вэ
Исключая отсюда Вэ и В с помощью формулы A0. 26) и принимая
во внимание уравнение A0. 27), получим
A0.28)
sin2 ¦». =
sin2 % +
Эта формула совместно с уравнением A0. 27) и решает задачу.
10. Рассмотрим в заключение два примера, в которых траек-
траектория частицы в магнитном поле может быть найдена точно.
Результаты точных решений сравним с результатами дрейфового
приближения.
0 Вопросы теории плазмы 81

Допустим, что постоянное магнитное поле перпендикулярно
к плоскости чертежа (рис. 12). Пусть в этой плоскости напряжен-
напряженность поля В зависит только от расстояния г до неподвижной
точки О. В плоскости чертежа движется заряженная частица.
Требуется найти ее траекторию.
Примем точку О за начало полярной системы координат
с полярной осью Ох. Положение точки можно характеризовать
ее расстоянием г от начала О и полярным углом ср. Обозначим
через ¦& угол между полярной осью Ох и касательной В А к траек-
траектории частицы. Радиус кривизны траектории а определяется
выражением A. 21) и при заданной скорости частицы зависит
только от г. По определению кривизны
as
ср
A0.29)
где ds — элемент длины траектории. Обозначим через 6 угол
между радиусом-вектором О А и касательной к траектории В А.
Тогда
0 = в + q>;
dr = ds cos в,
и уравнение A0. 29) примет вид
cos ку —,—У cos Н ~- = —
dr dr a
К нему следует присоединить уравнение
г ^L = tg@,
82
A0. 30)
A0. 31)
A0.32)
A0.33)

непосредственно следующее из рис. 12. С помощью этого соот-
соотношения уравнение A0. 32) преобразуется в
d (r sin в) = — dr.
A0.34)
В правой части стоит известная функция г, а потому, интегрируя
уравнение A0. 34), находим
sin в =
A0.35)
Рис. 13.
после чего из уравнения A0. 33) определится ср:
Ф=
A0.36)
При этом за полярную ось Ох мы выбрали направление одного
из максимальных радиусов-векторов точек траектории. Уравне-
Уравнения A0. 29) и A0. 35) определяют траекторию в параметрической
форме. Вид траектории изображен на рис. 13.
Простой случай получается, когда В =
const
чае
6*
величина постоянная. Обозначим
В этом слу-
эту постоянную
83

через а. Исключая г из уравнений A0. 32) и A0. 33), получим
T a sin»
ИЛИ
а sin6 й!в ,1Л о_,
1 _ „ с^п я • A0.37)
С помощью этого уравнения легко определить «угол дрейфа» Аф,
т. е. угловое расстояние между двумя соседними вершинами
на траектории частицы (см. рис. 13). Он, очевидно, равен
Л 4-9
2 +
Аф = а -: -г- = 2зт, ¦ 1). A0.38)
т J 1—а sin в \1/1_„з I v y
Вычислим теперь угол дрейфа в дрейфовом приближении.
Согласно уравнению E. 5) скорость дрейфа w = -^ ш -т-
Так как В ~ — , то w = — ¦ ¦— = -^-а. Ведущий центр частицы
за циклотронный период Т = •— перемещается на wT = л — а =
= яаа. Ему соответствует угловое перемещение или угол дрейфа
Аф = па -^- -= яа2. A0. 39)
Но это выражение получится, если в точной формуле A0. 38)
¦ разложить в ряд и отбросить члены четвертой и высшей
У 1 — а3
степеней по а. Таким образом, формула A0. 39) верна с точностью
до членов порядка а4.
11. Допустим теперь, что магнитное поле перпендикулярно
к плоскости чертежа (рис. 14) и меняется линейно в направлении
оси у и притом так, что на оси х оно обращается в нуль. Пусть
вектор grad В направлен в сторону отрицательной полуоси у.
Тогда
— = — = —42- У, A0.40)
а ср А1 х '
где А — некоторая постоянная. Обозначим через ф угол между
направлением касательной к траектории частицы и положитель-
положительным направлением оси х. Тогда в силу определения кривизны
ds а Л2
84

(Пользуясь соотношениями dx = ds cos (f и dy ^ ds sin cp, отсюда
цожно получить два уравнения:
ydx = A2 cos ф dtp;
ydy = A2 sin ф dq>.
Йторое из них сразу интегрируется и дает
у2 = —2Л2 cos ф + const.
A0. 41)
ЬчаИВ
Мы рассмотрим только частный легко интегрируемый случай,
выбрав const так, чтобы при ф = 0 получить у = 0. Тогда, пола-
полагая const = 2Л2, будем иметь
у = 2 A sin ~- .
A0.42)
Подставляя это выражение в первое уравнение A0. 41), придадим
ему вид
, A cos ш , A dw . . ф ,
ах = -^ — Дф = -к z Л Sin -тг aw.
1 . ф Л . ф Z
Интегрированием находим
х = Л In tg -j- + 2Л cos -|-.
A0.43)
Интеграционную постоянную мы выбрали так, чтобы при ф = я
(точка М траектории) абсцисса х обращалась в нуль.
, Уравнения A0. 42) и A0. 43) являются уравнениями траек-
траектории в параметрической форме. Траектория имеет только одну
т и в обе стороны уходит в бесконечность. Ось х является
й траектории. Таким образом, движение частицы
85

в рассматриваемом случае не имеет ничего общего с тем, что должно
было бы быть по дрейфовой теории. Это и понятно, так как частица
движется в области слабого магнитного поля (на оси х поле В
равно нулю).
Заметим, что разобранная задача математически тождественна
с задачей определения формы поверхности жидкости, какую она
принимает под действием силы тяжести и сил поверхностного
натяжения, когда на жидкость положена бесконечно длинная
тяжелая пластинка, не смачиваемая жидкостью [13, 18]. Сечение
этой поверхности вертикальной плоскостью, перпендикулярной
к длине пластинки, при определенной глубине погружения послед-
последней воспроизводит каждую из бесконечных ветвей МАВ и MAC
траектории частицы.
§ 11. Дрейфовые интегралы движения
в постоянных электрическом и магнитном полях
1. Дрейфовые уравнения движения F. 10), F. 11), F. 12)
всегда имеют один интеграл, каковым является адиабатический
инвариант
Р2
-±==IX = const. A1.1)
Если электрическое и магнитное поля не меняются во времени,
то можно написать еще один интеграл — интеграл энергии.
В этом случае электрическое поле Е потенциальное, т. е. может
быть представлено в виде Е = —gradcp(r). Поэтому уравне-
уравнение F. 13) перейдет в
А (тс2) = -e(RVcp) = -е (RV) Ф = -е ¦§-.
Здесь все величины являются функциями радиуса-вектора R
ведущего центра частицы, т. е. относятся к точкам траектории
этого центра. А так как R в свою очередь зависит от t, то в конце
концов они могут рассматриваться как функции только t. Инте-
Интегрируя последнее уравнение, получаем интеграл энергии
тс2 + ец> = <§ = const, (П. 2)
который однозначно определяет массу частицы т в каждой точке
траектории ведущего центра. Аналогично уравнение A1. 1) одно-
однозначно определяет в точках той же траектории поперечный
импульс Рх. Тем самым в силу уравнения A. 4) однозначно опре-
определится полный импульс Р, а следовательно, и его продольная
компонента Р — ~)ЛР2 — Р2±:
Р\ = (тсУ-(тос)*-1хВ. A1.3)
Теперь мы меняем постановку задачи, перейдя от движения инди-
индивидуальной частицы к рассмотрению движения ансамбля не взаимо-
86

действующих тождественных частиц с одинаковыми значениями <§
g / . По отношению к такому ансамблю величины т, Р.., Р ,
а также V,., V±, а.., а± задаются не только вдоль траектории веду-
ведущего центра индивидуальной частицы, а во всем пространстве.
Уравнение движения отдельной частицы найдется подстановкой
руравнение F. 10) значений V[r Vx, а^, а±. Запишем это уравне-
уравнение в форме, полученной А. И. Морозовым и Л. С. Соловьевым [14 ],
«которым принадлежат также основные результаты, излагаемые
далее в настоящем параграфе. Имеем
rot (P..h) = P. rot h + [VP.h].
Из формулы A1. 3)
vp —-?_р — VB
* II — I/ on vjj.
II V и Z.T и
Поэтому
r~[hV
Используя это соотношение, запишем уравнение F. 10) в виде
V" ' ' ¦- ¦•-i^(hroth)h). A1.4)
е
Это обыкновенное векторное дифференциальное уравнение. Когда
Е и В не зависят явно от времени, к этому уравнению сводится
вся система уравнений дрейфового приближения. Оно первого
порядка. Поэтому движение ведущего центра отдельной частицы
однозначно определяется заданием его положения в начальный,
произвольно выбранный момент времени.
2. Предположим, что h rot h = 0. Так как В rot h = h rot В,
то это условие эквивалентно h rot В = 0 или (hj) = 0. Таким
Образом, мы предполагаем, что продольная компонента Г. плот-
плотности тока отсутствует. Введем векторный потенциал А магнит-
магнитного поля. Тогда В = rot А, и уравнение A1. 4) примет вид
R=^rotA*, A1.5)
где
А* = А + 4ЛЛ A1.6)
На вектор
4 rot (Я н h) A1.7)
87

можно смотреть как на какое-то фиктивное «магнитное поле»,
а на А* — как на его векторный потенциал. Как видно из уравне-
уравнения A1. 5), ведущий центр частицы движется всегда по силовой
линии этого «магнитного поля».
Умножая уравнение A1. 5) векторно на В*, получим
[RB*] = 0. A1. 8)
Формально это уравнение совпадает с уравнением движения
частицы нулевой массы в магнитном поле В*. Поэтому его можно
записать в лагранжевой форме
±IL^EL = 0 A1.9)
dt dqi dqi
с лагранжианом
L = (A*R), A1.10)
являющимся функцией обобщенных координат qt ведущего
центра и соответствующих им обобщенных скоростей. Если какая-
либо координата q, является циклической, т. е. -^— = О, то соот-
uqi
ветствующии ей обобщенный импульс -~— остается постоянным,
oqi
т. е. является интегралом движения. Таким путем можно находить
интегралы дрейфовых уравнений, используя симметрию задачи.
Рассмотрим три случая симметрии.
а. Трансляционная симметрия. В этом случае магнитное поле
и электрический потенциал ф не зависят от одной из прямоуголь-
прямоугольных координат, например от z:
В = В (х, у); ср = ф (х, у).
Векторный потенциал А можно выбрать так, чтобы он также
не зависел от z. В силу выражений A1. 2) и A1. 6) не будет зави-
зависеть от z и вектор А*. Координата z, таким образом, не будет
входить в лагранжиан
и мы получим интеграл движения
^--¦ А, - const. (П.П)
dz
б. Осевая симметрия. Положение точки в пространстве задается
цилиндрическими координатами г, г, а. При осевой симметрии
компоненты Вг, Вп Ва вектора В и скалярный потенциал ср зави-
зависят только от z и г, но не зависят от а. Поэтому векторный потен-
потенциал А, а с ним и вектор А* можно выбрать так, чтобы компо-
компоненты Аг, Аг, Аа и А*г, А*, Аа также не зависили от а. Тогда
координата а не войдет в лагранжиан
A1.12)

т е. эта координата будет циклической, и мы получаем следу-
следующий интеграл движения:
Д = М^ = const. A1.13)
да '
Применим полученный результат к движению заряженной
частицы в магнитном поле диполя. Этот вопрос уже рассматривался
в пункте 9 предыдущего параграфа. Магнитное поле диполя можно
a [MR] ~
описать с помощью векторного потенциала А = -~бг- Он имеет
только азимутальную составляющую Аа. Как поле диполя, так
и вектор А* = А + —Piih обладает осевой симметрией. Поэтому
имеет место интеграл A1. 13). В рассматриваемом случае Аа =
= Аа = -р- cos X, г = R cos А, и интеграл A1. 13) переходит в
cos2 % ,
—т— = const,
к
т. е. в уравнение магнитной силовой линии.
в. Винтовая симметрия. Положение точки в пространстве
по-прежнему определяем цилиндрическими координатами г, z, a.
При винтовой симметрии компоненты Вг, Вг, Ва и потенциал <р
в точках r1, Zi, аг и г2, z2, a2 совпадают, если
Гл =
2я
где Ъ — шаг винта. Переписав последнее условие в виде
_ 2яг2
а
а1 у ~а* Г~ '
заключаем, что при винтовой симметрии Br, Bz, Ba и ср зависят
только от г и от а ^. Векторный потенциал А, а следова-
следовательно, и вектор А* можно выбрать так, чтобы их компоненты
в цилиндрической системе координат Ап Аг, Аа, А*г, А*г, А*а
зависели только от тех же аргументов. Введем теперь новые
обобщенные координаты:
2лг . 2jtz
г, qx = a g-, q2=--a+ — .
В этих координатах лагранжиан A1. 12) представится в виде
89

и не зависит от координаты q2. Поэтому мы получаем интеграл
4я 3L я * | 2яг . * , /111,
-г--^- = Az + -r- Аа ---= const. (П-14
3. Морозов и Соловьев [11] ограничились исследованием
случая, когда h rot h = 0. Посмотрим теперь, можно ли обобщить
их результаты на тот случай, когда это условие не выполняется.
В правой части уравнения A1. 4) стоит известная вектор-функция.
Обозначим эту вектор-функцию через С (R). Произвольный век-
вектор, а следовательно, и вектор С (R), может быть представлен
в виде С = , rot F (R). Действительно, возьмем в качестве f (R)
решение уравнения
= Cgrad/+fdivC = O. A1. 15)
Тогда, представив С в виде С = D (R), найдем, что div D=0,
/ W
и, следовательно, можно положить D — rotF. Поэтому урав-
уравнение A1.4) переходит в
f (R) R = rot F (R), A1.16)
откуда
[Rrot F (R)] = 0. A1. 17)
Последнее уравнение можно записать в лагранжевой форме A1. 9)
с лагранжианом L = (FR). Следовательно, все полученные выше
результаты остаются справедливыми и в том случае, когда
h rot h ф 0, если только вектор А* заменить на вектор F- При
этом, когда мы получаем интегралы движения из симметрии
задачи, необходимо брать такое решение f (R) уравнения A1. 15),
а также такой вектор F (R), которые бы обладали той же симмет-
симметрией. Таким образом, задача свелась к интегрированию уравне-
уравнения в частных производных A1. 15). Практически в этом сведении
мало пользы, поскольку не существует общих методов решения
уравнений типа A1. 15).
§ 12. Теорема Лиувилля в дрейфовом приближении
1. В дрейфовом приближении состояние движения частицы
характеризуется пятью переменными: тремя координатами х, у, 7,
ведущего центра и двумя импульсами Рц и Pj_. Вместо импуль-
импульсов Рц и Р± можно также пользоваться импульсами р ц и р±,
связанными с Рци Рх соотношениями F. 4). В этом параграфе
мы будем сначала пользоваться переменными рц и р±. Тогда урав-
уравнения F. 1), F. 2) и F. 3) будут уравнениями движения в дрей-
дрейфовом приближении. Используя тождество (hV) h = —[h rot h],
90

придадим этим уравнениям вид
[
cP2i I с
p „ = e (Eh) + -^ div h + ^L (E rot h) - ^f (Eh) (h rot h) -
2 2 2
l± /у в rot h) + %^ (VB h) (h rot h) + %^± h rot [h rot h];
2meB
A2. 2)
^ (Eh) (h rot h) + °^ф (у В rot h) - ^J (h V B) (h rot h) -
^ В
- ~^ h rot [hroth]. A2.3)
Масса т является функцией импульсов р ц и Рх и в силу фор-
формулы A. 4) связана с ними соотношением
(mcf = {mocf + р\ +р\- A2.4)
*1з него находим
дт в и dm v ,
Вообразим очень большое число (в пределе континуум) невзаи-
невзаимодействующих тождественных частиц, состояние каждой из кото-
¦эых в дрейфовом приближении описывается пятью переменными:
¦^ремя прямоугольными координатами х, у, z ведущего центра
й двумя импульсами рц и рх- Пусть х°, у0, z°, p\, р°х — начальные
значения этих переменных, заполняющие некоторую область D0.
Их значения х, у, z, рц, рх в любой другой момент времени t
-определятся уравнениями движения A2, 1), A2, 2), A2, 3) и будут
"Зполнять вполне определенную область D1, в которую перейдет
;1ри движении область D°. Допустим, что существует такая функ-
Чия G (х, у, z, рц, рх), что для любого момента времени t выпол-
выполняется равенство
j G (х , У , z , р ц, рj_) dx dy dz dp ц dpx =
= j G(x, y, z, рц, px)dxdydzdp\\dpx, A2. 6)
Dt
5ы ни была начальная область D°. Интеграл A2. 6), обла-
таким свойством, называется интегральным инвариантом,
91

а- величина dT = Gdxdydzdp ^dpx может быть названа элементом
объема пятимерного пространства х, у, г, рц, рх. Мы утвер-
утверждаем, что в принятых нами переменных можно положить G = рх_
В самом деле, используя соотношения A2. 5), а также тождество
(h rot h) div h -(- h grad (h rot h) + h rot [h rot h] =- 0, A2. 7)
из уравнений A2. 1), A2. 2) и A2. 3) простым дифференцирова-
дифференцированием нетрудно получить
др., д (dp2.\
divr R + -P- + -T [~^ =0. A2.8)
dp Ц др\ \ dt I
Отсюда на основании известной теоремы Пуанкаре 115] заклю
чаем, что интеграл
J dx dy dz dp n dp\ = 2- J pxdx dy dz dp „ dp x A2. 9)
Dt Dt
является интегральным инвариантом. Это утверждение можно
рассматривать как теорему Лиувилля в дрейфовом приближении.
Следовательно, можно положить G = р±, и роль элемента объема
будет играть величина
dT = pxdxdydzdpl{dpx. A2. 10)
2. Нетрудно сформулировать теорему Лиувилля и в перемен-
переменных х, у, z, Рц, Р±- Для этого следует воспользоваться теоремой
Якоби о замене переменных в кратных интегралах. Из формул,
F. 4) и F. 20) нетрудно получить для соответствующего якобиана.
д(х, у, z, рц, рх) d(P
так как в рассматриваемом приближении величинами второго
порядка малости следует пренебречь. Поэтому в переменных х, у, z,
Рц и Рх роль элемента объема играет величина
Px, A2.11)
а интегральным инвариантом является интеграл
f [Pj. + 4-/V-i.(hroth)] dxdydzdP\\dPx, A2. 12)
взятый по области, заполненной одними и теми же фазовьим
точками, движущимися в фазовом пространстве х, у, z, Р ц, Р\
в соответствии с дрейфовыми уравнениями движения F. 10)
F. 11) и F. 12). Инвариантность интеграла A2. 12) и составляв
содержание теоремы Лиувилля в дрейфовом приближений
92

видим, что в переменных х, у, г, Рц, Р±
G = P± + ~Plia±(hroth). A2.13)
3. Теорема Лиувилля может быть использована для вывода
уравнения, которому должна удовлетворять функция распреде-
распределения в пространстве переменных х, у, z, p ц и рх или переменных
X, у, z, Р\\ и Рх- Допустим, например, что имеется полностью
ионизованная плазма, состоящая из электронов и положительно
заряженных ионов, помещенная в магнитное и электрическое
поле. Вообще говоря, она может содержать положительные ионы
нескольких типов. Рассмотрим поведение частиц какого-либо
определенного типа. В дрейфовом приближении можно ввести
функцию распределения f (х, у, z, рц, р±), определенную таким
образом, что f (х, у, z, рц, р±) dY дает среднее число частиц рас-
рассматриваемого типа, координаты ведущих центров которых
заключены между х и х + dx, у и у + dy, ги z + dz, а импульсы р ц
и рх — между рц и рц + dplh р± и рх + dp± (вместо р„ и р±,
разумеется, можно пользоваться Рц и Рх)- Взаимодействие частиц
между собой и с частицами других типов можно учесть по методу
самосогласованного поля, т. е. электромагнитого поля, возбуждае-
возбуждаемого как внешними источниками, так и макроскопическими
объемными зарядами и токами самой плазмы. Так учитывается
взаимодействие частиц на далеких, но не на близких расстояниях.
Взаимодействие на близких расстояниях характеризуется тем,
что частицы близко подходят одна к другой, где действуют боль-
большие кулоновы силы притяжения или отталкивания. Эти взаимо-
взаимодействия носят характер столкновений. Если ими пренебречь,
то движение каждой частицы плазмы в дрейфовом приближении
будет описываться уравнениями F. 1), F. 2), F. 3) или уравне-
уравнениями F. 10), F. 11), F. 12). В этом приближении функция рас-
распределения f должна удовлетворять уравнению
¦?¦№ = 0,
выражающему сохранение числа частиц. Так как в силу теоремы
Лиувилля dt = const, то этому уравнению можно придать вид
f -f + Rgradr/ + ^-p,,+^Px=O, A2.14)
где производные R, рц, рх определяются уравнениями F. 1)—
F. 3). При этом под Е и В следует понимать самосогла-
самосогласованные электрическое и магнитное поля. В тех случаях,
когда столкновениями между частицами пренебречь нельзя,
Уравнение A2. 14) должно быть дополнено членом, выражающим
изменение функции распределения вследствие столкновений.
Следует подчеркнуть, что введенная нами функция распре-
распределения / относится не к распределению самих частиц, а к распре-
Делению их ведущих центров,
93

§ 13. Об обобщении дрейфовой теории на случай
сильных поперечных электрических полей
1. Дрейфовую теорию можно обобщить на тот случай, когда
электрическое поле содержит сильную составляющую, перпенди-
перпендикулярную к направлению магнитного поля. С этой целью перейдем
к движущейся системе отсчета, в которой электрическое и магнит-
магнитное поля параллельны друг другу (в частности, электрическое
поле может обращаться в нуль). Скорость w движущейся системы
отсчета выберем так, чтобы она была перпендикулярна к векто-
векторам Е и В. Тогда напряженности полей Е' и В' в новой системе
отсчета будут определяться выражениями
Е + J,- [wB] В - ~ [wE]
?С A3.1)
Скорость w может быть найдена из условия коллинеарности век-
векторов Е' и В', т. е.
где a — скаляр. Умножая последнее уравнение векторно на В
и принимая во внимание, что (wB) = (wE) = 0, получим
а скалярным умножением на Е найдем
Исключение a (BE) из последних двух уравнений дает
1 + 4
w = с -Ж+Т5- [ЕВ]- <13-2)
т. е. квадратное уравнение для нахождения искомой скорости w.
Нетрудно убедиться, что корни этого уравнения вещественны
и что их произведение равно с2. Поэтому один корень всегда
больше, а другой всегда меньше с. Разумеется, следует взять мень-
меньший корень. Отсюда следует, что система отсчета с требуемыми
свойствами существует и притом такая система единственная.
Теперь следует написать уравнение движения частицы отно-
относительно выбранной таким образом движущейся системы отсчета.
Наряду с электрическими и магнитными силами оно будет содер-
содержать также силы инерции. В новой системе отсчета электрическое
поле Е' будет содержать только компоненту в направлении маг-
94

нитного поля В'. Если эту компоненту, а также силы инерции
можно рассматривать как величины первого порядка малости,
то в движущейся системе можно построить дрейфовую теорию
совершенно так же, как она строилась в предшествующих парагра-
параграфах. Затем останется лишь выполнить обратный переход к исход-
исходной «неподвижной» системе отсчета, что является чисто кинемати-
кинематической задачей.
2. Чтобы не осложнять вычислений, ограничимся случаем
нерелятивистской кинематики, а также приближением Боголю-
Боголюбова—Зубарева. В соответствии с этим будем пренебрегать вели-
величинами порядка (-—) и (-Д-) . Таким образом, мы по-прежнему
считаем электрическое поле малым по сравнению с магнитным.
Однако поле Е мы уже не рассматриваем как величину первого
порядка малости. Величинами первого порядка малости теперь
являются продольная слагающая поля Е в направлении магнитного
поля, а также пространственные производные поля В. В рассма-
рассматриваемом приближении
dpL A3.3)
; A3.4)
В =В — — [WE] = B, A3.5)
т. е. магнитное поле при переходе к новой системе отсчета можно
считать неизменным. Электрическое же поле Е' имеет только
составляющую вдоль магнитного поля. Эта составляющая, как уже
говорилось, рассматривается как величина первого порядка
малости.
Уравнение A.2) в движущейся системе отсчета перейдет в
-J-[v'B], A3.6)
где v' и р' — скорость и импульс частицы в движущейся системе
отсчета. Формально это уравнение имеет такой же вид, что и урав-
уравнение A. 2). Только роль электрического поля в нашей задаче
играет вектор Е' w, который рассматривается нами как
величина первого порядка малости. Поэтому в движущейся системе
отсчета можно ввести ведущий центр, определив его координаты
по формуле, аналогичной формуле A. 17), а затем сгладить его
Движение. Сглаженная скорость ведущего центра относительно
Движущейся системы отсчета может быть найдена из формулы
E. 5), если в ней сделать замену Е на Е' — w; vx на vx; Рц
95

на и и (последняя величина, разумеется, равна у у). Под v'x и v\
понимаются сглаженные значения величин поперечной и про-
продольной скоростей частицы в движущейся системе отсчета. Для
перехода к неподвижной системе отсчета к найденной таким обра-
образом сглаженной скорости ведущего центра надо добавить ско-
скорость w. В результате для сглаженной скорости ведущего центра
в неподвижной системе отсчета получится выражение
A3.7)
Оно отличается от выражения E'. 5) наличием дополнительного
члена ^г [wB]. Этот член интерпретируется как дрейф под
действием силы инерции — mw. При этом под w здесь понимается
сглаженное значение соответствующей производной, а именно:
. A3.8)
Уравнения для рц =mv\\ и рх = mvx в приближении Бого-
Боголюбова—Зубарева получатся из уравнений E. 6) и E. 7) такой же
заменой, какая применялась выше. В результате получим
р,1 -.-e(E'h) —m(wh)+-2-p>'xdivh; A3.9)
Pl -- -4-Pllwxdivh- A3.10)
Уравнение E. 15) переходит в
'2
^-=, const A3. 11)
D
и показывает, что р'х/В является адиабатическим инвариантом.
Уравнение E. 13) переходит в
4-(^)=e(E'v,)-m(*v,). A3.12)
Физический смысл дополнительного члена — m(wvn) понятен:
в движущейся системе отсчета работа производится не только
электрическим полем, но и силой инерции — mw.
96

ЛИТЕРАТУРА
1 Альфвен X. Космическая электродинамика. М., Изд-во иностр. лит.,
1952.
2. Боголюбовы. Н. иЗубарев Д. Н. «Укр. матем. журн.», 7, 5 A955).
3. Боголюбов Н. Н. иМитропольский Ю. А. Асимптотические
методы в теории нелинейных колебаний. М., Физматгиз, 1958.
4. Н е 1 1 w i g G. Zs. Naturforsch, 10a, 508 A955).
5. Богуславский С. Пути электронов в электромагнитных полях. М.,
1929. См. также сб.: «Избранные труды по физике». М., Физматгиз, 1961.
6. Спитцер Л. Физика полностью ионизованного газа. М., Изд-во иностр
лит., 1957.
7. Брагинский С. И. «Укр. матем. журн.», 8, 119 A956).
8. Б у д к е р Г. И. В кн.: «Физика плазмы и проблема управляемых термо-
термоядерных реакций», т. III. M., Изд-во АН СССР, 1958, стр. 3.
9. Fermi E. Astrophys. Journ., 119, 1 A954).
10. А р ц и м о в и ч Л. А. Управляемые термоядерные реакции. М., Физмат-
Физматгиз, 1961.
11. ВерновС. Н. и Чудаков А. Е. «Усп. физ. наук», 70, 585 A960).
12. Ван Аллен Дж. А. «Усп. физ. наук», 70, 715 A960).
13. Гинзбург В. Л., Левин Л. М., Рабинович М. С, С и в у -
хин Д. В..Четверикова Е. С. Сборник задач по общему курсу физики,
ч. 2, изд. 2. М., Физматгиз, 1960 (задачи 848, 849).
14. Морозов А. И. иСоловьевЛ. С. «Докл. АН СССР», 128, 506 A959).
15- Г у р с а Э. Курс математического анализа. Т. II. М.—Л., ОНТИ, 1936,
стр. 344.
16. К Р У с к а л М. Адиабатические инварианты. М., Изд.-во иностр. лит., 1962.
17. Бишоп А. С. Проект Шервуд. М., Атомиздат, 1960.
18. Кирхгоф Г. Механика. М., Изд-во АН СССР, 1962, лекция 14-я.
Вопросы теории плазмы

СТОЛКНОВЕНИЯ ЧАСТИЦ
В ПОЛНОСТЬЮ ИОНИЗОВАННОЙ ПЛАЗМЕ
Б. А. Трубников
В работе рассматриваются простейшие кинетические эффекты, обусловлен-
обусловленные столкновениями частиц в полностью ионизованном однородном газе. Автор
стремился к максимальной простоте и наглядности изложения. Относительно
новым с методической точки зрения является систематическое использование
специальных потенциальных функций и электростатических аналогий, что упро-
упрощает запись многих формул и иногда облегчает получение конечных результатов.
В первой главе подробно рассмотрено движение пробных частиц в плазме.
во второй — проделан нестрогий вывод кинетического уравнения и в третьей —
проанализированы некоторые простейшие кинетические явления в плазме.
I. ПРОБНЫЕ ЧАСТИЦЫ В ПЛАЗМЕ
§ 1. Сила «трения» при рассеянии в поле Кулона
Рассмотрим следующую простейшую задачу, которая в даль-
дальнейшем понадобится для вывода кинетического уравнения.
На неподвижный точечный заряд еа из бесконечности нале-
налетает со скоростью и однородный плоский поток точечных частиц р
с массой т, зарядом е^ и числом частиц в единице объема яр.
Требуется определить среднюю силу F, действующую на непо-
неподвижный заряд еа со стороны налетающих частиц (рис. 1).
Будем считать, что в каждый данный момент времени на заряд еа
налетает лишь одна частица |3 из потока. Такое ограничение назы-
называется «приближением парных столкновений».
Движение частиц в поле неподвижного кулоновского центра
хорошо известно, и мы приведем здесь лишь основные результаты.
Вследствие центрального характера сил движение одной частицы
всегда можно рассматривать как плоское. Частица при этом дви-
движется по гиперболе, и угол рассеяния 6 связан с прицельным
параметром q (рис. 1) соотношением
где
Здесь qx — значение прицельного параметра, при котором
частица отклоняется на прямой угол 6 = я/2 (tg (я/4) = 1).
Сечение рассеяния выражается известной формулой Резерфорда.

Из соображений симметрии ясно, что искомая сила F может
быть направлена только вдоль скорости налетающих частиц и.
Введем систему координат х, у, г, и ось z направим вдоль вектора и
(рис. 1). Поскольку «действие равно противодействию», то сила F
равна с обратным знаком силе, действующей со стороны
х
Рис. 1.
неподвижного заряда еа на поток налетающих частиц р\ Послед-
Последнюю же силу нетрудно найти из того условия, что она равна изме-
изменению в единицу времени суммарного импульса частиц потока.
Таким образом
F = --^-5V = -— m-i-(y^). A.2)
dt ^v и dt \^ j v '
Плоскость
траектории
&Uz=-\a\i\sui |
Рис. 2.
Так как столкновение с неподвижным рассеивающим центром
носит упругий характер, то скорость частиц Р после столкнове-
столкновения изменится лишь по направлению, но не по абсолютной вели-
величине.
Как видно из рис. 2, где и' означает скорость частицы |3 после
столкновения, изменение г-й проекции скорости одной такой
7* 99

частицы будет равно
-2us\n2^r = — 2u-2x 9. A.3)
1 Ql + e
Здесь мы использовали связь угла рассеяния Э с прицельным
параметром q из формулы A. 1).
Через элементарную площадку da = Qdqdq> плоскости ?,
перпендикулярной к оси z (см. рис. 1), за единицу времени про-
проходит число частиц р\ равное n^uda. Умножая эту величину
на Apz = тЛ«г и интегрируя по всей плоскости ?, найдем
изменение за единицу времени суммарного импульса частиц
потока, а следовательно, и силу F:
F = - JL Г (mA«2) (npdo) = -f (т2«е2хпр«2я) J т^Г" • ОЛ)
S о 6 6х
Входящий сюда интеграл логарифмически расходится при боль-
больших прицельных параметрах.
Чтобы получить для силы F конечное значение, будем считать,
что интегрирование в выражении A. 4) распространяется до неко-
некоторого конечного QMaKC, относительно которого будем предполагать,
что Qmskc > Qx- Т
"макс
f
Подставляя, наконец, в выражения A.4) и A. 5) значение
= —f, получим для F выражение
г-. л 4я 2 2 U
? % ееП
/1 с\
р^ A.6)
где
Я = In Г 6мГс . 1 • A.7)
§ 2. «Кулоновский логарифм» и роль далеких пролетов
¦ Величина К называется «кулоновским логарифмом», и его зна-
значение определяется выбором QMaKc. В квазинейтральной, пол-
полностью ионизованной плазме, состоящей из ионов и электронов,
Смаке обычно полагают равным так называемому дебаевскому
радиусу D, который определяется следующим образом. '
Выберем в плазме какую-либо заряженную частицу а и рас-
рассмотрим, как распределяются остальные заряды в поле этой
100

частицы. Электростатический потенциал ср выбранной частицы
вблизи нее должен удовлетворять уравнению Пуассона:
^ = Jr^(r^) = -4ne(Zni-ne). B.1)
Здесь Ze — заряд ионов; п(, пе — плотности ионов и электронов,
которые в состоянии термодинамического равновесия в потен-
потенциальном поле ф (г) должны изменяться в соответствии с распре-
распределением Больцмана:
щ = п°. ехр Г —
Г еФ 1 ( ^
ехр \^
(Для общности полагаем, что температуры Tt и Те различны.)
Постоянные коэффициенты перед экспонентами мы положили
равными средним плотностям п° , п°частиц в плазме, так как вдали
от выбранной частицы (где ср -> 0) плотности щ и пе должны пере-
переходить в средние. Разлагая экспоненты B. 2) в ряд и подставляя
их в уравнение B. 1), с учетом квазинейтральности плазмы (Zn° =
= п°) получим для ср (г) уравнение
I^-to^ll-^j-nSfl^)]^. B-3)
где
TeTj/Ы
Величина D имеет размерность длины и называется «радиусом
Дебая — Хюккеля». Решением уравнения B. 3) является функция
B.5)
которая на малых расстояниях (г <С D) переходит в чисто куло-
новский потенциал рассматриваемой нами частицы, а на расстоя-
расстояниях больше чем D — экспоненциально мала. Таким образом,
в реальных условиях квазинейтральной плазмы, близкой к состоя-
состоянию термодинамического равновесия, кулоновское поле отдельных
зарядов обрывается (экранируется) начиная с расстояний порядка
D, и практически можно считать, что при столкновениях с при-
прицельными параметрами, большими D, частицы не взаимодействуют
и не рассеиваются друг на друге. Поэтому дебаевский радиус D
и подставляют в «кулоновский логарифм» К в качестве QMaKc.
Следует подчеркнуть, однако, что дебаевская экранировка уста-
устанавливается не мгновенно. Колебания объемного заряда в плазме
характеризуются «плазменной частотой» со0 = yr4nne2/me, поэтому
101

время установления экранировки по порядку величины равно
(vT,e — VTJtne — тепловая скорость электронов). В настоящем
разделе всюду предполагается, что дебаевская экранировка успе-
успевает устанавливаться, и поэтому наше рассмотрение применимо
лишь к достаточно медленным процессам, характерные времена
протекания которых больше величины тэкр, т. е. больше периода
плазменных колебаний.
Если состояние плазмы не является равновесным, то операция
обрезания X становится несколько неопределенной и значение Я
может быть указано лишь с точностью до множителя порядка
единицы под знаком логарифма. В этих условиях нет большого
смысла подставлять в X точное значение и для параметра qx.
Учитывая, что логарифм вообще является медленно меняющейся
функцией, обычно берут некоторое среднее значение q±, заменяя
тиг на -g- (Та + Т&). Таблица значений % для электронно-про-
электронно-протонной плазмы с одинаковыми температурами Т{ и Те приведена,
например, в книге Л. Спитцера [2].
Рассмотрим численный пример. Пусть Т{ = Те = 1 кэв
(~107 °К); пе = п, = 1015 cm~s; Z = 1.
Тогда
соответственно
Т = I0';
Это типичные цифры для проблемы осуществления управляе-
управляемой термоядерной реакции. Из них мы можем сделать следующий
важнейший вывод принципиального значения. При далеких стол-
столкновениях (q > qx) частицы рассеиваются на малые углы [см.
формулу A. 1)]:
0 = 2qx/q«1.
Условно можно сказать, что значение qmhh = 2qx разделяет близ-
близкие и далекие столкновения. Исходя из этого, получаем:
"макс
. _ f QdQ _ « , «
Л = \ ———2~ — Лб + Лд>
J е + q г
о
102

где
кмакс
= Г _^Ц-^ In -§=!»!. B.7)
J Qa + Q^ бмин " V ;
Возвращаясь к выражению A. 6) для силы F, действующей
на заряженную частицу а со стороны налетающих на нее частиц р,
мы видим, что ее можно разбить на две части:
F = (Яб + ^д) const = F6.n+Ffl.n, B.8)
где F6. п — сила, обусловленная близкими пролетами, a Fn.n —
сила, обусловленная далекими пролетами, причем в соответствии
с выражениями B. 7) при Я, > 1
Р У
B. 9)
F&. п кб
Таким образом, интегрально вклад от далеких столкновений
в силовое взаимодействие заряженных частиц плазмы оказывается
примерно в Я, раз больше, чем от близких. Мы можем поэтому
при Я, > 1 приближенно с логарифмической точностью вообще
пренебречь влиянием близких столкновений. Эта важная особен-
особенность кулоновских столкновений является следствием большого
радиуса действия кулоновских сил, убывающих с расстоянием
пропорционально г~2. При более быстром спадании сил взаимодей-
взаимодействия между частицами далекие столкновения не играют такой
преобладающей роли.
§ 3. Средняя сила, действующая на частицу в плазме
Рассмотрим теперь задачу, более близкую к действительности.
Найдем среднюю силу, действующую на заряженную частицу а,
движущуюся со скоростью v через среду, состоящую из заряжен-
заряженных частиц Р, распределение которых по скоростям описывается
произвольной функцией /в (v') (так что |/р (v') dv' = ив — плот-
плотность частиц Р). Если вновь ограничиться учетом только парных
столкновений, то искомая сила 'Fa будет складываться из сил,
испытываемых частицей а в результате ее столкновений с отдель-
отдельными частицами р. Выделим, из всей совокупности частиц р эле-
элементарный поток частиц, движущихся со скоростью v'. Плотность
частиц в этом потоке равна
&пъ(v) = /p(v')^v' [см~3]. C.1)
103

Рассмотрим столкновение «пробной» частицы а с одной из час-
частиц Р выделенного потока. Движение обеих частиц описывается
уравнениями
Га — Го
«В — га I3
C.2)
Как известно из механики, движение двух взаимодействующих
частиц удобно описывать, если ввести координаты центра инер-
инерции и относительное расстояние между частицами:
C.3)
Старые координаты частиц будут выражаться через введенные
координаты по формулам
mR
ra = R + „ В „ г;
гр - R ¦
та
та
г.
C.4)
Подставив эти выражения в уравнения C. 2), получим уравнение
движения центра инерции R = 0, откуда
R = V = const, C. 5)
что соответствует равномерному поступательному движению, и
уравнение относительного движения
г
C.6)
где
описывающее движение фиктивной частицы с «приведенной» мас-
массой /пар в поле неподвижного кулоновского центра.
Последнее обстоятельство позволяет использовать результат
решенной ранее задачи о силе, действующей на неподвижный рас-
рассеивающий центр.
Умножив первое уравнение C. 4) на та и продифференцировав
два раза по времени, с учетом равенства C. 5) получим
та га = тЛ + та& = та&'¦ C- 7)
Таким образом, сила, действующая на частицу а в единичном
акте столкновения, равна силе, действующей на частицу с приве-
104

денной массой, которая в свою очередь равна с обратным знаком
силе, действующей на неподвижный центр. Частицы приведен-
приведенной массы налетают на этот воображаемый неподвижный центр
со скоростью
г =ra — rp = v — v'. C.8)
Поэтому, сделав в формуле A. 6) замену
np->dftp(v') и u-^v — v', C.9)
мы найдем силу, действующую на неподвижный центр со стороны
выделенного нами элементарного потока частиц со скоростью v':
d? = X~e2e2R , v~~y' /B(v')dv'. C.10)
Интегрируя по всем потокам dn§ и поставив впереди знак минус,
найдем искомую нами среднюю силу, действующую на частицу а,
движущуюся через среду из р частиц со скоростью v:
I^]rMv')dv'. C.11)
Здесь и в дальнейшем мы будем подразумевать под А, приближен-
приближенное среднее значение
где
^х-^ maB|v-v'|2 ~3
[D —дебаевский радиус, см. формулу B. 4)].
Любопытно отметить, что интеграл по пространству скоростей
имеет в точности такой же вид, каким выражалось бы в электро-
электростатике электрическое поле системы зарядов, непрерывно распре-
распределенных в обычном координатном пространстве с плотностью
Q (г) = /3 (О:
Е(г) = f |ГГ1ГГ'|. Q(r')dV = -§гас1гфэ(г). C.13)
Здесь потенциал фэ (г) удовлетворяет уравнению Пуассона
АГФЭ = —4jtq и равен
Имея в виду эту полезную аналогию, введем формально «по-
«потенциальную» функцию фр (v), такую, что
= /р.
C.15)
105

т. е. аналогичную электростатическому потенциалу <рэ (множи-
(множитель — 1/4я, как и в рационализированной системе электромаг-
электромагнитных единиц, дописан из соображений удобства). Сила Fa (v)
из равенства C. 11), действующая на пробную частицу а, будет
выражена через <рр по формуле
Fa (V) - - * ^~ Dl*VpJ У.Фр (V) C. 16)
и во многих случаях может быть написана непосредственно по ана-
аналогии с электростатикой. Различные применения этой формулы
рассмотрены в гл. III.
§ 4. Пробные частицы в плазме
Пользуясь найденной в § 3 силой, из уравнения движения
*"e-2T=Fe(v) D.1)
можно определить, как будет в среднем изменяться скорость час-
частицы с течением времени. Однако полученное уравнение отнюдь
не описывает с достаточной полнотой всей картины движения
пробной частицы в плазме.
Это движение удобно рас-
рассматривать, введя так назы-
называемое «пространство скоро-
стей», по трем осям которого
откладываются компоненты ско-
V(t<) рости vx, vy, vz (рис. 3). Если
пробная частица а обладает в
некоторый момент времени ско-
скоростью v, то будем говорить, что
Рис- 3- эта частица находится в точке v
пространства скоростей.
При изменении скорости частицы ее положение в пространстве
скоростей будет соответственно меняться — скачком или непре-
непрерывно. В общем случае эти перемещения будут весьма сложными
и запутанными (рис. 3).
Мы, конечно, не в состоянии проследить за движением одной
частицы, в котором к тому же трудно было бы усмотреть какие-
либо общие закономерности, и поэтому должны обратиться к так
называемому «статистическому рассмотрению».
Для этого мы предположим, что в плазме имеется не одна,
а большое число N (в пределе бесконечное) пробных частиц а,
которые в момент времени t0 = 0 обладали одинаковой скоростью
v0. Такая совокупность многих абсолютно одинаковых объектов
называется в статистике «ансамблем».
Введенный нами «ансамбль» пробных частиц эквивалентен
плоскому потоку из N частиц а в бесконечной однородной среде
106

полевых частиц р\ В момент t0 — О все N пробных частиц потока
были сосредоточены в точке v0 пространства скоростей. Для на-
наглядности их можно мысленно представить себе в виде облака
сферически-симметричной формы, весьма малых размеров (а сле-
следовательно высокой плотности), расположенного в точке v0.
В последующие моменты времени это облако будет расплываться,
изменяя свою форму и размеры. Качественно такое поведение
облака пробных частиц
в пространстве скоростей
изображено на рис. 4.
Выясним, какие вели-
величины могут быть пригодны /
для полного описания этого
процесса.
Положение облака в
некоторый момент времени
естественно охарактеризо-
охарактеризовать координатами его
«центра тяжести»:
v=l
i = х, у, z, D. 2)
Vy
Рис. 4.
где суммирование произво-
производится по всем N частицам
облака. Эта величина, таким образом, есть просто средняя
скорость частиц облака.
Соответственно этому «скорость» перемещения облака как
целого будет определяться значением производной -т- v{ (t).
Теперь мы должны выбрать величину, которая характеризо-
характеризовала бы размеры и форму облака, т. е. величину его «размазан-
«размазанности» в разных направлениях. В одномерном случае, как известно,
для характеристики «размазанности» некоторой величины х
вводят так называемое «среднее квадратичное отклонение»
{Axf =
D.3)
Непосредственным обобщением этой величины в нашем простран-
пространственном случае должен, очевидно, являться симметричный тен-
тензор II ранга:
Vj = (о — v)t (v — v)j = vtv, — vfl
D.4)
Соответственно «скорость» изменения размеров и формы облака
будет определяться производной этого тензора -^ Aw;Au;-.
107

Обобщая две рассмотренные величины, характеризующие со-
состояние облака, мы можем предположить, что для полного описа-
описания его состояния, т. е. распределения пробных частиц по про-
пространству скоростей, необходимо задать бесконечный набор тен-
тензорных величин
... D.5)
или связанных с ними соотношениями типа формул D. 4) тензоров
Vi, Ау.-Ау/, AvtAvjAvk,... D.6)
Здесь черта сверху означает усреднение по ансамблю пробных
частиц в скоростном пространстве, т. е. для любой функции w (v),
зависящей от скорости v, операцию
N
4
Величины типа тензоров D. 5) или D. 6), определенные таким
способом, называются «моментами» и часто применяются в физике
для описания различных распределений. Например, известное
в электростатике разложение потенциала по мультиполям (ди-
(диполь, квадруполь, октуполь и т. д.) является не чем иным, как при-
применением «метода моментов» для описания распределения системы
электрических зарядов по пространству координат. Исходя из этой
аналогии, мы вправе заключить, что подобно тому, как для пол-
полного описания некоторой системы распределенных в простран-
пространстве зарядов достаточно указать, чему равны все ее моменты
(дипольный, квадрупольный и т. д., включая моменты бесконечно
высокого порядка), так и в нашем случае распределение по про-
пространству скоростей будет полностью описано, если известны
все его моменты.
Следовательно, для того чтобы полностью охарактеризовать
процесс расплывания облака пробных частиц, необходимо, чтобы
были известны скорости изменения всех моментов во времени:
It Vi' U Av^vi' 4i AvAviAvk и т. д. D. 8)
Эти производные мы вычислим для начального момента
времени t0 = 0, когда все пробные частицы облака находятся
в точке v0 пространства скоростей.
§ 5. Скорость изменения моментов
Заметим прежде всего, что первая производная -gfvi
по смыслу есть среднее ускорение пробной частицы а, которое
связано со средней силой, действующей на эту частицу в резуль-
результате ее столкновений с частицами среды. Эту силу мы вычисляли
108

ранее, поэтому первая величина в последовательности D. 8)
нам уже известна. Однако для большей ясности будем проводить
вычисления параллельно для трех выписанных в формуле D. 8)
производных моментов I, II и III порядков.
Введем условное обозначение а/р, указывающее, что данная
величина относится к процессу рассеяния пробной частицы а
в среде из «полевых» частиц р. Поскольку производная по времени
от некоторой величины есть изменение ее за единичный интервал
времени, мы обозначим величины D. 8) более удобными символами
< Щ >т, < Ао,Д1>, >а/р, < Ao,At»yAoft >а/э и т. д., E. 1)
рассматривая их как изменение в единицу времени соответствую-
соответствующих моментов. Дальнейшие вычисления аналогичны тем, которые
были проделаны в § 1 и 3 при определении силы, действующей
на пробную частицу а.
Совокупность полевых частиц р, как и в формуле C. 1), пред-
представим в виде наложения элементарных плоских потоков. Про-
Пространственная плотность одного такого потока, в котором частицы
движутся со скоростью v', равна
dna = dn& (v') = /р (v') dv', смГ*. E. 2)
Рассмотрим столкновение пробной частицы а, обладающей ско-
скоростью v, с одной из частиц Р этого потока и введем координаты
центра инерции R и относительное г по формулам C. 3). Пользуясь
первой формулой C. 4), изменение скорости частицы а в резуль-
результате столкновения можно выразить через изменение скорости
фиктивной частицы с приведенной массой
Ша
__ Тз _ | _ *^ ¦**
откуда
поскольку скорость центра инерции R не меняется при столкнове-
столкновении. Таким образом, мы вновь свели задачу к рассеянию потока
частиц с приведенной массой на неподвижном центре.
В момент t = О, для которого мы будем вычислять произ-
производные E. 1) всех моментов, очевидно, у, |*=о = и?. Нетрудно
видеть, что операция суммирования при усреднении по пробным
частицам облака-ансамбля [формулы D. 2) и D. 7) ] сводится
в этих условиях к суммированию по всем частицам потока,
налетающего на неподвижный рассеивающий центр. Через пло-
площадку da = QdQd(f> плоскости | (см. рис. 1) за единицу времени
проходит число частиц, определяемое плотностью выделенного
потока и равное
rfrtp (v') | u | da = /p (v')dx'udo. E. 4)
109

