В. А. ПАВЛОВ
ТЕОРИЯ ГИРОСКОПА
И ГИРОСКОПИЧЕСКИХ
ПРИБОРОВ
2-е исправленное
и дополненное издание
Допущено Министерством высшего и среднего специального
образования РСФСР в качестве учебного пособия
для приборостроительных вузов и факультетов
ИЗДАТЕЛЬСТВО
^СУДОСТРОЕНИЕ»
ЛЕНИНГРАД
1964

УДК 681.2 (075.8)
Книга предназначена в качестве учебного пособия для
студентов высших технических учебных заведений,
специализирующихся в области гироскопического
приборостроения. В ней изложены прикладная теория гироскопа,
основы теории гироскопических приборов, применяемых
в системах стабилизации и управления подвижными
объектами, а также принципы устройства,
конструктивные особенности, методические и некоторые
инструментальные погрешности однороторных гироскопических
приборов.
Значительное внимание уделяется объяснению
физической сущности гироскопических явлений. Для лучшего
уяснения теоретических положений книга снабжена
большим количеством примеров, способствующих
самостоятельному изучению предмета, особенно студентами заочных
и вечерних факультетов.
Книга может быть полезна научным и инженерно-
техническим работникам, занимающимся
проектированием, расчетом и исследованием гироскопических
приборов и устройств.

ПРЕДИСЛОВИЕ
Автоматизация процессов управления кораблями, самолетами,
ракетами-носителями искусственных спутников Земли и
подобными им подвижными объектами предъявляет с каждым годом все
более высокие требования к точности гироскопических приборов,
используемых в качестве отдельных звеньев в современных
системах навигации и стабилизации. Обеспечение высокой точности
является в настоящее время основной проблемой
гироскопического приборостроения, которая требует глубокого изучения
проявлений гироскопического эффекта и его практического
использования. В этих условиях уже невозможно ограничиваться
исследованием законов движения идеализированного гироскопа
без учета конструктивных и технологических погрешностей,
вызывающих отклонения его главной оси от заданного в
пространстве направления.
Современная научная дисциплина «Теория гироскопа и
гироскопических приборов» базируется на теории гироскопических
явлений, развитие которой во многом обязано работам русской
классической школы механиков и трудам советских ученых и
специалистов. Новейшие методы анализа, использующие
математические вычислительные и моделирующие машины, позволили более
глубоко изучить динамические процессы, протекающие в
гироскопической системе, и выяснить влияние сил трения в опорах
подвеса и других возмущающих факторов на поведение гироскопа.
В настоящей работе, предназначенной в качестве учебного
пособия для студентов высших технических учебных заведений,
специализирующихся в области гироскопии, рассматриваются вопросы
прикладной теории гироскопа, а также основы теории, принципы
устройства и конструктивные особенности гироскопических
приборов. Книга является дальнейшим развитием вышедшего в
1954 году в свет учебника автора [28]. В новом, переработанном
и дополненном, издании учтены критические замечания,
высказанные при обсуждении учебника, и устранены имевшиеся в нем
неточности.
За время, прошедшее с 1954 года, теория и практика
гироскопических приборов пополнилась большим количеством новых
исследований, посвященных проблеме повышения их точности.
Изучено влияние отдельных возмущающих факторов на характер
движения гироскопической системы и установлены оптимальные
3

соотношения между ее основными конструктивными параметрами,
при соблюдении которых обеспечивается наибольшая точность
системы. Появились принципиально новые гироскопические
устройства, выполняющие самые различные функции в
автоматических системах навигации и стабилизации подвижных объектов.
Указанное потребовало коренного пересмотра материала
учебника и внесения в него новых разделов, что в свою очередь
обусловило целесообразность издания еще одной книги, в которой будут
рассмотрены инструментальные погрешности и методы расчета
основных конструктивных параметров гироскопических приборов.
При изложении материала автор стремился дать наглядное
физическое объяснение результатов, вытекающих из общей теории
гироскопа и его отдельных технических приложений. На основе
анализа законов движения гироскопа в каждом отдельном
случае исследуется специфика конкретного гироскопического
прибора, его методические погрешности и ошибки, порождаемые
силами трения в опорах подвеса. Такое построение книги облегчит
самостоятельное изучение предмета.
Автор приносит глубокую благодарность всем организациям
и лицам, принявшим участие в обсуждении материалов книги и
способствовавшим ее улучшению, и в особенности С. С. Ривкину,
взявшему на себя труд редактирования книги, С. Ф. Фарма-
ковскому и П. И. Сайдову за полезные замечания при
рецензировании рукописи, а также И. В. Павлову и Л. А. Северову за
помощь при ее оформлении. Все критические замечания по
содержанию настоящей работы будут приняты автором с искренней
признательностью.

ВВЕДЕНИЕ
§ 1. ОСНОВНАЯ ЗАДАЧА НАВИГАЦИИ
Для управления подвижными объектами — летательным
аппаратом, кораблем, подводной лодкой и др.—необходимо иметь
постоянную информацию о их местоположении. В любой момент
времени должны быть известны координаты той точки А земной
поверхности (рис. 1), через
которую проходит линия
03Z, соединяющая центр 03
Земли с центром тяжести
объекта, и расстояние R
между этими центрами. Для
этой цели используется
обычно географическая
система координат, положе-
ниеточки А в которой
определяется двумя углами:
широтой φ и долготой λ.
Пренебрегая весьма
малыми углами
рассогласования между направлениями
гравитационной и
геоцентрической вертикалей х и
считая Землю шаром
радиуса R3, будем полагать,
что угол фобразован
радиусом Земли 03А> который
при сделанных
допущениях совпадает с
вертикалью места, и плоскостью
экватора, проходящей
через центр Земли 03
перпендикулярно оси NS ее
вращения.
Второй координатный угол λ образуется плоскостями
меридиана данной точки и главного меридиана. Плоскость меридиана
данной точки проходит через центр Земли 03, выбранную на
земной поверхности точку А и оба географических полюса, северный Μ
1 См.: В. И. Селезнев. Навигационные устройства. Оборонгиз, 1961,
стр. 15 и 23.
Плоскость
меридиана точки А
Рис. 1. Географические координаты.
δ

и южный S. Плоскость главного меридиана проходит через те же
точки 03, N, S и точно определенный на земной поверхности
пункт С, выбор которого утверждается соответствующими
международными соглашениями.
Таким образом, положение подвижного объекта в
географической системе координат будет определяться двумя углами φ
и λ и длиной радиуса-вектора
R = R3 + h, (1)
где R3— расстояние от центра Земли 03 до точки Л,
расположенной на ее поверхности на уровне моря;
h — расстояние от центра тяжести объекта до уровня моря.
При перемещениях
объекта относительно земной
поверхности величины φ, λ и R
претерпевают в общем случае
непрерывные изменения.
Характер этих изменений с
течением времени зависит
непосредственно от
направления и скорости движения
объекта, что дает
возможность задавать программу
движения объекта и
контролировать ее выполнение по
законам изменения во
времени параметров φ, λ и R.
Следовательно, их определение
и является основной задачей
навигации.
Основная задача навигации может быть решена различными
методами, каждый из которых обладает своими преимуществами
и недостатками. Однако для их применения необходимо, чтобы
подвижные объекты были оборудованы приборами, неизменно
фиксирующими направление в пространстве осей так называемой
опорной системы координат. Если опорная система координат
связана с земными ориентирами, то ее начало О совмещают обычно
с точкой А земной поверхности, направляя ось Οζ по радиусу
03А Земли в зенит Ζ. Две другие оси Οξ и Оц будут совмещены
при этом с плоскостью горизонта, проходящей через точку А
перпендикулярно земному радиусу 03А.
Положение объекта, с которым неизменно связана
координатная система Oxcyczc (рис. 2),1 относительно осей координат Οξηζ,
Рис. 2. Положение объекта в системе
координат.
1 При исследовании динамики подвижных объектов ось Охс координатной
системы Охс ус Zc, неизменно связанной с объектом, всегда совмещается с его
продольной осью и направляется в сторону движения. Направление осей 0ус и 0zc
выбирается по-разному. Существуют самолетная, корабельная и тому подобные
б

остающихся неподвижными на земной поверхности, принято г
определять по значениям трех углов — рыскания а, тангажа β
и крена у. В частном случае ось Οξ опорной системы координат
может быть совмещена с полуденной линией, получающейся
в результате пересечения плоскости горизонта с плоскостью
NAS03 географического меридиана (рис. 1), и направлена в
сторону северного географического полюса N. При таком
ориентировании опорной системы координат Οξηζ угол α будет
характеризовать курс объекта. Однако необходимо
иметь в виду, что в навигации 2 курс
определяется углом К (рис. 3) и отсчи-
тывается от меридиана NS по часовой
стрелке. Поэтому между углами α и К
будет существовать зависимость
α = — /С. (2)
В первых навигационных приборах
опорная система координат Οξηζ
создавалась весьма простыми средствами: в них
использовались свойства магнитной
стрелки и маятника устанавливаться под
воздействием магнитного поля Земли и поля
земного тяготения соответственно в
плоскости магнитного меридиана NmSm (рис.4)
и по вертикали 03Z. Учитывая значения
угла δ магнитного склонения,
составляемого плоскостями магнитного NmSm и
меридианов и заранее определяемого для каждого района
земной поверхности, пользовались показаниями магнитной
стрелки для определения курса а. В свою очередь по
показаниям маятника определяли углы β тангажа и у крена
объекта. Однако совершенствование морских и воздушных
средств сообщения сопровождалось увеличением скорости
движения, заменой деревянных конструкций объектов более прочными
металлическими и оснащением их мощными двигателями и
источниками электрической энергии. В этих условиях ни магнитная
стрелка, ни маятник уже не могли удовлетворять предъявляемым
к ним требованиям, так как они не оставались стабильными
относительно плоскости меридиана и вертикали места.
[*
Рис. 3.
Угол курса
объекта.
географического NS
схемы ориентации осей. В настоящей книге принято, что оси 0ус и Ог^ совмещены
соответственно с поперечной и нормальной осями объекта и направлены первая
в сторону его левого борта, вторая — вверх.
1 См.: А. А. Лебедев и Л. С. Чернобровки н. Динамика полета
беспилотных летательных аппаратов. Оборонгиз, 1962, стр. 43.
2 См.: К. С. У χ о в. Навигация. Водтрансиздат, 1954.
7

8

§ 2. РЕАКЦИЯ МАГНИТНОЙ СТРЕЛКИ И МАЯТНИКА
НА ВНЕШНИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ
Неудовлетворительная работа магнитной стрелки и маятника
на подвижном основании объясняется в первую очередь их высокой
чувствительностью к внешним возмущениям. Между тем при
движении современных объектов целый ряд факторов оказывает
возмущающее воздействие на магнитную стрелку и маятник.
Так, на отклонения стрелки от плоскости магнитного меридиана
оказывают влияние магнитные поля, порождаемые электрическим
^
Рис. 5. Схема действия на
маятник и магнитную
стрелку моментов
возмущающих и
восстанавливающих сил.
током в расположенных вблизи от нее проводниках, железные
массы объекта и их перемещение и многие другие причины.
В свою очередь путевые ускорения объекта, его угловые
колебания и ряд других факторов вызывают отклонения маятника от
вертикали.
Воздействие возмущающих сил на магнитную стрелку и
маятник будет зависеть от моментов этих сил, стремящихся вывести
первую из плоскости магнитного меридиана, второй — из
вертикального положения. Для выяснения характера поведения
рассматриваемых указателей в этих условиях обратимся к
уравнениям, описывающим их движение.
Момент Μ внешней возмущающей силы вызывает отклонение
магнитной стрелки от плоскости магнитного меридиана NmOZ
(рис. 5). Масса стрелки вследствие присущей ей инертности
9

будет оказывать сопротивление возмущающему моменту М. При
этом величина момента сил инерции /κεκ будет тем больше, чем
больше момент инерции стрелки /к относительно оси ее подвеса
и ускорение εκ, сообщенное стрелке возмущающими силами.
Одновременно при отклонениях магнитной стрелки,
находящейся в поле земного магнетизма напряженностью Я, от плоскости
магнитного меридиана NmOZ возникает восстанавливающий
момент. Действительно, при угле εκ между плоскостью NmOZ и
продольной осью стрелки на ее магнитные массы -\-тк и —тк
действуют силы ткН. Приложенные к магнитным полюсам стрелки,
удаленным от оси подвеса на расстояние /к, эти силы создают
момент 2mKHlK sin εκ, стремящийся возвратить стрелку в
плоскость магнитного меридиана NmOZ.
Полагая, в соответствиии с методом кинетостатики,1 сумму
моментов сил равной нулю и пренебрегая действующими в опоре
подвеса силами трения и силами сопротивления окружающей
среды, получим дифференциальное уравнение, описывающее
движение магнитной стрелки,
/κεκ + 2mKHlK sin εκ = Μ.
Рассуждая аналогичным образом, заметим, что при действии
на маятник момента Μ внешних возмущающих сил его масса ти
будет порождать момент сил инерции /ΜεΜ. В свою очередь сила
веса mug маятника, центр тяжести которого удален от оси его
вращения на расстояние /м, при отклонении маятника от вертикали
03Z, например в плоскости OmOZ, на угол εΜ будет создавать
восстанавливающий момент muglM sin εΜ. Пренебрегая силами
трения в опорах подвеса и силами сопротивления окружающей среды,
запишем уравнение движения маятника:
Ju*u + тиёк sin εΜ - Μ.
Дифференциальные уравнения движения рассматриваемых
указателей имеют один и тот же вид, что говорит об общности
динамических свойств магнитной стрелки и маятника. Поэтому
для определения характера их движения можно воспользоваться
одним общим уравнением
/не+ /С sin ε = Λί, (3)
в котором коэффициент К момента восстанавливающих сил будет
определяться для магнитной стрелки величиной 2ткЯ/к, а для
маятника — tn^gl^ при этом момент инерции Уи относительно
оси подвеса будет определяться моментом инерции магнитной
стрелки /к или маятника /м.
1 См.: Л. Г. Лойцянский и А. И. Лурье. Курс теоретической
механики. Т. II, ГИТТЛ, 1955, стр. 324.
10

При малых значениях угла ε можно полагать, что sin ε ^ ε,
и тем самым линеаризовать уравнение (3), переписав его в виде
/Ηε+ Κ ε = Μ. (4)
Решение неоднородного дифференциального уравнения (4)
будет зависеть от закона изменения во времени момента Μ
возмущающих сил. Последние в условиях движения объекта
изменяются по закону, который в первом приближении будем
полагать близким к гармоническому, считая, что Μ = Λί0 cos qt,
где MQ — амплитудное значение возмущающего момента, a q —
круговая частота. При этом условии уравнение (4) принимает
вид
/Ηε +/(ε = М0 cos qt. (5)
Общее решение уравнения (5) будет состоять из решения
соответствующего однородного уравнения
ε + п2г = О, (6)
где
п2 = -7-' (7)
и частного решения исходного уравнения (5).
Решение уравнения (6) можно записать в виде х
гР = Сг cos nt + C2 sin nt, (8)
где Сх и С2 — постоянные интегрирования, определяемые
начальными условиями.
В связи с тем, что внешний возмущающий момент изменяется
по гармоническому закону, частное решение уравнения (5) будем
искать в виде
гг= N cos qt + L sin qt, (9)
где N и L — неизвестные пока амплитуды вынужденных
колебаний рассматриваемых указателей.
Чтобы найти условия, при которых частное решение (9) в
любой момент времени t будет удовлетворять уравнению (5),
подставим в последнее значения εΓ и ε^ из равенства (9). В результате
— Jaq2N cos qt — JHq2L sin qt + KN cos qt + KL sin qt =
= M0 cos qt.
Приравнивая коэффициенты при соответствующих
тригонометрических членах в правой и левой частях полученного
равенства, находим
N- *. .L-o (10>
1 См.: В. И. Смирнов. Курс высшей математики. Т. II. Гостехиздат,
1948, стр. 91.
11

Таким образом, учитывая решение (8) и равенства (7), (9)
и (10), общее решение уравнения (5) получим в виде
ε = ερ + ъг — Сх cos nt + С2 sin nt Η -.—-—^τ- cos Ч*- 0 0
К
(■-*)
Первые два члена выражения (11) описывают собственные,
а последний — вынужденные колебания рассматриваемых
указателей. Как видим, эти колебания происходят с двумя разными
частотами η и q, в связи с чем результирующие колебания будут
по своему характеру отличаться от гармонических. Действительно,
предположим, что в начальный момент времени, при t = 0, ε (0) =
= 0; ε (0) = 0. При этих условиях из равенства (11) и его первой
производной находим
сг = ~м* ч , с2 = о.
к
0--5-)
Подставляя полученные значения постоянных
интегрирования Сх и С2 в выражение (11), имеем
ε = — ° 2 (cos qt — cos nt),
или
e = -7ATeini±l/itai^<. (12)
Обозначим в (12) полуразность частот собственных η и
вынужденных q колебаний через Δ = n~q = — ^~η . Тогда
выражение (12) примет вид
ε- г-*—__sin-^— /, (13)
К
(■-•-я
откуда следует, что результирующие колебания (рис. 6) происходят
с периодом
Ρ 2 (7 +п
и переменной амплитудой
2Ai0 sin ΔΙ
('--£■)
/С
Как видим, результирующие колебания рассматриваемых
указателей, порождаемые изменяющимися по гармоническому
12

закону моментами возмущающих сил, то возрастают, то
ослабевают. При этом период биений, определяемый отношением τ =
= —д- = __ , неограниченно увеличивается с приближением q
к п.
Для определения характера изменения амплитуды
результирующих колебаний при q -> η выражение (13) перепишем
в следующем виде:
/лШ0 sin --=-?- t
υ 2 . q + η .
Sin ч Τ t.
K^-t(n + q)
ε=ε0 Cos nt
2M0 q+n \ a-n
Ή
Рис. 6. График вынужденных и собственных колебаний
простейших указателей.
При разности между частотами η и q, близкой нулю, отноше-
. п — q .
sin —■—-1
ние
■t
-стремится, как известно, х к единице и,
следовательно, при равенстве частот пи q выражение для угла ε принимает
вид
ε =
M0qt
2К
sin qt.
Как видим, при пренебрежении силами сопротивления с
наступлением резонанса амплитуда результирующих колебаний
неограниченно возрастает. В реальных условиях,
характеризуемых наличием неизбежных сил сопротивления, величина
амплитуды вынужденных колебаний будет ограничена определенным
пределом. 2
1 См.: В. И. Смирнов. Курс высшей математики. Т. I. Гостехиздат,
1948, стр. 71.
2 См.: С. П. Стрелков. Введение в теорию колебаний. ГИТТЛ, 1950.
13

Следует отметить, что колебания указателей не исчезают
сразу после прекращения действия возмущающих сил. В самом
деле, предположим, что в некоторый момент времени t* (рис. 6)
возмущающие силы перестали действовать на указатель и,
следовательно, амплитуда создаваемого ими момента М0 — 0. Если
в это мгновение, которое в дальнейшем будем считать начальным,
движение указателя характеризовалось условиями ε (0) = ε0,
ε (0) = 0, то из выражения (И) и его первой производной
повремени следует, что Сх = ε0, С2 = 0.
Подстановка найденных значений постоянных интегрирования
Сх и С2 в выражение (И) позволяет получить зависимость,
характеризующую изменение с течением времени угла ε:
ε = ε0 cos nt. (14)
Выражение (14) и соответствующий ему на рис. 6 график
подтверждают, что и магнитная стрелка и маятник после прекращения
действия моментов внешних возмущающих сил продолжают
совершать собственные колебания с периодом Г, величина
которого в соответствии с (7) будет равна
Т = И = 2яЛП$-. (15)
п г К
Из-за непрерывных колебаний магнитная стрелка и маятник
не могут обеспечить на подвижном объекте надежных указаний
направлений меридиана и вертикали. Стремление к
усовершенствованию магнитного компаса и маятникового креномера приводило
лишь к их конструктивному усложнению, в то время как
получаемые при этом результаты не могли быть признаны
удовлетворительными.
§ 3. СВОЙСТВА БЫСТРО ВРАЩАЮЩИХСЯ ТЕЛ
Неудовлетворительная работа магнитного компаса и
маятникового креномера на подвижном объекте заставила искать более
совершенные средства навигации. В процессе этих изысканий
внимание изобретателей все чаще останавливалось на
замечательном свойстве быстро вращающегося волчка сохранять положение
оси АА своего вращения (рис. 7) неизменным в пространстве.
Но отсутствие двухсторонней удерживающей связи между
основанием КП и волчком затрудняло его практическое
использование. При наклоне основания КП на угол β волчок, сохраняя
направление оси вращения АА неизменным, начинал под влиянием
силы тяжести mg сползать с основания КП, двигаясь по
направлению действия составляющей mg sin β.
Лишь в 1852 г. известный физик Л. Фуко (1819—1868)
осуществил подвес волчка с помощью двух кардановых колец, обеспечив
14

тем самым неизменность положения точки его опоры относительно
основания.
Использование карданова подвеса позволило придать волчку
форму массивного ротора Ρ (рис. 8), свободно вращающегося
Рис. 7. Волчок.
вокруг так называемой главной оси подвеса ОА во внутреннем
кардановом кольце подвеса ВК- В свою очередь кольцо ВК
устанавливалось в наружном кольце подвеса НК с помощью двух опор,
расположенных по оси ОВ.
Благодаря такому подвесу
обеспечивалась свобода
вращения ротора Ρ вместе
с кольцом ВК в наружном
кольце НК вокруг
внутренней оси подвеса ОВ.
Наконец, наружное карда-
ново кольцо НК, также с
помощью двух опор,
расположенных по оси ОС,
устанавливалось на
основании КП прибора,
обеспечивая свободу вращения
ротора Ρ вместе с обоими
кардановыми кольцами ВК
и НК вокруг наружной
оси подвеса ОС.
Опыты, проведенные с
волчком, подвешенным в
корпусе КП с помощью
двух кардановых колец ВК
и НК, показали, что новый прибор обладает теми же свойствами,
которые присущи элементарному волчку. При сообщении ротору Ρ
вращения с достаточно большой угловой скоростью вокруг оси О А
Рис. 8. Гироскоп.
15

направление последней оставалось стабильным в пространстве. При
установке прибора на земной поверхности, например на экваторе
в некоторой точке L (рис. 9), его главная ось АА не сохраняет
неизменным свое направление относительно земной поверхности.
Вследствие суточногЪ вращения Земли точка L будет непрерывно
изменять свое положение в пространстве, занимая
последовательно положения Llf L2 и т. д. Вместе с Землей в ее суточном
вращении будет участвовать и волчок, точка подвеса которого
благодаря наличию карда-
нова подвеса неподвижна
относительно земной
поверхности. Однако главная
ось А А волчка,
стремящаяся сохранить
неизменным свое направление в
мировом пространстве,
будет в рассматриваемом
случае непрерывно
отклоняться от плоскости
горизонта <ш, составляя с
последней угол, равный по
величине углу поворота
земного шара вокруг своей
оси (рис. 9).
Прибор Фуко позволял
по отклонению главной оси
АА волчка от земных
ориентиров, остающихся
неизменными относительно
плоскостей горизонта и меридиана, судить о вращении Земли.
Он давал возможность «видеть» земное вращение, почему и был
назван «гироскопом», т. е. прибором, позволяющим наблюдать
вращение Земли. х Одновременно были выявлены и другие столь
же замечательные свойства гироскопа. Так, затяжка винтов dB,
расположенных на наружном кольце подвеса НК (рис. 8),
лишала гироскоп свободы вращения вокруг оси ОВ и создавала
условия, при которых он стремился совместить свою главную
ось О А с плоскостью меридиана, что позволяло определить ее
положение в данном пункте земной поверхности.
При затягивании стопорного винта с^на корпусе прибора
гироскоп лишается свободы вращения вокруг оси ОС. В этом
случае при определенных условиях его главная ось О А стремится
совместиться с направлением, параллельным земной оси, что
Рис. 9. Отклонение гироскопа от земных
ориентиров.
1 Слово «гироскоп» происходит от двух греческих слов: γιροξ — вращением
σκοπειν — смотреть.
16

позволяет использовать гироскоп для определения
географической широты выбранной точки земной поверхности.
Свойства волчка привлекали к себе внимание ученых задолго
до нашей эры [35, стр. 94]. Исследованием законов движения
занимались И. Ньютон (1642—1727) и Ж. Даламбер (1717—1783),
который еще в 1749 году рассматривал вопрос о движении твердого
тела вокруг неподвижной точки.1 Но первое систематическое
изложение механики твердого тела было дано Л. Эйлером (1707—
1783) в знаменитом сочинении «Теория движения твердых тел».
Эта работа, вышедшая в свет в 1765 году, явилась научной базой
для дальнейшего более глубокого изучения законов движения
волчка. Последовавшие затем работы Ж- Лагранжа (1736—1813),
П. Лапласа (1749—1827), Л. Пуансо (1777—1859) и С. Пуассона
(1781—1840) во многом содействовали развитию науки о волчке.
Демонстрация Л. Фуко своего нового прибора — гироскопа,
перспективы его практического использования привлекли к
решению гироскопических проблем широкий круг исследователей.
Наибольший вклад в науку о гироскопе сделали русские ученые.
Классические работы О. И. Сомова, Д. К. Бобылева, В. А. Стек-
лова, С. В. Ковалевской, Г. К. Суслова, Η. Ε. Жуковского,
А. Н. Крылова и многих других в области механики гироскопа
признаны выдающимися. Одновременно с теоретическими
исследованиями усиленно проводились работы по изысканию средств,
обеспечивающих вращение ротора гироскопа вокруг главной оси О А
(рис. 8) с постоянной максимально возможной по величине
угловой скоростью и вращение гироскопа вокруг осей подвеса ОВ
и ОС с минимальным сопротивлением, оказываемым силами
трения в опорах этих осей.
Решение указанных проблем долгое время задерживало
практическое использование гироскопа. Даже и после того,
как в качестве привода ротора гироскопа стало возможным
использовать газовую турбину и электрический двигатель,
гироскопические приборы все еще находились в стадии лабораторных
исследований. Объясняется это тем, что гироскоп, получивший
возможность вращаться вокруг главной оси с постоянной и да-
статочной по величине угловой скоростью, все еще не имел опор,
обладающих малыми силами трения. Только в 1901 году, после
того, как промышленность освоила изготовление изобретенных
шариковых подшипников, удалось впервые создать
гироскопический прибор, который в течение нескольких минут сохранял
неизменным направление своей главной оси в пространстве.
В дальнейшем в связи с развитием морского флота и авиации
гироскопические приборы усовершенствовались весьма интенсивно.
В нашей стране гироскопическое приборостроение получило
особенно широкое развитие после Великой Октябрьской социалисти-
1 См.: П. Α π π е л ь. Теоретическая механика. Т. II, ГИФМЛ, 1960, стр. 136.
17

ческой революции. Советские ученые Н. Е. Жуковский, А. Н.
Крылов, Б. В. Булгаков, Е. Л. Николаи, Б. И. Кудревич, А. И. Лурье,
А. Ю. Ишлинский, С. С. Тихменев, Я- Н. Ройтенберг, С. С. Рив-
кин, Д. С. Пельпор и другие своими работами приумножили
наследие русской классической школы механиков. Творческое
содружество советских ученых с работниками социалистической
промышленности обеспечило оснащение многих отраслей нашего
народного хозяйства высококачественными гироскопическими
приборами и устройствами.

Глава I
ФИЗИЧЕСКАЯ ПРИРОДА ГИРОСКОПИЧЕСКОГО
ЭФФЕКТА
§ 4. ПОВОРОТНОЕ УСКОРЕНИЕ
Гироскопический эффект быстро вращающихся тел заключается
в сопротивляемости последних внешним усилиям, стремящимся
изменить их положение в инерциальном пространстве. Так, при
действии на какое-либо карда-
ново кольцо подвеса
гироскопа, например на его
наружное кольцо НК (см.
рис. 8), усилия,
стремящегося повернуть гироскрп
вокруг оси ОС и тем самым
вывести его главную ось
О А из ее первоначального
положения в
пространстве, будет ощущаться
значительное сопротивление.
При этом наружное
кольцо Я/С, несмотря на
непосредственное действие на
него возмущающего
усилия, практически будет
оставаться неподвижным,
в то время как ротор Ρ
и внутреннее кольцо ВК
начнут поворачиваться
вокруг оси ОВ. Кажущаяся
аномалия в движении
гироскопа объясняется тем, что
при изменении положения
вращающегося тела в пространстве возникает
кориолисово, или поворотное, ускорение.
Для подтверждения сказанного рассмотрим перемещение
точки η (рис. 10), движущейся с постоянной скоростью V вдоль
прямой· LiV, которая в свою очередь вращается вокруг оси СС
с постоянной угловой скоростью ω; при этом прямая LN состав-
Рис. 10. К определению поворотного
ускорения.
так называемое
19

ляет с осью СС угол а. В начальный момент времени точка η
находится на расстоянии г0 от оси СС и обладает относительной
линейной скоростью V движения вдоль прямой LN. В этот момент
она обладает и переносной линейной скоростью сог0, вектор
которой направлен перпендикулярно плоскости Q, содержащей
в себе векторы V и ω. По прошествии некоторого времени Δ/
прямая LN в результате поворота вокруг оси СС на угол β = ω Δ/
займет новое положение LXNX в плоскости Qx. За это же время Δ/
точка η переместится вдоль прямой LN на величину 1/Δ/ и займет
положение пъ отстоящее от оси СС на расстояние гг. Нетрудно
заметить, что в положении пх рассматриваемая точка будет
обладать такой же по величине, но совмещенной теперь с плоскостью Qx
относительной скоростью Vx = V и изменившейся по величине и
направлению переносной скоростью согг.
Чтобы определить полученные приращения скоростей,
спроектируем векторы Vi и шгх на координатные оси nxyz,
ориентированные по векторам V и оог0, с началом в точке п. В результате
Ух = У\ c°s2 α + Vi sin2 α cos β — шгх sin α sin β;
У у = У\ sin α sin β + ω^ cos β;
У ζ — У\ cos «sin α — Vi sin α cos α cos β + ωτχ cos α sin β.
Вычитая из полученных выражений первоначальные значения
скоростей точки η вдоль тех же осей координат и учитывая, что
|Vi! = \У\> находим приращения скоростей за время Δ/:
Δν* = У cos2 α + V sin2 α cos β — ωτχ sin α sin β — V;
kVy = V sin α sin β + ωτχ cos β — оог0;
&VZ = V cos α sin α — V sin α cos α cos β + ωτχ cos α sin β —0.
Как видно из рис. 10, rx = r0 + V Δί sin α является текущим
значением удаления точки η от оси СС. В дальнейшем условимся
обозначать его буквой г. Разделим найденные приращения
скоростей на интервал времени Δ/. При Δ/, стремящемся к нулю,
угол β становится величиной весьма малой, что позволяет
полагать
cos β = cos ωΔ t ^ 1;
sin β = sin ωΔ/ % ωΔ/.
20

Таким образом, значения ускорений точки η вдоль
соответствующих координатных осей будут
Vx=-^ = — coVsina;
х at
Vu = ^Lf- = Ι/ω sin a + (*V sin a;
у at
I/ dVz 2
V9 — <f = coVcosa.
z at
Ускорения Vx и Vz рассматриваемой точки вдоль осей пх
и nz представляют собой составляющие ее центростремительного
ускорения ω2Γ,
возникающего при вращении точки η
вокруг оси СС с угловой
скоростью ω. Ускорение Vy
является поворотным, или ко-
риолисовым, ускорением
l>n = 2Kcusina, (16)
которое возникает всякий
раз, как только та или иная
точка приобретает
одновременно и относительное и вра- ,
щательное переносное
движение.
Поворотное ускорение Vn
будет сообщаться точке и в
тех случаях, когда она будет
вращаться одновременно
вокруг двух пересекающихся
между собой осей. Представим
себе, что точка η (рис. И),
вращаясь с угловой
скоростью Ω вокруг ОСИ А А, пере- Рис. 11. Диаграмма изменения поворот-
мещается по дуге окружности ного Уск°Рения-
радиуса г в плоскости Q,
вращающейся вокруг оси СС с угловой скоростью ω. При таком сложном
движении точка η будет обладать одновременно относительной
линейной V = Ωγ и переносной угловой ω скоростями и
перемещаться с поворотным ускорением. За время одного оборота
точки η вокруг оси А А поворотное ускорение будет непрерывно
изменяться. В связи с непрерывным изменением угла а, состав-
21

