В. В. СТЕПАНОВ
КУРС
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ
ИЗДАНИЕ ВОСЬМОЕ
СТЕРЕОТИПНОЕ
Допущено Министерством высшего
образования СССР в качестве учебника
для государственных университетов
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 195 9

11-5-2
Постановлениэм Совета Министров Союза ССР
удостоена Сталинской премии
за 1950 г.
Втесгаз Васильевич Степана
Курс дифференциальных уравнений
Редактор А. 3. Рывкия
Технически"
Печг
Ф.:з.
Lib С
печ.
ма
л
i редактор
триц.
29,25.
Государе
Я.
Я. Мурашова
Подписано к печг
Уст. печ л. 29,25
Цена 12 р. 10 к.
1ти 21/V. 1953 г.
Уч* -изд. л А:
Заказ № 439.
5,35.
ι венное издательство физико-математической
д{осква 13-71, Ленинский проспект, 15
Корректор А
Е) маг
Тираж-
литературы
С. Каган
а 60x92'„.
2O0J0 экз.
Типография № 2 им. Евг Соколовой УПП Ленсовнарчоза.
Ленинград, Измайловский пр , 29

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к пятому изданию 5
От издательства 6
Глава I. Общие понятия. Интегрируемые типы уравнений
первого порядка, разрешённых относительно производной . . 7
§ 1. Введение 7
§ 2. Метод разделения переменных 18
§ 3. Однородные уравнения 27
§ 4. Линейные уравнения 34
§ 5. Уравнение Якоби · 41
§ 6. Уравнение Риккати 47
Глава II. Вопросы существования решений уравнения первого
порядка, разрешённого относительно производной 57
§ 1. Теорема существования (Кошк и Пеано) 57
§ 2. Особые точки 76
§ 3. Интегрирующий множитель 94
Глава III. Уравнения первого порядка, не разрешённые
относительно производной 104
§ 1. Уравнения первого порядка я-й степени 104
§ 2. Уравнения, не содержащие явно одного из переменных . . ПО
§ 3. Общий метод введения параметра. Уравнения Лагранжа и
Клеро ИЗ
§ 4. Особые решения 120
§ 5. Задача о траекториях 135
Глава IV. Дифференциальные уравнения высших порядков . . 140
§ 1. Теорема существования 140
§ 2. Типы уравнений «-го порядка, разрешаемые в квадратурах 154
§ 3. Промежуточные интегралы. Уравнения, допускающие
понижение порядка 167
§ 4. Уравнения, левая часть которых является точной
производной 177
Глава V. Общая теория линейных дифференциальных
уравнений 1£0
§ 1. Определения и общие свойства 180
§ 2. Общая теория линейного однородного уравнения 183
§ 3. Неоднородные линейные уравнения 199
§ 4. Сопряжённое уравнение 205

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава VI. Частные виды линейных дифференциальных
уравнений 214
§ 1. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами и
приводимые к ним 214
§ 2. Линейные уравнения второго порядка 241
Глава VII. Системы обыкновенных дифференциальных
уравнений 260
§ 1. Нормальная форма системы дифференциальных уравнений 260
§ 2. Системы линейных дифференциальных уравнений 270
§ 3. Существование производных по начальным значениям от
решений системы 298
§ 4. Первые интегралы системы обыкновенных
дифференциальных уравнений 307
§ 5. Симметричная форма системы дифференциальных уравнений 312
§ 6. Устойчивость по Ляпунову. Теорема об" устойчивости по
первому приближению 317
Глава VIII. Уравнения с частными производными· Линейные
уравнения в частных производных первого порядка .... 330
§ 1. Постановка задачи об интегрировании уравнений с частными
производными 330
§ 2. Линейное однородное уравнение в частных производных
первого порядка 338
§ 3. Линейные неоднородные уравнения с частными
производными первого порядка 343
Глава IX. Нелинейные уравнения в частных производных
первого порядка 355
§ 1. Система двух совместных уравнений первого порядка . . . 355
§ 2. Уравнение Пфаффа 360
§ 3, Полный, общий и особый интегралы уравнения в частных
производных первого порядка 370
§ 4. Метод Лагранжа-Шарпи нахождения полного интеграла . . 381
§ 5. Метод Коши для двух независимых переменных 393
§ 6. Метод Коши для η независимых переменных 406
§ 7. Геометрическая теория уравнений с частными
производными первого порядка 420
Глава X. Исторический очерк 428
Ответы 459
Алфавитный указатель 466

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ.
Курс дифференциальных уравнений в объёме нашей
университетской программы по необходимости слагается из глав,
соответствующих различным отделам научной теории этой ветви
математического анализа. Элементарные методы интеграции, теоремы
существования, особые решения, общая теория линейных уравнений — эти
главы в современном состоянии науки связаны с теорией групп Ли,
с применением методов теории функций действительного и
комплексного переменного, с методами линейной алгебры и т. п.
Современное понятие о математической строгости, постепенно
внедряющейся в курсы анализа, не позволяет строить учебник
дифференциальных уравнений с невыясненной точки зрения на взаимную
связь отделов — например, элементарных методов интегрирования и
теорем существования. Далее, развитие самой теории и современных
её приложений требует введения в университетский курс новых
отделов, связанных, с одной стороны, с развитием качественных
методов, с другой стороны, с теоремами колебания для линейных
дифференциальных уравнений.
Настоящий курс построен целиком в области действительного
переменного; это обусловливается как положением курса в плане
университетского преподавания (он начинается раньше теории
аналитических функций), так и указанной выше необходимостью дать курс,
объединённый общей идеей. Вопросы существования и единственности
решений ставятся уже при изложении элементарных методов
интеграции. В связи с общей структурой курса теорема существования
решения уравнения первого порядка появляется близко от начала
курса. Классические понятия общего решения, интегрирующего
множителя, первого интеграла удаётся, по нашему· мнению, обосновать
достаточно строго и не слишком громоздко, если ограничиться
локальной точкой зрения. В связи с этим в курсе даётся (мелким
шрифтом) достаточно развёрнутая качественная теория распределения
интегральных кривых в окрестности особой точки и оставляется
в стороне исследование общего течения интегральных кривых.
К сожалению, отмеченная выше строгость основывается на теореме
о дифференцируемое^ решения по параметру; э^а теорема ввиду
её сложности приведена лишь в мелком шрифте главы VII. С
принятой здесь точки зрения особое решение определяется как решение,

б
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ
в каждой точке которого нарушается единственность; теория особых
решений для уравнений степени выше первой относительно
производной, конечно, не может быть достаточно систематически изложена
в действительной области. В связи с уравнениями второго порядка
дано механическое приложение'—периодические движения. В теории
линейных уравнений даны «нетрадиционные» теоремы — Штурма и
теорема сравнения. Краевые задачи не вошли в рассматриваемый
курс, их место — при изучении уравнений математической физики,
так как постановка задачи с параметром и его собственными
значениями непонятна без обращения к первоисточнику — уравнению
с частными производными второго порядка. Параграф об
интегрировании с помощью степенных рядов, важный для приложений,
конечно, не может быть сколько-нибудь. полным без обращения
к аналитическим функциям; он является в курсе эпизодическим и
не содержит, например, уравнений Бесселя и Лежандра, относимых
нами к курсу уравнений математической физики. Новым является
параграф о применении тригонометрических рядов к линейным
уравнениям.
Другие отступления от традиций легко обнаружатся при срасне-
кии настоящего курса с другими руководствами.
Вопросы, не входящие в университетскую программу, но тесно
примыкающие к её темам, даны мелким шрифтом.
От изучающего настоящий курс требуется знание университетского
курса анализа в достаточно строгом и углублённом изложении,
основные сведения из теории определителей, высшей алгебры и
дифференциальной геометрии.
ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА
В. В. Степанов, автор учебника, скончался 22 июля 1950 года
в период подготовки пятого издания. В пятом изаании к главе VII
добавлен § б об устойчивости по Ляпунову; в составлении этого
параграфа большое содействие автору по его просьбе оказал С. А. Галь-
перн. В качестве последней главы был помещён исторический очерк,
написанный для этой книги по просьбе автора А. П. Юшкевичем.
Для шестого издания были исправлены лишь замеченные
опечатки и частично переработан А. П. Юшкевичем исторический очерк
(глава X).

ГЛАВА I.
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ.
ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА,
РАЗРЕШЁННЫХ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ.
§ 1. Введение.
1. С точки зрения формально-математической задача решения
{интегрирования) дифференциальных уравнений есть задача,
обратная дифференцированию. Задача дифференциального исчисления
состоит в том, чтобы по заданной функции найти её производную.
Простейшая обратная задача уже встречается в интегральном
исчислении: дана функция f(x), найти её примитивную (неопределённый
интеграл). Если искомую примитивную функцию обозначить через у>
то указанная задача может быть записана в форме уравнения:
или
^у=/(лг)^лг. (2)
Равносильные между собой уравнения (1) и (2) являются
простейшими дифференциальными уравнениями. Мы уже умеем их решать;
в самом деле, из интегрального исчисления известно, что наиболее
общая функция у, удовлетворяющая уравнению (1), или, что то же,
уравнению (2), имеет вид:
y = $f{x)dx + C. (3)
В решении (3) символ неопределённого интеграла обозначает какую-
нибудь примитивную, а С есть произвольное постоянное. Итак,
оказывается, что искомая функция j/ определяется из уравнения (1) или (2)
неоднозначно. Наше дифференциальное уравнение имеет
бесчисленное множество решений, каждое из которых получится, если
произвольному постоянному С придать определённое числовое значение.
Решение (3) уравнения (1), содержащее произвольное постоянное,
называется общим решением; каждое решение, которое получается

8 ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. Г
из общего, если дать постоянному С определённое числовое
значение, называется частным решением.
Следующий пример возьмём из механики. Исследуем движение
точки т по вертикальной прямой под действием силы земного
притяжения. Примем за ось Оу вертикальную прямую, по которой
движется (падает) точка; начало поместим на поверхности земли, а
положительное направление условимся отсчитывать вверх. Чтобы знать
движение, т. е. положение нашей точки в любой момент t после
начала движения (соответствующего значению ^=0), надо знать
выражение единственной координаты этой точки у как функции L Таким
образом, у нас независимым переменным является t, а искомой
функцией у. Составим уравнение для нахождения у. Из механического
d2 v
смысла второй производной следует, что ускорение равно -^4;
с другой стороны, мы знаем, что ускорение силы тяжести в каждой
точке земной поверхности и вблизи неё постоянно и (приблизительно)
равно 981 см/се/с2, оно обозначается буквой g, g-^981 см/сек2; оно
направлено вниз, следовательно, в нашей системе координат ему надо
придать знак—. Приравнивая два найденных выражения для
ускорения точки, получаем уравнение, в котором известной является
функция у:
% — >■ №
Здесь дано значение второй производной от у, требуется найти
функцию. Легко решить («проинтегрировать») это
дифференциальное уравнение *). Взяв два раза неопределённый интеграл от обеих
частей равенства (4) по έ, мы получаем последовательно:
g—rf + C,, (5)
_у = -^Н-су+с2. (б)
Выражение (6) есть общее решение уравнения (4); оно содержит
две произвольные постоянные С1 и С2. Выясним физический смысл
этих постоянных. Полагая в уравнении (5) ^=0, получаем:
Сг = (~\ = v0 (начальная скорость точки);
аналогично из уравнения (6):
С2 = (y)t=o=yo (начальное положение точки).
!) Обыкновенно вместо выражения «решить дифференциальное
уравнение» говорят: «интегрировать дифференциальное уравнение». Чтобы
избежать путаницы, операцию взятия неопределённого интеграла называют
«квадратурой».

§ 1] ВВЕДЕНИЕ 9
С этими новыми обозначениями произвольных постоянных мы
напишем общее решение (б) дифференциального уравнения (4) в виде:
У = ~^-+^+Уо- (7)
Теперь ясно, какие дополнительные данные нужно иметь, чтобы
получить частное решение, описывающее одно вполне
определённое движение: нужно знать числовые значения начального положения
точки у0 и начальной скорости v0 (начальные условия).
ЗАДАЧИ.
1. Найти уравнение движения точки, падающей с высоты 10 м без
начальной скорости. Через сколько секунд точка упадёт на землю?
2. Найти уравнение движения точки, брошенной вверх со скоростью
1 м\сек. Через сколько времени точка достигнет наивысшего положения?
3. Найти общие решения уравнений: -^- = 2; ~-^- = —х3; _Z.= sinAr.
r Jr dx dx dxl
2. В уравнение (1) входила только первая производная от
искомой функции. Это — дифференциальное уравнение первого порядка.
Самое общее дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид:
где F — заданная непрерывная функция трёх своих аргументов; в
частности, она может не зависеть от χ или от у (или от обоих этих
аргументов), но непременно должна содержать ~ . Если уравнение (8)
определяет ~ как неявную функцию двух остальных аргументов *)
{в дальнейшем мы всегда будем предполагать это условие
выполненным), то его можно представить в виде, разрешённом относи-
dy
тельно -у- :
dx
d£=f(*,y)- (9)
Здесь / — непрерывная заданная функция от х> у [в частности, она
может не содержать одного или обоих аргументов: в уравнении (1)
/ не зависит от у; в задаче 3, пример 1, правая часть не зависит
1) Чтобы существовала неявная функция y'=f(xf у), определяемая
уравнением F(x,y, у) = 0 и принимающая значение^ при χ = х0 и у=у0>
достаточно, чтобы выполнялось равенство F(x0, у0, у') = 0, существовала
непрерывная частная производная F*, в окрестности^ значений х0, у0, у0
и чтобы было Fyt (*0, у0, у0) Φ 0; тогда соотношение (8) определяет
непрерывную функцию (9) в окрестности значений х0, yQ независимых
переменных, причём f(x0,yQ)=y'Q.

10 ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. I
ни от х, ни от у]. В дифференциальном уравнении (8) или (9) χ
является независимым переменным, у— искомой функцией. Итак,
дифференциальное уравнение первого порядка есть соотношение,
связывающее искомую функцию, независимое переменное и первую
производную от искомой функции.
Решением дифференциального уравнения (8) или (9) называется
всякая функция у = о(х)у которая, будучи подставлена в
уравнение (8) или (9), обратит его в тождество.
Уравнение (4) содержало вторую производную от искомой
функции; это было уравнение второго порядка. Общий вид
дифференциального уравнения второго порядка есть
^(*, Λ /,/')== 0, (10)
или, предполагая его разрешённым относительно второй производной
(если это разрешение возможно),
/'=/(*, у, /)· (ЮО
(Мы для краткости письма обозначаем производные от у по χ
штрихами.) Здесь F и / — данные непрерывные функции своих
аргументов, χ — независимое переменное, у — искомая функция; некоторые
из аргументов лг, у, у' (или все они) могут не входить в уравнение,
но у" непременно входит. Решением опять называется функция <?(х),
которая, будучи подставлена на место у в уравнение (10) [или (10')J,
обратит его в тождество.
Вообще порядком дифференциального уравнения называется
порядок наивысшей входящей в него производной от искомой
функции. Так, уравнение я-го порядка имеет вид:
Д*. у, У, У, ...,У"») = о,
причём У") непременно входит в уравнение.
3. Дифференциальному уравнению первого порядка можно дать
геометрическое толкование, которое выяснит нам вопрос о характере
множественности решений такого уравнения. Пусть дано уравнение
в виде:
g=/(*,y>. (9)
Примем х, у за декартовы прямоугольные координаты плоскости.
Каждой точке (лг, у) той области, где определена функция /,
уравнение (9) ставит в соответствие определённое значение —·. Пусть
у = о(х) есть решение уравнения (9); тогда кривая, определяемая
уравнением у = о(х)у называется интегральной кривой
дифференциального уравнения. Значение -j- есть тангенс угла, образуемого
касательной к этой кривой, с осью Ох. Таким образом, каждой
точке (х, у) рассматриваемой области уравнение (9) ставит в соот-

§ И
ВВЕДЕНИЕ
11
ветствие некоторое направление; мы получаем поле направлений. Эю
поле можно изобразить, поместив в соответствующих точках области
стрелки, образующие с осью Ох углы arctg-j^- (положительное
направление стрелки можно взять произвольным, так как арктангенс
определяет угол лишь с точностью до кратного π). Задача
интегрирования дифференциального уравнения может быть теперь
истолкована так: найти такую
кривую, чтобы её
касательная в каждой точке
имела направление,
совпадающее с направлением
поля в этой точке.
Грубо говоря, нужно
провести кривую так, чтобы
расставленные на поле
стрелки показывали в
каждой точке
направление касательной к
искомой кривой.
Рассмотрим подробнее
следующий пример:
sw+y. ου
Расставим стрелки, найдя
предварительно те
линии, где наклон
одинаков {изоклины). Так,
если У = 0, мы имеем
χ ==у = 0 (начало
координат), если у = —, то х*-\-у* = —/'круг радиуса -j=z с
в начале), у=1 на окружности х2-\-у2=1 и т. д. (черт. 1).
Чтобы начертить интегральную кривую уравнения (11), надо взять
некоторую точку (хф у0) на плоскости и провести через неё кривую
так, чтобы она в каждой точке имела направление поля на чертеже
(О, 0), (θ, -I), (J/-2, 0)]. Мы
видим, что получается не одна кривая, а целое семейство от одного
параметра (за параметр можно взять, например, отрезок, отсекаемый
кривою на оси Оу). Это же заключение будет при известных
ограничениях справедливо и для любого поля, т. е. любого
дифференциального уравнения. Таким образом, мы вправе ожидать такого
Черт. 1.
центром
проведены кривые через точки

12 ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. I
отпета на вопрос о множестве интегральных кривых
дифференциального уравнения: интегральные кривые дифференциального
уравнения первого порядка образуют семейство, зависящее от одного
параметра:
у = <?(х,С^ (12)
Замечая, что функция φ (л:, С) при любом С есть решение
дифференциального уравнения, мы можем также ожидать следующего
результата.
Общее решение дифференциального уравнения первого порядка
даётся формулой (12), заключающей одно произвольное постоянное*).
Наконец, вспомнив, что мы получаем каждую отдельную
интегральную кривую, задавая точку (дг0, у0), через которую она
проходит, мы приходим к следующему заключению:
Чтобы однозначно определить частное решение
дифференциального уравнения первого порядка, надо задать то значение у0,
которое искомая функция принимает при заданном значении х&
независимого переменного (начальные значения).
В самом деле, если х0 и у0 даны, то, подставляя их в
уравнение (12), мы получим: yQ = y(x0, С)— одно уравнение для
определения одного неизвестного С; наши геометрические соображения
позволяют ожидать, что это уравнение имеет решение.
Примечание. Рассуждения настоящего раздела 3 не являются
строгими доказательствами существования решения
дифференциального уравнения и однозначного определения частного решения
начальными данными, так как они ссылаются на геометрическую картину;
все приведённые результаты справедливы лишь при определённых
ограничениях, наложенных на функцию /; строгие доказательства
будут даны в главе II. Наши рассуждения только показывают, каких
обстоятельств мы вправе ожидать в простейших случаях, и дают
практический приём для приближённого вычерчивания интегральных
кривых.
ЗАДАЧА.
4«. Построить поле направлений для уравнения ~- = х2—у2 (построить
изоклины у' = 0, уг == г£ 1, + 2). Провести интегральные кривые через точки
(О, 0), (0, 1), (1, 0).
4. Мы видели, что свойство общего решения дифференциального
уравнения первого порядка — зависеть от одного произвольного
постоянного,— выявленное на простейшем примере (1), подтверждается
соображениями предыдущего раздела и для более общих уравнений
первого порядка. Естественно ожидать, что, по аналогии с приме*
ром (4), решение общего дифференциального уравнения второго по·
1) Точное определение общего и частного решения мы сможем дать лишь
в дальнейшем.

§ 1] ВВЕДЕНИЕ 13
рядка (10) или (10') будет заключать два произвольных постоянных,
а общее решение дифференциального уравнения я-го порядка будет
зависеть от η произвольных постоянных. Так оно и есть (при
известных ограничениях); мы не будем здесь приводить геометрических
соображений, а подойдём к вопросу с другой стороны, благодаря
чему наши соображения по аналогии получат значительное
подтверждение.
Поставим задачу, в некотором смысле обратную задаче
интегрирования дифференциального уравнения. Пусть дано соотношение:
у = 9(х,С), (13)
где С есть параметр; дифференцируя по χ *), получим:
/=<?;(*, с). (И)
Если правая часть выражения (14) не содержит О, то мы уже
произвели исключение параметра С и получили дифференциальное
уравнение:
/ = <(*); ("О
очевидно, что в этом случае соотношение (13) имеет вид:
.У = ?(*) + С
и является решением уравнения (14').
Пусть теперь правая часть равенства (14) содержит С; тогда и
правая часть равенства (13) содержит С, т. е. ο'σ(χ9 С) φ 0, и в
окрестности значений xQ, CQ, для которых <р'о(х0, С0)фО} мы можем
определить С как функцию от χ и у:
С=Ъ(х,у). (15)
Очевидно, что имеет место тождество (по переменным χ и С):
ψ(*, <?(*,С)) = С. (16)
Подставляя значение С, определённое формулой (15), в выражение (14),
мы получим дифференциальное уравнение первого порядка:
/=?;(*. ψ (*>.у))· (17)
Легко убедиться в том, что (13) представляет его решение при любом
значении С; в самом деле, если мы подставим это выражение для у
в уравнение (17), то в левой части получим <?'х(х9 С), а в правой
?^{*> ψ[*> ?(*, Ql}> a это, в силу тождества (16), тоже даёт
!) Мы предполагаем, что все входящие в рассуждения производные
с)1деств)ют.

14 ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. I
Если соотношение между х, уу С дано в неявном виде:
Ф(*, у, С) = 0, (130
то, дифференцируя его по х9 находим:
Исключая С из соотношений (13') и (14"), приходим, при
выполнении соответствующих условий из теории неявных функций, к
уравнению
F(x,y,/) = 0. (17')
Предыдущие рассуждения показывают, что (13') определяет его
решение.
Пусть теперь дано соотношение
Ф(х9 у9 Си С2, ..., Сп) = 0, (18)
связывающее функцию у и независимое переменное χ и
заключающее η параметров С19 С2, ..., Сп. Нельзя ли построить
дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет функция у,
определённая соотношением (18), при любых постоянных значениях параметров?
Мы предположим, что Φ непрерывна по всем аргументам и
дифференцируема по χ и у достаточное число раз. Дифференцируем в
указанных предположениях равенство (18) η раз [оно является тождеством,
если вместо у подставить функцию у = о(х9 Cv С2, ..., Сп)9
определяемую соотношением (18)]. Имеем:
π+ТуУ =0'
д3Ф , 0 д*Ф f ( , дФ „ζ π
д^ + 3д^щУ +"··· + "5}У = 0'
(19)
Соотношения (18) и (19) образуют систему п-\-\ уравнений; они
содержат η параметров Cv С2,, ..., С,г. Вообще говоря *), из этой
системы можно исключить все параметры, т. е. найти их выражения
через xf j/,/, ..., Уп) из η уравнений и вставить эти выражения
в (я-|-1)-е уравнение. Мы придём к соотношению вида:
F(x9 у, у', ..., У»>) = 0, (20)
*) Даже для случая линейных уравнений мы знаем, что не всегда из
η уравнений можно определить η неизвестных.

§ И
ВВЕДЕНИЕ
15
т. е. к дифференциальному уравнению я-го порядка. Мы уже
отметили, что при подстановке в уравнение (18) на место у его выражения
<р(лг, Cv C2, ..., Сп) получается тождество, и то же справедливо
относительно уравнений (Ϊ9); поэтому и уравнение (20), являющееся
следствием уравнений (18) и (19), обратится в тождество, если в него
подставить вместо у функцию <р(лг, С1У С2, ..., Сп)9 а, это значит,
что у, определяемый из уравнения (18), есть решение уравнения (20).
Таким образом, эта функция, содержащая η произвольных
постоянных, является решением некоторого дифференциального уравнения
/г-го порядка. Можно было бы провести и более точное рассуждение,
как мы это сделали для уравнения первого порядка. Теперь мы вправе
ожидать, что исходное решение является общим и что, обратно, общее
решение дифференциального уравнения «-го порядка содержит η
произвольных постоянных.
ЗАДАЧИ.
5. Найти дифференциальное уравнение всех прямых на плоскости (взять
общую форму); проинтегрировать это уравнение.
6. Найти- дифференциальное уравнение софокусных эллипсов с данным
фокусным расстоянием 2с.
Указание. Уравнение семейства —^ -f- 2_ 2 = Ц где а —
произвольный параметр, дифференцируем по лт, считая у функцией х\ по сокращении
имеем:
Исключив из этих двух уравнений а\ получим искомое уравнение первого
порядка.
Пример 1. Семейство всех кругов на плоскости
содержит три параметра. Дифференцируем три раза:
х — а + (у — Р)/ = 0, 1*+(у — р)у"+у* = о,
(у—р)у,,+з/у = о.
Параметры α и г исключились при дифференцировании; нам остаётся
исключить jB из двух последних уравнений, и мы получим
(приравнивая два выражения для у — β):
/"0+/*)—зуу* = о.
Пример 2. В качестве последнего примера возьмём уравнение
всех конических сечений. Из аналитической геометрии известно,
что оно зависит от пяти параметров (отношения шести коэффициентов)
и имеет вид:
а1Хх*-{- 2а12х:у + а^у2 + 2а1Ьх + 2аолу + аьъ = 0.

16 ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. I
Предположим, что α22Φ®> и разрешим это уравнение относительно у:
у = -
0J2* + <?23 -J- A/ gl20f +^23\2 _ 0П*2+ 2Д18ДГ+ДЗЗ
#оо F \ ^22 ' ^2°
ИЛИ
β12 Λ23 . Ι / а12 Λ11#22 2 ι 0 αΐ2^23 ai3g22 ^ ι ^21Г^22^33
^ — Χ Χ/ % Χ -\-Δ 5 -*i Ι ·
β22 α22 β22 ^22 Λ22
Обозначив постоянные новыми буквами, мы получим окончательно:
y = Ax + B-{-VCx2+2Dx + E. (21)
В это уравнение входит пять параметров; надо их исключить из
данного, уравнения и тех уравнений, которые из него получатся после
одного, двух, ..., пяти дифференцирований.
Итак, дифференцируем обе части уравнения (21) по х:
Cx + D
/ = А +
YCx* + 2Dx + E '
"=, C(Cx* + 2Dx + E) — (Cx + D)* ^_ СЕ; — D*
У ~~~ (Cx^ + 2Dx + Efu ~ (Cx2 + 2Dx + Ef**
Постоянные А и В исключились; мы имеем в числителе правой части
о
постоянные, в знаменателе — квадратный трёхчлен в степени-^-. Для
дальнейшего исключения постоянных выгодно возвести обе части
2
в степень - · тогда мы получим:
о
_!. 2
(/') з = (С£ — D^iCx* + 2Dx + Ε),
т. е. в правой части квадратный трёхчлен относительно х; если его
продифференцировать три раза, то все постоянные исключатся, так
как в правой части получится 0. Итак, искомое дифференциальное
уравнение сразу запишется в виде:
{f «)W=:0.
Проведём это дифференцирование последовательно
2 5 2 8 5
if ту = -1 у-V". (У'Ь"=| /'~ V2 - | у"'1 у™
и, наконец,
11
+ jy"~Jy'"y™ — § у~* у* = 0.
Упростим последнее уравнение, приведя подобные члены и умножив

§ 1] ВВЕДЕНИЕ 17
11
обе части на у"ъ, чтобы не иметь отрицательных степеней; далее,
27
умножим все члены на числовой множитель — -у ♦ Мы получим
окончательно :
дуУ _ 45/У'Уv + 40/"8 = 0.
Примечание 1. Мы взяли в формуле (21) перед радикалом
знак -\-; легко проверить, что тот же окончательный результат
получится, если взять знак — .
2
1*> "~~" 1 \ ^?2
Примечание 2. Заметим, что С=—-—- ; в случае пара-
болы мы имеем С = 0, и уравнение парабол (зависящее от четырёх
параметров) имеет вид:
у = Ах + В + lA2DAr-f Я."
Примечание 3. Мы предположили а22ф0; разбор случая а22=0
отнесён к задачам.
ЗАДАЧИ.
7. Вывести дифференциальное уравнение конических сечений, у которых
422 = 0. Каково геометрическое свойство этих кривых, выделяющее их из
всех кривых второго порядка? (Рассмотреть два случая: а^^О, я12 = 0.)
8. Вывести дифференциальное уравнение парабол, для которых а^ф0%
и тех парабол, для которых cfe — 0.
Примечание. Если мы имели соотношение между χ \\у> содержащее
η параметров, то мы утверждали, что, «вообще говоря», для исключения этих
параметров надо иметь η + 1 уравнений.В отдельных случаях параметры
могут исключиться из меньшего* числа уравнений; например, из семейства
у = Са (С2х + Съ) получается после исключения параметров уравнение
второго порядка у" = 0, так как на самом деле это семейство зависит от двух
параметров CtC2 и С1С3·
Труднее обнаружить этот факт на уравнении у2 = 2Ьху + ел:2,
представляющем семейство распадающихся кривых второго порядка с двойной точкой
в начале координат. Как геометрический образ, это семейство действительно
зависит от двух параметров; но если разрешить уравнение относительно у%
мы получим:
у = (Ь± γιρ+c)х;
с функциональной точки зрения у, рассматриваемый как одназначная
функция от лг, зависит от χ и одной комбинации параметров:
k = Ь ± V> + c.
И действительно, дифференцируя данное соотношение, находим:
УУ' = Ь(ху'+у) + сх;
исключая с из этого уравнения и из данного, получим:
xyyf —у2 — ь (х%уг — ху) или (у — Ьх) (ху' —у) = 0.
Второй множитель, приравненный нулю, даёт искомое дифференциальное
уравнение хуг —у = 0; легко видеть, что, приравняв нулю первый множитель,
мы получим частное решение того же дифференциального уравнения.

18 ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. I
§ 2. Метод разделения переменных.
1. Мы уже встретились в § 1 с простейшим дифференциальным
уравнением:
§=/м- (ч
Мы можем также записать его при помощи дифференциалов:
dy=f(x)dx. (2)
Уравнение вида (1) [или (2)] мы назовём дифференциальным
уравнением первого порядка, не содержащим (явно) искомой
функции. Мы предполагаем, что функция f (х) определена в некотором
интервале а < χ < Ь и непрерывна во всякой внутренней точке этого
интервала. В частности, может быть а = —со или b = со, или
одновременно а = — со, b = со.
В интегральном исчислении доказывается, что искомая функция у (х),
как примитивная по отношению к функции f(x)> даётся
неопределённым интегралом (или определённым интегралом с переменным
верхним пределом); доказывается также, что любая примитивная отличается
от какой-нибудь определённой примитивной только на постоянное
слагаемое. Таким образом, решение уравнения (1) [или (2)] есть
y = ff(x)dx+C. (3)
С есть произвольное постоянное, оно может принимать все значения,
— co<C<-f-°0; давая ему всевозможные численные значения, мы
получим, согласно сказанному, все функции у,
удовлетворяющие данному уравнению. Таким образом, выражение (3)
представляет общее решение уравнения (1). Задаваясь определённым
численным значением С, мы получаем частное решение. Все частные
решения являются непрерывными и дифференцируемыми функциями
от χ во всём интервале а <х <Ь.
Для выяснения смысла произвольной постоянной в формуле (3)
целесообразно написать неопределённый интеграл в виде
определённого с переменным верхним пределом:
X
y = ff(x)dx + Cy (3,)
хд
где х0 — любая внутренняя точка интервала (а, Ь). Если дать
переменному χ значение дг0, то мы получим:
у(х0) = С.
Обозначая через у0 значение искомой функции при х = х0)
получаем вместо формулы (3^:
У=Уо
+ ff{x)dx. (За)

§ 2]
МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫ::
19
Таким образом, частное решение вполне определится, если задать
начальное значение искомой функции, т. е. то значение, которое
она должна принимать при некотором определённом (начальном)
значении х0 независимого переменного.
Итак, начальные данные (лг0, у0) определяют единственное
решение уравнения (1) во всём интервале непрерывности правой
части f(x). С геометрической точки зрения задание начальных
значений есть задание некоторой точки плоскости хОу. Мы можем дать
такое истолкование полученному результату: через каждую точку
полосы а <Сх < Ьу — оо < j/ < -j- оо плоскости хОу проходит
единственная интегральная кривая уравнения (1). Наконец,
заметим, что формулы (ЗД (32) показывают, что любая интегральная
кривая может быть получена из одной определённой, например из
χ
у = Г f(x) dx, путём переноса параллельно оси у на
(положительно
ный или отрицательный) отрезок С = у0.
Пример 3. ~- = —. Правая часть непрерывна в открытых
интервалах (0, оо) и (— оо, 0). Для первого интервала имеем (при лг0>0)
χ
Хц
это решение определено для всех χ в интервале 0 < χ < оо. Для
второго интервала при начальном значении х0 < 0 получаем:
χ
х0
— решение, определённое для значений — оо-<лг<0.
Пример 4. (-г-) —х = 0. Разрешая относительно производной,
получим два уравнения:
g=+l^, %=-V^ оо<оо.
2 - 2 -
Интегрируем эти уравнения: у = + "g"*2 4" с> У~—~ξχ^Ύ^·
Первое уравнение определяет семейство (от одного параметра)
восходящих ветвей полукубической параболы, получаемых из одной,
2 £
например j/ = -}--γχа , переносом параллельно оси у (черт. 2, а);
аналогично второе уравнение определяет семейство нисходящих

20 ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. I
ветвей (черт. 2, Ь)% Очевидно, что через каждую точку полуплоскости
л;^0, — оо < ^у < + оо проходит одна и только одна интегральная
кривая каждого уравнения.
Если бы мы интегрировали заданное уравнение, не разбивая его
на два уравнения с однозначными правыми частями, мы получили бы
семейство полных полукубических парабол; но тогда через каждую
точку рассматриваемой области проходило бы по две итегральные
кривые (черт. 2, с).
В очень многих случаях при заданной функции f(x) мы не сумеем
выразить входящий в решение (3) интеграл через элементарные
функции. Тем не менее, мы будем считать, что задача интегрирования
Черт. 2.
уравнения (1) решена — «решение выражено в квадратурах». Эту
«формальную» точку зрения -мы будем проводить в значительной
части настоящего курса—мы будем считать, что умеем решать
дифференциальное уравнение, если сумеем выразить общее решение
при помощи квадратур. Точно так же, если решение получается
в виде соотношения, определяющего у как неявную функцию х,
мы будем считать решение известным, хотя бы и не умели
в элементарных функциях явно выразить зависимость у от х.
Эта точка зрения, считающая задачу решённой, если она сведена
к задаче одного из предшествующих отделов математики, хотя бы
там не существовало элементарного решения соответствующей задачи,
имеет, кроме чисто формального характера, и практическое
обоснование: если не удаётся найти общего решения дифференциального
уравнения, выраженного в знакомых нам элементарных функциях, то

§ 2]
МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ
21
приходится применять методы приближённого интегрирования этих
уравнений. И оказывается, что приближённое нахождение квадратуры
и приближённое решение конечного (т. е. не содержащего
дифференциалов) уравнения, хотя бы не алгебраического, а трансцендентного,
являются более лёгкими задачами, чем приближённое решение
дифференциального уравнения.
2. Переходим ко второму типу уравнений первого порядка, тоже
интегрируемых в квадратурах:
Й-/0) (22)
или
dy=f(y)dx. (22j)
Говорят, что это уравнение первого порядка, не содержащее (явно)
независимого переменного.
Мы опять предполагаем функцию f(y) непрерывной в интервале
й<^у<£, где #;> — со, Ь^~\-оо. Для нахождения искомой
функции j/ = φ (дг) допускаем, что для неё существует обратная функция
Λτ = ψ(^/) (мы, далее, докажем законность этого допущения).
Принимая, таким образом, у за независимое переменное, ал: — за искомую
функцию, мы по свойству производной от обратной функции имеем:
Мы привели уравнение к уже рассмотренному типу. Но функция
в правой части перестаёт быть непрерывной для тех значений ул
которые обращают знаменатель в нуль. Поэтому ограничимся сначала
рассмотрением интервала «<^<β, внутри которого/(д/) не
обращается в нуль. Выписав уравнение (222) в виде;
aX-f(y)>
мы имеем внутри указанного интервала:
*=//77) + с· (23>
Вводя начальные значения дг0, у0 ( — оо < дг0 < + оо% а < у0 < β),
мы решение (23) можем переписать в виде:
у
Уо
Формулы (23) или (23j) определяют χ как функцию от у; теперь
легко убедиться, что эта функция допускает обратную. В самом деле,.
в интервале (α, β) непрерывная функция / (у) не обращается в нуль,.

22 ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. I
следовательно, сохраняет постоянный знак; тогда из формулы (23J
видно, что χ — х0 есть монотонная функция от уь а непрерывная
монотонная функция (не постоянная ни в каком интервале) всегда
имеет (непрерывную и однозначную) обратную функцию. Итак,
сделанное нами допущение оправдано.
Очевидно, что эта обратная функция у = φ (χ — ^удовлетворяет
исходному уравнению (22). В силу доказанного для уравнений, не
содержащих явно искомой функции, мы заключаем, что через каждую
точку полосы — оо < лг <-f-oo, α<^<β проходит одна и только
одна интегральная кривая.
Примечание. Если решение задаётся конечным уравнением,
определяющим у как неявную функцию х, то такое уравнение
называется интегралом дифференциального уравнения. Итак,
соотношение (23) есть интеграл уравнения (22) или (222). Интеграл, как и
решение, может быть общим и частным. Общий интеграл
дифференциального уравнения первого порядка может быть записан в виде:
F(x, у, С) = 0,
где С—произвольная постоянная.
Рассмотрим теперь значения у, обращающие в нуль правую часть
уравнения (22). Пусть уравнение
/00 = 0 (24)
имеет корень у0.
Мы непосредственно убеждаемся, что, подставляя у = у0 в обе
части уравнения (22), мы обращаем его в тождество. Следовательно,
кроме решений, даваемых формулами (23) или (23х), имеются ещё
решения вида у=у0 (интегральные кривые здесь суть прямые,
параллельные оси Ох), где у0 — любое значение, удовлетворяющее
уравнению (24).
Через точки этих прямых χ = х0, у =у0 иногда проходит только
одна интегральная кривая — сама прямая у = у0, иногда также и
отличные от этой прямой интегральные кривые, — в последнем случае
говорят, что в точке (х0, у0) нарушается свойство
единственности. Анализ этого вопроса мы проведём в главе III.
Пример 5. -^-=^/2. Имеем dx = -^ ; далее, по формуле (232)
dx
у
Уо
У
— J yiixo> х хо— У ■
Уч
1
У = ~\
Уо
Это — общее решение; кроме того, существует частное решение
у = 0. Его можно получить при у0 = О из преобразованной формулы

§ 2]
МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ
23
общего решения: V = -j β- г» но легко видеть, чтопри^0 = 0
1 —Уо\х — хи)
промежуточные выкладки незаконны. Если применять формулу (23),
то получим: х = [-С, у = лГг - Частное решение у'= 0 не
получается из Этого общего решения ни при каком значении С; можно
было бы заметить, что это решение получается в пределе при С~>оо;
но С, как постоянная интеграции, есть определенное число;
следовательно, и в этой форме решение у = 0 не получается из формулы (23),
дающей общее решение.
3. Уравнения вида:
!£=/(■*) φ (у). (25)
в которых правая часть есть произведение функции только от χ на
функцию только от у, интегрируются следующим образом: мы
«разделяем переменные», т. е. при помощи умножения и деления приводим
уравнение к такой форме, чтобы в одну часть входила только функция
от χ и дифференциал лг, а в другую часть — функция от у и dy.
В данном случае надо умножить обе части уравнения на dx и
разделить на φ (у); мы получим:
Переменные разделены. Теперь рассуждаем так: вообразим,
что нам известен у как функция х, являющаяся решением
уравнения (25); тогда в обеих частях уравнения (25j) стоят тождественно
равные между собой дифференциалы; только в правой части этот
дифференциал выражен непосредственно через независимое
переменное ху а в левой части — через посредство у9 являющегося функцией
от дг. Если дифференциалы равны, то их неопределённые интегралы
могут различаться только постоянным слагаемым; мы можем
интегрировать левую часть по у, а правую по х. Получим:
1ш=1Пх)ах+с* (26)
где С—произвольная постоянная.
Итак, в предположении, что у есть решение уравнения (25), мы
получили соотношение (26), связывающее это решение у и
независимое переменное х, т. е. получили общий интеграл уравнения (25).
Если удаётся разрешить его относительно у, то получим (в явном
виде) общее решение данного уравнения.
Посмотрим, при каких условиях формула (26) действительно
определяет у как функцию (однозначную) от χ в окрестности

24 ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. I
точки дг = а:0, у=у0. Напишем интеграл в виде:
у ж
0 = ί ш ~ Jf {х) dx s ψ {χ'r> χ°'Уо) 1}·
Уо а?о
Очевидно, Ψ (дг0, у0\ лг0, у0) = 0. Далее
/όΨ\ = 1
У = Уа
Это выражение не обращается в 0; оно имеет смысл, если у(у^)ф0,—
мы получили то же условие, что в разделе 2. Если для некоторого
значения у=у0 мы имеем <p(j/o) = 0, то решением уравнения (25),
.кроме решений, данных формулой (26), будет также у=у0.
Если уравнение задано в виде:
Μ (χ) N(y)dx + Р{х) Q(y)dy = 0, (27)
то для разделения переменных не нужно приводить его к виду (25),
а достаточно разделить обе части на произведение тех множителей,
которые содержат не то переменное, на дифференциал которого они
умножаются, именно на N{y)P{x). Разделяем переменные:
M{x)dx . Q{y)dy
Ρ {χ) "Γ μ (у) —">
-откуда получится общий интеграл:
Г M(x)dx . Г Q (у) dy _
J Ρ(χ) Τ" J N{y) — <~
Примечание. К этому виду'уравнения применимо то же
указание относительно значений, обращающих в нуль N(y), что и
в конце п. 2 (стр. 22); кроме того, функции х = х0,
соответствующие значениям х0, обращающим в 0 функцию Р(х), удовлетворяют
уравнению, заданному в дифференциальной форме (27), так как
dx0 — 0y Ρ(χ0) = 0. Если в уравнении (27) считать х и у
равноправными, то прямые χ = х0 тоже следует причислить к решениям;
если же строго придерживаться условия, что у есть искомая функция,
а х — независимое переменное, то, конечно, равенство x = xQ не
даёт решения. В геометрических вопросах выгоднее считать χ и у
равноправными, т. е. при случае считать за независимое переменное
то л;, то у; в исследованиях теоретико-функционального характера
(доказательство существования — см. в главе И), наоборот, всегда
надо рассматривать у как функцию от лг.
1) Знаком тождества мы пользуемся для введения нового обозначения
дассмлриваемой функции.

§ 2]
МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ
25
Пример 6. χ (у*—l)dx-}-y(x2— 1)<2у = 0. Разделяем
переменные, для чего делим обе части уравнения на (у2—1) (х- — 1);
получаем:
χ dx
ydy
:0.
Интегрируем сумму двух дифференциалов:
In | χ2 — 1 (-J- in J у2— 1 | == In | C|,
или, потенцируя,
(χ2— !)(/—1) = С
(для простоты записи окончательного результата нам было удобно
написать постоянную интеграции в виде 1п|С|). Общий вид семейства
общим
интегралом, показан
v*/l
на черт. 3.
кривых, представляемого
В частности, при С=0
получим 4 прямые:
х = ±1, у = ±1, о
которых шла речь в
последнем примечании
(значения л: ===== =±zl ny = ^zl
обращают в 0
знаменатели после разделения
переменных); они не
могли получиться из
квадратуры, так как в ней
получилась постоянная
интеграции 1п|С|, так
что С фО.
Рассмотрим теперь
один пример на
составление дифференциального
уравнения.
Пример 7. Истечение жидкости из сосуда. В
гидравлике выводится закон, по которому скорость ν истечения воды из
отверстия, находящегося на глубине h от свободной поверхности,
даётся формулой:
v = 0,6Y2gh см\сек>
где g — ускорение силы тяжести.
Пусть мы имеем коническую воронку, наполненную водой,
высотой 10 см, с углом при вершине α = 60°; внизу находится отверстие
площадью 0,5 см2 (черт. 4). Найти закон вытекания воды.
Искомая функция — высота воды h в любой момент времени U
Скорость истечения ν всё время меняется вместе с h\ но если взять
бесконечно малый промежуток времени dty то её можно считать

26 ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. I
постоянной (мы отбрасываем бесконечно малое высшего порядка,
отношение которого к dt стремится к нулю при dt-*0). Подсчитаем
двумя способами объём воды, вытекающей в промежуток времени
от /до t-\-dt. С одной стороны, через
отверстие вытечет объём, занимающий цилиндр с
основанием 0,5 см2 и высотой ν dt; таким
образом, искомый объём есть
— dV = — 0,5v dt= — 0,3 VYghdL
С другой стороны, вследствие утечки воды
высота h получит отрицательное
приращение dh, дифференциал объёма вытекшей воды
выразится так:
— dV = 'itr2dh = <ii(htg30°)2 dh = ^№dh.
Приравнивая оба найденных выражения для —dV, получим
дифференциальное уравнение, связывающее hut:
ι_
*h?dh = — 0,3 V2gh2 dt.
Это уравнение не содержит явно независимого переменного t, т. е.
оно принадлежит ко второму типу; переменные разделяются:
з
dt=·
=rh* dh,
t=-
0,9 Y2g
9 - i
— 4''2+C^ — 0,0314A2-f C.
0,9 V 2g 5
Произвольное постоянное С определится из начальных условий: при
5
/=0 имеем /*== 10, отсюда С»0,0314 · ΙΟ2 , и искомое частное
решение будет (разрешённое относительно t):
*«0,0314(102 — А2).
Если требуется узнать время tv в течение которого вытечет вся вода,
то надо положить h — Ο; получим:
ί1==102 .0,0314^10 сек.
ЗАДАЧИ.
9. Исследовать закон истечения воды из полусферического сосуда
высотой 1 м% с отверстием внизу площадью 1 см2.
10. То же для цилиндрического резервуара с горизонтальной осью
диаметра 1,5 л*, длины 2 м] отверстие внизу имеет площадь 10 см2.

§ 3]
ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ
27
11. Закон распада радия состоит в том, что скорость распада
пропорциональна наличному количеству /? радия. Найти зависимость R от t\ составить-
дифференциальное уравнение и определить коэффициент пропорциональности
из опытных данных, утверждающих, что через 1600 лет останется половина
начального количества радия.
12. Определить кривые, для которых площадь, ограниченная осью абсцисс,
дугою кривой от пересечения с осью абсцисс до переменной ординаты и этою
последней, пропорциональна /г-й степени длины ординаты (л>1). Каков
геометрический смысл произвольной постоянной?
13. Найти кривые, у которых отрезок касательной от точки
прикосновения до пересечения с осью χ равен постоянной величине а.
14. Найти кривые, у которых отрезок нормали от точки кривой до оси χ
есть постоянная величина а.
Проинтегрировать уравнения:
15. χ γ\ -\-у1+у У1 + х2 -^- = 0. Начальные условия: χ = 0, у = 1.
16. sec2 χ tgy dx + sec2 j> tgx dy = 0.
17. /ГГ? dy + УТ^у2 dx = 0.
§ 3. Однородные уравнения.
Основным методом настоящей главы является разделение пере·
менных; мы изучим несколько типов уравнений, которые
искусственными приёмами можно привести к уравнениям с разделяющимися
переменными. Первым из этих типов будут однородные уравнения.
1. Уравнение первого порядка
называется однородным, если /(лг, у) есть однородная функция своих
аргументов нулевого измерения, т. е. имеет место тождество:
f(tx, ty)=f(x, у) η. (28)
Полагая в (28) / = —, получаем тождество:
Замечая, что в правой части стоит функция только одного
аргумента ^—, и обозначая её через φ (—), мы видим, что однородное
уравнение всегда можно представить в виде:
£-»©· <29>
х) По определению, f(x, у) есть однородная функция л-го измерения,
если выполняется тождество:
f(tx,ty)=*v>f(x,y);
при η = 0 имеем:
f(tX,ty)--*tPf(x9y)=f(X%y)u

28 ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРЗОГО ПОРЯДКА [ГЛ. I
При произвольно заданной непрерывной функции φ переменные не
разделяются. Но так как в правую часть переменные входят только
в комбинации — , то можно ожидать, что уравнение упростится, если
ввести новую искомую функцию
X '
откуда
у = их. (30)
Вставляя выражение ~^==и-{-х -~ в уравнение (29), получаем:
и-\-х -г- = ?(#)> или xdu = [y{u)— u]dx. (30j)
Переменные разделятся, если обе части разделить на х[<?{и)—и];
получим:
du dx
φ (и) — и χ
Интегрируя, находим:
du
ί
φ(«)-
\nx+C. (31)
Если в этом выражении заменить и его значением — , то получим
интеграл уравнения (29).
Примечание. При фактическом интегрировании однородного
уравнения не обязательно приводить его к виду (29); достаточно
убедиться в том, что уравнение принадлежит к рассматриваемому
типу, и непосредственно применить подстановку (30); пользоваться
готовой формулой (31) тоже нецелесообразно.
Если φ (и) — и = 0, то уравнение имеет вид -j- = — и интегри-
руечся разделением переменных (его общее решение: у = Сх).
Если φ (и) — и обращается в 0 при значении и = #0, то кроме
решений, даваемых формулой (31), существует также решение u = uQ
или у = и0х (прямая, проходящая через начало координат). |
Пример 8. -г-= Δ__ 2 · Уравнение однородное. Делаем под-
dv ч du
становку: у = иху ύ=α*χ~(Γ~> УРавнение примет вид:
du 2u du и + и'6
и-\- χ — = -
1 dx 1
или χ
и2 dx 1 ·
Переменные разделяются:
dx . и2 — \ . Λ
χ ' и (и- + 1)

§ 3] ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ 29
Разлагаем второе слагаемое на простые дроби и интегрируем обе
части:
1пл; + 1п(й2+1) — 1пи = 1пС, или х{и2+]) = С.
Подставляя значение и = — и освобождаясь от знаменателя,
находим: х2-\-уЪ = Су— семейство кругов, касающихся оси Ох в начале
координат. Кроме того, решением является у = О Х).
Примечание. Иногда уравнение можно привести к однородному
заменой переменного у = ζ* (α — постоянное). Это имеет место в том
случае, когда в уравнении все члены оказываются одинакового измерения, если
переменному χ приписать измерение 1, переменному у — измерение α и
о dу л
производной -^- — измерение α — 1.
Π ρ и м е ρ 9. 9j/ -~ — \Sxy + 4x^ = 0. Уравнение станет однородным,
если положить y = z2. Производя эту подстановку, получаем однородное
уравнение:
dz
9*3тР — 9*s2 + 2** = 0.
dx '
Обычная подстановка ζ = их даёт:
9а3 (и dx + χ du) — Ъи2 dx + 2 dx = 0,
или
9ид du , dx __ π
9а4_9и2 + 2 + Τ ~~ '
ещё раз производим замену переменных и2 = ν; имеем:
9vdv , 2dx Л 6rfif 3rfz/ , 2d* Л
= 0, или =-—= -— - + -_«ο,
Эо51 — 9г/ + 2 ■ д: ' 3t/ — 2 3t> —1
(3ϋ — 2)2^ -
откуда -1—5 ί = С, или, возвращаясь постепенно к начальным пере-
менным,
(3^-2)2дг2_^ (Зг2~2л:2)2 (<3у —2*«)« _^
3«2_1 -и' 3** —** -с' Зу —^ ~ϋφ
*) Заметим, что в точках геометрического места х2—у2 = 0 правая часть
данного уравнения имеет разрыв; поскольку нас интересует геометрическая
задача — расположение на плоскости интегральных кривых, мы можем в этих
dx χ2 — у2
точках рассматривать уравнение -г- = —-——, у которого правая часть
обращаете! в 0 на паре прямых х2 —у2 = 0. Таким образом, мы вправе
считать, что данное уравнение определяет поле направлений и на этих
прямых; направление касательных в точках этих прямых параллельно оси Оу*
Поле направлений является неопределённым лишь в точке χ = 0, у = 0.

30 ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. I
ЗАДА Ч И.
Проинтегрировать уравнения:
dy __ 2ху
18.
19.
20.
dx х'2, + У2 '
■ In x).
У + *Я-*У&
,dy.
dx
21. (y + x)dy = (y — x)dx\ начертить интегральные кривые.
22. (χ —у cos —) dx + χ cos — dy = 0.
χ) χ
23. Составить (в декартовых координатах) уравнение кривых,
касательная к которым образует постоянный угол α с радиус-вектором из начала
координат; проинтегрировать это
уравнение, в интеграл ввести полярные
координаты.
24. Найти форму зеркала, собирающего
параллельные лучи в одну точку.
Указание. Пусть лучи падают
параллельно оси Ох справа (черт. 5); из
соображений симметрии легко убедиться, что
форма поверхности зеркала есть
поверхность вращения. Примем плоскость хОу
за меридианную плоскость этой
поверхности; в сечении находится искомая
кривая у =f(x)\ дифференциальное уравнение
получится, если приравняем тангенсы углоз
SMT и Т'МО, выраженные через х, у, уг
(угол падения равен углу отражения).
-х
Черт. 5.
2. Уравнения,
сначала уравнение:
приводимые к однородным. Рассмотрим
dy ах + by + с
dx
(32)
агх + Ьху + сх
(а, Ь, ..., ci—данные постоянные).
Бели с = сх = 0, то уравнение является однородным, и мы умеем
его интегрировать. В общем случае постараемся свести это уравнение
к однородному. Вводим новые переменные:
x = t-\-h, y = ri-\-ky
где h и k — пока ещё неопределённые постоянные; мы имеем:
dx = d% dy = d-q;
подставляем в уравнение (32):
df] ας + br{ -f- ah + bk -j- с
άς afi + bx'r[ + axh + bxk + c/
Если теперь выбрать h и k как решения системы линейных уравнений
axh -\- bxk -j- cx = 0,
(33)

§ 31
ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ
32
то мы получим однородное уравнение:
dy\ αϊ + £η
В его интеграле надо заменить ζ через χ — h, η через у— &, где h
и k имеют вышеуказанные значения, и мы получим интеграл
уравнения (32).
Система (33) не имеет решения, если определитель из
коэффициентов при неизвестных равен нулю: abx — atb = 0. Тогда
изложенный здесь метод неприменим. Но, замечая, что в этом случае
— = -^=λ и, следовательно, уравнение имеет вид:
dj> _ ах + Ьу + с
dx~~\(ax + by)+c1y {°v
мы легко приведём его к виду с разделяющимися переменными, если
введём новое переменное
г = ах-\- by;
dz , , dy /n .ч
тогда -г— = Ят-0-г-> И уравнение (34) примет вид:
1 dz а ζ + с
b dx b lz-\-cx9
т. е. мы получаем уравнение, не содержащее явно лг,— переменные
разделяются.
ЗАДАЧА.
25. Проинтегрировать это уравнение до конца с буквенными
коэффициентами.
Изложенный метод можно интерпретировать геометрически: в
случае однородного уравнения числитель и знаменатель правой части
уравнения (32), приравненные нулю, представляют две прямые,
проходящие через начало координат; в общем, случае эти прямее через
начало координат не проходят. Подстановка состоит в том, что мы
переносим начало координат в точку их пересечения; особый
случай (34) соответствует параллельности этих прямых.
Примечание. Тот же метод, очевидно, применяется к
значительно более общему классу уравнений:
dy _ г( ах + by Л-с \
dx 'K^x + biy + cJ*
где /—некоторая непрерывная функция своего аргумента.
ЗАДАЧИ.
Проинтегрировать уравнения:
26. 3j/ — 7λγ + 7 = (3* — 7у — 3)^-.

32 ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. ι
27. (* + 2^ + 1>|£ = 2* + 4у + 3.
ал;
3. Геометрические свойства семейства
интегральных кривых. Рассмотрим уравнение, не содержащее явно у.
g-/(*). (1)
Если в нём сделать замену переменного:
Xi=x, У1=У-\-С (35)
(С — постоянное), то, так как dx = dxv dy=*dyv уравнение
перейдёт само в себя. Следовательно, если F(x, у) = 0 есть частный
интеграл уравнения (1), то F(xv уг) = 0, или
F(x, у + С) = 0 (36)
тоже будет интегралом при любом С.
Легко видеть, что, обратно, если общий интеграл
дифференциального уравнения имеет вид (36), то исключение произвольного
постоянного приведёт к уравнению вида (1). Преобразование (35)
состоит геометрически в том, что все точки плоскости (дг, у)
переносятся на равную величину С параллельно оси у (перенос).
Дифференциальное уравнение (1) допускает преобразование (35),
т. е. поле направлений после такого переноса совпадает с
первоначальным [так как линии х = х0, параллельные оси Оу, являются
изоклинами; в самом деле, угловой коэффициент -j- на такой прямой
имеет постоянное значение /(лг0)]. Ясно, что и семейство
интегральных кривых переходит при переносе (35) само в себя, причём,
однако, каждая отдельная кривая F (лг, у, С) = 0 переходит в
другую кривую:
F(x,y,C' + C) = V).
J) Преобразования переноса образуют группу преобразований:
совокупность преобразований образует группу, если резуль-
татдвухпоследовательныхпреобразованийданнойсово-
купности представляет преобразование этой же
совокупности. В нашем случае пусть первое преобразование будет χλ = χ,
ух =zy -f- С\, второе преобразование х2 = χ χ, у2 =-У\ + С2\ их результат х\ = х,
у2=у + С1 + С2 есть опять перенос на величину Ci + C2- Указанный-нами
в отношении уравнения (1) факт можно сформулировать в общем случае
так: если дифференциальное уравнение допускает группу преобразований,
то семейство интегральных кривых допускает ту же группу. Преобразования
переноса являются примером непрерывной однопараметрической группы
преобразований.

§ 31
ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ
33
Аналогично обстоит дело с уравнением типа
g=/O0. (22)
Это уравнение допускает группу преобразований:
*i = * + c> У1=У
(группа переносов параллельно оси л;); ту же группу допускает
семейство интегральных кривых; общий интеграл получается из
частного заменой χ на х-\-С.
Рассмотрим с этой точки зрения однородное уравнение:
£-/©· »
Оно допускает группу преобразований хг = Сх, ух = Су, так как,
очевидно, ~ώ- = -^·, ^- = ^-. Это — преобразования подобая
(гомотетия) с центром подобия в начале координат; таким образом, все
направления касательных поля одинаковы на каждой прямой,
проходящей через начало; эти прямые являются изоклинами. Очевидно, что
если частным интегралом уравнения (29) является F{x> у) = 0, то
F(Cx, Су) = 0 тоже будет интегралом (общим). Семейство
интегральных кривых состоит из подобных и подобно расположенных кривых.
Далее, мы можем с новой точки зрения подойти к уже
полученному методу интегрирования уравнения (29). Если за новые
переменные взять и = — и ху то группа преобразований напишется так:
иг = и>
Х\ == t-fXy
или, наконец, вводя ещё переменное £ = 1п л:,
ut = и,
(мы положили 1пС=С).
Мы получили в переменных и, ξ группу переносов (35), а это
означает, что в новых переменных уравнение будет иметь вид:'
оно не содержит явно ξ.
Так как нашей задачей в п. 1 было только разделить переменные,
то замена \ = In x нам не понадобилась мы в переменных х% и

34 ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. I
привели однородное уравнение к виду:
\ dx . , Ν
с разделяющимися переменными.
Уравнения, приводимые к однородным, рассмотренные в п. 2,
тоже допускают группу преобразований подобия, и центр подобия
находится в точке пересечения прямых ах~\-Ьу~\-с = 0, ^^-j-^-j-
Jf-ct = 0. И во многих других случаях знание непрерывной группы,
допускаемой дифференциальным уравнением, позволяет привести это
уравнение к квадратурам.
§ 4. Линейные уравнения.
1. Линейным уравнением первого порядка называется уравнение,
линейное относительно искомой функции и её производной. Оно
имеет вид:
где коэффициенты Л, В, С—заданные непрерывные функции от х.
Предполагая, что в некотором интервале изменения χ коэффициент А
не обращается в нуль, мы можем разделить все члены уравнения на
этот коэффициент. Обыкновенно линейное уравнение пишут в виде:
£ + Яу = <? (37)
(Р, Q — заданные функции от х). Если, в частности, Q = 0, то
уравнение имеет вид:
£ + Ру = 0. (38)
Уравнение (38) называется линейным однородным (или без правой
части), уравнение (37) — неоднородным. Однородное линейное
уравнение (38) легко интегрируется разделением переменных и одной
квадратурой:
^У_
= — Pdx,
\n\y\ = — jpdx-j~\n\C\;
его общее решение1) —
y=CeSPd!B. (39)
г) Заметим, что частное решение у = О, соответствующее нулевому
значению постоянного С, не получается из квадратуры.

§ 4]
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
35
Чтобы найти общее решение уравнения (37), в котором Ρ
обозначает ту же функцию, что и в уравнении (38), мы применим приём,
называемый вариацией постоянного. Мы будем пытаться
удовлетворить неоднородному уравнению (37) решением того же вида (39), но
будем в этой формуле считать С не постоянным, а неизвестной
функцией от х. Подставляя в этом предположении правую часть
выражения (39) в уравнение (37), получаем:
dx
или
4^-iPito — CPeSPdx + CPe-SPdx = Q,
dx I ^'
dx
С найдётся из этого уравнения квадратурой:
с= J оЛРЛв </*+<?!
(С1 — произвольное постоянное).
Подставляя найденное значение С в выражение (39), получаем
общее решение неоднородного линейного уравнения (37):
у = е~\р*»(с, + f QeSPaxdx). (40)
Итак, общее решение линейного уравнения первого порядка на-
ходится двумя квадратурами.
Заметим, что решение (40) представляет сумму двух слагаемых:
Cte~J dx есть общее решение однородного уравнения (38),
соответствующего данному уравнению (37), т. е. получаемого из данного
заменой правой части нулём; второе слагаемое, е~* dx \ Qe* dx dx, есть
частное решение неоднородного уравнения (оно получается из общего,
если положить Сг = 0).
Покажем, что знание одного частного решения линейного
неоднородного уравнения позволяет привести его к однородному. Пусть Υ
есть известное нам частное решение уравнения (37); введём новую
искомую функцию ζ у связанную с у соотношением:
y=Y + z.
Подставляя в уравнение (37), находим:

36 ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА ^ГЛ. I
Но так как Υ есть, по предположению, решение уравнения (37),
мы имеем тождество: -—\-PY = Q; в силу этого тождества
последнее уравнение примет вид:
£+л-о.
Это — однородное линейное уравнение относительно г.
Таким образом, если известно одно частное решение
неоднородного линейного уравнения^ то общее решение находится одной
квадратурой.
Если известно одно частное решение уг однородного линейного
уравнения (38), то выражение Суг также будет решением; оно
содержит произвольное постоянное С, следовательно, это — общее
решение. Итак, общее решение в этом случае находится без
квадратур.
Посмотрим, что нам даёт знание двух частных решений
неоднородного уравнения. Пусть эти решения будут Ух и К2. Имеем
тождества:
Вычитая их почленно, получим:
Следовательно, Y2— Yt является частным решением линейного
уравнения без правой части. Из предыдущего вытекает, что общее
решение уравнения (37) напишется так:
При знании двух частных решений линейного уравнения с
правой частью общее решение находится без квадратур.
Примечание 1. Уравнение (38) допускает группу преобразований
xt = χ, уЛ = Су (аффинная группа); все его интегральные кривые получаются
из одной какой-нибудь растяжением или сжатием всех ординат в одном и
том же отношении. Неоднородное уравнение (37) допускает преобразования
yL=y + Сг, где г — частное решение однородного линейного уравнения;
в самом деле,
άχ
■ + i*-g + i>r + C(£ + i*)-g + i*
у
Таким образом, если взять за новую функцию и = —, то группа
преобразований уравнения (37) будет:

§ 4] ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ 37
Отсюда видно, что дифференциальное уравнение между и и χ не будет
содержать явно и и, следовательно, интеграция его приведётся к квадратуре. Если
сравнить эту замену переменных с приведёнными выше выкладками, то
окажется, что новая искомая функция и есть не что иное, как С,
рассматриваемое как функция от х.
Примечание 2. К тем же вычислениям для интеграции линейного
неоднородного уравнения приводит такое рассуждение. Делаем в
уравнении (37) замену искомой функции:
у = uv,
где и и ν суть функции от х\ получаем:
■£+(«■+£)«*
Определяем и таким образом, чтобы обратился в нуль коэффициент при ν:
——|- Pu = 0, откуда u — e J
(нам достаточно взять частное решение, поэтому мы положили С = 1). После
этого ν определяется квадратурой из уравнения: u — = Q; получается
ν= Γ u-iQdx + C.
Примечание 3. Общее решение линейного уравнения, как видно из
формулы (40), имеет вид:
у = Су(х) + <\>(х\ (400
где С—произвольное постоянное, φ и ψ — определённые функции от х.
Легко показать, исключая постоянное С, что всякое уравнение имеющее
общее решение вида (40^, есть линейное.
Примечание 4. Линейное уравнение (37) сохраняет свой вид при
следующих преобразованиях переменных:
1) любое преобразование независимого переменного χ = φ (ς), где φ —
дифференцируемая функция; в самом деле, подставляя в уравнение (37),
получаем:
^- + /> [φ (ξ)] φ' (ξ) J/ = Q [φ (ς)] φ' (ξ)
— опять линейное уравнение;
2) любое линейное преобразование зависимого переменного у = α (χ) ζ +
+ β (χ), где α и β — произвольные дифференцируемые функции от л:, α (дг)=£0,
R рассматриваемом интервале. В самом деле, совершив преобразование, полу-
IPVT
В
чаем:
dx
:+£ + ')·-
т. е. снова линейное уравнение.

38 ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. !
2. К линейному уравнению преобразованием искомой функции
легко приводится уравнение Бернулли 1):
Здесь Р, Q — заданные непрерывные функции х> а п — некоторое
постоянное число. При η = О имеем неоднородное линейное
уравнение, при η = 1 имеем:
— однородное линейное дифференциальное уравнение. Итак, будем
предполагать /г^О, ф.\. Разделив обе части уравнения (41) ш уп2,)у
получим:
Легко заметить, что первый член с точностью до постоянного
коэффициента равен производной от множителя при Р9 т. е. от уп+1;
поэтому введём новую функцию:
z=yn+if
тогда
£=(-„ + ,»-,£.
Умножая обе части уравнения на (— я-|-1) и вводя значения ζ
и —, получим для г линейное уравнение (неоднородное):
£+(-» + i)P* = (—« + i)Q.
Подставив в его общее решение вместо ζ выражение у~п+1>
получим общий интеграл уравнения Бернулли; он легко разрешается
относительно у. При η > 0 мы имеем ещё решение у = 0.
ЗАДАЧА.
30. Написать формулы общего интеграла и общего решения уравнения
Бернулли.
Пример 10. Проинтегрировать уравнение Бернулли:
dx
xir—fy = x2Vy-
1) Уравнение это предложено Яковом Бернулли в 1695 г., метод решения
опубликован Иваном Бернулли в 1697 г.
2) Мы предполагаем, что у^О.

§ 4] ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ 39
1
Здесь η =~2- Делим обе части на χ Υ у:
Χ.
Y~y dx x
Вводим новое переменное:
-. г— dz 1 dy
Z~~~V y> Zr~" 2 Yy~fa'
Подставляем в уравнение:
dz _ 2z_ х_
dx χ 2 *
Решаем однородное линейное уравнение:
dz 2z dz 2 dx . 0. , . ^ - Q
— = —, — = , In г = 2 In x-Mn C, z=Cx*.
dx χ ' ζ χ 9 ' '
Применяем вариацию постоянной:
¥ = 2Cx + x*^;
dx ' dx '
вставляем в неоднородное уравнение:
или
Следовательно,
и, наконец,
ZLx^rx αϊ J"-Τ»
ί=4> C = lln,+ C,
Пример 11. В физике устанавливается следующая связь между
силой тока / и электродвижущей силой Ε в цепи, имеющей
сопротивление R и самоиндукцию L (R и L — постоянные):
E = Ri + L%-.
Если рассматривать Ε как заданную функцию от t, то это —
линейное дифференциальное уравнение для силы тока L Напишем его
в виде:
di . R . Ε

40 ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. I
Проинтегрируем уравнение (42) в предположении £ = const., при
начальном условии /=0 при /=0 (включение в цепь, в которой
не было тока, постоянной электродвижущей силы). Интеграция
однородного линейного уравнения даёт:
Вместо вариации постоянной перейдём к общему решению
уравнения (42), угадав его частное решение в виде некоторой
постоянной А; подставив её в уравнение, получим:
Итак, общее решение уравнения (42) в нашем предположении есть
1 = ^ + Се *'.
Определим С из начального условия при t=0:
о=4+с, с—|.
Искомое частное решение будет:
При /=0 сила тока равна 0, а затем быстро приближается к по-
стоянному значению -^ (процесс установления постоянного тока).
ЗАДАЧИ.
31. Проинтегрировать уравнение (42) в случае периодически
изменяющейся электродвижущей силы:
Ε = EQ sin tut (переменный ток).
Проинтегрировать уравнения:
32. cos χ ~~ = у sin χ -f- cos2 jc.
38' Тх +У Jx = φ W rfJ (φ "" данная ФУНК^ИЯ *)·
34. ^ = 2*y — x* + x.
dx
dx~l+x·^ jc(1+jc2)·
36. (x — 2yx —y*) dy +yidx = 0.
37. xy'+y = xy2 inx.

§ 5] УРАВНЕНИЕ ЯКОБИ 41
XV X
38. у' — 2 — о- = ϋ· Найти интегральную кривую, проходящую
через точку χ = О, у = 1.
40. (х —у2) dx + 2xy dy = 0.
§ 5. Уравнение Якоби.
К числу уравнений первого порядка, общее решение которых выражается
в элементарных функциях, относится уравнение Якоби. Оно имеет вид:
(Ах+Ву + С) dx + (А'х + В'у + С) dy +
+ (А" х -f В"у + С") (xdy—ydx) = 0, (43)
где Л, #, ...» С"—постоянные.
Если его написать в форме:
Mdx + Ndy = 0,
το Μ и N окажутся многочленами второго порядка по х, у, причём члены
второго порядка в выражении для Μ имеют вид:
— А"ху — В"у\
а в выражении N они будут:
А"х2 -f B"xy.
Для исследования 1) уравнения Якоби удобно ввести новые переменные,
соответствующие однородным координатам аналитической геометрии:
Х·^ Х%
Х$ Хз
Тогда
άχ = xs dxt — хх dxs ^ = лг3 dx2 — х2 dxs ^ χ άχ _ хг dx2 — х2 dxx
хъ хв х3
Вставляя эти значения переменных и дифференциалов в уравнение (43), мы
можем написать его в виде:
dxi dx2 ахъ I
= 0, (44)
dxi
*ι
1 ах
dx2
х2
bx
ахъ\
*з
Сх
где
ах = atxt + c^x2 + я3лг3, Ьх = bxxi + Ь2х2 + Ь3хг, сх = сгхг + ^χ2 + с3х3
суть линейные формы относительно однородных координат.
Чтобы возвратиться к декартовым координатам, достаточно положить
*8=1.
1) Приводимый здесь метод исследования уравнения Якоби принадлежит
Д. Ф. Егорозу, неоднократно излагавшему этот метод на своих лекциях
в Московском университете.

42 ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. Г
Введём новые координаты x'v х2, лг3, связанные с первоначальными
координатами линейными преобразованиями:
?х\ х= 7ιι·*Ί + 7i2-*2 + 1\ЪХ&
рХ2 = 721-^1 + 722^2 + ^23^3' ί <45^
9х Ъ === 7з1"*1 + Ϊ32"*2 + КзЗ"*3»
гДе Ък — постоянные с определителем =£0, а ρ — любая функция от х{.
Преобразование (45) эквивалентно дробно-линейному преобразованию
координат χ и у в новые координаты х' = —, у' = —7. Покажем, что при
хъ хь
таком преобразовании уравнение Якоби переходит в уравнение того же типа.
Положим сначала ρ = 1. Умножая определитель, стоящий в левой части
уравнения (44), на определитель из γίΛ (строки на строки), в первой строке
определителя получим, очевидно, dxv dx'2, dx^ во второй xv х2, лг3, в третьей —
три линейные формы от xh лг2, лг3» которые преобразуются в линей-
х\, х0, x'v в результате получаем:
ные формы а'х„ b'x„ сх, от
ι
dx.
^2» ·*&
dx2
dx~
= 0,
(440
т. е. опять уравнение типа Якоби. Если теперь заменить xv х2, лг3 на рхг,
рх'2у рхь, где рфО есть функция от х^ то во второй и третьей строках ρ
выйдет общим множителем, а в первой строке будем иметь:
р dx1 + xx dp, p dx2 + x2 dp, ρ dxz + хъ dp]
но если из членов первой строки вычесть члены второй, умноженные на dp,
то вторые слагаемые исчезнут; ρ выйдет общим множителем, и мы опять
получим уравнение (440. Таким образом, уравнение (440 связывает не самые
переменные хь х2, jc3, а их отношения, — оно эквивалентно уравнению (43).
Уравнение Якоби допускает частные линейные интегралы. Напишем
линейное соотношение в однородных координатах:
Yjlixi = «1*1 + «2*2 + "3*3 = 0 (46)
и потребуем, чтобы оно удовлетворяло уравнению (44). Умножая первый и
второй столбцы определителя в левой части (44) на aj, u2 и прибавляя
к третьему, умноженному на и3, получаем:
\dxx dx7 Ъи-idXi Ι
xx x2 Ъщн = 0.
ax bx uxax + «2^a? + uzcx I
Замечая ещё, что, в силу равенства (46), 2«г dx{ = 0, мы приходим к условию:
(игах + и2Ьх + иъсх) (х2 dxx — хх dx2) = 0.
Но так как лг^ лг2, jc3 совершенно равноправны, мы можем получить два
таких же равенства со вторыми множителями: x^dx2 — χ2άχ6, x-[dx% — χ9άχχ.
Замечая, что все эти множители одновременно не равны нулю, мы приходим

§ 5]
УРАВНЕНИЕ ЯКОБИ
43
к заключению, что всякий раз, когда выполняется (46), щах -\- ифх + щсх = О,
а тогда, как легко видеть, обе линейные формы пропорциональны, т. е. имеем
тождественно:
"Ι^ατ + иФх + USCX = λ (ΐΙ^Χγ + «2*2 + UBXS)
(λ — множитель пропорциональности).
Подставляя вместо ах, Ьх, сх их выражения через лгг, лг2, х$ и
приравнивая в получающемся тождестве коэффициенты при хь х2, х& получаем три
однородных уравнения для определения uh иг, и$
(Я4 — к)и1 + Ь1и2 + с1ия = 0, \
агих + (Ь2 — λ) и2 + с2иг = О, \
Чи>\ + Ьъи2 + (сг — λ) иъ = 0. J
(47)
Чтобы система (47) имела отличные от нуля решения, определитель этой
системы должен быть равен нулю, т. е.
Οχ — λ bi C\
β2 b2 — \ с2 |=0.
<*з
с3 —λ
Мы получили для λ кубическое уравнение. Если оно имеет три различных
действительных корня λ1% λ2, λ3, то из уравнения (47) получится три
различных решения иь и2, %, т. е. уравнение Якоби допускает в качестве
интегральных три прямые. Пусть их уравнения будут:
их = игх^ + и2х2 + и3х3 = 0,
»1*1 + » 2*2 + ^8*3 = 0.
v„ =
и>х =ЩХ\ + Щ*2 + Щ*з = 0.
Возьмём эти прямые за оси новой трилинейной системы координат, новые
координаты опять будем обозначать через Х\, х2, лг3. Уравнение (44)
допускает, по предположению, решения: xt = 0, х2 = 0, лг3 = 0. Подставляя в (44)
nepEfoe решение и требуя, чтобы оно обращало уравнение (44) в тождество,
найдём:
(h = яз = °-
Аналогично учитывая, что х2 = 0 есть решение, получим Ъ\ = 63 = 0, а из
решения хъ = 0 получим q = с2 = 0 (здесь аь .... с3 — соответствующие
коэффициенты в новы* координатах).
Уравнение Якоби приведётся тогда к виду:
dxt
*ι
«1*1
ί*Χ2
*2
62*2
ί/*3
*з
С3*3
= 0, или
dx{
I
«1
Х.>
г
<**з
*3
1
*3
«О,
(с3 — ^-τ^ + ί^ι-
*1
Х2 -*"з
Общий его интеграл в однородных координатах, очевидно, есть

44 ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. I
или, переходя к старым трилинейным координатам,
{и1х1 + и2х2 + идхг)« {щхх + v2x2 + vbxzY (wlx1 + w2x2 + Х!>зхд)4 = С,
причём
β + β + ϊ-('8—« + (*1 —*8) + (*2 —*l) = 0.
Поэтому в декартовых координатах общее решение будет иметь вид:
(ихх + и2у + иг)* (vtx + v2y + vzf (Wxx + w2y + w8)T = С
Можно аналогично исследовать все остальные случаи — один
действительный и два мнимых корня, и ряд случаев для кратных корней. Не
останавливаясь на этом, дадим метод, который позволяет всегда
проинтегрировать уравнение Якоби. Кубическое уравнение для λ имеет всегда один
действительный корень; следовательно, уравнение Якоби имеет, по крайней
мере, одну интегральную прямую. Пусть её уравнение будет:
иххх + и2х2 + игхг = 0.
Сделаем замену переменных:
/ Г / , ! ,
х\ — х\ч х2 — х2* ХЪ — Uixl \ и2Х% ~Г и$ху
если игФО, то определитель этой подстановки не равен 0 (если бы было
м3 = 0, а, например ихФ0, то мы положили бы х[ = их, х2 = х2, х^ = х^).
Преобразуем уравнение (44), умножая первый,и второй столбцы на иь и2
и складывая с третьим, умноженным на и3; новое уравнение будет иметь вид:
= 0.
Подобно предыдущему, убеждаемся, что сх,~сьх\у Затем переходим к
декартовым координатам, полагая xt = χ , χ2 = у', х'ъ = 1; геометрически это
значит, что мы совершаем преобразование, переводящее интегральную
прямую их = 0 в бесконечно удалённую прямую плоскости х'у\ Уравнение
Якоби примет вид:
dx (сгу —Ьгх —b2y —63) — dy (csx —axx'— a2y —#3) = 0,
т. е. мы получили уравнение, приводимое к однородному, которое интегри-,
руется в квадратурах.
Если не переходить к однородным координатам, то правило
интегрирования уравнения Якоби можно сформулировать так: находим один линейный
интеграл уравнения (44):
ихх + и2у + щ = 0;
вводим новые переменные:
, χ , у .
Х "" ихх + и2у + иъ У ~ ихх + и2у + и3*
преобразованное уравнение в переменных х\ уг будет вида, приводимого
к однородному.
dxx
«V
dx2
Х2
С
dxH \

§ 5]
УРАВНЕНИЕ ЯКОБИ
45
Пример 12.
(14* + 1 Зу + 6) dx + (4л: + 5y + 3)dy + (7* + by) (ydx — x dy) = 0.
Вводим однородные координаты:
χ =
*3
*3
dx =
*3 dx\ — Χι dx3
dy
_ x3dx2— x2dx3
у dx — χ dy =
*2 άχΛ — ЛГ| dx2
Уравнение в форме определителя напишется так:
dxx dx2
4xt + 5*2 + Злг3 — 14*! — 1 3*2 — 6*3
Уравнение для определения λ будет:
4 — λ —И 7
dx3
х3
ΙΧγ -ρ 5*2
:0.
5 —13 —λ
3 — 6
= 0.
или
λ» + 9λ*+27λ + 27=:0.
Все его корни равны: Xt = λ2 = λ3 = — 3.
Уравнения (47) для определения иь и2» и3 примут вид:
7иг — 14и2 + 7щ = 0, 5щ — Юи2 + 5я3 = 0, Зи{ — би2 + Зн3 = 0,
т. е. все сводятся к одному:
Ht — 2и2 + щ = 0.
Вместо одной интегральной прямой мы получаем целый пучок
интегральных прямых, так как одного уравнения недостаточно для определения двух
„Hi Но ~
отношении — , —. Выражая иг через иг и и2 и вставляя в уравнение их = 0,
Но Но
мы получим уравнение пучка:
"ι (*ι — лг3) + и2 (*2 + 2*3) = 0
(Ml> и2 — однородные параметры пучка).
Здесь нет надобности делать дальнейшие подстановки, так как
уравнение пучка содержит одно (существенное) постоянное l· за которое можно
принять -) и, следовательно, является общим интегралом уравнения,
В декартовых координатах этот интеграл имеет вид;
лг— l = C(j/+2),
Пример 13.
(7x + 8y + 5)dx — (Jx + 8y)dy + 5(x —y)(ydx — xdy)=Q.

46
ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
[ГЛ. I
Вводим однородные координаты и приводим к виду:
dxi dx2 dx%
х\ х% Хз
— 7хх — 8^2 — 7х\ — 8*2 — 5*з &х1 — 5*2
:0.
Уравнение для λ будет:
или
.7 —λ — 7 5
— 8 —8 — λ —5 |=0,
0 —5 —λ
'4-15X2 —25λ — 375 = 0.
Его корни Xt = — 15, λ2 = — 5, λ3 = 5. Находим формы их, vx, wx. Имеем
для и1% и2, «з Уравнения (соответствующие it):
&их — 7н2 + 5и3 = 0, —8иг + 7и2— 5и3 = 0, —5и2+15«3 = 0,
из которых только два независимых; одной из систем их решений будет
Ηχ = 2, М2 = 3, Hg = l.
Аналогично для vb v2% v$ имеем (корень λ2):
— 2vt — 7v2 + 5#з = 0, — 8V} — 3v2 — 5t/3 = 0,
— 5v2 + 5v3 = 0;
система решении:
vi = — 1, v2=l, t/3 = l;
наконец, для wb w2, wb имеем:
— 1210J — 7w2 + 5гг;з = 0, — &w{ — I3w2 — 5ws = 0,
• bw2 — 5w3 = 0,
откуда решения:
Итак,
до1==1, w2 = — 1, и>з — 1·
их = 2лг1 + Злг2 + лг3» νχ = — xt + х2 + xs, wx = X\ — x2+ *з·
Вводя в уравнение переменные и> v, wy определённые этими формулами,
получаем:
du dv dw
и υ w I = 0,
— 15м —- 5v 5w
-f-(6 + 5) + ^-(-ie-5) + ^(-5+15).
и интегрируя:
uw = Cv\
или, возвращаясь к первоначальным переменным,
(fcc + Зу+1) (*-> + !) = С (-*+j> + l>4.

§ 6]
УРАВНЕНИЕ РИККАТИ
47
§ 6. Уравнение Риккати.
В заключение этой главы мы рассмотрим ещё один тип
уравнений первого порядка. В противоположность ранее разобранным типам,
в настоящем случае решение уравнения не может быть вообще
выражено в квадратурах. Тем не менее, мы будем говорить о
решениях этого уравнения, как о существующих, так как в следующей
главе существование решений дифференциального уравнения будет
доказано.
1. Общее уравнение Риккати имеет вид:
■Q = P{x)y* + Q(x)y-\-R{x), (48)
где Р, Q, R — непрерывные функции от χ при изменении χ в
интервале а < χ < Ь(а^ — оо, £<; оо). Уравнение (48) заключает в себе
как частные случаи уже рассмотренные нами уравнения: при Р=0
получаем линейное уравнение, при /? = 0 — уравнение Бернулли.
Уравнение Риккати сохраняет свой вид при следующих
преобразованиях переменных:
1) Произвольное преобразование независимого переменного:
* = ?(*ι)
(φ — дифференцируемая функция). В самом деле, производя в
уравнении (48) эту замену переменного, получим опять уравнение
Риккати:
4τ=ΡΙΨ (*ι)1 ?' (*i)y* + <?[<? (*ι)1 ?' (*i) У + R I? (*i)l *' (*i)·
ι
2) Произвольное дробно-линейное преобразование зависимого
переменного:
«^ι + β
У~ tVi + δ'
где α, β, γ, δ— произвольные дифференцируемые функции от лг,
удовлетворяющие условию αδ — βγ Φ О в рассматриваемом интервале.
В самом деле, дифференцируя, получаем (штрихи обозначают
производные по х)\
dv ("^+^1 + У)(тл + »-(т^- + ^1+у)с^+Р)
"ЗЗГ dyi + Ψ ~
(αδ ~βγ) ~§Г+(*'т—t'«)j^ + («'» 4- β'ϊ - «δ' - ργΟΛ + (β'δ- »?)
= (m + δ)2 *
Подстановка же в правую часть уравнения (48) даёт дробь с тем же
знаменателем и* с квадратным многочленом по у1 в числителе.
Очевидно, получается уравнение типа Риккати.

48 ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА ГгЛ. t
Этими преобразованиями можно воспользоваться для приведение
уравнения к наиболее простому (каноническому) виду.
1) Коэффициент при квадрате зависимого переменного можно
сделать равным =±: 1. Для этого в уравнении (48) произведём
(линейную) замену искомой функции:
у = ω (*) ζ,
где ω — пока неизвестная функция. Подставляя в уравнение (48),
получаем:
или
#-ft-»+(«-£>+i.
Если теперь взять ш = г£-р-, то уравнение примет вид:
·&-=**·+(<2—£>=*=«?.
(Замена годится для интервала изменения х, в котором Ρ не
обращается в нуль.)
2) Не изменяя коэффициента при квадрате зависимого пере·
менногОу можно коэффициент при первой степени зависимого
переменного сделать равным 0. Для этого введём в уравнение (48)
новое зависимое переменное и подстановкой:
у = и -J- α (χ).
Тогда преобразованное уравнение будет:
du
dx
:Ptt2 + [Q4-.2Pa(x)]tt + /? + Pa2 + Qa — a'.
Достаточно выбрать а(лг) = — -т~-, чтобы получить коэффициент
при и равным 0. Комбинируя обе подстановки, мы всегда можем
привести уравнение Риккати к виду:
-g = =ty>+ /?(*). (48х)
2. Как уже упомянуто, решение уравнения Риккати не сводится
вообще говоря, к квадратурам. Но имеет место теорема:
Если известно одно частное решение уравнения Риккати, пол-
ное решение получается двумя квадратурами.

§ б] УРАВНЕНИЕ РИККАТИ 49
В самом деле, пусть известное частное решение уравнения (48)
есть у =yi (х), т. е. мы имеем тождественно:
Х = яу*+ <& + *. №
Делая замену зависимого переменного:
где ζ — новая искомая функция, получаем:
dx ' dx
или, в силу тождества (483),
dz
dx
^- = Ρζ* + (2ΡΆ + 0)ζ. (49)
Получилось уравнение Бернулли, которое, как мы видели,
интегрируется двумя квадратурами. Для приведения уравнения (49) к линей-
1 1 1
ному следует положить г = — , откуда и = — = -—— ; уравнение
и ζ у у ι
(линейное) для и будет:
-f^ + (2Py1 + Q)«=-P. (50)
Его общий интеграл имеет вид (§ 4, примечание 3):
« = Ορ(*) + ψ(*),
где φ и ψ — некоторые функции от л:ρ отсюда мы выводим форму
общего решения уравнения (48):
|ν = ν | 1 в Суя(х)+У1Ь(х) + 1
V > ι "Τ" с> (χ) + ψ (χ) Сер (χ) + ψ (дг)
Итак, общее решение уравнения Рикката есть дробно-линейная
функция от произвольной постоянной.
Покажем, что и обратно, если общее решение уравнения есть
дробно-линейная функция от произвольной постоянной, то
соответствующее дифференциальное уравнение есть уравнение Рикката.
Действительно, пусть общее решение дифференциального
уравнения есть
CcPi(at)+?2W.

50 ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА ГГЛ. Τ
разрешаем его относительно С и исключаем С дифференцированием:
J'+i — Τι '
(?; -у%—у® Μι - ?ι) - (/ψχ+.νψ; - ?ί) (?2—^=ο,
или
У (?Α—Ψι?2)+У (ΨίΨ,—ΨιΨί) +
+^(?i*i —?ίΨ2 —Φί?2 + Φί?1) + (φίφ2 —©;?i) = o,
т. е. мы действительно получили уравнение типа Риккати.
Если известны два частных решения уравнения Риккати, то
общее решение находится одной квадратурой. В самом деле, если,
кроме решения y=yv известно второе решение^, то для
уравнения (50) известно одно частное решение и1==———, а в таком
случае мы знаем, что решение его требует одной квадратуры.
Наконец, если известны три частных решения уравнения
Риккати, то общее решение находится без квадратур. Пусть эти
три решения уравнения (48) суть уи у2, уъ\ как и в предыдущем
случае, убеждаемся в том, что уравнение (50) имеет два известных
частных решения: и : в таком случае общее решение
уравнения (50) напишется так:
У2 — У\ ' \Уч — У\ Уг — УО
или, заменяя и его значением —-—, перенося первый член правой
части влево, умножая обе части на у2—у1 и разрешая
относительно С:
У—У* . Уз—У2 = с
)' — У\ ' Уз—У1
Это и есть общий интеграл уравнения Риккати.
Заметим, что если вместо у подставить какое-нибудь четвёртое
частное решение yv то получим:
Уа — У2 . Уд—У2 =с
Уа — У\ " Уг—Уг
т. е. ангармоническое отношение любых четырёх частных
решений уравнения Риккати равно постоянному.
3. Уравнение Риккати специальное есть частный
случай уравнения (48); оно имеет вид:
g- + ay* = **s (51)

§ 6] УРАВНЕНИЕ РИККАТИ 51
где а, д и α — постоянные; для определённости мы будем
рассматривать интервал изменения для х: 0 < χ < -j- оо. Легко усмотреть
два случая, когда это уравнение интегрируется в элементарных
функциях.
1) а = 0; —¥--\-ау2 = Ь; тогда переменные разделяются:
dx
dy
b — ay1
2) α = — 2; уравнение имеет вид:
dx.
dx ' -* χ
Сделаем в (52) замену зависимого переменного:
_ 1
Преобразованное уравнение будет
£+** = ■*· (52)
у=т-
г \2
1 dz , a b dz ,( ζ V
Получилось однородное уравнение; оно интегрируется в
квадратурах.
Примечание. К виду (52) приводится более общее уравнение:
dy , α ί у , b
(cti /, b — постоянные) разобранной выше подстановкой, уничтожающей член
с у в первой степени.
Кроме а = 0 и а = —2, существует ещё бесконечное множество других
значений а, при которых уравнение Риккати (51) интегрируется в
элементарных функциях. Для нахождения этих значений, преобразуя в
уравнении (51) зависимое переменное линейной подстановкой
У = иу + ν,
подберём функции и и ν от χ так, чтобы преобразованное уравнение не
содержало члена с первой степенью искомой функции и чтобы свободный
член не изменился. Имеем:
и ~- + а'у + υ' + аи2у2 + 2auvy + αν2 = bx\
Поставленные условия дают два уравнения для определения и и гк
и' + 2auv = О, vf + αν1 = ϋ.
Из второго уравнения находим:
— = — a dx, v = — (частное решение).

52 ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. I
После этого из первого уравнения получаем:
и* 2 1
■— = , и = —2> (частное решение).
Искомая подстановка имеет вид: у = ^ -| , и преобразованное
уравнение напишется так:
dx ' χ2 '
Далее, делаем подстановку (дробно-линейную):
1
при этом _у3 связан с у соотношением:
^=3^+i; (53)
новое уравнение будет:
rfjc ' ^2 χ2
Деля обе части на jca+2, преобразуем, наконец, независимое переменное
так, чтобы член с у\ имел постоянный коэффициент:
Очевидно, что для приведения уравнения к виду (51) достаточно положить:
ι
д:а+3 = дг1, dx1 = (oi + 3)xa+2dx, х = хха+ь, (54)
и мы получаем окончательно:
й^^а + З^1 а + 3*1 (5ό)
Это есть уравнение вида (51), где новые коэффициенты имеют значения
b . a
а,\ = —г-к-» "ι = —г^т » и показатель α заменился через
1 α -f-З α +о
«+4
Последнюю дробно-линейную подстановку, связывающую α и аь приводим
к следующему «каноническому виду»:
1 1 а + 3 1 л . 1
- — > f или —T-s· = 1 +
J а + 3

§ 6] yPABHEHHF РИККАТИ 53
Применяя к уравнению (55) с новыми аь Ьг и аг те же преобразования (53)г
(54), придём опять к уравнению того же типа, в котором показатель а2
при χ связан с хх и с α соотношениями:
1 l+r-U-2+· '
В результате £ подобных преобразований придём к показателю с^,
связанному с исходным показателем α соотношением:
= Ь + —го (Л = 1,2,...).
аА. + 2 ' а + 2
Если, отправляясь от показателя а, мы проведём в обратном порядке
вышеуказанные последовательные преобразования переменных, мы придём
к уравнениям с показателями a_lt a_2,..., a_fc,..., связанными с α
соотношениями:
а V о = -* + т4го (*«1.2,..0.
a-/f + 2 a + 2
Если в результате преобразований мы придём к показателю, для
которого уравнение Риккати интегрируется в квадратурах, то и начальное
уравнение обладает тем же свойством. Как легко видеть из первоначальной
формулы, связывающей α и аь при а = — 2 мы имеем at = — 2, т. е.
показатель — 2 не изменяется при рассматриваемых преобразованиях и,
следовательно, не может произойти в результате этих преобразований от другого
показателя. Поэтому нас будут интересовать лишь те случаи, когда для
некоторого натурального k мы имеем: ак = О или а_Л = 0.
Предполагая теперь k любым целым числом (положительным или
отрицательным), мы в обоих этих случаях имеем:
1 1 4k
-^у2= — Ь + -2> откУДа a = __ 2k + \ (fc=s — 1* ="...).
Мы получили две бесконечные последовательности показателей, для
которых уравнение Риккати сводится путём ряда преобразований к случаю
a = 0; это будут:
£= 1, 2, 3,...; a = — 4, -"-Τ* -~1Γ'···;
Ь 1 9 q · 4 8 12
«= —I. —I. —ο,..., σ = ^-, —, —-=-,...
Обе последовательности имеют пределом — 2. Разрешая найденную для a
формулу относительно £, получаем: 9 , д равно целому числу; это —
признак того, что α принадлежит к одной из указанных последовательностей.
При a = 0, как легко убедиться, у выражается через показательные и
тригонометрические функции от х\ последовательные преобразования вводят
ещё дробные степени х\ в результате у выражается через χ в
элементарных функциях.
Как показал Лиувилль (1841 г.), при всех других значениях α решение
специального уравнения Риккати не может быть выражено квадратурами от
элементарных функций.

54 ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. I
Уравнение Риккати имеет то общее свойство с линейными
уравнениями, что знание некоторого числа частных решений
позволяет найти общее решение или привести его отыскание к
квадратурам. Дарбу исследовал широкий класс уравнений, обладающих тем
свойством, что, зная достаточное количество их частных решений,
можно получить общее решение без квадратур или с помощью
одной квадратуры; это — так называемые «уравнения Дарбу»;
частным случаем этого класса является уравнение Якоби.
Пример 14. -f- =у2 + ^. Подстановка у = — даёт:
ах /л*1 ζ
-№
dz=;__l l_fJL\2
dx ~~
Далее,
, fto__i J_ 2 dtl — ^£
U~j~XdJc~ 2M* u2 + 2u + 2~ 2x'
du dx , л ж („ 1 , \
1+(И + 1)^=-2Г' " + l=tg(C-Tlnxj,
* = xi-l + tg(c--i-ln*)]
и, наконец,
У =
x[-l+tg(C—iln*)]
Пример 15. -^-4"/ = ·^ · Показатель соответствует значению
£ = — 1, следовательно, надо все подстановки вести в обратном порядке.
Для удобства сравнения с соответствующими формулами обозначим исходные
переменные через хъ yt. Итак, имеем:
4 α + 4
здесь at = о- = -ц-я-, т. е. а = 0. Делаем замену независимого
переменного: х3 = х1% dxt = Зх2 dx. Получаем:
Переходя к переменному у = —, находим:
dx ' jc2 -*

§ 61 УРАВНЕНИЕ РИККАТИ 55
Мы имеем а = 3, Ь = 3. Разрешая относительно у формулу преобразо-
У , 1
вания у = ^г +-?г— , имеем:
J χ1 ' Зд:
9 *-
3'
3/ = jc^y -
подставляем в последнее уравнение:
x2^.+2xy-±- + 3x*y* — 2xy+ \ = 2>х*
ад: о о
или, упрощая,
g + 3,-3.
Интегрируем, разделяя переменные:
dy о^ dy t dy β. 1+jf п-„ С(*х — \
1—3'2 1 —j/ ^^ 1 +3/ 1— у * Ce^x + l
Возвращаемся постепенно к первоначальным переменным:
- _ хЦСе&* — \) __ £ _ (Зд:2 — х) С&* — (Зд:2 + χ)
У- Се<&+1 3~ з(С^ + 1)
-У1 (Зд:2 — л:) Се** — (Зд:2 + д:)
3(С* +1)
а/ ι/ 6г»Х/1а »/
(Здг^ — лг^/з) О * — (Зх*(* + х{*)
и, наконец,
У\'·
ЗА ДАЧИ.
42.у+У2 + ^-^ = 0.
43. ху' — 3_у+.У2=4д:2— 4х; угадать сначала частное решение.
44. у' =у* + х-\
Мы изучили главнейшие типы уравнений первого порядка,
которые в конечном счёте интегрируются методом разделения переменных.
Этими типами не исчерпываются все уравнения, которые могут быть
приведены к разделяющимся переменным. Во многих случаях
соответственным образом подобранная подстановка приводит
дифференциальное уравнение к одному из известных типов. Ряд таких
«нешаблонных» уравнений приведён ниже.
РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ.
45. Решить функциональное уравнение [/(дг) — известная
Нх , .Λ_/(*)+/ω

56 ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА ГГЛ I
Указания. 1) Можно заранее предполагать функцию /
дифференцируемой, и тогда способ решения: дифференцировать по у и затем положить
у = о. 2) Достаточно допустить существование* /'(О); способ решения:
вычислить f (х) как Jim f(x+y)— /С*).
у+о у
46. (у-х) УТ+33 £L = (l+y*)\
Указание. Ввести переменные χ = tgφ, _у = tgψ.
dx
dy
47· %(χ2+■>*+3)=2x {2y ~ у)·
48.
rfx 2y(x+y)'
49. [x (x + jf) + аЦ g = jr (j; +y) + Λ
Указание. Ввести новые переменные х = и + ν% у = ku —ν, где
постоянное k подобрать так, чтобы переменные разделялись. Можно
заметить также, что это уравнение — типа Якоби.
50. Дано уравнение: -~ = ky +/(*), где k—постоянное, a f(x) —
периодическая функция периода ω; доказать, что это уравнение имеет одно частное
решение, периодическое с тем же периодом, и найти это решение (Ляпунов).

ГЛАВА II.
ВОПРОСЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЙ
УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА,
РАЗРЕШЁННОГО ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ.
§ 1. Теорема существования (Коши и Пеано).
В главе I рассмотрены различные типы дифференциальных
уравнений первого порядка, для которых мы умеем находить общий
интеграл; этот интеграл заключал одно произвольное постоянное.
С другой стороны, геометрические соображения (построение кривых
по данному полю направлений) давали нам основание ожидать, что
произвольное дифференциальное уравнение первого порядка имеет
бесконечное множество решений и что через каждую точку (дг0, у0)
проходит одна интегральная кривая. В настоящем параграфе мы,
наложив определённые ограничения на правую часть
дифференциального уравнения (первого порядка), докажем существование и
единственность решения, определяемого начальными
данными (х0, у0). Первое доказательство существования решения
дифференциальных уравнений принадлежит Коши; приводимое нами
доказательство дано Пикаром; оно производится при помощи метода
последовательных приближений, который не только устанавливает,
что решение существует, но и даёт возможность приближённо вычи-
слять это решение.
1. Пусть дано дифференциальное уравнение
■2Ϊ—/<*· У> W
и даны начальные значения (х0> у0). Относительно функции f(x, у)
мы предположим следующее:
А) /(^, у) есть непрерывная функция двух переменных в
замкнутой области l) R:
х0 — а<л;<л:0 + а, y0 — b<y<y0 + b,
1) Областью определения функции /(дг, у) может быть любая область
плоскости хОу, в частности вся плоскость; из этой области D мы выделяем
прямоугольную область R с центром в точке (дг0, yQ).

58 СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. II
где а и b — некоторые положительные числа. Так как непрерывная
функция является в замкнутой области ограниченной, то из
условия А) следует существование такого положительного числа М,
что неравенство
\f(x,y)\<M (2)
выполняется для всех точек области R;
В) функция f(x, у) удовлетворяет в области R относительно
переменного у условию Липшица: существует такое положительное
число N, что для любого значения х, \х — лг0|<;#, и любых двух
значений у' и у" переменного у, \у*—^у0|^^» \у"—Л1^*»
выполняется неравенство:
\f{x, /)—/(*, y")\<N\y'—y"V (3)
Примечание 1. Неравенство (3) всегда выполнено, если функция
f(x, у) имеет в каждой точке области частную производную fu{x, у), огра-
, у
ничейную во всей области /?, т. е. если |/ | < N; в самом деле, тогда мы
имеем по теореме Лагранжа:
f(x,y')-f(x,y") = (y'-y")fy[x,y' + 4y"-y')h ο<θ<ι.
Отсюда сразу получается неравенство (3); но неравенство (3) может
выполов
няться и тогда, когда -^- не существует всюду; например, функция от у,
равная \у\, не имеет производной при .у = 0, а между тем всегда имеет
место неравенство:
ΙΐνΊ- 1у"1|<1/-.у"1,
т. е. выполнено условие (3), в котором 7V=1.
Примечание 2. "Для заданной функции /(jc, у) значение
постоянного М% являющегося максимумом \/(х,у)\, а также наименьшее значение
постоянного N, входящего в условие Липшица, зависят от рассматриваемой
области; если область /?t содержит /?, то соответствующие первой области
величины М1 и N± связаны с величинами Μ и ΛΓ, которые соответствуют
области R, неравенствами Mt > Μ, Λ^ > N. Например, функция f(x, у) =
= х2+У2, рассматриваемая во всей плоскости — оо<*<°о, —oo<j/<oo,
является неограниченной и не удовлетворяет условию Липшица; если же мы
будем рассматривать её в области/?, —α <;*<£, —b^y^b, то
постоянное Μ окажется равным а2 + Ь2\ в качестве же постоянного N следует взять
максимальную величину | -^ | в области /?, т. е. 2Ь.
ду
В этих предположениях мы докажем, что существует
единственное решение дифференциального уравнения (1) у = о(х),
определённое и непрерывное для значений χ в интервале х0 — h <[
<!лг^лг0-{-/г (где h есть наименьшее из двух чисел а и -тт\
принимающее при х = х0 значение х0.
Доказательство существования решения. Построим
последовательность «приближений» к искомому решению. Легко

§ II ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ (КОШИ И ПЕАНО) 59
видеть, что уравнение (1) с начальными условиями эквивалентно
следующему интегральному уравнению, где у — опять неизвестная функция:
χ
У=Уо + /VO, y)dx. (4)
Xq
Это интегральное уравнение мы и будем решать последовательными
приближениями.
За нулевое приближение возьмём постоянное число j/0. Определим
первое приближение уг{х) следующей формулой:
χ
У1=Уо+$/(х> Уо)ах- (5ι)
Xq
Так как функция под знаком интеграла известна, то yt вычисляется:
квадратурой; очевидно, при л; = л;0 имеем ух =у0, т. е. первое
приближение удовлетворяет начальному условию.
Если мы ограничим в формуле (5j) изменение х, требуя, чтобы
\х — λ?ο|<;/& (см. выше условия теоремы), то, так как h<^.a9
значения аргументов функции /, т. е. χ и у0, будут принадлежать
области /?, в которой \/(х, у)\^.М; следовательно, мы из формулы
(5j) получим неравенство:
\У\— Уо\<м\х — Xo\<Mh;
но так как η <. -дт, то последнее неравенство показывает, что, при
указанном ограничении изменения х, также и уг не выйдет из
области R.
Строим второе приближение ^у2(дг):
χ
У2=Л+//(*> yjdx. (52)
х0
Под знаком интеграла опять стоит известная функция (так как yt
уже определено); далее, очевидно^ У2(хо)==Уо> т· е· выполняется
начальное условие; затем, так как при \х — лг0|<;/г аргументы
функции f(x, уг) не выходят из области /?, где f{x, у) определена и
удовлетворяет условию (2), мы будем иметь неравенства:
1Л— Уо\<М\х — x0\<Mh*Cb,
которые показывают, что у2 также не выйдет из области /?. Вообще,
после того как определено (п—1)-е приближение, мы определим
я-е приближение формулой:
X
Уп=Уо-\- J7С*. Уп-\)dx, (5J

60 СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. Ц
откуда, допуская, что значения yn_t при изменении χ в интервале
\х — х01 <; h не выходят из области R и, следовательно, \f(x, уп- г) |<7W,
по.лучим для уп неравенство:
\Уп—Уо\<м\х — хо\*
которое показывает, что если \х — -*г0|<;/г, то \уп—y0\^.Mh4^bt
Тс е. /г-е приближение также не выходит из той же области. Таким
образом, методом полной индукции доказано, что ни одно из
последовательных приближений не выйдет из области R, если
х0 — h < χ < х0 -\- h.
Теперь нужно показать, что существует предел
последовательности уп,
Y(x)= \imyn(x), (6)
П-+СО
и что предельная функция удовлетворяет уравнению (1) и
начальным условиям. Для того чтобы показать существование предела (6)
последовательности \уп}, достаточно доказать сходимость ряда:
л+(л — л)+(л— у ι) + · · · + (у η—Уп-ι) + · · ·; (7)
в самом деле, /г-я частная сумма этого ряда Sn=yn, и если мы
докажем, что ряд (7) сходится к функции Y(x), то этим самым и
будет доказано соотношение (6).
Оценим абсолютные величины членов ряда (7):
X
\у\ — Уо I = | J7 С*. Уо)ах | < м Ι χ—*ol; ί8ι)
χη
далее,
00 X
\у* —Ух I = | /{/(■*. л)—/(*» Уо}) dx\<\{ I/O*. Μι) —/(Х'Уо) \d*\-
XQ Xq
На основании условия Липшица В) подинтегральная функция
удовлетворяет неравенству \f(x, yt)—f(x, у0) | <! N\yx —Уо 1*> П°Д"
ставляя сюда только что найденную оценку для \ух—у0\, находим:
χ
\У2— yA<N\ f M\x—x0\dx\ =~\х — х0\2. (82)
Xq

§ 1] ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ (КОШИ И ПЕАНО) 61
Аналогично получим:
<
и, наконец,
1л— л1<т1*" *ol8· (8з)
Докажем, что для любого целого положительного η справедливо
неравенство:
ΜΝη~ι
\Уп —Уп-11 < —^— I *—*о ΙΛ· Ю
Для этого применим метод полной индукции: допустив, что
неравенство (8п) справедливо для п% докажем его справедливость для
л-f- 1. Мы имеем:
X X
bn+i — -Vnl < I / 1/(*.^я)—/(*.Уп-\)\dx\ <N\{ \Уп—Уп-\ k**|
Xq Xq
(последнее неравенство получаем на основании условия Липшица).
Подставив в последний интеграл вместо \уп—уп-\\ выражение (8Л)
(отчего неравенство усилится), получаем:
х0
т. е. неравенство (8п) справедливо и для л—J—1. А так как оно
оправдывается для η = 2 и η = 3, то оно верно для каждого
натурального числа я. Заменяя ещё | * — х0\ его наибольшим допустимым
значением /г, мы приходим к заключению, что каждый член ряда (7)
(если не обращать внимания на первый член у0) меньше
соответствующего члена числового ряда с положительными членами:
ΜΗ + Μ<ψ. + Μ!ψ + ...+Μ<^+... да
Применяя к последнему ряду признак Даламбера, находим:
Λ" "ST = Λ° О» +Dmw-ц» " Лш, МП"" ° < u
Итак, ряд (9) сходится. Так как все члены ряда (7) по абсолютной
величине меньше членов числового ряда (9), то ряд (7) не

62 СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. II
только сходится, но, в силу критерия Вейерштрасса,
сходится равномерно для всех х, удовлетворяющих условию
\х — х0|<;/г. Каждый член ряда (7) есть непрерывная функция от х,
потому что интеграл есть непрерывная функция верхнего предела.
Следовательно,
У= \1туп
№->оо
существует и является непрерывной функцией от х.
Докажем, что полученная таким образом функция У(х)
удовлетворяет данному уравнению [очевидно, что начальное условие
удовлетворено, так как Κ(λγ0)= limуп(х0)=Уо\-
№->оо
Возьмём равенство (5Л):
X
Х0
и перейдём к пределу при я->оо.
Благодаря равномерной непрерывности функции f(x, у) по у
в области R мы для любого наперёд заданного положительного
числа 8 можем найти такое δ > 0, что неравенство
!/(*./)—/(*./)!<*
будет выполнено для тех пар точек (х, у') и (дг, у") области /?, для
которых выполняется неравенство \у'—у"\<Ъ (в силу условия
Липшица достаточно взять δ = -χτV Далее, из равномерности
стремления последовательности уп к пределу вытекает возможность для
выбранного δ так подобрать натуральное число л0, чтобы при
η—1 > п0 для всех значений χ в интервале (х0 — k, x0-\-h) имело
место неравенство:
\Уп-Л*)—у(х)\<Ъ-
Сопоставляя оба эти неравенства, мы получаем при η—1 > п0:
!/[*> Уп-хШ— fix, У{х)\\<*.
Отсюда следует:
mf(x,yn-i)<tx — ff(x,Y)dx\<\f\f{x,yn-u—f{x, П1**|
XQ Xq Хц
Пользуясь произволом числа е, находим:
χ χ
lira ff(x, yn.1)dx= \f{x, Y)dx.
П->сс ** J
Xq Xq
<ek.

§ 1] ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ (КОШИ И ПЕАНО; 63
Таким образом, переходя к пределу в равенстве (5п) при п-*оо,
получаем тождество:
χ
У = Уо + $/(х> У)**, (Ю)
т. е. функция Y(x) удовлетворяет интегральному уравнению (4).
Далее, функция У допускает производную по х, так как в правой
части тождества (10) стоит интеграл от непрерывной функции,
допускающий производную по верхнему пределу. Дифференцируя (10),
получаем:
т. е. Υ (х) удовлетворяет данному уравнению (1). Первая часть
теоремы доказана.
Примечание 1. В ходе доказательства мы заменили
дифференциальное уравнение (1) интегральным уравнением (4); очевидна цель
такой замены: условия равномерной сходимости для
последовательности интегралов значительно проще, чем для последовательности
производных.
Примечание 2. Доказательство существования решения
дифференциального уравнения (1) проведено нами методом
последовательных приближений в предположении, что правая часть уравнения
удовлетворяет условию Липшица по переменному у. При помощи
других методов можно доказать теорему существования в более
общих предположениях: именно, для существования решения
достаточно потребовать только непрерывности функции /(х, у)
по обоим аргументам. Однако, если не подчинить f(x, у) добавочным
условиям, то начальные значения, вообще говоря, будут определять
не одно решение, т. е. теорема единственности не будет
иметь места (см. ниже п. б, теорема Пеано).
2. Докажем теперь единственность найденного решения,
удовлетворяющего начальному условию: у=у0 при х = х0.
Допустим, что существует, кроме решения Y(x), еще другое
решение Z(x), удовлетворяющее тому же начальному условию:
Z(x0)=y0. Без ограничения общности можно предположить, что
значения х, для которых Υ (χ) φ Ζ (χ), находятся вправо от х0 в любой
близости от точки х0 [иначе за точку х0 мы взяли бы ту точку,
в любой близости которой значения Y{x) и Z(x) перестают быть
равными, или заменили бы χ на —х].
Покажем, что наше допущение приводит к противоречию. Возьмём
некоторое малое постоянное число ε>0; по предположению, в
замкнутом интервале х0<;χ<;х0-J-ε не всюду Υ=Σ; следовательно,
положительная функция \Y(x) — Z(x)\ достигает в этом интервале
в некоторой точке ξ своего наибольшего значения 6 > 0, причём не

64 СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА ГГЛ. II
может быть £ = л;0, так как при лг = х0 обе функции Υ и Ζ равны
между собой. Мы имеем:
X X
*4*) = y0 + J7(*. Y)dx> Z{x)=y0 + jf{x, Z)dx.
Вычтем оба тождества одно из другого, придавая х значение ξ и
используя при оценке разности условие Липшица:
|У(5) —Z(Q| = 8<JV(*f Y)-f{x,Z)\dx^N f\Y(x)-Z{x)\dx.
Мы только усилим последнее неравенство, если под интегралом
заменим разность | У(х) — Z(x)\ её наибольшим значением θ и если
интеграл распространим на промежуток (лг0, A:0-f-s) вместо промежутка
(лг0, ξ). Получим θ < Λ/εθ, откуда, так как, по предложению, θ φ О,
находим, что 1 < Л/е, что противоречиво, так как е можно выбрать
сколь угодно малым, например е < -j?. Следовательно, допущение
существования второго решения Z, удовлетворяющего тому же
начальному условию, что Y, приводит к противоречию.
Таким образом, при выполнении условий А) и В) существует
единственное решение дифференциального уравнения (1),
принимающее при χ = х0 значение у0. Теорема Коши доказана нами
полностью.
3. Мы доказали существование решения только для промежутка
/: х0— А<лг<лг0-|-/г.
Однако, если при этом мы не вышли из той области Z), где
функция f(x9 у) определена и непрерывна (и удовлетворяет условию
Липшица), найденное решение может быть продолжено. В самом деле,
пусть значение найденного решения при χ = x0-\-h есть у£\ причём
точка с координатами х$ = x0-\-h, у^ лежит внутри области £>,
тогда можно найти прямоугольник Rt: \х — λ^Κ^ι» \у—.Уо^К^э
который еще целиком лежит в области D1). Обозначая через Мх
максимум \f(x, y)\ в прямоугольнике Rv примем за начальные
значения х{01) и у^; тогда мы можем, по доказанному, утверждать
существование решения дифференциального уравнения (1) в интервале
*) По определению внутренней точки, она входит в область D вместе
с некоторой своей окрестностью; за эту окрестность может быть принят
достаточно малый прямоугольник.

§ 1] ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ (КОШИ И ПЕАНО) 65
где ht = min (av -тг J; середина интервала 1г совпадает с концом
интервала /; в этой точке оба построенных нами решения принимают
одно и то же значение у^; следовательно, в силу свойства единствен·
ности, оба решения совпадают в общей части / и Iv Но половика
(х(о\ #о!) + *ι) интервала It лежит вне /; мы скажем, что найденное
решение в этой половине является продолжением ранее полученного
в интервале / решения. Если значение решения при Хо0-]-/^ есть у^
и точка с координатами лго2, = ^о^ + Ац у(о} е^ лежит внутри
области D, то мы можем определить решение по начальным данным
(*о2), у^) в интервале /2, который одной своей половиной
перекрывается с /1э и в этой общей части новое решение совпадает с
предыдущим; во второй половине интервала /2 мы получим продолжение
рассматриваемого решения. Аналогичное построение может быть
проведено и для убывающих значений х. Можно показать, что такими
продолжениями можно подойти как угодно близко к границе области £>.
В самом деле, пусть Dj — любая ограниченная замкнутая область,
лежащая вместе со своей границей внутри D. Мы покажем, что, применяя
вышеописанный процесс «продолжения решения», мы дойдём до границы
области D\. В самом деле, так как D\ не имеет общих точек с границей Д
то наименьшее расстояние между точками этих замкнутых множеств >.rf>0.
(Если D совпадает со всей плоскостью хОу, то за d можно взять любое
положительное число.) Если около каждой точки границы области Di опи-
шем круг радиуса -у и замкнутую область, составленную из Di и площадей
этих кругов, обозначим через £>2, т0» очевидно, D2 будет содержаться в Ζλ
Квадрат со стороной —^—, и с центром в любой точке области Д будет
лежать внутри D2. В замкнутой области D2 непрерывная функция /(jc, у)
ограничена по абсолютной величине; пусть |/(лг, .у) |< Л^. Итак, для всех
точек области Д мы можем принять а = —^—, о = —j— , Лг= М2; тогда,
в силу доказанного, интегральная кривая, проходящая через любую
точку (лго» Уо), лежащую в области _Д, будет определена в интервале
Г Ьч и . (d V% dY2\ D
(xq — Л2, XQ + h2), где А2 = шш1—-—, ■■ * J* в силУ ограниченности
области Д, мы, при продолжении интегральной кривой, путём конечного
числа шагов дойдём до границы этой области.
Строя области Д, Д» ..., Dn,..., заключающие друг друга и
стремящиеся в пределе к области Д мы, таким образом, достигаем любой близости
границы D.
Пусть, в частности, область D совпадает со всей плоскостью хОу. Тогда
в качестве областей Д, Д,..., Dn,... мы можем брать заключающие друг
друга прямоугольники со сторонами неограниченно увеличивающихся
размеров, параллельными координатным осям. При продолжении решения,
определённого начальными данными (jc0, jo), в сторону возрастающих значений χ
могут представиться два случая:
1) Как бы далеко вправо ни простирался прямоугольник Dn, можно взять
его размеры в направлении Оу столь большими, что рассматриваемая
интегральная кривая пересечёт при продолжении правую вертикальную сторону

66 СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. I!
прямоугольника Dn. Решение будет, таким образом, определено для сколь
угодно больших положительных значений х, т. е. интервал оси Ох, для
которого определено решение у = φ (χ), простирается до + оо.
2) Найдутся такие значения χ = χ, что сколь бы большой в направлении
оси Оу прямоугольник Dn мы ни взяли (уравнение правой стороны которого
есть χ = jc), интегральная кривая при продолжении в направлении
возрастания χ выйдет из Dn через верхнюю или нижнюю сторону. Пусть X есть
нижняя грань чисел х, обладающих указанным свойством. В силу
определения нижней грани, для всякого е>0 найдётся прямоугольник Dn
достаточных размеров в направлении Оу, такой, что интегральная кривая пересечёт
прямую χ = X — е, т. е. решение у = φ (χ) определено для всех значений χ <Χ
С другой стороны, для значений х^>Х наше решение не может быть
продолжено; при этом при приближении χ к X слева | φ (χ) \ не может
оставаться ограниченной. Мы докажем, что в этом случае
lim_cp (χ) = + оо или limjp (χ) = — оо.
х<х х<х
х-+Х х-*х
В самом деле, если допустить обратное, то φ (χ) не стремилось бы при
х-*Х ни к какому пределу, и нашлись бы два числа Л, θ (£>Л) такие,
что φ (jc) бесчисленное множество раз в интервале (X — ε, Χ) принимала бы
значения, меньшие А и значения, превышающие В (ε>0 — любое малое
число). В силу непрерывности φ (χ) при х<Х (непрерывная функция
принимает все промежуточные значения), нашлась бы последовательность пар
чисел (х'п, х'п)у х[ < х[ < х2 < х"^ < ... < х'п < х"п < ..., таких, что
lim xn=- lim х"п = Χ, (α)
п->оо п->оо
и
ср(*'г)=Д φ(^) = £, Л<ср(*)<£ при Хп<Х<Х^
По теореме конечных приращений имеем:
»_) = -JT—r = *' «я). (β)
хп хп хп хп
где 6п лежит между хп и х"п. Пусть φ (ξη) = η^; тогда Λ<η№<£, и точка
(ξ, f\n) лежит внутри прямоугольника /?, ограниченного прямыми х = Х—е,
х = Х\ у = Д у = В. Согласно дифференциальному уравнению (1),
<?'tfn) =/(£*, η*)· (7)
В силу условий (а), мы можем выбрать η таким большим, чтобы было
х"п—х'п<^—тт— , М — сколь угодно большое положительное число; тогда
равенства ((з) и (γ) дают:
/(«w» f\n)>M-
Таким образом, функция / (jc, у) оказывается неограниченной в
замкнутом прямоугольнике /?, что противоречит предположению о её
непрерывности во всей плоскости. Наше утверждение доказано.