Умножая это число на компоненты вектора Лу„ =
та
Аи
и интегрируя по всей плоскости \, как это делается в формуле
A. 4), а затем по всем элементарным потокам как в формуле
C. 11), найдем
где
где
где
/77 (*
a ^
wti =
m0
W
•ilk
J Au^UjAUkUda.
E.5)
Аналогично вычисляются изменения в единицу времени и более
высоких моментов. Величины wh wih Wljk и т. д. являются тен-
тензорами соответствующих рангов. Единственный вектор, от кото-
которого они могут зависеть, это вектор относительной скорости
u = v — v', и поэтому из соображений тензорной размерности
можем написать
W,
— A; w,i = b,,B —
и»
E.6)
Других комбинаций нужной тензорной размерности из компонент
вектора и и каких-либо единичных тензоров составить нельзя.
Величины А, В, С, D, Е являются скалярами, и их удобно вы-
вычислять в системе координат с осью z, направленной вдоль и,
как это изображено на рис. 1. В этой системе, как видно из рис. 2,
Аи, = и sin 0 cos op; Аы„ = «sin 8 sinф;
Auz = — и A — cos в).
Применяя эти общие формулы к рассматриваемому нами случаю
кулоновского взаимодействия, для которого [см. формулу A. 1)]
E.8)
где
Qj.
ПО

получим
Аих = 2и sin -к- cos -у cos ф = 2« —-—:Ц— cos
2
E.9)
В рассматриваемой системе координат вектор wt имеет лишь одну
z-ю составляющую, которая равна А. Из формул E. 5),
E. 6), и E. 9) находим
А = ^\
1 + ~ГГ
E.10)
Стоящий здесь расходящийся интеграл мы условились обрезать
на верхнем пределе QMaKC = D и обозначать буквой X (см. § 1 и 2).
Тензор wt,- в нашей системе координат будет диагоналей [см.
формулы E. 5) и E. 6)]:
/В 0 о
где
wtl= 0 В 0 , E.11)
Подставляя сюда Aut- из формулы E. 9), найдем
В = (^LJ Г Bц 2QQ-i cos
Здесь интеграл также логарифмически расходится и лишь на ве-
величину порядка единицы отличается от интеграла в выражении
E. 10), который мы условились обозначать буквой Я,:
с
7Т^ 2Т2 9~ ' ]
5 (Q' + Ql) 2
~Г^ 2
о Q2 + QI
Поскольку величина А, определена с точностью до слагаемого
порядка единицы, то различием этих двух интегралов можно пре-
пренебречь.
ш

Вычисляя далее интеграл для В + С = wzz, найдем, что он
не расходится, и потому оказывается в К раз меньше расходяще-
расходящегося wxx. При к > 1 можно шг2 приближенно считать нулем.
Учитывая сделанные выше оговорки, окончательно получаем
E.14)
и для тензора хюц (полагая wzz = В + С = 0)
)^. E-15,
а/В
где для краткости мы обозначили L р = Я,
§ 6. Особенности кулоновского взаимодействия.
Введение потенциальных функций ^ и ф
Если бы мы стали вычислять далее тензор третьего (wtjk)
и более высоких порядков, то обнаружили бы, что все они содер-
содержат интегралы, которые не расходятся, а напротив, сходятся
на расстояниях порядка q±, так как qx — единственный параметр
в интегралах этого типа. Их величина, следовательно, обусловлена
близкими столкновениями в отличие от логарифмически расходя-
расходящихся интегралов в wt и wtj, основной вклад в которые вносят
далекие столкновения. Поскольку процедура обрезания расходя-
расходящихся интегралов вводится нами из дополнительных соображений,
то формально мы можем считать сходящиеся интегралы пренебре-
пренебрежимо малыми по сравнению с расходящимися. Фактически с уче-
учетом действительного обрезания на QMaKC = D сходящиеся инте-
интегралы меньше логарифмически расходящихся в % раз.
Мы видим, таким образом, что в последовательности величин
<Диг>а/Р, < AviAvj >а/р, < Av{ AvjAvk^>a^ и т. д., кото-
которые в совокупности полностью описывают процесс .расплывания
облака пробных частиц в пространстве скоростей, для случая
кулоновского взаимодействия частиц наибольшую роль играют
первая и вторая величины:
F.1)
(и = у —v');
Эти формулы мы получили, подставив wt и wti из выражений
E. 14) и E. 15) в формулы E. 5). Остальные «скорости изменения
моментов» — третья <Av{Av-sA vk ;>«/P и более высокие —¦ ока-
112

зываются в К раз меньше, и при
*
1 ими можно пренебре-
пренебрегать *.
Это обстоятельство является важнейшей особенностью куло-
новского взаимодействия, отличающей его от всех других взаимо-
взаимодействий, спадающих более быстро. Именно возможность пренеб-
пренебрежения третьим <Да,-А&/ДуА> и более высокими моментами
позволяет рассматривать движение частиц, взаимодействующих
по закону Кулона, как процесс диффузии в скоростном простран-
пространстве, что будет использовано в следующей главе для вывода кине-
кинетического уравнения. Укажем также, что приближение, когда
ограничиваются первым <Aff> и вторым <ik.vtkvp> момен-
моментами, пренебрегая более высокими, называется «приближением
Фоккера — Планка». В книге Л. Спитцера [2] величины <Ау?>
и <Аиг-А&7->> называются «диффузионными коэффициентами».
В заключение настоящего параграфа придадим выражениям
F. 1) более удобный вид.
Используя соотношения
дг\м
__ 6ц
и
щи/
ui
F.2)
где и = v — v', выражения F. 1) можно записать в виде
: ( 1 + JO°l) L«/P^_ (J_ Г ._Щ_ dy'\ ;
\ ¦ щ / ovi \ 4я J | v — v I /
Отсюда видно, что целесообразно ввести две «потенциальные
функции», относящиеся к распределению частиц Р **:
* Моменты разных порядков, например второго <Ди4-Дц/> и третьего
<Д1>,-Ди/Лу?>, имеют различную размерность, поэтому сравнивать их вели-
величину можно лишь в безразмерных единицах, например измеряя скорость в еди-
единицах У~Т/т.
** Потенциальные функции подобного типа были введены в 1957 г. в статье
Розенблюта и др. [3] и независимо, но несколько позже, автором [4]. Функ-
Функции g и h, введенные Розенблютом и др. [3], выражаются через наши соотно-
соотношениями
и фактически менее удобны, чем наши «индивидуальные» i|)p и
к частицам одного сорта р.
8 Вопросы теории плазмы
р, относящиеся
ИЗ

4я
F-4)
Коэффициенты здесь выбраны с таким расчетом, чтобы между
функциями i|)p и фр и функцией распределения fp существовали
наиболее простые соотношения *
Аг|5р = фр и АА^р = Афр = /р, F. 5)
в справедливости которых легко убедиться на основании формул
Вводя «потенциальные функции»- г|5р и фр
окончательно получаем
о,>«"» = - A + ^-lWa/p
-v'). F.6)
в формулы F. 3),
F.7)
Кроме того, на основании соотношений F. 5) можно заключить,
что
<ДУ,Д^>а/Р = - 2La/pA^p = - 2La/V F. 8)
где в соответствии с принятым в тензорных вычислениях правилом
по дважды встречающемуся индексу k подразумевается суммиро-
суммирование по k = х, у, z.
Из выражений F. 8) и F. 7) вытекает соотношение
|
Таким образом, вспоминая физический смысл величин ;
и <СЛ?\-ДиА!>, можем сказать, что скорость движения в скорост-
скоростном пространстве облака пробных частиц как целого связана
со скоростью его расплывания по всем направлениям.
Укажем в заключение, что полученные формулы позволяют
определить среднюю скорость потери импульса пробной частицы а,
движущейся в среде частиц Р:
dt
* Здесь Д означает оператор Лапласа по скорости, в то время как в фор-
формулах <Диг> и <Ди(-Дг;(-> значок Д означает приращение: Ду = v' — v.
114

и скорость потери энергии:
,>) . F.
Здесь использовано соотношение
AvAv, = tw— v,v,. F. 12)
I * It II \ '
Подставляя в формулу F. 11) выражения F.7) и F.8), получаем
F. 13)
Применение формул F. 10) и F. 13) рассматривается в гл. III.
§ 7. Использование сечений рассеяния
В кинетической теории газов столкновения частиц удобно
описывать с помощью так называемых «эффективных сечений».
В случае короткодействующих межчастичных сил, например
для нейтральных молекул, сечение упругого рассеяния примерно
равно
о = пйг, см2, G. 1)
где d — эффективный диаметр частицы-молекулы.
Сечение имеет размерность площади и иногда называется также
«эффективным поперечником рассеяния». Величина
Vo = f,CM, G.2)
имеет размерность длины и называется «амплитудой рассеяния».
Какая-либо молекула, пройдя в газе путь Ах, должна столкнуться
со всеми молекулами, центры которых лежат внутри цилиндра
с высотой Ал; и площадью основания nd2 = а. Если плотность
газа равна п, то таких молекул будет Ахап. «Длиной свободного
пробега» / называется такой отрезок Ах, на котором частица-
молекула испытывает одно столкновение:
Ion = 1,
откуда
I = — . G.3)
па v '
Время между двумя последовательными столкновениями будет
равно
v nva
G. 4)
где v — скорость (обычно тепловая) рассматриваемых частиц.
Введенные величины — сечение, длина пробега и время т
(последнее применительно к плазме обычно называют «временем
8* 115

релаксации») — являются удобными характеристиками различ-
различных процессов, происходящих в газе. Зная их, можно, в част-
частности, оценить коэффициенты диффузии, вязкости и теплопровод-
теплопроводности, которые определяют соответственно плотность потока
частиц, потока импульса и потока энергии, обусловленную столк-
столкновениями в газе:
¦^ dn
q ~ —и
дх
дТ
дх
G.5)
Эти уравнения принято называть «уравнениями переноса», а коэф-
коэффициенты D, ц и к — «коэффициентами переноса». Элементарная
кинетическая теория газов (см. также работу С. И. Брагинского
в настоящем выпуске) показывает, что эти коэффициенты при-
приближенно можно оценить по формулам
v
па
-^ mnD —
Y. 3? tlD = ,
G.6)
где v = YTIm — тепловая скорость молекул.
При более строгом подходе оказывается, что для детальной
характеристики различных процессов следует ввести не одно,
а несколько сечений и соответственно несколько длин пробега
и времен релаксации. В гл. III мы увидим, что в плазме для каж-
каждого сорта частиц необходимо ввести по меньшей мере три релак-
релаксационных времени.
Рассмотрим более подробно вопрос о сечениях. «Дифферен-
«Дифференциальным сечением рассеяния» называется величина
/ g(B) dc (9) ¦
\ sine
do
-1 du =
G.7)
где q F) — прицельный параметр, рассматриваемый как функция
угла рассеяния 0 в системе центра инерции. Геометрически вели-
величина da представляет собой элементарную площадку на пло-
плоскости ?, перпендикулярной к скорости потока частиц, падающих
на рассеивающий центр 0 (см. рис. 1). Физически сечение da
равно отношению числа частиц, рассеиваемых за единицу времени
под углом Э в элемент телесного угла dQ, к плотности потока
падающих частиц. Величина
G.8)
116

называется «полным сечением рассеяния». Если только потенциал
взаимодействия не обращается строго в нуль для всех прицельных
параметров, больших некоторого (это имеет место, например,
в случае упругих шаров, которые вообще не взаимодействуют,
если не соприкасаются), то интеграл G. 8) расходится и полное
сечение рассеяния обращается в бесконечность (по крайней мере
в классической теории; в квантовом случае сечение может быть
конечным, если потенциал убывает достаточно быстро). Вследствие
указанной расходимости полное сечение, очевидно, не может
входить в какие-либо формулы, определяющие физические свой-
свойства газа. Наибольший интерес для кинетики представляют
величины вида
ak = j (I — cos* 0) da, k = 1, 2, 3... G. 9)
Первую из них
<*i = J 0 — cos 9) do G. 10)
называют «транспортным сечением» (применяются также назва-
названия «диффузионное сечение» и «сечение замедления»), что связано
с тем, что множитель A — cos G) определяет потерю направленной
скорости частицы при упругом рассеянии (см. рис. 2):
Аиг = —и A —cos 9) G. 11)
[см. также формулу A. 3)]. Вторую величину
а2 = J (I — cos2 9) da G. 12)
удобно было бы назвать «сечением отклонения», так как множи-
множитель 1 — cos2 0 = sin2 0 характеризует среднеквадратичное при-
приращение поперечной скорости частиц при рассеянии плоского
потока на неподвижном силовом центре. В книге Чемпена и Кау-
линга [5] показано, что вязкость и теплопроводность газа опре-
определяются именно сечением отклонения сг2. Если g — скорость
относительного движения двух частиц, измеренная в единицах
Т/277fx, так что распределение Максвелла для относительных
скоростей имеет вид
)V (ф) . 13)
(здесь ц — приведенная масса и выбрана нормировка
1 /отн dvOTH = 1), то, обозначая скобками < > усреднение
по этому распределению, имеем (см. работу [5]) формулы для
коэффициентов вязкости и теплопроводности простого газа (не
смеси):
G.14)
117
К = Г).
4от '

Сечение> замедления а1 определяет подвижность частиц и входит
в коэффициент диффузии, имеющей место в неоднородной смеси
двух газов:
В отличие от формул G. 6), определяющих лишь порядок величин,
формулы G. 14) и G. 15) дают уже количественные выражения
для коэффициентов переноса.
Для иллюстрации рассмотрим пример, когда молекулы можно
считать идеально упругими твердыми шариками диаметром da
(а — сорт частиц). В этом случае дифференциальное сечение рас-
рассеяния в системе центра инерции изотропно и совсем не зависит
от относительной скорости:
При этом «сечение замедления» равно
и для коэффициента взаимной диффузии в смеси двух газов в соот-
соответствии с выражением G. 15) получаем
Здесь п = п1 + я2 — полная плотность газа. «Сечение отклоне-
отклонения» для молекул одного сорта равно
f ^ ^ G.18)
и в соответствии с формулами G. 14) коэффициенты вязкости
и теплопроводности простого газа (не смеси) для модели упругих
шарообразных молекул приобретают вид
-_ 5 лГ=?г\ ~ ^-~5^ _ 5/^Г .
11" ~Т
15т| 25 /Т/от
4m
G. 19)
В формулах G. 17) и G. 19) средние значения <gn~> определены
в соответствии с выражением G. 13):
п+\
|
g |"e-fi2dg = 2лЛ f e"*jc 2 dx = -? G. 20)
118

Рассмотрим теперь вопрос о поведении пробной частицы a
в среде полевых частиц E, описываемых функцией распределения
/р (vp), и попытаемся определить скорость изменения импульса
и энергии пробной частицы.
Изменение скорости пробной частицы а при столкновении ее
с частицей |3 связано с изменением их относительной скорости и
соотношением E. 3):
Ди. G.21)
Отсюда для изменения импульса и энергии получаем
Аро = maAva = тарДи;
Деа = НГ [(v + Л vJ - v2] = ma [vA v + -L (AvJ] =
G.22)
Так как рассеяние упругое, то модуль и не меняется. Поэтому
(и + АиJ — и2 = 2иДи + (АиJ = 0. G. 23)
Таким образом, изменение энергии будет равно
G.24)
= da, полу-
Интегрируя по всем прицельным параметрам
чим
j Aea do = map ( va -~^&- u ) f Auda. j
G<
Для последнего интеграла, учитывая, что
Аи2 = —и A — cos 6);
Аих = и sin 6 cos cp;
Ally = « sin 9 sin <p,
имеем
Таким образом
u2) av
G. 26)
G.27)
G. 28)
Принимая во внимание выражение E. 4), средние скорости изме-
изменения импульса и энергии пробной частицы могут быть получены
умножением выражений G. 28) на f^udv^ и последующим интегри-
интегрированием по всем полевым частицам:
119

= j* rfvp/ры j Apado = — map J dvp/pOj | u | u;
Фа
dt
G-
т2
|u|u +
Эти формулы применимы при произвольном законе взаимодей-
взаимодействия частиц. Они имеют особенно простой вид для так называемых
«максвелловских молекул», которые отталкиваются с силой, об-
обратно пропорциональной пятой степени расстояния:
F = — Vr?/(r)~r-5, G.30)
где
U (г) = ylr*.
Простота этого частного случая обусловлена тем, что, как это
видно из простых соображений размерности, зависимость угла
рассеяния 0 от прицельного параметра q должна иметь вид
e = /(?/(Q)/e0HI), G.31)
где U (q) = y/g4 — потенциал взаимодействия; еотн = [iu2/2 —
энергия относительного движения (ц — приведенная масса);
f (x) — безразмерная функция.
Обратная функция q (Э) будет
Q(e) = Qxff(9), G-32)
где Qx = (у/еотн)*/« -~ | и |~1/г и g (Э) — вновь безразмерная
функция. Следовательно, сечение
da = QrfQdcp = Q2±h @) dQ,, G. 33)
где h @) — новая безразмерная функция, будет обратно пропор-
пропорционально относительной скорости: da ~ и'1. При этом и транс-
транспортное сечение аг оказывается обратно пропорциональным и:
• Const /у од\
|«максвелловские ==
молекулы» и
Время между соударениями х = 1/паи в этом случае вообще
не зависит от энергии относительного движения. Обращаясь
к формулам G. 29), можно видеть, что в случае «максвелловских
молекул» оба фигурирующие в них интеграла легко вычисляются
• в общем виде (подставляем а1 = const/u):
j dVe<*i I" Iu = const vanp: 1
jdv^a,\u\3 = const (vl + <vp>) л„. J G'35)
(Для простоты мы считаем, что газ полевых частиц E в целом
покоится, так что J dvgfgVp = 0). Как видим, передача (потеря)
импульса и энергии пробной частицы а в этом случае определяется
120

только плотностью «р и средней энергией (температурой) поле-
полевых частиц Р (так как <i|> = ЗГр/тр).
Как показано в книге Чепмена и Каулинга [5], для «максвел-
ловских молекул» сравнительно простым оказывается и вычисле-
вычисление кинетических коэффициентов, на чем останавливаться мы
не будем.
В общем случае через различные сечения ak могут быть выра-
выражены и введенные нами в § 5 тензоры wt, wVp wiik и т. д. Так,
используя формулы G. 26), для скалярных величин А, В я С,
определяемых формулами E. 10) и E. 11), найдем
в , c _
j (Auzf ude = (~-J4s j A - cos QJdo =
та
т2аЛ
= -f-usBa1 — o2). G.36)
Подставляя найденные значения А, В, С в формулу E. 6), полу-
получим:
2 j J ¦ ( ¦
т 3
Тензоры более высокого ранга (wljk, w{jH и т. д.) будут содер-
содержать сечения cr3, a4 и более высокого порядка, которые уже
не имеют столь простого наглядного смысла, как сечения а±
(«замедления») и с2 («отклонения»).
Вернемся теперь к частицам, взаимодействующим по закону
Кулона. В этом случае дифференциальное сечение рассеяния опи-
описывается, как известно, формулой Резерфорда
da _ q(9) dQ(8) QJ n om
dQ sine rf6 4 sin4 @/2) ' ^ ' -1
где
для получения которой следует использовать формулу A. 1),
связывающую прицельный параметр с углом рассеяния
G.39)
121

Нетрудно убедиться, что в этом случае все «частичные» сечения ok
логарифмически расходятся на малых углах рассеяния, т. е.
на больших прицельных параметрах,
я
ak = f A - cosfee) -2L dQ^n Bqj.)»A f -f- . G.40)
9МИН
Как было показано ранее, максимальный прицельный параметр,
при котором частицы еще эффективно взаимодействуют и, следо-
следовательно, рассеиваются, в плазме следует положить равным ра-
радиусу Дебая D. Тогда
я
8 — 2qx/D; \ —5— = In 5— s= In — = К, G.41)
J о "мин QX
'мин
т. е. получаем «кулоновский логарифм». Вводя обозначение
вкум„ (и) = я% BQxJ = я% [~^)\ G.42)
из формулы G. 40) получаем
|для плазмы
('•
Отсюда, в частности, ст2 = 2аъ что третью формулу G. 36)
превращает в нуль: В + С = 0. Подставляя теперь
(и) = К —^ • ~^- G.44)
в формулы G. 29), найдем среднее за единицу времени изменение
импульса и энергии пробной частицы а, движущейся в среде
полевых частиц C, при кулоновском взаимодействии (напоминаем,
что u = va — vp):
Фа j 4jtea4
map
G. 45)
что, как нетрудно заметить, совпадает с формулами F. 10) и F. 13).
Для различных качественных оценок энергию относительного
движения \iu2/2 в выражении окулоН (и) можно заменить на тем-
температуру. Мы видим, таким образом, что в плазме сечение столкно-
столкновения приближенно можно считать равным
(tA-l?; (T^kT°). G.46)
122

При этом средняя длина пробега / и время между столкновениями
(среднее время релаксации) по порядку величины равны
, _ 1 Т2
покулон Хпе* '
v
G. 47)
Отсюда, например, видно, что при одинаковых температурах
длины пробегов ионов и электронов будут одинаковы, в то же время
хф : хш яа УЫЖ. G.48)
Так как величины стх и а2 примерно одинаковы, то «длина замедле-
замедления» / = \/по1 примерно равна «длине отклонения» / = 1/яст2.
Следует иметь в виду, что для правильной оценки каждого
процесса необходимо вводить свое «эффективное сечение», и таким
образом их будет несколько. Рассмотрим, например, вопрос
об обмене энергией между ионами и электронами. Для простоты
ограничимся случаем, когда электрон me = m налетает на покоя-
покоящийся ион mi = М > т. При этом u = va и
-^-). G.49)
Тогда из выражения G. 28) получаем
(Ji) G.50)
Аналогично и в том случае, когда ион налетает на покоящийся
электрон, имеем
G.51)
Если ввести «сечение передачи энергии» сг"^ по формуле
j G.52)
то по порядку величины
?(S)?-. G.53)
Мы видим, что относительная доля передаваемой при столкно-
столкновении двух частиц энергии зависит от отношения их масс: она
максимальна при равных массах и пропорциональна т/М <^ 1
при сильно различающихся массах. Поэтому сечение передачи
энергии в 2т/М раз меньше сечения замедления. Соответственно
этому для времен релаксации имеем
/f:^. G.54)
123

В гл. Ill мы будем в основном оперировать не сечениями,
а временами релаксации, которые непосредственно характеризуют
длительность различных процессов в плазме.
II. КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ЧАСТИЦ С КУЛОНОВСКИМ
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ
§ 8. Движение частиц в фазовом пространстве
Как известно, для статистического описания совокупности
многих частиц удобно ввести шестимерное «фазовое» пространство,
по осям которого отложены координаты х, у, z и скорости vx,
vy, vz* (рис. 5).
Если некоторая частица находится.в точке г и обладает ско-
скоростью v, то принято говорить, что эта частица находится в точке
(г, v) фазового пространства.
Число частиц сорта а, находящихся в элементе объема этого
пространства
= dv dv = dx dy dz dvxdvydvz, (8.1)
можно представить в виде
dNa^fa(t,r,v)drdv, (8.2)
где /а — плотность распределения частиц а по фазовому про-
пространству, называемая обычно «функцией распределения».
«Кинетическим уравнением» называется уравнение для функ-
функции /а (t, r, v), которое показывает, как с течением времени изме-
изменяется распределение частиц по фазовому пространству, т. е.
по координатам и скоростям.
Нам представляется, что проделанный ниже вывод этого урав-
уравнения, хотя он и не может претендовать на строгость, является
достаточно наглядным.
Рассмотрим картину движения частиц в фазовом пространстве.
При отсутствии столкновений координаты и скорости частиц
меняются непрерывно, «от точки к точке», что соответствует непре-
непрерывному движению частиц в фазовом пространстве. В этих усло-
условиях функция fa (t, r, v) удовлетворяет «уравнению непрерыв-
непрерывности»:
3fe
(8.3)
* Обычно под «фазовым» пространством понимают пространство координат
и импульсов, а не скоростей. Это различие, конечно, несущественно, однако
интерпретация и операции с введенными нами потенциальными функциями
выглядят проще в пространстве скоростей, которым мы и будем пользоваться.
124

где
(8.4)
есть поток частиц а в пространстве скоростей, F(ae) — внешняя
сила, действующая на частицу а.
Уравнение (8. 3) аналогично обычному уравнению непрерыв-
непрерывности
dt
где
+ div j = 0, (8. 5)
J
описывающему движение про-
произвольной «сплошной» сре-
среды — жидкости или газа в
обычном трехмерном про-
пространстве координат.
Оба эти 'уравнения выра-
выражают закон сохранения числа
частиц, в соответствии с ко-
которым количество частиц
внутри произвольного фик-
фиксированного объема изме- рис. 5.
няется только вследствие
поступления в этот объем частиц через окружающую его замкну-
замкнутую поверхность, что схематически изображено на рис. 5.
Записав это в виде
?E), (8.6)
где /$* — проекция шестимерного потока частиц а на направле-
направление внешней нормали N к поверхности 2E)> и преобразуя по тео-
теореме Гаусса интеграл от нормального потока вектора через зам-
замкнутую поверхность 2<5> в интеграл от шестимерной диверген-
дивергенции по объему Q<6>, получим уравнение (8. 3).
Учтем теперь влияние столкновений. Изменением простран-
пространственных координат частиц за время одного соударения всегда
можно с макроскопической точки зрения пренебречь. Поэтому
движение частиц в отношении координатной части фазового про-
пространства сохраняет свой непрерывный характер «от точки
к точке», и второй член div, (v/a) в кинетическом уравнении (8. 3),
описывающий это движение, остается неизменным.
Столкновения, однако, резко нарушают непрерывность движе-
движения в пространстве скоростей. За время одного соударения, т. е.
практически мгновенно, скорость частицы, испытавшей столкно-
столкновение, может измениться весьма значительно. Если обозначить
125

скорость некоторой частицы до и после столкновения соответ-
соответственно через v и v', то эта частица в момент столкновения как бы
исчезает в точке v и вновь возникает в уже далекой от нее точке v',
не проходя при этом через промежуточные точки пространства
скоростей. Обращаясь к рис. 5, где условно пунктиром изобра-
изображен один такой переход v -> v', мы видим, что внутри выделен-
выделенного объема йF> могут появляться частицы, которые попали
туда, не пересекая окружающую его поверхность ^]<5>. Именно
поэтому влияние столкновений в общем случае не может быть
учтено в кинетическом уравнении в виде члена'с дивергенцией
некоторого потока в пространстве скоростей. Однако такая ситуа-
ситуация возможна лишь в случае «близких» столкновений, когда
скорости частиц меняются резко. Между тем в предыдущей главе
было показано, что в случае частиц, взаимодействующих по закону
Кулона, изменение их скорости, характеризуемое величинами
<Ао/>а/Р и <Ai>,-Au/>a/P, найденными в § 6, обусловлено
в основном далекими столкновениями, при которых скорости
сталкивающихся частиц изменяются мало.
Пусть, например, к = In (QMaKC/Qi.) = 15 (обычное значение
для проблемы управляемой термоядерной реакции). Тогда отно-
относительное изменение скорости частицы в единичном акте столкно-
столкновения по порядку величины составит
I Av[ ^ g _?-^ __ —l Рмакс
О
)
т. е. микроскопически малую величину.
Частицы при таких столкновениях переходят в близлежащие
точки скоростного пространства, что можно рассматривать как
процесс диффузии. Движение частиц в этих условиях вновь приоб-
приобретает непрерывный, или, точнее, почти непрерывный характер
и состоит из последовательных микроскопических скачков в про-
пространстве скоростей. Такая картина «квазинепрерывного» движе-
движения вновь приводит к уже знакомой нам ситуации, когда число
частиц внутри выделенного объема QF> изменяется только вслед-
вследствие притока частиц, поступающих в объем через окружающую
его поверхность ]?E). Уравнение непрерывности (8. 3) вновь
оказывается справедливым.
§ 9. Выражение для потока
Итак; если считать, что в плазме происходят только далекие
столкновения (что, как мы видели в гл. I, оказывается прибли-
приближенно справедливым при К > 1), то кинетическое уравнение
должно иметь вид уравнения непрерывности (8. 3):
^- + divr(v/e) + divrj = O. (9.1)
Однако выражение для потока j в скоростном пространстве будет
126

отличаться от формулы (8. 4), поскольку теперь необходимо учи-
учитывать столкновения.
Попытаемся найти выражение для потока j. Квазинепрерыв-
Квазинепрерывное движение частиц в пространстве скоростей можно уподобить
течению некоторого газа через неоднородную пористую среду.
При таком течении (в координатном пространстве) поток газа
может в принципе состоять из двух слагаемых: кинематического
потока вида j = qv и диффузионного потока вида j = —Dy^.
Это наиболее известные виды непрерывного течения.
Приведенная аналогия позволяет заключить, что в уравне-
уравнении (9. 1) поток j в простран-
пространстве скоростей должен иметь
вид ^ (__
j = v/a — DVJa, (9.2)
где коэффициент диффузии D
ввиду очевидной неизотропно-
неизотропности скоростного пространства
в общем случае следует рас-
рассматривать как тензор.
Помимо указанной анало-
аналогии, выбор потока в форме (9. 2)
можно обосновать также сле-
следующими соображениями. Как
мы видели выше, столкновения
эквивалентны скачкам частиц в пространстве скоростей, в част-
частности, далекие столкновения эквивалентны микроскопически
малым (| А у \lv ~ 10~6) скачкообразным перемещениям. Это озна-
означает, что полный поток частиц через некоторую поверхность SB>
в пространстве скоростей (рис. 6) будет определяться не только
плотностью / этих частиц на самой поверхности (как было бы
при строго непрерывном течении), но также плотностью их
вблизи этой поверхности.
Математически это явление находит выражение в том, что
поток в общем случае будет иметь вид разложения в ряд
Рис. 6.
''* dv/dvfc
+ 4
(9.3)
(по дважды встречающимся индексам — суммирование от 1 до 3),
где ah Ьц, cijk и т. д. — коэффициенты, обладающие соответ-
соответствующей тензорной размерностью. Чем меньше скачки частиц,
тем более картина движения должна быть похожа на строго
непрерывное течение, при котором поток определяется лишь
плотностью среды в точках, лежащих на самой поверхности S<2>,
т. е. первым членом a/a разложения (9. 3). Таким образом, малость
скачков должна проявляться в том, что члены ряда (9. 3) будут
быстро убывать. В первом приближении конечную величину
скачков, т. е. то, что они являются все-таки не бесконечно малыми,
127

можно отразить, оставив в разложении (9. 3) два члена:
/, = a,fn + bu -^-, (9. 4)
и г/ а | ч qv. \ )
что совпадает с записью в форме (9. 2).
Первый —• «кинематический» — член v/a в формуле (9. 2) (он
аналогичен потоку vq в гидродинамике) можно выразить через
силу, действующую на частицу а. Эта сила должна включать
как внешнюю силу F(e), так и силу торможения, обусловленную
столкновениями FCT:
v = — = — (f?4-Fct). (9.5)
Подставляя выражение (9. 2) для потока с учетом равен-
равенства (9. 5) в уравнение непрерывности (9. 1) и перенося для
удобства все члены, учитывающие столкновения, в правую часть,
можем окончательно кинетическое уравнение записать в виде
-^ + divr (v/a) + -J- VЛ ?^fa) = - V Ja, (9. 6)
где ja — поток частиц а в пространстве скоростей, обусловленный
столкновениями:
Fa dfn
;? L. f D"t -=r^- (Q 7\
/' — m /a J-y»A dvk \ /
(no k — суммирование от 1 до 3).
Условимся силу Fa, обусловленную столкновениями и воз-
возникшую из «кинематического» члена v/, следуя С. Чандрасе-
кару [1], называть «динамической силой трения» (поскольку
«кинематика» в пространстве скоростей — это уже динамика!).
Тензор Dfk будем называть «тензором диффузии» в скоростном
пространстве.
Если в плазме имеются частицы различных сортов, то взаимо-
взаимодействие частиц выделенного сорта а с другими будет склады-
складываться аддитивно, поскольку весь расчет ведется в приближении
парных столкновений. Следовательно, можно написать, что
,о VI ,а/Р.
Р
** ~^Г ' (9.8)
где Fa/P —сила динамического трения частиц а в среде частиц |3;
Dfil^ — тензор диффузии частиц а в среде из Р-частиц.
128

Поскольку рассмотрение взаимодействия какой-либо выделен-
рой частицы а с остальными частицами того же сорта а ничем
ре отличается от ее взаимодействия с частицами другого сорта
о в формуле (9. 8) следует считать, что сумма по всем Р B
ьключает также значение р = а, т. е. столкновения частиц одного
сорта между собой.
§ 10. Сила динамического трения и тензор диффузии
Для величин Ff^ и Df/^ нам осталось получить явные выра-
выражения и уточнить их физический смысл. С этой целью вернемся
к задаче, рассмотренной в первой главе о «пробной» частице а,
движущейся в среде «полевых» частиц р. Пусть в момент вре-
времени t = 0 скорость частицы а равнялась v0. Требуется указать
характер ее дальнейшего движения.
Как и прежде, с целью статистического рассмотрения задачи
введем «ансамбль» пробных частиц а, которые в момент вре-
времени t = 0 обладали одинаковой скоростью v0- Мы опять при-
приходим к детально рассмотренной картине сплошного облака
пробных частиц в скоростном пространстве, расплывающегося
с течением времени (см. рис. 4). Однако теперь для описания
этой картины мы располагаем более удобным аппаратом.
Если раньше распределение частиц по облаку мы описывали
путем задания бесконечного набора «моментов»
щ, Av;AVj, AvtAVjAvk,. .., A0.1)
где Av[ = vt — vt, или эквивалентных им величин vh vtVj, vivjvk
(аналогичных последовательности «мультиполей» — диполь, квад-
руполь и т. д. в электростатике), то теперь мы можем его описы-
описывать, непосредственно задавая плотность частиц в различных
участках облака, т. е. саму функцию распределения /„ (t, г, v)
пробных частиц по фазовому пространству.
Рассматривая ранее облако как совокупность большого числа
точечных частиц (./V --> оо), мы усредняли некоторую функ-
функцию W (v) по распределению частиц в скоростном пространстве
по формуле
N
42
v=l
Теперь же, зная /а (t, v), мы рассматриваем облако как сплош-
сплошную среду с плотностью /о (t, v) и ту же операцию усреднения
записываем в виде
A0.3)
Вопросы теории плазмы 129

Физически между этими двумя подходами нет никакой раз-
разницы, так как, устремляя число частиц N в облаке-ансамбле
к бесконечности, мы придем к представлению о непрерывной
сплошной среде*.
В частности, если известна функция распределения, то «моменты
распределения» [см. выражение A0. 1)] могут быть найдены
по формулам
') — v)i(v—v)sfn(v)dv; /in л\
AvAv^v~k = -~ f (o — ~v)t (v — v), (v —~v)kfa(v)dv
и т. д. И наоборот, если известны все моменты, включая и моменты
бесконечно высокого порядка, то по ним можно найти функцию
распределения.
Итак, попытаемся теперь описать процесс расплывания облака
с помощью функции распределения /а. В начальный момент вре-
времени все частицы облака имеют одинаковую скорость v0- Поэтому
мы можем рассматривать введенный нами «ансамбль» частиц
в момент t = 0 как однородный плоский поток, движущийся
в безграничной однородной среде полевых частиц р\
Таким образом,
fa(t, г, v)|<=0 = na6(v — v0), A0.5)
где па ¦— пространственная плотность частиц а в потоке.
Полагая, что внешняя сила Fa' отсутствует и, следовательно,
распределение пробных частиц изменяется только вследствие
их столкновений с полевыми частицами Р, получаем кинетическое
уравнение для функции /„ [см. уравнения (9. 6) и (9. 7) ]
Qt = — V»J > A0. Ь)
где
•a/p __ i r p.a№ dfa
h ~ ma 'a Ulk dvk
Член с A\vr (v/a) выпадает, так как в этих условиях функция
/a (t, r, v) вообще не будет зависеть от пространственных коор-
координат х, у, г.
* Следует лишь обратить внимание на одно формальное отличие, состоящее
в том, что в формуле A0. 2), имеющей дело с совокупностью частиц, скорость v (t)
выступает именно как скорость некоторой частицы, зависящая от времени.
В функции же распределения / (t, r, v), описывающей сплошную среду, ско-
скорость v означает просто точку скоростного пространства и, конечно, не зависит
от времени. Подобно этому и аргумент г в функции / (t, r, v) является незави-
независимой переменной, означающей точку в обычном координатном пространстве.
130

Нашей задачей является получение явных выражений для
силы динамического трения Ff® и тензора диффузии Dfi . Для
этого мы вычислим скорости изменения моментов A0.4) для
облака пробных частиц а, используя кинетическое уравне-
уравнение A0. 6), а затем сравним результаты с полученными в первой
главе. Следуя этой программе, находим:
A z: - _L Г „ %^v = -Г Ofdivjdv =
at na J
«а
1
«a
A0.7)
Подставляя теперь в правую часть начальное значение функции
fa \t=0 = tla6 (V — Vo), ПОЛУЧИМ
A0.8)
dt
ma
Величина
W
и есть та начальная скорость смещения облака
пробных частиц в скоростном пространстве, которую мы вычис-
вычисляли в первой главе, обозначив ее там <САиг0>а/р- Таким обра-
образом, опуская для простоты нулевой значок у v0 в выражении A0. 8),
находим:
Я -)?/Э. A0.9)
dt
та
Вычисляя аналогично производную второго момента из выраже-
выражения A0. 4) при t = 0, получим:
dt
(у — v){ (v — v)k
a/p
= ли ik
A0.10)
Таким образом, введенные нами формально в § 9 сила динами-
динамического трения Fa/P и тензор диффузии ?>"/р связаны форму-
формулами A0. 9) и A0. 10) с величинами <Лаг-> и <Аи,Аи/>, физи-
физический смысл и явные выражения которых рассмотрены в первой
главе.
Используя формулы F. 7), окончательно находим:
а/р = -
dvk
A0.11)
9*
131

Подставив эти выражения в формулу A0. 6) для столкновитель-
ного потока /а/Р, получим:
= <^АО; ^>a/^fa о"~~д—" (<С АУ.-АОь ^>a^fn). A0. 12)
Последняя запись потока называется записью в виде «прибли-
«приближения Фоккера — Планка». Она, однако, имеет менее наглядный
внешний вид, чем запись
где первый и второй члены по внешнему .виду аналогичны «кине-
«кинематическому» (j = vq) и «диффузионному» (j = —-Dyp) пото-
потокам в обычном координатном пространстве. .Поэтому мы всегда
будем записывать столкновительный поток в виде выраже-
выражения'A0. 13).
В заключение попытаемся установить, с какой точностью
двухчленное выражение A0. 13) для потока ja№ можно считать
справедливым. Если с его помощью мы вычислим производную
третьего момента из выражения A0. 4) при t = 0, то найдем,
что она равна нулю, как и все более высокие:
-|~ (у — v)i (v - v)j (v — v)k | <=0 = 0 A0.14)
(из-за наличия множителей вида (v — v0) о (v — v0) под знаком
интеграла). Между тем, по определению, эта производная должна
совпадать с введенной в первой главе величиной <АигАу;А^>-,
которая не равна нулю, но, как мы видели, не содержит логариф-
логарифмически расходящихся интегралов и, следовательно, обусловлена
близкими пролетами в отличие от двух первых моментов <CAvc^>
и <At;/Au/->-
Итак, представление потока в виде двух членов с / и
[см. выражение A0. 13)] автоматически предполагает, что произ-
производными всех высоких моментов, начиная с третьего, можно
пренебречь, что для кулоновского взаимодействия, как мы видели
в первой главе, оказывается с «логарифмической точностью»
правильным.
Для учета старших моментов, например третьего, нужно
было бы выбрать поток в виде трех членов с /, -к1— и -=-±—
1см. также ряд (9.3)]:
л = *</ + *«-!г+с««-з&- A0Л5)
132

При этом мы установили бы, что
«Л»
A0.16)
Однако учет членов порядка 1А является превышением точ-
точности нашего рассмотрения.
§ 11. Кинетическое уравнение при кулоновском
взаимодействии
Суммируя результаты предыдущих параграфов, можно видеть,
что кинетическое уравнение в случае кулоновского взаимодей-
взаимодействия частиц должно иметь вид
div, (v/J + -L- dn
dt
где Са — так называемый «столкновительный член», состоящий
из суммы слагаемых С"/Р, каждое из которых описывает столкно-
столкновения частиц рассматриваемого сорта а с частицами сорта р*
(в том числе возможно р = а):
С«/Р = — divj0
A1.2)
где
П
В формулах A1. 1) и A1. 2) индекс г или и у операторов (div,
V, А и т. д.) означает пространство, к которому относится данный
оператор. Условимся также, что оператор без индекса относится
к пространству скоростей.
Тензор диффузии Dfl^ и сила динамического трения ,Р"/Р.
входящие в выражение A1. 2), определяются формулами A0. 11)
= -L
а/р
A1.3)
из которых следует также, что
mp dvk
A1.4)
133

Здесь La/P = X (ineae^/maJ, а о|зр и фр — потенциальные функ-
функции распределения C-частиц, определяемые соотношениями:
/р = дФр- Фз = А%''
4я
Физический смысл величин D"/p и Т7?^ рассмотрен в предыду-
предыдущем параграфе. Тензор диффузии D"/p есть начальная скорость
изменения тензора квадратичных отклонений скорости от средней
в облаке-ансамбле пробных частиц а:
Динамическая сила трения Ft/p от средней силы Fa, действующей
на пробную частицу а в среде частиц р, отличается лишь множи-
множила .
та + Щ
= т i „ Fa- A1-7)
телем
Тем не менее не следует забывать, что все-таки «реальной» физи-
физической величиной является средняя сила Fa, в то время как дина-
динамическая сила трения — это лишь формально введенное удобное
понятие.
Определенные в выражениях A1. 5) потенциальные функ-
функции г|)р и фр сами по себе не имеют какого-либо простого физи-
физического смысла, однако их наглядное истолкование не представ-
представляет труда. Функция фр, как уже говорилось, аналогична потен-
потенциалу электрического поля в электростатике. Функция же i|)g (v)
с точностью до несущественного множителя (—np/8jt) геометри-
геометрически есть не что иное, как среднее расстояние (удаленность)
точки наблюдения v от тех точек vp в пространстве скоростей,
в которых расположены полевые частицы f>; иначе говоря, сред-
среднее абсолютное значение относительной скорости
Здесь черта означает усреднение по распределению полевых
частиц р в скоростном пространстве.
Возвращаясь к уравнению A1. 1), заметим, что в том случае,
когда движение частицы в поле внешней силы F(e> может быть
описано уравнениями Гамильтона (а это не всегда так, например
при наличии трения)
r = f- = v; p = -g-=F«. A1.9)
134

мы можем второй и третий члены в левой части уравнения A1. 1)
привести к виду
divr (v/a) + -±- div0 (F <«>/„) = (vV,) /a H
Выражение в фигурных скобках равно нулю:
ma dvi ' dxtdpi dpidxt
Поэтому кинетическое уравнение A1. 1) примет более знакомый
вид
%- + (Wr)/a + ~(F^ Vo) U = C\ (П.12)
где
Если формулы A1.3) подставить в выражение A1.2) для
столкновительного потока, то получим:
ja/Э = _ La/P ^ /а?фр _ (V/aV) V^p] . A1.14)
Собственный столкновительный член Са/а будет при этом иметь
вид:
A1. 15)
Нетрудно убедиться, что распределение Максвелла обращает
в нуль собственный поток /a/a, а вместе с ним и член Ca/a.
В заключение покажем, как можно выражение A1. 14) для
потока /а/|3 привести к виду, полученному Л. Д. Ландау в 1936 г.
16]. Для этого обозначим:
11 — d21 v — v' I _ bjk uiuk .. lfi.
Uik ^ " 5~ (U1DJ
где u = v — v'.
135

Тогда, учитывая что срр = -75—7;— , получим:
где /ps/p(v').
Подставляя выражения A1. 17) в формулу A1. 14), можно
выражение для потока /а/р записать в симметричной форме
dv', A1.18)
[uik(lfAdv,
та lk\ mp dv ma dvk
в которой оно и было впервые получено Ландау. Любопытно отме-
отметить, что в зарубежной литературе до недавнего времени было
распространено ошибочное мнение, что уравнение, полученное
Ландау, якобы неправильно. Это мнение основано, по-видимому,
на известной статье Коэна, Спитцера и Роутли [7], в которой
утверждается, что Ландау не учел силу динамического трения,
что не соответствует истине.
После Ландау много важных результатов в этой области было
получено Чандрасекаром [1], который изучал динамику звезд,
рассматривая их как частицы, взаимодействующие по закону
Кулона. Им, в частности, были получены выражения для силы
динамического трения и тензора диффузии в случае максвеллов-
ского распределения полевых частиц.
Из недавних работ следует отметить изящный вывод уравне-
уравнения Ландау в работе Розенблюта, Мак-Дональда и Джадда [3],
в которой, как уже упоминалось, введены потенциальные функции,
сходные с нашими.
§ 12. Кинетическое уравнение с учетом поляризации среды
В предыдущих параграфах на основе представления о парных
столкновениях частиц было получено кинетическое уравнение
для плазмы. Картина парных столкновений хорошо применима
при короткодействующих межчастичных силах для достаточно
разреженного газа. В самом деле, если радиус взаимодействия
частиц d (эффективный диаметр частицы-молекулы) много меньше
среднего расстояния между частицами, равного по порядку вели-
величины п~'/°, где п — плотность газа, то в сфере взаимодействия
с объемом ~d3 в среднем будет мало молекул:
N~d = nd3 < 1. A2. 1)
В этих условиях можно пренебречь вероятностью множественных
столкновений, при которых в сфере взаимодействия одновременно
136

оказывается три или более молекул, и учитывать лишь парные
столкновения.
Однако кулоновские силы, действующие между частицами
плазмы, нельзя считать короткодействующими. Потенциальная
энергия взаимодействия U12 между двумя частицами плазмы,
обладающими зарядами ех и е2, в присутствии остальных зарядов
искажается дебаевской экранировкой:
гг(эф) gjg
U12 =77
Поэтому в плазме взаимодействие между частицами эффективно
простирается по меньшей мере на расстояния порядка радиуса
Дебая D. Однако в рассматриваемых нами условиях, типичных
для квазинейтральной плазмы, D > п~11', и в сфере взаимодей-
взаимодействия оказывается много частиц:
MD = nD3 » 1. A2. 3)
Таким образом, в плазме некоторая выделенная частица
одновременно взаимодействует с многими другими частицами.
В этих условиях становится сомнительной применимость формул,
полученных в предыдущих параграфах на основе представления
о парных столкновениях.
Тем не менее строгое рассмотрение показывает, что указанные
формулы, имеющие, как мы знаем, логарифмическую точность
(т. е. справедливые с точностью до множителя порядка единицы
под знаком кулоновского логарифма), являются правильными,
и явный учет множественных столкновений в обычных условиях
(см. ниже) приводит к тем же результатам. Детальное обоснование
этого интересного вывода является довольно сложным и требует
рассмотрения системы уравнений для коррелятивных функций.
Читатели, интересующиеся этим вопросом, должны обратиться
к оригинальным работам [8—10]. Здесь же мы ограничимся
наглядными нестрогими соображениями.
Рассмотрим пробную частицу а, летящую через плазму. Для
простоты будем считать эту частицу бесконечно тяжелой (та -»- сю).
Тогда ее движение можно считать заданным — она будет двигаться
по прямой линии с постоянной скоростью va. Заметим, что, как
это следует из формулы A1. 7), полученной из картины парных
столкновений, средняя сила торможения, испытываемая в этих
условиях пробной частицей со стороны полевых частиц Р, совпа-
совпадает с динамической силой трения:
ma
137