ляемого векторами V и ω, поворотное ускорение в соответствии
с выражением (16) будет достигать в точке а максимума
^nmax^QrCOSin^-
2ΩΓω
и в точке с минимума
3π
2Ωγοο sin -γ- = —2Ωτω,
меняя свой знак в точках b и d> в которых его значения становятся
равными нулю.
Если в каждой точке траектории относительного движения
отложить соответствующие им значения поворотного ускорения,
как это и сделано на схеме (рис. И), то получаемая в результате
такого построения своеобразная пространственная диаграмма
и будет характеризовать изменение поворотного ускорения в
зависимости от угла Ш поворота точки η вокруг оси АА.
§ 5. УСИЛИЕ, НЕОБХОДИМОЕ ДЛЯ СООБЩЕНИЯ
ТЕЛУ ПОВОРОТНОГО УСКОРЕНИЯ
Рассматривая движение материальной точки или системы
материальных точек, сопровождающееся поворотным ускорением,
необходимо иметь в виду,
что последнее, как и любое
другое ускорение, может
быть сообщено массе
данной точки или данной
системы материальных точек
лишь в результате
воздействия на нее внешнего
усилия.
Представим себе, что
масса т материальной
точки, сосредоточенная в
центре некоторого шарового
объема, движется по
площадке Q (рис. 12),
вращающейся вокруг оси СС с
угловой скоростью ω.
Выберем какой-либо момент
времени, который будем
считать за начальный, и предположим, что в это мгновение масса т
движется со скоростью V вдоль прямой ON, совпадающей в
данный момент времени с линией симметрии площадки Q. Вполне
очевидно, что линия симметрии площадки Q не будет оставаться
неизменной в пространстве. Поворачиваясь вместе с площадкой'Q
вокруг оси ССУ она будет занимать все новые положения ONtJ
Рис. 12. Вектор внешнего усилия,
создающего поворотное ускорение.
22

составляющие непрерывно увеличивающийся угол с неизменным
в пространстве направлением ON.
Если на массу т не действовало бы внешнее усилие, то она
вследствие своей инерции продолжала бы двигаться вдоль
прямой ON, направление которой неизменно в пространстве.
Отклоняясь непрерывно от линии симметрии 0Nt, масса т через
некоторое время вышла бы за пределы площадки Q. Для того чтобы
удержать рассматриваемое тело на линии 0Nt, непрерывно
изменяющей свое положение в пространстве, должны быть созданы
такие условия, которые обеспечивали бы перемещение массы т
с ускорением, направленным перпендикулярно линии симметрии
площадки Q. В
соответствии с положениями
механики * такое условие
может быть достигнуто
лишь при воздействии на
массу внешнего усилия F,
равного по величине
произведению массы на
сообщаемое ей ускорение и
совпадающее с последним по
направлению. В нашем
случае ускорение массы т,
как ЭТО следует ИЗ ИЗЛО- Рис. 13. Стенд для демонстрации πэзоротного
женного выше, предста- ускорения,
вляет собой поворотное
ускорение Vn, и, следовательно, необходимое внешнее усилие F,
с учетом равенства (16), будет определяться выражением
F = mVn = 2mV(o sin α. (17)
В необходимости воздействия внешнего усилия на
материальное тело для сообщения последнему движения с поворотным
ускорением легко убедиться на опыте [48]. Для этого используем
стенд, представляющий собой поворотный стол (рис. 13), на
котором установлены два шкива, соединенных между собой круглым
резиновым ремнем. Ремень надевается на шкивы с некоторым
усилием, обеспечивающим его предварительное растяжение.
Поэтому для отклонения ремня от вертикальной плоскости шкивов
требуется усилие, направленное параллельно осям вращения
последних.
Оставляя стол неподвижным, приведем во вращение шкивы.
При этом прямолинейные участки ремня будут двигаться вдоль
стола с некоторой относительной скоростью V (рис. 14, а). Опыт
показывает, что перемещение обоих участков ремня, которые для
1 См.: Л. Г. Лойцянский и А. И. Лурье. Курс теоретической
механики. Т. II, ГИТТЛ, 1955, стр. 12.
23

краткости условимся называть ветвями, будет происходить в этом
случае строго в вертикальной плоскости шкивов. Если теперь стол
привести во вращение вокруг оси СС (рис. 14, б) с некоторой
угловой скоростью ω, то картина сразу же изменится. Масса
материальных частиц ремня, стремясь в силу инерции сохранить
неизменным первоначальное направление вращения (см. рис. 12),
начнет отклоняться от вертикальной плоскости вращения шкивов,
вытягивая ветви ремня в горизонтальной плоскости во взаимно
противоположных
направлениях. Но при растяжении ремня \
Рис. 14. Изгиб ремня при движении с поворотным ускорением.
силы упругости его материала tбудут стремиться вернуть ветви
ремня в вертикальную плоскость, ограничивая тем самым свободу
их перемещения в горизонтальной плоскости. Именно через эти
силы упругости массе ремня и будет передаваться внешнее усилие,
обеспечивающее ее движение с поворотным ускорением.
Взаимодействие сил инерции и упругости обусловливает
параболический характер кривой изгиба каждой ветви ремня. Для
большей убедительности опыта плоскость вращения шкивов
смещают относительно оси СС вращения стола на расстояние г
(рис. 14, а). Это подтверждает тот факт, что описанный прогиб
ветвей ремня вызван не центробежными силами инерции.
Действительно, если бы причиной прогиба являлось
центростремительное ускорение, возникающее при вращении стола вокруг
оси СС, то обе ветви ремня получили бы прогиб в одном и том же
направлении. Таким образом, становится очевидным, что причиной
24

прогиба ветвей ремня в горизонтальной плоскости является
инерция масс его материальных частиц, сопротивляющихся движению
с поворотным ускорением. Достаточно изменить направление
вращения шкивов или стола, чтобы увидеть, как направление
прогиба каждой ветви ремня сразу же изменится на обратное в связи
с изменением направления поворотного ускорения.
§ 6. МОМЕНТ ГИРОСКОПИЧЕСКОЙ РЕАКЦИИ
Приложение внешнего усилия, уравновешивающего силу
инерции при движении массы с поворотным ускорением, необходимо и
при вращении материальной точки одновременно вокруг двух
пересекающихся между собой осей. Однако величина и
направление этого усилия вследствие непрерывного изменения поворотного
ускорения (см. рис. И) будут переменными. Поэтому и связи,
обеспечивающие передачу воздействия внешнего усилия на
движущуюся материальную точку, будут испытывать также
переменную нагрузку.
Чтобы проследить за изменениями указанной нагрузки,
рассмотрим одновременное вращение вокруг двух осей АА и СС
(рис. 15) шарика п, подвешенного к валу N на нерастяжимой нити
On длиной г, масса которого сосредоточена в его геометрическом
центре.
Сообщив валу N вращение вокруг оси А А с угловой
скоростью Ω, приведем во вращение и шарик п. При этом нить On,
выдерживая разрывную нагрузку от центробежной силы инерции
mQ2r, обеспечивает перемещение шарика η строго по окружности
abc радиуса г, лежащей в плоскости Q, перпендикулярной оси АА
вращения вала N. В то мгновение, когда шарик η совместится
с точкой а на окружности abc, сообщим валу N угловую скорость
вращения ω вокруг оси СС и проследим за дальнейшим
перемещением шарика η в течение малого промежутка времени Δ/.
Если бы вал N не вращался вокруг оси СС, то по прошествии
времени Δ/ центр шарика п, совершив вокруг оси А А поворот на угол
Ω Δ/, совместился бы с точкой b на той же окружности abc,
лежащей в плоскости Q. Но в действительности вал N не остается
неподвижным. В результате своего вращения с угловой скоростью ω
его продольная ось к моменту времени Δ/ займет положение АХАЪ
совершив вокруг оси СС поворот на угол ωΔ/.
Казалось бы, при таком сложном движении центр шарика η
по прошествии времени Δ/ совместится с точкой Ъх на окружности
афхсъ лежащей в плоскости Qly повернутой вокруг оси СС
относительно плоскости Q на угол ωΔ/. Однако это может произойти
только в том случае, если на шарик η будет действовать внешнее
усилие, направленное вдоль продольной оси вала N. Нетрудно
заметить (рис. 15), что передать на шарик η требуемое усилие
через нить On не представляется возможным. В самом деле,
25

нить On, выдерживая определенное разрывное напряжение, может
ограничить свободу перемещения шарика η только вдоль своей
оси, но ни в коем случае не в направлении, ей перпендикулярном.
Вот почему в условиях одновременного вращения шарика η
вокруг осей АА и СС его масса, стремящаяся в силу инерции
сохранить направление своего движения совмещенным с
плоскостью Q, будет отклоняться от плоскости Qlf и в момент,
когда центр шарика должен был бы находиться в точке Ьъ
совмещенной с плоскостью Qlf он в действительности будет находиться
в точке d, лежащей в плоскости Q.
Отклонение шарика η от плоскости Qlf перпендикулярной
в любой момент времени оси вала N, не будет безграничным.
С увеличением угла Φ этого отклонения центробежная сила
инерции ml/ц (рис. 16) начнет создавать относительно точки О все
возрастающий момент mV^r sin Φ, который будет ограничивать
свободу перемещения шарика вдоль оси вала N и тем самым обу-
26

словливать его движение с поворотным ускорением Vn. Равенство
моментов, создаваемых относительно точки О силами инерции
массы т при ее движении одновременно с центростремительным Уц
и поворотным Vn ускорениями
mV^r sin ΰ* = mVnr cos Φ,
позволяет определить то значение угла Φ, которое характеризует
отклонение центра шарика η (ркс. 15) от плоскости Qx:
С\
igft
(18)
Так как при
рассматриваемом движении массы
шарика ее поворотное
ускорение изменяется в
зависимости от величины
угла поворота вокруг оси
АА (см. рис. 11), то угол
отклонения Ό* будет
принимать значения,
максимальные по величине, цо
противоположные по
направлению при достижении
центром шарика η точек
Ьх и Ci и равные нулю при
совмещении его с точками /
и / (рис. 15). ,
Описанный характер
движения материальной
точки можно наглядно
продемонстрировать на опыте.
Для этого воспользуемся
установкой (рис. 17),
состоящей из электрического
двигателя, на
горизонтально расположенном валу
которого закреплен
матерчатый ротор. Для
сообщения последнему вращения
вокруг оси ОС корпус К Π электродвигателя установлен на
кронштейне, который можно вращать вокруг вертикальной оси.
Оставляя корпус К Π неподвижным (рис. 17, а), сообщим валу
двигателя, а тем самым и матерчатому ротору вращение вокруг
оси ОА с угловой скоростью Ω. Благодаря центробежным силам
инерции матерчатый ротор приобретает значительную «жесткость»
и вращается строго в вертикальной плоскости, перпендикулярной
Рис. 16. Равенство моментов сил инерции
массы, движущейся с поворотным и
центростремительным ускорением.
27

оси ОА. Если теперь корпус К Π привести во вращение вокруг
оси ОС с угловой скоростью ω, то тело ротора сразу же получит
характерный изгиб вокруг оси ОВ (рис. 17, б). Как видим, опыт
подтверждает стремление материальных частиц, составляющих
тело ротора, оказывать сопротивление усилиям, порождающим
движение с поворотным ускорением. Отклонение материальных
Рис. 17. Матерчатый ротор.
частиц ротора от плоскости, перпендикулярной оси ОА их
вращения, будет тем больше (рис. 15), чем дальше материальная частица
отстоит от оси ОВ (рис. 18).
Разобранные выше причины возникновения сил инерции
материальных частиц при их движении с поворотным ускорением будут
иметь место и в случае вращения твердого тела одновременно
вокруг двух пересекающихся между собой осей, но передаваться
эти силы будут уже непосредственно на опоры, обеспечивающие
телу свободу собственного вращения. Представим себе ротор,
вращающийся с угловой скоростью Ω вокруг оси О А в корпусе К Π
(рис. 19). До тех пор, пока движение корпуса КП прямолинейно
и равномерно, опоры ротора будут испытывать нагрузку только
от его веса. Но достаточно корпусу К Π сообщить вращение вокруг
какой-либо оси, не совпадающей по направлению с осью ОАу
чтобы нагрузка на опоры изменилась.
28

Wk:.
Рис. 18. Формы изгиба матерчатого
ротора.
ϋ
ot-L
у
/
(
1
Δ6,
' ь>
%
?V4,
fi
Si
кп
J
ч.
Рис. 19. К определению момента гироскопической реакции.
29

Для подтверждения сказанного выберем координатную
систему Oxyz, оси Ох и Oz которой совместим соответственно
с осью ОА собственного вращения ротора и с перпендикуляром
к плоскости основания корпуса /(77. Будем полагать, что
корпус К Π вращается вокруг оси О ζ с угловой скоростью ω. Вместе
с корпусом К Π в указанном движении будет участвовать и ротор,
материальные частицы которого получат вращение
одновременно вокруг двух осей Ох и Oz с угловыми скоростями,
соответственно равными Ω и ω.
В любой момент времени каждая точка п£ ротора, отстоящая от
оси Ох на расстояние ρ,·, будет обладать относительной окружной
скоростью Vi — Ωρ,- и угловой скоростью ω переносного
движения вокруг оси Oz. Следовательно, каждой точке ротора будет
сообщено поворотное ускорение, равное согласно (16)
Vni = 2Vi(o sin α,- = 2Ωρ,·ω sin α,·.
Учитывая, что угол at между векторами Vi и ω равен углу ah
составляемому радиусом ρ,- с осью Оу, этому выражению можно
придать вид
Vn£ = 2Ωωρ/δίησ/. ,(19)
Для сообщения материальной точке, обладающей массой mh
ускорения Vui к ней необходимо, как было указано выше,
приложить внешнюю силу
Fi = miVnt. (20)
Выражая в (20) массу т/ материальной точки ротора через ее
элементарный объем и удельный вес материала γ, находим
/τ?/=-ϊ-Δρ/ρ,ΔσΛ (21)
где g — ускорение силы тяжести;
h — толщина ротора.
Если теперь в равенство(20) подставить найденные значение (21)
массы mi и значение (19) поворотного ускорения Vnil то выражение
для элементарной силы примет вид
Fc = 2-^- ΩωΛρ*Δρ,- sin σ,Δσ,. (22)
Внешнее усилие Fh создавая движение материальной точки п(
с поворотным ускорением 1/ш·, испытывает вследствие инертности
ее массы т^ противодействие силы инерции Fnii равной по
величине, но обратной по направлению внешнему усилию Ft. Состав-
30

ляющие момента силы FBl относительно осей Оу и Oz определяются
соотношениями
Мт У1 = FH izt = F„ & sin σ,;
ΜΓ2ι = F^M = FniQitosOt.
При этом направление момента Мгу1 совпадает с
отрицательным направлением оси Оу, а момента Mrzi — с положительным
направлением оси Oz.
Опуская из рассмотрения направление действия моментов MTyi
и Mrzl, подставим в последние равенства вместо силы Fui равное
ей по величине значение Fh определяемое по формуле (22). В
результате
Mryi = 2-^- Ωω/ιρ^Δρ,· sin2 σ,Δσ,·;
Μг zi = 2 — Ωω/ιρ^Δρ,- sin σ4· cos σ,-Δσ^.
Масса всех материальных·частиц ротора будет оказывать
сопротивление внешним усилиям, сообщающим его точкам поворотное
ускорение. Поэтому суммарные значения моментов инерционных
сил будут определяться интегралами
Мгу = 2-^- ΩωΛ | q3dq f sin2ado;
2π
Μ
ΓΖ — 2 — Ωω/ι J Q3dq i sin σcos ado,
(23)
(24)
' где R — радиус ротора.
Входящий в выражение (24) интеграл
2π 2π
I sin σ cos σ da = — sin2 σ
=-.0,
поэтому
Переписав выражение (23) в виде
R 2л
Мгу = 2^ΩωΛ | Q3dQ J -L(l — cos2a)da,
или
Г 2л
2π
Μ
гу= — ΩωΛ J q3dq f do— f cos2ada
о Lo о
31

найдем
2π 2π
-О,
j cos 2σ do = — sin 2σ
о
в соответствии с чем выражение (23) примет вид
R 2π
Мгу = -^- Ω ω/ζ J Q3dq [ do. (25)
о о
Проанализировав выражение (25), нетрудно заметить, что вхо-
Н 2л
дящий в него множитель —h\Q8dQ\da характеризует вели-
0 О
чину осевого момента инерции ротора.
В соответствии с определениями механики х момент инерции J
твердого тела относительно выбранной оси определяется
равенством
η
J = 2m,Qi = Шд2сГт;
ί = 1
в рассматриваемом случае, учитывая формулу (21),
η R 2л
J = Σ -у Δρ,ρ,Δσ,.Λρ? = -f h \ qs dQ \ do. (26)
i==l 0 0
Подставив (26) в выражение (25), найдем
Mry = JQa>. (27)
Равенство (27) показывает, что при сообщении ротору,
вращающемуся вокруг оси Ох с угловой скоростью Ω (рис. 19),
переносного движения вокруг оси Οζ с угловой скоростью ω инерция
его массы будет оказывать сопротивление внешним силам,
порождающим движение ротора с поворотным ускорением. Это
сопротивление будет проявляться в виде момента сил инерции Мгу,
получившего название момента гироскопической реакции, или
сокращенно гироскопического момента. Гироскопический момент,
действуя относительно оси Оу, как бы стремится повернуть
ротор так, чтобы по кратчайшему расстоянию совместить ось Ох
его собственного вращения с осью О ζ вынужденного поворота.
Из равенства (27) следует, что величина гироскопического
момента при одном и том же значении угловой скорости ω тем больше,
чем больше произведение /Ω, характеризующее момент количества
1 См.: Л. Г. Лойцянский и А. И. Лурье. Курс теоретической
механики. Т. II, ГИТТЛ, 1955, стр. 250.
32

движения ротора вокруг главной оси О А гироскопа. Эту величину
в прикладной теории гироскопа принято называть кинетическим
моментом.
Момент гироскопической реакции Мгу будет действовать на
опоры ротора, расположенные в стойках корпуса /СЯ, создавая
дополнительную нагрузку Q, определяемую в соответствии с
равенством (27) выражением
Q = ~ΊΓ = ~ΊΓ > (28)
где / — расстояние между опорами ротора.
Даже при малых размерах ротора, но достаточно большой
угловой скорости Ω его вращения вокруг оси Ох момент
гироскопической реакции может быть весьма значительным. При этом
воспринимаемые опорами нагрузки в результате действия
гироскопического момента становятся соизмеримыми с действующими на
опоры усилиями от веса ротора.
Пример 1. Определить значение момента инерции J относительно оси Ох
стального диска (рис. 19), размеры которого R — 30 мм; h = 20 мм.
Из формулы (26) следует
R 2л
о о
Подставим в полученное выражение значения входящих в него величин
и учтем, что удельный вес стали1 γ= 7,9 Гсм~3, а ускорение силы тяжести
gf = 981 смсек'2:
/ = 3,14-7ST-2-4r = 2,04 Гсмсек2.
Уо1 2
Пример 2. Определить усилия, воспринимаемые опорами ротора,
вращающегося вокруг оси Ох (рис. 19) со скоростью Ω при неподвижном в
пространстве положении корпуса КП и при вращении последнего вокруг оси Οζ со
скоростью 3 град./сек. Ротор весом G = ISO Г обладает осевым моментом инерции
J = 0,73 Гсмсек2 и вращается вокруг оси Ох с числом оборотов η = 30 000 в
минуту. Расстояние между опорами ротора 2/ = 30 мм.
Нагрузка, воспринимаемая каждой опорой при неподвижном положении
корпуса КП,
Нагрузка Q2, воспринимаемая опорами при вращении корпуса /(77 вокруг
оси Οζ, определяется равенством (28), в котором значения угловых скоростей Ω
и ω должны быть выражены в радианах в секунду:
η 2πη 2.3,14-30 000 0ίλη ,
п — — =3140 сек"1;
60 60
ω=——- = 0,052 сек"1.
ο/,ό
1 См. «Краткий справочник машиностроителя», Машгиз, 1950, стр. 162.
33

Таким образом, гироскопический момент в рассматриваемом случае
Мгу = /Ωω = 0,73-3140-0,052 = 119,2 Гсмсек*
и, следовательно, искомая нагрузка
Μ
ГУ
21
JQco
119,2
= 39,73 /\
Как видим, порождаемая гироскопическим моментом нагрузка составляет
более 44% от величины нагрузки Qlf создаваемой весом ротора. В некоторых
случаях величина нагрузки Q2 не только достигает, но и превышает значение Qv
Последнее обстоятельство вызывает необходимость в тщательной проверке
прочности деталей гироскопических устройств с учетом нагрузок, порождаемых
моментом гироскопической реакции.
§ 7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ГИРОСКОПИЧЕСКОЙ РЕАКЦИИ
В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ
Ротору, вращающемуся вокруг оси О А с некоторой угловой
скоростью Ω0 (рис. 20), может быть сообщен вынужденный поворот
с угловой скоростью ol>d вокруг любой оси OD, составляющей
с осью О А его собствен-
λ \ζ ного вращения
произвольный угол а. В этом
случае для определения
гироскопического момента Мг
спроектируем вектор ωυ
на ось Ох, совмещенную
с осью ОАу и на
перпендикулярную ей плоскость
yOz. Нетрудно заметить,
что сумма скоростей Ω0 и
ωΑ: = ω£> cos α определяет
угловую скорость Ω
собственного вращения ротора
вокруг оси О А:
Ω = Ω0 + ωη cos α.
Mr=JQ(JO
JQ=J(Q(
Рис. 20. К определению гироскопического
момента в общем случае.
Проекция вектора ωΩ на плоскость yOz будет определять
значение сообщаемой ротору переносной угловой скорости:
ω
(Or
\з0 sin α.
По аналогии с изложенным выше (§ 6, рис. 19) можем
утверждать, что и в данном случае инерция массы ротора, обладающего
осевым моментом инерции /, будет оказывать внешним усилиям,
порождающим его движение с поворотным ускорением,
соответствующее сопротивление, характеризуемое величиной момента
гироскопической реакции
Мг * JQ(u. (29)
34

Вектор Мг будет находиться в плоскости yOz и располагаться
перпендикулярно осям ОА и OD. Как видим, при сообщении
ротору угловых скоростей Ω вокруг оси ОА и ω вокруг какой-
либо другой оси ОЕ, перпендикулярной первой, возникает момент
гироскопической реакции Мг = /Ωω. Его вектор Мг
перпендикулярен векторам Ω и ω и направлен в сторону, откуда будет
казаться, что Ω совмещается с ω по кратчайшему расстоянию
против часовой стрелки.
Для уточнения
положения вектора Мг в плоскости
yOz обратимся к основной
формуле сферической
тригонометрии *
cos α = cos β cos γ +
+ sin β sin y cos μ, (30)
устанавливающей
зависимость между углами α, β, γ и
μ (рис. 21), образуемыми
тремя произвольно
проведенными из центра О осями О А,
ОВ и ОС.
Указанные оси пересека- Рис. [21.
ют сферическую поверхность
единичного радиуса
соответственно в точках Л, β и С, которые образуют на ней
сферический треугольник ABC. При этом перпендикуляры AD и АЕ>
опущенные из точки А на оси ОВ и ОС, образуют между собой
угол μ, характеризующий взаимное положение плоскостей ОАВ
и О АС.
По формуле (30) можно определить угол λ между
плоскостями хОЕ и хОу (см. рис. 20). Так, если известны углы α, β и γ,
составляемые осью OD с осями координат Oxyz, то из
сферического треугольника xDy будем иметь
cos β = cos α cos — + sin α sin — cos λ,
Углы сферического
треугольника.
откуда
cos λ =
— cos$
и, следовательно, искомый угол
λ = arc cos I
sin α
(31)
/ COS β \
\ sin α /
1 См.: М. К. В е н τ ц е л ь. Сферическая тригонометрия. Геодезиздат, 1948,
стр. 21.
35

Таковы значения углов, составляемых в плоскости yOz
векторами ω переносной скорости ротора и Мг гироскопического
момента с осями Оу и Ох соответственно.
Пример 3. Определить величину и направление момента
гироскопической реакции ротора, обладающего осевым моментом инерции J — 2,1 Гсмсекг
и вращающегося вокруг оси Ох (рис. 20) с угловой скоростью Ω0 = 3000 сек"1,
если одновременно ему сообщается вынужденное движение вокруг оси OD с
угловой скоростью сод = 0,15 сек"1. Ось OD составляет с осями координат Oxyz
углы α = 30°; β = 62°; γ = 80° 04'.
По соотношению (31) находим величину угла λ, составляемого плоскостями
xOD и хОу
«λβ_ί»1= мр_ 939.
sin α 0,5
откуда
λ = 20° 10'.
Под таким углом λ к осям Оу и Οζ будут находиться расположенные в
плоскости yOz векторы ω и Мг. Для определения величины последнего вычислим
проекции вектора (uq угловой скорости вынужденного поворота ротора на ось Ох
и на плоскость yOz:
ωλ = coD cos α = 0,15-0,866 = 0,13 сек"1;
®у = toD sin α = 0,15-0,5 = 0,075 сек"1.
По формуле (29) находим искомый момент гироскопической реакции:
Мг = J (Ω0 + ω,) ω = 2,1 (3000 + 0,13) 0,075 = 472,5 Гсм.
§ 8. ЗАКОН ПРЕЦЕССИИ
Рассмотрим случай движения гироскопа под действием
внешнего момента. Для лучшего уяснения причин, порождающих
это движение, воспользуемся лабораторной моделью гироскопа
(рис. 8).
Закрепив установленный на корпусе КП стопорный винт d
(рис. 22), лишим гироскоп возможности поворота вокруг оси ОС,
а затем сообщим его ротору вращение вокруг оси О А. После того
как угловая скорость Ω этого вращения достигнет достаточно
большого значения, начнем поворачивать корпус КП вокруг
оси ОС. Так как в этом случае вращение ротора вокруг оси ОС
невозможно, то он будет вынужден поворачиваться совместно
с корпусом КП вокруг оси ОС с угловой скоростью ωκ.
Если бы ротор имел свободу вращения только вокруг оси ОА,
то рассматриваемый случай явился бы повторением разобранного
ранее движения (см. § 6, рис. 19). Телу ротора в этом случае
сообщалось бы поворотное ускорение, в результате чего возник бы
момент гироскопической реакции. Но в данном случае гироскоп
обладает свободой вращения вокруг оси ОВ, которая в отличие от
гибкого ротора (см. рис. 17) ничем, кроме малых сил трения в
опорах, не ограничена. Поэтому материальные точки, составляющие
36

тело ротора, стремясь в силу инерции сохранить неизменным
направление своего движения (см. рис. 15), начнут отклоняться от
плоскости СОВ (рис. 22). В результате этого гироскоп будет
поворачиваться вокруг оси ОВ до тех пор, пока его главная ось О А
не совместится с осью ОС вынужденного поворота, т. е. до тех
пор, пока не совместятся векторы Ω и ωκ (рис. 23).
Разобранная выше схема движения материальной точки
(рис. 15) позволяет утверждать, что и в этом случае ротор будет
поворачиваться вокруг оси
ОВ в направлении, при
котором совмещение вектора Ω
угловой скорости
собственного вращения с вектором ωκ
угловой скорости
вынужденного поворота совершается по
кратчайшему расстоянию.
Поэтому вектор ω угловой
скорости ротора вокруг оси
ОВ должен, быть направлен
по перпендикуляру к обоим
векторам Ω и ωκ и притом в
ту сторону, откуда будет
казаться, что совмещение Ω с
\5
Направление
Spa сцения
корпуса КП
Рис. 22. Движение гироскопа при
вынужденном повороте.
ωκ происходит против
часовой стрелки (рис. 22).
В рассматриваемых
условиях поворот ротора вокруг
оси ОВ может быть
ликвидирован. Действительно, если
ограничить свободу
вращения гироскопа вокруг оси ОВ грузом Ρ (рис. 24), величину
которого подобрать так, чтобы создаваемый им на плече /
момент Р1 был равен по величине, но противоположен по
направлению моменту гироскопической реакции Мг = /Ωωκ, то
инерция массы ротора будет преодолена. Следовательно, гироскоп
будет вынужден вращаться одновременно вокруг двух осей ОА
и ОС, перемещаясь ρ этом случае (см. § 6) с поворотным
ускорением. При этом в течение всего времени опыта главная ось О А
будет оставаться перпендикулярной оси ОС.
Как видим, для преодоления сопротивления сил инерции,
возникающих при сообщении ротору гироскопа одновременного
вращения вокруг двух осей О А и ОС, необходимо чтобы на гироскоп
действовала внешняя сила Р, создающая относительно оси ОВ
момент Р1 = /Ωωκ. Только при соблюдении последнего условия
одновременное вращение ротора вокруг оси ОА с угловой
скоростью Ω и совместно с корпусом КП вокруг оси ОС с угловой
37

Винт d
Зажат
К*
ρ Рис. 23. Совмещение глав-
Напраолвнае ной оси гироскопа с осью
брсацения его 'вынужденного пово-
корпуса К Π ~ рота.
Рис. 24. Движение
гироскопа при равенстве
внешнего и гироскопического
моментов.
Вант d
Направление
^/'вращения
^ корпуса КР
38

скоростью ωκ не будет вызывать поворота ротора вокруг оси ОВ.
Естественно, что при этом угловая скорость ω будет равна нулю.
Освободим теперь винт d и обеспечим свободу вращения
гироскопа вокруг оси ОС по отношению к корпусу КП. Очевидно,
что с этого мгновения гироскоп уже не будет участвовать во
вращении корпуса Д77, какую бы угловую скорость ωκ ему ни
сообщали. Поэтому остановим корпус К Π и рассмотрим характер
движения гироскопа, обладающего свободой вращения вокруг осей
О А, ОВ и ОС под действием
внешнего момента Μ =
- PL
Момент PI сразу же
вызовет движение
гироскопа вокруг оси ОВ с
ускорением ωΜ (рис. 25).
Тем самым ротор
гироскопа будет приведен во
вращение одновременно
вокруг осей О А и ОВ.
Поворачиваясь вокруг этих осей
с угловыми скоростями Ω
и ωΜ, гироскоп будет
вынужден двигаться с
поворотным ускорением (см.
§ 6). При этом его масса,
стремясь сохранить
движение в прежнем
направлении, начнет
поворачиваться вокруг оси ОС,
относительно которой внешние силы не создают каких-либо моментов
и поэтому не могут преодолеть возникающих сил инерции. В
результате по аналогии с изложенным выше (см. рис. 22) главная
ось ОА гироскопа, по которой направлен вектор Ω угловой
скорости собственного вращения, будет стремиться совместиться с
вектором ωΜ оынужденного поворота. Однако конструкция карданова
подвеса воспрепятствует такому совмещению. Поэтому в
рассматриваемом случае все элементы гироскопа получат вращение вокруг
оси ОС с некоторой угловой скоростью ωπ. Чем больше
ускорение ωΜ, сообщаемое гироскопу внешним моментом Р1, тем с
большей интенсивностью будет возрастать угловая скорость ωΜ его
вынужденного поворота. При этом чем больше ωΜ, тем больше
сообщаемое гироскопу поворотное ускорение и, следовательно,
тем больше угловая скорость ωπ поворота гироскопа вокруг
оси ОС. Таким образом, чем больше ускорение ωΜ, тем интенсив·
нее возрастает угловая скорость ωπ и порождаемый ею
гироскопический момент Мг = /Ωωπ. Величина последнего весьма быстро
fiopnucrtfl
неподшжен
Прецессия гироскопа.
39