§ 1] ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ (кОШИ И ПЕАНО) 67
Резюмируя, мы можем высказать следующую теорему: если f(x,y)
определена и непрерывна во всей плоскости и удовлетворяет условию
Липшица во всякой ограниченной области этой плоскости, то всякая
интегральная кривая при возрастании χ или неограниченно продолжаема
до χ = + оо, или имеет вертикальную асимптоту при конечном
значении х = х.
Аналогичное заключение справедливо для интегральной кривой при
убывании лг.
Простейший пример, осуществляющий случай 2, представляет уравнение
у'=у*-\-1; его решение, определённое начальными значениями (0, 0), есть
у = tg χ; интегральная кривая имеет вертикальные асимптоты при χ = ± —.
4. Теорема Коши доказывает существование (и единственность)
частного решения, определённого начальными условиями. Но легко
получить из неё построение общего решения, по крайней мере в
некоторой ограниченной области.
Возьмём, как и в предыдущих рассуждениях, область R;
\х — лг0К;#, \у—,у01<С^· Предполагая попрежнему начальное
значение х0 постоянным, будем считать начальное значение у0
искомой функции параметром, который может принимать
всевозможные значения в некотором промежутке, например в интервале
\У о — "о"» Уо~\~~о) · Тогда, при любом выборе у0 в указанном
интервале, переменное у не выйдет из области R, если ограничить его
изменение неравенствами:
7о — ~2<У<Уо + ^-
Поэтому для всех рассматриваемых начальных значений (лг0, j^)
решения уравнения (1) будут существовать при изменении χ в интервале
(лг0 — h\ x0-\-h'), где h! — min \a> oTj)· Таким образом, мы
получили зависящее от одного параметра семейство реше-
ни й:
У = 9(х, Уо)> (И)
т. е. общее решение.
Формулы, дающие последовательные приближения уи у2, ...
..., уп, . . ., показывают, что эти приближения суть непрерывные
функции от начального значения, которое в рассматриваемом случае
есть у0; следовательно, и решение (11), как предел равномерно
сходящейся последовательности непрерывных функций, является
непрерывной функцией параметра у0.
Будем далее рассматривать оба начальных значения лг0, у0 как
переменные параметры, ограничив их изменение некоторой областью R',

68 СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА (ГЛ. II
расположенной внутри /?, например | *0 — xQ | <; —, \у0 —у0 \ ^ -^;
тогда совокупность решений уравнения (1), соответствующих
начальным данным х0, у0, будет определена, во всяком случае, для
I* — ^ol^T· Э™ решения выразятся формулой:
у = Ф{х, х0, у~0). (12)
Из соображений, аналогичных предыдущим, следует, что функция
в правой части равенства (12) непрерывна по отношению к
переменным х, x0i у0.
Если мы возьмём теперь, в качестве начальной, полученную по
формуле (12) точку (лг, у), принадлежащую области /?', то придём
вдоль интегральной кривой, в силу единственности, обратно в точку
(х0, у0). Так как в этой формуле функция Φ характеризует
зависимость значения функции от значения аргумента и от начальных
параметров для всей области /?', то мы вправе написать:
У0 = Ф(х0; х, у),
или, рассматривая в этом равенстве опять х0 как постоянное число,
а у0 как переменный параметр (произвольное постоянное), получим
соотношение вида:
П*,У) = С, (12,)
связывающее координаты (л;, у) переменной точки интегральной
кривой, т. е. получим общий интеграл уравнения (1), разрешённый
относительно произвольного постоянного.
Примечание. Нам придётся в дальнейшем дифференцировать левую
часть равенства (122) по хну; для законности этой операции достаточно
показать, что решение (12) дифференциального уравнения (1) есть
дифференцируемая функция от начальных значений. Доказательство этого факта,
ввиду его сложности, мы дадим лишь в главе VII.
5. Доказательство существования решения
дифференциального уравнения с непрерывной правой частью.
Если в дифференциальном уравнении
#-/<*.?) (1)
на функцию f(x, у) наложено только требование непрерывности по
отношению к совокупности аргументов х, у, то можно доказать существование
по крайней мере одного решения с начальными данными х0, у0. Первое
доказательство этой теоремы принадлежит Пеано.
теорема пеан о. Пусть функция f (х, у) непрерывна в области
\х — ^0|<д, \у —у01 < Ь. Обозначим через Μ максимум |/(лг,у) | в этой
области и- через h наименьшее из чисел а% -^-. Тогда в интервале
\х — лг0 К h существует по крайней мере одно решение уравнения (1),
у = φ (*), удовлетворяющее начальному условию: φ (лг0) =.Уо«

§ 1] ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ (кОШИ И ПЕАНо) 69
Для доказательства этой теоремы мы применим теорему Арцела. Введём
предварительно следующие определения. Последовательность функций
Λ(4ΛΜ /«(*). ·.· (А)
называется равномерно ограниченной на замкнутом интервале (а, Ь), если
существует положительное постоянное Μ такое, что для всех натуральных η
и для а^х^.Ь имеет место неравенство:
\fn(x)\<M.
Последовательносгь (А) непрерывных в замкнутом интервале (а, Ь) функций
называется равностепенно непрерывной, если для всякого е>0 можно найти
такое δ>0, что при \х' — *"!<& выполняется для всех η неравенство
теорема арцела. Из всякой последовательности равномерно
ограниченных и равностепенно непрерывных функций можно выбрать
равномерно сходящуюся подпоследовательность.
Возьмём на интервале {а, Ь) счётную, всюду плотную последовательность
точек {хп}, например по такому закону:
, Ь — а . Ь — а . о Ь — а
Χι = α-\ 2~~, *2 = яН 4~~> xs = a + 3 —— , ...
···» x2k — a-r 2λ+ι · χ2*+ι — α~τ~ύ 2*+i ' '"
н.,^,.гв+(»+1-1)^г, ...
Рассмотрим теперь множество чисел {fn(xi)}. В силу равномерной
ограниченности последовательности (А), значения /п (хг) все расположены на
конечном интервале (— Λί, + Μ) и, следовательно, имеют по крайней мере
одну предельную точку. Поэтому из последовательности чисел {fn(xt)} можно
выбрать сходящуюся подпоследовательность
/Λι (*ι)'/η, (*ι) fnk(xi) 1<Л1<л2Оз<...
Перенумеруем заново соответствующие функции, полагая fn. (χ) =
= /£)(χ), Λ =1,2,3, ... Заметим, что «£>£. Последовательность функций
/i^W./^W /(пЫ··· (Αι)
обладает тем свойством, что их значения в точке Х\ образуют сходящуюся
последовательность.
Рассмотрим, далее, значения, принимаемые последовательностью (Ад)
в точке лт2, т. е. /Р^),/^^), ..., /$ (*2). ··· Числа этой
последовательности опять все заключены между —Μ и + М\ следовательно, существует
сходящаяся подпоследовательность
/£>)./$, и,...,/&>ft(*),
Перенумеруем заново подпоследовательность соответствующих функций,
полагая/^, (jc)=/^2)(x), k = 1, 2, 3, ... Итак, мы получим
подпоследовательность:
/?>(*). /?»(*). ..../£4*).... (а2)

70 СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. 1Г
Заметим, что так как новая последовательность составляет часть
последовательности (Αι), а эта последняя — часть последовательности (А), то функция
/^ (х) в первоначальной последовательности (А) имеет номер !> k.
Продолжая тот же процесс неограниченно, мы получим на m-м шаге
подпоследовательность:
/Г' (χ), /Г (χ), ..../£"» (χ). .... (Ат)
определённую тем свойством, что существует lim f^(xm). Заметим, что
так как последовательность (Ат) является частью последовательностей
(Am-i), (Ат_2), ···» (Ад), то для неё существуют также пределы:
lim/£"> (*,), /= l. 2 m —1.
Далее, так как последовательность (Aw) является частью
последовательности (А) и при перенумерации порядок членов не нарушается, то функция
f^n)(x) имеет в первоначальной нумерации (А) номер !>&.
Составляем теперь из последовательностей (Ат) «диагональную»
последовательность:
ЯН*). f?4x), ..../^W. ··· (В)
Последовательность (В) сходится в любой точке хр(р = 1, 2, 3, ...), так
как все её члены, начиная с индекса р, принадлежат последовательности (А^),
которая сходится при χ = хр. Номера индексов функций
последовательности (В) в первоначальной последовательности стремятся к оо, так как
функция f^(x) в первоначальной последовательности (А) имела номер>я.
Утверждаем, что последовательность (В) сходится равномерно во всём
замкнутом интервале (я, Ь). В самом деле, зададим произвольное ε>0. В силу
равностепенной непрерывности последовательности (В), существует такое
δ>0, что для любой функции этой последовательности неравенство
\х' — хп\<Ъ влечёт за собой |/£*>(*') — f™ (*")Ι<4· Далее, выбираем
такое натуральное Р, чтобы длина наибольшего интервала между точками
я, Ьу х1% хъ ..., хр была меньше найденного δ. Наконец, выбираем N так,
чтобы имели место неравенства:
1/»++Г} (?i) ~f(n (*i) К -J Для я > Μ m > lf / = 1, 2 A
Пусть теперь χ — любая точка замкнутого интервала (я, Ь). В силу выбора
числа Р, найдётся точка хг, г<;Р, такая, что \х — Jcr|<S. Тогда мы
получим:
l/S° (*) -ΛΤΓ1 WKI /f (χ) -/?»(xr) I + 1/Я" <*r) -/S+Γ (*r) I +
+ |/^к,(хг)-Лге++^(х)1<|+|+| = ^·
Отсюда, по критерию Коши, следует равномерная сходимость
последовательности (В). Теорема Арцела доказана.
Возвращаемся к доказательству теоремы Пеано. Мы будем приближать
искомую интегральную кривую при помощи ломаных линий. Для дальнейшего
удобно выделить в виде леммы следующее, геометрически очевидное,
предложение.

§ 1] ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ (КОШИ И ПЕАНО) 71
лемма. Если у = φ (χ) есть функция, определённая на интервале
(·% *п)» график которой изображается ломаной линией, причём угловые
коэффициенты kv k2,..., kn последовательных звеньев с проекциями (xQt x{)
(хь х2), ..., {хп-ъ хп) все лежат между двумя числами % и К, x<fy<K,
то для углового коэффициента k любой хорды, k = ^ ,, ,—-,
справедливо неравенство %<£<;К.
Доказательство. Пусть между точками х' и х" находятся точки
xv xi+v ···» хг+ь тогда мы имеем:
tW-тУ) _fc у (*/-и) —у (*<)__,, у С*") — ν fo-n) __ fc
^·—'Χ Xi+i — Χ% Χ —Xi + i
В силу свойства производных пропорций, отношение суммы предыдущих
членов к сумме последующих лежит между наибольшим и наименьшим из
чисел k{f ki+l, ..., ki+i+i, т. е. между χ и К, что и доказывает лемму.
При доказательстве теоремы Пеано ограничимся рассмотрением
интервала (xQ, Xq + H); для интервала (х0 — /г, х0) построение и доказательство
аналогичны. Обозначим через D замкнутую область jc0<jc<jc0+u, ||_у—jo |<&.
Ломаную у = φη (jc), представляющую л-е приближение интегральной
кривой, строим следующим образом. Делим отрезок (jc0, x0 + h) на η равных
частей точками xv jc2, ..., хп-\, xn = Xo + h. В интервале (х0, х^)
определим φη (χ) как ординату прямой, проходящей через начальную точку (лго, Уо)
с угловым коэффициентом f(xQ, yQ):
Ъь(χ) =Уо + (х~*о)/ (■*<>» JO). χο<χ<χν
Значение, принимаемое этой функцией при χ = хг, обозначим через у$
У ι = JO + (х\ ~ хо) / С*о. -Уо)·
Построенный отрезок весь лежит в области D, так как | у —у01 < Μ (χ—л\)Х
<ΑίΛ<6. В интервале (хь х2) определяем уп(х) как ординату прямой,
проходящей через (xlt y{) с угловым коэффициентом /(jcj, yx)\
Уп (χ) =У\ + (х — χύ f (χι> У ι)' χι < χ < χ*
Обозначаем
Уг=У* + (χ2 ~ χύ f (χ\> Уг)-
Легко убедиться, что построенное звено лежит в области D. Вообще, если
при χ = хк мы получили φη (ху) = ук, то в интервале (хк, Хк+\) функция φη (χ)
определяется уравнением:
Уп(■*) =Ук + (х~xk)f(xk> Ук), хк<х<хк+ь
Построив, таким образом, ломаную у = φη (χ) во всём промежутке (xQ, Xq+H),
мы убеждаемся в том, что она целиком лежит в области D, так как, в силу
леммы, мы имеем для х0 <! χ< х0 + h:
I Уп (χ) —Уо I = I Уп (х) — У« (*о) К Μ (χ — х0) < Mh.
Давая η значения 1, 2, 3, ..., мы получаем последовательность функций:
yi(*), Уг(*)> ···> 9η (χ)> ··· (С)
Эти функции равномерно ограничены в интервале (jc0, х0 -f- Λ); в самом деле,
\Чп(х)\<\Уо\ + Мп

72 СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. И
для любого п. Далее, эти функции равностепенно непрерывны, так как все
угловые коэффициенты любой функции ограничены числами —Μ и + Λί;
в силу леммы, имеем для любых*', хп\ содержащихся в интервале(лго,*о+^)»
следовательно, если для ε > 0 взять δ = —, то из неравенства \хг— х"\<Ъ
для всякого η будем иметь:
|φ(ΛΓ')-φ(*")|<ε.
По теореме Арцела, из последовательности (С) можно выбрать
равномерно сходящуюся на интервале (лг0, *0 + /г) подпоследовательность:
Ч (*). <Ря, С*)· · · ·· % С*). · · · (С/)
Пусть предельная функция подпоследовательности (С') будет φ (χ). Мы
докажем, что у = φ (χ) является искомым решением дифференциального
уравнения (1). В самом деле, во-первых, мы имеем по построению φη (х0) = у0\
следовательно, φ (х0) = у0. Докажем затем, что при χ = jc, где χ — любая точка
интервала (д%, Xo + h), φ (χ) имеет производную, равную f(x,^y), где5/=<р(*).
Пусть задано произвольное ε>0. В силу непрерывности функции f(x, у)
в точке (*, у) найдётся область Db \х — *|<δ, \у—_у|<&; для каждой
точки (х, у) которой выполняется неравенство:
I/(*.jO-/(£jOK-j.
Пусть hi —mini-^, оХг)* возьмём приращение Δλγ, удовлетворяющее
неравенствам 0 <; | Δ* | < /гь и будем рассматривать его как постоянное.
Выберем Afj таким, чтобы при k >· Νχ имело место неравенство:
ItW-4WI<}
[этот выбор возможен вследствие равномерной сходимости
последовательности (СО] и чтобы расстояние между абсциссами угловых точек ломаных
у = φη.(χ) было меньше -~ (это имеет место, если л*>-*г)· Оценим
отношение _ __
Чщ J* + Δχ) — Чпк (χ)
В силу наших предположений, при k > Μχ все угловые точки ломаных
у = φη^ (д·), звенья которых своими проекциями покрывают интервал между
~х и χ + Δ*, лежат внутри области Dx; в самом деле, ввиду выбора Δ*„
имеем для названного интервала:
|φ(χ)-φ(5)| = |φ(Χ)-7ΐ<ΛΐΛί<|., Ι φ«» (*>-J К ^
[если приращение Δ*<0, то левая часть интервала (χ-\-Δχ,χ) покрыта
проекцией звена (xit *$+1), где Х{ < χ -f Δ* < лгт; но так как xi+i -^·<-^,

§ И
ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ (кОШИ И ПЕАНО)
73
™ | <?пк (*i) — Чпк (х + Δ*) К -щ М= -ζ ; таким образом, | φ^ (xt) —у|<&,
I xi ~ х Κ Λι + ~k < Ч. Таким образом, все угловые коэффициенты отрезка
ломаной между χ и * + Ах заключены между числами f (х, у) — -у и
— — £
/ (х> У) + тг · Отсюда, в силу леммы, получаем:
/(*. -У) —"J< ΔΪ </(*' ^ +"2"·
Находим, далее, такое число N2^>Nb чтобы при к^Щ было
l*»fcW-*(*>l<|A*Hi
(такой выбор возможен, так как последовательность (С) равномерно схо-
φ (jc + A*) — Ч(х) тж и^ х,
J—~—1Л—^-. Имеем при k > Wa
дится). Наконец, оцениваем разность
φ (*+ Δ*) — φ (χ)
Ддг
-/ <*, ν)
<
<
φ (.τ+Δ*)--φ (Χ) φηΛ (λ:+Δλ:)—<pnfc (л:)1
Δα:
Ад:
+
W*+A*)—W*)
<
φ (л: + Δλ:) — cpnfe (л: + Δ*)
Δλγ
+
Δλ:
Δα:
-/(*.j0-
+ Τ<ε
Полученное неравенство
|φ(Ι+ΔΛ:) — φ(*)
Δλ:
-/(*.jo
<ε,
справедливое для достаточно малого Δλ:, показывает, что производная от φ (л:)
в точке χ существует и равна/(л:, у). Так как л7 была произвольная точка
отрезка (л:0, xq + /г), мы имеем для всякого ху х0 < χ <; л:0 + /г,
<?'(*) =/(*,.У).
Теорема доказана.
Заметим ещё раз, что без дополнительных ограничений на функцию
/(л:, у) (например, условия Липшица) нельзя доказать единственности
полученного решения.
Пример 1. Уравнение -г- — х2 + у2.
Начальные значения: * = 0, у = 0; область R: — 1 <л:< 1, — 1 <j/< 1,
В этой области l/(*,j/)|<2, т. е. Λί = 2. За h надо взять наименьшее из
чисел а = 1, ^ = ·^-, т. е. ^--j· Последовательные приближения будут,

74 СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. II
во всяком случае, сходиться при |*|<-о-. Составляем их:
X
У1= j(** + yl)dx = j,
О
χ
уг= j (x2 + yl)dx = ^ + g3,
о
X X
Λ- / (*? + у1) <** = J (* + £ + *£+*£)**-
0 0
_x* jc? . 2*" дг**
3 +63"i"2079"h59 535·
При дг = ■=· имеем j/2 = 0,04179, и в пределах пяти знаков j/3 не даёт
лучшей точности.
6. Метод последовательных приближений может быть применён и в
комплексной области. Пусть дано уравнение:
g-/(*.J* (1)
где / (лг, у) теперь уже аналитическая функция двух комплексных
переменных в области
\х — *о\<г, \у — Уо\<?
и непрерывная, когда χ и у находятся на соответствующих окружностях.
Пусть в этой области \f(x, у) |·< Μ. Требуется найти решение
уравнения (1), в котором у есть аналитическая функция х, принимающая при χ = х0
значение у0. Обозначим:
* = min(r.£).
Тогда мы можем утверждать: существует решение уравнения (1),
голоморфное в круге:
|λγ-λγ0|<#. (А)
Для доказательства заметим, что мы и в настоящем случае можем
заменять наше дифференциальное уравнение интегральным:
X
y(x)=yo + ff(**y)dx. (13)
где интеграл (не зависящий от пути интеграции) может быть взят по любой
простой дуге, соединяющей точки х0 и Х\ и не выходящей из круга \х — jc0|</?,

§ 1] ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ (КОШИ И ПЕАНО) 75
в частности по прямолинейному отрезку х0х, что мы и будем предполагать
в дальнейшем. Все оценки § 1, п. 1 остаются справедливыми (с заменой h
на R и Ь на р), причём Уо(х) будет оставаться при | χ | ·< /? и при любом η
в круге \уп—j'ol^P- Оценки (8) показывают, что ряд (7) из аналитических
функций от χ равномерно сходится при |дг|<^/?; следовательно, его сумма
у (х) представляет решение уравнения (1), голоморфное, в силу теоремы
Вейерштрасса, в круге \х — *оК#» что и требовалось доказать.
Винтнер недавно заметил, что оценка (А) является наилучшей
возможной для совокупности дифференциальных уравнений (1) в том смысле, что
можно построить последовательность дифференциальных уравнений, для
которых истинный радиус голоморфизма для решения будет сколь угодно
близок к числу, определяемому формулой (А). Дадим пример такой
последовательности:
А *
g = 0,+ 2»y+1 («=1,2,3,...).
начальные значения χ = О, у = 0.
Принимаем в правой части то значение радикала, которое при у = 0
ι
даёт действительное значение 2W(W+1). Так как χ явно не входит в урав-
ι_ __ι
нения, можно считать, что г = оо; далее, бином (у _|-2w)wl+1 голоморфен
1 L 1
при \у\<С2т и непрерывен при |j/| = 2w; следовательно, p = 2w. Наконец,
максимум правой части при |.y|<2w:
1 I * 1
Af = (2w + 2W)W+1 =2W,
откуда по формуле (А) /? = 1 для всех уравнений последовательности.
Фактически решение с начальными значениями χ = 0, у = 0,
Ι ι m+i
1
, j //Ζ . I ■ 1
голоморфно в круге (*|<2 ·—->-— = /?w, причём !im /?w = l, то-есть
^ 7И->00
при достаточно большом т истинный радиус круга голоморфизма сколь
угодно близок к значению, которое даётся формулой (А).
ЗАДАЧА.
51. Найти методом последовательных приближений приближённые
решения уравнения:
dx ·*
(найти три приближения, не считая у0), если:
а) Начальная точка д: = з> = 0, начальная область |jc|<1, 1jM<1·
В каком интервале гарантирована сходимость?
б) Начальные условия * = 0, у = 1; начальная область —1<jc<^1,
0<.У<2. (Чему равно Ю) Найти три приближения.

76 СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. II
§ 2. Особые точки.
1. Рассуждения предыдущего параграфа неприменимы, если
условия А) и В) не выполнены. В этом параграфе мы рассмотрим
случаи, когда не выполняется условие А). Допустим, что в окрестности
некоторой точки (дг0, у0) функция f(x, у) является неограниченной.
Могут представиться два случая:
Первый случай: /(лг, у)-*оо, когда (х, у)->(х0, у0)* Тогда
функция — г стремится к нулю. Примем её значение равным О
J \Xi У)
в точке (х0, у0).
Рассмотрим уравнение
dx _ 1
*У fix>y)
и предположим, что для него условия теоремы Коши в окрестности
точки (лг0, у0) выполнены; мы получим интегральную кривую,
проходящую через точку (л*0, у0); уравнение её будет иметь вид:
* = ?0);
при лг = лг0, у=у0 имеем j- = 0; таким образом, интегральная
кривая имеет в точке (л;0, у0) вертикальную касательную.
Для семейства интегральных кривых точка (дг0, у0) никакими
другими геометрическими особенностями обладать не будет.
Пример 2. -pz=—; при л; = л;0, у = 0 функция не ограничена,
dx
но в уравнении j-=.y правая часть при этих начальных данных
обращается в нуль.
Искомое решение: у2 = 2(х—лг0) — парабола с вертикальной
касательной при лг = лг0.
Второй случай: f(xy у), являясь неограниченной в
окрестности точки (лг0, у0)у не имеет единственного предела оо, когда
точка (лг, у) стремится к (дг0, у0), между тем как в остальных
точках этой окрестности или f(x, у) или γ-. г- непрерывна. Такова,
например, функция *ΧΎ_/ в окрестности точки л: = 0, ^/ = 0. В
самом деле, когда точка (х, у) стремится к (0, 0), оставаясь на
прямой ax-^by = 0, эта функция равна 0; если же точка (х, у) лежит
на прямой cx-{-dy = 0, функция не определена (нуль в знаменателе),
но вблизи этой прямой она бесконечно велика; по другим
направлениям функция имеет другие предельные значения. Мы скажем, что
в точке (0, 0) наша функция имеет изолированную особую точку
О
типа -£-.

§ 2] ОСОБЫЕ ТОЧКИ 77
2. Разберём течение интегральных кривых в окрестности особой
точки только что указанного типа для простого уравнения 1):
£-~±£. (14)
dx cx-\-dy x '
Мы предположим, что ad — ЬсфО. При помощи линейной
подстановки с постоянными коэффициентами и определителем, отличным
от нуля,
6 = «* + fty, η = γ* + δν, (15)
преобразуем уравнение, стараясь подобрать постоянные α, β, γ, δ
так, чтобы преобразованное уравнение имело наиболее простой вид,
именно, чтобы в числителе нового уравнения был одночлен λη,
а в знаменателе — одночлен у£ (λ и μ — некоторые постоянные).
Из (15) мы получаем:
di = adx-\-$dy, df\ = γ dx -\- δ dy;
dt\
составляя производную ·—, заменяем в её выражении в числителе
и знаменателе dx и dy через пропорциональные им, согласно (14j,
величины cx-\-dy и ах-\-Ьу. Получаем:
dr\ _4(cx + dy) + b (ax + by)
dt a (ex + dy) + β (αχ + by)*
Мы ставили целью преобразования (15), чтобы числитель имел вид λη,
т. е. чтобы имело место тождество:
γ (сх + dy) -\- δ (ах + by) = λη = λ (γ# + 8y)·
Приравнивая в первой и последней частях этого тождества
коэффициенты при χ и у, получаем для определения γ и δ два уравнения:
Ч(с_Х) + 8а = 0, I
γ<* +8(6 —λ) = 0. / (l0)
Эти два однородных линейных уравнения будут иметь не равные
нулю решения только при условии, что определитель системы равен
нулю, т. е. что
с — λ а
d b — \
= 0,
или
λ2 — {b + c)k + bc — ad = 0. (17)
l) Уравнение (14) однородное, его можно проинтегрировать в
элементарных функциях, но мы здесь дадим качественный анализ решений
этого уравнения, ставя вопрос о течении всех кривых вблизи особой точки
и не интересуясь конкретными численными значениями переменных вдоль
каждой интегральной кривой.

78 СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. II
Аналогично, приравнивая знаменатель правой части уравнения (15)
выражению μξ и затем сравнивая в полученном тождестве
коэффициенты при χ и у, получим для аир систему уравнений:
Чтобы из этой системы получить не равные нулю значения аир,
опять мы должны потребовать равенство нулю определителя, т. е.
Н·2 — (b + c)]L + bc— ad = 0. (17')
Мы видим, что λ и μ должны быть корнями одного и того же
уравнения (17) или (17').
Предположим сначала, что это уравнение имеет различные корни
λίφλ2. Подставляя один из них, например λν в уравнения (16),
а другой, λ2, в уравнения (160, мы найдём из первой системы (с
точностью до множителя пропорциональности) γ и δ, а из второй аир.
Легко убедиться в том, что определитель
α β!
γ δ Ι
В самом деле, если, например, афО, то из первого из уравнений (16)
имеем — = — ° л , а из первого из уравнений (160: -£-== — с~~~ ?;
γ
следовательно
γ ^ α '
т. е. αδ — βγφΟ. Итак, уравнение (14), при помощи подстановки (15),
где а, р, γ, δ уже определены привелось к виду:
5Τ"-ζΓ· (18)
Как известно из аналитической геометрии, геометрический смысл
подстановки (15) (однородного аффинного преобразования) состоит в
переходе от осей х, у к новым (вообще говоря, косоугольным) осям
\ и η и в преобразовании масштаба на каждой оси. Но так как нам
важна общая качественная картина, мы не будем вычислять
положения и масштабов новых осей и будем на наших чертежах
изображать эти оси как прямоугольные.
Уравнение (18) легко интегрируется разделением переменных:
dt) }±d±
η """ λ2 ζ '
откуда
λ
lnh|=iMn|6| + In|C|
λ,
!
(19)
Ч = С|5|Ч J

§ 2]
ОСОБЫЕ ТОЧКИ
79
Исследуем решение (19) для разных случаев значений корней λχ
и λ2 уравнения (17).
1) Корни \г и λ2 действительны и одного знака.
Можно без ограничения общности предположить, что λΑ > λ^ > 0.
Все интегральные кривые (19) проходят через начало координат
ξ = η = 0; все они касаются в начале оси ξ, так как
d* 1ξ=0 '
.-икс
Ь-1
= 0.
ie=o
Но, кроме семейства (19), существует ещё интегральная кривая,
проходящая через начало, которая соответствует решению ξ = 0
(как указано в § 2 главы I, в исследовании геометрической картины
такие решения надо принимать
во внимание).
Расположение кривых около
начала имеет вид, показанный
на черт. 6. Особая точка
дифференциального уравнения с
таким расположением
интегральных кривых называется узлом.
Через узел проходит
бесконечное множество интегральных
кривых.
ПримерЗ. ^^j1, η=α9.
(Семейство парабол с
вертикальными осями и с вершинами в
особой точке, ось Οί(η = 0) и
решение ξ = 0 — ось Οη)
2) Корни \г и λ9
Тогда г1 = — k < 0. Интегральные кривые даются уравнением
Черт. 6.
действительны и разных знаков.
его решение
y] = C|?
I-*
Два решения этого уравнения, проходящие через начало, суть ξ = 0,
η = 0. Остальные интегральные кривые не проходят через особую
точку; течение кривых показано на черт. 7. Особая точка такого
типа называется седловиной.
Пример 4. з? = — у. Общий интеграл ίη = С (семейство
гипербол, отнесённых к осям, и две асимптоты).
3) Корни Xt и λ2 комплексные сопряжённые:
К—р + чи К—р—чь

80 СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. II
(15)
При определении коэффициентов γ, δ из уравнений (16) и α, β из
уравнений (16') можно так распорядиться постоянным множителем,
который остаётся неопределённым, что γ и δ будут числа комплексные,
сопряжённые соответственно с α, β. Обозначая комплексное
сопряжённое с числом ζ через г,
мы получим подстановку:
η = αΛτ + β^.
Переменные ξ, η неудобны,
так как принимают при
действительных х9 у
комплексные (сопряжённые)
значения; поэтому делаем ещё
одну линейную замену
переменных (с определите-
Черт. 7.
Легко видеть, что а и ν связаны аффинным преобразованием с х, у
и что при действительных х, у переменные и> ν также принимают
действительные значения. Внося переменные и, ν в уравнение (18),
получим:
du — i dv (p-\-qi)(a — iv)
da + idv (p — qi) (a + iv) '
лем =£0):
η ==s —! L
u 2 '
ξ = a -f- iv,
-·-?
η = и — /
или
du (pv — qu) = dv (pu -}- qv).
(20)
Проще всего интегрировать уравнение (20) следующим образом:
переписываем его в виде:
q {и du -f- v dv) =p(vdu — и dv);
если разделить обе части на а2-(-^>
ada + vdv v da — a dv
q tfl + tfi t==P a* + v* 9
то мы, очевидно, будем иметь:
~dIn(a2 + *2)+^arctg^ = 0,

§ 2]
ОСОБЫЕ ТОЧКИ
81
откуда
1„ YuTf^ + £ arctg £ = In С,
ИЛИ
Наконец, вводя на плоскости и9 ν полярные координаты: и = rcoscp,
ν = г sin о, находим:
Это — семейство логарифмических спиралей в плоскости й, ν с
асимптотической точкой в начале; все кривые примыкают к началу, но
без определённой предельной касательной,—они делают около точки (0,0)
бесконечное количество оборотов. Такая особая точка называется
фокусом. Вид кривых в
окрестности этой точки
дан на черт. 8.
4) Корни Xj и λ2
чисто мнимые
(сопряжённые): \1 = ql1
λ.2 = — qi. Теми же
преобразованиями, как и в
случае 3), приходим к
уравнению (20), в
котором, однако, ρ = 0, т. е.
имеем:
и da -\- v dv = 0.
Интегрируем:
й2-|-^2 = С. Черт. 8.
Семейство интегральных кривых есть семейство замкнутых кривых
(кругов в координатах и, ν), окружающих особую точку; через
самую точку не проходит ни одной интегральной кривой. Такая
точка называется центром (черт. 9).
Рассмотрим теперь случай равных (действительных) корней:
λ1==λ2=:λ. Тогда из уравнения (17) имеем:
Подставляя это значение в систему (16'), получим:
Могут представиться два случая:

82 СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. II
5) Не все коэффициенты при α и,3вравенствах (16")
равны нулю: Тогда из уравнений (16") только одно независимое,
так как определитель равен -j- [{р — с)2 -\- Aad], но выражение в
квадратных скобках есть дискриминант уравнения (17), равный нулю, в силу
условия равенства корней
этого уравнения. При этом,
согласно условию, хотя бы
одно из равенств (16") не
есть тождество; пусть это
будет первое; берём одно
из его решений, например
Ь — с
можем ввести
менное
Итак, мы
новое пере-
6 — с
i^ax + Z-^y. (150
Аналогичного
преобразования дли η мы не можем
сделать, так как у нас по-
Черт. 9. лучилось бы то же самое
выражение (с точностью до
постоянного множителя), и определитель подстановки был бы равен
нулю. Поэтому за второе переменное мы возьмём
Определитель подстановки (15'), (15") есть а; он не равен нулю.
В самом деле, дискриминант уравнения (17)
D = (l> + c)* — А(дс — ad) = (b — cf + Aad
равен нулю (условие равенства корней); если я = 0, то b — с = 0,
и первое уравнение (16") есть тождество, против условия.
Следовательно, формулы (15'), (15") определяют аффинное преобразование.
Введём переменные ξ, η в уравнение (14). В формуле
ch\ γ {ex + dy) + δ (αχ + by)
άξ α (ex + dy) -+- β (αχ + by)'
в силу (15"), получаем γ = 0, δ=1, т. е. числитель равен ах-\-Ьу.
Что касается знаменателя, то выражение ξ в формуле (15')
подобрано так, чтобы он имел тот же вид, что и в (18), т. е. был
равен λξ, где λ в данном случае есть кратный корень уравнения (17).
Итак, получаем:
dv\ ax-\-by
5ί"~" λξ '

§ 2]
ОСОБЫЕ ТОЧКИ
83
Вводя в числитель переменные ξ, η, получим:
dl ~
* +
-\
λξ
или -~ =
άξ
или, наконец,
λ
^
Это — однородное уравнение (оно также является линейным); его
общее решение есть
η = Ιξ1πξ + α
Кроме того, имеем в качестве интегральной кривой ξ = 0. Опять все
кривые проходят через начало; угловой коэффициент их касательных
в начале есть
lim Q= lim jlln|AS|+c\=.±:oo,
Δξ->0 ύς Δξ->0 1Λ Ι
где плюс или минус зависят от знака λ; все кривые имеют
определённую касательную — ось Οη. Это опять узел [он отличается от
узла случая 1) тем, что там одна интегральная кривая имела
касательную, отличную от
всех остальных]. Фор- 7]\
ма кривых вблизи
особой точки показана на
черт. 10 (в
предположении λ > 0).
6) Все
коэффициенты уравнений
(16") равны н у л ю, т. е.
α = ί/ = 0, £ = с = λ.
Уравнение (14) имеет
тогда следующий вид:
dx χ"
Его общее решение:
у = Сх.
Черт. 10.
Опять все кривые проходят через начало с определённым
направлением касательных, но, в противоположность предыдущим случаям,
угловые коэффициенты этих касательных могут иметь всевозможные
значения (черт. 11). Эта точка тоже называется узлом (дикрити-
ческий узел)·

84 СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. ΙΓ
3. Те типы распределения интегральных кривых, которые мы
установили в окрестности особой точки χ = 0, у = 0 для уравнения (13), имеют
место для гораздо более широких классов уравнений. Исследование
интегральных кривых в
окрестности особой точки
дифференциального уравнения первого
порядка впервые проведено
Пуанкаре (1881 г.), затем
продолжено Бендиксоном (1900 г.).
Мы изложим результаты,
относящиеся к наиболее простым
случаям, следуя в основном
методу Фроммера (F г о m m e г, Math.
Ann., т. 99, 1928).
Рассматриваем уравнение вида:
dy_P(x, У)
dx Q(x, уУ
(21)
Черт. 11.
где Я и 0 непрерывны в
окрестности точки (лг0, уо), причём
Ρ (*о, Уо) = Q (*о> У о) = 0.
Без ограничения общности можно предполагать особую точку расположенной
в начале координат, так как общий случай всегда можно привести к этому
путём введения новых переменных х\ у'\
х = х0 + х', у=у0+у'.
Предполагая, что такая замена уже произведена, и обозначая переменные
снова через х* у, мы будем считать, что
/>(0, 0) = Q(0, 0) = 0.
(22)
Мы предположим, кроме того, что функции Ρ и Q не имеют других общих
нулей, кроме значения χ = 0, у = 0, в некоторой окрестности начала и что
они в этой окрестности [включая точку (0, 0)] имеют непрерывные частные
производные по χ и по у. В силу этих условий, в тех точках
рассматриваемой окрестности, где Q (х*у) Φ 0, существует единственное решение у ■=■ φ (л:)
уравнения (21), определяемое этой точкой как начальной; в тех точках, где
Q (лг, у) =0, но Ρ (лг, у) Φ 0, существует единственное решение χ — ψ (у)
dx О
уравнения — = -^; следовательно, в окрестности начала через каждую
точку (кроме особой) проходит единственная интегральная
кривая.
Из предположения непрерывности частных производных от Ρ (χ, у) и
Q (л:, у) следует, что в окрестности точки (0, 0) функции Ρ и Q могут быть
представлены в виде:
Р(лг, у) = ах + Ьу + φ (дг, y)t Q (лг, у) = cx + dy +Ψ С*. У)>
(23)

§ 2] ОСОБЫЕ ТОЧКИ 85
где φ и ψ, при бесконечно малых первого порядка χ и у, являются
бесконечно малыми высшего порядка, т. е.
Htn l(x'y) =0. lim *<*L?L=0. (24)
V->0 2/->0
Условия (23) и (24), очевидно, выражают то обстоятельство, что Ρ и Q
допускают в точке (0, 0) полный дифференциал. В простейшем случае, когда Ρ
и Q — многочлены, φ и ψ будут не ниже второго порядка малости. Заметим,
наконец, что из условия (24) следует, что все частные производные первого
порядка от φ и ψ имеют в точке (0, 0) нулевые значения. В самом деле, мы
получаем, например,
φ' (0, 0) = lim lOLll = 0, ψ' (0, 0) = 0. (240
и у+о У у
Предполагая, что ad — be Φ 0, попытаемся применить к уравнению (21)
прежнюю линейную подстановку (15) с целью привести линейные
члены в выражениях (23) к простейшему виду. Для
определения коэффициентов подстановки мы снова приходим к уравнению.(17).
При этом мы можем пользоваться только подстановками с
действительными коэффициентами, так как функции Ρ и Q вообще не
определены для мнимых значений аргументов. Рассмотрим в связи с этим отдельно
различные случаи.
1) Корни уравнения (17) действительны, отличны от нуля и различны;
пусть они будут lt и λ2. При помощи подстановки (15) с действительными
коэффициентами и определителем, отличным от нуля, можно привести
уравнение (21) к виду, где линейные члены функций Ρ и Q будут λ^ и λ2ξ.
Вводя для новых переменных вместо ξ и η прежние обозначения χ и у, мы
приводим, таким образом, уравнение (21) к виду:
dy_ hy+4\(*>y) ,91 Л
dx λ2ΛΓ + Ψι(*> JO' ( '
где φι и ψ1 получаются как линейные комбинации от φ и ψ с постоянными
коэффициентами и с линейной заменой переменных, следовательно, также
удовлетворяют предельным соотношениям (24).
Предположим, что уравнение (21) имеет интегральные кривые,
приближающиеся к особой точке с определённым направлением касательной; пусть
угловой коэффициент предельного положения этой касательной в начале
координат есть k. Переписываем уравнение (21) в виде:
dy
dx
а + ЬУ -
χ
c + d^-
, ч(*,у)
1 χ
■_Ψ(*. у)
Когда х стремится к нулю вдоль рассматриваемой интегральной кривой, то
эй коэффициент секущей
Ψ ^У
о У
угловой коэффициент секущей ■=£- имеет пределом k\ в силу соотношений (24)
■—· и — стремятся к нулю, ~- 9 по условию, стремится к k. Таким образом,
X X О.Х
мы получаем для возможных значений k квадратное уравнение:
αΛ-bk
или
d№ + (с — Ь) k—а = 0. (26)

86 СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. II
Итак, в нашем случае для углового коэффициента k существует не более
двух возможных значений. Условие действительности этих значений Λ,
т. е. необходимое условие существования интегральных кривых,
приближающихся к особой точке с определённой касательной, состоит в
неотрицательности дискриминанта квадратного уравнения (26):
(Ь — с)2 + Ш > 0.
Но это — то же условие, при выполнении которого корни уравнения (7)
действительны. В нашем случае это условие выполнено со знаком >. Для
уравнения в форме (21') корни квадратного уравнения (26) обращаются
соответственно в 0 и в оо. Итак, интегральные кривые уравнения (21'),
приближающиеся к началу координат с определённой касательной, должны
касаться в начале или оси Ох или оси Оу.
Переходим к исследованию интегральных кривых сначала в окрестности
оси Ох. Построим равнобедренный треугольник ОАВ (черт. 12) с биссектри-
У
0
<^1
о)
А
В
У
0
<^я
^^<Г
1 Ь)
А
В
Черт. 12.
сой, совпадающей с положительным направлением Ох, углом при вершине 2а
и высотой h (числу а мы будем придавать значения между 0и-,а числоЛ
может быть выбрано сколь угодно малым). Рассмотрим направления поля
-f- , определяемого уравнением (21'), на сторонах О А и О В и сравним эти
направления с наклоном указанных сторон, который, очевидно, равен для
каждой из них —. Для этого составляем разность:
dy у = Xt у + φι у =
dx χ λ2χ + Ψι х
λ2*2 + *Ψι
-Λ)
(h . Λ У , (Ъ J"h\
. U2 )χ^\4χ h*2)
1 +
λοΧ
(27)
В силу условий (24), вторые слагаемые в числителе и в знаменателе
последней части равенств (27) могут быть сделаны сколь угодно малыми по
абсолютной величине при достаточно малом /г, так что знак правой части
равенства (27) зависит от знака члена (^—1) —. Рассмотрим отдельно две
возможности: а) ^—1>0 и б)г^ —1<0 (знак равенства исключён, так как
λ2 Λ2
мы предполагаем корни уравнения (17) неравными).

§ 2]
ОСОБЫЕ ТОЧКИ
87
роне О В) кроме того, очевидно, что на О А имеем ;т^>0, а на ОВ имеем
а) γ=- — 1 >0. В этом случае выражение, стоящее в левой части равен-
ства (27), положительно на стороне ОЛГгде — >0) и отрицательно на
рон
^-<0. Следовательно, тангенс наклона касательных к интегральным
кривым на стороне О А больше tga, а на стороне О В меньше —tga (черт. 12, а).
Интегральные кривые, проходящие через точки периметра ОАВ, не могут
из него выйти при убывании х, ибо, как это следует из направления поля
на сторонах ОА и ОВ, они не могут их пересечь, переходя изнутри
треугольника наружу. Оставаясь, таким образом, внутри ОАВ, они, в силу
доказанного в п. 3 предыдущего параграфа, могут быть продолжены до
любой близости границы области D, т. е. вплоть до особой точки О. При
этом тангенс угла наклона секущей, проведённой из точки О, к такой
интегральной кривой, равный ^-i-i, по абсолютной величине меньше tg a; так
как α может быть выбрано сколь угодно малым, то мы находим:
\ах/х=о а?->о х
т. е. все найденные интегральные кривые касаются в начале координат
оси Ох.
б) -^ —1<0. При достаточно малом h теперь мы будем иметь:
^_Z<o„aOA ^_^>0наОВ;
dx χ ^ dx χ
соответствующее расположение направлений поля дифференциального
уравнения показано на черт. 12, Ь. Интегральная кривая, проходящая через
точку А, очевидно, будет вся расположена вне треугольника ОАВ) кривые,
проходящие через точки стороны ОА, входя в ОАВ, при возрастающем х,
при дальнейшем его возрастании не могут пересечь сторон ОА и ОВ (что
противоречило бы найденному нами направлению поля на этих сторонах),
следовательно, они должны пересечь сторону АВ. При этом, благодаря
непрерывной и однозначной зависимости от начальных условий при
перемещении начальной точки от Л к О точка выхода будет монотонно
перемещаться по стороне АВ от А вниз. Пусть предельная точка для этих точек
будет А7 с координатами (h, у0); интегральная кривая через точку Аг при
убывании χ не может пересечь сторону АО между Л и О, так как если бы
она пересекла её в некоторой точке С, то кривые, проходящие через точки
отрезка ОС, близкие к точке С, пересекали бы сторону АВ ниже А', и А
не была бы предельной точкой; равным образом, интегральная кривая через
точку А' не может пересечь отрезок ОВ, так как иначе кривые, проходящие
через близкие к А' точки отрезка ААГ, тоже пересекали бы отрезок ОВ. а,
по определению точки А', они пересекают отрезок ОА и выходят при этом
(при убывающем х) из ОАВ. Итак, кривая через точку А' не может при
убывании χ выйти из треугольника ОАВ, следовательно, она может быть
продолжена вплоть до точки О; рассуждение, приведённое для случая а),
показывает, что эта кривая, входя в точку О, касается оси Ох. Аналогично
найдётся на той же стороне АВ точка В' (Λ, у0) такая, что интегральные
кривые, проходящие через точки промежутка ВВ', пересекают при
убывании χ сторону ОВ и выходят при этом из треугольника ОАВ, а кривая

88 СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. II
через точку В' входит в особую точку, касаясь оси Ох. При этом очевидно,
что.уо>7о·
Докажем, наконец, что точки А' и В' совпадают или что Уо=Уо, т. е.
в рассматриваемом случае только одна кривая входит в особую точку, касаясь
оси Ох. Для этого введём в уравнение (21') переменные лг, и = —;
уравнение примет вид:
*g-U ' fat..# =*<*·* <21">
При произведённом преобразовании треугольник ОАВ (черт. 12,6) переходит
в прямоугольник 0 <! χ <! /г, — tg α <; к <! tg α. Интегральной кривой,
которая в координатах (х, у) входила в начало координат, касаясь оси Ох, в
координатах (л:, и) соответствует кривая, примыкающая к точке (0, 0) [так как
lim ^- = lim и = 0]. Точкам А* и В' на стороне АВ треугольника ОАВ соот-
ветствуют точки А\ В' на стороне χ = Л прямоугольника плоскости (*, а);
их ординаты будут соответственно и0=— и и0 = ·—. Чтобы доказать, что
точки А/ и В' совпадают, достаточно доказать, что щ = и0. _
Итак, допустим, что уравнение (21*) имеет два решения и (х) и и (л:),
такие, что
lim ц = lim i7 = 0, и (h) = и0, a (h) = tf0, ί/0 > щ. (А)
Мы имеем два тождества:
ОН Л/ Ч ^"" Ж/ "Χ
л· —- = Φ (ху и), χ — = Φ (χ, и),
dx v ' dx v '
Вычитая их почленно, получаем:
*^7")==Φ(ΛΓ' «) — *(*· «>-(«-«)φίι(*.«). η>Έ>ϋ. (28)
Производная Фм^, и) имеет вид:
λ2 J#L+ м J
ψ! (Χ, UX)
Yly (ху их) Г/ λι \ 9t(x,
ыл;) — "Ψι(^, "*)

§ 2] ОСОБЫЕ ТОЧКИ 8&
В силу условий, наложенных на функции φ и ψ [существование
непрерывных производных и соотношений (24) и (24')], эта производная есть
непрерывная функция, в частности при χ = О, и мы находим:
Ф'и(0, и)=Ь_1<0
[последнее неравенство соответствует рассматриваемому случаю б)]. Если h
выбрать достаточно малым, то для всех значений лг, 0 < χ < Л, будет, в силу
непрерывности Ф^, иметь место неравенство:
ф*С*. "X — р.
где р — постоянное число, 0<р<1—~.
λ2
Итак, из тождества (28) получаем неравенство:
d (и — и) . . - d(u — и) . dx
χ— -<— ρ (и —и), или —-—=-1<—ρ—.
dx и — и χ
(Знаменатель левой части не обращается в нуль, так как две интегральные
кривые уравнения (21") не могут иметь общих точек, кроме точки χ = О,
ы = 0.) Интегрируем последнее неравенство между χ и Л(0<*</г),
получаем:
in U°-"? <-ΡΙη1,
и (х) — и (χ) χ
или
и (χ) — и (х) > (но— щ) (—J .
Последнее неравенство показывает, что если и0 — ίο>0, т° при стремление
χ к нулю разность в левой части неограниченно возрастает, вопреки первому
из предположений (А). Наше утверждение доказано.
Мы можем теперь легко выяснить расположение интегральных кривых
в разбираемом нами случае (когда корни уравнения (17) действительны и
различны). Существуют два типа расположения интегральных кривых около
особой точки, в зависимости от знаков λι и λ2.
Ι τ и п. Xj и λ2 одинакового знака. Без ограничения общности можно
предположить, что
λι>λ2>0.
Построим равнобедренный треугольник ОАВ, симметричный относительно
положительной полуоси Ох, с углом при вершине 2а = -^- (черт. 13). При
достаточно малой высоте h этого треугольника, в силу того, что ~ — 1 > О,
λ2
все входящие в него интегральные кривые входят в особую точку, касаясь
положительной полуоси Ох. Аналогично, из рассмотрения симметричного
треугольника ОА^Вь расположенного в сторону отрицательной полуоси
абсцисс, мы заключаем, что все кривые, входящие в этот треугольник, войдут
в начало, касаясь оси абсцисс. Далее, перепишем уравнение (21') в виде:
dy \ху + φ! (χ, у) к

90 СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. II
\\ рассмотрим треугольник ОАА^. Так как -^ — 1 < 0, то существует только
U
одна интегральная кривая, касающаяся оси Оу; все остальные интегральные
кривые выйдут из ΟΑΑχ через
стороны ОА и ОА1 и, попав в
треугольники ОАВ и ОАхВх, тоже войдут
в начало, касаясь оси Ох.
Аналогичное положение имеет место в
треугольнике ОВВх. Итак, все
интегральные кривые из достаточно
малой окрестности особой точки
входят в особую точку с
определённой касательной. Мы имеем узел
х (черт. 13).
II тип. \\ и λ2
противоположного знака. Предполагаем
λι>0>λ2.
Опять строим треугольники ОАВ,
ОАхВь ОААь OBBt (черт. 14). Для
уравнения (210 имеем неравенство
JL— ι <о. Таким образом, в каждом
из треугольников ОАВ и ОАф±
окажется только по одной интегральной
кривой, входящей в особую точку, касаясь оси Ох. Аналогично, для уравне-
Черт. 13.
ния (21 "0 имеем: ~ —1<0; поэтому в треугольниках ОААг и OBBL опять
λ1
имеем по одной интегральной
кривой, входящей в начало;
эти кривые касаются Оу. Итак,
β начало координат входят
только четыре интегральные
кривые. Особая точка есть
седловина (черт. 14).
2) Корни уравнения (17) —
комплексные сопряжённые: Xt=
= p + iq, λ2 =/? — /?, ρ φ 0,
q > 0. Мы видели, что в
соответствующем случае, при
помощи подстановки с
действительными коэффициентами,
уравнение (13) могло быть при-
.ведено к виду:
ύνρν^φι
dx pu-\-qv
Лрименяя ту же подстановку
к уравнению (21), мы
приведём линейные члены к той
же форме, какую они имеют
в правой части уравнения (20);
обозначая новые переменные попрежнему через χ ну, мы можем
рассматривать в данном случае уравнение (21) в виде:
Черт. 14.

§ 2] ОСОБЫЕ ТОЧКИ 91
где φ2 и Ψ2 — опять бесконечно малые порядка выше первого при
бесконечно- малых хну. Для исследования интегральных кривых уравнения (29)
целесообразно ввести полярные координаты:
χ = г COS φ, у = Г Sin φ.
Мы получаем:
dr Г (Pt Sin φ + Ql COS φ)
Жр Pt COS φ — (?! Sin φ
или, в раскрытом виде (деля числитель и знаменатель на г),
dr _ pr + φ2 Sin φ + ψ2 COS φ __ pr 1 + ω (Γ, φ)
rfcp φ·2 COS φ — <b2Sin φ ^ 1 -|- α>χ (г, φ) *
4 ι r
где
5 Sin φ + ψ2 COS φ __ ?2^OS φ — ψ2 Sin φ
pr —qr
в силу условий (24), стремятся к нулю вместе с г. Выберем г0 достаточна
малым, чтобы при г^.г0 второй множитель последней части равенств (30)
заключался между границами 1 — α и 1 + α (а <С 1 — произвольное
положительное число). Тогда знак правой части (30) будет совпадать со знаком — —;
положим для определённости— — <0 и рассмотрим при
возрастающем φ течение интегральной кривой, определяемой начальными значениями
(г0, φ0). Радиус-вектор будет монотонно убывать, так как з-<СФ ПРИ этом,
в силу выбора г0, будут иметь место неравенства:
-f<i + .)r<£<-f(i-.)r.
откуда
_£.(i + a)d(p<^:<_£(i_a)dt?.
Интегрируем последние неравенства от φ0 до φ>φο« получаем:
_|.(1+α)(φ-φ0)<1η^<-|.(1-.α)(φ-φβ),
или
-§ (1+*) (<Р-<Ро) ~ (1-α) (φ-φ0)
V * <r<roe «
Интегральная кривая при изменении φ от <р0 до +оо заключена между
двумя логарифмическими спиралями; она приближается к особой точке,
совершая бесчисленное множество оборотов. Особая точка представляет
собой фокус.
Рассмотрим ещё случай равных корней \t = λ2. Линейные части после
приведения к простейшей форме пусть имеют вид такой же, как в случае (6)
предыдущего раздела. Итак, уравнение имеет вид:
dyy+^yl (31)
dx χ + ψ (χ, у) ν '

92 СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ II
Относительно φ и ψ мы сделаем более сильные предположения, чем до сих
пор: мы предположим, что функции
φ (ЛГ, UX) -, ч ψ (Χ, UX) ш , ч
ΎΚ '—- = Φ (лг, и) и γν '—- = Ψ (х% и)
χ2 χΔ
являются непрерывными функциями своих аргументов при 0<лг<Б, где
δ — положительное число *), и что они имеют в той же области непрерывные
производные по и [эти условия_будут, в частности, выполнены, если_ср (х,у)
имеет аид Ах2 + 2Вху + Су2 + φ (лг, у), где Л, В, С — постоянные и φ (χ, у)—
бесконечно малая порядка выше второго при бесконечно малых х, у,
у которой частная производная по у имеет порядок малости выше первого;
ф7х, их) дФ φ« (*,«*)
тогда Ф(х, и)=*А + 2Ви + Си2 + ^—^72—, ^ = 2В + 2Си+^—- ;
легко видеть, что обе эти функции непрерывны для достаточно малых
значений χ, включая х = 0; аналогично для Ψ (х, у)]. Делаем в уравнении (31)
замену переменного у = их; уравнение примет вид:
, du их + φ (λ:, их)
и -4- χ — ■— '——-— —
άχ χ -f- ψ (λ:, их) '
или
φ (ЛГ, UX) ψ (ΛΓ, UX)
du ^_ χ2 U χ2 _ Φ (лг, и) — ύΨ (лг, и)
dx~ ψ (дг, их) ~~ 1+λγΨ(λγ, ы)
1 "ι" ν.2
(32)
При достаточно малых значениях χ знаменатель, очевидно, в нуль не
обращается; числитель является при χ = О непрерывной функцией; правая часть,
ввиду непрерывности Фи и ΨΜ, удовлетворяют условию Липшица по и
в любой ограниченной области 0<лг<!&, —М^и^М. Следовательно, все
точки оси и, χ = О, и = и0, являются обыкновенными для уравнения (32);
через каждую проходит единственная интегральная кривая. Возвращаясь
к уравнению (31), мы видим, что через точку χ = 0, j = 0 проходит бес-
конечное множество интегральных кривых, причём для каждого
значения и& —οο<η0< + °°' существует единственная интегральная кривая,
имеющая в начале координат касательную, уравнение которой есть
у = uqx. Мы снова имеем дикритический узел.
Мы оставили здесь без рассмотрения тот случай равных корней \t = λ2,
когда линейные члены приводятся к виду, соответствующему случаю 5)
предыдущего раздела; можно показать, что и для уравнения (21) начало
координат будет в таком случае узел. Далее, мы не рассматриваем случай чисто
мнимых Xt и λ2; здесь может иметь место как центр, так и фокус] члены
первого порядка уравнения (21) не определяют характера особой точки и
требуется дополнительное исследование. Также нами оставлен в стороне
случай нулевых корней, равно как и все случаи, когда главные члены Ρ и Q
в окрестности особой точки имеют порядок выше первого относительно χ и у.
Все эти случаи рассмотрены Бендиксоном в предположении, что Ρ и Q
разлагаются в окрестности особой точки в степенные ряды по χ и у, и Фром-
мером — в более общих предположениях.
1) Число δ выбирается так, чтобы в полосу 0<ΛΓ·<δ, —οο<η< + °°
плоскости (лг, и) не попало ни одной особой точки преобразованного урав-
яения.

§ 2]
ОСОБЫЕ ТОЧКИ
93
Пример 5. Найти расположение и характер особых точек для
уравнения Якоби
(_ бдг + 9у) d χ + (бдг — 6у) dy + (— 4дг + Ъу) (xdy—y dx) = 0.
Разрешаем уравнение относительно производной:
dy 6х — 9у — 4ху + 5у2
Έχ 6х — 6у — 4хг + Ъху'
Прежде всего, замечаем особую точку (0, 0); для определения её характера
составляем уравнение (17):
6 —λ 6
—6 —9—λ
:0,
или λ2 + 3λ —18 = 0, откуда λ:
Корни действительные разных знаков;
вина. Направления
касательных к интегральным кривым
определяется из уравнения:
6 —9k
3±V81
2
особая
λ! = + 3>0, λ2 = — 6<0.
точка есть седло-
Л
k =
6 — 6k9
5k + 2 = 0,
(На основании теории
уравнения Якоби можно
предвидеть, что по этим направлениям
входят в начало координат две
из трёх интегральных прямых.)
Для нахождения остальных
особых точек приравниваем
нулю числитель и знаменатель
дроби в правой части
уравнения:
бдг — 9у — Аху + 5у2 = 0,
блг — 6у — Ах2 -f- ^xy = 0.
Черт. 15.
Решения этих уравнений, кроме л: = 0, у = 0, будут: х = 1, у = 2, л: = 2,
у = 1. Чтобы исследовать характер особой точки (1, 2), вводим новые
переменные: χ = λγι+ 1, у =.у1 +2; уравнение принимает вид:
<У1= — 2^ + 7^ —4^л + 5у^
dxx %xt — уг — Ах\ + 5χι у ι
Оно имеет особую точку хх = 0, yt = 0.
Для определения характера этой точки пишем уравнение (17):
8 —λ —2
0 =
— 1
= λ2— 15λ + 54,

94 СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. II
Оба корня одного знака; особая точка — узел. Уравнение для угловых
коэффициентов касательных к интегральным кривым:
9-U7&
k= 8jV . Λ2 —Λ —2 = 0, *! = 2, *! = —1.
Предоставляем читателю убедиться в том, что особая точка (2, 1) также
является узлом. Ход интегральных кривых приблизительно представлен на
черт. 15.
§ 3. Интегрирующий множитель.
1. Всякое уравнение первого порядка, разрешённое относительно
производной,
&=/(*. J0. (1)
можно переписать в дифференциальной форме:
dy—f(x> y)dx=z0,
или, умножая обе части на некоторую функцию N(x, у\ в более
симметричном виде:
Μ (лг, у) dx + N(x, у) dy = 0. (33)
Рассмотрим частный случай, когда левая часть уравнения (33)
представляет полный дифференциал некоторой функции U{x% у):
Mdx + Ndy=dU = ^dx-\-^dy.
β этом случае уравнение (33) называется уравнением в полных
(точных) дифференциалах. Последнее тождество равносильно двум:
М = 1Гх> N=W (34>
Если в уравнение (33) подставить вместо у решение уравнения (1),
то мы будем иметь dU = 0, откуда
U(x,y) = C (35)
для значений χ и у, соответствующих этому решению (С —
постоянное); и обратно, для функции у, определяемой уравнением (35),
имеем dU = 0. Итак, уравнение (35), содержащее произвольное
постоянное, является интегралом уравнения (33) в полных
дифференциалах.
Для существования решения у{х) дифференциального
уравнения (1), принимающего при х = х0 значение у0, достаточно, чтобы
уравнение (35) определяло у как неявную функцию от х, т. е.
чтобы в точке (xQ} yQ) мы имели f^-) =7V(at0, у0) φ 0; в таком

§ 3] ИНТЕГРИРУЮЩИЙ МНОЖИТЕЛЬ 95
случае решение у(х)> проходящее через точку (дг0, у0), определится
из уравнения:
£/(*, y)=U(x0i у0);
если N(x0, у0) = О, а М (лг0, у0) Φ О, то соотношение (35) определит
χ как функцию от у\ исключение в смысле существования и
единственности решения составляют только точки, в которых Μ (x0t y0) =
= /V(at0, Уо) = 0\ это — особые точки уравнения (33) (ср.
предыдущий параграф).
Найдём признак, по которому для данного уравнения (33) можно
судить, принадлежит ли оно к классу уравнений в точных
дифференциалах. Из равенств (34), предполагая существование соответ-
дЮ
ствующих производных, получаем два выражения для ίγ—tj ;
приравнивая их, получаем необходимое условие1):
дМ dN _ч
Покажем, что условие (36) является также
достаточным, а именно, предполагая его выполненным, найдём функцию
U(xt у), удовлетворяющую соотношениям (34). Мы имеем -х— =
= Μ (χ, у)> откуда интегрируя по χ от х0 до χ и считая у
постоянным, получаем:
X
U(x,y) = $ Μ (χ, y)dx + ? (у). (34')
Xq
Построенная функция (34') при всяком φ удовлетворяет первому из
соотношений (34). Покажем, что при выполнении условия
интегрируемости (36) можно най ги такую функцию φ (у),
чтобы выполнялось и второе соотношение (34). Мы находим из
формулы (34'), применяя правило дифференцирования интеграла по
параметру:
dU ГдМ(х,у) . , ,, Ν
Xq
Используя тождество (36), получаем:
χ
1) Впервые это условие получит знаменитый математик Леонард Эйлер
(1707—1783) член Петербургской академии наук.

96 СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. II
Это выражение окажется равным N(x> у), если положить
<t'{y) = N{.xQ,y)y
откуда одно из значений φ (у) есть
и
φ 00= fN(x0i y)dy.
2/о
Итак, функция U(x, у) найдена; приравнивая её произвольному
постоянному, получаем общий интеграл уравнения (33):
χ у
£/ (лг, у)= j Μ (χ, y)dx + f N(xQ, y) dy = C. (37)
Примечание. На практике оказывается проще
дифференцировать равенство (34') по у и, заменяя -^ известной функцией N(x^ у),
определить из полученного равенства φ7Су), а затем найти φ
квадратурой.
Пример 6. (Зл;2 + бху2) dx + (6х*у + 4у») dy = 0. Здесь
Ж=3лг2 + 6ху2, Л^=6л;2^+4у, ^==12лгу==-^-. Условие (36)
выполнено, j- = Зл:2 -|- блгу2, U = хъ -\- Зх2у2 -{- φ (у); вычисляем
?'(У):
Полный интеграл £/ =ξ л;3 + 3at2j/2 +.У4 = С.
ЗАДАЧИ.
Проверить, что левая часть данных уравнений является полным
дифференциалом, и решить эти уравнения:
■" ***+уЛу {УЛ*--хау п
У1+хг+У* х2+У2
55,(l-_^W+i * l)dyss(k
2. Если левая часть уравнения (33) не есть полный
дифференциал, возникает вопрос — нельзя ли найти такую функцию \l(x, у),
по умножении на которую левая часть уравнения (33) станет полным
дифференциалом некоторой функции U(x, у). Такая функция \ι назы-

§ 3]
ИНТЕГРИРУЮЩИЙ МНОЖИТЕЛЬ
97
вается интегрирующим множителем. Таким образом, если μ —
интегрирующий множитель, мы имеем:
V.(Mdx + Ndy) = dU; t^ = |j, №=Щ- (38)
Первый вопрос: для всякого ли уравнения первого порядка
существует интегрирующий множитель? Из теоремы существования
мы знаем, что при известных условиях уравнение (1) имеет общий
интеграл *):
U{x,y) = C.
Дифференцируем это равенство по х, предполагая, что у есть
функция х\ таким образом, мы исключим С и придём к
дифференциальному уравнению:
Μ * , dU . п dy dUldU
_dx+_dy = 0i или -JL = - — \—.
Это уравнение должно быть тождественно с исходным уравнением (33),
которое мы напишем в виде:
dy_ Af
dx~~ ЛГ
Сравнивая эти оба вида одного и того же дифференциального
уравнения, мы приходим к равенству:
dU dU
м_ <ш
' N ~~ дх
dU дх ду
W или Τλ~ν=*
(через μ мы обозначили общую величину двух последних отношений).
Из последних равенств имеем:
т. е. μ является интегрирующим множителем. Итак, всякое
дифференциальное уравнение первого порядка, удовлетворяющее некоторым
условиям, имеет интегрирующий множитель.
Число интегрирующих множителей данного уравнения
бесконечно. В, самом деле, пусть μ есть какой-нибудь интегрирующий
множитель уравнения (33), a U (лг, у) = С есть интеграл этого
уравнения. Тогда μ1 = φ φ) μ, где φ — произвольная дифференцируемая
функция, является также интегрирующим множителем. В самом деле,
выражение
v.l(Mdx + Ndy) = 4Wy.Wdx + Ndy) = O{U)dU
1) В п. 4 § 1 мы доказали существование общего интеграла, где
параметр С=у0 есть начальная ордината интегральной кривой; вопрос о
законности дифференцирования функции, приравниваемой С, отложен до главы VII.

98 СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ; II
является полным дифференциалом от функции
<!>(U) = f <?(U)dU.
Следовательно,
μι = φ (ϋ) μ (39)
есть интегрирующий множитель уравнения (33).
Докажем, что всякий интегрирующий множитель уравнения (33)
даётся формулой (39).
В самом деле, пусть, кроме интегрирующего множителя μ, имеется
ещё какой-то интегрирующий множитель μχ. Мы имеем:
μ {Μ dx + Ndy) = dU, (38)
μχ (Μ dx + Ndy) = d V, (380
где V—некоторая функция от хЛ у; раскрывая последние тождества,
имеем:
лл Μ λλ W ΆΛ dV xr dV
ρΛί—gj. »^β75Γ» ^Ж==а?' *"=7у»
откуда
at/
а*
^Y
длг
dU 1
ήν
aKi
ду 1
или ат, .,, =0.
аа .di/_dK .ак
д* ' ду дх ' ду}
Таким образом, якобиан функций U и V тождественно равен нулю,
а так как ^— φ 0, то между этими функциями существует
зависимость вида:
Равенство (38') даёт тогда:
μ1(Λίέ/ΛΓ + Λ^^) = ψ4^^^=φ,(^)μ(ΛίίίΛ:4·^<ν).
откуда
μι = Ψ'(^)μ,
что и требовалось доказать.
Следствие. Если известны два существенно различных (т. е.
не различающихся только постоянным множителем) интегрирующих
множителя цй^ уравнения (33), то общий интеграл получается
без всякой квадратуры в виде:
^L = const,
μ
В самом деле, по доказанному, последнее равенство имеет вид:
φ (U) = С, а это и есть общий интеграл уравнения (33).

§ 3]
ИНТЕГРИРУЮЩИЙ МНОЖИТЕЛЬ
99
3. Нахождение интегрирующего множителя. Из
определения интегрирующего множителя имеем:
д (^М) = д (μ,ΛΟ
ду дх '
или
или же, деля обе части равенства (40) на μ,
AfiiiLu_^J^ = !^-<W (400
дх ду ду дх v '
Мы получили в виде (40) или (407) уравнение в частных
производных для определения неизвестной функции μ. Задача
интегрирования такого уравнения в общем случае не проще, чем
задача решения уравнения (33). Конечно, нам достаточно знать только
одно частное решение уравнения (40); иногда, по каким-нибудь
особенностям уравнения (40), удаётся найти такое частное решение, и
тогда интеграция уравнения (33) сводится к квадратурам.
Рассмотрим, например, случай, когда существует интегрирующий
множитель, являющийся функцией одного только х. В этом случае
Ji — Ο, и уравнение (40') обращается в такое:
din μ _ду дх_
dx — N ' I41'
Ясно, что для существования интегрирующего множителя, не
зависящего от у, необходимо и достаточно, чтобы правая часть была
функцией одного х\ в таком случае 1η μ найдётся квадратурой.
Пример 7.
(2xy + x*y + ^dx + (x*-\-y*)dy = 0.
Здесь
дМ dN
Следовательно,
ду дх __ 2х + х2 + У — 2* ___ ι
din μ Λ т
Уравнение
е* foxy + х*у -\-HL\dx-\- е* (л;2 -f У2) dy = 0

100 СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. II
есть уравнение в точных дифференциалах. Интегрируем его;
U= f e*(2xy + x*y+^\dx + <?(y) =
= yfe*(2x + x*)dx + ^e* + <?(y)=ye*(x* + £) + ?(y).
Для нахождения (ρ (у) вычисляем -г— и приравниваем его μΝ;
откуда
<р'(у) = 0,
и общий интеграл нашего уравнения есть
Рассмотрим частный случай интегрирующего множителя,
зависящего только от ху когда Лг= 1; в этом случае уравнение имеет вид:
dy —/ (лг, у) dx — 0. (42)
лт ,лл\ <*1п^ д/(х*У) df
Уравнение (41) примет вид: ■ . = \ , с условием, что ~-
есть функция одного лг,
д/(х. У)
:?М;
в таком случае f(x, у) имеет вид:
т. е. уравнение, написанное в виде (42) и допускающее
интегрирующий множитель, зависящий только от х, есть уравнение
линейное.
Из уравнения (41) имеем:
d in μ
— φ (α:), μ:»*-^*8.
<2лг
Переходя к обозначениям главы I для линейного уравнения,
приходим к заключению:
Линейное уравнение -г--\- Ру = Q имеет интегрирующий множи-
тель \i = eJ
Здесь мы имеем ещё один способ интегрирования линейного
уравнения. Аналогично получим условие того, что дифференциальное
уравнение допускает интегрирующий множитель, зависящий только
οι у, ά самое выражение этого множителя.

§ 3] ИНТЕГРИРУЮЩИЙ МНОЖИТЕЛЬ 101
Пример 8. Уравнение -—- — у tg χ = cos χ (задача 32 на стр. 40)
имеет интегрирующий множитель е~* tga?daj = cos x; умножая на него
обе части уравнения, имеем:
cos χ dy —у sin xdx — cos2 x dx = 0,
где левая часть есть полный дифференциал; интегрируя, находим:
у cos χ— f co^xdx = С,
или
χ 1
у cos* — -£- — γ sin x cos χ = С
—общий интеграл.
Заметим, что разделение переменных сводится к умножению на
некоторый интегрирующий множитель.
В самом деле, если дано уравнение (ср. главу I, § 2, 3):
Μ (χ) Ν (у) dx + P (x) Q (у) dy = 0,
то для разделения переменных мы умножаем обе части на μ = .. ;
ясно, что после умножения левая часть уравнения становится полным
дифференциалом, т. е. μ есть интегрирующий множитель.
Пользуясь этим замечанием, найдём интегрирующий множитель
однородного уравнения:
М(ху y)dx-{-N(x, y)dy = 0, (43)
где Μ и N—однородные функции одинакового измерения т. Мы
знаем, что введением новой функции и = — переменные в уравнении
разделяются; в самом деле, мы имеем:
М(х, у) = М(ху хи) = хтМ(1, и)
(в силу однородности) и аналогично:
N(x, y) = x™N(\, и).
Внося эти выражения, а также dy = χ du -J- u dx в уравнение (43),
получаем:
*"»{[ΛΙ(1, u) + N(l, u)*u]dx+xN(l, u)da}=*0.
Для разделения переменных надо обе части умножить на
интегрирующий множитель:
_ 1
^ xm^1[M(liu) + N(lt u)-u\f

102 СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. II
или, возвращаясь к старым переменным х, у9 на
1
μ =
χ Μ (χ, y)+yN(x, у)'
Это есть интегрирующий множитель однородного уравнения (43).
Он не существует лишь в случае, если хМ -J-j/AfsO, или если
-~ = — —, т. е. для уравнения у dx — xdy = 0.
Пример 9.
(х —у) dx -\-{x-{-y)dy = 0,
1 1_
μ х(х—у)+у(х+у) А+у*ш
Умножая обе части зфавнения на этот множитель и группируя члены,
получаем:
xdx+ydy . xdy—у dx n
ИЛИ
откуда
(Ср. главу II, § 2, 2.)
На практике для нахождения интегрирующего множителя часто
применяется такой приём: все члены уравнения разбиваются на две
группы, для каждой из которых было бы легко усмотреть один
интегрирующий множитель; затем пишут выражения наиболее общего
интегрирующего множителя для каждой группы и смотрят, нельзя ли
выбрать входящие в эти выражения произвольные функции так,
чтобы оба интегрирующих множителя оказались равными; если это
оказывается возможным, то интегрирующий множитель уравнения
найден.
Пример 10. (Задача 40 главы I, стр. 41).
(х —у2) dx + 2*у dy = 0.
Разбиваем на две группы:
(х dx) + (—у* dx -f 2ху dy) = 0.
У первой скобки очевиден интегрирующий множитель 1, а общее
выражение интегрирующего множителя jjlj я=»<р(лг); у второй скобки
очевиден интегрирующий множитель —^ (переменные разделяются);
по умножении на него имеем:
dx y 2ydy _п.

§ 31 интегрирующий множитель 103
общий интеграл:
1/2 = ^- = С.
Общее выражение интегрирующего множителя второй скобки есть
IV
1
ху<
♦©·
Теперь стараемся подобрать ψ так, чтобы [л2 имело тот же вид,
что μ,, τ. е. было функцией только от х; очевидно, для этого
достаточно положить ψ(ί/2) = ί/2; итак, окончательно μ = —2.
Умножаем данное уравнение на μ:
dx , 2ху dy —у2 dx
откуда
X · Xй %
1пх + 2- = С.
1 ж
ЗАДАЧИ.
56. у* dx + 2 (л* — ху2) dy = 0.
57. (лг2у2 _ 1) dy + 2xy6 dx = 0.
58. ах dy -f by dx + x™y* (ax dy + $y dx) = 0.
59. (2лгу2 —j/) <*лг + (j;2 + дг + j;) dy = 0.
60. Решить способом интегрирующего множителя задачу 34 на стр. 40:
JL = 2xy — xb + x.
61. То же для задачи 37 (там же):
χ dy -\- у dx — ху2 In χ dx = 0.
62. Вывести выражение интегрирующего множителя для уравнения Бер-
нулли.
63. Найти интегрирующий множитель уравнения
(2*3 + Зх*у +у* — у*) dx + (2уЗ + Ъху* + л;3 — х*) dy » 0,
имеющий вид /(л: +.у)·
64. Найти все уравнения
допускающие интегрирующий множитель вида ΛΎ, где X есть функция
только от х% a Y — только от ^у.

ГЛАВА ill.
УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА,
НЕ РАЗРЕШЁННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ.
§ 1. Уравнения первого порядка я-й степени.
1. Мы видели в главе I, что общий вид уравнения первого
порядка может быть записан так:
Г(х,У,У) = 0. (1)
В настоящей главе мы часто будем предполагать, что левая часть
уравнения (1) является многочленом относительно у' степени п,
причём коэффициенты этого многочлена в некоторой области D
плоскости ху суть непрерывные функции от а; и от у9 допускающие
по у непрерывные частные производные.
F(x,y,y')^An(x,y)y'n±An-1(x,y)y'n-i-\-...+A0(x,y)=0. (1')
Уравнение вида (1') называется уравнением первого порядка η-Ρι
степени относительно у\ Затем допустим, что в области D коэффициент
при старшей степени у', т. е. Лп(х, у), нигде не обращается в нуль.
Тогда, по основной теореме высшей алгебры, уравнение (1') для
всякой пары значений х, у в рассматриваемой области имеет η
решений у (действительных или мнимых). По теореме о неявных
функциях каждое из действительных решений является непрерывкой функ-
цией от χ и у и имеет конечную частную производную ^—, если
oF
для рассматриваемых значений х, у, у' имеем ^—г φ О (т. е. если
для данных значений χ и у уравнение (1') относительно у' не
имеет кратного корня; этот последний случай будет нами разобран
дальше, в теории особых решений дифференциального уравнения).
I дР I
Таким образом, во всякой области, в которой — Г> а > О,
' О V I

§ 1] УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Я-Й СТЕПЕНИ 105
разрешённое относительно у' уравнение (1') удовлетворяет
условию Липшица J).
Мнимые решения для у' нам неинтересны, так как во всём этом
курсе рассматриваются только такие дифференциальные уравнения,
в которых независимое переменное и функция (а следовательно, и
производная) принимают действительные значения. Заметим только,
что мнимые решения являются попарно сопряжёнными, что поэтому
число мнимых решений всегда чётное и что если при непрерывном
изменении χ и у пара мнимых решений у' переходит в
действительные, то в момент этого перехода два решения становятся равными
действительными; в самом деле, пусть эти мнимые решения будут:
У\ = α (х, у) + Φ (X, у), у* = α (х, у) — φ (х, У).
Если при непрерывном изменении χ и у эти решения переходят
в действительные, то для некоторых значений х09 у0 мы будем иметь:
Jim β (дг, у)^0;
У+Уо
для этих значений х0, у0, очевидно, имеем: ух =у2 = α (χ0, у0)9 т. е.
два равных действительных решения. Поэтому, если мы допустим,
что в области D ни для каких значений χ и у уравнение (1') не
имеет кратных корней относительно у\ то число действительных и
мнимых значений у\ определяемых уравнением (1'), для всех
значений х, у в рассматриваемой области остаётся одно и то же.
1) Чтобы доказать, что функция у'% определённая уравнением (1'),
удовлетворяет по у условию Липшица, достаточно допустить, что
коэффициенты А{ (χ, у) удовлетворяют по у условию Липшица в рассматриваемой
области и что -^-j 1> α > 0. В самом деле, пусть значению у± уравнение (1')
при данном χ ставит в соответствие значение у^ значению у2—значение^.
Мы имеем: F(xyyby[) = 0, F(x,y2iy'2) = 0. Вычитая эти равенства почленно,
прибавляя и вычитая F(x,yby'2) и применяя к приращению по у' теорему
Лагранжа, находим:
0 = F (x,yi,y't) - F (χ, уьу'г) + F (х,уьу'г) - Ρ (χ, yby'j =
Так как коэффициенты А1 удовлетворяют условию Липшица по j/, то тем же
свойством обладает и функция F, т. е. мы имеем: | F(xtyhy2) — F (х*УъУъ) 1^
\dF I
-<Z.|j/1—у2\. Поэтому последнее равенство вместе с оценкой для т~7
даёт: \у[— у2 |<—Ι^χ —у21, т. е, условие Липшица для у с постоянной —,

106 УРАВНЕНИЯ, НЕ РАЗРЕШЁННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ ГГЛ. Ш
Итак, пусть в области D уравнение (1) имеет k
действительных решений {k^ η)
y'=fi(x>y)> /=f*{*>y)t ···> У =/*(*> JO· (2)
Каждое из уравнений (2) есть уравнение такого вида, для какого
в главе II доказано существование единственного решения (теорема
Коши),· проходящего через точку (дг0, у0); следовательно,
уравнение (1) допускает в точности k интегральных кривых 9
проходящих через данную точку (лг0, у0) области D.
Пример 1. у'2-\-уу'—х2 — ху = 0. Разрешая относительно У
(или разлагая левую часть на множители), получаем два уравнения:
1) У = лг, 2)У = —у — х\ обе правые части однозначны и
непрерывны во всей плоскости ху; соответственно имеем два решения
1) У = т + С; 2) у = Се-*—*+1.
Пример 2. у'Ъ-^-у2—1=0. Разрешая относительно у\ имеем:
у'=±Yl—у2) в полосе —1<j/<1 плоскости хОу оба
рассматриваемых значения у' действительны и различны, при \у\ > I
значения у1 мнимы, и при у = zt 1 два корня уравнения для у'
совпадают. Рассмотрим полосу —l<^<-f-l; через каждую точку
(х0) у0) проходят два решения у0: для одного из них значение
производной в этой точке y'Q=-\- ]А —у*9 для другого у'0 = — Y\ —у*.
В данном случае в уравнении, разрешённом относительно у\
переменные разделяются, и мы имеем:
1) ^= = dx; 2) -M=~-dx.
1 γι—y* 9 Υι—у2
Получаем решения: 1) arcsin^ = *-}-C, 2) arcsin j/ =— x-\-C.
(Под символом arcsin мы понимаем главное значение многозначной
функции Arcsin у, т. е. однозначную ветвь этой функции, ограниченную
условиями—"7f < arcsin У < -π) · Мы получаем, таким образом, два
семейства решений:
y = sin(x + C), (_J<A: + C<f);
y^sin(—x + Qt (-^<—х+С<%У
Возьмём начальные условия х = х0У у=у0; для определения
произвольного постоянного С получаем уравнения:
j\> = sin (;£ *0 + С), ±д:0 + С= arcsin yQi C = + x0 + arcs\ny0.

§ 1] УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА tl-Pl СТЕПЕНИ 107
Решения, удовлетворяющие нашему начальному условию, суть
у = sin [(χ— *0) + arcsinJOb — γ < χ — χο + arcsinj/0 < у,"
>; = sin[ — (χ — *0) + arcsinj/0], — у <—Ar + *0 + arcsin;/0 < γ.
Первое семейство решений представляет семейство дуг синусоид,
взятых от точки минимума до точки максимума (исключая концы);
все кривые получаются из одной, например
у = sin χ,
—2-<*<7>
переносом параллельно оси Ох\ аналогично, второе семейство есть
семейство дуг синусоид, взятых от максимума до минимума; они
получаются переносом параллельно оси Ох из кривой:
j/ = sin( — χ), —-§■<■*< "J"·
Через каждую точку полосы — 1 <^< 1 проходит по одной кривой
каждого семейства — возрастающая кривая первого семейства и
убывающая — второго.
Расширим теперь область, в которой рассматриваются кривые,
добавив обе пограничные прямые у = ±:\, на которых условия
Липшица не выполняются (у нас f(x, у) = ± ]Л—У*\ производная
<1L = rz: У становится бес конечной при у -> ± 1), но правые
ду "*- у ι— У2
части уравнений остаются непрерывными. Теперь нам нет необходи-
мости ограничивать изменение аргумента пределами ^ — у, γ).
Замечая, далее, что sin( — лг + С) = sin (л;-}-π + С), мы можем
представить общее решение
одной формулой:
y = sln (лг + О,
— оо < лг< -4-°°·
Это — семейство полных
синусоид, получаемых из одной
параллельным переносом
вдоль оси х\ чтобы
получить каждую один раз, надо
ограничить область изменения произвольного постоянного С, например
0 <^ С < 2π. В точках максимума одной полной синусоиды кривая
первого семейства переходит в кривую второго, в точке минимума
имеет место обратный переход (см. пунктирные кривые на черт. 16).
Но эти переходы совершаются на прямых у = ± 1, где условия
Липшица не выполнены; поэтому, применяя теорему Коши, мы не можем
Черт. 16.

108 УРАВНЕНИЯ, НЕ РАЗРЕШЁННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ [ГЛ. III
связать убывающую и возрастающую дугу синусоиды в одну
интегральную кривую; теорема существования даёт две отдельные ветви,
проходящие через каждую точку полосы (сплошные линии на черт. 16).
Между примерами 1 и 2 существует очевидное различие, если
рассматривать интегральные кривые не локально — в окрестности
каждой точки, где удовлетворяются условия теоремы существования,
а на всём их протяжении; в примере 1 дифференциальное уравнение
определяло два семейства линий, не имеющих ничего общего (одно
алгебраическое, другое трансцендентное); они как бы механически
соединены в одно уравнение; мы можем вообще исходить из двух
совершенно произвольных уравнений вида:
У—/(*,У) = о, У—φ(*, У = °
и, перемножив их левые части, получить уравнение первого порядка
второй степени относительно у'\
У2—[/(*, У+?(*, y)]y+f{x, .у) ·?(*,)>) = о,
которое эквивалентно двум первоначально данным уравнениям; поле
его интегральных кривых получится в плоскости ху простым
наложением полей обоих уравнений, причём оба эти поля вообще
независимы одно от другого. Не то мы имеем во втором примере: через
каждую точку некоторой области опять проходят две интегральные
кривые, но они могут быть рассматриваемы как принадлежащие
одному и тому же семейству. Выяснить корни этой глубокой разницы
невозможно теми средствами, которыми мы здесь располагаем; надо
привлечь аппарат теории аналитических функций {аналитическая
теория дифференциальных уравнений). Отметим только
окончательный результат: если левая часть уравнения (1), предполагаемая
многочленом по У с коэффициентами, рациональными относительно у,
разлагается на множители низших степеней относительно у',
рациональные по у и однозначные по χ во всей области её определения
(мы скажем в этом случае, что левая часть уравнения (1) является
приводимым многочленом по у в области рациональности
переменного у), то уравнение (1) является механическим соединением
уравнений, которые получим, приравнивая нулю каждый неприводимый
множитель; второй случай имеет место, когда У является
иррациональной (алгебраической) функцией от у9 иначе говоря, когда F (х, у, У)
представляет неприводимый многочлен относительно у' в области
рациональности у.
2. Общий метод интегрирования уравнений первого порядка
/2-й степени таков: стараемся разрешить уравнение (1) относительно^/';
в случае приводимости левой части получаем несколько уравнений
низших степеней; если все неприводимые множители окажутся первой
степени, то получаем η уравнений первой степени относительно У,
и задача свелась к η различным задачам, которые иногда могут быть
разрешены предыдущими методами; если имеем уравнение, неприво-

§ 11 уравнения первого порядка η-Pi степени 109
димое относительно у , то иногда его можно разрешить в радикалах;
если полученное иррациональное уравнение относительно у
интегрируется в явном виде, то общее решение обычно содержит те же
радикалы, что и исходное уравнение; давая в этом решении
радикалам все их значения, получим все η решений исходного уравнения,
а если освободиться от радикалов, то получим одно семейство
интегральных кривых, к которому принадлежат все η кривых,
проходящих через любую точку.
Пример 3. ху'2— 2уу' -|- 4лг ===== 0. Разрешаем уравнение
относительно у : у
у+ Уу* — 4х2
Получились два уравнения,
выражаемых одной формулой с радикалом (левая часть данного уравнения
неприводима). Это уравнение
однородное, оно легко интегрируется
подстановкой:
У_
X
= и%
. du
dx
du
U ZL
dx
'' χ '
Уи* — 4,
In (я:
+ Уф— 4
]/и2 — 4) = In χ — In С,
УЖ=А ==£.
а
Освобождаемся от радикала:
4С 4
х ιι±γιι* — 4'
Vu* — 4,
отсюда
о * · 4С
или,
возвращаясь
г2 =
Черт.
начальным
переменным, ха — 2С(у— 2С). Легко
видеть, что мы получили семейство парабол, причём через каждую
точку той части плоскости, где у2 — 4х2>0(т. е. где корни
уравнения для у' действительные и различные), проходят две кривые
семейства (черт. 17).
ЗАДАЧИ.
Проинтегрировать уравнения (здесь введено обозначение ~-=pj:
65. р2у +р(х —у) — χ = 0.
66. х2р2 — 2хур +у2 = х2у2 + дг4.
67. /?3 _ (д;2 + ху + у2)р2 + (^Зу _|_ Х2у2 + Ху*) ρ — χψ = 0.
68. хр2 + 2хр — у = 0.
Указание. В случае приводимой левой части решить каждое из
получающихся уравнений отдельно; в случае неприводимости найти формулу
общего решения, заключающую все интегральные кривые.

110 УРАВНЕНИЯ, НЕ РАЗРЕШЁННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ [ГЛ. III
§ 2. Уравнения, не содержащие явно одного из переменных.
1. Если не разрешённое относительно производной У = ρ
уравнение не содержит явно искомой функции уу то оно имеет вид:
F(x9 р) = 0. (3)
Если левая часть уравнения (3) удовлетворяет условиям
существования неявной функции, то в окрестности данного значения х0 оно
определяет одно или несколько решений, выражающих ρ как
функцию от х:
Ρβ/ι(4 ρ—Λ (*)»··· (4)
Уравнения (4), не содержащие у, интегрируются квадратурами:
У = $ f2(x)dx + C,...
Однако фактическое разрешение уравнения (3) относительно ρ иногда
приводит к слишком сложным функциям, а часто при помощи
элементарных функций и совсем невозможно; можно, однако, указать
несколько приёмов, которые в более широком классе случаев дают
возможность явно выразить решение уравнения (3).
А) Уравнение (3) может быть разрешено (в элементарных
функциях) относительно х; пусть мы получили при этом уравнение:
* = ?(Р). (5)
Будем рассматривать ρ как параметр и постараемся выразить у через
тот же параметр. Мы имеем:
dy
или
dy = ρ dx. (б)
Но из уравнения (5) άχ = ψ' (ρ)dp; подставляя это значение в
выражение (6), получаем: dy=p<? (p) dp, откуда
У = { Ptf(p)dp + C. (7)
Уравнения (5) и (7) дают параметрическое уравнение семейства
интегральных кривых заданного уравнения, зависящих от одного
произвольного постоянного С. Иногда можно исключить ρ из этих
уравнений и представить общее решение в виде:
*(*, у> с ) = о.

§ 2) УРАВНЕНИЯ, НЕ СОДЕРЖАЩИЕ ЯВНО ОДНОГО ИЗ ПЕРЕМЕННЫХ 111
Пример 4. еУ' +У = χ· Уравнение не может быть разрешено
в элементарных функциях относительно у', но оно является
разрешённым относительно х: х = еР-\-р; далее, имеем:
dy = ρ dx = ρ (e? + *) dp
и, наконец,
У= j ptf + Vdp^e' {p—l)+£+C.
Итак, мы выразили χ и у в функции р.
В) Может случиться, что χ и р, связанные уравнением (3),
выражаются через вспомогательный параметр t при помощи элементарных
функций Λτ = ψ(£), ρ=ζχ(ή. Мы имеем:
и ^у получается выраженным в функции того же параметра /:
y = fx«)V(t)dt+C.
Это последнее уравнение вместе с уравнением- χ = ψ (ή даёт искомое
параметрическое представление семейства интегральных кривых.
Пример 5. хъ-\-рР — Зл;/? = 0. Чтобы получить
параметрические выражения для х и р, полагаем p = tx; подставляя это
выражение в данное уравнение, находим, сокращая на л:2:
*(1+**) = зг, χ = γ^;
далее, p^^-J^.
Пишем соотношение:
3*2 3(1— 2/3) ., о f il-
— 2/3) з^ rfi
+ /3)3 '
для интеграции вводим переменное u=l-{-fi:
.,_о Г (3 —2и)|й1_Л Г ifa Л Г rfa _ 9 , 6
^^J «з — yJ ~Р" —DJ 7J — — 2(1+/з)2-ГГТ1з + с·
2. Уравнение вида
^(.у, /) = 0 (8)
может быть приведено к рассмотренному типу, если считать у за
независимое переменное, а х — за функцию, так как ~2- = —. Если
уравнение разрешено относительно ^у, т. е. имеет вид у = φ (ρ), то

112 УРАВНЕНИЯ, НЕ РАЗРЕШЁННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ [ГЛ. III
непосредственно ясно, что для получения χ в функции ρ надо вос-
dy
пользоваться соотношением: ~- = р, откуда
dx = ^ = φ/ (/7) dp
Ρ Ρ '
и χ получается в функции параметра ρ квадратурой:
Если нам удаётся заменить соотношение (8) двумя параметрическими
уравнениями: γ = χ(έ)9 ρ = ψ(/), то опять χ получается квадратурой:
Пример 6. ^v = Ρ —|— In p. Имеем:
P P \ ' Ρ J * Ρ ' Рг ' И Р~
Пример 7. ръ—у2 (а—/?) = 0. Полагаем у = pt\ из данного
at2 at'6
уравнения получаем: ρ = . , а; далеа, ^==—-—. Из соотношения
^дг = — получаем:
α/2 (1+*2)2 Ι-f-^- '
откуда
Уравнения
/7/2
* = / + 2arctg^-|-C, ^:
1+Г2
представляют решение данного уравнения в параметрическом виде.
ЗАДАЧИ.
Найти общие интегралы уравнений:
69. *y3= 1+у.
70. /?з _ ^з (1 —ρ) = 0β
71. р*+уЗ — 3ру = 0.
72. у=#'уп.
73. У (У — 1) = (2— У)2.
Указание. Подстановка 2—у =yt позволяет выразить у и у
рационально через L
74. у (1 +У2) = 2а. (Удобно ввести подстановку у' = tg φ.)

§ 3] МЕТОД ВВЕДЕНИЯ ПАРАМЕТРА. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА И КЛЕРО ИЗ
§ 3. Общий метод введения параметра.
Уравнения Лагранжа и Клеро.
1. Пусть дано неразрешённое уравнение:
Р{х,У> Р) = 0. (1)
Если мы будем рассматривать х, у, ρ как декартовы координаты
в пространстве, то уравнение (1) определит некоторую поверхность.
Известно, что координаты точек поверхности могут быть выражены
как функции двух параметров и, ν; пусть нам известно такое
параметрическое представление поверхности (1):
ΛΓ = φ(α, *>), у=$(а9 ν), ρ = χ(α, ν). (9)
Система уравнений (9) эквивалентна уравнению (1). Теперь вспомним,
что уравнение (1) дифференциальное и что ρ = —- , или dy = ρ dx.
Подставляя в это последнее равенство выражения р, dy, dx> взятые
из уравнений (9), получаем:
ди
**«+S *>=*<«."> IS*h-£4
Это — дифференциальное уравнение первого порядка между и и v.
Принимая а за независимое переменное, a v за искомую функцию,
можем написать его в виде:
dv *■ ди ди
du д<\> ^ д<р
dv 'f*dv
Мы получили уравнение первого порядка, но уже разрешённое
относительно производной; если мы найдём его общее решение в виде:
τ> = ω(«, С),
то два первых уравнения (9) дадут:
* = <?{«, ω («, С)}, у = ^{и, ω (и, С)},
т. е. общее решение уравнения (1), выраженное в параметрической
форме (и — параметр, С—произвольное постоянное). Это
преобразование (9) обыкновенно применяется в случае, если уравнение (1)
легко разрешается относительно χ или у; тогда в представлении (9)
за параметры естественно взять у и ρ или χ и р.
Рассмотрим сначала уравнение:
V=f(x, ρ). (10)

114 УРАВНЕНИЯ, НЕ РАЗРЕШЁННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ [ГЛ. III
Соотношение dy — pdx, если принять за параметры χ и р, даст нам:
fcdx+d£dP = Pdx> или
Мы получили уравнение между χ и р, разрешённое относительно ■£-;
пусть его общее решение будет:
/> = <?(*, С). (12)
Внося это выражение в формулу (10), получим общее решение
искомого уравнения:
у=/{х, ψ(χ, Q].
Примечание 1. Уравнение (11) можно получить также из
уравнения (10), если дифференцировать обе его части по лг, причём ρ
рассматривается как функция ху и ~ заменяется через р. Таким
образом, мы имеем здесь новый способ сведения уравнения (10)
к более простому уравнению (11) при помощи
дифференцирования.
Примечание 2. Получив общий интеграл уравнения (11), мы
должны помнить, что ρ в выражении (12) есть
вспомогательное переменное; исключив его из (11) и (10), мы получаем
общее решение уравнения (10) без дальнейших интеграции.
Было бы ошибочным рассматривать равенство (12) как
дифференциальное уравнение, полагая в нём ρ = -—, ибо при интеграции этого
уравнения вошло бы в решение второе произвольное постоянное,
и мы вместо данного уравнения (10) нашли бы решение уравнения
второго порядка:
^гТ л^У — У *
дх * ду'
которое получается из уравнения (11), если считать в нём
dy
2. Рассмотрим теперь уравнение:
*=/Су, р). (13)
Можно воспользоваться соотношением <2у == ρ dx9 вводя в него в
качестве новых вспомогательных переменных у и р; можно также
получить уравнение, разрешённое относительно производной от иско-

§ 31 МЕТОД ВВЕДЕНИЯ ПАРАМЕТРА. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА И КЛЕРО 115
мой функции, дифференцируя обе части уравнения (13) по у и
принимая во внимание, что -^==р, или — = —; при этом мы находим:
ρ ду * dp dy "
Мы получили дифференциальное уравнение между у и р; найдя его
общее решение р==ф(у, С) и внеся это выражение на место ρ
в данное уравнение (13), получим его общий интеграл: x=f{y,ty(y, С)}.
Впрочем, уравнение (13) переходит в уравнение вида (10), если
поменять роль переменных χ и у.
"ТПример 8. р3 — Ахур-)- 8у2 = 0. Это — уравнение первой
степени относительно х\ разрешаем его: χ =|--}--^-.
Дифференцируем обе части по у9 считая ρ функцией у и заменяя ·—- через р.
Получаем:
Ρ \2у ρ* J dy 4y2 "Г р ·
Преобразуем:
dp ρ* — 4y2 ρ3 — 4j/2
НУ 2ур* 4у2р
Деля обе части на общий множитель ръ — 4у2 *), мы получаем урав-
dp dy
нение с разделяющимися переменными -£-=з-=£.; интегрируя находим:
Ρ *У
p=zCy2. Внося это выражение в данное уравнение, получаем:
2 2
С*у2 — 4С*гу2 + 8у2 = 0,
откуда, выделяя частное решение ^/ = 0, находим:
64у = (4Сг — С3)2,
С2
или, вводя новое постоянное Сх = —,
.V = Ci(* —С^.
х2
Пример 9. у = р2—ρχ-\--γ· Дифференцируем по х, считая ρ
функцией х; заменяя -f- через /?, имеем: р = — Р-\~Х~\~&Р — x)zr,
их 'dx'
•jf-φρ — дг) = 2р — χ. Оставляя пока в стороне множитель 2р — х,
1) Приравняв этот множитель нулю и исключив ρ из полученного
уравнения и из первоначального, мы получим особое решение; см. далее § 4, 2,
примечание 4 (стр. 131).

116 УРАВНЕНИЯ, НЕ РАЗРЕШЁННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ [ГЛ. III
имеем дифференциальное уравнение: -^=1, р~х-\-С. Подставляя
в начальное уравнение, имеем: у = {х-\-С)<2,— χ (χ -f- С) -|- -к-, или
у = -х- -[- От —J— C72 — общее решение. (Если бы мы рассматривали
равенство p=zx-\-C как новое дифференциальное уравнение, мы
получили бы у = -ψ -}- Сх -[- Cj —решение уравнения j;" =1.)
3. Уравнение Лагранжа. Изложенные преобразования
приводят уравнение, не разрешённое относительно производной, к новому
уравнению, которое является разрешённым относительно производной;
но это новое уравнение, вообще говоря, не интегрируется в
квадратурах. Сейчас мы рассмотрим тип уравнений, не разрешённых
относительно производных, в применении к которым метод
дифференцирования всегда приводит к уравнению, интегрируемому в квадратурах.
Это —уравнение Лагранжа. Так называется уравнение, линейное
относительно χ и у9 т. е. уравнение вида:
А(р)у + В(р)х=С(р),
где коэффициенты А, В, С—данные дифференцируемые функции
производной р = ~. Разрешая это уравнение относительно у (мы
предполагаем, что Α (ρ) φ 0), приводим его к виду:
У = ?(Р)Х + Ъ(Р)· (И)
Применяя к уравнению (14) метод дифференцирования [так как
это — уравнение вида (10)], приходим к уравнению:
ρ = ψ(ρ) + Ιψ'(ρ)χ+Υ(ρ)}£. (Η')
Если в этом уравнении рассматривать χ как искомую функцию,
а р — как независимое переменное, то получаем линейное уравнение:
dp φ {ρ)—ρ ρ — φ (ρ) V '
Оно, как известно, интегрируется в квадратурах; решение имеет вид:
*=0(ρ) + χ(ρ),
_ Г <Р/ (Р) dp
где, например, ω (ρ) = е ^ * №-р . Внося найденное выражение χ
в данное уравнение, получим выражение вида:
у=[Со>(р) + 1(р)]<?(р) + Ъ(р).
Таким образом, два переменных выражены в функции параметра р\
если исключить этот параметр, получим общий интеграл уравнения
Лагранжа в форме Ф(х, у9 С) = 0.

§ 3J МЕТОД ВВЕДЕНИЯ ПАРАМЕТРА. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА И КЛЕРО 117
Примечание. Приведение к виду (14") невозможно, если
φ (ρ) — ρ ==» 0. Случай φ (ρ) — ρ = О будет рассмотрен в следующем
разделе. Допустим теперь, что для некоторого значения р = С0 мы
имеем 9(С0) — С0 = 0. Тогда уравнение (14'), очевидно, допускает
решение ρ = С0; подставляя в уравнение (14) это значение р,
получаем у = φ (С0) χ -\- ψ (С0). Легко проверить, что это есть решение
уравнения (14); можно также убедиться в том, что оно не содержится
в формуле общего решения.
Пример 10. у — 2рх-|-/?2. Дифференцируем по ху считая ρ
и у функциями χ и заменяя -~ через р; имеем:
p = 2p + 2(* + p)g.
^ dx dx 2х 0
Разрешая относительно ^-, находим j- = — 2; решение этого
уравнения есть х=—$ §-· Вставляя это выражение в данное
уравнение, находим:
= 2С f
У ρ 3
Итак, мы выразили χ и у в функции параметра ρ и произвольного
постоянного С, т. е. получили общее решение в параметрической
форме. Кроме этого общего решения, имеется ещё решение у = 0.
4. Уравнение Клеро является частным случаем уравнения
Лагранжа; оно имеет вид:
У = рх + 9(Р)> (15)
где φ — данная (дифференцируемая) функция. Применяя к этому
уравнению метод п. 3, дифференцируем обе части по х\ получаем:
/; = /7 + [x + ?'<p)lg; или £ΐχ + Ψ'(ρ)]=0.
Исследуем на этот раз оба множителя левой части последнего
уравнения; первый множитель даёт дифференциальное уравнение:
dx '
откуда р = С, и общее решение уравнения (15) есть
У = Сх + ψ (Q. (16)
Итак, общее решение уравнения Клеро получается заменой в
уравнении (15) ρ на произвольное постоянное С. Решение (16)
геометрически представляет семейство прямых от одного параметра.
Приравняем теперь нулю второй множитель χ -\- о' (/?) = 0. Это равенстзо

118 УРАВНЕНИЯ, НЕ РАЗРЕШЕННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ [ГЛ. III
определяет ρ как функцию от χ; ρ = ω(χ); если подставить это
значение ρ в уравнение (15), то получим:
y=*x*(x) + 9l<»(x)h 07)
Можно также подставить значение χ = — ?'(р) в уравнение (15) и
получить ту же кривую в параметрической форме:
■*=—?'(/»), .у = -р<р'(р) + <р(р)· (in
Легко проверить, что кривая (17) или (17') является
интегральной кривой уравнения (15); в самом деле, пользуясь, например,
параметрическим представлением (17'), находим:
dx=* — <p"(p)dp,
dy = [- р^ (ρ) + φ' (ρ) — φ' (ρ)] dp=*- pi' (p) dp,
откуда -~- = р. Вставляя значения х9 у, у' в уравнение (15),
получаем тождество:
— Р?' (Р)+? (р) = — Р?' (Ρ) + ? (Р)·
Решение (17) или (17') не содержит произвольного постоянного; оно
не получается из общего решения (16) ни при каком постоянном
значении С. В самом деле, правая часть уравнения (16) при любом
постоянном С есть линейная функция от х\ допустим, что Λτω (χ) -j-
-j- φ [ω (χ)] =zax-\-b (а и b — постоянные); дифференцируя, находим:
ω (χ) -|- χω' (χ) -f- φ' [ω (χ)] α/ (χ) = α.
Но по определению функции <»(х) имеем: φ'[ω(Λ;)] =— χ, и
предыдущее равенство обращается в следующее:
ω (д;) = а,
что противоречит уравнению, определяющему ω(χ). Посмотрим, каково
геометрическое значение решения (17). Оно получилось путём
исключения ρ из двух уравнений:
у = р*+<?(р)> о = * + <р'(р)>
или, заменяя ρ через С (от этого результат не изменится), —
исключением С из двух уравнений:
у=Сх + 9(С)9 0 = * + ?'(С),
причём второе получается из первого дифференцированием по С. Но
из дифференциальной геометрии известно, что этот процесс даёт
огибающую семейства прямых (16), представляющего общее решение.
Мы скажем, что эта огибающая, т. е. решение (17), есть особое
решение уравнения Клеро (15).
Итак, общее решение уравнения Клеро представляет семейство
прямых, особое решение — огибающую.

§ 3] МЕТОД ВВЕДЕНИЯ ПАРАМЕТРА. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА И КЛЕРО 119
Примечание 1. Чтобы доказать, что особое решение
удовлетворяет уравнению Клеро, нам пришлось допустить, что функция φ(ρ)
два раза дифференцируема. Более сложное доказательство приводит
к тому же заключению в предположении, что <р(р) дифференцируема
один раз.
Примечание 2. Рассуждение, приводящее к особому решению,
неприменимо, если ср'(р) = const., т. е. _если φ (ρ) =з ар -\~ Ь {а и Ь—
постоянные); в этом случае уравнение имеет вид:
у = х/ + а/ + Ь,
откуда
ν' = y—b dy = dx
У х + а' у— b х + а'
Вместо особого решения мы имеем особую точку х= — а, у = Ь,
через которую проходят все интегральные прямые: у = b -J- С(х -f-a).
Примечание 3. Всякое семейство прямых, зависящее от одного
параметра (кроме семейства параллельных прямых), при исключении
параметра приводит к уравнению Клеро. В самом деле, пусть дано
семейство:
y = k(Qx + b(f).
dk
Так как -гтфО (иначе было бы & = const., и мы имели бы
семейство параллельных прямых), то уравнение k(t) = C (где С—новый
параметр) можно разрешить относительно t, /=/(С). Уравнение
семейства примет вид:
у = Сх + Ы/{С)]^Сх + Ф(С),
т. е. вид общего решения (16) уравнения Клеро.
К уравнению Клеро приводят геометрические задачи, в которых
требуется определить кривую по какому-нибудь свойству её
касательной.
Пример 11. Найти кривую, касательные к которой образуют
вместе с прямоугольными осями координат треугольник постоянной
площади, равной 2. Пишем уравнение искомой касательной в
отрезках : — -f- ^г = 1; по условию ab = 4, т. е. £ = —, и мы имеем
семейство прямых — -|~^-=1. Найдём дифференциальное уравнение этого
семейства; дифференцируем по л; и исключаем а:
я ' 4 у' V у' 2 2 γ— у'
или
у = х/-\-2У—у'.

120 УРАВНЕНИЯ, НЕ РАЗРЕШЁННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ [ГЛ. III
Это — уравнение Клеро; его общее решение есть у =■ Сх -\- 2 ]/*— С,
но нас интересует особое решение, которое даёт искомую кривую.
Находим ею, дифференцируя последнее равенство по С и исключая С:
0 = х Д=-, С= — —,
V— С х*
1,2 1
откуда у = г ~ > или> окончательно, ху = 1 — равносторонняя
гипербола.
ЗАДАЧИ.
Найти общие, а для уравнений типа Клеро также особые решения
(р обозначает —г-Л*
75. р4 = 4у (хр — 2j/)2#
Указание. Разрешить относительно лги дифференцировать по у (можно
упростить заменой искомой функции).
1Ь.у = 2рх + ^+Р\
Υι+Ρ*
78. х=ру + ар2.
79. у = хр2+рЗ.
80. у = лгу + У— У2.
81. .у = 2р*.+ У/А
Указание. Умножить на у и положить у2 = ζ.
82. р2 (Ж2 — 1) — 2рху +У — 1 = 0.
(Разрешить относительно у или ввести полярные координаты.)
83. у'* + 2ху' +2у = 0.
84. Найти кривую, у которой длина отрезка касательной между осями
координат имеет постоянную величину а.
§ 4. Особые решения.
1. При исследовании уравнения Клеро мы встретились с особым
решением. В настоящем параграфе мы исследуем вопрос о
существовании особых решений для довольно широкого класса уравнений и
укажем два способа их нахождения.
Мы видели, что, по теореме Коши, если правая часть
дифференциального уравнения
4г=*/(*. У) (18>
dx
непрерывна в некоторой области и имеет в ней ограниченную
производную по у, то через каждую точку (л:0, у0) области проходит
единственная интегральная кривая (свойство единственности);
эта кривая входит в семейство от одного параметра (за параметр мы
принимали величину у0) и получается из этого семейства, когда
параметр принимает определённое числовое значение. Семейство от одного

§ 4!
ОСОБЫЕ РЕШЕНИЯ
121
napaiwetpa образует общее решение, каждая интегральная кривая
представляет частное решение, и, в силу теоремы единственности, никаких
других решений, в частности особых решений, в этом случае не
представится. Например, если правая часть уравнения (18) есть многочлен
относительно у,
ТХ = К (х)уп 4- Ап_, (х)yn-i + ... + Ах (х)у + А0 (х),
то в области непрерывности коэффициентов и при ограниченных
значениях у (т. е. в прямоугольнике а^х^Ь, — к <^.y <^ к, где
коэффициенты непрерывны в интервале а^х^Ь и к сколь угодно
д/
большое положительное число) выражение ^- тоже ограничено — это
уравнение не имеет особых решений (таковы, например,
линейное уравнение, п = \; уравнение Риккати, /2 = 2). Далее, если
правая часть есть дробная рациональная функция от χ и от у
Р(х*у)
где Ρ и Q суть многочлены по д; и у без общего множителя, то
производная -с- обращается в бесконечность только в тех точках х0,
у0, где Q(x0, j/0) = 0, т# е. где /=оо; но в таких точках для
уравнения — =-^- правая часть [если Р(х0, у0)фО] непрерывна вместе
с производной по х, и опять, в силу теоремы Коши, проходящая
через такую точку интегральная кривая χ = ψ (у) удовлетворяет
условию единственности и входит в семейство от одного параметра (т. е.
является обыкновенным частным решением). Наконец, если Р(лг-0, у0) =
z=Q{x0j Уо) = 0 (это может иметь место лишь в изолированных
точках), мы имеем особые точки, различные типы которых были
исследованы в главе II; особых решений в этом случае
опять нет.
Особым решением мы назовём такое решение дифференциального
уравнения, которое во всех своих точках не удовлетворяет
свойству единственности, т. е. в любой окрестности каждой точки (х, у)
особого решения существует по крайней мере две интегральные
кривые, проходящие через эту точку. Теорема Коши даёт достаточные
условия для того, чтобы в некоторой области не существовало
особых решений; следовательно, обратно, для существования особого
решения необходимо, чтобы не выполнялись условия теоремы Коши.
Итак, мы можем искать особые решения только в тех точках
плоскости хОу, где не выполнены условия теоремы Коши. В частности,
если правая часть уравнения (18) непрерывна во всей рассматриваемой
области (как мы будем предполагать всюду в настоящем параграфе),
то особые решения могут проходить только через те точки,
в которых не выполняется условие Липшица. Если f(x, у) всюду

122 УРАВНЕНИЯ, НЕ РАЗРЕШЕННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ [ГЛ. Ш
имеет конечную или бесконечную производную по у, то условие Лип-
д/
шица не выполняется в тех точках, где ^- становится бесконечной.
д/
•Случай, когда функция / непрерывна и ->- бесконечна, может
представиться, например, для иррациональных функций.
Пример 12. Рассмотрим уравнение:
у'=у*]
(19)
правая часть f=y3 определена и непрерывна для всех значений у,
df 2 -i
но производная ^- = -^у * обращается в бесконечность при#у = 0,
т. е. на оси Ох плоскости хОу\ интегрируя данное уравнение,
находим общее решение: 21 у = (х-f· С)3 — семейство кубических
парабол; кроме того, уравнение имеет очевидное решение у = 0,
проходящее через те точки, где не выполнено условие Липшица; это
решение — особое, так
^1 как через каждую
точку оси Ох проходит
и кубическая парабола,
и эта прямая —
единственность не выполнена
(черт. 18).
Пример 13.
Вернёмся к уравнению
/Ч/=1
~х
или
y=*±Vi-
Черт. 18.
правая
(черт. 16). Оба
значения у' представляют
непрерывные функции в
часть определена; производная
области — 1 <;у ·< 1, где
df у
=■ ; условия теоремы Коши нарушаются на прямых у =
1,
ду y-j.
где jj- = oo; эти прямые a priori могут быть особыми решениями.
Легко видеть, что у=\ и у = — 1 суть решения этого уравнения и что
эти прямые являются огибающими семейства синусоид у = sin (x -f- С),
дающего общее решение, т. е. в точках прямых, изображающих
решения j/ = ztl, единственность не выполнена: через каждую точку,
например прямой у= 1, проходят две интегральные кривые — сама
прямая у = 1 и касающаяся её (восходящая или нисходящая) ветвь

§ 4]
ОСОБЫЕ РЕШЕНИЯ
123
синусоиды; это будут особые решения для обоих уравнений:
/ = + УТ^^у* и / = —УТ=у.
Примечание. Мы уже указали, что из теоремы Коши можно
вывести только необходимые условия для особого решения.
Место тех точек, где условие Липшица не выполнено, если оно
является кривой, может представлять особое решение, но может
и не представлять его уже потому, что эта кривая, вообще говоря,
не представляет решения уравнения. Если, например, вместо
уравнения (19) взять такое:
dy 1
_=^3_μα> αφθ9
то у = 0 попрежнему есть место точек, где не выполняется условие
Липшица, но эта прямая не является решением уравнения, что
очевидно из непосредственной подстановки в заданное уравнение.
Итак, чтобы найти особые решения уравнения (18), надо найти
место точек, где не выполнено условие Липшица (т. е. в случае
правой части, выраженной в элементарных функциях, место тех точек,
д/
где g— бесконечна); если это место образует одну или несколько
кривых, надо проверить, являются ли эти кривые интегральными
кривыми уравнения (18) и нарушается ли в каждой их точке
свойство единственности', если оба эти условия выполнены^ то
найденная кривая представляет особое решение.
ЗАДАЧИ.
Найти место точек, где не выполняется условие Липшица, и исследовать,
представляет ли оно особое решение (найти также общее решение).
dy
«•s-V-y-*·
dy
86. — = у у—jc + 1 [начертить поле интегральных кривых, принимая
в уравнении радикал: 1) как + Υ у — х, 2) KaKzt Y у — χ],
dy dy _
87. -τ- = + Y\y i, -j— — 3z Υ у (в обоих случаях набросать поле
кривых).
dy
88. -τ- —у In у (.уХ); при у = О правая часть дополняется до
непрерывной функции по правилу Лопиталя).
dy
89. -τ- =у{\пу)2 (с тем же условием о дополнении правой части).
dy
90. — =— xzt yx*-\-2y (начертить поле кривых).
Для уравнения
У =/О0 (А)
существует необходимый и достаточный признак особых решений. В § 2
главы I мы видели, что если /(уо)фО, то начальные значения (лг0, у о)

124 УРАВНЕНИЯ, НЕ РАЗРЕШЁННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ [ГЛ. III
определяют единственную интегральную кривую, даже если не требовать, чтобы
правая часть удовлетворяла условию Липшица; соответствующие решения
будут обыкновенными частными решениями. Далее, если/(С) = О, то
У = С (В)
является решением уравнения (А). Исследуем, при каких условиях в точках
решения (В) выполняется единственность и при каких она не выполняется.
Возьмём начальные значения (дг0, Уо), .Уо<£» и допустим, что/(^/)>0
при Уо*СУ<С (случай jy>C приводится к этому заменой у на —у, а
случай /О0< 0 заменой χ на —х). Мы будем исследовать единственность
решения у = С лишь по отношению к интегральным кривым в полосе Уо*Су <С.
Интегральная кривая, проходящая через точку (лг0, уо), даётся формулой:
у
_dy
f
г/о
/Cv)
(С)
Будем в формуле (С) стремить у к С; интеграл в правой части будет несоб-
Q С*
Г dy С dy
ственным; возможны два случая: 1° расходится; 2° ( сходится.
Уо Уо
В случае 1 формула (С) показывает, что при неограниченном
приближении у к С переменное χ неограниченно увеличивается; интегральная
кривая асимптотически приближается к прямой у = С при неограниченном
возрастании χ и не имеет с ней общих точек ни при каком конечном
значении х. Так как все интегральные кривые, лежащие в полосе уо^у <С,
получаются из кривой (С) переносом параллельно оси Ох, то ни одна из
них не имеет общих точек с прямой у = С; следовательно, во всех точках
о
Г dy
решения^' = С выполняется единственность. Итак, если . расходится,
то решение у = С обыкновенное. Примерами этого случая являются
решения у = 0 для уравнения у'=ук, &!>1, и для уравнения задачи 88 (где
условие Липшица не выполнено).
О
Г dy
Переходим к случаю 2°. Пусть = /<оо. При значении χ = х0 +
+ I = х кривая (С) приходит в точку Μ с координатами (х, С), лежащую
на решении у = С; таким образом, в этой точке единственность нарушается.
Путём изменения начальной точки х0 (т. е. переносом кривой (С)
параллельно оси х) мы можем течку Μ совместить с любой точкой прямой у = С;
таким образом, свойство единственности не выполнено ни для одной точки
решения у = С.
О
С аУ
Итак, если I ■ сходится, то решение у — С особое. Примерами
Уо
могут служить уравнения уг = у*, 0</е<1, и уравнение задачи 89.
Аналогичный критерий можно вывести для решений вида у = С общего
уравнения с разделяющимися переменными и для решений вида у = Сх
однородного уравнения; несколько сложнее^ проводится исследование
решений вида у = φ (С0) χ + ψ (CQ) уравнения Лагранжа (§ 3, 3, стр. 116).