Иными словами, динамическая сила трения — это сила, которую
испытывала бы пробная частица, если бы она была бесконечно
тяжелой (или если бы двигалась заданным образом по прямой
с постоянной скоростью).
Опишем вокруг траектории частицы цилиндр радиуса q (рис. 7).
Столкновения пробной частицы с теми полевыми частицами,
которые обладают прицельными параметрами q > n"V«, будем
называть «множественными столкновениями». Ниже рассмотрим
их отдельно. «Парными столкновениями» следовало бы называть
столкновения с прицельными параметрами, много меньшими сред-
среднего расстояния между частицами, т. е. с е « п~1/з. Следует
В
г
I
р
Рис. 7.
обратить внимание, что вследствие дальнодействующего характера
кулоновских сил в полностью ионизованной плазме трудно выде-
выделить столкновения, которые можно было бы назвать «тройными»,
«четверными» и т. д., т. е. «не слишком множественными».
Покажем, что метод расчета парных столкновений можно при-
применять не только к столкновениям с прицельными параметрами,
удовлетворяющими условию q С n~1/s, но и при q ~ п~1/в и даже
при еще больших прицельных параметрах. В самом деле, как было
показано в § 2, электростатический потенциал пробной частицы а
в плазме искажается дебаевской экранировкой B. 5) и поэтому
эффективная потенциальная энергия взаимодействия * некоторой
полевой частицы р с пробной частицей а имеет вид A2. 2):
'ар
-exp
A2.5)
В этой формуле гар =
-гр|, и при га$ 4i D имеем просто
¦<Э*Н е'а\. A2.6)
D =
Иными словами, если расстояние между двумя частицами меньше
дебаевского радиуса, то присутствие остальных частиц никак
не сказывается на взаимодействии этих двух выделенных частиц.
При этом изменение импульса и энергии обеих частиц будет,
* Вывод и возможность рассмотрения этой величины как эффективной
энергии взаимодействия двух частиц приводятся также в работе А. А. Веденова,
помещенной в настоящем выпуске.
138

очевидно, таким же, как если бы эти две частицы были изоли-
изолированы от всех остальных. Мы видим, таким образом, что формула
парных столкновений может применяться для всех прицельных
параметров, меньших дебаевского радиуса, т. е. при q < D.
Так как в наших условиях D > n~if\ то столкновения можно
рассчитывать как парные, в том числе и при q > п~1/г, если
по-прежнему q < D. Фактически, однако, даже при q = D откло-
отклонение правильного закона взаимодействия A2. 5), учитывающего
присутствие остальных частиц, от чисто кулоновского закона A2. 6)
невелико — на множитель порядка единицы. Поэтому, ограни-
ограничиваясь логарифмической точностью, можно все столкновения
вплоть до q = D рассматривать как парные (что и делалось ранее
в предыдущих параграфах), а вкладом столкновений с q>D
вообще пренебречь.
Таким образом, обрезание кулоновского логарифма на макси-
максимальном прицельном параметре QMaKC = D является грубым,
приближенным способом учета множественного характера столк-
столкновений при q > и/». Эту множественность можно, однако,
учесть более правильным и последовательным способом. В самом
деле, множественность столкновений заключается в том, что
выделенная частица («пробная») в каждый данный момент времени
взаимодействует (сталкивается) не с одной, а с большим числом
остальных частиц. Такая ситуация позволяет рассматривать
множественные столкновения макроскопически, т. е. как взаимо-
взаимодействие выделенной частицы со средой. Электромагнитные свой-
свойства этой среды — плазмы — полностью описываются тензором
диэлектрической проницаемости е/;- (к, со), учитывающим времен-
временную и пространственную дисперсию. Можно заранее предвидеть,
что полученные на основе указанного макроскопического подхода
формулы, явным образом учитывающие множественность столк-
столкновений в плазме и применимые при q > n'1/*, будут естественным
образом «сшиваться» с формулами парных столкновений, приме-
применимость которых, как уже было разъяснено выше, ограничена
условием q <? D. В самом деле, так как D > n~v.> то в области
прицельных параметров «"''«((З С^ должны быть применимы
и те, и другие формулы.
Следуя намеченной программе, рассмотрим движение беско-
бесконечно тяжелой пробной частицы а в среде, обладающей диэлектри-
диэлектрической проницаемостью гA-, и определим среднюю тормозящую
силу, действующую на указанную частицу. При макроскопическом
подходе, когда плазма рассматривается как сплошная среда,
для этого необходимо решить уравнения Максвелла
rot В- Ы \
rotB-— JCTOP
139

где величину е-Е следует понимать как вектор с компонентами
(е ¦ Е); = fyjEj. Здесь jcrop = eava6 (г — vat) — плотность «сто-
«стороннего» тока, создаваемого пробной частицей а. Для решения
этих уравнений удобно разложить все величины в интегралы
Фурье:
Е(г, t) = $E(k)eikrdk; 1
j(r, /) = Jj(k)e'k'A. I A2-8)
При этом, используя известное представление
в(г_уа*) = Bn)-3je'k(r-va0^k, A2.9)
найдем, что фурье-компонента плотности тока равна
](к) = еауаBкГ3е-ш, A2.10)
где ш = kva. Фурье-компоненты остальных величин зависят
от времени аналогичным образом. Исключая из уравнений A2. 7)
магнитное поле, получим уравнение
К* + NtNk - 6lkN*) Ek =-. ? /,, A2. 11)
где N = —.
Для простоты будем рассматривать плазму как однородную
изотропную среду без магнитного поля. Тогда тензор е/;- (к, со)
должен быть построен лишь на тензорах б(/- и ktkj и поэтому может
быть записан в виде
klkj I . /4 kiki\ tr /|П i П\
е + 6) е ' A2- 12)
где е', etr— скалярные функции к и со. При этом, умножив урав-
уравнение A2. 11) слева на вектор к, найдем
e'kE^-^kj. A2.13)
Подставляя отсюда кЕ в уравнение A2. 11), можно найти фурье-
компоненту поля
4M_nJn» fnjnjj
ш \
где п = к/k, и далее по формуле A2. 8) — само поле. В той точке
г = va/, где находится пробная частица а, это поле будет равно
р __ ,• еа С rfk ( к (kva) [n [nva]]
Ограничимся для простоты случаем нерелятивистских скоростей
»<<с. Тогда второй член в фигурных скобках, пропорциональный
140

у2/с2 (и отвечающий, как показывает специальный анализ, черен-
ковскому излучению), можно опустить. Полученное поле и опре-
определяет силу, действующую на пробную частицу
FMaKpo = еаЕ = -г ^J ^ ^ ^ . A2. 16)
Эта формула, однако, является слишком общей, так как определяет
торможение пробной частицы в произвольной среде, обладающей
диэлектрической проницаемостью ъц (к, со). Чтобы применить ее
к плазме, нужно знать конкретный вид тензора гц в плазме.
В настоящем разделе мы не можем заняться детальным выводом
тензора &ц для плазмы, так как это выходит сейчас за рамки нашей
задачи и требует места. Воспользуемся поэтому готовым резуль-
результатом. Комплексная диэлектрическая проницаемость е* (к, со)
(так называемая «продольная») в нерелятивистской плазме равна
е'
(к, со) = 1 + \ . -~^%г kV? - ( к -Ж) rfvB. A2.17)
Здесь значок w у интеграла означает, что при интегрировании
по Ир полюс со — kvp = 0 следует обходить в комплексной пло-
пло*
скости Vp снизу *
М
Мнимую и действительную части диэлектрической проницае-
проницаемости е' (к, со) можно выделить, воспользовавшись известной
формулой
Здесь Р — символ главного значения интеграла. Учитывая также,
что действительная часть е1 (т. е. Ree) является четной функцией к
и со (см. [11 ]), выражение 1/е' в формуле A2. 16) можно заменить
выражением
?
' ' ~l~\W = Ге12" 7ii^m \ (kv3) x
X k.-^- 6(a.-kva)dvB. A2.19)
Слагаемое с Ree1 в числителе выпадает из формулы A2. 16) при
интегрировании по k вследствие указанной четности. Наличие
* Читатели, интересующиеся выводом выражения A2. 17), могут найти
его в книге В. Силина и А. Рухадзе [11], где приводится также вывод фор-
формулы A2. 15).
141

б-функции в выражении A2. 19) позволяет также сократить мно-
множитель kvp с со в знаменателе. Таким образом, формулу A2. 16)
в случае плазмы можно представить в виде
р _ V ра/р
Г— _d • »
макро— _d • макро»
где
е2 2
7<х/Р _ о ар 1 у _
Здесь точка между тензором U и вектором d/p/dvp означает свертку
по ближайшим индексам.
Тензор U имеет компоненты
п kikib (kva — kvH)
?/,.=— , " р dk. A2.21)
В каком отношении эта сила торможения соответствует силе
трения, полученной нами ранее на основе картины парных столк-
столкновений?
Заметим, прежде всего, что при решении уравнений A2. 7)
считалось, что пробная частица создает в среде ток
eava6(r-va;). A2.22)
Это значит, что пробная частица движется с заданной скоростью va
по прямой, не отклоняясь и не рассеиваясь. Определяемая при
таких предположениях сила торможения является в действитель-
действительности не истинной средней силой, а, как это отмечалось при выводе
формулы A2. 4), динамической силой трения (см. также работу
[12 ]). Поэтому формулу A2. 20) следует сравнить с формулой A2.4)
соответствующей динамической силе трения, полученной из кар-
картины парных столкновений. Здесь % = In ((эмаКс/9мин)> причем
Смаке — D, ъ. qmiih = еУТ. Как было показано в § 1—2, этот куло-
новский логарифм возникает при интегрировании по прицельным
параметрам начиная от q = 0 до QMaKC = D, причем обрезание
на верхнем пределе приходится вводить искусственно. Аргументы
в пользу такого обрезания сводились к тому, что поляризация
среды приводит к дебаевской экранировке кулоновского поля
зарядов. Поэтому столкновения с прицельными параметрами q >Z)
не приводят к отклонению или торможению частиц. Макроскопи-
Макроскопическая формула A2. 20) автоматически учитывает поляризацию
среды, и поэтому обрезание на верхнем пределе должно возникать
142

само собой. В самом деле, вводя единичный вектор n = k/k,
формулу A2. 17) для е 'можно представить в виде
е'(к, (о)ю=куа=
Г nvR / df \
J^(?K A2-24>
Если, например, /р — максвелловские распределения с одинако-
одинаковыми температурами, то
JSJ3l (,2.25)
Здесь D = Y Т/4лпе2 — дебаевский радиус, а скобки р
означают усреднение по распределению частиц р\ Выражение
в фигурных скобках можно считать безразмерной функцией
порядка единицы, если скорость пробной частицы а порядка
тепловых скоростей частиц плазмы. Очевидно, и при произвольных
неравновесных распределениях функция г1 (k, kva) будет иметь вид
в'(к, kva) = l + ^(va), A2.26)
где ? (va) — функция порядка единицы. Отсюда следует, что тен-
тензор Uц, определяемый формулой A2. 21), имеет вид
Г W(kva-kvp)dk
ич " J ft* [1 + {УкЮ*) + (Ь/*»Л*I ' \iA.*4
где |i и |2 — функции va порядка единицы. Волновой вектор k
по порядку величины соответствует прицельному параметру q ~
~ Л, и интегрирование в формуле A2. 27) по /г соответствует
интегрированию по прицельным параметрам. При q^cq, что
соответствует k -> 0, интеграл A2. 27) сходится естественным
образом, и никакого искусственного обрезания вводить не тре-
требуется. При малых k, таких, что й) « 1, величина г1 будет
большой, и подынтегральное выражение будет мало. Интеграл
A2. 27) приближенно, с логарифмической точностью, можно вычи-
вычислить, считая, что интегрирование начинается не от k = 0, а от
^мин—D'1, и полагая при этом е = 1. Тогда
Utl= J ^6(kva-kvp)dk. A2.28)
и
мин
Этот интеграл логарифмически расходится при больших k, т. е.
при малых прицельных параметрах. Однако на малых расстоя-
расстояниях— порядка межчастичных п~1/а и меньших — макроскопи-
макроскопический подход к задаче неприменим, так как при этом плазма
143

не может рассматриваться как сплошная среда. Поэтому интегри-
интегрирование в формуле A2. 28) будем проводить не до k = со, а до
некоторого &макс' удовлетворяющего условию ^„ак,. С /s,
которое на языке прицельных параметров соответствует условию
Последнее условие является, как мы знаем, условием примени-
применимости макроскопического подхода. Тогда, обозначив u = va — vp
и учитывая, что
A2.29)
Uu= f k~4(ku)dk^fln
J и \ /смш
ь ч
"мин
нетрудно найти
A2.30)
где
кмин бмин '
Очевидно, величина К* является частью кулоновского логарифма.
Подставляя найденное значение Иц в формулу A2. 20), получим
Фигурирующий здесь в скобках тензор можно записать в виде
= —V/aV/p|ua —оэ|, A2.32)
гДе Via щ
Тогда интеграл можно преобразовать по частям:
f d4 (V/pfp) V/aV«a I VO - Vp | = J
= 2VJJ!!X. A2.33)
'aJ |va —vpl v '
Окончательно получаем
макро
Напоминаем, что здесь ^* = In (Diqmiih), причем QMHH ^ п~1/з ¦
Тем самым мы исключили прицельные параметры порядка меж-
межчастичных расстояний и меньшие. Последние следует рассматри-
144

вать по формулам парных столкновений, картина которых приме-
применима, как уже было разъяснено выше, от q = 0 до q -С D. Если
выбрать введенное выше дмин так, чтобы (эмин <С D, то вклад пар-
парных столкновений с прицельными параметрами от q = 0 до д„ин
составит [см. формулу A2.4)]:
Qmhh
Складывая выражения A2. 35) и A2. 34), получим формулу A2. 4):
Г — Гмикро-у- Г макро-
где теперь уже
т. е. получаем полный кулоновский логарифм. Тот факт, что две
эти силы складываются столь естественным образом, объясняется,
как было установлено в начале параграфа, тем, что области приме-
применимости микроскопического и макроскопического подходов, т. е.
парных и множественных столкновений, перекрываются: первые
пригодны от q = 0 до q < D, а вторые — от q > n~'/• до q = со.
Таким образом, при правильном рассмотрении нет необходимости
вводить какое-либо искусственное обрезание прицельных пара-
параметров, так как учет поляризации сред автоматически приводит
к такому обрезанию. Кроме того, показано, что с логарифмической
точностью все столкновения вплоть до q = D можно рассчитывать
как парные.
Возможен, однако, и другой подход. Структура формулы A2. 20)
для Fm{kpo такова, что множественные столкновения можно рас-
рассматривать по существу как парные, но осложненные влиянием
среды, т. е. присутствием других частиц. Переход от формулы
A2. 27) к формуле A2. 28) показывает, что это осложняющее влия-
влияние пропадает для волновых чисел k > D'1, т. е. для прицельных
параметров q < D. Поэтому формулу A2. 29) можно экстраполи-
экстраполировать на область волновых чисел k >¦ kMaKC, отвечающую парным
столкновениям, которые учитываются при этом правильным
образом. В кулоновском логарифме роль минимального прицель-
прицельного параметра играет qmhu = e2/T, который, однако, в формулах
парных столкновений возникает автоматически, а не искусственно,
в отличие от дмакс = D. Интеграл по волновым числам к в фор-
формуле A2. 28) логарифмически расходится при к -> со. Поэтому,
чтобы правильно экстраполировать формулы множественных
столкновений на область k > k*MaKC, где столкновения являются
парными, интегралы по k следует искусственно обрезать на
k = о-1 =77е2. A2.38)
макс «мин х '
Ю Вопросы теории плазмы 145

При таком подходе для силы динамического трения получим выра-
выражение A2. 20)
.Ш-dv,, A2.39)
тр
где теперь
A2.40)
Термин «множественные столкновения» можно было бы заме-
заменить термином «взаимодействие с волнами». Можно сказать, что
формулы A2. 39) и A2. 40) правильно учитывают как парные столк-
столкновения (собственно «столкновения»), так и взаимодействие проб-
пробной частицы с волнами в плазме. Поэтому формулы A2. 39)
и A2. 40) являются не только уточнением формулы парных столк-
столкновений A2. 36), но и обладают новым физическим содержанием.
В обычных условиях, когда температуры ионов и электронов
в плазме одинаковы и различные колебания в плазме возбуждены
лишь до уровня равновесных тепловых шумов, формулы множе-
множественных столкновений A2. 39) и A2. 40) с логарифмической точ-
точностью совпадают с формулой A2. 30) парных столкновений.
Возможны, однако, и такие условия, когда формула парных
столкновений A2. 30) оказывается неверной и нужно пользоваться
формулами A2. 39) и A2. 40). В работе В. Силина и Л. Горбунова
113] показано, что такие условия имеют место, например, в сильно
неизотермической плазме, когда температура электронов значи-
значительно (примерно в тысячу раз TJTt ~ М/т) превышает темпера-
температуру ионов. Легко понять причину, почему в этом случае взаимо-
взаимодействие с волнами оказывается существенным. Волна, обладаю-
обладающая частотой со и волновым вектором к, распространяется с фазо-
фазовой скоростью (o/k и взаимодействует в основном с теми частицами
плазмы, скорости которых близки к значению a>/k. Такие частицы,
двигаясь в том же направлении, что и волна, будут долгое время
находиться в фазе с волной, и потому их взаимодействие будет
существенным. Отметим, что такой «резонансный» характер взаимо-
взаимодействия частиц с волнами обусловливает появление в выраже-
выражении A2. 17) для диэлектрической проницаемости плазмы е' «резо-
«резонансных» знаменателей w — kv. Поэтому учет взаимодействия
частиц плазмы с волнами оказывается необходимым, если в плазме
сильно возбуждены волны, фазовые скорости которых со/й
по порядку величины близки (или меньше) к тепловым (т. е. сред-
средним) скоростям частиц. В примере В. Силина и Л. Горбунова [131
сильно возбуждены ионно-звуковые колебания (так называемый
«ионный звук с электронной температурой»), фазовая скорость
которых при Те > Т/ примерно равна ифаз = \'TJM- Условие
Уфаз ^- VTJM » УТЩ --= vn A2.41)
146

обеспечивает слабость взаимодействия этих волн с ионами, и потому
волны сравнительно слабо затухают, т. е. оказываются сильно
возбужденными (чего не было бы при Те ~ Г,). С другой стороны,
Уфаз = УTJM « У TJm =.vTt, A2. 42)
и поскольку в плазме много медленных электронов (в соответст-
соответствии с распределением Максвелла), то необходимо учитывать взаи-
взаимодействие электронов с волнами. Использование формулы A2. 36)
для силы динамического трения, учитывающей лишь парные столк-
столкновения, привело бы к неверным результатам. В подобных усло-
условиях неприменимо и кинетическое уравнение с обычным (парным)
столкновительным членом в форме, предложенной Ландау.
Для того чтобы установить вид нового столкновительного
члена, учитывающего взаимодействие частиц с волнами, необхо-
необходимо, кроме силы динамического трения, выраженной форму-
формулами A2. 39) и A2. 40), знать еще тензор диффузии пробных
частиц в пространстве скоростей. При макроскопическом способе
рассмотрения множественных столкновений механизмом такой
диффузии является рассеяние пробной частицы на колебаниях
(флуктуациях) электрического поля в среде, исследование которых
сильно осложнило бы нашу задачу *. Поэтому мы воспользуемся
лишь нестрогими наглядными соображениями.
Наиболее просто тензор диффузии Da^ можно вычислить в слу-
случае термодинамического равновесия, когда распределение пробных
частиц является максвелловским:
/а = const exp^-^j. A2.43)
В этом случае поток частиц в скоростном пространстве [см. фор-
формулу A0. 2)] должен обращаться в нуль:
уа/Э _ 1 ра/$с да/Р д/а ___ q ,^ 44)
Подставив сюда dfa/dva из формулы A2. 43), после сокращения fa
получим связь тензора диффузии с силой динамического трения:
!^_ VjaDf/^-^-. A2.45)
ma
Это соотношение является аналогом (для скоростного про-
пространства) известной формулы Эйнштейна, связывающей диффузию
частиц (обычную) с их подвижностью. Подставив сюда Fa/P
* Рассмотрение этих колебаний и вывод тензора диффузии приводятся
в 3 выпуске «Вопросов теории плазмы» в работе В. Д. Шафранова.
10* 147

из формулы A2. 39), получим
Т/е*
A2. 46)
Это соотношение справедливо только в условиях полного термо-
термодинамического равновесия, когда, в частности, и полевые частицы Р
описываются максвелловским распределением
/р = const expl #Г/' О2-47)
причем температуры Та и Гр должны быть одинаковы (Та = Тр =
= Т). При этом производную 5/p/5ve в выражении A2. 46) можно
заменить:
^-=-^tVp- A2.48)
Скалярное произведение kvg, получающееся при этом в интеграле
по k, можно ввиду наличия дельта-функции б (kva — kvp) заме-
заменить на vka. Тогда из выражения A2. 46) получим
VtaD?/* = vl*{2^r\ Ulih d4 } (I2- 49)
(no / — суммирование от 1 до 3).
Естественно заключить, что выражение в фигурных скобках
и является тензором диффузии
2 2 (*
П?/Р — 9 a Р \ П f Hv 119 ^П'»
где
В соответствии с выводом следовало бы считать, что это выражение
применимо только в случае термодинамического равновесия.
Однако, если взаимодействие с волнами несущественно, то для
тензора U справедливо приближенное выражение, аналогичное
выражению A2. 30):
c/(/= о (kva — kvg) ' ak = ял I— 4^) ,A2.51)
148
мин~^

где теперь X = In (?макс/?МИн) — 1° ФТ/е2) — полный кулонов-
ский логарифм. Нетрудно убедиться, что в этом случае тензор
диффузии полностью совпадает с «парным» тензором диффузии
A1. 3), который пригоден не только для состояния термодинамиче-
термодинамического равновесия, но и в общем случае. Естественно поэтому
предположить, что и выражение A2. 50) пригодно в общем случае.
Строгое рассмотрение, основанное на решении системы уравнений
для коррелятивных функций, подтверждает правильность этого
заключения.
Зная силу динамического трения A2. 46) и тензор диффузии
A2. 50), можно написать столкновительный член Са в кинетическом
уравнении для функции распределения частиц а. В соответствии
с формулами A1. 1) и (П. 2) он имеет вид:
A2.52)
Поток ja/P частиц а равен:
¦а/р _ 1 г. а/3* na/p dfa _ г> еаер Г ,, (fa dfa
ma
T/e
Uu= I и л... ,.ч12 dk.
dy A2.53)
(kva — kvB)
Кинетическое уравнение с таким столкновительным членом было
впервые получено с использованием сложной диаграммной техники
в работе Р. Балеску [14] и затем в работе А. Ленарда [15]. Кроме
того, в работе Ю. Климонтовича и С. Темко [16 ] и в работе В. Сили-
Силина [17] было получено обобщение указанного столкновительного
члена на квантовый случай. В упоминавшейся ранее работе
В. Силина и Л. Горбунова [13 ] на основе столкновительного члена
A2. 53) была развита гидродинамика сильно неизотермической
плазмы с Те > Tt и показано, что учет взаимодействия электронов
с волнами приводит к коэффициентам переноса, существенно
отличающимся в некоторых случаях от обычных значений, полу-
получаемых с «парным» столкновительным членом. Отметим в заключе-
заключение, что при переходе от уравнения A2. 15) к формуле A2. 16)
мы ограничились случаем нерелятивистских скоростей. Если оста-
оставить в силе динамического трения второй член формулы A2. 15),
соответствующий черенковскому излучению поперечных волн,
то можно получить релятивистский столкновительный член (см.
работу [17]), учитывающий взаимодействие с волнами.
149

Наконец, в работах А. Веденова, Е. Велихова и Р. Сагдеева
[18, 19 ] был рассмотрен случай, когда уровень возбуждения колеба-
колебаний в плазме значительно превышает уровень тепловых шумов.
При этом можно пренебречь парными столкновениями частиц
и учитывать лишь взаимодействие частиц с волнами.
III. КИНЕТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ
В ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНОЙ ПЛАЗМЕ
§ 13. Пробная частица в среде покоящихся
бесконечно тяжелых полевых частиц
В первой главе мы получили формулы, описывающие поведение
пробной частицы а в среде полевых частиц р, в частности, нашли
среднюю скорость изменения ее импульса и энергии [формулы
F. 10) и F. 13)]:
§[ (^)] A3.1)
где
Эти формулы становятся более наглядными, если использовать
аналогию с электростатикой, для чего введем «потенциал» фан
и «поле» Еан, определяемые формулами:
fe(v') ,
с помощью которых формулы A3. 1) можно представить в виде
A3.4)
е2 е2
где q == 4я^—— — как бы эффективный «заряд» пробной
та
частицы а.
Рассмотрим простейшие примеры с использованием этих
выражений.
150

Самый простой случай получится, если считать, что все поле-
полевые частицы находятся в состоянии покоя и обладают бесконечной
массой (/Пр -> оо). В плазме, состоящей из ионов и электронов,
такие свойства часто приписывают медленным тяжелым ионам,
если рассматривается движение электронов. При т$ -> со фор-
формулы C. 4) имеют вид:
dpg
dt
dt
—фан].
A3.5)
Заметим попутно, что динамическая сила трения Fa/p при /пр -> со
обращается в нуль. Покоящиеся полевые частицы аналогичны
точечному заряду QaH = \f^dv=n^, находящемуся в начале
координат пространства скоростей. Поэтому, по аналогии с электро-
электростатикой, имеем:
rn
Ta
v > ^ан
Подставляя эти значения в формулы A3. 5), получим:
dpa d\a _ ИВ
dt a dt ~ Ча v3
^. = 0.
dt
A3.6)
A3.7)
Второй результат соответствует тому очевидному условию, что
энергия пробной частицы а не может измениться при упругих
столкновениях с покоящимися бесконечно тяжелыми полевыми
частицами. Первая формула более интересна, и из нее следует, что
чем больше скорость v пробной частицы, тем меньшая сила тормо-
торможения Fa на нее действует (Fa — —^-j . Этот необычный закон
«падающего трения» является специфической особенностью куло-
новского взаимодействия. Первую формулу A3. 7) можно также
записать в виде
d\
dt
ra/P
A3.8)
введя
Величина т^/Р имеет размерность времени и физически, как
видно из такой записи, играет роль «времени продольного замедле-
замедления» пробной частицы. В рассматриваемом частном случае столк-
столкновения вообще не меняют абсолютной величины скорости |v|
151

пробной частицы, поэтому уравнение A3. 8) фактически можно
записать в виде
dv
откуда
dt
= — const-v,
A3.9)
Таким образом, за время ts средняя скорость уменьшается в е =
= 2,7 раза. В других условиях т, не имеет такого простого смысла,
но по порядку величины оно всегда характеризует время суще-
Поле5ые
частицы
Рис. 8.
ственного (Ad ~ v) изменения средней скорости. В общем случае
вводимые по образцу формулы A3. 2) времена т называются
«временами релаксации» [2].
Полученные выше уравнения A3. 7) не дают, однако, полного
представления о движении пробной частицы. Для этого, как мы
знаем, необходимо обратиться к представлению о сплошном облаке-
ансамбле пробных частиц, расплывающемся в пространстве
скоростей. В рассматриваемом нами случае скорости частиц облака
не меняются по абсолютной величине, и облако будет расплываться
по поверхности сферы |v| = v0, как это схематично изображено
на рис. 8.
В начальный момент t0 = О оно было сосредоточено в точке v0,
а при t = со будет, очевидно, равномерно размазано по всей
поверхности сферы |v| = vQ. Как мы уже знаем, тенденция облака
к расплыванию будет полностью описана, если заданы две вели-
величины:
dvidvk
A3.10)
Первая величина, характеризующая изменение импульса,
нами уже рассмотрена. Изменение энергии, найденное в фор-
152

муле A3. 7), связано лишь с суммой диагональных элементов тен-
тензора <Ду;Лг^,>а/р [см. формулу F. 11) ]. Рассмотрение остальных
компонент этого тензора, очевидно, позволит нам дополнить
картину расплывания облака. Чтобы найти этот тензор, вычислим,
во-первых, потенциальную функцию г|)р полевых частиц. Поскольку
они покоятся (vp = 0), то легко получим [см. формулу A1. 8)]:
*—ё-|7=п1»~3?!. 03.11)
и тогда из выражения A3. 10) следует:
<AVi Avk>^ = 2D?f = %?L (^—^) . A3. 12)
где Df№—тензор диффузии [см. формулу A0. 11)].
В системе координат с осью г, направленной вдоль начальной
скорости пробной частицы v = v0 (рис. 8), этот тензор будет иметь
вид:
_ (Dxx 0 0\
(V-v)i(V-v)k\t=Ja=2\ 0 Dyy 0 , A3.13)
0 0 0/
nfiLa/P
где D хх = иуу = —^ . Обозначая значками 11 и _[_ направления,
параллельное и перпендикулярное вектору v0 (см. рис. 8), мы,
таким образом, получаем:
4 (v-vJ, = < (До и J> = 2D,Z = 0. A3. 14)
Следовательно, «толщина» облака в продольном направлении не
меняется, что, очевидно, связано с тем фактом, что в рассматривае-
рассматриваемом случае столкновения вообще не меняют |v| пробных частиц.
В поперечном направлении размеры облака увеличиваются
со скоростью
<(Avxf> + < (Avyf> = 2 (Dx
Это соотношение удобно записать в виде
ф-. A3.15)
Введенное таким способом «время отклонения» xd характери-
характеризует скорость отклонения направления полета частицы а от перво-
первоначального (см. рис. 8). Это время xd, как видим, в рассматривае-
153

мом частном случае (v& = 0, mp = оо) в два раза меньше введен-
введенного выше «времени продольного замедления» ts [см. формулу
A3.8)].
Помимо двух указанных времен релаксации ts и xd, Спитцер [2 ]
вводит также «время обмена энергией» те, которое он определяет
по скорости увеличения разброса энергий или, что то же самое,
по скорости расплывания облака в продольном направлении,
поскольку <(ДеJ> = /п2о2<(ДацJ>:
В нашем случае величина те равна бесконечности, поскольку
энергия частиц вообще не меняется (D ц =0). Вводить время
релаксации энергии из соотношения -<Де>> = —е/т, подобного
формуле A3. 8), было бы нецелесообразным, поскольку вели-
величина -~ обычно бывает знакопеременной. В частности, в точке,
где -^ = 0, частица не изменяла бы своей энергии, в то время
как увеличение дисперсии по энергиям все равно имело бы
место.
§ 14. Решение кинетического уравнения для предыдущего случая.
«Простейшее время релаксации»
Попытаемся теперь применить к изображенному на рис. 8
процессу расплывания облака пробных частиц а вследствие их
столкновений с полевыми частицами (J кинетическое уравнение,
полученное в предыдущей главе. Из формулы Ff^J = (т\/т$) х
X VAD«/3 можно видеть, что при т„ -* со сила динамического
трения Fa/P равна нулю, поэтому кинетическое уравнение имеет
вид
dfa ~ div ia/e - V,(naPvJ )-
WVJ \t{Uik \kJ)
X
Здесь мы использовали найденное в формуле A3. 12) выражение
для тензора диффузии D%^ при покоящихся р-частицах. Вводя
сферическую систему координат v, 0, ср с осью z вдоль v0, мы можем
входящий в уравнение A4. 1) оператор записать в виде
д /v*hk-vtvk df \ = y |p»y/-v(vV
dvi \ v3 dvk I l v3
= [W12/ = Де.ф/
v3 v3 '
154

где
так называемый «угловой лапласиан», собственными функциями
которого являются, как известно, полиномы Лежандра: Ав;фРг х
X (cos 8) = —/ (/ + l)Pl (cos 8) [сравни выражение A4. 2) с опе-
оператором квадрата момента М = [г р] = — ih [rVr] в квантовой
механике]. Полученное уравнение
~5Г = *2t7 Лв, ф/а> A4-4)
где ts = Dnw3)/(npL«/P) — введенное в уравнении A3. 8) «время
продольного замедления», легко решить методом разделения
переменных. С учетом начального условия
/« (t, v) |<=0 ----- пад (v _ v0) = а (| v | - v0) б A - cos 8) J\ , A4. 5)
znv0
используя известное разложение
со
6 A - cos 6) = 2 ( / + IT Wcos 6), A4-6)
1=0 '
окончательно получим:
t
2^(Л-4-)е 2Ts
1=0
A4.7)
При t -> со все члены с / Ф 0 обращаются в нуль, и тогда
^в(М-о„), (Н.8)
что соответствует равномерному распределению по поверхности
сферы | v | = v0.
Пользуясь решением A4. 7), можно получить
> = -L \ v cos Q fdv = о0е~'А«;
п J A4. 9)
¦>\> = ~ Jy2 sin2 e/dv = -|-og (l —e'7*»).
Из последнего уравнения при ^ < ts имеем:
о
где xd =- ts/2.
= ^-TV> A4-10
155

В общем случае времена релаксации ts, xd, т8, определяемые
по формулам A3. 8), A3. 5) и A3. 16):
не являются физически четко определенными понятиями. Тем не
менее они могут служить удобными качественными характеристи-
характеристиками столкновительных процессов в полностью ионизованной
плазме. Условимся в дальнейшем время продольного замедления
т«/Р пробной частицы а, вычисленное для того простейшего случая,
когда полевые частицы р* считаются покоящимися и бесконечно
тяжелыми, обозначать т»/Р [см. формулу A3.8)]:
где бо = —^— , и называть «простейшим временем релаксации».
Например, простейшее время релаксации электрона на однозаряд-
однозарядных ионах в условиях, когда ге = 1 кэв, nt = 1016 см~3 и А, = 15,
будет равно
ЛГ 83/2
xf= v"!l -^- = 0,5-Ю-6 сек. A4.13)
Время отклонения td будет вдвое меньше: td = ~~- = 0,25-10~6 сек.
Время х одного столкновения электрона-с выделенным ионом
мы можем по порядку величины оценить как время пролета
электроном длины дебаевского радиуса D [см. формулу B.4)],
что в наших условиях составит: D = 0,5-10 см, vlK3e =
= 2- 10е см/сек ит^ -5-^0,25- 1<Г12 сек.
Таким образом, электрон отклонится на угол порядка 90°
примерно за —— = -~ ^^ 10е столкновений.
§ 15. Сферически-симметричное распределение
полевых частиц
Допустим теперь, что все полевые частицы обладают конечной
массой (/Лр Ф со) и движутся с одинаковой по абсолютной вели-
величине скоростью |vp| = V, причем направления их скоростей
распределены сферически-симметрично (рис. 9). В электростатике
такое распределение аналогично равномерно заряженной поверх-
поверхности сферы радиуса V с полным зарядом Q = пр. Поэтому имеем:
Е„ =
0 при o
Фан =
-f при v<V;
A5. 1)
156

Подставляя эти выражения в формулы A3. 4), получим:
О при |v|<V;
dpa- = — a (l 4- -^Л Е =
~^~ при |у|>У,
ПолеЬые
частицы
dt
A5.2)
где qa = maLa№/4n. Таким образом, передача импульса изме-
изменяется скачком. Пробная частица, движущаяся медленнее полевых
(v < V), не обменивается с ними
импульсом,так как электрическое
поле Еан внутри равномерно заря-
заряженной сферической поверхности
равно нулю. На языке времен
релаксации это означало бы, что
внутри сферы t^/P =oo. Этот свое-
своеобразный эффект сферической по-
полости, впервые отмеченный Беля-
Беляевым и Будкером [20], является
характерной особенностью куло-
новского взаимодействия.
Из второй формулы A3.4) с помощью выражений A5. 1)
найдем среднюю скорость потери энергии:
Рис. 9.
<7а
при
A5.3)
—?4,^; v>V,
которая также изменяется скачком, меняя знак при переходе
точки v = V.
В случае произвольного сферически-симметричного распреде-
распределения полевых частиц fp = fp (| v |) нетрудно по аналогии с элек-
электростатикой заключить, что пробная частица а не обменивается
импульсом со всеми теми полевыми частицами, у которых |vp|>
Эквивалентное электрическое поле Еан в точке скоростного
пространства v, где находится полевая частица, легко определить
по теореме Гаусса:
4яло (v\ По (v)
•-¦аи — с — 7л • \1<J- V
V
где So = 4яи2 — поверхность сферы радиуса и; п„ (v) = ffe^v' —
о
полный «заряд» в этой сфере.
157

Поэтому из формулы A3. 4) для произвольного сферически-
симметричного распределения имеем:
Рассмотрим, в частности, максвелловское распределение поле-
полевых частиц:
\з/2 / mRv2 \
ехр ?=- . A5.6)
i VZ
/"(V)
Рис. 10.
В этом случае
"p(v) = f/P(v')rfV = n&°- = n^(vl) , A5. 7)
6 f
где vp = v]/mp/2rp — безразмерная скорость, и обозначено:
A5.8)
Таким образом,
A5-9)
Безразмерная функция р- (v2) имеет простой физический
смысл — это интеграл по сфере конечного радиуса от распределе-
распределения Максвелла, нормированного на единицу, что условно изобра-
изображено на рис. 10. Поэтому в дальнейшем мы будем называть функ-
158

цию \i (x), определяемую интегралом A5. 9), просто интегралом
Максвелла. Ее численные значения приведены в табл. 1. При уве-
увеличении радиуса сферы интегрирования, т. е. при х -> со, эта
функция стремится к единице.
Таблица 1
Значения интеграла Максвелла
Y X ,оо X
V- \х) — I e v dv / I e v av = \ е у t at
J /J Vli)
и некоторых связанных с ним функций
X
0
0,001
0,01
0,05
0,1
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,25
1,5
1,75
2,0
2,5
3,0
4,0
5,0
10,0
20,0
40,0
60,0
80,0
100,0
V~x
0
0,0316
од
0,2236
0,3162
0,4472
0,6325
0,7746
0,8944
1,0
1,1180
1,2247
1,3229
1,4142
1,5811
1,7321
2,0
2,2361
3,1623
4,4721
6,3246
7,7460
8,9443
10,0
0
0
0,0008
0,0082
0,0222
0,0597
0,1505
0,2470
0,3405
0,4276
0,5247
0,6083
0,6792
0,7329
0,8280
0,8884
0,9539
0,9814
1,0
1,0
1,0
1,0
1,0
1,0
11' (X)
0
0,0356
0,1117
0,2399
0,3228
0,4131
0,4784
0,4808
0,4535
0,4151
0,3615
0,3083
0,2594
0,2166
0,1465
0,0974
0,0413
0,0170
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
II 1 v\
Ц (X)
2х
0
0
0,04
0,082
0,111
0,1493
0,1881
0,2058
0,2128
0,2138
0,2099
0,2027
0,1941
0,1832
0,1656
0,1481
0,1192
0,09814
0,05
0,025
0,0125
0,00833
0,00625
0,005
м + и' —
2л-
0
0,0356
0,0725
0,1661
0,234
0,3235
0,4408
0,5220
0,5812
0,6289
0,6763
0,7139
0,7445
0,7663
0,8089
0,8377
0,8760
0,9003
0,95
0,975
0,9875
0,992
0,994
0,995
и'
0
0
0,0072
0,0342
0,06877
0,1445
0,3146
0,5137
0,7508
1,0301
1,4515
1,9731
2,6184
3,3837
5,6519
9,1211
23,0969
57,729
6180,0
ц-ц'
0
—0,0356
—0,1109
—0,2317
—0,3006
—0,3534
—0,3279
—0,2338
—0,1130
0,0125
0,1632
0,3000
0,4198
0,5163
0,6815
0,7910
0,9126
0,9644
1,0
1,0
1,0
1,0
1,0
1,0
Приближенные выражения функции ц (х) в двух предельных
случаях имеют вид:
(ixs/2 /33
(Разл°жение при
(асимптотика
при х> 1).
A5. 10)
159

Функцию \i (х2) можно было бы выразить также через известную
«функцию ошибок» Ф (л;):
ц(х2) = Ф (х) — х Ф'(х), A5.11)
х
где Ф (х) = -JL Г е~Уг dy.
о
Учитывая простой физический смысл функции \х (х), именно
ее, а не Ф (х), удобно принять в качестве основной «простейшей»
функции в формулах кинетики, связанных с распределением Мак-
Максвелла.
Чандрасекар [1] вводит также функцию
G,.,. \X) X%V \X) ll \X ) /1С ] Q\
\ ; 2л;2 2л-2 ' v '
которая приведена и в книге Спитцера [2].
Подставляя выражения A5. 7) и A5. 12) в формулу A5. 4),
получаем:
С„„ = 5 = Н— = — Ь (Vo). lib. 1о)
Таким образом, функция Чандрасекара G (х) аналогична с точ-
точностью до постоянного множителя электрическому полю системы
зарядов, непрерывно распределенных в пространстве по Мак-
Максвеллу. Подставив выражение A5. 3) в уравнение A5. 5) и записав
последнее в виде, подобном выражению A3. 8), найдем «время
d\ v
продольного замедления»: —тт = • где
A5. 14)
ТГ ) ad iyfr- G (vB)
nig I ii $ "
приводимое в таком виде (AD = npLa/p/2n) у Спитцера [2] [в рус-
русском переводе формула E. 28)].
Эта формула будет выглядеть проще и понятнее, если, во-пер-
во-первых, подставить в нее введенное нами в предыдущем параграфе
«простейшее время релаксации» [см. формулу A4. 12)]
равное времени продольного замедления ts в случае покоящихся
и бесконечно тяжелых полевых частиц; во-вторых, если пользо-
пользоваться не функцией Чандрасекара G (vp), а введенным выше
«интегралом Максвелла» ц (х) [см. выражение A5.9)]. Тогда,
160

обозначая
где
e,Jv) nir, с .,_
_ p* ' _ p. fca A5.
m , . /7-1 J \
_ maf2
получим окончательно
1 v a7 . A5.17)
Такая запись представляется нам более удобной, чем запись
в виде выражения A5. 14), употребляемого Спитцером.
§ 16. Явление «убегающих электронов»
В качестве примера использования полученных нами формул
рассмотрим явление так называемого «просвиста», или «убегания
электронов» («runaway»). Оно заключается в том, что при некотором
достаточно большом электрическом поле в плазме, состоящей
из ионов и электронов, последние начинают неограниченно уско-
ускоряться.
Это является следствием уже отмечавшегося нами в § 13 «закона
падающего трения», состоящего в том, что при достаточно больших
скоростях сила трения, действующая на электрон вследствие его
столкновений с ионами, падает по мере роста скорости — асимпто-
асимптотически по кулоновскому закону Fa ~ Еан ~ v'2 [см. формулы
A3. 7)]. Поэтому в реальной плазме, где распределение электро-
электронов всегда близко к максвелловскому, обязательно найдется неко-
некоторое число достаточно быстрых электронов, которые даже при
слабом электрическом поле в плазме будут «уходить в просвист»,
т. е. неограниченно ускоряться.
Однако для того, чтобы электронный газ начал ускоряться
как целое, необходимо достаточно сильное электрическое поле.
Для определения этого критического поля предположим в качестве
первого приближения, что распределение электронов по скоростям
все время остается максвелловским. С течением времени изменяется
лишь их средняя скорость \е = v0 (t), т. е. изменяется положение
«центра тяжести» этого максвелловского распределения в простран-
пространстве скоростей, что условно изображено на рис. 11.
Математически это означает, что функция распределения
электронов имеет вид движущегося максвелловского распреде-
распределения:
з/2 г т , .о 1 /1л i\
|(J) A6.1)
Вопросы теории плазмы 161

Ионы можно считать практически покоящимися и бесконечно
тяжелыми. Тогда уравнение движения электрона приобретает вид
[см. формулы A3. 7)]:
dv
dt
где
,еЦ
И1-
4я
A6. 2)
Распределение
/ электрона^
/
Сд§инутс1
распределение .
злектронпб
Рис. 11.
Умножая уравнение A6. 2) на функцию A6. 1) и интегрируя
по скоростям, получим уравнение, описывающее движение элек-
электронного газа как целого:
пет -^- = епеЕ
тр,
A6. 3)
где
A6. 4)
Здесь по определению величина
ф
представляет собой
суммарную силу трения, действующую на все пе электронов,
заключенных в 1 см3, а величина F^. тр — эффективную силу
трения, приходящуюся на один электрон. Для простоты будем
считать ионы однозарядными. Тогда в условиях квазинейтраль-
квазинейтральности пе = nt.
Интеграл в выражении A6. 4) нетрудно подсчитать. Для нас,
однако, будет более поучительным, если вместо непосредственного
его вычисления мы воспользуемся тем очевидным обстоятельством,
что ввиду положения «действие равно противодействию» сила F^'. Tp
при пе = пь должна равняться средней силе, действующей на один
ион со стороны электронов. Переходя к системе координат, в кото-
которой электронный газ в целом покоится, мы можем рассматривать
ион как пробную частицу, летящую со скоростью —v0 через среду
электронов, распределенных по Максвеллу, и применять формулы,
162

слученные в § 15. Исходя из этих соображений, и используя фор-
формулы A3. 4) и A5. 13), найдем:
^i) Еан (- v0) U^co =
= —SrG(vg). A6.5)
Здесь D =-- (TJAnne2I'' — дебаевский радиус, a G (v) = ц (v2)/2v2 —
функция Чандрасекара [см. уравнение A5. 12)].
0,3
0,2
0,1
2]) 1
Is-
!
й
1
(
\
ч
1
\
\
-\
ч
Ч
^МаксС(У)^
G
<-—
0,2 ft
*~ —
-GA)
JU(V')/2V*
— —
¦
Рис. 12.
График этой функции изображен на рис. 12, а числовые зна-
значения приведены в табл. 1.
Максимум функции Чандрасекара находится в точке v =t; I
t равен 0,214. Поэтому в том случае, когда электроны в целом
обладают движущимся максвелловским распределением [см. урав-
уравнение A6. 1)], эффективная сила трения, приходящаяся на один
•лектрон и обусловленная столкновениями с ионами, вообще не
южет быть больше значения
= _-?? 0,214.
A6.6)
1одставляя выражение A6. 5) в уравнение A6. 3), можно написать:
пт ^sl = епЕ +
тр
= en
—^-G (v°)] , A6.7)
Де v°e — v0 YmJ2Te. Отсюда, учитывая выражение A6. 6),
ожно видеть, что электронный газ как целое будет неограниченно
Скоряться, если электрическое поле в плазме превосходит кри-
лческое значение
?кр== -?^0,214^-^-, A6.8)
\\" 163

практически (ввиду к ^z 10) равное полю элементарного заряда
на расстоянии дебаевского радиуса D. Например, при Те — 1 кэв
п = 1015 см~3 и к = 15 имеем:
D ^ 10 см;
ЕКр ssr 1 в/см. A6. 9)
Хотя это поле по абсолютной величине является довольно
слабым, следует иметь в виду, что даже такое поле трудно создать
внутри полностью ионизованной плазмы, которая обладает весьма
высокой электропроводностью и потому стремится скомпенсиро-
скомпенсировать все внутренние электрические поля.
В действительности, как уже отмечалось, и при менее сильных
полях некоторая экспоненциально малая часть электронов может
«уходить в просвист». С исчерпывающей полнотой явление «убега-
«убегания электронов» было исследовано Дрейсером [21 ], которому
для этого пришлось прибегнуть к численному интегрированию
кинетического уравнения для fe (t, v).
§ 17. Максвелловское распределение полевых частиц.
Времена релаксации
Предположим теперь, что полевые частицы р* распределены
по Максвеллу, и покажем, как вычислить все величины, характе-
характеризующие поведение пробной частицы а в такой среде. Удобно
все функции, встречающиеся при этом, выражать через введенный
ранее «интеграл Максвелла» и его производную
X
p(x)~^=^-'Vidt, ц'(*) = ^ = -^е-]/х. A7.1)
6
В частности, вводя удобные обозначения для безразмерной ско-
скорости и ее квадрата:
p Vp и xp = v2p = f|, A7.2)
будем распределение Максвелла записывать в виде
<vf>, „7.3,
где f° (vp) — безразмерная функция, нормированная на единицу-'
2я
Здесь v ээ | v |, а Ф (v) — «функция ошибок» [см. выражение
A5. 11)]. Прежде всего нам необходимо найти потенциальную
164

функцию 4"p(v)> через которую, как мы знаем, выражаются все
остальные величины. Используя выражения A7. 2) и A7. 3),
получаем:
~' '"""-¦). A7.5)
Здесь г|з° (v) — безразмерная функция
v-v'|/°(v')dv'( A7.6)
определенная так, чтобы было выполнено соотношение
-. A7.7)
/2
аналогичное соотношению Лц^р (v) = fp (v) для исходных функций
[см. формулы F. 5)].
Интеграл в правой части равенства A7. 6) нетрудно вычислить,
сделав в нем замену переменной v' = v -f- r и переходя к сфериче-
сферической системе координат г, 9, ср с осью z вдоль вектора v:
о© Л
L- [r*dr Г е-(v-+r'+2vr cos в) sin e d0. A7.8)
'« J J
о о
4яJ J
о о
Интегрируя по б и преобразуя оставшиеся члены, окончательно
найдем:
° W = —ш[ф/ ^ + Bv +4) ф
Штрих у обозначения функции означает, как обычно, производную
по аргументу, так что здесь
^^ ^. A7.10)"
165