уравновесит внешний момент Μ = PI, в связи с чем поворот
гироскопа вокруг оси ОВ прекратится и останется лишь его
систематическое движение вокруг оси ОС, сопровождаемое, как
увидим в дальнейшем, малыми колебаниями. Условие равенства
внешнего Μ и гироскопического Мг моментов позволяет
определить величину угловой скорости ωπ так называемого
прецессионного движения гироскопа, которое в данном случае происходит
вокруг наружной оси ОС:
ωπ = 7Ω =73· (32)
Полученное уравнение выражает закон прецессионного
движения, или сокращенно прецессии гироскопа, являющийся
основным в элементарной теории гироскопических явлений.
Уравнение (32) и схема, приведенная на рис. 25, позволяют составить
первое, приближенное суждение о характере движения
гироскопа.
Пользуясь этой схемой, нетрудно заметить, что при действии
на гироскоп, обладающий собственным вращением, внешних сил,
создающих момент относительно одной из его осей подвеса ОВ
или ОС, возникает прецессионное движение вокруг второй оси
подвеса, т. е. соответственно вокруг оси ОС или ОВ. Если
действующие на гироскоп внешние силы создают моменты относительно
обеих осей подвеса ОВ и ОС, то, как это будет показано ниже,
прецессия гироскопа будет происходить в этом случае
одновременно вокруг двух осей: ОС и ОВ. Рассуждая по аналогии с
изложенным в § 7, представляется возможным установить простое
правило для определения направления прецессионного движения
гироскопа. Согласно этому правилу вектор ωπ угловой скорости
прецессии (рис. 25) направлен перпендикулярно векторам Ω
угловой скорости собственного вращения гироскопа и Μ момента
действующих на него внешних* сил. При этом, если наблюдать за
прецессионным движением гироскопа с конца вектора ωπ, будет
казаться, что оно происходит против часовой стрелки.
В свою очередь из формулы (32) вытекает, что угловая
скорость ωπ прецессионного движения гироскопа находится в
прямой зависимости от величины момента Μ внешних сил. С
увеличением или уменьшением момента Μ соответственно увеличивается
или уменьшается и угловая скорость ωπ прецессии. Если момент Μ
внешних сил становится равным нулю, то и угловая скорость ωπ
прецессионного движения принимает нулевое значение.
Следовательно, при отсутствии моментов внешних сил, действующих на
гироскоп, будет отсутствовать и его прецессия. Положение
гироскопа в этом случае будет оставаться практически неизменным,
или, как говорят, стабильным в пространстве.
40

Таким образом, устранив действие на гироскоп моментов
внешних сил, его корпусу можно будет сообщать движение с любыми
скоростями и ускорениями, не вызывая изменений положения
главной оси гироскопа в пространстве. Установим, например,
гироскоп так, чтобы в начальный момент времени его главная
ось ОА составляла с вертикалью 03Z угол Л, а наружная ось
подвеса ОС была с ней совмещена (рис. 26, а). Несмотря на
последующие наклоны корпуса КП и неразрывно связанной с ним
наружной оси подвеса ОС на тот или иной угол β от вертикали
Рис. 26. Стабилизация направления главной оси гироскопа в
пространстве.
03Zy главная ось ОА гироскопа будет сохранять свое
первоначальное направление стабильным в пространстве (рис. 26, б). Именно
это свойство гироскопа и получило широкое практическое
использование в разнообразных приборах и устройствах,
предназначенных для фиксирования на подвижных объектах заранее
заданного направления.
Пример 4. Определить величину угловой скорости прецессионного
движения гироскопа при воздействии на него внешних сил, создающих относительно
оси, перпендикулярной главной, момент Μ = 0,5 Гсм. Ротор гироскопа вращается
вокруг главной оси с числом оборотов я, равным 18 000 в минуту, и обладает
относительно ее осевым моментом инерции J — 4,38 Гсмсек2.
Вычислив угловую скорость собственного вращения гироскопа
0 2лп 2.3,14-18 000 1QQ. Q .
Ω = Ж = бо— ~ 1884'8 сек
41

и подставив в формулу (32) значения входящих в нее величин, найдем искомую
угловую скорость прецессии:
Μ 0,5
№ 4,38-1884,8
χ=0,6·10-4 сек-1,
или
соп -= 0,6· УО"*· 60-60-57,3 = 12,38 град./час

Глава II
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ГИРОСКОПА И ИХ АНАЛИЗ
§ 9. ОСНОВНАЯ КИНЕМАТИЧЕСКАЯ СХЕМА ПОДВЕСОВ
ГИРОСКОПА
Формула (32) основного закона прецессии лишь приближенно
описывает движение гироскопа, не отражая тех специфических
особенностей, которыми в
действительности оно
сопровождается. Поэтому
при более подробном
изучении поведения
гироскопа приходится
исследовать уравнения,
описывающие его движение с
учетом массы элементов
подвеса.
В современном
приборостроении наибольшее
распространение получила
схема подвеса гироскопа в
корпусе прибора с
помощью двух кардановых
колец (см. рис. 8).
Правда, в последние годы
находят все большее
применение такие подвесы
гироскопов, как
жидкостные, возДушные,
торсионные и т. п.
Гироскоп с жидкостным
подвесом [39, стр. 97] так-
же состоит из ротора Ρ
(рис. 27), свободно
вращающегося вокруг оси ОА -
внутри герметически запаянной шаровой камеры ВК. Сама
камера ВК подвешена в наружном кардановом кольце НК с
помощью керновых опор d, обеспечивающих свободу вращения
ротора Ρ совместно с камерой В К вокруг внутренней оси подвеса ОВ.
Наружное кольцо НК с помощью таких же двух керновых опор d
Рис. 27. Поплавковый гироскоп.
43

устанавливается в корпусе КП прибора, благодаря чему гироскоп
может свободно вращаться вокруг наружной оси подвеса ОС.
Для разгрузки керновых опор корпус КП заполняется
жидкостью, которая, занимая все свободное пространство между
его внутренней поверхностью и наружной поверхностью
камеры β/C, поддерживает гироскоп во взвешенном состоянии.
Удельную плотность поддерживающей жидкости подбирают
таким образом, чтобы вес
вытесняемого деталями
гироскопа объема жидкости был
равен весу этих деталей. Тем
самым воспринимаемую
опорами d нагрузку снижают
практически до нуля. В
описанном методе разгрузки опор
подвеса гироскопа и состоит
принципиальное различие
между жидкостным и
обычным кардановым подвесами.
Как видим, кинематические
схемы обоих подвесов
совершенно идентичны.
В практике
гироскопического приборостроения также
находят применение
гироскопы на шаровой опоре и
шаровые гироскопы на
воздушной опоре. Гироскоп на
шаровой опоре [8, стр. 216]
представляет собой ротор Ρ (рис.
28), свободно вращающийся
Рис. 28. Гироскоп на шаровом подвесе. вокруг главной оси ОА и
двух взаимно
перпендикулярных осей ОВ и ОС, расположенных в плоскости,
перпендикулярной оси ОА. Необходимая двухсторонняя удерживающая
связь между ротором Ρ и корпусом КП обеспечивается с помощью
опорной шайбы F, поджимаемой к шаровой опоре упругой
диафрагмой D. Как видим, шаровой подвес, так же, как и карданов,
обеспечивает свободу вращения ротора гироскопа в любом
направлении вокруг точки О его подвеса, остающейся
неподвижной по отношению к корпусу К Π прибора.
Основным элементом шарового гироскопа на воздушной опоре
[14, стр. 180] является ротор Р, выполненный в виде стального
шара (рис. 29), помещенного внутри статорной обмотки S
электрического двигателя, закрепленной на корпусе КП прибора.
Железо и обмотка статора 5 создают вращающееся
электромагнитное поле, которое приводит в движение ротор Ρ вокруг оси ОА.
44

При сообщении ротору Ρ вращения частицы воздуха,
соприкасающиеся с его поверхностью, благодаря возникновению
центробежных сил инерции начинают удаляться от оси вращения ротора.
В образовавшийся между поверхностями ротора и чашевидной
части корпуса КП вакуум из окружающего пространства через
центральное отверстие в
корпусе устремляется
воздух, как это показано на
схеме стрелками. Тем
самым между ротором Ρ и
чашей корпуса КП
образуется воздушная подушка
с избыточным давлением,
на которую и опирается
ротор. Нетрудно заметить,
что и в данной
конструкции подвеса гироскопа его
ротор может свободно
вращаться вокруг трех
взаимно-перпендикулярных
осей ОА, ОВ и ОС,
проходящих через точку О,
которая является
неподвижной точкой подвеса
гироскопа по отношению к его
корпусу.
Все схемы подвесов гироскопа должны обеспечивать свободу
вращения ротора вокруг точки подвеса гироскопа в
произвольном направлении. Это обеспечивается с помощью кардановых колец
и других специальных устройств. Законы движения гироскопа
целесообразно изучать по схеме карданова подвеса как наиболее
общей схеме. Получаемые при этом результаты анализа легко
могут быть распространены и на другие схемы подвеса гироскопа.
Для этого достаточно будет принять массы кардановых колец
равными ну>дю.
Рис. 29. Шаровой гироскоп на воздушном
подвесе.
§ 10. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ГИРОСКОПИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
Для составления уравнений движения гироскопа
воспользуемся вторым методом Лагранжа.1 Как известно, 2 уравнения
1 Для составления уравнений движения гироскопа может быть выбран любой
из известных в теоретической механике методов Эйлера, Даламбера, Якоби—
Остроградского и т. п.
2 См.: Л. Г. Лойцянский и А. И. Лурье. Курс теоретической
механики. Т. II, ГИТТЛ, 1955, стр. 372.
45

движения системы материальных тел должны быть записаны в
следующей форме:
at \dqj dqi г' \
at \ dq2 ) dq2 42> I (o3)
dt\dqn) dqn Чя'
где Т — кинетическая энергия рассматриваемой
системы материальных тел;
4ι> #2> · · ·> Чп — обобщенные координаты, определяющие
положение всех точек системы в
пространстве;
Qi> Q2» · · ·> Qn — обобщенные силы, действующие на систему;
η — количество обобщенных координат,
характеризующих число степеней свободы
рассматриваемой системы.
Рассматривая схему гироскопа в кардановом подвесе (рис. 30),
нетрудно заметить, что гироскоп представляет собой систему
нескольких тел. Для определения числа степеней свободы каждого
тела совместим с ротором Ρ координатную систему Oxpypzp так,
чтобы ее начало совпадало с точкой подвеса гироскопа, а ось Охр
была направлена по его главной оси О А. В свою очередь с
внутренним кардановым кольцом ВК совместим оси Oxyz таким образом,
чтобы их начало совпадало с точкой подвеса гироскопа, ось Ох
была направлена по его главной оси О А, а ось Оу — по внутренней
оси подвеса ОВ. При этом условии ось Ог будет направлена
перпендикулярно плоскости хОу и в общем случае составит с наружной
осью подвеса ОС угол Θ. Наконец, с корпусом прибора КП
совместим неподвижную в пространстве систему координат Οξ0η0ζ0
с началом в точке подвеса гироскопа, направив ось Οζ0 по его
наружной оси подвеса ОС. Из схемы видно, что степени свободы
гироскопа характеризуются изменениями во времени следующих
трех углов: Φ — угла поворота ротора Ρ вокруг оси ОА во
внутреннем кардановом кольце ВК, Θ — угла поворота внутреннего
кольца ВК совместно с ротором Ρ вокруг оси ОВ в наружном
кардановом кольце НК и Ψ — угла поворота всей
гироскопической системы вокруг оси ОС по отношению к корпусу прибора КП.
При вращении гироскопической системы вокруг осей ОА,
ОВ и ОС с угловыми скоростями соответственно Φ, Θ и Ψ ее
ротор будет вращаться вокруг оси Ох с угловой скоростью
46

Φ— Ψ sin θ, вокруг оси Оу с угловой скоростью Θ и вокруг оси Ог
с угловой скоростью Ψ cos Θ. В свою очередь внутреннее кар-
даново кольцо ВК будет вращаться вокруг осей Ох, Оу и Ог
с угловыми скоростями, равными соответственно —Ψ sin Θ.
Θ и Ψ cos Θ. Наконец наружное карданово кольцо НК будет
вращаться вокруг оси ОС
с угловой скоростью Ψ.
Таким образом, в
соответствии с
определениями механики х
кинетическая энергия
рассматриваемой гироскопической
системы равна
Τ = -γ [J (Φ-Ψ sin Θ)2+
r>2
4 J ft Z + J9V cos" Θ 4
+■ JBX Ψ sin2 Θ 4-/
ву"
4
Рис. 30. Векторы моментов внешних сил,
действующие на гироскоп в кардановом подвесе.
4/Β2Ψ2^2Θ4/ΗΨ2]>(34)
где / и /э — осевой и

экваториальный
моменты
инерции
ротора Р\
hx> Ί*Ψ Κ ζ — моменты
инерции
внутреннего карданова кольца ВК относительно
осей Ох, Оу, Ох соответственно;
Ун — момент инерции наружного карданова кольца НК
относительно наружной оси ОС подвеса гиро-
N скопа.
Вычислив частные производные от кинетической энергии Τ
гироскопа по обобщенным координатам Φ, Θ, Ψ и по их первым
производным Φ, Θ и Ψ, найдем
дТ
дФ
дТ
дв
0;
= — Jφψ cos θ 4- /Ψ2 sin Θ cos θ — /,Ψ2 cos θ sin θ +
НИКИ
См.: Л. Г. Лойцянский и А. И. Лурье. Курс теоретической меха-
Т. II, ГИТТЛ, 1955. стр. 186.
47

-f Ув ,Ψ2 sin θ cos Θ — /в г¥2 cos Θ sin Θ;
= 0;
дТ
όΨ
-ί? = /φ—/ψδίηθ;
дФ
дТ
дв
дТ
j3® + jbA
(35)
2Ц. = —/φsin © + JW sin2© + /9¥cos2© + /ΒΛΨ8ΐη2θ+
+ yBi¥cos2© + /Ht.
Подставляя найденные значения частных производных (35)
в уравнения Лагранжа (33) и учитывая, что обобщенные силы
Qi. Q2. · · ·. Qn ПРИ вращательном движении представляют
собой моменты внешних сил, действующих на тело относительно
осей, вокруг которых ему обеспечена свобода вращения, получим
-$f(JO> — /Ψ sin θ) = Мл;
at
(Jβ + JB β) — (—/Φψ cos θ + ^Ψ2 sin θ cos θ
■ /9Ψ2 cos © sin © + Ja *Ψ2 sin θ cos θ — JΒ ,ψ2 cos θ sin θ) = ΜΒ;
at
(—/Φ sin @ + JW sin2© + /9tcos2© + /BA.tsin2© +
+ JBZVcos*Q + JHW) = Mc,
где МА, Мв и Мс
моменты внешних сил, действующих на
гироскопическую систему относительно осей
О А, ОВ .и ОС.
После простейших преобразований запишем полученные
уравнения в виде
/А(ф_*8тв) = уил;
U» + ^вг,) Θ + / (Ф — ¥sin Θ) Ψ cos© +
+ (Λ + Кг -hx) Ψ2 sin ©cos© - ΜΒ·
Un + (К + /B2)cos2© + JBXsin2©] Ψ — /(Φ — Ψ sin©)©cos© —
— .A sin θ-^-(Φ — Ψβΐη©) —
— 2 (У
9 Τ *ъг
■JbX)№s\n@cos® = Мс
48

или в соответствии с первым уравнением рассматриваемой
системы
(^э + -^ „) θ + ■/ (Φ — Ψ sin Θ) Ψ cos Θ +
+ (J3 + JB2-JBX)'¥2smecose==MB]
[Jη + (J* + J* z) cos2 Θ + JB x sin2 θ] Ψ -
— J (Φ— Ψ sin Θ) Θ cos Θ — ΜΑ sin Θ—
— 2(J9 + JBZ — JBX)ei¥sme<:ose = Mc.
Анализируя полученную систему уравнений, представляется
возможным выяснить поведение гироскопа в зависимости от
характера изменений во времени моментов Λϊ4, ΜΒ и Мс
действующих на него внешних сил. Однако необходимо иметь в виду, что
наличие в уравнениях нелинейных членов не позволяет решить
систему (36) в общем виде. Поэтому при ее исследовании
приходится обращаться к приближенным методам анализа.
§ 11. УПРОЩЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ
ГИРОСКОПИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
В системе уравнений (36) значения углов Θ и Ψ,
характеризующих повороты гироскопа вокруг его внутренней ОВ и
наружной ОС осей подвеса (см. рис. 30), могут принимать любые
значения. В то же время их изменения с течением времени вследствие
большой инертности гироскопа (см. § 8) происходят весьма
медленно. Поэтому условимся в дальнейшем изменения углов Θ и Ψ
рассматривать как малые приращения Φ и ψ к некоторым
постоянным значениям Ф0 и ψ0:
Θ = ϋ0 + φ; Ψ - ψ0 + ψ. (37)
Подставим значения Θ и Ψ из (37) в уравнения (36) и учтем,
что Ф0 = const, ψ0 = const, а угол Φ весьма мал. Поэтому, заменяя
cos Φ ^ 1, sin Φ ^s Φ, будем иметь
J -^(Ф — ψ sin ^0 — flipcosflo) - МА\
(Ja + J в у) # + J (Φ — Ψ sin Φ0 — *ψ cos fl0) ψ cos Φ0 —
— У (Φ — ψ sin Φ0 — ^ψ cos ΰ·0) ύ"ψ sin Φ0 -f
+ (J э + J в г — К χ) Ψ2 (Sin Φ0 COS *0 + * COS2 *0 -
— ϋ sin2 *0 — ϋ2 sin *0 cos Φ0) = MB\
49
(36)

ΙΛ + (Js + Jл г) COS2 #0 + Ув x Sin2 *0] ψ -
- 2 (У9 + ^вг - УВ*) *Ψ Sin *0COS*0 + [(Уэ + JB2) Sin2 θ0 |-
+ Ув x cos2 θ0] *2'ψ — У (Φ — ψ sin *0 — *i|?cos fl0) fl cos θ0 -f
+ </ (Φ — ψ sin θ0 — *ψ cos θ0) #θ sin *0 — ΜΑ (sin *0 + θ cos %) —
-2(/э + /В2-/вх)Оф(8т*0со5*0 + *со52О0 —
— θ sin2 θ0 — θ2 sin θ0 cos θ0) = 7ИС.
Вследствие малости угла θ
θ2 sin θ0 cos θ0 < sin θ0 cos θ0;
θ2 [(У9 + J, ζ) sin2 *0 + JB х cos2 00] « (У, + Ув 2) cos2 θ0 + Л χ sin2 00.
Опуская эти малые величины и вводя обозначения постоянных
** э Т~ У в # = ^ Б> I
Ун + (Л + Ув г) c°s2 θ0 + Ув д; sin2 θ0 = Ус; (38)
^э + ^вг ** в χ = J D> J
перепишем исследуемую систему уравнений в следующем виде:
У-^-(Ф — Ψ5ίηθ0 — d^cos^o)- MA\
Jβϋ1 -J- У (Φ — ψ sin θ0 — θψ cos θ0) ψ cos θ0 —
— У (Φ — ψ sin θ0 — θψ cos θ0) θψ sin ϋ0 +
+ yDiJ52 (sin θ0 cos θ0 + θ cos 2θ0) - Μβ;
ycij) — 2Ул0'ф sin O0cos θ0 — У (Φ — ψ s'n θ0 —
— θψ cos θ0) Ο cos г\ + У (Φ — ψ sin θ0 — θψ cos θ0) Μ sin θ0 —
— ΜΑ (sin θ0 + θ cos ϋ'0) — 2yDoij) (sin θ0 cos θ0 +
+ θ cos 2θ0) = Λί c.
Члены полученной системы уравнений имеют различный
порядок малости. Необходимо заметить, что при практическом
использовании гироскопа его ротору в большинстве приборов
стремятся сообщить максимально возможную угловую скорость
собственного вращения. Так, в современных гироскопических
приборах число оборотов ротора доводят до нескольких десятков
тысяч в минуту. При этом угловая скорость Φ достигает
нескольких тысяч радиан в секунду. В то же время угловые скорости θ
и ψ вращения гироскопа вокруг осей ОВ и ОС его подвеса
измеряются величинами, не превышающими одного радиана в секунду.
50

Указанное различие между угловыми скоростями Φ и Φ (или ψ)
приводит к тому, что в полученных уравнениях члены, содержащие
произведения или квадраты скоростей θ и ψ, а также
произведения угла θ на эти скорости или их производные, являются
величинами более высокого порядка малости по сравнению с
остальными. Таким образом, в рассматриваемых уравнениях можно
выделить главные члены, оказывающие основное влияние на
характер движения гироскопа, и второстепенные, —
обусловливающие малые отклонения от основного движения. Следуя
методике А. Н. Крылова,1 в левых частях уравнений сгруппируем
главные члены, а в правые перенесем величины более высокого
порядка малости. В результате
j**--MA = J-±-& sin θ0 + «φcos#0);
/βθ + /Φψ cos θ0 — ΜΒ = J (ψ sin θ0 + θϊ|) cos θ0) ψ cos θ0 +
+ J (Φ — ψ sin ft0 — θψ cos θ0) θψ sin θ0 —
— </βψ2 (sin O0cos θ0 + θ cos 2θ0);
Jcty — /Φθ cos θ0 — Μ Α (sin θ0 + θ cos θ0) — Mc =
= 2/^θψ sin θ0 cos θ0 — У (ψ sin θ0 + Φψ cos θ0) θ cos θ0 —
— J (Φ — ψ sin ft0 — discos θα) θθ sin θ0 +
-4- 2/^θψ (sin d0cos θ0 + θ cos 2θ0).
Если в (39) опустить малые члены, составляющие правые части
уравнений, то получаемая в результате упрощенная система
УФ = МЛ;
Jb®-t ^Φψ cos *0 = Мв\
Усф — /<М cos θ0 — 7ИЛ (sin θ0 + θ cos θ0) — Aic
(39)
(40)
будет описывать движение гироскопа в первом приближении.
Нетрудно заметить, что первое уравнение системы (40)
УФ-МЛ, (41)
описывающее вращение ротора вокруг главной оси ОА (см. рис. 30)
или собственное вращение гироскопа, может быть исследовано
1 См.: А. Н. Крылов. Лекции о приближенных вычислениях. ГИТТЛ,
1954, стр. 254.
51

самостоятельно, независимо от двух других уравнении
/βθ + /Φψ cos d0 - ΜΒ\ 1
Jcyp — УФ4 cos θ0 — ΜΛ (sin θ0 + θ cos θ0) = Aic, J
(42)
описывающих движение гироскопа вокруг осей ОВ и ОС его
подвеса.
§ 12. ИССЛЕДОВАНИЕ В ПЕРВОМ ПРИБЛИЖЕНИИ УРАВНЕНИЯ
ДВИЖЕНИЯ РОТОРА ВОКРУГ ГЛАВНОЙ ОСИ ГИРОСКОПА
Ротор гироскопа приводится во вращение вокруг оси ОА
(см. рис. 30) специальными двигателями — гиромоторами,
которые за счет подводимой к ним извне энергии развивают
необходимый вращающий момент MD. При движении ротора возникают
. . о моменты сил сопротивле-
Ф/хк' М,Гсм ния —момент ΜΎ А сил тре-
& ния в опорах главной оси
гироскопа и момент Ма
сил сопротивления
окружающей среды,
оказывающий основное влияние на
потребляемую гиромото-
ром мощность.
Суммарный момент сил
сопротивления
М8 = МтА+Ма (43)
создает противодействие
вращающему моменту MD
и поэтому уравнение (41)
может быть переписано в
следующем виде:
j<b = MA = MD-Ms.(U)
До тех пор, пока MD > Ms9 число оборотов ротора растет.
При этом с увеличением угловой скорости Φ возрастает и момент Ма
сил сопротивления окружающей ротор среды. В соответствии с
равенством (43) вместе с Ма будет расти и величина момента М8,
в результате чего МА, равный разности MD — Ms, а
следовательно, и ускорение Φ начнут уменьшаться. На рис. 31 приведен
график изменений моментов Ms и МА и угловой скорости Φ с
течением времени, на котором моменты MD и ΜτΑ приняты
постоянными.
По прошествии некоторого времени tp, называемого обычно
временем разгона ротора гироскопа, величина момента Ms сил
01
■Рис. 31. Кривые изменения Ф, Ms и М.А при
разгоне ротора.
52

сопротивления достигнет значения вращающего момента MD.
Суммарный момент МА станет равным нулю:
MA = MD-Ms = 0, (45)
и ускоренное вращение ротора прекратится.
Наступит установившийся режим работы гиромотора, и
уравнение (44) примет вид
/Ф = 0.
Следовательно, угловая скорость Φ вращения ротора,
достигнув некоторого значения Ω, будет оставаться в дальнейшем
постоянной:
φ = Ω = const. (46)
Последнее условие выполняется до тех пор, пока внешние
силы, действующие на гироскоп относительно его главной оси,
не нарушат равенства моментов MD и Ms. Необходимо заметить
что в современных гироскопических приборах угловая скорость Φ
поддерживается постоянной с помощью специальных
регулирующих устройств, обеспечивающих соблюдение условия (46) с
достаточной для практики точностью.
§ 13. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ
ГИРОСКОПА
При постоянной угловой скорости Φ собственного вращения
гироскопа, когда момент МА внешних сил, действующих на
гироскоп относительно его главной оси, равен нулю, система (42)
принимает вид двух совокупных линейных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами
COS 00 —
интегрирование которых не вызывает затруднений.
Для определения характера изменения с течением времени
значений углов Φ и ψ поворота гироскопа вокруг его
внутренней ОВ и наружной ОС осей подвеса (рис. 30) достаточно найти
характеристическое уравнение системы и вычислить его корни.
В наиболее общем случае корни характеристического уравнения
могут быть вещественными и комплексными сопряжениями ρ = а\
ρ = Ъ ± ш. Если все корни рассматриваемого
характеристического уравнения различны между собой, то решения исследуемых
дифференциальных уравнений (47) будут иметь вид
Dxe{b+ni)t + D/b~ni)t + С/' + ...
(47)
53

или, учитывая преобразования Эйлера,1
ebt {Cx cos nt + C2 sin nt) + C3eai + ...
(48)
Проанализировав (48), нетрудно заметить, что характер
изменения рассматриваемых величин во времени будет определяться
значениями корней характеристического уравнения. Так, в
зависимости от значения вещественного корня а изменения во времени
Cse
at
ν
at
atO
a=0
Рис. 32. Виды решения, соответствующие"вещественному корню.
углов θ и ψ будут характеризоваться кривыми, приведенными
на рис. 32. А значения вещественной части Ь и коэффициента η
при мнимой части ni двух комплексных сопряженных корней
будут обусловливать различный колебательный характер
изменения рассматриваемых величин (рис. 33).
eH(Ctcos nt+C7sinnt)
k
eH(Ctcosnt+C7SLnni)
-О
?8t(C, cos nt+C? stint)
Рис. 33. Виды решения,соответствующие паре комплексно-сопряженных корней.
Гироскоп устойчиво стабилизирует заданное ему в
пространстве направление только в том случае, если в общем решении (48)
все слагаемые будут с течением времени затухать. Последнее
условие имеет место, если все вещественные корни и вещественные
части всех комплексных корней характеристического уравнения
будут отрицательными. Особое внимание должно быть уделено
кратным и равным корням. Если среди корней
характеристического уравнения какой-либо корень р1 = а будет иметь
кратность к, т. е. будет существовать еще и корень р2 = ka, то ему,
1 См.: В. И. Смирнов. Курс высшей математики. Т. II, Гостехиздат,
1948, стр. 411,
54

как известно,1 будут соответствовать следующие k решений:
Cxeat + C2teat -f C3t2eat + \- Ckt^-^eat.
С течением времени коэффициенты C2t, C3t2, . . ., Ckttk-{)
неограниченно возрастают, в то время как множитель eat при
а < О стремится к нулю. Поэтому для выявления характера
изменения во времени углов θ с ^ t
и ψ поворота гироскопа г
вокруг осей его подвеса
необходимо более подробно
исследовать
рассматриваемый многочлен.
При наличии равных
корней
характеристического уравнения рг=р2=
= а решение
дифференциального уравнения при- q
нимает вид
Рис. 34. Вид решения, соответствующий
Cxeat + C2teat двум равным корням.
и, следовательно, при а = 0 в решении будут появляться члены
вида Сг + C2t, из которых второй характеризует непрерывное
с течением времени увеличение исследуемого параметра (рис. 34).
Анализируя указанным образом систему уравнений (47),
представляется возможным выявить в первом приближении
характер движения гироскопа около точки его подвеса.
§ 14. ДВИЖЕНИЕ ГИРОСКОПА ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ НА НЕГО
МОМЕНТА МГНОВЕННЫХ ВНЕШНИХ СИЛ
(ПЕРВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ)
Рассмотрим, какое влияние оказывает на изменение
первоначального положения гироскопа ударная нагрузка. Предположим,
что на гироскоп, точка подвеса которого совмещена с началом О
неподвижной в пространстве координатной системы Ος0η0ζ0
(рис. 35). подействовал момент мгновенных сил. Будем также
полагать, что при ударе главная ось гироскопа была расположена
в плоскости ξ00ζ<) по направлению ОЛ0, составляющему угол θ0
с осью Οξ0, а его наружная ось подвеса ОС была совмещена
с осью Οζ0. При таком начальном расположении гироскопа углы ψ
и θ будут характеризовать отклонения главной оси ОА гироскопа
соответственно от плоскостей ζ0Οζ0 и ξ0Οη0·
Как известно, 2 за бесконечно малое время действия момента
1 См.: В. И. Смирнов. Курс высшей математики. Т. II, Гостехиздат,
1948, стр. 91—99.
2 См.: Л. Г. Л о й ц я н с к и й и А. И. Л у ρ ь е. Курс теоретической меха
ники. Т. II, ГИТТЛ, 1955, стр. 124.
55

мгновенных внешних сил координаты любых точек
рассматриваемой материальной системы остаются неизменными, а изменяются
лишь скорости их движения. Поэтому начальные условия
исследуемого движения гироскопа будут определяться зависимостями
О(0) = 0; Ψ(0) = 0; Ь (0) = θΗ; φ (0) = фн.
(49)
После того, как прекратится действие мгновенных сил, моменты
внешних сил становятся равными нулю и система
дифференциальных уравнений (47), описывающих движение гироскопа,
принимает вид
/βίΜ /Q\|)cos*0 = 0;
/сф—/Qflcosfl^O.
(50)
Перепишем уравнения (50)
в символической форме
/sp2O+/QcosO0pi|)=0;
Λ:Ρ"Ψ—/QcosO0pO=0.
(51)
Здесь символом ρ
обозначен знак дифференцирования
функции по независимой
переменной /, т. е.
А. - AL - 2· ά% =
at ~ pf dt* ~~ р '> dt* ~
Рис. 35. Ориентация гироскопа в
неподвижной системе координат.
= Р3;·
dn
at
τ = Ρη·
Характеристическое уравнение системы дифференциальных
уравнений (51) может быть записано в виде определителя
JBp2, J Ω cos θ0ρ
—/QcosO0p, Jcp2
= 0,
раскрывая который, находим
/2Ω2 cos2 ft0 2
JbJc P
0.
(52)
Корни полученного уравнения
ph2 = ± ni; p3 -= p4 - 0,
56

где
η = JQr^* . (53)
В соответствии с найденными значениями корней
характеристического уравнения (52) решение для одной из рассматриваемых
величин, например для угла θ, запишется в виде
θ = d cos nt + C2 sin nt + C3 + Dt. (54)
Чтобы найти выражение для второго угла ψ, воспользуемся
зависимостью между величинами θ и ψ, вытекающей из первого
уравнения системы (51):
или в обычной форме записи
ψ = — ,JB % fl.
Ύ /Ω cos π0
Находя θ из выражения (54), получаем
ψ =-" JQc^0 (Cl cos πί + C* sin "')'
откуда после интегрирования, учитывая обозначение (53), находим
выражение для искомого угла:
ψ = Y^f- (Сг sin nt — С2 cos n/) + C4. (55)
Проанализировав решения (54) и (55), нетрудно убедиться
в том, что постоянная интегрирования D при любых начальных
условиях движения гироскопа равна нулю. Для этого обратимся
к системе (51) и из каждого ее уравнения определим зависимость ψ
от θ. После дифференцирования первого уравнения этой системы
получим
^ γ /Ω cos Φο
а из ее второго уравнения находим
о , JQ COS θ0 α
Ρ*Ψ =:—j^- Ρ<>.
Приравняв правые части полученных выражений
JQ cos 00 J с
57