§ 4]
ОСОБЫЕ РЕШЕНИЯ
125
2. Мы видели, что простейший случай, когда правая часть уравне-
dy д/
ния — =/(лг, у) непрерывна, а -т- бесконечна, встречается, когда /
является иррациональной функцией от у. Освобождаясь от этих
иррациональностей, мы получим алгебраическое уравнение степени
выше первой относительно у' с коэффициентами, являющимися
рациональными функциями от у. Естественно поставить вопрос об
отыскании особых решений такого уравнения. Здесь можно получить
довольно общие результаты, к изложению которых мы сейчас
приступаем.
Пусть дифференциальное уравнение
/4*..*/) = о (1)
будет алгебраическое, я-й степени относительно у', т. е. имеет вид
Лп(х, У)у'п + ·. · + Ах (х, у) у' + А0 (х, у) = О, (10
причём левая часть представляет неприводимый многочлен по у'\
коэффициенты Ак(х, у) мы предполагаем многочленами по у и пол:
(достаточно было бы допустить, что Ак(х, у) непрерывны по
переменным х, у в некоторой области D и допускают в ней частные
производные по л: и по у). Как уже указывалось в начале настоящей
главы, уравнение (1') определяет η ветвей многозначной функции:
Χ· =Λ(*> У) (/==1> 2> ···> Ό; (2)
мы будем рассматривать только действительные ветви (2). Все эти
ветви являются непрерывными функциями от χ и у для тех значений
этих переменных, которые не обращают в нуль Ап(х, у)1).
Посмотрим, как для этих ветвей обстоит дело с условиями Лип-
df ду'
шица. Для вычисления производной Ν^— = тг~ воспользуемся
уравнением (1) и правилом дифференцирования неявной функции; находим:
ду' dF 1 dF
lJ = ~~dj/W (20^
Так как все коэффициенты Ак(х, у) являются дифференцируемыми
по у, то производная (20) конечна и непрерывна всюду, где Ап φ 0
и где знаменатель не равен нулю, т. е. те значения лг, у, для
которых может не выполняться условие Липшица, удовлетворяют уравнению:
dF(x, у, у')
ву -0, (21)
1) В тех точках плоскости хОу, где Ап (х, у) = 0, одна или несколько
функций (2) обращаются в бесконечность; если мы сделаем χ искомой
функцией, а у — независимым переменным, то в этих точках
соответствующие значения — будут обращаться в нуль; зато эта последняя производная
обращается в бесконечность в точках, где А0 (х, у) = 0.

126 УРАВНЕНИЯ, НЕ РАЗРЕШЁННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ [ГЛ. III
где после выполнения дифференцирования в левой части вместо у'
надо взять одну из функций /*(#, у)> определённую уравнением (1).
Иначе говоря, чтобы получить уравнение геометрического места тех
точек плоскости хОу, где условие Липшица не выполняется, надо
исключить у' из уравнений (1) и (21). В высшей алгебре даётся
процесс исключения одного переменного из двух алгебраических
уравнений при помощи рациональных операций — получение так
называемого результанта этих уравнений; равенство нулю результанта
есть условие существования общих корней двух уравнений. В нашем
случае левая часть уравнения (21) есть производная по у' от левой
части уравнения (1); результант этих уравнений есть дискриминант
уравнения (1) относительно у'. Равенство нулю дискриминанта есть
условие существования общего нуля данного многочлена и его
производной, т. е. кратного корня уравнения (1), где в качестве
неизвестного рассматривается у\ Исключая у/ из (1) и (21), мы
придём к уравнению:
Ф(х, у) = 0, (22)
которое, вообще говоря, определит одну или несколько кривых
[дискриминантная кривая уравнения (1)].
Дискриминантная кривая (или их совокупность) разделяет
плоскость ху на некоторое количество областей. Внутри каждой такой
области G некоторое число k(k^O) из η ветвей (2) являются
действительными; это число одно и то же для всей области. Во всякой
области, лежащей вместе с границей внутри G, знаменатель в правой
части выражения (20) по абсолютной величине больше некоторого
дУ
положительного числа, следовательно, -т— ограничена; условие
Липшица для всех k ветвей (2) выполнено; таким образом, через
каждую точку области G проходит k интегральных кривых, в согласии
с теоремой существования; для особых решений здесь нет
места. (Отметим, что все k интегральных кривых имеют в точке х, у
различные касательные, так как между значениями (2) для у' нет
равных.)
В точках дискриминантной кривой две или более ветвей
функции у\ определяемой уравнениями (2), становятся равными между
собой, по самому определению дискриминанта; кроме того, в силу
формулы (20), на дискриминантной кривой, вообще говоря, не
удовлетворяются условия Липшица. Дополним теперь область G её
границей, состоящей из дискриминантных кривых или их частей; в
полученной таким образом замкнутой области G каждая из ветвей (2)
попрежнему будет непрерывной функцией от лг, у, но условия
Липшица не выполнены на границе. Мы находимся в таких условиях,
когда может существовать особое решение. Именно,
пусть у как функция х,
У = ?(х), (23)

§ 41
ОСОБЫЕ РЕШЕНИЯ
127
определённая из уравнения (22) дискриминантной
кривой, сама является решением дифференциального
уравнения (1), и пусть совокупность решений рассматриваемой
ветви (2), определённая внутри области G, может быть продолжена
до её границы, т. е. вплоть до всех точек кривой (23); тогда через
каждую точку кривой (23) проходят два решения, соответствующих
рассматриваемой ветви: во-первых, одна интегральная кривая,
продолженная изнутри области G — обыкновенное решение, и,
во-вторых, — решение (23), которое является, таким образом, особым
решением.
Итак, особыми решениями уравнения (1) могут быть только
функции
.У = ?(*)> (23)
определяемые уравнением (22). Вообще говоря, эти функции, однако,
не удовлетворяют данному дифференциальному уравнению, т. е. не
являются вовсе решениями уравнения (1); в том, какой из этих
случаев имеет место, легко убедиться непосредственной проверкой.
Иногда может, далее, случиться, что вдоль такого решения (23)
удовлетворяется во всех его точках свойство единственности (для
данной ветви). Это будет в случае, если решения, определённые
внутри области G, не доходят до её границы: тогда мы имеем дело
с частным решением. Можно показать, что этот случай является
исключительным; в общем случае, если функция (23), полученная
из дискриминантной кривой (22), удовлетворяет дифференциальному
уравнению (I7), она является особым решением. Итак, мы получаем
следующее правило нахождения особого решения:
Если дано уравнение:
dy
F(x9 у, р) = 0, Ρ = ~ά-> (1)
где левая часть есть многочлен по р, то составляем уравнение:
dF(x,y,p)
dp
0; (21)
исключая ρ из уравнений (1) и (21), получаем уравнение (22),
определяющее дискриминантную кривую. Если определяемая этим
уравнением функция (23) является решением дифференциального
уравнения (1), то решение (вообще говоря) особое.
Рассмотрим несколько прежних и новых примеров с точки
зрения применения этого метода.
Пример 14. F=y'2 -\-y* — i = o (пример 2); -^ = 2/ = 0.
Из этих двух уравнений получаем у2= 1, т. е. у = ±\. Обе
эти функции, очевидно, удовлетворяют данному дифференциальному
уравнению, т. е. это — решения; они являются особыми решениями,
так как это — огибающие семейства синусоид, и в их точках

128 УРАВНЕНИЯ, НЕ РАЗРЕШЁННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ [ГЛ. III
нарушается свойство единственности по отношению к каждой из двух
ветвей уравнения; через каждую точку х = х0, у=\ проходит,
у* два решения: пря-
например, для ветви уравнения у' = -f- V^l —
мая у=\ и ветвь синусоиды
y==sin(x — x0-]-^y х0 — |- <*Οο+γ·
Пример 15. F===xp2 — 2ур-{-4х = 0 (пример 3). Составляем
1 dF
уравнение -^ ^- = хр—у = 0. Исключаем /?, определяя его из
второго уравнения и подставляя в первое:
р = -1-> Χ'Ύ — 2у-^+4лг=:0 или у*— 4лг2 = 0;
х*
1) у = 2х9 2) у= — 2х.
Из черт. 17 (стр. 109) видно, что эти две прямые — огибающие
семейства парабол, представляющего общее решение — являются особым
решением. Заметим ещё, что, решая в § 1 данное уравнение
относительно у, мы получали выражение у2 — 4лг2 под знаком радикала;
этого и следовало ожидать, так как в решении квадратного уравнения
подкоренное выражение есть
дискриминант.
Пример 16. χ—у =
4 8
= -д- р2 — 27 РЪ* Методом
дифференцирования по χ
находим общий интеграл:
(у — Cf = (χ — С)3. Для
получения дискриминантной
кривой дифференцируем
данное уравнение по р:
|-(р_р2) = 0.
Вставляя значения р = 0
и ρ = 1 в уравнение,
находим:
1) χ— j/ = 0,
2) х—у = -.
Геометрическое истолкование: общий интеграл есть семейство
4
полукубических парабол (черт. 19); прямая χ—У =z fj есть оги^аю"
щая — особое решение; прямая у = х есть геометрическое место
точек возврата и решением не является.
Черт. 19.

§ 4]
ОСОБЫЕ РЕШЕНИЯ
129
Пример 17. р1—j/3 = 0. Общее решение: у = - ■;
дискриминант у3 = О даёт решение у = 0, которое является ч а с
τη ы м, так как условие единственности выполнено во всех точках
оси Ох (решения, определённые в области О, у > 0, не доходят
до дискриминантной кривой).
Примечание 1. Для определения того, является ли функция, (23),
получаемая из дискриминантной кривой, решением уравнения (1), мы
рекомендовали непосредственно подставить найденное значение функции в
уравнение (1). Можно дать другой способ этой проверки. Допустим, что
функция у = φ (лг), полученная из дискриминантной кривой, есть решение
уравнения (1), т. е. по подстановке в это уравнение обращает его в тождество.
Дифференцируя это тождество по л:, получаем:
dF , dF . , dF „ Λ
W+Jjy+d7'ys=0'
dF
Ho -5—, = 0в силу уравнения (21), из которого вместе с (1) определялась
функция (23); следовательно, если (23) есть решение уравнения (1), то оно
удовлетворяет также уравнению:
dF , dF . Λ
Таким образом, особое решение должно удовлетворять одновременно трём
уравнениям: (1), (21), (24). Отсюда, между прочим, следует, что уравнение (1)
в «общем случае» не имеет особого решения: если эти три уравнения
независимы, то они определяют отдельные системы значений (л:, у, у'). Особое
решение может существовать лишь в том случае, если одно из этих
уравнений, например (24), есть следствие двух других. В этом случае напишем
уравнения (1) и (21) в форме:
Из них определятся функции: у = φ (х)у ρ = ψ (χ). Предполагая их
подставленными в уравнение (1), дифференцируем его по х:
dF , dF , . ч . dF . Л
или, в силу уравнения (21),
dF , dF ,, ч Л
Третье уравнение (24), являющееся, по предположению, следствием двух
первых, в наших теперешних обозначениях напишется так:
dF.dF
Сравнивая его с последним тождеством, находим:
р = <р'(*)=у,
т. е. действительно, у = φ (χ) есть решение уравнения (1).

130 УРАВНЕНИЯ, НЕ РАЗРЕШЁННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ [ГЛ. Ш
Применим этот критерий к уравнению Клеро. Это уравнение имеет вид:
у = рх + φ (ρ);
уравнения (21), и (24), соответственно, будут таковы:
0 = ΛΓ + φ,(ρ), Ρ— /? = 0,
и, действительно, три уравнения сводятся к двум независимым.
Примечание 2. В § 1 было указано, что если два комплексно
сопряжённых решения у' уравнения (1) переходят при непрерывном
изменении х, у в действительные, то в момент перехода они становятся равными;
та часть дискриминантной кривой, на которой осуществляется это
равенство корней, отделяет, таким образом, область плоскости, где число
действительных ветвей (2) равно k, от области, где это число равно k ± 2. Так,
например, для уравнения уп -\-у2 = 1 (черт. 16 на стр. 107) дискриминантные
прямые у = + 1 отделяют ту часть плоскости (| у | < 1), где уравнение имеет
действительные значения у1 = ± Y\—у\ от той части ().у|>1), где оба
корня мнимые: у' = ± i Υ У*— 1. В примере 16 (черт. 19) мы видим, что две
ветви дискриминантной кривой у — χ = 0 η у — χ = -7-=- разделяют
плоскость на три полосы; в средней через каждую точку проходят три кривых
семейства, а в двух крайних — по одной.
Примечание 3. Если дискриминантная кривая является особым
решением, то она есть огибающая обыкновенных решений (по определению,
огибающая касается в каждой своей точке одной из огибаемых кривых).
Обычно огибающая является также местом предельного положения точек
пересечения двух бесконечно близких кривых семейства; в таком случае
по одну её сторону в окрестности каждой её точки пересекаются две
интегральные кривые, которые в нашем изложении должны быть рассматриваемы
как относящиеся к двум различным ветвям (2) уравнения (1); по другую
сторону огибающей этих ветвей нет, т. е. число действительных ветвей
уравнения (1) при переходе через особое решение в этом случае
уменьшается на две единицы.
Но пример 16 показывает, что дискриминантная кривая может да*
еать также геометрическое место точек возврата] в аналитической
теории дифференциальных уравнений показывается, что этот случай является
общим, если исходить из произвольного уравнения (1); так, например, для
уравнения Лагранжа дискриминантная кривая, вообще, есть место точек
возврата; для частного случая — уравнения Клеро — она всегда является
сгибающей. Наконец, может случиться, что в выражении (20) для некоторых
Еетвей (2) уравнения (1) на одной из дискриминантных кривых
одновременно со знаменателем обращается в нуль и числитель и притом так, что
о*у/ .. „ „ .
■^— остается для этих ветвей непрерывной функцией от х, у\ тогда каждая
из рассматриваемых ветвей не имеет на ней никаких особенностей.
Дискриминантная кривая в этом случае оказывается геометрическим местом
точек прикосновения интегральных кривых, соответствующих различным
ветвям (2) уравнения (1).
Пример 18. Рассмотрим уравнение:
Р2 [U —зг)2 _ 1] _ 2/7 + [(л: — j/)2 _ 1] = 0.
Решая относительно у и дифференцируя по х, находим общее решение
(х — С)2 + (у — С)2 = 1. Находим дискриминантную кривую; уравнение
dF n ..
^г— = 0 дает:
др
/>[(*-.y)2-lJ-l=0;

§ 4]
ОСОБЫЕ РЕШЕНИЯ
131
отсюда определяем ρ и вставляем в уравнение, умножив затем на
знаменатель (приравненный нулю, он даёт место точек, где для одной из ветвей
£-»>
получим:
l-2 + [(*-j,)2-ip = 0,
Дискриминантная кривая распадается на три прямые: х—у = ±У 2
дают решения (особые); прямая у = χ не даёт решения.
Геометрическое истолкование: общее решение есть семейство кругов
радиуса 1 с центрами на прямой у = χ (черт. 20); прямые у = χ ± γ~2
суть огибающие
семейства; прямая у=*х есть
место точек
прикосновения двух различных
кривых семейства; она тоже
даётся частью дискрими-
нантной кривой,так как
касательные к двум
различным кривым
совпадают, следовательно,ура-
внение для ρ должно
иметь кратный корень
(заметим без
доказательства, что местом точек
прикосновения может
служить только такая
кривая φ(χ, j/) = 0,
левая часть уравнения
которой φ (χ, у) ВХОДИТ В
дискриминант в степени
не ниже второй; у нас
у — χ входило в
дискриминант в квадрате).
Итак, резюмируем:
для уравнения вида (1)
особое решение может
состоять только из
точек дискриминант-
ной кривой у но
дискриминантная кривая может являться также местом точек возврата
интегральных кривых и местом точек прикосновения различных
интегральных кривых.
Примечание 4. В большинстве курсов особое решение
определяется формально — как такое, которое не полуаается из общего решения
ни при каком значении произвольного постоянного. Но мы умеем доказывать
существование общего решения (глава II, § 1) лишь для тех областей
плоскости хОу, где выполнены условия теоремы Коши. Поэтому для того
решения, вдоль которого эти условия не выполняются, мы не можем сослаться
без дальнейших пояснений на существование общего решения. С другой
стороны, формулой, дающей общее решение, иногда не охватываются те
решения, вдоль которых выполнены условия теоремы Коши и которые со всех
точек зрения должны считаться обыкновенными (например, интегральные
прямые уравнения Лагранжа). Поэтому мы считаем обычное определение
недостаточно точным и заменяем его данным в тексте; при этом некоторые
Черт. 20.

132 УРАВНЕНИЯ, НЕ РАЗРЕШЕННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ [ГЛ. III
решения, которые с формальной точки зрения представляются
обыкновенными, с нашей точки зрения окажутся особыми.
Пример 19. Рассмотрим уравнение примера 8:
рЗ — 4хур + 8у* = 0.
Дифференцируем пор:Зр2 — 4*j/= 0. Исключаем из обоих уравнений ρ и,
освобождаясь от иррациональностей, получаем дискриминантные кривые:
4
4лгЗуЗ — 27у4 = 0 или у = 0, у = ψ. χ3. Общее решение: у = С (х — С)2; обе
дискриминантные кривые являются огибающими этого семейства парабол
и представляют особые решения, но первая из них получается из формулы,
дающей общее решение, при С — 0.
3. Изложенный в предыдущем разделе способ нахождения
особых решений сводится к алгебраическим операциям —
дифференцированию (многочлена) и исключению; если данное уравнение
алгебраическое по х, у у у', то и особое решение является алгебраическим;
мы его всегда можем найти, даже если не умеем интегрировать
уравнения (1). Второй метод нахождения особых решений, который
мы сейчас изложим, требует знания общего интеграла
дифференциального уравнения. Пусть общий интеграл
уравнения (1) есть
Φ (χ, у, С) = 0. (25)
Если семейство кривых, изображаемое уравнением (25), имеет
огибающую, то эта огибающая:
1) является решением дифференциального
уравнения; в самом деле, в каждой точке огибающей элемент (а:, у, у')
совпадает с элементом одной из интегральных кривых семейства (25);
а так как интегральные кривые семейства (25) суть решения
уравнения (1), то все элементы огибающей также удовлетворяют этому
уравнению, т. е. огибающая есть решение;
2) даёт особое решение; в самом деле, рассмотрим
семейство, состоящее из дуг интегральных кривых до точки прикосновения
с огибающей (например, семейство возрастающих ветвей синусоид
в примере 2); через каждую точку некоторой окрестности
огибающей проходит одна такая кривая; эти кривые соответствуют полю,
определённому одной из ветвей (2) уравнения (1); в точках
огибающей единственность нарушается, так как через каждую её точку
проходят две интегральные кривые с общей касательной — сама
огибающая и касающаяся её кривая семейства.
Отсюда правило нахождения особого решения, если
известен общий интеграл (25), таково же, как для
нахождения огибающей: дифференцируем уравнение (25) по параметру С:

§ 41
ОСОБЫЕ РЕШЕНИЯ
133
Из уравнений (25) и (26) исключаем С; полученное соотношение
9(х, У) = 0 (27)
(если оно представляет решение) даёт особое решение.
Примечание 1. Из дифференциальной геометрии известно, что
уравнение (27) даёт не только огибающую, но и геометрическое
место кратных точек кривых семейства (25) (узловые точки, точки
возврата и пр.) — в том случае, когда вдоль кривой (27) мы имеем
также
£-·.£-·■ о»
Примечание 2. В конце предыдущего раздела мы указывали,
что существование особого решения для уравнения (1) является
исключительным случаем; из рассуждений настоящего раздела можно
было бы вывести противоречащее предыдущему заключение, что
«в общем случае» уравнение (1) имеет особое решение, так как при
наличии соответствующих производных и возможности исключения
постоянного С уравнения (25), (26) дают огибающую, кроме случая,
который является «исключительным», когда одновременно с уравне-
дФ дФ
ниями (25), (26) выполняются уравнения -^— = 0, -г— = 0; только
в этом случае мы получаем не огибающую, а геометрическое место
особых точек. Кажущееся противоречие объясняется тем, что «общему»
уравнению (1) соответствует частный класс семейств (25), именно
тот, где исключение С из равенств (25) и (26) даёт не огибающую,
а место точек возврата.
Примечание 3. Можно показать, что огибающая всегда является
частью дискриминантной кривой (22). В самом деле, пусть через точку (jc0,j/0)
проходит кривая семейства (25) у = ψ(*) и огибающая Υ=Ψ(χ). Если
подставить обе функции в уравнение (1), то, * по доказанному, получим два
тождества:
F С*. У, У') = 0, F(x4 К, Y') = 0. (29)
Дифференцируя эти тождества по х, получаем:
dF{xty4y) . dF , . dF „ _
дх +д7У +Wy °'
dF(x,Y,Y<) dF ^
dx "t" dY Y ^ dY'* ~~U*
(30)
Рассмотрим тождества (30) в точке (х0, у0). По предположению, мы имеем
y'Q == ψ' (xQ) = Kq = Ψ' (xQ)\ из тождеств (30), после подстановки χ = х0
получим:
(f) ,οί-*ί>-α

134 УРАВНЕНИЯ, НЕ РАЗРЕШЕННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ [ГЛ. III
Если yfQ φ Υ"0, то имеем ^—-f = 0; это рассуждение справедливо для всех
элементов огибающей, т. е. мы получаем вдоль огибающей уравнение (21),
определяющее вместе с (1) дискриминантную кривую. Если бы было
Уо = С ·. ·· .УГ" = У(ГЦ. но у™ Φ Yf\
то, дифференцируя тождества (29) η — 1 раз и вычитая одно из другого,
МЫ ОПЯТЬ ПОЛУЧИЛИ бы j-j = 0.
Пример 20. Вернёмся к примеру 2; р*-\-у2=1. Общее
решение: j/ = sin(AT-f-Q; огибающая получится из этого уравнения и
другого: 0 = cos(x-\-C). Исключая С, находим огибающую у2 = 1,
в согласии с решением примера 14.
Пример 21. Уравнение примера 18: общее решение есть
(х— С)2 + (у — С)2=1; дифференцируем по С; χ — С-\-у — С=0,
с ——2~ >
подставляя в общее решение, находим: (х—j/)2 = 2,
две огибающие прямые.
Пример 22. Уравнение примера 16: общий интеграл (у — С)2
2
= (дг — С)3. Находим логарифмическую производную по С:
Черт. 21.
у-С
= х_су
откудаС=3у—2х\подставляя в общий интеграл,
получаем:
4(3,— xf + 27(y — лг)3 = 0.
Прямая у = х есть
геометрическое место точек возврата;
4
х — у = — есть огибающая
(черт. 19 на стр. 128).
Пример 23.
(2ху'— yf — 4л;8 =0.
Разрешая относительно у\
получаем линейное уравнение: у1 =
= -^-|-л;2; общее решение: у2 = х(х — С)2; дифференцируем
это уравнение по С, х(х — С) = 0; подставляя значение С в общее
решение, находим: ^2=0. Мы получили не огибающую, т. е. не
особое решение, а геометрическое место особых точек (узловых;
изолированные точки χ = С, у = 0 при С < 0 не идут в счёт, так
как уравнение не определено при χ < 0) (рис. 21).

§ 51
ЗАДАЧА О ТРАЕКТОРИЯХ
135
ЗАДАЧИ.
Найти особые решения, исходя из дифференциального уравнения и из
общего интеграла:
91. хр2 — 2у/? + 4лг = 0 (пример 3, стр. 109).
92. л;ра + 2лгр — у = 0 (начертить поле кривых; задача 68, стр. 109).
S3· У2(Р — 1) = (2—Р)2 (задача 73, стр. 112, начертить кривые).
94. р* = 4у (хр — 2yf (задача 75, стр. 120, исследовать решения у =0).
95. *2/72 — 2хур + 2д:.у = 0.
96. у=/?* — /7лг-Ь~2" (пример 9, стр. 115).
97. у =2рх + ^ + р2 (задача 76, стр. 120).
98. р2—ру-\-е# = 0 (общее и особое решение).
§ 5. Задача о траекториях.
Эта задача является важным геометрическим приложением
дифференциальных уравнений первого порядка.
1. Пусть дано семейство плоских кривых
F(xt у, я) = 0,
(31)
зависящее от одного параметра а; кривая, образующая в каждой
своей точке постоянный угол а с проходящей через эту точку
кривой семейства (31),
называется изогональной траек- у\
торией этого семейства; если,
π
в частности, а = —, мы имеем
ортогональную траекторию.
Будем считать семейство (31)
данным и разыскивать его
изогональные траектории.
Обозначим текущие
координаты траектории через xv yt.
Пусть сначала α φ -j ; обозна- ч ^
чая tg α = &, имеем в любой
точке траектории: <pt—φ=α, где φ есть угол с осью χ касательной
к кривой семейства, φ1—то же для траектории (черт. 22), т. е.
*g(?i—?)=»*. или
*У1.
dxA
' dx
=*k.
\+dJ±.dA
·"" dx\ * dx
(32)
Равенство (32) имеет место в любой точке (хх% уг) траектории;
но для проходящей через эту точку кривой семейства угловой

136 УРАВНЕНИЯ, НЕ РАЗРЕШЁННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ [ГЛ. III
коэффициент —^ вычисляется из уравнения (31):
dx
dF , dFdy
дх~Т~ ду dx'
где вместо хл у надо подставить xv yv
Подставляя найденное значение -~ в уравнение (32), получаем:
dF(xlt уь a) dyx dF(xv уь а)
*Ί —**S дх\ = *. (33)
dF(xlt ylt a) dF(x1% yh a) dyx
дух дх1 dxx
В это уравнение входит параметр а, который изменяется от точки
к точке траектории и характеризует ту кривую семейства, которую
траектория пересекает в данной точке; его значение для точки xv yx
-получится из уравнения (31), если в нём положить х — хи у—уг:
Исключая а из двух уравнений (31') и (33), мы получим
соотношение
,„£-;)=», (34)
*(*1»
связывающее координаты точки траектории и угловой коэффициент
касательной; следовательно, уравнение (34) есть дифференциальное
уравнение изогональных траекторий семейства (31). Общий
интеграл уравнения (34):
даёт семейство от одного параметра изогональных траекторий.
Если α = — , то имеем:
π
*&?ι = — ct£?>
dxx dy'
dx
следовательно, вместо уравнения (33) получим:
dyx dF(xx, yx, a) dF(x2, yh a) _ Q ^,.
dxx дхг dyi ' ^ '
Дифференциальное уравнение ортогональных траекторий получится
исключением параметра а из уравнений (31') и (33').

§ 51
ЗАДАЧА О ТРАЕКТОРИЯХ
137
2. Рассуждения и выкладки упрощаются, если само исходное
семейство кривых задано дифференциальным уравнением:
*.(*'*зЭв0· (34/)
Уравнение (34') ставит в соответствие каждой точке (лг, у) одно
или несколько значений —, определяющих поле направлений
данного семейства. Мы можем положить x = xv y=y1-f направление
поля для изогональных траекторий связано с направлением поля для
данного семейства соотношением (32), откуда, разрешая относи-
dy
тельно -i~, имеем:
dx'
dy dx\
dx k.p+l
dxi
Вставляя это выражение в уравнение (34'), с заменой в нём лг, у
соответственно на хи уи получаем уравнение поля для семейства
изогональных траекторий, т. е. их дифференциальное уравнение:
t P-k \
*Л*иУ1, ~к =0· (35)
В случае ортогональных траекторий ~- и у-* связаны
соотношением:
dx
1
<0Ί'
dx}
откуда дифференциальное уравнение для ортогональных траекторий
будет:
V dx~J
Примечание. В дальнейшем мы будем отбрасывать индексы
и обозначать координаты точки траектории также через х% у там,
где это не может вызвать путаницы.

138 УРАВНЕНИЯ, НЕ РАЗРЕШЁННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ [ГЛ. ТП
Пример 24. Найти изогональные траектории пучка прямых
с центром в начале координат: у = ах. Пусть угол пересечения
а^у, tga = &. Имеем:
dyi_dy
*Στ=α dXl dx =jb-
dx * lA-ttyl.dy *
άχλ * dx
заменяя -£ его значением я, которое, в силу уравнения семейства,
равно 1-1, получаем (опуская индексы):
dx χ и dy y + kx
14-Z#^ ' dx x — ky
x* dx
Это уравнение однородное, но оно проще интегрируется при
помощи интегрирующего множителя:
откуда
или
χ dy —у dx = k(xdx-\-y dy\
xdx+ydy i xdy—у dx
х2 + У2 ~ k x* + y* '
* In (**+& = I arctg^+lnC,
1 χ У
r -r arctg —-
Л
или, наконец, в полярных координатах: г = Сек (семейство
логарифмических спиралей).
Если α = -^, то имеем:
ё=—Ь'-—^=~к'или *>£,*«+л*'>-0'
откуда atJ-j-^s=C, т. е. мы получили семейство окружностей.
Пример 25. Имеем семейство софокусных эллипсов с фокусами
в точках х=±:19 у = 0:
ГТА + Т-1 (λ>0)·

§ 5] ЗАДАЧА О ТРАЕКТОРИЯХ 139
Их дифференциальное уравнение будет (глава I, задача б, стр. 15):
(*/— у)(*+УУ')=У'>
или
*уу'*+(χ2 —У2—i)y'—xy = о.
Чтобы получить дифференциальное уравнение ортогональных
траекторий, достаточно заменить в этом уравнении У на —--;
мы получаем:
или
Черт. 23.
— Ху=0,
т. е. то же уравнение. Дело
объясняется тем, что данное
уравнение — второй степени
относительному; через каждую
точку проходят две кривые—одна
из них эллипс
(соответствует λ > 0), а другая — софо-
кусная гипербола (—1 < λ < 0),
причём софокусные
гиперболы нашего семейства суть ортогональные траектории софокусных
эллипсов (черт. 23).
ЗАДАЧИ.
99. Найти ортогональные траектории семейства парабол у = ах2
(сделать чертёж).
100. Найти изогональные (под углом a, tg а =* k) траектории семейства
кругов х2 + у2 = а2.
101. Найти ортогональные траектории семейства подобных кривых
второго порядка х2 -|- пу2 *=а(п — постоянное).
102. Найти ортогональные траектории семейства лемнискат
(х2 + у2)2 — Ία2 (χ2 —у2) =* 0.
103. Найти кривые, пересекающие под углом α семейство кардиоид
ρ = α (1 -f- cos θ).
Указание. Вывести уравнения изогональных траекторий для полярных
координат.
104. Найти ортогональные траектории семейства софокусчых парабол.
^ 105. Провести решение задачи 102 в полярных координатах.

ГЛАВА IV.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ.
§ 1. Теорема существования.
1. Мы будем попрежнему обозначать независимое переменное
через ху искомую функцию через у. Дифференциальное уравнение
п-го порядка (п > 1) имеет вид:
F(x,y,y',...,yin)) = 0, (1)
где F есть непрерывная функция всех своих аргументов, при этом
левая часть, во всяком случае, зависит от старшей производной у^пК
Вблизи начальных значений xQi у0, у'0> ...,у^ь\ удовлетворяющих
условиям:
П*„ л, Λ. ..·,4»>) = ο, (^)_ο> ^ у(п)=уГфо,
мы можем, по теореме о существовании неявной функции, разрешить
уравнение (1) относительно у№ и представить его в виде:
Мы докажем существование и единственность (при некоторых
условиях) решения уравнения (1'), определяемого начальными условиями:
при х = х0 имеем:
У=У» /=/„ ^^У{п^=У{Г^ (2)
где аг0> у09 у'0, ...,У0?1~1} — данные числа1).
Для доказательства существования целесообразно заменить
уравнение (1') системой η дифференциальных уравнений
первого порядка с η искомыми функциями. Для осу-
1) Задачу отыскания решения уравнения (I7), удовлетворяющего
условиям (2), мы будем называть задачей Коти. Это замечание относится также
и к случаю η = 1 (уравнение первого порядка).

§ и
ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ
141
ществления этой замены мы, наряду с искомой функциейу% вводим
ещё η — 1 вспомогательных искомых функций
У ν У%> · · ·> Уп-и
связанных с у и между собой соотношениями:
йх~У» dx—Уъ dx —Уп-v (<*)
Из соотношений (3) следует, что функция ук является /г-й
производной от функции у,
Поэтому мы имеем: уп) = ^η~*, и уравнение (1') примет вид:
**$?-= fix, У, У ν ...,yn-i)· (30
Уравнения (3) и (3') представляют систему η дифференциальных
уравнений первого порядка с η искомыми функциями у, yv ...
.. ., уп_2, Уп-v В левых частях этих уравнений стоят произ*
водные от искомых функций, правые части зависят
от независимого переменного и искомых функций (и не зависят
от производных). Система такого вида называется системой η
дифференциальных уравнений нормальной формы.
Однако система (3) и (3') имеет ту особенность,- что только
в последнем уравнении правая часть есть функция от х, у, yv ...
• · ·» Уп-\ наиболее общего вида; в уравнениях (3) правые части имеют
специальную форму. В целях наибольшей симметрии и имея в виду,
что системы дифференциальных уравнений будут самостоятельным
объектом нашего изучения (глава VII), мы проведём доказательство
существования для системы η дифференциальных уравнений первого
порядка нормальной формы в наиболее общем виде; при этом для
полной симметрии в обозначениях мы вместо обозначений у,
yv •••>-У»-1 для искомых функций введём обозначения:
У ν У* --->Уп-
Таким образом, мы будем рассматривать систему:
&r=fi(x> У» у* ···>;>«),
j^ ==/2(х9 У\^ У& · · чУп)*
^ = /п(^ УиУ* .--..Уя).
(4)

142 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ [ГЛ. IV
2. Для доказательства существования решения системы η
дифференциальных уравнений нормальной формы (4) мы применим метод
последовательных приближений Пикара, причём доказательство будет
непосредственным обобщением того, которое было дано в главе II
для одного уравнения первого порядка.
Пусть для системы (4) задана система начальных значений х0,
у°>, j/(°>, ..., у@К Мы введём следующие предположения
относительно правых частей уравнений (4):
1) Функции /<(/== 1, 2, ..., п) непрерывны по всем аргументам
в замкнутой области
D: x0 — a<x<x0 + a9 yf — 4<^<^ + * (*= 1, 2, ..., п).
Из непрерывности функций fi в области D следует их
ограниченность, т. е. существование такого положительного числа М, что
|/ι | <; Μ (/ = 1, 2, ..., η) для значений аргументов,
принадлежащих D.
2) В области D эти функции удовлетворяют условию Липшица
относительно аргументов уи у2, ..., уп: если при данном χ
значения у[, у'2, ..., у'п и у'[, у%, ..., упп суть две какие-нибудь
системы значений, принадлежащие области D, то имеют место
неравенства:
l/«(*. У ν У'г /■)-/*(*. X'. У1 · · ·> У1)\<
(/=1, 2, .... я), (5)
где К есть некоторое постоянное положительное число.
Заметим, что если функции fi имеют в области D непрерывные
частные производные по ух, у2, ..., уп, то, по теореме о конечном
приращении, имеем:
/* С*, /ν /ν- /J —fi (X> У"> У 2 У$ =
-(&Х.,«-л+···+(^«.-л <w
где знак ( V- показывает, что аргументы yk(k=l, 2, ..., η)
должны быть заменены через ^л=^ + ^(^—у'к)> 0 < θ< 1. В силу
непрерывности, частные производные являются' ограниченными. Мы
можем взять наибольшее значение абсолютных величин всех этих
производных -~^- (/, k= 1, 2, ..., η) в области D за постоянную К
и получить из (5') неравенство вида (5). Таким образом, условие
Липшица выполняется при существовании и непрерывности в D
частных производных -J^- (/, &=1, 2, ..., п).

§ II
ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ
143
Мы докажем, что в указанных предположениях 1) и 2)
существует одна и только одна система решений уравнений (4):
определённая для значений χ в отрезке х0— h <; χ <^ х0 -{- Л, где
/г = minfa, ^-И и принимающая при л: = лг0 заданные начальные
значения:
У1^о)=/г)' ЛК)=У20). ···. Уп(хо)=У^ (6)
Вычисляем последовательные приближения одновременно для всех
искомых функций. За приближения нулевого порядка берём
постоянные yf>; далее, приближения первого порядка будут:
уч (*) =у<» + J/, (дг> у<», ..., j,(0)) </*,
а?о
У!' (*)=У? + //«(*. Χ"» · · · · Л0))**·
(7J
Очевидно, что построенные функции являются непрерывными.
Покажем, что первые приближения, при \х — лг0|<^Л, не выходят из
области D. В самом деле,
X
1У1)-У0)1 = (/Л(^ У0', .... yt>)dx\<M\x-x0\^Mh^b
Xq
(/=1, 2, . .., η)
(в силу определения числа h).
Далее, определяем вторые приближения:
X
У2)(*)=У0,+//, (χ, У1', · · ·, y*>)dx,
у»> (Х} =уо> + jfn ix, yw, ..., у^ ах;
(7а)
вообще, от-е приближения определяются через приближения (от— 1)-го
порядка такими формулами:
χ
У">(*) = У0)-т-/Л(*, У"1"1' yf-")dx,
Xq
Χ
y^{x)=y^+jfn(x, /?-» y{?~l))dx.
Xq
(7,„)

144 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ [ГЛ. IV
Допуская, что (т—1)-е приближения оказались непрерывными
функциями от х, мы видим, что т-е приближения, как неопределённые
интегралы от непрерывных функций, также оказываются
непрерывными. Легко доказать, что если (т—1)-е приближения не выходят
из области D при \х— *0|^^> то это же имеет место для
приближений порядка т. В самом деле, в силу предположения о (т—1)-х
приближениях, мы имеем:
|/.(*, yfa-V, ..../«-^ΚΛί при \х — x0\<h (ί=1, 2, ..., п\
и формулы (7т) в таком случае дают:
\УГ)-уТ\ =
χ
Xq
Так как неравенство доказано для яг=1э то оно справедливо для
любого натурального т. Таким образом, все последовательные при*
ближения (7т) принадлежат области D при изменении χ в отрезке
х0 — /г<лг<лг0 + й.
Докажем далее, что последовательные приближения образуют
сходящуюся последовательность, т. е. что lim y^ix) существует
w->co
(/=1, 2, ..., ή).
Для этого, как и в случае одной функции, рассмотрим ряды:
У/> + \tf) {х) -yf] + ур (х) —W {х)] + ...
. · · + [Жт) W -/Г* (*)1 + · · · (/ = 1, 2, ..., «). (8)
Оценим абсолютные величины членов этих рядов, начиная со второго,
пользуясь для этой оценки условием Липшица. Имеем:
χ
|^(*)-^»| = |/Д(*, у?>, .... y%>)dx\<M\x-x0\,
Xq
далее,
\yf>{x)-^)[x)\ =
<
-1 J* [/< (*. w л») -fi (*. jf. · · ·. У№άχ Ι
χ
< | / \ft (*. у? № -f< (*. X0). · · · · -O Η · (8i)

§ 1] ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ 145
и на основании условия Липшица и полученных оценок для
\у?)(х)-у?Чх)\<\!к1\у?-А0)\ + --- + \Л}-у%)1}<1х
<
а»
^.П МпК\х — x0\dx\ = МпК-^-~^- (ί=1, 2, ...,п). (82)
а?о
Допустим, что для члена у^~^(х)—у^1-^ (χ) мы уже получили
оценку:
|_y(«-i){х)_^-а, (х)| <М{пК)т-г '*-*°{!р (8т_,)
(i=l, 2, ..., «);
покаАем, что аналогичная оценка, с заменой т—1 на т, справедлива
для следующего члена. В самом деле,
X
= | / ΙΛ· (*. Мж-1}. · · ·. Лга_1))-Λ (*. у\т-2) МГ2))] ^ I <
Хо '
а?
к
< к\ s 2 ww_1) --^'im"2, ιrf* I < м w"-11J
) .
> ·
α?
f
J
·., У~-«)|
Ι* — *οΓ~ι
(m-1)!
ί/ΛΓ
*/лг
α?0 1=1
= M(nK)m-l]X-m*°]m. (8J
Таким образом, мы доказали, что оценка (8Ш) справедлива для
всякого натурального т. Замечая далее, что \х— #ol"C^> мы видим,
что все члены рядов (8), начиная со второго, соответственно не
больше по абсолютной величине, чем члены
знакоположительного числового ряда
оо
-1 hn
%М(пК)т-^
Этот последний ряд, как легко проверить, сходится; следовательно,
ряды (8) сходятся равномерно для значений χ в отрезке л:0—h ^
•<*<;л;0 + /г; так как их члены суть непрерывные функции, то и

146 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ |ГЛ. TV
суммы их будут функциями непрерывными. Обозначим их через
Yi(x) (ί=1, 2, ..., /г).
Мы имеем:
yt(*) =Х0) -hi Cv?-У/"1') = и» у;»>(χ).
?=1 т->оо
Докажем, что функции Yt (лт), У2 (лг), ..., Уя (лг) δα/om искомую
систему решений системы дифференциальных уравнений (4).
По самому определению y^lpc) [см. (7W)] мы имеем: ^т)(лг0) =
=yf); следовательно,
Нт^)(х0)=КДд;0)=у<о),
т->оо
т. е. предельные функции Yi (x) удовлетворяют начальным
условиям.
Докажем, что эти функции удовлетворяют системе (4). В силу
равенств (7W), мы можем написать:
X
уф (*) = У? + f{fi (*. У{ГХ) (*),.··. Лш"1} (*)) -
X
—Л (*, Г! (*), ..., Кж (*))} dx -f /Д (*, К, (*), ..., Υη {χ)) dx (9)
(i=l, 2,..., я).
Оценим абсолютную величину первого интеграла:
X
J {/Дат, у»-» УГ1})-№ ΪΊ...-, rj} rf*
<
α?
Xq
χ
<K\f{\y?l-1)-Yl\+>->+\y%i-»-vn
}dx
<
(9')
Xq
(последнее неравенство есть следствие условия Липшица). Так
как функции у¥*~г) (х) (т=1, 2, ...) сходятся в интервале
(х0 — h, х0-\-h) равномерно к У4(х) (/= 1, 2, ..., /г), то для
любого наперёд заданного ε можно найти такое Ν, что при т — 1 > IV
для всякого значения χ в рассматриваемом интервале выполняются
неравенства:
|у»-!>(*)_ К,(*)|< -JL. (/= 1, 2, ..., «),

§ 1J ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ 147
и тогда для первого интеграла в формуле (9) получается, в силу
неравенства (9'), оценка при \х— -*г0|^й:
J{/,(*,Ля-1]>· · ·>y?-l))-fti*> γν·: Ό)**
<
<TRhhnK = *·
Следовательно, при т -> сю предел этого интеграла равен нулю.
С другой стороны, по доказанному, lim у№ (х) = Yi (лг), и равен-
w->oo
ства (9) дают в пределе:
X
У*(*)=J*0)+ J7(*. Yv · · ·, YJdx (/= 1,2,..., η);
Xq
дифференцируя обе части по х (производная левой части
существует, так как существует производная правой части—производная
интеграла от непрерывной функции по верхнему пределу), мы
получаем тождества:
4f=/i(*. K«W> · · ·· K»W) (,=s х» 2- · ■ ■> «)»
т. е. функции Кг· (л;), действительно, удовлетворяют системе (4) *).
Докажем далее, что полученное решение, удовлетворяющее
данным начальным условиям, будет единственным. Допустим, что,
кроме системы решений Y1(x), ..., Yn(x), существует ещё одна
система решений Zt(x), ..., Ζη(χ), причём Yi(лг0) = Zi(лг0) == у&)
(/=1, 2, ..., п) и не все Zi тождественно равны Yt. Таким
образом, в силу нашего допущения (непрерывная) функция
Φ(*)Η*Ί(*)-^(*)Ι +
+ | Κβ(*)-Ζβ(*)| + ... +| Υη(χ)-Ζη(χ)\ (10)
не равна тождественно нулю в отрезке (лг0 — k, x0-}-ti). Без
ограничения общности мы можем допустить, что Ф(х)ф0 при
значениях лг, сколь угодно близких к х0 и, например, больших, чем х0
(если бы при ^o^Ar^ATj было ф(лг) = 0, а неравенство
выполнялось бы впервые для значений лг, больших, чем х1 и сколь- угодно
*) Условия Липшица в этой части доказательства введены лишь для
простоты оценки интеграла в формулах (9); стремление этого интеграла
к 0 при т -> со следует из одной непрерывности функций /г· по аргументам
Л»·••'J'» и из равномерного стремления у^п~1^(х) к предельным
функциям Yt(x); доказательство, не использующее условий Липшица, проведено
нами в главе II для случая одного дифференциального уравнения.

148 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ [ГЛ. IV
близких к нему, то мы заменили бы в последующих
рассуждениях х0 через хх) !).
Рассмотрим отрезок [лг0, дг0 —}— Лх], где hx— любое положительное
число, меньшее или равное А. По допущению, Φ (χ) принимает
отличные от нуля, следовательно, положительные значения в
интервале [х0, х0~]-^} для значений лг, сколь угодно близких к лг0,
значит, при сколь угодно малом hv В силу известного свойства
непрерывных функций функция (10) достигает своего
положительного максимума 0 в отрезке [дг0, х0-\-к{\ для некоторого значения
χ=ζζ, где x0<i^x0-\-h1. Так как наши функции У<(лг) и Zi{x),
по предположению, удовлетворяют системе (4), то мы имеем
тождества:
~dX~==f*(X' М> · · ·» *w)» ~~j[^ ==Ji \Х9 ^V · · *» Zn),
откуда
diYt-Zj)
dx - fi (*, У» · · ·. У„) —Л (*, Zlt ..., Zn) (11)
(i=l, 2, ..., /i).
Интегрируя тождества (11) в интервале (х0, л:), где л: — переменное,
принадлежащее отрезку [лг0, #0-{-й]> получаем:
K^*) — *i(*) = J {/<(*. К,,..., KJ—/,'(*, Zv ...,Zn)
dx
(i=l, 2, ..., /ι).
Оценим разности в левых частях этих равенств, пользуясь условиями
Липшица и тем, что значение функции (10) в отрезке [дг0, х0-\-Нг\
меньше или равно Θ. Находим:
|У((*)-2((*)|<
X
< Г К{ | η (*) —Ζ, (*)|+... +1 Yn(x)-Zn(x)\)dx<
Χ
< f №dx=№(x — x0) (/=1, 2, ..., n).
l) Множество Ε значений х в замкнутом интервале [х0— /г, дто + Л],
при которых непрерывная функция Φ (χ) равна нулю, есть замкнутое
множество; за точку хг можно выбрать любую точку множества Ε, предельную
к дополнительному множеству; такая точка необходимо существует, если Ε
не совпадает со всем интервалом [xQ — Λ, XQ-{-h], но в последнем случае
имеет место единственность.

§ И
ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ
149
Складывая последние неравенства для /=1, 2, ...t n, находим:
| Υχ (χ)-Ζί {χ)\+ ... +| Yn{x)-Zn (x)\<
< ηΚΆ (χ — х0) < /itfiA, (12)
для всякого лг, удовлетворяющего неравенствам:
Xq ^, X ^ Xq ~~j~ fl\ ·
Если мы возьмём, в частности, значение лг = ζ, то левая часть (12)
будет равна 6, и мы получим неравенство: θ < nK$hv Оно
приводит к противоречию, так как h^ может быть взято' сколь угодно
малым, в частности можно взять hx <^ -^; тогда правая часть
окажется ^0, и мы получаем 0<θ. Это противоречие доказывает
единственность решения.
Полученное нами решение определено только для
интервала (х0 — /z, x0~\-h). Пользуясь языком многомерной геометрии,
мы можем сказать, что область D есть параллелепипед (п -)-
^-мерного пространства, прямоугольные координаты точек которого суть
*JiJ8 уп1 решение^ = у4 (χ) (1=1, 2, ..., η) будем
называть интегральной кривой в этом пространстве, проходящей через
точку (*0, y(i\ у^\ . . ., Уп) *)· Если хоть один из концов
полученного отрезка интегральной кривой, соответствующих значениям
х0 — h и x0~\-h, ещё является внутренним для области, в которой
функции fi удовлетворяют условиям 1) и 2), например конец,
соответствующий лг = лг0-|-/г, то можно взять точку х$ z=.x0-^h, уР =*
— У4 (xo-\-h\ *= 1> 2, . .., η за новую начальную точку и, исходя
из неё, определить дальнейший отрезок интегральной кривой при
значениях χ в некотором интервале
(4»_Аа>( 4Х) + А(1)).
В силу теоремы единственности эти кривые совпадают в общей
части отрезков
[х0 — 1г, x0 + h] и [л#} —Л(1), лг^ + А™].
Таким образом, мы продолжили наше решение, определив
его на большом интервале; это продолжение возможно до тех пор,
пока мы не подойдём как угодно близко к границе той области,
в которой функции /4 удовлетворяют условиям 1\ и 2). Таким об·
разом, шаг за шагом, мы определим интегральную кривую.
*) При η = 2 мы имеем обычное трёхмерное пространство и обычнукх
пространственную кривую.

150 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ [ГЛ. IV
Вспомним теперь, что одно дифференциальное уравнение п-го
порядка вида
€L-f (х ν*Σ €^Σ\ (η
L = f (χ. V.^L i
dx
сводится к системе^ (4) специального типа (3), (3')
dx~sv dx~y* '""
dx
= /(*. У, yv ···. J'n-i)·
Применяя к этой системе доказанную теорему существования и
вспоминая связь между функциями yi и производными от у,
существующую в данном случае, мы можем сформулировать следующую
теорему существования (и единственности) для
уравнения (1'):
Уравнение п-го порядка, разрешённое относительно старшей
производной, правая часть которого непрерывна по всем
аргументам и удовлетворяет условию Липшица по аргументам у, ~-, ...
ап'гу
···> —;ггг» имеет единственное решение, удовлетворяющее на-
dx
dv f
чальмым данным: при х = х0 имеет место у=у0, ^- = у0, ...
..., g^f = J»-1* (задача Коши) *).
3. Теорема Коши утверждает существование частного
решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений, именно
решения, удовлетворяющего данным начальным условиям.
Геометрически это означает, что существует интегральная кривая,
проходящая через точку (*0, yf\ у{£\ ..., у{п\
Однако приведённое доказательство позволяет построить также
общее решение. Будем рассматривать х0 как данное число,
a y(i\ у(2], ...,^п} — как переменные параметры, которые могут
принимать различные числовые значения, не выходящие, однако,
из области D.
Для каждой такой системы начальных значений получится своя
интегральная кривая. Через каждую точку (я-J- 1)-мерного
пространства, лежащую достаточно близко к «гиперплоскости» лг = лг0,
проходит интегральная кривая нашей системы; в самом деле,
рассмотрим какую-нибудь точку Р(лг0, yf\ ..., уп) и проходящую
1) Если правая часть уравнения л-го порядка является в некоторой
области непрерывной функцией всех аргументов, но не удовлетворяет
условиям Липшица, то может быть доказано существование решения, но не его
единственность; ср. главу II, § 1, 5.

§ И
ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ
151
через неё интегральную кривую; если |лг0 — х0\ достаточно мало, то
эта интегральная кривая может быть продолжена до значения χ = х0,
(0)
причем yv у2, ..., уп примут при χ = χ0 некоторые значения у\\
у{г\ • ••э.Уп*· Тогда кривая, определённая начальными значениями
(*о» УЛ ^20), . ·., у{п), пройдёт через точку Р. Итак, через каждую
точку некоторой области D', лежащей внутри области D, проходит
интегральная кривая, определяемая при х = х0 начальными
значениями у(х\ У20), . ..,У?;; в силу единственности через каждую
точку D' проходит только одна такая интегральная кривая.
Формулы (7j), (72), ..., (7т) показывают, что последовательные
приближения у\т) являются непрерывными функциями параметров yfK
yf\ .. ., уп\ в силу равномерной сходимости у^ (х) к
предельным функциям yi{x) эти последние тоже являются непрерывными
функциями этих параметров:
л = «р, (*. УЛ У0), ·... А л=ъ (*. У0)..... А... 1 ,, _Л
/ (0) (ок I ^ '
формулы (13) дают выражение общего решения системы (4)
в области D'; мы видим, что это решение непрерывно зависит от η
произвольных постоянных, каковыми в нашем выводе являются
параметры yf\
Возвращаясь к интересующему нас в этой главе случаю одного
дифференциального уравнения я-го порядка, замечаем, что входящей
в задачу искомой функцией является у, а функции уи у2> . .., уп__г
являются вспомогательными; поэтому из совокупности формул вида (13)
нас интересует только та, которая даёт выражение для у\ входящие
в неё начальные значения вспомогательных функций суть в нашем
случае начальные значения производных от у.
Таким образом, общее решение уравнения (1') имеет
вид:
У = 9{х,У*> /о, ..., У{Г\ (14)
Замечая, что начальные значения у0у уоУ ..., уо1* являются
параметрами, т. е. произвольными постоянными, мы приходим к выводу:
Общее решение уравнения п-го порядка содержит η
произвольных постоянных и имеет вид:
у = <?(х> Сг, С2, ..., Сп). (140
Если соотношение, связывающее х9 у и η произвольных
постоянных, дано в виде, не разрешённом относительно у:
Ф(х9 у, С19 С2, ..., Q) = 0, (15)
то мы будем называть такое соотношение общим интегралом
уравнения (1) или (!').

152 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ [ГЛ. IV
В теореме существования мы получили в качестве произвольных
постоянных начальные значения функции и её η — 1 последовательных
производных; при фактической интеграции уравнения п-то порядка мы
обыкновенно получаем другие произвольные постоянные; однако, если
их число равно п9 то мы при выполнении некоторых условий сумеем
из формулы (14') или (15) получить (в некоторой области) любое
частное решение, т. «е. решение, удовлетворяющее начальным данным
Коши; при выполнении упомянутых условий мы также будем
называть формулу (14') общим решением, а формулу (15) — общим
интегралом уравнения (1) или (1'), причём постоянные С1У С2, ... Сп уже
не являются непременно начальными значениями для ул у\ ..., у .
Покажем, как решить задачу Коши, если известно
общее решение (14'). Из соотношения (14') и тех, которые
получаются из него дифференцированием по ~ху подставляя в них вместо χ
начальное значение лг0, а вместо у, у'9 ..., у(п~и их начальные
значения, мы получаем равенства:
©(лг0> Сг, С2, ..., Сп)=у0,
φ' (*0> С19 С2, ..., Сп)=у'о,
,,(»-!).
(16)
φ^)(^0, CvC2t ...,CJ=^ , ,
рассматривая равенства (16), как п уравнений с η неизвестными, С{,
С2, ..., CnJ мы получим, вообще говоря, числовые значения Сг,
С2> · · ·» С™ соответствующие тому частному решению, которое
отвечает данным начальным условиям (2). Точно так же, если дан общий
интеграл (15), то, подставляя в него вместо у решение (14')
уравнения (1), полученное разрешением уравнения (15) относительно у,
мы получим тождество; дифференцируем его по х, помня, что у
является функцией х, и подставляем в полученные равенства
начальные значения (2); получаем:
Ф(*о> JO. си с» ·.·» Q = °> *
βί)ο + (0)ο^ο=°'
\dJPJo + 2 \dJFdj )о * о + [ф)0 У о + [jy)0 У о = °> \ (160
/а^Ф\ (дФ\ <я-1) = 0
[символ ( )0 указывает, что в
следует подставить х0 и 3>ο]·% Мы
данном выражении вместо хну
опять получаем η уравнений для

§ и
ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ
153
определения η неизвестных, С19 С2, ..., Сп, т. е. мы и в этом
случае можем, вообще говоря, решить задачу Коши.
Примечание 1. Разрешение системы (16) или (16')
относительно С1э С2, ..., Сп заведомо возможно лишь для тех начальных
значений, при которых выполняются условия существования неявных
функций, т. е. вблизи такой системы Xo,yo,yQ, . · >уу^\ Сц С3 ... СпУ
которые удовлетворяют системе равенств (16) или (16') и для
которых якобиан от левых частей соответствующих уравнений по Cv
Съ> · · · > Сп не обращается в нуль. Если этот якобиан тождественно
равен нулю, то определение Cv С2, ..., Сп, т. е. решение задачи
Коши, невозможно для произвольных начальных значений у0, у0, ...
... 9у^~1} (даже в малой области). Тогда мы скажем, что η постоянных
Cj, С2, . .., Сп в выражении (14') или (15) не являются
существенными, и эти выражения не представляют общего решения.
Примечание 2. Как и в уравнениях первого порядка, может
представиться случай, когда формула вида (14'), содержащая η
произвольных постоянных, не даёт всех частных решений, определяемых
начальными данными Коши.
Пример 1. Уравнение у{\—lnj/)y-{-(l+1п#у)Уа = 0 при
уфО, уфе приводится к виду (1') с правой частью, непрерывной
и имеющей непрерывные производные по у и у'. Следовательно,
решение, определяемое начальными данными х0, у0, у0 при условии
у0 φ 0, φ е, является обыкновенным. Решение, содержащее две
произвольные постоянные а, Ь, даётся (как легко проверить) формулой
lnjv = х~^а . Однако из этого решения нельзя получить частные
решения, определяемые начальными условиями х = х0,у=у0 (φ Ο, φ е),
у'о = 0. Эти частные решения получаются из формулы у = С
(легко видеть, что постоянное значение у удовлетворяет уравнению).
В этом случае мы принуждены сказать, что общее решение
уравнения даётся двумя формулами: \пу= Х\аи, у = С.
Примечание 3. Уравнение вида (1) может быть разрешено
относительно у^п\ т. е. приведено к виду (1') вблизи любых
начальных значений xQ, yQ, у'0, . .., у№9 удовлетворяющих условию:
г{х*у*у* ..·,Λη)) = ο,
dF
если только для этих значений аргументов производная —j-γφθ.
Все последующие рассуждения имеют силу только в этом предполо-
жении. Рассмотрение тех значений, для которых производная
ду{п}
обращается в нуль, привело бы к рассмотрению особых решений
уравнения я-го порядка; мы на этой теории останавливаться не будем.

154 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ [ГЛ. IV
Дальнейшей целью настоящей главы будет — установить некоторые
случаи, когда уравнение (1) или (1/) может быть проинтегрировано
до конца в квадратурах или, по крайней мере, когда задача его
интегрирования может быть сведена к интегрированию
дифференциального уравнения порядка, меньшего, чем /г.
§ 2. Типы уравнений п-го порядка, разрешаемые в квадратурах.
1. Уравнение вида
У») = /(а-) (17)
легко интегрируется в квадратурах. В самом деле, из уравнения (17)
последовательными интеграциями получаем:
X XX
/*-» = f f(x)dx + Cv У»-21= f dx J/(*)<** +С, (* — χώ + C*
Хо Хо Хо
XXX
/п-в) = fdxfdxjf(x)dx-\- Cl(*~*o)2 + QС*'— *q) + сз. · · ·
и, наконец,
XX χ
y=jdx$dx...jf(x)dx+C^-_Xf1 +
х„ х„
η pad
ι С2(х — x0f-2
(я-2)!
...+C,re_1(Ar-x0)4-Q. (18)
Формула (18) даёт общее решение уравнения (17); при этом из
промежуточных формул очевидно, что формула (18) представляет
решение такой задачи Коши — найти решение уравнения (17), удо-
ьлетворяющее начальным данным: при χ=ζχ0
У о—^п» У о — °η-ι> ···» Уо —S> У о —W·
Следовательно, первый член правой части в формуле (18)
XX X
у = J dx j dx ... Г f(x)dx (19)
Xq Xq Xq
представляет частное решение уравнения (17), которое вместе со
своими производными до (п—1)-го порядка обращается в нуль при
X = Xt\·

§ 2]
ТИПЫ УРАВНЕНИЙ, РАЗРЕШАЕМЫЕ В КВАДРАТУРАХ
155
Это выражение (19), содержащее я-кратную квадратуру по х,
может быть преобразовано к такому виду, где содержится только
одна квадратура по параметру.
Начнём со случая η = 2; обозначая для большей ясности
переменные интеграции в двух интегралах
различными буквами, имеем: 21
X X
у= ( dx ι f(z)dz.
Рассматривая правую ча^сть
последнего выражения как двойной
интеграл в плоскости xOz, мы ви- Л/'
дим, чго он распространён на
площадь заштрихованного треугольника
(черт. 24); мы можем переменить порядок интеграции, взяв пределы
по л; от г до лг, а по ζ от х0 до χ (формула Дирихле); имеем:
Черт. 24.
у = j dz jf(z) dx= ff(z)dzf dx = j (x — z)f{z)dz.
х^ г χύ г Xq
Рассмотрим далее случай дг = 3:
XXX
у = J dx J dx (f(x) dx.
«o «o
По предыдущему, две внутренние интеграции мы можем заменить
одной по параметру г, т. е. написать:
У = j <** J* (x — z)f(z)dz.
Xq
Интеграция опять распространяется на тот же треугольник
плоскости xOz\ меняя порядок интеграции и изменяя пределы, находим:
О/ «л/ И/ IV
у = J* dz j(x—z)f(z)dx = ff(z)dzf(x — z)dx =
χ0 ζ а*, г

156 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ [ГЛ. IV
Переходим к любому п\ допустим, что для η—1 справедлива
формула
χ χ χ χ
J dx J dx ... J /(*)<** = (—£>ϊ/ (*—*)«-»/(*)<**.
a?o xQ o?o a?o
n—1 раз
Тогда получаем:
XXX XX
j dx J dx... jf(x)dx = ^^j dx j (x — z)n-*f(z)dz =
xQ x0
η раз
χ
т. е. та же формула справедлива для я. Итак, окончательно имеем
для всякого натурального п:
χ
^ = ^ГТ)Г J {x-z)»-*f{z)dz (19')
(формула Коши). Формула (19') представляет решение
уравнения (17), удовлетворяющее начальным условиям:
у == 0, у = 0, ..., у»-« = 0 при лг = дг0.
Легко, обратно, убедиться дифференцированием в справедливости
обоих этих утверждений.
Пример 2. ~£ = In χ; начальные значения xQ = 1, ^у0, у,
У — любые числа. Имеем:
. (дг— 1) , , (дг— I)2 „ , ν
где
а:
К=|- t{x — zf\nzdz.

§ 2] ТИПЫ УРАВНЕНИЙ, РАЗРЕШАЕМЫЕ В КВАДРАТУРАХ 157
Интегрируя по частям, находим:
χ
1
= 1(дЛ1п^ —Зд^(^—1)+^(ΑΓβ—1) —^Ц^) =
= -ρ·* 1плт -^лг Н~~2 * Τ^^Τδ**
Мы получили, таким образом, частное решение, удовлетворяющее
начальным условиям F = 0, Κ' = 0, Κ" = 0 при at s= 1. Чтобы
получить искомое общее решение, связанное с задачей Коши, мы должны
прибавить квадратный трёхчлен относительно χ— х0; получим:
Если мы просто желаем получить общее решение (содержащее три
произвольные постоянные), то достаточно заметить, что, в силу
произвола выбора значений yQ9 y'Q9 у%9 коэффициенты при χ2, χ и
свободный член в последнем выражении являются совершенно
произвольными, и мы можем написать искомое общее решение в виде:
у = -g- х6 In χ — -gg- хъ + CqX2 + cix + co»
C0, Clf C2 — произвольные постоянные.
Если дано уравнение вида:
F(y&\ x) = 09 (170
то, разрешив его относительно у&\ мы приведём его к виду (17), и
все предыдущие рассуждения сохраняют силу. Но иногда удаётся
разрешить это уравнение в элементарных функциях лишь
относительно х или, в более общем случае, выразить χ и у в функции
параметра t\ тогда интеграция уравнения (17') может быть тоже
сведена к квадратурам, выраженным явно. Пусть параметрические
уравнения, эквивалентные уравнению (1/')> суть
* = φ(9, /η) = ψ(*). (17^)

158 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ [ГЛ. IV
По определению, dy{w-1> = yW dx, или, в наших условиях, dy^n"^ =»
·= Ψ (0 ?'(О ***> откуда
далее,
уя-«) = Jyn-i) dx=§ tf'ifidtf *((ή φ' (0 Λ и т. д.
(Мы не пишем произвольных постоянных, включая их в знак
неопределённого интеграла; если написать их явно, то, например,
в выражении для у**-1) появится член Cv в выражении для yn""a) —
члены С2 и Сгх или C^(t) и т. д.)
В результате получим:
* = ?(& .У = Ф(', С„ С2, ..., CJ;
если из этих двух соотношений исключить ty получим общий
интеграл уравнения (17').
Примечание. Формула, к которой мы приходим, содержит л-крат-
ную квадратуру; можно, аналогично формуле (19'), и в этом случае получить
частное решение, содержащее одну квадратуру и решающее задачу Коши
о нахождении решения уравнений (17') или (17"), обращающегося в нуль
вместе с п — 1 последовательными производными при χ = х0. Для этого
заметим, что первая из формул (17") есть не что иное, как формула замены
независимого переменного; итак, мы должны в формуле (19') заменить χ
через φ(/) и входившее* в эту формулу ζ — через ту же функцию φ (μ) от
нового параметра ы. Мы имеем, далее, в формуле (\Т) yin) =f(x) =/[cp(/)]f
а это выражение по второй из формул (17") равно ψ (/). Наконец, пусть
начальному значению х0 соответствует значение tQ параметра L Мы получим:
г
У= inLi)\ J l?W—φ(«)1^1φ(«)?,(«)^. 09")
' to
Пример 3. ev"-\-y" — χ. Здесь разрешение относительно у"
в элементарных функциях невозможно; за параметр t естественно
взять у", и мы получаем параметрические уравнения: x = ef-\-t,
y"-=L Отсюда
dy' =/' dx = t(e* +l)dt= (te* + f) dty
далее,
/= J (&' + /)««-(*—1)*' -f-J-K,;
dy=y'dx=* J [(t— 1)^+T + 0^(0+1)dt,
У= j/dx-\-C2 =

§ 2] ТИПЫ УРАВНЕНИЙ, РАЗРЕШАЕМЫЕ В КВАДРАТУРАХ 159
ИЛИ
у={т-7)е*+{т-1+с*)*+т+с*'+с*
Последняя формула вместе с выражением для х> x = et--\-t даёт
параметрическое представление общего решения данного уравнения.
2. Уравнение вида
F(/n\ yw-D) = 0 (20)
приводится к квадратурам при любом натуральном я.
Предположим сначала, что уравнение (20) разрешено
относительно Уп):
y^)=/(y^-i)); (20^
вводим новую функцию ζ: <г,=У7г~1); уравнение (20") примет вид:
Из этого уравнения получаем с помощью разделения переменных
его общий интеграл:
dz
* + С,= J
Допустим, что это соотношение разрешено относительно z\
* = ?(*· ci)-
Заменяя ζ его значением у**-*), получим уравнение (п — 1)-го
порядка:
которое рассмотрено в п. 1 настоящего параграфа; при его
интеграции войдут ещё η—1 произвольных постоянных, и мы получим
общее решение уравнения (20) в виде:
у= Г dx Г dx .. . Г φ (χ, С,) έ/л: + С2хп~2 +
w-l раз
_1_с8*»-»+...+<:„_, * + с„.
Если уравнение (20) неразрешимо в элементарных функциях
относительно Уп), но мы имеем выражения у(п) и у»-1) через параметр t:
yn) = ?(/)f уп-1)=ф(^ (20/у)
dy(W-l)
то соотношение dy^-V = y(n) dx, или Jx = ^ (w)
1учается квадрат
ψ/ (t) dt
dx= ' , откуда л; получается квадратурой:
у») ' даёт "ам

160 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ [ГЛ. IV
Далее, находим последовательно:
e/yn-8) =yn-2> ^ ? ^ ^у rfA:
и, наконец,
y = f/dx + Cw
т. е. опять представление j/ и χ в функции параметра έπη
произвольных постоянных С1Э С2, ..., Сп, следовательно, общее
решение.
Пример 4. ау" = — (1 +.у'2)2. Согласно изложенной теории,
полагая У = г, получаем уравнение первого порядка:
а
dz (лГ'л—i—q\3 ,_ adz
™=-(Υΐ+ζή\ или dx =
dx \V Г - / > — £ >
откуда
* — Ci^-ay==·
Дальше удобно интегрировать в параметрическом виде:
2= у' = tgcp, л;—Ct = —α r gcp = = — a sin φ.
Отсюда находим:
<afy =У <l*r = tg φ (— α cos φ d<?) = — α sin φ tfcp, ^y = α cos φ = C2.
Исключая параметр φ, получаем общий интеграл:
(x-Cl)*-{-(y-C2r = a\
представляющий уравнение семейства всех окружностей радиуса а
на плоскости.
3. Уравнения вида
F{y№\ y»-2>) = 0 (21)
также интегрируются в квадратурах. Введение нового переменного
2=yw~"2) приводит уравнение (21) к уравнению второго порядка:
F(z\ *) = 0. (22)
Если уравнение (22) разрешено относительно ζ'\ τ. е. имеет вид:
z"=f(z), (220

§ 2] ТИПЫ УРАВНЕНИЙ, РАЗРЕШАЕМЫЕ В КВАДРАТУРАХ 161
то один из методов его интеграции таков: умножив обе части на 2г/>
получаем: 2z'z" = 2f{z)z', или в дифференциалах:
d(z'*) = 2f(z)dz,
откуда
z'* = 2ff(z)dz + Ct.
Последнее уравнение можно разрешить относительно производной
и разделить переменные:
dz *
отсюда находим общий интеграл уравнения (22'):
dz , Л
ί
yr2Jf(z)dz + C1
Этот интеграл по замене ζ на у™-2) получает вид:
Ф(/*-2>, х9 С19 С2) = 0,
т. е. уравнение вида (17'); оно интегрируется, как мы уже знаем,
квадратурами, причём эта интеграция даёт ещё η — 2 произвольных
постоянных, и мы получим общее решение уравнения (21).
Если уравнение (21) дано в не разрешённом относительно у№
виде, но известно его параметрическое представление
УЛ) = ?(0, /η-2)=Ψ(0> (210
то интеграция совершается следующим образом. Мы имеем два
равенства:
dfy<*-D =y№dx, dy<n~V =y(n-D dx9
связывающих две неизвестные функции от t, именно χ и у; исключая
делением dx, получаем дифференциальное уравнение для y(n-i):
ул-i) rfy(n-i) =yn) dy(n-V
или, в силу уравнений (21'),
y»-i) йу(я-1) = φ (ή ψ' (ή dt,
откуда квадратурой находим (Уп""1})2; далее получим:
у»-1, β j/~ 2 J φ (t) Y (0 Λ+ С.
Имея параметрическое представление yw-i) и у{п-ч) ^ мы свели задачу
к типу (20"), рассмотренному в п. 2 настоящего параграфа.
Дальнейшие квадратуры введут п—1 новых произвольных постоянных.

162 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ [ГЛ. IV
Пример 5. β2-^- = -ττ· Полагая у" = г, приходим к
уравнению: α2ζ" = ζ; умножим обе части на 2zf:
2a2z'z" = 2zz'y или 2a4dz' = 2z dz.
Интегрируя, находим:
откуда
dz dx
Вторая интеграция даёт:
In (*+ V^C~X) = ~ + Ш C2, или z+ V^+~CX = C^.
Чтобы разрешить последнее уравнение относительно z> выгодно
поступить следующим образом: делим 1 на обе части последнего
равенства:
ι ι -тг
= -=-* °:
в левой части освобождаемся от иррациональности в знаменателе,
затем умножаем обе части на — С\; получаем:
Складывая это уравнение с исходным и деля на 2, получаем:
*~ 2 е 2С2 * '
Подставляя вместо ζ его значение у" и интегрируя два раза, находим:
Х_ X
у = Аеа-\-Ве a-\-Cx-\-D,
где Л, В, С, D — произвольные постоянные.
задачи.
Проинтегрировать уравнения:
106.у"2 + .*а=1.
Указание. Удобно ввести параметрическое представление.
107. У'= -4=·
V у
108. аУ'у" = (1 + СУ'2)а.
109. у"г = У 1+У3·
4. Приложение к динамике точки. Уравнения второго
порядка, принадлежащие к рассмотренному типу, встречаются в задачах
динамики; они соответствуют движениям материальной точки, проис-

§ 2] ТИПЫ УРАВНЕНИЙ, РАЗРЕШАЕМЫЕ В КВАДРАТУРАХ 163
ходящим в одном измерении под действием силы, зависящей
только от положения точки. Обозначая переменную координату
точки буквой ху а время буквой /, предполагая величину силы заданной
функцией f(x) и считая для простоты массу точки равной единице, мы
имеем уравнение движения:
d2x
-3JT-/W. (А)
которое принадлежит к типу (220. Мы предполагаем функцию /(лг) непре-
dx
рывной. Умножая обе части на —- dt = dx и интегрируя, мы получаем:
χ
Х0
— соотношение, называемое в механике интегралом живых сил. Если
начальному моменту t = 0 соответствуют начальное положение Xq и
начальная скорость v0, то постоянная интеграции С = -~- v%.
Для дальнейшей интеграции напишем уравнение (В) при данном
значении постоянной С в форме:
\dt J
F(x) (ВО
и исследуем характер функций, удовлетворяющих уравнению (В7). Рассмотрим
сначала решение χ = х0 уравнения (А), соответствующее состоянию покоя;
dx
в этом случае — = 0; следовательно, в формуле (В) имеем С = 0; далее, так
d2x
как —j-z = 0, имеем /(лго)2^· Это заключение можно было предвидеть
a priori, так как положение равновесия может осуществляться лишь в тех
точках, где действующая сила равна нулю. Мы отметим другое следствие;
решению χ = х0 соответствует корень кратности^2 уравнения
F(x)=0, (С)
X
так как F(x0) = 2 Г f(x) dx = 0, F/ (x0) =/ (лг0) = 0; очевидно, что и об-
х° ^
ратно, если х1 есть кратный корень уравнения (С), то χ — Χι есть решение
уравнения (А).
Действительные движения, не сводящиеся к покою, могут существовать
лишь при положительных значениях постоянной С; данному начальном^
значению лг0 при данном С>0 соответствуют два движения, так как уравие-
dx
ние (В') определяет двузначную функцию -т—:
-g- = + YfJx), -g- =- VFJF). (В")
Эти два движения соответствуют положительному или отрицательному
направлению начальной скорости. Рассмотрим, например, первое движение. Если

164 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ГГЛ. TV
F(x) не обращается в нуль при лг0<лг<оо, то решение первого
уравнения (В") получится из формулы:
ί
dx
= t. (D)
+ YF(x)
причём интеграл в левой части существует для сколь угодно больших
значений х; следовательно, χ как функция t неограниченно возрастает.
Пусть теперь для некоторого значения λγι>λγο мы имеем:
Здесь возможны два случая:
а) хг есть простой корень уравнения (С), т. е. F(хг) = О,
^(^)<0 (знак < имеет место потому, что при возрастании χ функция F
переходит к нулю от положительных значений). Функция F имеет вид:
F(X) = (XX-X)4(X), φ(*!)>α
Интеграл в формуле (D) в пределах от х0 до хг сходится:
xt χι
С dx __ Г dx^
J +1АЩ" J Τ r—~1'
ж0 χ* (xt — χ)Δ γ у (х)
Итак, по истечении промежутка времени t\ точка дойдёт
до положения xt; χ = xt есть решение уравнения (В') (особое —
глава III, § 4, 1); но этому решению не соответствует никакого движения,
т. е. решения уравнения (А), так как движению χ = const., по доказанному,
соответствует кратный корень уравнения (С). В момент tj скорость
движения равна нулю:
(£-),-^-°-
Вычислим ускорение:
/ d*x \ 1 1
КШ*к = f {Xi) = ~2F'{хд = - 7 »ί*»)< °·
Отрицательное ускорение сообщит точке при *>/ι отрицательную скорость,
т. е. для значений t^>t2 движение будет управляться вторым уравнением (В"):
—- = — Yf(χ). Координата χ движущейся точки станет
убывать при f>fι·
б) хг есть, кратный корень уравнения (С): F(хх) =
= F* (ΛΓχ) = 0. Функция F имеет вид:
/?W = (^i-^*W; ΨΜ>0 при х0<х<хъ ψ(*ι)>0.
Интеграл
Χχ Χι
Г ^х — Г ^
J + YF(x) ~~ J (χ1-χ)ΥϊΤχ)

§ 2] ТИПЫ УРАВНЕНИЙ, РАЗРЕШАЕМЫЕ В КВАДРАТУРАХ 165
расходится. Следовательно, из формулы (D) имеем: когда хУ возрастая,
стремится к xv t возрастает неограниченно. Отсюда следует, что при f-> + oo
точка стремится асимптотически к положению χ = χν
которое [в силу ранее сделанного замечания, см. стр. 163] есть
положение равновесия. Уравнение —- = — YF(х) может быть получено
из предыдущего заменой t на —1\ следовательно, движение, соответствующее
начальному положению лг0, асимптотически приближается к положению
покоя xv когда t-> — оо. Рассматривая ту же траекторию при t
возрастающем, начиная с того момента, когда движущаяся точка находится в сколь
угодно малой окрестности положения xt, мы видим, что в некоторый момент
она займёт положение х0, т. е. удалится от хх на расстояние, превышающее
некоторую положительную величину — положение равновесия
является неустойчивым (при данном постоянном С).
Пусть теперь х0 лежит между двумя корнями
уравнения (С):
*2<*o<*i» F(*ι) = F0*2) = °. FM>° при *2<*<*i·
Наибольший интерес представляет случай, когда оба корня простые:
F'(x2)>0, /*(*,)<<>.
Мы уже видели, что движущаяся точка, движение которой определено
начальными данными xQy I-тт\ = + YF(xq), по истечении времени tt займёт
положение хь после чего χ начнёт убывать. Это убывание будет иметь
место в течение промежутка времени
f dx -= Г dx
по истечении которого точка займёт положение лг2; рассуждение, подобное
вышеприведённому, показывает, что в момент tt + Τ произойдёт опять
изменение знака скорости; χ будет возрастать, пока не достигнет значения х1%
т. е. в течение времени
dx T;
J У Fix)
χ,
при этом точка займёт начальное положение х^ в момент
В этот момент скорость опять будет + YF(xq). Рассматривая момент 27*
как начальный, мы, ввиду независимости правой части уравнения (В') от ty
получим повторение того же самого движения. Итак, в рассматриваемом
случае решение уравнения (А) есть периодическая функция времени t
с периодом
х,
2Т ~ С dx
-*!
УГ(х)

166 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ [ГЛ. IV
Это предложение есть частный (одномерный) случай общей теоремы Вейер-
штрасса об «условно-периодических» движениях.
Другие случаи наличия двух корней уравнения (С) легко разрешаются
на основании предыдущего. Если лг2<лг0<^1 и оба корня Χχ и х2
кратные, то движения асимптотически стремятся к хх при t-+>-\-co и к х2
при t-> — оо, если (—тг) >0, и lim χ = х« lim χ = χχ при l-jr) <0·
Если atj — кратный корень, а л:2 — простой, то всякое движение при
/-►±оо имеет пределом х1ч а в промежутке координата χ один раз
принимает минимальное значение х2.
X
Отметим, наконец, что если 2 J f(x)dx — (x — λγ0)2Ψ(*), где ψ(*)<0,
Xq
το при значении С = О возможным движением является только покой:
х = х0. При малых положительных значениях С правая часть уравнения (В)
χ
2 ]7(лг) dx + C = (χ — λγ0)2 ty(x)+C
Χα
будет положительной лишь при малых значениях | χ — лг01; следовательно,
при малом изменении С возле нуля точка при своём движении может лишь
мало уклоняться от положения χ = дг0, которое оказывается, таким образом,
χ
устойчивым положением равновесия. Называя функцию— \f(x)dx — С —
1
= — -^F(x) потенциальной энергией, мы приходим к заключению:
максимуму потенциальной энергии соответствует неустойчивое положение
равновесия, минимуму—устойчивое.
Π ρ и м е ρ 6. Уравнение математического маятника: -^ = — у sin φ.
Положения равновесия даются из условия: sin φ = 0, т. е. φ = О, φ = π; потен-
а
циальная энергия V = —у cos φ — С имеет минимум при φ = 0— это
устойчивое положение равновесия, и максимум при φ = π — неустойчивое
равновесие. Пишем интеграл живых сил:
1/*Р
i(l)=f(cos,-l) + C,
— 2g
принимая для простоты за начальное положение φ0 = 0. Если С > ~-, то
правая часть всегда положительна и угол φ монотонно возрастает или убы-
вает во время всего движения. Если С = -у-, то правая часть равна
у (1 -f- cos φ) = -γ- cos2-|-; она имеет двойные корни φ = ±π,
соответствующие положению равновесия; движения асимптотически стремятся к (неустой-
σ
чивому) равновесию при/->±оо. Пусть, далее, 0<С<2у; мы можем
ρ
положить С = у(1 + cos φχ), 0<φ!<π. Интеграл живых сил примет вид

§ 3] УРАВНЕНИЯ, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА 167
1 /А?Ф\а £
-- ί —L J -в s. (cos ^ — cos <pt). Правая часть имеет простые нули при φ = it φχ;
маятник будет совершать колебательные периодические движения
амплитуды φι, — φι^<Ρ<!φι. Период одного качания есть
ίίφ
2^ J V*COS φ — COS φ·
Наконец, значению С = О соответствует устойчивое положение равновесия
φ = 0. При С<0 движения невозможны.
§ 3. Промежуточные интегралы.
Уравнения, допускающие понижение порядка.
1· Промежуточный интеграл. Если мы имеем уравнение
п-го порядка
Г{х,У, У, ...,.У(,1)) = 0, (1)
то, как уже сказано, соотношение
Ф(х,у, Си С2, ...,С„) = 0, (15)
определяющее решение этого уравнения и связывающее уу χ и
η существенных произвольных постоянных, называется общим
интегралом уравнения (1). Иначе, общий интеграл можно
определить так: соотношение (15) называется общим интегралом
уравнения (1), если, исключая из него и из уравнений, получаемых
дифференцированием его по χ (причём у рассматривается как функция
от лг), произвольные постоянные Ct, C2, ...,Сте, мы приходим
к уравнению (1) (глава I, § 1).
Пусть теперь мы имеем соотношение:
Ψ(*. У, /, ...,J><*>, Cfc+1> Ck+2, ...,<?„) = О, (23)
в которое входят производные до &-го порядка (производная у№
входит непременно) и η — k произвольных постоянных.
Дифференцируем это уравнение η — k раз по лг, считая у
функцией х; имеем:
*fci it /4- 4- -*L v(*+i) = о
дх ^ ду у ι^ # * * ' ду&> У '
όχη-к П^ ··· ^ду№У
(23')
Если в результате исключения из η — k-\-\ уравнений (23) и (23')
η — k постоянных Сг(/ = &-}-1, ..., п) мы получим уравнение (1),
то соотношение (23) называется промежуточным интегралом

168 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ [ГЛ. IV
уравнения (1). В частности, если соотношение (23) содержит только
одно произвольное постоянное, т. е. имеет вид:
«К*, у, У, У> ..·,^(η-,}, Q = o,
то оно называется первым интегралом уравнения (1).
Промежуточный интеграл (23), если в нём рассматривать у как
искомую функцию, сам является дифференциальным уравнением
порядка k, где к < /ζ. Легко видеть, что каждое решение уравнения (23)
является решением уравнения (1); в самом деле, если у = <р(х) есть
решение уравнения (23), то, подставляя это значение у в уравнения
(23) и (23'), мы обратим их в тождества; а значит, и уравнение (1),
которое является следствием системы (23) и (23'), обратится в
тождество, что и требовалось доказать. Если мы найдём общее решение
уравнения (23), то оно должно содержать к новых произвольных
постоянных Си С2, ...,(?£ сверх входящих в самое уравнение
параметров Ск+1, . ..,СП, и мы получим решение уравнения (1),
содержащее η произвольных постоянных, т. е. общее решение этого
последнего уравнения. Таким образом, знание промежуточного
интеграла вида (23) позволяет свести задачу интеграции уравнения
п-го порядка к интеграции уравнения порядка k < η, т. е. к задаче,
теоретически говоря, более простой.
В предыдущем параграфе мы уже встречались с промежуточными
интегралами; так, в пункте 1, при решении уравнения (17), мы
писали последовательно промежуточные интегралы с одним, двумя, ...
...,я — 1 произвольными постоянными, пока не получили, наконец,
общий интеграл (18); в пункте 2 для уравнения (20') мы снова
находили промежуточный интеграл z = <p(x, Ct), где г = у(»-1), с одним
произвольным постоянным (первый интеграл); для уравнения (21)
мы имеем первый интеграл (у^"1))2 = 2 \ f{z)dz-\-Cl и, далее,
промежуточный интеграл с двумя произвольными постоянными. И в
настоящем параграфе, в дальнейших разделах, интеграция
дифференциального уравнения я-го порядка будет распадаться на два шага:
1) нахождение промежуточного интеграла и 2) интеграция
уравнения, представляемого этим промежуточным интегралом.
Примечание. Если мы знаем два различных первых интеграла
уравнения (1):
Φι (х. У, У .У**-*), Сх) = О, ψ2 (л:, yt у jf(»-Df C2) = О,
то исключение из этих соотношений производной уФ-1) приведёт к
промежуточному интегралу, содержащему две произвольные постоянные.
Аналогичный результат получим для трёх, четырёх, ..,, η — 1 первых интегралов.
Наконец, если мы знаем η различных первых интегралов уравнения (1), то,
исключая из них у*\ уп\ ..., J^7*"1), мы придём к соотношению,
связывающему лг, у у Сь С2, ...,CW, т. е. к общему интегралу данного уравнения.
Таким образом, если известны η (различных) первых интегралов, то общее
решение уравнения получается без интеграции, при помощи исключения.

§ 3] УРАВНЕНИЯ, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА 169
2. Уравнения, не содержащие явно искомой
функции или независимого переменного. Пусть уравнение
/г-го порядка ке содержит явно искомой функции у; для общности
предположим, что оно не содержит также её k—1 первых
производных у\ .. ,,^"1), и низшая производная, явно входящая в
уравнение, есть yW (1 -<&<; η—1).
Уравнение имеет вид:
F(x, уЮ, У&+1) j;00) = 0. (24)
Полагая у^) = z% мы заменяем уравнение (24) уравнением
F{x, г, z', ...,*<»-*>) = О (240
порядка η — k. В противоположность случаям, рассмотренным в §2,
здесь мы не -можем утверждать, что уравнение (24') всегда
интегрируется в квадратурах. Но вместо уравнения п-го порядка мы
получили уравнение порядка η — & </ζ. Допустим, что мы сумели
найти общий интеграл уравнения (240:
Ф(*э г, Cv C2, ..., Сп_к) = 0,
или
Ф(х,уЮ, Cv C2, ..., Сп_к) = 0. (25)
Уравнение (25) есть промежуточный интеграл уравнения (24),
содержащий η — k постоянных. Само уравнение (25) принадлежит к типу
(170 § 2, т. е. заведомо интегрируется в квадратурах, и, решая
его, мы найдём общий интеграл уравнения (24). Если k = n, мы
непосредственно имеем уже рассмотренное нами уравнение (170·
Пусть, далее, уравнение (1) не содержит явно х, т. е. имеет
вид:
Р(У,У,У, ...,.у<»>) = 0. (26)
Здесь мы проведём такую замену переменных: в качестве новой
искомой функции вводим p = -j—; за независимое переменное
принимаем у. Вычисляем в этом предположении производные различных
порядков:
v« =й£_=йр_*У_= OdP
У dx dy dx р dy '
vr„_dy« _d(piy) dy \ d*p , (dp\*\_*d*p (dp*
y ~ dx ~ dy dx p [p dy2 "^\dy J J ~p dy* \p\dy) '
Таким образом, вторая производная от у по χ выражается через ρ
dp
и ~—у третья производная выражается через ρ и его производные
не выше второго порядка. Легко доказать методом полной индукцииг
d*y dp d^-ip „
что -τ-ηξ выражается через р, ~-9 ..., к_х . Подставляя выражения

170
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
[ГЛ. IV
для у'\ У", ..., у(п) в новых переменных в уравнение (26),
получим новое дифференциальное уравнение порядка η — 1:
dy ' '·" dyn-ιJ υ·
Если его удастся проинтегрировать, то его общий интеграл
Φ^Ρ.^ι Ci) = 0» или Φ (у, |£, Cv ..., Cw-1) = 0,
который является промежуточным для уравнения (26), даёт
дифференциальное уравнение первого порядка, интегрируемое в
квадратурах.
Пример 7. Линия погони. Рассмотрим такую кинематическую задачу.
На оси Ох в положительном направлении движется с постоянной
скоростью а точка Р; на плоскости хОу движется точка Μ с постоянной
скоростью υ так, что вектор
скорости всегда направлен в
точку Р\ найти траекторию
точки Μ (черт. 25).
Обозначим декартовы
прямоугольные координаты
точки Μ через (л:, у) и
абсциссу точки Ρ через X.
Из условия задачи имеем:
X=X0 + at, (A)
dx* + dy* = v2dt*t (В)
dy __ У
dx
Х—х%
(С)
Черт. 25.
Из уравнения (А) имеем:
Χ χ-.х — х0 — x\-at\ затем
из (С):
X0-x+at = -jy. (D)
Тх
Принимаем χ за независимое переменное (обозначаем производные от_у пол:
штрихами) и исключаем t\ из уравнения (В) имеем:
из уравнения (D), дифференцируя по ху находим:
14-л dt - УУ-У* dt
или
уу»
dx ay'
dt
Приравнивая оба найденных выражения для -τ—, получаем дифф ерен-
циальное у ρ а в нение линии погони:

§ 3] УРАВНЕНИЯ, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА 171
Уравнение не содержит независимого переменного; согласно
изложенному нами общему методу вводим новое переменное: у1 = /?, откуда
„ dp
У =р -j-; получаем:
r dy ν у г ' dy υ у г ' г '
Переменные разделяются:
dp __ a dy
ρ γ\ +ρ* υ у '
Интегрируя, находим (замечая, что ρ отрицательно):
dp
dp ~р*
1η(7+1/Λ(7)2 + 1)==^(1π·)' + 1π£:)·
откуда
T+vW+i-м9·
Чтобы ввести произвольные постоянные наиболее простым образом,
предположим, что в момент, когда точки Ρ и Μ находились на одной параллели
к оси у, ордината точки Μ была равна у$ (т. е. что погоня начинается с
положения М0Р0): в этот момент, очевидно, — = 0, и мы находим С = — ; про-
Р Уо
межуточный интеграл пишется так:
Освобождаясь от радикала, как в примере 5, находим:
откуда
Предполагая αφν (мы будем считать, что α<^ν, т. е. что точка Μ может
догнать точку Р), получаем искомое уравнение линии погони при помощи
второй квадратуры:
.1+г- . ч1~
■Уо (У\ υ .. Уо fy\ · ,г
' 2(l+|)W 2(l-|)W
1) Решение ρ = 0 в силу уравнения (С) даёт у = 0, т. е. движение по
прямой — оси Ох.

172 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ГГЛ. TV
где постоянное Ct легко определится через начальную абсциссу χύ при
У==Уо- Окончательно имеем:
х = -
2
^jpf-'h^zfp)4-^-
Абсциссу точки встречи получаем, полагая у = 0; её значение
Наконец, продолжительность погони
γ__ *ι —*о Уоъ
ЗАДАЧИ.
'110. Проинтегрировать до конца уравнение линии погони в случае v = a.
Проинтегрировать уравнения:
111. 2 (2а— у)у" = 1+у'2.
112. у — ху'« +у'"ъ = 0.
№.уу +у'*=у*\пу.
3. Понижение порядка в однородных уравнениях
различных типов.
А) Пусть левая часть уравнения (1) есть однородная
функция аргументов у> у'у у", . ..>#yW, т. е. пусть выполняется
тождественно
F(x, ку9 к/, ..., kyW) = k»F(x, у, У, ..., уМ) (27)
для любого k\ m есть показатель однородности.
Заметим, что если yi (x) есть решение такого уравнения, то Сух (х)
есть также решение (С—произвольная постоянная). В самом деле,
результат подстановки в левую часть уравнения (1) на место у
выражения Сух (х) даёт произведение из Ст на результат подстановки
в то же уравнение функции ух (х), что, по условию, тождественно
равно нулю. Если мы введём новую искомую функцию
и = \пу9
то, по предыдущему, если и1 (х) будет решением преобразованного
уравнения, то ггх —|—In С== ιιλ (x)-\-Ct будет также его решением.
Иначе говоря, уравнение допускает группу преобразований х1 = х9
иг = и-{-С. Рассуждения, аналогичные проведённым в главе I (§ 3, 3),
показывают, что в таком случае искомая функция а не входит явно
в преобразованное уравнение. А тогда, как мы знаем, замена
зависимого переменного

§ 31 УРАВНЕНИЯ, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА 173
приводит к уравнению порядка η—1. Исключая промежуточное
переменное #, получаем такую зависимость между у и ζ:
f zdx
у=е . (28)
Итак, порядок рассматриваемого уравнения может быть пони-
цН^ен ни единицу введением новой неизвестной функции г>
связанной с у соотношением (28).
Проверим это рассуждение непосредственным вычислением.
Последовательно дифференцируя равенство (28) по ху находим:
Г ζ dx п , , , Λν Г ζ dx ... , „ , _ , , оч Г ζ dx
у = ze> , У = {ζ' + г2) е* , у'" = (z"-\-Zzzr + г3) е* , ... ,
f z dx
и, вообще, yW выразится как произведение е на выражение,
содержащее ζ и его производные до порядка k — 1 *). Вносим эти
выражения в уравнение и замечаем, что, в силу соотношения (27),
имеем:
F(x, Л'* «''* (• + V"*'....)-
(т — показатель однородности). Множитель em^zdx в уравнении
может быть отброшен, и мы получаем уравнение порядка η—1:
F(x, 1, ζ, ζ' + ζ\ ...) = 0.
Если его удастся решить, мы получим промежуточный интеграл
уравнения (1), зависящий от η—1 постоянных, вида
Φ (г, х9 Си С2, ..., Сп_г) = 0, или φ(^,ς,ς ^η-ι) = 0.
Когда выражение функции ζ известно, то у получится квадратурой
по формуле (28), причём,, войдёт новое постоянное Сп:
Г zdx+ln С _ f zdx
у = eJ n = CneJ
Пример 8. х2уу" = (у — ху')2. Уравнение — однородное второй
степени относительно у, у', у". Подстановка у = е* zdx даёт
уравнение х2 {zf -j- -г*2) = (1 — xzf, или x2z' + %** —1=0 — уравнение
линейное. Решаем его:
χ1 ι χ
Отсюда
У
Я Οχ. _1 \ . Οχ
- ^+*' ж, или у = С2хе~х.
1) Этот факт легко доказывается полной индукцией.

174 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ [ГЛ. IV
ЗАДАЧИ.
Решить уравнения:
114. jy/"— У2 = 0.
115. хуу" + ху'2 —уу' = 0.
В) Другим типом однородных дифференциальных уравнений,
допускающих понижение порядка, являются уравнения, однородные
относительно дг, уу dx> dyy d2y, ..., dny. Для установления этой
однородности пишем уравнение (1) в форме:
Ф(дг, у, dx, dy9 d*y9 ..., dny) = 0. (29)
Уравнение принадлежит к рассматриваемому нами типу, если
функция Φ в формуле (29) однородна (степени т) в отношении всех
своих аргументов, т. е. если имеет место тождество:
Φ (kx, ky9 k dx9 k dy> k d2y9 ..., k dny) =
= /г*»Ф (xy yy dx9 dyy d2y9 ..., dny).
Вид уравнения показывает, что оно не изменяется, если заменить χ
через Сх и у через Су (С — постоянное). Если мы введём
переменные и = — и ху то преобразованное уравнение будет допускать
группу преобразований ut = u> xt = Сх. Наконец, если ввести новое
независимое переменное Е=1плг, то уравнение, связывающее и и £,
будет допускать группу преобразований:
иг = и, ζχ = ξ Ч- С;
отсюда следует, что в последнее уравнение не входит явно ξ
(см. главу I, § 3, 3); поэтому, как показано в п. 2 настоящего
параграфа, оно допускает понижение порядка на единицу. Выписываем
формулы непосредственного перехода от переменных х9 у к
переменным £, и:
х = е*>9 у = ие*. (30)
Проверим непосредственным вычислением результат этой замены.
Последовательным дифференцированием находим:
dx = e^ d\9 dy = e* {du -\- и dl);
ay du ι
rfT = ^r + "·
Далее,
dx дЬ
d2y __ d_ (du_ i\ i?! _ -ξ (^!L ι du\
Λ?"*1« ~T~U) dx — 6 \d? "*" dU9
d*y__ d Г ^fd2u ■ du\~\ d\ _ _2ξ (d*u du\
"~— di Iе \ d& "+· rfe )\ dx ~~e U?3 d\)
dx*
и т. д. Итак, мы получаем:
x = et, у = ие^) dx = e^d\9 dy = el(du-{-udl),\ f
= e^{d4 — dud\2\ ... J (30)
d*y = *{(Pu + dudE)9 d*y.

§ 3] УРАВНЕНИЯ, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА 175
(при этом d2y, ddy9 ... взяты в предположении, что независимое
переменное есть л;, a d?u, d*u9 ... — в предположении, что
независимое переменное есть ξ). Внося выражения (30') в уравнение (29),
мы, в силу однородности, можем вынести за знак функции Φ
множитель етЬ и сократить на него уравнение; получим:
Ф(1, и, d\, du-\-ud\, d2u-{-dudt9 ..., dnu-\- .. .) = 0.
Мы получили уравнение п-го порядка, в которое явно не входит
независимое переменное ξ; это уравнение принадлежит к типу,
рассмотренному в п. 2 настоящего параграфа, и допускает понижение
порядка на единицу.
Пример 9. Уравнение
•— однородное третьей степени относительно х, у, dx, dy9 cfty\ делаем
подстановку х = е*>у у = ие^\ тогда
dx~ tfiu' dx*—e U?T di)m
Подставляем в уравнение и сокращаем на еъ^\
u"^u' — {a' + uf-\-Zu{u' + uf — (du*-\-2)(u'-\-u)-\-2u-\-u*=z0,
или, раскрывая скобки и производя приведение,
if — и1 — и'3 = 0.
Новое уравнение не содержит явно ни ξ, ни и; полагая и! = ρ и
вводя а в качестве независимого переменного, имеем:
р£-р-р*=°-
dp
Оставляя пока в стороне уравнение р = 0, имеем: du—1 , 2-,
p==tg(„ + Cl), т. е. ^.„tgfe + Q), откуда _£"_«Λ,
In sin (α + CJ = Ε + In <?2> sin (a + ^ι)= <Ve> или> возвращаясь
к начальным переменным, sin(— 4-С1) = С2д;> или у =— ^ι^ +
-\- χ arcsin (С2лг). Решение р = 0 даёт и = С или ^/ = Сдг; это
решение получается из общего, если в нём положить С2 = 0.
С) Можно рассмотреть несколько более общий класс
однородных уравнений, именно уравнения вида (29), в которых функция Φ
однородна относительно своих аргументов, если считать χ и dx
первого измерения, а у, dy, d^yt ... —измерения т\ тогда -~ будет

176 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ [ГЛ. IV
d2v
иметь измерение т—1, -^γ — измерение т — 2 и т. д. Для
понижения порядка применяем подстановку:
лг = е*, y=*uemt;
мы будем иметь:
iHi[«'-"s(f+»»)]iH
= «(""эд[ж+<2"—1'§ + -»0»-Ч·]. ...
Каждая производная содержит множитель е*> в такой степени, каково
измерение этой производной в функции F; поэтому е*> в некоторой
степени выйдет за знак функции Ф. Мы получим дифференциальное
уравнение между и и ξ, не содержащее явно ζ, τ. е. допускающее
понижение порядка на единицу.
Пример 10.
<Ру
(^ + 2*jO^-|-4y» = 0.
άχ2 V- I ~S) άχ
Если х и dx рассматривать как величины первого измерения и
у у dy9 d?y — как второго измерения, то данное уравнение является
однородным четвёртого измерения. Согласно нашей теории, делаем
замену переменных: лг = е*, у = ие2Ь. Находим:
При подстановке в уравнение множитель е^ сокращается, и мы
получаем:
-|£ + 3f + 2«-(l+2«)(f + 2M) + 4«s = 0,
или
d2a ι η/ι \ da Л
_+2(1-«)^ = 0.
Согласно сказанному в п. 2 настоящего параграфа, полагаем — ==р,
d?u dp π
откуда ^р-=Р^· Получаем:
р£ + 2(1-/0р-О.

§ 4]
УРАВНЕНИЯ В ТОЧНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
177
Оставляя пока в стороне уравнение р = 0, рассмотрим уравнение;
£ + 2(1-«) = 0;
имеем:
dp = 2(u-l)du, p = u*-2u + C1, a2_^+Ci = dt
Проведём до конца интеграцию последнего уравнения в случае, если
корни двучлена в знаменателе действительны и различны, т. е. если
Сг = 1—а2, где си φ 0 — новая произвольная постоянная:
da „ du da Л ,t
(tt— 1)2 — α2 -"" tt_l—a U — 1 + α
и— 1+α ' '*
возвращаясь к первоначальным переменным и потенцируя, находим:
у-(1 + а)Х2
откуда
(1+а)^-~С2(1-а)^«+2
У "~~ 1 — С2ЛГ2«
Уравнение ρ = О даёт j/ = Сд;2 — семейство решений, получаемое
при С2 = 0.
Примечание. В некоторых случаях уравнение высшего порядка
удаётся проинтегрировать до конца, применяя к нему последовательно
различные способы понижения порядка уравнения. Но надо помнить, что
возможность понижения порядка, а тем более приведения к квадратурам является
исключительным случаем для общего уравнения порядка п. Если для
практических надобностей надо проинтегрировать уравнение тг-го порядка,
неразрешимое в квадратурах, приходится прибегать к численным или графическим
методам; так как при этом задача, вообще говоря, является тем более трудной,
чем выше порядок уравнения, то представляющуюся возможность
понижения порядка следует использовать перед численным интегрированием и в тех
случаях, когда она не даёт возможности довести уравнение до квадратур.
ЗАДАЧИ.
Проинтегрировать уравнения:
116. пх*у" = (у — xy'f.
117. J/2 (лг2у/ _ Xyi + у) = χ\
118. х2у*у" — Zxyty' + 4уЗ + jfi = 0.
§ 4. Уравнения, левая часть которых
является точной производной.
Если нам удалось убедиться, что левая часть уравнения (1) есть
полная производная по χ от некоторого дифференциального
выражения (п—1)-го порядка, т. е. что мы имеем тождественно по
х> У* У> · · · у У^ соотношение
F(*> у,/,..., уЮ) = ±Ф(х, у,у',..., у(»-%

178 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ [ГЛ. IV
или
Fix,у, У,··.,Λ-g+gу' + ··. +5^пΛ (31>
то очевидно, что каждое решение уравнения (1) является решением
дифференциального уравнения:
Ф(*. Λ У, .... J^^C, (32)
и, обратно, каждое решение уравнения (32) является решением
уравнения (1). Таким образом, соотношение (32) является первым
интегралом уравнения (1); нам удалось понизить порядок уравнения на
единицу.
Пример 11. у"— ху'—у = 0. Левая часть есть, очевидно,
точная производная по χ от дифференциального выражения у'—ху;
следовательно, имеем первый интеграл у' — ху = Cv В данном случае
легко получить в квадратурах общее решение, так как полученное
уравнение — линейное первого порядка. Мы находим:
ж3 а?2
х(сх$е 2^ + Са).
В некоторых случаях левая часть уравнения (1) не есть точная
производная, но можно так преобразовать данное уравнение, чтобы
в новом уравнении левая часть оказалась точной производной. Не
останавливаясь на общей теории этого вопроса, покажем, как
применяется это замечание на практике. Один случай применения этого
метода мы имели при интеграции уравнения (22'), которое, по
умножении на производную искомой функции, обращалось в такое
уравнение, обе части которого были точными производными. Рассмотрим
ещё примеры.
Пример 12. y'j; + 2y2y2+y2—-=££-. Разделив обе части
у" у' 2
на уу\ имеем: ^у-\- 2уу' -[-—= —. Обе части суть точные произ-
У ух
водные. Первый интеграл имеет вид: In у' -\-у* -J-ln^/ = 21n x-\- In Cu
откуда уу'еР' = Ctx2\ обе части опять являются точными
производными. Отсюда полный интеграл-^- еу* =-^--f C& или у = KlnfC^-fCi)
(d и С2 —произвольные постоянные).
Пример 13. Уравнение уу" = 2у'2 проще всего интегрируется
следующим образом: делим обе части на у'у\ получаем: ^7=-Х
— в обеих частях точные производные. Далее,
Ш/ = 2\пу + \пС1, £ = С,У», % = Cldxt у = ~- '
άχ — -ι, , yZ χ—, jr— ClX + Ci-

§ 4]
УРАВНЕНИЯ В ТОЧНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
179
ЗАДАЧИ.
119. Найти первый интеграл уравнения
у'у" — х2уу' — ху* = 0.
Проинтегрировать до конца уравнения:
120. χ (χψ + 2ху)у» + 4лгу2 + Sxyy' + by2· — 1=0.
121. χ (ху + l)y" + х2у'2 + (4ху + 2)у' + у* + 1=0.
Проинтегрировать уравнения:
122. уу" — у2 __у4 = о.
123. ау = 2х(1+у'2)2.
124. jflyy» + х2у'* — Ьхуу' + 4у2 = 0.
125. y(l — lnyy+ (1 + 1п.у)У2 = 0 (см. пример I на стр. 153).
126. 5 У"2— Зу"у1УГ = 0 (дифференциальное уравнение парабол).
127. Найти дифференциальное уравнение кривых, у которых радиус
кривизны пропорционален отрезку нормали между её основанием Μ и
пересечением N с осью χ (множитель пропорциональности μ: разобрать случаи
μ = 1, μ = — 1, μ = 2; постоянное μ есть положительное или отрицательное
число, смотря по тому, совпадает ли направление от Μ к центру кривизны
с направлением ΜΝ или они противоположны).
128: Проинтегрировать уравнение конических сечений:
40у з _ 45у"у'"у™ +9y/2jv =0.
Проинтегрировать уравнения:
129. у2 + 2лгу — У = 0.
130. у"* — 2лгу — У = 0.

ГЛАВА V.
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ.
§ 1. Определения и общие свойства.
1. Дифференциальное уравнение п-го порядка называется
линейным, если оно первой степени относительно совокупности величин j/,
Ж~* *" >1п (У — искомая функция, χ — независимое переменное).
Таким образом, линейное дифференциальное уравнение п-то порядка
имеет вид:
*оУ{п) + atyl»-V +...+ ап_ху' + any=F(x)9 (1)
где «коэффициенты» я0, аи ... , ап (так же как F) суть данные
непрерывные функции от χ (в частности, они могут быть
постоянными или нулями). Если уравнение действительно имеет порядок я,
то коэффициент а0 не должен быть тождественно равен нулю.
Допустим, что для значений χ в интервале
а < χ < Ъ (2)
a0(x)zjbO и что все остальные коэффициенты и F(x) непрерывны
в этом интервале. Разделив обе части уравнения на а0(х) и введя
обозначения: р{ = — (/ = 1, 2, ... , /г), / (х) = —^ , мы приведём
уравнение (1) к виду:
yW + Piyln-i)+ ... +pn_1f + pny = f(x), (1')
где pv ... , рп и f(x) — известные непрерывные функции от х.
В дальнейшем мы будем преимущественно рассматривать линейное
уравнение, приведённое к виду (Г).
Уравнение (1) или (1') называется неоднородным линейным
уравнением или уравнением с правой частью. Если же «правая часть»
(или «свободный член») уравнения, F(x) или f(x)y тождественно
равна нулю, то уравнение называется однородным линейным:
а0уМ + агу1»-» + ... +ап_1у' + апу = 0 (3)
или
^»>4-Лву<»-1>+ ... +Ai-i/+A^ = 0. (30

§ И
ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОБЩИЕ СВОЙСТВА
181
Если уравнение (3) или (3') имеет те же коэффициенты, как (1)
или (1'), то оно называется однородным уравнением,
соответствующим неоднородному уравнению (1) или (I').
2. Отметим следующие общие свойства линейных
дифференциальных уравнений:
1) Уравнение остаётся линейным при замене независимого
переменного. В самом деле, преобразуем независимое переменное
подстановкой
* = <?(&), (4)
где φ есть произвольная непрерывная дифференцируемая η раз
функция, производная которой φ'(ξ) не обращается в нуль в
рассматриваемом интервале а < ζ < β, причём этот интервал соответствует
изменению χ в интервале (2) [это условие достаточно для
существования обратной функции Ε = ψ (χ), определённой в интервале (2)].
Из равенства (4) имеем: β?Λτ = φ/(ξ)Λ. Вычисляя выражения
производных от у по χ через производные по новому независимому
переменному, находим:
dy dy d\ 1 dy
d*y _ 1 d ( 1 dy\ _ 1 d*y ψ (ξ) dy
dx* ~~~ Υ (ς) d~ V (ς) d\ ) φ'2 (ξ) d& φ'3 (ς) dt ' " ' '
Легко видеть, что вообще -j-=^ выразится линейно (и однородно)
dy d2y dky ι , «
через -pr, -7~i ... , -ργ, с коэффициентами — непрерывными
функциями от ξ; вставляя эти выражения в уравнение (1) и производя
в коэффициентах ai и в свободном члене F{x) замену (4), мы опять
получим линейное уравнение:
причём Ь0 (ξ) = уЦШ ^Ов интервале α < ξ < β.
Примечание. Очевидно, подстановка (4) преобразует
однородное линейное уравнение снова в однородное.
2) Уравнение остаётся линейным при линейном преобразовании
зависимого переменного. Вводим новую функцию η, связанную с у
уравнением:
у = ъ(х)т\ + ч(х), (5)
где ν, γ допускают непрерывные производные до порядка η
включительно и ν(χ)φΟ в интервале (2). Мы имеем:
& — & + *-Й+^+т*.

182 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. V
Очевидно, что вообще производная k-го порядка от у по χ
выразится линейно (но неоднородно) через k первых производных от η
по х\ результат подстановки этих выражений в (1) даёт опять
линейное уравнение; его коэффициент при старшей производной a0v(x)y
в силу сделанных предположений, не обращается в нуль в
интервале (2).
Легко видеть, что подстановка:
y = v(xU (5')
преобразует однородное линейное уравнение снова в однородное.
Преобразованием (5') часто пользуются, чтобы в преобразованном
уравнении обратился в 0 коэффициент при (п—1)-й производной.
В самом деле, из уравнения (5') получаем:
у(п) = χ/η(*0 _j« /Μ/η(η-ΐ) -f- . . . , yin-l) _ ^(№-1)_|_ # # #
Вставляя эти выражения в уравнение (3'), находим:
Для того чтобы отсутствовал член с η(Μ_1), достаточно выбрать ν(χ)
I Pidx
так, чтобы было nv/-\-p1v = О, т. е. v = e nJ
Примечание. Мы ограничиваемся рассмотрением интервала (2),
где коэффициент а0(х) не обращается в нуль, чтобы иметь
возможность применять теорему о существовании и единственности решения;
эта теорема доказана в предшествующей главе для уравнения п~го
порядка, разрешенного относительно старшей производной. Заметим,
что условия Липшица для уравнения (Г) выполнены во всяком
замкнутом интервале [α, β], лежащем внутри (α, ϋ). В самом деле, написав
уравнение (1') в виде:
у™ = - Рх (·*)/"-!) - Р2 (xWn-v -...—Рп Му+/ (*) s
**F(x,y,/, --·,^η-4
мы имеем:
dF dF
όϊ=—Ρη(χ)> djim=—^~i(x) (*=i, 2,..., η—ΐ).
В замкнутом интервале [α, β] непрерывные функции pi (x) ограничены
(/=1, 2,..., я), откуда и следует выполнение условий Липшица;
в том же интервале F(x, у, у', .. . , у^71"1)) непрерывна для любых
значений у, у', ... , у(п~1). Следовательно, в силу теоремы Коши,
существует одно и только одно решение у(х) уравнения (V)
или (3'), которое при данном начальном значении χ — х0 (а < х0 < Ь)
принимает значение у0, в то время как значения производных
У°(*о)=Уо0 («'=1, 2>···> л—1)» причём у0, X,..., У*1"" —
любые заданные числа.

§ 2] ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНОГО ОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ 183
В главе VII мы докажем, что определённое таким образом решение
у (х) линейного уравнения существует во всём интервале [а> Ь]; для
общего уравнения я*го порядка мы могли в предыдущей главе
утверждать существование решения только в интервале [х0— /г, x0-\-h\.
§ 2. Общая теория линейного однородного уравнения.
1. Рассмотрим линейное уравнение без правой части:
L [у] a^eo+p^C-i) + .. .+рп^/+рпу = 0. (30
Через L [у] мы будем сокращённо обозначать результат применения
к функции у совокупности операций [дифференцирование, умножение
на функции Pi(x) и сложение], указываемых левой частью
уравнения (3'), и будем называть L [у] линейным дифференциальным
выражением или линейным дифференциальным оператором.
Линейный оператор обладает следующими двумя важными свойствами:
υ Μλ+λ] = 4λ]+Μλ]. (β)
где ух и у2 — любые функции, имеющие η непрерывных
производных. В самом деле, раскрывая значения символа оператора, имеем:
*Οι +Λ) = Οι +У2)(п) +Ρι Οι +Λ)("-1) + · · · +Α.-ιΟι +л)'+
+ PnО, +Λ) = Of> + Р1У{Г1} + · · · + ΑΟΊ) +
+ (У2П) + Ρι/Г Ч + · · · + РпУъ) = L [Ά] + L [yj.
Оператор от суммы равен сумме операторов слагаемых. Это
свойство доказано для суммы двух слагаемых, но оно, очевидно,
распространяется на сумму любого числа слагаемых.
2) L[Cy] = CL{y], (7)
где у — любая η раз дифференцируемая функция, а С—постоянная,
т. е. постоянный множитель можно вынести за знак линейного
оператора. Доказательство легко проводится подобно тому как
в предыдущем случае. На основании свойств линейного оператора,
выражаемых тождествами (6) и (7), легко получаются следующие
теоремы о решениях однородного линейного уравнения.
теорема 1. Если ух и у^ суть два (частных) решения у рае-
нения (3'), то уг-\~У2 есть также решение этого уравнения.
Доказательство. Так как уи у2 суть решения, то имеем
тождества: Z,[j/j]=0, L [у2] = 0. Но, в силу (6),
что, в силу условия, равно нулю тождественно. Теорема доказана.
теорема 2. Если ух есть решение уравнения (3'), пго Суг
есть также решение этого уравнения (С — любая постоянная).

184 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. V
Доказательство. В силу свойства (7), L[Cy1\ = CL\y1\,
а по условию L[yt] = 09 откуда и следует теорема.
Следствие 1. Если имеем частные решения уравнения (3')
Уи Уъ · · · > Уъ т° выражение Схух-\-С^у^-\- ... -\-Скук есть также
решение этого уравнения (Си С2, ... , Ск — любые постоянные).
Следствие 2. Если yv y2i ... , уп суть частные решения
линейного однородного уравнения /г-го порядка, то выражение
y=^Clyl^-Ciy9+...+Cnyn (8)
есть решение, содержащее η произвольных постоянных; если все эти
постоянные существенны, то выражение (8) представляет общее
решение *).
2. Вопрос о том, каким условиям должны удовлетворять частные
решения, чтобы выражение (8) являлось общим решением
однородного уравнения, разрешается в связи с понятием линейной
зависимости функций. Функции <PiC*r), φ2(*), .··! <?п(х), определённые
в интервале (а, Ь), называются линейно зависимыми в этом
интервале, если существуют постоянные аи а2, . .. , ап, не все равные
нулю, такие, что для всех значений χ в рассматриваемом интервале
выполняется тождественно соотношение:
«1?1 С*) + «2?2 (*)+··· -Ь *п9п С*) = 0· (9)
Если не существует таких постоянных αΐ9 α2> · · · » ат чтобы
равенство (9) имело место для всех рассматриваемых значений χ (причём
предполагается, что не все а€ равны нулю), то функции называются
линейно независимыми (в данном интервале). В последующем мы
часто будем иметь дело с интервалом (— оо, -|-оо).
Рассмотрим один частный случай и несколько примеров.
1) Если одна из функций, например φη, равна в данном
интервале нулю, то все функции линейно зависимы, так как мы имеем
тождество:
в котором можно взять апфО.
2) Функции
А, Л, Λ , · · · , «Λ»
линейно независимы в интервале (— оо, -f-oo), а также в любом
конечном интервале. Допустив противное, мы получили бы равенство
а0 + а1* + а2*2+ ··· + «ηχη = °
для всех рассматриваемых значений χ (не все α равны нулю).
Между тем написанное равенство есть алгебраическое уравнение
1) Очевидно, всякое линейное однородное уравнение допускает частное
решение у = 0. Это решение называется тривиальным; в теории интеграции
мы его не будем принимать в расчёт.