Приведем также для справок значения производных функ-
функции г|)° (v):
(„ „
dv 8al(it^ 2 J
^ A7.11)
Здесь подразумевается ц = \\ (v2).
Итак, мы вычислили потенциальную функцию ifp (v) [см.
формулы A7. 5) и A7. 9)]. Как и исходное распределение Мак-
Максвелла, она является сферически симметричной. Тензор диффузии,
а тем самым расплывание облака пробных частиц а мы найдем
теперь по формулам F. 7) и A1. 3), вычисляя вторые производные
функции % (v):
Av
а/р - 2D?
- iulK
- - [2L«%ft
A7. 12)
где
d\idvK
^ д I vK dty° (v) \ =
dvi \ v dv j
Полученный тензор будет диагоналей в системе координат с осью z,
направленной вдоль скорости v пробной частицы
/Dxx 0 0 \ /<(Д^J> О О
-2 0D№0 L1 0 <(Ди/> 0 |, A7.14)
\ О О DZJ V О О <(До2J>у
причем
Здесь мы временно обозначили буквой К постоянный коэффициент,
заключенный в квадратные скобки в формуле A7. 12).
166

Подставляя сюда значения производных i|)° (v) из выраже-
выражений A7. 11), получим:
< (Av)\ > = < (Да,J > + < (AvyJ > =
К
где *р = vp.
ji3 этих выражений найдем время отклонения
л время обмена энергией
A7Л8)
Для полноты выпишем также время продольного замедления
иг", найденное в предыдущем параграфе:
?» v !Ц, A7.19)
В этих формулах Tj — «простейшее время релаксации», опре-
|еляемое по формуле A5. 15). В дальнейшем введем также ряд
других времен релаксации. Во избежание путаницы необходимо
шеть в виду, что любую формулу типа -~ = g, содержащую
роизводную по времени, можно записать в форме
?-,-.f = i. A7.20)
'Пределяя тем самым «время релаксации величины /» как xf.
поэтому «времен релаксации» можно ввести сколько угодно.
Днако в случае сферически-симметричного распределения задание
времен ts, xd и т8 эквивалентно заданию величин <^Av{^>
AAvK^> и вполне достаточно для полного статистического
167

описания поведения пробной частицы а. Впрочем, ввиду равен-
равенства F. 9), эти времена связаны дифференциальным соотноше-
соотношением:
( 21)
Зная функцию г(эя. (v), можно найти вторую потенциальную
функцию фр (v):
-Щ "U)l"U) —?fa. A7.22)
Отсюда получим потенциал и поле, аналогичные электростати-
электростатическим:
Яв Па ! V \
Фан = V [^ <*») + Р (ХР)]; Е«- = - V^aH = ¦? V- (^Р) (—J • A?- 23)
На больших «расстояниях», где jx (д;р)-> 1, они переходят в «куло-
новские». Поле Еан получено нами в предыдущем параграфе [см.
формулу A5. 13) ]. По формулам A7. 23) можно вычислить скорость
потери энергии пробной частицей [см. формулы A3. 4)]:
таХ1г та еа de
где хй = -sSr- = —- • 7?-. Эта производная -гг меняет знак в той
Р 27р та Tg r at
точке *р, где (/na/mp) |д. (хр) — jx' (хр) = 0 или, иначе, где
-^ = 4%. A7.25)
та (х' (хр)
В § 19 уравнения A7. 24) и A7. 25) исследуются более детально.
§ 18. Плоский поток в равновесной плазме
Рассмотрим теперь пример, показывающий целесообразность
введения времен релаксации, которые позволяют составить более
наглядное представление о различных процессах в плазме. Пред-
Предположим, что однородный плоский поток частиц а движется
через квазинейтральную плазму, состоящую из электронов и одно-
однозарядных ионов, причем те и другие распределены по Максвеллу
с температурой Т = Те = Тv Их массы будем обозначать соот-
соответственно буквами m s me и М = mi без индексов (М > /п)'1
168

Частицы потока могут быть или электронами или ионами того же
сорта, что и полевые. Возможные обобщения (Те Ф Tt; eL =j= ee;
pia ф m; M) не представляют затруднений и будут рассмотрены
розднее.
Поскольку плоский поток эквивалентен ансамблю пробных
частиц а, то достаточно рассмотреть три основных процесса,
(Происходящих с частицами потока: передачу импульса, отклонение
частиц и обмен энергией. Эти процессы описываются соответст-
соответственно уравнениями:
¦^ = ти (< Av >«/« + < Av
>
а/е
га/е
Здесь мы ввели «полные времена релакс?ции» т™, т™ и t", связан-
связанные с «частичными» временами т"/р, т™ р и т"/р соотношениями
вида:
V—
4)
«Частичные» времена замедления, отклонения частиц и обмена энер-
энергией выражаются соответственно формулами A7. 17)—A7. 19):
A8.5)
в которых обозначено:
169

Нам достаточно рассмотреть четыре типа столкновений: ell, е/е
ill и Не.
В первом примере будем считать, что энергия еа частиц потока
фиксирована и настолько велика, что во всех случаях справедливо
неравенство х^ > 1. В этих условиях
; н
= о.
Тогда, принимая за единицу простейшее время релаксации элек-
электронов на ионах хе/\ получаем значения xs, xd и te для разных
случаев (табл. 2).
Таблица 2
Времена релаксации при х^ > 1
т
Т8
Условие
применимости
(
e/i
,.
0,5
е \
m
м.
т
г
е/е
0,5
0,5
а/Р
г /и
0,5 1/Ж
( 8 \ "I / М
'1 / /Я
I7 лГ
0.Б1/Ж
г m
(wj-V ж
В последней строке табл. 2 указаны условия применимости,
е то
= -= > 1.
вытекающие из требования
Отсюда видно, что в этих условиях поток электронов тормозился
бы всего лишь вдвое быстрее на электронах, чем на ионах (%е/е =
= 0,5Ts/(), в то время как поток ионов тормозился бы почти исклю-
исключительно на электронах (т'/е = 2-тгТ^Л. Кроме того, замедление
и отклонение электронов происходят практически одновременно
= 4/Зт^), в то время как ион замедляется, почти не отклоняясь
1 -
)
Другой пример — энергия частиц потока равна средней теп-
тепловой энергии частиц плазмы, т. е. еа—C/2) Т, Пользуясь значе-
170

ниями функций [i (х) и ( \i + \i' jpj, приведёнными в табл. 1,
а также разложениями A5. 10), необходимыми для случая Не,
получим т„ xd и те (табл. 3).
Времена релаксации при еа = C/2) Т
Таблица 3
X
Та/Р
та/р
а/р
е/»
«1»
0,5
0,37^1
m
е/е
0,82
0,70
0,62
Щ
0,82 Т/Ж
г m
0,70 1/Ж
0,62 Т/Ж
Не
0,73 Л
/л
0,54-^1
/и
0,27^
m
Как видим, все релаксационные времена разбиваются на три
группы: ~1, —УМ1т и ~М/т. Соответствующие процессы будут
при этом отличаться скоростью протекания, что мы используем
в § 20 для общего анализа релаксационных процессов в плазме.
Сравнение данных табл. 3 с данными табл. 2 показывает, что в слу-
случае электронного потока относительная эффективность столкнове-
столкновений типа ell и е/е почти не изменилась, в то время как для ионов
ситуация стала противоположной. Если раньше сверхбыстрый
М
е > — Т тормозился и обменивался энергией преиму-
ион
m
щественно с электронами:
х'/е ¦
S, 8
т
A8.8)
(однако x'Je = x'J1), то теперь «тепловой» ион с е = C/2) Г с точки
зрения всех трех процессов взаимодействует преимущественно
с ионами:
s, d, 8
У М
s, d, e
Отметим, что времена продольного замедления
ваются при энергии e<s), равной
A8.9)
сравни-
сравни171

Времена обмена энергией т'^3 сравниваются при близкой энергии:
A8.11)
соответственно имеем:
Для ионов водорода (— = 1823 j и дейтерия (— = 3646
= 30. A8.12)
= 24 и
= 2'/
Отсюда можно найти и энергию е'Е> = 0,63e'.s>.
§ 19. Передача энергии
Продолжим рассмотрение задачи о плоском потоке из электро-
электронов или ионов того же сорта, что и полевые, и исследуем вопрос
о передаче энергии. В отличие от импульса, который всегда пере-
передается только от потока к плазме (dp/dt < 0), так что поток
тормозится, изменение энергии частиц потока, описываемое урав-
уравнением A7. 24)
может иметь оба знака, поскольку поток достаточно быстрых
частиц будет нагревать плазму, в то время как поток медленных
частиц (например, в пределе — покоящихся) будет ее охлаждать.
Таким образом, прежде чем говорить об относительной эффектив-
эффективности столкновений того или иного типа для передачи энергии,
мы должны выяснить направление этой передачи. Последнее,
как это следует из уравнений A7. 24), определяется знаком
выражения
, тогда
', тогда
а,
A9.2)
которое обращается в нуль в точке х* определяемой уравне-
уравнением A7. 25)
^- = 4Й1 09 3)
172

где
v* - Ё EL Л 9 4^
та 1 е
Пользуясь табл. 1, а также приближенными выражениями для
[х) [см. выражение A5. 10)], можно получить:
И- (¦*)
-3-х (при л: С 1);
1 (при xs 1, точнее, 0,98);
?-(при х»1).
A9.5)
Отсюда и из выражения A9. 3) найдем «критическую» энергию е*,
при которой направление передачи энергии меняет знак (табл. 4).
Таблица 4
Критическая энергия еа
а/Р
*
m
1 М
1П\
e/i
1 1
е/е
1
t/(
1
if.
¦6/2
Малость значения &*JT в табл. 4 для случая e/i обусловлена
спецификой кулоновского взаимодействия.
Следует обратить внимание на то, что указанная критическая
энергия отнюдь не равна средней тепловой энергии C/2) Т$ частиц
среды, как это могло бы показаться на первый взгляд. Объясняется
это тем, что плоский поток частиц с такой энергией находится
как бы в «мгновенном» равновесии (de/dt)t=o = 0 со средой,
а отнюдь не в полном термодинамическом равновесии, для кото-
которого требуется максвелловское распределение (см. § 20). Если еа
превосходит значения е^, указанные в табл. 4, то энергия пере-
передается от потока а к частицам |3 в плазме, если же еа <С е^, то,
наоборот,
<0 (при еа>е;);
dt
0 (при еа= е*а);
>0 (при еа<е*а).
A9.6)
Возвращаясь к формуле A9. 1), рассмотрим практически важ-
важный случай ионного потока, причем будем считать, что еа >
> C/2) Т. Тогда в соответствии с табл. 4 проходящий поток будет
нагревать и ионы и электроны среды, и, чтобы судить о скорости
нагревания частиц того или иного сорта, необходимо сравнить
173

относительную величину первого ill и второго Не членов в урав-
уравнении:
Поскольку ионы однозарядные, здесь t'V' = tj/«. При условии
е > -~- Г мы можем в первом Hi члене приближенно положить
(.1 — fi' ^s 1. Тогда возможны два случая. Если энергия еа на-
настолько велика, что еа > (М/т)Т, то
йга 2еа 2еа М
dt Tf x\/e m
A9.8)
В этом случае греются в основном электроны — в М/пг раз интен-
интенсивнее ионов. В другом случае при условии
е~^^ т 8 // 1 HQ <^
разлагая в ряд \а (х) и \i' (x) в члене Не, имеем:
»еа ^е ze / в \ / \ И Q 1 С\\
dt х ' т'^е IT 2 МТ I 31Ля
IV / V /
/8 3 \
и, если (-= H-J '— 1, то поток греет преимущественно ионы.
Нагревание электронов и ионов будет одинаковым, когда выра-
выражение в квадратных скобках в формуле A9. 10) будет равно еди-
единице, т. е. примерно при энергии е**:
, , A9.11)
а=С \ 16 m I
что составляет 14,7 для ионов водорода Н (М — 1823 ш) и 18,5
для ионов дейтерия D.
Критическая энергия е", как видим, полностью совпадает
с энергией ер), найденной в предыдущем параграфе из усло-
условия t'V* = тг>. Это случайное обстоятельство обусловлено удач-
удачным выбором коэффициентов при определении т^, характери-
характеризующим расплывание облака-ансамбля в продольном направле-
направлении. Если, пользуясь общим определением т по формуле A7.20),
ввести специальное «время передачи энергии» тп на основе фор-
формулы A7. 24):
^l^ ?^, A9.12)
174

где
то/р _ -
^ ы
Г та i
(* — Iх
L fflft J *„
A9.13)
то в критических точках A9. 5) еа = е^ (см. табл. 4), где —п- = О,
это время обращалось бы в бесконечность. Если исключить эти
точки и их ближайшую окрестность, то введенное время передачи
энергии tjj/P будет для энергий, близких к тепловой, совпадать
по порядку величины со временем обмена энергиями т?/Р. В табл. 5
приведены значения тп для е = 2Т (а не C/2)Т, что для столкнове-
столкновений Не составляет критическую энергию, см. табл. 4).
Таблица 5
Время передачи энергии тп при е = IT
-а/р
1п
е/1
m
е/е
«1»
Щ
t m
Не
0,94*- '
m
Как видно из табл. 5, хп для е = 27 примерно совпадает
с т«/Р для е = C/2)Г (см. табл. 3).
Особый интерес представляет вопрос о передаче энергии
продуктов ядерных реакций частицам плазмы, служащей «горю-
«горючей смесью» в проектируемых термоядерных реакторах. Рассмо-
Рассмотрим, например, дейтериевую плазму, в которой протекают реак-
реакции:
d + d^T + p + 4,0 Мэв;
d + d -> Не3 + п + 3,3 Мэв.
Заряженные частицы р, Т и Не3, образующиеся в этих реакциях,
обладают соответственно энергиями:
ео = 3 Мэв, е°г = 1 Мэв, г°Не, = 0,83 Мэв. A9. 14)
В частности, наиболее энергичная из них — протон (р), сталки-
сталкиваясь с дейтонами (/ = d) и электронами (е) плазмы, будет терять
свою энергию в соответствии с уравнением A9. 12):
de,p
где соответственно имеем:
TPld
ЛР)
A9.15)
175

2 — 1
- 16)
Для определенности предположим, например, что температура
плазмы составляет Т = Т1 = Те = 50 /сэв. В начальный момент
е° = 3 УИэе = 3-Ю3 кэв и, следовательно, при этом:
Г ~ 50 ~0V И МТ ~ 1823 ~ 30 ' {IV-U)
Используя для (л (л:) в одном случае асимптотику, а в другом —
разложение в ряд [см. выражение A5. 10)], получим:
= rf (e)
1 v '
16
где хр (е) = tP/rf = т[/е. Например, при п = 1013 ел; е =
= 3 Мэв; А, = 20 это «простейшее» время составляет [см. A8.6)]:
rf = 285 сек (!). A9. 19)
Таким образом, вначале энергия передается электронам в 16 раз
быстрее, чем дейтонам. Нагревание электронов и дейтонов плазмы
становится одинаковым (f/d = %Pie) примерно при энергии про-
протона е**, для которой [см. формулы A9. 18) ]
ЗГ
откуда
2е** j \те*
Мэв.
Ниже этой энергии при ер <С 0,5 Мэв протоны нагревают пре-
преимущественно дейтоны. Например, для гр = 2Т = 100 кэв из фор-
формулы A9. 16) или A9. 18) можно получить:
= 1,15тр
A9.21)
причем для значений п = 1013 см~я, е = 0,1 Мэв, X = 20 здесь
хр = 1,7 сек в отличие от результата в выражении A9. 19).
176

§ 20. Установление равновесия в двухкомпонентной плазме
Составленная нами в § 18 для случая еа = C/2)Г табл. 3 времен
релаксации по порядку величин будет вообще справедлива при
еа — Т. При этом условии мы можем применить ее для качествен-
качественного рассмотрения вопроса о том, как устанавливается равновесие
в плазме, начальное состояние которой было неравновесным.
Все релаксационные процессы в соответствии с табл. 3 будут про-
протекать в три этапа.
На первом этапе (т. ~ «1») столкновения типа e/i приведут
к установлению изотропного распределения электронов по ско-
скоростям. Этот процесс был рассмотрен в § 14. Одновременно с этим
столкновения е/е постепенно приведут электроны к равновесному
максвелловскому распределению. Этот процесс «максвеллизации»
будет рассмотрен ниже.
На втором этапе (т ~ У Mini) столкновения типа Hi приведут
ионы к изотропному равновесному распределению.
На третьем этапе (т ~ Mini) столкновения типа Не и e/i между
электронами и ионами, которые порознь уже успели максвеллизо-
ваться, но возможно обладают различными температурами Те
и ТI, постепенно сравняют эти температуры.
Чтобы рассмотреть последний процесс, воспользуемся урав-
уравнением A9. 11)
dea 2еа Г гпа , , ,
dt т, •- (еа) у отр
где
TjfeJ-e'/., B0.1)
описывающим изменение энергии пробной частицы а в среде
максвелловских частиц р. Предполагая, что пробные частицы а
также распределены по Максвеллу со своей температурой Та,
можно просто усреднить уравнение B0. 1) по этому последнему
распределению. Тогда, учитывая, что операция усреднения
по максвелловскому распределению частиц а есть не что иное,
как интегрирование по dxa, где ха = ва/Та с весом \х' (ха), и что
т: {е} — е3/*, имеем:
о ai a *¦' а
2 dt Т1 |Га)
б
Xii'(xa)da. B0,2)
Здесь Хо = g ° ха. Подставляя сюда выражение для (л' (х)
и интегрируя один раз по частям, получим:
3 йТ„ 2Та
2 dt Ч/Р\то
12 Вопросы теории плазмы 177

2 ma Tg
/п mp / mn TR \'Ы
В Та
та4 ' а ' р
B0. 3)
Здесь т«/Р fe\ — «простейшее время релаксации» [см. фор-
формулы A8. 6)], в котором аргумент еа заменен на Та -\—^- Т^.
Из этой формулы, в частности, нетрудно видеть, что
dTa йТл
в соответствии с законом сохранения энергии.
Формула B0.3) впервые "получена Спитцером [22] и, неза-
независимо, Коганом [23]. Ее можно записать, как это делает Спит-
цер, в виде
вводя тем самым релаксационное «время выравнивания темпера-
температур»:
Тогда, учитывая, что под а и р* можно подразумевать также две
максвелловские группы частиц одного и того же сорта, нетрудно
убедиться, что по порядку величины при Та ~ Тр
tf/«: xf: xf : xf = «1» : l/^ :^--Л. B0. 7)
т т т т у m от m v
Сравнивая выражение B0. 7) с последней строкой табл. 3,
можно убедиться, что по порядку величин при Va — Тр
)|е^г, B0.8)
что лишний раз подтверждает физическую правильность термина
«время обмена энергией» для величины те, введенной в фор-
формуле A3. 16).
178

Рассмотрим теперь несколько подробнее упомянутый выше
процесс «максвеллизации», т. е. установления максвелловского
распределения для частиц некоторого сорта а в результате их
взаимных (а/а) столкновений. Этот процесс описывается кинети-
кинетическим уравнением [см. уравнения A1. 12) и A1. 15), в которых
индекс а опускаем]:
—— = — diVj, j = L I / '— • -— ), B0. 9)
где
и L — '.
Получить решение этого уравнения в общем виде невозможно.
Из закона возрастания энтропии, в согласии с которым, как это
можно показать, находится и уравнение B0. 9), ясно, что любое
наперед заданное начальное распределение частиц / @, v) должно
постепенно переходить в максвелловское распределение /°(v),
при котором энтропия максимальна.
Температура последнего в соответствии с законом сохранения
энергии будет определяться средней энергией относительного
движения частиц в начальный момент времени:
-f (v-<v>0J/@, v)dv. B0.10)
Приводя уравнение B0. 9) к безразмерному виду, можно при
этом заключить, что равновесие будет устанавливаться за харак-
характерные времена порядка
ха/а tT) = J^E* J^L B0.11)
1 V ' л V2 е\ Кпа
о _
где Т — -q- еотн, что находится в согласии с табл. 3.
В качестве примера рассмотрим, следуя В. И. Когану [23],
задачу о скорости выравнивания «продольной» и «поперечной»
температур для находящегося в магнитном поле газа из заряжен-
заряженных частиц, распределение которых в начальный момент времени
имеет вид:
2Т „ 2Г ,
/@, v) - const е " х B0.12)
Постоянная здесь определяется из соображений нормировки:
consi = п (т/2п)'ы/ТiYT\\- Направив ось z вдоль магнитного
поля так, что t/ц = иг и v\ =± v2x + v2y, имеем:
Г z II т, ~ J. -1- i -I- т (ПГ\ ] о\
В || = —у— == —п— И 6j^ = —_-— = —х 1 п— = ¦* J.- \4\) Ю)
12* 179

Пользуясь кинетическим уравнением B0. 9) и учитывая закон
сохранения энергии, получим:
йТ . d Т,, 1 С mv2 df
Для вычисления /г в данном случае проще всего использовать
запись потока в форме Ландау [см. выражение (И. 18)]:
jafa = J^l Г U (f^L- Г -?L) rfv', B0. 15)
где Uzi = ——-~- и u = v —v'. Пользуясь выражением
B0. 12) для f @, v), находим:
и аналогично для штрихованных величин. Подставляя эти выра-
выражения в уравнение B0. 15) и производя суммирование по индексу i,
получим:
, . _ ^тЦ—Lkff'!^. B0.17)
' х ' || / 1 х1 \\ "
Тогда из уравнений B0. 14) и B0. 15) имеем:
dT , d T„
B0. 18)
Стоящий здесь интеграл с функцией f @, v), определяемой
выражением B0. 12), можно вычислить до конца (см. работу [23]),
однако мы ограничимся случаем близких температур \ТХ — Т ц | <
<^ Т\\. Вводя обозначения
2 — — Т 2Т
АТ = ТХ-Т1{ и r=---^(e,l+8x) = -^4--3i ^20Л9)
и ограничиваясь членом первого порядка малости по AT, интеграл
в уравнении B0. 18) можно вычислять не с функцией / @, v)
из выражения B0. 12), а с распределением Максвелла:
B0-20)-
Здесь для удобства в качестве индекса функции указана масса
180

частицы т. Введем в качестве новых переменных интегрирования
скорость центра инерции двух частиц и относительную скорость
V-^p и u = v — v'. B0.21)
Учитывая, что при такой замене имеют место соотношения
v = V + -^u; v' = V--Lu; B0.22)
~\ — г 2
и, кроме того,
L (v) /°m (v') dv dv' = /L (V) /^ (u) dV du, B0. 23)
2
где 2m — суммарная масса, а-^ приведенная, для уравне-
уравнения B0. 18) получим
2 2
2 V 15 .
Подставляя найденное значение в уравнение B0. 18), окончательно
имеем:
dT , 1 dT и Т , —Т„
Таким образом, разность температур убывает экспоненциально:
dAT dT, AT ~V
-щ- - 3if --— 0ТКУДа Ат@ == Аг (°)е ¦ B0-26)
Она уменьшается в е = 2,7 раза за время
т = A yS тх (Г) = 1,56тх (Г), B0. 27)
где тх (Т) — простейшее время релаксации, в котором аргумент
заменен на Т [см. уравнение B0. 11)].
181

ЛИТЕРАТУРА
1. Чандрасекар С. Принципы звездной динамики. М., Изд-во иностр
лит., 1948.
2. Спитцер Л. Физика полностью ионизованного газа. М., Изд-во иностр.
лит., 1957.
3. RosenbluthM., MacDonaldW. andJuddD. Phys. Rev., 107,
1 A957).
4. Трубников Б. А. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 34, 1341 A958).
5. ЧепменС, КаулингТ. Математическая теория неоднородных газов.
М., Изд-во иностр. лит., 1960.
6. Л андау Л. Д. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 7, 203 A937); Phys. Z. der
Sowjetunion, 10, 154 A936).
7. С о h e n, S p i t z e r L. and М с R о u t 1 у. Phys. Rev., 80, 230 A950).
(Перевод «Динамика плазмы» в «Пробл. совр. физ.», 2, 54 A956)).
8. Боголюбов Н. Н. Динамические проблемы в статистической физике.
М., Гостехиздат, 1946.
9. Кадомцев Б. Б. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 33, 151 A957).
10. Коган В. И. «Докл. АН СССР», 135, 1374 A960).
11. Силйн В. П., Рухадзе А. А. Электромагнитные свойства плазмы
и плазмоподобных сред. М., Госатомиздат, 1961
12. GasiorowiczS., NeumanM. and R i d d e 1 1 R. Phys. Rev., 10,
922 A956).
13. С и л и н В. П., Г о р б у н о в Л. М. «Докл. АН СССР», 145, 1265 A962).
14. Balescu S. Phys. Fluids., 3, 52 A960).
15. L e n a r d A. Ann. of Phys. 3, 90 A960).
16. Климонтович Ю. Л., Т е м к о С. В. «Ж. эксперим. и теор. физ.»,
33, 132 A957).
17. С и л и н В. П. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 40, 1768 A961).
18. В е д е н о в А. А., В е л и х о в Е. П., С а г д е е в Р. 3. «Ядерный синтез»,
1, 82 A961).
19. В е д е н о в А. А. «Атомная энергия», 12, № 2, A962).
20. Б е л я е в С. Т. и Б у д к е р Г. И. «Докл. АН СССР», 107, 807 A956).
21. Д р е й с е р. К теории «убегающих» электронов. В кн.: «Труды Второй
международной конференции по мирному использованию атомной энергии.»
Избр. доклады иностр. ученых. Т.1 — Физика горячей плазмы и термо-
термоядерные реакции. М., Атомиздат, 1959, стр. 170,
22. S p i t z e r L. Monthly Notices, Roy. Astron. Soc, 100, 396 A940)
23. К о г а н В. И. В кн.: «Физика плазмы и проблема управляемых термоядер-
термоядерных реакций». Т. 1. М., Изд-во АН СССР, 1958, стр. 130.

ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА В ПЛАЗМЕ
С. И. Брагинский
§ 1. Уравнения переноса
Состояние ионизованного газа (плазмы) можно характеризо-
характеризовать заданием функций распределения fa (t, r, v) составляю-
составляющих его частиц. Эти функции дают плотность частиц сорта а
в момент времени t в точке г, v фазового пространства, так что
fa {t, г, v) drdv есть число частиц в шестимерном элементе объема
drdv. В простейшем случае плазма может состоять из электронов
(а = е) и одного сорта ионов (а = 0. в более сложных случаях
она может содержать несколько сортов ионов, а также нейтраль-
нейтральные частицы (а = п) — атомы, молекулы, возбужденные атомы
и т. д. Поведение ионизованного газа описывается системой кине-
кинетических уравнений (уравнениями Больцмана), определяющих
изменение функций распределения со временем (см., например,
[1, 2, 3, 39]):
Здесь Fa — сила, действующая в точке г на частицу сорта а,
имеющую скорость v; ma — масса частиц а. Для заряженных
частиц с зарядом еа в электрическом поле Е и магнитном поле В
Fa = eeE+-^-[vB]. A.2)
Кинетическое уравнение не учитывает тепловых флуктуации.
Входящая в уравнение A. 1) функция fa (t, r, v) — это сглаженная
плотность, усредненная по объемам, содержащим очень много
частиц.
Сила Fa, входящая в левую часть кинетического уравнения,
это тоже «сглаженная» макроскопическая сила, усредненная
по объемам, содержащим много частиц, и временам, большим
по сравнению с соответствующим временем пролета; то же самое
относится к полям Е, В. Сила Fa не учитывает быстро флуктуи-
флуктуирующих микрополей и микросил, возникающих при сильном
сближении частиц. Эти эффекты (будем для краткости называть
183

их просто столкновениями) учитываются стоящим в правой части
столкновительным членом Са. Вопрос об отделении самосогласо-
самосогласованного поля от микрополей является весьма сложным. Он рас-
рассматривался во многих работах, например, в работе Б. Б. Кадом-
Кадомцева [37].
Частицы сорта а могут сталкиваться между собой и с части-
частицами других сортов. В соответствии с этим
ca = 2ca6(/Q, д), A.3)
ь
где СаЬ дает изменение в единицу времени функции распределения
частиц а в результате столкновений с частицами Ь. Члены СаЬ
могут соответствовать как упругим, так и неупругим столкнове-
столкновениям *. Так называемый больцмановский столкновительный член
для упругих столкновений приведен в приложении. Для упругих
столкновений между заряженными частицами мы будем брать
столкновительный член в той сравнительно простой форме, кото-
которая ему была придана Л. Ландау [111. Для неупругих столкнове-
столкновений столкновительный член имеет гораздо более сложный вид,
он даже не всегда может быть написан в явном виде. Далее неупру-
неупругие столкновения мы рассматривать не будем.
Некоторые свойства столкновительного члена можно указать
и не зная его явного вида. Если не учитывать процессы, превра-
превращающие частицы одного сорта в частицы другого сорта — иони-
ионизацию, диссоциацию и т. д., то столкновительные члены удовле-
удовлетворяют условиям
$Cabdv = 0; A.4)
\mavCaadv = 0; A.5)
^Caadv=,0 A.6)
Действительно, интеграл A. 4), умноженный на dr, дает изме-
изменение полного числа частиц а в элементе объема dr в результате
столкновений с частицами Ъ. Но при упругих столкновениях
такого изменения нет. Интегралы A. 5) и A. 6) дают изменение
соответственно импульса и энергии частиц а в результате столкно-
столкновений между собой. Но так как при столкновениях импульс
и энергия сохраняются, то эти интегралы равны нулю. Анало-
* При этом, например, возбужденные атомы считаются частицами иного
«сорта», чем невозбужденные, и им приписывается другой номер а. Заметим
также, что в уравнении A. 1) не учитываются явно вращательные степени сво-
свободы, существенные, например, при рассмотрении молекул. Для их учета надо
было бы рассматривать функцию распределения, зависящую (кроме г, v) также
и от полного момента вращения частиц М. Формально можно считать, что пере-
переменные М, как и внутренние степени свободы, тоже учитываются индексом а,
но фактически учет вращения очень сложен, поэтому мы не будем им заниматься,
а предположим, что по вращательным переменным произведено соответствующее
усреднение.
184

гично для упругих столкновений между разными частицами а, Ь,
когда сохраняются суммарные импульсы и энергия, справедливы
соотношения
JmevCeftdv + Jm4vC4edv = 0; A.5')
J (mavV2) Cabdv + J (mbvm) Cbadv = 0. A. 6')
Согласно общим положениям статистической физики, в состоя-
состоянии теплового равновесия частицы любого газа имеют максвел-
ловское распределение по скоростям /°:
/ = е\ A.7)
' BnT/mf/2 K '
Здесь индекс а опущен; п — плотность, т. е. число частиц
данного сорта в единице объема; Т — температура газа; V — его
скорость как целого. Температуру мы везде будем выражать
в энергетических единицах, поэтому постоянная Больцмана
в формулах фигурировать не будет. Левая часть кинетического
уравнения при подстановке в нее максвелловского распределения
обращается в нуль. Таким образом, каков бы ни был конкретный
вид столкновительного члена, при подстановке в него максвел-
максвелловского распределения он должен обращаться в нуль. Более
того, можно доказать, что если газ предоставлен самому себе,
так что его функция распределения изменяется только вследствие
столкновений, то при любых начальных условиях функция рас-
распределения со временем стремится к максвелловской — это зна-
знаменитая Н-теорема Больцмана, доказательство которой можно
найти в работах [1, 2, 3]. Процесс приближения функции распре-
распределения к максвелловской при столкновениях называют релакса-
релаксацией. Релаксация происходит за время порядка среднего интер-
интервала между столкновениями.
Описание плазмы с помощью функций распределения является
весьма подробным и далеко не всегда необходимо. Часто для
описания плазмы бывает достаточно задать некоторые средние
величины, например, число частиц данного сорта в единице
объема
na(t,r) = ffa(t,r,v)dv, A.8)
их среднюю скорость
Va (*, г) --= ± Г v/ (/, г, v) dv = <v>a A.9)
"a
"a
и среднюю энергию или температуру. При тепловом равновесии,
когда функция распределения максвелловская, средняя кинети-
кинетическая энергия, приходящаяся на одну частицу m<Cv2^>/2, просто
связана с температурой, и в той системе координат, где V = 0,
имеет место соотношение m<^v2^>/2 = у Т. Если газ не нахо-
находится в состоянии теплового равновесия, то мы будем по-преж-
по-прежнему называть его температурой величину m<Cf2>/3 в системе
185

координат, где V = 0. Определенная таким образом температура
является функцией t, r, как и остальные локальные макрохарак-
макрохарактеристики газа
-^f-<(v-VaK>. A.10)
Макроскопические параметры па, Va, Ta в неравновесном состоя-
состоянии вообще различны для частиц разных сортов. Иногда, кроме
этих параметров, имеющих простой физический смысл, бывает
удобно пользоваться и другими, более сложными.
Уравнения для макроскопических параметров, называемые
уравнениями переноса, можно получить из кинетического урав-
уравнения. Умножим уравнение A. 1) на 1, та\', mav2/2 и проинтегри-
проинтегрируем по скоростям. В результате, учитывая тождество A. 4),
получим:
5 V) = 0; A.11)
\ A.12)
A.13)
Здесь и далее индекс а в целях упрощения опускается. Угло-
Угловые скобки означают усреднение по функции распределения
скоростей.
При интегрировании первых двух членов в уравнении A.1)
меняется порядок интегрирования по скоростям с дифференциро-
дифференцированием по времени и координатам; в третьем члене про-
производится интегрирование по частям и учитывается, что функция
распределения быстро стремится к нулю при v ->¦ оо. Уравне-
Уравнение A. 11), выражающее закон сохранения частиц, называют урав-
уравнением переноса частиц или уравнением непрерывности. Если
частицы могут образовываться или уничтожаться, то условие A. 4)
неверно, и в правой части уравнения A. 11) вместо нуля должна
стоять соответствующая интенсивность источников частиц.
Уравнения A. 12) и A. 13) удобно преобразовать следующим
образом. Разделим скорость на две составляющие — среднюю V
186

и хаотическую v' = v — V. Очевидно, что <v'> = 0. Второй
член уравнения A. 12) преобразуем так:
, так как <v'a> = <v'^> = 0.
Выражая dn/dt с помощью уравнения непрерывности, можно
привести уравнение A. 12) к виду:
где введены следующие обозначения:
р
— это так называемая субстанциальная производная;
р = nm<v'2>/3 = пТ; A. 16)
яар = nm<vav'i - (v'V3) бар>; A. 17)
R = \mv'Cdv. A. 18)
Здесь р — скалярное давление частиц данного сорта. Полный
тензор давления частиц данного сорта равен
¦Pap = \mv'av^ f (t, r, v) d\ ¦=
'' я:аэ- A-19)
Если функция распределения по скоростям (хаотическим) изо-
изотропна, то <v'x2> = о;2> = <v'z2> = -J-
у = °> следовательно Рар = рбар. Тензор яаЭ
представляет собой ту часть Рар, которая связана с отклонением
распределения от сферической симметрии. Мы будем называть яар
тензором вязких напряжений для газа частиц данного сорта.
Как и Pag, этот тензор симметричен этар = яра.
Величина R дает среднее изменение импульса частиц рас-
рассматриваемого сорта вследствие столкновений со всеми осталь-
остальными частицами.
Уравнение A. 14) называют уравнением переноса импульса
или просто уравнением движения. Оно представляет собой обоб-
обобщение соответствующего уравнения газодинамики.
Производя аналогичные преобразования в уравнении A. 13),
<тг уе> = 4-VW* + v« <VA> + -т <v'2> fp +
187

можно привести это уравнение к виду
+ Ы-Уа) + %} - en EV + RV + Q. A. 20)
Здесь введены обозначения:
q = J ~ v'\f (t, r, v) dw = run <^ v) ; A.21)
^fcdv. A.22)
Вектор q есть плотность потока тепла, переносимого частицами
данного сорта. Он выражает собой перенос энергии хаотического
движения в системе координат, где газ частиц этого сорта неподви-
неподвижен в данной точке пространства.
Величина Q дает выделение тепла в газе частиц данного сорта
вследствие столкновений с остальными частицами.
Уравнение A. 20) называют уравнением переноса энергии.
Первый член в уравнении A. 20) представляет изменение полной
энергии частиц данного сорта — кинетической nmV2/2 и внутрен-
ней ~y пТ (на единицу объема). Член в фигурных скобках пред-
представляет полный поток энергии, который складывается из макро-
макроскопического переноса полной энергии со скоростью V, из микро-
микропереноса энергии, т. е. потока тепла q, и из работы сил давления,
равной
Члены правой части уравнения учитывают работу остальных сил
и выделение тепла.
Иногда бывает удобно исключить из уравнения A. 20) изме-
изменение кинетической энергии с помощью уравнений непрерывности
и движения. Тогда получается уравнение переноса внутренней
энергии или уравнение баланса тепла:
-|- Ц~ + div D- nTV) + пТ div V +
^ Q. A.23)
Согласно уравнению непрерывности A. 11), здесь можно также
написать
3 дпТ , ,. / 3 „,г\ 3 dT
2 dt
188

Пользуясь уравнением непрерывности A. 11) и вводя величину
s = In (ТУЧп) = In (p3/2/rt5/2),
Тп w - т {ilr +div("sV)} = -divч - Я«Р ^ + Q- с• 23')
уравнение A. 23) можно переписать в виде
{il }
Величина s с точностью до несущественной постоянной есть
энтропия, приходящаяся на одну частицу.
Пусть Rab — изменение импульса, Qab — выделение тепла
в газе частиц а вследствие столкновений с частицами Ь. Тогда
Ro = S Ra6> Qa — 2 Qab- Пользуясь законами сохранения
ь ь
A. 4)—A. 6) частиц, импульса и энергии при столкновениях,
легко получить
°*а — Rab\ Qab ~г Qba == Raft Va — Rfta^e —
--Rej^-Vj). A.24)
Для того чтобы уравнениями A. 11), A. 14) и A. 23) можно
было фактически пользоваться для нахождения параметров п,
V, Т, необходимо сначала каким-то образом установить связь
величин я„р, q, R, Q с параметрами п, V, Т. Эту связь можно
найти или феноменологически, или методами кинетики. Во втором
случае надо путем приближенного решения кинетических урав-
уравнений выразить функцию распределения в данной точке через п,
V, 7\ а затем подставить это выражение в A. 17), A. 18), A. 21),
A. 22) и получить выражение для величин яаВ, q, R, ()вэтой точке.
Такое приближенное локальное решение кинетического уравнения
в принципе возможно в том практически важном случае, когда
выполнены определенные условия макроскопичности плазмы.
Эти условия заключаются в малости всех градиентов и в медлен-
медленном изменении всех величин во времени. Возможность локального
решения связана с наличием процесса релаксации, вследствие
которого любая функция распределения благодаря столкнове-
столкновениям стремится принять максвелловскую форму. Максвеллов-
ское распределение представляет собой решение кинетического
уравнения в случае, когда градиенты и производные по времени
точно равны нулю. Если же они не равны нулю, но достаточно
малы, то функция распределения отличается от максвелловской,
но это отличие пропорционально малым градиентам и тоже неве-
невелико. Таким образом, если мы интересуемся изменениями, про-
происходящими за промежутки времени, гораздо большие, чем интер-
интервал между столкновениями, и все величины в плазме мало изме-
189

няются на таких расстояниях, которые могут пройти частицы
между двумя столкновениями, то можно рассматривать лишь
решения кинетического уравнения, близкие к локально-максвел-
ловскому распределению, т. е. можно искать решение в виде
fa(t, r, v) = /• + fl = „Уг> Г*^1**""'r>f + /', A. 25)
где | fa I < /°. Поправку fa можно приближенно найти как малое
возмущение основной части функции распределения /". Эта
поправка пропорциональна тем факторам, которые нарушают
максвелловское распределение, — градиентам, электрическим
полям и т. д. Максвелловская функция и ее производные одно-
однозначно определяются параметрами п, V, Т и их производными,
поэтому через эти же величины выражается поправка Z1 и, в конеч-
конечном счете, величины яар, q, R, Q. Эти величины, таким образом,
пропорциональны тем факторам, которые создают отклонение
от равновесия. Соответствующие коэффициенты пропорциональ-
пропорциональности (например, коэффициенты трения между частицами разных
сортов, коэффициенты теплопроводности и вязкости и т. д.) назы-
называют коэффициентами переноса. Их определение и составляет
основную цель кинетической теории.
Указанную программу удается провести до конца лишь для
полностью ионизованной плазмы с одним сортом ионов.
Мы будем далее называть ее простой плазмой и уделим ей
в последующем изложении основное внимание.
Коэффициенты переноса для простой плазмы приведены
в § 2 и 4. Эти коэффициенты интерпретируются качественно
на основе наглядных представлений и определяются по порядку
величины в § 3, а количественное вычисление их из кинетического
уравнения производится в § 4. Применение уравнений переноса
к плазме с сильным магнитным полем часто приводит к различным
парадоксам, которые в свое время вызывали различные неясности
и недоумения. Некоторые из таких парадоксов рассматриваются
в § 5. Приведение систем уравнений переноса для частиц раз-
различных сортов к уравнениям, описывающим модель плазмы
в виде одного сложного газа, производится в § б для полностью
ионизованной плазмы и в § 7 для частично ионизованной плазмы.
Такая магнитогидродинамическая модель плазмы часто приме-
применяется практически, причем иногда она может быть обоснована
с помощью кинетического уравнения и уравнений переноса,
иногда же используется по соображениям простоты. Изложение
далее построено так, чтобы отдельные параграфы были по возмож-
возможности независимы. Так § 4 и 5 могут быть опущены без ущерба
для понимания остального текста.
190

§ 2. Уравнения переноса простой плазмы
(сводка результатов)
В этом параграфе приводится для справок система уравнений
переноса для полностью ионизованной плазмы, состоящей из элек-
электронов и одного сорта ионов с зарядом Ze. Коэффициенты переноса
для полностью ионизованной плазмы вычислялись многими авто-
авторами. Метод получения уравнений переноса из кинетических
уравнений подробно изложен в монографии Чепмена и Кау-
линга 11 ]. В той же работе получены выражения для потока тепла
и тензора вязких напряжений для однокомпонентного ионизо-
ионизованного газа в магнитном поле, а также выражение для электро-
электропроводности плазмы в магнитном поле. Коэффициенты переноса
для полностью ионизованной плазмы вычислялись также в рабо
тах [12—22] и в ряде других. Коэффициенты переноса получа-
получались разными методами и в разной форме, но во всех работах они
найдены для случая, когда локальная функция распределения
мало отличается от максвелловской. Здесь приводятся резуль-
результаты, а в § 4 их вывод, в форме, соответствующей работе [17].
До настоящего времени ни один из коэффициентов переноса
простой плазмы, кроме электропроводности, не был определен
экспериментально.
Система уравнений переноса простой плазмы содержит урав-
уравнения непрерывности, движения и теплового баланса для электро-
электронов и для ионов
| B. 1е)
B. li)
*„; B. 2е)
B-Зе)
где
Ре = neTe; p, = tiiTt;
1 = 1 + (V.V); -|=1 + (V,V). B. 4)
В выражениях для коэффициентов переноса далее используется
условие квазинейтральности плазмы и обозначается п — пе =
= Хщ. Используется также малость отношения m/m,-.
191

Электронные и ионные «времена между столкновениями»
(в секундах) берутся в виде *:
_ ^
_ . . . 3,0-10e / mi \i/2
B.5е)
(Vio)
где mp — масса протона, К — кулоновский логарифм [6]
(при Те < БОэв к = 23,4 — 1,15 lg n + 3,45 lg Te;
при Те > 50зе К = 25,3 — 1,15 lg п + 2,3 lg Te).
Циклотронные частоты (сек) электронов и ионов равны:
со, = — = 1,76-107В; B. бе)
е тес ' ' к '
<о<=--^- = 0,96-104 -Ц-. B. 61)
' тгс mi/nip x '
Коэффициенты переноса в магнитном поле зависят от сот.
В этом параграфе приводятся только предельные выражения
для больших значений ыехе и co/t,-. Из них легко получить также
выражения для случая В = 0, учитывая, что приведенные здесь
коэффициенты переноса вдоль магнитного поля равны коэффи-
коэффициентам переноса без поля. Выражения для произвольных сот
приведены в § 4.
Значки II и J_ у векторов означают, что берется компонента
вектора, соответственно параллельная и перпендикулярная
к магнитному полю, например иц = h(uh), их = [htuh]],
где h = В/В — единичный вектор вдоль магнитного поля.
Передача импульса путем столкновений от ионов к электронам
R = Ru + Rr складывается из двух частей: силы трения Ru,
обусловленной наличием относительной скорости u= Ve—V,-,
и термосилы Rr, возникающей благодаря градиенту температуры
электронов. Из двух аналогичных частей складывается и электрон-
электронный поток тепла: qe = q« + (\еТ. Относительная скорость электро-
электронов и ионов просто связана с плотностью тока, а именно j = —епи.
При больших (йсхе формулы § 4 дают при Z = 1 следующие
выражения для передачи импульса путем столкновений и для
потоков тепла электронов.
Сила трения:
* Во всех «практических» формулах здесь и далее температура выражается
в электронвольтах, магнитное поле — в гауссах, а все остальные величины —•
в единицах CG S.
192

где коэффициенты электропроводности равны
__ гз/2.
где
Термосила:
а и = 1,96а.,. = l,96aiTf,
0,9-1013 _,/9
, Г,
B.7)
B.8)
B.9)
Электронные потоки тепла:
qe =0,7lnT и„ -f-3--^!
М« ' е е || I 2 СОЛ
_ ve V Т
где коэффициенты теплопроводности равны:
t = 3,16 ПеТеХе ;
Xе. =т 4,66
яЛ\,
B.
B.
B-
B.
10)
И)
12)
13)
Если Z ф I, то коэффициенты в этих выражениях следует
заменить согласно табл. 1.
Таблица 1
1
2
3
4
ею
B.8)
0,51
0,44
0,40
0,38
0,29
B.
0,71
0,9
1,0
1.1
1,5
Номера
9) и B. 10)
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
формул
B. 11)
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
B. 12)
3,16
4,9
6,1
6,9
12,5
B. 13)
4,66
4,0
3,7
3,6
3,2
Поток тепла ионов при оуг(- > 1 равен:
, п.Т.
4 =2—Ч-
B. 14)
B. 15)
B. 16)
13 Вопросы теории плазмы
193

Тепло, получаемое ионами при столкновениях с электронами:
л — л. — Ше Пе (т т\ со 17л
Тепло, выделяющееся в электронах вследствие столкновений
с ионами,
Л
+ ¦
Тензор вязких напряжений без магнитного поля:
где тензор, скорости сдвигов
Xfi
дха
B. 19)
B. 20)
В сильном магнитном поле (сот > 1) компоненты тензора itap
имеют следующий вид в системе координат с осью г, параллельной
магнитному полю:
"¦уг =
B.21)
Выражения B. 21) годятся и для ионов, и для электронов,
но для каждого сорта частиц надо, конечно, подставить свой
тензор №ар и свои коэффициенты вязкости.
Коэффициенты вязкости для ионов:
I —
3 -
п.Т.
10 Ю2Т
1 л.Г.
Коэффициенты вязкости для электронов при Z = 1:
% = С
t.J = 0,51
= 0,73пеТхе;
B. 22)
B. 23)
B. 24)
B. 25)
B. 26)
194

¦пе — i ПеТе ¦ r.e - Опе С? 971
'з - 2 ш,_
Выделение тепла вследствие вязкости:
dVa 1
или, пренебрегая членами порядка (шт),
Л) — тг _ ^_ — г» tv/2 — 1°
j W2Z з \^^Г df дг
Выражение для яа^ в произвольной системе координат при-
приведено в § 4.
§ 3. Киретика простой плазмы
(качественное рассмотрение)
Движение и столкновение частиц. Приведенные в § 2 выра-
выражения для коэффициентов переноса можно пояснить с помощью
наглядных представлений, основанных на картине движения
отдельных частиц и свойствах кулоновских столкновений.
Без магнитного поля свободное движение частиц происходит
по прямым линиям с постоянной скоростью. Столкновения искрив-
искривляют траектории частиц и изменяют величину их скорости.
Результирующее движение можно грубо представить как движение
по ломаной линии, состоящей из хаотически направленных отрез-
отрезков длиной порядка / = vt, где v ~ BT//ra)*/« — характерная
величина тепловой скорости, т — характерный интервал времени
между столкновениями, изменяющими направление движения.
В магнитном поле заряженная частица движется без столкно-
столкновений по винтовой линии с радиусом порядка г = mvc/eB, нави-
навивающейся на магнитную силовую линию. Столкновения нарушают
это правильное движение, и можно представить, что через
время —х частица каждый раз начинает описывать новую винто-
винтовую линию, не являющуюся продолжением предыдущей. При этом
следует различать два предельных случая. В слабом магнитном
поле г > /, или, что то же самое, <ох <^ 1 (ш = еВ/тс —¦ цикло-
циклотронная частота). В сильном поле г <? I, uyt > 1. В слабом поле
части винтовых линий, проходимые частицей между столкнове-
столкновениями, мало отличаются от отрезков прямых линий. В сильном
поле частица между столкновениями успевает описать много
витков. При сот > 1 магнитное поле сильно влияет на переносы
в поперечном направлении, тогда как вдоль поля частицы дви-
двигаются свободно, проходя между столкновениями расстояние ~/,
как и при В = 0, поэтому на продольные потоки магнитное поле
не влияет. Таким образом, для продольных потоков и для потоков
в произвольном направлении при 5=0 получаются одинаковые
коэффициенты переноса,
13* 195