найдем дифференциальное уравнение, которое запишем в обычной
форме:
^ JbJc
(56)
Очевидно, что уравнению (56) должно удовлетворять
полученное выше решение (54). Подставляя на этом основании в (56)
значения θ и θ из выражения (54).и учитывая (53), получим
п3 (Сг sin nt — С2 cos nt) + η2 (—пСг sin nt + яС2 cos nt -j- D) = 0,
откуда следует, что n2D = 0.
Но так как η2 =j= 0, то при любых начальных условиях
движения гироскопа D = 0. Таким образом, решение системы
дифференциальных уравнений (50) принимает вид
О — С1 cos nt + С2 sin nt + С3;
ψ
/-'*
(57)
-ρ- (Cx sin nt — C2 cos nt) + C4.
Для определения постоянных интегрирования Сг, С2, С3,
С4 воспользуемся начальными условиями (49) исследуемого
движения гироскопа. В этом случае из выражений (57) и их первых
производных имеем
Сг + С^О; -У71
~7в~
-\- С4 = 0;
откуда, принимая во внимание (53), находим
JciH
(58)
Сг
С8 = -
JQ cos θ0 '
/Ω cosflv'
Тогда вместо (57) получим
с2 =
с4 =
VJbJc^«_.
JQr cos θ0 '
JbK
JQ cos θο
17 - ./Ω cos θ0 cos"r ^ У Ω cos % Sin ni ΛΪ cos θ0
•/с^н
^βθ„
ψ - JQ cos O0 Sm ηί /Ω cos θ0 C0S "Γ + JQ cos θ0
(59)
Из анализа выражений (59) следует, что гироскоп с тремя
степенями свободы при действии на него момента мгновенных
внешних сил начинает гармонически колебаться с круговой
частотой п, определяемой по формуле (53), и периодом
η
J Ω cos $Q
(60)
№

Именно в этих колебаниях, получивших название
нутационных, и проявляется специфический характер движения гироскопа
по инерции. В самом деле, если гироскоп не имеет собственного
вращения (Ω = 0), то уравнения (50) его движения принимают вид
JBft -= 0; Jcjp = 0.
Так как JB φ 0, Jc Φ 0, то О = 0 и ψ = 0, следовательно,
ϋ = const; ψ = const.
Как видим, при отсутствии собственного вращения гироскоп
ведет себя как обычное твердое тело. Под воздействием момента
мгновенных сил он начинает вращаться вокруг осей подвеса ОВ
и ОС с некоторыми начальными угловыми скоростями θΗ и ψΗ.
Указанное различие в характере движения гироскопа можно
показать весьма наглядно. Для этого выберем на главной оси О А
гироскопа произвольную точку Я (рис. 36), которую условимся в
дальнейшем называть полюсом гироскопа. В процессе перемещения
гироскопа относительно неподвижной в пространстве
координатной системы Οξ0η0ζ0 будем проектировать полюс Η на
неподвижную в пространстве плоскость Q, расположенную параллельно
координатной плоскости ζ0Οη0·
Совместим в начальный момент времени оси ОВ и ОС подвеса
гироскопа соответственно с осями Οη0 и Οζ0. При этом условии
оси координатной системы Oxyz, неизменно связанные с
внутренним кардановым кольцом (см. § 10, рис. 30), займут положение,
59

указанное на рис. 36. Оси Ох и Οξ0, а также Οζ и 0ζ0 составят
между собой угол θ0. Следовательно, при / = 0 полюс Η
гироскопа будет проектироваться на плоскость Q в точку О* ее
пересечения с осью Ох. При отклонениях гироскопа оси Oxyz будут
изменять свое положение относительно неподвижной системы
координат Οξ0η0ζ0 и проекция полюса Η начнет перемещаться
в плоскости Q, отклоняясь от точки О*. Так как положение
гироскопа в пространстве может изменяться лишь в результате его
поворота около точки подвеса О, то отклонения оси ОА
определятся углами Φ и ψ поворота гироскопа вокруг внутренней ОВ
и наружной ОС осей его подвеса соответственно.
Учитывая сказанное, проведем на плоскости Q параллельно
осям Οζ0 и Οη0 две координатные оси 0*Ф и 0*ψ и будем
откладывать на них величины углов θ и ψ. При малых углах поворота
прямоугольные координаты проекции полюса Η в системе 0*ΰ"ψ
будут с достаточным приближением характеризоваться
величинами самих углов θ и ψ.
Если момент мгновенных сил подействовал на гироскоп,
лишенный собственного вращения, то он, как было показано выше,
будет двигаться с постоянными угловыми скоростями Ьн и фп.
В результате проекция его полюса начнет удаляться от точки О*
по некоторой прямой О*/С, расположенной под углом μ к оси
абсцисс 0*ψ, величина которого определяется выражением
tg μ = —?— = -^- ·
С течением времени полюс Η будет все больше удаляться от
точки О*, показывая тем самым, что гироскоп, лишенный
собственного вращения, не может стабилизировать заданного ему
положения в пространстве: воздействие даже незначительного по величине
момента мгновенной силы вызывает непрерывное отклонение оси
гироскопа от первоначального положения, как и у обычного
твердого тела. Поэтому его нельзя назвать гироскопом в
общепринятом смысле этого слова.
Иная картина будет наблюдаться при воздействии момента
мгновенной силы на гироскоп, обладающий собственным
вращением. Ему и в этом случае будут сообщены некоторые начальные
угловые скорости Фн и ψΗ. И поэтому в первое мгновение проекция
его полюса Η начнет двигаться также вдоль прямой О*К· Но,
как только гироскоп, вращающийся вокруг своей главной оси,
начнет вращаться еще и вокруг осей подвеса ОВ и ОС, сразу же
возникнет гироскопический момент, который и обусловит
гармонические нутационные колебания гироскопа, описываемые
выражениями (59).
В процессе нутационных колебаний проекция полюса Η
гироскопа будет перемещаться в плоскости Q по сложной кривой эллип-
60

тического вида вокруг точки А/, координаты которой #* и ψ*
определяются последними членами выражений (59):
ft* = 1^к . ф* = ^#н .. Г6П
Угловая скорость Ω собственного вращения гироскопа, как
правило, в десятки тысяч раз больше угловых скоростей θΗ
и ψΗ его поворотов вокруг осей подвеса. Поэтому углы θ* и ψ*
отклонения оси ON, вокруг которой колеблется гироскоп, от
первоначального направления Οξ0 его главной оси О А, даже и при
довольно значительных величинах угла θ0, ничтожно малы. Также
малы и амплитуды
*.=l/
Л:Фн Υ , (VJbJc**
+
JQ cosfto/ \ ^Ω cos θο
ψα |/ \yQcos00/ """Uocosdo/ /Qcosd0
1ЛС
(JCUL + JE
,<E)
/Ω cos #o
Vjb
(JCft + JB
*2H)
(62)
нутационных колебаний, в то время как их круговая частота п,
определяемая по выражению (53), весьма велика.
Зависимость между амплитудами нутационных колебаний
определяется моментами инерции гироскопа относительно осей
его подвеса:
θα = л fie,
Ψα У J В '
В частном случае при Jв = Jc полюс Η гироскопа в процессе
его нутационных колебаний перемещается по окружности.
Представим себе, что момент мгновенной силы сообщил гироскопу
начальное движение лишь вокруг оси ОВ с угловой скоростью θΗ.
В этом случае при равенстве моментов инерции
J в == J с ~ J η
выражения (59) принимают вид
fl = Уп\. sin/if;
JQ cos θ0
Ψ = — /η α COS П/ + ,η Π \ .
Ύ J Ω cos θ0 ' /Ω cos θ0
Возводя каждое из зтих равенств в квадрат и суммируя
полученные выражения, находим уравнение траектории
ft2 , L JnK )*_( J„6H Υ
^ \ψ JQcosG0/ ""UQcosOo/ '
61

представляющей собой окружность, которую проекция полюса Η
гироскопа описывает на плоскости Q, перемещаясь вокруг точки N
с координатами θ* = 0; ψ* = п " .
J id COS XTq
В общем случае под действием момента мгновенной силы
гироскопу, вращающемуся вокруг оси О А с угловой скоростью Ω
(рис. 37), сообщаются начальные угловые скорости.Ьн и ψΗ
вращения вокруг осей ОВ и ОС
подвеса. Гироскоп,
который до этого обладал
моментом количества
движения /Ω только
относительно оси О А, получает
дополнительные моменты
количества движения /βθΗ
и /сфн относительно осей
ОВ и ОС соответственно.
Вектор суммарного
момента количества
движения _ I = /Ω + JBbH +
+ «/сФн направлен по оси
ON, положение которой
в системе координат
Οξ0η0ζ0 характеризуется
углами θ* и ψ*, определя-
Рис. 37. Положение вектора суммарного емыми выражениями (61).
момента количества движения при нутации Так как на гироскопи-
гироскопа. ческую систему внешние
силы не действуют, то в
соответствии с теоремой об изменении момента количества
движения * вектор L будет сохранять неизменное
положение в пространстве. В то же время материальное тело гироскопа,
двигаясь по инерции, совершает вокруг оси ON малые нутационные
колебания, которые происходят с большой частотой в
непосредственной близости от первоначального направления его главной
оси. Это обстоятельство отражает свойство свободного гироскопа
устойчиво сохранять заданное ему в пространстве положение.
Даже момент мгновенных сил, который обычному телу сообщает
движение с постоянной угловой скоростью, вызывает у гироскопа
малые нутационные колебания, происходящие вокруг оси ON,
отклоненной от первоначального положения главной оси гироскопа
на ничтожно малые углы. Это замечательное свойство гироскопа
широко используется во многих приборах и устройствах.
1 См.: Л. Г. Л о й ц я н с к и й и А. И. Л у ρ ь е. Курс теоретической
механики. Т. II, ГИТТЛ, 1955, стр. 141.
62

Пример 5. Определить амплитуды и период нутационных колебаний
гироскопа при действии на него момента мгновенной силы, сообщившей гироскопу
начальные угловые скорости движения вокруг осей ОВ и ОС его подвеса (рис. 36),
соответственно равные θΗ = 5 град./сек.; ψΗ = 12 град./сек. Определить также
величины углов отклонения оси, вокруг которой происходят нутационные
колебания гироскопа, от первоначального направления его главной оси. Гироскоп
обладает моментами инерции: J — 0,7 Гсмсек2; J в = 0,6 Гсмсек2; J с —
— 1,8 Гсмсек1 и вращается вокруг главной оси с числом оборотов пр, равным
30 000 в минуту. Начальный угол наклона главной оси гироскопа по отношению
к перпендикуляру к плоскости наружного карданова кольца θ0 = 5°.
Вычислим значения угловых скоростей собственного вращения гироскопа
и его начального движения вокруг осей подвеса:
п 2ш?р 2.3,14-30 000 01/Ш ,
Ω=-6δ£ = 60 = 3140 сек. ь
Он = g^ = 0.087 «ж·"1;
*н=5^" = 0,209 сек.-'
По формулам (53) и (60) вычислим круговую частоту η и период Τ
нутационных колебаний:
/QcosO0 0,7.3140-0,996 01ЛС ,
η = —г ° = —-—г = 2105 сек."1;
VJbJc Κθ.6-1,8
_ 2π 2-3,14 nnnQ
г==-7Г = ^То^ = 0'003сек·
Значения амплитуд нутационных колебаний определяются по
выражениям (62):
VJC (JC^l + JB®1) V 1,8 (1,8·0,2092 + 0,6·0,0872)
α ~ JQ cos θ0 0,7.3140-0,996
= 1,76-ΙΟ"4 рад.,
_ VJb{jc^I+Jb®1) __ /*0,6(1,8.0,2092 + 0,6.0,0872)
γα — ~
JQ cos00 0,7-3140.0,996
= 1,02-10-4 рад.,
или
θα= 1,76· 10"4·57,3·60 = 0,61 угл. мин.;
ψα= 1,02·10-4·57,3·60= 0,35 угл. мин.
Наконец по формулам (61) находим углы θ* и ψ* отклонения оси, вокруг
которой происходят нутационные колебания гироскопа, от первоначального
направления его главной оси:
θ. - JC% 1,8-0,209 172 10-'рзд·
0 УОстеО, 0,7-3140.0,996 ~ XJ* W рад"
*. - J*b« - 0.6-0,087 _ 9 38-10-' оал
ψ -Л2сО8д0- 0,7-3140.0,996 -2-3"·10 Ρ«-
63

Или
Ф* = -1,72-КГ4·57,3-60= —0,59 угл. мин.;
ψ* = 2,38-10-5·57,3·60 = 0,08 угл. мин.
§ 16. ДВИЖЕНИЕ ГИРОСКОПА ПРИ ДЕЙСТВИИ ПОСТОЯННОГО
МОМЕНТА ВНЕШНЕк/сИЛЫ (ПЕРВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ)
Предположим, что на гироскоп, обладающий тремя степенями
свободы, действует внешняя сила, создающая постоянные по
величине и направлению моменты относительно обеих осей подвеса
Мв = const; Mc = const. При этом условии система (47)
неоднородных дифференциальных уравнений будет иметь частные
решения
А Мс ih - МВ
^r ~ JQ cos t% ' Ψγ "" JQ cos #0 '
из которых следует
\brdt
МГ
JQ cos θ0
f ·, л * мв j. (63)
Учитывая решения (57) соответствующей системы однородных
дифференциальных уравнений (50) и выражения (63), получим
общие решения системы уравнений (47) для рассматриваемого
случая:
θ = C^osnt + С2 sin nt + С3— уй^0о t\
(64)
где величина п определяется по формуле (53).
Определим входящие в выражения (64) постоянные
интегрирования. Будем, как и ранее, полагать, что в начальный момент при
t = 0 главная ось О А гироскопа была совмещена с плоскостью
ξο^ζο (рис. 38) и составляла с осью Οξ0 угол θ0. При этом
условии Ь (0) == 0; ψ (0) = 0. Так как при t < 0 моменты внешних
сил на гироскоп не действовали, то его начальные угловые
скорости движения вокруг осей подвеса θ (0) = 0; ψ (0) = 0.
Для принятых начальных условий в соответствии с
выражениями (64) и их первыми производными имеем
*(0) = С1 + С, = 0; ψ(0) = -|/^ С2 + С,
0;
Ь(0) = пС2- inMc % =0; ψ(0) = У¥-^1 + ПсГ$-%=Ъ-
} ' 2 JQ cos θ0 'τν/ г /с * ' /Ω cos 00
64

Совместное решение полученных равенств определяет искомые
значения постоянных интегрирования, которые с учетом
принятого выше обозначения (53) будут равны:
г — jcMb г _ V JbJcmc .
Ul "* (JQcosflo)2 ' 2 (^cosfl0)2 '
Γ — jcMb
^3~ (J Ω cosOo)2
JBMc
(J Ω cos00)2
Рис. 38. Траектория перемещения полюса гироскопа, движущегося под влиянием
действия постоянного момента внешней силы.
Подставляя найденные значения Съ С2, С3 и С4 в
выражения (64), получаем
JcMb
θ- —
+
(/Ω cos θ0)2
JcMb
cos nt + ;r„ __„ vo sin ni
Air
ψ
(/Ω cos θ0)2
(/Ω cos θ0)2
(J Ω cos00)2
, JeMc
sin η/
/Ω cos θ0
(/Ω cos θ0)2
costti +
Λίβ
(./Ω cos θ0)2 ' JΩ cos θ0
ί.
(65)
Для выявления некоторых особенностей рассматриваемого
движения гироскопа спроектируем полюс Я гироскопа на пло-
65

скость Q (рис, 38). Так как главная ось ОА гироскопа &
начальный момент составляла с осью Οξ0 угол θ0, то очевидно, что
полюс Я в этот момент времени проектировался на плоскость Q
в точку О*.
Нетрудно показать, что под влиянием моментов внешних
сил Мв и Мс гироскоп в первое мгновение будет двигаться
ускоренно по направлениям их действия, как и обычное твердое тело.
Дважды дифференцируя выражения (63), находим
ХТ~П (JQ cos θ0)2 S (JQ cos θ0)2 Sin m>
Φ - "2 nl^^l sin/if + η» tJB^\ ,2 cosnf.
Y (JQcosOq)2 (JQcosuo)2
Из полученных равенств в соответствии с зависимостью (53)
следует, что при t = О гироскоп обладал ускорениями
w (J Q cos00)2 </# '
ΨΜ Д (JQcosOo)2 Jc
Но при повороте гироскопа, обладающего собственным
вращением (Ω =f= 0), вокруг его осей подвеса сразу же возникнут моменты
гироскопической реакции, которые и обусловят появление
нутационных колебаний. В результате проекция полюса Я гироскопа
начнет перемещаться на плоскости Q по некоторой кривой вокруг
центра N. Координаты центра N в начальный момент времени будут
определяться третьими членами выражений (65):
О* (0) = JcMb · ih* (0) =■- JbMc .
π {υ) (./QcosGo)2 ' W {) (JQcos$0)*
Если предположить, что в течение времени, близкого к
начальному, положение центра N остается на плоскости Q неизменным,
то проекция точки Я будет перемещаться вокруг этого центра по
эллипсу, как это имело место при воздействии на гироскоп момента
мгновенной силы (см. рис. 36). Значения полуосей такого эллипса
в рассматриваемом случае движения гироскопа определяются
коэффициентами при тригонометрических членах выражений (65):
α ι Л JcMB |2 Г У7^мГ\*_ VWcMl + jbmc) .
πα у [ (JQ cos θ0)2 J + L (JQ cos θ0)2 J ~ (JQ cos θ0)2
}(66)
lb _ л/\УТв~ГсМвЛ\\ JBMC I2 Vjb{Jcm2b+JbM2c)
Ψα "" У L («Ώ cos θ0)2 J "*" L («/Ω cos θ0)2 J ~~ (JQ cos θ0)2
66

Однако в действительности положение центра N на
плоскости Q не остается неизменным. Последние члены выражений (65)
показывают, что его положение на плоскости Q непрерывно
изменяется, так как углы θ* и ψ* непрерывно растут по закону
л,* _ JcMB Mct . * _ JBMQ , MBt
Ψ ~ Л/О ллсА^2 +
(JQcosOo)2 JQcos00 ' Ψ (JQcosOo)2 «Ώ cos θ0 '
Нетрудно заметить, что центр N удаляется от начала О*
координат 0*θψ, двигаясь одновременно вдоль положительного
направления оси 0*ψ и отрицательного — оси 0*O\ При этом
скорости перемещения проекции полюса Я гироскопа будут
определяться коэффициентами при переменном t в последних членах
выражений (65):
О* - М£ · ih* - Мв . (67)
и "~ JQcos$0> ψ ~~JQcosO0 у ч
Так как при постоянных значениях Мв и Мс коэффициенты
при t в выражениях (65) остаются постоянными, то в пределах
малых углов θ и ψ центр N практически будет перемещаться
по некоторой прямой линии ΝΜ. В результате этого проекция
полюса Я гироскопа будет описывать на плоскости Q сложную
кривую.
Для подтверждения сказанного вновь обратимся к
выражениям (65). Будем полагать, что моменты инерции гироскопической
системы JB и J с относительно осей ОБ и ОС ее подвеса равны
между собой: Jв = Jc = Jn и что действующие на гироскоп
постоянные внешние силы создают момент только относительно
оси ОВ, т. е. будем считать Мс = 0. При указанных
предположениях выражения (65) принимают вид
J"Mb cos nt · J"M* — .
(JQcosOo)2 (JQcosOo)2 '
ΛιΜβ . j. , мв ,
Ψ = ,τγλ α 42 SHI Πί + -JrZ ^-o- t.
Возводя последние равенства в квадрат, а затем складывая
их, получим уравнение
Га — JuMb 12α- [\н ^в Л 2_ Г JnMB 12 -оч
L (JQcosOo)2 J "^ [_ψ /Ω cos Go J ~" L (JΩ cos θ0)2 J ' V ;
которое и позволяет составить суждение о траектории движения
проекции полюса Я гироскопа на плоскости Q.
Как было показано выше (см. § 14), мелкие нутационные
колебания гироскопа происходят с частотой п, весьма большой по
сравнению с угловыми скоростями θ* и ψ* его прецессионного
движения, определяемыми по выражениям (67). Поэтому, фиксируя
67

какое-либо время i = τ, можно для t, близкого к t,
рассматривать (68) как уравнение окружности. Радиус этой окружности
и смещение ее центра N относительно начала О* координатной
системы 0*θψ в начальный момент времени будут определяться
в данном случае величиной угла θ* (0) = п в 2 .
\J ύύ COS Xjq)
В то же время слагаемое j=—^-к- t уравнения (68) показы-
J й£ COS Xjq
вает, что центр N исследуемой окружности не остается на
плоскости Q неподвижным, а непрерывно отклоняется от точки О*,
обусловливая тем самым перемещение проекции полюса Я
гироскопа на плоскости Q по сложной траектории.
Пример 6. Определить угловые скорости прецессионного движения
гироскопа и амплитуды его нутационных колебаний при действии на гироскоп
с тремя степенями свободы постоянных моментов внешних сил Μ в — 2,5 Гсм,
Мс = 3,2 Гсм. Гироскоп обладает моментами инерции J — 2,1 Гсмсек2, J в =
= 1,7 Гсмсек2, J с — 3,4 Гсмсек2. Ротор вращается вокруг главной оси гироскопа
с угловой скоростью Ω = 2900 сек"1. В начальный момент времени главная ось
составляет с осью Οξ0 угол θ0 = 10°.
Из зависимостей (67) находим значения угловых скоростей прецессионного
движения гироскопа:
А*_ _._Мс 3,2
/QcosOq 2,1-2900.0,985
= —5,3. ΙΟ"4 сек."1;
lb* = —- -^- 4 2.10~4 сек -1
ψ JQcosOo- 2,1.2900-0,985 ~~ ' '
или
θ* = —5,3· 10"4·57,3-60= —1,82 угл. мин. сек."1;
ψ* = 4,2· 10"4·57,3-60= 1,44 угл. мин. сек."1
Искомые значения амплитуд нутационных колебаний определяются по
выражениям (66):
_ VJC(JCM%+JBM2C) γ 3,4(3,4.2,5* + 1,^W Q 0 1П_7 пяп .
a ~ (/Ω cos %y ~ (2,1.2900-0,985)2 ~ ό'Ζ'1U рад"
_VJB(jcmb+jbM2c) V 1,7(3,4-2,5» + 1,7.3,2^)
ψα (JQcos%)2 - (2,1-2900.0,985)2 ~" 2'0'W раД"
или
θα = 3,2.10"7·57,3.60= 1,1· ИГ3 угл. мин.;
% = 2,3-10"7·57,3·60 = 0,8-10"3 угл. мин.
§ 16. ТРАЕКТОРИЯ ПОЛЮСА ГИРОСКОПА
Чтобы более подробно изучить характер траектории
перемещения проекции полюса Я на плоскости Q при действии на
гироскоп моментов внешних сил и выяснить причины, оказывающие
влияние на ее изменение, вновь обратимся к выражениям (64).
68

Для упрощения последующих выкладок будем полагать, что
внешние силы, действуя на гироскоп, создают момент только
относительно его внутренней оси подвеса ОВ, т. е. Мв = const; Мс = 0.
При этом условии выражения (64) принимают вид
θ = Сх cos nt -f C2 sin nt + C3; Ϊ
4=y%(ClSinnt-C2cosnt)+Cl + 7J^t. J (69)
Предположим, что при t = 0, когда главная ось ОЛ гироскопа
отклонена от прямой 00* (рис. 38) на углы θΗ и ψΗ, гироскопу
была сообщена начальная угловая скорость ψΗ вокруг наружной
оси подвеса ОС, т. е. θ (0) = θΗ; ψ (0) = ψΗ; Ь (0) = 0; ψ (0) =
= ψΗ. В соответствии с указанными начальными условиями
из выражений (69) и их первых производных вытекают следующие
зависимости:
0(0) = С, + С3 = θΗ; ψ(0) = - Y^Ct + С4 = ψΗ;
θ(0) =пС2 = 0· ψ(0)= /^ nC1+ 7^fo7= Ψ-
откуда
C. = 4-yf(*.-J^k)^,=0;
С,-
*--r/^(*-nrahi)ic.-*·
Подставив найденные значения постоянных интегрирования
в (69), находим выражения для углов θ и ψ:
_-L-i/Z£/4 - Мв V
η г JB \ Ψη -Ώ cos θ0 У ' v
Откладывая по осям 0*θ и 0*ψ (рис. 38) значения *& и ψ для
различных моментов времени t, получаем траекторию проекции
полюса Я гироскопа на плоскости Q. Дифференцируя полученные
выражения, находим угловые скорости перемещения проекции
полюса Я:
69

*)
Ψη*° 6π kn
Рис 39. Виды траекторий,
описываемых полюсом прецессирующего
гироскопа.
или, учитывая равенства
(67), _
* = — Y^-(%—ij>*)sinn>;
■ψ — (Ψη — ij)*)cosn/ -f Ψ*·
(70)
Проследим, в каких
случаях угловая скорость
ψ может обращаться в нуль
и менять свой знак при
положительном значении
ψ*. Полагая ψ = 0, из
второго уравнения (70)
находим
ψ* _
cos nt
Ψη-Ψ*
ψ*
Ψ* —Ψη
Анализ выражений (71)
и (70) позволяет определить
вид траектории, по которой
будет перемещаться
проекция полюса гироскопа на
картинной плоскости при
различных значениях
начальной угловой скорости
фн. Равенство (71)
показывает, что в тех случаях,
когда % = 0, угловая
скорость ψ = 0 при nt =
= 2я&, где k — целое
положительное число.
Согласно первому
выражению (70) в эти же
мгновения равна нулю и угловая
скорость Φ,
положительная в первую четверть
периода рассматриваемых
колебаний. Таким образом,
при ψΗ =0 исследуемая
траектория имеет вид
кривой,показанной нарис.39,а.
7Q

Если ψΗ = 2ψ*, το ψ = 0 при nt = π (2k + 1). В эти же
мгновения угловая скорость θ, которая в первую четверть периода
колебаний отрицательна, также становится равной нулю.
Исследуемая траектория показана на рис. 39, б. При фн = ψ* из
равенств (70) следует, что θ = 0, а ψ = ψ*. Как видим, траектория
проекции полюса принимает в этом случае вид прямой линии
(рис. 39, в).
В тех случаях, когда ψΗ << 0 или ψΗ > 2ψ*, угловая скорость ψ,
как показывают выражения (70), периодически меняет свой знак,
в связи с чем рассматриваемая траектория получает вид
петлеобразной кривой (рис. 39, г). Если ψΗ < 0, то ψ = 0 в те
мгновения, когда cos nt = 1. При этом условии Ь в первую четверть
периода колебаний положительна (рис. 39, г). Если ψΗ>2ψ*,
то ψ = 0 при cos nt = —1, а -θ в первую четверть периода
колебаний отрицательна (рис. 39, 3).
Наконец, в тех случаях, когда 0 < ψΗ < ψ* или ψ* < ψΗ < 2ψ*,
угловая скорость ψ не меняет своего знака. Если ψΗ определяется
условием 0 < ψΗ < ψ*, то ψ = 0 в те мгновения, когда cos nt = 1.
В этом случае θ в первую четверть периода колебаний
положительна и исследуемая траектория имеет вид кривой, приведенной
на рис. 39, е. Если же фн подчинена условию ψ* < ψΗ <2ψ*,
то ψ = 0 при cos nt = —I. При этом θ в первую четверть периода
колебаний отрицательна и рассматриваемая траектория
характеризуется кривой, показанной на рис. 39, ж.
§ 17. ДВИЖЕНИЕ ГИРОСКОПА ПОД ВЛИЯНИЕМ МОМЕНТА
ВНЕШНЕЙ СИЛЫ, ИЗМЕНЯЮЩЕГОСЯ ПО ГАРМОНИЧЕСКОМУ
ЗАКОНУ
Рассмотрим случай, когда моменты внешних сил изменяются
по гармоническому закону:
Μ в = МоВ sin qBt\ Μ с = Moccos qct,
где Мов и Мос — амплитуды, qB и qc — соответствующие
круговые частоты изменений моментов Мв и Мс.
При этом условии система уравнений (47) принимает вид
Jb& + /Ωψcos θ0 = ΜοΒ sin qBt\
Jcty — JQb cos #0 = Mqq cos qc t.
Решение однородной системы уравнений (50),
соответствующей (72), было найдено выше (см. § 14) и определялось
выражениями (57). Учитывая характер изменения во времени действую-
71
(72)

щих на гироскоп моментов внешних сил, частные решения си"
стемы (72) будем искать в виде
0Г = К cos qBt 4 L sin qBt + N cos qct + JR sin qct\ \
ψΓ = К* cos qBt + L* sin <^ + N* cos qct -f 7?* sin ^ci, J *
где /С, /С*, L, L*, iV, N*, # и R* — амплитуды искомых колебаний.
Чтобы найти условия, при которых частные решения (73)
будут при любых t удовлетворять уравнениям (72), определим
первые и вторые производные выражений (73) и подставим их
в исходную систему уравнений (72):
—JB (q% К cos qBt -г q2BL sin qBt + q2cN cos qQt + q2cR sin qct) -\
+ JQcos ft0 (— qBK* sin qBt + qBL* cos qBt — qcN* sin qc t )
+ qcR* cos qct) = M0B sin qBt;
— Jc (<1вК* cos Qet + 4%L* sin qBt + q2cN* cos qct + q2cR* sin qct) —
— /Ω cos θ0 (— qBK sin qBt + qBL cos qBt — qcN sin qct -f-
+ qcR cos <jcf) - M0C cos ^ci.
Приравнивая коэффициенты соответствующих
тригонометрических членов в правой и левой частях полученных уравнений
и учитывая (53), находим значения амплитуд:
К = L* = N = Я* - 0;
к* —МоВ # , JcMoB
^ — / 2 \ ' —
<7β/Ω cos θ0 Ι 1 — -Ц- J2Q2 cos2
4-4):
yy* = JbMqC . η _ — M0c
2 N ' / 2
/2Ω2 cos2 θ0 I 1 - -Ц- ) qcJ& cos θ0 ( 1 ^-
Таким образом, учитывая (57) и найденные значения
амплитуд, общее решение системы уравнений (72) получим в виде
θ == Сх cos nt + Со sin nt + С3 +
Η ^~Р —·Г sin ^ / Г^" sin Яс*\
Я в ι ,~ α /, ?с ν
/2Ω2 cos2 θ0 I 1 — -^- Ι ?C/Q cos θ0 I
ψ = |/^- (Q sin nt — C2 cos nt) + C4 +
/2Ω2 cos2 θ0 Ι 1 — 4т-) ?β/Ω cos θ0 f 1 ^
(74)
72

Пренебрегая в (74) членами, характеризующими нутационные
колебания гироскопа, получим
θ
Ф =
JcMqb
ΡΩ2 cos2 θ0 Ι 1
JbM0c
я\
72Ω2 cos2 θη 1
?c
sin qBt
cos qct
Λί,
oC
<7ο/Ω cos θ0
<£
sin qct;
qBJQ cos ϋ0
4
■ cos qBt.
(75)
Как видим, под действием моментов внешних сил,
изменяющихся по гармоническому закону, гироскоп начинает совершать
вынужденные гармонические колебания. Эти колебания
происходят с частотами qB и qc изменений возмущающих сил. Как
правило, qB и qc ничтожно малы по сравнению с частотой η
нутационных колебаний гироскопа. Учитывая сказанное, можно
утверждать, что в выражениях (75) множители
1
я2в
ι
я\
(76)
практически будут мало отличаться от единицы.
Поэтому выражения (75) могут быть упрощены и переписаны
в следующем виде:
ф =
JCM0B . f М0С . ,
(JQcosOo)2 δ1Π Яв1 ~ qcJQ cos θ0 Sin qcU
JbMgc j MoB .
(yQcosdo)2 C0S 4ct ~ qBJQ. cos θ„ C0S ^'
(77)
Проанализировав выражения (77), убеждаемся, что
вынужденные колебания гироскопа в рассматриваемом случае состоят из
двух гармонических составляющих. t Основная составляющая
описывается зависимостями
ft
Мое · j.
—тгл α sin qrt:
qcJ& cos00 ^C '
Ее амплитуды
Ф^^оЙвОо^5^-
Ai«C
(78)
М0в
<7<:</Ω cos θ0
превосходят амплитуды
qBJQ cos θ0
во много
JbM0c
(JQ cos θ0)2
(J Q cos θ0)2
раз
второй
составляющей. Заметим, что с увеличением частоты вынужденных
колебаний амплитуды основной гармонической составляющей
уменьшаются, в то время как амплитуды второй остаются
неизменными.
73