§ 2] ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНОГО ОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ 185
степени не выше п; оно может быть справедливым не более как
для η значений лг.
3) Пусть kv k2, ..., kn — любые действительные не равные
между собой числа, kt < k2 < ... < kn. Тогда функции,
определённые для χ > О,
у· I у· 2 у* 1%
линейно независимы. Допустим противное; пусть имеет место
тождество
к к к
atx 1 -(- а2лг 2 -j- . . . 4" апх п = О
для всех значений χ > 0. Умножая предполагаемое тождество на х" S
получаем тождество:
«, + «,/>-*>+...+α„/»-*ι = 0;
замечая, что все показатели > 0, получим переходом к пределу
при χ -> 0, что необходимо ах = 0. Поэтому тождество может иметь
только такой вид:
а2х 2 + осзлг 3 + · · · + апх Λ = 0.
Повторяя последовательно то же рассуждение, получим а2 = 0,
а3 = 0, ..., а№ = 0, т. е. противоречие с предположением, что не
все о^ равны нулю. Это противоречие доказывает наше утверждение
(такое же рассуждение можно было бы применить и к предыдущему
примеру).
4) Примером линейно зависимой системы являются функции
cpj = sin2 χ у φ2 = cos2 χ, φ3 = 1. Действительно, полагая сах = 1,
а2 = 1, а3 = — 1, получаем тождество (для — со < χ < сю):
sin2* + cos3*— 1=0.
3. Пусть мы имеем η функций от х, имеющих непрерывные
производные до (п — 1)-го порядка:
У ν Уъ> · · ·> Уп*
Определитель
' У\ Уъ ···»;«
w\yv у» ···. ai = ^W =
Д>1 ^2 ..., .У»
(Я-1) (П-1) (Λ-1)
3Ί .У* · · · , Λ*
;Ю)
называется определителем Вронского этих функций. Легко
доказывается следующая теорема:
теорема 3. Если функции ylt у2> ···, Уп линейно зависимы,
то определитель Вронского тождественно равен нулю.

186 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ГГЛ. V
Пусть функции yv у29 ..., уп линейно зависимы, т. е.
существует тождественное соотношение:
αιΛ + α2Λ+···+αη^ = °> (И)
где не все а4 равны нулю. Без ограничения общности мы можем
допустить, что апфО (иначе мы изменили бы нумерацию функций).
Разрешая соотношение (11) относительно^, получаем тождество:
Я.-РЛ + РаМ-.-.+Р.-!*»-! ("О
(Р«—*» '-1.2 —1).
Из тождества (И7) дифференцированием по χ получаем:
^ή = Ρ1^ί + Ρ2^2+...+βη_ι^»-1, )
(И*)
ΛΓ4- Р,^ГЧ+Μ"" υ+ · ·. + P^tiW. i
Умножаем в выражении (10) первый столбец на — j3j, второй на
— β2> ···> (Λ—1)"й на —βη-ι и прибавляем к последнему;
величина определителя W не изменится, но, в силу соотношений (И7)
и (ll'Oi последний столбец нового определителя будет состоять из
нулей, откуда следует, что W = 0, а это и требовалось доказать.
Если уи у2, ..., уп суть частные решения однородного
уравнения (3'), то справедлива обратная, притом более сильная
теорема.
теорема 4. Если решения yv y2i ..., уп линейно независимы
[в интервале (2)], то W[yv у2, ..., уп] не обращается в нуль
ни в одной точке рассматриваемого интервала.
Допустим противное: пусть W(x0) = 0, а < х0 < Ь. Обозначим
величины у{ при χ = х0 через yiQ и значения у\) (х0) — через у\о и
составим систему уравнений:
С1-Ую + С2У20 +--+спУгю =0,
С1УЫ + ^2^20 + . · · + СпУпО = 0,
СгуТ 1}+с2у2Г 1}+... + cjsr» = о.
Рассматривая в уравнениях (12) величины Cv C2, ..., Сп как
неизвестные, мы получим для определителя системы (12) значение
W(x0) = 0. Следовательно, однородная система (12) из п уравнений
с η неизвестными имеет систему решений Cv С2, . .., Сп, причём
не все Q равны нулю. Составим функцию
у(х) = СхУг + С2у2 + ... + СпУп- (80
(12)

§ 2] ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНОГО ОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ 187
в силу следствия 1 теорем 1 и 2 она является решением
уравнения (3'); в силу условий (12), мы имеем при лг = лг0:
у(х0) = 0, у' (х0) = 0, ..., y(n-i) (Хо) = 0. (12')
Начальные условия (12г), по теореме существования, определяют
единственное решение уравнения (3'). Но таким решением,
очевидно, является тривиальное решение у = 0, следовательно, у(х) = О
в интервале а < χ < b), и мы получаем из равенства (8'):
^, + ^+...+^ = 0
для всякого χ в интервале (2), причём не все С4 равны нулю, т. е.
функции yv уg, ..., уп линейно зависимы против предположения.
Полученное противоречие доказывает теорему.
Теоремы 3 и 4 можно объединить в следующей формулировке:
определитель Вронского, составленный для системы η решений
линейного уравнения п-го порядка (3'), или тождественно равен
нулю, или не обращается в нуль ни в одной точке того
интервала, где коэффициенты уравнения непрерывны.
Любая система из η линейно независимых частных решений
линейного однородного уравнения (3') называется фундаментальной
системой.
Следствие теоремы 4. Функции, образующие
фундаментальную систему, линейно независимы во всяком частичном
интервале (α, β), содержащемся в (я, Ь). Это следует из необращения·
в нуль определителя Вронского.
теорема 5. Для всякого линейного однородного дифферент
циалъного уравнения существует фундаментальная система.
В самом деле, возьмём любую систему таких п2 чисел а{к
(/, k=l, 2, ..., η), чтобы составленный из них определитель
11
21
'*!
αί2 .
я22 .
ап2 ·
• · <*1п
• · а2п
• · апп
был отличен от нуля. Определим η частных решений yv у2, ..., уп
уравнения (3') начальными условиями: при х = х0 имеем yi = ai],
y'i — am . .., уТ~г) = ain(i=l, 2, ..., /ζ). Согласно замечанию
в конце § 1, функции определены во всём интервале (2).
Определитель^ 13) представляет значение определителя Вронского
W[yv у2> ..., уп] при х = х0. Таким образом, W(x) заведомо
не равен нулю при х-=х0, откуда, в силу теоремы 3, следует, что
У и У%> ···> Уп линейно независимы, т. е. образуют фундаментальную
систему. [Вспомним, что W(x) не равен нулю ни для какого χ
в интервале (а, £).]

188 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. V
Примечание. Матрицу aik с определителем (13), отличным
от нуля, часто бывает полезно выбрать по следующему закону:
aik = 09 когда 1фк9 ailc = 1 при i=k. Очевидно, определитель (13)
равен в этом случае единице. Соответствующую фундаментальную
систему yv у29 ..., уп мы будем называть нормальной
фундаментальной системой; составляющие эту систему функции
удовлетворяют следующим начальным условиям: при х = х0
λ=»ι, ^ = о, ...,УГ1} = о,
^2=о, ^;=ι,..., ^-1}=о,
Уп = <>> Уп = 0, ..., У%~г)=*1.
теорема 6. Если у19 у2, ..., уп образуют фундаментальную
систему решений уравнения L [у] = 0, то общее решение даётся
формулой:
У = СхУ1-\-С*У*+ ---+СпУп- (8)
По определению, решение, содержащее η произвольных
постоянных, называется общим, если из него при определённых числовых
значениях постоянных получается любое частное решение. А как
было указано, в силу теоремы существования и единственности,
любое частное решение однозначно определяется начальными
условиями: при л: == лг0
у = у0, У =у'0, ..., у*-*, - УГ» (14)
где у0, у09 ..., у(о"1] — любые числа, и я<лг0<#. Мы докажем,
что решение (8) есть общее, если покажем, что можно в формуле (8)
определить постоянные С19 С2, ..., Сп таким образом, чтобы
удовлетворялись начальные условия (14). Для определения постоянных С%
мы получаем систему линейных уравнений:
С\У\Ъ +С2^20 +---+СпУпО =Лэ
С1УЮ +^20 +..·+^«0 = ^0,
(15)
Здесь yi0 обозначает значение функции у{(х) при лг = лг0; у$ есть
значение производной у¥\х) при а: = лг0. Определитель системы (15)
есть определитель Вронского, в котором вместо χ подставлено х09
т. е. W(x0)\ в силу теоремы 4, Ψ(χ0)φ0; следовательно, система
уравнений (15) всегда допускает, и притом единственную, систему
решений С19 С2, ..., Сп. Выражение (8), в котором С имеют
полученные таким образом значения, очевидно, удовлетворяет начальным
условиям (14). Теорема доказана.

§ 2] ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНОГО ОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ 189
Примечание. Если yt (лг), y%(x)t ..., уп (х) представляет
нормальную фундаментальную систему, то решение, удовлетворяющее
начальным условиям (14), получает особенно простую форму:
У = УоУг (*) + Мя (*) + · · · +Уо1'1)Уп (*)·
В справедливости этого утверждения убеждаемся, подставляя в это
выражение и в выражения, полученные из него последовательным
дифференцированием, значение χ = х0.
Пример 1. Уравнение У—у=*0 имеет, как легко проверить,
два частных решения: yt = ех, Уъ=- е~х. Для выяснения вопроса
об их линейной зависимости или независимости составляем
определитель Вронского:
ех е-х
W[yvy2] =
ех — е~~х
= —2:£0.
Следовательно, ех и е~х составляют фундаментальную систему,
и общее решение напишется так: у = Схех-\-С<£~х. Составим теперь
нормальную фундаментальную систему у1(х)9 ^(Jf),
удовлетворяющую начальным условиям: уг (0) = 1, у[ (0) = 0; у2 (0) = 0,
j/^(0)=l. Очевидно, уг и у2 представляются как линейные
комбинации функций ех и е~х: yt(x) = aex-{-be-x, y2(x)=^cex-^-de'x.
Для определения коэффициентов а, Ь, с, d пользуемся начальными
условиями решений yt и у2: 1 = a -J- Ь, 0 = а — Ьу 0 = с -J- d,
l = c — d\ отсюда
1 и 1 1 ^ 1
При помощи функций ух и у2 сразу напишем решение,
удовлетворяющее условиям Коши: при лг = дг0 y=yQ, у'=у'0. Это решение
будет:
y=y0chx -\-y'0 sh λγ.
4. Мы видели, что формула (8) даёт любое решение линейного
однородного уравнения я-го порядка, если функции yv у2% ..., уп
линейно независимы. Отсюда легко получается доказательство такой
теоремы:
теорема 7. Если мы имеем /г —|— 1 частных решений
уравнения (3')
Угу Уъ · · ·> Уп+1>
то между ними необходимо существует линейная зависимость.

190 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. V
Для доказательства рассмотрим первые η функций: yv у2, ..., уп.
Возможны два случая:
1) Функции yv y2, ..., уп линейно зависимы; тогда теорема
справедлива, так как линейное соотношение между η функциями есть
частный случай линейного соотношения между η -f- 1 функциями, где
постоянный множитель при уп+1 равен нулю.
2) Функции yv у2, ..., уп линейно независимы; тогда они
образуют фундаментальную систему, через которую выражается линейным
образом с постоянными коэффициентами любое частное решение;
в частности, для уп+1 получим:
Уп+1 =АУ1 +ΑίΛ+ · · · + ΑιΛ».
Это и есть искомая линейная зависимость. Теорема доказана.
теорема 8. Если два линейных однородных уравнения
у(п)+Ргу(п-1)+ . . . +pJe0f
у(п) +ρ>η-Ό + ... +рпу = О
имеют общую фундаментальную систему решений, то они
тождественны между собой, т. е. pi(x)^p{(x) (/=1, 2, ..., я).
Доказательство. Вычитая почленно уравнения (16),
получаем новое уравнение (п — 1)-го порядка:
(Pi— Р1)У^'г) + (Р2— Ρ2)^-2)+...+(Ρη — Ρηλν = 0. (17)
Если рг и рг не тождественно равны между собой, то найдётся,
в силу их непрерывности, интервал α < χ < β, в котором pt —ptzfc:0.
Разделив обе части уравнения (17) на рг—pv мы получим в
интервале (α, β) уравнение вида (3'), т. е. со старшим коэффициентом,
равным 1. Очевидно по самому построению уравнения (17), что оно
допускает те же решения, что уравнения (16), т. е. уравнение
(п—1)-го порядка со старшим коэффициентом, равным 1, допускает
(см. следствие теоремы 4) η независимых интегралов. Противоречие
с теоремой 7 показывает, что рг(х)^Pi(x); таким образом,
уравнение (17) имеет вид:
(Р2 — Ρ2λν(»-2)+(/>3 — P^y{n-*)Jr · · · +(Рп—^п)У = 0.
Рассуждение, подобное предыдущему, показывает, что p%=p29 и
далее, таким же образом докажем, что
Рз = Рз> ···> Рп = Рп-
Следствие. Фундаментальная система вполне определяет
линейное однородное уравнение со старшим коэффициентом, равным 1.
(16)

§ 2] ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНОГО ОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ 191
Решим теперь такую задачу:
Дана фундаментальная система (в интервале а < χ < b)\
У ν Уъ> · · · > Уп\ построить соответствующее
дифференциальное уравнение.
Для этой цели приравниваем нулю следующий определитель, в
котором у обозначает искомую функцию:
Wlyv Уъ ···> Уп> У] =
Ух Λ
У1 У*
У η У
Уп У*
Лп) Лп)
У1 У2
уТ у^
= 0. (18)
Разлагая его по элементам последнего столбца, мы убеждаемся
в том, что равенство (18) представляет собой однородное
дифференциальное уравнение «-го порядка относительно функции у. При
подстановке вместо у функций yi (/=1, 2, ..., η) мы получаем
определитель с двумя равными столбцами. Он тождественно равен
нулю; следовательно, уравнение (18) допускает частные решения
yv у* ···. jv
Коэффициент при yW есть W[yv у2, ..., уп]\ он, как нам
известно, не обращается в нуль в интервале (я, Ь). Разделив на
него обе части уравнения (18), получим уравнение я-го порядка со
старшим коэффициентом, равным единице, а по доказанному такое
уравнение однозначно определяется фундаментальной системой. Задача,
таким образом, решена.
Напишем уравнение (18) в развёрнутом виде:
у(п)
Ух У-г
-'Уп
/ г ι
Ух У* . · · Уп
Лп-l) (п-1) Лп
У\ У 2 ·. · У η
у(п-Х)
Ух
ί
Ух
уп-2)
у[п)
-1)
—
У 2 '-Уп
У 2 *.- Уп
Лп-2) (п-
У* . · . Уп
у?] ...уТ
...-К-1Ъ>
-2)
Ух
ι
У1
у\
+ ...
У2 ... Уп
г и η
У2 ... Уп
п) Лп) (п)
L У2 · · . У П
= 0.

192 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. V
Если исходное уравнение было написано в виде:
У7|)+^(7|-1)+...+/^^ = о,
то сравнение коэффициентов даёт нам тождество:
У\ Уъ -~Уп
(зо
W[yhy2 У η]
Легко убедиться в том, что определитель в числителе есть
производная от определителя Вронского, стоящего в знаменателе; в самом
деле, производная по χ определителя, составленного из функций
от х, равна сумме η определителей, из которых у первого в первой
строке функции заменены производными, а остальные не изменены,
у второго во второй строке функции заменены производными и т. д.,
у п-го в последней строке функции заменены производными.
Применяя это правило дифференцирования к определителю Вронского,
мы получим η — 1 первых слагаемых в виде определителей,
имеющих две равные строки, т. е. обращающиеся в нуль, а последнее
слагаемое, не равное нулю, есть как раз числитель в выражении
для рх. Итак, мы имеем:
_ W (х)
Pl — W (х) '
χ
- \pt dx
откуда W{x) = Ce χο . Выражаем постоянное С через начальное
значение W(x) при х = х0; получаем окончательно:
~^φχάχ
W(x)=W(x0)e*o
(19)
Равенство (19), определяющее определитель Вронского (с точностью
до постоянного множителя) через коэффициент данного уравнения
при у7»-1), носит название формулы Остроградского—Лиувилля.
Применим формулу Остроградского — Лиувилля к нахождению
общего решения уравнения второго порядка:
У"Л-Р1У'+РъУ = Ъ,
у которого нам известно одно частное решение yv
Пусть у есть любое решение этого уравнения, отличное от ух

§ 2] ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНОГО ОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ 193
Составляем W[yu у\ и пишем его значение по формуле (19):
Ух У
У1 У
Получаем для у линейное уравнение первого порядка. Раскрывая
определитель, имеем:
угу'—у[у = CeSPifte;
деля обе части на ylv находим:
dx\ytJ y[
откуда у определяется квадратурой:
( ГСе~$р1ах \
У==УЛ) у\ dx+C\- (2°)
Полученное решение содержит два произвольных постоянных и,
следовательно, является общим. Итак, если известно одно частное
решение линейного однородного уравнения второго порядка, общее
решение находится квадратурами.
Пример 2. Легко убедиться в том, что уравнение
(1—х<*)у" — 2ху'-{-2у = 0
2χ
допускает частное решение ^1=дг. В нашем случае р1 = 1 ___ у2, и
формула (20) даёт:
Ctcdx
1 — Χ*'
Это — общее решение данного уравнения.
Примечание 1. Всякое линейное дифференциальное
уравнение (3') имеет бесконечное множество фундаментальных систем.
Пусть у19 у2, ..., уп — какая-нибудь фундаментальная система этого

194 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. V
уравнения. Составим новую систему частных решений:
γι = аиУ\ + αΐ2^2 + · · · + «иьУт )
У η = Wi + ««аЛ + · · · + °Wn· J
Система Υ19 У2, ..., Υη будет фундаментальной, если функции Υ{
линейно независимы, а для этого необходимо и достаточно, чтобы
определитель подстановки (21)
ап
а21
«lit
а12
а22
ап2
•
•
.
. .
а1гс
аы
апп\
был отличен от нуля. В самом деле, если система {У^ есть
фундаментальная, то через неё, в частности, выражаются решения
Уи Уъ> ···> Уп> т· е· система уравнений (21) должна быть разрешима
относительно yv у2, ..., уп9 т. е. должно быть ОфО. Обратно,
если D φ О, то у{ выражаются линейно через Υ€; так как любое
решение выражается через yv у29 ..., уп, то оно выразится и через
У,, У2, ..., К№, т. е. эти последние решения образуют
фундаментальную систему.
Составляя определитель Вронского W[YV У2, ..., Ул], мы легко
убеждаемся в том, что он представляет собой произведение (по
правилу «строки на строки») определителей D и W [yv у29 ..., уп\7
т. е.
W\YV K2, ..., Yn}=DW[yv у2У ..., jfj.
Следовательно, при переходе от одной фундаментальной системы
данного уравнения к другой определитель Вронского изменяется
только на постоянный множитель — определитель линейной
подстановки.
Примечание 2. Пуств yv у29 ..., уп — любая система η раз
дифференцируемых линейно независимых функций. Если определитель
Вронского не обращается в нуль в интервале #<л;<6, то
выражение (18) даёт дифференциальное уравнение, имеющее данную
систему в качестве фундаментальной. Заметим, что так как функции
У ν Уъ> ···» У η произвольны, то условие необращения в нуль
определителя Вронского ни в одной точке рассматриваемого интервала
надо ввести как новое требование.
Примечание 3. Если составлять дифференциальное уравнение,
допускающее в качестве фундаментальной системы наперёд заданную
систему из η линейно независимых функций, то точки, в которых

§ 21
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНОГО ОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ
195
определитель Вронского этой системы обращается в нуль, будут
особыми точками построенного уравнения; в них будет
обращаться в нуль коэффициент при у(п\
Пример 3. Построить уравнение, имеющее в
даментальной системы ' функции х, х2, л;8. Строим
формуле (18):
' χ
качестве фун-
уравнение по
хл
2х
2
О
х*
Ъх*
6л:
6
= 0.
Раскрывая определитель по элементам последнего столбца, получаем:
2*у" — б*2/' + 12*/ — 12у = 0.
Здесь W(x) — 2xb и не обращается в нуль в интервалах (—оо, 0)
и (0, +оо). Для этих интервалов имеем дифференциальное
уравнение:
3 // ι 6 /
лг»
у = 0.
ЗАДАЧИ.
Построить уравнения, имеющие фундаментальные системы:
131. cos χ, sin x.
132. cos* x, sin2 л:.
В каких интервалах коэффициенты последнего уравнения являются
непрерывными (если старший коэффициент = 1)? Показать, что другой
фундаментальной системой того же уравнения является 1, cos2x.
— 133. Вычислить (с точностью до произвольного множителя) определитель
Вронского для уравнения Лежандра:
(1 — л:2) У' — 2xyf + η (η + \)у = 0.
2
134. Проинтегрировать уравнение у"-\ у1 -\-у = 0, зная его частное
sin χ
решение ух = .
135. То же для уравнения у11 sin2 χ = 2у; частное решение у = ctgx.
5. Понижение порядка линейного однородного
уравнения. Линейное однородное уравнение
L [у] _у») + ft/»-i> + ... +РпУ = 0 (30
относится к классу уравнений, однородных относительному, у',/', ...;
поэтому подстановка у== eJzdx приводит его к уравнению порядка
η — 1 (глава IV, § 3, 3). Однако эта подстановка в большинстве
случаев нецелесообразна, так как преобразованное уравнение
(относительно г) уже не является линейным и, следовательно, теряет те
простые свойства, которые характеризуют линейные уравнения. Мы

196 ОБШАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. V
рассмотрим здесь метод понижения порядка, если известны
частные решения; при этом окажется, что каждое известное
частное решение позволяет понизить порядок уравнения на единицу,
причём преобразованное уравнение остаётся линейным. Таким образом,
каждое известное частное решение является шагом вперёд в
нахождении общего решения.
Пусть у=у1 есть частное решение уравнения (3'). Вводим
новую искомую функцию ζ соотношением:
у=ухг. (22)
Соотношение (22) разрешимо относительно ζ в тех интервалах,
где уг не обращается в нуль; только такие интервалы мы будем
рассматривать. Вычисляем из соотношения (22) производные от у.
Мы имеем:
Подстановка в уравнение (3') даёт:
у^п) + [{\)у'Лр,у]^-^ + ...
• · · + Мп) + РУГ" + · · · +Ρη-ι/ι + РпУх\ ζ = °·
Для ζ мы получили опять уравнение порядка п; но коэффициент
при ζ есть L [уг], он тождественно равен нулю, так как уг есгь
решение уравнения (3'). Следовательно, в полученном уравнении
порядок понижается, если ввести новую искомую функцию u = z'.
Разделив, кроме того, все члены последнего уравнения на yv мы
приведём его к виду:
и0|-1) -]- ^и(п-2) + . . . + ?п-1и β ° (23)
— линейному уравнению порядка η—1. Выражение функции а
через у, очевидно, следующее:
Пусть для последнего уравнения получена фундаментальная система:
и1У й2э · · ·> un-v

§ 2] ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНОГО ОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ 197
Тогда система η решений для ζ будет:
1 *), j ut dx, j u2 dx, ..., J* «M-1 dx,
а соответствующая система для у будет:
Покажем, что последние решения образуют фундаментальную систему
уравнения (3'). Допустим, что между ними существует линейная
зависимость:
деля на j/j (который, по условию, в рассматриваемых интервалах
отличен от нуля), получим:
Сг + С2 J «, ί/ΑΓ + С3 J «2 ί/л: + ... + Сп j un_t dx = 0.
Дифференцируя последнее тождество по х, получаем:
c2«i +С**2-\г · · · +cA-i = °>
что противоречит условию линейной независимости системы и1э
и2, ..., ил_1в Следовательно, С2 = С3= ... = С№ = 0; так как
у1 φ О, то, очевидно, также имеем Сг = 0, и j/j, j/2, · · · > J'n образуют
фундаментальную систему.
Итак, если известно частное решение уравнения (3'), то задача
интегрирования этого уравнения приводится к интегрированию
линейного однородного уравнения порядка η — 1.
Пусть теперь известно два линейно независимых частных решения
уравнения (3'), уг и у2. Вводя, как выше, новую искомую функцию
и = (—) , мы получаем для и уравнение (23) порядка η—1. Но
теперь это уравнение имеет один известный интеграл u1=(—j ,
и поэтому оно, в свою очередь, допускает понижение порядка на
единицу 2).
Итак, если известны два частных линейно независимых решения,
то порядок уравнения может быть понижен на две единицы.
*) Легко видеть, что если в линейном однородном уравнении
коэффициент при искомой функции равен нулю, то постоянная является частным
решением такого уравнения, и обратно, если уравнение допускает в качертве
решения постоянную, то коэффициент при искомой функции равен нулю.
2) Решение ( —) есть тривиальное; с другой стороны, щ не есть
тривиальное решение, если yt и у2 линейно независимы; в самом деле, если
#! = (), то — = С (постоянной), откуда Cyt—j/2 = 0, против условия.
У\

198 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. V
Пусть вообще известно г линейно независимых частных решений
уравнения (3') (г < п):
У ν У* ···, Уг-
Подстановка и = (^Л опять приводит к уравнению (23), причём
нам известно г—1 его частных решений:
--ЙУ· —(ЙУ »«=&)'·
Эти решения линейно независимы; в самом деле, если мы допустим
существование соотношения:
а2й1 + аЗй2 + · · · + аг«г-1 = °>
то, интегрируя его по ху получим:
(—аг есть постоянная интеграции), или
агУ1 + а*У* + · · · + «rJV = °»
что противоречит предположению о линейной, независимости
функций уи у2, .. ., у г
Уравнение (23) имеет, таким образом, г—1 известных линейно
независимых решений; вводя подстановку ν = (—) (ν — новая
искомая функция), мы получим для ν линейное уравнение порядка
η — 2, имеющее г— 2 линейно независимых частных решений
f — j , (—-)/..., ί1^—!] . Мы можем применить к нему то же
рассуждение, и в результате подобных преобразований придём,
наконец, к уравнению порядка η — г. Следовательно, если известно г
частных линейно независимых решений линейного однородного
уравнения, то порядок уравнения может быть понижен на г
единиц.
Примечание. Если известно η — 1 частных решений, то
в результате понижения мы придём к уравнению первого порядка,
которое интегрируется в квадратурах; в этом случае общее решение
может быть получено в квадратурах.
ЗАДАЧИ.
136. Найти общее решение уравнения х*у'"— Зх2у"-\-6ху' — 6у = О,
зная частные решения уг = х, у2 = χ*.
137. Найти общее решение уравнения хут—уп -\-хуг—у = 0, зная его
частное решение у± = χ (см. задачу 131).
138. То же для уравнения (1—х2) у'" — .ry"+j/' = 0, частное
решение у = х\

§ 3] НЕОДНОРОДНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ 199
§ 3. Неоднородные линейные уравнения.
1. Общие свойства. Рассмотрим неоднородное линейное
дифференциальное уравнение вида:
Mj/I^^+W(№-H^+W=/(4 (10
гяе /фО.
Однородное линейное уравнение с теми же коэффициентами, но
с правой частью, равной нулю,
L[у] ^yW + Plyin-i) + ... + рпу = о, (3')
называется, как указано выше, однородным уравнением,
соответствующим неоднородному уравнению (1'). Очевидно, уравнения (1')
и (3') не имеют общих решений.
теорема. Если известно какое-нибудь частное решение Υ неод-
породного уравнения (1'), то общее его решение есть сумма этого
частного решения и общего решения соответствующего
однородного уравнения.
Так как Υ есть решение уравнения (1'), то имеем тождество:
L[Y] =/(*); (24)
введём новую искомую функцию ζ, полагая
y=Y-\-z. (25)
Подставляя выражение (25) в уравнение (1'), имеем, в силу
свойства (6) линейного оператора L[y]t
LIY] + L[z]=f(xy,
принимая во внимание тождество (24), получаем отсюда:
L[z] = 0
— однородное уравнение, соответствующее (1').
Пусть фундаментальная система соответствующего уравнению (1')
однородного уравнения (3') будет:
У» Λι ···! У η-
Тогда общее решение уравнения (3') имеет вид (§ 2):
Подставляя это выражение вместо ζ в формулу (25), получаем общее
решение неоднородного уравнения (1'):
У = схУх + с*Уъ + · · · + Cnyn + Y. (26)
Это уравнение содержит η произвольных постоянных; чтобы
доказать, что эти постоянные существенные, покажем, что из
выражения (26) при надлежащем выборе значений постоянных Си С2, ..., Сп

200 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. V
получится решение, удовлетворяющее любым начальным данным Коши,
т. е. при х = х0, где х0— любое значение из интервала (2), мы
будем иметь:
J>=JO. У=Уо> ···> Уя-1)=^л-1).
где у0, у'0, ..., ^Λ"1) — любая данная система η чисел.
Последовательным дифференцированием выражения (26) находим:
у' = Сгу[ +С2у'2 +...+СХ +Υ', \
В выражениях (26) и (26') надо в левых частях вместо у, у', .. .,^Κ71""1)
подставить соответственно у0, у'0, ..., у^^, а в правых частях во
всех функциях дать переменному χ значение х0; получится система η
линейных уравнений с η неизвестными Cv С2, ..., Сп. Определитель
этой системы есть значение определителя Вронского W(x) придг = д;0;
при этом Ψ(χ0)φ09 так как система yv y2f ..., уп, по
предположению, фундаментальная. Таким образом, для Cv С2, ..., Сп получим
вполне определённые значения, и решение (26), действительно,
является общим. Теорема доказана.
Пример 4. Рассмотрим уравнение у" -\-у = Здг. Легко видеть,
что частным решением будет у = Здг. Соответствующее однородное
уравнение у"-\-у = 0 имеет два линейно независимых частных
решения: yi =cosat, y^ = sinx. В силу изложенного общее решение будет:
y=i Сх£о%х^СъЪ\ъх-\-Ъх. Решим теперь для данного уравнения
задачу Коши: найти решение, удовлетворяющее начальным условиям:
у = 1, у'= —1 при д; = 0. Имеем: у = — Ct sin.*r + C2cos.*r-|- 3.
Подставляя начальные значения, находим: Сг = 1, С2 -f- 3 = — 1,
откуда С2 =— 4; искомое решение ecTb^y = cosAT—As\nx-\-3x.
Пусть, далее, известно одно частное решение у\ однородного
уравнения (3'), соответствующего уравнению (!')· Подобно тому,
как в случае однородного уравнения, применяем подстановку у=угг
и получаем уравнение, не содержащее явно искомой функции z\
после этого, полагая г' = и, получим линейное уравнение
(неоднородное) порядка η—1. Итак, если известно одно частное решение
с< отзетствующего однородного уравнения, преобразование
переменного a = (—j понижает порядок: неоднородного уравнения на
единицу. Аналогично § 2-, 5, легко получается также следующий
результат: если известны г частных линейно независимых решений
соответствующего однородного уравнения) то порядок неоднородного
уравнения может быть понижен на г единиц.
(Ж)

§ 3]
НЕОДНОРОДНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
201
Предположим теперь, что известны т частных решений
неоднородного уравнения (1/) Yv F2, ..., Ym. Введём новую
искомую функцию г, связанную с у уравнением:
y=Y1-\-z, или z=y—Yv
Как показано выше, ζ удовлетворяет однородному уравнению,
которое соответствует неоднородному уравнению (1'). Подставляя вместо у
функции Fj, Y29 ..., Ym9 мы, кроме тривиального решения z = 0,
получим т — 1 решений однородного уравнения:
z\ == Υ 2 Μι Ζζλ == *S *ι» · · · > гт-\ = *го Μ·
Таким образом, нам известны т — 1 решений однородного
уравнения (3'), и если они линейно независимы, то его порядок может быть
понижен на т — 1 единиц. Итак, если известны т частных
решений неоднородного линейного уравнения, то при указанном условии
его интегрирование приводится к интегрированию линейного
однородного уравнения порядка η — т -j- 1.
Пример 5. Уравнение (2х — х2)у"-}-2(х—1)у' — 2у = — 2
имеет, как легко проверить, два частных решения: ^ = 1, К2=лг;
следовательно, соответствующее однородное уравнение имеет
решение ух = χ—1. Комбинируя обе подстановки (25) и (22), вводим
новую искомую функцию z при помощи уравнения:
у=\+(х — \)г,
откуда
/ = (*— 1)г' + г, /' = (*—1)г" + 2г'.
Подставляя полученные выражения в данное уравнение, находим:
(2х — х*) (х — 1) г" + 2 [(2х — **) + (лг — I)2] гГ = 0,
откуда
*"_ 2 ,2-2* ./__г 2х-х*_ г . С, β
г'- дг—1 Τ 2лг —дг2' г "~c1(jc— 1)2 — υι"ι (л; — I)2 '
^-С^-^ + С,;
подставляя в выражение для уу получаем: у = — Схх2 ~\- С2(х — 1) -J- 1
— общее решение.
ЗАДАЧА.
139. Решить уравнение х2у"— 2ху'-\-2у = 2хв, зная частное решение
у = χ соответствующего однородного уравнения.
2. Метод вариации постоянных. Из изложенного в
предыдущем разделе следует, что для решения неоднородного уравнения
достаточно знать фундаментальную систему решений
соответствующего однородного уравнения и одно частное решение неоднородного

202 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. V
уравнения; в рассматриваемых примерах это частное решение
являлось заданным.
Теперь мы докажем следующую теорему:
Если известна фундаментальная система соответствующего
однородного уравнения, то общее решение неоднородного
уравнения может быть найдено при помощи квадратур.
Мы дадим способ решения неоднородного уравнения,
принадлежащий Лагранжу и называемый методом вариации постоянных.
Пусть дано неоднородное линейное уравнение:
y»> + Piy»-D +/?2уга-2)+ ... +Рп_у +p„y=f{x), (10
где f{x) не равно тождественно нулю, и пусть нам известна
фундаментальная система уи у.2, ..., уп соответствующего однородного
уравнения:
у»>+РьУ(»-1> + ... +рй.у+рпу = 0. (30
Общее решение уравнения (3') будет:
У = С^ + С,уа + ... + Спуп, (8)
где С]э С2, ..., Сп — произвольные постоянные. Выражение (8)
удовлетворяет уравнению (3') и, следовательно, не может
удовлетворять уравнению (1'), пока Q остаются постоянными. Поставим себе
цель — получить решение уравнений (1') в той же форме (8), где,
однако, Си С2, ...,С№будут функциями независимого
переменного х. Мы получаем η новых неизвестных функций;
для их определения нужно иметь η уравнений, — одно из них
получится из условия, что выражение (8) (с переменными Q)
удовлетворяет уравнению (1'), остальные η — 1 уравнений мы можем задать
произвольно; мы их будем задавать таким образом, чтобы выражения
для производных от у имели наиболее простой вид.
Дифференцируем равенство (8) по х:
Мы записали члены, полученные от дифференцирования, в две строки;
в качестве первого из числа η — 1 дополнительных уравнений возьмём
уравнение, которое получится, если вторую строку приравнять нулю:
В таком случае для у' получим выражение:
/ = Cj[ + <ν; + ... + Cjn, (28,)
которое имеет такой же вид, как и в случае постоянных Ci

§ 3] НЕОДНОРОДНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ 203
Для нахождения у" дифференцируем равенство (28j) по лг; в
полученном результате опять приравниваем нулю члены, содержащие
производные функций С4 (это будет второе добавочное уравнение):
и для у" получится выражение:
/' = СхУ" + С&" + · · · + Спу"п. (28а)
Продолжая таким образом, мы в последний раз введём добавочное
условие на (п — 1)-м шаге:
(п-2) dCx , (n-2) dC2 , , (n-2) rfCV __ п Г97 χ
и выражение для у»-1) будет иметь вид:
У'-1' - С1^п"1) + СауГ-1,+ · · · +СпУ„п-1). (28п.,)
Вычисляем, наконец, у^п):
у* = с^'+cj? +... + спугея) +
+y»-i>fg +^-ΐ)^+ # _ # +J£-»*a. (28J
Подставляя выражения (8), (28х), ..., (28№-1), (28J в уравнение (Г),
получаем:
< = 1
Замечаем, что множители при Q под знаком суммы все равны нулю,
так как они являются результатами подстановки в левую часть
уравнения (3') его решений, и мы получаем последнее уравнение для
определения Q:
yf~^+yf-i)d-^+ · . · +jfr4i£-/(*). (27J
Мы получили систему η неоднородных линейных уравнений (27А
<272), ..., (27я-1), (27J с η неизвестными -^(/=1, 2, ..., ή).
Определитель этой линейной системы есть определитель Вронского для
фундаментальной системы; он не обращается в нуль; следовательно,
разрешая её, мы получим -т-^ как известные непрерывные функции
от лг:
dCi , ν

204 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. V
откуда квадратурами находим:
(γ^ — новые произвольные постоянные).
Подставляя найденные значения С в выражение (8), мы найдём
общее решение уравнения (1/):
η
У = ЬУг + ΤβΛ + · · · + ЪьУп + ΣΛ / φ< Μ dx*
i = l
Действительно, по самому его образованию это есть решение
рассматриваемого уравнения; сумма членов, содержащих множители у{>
представляет, как мы знаем, общее решение однородного
уравнения (3'), а выражение
η
i = l
есть частное решение неоднородного уравнения (lf). Таким образом,
действительно, при знании фундаментальной системы однородного
уравнения мы получаем с помощью квадратур решение неоднородного
уравнения.
Пример 6. Рассмотрим уравнение ху" —у' = х2. Соответствую-
щее однородное уравнение ху"—у' = 0 легко интегрируется: —-== —,
А ух
у'= Ах> у = -ψΧ2-\-Β; его фундаментальная система есть 1, х2.
Полагаем теперь в неоднородном уравнении у = C1-irC2x2\ для
определения Си С2 имеем два уравнения:
1 Ч7^х U^^ ϋ άχ^ΖΧ dx~~x-
[Формула (27J выведена в предположении, что коэффициент при
старшей производной равен 1.] Последовательно получаем:
Подставляя в выражение для у, находим общее решение:
>' = 4ίι + Ϊ2*2 + :|-
(ΐι> Ϊ2 — произвольные постоянные).
ЗАДА ЧИ.
χ 1
140. Найти общее решение уравнения У Ч-у^ТТ-У'—t __ХУ = *—Ь
зная, что одно частное решение однородного уравнения есть у = ех.

§ 4] СОПРЯЖЁННОЕ УРАВНЕНИЕ 205
141. (л:2 + 2)у"' — 2л:/' + (л;2 + 2)У — 2ху = л:4 + 12.
Указание. Уравнения у"'-\-у' = 0 иу+з/ = 0 имеют два общих
решения.
142. -т^-\~—2\—У = ех( l·Ι*1*) ϊ частное решение однородного
уравнения есть ух = In χ.
§ 4. Сопряжённое уравнение.
1. Множитель линейного выражения. Поставим себе
такую задачу: дано линейное дифференциальное выражение:
L[y]^ апу + ап_У + ап_^у" + ... + а^-Ч + %У(ге); (29)
найти такую функцию z(x)9 чтобы по умножении на неё
выражение (29) стало точной производной по χ при любой (п раз
дифференцируемой) функции у. Эта функция ζ (лг) называется
множителем дифференциального выражения L [у]. При этом мы предположим,
что at суть функции от х, непрерывные в рассматриваемом интервале
и имеющие непрерывные производные всех тех порядков, которые
войдут в наши формулы. Умножаем выражение (29) на искомую
функцию ζ и вычисляем неопределённый интеграл
\ zL [y]dx,
причём каждый член интегрируем по частям, понижая порядок
производной от у до тех пор, пока под интегралом не останется
множитель у. Таким образом, будем иметь:
J a„yzdx=* f anyzdx,
f αη-ι/ζdx = **-ι гУ — jy («n-i*)'dx*
f а>п-ъУ"гах = "n-*zy' — f (ап-**УУ dx =
= "п-ъ */ — (fln-&Yy + J* У K-2 z)" dx.
f axy^-^z dx = ax *y(»-8> — {axzf yl·"-* + (axz)"y&-v — ...
...+( — I)"-2 (axzy»-*>y + (— l)"-1 f у (αχζ)ΐ»-» dxr
j atf№ zdx = aQzy^-v — (o^/jK»-» + (ctftfyt*-** — ...
···+(— i)"-1 МР-х)у + (—i)n fy (a0*)(n) dx.

206 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. V
Собирая отдельно члены, не содержащие интегралов, и под общим
знаком интеграла члены, содержащие квадратуру, получаем:
fzL [у] dx = ап_хгу - (ап_^)'у +... + (- ψ-1 {а^Г^у +
+ «.-*/ -(«»-в*)У + ... + (- I)»-2 (а0г) с»-» / +
+ а^У" ~2> — (<ν)>(η-2) + а^У»-1) +
+ [у К* — К-!*)' + (*»-»гГ—... + (- 1)" (α0ζ)™} Лг,
или, перенося интеграл в левую часть и вводя новые обозначения,
f \zL \y\ -yM [z]} dx = Ψ [у, г\ ■ (30)
дифференциальное выражение
Μ [г] = апг — (*„_,*)' + ... + (- 1)»-ι (α,**»-» +
+ (_1)»(ίν)(»> (31)
называется сопряжённым с L [у] дифференциальным выражением
(или оператором), а Ψ [у, г] есть билинейная форма
относительно у9 у,..., у*-1), с одной стороны, и г, г',..., г{п-1},
с другой стороны, а именно:
ψ 1у, *] =.у Wn-χζ—(Оп-**)'+· · ·+(-1)"-1 М'"-"^
+/ {«»-«*-(βη-β*)'.+ ··.+(-1)""2 Κ*)η-2} +
+уп-2, {α^_(^y} +у»-ц . ^ (3ΐ')
Дифференциальное уравнение я-го порядка
Μ[ζ]=0. (32')
называется уравнением^ сопряжённым с уравнением
ОД — О. (32)
Соотношение (30) есть тождество не только по х, — оно справедливо
при любых функциях у и ζ. Если мы теперь возьмём в качестве ζ
решение уравнения (32'), ζ = ζ> то формула (30) примет вид:
рОДАт—ЧТ^у, *],
или, дифференцируя,

§ 4]
СОПРЯЖЁННОЕ УРАВНЕНИЕ
207
Таким образом, поставленная в начале настоящего параграфа задача
решена: если умножить данное дифференциальное выражение (29)
на любое решение ζ сопряжённого уравнения (32'), то оно
становится полной производной от дифференциального выражения (п—1)-го
порядка Ψ[γ, ζ]. Обратно, для того чтобы функция ζ по умножении
на L[y] делала его точной производной при любой функции у,
необходимо, чтобы Μ [ζ] =з 0.
В самом деле, если ζ есть какой-нибудь множитель выражения
(29), то имеет место равенство:
**·ΐνΐβ·έψι^' (30')
где, как легко видеть, Wt есть линейное выражение относительно
у, У У*-*·
ν г \у\ = К-х (х)Уп-1)+*»-» (*)У»-»+...+М*)/+*о Му-
С другой стороны, подставляя ζ вместо ζ в тождество (30) и
дифференцируя по х, находим:
L· 1у] = £ч Ц>, ~г\-\-уМ[г]. (30")
Из (ЗС) и (30") получаем:
-^ {Ψ1 [у] — Ψ [у, ζ]} —уМ \г\ = 0. (30'")
В левой части (30"') стоит линейное выражение #-го порядка
относительно у; так как равенство нулю выполняется тождественно для
любой функции у, то коэффициенты при у и всех его производных
тождественно равны нулю, иначе (30") было бы дифференциальным
уравнением для у. Из вида (31') билинейного выражения для Ψ
следует: _
*η-ι = αοζ> ϋη-2 = а^ — {а&)\...,
Ь0 = «»-ι*-{*п-*У + ..· + (- I)*'1 (<&}»-1},
т. е. Ч?\ [д/] = Ψ [д/, ~z\, и равенство (30"') даёт: M[i] = 0.
Следовательно, мы можем сделать такой вывод:
Для того чтобы_ функция ζ при всякой функции у(х)
обращала произведение zL\y\ в точную производную, необходимо и
достаточно, чтобы ζ являлось решением сопряжённого
уравнения (320.
Каждое решение сопряжённого уравнения (32') является
множителем уравнения (32'); по умножении на него левая часть уравнения (32)

208 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ГГЛ. V
становится точной производной1). Таким образом, уравнение (32)
допускает первый интеграл:
ψ[.ν, *]=с, (33)
который сам является (неоднородным) уравнением порядка η — 1.
Очевидно, если нам дано неоднородное уравнение L[y]=f(x), то
та же функция ζ является его множителем, и мы получим первый
интеграл:
V\y,^\ = $f{x)zdx-\-C.
Если имеем линейное уравнение первого порядка в форме у' -\-Ру = Q,
то уравнение, сопряжённое соответствующему однородному, будет:
— (Pdx
Рг — ζ' = 0; его решение z = eJ будет множителем данного
уравнения, в согласии со сказанным в главе II, § 3, 3.
Примечание 1. Чтобы левая часть данного
дифференциального уравнения сама была точной производной, необходимо и
достаточно, чтобы сопряжённое уравнение допускало решение 2=1,
т. е. чтобы коэффициент при ζ в уравнении (32г) был равен нулю.
Раскрывая выражение (31) и подсчитывая в нём коэффициент при 2У
находим условие того, чтобы левая часть уравнения (32) была
точной производной, в виде:
ап — i^-i + "i"^-2— .·· + (— 1)η·^Γαο = °· (А)
Легко видеть, что условие (А) есть частный случай условия (33^
главы IV для случая, когда уравнение оказывается линейным.
Примечание 2. Оператор L[y\ чётного порядка п = 2т
называется самосопряженным, если он совпадает с сопряжённым
оператором: L [у] =М [у]. Уравнение L [у] = 0 называется в таком
случае самосопряжённым уравнением. Для оператора второго
порядка
L [у] = α<^-\- ay + а0у"
сопряжённый оператор есть
Μ [ζ\ == α2ζ — {atzY + (a0z)" =
= (a2 — a[ + al) ζ + (— аг + 2a0) ζ + я0г";
условия самосопряжённости
— аг + 2#о = аи а2 — а\ -j- а0 = а%
1) Новое уравнение, полученное умножением левой части на множитель,
приходится рассматривать лишь в тех интервалах, где этот множитель, так же
как и 0Q, не обращается в нуль (§ 1, 1).

§ 4]
СОПРЯЖЁННОЕ УРАВНЕНИЕ
209
сводятся к одному первому: аг = a'Q. Итак, самосопряжённый
оператор второго порядка имеет вид: (а0у')' -\- а.2у.
Пример 7. (1 -\-х)у"— ху'—у = 2л:. Здесь а2 = — 1, аг = — лг,
а0=\-\-х\ условие (А) выполняется: —1-\- — χ-\--^-γ(1·^-χ)^0.
Следовательно, левая часть уравнения является точной производной,
и оно допускает первый интеграл вида (33), где можно положить
<г=1. Выражение W\y,z] в нашем случае есть axzy — (%ZY У ~l·
-\-a0zy'\ подставляя в него значения а0, ах и единицу вместо г,
получаем первый интеграл (1+^)У+^у(—χ—1) = лг2 + С1, или
лг* -4- С
у' —у = х~г~ » для лев°й части сопряжённое выражение есть
— ζ — zf\ решение уравнения г + г'=*0, т. е. z = e~x, может быть
принято в качестве множителя нового уравнения, и мы имеем:
^-жу — е-ху = е-х ~г * ; левая часть этого уравнения — опять
полная производная, и общее решение данного уравнения получится
в квадратурах:
у-* j*"Y+'iCl)dx+c*'·
2. Свойства сопряжённых уравнений. Заметим сначала, что
сопряжённость двух выражений L[y\ и Μ [ζ] есть свойство взаимное,
если Μ [ζ] есть дифференциальный оператор, сопряжённый с L [у], то и
обратно, L\y) сопряжён с Μ [ζ] и определяется по Μ [ζ] однозначно. Это
следует из симметричности левой части формулы (30) относительно L и М-
если у есть решение уравнения (32), то из формулы (30) имеем: уМ (ζ) =
= —— Ψ [у, ζ], т. е. любое решение уравнения (32) есть множитель
уравнения (320, а это и показывает, что L [у] есть оператор, сопряжённый
с Μ [г\.
Мы уже видели, что знание одного частного решения сопряжённого
уравнения даёт возможность без квадратур найти первый интеграл данного
уравнения, т. е. понизить его порядок на единицу; зная ρ < η линейно
независимых частных решений уравнения (320, мы получим ρ первых
интегралов уравнения (32); исключая из них yi71-1), у(п~2),..., y(n-p+i) (можно
показать, что такое исключение всегда возможно и приводит к одному
соотношению), мы получим уравнение порядка η—ρ, т. е. понизим порядок
уравнения на ρ единиц.
Пусть теперь нам и з в е с τ н о полное решение уравнения
(32), т. е. его фундаментальная система:
У» У*· ··» Уп-
В таком случае W[j>i, Уъ···» УгАФ®· Мы покажем, как найти общее
решение сопряжённого уравнения (320. Заменим в определителе Вронского у ι
через неизвестную функцию у и составим линейное дифференциальное
выражение (п— 1)-го порядка относительно у:
Ъ Μ
_ W[yb у2 yj-ь У, .Ул-1,...,.Уп1
W\y* Уъ-.-*Уп\

210 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. V
Очевидно, мы имеем: 6г- [ук] = 0 при k Φ /, θ^ (y{) = 1. Следовательно,
выражение —τ- % [у] представляет линейное дифференциальное выражение
порядка л, обращающееся в нуль при у = уъ у2,^чУп- Значит, оно только
не зависящим от у множителем может отличаться от L [у]. Чтобы найти
этот множитель, сравним в обоих выражениях L [у] и -τ— θ^· [у]
коэффициенты при у(п). В L [у] этот коэффициент равен До, а коэффициент
при у(п) в -г- θ^ [у] таков же, как коэффициент npHj;^-1* в выражении θ^ [у],
а именно, это минор, соответствующий элементу последней строки и 1-го-
столбца определителя Вронского, делённый на самый определитель, т. е.
/ п-^ №1уьуъ. .-.^-t.^+i.^-^n] -dh1 W[yi уп]
ЩУъУг У η) dyf'V
Итак,
d%[y)
dx
где
z. - ( _ n*+<-L ™\УьУ*.-^У1-ьУиь
г~{ } До Wlyby2 уп]
= ζ£[Λ (34)
*Уп\
(340
Выражение ζ^ являясь множителем уравнения (32), представляет, по
сказанному выше, решение уравнения Μ [ζ] = 0. Давая / значения 1, 2, ...,л, мы
получим без всяких интеграции η частных решений уравнения (32')
при помощи фундаментальной системы уравнения (32). Остаётся показать,
что полученные выражения линейно независимы. В силу определения
функций zb 23,%...,2n, мы имеем:
Ч/Г" + *2-ν("-1) + ·. · + zJ»-V = -1·. (35')
Действительно, левая часть (350, согласно формулам (340, равна дроби
:, умноженной на разложение определителя W[yb .*.9yn]
a*W[yi у п\
по элементам последней строки, т. е. равна —. Далее, если подставить
CLq
в №[уъ *..чуп\ на место последней его строки ^п""1\ у^"~г\ •••».у£Г~1)
последовательно первую строку, вторую,... (п — 2)-ю, то мы получим
определитель с двумя равными строками, т. е. 0; деля каждый из этих
определителей на W[yh .. .,уп] и разлагая по элементам последней строки, мы
получим, в силу определения (34') функций ziy следующие равенства:
*\У\ + ЪУг + ·. · + znyn = 0,
*ιΛ + ЧУъ + · · · + гпУ = °·
(35)
Дифференцируя первое из равенств (35) по л: и учитывая второе, получим.
*ιΛ + г2Уъ + · · · + *'пУп = °- (З6'>

§ 4] СОПРЯЖЁННОЕ УРАВНЕНИЕ 211
Дифференцируя второе и принимая во внимание третье, дифференцируя
третье и принимая во внимание четвёртое и т. д. и, наконец, дифференцируя
последнее из равенств (35) и принимая во внимание (35'), получим:
f ft ι t H ι ι ' ft f\
vr+vr^·.. +/,#-·—JL.
(36)
Аналогично, дифференцируя каждое из равенств (36') и (36) и принимая во
внимание следующее, получим группу:
«, + «'+...+«> = 0 (/ = 0, 1.2.....Я-4).
4/ΓΖ)+<#-* + · · · + <ЛЙ"3) = ± ·
Продолжая те же операции, получим в итоге следующие равенства:
( 0, если / + k<Cn —' 1»
*1Ух +*%Уш +··· + *η J'n -Η il, если i + k = n-\. μ7>
Составим теперь произведение определителей Δ= W[yhy2, .....У»] и Δχ =
= Wfo, z2, ...,^№] по правилу «строка на строку». Из соотношений (37)
следует, что мы получим определитель, у которого на побочной диагонали
(_ \\п (—1)η-ι ι
стоят элементы- — , ,..., —, а выше этой диагонали — нули.
Отсюда имеем: ΔΔ^ = —; таким образом, Aj=£0, и, значит, функции
«о
Z\4 22,..., zn действительно образуют фундаментальную систему сопряжённого
уравнения (32'). Итак, из фундаментальной системы данного уравнения
по формулам (34') без всяких интеграции может быть получена
фундаментальная система сопряжённого уравнения. Решения г^ уравнения (32'),
даваемые формулами (34'), называются решениями, сопряжёнными с у^
Таким образом, интегрирование данною уравнения и уравнения
сопряжённого суть задачи эквивалентные.
3. Формула Коши для неоднородного уравнения.
Функция Грина. Пусть в уравнении (I7) коэффициенты и правая часть
являются непрерывными функциями χ в интервале а<лг<!&. Считая
фундаментальную систему однородного уравнения известною, составим
решение К(х, £) однородного уравнения, зависящее от параметра ξ, а именно,
решение, удовлетворяющее следующим начальным условиям:
К(Ъ, 6) = 0, К'х (ξ, 6) = 0 /ф~2) (ξ, ξ) = 0, К%-1) (S, ξ) = 1. (38)
Тогда частное решение уравнения (1) даётся формулой:
X
Y{x) = J>(*. 6)/(?)«ί«. (380

212 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. V
В самом деле, дифференцируем последовательно равенство (38') η раз по х;
принимая во внимание условия (38), находим:
χ χ
У (χ) = $ К'х (χ, Q/ (ξ) dl ..., y*»-lHx) = J* 4"-» (χ, ξ)/(ξ) άξ,
a a
χ
Υ™ (χ) = f Κ™ (λγ, ξ)/(ξ) rf? +/(л?).
α
Подставляя эти выражения в левую часть уравнения (I7). получаем:
χ
f {**> (χ, ξ) +Ρί (χ)С'1' (*. δ) + ... +Рге (*) Λ" (*. 6) } /(5) ft +/(*)·
α
Но поскольку /С (яг, ξ), как функция лг, есть решение уравнения (З7) при
любом £, выражение в фигурных скобках равно нулю, и подстановка
выражения (387) в уравнение (I7) даёт тождество. Наше утверждение доказано.
Заметим, что полученное решение удовлетворяет начальным условиям:
У (а) = У (а) = ... = У**-1* (а) = 0.
Формуле (3S7) можно придать другой вид. Для этого определим
функцию Грина от двух переменных χ, ξ (аргумента и параметра):
Q(x, Е) = {
0, я<дг<е,
К (χ, i), £<*<£.
Легко видеть, что G, как функция jc, удовлетворяет однородному урав-
нению (З7), всюду кроме значения χ = ξ, где она остаётся непрерывной вместе
сп — 2 производными, тогда как производная (п — 1)-го порядка имеет в этой
точке скачок:
0?-1) № + 0, ξ) - G£-1} (ξ - 0, ξ) = 1.
С помощью функции Грина решение (38) уравнения (I7) может быть
написано в форме определённого интеграла:
ь
VW = f0{x, 6)/(S)dt
Исследуем функцию Грина в её зависимости от параметра ξ. Для этого
построим функцию Грина G\ (χ, ξ) уравнения (31), сопряжённого с
уравнением (I7), в которой роли концов а и b переменены (коэффициент а
предполагается равным 1). Именно, строим решение Afi (·*. £) уравнения (31),
удовлетворяющее условиям:
Κι (5, «) = 0, К'1х (ξ, ξ) = 0 К%Г2) (ζ, ξ) = 0, /CS"υ «. θ = -1.
и полагаем:
Οι (*. 5) = {
К\ (*, ί), я<лг<£,
0, ξ<ΛΓ<^.
Далее применяем формулу (30), в которой положено у = G (х, 6),
ζ— όι(χ, η). Замечая, что в интервалах, не заключающих точек ξ и η, функ-

§ 4] СОПРЯЖЁННОЕ УРАВНЕНИЕ 213
ции G и G\ от χ удовлетворяют соответствующим линейным уравнениям,
в левой части мы имеем 0, в правой части все входящие функции
непрерывны, кроме С/^-1\ 0^г\ претерпевающих разрыв соответственно при
χ = ξ и при χ = η. Поэтому имеем, полагая для определённости ξ < η:
ь
О = f [GXL (G) — GM (GO] d* :
= ЧГ f G, GJ I*"*"0 + Ψ [G, Ο,] Γ"4"0 + Ψ [G, Gt ] |b .
Так как G (λ:, ξ) со всеми производными обращается в нуль при χ =■ аг
а при χ = b το же имеет место для G1 (л:, η), то имеем:
Принимая во внимание формулу (31') для Ψ, а также непрерывность при
х = ξ и л: = η всех производных до порядка η — 2 включительно, мы из
последнего равенства получаем, оставляя лишь члены, где есть разрыв:
C!o+(_1)n-lGirl,oC-o
или, в силу непрерывности G и G\ при χ = % и при\*г = т),
о (η, ξ) = (-!)"· Gift η),
τ. e. G (χ, ξ) как функция ξ есть функция Грина сопряжённого уравнения
с переменёнными ролями концов, в которой χ является параметром.
Пример 8. Найти решение Υ уравнения у" -\-р2у =/(лг),
удовлетворяющее условиям У (0) = У (0) = 0 (р — постоянное).
Функция К(х, £), удовлетворяющая условиям К (ξ, £)=0, Κχ (ζ, ζ) = 1,
здесь будет s\np(x — ξ). Итак, искомое решение есть
К(дг) = J*sln/7(.*r — 6)/(ξ)<β.
ЗАДАЧИ.
143. Каким соотношением связаны коэффициенты уравнения у+ /7i3//~b
-Ьр^ = 0, если два частных решения у\ и _у2 удовлетворяют соотношению
УхУ2 — 1? Найти при выполнении этого условия общее решение.
144. Какая подстановка приводит сразу к уравнению (п — 2)-го порядка,
если известны два частных решения у\ и у2 линейного уравнения гс-го
порядка?
145. Найти общее решение уравнения (2к + 1)у + (4х — 2)у' — 8у = 0,.
зная, что его частное решение имеет вид етх, где т — постоянное.
146. Проинтегрировать уравнение sin2 x *y" -f- sin χ · cos χ »yf =y.

ГЛАВА VI.
ЧАСТНЫЕ ВИДЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ.
В теории дифференциальных уравнений линейные уравнения
являются одним из наиболее интересных отделов. Это
обусловливается как тем, что они относятся к типу уравнений с хорошо
разработанной общей теорией, так и широкими возможностями их
приложений к физике, механике и т. д. Линейные уравнения содержат
несколько классов, для которых до конца решается задача о
представлении общего решения при помощи элементарных функций.
В тех же случаях, когда такая элементарная интеграция невозможна,
часто оказывается необходимым — ввиду важности данного
уравнения, теоретической или прикладной — исследовать свойства его
решений, вводя последние в математический обиход в качестве новых
трансцендентных функций. Для линейных урав! ен 1й такое
исследование оказывается значительно проще, чем для нелинейных, так как
нам не приходится заботиться об изучении зависимости решения от
произвольных постоянных — оно известно из общей теории. Таким
образом, для изучения, например, общего решения линейного
уравнения второго порядка достаточно изучить две функции от одного
независимого переменного χ — два частных решения.
Настоящая глава посвящена тем типам уравнений, для которых
задачи интеграции доводятся до конца, а также изложению
некоторых свойств линейных уравнений второго порядка.
§ 1. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
и приводимые к ним.
1. Однородное линейное уравнение с
постоянными коэффициентами. Рассмотрим дифференциальное
уравнение, линейное однородное /г-го порядка с коэффициентом при
старшей производной, равным единице:
τ г ι dny . dn~^y ι dn~2y . . dy , Λ
или
• dxn Τ "1 dxn-l "Γ "2 dxn-i -Γ·'·-Γ"η-1άχ
L [y] a>W + α,/n-D + a^n-% + -,. + ап.1У' + any = 0. (1)

§ 1] ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 215
В этом параграфе мы будем считать коэффициенты аи
#2, ..., ап постоянными (действительными) числами. Мы
покажем, что в таком случае интеграция уравнения (1) всегда воз-
ложна в элементарных функциях и сводится даже не к
квадратурам, а к алгебраическим операциям.
Заметим, что, в силу общих свойств линейных уравнений, нам
достаточно найти η частных решений, образующих
фундаментальную систему, т. е. линейно независимых.
Постараемся выяснить, какие элементарные функции могли бы
обратить уравнение (1) в тождество. Для этого нужно, чтобы по
подстановке решения в левую часть уравнения там оказались
подобные члены, которые в сумме могли бы дать нуль. Из
дифференциального исчисления мы знаем функцию, которая подобна со всеми
своими производными в смысле элементарной алгебры; этой функцией
является екх% где k — постоянное. Итак, попытаемся
удовлетворить нашему уравнению, полагая
У = е»°9 (2)
где k — постоянное, которое мы можем выбирать произвольно.
Дифференцируя * по χ выражение (2) один раз, два раза, ... , η раз,
мы получим следующие функции:
у = kekx, у" = №екх, ... , yn-i) = kn>~lekx, yn) _ knekx. (3)
Внося выражения (2) и (3) в левую часть уравнения (1), которую
мы обозначим символом оператора L, мы получим:
Llek^ = ekx(k»-[-a1k»-1 + a2k»-*-\- ... +an__tk + an). (4)
В равенстве (4), в правой части, в скобках стоит многочлен я-й
степени относительно k с постоянными коэффициентами. Он
называется характеристическим многочленом, соответствующим
оператору L; обозначим его через F(k):
В этих обозначениях равенство (4) кратко запишется так:
L[ekx\ = ekxF{k). (4'>
Заметим, что характеристический многочлен получается из
оператора L [у], если производные различных порядков в этом
последнем заменить равными степенями величины к. Если выражение (2)
есть решение дифференциального уравнения (1), то выражение (4).
должно тождественно обращаться в нуль. Но множитель екхф§\
следовательно, мы должны положить:
F{k)*Sk» + a1kn-i + a2kP-* + ... + an_tk + an = 0. (б)
Равенство (5) есть алгебраическое уравнение с неизвестным k. Она

216 ЧАСТНЫЕ ВИДЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VI
называется характеристическим уравнением. Если мы в качестве
постоянного k в выражении (2) возьмём корень kx
характеристического уравнения (5), то выражение (4) будет тождественно равно
нулю, т. е. ек& будет являться решением дифференциального
уравнения (1).
Но характеристическое уравнение есть уравнение /г-й степени;
следовательно, оно имеет η корней. В этом разделе мы рассмотрим
случай, когда все эти корни различны. Обозначим их через
fclf &2, ... , kn. (6)
Каждому из корней (6) соответствует частное решение
дифференциального уравнения (1):
(7)
Уг = ек1Х> Λ'
" е > · · · > У η — с
Докажем, что эти решения образуют фундаментальную систему;
для этого составим определитель Вронского:
Wlyv У* ... ,Л,] =
У\ Λ
Ух λ ··
■ Уп
• у'
ι/»-1) ι/»-1)
^м ем
Vм ft/·"
у(П-1)
• s n
екп*
... кпе
= β
,№, + ft2+ .
.. +*„) χ
1
*1
Α?"
-1
1
Κ .
AT1 .
.. 1
. , κη
kn~l
Последний определитель есть известный определитель Вандермонда;
он равен
(*Х— *„)(*, —*„)... (ftl — fcJX
X(k.2 — ks)...(k2 — ku)X
Χ (^71-1 ^jj

§ 1] ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 217
и, следовательно, не обращается в нуль, если все корни
уравнения (5) различны. Таким образом, система решений (7) является
фундаментальной, и общее решение уравнения (1) будет:
у = С/* + С2/«* + · ·. + С,/»* (8)
где Cv С2, ... , Сп — произвольные постоянные.
Пример 1. у" —у = 0. Характеристическое уравнение есть
k2—1=0. Его корни различны и равны соответственно к1 = 1,
ko=- — 1. Отсюда следует, что соответствующие частные решения
Сухут таковы: у1 = ех, y(2=ze^x. А тогда общее решение есть
у = С1е*-1гС7р-*.
Рассмотрим теперь случай комплексных корней. Формально
выражение (8) до конца решает поставленную нами задачу
интегрирования линейного уравнения с постоянными коэффициентами в случае
отсутствия кратных корней характеристического уравнения. Но мы
в этой главе, как и во всём курсе, рассматриваем уравнения только
с действительными коэффициентами; между тем уравнение (5) может
допускать также комплексные корни. Заметим (этим замечанием мы
вскоре воспользуемся), что, в силу того, что коэффициенты
уравнений (5) действительны, комплексные корни входят попарно,
сопряжёнными, т. е. комплексному корню kl = α -f- β/ соответствует другой
корень &2 = α — р/. Если мы напишем решение^, соответствующее
корню kl9 то оно будет иметь вид:
Выражение (9) является, вообще говоря, комплексным числом; мы
имеем дело с комплексной функцией действительного
переменного х.
Всякая комплексная функция f(x) действительного переменного
может быть представлена в виде:
f(x)=*u(x)+iv(x), (10)
где и(х) и v(x) — две действительные функции действительного
переменного; и, обратно, две произвольные действительные функции
и(х) и v(x) дают по формуле (10) комплексную функцию
действительного переменного.
Докажем следующую лемму:
лемма. Если мы имеем комплексное решение вида (10) линей-
ного дифференциального уравнения с действительными {не
обязательно постоянными) коэффициентами
L[y] = 09 (11)
то функции и (х) и v[x) в отдельности являются решениями
(действительными) уравнения (11).

218 ЧАСТНЫЕ ВИДЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VI
В самом деле, из свойств линейного дифференциального
оператора L[y] следует:
L[u(x) + vo (х)\ = L[u (χ)] + IL [ν {χ)]. (12)
По условию леммы^ выражение (12) тождественно равно нулю,
но оба выражения L[u] и L[v] суть действительные функции от х;
тождественное равенство нулю выражения (12) влечёт за собой, таким
образом, два тождества:
L[a(x)] = 0, L[v(x)] = 0t
что и доказывает лемму.
Воспользуемся этой леммой для преобразования решения (9).
Отделяя в нём действительную часть от мнимой по формуле Эйлера,
получаем:
уг = еах · е*$х = е«х (cos рлг -J- / sin {Злг) = е«х cos $x -j- ieax sin β#.
Согласно лемме, мы получаем: комплексному корню kx = a-^-$i
соответствуют два действительных решения уравнения (I)1):
yl = etiXcos$x; у2 = е«х sin β*. (13)
Заметим, что сопряжённому корню &2 = α — β/ соответствует
комплексное решение
которое, очевидно, может быть написано в виде:
у2 = е*х cos βΛΓ — ie*x sin Pa:,
т. е. является (комплексной) -линейной комбинацией тех же
действительных решений (13). Таким образом, мы можем сказать, что паре
сопряжённых комплексных корней характеристического
уравнения (5) соответствуют два действительных частных решения
уравнения (1) вида (13).
Пример 2. Уравнение свободного гармонического колебания
имеет вид:
-ш + ах = 0 \а — постоянное).
Следовательно, характеристическое уравнение будет: &2-}-#2=0,
а его корни будут: k = ±ai. Мы находим отсюда, что частные
комплексные решения будут иметь вид: x1 = eiat, х2 = е~ш9 в то
время как частные решения действительные будут:' xt = cos at,
х2 = sin at.
Общее решение: х= Ct cos#/-J-C2sin#/. Для большей
наглядности полезно ввести новые постоянные, отказавшись от простей-
*) Легко убедиться в том, что эти решения линейно независимы.

§ 1] ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 219
шего, с теоретической точки зрения, вида, когда общее решение
зависит от них линейно. Именно, введём постоянные Л и δ,
связанные с Сг и С2 соотношениями:
C1 = As\nb9 C2 = Acosb;
Л и δ однозначно определяются, если мы введём добавочные
ограничения: А > 0 (равенство нулю означало бы тривиальное решение),
— π<δ^π. Тогда решение представится в виде:
х = A sin(a^4"S).
Геометрически ясно, что интегральные кривые в плоскости xOt
представляют семейство синусоид. Заданное в уравнении постоянное а
называется частотой колебания. Период колебания Г получается при
возрастании аргумента sin на 2π, т. е. при возрастании /на—,
Т== —. Число колебаний в единицу времени ν = —; оно отличается
от частоты множителем -~—. Постоянная интеграции А
характеризует наибольшее по абсолютной величине значение функции χ—ампли~
туду колебания; наконец, постоянная интеграции δ есть начальная
фаза (фазой, вообще, называется значение аргумента функции sin л:
в колебательном движении).
Пример 3. Уравнение свободных упругих колебаний при
наличии сопротивления приводится к виду:
ж+2й4г+а2*=0 (й>°)·
Рассмотрим случай, когда η — малое число, во всяком случае я<я.
Тогда корни характеристического уравнения будут:
*,==_ я + /1/д2— п\
k2 = — η — ίγα2—η\
соответствующие действительные решения:
*! = e'nt cos Y a2 — /ι21,
x2 = e~nt sin γcfi— n2 ^
и общее решение будет:
х = e-nt (Cj cos Υ a* — n* /+ C2 sin Υ a2 — n2 /),
или
x=Ae-** sin (Ya* — n21 + a)
(А и а — произвольные постоянные).

220 ЧАСТНЫЕ ВИДЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ГГЛ. VI
Можно рассматривать это движение, как колебательное с
частотой Υ а2 — n2 = al/ 1 —; эта частота, в случае если η мало
по отношению к я, весьма мало отличается от частоты я, которой
обладало бы движение при отсутствии сопротивления; α попрежнему
есть начальная фаза; но в качестве амплитуды приходится
рассматривать функцию от /, Ae~nt.
Эта функция убывает со временем, т. е. мы имеем дело с
затухающим колебанием.
В течение одного колебания, т. е. полупериода — = —. _
первоначальная амплитуда получает множитель е Уа2~п3; логарифм
ηπ
этого выражения с обратным знаком, т. е. _ .·, называется лога-
Ϋ д2 — я2
рифмическим декрементом колебания.
Пример 4. у'"-\-у = 0. Характеристическое уравнение №-\-\ = 0,
1 τ/ΊΓ
,ею корни-^ =—1, k^ = -^±l\-. Следовательно, общее реше-
ние имеет вид:
у = с1е~х-\-е 2 \С2 cosx ~—|-C3sin.*· ^р)·
Рассмотрим теперь случай кратных корней характеристического
уравнения. Если среди корней уравнения (5) существуют кратные,
то количество различных в ряду (6) чисел будет < п, и,
соответственно, число линейно независимых частных решений вида (7) будет
меньше п\ этих решений недостаточно для получения общего ргше-
ния. Для получения недостающих решений изучим выражение
линейного оператора L от произведения двух функций uv.
По формуле Лейбница имеем:
(uv)W = uWv + ( " ) ufr-lW +
,(**)<»-1> = ufr-Vv + (я γ1) u&-2W +
(uv)" = и" ν + 2u'v' + uv",
(uv)' = и'ν -j- uv',
uv = uv.

§ 1] ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 221
Умножая первую строку на 1, вторую на av ..., последнюю на ап
и складывая, получим:
Lluv\ = vL[u\-\—^-Ll[a]-\—^L2la]-\- ...
··· + (/i — i)i L»-itg1 + -^-A»[g1- (14)
Здесь введены обозначения:
L [j;, =>у(Я)+а1<у(Я-1)+ .. . + ап_2/' + я„_1/ + яп.у,
^Lrt-ziyi^+i* — 1)Льу(»-«>+ .. . +2а?;_2/+^^^,
12[^] = я(д— 1)У«~2) i-
+ (я- 1)(я —2)а,.у(»-») + ... +2 . 1 . ап_2у, ] (15)
К^[у] = п(п—1)...2у + (п—1)(п — 2)... bflj,
Ln[y] = n(n—l)...2-l.y.
Операторы Lr[y], r=l, 2, ..., η составлены из L[y] no правилу,
аналогичному правилу дифференцирования многочлена, только роль
показателей играют указатели порядка производной.
Формула (14) применима к любому линейному оператору. Если,
в частности, коэффициенты аи а2, ..., ап суть постоянные, то
каждому оператору Lr [у] соответствует характеристический
многочлен Fr(k), причём легко видеть, что Fr(k) есть r-я
производная по ft многочлена F(k), соответствующего оператору L[y\:
Fr(k) = flr)(k). (16)
Вычислим теперь выражение (14), если и = екх, v = xm, где т —
целое неотрицательное число.
Мы получим/
L [*»***] = x™L [е**] + ™ xm-iLt [е**\ + m(jyz^1) хт-ъц [еы} + _
или, так как, в силу формул (4') и (16), мы имеем:
Lr [еъ*\ = e**F{r) (/^
получим:
L [х»е**\ = е**|x»F(ft) + (*) x™~lF' (ft) + (^x™-*F" (ft) + ...
··■+ (mu-i)^(M-1)№ + /7^(^)}. (17)

222 ЧАСТНЫЕ ВИДЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. V!
Пусть теперь k{ есть корень характеристического уравнения (5)
кратности τηλ\ тогда, как известно,
Если в выражении (17) взять показатель т при χ меньшим, чем ти
то все члены в скобке правой части обратятся в нуль;
следовательно, мы получаем т1 частных решений дифференциального
уравнения (1), соответствующих корню kt:
ек&у хек&, х2ек&, . .., *i»i-i*M. (18)
Аналогично, если имеются другие корни характеристического
уравнения, к.г кратности /я2, ..., kp кратности трл т%^\, причём
/Wj -f-m2-\- ... + тр = п, и все kr уже различны *), то им будут
соответствовать частные решения:
ек*х, хек^9 .. ., х™*-1 ек*х,
к„х к^х Wn-1 kOx
еи%хер>...%хи е μ .
(18')
Совокупность решений (18) и (180 Даст в общем случае кратных
корней η частных решений. Остаётся доказать, что они образуют
фундаментальную систему.
Допустим, что между этими решениями существует тождественно
линейное соотношение:
2(4'·' + 4^+...+^_1ΛΓ,η'·-1)^=2^(ΛΓ)Λ3' = 0, (19)
»·=1 r r=l
где коэффициенты А(р— постоянные. Без ограничения общности
можно предположить, что в многочлене Рр(х) по крайней мере один
коэффициент отличен от нуля. Разделим обе части этого
соотношения на ек*х:
Р1(х)±%Рг(х)е(кг-к1)х = 0.
Г = 2
Дифференцируя последнее (предполагаемое) тождество т1 раз по х,
мы вместо первого многочлена получим нуль, а все многочлены,
стоящие множителями при показательных функциях, заменятся новыми
многочленами тех же степеней, и мы получим новое тождество:
J2Qr(*)e(*r-*i)<e = 0. (19')
Г=2
*) Конечно, некоторые корни kr могут быть простыми, тогда
соответствующее число тг = 1.

§ 1] ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 223
Очевидно, что Qp(x) не равно нулю тождественно. Сумма (19')
содержит уже ρ—1 слагаемых; продолжая тот же процесс, мы придём,
наконец, к тождеству:
Rp(x)ek*~kP~l)X = 0. (19*)
(к —к __*)сс
Но тождество (19") невозможно, так как е р р 1 фО, а
многочлен Rp(x), будучи той же степени, что Рр{х)> имеет по крайней
мере один коэффициент отличным от нуля и не тождественно равен
нулю.
Примечание. То же рассуждение может быть применено и
к случаю различных корней; тогда все многочлены Рг имеют
нулевую степень; после деления обеих частей равенства (19) на ек&
достаточно одного дифференцирования, чтобы получить равенство вида (19').
Доказав линейную независимость частных решений (18) и (18'),
мы можем написать общее решение уравнения (1) в случае кратных
корней в виде:
У=%Ог{х)е**, (20)
где Gr(x) есть многочлен степени тг — 1 с произвольными
коэффициентами. Число произвольных постоянных в
выражении (20) равно
т. е. порядку уравнения, как и должно быть.
В случае комплексных кратных корней характеристического
уравнения выражение (20) неудобно, так как оно окажется комплексной
функцией действительного переменного х. Заметим, что комплексные
корни войдут попарно сопряжёнными с одинаковой кратностью. Если
корень k1 = a-\-$i [β φ 0] имеет кратность mv то сопряжённый
корень &2 = α — β/ имеет ту же кратность. Соответствующая корню кг
совокупность решений (18) будет:
Пользуясь леммой, доказанной на стр. 217, мы отделим в
выражениях (18") действительные части от мнимых и получим, таким
образом, 2т1 решений:
еах cos β*, хе** cos рдг, ..., λγ^-ι^ο» cos β*,
е™ sin βΛΓ, хеах sin βχ, . .., jtwi-V* sin рлг.
Подобные решения могут быть построены для любого из остальных
корней. Таким образом, мы всегда получим действительные решения
в числе, равном порядку уравнения.

224 ЧАСТНЫЕ ВИДЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VI
Пример 5. у'"—у"—у' -]-у = 0. Характеристическое
уравнение: k6 — &2—Дг —f— 1 = 0, его корни: k^=k.2=\, &3 = —1. Общее
решение
у = е*(С1 + С9х) + Съе-*.
Пример 6. ylY-\-8y"-\- 16д/ = 0. Характеристическое
уравнение: fc* + 8A;2+16=0, или (^ + 4)2 = 0. Его корни:
kx = k.2 = 2/; къ = k4 = — 2/.
Общее решение:
у = (С1-\- С2х) cos 2х -j- (C3 -|- С4лг) sin 2лг.
ЗАДАЧИ.
Найти общее решение уравнений:
147.УУ-г-2у" = 0.
148. у'" — Зу" + Зу' — у = 0.
149. Уу + 4у = 0.
150. Уу —j/ = 0.
151. 2у"+у'— у = 0.
152. У ν + 2/" + ЗУ + 2/ + jf = 0.
2. Неоднородные линейные дифференциальные
уравнения с постоянными коэффициентами. Если дано
линейное дифференциальное уравнение с постоянными
коэффициентами:
L[y]=V(x)y (21)
то, так как мы всегда умеем решить соответствующее однородное
уравнение, изложенный в главе V метод вариации постоянных, во
всяком случае, позволяет найти квадратурами частное решение,
а следовательно, и написать общее решение. Мы в этом параграфе
остановимся главным образом на тех случаях, когда частное
решение находится без квадратур.
Начнём с одного замечания, относящегося к любому линейному
уравнению с правой частью.
Если имеем уравнение
L\y]=Vi(x)+V2(x),
то, обозначая через Уг и Г2 соответственно частные решения
уравнений:
Цу]=Ух(х\ L\y]=V2(x),
мы получим его частное решение в виде:
Υ^Υ,+ Υ,.

§ 1] ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 225
В самом деле, мы имеем:
L[Y1 + Y2] = L[Y1]-{.L[Y2}.
Но, по условию,
откуда
L[Y1-\-Y2]^V1(x)-\-V2{x),
что и требовалось доказать.
Мы укажем способ нахождения частных решений линейного
уравнения с постоянными коэффициентами вида
к
L [у] = 2 ?г Μ е*гХ \Рг (х) — многочлены]
г = 1
без квадратур, одними рациональными операциями.
На основании предыдущего замечания, достаточно уметь находить
частное- решение уравнения вида
ВД = Ят (*)*** (22)
где Рт(х) = ртхт-\- ... +Ро есть многочлен степени /гс^О.
Нам придётся рассмотреть два Случая.
1) а не является корнем характеристического
уравнения, F(a.)zfc.O. Мы докажем, что в этом случае существует
частное решение того же вида, что и правая часть, именно:
y=Qm(x)**x, (23)
где
Рассматривая коэффициенты qm, qm_v ..., q0, как неизвестные,
покажем, что их можно определить так, чтобы выполнялось следую*
щее тождество по х:
или
e-**L [Qm (х) **χ] = Рт (*)· (220
Мы можем вычислить левую часть, применяя формулу (17); мы
найдём, обозначая попрежнему характеристический многочлен
через F(ol):
e-'»L[Qm(x)**] =
+?m-i{*M-l'7(«)+(VV^^
• · · + Чх [xF(*) + F' (a)} + q0F(a). (24>

226
ЧАСТНЫЕ ВИДЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VI
Приравнивая выражение (24) многочлену Рт{х) и отождествляя
коэффициенты при одинаковых степенях х, получим т -\-1
уравнений с /»—|— 1 неизвестными q0, qu ..., qm:
Ят-1Р(°) + Ят (7) F' («) = Рш-ι,
Ят-^(«) + Яш-ι (mTl)F' W + *»(2)F"(«) = A.-»
fe-r'?(«) + ^-r+l(,B"lr+ )^(«) +
(25)
+fa-r+i("~2r+2)''»4-... +*.(") гою-д.^
?0/7(«)+?j/:"(«)+?2/?"(«)+^"/(«)+· · .+^(*)(«) =Po-
Так как, по условию, α не является корнем характеристического
уравнения, то F(a)zjbO. Система (25) даёт возможность
последовательно вычислить qm, qm_v ..., q0:
a = Pm
Ят-
= ψ{^ (Pm-i — ?m(7 ) ^ («)) =*
— Pm-l (m\ Pm g//tt\ и т _
Таким образом, мы находим искомое частное решение (23)
(разрешимость системы (25) относительно q09 qu ..., qm можно сразу
усмотреть из того, что её определитель равен [F(a)]m+i фО).
2) Пусть теперь α является корнем
характеристического уравнения кратности г^1. Тогда F(а) = F'(а) =
= ... =/7(г-1)(а) = 0, F(y> (а) φ 0. Формула (17) показывает, что
в этом случае L [ег,ххт\ есть произведение £аа? на многочлен
степени т — г. Чтобы получить в результате подстановки в левую часть
уравнения еах9 умноженное на многочлен степени т, естественно
искать частное решение в этом случае в виде:
Υ = x'Qm (χ) е™ = е™ (qmx™+' + im-i*"""-1 + ... + q**). (26)
Подставляя это выражение в уравнение (22) и требуя, чтобы (26)
было решением уравнения, мы приходим к условию:
e-"L[xrQm{x)**]=Pm{x).
(260

§ И
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
227
Опять вычисляем левую часть, пользуясь формулой (17) и помня, что
/=·(α) = /7/(α)= ... = Яг-1>(а) = 0, Я'>(«)^0. Имеем:
e~a!eL\xrQm(x)eaX] =
+(т J" Г.7') аг"-2^^1) («)+... 4-/7(то+г-1) («)} + · · · +
+* {С ΐ*) * ^ (а)+яг+1) (а)1+*>Яг) (а)· {27>
Подставляя выражение (27) в равенство (26') и приравнивая после
этого коэффициенты при одинаковых степенях χ в обеих частях
равенства (26'), опять получаем систему т-\-\ уравнений для
определения q0, qv q2, ..., qm:
('»+;-1)^)(a),ra.1+(-+;)m1)(«),w=pm_1)
/+1)^+1ч«)^-г+1+
(«+;-/)^(«)fa-,+("+;+1
(28j
&r) («) % + ^r+1) («)?! + .··+ F(r+m) («) Я» = Po-
Определитель системы (28) равен
поэтому все неизвестные q{(i = 0, 1, 2, ..., т) определяются
однозначно, и мы получаем решение вида (26).
Итак, мы приходим к следующему результату: частное решение
линейного уравнения с постоянными коэффициентами и с правой
частью вида Рт (лг) е«х может быть найдено в виде xrQm (χ) е«ху где
г^О есть кратность корня α характеристического уравнения,
Qm есть многочлен той же степени, что Рт.
На практике для нахождения частного решения обыкновенно пишут
его в форме (23) или (26) с неопределёнными коэффициентами
у многочлена Qm(x). Подставляя это выражение частного решения
в заданное уравнение, сокращая на е*х и приравнивая коэффициенты
при одинаковых степенях х, получают систему линейных уравнений

228 ЧАСТНЫЕ ВИДЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VI
для этих коэффициентов. По доказанному, эта система всегда имеет
определённые решения.
Пример 7. Решить уравнение у"' -\-у" = х2 + 1 + Злге*. Согласно
сказанному в начале этого п° (стр. 224), мы можем искать частные
решения двух уравнений: у'"-\-у" = лг2-|-1 и ут -\-у" = Ъхех.
Характеристическое уравнение, очевидно, имеет вид: k?-\- k2 = 0, его
корни: &J = k2 = 0, &3 =—1. Рассмотрим сначала первое уравнение;
в правой части нет показательного множителя, следовательно, а = 0;
но нуль есть двукратный корень характеристического уравнения;
поэтому мы, согласно изложенному выше, должны искать частное
решение в виде Y1=x<2Q2(x) = a2xi-\-a1x^'{-a0x2. Находим:
Υι = 12 а2х2-\- 6а1х-{-2а0, ^ι= 24я2лг-{- 6я1#
Подставляя в уравнение, получаем:
24^ + 6^ + 12а2х2-\-6а1х + 2а0 = лг2 + 1.
Приравнивая коэффициенты при равных степенях лг, находим систему
уравнений: 12я2=1, 24α2+6α1=0, 6^1-j-2a0=l. Из неё
определяем коэффициенты: а2 = -τψ, а = ~- > #о = у » следовательно,
113
Yi = -j^xi — уд;3-|--2 л:2. Переходим ко второму уравнению; здесь
a = 1 не является корнем характеристического уравнения. Ищем
частное решение'в виде Y2 = ex(b1x-\-b0). Находим: У2 = еХ(Ьгх +
+ *ο + *ι)> Κ = ^(*ι^ + *ο + 2*ι). ^" = ^(ν + *ο + 3^);
подставляя в уравнение и сокращая на £ж, получаем: ^лг-^оЦ-З^-|-
-(- ^л: -j- b0 -f- 2^ = Злг. Приравниваем коэффициенты: 2^ = 3,
3 15
2^ + 5^ = 0, откуда £]= — , £0 = j-. Искомое частное
решение: К2 = ех(-^х — J. Общее решение данного уравнения есть
Cv C2, C3 — произвольные постоянные.
Если правая часть уравнения (21) имеет вид:
еаХ cos β* · Рт (χ) или е«х sin βχ · Рт (χ),
где Рт — многочлен степени т, а α и β — действительные числа, то
этот случай легко привести к предыдущему, замечая, что cos β* или
sin βΛΓ выражаются линейно через показательные функции е^х и е~€$х.
Так как sin β* и cos β* выражаются через одни и те же
показательные функции, то естественно рассматривать правую часть более
общего вида: e^lP{^(x)cos^x^P^}(x)sm^x}. После замены триго-

§ 1] ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 229
нометрических функций показательными это выражение обратится
в такое:
По предыдущему, мы должны искать частное решение в виде:
е^'оЩЫ + Р-П'&Чх), (29)
если α± β/ не являются корнями характеристического уравнения;
если же α± fii суть корни характеристического уравнения
кратности г, то выражение (29) должно быть умножено на лгг. Легко
видеть, что из системы уравнений (25) или (28) для определения
коэффициентов многочлена Q^ соответствующая система для Qm
получается переходом к комплексным сопряжённым значениям
коэффициентов уравнений; следовательно, коэффициенты многочлена Q„f
окажутся комплексными сопряжёнными с соответствующими
коэффициентами многочлена Q^ . Поэтому, отделяя действительную часть от
мнимой, мы получим: если Qm} (х) = Q*m (х) + iQ*m 0*0> т° Qm (х) =
= QmO*0 — /Qm W. Вставляя эти многочлены в выражение (29) и
переходя снова от показательных функций к тригонометрическим,
находим искомое частное решение:
Y = eax{ 2Q*m {χ) cos β* — 2QZ (χ) sin β* }.
Это выражение уже не содержит комплексных величин.
В случае, если α ζ£ β/ суть корни характеристического уравнения
кратности г, предыдущее выражение надо умножить на хг.
Итак, имеем окончательно: частное решение линейного уравнения
с постоянными коэффициентами и с правой частью вида
еах { cos βΛΓ. Рт> (χ) + sin β* . Pm] (χ)}
можно найти в форме хг еаХ (cos fix . Q(,„ (лг) -f- sin fix · Qm] (x) },
где Qm] и Qm—многочлены той же степени, что Рш] и Рт] (или
наибольшей, если эти степени не равны), а /\^>0 есть кратность
корня α ±. fii характеристического уравнения.
На практике опять пишут многочлены Qm} и Qm] с
неопределёнными коэффициентами, подставляют в уравнение и приравнивают
коэффициенты в обеих частях при выражениях вида Λτ^08βΛΓ и
х1 sin βΛΓ (/=r, r-j-l, ..., r-\-m). Впрочем, иногда удобно
производить вычисления и с мнимыми показателями.
Пример 8. Проинтегрировать уравнение: у"—у = χ cos χ · ех.
Выражение <x±fii= 1±ί не является корнем характеристического
уравнения k2—1=0; поэтому частное решение ищем следующим
образом: представляем правую часть в виде -^ xeil+i)x -\--~ хеР-~ **х

230 ЧАСТНЫЕ ВИДЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ГГЛ. VI
и ищем частное решение уравнения у"—y = -^xe^1+i)x в форме
Yt = (Ах -f В) е<1+*>х. Имеем:
Y[ = lA{l+l)x + B(l+i) + A]eW9
Y'[=\2iAx-\-Wi-\-2A{\-\-i)\e{1+i)x.
Подстановка в уравнение даёт:
2/ — l)Ax + [(2i— 1)Я + 24(/+1)] = 1*.
л —1—2/ D 7 — i
откуда Л = ^ , 5 = -gg-.
Итак, Yt = ( ^— х + ~25~) e(1+i)x · Решение У2
уравнения у"—y = -^xe^~i)x будет комплексным сопряжённым с Yt:
К2 = Г~" J"—•^ + "^-)^(1"<)Λ· Складывая Fj и F2 и переходя
к тригонометрическим функциям, получаем частное решение заданного
уравнения в виде К = еачГ ^ x^^jcos x^(^ x^-^rjsinxl.
Для нахождения общего решения достаточно прибавить к Υ
выражение Clex-\-C<ie~x— общее решение соответствующего однородного
уравнения.
Предлагаем читателю для сравнения найти это частное решение,
задавшись сразу его действительной формой:
Y = ex{(Ax-}-B)cosx-\-(Cx-\-D)smx}.
Пример 9. Уравнение упругих колебаний без сопротивления
при наличии возмущающей периодической силы имеет вид (ср.
пример 2):
^~2 -\-a?x = psm(nt (а, р и ω — постоянные).
Корнет характеристического уравнения здесь равны ζϊζαί, правая часть
содержит показательные функции e±0>it. Возможны два случая:
1) ω φ а (частота возмущающей силы не равна частоте
собственных колебаний системы). Тогда частное решение должно иметь вид:
х = α cosco^-j-β sin ω/; подставляя его в уравнение, находим: a = 0,
β = 2_ 2 ; общее решение, х = As\n(at-\-b)-\—2_ 2 sincol, пока-
зывает, что движение получается наложением собственного колебания
системы с частотой а и вынужденного колебания частоты ω,
совпадающего по фазе с возмущающей силой, если а > ω, и
отличающегося на π, если а < ω; амплитуда его пропорциональна амплитуде
возмущающей силы и величине . ν 2. ; она очень велика, когда со
мало отличается от а.

§ 1] ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 231
- 2) ω=α. Частное решение надо искать в виде Х = t(a cos at-\-
-f- β sin at); тогда Χ" = —аЧ (α cos at-\~ β sin at)—2αα sin at-\- 2ря cosatf.
Подставляя в уравнение, находим α = — у-, β = 0. Общее решение
уравнения имеет вид: дг = Л sin (#£-{-δ)— -— t cosat. Второй член
показывает, что амплитуда колебания неограниченно возрастает; это—
так называемое явление резонанса, имеющее место при совпадении
собственной частоты системы и частоты возмущающей силы. В
астрономии член, имеющий вид произведения периодической функции на
степень переменного, называется «вековым членом».
Пример 10. Уравнение колебаний при наличии сопротивления и
возмущающей периодической силы (ср. пример 3) пишется так:
d2x . 0 dx . η ,
d& + 2ndi + ax=zPsin<aL
Предполагая η малым (я<#), находим, что корни характеристического
уравнения равны n±iY a2— η2. Так как правая часть в
показательной форме содержит функции e±ii3it, то частное решение надо искать
в форме
Χ=ζ Μ cos ω^-j- iVsin ωί.
Тогда X' = —Λίω sin ω/-]- Mo cos ω/, Χ" = —Μω2 cos ωί— Νω2 sin Ы.
Сравнение коэффициентов при sinatf и cos ω/ даёт два уравнения:
— 2ηωΜ + (а2 — ω2) Ν= ρ,
(cfl — ω2) м + 2ηωΝ= 0,
откуда
м_ —2гш-р дг (а2 — ω») ρ
' — (fl2 — ω2)2 4- 4Л«0>2 ' V """ (α» — ω2)2 + 4/Z'^2
Искомое частное решение:
у — 2/Ζω/7 COS ω/ -f" (д2 — a>2) ρ Sin ω/
(α2_ω2)2 + 4η2ω2
Вводя амплитуду Υ Μ2 -f-iVa и начальную фазу δ = arctg -rj-, или
0 = —arctg 2__ 2 , мы можем написать это решение в виде:
Х= —r=J= sin (ω/ + δ).
В примере 3 мы видели, что общее решение однородного уравнения
имеет вид: Ae~nt sin (Υ α2— n2t-\-a); оно представляет свободное
затухающее колебание, и после значительного промежутка времени
его влияние на движение системы оказывается ничтожным; для
больших значений / главное значение имеет член, определяющий

232 ЧАСТНЫЕ ВИДЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VI
вынужденное колебание. Его частота равна частоте вынуждающей
силы, его амплитуда пропорциональна амплитуде ρ этой силы, и
велика, когда а близко к ω; знаменатель в этом случае мал, так
как η мало; это — явление резонанса. Заметим, что, в
противоположность случаю отсутствия сопротивления, колебания хотя и велики,
но не возрастают неограниченно; практически, однако, эта разница
несущественна при очень малом п. Наконец, фаза δ вынужденных
колебаний не совпадает с фазой силы при пфО; замечая, что sin δ
имеет знак М, т. е. всегда отрицательный, заключаем, что —π <δ<0,
т. е. фаза колебания всегда запаздывает сравнительно с фазой силы;
это запаздывание мало при малых частотах ω, оно заключено между О
и—γ, если ω<α, равно — -^ при полном резонансе (ω = α) и
заключено между —— и —π, если ω>#.
Если правая часть линейного уравнения с постоянными
коэффициентами не имеет вида одной из рассмотренных форм, то остаётся
метод вариации постоянных для нахождения частного решения.
Рассмотрим важный для приложений случай.
d2x
Пример 11. Уравнение -^ +а2дг = φ (t). Фундаментальная система
однородного уравнения есть хг = sin at, дг2 = cos at. Согласно общей
теории предыдущей главы, ищем частное решение в форме X — Сх sin at-\-
-\-C2cosat, где Сх и С2 — функции от t, подобранные так, чтобы
удовлетворялось заданное неоднородное уравнение. Для определения
их производных по t имеем два линейных уравнения [см. главу V,
уравнения (27), стр. 202]:
Ci sin at-\- c'2 cos at= 0, C[ cos at— C2 sin at= — φ (t),
откуда получаем: £Ί= — φ (t) cos at, C'2 = o{t) sin at. Отсюда
t t
находим Ct и C2: Cj = — φ (τ) cos ατ dz, C2 = ο{τ)ύηατάτ%
й о о
Внося их значения в выражение для X, находим:
t t
X=s\nat— y(z)cosazdz— cos at * — φ (τ) sin ατ άτ.
ο ο
Внося множители sin at и cos at под знаки интегралов и объединяя
оба интеграла, получаем окончательное выражение для частного
решения в виде:
ΛΓ(/) = 1 Γ φ (τ) sin α(^— τ)άτ.

§ 1] ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 233
Легко проверить, что это частное решение удовлетворяет
начальным условиям:
*(0) = 0, *'(0) = 0.
3. Применение тригонометрических рядов к
нахождению частного решения. В приложениях часто
встречаются уравнения вида:
L\y)=V(x)y
где L[y]— линейный дифференциальный оператор с постоянными
коэффициентами, a V(x)— периодическая функция, период которой
предположим равным 2π. Для простоты рассуждений мы
предположим, что оператор L — второго порядка и не содержит члена с
первой производной,, т. е. L[y] =у"-\- qy*). Функцию V(x) мы будем
писать в виде разложения в тригонометрический ряд Фурье. Итак,
имеем уравнение:
со
L [у] ^у" + qy = V(χ) ~ Ц- + 2 («» cos nx + К sin nx) 2), (30)
П = 1
где q—постоянное. Ищем частное решение Y(x) тоже в виде
тригонометрического ряда с неопределёнными
коэффициентами:
оо
Y(x) = ^^^(Ancosnx + Bnslnnx). (31)
Подставляем ряд (31) в уравнение (30) и подбираем его
коэффициенты так, чтобы равенство (30) удовлетворялось формально (т. е.
мы пока не ставим вопроса о сходимости входящих в рассуждение
рядов). Приравнивая свободные члены, имеем:
•ю-
f> или «7-^=.^,
Ρ
— — χ
!) Если L[y]=y"-\-py'-\-qyy то подстановка у = е 2 ζ приводит L
Ρ
к виду е 2 \z" +\q — f-^Λ \z\. Аналогично в линейном операторе
л-го порядка L [у] = у{п)+ ρ^η"^ +р2у{п"2) + ... с постоянными коэф-
-*±х
фициентами подстановка у = е п ζ уничтожает член с у{п~Ч Указанием,
что такая форма уравнения упрощает рассуждения, я обязан А. И. Плеснеру.
2) Мы пишем вместо равенства знак~, так как нас не интересует
сходимость ряда в правой части.

234 ЧАСТНЫЕ ВИДЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VI
откуда А0 = —. Сразу видно первое необходимое условие
существования решения вида (31): если а0фО, то необходимо дфО (если
gr = 0 и #0=0, то коэффициент А0 остаётся неопределённым).
Затем приравниваем в обеих частях члены, содержащие cosnx и
sin nx, т. е.
L [Ап cos nx -\- Bn sin пх\ = ап cos nx -f- bn sin лгд;. (32)
Раскрываем левую часть, замечая, что
L [cos nx] = (— я2 -f- ^) cos nx, L [sin яд;] = (— n2-\~q) sin яд;.
Приравнивая, далее, коэффициенты при cosnx и sinnx в обеих
частях (32), находим:
Ап = р—, Вп= J*.— (33)
Для того чтобы формулы (33) имели смысл, необходимо, чтобы
не было —n2-\-q = 0. Но равенство Возможно только, если q = n2,
т. е. для оператора L[y]=y"-\-n2y. В этом случае однородное
уравнение имеет периодическое решение с частотой я, и член правой
части ancos nx-\-bns\n nx находится в резонансе с этим решением;
поэтому a priori нельзя ожидать периодического решения (если при
этом дп = #п = 0, то резонанса не будет, периодические же члены
Ancosnx-\-Bns\nnx с произвольными Ant Bn входят в общее
решение однородного уравнения). Итак, предполагая, что резонанса
нет, мы получаем формальное решение уравнения (30) в виде
тригонометрического ряда:
оо
у<*>-§■ +Σ (-l^rqcosnx-7^-qsinnx)' (34)
Остаётся доказать, что ряд (34) действительно сходится и
удовлетворяет уравнению (30). Это легко вытекает из следующих
соображений. Коэффициенты Фурье ani bn функции V(x) по известному
свойству коэффициентов Фурье стремятся к 0; следовательно,
начиная с некоторого я, имеем |ял|<1, |*»|<1> с Другой стороны,
множитель -= для достаточно большого η положителен и не пре-
ηΔ — а
А
вышает — (А > 0 — постоянное). Итак, члены ряда (34), начиная
с некоторого, не превышают по абсолютной величине
соответствующих членов сходящегося числового ряда 7j —, т. е. ряд (34)
сходится равномерно. Докажем, наконец, что найденная функция Y(x)
удовлетворяет уравнению (30). Составим выражение:
-qY+V(x);

§ 1] ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 235
это — непрерывная функция х; её ряд Фурье, получаемый как
линейная комбинация рядов для Υ и V, в силу формул (30) и (34),
будет:
Я=1
~ь ~y ~^ Σ (β*cos ηΛ; "i" ^n sin λλγ^ =
?ι=1
Σ055
η2αη . η26η . \
η cos ял;4- ν sin ηχ)
η~\
q ] ri* — q
Получившийся ряд Фурье есть дважды продифференцированный
ряд (34); следовательно, представляемая им непрерывная функция
есть вторая производная от К (л;)1), и мы имеем тождество:
Y°{x) = —pY-\-V(x)9
т. е. Y(x) удовлетворяет уравнению (30).
Тот же метод и то же рассуждение применяется к уравнению
л-го порядка:
У(П) + Р2у(п-2) +... + РпУ = ν (χ) ~
ОО
~ -γ-+2 ^w cos mx "^"bm sin mx^
Ш = 1
с постоянными коэффициентами. Коэффициенты решения для η = 4
имеют значения;
Λ — i^-
(nt-P*?+ptf + l\i# '
в _ —Рътат + (т*—р2т*+рА)Ьт
(m*-p2m*+Pt?+plm* '
Примечание 1. Если V(x)9 разлагаемая в ряд Фурье, не
является непрерывной функцией, то приведённое рассуждение
показывает, что Y(x) удовлетворяет уравнению в каждом интервале
непрерывности V (х).
1) В этом факте проще всего убедиться, интегрируя полученный ряд
Фурье два раза.

236 ЧАСТНЫЕ ВИДЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VT
Пример 12. Найти периодическое решение уравнения У—у =
= V(x\ где
( + 1 Для 2£π < χ < (2ft + 1) π,
V(*)= J _1 для (2£_1)π<Λ;<2£π (ft = 0, ±1, ±2, ...).
Известно, что
т// ч 4/. , sin Зл: , , sin (2л +1) л: . \
Κ(ΛΓ) = -(51η^ + -3-+.·.+ 2„ + / +■·■)·
4 1
Здесь у нас ? = —1, ап = 0, *2я = 0, ^2n+] = — 2^p-f.
Следовательно, согласно формуле (34), искомое решение представляется
рядом:
sin л: sin Зл: sin (2я + 1) л: \
"~2 3(9+1) ~ ' "— (2я+1)[(2п + 1)2 + 1] — ··' /·
•w-4{-
Этот ряд представляет непрерывную периодическую функцию и
удовлетворяет уравнению всюду, кроме точек 0, ±π, :±:2π, ...,
где правая часть уравнения имеет разрыв.
Примечание 2. Если характеристическое уравнение имеет
корни ± ni, то член ип (х) = ап cos nx -f- bn sin nx
тригонометрического ряда в правой части даёт резонанс; в соответствующем члене
ряда (34) коэффициенты имеют 0 в знаменателе. Чтобы найти
частное решение, напишем правую часть в виде (V(x) — #»(·*θ)-τ~ #»(·*)·
Ряд Фурье для V(x)*^. un(x) не содержит члена с частотой я, он
даёт начало частному решению вида (34); затем отдельно решаем
уравнение: L [у] = ип(х); его частное решение имеет вид:
x(Ancosnx-\-Bns\nnx); член же вида Апcos nx-f-Bn sin nx с
произвольными Ап и Вп войдёт в общее решение однородного
уравнения.
Итак, решение получится как сумма периодических и векового
членов.
ЗАДАЧИ.
Найти общее решение уравнений:
153. у — 4у' + 4у = х\ 1eft „ ^ — *-*
154. у —6/ + 8у = е* + ё*>. 159' У "У = ^ + г-а>"'
155. у + у + у + jf = χΛ 160. у — 2у = 4лг2^2.
156. yv — 4у"' + 6у" — 4y+j/=(jc+l) Λ 16ί. У + jj = sin χ sin 2лг.
157.y + 4y = *sin2* 162. У + 9j, = ln| 2 sin-£ I.
— χ V~3 I '
158. У +У +j/ = e 'г sin —^—. Указание. Разложить
2 правую часть в ряд Фурье.
4. Уравнения, приводящиеся к уравнениям с
постоянными коэффициентами. Если с помощью замены
переменных мы сумеем линейное уравнение с переменными коэффициен-

§ 1] ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 237
тами преобразовать в уравнение с постоянными коэффициентами, то
мы с помощью обратного преобразования найдём в элементарных
функциях решение данного уравнения.
Пример 13. (1—χ*)τύ — х-г--\-п2у=0. Делаем замену
независимого переменного л; = cos φ; тогда
dy dy dy 1 dy
dx rfcp dx sin φ dy '
d2y _J d_ / 1 dy\ 1 d2y cos φ dy
dxz Sin φ fifcp \ Sin φ έ3?φ/ Sin2 φ fifcp2 Sin3 φ flfcp *
Подставляя в уравнение, получаем ~^-^п2у = 0. Следовательно
фундаментальная система преобразованного уравнения будет; ух =
= cos#<p, y2 = sinnv. Возвращаясь к переменному xt имеем:
ух = cos n arccos x, y2 = sin n arccos χ.
Функция yt(x) при η целом является многочленом степени п, так
как cos по выражается в виде многочлена от cos φ1). Это — так
называемый многочлен Чебышева лг-й степени2)
Тп (х) = cos n arccos x.
Пример 14. Уравнение Бесселя имеет вид:
*) В самом деле, по формуле Муавра имеем:
η
eni<t — Cos ny-\-i sin щ = (cos φ + i sin φ)η = 2j & ( и ) cos^-fccp · sin&cp.
fc=0
Отделяем действительную часть:
Ш
cos щ = V ( — I)1 (^) cos»-«9 · sin2?9 =
Ш
= 2 ( - ])г(5) cos»-«<e (1 - cos2?)*
г=о
2) Эти многочлены были изучены и применены к теории наилучшего
приближения функций знаменитым русским математиком П. Л. Чебы-
шевым (1821—1894).

238 частные виды линейных дифференциальных уравнений [гл. vi
Здесь η есть любое постоянное число. Покажем, что при η = -ψ
уравнение Бесселя интегрируется в элементарных функциях.
Уравнение в этом случае имеет вид:
Сделаем замену искомой функции:
ι
у = — = х 2 ζ.
Ух
-1 1 -2 .1
Дифференцируем два раза: у' = χ 2 ζ1 — -^ χ 2z,y" = x 2z"—
-- 3 --
— χ 2 ζ'-\--ζΧ 2 ζ. Подставляем в данное уравнение:
2 1 oi 1 л 1 JL ι _±
х2*" — х2 z' + ±x~2 z + x2 z' — ±x~*z + x* z — \x *г = 0,
или, после упрощений, ζ" -\- ζ = 0 — уравнение с постоянными
коэффициентами; его фундаментальная система есть ζχ = cos χ, ζ2 = sin x.
Возвращаясь к переменному у, находим:
cos χ sin x
*~7?· Λβ7Τ
В разобранных примерах нельзя усмотреть непосредственно, cyuxe-
ствует ли замена переменных, приводящая данное уравнение к новому
с постоянными коэффициентами. Сейчас мы рассмотрим один тип
уравнений, где такая подстановка всегда может быть указана.
Уравнение Эйлера имеет вид:
^S+^-'SS+.-.+wg+^-o; (35)
здесь av a2,...9an—постоянные. Уравнение (35) не изменяется,
если заменить χ через Сх. Следовательно, если ввести новое
независимое переменное t формулой
t=\nxt х = е*, (36)
то уравнение в новом переменном t будет неизменным при замене t
на t-\-Cy т. е. новое уравнение не содержит явно t (ср. главу I,
§ 3, 3). Так как от замены независимого переменного оно не
перестанет быть линейным, то мы получим линейное уравнение с
постоянными коэффициентами *).
г) Уравнение (35) имеет точку χ = О в качестве особой; формула (36) и
все последующие имеют в виду значения лг>0; при рассмотрении
значений л"<0 надо всюду заменить χ через \х\.

§ 1] ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 239
Подтвердим это рассуждение непосредственными выкладками.
Вычислим выражения последовательных производных от у по χ через
производные по έ, где χ и t связаны зависимостью (36). Имеем:
dy_dydt__ tdy. d*y_ t_d_f e-tdy\ ^e-v(*y_*y\.
Ji~Ttdx — e dt' dx* — e dtV dt) e \dt* dty
мы замечаем, что выражения первой и второй производной по χ
содержат множители е~* и e~2t. Допустим, что k-я производная
имеет вид:
dky btfdky , d*~ly , \ „ dy\
где av α2,..., 0Lk_t— постоянные. Тогда производная (fc-f-l)-ro
порядка будет равна:
dxk+i —e at \dxk)
— 6 \ dtk + l + V*1 *> dt*^ '" Λα*-1 Й7^э
т. е. опять множитель е~(к+1)* впереди, а в скобке — линейная
комбинация производных от (&-|-1)-го до первого порядков с
постоянными коэффициентами. Итак, это свойство доказано для всякого
натурального k. Когда мы будем вычисленные нами производные
подставлять в уравнение (35), нам придётся при всяком k
умножать -г~ на акхк = akekt; при этом показательные множители,
содержащие t, сократятся, и мы получим линейное уравнение с
постоянными коэффициентами.
Пример 15. Ага~у-j-Зл: — -f-j/ = 0. Замена переменного х = е*
даёт -jjj-f-2 -^-\-y=tO; характеристическое уравнение k2-\-2k-j-
-(-1 = 0 имеет равные корни: &1 = &2 = — 1. Общее решение в
функции t\
а в функции х:
y = -j(Ci + C2\nx).
Примечание 1. Мы заранее знаем, что в преобразованном
уравнении, в случае отсутствия кратных корней характеристического
уравнения, частные решения имеют вид: еы = (е*)к; следовательно,
в исходном уравнении они имеют вид хк. Поэтому можно
непосредственно задаться этим видом частного решения и подставить его
в уравнение (35). Замечая, что
пт (гк\

240 ЧАСТНЫЕ ВИДЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VI
и внося эти выражения в уравнение (35), мы, по сокращении на хк,
получим алгебраическое уравнение я-й степени для определения k:
Λ(Α—l)...(ft — я+1) + а,*(* — 1).. .(* — я + 2)+ ...
... +*n-a*(* —l) + *n-i Λ+βη^Ο. (37)
Из предыдущих рассуждений очевидно, что это уравнение (37)
совпадает с характеристическим уравнением для дифференциального
уравнения в переменном t. Каждому простому корню к
уравнения (37) соответствует частное решение хк уравнения (35),
двойному корню соответствуют два решения хк и хк 1η χ и т. д. В случае
мнимых корней k надо иметь в виду, что, по определению,
х*& = е*Р1пх; паре комплексных сопряжённых корней α :±: β/
уравнения (37) будут, таким образом, соответствовать два решения
уравнения (35): у = х«cos($\пх) и y = xasin($ \nx).
Пример 16. х2у"-^-Зху'-\-5у = 0. Разыскивая частное
решение в форме у = хк9 приходим к квадратному уравнению для k>
именно: k(k— l)-j-3ft + 5 = 0, или £2-|-2£ + 5 = 0. Отсюда
ft = —lz£2/. Общее решение: у = — [Сг cos(21nAr)-j-C2sin(2 Ιπλγ)].
Примечание 2. Подстановкой, подобной (36), приводится
к уравнению с постоянными коэффициентами несколько более общее
уравнение:
Здесь достаточно положить ах-\-Ь = ег> чтобы притти к уравнению
с постоянными коэффициентами.
Примечание 3. Подобно тому как для уравнений с
постоянными коэффициентами можно рациональными операциями найти
частное решение в случае правой части вида 2 ^xP{x)t так для
рассматриваемого класса уравнений такое нахождение, очевидно,
возможно, если правая часть имеет вид: 2 .^Р^плг), где Ρ —
многочлен.
ЗАДАЧИ.
Проинтегрировать уравнения:
drl ' r dr г2
164. х2у" — 4ху' + 6> = х.
165. х2у" — ху' + 2у = х In χ.
X '
167. x*y'" — х2у" + 2ху' — 2у = л:3 + 3*.
168. (1 + х)2 у" + (1 + х) у1 + у = 4 cos In (1 + χ).

§ 2] ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 241
§ 2. Линейные уравнения второго порядка.
1. Приведение к простейшим формам. Мы будем
рассматривать однородные линейные уравнения второго порядка
с переменными коэффициентами:
y"+P(x)y' + Q(x)y = o (38)
или же
Ро(*)У + Л (х)У+Р*(х)У = 0. (380
Коэффициенты Р9 Q или р0, р1У р2 будем предполагать
непрерывными функциями от х.
Рассмотрим некоторые упрощённые формы уравнения второго
порядка.
Как известно из главы V (стр. 209), самосопряжённое
уравнение второго порядка имеет вид:
!£& + ««-0. ОТ
Докажем, что всякое уравнение второго порядка может быть
приведено к самосопряжённой форме умножением на некоторую
функцию от х.
Уравнение (39), написанное в раскрытом виде,
РУ"+р*У + ду = о,
показывает, что коэффициент при у' есть производная от
коэффициента при у". Умножим обе части уравнения (38') на некоторую
функцию μ (χ) и постараемся подобрать эту функцию так, чтобы
для нового уравнения выполнялось условие:
(W>o (*)/ = № (*)·
Преобразуем это уравнение для μ:
1 С * da,
μ = — eJPo
Ρο
По умножении на μ уравнение (38') примет вид:
^ ^Ро ^ ' Ро У
или
Ри

242 ЧАСТНЫЕ ВИДЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ, VI
т. е,, действительно, вид (39), где p = ^J р° л = — е J я> . Заме-
Ро
тим, что коэффициенты ρ, ^ непрерывны во всяком интервале, где
р0 не обращается в 0; кроме того, в этом интервале ρ > 0.
Пример 17. Привести к самосопряжённому виду уравнение
Бесселя: х2у" -\- ху' -f- (χ2 — η2)у = 0. Здесь р0 = х2, рх = х\
*—-&е^~*=="Т- Искомый ВИД'· ^ (■*/) + (* — т)^^0·
Заменой независимого переменного можно привести линейное
уравнение второго порядка к виду:
y" + Q(x)y = 0. (40)
Пусть уравнение уже приведено к форме (39). Вводим новое
ξ** dx t· I dx
уравнениями d\ = -γ-^ t ς = —τ— ;
ί как функция х определена во всяком интервале оси х, где рфО.
И* 1
Так как ~- = — > 0, то, обратно, χ определяется как непрерывная
и дифференцируемая функция от ξ в соответствующих интервалах
оси ξ, ΛΓ = χ(ξ). Тогда — = —· — для любой функции и.
Подставляя в уравнение (39), находим:
Н(8) + «У-0. или %+Q®y-0
— уравнение вида (40), где Q (ξ) есть результат подстановки в ρ (χ) q (x)
значения χ = χ(ξ). Если вернуться к форме (38'), то мы получим:
Ро
Это преобразование, упрощая уравнение, приводит его иногда к виду,
для которого известно общее решение уравнения.
Пример 18. ху"-\--*у'—у = 0. Приводим к самосопряжен-
ному виду умножением на χ 2:
Вводим переменное £: χ 2dx = di, ξ = 2γ~χ.
Преобразованное уравнение: —ζ—.У = 0,> его общее решение
у — СхеЬ-\-0.λβ~Κ Возвращаясь к переменному х9 находим:
y = Cie2V*-{-C2e-2V*.

§ 2] ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 243
Линейной заменой искомой функции также можно уничтожить
член с первой производной, т. е. привести уравнение к виду (40).
Возьмём исходное· уравнение с коэффициентом при второй
производной, равным единице:
y" + P(x)y' + Q(x)y = 0. (38)
Введём новую искомую функцию г, связанную со старой
соотношением
y = u(x)z, (41)
и подберём функцию и так, чтобы в преобразованном уравнении
обратился в 0 коэффициент при ζ'. Дифференцируем (41) два раза:
/«β^ + β'*, y" = u2"-}-2u'z' + u"z.
Подставляем в исходное уравнение:
uz"' + (2и' + Ρ и) ζ' + (и" + /V + Qu) ζ = 0. (42)
Приравниваем нулю коэффициент при ζ'\
2и'-\-Ри=:0.
Находим значение и и подставляем в уравнение (42), сокращая на
показательный множитель:
ζ"+(γ~Ρ*-\ρ' + 0)ζ = 0. (42')
Мы получили уравнение вида (40). Функция от χ
I(x) = Q-jP*-±P' (43)
называется инвариантом уравнения (38). Очевидно, эта функция
не изменяет своей величины при всех преобразованиях уравнения
помощью подстановок вида (41), так как все уравнения, & которых
искомые функции отличаются только множителем и(х), приводятся
к одному и тому же уравнению вида (42'). Равенство инвариантов
двух уравнений второго порядка есть необходимое и достаточное
условие того, чтобы одно из них могло быть преобразовано в другое
подстановкой вида (41).
Замечание. Следует отметить, что во всяком линейном
уравнении без правой части можно произвести понижение порядка,
поскольку такое уравнение будет однородным относительно искомой
функции и её производных, однако при таком понижении порядка
мы получим нелинейное уравнение.