Следует иметь в виду, что кулоновские столкновения
не являются истинными, т. е. мгновенными столкновениями,
так как из-за дальнодействия кулоновских сил стохастическое
взаимодействие между заряженными частицами происходит непре-
непрерывно и вызывает непрерывную же хаотизацию скоростей частиц.
Но это сказывается лишь на конкретном виде столкновительного
члена, а для качественной характеристики явления несущественно.
Надо только в качестве характерных интервалов между столкно-
столкновениями брать такие времена, за которые накапливаются изме-
изменения в направлении скорости на угол порядка единицы.
Для количественного рассмотрения кулоновских столкнове-
столкновений надо пользоваться соответствующим выражением для столк-
столкновительного члена (см. § 4). Грубо можно представлять, что куло-
кулоновские столкновения обладают эффективным сечением рассея-
рассеяния, примерно на порядок превосходящим величину я (е^/еJ,
где е-у, е2 — заряды сталкивающихся частиц, е — энергия их отно-
относительного движения, ехе^ъ — расстояние минимального сближе-
сближения частиц. Таким образом, свободный пробег при кулоновских
столкновениях пропорционален квадрату энергии частиц или
квадрату температуры.
Далее, как и в § 2, мы будем пользоваться двумя характер-
характерными временами: хе — временем рассеяния электронов на ионах
и xt — временем рассеяния ионов на ионах. Первое из них зави-
зависит только от температуры электронов, так как электроны имеют
гораздо большие скорости, и при столкновениях электронов
с ионами относительная скорость определяется именно электро-
электроном. Второе время зависит от температуры ионов. Все остальные
времена удобно выражать через хе и xt.
Характерной чертой полностью ионизованной плазмы является
очень малая величина отношения масс составляющих ее компо-
компонент — электронов и ионов. Вследствие этого (как внутри элек-
электронного газа, так и внутри ионного) частицы обмениваются
энергией между собой за времена, гораздо более короткие, чем
время обмена энергией между электронами и ионами. Пусть время
обмена энергией между электронами —хее, время обмена энергией
между ионами ~хи, а время обмена энергией между электронами
и ионами —хееГ Тогда, если температуры электронов и ионов
одного порядка,
Действительно, свободный пробег определяется энергией частиц,
поэтому он для ионов и электронов имеет один и тот же порядок
величины. Скорости же у ионов в (mjm^i* раз меньше, чем у элек-
электронов, поэтому хп ~ (m/me)'/2tee. При столкновениях электро-
электронов с_ионами относительная скорость имеет тот же порядок вели-
величины, что и при столкновениях между электронами, поэтому
электроны с электронами сталкиваются примерно так же часто,
как и с ионами. Существенный обмен энергией между одинаковыми
196

частицами происходит за одно столкновение, поэтому хее — хе,
хи ~ xi- При столкновениях легкой частицы с тяжелой пере-
передается лишь малая доля энергии — порядка отношения их масс,
поэтому
Хе1 ~ (тМе) Хе ~ ИМ) Хе,
"ее-
Если, как это часто бывает, температура ионов меньше тем-
температуры электронов, то пробег ионов меньше и хи уменьшается.
Оба других времени при этом не меняются, так что по-прежнему
хее С х% и хц < хее(. Если температура ионов больше темпера-
температуры электронов, то хи возрастает, однако условие хи <^ xsel
все же выполняется при Tt/Te <С (mt/me)^:
Таким образом, локальное тепловое равновесие (максвеллов-
ское распределение) внутри каждой из компонент простой плазмы
устанавливается быстрее, чем между компонентами. Именно
это обстоятельство и позволяет получить уравнения переноса
с различными температурами электронов и ионов. Передача
импульса ионов электронам происходит за то же время —хгн,
что и передача энергии, поэтому она тоже мала по сравнению
с обменом импульсом между ионами. Таким образом, на вид
ионной функции распределения столкновения с электронами
вообще влияют слабо. Передача импульса от электронов к ионам
и обмен импульсом между электронами происходят за времена
одного порядка хе — хее, поэтому на вид электронной функции
распределения столкновения с ионами влияют существенно.
Сила трения Ru. При столкновениях электронов с ионами,
которые в среднем неподвижны (Vt = 0), скорости электронов,
почти не меняясь по величине, хаотически изменяют свое направ-
направление. Таким образом, за время —хе электроны теряют свою
упорядоченную' скорость ц = Уе — V; относительно ионов, сле-
следовательно, они теряют (а ионы приобретают) импульс теи
на каждый электрон. Это значит, что на электроны действует сила
трения порядка — (menjxe) u; равная ей, но противоположно
направленная сила, действует на ионы. Заметим, что величина хе,
определяемая формулой B. 5е), выбрана именно так, чтобы выра-
выражение для силы трения R0, возникающей от взаимодействия
электронов с максвелловским распределением, сдвинутым как
целое относительно ионов на величину и, имело простой вид:
R0 = — (menJxe) u без числовых коэффициентов.
В действительности, если под действием какой-нибудь силы,
например электрического поля, у электронов возникает скорость и,
направленная вдоль В (или при В = 0), то функция распределения
электронов не является просто сдвинутым как целое на и максвел-
максвелловским распределением. Это объясняется тем, что частота куло-
новских столкновений уменьшается с ростом энергии электронов
(т ~ Vs), поэтому более быстрые электроны под действием той же
силы сильнее сдвигаются относительно ионов, чем медленные.
197

В результате функция распределения искажается так, что в созда-
создании средней скорости и, т. е. в переносе электрического тока,
относительно большую роль играют быстрые электроны, поэтому
и общий коэффициент трения получается меньше, чем для сдви-
сдвинутого максвелловского распределения. Если бы столкновения
электронов между собой, стремящиеся установить максвелловское
распределение, происходили гораздо чаще, чем столкновения
электронов с ионами, то этот эффект отсутствовал бы. В действи-
действительности же хее ~ хе, поэтому получается «эффект порядка еди-
единицы», т. е. искажение максвелловского распределения того же
порядка величины, что и его сдвиг. Например, при Z = 1 умень-
уменьшение коэффициента трения дается множителем 0,51. При боль-
больших Z, когда относительная роль электрон-ионных столкновений
возрастает по сравнению с электрон-электронными столкнове-
столкновениями, коэффициент трения уменьшается еще сильнее (см. табл. 1).
При движении электронов относительно ионов поперек силь-
сильного магнитного поля (u = Uj.) поправка к сдвинутому максвел-
ловскому распределению имеет порядок (ш^), и при шехе > 1
ею можно пренебречь, поэтому поперечная сила трения равна
просто Rx = —(тепе/хе) и±. Таким образом, в сильном магнит-
магнитном поле коэффициент трения между электронами и ионами для
продольного тока меньше, чем для поперечного, т. е. продольная
электропроводность Оц больше поперечной а х- При Z = 1 полу-
получается а и -zz 2сгх *.
Термосила Rj-. Пусть электроны и ионы в среднем покоятся
(Ve = Vt = 0), так что через любое сечение, скажем х = х0,
слева направо и справа налево в единицу времени проходит в точ-
точности одинаковое количество электронов. Каждый из этих взаимно
компенсирующихся потоков по порядку величины равен neve.
В результате столкновений электронов с ионами эти потоки испы-
испытывают силы трения R+ и R_ порядка tnetievjre, причем в случае
полной однородности эти силы трения точно компенсируются,
и результирующей силы не возникает. Столкновения электронов
с ионами могут, однако, создавать результирующую силу, если
распределение скоростей электронов, приходящих справа, иное,
чем приходящих слева, так что силы R+ и R_ не уравновеши-
уравновешиваются. Если, например, справа приходят электроны с большей
в среднем энергией, чем слева, то сила, действующая на быстрые
«правые» электроны, будет меньше, чем на более медленные «левые»
электроны (так как х ~ v3), и в результате возникает сила, направ-
направленная налево.
Пусть имеется градиент температуры вдоль оси х (рис. 1)
и магнитное поле отсутствует (или направлено параллельно V71).
Тогда в точке х = х0 будут испытывать столкновения электроны,
пришедшие справа и слева в среднем с расстояний порядка свобод-
свободного пробега /— v х, т. е. справа будут приходить электроны
* Наличие убегающих электронов увеличивает о«
198

из областей, где температура на величину ~ldTJdx больше, чем
в областях, откуда приходят электроны слева. В результате
неуравновешенная часть сил R+ и R_ будет иметь порядок вели-
величины
I dTe meneve
дТе
^\
y^ 1
1
m— t ~*"
let*)
7Te
Рис." 1.
и будет направлена налево,
т. е. против градиента темпе-
температуры [знак минус в формуле
B. 9)]. Как и в случае с про-
продольной силой трения Ra (и по
той же причине), величина этого
эффекта возрастает с ростом Z
(см. табл. 1). Следует подчерк-
подчеркнуть, что термосила возникает
именно вследствие столкновений
и ее величина и знак определя-
определяются конкретной зависимостью частоты столкновений от скорости
(в данном случае т ~ v3), хотя выражение для термосилы — const
пдТе /дх не содержит величины т в явном виде.
Проведем теперь аналогичные рассуждения для случая, когда
имеется сильное магнитное поле, направленное по оси z, а гра-
градиент температуры по-прежнему направлен по оси х (рис. 2).
В сильном магнитном поле
(шете ^ 1) электроны вра-
вращаются по кружкам радиуса
re ~ ujmg, так что в точку
х = х0 приходят электроны
й I т | | .- л справа и слева с расстояний
2 V ЛТ / порядка ге. Эти электроны
«приносят с собой» разность
л~л° температур порядка redTJdx
Рис. 2. и вызывают, как видно из
рис. 2, некомпенсацию сил
трения у потоков, направленных по оси у; потоки же вдоль оси х
образуются в точке х — х0 электронами, приходящими в среднем
из областей с х = х0, поэтому у них силы трения компенсируются.
В результате столкновений с ионами возникает, таким образом,
термосила, направленная перпендикулярно к В и ?Те, т. е. по оси
у, и равная по порядку величины
в
©
ге дТе tnetleVe
~Те~дх тГ~
дТе
дх
Легко проверить, что и знак термосилы (минус) как раз такой,
как в формуле B. 9).
199

Заметим, чтб аналогичный эффект влийнйй магнитного пбля
на термосилу давно известен для металлов и называется эффектом
Нернста [19].
Электронный поток тепла q*. С наличием термосилы тесно
связано присутствие в выражении для электронного потока
тепла членов, пропорциональных относительной скорости и.
Исходя из принципов термодинамики необратимых процессов (так
называемый принцип симметрии кинетических коэффициентов
или принцип Онзагера), можно показать, что, зная члены в выра-
выражении для силы трения,
| ц пропорциональные VTe,
I — можно найти члены в выра-
жении потока тепла, про-
Замедление порциональные и. Это
сделано в § 4. Качествен-
ный же смысл этих членов
"~х следующий. Как уже было
о-
показано, из-за того, что
х — Vs, ток вдоль магнит-
Уск°Рение ного поля (или без магнит-
Рис 3. ного поля) переносится
в большей мере относи-
относительно более быстрыми электронами. Поэтому в системе коор-
координат, где Ve = 0, в направлении и летит больше быстрых
электронов, а в направлении —и — больше медленных. И хотя
в этой системе потоки электронов компенсируются, потоки энер-
энергии не компенсируются и возникает тепловой поток в направле-
направлении и. Из соображений, изложенных при рассмотрении силы
трения, ясно, что это «эффект порядка единицы», поэтому соот-
соответствующий поток тепла имеет порядок величины —пеТеи.
Он, как и продольная термосила, связан со столкновениями,
хотя его выражение не содержит х явно.
Если ток течет поперек сильного магнитного поля и = и_ь
то тоже возникает поток тепла, но по другой причине. Сила,
уравновешивающая трение электронов об ионы, в течение одного
полупериода вращения электрона ускоряет его, а в течение дру-
другого полупериода — замедляет (рис. 3). Поэтому площадку,
лежащую в плоскости векторов и и В, пересекают, с одной стороны,
ускоренные электроны, а с другой — замедленные. Разность
их энергий имеет порядок величины (гпеи/хе) ге. В результате,
цапример при и — их, В = Вг, возникает поток тепла
2
ve neTe
ЧУ Хе е е е Хе Ые е (йеТе х
Газокинетические оценки. Прежде чем рассматривать осталь-
остальные эффекты, напомним известные из элементарной кинетической
теории газов простые оценки, дающие порядок величины коэф-
коэффициентов диффузии, теплопроводности и вязкости газов. Суще-
?00

ствует близкая аналогия между этими процессами, в которых
происходит перенос соответственно вещества, энергии и импульса.
Рассмотрим сначала диффузию. Диффузия происходит в опре-
определенной среде, которую будем считать неподвижной и не подвер-
подверженной влиянию самих диффундирующих частиц.
Пусть плотность этих частиц есть п (х) (рис. 4) и пусть каждая
частица за время х между двумя столкновениями смещается
с равной вероятностью вправо или влево на расстояние Ах. Через
плоскость х = х0 в положительном направлении (слева) пройдет
в единицу времени половина
тех частиц, которые испыты-
испытывают столкновения в слое от
х0 — Ал: до х0, другая полови-
половина пойдет после столкновения
налево. Считая, что п (х) мало
меняется на расстоянии Ах,
так что
п{х) = п (х0) +
ЁИ
— х0),
Рис. 4.
получим, что этот односторонний поток слева равен
If l/\j 1 Г , ,
= Т 1 7 " <*> dx = Т [п W
хо—Ах
дп Ах~\ Ах
Диффузионный поток возникает из-за отсутствия баланса левого
и правого потоков i = /+ — /_; он равен
2т дх
дп т\ дп
-^ = —D -зг.
2т
C.1)
Если Ал: и т непостоянны, то для оценки коэффициента диффузии
можно пользоваться формулой C. 1), подставляя в нее характер-
характерные значения Ал: и х *.
Потоки тепла и импульса оцениваются аналогично.
Пусть потока частиц нет. Односторонний поток тепла, например
слева направо, имеет порядок д+ — (Ах/х) пТ. Из-за наличия
градиента температуры относительная доля порядка ~f"-Q^
обоих односторонних потоков не компенсируется, и возникает
* Заметим, что если различные частицы имеют разные Ах и т, например Дх
и т зависят от скорости, то формула C. 1) применима для частиц с одной опре-
определенной скоростью и для получения полного потока надо просуммировать
(проинтегрировать) потоки частиц всех скоростей
201

поток тепла q, равный
дТ п(АхJ „ /о _.
q = — *^; -л ^-~«D. C.2)
Если скорость Vy меняется по х, то точно так же возникает
поток пух у-го импульса вдоль оси х из-за аналогичного отсут-
отсутствия баланса односторонних потоков импульса, каждый из кото-
которых имеет порядок (Ах/х) nmVу:
dVv mn (AxJ
яу* = ~^~дГ- ^ х ~mnD- C.3)
Выражения C. 2) и C. 3) дают связь коэффициентов тепло"
проводности к и вязкости г] с коэффициентом диффузии.
Заметим, что если частицы между столкновениями двигаются
свободно, то Ах — / "-' vт и формула C. 1) дает обычное выраже-
выражение D — lv, которое приводится в учебниках при изложении
элементарной кинетической теории газов. Однако формула C. 1)
является более общей, чем D — lv, так как оценка D — (АхJ/х
годится и в тех случаях, когда смещение частиц между столкно-
столкновениями не равно их свободному пробегу. То же самое относится
и к формулам C. 2) и C. 3), которые поэтому можно использовать
для оценки коэффициентов переноса при наличии магнитного
поля.
Теплопроводность. Коэффициенты теплопроводности, входя-
входящие в выражения для потоков тепла электронов и ионов в направ-
направлениях, параллельном и перпендикулярном к магнитному полю,
легко оценить по порядку величины, пользуясь газокинетической
формулой C. 2). Надо только учитывать, что поперек сильного
магнитного поля (а>т > 1) частица смещается между столкнове-
столкновениями на расстояние порядка своего ларморова радиуса, а не сво-
свободного пробега (Ах)х ~ г ~ v/щ, так что х± ~ nr2/x ~пТ/тш2х,
тогда как вдоль поля частицы двигаются свободно (Ах) ц ~ / ~ vx,
поэтому хц —пР/х ~ пТх/т. Таким образом, хц/хх ~ (сотJ.
Эти оценки справедливы и для ионов и для электронов, поэтому
здесь опущены индексы /, е, надо лишь подставлять в них скорости,
температуры и т. д., соответствующие частицам каждого сорта.
где угловые скобки означают усреднение по частицам в точке х0. Если, напри-
например, Ах= vxx; x= const, то
(Да:J- v\x*; < V2X> = —;
^ 2 ^ 1 х дпТ х др
Если же X зависит от v, то в потоке, кроме члена, пропорционального \/р, появ-
появляется еще член, пропорциональный у Т. Это явление называется термодиффу-
термодиффузией. При движении в среде частицы испытывают силу трения порядка — mi/x.
Из выражения C. 1) видно, что диффузию частиц можно рассматривать как
движение с трением под действием силы — ур. Термодиффузию можно рас-
рассматривать как движение с трением под действием соответствующей термосилы.
202

Отметим, что при Те ~ Тi вдоль поля теплопроводность электро-
электронов больше, чем ионов: к\1к\ — (т/теУ/2> а поперек поля,
наоборот, больше ионная теплопроводность: ке±/х,1± — {mJm^lK
Выражения B. 11) и B. 14) содержат также «косые» потоки
тепла, перпендикулярные и к В, и к V71. Эти потоки возникают
из-за того, что через площадку, лежащую в плоскости В, WT
(рис. 5), проходят с одной стороны более быстрые в среднем
частицы, чем с другой, так что если односторонние потоки
частиц ~/ги компенсируются, то у односторонних потоков энергии,
имеющих порядок nTv, остается нескомпенсированной доля
порядка (г/Т) дТ/дх. В результате возникает поток тепла
дТ спТ дТ
У ионов и электронов эти по-
потоки имеют противоположные
знаки. Эти косые потоки пере-
переносят тепло вдоль изотерм и по-
поэтому не приводят непосред-
непосредственно к охлаждению плазмы
и к увеличению энтропии. ис' '
Вязкость. Более сложный характер имеет вязкость" плазмы
в магнитном поле, так как она определяется тензорными величи-
величинами. Выражения для тензора вязких напряжений (давлений)
при cot > 1 приведены в § 2, а для произвольных cot — в § 4.
Из этих выражений видно, прежде всего, что и без магнитного
поля и с полем вязкие напряжения зависят не просто от производ-
производных скорости dVJdx§, а от некоторой их комбинации Wafi, назы-
называемой тензором скорости сдвигов
Этот тензор, как легко убедиться, обращается в нуль, если плазма
вращается как целое, V = [Qr], или испытывает равномерное
всестороннее сжатие, V = const г, т. е. когда элементы объема
плазмы не деформируются. Тензор Wa$, как и лар, симметричен
и имеет равный нулю след: Waa = 0.
Если магнитное поле отсутствует, то связь ла$ и Wa$ имеет
очевидный простой вид: лцр = — т] 0 Wa$. Величину коэффициента
вязкости "можно оценить по обычной газокинетической фор-
формуле C. 3), подставляя туда Ах — I — vx, что приводит к ti0—пТх.
При наличии магнитного поля существенно по-разному про-
происходит перенос импульса вдоль магнитного поля и поперек,
причем существенно также направление самого переносимого
импульса. Связь я„р с Wa$ при этом сильно усложняется и содер-
содержит уже пять независимых коэффициентов вязкости. Симметрич-
Симметричный тензор со следом, равным нулю, имеет пять независимых
203

составляющих, поэтому Самый общий виД линейной однородной
зависимости содержит именно пять независимых коэффициентов
пропорциональности.
Рассмотрим несколько простых частных случаев возникнове-
возникновения вязкости плазмы в сильном магнитном поле cot > 1. При
этом всегда будем считать, что магнитное поле направлено по оси z.
Если скорость тоже направлена по оси z и имеет производную
в этом же направлении, то возникает поток импульса того же
порядка, что и без поля: ягг ~ —r\odVJdz и вязкая сила, равная
ю д dV,
bz = -3— г|0 -j-5, так как продольный импульс переносится вдоль
магнитного поля свободно.
Пусть теперь скорость Уг изменяется в перпендикулярном
к полю направлении, скажем по оси х. Перенос импульса будет
происходить при этом поперек поля. Поэтому, оценивая коэф-
коэффициент вязкости по формуле C. 3), надо подставить Ах ~ г,
что дает поток импульса и силу вязкости, равные:
_ ??i- F L ?Х±
г* '^"' I-1- дх ' г дх '¦'• дх '
где
Аналогичное уменьшение коэффициента вязкости в (сотJ раз
получается и в случае, когда вдоль оси х изменяется поперечная
составляющая скорости Vy. Тогда
dVy д dVy
лху П±~^-> ^ — Ж-1-^-
Перенос поперечного импульса ослабляется магнитным полем,
даже если этот перенос происходит вдоль поля. Если, например,
Vx изменяется по z, т. е. dVJdz ф 0, то тензор скорости сдви-
сдвигов й^ар получается таким же, как и при dVJdx ф 0, так что
и яар будет таким же: яхг — —\\xdVx/dz. Можно сказать, что
вследствие вращения частица как бы «забывает» о своей попереч-
поперечной упорядоченной скорости через время ~(о~\ за которое она
успевает сместиться лишь на расстояние порядка своего лармо-
рова радиуса.
Тензор вязких напряжений, как видно из выражений B. 21),
содержит также члены, уменьшенные лишь в шх раз (а не
в (фТJ раз) по сравнению со случаем В = 0. При dVJdx =j= 0,
например, возникают еще потоки и сила вязкости, равные:
пхх — пуу ~ ш qx MT fa > tx дх (О дх '
При dVJdz ф 0 возникают поток и сила:
^, ^ду^^Цо^дУх. р 9 пТ дУк
У* "йГ дг сот дг ' У"" дг со дг '
204

Эти силы направлены перпендикулярно скорости и не приводят
к диссипации энергии. Такие не зависящие от т члены в потоке
импульса аналогичны косым членам —(пТ/тш) [hyT] в потоке
тепла, и мы не будем интерпретировать их здесь более подробно.
Наглядное рассмотрение этих членов можно найти в работе [22].
Рассмотрим, наконец, еще сжатие плазмы поперек сильного
магнитного поля, когда поправки к скалярному давлению воз-
возникают вследствие совершенно иного механизма. Пусть, например,
V = Vx изменяется в направлении х, так что div V = dVJdx =
= —п/п =f= 0. При этом магнитные силовые линии тоже сжи-
сжимаются и магнитное поле растет: В ~ п. В растущем поле частицы
увеличивают энергию своего поперечного движения и посредством
столкновений выравнивают распределение энергии по всем трем
степеням свободы. Это выравнивание не является полным, так как
столкновения происходят не бесконечно часто. В результате попе-
поперечное давление оказывается больше продольного на долю
порядка хВ/В = — xriln и возникают напряжения:
хп SVX dVx
яхх=--Куу—р-п v^; п^-%-^-
Таким образом, при движениях с div V =f= 0 коэффициент вяз-
вязкости в сильном магнитном поле имеет тот же порядок величины,
что и без поля. Процесс установления равновесия — это необра-
необратимый процесс, который, как известно, всегда связан с диссипа-
диссипацией энергии и выделением тепла. В данном случае выделение
тепла равно
п dVa dVx (dvx\2 ( В
Нагрев плазмы, использующий этот процесс, иногда называют
гирорелаксационным нагревом.
В отличие от теплопроводности, которая вдоль поля больше
у электронов, а поперек — у ионов (при co/tj > 1), вязкость ионов
при Те ~ Tt всегда гораздо больше, чем электронов
пге соЛ ' ш2.т? ~ W ) со2т2
ее
Таким образом, вязкость плазмы целиком определяется ио-
ионами.
Заметим еще, что наличие тепловых потоков тоже может при-
приводить к переносу импульса и возникновению вязких напряже-
напряжений, даже и при V = 0. Эти напряжения весьма малы, но в силь-
сильном магнитном поле они могут в принципе становиться одного
порядка с теми из членов в выражениях B. 21), у которых стоит
коэффициент вязкости, уменьшенный в (ютJ раз. По порядку
величины можно оценить эти напряжения, добавив к тензору WaP
аналогичный тензор, составленный из производных вектора
205

(\1пТ. Количественное вычисление этих членов произведено в ра-
работах [16, 22а].
Выделение тепла. Предположим сначала, что масса ионов
бесконечна и ионы в среднем покоятся: Vt = 0. Тогда столкнове-
столкновение электронов с ионами будет происходить без обмена энергией.
Электроны при столкновениях с ионами хаотизируют свои ско-
скорости, поэтому энергия их упорядоченного движения со ско-
скоростью и = \'е — V,- переходит в тепло. Ионы же своей энергии
не меняют. Выделение тепла в электронном газе в этом случае
равно работе полной силы трения электронов об ионы —Ru.
Учтем теперь, что отношение т^/т,,, хотя и велико, но конечно,
и пусть сначала и = 0. Если Те = Tt, то между ионами и электро-
электронами существует тепловое равновесие, и передачи тепла нет.
Если же, например, Те > Г,-, то электроны передают тепло ионам.
Как известно, при столкновении легкой частицы с покоящейся
тяжелой может быть передана доля энергии порядка отношения
их масс m.\lm^ Например, при изотропном рассеянии средняя
передаваемая доля энергии равна 2т1/т2- Таким образом, обмен
энергией в единицу времени между электронами и ионами QA
можно оценить так:
Qne 2те 3 ™ — ,
Вычисление Qa с использованием столкновительного члена было
впервые произведено Ландау [11]. Оно показывает, что при вы-
выборе хе в виде, соответствующем формуле B. 5е), это соотношение
справедливо даже не по порядку величины, а количественно.
Если одновременно и ф 0, Тс — Tt ф 0, то, пренебрегая
долей —imefml от — Ru, которую получают ионы, и поправками
—пгеи2/Те, можно просто сложить оба указанных эффекта, так
что
Qi = Qa ; Qe ~ - Ru — Qa = — Rau — Rru — QA .
Член — Rj-u — это джоулево тепло, которое можно переписать
в более привычном виде
/2 ;2
J a\\ a±
Член — Rru изменяет знак при изменении направления тока или
градиента температуры; он дает обратимое выделение тепла.
Аналогичный эффект в металлах называется эффектом Томсона
[4].'
При высокой температуре в тепловом балансе плазмы могут
играть роль тормозное и магнитное излучения электронов и выде-
выделение тепла при термоядерных реакциях. При этом к Qe, Q,- надо
добавить соответствующие члены.
Условия применимости. Входящие в уравнения переноса «потоки»
q, яар, R, Q определяются в предположении, что процесс релак-
206

сации, стремящийся «максвеллизовать» функцию распределе-
распределения, нарушается слабо, поэтому эти уравнения справедливы
лишь при соблюдении некоторых условий, требующих, чтобы
все средние величины в плазме медленно изменялись во времени
и в пространстве. Функция распределения «максвеллизуется»
за время порядка времени столкновений. Поэтому для примени-
применимости уравнений переноса все величины в плазме должны мало
изменяться за время т между столкновениями и на тех расстояниях,
на которые может сместиться частица за время между двумя столк-
столкновениями. Условие медленности изменения величин со временем
можно записать в виде
Условие медленности пространственных изменений для случая,
когда магнитное поле отсутствует или не очень сильное, т. е.
сот < 1, имеет простой вид:
L » I, C. 5)
где L — характерное расстояние, на котором существенно изме-
изменяются все величины; у ~ !/?• Эти два условия таковы же,
как и условия применимости уравнений обычной газодинамики.
В случае сильных магнитных полей, когда cot > 1, первое
условие остается прежним, а второе усложняется. Движение
частицы поперек магнитного поля ограничено ее ларморовым ради-
радиусом г, который меньше свободного пробега в сот раз. Поэтому
в ряде случаев условия применимости смягчаются и принимают
вид
?±»г; L,,»/, C.6)
где Lx, L||—характерные расстояния в направлениях поперек
и вдоль магнитного поля: уд. — 1Я-л/> Vll — l/^ll- Однако такие
«мягкие» условия годятся лишь для систем, сильно вытянутых
вдоль магнитных силовых линий и обладающих достаточной сим-
симметрией, например, для длинного аксиально-симметричного плаз-
плазменного цилиндра радиуса *— Lxc симметричным магнитным полем
или тора, полученного изгибанием такого цилиндра по очень боль-
большому радиусу R и замыканием его на себя. В неоднородном маг-
магнитном поле частицы, как известно, кроме вращения по лармо-
ларморовым окружностям, совершают еще дрейфовое движение со ско-
скоростью порядка Vc — vr\yBIB\. Этот дрейф тоже приводит
к смещению частиц за время между столкновениями, и если линии
дрейфов различных частиц проходят через области, например,
с разной температурой, то происходит дополнительный перенос
тепла и возникает отклонение функции распределения от максвел-
ловской. Условие L± > г справедливо только при отсутствии
такого «перемешивания». В симметричной системе с малой кривиз-
кривизной силовых линий, как, например, в торе с очень большим
207

радиусом кривизны R > L±, «перемешивание» происходит со ско-
скоростями порядка vrlR, поэтому за время между столкновениями
частица успевает сместиться на расстояние.—vxrIR ~ irlR, и,
кроме условия Lx > г, должно соблюдаться также условие
Lx ^ iflR- Если нет такой специальной симметрии, то «перемеши-
«перемешивание» происходит со скоростями порядка vrlLx и условия приме-
применимости имеют вид
L±^>V1F; L,,»/. C.7)
При вычислении коэффициентов переноса мы пользовались
столкновительным членом Ландау, в котором не учитывается
влияние магнитного поля на сам акт соударения. Это справедливо,
если ларморов радиус велик по сравнению с эффективным раз-
размером области, в которой происходит кулоновское столкновение
частиц, т. е. по сравнению с дебаевским радиусом бо = (Т/4пе2пI/*:
г > bD или В2 « Ыпетесг.
Если это условие не выполнено, то коэффициенты переноса
изменяются, но не очень сильно, практически меньше, чем на один
порядок, так как роль столкновений с малыми параметрами удара
(меньшими г) всего лишь в In (bDlr) раз меньше, чем столкновений
с большими параметрами. Коэффициенты переноса в очень силь-
сильном магнитном поле (г < rD) рассмотрены в работе [19].
Приведем несколько числовых примеров.
Пусть В = 104 гс, т, = т0. Тогда ае = 1,8 1011 сек'1; о», =
= 108 сек-1.
получим:
г, = -^=-- 1,8-10-* см; г{ - i^= 7,7-10 см; до = 4,1 • 10 см.
Кулоновский логарифм А, = 11; 1е =« /(. -х, 20 см; хе = 5 ¦ 10~8 сек;
xt = 3-10 сек; (оехе = 104; со/г,- = 3-Ю2.
При п = 1017 см~3, Те = Tt =102 эв получим: ге = 3 • 10 см;
rt = 1,4-Ю-1 см; 6D = 2,4-Ю-5 см; К = 10; 1е ^ /, ж 0,25 еж;
те = 3,5 -Ю0 сек; х1 = 2,1 Ю"8 сек; соете = 63; со/гг = 2.
Существует еще одна причина, из-за которой применимость
рассмотренных здесь уравнений переноса может быть очень сильно
ограничена. Заключается она в неустойчивости плазмы. В усло-
условиях, когда плазма неустойчива, в ней могут возникать хаотиче-
хаотические' переменные поля, которые могут приводить к сильному
перемешиванию и, следовательно, к резкому увеличению коэффи-
коэффициентов переноса. Это явление аналогично турбулентности в обыч-
обычной гидродинамике. Известно, например, что даже поток в обыч-
обычной водопроводной трубе из-за турбулентности невозможно рас-
рассчитать с помощью стационарных решений уравнений Навье-
Стокса.
208

Теория турбулентности в плазме в настоящее время далека
от завершения. Она будет рассматриваться в следующих выпусках
настоящей серии. Приведем поэтому лишь простую оценку,
показывающую, как сильно могут возрасти переносы в замагни-
ченной плазме в турбулентном режиме.
Предположим, что в плазме возникли переменные электриче-
электрические поля, имеющие амплитуды -~?" и изменяющиеся независимо
в точках на расстоянии, большем /'. Эти поля вызывают дрейф
частиц со скоростью Vc ~ cE'IB, которая хаотически изменяет
свое направление после того, как частица продрейфует на расстоя-
расстояние порядка /'. Коэффициент возникающей при этом диффузии
можно оценить с помощью формулы C. 1), откуда Dtvd6 — l'Vc ~-
-xE'VIB.
Предположим теперь, что амплитуда флуктуирующих полей
такова, что соответствующая энергия имеет такой же порядок
величины, как и тепловая энергия частиц, т. е. eE'l' ~ Т. Это
соотношение, конечно, нуждается в обосновании, но оно, во вся-
всяком случае, не выглядит заведомо бессмысленным. В резуль-
результате получим
Яурб-^-- C.8)
Аналогичный результат получится и для других коэффициентов
переноса согласно выражениям C. 2) и C. 3). Такая оценка была
дана Бомом, который впервые указал на возможность сильного
увеличения коэффициента диффузии в плазме в результате ее тур-
булизации и возникновения переменных полей. Он опубликовал
[23] без формального вывода выражение D = сТе/\6еВ, которое
иногда называет «бомовским коэффициентом диффузии» (см.
также [23а]). Сравнивая этот коэффициент с обычной оценкой
для поперечного переноса г2/т, получим:
^~шг. C.9)
Отсюда видно, что при сот > 1 турбулентность в плазме может
в принципе сильно увеличить все переносы поперек магнитного
поля.
§ 4. Кинетика простой плазмы
(количественное рассмотрение)
Определение локальных функций распределения ионов и элек-
электронов можно произвести методом последовательных приближе-
приближений аналогично тому, как это делается, например, в известной
монографии Чепмена и Каулинга [1 ]. Этот метод заключается,
грубо говоря, в следующем. Функция распределения считается
мало отличающейся от максвелловской функции /° с параметрами
14 Вопросы теории плазмы 209

n, V, Г, медленно зависящими от координат и времени, и пред-
представляется в виде ряда
/ = /° + Z1 + /2 + • • ¦ D. 1)
В кинетическом уравнении в качестве основных членов рассмат-
рассматриваются столкновительный и магнитный. Остальные члены,
содержащие производные по координатам и времени, а также
электрическое поле, считаются малыми. Магнитный член [уш ] yj
обращается в нуль любой сферически-симметричной функцией
скоростей.
Если пренебречь малыми членами, то решением будет функ-
функция /°, обращающая в нуль и столкновительный и магнит-
магнитный члены *.
В следующем приближении, подставив в кинетическое урав-
уравнение / = /° + /\ достаточно в малых членах учесть только /°,
пренебрегая /\ а в столкновительном члене С (f, f) доста-
достаточно учесть часть, линейную по /\ т. е. С (/°, f1) -\- С (J1, /°),
•пренебрегая величинами, квадратичными по /*. В малых членах
производные по координатам и по времени войдут только вслед-
вследствие дифференцирования параметров п, V, Т, причем производ-
производные по времени можно с помощью уравнений переноса (см. § 1)
выразить с соответствующей точностью через производные по ко-
координатам в данный момент времени. В результате получается
линейное интегро-дифференциальное уравнение в пространстве
скоростей для функции f1. Решив его, можно найти функцию
Z1 (v), причем она будет линейно зависеть как от параметров,
от факторов, нарушающих максвелловское распределение: у7\
дУа/дхе и т. д.
Эту процедуру можно было бы продолжить с тем, чтобы
учесть члены второго порядка по возмущениям и найти /2,
однако это требует весьма громоздких вычислений. Подставив f1
в выражения для потоков тепла, импульса и т. д., можно найти
эти потоки и таким образом замкнуть систему уравнений переноса.
Условием применимости этих уравнений является малость отбро-
отброшенных членов по сравнению с учтенными при определении ло-
локальной функции распределения, т. е. достаточно быстрое умень-
уменьшение слагаемых ряда D. 1). При более строгом рассмотрении для
определения условия применимости первого приближения сле-
следовало бы найти поправку второго приближения /2 и убедиться,
что, она мала, но мы ограничимся качественными соображениями,
приведенными в § 3.
Упрощение перекрестных столкновительных членов. Для даль-
дальнейшего изложения удобно произвести в кинетическом уравне-
уравнении A. 1) замену переменных и перейти от скорости v к «хаоти-
«хаотической скорости» va = v — Va {t, г). Тогда для функции
* Это утверждение не совсем точно, далее оно будет уточнено.
210

fa (t, r, va) получается уравнение
daf° i v vf 4- (-^- E* — _^S_\ у, f
D. 2)
где Vt> означает градиент в пространстве скоростей;
При получении уравнения D. 2) из уравнения A. 1) учтено также,
что yaF = 0.
Столкновительные члены берем в соответствии с работой
Ландау 111] в виде
Г It М 2nh?A д [ ( fg(v) dfb (V') fb(v') dfg(v)\n . ,.
t-вб Va. tb) =- ш^-щ J \-^ ^ ^Г "а^Г i ^^у •
D. 3)
U»y = Tfi (6Pv — u»uy)'>  = °S — UP •
Для столкновения частиц существенна их относительная ско-
скорость v.— v', поэтому выражение D.3) имеет одинаковый вид
в любой системе координат, но надо, конечно, заботиться о том,
чтобы входящие в выражение D. 3) функции распределения были
выражены в одной и той же системе координат.
«Кулоновский логарифм» К в выражении D. 3) равен логарифму
отношения характерного максимального и минимального пара-
параметров столкновения Я, = In (рмикс/рмии)- В качестве нижнего
параметра сюда надо подставить тот, при котором происходит
отклонение на угол порядка л/2, так что рмин я^ е2/т <С и2 >• ^=г
=к е2/37\ Максимальный параметр удара определяется тем, что
кулоновское поле частиц в плазме экранируется на расстояниях
порядка дебаевской длины ршкс ж Ьо, где 6D = (TJAne^nI^ .
При больших скоростях, когда eVhv < 1, где h — постоянная
Планка (т. е. vie < 1/137), для максимального параметра удара
надо брать меньшее значение, а именно то, при котором угол рас-
рассеяния становится одного порядка с его квантовой неопределен-
неопределенностью, тогда рмакс = 6DeVhv. Влияние магнитного поля на акт
столкновения в выражении D. 3) не учитывается, что справедливо
при не слишком сильных полях, когда радиус кривизны траекто-
траектории частиц велик по сравнению с дебаевской длиной.
Решение системы кинетических уравнений для ионов и электро-
электронов можно упростить, если учесть малость отношения масс этих
частиц. При этом упрощаются выражения для перекрестных
столкновительных членов Сн, С[е и оказывается возможным ре-
решать уравнения системы D. 2) не совместно, а каждое в отдель-
отдельности. Связано это с тем, что скорости электронов гораздо больше
14* 211

скоростей йоноё, так что относительная скорость электрона
и иона почти совпадает с электронной скоростью. Поэтому пере-
перекрестный столкновительный член Се1 (Д,, Д) с хорошей точностью
не зависит от детального вида функции распределения ионов,
а определяется заданием средних величин щ, V?, T{.
Входящий в С а тензор Ua& = (ы2бор — иа"р) и~3 зависит
от разности скоростей электронов v и ионов v', так как u = v — v'.
Если разложить Ua$ по степеням скорости ионов
' _ „ dVq , , aVgp vyvb
^ар - v ар ^7" y r dvydv6 2 "Г • • • '
где
и проинтегрировать по v', то получим приближенное выражение
для Сег Такое вычисление удобно в системе координат, где сред-
средняя скорость ионов равна нулю. В результате получается:
_ /iV^ 1 BТеуи д (v d_h_
\ D.4)
D.5)
№1. +
t \ v3 'е т
Здесь
Скорость электронов в выражении D. 4) отсчитывается от средней
ионной скорости V,- (а не от Ve). Первый (главный) член в выра-
выражении D. 4) будем далее обозначать См-; он совершенно не зави-
зависит от функции распределения ионов:
» те \ те
Во втором члене С« ~ me/m,- при интегрировании по v' мы
пренебрегли отклонением тензора давления ионов от скалярного
давления я^Т,- (пренебрегли я1а^). Вычислим силу трения R0,
действующую на электроны со стороны ионов в случае, когда
электроны имеют максвелловское распределение, сдвинутое отно-
относительно ионного распределения на величину * U = Ve — V,-.
Считая сдвиг малым по сравнению с тепловыми скоростями элек-
электронов, можно, разложив по U, приближенно записать это элек-
электронное распределение в системе координат, где Vt = 0, в виде
* Здесь в отличие от § 2, 3 разность средних скоростей обозначена за-
заглавной буквой.
212

Подставив это выражение в формулу D. 4), пользуясь выраже-
выражением A. 18) и пренебрегая членами j
^—*-^;y) Jmv
Rc
о ie \ ffie / j uua у "«- i e •- )
^—u- D-6)
Здесь использовано свойство тензора Уар : vaVa& = Fapt>p = О,
благодаря которому Си обращается в нуль любой сферически-
симметричной функцией распределения электронов, а также
dVa{i/dva = — 2vp/vs и vaVfi = (u2/3) 6ap (черта означает усред-
усреднение по всем направлениям).
Величина хе, введенная в выражение D. 4) и представляющая
собой характерное время между столкновениями электронов
с ионами, выбрана так, чтобы выражение D. 6) для Ro имело про-
простой вид.
Ион-электронный интеграл столкновений С1е (/,-, /е) также
может быть упрощен разложением входящего в него тензора (/ар
по степеням отношения скорости ионов v к скорости электронов v':
однако здесь для того, чтобы фактически произвести интегрирование
по скоростям электронов v', надо знать их функцию распределения.
Если считать, что функция распределения электронов мало отли-
отличается от максвелловской fe, т. е. имеет вид fe = fe + f\, где f\ —
малая поправка, причем величина разности средних скоростей
U = Ve — V,- мала по сравнению с характерными электронными
скоростями, то в результате простых вычислений получается при-
приближенное выражение
Скорость ионов здесь отсчитывается от их средней скорости V,-.
Согласно выражению A. 18) обозначено: R,- = J т^С^йч —
— —R (R без индекса означает Re). Вычисление при выводе
формулы D. 7) удобно производить в системе координат, где
электроны в среднем неподвижны (Ve = 0), а затем уже перейти
к системе, где средняя скорость ионов равна нулю (V,- = 0),
для чего v надо заменить на v — Ни воспользоваться выраже-
выражением D. 6) для R0. При вычислении «столкновений с малой поправ-
поправкой» f\ достаточно в ?/ар учесть лишь главный член Уар.
Выражение D. 7), как и следовало ожидать, имеет такой же
вид, как и столкновительный член Фоккер — Планковского типа
в случае броуновских частиц в движущейся среде с температу-
температурой Те.
213

Обмен теплом между ионами и электронами при столкнове-
столкновениях можно подсчитать, пренебрегая малыми отклонениями
функций распределения от максвелловских. Подставив выраже-
выражение D. 7) в равенство A. 22), для максвелловской функции
ионов получим Qi = QA, где
Qa—'-^M^-T,.). D.8)
Пользуясь формулой D, 5) и учитывая члены ^mjm^ получим
аналогично Qe = —QA, если принять для электронов максвеллов-
ское распределение с V,= V,. В общем случае Qe проще всего
можно подсчитать, пользуясь законами сохранения энергии
и импульса A. 24) при столкновениях: Qe + Qt = —RU, откуда
QA. D.9)
Далее в этом параграфе мы будем везде пользоваться только
переменными va = v — Va (t, г), т. е. «хаотическими» скоростями,
и для краткости опустим индекс а.
Уравнения для поправок. Перейдем к выводу уравнения для
функции распределения электронов. Кинетическое уравнение
D. 2) для электронов можно записать следующим образом:
Сее (L fe) + ?« (fe, f'i) - [Vft>el ^Je =
defe , „_f , ( ee p* deVe\ , dVea dfe
=- ЧГ +
-C'Afe, fi-fd-C"ei(fc, fd- D-10)
Здесь вектор ©е = (eJmec)B по величине равен циклотронной
частоте электронов и направлен антипараллельно магнитному
полю, так как ее = —е.
Члены, стоящие в правой части уравнения, малы при малых
градиентах, медленных временных изменениях и малом сдвиге
средних скоростей электронов и ионов.
В уравнении D. 10) добавлен и вычтен член C'ei (fe, ft), где f] —
ионная функция распределения, сдвинутая так, что средняя ско-
скорость ионов совпадает со средней скоростью электронов. Поэтому
C'ei (fe> ft) представляет собой C'ei согласно выражению D. 4),
но со скоростью электронов, отсчитываемой [как и во всех членах
уравнения D. 10) ] от Ve. Появляющийся при этом в правой части
уравнения член Cei (fe, ft — f'i) мал по сравнению с Cei (fe, ft),
если относительная макроскопическая скорость электронов и ионов
U = Ve — V^ мала по сравнению с тепловыми скоростями элек-
электронов, что предполагается выполненным.
Нулевое приближение удовлетворяет уравнению без правой
части. Его решением является максвелловское распределение
со средней скоростью Ve и с произвольными плотностью и темпе-
температурой. Будем считать параметры этого распределения совпадаю-
214

щими с плотностью и температурой электронов в данной точке
пространства.
Если бы в уравнении D. 10) слева был оставлен целиком весь
перекрестный интеграл столкновений Се!, то решением уравнения
без правой части (совместно с соответствующим уравнением для
ионов) было бы максвелловское распределение с Те = Tt и Ve =
= V;. Именно такой метод применен, например, в монографии
Чепмена и Каулинга. При этом, однако, не используется малость
отношения mjm^ Произведенная в уравнении D. 10) перегруппи-
перегруппировка в Cei, при которой в числе главных членов оставлен лишь
Сei (fe, ft), нужна именно для того, чтобы исключить влияние
малых членов на выбор нулевого приближения. Это позво-
позволяет получить отдельно для электронов и для ионов уравнения
переноса с разными температурами и средними скоростями, а также
«развязывает» кинетические уравнения электронов и ионов.
Представим функцию распределения электронов в виде fe =
= fe A + Ф), где Ф — малая поправка. Подставив это выражение
в уравнение D. 10) и отбросив члены второго порядка малости,
получим уравнение для поправки. Левая часть в результате такой
линеаризации принимает вид:
где
he(Ф) = С„ (fe, /2Ф) + Сее (!°еФ, fe); D. 11)
с;,(/2ф, f't).
В правую часть уравнения D. 10) достаточно подставить /°,
а также можно опустить члены —mjml и, разложив интеграл
Cei (fe, fi — ft) по степеням U (mJTeyi\ оставить только первый
член разложения. Появляющиеся в правой части производные
по времени от пе, Ve, Te можно заменить их нулевыми приближе-
приближениями. Уравнение без правой части имеет решения * Ф = 1;
о2; поэтому для разрешимости уравнения его правая часть должна
быть ортогональна к этим решениям. Умножив уравнение для
поправки на 1, v, mev2/2 и проинтегрировав по скоростям, полу-
получим выражение для нулевых приближений производных по вре-
времени от пе, Ve, Te, которые надо подставить в правую часть.
Эти выражения совпадают с тем, что дают уравнения переноса
в нулевом приближении, т. е. с опущенными вязкими напряже-
напряжениями, потоком тепла и т. д. В результате для поправки первого
приближения Ф получается следующее уравнение:
_L
* Это сразу следует из того, что левая часть уравнения D. 10) обращается
в нуль максвелловским распределением с произвольными п и Т.
215