Таким образом, выражения (78) в первом приближении
характеризуют изменение положения главной оси гироскопа в
пространстве в тех случаях, когда на гироскоп действуют моменты внешних
сил, изменяющихся по гармоническому закону. Как следует из (77),
при действии момента только относительно одной оси гироскоп
начинает колебаться одновременно вокруг обеих осей подвеса.
При этом амплитуда колебаний гироскопа вокруг оси,
относительно которой действует момент возмущающей силы,
значительно меньше амплитуды его колебаний вокруг второй оси
подвеса. В самом деле, если в выражениях (77) амплитуду одного из
моментов, например Мов,
О \z(C0) полагать равной нулю, то
указанные выражения
примут вид
* = J??00 , sin qct;
MDCcos<ict
ψ^
JbMqc
(JQ cos θ0)2
cos qct-
Рис. 40. К определению вынужденных
колебаний гироскопа с тремя степенями свободы.
Как видим, амплитуда
изменения угла ψ поворота
гироскопа вокруг оси ОС,
относительно которой на
гироскоп действует
момент Мс внешней
возмущающей силы, во много
раз меньше амплитуды
изменения угла θ поворота гироскопа вокруг оси ОВ. В результате
система координат Oxyz, связанная с гироскопом (рис. 40),
совершает колебания относительно неподвижных координатных осей
Οξ0η0ζ0> Β процессе которых полюс Я гироскопа описывает
эллипс. Его большая ось расположена параллельно оси действия
внешнего момента.
Пример 7. Определить амплитуды вынужденных колебаний гироскопа
при действии на него моментов Мв и Мс внешних сил, изменяющихся по
гармоническому закону с круговой частотой дв ~ Яс~ 1,16 сек"1 и амплитудами
М0в — М0с = 6 Г см. Параметры гироскопа: J Ω = 2820 Гсмсек; J в =
= 0,66 Гсмсек2, J с — 5,55 Гсмсек2. Главная ось гироскопа в начальный момент
времени составляет с плоскостью горизонта угол θ0 = 0.
По формуле (53) находим круговую частоту η собственных нутационных
колебаний гироскопа:
г 2тЛ = 1477.fi «нчг.-i
VJbJc Κθ,66·5,55
JQ cos θ0
η = —
Подставив значения п; дв и qc в выражения (76), убеждаемся,
циенты
j <&_ = 1 Яс
что коэффи-
ла
^-(щ)^1-^9·10"^1·
74

Следовательно, для определения искомых амплитуд вынужденных колебаний
гироскопа можно воспользоваться непосредственно выражениями (77).
Подставляя численные значения величин, входящих в эти выражения, будем иметь
0 =
JcMoB
(JQ cos θ0)2
5,55-6
sin qsi ·
MoC
тг sin 1,16/'-
<7(>/Ω cos θ ο
6
sin get =
sin 1,16/:
(2820-1)2 ' 1,16-2820.1
= 4,18-10"6 sin 1,16/ — 1,84.10"3 sin 1,16/;
JbMqC .
Mqb
J Ω cos #0)2
0,66-6
cos 1,16/ -
<7β«/Ω cos θ0
6
cos <7β/ =
cos 1,16/ =
(2820-1)2 ™ *f™ 1,16-2820.1
= 4,96-10-7 cos 1,16/ — 1,84-10"3 cos 1,16/.
Полученные результаты показывают, что амплитуды основной составляющей
вынужденных колебаний гироскопа в рассматриваемом случае на три-четыре
порядка превосходят амплитуды их второй составляющей.
§ 18. ДЕЙСТВИЕ МОМЕНТА ВНЕШНЕЙ СИЛЫ НА ГИРОСКОП
С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
Рассмотренные выше случаи движения гироскопа с тремя
степенями свободы при действии на него момента внешней силы
теряют свою специфическую
особенность при лишении гироскопа
свободы вращения относительно
одной из его осей подвеса.
Действительно, представим себе
гироскоп, лишенный свободы
вращения, например, относительно
оси ОС (рис. 41). Наружное
кольцо НК такого гироскопа
благодаря тому, что оно жестко
соединяется с основанием КП,
выполняет по существу роль,
корпуса прибора. По той же
причине поворот гироскопа
вокруг оси ОС по отношению
к корпусу КП становится
невозможным.
Сообщим ротору вращение вокруг главной оси ОА с угловой
скоростью Ω и выясним характер движения такого гироскопа
относительно системы координат Οξ0ηοζο> связанной с корпусом
Рис. 41. Гироскоп с двумя степенями
свободы.
75

прибора КП, под действием момента внешней силы. Обратимся
с этой целью к уравнениям (47). Так как угол ψ в рассматриваемом
гироскопическом устройстве все время остается равным нулю, то
система уравнений (47) принимает вид
Js*=MB; )
— /Qdcosft0-Mc. J
Первое из уравнений (79) показывает, что при действии
относительно оси подвеса ОВ момента Мв внешней силы гироскоп
начинает вращаться вокруг этой оси с ускорением Ь = —-—,
как и обычное твердое тело, в направлении действия момента Мв.
Если внешний момент был порожден мгновенной силой,
действовавшей на гироскоп в течение малого времени, то первое
уравнение (79) примет вид /βθ = 0, откуда следует, что
сообщаемая гироскопу в начальный момент времени угловая скорость θΗ
будет оставаться неизменной:
О = θΗ = const.
При гармоническом изменении внешнего момента Мв первое
уравнение (79) должно быть переписано в виде
JBb = ΜοΒ sin qBt9
откуда путем интегрирования находим значение угловой скорости
и угла поворота
О = - -XT" sin tot + C,t + С2.
Яв*в
При начальных условиях θ (0) = 0, θ (0) = 0 постоянные
интегрирования определятся следующими равенствами:
с ЛЬв с 0
1 ЧвЗв 1
Тогда выражение для угла θ примет вид
* = -^75|п'в, + та-'' <80>
откуда следует, что в рассматриваемом случае гироскоп с двумя
степенями свободы вращается с постоянной угловой скоростью
—ψ- вокруг оси ОВ в направлении начального действия
момента Мв. На это движение накладываются гармонические
колебать

нМ, происходящие с частотой qB изменения внешнего воШущаЮ-
щего момента Мв и амплитудой
<Гв*в '
Как видим, гироскоп с двумя степенями свободы, в отличие
от гироскопа с тремя степенями свободы, не обладает
устойчивостью. Действие момента внешней силы вызывает вращение
гироскопа с двумя степенями свободы, как и обычного твердого тела,
в направлении возмущающего момента.
Второе уравнение (79) позволяет определить величину момента
гироскопической реакции, характеризующего сопротивляемость
массы ротора гироскопа при сообщении ей поворотного ускорения.
Последнее, как известно (см. § 6), возникает всякий раз, как только
ротору гироскопа сообщается вращение вокруг осей ОА и ОВ
одновременно. Действующий на кольцо Η К и детали его
крепления к основанию КП гироскопический момент будет гаситься
реакцией внутренних сил сопротивления материала, из которого
выполнены элементы гироскопического устройства.
Пример 8. Определить угловую скорость постоянной составляющей
вращения и амплитуду вынужденных колебаний гироскопа при лишении его
свободы вращения вокруг оси ОС. Параметры гироскопа и условия его работы
приведены в примере 7.
По формуле (80) определяем угловую скорость постоянной составляющей
движения гироскопа вокруг оси подвеса:
Яв*в 1,16.0,66 "Л№ сек' '
или
Ь = 7,85-57,3 = 448,8 град./сек.
Из той же формулы (80) находим амплитуду вынужденных колебаний'
к = ?Й"= 1·162·0·66 = 6'77 рад"
или
θα= 6,77-57,3 = 377,9°.
%

Глава ill
УТОЧНЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ИССЛЕДОВАНИЯ
ДВИЖЕНИЯ ГИРОСКОПА В КАРДАНОВОМ ПОДВЕСЕ
§ 19. ИЗМЕНЕНИЕ МОМЕНТА ВНЕШНИХ СИЛ, ДЕЙСТВУЮЩЕГО
НА ГИРОСКОП ОТНОСИТЕЛЬНО ЕГО ГЛАВНОЙ ОСИ,
ПРИ УСТАНОВИВШЕЙСЯ СКОРОСТИ ВРАЩЕНИЯ РОТОРА
Анализ уравнений движения гироскопа с тремя степенями
свободы (см. гл. II) показывает, что систематический уход, или,
как говорят, дрейф, гироскопа может иметь место лишь при
действии момента внешней силы, не изменяющего своего знака
в течение сравнительно продолжительного времени (см. § 15).
Если действие момента внешней силы кратковременно (см. § 14)
или периодически изменяется (см. § 17), то дрейф гироскопа
отсутствует.
Однако на практике систематический дрейф гироскопа в кар-
дановом подвесе, правда с весьма малой угловой скоростью,
наблюдается и в тех случаях, когда на него действует момент как
мгновенных, так и гармонически изменяющихся внешних сил.
Такое несоответствие результатов анализа с действительным
характером изучаемого движения объясняется пренебрежением малыми
членами исходной системы уравнений (39), которая была заменена
упрощенной системой (47). Между тем факторы, характеризуемые
опущенными членами исследуемых уравнений, оказывают
определенное влияние на движение гироскопа.
Обратимся к системе уравнений (39) и выделим из нее первое
уравнение:
JlT-MA = Jirtosin θ° + ^cosf>o>. (81)
Это уравнение уже было исследовано в первом
приближении (§ 12), когда его правая часть принималась равной нулю.
В соответствии с таким допущением было получено равенство (45),
показывающее, что момент МА (см. рис. 30) при установившейся
угловой скорости вращения ротора (Φ = Ω = const) равен нулю
и крутящий момент MD, развиваемый гиромотором, полностью
затрачивается на преодоление момента Ms сил сопротивления.
Между тем, любое движение гироскопа с тремя степенями свободы
сопровождается нутационными колебаниями (гл. II). Поэтому
в действительности правая часть уравнения (81) отлична от нуля.
78

Для выяснения влияния опускаемых ранее факторов
подставим в правую часть уравнения (81) значения переменных θ и ψ,
определяемые решением первого приближения при исследовании
нутационных колебаний гироскопа. Переписав уравнение (81)
в виде
М- а = md — Λίs = J -jt J (ψ sin θ0 + θψ cos θ0 + θψ cos θ0)
и подставив значения θ и ψ, определяемые по выражениям (59),
θ = a cos nt + b sin nt — a;
ψ = с sin nt— d cos nt + d,
где
(82)
a =
«/Ω cos θ0
«/Ω cos θ0
ft
JQcos θ0
J Ω cos θ0
(83)
будем иметь
MA = MD — Ms = J(t> -\- Jn2 [(c sin nt — d cos nt) (sin d0 — a cos O0) +
+ (ac — bd) cos &0 sin 2ni — (be + ad) cos θ0 cos 2nt],
или, учитывая равенства (53) и (83),
MA = MD — MS = J(D + J cos θ0
γ1-COS nt J +
(jQsin&0 — Jc%)
a2
Ψη
j/V*/<
■ sin Aii ■
βυΗ
VJbJc
После преобразований находим
MA = MD-Ms = J<b +
sin 2nt — 2'&нг|?н cos 2nt
J cos θ0
V7b~Tc
Ι (/Ω sin % -
- J A) Y^l + -jM2 sin (nt - λα) +
+ (Jc$ + Jb®1) sin {2nt — λ2)],
где соответствующие смещения по фазе
^ = arctg|/^44
г Jc ψΗ
(84)
λ, = arc tg
2yrjBJci>Hi>H
■-Ά2
79

Из уравнения (84) видно, что riyf йцйонные колебания гироскопа
порождают периодические изменения момента МА внешних сил,
действующего относительно его главной оси. Указанные изменения
происходят по закону, характеризуемому кривой, образованной
в результате сложения двух синусоид с периодами 2 — и —.
Такая суммарная кривая, как известно,1 отлична от синусоиды,
однако в рассматриваемом случае отличие это будет весьма
незначительным.
В самом деле, нетрудно заметить, что первое слагаемое
многочлена (84), заключенного в квадратные скобки, несоизмеримо
велико по сравнению с его остальными членами. Опуская
величины высших порядков малости, перепишем уравнение (84)
в виде
MA = MD-Mg = J&+
+ γ=^ /Ω sin % ]/ψ2Η + -^Ы sin (nt - λχ)
ая
^g^?- /Ω sin θ0 /ψ2Η + 4^Η2 = Μ0Α, (85)
или, обозначая
в виде
ΜА = MD — Ms = /Φ ^ МоА sin (nt — λχ), (86)
Незначительное изменение момента МА вблизи от режима
установившегося значения числа оборотов оказывает весьма
малое влияние на изменение угловой скорости Φ собственного
вращения ротора (см. рис. 31). В то же время при установившемся
режиме работы гироскопа период его нутационных колебаний
(см. § 14) измеряется всего лишь тысячными долями секунды.
Поэтому при таком кратковременном и незначительном по
величине приращении момента МА ротор гироскопа, обладающий
огромным количеством запасенной кинетической энергии, за время
одного полупериода нутационных колебаний практически не
сможет изменить значения угловой скорости собственного вращения.
Таким образом, в рассматриваемом случае угловое ускорение Φ
будет близким к нулю. При постоянной скорости собственного
вращения момент сил сопротивления Ms будет также постоянным.
На преодоление этого постоянного момента Ms = Msq = const
будет, как уже говорилось выше (см. § 12), затрачиваться вполне
определенная часть Mdq крутящего момента MD гиромотора,
равная по величине и обратная по направлению Msq- Полагая,
стр. 58.
1 См.: С. П. Стрелков. Введение в теорию колебаний. ГИТТЛ, 1950,
58.
80

что MD состоит из постоянного значения Mdq = const и
некоторого приращения AAiD, уравнение (86) можно переписать в виде
МА = MDQ + AMD — Ms ω = ΜοΑ sin (nt — λχ),
или, учитывая равенство моментов Mdq и ΛίδΩ,
МА = AMD = МоЛ sin (η/ — λχ). (87)
Выражение (87) показывает, что при установившемся режиме
работы крутящий момент гиромотора непрерывно пульсирует.
При этом приращение AMD момента Мл осуществляется за счет
соответствующего изменения количества энергии, подводимой
к гиромотору извне.
Пример 9. Определить амплитуду изменений крутящего момента
гиромотора, порождаемых нутационными колебаниями гироскопа. Параметры
гироскопа J = 0,73 Гсмсек2, JB = 0,62 Гсмсек2, MD = 18 Гсм, Ω = 2500 сек. В
начальный момент оси О А и Οξ0 (см. рис. 36) составляют угол д0 = 3°, момент
инерции гироскопа относительно его наружной оси подвеса J с = 1,86 Гсмсек2,
а сообщенные ему угловые скорости θ,, = 0,4 град./сек., ψΗ = 0,5 град./сек.
Вычислим значения θΗ и ψΗ в радианах в секунду:
А _. ^.^ 7,0-Ю-3 сек-1; % = -^- = 8,7- Ю-3 сек"1.
57,3 ~",,ν " ~Л ' ΎΗ~ 57,3
Подставив затем в выражение (85) численные значения входящих в него
величин, найдем амплитуду МоА изменения момента МА:
0,732· 2500-0,105 ί / 1,86-8,7*· 10~6 + 0.62-7,0а-ΙΟ"6
2-1,86 V 0,62
=-0,62 Гсм.
Полученное значение МоА по отношению к крутящему моменту Mq
гиромотора (при установившихся оборотах вращения его ротора) составляет
^i 100 = -^ 100=3,45%.
MD 18
§ 20. СИСТЕМАТИЧЕСКИЙ ДРЕЙФ, ВОЗНИКАЮЩИЙ
ПРИ НУТАЦИОННЫХ КОЛЕБАНИЯХ ГИРОСКОПА
Так как при установившемся режиме работы гироскопа
угловая скорость его собственного вращения практически не
изменяется (см. § 19), то в уравнении (81) можно полагать ·
4- (Φ -- ψ sin θ0 — Οψ cos θ0) = 0,
dt
следовательно,
Φ — ψ sin θ0 — Οψ cos 00 ^ Ω = const. (88)
81

Это условие позволяет выделить из системы (39) ее первое
уравнение и рассматривать его самостоятельно (см. § 12), а
оставшиеся два уравнения переписать в виде
JB& + /Ωψ cos θ0 = Μ в + /Ωθψ sin ft0 —
— Jd¥ (sin #o cos *o + * cos 2θ0);
Jcip — 7Ωθ cos #0 = Mc + MA (sin θ0 + θ cos ft0) +
+ 2/^ψ sin θ0 cos θ0 — JQM sin θ0 +
+ 2/βθψ (sin ft0 cos θ0 + ft cos 2*0).
(89)
Уточняя результаты исследования движения гироскопа под
действием моментов мгновенных сил, необходимо Мв и Мс в
системе (89) принять равными нулю. Подставив в правые части
уравнений вместо О и ψ их приближенные значения (82), а вместо
момента МА его значение (87), будем иметь
JB$ + /Ωψ cos θ0 = /Ω (a cos nt + b sin я/ — a) n (с cos nt +
+ d sin nt) sin θ0 — /dai2 (c cos nt + d sin Aii)2 [sin θ0 cos ·&0 +
+ (a cos Aii -f b sin Aii — a) cos 2Ф0];
/cij) — ^ocosfto = Ai0>4sin Aii [sin ·&0 + (acosnt -\- b sin nt —
— a) cos θ0] + 2JD (a cos ni + b sin я/ — a) n2 (—с sin nt -}-
+ d cos nt) sin θ0 cos θ0 — /Ω (α cos я/ + ft sin ηί — α) η (—α sin nt -f-
+ b cos nt) sin θ0 + 2JDn2 (—α sin nt -\- b cos Aii) (c cos nt +
+ d sin nt) [ sin θ0 cos θ0 + (я cos Aii + b sin Aii — a) cos 2Ф0].
Производя соответствующие-перемножения и группируя члены,
можем записать
JBb + /Ωψ cos Ф0 = Кв sin n/ + LB cos ηί +
+ NB sin Aii cos nt + Ρβ sin2 ηί -f Q^cos2 ηί +
+ RB sin2 Aii cos ni -f UB sin я/ cos2 nt +
+ 1/β sin3 nt + WB cos3 ni;
Jcty — УΩθ cos θ0 = /Cc sin n^ + Lccos ai^ -f
+ jVcsin /ι/ cos nt + PcSin2^ + Qccos2nt +
+ /?c sin2 Aii cos n/ -f Uc sin Aii cos2 nt +
+ Vc sin2 nt 4- №c cos3 ni + Ec cos 2ni.
(90)
82

Постоянные коэффициенты уравнений (90) с учетом равенств
(53) и (83) определяются следующими выражениями:
Кв = — VTbTc К% tg θ0; LB = —Jc$ tg fl0;
NB = 2 YTbTc fl„i, (tg *0 - -^r sin fl0 cos #0 +
+ A cos2fl0);
PB = ^(tg^-^sin^0cos^0+-7?^-cos2O0);
Q* = /<$ (tg Go —vf- sin Go cos O0 + ^gfs"do cos 2θ0);
Rb-
UB = -
L2.
VbOK**
J Ω cos θ0
cos2Oy,
J Ω cos d0
cos 2ft0;
Kc = Λί0/1 sin ΐ>0 - ^h _ j/^_ J(& (tg d<.
— 2-^2-sin O0 cosθ0);
Lc = Jc®„% (tg^o - 2 -jj- sin $0 cos 0O);
^с^олФи _ , JB^l~Jc€ /tg ^ _
#r =
Pc =
JQ
4^-sin'»0cosd0);
VJrJc MoAbH
+ 2JD
'с***,
i.2
Re = ~2J
Uc -■= 27D j/.
"J Ω ' "" υ JQcosO0
θΗ(270ψ2Η-/β02Η)
cos 2Ό·0;
с- ^0 jQcosdo
7^ %(2JbK-jcH)
Jb
JQ cos d0
cos 200;
cos 2θ0;
(91)
83

cos 2θ0;
,i,2
JcK%
-cos2d0;
/Ω cos ft0
Ec = -JC$A (tg θ0 - 4 -^- sin θ0 cos θ0)
Пользуясь формулами тригонометрических преобразований
sin nt cos nt --- -γ sin 2nt\
γ (I —cos2/ιί);
1
sin2 ni
cos2 ni = ·— (1 + cos 2^0;
sin3 ni = -j- (3 sin nt — sin 3nt)\
cos3 nt =-j-(3cosnt+cos3nt)\
s\n2ntcosnt — cosnt —■ cos8 nt = -r-{cosnt —cos3nt)\
sin nt cos2 nt = sin ni — sin3 nt = -j- (sin ni + sin 3ai£),
перепишем систему уравнений (90) в следующем виде:
/в{> + /Ωψ cos θ0 = -f<P* + Qa) + (Kb + -j- Vв +
+ ^VB)smnt + (KLB+±RB + ^rWB)cosnt +
+ -γΝΒ sin 2/if + -тг (^в - Qs) cos 2nt +
+ -j-(Ub — Vb) sin 3nt lT(RB — Wb) cos 3nt;
/сф _ /ΩΟcos θ0 = 4" (Яс + Qc) + (Кс + 4" ^c +
+ 4-Л^с sin 2/ιί + 4-(Qc —^c+^c) cos 2/ιί +
+ 4" (^c - Ус) sin 3/if - 4 {Re - Wc) cos 3nt.
Уравнения (93) представляют систему двух неоднородных
дифференциальных уравнений. В их правых частях содержатся
84

как постоянные, так и тригонометрические члены. Поэтому,
согласно изложенному в § 15 и 17, частные решения исследуемой
системы уравнений будут иметь вид
9·Γ = A0t + Ах cos nt -f A2 sin nt -f A3 cos 2η/1 -f-
+ Л4 sin 2n/ + Л5 cos 3nt -f Лв sin 3nt\
ψΓ = β0/ -f Вг cos ηί + fi2 sin nt + B3 cos 2nt +
+ β4 sin 2nt + B5 cos 3ai^ + Be sin 3ni.
(94),
Величины Αι и β/ могут быть определены из равенств между
коэффициентами при соответствующих членах правых и левых
частей уравнений (93). Для этого в левые части (93) вместо θ, ψ,
θ и ψ должны быть подставлены их значения, вытекающие из (94).
Заметим, что гироскоп в рассматриваемом случае совершает
нутационные колебания не только с частотой я, как это следовало из
анализа его движения в первом приближении (см. § 14).
Уравнения (93) показывают, что гироскоп в кардановом подвесе
совершает нутационные колебания с основной частотой η и кратными ей
частотами 2п и Зп и при этом систематически поворачивается
вокруг своих осей подвеса.
Угловая скорость систематического дрейфа будет определяться
постоянными составляющими правых частей уравнений (93).
Поэтому, опуская все тригонометрические члены правых частей
указанных уравнений и приравнивая угловые ускорения θ и ψ
нулю, находим выражения для угловых скоростей дрейфа:
фд = Pb + Qb . а ._ Рс +0с_
2JQ cos ft0 ' д
2/Ω cos θ0
или, подставляя в полученные зависимости значения
Рс и Qc, определяемые по формулам (91),
Уд — 97 Ω -пс Л. \ 1Ь и0
Б»
ft
Ву
2JQ cos d0
, sinOoCOsdo-
•ут^ s-cos20ft
J Ω cos θ0 °
VJbJcM0a^
2J2Q2 cos θ0
Производя дальнейшие преобразования и учитывая
зависимости (38) и (85), будем иметь
^д
JBK + JC% jh + jbx
sin ■
2JQ cosfy) \^ ^ccosO,,
4 V<rBi>l + Jcil
*« ~~ 2JQ cos %
i—ifTc 3— cos 2wn
' Jil cos θη °
JftH sin 200
2\fTc
(95)
85

Анализируя выражения (95), нетрудно заметить, что вторая
составляющая угловой скорости ψΛ и угловая скорость Ьл
представляют собой величины второго порядка малости по сравнению
с первой составляющей угловой скорости фд дрейфа гироскопа
вокруг его наружной оси подвеса. Поэтому при определении
угловых скоростей дрейфа гироскопа, обусловленного его
нутационными колебаниями, можно с достаточной для практики степенью
точности пользоваться приближенными выражениями
™~ 2JQcosd0 /ccosd0SintT(" (96)
Впервые вопрос о систематическом дрейфе гироскопа,
обусловливаемом инерцией колец карданова подвеса, был рассмотрен
К. Магнусом [49], а также Б. Плаймелем и Р. Гудштейном [51].
Его дальнейшему развитию посвящены работы Д. С. Пельпора
[34], С. С. Тихменева [41], Я. Л. Лунца [22] и др.
Пример 10. Определить угловые скорости систематического дрейфа
гироскопа в кардановом подвесе, обусловливаемого нутационными колебаниями.
Параметры гироскопа: /Ω = 2800 Гсмсек, J = 0,8 Гсмсек2, J в — 0,7 Гсмсек2,
JH = 4,9 Гсмсек2, JBX — 0,3 Гсмсек2, Jo = 0,4 Гсмсек2. В начальный момент
оси О А и Οξ0 (см. рис. 36) составляют угол θ0 = 5°, момент инерции гироскопа
относительно его наружной оси подвеса J с — 5,7 Гсмсек2, а сообщенные ему
угловые скорости θΗ = 4 град./сек., ψΗ — 5 град./сек.
Вычислим значение начальных угловых скоростей в радианах в секунду:
К = -gig- =0,07 сек.-ь
ψΗ =-^у-0,09 сек."*.
Подставив в формулы (95) численные значения входящих в них величин,
найдем:
** - 2JQ cos θ0 \JC cos % Sin °° + JQcos$0COS 2°° J ~
0,7-0,072 + 5,7.0,092 /4,9 + 0,3 . -0 0,4-0,09
/4,9 + 0,3 . -0 , 0,4-0,09 ino\
( cV^—b- sin 5 + oofin сз- cos 10°
\ 5,7 cos 5 2800 cos 5 /
2-2800-cos 5°
== 7,3- Ю-7 + 1,2- ΙΟ"10 * 7,3- Ю-7 сек."1;
_ VJB*l + Jci\ yoHsin2O0
/0,7-0,072 +5,7-0,092 0,8.0,07. sin 10°
8,24.10-8 сек."1,
2·2800.cos 5° 2/5J
или соответственно
г|)д= 7,3· ΙΟ"7-57,3-60-60 = 0,15 град./час;
4Д= —8,24-ΙΟ"8·57,3-60-60= —0,017 град./час,
ее

§ 21. ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЧИНЫ, ОБУСЛОВЛИВАЮЩИЕ
СИСТЕМАТИЧЕСКИЙ ДРЕЙФ ГИРОСКОПА В РЕЗУЛЬТАТЕ
ЕГО НУТАЦИОННЫХ КОЛЕБАНИЙ
Систематический дрейф гироскопа в кардановом подвесе,
возникающий в процессе нутационных колебаний последнего,
имеет простое физическое объяснение. Представим гироскоп
в кардановом подвесе с тремя степенями свободы (рис. 42),
наружная ось подвеса ОС которого совмещена с осью Οζ0 неподвижной
г£
Ш-r--"
α4ψ
Рис. 42. Проекция вектора L на плоскость DOB.
системы координат Οξ0ηοζο· В начальный момент времени главная
ось гироскопа, вокруг которой его ротор вращается с угловой
скоростью Ω, составляет с плоскостью 10Оц0 угол θ0.
Предположим, что в это мгновение в результате удара гироскопу была
сообщена дополнительная скорость вращения вокруг оси, не
совпадающей с главной. Для простоты условимся полагать, что
дополнительная угловая скорость θΗ сообщена вокруг внутренней
оси подвеса ОБ.
Главный момент количества движения L гироскопической
системы будет определяться в этом случае суммой двух
составляющих — момента количества движения У Ω ротора гироскопа
относительно оси Ох и момента количества движения /βθΗ ротора
# внутреннего карданова кольца относительно оси Оу:
l=JQ + JBbH.
87

Вектор L главного момента количества движения
гироскопической системы, равный по модулю
составляет с осью Ох в плоскости хОу (рис. 42) угол
/вон
(97)
**# = arc {&
/Ω
или вследствие его малости
ψ*
**/
/Ω
(98)
Как только ротору,твращающемуся с угловой скоростью Ω
вокруг оси Ох, будет сообщена угловая скорость θΗ вокруг оси Оу,
так сразу же вследствие
инертности его массы он
начнет двигаться вокруг
оси Ох с угловой
скоростью ψ2 (см. § 8, рис. 22).
Однако при наличии $ар-
данова подвеса поворот
ротора вокруг оси Ох
возможен лишь при
вращении гироскопической
системы вокруг наружной
оси подвеса ОС. При этом
между угловыми
скоростями ψ2 и ψ указанных
поворотов (рис. 43) будет
существовать зависимость
ψ5ΐηΒ
L*
1
cos θ
Ψζ.
Рис. 43. Векторы моментов сил инерции,
порождаемые массами кардановых колец.
где Θ — текущее значение
угла, составляемого
главной осью ОА гироскопа с перпендикуляром OD к плоскости
наружного карданова кольца НК.
Таким образом, ротор, поворачивающийся вокруг оси Ох,
будет вращать вокруг оси ОС оба кардановых кольца НК и ВК.
При этом наружное кольцо НК будет поворачиваться
непосредственно вокруг оси ОС с угловой скоростью ψ. Поворот
внутреннего кольца ВК вокруг оси ОС при наличии угла Θ будет слагаться
из двух движений: вокруг оси Ох с угловой скоростью ψ2 =
= ψ cos Θ и вокруг оси Ох с угловой скоростью фд. = — ψ sin Θ.
Вполне очевидно, что инерция масс кардановых колец,
принудительно вращаемых вокруг осей ОС, Ох и Ох, будет оказывать

сопротивление тому естественному повороту ротора вокруг оси Ох,
который возникает в результате проявления гироскопического
эффекта у быстро вращающихся тел. Значения моментов Ми.н,
Ми. в ^ и Ми. В2сил инерции масс наружного Η К и внутреннего В К
колец подвеса, действующих относительно осей ОС, Ох и Ох,
согласно основному закону динамики определятся следующими
выражениями:
мя.н = — Jn-^jr = — «ΉΨ;
Мя. вх = —Jbx4t (-Ψδίη Θ) = «Ή , (ψ sin θ + ψθακθ);
ΛίΗ. вг = — Jbz-m^ws® =■ — JBZ(^cosS — ψθ sin©),
где /H, JBX и УВ2 — моменты инерции наружного кольца
относительно оси ОС и внутреннего — относительно осей Ох и Ох.
Проектируя векторы моментов Ми. н, Ми. ВЛ; и Ми. в* на ось ^ζ
и перпендикуляр OD, определим суммарные значения
моментов МЯ2 и ΛίΗΖ> сил инерции масс кардановых колец, действующих
относительно осей Ох и OD:
= -,^ + ^"^ + /"«"'Θφ + (/.,-/.χ)^5ΐηΘ; (99)
cos θ
мв
D:
= Af..„tge + ^^- = (/H-f /Β,)ΨΙΕΘ + /Β,ψθ.
Моменты сил инерции Миг и MHD будут по-разному влиять
на движение гироскопической системы. Так, момент МИ2 будет
оказывать влияние лишь на частоту и амплитуду нутационных
колебаний гироскопа. Момент МиЕ>, кроме того, будет создавать
нагрузку F (рис. 44), действующую на опоры, расположенные по
наружной оси ОС подвеса гироскопа. В свою очередь силы R
реакции опор, действуя на гироскоп, создадут относительно оси OD
момент MRD, равный по величине, но обратный по направлению
моменту Ми0.
Момент MRD опорных реакций, определяемый в соответствии
с выражением (99) равенством
Af№ = -Ai.D = -(^ + /.x)*tge-/„*ef (100)
является для гироскопа моментом внешних сил; следовательно,
он будет вызывать прецессию гироскопа (см. § 8).
Для определения угловой скородти ψ прецессии гироскопа
вокруг оси ОС, порождаемой моментом MRD, спроектируем век-