244 ЧАСТНЫЕ ВИДЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VI
В применении к уравнению (38) после замены у = е* zdx мы
получим уравнение типа Рикатти:
Легко видеть, что каждое уравнение типа Рикатти:
y' = p(x)y*+q(x)y-\-r(x)
\ и' ..
при помощи замены у— — — сведется к линейному однород-
ному уравнению 2-го порядка.
Пример 19. Доказать, что уравнение
подстановкой вида (41) приводится к уравнению Бесселя нормального
вида ζ" -\ z' -f- (1 §)z == О* к выразить /г через т.
Для заданного уравнения имеем: 1{ =±= 1 ^ — — — =
л- 4ДГ" δΧ°
m +T и* 1 1
==1 — .Для уравнения Бесселя: /2= 1— - — ___ =
1 . Очевидно, равенство It = /2 удовлетворяется, если
Г2
3 I
т- -\--j = я2—-j. Отсюда /г2 = /гс2+1.
ЗАДАЧА.
169. Какое преобразование вида (41) приводит уравнение примера 19
к нормальному виду Бесселя?
Преобразование линейного уравнения к виду (40) подстановкой (41)
иногда даёт возможность притти к одному из типов уравнений,
которые мы умеем интегрировать.
2
Пример 20. у"-\ д/-|-д/ = 0. Применяем преобразование
y = u(x)z; uz"-\-(2u'+^ ")*' +("" + |-й' + й)г== °'
Приравниваем нулю коэффициент при ζ'; это даёт нам и==—; далее,
1 2
и' =— —ζ> #Λ' = —. Подставляем в уравнение:
XL ' X1
]_
X
^" + (^-4 + 7)- = °.
COS Χ
или ζ" *\- ζ = 0. Отсюда ζ = Сх cos дг -f~ C2 sin дг, или ^у = Сг 1-
-\-С% . См. также пример 14.

§ 2] ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 245
ЗАДАЧИ.
170. Привести к нормальном виду Бесселя уравнение У -\- — у* +у = 0.
Проинтегрировать уравнения:
171. ху» — У — лг3.у = 0.
172. у — 4ху' + (4дг2 — 1) у = — Зе& sin 2дг.
J_, „_1_Z
т.у—^=y+f- (-8 + дг2+дг) = о.
у χ 4х2
2. Интегрирование посредством степенных рядов.
Ввиду большой важности многих дифференциальных линейных
уравнений второго порядка для приложений, в тех случаях, когда их
интегрирование при помощи элементарных функций не удаётся, их
решения вводятся в качестве новых трансцендентных функций.
Таковы, например, функции Бесселя первого и второго рода — два
линейно независимых решения уравнения Бесселя. Для определения
этих функций часто пользуются представлением решения уравнения
в виде степенного ряда по возрастающим степеням χ — лг0,
где х0— начальное значение. В аналитической теории
дифференциальных уравнений доказывается, что если коэффициенты /?0, ри
р2 уравнения (38') являются многочленами или степенными рядами
из целых неотрицательных степеней χ — х0, причём р0(х0) не равно
нулю, то решения уравнения (38') тоже выражаются сходящимися
степенными рядами по целым неотрицательным степеням χ — х0. Не
доказывая здесь этого общего положения, мы сумеем в каждом
отдельном случае доказать сходимость рядов, представляющих
решения данного уравнения.
Пример 21. Найти общее решение уравнения у'-[-лгу = 0.
Ищем это решение в виде степенного ряда по степеням х: у = Л0+
-f- Ахх + А^х* -f- ... -j- Лпхп -j- ... Формальным
дифференцированием находим:У=2 . 1 · Л2-\-3 · 2 · Л3лг-(-... + η {η—1) Αηχη~2-\-. ..
Подставляем в уравнение и приравниваем коэффициенты при
одинаковых степенях х:
2 · 1 · Л2 = 0, 3 · 2 · А, + Л0 = О,
4-З.Л4 + Л1 = 0, ..., п(п — 1)ЛП + ЛЯ_3 = 0, ...
Из этих уравнений находим:
ч
л2 —и, ла — 23, а, 3Т4' 5 ΪΊ5 '
5-6 2·3·5·6' 7~ 6·7—3-4-6-7
". ^з* I Ч 2.3-5.6... (ЗА —1)3*'
С—1)* 3.4.6.?...13ft(3ft+l) ' КоэФФиВДенты ^о и А1 не опРе'
и. вообще, 4^ = 0, А* = (-1)* 2.3.5.6..^(ад-1)3*' ^+1 =

246 ЧАСТНЫЕ ВИДЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VI
деляются этими уравнениями, это — два произвольных постоянных.
Общее решение имеет вид:
у-Л Ь Х* -Ι ** ι (-1)**»* , 1,
У — ло\х 2.3^2-3.5.6 · * * ~Г" 2 · 3 · 5 · б ... (ЗЛг — 1) ЗЛг T---JT
+ Αί{χ-
3-4^3.4-6
^-••• +
+ (—!)* 3-4.6-7*8*3ft(3ft-H) +···} = АоУх(*) + АхУч(*)·
С помощью элементарных признаков легко установить сходимость
рядов У\{х) и у2(х) для всех значений х\ по общим свойствам
степенных рядов эти ряды, так же как полученные из них формальным
дифференцированием, сходятся равномерно на любом конечном отрезке
оси х. Следовательно, формальное получение этих решений оправдано,
и они являются, в самом деле, решениями данного уравнения *).
ЗАДАЧА.
174. Проинтегрировать с помощью ряда, расположенного по степеням х,
уравнение у" + ху1 ^у — 0.
Метод интегрирования линейных дифференциальных уравнений
рядами, расположенными по степеням χ — лг0, применим также в
некоторых случаях, когда коэффициент р0(х) обращается в нуль при
х = х0. Однако получаемые при этом степенные ряды (сходящиеся)
содержат, вообще говоря, не целые степени χ — лг0, а имеют вид:
А0{х — XoY + A, (*_*0)r+i+ ... -J- Ап(х — *о)г+*+ · · ·> (44)
где г — некоторое число, вообще не целое. Уже из (44) ясно, что
полное значение такого разложения может обнаружиться лишь при
рассмотрении χ как комплексного переменного, так как при χ — лг0<0
и дробном или иррациональном г выражение (х — х0)г в
действительной области' может не иметь смысла. Теория Фукса даёт условия,
при которых уравнение я-го порядка имеет η частных решений вида (44)
или ещё более общего — произведения многочлена от In (л: — х0) на
ряд этого вида. Мы опять ограничимся рассмотрением одного случая,
имеющего, однако, большой теоретический интерес,—так
называемого гипергеометрического уравнения.
Рассмотрим уравнение вида:
(*2 + ^ + S)g + (C*+£)g + £y = 0. (45)
Корни многочлена второй степени, стоящего множителем при у" % пусть
будут различны и действительны (однако последнее ограничение от-
*) Очевидно, описанный здесь приём применим к линейному
дифференциальному уравнению любого порядка.

§ 2] ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 247
падёт, если рассматривать переменное χ в комплексной области).
Чтобы не вводить мнимых величин, мы предположим также, что Л,
В, С, D, Ε — действительные числа. В таком случае можно
переписать уравнение (45) в виде:
(х — xt) (χ — χ J у" + (Сх + D)y'-}-Ey = О, (45')
где xt и лг2 — корни многочлена х*~\-Ах-\-В. Это показывает, что
коэффициент при у" обращается в нуль при значениях χ = х1 и χ = лг2.
Преобразуем независимое переменное так, чтобы эти значения были
О и 1. Для этого вводим новое переменное ζ, связанное с χ
соотношением:
X · Χ* ~~—~ Ζ \Х\ ^~"~ 2/·
Тогда
dy d у 1 d*y d2y 1
dx dz x1 — x2* dx* dz* (x1—x2)2'
x — xt = — z (xt—x2), x — x2 = (1 — z) (xt — λγ2),
и мы получаем:
Вводя обозначения ——— = γ, С=а-{~"Р + 1> £=αβ и обозначая
Λ"ΐ — Х2
независимое переменное снова через х, мы получим гипергеометра*
ческое уравнение в обычном его виде:
*(!—*)^·+ΙΤ —(« + Р + 1)*]^ —«ЙУ = 0. (46)
Пример 22. Привести к виду (46) уравнение Лежандра
(1 — л:2)-г^ — 2л: -р- -{- я (я +1) J/ = 0. Замена переменного λγ=»
= 1—2г даёт:
Здесь γ=1, α = /г —|— 1, β = — /г.
Мы видим, что уравнение (46) зависит от трёх параметров: ос,
β, γ, причём параметры аир входят симметрично. Найдём решения
уравнения (46) в виде рядов по степеням х. Подставляем в
уравнение ряды:
у =γΑ0χ»-! +(г+ 1) Аг*+ ... + {г + п)Ап#+»-1+ ...
у« = г{г— 1)4^-» + (г+1)М1^-1+... ι (47)
Последний из рядов (47) умножаем на 1—л:2, второй ряд — на

248 ЧАСТНЫЕ ВИДЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VI
Ί — (а -\- β -j- 1) л:, первый — на — сф, складываем, собираем
коэффициенты при одинаковых степенях χ и приравниваем их нулю. Низшая
степень χ в результате будет г — 1; приравниваем нулю
коэффициент при хг~г:
r(r—l)A0+VA0 = 0.
Без ограничения общности можно положить Л0фО. Тогда для г
получается квадратное уравнение:
r(r— 1+T) = 0f
откуда г1 = 0> г2=1—γ.
Исследуем решение, соответствующее значению гх = 0. Ряды (47)
перепишутся так:
у = А0-\-Ахх + А2х* + Аъх* + ...+ Ληχη +...,]
У = Аг + 2А2х+ ЗЛ3^+ .. . -\-пАпх^ + . .., (47')
У = 2Л2 + 6Л3* + ... + η (п—1)Апх»-*+ ... J
Подстановка в уравнение (46) рядов (47') даёт свободный член
в виде fAj — ос(ЗЛ0 = 0, откуда, предполагая γ φ Ο,
А — Л ^L
Λ1 ^О 1 . γ ·
Собирая члены при χ, получим:
2^+2Τ^ —(α + p + l)^ —«^, = 0,
или
2(т+1М2 = (а+1)(Р+1)Л1;
следовательно (если γφ—1),
л _ (»+1)(Р + 1) л α(α+1)Ρ(Ρ+1) ,
2~ 2(γ + 1) Αι- 1.2.T(1+U Л°*
Вообще, члены, содержащие хп, дают:
("+1)"Λ,+ι — «(я — 1)4. + ϊ(«+1)4.+ι —
— (« + ?+1)яД, —арД, = 0,
или
(я+1)(т + я)Лга+1-(а + «)(р + «)Дг=0,
откуда (если γ^Ο, —1, —2, ..., —η)
_(α+η)(β + „) .(« + /»)(» + я—1) (β + η) (β + я—1) , _
"+1 ('«+!)(? + «) ,г~ (и + 1)я(т + я)(7 + л—1) ""!
<χ(«+!)...(« +я) β(β+!)...(§ +Я) ,
1.2...(я + 1)7(т+1)...(7 + я) °·
Полагая произвольное постоянное Л0=1, получаем, в
предположении, что γ не равно нулю или целому отрицательному числу, частное

§ 2] ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 249
решение уравнения (46) — так называемый гипергеометрический ряд'.
t (α, р, γ, *) __ 1 -|--_ *-| ——————χ -(-...
ά(α + 1)...(α + ^)β(8 + 1)...(3 + ^ гп+1 , Гдоч
"•"Τ" 1·2...(Λ+1)γ(Τ+1)...(γ + /ι> * ^ ' ' ' Κ™}
Признак сходимости Даламбера показывает, что ряд (48) сходится
при |лг|<1; как известно из теории степенных рядов, он сходится
равномерно в любом замкнутом интервале, внутреннем к (—1, -}" 1),
и допускает почленное дифференцирование любое число раз;
следовательно, он удовлетворяет гипергеометрическому дифференциальному
уравнению (46). Итак, первое частное решение уравнения (46) есть
yt = F(a9 β, γ; χ) (γ φΟ, — 1 — 2, ...).
Чтобы получить второе ч*астное решение, можно было бы
воспользоваться рядами (47), полагая в них г=1—γ. Но мы скорее
придём к цели, если в уравнение (46) введём новую функцию w, связанную
с у соотношением:
y = xl-i<w.
Тогда
у' = хх -Щ* + (1 — γ) x~tw9
у = *i-yw"-{-2(1— Tf)*-W — γ(1— i)x-i~lw.
Подставляем в уравнение (46):
*'-'*(!—Jf)0+*1-4lf-(e + PH-l)*+2(l—T)(l—*)1·^·+
+ ^-Τ[_αβ + 7(1-τ)*-ι_(α + ρ+1)(1-τ)-
_ϊ(1_γ)Α.-ι_(-τ(1_γ)]ΐϋ = 0>
или
— (α + l—Т)(? + 1—Т)^ = 0,
т. е. мы получили опять гипергеометрическое уравнение, в которое
вместо параметров α, β, γ входят соответственно а —}— 1 —γ, β+1 —γ,
2 — γ. Его решение в виде ряда, начинающегося с члена, не
содержащего х, есть F(ol-\-\—γ, β-j-l—Ύ> 2 — γ; λγ). Итак, второе
частное решение уравнения (46) есть
Λ = *ι-τ/4α+1— Ъ β+1—γ, 2 —γ; χ).
Оно имеет смысл, если 2 — γ не равно нулю или целому
отрицательному числу. В частности, оно имеет смысл всегда, когда γ равно
нулю или целому отрицательному числу, т. е. когда теряет смысл yt.
Мы не останавливаемся на нахождении второго частного решения
в указанных исключительных случаях.

250 ЧАСТНЫЕ ВИДЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VI
Гипергеометрический ряд, содержащий три параметра, α, β, γ,
даёт при частных значениях этих параметров весьма большое число
различных элементарных функций. Например, при α = γ получаем:
/>, β, a; *)eJ+±* + M^ *»+...
• · · ι я!
Далее, при α = β = 1, γ = 2, имеем:
**+...=(! — χ)-*.
/=*(!, 1, 2; χ) = 1 + ^ + 4+ ...+ *L + ...=1ΐη- !
л+l ' ··· χ ж" 1— д;1
Заметим, наконец, что при α или β, равном целому отрицательному
числу —п, ряд (48) обрывается на члене, содержащем хп, т. е.
является многочленом относительно х. Так, например, при я целом одно
решение уравнения Лежандра (см. пример 22) является многочленом;
с точностью до постоянного множителя Лп этот так называемый
многочлен Лежандра выражается так:
Pn(x) = AnF(n-\-l,— n, 1;-Цр9·
Метод, применённый нами для интегрирования
гипергеометрического уравнения, применим к большому числу уравнений второго
порядка, встречающихся в физике и механике. Так, например, для
уравнения Бесселя:
х*у" + х/ + (х2 — п?)у = 0;
в случае, если η не равно целому числу, он даёт два ряда по
возрастающим степеням х, начинающихся соответственно с хп и х~п\ эти
ряды определяют функции Бесселя Jn(x) и J_п(х)\ общее решение
уравнения Бесселя есть CtJn (χ) -|- С^_п (х).
Если η равно целому числу (можно принять п^О), то только
одно частное решение выражается степенным рядом: Jn{x) —
функция Бесселя первого рода; второе частное решение содержит ещё
\пх; оно называется функцией Бесселя второго рода.
Тот же способ без изменений может быть применён к
нахождению решений уравнений порядка выше второго.
3. Линейные уравнения второго порядка с
колеблющимися решениями. Рассмотрение двух простейших
уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами
/'_-а2у = 0, (49,)
/4-^ = 0 (49а)

§ 2] ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 251
показывает глубокую разницу между характером функций, являющихся
их частными решениями. Каждое решение уравнения (49j) может на
всём интервале (—со, -|-оо) обратиться в нуль не более одного
раза (это можно доказать непосредственным вычислением). Между тем
каждое решение уравнения (492), выражаемое формулой A sin (ах -[- δ),
имеет бесчисленное множество нулей, расстояние между которыми
равно—; каждый интервал длины >— содержит, по крайней мере,
2π
один нуль любого решения уравнения (492), а интервал дйины >
по крайней мере два нуля.
Если решение дифференциального уравнения имеет в данном
интервале не более одного нуля, оно называется неколеблющимся в этом
интервале, в противоположном случае — колеблющимся.
Итак, уравнение вида у11 -j- qy = 0 имеет неколеблющиеся в любом
интервале интегралы^ если д^09 и колеблющиеся в достаточно
большом интервале^ если q > 0.
Мы обобщим этот результат на уравнения второго порядка
с переменными коэффициентами.
Для наших целей достаточно ограничиться рассмотрением
уравнений вида:
y"+Q(x)y = o, (40)
так как к этому типу мы можем привести любое уравнение
подстановкой:
у = и(х)г. (41)
При этом, если первоначальное уравнение было вида:
Ра/ + Л/+ЛУ=-0. (380
то и (х) = е " J Pn . Мы будем рассматривать лишь те интервалы,
где р0 не обращается в 0. В этих интервалах и(х) остаётся
непрерывным и не обращается в 0; поэтому функции у и ζ имеют одни
и те же нули.
теорема. Если в интервале (а, Ь) имеем всюду Q (х) <; 0,
то все решения уравнения
y"+Q(x)y = 0 (40)
суть неколеблющиеся.
Допустим, что некоторое решение ух (х) уравнения (40) имеет,
по крайней мере, два нуля; пусть нули будут лг0, xv x0<xv
и пусть в интервале (лг0, х±) функция yt не имеет других

252 ЧАСТНЫЕ ВИДЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VI
нулей *). Тогда yt (χ), как непрерывная функция, сохраняет постоянный
знак в интервале (л:0, хг)\ всегда можно допустить, что в этом
интервале у1 (х) > 0 [иначе мы взяли бы решение—У\{х)]. Мы
имеем j/J (л;0) > 0 (так как ух возрастает вправо от xQ; при этом
у^х^фО, иначе было бы уг === 0).
Если ф(л:)^0, то из уравнения (40) следует, что У((лг)!>0 во
всём интервале (х х). Следовательно, у'г (х) не убывает в
интервале (лг0, х%), т. е. у[(х)^у[(х0) для х0<х<х1; отсюда, в силу
теоремы о конечном приращении, имеем:
^ι(*ι)>Λ(*α) +.У1 (*о) (*ι — *о) =У[ (*о) (*ι — *α) > 0,
что противоречит условию у1 (л^) = 0. Противоречие доказывает
теорему.
теорема штурма. Если х0 и х1 суть два последовательных
нуля решения уг (лг) дифференциального уравнения второго порядка^
то всякое другое линейно независимое решение у2(х) того же
уравнения имеет в точности один нуль между х0 и χν
Для доказательства нет нужды пользоваться приведённой
формой уравнения (40). Будем рассматривать уравнение хотя бы
вида (38'), причём, как всегда, предполагаем, что в нашем
/интервале и на его концах р0(х)фО. Составляем определитель Вронского:
Уг (*)Л (х) —Уг (х)Ух Μ = W(x). (50)
Допустим, что во всём интервале (лг0, л^) решение у2{х) не имеет
нулей. В силу линейной независимости решений у, и у2, последнее
не обращается в нуль также при х = х^ и χ = χλ\ в самом деле,
если бы было, например, j/g (·*<)) = 0> то мы имели бы W(x0)=zQ,
что противоречит известному свойству определителя Вронского.
Так как W(x) не обращается в нуль, то он сохраняет постоянный
знак; допустим для определённости W(x)>0. Деля обе части
1) Все нули любого не тождественно равного нулю решения уА (х)
дифференциального уравнения в интервале, где коэффициенты /?0» Ръ Ръ
непрерывны и р0 не обращается в нуль, являются изолированными, т. е. существует
окрестность (х0 — δ, ΛΤφ + δ) каждого нуля лг0, не содержащая других нулей.
В противном случае точка хс была бы предельной точкой для нулей у^ (л:),
т. е. существовала бы последовательность нулейx^x2f...,.rn,...;limxn = лг0.
Тогда мы имели бы: Ух (Лгп) —^t (*о) = 0# Так как функция Ух дифферен-
Хп — Xq
цируема, то
1Jm jn(*»)-jn(*o) = lhn Мв±1р^1(^^у[ш = о.
η-ϊ-οο χη — х0 Л->0 "
Итак, в точке χ = х0 мы имели бы: yt (xQ) = 0, у[ {х0) = 0, т. е. по теореме Коши
j'2 = 0, против предположения. Из доказанного следует ещё, что функция
у ι (χ) имеет конечное число нулей во всяком отрезке [α, β], внутреннем к (Л, Ь).

§ 2]
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
253
тождества (50) на [^2(л:)]2, получаем:
y[(x)y2(x)—yr2(x)yl(x) _ W(x) d /yi(x)\_ W(x)
[Уг(*)]* ~ \У* (*)]* ' ИЛИ ~dx~ \~Mxj) - [Уг(х)у ·
В силу допущения, что у2(х)ф0, мы имеем в правой части
непрерывную функцию'от х; интегрируем последнее тождество в
пределах от х0 до χν Получаем:
ΪΜχΤγ^^ f W(x) άχ
ly2(x)\x=xo J [УЛ*)\1
Левая часть равна нулю в силу условий yt (х0)=у1 (χ{)=ζΟ,
а в правой части стоит интеграл от положительной функции, т. е.
положительная величина. Противоречие доказывает, что между двумя
последовательными нулями yt {х) существует, по крайней мере,
один нуль у2(х). Если бы их было два, у2(х0) = у2(х±) = О,
лг0< х0 < xt < хи то, переменяя роли у{ и у2, мы доказали бы
существование нуля функции yt (χ) между х0 и χν следовательно,
между х0 и хи а это противоречит условию, что ух (л;) не имеет
нулей между х0 и хг. Теорема доказана.
Теорему Штурма можно ещё сформулировать так: нули двух
линейно независимых решений взаимно разделяют друг друга.
Примером, иллюстрирующим теорему Штурма, является sin л;
и cos л:, два линейно независимых решения уравнения у"-1Гу = 0;
их нули действительно взаимно разделяют друг друга.
Следствие. Если в интервале (а, Ь) одно решение линейного
уравнения имеет более двух нулей, то все решения — колеблющиеся.
Теорема Штурма устанавливала, что все решения одного
и того же уравнения, вообще говоря, имеют одинаковый
характер колебания. Следующая теорема может служить для
сравнения характера колебаний решений двух различных уравнений. Мы
будем предполагать уравнения данными в виде, не заключающем
члена с первой производной.
теорема сравнения. Если имеем два уравнения
У" + Qx (х)У = 0, г" + Q2(x)z = 0 (51)
и если Q2 (x) ^ Qi (х) в интервале (я, Ь), то между каждыми
двумя нулями любого решения у(х) первого уравнения заключён, по
крайней мере, один нуль каждого решения ζ (χ) второго уравнения.
Пусть х0 и х{ суть два последовательных нуля функции у(х);
допустим, что между ними нет ни одного нуля функции ζ{χ). Без
ограничения общности мы можем предположить, что у (х) > О,
#(л;)>0 в интервале (л;0, xt). Тогда у{х) будет возрастать вправо

254 ЧАСТНЫЕ ВИДЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VI
от х0 и возрастать влево от хг; следовательно, в силу уже
применённого рассуждения, У(л:0)>0, У(дг1)<0. Подставляем у{х) и
z(x) в соответствующие уравнения (51); первое из полученных тождеств
умножаем на z(x), второе — на у{х) и вычитаем второе из первого:
У (*) * (*) — ? (х)у{х) = [Qe (х) — Qt (х)]у(х) г (χ).
Левая часть есть производная от выражения y'(x)z(x)—zf (x)y(x).
Интегрируя обе части последнего тождества в пределах от xQ до хи
имеем:
\У(х)г{х) — г'{х)у{х)\х'Хх= f (Q^ — Q^yzdx. (52)
В силу наших предположений интеграл в правой части (52) не
отрицателен (он строго > 0, если^ не везде Q2 = QJ. В левой части
(52) имеем: y'{x^)z{x^—у'(*о) * (Xo)\J* силу допущения, что ζ > О,
принимая во внимание знаки у' (х0) и у* (xt), получаем в левой части
отрицательное число. Противоречие доказывает теорему. Мы скажем,
что решения второго из уравнений (51) являются более колеблю*
щимися, чем решения первого уравнения.
Если, сохраняя условия теоремы, предположить, дополнительно,
что Q2 (χ) > Qt (χ) хотя бы для некоторых значений χ
интервала (х0 xt) и что ζ(χ0) = 0, то следующий вправо нуль ζ{χ)
будет лежать левее xt. Действительно, из обратного
предположения вытекало бы, что левая часть (52) отрицательна, в то время
как правая положительна. Итак, мы получаем ещё теорему:
Если для уравнений (51) х0 является общим нулём двух каких-'
либо частных решений у(х) и ζ (χ) каждого из этих уравнений
и если в промежутке между х0 и следующим за х0 нулём xt ре*
тения у(х) существуют точки, где Q2 (.*:)> Qt(x), а всюду, кроме
них, Q2 (х) — Qj (х) не отрицательно, то ближайший справа к х0
нуль г(х) расположен левее, чем xv
Теорему сравнения большей частью применяют, используя в
качестве одного из уравнений (51) уравнение с постоянными
коэффициентами
/' + ^ = 0. (49^
Пусть нам дано уравнение:
y"+Q(x)y = o, (40)
в котором Q(x)>0 в замкнутом интервале [а, Ь], и пусть М есть
максимум Q в этом интервале, а т — минимум. Предположим,
что Μ > т, т. е. что Q(x) не равно постоянному в рассматриваемом
интервале. Принимая за первое уравнение (51) уравнение у" -\-ту = 0,
а за второе — данное, получаем следующий результат: расстояние
между двумя последовательными нулями уравнения (40) меньше,

§ 2] ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 255
чем —==. Принимая затем данное уравнение за первое из уравне-
у т
ний (51), а в качестве второго принимая у'-|-ЛГу = 0, получаем
второе предложение: расстояние между двумя последовательными
нулями уравнения (40) болъще> чем —£=·.
ум
Эта теорема даёт оценку сверху и снизу расстояния между нулями
колеблющихся решений дифференциальных уравнений.
Пример 23. Рассмотрим уравнение Бесселя для л:>0:
jfif 4- ху' + (*2 — "?)у *= 0.
Чтобы уничтожить член с первой производной, надо применить
подстановку у = х 2#; получаем уравнение:
r" + (l
'"К
Сравнивая с уравнением w"-|-«; = 0, заключаем: расстояние между
двумя последовательными нулями всякого решения уравнения Бесселя
больше π при /г > */2 и меньше π при 0 <^ и < 72. С другой стороны,
»2-т
замечая, что при достаточно большом χ выражение 1 ^— может
быть сделано сколь угодно близким к единице, находим: при
достаточно больших значениях χ расстояние между последовательными
нулями решений уравнения Бесселя как угодно близко к π.
Пример 24·. Уравнение у'-{-лгу = 0 при х > 0. Возьмём любое
малое число α > 0. Если взять χ > —^, то коэффициент при у
будет > —; сравнивая с уравнением &'-\--τΓζ = 0, находим, что
при рассматриваемых значениях χ нули решений нашего уравнения
находятся на расстоянии <π:—-==α. Таким образом, при
неограниченном возрастании χ последовательные нули всякого решения
неограниченно сближаются.
Мы видим, что если на неограниченном интервале л:> а нижняя граница
функции Q (х) равна некоторому положительному числу, то решения
уравнения (40) имеют нули более частые, чем некоторая синусоида, т. е. каждое
решение имеет бесчисленное множество нулей. Рассмотрим теперь случай,
когда Q (jc), оставаясь положительным, стремится к нулю при jc->oo. За
уравнение сравнения возьмём уравнение Эйлера (для jc>0):
У" + ^У = 0. (53)
Его решения имеют вид **, где k есть корень уравнения k (k — 1) + а2 = 0.
Решаем это уравнение:

256 ЧАСТНЫЕ ВИДЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VI
Если я2> —, то корни kx и k2—комплексные; решения
y1 = x2cos(\/ а2 — — lnxj, у2 = х2 sinfy а2 — — \пх\
имеют бесчисленное множество нулей в интервале (1, оо).
Если а2< — , мы имеем решения неколеблющиеся:
ν — ν2 * 4 υ — г2 * 4 ·
У\ = X у У 2-Х »
точно так же, если я2 » -г , то
4
i i
jjj = χ2, y2 = χ2 \ηχ.
Сравнивая с уравнением (53) уравнения вида (40), можем сказать: если,
начиная с некоторого х, постоянно имеем 0<Q (лг)<-j-j-, то решение
уравнения (40) я£ может иметь бесконечного числа нулей; если, начиная
с некоторого значения х, имеем Q (х) > 7~2 , где α > 0, то решение
уравнения (40) имеет бесчисленное множество нулей (теорема Кнезера).
Так, уравнение у" -\ $У — ® не может иметь решений с бесконечным
числом нулей на интервале (1, оо).
Заметим, что все приведённые условия являются только достаточными
для существования колеблющихся или неколеблющихся решений; они не дают
ответа на вопрос о колебаниях, если функция Q (х) меняет знак или если её
нижняя граница на интервале (я, оо) равна нулю, а верхняя положительна.
4. Теорема Шпета. Если в уравнении (40) Q (х) = 0, то оно
имеет фундаментальную систему решений 1, х; теорема Шпета утверждает,
что если Q (х) достаточно быстро стремится к 0 при χ -* со, то, независимо
от знака Q, фундаментальная система соответствующего уравнения при
больших значениях χ мало отличается от 1, х. Введём обозначение: если
при jc->oo отношение остается ограниченным, мы будем писать
f(x) = 0(x*). Χ ι
τ ε о рем а. Если Q (х) = θ(—£ттг). г&е £>0 (0 < χ < оо), то
уравнение (40) обладает такой фундаментальной системой уь уъ что
УЛ*)—1==0(^); У2(х)~х=0(-хТ=т) пРа k^l< и У2(х) — х =
= О (In л:) при k = \.
Для доказательства рассмотрим более общее уравнение, содержащее
параметр λ,
У'=Ь<Цх)У, (54)
которое обращается в заданное при λ = — 1. Пусть Q(x) определено для
0<.лг<<оо, Ищем решение уравнения (54) в виде ряда по степеням λ:
у =УФ) + Xy(i) + ... + \пу{п) + ... (55)

§ 2] ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 257
Сначала построим у ; положим j/[0) = 1; подставляя выражение (55) в
уравнение (54) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях λ, получим
рекуррентные уравнения для определения у^ь\
^ = Q(jc), yfy, = Q{x)y{n-l\ лг = 2, 3,...;
ух (χ) = 1 + \уЫ + ... + λ*\νίη) + ... (550
Функции Ухп) последовательно найдутся квадратурами, которые мы
возьмём в виде:
со оо со со
№ = S di S Q (0 dt'' У™ = Sdi SQ W·^*"4 (i) rf'· я = 2· 3. · · · (56)
ж ξ χ ζ
Докажем, что несобственные интегралы в формулах (56) сходятся,
и оценим \у^\-
Из условия Q(x) =0( к+'2) следует существование такой
положительной постоянной Л, что при 0<jc<oo имеет место неравенство:
Ι«<*>Ι<(π4)Κϊ·
Отсюда находим:
со со со
А 1
I (1) Ι ^ (V Γ Л^ _, f <& Λ
\Уг |<J ας J (i+i)fc+2-iqJ (jfe + i)(i+g)k+i - Λ(Λ + 1) (!+*)*'
со со
К1 l<J ς J (l+0fe+2 *(* + !) (1+0* ^ (^ + 1)2^ (2^ + 1) (1+jc)2u·
χ ξ
Полной индукцией легко доказывается оценка:
Μ 1
ЬП<
k(k + l)2k(2k + l)... nk(nk + \) (1 + х)пк "
Из этих оценок следует, что ряд (552) сходится абсолютно и равномерно
для 0^jc<oo при любом λ (в частности при λ = — 1) и представляет
решение уравнения (54).
Наконец, из неравенства
|λ|Λ 1 /f , " \λ\Α 1
2&(2& + 1) (l+*)fc ^
| λ |* Λ» 1
' 2* {2k + 1) 3Λ (3* + 1) (1 + λ:)2*
+...}.
где в фигурных скобках стоит сходящийся ряд, сумма которого стремится
к 1 при лг->ос, получаем:
л<*>-1 = 0(;зг).
Для решения у} (х) теорема доказана.

258 ЧАСТНЫЕ ВИДЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VI
Далее строим у2 (х)\ полагаем в ряде (55) у2°) = х\ для определения у{2п)
имеем уравнения:
jW = Q (χ) χ, у™" = Q (x) j4w-4 η = 2, 3,...
У*{х) = ^ + Ы1}+ ··· +ЬпУ(2п)+ ··· (552)
Если£>1, то попрежнему берём квадратуры с бесконечными
верхними пределами:
оо со
со оо
у*}=Sd^!Q(f)tdt% у^^SdiSQ{t)y{^1)(t)dti я=2·3-·· (5б°
а; ζ α? Ε
Несобственные интегралы сходятся, и мы будем иметь оценки для |j4n)|
при 0<л:<оо:
оо оо
*Ι<ΜαΤ?*<1+βΛ-7<ϊ=
1
χ ζ
№\<-,
Ап
1
*Аг(Лг— l)2>fe (2k — 1).. .л£ {nk — 1) (1 + λ:)7**-1 *
Ряд из правых частей сходится абсолютно и равномерно, и мы имеем
аналогично предыдущему:
лИ-*в0(^г).
В этом случае теорема доказана полностью.
Пусть, наконец, 0<£<1; найдётся такое натуральное т, что mk^l,
(/и + 1)Л>1. Тогда берём квадратуры следующим образом:
X ОО
у? = -$ dtf Q(t)tdt,
Л
№.
0
я
-/
0
СО
ζ
оо
«;
оо
~/Λ/ 0(/,^"1,(ή* ' = 2,3 /и;
со оо
з4я+л) = J л J о (оj4w+n"1}(0 * « = ι, 2,...
Теперь мы имеем оценки; если mk < 1:
-1 ξ -1
ΙΛ L<J *J ft(l-ft) *(1+/)*+»-
/I2
ft(l — ft) 2ft (1 — 2ft)
(Ι+λ:)1-2*;
Л»»
K")Kft(i-ft).r,Wft(i-OTft)C1+^-OTft = ^1+->1
-mfc
(57)

§ 2] ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 259
а если mk = 1, то
KW)l<.(1-l;...mfe'°a+x) = gMn(l+^ (570
Мы можем обе оценки свести к одной. Выбираем положительное число
δ<& и замечаем, что In (1 +^)<т (1 +*)δ при 0<лг<оо; таким образом,
вместо (57) и (570 можем написать одно неравенство:
\у^п)\<В(\+х)\ В>0, 0<δ<*.
Далее находим:
оо оо
\У{™+1)\<В\ <* ](1 + 0*-«ЛяЯ(Л-й)(Л-3+1)(1+,г)-«;
μ2 ! (* — Ь) (Лг — о -h 1) (2Лг— о)...(лг/г — Ь + \) (1+х)пк~*' ' ,,,#
Легко доказывается равномерная сходимость для 0< jc<oo ряда из
правых частей неравенств, начиная с индекса т + 1, причём порядок у2(х)— х
равен порядку члена у&\ т. е. он равен О (xL~k) = 0(-£зг), если ^тМ·
и равен 0(1пх) для £= 1, в силу оценки (570 при m = 1.
Теорема доказана полностью,
Пример 25. Линейное уравнение у" + х~4у = 0 принадлежит к рас-
о π - -ΓβΛβ У
сматриваемому типу, здесь т = 2. Подстановкой j/ = г J , ~ =— я оно
приводится к уравнению Риккати ζ' =*ζ2 + ζ~*; решение этого последнего
(сй.задачу44)есть* = —ctg(—+ с)--—. Итак, ^ = ~ — lctg(-~ + c);
у = Ах sin ί ^ 6*J = Qat sin h C2x cos —.
Фундаментальная система:
y] = ,sinI = i-^l2+54i4-... = , + o(l2);
1 11,11 , ^/1\

ГЛАВА VII.
СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ.
§ 1. Нормальная форма системы дифференциальных уравнений.
1. Задача интегрирования системы обыкновенных
дифференциальных уравнений в общем случае ставится так: дано k уравнений
(/=1, 2, ..., k)y
связывающих независимое переменное х, к искомых функций
У ν ^2>···> Ук и их производные до порядков, соответственно,
ти т29 ..., тк. Требуется определить искомые функции. Заметим,
что всегда предполагается, что число уравнений равно числу
неизвестных функций !). Теория уравнений, заданных в общем виде (1),
приводит к рассмотрению ряда случаев; мы рассмотрим лишь
важнейший случай и потому сразу введём ограничение: мы
предположим, что система (1) может быть разрешена относительно старших
производных всех входящих в неё функций, т. е. относительно
(Wj) (m2) (mk)
у ι , у2 , .. ., у к у при выполнении этого допущения система (1)
в разрешённом виде будет:
У\ —1гУх>У^ Уг> -"'Λ >Уь>-~>У2 » "-'Л' ~'>Ук )»
У г —J %{ > У \> У ν ···> У\ >-^2ΐ···>>2 »···> Ук> •••>-Ул /»
(2)
Система вида (2) называется канонической.
1) Системы дифференциальных уравнений, в которых число уравнений
меньше числа искомых функций, называются уравнениями Монжа. В этом
курсе мы встретимся с уравнением Монжа и его частным видом —
уравнением Пфаффа—в главе IX.

§ 1] НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 261
Каноническую систему из k уравнений высших порядков можно
заменить эквивалентною ей системою п = тг-\~т2 ... -\-тк
уравнений первого порядка, разрешённых относительно производных
всех η искомых функций. Для этого вводим новую систему искомых
функций, числом η — k, следующим образом: обозначим для
симметрии yx=y1Q и введём новые функции:
Далее, аналогично:
Λη> Λ=Λι> У 2= У
'20
Г2Г
зГ_1,-Л^-1.
• *» У к У К wft-l·
Мы имеем всего /»j -{- т2 +*.. · Ч™ /ΛΛ Функций j/^ (/= 1, 2, ..., /г,
7=0, 1, 2, ..., !?*< — 1); для них система (2) заменится следующею,
ей эквивалентною:
ах —Уы
«frit
— У12» · · ·»
dyx
m,-2
Уь «»1-1э
^д.1"" = /l(*> 3Ίθ> -Vll» · · ·» Λ, mt-l» · · ·» Ук0>- · ·» -У*.
<Ув1 аУ2, mo-2
«fc-Oi
dx ~"У21' dA: ""-У22'
4У2. m2-l
rfjc
: >'2, w2-li
dx
•f2(x> Ую*Уи> · · ·» Λ, τ^-ι»
Λθ>
»> 3Ά:» n^-l)>
f (3)
dx
k\
dy
= Ук:
к, m7-2
2»
fiU'
= У к. mk-U
аУк, mrl
tfjc
= /k(*. )Ίθ»3Ίΐ>
-м. m,-
m,-i>
З^о»
• > ^fc, w^-l)·
Каждая (например /-я) из & групп уравнений (3) содержат /^ — 1
уравнений, которые непосредственно следуют из определения
функций ytp и последнее уравнение, которое получается из /-го
уравнения системы (2), если в его правой части входящие в него
производные заменить вновь введёнными функциями. Заменяя, в силу
первых уравнений первой строки системы (3), , последовательно уп
dyx dyu rf2y dy ^ йщух
через -£ , у 12 через -11 β —2, ..., __ = _ и аналогично
для других групп и внося эти значения в последние уравнения
каждой группы, мы, очевидно, возвращаемся к системе (2). Отвлекаясь

262
СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VI!
от частного вида первых уравнений каждой группы системы (3) и от
разделения уравнений этой системы на группы, мы пронумеруем
искомые функции в виде одного простого ряда:
3Ί> Уъ> · · ·> Уп>
и будем рассматривать вместо системы (3) следующую:
·, Уп),
f£=/i(*. У ι, У*
$?=/«(*. У» Λ..
·» Уп\
Ц%'-= ίη(χ> У ν Λ····. Уп)·
(4)
Система η уравнений первого порядка вида (4), т. е. разрешённых
относительно входящих в систему производных от искомых функций,
называется системой, имеющей нормальную форму Коти. Такими
системами мы будем преимущественно заниматься в дальнейшем.
Очевидно, что система (3), как частный случай системы (4), имеет также
нормальную форму.
Примечание. Частным, случаем канонической системы является
одно уравнение я-го порядка, разрешённое относительно * старшей
производной:
У»>=/(*, уч У, /',..., У*-1*).
Мы уже видели (глава IV), что введением новых функций:
Ух =/■ У%=*У"> ...» Уп-ι =У{п'1]
оно заменится следующей системой η уравнений:
аУ _ «, аУ\ _ «, аУп-
dx~*y» IJ — y*
гУп-1>
%г-=/(*> Λ Уи У* ···. Уп-гУ
(30
2. Можно утверждать и обратно, что, вообще говоря,
нормальная система η уравнений первого порядка (4) эквивалентна
одному уравнению порядка п.
В самом деле, дифференцируем первое из уравнений (4) по х:
(Ру±_д/± j df^dy^ . bf^dy^ . l, д/г dyn .
н*2 л* ι ayu dx 'rdy2 dx » •••"гдуя dx '
dx2 dx
dyt
заменяем в результате -j-*- через их выражения fi(x, yv
получим:
Ий- <¥lJL<¥lf JL^flf jl. JL.^Lf
•э jO;
dx* dx l ду\
ty%
dynJ

§ 1] НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 263
т. е. выражение вида:
j£i = F2 (*, уи у2, ..., у J. (42)
Полученное уравнение (4g) снова дифференцируем по х; принимая
во внимание уравнения (4), получим:
^yi^^flju^flf ju^lf α- „ι dF* f
dx* — дх ьдуг у1~Г^2У2"»~ ·""!"dynJw
или
§г= /"зО*:, ylf y2, ..., yn). (43)
Продолжая этот же процесс, получим далее:
^ = F4 (*> 3Ί» >>2> · · ·, .Уя). (4J
£ЙГ = ^«-1 (*. У1э Λ. . . ·. ЯЛ (4«-l)
"3 = F"(*' Λ' Λ» · · ·» У«)· (4")
Из системы (А) /г-—1 уравнений, составленной из первого
уравнения группы (4) и из (42), (48), ..., (4Λ-1), можно, вообще
говоря, определить η—1 величин у2, у3, ..., уп через лг, Уц-р* ·. »э
• . ^_* ; внося эти выражения в (4Л), мы получим уравнение вида:
*?ϊΐ = φ(χ ν ^ dn'lyi ) (δ)
dx" * V ' Уи dx > * * ·' άχη-ι J' W
т. е. одно уравнение я-го порядка. Из самого способа его
получения следует, что если yt (x), y2(x)y ..., уп (х) представляют
решение системы (4), то уг удовлетворяет уравнению (5). Обратно, если
мы имеем решение уг (х) уравнения (5), то, дифференцируя это реше-
dy-, ап-1уг 0
ние, мы вычислим τ^>···> d ηίγ . Вставим эти значения, как
известные функции от х, в систему (А); мы, по предположению, можем
разрешить эту систему относительно у2, у3, ..., уп, т. е. получить
выражения у2, ув, ..., уп как функции от х. Остаётся показать, что
функции
Уи' У& · · · э Уп
удовлетворяют системе (4).
В самом деле, условие разрешимости системы (А) относительно
Уъ Уз> · · · у У η состоит в том, что якобиан п,*'—ь ""—2Liii отли-
и\Уъ* Уъ····, Уп)
чен от нуля при рассматриваемых значениях уъ У3э···»^»·

264 СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VII
В наших предположениях функции y1(x)f y%(x), ..., уп(х) обращают
в тождества все уравнения системы (А); в частности, имеем тождество
^- = /1(х, уи ;>2>···> Уп)· Дифференцируя это тождество по х,
_: £_£.,.££+...+ <&£. „„, . сш1у (4А
имеем тождественно:
5Vi_ F _ήΛ ι $f\f ι ι dft f
dx* 2~~ддг "^dy/1 " дупУл'
Вычитая одно тождество из другого, находим:
dyi\dx JK)~Tdy2\dx Ji)-r--- * dyn\dx ln)— *
Аналогично, дифференцируя тождество (42) по л; и вычитая из
полученного результата тождество (43), получим:
^f^fk»_fU Л-¥1(*Уп — *\- О
дл W 'V^dyj \dx ТУ^ '' * +дули* W
и т. д., наконец,
dFn_x(dyx f \ . dFn.tfdy2 f\ dFn.x (dyn f\_n
dyx \dx ^)^~d^~\dx~~/2;i-··· ~r"^7"V"^— H~
Замечая, что, в силу тождества ~p- = fv первые члены всех равенств
исчезают, и рассматривая оставшиеся равенства как систему η—1
уравнений с η—1 неизвестными -1-—fiy /=2, 3,..., п,
заключаем, так как, по условию, определитель системы не равен нулю, что
имеют место тождества Ц± =/2,..., ^r==fn> т. е. ух (*), у2(х)>...
···» Уп(х) Действительно суть решения системы (4).
Таким образом, при сделанных допущениях интеграция одного
уравнения п-го порядка (5) даёт возможность путём
дифференцирований и разрешений найти решение системы (4).
Примечание. Последнее доказательство содержало
предположение о разрешимости системы уравнений (А) относительно у2,
д/3» · · ·, Уп. Если это условие не выполнено, то указанные выкладки
не приводят к одному уравнению /2-го порядка, эквивалентному
системе (4). Простейший случай этого рода представляет система:
§£=Л (*,*), Иг=/»(*. у» л)·
Здесь невозможно заменить систему эквивалентным ей уравнением
второго порядка относительно ух\ если /2 действительно зависит
от yv то можно зато составить уравнение второго порядка
относительно у2, эквивалентное этой системе.

§ 11 НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 265
Если же второе уравнение имеет вид:
то нельзя составить также уравнения второго порядка относительно уг>
эквивалентного данной системе.
Пример 1. ;ρ = ·ζ, -г- = —У- Дифференцируем первое уравне-
d2y dz dly . ъ
ние: ~^~ = j-\ используя второе, находим: -г^-\-у==-ч, откуда
у = Сх cos χ -}- С2 sin х\ далее, из первого уравнения
ζ = -~- = — Сх sin χ -f- C2 cos x.
ЗАДАЧИ.
Привести следующие системы к одному уравнению высшего порядка и
таким образом найти их общие решения:
лпс dx dy dz
т-ш=у-ш = 2· Tt=x-
^с dy dz .
пъ^у=у1 *£=!«.
dx z'dx 2}
178.^=1-1 <**- !
dx ζ * dx у — χ *
3. В главе IV проведено доказательство теоремы существования
решений для канонической системы дифференциальных уравнений
первого порядка: если правые части уравнений (4) непрерывны в
некоторой области, заключающей точку (а:0, у0^ у°2, ..., у°п) и
удовлетворяют в этой области условиям Липшица по у19 у2, ..., yiv
то существует одно и только одно решение системы (4),
определённое в некотором замкнутом интервале (х0 — A, x0-\-h) и
удовлетворяющее начальным условиям: при х = х0
у,=уЬ у2=у°2, ·.., уп=у°п>
Замечая, что общая каноническая система (2) путём введения
вспомогательных функций приводится к системе (4), мы можем
непосредственно получить теорему существования для системы (2):
Если правые части у равнений (2) непрерывны в некоторой
окрестности начальных значений χ , ψψ) и удовлетворяют в этой
окрестности условиям Липшица по у(р (i = 1, 2, ..., k\ j = 1,2, ,. „,
mi — 1), то существует единственная сисщема функций у} (х),
^2(дг), ..., ук(х), определённая в интервале (х0 — hy xQ~\-h) и
удовлетворяющая начальным условиям:
yt (*о> = Wo· У\ (*0> = (*>о уТ*'1) (*о) = №'\
(г=1, 2,..., k).

266 СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VII
В дальнейшем мы всегда будем рассматривать системы уравнений
первого порядка.
Мы имели геометрическую интерпретацию решений системы (4):
мы называли их кривыми в (п-{- 1)-ме ρ ном пространстве
(х, у1У у2, ..., уп). Теорема существования и единственности
получила такое истолкование: через каждую точку рассматриваемой
области (й-j-l)-мерного пространства проходит единственная
интегральная кривая.
4, Можно дать ещё одну интерпретацию системы
дифференциальных уравнений первого порядка, особенно важную для приложений
к механике и физике. Будем обозначать независимое переменное
буквой / и рассматривать его как время; искомые функции обозначим
буквами лг1э х2, ..., хп, причём систему значений этих переменных
будем рассматривать как координаты точки я-м ерного
пространства, которое обычно называют фазовым пространством Rn.
Система дифференциальных уравнений будет иметь вид:
,// —X-ι (A xi* χ%9 · · ·> хп)>
dt
dx.
dt
d* ^2 v*> *^1» "^2» · · · > xn)»
—T7- — Xn (i, ЛГ1э ДГ2, . . ·, Xn).
(6)
Мы скажем, что система (6) определяет в каждый момент
времени t в данной точке фазового пространства (хи х2, ..., хп)
компоненты скорости {Хи Х2, ..., Хп) движущейся точких).
Можно представить всю рассматриваемую область пространства Rn
заполненной непрерывной движущейся средой, причём скорости
частиц этой среды в каждый момент заданы уравнениями (б).
Задача нахождения решения системы (6) состоит в определении
величин xv х2, ..., хп в функции t> если дано, что при /=/0
координаты имеют начальные значения хи х%, ...» ·*»· В нашей
интерпретации это значит: найти функции
х\ == 9ι \*9 ^0» ХЬ · · · > хп)> · · · 9 хп === Чп (** Ч>> "*Ь · · ·> хп)у V )
дающие для любого момента времени t полооюение движущейся
точки, которая в начальный момент t0 занимала начальное
положение х\, х\, ..., #£)·
L) Для обеспечения существования и единственности решения системы (6)
мы предполагаем все функции Xt в рассматриваемой ограниченной и
замкнутой области пространства Rn для рассматриваемого промежутка
времени (обычно от — оо до +оо) непрерывными и удовлетворяющими
условиям Липшица по xlt χ&·.., χη*

§ 1] НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 267
Обычно при такой интерпретации система (6) называется
динамической системой, а каждое её решение (7) — движением. Кривая,
описываемая точкой при движении, называется траекторией
движения. Уравнения траектории движения, определённого начальными
значениями (t0, х\, х°2, ..., л:^), даются в параметрической форме
теми же уравнениями (7), причём параметром является время U
Общее решение системы (6) зависит от η произвольных
постоянных, например от начальных значений координат (xl9 ..., хп) при
t=t0, и, следовательно, определяет оои траекторий.
Наибольший интерес представляет частный случай системы (6),
когда правые части не зависят явно от t:
~~df === 'Ч \х1> х& · · · >·^η)» · · · > ~~df~ = ^п \Х1> Х2> · · ·» Хпг V" )
Уравнения (6') определяют стационарное движение среды; скорость
в каждой точке пространства не зависит от времени и,
следовательно, является постоянной в этой точке в течение всего времени.
Общее решение уравнения опять зависит от η произвольных
постоянных х\, х°2, ..., хп— координат начального положения точки,
траектория которой рассматривается. Мы опять имеем соп движений. Но
заметим, что уравнения (6') не изменяются, если заменить
независимое переменное / через t-{-%{%—постоянное).
Пусть решение системы (6'), соответствующее начальным данным
t = О, ATj = х°и х2 = *2, ..., хп = Хп, будет:
Х1 = ?1 (^ ХЬ · · ·» χη)ι · · · > хп == ?п (# XU · · ·» хп)· U')
В силу последнего замечания, решением будет также система
функций:
х1 = ?1 (^+τί XU · · ·> хп\ · · ·, хп = ?п (*+ τ> XU . . ., х°п)> (7'0
где τ— произвольное постоянное. Уравнения (7") представляют ту
же траекторию, что и уравнения (7f), но при τ φ О они
представляют, вообще, другое движение; в самом деле, в
движении (7") начальное положение (при / = 0) движущейся точки
определяется координатами:
х Ψ = ?ι (τ; хи . · ·, Хп)9 · · ·, χ(η = φΛ (τ; x°u · · ·» χ1)\ (7'")
эта точка лежит на траектории (77), но проходится в движении (7')
не в момент / = 0, а в момент ^ = τ. Движение (7") может быть
также записано в форме (7') с начальными данными χ{ϊ\ χψ, ...,χ^:
χι = φι(П χ{ι\ ..., χη\ ..., χη = <?ηtt 41}, ..., Α (7ιν)
Итак, в случае стационарного движения на каждой траектории
совершается оо1 движений; все частицы, лежащие в начальный

268 СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VI?
dxx Χλ
dxn Xn
dx<i X2
dXn-ι Xn-i.
dxn Xn
dt _ 1
d*n Xn
момент на данной траектории, описывают одну и ту же линию
в фазовом пространстве, следуя по этой линии одна за другой.
Подсчитаем, от скольких параметров зависит в стационарном
случае семейство траекторий, рассматриваемых как кривые я-мерного
пространства. Предполагая, что в некоторой области функция
<Хп(хи ···> хп) не обращается в нуль, мы можем в системе (6')
принять за независимое переменное хп и заменить эту систему
следующей:
(6")
Система первых η—1 дифференциальных уравнений (6")
определяет те же кривые, что система (6'); время в эту систему вовсе
не входит. Из предыдущего следует, что эта система η — 1
уравнений определяет семейство кривых, зависящее от η — 1 параметров,
причём через каждую точку рассматриваемой области фазового
пространства проходит одна кривая семейства. Таким образом,
в случае стационарного движения семейство траекторий
зависит от η—1 параметров. Эти траектории часто называются
линиями тока.
После того как система η — 1 первых уравнений (6")
проинтегрирована, для полной характеристики движения нужно ещё
определить связь между координатами и временем. Для этого берём
dx
последнее уравнение системы (6"): <# = ^-А; заменяя в выражении
Хп величины хи дг2, ..., хп_1 найденными функциями от хп>
получаем выражение вида:
Λ = Ψ(*η. С19 С2, ..., Cn^)dxn>
где Си С2, ..., Сп_г — постоянные, вошедшие при интеграции
системы η—1 первых уравнений; отсюда
х°
хп
(τ—-постоянное интеграции). Из полученного уравнения можно
определить, обратно, хп через /-f-τ, так как
получаем:
Отсюда и остальные координаты, найденные в функции хп, могут
быть выражены через время; мы получим выражение всех
движений в виде:
*« = 9ί(' + τ, ci> ···> сп^) ('=1. 2> 3> ···> пУ>

§ 1] НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 269
семейство движений зависит, таким образом, от η параметров:
Рассмотрим, с точки зрения этой интерпретации, движение
материальной точки в одном измерении; уравнение движения имеет
в общем случае вид:
d*x __ ,/ dx\
dfi —J\f> x> dt)
(сила зависит от времени, положения и скорости точки).
Преобразуем это уравнение в систему; вводя вторую искомую функцию
у = -— , получаем систему:
dx dy 4f, ч
dt 'y dt
Каждая траектория этой системы- на фазовой плоскости хОу будет
показывать в любой момент ./ положение точки (абсцисса х) и её
скорость (ордината у). Семейство траекторий зависит от двух
параметров: из каждой точки (дг0, у0) в момент t0 выходит одна
траектория.
Если же сила не зависит от времени, то система имеет вид:
dx dy ,, ν
dt s> dt
Чтобы определить траектории в этом случае, можно исключить dt;
получаем: уравнение первого порядка -~ =·^ ^ \ Семейство
траекторий зависит от одного параметра, через каждую точку фазовой
плоскости хОу, в которой функция / определена и где числитель и
знаменатель одновременно не обращаются в нуль, проходит
единственная траектория.
Пример 2. Уравнение упругих колебаний в одном измерении
имеет вид:
d*x
ш = ~а-х>
переходя к системе, получаем:
dx dy 0
Tt=y> чг = -фх-
Общее решение исходного уравнения можно написать в виде
х = A sin a (/-f-C); по самому определению функции у имеем:
у = аЛcosa(t-\-C), где Л и С—произвольные постоянные.
Семейство траектории в фазовой плоскости мы получим, если исключим t\
будем иметь:

270 СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VII
Это — семейство подобных эллипсов с полуосями А и аА,
зависящих от одного параметра А\ на каждой траектории происходит оо*
движений, которые мы получим все по одному разу, давая С,
например, следующие значения:
Система дифференциальных уравнений вида (6') обладает ещё
одним замечательным свойством: она определяет однопараметри*
ческую группу преобразований пространства (хи х2, ..., хп).
В самом деле, на равенства (7'), дающие решение системы (6'),
можно смотреть как на формулы, определяющие преобразование,
при котором точка (х°и ..., х°п) переходит в точку (xv ..., хп).
Эти формулы определяют семейство преобразований, непрерывно
зависящее от параметра U Значению /=0 соответствует
тождественное преобразование. Покажем, что преобразования (7')
образуют группу. Если к точке (λγι, ..., хп) применить
преобразование, соответствующее значению τ параметра t9 то
преобразованная точка (χ(ι\ ..., χ{ίϋ) будет дана формулами (7'"); если затем
к точке (χι~\ ..., х^п) применить преобразование, соответствующее
параметру t, то мы получим точку (xv ..., хп)9 определяемую
формулами (7IV); но она же даётся формулами (7"). Итак, два
последовательных преобразования, соответствующих значениям
параметра τ и t, эквивалентны одному преобразованию со значением
параметра /-{-τ:
?·(';?ι(τ; х°и ·. -э -4), ·-., ?Лх>* хи ··-э *$>))»φ<(Η-τ; *ϊ. .·., ■*£),
/=1, 2, ..., п9
а эти равенства и выражают свойство группы. Легко видеть, что
эта группа коммутативна: тот же результат получится, если
сначала произвести преобразование t, а затем τ. Преобразование (7')
допускает обратное преобразование, соответствующее значению
параметра — t. Все эти рассуждения справедливы для достаточно
малых значений \t\9 для которых существует решение (7') системы (б7).
§ 2. Системы линейных дифференциальных уравнений.
1. Теорема существования. Линейными
дифференциальными уравнениями мы называем уравнения, в которые производные
от искомых функций и сами эти функции входят линейно.
Мы будем рассматривать нормальные системы линейных
уравнений· Такая система имеет вид {ylt y2i ..., уп — искомые

§ 21 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
функции, х — независимое, переменное):
77 + виЛ + βι«Λ + · · · + атУп =*VV \
271
dx
§J + «2ΐΛ + «аа>8 + · · · + «2»7п = V»
fj + вшЛ + апъУъ + · · · + аппУп — К
(8)
где aik и правые части Vx суть данные непрерывные функции от х.
Если не все V^(ir) тождественно равны нулю, линейная система
называется неоцнородной; если правые части Vi равны
тождественно нулю, то линейная система однородна; она имеет
вид:
+ *ιηΛ» = 0>
Й + ^1Λ + ***** + · · · + а*пУп = °»
4У»
-Т7 + атУ\ + апъУъ + · · · + *ппУп = °-
(9)
Если системы (8) и (9) имеют одни и те же коэффициенты, то
однородная система (9) называется соответствующей неоднородной
системе (8).
Пусть функции aik и V{ непрерывны (следовательно,
ограничены) на некотором замкнутом отрезке S, хх <; χ <; х2 (если эти
функции непрерывны при всех значениях xt то можно взять за хх
отрицательное число, сколь угодно большое по абсолютной
величине, а в качестве х2 сколь угодно большое положительное число).
Пусть К—верхняя граница абсолютных величин Vi и aik на S:
</С (/, 4=1, 2, .... п\ |V,|<tf (*—1, 2, ,
а.
•ik\
η).
Разрешая уравнения (9) относительно производных, мы видим,
что правые части непрерывны при хг^.х^.х2 и при
любых значениях у19 у2, ..., уп (но не остаются ограниченными
при неограниченном возрастании этих последних переменных). Далее,
условия Липшица выполняются при х1^х^.х^ и при
любых уи у2> ..., уПУ так как частные производные по у\ суть
коэффициенты aiki которые не зависят от уи у%9 ..., уп и, по
предположению, все ограничены на 5. Доказанная в главе IV
теорема существования позволяет утверждать, что система (8) [и (9),
как её частный случай] имеет единственное решение уг (лг), y%(x)t.
» э Уп (^)э принимающее при
Оэ
где хх < х0 < лг2, любые

272 СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VII
начальные значения у^\ у^\ ..., у(п* Это решение определено
в некотором замкнутом интервале (х0 — /г, x0-\-k)t концы которого,
однако, a priori могут не достигать концов отрезка [xv х2].
Мы можем уточнить теорему существования для
линейной системы: решение, определяемое начальными
данными (дг0, у{\\ ..., у{п), существует во всём отрезке S, хх <; χ <; х2
непрерывности коэффициентов и правых частей; последователь-
ные приближения равномерно сходятся также во всём этом
отрезке.
Припомним, что ограничение h = min ί α, -j-r) в обозначениях главы IV
имело своей главной целью гарантировать, что ни одно приближение не
выйдет из границ (j^0)— b, yf^-\-b); в рассмотренном случае эта
предосторожность является излишней, так как область определения и непрерывности
относительно всех yi простирается от —оо до +оо. Могло бы составить
затруднение лишь то обстоятельство, что мы заранее не знаем, как сильно
возрастут /#-ые последовательные приближения yfl) (χ) при изменении χ во
всём отрезке 5, и, следовательно, мы не можем ограничить абсолютные
величины правых частей уравнений, разрешённых относительно
производных, числом М, которое входило в оценки (8j), (82), ..., (8т) главы IV.
Поэтому при доказательстве уточнённой теоремы существования для
линейных уравнений надо слегка изменить рассуждение.
Обозначим через L верхнюю грань абсолютных величин-
начальных значений:
\yf\<L (ι=1, 2, .... я).
Последовательные приближения определяем так же, как и в главе IV.
Пусть χ изменяется в отрезке х0 <^χ <] х2. Мы будем иметь:
X
У? (х) =уТ - J (аиУТ + anyf + ... + ainy{? - V,) dx
(/=1, 2, ..., η),
откуда
χ
\/?(х)-у?\<(п1а + К) f dx = K(nL+l)(x-x0) (Щ)
(/=1, 2, ..., n)
для любого значения χ, χ0^ζ.χ <^*2. Далее,
^)=^0)-/(в*ьУ51) + в*вУ«1)+ · · · +«**У»)- Пах
(г=1, 2, .... п).

§ 2] СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 273
Оценим абсолютную величину у(Р—у({1):
№ --/> | = |/ [аи (/> -У,0') + ... + ain (у® - У?')] dx | <
Хо
X
< / {I««I · 1У1' -уТ I +. · · +1 «i« I · 1У." -У? I} dx.
Х0
Замечая, что \aik\^.K, и заменяя под интегралом \yf}—yf}\ их
оценками (10х), получаем:
X
\yt)—/l)\<nKK(nL+l)J(x-x0)dx^nKK(Ln + l){^ft (Щ
4
(г=1, 2, .... я).
Далее, имеем подобным же образом при / = 1, 2, ..., я:
ι ,/?> _ v(?> I ==
|.У< —Уг I ==
" <
=11 [««(У^ -У")+«« (У2) -У1})+· · · + в*, о?» -УГ')] rf*
</{|^1-1У12,-У1)И----+1«г»1-1^2)-У«,1}^<
χ
<{nKfK{nL-\-\) ^Ji^^dx = {nK?K{nL+\)£^£.. (i0j)
Методом полной индукции легко докажем такую оценку:
|Л->_у?-«| <(«/cr-1^(«i+i)i£^-i. (ioj
Итак, все члены рядов
У^+сУ/'-УЛ+сУ^-У1^ · · · +(УЯ1,-У4"-1,)+· · · (ίο
(i=l, 2, ..., я),

274 СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [гл· VII
начиная со второго, меньше по абсолютной величине, чем члены
сходящегося ряда
°° K(nL + \) 1пК(х2—х0)]™
пК т\
с постоянными положительными членами (мы заменили χ— х0 его
наибольшим значением х2— дг0). Следовательно, ряды (11) сходятся
равномерно на интервале (х0, х2) и представляют непрерывные
функции ух (л;), у2 (л:), .. ., уп (х). То, что эти функции удовлетворяют
системе уравнений (8) и являются единственными решениями этой
системы, доказывается так же, как в главе IV, § 1, 2.
Аналогичные рассуждения устанавливают существование решения в отрезке
Х\ "^. % "^, «^2*
Примечание 1. Если коэффициенты a{j и правые части V{
непрерывны в открытом интервале (я, Ь) (где может быть
а=—оо, £=-|-оо), то приведённое рассуждение доказывает
существование и единственность решения системы (8) в4 любом
замкнутом интервале [α, β], лежащем внутри (а, Ь). Беря
последовательность замкнутых интервалов [av j3j, [α2, β2], ..., [αη, β J,...,
из которых каждый последующий заключает предыдущий, причём
lim ап = я, lim βη = д, мы определим решение в любом из этих
интервалов [α№, [3J, следовательно, в силу единственности решения,
и в их сумме, т. е. во всём открытом интервале (а, Ь). Очевидно,
функции, представляющие решение, будут непрерывными и
удовлетворяющими системе (8) во всём интервале (а, Ь); в любом
замкнутом интервале [α, β], содержащемся в (а, Ь), эти функции являются
равномерно непрерывными, а последовательные приближения у χ (χ)
(/=1, 2, ..., η) — равномерно сходящимися при т-*оо.
Примечание 2. Линейное уравнение я-го порядка
yW + aiyin-l)+...+any=V(x)
эквивалентно нормальной системе линейных уравнений специального
вида:
dx Λ~ υ> dx У* — "' ···> dx Уп-1 — ">
^Г + &хУп-\ + ЧУп-Ъ + · · · + ^п-Л + *пУ = V(*)·
Применяя доказанную теорему, мы получаем следующий результат:
линейное уравнение п-го порядка с коэффициентом при старшей
производной, равным единице, имеет непрерывные и η раз
дифференцируемые решения во всём открытом интервале, в котором
коэффициенты и правая часть уравнения непрерывны.

§ 2]
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
275
2. Линейные однородные системы. Такая система
имеет вид:
%■ + аиУ1 + «12^2+ · · · +аыУп = 0.
J% + «213Ί + <*22.fe + · · · + <ЧпУп = °,
^ + атУ1 + ап2У2 +
+ <W» = 0.
(9)
интервале
Мы предполагаем, что коэффициенты aik непрерывны в
а < χ < Ь.
Пусть частным решением системы (9) является система
функций у^(х)9 У{<р (*)» ..., j/£> (*), так что по подстановке
в уравнения (9) эти функции обращают их в тождества. Легко
видеть, что в таком случае система функций Сур, Су^\ .. ., Су{1>
также является решением системы (9). Далее, если у^\ у^\ ..., уМ
••>Уп} сУть два частных решения, то у^-^-уФ,
2 * ···> -V^H"^ также является решением системы (9).
Пусть мы имеем rt частных решений:
и ух
(2).
№+№
У{?>
У\ у
У$\
Уг у
У η >
Лп) ν(η)
/1 ' /2 '
v(n).
(12)
Назовём систему решений (12) фундаментальной, если
определитель
D =
Μ1,Χ1)···Λ1)
t/2> ι/2)
Уг Уг .
v(2)
•.Уте
уРУР.
•уТ
(12')
я# рявея тождественно нулю в интервале (а, Ь). Фундаментальные
системы существуют: достаточно взять п% чисел 6<Л) (/, & = 1, 2, ..., η)
таких, чтобы их определитель D0 был не равен нулю; затем
определим η частных решений у^(х), У*}(х), •••>Xf)С*), принимающих
при х = х0 (где х0 — некоторая точка интервала а < χ < b)
начальные значения у™ (*Q) = £(*), у£) (Xq) = #к)$ ... ? уф (лд = #ft) (ft = 1,
2, ..., /г). Тогда, в силу непрерывности функций ykv определитель D

276
СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VII
будет отличен от нуля также в некотором интервале, окружающем
точку х0. Мы можем доказать больше.
теорема. Если D (х0) φ 0, то D (х) не обращается в О ни
в какой точке интервала (я, Ь).
Для доказательства вычислим производную £>' (х);
дифференцируем по столбцам:
&{х) =
*У?
(1)
У21}
dx
ЧТУ?
JLL. y(n)
dx y*
+
V(D
y(2)
in)
4-
I
s η
yil)yW
уТУ?
у<П)у(П)
r(D
•W
yn
d^_
dx
dyf_
dx '
yi dx
*&
dx
dx
rfyjf
(n)
dx
. y(1)
у
.(2)
y(»)
+
Заменив в каждом определителе в правой части производные —-—
их выражениями из уравнений (9), мы получим, например, для
первого слагаемого:
|Χ1)Χ1)···Λ1)
,yWyf)...yW
— αί2
Х2) yf
, yW
·>η
>2 У г ' · ' У η
in)
, у(1)
у2)
у«)^)
ι/(»)
= — απ £>(*),
так как все определители, кроме первого, имеют по два равных
столбца. Аналогично, второе слагаемое даёт —a22D(x)y .. ., я-е ела-

§ 2] СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 277
гаемое даёт —annD(x). Итак, имеем:
D' (х) = - (ап + а22 + ... + апп) D (*),
или
откуда
η^~~ (αΊι + а22 + · · · + О»
-ί<β11+βΜ+···+βΛη>*Β
D (χ) = D0e χο
Следовательно, если О0ф0, то О(х)ф0 во всём интервале,
где коэффициенты аи (а следовательно, и решения) непрерывны,
т. е. в интервале (а, Ь). <
теорема. Если yf\ у£\ ..., у{Ъ (й = 1, 2, ..., я) 'образуют
фундаментальную систему частных решений системы (9), то
общее решение будет:
у г=здц+ад > +... + ад>, j
Λ = ад> + ад> +... + ад>,
Λ = «> + «>+···+«>. j
(13)
Из сказанного в начале этого раздела следует, что формулы (13)
представляют решение системы. Чтобы доказать, что это решение
общее, нужно показать, что постоянные Cv C2, ..., Сп можно
определить так, что функции yv у2, ..., уп будут при х = х0
удовлетворять начальным условиям:
где Ух0), yf\ ..., у^ — любые числа. Подставляя эти условия
в выражения (13), мы получим для определения Cv С2, ..., Сп
систему η линейных алгебраических уравнений:
MW + q.yf (*о)+ · · · +Cny^{x0)=yf) (/= 1, 2, .... л). (14)
Так как, по доказанному. О(х0)ф09 то система (14) имеет
определённую систему решений Cv С2, .. ., Сп. Подставляя в формулы (13)
найденные значения произвольных постоянных, мы и получим
искомое частное решение. Теорема доказана.
Примечание 1. Мы определили фундаментальную систему (12) по
формальному признаку — необращению в нуль определителя D(x).
Естественно ввести определение линейной независимости системы
функций: систему функций вида (12) мы назовём линейно независимой, если

278 СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VII
не существует такой системы постоянных чисел αχ, α2» ···> ап (которые
не все равны нулю), что имели бы место в интервале (а, Ь)п тождеств:
«iyi1)+«8jf, + ... + «nj4n) = o.
«1Λ1) + «2Λ2)+··. + "„Λη)=ο.
В противном случае система функций (12) называется линейно зависимой.
Покажем, что для η функций, дающих решение системы линейных
дифференциальных уравнений, понятия фундаментальной системы и
линейно независимой системы совпадают. В самом деле, если система (12)
линейно зависима, то, рассматривая равенства (15) как η
алгебраических уравнений с η неизвестными aj, a2,..., ап, мы находим, что так как
не все аг· тождественно равны нулю, то определитель этой системы равен
нулю, притом для всякого значения л:, т. е. D (л:) = 0. Обратно, если система
решений (12) дифференциальных уравнений линейно независима,
т. е. тождества (15) невозможны при постоянных с^, которые не все равны
нулю, то D (х) не обращается в нуль ни при каком значении х. Допустим,
в самом деле, что О(лг0) = 0, я<лг0<6. Тогда система (15), если в
функции у^ (х) подставить значение χ = лг0, имеет систему решений а1э а2,..., ате,
которые не все равны нулю. Найдя эту систему, составим функции:
J, = Si J44 + «*У? + ... + ν™
Эти функции дают решение системы дифференциальных уравнений, так как
они составлены из линейных комбинаций частных решений. Далее, эти
функции, согласно определению величин σ^ удовлетворяют начальным условиям:
~Уг =У2 = · · · = Уп = 0 при χ = х0.
В силу теоремы единственности, система (9) имеет только одно решение,
удовлетворяющее данным начальным условиям; но очевидное (тривиальное)
решение yi = 0, j'2 = 0,..., _у№ = 0 удовлетворяет начальным условиям —
обращению в нуль всех функций при χ = х& следовательно, решение
Уъ Уч> · · ·» У η совпадает с тривиальным, и равенства (16) дают:
тождественно для всякого χ в интервале (a, b). Таким образом, мы получили
линейную зависимость для системы (12), против предположения.
Следовательно, D (х)фО ни для какого значения χ в интервале (at b).

§ 2] СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 279
Примечание 2. Задача построения системы линейных
уравнений, имеющей заданную систему решений
«№) i/(ft)
У η
(*=1, 2, 3,
разрешается следующими формулами:
dx dx dx
у?
., η),
(12)
ιι(2)
Α?ΛΓ
y2n)
У. J?
v(2)
An)
Уп
= 0 (i = l, 2, ..., n).
Заметим, что коэффициентом при производных ~-ί является D(at),
определённый формулой (12'); если Ζ)(λγ) не обращается в нуль
в интервале (а, Ь), то, деля на D(x), получаем линейную систему
уравнений в нормальной форме.
Пример 3. Найти линейную однородную систему второго
порядка *), допускающую следующую систему решений:
yf} = ex cos ху yf* = β» sin χ;
Ух2) = — sin xr yf] = cos x.
Искомые уравнения будут
\%У\
-^ Vе (cos л;— sin л;) —cos л;
Ух
У*
ех cos х
ех sin χ
- sin л:
cos л;
4у_2
-^ ^ (sin л: -f- cos л:) — sin x
ех cos χ — sin л;
ёх sin x cos x
У\
У*
= о,
= 0,
или, развёртывая определители по первому столбцу и деля оба
уравнения на D(x)=*ex, получаем искомую систему:
-jl — cos2 χ · yt -f- (1 — sin χ · cos x)y2 = 0,
^ — (1+ sin *. cos л:) jv
sin2 л: -^2 = 0.
*) Система п дифференциальных уравнений первого порядка называется
системой /z-го порядка, так как она может быть заменена одним
уравнением я-го порядка.

280 СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VII
3. Неоднородные системы линейных уравнений.
Рассмотрим неоднородную систему:
Ц^ + а\\У\ + а\*У-г + · · · + а1пуп = V,, )
% + атУ1 4 αη2^·2 + · · · + аппУп = Vn.
(8)
теорема 1. Ягли известно частное решение неоднородной
системы Yt(x), Υ%{χ)> ..., Yn(x)> то нахождение общего
решения этой системы приводится к решению соответствующей
однородной системы (9).
В самом деле, введём новые искомые функции zi соотношениями:
y1=Yl + z19 y*=Y* + z2, ..., yn=Yn + zn.
Внеся эти выражения в уравнения (8) и принимая во внимание
тождества
η£ + "αγι + ««Λ + · · · +«*Λ= Vt (i= 1, 2, ..., η),
мы получим для новых функций ζχ систему
^ + *<Α + *β*2+···+«ΐΛ^ = 0 (/=1, 2, 3, ..., η). (90
Теорема доказана.
Следствие. Общее решение системы (8) имеет вид:
Ух = Ci-vi1} 4- ад> 4- · ·. + ад»> + yu
у 2=ад>+ад) +... + ад») 4- у»,
л.=ад)+ад>+...+ад»>+кп,
где Kj, К2, ..., Кп — какое-нибудь частное решение неоднородной
системы (8), а
t.(D lf(l) t.(l). „(2) (2) (2). . (Я) (П) (η) Поч
суть п независимых частных решений соответствующей однородной
системы (9); Cv С2, ..., Сп — произвольные постоянные. Доказа-

§ 2] СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 281
тельство аналогично доказательству соответствующей теоремы для
линейного уравнения п-го порядка (см. главу V, § 3, 1).
теорема 2. Если известна фундаментальная система
соответствующей однородной линейной системы, то решение
неоднородной системы сводится к квадратурам.
Если нам известны решения (12) системы (9), то её общее
решение имеет вид:
y1 = c1y? + coy?+... + cjr\ ι
(13)
где С\, С2,..., Сп — постоянные. Формулы (13) с постоянными Q,
очевидно, не дают решения неоднородной системы (8). Применим,
как и в случае одного линейного уравнения, метод вариации
постоянных. Будем рассматривать Q как неизвестные функции
от х, причём подберём их таким образом, чтобы выражения (13)
являлись решениями неоднородной системы (систему уравнений (13)
можчо рассматривать как систему, вводящую η новых искомых
функций от х: Cv С2,..., Сп\ в силу .линейности преобразования, новые
уравнения для Q тоже будут линейными).
Дифференцируем равенства (13) по х:
dy. dyV , dyf dy<?»
dx — Ui dx ^ ^ dx ι · ' · ^u» dx ^
+^1)^-+^2)^ + ···+^)-& (/=1,2,..., /ι). (17)
Подставим выражения (17) и (13) в уравнения (8). Первые строки
правых частей формул (17) имеют такой вид, как если бы Q были
постоянными; так как у^\ yf),..., уф) представляют решения
однородной системы, то при подстановке эти члены дадут нули;
в самом деле, результат подстановки в 1-е уравнение даёт:
+«* Σ с*лк)+· · ·+<чп Σ c*>f=ν«
1ЛИ

282 СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VII
и для определения Cv C2i..., Сп остаются уравнения:
У? ί£ +У? # + · · · +УР ч? - "*
yd) .dCl J, y(2) ^C2 Ц_ I v(H)d£n = V .
^n dx *Sn dx ' '''i^n rfx w
Полученная система линейных уравнений относительно -j-^-,..., —-г-2*·
разрешима, так как определитель системы О(х)ф0, в силу
предположения, что система η решений (12) является фундаментальной; мы
получаем:
dCt _ DnVi + D*V2 + ... + D«1Vn _ ω Μ
dx Щх~) =?iW.
"dF Щх) = % W'
~ZT — Щ£) = *» W>
где через Дл(/, &=1, 2,..., я) обозначен минор определителя Д
соответствующий элементу yfK Так как φ^ (λ;) являются известными
функциями, то С4 получатся квадратурами:
ci= $ъ(х)<** + Ь (г,==1э 2,..., п)
(γ?· — постоянные интеграции).
Подставляя найденные значения С{ в формулы (13), получаем
общее решение системы (8) в виде:
Λ=ν£"+ν?>+ · · · +vbn) + κ2.
у η=ν!,1'+ν!?'+· · ·+VC + y„.
где частное решение неоднородной системы Yv Y2..., Υη
определено формулами:
г* (*)=yff φ, (*) rf-s+jf J % (*)<** + ·.· +Xra,J φ» W ** =
- Σ D*Vi
A*l

§ 21 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 283
Пример 4. —- — ζ = cos χ, -^- -\-у = 1. В примере 1 мы нашли
решение соответствующей однородной системы:^ = Ct cosx-\-C2 sin x,
ζ = — CjSinA;-|-C2cosx. Подставляем эти значения в данные
уравнения, считая Ct и С2 неизвестными функциями х. После
приведения получим такую систему:
dx
cosx-
dC*
dx
. sin χ = cos x,
dCi
dx
SinAT-
dC«
dx
cosa:== 1,
dC-ι dC*
откуда, разрешая относительно —т-1- и —-г^· и затем интегрируя,
находим:
—-1 = cos2 χ — sin xy Cj = γ -f- -i- sin χ cos χ -f- cos χ -f- т1э
rfCo
ί^ΛΓ
sin λ; cos λ: + cos χ, C2 = — -^ cos2 л: -}- sin χ -\- γ2
(Τι и Та — произвольные постоянные).
Подставляя найденные значения Ct и С2 в выражения для j/ и ^,
получаем общее решение заданной неоднородной системы:
у = Yj cos x -f- γ2 sin λ: -j- -j cos χ -f- 1,
,2" ==·
•γ! sinAT + ^2cosA: — -jsinx— γ cos x.
4. Линейные системы с постоянными
коэффициентами. Рассмотрим однородную линейную систему:
dy
а7 + апУ1+*1*У*+-
^ + Wi + <W2+·
> + аппУп = °>
(18)
в которой будем предполагать коэффициенты ailc постоянными.
Если систему (18) привести к одному уравнению высшего порядка,
то, как легко видеть, получится линейное уравнение с постоянными
коэффициентами. Поэтому естественно искать решения системы (18)
в виде показательных функций. Будем искать частное решение в
таком виде:
Vi = Ti«**. Уъ = Ъ*°*-.-,Уп = 1п*°* (19)

284 СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VII
где ^j,... , γ„ и λ — постоянные, которые нужно определить так,
чтобы выражения (19) удовлетворяли системе (18). Подставляя
в систему (18) значения (19), сокращая на еХх и собирая
коэффициенты при γ,, γ2,..., γη, получим систему алгебраических
уравнений:
(«π + λ)Ύι+ «ιβΪ2 +
α2ΐΊΓΐ+0·22 + λ) ТГ2 +
+ β|ηΤ»==0»
+ «2Λ = °.
α»ιϊι +
й»аТ2 + · · · + Km + λ) Τ» = °· J
(20)
Рассматривая (20) как систему п линейных однородных уравнений
относительно γ1? γ2,..., γη, мы замечаем, что для получения
нетривиального решения (19) мы должны потребовать равенства нулю
определителя системы (20), т. е. мы приходим к уравнению:
Α(λ) =
β11+λ а12
.а.
α.22~\-λ.. .а2,
2η
лп\
гп2
,+λ
= 0.
(21)
Наряду с определителем Δ (λ) нам в дальнейшем придётся часто
рассматривать матрицу Μ (λ), составленную из тех же элементов:
Μ (λ) =
απ+λ
42
β22 ~~f~ ^ · '
-*2w
(21')
χ?&2
,+λ
Придавая переменному λ значение λ0, мы получим матрицу Λί(λ0).
Уравнение (21) есть уравнение /2-й степени относительно λ; мы
будем называть его характеристическим уравнением. Итак,
решение вида (19) системы (18) может существовать только в том
случае, когда λ есть корень характеристического уравнения. Могут
предст?виться два случая.
1) Все η корней характеристического уравнения различны. Пусть
эти корни будут λρ λ2,..., λ„. Если один из этих корней λ^
подставить в Δ (λ), то мы получим Δ(λ;·) = 0. Покажем, что по
крайней мере один из минороз (п—1)-го порядка определителя Δ (λ)
отличен от нуля при λ = λ>·. В самом деле, так как λ^· есть простой

§ 2]
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
285
корень уравнения (21), то ^ 1 = Δ' (kj)zfiO. Вычисляем Δ' (λ):
Δ'(λ)-
«22 +^ α\
23
. . . Я5
2η
*32
ιη2
«33 + * · · * β3«
··· «/m + *
*«3
+
+
«и + λ «
13
... α
1η
^31
«33 + λ · · · *;
3?г
*ral
*?*3
...+
аП + λ «12
+ ...
... α
ι, ?ι-ι
α22 +λ ... α2% η_χ
αη-1, 1 «»-1, 2 · · · «w-1, ?*-1 + λ
1)-го
(в правой части стоит сумма диагональных миноров (/г-
порядка).
Подставляя вместо λ значение kj и вспоминая, что к'(к/)фО,
мы получаем в результате, что по крайней мере один из входящих
в последнюю сумму диагональных миноров (п—1)-го порядка не
равен нулю при λ = λ^·. Наше утверждение доказано.
Возвращаемся к системе (20), в которой вместо λ подставим
kj — один из корней характеристического уравнения. Определитель
системы равен нулю; следовательно, система имеет отличные от нуля
решения γϋ>, γ^>, .. ., γ<#. Но, по доказанному, ранг матрицы Μ (kj)
коэффициентов системы (20) равен η — 1; следовательно, неизвестные
тР.
•2 '
ftf> определяются с точностью до произвольного мно-
жителя пропорциональности (в качестве γ^>, ^U)f # # #? γ^ можно
взять миноры любой строки определителя Δ(λ^), для которой они
не все равны нулю).
Итак, мы получим (обозначая этот множитель через Cj):
где &(|Λ (ί = 1, 2, ..., я) суть известные числа. Итак, корню λ = λ^
соответствует частное решение системы (18) (мы полагаем С.= 1):
yf = kp№, yf = W, ..., ^ = kfexS». (22)

286 СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VI!
Ясно значение множителя Cf мы знаем, что если систему частных
решений помножить на одно и то же произвольное постоянное, то
получаем опять решение системы однородных линейных уравнений.
Применяя приведённые рассуждения ко всем корням kt, λ2, ..., λ^
характеристического уравнения, мы получим η частных решений
вида (22) для j = 1, 2, .. ., п.
После этого мы можем написать полное решение системы (18)
в виде:
Λ = ад» + cjm + ... + CJp,
Примечание 1. Если коэффициенты уравнения действительны,
а некоторые корни характеристического уравнения окажутся мнимыми,
то они будут входить попарно сопряжёнными, например:
К = α + β*> λ2 = α — β/.
Соответствующие решения будут иметь вид:
yf=kfV^i)x, tf^kff-™* (/ = 1, 2, .... я).
Коэффициенты kf и kf] тоже окажутся комплексными сопряжёнными,
если взять их равными минорам одной и той же строки
определителей Δ(α-{-βΟ и Δ (α—β/). Легко убедиться в том, что корням
λ = α ± β/ будут соответствовать две системы решений,
соответствующих действительной и мнимой части у.1) и у&\ вида:
yf = еш (<f cos β *—/j2) sin p*), yf> = *«" {f sin β*+/f > cos ?*).
где if и /j'— действительные числа, определяемые из равенств
kf = f + if, k^ = P-il?\
Пример 5. -^4-ТУ — г = 0, ^ + 2y + 5* = 0. Ищем
решение в виде j/ = γ^*®, г = γ2^λίϊΡ; подставляя в заданную систему,
получаем уравнения:
ϊ,(λ + 7)-γ2 = 0, 2Τι+(λ + 5)Τβ = 0.
ёт характеристическое уравн
:0, или λ2 + 12λ + 37 = 0.
Условие их совместности даёт характеристическое уравнение:
λ + 7 —1
λ + 5

§ 2] СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 287
Корни характеристического уравнения суть: Xt = — 6 -}- /, λ.2 =
= — 6 — и Подставляя первый из этих корней в систему для
определения γχ и γ2, получаем два уравнения:
ί,α + Ο—γ2=ο, 2Τι + (—ι + θτ« = ο,
из которых одно является следствием другого. Мы можем взять
ft^sl, ^21)=1+ί· Первая система частных решений есть
дД) = ^(-б+О а> 9 уц = (1 -f- 0 ^(-6+<>®.
Аналогично, подставляя корень λ2= — 6 — i9 найдём вторую систему
частных решений: t
yf) = *<-«-<) ^, j^) = (1 _ /) ^(-в-о ж.
Беря в качестве новой фундаментальной системы решения
находим:
j/(i) = e-%x cos л:, yi2) = e~6x sin *!
у^) = е-*х (cos χ — sin χ), У22) = е~"6а? (cos χ -f- sin χ).
Общим решением будет:
yt = е-6а? (Cj cos x -j- C2 sin λγ),
j/2 = <>-6* [(С, + C2) cos л: + (C2 — Cj) sin λγ].
Примечание 2. Полученные нами п решений (22) являются линейно
независимыми. В самом деле, рассмотрим таблицу (12). В нашем случае
yW = к[^ехЗх. Допустим, что в силу определения линейной зависимости,
выполняются соотношения (15), причём не все о^· = 0. С другой стороны,
в каждой строке системы, например у'-й, найдётся коэффициент k\^ φ О, иначе
7-е частное решение было бы тривиальным.
В силу допущения, мы имеем:
a^V** + a^V* +...+ *//>№ + ·. · + a^efa* = 0.
λ л?
Так как, по доказанному в главе VI, функции е о линейно независимы
(у = 1, 2, ..., л), то все коэффициенты в последнем соотношении равны нулю,
в частности ^ψ = 0.
В силу условия, не все kfp (/=1, 2,..., η) равны нулю; следовательно»
аз = °-
Это рассуждение применимо ко всем значениям у = 1, 2,..., п\ таким
образом, все olj равны нулю. Полученное противоречие доказывает линейную
независимость решений (22).

288 СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VII
2) Среди корней уравнения (21) есть кратные. Пусть λί есть
m-кратный корень характеристического уравнения. В таком случае
значение m-й производной от Δ (λ) при λ = λί Δ(™) (Xj) φ О,
и рассуждение, аналогичное предыдущему, показывает, что среди
миноров порядка η — т определителя Δ (λ) по крайней мере один
отличен от нуля при λ = λ1# Отсюда следует, что для ранга г
матрицы Μ (к) при λ = λ1 имеет место неравенство г^-п — т. Система
линейных алгебраических уравнений (20) сводится к г независимым
уравнениям. Из теории линейных уравнений известно, что в этом
случае в общем решении системы (20) η — г неизвестных
остаются произвольными; пусть это будут γ3 = Ct, Т2=С2, ...
..., ϊη-Γ=£η_Γ; остальные г неизвестных γη_Γ+1, T„_r+2, ..., γΛ
выразятся в виде линейных форм относительно Си С2, ..., Сп_г\
пусть эти выражения будут:
(2),
ъ=»№+$>€>+...+#
и(П~Г)
С
(/ = л — r-f- 1, η — г + 2, ..., η).
Мы получим такую систему решений, зависящую от η — г
произвольных постоянных Cj, С2, ..., Сп_г\
У\
г р^х ν Γ ρΧχΧ ν С ΡΧίΧ
Уп-г
ь'1)
l(2)
,(n-r)
(^_r+lCj-f-^_r + iC2-f- . . . -\-kn-r+iCn_r)t l ,
\х
ь<2>.
,(n-r),
У η = WC, + WC2 +...+ ГХ-r) e
Λ»
Таким образом, одному корню λ = Xt кратности т соответствует
η — г^т частных решений, которые мы получаем, полагая Q = l
для /=1, 2, ..., η — г, а все прочие Cj равными нулю (6^ = 0
при ίφί):
y(i) = ^» у£> = 0, ...,^).г = 0, I
^yCn-D = 0, j^»-') = 0, .. ., y^-p = e1^,
v{n-r) —ftn-Y) e\Lco u(&-r) = ftn-rtytx j

§ 21 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
289
Матрица из коэффициентов при е^х в правых частях этих равенств
имеет вид:
" ι о о ... о $1г+1... *£>
о ι о ... о fti?Lr+1 ... kf
О О О ... 1 ft?rrrii .
ψι-r)
Её ранг, очевидно, и равен η — г, т. е. между строками системы (22')
нет линейной зависимости; значит, мы получили систему η — г линейно
независимых решений, соответствующих корню λ = \ν Если г = η—т,
т. е. если ранг матрицы Μ (К) при к = кг имеет наименьшее
значение, то полученное число решений равно кратности т корня λν и,
таким образом, получены все решения, соответствующие этому корню
(если /ю = 1, то г = п — 1, η — /"=1, и мы возвращаемся к случаю
простого корня \ν которому соответствует одно решение системы).
Если ранг г матрицы М(\) больше η — т, то число η — г
полученных указанным способом решений будет меньше кратности т
корня kv Чтобы найти недостающие решения, мы должны, как в
случае одного уравнения п-го порядка, искать решения в виде линейных
комбинаций функций βλ&, хе1^у ..., xm~1exix.
Пример 6. -£ = y-)rz, ~Jf = ζ~\~χ·> 'Ш== Х~^~У· Ищем
решения в форме x = kxeKt, y = k.2ext, z = k%ekt. Для определения kv k.2,
ks имеем три уравнения:
Λ/ν* - /w> · /vo v_/j
— kx — k% -\- λ&3 = 0.
Приравнивая их определитель нулю, получаем:
λ —1 —1
0 =
— 1 λ
— 1 —1
— 1
λ
= λ3_3λ — 2.
Корни последнего уравнения суть Xj = 2, λ2 = λ3 = — 1. Простому
корню Xj==2 соответствует система двух независимых уравнений
для kv k2> k& например:
2kt
-ks = 0, — ^+2*2 —fte=»0,
откуда
«J: fc.2: #3
I
1:1:1.
.1 _1 ι I _1 2 11 2—1
2 —1 |:| —1 —1 |:| —1 2
Отсюда получаем первую систему решений, содержащую одно
произвольное постоянное:
х = Схе™, у = (V2*, ζ = Cte2t.

290
СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VII
Если в матрицу Ж (λ) вставить λ = — 1, то её ранг окажется
равным 1, и три уравнения для определения kv k2i къ сведутся к одному:
*ι + *2 + *β = 0.
Если мы положим ki = С2, k2 = С3, то ks = — (С2 -f- С3), и мы
получим ещё систему решений с двумя произвольными постоянными.
Общим решением будет:
x = Cte*+Cf-*t у = 0^ + 04*-*, г = С^ — (С2 + С3)*-'.
Мы получили фундаментальную систему решений, так как
определитель
= 3^=0.
Анализ всех возможных случаев, которые могут представиться для
линейной системы с постоянными коэффициентами, проводится путём линейной
замены зависимых переменных, которая приводит систему к канонической
форме. Это приведение существенно связано с теорией элементарных
делителей λ-матрицы (21') х).
Нам удобно теперь писать данную линейную систему в таком виде:
at
,-t
)
β2ί
0
в-*
e2t
— е-*
—е-*
=
1
1
0
1
0
1
1
— 1
— 1
dx = апУг + ЧъУг + -
dy*
• + ЧпУп
+ атУт \
<*Уп_
dx
= ОтУх + an2 У 2 + · · · + <*>пп Уп-
(23)
Для удобства введём ещё обозначения: Нг* = Y{ (i =* 1, 2, ...., л). После этого
умножим уравнения (23) соответственно на систему вспомогательных
переменных аь и2, ···» ап и сложим почленно. В левой части мы получим
билинейную форму переменных иь и2, ..., ит Yb У2» ···. Уп-
%щУь (24)
* = 1
а справа — билинейную форму переменных иь и2, ···♦ ит Уь Уъ • ••»JV
η η
2 2 w-y*· (25)
г = 1 ft = l
Заметим, что матрица из коэффициентов формы (24) есть единичная матрица Е%
т. е. матрица, у которой диагональные элементы суть единицы, а все
прочие — нули; матрица формы (25),
а\\ · · · а\п
А =
Яп1 <
*) См., например, А. И. Мальцев, Основы линейной алгебры, гл. V,
Гостехиздат, 1948.

§ 2]
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
291
есть матрица, составленная из коэффициентов правых частей
дифференциальных уравнений (23). Таким образом, задание двух билинейных форм (24)
и (25), из которых первая — с единичной матрицей, равносильно заданию
системы дифференциальных уравнений (23).
Если мы, далее, подвергнем переменные у^ линейному преобразованию
с постоянными коэффициентами:
У( = ail*l + ai2Z2 + · · · + Чп*п 0' = 1, 2, .. ., Л),
(26)
то, ввиду значения переменных Yt как производных от у{, они подвергнутся
тому же преобразованию:
Yi = 4\ZX + ai2Z2 +...+ ainZn (/ = 1,2,..., л), (260
Составим матрицу А — λ£, или, в раскрытом виде,
"и-
Д21
• λ #ΐ2
#99 "~~ λ · .
а2П
ЛП2
"ηη—λ
(27)
По теореме о парах билинейных форм *), две билинейные формы (25)
и (24) эквивалентны другой паре билинейных форм φ, ψ тогда и только
тогда, когда матрица (27) и матрица формы φ — λψ имеют одни и
те же элементарные делители (при этом матрица ψ должна быть не
особенной, т. е. её определитель Φ 0) 2).
1) А. И. Мальцев, цитированная книга, п. 109.
2) Элементарные делители матрицы вида (27), — а мы только с такими
матрицами встретимся в нашей теории, — могут быть определены следующим
образом. Обозначим через D( (λ) (/= 1, 2, ..., л) общий наибольший
делитель всех определителей порядка ι матрицы (27), рассматриваемых как
многочлены относительно λ. Тогда доказывается, что: (А) многочлен £>$ (λ) делится
на Di^1(\) (/>2). Введём обозначения п * * \ч = Е{ (λ) (/ = 2, 3, .·., л),
иг-\ \к)
£1(λ) = £>1(λ) и назовём Е{ (λ) инвариантным множителем матрицы (27).
Очевидно, Di (λ) = Ελ (λ) Ε2 (λ) ... Ε((λ). Далее доказывается, что: (В) в ряде
инвариантных множителей Ег (λ), £2(λ), ···» £»W каждый делится на все
предыдущие. Напишем разложение инвариантных множителей на линейные
факторы: Et (λ) = (λ — \{fn (λ-λ2)βί2 ... (λ —λβ)βΛ, где λ1β λ2, ..., Xs —
различные корни уравнения, полученного приравниванием нулю определителя
матрицы (27); очевидно, £^->0 (/= 1, 2, ..., л; /= 1, 2, ..., 5); кроме того,
в силу свойства (В), eij^evj, если /</'. Те из двучленов
(λ —λ2)β11, (λ-λ,)^! (λ —λ2)β4
(λ - λ jeis, "(λ - λ 1)4.'..,' (λ - λβ> ν
которые не равны постоянному (т. е. для которых ^·>0), называются эл£-
ментарными делителями матрицы (27). Делители из первой строки
соответствуют корню Х1э ..., делители из последней соответствуют корню λ8.
Число вц называется степенью элементарного делителя. Для простоты в
дальнейшем будем обозначать число элементарных делителей через k, а сами
делители — через (λ — λ^ι, ..., (λ— Хл)е£, причём среди чисел λ^ могут быть
и равные.

292
СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VII
Пусть элементарные делители матрицы (27) будут:
(λ-λ^ι, (λ-λ2)<4... (X-Xfe)e*,
(28)
где Xlt λ2, ..., Xfc — корни дстермннантного уравнения матрицы (27), т. е.
характеристического уравнения системы (23), может быть и равные, но
соответствующие различным элементарным делителям, и
η
ί = 1
В качестве матрицы формы ψ в новых переменных vi% Zi мы возьмём
опять единичную матрицу Ε (очевидно, неособенную), т. е. положим:
ψ = νλΖλ + ν2Ζ2 + ... + υηΖη.
(240
В качестве билинейной формы φ мы возьмём такую форму переменных ν^
и^, чтобы матрица формы обладала теми же элементарными делителями (28),
что и А — λ£, но чтобы эта матрица имела нормальную форму 1)
ΛίΊ
Μ,
\Мк
(270
где вне квадратов Λί< все элементы суть нули, а каждый квадрат составлен
из следующих элементов 2):
λ^ — λ i 0 ... 0 0
0 λ* — λ 1 ... 0 0
о
о
о
о
о
1
λ*—λ
(27")
ei столбцов
0 См. И. М. Гельфанд, Лекции по линейной алгебре, § 21, Гостех-
издат, 1948.
2) Легко убедиться, используя данное в сноске на стр. 29! определение
элементарных делителей, в том, что матрица (270 имеет требуемые
элементарные делители. В самом деле, выпишем частичные матрицы М^ принимая
во внимание возможные кратные корни, так что в новом обозначении
матрица Mij будет соответствовать корню λ$, иметь вид (27") и содержать по вц
строк и столбцов. Заметим, что минор определителя матрицы М^
соответствующий левому нижнему элементу, равен 1, а все прочие или равны
нулю или содержат множитель λ — λί# Поэтому наименьшая степень, в какой
λ—Aj войдёт в миноры (п — 1)-го порядка матрицы (27), есть (λ—Х1)ем+ем+...;
в этой степени λ — λ2 войдёт в Dn-\ (λ); следовательно, он войдёт в Εχ(λ)
в степени (λ — λ1)βι. Далее, из миноров (п — 2)-го порядка наименьшая
степень λ — \t будет у того, который получился вычёркиванием последней строки
и первого столбца у определителей матриц Мп и М12; эта степень равна
(X — Xj)e"+···, следовательно, Е2 (К) содержит степень двучлена (λ — λ^.
Продолжая это рассуждение, мы получаем указанный результат.

§ 2]
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
293
Таким образом, форма φ имеет следующий вид:
ΫΞ(2λ1*Λ +2 *<-!**) + ( Σ λ^ζζζ + 2 */-l*i)+···
1 2 et+l e,+2
...+( 2 λ*^<+ Σ "'-λ)· (29)
га-е^-Ц »-efc-ir2
В силу определения эквивалентных пар матриц, существует подстановка (26),
а также (26') с определителем, отличным от нуля, и другая линейная
подстановка с не равным нулю определителем, преобразующая вспомогательные
переменные а£ в переменные щ, при которых формы (24) и (25) перейдут,
соответственно, в формы (240 и (29).
Но, в силу сделанного выше замечания, две билинейные формы такого
вида, как (24') и (29), однозначно определяют систему линейных уравнений
с постоянными коэффициентами. Итак, после преобразования переменных (26)
исходная система дифференциальных уравнений (23) перейдёт в следующую
систему нормальной формы:
dzi \ .
г£2__
dx
dz^-i
dx ~~
dx
dx ~Vn-
d2n-ek+2
dx -
dzn-\^
dx
dzn ^
dx
hz2 + zs>
Vv
KkZn- eft +2 + Zn-ek +8'
hz?i-i+zm
(30л)
(30fc)
Каждая из систем (30ι), ..., (30&) интегрируется независимо; легко дать
формулы их общих решений. Так, например, если в системе (302) ввести
новые функции CJf ζ э ...»С э связанные с функциями ζν ζ^ ..., ze^
соотношениями
*ί = *λ'% (/=1, 2,...,^),
то преобразованная система примет вид:

294 СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VII
Её интеграция даёт:
^ех = ^1» ^е,-1 = СIх + С* ...
xet-2 Хек-Ъ
···· ζ2 = с\ (^ _2)! + C2(i?i_3)! + " · + ^-2* + ^β,-ι·
Cl = Cl (^ _ 1)1 + C2 (^ __ 2)! + * · · + Cel-lx + Cec
Возвращаясь к переменным г^ будем иметь:
(31ι)
*е, = <VM. ге1_! = ех>* (Схх + С2), ...
Аналогичные формулы (312),..., (31 &) получатся для групп уравнений (302),...
...,(30^). При интеграции войдёт ег-\-е2+ ... +*& = η произвольных
постоянных С£. Легко убедиться в том, что система частных решений,
соответствующая системам значений произвольных постоянных
Ct = l С2 = С3= ... = СП = 0,
C2 = l, Ci = C3= ... = Сп = О,
Сп=1у С1 = С2= ... =С№_1 = 0,
является линейно независимой. В самом деле, эта система частных решений
имеет вид:
Μ _ еКх χβχ~ ζ(ΐ) = е\х x&i~ (1) _ Кх (1) _ \,х
,(i) _ _ М) _ л
ze,-f 1 — ··· — zn — и»
zi ~e fa —2)!' *2 ~ fa —3)!' "->ze,-i-e ·
,(2) _ ,(2) _
■^ = 0;
Jed __ J4a? Jed _ (ej _ (βι) _ 0
Jw) __ Λ их Jn) _ Jn) _ _ Jn) _ 0
Подставляя эти значения в определитель (12'), мы получаем:
β — -\- ^Кх^-е^ая- ··· +eykkx φ q

§ 2] СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 295
Так как искомые функции^ выражаются через ζχ линейно при помощи
формул (26) с определёнными коэффициентами aik и с определителем, отличным
от нуля, то, подставляя в эти формулы найденные для ζχ значения (31 г),
(312), ..., (31^), мы получим полное решение системы (23), содержащее η
произвольных постоянных Cj, С2у ..., Сп.
Примечание. Одно линейное уравнение л-го порядка с постоянными
коэффициентами
d»y . dn-ly
dxn^~αχ dxn-^
+ αη-\ £ + апУ = °
эквивалентно системе
dy
Тх=у*
dyj
dx
<1Уп-2
dx
dyn-\
dx
= — <*ny — an^yx — ... — ахуп-ь
Для этой системы матрица (27) имеет вид:
■я« — ап-
и-1
О
"ап-2
-λ
•а2
— я 2 — а\ — λ
(27'")
Разлагая соответствующий определитель по последней строке и приравнивая
нулю, получаем:
Dn (λ) = (at + λ) λ»-ι + α,λ»-» + ... + αη^λ + αη = 0,
т. е. известное нам из главы VI характеристическое уравнение. Рассмотрим
элементарные делители матрицы (27'"). Минор определителя матрицы (27'").
соответствующий элементу первого столбца и последней строки, есть 1;
следовательно, общий наибольший делитель всех миноров (п—1)-го порядка
Dn_1(X) = l. Поэтому Ех = Dn(\), E2 = Еъ =
ментарные делители матрицы (27'") будут:
1. Таким образом, эле-
(λ-λ/1, (λ-λ/2, ...,(λ-λ»)β*.
где все λ^ различны между собой: каждому корню соответствует только один
элементарный делитель. Из вышеизложенной теории следует, что каждому
корню λ( будет соответствовать группа решений вида еi , xei , ...
..., х г е * , как мы уже видели в главе VI. Таким образом, система
дифференциальных уравнений, в которой хоть одному корню уравнения Dn(K) = 0
соответствует более одного элементарного делителя, не может бь*ть сведена
к одному уравнению л-го порядка.
Из всей этой теории следует, что решения нормальной системы
уравнений с постоянными коэффициентами имеют вид:
Α·#
у, = /><,(*)«*<" (/=1,2 я),
(32)

296 СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VI!
где Pij(x) — многочлен степени, не большей, чем /я$—1, где
mi — кратность корня λ{ уравнения (21). Практический приём для
нахождения общего решения такого уравнения — составить для
каждого корня выражения вида (32) с неопределёнными коэффициентами.
Подставляя эти выражения в систему (18), мы получим для
неопределённых коэффициентов систему линейных уравнений. Число
неизвестных, остающихся произвольными при решении этой системы,
равно кратности корня.
Пример 7. Решить систему: ^г + х—^ = 0, -т+^гУ— 4г = 0,
Уравнение (21) имеет вид:
1 + λ —1 0
0=1 0 1 + λ — 4
—1 0 4+λ
_. ).з
λ3+6λ2+9λ=λα+3)2.
Решения, соответствующие простому корню λ = 0, пишем в виде
х = ау y = b, z = c. Вставляя эти значения в данную систему,
получаем для определения я, Ъ, с три уравнения, которые, согласно общей
теории, сводятся к двум независимым, например к уравнениям:
а — Ь = 0,
Ь — Ас = 0.
Полагая с = Ct (произвольному постоянному), находим систему
решений, соответствующую корню λ = 0:
х=4Си
y = *clt
z=Cv
Корень λ =— 3 двукратный, причём X-j-З не является делителем
всех миноров второго порядка; поэтому ищем соответствующие этому
корню решения в виде:
х=е-**{а1-)га$9
z = e-*t(c1-\-c2f).
Подставляя в заданную систему и сокращая на общий множитель е-3*,
получаем:
— Sa{ — Sa2t'-[- а2-\- #i~b a4— ^i — b2t = 01
— Sb1 — 3*2i + *2+ bi + b2t—4ct — Ac2t=09
— 3c1 — Sc2t -\- c2 -j- Ac1 -j- 4c.2t— at— a2t=0.

§ 2] СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 297
Приравнивая в обеих частях свободные члены и коэффициенты при ct
получаем шесть уравнений:
— 2аг-\-а2— bt = 0, —2а2— Ь2 = 0,
— 2д{ + *9 — 4cj = 0, — 2Ь2 — 4с2 = О,
ci + c2— «i = 0, с2— я2 = 0.
Из трёх уравнений правого столбца получаем: я2=С2
(произвольное постоянное), Ь2 = — 2С2, с2 = С2. После этого первые три
уравнения дают:
а± = С3, 0j = С2 ^^з» ci== ^з ^2·
Таким образом, общее решение системы будет:
х = 4Cj + Cgfe-8* + C3^~3i,
^ = 4^ + ^( —2f+l)*-« —2<V-*,
ЗАДАЧИ.
179. Найти четвёртые приближения для системы -j- = — 2, -τ- = j/ при
начальных данных: ν = 1, г = 0 при χ = 0.
d2y
180. Дано уравнение —^=^2 + .*. Найти третье приближение для у
при начальных условиях: у0 = 0, j0 = 1 при лг = 0.
181. Найти для решения уравнения у" + 2у7 -{-у2 = 0 четвёртое
приближение при начальных данных: у0= 1, у0 = 0 при дг = 0.
Найти общие решения систем:
dx у ' dx ζ
lea d'A£te*.
αχ ζ dx у
184. <£ = -х+у + г/-У = Х-у + г, % = х+у-г.
185. £ + *+, = ,.£+, + ,-*. £ + ,-,.
186. ^ + 5дг+у = 7^-27, ^ — 2лг + 3у = — а?*+12.
«*£+!->.£+*-*
га. /g_x_3,_(, t%-x+,-<i
Указание. Чтобы привести к постоянным коэффициентам, надо
сделать замену независимого переменного.