W;(^Tt)^}, D.12)
где
D.13)
Заметим, что в правой части уравнения D. 12) отсутствуют
члены, пропорциональные ^п и ge = — Е*е ^. Это полу-
trig (Xt
trig
trig (Xt
чается потому, что член fevy In ne объединяется с §es/J°e =
= —f° (mJTe) (vge), а их сумма, согласно уравнению движения
— meneie = Vne^ e + R> Дает ЧЛеНЫ, ПрОПОрЦИОНЭЛЬНЫе уТе И
R = R° + R1 = — (тегс/О U + R1.
В последнем члене в правой части уравнения D. 12) произве-
произведена симметризация и введен симметричный тензор Wa$ со следом,
равным нулю
dVa dVa 2
^ = ^ + &™хМ^, D.14)
называемый тензором скорости сдвигов.
Кинетическое уравнение для ионов преобразуется аналогич-
аналогичным образом, однако с той разницей, что перекрестный член столк-
столкновений Cie, как показывают простые оценки, мал по сравнению
с собственным Са, так что он весь относится к малым членам
и переносится в правую часть. Нулевое приближение, удовлетво-
удовлетворяющее уравнению без правой части, есть максвелловское распре-
распределение fi. Функция распределения ионов представляется в виде
ft = ft A + Ф) и для малой поправки получается уравнение:
D.15)
Члены справа, связанные со столкновениями ионов с электронами,
взаимно сокращаются, если взять Си в виде, соответствующем
выражению D. 7). В результате уравнение D. 15) имеет такой же
вид, как и для однокомпонентного газа (не смеси). Таким образом,
форма ионной функции распределения в рассматриваемом при-
приближении определяется лишь столкновениями ионов с ионами.
Форма электронной функции распределения, напротив, опреде-
определяется и собственными (электрон — электрон) и перекрестными
(электрон — ион) столкновениями, как видно из формул D. 12)
и D. 13).
Уравнение D. 15) определяет поправку Ф с точностью до чле-
членов с0 + d-v + c2v2, обращающих в нуль левую часть. Так
как нулевое приближение уже дает правильное значение плот-
плотности средней скорости и средней энергии ионов, то эти члены
216

Определяются из требования, чтобы поправка не меняла Значений
этих параметров, т. е.
j /°<Ddv = 0; J v/°Odv = 0; J v2f°<?dv = 0. D. 16)
Таким же условиям должна удовлетворять поправка для элек-
электронной функции распределения. Этого, очевидно, можно добиться,
так как левая часть уравнения D. 12) обращается в нуль выраже-
выражением вида с0 + c2v2, а наличие в правой части уравнения D. 12)
члена, пропорционального неизвестной заранее величине R1,
позволяет искать решение в таком виде, чтобы оно удовлетворяло
условию j v/°CDdv = 0.
Решение уравнений D. 12) и D. 15). Уравнения D. 12) и D. 15)
линейны, поэтому их решения можно искать в виде суммы членов,
каждый из которых соответствует какому-нибудь одному возму-
возмущающему фактору — градиенту температуры V7\ сдвигу ско-
скоростей U, неоднородности скоростей Wa$.
Соображения тензорной инвариантности подсказывают сле-
следующий вид решения:
Ф(у) -Фа(»>а + ФарИ ( в«0э--у баЭ) . D. 17)
Здесь первый (векторный) член соответствует векторным возмуще-
возмущениям уТ и U, второй (тензорный) член соответствует Wa$. Пер-
Первый и второй члены, очевидно, ортогональны друг к другу, так
как усреднение по углам в пространстве скоростей дает va = 0,
vav^vy = 0. Угловая зависимость в пространстве скоростей для
первого и второго членов выражается сферическими функциями
соответственно первого и второго порядка. Поток тепла q и пере-
передача импульса посредством столкновений R1 определяются только
вектором Ф, вязкие напряжения яар — только тензором Фар.
Рассмотрим в качестве примера, как определяется поправка
<2>ava для электронов, связанная с уТе и соответствующие части
в qe и R1. Столкновительные интегралы изотропны, они не зави-
зависят от какого-либо выделенного направления. Поэтому, если маг-
магнитное поле отсутствует, то, согласно симметрии задачи, зависи-
зависимость вектора Ф (о2) от уТе должна иметь вид: Ф (и2) =
= А (у2) у In Te, где А —скалярная функция. При наличии маг-
магнитного поля эта зависимость имеет вид:
ФИ - Лvii lnTVf А'ух\пТе+А"[<ол\пТе], D. 18)
где V|| In Te, Vj. In Te — слагающие вектора у In Te вдоль
и поперек магнитного поля. Достаточно, очевидно, рассмотреть
случай поперечного градиента, так как выражение для A (v2)
получается из A' (v2), если положить <ое = 0.
217

Уравнение, определяющее часть поправки, возникающую от
ух In Te, имеет вид:
he (Ф) + hi (Ф) - fe [V© JVO<D ="- fe {(Щ- ~ ~ ) VVX ^ Г, +
+ —^-Rrv). D.19)
neTe J v '
Термосилу R^. можно записать в виде:
R'r = neTe (/C'vx In 7\, + /С" [«>eV In Ге]),
где /С' и /С" — пока неизвестные коэффициенты. Подставив выра-
выражения D. 18) и D. 20) и приравняв нулю коэффициенты при
\7± In Te и [юеу In Te], получим два уравнения для определения
А' и А". Введя комплексные величины
A = A' + i(v>tb)A", K=-K' + i(mJh)K", D.20)
можно свести их к одному уравнению для А:
1М (Лv) + Iei (Av) - i (©,h) fe Ay = fe { ^ - 4 + /C| v. D. 21)
Чтобы не заниматься численным решением этого интегрального
уравнения, можно, согласно [1 ], поступить следующим образом.
Разложим А (и2) по системе ортогональных функций, в качестве
которых удобно взять полиномы Сонина, иначе называемые поли-
полиномами Лагерра. Эти полиномы L^ (х) имеют следующую
производящую функцию:
оо
A -1) exp ( —т^т) = 2 ГС (х). D.22)
4 s' Р=о
Полиномы ортогональны на интервале от 0 до со с весом хте~х:
— в»,- D-23)
Первые два полинома Lom) = 1; L\m) = т + 1 — х.
Разложение А (о2) запишем в виде:
Разложение начинается с члена k = 1, а не А = 0, чтобы было
выполнено условие \ у/°Ф^у == 0. Умножив уравнение D. 21) на
15 пе 2Ге V * \ 2Те ) "V>
проинтегрировав по скоростям и пользуясь соотношением D. 23),
218

получим вместо интегрального уравнения бесконечную систему
алгебраических уравнений для коэффициентов разложения:
оо
2 (akl + аы) щ + i (<oeh) t/^ + ^,4 = 6lk; k =-- 1, 2, . . ., D. 25)
1= 1
где akl, akt — безразмерные матрицы:
e с (зЛ) / (»Л) , s ,
4xe me
Поток тепла qT и термосилу RT можно с помощью выражений
A. 21), A. 18) и D. 23), D. 26) выразить через коэффициенты раз-
разложения D. 24):
Чт ?г е е е (ai V±Te + п[ [(йех/ТЛ ) ; D. 27)
z trig
Rr= l-ne^aok(akyxTe+a"k[^eVTe]), D.28)
где аналогично формулам D. 20) а& = а^ + i (<»e h) а'^. Если теперь
ограничиться приближением A (v2) с помощью нескольких первых
членов ряда D. 24), то соответствующим образом оборвется и бес-
бесконечная система уравнений D. 25). Решив получившуюся конеч-
конечную систему для нескольких первых коэффициентов, можно полу-
получить приближенные выражения для потока тепла и термосилы,
если разделить в ak вещественную и мнимую части и воспользо-
воспользоваться выражениями D. 27) и D. 28).
Совершенно аналогично находятся поправки к функции распре-
распределения и вклады в qe и R1, соответствующие относительной ско-
скорости U = \е — V,-, а также поправка к ионной функции распре-
распределения от уГг и поток тепла ионов. Соответствующие системы
уравнений, аналогичные уравнениям D. 25), и матрицы коэффи-
коэффициентов ak[, a'kl приведены в работе [17]. .
Вычисление Фор и тензора вязкости производится аналогично,
но разбиение возмущения на независимые части производится
несколько сложнее. Тензор Wa§ разбивается на три независимые
части Wafi — WCap + Wia$ + W2ap и вводятся еще два тензора
H?3ap, Wia$, составленные из компонент Wa$. Поправка к мак-
свелловскому распределению, обусловленная возмущением Wa^,
ищется в виде
рр р (о2) W^v^, где уар = vaVfi - 4 б«е • D- 29>
Тензоры Wpap оказывается возможным выбрать так, что действие
219

магнитного оператора [vh] уу обращает в нуль член
Ml] Vo^la3°o(l
[Vh] V^2apUap pP ^P Wp
Таким образом, существует три независимых типа движений,
различным образом влияющих на вязкость. Поправки Фар для
каждого из них можно находить независимо. Уравнения для Ви
В3 и для В 2, В4 попарно объединяются введением соответствующих
комплексных величин. Функции В (у2) находятся тем же прибли-
приближенным методом, что и А (о2). Функции В (у2) оказывается удоб-
удобным представлять в виде ряда по полиномам L?/j> (mvV2T)
с последующим обрывом получающейся системы алгебраических
уравнений для коэффициентов разложения. Эта система уравнений
приведена в работе [17]. Тензор вязкости находится с помощью
выражения A. 17). Он зависит только от коэффициента при IX1** .
Чем больше число N полиномов, с помощью которых аппрок-
аппроксимируется поправка к функции распределения, тем точнее полу-
получаются коэффициенты переноса при вычислении описанным при-
приближенным методом. Сравнение результатов, получаемых с раз-
разными N, показывает, что при N = 1 ошибка для некоторых коэффи-
коэффициентов может быть сравнима с самой вычисляемой величиной,
а при переходе к N = 2 точность резко возрастает. Дальнейшее
увеличение N не дает уже столь резкого повышения точности
и сильно увеличивает громоздкость формул. Далее приводятся
коэффициенты переноса, полученные с двумя аппроксимирующими
полиномами в работе [17J *.
Результаты вычислений электронных потоков с большим числом
полиномов (до N = 6) для 0 < coete < 6 приведены в работе [21 ].
«Точные» значения коэффициентов переноса при <x>ete = 0 полу-
получены в работе [14] непосредственно численным интегрированием
уравнения для поправки без разложения по полиномам.
При N = 2 и cot = 0 получается точность в несколько про-
процентов. Асимптотический ход коэффициентов переноса при cot -> оо
определяется числовыми коэффициентами, которые далее приве-
приведены в виде простых рациональных дробей. Эти коэффициенты
получаются точно [18]. Наибольшую ошибку A0—20%) коэффи-
коэффициенты переноса могут иметь в промежуточной области cot— 1.
Результаты. Передача импульса при столкновениях от ионов
к электронам R = R° + R1 складывается из силы трения Ru =
= R° + Ri и термосилы RT = Rr :
R«-^ — allun — a-LiU + aA[hu]; D.30)
Rr = - pTvIIT. - PiVr. - Рл" [hv^J. D. 31)
* Отметим опечатки, допущенные в работе [17]: в выражении C. 18) для qH
вместо знака минус перед фигурной скобкой должен стоять плюс. В выраже-
выражении D. 14) вместо Ъ" следует читать —Ь", так как, согласно выражению D. 13),
именно —Ь" является положительным числом,
220

Из аналогичных двух частей складывается электронный поток
тепла qe =. q« -)- qr :
D.32)
D. 33)
Здесь
mene x \aix I uo/ .
г» Д
"r
Ho.
UT *(P,A2 I p0)
Wo> Hi. = «e д^ . НЛ = Пе д^ '•¦
Pll = Pll Te] Px =Px^e. РЛ = - РЛ Te
e _ ПеТе
. e _ пеТеХе
o> xx — —~—
neTexe
где
«л -=
х = coete; А = л;4 + бхл;2 + <V
D. 34)
D. 35)
D. 36)
D. 37)
D. 38)
Коэффициенты а, р, у и б приведены в табл. 2 для различных
значений Z.
Согласно работе [14] точные значения коэффициентов, полу-
полученные непосредственно численным решением интегрального урав-
уравнения при В = О, Z = 1, равны: <х0 = 0,5063; рс = 0,7033;
Yo = 3,203. При Z = со точное решение уравнения для поправки
позволяет получить:
а° = 2 = °>2945'> Ро ^ ~2 ; Yo = з^ ^ 13>58-
Поток тепла ионов:
х'ц ~ 3,906/7,-Т'<т</т,-;
2,645)/А;
D. 39)
D. 40)
где
х = шг-т,.; Д =- х1 + 2,70л;2 + 0,677.
221

Тензор вязких напряжений для частиц каждого сорта (значки /,
е опущены) выражается через соответствующий тензор Waa
Таблица 2
ао=1 —( а0/б0)
Ро = Ро/бо
Yo = Yo/^o
бо
«1
«1
а0
«1
«0
Pi
р;
р; •
Ро
yI
Yo
y'[
Yo
Z=l
0,5129
0,7110
3,1616
3,7703
14,79
6,416
1,837
1,704
0,7796
5,101
2,681
3/2
3,053
4,664
11,92
5/2
21,67
Z= 2
0,4408
0,9052
4,890
1,0465
10,80
5,523
0,5956
1,704
0,3439
4,450
0,9473
3/2
1,784
3,957
5,118
5/2
15,37
Z = 3
0,3965
1,016
6,064
0,5814
9,618
5,226
0,3515
1,704
0,2400
4,233
0,5905
3/2
1,442
3,721
3.525
5/2
13,53
Z = 4
0,3752
1,090
6,920
0,4106
9,055
5,077
0,2566
1,704
0,1957
4,124
0,4478
3/2
1,285
3,604
2,841
5/2
12,65
Z^co
0,2949
1,521
12,471
0,0961
7,482
4,63
0,0678
1,704
0,0940
3,798
0,1461
3/2
0,877
3,25
1,20
5/2
10,23
[см. формулу D. 14)] с помощью пяти коэффициентов вяз-
вязкости:
причем
222
= W
сор
W
lap
- w,na.
ги^4ар, D. 41)

Здесь
D. 42)
где бар = бар — /га/гр, eapY — антисимметричный единичный тензор.
В системе координат, где ось z направлена по магнитному полю
(х, у, z -> 1, 2, 3):
/1 0 ON
h = (O, 0, 1); eip = IO 1 0 |; ea
\O О О/
и тензоры lFpap принимают вид:
ГО —1 ON
V0 О О/
О -j-i
О
W
1
1
2
-Wxy
0
0
™ yy)
1
T
X
w xy
0
[V7
xy
— IF
0
) о
0
0
с)
0
0
0
^2ap=
wia, =
I
0
0
и
0
y zx n
0 -
0
и wxz
0 W^
zy u
W yz
w
w xz
W 0
у w zx u
Легко проверить, что справедливо следующее условие ортого-
ортогональности:
у + ц. D. 43)
223

Коэффициенты вязкости ионов:
По =
D. 44)
где
л; = оугг; А -^ х4 + 4,03х2 + 2,33.
Коэффициенты т|* и т|^ получаются из if2, r\\ заменой щ на 2<о,-:
где
Коэффициенты вязкости электронов для Z = 1:
Л* - 0,733л,7,тв;
8,50)/А; tjJ - тЦ Bх);
7,91)/А; т|3е - ц\ Bх),
А = л:4 + 13,8л;2 + 11,6.
= — пеТехех (х
л: = (ойте;
. 45)
Симметрия кинетических коэффициентов. Напомним кратко
терминологию и некоторые положения термодинамики необрати-
необратимых процессов (подробнее см., например, [9 ]). Различные факторы,
вызывающие отклонение от теплового равновесия Хт (например,
V7\ Wap и т. д.), называют термодинамическими «силами».
Они создают в системе соответствующие «потоки» 1т (например,
q, яар и т. д.). При малом отклонении от равновесия «потоки»
и «силы» связаны линейно:
'т — —J L
mnXn.
D. 46)
Необратимое увеличение энтропии в неравновесной системе назы-
называют рождением энтропии 0. Согласно второму началу термодина-
термодинамики, всегда 0 > 0. «Потоки» 1т и «силы» Хп называют сопряжен-
сопряженными, если рождение энтропии выражается в виде
в = 2ЛА- D-47)
т
В термодинамике необратимых процессов доказывается следую-
следующий принцип симметрии кинетических коэффициентов или прин-
принцип Онзагера. Пусть «потоки» и «силы» выбраны так, что для них
справедливо соотношение D. 47). Тогда кинетические коэффи-
коэффициенты, связывающие эти «потоки» и «силы», удовлетворяют усло-
условиям
Ьтп(Ъ) = Lnm( — В), D.48)
224

если обе «силы» Хт, Хп — четные функции скоростей частиц (как,
например, уТ) или обе—нечетные (как, например, Wa&).
Если же одна из «сил» — четная, а другая — нечетная, то имеют
место условия:
Lmn(B) = -Lnn(-B).- D.48')
Баланс энтропии для электронов можно легко получить,
пользуясь уравнениями баланса тепла B. Зе) и непрерывности
B. 1е). Энтропия, отнесенная на один электрон, равна
Sg = JL in г, —Inn,-f const. D-49)
Баланс энтропии приводится к виду
D.50)
где 9е — рождение энтропии в единице объема:
та --= - q.vln Те - R« - хя«Л
Левая часть уравнения D. 50) содержит изменение энтропии
со временем, а также уход энтропии в другие области пространства
и к ионам.
Из выражения D. 51) видно, что «потоки» qe, R, яа^, QA и
«силы» у In Te, u, -g- Wa&> (Те — T^/TeTt являются сопряжен-
сопряженными.
Рассмотрим соотношения D. 30) — D. 33) между «потоками»
и «силами». Так как В — аксиальный вектор, a q, R, yT, u —
полярные векторы, то коэффициенты а, (J, у должны быть четными
функциями В. Принцип Онзагера приводит к следующим нетри-
нетривиальным соотношениям для «перекрестных» эффектов — термо-
термосилы и потока тепла от относительной скорости:
TeVW =-;Pll . Гг\>А- = Pi. . Т$А = Рд . D.52)
При вычислении коэффициентов переноса из кинетического
уравнения эти соотношения удовлетворяются автоматически
[см. соотношения D.36)].
Для вязкости, а также для ионных коэффициентов переноса
принцип Онзагера не приводит к нетривиальным соотношениям.
С учетом симметрии коэффициентов переноса и условия орто-
ортогональности D. 43) рождение энтропии можно записать в виде:
15 Вопросы теории плазмы 225

Аналогично получается рождение энтропии для ионов:
Tfit = 4f (V,, Ttf + ТГ (Vjif + -г 2 <Грар- D- 54)
p=0
Баланс энтропии для всей плазмы имеет вид:
e + sflM + ^ + -^} = е, + е(. + ей, D.55)
где S = seae + s,-rt,- — энтропия плазмы на единицу объема;
D.56)
§ 5. Некоторые парадоксы
Непосредственное применение уравнений переноса к замагни-
ченной плазме, в которой cot > 1, нередко приводит к кажущимся
противоречиям с тем, чего на первый взгляд следовало бы ожидать,
исходя из картины движения (дрейфа) отдельных частиц в маг-
магнитном поле. Такие парадоксы рассматривались в работах [6, 26,
27, 28]. Некоторые из них мы рассмотрим в этом параграфе.
Пусть градиенты всех величин и электрическое поле перпен-
перпендикулярны к магнитному полю. Будем рассматривать процесс,
достаточно медленный, чтобы можно было пренебречь инерцией
ионов и электронов и чтобы все величины мало изменялись
за время между столкновениями. При этих условиях можно
из уравнений движения получить для поперечных скоростей ионов
и электронов явные выражения через градиенты. Если сложить
уравнения движения для ионов и электронов и пренебречь вяз-
вязкостью и инерцией, то получается условие равновесия плазмы
в виде
Отсюда следует выражение для поперечного электрического тока
f + Pl)]. E. 1)
Подставив выражение E. 1) в выражение для силы R B. 6) и B. 9)
и учитывая условие —еепе = е^щ = еп, получим:
V, = -?- [Eh] - -^ [hVpe] + VD; E. 2е)
V, = ~ [Eh] + -^ [hVpJ + \D, E. 2i)
226

где
V.. = ?!_ i V fn _L пЛ „
4fa + P,)-4-neVTA =
УП ' "^; —4-V^l- E-3)
Учет вязкости привел бы к появлению членов —Л.
Отбросим временно в формулах E. 2) член Vo, связанный
со столкновениями, и сравним остальные члены с тем, что полу-
получается непосредственно из картины движения частиц.
Движение заряженной частицы в сильном магнитном поле без
столкновений можно представить как вращение по окружности,
центр которой (так называемый ведущий центр) движется со ско-
скоростью Vc, равной (см., например, работы [8, 38])
г mv . с г у о -| mv,. с
Vc -- ^ [Eh] + -^- [h Щ + -±- [h (hV) h] +
mv2, с
+ -^g-h(hroth) + o0h, E.4)
где h = В/В; v\\, vx—усредненные по вращению проекции
скорости частицы на направление магнитного поля и на перпен-
перпендикуляр к нему в точке, соответствующей ведущему центру.
Первый член в выражении E. 4) называют обычно электрическим
дрейфом, второй — магнитным дрейфом, третий — центробежным.
Если усреднить выражение E. 4) по распределению скоростей,
мало отличающемуся от максвелловского, то получится
+ grh(h.roth) + VIlh. E.5)
Здесь m<v\> = Т; m<v\> = 2Т; О„> = V, = V-h.
Величина n<Vc> есть плотность потока ведущих центров,
a rrt<V,;>dS дает поток центров через поверхность S, тогда
S
как п\ и f nV dS представляют собой плотность потока и поток
s
самих частиц. Поток частиц может вообще отличаться от потока
центров, и некоторые парадоксы возникают, когда смешивают эти
величины.
Сравним между собой формулы E. 2) и E. 5)
Первый член в выражении E. 2) легко интерпретируется —
это электрический дрейф.
Второй член в выражении E. 2), который будем называть
ларморовым, связан с тем, что частицы, пересекающие площадку
15* 227

в противоположных направлениях, приходят из областей с раз-
разными плотностями и температурами, в результате чего их одно-
односторонние потоки не компенсируются. Частицы приходят с рас-
расстояний —г = mvc/eB и «приносят» с собой поток —nv, поэтому
результирующий разностный поток имеет порядок (тс/еВ) Vnv2-^
—(с/еВ) Vp. Парадоксальным на первый взгляд представляется
отсутствие в выражениях E. 2) членов, соответствующих магнит-
магнитному и центробежному дрейфам и содержащих явно производные
по координатам от магнитного поля. В действительности >: е
отсутствие таких членов совершенно естественно, так как магнит-
магнитное поле, независимо от того, однородное оно или нет, не нару-
нарушает максвелловское распределение: [ую ] VJ° = 0. Поэтому,
если плотность и температура частиц не зависят от координат,
то потока частиц E. 2) внутри плазмы нет, хотя поток цент-
центров E. 5) есть, если магнитное поле неоднородно. Магнитный
и центробежный дрейфы проявляются при этом как краевые
эффекты, создавая обтекающие потоки частиц на границе области
с постоянными плотностью и температурой. В этом легко убе-
убедиться на простых примерах, но можно показать и в общем виде.
Воспользовавшись тождествами
(hV)h = —[hroth]; |
[h.(hV)h] =roth — h(h-roth), J ( >
выражение E. 5) легко привести к виду
Сравнивая теперь поток центров с потоком частиц (без учета столк-
столкновений), получим для частиц любого сорта
(^) E.8)
или
J
nV-dS=-jn<Ve>.dS-<?-^(h.dl). E.8')
Отсюда непосредственно видно, что различие между потоком
центров и потоком частиц через любую площадку целиком опре-
определяется значениями величин на границе площадки. Это различие
связано с тем, что вблизи края площадку пересекают некоторые
ча.стицы, у которых ведущие центры проходят мимо площадки.
Величина потока, создаваемого такими частицами, равна спТ/еВ
на единицу длины края вдоль h, причем противоположные края
площадки пересекаются во взаимно противоположных направ-
направлениях.
Таким образом, замагниченную плазму можно представлять
себе как бы состоящей из «квазичастиц» — кружочков, движу-
228

щихся со скоростью дрейфа. Легко подсчитать, что магнитный
момент каждого кружочка равен ji=—(mzPJ2B) h, так что
без учета столкновений намагниченность плазмы на единицу
объема равна:
М=,-2лв^<^Ь. E.9)
Полная плотность тока получается при таком представлении
в виде суммы дрейфового тока и тока намагниченности:
) = 2 еапа < Ve >а + rot 2 °Па 1о ±>а 1i = h + с rot M. E. 10)
При та<^г^х'^>а ~ ^а 0ТсЮДа получается как раз выраже-
выражение E. 1). Можно было бы, как это обычно делается в макроскопи-
макроскопической электродинамике, ввести, кроме В, также и Н = В — 4яМ
и написать для них уравнения Максвелла в виде:
rotH = -|Ljc + _L4|--> divB = 0. E.11)
Практически, однако, для плазмы обычно удобнее учитывать
все токи в явном виде, не разделяя токов дрейфа и токов намагни-
намагниченности. При явном учете всех токов В == Н и определяется
уравнениями Максвелла в виде:
rotB = 4LJ + -^^L; divB^-O. E.11')
Члены VD в выражении E. 2) зависят от столкновений частиц,
а именно от столкновений электронов с ионами. Эти члены можно
условно назвать диффузионными. Они тождественно совпадают
для ионов и электронов и зависят только от градиентов плотности
и температуры, но не зависят от электрического поля. Оба эти
результата представляются на первый взгляд парадоксальными.
Действительно, коэффициент диффузии заряженной частицы попе-
поперек магнитного поля имеет порядок величины D± ~ г2/х.
У ионов г, х больше в (mt/mey/2 раз, чем у электронов. Поэтому,
казалось бы, ионный коэффициент диффузии должен быть
в (mjmey/2 раз больше, чем электронный. В действительности же
это не так. Пусть, например, имеется градиент плотности ионов
вдоль оси х и магнитное поле направлено по оси г. Тогда возни-
возникает ларморовый поток ионов по оси у со скоростью Vu =
= (сТ/епВ) dn/dx. В этом случае применять непосредственно
формулу D — гЧх нельзя, ибо диффузия происходит в движу-
движущейся среде, и при столкновениях ион получает в среднем неко-
некоторый импульс вдоль оси у. Перейдем в систему координат, где
Vy = 0. В этой системе имеется электрическое поле Е'х = {VJc)B—
= {Tie) d In n/dx, в котором ионы имеют как раз больцмановское
?2Э

распределение и их поток равен нулю, так как поток, вызванный
электрическим полем, компенсирует диффузию. Столкновения
между одинаковыми частицами, таким образом, не приводят
к их диффузии поперек магнитного поля. Что же касается столкно-
столкновений между электронами и ионами, то они приводят к диффузии,
потому что ларморовы токи электронов и ионов- направлены
в противоположные стороны. Получающийся поток вдоль оси х
можно рассматривать как результат дрейфа, возникающего под
действием направленной по оси у силы трения R между электро-
электронами и ионами. Так как R, = —Re, то скорости частиц обоих сор-
сортов в точности одинаковы.
Рассмотрим теперь роль электрического поля. Пусть вдоль
оси х имеется электрическое поле. Оно вызывает дрейф частиц
обоих знаков вдоль оси у со скоростью Vy = —cEIB. В системе
координат, где Vy = 0, электрическое поле Е' — О, так что ника-
никакого потока по оси х, т. е. по направлению приложенного электри-
электрического поля, не возникает. В этой связи иногда говорят
(неудачно), что проводимость плазмы поперек магнитного поля
равна нулю.
Перейдем теперь к уравнениям переноса тепла. При медленном
изменении магнитного поля со временем у частиц сохраняется
величина v*JB, т. е. энергия поперечного движения е = mv2±/2
изменяется пропорционально полю — это бетатронный эффект.
Уравнение переноса тепла не содержит члена, пропорциональ-
пропорционального dB/dt. Можно, однако, убедиться на простых примерах, что
оно учитывает бетатронный эффект.
Пусть, например, однородное магнитное поле направлено
по оси г и растет со временем. Пусть плазма занимает цилиндри-
цилиндрический объем, бесконечный вдоль оси z. Примем, что плотность
и температура плазмы постоянны по объему (тогда не будет пото-
потоков тепла) и для простоты будем пренебрегать столкновениями
электронов с ионами и, следовательно, джоулевым теплом. Можно
также пренебречь экранировкой внешнего магнитного поля токами
в плазме. Тогда индукционное электрическое поле равно Е = Е1р =
= —Вг/2с. Электрический дрейф приводит к сжатию плазмы
со скоростью Vr= — Вг/2В, так что div V = —BIB. Уравнение
переноса тепла имеет вид:
nniaiv\@12)
Это выражение как раз дает бетатронный эффект. Действительно,
при бетатронном нагреве непосредственно увеличивается лишь
энергия поперечного движения йг = г±&В1В. Столкновения уста-
устанавливают равнораспределение по степеням свободы, так что
ех — -д- е и C/2) dz/dt = (г/В) dB/dt. Бетатронный эффект про-
проявляется в данном случае как нагрев от адиабатического сжатия
230

плазмы. Этот обратимый (в термодинамическом смысле) нагрев
не надо путать с упомянутым в § 3 необратимым гирорелакса-
ционным нагревом, который возникает вследствие необратимого
процесса — выравнивания энергии по степеням свободы. После
уменьшения магнитного поля до его первоначального значения
и соответствующего расширения плазмы адиабатическое охлажде-
охлаждение при расширении согласно уравнению E. 12) полностью
компенсирует нагрев, имевший место при сжатии, тогда как
тепло, выделяющееся при гирорелаксационном нагреве, остается
в плазме, так как оно пропорционально (В/ВJ.
Рассмотрим теперь случай, когда столкновения электронов
с ионами как раз «уравновешивают» электрический дрейф:
cEJB + VD = 0, так что плазма неподвижна. При этом в плазме
возникнут тепловые потоки, поэтому будем рассматривать полное
увеличение энергии во всем объеме плазмы. Если уравнения
переноса тепла для ионов и электронов сложить и проинтегриро-
проинтегрировать по объему плазменного цилиндра (высотой равного 1 по оси 2),
то получится:
Т ' It \(П°Те + uiTi) 2jtrdr = / E4>U2:!lrdr-
Подставив сюда Еф = —Вг/2с; /ф = (с/В) др/дг; р = пеТе +
+ п,Г( и проинтегрировав справа по частям, получим опять
C/2) de/dt = {г/В) dB/dt. В этом случае бетатронный эффект
проявляется как выделение джоулева тепла.
Между двумя рассмотренными примерами в одном отношении
имеется различие. В первом случае ионы и электроны нагреваются
от сжатия одинаково. Во втором случае тепло выделяется непо-
непосредственно в электронном газе и лишь затем столкновениями
передается ионам, хотя, казалось бы, при бетатронном нагреве
ионы должны получать столько же тепла, сколько и электроны.
Дело в том, что при отсутствии тока ионов в плазме возникает
радиальное электрическое поле, величина которого определяется
условием равновесия ионов einiEr = — dpjdr. Это поле приводит
к дрейфу ионов в азимутальном направлении против вихревого
электрического поля. Нетрудно убедиться, что его работа (отри-
(отрицательная) на этом дрейфе как раз компенсирует бетатронный
нагрев ионов. Электроны в радиальном поле тоже дрейфуют
и набирают столько же энергии, сколько теряют ионы.
Перенос тепла, как и перенос частиц, тоже можно рассматри-
рассматривать с точки зрения движения ведущих центров. При этом, пре-
пренебрегая столкновениями, можно получить формулу, аналогичную
формуле E. 8). Плотность полного потока внутренней энергии,
согласно уравнению A. 20), равна qnojIH = -g-nT\ + q. Восполь-
Воспользуемся соотношением E. 8) и учтем в потоке тепла члены qA,
не зависящие от столкновений и, согласно выражениям B. 11)
231

и B. 14), равные qA — -у-^-[hVT]. Тогда выражение для qn0JIH
можно преобразовать к виду:
По поводу этой формулы можно сделать замечания, совер-
совершенно аналогичные тем, которые были высказаны выше по поводу
соотношения E. 8).
§ 6. Гидродинамическое описание плазмы
Система уравнений переноса соответствует модели плазмы
в виде совокупности взаимно проникающих друг в друга заряжен-
заряженных газов — ионного (одного или нескольких) и электронного.
Часто бывает удобнее пользоваться одножидкостной моделью
плазмы. При этом вместо уравнений движения для ионов и для
электронов получаются уравнения движения для всей плазмы
в целом, являющееся обобщением уравнения движения обычной
гидродинамики, и выражение для электрического тока, представ-
представляющее собой обобщение известного закона Ома. Такой переход
к одножидкостной гидродинамической модели оказывается наи-
наиболее полезным для описания не слишком высокочастотных про-
процессов, когда можно пренебречь инерцией электронов и принять
условие квазинейтральности плазмы.
Мы рассмотрим одножидкостную гидродинамическую модель
сначала для простой плазмы, а затем в § 7 отметим некоторые
особенности, характерные для многокомпонентной плазмы.
Уравнения непрерывности и квазинейтральность. Введем плот-
плотность массы q и гидродинамическую скорость V (скорость массы):
q = Цтд; F- 1)
Пренебрегая массой электронов по сравнению с массой ионов,
будем далее приближенно полагать:
q = тп,; F. 3)
V = V(, F.4)
Уравнение непрерывности для ионов перепишем в виде уравне-
уравнения сохранения массы (его называют также просто уравнением
непрерывности):
-|f- + div(QV) = 0. F.5)
232

Уравнение F. 5) справедливо и при точных определениях F. 1)
и F.2).
Плотность электрического заряда Qe и плотность электриче-
электрического тока j равны (обозначаем u = Ve— V;):
Qe = 1l еаПа = е (Ztli — П,)\ F. 6)
а
j = 2 eanaVn = QeV, — епеи. F. 7)
a
Из уравнений непрерывности для электронов и ионов получается
уравнение сохранения электрического заряда:
-|?- + divj = O. F.8)
Будем далее везде предполагать, что плазма квазинейтральна.
Это не значит, что в плазме отсутствует объемный заряд, пред-
предполагается лишь, что этот заряд очень мал по сравнению с вели-
величиной епе, так что разностью Znt — пе можно пренебречь по срав-
сравнению с п = пе. Плотность тока при этом выразится в виде
j = — епи. F. 9)
Будем рассматривать такие достаточно медленные процессы
(в электродинамике их называют квазистационарными), когда
в уравнении F. 8) можно пренебречь dqjdt, а в уравнениях
Максвелла можно пренебречь трком смещения. Тогда уравне-
уравнение F. 8) и уравнения Максвелла примут вид:
div j = 0; F. 10)
rot B = -^-j; divB = 0. F. 12)
Условие квазинейтральности накладывает на величины, описы-
описывающие плазму, одну связь: Ъщ = пе. Следовательно, из системы
уравнений для плазмы одно уравнение должно быть отброшено,
а именно уравнение Пуассона, в которое явно входит объемный
заряд
divE = 4лде, F. 13)
Пренебрегая в остальных уравнениях величиной Qe =
= е (Ъщ — пе), мы вместе с те^ не накладываем никаких условий
на div E. Вихревые электрические поля определяются при этом
из уравнения F.11), а потенциальные поля, возникающие в резуль-
результате малой некомпенсации положительных и отрицательных
зарядов (сами эти поля не малы!), определяются условием F. 10)
совместно с уравнениями движения. Иными словами, собственные
233

потенциальные электрические поля в плазме автоматически под-
подбираются именно так, чтобы не допустить слишком сильного раз-
разделения зарядов 1щ — пе. Уравнение Пуассона при этом может
служить для того, чтобы по известному Е найти Qe.
Приведем некоторые оценки. По порядку величины из уравне-
уравнения F. 13) получаем Qe ~ Е/АяЬ. В статической или медленно
дви ущейся плазме, или в плазме без магнитного поля обычно
епЕ ~ Vp или Е ~ T/eL, откуда получается qjen — b2D/L2,
где 6D = {Т1Апеп){12 — дебаевская длина, которая всегда очень
мала по сравнению с характерными размерами плазмы (в против-
противном случае ионизованный газ принято не называть плазмой).
В слоях толщиной —bD квазинейтральность, конечно, может
нарушаться. Эти отклонения от квазинейтральности обычно имеют
место вблизи границ плазмы, а также при высокочастотных коле-
колебаниях. В плазме, движущейся поперек магнитного поля, может
возникать также индукционное поле Е ~ VB/c. Пусть мы имеем
дело с быстрым процессом (см. далее), в котором скорость плазмы
определяется ее инерцией и действующей магнитной силой. Тогда
<uqV jB, где ш — характерная частота процесса. Плотность
заряда будет в этом случае порядка Qe — E/AnL ~ (с2А/с2)]'/шЬ,
где сА = В/Dяр)'/2 — так называемая альфвеновская скорость.
При этом относительная величина первого члена в уравнении F. 8)
порядка (s)Qe/(j/L) — с2А/с2, так что можно пользоваться уравне-
уравнением F. 10), если с2А/с2 = В2/Ащс2 мало. В дальнейшем это усло-
условие будет считаться выполненным. Пусть, например, щ =
= 1014 см'3, mt = 1,6-10-** г, В = 10* гс, тогда с2А/с2 — 10"*.
Условие квазинейтральности может нарушаться для плазмы
малой плотности, а также для релятивистской плазмы, где V — с
или и ~ с.
Уравнение движения. Сложив уравнения движения для ионов
и электронов и пренебрегая инерцией электронов, получим урав-
уравнение движения плазмы
Q-§-=-Vp + 4-IjB] + F, F.14)
где V = V?; d/dt = д/dt -f (VV); p — полное давление, равное
Р= Pe + Pi-' F- И')
В замагниченной плазме в лабораторных условиях основные
силы — это градиент давления и магнитная сила. Член F пред-
представляет собой сумму остальных сил, действующих на единицу
объема плазмы. В их число входят: сила вязкости FZ = з-^->
где яар = я/ар + ясар ss Я;ар — тензор вязких напряжений,
сила тяжести Fg = Qg, существенная во многих астрофизических
234

проблемах, g — ускорение силы тяжести. Электрическая сила
F? = QeE обычно очень мала по сравнению с остальными.
Магнитную силу для большей наглядности часто бывает
полезно выразить через максвелловские напря ения
Это выражение легко получается с помощью уравнений F. 12).
Тензор Т? соответствует давлению ВУ8я поперек магнитных
силовых линий и такой же величины натяжению вдоль линий;
или, что то же самое, всестороннему давлению B2/8it и продоль-
продольному натяжению В2/4я. Если, например, на границе плазмы
имеется касательное поле В, которое экранируется токами
в поверхностном слое, то давление этого поля В2/8п передается
на экранирующую его плазму. Нормальное к поверхности плазмы
поле не может передать плазме свое натяжение, так как магнитные
силовые линии не могут обрываться (div В = 0) и непрерывно
проходят внутрь плазмы. Натяжение магнитных линий может
передаваться плазме^ если в ней текут токи, искривляющие
силовую линию. Тогда возникает выпрямляющая сила, направлен-
направленная опять поперек силовой линии. Если п — главная нормаль
к силовой линии, a R — ее радиус кривизны, то
fb = _vJ?—?—?-• F-15)
и 8л 4я R к '
Давлению ВУ8я в 1 кг/см2 соответствует В = 5-Ю3 гс.
Электрическая сила тоже может быть представлена с помощью
максвелловских напряжений. При rot E = 0 из уравнения F. 13)
получаем *:
дТ?
fS = «А =--т^П; r?P = iH^-i?24)- FЛ6)
Резко изменяться вблизи границы плазмы может только нор-
нормальная компонента электрического поля. Силовые линии при
этом оканчиваются на зарядах вблизи поверхности, и на плазму
действует не удерживающее ее давление, как в случае магнит-
магнитного поля, а натяжение (отрицательное давление) ЕУ8я. Натя-
Натяжению в 1 кг/см2 соответствует Е = 1,5 • 106 в/см.
* В общем случае с учетом токов смещения и rot E Ф 0 получается
Q
где S = -.— [ЕВ]—вектор Пойнтинга; S/ca — это плотность импульса элек-
4л
тромагнитного поля.
235

Если в плазме епЕ — Vp, то | V?2/8n|/| Vp | ~ Syi2, так
что сила /^ может ^ыть большой только в тонких слоях. Если
Е ~. VB/c, то Е2/В2 — V2/c2. Отсюда видно, что в релятивистской
плазме электрические силы могут быть того же порядка, что
и магнитные.
По относительной роли инерции можно все процессы в плазме
разделить на быстрые и медленные. В быстрых процессах инер-
инерционный член в уравнении F. 14) того же порядка величины,
что и остальные члены — это процессы со сравнительно большими
частотами порядка csIL или сА1Ь, где cs—{p/Q)'^; cA =
= (В2/4ядI/г. В медленных процессах инерция в первом прибли-
приближении несущественна — плазма неподвижна или двигается так
медленно, что действующие на нее силы все время почти точно
уравновешены. К быстрым процессам относятся различные кратко-
кратковременные и переходные процессы, а при длительном существо-
существовании плазмы — магнитогидродинамические волны. К медленным
относятся различные «установившиеся» процессы с характерным
временем, значительно превосходящим Llcs. Типичным примером
быстрого процесса является сжатие плазмы давлением внезапно
приложенного к ней магнитного поля — внешнего или созданного
током, текущим по плазме (быстрый пинч). Характерная скорость
сжатия при этом порядка сА.
Для медленных процессов, оставляя в уравнении F. 14)
только главные члены, получим:
Это уравнение вместе с уравнениями F. 12) определяет так назы-
называемые равновесные магнитогидродинамические конфигурации.
Из уравнений F. 17) видно, что BVp = 0; jVp = 0. Следова-
Следовательно, магнитные силовые линии и линии тока лежат на поверх-
поверхностях постоянного давления. Эти поверхности называют ма-
магнитными. Плазму, изолированную магнитным полем (равновес-
(равновесную конфигурацию), можно представлять себе в виде совокуп-
совокупности вложенных одна в другую магнитных поверхностей.
Важным безразмерным параметром, характеризующим эффек-
эффективность использования магнитного поля для удержания плазмы,
является отношение 8лр/В2, где р, В — характерные величины
давления и поля. В реальных лабораторных устройствах с мед-
медленными процессами эта величина гораздо меньше единицы,
так как плазма обычно очень легко теряет тепло.
Разделение процессов на медленные и быстрые, конечно,
очень грубо и не исчерпывает всех возможностей. Нас, однако,
здесь и в дальнейшем изложении интересуют лишь грубые оценки
для первой ориентировки, а не подробная классификация про-
процессов. В конкретных задачах необходим, конечно, более деталь-
детальный анализ.
236

Закон Ома. Известный закон Ома j = аЕ связывает плотность
тока с электрическим полем в тот же момент времени. Электри-
Электрическое поле определяет ускорение электронов, а не их скорость,
поэтому в общем случае такой связи нет. Но в таких процессах,
когда все величины мало изменяются за время между столкнове-
столкновениями электронов с ионами, инерция электронов перестает играть
роль и действие электрического поля уравновешивается при опре-
определенной величине и = —]/еп трением электронов об ионы. Это
условие равновесия электронного газа и дает закон Ома. Анало-
Аналогично получается закон Ома для плазмы.
Удобно выражать электрическое поле через ток, а не наоборот.
Такой способ записи, кроме упрощения формул, лучше соответ-
соответствует качественной картине явлений в хорошо проводящей
плазме, где индуктивное сопротивление больше активного, и внеш-
внешние условия обычно задают именно ток, а электрическое поле
определяется по нему согласно закону Ома.
Пренебрегая в уравнении движения электронов инерцией
и вязкостью и пользуясь выражениями B. 6), B. 9) или D. 30),
D. 31) для силы R = Ru + Rr, получим:
где Е' — эффективное электрическое поле, равное
Е' = Е + 4- [VB] + -L (V ре - Rr). F. 19)
Если выразить j через Е', то получится:
j = O||E'n + , V {El + ovrJhE']}. F.20)
В Е' входит электрическое поле Е* в системе координат, движу-
движущейся вместе с веществом (с ионами):
Е* = Е + -L [VB]. F.21)
Кроме того, Е' содержит термоэлектродвижущую силу —RT/ene
и силу электронного давления V ре/епе. Последняя в обычных
металлических проводниках не играет роли, так как в них давле-
давление электронов постоянно. В плазме же давление электронов
может сильно изменяться, поэтому для плазмы этот член может
быть весьма существенным.
Если магнитное поле в плазме отсутствует, то Е' = j/сГц.
В сильном магнитном поле ((aete > 1) сохраняется такое же
соотношение для составляющих вдоль магнитного поля
Е\ = /„/*„, F.22а)
237

но для поперечных составляющих получаются существенные изме-
изменения (рис. 6). Эффективное поле Е'х почти перпендикулярно
к току }х. Проекция поля Е'± на ток связана с jj соотношением
iE'x)i = iJai> F-226)
не очень сильно отличающимся от выражения F. 22а). Магнитное
поле влияет на трение электронов об ионы не очень сильно. Напри-
Например, а± ^ 0ц/2 при Z = 1. Однако для протекания тока поперек
магнитного поля необходима составляющая Е', перпендикуляр-
перпендикулярная к току и к магнитному полю, — так называемое холловское
1Д поле. Оно уравновешивает дей-
@g ствующую на электроны силу
~- [jB] и равно
— Часто ЕХолл возникает в плазме
автоматически вследствие неболь-
рис 6 шого разделения зарядов в рам-
рамках квазинейтральности, а внеш-
внешнее поле, которое надо прикладывать к плазме, определяется
выражениями F. 22а) и F. 226). В связи с этим иногда говорят,
что магнитное поле не влияет на проводимость плазмы. Это утвер-
утверждение следует понимать именно в указанном условном смысле.
Закон Ома для плазмы может быть записан в нескольких
эквивалентных формах. Часто бывает удобнее вместо уравнения
движения электронов воспользоваться уравнением движения
ионов и ввести новое эффективное поле Е", равное
'У п Л В \ mt А — F 1(\ 9ЧЛ
i. * г I I v' / у a At ' РП. ^ '
При этом получится выражение, не содержащее холловского
члена:
E"=,-Ll_i_Ll. F.24)
°11 °х
Это же выражение получится, если исключить из соотношения
F. 18) член — [jB] с помощью уравнения движения F. 14).
Запись закона Ома для плазмы в форме F. 24) без холловского
члена была предложена Шлютером [24]. Такая форма записи
особенно удобна в тех случаях, когда можно легко определить
d\ldt, в частности, для медленных процессов, где этот член мал
и им в первом приближении можно пренебречь.
Выражения F. 18) и F. 24), хотя и выглядят различно, в дей-
действительности эквивалентны, если учесть уравнение движения.
238

В замагниченной плазме, изолированной магнитным полем,
происходит своеобразная инверсия уравнений. Из уравнения
F. 14) определяется поперечная компонента тока. Если пре-
пренебречь вязкостью, то она равна
]. F.25)
Закон Ома, наоборот, определяет скорость плазмы поперек магнит-
магнитного поля. Подставив выражение F. 25) в формулу F. 24) и опу-
опуская дяа$/дхр и d\ldt, получим, пренебрегая для простоты RT:
Второй член в выражении F. 26) называют скоростью диффу-
диффузии плазмы поперек магнитного поля. Заметим, что согласно
общепринятой терминологии диффузией называется относитель-
относительное движение различных компонент сложной плазмы, а формулой
F. 26) выражается гидродинамическая скорость плазмы. Жела-
Желательно поэтому пользоваться другим термином, например «ско-
«скорость просачивания». Если ток F. 25) поддерживается индукцией,
которая выражается членом — [VB], то скорость просачивания
плазмы сквозь поле дается как раз вторым членом выраже-
выражения F. 26), пропорциональным поперечному сопротивлению
плазмы 1/сгх.
Порядок величины тока и скорости и = —j/en определяется
уравнением движения. Согласно уравнениям F. 12), B'/L — 4я//с,
где В' ¦— поле, создаваемое токами в плазме. Для быстрых про-
процессов из qV2 — В'2/4л получим u2/V2 — 1/П, а для медленных
процессов из р — В'2/4я получим t/lc% — 1/П, где
L.> 2
QC2 niiC2
Безразмерное число П пропорционально числу частиц nL2
на единицу длины системы.
Таким образом, в системах с большим числом частиц скорость
электронов «привязана» к скорости ионов не только столкнове-
столкновениями, но и самосогласованным магнитным полем.
Характерные частоты быстрых процессов имеют порядок вели-
величины cAIL — (o,/IT/l. Если П > 1, то они малы по сравнению
с циклотронной частотой ионов.
Для быстрых процессов, оценивая по порядку величины раз-
различные члены в законе Ома при П > 1, со <^ со;, L > rt легко
получить, что главные члены в эффективном поле — это
239