тор L главного момента количества движения (рис. 42) на
плоскость DOB. С этой целью вычислим предварительно угол КОЕ
между осями ОК и ОЕ. Согласно формуле (30) для сферического
треугольника KNC можем записать
cos (| + LKOE) = cos ψ;,cos (£ + θ0) +
+ sini|)^sin(-J + O0)cos|-
или
sin LKOE = cos ψ*^ sin θ0.
Так как угол ψ^ весьма мал (см. § 14), то его косинус
практически будет равен единице, в соответствий с чем
sin LKOE ^ sin θ0
и, следовательно,
LKOE^%.
Таким образом,
проекция LDB вектора L на
плоскость DOB, если учесть
равенство (97),
определится выражением
LDB = L cos θ0 =
~>*4
= ]/y2Q2 + 4^cosd0.
Рис. 44. Схема действия момента опорных
реакций на гироскоп.
Пренебрегая слагаемым J%$1 как величиной высшего порядка
малости по сравнению с /2Ω2, с достаточной степенью точности
можем считать
(101)
LDB = /Qcosd0.
Вектор LDB (рис. 42) составляет с осью OD в плоскости DOB
угол ψ*. Для определения величины этого угла воспользуемся
теоремой синусов, согласно которой для сферических
треугольников CED и CKN
sin LDOE· sin L^DC =-- sin LDCE- sin LD0C'>
sin ^iVO/C-sin /./Щ: - sin L^CE-sin £NOC.
Деля полученные равенства одно на другое и учитывая
значения входящих в них величин, имеем
sin ψ* _ 1
sin ψ
χμ
cosOn
90

При малости углов ψ* и ψ*^
f-i^s^· <102>
Векторы MRD и LDB лежат в одной плоскости DOB (рис. 45)
под углом (π — ψ*) друг к другу. Поэтому, спроектировав MRD
на два взаимно-перпендикулярных направления OW и ОРу
совмещенных с той же плоскостью DOB, получим
Λίrw = — ^да cos ψ*; Мяр = ΜRD sin ψ*.
Составляющая MRW обусловит уменьшение суммарного
момента количества движения гироскопа. В связи с тем, что
величина MRW весьма мала, этим
уменьшением практически мож- ZJ^"I
но пренебречь. \ *Х
Под действием составляю- ' \
щей MRP вектор LDB, а следо- / \~\Mr
вательно, и гироскоп получают / мг*\ . м у
вращение вокруг оси ОС. Со- / \|ψ *ί*\
гласно основному закону пре- / \| ^^^г^\
цессии (см. § 8) угловая ско- } ^..Jp^/'~'' m** \
рость такого поворота будет $ .Л^~ —~*у'' \НЯ*р ι
положительна и равна X" 1\ У] , \ \ /
• _ MRP = Мщ) sin φ* .>-,/# ^ ^_ \--"^
или, учитывая малость угла ψ*, .0
Λί/φψ* Рис· 45. Составляющие момента опор-
ψ = .
I ' ных реакции.
Подставив в полученную формулу значения (100), (101) и (102),
будем иметь
™ У Ω cos O0 cos θ0
Так как слагаемое /вл:ф© является величиной второго порядка
малости по сравнению с (/н + JBX)ty tg Θ, то, опуская его и
заменяя величину tyly ее значением (98), перепишем последнее
выражение:
В формуле (103) величины ψ и tg Θ меняются с течением
времени, обусловливая тем самым переменный характер угловой
скорости ф вращения гироскопа вокруг его наружной оси подвеса.
Чтобы определить среднее значение фср, которое и будет предста-
91

влять собой угловую скорость г^д систематического дрейфа
гироскопа, необходимо вычислить средние значения ψορ и tg 6ср.
В соответствии с равенствами (37) при малом угле θ имеем
t й — sin Θ _ sin (Op + θ) __ sin θ0 + θ cos θ0
l^ cos θ ~~ cos (θ0 + θ) — cos θ0 — 0 sin ft0 *
Пренебрегая, как и выше, членами второго порядка малости,
получаем выражение
♦βθ - sin0°
Ч^ср- cos0o-
Среднее значение углового ускорения ψορ может быть
определено из следующих соображений. В начальный момент времени,
когда гироскопу, обладающему
φ | ^ -^ относительно оси Ох
кинетическим моментом /Ω (рис. 42),
/
/
\/
и
- \
\
\
\
ь
ι
2 Μ
сообщается скорость θΗ
вращения вокруг оси ОВ, возникает
момент гироскопической
реакции ΜΓΖ (рис.45), действующий
JQi}Hcos ύ0 относительно оси Οζ (см. § 6 и
I <fm = -j ;— 7). В первое мгновение согласно
/ формуле (29) Мгг = /ΩΦΗ.
<Ρορ / С течением времени угловая
^ j. скорость вращения гироскопа
\ / вокруг внутренней оси подвеса
начнет уменьшаться, обусловли-
\
\
\
о вая тем самым соответствующее
Рис. 46. К приближенному определе- уменьшение момента гироскопи-
нию среднего значения ψ: ческои Реакции. При ЭТОМ в про;
цессе нутационных колебании
момент гироскопической реакции уравновешивается моментами
сил инерции массы гироскопа, вынужденного вращаться вокруг
оси, не совпадающей с главной. В рассматриваемом случае это
движение происходит вокруг оси ОС. Поэтому, спроектировав
в начальный момент времени вектор ΜΓΖ на ось ОС и приравняв
его моменту сил инерции
Mr = Mr2cos&0 = Jctym,
найдем максимальное значение углового ускорения:
·· _ ^oHcos00
Выше было показано (§ 8, рис. 24), что под действием внешнего
момента относительно внутренней оси подвеса гироскопа угловая
скорость ψ его поворота вокруг наружной оси подвеса изменяется
от нуля до некоторого максимума и затем опять уменьшается до
92

Нуля (рис. 46). При этом условии угловое ускорение ψ будет й§*
меняться от максимального значения фт до нуля, а затем снова
возрастать до своего максимума. Таким образом, из анализа
графиков, приведенных на рис. 46, следует, что среднее
значение ψ€ρ углового ускорения будет определяться выражением
ih — J?2L — JQ&* C0S θ°
Ψορ— 2 ~ 2JC
Подставив значения \j>cp и tg 6cp в выражение (103), определим
угловую скорость систематического дрейфа гироскопа:
фд = 9,о*\ -JrH + J\x sin O0. (104)
тд 2/Ω cos θ0 Усcos θ0 ° ν '
Как видим, формула (104) совпадает с найденным выше
выражением (96) для фд при условии % = 0.
§ 22. СИСТЕМАТИЧЕСКИЙ ДРЕЙФ ГИРОСКОПА,
ПОРОЖДАЕМЫЙ ЕГО КОЛЕБАНИЯМИ
Анализируя выражения (96), нетрудно заметить, что угловая
скорость -фд систематического дрейфа гироскопа находится в
прямой зависимости от амплитуды изменения угловой скорости его
колебаний вокруг наружной оси подвеса. Переписывая (96)
в несколько измененной форме
™- 2/Qcosd0 lgV» J с ' * J
видим, что множитель
.42 , ι .,-.2
Jc
(106)
представляет квадрат амплитуды угловой скорости нутационных
колебаний гироскопа вокруг его наружной оси.
Из (59) и (53) следует, что
Ψ = Ψηcosnt + 1/ -ρ Фн sin я/.
Обозначая в полученной формуле
можем переписать ее в более наглядном виде:
Ψ = ^aCOS(Al/ —λ).
93

В последнем выражении амплитуда ψα определяется
зависимостью
. «../«♦(y^-i/iii+iiii. „от,
которая и подтверждает равенство множителя (106) квадрату
амплитуды ψα.
Таким образом, заменяя в выражении (105) множитель (106)
его значением (107), можем записать
откуда следует, что отклонение главной оси гироскопа от
заданного направления в пространстве может возникать при любых
колебаниях гироскопа вокруг его наружной оси подвеса.
Действительно, систематический дрейф гироскопа вокруг его
наружной оси, вызываемый моментом опорных реакций,
характерен не только для нутационных колебаний. С подобным явлением
приходится встречаться во всех тех случаях, когда имеют место.
колебания гироскопической системы.
Пользуясь описанным в § 20 методом, представляется
возможным подробно исследовать характер движения гироскопа в каждом
конкретном случае [30]. Значение угловой скорости \|)д
возникающего при этом систематического дрейфа может быть вычислено
с точностью принятых выше допущений непосредственно по
формуле (108). Для этого из решения первого приближения
необходимо определить лишь амплитуду ψα угловой скорости колебаний
гироскопа вокруг его наружной оси. Так, например, при
исследовании движения гироскопа под влиянием постоянного момента
внешней силы (§ 15) было установлено, что гироскопическая
система, прецессируя с постоянными угловыми скоростями вокруг
осей подвеса, совершает еще и нутационные колебания. Амплитуда
угловой скорости этих колебаний вокруг наружной оси подвеса
может быть определена непосредственно из (65). Опуская в
выражении для ψ последний член, характеризующий прецессионное
движение, после дифференцирования с учетом (53) находим
Ψ = гП Б α COS lit + Τ/-£ its S~ sin nt>
τ /Ω cos θ0 ' V J с «> Ω cos 00
откуда следует
*.=j/
fjcM2B + JBM\
Jc(JQcos$0)2
94

Подставив квадрат амплитуды ψα в формулу (108), определим
угловую скорость дрейфа гироскопа
/ 4- Ϊ JrM% + JRM2r
<lh — Jn-TJBX С В -Г В C*gA /JQQV
которая характеризует дополнительное отклонение главной оси
гироскопа от заданного направления в пространстве.
При исследовании движения гироскопа под действием момента
внешней силы, изменяющейся по гармоническому закону (§ 17),
были найдены выражения (78), характеризующие в первом
приближении его вынужденные колебания. Дифференцируя второе
из указанных выражений, находим угловую скорость
вынужденных колебаний гироскопа вокруг наружной оси подвеса и ее
амплитудное значение:
ί Моя · j
Ψα =
JQ cos θ0*
Подставив в выражение (108) значение ψ*, найдем величину
угловой скорости систематического дрейфа гироскопа,
обусловленного его вынужденными колебаниями:
о
^Д^ 2/QcosOo ' (./QcosOo)2 tg ^°* ^l0^
Угловая скорость "фд прецизионных гироскопических приборов
индикаторного типа весьма мала, что позволяет во многих
практических случаях ею пренебречь без какого-либо ущерба для
точности решения навигационных задач. Но при определении
погрешностей прецизионных гироскопических устройств,
предназначенных для непрерывной работы в течение многих часов,
приходится учитывать тот факт, что общая ошибка прибора
складывается из целого ряда таких малых отклонений. Вызванные
рассмотренными причинами угловые скорости дрейфа в таких
устройствах, где гироскоп непосредственно стабилизирует какой-
либо объект, могут достигать значений, соизмеримых с требуемой
от прибора точностью.
Часто гироскопические приборы, предназначенные для
выдерживания заданного направления, используются и как
непосредственные стабилизаторы управляющих механизмов,
фотоаппаратов, прицельных устройств и других агрегатов. Примерами
такого использования гироскопа может служить стабилизатор
курса морской торпеды [4, стр. 102; 8, стр. 248] или курсовой
гироскоп автопилота «С-1» [26, стр. 449; 3, стр. 506]. Естественно,
что в этих условиях гироскоп испытывает значительные пере-
95

менные внешние возмущения, вызывающие угловые скорости
систематического дрейфа, соизмеримые с требуемой от
гироскопического прибора точностью, тем более, что в этих условиях
угол 00 отклонения главной оси гироскопа от перпендикуляра OD
к плоскости его наружного карданова кольца может достигать
нескольких градусов.
Пример 11. Определить угловую скорость системетического дрейфа
гироскопа при действии относительно его внутренней оси момента внешней силы,
изменяющегося по гармоническому закону, с амплитудой Мов = 7,0 Гсм.
Параметры гироскопа: J Ω = 1550 Гсмсек, JH = 10,2 Гсмсек2, JBX =3,2 Гсмсек2.
В начальный момент оси О А и Οξ0 (см. рис. 36) составляют угол θ0 = 15°.
Подставив в формулу (НО) значения входящих в нее величин, найдем
♦*н ι ♦* вд:
Λί,
ОБ
гд 2/Qcosu0 (/Qcos00;
10,2 + 3,2 7,02
tgO0 =
2· 1550.cos 15° (1550 cos 15°)2
tg 15° = 0,262.10-e сек."1
или соответственно
г|)д = 0,262· 1(Τβ·57,3·60·60 = 0,005 град/час.
Mpsinu0
§ 23. ДВИЖЕНИЕ ГИРОСКОПА В КАРДАНОВОМ ПОДВЕСЕ
ДО ДОСТИЖЕНИЯ ЕГО РОТОРОМ ПОСТОЯННОЙ УГЛОВОЙ
СКОРОСТИ СОБСТВЕННОГО ВРАЩЕНИЯ
До тех пор пока отсутствует собственное вращение гироскопа,
его главная ось О А (см. рис. 35) может занимать в системе
координат Οξ0η0ζ0 произвольное
положение. Поэтому в тот момент, когда
на гиромотор будет подано питание,
главная ось ОА гироскопа может
составить с осью OD наружного
карданова кольца (рис. 47) угол Ф0, от-
личный от нуля. Как и любой другой
1 <^^V \ двигатель, гиромотор в первое мгно-
1 вение создает крутящий момент MD,
по величине несколько превышающий
свое номинальное значение. Момент
Ms сил сопротивления вследствие
малости угловой скорости Φ
вращения ротора будет обусловливаться
(см. рис. 31) лишь силами трения
в опорах главной оси. Разница между
моментами MD и Ms быстро
уменьшается (см. § 12), однако в течение всего периода разгона ротора
MD больше Ms, и, следовательно, суммарный момент МА,
определяемый из равенства (44), больше нуля.
Рис. 47. Схема действия
момента реакции статора гиромотора
на гироскопическую систему.
96

Это обстоятельство уже не позволяет воспользоваться
уравнениями (47) для изучения движения гироскопа во время разгона
его ротора. Поэтому приходится вновь обращаться к системе (42),
учитывая, что в рассматриваемом случае угловая скорость Φ
собственного вращения ротора и момент МА внешних сил,
действующий на гироскоп относительно его главной оси (см. рис. 31),
изменяются с течением времени. Если не учитывать момента ΜτΑ
сил трения в опорах
главной оси, эти изменения по
аналогии с изложенным в
§ 12 могут быть выражены
приближенными
зависимостями
Φ - &Ω;
MA = MD{\-k). (Ill)
Здесь коэффициент k
изменяется от нуля до
единицы. Первое его значение
соответствует начальному
моменту времени / = О,
второе — моменту t = tp,
в который угловая
скорость собственного вращения Φ = Ω = const.
Подставляя зависимости (111) в систему (42) и полагая для
упрощения моменты Мв и Мс равными нулю, будем иметь
Рис. 48. К определению начального
ускорения при разгоне ротора.
Jc$-
JBb + /£Qii)COS#0==0;
^QOcos ft0 = MD (1 — ft) (sin ft0 + ft cos ft0).
(112)
Как показывает опыт (рис. 48), разгон ротора в начальный
период происходит равноускоренно, в соответствии с чем
Φ = wt, (ИЗ)
где w — угловое ускорение ротора в начальный период разгона.
Приравнивая правые части первого выражения (111) и
равенства (113), находим значение коэффициента ft:
k- — t
(114)
Подставив его в (112), будем иметь
JВЬ + Jwtty cos θ0 = 0;
Jcty — Jwt6cosft0 = MD(l —-Λ (sin ft0 + ftcosft0).
(115)
97

Существующие методы математического анализа не позволяют
решить неоднородную систему дифференциальных уравнений (115)
с переменными коэффициентами в общем виде. Поэтому для
выяснения характера движения гироскопа в период разгона его ротора
приходится обращаться к приближенным методам исследования.
Разобьем с этой целью время tn равномерно ускоренного вращения
ротора (рис. 49) на равные
промежутки
продолжительностью Δ/. Условимся, что в
течение каждого такого
промежутка времени Δ/ угловая
скорость ротора Φ и момент
внешних сил МА
практически сохраняют свои
значения постоянными. Принятое
допущение позволяет
зафиксировать определенные мо-
1
менты времени тх
■Δ/,
Т2 = Х1 + Δ*> *3 = Та + Δ^
и т. д., для которых могут
быть вычислены значения
коэффициентов уравнений
(115). Поэтому система (115)
может быть переписана для каждого промежутка времени как
система двух дифференциальных уравнений теперь уже с
постоянными коэффициентами
Рис. 49. График изменения средних
скоростей вращения ротора на отдельных
участках в период разгона.
■М>
JB$ + JwTjtycos Ф0/ = 0;
- JwXjb cos θ0/ = MD (l jg" τ/) (sin 0ο/ + ^cos fy)/)>
(116)
где индекс / характеризует порядковое число рассматриваемого
промежутка времени Δί.
При Ф0/ =t= 0 слагаемое sin Ф0/· > -ft cos О0/·. Поэтому, опуская
в системе (116) малую величину ftcosfto/, будем иметь
Jb& + J wxjty cos O0/ = 0;
Ус/ψ — Jwxj6 cos Φ0/ = MD (l Pr T/) s'n *o/·
(117)
Частное решение системы (117) определяется вытекающим
из ее второго уравнения равенством
Ч'-тЫ
JwXj
tgo,
о/.
98

из которого НаХодиМ
Mo(i--5-T/W*o/
•г=—v A ;—<■ <118>
Решение системы однородных дифференциальных уравнений
J В® + J WXjty COS $0]- = О,
Ус/ψ — Jwxft cos Ф0/ = О,
соответствующей (117), по аналогии с решением (57) системы (50)
будет иметь вид
$р = Сх cos tijt + С2 sin я^ + Св\
Ь = У^(Cl sin Л/' — С* cos пМ + С*'
(119)
где
Таким образом, общее решение системы уравнений (117),
являющееся суммой решений (119) и (118), определится
выражениями
MD(l--^t/)tgO0/
θ = Cxcos/iyi + С2 sin η,ί + C3 JwXj · /; .
ψ = 1/ -~- (Сх sin mi — С2 cos /ι ;ί) + С4·
Постоянные интегрирования, входящие в (121), зависят от
начальных условий каждого рассматриваемого промежутка
времени Δ^·. Для первого промежутка Atx в начальный момент и углы
и угловые скорости поворота гироскопа равны нулю:
О (0) = 0; ψ (0) = 0; 6 (0) = 0; φ (0) = 0.
При этих начальных условиях из выражений (121) и их первых
производных следует
О (0) = Сг + С3 = 0;
* (Р) = -/■#■ С,+ С4 = 0;
Ψ(θ) = /^ηΑ-ο.
'(0) = ηΑ *—J^ = 0;
99

Совместное решение полученных зависимостей позволяет найти,
учитывая (120), постоянные интегрирования для первого
промежутка времени Δ^χ:
VJbJcoMd (1 —^- Tj) sin θ0
d - 0; Ca = V -- >
C9 » 0; C4 -
(Jwx1 cos O0)a
JbMd( 1 —-£f τι) sini^o
(Уштх cos Ф0)2
Подставляя найденные значения постоянных интегрирования
в равенства (121) и учитывая, что в первые мгновения -ττ^ι <С 1>
находим зависимости изменений углов Φ и ψ во времени в первый
промежуток Δ^ рассматриваемого движения гироскопа:
φ _ VJbJcqMd sin θ0 sjn η ^ _ ^d sin θ0 ^
(JWTi COS θ0)2 1 JwXi COS θ0 '
. _ JвМρ sin θ0 7BAJD sin θ0
ψ " (JonrjCosV Ub ^ "^ (/art! cos θ0)2 *
(122)
Из зависимостей (122) следует, что с первого же мгновения
гироскоп начинает поворачиваться вокруг наружной оси
подвеса ОС со значительным ускорением. Действительно, дважды
дифференцируя второе равенство (122), находим ускорение
ν Μ о sin θ0 ±
ψ = ——j ^ cos nJ,
JCo
величина которого в начальный момент времени, при t = 0,
определяется значением
«'Со
Момент MD sin Ф0, порождающий ускорение ψ (0),
обусловливается реакцией статора гиромотора. Крутящий момент гиро-
мотора MD, действующий относительно оси О А (рис. 47),
передается с внутреннего карданова кольца ВК на ротор Р. В свою
очередь ротор Ρ действует на кольцо ВК моментом Мр реакции
статора, равным по величине, но обратным по направлению
крутящему моменту MD. Если оси ОА и OD расположены под
углом θ0, то момент Мр будет давать составляющую Мр sin Фо»
действующую относительно оси ОС. Именно эта составляющая,
равная по величине MD sin θ0, и порождает ускорение ψ (0)
в начальное мгновение.
100

В процессе возникшего движения гироскопа его полюс будет
перемещаться на картинной плоскости вокруг точки Nx (рис. 50),
удаленной от оси ординат 0*Ф на величину угла ψ*, определяемого
последним членом второго равенства (122):
* ~ (Jwx, cos θ0)2 ' U^j
При этом сама точка Л^ будет двигаться вдоль оси ординат 0*θ
с отрицательной угловой скоростью
χ Md sin θ0
Ушт! cos θ0'
определяемой коэффициентом при t первого равенства (122)
(124)
Рис. 50. Траектория перемещения полюса гироскопа при разгоне ротора.
В результате описанного движения главная ось гироскопа
к концу первого промежутка времени Δ/χ повернется вокруг точки
подвеса на углы ϋ^ и ψχ, согласно (122) равные
θ KycAiDSin». s.n At
1 (JliyTi COS θ0) X
Afp sin Op д,
y^Ti cos ф0 '
»- (r,°,.f^('-^".A»
(125)
К этому же моменту времени t = Δι угловые скорости д и ψ
гироскопа, учитывая (120), достигнут значений
А _ MDSinOo
/nyTi cos θ0
(1 — cos ^Δ/);
·. ί/Jb Md sin θ0 . a ^
Y1 г «/со «O^i cos θο x
(126)
101

Рассмотрим теперь движение гироскопа во второй
промежуток времени Δ^2· Перенесем с этой целью начало координатной
системы 0*θψ в точку О*, с которой совместился полюс гироскопа
на картинной плоскости в момент времени t = Δ/. Начальные
условия движения гироскопа во втором промежутке времени Δί2
будут характеризоваться равенствами
О (0) = 0; ψ (0) = 0; Ь (0) = *ι; ψ (0) = фь
в соответствии с которыми из выражений (121) и их первых
производных вытекают зависимости:
θ (0) = Сх + С3 = 0;
Ф(0)"/^С2 + С4 = 0;
*<Р> = *А V Д У = *t;
♦ (0)=yr^/i2c1=*1.
Решая совместно полученные уравнения и учитывая
равенства (120) и (126), находим значения постоянных интегрирования:
Cl = Vlfl ■ /<^М°«*Ъ* sin η, At;
1 У Jco (Jwfxfa cos θ0 cos θ0ι *
)Л7^М0 Г sinOp cqs
2 «/иут2 cos θ0ι L Jw^l cos θ0 J '
ι / sin O0i sin θ0 \ __ sin θ0Ί' 1 #
' \ /йУТ2 cos θ0ι φ Jwti cos θ0 / ./Ω cos θ01 J '
C3 --= - /^■7Tiffg^sin^ sin ^ A<;
3 r J С о («/оО^Тг cos θ0 cos θ01 г
Q = , J^MD Γ sin θ. cQs
4 /дот2 cos ϋ0ι L JwXi cos θ0 x
, / sin θ01 sin O0 \ sin O01 1
' \ Jwx2 cos θ0ι Jwxi cos θ0 / «f Ω cos θ0ι J '
или, пренебрегая величинами высших порядков малости,
Jc\ VJbJc л Мр sin θ0 sin пл At
Сг-V-
J С 0 (Jw)2 ^1*2 COS θ0 COS θ0ΐ
VJbJc ι-Μρ sin θ0 cos /2! At
(JW)2 ΧχΧ2 COS θ0 COS θ0 ι '
102

c3 =
c4
Jgi VJbJc iMp sin 00 sinftT At
J Co' (Jw^x^cos d0cosft0 ι
JbMq sin θ0 cos «τ Δ/
~ (JwfxiXz cos θ0 cos φ0ι'
Подставляя вычисленные значения постоянных
интегрирования в равенства (121), находим выражения, характеризующие
изменения углов θ и ψ поворота гироскопа в течение второго
промежутка времени Δ^:
J с \. VJbJc ι MD sin O0 sin nx At
J с о (JwT τΛ cos θ0 cos θ0 ι
—Υ\
(1 —cosn2i) +
+
V JbJc \Mp sin θ0 cos пл At
(Jw)z хгх2 cos θ0 cos θ0 ι
Αίβ(ΐ-5-τ,)ϋ·(
Ψ=>'
Jwx2
ί Jgi JbMd sin θ0 sin /2! Δ/
«fc о («/г^тл cos θ0 cos θ0ι
JbMd sin θ0 cos n-i At
sin n2i
i;
' («/иу^Тг cos θ0 cos θ0ι ^
sin n2t +
cosn20·
(127)
Из (127) следует, что в процессе движения гироскопа во втором
промежутке времени Δ^2 его полюс продолжает перемещаться
на картинной плоскости вокруг центра, совмещенного теперь
с точкой Ν2 (рис. 50). Так же, как и в первом промежутке
времени Δ/χ, центр вращения полюса гироскопа движется вдоль оси
ординат 0*θ с отрицательной угловой скоростью, определяемой
коэффициентом при t в первом выражении (127). Сравнив
указанную угловую скорость с ее значением (124) в первом промежутке
времени, заметим, что ее величина начинает уменьшаться. По мере
уменьшения угла θ0/· и увеличения времени τ;·, центр Ν2 вращения
полюса гироскопа незначительно приближается к оси ординат 0*θ.
Действительно, суммируя постоянный член второго равенства
(127) с величиной ψχ, определяемой по выражению (125), и
сравнивая полученную сумму с величиной угла ψ*, характеризуемого
равенством (123), находим
(т.? cos θ01 —τ. cosOp^созгст ΔΠ .. . *
уЫ 4- ib - JbMd Sin θ° Γΐ
т2 cos ϋ0ι
Нетрудно заметить, что скорость перемещения центра
вращения полюса вдоль оси ординат 0*θ, особенно в первые мгновения
рассматриваемого движения гироскопа, весьма велика. Поэтому
уже к концу первого полупериода колебаний гироскопа его полюс
совместится с линией DL. С этого мгновения угол θ0/ становится
103

равным нулю и уравнения (115) движения гироскопа
принимают вид
JB$ + Jwt^ = 0;
Jc^ — Jwtb — MD(\ — ττ')<> = 0·
(128)
Зафиксируем, как и выше, некоторое время / = t/ в
окрестностях которого произведение wt будем полагать изменяющимся
весьма медленно. "В этом случае система (128) принимает вид
JBb + Jwx$ = 0;
(129)
Решение системы (129) определится значениями корней
характеристического уравнения, которое запишем в виде следующего
определителя:
/βρ2, JwXjP
- [ JwXjp + MD (1 — -g- τ,)] , Jcp
Раскрывая определитель
JwxjMd ( 1 — -Ц- χ λ
= 0.
p4+(^v+
ρ = 0
(130)
и вынося величину ρ за скобки, находим значение одного из
четырех корней:
р4 = Q. (131)
Оставшееся в скобках кубическое уравнение
р3 + ар + Ъ = 0, (132)
где
JbJc
b
JwxjMD M —-^-тЛ
JbJc
(133)
позволяет вычислить остальные три корня характеристического
уравнения (130).
Воспользуемся для этого формулами Кардана. г Так как
коэффициенты (133) удовлетворяют условию
(-*-)*+(*)·><>■
(134)
1 См.: В. И. Смирнов. Курс высшей математики. Т. I, Гостехиздат,
1948, стр. 442.
104

то искомые корни определятся следующими зависимостями:
рг = и + v\
P*,* = --T(u + v)±L!bL(u-v)> (135)
где
(136)
В данном случае величины и и ν в соответствии со
значениями (133) коэффициентов а и Ь будут равны:
- ^ 2^с + " " (2JBJC)2
(Jwxjf
&JBJc)3'
ν =
(3«Vc)3
Вследствие большого значения ay, даже при сравнительно малых
величинах т;-, последний член рассматриваемых раЪенств
преобладает над двумя первыми. Почти сразу же после запуска гиро-
мотора третий член становится весьма большим по сравнению
с остальными. Поэтому, пренебрегая первыми двумя членами
последних зависимостей, можем записать
Jwxj # г| _^ Jwtj
V3JBJc '
V3JBJC
Подставляя приближенные значения и я υ в выражения (135)
и учитывая (131), определяем искомые значения корней
уравнения (130):
Ρι=0; ρ-^±1ύΒτ; ρ*
0.
В соответствии с вычисленными значениями корней
характеристического уравнения (130) решение системы (129), по аналогии
с решением (57) системы (50), примет уже знакомый нам вид (119).
105

В момент совмещения полюса гироскопа с точкой Ε (рис. 50),
являющийся начальным для рассматриваемого этапа, движение
гироскопа будет характеризоваться условиями
О(0) = 0; Ψ(0) = ψΗ; θ(0) = -θΗ; ψ(0) = 0.
При этих начальных условиях постоянные интегрирования
в выражениях (119) с учетом (120) будут равны:
в соответствии с чем выражения (119) принимают вид
0 = - Vac sin t
JWXJ }
Y У ПУТ/ ' ' TH JwXj
(137)
Выражения (137) показывают, что после совмещения полюса
с точкой Ε на картинной плоскости гироскоп начинает совершать
колебания вокруг обеих осей подвеса. В связи с непрерывным
увеличением времени Xj амплитуды этих колебаний уменьшаются.
В результате проекция полюса гироскопа будет перемещаться
на картинной плоскости по спирали, пока не совместится с
точкой N, координаты которой в системе О θψ равны —θ0 и ψ^·.
Так как главная ось ОА гироскопа совмещается с осью OD
(рис. 50) за время первого полупериода его колебаний, то для
определения ψ^ можно воспользоваться формулой (123), вычислив
соответствующее значение χΝ.
По кривой разгона ротора (рис. 49) определяется угловое
ускорение
а>=*?*. (138)
*л
Зная до, по формуле (120) нетрудно вычислить коэффициент wn9
характеризующий увеличение круговой частоты η нутационных
колебаний гироскопа,
J COS θ0 J COS θ0 ФЛ -2
wn = - ° w = r i — сек 2.
VJbJc VJbJc ^
и коэффициент Wf% характеризующий увеличение частоты этих
колебаний,
Wn J COS θ0 Фл „л /10П\
Wf = — = -ζ———- гц сек х. (139)
106

При t = О частота колебаний f0~0, в связи с чем среднее
значение частоты колебаний гироскопа за время Тг первого
периода будет равно
П = /о + 0,5wfTi = 0,5wfTv
Приравнивая частоту ft единице, находим время 7\ первого
периода, в течение которого гироскоп совершит первый цикл
нутационных колебаний:
Τ -—!—
1 ~ 0,5и>/ *
Подставляя в полученное равенство зависимость (139) для
коэффициента Wf и учитывая значение (138) ускорения до, находим
1 У cos 00ФЛ «^ cos θ0
Период ΤΊ состоит из двух неравных между собой
полупериодов /п и /12:
7\ = 'n + 'i2· (141)
Соотношение между значениями первого и второго
полупериодов при коэффициенте Wf будет определяться зависимостью
л7-ш/;
следовательно,
откуда
Tx = (wf+l)t
12 >
'- = Ί5?ΤΤ- <l42>
Из равенств (141) и (142) определяем величину первого
полупериода
hi - Wf + l J ι
и его среднее значение
г _ *п _ "7 ϋ
Ν 2 ~~ wf+ι ' 2 '
Подставив в последнее выражение зависимости (139), (138)
и (140), найдем
xN = 2ηνπτα , (143)
Jw cos θ0 + 2π J/ /β/c
107

Учитывая значение τ^ в формуле (123), получаем выражение
для определения отклонения равновесного положения гироскопа
от оси ординат 0*θ:
• JBMp sin θ0 ηΛΑλ
^Ν= (JwxN cos Ъ0)2 ' (144>
Пример 12. Определить угол поворота гироскопа вокруг наружной оси
подвеса после подачи на гиромотор питания, если в начальный момент оси ОА
и OD составляют угол θ0 = 30е, а начальное ускорение собственного вращения
ротора (см. рис. 48) w = 43 сек."3 Параметры гироскопа: J = 1,75 Гсмсек2,
/9 = 1,13 Гсмсек2, JBX= 1,9 Гсмсек2, УВ1, == 1,85 Гсмсек2, JB2 = 3,0 Гсмсек%,
Jh*^ 9,5 Гсмсек2.
По уравнению (44), в котором для первых секунд разгона ротора момент Ms
сил сопротивления окружающей среды с достаточной для практики точностью
(см. рис. 31) можно полагать равным нулю, вычислим величину крутящего
момента гиромотора:
MD = УФ = Jw = 1,75-43 = 75,25 Тем.
Из зависимостей (38) найдем значения моментов инерции гироскопа
относительно внутренней и наружной осей подвеса:
J в = h + J*y = 1,13 + 1,85 = 2,98 Гсмсек2;
Jc= Jh+ (J9+ Jbz)cos2&0+ /BA:sin2O0 = 9,5+ (1,13+ 3,0) cos2 30° +
+ 1,9 sin2 30° = 13,07 Гсмсек2.
Из формулы (140) находим время Тх первого периода колебаний гироскопа:
т _ ^УТЫс _ 4-3,14^*2,98-13,07
1 Jw cos θ0 ~~ 1,75-43· cos 30° ~~ ' Сек*'
а из формулы (143) —среднее значение τ# первого полупериода:
2пУ7Ыс
Χχ
Jw cos θ0 + 2π VJbJc
2-3,14^2,98-13,07
1,75-43. cos 30° + 2-3,14 Κ*2,98.13,07
: 0,376 сек.
Подставив вычисленные значения величин в формулу (144), определим
угол ψ^ поворота гироскопа вокруг наружной оси подвеса:
• JBMD sin θ0 2,98.75,25. sin 30°
Wn (Jwxn cos θ0)2 ~~ (1,75.43-0,376. cos ЗО0)2 -°»187РаД·.
ψ^ = 57,3-0,187= 10°72.
Угловая скорость θ движения оси О А гироскопа к совмещению с осью OD
(рис. 50) определится равенством (124). Заменив в нем хх на Тдг, найдем
a MD sin θ0 75,25 sin 30° , c 1
JwxN cos θ0 1,75-43-0,376- cos 30° ~~ '
или
θ = —57,3-1,6 = —91,68 град/сек.
108

Следовательно, точка N> вокруг которой перемещается проекция полюса
гироскопа, совместится с линией DL всего лишь за время -
-00 -30
# —91,68
* =
: 0,327 сек.
Для сравнения результатов расчета с действительным характером
рассматриваемого движения на рис. 51 приведены экспериментальные графики изме-
0
iff
о
on
-— .
D/i
-А
0.8
— -
--
;
S—
,2
1
.0
:i*e
?,0
2Л
ь,т
<1>ч град
10
20
30
0,
ч .
7
/
Οβ
/,
\
//,
6
\^2
,0
2
Ч
t,cen
U,2pad
Рис. 51. Графики изменения углов θ и ψ при запуске прибора.
нения углов θ и ψ гироскопа, параметры которого указаны в данном примере.
Как видим, приближенный метод определения отклонений гироскопа в процессе
его запуска дает результаты, близко совпадающие с действительными.