298 СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VII
191. *^ + б* —у —3* = 0,*^ + 23* — 6у —9* = 0,
at at
tjt+x + y-2z = 0.
192. 4£ + 5x + ys=et,i!y + 3y--x=*&.
§ 3. Существование производных по начальным значениям
от решений системы.
1. Мы уже ссылались (глава II, § 1, 4) на теорему о возможности
дифференцировать решение одного дифференциального уравнения (или их системы)
по начальным данным.
В настоящем разделе мы докажем эту теорему. Предварительно
докажем следующую лемму:
лемма. .Если правые части системы дифференциальных уравнений
^=Λ(^.Λ.Λ....^«;λ) (/ = ι, 2.....Я) (33)
являются непрерывными функциями переменных х, yt, уъ ...,уп и па·
раметра λ в области
\х — *о1<я, \у€—у\\<Ь (/ = 1, 2, лг), Х0<Х<ХХ, (34)
и если в той же области непрерывны частные производные
f-, ft*-1.2 η),
то решение, определённое начальными данными (л:0, jj, y\, ..., yQn\
является непрерывной функцией параметра λ при Xj < λ < λ2.
Для доказательства заметим, что из условия непрерывности функций fy
в области (34) следует их ограниченность в этой области:
\fi\<M (/ = 1, 2, ...,/ι),
а из непрерывности -—- следует также их ограниченность:
dfi
дУк
</С (/, Аг = 1, 2, ...,я).
Последние неравенства влекут за собой выполнение условий Липшица
для функций fi по отношению к аргументам уъ у2, *·.^η:
\fi(x*y'v ~->Уп> λ) —/< С*. Λ ""Уп> λ)Ι<
Следовательно, для всякого фиксированного значения параметра λ между λ^
и λ2 и для значений χ в интервале

§ 3] СУЩЕСТВОВАНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ ПО НАЧАЛЬНЫМ ЗНАЧЕНИЯМ 299
последовательные приближения, получаемые по методу Пикара,
(/= 1, 2, ..., η; т = 1, 2,3, ...)
(35)
будут сходиться равномерно как по отношению к х, так и по
отношению к параметру λ. Пределы этих последовательностей при т -»оо
дадут, как мы знаем, решение системы (33):
* = ¥<(*; *» V?, ....J& λ); (350
так как все члены последовательностей (35) являются, очевидно,
непрерывными функциями от λ, то то же справедливо, в силу равномерной
сходимости, и для предельных функций (35')» что и доказывает лемму.
2. Переходим к основной теореме настоящего параграфа.
теорема. Если правые части системы дифференциальных уравнений
j^ =fi (*, Уь Уъ · ·.. Уп) (/=1.2,..., п) (4)
допускают в области D:
\х — ϊ0|<β, \yi—Ji\<b (i=l, 2, ...,л)
непрерывные частные производные
if± (/, £=1,2, ,,,,/г),
dyfc "
то решение% определённое начальными данными jc0, jj, y\, ·».,^
I принадлежащими области £>', содержащейся в D; D' есть, например
(u0-Jol<4,l.y^^l<4)],
л = ?«(*; *0. juju -...j# (36>
допускает непрерывные производные по начальным данным:
Г*» ΓΙ <* = !. 2, ...,/ι; * = 1, 2, ...,л).
Для доказательства допустим, что в формуле (36) величины х0,у\
получили некоторые определённые числовые значения, принадлежащие
области D' Μ х0 — х0 |<^-, |у\ — JJ |< -Л. Подставив затем yh из (36)
в уравнения (4), мы получим тождества. Далее, даём в формуле (36) одному
начальному значению у\ приращение Δ^£ (так чтобы новое значение не

300 СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VII
выходило из D'); обозначим соответствующее решение через
Ъ = Ь (*. *о> У ν · · ·> У к + Ьу% У°п) (<* = 1,2,..., Я); (360
составим для этого решения тождество, соответствующее (4) и вычтем оба
тождества почленно:
d(y'Zyi) =л(х*й· — й»>-л<*· л· ·—.*»> (/=!·2>·— я>· <36">
Разности в правых частях равенства (36") путём последовательного
применения теоремы о конечном приращении преобразуем так:
h (*. Уъ Уь . · ·. Эп) —U (*. Уъ Уъ · · ·, Уп) =
= ΙΛ (*. Ji> Уч Уп) —fi (х* Уъ Уъ Уп)] +
+ [fi (*> Уъ Уч Уп) —fi (х. Уь Уъ Уъ Уп)] +
--- +1А (х, У ι Уп-ъ Уп) —Л (*. Уг Уп-υ Уп)] =
Ση д/£(хуУ1 yj-i,yj + ujjGj—yih yj+ъ--) ,~ χ
ду КУ1-У1)>
0<0у<1.
Множители при yj—yj во второй части последнего равенства [обозначим
их через а{.(х, &ук)] являются непрерывными функциями от совокупности
переменных дг, &у°к. В самом деле, хотя θ^. могут зависеть от л: и &у°к и не
непрерывно, но если при данных значениях этих аргументов yj —у3-ф 0,
то непрерывность следует из равенства, определяющего (ц$.
/ л оч Λ (х* Уг У г yj+ь · · ·) —Λ {х* Уъ ·... У г 5i+i· · · ·)
β« <* Δ^> = J^J. ·
где числитель и знаменатель непрерывны и знаменатель =^0; если же
разность у. — у а стремится к нулю при х-+ху куи-> ку\, то д., в силу непре-
рывности -^- по отношению к совокупности аргументов, стремится к зна-
d/i (х, Уь-·-, Уз-ь У г yj+b · · ·)
чению 4 — · Заметим, что, в частности, ац
dyj J
непрерывны при &у°к = 0 и что а{. (ху 0) = ·" ^ ' д1 >п .
Разделив, далее, обе части преобразованных указанным способом
равенств (36") на ку\, мы получим следующие равенства:
dx Д"у\~' -■>& &υο
,0 ч yj-yj (37)

§ 3] СУЩЕСТВОВАНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ ПО НАЧАЛЬНЫМ ЗНАЧЕНИЯМ 301
Мы рассматриваем теперь систему (37) как систему линейных уравнений,
в которой искомыми функциями являются: ^ ^ .У2 У2 Уп—Уп.
*А ' Ά 4у&
..0\
выражения л.-(л:, Аук) рассматриваем как известные функции χ и
параметра Δ^ (мы имеем на это право, так как решения (36) и (36')
предполагаются известными). По доказанному, эти коэффициенты непрерывно
зависят от параметра Ау°к при достаточно малом [ &ук\. Начальные условия для
искомых функций, очевидно, таковы:
ν дуг Λ-* Δ·4 , (Α)
при ι = к I — ) = —г- = I
Мы вправе применить доказанную выше лемму: решения системы (37) также
непрерывно зависят от параметра Ду£, и, в частности, для них существуют
предельные значения:
iim ^-*'(*'»^ ^sj* №Л.1§2 nh (38)
δ^->ο ЬУ°к ду°к ду°к
Мы доказали существование производных (38) в любой точке (лг0, j/J,..., у%)
области £>', т. е. во всей этой области; эти производные удовлетворяют
системе однородных линейных уравнений:
dx jLi
тх,у^..,уп)г. (/=1,2,...1Й), (39)
7 = 1 1
причём вместо у χ,..., уп надо подставить в правые части их значения (36).
Система (39) — одна и та же для всех групп производных:
дУг_ дУъ_ дУп (k-\ о „у
*Ук дУк дУк
чтобы получить производные для данного £, надо взять начальные условия:
при лг = лг0г? = 0, ίφ k и г°к = \. Очевидно, в силу однозначности решений
системы (39), этими начальными условиями соответствующие производные
вполне определяются; являясь решениями системы линейных уравнений,
производные ^- оказываются тем самым непрерывными функциями от
дУк
о о
ху xoi yv · · ·» Уiv
Для доказательства существования производных от решения (36) по xQ
поступаем аналогично: пусть
Л = ъ{*> хо + А*о> У ν · · ·> У°пУ

302 СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ,УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VII
Тогда мы находим:
л? ~5ϊΓβ {'<(*·Vl -W-Μ*· л λΟ 1 διι =
= ^Μ*, δ*ο)^-^
Δ*0 '
где ^-(λγ, Ajc0) определяются аналогично тому, как выше были определены
а4.(ху Δ^). Опять Ь^(х, Δχ0) оказываются непрерывными функциями от
параметра Δ*0, при | ΔλγοΙ достаточно малом, причём lim Ь^-(х, Δχ0) =
Δα?->0
__ // \х> Уь "· ·» ~VhJ ^ и MbIi ПрИменяя лемму, доказываем существование
частных производных
рУ\ fo2 ^
длг0 ' дх0 ' ***' длг0 '
причём эти производные удовлетворяют той же системе линейных
уравнений (39). Выясним начальные условия, которым эти функции удовлетворяют.
Мы неоднократно уже заменяли систему дифференциальных уравнений (4)
вместе с начальными данными системой интегральных уравнений,
X
У1=*У\+ ffi(*. У\ Уп)<*х (i = 1,2 л). (40
я*
Если сюда подставить вместо Уь.*.*уп их значения (36), мы получим
тождества; дифференцируя эти тождества по х0 (по доказанному, эта
операция законна), мы получаем:
X
дх0 _ ,
х0 i=i
о о,, fv Ы(х,уг уп) dyj
■в-/«(*о.л Уп)+}2^ щ 1щйх> (4)
откуда при х = х0
(Ά--**** Л) (/=1'2"
я).
Таковы начальные значения функций гг· при jc = x0, которые надо взять
в системе (39), чтобы получить производные ^ = -^*. Теорема доказана
OXq
полностью.
Примечание 1. Систему линейных уравнений (39) можно получить
формально, подставив решения (36) в уравнения (4), дифференцируя
полученные тождества по х0 J/J,..., уп и обозначая частные производные от yi
по одному из этих параметроз через z{. Однако, для того чтобы иметь право
на такую операцию, надо предварительно доказать существование частных
производных от у( по параметрам и возможность менять порядок дифферен-
д dy{ _ d ду{
ду°к dx dx ду°к
Примечание 2. Если правые части уравнений (4), кроме переменных,
зависят ещё от параметра λ> τ. е. имеют вид (33), причём эти правые части
цирования. -^-q- — — -^-q- ,

§ 3] СУЩЕСТВОВАНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ ПО НАЧАЛЬНЫМ ЗНАЧЕНИЯМ 303
допускают непрерывные частные производные не только по .yj, ...,.у№,
но также по параметру λ для Xt ^ λ ^ λ2, то в таком случае решения (35')
допускают также частные производные по λ.
В самом деле, этот случай легко сводится к разобранному в доказанной
теореме; для этого дополним систему (33) (гс + 1)-м уравнением -:— = 0 с
начальным значением λ = λ0 при χ = х0. Тогда, в силу теоремы, решения этой
новой системы, даваемые формулами (35') и формулой λ = λ0, допускают
производные по начальным значениям, в частности по λ0 (при любом
значении λ0 в рассматриваемом интервале, т. е. по λ, λ2 ^ λ ^ λ2). Система
линейных уравнений, соответствующая в этом случае системе (39), очевидно,
имеет вид:
; = 1
/ dl dlQ Л 0
[ так как -^г— = -^~- = 1 1. Здесь мы имеем систему неоднородных л
Ην ολ0 оа0 /
н е й н ы χ уравнений. Начальные значения, если у\ являются численными
постоянными, суть: ζ\ = ζ\ = ... = ζ°η = 0. Можно рассматривать ещё более
общий случай, когда у\ являются (дифференцируемыми) функциями
параметра λ, у\ = ψ^.ίλ). В этом случае -^- удовлетворяют той же системе (390
с начальными условиями: г°{ = ψ„: (λ) при λγ = λγ0. Распространение этих
утверждений на случай любого числа параметров λ, μ.,... очевидно.
Примечание 3. Для случая одного уравнения
с общим решением у = φ (jc; дг0, уо) вместо системы (39) получается одно
линейное уравнение:
dz _df[x, φ(*; х0, уо)) z
dx ду
Интегрируя его с начальными условиями zQ= 1 или *0 = — /(дг0, у0) при
ду ду
x = x0i мы получим явные выражения для -^— и -~— в виде:
Оуо OXq
X X
$^у(х> ? № ж°' Уо)) dx j^yfa φ ix* Х°* Уо)) **
Ik-'" ■ &—«*л>^
Примечание 4. Возьмём какое-нибудь частное решение системы (4),
полученное из формул (36) при определённых начальных значениях лг = лго,
у1=У1* •••>Уп==Уп> и обозначим его через
3Ί = ϋ(*)> У2 = Ъ(Х) Уп = Тп{х). (40)

304 СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VII
Назовём, как это принято в вариационном исчислении, вариациями
функций уь у2,..., у η значения их производных по параметру а, равному х0 или
y°v ..., или у°п [или λ, в случае системы (33)], при начальном значении
параметра α = α0 [т. е. при х0 = х0 или у\ = y°v ..., у°п = J^ (или λ = λ0)]. Вводя
для вариации символ δ, имеем:
Ьу{ = (Ж\
\ да 40=5-0. ^
Очевидно, вариации hyt удовлетворяют системе (39), которая в этом
случае напишется так:
Уравнения (39") [а также иногда уравнения (39)] называются
уравнениями в вариациях.
Если правые части зависят также от λ и параметр α есть λ, то
уравнения в вариациях принимают вид:
; = 1
Уравнения (39") позволяют вычислять вариации интегрированием системы (39"),
если известно одно частное решение (40). Решения системы (39") имеют
простое геометрическое значение. Если а0 — значение параметра, дающее
решение (40), то решение, соответствующее значению параметра а0 -f- da с точностью
до бесконечно малых порядка выше первого относительно da, будет:
yi (х* а0 + da) =J, (χ) + (-££) da =ΰ (χ) + Ьу{ (χ) da (/ = 1,2 η).
Таким образом, вариации byt· (χ), умноженные на дифференциал
параметра, дают главную часть приращения при переходе от решения (40),
к бесконечно близкому решению.
Примечание 5. Имеет место теорема:
Если функции fi(x, у\, у2> .·., Уп) допускают т непрерывных
частных производных по совокупности переменных уг, yv ..., уп, то решения
имеют все частные производные т-го порядка по у\, у\,..., у°п и те
производные т-го порядка по х0, у[, ..., у°п, где дифференцирование по х0
входит одинраз\ если, кроме того, fι допускают ρ — 1 непрерывных
производных по х(р^т), то решения имеют все производные т-го порядка
по х0, у\,..., у^, в которых дифференцирование по х0 производится не
более ρ раз.
Мы проведём доказательство для /η = 2. Рассмотрим систему 2п
уравнений:
η .
•^-Л(х,Уъ--;Уп)> a^ = 2u Wi * (i-1,2 n)' (A)

§ 3]
СУЩЕСТВОВАНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ ПО НАЧАЛЬНЫМ ЗНАЧЕНИЯМ
305
Эта система распадается на две: систему (4) и систему (39). Интегрируя
сначала первую при начальных значениях х0, y°v ..., у°п, а затем вторую, в
которую подставлены решения первой, причём в качестве начальных значений при
χ = х0 взяты ζι = 0 при ίφΐ, ζχ = 1, мы, в силу предыдущего, получим
решения:
Уг = ?, (*; ** у\ л% *€ = % *' = !·2 *)·
ду,°
(В)
Предположим, что/$ допускают вторые непрерывные производные noj/j ..., уп
так как, кроме того, Ζι входят линейно в систему (А), то, подставив
в неё значения (В), мы для всей системы (А) можем составить уравнения
в вариациях:
dbyt
dx
dbz,
-Σ
dft С*, φι,
φ*)
dyi
dbzj \\ dft (χ, ylt .
dx L·
; = 1
η
9n)
j=\
dyi
ЬУ*
bz.+
+ΣΣ
d2fi(x, φι, ..., φη) <%
/ = 1 d = l
ду^дуа
дуиг
^Ьу8 (/=1,2,..., «).
(С)
Чтобы получить из системы (С) в качестве решений частные производные
от функций ур zi по у\, мы, в силу предыдущего, должны взя ть начальные
значения при χ = х0: Ьу{ = 0, 1фк, Ьук = 1, Ьг{ — 0 (/ = 1, 2,..., л). Систему
(С) с этими начальными условиями мы интегрируем опять, разбивая её
на две системы. Сначала из л первых уравнений определяем функции
о_уг-= -Щг (/= 1, 2,..., я). Подставляя эти значения Ьу{ в остальные η урав-
дУк
нений (С), получим систему линейных неоднородных уравнений:
II»
<$>ч = у д/<(*. φι φη) δ<2. .
dx AJ dyi i
Ы1
dyj
4- V V φι'
φΛ) ^φ.7 ^φ«
4
<ЭМЛ
dy,° djrj
(/ = 1, 2 л).
Эта система при начальных значениях χ = jc0, bz( = 0 определит нам функции
bzi = —Ц- (i = 1, 2,..., л). Вспоминая, что г$ = —^ , мы видим, что доказано
ду\ ду%
существование вторых производных:
ду?ду«
α κ / = ι, 2,..., л).

306 СИСТЕМЫ ОВЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VII
Для нахождения смешанных вторых производных поу^ и по х0 (/=1,2,..., п)
допустим сначала, что эти производные существуют; дифференцируя в этом
предположении равенство (4") на стр. 302 по у^ получаем:
d2yt = df^x^yl у°п) fy^^Ji У п) d2yj ^
ду°гдх0 ду? ~Ν β dyj ду°гдх0
+ (УУд'МХчУ1 Уп)^Щ<*х (i-1.2 *).
~ J Ad Ad ду<дуи дхп д у?
х0 .7=18=1
dyjdy^ дх0 дуг
Если в эти соотношения вместо^ подставить найденные решения (В) и
продифференцировать их по х, то мы получим последние η уравнений системы (С);
при этом г* = —~г, а символ δ обозначает дифференцирование по лг0. При-
ду\
соединяя ещё первые η уравнений (С) с тем же смыслом δ, мы получим
ду{ dzi
систему, которая, по предыдущему, определит производные: -^-L-, ^—- —
UXq UXq
d2v*
= ^-т- (/ = 1, 2,..., η); при этом из предыдущих интегральных соотно-
дх0ду"г
шений следует, что нужно взять начальные условия:
ГоЛ;)о = -/г(^^ У°п), (Ч)о=- *1*о (/β1-2 »)·
a2v/
Таким образом, существование производных ^— доказано, причём но-
дх0 ду%
вых предположений относительно дифференцируемости функций /{ не
потребовалось.
Чтобы доказать существование производных -^, надо потребовать до·
дх!
полнительно существования непрерывных производных -/*-. Интегрируя си·
стему (А) при начальных условиях: Уг=у\^ %=*—ft (*0, у\* ··., У^) при
х = *0, получим, по предыдущему, у{ = <^, zt — ^- (i =1, 2,..., η).
OXq
Вариация системы (А) даёт систему, в которой η уравнений тождественны
с соответствующими уравнениями (С), а последние η уравнений будут:
<**«<_ yi dfrC*. ?ι 1п) % , yi xtWjlx, V ·-·»?„) <^ ...
~5F~ ^ д£ ' + ^ 2d д^ТдТ ~dx~~Q Ьув-
j=l 3 ; = 1 s=l, 3
Понимая в этой системе δ как дифференцирование по лг0, мы из первых η
уравнений при начальных условиях (^)0 = —/* (х0, у\% ...,^), получим:

§ 4]
ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ СИСТЕМЫ
307
После этого последние η уравнении дадут: огг =—- =^1|1
дх0 дхц
чальные условия взять
если за на-
(°*е)о = ~
dfi C*o. У ν
•О*)
+Σ
дх0
л dfi (χο> У ν
../«>
3 = 1
^
tyxv& J#(' = l. 2,
η)
(эти условия можно найти, дифференцируя формально соотношения (4") на
стр. 302 по jc0).
Рассматривая системы из Зл,..., kn уравнений, аналогичные системе (А),
т. е. вводя наряду с yt в качестве искомых функций их первые, вторые, ...
..., k-e производные по начальным условиям, мы докажем высказанную
теорему для производных порядка k. Подобная теорема имеет место также
для* производных по параметру λ, от которого могут зависеть как правые
части уравнений, так й начальные условия.
§ 4. Первые интегралы системы обыкновенных
дифференциальных уравнений.
1. Рассмотрим систему уравнений:
4f=/i(*» λ»λ> ....Λλ
4г=^(^ Λ» Λ» ··· ΟΊι)»
-^=/η(^ Λ. Λ. ....Λ»)·
(4)
Мы предположим, что в некоторой замкнутой области D
функции /j, /2, ..., /п и все их частные производные по уи у2У .. ., уп
непрерывно зависят от всех аргументов. Тогда применима теорема
существования и единственности (см. главу IV, § 1). Если точка
с координатами xQi y°v y°2, ..., у^ лежит внутри некоторой
области D', содержащейся в D, то существует одна и только одна
система решений уравнений (4), удовлетворяющих начальным условиям:
у€=у°{ при х = х0 (/=1, 2, ..., п).
Пусть эти решения будут:
λ=?ι(*; χο> y°i> у% .... X).
Λ =φ8(*; xQ, y°v ^S. .... у%,
Уп = <?п(х'> xv У ν У% ···> у1)·
(36)

308 СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ VII
В этих формулах мы явно указываем зависимость решения υ г
начальных данных xQ, y°v ..., у°п, которые мы принимаем за
параметры, могущие принимать различные значения.
В предыдущем параграфе мы доказали, что правые части
равенств (36) допускают непрерывные производные по xQ, yv ...,j/° .
• Рассмотрим теперь в области D начальную точку (xQ, у®, •..9у(}1)
и некоторую точку (лг, yv ..., уп), лежащую на интегральной
кривой, проходящей через начальную точку. Значения xQ9 yv ..., у0,
с одной стороны, и значения лг, уи ..., уп9 с другой стороны,
связаны соотношениями (36). Если теперь принять точку (лг, уи ..., уп)
за начальную, то, в силу свойства единственности, определённая этими
начальными значениями интегральная кривая пройдёт через точку
(дг0, y°v ..., j/£), причём, очевидно, будут иметь место соотношения:
Л = ?2К? х> У ν У ν · · ·' У^> (41)
у°п = <?п(хо·' х> yv у» ···> yS J
Формулы (41) показывают, что система уравнений (36) может
быть разрешена {однозначно в области D') относительно
начальных значений у±, у^ ..., упу причём правые части допускают
непрерывные частные производные по х, уи у2У ..., уп.
Заменяя, как мы это делаем в теореме существования,
начальные значения у°и yl, ..., Уп, через произвольные постоянные С19
^2> · · ·» Сп и Давая параметру х0 определённое числовое значение, мы
получим совокупность уравнений вида:
Φι (*> Уи У2> ···> Уп) = с1> )
ф2(*> Уи У* ···» -Vn) = c2» [ (42)
Ψ»(*ι Л» Л» ..·. Уп) = Сп- J
Совокупность равенств (42) называется общим интегралом
системы (4), а каждое из равенств (42) называется первым
интегралом этой системы !). Заметим, что левая часть каждого из этих
1) Сравнивая формулы (41) и (36), мы видим, что уравнения (41) могут
быть разрешены относительноyv ...,ут причём, очевидно, для этих величин
получатся выражения (36). Отсюда следует, что и уравнения (42) разрешимы
относительно у^ ут так как их левые части отличаются от правых частей
уравнений (41) только обозначением—отсутствием явно показанного jco,
который не играет в разрешении никакой роли. Получатся^выражения вида:
У( =?* (*, Сь С2,..., Сп) (/ = 1,2 л), (36'")
причём следует помнить, что Ci =y\. Эти формулы выражают то решение,
в котором при χ = х0 функции^ принимают значения yt = у# отметим
ещё, что это—лишь иная запись формул (36).

§ 41
ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ СИСТЕМЫ
309
равенств есть функция от независимого переменного и искомых
функций; из самого происхождения формул (42) следует, что эта
функция обращается в некоторую постоянную величину, если вместо
У\> Уч* ···> Уп поставить их выражения (36), т. е. любое решение
системы (4) (причём, очевидно, для разных решений значение этой
постоянной будет, вообще говоря, различное). Мы можем, таким
образом, дать два определения первого интеграла:
1) Первыми интегралами системы (4) называются
соотношения^ полученные разрешением уравнений, дающих общее решение
системы, относительно произвольных постоянных.
Предыдущее рассуждение показывает, что такое разрешение
всегда^воз можно, если за произвольные постоянные
взять начальные значения искомых функций.
Очевидно, что это определение применимо лишь ко всей системе
соотношений (42). Поэтому мы дадим второе определение,
характеризующее каждый первый интеграл в отдельности.
2) Первым интегралом системы называется соотношение, не
тождественно равное постоянному, содержащее в левой части
независимое переменное и искомые функции и принимающее
постоянное значение, если вместо искомых функций подставить каксе-
нибудь решение системы (4).
Заметим, что из этого последнего определения очевидно
существование бесконечного множества систем первых интегралов. В самом
деле, соотношение
Φ ΙΨι(*, У ν · · ·. Уп)> · · ·, Ψ» (* У и · · ·, Уп)] = С9 (420
где С есть произвольное постоянное, а Ф — произвольная
непрерывная функция своих аргументов, также является первым интегралом
системы (4), так как, подставляя вместо yt, y2, .. ., уп решения системы,
мы обращаем функции ψ1? ψ2> ···> Ψη> а следовательно и Φ, в
постоянные величины.
2. Исходя из второго определения первых интегралов, можно
дать аналитический признак, характеризующий левую часть первого
интеграла. Мы предположили, что правые части данных уравнений (4)
допускают непрерывные частные производные по yv у2, ... , уп\
тогда, как доказано выше, правые части равенств (41)
допускают непрерывные частные производные по х, уи
У2>--->Уп> мы можем рассматривать более общие соотношения
вида (42), причём мы всегда будем предполагать, что их левые части
допускают производные по дг, yt, y2, ..., уп; это будет иметь место
всегда, если левые части равенств (42) получены из правых частей
равенств (41) формулами вида (42'), где Φ — функция, имеющая
непрерывные производные по всем своим аргументам.
Предположим, что в одном из первых интегралов
Ψ(*. Уи ···> Уп) = с
(42")

310 СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VII
на место yv ..., уп подставлено какое-нибудь решение системы (4);
тогда левая часть обратится в функцию от х9 тождественно
равную постоянной. Дифференцируя обе части этого тождества по х,
получаем:
Так как уи ..., уп суть решения системы. (4), то производные
-^, ..., -*~ можно заменить в равенстве (43) равными им
правыми частями уравнений (4), и мы получим:
5J+/i(*· Уг> •••.*Λι)||[+···+/η(^ Уи ···■ J'»^==0· (44)
В равенстве (44) уи ..., уп суть функции от лг, являющиеся
некоторым решением системы (4); таким образом, значения (лг, yv ...,^)
в этом равенстве суть координаты точки (п -j- 1)-мерного
пространства, через которую проходит рассматриваемое решение. Но так как
результат дифференцирования равенства (42") не зависит от С, то
равенство (44) выполняется для точки (х, у1У ..., уп), лежащей на
любой интегральной кривой в рассматриваемой области.
Так как, по теореме существования, через каждую точку (х0,у°и · · .,Уп)
этой области проходит интегральная кривая, то, следовательно,
равенство (44) имеет место для любой точки рассматриваемой области,
т. е. тождественно по х, yv ..., уп. Итак, левая часть
каждого первого интеграла удовлетворяет тождественно соотношению (44).
Пусть, обратно, некоторая функция ψ обращает уравнение (44)
в тождество; тогда вдоль любой интегральной кривой системы (4)
имеет место равенство (43), а следовательно, и равенство (42").
Таким образом, вдоль каждой интегральной кривой функция ψ
принимает постоянное значение.
Итак, равенство (44) есть необходимое и достаточное условие
для того, чтобы уравнение (42") представляло первый интеграл.
Иногда свойство первого интеграла, выражаемое равенством (44),
формулируют так: производная от левой части первого интеграла
обращается в нуль в силу данной системы дифференциальных
уравнений.
3. Если нам удастся каким-нибудь способом найти η независимых
первых интегралов системы (4), т. е. таких, которые можно
разрешить относительно у1У у2, ..., уп, то разрешение их даёт выражение
Ун Уъ · · ·> У η чеРез х и η произвольных постоянных Си С2, ..., Сп.
Эти выражения дадут нам общее решение системы (4).
В самом деле, условие независимости интегралов (42) означает,
что якобиан у* τ* ···» гп) не равен НуЛЮ тождественно: пусть
В(УьУ2 Уп) F
система значений х0, у°и ..., у°п даёт ему отличное от нуля значе-

§ 4]
ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ СИСТЕМЫ
311
ние. Тогда в окрестности этих значений уи у2, ..., уп являются
однозначными непрерывными функциями от Cv С2, ..., Сп и от х.
Задавая начальные значения х0 и уи у2, ..., уп, в достаточной
близости от у°и у\, ..., уп и обозначая соответствующие значения
постоянных через Cv C2, ..., Сп, мы видим, что эти значения
постоянных определяют решение системы (4): ух =cpj (лг, Cv C2, ..., Сп),...
···> Уп~9п(х1 С ν С*···» сп)> которое при χ = лг0 принимает
наперёд заданные начальные значения j/i, j/2> . ·. > ^?t- А это и есть
критерий для общего решения.
Таким образом, знание η {независимых) первых интегралов
равносильно интеграции системы (4).
Если нам известен один первый' интеграл системы:
ф(дг, yv ..., уп) = С,
то из него можно выразить одну из искомых функций, например уп,
через х9 остальные искомые функции и произвольное постоянное С:
л» = «>(*. л. ···» jv-i; c);
внося это выражение в первое, второе, ..., (п—1)-е уравнение
системы (4), мы придём к системе η—1 уравнений с η — 1
искомыми функциями; таким образом, порядок системы понижается на
единицу. Производя интеграцию новой системы (п — 1)-го порядка,
мы введём η—1 произвольных постоянных, которые вместе с Сдадут
систему η произвольных постоянных, т. е. мы получили общее
решение системы (4). Аналогично, если нам известны k независимых
первых интегралов, то порядок системы понижается на k единиц.
Пример 8. Рассмотрим систему:
dx dy
dt ==3-V' dt ~ X%
Её общее решение есть: х = Л cos (£-{- α), у = A sin (/-f- α) (Л и α—
произвольные постоянные). Очевидно, что соотношение х2 -\-у2 = С
является первым интегралом этой системы. В самом деле, полная
производная по / от левой части, в силу уравнений системы, будет:
2х% + 2у % = 2ху - Чух = 0.
Первым интегралом будет также соотношение Ф(х2-\-у2) = С, где
Φ — произвольная (дифференцируемая) функция.
Пример 9. В теории движения твёрдого тела встречается
система уравнений:
A% = (B-C)qr, B§=(C-A)rp, C§ = {A-B)pqt

312 СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VII
где Л^>Б^С>0 — заданные постоянные (главные моменты
инерции тела), а искомые функции /?, qy r — составляющие вектора
мгновенной скорости.
Умножая уравнения соответственно нар, д,ги складывая, получим:
Левая часть есть полный дифференциал; интеграция его даёт:
Лр2 + Я?2 + Сг2 = /я2
(т — произвольная постоянная) — один первый интеграл уравнения.
Умножая уравнения на Л/?, Bq, Cr и складывая, находим:
откуда получаем другой первый интеграл:
Лу + ^ + С2/·2^^2
(η — произвольная постоянная). Других интегралов, не зависимых от
этих двух и не содержащих явно t, наша система, очевидно, не имеет.
По общей теории, мы можем воспользоваться этими интегралами,
чтобы понизить порядок системы до первого. Предполагая Л > В > С,
разрешаем два полученных соотношения относительно р2, q2; имеем:
где α = ν _ ' > 0, β = ρ / и _ рч > °> и постоянные величины а
и £, завися от произвольных постоянных т2 и я2, сами являются
произвольными.
Внося значения ρ и q в третье уравнение системы, получаем:
это — уравнение с разделяющимися переменными, и решение
получается квадратурой в эллиптических функциях.
Метод, которым мы нашли первые интегралы для указанного
примера, заключается в том, что мы подбираем такие комбинации левых
частей уравнений, которые представляют полные производные по t,
причём правая часть обращается в нуль; приравнивая соответствующие
первообразные функции постоянным, мы получаем первые интегралы.
5 5. Симметричная форма системы дифференциальных уравнений.
1. Соотношения (42), дающие общий интеграл системы (4), имеют
ту особенность, что в них независимые и зависимые переменные
входят равноправно. Таким образом, эти соотношения сохраняют свою
силу, если мы выберем в качестве независимого переменного одну

§ 5]
СИММЕТРИЧНАЯ ФОРМА СИСТЕМЫ
313
из функций у{. Соответствующая замена переменных изменит форму
системы (4), так как в неё входят производные; но если написать
данные уравнения при помощи дифференциалов (первого порядка),
то, по известному их свойству, система в этой форме сохраняет свою
силу при любой замене переменных, в частности, вышеуказанного
типа. Итак, мы можем написать систему (4) в виде:
dx dyx
1 f\ (х. У ν Уъ · ·
_ rf>2
- У η)
.. Уп) ~ '
_ *Уп
fn (x> У ν У >> ..
- У η)
Эта система останется равносильною первоначальной, если все
знаменатели умножить на один и тот же множитель (при этом надо
ограничиться рассмотрением тех областей, где этот множитель не
обращается в нуль). Поэтому мы можем предположить, что и
стоящий вначале дифференциал dx имеет в знаменателе не единицу, а
некоторую функцию. Тогда несимметрия переменных останется только
в обозначениях. Делаем последний шаг: вместо переменных лг, у19
У& ···> Уп пишем переменные xv лг2, ..., хп (для простоты письма
число переменных мы будем обозначать через п% а не лг —|— 1).
Система дифференциальных уравнений в симметричной форме
имеет вид:
dx1 dx2 dxn
Χ}(Χρ Χ2} »··ι Χ?ι) Χ2 (X\> X& ···' Xfl) Xn\X\» X'j? ···» xn)
Общий интеграл этой системы запишется в виде:
Vl v*l> -*2» · · ·> Хп) == ^1> Т2 \XU Х2> · · · > хп) == ^2> · · · I
...» Tw-1 \XV Х& ' · ·> Хп) == ^n-V >
(45)
(46)
Так как мы желаем иметь возможность принять любое из переменных
за независимое, а всё остальное—за искомые функции, то естественно
требовать от функции Х{ непрерывности и существования
непрерывных частных производных по всем аргументам^, дг2, ..., хп.
Чтобы перейти от симметричной системы (45) к системе вида (4),
надо назначить одно из переменных, например хп9 в качестве
независимого. Систему перепишем в виде:
dx\ Xд (х\, лг2, * * *» Хп) dx<z Х2 dxn_i ^ Хп—\
dxn Хп(х^ х2, ...» хп) dxn Xn dxn Xn
(45')
При этом, чтобы не нарушалась непрерывность правых частей,
ьных значениях х°и х% .
Χη(χι> χζ> ···> хп)Ф-Ъ*
необходимо при начальных значениях х°и xl, ..., хп иметь

314 СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VII
Если же данные начальные значения обращают в нуль ХпУ мы
можем взять за независимое переменное такое х{9 чтобы
соответствующая функция Х{ не обращалась в нуль. Правые части системы вида
(45') могут оказаться разрывными при любом выборе независимого
переменного лишь в том случае, если начальные значения λγι, х^ · · ·, Χη
обращают в нуль все функции Xf
**-\ \Хи Х'2) · · ·» Xfi) === ^*2 ν·^1> Х^ч · · · > Хц) === · ·'·
... Лп [Χι9 Х29 · · · , Хп) U.
Такие начальные значения называются особыми начальными
значениями; они соответствуют особым точкам системы (45). Очевидно,
к особым начальным значениям неприменимо доказательство Пикара
существования и единственности решения. Мы будем исключать
особые точки из рассматриваемой области.
Аналитическое условие того, чтобы каждый интеграл из числа
интегралов (46) или вообще любое соотношение вида
ψ 0*1· Чу ···» Хп) = С (460
являлось первым интегралом системы, получается следующим образом.
Вдоль интегральной кривой системы функция ψ сохраняет
постоянное значение; следовательно, её полный дифференциал, взятый вдоль
этой кривой, равен нулю:
Но вдоль интегральной кривой дифференциалы dxit в силу
уравнений (45), пропорциональны значениям функций Х{; следовательно,
вдоль каждой интегральной кривой имеем:
ΧΛχν х2, .... Xn)£- + X2*L+ ...+*„^ = 0. (47)
Повторяя рассуждения предыдущего параграфа, мы заметим, что
соотношение (47) выведено для значений х19 дг2, ..., хп,
представляющих (переменную) точку некоторой интегральной кривой. Но
так как это равенство справедливо для любого значения
постоянного С в формуле (46'), то равенство (47) выполняется для точек
любой интегральной кривой. Отсюда следует, так как через каждую
точку рассматриваемой области проходит интегральная кривая, что
соотношение (47) для левой части первого интеграла выполняется
тождественно и что, обратно, всякая функция ψ,
удовлетворяющая тождественно уравнению (47), даёт первый интеграл, если
её приравнять произвольному постоянному.
Геометрически решение системы (45), заданное общим
интегралом (46), можно рассматривать как многообразие одного измерения

§ 5]
СИММЕТРИЧНАЯ ФОРМА СИСТЕМЫ
315
(«интегральная кривая»), определённое пересечением η—1
многообразий η—1 измерений <]^ = С,(/=1, 2,...,
η—^(«гиперповерхности η—1 измерений» в я-мерном пространстве χν х29 ..., хп);
семейство интегральных кривых зависит от η — 1 параметров Ci9
С2, ..., Сп-1; каждое семейство гиперповерхностей зависит от одного
параметра.
2. Приведение системы уравнений к симметричной форме часто
оказывается полезным для разыскания первых интегралов. Написав
уравнения в дифференциальной форме (45), мы ищем такие
комбинации членов равенств (45), линейные относительно дифференциалов,
чтобы в левой части стоял полный дифференциал, а в правой—нуль.
Интегрируя этот полный дифференциал и приравнивая результат
постоянному, получаем первый интеграл. Если таким путём найдено
η—1 интегралов, мы получаем общий интеграл, эквивалентный
общему решению; если найдено η — 2 интегралов, задача нахождения
общего решения сводится к интегрированию дифференциального
уравнения первого порядка.
Пример 10. (ζ—y)*-?- = z, {z—yf-^-=y. Пишем систему
в симметричной форме:
dx dy dz
(z—уУ2· ~~~~z У'
Два последних члена этих равенств дают интегрируемую комбинацию:
у dy — ζ dz = 0,
откуда первый интеграл: у2 — ζ2 = Cv
Далее, приравнивая первое отношение отношению разности
предыдущих и последующих членов двух последних отношений, имеем:
(21Хуу=аУ^уг>ит dx-\-(z—y)(dz — dy)=0,
откуда — другой первый интеграл
2х+{г — у)* = С2.
Задача интегрирования закончена. Впрочем, благодаря делению на
(у — г)2, мы потеряли семейство решений, зависящее от одного
параметра: х=С, y = z; эти решения не существуют, если
независимым переменным назначить х.
Пример 11. ;ρ= 1 *Т~~ __ . Пишем систему в виде:
, , dx dx ^
dy — dx = , = dz:
' ζ у —χ '
перемножая, получим интегрируемую комбинацию:
dy — dx \dz n

316 СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VII
откуда (у— х)г==С1. Для дальнейшей интеграции определяем ζ:
г*
г=——, и вносим в первое уравнение; получаем: dy— dx =
у χ
— ~^~— > или (У — x)eCl =C2. Отсюда находим общее реше-
- — С ~
пие: у = Соес,~\-х9 z=-~eG^. Заметим, что соотношение, содержа-
щее С2, не является первым интегралом, так как оно содержит также
произвольное постоянное Сх\ чтобы получить из него первый
интеграл, надо из первого соотношения выразить С1 через х9 у, ζ и
подставить во второе; получим:
Примечание 1. В п. 4 § 1 настоящей главы мы
рассматривали динамическую систему:
~^/~ == ι ν^ι» -*2> ···> хп)> ···> ~~dJ~== η\χι* хъ ···> хп)> (у )
причём интерпретировали t как время. Для нахождения
траекторий мы исключали dt из системы (6'); получаемую таким
образом систему целесообразно написать в симметричной форме, так как
все величины х1У дг2, ..., хп, представляющие координаты точек,
в этой интерпретации равноправны. Полученная система вида
ах^ dx% dxn /лс\
-у -у- — . . . = -у— {ъо)
л\ л2 лп
имеет η—1 первых интегралов (46), которые, очевидно, будут
также интегралами системы (6'). Таким образом, система (6'), в
которой правые части не зависят от времени, допускает η—1
интегралов, не зависящих от времени. В примере 9. мы нашли для системы
третьего порядка два интеграла, не зависящих от времени.
Обратно, если дана система вида (45), то вместо того, чтобы
назначать в качестве независимого переменного одну из величин хи
можно приравнять все равные между собой отношения
дифференциалу нового независимого переменного t:
dxi dx^ dxn л/·
л1 л2 лп
в результате мы получаем систему вида (6'). Если в формулах,
дающих решение системы (6'), мы выразим t через одну из
переменных xit например через хп9 и вставим это выражение в
значения функций хи х2, ..., xw—i, то получим решение системы (45).
Если такого исключения не производить, то мы получим,
интегральные кривые системы (45), выраженные в функции параметра /.
Примечание 2. Существование первых интегралов (однозначных и
непрерывных) мы доказываем только для достаточно малой области, в кото-

§ 61
УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ЛЯПУНОВУ
317
рой определённые по теореме существования неявные функции остаются
однозначными. Для всей области, в которой определены интегральные кривые
системы, первые интегралы могут и не существовать. Рассмотрим следующий
простой пример. Система
dx dy
имеет общее решение х = х^ег, у=у0егу в частности, при х0=у0 = 0>
x=zy=:0. Интегральные кривые заполняют плоскость. Но эта система не
может иметь интеграла, не зависящего от времени и непрерывного во всей
плоскости. В самом деле, такой интеграл имеет постоянное значение вдоль
всякого решения, а так как каждое решение (не равное нулю тождественно)
имеет пределом при t-> — оо значения л: = 0, j> = 0, то это же постоянное
значение интеграл должен принимать в силу непрерывности в точке (0, 0);
следовательно, в силу однозначности в точке (0,0), это постоянное значение
должно быть одно и то же для всех интегральных кривых, т. е. левая часть
интеграла была бы тождественно равна постоянной, что противоречит
определению первого интеграла. Между тем во всякой области, не содержащей
точек оси Ох, система имеет первый интеграл (однозначный и непрерывный)
χ X2
— = С; если же взять интеграл 2 , а-=£ того же уравнения, то он будет
непрерывен в областях, не содержащих точки (0, 0).
ЗАДАЧИ.
Найти общее решение (или общий интеграл) систем:
193.
194.
195.
dx _ dy _ dz
у + z "" z-\-x ~~ x+y "
dx dy __ dz
χ(y* + z>) ~~—y (z* + дг2) ~~z(x*+y*) #
dx dy dz
х(х+У)~ -У(х+У)~~ (х-у)(2х+2у + гУ
dx_x-y dy _x-y dz =
§ 6. Устойчивость по Ляпунову.
Теорема об устойчивости по первому приближению1).
1. Мы будем рассматривать системы дифференциальных уравнений
dx
-jf^Xiit, χί9 λγ2, ..., χη), (48)
где -£— предположим непрерывными (/, j = 1, 2, ..., η). Будем
интерпретировать xu λγ2>···> χη как координаты движущейся точки,
а *> ^о ^ * < °°> как время.
Каждое частное решение системы (48) будем называть движением.
Рассмотрим движение, определённое начальными данными:
t=t0t х{ = х°г, т. е. (49)
Xi ==z xi\t\ *0> Х1* Х2> ·*'» Хп) (^ = Ь 2, ,.., П).
1) Для понимания этого параграфа требуется ознакомление с § 3 и
с материалом, напечатанным мелким шрифтом в § 2.

318 СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VII
Определение. Движение (49) называется устойчивым по
Ляпунову, если для любого ε > О найдётся такое δ>0, что как
только \х%— Λτ°|<δ, /=1, ..., п, то
Ι**('; Ό> χν х% ·· ·> *£)—*<('; V χν ··- Φΐ<· (Щ
(/=1, ..., я)
для всех значений t0 ^ ^ < -|- оо.
Всякое движение, не являющееся устойчивым, называется
неустойчивым; это означает, что существует такое ε0>0, что
какое бы малое δ>0 ни было выбрано, всегда найдутся значения
(х\, х°2, ..., лт°) и t= Τ, что для некоторого i и этих Τ будет
выполняться неравенство:
I Xi W» *0> XV · · ·» *я) Хг \** Ч ■*?> '· · ·» Ό Ι <^ ε0>
несмотря на то, что
\xl—xl\<* (ft==1. 2> ···> л).
Исследуемое движение, соответствующее начальным условиям /0,
л:?, ..., Хп, Ляпунов называет не возмущённым, а движение с
изменёнными начальными условиями: tQ, лг°, ..., х°п — возмущённым
движением. Таким образом, устойчивость невозмущённого движения
геометрически означает, что в любой данный момент времени t точка
траектории возмущённого движения находится в достаточно малой
окрестности соответствующей точки невозмущённого движения.
Перейдём теперь к координатам χν λγ2, ..., хп по формулам:
■*<=■*<+■*<#) ('=1» 2> ···> Ό> (51)
где для краткости мы положили х{(έ) = х{(/, /0> лг£, ..., x°J\ тогда
невозмущённое движение xi{t) перейдёт в невозмущённое
движение в новых координатах xi(t) = 0(г = 1, 2, ..., п), т. е. в так
называемую точку покоя. Действительно, произведём замену
переменных (51) в уравнениях (48). Имеем:
§·+^(*<(0) = *«(';*Η-*ι(/), .... *„+*„(*))·
Разлагая правые части последних равенств в ряд Тейлора по х4
вплоть до членов первого порядка, получим:
η
η

§ б] УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ЛЯПУНОВУ 319
Так как x^t) есть решение системы (48), то мы получаем:
4ί=Σ*»τί(t'> ■*»(/)+ь***> ···.*»«+6л)· (52)
«1 = 1
Ранее было доказано (см. стр. 298), что коэффициенты при хт
в правой части равенства (52) являются непрерывными функциями.
Этой системе с начальными условиями х°г = 0 (/= 1, 2, ..., п)
удовлетворяет решение лгД^)==0 (/=1, 2, ..., п), что и
доказывает наше утверждение.
В дальнейшем мы всегда будем предполагать, что преобразование
уже совершилось, и будем рассматривать устойчивость по Ляпунову
тривиального решения: xi{t)^0 (*=1, 2, ..., п).
Условия. (50), определяющие устойчивость, означают теперь, что
траектория возмущённого движения не выходит при t04^t<%-f-°°
из ε-окрестности точки покоя.
В дальнейшем нас будут интересовать качественные критерии
устойчивости по Ляпунову: и теоретически и для практических
приложений важны лишь те случаи, когда мы, не умея интегрировать
систему (48), можем, тем не менее, делать заключения об
устойчивости невозмущённого движения.
2. Предположим, что функции Xi допускают непрерывные
производные первого порядка по xt и что эти производные являются
постоянными вдоль тривиального решения, т. е.
дъььо, ...,o)==^ = const> {lt y==lj 2> ^ я)>
В сделанных предположениях функции Xi могут быть представлены
в виде:
η
Χ{(έ; х19 ..., *J = 2 Λ^ + φ<(/; хи ..., хп),
где <pi — бесконечно малые порядка выше первого в окрестности
точки xt = х2 = ... = хп = 0. Система (48) примет вид:
η
-^=^aijxj + ?i(^ *v ···» *«) (i=l> 2> ···> п). (53)
7 = 1
Если в системе (53) отбросить члены порядка выше первого, то
полученная система линейных дифференциальных уравнений с
постоянными коэффициентами:
η
Ж= Σ anxi (г = 1, 2, ..., й), (54)

320 СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VII
называется системой первого приближения для нелинейной
системы (53), а значит, при сделанных предположениях, и для
системы (48).
Можно рассматривать уравнения (54) и как систему уравнений
в вариациях (см. § 3 настоящей главы, стр. 304) для системы (48)
в окрестности её тривиального решения.
До Ляпунова при исследовании вопроса об устойчивости
ограничивались в основном изучением устойчивости в первом
приближении, считая полученный результат разрешающим вопрос об
устойчивости и основной нелинейной системы (48).
Ляпунов первый показал, что в общем случае такое заключение
неверно; с другой стороны, он даёт ряд примеров нелинейных
систем (48), для которых вопрос об устойчивости разрешается до
конца по первому приближению.
3. Рассмотрим сначала случай, когда все корни
характеристического уравнения первого приближения, т. е. системы (54), простые,
или по крайней мере все элементарные делители матрицы
коэффициентов системы (54) простые. Тогда существует неособое линейное
преобразование:
Уг = 2 aik*k (' = *> 2» · · · > п)> (55)
приводящее систему (54) к диагональной форме. Применим теперь
это преобразование к системе (53),v- тогда эта система примет вид:
^ = λιΛ+?*('» У ν У* ···> Уп)» I
•^ = Xieya + <pi(f, yv jfat ..., yn\ \ (δβ)
-$- = КУп + 9*п(*> Уи У2> ···> Уп\ ]
где kv λ2, ..., λη — корни характеристического уравнения
системы (54), а ср*(/, уг у2, ..., у J определяются равенствами:
η
?:& У» У» ■ -->Уп) = Σ «<*?*(*> *it · · ·· *«) (57)
(/=1, 2, ..., п).
теорема. Если: 1) все корни характеристического уравнения
первого приближения (54) отрицательны;
2) все функции ср^(/, хи дт2, ..., хп) в системе (53)
удовлетворяют условию:
|φ<& *ν χ·2> ···· ^)Κ^[Σ^]2+σ ('=*, 2э ·.·, η), (А)
гд# Μ — некоторая постоянная, α α > 0;

§ 6] УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ЛЯПУНОВУ 321
3) все корни характеристического уравнения первого
приближения (54) простые или по крайней мере элементарные делители
матрицы коэффициентов системы уравнений (54) простые, —
то тривиальное решение системы уравнений (53) устойчиво.
Доказательство. Условие 3) теоремы позволяет при помощи
неособого линейного преобразования (55) привести систему (53)
к виду (56).
Покажем предварительно, что функции <р*(/, yv y2, ..., у^ из
системы (56) удовлетворяют условию (А). В самом деле, пусть α —
верхняя грань модулей коэффициентов преобразования (55), т. е.
К*Ка (i, *=1, 2, ...., η).
Тогда, пользуясь равенством (57), получим:
η
Iφ*(*, yv у* ···> Уп)\ = 12 ««?*{t, xit χ*, ·.., χη)\<
k=l
<Λία2 (xl+xt+... +4)τ+*< Λίχ(*?+*!+... +χΙ)^+α
(/==1, 2, ..., λ), (58)
где
Μχ = Mean.
Но при всяком неособом преобразовании сумма квадратов старых
переменных не превосходит суммы квадратов новых переменных,
умноженных на некоторую постоянную. В самом деле, разрешим
равенства (55) относительно переменных х{:
η
*< = Σ РгкУк, (59)
fc = l
и пусть β —верхняя грань |β^|, т. е. |β«|<β(/, fc=l, 2, ..., η),
тогда
*?=(2 β«Λ)2<{2 ΐωΛΠ9<Ρ"Σ 2 ЫЫ<
η η η
p.
fc=l J=l й.=1
<ΙΣΣ^+^=^Σ^·
Здесь мы воспользовались известным неравенством:

322 СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VII
Следовательно,
η η
2*?<£2.у*> (60)
г=1 fc=l
где
Отметим попутно, что
η η
k-i fc=i
где
Σ^*<^ιΣ4, (6ΐ)
Из неравенств (58) и (60) получаем требуемое неравенство:
где
±+«
Теперь умножим первое уравнение системы (56) на yv второе — на у2
и т. д. и сложим их, тогда получим:
η η η
τέΣ-^Σ^+Σ^^ ···· ^· (63>
По условию, все числа λ^ отрицательны; обозначим наибольшее
из них через — ω и пусть
λ№<λ№_1<...<λ1=— ω; ω>0. (64)
Теперь оценим сверху выражение, стоящее справа в равенстве (63).
В силу неравенств (62) и (64), получим:
Я 1
или, так как \yi |< { 2 у\} S то
г=1 i = l fc=l
ИЛИ
η
τίΣ*<(—ЗМ-ЭДчЛ· <65>
<*1 <=1 &=1

§ 6] УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ЛЯПУНОВУ 323
Будем считать, что ук настолько малы, что
iU<u^· (66)
Такое предположение допустимо, потому что в начальный момент
t=t0 величины ук можно предполагать как угодно малыми, в
частности удовлетворяющими неравенству (66), а в силу непрерывной
зависимости решений нашей системы от начальных условий,
неравенство (66) будет иметь место в некоторой окрестности
значения t=t0.
Тогда неравенство (65) перепишется так:
Λ=1 Λ=1
откуда, разделяя переменные и интегрируя от t0 до /, получим:
Λ = 1
или
1пЕл(оЦ,<-«е-^
Σ/* (0 < е- "'^2У\ (У. (67)
7Ь
Из неравенства (67) видно, что 2 У\ (0 монотонно убывает и CTpe-
мится к нулю при £->оо. Поэтому, если неравенство (66)
выполнено в начальный момент t0, то это неравенство будет выполнено
при всех значениях t^>t0. Следовательно, и неравенство (67)
справедливо при всех t>t0, если только при t = tQ неравенство (66)
имело место.
Из неравенств (60) и (61) следует, что
Σ χ\ (t) < LV-O-'o) 2 4 (О, (68)
поэтому, если 1 хк fa) 1 < г—— , то |дгл(^)|<з, а это и означает,
У LL\n
что тривиальное решение системы (53) устойчиво. Отметим также,
что, как видно из неравенства (68), все xk(t) стремятся к нулю
при / —> оо.
Таким образом, теорема доказана.
4. Рассмотрим теперь случай, когда среди элементарных делителей
матрицы коэффициентов системы (54) будут встречаться кратные.
Тогда существует неособое линейное преобразование, которое
приведёт систему (54) к нормальной форме (30х), ..., (30л) (см. стр. 293).

324
СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VII
Сделаем ещё одно линейное неособое преобразование, а именно,
положим:
y2 = ztfn~2,
Уп = *п
(69)
где γ — произвольное, не равное нулю число. Это число γ будем
считать положительным; в дальнейшем оно будет выбрано достаточно
малым.
Таким образом, мы имеем неособое линейное преобразование:
(70)
приводящее систему (53) к виду:
dt
Лу±
dt
=λΛ+ ту8+?;('»л»
ay
dt
dyn-ek+l
-IT = λι^· + "Ρ·. С Λ. · · ·. Λ»)>
rf, = **.Vn-efc+l + Wn-ek+i-\-9n-ek+l (t, Уи ..., Уп),
Ц? = хъУп -V Ψη (t, У и · · ·. Уп)·
(71)
Здесь
?ϊ& JV ···> Λ») = Σα**<ΡΛ(', ^, ··., *„) (*=1, 2, ..., /г). (72)
fc=l
Замечание. Равенства (72) определяют функции φ* (t, yv ..., у )
также и в том случае, когда некоторые из чисел ki9 а следовательно,
и a{j и величины yi комплексны. В самом деле, каждой данной
системе значений величин уь в силу неособенности
преобразования (70), соответствует единственная система значений xi (мы
рассматриваем такие значения уь которые соответствуют действительным
значениям х{), а системе значений хи в силу равенств (72), соответ*
ствует определённое значение функций φ* (/, yv уг> ..., уп). Таким

§6]
УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ЛЯПУНОВУ
325
образом, установлена зависимость φ* (έ, yv у2, ..., у ) от своих
аргументов.
Если некоторое λ^ — комплексное число, то ему соответствует
некоторое с ним комплексно сопряжённое Ху = Хг·; тогда коэффициенты
преобразования, соответствующие корню λ^·, будут комплексно
сопряжены с коэффициентами преобразования, соответствующими корню к{,
но равенства
η
Уг = 2 *ikXk (73)
fc = l
показывают, что комплексно сопряжённым значениям коэффициентов
преобразования соответствуют комплексно сопряжённые значения
переменных yit поэтому
η _
?<('> Уи ···> Уп)= ΣαίΛ?Α:(^ х1> ···» *п) =
= ?<('■ Λ» Λ. ···» Уп\ (74)
теорема. Если 1) все корни характеристического уравнения
первого приближения (54) отрицательны,
2) яс£ функции срД^, ΛΓρ дг2, ..., хп) β системе (53)
удовлетворяют условию (А),
/яо тривиальное решение системы (53) устойчиво.
Доказательство. Пусть система уравнений (53) приведена
к виду (71). Поскольку функции φ*(/, yv .. .,уп) выражаются линейно
с помощью формул (72) через o{(t, xv ..., хп), то оценка (62)
имеет место и в этом случае, где α^>|«α|. Пусть λΛ<;λ№-1^ ... ^
^ Х1 = — ω, где ω > 0. Умножая - первое уравнение системы (71)
на уи второе — на у2 и т. д. и складывая их и затем заменяя все kk
через —ω, мы получим неравенство
η
* = 1
w η η
ί = 1 < = 1 < = 1
где штрих у знака средней суммы означает, что при суммировании
выпускаются значения i = eu ^1-{-е2, ..., η — eki п. Применяя
неравенство (62) для φ^(/, yv . .., уп) и замечая, что
ΛΛ+ι < \УгУиг 1 < 5 '

326 СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VII
мы, усиливая неравенство (75), получим:
1 ,
η η η η η 1Γ~*"α
4ί·Σ^<—Σ^+τΣ^+λ·Σιλι{Σι^ι} · (76)
ί = 1 ί = 1 ί = 1 ί = 1 Λ=1
Выберем теперь положительное число γ так, чтобы —ω-{-Τ было
отрицательным, и положим:
— ω -\- γ = — ωχ, где ω1 > 0.
Последнее слагаемое в неравенстве (76) оцениваем так же, ка^с
это было сделано при получении неравенства (65), тогда
η η η
i-1 г=1 ft=l
Неравенство (77) совершенно такое же, как и неравенство (65),
только положительное число ω заменено положительным числом
ωχ = ω — γ; поэтому, поскольку из неравенства (65) следовала
устойчивость тривиального решения системы (53), то и из неравенства (77)
будет следовать устойчивость этого решения.
Тем же методом, каким мы доказали первые две теоремы, можно
доказать и следующую, их обобщающую теорему.
теорема. Если 1) все корни характеристического уравнения
для первого приближения (54) имеют отрицательную
действительную часть,
2) все функции <р{- (t, хи .. ., хп) в системе (53) удовлетворяют
условию (А),
то тривиальное решение системы (53) устойчиво.
Доказательство. Пусть система уравнений (53) приведена
к виду (71). Наряду с системой (71) рассмотрим также систему:
ЧГ = λιΛ + ϊΛ+ W> Λ> · · ·> Λ)>
4f = Kyn + %(t,yv ...,λ).
(78)
Из замечания в п. 4 следует, что система (78), с точностью до
нумерации, совпадает с системой (71).
Пусть —ω — наибольшая действительная часть корней
характеристического уравнения системы (54), т. е.
#(λ*)< —ω, где ω>0ΐ). (79)
l) R (z) обозначает действительную часть числа ζ: если z = x-{-iy, το
R{z) = x.

§ 6] устойчивость по Ляпунову 327
η η η _ η
Заметим, что ± 2|л!2 = 4 ЦлЛ= Σ^4Γ+ Σ^ΐ:
i=l i = l i-l *=1
тогда, пользуясь системами (71) и (78), получим:
η η η
ί = 1 i=l i = l
П
+Σ ιλ?; с. у ν · · ·. л)+^ л я. · · ·. Яд (so)
ί = 1
но ΛΛ+ι +Λ+ιΛ < 2 ΙΛΛ+ι Ι < |Λ |2 + bi+i Ι2· _Пользуясь этим,
оценкой (62) для φ*(/, ^, .. ., уп) и φ*(ί, ^, . . ., уп), которая,
очевидно, имеет место в нашем случае, и неравенством (79), мы найдём;
1 ,
П П fl 71 -r-r-α
<-2«>2.ιλι2-ι-2ϊ2ιλι2+2μ*Σι^ι{Σι^12} ·f81)
Выбрав γ достаточно малым, положив —ω -|-γ = — (Dj, где ω1 > 0,
получим:
Последнее неравенство совпадает с неравенством (77), только
все yi заменены через \у{ | и положительная величина ω1 имеет HOBOf
значение, но эти обстоятельства на наши заключения об устойчивости
тривиального решения системы (53) не повлияют. Тем самым теорема
доказана.
5. Отметим ещё одну теорему, устанавливающую некоторые
достаточные условия неустойчивости решения системы (53).
теорема. Если 1) хотя бы один корень характеристического
уравнения первого приближения (54) имеет положительную
действительную часть,
2) все функции ^{t, xv ..., хп), входящие в систему (53),
удовлетворяют условию (А),
то тривиальное решение системы (53) неустойчиво.
Теорему докажем для случая, когда среди корней
характеристического уравнения системы (54) нет корней с действительной частью,
равной нулю.

328 СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VII
Будем считать, что система (53) приведена к виду (71). Пусть
λΐ9 λ2, ...,ХШ {т^>\) — все корни характеристического уравнения
системы (54) с положительной действительной частью, тогда корни
\п+\> ···> ^п будут иметь действительную отрицательную часть.
Обозначим через σ наименьшую действительную часть чисел:
Aj, λ2, ..., кт, Aw+1, λιη+2, ..., λη.
Число σ будет положительным,
σ>0.
т п
Вычислим производную от выражения К= 2 \Уг |2— Σ \уА*\
пользуясь системами (71) и (78), получим:
т η т η
+ ϊ[Σ' 0ЧУ<+1 +Λ+ιΛ) — ^ (^Λ+ι+Λ+Λ)] +
m
+ Σ 'л?! ft л» · ■ · ■ λ)+λ<ρΣ ft л> · · · > λ)ι —
η
- Σ &*ί &?* л)+у&'(/, л. · · ·. Λ)ΐ·
i = w +1
Заменяя /?(λ^) (/= 1, .. ., т) и — R{\t) при /= /я-[- 1, ..., η
через σ, вычитая модули слагаемых всех остальных сумм, пользуясь
при этом оценками так же, Kaj^ это делалось при доказательстве
предыдущей теоремы, получим:
η η η
^>2*2;ы2-2т Σι^ΐ2-2Λί*«{2ι^ΐ2}1+α,
г = 1 г=1 i-\
или, считая γ достаточно малым и обозначая σ — Т = о1 (величина ot
будет положительной), получим:
τί>·.ΣΐΛΐ·{>-^[ΣΐΛΡ]"}· <w
i=l * г=1
Если бы тривиальное решение системы (53), а следовательно, и
системы (71) было устойчивым, то для всякого е>0, в частности
ι
1 / σ \2
для е = —=Л—±-J , существовало бы такое δ, что при |^(/0)| <δ

§ 6] устойчивость по Ляпунову 329
(i= 1, ..., η) имели бы место неравенства |^(0| < е(* = 1> · · ·> #)·
Тогда
ι
%М<НшУ
i = l
и неравенство (83) можно было бы, усиливая, переписать так:
η т и
или
$—,*>0. (84)
Умножив неравенство (84) на £-М*-*<>), получим:
£(«-.<*-«*)> О, (85)
откуда, интегрируя от t0 до £ и заменяя /С(0 его выражением,
найдём:
т η т η
Мы всегда можем считать, что 2|.У<(*о)12— 2 |л(^о)12—вели-
чина положительная; в частности, можем положить все yi(t0) = 0
при i = m-\- 1, ..., я.
Тогда из неравенства (85) мы можем заключить, что по крайней
мере одна из величин |j/<(tf)| сделается больше выбранного в, каким
бы малым ни было δ, что противоречит предположению об
устойчивости тривиального решения. Тем самым теорема доказана.

ГЛАВА VIII.
УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ.
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
ПЕРВОГО ПОРЯДКА.
§ 1. Постановка задачи об интегрировании уравнений
с частными производными.
1. Пусть искомая функция ζ зависит от нескольких неза-
висимых переменных: дг15 дг2, ..., хп (п ^> 2).
Уравнение, связывающее искомую функцию, независимые
переменные и частные производные от искомой функции, называется
уравнением с частными производными. Оно имеет вид:
f( dz dz дч дч δ*ζ \_η
г \ζ, χΐ9 λ;2, ..., χη, , ..., — , ~r - - , . .., k , ...)—υ.
4 дхг дх dxf дхгдх2 дхЧ '
Здесь F — данная функция своих аргументов.
Порядок старшей частной производной, входящей в уравнение,
называется порядком уравнения с частными производными.
Наиболее общее уравнение с частными производными первого
порядка с η независимыми переменными может быть написано в форме:
F \Z> xv х* ····*!>» Щ' д^~2> •••, 3^"/ °* (1)
Часто употребляются упрощённые обозначения для производных
первого порядка:
dz dz dz .
Щ~р* >Ш;—р» ···' дхп~Рп9
с их помощью уравнение (1) перепишется так:
F\?> х» *2, · · ·, ■*», Ри Ръ · · ·> Ρη) = 0· С1')
В случае двух независимых переменных часто
пользуются такими обозначениями: искомая функция г, независимые перс-

§ и
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
331
менные χ и у, частные производные ^р=р, jp ξ== q (обозначения
Монжа); тогда уравнение первого порядка напишется так:
Φ-^e'lb0· (2)
или
?{х* У, *, р, ?) = 0. (2')
В уравнение (1) или (2) могут не входить явно искомая функция,
независимые переменные; но если это — уравнение с частными
производными первого порядка, то должна входить по крайней мере
одна частная производная (первого порядка).
Аналогично, наиболее общее уравнение с частными
производными второго порядка имеет вид:
р( dz dz dz
r\z, xv x2, ..., xnf όχ^ , όχ^ , ..., j—,
Vz_ d*z ^\ r3
дх{ дх^Хг дх*п J
Для вторых производных иногда также вводят обозначения:
d2z
-^—^ра (/, k=\, 2, ..., ή).
В этих обозначениях уравнение (3) перепишется так:
F(ζу х19 лг2» ···> xw> Р\> Р& ···! Рп> Pni Pi2' ···» Рпп) == ^· (3 )
Наконец, в случае двух независимых переменных л;, у для
частных производных второго порядка часто вводят обозначения Монжа:
d*z дЧ _ а^
В этих обозначениях наиболее общее уравнение в частных
производных второго порядка с двумя независимыми переменными имеет вид:
F(x, у, ζ, р, q, r, 5, 0 = 0. (4)
Можно поставить самую общую задачу об интегрировании
системы уравнений в частных производных: имеем т
искомых функций ги z2, ..., zm от η независимых переменных χν
лг2, ..., хп\ дана система т уравнений, связывающих эти искомые
функции, независимые переменные и частные производные от
искомых функций:
F (г г ? ν ν ν Eh. dz™
*Й д^ d2l2, \-о (i-Л 2 т)
дХг дХ1дх2г "" дх\ .•••;-°с-1.2. ···.«).

332 УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ [ГЛ. VIII
В такой общей постановке на пути к решению задачи сделано очень
мало: для определённых форм заданных уравнений были доказаны
теоремы существования [С. Ковалевская, Рикье и др.]. Эти теоремы
предполагали данные' функции зависящими аналитически от своих
аргументов, и решения тоже отыскивались аналитические, в виде
степенных рядов. В последние годы И. Г. Петровский
получил ряд общих результатов для систем дифференциальных уравнений
в частных производных без предположения об аналитичности
уравнений и начальных данных. В нашем курсе мы не будем касаться
этого круга вопросов.
Следует ещё упомянуть, что приходится также встречаться
с системами, где число уравнений больше числа искомых
функций; мы встретимся в настоящем курсе с двумя уравнениями,
содержащими одну искомую функцию. Такие системы, вообще говоря,
оказываются несовместными, т. е. не существует системы функций,
удовлетворяющей всем уравнениям одновременно. Для существования
общих решений такой системы необходимо выполнение добавочных
условий; если эти условия оказываются также достаточными, то их
называют условиями совместности.
2. Задачу решения или интегрирования уравнения с частными
производными можно поставить таким образом: найти все решения
данного уравнения. Естественно ожидать, что решений будет
бесконечное множество, исходя хотя бы из таких соображений:
обыкновенные дифференциальные уравнения можно формально рассматривать
как частный случай уравнений в частных производных, когда число
независимых переменных /2=1; но всякое обыкновенное
дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений
(соответствующих различным значениям произвольных постоянных); мы и
подавно вправе ожидать бесконечного числа решений от уравнения,
содержащего более одного независимого переменного.
Предварительные указания на характер произвольных элементов, могущих входить
в решение уравнения в частных производных, мы можем получить
из рассмотрения отдельных частных случаев, где легко найти общее
решение.
Рассмотрим любое уравнение в частных производных первого
порядка с двумя независимыми переменными хну, не
содержащее производной по у:
F(x> У* г>~дх~) = 0' (5)
В уравнение входит только частная производная -^—, при
вычислении которой у рассматривается как постоянное. При постоянном
значении у уравнение (5) можно рассматривать как обыкновенное
дифференциальное уравнение с искомой функцией ζ и независимым
переменным лг. Если давать у различные значения, то это обыкно-

§ 1] ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ 333
венное уравнение будет изменяться; оно содержит у как параметр.
Пусть общее решение этого обыкновенного уравнения есть
* = ?(*, У, С). (6)
Оно, очевидно, содержит параметр у и, как легко видеть, является
при постоянном С решением уравнения (5). Но, для того чтобы
выражение (6) было решением уравнения (5), необходимо и
достаточно, чтобы С было постоянным относительно х; следовательно,
оно может быть любой функцией от у, и мы получим наиболее
общее решение уравнения в частных производных (5), если
подставим на место С произвольную функцию от у, ψ (у):
* = <?(*, у, Ψ Су))· (6г)
Итагк, общее решение уравнения в частных производных первого
порядка вида (5) содержит одну произвольную функцию1).
Пример 1. ζ— рх — х2у2 = 0. Пишем уравнение в виде
-^— = ху2 и рассматриваем у как параметр. Мы имеем для г
линейное уравнение; его общее решение есть z = Cx— х2у2. Общее
решение уравнения в частных производных есть z = xty(y)— х2у2
(ψ — произвольная функция).
Естественно ожидать для уравнения второго порядка ещё
большей степени произвола. Обратимся опять в этом случае к
исследованию примеров.
Пример 2. Рассмотрим уравнение в частных производных
второго порядка:
дх ду и·
Написав его в виде-ς- (ητ- J = 0, убеждаемся в том, что -т- не
зависит от лг; мы можем положить его равным произвольной функции
от у: -χ— = χ Су). Интегрируем последнее равенство по у; замечая,
что постоянная интеграции есть постоянная по отношению к у, т. е.
может быть любой функцией от лг, и что | x(y)dy есть опять
произвольная (дифференцируемая) функция от у, получаем общее
решение данного уравнения:
г = ?(лг) + ψ (у),
1) Вхождение в решение произвольной непрерывной и
дифференцируемой функции эквивалентно наличию счётного множества произвольных
постоянных (параметров). Это проще всего показать на частном случае,
когда произвольная функция аналитическая. В таком случае в окрестности
правильной точки у0 функция ψ (у) разлагается в ряд Тейлора ψ (у) = Oq +
+ «ι (У —Уо) + · · · + *п (У —Уо)п + · ·.» где коэффициенты л0, аь ..., αη —
произвольные числа, подчинённые лишь условиям, чтобы ряд имел отличный
от нуля радиус сходимости.

334 УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ [ГЛ. VIII
где φ и ψ — произвольные функции, которые, конечно, должны быть
дифференцируемы, чтобы имел смысл результат подстановки в
данное уравнение. В этом случае общее решение зависит от двух
произвольных функций.
d2z
Пример 3. Уравнение-^-2 = 0 (предполагается, что г зависит
dz
от χ и от у); две интеграции дают: -^г— = ср(д/), ζ = ψ (у) x-\-fy(y),
где φ и ψ — произвольные (непрерывные) функции.
Из этих частных примеров, казалось бы, можно вывести
заключение, что общее решение уравнения в частных производных первого
порядка зависит от одной произвольной функции, второго порядка—
от двух произвольных функций и т. д. Однако такое заключение
в общем случае оказывается недостаточно точным.
3. Вспомним, что в теории обыкновенных дифференциальных
уравнений критерием общности решения была возможность
получить из него все частные решения (по крайней мере
в некоторой области). При этом частное решение было определено
как решение, удовлетворяющее начальным данным Коши; теорема
существования утверждала существование таких решений и их
однозначную определённость начальными данными. Естественно и для
уравнений в частных производных ввести такие добавочные данные,
которые (при некоторых условиях) определяли бы однозначно
частное решение. Такие системы данных, выделяющих частное решение
для уравнений в частных производных, могут быть различного типа;
с ними мы встречаемся в теории уравнений второго порядка, так
называемых уравнений математической физики. Для общей
формальной теории уравнений с частными производными, в частности для
уравнений первого порядка, которые рассматриваются в настоящем
курсе, этими дополнительными данными являются начальные данные
Коши. Для одного уравнения /я-го порядка, разрешённого
относительно одной из старших производных, вида
дтг х/ dz dm~lz
mz г/ oz
_ _/(*lf лг2, ..., хпУ г, ^ , ..., д^_г,
dz d*z d2z dmz\
дх2У дххдх^ йяТ'"' дх%)
начальные условия имеют вид: при хг = х^
ζ == % 0*2» · · · > Xn)t
дг — / ^ дт~1г _ f v
""Τ Ψΐ \х2* · · ·» Хп)> · · ·» > т-ι — ?m-l V*2» · · ·» хп)>
(7)
(8)

§ и
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
335
где φ0, φΐ5 . ..,9m-i — заданные функции. Нахождение решения
уравнения (7), удовлетворяющего условиям (8), ££/я& задача Коти.
Для уравнения (7) с начальными условиями Коши (8) существование
единственного решения доказано выдающимся русским математиком
С. В. Ковалевскойг в предположении, что правая часть уравнения (7)
и функции, входящие в условия (8), являются правильными
аналитическими функциями своих аргументов в окрестности некоторой системы
начальных значений этих аргументов; получаемое решение есть тоже
аналитическая функция и является единственным решением в классе
аналитических решений. Как мы видим, здесь и постановка вопроса
и результат относятся к аналитической теории дифференциальных
уравнений. Поэтому доказательства теоремы Ковалевской мы в этом
курсе не будем приводить.
Для уравнения первого порядка, предполагая его
разрешённым относительно одной из частных производных, например^:
Pi =/(*!, х%> ....*», *, р2, ...,pj, (1")
задачу Коши формулируют так: найти решение ζ =
= Φ(λγ1, λγ2, ..., хп) уравнения (1"), которое при данном начальном
значении хг обращается в заданную функцию остальных
независимых переменных:
при х1 = х\ г = φ (λγ3, λγ3, ..., хп). (С)
Существование такого решения мы докажем тем, что дадим метод
его построения при помощи интеграции систем обыкновенных
дифференциальных уравнений.
4. В случае двух независимых переменных задача интеграции
уравнения с частными производными, а также условия Коши
допускают простую геометрическую интерпретацию. Рассмотрим
уравнение первого порядка:
?{*, У, *, р% ?) = 0, (20
или, лучше, разрешённое относительно одной частной производной:
P=*f(*> Vi *ш Я)- (2")
Найти решение уравнения (2') или (2")—значит найти функцию
г = Ф(лг, у), (9)
которая в координатном пространстве (х, у, г) изображает
поверхность; назовём её интегральной поверхностью уравнения (2') или
(2"). Итак, задача нахождения решений уравнения в частных
производных есть задача нахождения интегральных поверхностей. Если
рассматривать уравнение (9) как определяющее поверхность, то

336 УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ [ГЛ. VIII
касательная плоскость к ней в точке (л:, у, ζ) выражается уравнением:
или
Z-z = p(X-x) + q(Y-y);
здесь Х> Υ, Ζ— текущие координаты, ρ и q— угловые
коэффициенты касательной плоскости. Таким образом, данное
уравнение в частных производных (2') выражает соотношение между
координатами ху у, ζ точки искомой интегральной поверхности и
угловыми коэффициентами ρ и q касательной плоскости к этой
поверхности в этой точке. Посмотрим, как интерпретируются данные
Коши для уравнения (2"); эти данные таковы:
х = х0, г = ?0). (С)
Уравнения (С7) определяют кривую в пространстве. Итак, задача
Коши состоит в нахождении интегральной поверхности,
проходящей через кривую (С).
Заметим, что кривая (С) имеет весьма специальный вид: это плоская
кривая, лежащая в плоскости х = х0, параллельной yOz. Такое
неравноправие переменных происходит, между прочим, оттого, что
в исходном уравнении (2") независимое переменное χ играло осрбую
роль. Если уравнение дано в более симметричной форме (2'), то и
задачу Коши естественно сформулировать так, чтобы ни одну
координату не ставить в исключительное положение. Эта обобщённая
задача Коши такова: найти интегральную поверхностьуравне^
ния (2'), проходящую через заданную кривую:
*-φ(0, * = ♦('). * = χ(0· (П
При такой постановке задача Коши становится неопределённой для
некоторых кривых (С) — через некоторые кривые проходит
бесконечное множество интегральных поверхностей. Эти исключительные
кривые называются характеристиками и играют первостепенную
роль в теории интеграции уравнений в частных производных
первого порядка.
Примечание. Тот же геометрический язык, который для
уравнений с двумя независимыми переменными пользуется трёхмерным
пространством, применяется по аналогии к любому числу переменных,
причём используется понятие многомерного пространства.
Совокупность числовых значений х19 х2, ...,лгп, ζ мы будем называть
точкой (п +1)-мерного пространства] решение уравнения (1') или
(ГО вида
ζ = Φ(χν лг2, ...9хп)
есть интегральная гиперповерхность (или просто поверхность) η
измерений в этом пространстве; данные Коши (С) представляют гипер-

§1]
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
337
поверхность η — 1 измерений, через которую должна пройти искомая
интегральная поверхность *).
5. Определив таким образом частное решение, мы можем сделать
некоторые заключения об общем решении уравнения в частных
производных.
Прежде всего, исходя из задачи Коши, мы можем утверждать,
что совокупность всех частных решений уравнения в частных
производных первого порядка получится, если давать всевозможные
(допустимые) виды той функции φ от η — 1 аргументов, которая входит
в условия Коши (С); в этом смысле можно сказать, что
совокупность решений уравнения первого порядка зависит от одной
произвольной функции — именно той, которая входит в данные Коши;
аналогичная совокупность частных решений уравнения /я-го порядка
зависит от т произвольных функций η—1 аргументов, составляющих
условия Коши (8). Но этим не решается вопрос об общем решении,
т. е. о таком выражении искомого ζ в функции независимых
переменных, произвольных постоянных и функций, из которого можно
получить любое частное решение.
Для весьма многих уравнений самый вопрос о существовании
общего решения является нерешённым. Иногда (как в
вышеприведённых примерах) существует общее решение, в которое входят
произвольные функции и из которого получаются все частные решения,
удовлетворяющие условиям Коши, если на место произвольных
подставить некоторые определённые функции. Однако в большинстве
случаев представление общего решения, как явно зависящего от
произвольных функций, невозможно. В теории линейных уравнений
в частных производных второго порядка встречаются другие формы
решения, например в виде ряда, коэффициенты которого являются
произвольными постоянными; решение такой формы мы назовём общим,
если этими коэффициентами можно распорядиться так, чтобы
удовлетворялись начальные условия. Однако для общего уравнения в
частных производных нельзя утверждать существования и такого рода
общего решения, кроме случая, когда уравнение и начальные
данные являются аналитическими. Поэтому обычно для уравнений в
частных производных ищутся частные решения, удовлетворяющие
начальным данным Коши, или другим условиям, однозначно
определяющим решение (например, задача Дирихле для уравнения Лапласа).
Уравнения в частных производных первого порядка с одной
неизвестной функцией обладают двумя простыми свойствами. Во-первых,
они обладают общим решением, зависящим от произвольной
функции. Во-вторых, задача интегрирования уравнения в частных про*
изводных первого порядка сводится к интегрированию системы
1) Число измерений гиперповерхности или многообразия есть число
независимых переменных, через которые взаимно однозначно и непрерывно,
по крайней мере в некоторой области, выражаются координаты точек,
принадлежащих данному многообразию.

338 УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ [ГЛ. VIII
обыкновенных дифференциальных уравнений. В силу этой тесной
связи уравнений в частных производных первого порядка с
обыкновенными дифференциальными уравнениями, естественно излагать их
теорию в том же курсе, что и теорию обыкновенных
дифференциальных уравнений.
§ 2. Линейное однородное уравнение в частных
производных первого порядка.
1. Рассмотрим уравнение вида
где Хи Х2, ..., Хп— данные функции независимых переменных xv
лг2, ..., хп (мы их будем предполагать непрерывными и
непрерывно дифференцируемыми в рассматриваемой области),
а / обозначает искомую функцию. Мы назовём это уравнение линей*
ным однородным уравнением в частных производных. Решением
уравнения (10) будет (дифференцируемая) функция от хи дг2, ..., хп,
которая по подстановке в уравнение (10) обращает его в тождество.
Мы уже встретились с этим уравнением в главе VII в связи с
исследованием первых интегралов системы обыкновенных дифференциальных
уравнений симметричного вида. Пишем, наряду с дифференциальным
уравнением в частных производных (10), систему
обыкновенных дифференциальных уравнений [которую мы будем
называть соответствующей уравнению (10)]:
dx\ dx2 dxn ni\
Х{ ~ X» ~~~ ·" "~ Хп * \1ί>
Задачи интегрирования уравнения (10) и системы уравнений (11) суть
задачи эквивалентные. В самом деле, мы доказали следующую
теорему (глава VII, § 5, 1):
Левая часть любого первого интеграла системы (11) есть
решение уравнения (10); обратно, всякое решение уравнения (10),
приравненное произвольной постоянной, даёт первый интеграл
системы (11).
Постараемся найти вид наиболее общей функции,
удовлетворяющей уравнению (10). Для этого заметим такое свойство оператора X[f\.
Пусть Φ(ψ1? ψ2» ···> Ψλ) есть некоторая дифференцируемая функция
своих аргументов, которые, в свою очередь, являются
дифференцируемыми функциями независимых переменных х1У χ2, ..., хп% Тогда
легко видеть, что
* [Φ(Ψι, Φ*···, Ψ*)] =
-ЖХ1^] + ^Х[^+'"+ЖХ1^]· (12)

§ 2] ЛИНЕЙНОЕ ОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 339
Пусть теперь
Yl 0*1 э х2> · · · > хп) == ^1> Ψ2 0*1» ·*2> · · · > ·*η) == ^2 · · · \
• · · > Vn-1 0*1» *2» · · ·» ·*η) = ^λ-1 J
есть некоторая определённая система (независимых) интегралов системы
уравнений (11), определённая в некоторой области D 1).
По доказанной теореме ф1? ψ2, ..., ψη-1 являются частными
решениями уравнений (10), т. е. мы имеем тождества:
*[ψι1 = 0, *[ф2] = 0, ..., Х[^г] = 0. (14)
Возьмём теперь произвольную (дифференцируемую) функцию Φ
от аргументов ψ1? ψ2, ..., ψη-1:
Φ (Φι, Ψ» ..., ψ„-ι). (16)
В силу свойства (12), будем иметь тождественно:
А-[Ф] = 0,
т. е. выражение (15) является решением уравнения (10).
Таким образом, мы встречаемся при изучении уравнений в частных
производных с фактом, уже отмеченным в § 1: решение такого
уравнения может содержать произвольные функции, тогда
как решения обыкновенных дифференциальных уравнений заключали
лишь произвольные постоянные. Нашей ближайшей
задачей будет установить, что выражение (15) является общим решением
уравнения (10), а также выяснить, какие дополнительные данные
нужно ввести, чтобы из бесконечного множества решений, даваемых
выражением (15), выделить одно определённое решение (задача Кошм).
2. Переходим к доказательству того, что формула
/= Φ (Φι, Ψ*,···, *„-,), (15)
где Φ есть произвольная дифференцируемая функция своих
аргументов, даёт общее решение уравнения (10), т. е. что в этой
формуле содержится любое частное решение.
Пусть к а к о е-н ибудь решение уравнения (10) в области D
есть / = Ψ(λγ1, х2, ..., хп). Тогда имеем тождественно Χ[Ψ\ = 0,
или, в раскрытой форме,
*i^+^u£+··· + *» "Э^-0· (14)
Так как ψρ φ2, ..., ψη-1, по предположению, суть решения, то
имеют место тождества (14), которые в раскрытом виде перепишутся так:
'.^ + ^+...+^-0('=1. 2.·...—1М"*)
г) Для теоретических рассуждений удобнее всего за систему (13) принять
систему (41) главы VII.

340 УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ [ГЛ. VIII
Система уравнений (14') и (14") для определения η функций Х19
Х2, ..., Хп есть линейная однородная; она допускает не равные нулю
решения, и следовательно, определитель этой системы (тождественно)
равен нулю. Этот определитель есть якобиан _от функций Ψ,
Ψι, Ψ2> · > Ψη-ι·
Итак, мы имеем:
°<?'Ь ^.0. (16)
D(xb хъ ..., хп) ν '
Отсюда, в силу основной теоремы о якобианах, следует, что между
функциями Ψ, ψρ ψ2, ..., ψη-1 существует функциональная
зависимость, т. е. для всех значений χν х2, ..., хп в
рассматриваемой области имеет место равенство (тождественно относительно
W, ф„ V ·.., ♦»-,) = 0. (17)
Заметим, что в функциональном определителе, стоящем в левой
части равенства (16), заведомо один из миноров первой строки не
равен тождественно нулю; в самом деле, если система (И) имела
неособые начальные значения
V* ■ Υ® У -—— **0 у» .___ у»0
причём Xn{xPv х% ..., хЧ)фЪ> то, в предположении, что в
системе (11) хп взято за независимое переменное, и первые интегралы
имеют вид <]л = л;°(/=1, 2, ..., η—1) при значениях переменных,
близких к начальным,
£(Ψι. ψ2, ..., ψη-ι) ^.^
D (хь лг2, ..., лгп—ι)
Отсюда следует, в силу той же основной теоремы о якобианах,
что соотношение (17) может быть разрешено относительно
функции Ψ, и мы получаем:
^ = Φ(Ψι, ψ2 Φ»-,).
Итак, всякое решение уравнения (10) даётся (в окрестности точки
χ°ν х?2, ..., х^) формулой (15). Теорема доказана. Можно сказать,
что формула (15) даёт общее решение уравнения (10).
Примечание. Из доказательства полученной теоремы можно
вывести такое следствие: между любыми η решениями φρ φ2, ...
..·» 9п уравнения (10) существует фукциональная зависимость
Φ(?ι» Ъ> ···> ?п) = °; еСли ?ι» ?2» ···» ?η-ι независимы, то
функция Φ не обращается в рассматриваемой области в тождественный
нуль, так как уравнение может быть разрешено относительно φη.

§2}
ЛИНЕЙНОЕ ОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
341
3· Задача Коши для линейного уравнения в
частных производных первого порядка с η независимыми
переменными χν х2, ..., хп. Для уравнения
решим задачу Коши: найти решение уравнения f(xv х2,
такое, чтобы
f\X\i Х2> ·'·» Xn-V Хп) == ? \Х1> Х2> ·*·» Хп-0>
(10)
·> хп)
(18)
где лг°—заданное число, ψ(χν x2, ..., *п-1)— заданная
(дифференцируемая) функция своих аргументов.
Мы предположим, что φ определена для значений χν х2, ..., хп^г
в окрестности значений χ°ν х%, ..., x°n_v причём точка (x°v лг°, ..., х°п)
не является особой точкой для системы (11); далее, допустим, что
^n(xv xl> ···» х°п)Ф® (это ограничение не является очень
существенным, так как если бы при значениях х\, х?г, ..., лг° функция^
обращалась в нуль, мы дали бы постоянное значение тому хь
которому соответствует Хь не обращающееся в нуль, и задали бы
начальную функцию φ от всех остальных аргументов).
При этих предположениях система уравнений:
Φι (χν χν
%(χν χν
• > ХП-1> Χτ) == V2»
Ψ»-ΐ(*1» ^2»···^η-1» ΧΌ=^ν >
(19)
где ψί являются независимыми интегралами системы (11), а ф1У
., ψη_! — новые переменные, может быть в окрестности точки
%.
., х^ разрешена относительно χν χ2, ..., #Л-1 *).
Пусть соответствующие формулы будут:
Λ;1 = ω1(ψ1, f2, ..., ψη-1),
*η-1 = ωη-ΐ(Ψΐ>Ψ* ···» Ψη-ΐ)·
(20)
*) Если система (13) взята в виде (41) главы VII, то якобиан
Р(4Ч. Фг ψ»-ι)
D (^ι, ^2» · · ·» Xn-l)
при лг^ =г х°{ обращается в 1; следовательно, он отличен от нуля в
окрестности точки (jcJ, х\% ..., лг„).

342 УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ [ГЛ. VIII
При этом, когда ψ^ принимают значения:
ТО ι / 0 0 °\
соответствующие функции ω^ принимают значения х°{ (/=1, 2, ...
. ,.,я—1). При наличии частных производных у функций ψ^
функции ω; также являются дифференцируемыми (существование этих
производных при дифференцируемости функций Х4 доказано в § 3
главы VII). Я утверждаю, что искомое решение уравнения .(10),
удовлетворяющее начальному условию (18), есть:
/=?(*! (Ψιι ··'·> Φη-ι), «>a(*i. ···> Φη-ι). ···. ωη-ι(Ψι> ···■*,»-ι)· (21)
В самом деле, во-первых, выражение (21), являясь функцией от
частных решений ψ^, само является решением уравнения (10); далее,
если положить хп = Хп, то величины ψ< обращаются в ψ4, в силу
формул (19). Но, по формулам (20), ω<(ψ1> ..., ψη_1) равны
величинам xi(i=l9 2, ..., η—1); поэтому из формулы (21) получаем:
при хп = х°п
/ = φ(ΛΓ1, х2, ..., xn-i)9
т. е. условие (18) выполнено.
Из построения решения очевидно, что оно однозначно определено
начальными данными (18).
Пример 4. Найти общее решение уравнения
Х* дхх ^Х* дх2 ^-mm^x»dxn— υ'
Пишем соответствующую систему обыкновенных дифференциальных
уравнений:
dxx dx2 dxn
Х\ Хч Хп
Независимая система её первых интегралов есть
—- = ц, —- = С2, ..., - = Сп-1 {хп ζρ Ο).
Общее решение данного уравнения есть
\ Хп Хп Хп /
т. е. наиболее общая однородная функция η пере-

§ 3] ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 343
менных нулевого измерения (обращение теоремы Эйлера
об однородных функциях для функций нулевого измерения).
Пример 5. Проинтегрировать уравнение
dz dz Λ
(искомая функция обозначена буквой г).
Соответствующая система обыкновенных уравнений сводится
к одному уравнению:
dx dy
у ~ ~
и имеет интеграл х2 -\-у2 = С. Общее решение данного уравнения
2 = ср(лг2+^у2), где φ есть произвольная функция, геометрически
представляет любую поверхность вращения с осью вращения Ог. Задача
Коши: z=f(x) при у = 0, где / есть данная функция; её решение:
функция ψ есть at2+j/2, следовательно, функция ψ есть х29 откуда
х= |λψ; искомое решение: z=f {Yty =f(]/x2 + J^)·
Геометрическое истолкование задачи Коши: если задано уравнение
меридиана, то поверхность вращения однозначно определяется.
ЗА ДА'Ч И.
197. Найти геометрическое свойство поверхностей, удовлетворяющих
уравнению:
dz . dz Л
хЖ+у-дУ = 0'
Какая поверхность даёт решение задачи Коши: ζ =■ χ при у = 1?
198. Найти общее решение уравнения:
и решить задачу Коши: f — y — ζ при лг=1.
§ 3. Линейные неоднородные уравнения с частными
производными первого порядка.
1. Обозначим искомую функцию через zt независимые переменные
через ATj, лг2, ·.·, хп.
Названные в заголовке уравнения имеют вид:
p*$k + p**k + '"+p**k-R> (22)
где Ри Р2, ..., Рп, R — функции (непрерывные и непрерывно
дифференцируемые) от xv лг2, ..., χη9 ζ. Линейные однородные
уравнения (10) являются частным случаем уравнений типа (22), когда
правая часть /?===0 и когда коэффициенты Plt Я2э···» Рп ПРИ

344 УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ [ГЛ. VIII
производных не зависят от искомой функции. В обозначениях
dz_ bz_ _ dz
dXl —pv дх2—р2'-"' дхп — Рп
уравнение (22) напишется так:
ΡιΡι + Р2Р2 + · · · + РпРп - Л (220
Уравнение вида (22) может быть приведено к однородному лицей-
ному уравнению следующим приёмом. Мы будем искать
удовлетворяющую уравнению (22) функцию ζ от независимых
переменных х19 х2, ..., хп в неявном виде:
!/(*, х19 х2, ..., лгп) = 0, (23)
так что искомой функцией будет V.
dz
Из формулы (23) получаются значения частных производных -^—:
dV IdV /. i о ч
Внося эти выражения в данное уравнение (22), умножив обе
dV ,
■части на -^— (мы предполагаем, очевидно, этот множитель не равным
тождественно нулю и рассматриваем окрестность точки, где он, не
обращается в нуль) и перенося все члены в левую часть, получаем
соотношение .
'.&+*£+···+'·£+*£-* <*>
Из вывода соотношения (24) следует: в предположении, что (23)
определяет ζ как решение уравнения (22), соотношение (24) должно
удовлетворяться тождественно по χν χ2, ..., хп, при условии, что
вместо ζ подставлено его значение, определённое формулой (23).
Если мы потребуем больше, а именно, чтобы искомая
функция V удовлетворяла соотношению (24)
тождественно относительно χν лг2, ..., хп и ζ [т. е. рассматривая в
уравнении (24), наряду с χν лг2, ..., хп, также и ζ как независимое
переменное], то (24) окажется линейным однородным дифференциальным
уравнением первого порядка с искомой функцией V и η -j-1
независимыми переменными хг, лг2, ..., xni z. Очевидно, каждое
решение этого уравнения (24), содержащее ζ, будучи приравнено нулю,
даёт соотношение вида (23), которое определит функцию ζ от χν
х2> · · ·» хт удовлетворяющую данному уравнению (22). Заметим, что
мы наложили дополнительное ограничение, потребовав, чтобы
соотношение (24) выполнялось тождественно относительно х19 х2, ..., χη, ζ;
поэтому мы не можем утверждать a priori, что указанным приёмом

§ 3] ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 345
получим все решения уравнения (22). Мы ещё вернёмся к этому
вопросу.
Напишем систему обыкновенных дифференциальных уравнений,
соответствующую линейному уравнению в частных производных (24);
dxt dx2 dxn dz ,ос.ч
—-=_ =_ = 1Г. (25)
Эта система п уравнений имеет η независимых первых интегралов;
пусть это будут:
Ψο(*> χι> ···> хп) = со>
Ъг(г, х19 ..., *fI) = Clf
V?i-l \z> х\ 9 · · ·* хп) — ^η-1· /
(26)
Общее решение уравнения (24) имеет вид:
где Φ — произвольная дифференцируемая функция. Из предыдущего
вывода следует, что уравнение
Φ(Ψο. Ψ, *«-,) = 0 (27)
определяет (если удовлетворяются условия теоремы существования
для неявных функций) ζ как функцию от хи х2, ..., хПУ причем
эта функция удовлетворяет данному уравнению (22).
Пример 6. Найти решение уравнения:
V 4-х д/ · » ~ df
*'^+*^+---+*»яг-=8'я/'
где /я— постоянное. Система обыкновенных дифференциальных
уравнений, соответствующая этому уравнению в частных производных^
есть
dxt dx2 dxn df
χι ~"~x~2 ~ ' * * ~ xn ~ ~™f%
система первых интегралов
■*ι—с *2 η хп-\ г* f о
х —'"ν — — °а»···» —- — Ч*-ц —£ — сп·
лп Лп хп хп
Решение, содержащее произвольную функцию Ф, будет:
φ (JUL·. -£2_ **»-t _/_\ _ 0

346 УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ [ГЛ. VIII
Разрешая относительно последнего аргумента и затем относительно /,
получим:
где Ψ — произвольная функция. Это — полное обращение теоремы
Эйлера об однородных функциях (ср. пример 4).
2. Формула (27) решения дифференциального уравнения (22)
выведена при дополнительном требовании, чтобы уравнение (24)
удовлетворялось функцией V тождественно по χν лг2, ..., хпУ ζ.
Посмотрим, насколько общей является эта формула, т. е. какие
частные решения в ней заключаются.
Пусть будет
* = ?(*!» х2> ···· Хп) (28)
какое-нибудь решение уравнения (22). Возьмём в системе первых
интегралов уравнений (25) в качестве произвольных постоянных
начальные значения zQ, х\, ..., х^_±] эта система имеет вид:
у0Сг, х19 ..., лгп-1, χΐ1) = ζ0, \
Ψ<(*. х» .--э xn-i> хп)=х< (' = 1. 2» ···, п—\).\
В главе VII, § 4, 1 доказаны существование и дифференцируемость
этих интегралов по zy xv ..., лгп-1, -*т№ в некоторой окрестности
начальной точки (zQ9 *°, лг°, ..., лг°), если это — обыкновенная точка
системы (25), в которой Pn(x°v ..., *°, ^rjfcO1), Пусть
значения хи х2, .. .9 хп и ζ для решения (26') принадлежат
рассматриваемой окрестности. Подставим в левые части равенств (26') вместо ζ
его выражение (28); для получившихся функций от χν χ2, ..., хп
введём обозначения:
Wkv9\Xv Х& ···> Хп)* XV Х2> ···> хп) ^ ™ к \Х1» ^2> ···> -^п)
(£ = 0, 1, 2, ..., п— 1).
Мы имеем:
Замечая, что функции %, ψ1? ..-, ψη-1 удовлетворяют уравнению
(24), мы получаем после подстановки в соответствующие тождества
1) Если Рп = 0 в рассматриваемой точке, a Pj Φ 0, то рассуждения не
изменятся, стоит только за независимое переменное взять xj вместо хп. К особым
точкам уравнения (24) следует причислить все точки, в которых Р1 = Р2 =
= ... = Рп = 0, хотя бы было R Φ 0.

§ 3] ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 347
на место ζ его выражения (28) систему тождеств:
η
(ft = 0, 1, ..., л —1). (29)
Так как, по предположению, (28) есть решение уравнения (22), то
имеем тождество:
η
Умножаем последнее равенство последовательно на -^-, ~д^~> · · ·
.. ., ГС"1 и прибавляем к соответствующим равенствам (29). В силу
определения функций 4Tft и их производных по xj9 получаем:
(ft-0, 1, 2, ...,л —1).
Таким образом, Ψ0, Ψΐ9 .. .,Wn__t являются системой η решений
уравнения * в частных производных с η независимыми переменными
Отсюда, в силу примечания к § 2, 2, существует тождественная по
χν *2> · · · э *п зависимость между Ψ0, Ψ19 ...,Ψη-1:
Φ(Ψ0, Ψ1,...,Ψη_1) = 0. (27')
Следовательно, существует такая функция Φ(ψ0, ψι> ..., ψη_ι)>
что по подстановке в неё вместо ζ выражения ч\х1У ..., хп) мы
получаем тождественно нуль. Таким образом, любое решение ζ
при указанных условиях относительно
коэффициентов Pi и R удовлетворяет соотношению вида (27). В этом
смысле (27) определяет общее решение.
Заметим, что в противоположность однородному линейному уравнению
в частных производных мы могли здесь доказать представимость при помощи
формулы (27) частных решений лишь при выполнении коэффициентами
уравнения добавочных условий непрерывности частных производных от
коэффициентов и необращения в нуль одновременно всех коэффициентов Я$.
Если эти условия не выполнены, уравнение (22) может иметь решения, не
входящие в формулу (27), они соответствуют обращению в нуль левой части
(24) не тождественно, а лишь в силу соотношения V = 0. Такие решения
называются специальными.

348 УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ (ГЛ. VIII
dz_
V
Пример 7. τ~(1 + Уζ — *—у) + ^- = 2. Уравнение (24) имеет здесь
вид:
(.+ νϊ=ϊ=5,£+£+1£-α
Соответствующая система обыкновенных дифференциальных уравнений есть
<*£ dy_ _ dz
1 + Yz — x — y ~~ 1 ~~ 2 '
Первые интегралы: 1) 2— 2j/ = С^ 2) из интегрируемой комбинации
ъ1. = . — имеем у + 2 Уз — *—j/ = Q· Общее решение полу-
1 —yz—x—y
чается из соотношения
Ф(г —2.у, у+ 2 Yz — x—y) = Q.
Но данное уравнение имеет ещё решение z = x+y. Если выражение
V == ζ — χ—у подставить в левую часть уравнения для V, мы получим
— Υ ζ — χ —у = — YV\ это выражение обращается в нуль только в силу
равенства К=0. В этом примере в точках специального решения
производные от коэффициентов перестают быть ограниченными.
3. Пусть в начальной точке z0, х^ х\ . ..,дг° мы имеем:
Рп(?о,х\ х°п)Ф0-
Тогда в системе (25) можно взять хп за независимое переменное. Систему
первых интегралов обыкновенных дифференциальных уравнений (25) возьмём
в виде, данном формулами (26'), причём начальные значения zQi *£,... х^1
изменяются в окрестности значений ζ, jcJ, ...,х\„^ а хп изменяется в
окрестности JC°.
Решим для уравнения (22) задачу Коши: найти решение этого
уравнения, которое при хп — х\ обращается*данную дифференцируемую
функцию [определённую в окрестности значений (*J, ^ •••'•rn-i)l
?(*ь *2 *η-ι)·
Подставим в интегралы (26') вместо χ начальное значение х°п, результат
обозначим через <|# имеем:
Ψ<(*. χχ ^_Γ^η) = Ψί (/==0' ι.2 п~1)- (3°)
Формулы (26') аналогичны формулам (42) главы VII; следовательно, их
можно разрешить относительно ζ, хъ х2, ...,*w-i, и результат будет
аналогичен формулам (36w) в сноске на стр. 308 [это есть решение системы (25),
принимающее при jcw = at„ начальные значения zQ1 х\, ...,*£_ι]:
*e<eo<*fi'*o·*? Ό·
Xi = *< (Xn> *0' *i *5Ul) (/=1· 2 П—\).

§ 3] ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 349
Подставим в эти формулы вместо хп числовое значение х°п и заменим
*0, х% ••чХп-г чеРез Фо· *i· ·#·'Ψη-ι· ПолУчим выражения вида:
* = ω0(ψ0> Ψι ψ»-ι). ) ί31)
'=1, 2 я —1). J
*ί = ω<(ψ0, ψι, ...,ψη-ι) (*:
Легко видеть, что формулы (31) суть результат решения уравнений (30)
относительно ζ, χχ,.. .,хп-{.
Решение задачи Коши даётся формулой:
V (*, х\ Хц) = ω0 (ψο, ψ! ψΛ_!) —
— φ[ΜΨο, Ψι Ψη-ι) ωη-ι(Ψο> Ψι,...,ψη-ι)]=0. (32)
Докажем прежде всего,что уравнение (32) определяете как однозначную,
непрерывную и_дифференцируемую функцию от хъ х2,.. -., хп в
окрестности значений χ°ν χ%, ...,jc^. Для этого достаточно показать, что
(П-(£Ь^
Вычисляем эту производную:
d* "~0ψο д* ^dfr dz -t"#,,"f'^w_1 d*
n-i
дщ Wo dz^d^ dz "*"#·· "*" афп-! d* J*
* = 1
Согласно формулам (31), мы имеем:
/<Ч\ 0 = (дар
ιψ0/ «-«,
х,=х*
аналогично (-^г ) = (л~~) = ° fB силУ формул (А) и^ (38) главы VII, § 3],
а также (-^р)=1 или 0, смотря по тому, имеем ли i=j или ΐψ].
Далее, мы имеем:
©I-· $),-» «-« -"·
Итак,
№\-*
следовательно, эта производная не обращается в нуль в окрестности точки
(ζ0, χ\ι ...,*„), и Ф°РмУла (32) определяет ζ как функцию от хъ хъ ...,лгг,.
Так как формула (32) является специальным видом уравнения (27'), то
полученная из неё функция ζ есть решение уравнения (22). Наконец, легко

350 УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ [ГЛ. VIIT
видеть, что она решает поставленную задачу Кошк. В самом деле, при
хп = хпФункции ψ^ обратятся в <ζ (i = 0, 1, 2,..., л — 1), в силу равенств
(30); функции ω0, соь ..., ω^_! от этих аргументов ввиду равенств (31),
дадут соответственно z, xh ..., хп-ъ и мы получим: ζ = φ (лгь jc2, ..., χη-χ)
при *n = х°.
Таким образом, формула (27) (при надлежащем выборе первых
интегралов) даёт все частные решения, определяемые начальными дан-
ными Коти.
Самое построение показывает, что решение задачи Коши — единственное
в классе решений, удовлетворяющих условиям непрерывной дифференцируе-
мости и одновременного необращения в нуль коэффициентов уравнения
в точках решения.
Примечание. Для доказательства возможности решения задачи
Коши мы исходили из первых интегралов специальной формы. На практике
большей частью той же цели можно достигнуть, исходя из любой системы η
независимых первых интегралов:
Ψο (*. х\ Хп) = CQ% Ψ< (*, хь · · ·. Хп) = Q ('' = 1,2 η — 1). (26")
Схема выкладок такова: пишем уравнения (30), разрешаем их относительно
2, xh ..., χη-ι> получаем формулы (31) и находим искомое решение по
формуле (32).
Пример 8. Для уравнения примера 7 найти решение, удовлетворяющее
данным Коши:
ζ = 2х при у = 0.
Исходим из первых интегралов ψ0 ^ ζ — 2у = Ch ψχ =у + 2 Υ ζ—χ— у^=Сг%
Подставляя значение у — 0, получаем:
ζ = ψο, 2 У з — * = Фь откуда ζ = ψ0, * = ψ0 —.
Подставляя эти значения в данное начальное уравнение и заменяя ψ< через ψ;,
получим искомое решение:
Ψο-2ψ0+^- = 0,
или 2ψ0 — ψ| = 0. Иначе:
2ζ — Ay —у2 — Ay γζ — x—y — Az + Αχ + Ay = 0,
или
4j> Υ ζ — χ— у — Αχ — 2ζ— у\
откуда
2==2х + ^у2_2у j/" Х-у + У±
(знак минус перед радикалом, как это следует из проверки, соответствует
знаку плюс перед радикалом в данном уравнении).
4. Линейное уравнение между тремя
переменными; геометрическое истолкование. Для случая двух
независимых переменных (мы их будем обозначать х, у) система
трёх переменных лг, у, ζ допускает простое истолкование — как

§ 3] ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 351
координаты точки трёхмерного пространства. Эта интерпретация
поможет нам глубже проникнуть в факты, связанные с линейным
уравнением в частных производных. Введём обозначения Монжа для
частных производных:
dz dz
и напишем уравнение в виде:
Pp+Qq = R, (33)
где Р, Q, R — заданные (дифференцируемые) функции от х, у, ζ.
Искомое решение z=f{x, у) представляет собой уравнение
поверхности (интегральная поверхность), ρ и q — угловые
коэффициенты её касательной плоскости в точке с координатами (х, у9 г).
Уравнение этой плоскости есть
Z-z=p(X-x) + q(Y-y). (T)
Уравнение (33) относит каждой точке пространства вектор
(ft Q, Я). (V)
Уравнение прямой, проходящей через точку (х9 у, г) в
направлении, даваемом векторным полем, есть ·
Χ — χ У—у Ζ — ζ
Q
(D)
Уравнение в частных производных (33) показывает, что прямая (D)
лежит в плоскости (Т).
Кривые в пространстве, которые в каждой точке касаются
соответствующего вектора (Р, Q, R) и вообще называются
векторными кривыми, для уравнения (33) называются
характеристическими кривыми или характеристиками. Их дифференциальные
уравнения суть:
Ρ Q R * (*4>
Мы покажем, что каждая интегральная поверхность составляется
из характеристик. В самом деле, поставим себе задачу: найти на
данной интегральной поверхности г=^/(лг, у) такие
кривые, которые в каждой точке касаются вектора (V); очевидно,
для проекций этих кривых на плоскость (х9 у) мы получаем урав-
dy Q
нение -j- = -р, где в правой части надо заменить ζ через
функцию f(xt у). Но мы можем добавить ещё одно
дифференциальное уравнение; в самом деле, при перемещении по поверхности

352 УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ [ГЛ. VIII
дифференциалы связаны соотношением
dz = pdx-\-q dyy
или
dz . dy . Q Pp + Qq
dz R
В силу уравнения (33), это даёт — =—, т. е. мы пришли к
дифференциальным уравнениям характеристик (34). Заметим, что
система (34) может быть проинтегрирована без знания
интегральной поверхности, и мы получим семейство характеристик от
двух параметров, обладающее тем свойством, что через каждую
точку (л;0, у0> zQ) пространства (точнее: той области, где выполнены
условия существования и единственности решения) проходит одна
характеристическая кривая. Если взять два первых интеграла
системы (34):
и (лг, у, ζ) = α, ν (χ, у, ζ) = b, (35)
то характеристики определятся как линии пересечения двух семейств
поверхностей (35). Обратно, если на некоторой поверхности с
непрерывно изменяющейся касательной плоскостью через каждую точку
поверхности проходит лежащая на ней характеристика, то эта
поверхность есть, интегральная; в самом деле, в каждой её точке
вектор (V) лежит в плоскости (Т), т. е. удовлетворяется уравнение (33).
Теперь ясно, как построить интегральные поверхности; для
этого достаточно из семейства характеристик (35) от двух
параметров выделить семейство от одного параметра по некоторому
закону, притом так, чтобы полученная поверхность имела непрерывно
изменяющуюся касательную плоскость, а для этой цели достаточно
установить между параметрами а и b одно произвольное соотношение
Φ (α, £) = 0,
где Φ — дифференцируемая функция.
Исключая из этого соотношения и из уравнений (35) а и Ьу мы
получаем уравнение интегральной поверхности:
Ф[и(х, у, ζ\ ν (χ, у, г)] = 0. (36)
Задача Коши может быть поставлена в обобщённой
форме (см. § 1, 4): дана пространственная кривая с непрерывно
изменяющейся касательной; найти проходящую через неё интегральную
поверхность. Геометрическое решение этой задачи очевидно:
достаточно взять совокупность характеристик, проходящих через все
точки данной кривой, и они образуют искомую поверхность.
Аналитически, если линия задана уравнениями:
*=<р(0, у = Ш * = χ(0, (С)
то искомая интегральная поверхность может быть получена следую-

§ 3] ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 353
щим образом: подставляя эти заданные выражения х, у, ζ в
функции t в левые части уравнений (35), мы получим выражения а и Ь
в функции t\ исключая t, получим требуемое соотношение между а и Ь.
Для исключения t можно разрешить, например, уравнение
#[?(0> Ψ(0> X(fy=a относительное, т. е. найти пересечение
поверхности # = # с кривой (С); это невозможно, если кривая (С") лежит
на поверхности и = а0, где а0 есть постоянное; но тогда сама эта
поверхность и (лг, у, ζ) = а0 есть искомая в задаче Коши
интегральная поверхность. Наконец, если заданная кривая лежит на двух
поверхностях и=га0 и ν = bQi то она сама есть характеристика, и
задача Коши становится неопределённой, так как каждая
характеристика принадлежит бесконечному множеству интегральных
поверхностей. Тогда уравнения этой характеристики суть:
и (лг, у, ζ) = а09 ν (х, у, z) = bQi
и любая поверхность Φ (и, τ/) = 0 проходит через эту
характеристику, если только Ф(#0> &о) = ®·
Примечание. Можно a priori определить характеристики как
такие кривые, для которых задача Коши является неопределённой.
5. Мы видели, что общее решение уравнения (33) имеет вид:
Ф[?(*. У, *). «К*. У* *)1 = 0, (360
где φ и ψ — некоторые определённые функции, а Ф — произвольная
функция.
Легко видеть, что, обратно, дифференцируя равенство (36') и
исключая произвольную функцию Ф, мы придём к линейному
уравнению в частных производных вида (33). В самом деле,
дифференцируя (360 соответственно по д: и по у, получаем:
дФ /ду , дер \, дФ/дф . dty \
W\di i"aF Р)"+" ~W \дх~ + ~дГ Р) — °»
дФ ( ду , дФ \ , дФ (dty , д<1> \ п
0φ \ду "Г" dz V"*"d+ \дУ ~T~~d7q) — O·
Исключая из этих равенств
дФ , дФ
дх
ду
dz
, d<f>
дФ
дФ
д<\>
дх
дф
ду
дФ
-^г-, приходим к уравнению:
ι <?Ψ
= 0,
или
дФ 0ψ
dz dz
ду dty
ду ~ду~
+q
ду дф
дх дх
ду д&
~dz~~dz~
ду д<Ь
дх ~дх~
ду cty
~ду~~ду~

354 УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ [ГЛ. Vlll
т. е. мы получим линейное неоднородное уравнение в частных
производных первого порядка.
Пример 9. Уравнение всевозможных конических поверхностей
с вершиной в начале координат имеет вид:
•(τ·*)-··
или ζ = хо (—), где Φ и φ — произвольные функции.
Найдём соответствующее уравнение в частных производных.
Дифференцируя уравнение во второй форме сначала по л:, затем
но у, получаем:
'-»(*)-М*)· *-*Ф·
Исключая из данного уравнения и двух полученных
соотношений φ и φ', приходим к уравнению:
ζ qy .
Р= -J—^' или Р* + ЧУ = г-
Характеристики уравнения даются соотношениями — = СР -^-=С2;
это — связка прямых, проходящих через начало координат.
ЗАДАЧИ.
199. Проинтегрировать уравнение (mz — пу)ρ + (пх — lz) q = ly — тх.
Указать геометрический смысл характеристик и общего решения (/, т, η —
постоянные числа).
Найти общее решение уравнений:
200. (у + ж + и)^ + (г+и + х)Щ- + (и + х+у) ^-=x+y + z.
ПА< ди , , ди , ди „ ч
201. -а—h Ь -?—У с -j- = xyz (b, с — постоянные).
202. Суз* — 2j$) ρ + (2у* — χ*у) q = 9z (лг3 — у*).
203^ Для уравнения z(x + z)p —у (у + z) q = 0 решить задачу Коши:
ζ = Υ у при χ = 1.
204. Найти уравнение в частных производных поверхностей,
описанных прямою, которая движется, пересекая данную прямую под данным
углом.
Проинтегрировать это уравнение.
Указание. Взять данную прямую за ось Οζ,

ГЛАВА IX.
НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
ПЕРВОГО ПОРЯДКА.
В дальнейшем мы будем рассматривать уравнения в частных
производных первого порядка с двумя независимыми
переменными; однако значительная часть результатов, которые мы
получим, может быть распространена на случай любого числа
независимых переменных. Обозначая независимые переменные буквами х, у,
искомую функцию буквой ζ и пользуясь для частных производных
обозначениями Монжа:
dz дг
мы ставим своей задачей разрешение уравнения
/=4*, У, г, р, q) = 0. (1)
Оказывается более простой задачей решение не одного уравнения
вида (1), а системы двух совместных уравнений вида (1), т. е.
двух уравнений, допускающих общее им обоим решение z(x, у).
Эту задачу мы и рассмотрим в первом параграфе. Решение мы будем
интерпретировать как поверхность (интегральная поверхность).
§ 1. Система двух совместных уравнений первого порядка.
Пусть нам даны два уравнения:
F(x, У, ζ> Р> ?) = 0, \
G (х, у, г, р, q) = 0. \
Мы предположим, что в некоторой области изменения
переменных χί у, ζ, р, q эти уравнения могут быть разрешены
относительно ρ и q. Напишем результат разрешения в виде
-^- = Л(лг, у, z\
j^ = B(x, у, ζ)
(3)

356 НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ [ГЛ. IX
(относительно дифференцируемости правых частей мы введём
ограничения в дальнейшем).
Два уравнения (2) или (3), содержащих только одну искомую
функцию ζ, не являются, вообще говоря, совместными, т. е. не
имеют общих решений.
Выведем необходимое условие совместности системы,
написанной в форме (3). Допустим, что существует общее решение обоих
уравнений ζ, имеющее непрерывные частные производные первого
d2z
порядка и непрерывную производную ^ д . Подставив это
решение в уравнения (3), мы получим тождества. Из этих тождеств
d2z
можно найти два выражения для второй производной . Из
первого уравнения имеем:
дЧ =дЛ , дА dz
дх ду by ' dz dy J
dz
f dz \
или (заменяя -ς—, в силу второго уравнения, его значением):
d2z = дЛ | дА в
дхду == ду ' dz
Аналогично из второго уравнения (3) находим:
дЧ дВ , дВ
ду дх дх ' dz
А.
[Мы предполагаем существование и непрерывность производных
дА дА дВ дВ „ , ч . π
W' "57' ~дх~* ~д* в окРестности начальной точки (дг0, у0, г0).]
Приравнивая друг другу оба значения второй смешанной производной
(ввиду её непрерывности,^ результат не зависит от порядка
дифференцирования), получаем искомое необходимое условие:
dy l dz дх ' dz y '
В силу нашего вывода, равенство (4) должно удовлетворяться,
если вместо ζ подставим общее двум уравне шям решение г {х, у).
Если условие (4) не выполняется тождественно, то это есть
уравнение между тремя переменными дг, у, ζ; оно определит, вообще
говоря, ζ как неявную функцию от χ и у, z = <?{xt у), и
предыдущие рассуждения показывают, что решение системы (3), если оно
существует, ме может быть иным, как этой функцией. Прямая
подстановка в систему (3) даст нам ответ на вопрос, является ли
функция <2"=·φ(ΛΓ, у) решением системы (3) или нет.
Мы оставим этот случай в стороне. Нашей главной целью
является найти условия, при которых система (3) имеет
бесконечное множество решений, так чтобы через каждую

§ 1] СИСТЕМА ДВУХ СОВМЕСТНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 357
точку (х0, у0, г0) рассматриваемой области пространства проходила
поверхность, соответствующая некоторому решению. В таком
случае условие (4) должно выполняться во всякой точке этой области,
т. е. тождественно по х9 у, г.
Итак, тождественное выполнение условия (4) необходимо для
того, чтобы система (3) имела множество решений, зависящее
хотя бы от одного произвольного постоянного.
Покажем, что тождественное выполнение условия (4) является
также достаточным для совместности системы (3). Именно, мы
покажем, что при выполнении этого условия нахождение совместных
решений (3) сводится к интегрированию двух обыкновенных
дифференциальных уравнений.
Проинтегрируем сначала первое из уравнений (3), рассматривая
в нём у как параметр. Пока этот параметр не изменяется, мы вправе
рассматривать это уравнение как обыкновенное дифференциальное:
% = А{х, у, ζ). (Зх)
Начальное условие для уравнения (3j) пусть будет z = £(y) при
д; = лг0, где х0 — заданное число^ таким образом, при х = х0 для
различных значений параметра у начальное значение С
предполагается различным: функцию ζ (у) пока оставляем неопределённой
(но дифференцируемой). Решение уравнений (32) имеет вид:
* = ?(*, У\ *<>, С СУ))» (5)
причём, в силу начального условия,
?(*о. .у; хо> сСу)) = соо, (5ι)
откуда, дифференцируя, находим:
ζ'ω=^+?'χ'ω. (52>
Потребуем теперь, чтобы выражение (5) удовлетворяло второму из
уравнений (3); это условие даёт нам возможность определить
функцию С Су). Подставляя, мы получим:
ч'у + <?idj=zB(x>y> <?(х>у> хо> г>Су))· (6)
В силу существования и непрерывности производной А',
производная о' существует и удовлетворяет уравнению в вариациях (глава VII,
§ 3, примечание 2):
d
dx
Ъ = Аг (лг, у, φ) Vy -f- Ау (х9 у, φ). (бА)

358 НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ [ГЛ. IX
В силу того же условия существует и производная от φ по
начальному значению ζ; она удовлетворяет уравнению:
— <?{ = Л/г(ху у, φ)φ£. (62)
Формулы (62) и (62) доказывают существование непрерывных
производных φ" и φ^. При этом φ£, как решение однородного
линейного уравнения, нигде не обращается в нуль.
Разрешаем уравнение (6) относительно -г-:
* — В1Х'У* У) —Ту ,7Ч
. — / · \ч
dy φζ
Левая часть равенства (7) есть функция одного у; посмотрим, при
каких условиях то же имеет место для правой части (7). Вычисляя
лроизводную правой части по х, мы в числителе получим
выражение:
\В'Х (х, у, о) -f- Β'ζ (χ, у, φ) ух — <?уХ] φ£ — 9u [В (дг, у, φ) — оу]. (7J
В сш;у сделанного выше замечания, вторые производные φ^ и о"л
существуют; мы заменяем в (7j) φ£ через Л (χ, у, φ) и, далее, при
помощи уравнений (6j), (62) заменяем φ^ и φ" через их выражения;
после упрощений получаем:
<(В'Х-\-КА-А'гВ-А'У)· (7·2>
Выражение в скобках в (72) тождественно равно нулю по
условию, т. е. правая часть равенства (7), действительно, не зависит
от х; это есть обыкновенное дифференциальное уравнение с
искомой функцией ζ (у) и независимым переменным у. Чтобы выяснить,
что его правая часть в наших предположениях удовлетворяет
условию Липшица, преобразуем его. Заметим, что, ввиду независимости
правой части от дг, мы можем во всех выражениях в правой части
заменить χ на х0. А в этом случае, применяя тождества (5г) и (52)
к уравнению (6), эквивалентному (7), находим:
g=S(*o. УЛ(У)). (8)
Правая часть уравнения (8) удовлетворяет условию существования и
единственности решения вследствие существования непрерывной
производной Вя. Интегрируя (8), при начальном условии CQ>o)=:'2O> мы
получаем:
ζ=ψ(^; у09 ζ0), причём ty(y0;y0, г0) = г0. (8')

§ 1] СИСТЕМА ДВУХ СОВМЕСТНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 359
Подставляя это решение в выражение (5), находим решение системы
уравнений (3):
* = ?(*. у\ χο> Ψ Су; Уо> ζ))> (5з)
которое при x = x0t у=у0 обращается в zQ. В силу построения и
свойства единственности тех обыкновенных дифференциальных
уравнений, которые мы интегрировали, мы приходим к выводу: при
наличии непрерывных частных производных Α' А'г, Β'χ, Β'ζ и при
выполнении условий интегрируемости система (3) имеет
единственное решение ζ = Φ(χ, у), принимающее при х = х09у=у0
заданное значение г0.
Примечание 1. Общее решение системы (3) представляет
семейство поверхностей от одного параметра. В самом деле, мы
получим все решения в рассматриваемой области, если придадим х0 и у0
численные значения х0 и у0 и будем рассматривать г0 как
произвольное постоянное С. Решение (58) будет иметь вид:
г = Ф(х,у,С). (54)
Уравнение (54) разрешимо относительно С===г0. В самом деле,
решение (8') уравнения (8) разрешимо относительно ζ0: меняя роли
начальных координат (у0, г0) и текущих координат (у, ζ), мы имеем:
^ο = ΨΟό;λ О·
С другой стороны, решение (5) разрешимо относительно начального
значения ζ, и мы имеем:
с=»?(*о».Уо; х> *)·
Подставляем последнее выражение на место ζ в предыдущее
равенство:
Ψ Go; у* ? (*<>» л; *» *)) = ζο- (5δ)
Легко убедиться в том, что левая часть равенства (5б) допускает
непрерывные производные по х, у, ζ.
Примечание 2. В приведённых теоретических рассуждениях
мы при интегрировании уравнения (Зх) брали произвольное
постоянное ζ {у) как начальное значение z при х = х0 и любом у. На
практике можно находить общее решение этого уравнения, содержащее
любое произвольное С, и затем заменять это постоянное через
искомую функцию и (у); уравнение вида (7) для определения этой
функции, как легко убедиться (если все производные существуют), также
не зависит от х. Переменные χ и у можно, конечно, поменять местами.
Пример 1.

360 НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ [ГЛ. IX
Составляем выражение:
А'у-1гА'гВ-В'х-В'А = г + (\+у)(г* + 2хг)-2г-
— 2(г + х)(г + уг) = г[—1—г(1+у)].
Это выражение не равно нулю тождественно; приравнивая его нулю,
получаем для значения ζ: ζ = 0 и ζ = — . . Подстановкой
убеждаемся в том, что первое значение' даёт решение нашей системы,
а второе — нет.
Пример 2. £ = ау*, -~ = ^ + ~ — af (Имшенецкий).
Условие совместности
A'y + A'eB-B'x-B'eA = 2ay-jay* = 0
выполняется тождественно. Интегрируем указанным в примечании 2
способом. Из первого уравнения имеем:
дх'
jz = ay\ z = axy2+u(y);
подставляем во второе:
2аху + и'(у) = 2р + 2аху + у — ау*9 или g _-£ == А _ ау*,
линейное уравнение первого порядка относительно и. Написав его
в виде:
у2 du — 2у~ъи dy = 1уУ~* dy — a dy,
находим
Ер—"У + С> откУда м = 1з7
у-2и=^ — £-з— ау + С9 откуда α = Ύ7ι ay* + C)P.
Подставляя это значение в найденное выражение для ζ, находим общее
решение системы:
* = -£ + Ф + ау*(х—у).
§ 2. Уравнение Пфаффа.
1. Этим именем называется уравнение:
Pdx + Qdy-}-Rdz = 0, (9)
где Р, Q, R — данные в некоторой области D функции от х, уу z>
удовлетворяющие условиям непрерывности и дифференцируемое™,
которые будут ясны из дальнейшего.