Е-] tVB]. При редких столкновениях, отбросив также j/cr,
С
можно в первом приближении записать закон Ома в виде:
^ , 1
с
[VB] = 0. F.28)
Исключив электрическое поле с помощью уравнения F. 28),
получим уравнение индукции в приближении идеальной .магнит-
.магнитной гидродинамики:
f-=rot[VB]. F.29)
Это уравнение имеет наглядную интерпретацию: магнитные
силовые линии как бы приклеены к веществу и двигаются вместе
с ним со скоростью V. Уравнение F. 29) часто используется при
рассмотрении колебаний и устойчивости плазмы.
Уравнение индукции, полученное из выражения F. 18) с уче-
учетом всех членов, имеет громоздкий вид *
4J- = rot [VB] — rot f-Lв] — — [VnVT] —
at l ' I ene J en l
_JLrct J^ _, rot (h. + 1l\ F. 30)
a
Часто вместо него пользуются следующим упрощенным уравне-
уравнением с изотропной и однородной проводимостью:
^ ^ F.31)
Здесь использованы уравнения F. 12) и rot rot В = —V2B.
Это уравнение описывает скин-эффект; оно учитывает, что силовые
* Исключая из уравнения F. 30) [)В] с помощью уравнения движения
или пользуясь сразу соотношением F. 24), можно с помощью преобразования
rot d\ldl = д rot V/dt — rot [V rot V] получить уравнение индукции в виде
Ш
где
Если здесь можно пренебречь последними тремя членами в правой части,
то «приклеены» к веществу линии В+ (т^/е^) rot V, но при П > 1, w < ш<
получается | rot V | <^ eiBlmf, и можно считать «приклеенными» линии В. При В =
= 0 отсюда получается известная из обычной гидродинамики теорема о «при-
клеенности» вихревых линий [3].
240

линии не полностью приклеены и просачиваются сквозь вещество
с коэффициентом диффузии Dm, равным
Это тот же самый процесс, что и просачивание плазмы через
магнитное поле, описываемое последним членом в выражении
F. 26). При р — В2/4я скорость просачивания порядка DJL.
При р < В2/4я из выражения F. 26) видно, что скорость проса-
просачивания порядка Dяр/В2) DJL. Этот же результат получается,
конечно, и из формулы F. 32), если учесть, что относительная
величина градиента поля имеет порядок BILB—Аяр/В2Ь, где
В' — разность полей снаружи и внутри плазмы — определяется
условием равновесия плазмы ВВ'/4я ~ р, поэтому скорость про-
просачивания поля ~DmB'ILB ~ Dяр/В2) DJL.
Если в результате турбулентности уменьшается эффективное
значение а±, то, согласно выражению F. 26), просачивание плазмы
через магнитное поле происходит быстрее — это так называемая
«аномальная диффузия».
Уравнения переноса энергии и тепла. В тех случаях, когда
температуры электронов и ионов различаются сильно, для них
приходится пользоваться отдельными уравнениями баланса тепла,
приведенными в предыдущих параграфах. Если же обмен теплом
между электронами и ионами достаточно интенсивен, так что отно-
относительная разность температур мала \Те — Tt\ < Т, то можно
пользоваться одним суммарным уравнением, положив Те =
Температуры ионов и электронов могут сильно различаться,
если в одном из этих газов выделяется гораздо больше тепла,
чем в другом. Джоулево тепло, например, выделяется в электрон-
электронном газе. Если приравнять по порядку величины <3ДЖ передаче
тепла ионам QA, то получим разность температур, обеспечивающую
эту передачу. Грубая оценка дает
ДЖ -• ' -¦ ' ИЛИ V ^ ДЖ ~7Тт-.
Здесь использовано соотношение Dя/с) у ~ B'/L, где магнитное
поле В' создается токами в плазме. В медленных процессах, где
основным источником нагрева является джоулево тепло, есть тен-
тенденция к превышению температуры электронов над температурой
ионов.
С другой стороны, выделение тепла вследствие вязкости про-
происходит в основном в ионном газе, так как ионная вязкость гораздо
больше электронной. Приравняв по порядку величины QBSJ3 ~
— r\V2/L2 —^<3д, получим соответствующую разность температур.
Если играет роль «продольная» вязкость тH, то
16 Вопросы теории плазмы 241

и если играет роль «поперечная» вязкость % 2~ 1\/ю?тг
(Tj - Те)няз ПЦ%е I ГЩУС \2 (ггч\Чг[
/ тг\'/2
\ me )
eBLx} \ me ) {eBL^j
171
Кроме того, скорость сильных ударных волн в плазме больше ион-
ионной тепловой скорости, но обычно меньше электронной, поэтому
сильный нагрев в ударных волнах испытывают только ионы.
Таким образом, в тех случаях, когда основным источником нагрева
является диссипация энергии, связанная с движениями плазмы
(ударные волны, сильные колебания плазмы вследствие неустой-
неустойчивости и т. д.), больше тепла выделяется в ионном газе и темпе-
температура ионов может быть выше температуры электронов.
Если можно с достаточной точностью принять Те = Т,- = Т,
то вместо энергетических уравнений для электронов и для ионов
по отдельности удобнее пользоваться общим балансом энергии.
Сложив уравнения переноса энергии A. 20) для ионов и электро-
электронов, учитывая соотношения A. 24) и пренебрегая инерцией элек-
электронов, получим уравнение переноса энергии для плазмы:
= Ej. F. 33)
J
Здесь р = ре + РГ,
q = q« + q< + -|-p.u. (б.зз')
Из уравнений Максвелла F. 11) и F. 12) получается уравнение
энергии для поля (теорема Пойнтинга в приближении Е С Щ'-
д В2
где S = -j- [ЕВ ] — вектор Пойнтинга.
Сложив уравнения F. 33) и F. 34), получим закон сохранения
полной энергии в виде:
s + div qnojIH = 0;
dt
242

Складывая уравнения A. 23) для электронов и ионов с учетом
соотношений A.24) и div (neu) = 0 или исключая из уравне-
уравнения F. 33) кинетическую энергию и пользуясь законом Ома
F. 18), получим уравнение баланса тепла для плазмы:
F.36)
Здесь правая часть уравнения содержит сумму всех источников
тепла, включая нагрев от вязкости: 2 Q = —Ru + QBa3-
Изменение энергии осуществляется макромеханизмами (пере-
(перенос со скоростью V и работа давления) и микромеханизмами
(теплопроводность, вязкость и т. д.). Микромеханизмы и соответ-
соответствующие им члены в уравнениях энергии и тепла называют
диссипативными. Они увеличивают энтропию плазмы и вызы-
вызывают переход механической энергии в тепло. Энтропия плазмы,
как и всякого одноатомного газа, в расчете на одну частицу равна
с точностью до несущественной постоянной In (T'Nn) или
In (p'^/q'^). Из уравнения F. 36) непосредственно видно, что
в отсутствие диссипативных процессов энтропия сохраняется.
Заметим, что левая часть уравнения F. 36) может быть
с помощью уравнения непрерывности переписана в виде
3 dp 5 р do 3 d ,
где y = 5/з — показатель адиабаты для одноатомного газа.
Относительная роль диссипативных процессов тем меньше,
чем больше размер системы, так как осуществляемый ими перенос
энергии имеет диффузионный характер. Если времена диссипа-
диссипативных процессов (L2/Dm — для электрического сопротивления,
L2n/x — для теплопроводности, L2q/t] — для вязкости и т. д.)
велики по сравнению с обратными величинами частот движений
в плазме: 1/ю или L/V, то диссипативные члены малы. При этом
можно в первом приближении считать процесс адиабатическим
и принять
4
Диссипативные процессы увеличивают энтропию и вызывают
затухание всевозможных макроскопических движений в плазме,
магнитогидродинамических волн и т. д.
Уравнение баланса энтропии для плазмы получим, сложив
уравнения A. 23') для электронов и для ионов:
§¦ + div (SV + Seu + ^ф^} = 9; F. 38)
TQ = -(qe + q,) V In T + 2 Q. F. 39)
Здесь S = Se + St = ne In (Т'Чпе) + щ In (T'Nn^ — энтропия
16* 243

плазмы на единицу объема. Величина б называется рождением
энтропии. Легко убедиться, что она всегда положительна, т. е.
диссипативные процессы действительно вызывают монотонное
увеличение энтропии. В TQ входит джоулево тепло j\'leu +
+ J2x/Oj_ и вязкое тепло j яаР№аР, которое тоже всегда поло-
положительно.
§ 7. Многокомпонентная плазма
Диффузия в тройной смеси. В качестве простейшей модели
неполностью ионизованного газа можно представить себе тройную
смесь, содержащую электроны, один сорт ионов и один сорт ней-
нейтральных частиц. Движение этих компонент можно определить
тремя скоростями: Ve, V; и Vn или общей гидродинамической
скоростью V, приближенно равной
V = 4-K««V \-mnnn\n), G.1)
и двумя относительными скоростями, в качестве которых можно
выбрать, например,
u = Ve-V,; w = V,-Vn. G.2)
В случае простой плазмы имеется одно уравнение для отно-
относительной скорости — закон Ома, в случае тройной смеси необ-
необходимы два уравнения: для скорости диффузии w и для токовой
скорости и = —]1епе.
Для определения диффузионных скоростей следовало бы
решить систему трех кинетических уравнений и найти локальные
функции распределения для всех компонент [12]. Можно, однако,
получить приближенные результаты более простым, хотя и более
грубым способом, если воспользоваться уравнениями движения
отдельных компонент A. 14). Сила трения получается от взаимо-
взаимодействия частиц данного сорта со всеми остальными:' Ra = 2 R<,6.
ь
Силу Ra6 = —R6a можно приближенно вычислить, сделав пред-
предположение, что компоненты а и Ъ имеют максвелловские распре-
распределения со скоростями Va и \ь. В результате получаем:
Rab = — «aft (Va — ^ьУ, aab = aba- (?• 3)
Коэффициент трения ааЬ, очевидно, пропорционален nanb, а также
приведенной массе сталкивающихся частиц таЬ = тать1{та + щ)
и коэффициенту а'аЬ, равному по порядку величины va, где vn a —
характерные значения относительной скорости и эффективного
сечения сталкивающихся частиц:
244

Вычисление ааЬ приведено в приложении, его можно также
найти в работе [1 ]. Пусть Та = Ть = Т, Если сечение рассеяния
[здесь играет роль так называемое транспортное сечение о' =
= j A — cos ¦&) do (¦&) ] обратно пропорционально относитель-
относительной скорости а'аЬ (v) = a'ab/v, то непосредственно получается
выражение G. 4). Для твердых гладких шариков с радиусами га
и гъ сечение равно ааЬ = л (ra + rb)*. Для них
8 Т \7* ,_ ...
) G.5)
Для ионов с зарядами еа, еь [сравни формулу B. 5е) ]
G.6)
ab ~
Выражение G. 3) не учитывает возможную в магнитном поле
анизотропию коэффициента трения, а также термосилу, и поэтому
не дает термодиффузию. В простых случаях эти эффекты можно
оценить по порядку величины, как в § 3.
Уравнения движения компонент, пользуясь выражениями
G. 2) и G. 3) и пренебрегая инерцией электронов, запишем в виде:
- V Ре - епе ( Е + ± [V.B]) =-a{l-fafflw; G. 7е)
— т,п, 4г — V/J, + епе (Е + — [ V,B]) = aei -L + atow; G. 7i)
G.7n)
Здесь подставлено u = —\lene и введены обозначения:
ae = аг/ + «m = meneHe; те = ( — + —) ; G.8)
а„ = а,„ + щп = ata/(l — е); е = ае„/ал. G. 9)
Более точно в уравнениях G. 7) вместо V ра {а = е, i, n) сле-
следовало бы писать с учетом вязкости дРаа&/дх$ = дра/дха+ дпаа$/дх&,
но далее вязкостью мы все же будем пренебрегать.
Коэффициент трения <х„ между плазмой и нейтральным газом
обусловлен в основном столкновениями тяжелых частиц, так как
они приводят к большей передаче импульса, поэтому обычно
ап ** ain> 6 = аеп/ап.^ [mJmin) {a'en/a'in) « ] •
245

Складывая уравнения G. 7е) и G. 7i), получим уравнение
движения для ионизованных частиц. При этом электрическое
поле выпадает:
- т1П^ - V (ре + Pl) + J- [jB] = - ат-1- + anw. G. 7р)
Суммирование уравнений G. 7п) и G. 7р) дает общее уравнение
движения.
Если столкновения редки, то удобнее пользоваться отдель-
отдельными уравнениями движения для нейтральных и для ионизован-
ионизованных частиц, так как только столкновения «привязывают» их ско-
скорости друг к другу (строго говоря, при редких столкновениях надо
пользоваться кинетическими уравнениями). Если же столкнове-
столкновения часты и применимо гидродинамическое описание, то удобнее
пользоваться общим уравнением движения для V и уравнениями
для относительных скоростей. Рассмотрим далее второй случай.
При этом в инерционных членах заменим dyjdt и dnVn/dt
на dV/dt, что соответствует пренебрежению членами порядка
dw/dt по сравнению с членами порядка w/т, содержащимися
в силе трения. Вязкостью тоже пренебрегаем.
В разных работах, например [7, 25, 29], различным образом
преобразуются уравнения G. 7) и получаются различные выраже-
выражения для относительных скоростей, удобные для тех или иных
задач. Скорость диффузии плазмы относительно нейтралов w
можно определить, например, из уравнений G. 7п) и G. 7р).
Исключив из этих двух уравнений инерционный член, можно
получить выражение для w в виде
где
G = gnV(/J, + p/)-?/V/?n. G.11)
Здесь введены относительные концентрации
in = rnntinlq; %t = т
Если Tt = Тп = Т, щ, = mn, то G = tnVpe + (pt + pn) V?,;
Pi + Pn= TQ/mt.
Закон Ома можно получить, например, исключая w из урав-
уравнения движения для электронов G. 7е) с помощью выражения
G. 10):
Е + — [V,-B] + — (V ре— eG)= -L+ 1~еЕ"[]В], G.12)
где
СУ = в fl I Ct . -j- I ^i; . \' * ^ ^/
246

Соотношение G. 12) очень близко к выражению F. 18), так как
е < 1, но содержит сопротивление 1/ст, которое определяется
полной частотой столкновений электронов 1/те. Если исключить
из выражения G. 12) член [jB] с помощью общего уравнения
движения, то получим закон Ома в той форме, которая была ему
придана Шлютером [25].
Иногда удобнее, чтобы в записи закона Ома содержалось
электрическое поле Е* = Е + — [VB] в системе координат,
движущейся со скоростью всего вещества V. Пользуясь соотноше-
соотношением V(- = V + ?raw и выражением G. 10), получим из уравне-
уравнения G. 12)
где
При т1 = тп, е < 1 получаем: а/а*± = 1 + 2lna)exe(oixin,
где
Поступая так же, как при выводе выражения F. 26), и поль-
пользуясь уравнением G. 12), получим, что при наличии нейтралов
скорость просачивания изолированной магнитным полем плазмы
поперек магнитных поверхностей (соответствующий член в V,-)
равна — (с2/аВ2) ур, где а выражается формулой G. 13), р —
полное давление.
Закон Ома в форме G. 14) был записан Каулингом [7]. В него
входит эффективное поперечное сопротивление \/о*х, которое
в сильном магнитном поле может быть во много раз больше про-
продольного. Этот эффект объясняется тем, что протекание тока
поперек магнитного поля вызывает движение плазмы относительно
нейтрального газа, что из-за большого коэффициента трения между
ионами и нейтралами приводит к большой диссипации энергии.
Следует, однако, учитывать, что в некоторых случаях, особенно
для медленных процессов, когда давление плазмы почти уравно-
уравновешено магнитной силой, в выражении G. 10) члены в фигурных
скобках могут в значительной степени компенсировать друг друга,
и тогда в уравнении G. 14) последний член слева будет сильно
компенсировать член jja*x.
Большое различие между выражениями G. 12) и G. 14),
куда входят Е -\ tVtB ] и Е + — [VB ], показывает, насколько
С С
247

важно при определении электрического поля в присутствии ма-
магнитного четко представлять, к какой системе координат относится
электрическое поле, так как оно может сильно измениться даже
при небольшом изменении скорости системы координат.
Рассмотрим диссипацию энергии в смеси е, i, n вследствие
трения. Полное тепло, выделяющееся от трения, равно QTp = Qe +
+ Qt + Qn- Учитывая общее соотношение A. 24), его можно запи-
записать в виде QTP = — Reiu — Ren (u + w) — Rtow. Пользуясь
выражением G. 3), получим:
QTp = aeiu2 + am (u + w)a + ainw* -=
= aeu2 -f anw2 + 2<zOTuw. G. 16)
С помощью выражений G. 10) и G. 13) можно преобразовать выра-
выражение G. 16) к виду
/ в \ 2
G. 17)
Если ток течет вдоль магнитного поля (или В = 0), то из-за боль-
большого коэффициента трения тяжелых частиц получается w — еы ^
< и, поэтому диссипация от трения тяжелых частиц мала: anw2 ~
~ еаеи2. Если же ток течет поперек магнитного поля, то возможна
сильная диссипация от столкновений ионов с нейтралами.
В случаях, когда можно пренебречь G, например, если плазма
холодная или если степень ионизации очень мала, из выраже-
выражения G. 17) получается QTp = j\la + fjo\.
Полностью ионизованная плазма, состоящая из электронов
(а = е) и двух разных сортов ионов (а = 1,2), дает еще один
важный пример тройной смеси. Такой смесью является, например,
водородная плазма, содержащая ионы посторонней примеси,
ионизованная смесь дейтерия и трития и т. д.
Плотность и гидродинамическая скорость в такой плазме
приближенно равны:
q = m1ni + m2n2; V = — (m1n1'V1 + m2n2V2). G.18)
Плотность тока выражается в виде суммы электронной и ион-
ионной составляющих:
(tSr)b5,w, G-19)
где введены
ue = V,-V; v = \1-Vt G.20)
и относительные концентрации ?i = mjn^Q и ?2 = tn2nz/Q, кото-
которые входят в выражения Vx = V + ?2W и V2 = V — liw.
248

Система уравнений для компонент имеет вид:
"hth
л (Е + v[Vi
-«1. E»w-ue); G.21)
G.22)
-L[V2B]j + a12w
0 = -\Pe — ene (e + 4"[VeB]) + (aeih — аф) w —
G. 23)
Здесь заменено da\0/dt на dVldt, дРаа$1дх$ на dpjdxa и обозна-
обозначено:
Пользуясь этой системой уравнений, можно найти относительные
скорости и получить закон Ома и выражение |!для w, которые
в общем случае довольно громоздки [10а, 106].
Если Т{ не превышает слишком сильно Те, то можно счи-
считать а12 > ае1, ае2. Например, при Tt — Те получается
«12 ~ (т,//пеI/г ае-
При В = 0 из-за большой величины а12 получается w <^ ие,
так что ток переносится в основном электронами, и закон Ома
можно записать приближенно в виде
Е+-тЬ VPe = i: G-25)
- G.26)
me
То же самое справедливо для компонент вдоль магнитного поля.
Поперек сильного магнитного поля ионы из-за большей массы
двигаются легче электронов, поэтому ионная составляющая тока
поперек магнитного поля может быть велика, особенно в быстрых
процессах. Рассмотрим некоторые соотношения между попереч-
поперечными составляющими для случая, когда со,-тг- велико. В этом слу-
случае можно в первом приближении пренебречь столкновениями,
а затем учесть их как малую поправку. Например, можно напи-
написать w = w<'> + w<2>, где\уA) может быть найдено, если пренебречь
столкновениями. Разделим уравнение G. 21) на е1пъ а уравне-
уравнение G. 22) на е2п2 и вычтем одно из другого. Отбросив силы тре-
трения и выражая w, получим:
[h (l?± - ^A] + -L(^L-^*)\h-^-]. G. 27)
в
249

Электрическое поле отсюда выпало. Значок _[_ опускаем. Учиты-
Учитывая только трение между ионами и подставляя в член a12w выра-
выражение G. 27), получим:
У
где Z1 = eje\ Z2 = eje.
Аналогично можно выразить ue = u^1' + uf, пользуясь уравне-
уравнением G. 23) и исключая электрическое поле Е* = Е + с [VB].
Рассмотрим установившийся медленный процесс в плазме,
изолированной магнитным полем, когда можно пренебречь инер-
инерцией.
Оценка членов выражения G. 28) показывает, что скорость
диффузии w<2> в —(с^г/а,,) — (тс/те)[/2 раз больше, чем скорость
просачивания F. 26) для простой плазмы. Возникает вопрос:
не увеличивается ли в ~(/пг/теI/2 раз и скорость просачивания
плазмы с разными сортами ионов по сравнению с простой плазмой
из-за сильного трения между разными ионами? В установившемся
процессе этого в действительности не происходит, так как ско-
» B)
рость электронов поперек магнитной поверхности ие по-прежнему
остается порядка c2plaB2L, где о выражается формулой G. 26).
Ток поперек магнитных поверхностей равен нулю, поэтому должно
быть аУ<2> — uf\ Следовательно, в плазме установится такое
распределение ионов, чтобы выполнялось условие
VP VP а Q п 9q.
v >
a12
Процесс установления идет со скоростью в —(/иг//пеI/2 раз
большей скорости просачивания, после чего иК1) станет малой,
ау'1) ~ (<Vai2) u(e\ и большой силы трения между ионами не будет.
Из условия G. 29) видно, что при этом ионы с большим зарядом
будут концентрироваться в области плазмы с большей плотностью,
например при Тх = Т2 — Т и уТ = 0 будет больцмановское
1 . 1 .
распределение — \ in п1 = — \ In n2.
Диффузия в слабо ионизованном газе. Обозначим ua диффу-
диффузионную скорость компоненты а, равную
ua = Va-V; SmAuo = 0, G.30)
а
где V определяется выражением F. 2). Уравнение движения ком-
компоненты а, пользуясь уравнением A. 14) и заменяя da\Jdt
на dV/dt, dPa^ldXfr на дра/дха, можно записать в виде
тапа -^ = -VPa + ejia (E*+ ± [uaB]) -- 2aa6 (uo-ub). G.31)
Рассмотрим случай, когда число ионизованных частиц во много
раз меньше числа нейтральных, так что в силе трения достаточно
250

учитывать только член Ran — трение о нейтральный газ. Эффек-
Эффективное сечение столкновений электронов с ионами гораздо больше,
чем с нейтралами (например, для водорода при Те — 1 эв полу-
получается ajam ~ 102п/пй2). Поэтому пренебрегать столкновениями
электронов с ионами можно лишь в случае, когда число нейтраль-
нейтральных частиц на несколько порядков превышает число ионов (более
точная оценка зависит от температуры электронов и от рода газа).
Гидродинамическую скорость можно при этом считать совпадаю-
совпадающей со скоростью нейтрального газа V ss Vre, и„ ^ 0. Уравне-
Уравнение G. 31) будет далее рассматриваться для частиц всех сортов а,
кроме основной нейтральной компоненты. То же самое относится
к встречающимся ниже суммам по а. Скорость V определяется
общим уравнением движения, где может играть роль и вязкость.
Силу трения в уравнении G. 31) можно записать в виде Ra =
= —<Wio.
Пусть В = 0. Тогда из уравнения G. 31) получим
"а = Ьа (еаЕ — GJna) = Ъа [еаЕ — ma -^-J — Da\ In pa, G. 32)
где
Ga --= \Ра + таПа —[f ¦ G- 33)
Коэффициенты подвижности Ьа и диффузии Da частиц а равны
'в, гдегв--=-^.. G-34)
аап man
Эти коэффициенты связаны так называемым соотношением Эйн-
Эйнштейна
Da = ЬаТа. G. 34')
Последний член в выражении G. 32) пропорционален \па/па -\-
+ уТа/Та, но учет термосилы может изменить коэффициент
при \Та (см. сноску на стр. 201).
Плотность тока с учетом квазинейтральности равна j =
= Ъеапаиа. Согласно выражению G. 32)
j = oE-See6eG«. G.35)
a
где
a = 2#iA- G.36)
а
.При наличии магнитного поля для параллельных вектору В
компонент и и, j ц, Е ц, О ц получаются такие же соотношения, как
и при В =¦ 0. Для перпендикулярных компонент из уравнения
G. 31) получаем
Uax = Ьах (еаЕ* - Ga/na)x - 6аЛ [(еаЕ* - GJna) h], G.37)
251

где
b = • b — о) t b G 38)
Здесь обозначено
aan = eaBlmanc; соот ^ — ие.
Плотность тока поперек магнитного поля равна
jx - о^ + о2 [E*h] —2eJ>aj.Ga± — ^eabah [Gah], G.39)
a a
где
a a
Для того, чтобы из записи G. 39) выразить Ех = Ех +
+ — [VB] через jj_, надо умножить выражение G.39) на
а\1 (ст? + а1) и, кроме того, умножить его векторно на ha2/@4+^2),
а затем сложить результаты. В итоге получим
El = ^- ]х+ ^- [jh] + 2PaxGaj. + 2раЛ [Gah], G. 41)
аХ °Л а а.
где 1/ах — поперечное сопротивление; h/стд — так называемый
вектор Холла:
Если играет роль сила тяжести, то во всех уравнениях надо заме-
заменить d\ldt на dVldt — g. Этот член при необходимости можно
исключить с помощью общего уравнения движения.
Выражения G. 39) и G. 41) упрощаются, если можно прене-
пренебречь членами Ga. В этом случае тепло трения тоже выражается
просто: QTp = E*j == j\/al} + fja±.
Рассмотрим еще так называемую амбиполярную диффузию
плазмы. Пусть все градиенты и электрическое поле параллельны
друг другу и направлены по оси х и пусть /х = 0. Такая ситуация
возникает, например, если плазма находится в длинной трубке
с изолирующими стенками, так что можно пренебречь градиентами
вдоль оси трубки и учитывать только диффузию плазмы по ради-
радиусу (роль х играет г), причем /г = 0. Эта совместная диффузия
электронов и ионов называется амбиполярной.
Пусть плазма содержит ионы одного сорта (возьмем для про-
простоты Z = 1) и пусть \Те = уТ( = V = dV/dt = 0.
252

Если В = 0, то из выражения G. 32) получим
пиех = —ЬеепЕ — Цул; пщх = btenE — Ц-у/г.
Из jx = пиех — nuix = 0 получим
р _ De — D; 1 dn
х be-\- bi en dx
Исключив электрическое поле, можно выразить поток плазмы
пиех = пи1х через один лишь градиент плотности:
пиех =. пщх =¦¦ — DAyn, G. 43)
где DA — так называемый амбиполярный коэффициент диффузии,
п __ b/De + beDi ,„ ^. bebt ,„ ..
Это же выражение сразу получается из выражения G. 10),
если учесть |„ ^ 1; V ^ Va = 0; wx = uix = иех; Gx ^
^ (Те '+ Tt) dnldx и формулы G. 9) и G. 34).
Если имеется магнитное поле В = Вг, то вместо выражения
G. 43) получим пиех = nuix = —Оах\п, гДе Dax находится
из формулы G. 44) заменой Ьа на Ьа±-
DAX = . , Da . G.44')
Этот же результат можно получить из выражения G. 10), если
принять V = 0, выразить jy с помощью уравнения G. 14): /^ =
= {o*xlnBJanc) Gx и положить |„ ч= 1.
Диффузия рассматривалась выше с помощью приближенного
выражения G. 3) для силы трения. Более точное рассмотрение
диффузии, а также вычисление теплопроводности требуют исполь-
использования кинетического уравнения.
Кинетическое рассмотрение диффузии и теплопроводности
электронов в слабо ионизованном газе при наличии магнитного
поля произведено в работе Давыдова [30]. В ней показано, что
функция распределения электронов может быть приближенно
представлена в виде / (t, г, v) = /0 (t, r, v) + fi (t, r, v)-v/v
и путем усреднения кинетического уравнения, умноженного
на 1 и v/v, по углам в пространстве скоростей получена система
уравнений для /0, fx:
_ _1_ ? -^l e- ff.B] == - A., G.45')
где 1/те = ае„п„, Cen (f0) — усредненный по углам столкновитель-
ный член. Здесь положено V — 0.
253

Так как предполагается, что электроны сталкиваются с ней-
нейтралами, а не между собой, то нет оснований ожидать, что сфери-
сферически симметричная часть функции распределения /0 будет макс-
велловской. Если dldt <^ l/te, то с помощью уравнения G. 45')
можно выразить f г через /0 и получить из уравнения G. 45) урав-
уравнение для /0. Это уравнение решено в работе [30], для различных
хе (v) получены /0 и найдены соответствующие выражения для
потоков частиц и энергии. Кроме того, в работе [30] получены
выражения потоков для максвелловской функции /0.
Многокомпонентная плазма. В лабораторных, гео- и астро-
астрофизических проблемах часто приходится иметь дело с многоком-
многокомпонентной плазмой. Полностью ионизованная плазма может содер-
содержать ионы различных сортов, не полностью ионизованный газ
может, кроме того, содержать молекулы, атомы, возбужденные
атомы и т. д. Если столкновения между частицами достаточно
часты, то можно пользоваться гидродинамическим описанием
такой плазмы. Плотность плазмы и гидродинамическая скорость
определяются формулами F. 1) и F. 2), где суммирование произ-
производится по всем компонентам, причем, как и для простой плазмы,
электроны можно не учитывать. Кроме уравнения сохранения
массы F. 5), теперь нужны еще уравнения для компонент, опре-
определяющие изменение состава плазмы. Если скорость образования
частиц а в единице объема равна Га, то эти уравнения можно запи-
записать в виде
¦^ + div (naVa) = Та или
^ a)-mara, G.46)
где иа — Va — V — диффузионная скорость, ?a = matia/Q — от-
относительная концентрация компоненты а. Согласно законам
сохранения массы и заряда, 2таГа = 0; 2еаГа = 0.
а а
Уравнение движения плазмы, представляющее собой суммар-
суммарный баланс импульса, получается сложением уравнений переноса
импульса A. 12) для всех компонент с учетом сохранения импульса
при столкновениях. С помощью уравнения непрерывности оно
приводится к виду F. 14), где р = 2ра, яар = Елаар*.
* Следует отметить, что эти выражения получаются, если принять новые,
несколько иные, чем в § 1, определения величин ра, rtaag, которые чаще исполь-
используются при рассмотрении газовых смесей. Разница заключается в том, что здесь
при определении температуры в качестве хаотической скорости компоненты a
берется v' = v — V, а не v'a = v — Va, как в § 1. «Новые» и «старые» величины
связаны соотношениями:
2
тнов /г.ст I а а . „нов с
1 а — 1 а Н 5 • Ра ~ Ра
254

Диффузионные скорости иа можно приближенно определять
из системы уравнений G. 31), но в общем случае это приводит
к громоздким выражениям. Некоторые частные случаи рассмо-
рассмотрены в предыдущих разделах.
Суммарное тепло трения, согласно выражениям A. 24) и G. 3),
равно
QTp = 2Qa = 2Qa& = 2aao (ua - ub)\ G.47)
a a, b a>b
Умножив уравнение G. 31) на ua, просуммировав по всем компо-
компонентам и учитывая выражение G. 47), получим
QTP = E*j — Zuavpa- G-48)
а
Уравнение баланса энергии для многокомпонентной плазмы
получается суммированием балансов энергии для всех компо-
компонент и имеет вид, подобный выражениям F. 33) или F. 35), где
поток тепла равен *
2.
Следует, однако, учитывать, что уравнения F. 33) и F. 35)
справедливы лишь для плазмы, состоящей из «одноатомных»
компонент, когда можно считать, что все частицы обладают только
кинетической энергией поступательного движения, например, если
плазма полностью ионизована. При этом внутренняя энергия
плазмы на единицу объема равна е = 2 еа = -у р. В общем слу-
а ^
3
чае в выражении для энергии -у р надо заменить на внутрен-
5
нюю энергию е, а в выражении для потока энергии -у р надо
заменить на е + р. Например, для двухатомных молекул, которые
обладают пятью эффективными степенями свободы, еа =
= — Гп =— -е+ = —
Уравнение баланса тепла (уравнение переноса внутренней
энергии) получается для многокомпонентной плазмы аналогично
уравнению F. 36) и имеет вид
~ + div (еV) + р div V = —div q + 2«ayp« + 2Q =
dt a
= — divq + E*j + QBa3, G.49)
Эта разница не очень существенна, так как в тех случаях, когда столкновения
часты и гидродинамическое описание применимо, величины иа малы и их квадра-
квадратами можно пренебрегать. Учет разницы между «старыми» и «новыми» вели-
величинами является превышением точности гидродинамического описания.
* Точнее q = 2q«0B + 2 ± Раиа, где д™ = <^э + Л?- паи\ иа& +
+ яаТ$уиау н0 эта разница несущественна (см. предыдущее примечание).
Величину 2?а иногда называют приведенным потоком тепла.
255

где SQ = QTP + Овяз- Сюда могут входить и другие источ-
источники (потери) тепла.
Уравнение баланса энтропии при условии, что состояние
плазмы можно считать близким к локально термодинамически
равновесному, получается в общем случае методами термодина-
термодинамики необратимых процессов [9, 10а]. Оно имеет такой же вид,
как и уравнение F. 38) с заменой qe + Чг на 2 qa и Seu на Б Saua.
а а
Для потока тепла и для вязких напряжений плазмы из «одно-
«одноатомных» компонент можно получить общий вид выражений и
оценки по порядку величины, пользуясь качественными сообра-
соображениями § 3 и результатами для простой плазмы. При очень малой
степени ионизации теплопроводность и вязкость определя-
определяются в основном нейтральным газом. Для одноатомного газа
их можно оценить по формулам, приведенным в моногра-
монографии [1].
В газе с вращательными или с внутренними степенями свободы
(возбуждени-я, ионизация, диссоциация) имеют место новые эф-
эффекты. Возможен, например, дополнительный поток тепла, если
частицы в некоторой точке ионизуются или диссоциируют, а в дру-
другой рекомбинируют и выделяют соответствующую энергию [10а].
В тензоре вязких напряжений газа с внутренними степенями сво-
свободы содержится член вида — ?6aP div V, где Z, — так называе-
называемая вторая вязкость [3 ]. Существенную роль в потоке тепла может
играть также и излучение.
В неполностью ионизованном газе температура электронов
часто сильно отличается от температуры тяжелых частиц — ионов
и нейтралов, поэтому для них приходится пользоваться отдель-
отдельными энергетическими уравнениями. Если ионизация в газе под-
поддерживается электронными ударами, то Те определяется в основ-
основном потенциалом ионизации газа и устанавливается обычно
в несколько раз меньше этой величины, так что наиболее быстрые
электроны способны ионизовать. В этом случае энергия, полу-
получаемая электронами, идет в основном на излучение, связанное
с возбуждением и ионизацией электронными ударами. При этом
скорость ионизации очень чувствительна к величине Те, которая,
наоборот, сравнительно слабо зависит от различных условий
и имеет порядок величины электронвольт. Если плотность газа
не очень велика, то передача тепла от электронов к ионам и ней-
нейтралам сильно заторможена из-за малости отношения mjm^
Поэтому, если нейтральный газ хорошо охлаждается и не имеет
другого источника нагрева, то легко возникает большая разница
в температурах электронов и тяжелых частиц, например в два
порядка. В неполностью ионизованных газах часто более важную
роль играет не динамика плазмы, а такие факторы, как поддер-
поддержание ионизации, возбуждение атомов, потеря энергии с излуче-
излучением, взаимодействие плазмы со стенками сосуда и т. д. При про-
протекании электрического тока через газы возникает широкий круг
256

разнообразных явлений, изучаемых физикой электрического раз-
разряда в газах. Хорошее элементарное введение в эти процессы
дает маленькая книга Пеннинга [10].
§ 8. Примеры
Пинч-эффект. Магнитное поле, создаваемое текущим по плазме
током, стремится ел ать плазму, так как «нити тока», из которых
складывается полный ток, притягиваются одна к другой. Это
явление называют пинч-эффектом. Будем для краткости плазмен-
плазменный шнур, стягиваемый магнитным полем, называть просто
«пинчем».
Рассмотрим в качестве простейшего примера бесконечный
цилиндр плазмы, удерживаемой магнитным полем, т. е. прямой
пинч (рис. 7). Пусть все величины в пинче изменяются только
nor (d/dz = д/дц = 0), а плазма в целом не
движется по z и не вращается. Магнитное
поле и ток при этом имеют только z- и ср-со-
ставляющие; магнитные поверхности предста-
представляют собой цилиндры (г = const).
Условие равновесия пинча имеет вид [см.
уравнения F. 17)]
iL-J-U В i B)-
дг
= в„
дгВу
гдг
dBz
дг
(8. 1)
Рис. 7.
Умножим выражение (8. 1) на г2 и проинтегрируем по г от 0 до
а, где а — радиус пинча. Интегрируя по частям и учитывая, что
р (а) = 0, Вф (а) = 2J/ca, где / — полный ток, получим условие
равновесия пинча в интегральном виде [31]:
[В2М-В1\,
(8.2)
где В\ = Г B2z2nr dr/яа2; Ne> Nt — числа электронов и ионов
о _
на единицу длины пинча; Те, ft — средние температуры. Собст-
Собственное магнитное поле тока J всегда сжимает плазму. Продольное
магнитное поле сжимает плазму в случае, если наружное
поле Вг (а) больше внутреннего, и стремится расширить ее, если
наружное поле меньше внутреннего.
Рассмотрим теперь на примере прямого пинча применение
закона Ома. Из уравнений (.6. 18) и F. 19) получаем
= in/а и
— [VB]
(8.3)
17 Вопросы теории плазмы
257

rue Ел — компонента электрического поля, перпендикулярная
к магнитному полю и касательная к магнитной поверхности
г = const. Из выражения F. 24) получаем Ег = 0. Если пренебречь
инерцией и радиальной силой вязкости по сравнению с dpjdr, то
?=_i_^L. (8.4)
т епе дг v '
Радиальное электрическое поле в равновесии автоматически
принимает значение (8. 4) и уравновешивает давление ионов,
которые в этом поле имеют при Tt = const больцмановское
распределение. Холловское поле при этом согласно выражению
F. 18) тоже автоматически принимает нужное значение
Е'Г = ЕГ + — -$*-= — [jB]r. (8.5)
т г ' епе дг с lJ >r v '
В быстром пинче, где играет роль инерция ионов, справедливо
только выражение (8. 5), но не выражение (8. 4).
Поперечная компонента тока равна jx =(c/B) [hVp]. Под-
Подставив ее во второе из уравнений (8. 3), получим выражение
для скорости
— с th F — h
a±B
( dp 3 дТЛ
Если электрическое поле, соответствующее выражению (8. 4),
почему-либо не может установиться (например, если пинч конеч-
конечной длины и влияние торцов почему-либо очень сильно), то в плазме
возникнет согласно формуле F. 26) скорость 1/ф, равная
у _ _?_( Р — -^Л h
ч> В \ ' епе дг ) 2"
Неоднородность Уф вызовет у ионов появление ср-проекции вяз-
вязкой силы Fa = —дяод /дхр и согласно закону Ома [см. формулу
F. 24) ] в выражении для Vr появится дополнительный член
Об этой скорости иногда говорят как о скорости диффузии от
ионных столкновений [20], хотя она пропорциональна не первым,
а третьим производным плотности по радиусу. По порядку
величины Угвяз — (rt/tfi3) — 1/В4, что может сравниваться с д>: о-
улевой скоростью просачивания —т\/хса при г\1аг ~ (mj'tntf1*.
Если очень быстро увеличивать ток в плазме или внешнее
магнитное поле, то условие равновесия (8. 2) не будет выполняться
и магнитное поле будет быстро сжимать плазму. При этом из-за
скин-эффекта магнитное поле не успеет сразу проникнуть внутрь,
а будет подобно поршню сжимать плазму с края, вследствие
258

чего от края к оси пойдет сильная ударная волна. Схлопнувшись,
пинч благодаря своей упругости начнет расширяться и, как
показывают эксперименты, совершив небольшое число колебаний,
разваливается вследствие различных неустойчивостей.
Подробный расчет колебаний пинча требует решения сложной
системы магнитогидродинамических уравнений [34], но оценку
времени схлопывания можно получить просто [32, 33]. Пусть,
например, J = Jt и Вг = 0. При быстром нарастании тока в пинче
возникает скин-эффект. Ток течет по поверхности пинча, и там же
действует сила магнитного давления. Скин-эффект определяется
удельным сопротивлением 1/а±, связанным со столкновениями
ионов с нейтралами [см. формулу G. 15)], которое может быть
значительно больше сопротивления 1/ст от электрон-ионных
столкновений; этот эффект иначе можно представлять себе как
перенос магнитных силовых линий вместе с ионами [33]. Из-за
скин-эффекта и возникновения сильной ударной волны сначала
плазма «сгребается» полем с края, и постепенно ускоряются все
новые слои. Считая, что вся масса приведенного в движение газа
сосредоточена в «точке» a (t) и равна Qon (ajj — а2), гдеа0 —началь-
—начальный радиус пинча, q0 — начальная плотность, напишем для
нее уравнение движения в виде
(8. 8)
с2а ¦"* с1а
Проинтегрируем это выражение приближенно, вынося при
первом, интегрировании по времени справа из-под интеграла зна-
значение a (t) на верхнем пределе. В результате получаем
а2 = а1{\-т2о); (8.9)
(8.10)
Схлопывание соответствует примерно моменту времени t0
и току Jo = Jt0. Легко видеть, что \/t0 ~ ай/сА, где сА =
= ?o/DnQoI/2 и B0~JJca0.
Совершенно аналогично можно оценить в.ремя схлопывания
пинча, сжимаемого полем Вг.
Если в пинче, находящемся в равновесии, быстро создавать
малые возмущения, нарушающие равновесие, то в нем возникнут
малые колебания. В следующем разделе эти колебания рассмат-
рассматриваются для неограниченной плазмы, но по порядку величины
полученные там формулы можно применять и к пинчу.
Если изменения в равновесном пинче производятся медленно,
с частотами, малыми по. сравнению с характерными частотами
этих магнитогидродинамических колебаний, то пинч все время
будет оставаться в квазиравновесном состоянии и инерция не будет
играть роли — это медленный процесс.
17* 259

Все сказанное справедливо, конечно, лишь в том случае,
если пинч устойчив, но условия устойчивости мы здесь обсуждать
не /дем.
Л1агнитогидродинамические волны. Рассмотрим малые колеба-
колебания в однородной плазме с однородным магнитным полем. В плазме
возможны многие колебания различных типов. Мы сейчас будем
интересоваться лишь сравнительно низкочастотными и крупно-
крупномасштабными колебаниями, в которых существенную роль играет
движение вещества и к которым применимо гидродинамическое
описание § б (выполнены условия квазинейтральности, с\ С с2
и т. д.). Рассмотрение таких колебаний дает представление о харак-
характере упругости плазмы. Обычный газ обладает только продоль-
продольной упругостью, в нем могут распространяться волны одного
типа — звуковые. Как показал впервые Альфвен [5, 4], проводя-
проводящая жидкость в магнитном поле по отношению к поперечным сме-
смещениям также обладает своеобразной упругостью, обусловлен-
обусловленной тем, что магнитные силовые линии ведут себя подобно натя-
натянутым упругим струнам. Возникающие в результате этого колеба-
колебания и волны называют магнитогидродинамическими.
Положим
q = Qo + q'; p = po + p'; в = во + в\ (8.11)
где нуликом отмечены равновесные невозмущенные значения,
а штрихом — малые возмущения. Скорость V тоже является малой
величиной.
Будем сначала пренебрегать всеми диссипативными процессами,
считая, что проводимость плазмы достаточно велика, вязкость
мала и т. д. (более точные критерии будут получены в следующем
разделе). Условие адиабатичности F. 37) дает в этом случае
р/дУ = const = P(/Qo, где у = 5/3 — показатель адиабаты. Поль-
Пользуясь выражениями (8. 11) и разлагая по малым величинам,
получим
У п i W°n' | РоУ(У-»)
(8.12)
где cs — скорость звука, определяемая соотношением
Пренебрегая в уравнениях непрерывности, движения и индук-
индукции всеми степенями малых возмущений выше первой, получим
следующую систему линеаризованных уравнений:
^H-QodivV-O; (8.14а)
260

(8. 146)
(8. 14в)
В уравнении индукции отброшен также холловский член, что
согласно оценкам § 6 справедливо при П > 1. В качестве харак-
характерного размера можно взять длину волны колебаний Я или лучше
обратное волновое число \lk =
= Я/2я, так что уравнение (8.14в)
справедливо при условии
П--=—щ1-»!- 8- 15
Будем искать решение урав-
уравнений (8. 14), в котором все воз-
возмущенные величины пропор-
пропорциональны е'<кг~ш'\ т. е. в
виде гармонических плоских
волн с частотой w и волновым
вектором к. Произвольное воз-
возмущение может быть разло-
разложено по Фурье и представлено
гармоник. Заменяя d/dt -> —/со,
Рис. 8.
виде суперпозиции
> /к, получим
- coq'/qo + (kV) = 0;
_ ay = - kc2sQ'/Qo - [Bo [кВ']]/4яе„;
— ©B' = [k[VB0]].
таких
(8. 16а)
(8. 166)
(8. 16в)
Согласно условию div В' = 0 переменное магнитное поле перпен-
перпендикулярно к волновому вектору. Выберем ось z вдоль вектора
В0 = Bozh, а ось у перпендикулярно к векторам Во и к (рис. 8).
Спроектировав уравнения (8.16) на эти оси, увидим, что вся
система уравнений разбивается на две независимые системы для
переменных Vy, Ву и для q', Vx, Vz, Bx, Вг. В уравнениях (8. 16)
мнимая единица выпала. Это значит, что в каждой волне q',
V, В колеблются «в фазе», т. е. все пропорциональны, например
cos (kr — tot).
Рассмотрим сначала первую систему. Так как k-V = 0, то
q' = 0 и, следовательно, р' = 0. Из уравнений (8. 16) получаем
(8. 17а)
(8. 176)
261

Условие разрешимости этой системы дает связь частоты с волно-
волновым вектором в виде
где сА — так называемая альфвеновская скорость;
Dяв0)'/.
Эта волна называется альфвеновской. Скорость и переменное
поле в ней перпендикулярны к Во и к и связаны соотношением
/1/2, (8.20)
а плотность и давление не колеблются, поэтому волна одинаково
распространяется в сжимаемой и несжимаемой жидкости.
Групповая скорость альфвеновских волн равна дт/дк =
= В 0 Dяс>0)~'/2 = cAh. Она не зависит от к, это значит, что соот-
соответствующие возмущения любых (но, конечно, не слишком малых)
масштабов, произведенные в каком-нибудь месте плазмы, перено-
переносятся со скоростью сА вдоль магнитных силовых линий.
Рассмотрим теперь вторую систему уравнений для V и В',
лежащих в плоскости Во, к. Магнитное поле перпендикулярно к к,
поэтому оно направлено по оси zx (см. рис. 8). Эту проекцию мы
обозначим просто В'. Проектируя уравнения (8. 16в) на гг и урав-
уравнение (8. 166) — на л: и г, получим
«>Q'/Q0 = kl]Vz + k±Vx; (8.21а)
соБ' Dяео)-1/2 = cAkVx; (8.216)
coVx = c2skxQ'/Qo + cAkB' Dя6о)-1/2; (8. 21в)
NVz = <ft|Q7Qo- (8. 21г)
Исключая q' и В', получим
('со2 - c\k\ - cAk2) Vx = c\k, kxVz; (8. 22a)
{«?-clk\)Vz = c2skbkxVx. (8.226)
Условие разрешимости этой системы дает
со* - W2 (С2 е + C2k^ + c\c\k2k\ = 0. (8. 23)
Отсюда находятся два "корня:
? = 4- (^+$ ± [4- ^+^ -cV^ ^} '/2 ¦ (8-24)
Эти волны получили название магнитозвуковых: быстрой назы-
называют волну со знаком плюс, медленной — со знаком минус.
При сА < cs одна из волн превращается в обычную звуковую волну
262

с частотой со = csk, а другая ведет себя как альфвеновская волна
с частотой (о = cAk. В несжимаемой проводящей жидкости cs -> оо
возможны, таким образом, две альфвеновские волны с разными
поляризациями.
Рассмотрим подробнее случай cs <^ сА. При этом частота быст-
быстрой волны равна
ш = cAk. (8. 25)
Групповая скорость равна фазовой и направлена по к. В этой
волне дви ение происходит в основном по оси х, возмущение
плотности мало. Из уравнений (8. 21) и (8. 22) получаем
Vx = ,, ; Vz = -f -Li v ; !L = _i _JL. (8. 26)
Медленная волна при cs < cA представляет собой звук, иска-
искаженный магнитным полем. Частота такой волны равна
co=cs?||. (8.27)
Движение в этой волне происходит в основном по оси z, возмуще-
возмущение магнитного поля мало:
So ~ cs ' V*- С2д k* V*> DjtQo)V. - cA k "*• ^-^
Групповая скорость тоже направлена по оси z, а не по к, как
в обычном звуке: dto/dk = cja. Эти возмущения переносятся вдоль
силовых линий, как по рельсам.
Колебания температуры выражаются через е':
¦? = ^l--el = (Y-l)-C (8.29)
Электрические поля определяются законом Ома. Согласно выра-
выражениям F. 28) в альфвеновской волне Е = Ех = —VyB0/c, в бы-
быстрой волне Е — Еу = VxBq/c. Эти выражения можно уточнить,
пользуясь выражением F. 18) без диссипативных членов и учи-
учитывая р'е/пе = yT0Q'/Q0. Тогда
(8-30)
Здесь второй член (холловский) меньше первого в ~П раз. Третий
член (потенциальное поле) отсутствует в альфвеновской волне,
а в быстрой — порядка (cf/c^)/n. В звуковой волне потенциальное
поле может быть и меньше и больше вихревого, но это не влияет
на уравнение индукции, так как туда входит rot E.
263