Глава IV
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ГИРОСКОПА
В ПОДВИЖНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ
И ИХ АНАЛИЗ
§ 24. СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ГИРОСКОПА
В ПОДВИЖНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ
Рассмотренные законы движения гироскопа (гл. II и III)
были получены в предположении, что корпус прибора находился
в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения
в инерциальном пространстве. Выражения для углов θ и ψ
характеризовали изменения положения главной оси гироскопа
в системе координат Οξ0η0ζ0 (см. рис. 35), остающейся
неподвижно

ной. Между тем, в большинстве практических случаев
Координатные оси, относительно которых определяются перемещения
гироскопа, сами совершают вращение.
Перемещение гироскопа относительно подвижных осей и
неподвижной системы координат различно. Сущность этого различия
можно определить из анализа уравнения движения гироскопа
с учетом вращения координатной системы, в которой
рассматривается его перемещение. В этом случае при определении
кинетической энергии системы материальных тел должны быть, как
известно,1 учтены и относительные и переносные скорости ее
движения.
Рассмотрим движение гироскопа в кардановом подвесе (рис. 52)
относительно системы координат Οξηζ, совершающей вращение
в пространстве вокруг осей Οξ, Οη и Οζ с угловыми скоростями ωξ,
ωη и ωζ. В общем случае наружная ось ОС гироскопа может
составлять с осью Οζ угол λ, лежащий в плоскости /*Όζ, которая
образует с плоскостью ξΟζ угол σ. При этом сам гироскоп может
быть повернут вокруг оси ОС по отношению к плоскости FOC
на угол Ψ и вокруг оси ОВ по отношению к плоскости DOB на
угол Θ. Определив проекции переносных угловых скоростей ωξ,
ωη и ωζ на оси ODBC и Oxyz, соответственно связанные с наружным
и внутренним кардановыми кольцами подвеса гироскопа, можем
записать
ω* = ωΑ = a>|Cos(£, Л)-}-ωηα)5(η, Л)-f oc^cos (ζ, A)\
ω^= ωΒ= cu£COs(£, В) + ωη005(η, Β) + ωε<:ο5(ζ, β);
(йс = co^cos^, С) + ωηοο5(η, С) + ωζα)5(ζ, С);
<oD - ωξοο5(ξ, D) + ωηοο5(η, D) + <occos^, D)\
ω2 ■= o^cos (ξ, z) + ωη cos (η, z) + <occos (ζ, z).
(145)
Для нахождения косинусов углов, входящих в равенства (145),
воспользуемся формулой (30). При принятых обозначениях углов
(рис. 52)
cos (ξ, В) = cos (-γ + σ J cos Ψ + sin (-γ + σ] sin Tcosit — λ);
cos (ξ, £) — cos σcos ί-^— λ) -f sin σ sin (~— kjcos-^-\
cos (η, Β) = cosσcosΨ + sin σ sin ψ cos (τ— λ);
cos (η, C) = cos (-γ — σ) cos [-γ — λ) +
1 См.: Π. Α π π е л ь. Теоретическая механика. Т. II, Физматгиз, I960,
стр. 309.
111

+ sin(-£- —σ) sin (-у-— λ^ακ-^;
cos (ζ, Α) = cos Xcos (-J- + θ) + sin λ sin (~ + θ) cos (·: — Ψ);
cos (ζ, 2) = cos λ cos Θ -f sin λ sin Θ cos (π— Ψ);
cos (ζ, D) = cosXcos-y- + sin λ sin -^-cos(t — Ψ);
cos (ζ, β) =r cos λ cos ~ + sin λ ein ~ cos (~ — Ψ j;
cos (ζ, С) = cos λ,
или после преобразований
cos (ξ, В) = —sin σ cos Ψ — cos σ sin Ψ cos λ;
cos (ξ, С) = cos σ sin λ;
cos (η, В) = cos σ cos Ψ — sin σ sin Ψ cos λ;
cos (η, С) = sin σ sin λ;
cos (ζ, A) = — cos λ sin Θ— sin λ cos Θ cos Ψ; } (146)
cos (ζ, ζ) = cos λ cos Θ — sin λ sin Θ cos Ψ;
cos (ζ, D) = —sin λ cos Ψ;
cos (ζ, Β) — sin λ sin Ψ;
cos (ζ, С) =cosX.
Для определения косинусов углов, составляемых осями ОЛ,
OD и Ох с осями Οξ и Οη, обратимся к сферическому
треугольнику ξ/CC, для которого согласно формуле (30) имеем
cosa = cos (ξ, C)cos(-| λ] -f sin (ξ, С) sin (-^ λ) cos μ,
где μ — угол между плоскостями IOC и КОС.
Подставляя в последнее равенство значение cos (ξ, С) из
выражений (146) и производя преобразования, находим
cosa = cos a sin2 λ -f sin (ξ, С) cos λ cos μ,
откуда
cos acosX /л л"?\
cosa =—. /t ^ - (147)
r sin (ξ, С) v '
Для этого же треугольника 1КС согласно теореме синусов
можем записать
sina _ sin (ξ, С)
sin μ
sin
π
112

откуда
sina
sin μ = . /t r„ .
r sin (ξ, С)
(148)
В свою очередь из сферических треугольников 1СAf ICD
и ICz следует
cos (ξ, Α) = cos (ξ, С) cos (~~ + Θ) +
+ sin (ξ, С) sin (-£- + θ) cos (μ + Ψ);
cos (ξ, D) = cos (ξ, С) cos -J- + sin (ξ, С) sin -J- cos (μ + Ψ);
cos (ξ, ζ) = cos (ξ, С) cos Θ -f sin (ξ, С) sin Θ cos (μ + Ψ)»
или после преобразований
cos (ξ, Α) = —cos (ξ, Q sin Θ +
+ sin (ξ, С) cos Θ (cos μ cos Ψ — sin μ sin Ψ);
cos (ξ, D) = sin (ξ, С) (cos μ cos Ψ — sin μ sin Ψ);
cos (ξ, ζ) = cos (ξ, С) cos Θ + sin (ξ, С) sin Θ (cos μ cos Ψ — sin μ sin Ψ).
Подставив в полученные равенства зависимости (146), (147)
и (148), найдем
(149)
cos (ξ, Α) = —cos σ sin λ sin Θ -|- cos σ cos λ cos θ cos Ψ —
— sin acos© sin Ψ;
cos (ξ, D) = cos σ cos λ cos Ψ — sin σ sin Ψ;
cos (ξ, ζ) = cos σ sin λ cos Θ -f cos σ cos λ sin Θ cos Ψ —
— sin σ sin Θ sin Ψ.
Для сферического треугольника Cv\z можем записать
cos -у- = cos λ cos (η, С) + sin λ sin (η, С) cos ν,
где ν —угол между плоскостями ΚΟζ и СОг\.
Подставив в последнее равенство значение cos (η, С) из (146),
найдем
sina cos λ /1сл\
(150)
cos ν
sin (η, С)
Для треугольника Cv]z согласно теореме синусов имеем
sin (η, С) _
sin
(χ-)
sin ν
ИЗ

откуда
cos σ /ιπ\
Sin V = ——t ттг- (151)
Sin (η, С) ν '
Из сферических треугольников АСц, DCr\ и zCr\ в соответствии
с формулой (30) следует
cos (η, Α) = cos (η, С) cos(-£- + θ) +
+ sin (η, С) sin (-J- + θ) cos [ τ - (ν + Ψ)];
cos (η, £>) = cos (η, Qcos— -f sin (η, С) sin-у-cos [ι— (ν -f- Ψ)];
cos (η, ζ) = cos (η, С) cos Θ -f sin (η, С) sin Θ cos [ ι— (ν + Ψ)].
Подставляя в эти равенства значения входящих в них
тригонометрических величин, определяемых выражениями (146), (150)
и (151), и производя преобразования, получим
cos (η, Α) = —sin σ sin λ sin Θ -|- sin σ cos λ cos θ cos Ψ +
+ cos σ cos Θ sin Ψ;
cos (η, D) == sin σ cos λ cos Ψ -f cos σ sin Ψ; \ (152)
cos (η, ζ) — sin σ sin λ cos Θ + sin σ cos λ sin Θ cos Ψ +
+ cos σ sin Θ sin Ψ.
Вводя зависимости (146), (149) и (152) в выражения (145)
переносных угловых скоростей, будем иметь:
ω 4 = —(«^(cosGsin λ sin Θ — cos σ cos λ cos Θ cos Ψ +
+ sin σ cos Θ sin Ψ) — ωη (sin σ sin λ sin θ —
— sin σ cos λ cos Θ cos Ψ — cos σ cos Θ sin Ψ) —
— ωζ (cos λ sin Θ -f sin λ cos Θ cos Ψ);
ωΒ = —(Οξ (sin σ cos Ψ -f cos σ cos λ sin Ψ) -f
+ ωη (cos σ cos Ψ — sin σ cos λ sin Ψ) -f ωζ sin λ sin Ψ;
(oc = oleosa sin λ -f ωη sin σ sin λ -f ш^со5Я; | (153)
o)D = ωξ (cos σ cos λ cos Ψ — sin σ sin Ψ) -f
+ ωη (sin σ cos λ cos Ψ -f cos σ sin Ψ) — ωζ sin λ cos Ψ;
ωζ — ω^ (cos σ sin λ cos Θ -f cos σ cos λ sin Θ cos Ψ —
— sin σ sin Θ sin ψ) + ωη (sin σ sin λ cos Θ +
+ sin σ cos λ sin Θ cos Ψ -f cos σ sin Θ sin Ψ) +
+ ωζ (cos λ cos Θ — sin λ sin Θ cos Ψ).
114

Таковы в общем случае значения угловых скоростей
переносного движения подвижной системы координат Οξηζ, в которой
гироскоп совершает относительное вращение вокруг осей ОЛ,
ОВ и ОС с угловыми скоростями, равными соответственно Ф,
Θ и Ψ. Таким образом, абсолютная кинетическая энергия
гироскопа с учетом проекций относительных угловых скоростей
на оси ОЛ, ОВ, ОС, OD и О ζ (см. § 10) будет равна
Та = 4" ['(Φ-Ψβΐηθ + <ол)2 + Уэ(в + ωβ)2 +
+ /β (Ψ cos Θ + ω2)2 + JBx (-Ψ sin Θ + ωΑ)2 + JBy (θ + ωβ)2 +
+ JBl (Ψ cos Θ + ω2)2 + /Η d®d + J и в® в + 4 (* + *>с)2];
здесь введены дополнительные (см. § 11) обозначения JuD и JuB
для моментов инерции наружного карданова кольца относительно
осей OD и ОВ соответственно.
Угловые скорости ωξ, ωη и ωζ переносного движения весьма
малы по сравнению с угловыми скоростями Φ, Θ и Ψ
относительного движения гироскопа. Также малы будут и составляющие
шл, ωβ, оос, ωΒ и ω2. Поэтому, преобразуя полученное выражение,
опустим в нем члены, содержащие квадраты переносных угловых
скоростей:
Та = -i- [J (Φ2 + Ψ2 sin2 Θ — 2ΦΨ sin Θ + 2ΦωΛ — 2ΨωΑ sin Θ) +
+ (J* + J*y) (Θ2 + 2θωβ) + (J9 + Jbz) (Ψ2 cos2 Θ + 2Ψω, cos Θ) +
+ JBx (Ψ2 sin2 Θ — 2ΨωΑ sin Θ) 4- /„ (Ψ2 + 2Ψω0)]. (154)
Поступая по аналогии с изложенным в § 10, вычислим частные
производные от абсолютной кинетической энергии Та по
обобщенным координатам Φ, Θ и Ψ и их первым производным:
-§- = /(Φ-ψδ1ηΘ)^- + (/9 + /Β.ν)Θ^ +
'JI±- = _J (φ— ψ sin Θ + ω„) tcos Θ +
-(J3 + JBZ)V(<i>2sme-cose-^)-
(155)
115

d(uA \ , τ m д<лс
~/Β,ψ(ω^05θ + 8ΐηΘ^)+/ΗΨ
дв
дт* _ т(пл \ίτ„:„<ά\ δωΛ , /τ , τ \ад(*в
= /(Φ-Ψ6Ϊηθ)^ + (/. + /Β^^ +
+ (/β + /ΒΙ)Ψοο5Θ^-/ΒΛψ8ίπθ^ + 4Ψ^;
Дг_ = у (φ_ ψ Sin β + ωΑ + Φ Ϊ2Α-- Ψ sin Θ^±) +
дФ \ Α τ дФ дФ )
дФ ' ν * ' "' дФ
_/Β<ψ8Ιηθ-^Η-/ΒΨ-^£-;
вдг дФ дФ
^ =/(φ-t^in θ)-^+ (/, + /,,)(<* +ωΒ +
+ Θ-^-) + (/9 + /Β2)Ψοο5θ
ae
влг дв дв
дТ:
Л = — J (Φ — Ψ sin Θ + «м) sin Θ +
+ /(Φ-Ψ5ίηΘ)^ + (/9 + /Βί,)Θ^- +
dcoz
+ (^э + JB г) (ψ COS2 Θ + Шг COS Θ + Ψ COS Θ
+ Ув,(^5т20-шл5т0-^5т0^) + Ун(¥+шс).
Определив частные производные от переносных угловых
скоростей (153), получим
(155)
дв
— — ω| (cos σ sin λ cos Θ -f cos σ cos λ sin Θ sin Ψ ■
— sin σ sin Θ sin Ψ) — ωη (sin σ sin λ cos Θ +
+ sin σ cos λ sin Θ cos Ψ + cos σ sin Θ sin Ψ) —
ωζ (cos λ cos Θ— sin λ sin Θ cos Ψ) = — (oDsin Θ— coccos0;
-^Α = — cu| (cos σ cos λ cos θ sin Ψ -f- sin σ cos Θ cos Ψ) —
— ωη (sin σ cos λ cos Θ sin Ψ — cos σ cos Θ cos Ψ) +
+ ως sin λ cos Θ sin Ψ = ωΒ cos Θ;
116

δωΒ
= ωξ (sin σ sin Ψ — cos σ cos λ cos Ψ) —
ωη (cos σ sin Ψ -f sin σ cos λ cos Ψ) + ωζ sin λ cos Ψ = — ω
D»
δω2
~5θ~
= — ο)ξ (cos σ sin λ sin Θ —
— cos σ cos λ cos Θ cos Ψ + sin σ cos Θ sin Ψ) —
— ωη (sin σ sin λ sin Θ — sin σ cos λ cos Θ cos Ψ —
— cos σ cos Θ sin Ψ) — ωζ (cos λ sin Θ -f sin λ cos Θ cos Ψ) =
= (ud cos Θ — (йс sin Θ;
-~£ψ- = — ωζ (cos σ cos λ sin Θ sin Ψ + sin σ sin Θ cos Ψ) —
— ωη (sin σ cos λ sin Θ sin Ψ — cos σ sin Θ cos Ψ) +
+ ωζ sin λ sin Θ sin Ψ = ωΒ sin Θ.
Значения остальных частных производных от переносных
угловых скоростей будут равны нулю. Из рис. 52 видно, что
ωΑ = ω0 cos Θ — оос sin Θ;
ω2 == (oDsin Θ -f coccos6.
Учитывая это, выражения (155) можно переписать в виде
(156)
= 0;
дФ
Ц- = — J (Φ — ΨείηΘ + ω^ΨακΘ — J (Φ — Ψ sin Θ) χ
Χ (ωΩ sin Θ + u)ccos Θ) — (Ja + JBZ — JB χ) Ψ2 sin Θχ
χ cos Θ + (J3 + JBZ — JBX) Ψ (e>D cos 2 Θ — (oc sin 2Θ);
2ξϊ.= j(<h-Wsme)(i>Bcos®-(J3 + JBy)&<i>D+ .
д1±
дФ
■дТ,
+ V» + Кг — hx) Ψωβ sin Θ cos Θ;
= J (Φ — Ψ sin Θ + ω„);
дТа _
— J (Φ —tsin© + ro.4)sin0 + (y9 + 7B2)x
Χ (Ψ cos2 Θ + ωΩ sin Θ cos Θ + coc cos2 Θ) + JBX χ
Χ (Ψ sin2 Θ — ω0 sin ©cos Θ + <oc sin2 Θ) + JH (Ψ + <oc). )
(157)
117

Подставив значения (157) в уравнения Лагранжа (33), будем
иметь
(J3 + JJ -%r(@ + а>в) + J (Φ-Ψ sin® + ωΑ) Χ
Χ Ψ cos Θ -f J (Φ — Ψ sin Θ) (шд sin Θ -f coccos©) +
Χ Ψ (ωβ cos 2Θ — шс sin 2Θ) = Мв;
-If [Uη + (J. + /BZ)cos20 + ^B,sin2@] (Ψ + (oc) -Jx
χ (Φ —4fsin@4-(o,1)sin0 + (J3 + JBZ — JBX) a>Dsm&cos&} —
— / (Φ — ψ sin Θ) ωβ cos Θ + (/* + JBy) θωβ —
— (Js + Jbz — Jbx) ^ωΒ sin Θ cos Θ = Mc.
Производя дальнейшие преобразования и учитывая принятые
ранее обозначения (38), перепишем полученную систему
уравнений в следующем виде:
/^(Φ-ψ5ίηΘ + ω/1) = ΜΛ;
J в 4г (Θ + ωβ) + J (Φ— Ψ sin Θ + <ол) Ψ cos Θ +
+ J (Φ — ψ sin Θ) (ωβ tg Θ + toc) cos Θ + JDW sin Θ cos Θ—
—JDt (ω0 — ω0 tg 2Θ) cos 2Θ = Мв;
Wn + (J, + ^вг)со52© + /„ sin2®] 4 (* + ω0) - 2JD χ
Χ (ψ +«с) Θ sin ©cos Θ — j (φ —ψ sin Θ + мл)@со5@ —
— / sin Θ 4 (Φ — Ψ sin Θ + <οΛ) + /0ω0Θ cos 2Θ +
+ JD sin Θ cos
®1ψ /(φ-ΨδΐηΘ)
+ JB®(oD — JDWcoB sin Θ cos Θ = Mc.
Нетрудно заметить, что произведения
J (Φ—Ψ sin Θ) (а>д tg Θ + <oc) cos Θ и
/ (Φ — Ψ sin Θ) ωΒ cos Θ
118

соответственно отличаются от произведений
J (φ— ψ sin Θ + ωΑ) (<oD tg Θ + (oc) cos Θ и
J (Φ—Ψ sin Θ + ωΑ) G)Bcos©
на величины второго порядка малости </шл (<oD tg Θ + оос) cos Θ
и J(ua(obcos Θ, которыми пренебрегали при выводе уравнений.
Поэтому, полагая
Φ— Ψ sin Θ + ωΛ^Φ— Ψ sin Θ
и учитывая в третьем уравнении системы члены, равные согласно
ее первому уравнению моменту МА внешних сил, действующему
на гироскоп относительно его главной оси ОЛ, находим:
at
Jb^t (© + ωβ) + J (Φ- Ψ sin© + ωΑ) (Ψ
ά_
at
+ ωΒ tg Θ + <dc) cos Θ + Jd^2 sin Θ cos Θ —
— JDW (<oD — coc tg 2Θ) cos 2Θ - MB\
У я + (J. + '.,)cos» Θ + /BJf sin·©] 4 (* + ®c)-
— J (Φ — ψ sin Θ + ωΑ) (Θ + ωβ) cos Θ — 2JD χ
Χ (Ψ + <dc) θ sin Θ cos Θ — ΜΑ sin Θ + JD&<oDcos 2Θ +
+ JD sin Θ cos Θ
diap
at
+ Jb®<*d
— /βΨωβ sin Θ cos Θ = Mc.
(158)
)
Таковы дифференциальные уравнения, описывающие движение
гироскопа в кардановом подвесе относительно системы координат,
вращающейся в инерциальном пространстве.
§ 25. УПРОЩЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ГИРОСКОПА
В ПОДВИЖНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ
В § 19 было показано, что при установившемся режиме работы
гиромотора угловая скорость собственного вращения ротора
гироскопа остается постоянной:
Φ — ψ sin Θ + ω^ == Ω = const,
в соответствии с чем момент МА практически будет равен нулю.
Поэтому представляется возможным выделить из общей
системы (158) первое уравнение и описать рассматриваемое движение
119

гироскопа двумя дифференциальными уравнениями
+ JDy2 sin Θ cos Θ — JDW (<oD — <oc tg 2Θ) cos 2Θ = MB\
Wu + (J9 + /B2)cos26 + Λ,,sin2©] ± (Ψ + ω0) - /Ωχ
χ (θ + ωΒ) cos Θ— 2JD (ψ + шс) Θ sin Θ cos Θ +
+ JdQ®d cos 2Θ + jd sin Θ cos Θ
d(up
at
+
(159)
+ </βΘω£ — JdW(ub sin Θ cos Θ = Mc.
Согласно зависимостям (37) углы Θ и Ψ поворотов гироскопа
вокруг осей ОВ и ОС подвеса состоят из постоянных величин θ0
и ψ0 и малых приращений θ и ψ. Подставляя зависимости (37)
в уравнения (159) и опуская в них члены, содержащие квадраты
малой величины θ, можем записать
Jb4f(® + ωβ) + /Ω (* + <«>c)cosd0- /ΩΟ (ψ + <oD) X
Χ sinOo + JQ<oD (sind0 + θ cos θ0) + JDip2 (sind0 cos θ0 + θ cos 20) +
+ </ζ/ψ (<dc + 20(oD) srn 2θ0 — JDty (ωη — 0<oc) cos 2θ0 =
[4 + (/. + ^Bz)CGS2d0 + </B,Sin2fl0]
-2(/. + /Μ-/„)0
:M
ib;
sin 00 cos θ0-^- (ψ + <oc) — /Ω
Χ
Χ [ΰ + ωΒ) cosft0 + JQft (ft + ωΒ) sinft0 — 2JD (ψ + ω0) Χ
Χ 0 (sin 00 cos 00 + θ cos 2θ0) + /D<oB (θ — θψ)
Χ (200 + ψ) sin 00 cos 00 + /D (sin 00 cos 00
^ + /Β*ωΒ = Μ*
cos 200 — JD®B X
cos 00 + θ cos 200) Χ
Учитывая принятые ранее обозначения (38) и пренебрегая
величинами 0(oD, 0оос, Οψ и 00, малыми по сравнению с
угловыми скоростями ooD, шс, ψ и θ, выделим, как и выше (§ 11),
в полученной системе ее главные члены, сгруппировав их в левых
120

частях уравнении:
Jb4F (^ + ω^ + «ЛЭ (ψ + <oc)cosd0 + JQ<nD χ
χ (sin θ0 + θ cos θ0) — ΜΒ = /ΩΌ1 (ψ + «с) Χ
Χ sin θ0 — JDty2(sin θ0 cos θ0 + θ cos 2θ0) — JD\p Χ
χ ((ocsin2d0— (oDcos2d0);
^c4· (ψ + ω<:)— J& (# + (DB)cosfl0 -f /D X
Χ sin θ0 cos θ0 ^D
Л1С = —/Ωθ(θ + ωβ) Χ
Χ sin θ0 + 2/D0 sin θ0 cos θ0 -^ (,ψ + ωο) — jd® Χ
χ cos2fl0-^- + 2/D (ψ + ω0) * Χ
Χ (sin θ0 cos θ0 + θ cos 2θ0) — JD(oB χ
χ (ΰ* cos 2θ0 — ψ sin θ0 cos θ0) — JBba)B.
Если в уравнениях (160), описывающих с принятой степенью
точности движение гироскопа в кардановом подвесе относительно
осей координат, вращающихся в пространстве, правые части,
содержащие малые второстепенные члены, приравнять нулю,
то получаемая система
(160)
«^B"5f (* + ωβ) + J® (ψ + o)c)cosd0 + J£1(*>d Χ
X (sin θ0 + θ cos θ0) = ΜΒ\
Jc-ττ (Ψ + <*с)-Л2(Ф + а>д)cosd0 +
+ «/d sin ^οcos ^o
at
= Mr
(161)
будет описывать рассматриваемое движение гироскопа с точностью
до первого приближения. Во многих практических случаях
угловые скорости (oD, ωΒ и сос изменяются столь медленно, что
их производные по времени мало отличаются от нуля, поэтому
система (161) может быть переписана в еще более упрощенном виде:
JBb + J& (ψ + <ос) cos θ0 + JQ(ud (sin θ0 + ^cos θ0) == Λί*;
Усгр — /Ω (θ + ωβ) cos θ0 = Λί c.
Исследовав уравнения (161) или (162), представляется
возможным выяснить основной характер движения гироскопа в
подвижной системе координат при различных возмущениях. Необходимо
121
(162)

иметь в виду, что при θ0 Φ О, когда sin θ0 > Ό* cos θ0, третий
член первого уравнения систем (161) и (162) будет определяться
величиной JQ(oD sin $0. При θ0 = 0 это слагаемое будет
характеризоваться величиной /ΩούβΌ1.
§ 26. ИССЛЕДОВАНИЕ В ПЕРВОМ ПРИБЛИЖЕНИИ ДВИЖЕНИЯ
ГИРОСКОПА В ПОДВИЖНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ
Представим, что гироскоп установлен в подвижной системе
координат таким образом, что его главная ось составляет с
перпендикуляром OD угол θ0, отличный от нуля и -γ. При этом условии
входящее в уравнения (162) слагаемое Ocos00 будет величиной
второго порядка малости по сравнению с sin θ0. Опуская на этом
основании величину θ cos θ0 и предполагая, что внешние силы
не создают моментов относительно осей подвеса гироскопа (Мв =
= Мс = 0), перепишем систему уравнений (162) в следующем
виде:
/βθ + /Qtj>cosfl,0 = —/Ω (ooccosd0 + ω^ sin θ0);
/ci|i» — /ΩΦ cos θ0 = /Ωωβ cos θοι.
Полученная система неоднородных дифференциальных
уравнений (163) имеет частные решения
•Ьг = — ωβ; ψΓ = — (uc— <uDtgfl0, (164)
из которых следует
Ог = —ίωβ£/ί; ψΓ = -ί(ω<Η-ω^<>ο)έ/Λ (165)
Нетрудно убедиться, что система соответствующих
однородных дифференциальных уравнений
/вФ + Л2фсо5ф0 = 0,
/сф —/QGcosG0 = 0
ничем не отличается от рассмотренной выше системы (50), решение
которой определялось выражениями (57).
Таким образом, общее решение системы уравнений (163)
будет иметь вид
θ = Сх cos nt + C2 sin nt -f C3 — f ωΒ dt\
rr с (I66)
ψ = у ^(dsin/if — Cacos/i0 + C4 -J (<uc + G>Dtgfl0)d/.
Первые три члена каждого полученного выражения
характеризуют нутационные колебания гироскопа (см. § 14). Последние
члены выражений (166) определяют систематические уходы
гироскопа в подвижной системе координат Οξηζ. Необходимо отметить,
12?
(163)

что угловые скорости этих уходов, определяемые по
формулам (164), обусловливаются двумя принципиально различными
причинами. Представим, чтр θ0 = 0. При этом условии угловые
скорости гироскопа в системе координат Οξηζ, как это следует
из выражений (164), будут равны
(167)
— — ω
в»
ψ = — (uc.
В данном случае скорости θ и ψ поворота гироскопа вокруг
осей подвеса ОВ и ОС относительно системы Οξηζ (рис. 52) будут
равны по величине, но
a) *?
fO
Рис. 53. К объяснению видимого ухода
гироскопа.
противоположны по
направлению угловым скоростям
ωΒ и сос поворота в
пространстве вокруг тех же
осей О В и ОС самой
координатной системы Οξ η ζ.
Пусть, например, в
начальный момент времени при
/ = 0 (рис. 53, а) главная
ось ОА гироскопа была
совмещена с осью Οξ и
направлена на неподвижную
в мировом пространстве
звезду L. Через некоторое
время /= τ вследствие
вращения в пространстве
вокруг наружной оси
подвеса гироскопа с угловой скоростью (ос координатные оси Οξηζ
займут новое положение, показанное на рис. 53, б. При этом
τ
ось Οξ отклонится от направления OL на угол J (acdt. Главная
о.
ось ОА гироскопа, сохраняя неизменным свое положение в
пространстве, совмещенное с направлением OL, к моменту
времени t = χ составит с осью ,Οξ угол ψ, равный согласно
формулам (167)
χ
ψ = — §<ucdt.
о
Таким образом, при отсутствии сил трения в опорах вращение
координатных осей Οξηζ вокруг осей подвеса ОВ и ОС не будет
влиять на положение гироскопа в пространстве. Поворачиваясь
вокруг осей подвеса, координатная система изменяет лишь свое
положение по отношению к гироскопу. Вот почему скорости ϋ
и φ перемещения гироскопа относительно подвижной системы
координат, определяемые по выражениям (167), принято называть
угловыми скоростями видимого ухода гироскопа.
123