§ 2]
УРАВНЕНИЕ ПФАФФА
361
Сначала исследуем геометрическое значение уравнения (9). В
каждой точке рассматриваемой области пространства задан некоторый
вектор (Р, Q, R), т. е. задано векторное поле; так как
уравнение (9) переходит в равносильное при умножении на любой
множитель, отличный от нуля, то, в сущности, нам задано только
направление вектора, или, иначе, задано поле направлений. Мы допускаем,
что ни в одной точке области не имеют места одновременно
равенства Ρ = Q = R = 0 (точки обращения одновременно в нуль, Р, Q,
/?, являются особыми).
Уравнение (9) показывает, прежде всего, что х, у, ζ не могут
оставаться независимыми в области D, так как иначе dx, dy, dz
были бы независимыми приращениями, и в области D мы имели бы
Р==0, <?ξξΟ, R = 0, против условия. Следовательно, между этими
переменными существует по крайней мере одно соотношение, и
совокупность значений х, у, ζ, удовлетворяющих уравнению (9), есть
(при некоторых естественных ограничениях) многообразие числа
измерений <!2 (интегральное многообразие).
Очевидно, что уравнению (9) удовлетворяет решение x = xQf
yz=y0, 2 = z0, (x0, yQi zQ — постоянные). Мы считаем это решение
тривиальным, и в дальнейшем не будем его рассматривать. Таким
образом, число измерений интегрального многообразия будет у нас >· 1.
Само уравнение (9) показывает, что бесконечно малое перемещение
dx, dy, dz вдоль интегрального многообразия из точки х, у, ζ
перпендикулярно к направлению векторного поля в этой точке (т. е.
всякая касательная прямая к многообразию перпендикулярна к
соответствующему вектору). Ясно, что задача нахождения интегрального
многообразия уравнения (9) будет носить различный аналитический
характер, смотря по тому, ищем ли мы интегральное многообразие
двух измерений или одного измерения.
2. Предположим сначала, что искомое многообразие двумерное.
Допустим, что в окрестности некоторой точки (х0, у0, ζ0) его можно
представить в форме:. ζ = φ (х9 у). Тогда ζ будет искомой функцией,
г χ и у — двумя независимыми переменными. Из формулы (9) мы
получим выражение для дифференциала ζ:
dz = — -д dx — -^- dy
(мы должны предположить, что R(x0, у0, ζ0)φΟ). С другой
стороны, для выражения полного дифференциала функции ζ мы имеем:
Из этих двух равенств вытекает, в силу независимости
дифференциалов dx и dy, что

362 НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ [ГЛ. IX
Мы получаем систему двух уравнений вида (3). Как мы видели
в предыдущем параграфе, вообще говоря, эта система не имеет
решения, т. е. уравнение Пфаффа (9) не допускает интегрального
многообразия двух измерений. На геометрическом языке это значит,
что векторное поле (Р, Q, /?), вообще говоря, не допускает
семейства поверхностей, которые были бы в каждой точке ортогональны
к направлению соответствующего вектора. Если же такое семейство
существует, то говорят, что уравнение Пфаффа вполне интегрируемо
или интегрируемо одним соотношением. Для существования такого
семейства интегральных многообразий двух измерений необходимо и
достаточно выполнения условия (4), которое для уравнения (10)
напишется в виде:
dyV?/"1" дг\д) /? "Г dx\R) d*U/E "
Производя дифференцирования, умножая на не равный нулю
множитель R6 и меняя знаки, получим:
KS-©+«(£-£)+<-SH· <»)
Условие (11) имеет вполне симметричную форму относительно Р,
Q, R и х, уу ζ. Если бы в начальной точке было /? = 0, но,
например, Р(х0, y0, г0)фО, то при выполнении условия (11) мы
нашли бы кусок интегрального многообразия двух измерений в форме
* = ФСУ> г).
При тождественном выполнении условия (11) уравнение Пфаффа
интегрируемо одним соотношением. Это условие является
необходимым и достаточным.
Покажем, что, обратно, всякое семейство поверхностей от одного
параметра (при условии существования надлежащих производных)
является общим решением некоторого вполне интегрируемого
уравнения Пфаффа,
Напишем данное семейство в виде:
Ф{х,у, *) = С. (12)
Дифференцируя соотношение (12), получаем:
дФ , . дФ - , дФ - Λ
— dx+1_dy+_dz=Q.
Последнее уравнение допускает умножение на произвольную
функцию от х, у, z\ таким образом, (12) является интегральным
многообразием для уравнения Пфаффа вида (9), причём необходимо имеют
место равенства:
дФ дФ дФ
дх ду дг , ч /1Qv
-7г = ^в-#- = Н'(*».У» *)· (13)

§ 2]
УРАВНЕНИЕ ПФАФФА
363
Разрешая уравнение (54), дающее общее решение вполне
интегрируемого уравнения Пфаффа, относительно постоянного С, мы
можем привести его к виду (5б) или (12); следовательно, всегда
имеют место соотношения (13). Иначе их можно переписать так:
D дФ ~ дФ п дФ λ
*р==ш> ^=^г· vR=-di> (14>
а само уравнение (9) по умножении на μ примет вид:
v.(Pdx-j-Qdy + Rdz) = d£dx-\-d£dy + ^dz = 0, (9')
или
Таким образом, для вполне интегрируемого уравнения Пфаффа
всегда существует интегрирующий множитель μ, по умножении
на который левая часть становится полным дифференциалом
некоторой функции от трёх переменных.
Из предыдущего очевидно, что и обратно, если существует
интегрирующий множитель уравнения (9), то оно приводится к виду (9')
и интегрируется одним соотношением Ф = С Можно проверить это
непосредственной выкладкой. По предположению, существует
интегрирующий множитель μ уравнения (9), т. е. имеют место
соотношения (14). Дифференцируем первое из них по у и приравниваем
результату дифференцирования второго по х; далее приравниваем
результаты дифференцирования второго по г и третьего по у;
наконец, третьего по χ и первого по ζ\ получаем, перенося члены с μ
в одну сторону, а члены с производными от μ в другую:
(дР_д£\_ 0^_рдн.
^\ду дх)~~Чдх ^ду'
(dQ д£>\__ όμ пд?
„(dR_dP\_ рд^_ п^_
г\дх dz) — ^dz *дх*
Умножая полученные три уравнения, соответственно, на /?, Р, Q,
складывая и деля на множитель μ, не равный нулю (по крайней
мере там, где поверхность (12) не имеет особой точки), получаем
соотношение (11). Таким образом, если существует интегрирующий
множитель для уравнения (9), то условие полной интегрируемости
выполнено.
Примечание 1. Можно дать геометрическое истолкование
условию полной интегрируемости в форме (4). Пусть мы исходим
из точки (л;, у, г) интегрального многообразия и продвигаемся по
этому многообразию в точку (χ-ΐς-dx, у)\ тогда получим значение:

364 НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ [ГЛ. IX
далее, переходим от точки (x-{-dx, у) к точке (x-\-dx, y-\-dy)r
не сходя с интегрального многообразия; соответствующее значение ζ
будет:
z^Adx + ^(z + Adx)dy = z + Adx + Bdy-^(Ay-\-A'zB)dxdy.
Если мы продвинемся по интегральному многообразию сначала
до точки (х, y-\-dy)y а затем до точки (x-\-dx, y-{-dy)t то
соответствующее значение ζ будет:
ζ + A dx + В dy + {β'χ + BZA) dx dy.
Условия (4) выражают, что эти значения (с точностью до
бесконечно малых порядка выше второго) равны, т. е. что значение
функции ζ в бесконечно близкой точке не зависит от пути, по какому
мы пришли в эту точку,
Примечание 2. Если μ есть какой-нибудь интегрирующий
множитель уравнения (9), а Ф(х, у, z) = C — общее решение этого
уравнения, то легко видеть, что наиболее общий вид
интегрирующего множителя есть μ]=μ/7(φ), где F—произвольная функция.
Примечание 3. Ввиду симметрии относительно х, у, ζ
уравнения Пфаффа в форме (9), его можно привести к любой из трёх
форм:
l)dz = — -pdx — ъ dy, 2) dx= — %dy— -p dz,
3) dy =— γτάχ — -q dz.
Следовательно, в случае полной интегрируемости оно приводится
,κ любой из трёх систем двух уравнений в частных производных:
1) дх~~ /?' ду ~ R ' >ду~ Р' dz ~ Р>
г\ЦУ- — — £. *!___*
> дх~~ Q ' dz ~ Q '
Этим произволом можно пользоваться при решении задач, выбирая
наиболее простое* уравнение для начального интегрирования.
3. Рассмотрим теперь случай, когда для уравнения Пфаффа (9)
не выполняется условие полной интегрируемости (11). Из
предыдущего следует, что в таком случае не существует интегральных
многообразий двух измерений. Будем тогда искать интегральные
многообразия одного измерения. В этом случае будет только одно независимое
переменное; примем за него х.
Уравнение (9) можно теперь написать в виде:
Р{*, У, *) + <?(*, У, z)^-\-R{x, у, 2)^ = 0. (15)

§ 2] УРАВНЕНИЕ ПФАФФА 365
Мы получили обыкновенное дифференциальное
уравнение с двумя искомыми функциями. Задача его
интегрирования заключает большую степень произвола. Мы можем задать
произвольно одну искомую функцию, например
*=/(*); (16)
тогда, вставляя в уравнение (15), получим:
Ρ(χ, У, f(x)) + R (*, у, /(*))/' (*) + <?(*, у, /(Ar))g = o
— обыкновенное дифференциальное уравнение с одной искомой
функцией у; его общее решение пусть будет (мы предполагаем, что
выполнены условия теоремы Коши, например, что существуют
производные Ру, Qy, Ry и что в начальной точке Q^fcO):
y = g(x, С). (17)
Совокупность уравнений (16) и (17) даёт интегральное многообразие
одного измерения для уравнения Пфаффа (9).
Можно дать первое соотношение в общей форме Ψ {х, у, ζ)=0,
или
г = <р(х,у). (16J
Подставляя это значение г в уравнение (15), получаем:
Р{*> У> ?(*» y)) + R(*> У> ?(*» J')) aJ +
+ [<?(*, У, ?{х, y)) + Rix, У, Ч(х> у))$\£ = 0
— опять обыкновенное дифференциальное уравнение между χ и у.
Вводя соответствующие предположения для того, чтобы
выполнялись условия теоремы Коши, и обозначая решение этого уравнения
через y = ty(x, С), мы получим уравнения интегрального
многообразия одного измерения в виде:
Ψ(*, у, *) = (>, у = ^(хч С). (17J
Таким образом, наиболее общее интегральное многообразие одного
измерения, удовлетворяющее уравнению Пфаффа, зависит от
одной произвольной функции и затем ещё от одного
произвольного постоянного.
Легко дать геометрическую интерпретацию полученному
результату. Произвольная функция в виде (16) представляет произвольный
цилиндр с образующими, параллельными оси ОуЛ а в виде (16J —
вообще произвольную поверхность. Совокупность уравнений (16j) и
(17) или (17J представляет семейство кривых от одного параметра,
лежащих'на этой поверхности (решение обыкновенного
дифференциального уравнения между χ и у даёт уравнение проекций кривых

366 НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ [ГЛ. IX
этого семейства на плоскость xOz). Таким образом, интегральные
кривые уравнения Пфаффа на произвольной заданной поверхности
составляют семейство от одного параметра.
Примечание. Если уравнение Пфаффа вполне интегрируемо,
можно также методом настоящего раздела разыскивать для него
интегральные кривые. При этом мы получим следующий
результат. Уравнение (9) допускает интегрирующий множитель
μ (лг, у, ζ); пусть p(Pdx-\-Qdy-\-Rdz)=zdk>(x, у, z)\ уравнение,
полученное подстановкой (16j), вида:
очевидно, допускает интегрирующий множитель
|χ = μ(Λτ, у, φ(Λτ, у)),
так как по умножении на него левая часть этого уравнения
обратится в полный дифференциал άΦ {χ, у, φ (χ, у)).
Итак, интегральные кривые определяются двумя уравнениями:
Ζ = φ (χ, у), Φ (χ, у, φ (χ, у)) = С,
или, что то же,
Φ {χ, у, z) = C, ζ = ψ (χ, у).
Мы приходим к заключению: в случае полной интегрируемости
уравнения Пфаффа, интегральными многообразиями одного измерения
являются произвольные кривые, расположенные на интегральных
поверхностях. Этот факт геометрически очевиден.
4. Пфаффовы формы. Пфаффовой формой называется
выражение вида:
η
2Л*(*1 xn)dxl·
i = l
Теория пфаффовых форм представляет хорошо развитый отдел анализа 1)·
Мы приведём здесь некоторые результаты, касающиеся пфаффовых форм
от трёх переменных,
Pdx + Qdy + Rdz, (А)
где Р, Q, R — данные функции от х, у, ζ; для дальнейших выводов мы их
предположим непрерывно дифференцируемыми два раза. Рассмотрим
приведение формы (А) к простейшему, каноническому виду.
Здесь могут представиться три случая:
1) Форма (А) представляет точный дифференциал; следовательно,
существует такая функция и (ху у, ζ), что имеет место равенство:
Pdx+Qdy-\-Rdz = du. (АА).
L) См., например, П. К. Рашевский, Геометрическая теория
уравнений с частными производными, Гостехиздат, 1947, и Э. К а р τ а н, Интегральные
инварианты.

§ 2] УРАВНЕНИЕ ПФАФФА 3G7
0 0 ди ~ да 0 ди
Замечая, что в таком случае P = -^-t Q= — t р= — t мы из сравнения
различных выражений для вторых смешанных производных получаем три
необходимых условия для представления формы (А) в виде (Ах):
dP__dQ dQ_dP j?# __ <^ /R ч
ду ~~ дх ' dz" ду' дх ~~ dz ' ( ύ
Легко убедиться в том, что эти условия также достаточны для представления
формы Пфаффа в виде (А2), причём для и получаем значение:
χ у г
и= Г Р(х, у, z)dx + J Q (х0, у, z)dy + J R (лг0, yQi z) dz + С,
»о У о *о
где С — произвольная постоянная (ср. главу И, § 3, 1).
2) Условия (Вх) не выполняются, но имеет место тождество:
В таком случае, как мы видели, выражение (А) допускает интегрирующий
множитель; в силу соотношений (13), меняя обозначения ί— = α, Φ = ν j, мы
можем придать пфаффовой форме вид:
Pdx+Qdy + Rdz = udv. (A2)
3) Не выполнены ни условия (В2), ни (В2). Покажем, что в этом случае
можно от формы (А) отнять полный дифференциал так, что для разности
будет выполнено условие (В2). Итак, ищем такую функцию и (х, у, ζ), что
если положить
Pdx + Q dy + Ρ dz — du = Px dx + Qt dy + Ρχ dz,
то будет выполнено соотношение
p4^-^J+Q4^-^J+4^~^;-a (Вз)
Заменяя в соотношении (В3) Рь Qb Rx их выражениями:
*-*-&. «.-«-£. «-*-£.
мы после приведений получим для и уравнение:
/dQ дР\ди /дР дР\ди / дР dQ\du^
\dz ду ) дх "1~ \дх dz ) ду~^\ду дх) dz"
-'(£-£)+«(£-£)+*(£-£)· «
Соответствующая этому линейному неоднородному уравнению в частных
производных система обыкновенных дифференциальных уравнений есть
dx _ dy __ dz __
_ du
'P&t-R'j + Qi.R'x-P'j+RiP'y-Q'j' {0)

368 НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ [ГЛ. IX
Все условия для существования решения (необращение в нуль некоторых
знаменателей, дифференцируемость) выполнены, и в качестве и мы можем
взять любое решение уравнения (С). Замечая, что форма Р1 dx + Q\dy + R^dz
подходит под случай 2), мы в рассматриваемом случае получаем
канонический вид пфаффовой формы:
Pdx + Qdy + Rdz = du+vdw. (A3)
Итак, форма (А) приводится к одному из трёх канонических видов:
duy и dv, du-\-v dm.
Наименьшее количество переменных, через которые может быть
выражена пфаффова форма, определяет её класс. Итак, пфаффова форма от трёх
переменных может принадлежать к I, Пили III классу.
Приравнивая форму Пфаффа нулю, получаем уравнение Пфаффа. В
первых двух случаях оно допускает интегральное соотношение двух измерений,
соответственно и = const. и ν = const. В последнем случае мы уже знаем, что
существуют интегральные соотношения только одного измерения. Заметим,
что если форма приведена к виду (А3), эти соотношения будут содержать
только произвольную функцию и её производную, притом в явном виде и
не под знаком квадратуры. В самом деле, мы имеем уравнение:
du + v dw = 0.
Положим (первое соотношение) и = φ (до), где φ — произвольная функция;
тогда из уравнения получаем второе соотношение: ν = — φ' (w).
Пример 3. yzdx-\-xzdy-\-xyzdz = 0. Уравнение допускает,
очевидно, интегрирующий множитель ; по умножении на него
переменные разделяются:
*£+4У. + аг = 0.
х ' у '
Интегральное соотношение хуе9 = С.
Пример 4. (2x*-j-2xy-\-2xz*+l)dx-\-dy-j-2zdz = 0.
Условие интегрируемости
p/dQ dR\.n(dR дР\ „(дР dQ\
= (2л* + 2*у + 2лг*а + 1) (0 — 0) + 1(0 — 4xz)-\-2z(2x — 0) = О
выполняется. Считая χ за постоянное, следовательно, dx = 0,
интегрируем уравнение между у и ζ: -^- = — 2г; получаем:
y-\-z2 = u(x). Согласно общей теории, в результате подстановки
в начальное уравнение мы должны получить обыкновенное
дифференциальное уравнение между χ и и; и действительно, находим:
(2x<2-\-2xu-\-l)dx-\-du = 0. Это — линейное уравнение
относительно и\ его общее решение:
и = е-**(с+ j е*{— 2л;2— 1)dx\ = Се-** — х.

§ 21 УРАВНЕНИЕ ПФАФФА 369
Разрешая относительно С и заменяя и его значением, получаем:
**3(х+.У-|-*2) = С.
Пример 5. Определить проекции на плоскость хОу семейства
X2 V2 Z2
кривых, определяемых на эллипсоиде —^^ja"]—г~^ уравнением
Пфаффа:
1
xdx+ydy + c[l—-^—fc) dz = 0.
Данное уравнение Пфаффа не удовлетворяет условию
интегрируемости. Поэтому определяем 2 из заданного конечного уравнения и
вставляем полученное значение dz в уравнение Пфаффа:
_1
Пример 6. у dx + ζ dy -f- χ dz = 0. Условия (Bt) и (В2) настоящего
параграфа не выполнены; имеем случай 3). Составляем уравнение (С):
да . да , да .
Общее решение этого уравнения есть и = -z-(x+y+ z)2+ ty(x—у, у— ζ)
(ψ — произвольная функция). Нам удобно взять такое решение
уравнения (С):
u=±(x+y + z)*-±(x-y)'-±(y-z?-±{(x-y) + (y-z))* =
= -2 (ХУ + У2 + ζχ)-
Вычитаем из левой части уравнения da; получаем пфаффову форму:
у dχ + ζ dy + χ dz — da = -х- {(у — ζ) dz + (ζ — χ) dy -f- (χ —у) dz}.
Для этой формы условие (В2) выполнено; легко убедиться в том, что она
допускает интегрирующий множитель μ = - — причём
2(x—yf {(J — *)dx + (z — x)dy + (x— y) dz}=1-diL=l£.
откуда

370 НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ [ГЛ. IX
\ 2 х
Отсюда мы имеем: ν = (χ—у)2, «0 = у—;^~ » и Ф°Рма, стоящая в левой
части данного уравнения, допускает каноническое представление вида (А3);
1 1 ζ χ
ydx-\-zdy + xdz = d-~- (xy +yz + zx) + {x — у)2 d ■
2 ч * т J ' /ιν- j> 2 у — х'
Два соотношения, дающие интегральные многообразия одного измерения, мы
получаем в виде:
где φ — произвольная функция.
ЗАДАЧИ.
Проверить условия интегрируемости и найти интегральные
многообразия уравнений:
205. (уζ — ζ2) dx — xz dy + xy dz = 0.
206. (ζ —j/)3 (ζ — 2x + у) dx + (χ — zf (x — 2y + z) dy -f
4- (y — xf{y —2z + x)dz = 0.
Указание. Ввести вместо χ я у новые переменные: у — z = u, ζ — χ=ν.
207. z(l-z*)dx + zdy — (x+y + xz2)dz = 0.
208. (За:2 +yz)y dx — χ* dy -f- (x + 2z)y* dz = 0.
209. (1— 4x)dx-{- (1 +4y)dy—4zdz = 0; начальные условия х=у= z = \.
210. dx + (y + z)dy + zdz = 0.
§ 3. Полный, общий и особый интегралы уравнения
в частных производных первого порядка.
1. Прежде чем дать способ решения одного нелинейного
уравнения в частных производных первого порядка, постараемся изучить ту
форму, в которой целесообразно искать решение такого уравнения.
Для простоты рассуждений и для геометрической наглядности мы
остановимся на случае трёх переменных: независимые переменные х,у;
искомая функция г.
Мы будем систематически применять обозначения Монжа для
частных производных:
dz dz
Ίχ- = Ρ> Зу βί·
Общее уравнение в частных производных первого порядка может
быть записано в виде:
F(xt у, г, р, <7) = °, (1)
где F — данная функция пяти аргументов; надо ввести определённые
ограничения относительно её дифференциальных свойств. Достаточно
потребовать существования и непрерывности вторых частных
производных от F по всем аргументам. В левую часть уравнения (1), по
определению, непременно входит хоть одна из производных р, q\
предположим, что это есть р. Тогда уравнение (1) может быть
разрешено относительно ρ (по крайней мере в окрестности тех значений

§ 3] ПОЛНЫЙ, ОБЩИЙ И ОСОБЫЙ ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИЯ 371
dF \
аргументов, которые обращают F в нуль и для которых -т—фО).
Мы, наряду с уравнением (1), будем также рассматривать уравнение
в форме, разрешённой относительно р:
P=f{x> У> *> ЧУУ (18)
Решение уравнения в частных производных первого порядка,
зависящее от двух произвольных постоянных (независимых), называется
полным интегралом. Мы будем записывать полный интеграл в неявной
форме:
V(x. уу z, a, b) = 09 (19)
или же в форме, разрешённой относительно г:
* = ?(*» У> а> ь)- (19,)
Можно также определить полный интеграл как такое соотношение
между тремя переменными и двумя произвольными постоянными, из
которого и из соотношений, получаемых его дифференцированием по
независимым переменным, получается, путём исключения постоянных,
данное уравнение.
Покажем, что два определения эквивалентны. При этом мы будем
пользоваться формой уравнения (18) и формой полного интеграла (19t).
Пусть, во-первых, дано, что (19t) есть решение уравнения (18), то-есть
имеет место тождество (по лг, у, а, Ь)\
ч4(*' У* а> Ь) =/(*, у г φ(*. У* а, Ь)% φ'ν(*, у, а, Ь)). (А)
Мы имеем равенства:
* = φ(*, J/, α, Ь)% (19t)
Р = ЧХ(Х>У> я> *). 09,)
д=Чу(х> У> а Ь). (193)
Покажем, что в результате исключения параметров а, Ь из уравнений (19t),
(192), (193) мы придём к уравнению (18). Мы будем определять параметры
а и Ь из уравнений (19t) и (193) и полученные выражения внесём в равенство
(192). Заметим, что это разрешение возможно по крайней мере в некоторой
области изменения переменных. В самом деле, если бы якобиан
D (а, Ь)
1) Это разрешение невозможно, если правая часть (18) не содержит р\
тогда она непременно содержит q, так как иначе мы не имели бы уравнения
в частных производных. Меняя в этом случае роль переменных, мы без
ограничения общности всегда можем представить уравнение (1) в виде (18), если
только оно вообще допускает действительное решение относительно ρ или q.

372 НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ [ГЛ. IX
тождественно равнялся нулю, то, так как ;Д#0 (φ действительно зависит
от а), уравнения (19х) и (192) дали бы
<? = *(*, х>у)1\ (Щ
Функция ζ удовлетворяет двум уравнениям (18) и (18χ), которые могут быть
разрешены относительно р, q, т. е. ζ удовлетворяет двум совместным
уравнениям первого порядка. Мы исследовали такие системы в § 1 настоящей
главы и видели, что их общее решение не может содержать более одной
произвольной постоянной. Это противоречит нашему предположению, что
решение (19х) содержит две существенные произвольные постоянные.
Итак, якобиан (В) не равен тождественно нулю. Следовательно,
уравнения (19χ) и (193) в некоторой области могут быть разрешены относительно
а и by и мы получим:
а = ψ, (х, у, z, q), Ь = ψ2 {χ% у% z% q). (20)
(21)
Таким образом, мы имеем тождества:
φ С*. J. Ψι С*. У. *. Я)* ψ2 (■*. У, *> Я)) = *. I
Чу (*. У> 4^ (х, У> *. Я)* Ψ2 (*. -У* *> Я)) = Я* J
и из определения обратного преобразования тождества:
Ψ, (х, У, φ {х* У< а> Ь)% φ' (лг, у, я, Ь)) = а, \
, } (22)
Ψ2 (*. J', φ (x, У> a, b)% чу (х, У у я, Ь)) = Ъ. j
Подставляя значения (20) в равенство (192), получаем:
Р = Чх (х* У* Ψι (х* У* *. Я\ ψ2 (х> У* *. Я))- (С)
Покажем, что правая часть равенства (С) тождественна с правой частью
уравнения (18). Подставив в тождество (А) вместо а и Ь их выражения (20),
мы получим в левой части:
Чх (·*> -У> Ψχ (*. .У. *. ?). Ψ2 (*· -У» *> ?))>
а в правой части, принимая во внимание тождества (21),
f(x.y> *> Я)·
Таким образом, имеем:
Чх(х< У* *j (х> У< *> Я\ V*' -У» *> Я))=/(х>У> *< Я\ (D)
что и требовалось доказать.
Пусть теперь, обратно, уравнение (18) получено исключением а и Ь из
соотношений (19А), (192), (193), то-есть имеет место тождество (D). Подставим
в обе части этого тождества значения ζ, q, даваемые формулами (19А), (193).
В силу тождеств (22), получим тождество (А), т. е. (19j) есть решение
уравнения.
Примечание. Если уравнение (192) явно не содержит ζ, то, наряду
с решением ζ = φ (χ, у), решением является также ζ = φ (χ, у) + С,
х) См., например, В. Немыцкий и др., Курс математического анализа,
т. II, гл. XII, теорема 1.

§ 3J ПОЛНЫЙ, ОБЩИЙ И ОСОБЫЙ ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИЯ 373
то есть можно искать полный интеграл, содержащий один из
параметров аддитивно*
г = φ (л:, yt а) + Ь. (194)
Обратно, если полный интеграл имеет форму (194), то уравнения (192), (193)
содержат один параметр а, и в результате его исключения мы получим
уравнение, связывающее ρ и q и не содержащее явно ζ.
Если брать уравнение в форме (1) и полный интеграл в
неразрешённом виде (19), то мы можем сказать, что уравнение (1)
эквивалентно уравнению, получаемому исключением а и b из системы:
V(*, у. г, я, Ь) =0,
dv Л-ду η π
dV . dV Λ
(23>
2. Полный интеграл, т. е. решение, зависящее от двух
произвольных постоянных, однозначно определяет, как мы видели, то
уравнение в частных производных, которому он принадлежит. По аналоги»
с линейными уравнениями в частных производных мы не вправе,
однако, ожидать, что получим все решения уравнения в частных
производных, придавая произвольным постоянным всевозможные числовые
значения, ибо для названного частного типа уравнений мы убедились,
что общее решение зависело от произвольной функции.
Лагранж показал, однако, что все решения уравнения в частных
производных первого порядка могут быть получены из полного
интеграла путём вариации постоянных; при этом требуются только
операции дифференцирования и исключения.
Рассмотрим дифференциальное уравнение
P=f(x, У, гч q) (18)
и его полный интеграл
z = <?{x, у, я, b). (19J
Пусть теперь а и b будут некоторые функции от χ и у.
Если мы определим в этих предположениях две функции ρ и q
равенствами:
Ρ = ?*(*' У* а> *)» (192)
? = ?у(*. У* а, *), (198)
не предрешая вопроса о том, будут ли ρ и q частными
производными от г, то из первого определения полного интеграла следует,
что функции <е, р, q, определённые формулами (19Д (192), (193),
обращают уравнение (18) в тождество по х, у, я, Ь, т. е., в
частности, при любых функциях а и Ь. Подберём теперь функции а и b

•374 НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ [ГЛ. IX
от χ и у таким образом, чтобы выражение (191) было решением
дифференциального уравнения (18), т. е. чтобы выражения (192) и (193)
были частными производными от ζ соответственно по л: и по у.
Дифференцируя (19j) по χ и по у в предположении, что а и b суть
^функции χ и у9 мы получим:
dz / , , da , / db
дх"~^-Г(?адх'^~(?Ьдх}
dz / , / da , , db
ду
ду
ду'
(24)
Сравнивая формулы (192), (198) и (24), мы видим, что ρ и q из
формул (192) и (198) будут частными производными от ζ по χ и у
при переменных а и Ь, если а и £ удовлетворяют уравнениям:
, da , , д& Λ )
(25)
При выполнении условий (25) функция φ(χ, д/, а, £) с
переменными а и b будет решением уравнения (18).
Рассмотрим вопрос о том, как удовлетворить уравнениям (25).
1) Уравнения (25) удовлетворяются, если функции а и b
удовлетворяют двум конечным (не дифференциальным) уравнениям:
<?'а(х9 уу а, £) = 0, φ;(л;, у, а, £) = 0.
(26)
Допуская, что эти уравнения разрешимы относительно а и Ь, мы
подставим полученные в результате этого разрешения функции от χ
и/в выражение (19), которое окажется решением уравнения, не
содержащим ни произвольных постоянных, ни произвольных функций.
Это решение называется особым интегралом.
2) Если функции φ^ и φ^ не обращаются в нуль при подстановке
на место а и b соответствующих функций от χ и у, то, рассматривая
уравнения (25) как систему двух алгебраических линейных уравнений
-с двумя неизвестными, мы приходим к выводу, что определитель
да
дх
да
ду
дА
дх
db
ду\
= 0.
(27)
Если все элементы этого определителя равны нулю, то а = const.,
b = const., и мы возвращаемся к полному интегралу.
3) Если не все элементы определителя (27) равны нулю, то его
тождественное обращение в нуль показывает, что между а и b

§ 3] ПОЛНЫЙ, ОБЩИЙ И ОСОБЫЙ ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИЯ 37ί>
существует функциональная зависимость, не содержащая χ и у; если,
например, -ϊ-ф® или ^-ф09 то эта зависимость может быть
записана в виде:
* = ω(α), (28)
причём ω — произвольная функция. Подставляя значение (28) в
уравнения (25), мы придём к одному уравнению I так как -^- == а/ (а) ~ у
db t/ чдд"1.
?β(*ι У> а> β(β)) + ?ί(Λ' У> а> « С*))«'(*)=<>. (29)
Если из этого уравнения можно определить а как функцию от χ и уг
то затем из уравнения (28) мы находим b как функцию независимых
переменных; подставляя эти значения а и b в выражение (19j), мы,
согласно предыдущему^ получим решение. Совокупность таких реше*
ний при любом выборе дифференцируемой функции ω (а) называется
общим интегралом уравнения (1) или уравнения (18). Каждому
выбору произвольной функции ω (а) соответствует, вообще говоря,,
некоторое частное решение, входящее в общий интеграл. В этом
смысле мы можем сказать, что общий интеграл зависит от
произвольной функции.
Мы провели все рассуждения для полного интеграла,
представленного в разрешённой форме (19j). Соответствующие вычисления
можно провести и для полного интеграла, данного в неразрешённой
относительно ζ форме (19); только в соответствующих местах
придётся вводить производные от неявной функции и иногда
вводить дополнительные требования о разрешимости тех или иных
уравнений.
В самом деле, уравнение (1) является следствием уравнений (23}
как при постоянных, так и при переменных а и Ь. Если а и b
являются функциями от х, у, то соответствующие производные от ζ
по χ и у, т. е. р, q, вычисляются из соотношений:
дх "+" дг р"+" да дх "·" дЬ дх — '
ду "+" дг q "Г" да ду г" db ду ~ *
Сравнивая формулы (24j) и (23), мы получаем условия:
да дх "^ db дх ~ U'
Wda. . <УУдЬ___п
да ду "+" db ду ~~ Ό'
(24х>
(26,)·

«376 НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ [ГЛ. IX
Из этих условий, совместно с уравнением V=0, нам надо опре·
делить функции а и Ь. Мы снова получаем три случая:
dV dV
1) если положить ^— = 0, -jr = О, то, исключая из этих
уравнений и из уравнения (19) а и Ьу мы придём к особому интегралу^
вовсе не содержащему произвольных постоянных;
2) полагая -^- = ~ = — = -ς- = 0, мы возвращаемся к полному
интегралу;
3) в общем случае мы имеем: γτγ^—у = 0, откуда заключаем
о существовании соотношения между а и Ь,
* = ω(α), (28)
где ω означает произвольную функцию. В силу уравнения (28),
система (25j) приводится к одному соотношению:
£+£.-(.,_,. (29,)
Исключая а и b из уравнений (19), (28) и (29j), мы приходим к
соотношению между х, yf zy входящему в общий интеграл;
фактический вид этого решения зависит от выбора произвольной
функции ω (α). Итак, общий интеграл определяется соотношениями (19),
(28) и (29j) при произвольной (дифференцируемой) функции ω.
3. Мы нашли три вида решения уравнения в частных производи
ных. Сейчас мы покажем, что этими тремя видами исчерпываются все„
решения уравнения (1) или (18): иначе говоря, всякое решение
уравнения в частных производных входит или в полный, или в общий,
.или в особый интеграл.
В самом деле, пусть
г = Ф(х,у) (30)
будет какое-нибудь решение уравнения (18), т. е. имеет место
тождество:
К (*. y)=f (*. л ф (*■ у\ % (*> jO)· (С)
Пусть, с другой стороны,
* = <?(*, у, а, Ь) (19j)
есть полный интеграл того же уравнения. В силу предыдущей теории,
чтобы (если это возможно) получить решение (30) из полного
интеграла, надо подобрать две функции а и b от χ и у так, чтобы имели
место тождества:
Ф(*« J0 = ?(■*> У* а> ь)> (31)
*K*.J0 = Ч£(*. Λ *> Ь\ (3^)
%(*> У) = ?у(х> У> а> Ь). (31а)

§ 3] ПОЛНЫЙ, ОБШИЙ И ОСОБЫЙ ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИЯ 377
Мы уже видели (п. 1), что уравнения (31) и (322) разрешимы
относительно а и Ь:
* = Ψι(*, Λ $> %)>
ψ1 и ψ2 имеют то же значение, что в формулах (20). Внося найден·
ные значения а и b в правую часть уравнения (31 г), мы получим:
а это, в силу тождества (D) (п. 1), совпадает с выражением
f(xt у, Ф, Фу)\
это же последнее выражение, в силу тождества (С), даёт Фх(х9 у)*
Таким образом, значения а и 6, найденные из системы (31) и (312),
удовлетворяют также уравнению (31 х). Итак, если Φ есть решение^
то определение а и b из уравнений (31), (31 j), (312) всегда возможно.
Дифференцируя обе части уравнения (31), в которое вместо а и Ь
подставлены найденные функции, соответственно по χ и у, мы
получаем:
' , ч г . г да . / db
Ф«(*, J0 = ?» + ?« aF+?*g]f.
*2/ (*. .у) = ?г/ + φ» ^г + φ^ ·
Сравнивая полученные тождества с равенствами (31j) и (312), приходим
к заключению, что а и b удовлетворяют уравнениям:
, да . , db Λ , да . , db Λ
*. 17 +П Ж = °· ?β-57 + ?6-5Γ = °·
Но в п. 2 мы исследовали эту систему и пришли к выводу, что она
приводит лишь к полному, общему или особому интегралу. Таким
образом, наше утверждение доказано.
Примечание. Легко убедиться в том, что одному
дифференциальному уравнению соответствует бесчисленное множество полных
интегралов.
В самом деле, пусть мы имеем один из них: ζ = ψ(χ, у, а, Ь).
При нахождении из него общего интеграла выберем функцию ω,
совершенно определённую, но зависящую от двух постоянных а\ Ь\
Ь = ш (а\ а\ Ь'); полученное по правилу нахождения общего интеграла
исключением а и b решение будет зависеть от двух новых
параметров а' и Ь', т. е. будет представлять полный интеграл данного
уравнения, отличный, вообще, от исходного.
4. Полученные результаты относительно интегралов
дифференциального уравнения в частных производных допускают
простую геометрическую интерпретацию. Решение уравнения в частных

378 НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ [ГЛ. IX
производных определяет в координатном пространстве (л:, у> ζ)
поверхность, которую мы будем называть интегральной поверхностью.
Полный интеграл
V(x, у, г, а, Ь) = 0 (19)
представляет семейство интегральных поверхностей от двух
параметров.
Назовём элементом прикосновения, или просто элементом,
совокупность пяти величин (лг, у, г, pt q), где х, у, ζ суть координаты
некоторой точки, а р и q — угловые коэффициенты проходящей через
неё плоскости. Тогда задача нахождения решения уравнения (1) может
быть поставлена так: найти такую поверхность, чтобы совокупность
элементов, образованных точками этой поверхности и угловыми
коэффициентами касательных плоскостей, удовлетворяла соотношению:
F{x, У, *, /?, q) = 0. (1)
Полный интеграл представляет семейство интегральных поверхностей,
зависящее от двух параметров. Мы видели, что не все интегральные
поверхности получаются из полного интеграла при частных значениях
параметров. Посмотрим, что представляют геометрически общий и
особый интегралы. Для получения решения, входящего в общий
интеграл, мы брали произвольно соотношение:
b = ω (α), (28)
подставляли это значение Ь в уравнение (19) и исключали параметр а
из соотношений:
V(x, у, г, а,Ь) = 0, ^ + -§£-·' («) = 0. (19')
Геометрически это значит следующее: мы, при помощи
соотношения (28), из данного семейства (19) от двух параметров выделяем
некоторое семейство от одного параметра и затем находим огибающую
поверхность этого семейства. Так как огибающая поверхность в
каждой своей точке касается одной из огибаемых поверхностей, т. е.
имеет с нею общий элемент соприкосновения, то является очевидным
тот факт, что эта огибающая также есть решение данного уравнения.
Наконец, особый интеграл получается исключением а и b из трёх
уравнений:
'=»· %-ь £-·■
Но этот процесс, как известно, приводит к огибающей семейства
поверхностей от двух параметров, если она существует. Рассуждение,
подобное предыдущему, показывает, что все элементы этой огибающей
поверхности удовлетворяют данному уравнению, т. е. она является
интегральной поверхностью.

§ 3] ПОЛНЫЙ, ОБЩИЙ И ОСОБЫЙ ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИЯ 379
Пример 7. Семейство шаровых поверхностей данного радиуса R
с центрами в точках плоскости хОу
(х — а)* + (у — Ь)* + г2 = №
есть семейство от двух параметров а и Ь. Чтобы найти уравнение
в частных производных, для которого это семейство является полным
интегралом, дифференцируем уравнение по χ и по у в предположении,
что ζ есть функция χ и у; из трёх полученных уравнений
исключаем а и Ь. Имеем:
χ — α-\-ζρ = 0, у — b-\-zq = 0\
отсюда χ — а = —гр, у — b =—zq. Подставляя эти выражения.
в исходное уравнение, получаем:
— соответствующее уравнение в частных производных.
Чтобы получить решение, входящее в общий интеграл, вводим
соотношение b = ω (а), т. е. выделяем семейство шаров, центры
которых лежат на линии у = а(х), г = 0. Всякая огибающая
поверхность такого семейства (поверхность каналов) является интегральной
поверхностью и входит в общий интеграл. Наконец, особый интеграл
получится исключением а и b из трёх уравнений:
(д;_а)2^(>,_^2^_г2==/?2) χ _ а = Q, у — b = О,
откуда z = ±R. Получим уравнения двух плоскостей, которые
касаются каждой шаровой поверхности в одной точке.
Возьмём, в частности, в качестве линий центров шаров семейства
всех прямых плоскости, зависящее от двух параметров α, β:
b = a<x-\-$.
Нам следует исключить параметр а из двух соотношений:
(дг — af-\-{y — aoi — β^-{-*2 = /?9, х — а-\-(у — аа — β) α =0;
получаем семейство (от двух параметров) круглых цилиндров
радиуса /?, оси которых лежат в плоскости хОу, которое, в свою-
очередь, может служить полным интегралом:
1+а2 -Г* —К -
Пример 8. Полный интеграл: z = ax-\-by-\-ab. Находим
соответствующее уравнение: р = а, q = b; z = рх + ЯУ -f"РЧ· Находим
особый интеграл: 0 = л:—f-^, 0=^у + а» * =—ХУ· Особый интеграл
есть гиперболоид, а полный состоит из семейства от двух параметров
его касательных плоскостей. Для нахождения общего интеграла мы

380 НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ [ГЛ. IX
должны установить соотношение £ = ω(ά) и исключить а из
уравнений :
ζ = ах -f- ω {а) у -|- аш (а), 0 = χ-\-ω (α) -\- а/ (а) [у -\- а).
Получаем уравнение развёртывающейся поверхности (как
огибающей семейства плоскостей от одного параметра), касающейся
гиперболоида вдоль кривой, проекция которой на плоскость г = 0 есть
5. Характеристики. В дифференциальной геометрии при
нахождении огибающей семейства поверхностей от одного параметра
характеристики определяются как линии, вдоль которых огибаемая
поверхность соприкасается с огибающей. Рассмотрим эти
характеристики, или, точнее, характеристические линии, как они определяются
при нахождении общего интеграла при известном полном интеграле.
Пусть дан полный интеграл:
V(xt у, z, a, b) = 0. (19)
Мы видели, что общий интеграл определяется как огибающая
семейства поверхностей от одного параметра,
V(x, у, ζ, α, а>(я)) = 0,
где ω (а) есть произвольная функция. Уравнения характеристических
линий для этого семейства имеют вид:
V(x, у, ζ, α, а>(я))=0, Va -f Vj«/ (a) = 0, (19')
т. е. по виду — это те же уравнения, которые определяют общий
интеграл, но рассматриваемые при постоянном значении
параметра. Если придавать параметру а различные значения, то
уравнения (19') определяют семейство характеристических линий от
одного параметра, которые и образуют общий интеграл. Из
определения огибающей поверхности следует, что вдоль характеристики
огибающая и огибаемая имеют общие элементы
прикосновения, т. е. не только точки, но и касательные плоскости. Чтобы
получить угловые коэффициенты этой касательной плоскости,
достаточно продифференцировать первое уравнение (19') по χ и по у
(мы вправе рассматривать а как постоянное, т. е. определить угловые
коэффициенты касательной плоскости к огибаемой поверхности):
V'x (х, У, г, α, ω (а)) + Vzp = 0, }/у+ Vzq = 0. (19")
Уравнения (19') и (19") определяют при постоянном а
характеристическую линию и в каждой точке её угловые коэффициенты ρ
и q некоторой плоскости; так как эта плоскость есть касательная
к интегральной поверхности и характеристика лежит на этой
поверхности, то плоскость
Z — z = p(X — x) + q(Y—y)

§ 4] МЕТОД ЛАГРАНЖА-ШАРПИ НАХОЖДЕНИЯ ПОЛНОГО ИНТЕГРАЛА 381
есть одна из касательных плоскостей к
характеристической линии (19') в точке (лг, у, г).
Таким образом, уравнения (19') и (19") определяют при
постоянном а геометрический образ, составленный из кривой (19'), каждой
точке которой отнесена одна из касательных плоскостей к этой
кривой. Этот образ мы будем называть характеристикой первого
порядка или характеристической полосой. Вся характеристика первого
порядка принадлежит интегральной поверхности как полного, так и
общего интеграла — точки кривой лежат на интегральных
поверхностях, а касательные плоскости, определённые уравнениями (19"),
являются касательными плоскостями к интегральным поверхностям.
Мы провели наше рассмотрение, выбрав определённую
функцию ω (а) и придавая затем параметру а постоянное значение.
Поставим теперь вопрос об определении всех характеристик,
которые можно получить из полного интеграла (19). Заметим, что
при постоянном значении а0 параметра а значение произвольной
функции ω (а) есть произвольное число £0, а значение
производной а/(#) есть ещё одно произвольное число с0!). Итак, все
возможные характеристические линии определяются
уравнениями:
V(x9 у, z, a, *) = 0, V'a{x, у, ζ, а, Ь)+У*ь(х,у9 г, a, b)c = Ot (19'")
где a, Ь, с — три произвольные постоянные. Чтобы
определить характеристики первого порядка, надо к уравнениям (19'")
присоединить ещё следующие:
VO,(X, У, *, а, Ь)+\/гр = 09 \/y + ]/zq = 0. (19IV)
Итак, характеристики (нелинейного) дифференциального уравнения
в частных производных образуют семейство от трёх параметров.
§ 4. Метод Лагранжа-Шарпи нахождения полного интеграла.
1. В предыдущем параграфе мы видели, что задача интеграции
уравнения в частных производных может считаться формально
законченной, если нам удалось найти полный интеграл, так как все
остальные решения получаются из него дифференцированием и
исключением. Переходим к тем методам, которые дают возможность
фактически разыскивать этот интеграл. При этом мы будем придерживаться
формальной точки зрения, т. е. считать задачу разрешённой, если она
сведена к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных
1) В самом деле, достаточно взять функцию ω (а) вида:
<»(а) = Ь0+(а — а0)с0,
чтобы иметь
ω (а0) = b0t ω' (а0) = с0.

382 НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ [ГЛ. IX
уравнений, а тем более к квадратурам. Мы будем опираться на
результаты § 1, а именно, там мы видели, как находить решение
двух совместных уравнений с частными производными. Теперь нам
дано одно такое уравнение. Идея метода Лагранжа-Шарпи состоит
в том, что мы находим второе уравнение при условии, чтобы система
из двух полученных уравнений была вполне интегрируема. Второе
уравнение подбираем так, чтобы оно содержало одно произвольное
постоянное. При интеграции системы двух уравнений введётся ещё
одно произвольное постоянное. В результате мы получаем решение
данного уравнения, зависящее от двух произвольных постоянных,
т. е. полный интеграл.
Переходим к изложению метода. Дано дифференциальное
уравнение в частных производных первого порядка:
F(x, У, *, Р> ?) = 0. (1)
Постараемся найти второе уравнение:
Φ (*, у% ζ, рл q) = a, (32)
содержащее произвольное постоянное а, так чтобы система
уравнений (1) и (32) удовлетворяла условию полной интегрируемости. Для
этого, прежде всего, необходимо, чтобы эта система была разрешима
относительно совокупности переменных ρ и q, в частности, чтобы
не обращался тождественно в нуль якобиан
О (£, Ф)
О (/>, q) *
Предположим эти условия выполненными. Тогда мы можем
привести систему к виду:
Р = А(х* У> *)\ q = B(x, у, ζ), (3)
и условие полной интегрируемости напишется так:
дА , дА D дВ , дВ λ
Перепишем это условие для системы (1), (32), определяющей
ρ и q как функции от х9 у, ζ, пользуясь формулами производных
от неявных функций. Замечаем, что для подстановки в уравнение (4)
нам достаточно вычислить следующие частные производные:
дА др_ frp_ _d#_ dq
ду = ду * дг ' дх ' дг
Дифференцируем равенства (1), (32), рассматривая ряд как
функции от лг, у, ζ9 по г; получаем:

§ 4] МЕТОД ЛАГРАНЖА-ШАРПИ НАХОЖДЕНИЯ ПОЛНОГО ИНТЕГРАЛА 383
откуда
др_
dz ~
Ff F7
гг Гя
Ф' Ф'
F' F'
Ρ ГЯ
ф' ф'
Ρ w«2
*^_
' dz~
F* F7!
φ' φ'
ρ Λ
F' F'\
γρ гя\
φ' φ'
*Ρ Я\
(33)
Аналогично, дифференцирование по х даёт:
откуда
д?
d*
f' f'I
Ρ x\
φ' φΊ
ГР Я\
Φ' Φ'
Ρ Я\
(34)
Дифференцирование по у даёт:
ду
ду
ду
ду
откуда
^_
ду —
F' F'I
2/ Я\
φ' φΊ
wi/ ^1
F7 F'I
Pi
φ' φΊ
wρ *q\
(35)
Вставляем выражения (3) для Л и В и выражения (33), (34), (35)
для их производных в условие (4); освобождаясь от знаменателя,
который, по условию, не равен нулю, получаем:
Р = 0,
или
F'y
ф;
Fa
ф;
—
ф;-
φ; φ;
-\-F'tp\
-f-φ.ρΙ
I
+
φ;
f' f'
rP 'X
Φρ Фж
; F'y-\-
Ί ф*+
+
Кя
Ф*0
φ; φ;
= 0.
(36)
Для производных от известной функции F вводим обозначения:
F'x = X, F'y=Y, F't = Z, F'P = P, F'a = Q.

384 НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ [ГЛ. IX
Раскрывая определители # в последнем равенстве, мы получим для
неизвестной функции Φ линейное уравнение в частных
производных первого порядка:
iS+eg+№+<»£-C+*)g-(i'+«0-a (37)
Это уравнение связано с системой обыкновенных дифференциальных
уравнений *):
dx dy dz dp dq
Q ~ Pp + Qq X + Zp V+Zq-
(38)
Нам достаточно найти одно частное решение уравнения (37),
содержащее произвольное постоянное; следовательно, достаточно
найти один первый интеграл системы (38):
Φ (*, У у *, Р> Я) = а9 (32)
удовлетворяющий тому условию, что уравнение (32) вместе с
уравнением (1) разрешимы относительно р, q. Производя это
разрешение, мы найдём выражения ρ и q через х9 у, ζ и постоянное а:
P = ?i<X У у *у а\ Q = (?z(x>y> z> я)· Подставляя эти выражения
в уравнение Пфаффа:
dz = pdx-\-qdy% (39)
получаем, согласно предыдущим рассуждениям, вполне интегрируемое
выражение:
dz = φ, (х, у9 ζ, a) dx -f- φ2 (χ> У> ζ> a) dy.
В его общее решение войдёт постоянное b, и мы получим, таким
образом, полный интеграл уравнения (1):
V(x9 у, ζ, а, *) = 0.
Примечание 1. Одним из первых интегралов системы (38)
является соотношение F(x9 у, z9 p> q) = C, что явствует из вида
уравнения (36); конечно, интеграл Φ должен быть отличен от F.
Но наличие известного интеграла, точнее, соотношения /7 = 0,
позволяет понизить порядок системы (37) на единицу, т. е. до третьего
порядка.
Примечание 2. Если данное уравнение не содержит явно
искомой функции, т. е. имеет вид:
F{*> У, Ρ у ?) = <>> Οι)
!) Если предположить существование вторых непрерывных производных
функции /\ то система (38) удовлетворяет условиям теоремы Коши;
начальные условия надо выбрать так, чтобы хотя бы один из знаменателей не был
равен нулю.

§ 4] МЕТОД ЛАГРАНЖА-ШАРПИ НАХОЖДЕНИЯ ПОЛНОГО ИНТЕГРАЛА 385
то второе уравнение тоже можно искать в форме:
Φ С*, У л Р, Я) = <*.
Тогда уравнения (36) и (37) примут вид:
ф;ф;
+
Ί Ί
Фа Фа
= 0.
дФ дФ
■ χψ—γ^
dp dq
о,
а вместо системы (38) будем иметь:
(32,)
(36,)
№
(38,)
dx dy dp ' dq
(систему третьего порядка с одним известным соотношением).
Из уравнений (1J и (32j) мы определим:
Ρ = ζ?ι (■*> У> а)> Я = ?2 (■*> У у а)>
и уравнение Пфаффа
dz = cpj (χ, у, α) Άχ -f- φ2 (χ> У у а) dy
интегрируется в квадратурах.
Примечание 3. Выражение в левой части формулы (3βΑ)
называется скобкой Пуассона и обозначается так:
(F, Ф)еэ
Выражение в левой части (36) называется скобкой Майера;
если ввести условные обозначения:
^^dF_\dF_ dF _dF , dF
dx — дх "+" dz Pt dy ~~ ду~> ** q
dF
dp
дФ
ι dp
dF
dx
dΦ
dx
+
dF
dq
dΦ
dq
dF\
dy\
dΦ
dy
dz
и аналогично для Ф, то скобка Майера будет:
[Ζ7, Ф] =
dF
dp
d^
dp
dF
dx
άΦ
dx
+
dF
dq
dΦ
dg
dF
dy
άΦ
dy
Говорят, что две функции, обращающие в нуль скобку Пуассона
или Майера, находятся в инволюции. Итак, первый шаг метода
Лагранжа состоит в том, что мы подыскиваем второе
уравнение, находящееся в инволюции с первым.

386
НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
[ГЛ. IX
Примечание 4. В методе Лагранжа-Шарпи мы использовали только
один первый интеграл системы (38). Докажем теперь, что если известны
два первых интеграла системы (38), находящиеся в инволюции, то (при
одном добавочном условии) полный интеграл уравнения (1) получается без,
всяких интеграции. Пусть нам известны два первых интеграла системы (38}'·
Φ (χ, у, г, рщ q) = a, Ψ (χ, у, г, рч q) = b.
(32,)
Согласно известной зависимости между системой (38) и линейным уравнением
в частных производных (37), мы имеем тогда также [F, Ф] = О, [F, Ψ] = 0.
Кроме того, по условию теоремы [Φ, Ψ]=0. Введём дополнительное
условие:
Ρ(ΛΦ,Ψ)
D(z,p,q) ^U·
Тогда уравнения (1) и (322) можно разрешить относительно z, р, q. Пусть
результат разрешения будет:
г = <р (χ, у, α, b), ρ = ψ (χ, y, a, b), ς = χ (χ, y, a, b).
(Α)
Чтобы доказать наше утверждение, достаточно показать, что ρ и q,
определённые формулами (А), являются частными производными от φ по л: и по у.
Подставляем выражение (А) в формулы (1) и (322) и дифференцируем
полученные тождества по jc и по у:
к+к^+^'х+Къс-ь fv+ K<tv+F'Pvv+ ^*;=o.
Чтобы составить скобки Майера, умножаем первое уравнение первого
столбца на —Фр, второе на F' первое уравнение второго столбца на — Ф'
второе на Fq и сложим полученные выражения; прибавляя и вычитая
выражения (/ЗД — Фр ?ζ) ρ и (Ffi, — <b'qF'z) q, получаем:
[л ф] + е><- *'ρΚ) ού -/>) + (Κ< - Φ*Κ) (<£ - я)+
или, в силу равенства нулю скобки Майера,
Fr F4 U'
φ' φ' ΚΎ*
ρ ■ Ι
■ρ) +
Κ Κ
q г
Φ' Φ'
(»;-
-?)+
^ /·»
Φρ *,
(^ύ-ψ;) = ο·
Аналогично, комбинируя тождества второй и третьей строки, а также третьей
и первой, находим:
φ' φ'
ψ' ψ'
Ρ Ζ
ψ' ψ'
*ρ ζ
F' F'
1 Ρ ι ζ
Wx—P) +
(?i — Ρ) +
*J я.' 1
Φ Φ
Я. β
ψ' ψ'
я «Ι
Я Г г
Ыу-Я) +
b'y-q) +
Ι φ' φ'
^Ρ Я
Ρ Я
Ρ Q

§ 4] МЕТОД ЛАГРАНЖА-ШАРПИ НАХОЖДЕНИЯ ПОЛНОГО ИНТЕГРАЛА 387
Получилась система трёх линейных уравнений с тремя неизвестными.
Определитель этой системы имеет своими элементами миноры якобиана Δ;
следовательно, он равен Δ2=£0. Отсюда неизвестные тождественно равны нулю, т. е.
/ / dq г j/ dp
Ρ — ?»' ? —V <^ — X» — Чу — Jty*
Теорема доказана.
2. В некоторых частных случаях интеграция уравнения (1)
упрощается; именно, для нахождения второго уравнения нет нужды
писать всю систему (38) или (38j). Рассмотрим эти случаи.
1) Уравнение вида F(p, q)=*0. Здесь уравнение р — а
находится в инволюции с данным; определив из уравнения F{a, q) = Q
значение q = f(a) и подставив эти выражения ρ и q в уравнение
Пфаффа (39), получаем после интеграции полный интеграл:
г = ах -}- / (а) у -f- b.
Очевидно, к тому же результату мы могли бы притти, если бы
написали систему (38х) и, обратив внимание на то, что Х*=09
получили одно уравнение вида dp = 0, откуда первый интеграл р = я.
Пример 9. p2-\-q2=l. Взяв дополнительное уравнение в виде
ρ = cos α (α — произвольное постоянное), найдём из данного
уравнения q2= sin α. Полный интеграл:
г = χ cos α -\-у sin α -j- д.
2) Уравнение F (ζ, ρ, q) = 0. Два последних члена равенства (38)
дают: —= —; соответствующий первый интеграл: -%- = а.
Внося значение q = ap в уравнение, имеем F(z, ρ, ар) = 0;
разрешаем относительно р: ρ = ψ(ζ> а), соответственно q = ao(z, a).
Подстановка в уравнение Пфаффа даёт после разделения
переменных
;
— - = χ -4- ау + Ь.
Пример 10. /72 = г2(1—pq). Полагая <? = яр, находим:
ζ „ αζ γ\ + αζ* . . ,
откуда
x+qy+bamjY^ + ^ d2.
Последний интеграл подстановкой ]/*! + αζ2 = и приводится к виду:
Г Ми . . J t и
и—l
+ 1

388 НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ [ГЛ. IX
Искомый полный интеграл:
3) Случай разделяющихся переменных. Уравнение
вида
?(■*» р) = Ф(у. я)
интегрируется следующим образом: вводим вспомогательное
уравнение ср(дг, р) = ащ> тогда, заменяя данное уравнение уравнением
ψ(^, q) = at мы получаем два уравнения в инволюции; из одного
получим: /7 = /(дг, а\ из другого: q = g(yy а). Интеграция
уравнения Пфаффа приводится к квадратурам и даёт полный интеграл:
*=//(■*. a)dx+f g(y, a)dy + b.
Если решить это уравнение общим методом, то первый и третий
члены уравнений (38J дадут:
%r~lk или ^dx+i*dp=0'
dp дх
откуда и получается дополнительное уравнение φ (лг, р) = я.
Пример 11. pq = xy. Разделяем переменные:
РУРУ У
x=q> Τ = α; f=a; P = aX' q=**'
j j \ У dy αχ2 , ν2 , ,
dz=axdx-\-^-^-; Zr==1~ +"^""T**·
Если бы мы написали систему (Зв^: — = -^- = -2- = -3-% то до-
~ dx dp
полнительное уравнение получилось бы из уравнения — = ~, если
в нём, согласно заданному уравнению, отношение — заменить через —:
— = —Р-. Если же взять второй и третий члены равенств (38J, то
χ ρ
вспомогательное уравнение будет: р2—у* = а, откуда р=Уу*-±-а;
XV
тогда из данного уравнения находим: д = —7— , и уравнение
УУг + а
Пфаффа, dz — Yy* + a dx fydy = 0, даёт:<г=дг УуЪ + а + Ь
Уу2 + а
— новую форму полного интеграла.
К рассмотренному типу относится уравнение р=/(лг, q)9 если
его решить относительно q. Но можно непосредственно взять

§ 4] МЕТОД ЛАГРАНЖА-ШАРПИ НАХОЖДЕНИЯ ПОЛНОГО ИНТЕГРАЛА 389
в качестве дополнительного уравнения q = a. Тогда р=/(х, а)} и мы
получаем новый интеграл:
г= Г/(лг, a)dx-\-ay-\-b.
4) Обобщённое уравнение Клеро имеет вид:
z=*p*+qy+f(p, ?)·
Легко проверить, что его полным интегралом является *)
z = ax-]-by-\-f(at b).
Пример такого уравнения рассмотрен в § 3 (пример 8).
В заключение рассмотрим пример, где необходимо приложить
общий метод Лагранжа-Шарпи для разыскания полного интеграла.
Пример 12. /?2 + <72 + р? — qx—РУ— 2г + лгу = 0. Система
(38) имеет вид:
dx dy dz
2р + д—У 2g + p-x 2p* + 2q* + 2pq — py — qx
dp _ dq
==3q-y + 2p-p-x + 2qm
Непосредственно получаем интегрируемую комбинацию: dp = dx,
р = х-\-а. Вставляя это значение ρ в данное уравнение, получаем;
?2 + я<7 — 2г — ау + (х-\-а)* = 0.
Определяем из этого уравнения q:
Подставляя значения ρ и q в уравнение Пфаффа, получаем после
простых преобразований:
dz -f- -у dy — (χ + a) dx
dy = О,
yr2z + ay-(x + a)*+^
1) В системе (38) имеем два члена —^- = -~-, дающих два первых
интеграла р = а, q = b. Согласно примечанию 4 п. 1 настоящего параграфа,
полный интеграл получается без всяких интеграции.

390 НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ [ГЛ. IX
откуда (вводя для простоты окончательного результата постоянную
интеграции в виде Ь + ~)
;/ + * + ! = ]/ 2* + ву _(* + «)«+-*,
ИЛИ
2z = (x-\-a)* + (y + b)*-\-ab.
Примечание. Часто для упрощения вычислений полезно
предварительно произвести в уравнении замену переменных; покажем это
на примере.
Пример 13. p2-\-q2 — (х2 +.У2)* = 0· Переписываем
уравнение в виде:
Вводим новое переменное ζ = Υζ\ тогда переменные разделяются:
4 ί-ς—) —лг2 = —4 f^—J +.У2. Приравнивая обе части произвольной
постоянной а, находим:
откуда
или
*£-V* + ** 2d± = Vy>-a,
2Yz = j Ух^-\-аах-\- J Ууъ — ady,
2У'г= ^xy# + a+±\ti(x+V** + a) +
3. Решение задачи Коши по известному полному
интегралу. Мы видим, что знание полного интеграла даёт
возможность получить все решения заданного уравнения в частных
производных методом вариации постоянных α и ί. Поставим теперь
задачу Коши: найти определённое решение по заданным начальным
условиям. Для уравнения в частных производных первого порядка
начальная задача Коши ставится так: найти функцию г(х, у),
которая при х = х0 обращается в заданную функцию f(y). На
геометрическом языке это значит: найти интегральную поверхность,
проходящую через данную кривую, лежащую в плоскости х = х0.
Мы поставим начальную задачу более общую:
Найти интегральную поверхность уравнения (1), проходящую
через заданную (пространственную) кривую:
Λτ = φ(/), y=){f), г = х®. (40)

§ 4] МЕТОД ЛАГРАНЖА-ШАРПИ НАХОЖДЕНИЯ ПОЛНОГО ИНТЕГРАЛА 391
Пусть нам дан интеграл уравнения (1):
ζ = Φ{χ, у, а, Ь). {Л)
Возьмём уравнения, определяющие общий интеграл:
ζ = Φ (xt у, α, ω (я)), (40^
Φα{χ> У> а> <*>(я)) + ф' (*, у, α, ω(α))ω'(α)=0. (402)
Нам надо определить функцию ω (я) таким образом, чтобы
поверхность, определяемая уравнениями (40j) и (402), проходила через
кривую (40). Если мы вставим выражения (40) на место х, у, ζ
в уравнение (40Д то получим одно условие, которому должна
удовлетворять функция ω (а):
— X W + Ф (? (0. Ψ (0, α, ω (α)) = 0; (41)
запишем это уравнение сокращённо:
£/(<, а, ш(Д)) = 0. (410
Равенство (402) даёт, по подстановке начальных данных (40),
уравнение, левая часть которого получается дифференцированием левой
части равенства (41j) по я, если рассматривать t как постоянное:
Ua ft я, ω (а)) + UL (*, я, ω (а)) т (а) = 0. (412)
Соотношение (41j) при известной функции ω (я) определяет я через
переменное t, т. е. выделяет в каждой точке кривой (40)
поверхность семейства (А), проходящую через эту точку, так что
огибающая их совокупности есть искомая интегральная поверхность.
Дифференцируя в этом предположении равенство (41j) по έ, получаем:
^ + 1^α+£Λω>)]-^ = 0,
или, в силу равенства (412),
Ut(t, я, о>(я)) = 0. (42)
Равенства (41j) и (42) дают нам, вообще говоря, возможность
выразить я и ω (я) в функции t, или же, если из них исключить t, дают
соотношение b = ω (я) между b и а, т. е. в обоих случаях выделяют
семейство от одного параметра из семейства (А). Исключение этого
параметра из уравнений (40j) и (402) даёт искомое решение. В самом
деле, сравнение уравнений (40j) и (402) с равенствами (41 j) и (412)
показывает, что характеристики семейства (40j) получаемые при
данном значении t, проходят через соответствующую точку кривой (40).
Уравнение (42), являющееся следствием уравнений (41t) и (412),
в раскрытом виде пишется так:

392 НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ [ГЛ. IX
оно выражает тот факт, что касательная к кривой (40) с угловыми
коэффициентами φ' (ή, ψ' (Υ), χ' (t) лежит в касательной плоскости
к полученной интегральной поверхности (угловые коэффициенты
которой суть Фж, Фу—1) — факт, очевидный геометрически, так как
построенная интегральная поверхность проходит через кривую (40).
Примечание. Если исключить параметр / из уравнений (41а) и (412),
то мы придём к дифференциальному уравнению первого порядка
Π (я, ω (α), ω' (а)) = 0, (43)
которому удовлетворяет функция ω (я). Заметим, что его общим решением
является выражение (413) при постоянном t, так как уравнение (43)
получается из (412) дифференцированием по а и исключением L Но, очевидно, это
общее решение не определяет нужной нам функции ω (а), так как в наших
рассуждениях t рассматривается как переменный параметр. Искомая функция
получилась присоединением уравнения (42) и исключением L Но
дифференцирование общего решения по параметру и последующее исключение
параметра приводят к особому решению. Итак, искомая функция ω (α) является
особым решением уравнения (43).
Пример 14. Для уравнения ζ = рх-\-qy-\-pq найти решение,
проходящее через кривую:
х = 0, г = у2.
Полный интеграл уравнения есть ζ = ах -f- by + ab. Пишем
начальную кривую в параметрической форме: д; = 0, y=-t> z = t2.
Вставляя это начальное значение в полный интеграл, получаем:
P = bt+ab.
Дифференцируем по t: 2t — b; подставляем это значение в уравнение
и получаем: а = ψ. Вместо а вводим /как параметр семействаоо1
интегралов; получаем:
z = — ^x + 2ty — fl.
Остаётся найти огибающую этого семейства поверхностей.
Дифференцируем по t\ у--\-2у — 2/= 0, откуда t = y г- и, наконец,
ХУ ι х1 ι о о ХУ ά ι ХУ х2 (х .Λ2
— искомое решение.
ЗАДАЧИ.
Проинтегрировать следующие уравнения:
2\\. рх-\-qy— рд = 0. Задача Коши при χ = 0, ζ =у.
212. /?2 + zpq = z*.
213. p2x*+g2y2==2t
у χ χ ' у

§ 5] МЕТОД КОШИ ДЛЯ ДВУХ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ 393
X2 V2
215. iL + 4r = i2.
Ρ1 Я1
216. z—px—qy — З/?2 + q2 = 0. Решить задачу Коши: ζ =у2 при л: = 0;
найти особый интеграл.
217. (г— рх—qy)2 = 1 + ρ2 -f- q2. Найти особый интеграл.
218. р2 + ?з__ 2рдг -- 2?.у + 1 = 0.
219. p2 + q + x + z=*0.
§ 5. Метод Коши для двух независимых переменных.
Метод Коши интегрирования уравнений в частных производных
первого порядка состоит в том, что сначала отыскиваются
характеристики (точнее — характеристические полосы]^ Так как
характеристическая .полоса представляет многообразие одного измерения (вдоль
характеристической линии х, у> г выражаются функциями одного
параметра: отнесённые к каждой точке линии величины ρ и q тем
самым являются функциями того же параметра), то естественно
ожидать, что нахождение характеристических полос сведётся к
интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений. После
того как характеристики найдены, возникает вторая задача —
составить из этих характеристик интегральную поверхность.
1. Определение характеристических линий на
интегральной поверхности. Дано дифференциальное
уравнение:
F{*> У, *, р, (7) = 0, (1)
где функция F допускает в рассматриваемой области непрерывные
частные производные второго порядка.
В п. 5 § 3 настоящей главы мы определили характеристические
линии на поверхности, входящей в полный интеграл уравнения (1),
при помощи уравнений (19"'), которые в случае, если полный
интеграл дан в форме (19j), разрешённой относительно ζ, имеют вид
* = <?(*» У у <*у Ъ\ <?'а(лг, у, я, b)-\-<?'b(x9 у, ау Ь)с=*01). (44)
Замечаем, что второе из уравнений (44) не содержит ζ и
представляет уравнение проекций характеристических линий на плоскость хОу.
Найдём дифференциальное уравнение этих проекций.
Дифференцирование второго из уравнений (44) даёт для перемещения вдоль
проекции характеристической линии на плоскость хОу соотношение:
K,-\-'?'Lc)dx+Ky + ^)dy-^ (45)
Оба выражения в скобках не равны тождественно нулю, ибо иначе,
в силу произвола с, <ρ'χ и φ' не. зависели бы от а и Ь, и функция ζ
1) Мы предполагаем, что φ допускает непрерывные первые производные,
а также непрерывные вторые смешанные производные по переменным лг, у%
с одной стороны, и параметрам а% b — с другой.

394 НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ [ГЛ. IX
удовлетворяла бы двум уравнениям в частных тиэоизводных:
Ρ =*<?*(*> -V). Я = ?'у(х> У)>
следовательно, зависела бы только от одного существенного
параметра. Подставляя значение ζ из (44) в уравнение (1) и
дифференцируя полученное тождество по а и Ь, получим *):
«α I · σα? Ι ^ ' ш/ 9 'bT1 Jbx I ^>by
Умножаем второе из этих равенств^ на с и складываем с первым;
в силу второго из соотношений (44) члены, содержащие Ζ,
уничтожатся, и останется
Piv'L+v'L^ + QWy+vlyC)-0- (46)
Рассматривая (45) и (46) как два линейных уравнения, допускающих
отличные от нуля решения, приходим к равенству нулю их опреде-
dx dy
Ι = 0, откуда
лителя:
Р Q
dx _dy
P—Q
— искомое дифференциальное уравнение.
Пусть теперь дана любая интегральная поверхность
для уравнения (1):
г = ср(лг, у), (47)
причём ср допускает непрерывные частные производные первого и
второго порядков. На поверхности (47) мы назовём
характеристиками (или характеристическими линиями) линии, проекции которых
на плоскость хОу удовлетворяют дифференциальному уравнению".
£-$, (48)
где на место входящих в Ρ и Q переменных г, р9 q подставлены
соответственно φ (л:, у), φ^,, φ' Уравнение (48) есть обыкновенное
дифференциальное уравнение первого порядка между χ и у; если Ρ
и Q одновременно не обращаются в нуль, оно, в силу
предположения относительно F, определяет единственное решение,
соответствующее начальным данным лг0, д/0. Таким образом, через каждую точку
(*о> Уо> *о = ?(■*<» УоУ) поверхности (47) проходит единственная
характеристическая линия, лежащая на этой поверхности.
2. Дифференциальные уравнения характеристик
первого порядка. Наше определение характеристик не
подвинуло ещё вперёд решения задачи об интегрировании уравнения
х) Сохраняем введённые в § 4 обозначения.

§ 5] МЕТОД КОШИ ДЛЯ ДВУХ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ 395
в частных производных первого порядка, так как мы умеем пока
определять характеристические линии только на данной интегральной
поверхности, а перед нами стоит задача — найти интегральные
поверхности. Решающий факт, благодаря которому в методе Коши
оказывается возможным сведение задачи об интегрировании уравнения
в частных производных первого порядка к интегрированию системы
обыкновенных дифференциальных уравнений, заключается в переходе
к характеристикам первого порядка. Определим характеристику
первого порядка как характеристическую линию, лежащую на
интегральной поверхности, каждой точке которой отнесён
соответствующий элемент прикосновения этой поверхности, т. е.
угловые коэффициенты ρ и q касательной плоскости к поверхности.
Для удобства введём вдоль характеристической линии параметр и,
приравнивая дифференциалу от и отношения (48):
dx dy *
или
dx _ ρ dy _ η
du~~n du~4'
(48χ)
К уравнениям (48х) мы можем непосредственно присоединить ещё
одно уравнение; в самом деле, при перемещении по поверхности
переменные л:, у, г, ру q связаны соотношением dz = pdx-\-q dy
(так как ρ и q являются угловыми коэффициентами касательной
плоскости), или
dz dx , dy
du ~P du ·" q du *
откуда, сопоставляя с уравнениями (48х), получим уравнение:
du '
ъ-рр+Оя-
(488)
Вдоль характеристики первого порядка мы имеем пять неизвестных
функций х9 у, ζ, ру q от и и всего только три уравнения (48j),
(482). Постараемся дополнить эту систему ещё двумя уравнениями.
Для всякого перемещения по интегральной поверхности мы имеем:
dp = rdx-\-sdy, dq = sdx-\-tdy г);
в частности, для перемещения вдоль характеристической линии имеем:
du
du
dq_
du
dx>tdy
du
du*
l) Через r, <?, t обозначены соответственно ^-^,
дх** дхду'ду**

396 НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ [ГЛ. IX
dx dy noN
или, заменяя —, — их значениями из (48j),
g = /y + QS( dA = ps+Qf. (49)
В добавленные уравнения (49) входят три новые неизвестные
функции— значения вторых производных от ζ вдоль характеристической
линии (совокупность значений х9 у9 г, р, q, /*, s, t вдоль этой линии
есть характеристика второго порядка). Но мы можем выразить
правые части уравнений (49) только через величины х7 yf zt p, q. Для
этого обращаемся к уравнению (1), которое по подстановке в него
решения (47) обращается в тождество. Дифференцируя это тождество
по а; и по у9 получаем:
X+Zp-{-Pr+Qs = 0, Y + Zq + Ps + Qt=zO. (50)
Определяя из равенств (50) значения Pr-\-Qs, Ps-\-Qt и
подставляя их в уравнения (49), получаем два добавочных
дифференциальных уравнения:
% = -X-Zpt % = -Y-Zq.
Присоединяя эти уравнения к системе (48j), (482), получим пять
уравнений с пятью неизвестными функциями:
dx dy _ dz dp dq _ . ,-n
Ρ Q — Pp + Qq— χ + Ζρ—' Y+Zq—aU' *01'
Заметим, что с точностью до введённого нами вспомогательного
переменного и (несущественного) система (51) совпадает с системой (38),
которая была получена в методе Лагранжа-Шарпи.
Если уравнение дано в виде, разрешённом относительно р:
P=f(*> У> *, Я)у (18)
то система (51) напишется в виде:
^у_ dy _ dz _ dp _ dq ~- .
—fq f—qfq fx+ffz fy + Qfz
В системе (51,) нет нужды вводить вспомогательное переменное и;
естественно взять χ в качестве независимого переменного; кроме
того, в эту систему явно не входит р, так что достаточно
проинтегрировать систему из первого, второго и четвёртого уравнений и
затем определить ρ при помощи равенства (18).
Итак, всякая характеристика первого порядка удовлетворяет
системе (51). Эту систему, в которой число уравнений равно числу
искомых функций, можно интегрировать без предварительного
знания интегральной поверхности (47).

§ 5] МЕТОД КОШИ ДЛЯ ДВУХ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ 397
3. Определение характеристик из
дифференциальных уравнений. Мы показали, что всякая характеристика
первого порядка уравнения в частных производных (1) или (18)
удовлетворяет системе обыкновенных дифференциальных
уравнений (51) или (51 j). Пусть общее решение системы (51) при
начальных значениях и = 0, лг0, у09 z0, p0, д0 будет:
лг==ср1(и; х0, y0i z0f p0, qQ),
У = ?2 (и'> хо> Уо> zo> Pof Яо)>
г = Ъ(и\ хо> Уф zo> А» %)>
Р = Ыи1 хо> Уо> zv Ро> %)>
q = ф2 (и; х09 yQi z0i р0, q0).
(52)
Однако не все эти решения являются
характеристиками. Чтобы выделить из функций (52) те, которые соответствуют
характеристикам, заметим, прежде всего, что система (51) допускает
первый интеграл:
F{x, У, *, Р, Я) = С. (53)
В самом деле, дифференцируя левую часть этого равенства по и и
принимая во внимание уравнения (51), получаем:
dF — vdx\ уйУ \ydz JL_ndP \nd(l —
= XP+YQ-\-Z{Pp + Qq) — P{X+Zp) — Q(Y + Zq)=*0*).
Следовательно, функция F имеет вдоль каждого решения системы (51)
постоянное значение — то самое, которое она имеет для начального
элемента; итак, вдоль решения (52) системы (51) мы имеем:
F(x9 У, г, Р> q) = F{x0, y0, z0t p0> ?o)· (53J
Заметим теперь, что характеристики первого порядка состоят из
элементов интегральных поверхностей данного уравнения, так что эти
элементы удовлетворяют уравнению (1), т. е. функции (52),
определяющие характеристики, должны быть связаны соотношением F = 0.
Равенство (53х) показывает, что последнее соотношение будет
выполняться вдоль всей характеристики, если начальные значения связать
соотношением:
F(x0> Уо> ζο> Ρο> ?ο) = °· (54)
Итак, мы назовём характеристиками первого порядка решения (52)
системы (51), в которых начальные значения связаны
соотношением (54).
1) См. также § 4, 1, примечание 1.

398 НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ [ГЛ. IX
В случае уравнения в частных производных вида (18) и
соответствующей системы обыкновенных уравнений (51х), с независимым
переменным х, решения этой системы имеют вид:
У-
г -■
Р-
Я-
Р-
= gi(*',
=*«*(*;
= Α,(λγ;
= й2(*;
= /(*,
•*ч)>
·*Ό»
•^0»
X0>
Si»
Уо>
Уо,
Уо,
Уо,
§2»
&0>
го.
zo,
г0>
Ад).
ЯоУ, ]
Яо);
Яо)-\-Ро\
Яо);
)
Соотношению (54) в этом случае соответствует равенство:
Ροβ/(*ο»Λ» *о> %)> (54ι)
которое определяет начальное значение р0.
Подсчитаем, от скольких параметров зависит семейство
характеристик. Если характеристики заданы уравнениями (52j) и усло-
BHeM,(54j), то начальное значение независимого переменного х0
следует рассматривать как заданное число, и остаются три независимых
параметра j/0, г0, q0, в полном согласии с числом параметров, от
которого зависят характеристики, получаемые из полного интеграла.
В случае системы (52) и соотношения (54) замечаем, что
переменное а не является существенным; если, например, РфО при
начальных условиях, то за независимое переменное можно опять выбрать х\
тогда, рассматривая х0 как данное число, мы получим опять три
независимых параметра у0> z0, q0; р0 выражается через них с помощью
соотношения (54).
Из условий единственности решения системы (51) или (51j) с
заданными начальными данными (эта единственность следует из
существования у функции F или / непрерывных вторых производных)
следует, что характеристика однозначно определяется начальным
элементом. В частности, пусть две интегральные поверхности
соприкасаются в некоторой точке (л;0, у0> г0); тогда они имеют в этой
точке общее значение частных производных, р0 и q0. Начальный
элемент (дг0, у0, г0, р0, q0) определяет единственную характеристику
первого порядка, принадлежащую, очевидно, обеим интегральным
поверхностям. Следовательно, если две интегральные поверхности
соприкасаются в одной точке (причём соответствующий элемент не
является особой точкой для системы (51)), то они соприкасаются
вдоль всей характеристической линии, проходящей через эту
точку х).
4. Построение интегральной поверхности из
характеристик. Так как всякая дважды дифференцируемая инте-
г) Отсюда, в частности, следует, что элементы, принадлежащие особому
интегралу, являются особыми для системы дифференциальных уравнений (5ljk

§ 5] МЕТОД КОШИ ДЛЯ ДВУХ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ 399
тральная поверхность, по доказанному, распадается на оо1
характеристик, то естественно поставить задачу: зная характеристики,
построить из них интегральные поверхности. Для этого необходимо,
прежде всего, выделить семейство характеристик от одного
параметра, т. е. взять начальные значения (лг0, y0i z0, p0> q0) как
(дифференцируемые) функции одного параметра v. Эти функции, конечно,
должны быть связаны соотношением (54). Затем надо потребовать,
чтобы характеристики первого порядка были «прилажены», т. е.
чтобы определённые вдоль характеристики плоскости с угловыми
коэффициентами р, q стали касательными плоскостями поверхности,
образованной характеристическими линиями. Это равносильно
требованию, чтобы, если представить интегральную поверхность в форме:
z=.(f(x, у), (47)
имели место равенства:
dz dz
р-"д1> д~~ду*
Так как у нас независимыми переменными теперь являются и и ν,
то последние условия целесообразно написать в дифференциальной
форме (справедливой при любом выборе независимых переменных):
dz=pdx-\-qdy. (55)
Дифференциальное равенство (55) равносильно двум уравнениям:
dz дх . ду ,,._ ч
■Ш=РШ+^' (55х)
dz дх . ду
Равенство (55j), выражающее условие, что плоскость с угловыми
коэффициентами р9 q касается характеристической линии, выполняется
в силу уравнений (48j), (482) (обыкновенные производные этих
уравнений нужно заменить частными, так как мы ввели через начальные
условия второе переменное ν). Равенство (552) представляет новое
условие; его геометрический смысл — тот, что линии на
интегральной поверхности, соответствующие изменению ν, τ. е. переходу
с одной характеристической линии на другую (при постоянном и),
также должны касаться плоскости
Ζ — z~p{X— x)-\-q{Y— у).
Посмотрим, как можно удовлетворить этому условию.
Переносим все члены уравнения (552) в левую часть и
обозначаем полученную функцию через V:
\> dz дх ду /1?ЛЧ

400 НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ [ГЛ. IX
Дифференцируя равенство (56) по и:
дУ d2z d2x d2y др_'дх_ dq ду
да dvdu ^ dvdu ^ dvdu да dv да dv
и вычитая из полученного равенства результат дифференцирования
тождества (55j) no v *):
Λ d2z д2х д2а dp дх dq ду
dvdu P dvdu ^ dvdu dv du du ~duy
получаем:
d V dp_ dx_ , dq_ dy_ dp dx dq dy
du dv du ' dv da du dv du dv '
или, в силу дифференциальных уравнений (51),
С другой стороны, дифференцируя по ν тождество /7 = 0, в
которое подставлены х> ..., q как функции и и v9 получаем:
Вычитая почленно два последних равенства, имеем:
<^=_-/сЬ_ дх_ ду\
du \dv P dv 4 dv)y
или, в силу определения (57) функции V,
dV
W = -ZV- (57)
Итак, функция V удовлетворяет обыкновенному линейному
дифференциальному уравнению (57). Интеграция этого уравнения даёт:
и
V=V0e ,
где Vq есть значение V при и = и0. Из последнего равенства видно,
что для обращения V в нуль необходимо и достаточно, чтобы было
У0 = 0, т. е. чтобы х0, у0, z0, p0, q0, рассматриваемые как
функции v9 удовлетворяли соотношению:
dv P° dv qo dv — υ· (58)
l) Согласно теоремам, доказанным в главе VII, § 3, производные от
решений системы (51) по начальным данным, а следовательно, и по параметру vt
существуют и являются непрерывными дифференцируемыми функциями
независимого переменного и. Отсюда следует существование входящих в
последующее рассуждение производных и законность перестановки порядка
дифференцирования.

§ 5] МЕТОД КОШИ ДЛЯ ДВУХ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ 401
Таким образом, чтобы построить из характеристик
интегральную поверхность, необходимо, чтобы начальные условия, взятые
как функции параметра ν, удовлетворяли условиям (54) [или
(54j)] и (58). Геометрический смысл последнего условия таков:
характеристики первого порядка будут «прилажены» на всём своём
протяжении, если «приладить» их начальные элементы.
5. Задача Кош и. Чтобы найти какое-нибудь пешение
уравнения (1), нужно найти пять функций х0, у0, г0, р0, q0 параметра ν,
удовлетворяющих двум соотношениям (54) [или (54j)j и (58). Задача,
очевидно, неопределённая: можно, вообще говоря, произвольно задать
три функции. Чтобы из бесконечного множества решений выделить
одно определённое, поставим задачу Коши в простейшей форме.
Пусть уравнение задано в форме:
P=f(*> У> *> Я), (18)
где /—непрерывная и дважды дифференцируемая функция в
окрестности значений х0, у0, z0, q0, причём соответствующее значение ρ
пусть будет р0, Требуется найти решение, удовлетворяющее на-
чальному условию:
*о = ?(Уо) ПРИ х=~*о> (δ9)
где φ (у) имеет две непрерывные производные, причём пусть
<р(у0) =^0 и φ' (у0) = <7о· Уравнения характеристик (52j) определены
для некоторого интервала \х — -*г0|^^ и являются непрерывными
и дифференцируемыми функциями параметров х0, у0, z0% p0, q0
в некоторой окрестности точки (лг0, у0, z0, p0, q0). За параметр ν
возьмём значение у0; имеем:
Тогда уравнение (58), ввиду того что лг0==лг0 есть постоянное,
даёт:
наконец, условие (54j) дает:
Подставляя величины х0, у0, z0, q0 в уравнения (52J, мы получим
из двух первых уравнений:
причём правые части определены для достаточно малых значений
\х — х0\, \ν—у0\. Чтобы получить из уравнений (60) г как явную

402 НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ [ГЛ. IX
функцию от х, у, достаточно разрешить первое из этих уравнений
относительно ν и затем подставить полученное выражение во второе
уравнение (60). Для выяснения возможности такого разрешения
вычислим производную от у по ν:
Но при х = х0 мы имеем (глава VIII, § 3): ^- = 1, -^- =-^- = 0;
следовательно, при х = х0 производная -^-= 1, а значит, она отлична
от нуля при достаточно малой \х— лг0|, т. е. разрешение первого
уравнения (60) относительно ν возможно, причём ν оказывается
непрерывно дифференцируемой функцией от х, у\ подставляя
найденное значение ν во второе уравнение (60), мы получим решение
уравнения (18), удовлетворяющее начальному условию (59), в виде:
* = Ф(*, У),
где Φ допускает непрерывные частные производные первого порядка.
Докажем, что Φ допускает также непрерывные
производные второго порядка. Если в двух последних
уравнениях (52t) выразить начальные значения через параметр ν и затем
заменить ν его выражением через χ и у, то полученные функции ρ
к q будут частными производными от ζ соответственно по лг и по у>
как это следует из равенства (55); мы знаем, что функции ht и k2
допускают непрерывные производные по χ и по начальным данным,
а следовательно, и по параметру ν; отсюда, в силу
дифференцируемое™ ν по χ и по у, следует существование непрерывных частных
производных; от ρ и q по χ и по у, т. е. вторых частных
производных от г.
Единственность (среди дважды дифференцируемых функций)
найденного решения следует из того, что всякая интегральная
поверхность в окрестности неособой точки уравнений (51t) образована
характеристиками, и эти характеристики должны иметь общий
элемент с начальной кривой (59). Но это кривая однозначно
определяет в каждой своей точке, т. е. для каждого значения у0,
начальный элемент (лг0, у0, г0, р0, q0); следовательно (в силу
теоремы Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений),
характеристики, проходящие через точки начальной кривой (59,)
определяются однозначно; поэтому и сама интегральная поверхность
однозначно определяется начальными данными (59).
Общая задача Коши — найти интегральную поверхность
уравнения (1), проходящую через пространственную кривую
х = *(у), г = РО). (89χ)

§ 5J МЕТОД КОШИ ДЛЯ ДВУХ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ 403
— может быть сведена к рассмотренной частной задаче Коши
заменой переменных. Вводим новые независимые переменные X, К,
полагая
тогда получаем:
dz dz dz dz f , . . dz
Ίχ~~Έχ9 W~~dx'a W~T"dy'
откуда
„ dz dz dz , (νΛ,
после этой замены уравнение (1) принимает вид:
dz dz , /νΛ dz '
F(x+a(Y), Y, z,£, |L_e'(K)|l) = 0, (1')
а начальные условия будут:
Надо ещё исследовать вопрос, можно ли разрешить (1')
относительно производной -^г7 . Одно из условий для возможности
непрерывного и однозначного разрешения вдоль кривой (59j): производная
от левой части уравнения (1') по -^ должна быть не равна нулю.
Имеем:
[<>х)
Замечая, что а'(У) = -т— вдоль кривой (59j), приходим к заключе-
ну
нию, что приведение преобразованного уравнения к виду (18),
вообще говоря, невозможно, если вдоль кривой (59х) выполняется
соотношение:
В частности, если через кривую (59^ проходит интегральная
поверхность, то последнее соотношение показывает, что кривая (59)
есть характеристика. А в таком случае однозначное решение задачи
Коши и фактически невозможно, так как через характеристики
проходит бесконечное множество интегральных поверхностей, и задача
Коши становится неопределённой.
Наконец, можно поставить задачу Коши в таком виде: найти
интегральную поверхность уравнения (1), проходящую через заданную
кривую, данную в параметрической форме:

404 НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ [ГЛ. IX
Для определения р0 из д0 в функции параметра ν имеем два
уравнения [полученных из (54) и (58)]:
ГШ, η(<0, СИ. л, <Jo) = o,
Первое достаточное условие для того, чтобы из этих уравнений
можно было определить р0 и q0, есть то, что якобиан этих
уравнений по /?0, qQ не обращается в нуль вдоль кривой (59.2), т. е.
WQo — VWW (61)
где Р0 и Q0 означают производные от левой части уравнения (54)
соответственно по р0 и qQ.
Если выполнено также второе условие существования неявных
функций (уравнения удовлетворяются для некоторых начальных
условий), то при выполнении условия (61) мы определяем ρ0 = π(ν),
q0 = t.(v). Найденные начальные значения достаточно подставить
в систему трёх уравнений (52), и мы получим уравнения искомой
интегральной поверхности в параметрической форме:
х = Фг (и, ν), .у = Ф2 (и, ν\ ζ = Ф3 (и, ν)!).
Если выражение (61) равно нулю во всех точках кривой (59.2) и эта
кривая лежит на интегральной поверхности, то, очевидно, она является
характеристикой.
Покажем, что задача Коши, действительно, допускает бесконечное число
решений, если за начальную кривую взята характеристическая кривая. Пусть
уравнения начальной кривой суть х0 = х0 (и), у0 = yQ_ (а), г0 = z0 (и), причём,
если определить р0(а) и qQ(a) из уравнений (540 и (58), то получится
характеристика ^первого порядка. Пусть значению и = 0 соответствует элемент
#о» Jo» zo* Роу ?ο· Выбираем произвольно три (дважды дифференцируемые)
#*»/ /-■» #*·/
функции χ (я), у (ν), г (υ), подчинив их лишь следующим условиям:
1) *(0)«*0. 7(0)= Jo. ?(0)=7о5
2) 2(0)у[(0)-У(0)х[(0)ФЪ
3) 7'(0)=j0x'(0) + q0y'(0).
w ^ л* ^
Решаем задачу Коши для начальной кривой^, χ ^ Эта задача возможна
и решается однозначно в окрестности точки {x0f у& г0). В самом деле, опре-
делив из уравнений (54А) и (58) вдоль начальной кривой ρ (ν) и q (v)% мы,
в силу условий 1) и _3), _гюлучим при ν = 0 начальный элемент исходной
характеристики (х0, y0t z0> p0t q0); но, в силу условия 2), эта характеристика
*) При начальных заданиях в форме (592) и (592) мы не исследовали
до конца вопроса о возможности разрешения уравнения (I7) относительно
dz
•^rr и уравнений (54) и (58) относительно р0 и q0. Эта возможность требует
дополнительных ограничений на начальную кривую; см. ниже, п. 6, примечание.

§ 5] МЕТОД КОШИ ДЛЯ ДВУХ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ 405
не касается начальной кривой, что достаточно для решения задачи Коши.
При любом выборе функций ху у, ζ, удовлетворяющих условиям 1) — 3),
интегральная поверхность содержит заданную характеристику, так как
содержит её начальный элемент. Таким образом, мы построили бесчисленное
множество поверхностей, содержащих данную характеристическую кривую.
Это свойство можно взять за определение характеристики:
характеристика есть такая кривая* для которой задача Коти становится
неопределённой.
Пример 15. Применим метод Коши к интеграции уравнения:
РХ + 9У — РЯ = °-
Дифференциальные уравнения характеристик будут:
dx dy dz __ dp_ dq^ .
x— Я У—Ρ —PQ Ρ Я
(мы упростили выражение Pp-\-Qq, пользуясь данным уравнением).
Интеграция этих уравнений с начальными данными х0, у0, z0, p0, q0
при и = 0 даёт сначала для двух последних уравнений:
р = Рое-и9 q==qoe-u.
Подставляя эти значения в три оставшихся уравнения, находим:
откуда
__ ~ РоЯо
2 = 2,
ι РоЯо е-2и^
причём начальные значения связаны соотношением:
A)*o+?oV0 — Α)?ο = °·
Для построения интегральной поверхности следует ещё связать
начальные значения, рассматриваемые как функции ν, соотношением:
ζ'ο (ν) — А) (?) х'о (?) — Яо (<0 Уо (?) = О-
Решим, в частности, такую задачу Коши: найти интегральную
поверхность, проходящую через прямую л; = 0, г=у. Здесь мы
имеем: л;0 = 0, y0 = v, z0 = v. Уравнения для определения р0 и q0
суть: Яо^ — РоЯо = °у 1—?0(<σ) = °> откуда ?0=1, ρ0 = ν. Три
последних из найденных уравнений характеристик дадут поверхность
в параметрической форме:

406 НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ [ГЛ. IX
Для получения решения в явной форме исключаем параметры и и ν:
ζ = уе~и, е2и + 2хеи — 1=0,
откуда
е" = — аг+1/дг2+1, в-« = дг+1/"дг51+1|
и окончательно
ЗАДАЧИ.
Проинтегрировать по методу Коши уравнения:
220. z = pq\ начальные условия: х0 = а, у0 = и2, zQ = и3.
221. р2 -f- q2 = 1; лг0 = cos ы, у0 = sin и, г0 = -^ я.
222. * = р* + £у + />?; лг0 = 1, 20 = j£
§ 6. Метод Коши для η независимых переменных.
1. Характеристики; построение решения из
характеристик. Изложенный в предыдущем параграфе метод
непосредственно распространяется на уравнение в частных
производных первого порядка с η независимыми переменными. Мы будем
постоянно пользоваться следующими обозначениями: независимые
переменные χν х2, ..., хп; искомая функция г; частные производные
первого порядка -^— = Pi (* = 1, 2,..., п); частные производные
b-z
второго порядка ^ дх · ~ рЧ & ^==1> 2' · · ·» л)·
В этих обозначениях уравнение в частных производных первого
порядка имеет вид:
F(xv дг2,..., xw ζ, ρν р2,..., Ρη) = 0. (62)
Данную функцию Ζ7 мы будем предполагать имеющей непрерывные
вторые частные производные; дальнейшие ограничения выяснятся
в ходе доказательств.
Применяя обычный язык многомерной геометрии, мы скажем, что
решение уравнения (62):
z = tf{xv дг2,..., хп) (63)
представляет интегральную поверхность уравнения (62)
в пространстве п-\-\ измерений (х19 χ2,..., χη, ζ). Мы будем
предполагать, что функция φ допускает непрерывные частные
производные второго порядка.
Введём ещё обозначения:
dF dF „ dF п ,. Λ 0 Λ

§ б] МЕТОД КОШИ ДЛЯ П НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ 407
Характеристики (характеристические линии)-на
интегральной поверхности (63) мы определим как линии, проекции
которых на гиперплоскость ζ = 0 удовлетворяют системе
обыкновенных дифференциальных уравнений:
dx\ dx2 dxn
Р\ f*2 Pfi
(64)·
или (приравнивая отношения (64) дифференциалу вспомогательной
независимой переменной и):
Если в правые части этих уравнений на место z, p{ подставить,
функции φ, -з-^-от хи х2,..., хп, то система (64j), в силу
сделанных предположений о дифференцируемости, имеет решения,
однозначно определяемые начальными условиями: и = 0, x1 = xiy ...
..., хп = Хп. Этот факт можно выразить такой теоремой: через каждую
точку [лг°, λγ°, ..., х\, ζ0 = ν(χν..., хп)\ интегральной поверх-
hocmu проходит единственная характеристическая линия, лежа*
щая на этой поверхности (при этом сделано предположение, что
в этой точке не имеют места равенства Р1 = Р2 = ... = Рп = 0).
Введём понятие интегрального элемента. Интегральным
элементом (первого порядка) или элементом прикосновения решения (63)
уравнения (62) назовём совокупность 2п-\-\ чисел (координат
интегрального элемента):
i
(/=1, 2,..., n).
Совокупность интегральных элементов вдоль характеристической
линии называется характеристикой первого порядка.
Подобно тому как в § 5, дополним систему (64j)
дифференциальными уравнениями для всех координат линейных элементов
характеристик.
Для всякого перемещения по интегральной поверхности,
следовательно, и для перемещения вдоль характеристической линии, имеет
место соотношение:
η
dz— 2 Pidxi9
откуда вдоль характеристики
du

408 НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ [ГЛ. IX
Далее, при перемещении по интегральной поверхности, имеем:
η
dpi=^Pijdxj (*=1» 2, ..., /ζ),
j = l
откуда вдоль характеристики]
dx
dpi
du
= Σ Рчч!г= Σ P<SPJ ('= 1. 2, .. ., η). (643)
Для исключения вторых производных замечаем, что уравнение (62)
обращается в тождество при подстановке вместо ζ его значения (63),
а вместо pi — соответствующих частных производных. Дифференцируя
это тождество /7 = 0 по xi (/=1, 2, ..., я), получаем:
j=l
η
откуда JuPjPji=*—Xi — Ζ pi, и уравнения (643) обращаются в
j = l
g==_*<_ZA (/=1, 2, ..., я). (644)
Собирая вместе уравнения (64j), (642), (644), получаем систему
2п +1 уравнений с 2лг—j— 1 функциями xit ζ, р£
dxx dxn dz
2 ^ Pi
i = l
β-Α=-— γΐ^η =^· (65)
*l + z/>l Xn+zPn
Эти уравнения можно интегрировать, не зная решения (63). Решение
системы (65) (единственное), определённое начальными значениями
«ο· *ί» ···> ■*£» *о> ^t ··■! Рп» имеет вид:
·** = ?<(«; ·*ι> · · ·> ·*4 ^ Рь ..., р°п) ('= *, 2, ..., л), J
/ о о о (к I //?о\
* = ?(и; *ь ..., *я, *0f ри ..., р„), Ϊ (66)
Α = Ψ<(«5 х*и ..., ·*£, *о» Ри ·.·, Рп) ('= It 2, ..·> л). J

§ 6J МЕТОД КОШИ ДЛЯ Π НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ 409
Замечаем, что F(xv ..., xrv г, pv ..., рп) — С является первым
интегралом системы (65). В самом деле, в силу уравнений (65),
имеем:
dF_ γι „ dxt , 7 dz , yi p άρ{ _
i=l i=l
η η η
~Σχ*ρ*+ζΣρ'ρ*-Σρ*(χ*+ΖρΛ=°·
f = l i = l ί=1
Свяжем начальные значения соотношением:
F(*°,...,<, W?> ···. /£) = 0. (67)
Тогда, в силу определения первого интеграла, будем иметь
тождество:
то-есть при выполнении условия (67) все элементы, даваемые
решением системы (65), удовлетворяют данному уравнению (62). Так как
координаты определённых на интегральной поверхности
характеристик первого порядка должны удовлетворять данному уравнению, то,
наложив на начальные значения условие (67), мы среди
соответствующих решений (66) системы (65) найдём все характеристики всех
интегральных поверхностей уравнения (62). Пока ещё не видно,
что все такие решения окажутся характеристиками на некоторой
интегральной поверхности. Принимая это положение (оно будет
доказано ниже), мы назовём характеристиками первого порядка
уравнения (62) решения (66) системы (65), в которых начальные
условия связаны соотношением (67).
Из теоремы единственности получается как следствие теорема:
если две интегральные поверхности имеют общий элемент первого
порядка (т. е. соприкасаются в одной точке), то они соприкасаются
вдоль целой характеристической линии, проходящей через эту
точку: в самом деле, обе интегральные поверхности имеют общую
характеристику, определённую общим начальным элементом.
Поставим теперь задачу — построить решение уравнения в частных
производных из характеристик. Так* как характеристики являются
многообразиями одного измерения, а интегральная поверхность есть
многообразие η измерений, то для её построения необходимо ввести
(через начальные значения) ещё η—1 параметров νν ν2, ..., ^η-ι»
т. е. положить:
*? = *?(*„ ..., г>п-1), *ο = *ο(*ι» ···> *η-ι)» )
οο Ι (Ьо)
Ρι = Ρι(Όι* .··, vn-i) (*=1> 2, ..., n), J

410
НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
[ГЛ. IX
причём, конечно, условие (67) должно выполняться для этих
функций. Тогда уравнения
*i = <?i(u; vl9 ..., τ>Λ-1) (/=1, 2, ..., η),
ζ = ν(α; νΐ9 ..., νη_χ)
(69)
определяют многообразие п измерений. Чтобы оно было
интегральным [при условии, что исключение параметров и, νν..., vn_i
даёт соотношение вида (63)], необходимо выполнение условия
η
dz — 2 Pi d*i = 0,
которое равносильно п условиям:
dz VI дх± n
da 2dPida — U>
dz_
η
-Σρ*£ = ° (/-1.2...·. —1).
г = 1
(70)
Первое уравнение (70) выполняется в силу уравнения (642),
остальные требуют для своего выполнения особого выбора
функций (68). Чтобы найти условия, которым должны удовлетворять эти
функции, обозначим:
Щ-ΣΡ^Γ^ С/-1.2.....—1)
(71)
и выясним, возможно ли подобрать функции (62) так, чтобы иметь
1/7·==0.
Дифференцируем уравнение (71) по и, а первое равенство (70)
ПО Va
dVj
дЧ
ди да dvj
Pi да dvj'
ι ^ дх{
Σ°Ρί QXj
да ου*9
η
q_ дЧ VI д2х{ yi dpi dxj
dudvj JLiPidudvA JUdv^du *
дЧ _ _ V _ д*х<
Вычитая почленно, находим, используя уравнения (65):
ди
j V* (dpi dXi dPi dXi\ _ V D dpi _1_ V У ^fi J_ 7 V dX{
τ—1а\шж~ diiwJ — 2и^щ^ ΖΑΛίδν^Δ ZiPi^
<=1 J J i=l J <=1 J г=1 J

§ 6]
МЕТОД КОШИ ДЛЯ Π НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
411
Дифференцируя no Vj тождество /7 = 0, в левой части которого
подставлены xiy z, pt как функции и, vi9
"n-V
находим:
•-Σ^+'έ,+Σ"·»,·
г=1 J J г=1 J
Вычитая почленно это равенство из предыдущего, получим,
принимая во внимание (71):
дУл
ди э
(/=1, 2,
1).
Интегрируя полученное обыкновенное дифференциальное уравне-
ние для Vj, находим:
и
- J* Zdu
Итак, .для выполнения тождества Vj = 0 необходимо и достаточно
иметь V™ = 0, или, в раскрытом виде,
Σ^^7 = 0 С/-1. 2> ···> я—1). (72)
dvA
ί=ι
или
^о — Σρ·^==°·
ί = 1
(72')
Итак, чтобы уравнения (69) давали интегральную поверхность,
необходимо и достаточно, чтобы функции х°р г0, р°{ от νν ..., νη_χ
удовлетворяли уравнениям (67) и (72). Нахождение этих функций
уже не требует дальнейших интеграции.
Рассмотрим, например, общую задачу Коши: найти
интегральную поверхность, проходящую через данное многообразие
η — ι измерений. Это начальное многообразие мы зададим в
параметрической форме:
χ\ = ^{νν ..., *Λ-1) (/=1, 2, ..., η); ζ = ω(νν ..., *V-i).(73)
Тогда для нахождения п функций ρ? мы будем иметь η уравнений
(67) и (72); одно из условий их разрешимости есть неравенство
нулю определителя
дх*
дх\
dvn^
дх°2
дх\
ρ
дх°
К
^П-1

412 НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ [ГЛ. IX
т. е. характеристическая линия не может лежать в касательной
(п—1)-мерной плоскости начального многообразия. Если в
функции сог·, ω (73) ввести η параметров αν #2> ···> ап> мы получаем
решение уравнения (62), зависящее от η параметров, которое при
некоторых добавочных условиях в случае η независимых
переменных также называется полным интегралом.
2. Первый метод Якоб и. Первый метол Якоби
принципиально тождествен с методом Коши; в нём лишь специализирована
форма уравнения, в целях приложения к задачам механики.
Искомую функцию обозначаем V, независимые переменные
(числом п-\-\) t, xl9 ..., хпл частные производные ^=/^ (иногда
Я λ/ \
будем писать также -^- = PJ.
Уравнение предполагается не содержащим искомой функции и
Я 1/
разрешённым относительно производной -^- и пишется в форме:
Я I/
•gj-+//(/, xv ..., хп, ρν ..., ρη) = 0, (74)
где Η — заданная функция своих аргументов.
Пишем уравнения характеристик:
dt_
1
(75)
Замечаем, что: 1) здесь нет нужды вводить вспомогательное
независимое переменное; его роль играет /; 2) можно независимо
проинтегрировать систему из 2п уравнений (75), не содержащих
dV и dP,
dXj дН dp{ дН_ .„„.
dt ^dpi' dt ~ дх{* ( }
Уравнения вида (76) часто встречаются в механике, и носят
название канонической системы, а функция Η называется функцией Га-*
милыпона.
Пользуясь методом Коши, легко проинтегрировать уравнение (74),
если известно общее решение канонической системы (76). Пусть это
последнее будет (начальные значения tQ9 x\, σ°):
*, = %(*, *о, *?,...,<,# Ю>
Pi = Φ,(ί Ό. *?> · · ·» <> Ρ?» · · ·· Ρ® ('=1.2 я). (77)
dx)
Ш
Φι
dP\ _
дН ~ '
όχι
dxn dV
дИ ~ п
dp η dP
дН дЯ #
дхп dt

§ 6] МЕТОД КОШИ ДЛЯ Π НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ 413
Чтобы найти значение V вдоль характеристик, заменим в
соответствующем дифференциальном уравнении Ρ на —Я (в силу данного
уравнения), получим:
dt ~ 2dPi dpi "'
в правой части этого уравнения подставим на место xi9 pi их
найденные выражения (77); получим функцию от ty и V найдётся
квадратурой:
t, i = l
<. V{t, t0, *», ..., <, p\, ..., p°) + Vv (78)
Для нахождения полного интеграла уравнения (74) достаточно
выразить x°it p°v V0 через η параметров (аналогичных v. в п. 1
настоящего параграфа) так, чтобы удовлетворялось соотношение:
rfV0 — S#rf*» = 0 (79)
г = 1
(член с dt0 отсутствует, так как t принято за независимое
переменное), и в начальные данные задачи Коши надо ещё ввести лг —(— 1
параметров а19 а2, ..., αη+ν
Вместе с Гурса мы примем за параметры Vj начальные
значения лг°, лг°, ..., лг°, а задачу Коши поставим так: при £=/0 должно
быть:
К = *А + · · · + <*п< + <W (80)
Из уравнений (79) и (80) следует:
~^~а* — Р°* (*=1, 2, ..., п).
Разрешаем η первых уравнений (77) относительно χ°ν ..., х°п (это
возможно при έ, достаточно близком к έ0, так как якобиан от х£
по х°. при t=t0 равен 1). Заменив в них p°t через ait получим:

414 НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ [ГЛ. IX
Тогда выражение
О г=1 ί=1
η
**V+%at** + an+1, (78)
ί = 1
β котором ρ? заменены через ^, а лг° — через их выражения (81),
есть решение уравнения (74), зависящее от η -f-1 произвольных
постоянных, то есть полный интеграл.
3. Интегрирование канонической системы. В
аналитической механике требуется найти решение канонической
системы:
dxt _ дН dPi _ дИ (
ΊΓί Ifi* "2Г—-"3ΪΓ 0-1, 2, ..., /г), (76)
а уравнение Якоби является вспомогательным орудием.
Напомним определение полного интеграла, сформулировав это
определение для любого числа независимых переменных. Соотношение,
связывающее искомую функцию, независимые переменные и
параметры в числе, равном числу независимых переменных, называется
полным интегралом уравнения в частных производных, если9
исключая параметры из этого соотношения и из соотношений,
получаемых его дифференцированием по независимым переменным,
мы получаем данное уравнение. Эквивалентно этому определению
другое: полным интегралом называется решение уравнения в
частных производных первого порядка, содержащее независимые
параметры в числе, равном числу независимых переменных; при этом
критерием независимости как раз является тот факт, что после
упомянутого в первом определении исключения мы приходим к одному
данному уравнению. Заметим, что в случае, если данное уравнение
не содержит явно искомой функции, один из параметров в полном
интеграле можно взять аддитивно.
Пусть мы имеем какой-нибудь полный интеграл уравнения Якоби:
1/= V{t, хи ..., хп; а1У . ..,ап) + ап+1. (82)
Из полного интеграла в случае η -f-1 независимых переменных,
как и в случае двух переменных, характеристики получаются
дифференцированием. Не останавливаясь на развёрнутой теории полного
интеграла в общем случае, проведём это доказательство для полного
интеграла уравнения Якоби.
теорема якоби. Если известен полный интеграл (82)
уравнения (74), то 2п интегралов канонической системы (76) даются

§ 6] МЕТОД КОШИ ДЛЯ П НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
равенствами:
дУ
дх{
'Рг>
дУ
Ьаь
= Ь4 (/=1, 2, ..., я),
415
(83)
где Ъ{ наряду с а{ суть произвольные постоянные.
Доказательство. Уравнение (74) получается из полного
интеграла (82) исключением параметров из уравнения (82) и п-\-\
следующих:
~"37~—'Vt\h xt* ···> хп> а\ч ···> ап)>
дУ
dxf
— ν χ. \*> х\ч · · · > хп
9ап) (i=h 2, ..., η). (84а)
Чтобы получить уравнение вида (74), надо определить из си-
стемы (842) параметры αν ..., αη через ηρτ, U *ι и внести эти
выражения в уравнение (84j). Одно из условий разрешимости есть
неравенство нулю якобиана:
dW
дх\дах '
д*У
d*V
дхп дах
д*У
dxi дап дхп дап
фО.
(85)
Мы будем предполагать, что условие (85) выполнено. В таком
случае вторая группа из η уравнений (83) даёт возможность (в
некоторой области значений постоянных Ь4) выразить xt через t и
параметры ajf b.y
Затем, подставляя эти значения в выражения
определяем по первым η формулам (83) р{ в функции / и
параметров ai9 bit Докажем, что найденные значения хь pi удовлетворяют,
как функции /, канонической системе обыкновенных
дифференциальных уравнений (76). По подстановке найденных значений xk(k=lt
2, ..., η) в уравнение -*— = Ь4 оно обратится в тождество;
дифференцируем это тождество по t:
0 =
д*У
Ыда*
Λ=ι
д*У dxk
dx^dai dt

416 НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ (ГЛ. IX
С другой стороны, дифференцируя по параметру «ί уравнение (74),
в которое на место V подставлено его значение (82), находим:
η
д2У , \л дН dW
47 Λ/Λ/r. \ Zj
dtddi ~ jU л дУ dxkdai*
Вычитая почленно последние равенства, находим, принимая во
внимание первую группу уравнений (83):
fc=i
Так как определитель этой системы не равен нулю, то все скобки
равны нулю, и мы получаем первую группу из η канонических
уравнений.
Аналогично, полученное после подстановки значений xi равенство
Р%= ν'χβ> xv ···> xw ai> ···> an) Дифференцируем по t:
dpi &V , у d2У dxk
dt дх{ dt* L· dxt dxk dt *
Из уравнения (74) дифференцированием по х{ находим:
д*У , дН , νι дН d*V
д2У . дН . VI ^Я д*У
dxtdt ι а^ "Г L· λ дУ дхкдх{*
OXjOl ■ OXi ' ^J ^
Вычитая оба равенства почленно и принимая во внимание уже
полученные соотношения —i^=-^—, находим:
dt дрк '
то-есть вторую группу уравнений (76). Теорема доказана.
4. Методы нахождения полного интеграла. Если
полный интеграл уравнения Якоби используется для интегрирования
канонической системы, то ясно, что к его нахождению нельзя
применять первый метод Якоби, который требует предварительного
нахождения характеристик. Однако в ряде случаев можно найти
полный интеграл из соображений, общая теория которых относится
ко «второму методу Якоби». Некоторые такие соображения,
относящиеся к случаю «отделения переменных», мы здесь изложим.
Весьма важный в механике случай, — когда функция Гамильтона
не зависит явно от времени: H=H(xv ..., xw pv ..., ρη). Β этом
случае каноническая система (76) допускает первый интеграл:
#(*1. · · м *n» Pv · · ·> Pn) = h (86)

§ 6] МЕТОД КОШИ ДЛЯ П НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ 417
(интеграл энергии). В самом деле, дифференцируя соотношение (86)
по t и принимая во внимание уравнения (76), находим:
дх{ dt "+" Zi dp{ dt L· дх{ др{ L· dpi дх{
ί=ι <=i i=i t=i
В этом случае полный интеграл V можно искать в виде:
V = — ht+W(xl9 ..., хп) + ап+1,
где W — новая искомая функция. Подставляя в уравнение (74),
находим:
Π[Χν . .., Χη9 6χ^, ..., dxJ — fl, (/4j)
уравнение для Wen независимыми переменными (вместо я~}-1),
причём в него уже входит один параметр /г. Полный интеграл
получится в виде:
V= — ht+W(xv ..., хп\ h\ al3 ..., ап_г) + ап+1;
дифференцирование по параметрам h> av ..., ап_г и приравнивание
новым постоянным [вторая группа (83)] дают η соотношений, из
которых можно получить χν λγ2, ..., хп в функции ί и 2п
произвольных постоянных:
, . dW dW . г: л с, 1Ч
а = -/ + -ж, -щ = Ь, (/ = 1. 2, ...,* —1).
Вообще, если в функцию Η в уравнении (74) и (74t) явно не входит
какое-нибудь независимое переменное, например хх (циклическая
координата), можно искать полный интеграл [например, для (74j)]
в форме:
W=a1x1-\-W1(x29 ..., хп)у
и для W мы имеем уравнение с η—1 независимыми переменными:
и( dW_ dw\—b
"{*» ---э хПу <*>\> дх2> ···> дхп)-~п>
в которое входят два параметра h и ах. Если найдём его полный
интеграл Wx (лг2, ..., хп; h9 av #2, ..., ап+1)9 то полный интеграл
первоначального уравнения будет:
V = — ht+Wt(Xb ..., хп; ах\ а2, ..., «„_!) +*i*i + *n+it
т. е. будет содержать нужное число лг -f- 1 параметров. Итак, можно
предполагать, что уравнение в частных производных (74J, где мы
Σ

(переменные xv pt отделены). Ищем решение соответствующего
уравнения Якоби в форме:
418 НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ [ГЛ. IX
опять обозначим-ς—=pi, уже не содержит циклических координат.
Предположим далее, что функция Η в уравнении (74j) имеет вид:
Я = //(φ (xv pt), лг2, ..., χη9 p2,...,pn) = h (87)
>! отделены). Ищем решение
форме:
W^W^xJ+W*^, ...,хп).
Имеем:
P1=W[(x1)9 Pj=-^j (7 = 2, 3, ..., η).
Подставляя в уравнение (87), находим:
Η[φ(χ19 W[{xx)), х2, ..., хп, р2, . .., pn) = h.
Если теперь подобрать Wt (xt) так, чтобы было
?(*lf W[{x1)) = au (88)
где at— произвольная постоянная, то нахождение Wx сведётся
к интегрированию обыкновенного дифференциального уравнения (88),
а нахождение W сведётся к интеграции уравнения с η — 1
независимыми переменными, причём вместо исключённого переменного хг
вошёл параметр αν Отсюда правило: если в функции Гамильтона
отделены переменные х19 pt (87), то составляем обыкновенное
дифференциальное уравнение:
, ч dWx
квадратурой находим его решение:
а затем находим полный интеграл W* уравнения (с η — 1
переменными):
H[a19 x29 ..., Χη,-щ, .... e^ = *i ^89)
тогда полный интеграл первоначального уравнения Якоби получится
в виде:
V= — ht + J* ψ(х19 аг) dxt + W* (лг2, ..., χη9 αχ\ α29 ..., αη)-{-αη+1.
Может случиться, что в левой части уравнения (89) ещё какая-
нибудь пара аргументов xi9 p{ окажется отделённой; тогда
применяем тот же процесс, уменьшающий число независимых переменных.