Энергию волн можно найти, подставив выражения (8. 11)
в общее выражение F. 35) и сохраняя члены второго порядка
малости. Пользуясь разложением (8. 12), получим
Ро , 4] , / cife' , B0B'
Y — 1 8я у ^ y — 1 4lT
1/2 c?o'2 S':
2(?о
(8. 31)
Здесь первая скобка представляет собой энергию невозмущенной
плазмы. Вторая скобка содержит осциллирующие члены, исче-
исчезающие при интегрировании по объему волны или при усреднении
по времени. Третья скобка дает энергию, связанную с волной.
Энергия электрического поля здесь не учитывается, так как она
гораздо меньше магнитной энергии:
ЕЧВ'2 ~ (VBo/cJ/4nQoV2 ~ с\\с2
— предполагается, что это отношение мало. Энергия волны,
приходящаяся на единицу объема, равна среднему значению
третьей скобки
+ + ^8 32^
Пользуясь уравнениями (8. 14), легко непосредственно убе-
убедиться, что усредненная по объему волны величина е сохраняется
в колебаниях. Энергия альфвеновской волны согласно выраже-
выражению (8. 20) равна
е = qov| = ?2y/4n. (8. 33)
Энергия быстрой магнитозвуковой волны при cs <^ сА приб-
приближенно равна
ё = QoV2x = В'2/4я. (8. 34)
Здесь опущена энергия давления и V2Z.
Энергия звуковой волны при cs <^ сА приближенно равна
в = Q,/* = c2sq'2/q0. (8. 35)
Здесь опущена магнитная энергия и V\.
В общем случае при произвольном c'JcA с помощью выражения
(8.. 24) легко показать, что справедливо соотношение
7 = 6оу =.~В72/4л f cl^/q,. (8. 36)
Затухание магнитогидродинамических волн. Диссипативные
эффекты, которые пока не учитывались, приводят к затуханию
колебаний. Энергия колебаний уменьшается со временем, переходя
в тепло. В результате ш становится комплексной: ш = wi — /а>2,
264

амплитуда колебаний уменьшается со временем пропорцио-
пропорционально е -ч>ъ{. Повторение предыдущих вычислений с учетом дисси-
пативных эффектов привело бы к громоздким выкладкам, однако
в наиболее интересном случае, когда затухание мало (оJ< щ),
его можно найти более простым и прямым путем (см. [3] § 77).
Обозначим: ш1 = со — вещественная частота; со2 = шб, где
б — логарифмический декремент затухания. Энергия волны (про-
(проинтегрированная по объему) пропорциональна квадрату ампли-
~ —2(об<
туды, и, следовательно, при затухании е = ехе , где ех =
= е (t = 0). Вследствие того, что часть энергии (энергия волны)
находится в плазме в «организованной» форме, энтропия плазмы
имеет некоторую отрицательную добавку —AS, которая с течением
времени затухает вместе с энергией волны: —AS = — (AS) 1e~2a>6t.
Когда вся энергия волны диссипирует, энтропия плазмы возрастет
на величину гх1Т0, следовательно, (А5)х = ех/Г0. Пользуясь
этим соотношением, легко, выразить декремент затухания через
dASIdt:
Величину dAS/dt можно вычислить с помощью уравнения
F. 38). При этом в случае слабого затухания можно в первом приб-
приближении пользоваться выражениями для всех величин в волне,
полученными выше без учета затухания. Как и рождение энтро-
энтропии F. 39), декремент затухания (8. 37) будет в этом случае выра-
выражаться в виде суммы членов, каждый из которых дает затухание
от какого-нибудь одного диссипативного эффекта:
О = бдж + Йвяз + °тепл -Г ^днф + • • • (8. 38)
Для применимости этих вычислений, а также приведенных выше
выражений частоты и поляризации (без учета диссипативных
эффектов) должно соблюдаться условие б <С 1.
Рассмотрим сначала затухание волн в простой плазме.
Альфвеновская волна. Учитывая фдж = j\al} +
+ /л/°х и j = (с/4я) / [кВ'], получим для альфвеновской волны
<2дж = (с2/4я) [k\ lax -
Отсюда, пользуясь соотношением (8. 37) и выражением е = В'2у/Ая,
находим
zcoo_m = -; ь2, 4- —а h» (R Зол
дж 4яа и KJ- ' 4яа, "" II ¦ 1°- °У)
4
В вязкой диссипации QBSJ3 = A/2) яар1^ор = A/2) V
р=0
265

существенны dVJdx = Wxy = ikj_Vy; dVJdz = Wyz = ik{l Vy. От-
Отличны от нуля тензоры Wla$ и W2a$, поэтому играет роль только
поперечная вязкость. Простые вычисления с помощью выраже-
выражений D. 42) или B.J21) дают*: Qa43 = (тц*1+Л«*1|) К
Учитывая е = QV2y, находим
2со6вяз = ~(т1]^ + т12^|). (8.40)
Колебаний плотности и температуры в альфвеновской волне нет,
поэтому бтепл = 0.
Быстрая магнитозвуковая волна. В этой
волне ток направлен по оси у поперек магнитного поля, поэтому
Одж — /2/0х = (с2/4я0х) k2 (В'2/4я). Отсюда, учитывая выраже-
выражение (8. 34), получаем
Скорость в этой волне направлена в основном по оси х и имеет
производные по х и по г, так что играют роль все три коэффициента
вязкости т]0, t\lt т]2. Вычислив QBil3 с помощью выражений (8. 37)
и (8. 34), получим
2шбвяз = J- [(J?. + ni)k\ + Ц2к\ ] . (8. 42)
Рождение энтропии вследствие теплопроводности равно
бтепл = -qW/T§ = QTeJT0,
где
QTe™ = ¦/ (v „ теу + -t (v±reJ + / (У n Tif + ^ (V±т()«.
¦"о 'о 'о 'о
Считая Те — Т( = Т', определяя Т'/То из выражения (8. 29)
и пользуясь формулами (8. 26) и (8. 34), получим, обозначив
х = хе + х':
1 )- (8-43)
Звуковая волна. Тем же способом с помощью выра-
выражении (8. 28) и (8. 35) получаем, считая V ^ Vz:
* Здесь при вычислении вязкой диссипации используются обозначения § 4.
Можно пользоваться непосредственно выражениями B. 21), но это менее удобно.
266

(8- 45)
2шбтепл = (y~JT" («,ft2y + хх?). (8. 46)
Из выражения (8. 46) температура выпадает, если подставить
cl = yp<jQo = Y B + 1) Tfjtnt. Если теплопроводность электро-
электронов очень велика, то выражения (8. 43) и (8. 46) надо изменить.
При хе -> оо движение электронов изотермическое, а не адиаба-
адиабатическое, поэтому можно считать, что у них показатель «адиабаты»
равен Y, = 1. При этом электронные члены выпадают из выраже-
выражений (8. 43) и (8. 46) и, кроме того, несколько изменяется скорость
звука: 4 = (ре + ypt)/Q = (Z + у) TJmr
Столкновения с нейтралами. При наличии
нейтрального газа тепло трения увеличивается, так как электроны
сталкиваются не только с ионами, но и с нейтралами и, кроме того,
что еще важнее, выделяется тепло от трения между ионами и ней-
нейтралами. Этот эффект рассматривался в работах [29, 35, 36].
Кроме того, в выражения для бвчз и б,епл войдут коэффициенты
вязкости и теплопроводности с учетом нейтрального газа; при
малой степени ионизации они изотропны.
Затухание от трения в тройной смеси е, i, n можно вычислить,
пользуясь выражением G. 17). В вычисленные выше выражения
для бдж надо теперь подставить о согласно выражению G. 13).
Кроме того, в декремент затухания войдет еще один член, который
мы назовем диффузионным 6диф. Он появляется от столкновений
ионов с нейтралами и связан со вторым членом в выражении
G. 17):
<2д«Ф = ^ { ? [J"B] ~ G F ; G =
В альфвеновской волне G = 0; в быстрой магнитозвуковой
волне отношение G к первому члену в фигурных скобках порядка
\f\\c\. Пренебрегая G, получаем <2диф = (Ъ2пВУа„са) ]\ . Это
выражение имеет такой же вид, как и джоулево тепло, поэтому
можно, не повторяя вычислений, сразу найти затухание с помощью
выражений (8.39) и (8.41), подставив туда \/а*± = 1Ат + 1^2/а„с2
вместо 1/а. Столкновения ионов с нейтралами в этом случае просто
увеличивают эффективное поперечное сопротивление.
Выпишем отдельно диффузионное затухание для альфвеновской
и для быстрой магнитозвуковой волны:
c2k2 g2fi2
2о)бдиф = -~ —~ (альфвеновская волна); (8.47а)
с2&2 Е2В2
2*>одиф = —-J^ (быстрая волна). (8.476)
267

Пусть mt = тп и можно пренебречь аеп по сравнению с а1п. Тогда
диффузионное затухание больше джоулева в 2 \п<ьехещх1п раз,
где l/xin = ain (щ + пп). Оба выражения (8.47а) и (8.476)
при этом приводятся к виду
вднф^ют,,, (/!„/«,). (8.48)
Оценивая величину диффузионной скорости, найдем
— to^inif — эта величина должна быть мала для применимости
полученных выражений.
В звуковой волне оба члена в фДИф одного порядка. Пусть
mi — тт тогда G = ErtVpe. Вычисления с помощью выражения
(8. 28) дают Vpe = ik (пе/п0) QocsVz, где п0 = пе + щ + пп;
[]В]/с = ik±QocsVz и далее обычным путем получаем
(8.49,
Во втором равенстве мы пренебрегли o.en/ain и подставили о> =
При наличии нейтрального газа бдиф часто может давать основ-
основной вклад в затухание.
Столкновения между разными ионами.
Если плазма содержит ионы с разными величинами elm, то эти ионы
двигаются в волне с несколько отличающимися скоростями, и тре-
трение между ними тоже вызывает затухание волны.
Рассмотрим случай щ%{ = efilmf > 1. Здесь можно взять
выражение G. 27) для диффузионной скорости ионов. Для альфве-
новской и быстрой магнитозвуковой волны, пренебрегая давле-
давлением, получим
h—1 - — -^L
dt\ ~ В
Подсчитав тепло трения QTP = a12w2 (учитываем только столкно-
столкновения между ионами), получим для этих типов волн
или по порядку величины бДИф ~- о)/ш?т(-. Это затухание слабее,
чем затухание от столкновений с нейтралами, так как в основном
ионы двигаются со скоростью электрического дрейфа, которая
у них одинакова.
268

ПРИЛОЖЕНИЕ
Столкновительный член для упругих столкновений имеет вид [1, 2, 3]
Cab (fa, fb) = j{/a (v') fb{v'b) - /„ (v) fb (v6) } udodvb. (П. 1)
Здесь da = a (u, #) do — дифференциальное эффективное сечение рассеяния
в элемент телесного угла do = sin $d$d<p при столкновении частиц с относитель-
относительной скоростью и = | v — \ь\. Перед столкновением частиц а с частицами Ь пер-
первые имеют скорость v, вторые — скорость v?. Их скорости после столкнове-
столкновения v', \'b связаны с v, v;, законами упругого удара (законами сохранения
импульса и энергии). Второй член в фигурных скобках дает уход частиц а из эле-
элемента объема dv в пространстве скоростей около v в результате столкновений
с частицами Ь; первый член дает приход в этот элемент объема. Картина столк-
столкновения частиц а, Ъ со скоростями va, vb проще всего выглядит в системе коор-
координат, где их суммарный импульс равен нулю: таха -\- mb\b = 0. Введя отно-
относительную скорость u = va — \b, получим в этой системе \а = ть (та -\-
+ пц,)'1»; \ь = — та (та + тьуь-и; mav2J2 + mbv\ /2 = таЬи?12, где таЬ =
= тать(та-\- т./,)'1 — приведенная масса. После соударения относительная
скорость вследствие закона сохранения энергии не меняет своей величины:
и = | va — v& | = |va —vb\, а может только повернуться на некоторый угол д.
Больцмановское выражение (П. 1) для столкновительного члена, строго
говоря, не годится для кулоновских столкновений. Формально это проявляется
в том, что подстановка вместо da резерфордовского сечения приводит к расхо-
расходящимся интегралам. Если, однако, обрезать эти интегралы, как указано в § 4,
то выражение (П. 1) дает те же результаты, что и выражение столкновитель-
столкновительного члена, полученное Ландау.
Подсчитаем силу трения Raj, испытываемую газом частиц а при столкнове-
столкновении с частицами Ъ, причем оба сорта частиц обладают максвелловскими рас-
распределениями с одинаковыми температурами, но с разными средними скоро-
скоростями Va и V(,. Обозначим U = Va — Vb и предположим, что этот сдвиг мал
по сравнению со скоростями относительного движения частиц U <g (Т/таЬУ^2.
Сила трения равна
Rab = j ma\Cab (fa, fb)d\.
От системы координат она не зависит. Будем вычислять ее в системе, где Va = 0,
\b = — U. В этой системе координат fa = /°, а fi,, разложив по степеням U,
можно представить в виде-
fb=fb-{mbIT)(\]vb)fb.
Подстановка fa, /j) в Raf, дает, очевидно, нуль, так что
Здесь СаЬ дается выражением (П. 1) и представляет собой вектор, зависящий
от v (по \ь проинтегрировано). Так как этот вектор не содержит никаких век-
векторных параметров, кроме самой скорости v, то он имеет вид уА (v) или в ком-
компонентах VpA (v), где A (v) — скалярная функция от величины скорости. Произ-
Производя под интегралом усреднение по углам и пользуясь соотношением vaVg =
= (tJ/3) 6ap, получим
зт
269

Подставим сюда Cab согласно выражению (П. 1) и воспользуемся соотноше-
соотношением j°a (i/) }°b (v'b} = fa (va) fb(vb), которое следует из закона сохранения
энергии при столкновениях (пишем va вместо v для симметрии записи). Тогда
Rab = - -» V J /» /Яр {v'bfi - щ] udadvadvb.
Для вычисления интеграла перейдем от переменных va, vb к скорости центра
тяжести vc и к относительной скорости и:
Легко убедиться, что d\ad\b - d\cd\i и /° /° = яагг&/° /°,
где
/ij e
2пТ
Интегрирование по d\c легко выполняется, в результате член \с из ve выпадает,
а интегрирование f°c дает единицу. Рис 9 непосредственно показывает, что
Ир («g— u'^j = и2 A—cosd), и мы окончательно получаем
Rab = — nanbmaba'ab\}, (П. 4)
где
aa6 = ~W" u3aabf°udu' (П- 5)
, О). (П. 6)
При о'аЬ — а'аЬ1и отсюда получается выражение G. 4); при ааЬ = const полу-
получается выражение G. 5). Подставив в выражение (П. 6) резерфордовское сечение,
получим расходящийся интеграл, обрезание которого дает выражение G. 6).
Аналогично можно вычислить тепло трения Qab, выделяющееся в газе
частиц а при столкновениях с частицами Ъ, когда оба сорта частиц обладают
максвелловскими распределениями с одинаковыми температурами и малым сдви-
сдвигом U. В выражении
Qab= \—X-^Cab(fa> fb) dva
J l
произведем разложение по сдвигу до квадратичных членов:
Отличный от нуля вклад дает только последний член:
mm2 С
Qab = -^fi- иаи& f°aj°bv2a [v'bav'bfi - vbavb&} udodvadvb.
Произведя замену va, vb -> vc, u, после простых вычислений получим
Q"* = m "^l», nanbmabaabU2. (П. 7)
270

Выражение для Qba получается отсюда перестановкой индексов. Легко
видеть, что Qab + Qba = — Ra(,U, причем полное тепло, выделяющееся при
трении, распределяется между компонентами обратно пропорционально их
массам.
ЛИТЕРА ТУРА
1. ЧепменС, КаулингТ. Математическая теория неоднородных газов.
М., Изд-во иностр. лит., 1960.
2. ЗоммерфельдА. Термодинамика и статистическая физика. М., Изд-во
иностр. лит., 1955-
3. Ландау Л., Лифшиц Е. Механика сплошных сред. М., Гостехиздат,
1946.
4. Ландау Л., Лифшиц Е. Электродинамика сплошных сред. М., Гос-
Гостехиздат, 1957.
5. Альфвен X. Космическая электродинамика. М., Изд-во иностр. лит.,
1952.
6. Спитцер Л. Физика полностью ионизованного газа. М., Изд-во иностр.
лит., 1957.
7. Каулинг Т. Магнитная гидродинамика. М., Изд-во иностр. лит., 1959.
8. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические
методы в теории нелинейных уравнений. М., Физматгиз, 1958.
9. Де-ГроотС. Р. Термодинамика необратимых процессов. М., Гостех-
Гостехиздат 1956.
10. П е н и н г Ф. Электрические разряды в газах. М., Изд-во иностр. лит., 1960.
10а. Финкельбург В., Меккер Г. Электрические дуги и термическая
плазма. М., Изд-во иностр. лит., 1962.
106. Половин Р. В., Черкасова К- П. «Ж. эксперим. и теор. физ'.»,
32, 649 A962).
П. Ландау Л. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 7, 203 A937).
12. Каулинг Т. Г. Электропроводность ионизованного газа в магнитном
поле с применениями к солнечной атмосфере и ионосфере. В сб.: «Современ-
«Современные проблемы астрофизики и физики Солнца». М., Изд-во иностр. лит., 1951.
13. Ландсгоф Р. Явления переноса в полностью ионизованном газе при
наличии магнитного поля. В сб.; «Проблемы современной физики», № 2,
М., Изд-во иностр. лит., 1956.
14. С п и т ц е р Л., Хэрм Р. Явления переноса в полностью ионизованном
газе. В сб.: «Проблемы современной физики», № 2. М., Изд-во иностр.
лит., 1956.
15. Т а м м И. Е. Теория магнитного термоядерного реактора. В сб.: «Физика
плазмы и проблема управляемых термоядерных реакций». Т. I. M., Изд-во
АН СССР, 1958.
16. Ф р а д к и н Е. С. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 32, № 5, 1176 A957).
17. Б р а г и н с к и й С. И. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 33, № 2, 459 A957).
18. Б р а г и н с к и й С. И. Потоки частиц и тепла поперек сильного магнит-
магнитного поля в полностью ионизованной двухтемпературной плазме. В сб.:
«Физика плазмы и проблема управляемых термоядерных реакций». Т. 1.
М., Изд-во АН СССР, 1958.
19. БеляевС. Т. Кинетика ионизованного газа в сильном магнитном поле. •
В сб.: «Физика плазмы и проблема управляемых термоядерных реакций».
Т. III. M., Изд-во АН СССР, 1958.
20. LongmireC. L., R о s е п Ы u t h M. N. Phys. Rev., 103, No. 3, 507
A956).
21. К а nek о S. J. Phys. Soc. Japan, 15, No. 9, 1685 A960).
22. Kauf m ann A. N. Phys. Fluids, 3, No. 4, 610 A960).
22a. H e r d a n R., L i 1 e у В. S. Rev. Mod. Phys., 32, No. 4, 731 A960).
226. Robinson В. В., Bernstein Т. В. Annals of Physics, 18, No. 1,
110 A962).
23. В о h m D. The Characteristic of Electrical Discharges in Magnetic Fields,
ed. by A. Guthrie and R. K. Wakerling. N. Y., 1949.
23a. S p i t z e r L. Jr. Phys. Fluids, 3, 600 A960).
271

24. Шлютер А. Динамика плазмы. I. Основные уравнения, плазма в скре-
скрещенных полях. В сб.: «Проблемы современной физики», № 2. М., Изд-во
иностр. лит., 1956.
25. Шлютер А. Динамика плазмы. II. Плазма с нейтральным газом. В сб.:
«Проблемы современной физики», № 2. М., Изд-во иностр. лит., 1956.
26. S с h I u t e r A. Ann. d. Phys., 6—10, 422 A952).
27. S p i t z e r L. Уравнения движения для идеальной плазмы. В сб.: «Про-
«Проблемы современной физики», № 2. М., Изд-во иностр. лит., 1956.
28. Б р а г и н с к и й С. И. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 33, № 3, 645 A957).
29. Lehnert В. Suppl. Nuovo Cimento, 13, No. 1 A959).
30. Давыдов Б. И. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 7, 1069 A937).
31. Брагинский С. И., ШафрановВ. Д. Плазменный шнур при нали-
наличии продольного магнитного поля. В сб.: «Физика плазмы и проблема управ-
управляемых термоядерных реакций». Т. II. М., Изд-во АН СССР, 1958.
32. Л е о н т о в и ч М. А., О с о в е ц С. М. «Атомная энергия», 3, 81 A956).
33. Брагинский С. И., Мигдал А. Б. Процессы в плазменном столбе
при быстром нарастании тока. В сб.: «Физика плазмы и проблема управ-
управляемых термоядерных реакций». Т. II. М., Изд-во АН СССР, 1958.
34. Брагинский С. И., ГельфандИ. М., Федоренко Р. П. Тео-
Теория сжатия и пульсаций плазменного столба в мощном импульсном разряде.
В сб.: «Физика плазмы и проблема управляемых термоядерных реакций».
Т. IV. М., Изд-во АН СССР, 1958.
35. Р i d d i n g t о n J. H. Monthly Notices Roy. Astron. Soc, 94, 638, 651 A954).
36. Франк-КаменецкийД. А. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 30, № 8
893 A960).
37. Кадомцев Б. Б. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 33, 151 A957).
38. СивухинД. В. Дрейфовая теория движения заряженной частицы в элек-
электромагнитных полях. См. наст, сб., стр. 7.
39. Т р у б н и к о в Б. А. Столкновения частиц в полностью ионизованной
плазме.- См. наст, сб., стр. 98.

ТЕРМОДИНАМИКА ПЛАЗМЫ
А. А. Веденов
В работе рассматриваются вопросы статистической термодинамики плазмы —
системы частиц с кулоновским взаимодействием. Задачей статистической термо-
термодинамики является вычисление термодинамических функций системы взаимо-
взаимодействующих частиц, находящейся в тепловом равновесии. Проще всего эта
задача решается, как известно, в случае, когда взаимодействие между частицами
мало, т. е. когда они образуют идеальный газ.
Термодинамические величины иеидеальных систем практически вычислить
невозможно, если нет малого физического параметра, по которому можно вести
разложение интересующих нас величин. По этой причине мы будем изучать
лишь слабо-неидеальные газовые системы с кулоновскими силами, Малым
параметром задачи в этом случае является отношение f/r средней амплитуды
кулоновского рассеяния f ~ е2/Е (Е — средняя энергия частиц плазмы)
к среднему расстоянию между частицами г~и~*'• (и — плотность частиц
плазмы). Термодинамический потенциал плазмы может быть разложен по
этому малому параметру, и мы будем интересоваться основными членами
этого «вириального» разложения.
§ 1. Классическая система с кулоиовским взаимодействием
Рассмотрим термодинамические функции системы с кулонов-
скиЙ взаимодействием между частицами в классическом случае.
Под классическим подразумевается такой случай, когда система
подчиняется больцмановской статистике (т. е. эффекты вырожде-
вырождения предполагаются несущественными) и, кроме того, движение
частиц этой системы может быть описано в рамках классической
механики.
Такое описание справедливо при выполнении двух неравенств:
X <^ г и X <^ /, где X -— средняя де-бройлевская длина
волны частиц (v — средняя тепловая скорость), г — среднее
расстояние между частицами, a f — средняя амплитуда рассеяния
(равная по порядку величины корню квадратному из среднего
эффективного сечения рассеяния). Первое из этих неравенств
приводит к малости эффектов квантовой статистики, а второе
указывает на применимость классической картины для описания
столкновений, т. е. взаимодействия частиц.
18 Вопросы теории плазмы 273

Как отмечено выше, мы будем рассматривать случай, когда
система близка к идеальной, т. е. обусловленные взаимодействием
поправки к термодинамическим величинам малы по сравнению
с этими величинами.
Говоря о классических системах с кулоновским взаимодей-
взаимодействием, необходимо заметить, что в таких системах взаимодей-
взаимодействие между частицами является кулоновским лишь на больших
расстояниях. На близком расстоянии потенциал взаимодействия
частиц V должен отличаться от кулоновского. Действительно,
статистический интеграл
Г -р 2 vtk
je i.k \[dxl
сильнейшим образом расходится из-за роста подынтегрального
выражения на малых расстояниях, если между некоторыми части-
частицами действуют силы притяжения, обратно пропорциональные-
квадрату расстояния между ними. Это означает, что чисто класси-
классическое рассмотрение системы с V ~ — некорректно (см. § 2).
Поэтому, ограничиваясь здесь классическим рассмотрением, будем
считать, что на малых расстояниях между двумя частицами дей-
действуют силы отталкивания, переходящие при удалении одной
частицы от другой в кулоновские силы притяжения или отталки-
отталкивания в зависимости от знака заряда обеих частиц.
В рассматриваемой задаче имеются три характерные длины:
радиус действия сил отталкивания а, средняя амплитуда рассея-
рассеяния в кулоновском поле еУТ и среднее расстояние между части-
частицами г *.
Если а и еУТ, характеризующие взаимодействие, малы по
сравнению со средним межчастичным расстоянием г, то система
мало отличается от идеальной. При этом формально можно счи-
считать малым параметром задачи плотность газа п — г и попы-
попытаться найти разложение термодинамических функций исследуе-
исследуемой кулоновской системы по малому параметру п. Если в первом
приближении пренебречь обеими характеризующими взаимодей-
взаимодействие длинами, считая отношения а/г и еУТг равными нулю, то
мы придем к термодинамическим функциям идеального газа.
Нас же будут интересовать в дальнейшем первые члены разложе-
разложения искомых термодинамических функций по а/г и еУТг, т. е.
по плотности частиц п.
Для решения этой задачи нам понадобится бинарная корре-
корреляционная функция К (хь х2), представляющая собой вероят-
вероятность нахождения частицы 2 в точке х2) если частица 1 находится
в точке хх. С помощью функции К (хь х2), зависящей в случае
* Среднюю де-бройлевскую длину волны X в классическом случае можно
считать равной нулю.
274

центральных сил лишь от расстояния | хх — х21 между частицами 1
и 2, можно найти термодинамические функции произвольной
классической системы с парным взаимодействием. Для этого можно
воспользоваться, например, одной из двух следующих формул *:
для свободной энергии F единицы объема
и2 С С kv
о
и для давления Р
%^К(х). A.2)
Для смеси газов с плотностями па формула A. 1) принимает
вид
1
\^ $x). A. la)
Здесь Fo — свободная энергия идеального газа, а индекс XV
функции К. означает, что она должна быть найдена для случая,
когда потенциал взаимодействия между частицами равен XV.
Второй член формулы A. 1) представляет собой изменение энер-
энергии системы при адиабатическом включении взаимодействия.
В формуле A. 2) второе слагаемое также обусловлено силами
взаимодействия частиц: оно выражает отклонение уравнения
состояния системы с взаимодействием от уравнения Клапейрона.
Корреляционная функция К (х) для малых расстояний между
частицами х равна функции больцмановского распределения в поле
с потенциалом V (х)
As = e . A.6)
Если мы воспользуемся ¦ выражением A. 3) для нахожде-
нахождения по формуле A. 1) или A. 2) поправки к давлению или свобод-
свободной энергии, то получим бессмысленные бесконечные выражения,
связанные с медленностью убывания на больших расстояниях
величины
Ks—l~e2/Tx.
(эта величина представляет собой обусловленную взаимодействием
поправку к корреляционной функции идеального газа, тожде-
тождественно равной единице). Чтобы избежать этого, необходимо учи-
учитывать так называемое «дебаевское экранирование» потенциала
еУх на больших расстояниях (см. задачу 3). Для определения
* См. 1 и 2 задачи в конце этого параграфа.
18* 275

этого экранированного потенциала U можно воспользоваться
наряду с уравнением
Ki— I = е~*и~ Is- — pi/ A.4)
законом Пуассона, связывающим потенциал U с плотностью соз-
создающих его зарядов: точечного заряда е в начале координат
и вероятностным распределением зарядов с плотностью eKt
Л?/=- 4ле(-еб (х) — Це/С,)*. A.5)
Подставляя сюда Kt из уравнения A. 4), получим следующее
уравнение для U:
AU — U/D* -—4яе*в(х) A.6)
(где «дебаевский радиус» D равен |/Т/4лБпе2 и значительно пре-
превышает среднее расстояние между частицами). Отсюда найдем
экранированный потенциал
U = ^~"D A.7)
и корреляционную функцию на больших расстояниях (х > а;
арН 2~' ^ '
¦~X/D. A.9)
Следует заметить, что выражения A.3) и A. 8) совпадают
в области, где а « jc « D, когда, с одной стороны, потенциал U
является уже кулоновским, а с другой — дебаевское экранирова-
экранирование еще несущественно. Таким образом, формулы A.3) и A.8)
для Ks и Ki полностью определяют корреляционную функцию
в нужном нам приближении.
Теперь можно воспользоваться формулой A. 1) или A. 2)
для определения различных термодинамических функций системы
с помощью найденной бинарной корреляционной функции К-
Получим, например, с помощью формулы A. 2) первые члены раз-
разложения давления разреженной классической кулоновской си-
системы по плотности частиц п. Разобьем в выражении A. 2) область
интегрирования по х на две: от нуля до некоторого значения R
и от R до бесконечности. Значение R выберем так, чтобы
a<^R<^D. A.10)
Тогда в первой области для корреляционной функции К можно
использовать выражение A.3), а во второй области — корреля-
* Сумма берется по различным сортам зарядов.
276

ционную функцию A. 8) для больших расстояний. Подставляя
эти выражения в формулу A. 1а), получим
J
|<
j dxVkfiK(№). A.11)
x|>«
Г ~ fo + 2 Zl a P J \
Производя интегрирование в последнем слагаемом правой части
выражения A. 11) и считая в соответствии с неравенствами A. 10)
отношение R/D малым по сравнению с единицей, получим
2Lynn Г dxfe43 l) -T—IA- -*-
Z P J — i; — ^ — 2?)
A.12)
Заметим теперь, что при изменении R от значения, удовлетво-
удовлетворяющего неравенствам A. 10), до R = со выражение A. 12),
являющееся функцией R, меняется лишь на величину порядка
п2Т (Ре2K, оставаясь конечным. Поэтому, пренебрегая членами
этого порядка в разложении F по плотности п, можно устранить
неопределенность в выборе R в выражении A. 12), если перейти
к пределу R ->- со:
Т . I с \л
jg- + lim j — 2пТ j r dr 2j>
^ о ар
TR , j
Таким образом, для классической кулоновской системы мы
получили первые члены разложения по плотности
F — Fo = Ап*1> + Вп2 1пп + Сп2. A. 14)
Это разложение аналогично известному вириальному разложению
для газовых систем с короткодействующими силами:
F — Fo = В2п2Т + ••• A. 15)
Здесь F0 — свободная энергия идеальной плазмы (без учета взаи-
взаимодействия), а слагаемое Ап3/' — так называемая «дебаевская
поправка» к свободной энергии.
Характерным отличием разложения A. 14) от обычного вири-
ального разложения является наличие не только дробных степеней
277

плотности п, но также и появление множителей In n, содержащих
плотность под знаком логарифма. В частном случае системы заря-
заряженных частиц, для которой выполняется соотношение
логарифмический член в разложении по плотности исчезает, так
что
F — Fo = An3'* + Сп\
Переход к случаю короткодействующих сил в выражениях
A. 13) — A. 14) можно произвести, положив е = 0 и устремив
затем R -> со. При этом мы получаем первые члены разложения
A. 15) и значение второго вириального коэффициента
ЗАДАЧИ
1. Выразить свободную энергию классической системы N частиц с централь-
центральным парным взаимодействием V([xj—х2|) через бинарную корреляционную
функцию К (| хх — х2 | )•
Дифференцируя выражение для свободной энергии системы со взаимодей-
взаимодействием XV (|Х!— Х2|)
Г Г
F (А,) = —TlnJ ••• J
> dxr.-dxAr
по параметру X, находим
(| Xl - x2 |) K{XV) (xj - x2),
e dxj ¦ • • dx,y
бинарная корреляционная функция для взаимодействия XV.
Интегрируя уравнение A. 16) поX в пределах от 0 до 1 и учитывая, что F @) —
свободная энергия идеального газа (так как при X = 0 взаимодействие «выклю-
«выключено»), а Л7со = п, приходим к формуле A. 1).
* Кулоновская система с ^"а еа= ® называется симметричной.
278

2. Получить уравнение состояния классической системы, если известна
бинарная корреляционная функция К (| х1 — х2 |).
Применим известную из механики теорему вириала
(где символ < ¦ • •> означает усреднение, f — сила, a t — кинетическая энергия)
к системе N взаимодействующих частиц, находящихся в замкнутом объеме ш.
В этом случае
ы
а вириал 2 f (xft) х* складывается из вириала сил взаимодействия
к>1
(где х« = х? — х/) и вириала сил давления на частицы со стороны стенок сосуда
J Pnxdo = ЗЯш
(где п — нормаль к стенке, а Р ¦— давление), так что
Производя усреднение в выражении A. 17) с помощью формулы
получаем уравнение A. 2):
3. Найти выражение для бинарной корреляционной функции почти идеаль-
идеальной ипассической кулоновской системы, исходя из распределения Гиббса
-Р 2 Vm
k
efi\ , ¦ ¦ A.18)
Дифференцируя A. 18) по Р и интегрируя получающееся равенство
по dxs+1-. -dxjv, получим следующую систему уравнений для корреляционных
функций:
Fs(xv--xs) =
ДГ2
Г Vs+1, s+2Fs+2dxs+1dxs+2 = 0. A. 19)
279

где Vs = 2 Vik\ N — число частиц (объем системы принят равным
KKki
единице); N > 1; N > s.
Будем искать решение системы A. 19), предполагая, что корреляция между
частицами мала. Это означает, что в первом приближении в корреляционной
функции комплекса s частиц Fs можно учитывать лишь парные корреляции
частиц комплекса, так что в этом приближении
G13 + G23 -j- G12G1S + • ¦ •
G13 f G14 + G23 + G24 + G34 + Gi2Gi3 + G12GU
Подставляя эти выражения в одно из уравнений A. 19) cs^2 (например,
в уравнение с s = 2), получаем уравнение для функции G:
О = J + Vab + 2 j ^ ncGacVcbdxc + J 2 WdGacGbdVcduXcted, A- 20)
с ' с, d
где сумма берется по различным сортам заряда. Ищем решение в виде Ga\, =
= " &а G (| ха — хь |). Тогда для компоненты Фурье g (k, р) функции G (х, Р)
из равенства A. 20) получается уравнение
Решая его с граничным условием g (k, 0) = 0*, находим
F аЬ = 1 — •
где
§ 2. Квантовая система с кулоновским взаимодействием
Как было отмечено в предыдущем параграфе, рассмотрение
неидеального газа с кулоновским взаимодействием в рамках клас-
классической статистической термодинамики невозможно (что видно
уже из расходимости статистического интеграла при наличии
кулоновского притяжения). Это связано с тем, что в случае, когда
взаимодействующие по закону Кулона частицы находятся на не-
* Соответствующим полному исчезновению корреляции при бесконечном
повышении температуры.
280

большом расстоянии одна от другой, их относительное движение
следует описывать квантовомеханически, а не с помощью законов
классической механики; по этой причине и при нахождении термо-
термодинамических функций кулоновской системы нужно вычислять
не статистический интеграл, а квантовомеханическую статисти-
статистическую сумму.
Однако для нахождения первых членов разложения термоди-
термодинамических потенциалов несимметричной B пе3 =? 0) плазмы
по плотности п можно воспользоваться в основном классическим
расчетом, поскольку эти члены оказываются слабо зависящими
от квантового параметра задачи, содержащего постоянную
Планка й.
Как и в классическом случае, в рассматриваемой задаче уча-
участвуют три характерные длины: среднее расстояние между час-
частицами г, средняя кулоновская амплитуда рассеяния е2/Т и длина Я,
содержащая постоянную Планка. В качестве Я можно выбрать,
например, среднюю де-бройлевскую- длину волны частиц Н/пги,
где и — средняя тепловая скорость частиц.
Мы будем рассматривать здесь случай разреженной плазмы,
когда г > Ар-". т > Я. Что е касается отношения -^т- —J—, пред-
А I К flit
ставляющего собой известный параметр квантовомеханической
задачи о движении частицы в кулоновском поле, то мы будем
считать его по порядку величины равным единице.
Возможность использования классического метода для нахож-
нахождения первых членов разложения термодинамических функций
по п связана с дальнодействующим характером кулоновских сил.
Действительно, бинарная корреляционная функция заметно отли-
отличается от единицы вплоть до расстояний порядка дебаевского
радиуса D, значительно превышающего в разре енной плазме
длины Я и е2/7\ Поэтому имеется большая область значений х
Я « х < D,
которая вносит основной вклад в интегралы A. 1) или A. 2)
и в которой квантовыми эффектами можно пренебречь. Учесть же
квантовые эффекты можно следующим образом: поскольку на рас-
расстояниях х — Я полученное в предыдущем параграфе выраже-
выражение A.8) для корреляционной функции уже несправедливо, инте-
интегрирование по л; в формуле A. 1) следует вести не от х = 0, а от
Подставляя в выра ение A. 1а) бинарную корреляционную
функцию A. 8) и интегрируя, получим (удерживая члены ~ n2 In n
и пренебрегая членами порядка л2):
р — р ' _|_ " / V и РЪ \ In (О 1 \
0 12nD3 ' ЗГа l?"ctea m х • К*-1)
V а /
281

Мы видим, что для несимметричной плазмы в первые члены
разложения F по плотности квантовая длина А, входит лишь под
знаком логарифма, так что в нашем приближении, когда учиты-
учитываются только члены порядка п3/2 и я2 In n, точное значение Я
несущественно.
Как указывалось выше, квантовые эффекты в системе многих
частиц проявляются двояко: во.-первых, если де-бройлевская
длина волны частиц К не мала по сравнению с амплитудой рассея-
рассеяния, то взаимодействие частиц в газе нужно описывать с помощью
квантовой механики; во-вторых, если % становится сравнимой
со средним расстоянием между частицами г, необходимо учиты-
учитывать вырождение, пользуясь квантовой статистикой.
До сих пор в § 2 мы учитывали квантовые эффекты только
первого типа. Посмотрим теперь, какой вид принимают разложе-
разложения термодинамических потенциалов в условиях, когда сущест-
существенно вырождение.
При увеличении Я, вырождение становится существенным
прежде всего для электронов. Ионы же из-за их большой массы
имеют очень короткую длину волны, и их вырождением мы будем
пренебрегать. Поправка к термодинамическому потенциалу идеаль-
идеальной плазмы Q *, возникающая из-за взаимодействия зарядов
плазмы, состоит в рассматриваемом случае из двух членов, кото-
которые можно назвать «дебаевским» и «обменным».
«Дебаевский» член обусловлен взаимодействием зарядов на зна-
значительно больших расстояниях, чем средняя амплитуда рассея-
рассеяния. Как в классической кулоновской системе, так и в разрежен-
разреженной плазме «дебаевская» поправка к термодинамическому потен-
потенциалу имеет вид
где D — дебаевский радиус. Следует, однако, иметь в виду, что
в газе, где существенны эффекты вырождения, дебаевский радиус
определяется выражением
* Термодинамический потенциал й используется в статистике Гиббса с пере-
переменным числом частиц и определяется формулой (см., напр., Л. Д. Л а н д а у,
Е. М. Л и ф ш и ц. Статистическая физика. М., Гостехиздат, 1951)
й (ц, Г, со) = — Т In Sp exp — (н — %)/7\
где Н — гамильтониан системы; N — оператор полного числа частиц, а ц —
химический потенциал. Зная Q, можно найти уравнение состояния, теплоемкости
и т. п. с помощью соотношений
dQ - _ Л/, р - _ Q • dQ _ с
ф ~ N'^~ со ' ~5Т " •
282

переходящим в классическое Dя|3 2 ле2)-1^ лишь в разреженном
газе (когда А, < г и применима больцмановская статистика).
«Обменную» поправку к термодинамическому потенциалу мо но
получить посредством усреднения выражения для энергии элек-
электростатического взаимодействия электронов мегду собой, причем
усреднение можно проводить по состояниям идеального газа,
поскольку мы интересуемся малыми поправками к термодинами-
термодинамическим потенциалам:
Spe-P(i?.-^)
PP'V ~ ч ; B.4)
4 ч~
Так как оператор кинетической энергии имеет вид
Но= S\epafap, где вр = -~, то при усреднении в выражении
р
B. 4) дадут вклад лишь те члены суммы, в которых р' = р + q.
Производя статистическое усреднение с помощью формулы
-Э (но-йц) +
Spe араР 1 /9 сч
Найдем выра ение для «обменной» поправки:
B.6)
Складывая «дебаевский» и «обменный» члены, получим формулу
для поправки к термодинамическому потенциалу Q, обусловлен-
обусловленной кулоновским взаимодействием частиц в плазме с вырожден-
вырожденными электронами:
Ш - Q - Qo = - ^- J l/.w.dpdq - -j^-. B.7)
В предельном случае сильного вырождения, когда X — г,
обменная поправка равна по порядку величины еУг (на одну час-
частицу) и значительно превышает дебаевскую. Нужно сказать, что
в этом предельном случае формула B. 7) применима только
к плазме высокой плотности. Это ограничение следует из того, что
обменная поправка eVr должна составлять лишь небольшую часть
кинетической энергии, равной по порядку величины fi2/mr2,
283

а это возможно только в том случае, когда среднее расстояние
между частицами значительно меньше радиуса Бора
В почти невырожденной плазме, где I < г, основной вклад
в формулу B. 7) вносит дебаевский член; обменный член при этом
уменьшается и становится по порядку величины равным е2к2/г3.
Мы видим, таким образом, что наряду с понижением энергии
плазмы, связанной с дальнодействующим характером кулонов-
ского взаимодействия [дебаевская поправка в формуле B. 7)],
в квантовой плазме возникает дополнительное уменьшение энер-
энергии обменного типа.
§ 3. Степень ионизации плазмы
При повышении температуры нейтральный газ частично иони-
ионизуется. Если получающаяся при этом неполностью ионизованная
плазма находится в состоянии полного термодинамического равно-
равновесия, то степень ионизации мо ет быть найдена из условия мини-
минимальности свободной энергии системы. Рассмотрим случай, когда
средняя де-бройлевская длина волны электронов в плазме зна-
значительно меньше среднего расстояния между ними, т. е. когда
электроны можно описывать с помощью больцмановской статис-
статистики. Предполо т/им, что средняя энергия частиц плазмы значи-
значительно меньше энергии ионизации.
Т С /.
Тогда отношение числа атомов, находящихся на первом (или более
высоком) возбужденном уровне, к числу атомов в основном состоя-
состоянии весьма мало. Мы можем считать, таким образом, что плазма
состоит из смеси нейтральных атомов в основном состоянии (с плот-
плотностью АО и ионизованной компоненты — равного количества
ионов и электронов (п+ = п_ = п).
Мы будем рассматривать разреженную плазму, когда среднее
расстояние между частицами велико по сравнению с амплитудой
рассеяния, и, следовательно, плазму можно считать смесью трех
идеальных газов: нейтральных атомов, ионов и электронов. Сво-
Свободная энергия такой смеси на единицу объема равна сумме сво-
свободных энергий компонент
f - - *т ш
284

где Мят — массы иона и электрона. При термодинамическом
равновесии F минимальна, т. е.
° <3 2)
при дополнительном условии N + п = const, выражающем сохра-
сохранение числа частиц. Подставляя выражение C. 1) в уравнение
C. 2), находим
N т'Т -1,т , , , тМ
п2 2пП'г ' ' ' m + M -
Отсюда следует, что степень ионизации плазмы а определяется
формулой (называемой обычно формулой Саха):
а=!ТГЩ' C'3)
причем константа ионизационного равновесия К равна
* = -г (w) ~% //г; р = ^ +2")г
Предэкспоненциальный множитель в формуле C. 4) по порядку
величины равен (К/гK и в рассматриваемом случае больцмановской
статистики очень мал. Поэтому степень ионизации в разреженной
термодинамически равновесной плазме может быть значительной
при малых Т/1.
Формулу C. 3) можно применять и в случае, когда при нагре-
нагревании нейтрального газа происходит диссоциация его молекул.
Константа диссоциации здесь также определяется выражением
C. 4) с тем лишь отличием, что величина / имеет в этом случае
смысл энергии диссоциации молекулы, а т' есть приведенная масса
атомов, образующихся при ее распаде. Если молекула диссоции-
диссоциирует на пару противоположно заряженных ионов, то получаю-
получающийся при нагревании частично диссоциированный газ является
примером классической плазмы. При увеличении плотности такой
плазмы электростатические силы, действующие между частицами
заряженной компоненты, будут понижать энергию системы и диссо-
диссоциация молекулы становится более выгодной, чем в разрежен-
разреженной плазме. Для степени диссоциации (ионизации) такой неидеаль-
неидеальной плазмы формула Саха будет давать заниженный результат.

СОДЕРЖАНИЕ
Стр.
Предисловие 3
Дрейфовая теория движения заряженной частицы в электромагнитных
полях. Д. В. Сивухин 7
§ 1. Движение заряженной частицы в постоянном однородном маг-
магнитном поле —
§ 2. Движение ведущего центра ; 11
§ 3. Происхождение дрейфов 26
§ 4. О сглаживании и усреднении величин, содержащих быстро
колеблющиеся слагаемые 34
§ 5. Полная система уравнений движения в дрейфовом прибли-
приближении 38
§ 6. Более точная- система уравнений движения в дрейфовом при-
приближении 42
§ 7. Вывод некоторых вспомогательных формул 46
§ 8. Вывод последовательной системы уравнений движения в дрей-
дрейфовом приближении 60
§ 9, Другой подход к уравнению движения ведущего центра ... 65
§ 10. Примеры 67
§ 11. Дрейфовые интегралы движения в постоянных электрическом
и магнитном полях 86
§ 12. Теорема Лиувилля в дрейфовом приближении 90
§ 13. Об обобщении дрейфовой теории на случай сильных попереч-
поперечных электрических полей 94
Литература 97
Столкновения частиц в полностью ионизованной плазме. Б. А. Труб-
Трубников 98
I Пробные частицы в плазме —
§ 1 Сила «трения» при рассеянии в поле Кулона —
§ 2. «Кулоновский логарифм» и роль далеких пролетов 100
§ 3. Средняя сила, действующая на частицу в плазме 103
§ 4. Пробные частицы в плазме 106
§ 5. Скорость изменения моментов 108
§ 6. Особенности кулоновского взаимодействия. Введение потен-
потенциальных функций я|)иф 112
§ 7. Использование сечений рассеяния .- 115
П. Кинетическое уравнение для частиц с кулоновским взаимодействием 124
§ 8. Движение частиц в фазовом пространстве —
.§ 9. Выражение для потока 126
§ 10. Сила динамического трения и тензор диффузии 129
§ 11. Кинетическое уравнение при кулоновском взаимодействии 133
§ 12. Кинетическое уравнение с учетом поляризации среды .... 136
III. Кинетические явления в высокотемпературной плазме
§ 13. Пробная частица в среде покоящихся бесконечно тяжелых
полевых частиц 150
§ 14. Решение кинетического уравнения для предыдущего случая.
«Простейшее время релаксации» 154
286

§ 15, Сферически-симметричное распределение полевых частиц... 156
§ 16. Явление «убегающих электронов» 161
§ 17. Максвелловское распределение полевых частиц.' Времена
релаксации 164
§ 18. Плоский поток в равновесной'плазме ' '...'..'.'.'.... 168
§ 19. Передача энергии ........... 172
§ 20. Установление равновесия в' дву'хкомпонентной плазме .... 177
Литература .' '.'.'.'. 182
Явления переноса в плазме С. И. Брагинский ..'.'.'.'.'...... 183
§ 1. Уравнения переноса —
§ 2. Уравнения переноса простой плазмы (сводка результатов) ' . 191
§ 3. Кинетика простой плазмы (качественное рассмотрение) .... 195
§ 4. Кинетика простой плазмы (количественное рассмотрение) . 209
§ 5. Некоторые парадоксы . '. 226
§ 6. Гидродинамическое описание плазмы .'..'.'.'.'...... 232
§ 7. Многокомпонентная плазма . 244
§ 8. Примеры 257
Приложение 269
Литература 271
Термодинамика плазмы А. А. Веденов 273
§ 1. Классическая система с кулоновским взаимодействием ...... —
§ 2. Квантовая система с кулоновским взаимодействием 280
§ 3. Степень ионизации плазмы 284