§ в] МЕТОД КОШИ ДЛЯ П НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ 419
В механике и физике интеграция канонических систем при помощи
сведения к уравнению Якоби с успехом применяется только в тех
случаях, когда нахождение полного интеграла сводится при
надлежащем выборе координат к последовательному отделению всех пар
переменных.
Пример (Якоби). Движение планеты в полярных координатах,
приводит к уравнению в частных производных:
2 \ \ dr J "ι ή \ dcp J ~+" & sin2 φ V <}ψ ) ι r α'
где α — произвольная постоянная (постоянная энергии). Якоби
выделяет уравнение:
2 \\дч) ^ sin» φ \ дф У / Р'
после чего остаётся
2 \дг) ~ г а ή
( dW \
(переменные г, -^— отделены); его интеграл:
w== I V?r-2a-^dr+F^' ψ)»
и для F получается дифференциальное уравнение:
2 \\дч) ' Sin* φ U<l· У / ~~ P'
1 / dF\*
Вводя соотношение у(зх) =ϊ(ψ — циклическая координата),
получаем:
2 \аср/ ^ sin2φ '
из этих уравнений находим:
F(<?, Ψ)= J ΐΛβ—^Αρ + ^ψ,
и окончательно (без аддитивной постоянной):
Решение канонической системы (нет нужды её выписывать) есть
dW , , dU7 0/ dU7 ,

420 НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ [ГЛ. ТХ
(α', β', γ' — произвольные постоянные) или, после выполнения
дифференцирования,
-J
t ... . dr
/¥-*-£'
β'=— г—- dr + \-=
dcp
2Τ
sinJ<p
sin2^
Очевидно, квадратуры вычисляются в элементарных функциях.
§ 7. Геометрическая теория уравнений
с частными производными первого порядка.
1. Конус Т. Рассмотрим уравнение:
F(x,y,*,P,q) = 0, (1)
считая точку (л:, у, г) данной, фиксированной. В таком случае
уравнение (1) устанавливает связь между угловыми
коэффициентами ρ и q всех элементов первого порядка (лг, у, ζ, ρ, q),
удовлетворяющих данному уравнению в частных производных и имеющих
общую точку (лг, у, г). Таким образом, из связки плоскостей,
проходящих через точку (лт, у, ζ),
Z — z = p{X—x)-\-q{Y—y\ (90)
соотношение (1) выделяет семейство от одного параметра, за
который мы можем принять, например, q. Огибающая этого семейства
есть некоторый конус; назовём его конусом Т; его прямолинейные
образующие являются характеристиками (в смысле дифференциальной
геометрии) рассматриваемого семейства плоскостей. Найдём
уравнение образующих конуса Т; для этого дифференцируем уравнение (90)
по параметру q:
f|(*—*)+(K__j,)=a.o.
Производную -j- находим из уравнения (1):
подставляя её значение в предпоследнее уравнение, находим:

§ 7] ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ 421
Уравнения (90) и (91) при фиксированных ρ и q, связанных
соотношением (1), определяют образующие конуса Г; эти уравнения можно
написать в симметричной форме:
X — x_Y—у_ Z-z
Ρ ~ Q ~ Pp + Qq' Л }
Сопоставляя уравнения (92) с уравнениями (48j), (482) и
условием (54), мы видим, что каждая характеристика, проходящая через
точку (лг, у, z\ касается одной из образующих конуса 7\ В
частности, если дана интегральная поверхность, проходящая через
данную точку, то её касательная плоскость, очевидно, принадлежит
семейству (90), (1); направление характеристической линии на этой
поверхности в точке (лг, у, г) совпадает с направлением той
образующей конуса Т, по которой этот конус касается касательной
плоскости к поверхности. Так как (х, у, г) есть произвольная точка
поверхности, то мы приходим к новому, геометрическому
определению характеристических линий на интегральной - поверхности:
это — линии, касающиеся в каждой точке (х, у, ζ) поверхности
той образующей соответствующего этой точке конуса Т, которая
лежит в касательной плоскости к поверхности.
Чтобы получить уравнение конуса Г, надо исключить ρ и q из
уравнений (1) и (92); из системы (92) ρ и q определяются как
,- У—у Ζ — ζ
функции χ, ν, ζ, -γ—-, т? ; подставляя их выражения в урав-
X. — X Л — X
нение (1), получим уравнение конуса Τ вида:
*(*.**·ίΞ£.!Ξί)=°· (93)
Если уравнение в частных производных дано в разрешённом виде:
где /—дважды дифференцируемая функция своих аргументов, то
система (92) имеет вид:
-К f-яК
или
Первое из уравнений (92j) может быть разрешено относительно q,
если fqq φ 0 (тождественное обращение в нуль второй производной
соответствует случаю линейного уравнения, для которого конус Τ
вырождается в прямую, см. ниже, п. 3). Подставляя найденное
значение q в уравнение (18), а затем значения ρ и q во второе
уравнение (92х), найдём уравнение конуса Τ в виде:
Ζ-* = (*—*)©(*, у,*, γΞτ;). (93,)

422 НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ [ГЛ. IX
Обратно, если дано уравнение (93) или (93Д относящее каждой
точке (х, у, ζ) конус с текущими координатами Χ, У, Ζ, то,
рассматривая этот конус, как конус Τ некоторого уравнения в частных
производных первого порядка, мы можем найти это последнее; а
именно, это будет уравнение, связывающее угловые коэффициенты ρ
и q касательных плоскостей к конусу. Будем исходить из
уравнения (93j) как более простого. Обозначим через <pt производную от φ
по аргументу у ; тогда для угловых коэффициентов касательных
Л. — X
плоскостей к конусу (93j) получаются выражения:
д2 У—У dZ ( У—У\ ,п„ч
Из второго уравнения (94) можно выразить _f через х, у, z, q
(если бы производная от <pt пох~^_ оказалась тождественным нулём,
это означало бы, что φ-г-линейная функция последнего аргумента,
т. е. конус вырождается в плоскость ). Подставляя найденное
выражение в первое из уравнений (94), мы получим уравнение в частных
производных вида (18).
Если конус задан уравнением (93), то уравнение в частных про-
* У—У ζ—ζ
изводных получится исключением отношений -^—— и -^ из урав-
л. — χ л. — χ
нений (93) и следующих:
Ρ— Φ2 χΖΓ^-ΤχΖ^' Я- ф2, W
где Фг и Ф2 обозначают частные производные от Φ соответственно
по предпоследнему и последнему аргументам. Получим уравнение
вида (1), соответствующее конусу (93).
Примечание. С точки зрения введённой нами геометрической
интерпретации является возможным истолковать упомянутое в сноске на стр. 404
дополнительное условие для возможности решения общей задачи Коши, Оно·
состоит в существовании общего решения относительно р0 и q0 уравнений (54)
и (58). При заданных функциях Xo(v), yQ(v),z0(v) уравнение ζ0 (ν)—Ροχ'0(ν) —
— ?οΛΜ = 0 определяет при фиксированном ν пучок плоскостей
с осью т—5 = f^- — —-; уравнение (54), как мы видели, опреде-
хо У о zo
ляст семейство плоскостей, касательных к конусу Т. Таким образом,
условие, о котором идёт речь, сводится к тому, чтобы в числе плоскостей пучка
существовала плоскость, касательная к Т. Если, например, Τ есть конус
второго порядка, то это условие равносильно требованию, чтобы через ось
пучка, т. е. касательную к начальной прямой, можно было провести
действительную касательную к конусу Т.

§ 7] ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ 423
2. Кривые Монжа. Заменяя в уравнении (93) или (93j)
приращения X—χ, Υ—у, Ζ — ζ соответственно дифференциалами dx,
dy> dz, мы получаем уравнение Монжа:
·(*.>··.&$-<>. <*>
однородное относительно дифференциалов и нелинейное (линейное
уравнение — уравнение Пфаффа — соответствует вырождению конуса Τ
в плоскость). Это уравнение определяет кривые в пространстве,
обладающие тем свойством, что в каждой точке такая кривая касается
одной из характеристических линий уравнения (1), проходящих через
данную точку (кривые Монжа, «интегральные кривые» по
терминологии Софуса Ли). В число этих кривых входят характеристические
кривые уравнения (1) (т. е. кривые, являющиеся носителями
характеристик первого порядка); геометрически это очевидно из
определения; это же можно усмотреть и из того факта, что вдоль
характеристик выполняются соотношения (1) и (48j), (482), следствием которых
является уравнение (95). Но множество кривых Монжа значительно
обширнее, чем множество характеристик, так как эти последние
образуют семейство от трёх параметров, а общее решение уравнения Монжа
(95) зависит от произвольной функции. В самом деле, уравнение (95)
есть обыкновенное дифференциальное уравнение с двумя искомыми
функциями; для его интегрирования можно одну из функций задать
произвольно, например z = ty(x)t и для определения у (х) останется
проинтегрировать уравнение первого порядка:
ф(х, у, ф, (х), %, ψ' (*)) = 0.
Мы видели, что если в качестве начальной кривой взять
характеристическую линию, задача Коши становится неопределённой; посмотрим, как
обстоит дело, если за начальную кривую взять одну из кривых Монжа (не
характеристических). Возьмём уравнение в частных производных в форме (18)
и соответствующее уравнение Монжа в виде, соответствующем уравнению
конуса Τ (93!):
ё-'(***©· «»
Пусть начальная кривая задана в параметрической форме:
x = Xq(v)9 y=*yo(v), z = Zq(v), (96)
причём имеет место тождество:
/ / Уо\
Формулы (94), с заменой приращений дифференциалами, однозначно
определяют pQ(v) и qQ(v), причём легко проверить, что выполняется тождество
*о—А>*о ~ ЯоУо — 0· Так как следствием формул (94) и уравнения (93t)
является уравнение (18), то jc0, ..., q0 связаны также соотношением

424 НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В .ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ [ГЛ. IX
= 0. Но вне кри-
Ро=/(хо> JVo. zo, ?о)· Подставляя начальные значения, как функции параметрам,
в уравнения характеристик (52), мы получаем семейство характеристик от/
одного параметра, касающихся в каждой точке начальной кривой;
соответствующие формулы имеют вид:
x = x(u,v), y = y(u,v), z = z(u,v), p = p(u,v), q = q(u,v), (97)
причём, ввиду выполнения условий (54j) и (58), имеем тождественно
относительно и, ν:
dz —ρ dx — qdy = 0.
Однако в окрестности кривой и = О первые два уравнения (97) не могут
быть однозначно разрешены относительно и, ν, так как начальная кривая
£> (*, У)'
касается характеристик, и, следовательно, * ) :
U (к, V)...
вой и = 0 первые три уравнения (97), вообще говоря, определяют интегральную
поверхность; эта поверхность содержит кривую Монжа (96), которая является
для поверхности особой линией (ребром возврата). Таким образом, если за
начальную кривую взята кривая Монжа, то не существует интегральной
поверхности, непрерывно дифференцируемой на этой кривой', однако
существует интегральная поверхность, составленная из характеристик*
касающихся кривой Монжа, причём эта кривая является ребром
возврата поверхности.
На этом замечании основан метод нахождения кривых Монжа, при
котором в формулы, выражающие координаты кривой, произвольная функция
входит только под знаком производной (а не под знаком квадратуры, и тем
более не входит в подлежащее интегрированию дифференциальное уравнение).
Пусть дано уравнение Монжа (95) или (95^. Строим соответствующее
ему уравнение в частных производных (1) или (18), пользуясь формулами (94)
или (94t), и пусть его полный интеграл есть
* = φ С*, У, *. Ъ). (19!)
Беря произвольную функцию Ь = ω (а), мы получаем общий интеграл,
присоединяя к уравнению (19t) уравнение:
Для постоянных значений а уравнения (Щ) и (29) дают характеристики на
поверхности, определённой общим интегралом; чтобы найти ребро возврата
этой поверхности — огибающую семейства характеристик, зависящего от
параметра а,— заметим, что уравнение (29) представляет проекцию семейства
характеристик на плоскость хОу; находим огибающую этого плоского
семейства, дифференцируя (29) по параметру:
С + Кь»' (*) + ώω'2 (*> + <Ρ6ω" (*> = °· (98>
Уравнения (19t), (29) и (98), будучи разрешены относительно х, у, ζ,
представят огибающую характеристик на интегральной поверхности, т. е. кривую
Монжа; её уравнения будут иметь вид:
х = фг (α, ω (α), ω' (α), ω" (а)),
у = ψ2 (λ, ω, ω', со"),
ζ = ψ3 (α, ω, ω', ω");
они содержат, кроме произвольной функции ω (а), только её производные.
Так как всякая кривая Монжа является огибающей характеристик той
интегральной поверхности, которая даётся тремя первыми формулами (97), то мы
вправе ожидать, что полученное решение будет общим.

§ 7] ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ 425
Пример 16. Уравнение Монжа (dz + xdy+y dx)2 = 4(z + xy)dxdy.
Переписываем его в виде j-= ~~у *~ х die ~^~2 ^z "*"ху V dx' П° *0р"
мулам (94) находим:
исключая -ρ, получаем: (р+.у) (? + *) = * + ху, или г = /?* + £У +pq —
уравнение в частных производных, соответствующее данному уравнению
Монжа. Его полный интеграл ζ = ах-\-by-{· ab. Безинтегральное выражение
общего решения уравнения Монжа получается из уравнений:
ζ = ах + ω (а) у + сил (а), х + &'у + ω + «ω/ = 0,
2ω'
(й"у + αω" + 2ω' = О, ИЛИ у = — Я £-,
л: = —т? ω, ζ = — яо) + 2
ЗАДАЧИ.
223. Найти дифференциальное уравнение (Монжа) кривых, касательная
Ίί
которых образует в каждой точке угол -j- с плоскостью хОу\ найти
безинтегральное выражение общего решения.
224. Найти общее решение уравнения dz2 = 4 dx dy.
225. Найти уравнение Монжа, соответствующее уравнению в частных
производных рд = г, и написать общее решение.
3. Сравнение с теорией линейных уравнений
в частных производных. Изложенная нами теория полного
и общего интеграла нигде не зависела от предположения, что
данное уравнение нелинейное. Она поэтому целиком прилагается и
к линейному уравнению:
Р(х, у, z)p-\-Q(x, у, z) q = R(x, yy г). (99)
Заметим только, что мы в главе VIII строили общее решение из
двух первых интегралов вспомогательной системы двух
обыкновенных уравнений; пусть эти интегралы будут:
и(х> у, г)=С1? ν (лг, у, г) = С2. (100)
Мы можем, в частности, построить полный интеграл, линейный
относительно двух произвольных постоянных а, Ь\
V==u(x, у, z)-\-av(x9 у у г) + £ = 0. (101)
Легко видеть, что, обратно, если полный интеграл линейно зависит
от произвольных постоянных,
V=f{*> У> *)* + £(·*, У, z)b-\-h(x, у, г) = 0,

426 НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ [ГЛ. IX
то полученное из него в результате исключения этих постоянных
уравнение в частных производных будет линейным.
Из полного интеграла (101) мы легко приходим к известному нам
общему решению уравнения (99).
В самом деле, согласно теории общего интеграла, полагаем b = со (а);
равенство (101) перепишется так:
и -f- αν -}- ω (α) = 0.
Дифференцируем последнее равенство по а:
τ/ + α/(α) = 0,
откуда а получается как некоторая функция от ν\ подставляя эту
функцию в предпоследнее равенство, имеем общий интеграл:
и = ψ (ν).
Определение характеристических линий из полного интеграла (101)
даёт нам:
u-\-av-]-d = 0t <t>-j-£ = 0,
или
и = ас — b, v = —су
т. е. уравнения, эквивалентные системе (100), опять в согласии с
теорией линейных уравнений в частных производных.
Однако уже здесь можно отметить различие с теорией
нелинейных уравнений — семейство характеристических линий линейного
уравнения зависит только от двух (существенных) параметров.
При применении метода Коши обнаруживается более глубокое
различие между двумя типами уравнений.
В методе Коши конус Τ определялся при постоянных х% у, г
как огибающая семейства плоскостей:
Ζ — z = p(X — x) + q(Y—y\ (90)
где ρ и q связаны данным уравнением, т. е. в случае линейного
уравнения, линейным соотношением:
Pp-\-Qq = R. (99)
В этом случае семейство плоскостей есть пучок, а огибающая,
т. е. конус 7, вырождается в ось пучка с уравнениями (62) и
Χ — χ _Υ-~ у
Ρ ~ Q '
или
Χ—χ_Υ—у_Ζ—ζ
Ρ ~ Q ~ /? #
Таким образом, направление характеристической кривой
однозначно определено в каждой точке рассматриваемой области про-

§ 7] ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ 427
странства. Соответствено этому, дифференциальные уравнения
характеристических кривых
dx = *У = dz Π02Ϊ
не содержат величин ρ, q к могут быть проинтегрированы без
предварительного задания интегральной поверхности. Итак, в случае
линейного уравнения характеристические линии уже являются
характеристиками {нулевого порядка). Семейство характеристик нулевого
порядка зависит от двух параметров. Для интеграции уравнения (99)
нет надобности дополнять систему (102) добавочными уравнениями.
Если всё же ввести эти добавочные уравнения, то при их интеграции
для получения характеристик первого порядка одно из начальных
значений /?0, q0 остаётся произвольным, другое определится из
уравнения :
Ρ С*о' Уо> *о) Po + Q (χο> Уо> zo) % = R (xo> Ус» *о)·
Таким образом, каждая характеристика нулевого порядка является
носителем оо * характеристик первого порядка; семейство
характеристик первого порядка и в случае линейного уравнения зависит от
трёх произвольных постоянных.
ЗАДАЧА.
226. Пусть уравнения характеристик нулевого порядка для (102) будут
У = g (xi У$ч *о)» ζ = Л (х, Jo. *o)» где начальные значенияy0t z0 соответствуют
χ = χ0. Найти характеристики первого порядка.
Указание. Воспользоваться соотношением dz = ρ dx -f- q dy*

ГЛАВА XI).
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК.
Настоящий очерк истории теории дифференциальных уравнений
не претендует на полноту. В нём содержатся лишь краткие сведения
о возникновении этой математической дисциплины и её развитии за
последние два с половиной века. При этом, естественным образом,
главное внимание обращено на те вопросы, которые были рассмотрены
в предыдущих главах.
С задачами, относящимися к теории дифференциальных
уравнений в собственном смысле этого слова, математики встретились на
рубеже XVI—XVII вв., — впервые, вероятно, в области
вычислительной математики, при создании логарифмических таблиц. Стремясь
дать определение логарифма, пригодное для непрерывной величины —
по существу для всех действительных положительных чисел, Дж.
Непер (1550—1617) отправным пунктом избрал не сопоставление
двух дискретных прогрессий — арифметической и геометрической,
а кинематическое представление о двух связанных между собой
непрерывных прямолинейных движениях.
Точка Λί, выходя из положения О, движется с постоянной
скоростью ν; точка 7V, выходя со скоростью ν из положения Л на
отрезке ЛВ9 равном 107, движется замедленно с переменной
скоростью, пропорциональной её расстоянию ΝΒ до конца В. Длина
отрезка ОМ и является неперовым логарифмом величины ΝΒ.
Обозначив ОМ =у и ΝΒ = х, мы можем выразить скорости обеих точек
уравнениями:
dy dx vx
~df~~Vy ~~df~~W*
а зависимость между числом х и его неперовым логарифмом y = Lx —
дифференциальным уравнением
) Эта глава написана А. П. Юшкевичем.

гл. χ]
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
429
Сам Непер ввёл логарифмическую функцию, определяемую этим
уравнением (т. е. ^/ = /,лг= 1071п J только таблично; при этом его
приёмы вычисления таблиц логарифмов фактически давали
приближённое интегрирование указанного уравнения.
Отрезок АВ принят был Непером равным 107 потому, что такое
значение давали обычно в те времена синусу прямого угла; при этом
неперовы логарифмы синусов первой четверти, приведённые в его
таблицах с 8 знаками, представлялись положительными целыми
числами.
Задачи, приводящиеся к дифференциальным уравнениям,
появлялись и в области математического естествознания, например в
проблеме падения тяжёлого тела в среде без сопротивления, которую
решил Г. Галилей (1564—1642; опубл. в 1638 г.) *) и в оптике.
Открытие закона преломления света позволило Р. Декарту (1596—1650)
около 1628 г. поставить и решить первую из так называемых
«обратных задач на касательные». Речь шла об определении поверхностей
линз вращения, которые преломляют лучи, выходящие из одной
данной точки в другую данную точку; другими словами, задача состоит
в том, чтобы найти плоскую кривую, для которой синусы углов
нормали в любой её точке Μ с прямыми, соединяющими точку Μ
с двумя данными точками, находились бы в постоянном отношении.
Применив бесконечно малые, Декарт открыл так называемые
декартовы овалы, кривые четвёртого порядка, уравнения которых в
биполярных координатах пишутся в виде
тт\ Н"~ nr2 = const.
«Обратная задача на касательные», т. е. задача об определении
кривых, касательные к которым обладают заданным свойством,
сыграла видную роль в предистории интегрального исчисления и теории
дифференциальных уравнений. Несколько таких задач поставил перед
Декартом в 1638 г. Ф. Дебон (1601—1652); в частности он поставил
задачу об отыскании кривой, подкасательная st которой
удовлетворяет уравнению
У =х—У
st a
или
Путём преобразования координат, соответствующего подстановкам
X X
χ = -=■ и )/=^ + —f= — а> Декарт (говоря по-современному) свёл
1) Путь, проходимый телом при прямолинейном равномерно-ускоренном
движении, Галилей вычислял как площадь треугольника, образованного
отрезком оси t% прямой ν = gt и какой-либо ординатой этой прямой.

430
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
[гл. χ
последнее уравнение к виду
dY _ Υ
dX~ aY29
т. е. к той же задаче, которую решал за четверть века до него
Непер. Не располагая понятием логарифмической функции, Декарт
дал кинематический приём определения точек искомой кривой как
точек пересечения двух движущихся прямых. Он высказал также
мнение, что кривая трансцендентная, — по его терминологии —
механическая,— а заодно и убеждение, что общего метода решения
подобных задач существовать не может. Довольно скоро, однако,
решение тех обратных задач на касательные, дифференциальные
уравнения которых непосредственно допускают разделение
переменных, сведено было к задаче квадратур. Это удалось в 1669—1670 гг.
И. Барроу (1630—1677), который в геометрической форме показал,
что кривая, подкасательная которой определяется условием
st = /(У)
У ?W '
сама определяется уравнением, которое в наших обозначениях имеет
вид
ff(y)dy= /?(*)<**·
С работ И. Ньютона (1642—1727) и Г. В. Лейбница (1646—1716)
начинается первый период истории дифференциальных уравнений,
охватывающий последнюю четверть XVII и весь XVIII век. Изучение
проблем динамики точки и твёрдого тела, а также некоторых
геометрических задач методами дифференциального и интегрального
исчислений вскоре привело к выделению простейших классов
обыкновенных уравнений первого и второго порядков.
В первой половине XVIII в. дифференциальные уравнения
становятся основным орудием исследования не только в механике, но и
в дифференциальной геометрии и вариационном исчислении. К концу
этого времени задачи математической физики, прежде всего задача
о колебании струны, облекаются в форму дифференциальных
уравнений с частными производными, а во второй половине XVIII в. такие
уравнения получают широкое применение и в теории поверхностей.
И подобно тому, как математический анализ в XVIII в. развивался
как анализ отдельных классов (аналитических) функций, так и теория
дифференциальных уравнений разрабатывалась как учение о
различных конкретных типах дифференциальных уравнений. Главные усилия
сосредоточены были на частных методах интегрирования и сведении
решения к элементарным функциям и их квадратурам, которое при
невозможности такого решения заменялось приближённым
интегрированием. Общие проблемы теории — вопросы существования, поведе-

гл. χ]
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
431
ния интегральных кривых, природы особых точек и т. д. — подобно
общим вопросам теории функций оставались в стороне. При этом,
как и ряд других дисциплин, теория дифференциальных уравнений
развивалась первоначально внутри математического анализа, и лишь
постепенно, по мере выяснения особенностей её проблем и
установления её центральных понятий, выделилась в особую математическую
науку.
Ряд дифференциальных уравнений был проинтегрирован Ньютоном
в «Математических началах натуральной философии» (1686), второй
закон которых сам автор сформулировал словами: «Изменение
количества движения пропорционально приложенной движущей силе и
происходит по направлению той прямой, по которой эта сила
действует», а мы записываем дифференциальным уравнением
d (mv) _ к
dt -~Г·
Так, в задаче 0 прямолинейном движении точки под действием
силы, пропорциональной расстоянию от центра притяжения, Ньютон
решил уравнение
£ + *»* = о,
а в задаче о прямолинейном движении тяжёлой точки в среде,
сопротивление которой пропорционально квадрату скорости, — уравнение
d2x , /dx\2
В «Математических началах», которые были изложены с помощью
синтетико-геометрических построений, отсутствовала запись
дифференциальных уравнений и их интегралов в аналитической форме;
чисто аналитическую трактовку задач механики ввёл впервые Л. Эйлер.
В явном виде дифференциальные уравнения встречаются в «Методе
флюксий и бесконечных рядов» Ньютона, написанном около 1671 г.
и изданном в 1736 г.
Уже в самой формулировке двух взаимно обратных задач метода
флюксий, как именовалось у Ньютона исчисление бесконечно малых
(флюксия соответствовала нашей производной), поставлена была общая
проблема интегрирования обыкновенного дифференциального
уравнения. Первая задача Ньютона гласила: «по данному соотношению
между флюентами определить соотношение между флюксиями» *),
а вторая: «по данному уравнению, содержащему флюксии, найти
соотношение между флюентами». Таким образом, для случая одной
независимой переменной во второй проблеме речь шла о решении
х) Флюенты, т. е. переменные величины, х, у рассматривались как
функции параметра t — «времени».

432
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
[гл. х
уравнения
В примерах на вторую проблему у Ньютона имеется частный случай
уравнения в полных дифференциалах:
М(ху y)dx-\-N(xy y)dy = 0,
где Μ и N—целые рациональные функции. Решение при этом даётся
в квадратурах. Но общим методом, который Ньютон применял
к линейным и некоторым другим уравнениям, являлся метод
последовательных приближений, дававший решение в виде бесконечного
степенного ряда по положительным или отрицательным степеням
аргумента. Представление решения в форме ряда было естественно
для Ньютона потому, что одни уравнения не интегрировались в
квадратурах, а во многих других квадратуры приводили к недостаточно
изученным трансцендентным функциям. Ньютон, видимо, не
стремился вообще к разысканию конечных аналитических выражений
интегралов уравнений. Например, уравнение
^ = 1 ι У
dx ' а — χ
он преобразует к виду
и даёт (частное) решение в форме
х^ х^
Между тем это же решение такого уравнения можно, идя другим
путём, выразить функцией
— 1 Га* (а — *)21
} — Έ=Τ L~2 2 J'
Как правило, Ньютон ищет решение со свободным членом, равным
нулю, но вместе с тем указывает, что, произвольно выбирая
свободный член, можно получить и бесконечное множество решений.
Ньютон рассматривал и уравнения с тремя и более переменными.
Для него было ясно, что при этом для интегрирования, вообще
говоря, следует вводить дополнительные соотношения между
переменными. Так, в случае уравнения
^--^- + 2 = 0
dx dx l

гл. χ]
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
433
можно принять дополнительно
х=у или 2у = а-\-ху или ^у2 = лг,
и вообще — в пределах известных в то время функций —
произвольное соотношение между χ и у.
Иное направление получила разработка дифференциальных
уравнений у Лейбница, который, между прочим, ввёл в употребление
самый термин «дифференциальное уравнение» *), и его ближайших
последователей Якова Бернулли (1654—1705) и Ивана Бернулли
(1667—1748). Лейбниц, а за ним братья Бернулли также применяли
для решения дифференциальных уравнений разложения в степенные
ряды. Наряду с этим, однако, они в процессе систематической
разработки алгоритма исчисления бесконечно малых положили начало
классификации обыкновенных дифференциальных уравнений и
методам их решения посредством сведения к квадратурам.
Простейшим видом дифференциальных уравнений являются
уравнения с разделяющимися переменными, и естественно, что усилия
были направлены, прежде всего, на приведение уравнений первого
порядка к этому виду. Так, Лейбниц уже в 1693 г. достиг этой
цели для однородных уравнений с помощью подстановки у = их%
а вскоре и для линейного уравнения, заменяя у произведением двух
искомых функций u, v. В 1696—1697 гг. Лейбниц и братья
Бернулли решили таким же путём предложенное старшим Бернулли
уравнение
вместе с тем Лейбниц и И. Бернулли показали, что при замене
yi-n — а последнее уравнение переводится в линейное.
В нескольких случаях И. Бернулли употребил и интегрирующий
множитель. В частности, в 1700 г. он показал, как с помощью
множителя вида χ? можно последовательно понижать порядок линейного
уравнения
dllv dn~~^v
позднее названного по имени Эйлера (который нашёл употребляемый
теперь приём решения с помощью подстановки x = et в 1740 г.);
впрочем, решение Бернулли не было своевременно опубликовано
автором. Незадолго перед тем (1697) И. Бернулли поставил и решил
важную задачу о траекториях, метод решения которой немедленно
дал также Лейбниц.
]) Впервые в письме к Ньютону от 1676 г., а затем в печати, начиная
с 1684 г.

434
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
[гл. χ
Некоторые простые дифференциальные уравнения тогда же были
проинтегрированы при решении задачи о кривой быстрейшего спуска—
брахистохроне.
Для уравнений второго порядка, не содержащих явно одной из
переменных, Я. Бернулли предложил приём сведения к уравнениям
первого порядка с помощью введения параметра у' = /?; однако
работа Бернулли была напечатана много лет спустя после того, как
Дж. Риккати (1676—1754) в 1715 г. опубликовал тот же приём.
В дальнейшей разработке теории обыкновенных
дифференциальных уравнений приняли участие крупнейшие учёные XVIII в.
Особенно велик был вклад знаменитого петербургского академика
Л. Эйлера (1707—1783), а затем французских математиков А. Клеро
(1713—1765), Ж. Даламбера (1717 — 1783) и Ж. Л. Лагранжа
(1736-1813).
Черпая материал из многочисленных задач механики, в том числе
небесной механики, баллистики, геометрии и самого математического
анализа, Эйлер обогатил теорию дифференциальных уравнений целым
рядом первоклассных открытий.
В мемуаре, напечатанном в 1743 г., Эйлер дал классический
метод решения линейного однородного уравнения любого порядка
с постоянными коэффициентами при помощи подстановки у = екх и
в случае действительных коатных корней — подстановки екхи.
Аналогичная подстановка еоаси в случае пары комплексных корней α ± β/
позволила ему свести вспрос к уравнению
0+?*« = ».
тригонометрическое решение которого было ему известно *). В этом же
мемуаре Эйлер указал, что общим решением уравнения порядка η
является линейная комбинация его η частных решений, впервые введя
попутно самые термины «частное решение» (valor particularis) и
«общее решение» (aequatio integralis completa, полное интегральное
уравнение)2). Через 10 лет Эйлер опубликовал способ решения
неоднородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами
путём последовательного понижения его порядка. Умножая, напри-
*) Рассматривая одно такое уравнение, Эйлер в 1740 г. получил его
частное решение в двух различных видах: 2 cos χ и exi + e~xi и убедился в их
тождестве с помощью разложений в ряды; это и привело его к открытию
знаменитой формулы, носящей его имя.
2) Одновременно линейное однородное уравнение с постоянными
коэффициентами решил Д. Бернулли (1700—1782), в 1725—1733 гг. бывший
действительным, а затем почётным членом Петербургской Академии наук. Решение
Бернулли было обнародовано в 1751 г. Приём получения решения в случае
еКх gkx
кратных корней, например двойного корня k из выражения —, , при
k}-* k, восходит к Даламберу (1748). В дальнейшем даты в скобках везде
означают год публикации работы.

гл. χ]
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
435
мер, уравнение
*У_А-П^-Х
на етх9 он принимал, что решение возникающего уравнения имеет вид
dy\_
етх (л1у + Bi _g_) = J Xemx dXy
где At и Bj—неопределённые коэффициенты; дифференцируя обе
части последнего уравнения и почленно сравнивая результат с
данным уравнением, он находил Av Вг и т. Даламбер позднее
установил, что общее решение неоднородного уравнения есть сумма
частного решения его и общего решения однородного с теми же
коэффициентами (1766), а Лагранж в 1766—1777 гг. детально разработал
метод вариации постоянных *) и применил его к указанному типу
уравнений.
Вместе с тем Лагранж указал, что когда известно г частных
решений однородного линейного уравнения, то его порядок можно
понизить на г единиц2).
Существенные успехи достигнуты были Л. Эйлером и А. Клеро
в исследовании условий интегрируемости дифференциальных
выражений, предпосылкой чего явилась открытая в 1721 г. Ник. I Бер-
нулли (1687—1759) и позднее доказанная Эйлером теорема о
независимости результата дифференцирования от его порядка, и в теории
интегрирующего множителя. Условие интегрируемости выражения
Mdx+Ndy
установили Клеро (1740) и Эйлер; в следующем году Клеро указал
условие интегрируемости для
Mdx + Ndy + Pdz
и известный метод интегрирования полного дифференциала. Для
некоторых видов уравнений Клеро нашёл и интегрирующий множитель.
Однако уравнения Μ dx-\- Ndy-\-Pdz = О, для которых условие
интегрируемости не выполнено, считали в то время лишёнными смысла,
упустив из виду правильные замечания по этому вопросу, сделанные
Ньютоном.
!) Метод вариации был известен ещё ранее Эйлеру, применившему его
в сочинении о приливах и отливах к уравнению второго порядка (1740),
а затем в некоторых работах о возмущениях планетных орбит. Этот же
приём независимо открыл Д. Бернулли (1740).
2) Понятие линейной независимости системы функций было точно
сформулировано в середине XIX в. Условие линейной независимости,
выраженное с помощью определителя Г. Вронского (польский математик, 1775—1853,
введший этот определитель в 1821 г.), дали Л. Гессе (1811—1874) в 1857 г.
и Э. Кристофель (1829—1900) в 1858 г. Термин «фундаментальная система»
ввёл Л. Фукс (1833—1902) в 1866 г.

436
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
[гл. х
Особенно широкое развитие метод интегрирующего множителя
получил в работах Эйлера 1768—1769 гг., в которых был
установлен ряд классов дифференциальных уравнений первого порядка,
обладающих множителем заданного вида. В следующем году Эйлер
распространил метод интегрирующего множителя на уравнения высших
порядков. Он использовал при этом найденное им (1766) с помощью
вариационного исчисления условие, при котором F(x, у, у\ .. ., у№)
является полной производной другой функции, содержащей
производные до порядка η—1. Это условие без посредства вариационного
исчисления вывел (1771) другой член Петербургской Академии наук
А. И. Лекселль (1740—1784).
Одним из наиболее важных применений теории интегрирующего
множителя явилось открытие Лагранжем (1766) уравнения,
сопряжённого с данным однородным линейным уравнением, и факта взаимной
сопряжённости обоих уравнений. С большей отчётливостью этот факт
был выражен позднее Эйлером (1778),
Перечислить открытия Эйлера в теории обыкновенных
дифференциальных уравнений здесь было бы невозможно. Отметим ещё его
исследования свойств общего уравнения Риккати *) (если известен
частный интеграл и этого уравнения, то подстановка у = и-\
сводит его к линейному, а если известны два интеграла, то для
интегрирования требуется лишь одна квадратура). В связи с проблемой
колебаний растянутой круговой мембраны Эйлер пришёл к
уравнению
/о Ё2\ , 1 da , d2a Λ
позднее названному уравнением Бесселя, а решение его представил
в виде бесконечного ряда, лишь постоянным множителем
отличающегося от цилиндрической функции /р(«г) (1766), частный случай
которой при β = 0 встретился ещё ранее Д. Бернулли при
исследовании колебаний тяжёлых цепей (опубл. в 1738 г.).
В 1768 г. Эйлер нашёл алгебраический интеграл уравнения
dx 4- dy =0
ΥΡ{χ)^~'VP(y)
где Ρ—целый многочлен четвёртой степени, тем самым получив
важную теорему сложения эллиптических интегралов.
*) Риккати рассматривал частные случаи уравнения, носящего, по
предложению Даламбера, его имя. В случае уравнения
ь4^-=У2 + ахп
dx ' '
Д. Бернулли (1724) и сам Риккати одновременно показали, что оно допу-
екает разделение переменных в случае η = — 2, . (где /г —любое целое
или k = оо).

ГЛ. Χ] ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК 437
С особым решением уравнения первого порядка впервые
встретился Б. Тейлор (1685—1731) в 1715 г. Рассматривая уравнение
4*3 — 4х2 = (1 + *2)2 [η&) >
Тейлор с помощью подстановок х = -^, v=l-{-z2 привёл era
к виду
y* — 2zyy' + vy'2=l. (A)
Далее он продифференцировал последнее уравнение:
2/' (vy' — zy) = О,
а затем, приравняв второй множитель нулю и подставив у = ~
в уравнение (А), получил:
y2 = v и х=1.
Это решение он назвал «некоторым особым (singularis) решением
задачи», не обратив, однако, внимания на его действительно
особенные свойства. Двадцать лет спустя (1736) А. Клеро, опять-таки
посредством дифференцирования, нашёл и определённо различил
особое и общее решение уравнения
>-<*+■>£-(£)'·
а Ж. Даламбер (1750, 1772) обобщил затем тот же приём на общее
уравнение:
>-"*(£)+♦(#)·
иногда именуемое уравнением Лагранжа. Ряд уравнений с особыми
решениями встретился также Эйлеру; начиная с 1736 г., Эйлер
заметил также, что если уравнение имеет множитель μ (л;, у), то
уравнение —-( ч = 0 может давать особое решение; так, например, в
случае уравнения
xdx-\-ydy = V x2+y2 — r2 dy
с
1
μ =
Ух2 + у2 — Г2
особым решением будет х2-\-у2 — г2 = 0 (пример принадлежит Ла-
гранжу). Более глубокое исследование характера особых решений
произвёл Лагранж (1776), который детальнее выяснил, как их
получать— либо непосредственно из дифференциального уравнения, либо
из общего решения с помощью дифференцирования по постоянной;
Лагранж также дал геометрическое истолкование особого решения

438
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
[гл. х
как огибающей семейства частных интегральных кривых.
Геометрические места особых точек, а также случаи, в которых особое
решение одновременно является и частным, остались при этом Лагранжу
неизвестными. Лагранж занимался также особыми решениями
уравнений высших порядков и проблемой разыскания уравнений,
обладающих заданными особыми решениями.
С разработкой систем обыкновенных дифференциальных уравнений
математическое естествознание встретилось при изучении основных
уравнений динамики. Более подробное исследование систем начал
Даламбер, применивший к линейным однородным системам с
постоянными коэффициентами метод неопределённых множителей (1750).
Подбирая множители так, чтобы линейная комбинация левых частей
уравнений сводилась к виду
du -\-kudt= 0,
Даламбер по существу получал для определения множителей так
называемое вековое уравнение. Даламбер занимался также частными
случаями систем уравнений второго порядка; эти исследования его
были продолжены А. И. Лекселлем (1778 и 1783).
Задачи небесной механики, в частности теория движения Луны,
интерес к которой в то время особенно стимулировали потребности
ориентации при мореплавании, широко содействовали развитию
приближённых способов . интегрирования дифференциальных уравнений.
Среди различных приёмов большое значение для дальнейшего имел
.метод Эйлера (1768) для уравнения
%=П*-У) (А)
с начальными условиями х = х0, у=у0. Определяя из (А) высшие
производные для у и подставляя в них х0, у0, Эйлер находил
значение^, соответствующее аргументу x1 = x0-\-h, где к — весьма малое
число, с помощью нескольких первых членов строки Тейлора; затем
совершенно аналогично находились значения^, у%, . ..,
соответствующие равноотстоящим значениям аргумента x0-\-2k, x0-\~3h, ...
При ограничении членами первой степени относительно h
получатся формулы:
Λ=Λ> + Α/(*ο» У о)*
Уп=Уп-1 + Ь/(хп_и уп_г)
и
Уп=Уо + н/(хо> Λ)+ */(*!. Л)+···+*/(*Λ-ι. Уп-ι),
которые и приводятся теперь в руководствах под названием «метода
Эйлера». Этот метод лёг позднее в основу одного из доказательств
теоремы существования решения уравнения у'=/(.*:, у). Теорети-

гл. χ]
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
439
ческое исследование сходимости процесса, как это всегда имело место
в XVIII в., не производилось; Эйлер замечал только, что в
конкретных случаях при достаточно малых h ряды сходятся быстро. Свой
метод Эйлер распространил и на уравнения второго порядка (1769).
Широко применялись и разложения в бесконечные степенные ряды,
а Лагракж (1779) с той же целью употребил разложения в
непрерывные дроби.
Успехи математиков XVIII в. в теории уравнений с частными
производными были менее значительными, но и в этой области
заложены были основы дальнейшего развития. В первую очередь
математики пришли к уравнениям с частными производными при изучении
практических задач математической физики
(дифференциально-геометрические проблемы в более широком плане поставлены были
позднее), и серьёзные работы в этой области начались с изучения
уравнений второго порядка.
Отправным пунктом явилась здесь одна из самых богатых
следствиями задач XVIII в. — задача о колебании струны. Ею
интересовался ещё Г. Галилей, но только Б. Тейлор положил начало её
математическому решению (1715). Если передать в символах
дифференциального исчисления установленный им закон обратной
пропорциональности ускорения точки струны при поперечном колебании
и радиуса кривизны струны в той же точке, то можно сказать, что
для малых колебаний он пришёл к знаменитому уравнению
дР дх* '
Принимая некоторые весьма ограничительные посылки, Тейлор свёл
задачу к двум простым линейным уравнениям второго порядка с
постоянными коэффициентами и для струны, закреплённой в двух
концах, нашёл, что в любой момент она имеет форму синусоиды.
Само уравнение колеблющейся струны в виде
д*у _ д2у
дР ~ дх*
записал Даламбер (1749), получивший впервые решение в виде суммы
двух произвольных функций:
v = /(* + 0 + ?(* —0.
Анализ Даламбера не был полным, ибо для него не были ясны
условия, которые должны быть включены в саму формулировку проблемы.
Даламбер учёл только граничные условия л; = 0, лг = /, позволившие
ему представить решение в виде
y=f« + x)—f(t—x).
Эйлер в следующем году указал, что колебание струны будет
полностью определено, когда наряду с граничными условиями будут

440
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
[гл. χ
заданы ещё начальные, т. е. функции, определяющие в какой-либо
момент времени форму струны и скорость любой её точки. Тем
самым он завершил аналитическую разработку так называемого
метода характеристик Даламбера, хотя геометрическая картина явления
оставлена была обоими учёными в стороне. С этого момента
возникает нашумевший в XVIII в. и чрезвычайно важный спор о природе
произвольных функций, входящих в интегралы уравнений с частными
производными.
Эйлер считал, что обычный анализ должен ограничиваться только
непрерывными функциями. Понятие непрерывности у Эйлера было,
однако, отличным от того, которое вкладывается в этот термин со
времён О. Коши и Б. Больцано. Под непрерывной функцией Эйлер
понимал функцию, определяемую во всей области существования
единым аналитическим выражением, причём вопрос о характере
допустимых аналитических выражений поставлен отчётливо не был.
С точки зрения Эйлера, например, две ветви гиперболы ху=\
образуют непрерывную кривую, а сходящиеся в начале координат лучи
биссектрис первых двух четвертей с уравнениями у =— χ при х^О
и у = х при χ > 0 — линию разрывную. «Непрерывность» Эйлер
усматривал в том, что благодаря единству аналитического выражения
«все части кривой соединены между собой теснейшим образом, так
что ни в одной из этих частей не может произойти изменения без
нарушения связи непрерывности».
Таким образом, непрерывность в смысле Эйлера была родственна
с тем свойством аналитических функций комплексного переменного,
что задание такой функции на любом участке определяет её в целом.
Функции непрерывные в современном смысле слова Эйлер именовал
связными. Связные кривые, проведённые свободным движением руки,
являлись для Эйлера разрывными, ибо он считал, что их нельзя
выразить с помощью единой формулы. Но если обыкновенный анализ
согласно Эйлеру имел своим предметом «непрерывные» функции, то
уравнения с частными производными составляли новую область
математики, с необходимостью применяющую функции «разрывные»,
поскольку начальная форма струны может быть задана произвольно.
Даламбер возражал против столь широкой постановки вопроса,
считая, что функции, входящие в интегралы уравнений с частными
производными, должны задаваться аналитически.
В это же время с новым замечательным решением вопроса
выступил Д. Бернулли (1753). Опираясь на существенно физические
соображения и исходя из того, что звук, издаваемый струной,
образуется главным тоном и бесчисленным множеством обертонов, он
пришёл к заключению, что колебания струны как бы складываются
из бесчисленного множества колебаний различных её частей,
соединённых между собой в узлах. Форма струны возникает поэтому путём
наложения соответствующих различным обертонам синусоид, периоды
которых уменьшаются обратно пропорционально натуральным числам,

гл. xl
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
441
а решение представляется уравнением
. πχ , о . 2πχ . . 3πχ
y = «sm——l-Psin——- +Tsm—-
a
Таким образом, Д. Бернулли пришёл к открытию фундаментального·
в математической физике принципа наложения линейных колебаний
и метода решения уравнений с частными производными, впоследствии
названного методом Фурье, или методом стоячих волн.
Эйлер незадолго до Бернулли получил решение уравнения струны
для одного частного случая также в виде тригонометрического ряда.
Он, однако, высказал сомнение в общности решения такого вида,
ибо с его точки зрения даже произвольная алгебраическая функция
не может быть представлена суммой синусов, поскольку не является
обязательно нечётной и наверное не является периодической, а от
аналитического выражения требуется, чтобы оно определяло функцию
для любых значений аргумента. Д. Бернулли, напротив, высказывал
уверенность в том, что при подходящем выборе коэффициентов α, β,
γ, ... тригонометрический ряд может выразить любую кривую. Он
подчёркивал, что его теория «открывает возможность привести
движения, существующие в природе, которые кажутся не подчинёнными
никакому закону, к простым изохронным движениям, которыми,
видимо, пользуется природа в большей части своих действий!.
Впоследствии в споре о природе интегралов уравнений с частными
производными и о представимости функций тригонометрическими рядами
приняли участие и другие крупные учёные, как Лагранж и П. Лаплас
(1749—1827^ В 1787 г. Петербургская Академия наук объявила
конкурс на тему по этому вопросу и присудила премию Л. Арбога
(1759—1803), ставшему в целом на сторону Эйлера против Да-
ламбера.
Недостаточно отчётливые представления о самом понятии
функции, непрерывности, аналитичности и пр. не позволили, впрочем,
математикам того времени дать точное решение вопроса, в том числе
вопроса о классе функций, представимых тригонометрическими
рядами. Как известно, эта проблема явилась предметом исследований
многих математиков XIX в.
Уравнения с частными производными высших порядков возникали
и в других задачах математического естествознания — в
гидродинамических исследованиях (Эйлер; Даламбер, который в 1752 г. впервые
применил в этой области функции комплексного переменного), в задаче
о колебании мембран (Эйлер), теории потенциала (уравнение Лапласа,
1789) и т. д. В результате были выявлены важные типы линейных
уравнений с частными производными второго порядка. Но
математики XVIII в. остались в целом далеки от постановки общих
вопросов теории таких уравнений. В этом направлении существенны были
прежде всего исследования Эйлера (1770) по преобразованию
линейных уравнений второго порядка к некоторым каноническим формам

442
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
[ГЛ. X
с помощью замены переменных. Так, уравнение
ду* — а~ дх*
посредством подстановок
/ = χ -\- ау, и = х — ау
Эйлер привёл к уравнению
*£- = ο
ЫЬи
откуда сразу получил общий интеграл в виде
*=/(0+?(я)=/(* + «У) + ?(* — аУ)-
Для уравнения
d2z , dz ι , dz . Λ
дх ду ' дл: ~ dy
Лаплас (1777, 1782) предложил так называемый метод
каскадов, позволяющий иногда получить общий интеграл с помощью
квадратур.
Уравнения с частными производными первого порядка стали
возникать прежде всего в задачах геометрии. Отдельные простейшие
виды их [вроде /(/?, q) = 0] встречаются в работах Эйлера (1740 и
след.). Даламбер рассмотрел линейные относительно ζ, ρ, q
уравнения с постоянными коэффициентами (1768). Общее линейное
уравнение
Pp + Qq = R
решили почти одновременно Лаплас и Лагранж (1776), который
указал известный метод сведения интегрирования такого уравнения
к интегрированию системы
dx dy dz
Несколько лет спустя Лагранж распространил свой приём на
линейные уравнения с любым числом переменных (1781 и 1787), подчеркнув
в связи с этим, что искусство решения уравнений с частными
производными заключается в их сведении к обыкновенным.
Вопросом о решении нелинейных уравнений первого порядка
занимались Эйлер, — который мимоходом заметил, что уравнение с тремя
переменными приводится к линейному с четырьмя переменными (1770),—
Лагранж и другие, но только П. Шарпи (1784, опубл. в 1814) довёл
до конца решение нелинейного уравнения первого порядка с двумя
независимыми переменными по методу, носящему имя Лагранжа-Шарпи.
Попытки распространения этого метода на случай более двух
аргументов в XVIII в. успеха не имели.

гл. χ)
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
443
В работах 70-х годов Лагранж установил и взаимоотношения
между различными видами решений уравнений первого порядка и
современную терминологию. Решение
* = ?(*, У, а, Ь),
зависящее от двух произвольных постоянных, он назвал полным.
Применение вариации постоянных, употреблённой Лагранжем тогда
же для обыкновенных неоднородных линейных уравнений, дало ему
общий и особый интегралы. Полагая b равным произвольной
функции ψ (а) и исключая параметр а из уравнений
dz
* = <?[■*, У> α, ψ (α)] и ^ = 0,
Лагранж находил общее решение, а исключение обоих параметров из
уравнений
* = <?(*, У, <*, Ь\ g = 0, g = 0
доставляло особое решение. Лагранж ввёл также самый термин
«решение» дифференциального уравнения вместо «интеграла» в связи
с тем, что решение не всегда требует вычисления квадратур.
Мы видели, что в некоторых случаях аналитические факты теории
дифференциальных уравнений находили и геометрическое
истолкование. Так, Лагранж связал учение об особых решениях обыкновенных
уравнений с теорией огибающих. Однако в целом теория
дифференциальных уравнений развивалась Эйлером, Даламбером и Лагранжем
на аналитической и вычислительной основах. Геометрическая теория
дифференциальных уравнений получила развитие главным образом
в трудах Г. Мокжа (1746—1818). В ряде работ, из которых
важнейшие появились на рубеже XVIII и XIX вв. (1795—1807), Монж в весьма
широком плане исследовал связи теории дифференциальных
уравнений и теории поверхностей и пространственных кривых. Процесс
интегрирования уравнений получил при этом весьма наглядную
геометрическую интерпретацию. В ряде случаев само отыскание
интегралов опиралось на геометрический способ образования поверхностей.
Рассматривая, например, цилиндрические поверхности, образующие
которых параллельны прямой
х = az, y = bzt
и выражая условие параллельности касательной плоскости
* —*!=/>(* —*,) + iCv—Л)
с этой прямой, Монж находил дифференциальное уравнение
цилиндрических поверхностей
ap~\-bq= 1.

444
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
Ггл. χ
Общий интеграл этого уравнения Монж далее находит следующим
образом. Уравнения образующей должны иметь вид
χ = αζ + а, у = bz -|- β,
где απβ постоянны для точек каждой определённой образующей и
одновременно меняются при переходе от одной образующей к
другой. Из того, что аир бывают одновременно постоянны и
одновременно переменны, Монж пришёл к выводу, что они находятся
в некоторой зависимости друг от друга, β = φ(α), откуда следовало,
что конечное уравнение цилиндрических поверхностей, т. е. искомый
интеграл, есть
у — Ьг = φ (χ — αζ).
При дополнительных условиях, скажем, при задании уравнений
направляющей, определяется конкретный вид функции φ, дающий
уравнение цилиндрической поверхности, проходящей через данную кривую.
Геометрическое истолкование уравнения
Pdx-\-Qdy-\-Rdz = 0 (A)
позволило Монжу внести ясность в вопрос, который, как
упоминалось, долгое время оставался неразрешённым, хотя правильный путь
был указан ещё Ньютоном. В случае интегрируемости одним
соотношением уравнение (А) определяет семейство поверхностей/(дг, у, ζ) = с,
на которых любые кривые ортогональны к кривым, определяемым
системой
в точках пересечения последних кривых с поверхностями. В общем
случае, когда условие интегрируемости не выполняется, не
существует семейства поверхностей, ортогональных к кривым системы (В).
Однако, как выяснил Монж, и в этом случае уравнение (А) имеет
смысл: при задании дополнительной зависимости между
переменными φ (дг, у, ζ) = 0 оно сводится к обыкновенному уравнению с
двумя переменными и определяет однопараметрическое семейство
кривых, лежащих на поверхности ®(х> у, ζ) = 0 и ортогональных
к кривым системы (В). Уравнение (А) впоследствии было названо
по имени Пфаффа, а нелинейные уравнения вида
F(xy у, z, dx, dy> dz) = 0
С. Ли предложил именовать уравнениями Монжа, рассматривавшего
их отдельные случаи.
Монж дал геометрическую картину общей теории
уравнений с частными производными первого порядка. Полный интеграл
f(x, у, ζ, я, £) = 0 представляет собой двухпараметрическое
семейство поверхностей. Поверхности, принадлежащие к однопара-

гл. χ]
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
445
метрическому семейству, возникающему, если положить Ъ = φ (я),
Монж назвал огибаемыми. Поверхность, определяемая уравнениями.
f(x9 у, ζΛ а, <р(я)) = 0 и^ = 0 — огибающая поверхностей одно-
параметрического семейства, — оказывалась геометрическим образом
общего интеграла. Основное значение имело введение Монжем
кривых, по которым огибаемые поверхности соприкасаются с
огибающей, т. е. кривых, определяемых уравнениями /=0 и Т"==^ ПРИ
фиксированных значениях параметра а. Эти кривые Монж назвал
характеристиками, поскольку они определяют характерные свойства
образуемых ими огибающих интегральных поверхностей. Наконец,
огибающую семейства характеристик, определяемую уравнениями:
J ' да и' да* '
Монж назвал ребром возврата огибающей поверхности, ибо точки
этой линии являются, вообще говоря, точками возврата для кривой,
по которой пересекается огибающая поверхность с плоскостью, не
проходящей через касательную к ребру. В недостаточно отчётливой
форме Монж распространил учение о характеристиках и на
уравнения высших порядков, возникавшие при изучении различных типов
поверхностей — развёртывающихся, линейчатых и др. Он, между
прочим, ввёл и употребительные теперь сокращённые обозначения
частных производных.
К концу XVIII столетия теория дифференциальных уравнений
выросла в одну из важнейших математических дисциплин и стала
основным аппаратом математического естествознания. Были выявлены
основные классы обыкновенных уравнений, интегрируемых в
квадратурах, созданы первые систематические приёмы приближённого
решения, введён ряд новых фундаментальных понятий — особого и общего
решения, полного, общего и частного интегралов уравнений в
частных производных.
Было положено начало геометрической теории уравнений с
частными производными, выделены некоторые канонические типы
уравнений с частными производными высших порядков. Теория
дифференциальных уравнений была связана с вариационным исчислением *) и
х) Особенное значение имело известное уравнение Эйлера
F А — = 0.
У^ dx
которому должна удовлетворять функция, доставляющая экстремум инте-
ь
гралу j F (xt у, у1) dxt и обобщение этого уравнения на случай экстремума
а Ь
j F(*,y,y' y(n))dx.

446
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
[гл. χ
дифференциальной геометрией, наметилась её связь с функциями
комплексного переменного, с тригонометрическими рядами, со
специальными функциями и .эллиптическими интегралами. Большая часть
результатов, достигнутых к 80-м годам XVIII в., была мастерски
изложена в классическом четырёхтомном «Интегральном исчислении»
(Спб., 1768—1770, 4-й том —1794) Эйлера, которое долгое время
оставалось настольной книгой всех математиков и не утратило
интереса и поныне. Новые идеи в теорию дифференциальных уравнений
внесены были в первой половине XIX в., отчасти в связи с
разработкой новых проблем математической физики, отчасти в связи с общей
реформой математического анализа.
Первая четверть XIX в. явилась переломным периодом в развитии
всей математики. Прежде всего коренной перестройке подвергся самый
фундамент математического анализа: были точно сформулированы
в арифметических терминах понятия предела, бесконечно малой,
непрерывности функции, дифференциала и пр.; определённый интеграл, под
которым в XVIII в. понимали обычно частное значение одной из
первообразных, был определён как предел суммы; при пользовании
бесконечными рядами стали требовать от них сходимости и был установлен
ряд критериев сходимости и т. д. Теоремам и формулам анализа
перестали приписывать, как то было ранее, общую значимость для
любых значений аргумента и для любых функций; в формулировках
математических предложений появились всем нам теперь привычные
ограничительные условия. Само понятие функции впервые приобрело
современный характер, и в 1834 г., за три года до П. Лежен-
Дирихле (1805—1859), великий русский геометр Н. И.
Лобачевский (1792—1856), разъясняя идею функциональной зависимости,
писал: «Обширный взгляд теории допускает существование
зависимости только в том смысле, чтобы числа, одни вместе с другими
в связи, принимать как бы данными вместе».
В результате этой реформы, главными деятелями которой явились
О. Коши (1789—1857), К. Гаусс (1777—1855) и чешский учёный
Б. Больцано (1781—1848), математический анализ из учения об
отдельных функциях или специальных классах функций начал перерастать в
общую теорию функций, что позволило с гораздо большей глубиной и
размахом изучать и частные функциональные зависимости. При этом на
передний план исследований выдвигается проблема арифметического
доказательства существования определяемых с помощью бесконечных
процессов объектов анализа: пределов последовательностей, опре-
делённного интеграла непрерывной функции (Коши, 1823),
первообразной, различных несобственных интегралов, корня непрерывной
функции, на концах интервала имеющей разные знаки, и т. д. Там, где
учёные XVIII в. опирались на геометрические иллюстрации или
физические аналогии (интеграл как площадь или путь, производная как
наклон касательной к непрерывной кривой и т. п.), или — как это
было в приближённых вычислениях — на «очевидное» из хода выкладок

гл. χ]
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
447
приближение к искомой величине, математики XIX в. правильно
усмотрели принципиальные проблемы существования.
Развитие математического анализа в направлении функций
действительных переменных, особенно новое определение интеграла и учение
о сходимости рядов, создало предпосылки и для построения общей
теории функций комплексного переменного, основателями которой
были Коши и Гаусс. Не менее глубокие сдвиги произошли в
указанное время и в других областях математики. Так, в алгебре решены
были первые общие проблемы, связанные с представлением корней
уравнений с помощью радикалов. П. Руффини (1765—1822) и
Н. Абель (1802—1829) доказали невозможность решения в
радикалах произвольных уравнений выше четвёртой степени. Вслед за тем
Э. Галуа (1811—1832) установил условия, при выполнении которых
уравнения данной степени разрешимы в радикалах, и в связи с этим
заложил основы теории групп, идеи которой некоторое время спустя
начали проникать решительно во все разделы математики, П. Ван-
цель (1814—1848) показал неразрешимость в общем случае с помощью
циркуля и линейки античной проблемы трисекции угла и задачи об
удвоении куба. Революционный переворот произвёл Н. И.
Лобачевский открытием неевклидовой геометрии (1826 и след.). Возникли
идеи многомерных геометрий.
Новые идеи и методы математического анализа оказали мощное
влияние и на развитие теории дифференциальных уравнений. Здесь
также была поставлена общая проблема существования — именно
существования решений дифференциальных уравнений. Точная
формулировка и первое же решение этой задачи для весьма широкого
класса случаев принадлежали Коши.
Коши отмечал, что роль, которую играют интегралы (в том числе
дифференциальных уравнений) в физике и геометрии, показывает, чтэ
входящие в них произвольные постоянные и функции всегда подлежат
определению. Учёные XVIII в. между тем исходили из необоснованной
уверенности в существовании общих решений, начинали поэтому с их
разыскания, а определение констант и функций производили под
конец. Коши счёл необходимым обратить порядок, на первое место
поставить разыскание и доказательство существования частных
решений, так чтобы определение постоянных или функций не было
отделено от нахождения интегралов. «Тогда, — писал он, — каждая задача
стала вполне определённой, а это обстоятельство позволило не только
упростить уже известные решения задач, но и приступить к
решению новых проблем». Так возникли известные сзадачи Коши».
В лекциях 1820—1830 гг. Коши дал доказательство
существования и единственности решения обыкновенного уравнения первого
порядка y'=f{xy у) при начальных условиях х = х0У у=у0
в области непрерывности /(лг, у) и *' ^ (резюме опубл. в 1835 г.).
Он отправлялся от способа приближённого интегрирования Эйлера,

448
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
[гл. χ
в котором искомая интегральная кривая, проходящая через точку
(х0у у0), аппроксимируется многоугольником, вершины которого на
отрезке (л;0, х) имеют абсциссы х0, хи ..., хп = х9 а ординаты
определяются формулами:
У1=Уо+/(Хо* Уо)(х1 — *о)>
У2=Уо + /(*1> Уг)(Хг — *ι).
так что
Уп = Уо-\-Я*0' Уа(*1 — Хо)+ ··· +/(*»-!. yn-i)(*n — *λ-ι)·
Аналогия между последним выражением и так называемой
интегральной суммой для функции f(x) очевидна. Само доказательство
существования сводилось к установлению существования предельной
функции у= lim ynt удовлетворяющей как уравнению, так и началь-
ным условиям. Подробнее это доказательство было опубликовано по
записям лекций Коши его учеником Ф. Муаньо (1804—1884) в 1844 г.
Впоследствии это доказательство было усовершенствовано Р.
Липшицем (1832—1903), который заменил требование непрерывно-
/if
сти ■—- более широким условием, носящим его имя (1876). Позднее
Дж. Пеано (1858—1932) доказал теорему существования по крайней
мере одного решения уравнения у'=:/(х, у) с условиями χ = х0,
у = у0 в области непрерывности /(л:, у).
Коши принадлежит идея и другого приёма, так называемого
метода последовательных приближений, в современной общей форме
разработанного в 1890 г. Э. Пикаром (1856—1941) и основанного на
доказательстве сходимости приближений, определяемых формулами:
X X
У1=Уо+ //(*> y0)dx, .... yk=y0+ Jf(x, Ук-Jdx.
Xq Xq
Доказательство существования Коши распространил и на
уравнения высших порядков посредством приведения их к системам
уравнений первого порядка. Наконец, Коши дал (при некоторых
ограничениях) доказательство существования решения обыкновенного уравнения
и системы уравнений в частных производных первого порядка в
комплексной области, основанное на представлении решений в форме
степенных рядов и применении мажорирующих функций («метод
исчисления пределов»).
Проблема существования решения систем уравнений с частными
производными была глубоко изучена замечательным русским учёным
С. В. Ковалевской (1850—1891), которая доказала основную теорему
о существовании единственного аналитического решения для заданной
в так называемой нормальной форме системы уравнений с частными

гл. χ]
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
449
производными (1874). Ковалевская привела и неожиданный для её
современников пример уравнения, не удовлетворяющего условиям
основной тооремы и не имеющего аналитического решения.
Теоремы существования имели не только принципиальное значение,
гарантируя законность применения методов теории дифференциальных
уравнений к задачам математического естествознания. Самые приёмы
доказательства этих теорем позволяли как приближаться к искомому
решению с любой степенью точности, так и производить оценки
точности приближений. Таким образом, эти теоремы смогли быть
положены в основу различных методов численного интегрирования
дифференциальных уравнений, которые разрабатывались на протяжении
всего XIX в.
Более совершенные средства нового математического анализа
позволили с большей глубиной развить и теорию особых решений.
Муаньо в 1844 г. привёл данный Коши пример обыкновенного
уравнения первого порядка, особое решение которого одновременно является
и частным, а А. Курно (1801—1874) показал, что дискриминантная
кривая дифференциального уравнения может и не быть огибающей
семейства интегральных кривых, но представлять собой место их точек
возврата (1841). Современная теория особых решений была затем
подробно разработана Г. Дарбу (1842—1917; работа 1870 г.), Пика-
ром (1886—1887), Г. Кристалем (1851—1911; работа 1896 г.) и др.
Серьёзный сдвиг произошёл в первой половине XIX в. и в
проблеме интегрируемости дифференциальных уравнений в квадратурах.
Новых типов обыкновенных .уравнений такого рода добавлено было
немного. Зато, подобно тому как в алгебре был поставлен вопрос
о разрешимости уравнений в радикалах, в теории дифференциальных
уравнений был поставлен вопрос о возможности- интегрирования
в квадратурах. Здесь, правда, не были достигнуты столь широкие
результаты, какие были получены в алгебре Абелем и Галуа, но во
всяком случае были получены первые результаты в исследовании
этой проблемы. Ж. Лиувилль (1809—1882), опираясь на некоторую
классификацию трансцендентностей, доказал, что специальное
уравнение Риккати интегрируется в квадратурах только в тех случаях,
которые были найдены ещё Д. Бернулли (1841). К аналогичной области
проблем принадлежали классические исследования академика П. Л. Че-
бышева (1821—1894) об интегрируемости в конечном виде различных
видов иррациональных функций, в частности дифференциального
бинома (1853 и след.)» Проблемой интегрируемости обыкновенных
дифференциальных уравнений в элементарных трансцендентных
функциях или в квадратурах занимались позднее казанский математик
В. П. Максимович (1850—1889; работа 1885 г.) и профессор
Ростовского университета Д. Д. Мордухай-Болтовской (1876—1952;
работы 1907—1937 гг.). В результате многочисленных работ было
установлено, что дифференциальные уравнения являются, вообще
юворя, источником новых трансцендентностей, не выразимых в квад-

450
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
[гл. х
ратурах элементарных функций, и что сводимость к квадратурам —
явление крайне редкое.
Впрочем, к интегрируемым в элементарных функциях или
квадратурах уравнениям и в XIX в. были добавлены некоторые новые,
среди которых следует отметить уравнение К. Якоби (1804—1851;
работа 1842 г.):
(Ах + By + С) dx + (Λ,ΛΓ+θ^ + Сх) dy +
+0V + В2у + С2) (х dy —у dx) = 0,
оригинальный приём решения которого дал впоследствии московский
профессор и почётный академик Д. Ф. Егоров (1869—1931).
Уравнение Якоби есть частный вид уравнения Дарбу (1878):
Ldx -f- M dy -j- Ν (χ dy — у dx) = 0,
где L, My N суть целые многочлены. Зная некоторое число частных
алгебраических интегралов уравнения Дарбу Г^> т\т-т ) _^.2, если
высшая степень многочленов есть т\ общее решение можно
получить без квадратур, а интегрирующий множитель можно составить
с помощью — 2 п" * частных интегралов. Ещё до Дарбу (1862)
проблемой составления интегрирующего множителя по нескольким
частным решениям занимался профессор Юрьевского (Тартуского)
университета Ф. Г. Миндинг (1806—1885), в работе которого был
решён таким путём ряд отдельных задач. Труд Миндинга академик
М. В. Остроградский охарактеризовал как «самый важный шаг»,
сделанный в этой области после Эйлера, и метод Дарбу
(разработанный последним в более общем виде) следует называть по
справедливости методом Миндинга-Дарбу.
В этом же направлении работали профессор Петербургского
университета А. Н. Коркин (1837—1908; работа 1897 г.) и отчасти
киевский профессор В. П. Ермаков (1845—1922).
Ряд новых результатов был получен и в теории линейных
дифференциальных уравнений. Академик М. В. Остроградский (1801—
1861) одновременно с Лиувиллем (1838) получил важную формулу:
χ
- J Pi(x)dx
W(x) = const · e χο ,
несправедливо именуемую обычно только по фамилии французского
учёного. В это же время Ж. Штурм (1803—1855), которому
принадлежит известная теорема алгебры, в связи с исследованиями по
теплопроводности ввёл понятие о колеблющихся решениях и доказал
теорему о взаимном чередовании нулей двух линейно независимых
решений линейного однородного уравнения второго порядка (1837)·

гл. χ]
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
451
Работы Штурма и Лиувилля положили начало исследованиям по теории
краевой задачи, носящей их имена и состоящей в решении уравнения
/' (х) + ρ (χ) у' (х) +'\у (х) = О
при заданных значениях некоторой линейной комбинации у(х) и у' (х)
в двух точках оси х. Решение этой краевой задачи теснейшим
образом связано с теорией интегральных уравнений, а также с теорией
разложения функций по фундаментальным функциям.
Большое число исследований было посвящено и специальным
линейным уравнениям второго порядка с переменными коэффициентами —
уравнению Ф. В. Бесселя (1784—1846), которым, как мы видели,
занимались ещё Д. Бернулли и Эйлер, уравнению
гипергеометрического ряда:
x(l-x)^L+{c-(a + b-\-l)x\^-abx = 0,
которое изучал после Эйлера (1778, опубл. в 1801 г.) Гаусс (1812),
уравнениям А. Лежандра (1752—1833), Г. Ламэ (1795—1870) и др.
Профессор Московского высшего технического училища А. В.
Летников (1837—1888) применил к интегрированию подобного рода
уравнений, в частности к уравнению
(х — а){х — 1>)у" + (с -\- kx) у' + ky = 0,
разработанную им теорию производных произвольных порядков (1876
и след.). Изучение таких специальных уравнений, имеющих весьма
широкие приложения в математическом естествознании, содействовало
развитию теории специальных функций — цилиндрических, шаровых
и т. д. В теории цилиндрических функций особенное значение имели
многосторонние и обобщающие исследования академика Н. Я. Сонина
(1849—1915), Упомянем ещё исследования Лиувилля по' разысканию
рациональных дробных решений линейных уравнений с целыми
рациональными коэффициентами, продолженные академиком В. Г. Имше-
нецким (1837—1892). Мы не можем останавливаться на новой теории
линейных дифференциальных уравнений Л. Фукса (1833—1902), в
которой эти уравнения рассматриваются в комплексной области.
Из открытий в теории уравнений с частными производными
первого порядка наиболее ранними в XIX в. явились результаты
И. Ф. Пфаффа (1765—1825), который в 1814 г. подверг более
глубокому исследованию линейное уравнение в дифференциалах
Ft dxl + F2 dx2-^... + Fn dxn = 0,
где Fv Fg, ..., Fn суть данные функоди η переменных χν лг2, ..., χη,
и поставил задачу об интегрировании его с помощью возможно
меньшего числа соотношений — задачу, которую Якоби назвал «проблемой
Пфаффа» и которой впоследствии успешно занимались многие
математики, в частности Э. Гурса (1858—1936). Большое значение имели

452
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
[гл. х
разработанные Якоби в связи с работами по механике методы
интегрирования нелинейного уравнения первого порядка со многими
независимыми переменными. Так называемый второй метод Якоби был
детально изложен в его посмертном труде по механике (1866). Но
ещё за два года до того этот метод был оригинально переработан
и упрощён в магистерской диссертации В. Г. Имшенецкого (1864).
Другой широко распространённый метод характеристик был
разработан Коши (1819 и след.). В России этим и родственным вопросам
были посвящены работа В. Г. Имшенецкого по уравнениям второго
порядка (1868), вскоре переведённая, как и первая его книга, на
французский язык, работа Н. Я,. Сонина (1874), переведённая на
немецкий, а также исследования по теории характеристик для
произвольных уравнений п-го порядка московского профессора А. Ю.
Давидова (1823—1885; работа 1865 г.) и выдающегося геометра
К. М. Петерсона (4,828—1881; работа 1876 г.), докторская
диссертация Д. Ф. Егорова по уравнениям второго порядка (1898), ряд
трудов харьковского профессора, позднее действительного члена
Академии наук УССР Д. М. Синцова (1867—1946) и др.
В теории уравнений с частными производными высших порядков,
развивавшейся попрежнему в теснейшей связи с задачами
математической физики и теории упругости и все шире применявшей аппараты
теории тригонометрических рядов, теории функций комплексного
переменного и вариационного исчисления, первая половина XIX в.
принесла много важных частных достижений в решении различных
краевых задач. Отправным пунктом многих исследований явилась
классическая работа Ж. Б. Фурье (1768—1830) по теории теплопроводности
(1822). Для интегрирования уравнения теплопроводности
да __ , /дЬг_ , д*и_ , д*и\
dt ~ * \дх* "+" ду* + дгЧ
в различных граничных условиях Фурье впервые систематически
представлял искомое решение в форме тригонометрического ряда. При
этом он заново вывел найденные ещё Эйлером (опубл. в 1798 г.)
формулы коэффициентов такого ряда и показал, что функции весьма
широкого класса, в том числе определяемые на разных участках
различными аналитическими выражениями, т. е. по Эйлеру «разрывные»,
могут быть представлены на произвольном конечном интервале
тригонометрическим рядом, т. е. аналитически. Тем самым была показана
неправомерность эйлерова понимания «непрерывности» функции
действительного аргумента и в значительной мере оправдана точка
зрения Д. Бернулли. Вместе с тем, однако, подтверждено было
оспоренное Даламбером мнение Эйлера, что интегралы уравнений с частными
производными могут представляться функциями, выражающими
сплошные кривые, начертанные вольным движением руки: такие функции
на любом конечном участке представимы тригонометрическим рядом.
Работа Фурье, о которой он докладывал ещё в 1807 г., сыграла

гл. χ]
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
453
немалую роль в развитии проблем нового обоснования анализа.
Публикация её немедленно поставила вопрос о точных условиях
представимости функции тригонометрическим рядом, который сам Фурье
исследовал весьма неполно. Первые достаточные условия разложимости
функции в такой ряд были в различном вице впервые строго
установлены Дирихле (1829) и Н. И. Лобачевским (1834). Известно,
какое значение имела разработка теории тригонометрических рядов
в создании и развитии теории функций действительного переменного,
в частности общей теории интеграла, и теории множеств.
Отдельные типы линейных уравнений математической физики успешно
разрабатывали и другие учёные, как С. Пуассон (1781—1840), однако
контуры общей теории стали складываться позднее. Достижения
в области теории уравнений с частными производными первого и
второго порядков, имевшиеся к началу 30-х годов, были весьма
обстоятельно изложены профессором Московского университета Η. Ε.
Зерновым (1804—1862) в его докторской диссертации — первой
математической диссертации, защищенной на эту степень в Москве (1837).
Выдающиеся исследования различных проблем математической физики
проводил в этот период М. В. Остроградский (1828 и след.). В
частности, в работах по теории теплопроводности Остроградский
продвинулся значительно далее Фурье и Пуассона, допустивших ошибки
в случае распространения тепла в жидкости, и развил идеи метода,
получившего позднее широкое распространение. Исследования
Остроградского по математической физике открывают целую серию работ
русских учёных XIX и начала XX вв. в этой области, из которых
особенно замечательны труды академика А. М. Ляпунова (1857—
1918) по теории потенциала и его ученика академика В. А. Стеклова
(1864—1926), по электростатике и гидродинамике, а также по теории
теплопроводности, где он применил носящий его имя метод
замкнутости.
В развитии теории обыкновенных дифференциальных уравнений
во второй половине XIX и начале XX вв. особого внимания
заслуживают два новых направления. Одно из них связано было с
распространением понятий теории групп, другое — с изучением некоторых
задач небесной механики и астрономии.
Идеи теории групп, блестяще оправдавшие себя сначала в алгебре,
в 70-е годы проникли и в другие области математики. Так, Ф. Клейн
(1849—1925) в 1872 г. показал, что характер геометрии того или
иного вида — метрической, проективной и т. д. — определяется
свойствами группы взаимно однозначных преобразований множества
пространственных элементов на самого себя и инвариантами этой группы.
При этом Клейн опирался на понятие непрерывной группы
преобразований, преобразования которой определяются с помощью
непрерывных функций. Такие преобразования были незадолго перед тем
введены Софусом Ли (1842—1899), который и применил их в целом
ряде работ по теории дифференциальных уравнений, начиная с 1873 г.

454
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
[гл. χ
Исследования Ли охватили широкий круг проблем этой теории.
Одной из целей Ли являлось установление единства в разнообразных
и даже как будто случайных приёмах приведения различных типов
обыкновенных уравнений к формам, интегрируемым в квадратурах.
Преобразования переменных х, у, определяемые равенствами
х' = Λ (χ> У, я), У = /2 (*> У> я)>
образуют непрерывную группу с одним параметром, если функции
/j и /2 непрерывны и последовательное выполнение двух таких
преобразований равносильно одному преобразованию такого же вида.
Если дифференциальное уравнение при замене переменных по
указанным формулам остаётся неизменным для любых значений
параметра а, то говорят, что оно допускает соответствующую группу
преобразований. Каждой непрерывной группе преобразований с одним
параметром и обратными преобразованиями соответствует некоторое
так называемое бесконечно малое преобразование, и обратно, всякое
бесконечно малое преобразование определяет некоторую однопара-
метрическую группу. Ли показал, что если обыкновенное уравнение
первого порядка допускает группу преобразований, определяемую
некоторым бесконечно малым преобразованием, то оно интегрируется
в квадратурах, и рассмотрел ряд типов уравнений с заданными
преобразованиями. В итоге Ли получил возможность классифицировать
дифференциальные уравнения в зависимости от соответствующих
бесконечно малых преобразований. Исследования С. Ли по группам
преобразований были продолжены в последние десятилетия XIX и
в XX вв. в различных направлениях, главным образом в алгебре и
топологии.
Другим важнейшим событием в истории дифференциальных
уравнений в рассматриваемое время явилось создание качественной
теории. К 70-м годам XIX в. проблема интегрирования обыкновенных
уравнений в квадратурах элементарных функций утратила прежнее
значение; работы С. Ли в известном смысле завершали этот
формальный цикл исследований. Поскольку такие решения существуют
лишь для весьма небольшого круга уравнений, построение
достаточно общей теории в этом направлении оказывалось невозможным.
Не открывали пути к общей теории и основанные на теоремах
существования приёмы численного решения уравнений. При всей своей
важности эти приёмы дают в каждой задаче только одно частное
решение, отвечающее на данном, хотя бы большом, но конечном
интервале выбранным начальным условиям, и не раскрывают общей
картины поведения интегральных кривых в целом. Между тем в
различных областях небесной механики возникали проблемы, которые
требовали изучения природы функций, определяемых
дифференциальными уравнениями, во всей области существования. Ещё к Ньютону
и Лапласу восходил, например, вопрос об устойчивости солнечной
системы или в частном случае о движении трёх тел, подчинённых

гл. χ]
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
455
законам механики. Старые методы принципиально не позволяли
ответить на вопрос о поведении такой системы в течение сколь угодно
больших отрезков времени, — скажем, на вопрос о том, будут ли
взаимные расстояния тел оставаться всегда ограниченными или же
некоторые из членов системы в конце концов неограниченно
сближаются, или удаляются в бесконечность.
Качественная теория дифференциальных уравнений была
одновременно создана А. Пуанкаре (1854—1912) и А. М. Ляпуновым.
Задача, поставленная Пуанкаре, состояла в том, чтобы, не
интегрируя дифференциальное уравнение, исследовать поведение семейства
интегральных кривых уравнения^' =/(·*, у) или системы -^ =φί(χ,γ)>
-j¥-z=z®2(xf у) на всей плоскости только по свойствам функций,
стоящих в правой части. В серии работ, начатых в 1878 г., Пуанкаре
значительно продвинул вперёд решение проблемы. Он дал
классификацию и показал значение особых точек интегральных прямых,
исследовал поведение последних в окрестности особых точек, ввёл
понятие предельного цикла (замкнутой интегральной кривой, к которой
приближаются по спиралям достаточно близкие интегральные кривые).
Он изучил также ход интегральных кривых на торе. Исследования
эти имели по существу топологический характер, и отчасти с ними
были связаны и быстрое возрастание интереса к топологии, и её
успехи. Эти работы были непосредственно продолжены на основе
теоретико-множественных рассмотрений И. Бендиксоном (1901),
обнаружившим новые типы особых точек. В дальнейшем Пуанкаре
параллельно с Ляпуновым занимался и общей проблемой устойчивости.
Изыскания другого творца качественных методов, великого
русского математика А. М. Ляпунова, первоначально также были
связаны с конкретной задачей астрономии, — именно, с поставленной
перед ним П. Л. Чебышевым задачей о возможности существования
фигур равновесия вращающейся жидкой массы, отличных от
известной уже ранее фигуры равновесия эллипсоида.
Изучение этой задачи Ляпунов начал в 1882 г., но полное её
решение дал в ряде работ 1903—1918 гг. От задачи о фигурах
равновесия вращающейся жидкости Ляпунов перешёл к другой
проблеме— об устойчивости равновесия и движения механической системы,
определяемой конечным числом параметров. Этой проблеме он
посвятил свою знаменитую докторскую диссертацию 1892 г. и несколько
последующих работ. Ляпунов рассматривал систему η обыкновенных
линейных уравнений
^ = Хк(хи х2, ..., хп, t) (ft=l, 2, ..., λ), (Α)
где Хк разложимы при достаточно малых хк в сходящиеся ряды по
целым степеням хк и обращаются в нуль при xt = х2 = ... = хп=0*х
коэффициенты при этом либо постоянны, либо зависят от L Система

456
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
[гл. χ
имеет, очевидно, нулевое решение хх = лг2 = . ·. = хп = 0. Это
решение называется устойчивым (в смысле Ляпунова), если при любом
ε > 0 существует такое δ > 0, что если начальные значения хк (/)
по абсолютной величине не более δ, то при всяком положительном t
будет |*Λ(0Ι<ε.
Ляпунов точно выяснил, в каких случаях вопрос об устойчивости
может быть решён по первому приближению, т. е. путём
исследования системы, в которой функции Хк заменяются одними членами
разложения первой степени относительно хк. До Ляпунова
математики изучали только такие первые приближения, и это нередко
приводило к неверным заключениям. Он решил вопрос об устойчивости
и в ряде «сомнительных» случаев, в которых первого приближения
недостаточно для суждения об устойчивости системы (А), а также
целый ряд важных задач теории линейных и нелинейных
обыкновенных уравнений. Изучение системы (А) проводилось при этом
качественными методами, т. е. без её непосредственного интегрирования.
Труды Ляпунова по устойчивости имели огромное значение для
всего последующего развития теории дифференциальных уравнений и
её приложений к изучению колебаний различных физических и
механических систем.
Общая качественная теория так называемых динамических систем
разрабатывалась затем рядом авторов, в частности с 1912 г. Дж. Бирк-
гофом (1884—1944). Основными задачами теории являлись, с одной
стороны, изучение решений во всей области существования, а с
другой— вблизи особых точек.
Из дореволюционных работ отметим ещё ценные исследования
С. Н. Бернштейна о существовании и аналитичности решений
широкого класса уравнений с частными производными эллиптического типа
(1904 и след.).
Мы видели, сколь значительны были достижения отечественных
математиков — Эйлера, Остроградского, Миндинга, Давидова, Имше-
нецкого, Сонина, Ковалевской, Ляпунова, Стеклова и др. — в
развитии теории дифференциальных уравнений на протяжении XVill и
XIX вв. Новый бурный расцвет теория дифференциальных уравнений
в нашей стране испытала после Великой Октябрьской
социалистической революции. Достижения советских математиков в самых
разнообразных областях этой теории к настоящему времени настолько
велики, что мы здесь сможем указать только на направления
исследований, тем более, что по характеру своему они далеко выходят за
пределы настоящего курса.
Развитие теории дифференциальных уравнений в Советском Союзе
определялось как глубокими связями исследований с проблемами
математического естествознания и техники (задачи аэро- и
гидродинамики, теории упругости, сейсмологии и пр.), на новом идейном уровне
продолжавшими славные традиции петербургской школы, так и
применением методов теории функций действительного переменного,

гл. χ]
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
457
топологии и функционального анализа, с особенным блеском
развивавшихся уже в советский период в школе московских математиков.
Тесная связь с практикой особенно усилилась в последнее
пятнадцатилетие благодаря всё более планомерной постановке проблем,
актуальных для социалистического строительства.
В общей теории интегральных кривых, определяемых
обыкновенными дифференциальными уравнениями, П. С. Александров и В. В. Не-
мыцкий дали новое доказательство теоремы Пеано.
А. М. Лаврентьев построил пример уравнения первого порядка,
на правую часть которого наложено в некоторой области одно лишь
условие непрерывности и для которого ни одна точка области не
является точкой единственности решения. А. Н. Тихонов предложил
новый приём последовательных приближений, нашедший широкое
применение в доказательствах теорем существования.
И. Г. Петровский исследовал поведение около особых точек
интегральных кривых некоторых систем нелинейных дифференциальных
уравнений. А. А. Андронов (1901 —1952) и его ученики
разрабатывали в г. Горьком математические задачи автоколебаний различных
физических систем^ относящиеся к качественной теории уравнений,
в частности к теории предельных циклов.
Изучение проблем устойчивости по Ляпунову велось далее как
в Москве (Н. Д. Моисеев), так и, особенно, в Казани, К·. П.
Персидским, И. Г. Малкиным, Н. Г. Четаевым и Г. В. Каменковым.
Общая теория динамических систем явилась предметом
дальнейших изысканий москвичей А. Я. Хинчина, В. В. Степанова,
А. Н. Тихонова, В. В. Немыцкого и ленинградца А. А. Маркова.
Новые идеи в этой области были выдвинуты также в Киеве
Н. М. Крыловым и Η. Η. Боголюбовым.
Краевые задачи линейных дифференциальных уравнений
разрабатывал в Одессе М. Г. Крейн.
Ленинградский учёный И. А. Лаппо-Данилевский (1896—1931)
применил к системам дифференциальных уравнений аппарат созданной
им теории аналитических функций от матриц.
Теорией дифференциальных уравнений с запаздывающим
аргументом, в которых искомая функция и её производные входят как
с аргументом ty так и с аргументом t — τ (τ — постоянное или
переменное «запаздывание»), занимался А. Д. Мышкис.
Весьма важные результаты были получены и в теории уравнений
в частных производных, особенно глубоко связанной с
математическим естествознанием.
Значительные работы в этой области принадлежат также
Н. М. Гюнтеру (1871—1941), В. И. Смирнову, М. А. Лаврентьеву,
А. Н. Тихонову и грузинским математикам Н. И. Мусхелишвили и
И. Н. Векуа.
Ряд новых задач математической физики и сейсмологии был
решён С. Л. Соболевым, создавшим новые сильные методы. Весьма

458
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
[гл. χ
значительные результаты в общей теории систем дифференциальных
уравнений получил И. Г. Петровский, который впервые выделил и
охарактеризовал классы систем гиперболического, параболического и
эллиптического типов, аналогичные по свойствам задач и решений
одноимённым классическим уравнениям.
Приближённые методы издавна привлекали внимание русских
учёных— Эйлера, Лобачевского (алгебраические уравнения) и, особенно,
Чебышева и его учеников. Оригинальное изложение приёмов
численного интегрирования дифференциальных уравнений, разработанных
в XIX в., дал в 1917—1918 гг. акад. А. Н. Крылов (1863—1945).
В советское время и этот столь важный для практических
приложений раздел этой теории был обогащен рядом крупных открытий.
Прежде всего отметим вариационные методы, частью развивавшие
метод академика Б. Г. Галеркина (1871—1945; работа 1915 г.) для
уравнений с частными производными (М. В. Келдыш, Д. Ю. Панов
и др.), частью — новые (Н. М. Крылов, Л. В. Канторович). Ряд
новых приёмов был получен и с помощью замены дифференциального
уравнения уравнением в конечных разностях, которой по существу
пользовался ещё Эйлер (Л. А. Люстерник, И. Г. Петровский,
Н. М. Крылов и Н. Н. Боголюбов, С. А. Гершгорин, Д. Ю. Панов,
Ш. Е. Микеладзе и др.). Новый важный метод численного
интегрирования обыкновенного уравнения у' = Длг, у) с помощью
построения двух функций, приближающих решение снизу и сверху, был
предложен академиком С. А. Чаплыгиным (1869—1942); сходимость
приближений исследовал академик Н. Н. Лузин (1883—1950).
Наконец, в последние годы получили развитие теория и конструирование
различных машин для интегрирования дифференциальных уравнений,
которым, несомненно, принадлежит широкое будущее (И. С. Брук,
Л. И. Гутенмахер, Л. А. Люстерник и др.).
Этот краткий перечень, разумеется, не может дать представления
о всём богатстве содержания работ советских математиков в
различных областях теории дифференциальных уравнений. Но и он
показывает всю широту размаха научного творчества советских
учёных в этой области, оригинальность их проблематики и значение их
открытий как для науки, так и для её практических приложений.

ОТВЕТЫ.
I. у = ЮОО — 490,5 t2; 1,43 сек. 2. у =у0 + 1001 — 490,5 /2; 0,1 сек. 8. j/ =
=2лг -J- С; j/ = — -^ + С; j/ = — sin χ + Ctx + C2. 5. ^ = 0; у = Ь: + b.
6- Д^У2+У (*2—J/2—с2)—jcy = 0. 7. Зу-пу—4y'"2 = 0. Кривые: при <г12^0
гиперболы с вертикальной асимптотой, при <ζί2 = ^ — параболы. 8- 3yiVy"—
— Ьу"1'1 = 0; уш = 0. 9- Дифференциальное "уравнение: π (200 h — /г2) rf/г =
== — 0,6 Y2gh^2 dt\ приблизительно 18,4 мин. £Q. Приблизительно 15 мин.
20 сек. Η. /? = /?0<Γ·°·000433/; время в годах. 12. у = К(х—xof^1; К—
определённое постоянное; х0 — точка пересечения с осью лг-ов (произвольное
постоянное). 13. χ = a In (— + |/ -^ — 1) + γα2 — у2 + С. Трактриса.
14. (* — С)2+у2 = а\ Круги с центрами на оси Ох. 15. У1 + х2 +
+ У"1+у2= У"2"+ 1. 16. tg дг tgy = С. 17. arcsin x + arcsin^y = С. 18. χ2 —
У- r -arctgJL
—y2=Cy. 19шу = хеСх. 20. ex=Cy. 21. Yx2 + у2 = Се х или в
полярных координатах г = Ce~v. Логарифмические спирали. 22. sin — = In x + С.
η* dy χ—ту , ~~ ~^V ~*~\x)
23. -^- = -^- т = tg α. 24- Уравнение: у' = ,
χ
решение у2 = 2С(х-\- -ψ\ параболы с фокусом вначале. 25. \(ak + b)z +
+ 6 (ct — λ<?) In [(αλ + b)z + ac1 + be] = (al+b)2 (x + c). 26. (j>+ *—l)5 (j —
V+2 * *
-2 arete ^~—
-лг+1)2 = с. 27. *10^0* = С(5лг + Юу+7)2. 28.6 х~ъ = С{у + 2\
i_
29.x=-y+atg^.Z0.y=e-SP«*[c-(n-\)JQe-<n-»!PdxdX'\n-1.
~-t I Г
R ' J cos* '
+ Т5[ах + 1Ш7' 33, y = Ce-^^+4(x)-l. 34. y = C<*°° + ±-x\
**' ^ = yrfji (g+'п"1 + ^ +-)· 36. *=y + Cy*F. 37.1 =
= Jf(C —Т1п2лг)· 38. y = V~2/1^*2 + дг^^Л. 39.1= Се"^^—^ц.2.

460 ОТВЕТЫ
Сх^-\- 2х 2х* 2С
40- у2 = __х\пх + Сх. 41. у = тт—-—. 42-у = . 43. Частное
решение .у = 2*. 44.j, = —^ i-i. 45. ^ = С(\ +/2); /= tg Cx.
^^gy + C^VVI^VJ^^y-\ 47. (у_2х2-3)з = С(^-
._ д-2 _ i)2# 48. у + 2ху2 — х* = С. 49. (дг +у)2 + a2 + b* = C (b2x — a2j)2e
Ух χ+ω
50. j/(jc) = —Zfo I e~ktf(t)dt. Указание. Написать общее решение
χ
и проверить, что при надлежащем выборе постоянной у (χ + ω)—у(х) = 0>
52. У1 + х2 + V2 + arctg — =С. 53. -£ — — = С. 54. sin i — cos — + дг—
-^,toj/ У У х У
— -=С. 55.-^+in-=C. 56. μ = 4-5 2!n;y-^ = C. 57.*ay + -=C.
J/ л:—_у ' j/ r х*у* J x У
Указание. Найти общее выражение интегрирующего множителя для &у2 dy -f-
-f- 2хуг dx и подобрать произвольную функцию так, чтобы он не зависел от х.
58. -г- xbkyak -)- — х^у*1 = С, где k и / — корни уравнений ak — al = — /и,
&£ — β/ = —л в случае #β — ЬафО) если αβ — 6α = 0, то интеграл будет хьуа =
= С. Указание. Общее выражение интегрирующего множителя первых двух
членов есть — φ (хьуа); для последних χ η+ι ψ (х^уа); подбираем φ
и ψ как степени аргументов, чтобы оба множителя оказались равными.
59. X*— — + у + \пу=*С. 60- μ^-*5*. 61. u.:=-J—. 62. μ =
^y ι -г ι -г ι JC2J/2
_» -(n-DjPite β_ 1 Д^ + ДГу+Jf8 ^
=.У e J . 63. μ = 2 , 2 , общее решение j_ ==c-
64. /(x, y) = '^ . WXW . ^ ψ^ χ_произвольные функции. 65- j/ =
= χ + С; у = Υ С2 — χ*. 66. у = a: sh (χ + С). Указание. Разрешив уравне-
ние относительно р, положить — = и. 67. у = -^х^ + С; у = Се2 \у =
X о
£—-. 68. (jf—С)2 = 4д:С. 69. χ = t*+t2; у = ^-t2 + 2t + С. 70. лг = у —
— *-, .у — 1 \-С. 71. j/ = , лг = — * + 1п
* 2 5 l+ί3' У"1—* + ί^
+ arctg^=J- + C. 72.y = ePp2; χ = e?(p+ \) +С. 7Z*y=x—C l
(JO = 0 представляет место точек прикосновения, особого решения нет).
74. у = a (1+cos 2φ), χ =* а (— 2φ—sin 2φ) + С (циклоиды). 75. у = С2 (х—С)2;
JC4 X2
особые решения у = О, j/ = -т^-. 76. у = j- + Cr + С2, особое решение
У = -γ- . 77* кф 1, х*+у2 = k*_i ; * = 1>χ2 +У2 = Слг (УА°бн0 ввести по-
N -*«. C + aarcsinp -Л 1 . С
лярные координаты). 78. у = —, — ар. 79. л: = — ρ .
ΫΙ-ρ* 2 (1—р)2

нение
ответы 461
80. Особое решение у = -—γ-+-. 81. Особое решение у* = —^=- . 82. Осо-
Г* л
бое решение лг2-+-.у2 = 1. 83- * = ——г — —. 84· Дифференциальное урав-
VP 3
— 1
у =. рх -\ р , кривая — астроида. (—) + (—) = Ь
У1+/72 \а/ \а/
85- _v = jc не есть решение. 86>_у =лг есть особое решение. 87-_у=0 есть особое
решение. 88- Выполнена единственность, у = 0 есть обыкновенное решение.
С2
89- у = 0 есть особое решение. 90- Общее решение у = Сх-\—^-, особое
х2
у = —;г-. 91- j/ = ± 2jc. 92- Огибающая у = — jc; * = 0. 03- См. задачу 73.
94- См. задачу 75. 95. Общее решение 2Су = (х + С)2, особые решения
л:2 ¥ 1
у = 0;у = 2х. 96. j/ =-£-. 97. См. задачу 76. 98. .у =* 2е , j/ = О* + -^г.
"' Ш* +& = К 100в Г = СЛ l0L -У = С I * Г· 102я (^2+^2)2—2CJcy = 0;
лемнискаты повёрнуты на —. ЮЗ. p = a[l + cos(6 — 2а)]. 104. То же
семейство кривых линий. 105. р2 = с sin 26. 106. х = sin φ, у = ~· φ cos 2φ +
+ 4" φ + °2 sia φ + Ж sin 2cp"~ "^cos 2φ"" Wsin 4φ + Cs· l07e * + C2 =
= у(V*:y + Ci)3/a-2^(1^ + ^)4 |08.^ = g^r[C4^ + C1)2-^]8/9-
+ C2x + C3. 109. jf^sh^ + CO+C^ + Cs. HO. лг =-^ { (-^-J - 1--
— 2 In ^Λ + дг0. III. j/ = 2a + C± (1 — cos φ), χ = Q (φ — sin φ) + C2. Семей-
Jo J
/■» ~3 /"·3 yM
ство циклоид. 112. jy = -^ ^—\- С2х + Cz. 113. \пу = С^ + С2*_а7·
114. >г = С^. 115. y = Ct Ϋχ* + С2. 116. j = azjc In ^ . 117. с'**3 =
2С V^i/ к Git— 2я? -
_ g У^ + У^ - 2x _ ^ (e'-c)y+2a> |№я c/xc3_c VJ+ У^У — 2*2χ
с Yy— Υ су— 2х ' ' с Yy—Ycy + 2x*
2cVyV еу+2х2
Xe ^-<*У-™ . ||9. y>2-x2y2 = a |20.^ = (^ + fl)8+§. 121. *2_y4-
+ 2xy + x* = C^r + C2. 122. χ = Cjln tg -|- + cos <pj + C2, J = Ct sin φ. Ce-
мейство трактрис. 123. j> = С2 + — Μ е — е \dx.

462 ответы
124.^=ОДУ^+СГ2. 125. Injr—1 -£^ρ£7· ,26' У=С1Х+С*+ У C3x+Q,
2t С 2 2С 4С^
у = ах* + Ьх + с. 129. *«--5- + -^-; У = -^*ъ ^-^t + -^ + C2.
С 2 4С2 7 2
180.х=-1 + т^ = j1-ft*+ П* +С* Ш.у"+у = 0.1*2. у*-
— 2ctg2*-y = 0; интервалы £^-< дг< (£ + 1) |-, £ = 0, =t 1, =t2, ...;
1 =sin2Ar + cos2Jc, cos 2λ-=s cos2 дг — sin2*. 133. W(x) = - 3. 134. у =
β ct -^ + C2 ^°^ . 135. у = Co-H^—C2x) ctg jc. 136. j/=C^+C2*2+C3*3.
χ χ
i37.3/ = C1Ar + C2sinAr+C3cosjc. 138. у = Cl + C2x^+C3(arcslnx+x γ\— χ2)
139. у = Cxx + С2дг2+ дгз. 140. j/ = Q^ + С2дг — (дг2 + 1). 141. jf = Ct cos x +
+ C2 sin χ + C3jc2 + Л 142. у = In дг fct + C2 Г у^· + Л 143. Соотно-
rf/72 y[2
шение = — 2/7j/72; У л найдётся из соотношения —~- = —/?2. S44. v =
dx yl
=уУту,у,]у^^ |45 y^Cie^+C2(4jri+1).
146. Частные решения: у± = — , j;2 = ctgjc. 147. y = Cx + C2x-l·
+ Съех ^ + CAe'xV\ 148- у = ** (Q + С2дг + Q·*2)· 149. .у = *» (Q cos * +
+ C2sin x)+e~x (Cscosx+C4sinx). 15®я у = Ctex+C2e-*+CsC0sx+C4S'mx.
Χ χ _ .
151. y=C1e2+C2e-^. 152.y=e~ 2{(CH-C2*) cos ^p + (С3+С4л:) sin ^y^|.
i53.j,=^Q+C2^+^ + y + ^^
155. y = i
1. j; = C^-» + Ca cos jc + C8 In jc + ^(j — -|y 156.^ = ^^ + ^ +
+ С3л:2 + С4*з + 1 л:* + ^g*5). 157. у = Q cos 2л: + C2 sin 2л: — ~ cos 2x +
+ £ sin 2x. 158. j, - Г? [(Ct- -^ *) cos ^ + C2 sin ^O] .
159. у = C^+C^-^+^+^-^arctg^. 160. у = С^жУ1 + С^"жГ2 + ^а.
161. З^^созл^С^т^ + ^созЗл^^л^тл;. 162. Ряд Фурье для
оо
правой части:— V с s тх..; при т = 3 имеем резонанс. Общее решение^
ур авнения: у = (сг г^- χ J cos Зл: + С2 sin Зх х- cos л* г^г cos 2л: +

ОТВЕТЫ 463
+ 2 т (т2 _ 9) cos тх. 163. R = C^+Car-in+D. 164- у = Сйд:2+С2А:Й-.
т=г4
1 С
— тгх. 165. j/ = χ (Сг cos In jc -f- Сг sin In jc) — χ In л:. 166- у = — + C2*2 +
+ у{(^-^)1п^~^-у}· **7-У = х(С1 + С2\пх) + С2х*+±.х'>-
— -^ jc (In л:)2. 168. j/ = Ct cos In (1 + x) + [C2 + 2 In (1 + л:)] sin In (1 + x).
, 1 a;J
169. j/ = хг. 170- Подстановка j/ = jc 2z,n=p—^-. ΙΤβ._y = C^" +
?L _
+ C2e 2 . 172. у = е& (C2 cos jc -f C2 sin лт + sin 2x). fi73- j/ = ^ * (C3*2 +
+ -j. 174. Лв1-т + т^...+ ^_^_ + ...; з,2 = ^-_ +
a;3
+ ΤΧΤ~···+1.3.5...(2η-1)+··· Легк0 видеть, что Λ = · 2 |
— Пк
Уъ получаем квадратурами. 175. x=Ciet-\-e 2 (c2cos—^ Ь
+ (- С3 - С, Yl) sin ^p]; г = С,** + ^ [(-С*-С3 У 3) cos ^+
+(C2lA3-C3) sin LpJ. 176. у = СХ+ C^-^~^;z = _d+C^+
+ Т-Т-Т-,77^ = (С1Лс2)^ = - 2^ + ^) · l78· •V = Jf +
= Д: + Т + Й· ,8,*^ = 1-| + у-Й-Ш· «82.^= УС^+С^-^,
г= у су*» —Cj*-*». (83. j> = „ „ ,1 „ _„ , г = - *
184. д; = Су* + Су-», jr = C^t + С&-У, г = Су* — (С2 + Сз) *-Μ· ·85. ж=
= е-' (C^+Cy+Ctf+i· _ 3? + 3; у=е~* (— 2Су - С2) + ft г=2Су-<+<-1.
186. x = e-*t(A cos t + В s\n t)-\-^<* — Ц; y = e~« {(A — B) sin t —
_(Л+Я)со8<1—^e* + A. 187. j/ = cy» + gT[Ctcos * у3 + С, +
+ sin *Ш} + ^ z = C^ + e-^[(-7C2- Y23C3) cos -±-^4-

ных к ней плоскостях. 200
464 ответы
+(-7С3+С21^23) sin ^Xp.j -1 «*». 188. у = * (Ci+-j) + *~* (c2 L) ,
д/ = (1—2C2) jc — -£f-. I90.~ t = ez\ x = Clf> + C2t-2 — -^t,y = ^Clt2 —
—C2*-2— -jt. 191. дг = С^ + С2^ + С3/-1,^ = С^— С2^+2Сз^-1, 2?=2С^+
+3C2/2 + Csi-i. 192. л: = ± е* -1 «* + е^ (Сг + C2t), у~ е* +1J* -
~^(Cl+C2+c20.193e i^=Ci;(Ar-^)a(^ + ^+^) = Q. 19*- ^τ = ^
x2+y2+z2=C2. 195. atj; = Cx; (x+y) (x+y + z) = C2. 196. χ = In (C^ + C2),
j' = In (C2> -f- Co) + Cs — C2; ζ = (Q + 1) / + C2. 197. Прямолинейные
образующие поверхностей параллельны плоскости хОу и пересекают ось Oz
(коноиды). Указанная задача Коши определяет гиперболический
параболоид. 198. Искомое частное решение: f=y — z-\-2(Yx—1)(Υζ — Ϋу).
199. Общее решение — поверхности вращения вокруг оси, проходящей через
начало, с угловыми коэффициентами cos α : cos ρ : cos γ = /: т: п;
характеристики— окружности с центрами на этой оси, лежащие в перпендикуляр-
. Ф\(х — u)STt (y — u)S*~9 (z-u)ST) = 0,
где S = x+y + z + u. 201. и = у x*yz — -i- x* (bz + су) = -^ be χ* +
+ φ (У — bx, ζ — ex). 202. ζ = -3-3 φ (-^ + -^ J. 203. г = У*у (Гюнтер).
204. Уравнение: px+qy = γ Yx2+y2; общее решение: 2 = γ γ χ2 +у2 +
+ φ(-^τ); k = тангенсу угла прямолинейных образующих с осью Oz,
φ — произвольная функция (Гурса). 205. г~У = С. 206. — 1 — +
+ __ ■ = С 207. "" г'х~т~У = с. 208. Условие интегрируемости
не выполнено. 209. х2—У2-{-ζ2 = -^ (х+у). 210. Условие
интегрируемости не выполнено. Приводя уравнение к виду 0 = dx -\-y dy -{-zdz-\~z dy—
/ у2 z2\ v2 Z2
= dl χ +^- + — J -f ζ dy, полагаем χ +^~- -f -»- = φ (у) (φ —
произвольная функция); тогда второе соотношение ζ = —φ' (у). 211. Полный
интеграл ζ = -^ (х + яу)2 + ^ решение задачи Коши г = ху +у Υхг + 1.
212. 2 ΥΤ+αζ + In . " "■" *^— = χ-f- яу -f 6. 283- Замена переменных
У 1 +az+ l
„ 1 1
2 = ζ2, л: = — ,j/ = —, или непосредственно — вспомогательное уравнение
2i6. ζ = ^ + ху+у>; г = -^+£. «17. **+.у*+*-1. 218. 2z =

ответы 465
= х11+У2 + хУ** + * + У У У2 — Д — 1+аЩх + У^+а)—(д+1)1п(у+
+ У>2 — я — \) + Ь. 219- У а2—2л—лг—2+(а— 1)1п(У"д2_2а — дг — * —
-а+1) + у + ау = *.220. 1) * = *у; 2) * = у(** + 1), .у = tf (2«* —1);
г=и3£2*; /0 = 0. 221. jc= cos и + icos ("+-?■) J .y=sin u-\-ts\n (u +-g-);
*=4 " + >; ^0 = 0. 222. дг = -.3М2+(3м2+1)т; 3, = _J^ + |i±A-x;
z = ЗиМ-1 + ~Ъи*Т\ τί τ° = L 223я УРавнение Монжа dz2 = ^2 + W*
его решение JC= — ω7 (α) sin α — ω'7 COS ayy = — α/ COS α -{- ω'7 sin α, ζ = ω-1-ω'7.
224. Соответствующее уравнение в частных производных pq = 1; χ =
.= — 7Γ#ω" — и>\ у = —yfl3/, г =—д2а/7— βω' + ω. 225. Уравнение
2ω7 ω/2 Λ ο/3 '
dz2 = 4ζ άχ dy% решение ζ— — а , у = — ω + 2 — , ζ = —4 —- .
ω/7 α/7 a/7- j
οο* „ hyo + h'*oVo . „ έ'Αο ~ fay. + ?ο (^Χ - fa'*)
Z4G . ? = —— -, , ρ = 7—ι τ ·

АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абель Н. 447
Александров П. С. 457
Амплитуда колебания 219
Аналитическая теория д. у. *) 108
Андронов А. А. 457
Арбог Л. 441
Арцела теорема 69
Аффинная группа 36
Барроу И. 430
Бендиксон И. 84, 92, 455
Бернулли Д. 433-436, 440, 449, 451, 452
Бернулли И. 38, 433
Бернулли Н. 435
Бернулли уравнение 38
Бернулли Я- 38, 433
Бернштейн С. Н. 456, 457
Бессель Ф. 451
Бесселевы функции 245, 250
Бесселя уравнение 237, 238, 242, 244, 245, 250,
255
Билинейная форма 290
Блркгоф Д. 43Ь
Боголюбов Η. Η. 457, 458
Болыдано Б. 440, 446
Брук И. С. 458
Вандермонда определитель 216
Банцель П. 447
Вариации уравнения в вариациях 304, 320
Вариации постоянного 35, 201, 281
Вейсрштрасса теорема 166
Вековой член 231
Векуа И. Н. 457
Винтнер А. 75
Возврата точки 130
Вполне интегрируемое уравнение 362
Вронский Г. 435
Вронского определитель 185
Второго порядка линейное уравнение 192, 241
Высших порядков д. у. 140
Галеркин Б. В. 458
Галилей Г. 429, 439
Галуа Э. 447
Гамильтона функция 412
Гармоническое колебание 218
Гаусс К. 446, 451
Геометрическая теория уравнений в частных
производных 420
Гершгорин С. А. 458
Гипергеометрический ряд 249
Гипергеометрическое уравнение 247
Гиперповерхность 315, 336
Главные моменты инерции 312
Гомотетия 33
Грина функция 211
х) Д' У· — дифференциальное уравнение.
Группа преобразований 32
Гурса Э. 451
Гутенмахер Л. И. 458
Гюнтер Η. Μ. 457
Давидов А. Ю. 452
Даламбер НС 434, 437, 439, 441, 442, 443, 445. 452
Дароу Г. 54, 449, 450
Дарбу уравнение 54
Движение 237, 317
— возмущённое 318
— невозмущённое 318
— стационарное 267
Дебон Ф. 429
Декарт Р. 429
Декремент логарифмический 220
Делители элементарные матрицы 291
Дикритический узел 84, 92
Динамика точки 162
Динамическая система 267
Дирихле формула 155
Дискриминантная кривая 126
Дифференциальное уравнение (см. также соотв.
название д. у.)
Дифференциальный оператор 183
Дифференциалы полные, точные 94
Еюров Д. Ф. 41, 450
Единственность решения д. у. 63, 120, 150
Ермаков В. П. 450
Живых сил интеграл 163
Задача Коши 140, .152, 335, 339, 348, 352, 390.
401, 411 '
Зернов Η. Ε. 453
Изогональные траектории 135
Изоклины II
Имшенецкий В. Г. 451, 452, 453, 455
Инвариантный множитель 291
Инволюция 385
Инерции момент 312
Интеграл д. у. 22
— живых сил 163
— общий 151, 167, 375
— особый 374
— первый 168
— полный 414
— промежуточный 167
— системы д. у. 308
Интегральная гиперповерхность 336
— кривая 10, 32, 84, 423
— поверхность 378
Интегральный элемент 407
Интегрирование д. у. 7, 8
Интегрируемости условие 95
Интегрирующий множитель 97, 98, 363
Истечение жидкости из сосуда 25

АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
467
Каменков Г. В. 457
Каналов поверхность 379
Каноническая система д. у. 260, 412
Канторович Л. В. 458
Квадратура 8, решение д. у. в квадратурах 20, 154
Келдыш М. В. 458-
Клейн Ф. 453
Клеро А. 434, 435, 437
— уравнение 117, 130
обобщённое 389
Кнезера теорема 256
Ковалевская С. В. 332, 335, 448, 455
Колебание гармоническое 218
— затухающее 220
— упругое 219, 230
Колеблющееся в интервале решение 251
Комплекснаяобласть(теорема существования^
Конус Τ 420
Коркин А. Н. 450
Коши О. 440, 446, 447, 448, 452
— доказательство существования 57
— задача (см. задача Коши)
— метод 393, 406
— нормальная форма 262
— формула 156
Крейн М. Г. 457
Кривая дискриминантная 126
— интегральная 10, 32, 84, 423
— Монжа 423
— характеристическая 351
Кристаль Г. 449
Кристофель Э. 435
Крылов А. Н. 458
Крылов Η. Μ. 457, 458
Курно А. 449
Лаврентьев М. А. 457
Лагранж Ж. 434, 435, 437, 438, 441, 442, 443
Лагранжа уравнение 116
Лагранжа-Шарпи метод 381
Ламэ Г. 451
Лаплас П. 441, 442
Лаппо-Данилевский И. А. 457
Лежандр А. 451
Лежандра уравнение 247, 251
Лежен-Дирихле П. 446
Лейбниц Г. 430, 433
Лекселль А. И, 435, 438
Летников А. В. 451
Ли С. 33, 444, 453, 454
Линейно зависимая система 278
— независимая система 277, 278
Линейные уравнения 100, 180
второго порядка 192, 241
в частных производных 338
первого порядка 34
с постоянными коэффициентами 214
— — , системы 260
, частные виды 214
Линейный дифференциальный оператор 183
Линии погони 170
— тока 268
—характеристические 380
Липшиц Р. 448
Липшица условие 58
Лиувилль Ж. 53, 449, 450, 4Ъ)
Лкувилля-0 строг раде кого формула 192
Лобачевский Н. И. 446, 447, 453, 457
Логарифмический декремент 220
Лузин Η. Η. 458
Люстерник Л. А. 458
Ляпунов А. М. 453, 455
Майера скобка 385
Максимович В. П. 449
Малкин И. Г. 457
Марков А, А. 457
Маятник математический 166
Мгновенная скорость 312
Метод (см. соответств. название)
Микеладзе Ш. Б. 458
Миндинг Ф. Г. 450, 455
Многочлен неприводимый 108
— приводимый 108
— характеристический 215
— Чебышева 237
Множитель инвариантный 291
— интегрирующий 97, 98, 363
Моисеев Н. Д. 457
Моменты инерции главные 312
Монж Г. 443, 444, 445
Монжа кривые 423
— обозначения 351
— уравнения 260
Мордухай-Болтовской Д. Д. 449
Муаньо Ф. 448, 449
Мусхелишвили Н. И. 457
Мышкис А. Д. 457
Направлений поле 11
Начальная фаза 219
Начальные значения особые 314
— условия 9
Неколеблющееся в интервале решение 251
Нелинейные уравнения в частных
производных 355
Немыцкий В. В. 457
Неоднородная линейная система 271
Неоднородное уравнение, формула Коши 211
линейное 34, 180, 199, 224
Непер Д. 428, 429
Неприводимый многочлен 108
Неустойчивое положение равновесия 165
Нормальная форма Коши 262
системы д. у. 260
Нормальной формы система 241
Ньютон И. 430, 431, 432
Общее решение 7, 12, 18
уравнения в частных производных 333
Общий интеграл 151, 167, 375
системы д. у. 308
Огибающая 122, 132
Однородная линейная система 271
Однородные уравнения 27, 34
линейные 34
в частных производных 338
с постоянными коэффициентами 214
Оператор дифференциальный 183
— самосопряжённый 208
Определитель Вандермонда 216
— Вронского 185
Ортогональные траектории 135
Особые начальные значения 314
— решения 121, 131
— точки 76
Особый интеграл 374
Остроградский М. В. 450, 453
Остроградского-Лиувилля формула 192
Панов Д. КХ 458
Пеано Д. 448
Первого порядка д. у. 9
линейные уравнения 34
— — уравнения в частных производных 99
характеристика 395, 407, 409
— приближения система 320
Первый интеграл 168
-системы д. у. 308
Переменных разделение 23, 388
Перенос 32
Период колебания 219
Персидский К. П. 457
Петерсон К. М, 452

468
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Петровский И. Г. 332, 457, 458
Пикар Э. 448, 449
Пикара доказательство существования 57
— метод последовательных приближений 142
Поверхность интегральная 378
Погони линии 170
Подобие 33
Поле направлений 11
Полные дифференциалы 94
Полный интеграл 414
Полоса характеристическая 381
Понижение порядка д. у. 167, 173, 198, 200
Порядок д. у. 10
— уравнения с частными производными 330
Последовательных приближений метод 57, 74,
144
Постоянная энергии 419
Постоянного вариация 35, 201, 281
Постоянные коэффициенты, д, у. с пост
ными коэффициентами 214
Преобразование переноса 32
— подобия 33
Преобразований группа 32
Приводимый многочлен 108
Прикосновения точки 130
— элемент 378
Продолжение решения д. у. 65
Производная точная 177
Производных существование 298
Промежуточный интеграл 167
Пространство фазовое 266
Пуанкаре А. 84, 455
Пуассон 453
Пуассона скобка 385
Пфафф И. 444, 451
Пфаффа уравнение 360, 387
Пфаффова форма 366
Пеано Д. 68, 448
Пеано теорема 68
Равновесия положение 165
Разделение переменных 23, 388
Решение д. у. 7, 8
— особое 121, 131
Риккати Д. 434, 436
Риккати уравнение 47, 50, 244
Рикье, теорема существования 332
Руффини П. 447
Ряд гипергеометрический 249
— степенной 245
Ряды тригонометрические 233
Самосопряжённое уравнение 208
Самосопряжённый оператор 208
Свободное гармоническое колебание 218
Седловина 79
Сила живая 163
Симметричная форма системы д. у. 313
Синцов Д. М. 452
Система динамическая 267
— д. у. 260
в частных производных 331
— каноническая 260, 412
— фундаментальная 187
Скобка Майера 385
— Пуассона 385
Скорость мгновенная 312
Смирнов В. И. 457
Соболев С. Л. 457
Совместности условия 332, 356
Совместные уравнения 255
Сонин Н. Я. 451, 453
Сопряжённое дифференциальное выражение
— уравнение 206
Сравнения теорема 253
Стационарное движение 267
Стеклов В. А. 453, 455
Степанов В. В. 457
Степенной ряд 245
Существования теорема 57, 68, 140, 270
Т, конус 420
Тейлор Б. 437, 439
Теорема (см. соответств. название)
Тихонов А. Н. 457
Тока линии 268
Точки возврата 130
— особые 76
— прикосновения 130
Точная производная 177
Точные дифференциалы 94
Траектория движения 267
—, задача о траекториях 135
Тривиальное решение 319, 321, 325, 326, 327
Тригонометрические ряды 233
Узел 79, 83, 92
Упругие колебания 219, 230
Условие (см. соответств. название)
Устойчивое положение равновесия 166
Устойчивость по Ляпунову 317
Фаза начальная 219
Фазовое пространство 266
Фокус 81, 91
Форма билинейная 290
— нормальная Коши 262
Форма нормальная системы д. у. 141
— Пфаффова 366
— симметричная системы д. у. 313
Формула Лиувилля 192
Фроммера метод 84
Фукс Л. 435, 451
Фундаментальная система 187
Функция Бесселя 245, 250
— Гамильтона 412
— Грина 211
Фурье Ж. 452
Характеристика 336, 351, 405, 406
— первого порядка 395, 407, 409
Характеристическая полоса 381
Характеристические кривые 351
Характеристический многочлен 215
Характеристическое уравнение 284, 325
Хинчин А. Я. 457
Центр 81» 92
Чаплыгин С. А. 458
Частное решение д. у. 8, 12, 18
Частные производные, уравнения в частных
производных 99, 330
Частота колебания 219
Чебышев П. Л. 237, 449, 455, 457
Чебышева многочлен 237
Четаев Н. Г. 457
Шарпи П. 442
Шарпи-Лагранжа меГТод 381
Шпета теорема 256
Штурм Ж. 450
Штурма теорема 252
Эйлер Л. П. 95, 431, 433—443, 445, 450-452,
455, 457
Эйлера уравнение 238, 256
Элемент интегральный 407
— прикосновения 378
Элементарные делители матрицы 291
Энергии постоянная 419
Якоби К. 450, 457
— метод 412, 416
— теорема 414
— уравнение 41, 93, 414