Необходимо отметить, что для гироскопических приборов,
которые не имеют специальных устройств, удерживающих кольца
карданова подвеса во взаимно-перпендикулярном положении,
формулы (167) справедливы лишь для весьма непродолжительных
отрезков времени. Как только перпендикулярность колец карданова
подвеса будет нарушена и угол θ0 станет отличным от нуля,
гироскоп начнет перемещаться относительно подвижной
координатной системы с угловыми скоростями, определяемыми по
выражениям (164).
Из выражений (164)
следует, что угловая скорость
относительного поворота
гироскопа вокруг оси ОС
изменится на величину
— 0L>Dtgdo. Движение
гироскопа с угловой скоростью
— 0L>Dtgd0 порождается его
вынужденным поворотом
совместно с координатной
системой Οξηζ вокруг оси 0D
с угловой скоростью ω£).
Вектор кинетического
момента /Ω гироскопа,
совмещенный с его главной осью
ОА, составляете
перпендикуляром 0D угол θ0 (рис. 54).
При сообщении ротору
вращения со скоростью ωΩ
гироскоп будет вынужден поворачиваться вокруг двух осей
одновременно: вокруг оси ОА с угловой скоростью Ω и вокруг оси OD
с угловой скоростью сод. В результате такого сложного движения
возникает момент гироскопической реакции (см. § 7), вектор
которого равен JQ(uDsin θ0 и совмещен с отрицательным
направлением оси ОВ. Взаимодействие гироскопического момента и
составляющей /Ω cos θ0 кинетического момента /Ω и вызывает
прецессионное движение гироскопа в пространстве вокруг его наружной
оси ОС с угловой скоростью, равной согласно (32)
ι . ι /Ωωη siniK
1*1° Л)Дсо»».0=<ВдЦд°
и направленной в сторону отрицательных значений угла ψ.
Как видим, при вращении корпуса гироскопа в пространстве
его ротору в общем случае сообщается вынужденный поворот
вокруг оси, не совпадающей с главной. В результате этого
гироскоп начинает вращаться вокруг наружной оси ОС с угловой
скоростью ψ = —cdd tg θ0, что обусловливает его отклонение от
первоначального положения в пространстве.
I _ЛЦ5Ц
" JS1 cosi>0
Рис. 54. Прецессия гироскопа,
порождаемая его вынужденным поворотом вокруг
оси 0D.
124

§ 27. ДВИЖЕНИЕ ГИРОСКОПА В КАРДАНОВОМ ПОДВЕСЕ,
ОСНОВАНИЕ КОТОРОГО ЗАКРЕПЛЕНО НЕПОДВИЖНО
НА ЗЕМНОЙ ПОВЕРХНОСТИ, ОТНОСИТЕЛЬНО ПЛОСКОСТЕЙ
ГОРИЗОНТА И МЕРИДИАНА
Во многих практических случаях необходимо иметь ясное
представление о характере движения гироскопа по отношению
к ориентирам, сохраняющим неизменное положение на земной
поверхности. Земной шар непрерывно вращается вокруг своей
оси, и земные ориентиры,
участвуя в этом вращении, также
непрерывно изменяют свое
положение в мировом пространстве.
Поэтому для выяснения
законов движения гироскопа
относительно земных ориентиров
необходимо (см. § 26) составить
суждение о характере движения в
мировом пространстве самих
ориентиров.
Представим себя
наблюдателем, находящимся на Земле
в какой-либо точке Л (рис. 55).
Вокруг себя мы будем видеть
некоторую поверхность,
называемую обычно видимым
горизонтом. Эта поверхность
ограничивается линией горизонта
(N)W(S)E, по которой видимый Рис. . 55. К определению вращения
горизонт как бы сливается С в пространстве плоскостей горизонта
кажущимся нам шароообразным и меридиана,
небесным сводом. По сравнению
с радиусом Земли размеры видимого горизонта ничтожно малы,
поэтому его поверхность отождествляют с плоскостью,
касательной к земной поверхности в данной точке Л. Эту плоскость
называют плоскостью горизонта.
Восточная и западная стороны горизонта разделяются
полуденной линией (N) (S), проходящей через точку наблюдения А
и точки севера (N) и юга (S). Точка Z, находящаяся вертикально
над наблюдателем, называется зенитом, а линия AZ, соединяющая
точку зенита Ζ с местом наблюдения А, — вертикалью данного
места. Если не учитывать, что Земля несколько сплюснута у
полюсов, и полагать ее идеальным шаром, то вертикаль ΑΖ можно
считать совмещенной с радиусом Земли 03А. Вертикальная
плоскость (N)AZy проходящая через точку наблюдения Л, ее зенит Ζ
и точки севера (Ν) и юга (S), является плоскостью меридиана
данного места.
125

Неподвижные на земной поверхности ориентиры сохраняют
неизменным свое положение относительно плоскостей горизонта
и меридиана. Поэтому неподвижную на земной поверхности
координатную систему Oξηζбyдeм ориентировать таким образом, чтобы
ось Οξ была направлена по полуденной линии (N) (S) на север (Ν),
ось О η — в плоскости горизонта на запад W, а ось Οζ совмещена
с вертикалью ΑΖ.
Оставаясь неподвижной относительно земных ориентиров,
координатная система Οξηζ будет участвовать во вращении Земли,
которая совершает поворот вокруг своей оси NS за 24 часа, а
точнее, за 23 часа 56 минут и 4,1 секунды, непрерывно вращаясь с
постоянной угловой скоростью
Ω* = ьШХ = °'729,10"4 сек·"1- (168)
Это так называемое суточное вращение Земли будет
обусловливать непрерывное изменение положения плоскостей горизонта и
меридиана в пространстве.
б общем случае координатная система Οξηζ будет вращаться
в пространстве одновременно вокруг полуденной линии (N) (S) и
вертикали ΑΖ. Действительно, вектор угловой скорости Ω3
суточного вращения Земли всегда совмещен с плоскостью меридиана
и составляет с полуденной линией (N) (S) угол, равный широте
места φ. Эго обусловлено, (рис. 55) перпендикулярностью осей
NS и 03D, Οξ и Οζ. Следовательно, проекции вектора Ω3 на оси
координатной системы Οξηζ определятся выражениями
(u|^Q3cosq); ωη = 0; ωζ = Ω38ίηφ.. (169)
Равенства (169) подтверждают, что при расположении точки А
под любой географической широтой φ, плоскости горизонта и
меридиана данного пункта земной поверхности одновременно
вращаются вокруг полуденной линии (N) (S) с угловой скоростью ωξ
и вертикали ΑΖ с угловой скоростью ωζ. При расположении
точки А на экваторе, где φ = 0, система координат Οξ η ζ вращается
ТОЛЬКО ВОКруг ПОЛуДеННОЙ ЛИНИИ (N) (S) С УГЛОВОЙ СКОРОСТЬЮ (ΰξ =
= Ω3. Если же точка А будет находиться на полюсе, где φ = -γ ,
то оси Οξηζ будут вращаться лишь вокруг вертикали ΑΖ с
угловой скоростью ωζ, равной в данном случае также угловой
скорости Ω3 суточного вращения Земли. Заметим, что ωξ и ωζ часто
называют горизонтальной и вертикальной составляющими
угловой скорости суточного вращения Земли.
Выясним, с какими скоростями гироскоп в кардановом подвесе,
свободный от воздействия моментов внешних сил, будет
перемещаться относительно плоскостей горизонта и меридиана.
Установим его неподвижно на земной поверхности так, чтобы наружная
ось ОС (рис. 52) совместилась с вертикалью Οζ. В этом случае
126

λ = σ = О и, следовательно, угловые скорости ωβ, б)с и (ud
вращения в пространстве системы Οξηζ вокруг осей ОВ, ОС и 0D
будут согласно (153) определяться выражениями
ωβ = — ωξ sin Ψ + ωη cos Ψ;
cdc = ωζ;
(oD = ως cos Ψ + ωη sin Ψ.
Учитывая условие (37), перепишем последние равенства,
пренебрегая в них величинами высших порядков малости:
ωβ = — ωξ sin ψ0 + ωη cos ψ0;
ωΒ = (u|CosiJ)0 + ωη sin ψ0.
Подставив в равенства (170) значения (169) угловых скоростей
вращения в пространстве координатной системы Οξηζ,
ориентированной по плоскостям горизонта и меридиана (рис. 55), получим
ωΒ = — Q3cos φ sin ψ0; ]
(йс = Ω3 sin φ;.
(ud = Q3cos (pcosi|)0.
(170)
(171)
Подставив (171) в (164), найдем угловые скорости
систематического отклонения гироскопа от плоскостей горизонта и меридиана
θ = — ω в ■■= Ω4 cos φ sin \bn; )
3 Ψ Ψο (172)
ψ = — coc — cujtgflo = — Q3sin φ— Q3cos (pcosip0 tgft0, j
вызываемые суточным вращением Земли.
Уравнения (172) дают возможность в каждом конкретном
случае выяснить характер отклонения гироскопа, установленного
неподвижно на земной поверхности, от плоскостей горизонта и
меридиана. Известно, что углы Θ и Ψ (рис. 52), определяющие эти
отклонения, состоят согласно равенствам (37) из двух
слагаемых: Θ = θ0 + θ; Ψ = ψ0 + ψ·
Для вычисления их изменений с течением времени
приближенными методами численного интегрирования х разобьем период
времени /, в течение которого необходимо определить отклонение
гироскопа, на k равных промежутков А/. Полагаем, что в каждый
промежуток Л/ь Δ/2, Δ/3, . . ., Δ4 углы Θ и Ψ постоянны и равны
соответствующим начальным значениям Όόι, θ02, ^оз> · · ·> ®ok и
Ψοι> Ψο2> Ψο3> · · ·>Ψο*· При этом условии в каждом промежутке
времени приращения углов -θ и ψ будут происходить с постоянными
1 См.: В. И. С м и ρ н о в. Курс высшей математики. Т. I, Гостехиздат,
1948, стр. 259.
127

угловыми скоростями #ι, θ2, θ3, . . ., θ* и ψχ, ψ2, ψ3, . . ., ψΛ.
Поэтому каждые последующие начальные значения у лов θ0 иг|)0 будут
определяться зависимостями
^os = #оа + #а Δ''> Ψο3 = Ψ02 + % Δ*;
Чем меньшими будут значения Δ/, тем точнее определится
рассматриваемое отклонение гироскопа от плоскостей горизонта
и меридиана при численном интегрировании.
о Пример 13. Определить изменения во времени углов отклонения
главной оси гироскопа в кардановом подвесе от плоскостей горизонта и меридиана.
Гироскоп установлен неподвижно на земной поверхности под широтой φ = 50°;
его наружная ось ОС совмещена с вертикалью Οζ (рис. 52), а главная ось О А
в начальный момент времени совмещена с полуденной линией Οξ.
Угловые скорости (172) отклонения главной оси гироскопа от плоскостей
горизонта и меридиана, учитывая значение угловой скорости Ω3 суточного
вращения Земли (168), будут определяться выражениями
θ = Ω3 cos φ sin ψ0 = 0,729· ΙΟ"4 cos 50° sin ψ0 = 0,469· ΙΟ"4 sin ψ0 сек."1;
ψ = — Ω3 sin φ — Ω3 cos φ cos ψ0 tg θ0 = — 0,729· 10~4 (sin 50° +
4- cos 50° cos ψ0 tg θ0) = — 0,558· 10~4 — 0,469· ΙΟ'4 cos ψ0 tg θ0 сек.'1,
или соответственно
o = 0,469-10~4-57,3-60-sint0 = 0,16sint0 град./мин.;
ψ = _ Ю"4 (0,558 + 0,469 cos ψ0 tg θ0) 57,3-60 =
= —0,19 — 0,16 cos ψ0 tgO0 град./мин.
Γ^ Выбрав Δ^= 15 мин., численно проинтегрируем полученные выражения
угловых скоростей в пределах каждого промежутка времени и определим по
формулам (173) изменения углов отклонения гироскопа. Результаты вычислений для
рассматриваемого случая приведены в табл. 1.
Таблица 1
Углы отклонения главной оси гироскопа от плоскостей горизонта
и меридиана при вертикальном расположении его наружной оси подвеса
и неподвижном положении его корпуса на земной поверхности
Время
мин.
t
0
15
30
45
60
Промежуток
времени,
мин.
At
0
15
15
15
15
Углы отклонения
гироскопа, град.
*о
0
0
0,11
0,31
0,63
Ч>0
0
— 2,25
— 4,50
— 7,37
—10,23
Угловые скорости
отклонения гироскопа,
град/мин.
* Ι ψ
0
0,007
0,013
0,021
—0,19
—0,19
—0,191
—0,1914
(173)
128

По данным таблицы могут быть построены графики изменений во времени
углов отклонения главной оси гироскопа в кардановом подвесе от плоскостей
горизонта и меридиана.
Аналогично могут быть построены графики углов отклонения главной оси
гироскопа, оси которого в начальный момент расположены произвольно по
отношению к плоскостям горизонта и меридиана.
§ 28. ОТКЛОНЕНИЕ ОТ ЗЕМНЫХ ОРИЕНТИРОВ ГИРОСКОПА
В КАРДАНОВОМ ПОДВЕСЕ, ОСНОВАНИЕ КОТОРОГО
НЕПОДВИЖНО НА ЗЕМНОЙ ПОВЕРХНОСТИ, А ОСИ ПОДВЕСА
ЗАНИМАЮТ ПРОИЗВОЛЬНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ
Рассмотрим отклонение главной оси гироскопа от земных
ориентиров в более общем случае, когда его наружная ось подвеса ОС
(рис. 52) составляет с вертикалью Οζ произвольный угол λ, а ее
проекция OD на плоскость горизонта ξΟη в начальный момент
времени расположена под углом σ к полуденной линии Οξ. При
таком расположении гироскопа угловые скорости ωβ, ω0 и ωΩ
вращения в пространстве системы координат Οξηζ будут
определяться по выражениям (153). Учитывая зависимости (37) и
пренебрегая в них величинами высших порядков малости, будем
иметь
ωβ = — (ΰξ (sin σ cos ψ0 + cos σ cos λ sin ψ0) -f-
+ ωη (cos σ cos ψ0 — sin σ cos λ sin ψ0) + ωζ sin λ sin ψ0;
(йс = ο)ξ cos σ sin λ -f ωη sin σ sin λ + ωζ cos λ;
ωο = ωξ (cos σ cos λ cos ψ0 — sin σ sin ψ0) -f
+ ωη (sin σ cos λ cos ψ0 + cos σ sin ψ0) — ωζ sin λ cos ψ0.
Подставив в (174) значения угловых скоростей ωξ, ωη и ωζ из
(169), для случая совмещения подвижной координатной
системы Οξηζ (рис. 55) с плоскостями горизонта и меридиана будем
иметь
ωв = — Ω3 cos φ (sin σ cos ψ0 -|- cos σ cos λ sin ψ0) + ]
+ Ω3 sin φ sin λ sin ψ0;
(oc = й3со5 φ cos σ sin λ f Ω3 sin φ cos λ; Ι π 75)
ωο = Ω3 cos φ (cos σ cos λ cos ψ0 — sin σ sin ψ0) —
— Ω3 sin φ sin λ cos ψ0. J
Для определения угловых скоростей отклонения оси гироскопа
относительно земных ориентиров воспользуемся формулами (164).
129

Подставив в них значения угловых скоростей (175), найдем
Ь = Ω3 cos φ (sin σ cos ψ0 + cos σ cos λ sin ψ0) —
— Ω3 sin φ sin λ sin ψ0;
ψ = — Ω3 cos φ cos σ sin λ — Ω3 sin φ cos λ —
— Ω3 cos φ (cos σ cos λ cos ψ0 — sin σ sin ψ0) tg θ0 +
+ Ω3 sin φ sin λ cos ψ0 tg θ0.
(176)
Численно проинтегрировав выражения (176), определим
изменения углов отклонения главной оси от земных ориентиров.
§ 29. ДВИЖЕНИЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ЗЕМНЫХ ОРИЕНТИРОВ
ГИРОСКОПА В КАРДАНОВОМ ПОДВЕСЕ ПРИ ПЕРЕМЕЩЕНИИ
ЕГО ОСНОВАНИЯ У ЗЕМНОЙ ПОВЕРХНОСТИ
ПО ЛОКСОДРОМИИ
При установке гироскопа на подвижном объекте точка его
подвеса уже не будет оставаться неподвижной относительно земной
поверхности. Перемещаясь вместе с подвижным объектом,
гироскоп будет отклоняться от земных ориентиров с угловыми
скоростями, отличными от скоростей, определяемых по выражениям
(176).
Представим, что гироскоп в кардановом подвесе установлен
на летательном аппарате, движущемся относительно земной
поверхности со скоростью V (рис. 56). В общем случае вектор V,
характеризующий скорость и направление движения центра
тяжести летательного аппарата, может составлять с плоскостью
горизонта ξΟη угол тангажа β и с плоскостью меридиана ξΟζ курс а.
Такое движение состоит из трех перемещений: вдоль вертикали Οζ
к зениту Ζ со скоростью Vz = V sin β, вдоль полуденной линии Οξ
к северу N со скоростью |V^.= VT cos α = V cos β cos α и по
параллели вдоль оси О η к западу W со скоростью Vw = Vrsin α =
= V cos β sin α.
Вертикальная составляющая Vz характеризует скорость
изменения высоты h центра тяжести летательного аппарата над
точкой А земной поверхности, расположенной на уровне моря под
широтой φ. Если в точке старта высота места равна Л0, то
дальнейшее изменение высоты полета h будет происходить по закону
h = h0 + J Vzdt = h0 + J V sin β at (177)
и, следовательно, удаление центра тяжести объекта от центра 03
Земли, характеризуемое радиусом-вектором R, согласно (1)
определится выражением
R = R3 + h0 + $Vsm$dt. (178)
130

Меридиональная составляющая VN характеризует скорость
перемещения подвижного объекта в плоскости меридиана ξΟζ. Такое
перемещение представляет собой вращение центра тяжести объекта
вокруг центра Земли 03 с угловой скоростью
V cos β cos α , t _пч
й * (179) ξ
ω.
Вращение объекта в
плоскости меридиана ξΟζ (рис.
56) вызывает непрерывное
изменение географической
широты φ того пункта земной
поверхности, над которым
в данный момент находится
объект. Если в точке старта
широта места была равна φ0,
то дальнейшее ее изменение
будет подчиняться
зависимости
<P = <Po + i«Md/,
или, учитывая равенство
(179),
. f V cos β cos α j.
Ψ^ Ψο +J £ dt.
Наконец,
(180)
составляющая
Рис. 56. К определению вращения центра
тяжести объекта вокруг земного шара.
Vw характеризует скорость
движения центра тяжести
объекта при перемещении его
по параллели. Такое
движение представляет собой вращение центра тяжести объекта вокруг
земной оси NS по дуге окружности радиуса
R* = R cos φ
с угловой скоростью
®NS =
Vw
V cos β sin α
λ! cos φ
(181)
Спроектируем угловые скорости ωΜ и ω^5 на координатные
оси Οξηζ, ориентированные по плоскостям горизонта и меридиана,
и учтем, что направление вектора ωΜ перпендикулярно плоскости
меридиана ξΟζ; в результате будем иметь
ω*
<Otf5cos<p;
ωη = ωΜ;
ωε = -
cousin φ,
131

или, подставляя значения входящих в полученные· равенства бе-
личин из выражений (179) и (181),
V cos β sin α л
ω*
ωτ
(Or
R
V cos β cos α л
R
V cos β sin α
tgq>.
(182)
Сумма проекций (182) и (169) определяет угловые скорости
^ V cos β sin α
ωι = Q3coscp ± ;
ωγ1
V cos β cos α #
R '
гл . V cos β sin α . .
ωζ - Ω3 sin φ £ tg φ,
(183)
с которыми координатная система Οξηζ будет поворачиваться
в пространстве вокруг своего начала О, совмещенного с точкой
подвеса гироскопа.
Между двумя пунктами А и
В на земной поверхности (рис.
57) объект может перемещаться
по двум принципиально
различным траекториям. Первая
траектория, называемая
ортодромией, является кратчайшим
расстоянием между пунктами А
и В. Она представляет собой
дугу окружности S,
расположенную в плоскости большого
круга, которая проходит через
точки 03, А и В. Центр
окружности S совмещен с центром
Земли 03. При перемещении по
ортодромии курс объекта непрерывно
изменяется, так как ах 4= а2·
Вторая траектория,
называемая локсодромией,
представляет более длинный путь L между пунктами А и В. При
перемещении по локсодромии объект движется с постоянным курсом,
так как а* = а* = а* = const.
Рассмотрим характер изменения углов отклонения гироскопа
от земных ориентиров при движении его основания относительно
земной поверхности по локсодромии. Представим, что гироскоп
Рис. 57. Перемещения по ортодромии
и локсодромии.
132

установлен на корабле (рис. 58), движущемся с постоянным
курсом α к плоскости меридиана ξΟζ и постоянной скоростью V.
В этом случае угловые скорости (183) вращения в пространстве
координатных осей, совмещенных с плоскостями горизонта и
меридиана, будут равны
Следовательно, угловые скорости системы отсчета Οξηζ при
ее вращении в пространстве вокруг осей ОВ, ОС и OD в
соответствии с равенствами (170) определятся выражениями
ωΒ = — Ω3 cos φ sin ψ0 + — cos (α — ψ0);
^ . I/sin α .
coc - Ω3 Sin φ £— tg φ;
<oD =- Q3cos9cosiJ)0 ρ- sin (α— ψ0).
Таким образом, угловые скорости отклонения оси гироскопа
от плоскостей горизонта и меридиана согласно формулам (164)
133

будут равны
ϋ = Q3cos φ sin ψ0 o~~cos(<x— Ψο)ί
A3
^ . . Κ sin a . .
ψ == — Ω8 sin φ -Ι ^— tg φ —
— [Ъз cos φ cos ψ0 — -^- sin (a — ψ0) J tg φ.
1С
(184)
Рис. 59. Углы отклонения гироскопа от вертикали.
Численное интегрирование угловых скоростей (184) в пределах
малых промежутков времени, как это было показано в §27,
позволяет найти с заданной степенью точности изменения углов
отклонения гироскопа от·плоскостей горизонта и меридиана, Подоб-
134

ная схема расположения гироскопа не является единственно
возможной. Его наружной оси ОС можно придать любое положение
на объекте, что будет оказывать непосредственное влияние на
характер отклонения гироскопа от земных ориентиров. Так,
например, при установке гироскопа на летательных аппаратах его
наружную ось ОС часто совмещают с продольной осью Осхс объекта
(рис. 59). В этом случае отклонение гироскопа от земных
ориентиров будет зависеть от положения его главной оси О А относительно
вертикали Οζ. Чтобы определить угловые скорости отклонений
гироскопа от горизонта и меридиана, ориентируем оси ОА, ОВ
и ОС так, чтобы ось ОС была совмещена с отрицательным
направлением оси Осхс, ось О В направлена в сторону левого борта объекта,
а ось ОА — в сторону зенита.
Выбранная ориентация осей подвеса гироскопа позволяет
определить отклонение его главной оси ОА по значениям двух углов 00
πψ0. Для определения угловых скоростей ϋ и ψ приращения углов θ
и ψ со временем необходимо найти проекции угловых скоростей ωξ,
ωη и ω,, на оси ОВ, ОС и OD. Воспользуемся для этого
выражениями (174). Учтем, что в рассматриваемом случае угол λ между
осями Οζ и ОС (см. рис. 52) равен
Ё результате получим:
π
, а угол σ — углу α (рис. 59).
ω
в = — (ΰξ sin α cos ψ0 -f- ωη cos α cos ψ0 — ωζ sin ψ0;
coc = — oleosa— ωη sin a;
ωΩ — — cog sin a sin ψ0 -f ωη cos a sin ψ0 -f ως cos ψ0.
Подставив в полученные выражения значения угловых
скоростей ωξ, ωη и ωζ из (183), найдем:
ωΒ » — Ω3 (cos φ sin a cos ψ0 + sin φ sin ψ0) -f-
V cos 6
Η £-^ (cos ψ0 + sin a tg φ sin ψ0);
(oc = — Ω3 cos φ cos a;
cud = — Ω3 (cos φ sin a sin ψ0 — sin φ cos ψ0) +
V cos β
Η ^-^ (sin ψ0 — sin a tg φ cos ψ0).
(185)
Заменив в (164) величины угловых скоростей ωβ, оос и ωΩ их
значениями (185), найдем угловые скорости отклонения главной
135

оси гироскопа относительно земных ориентиров:
О = Ω3 (cos φ sin α cos ψ0 -f sin φ sin ψ0) —
У C0S β / ι ι · lr* · ι \
£-L (cos ψ0 + sin α tg φ sin ψ0);
ψ =■- Ω3 cos φ cos α -f Ω3 (cos φ sin α sin ψ0 —
. \ ι^ α V COS β
— sin φ cos ψ0) tg *0 ^- Χ
Χ (sin ψ0 — sin α tg φ cos ψ0) tg ft0.
(186)
В результате интегрирования выражений (184) и (186) можно
в каждом конкретном случае определить характер изменения во
времени углов отклонения главной оси гироскопа от земных
ориентиров, сохраняющих неизменным свое положение по
отношению к плоскостям горизонта и меридиана.
Пример 14. Определить характер изменения во времени углов
отклонения от вертикали главной оси гироскопа, установленного на летательном аппарате
(рис. 59), совершающем горизонтальный полет (β = 0) на постоянной высот»
h = 4000 м над уровнем моря со скоростью V— 1200 км/час и курсом а= 0
к плоскости меридиана. Начальные значения углов φ0 = 60°, ft0 = 0 и ψ0 = 0.
Так как средний радиус Земли R3 = 6371 км, то текущее значение
широты φ при постоянных значениях скорости V и курса α будет в нашем случае
определяться согласно формуле (180) выражением
Vt βΛ , 1200·/ 57,3 βΛ , _lfi.
Ф = Фо + Х = 60-1- 637i+4 -gg-= 60 + 0.18* град.
Угловая скорость суточного вращения Земли (168), измеренная в градусах
в минуту,
Ω3= 0,729-Ю'4-57,3-60= 0,25 град./мин.
Таким образом, угловые скорости отклонения главной оси гироскопа от
вертикали, определяемые выражениями (186), в рассматриваемом случае будут
равны
Ь = 0,25 sin (60 + 0,18/) sin ψ0 — 0,18 cos ψ0;
ψ = 0,25 cos (60 + 0,18/) — 0,25 sin (60 + 0,18/) cos ψ0 tg θ0 —
— 0,18 sin totgft0.
Промежуток времени Δ/, в течение которого угловые скорости θ и ψ считаем
постоянными, примем равными 15 мин. Для каждого такого промежутка
времени вычислим угловые скорости θ и ψ и по (173) определим отклонения
гироскопа от вертикали. Результаты вычислений сведены в табл. 2.
36

Таблица 2
Углы отклонения от вертикали главной оси гироскопа,
установленного на подвижном объекте
Время, мин.
t
0
15
30
45
60
Промежуток
времени,
мин.
Углы отклонения
гироскопа, град.
Δί | Фо
0
15
15
15
15
0
— 2,7
— 5,3
— 7,8
— 10,1
Ψο
0
1,88
3,77
5,66
7,53
Широта,
град.
φ
60
62,7
65,4
68,1
Угловые скорости,
град/мин.
ь
—0,18
—0,17
—0,165
—0,156
Ψ 1
0,125
0,126
0,126
0,127
§ 30. ДВИЖЕНИЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ЗЕМНЫХ ОРИЕНТИРОВ
ГИРОСКОПА В КАРДАНОВОМ ПОДВЕСЕ ПРИ ПЕРЕМЕЩЕНИИ
ЕГО ОСНОВАНИЯ У ЗЕМНОЙ ПОВЕРХНОСТИ ПО ОРТОДРОМИИ
Рассматривая перемещение объекта по ортодромии, будем
полагать, что объект движется по дуге большого круга между
пунктами А и В (рис. 60).
Выберем на траектории
движения два близлежащих
пункта С и D и определим
приращение угла α за
время Δ t перемещения
объекта между ними.
Обозначим курс объекта и широту
его местоположения в
точке С через α и φ. При
достижении объектом пункта
D курс и широта станут
равными α+Αα и φ +
+ Δφ. На основании
теоремы синусов для
сферического треугольника NCD
можем записать
sin (А/, С)
sin /.NDC
sin (A/, D)
sin L NCD
или, подставив в
последнее равенство значения
Рис. 60. К определению изменения курса
объекта при его перемещении по дуге
большого круга.
входящих в него величин,
sin (τ ~~φ) sin (τ ~~ φ ~~ Δφ)
sin (π — α —- Δα)
sin α
137

Произведя в полученной зависимости простейшие
тригонометрические преобразования, будем иметь
cos φ _ cos (φ -f Δφ)
sin (α -f- Δα) "~~ sin α '
откуда следует
sin α cos φ = sin (α + Δα) cos (φ + Δφ),
или
sin α cos φ = (sin α cos Δ α + cos α sin Δ α) (cos φ cos Δφ —
— sin φ sin Δφ).
За малое время Δ t приращения Δ α и Δφ будут малы. Приравняв
на этом основании косинусы малых углов единице, а их синусы
величинам самих углов, перепишем найденное равенство в
следующем виде:
sin α cos φ = sin α cos φ + Δ α cos α cos φ — Δφ sin α sin φ —
— ΔαΔφ cos α sin φ
или после сокращений
Δα= A<ptgasin<p ш (187)
cos φ — Δφ sin φ ν 7
Для определения приращения Δφ угла φ обратимся к
сферическому треугольнику CDE. При расположении точек С и D в
непосредственной близости этот треугольник можно рассматривать
как плоский прямоугольный. При таком допущении можем
записать
ED = CD cos (α + Δα),
Отрезок CD (рис. 60) равен пути, пройденному за время Δί
объектом, движущимся со скоростью V, поэтому
ED =» WW cos (α + Δα).
Деля найденную величину отрезка ED на расстояние R от
точки D до центра Земли 03, определим искомую величину
угла Δφ:
А ED VM , , ж \
Δφ β "ТГ ж ~ΊΓ C0S ^ + Δ(Ζ)'
при малом значении угла Δα
Δφ = —Б- (cos α — Δα sin α).
A
Подставив полученное значение Δφ в выражение (187), находим
А VAt cos α — Δα sin α .
Δα = —тг τ—: tg α sin φ,
R cos φ—Δφ sin φ ь т
138

откуда
Δα V cos α— Δα sin α ,^
-π- = -=: τ tga sin φ.
Μ R cos φ—Δφ sin φ fe Ύ
При Δ/, стремящемся к нулю,
cos α — Δα sin α
cos φ — Δφ sin φ
_ cos α
Δί->ο~~ cos φ
и поэтому в пределе скорость приращения курсового угла
a = W==-R'sinatgV· (188)
Сравнив (188) с формулами (182), нетрудно заметить, что при
горизонтальном полете угловая скорость α равна по величине,
но противоположна по направлению угловой скорости ωτ
вращения в пространстве вокруг вертикали Οζ координатной
системы Οξηζ, ориентированной по плоскостям горизонта и меридиана.
Поэтому при движении объекта по ортодромии скорость Vэтого
движения не будет порождать дополнительного вращения в
пространстве плоскости меридиана ξΟζ, как это имело место при
движении объекта по локсодромии (см. § 29). Действительно, при
движении объекта по дуге большого круга со скоростью V его
центр тяжести поворачивается вокруг центра Земли 03 с угловой
скоростью
со-Х. (189)
Вектор ω направлен по оси 03Р, перпендикулярной
плоскости 03LACDFB большого круга. Поэтому, спроектировав ω на
координатные оси Οξηζ, ориентированные по плоскостям
горизонта и меридиана пункта С земной поверхности, будем иметь
ούξ =r cucos(cu^i;); ωη = ω cos (ω, η); ωζ = ω cos (ω, ζ). (190)
Для определения косинусов углов воспользуемся схемой
рис. 60. Вектор ω расположен перпендикулярно плоскости
большого круга, поэтому
cos (ω, ζ) =coSy. (191)
При перемещении по дуге большого круга объект может
удалиться от экватора только до вполне определенного значения фт
угла широты, вследствие этого
cos (ω, К) =cosiy — ц)т\ = sin <рл
139

Оси 03U и Οη (рис. 60) параллельны, так как каждая из них
перпендикулярна к плоскости меридиана 03NCWS. Поэтому,
обозначив угол, составляемый линиями 03L и 03W пересечения
плоскости экватора соответственно плоскостями большого
круга 03LACDFB и меридиана 03NCWS, через σ, на основании
формулы (30) можем записать
cos (ω, η) = cos (ω, U) =
^cos(~ — (pmjcosa +
. . / π \ . я
+ sm(y — ym) sin acosy,
или
cos (ω, η) = sin cpmcosa. (192)
Для определения косинуса
угла между ω и осью Οξ
воспользуемся вспомогательной
схемой рис. 61. Учитывая,
~ С1 „ что ось 01 лежит в плоскости
Рис. 61. К определению параметров
движения объекта, перемещающегося по дуге меридиана, проведем в этой
большого круга. плоскости прямую 03Q,
параллельную оси Οξ. Прямая
03Q составляет с земной осью NS угол, равный φ. Для
сферического треугольника PNQ, образованного прямыми 03Р, 03Ν и
03Q> в соответствии с формулой (30) следует, что
cos (Ρ, Q) = cos (ω, ξ) = cos [\£ + (JI — cpmJJ cos φ +
+ sin [-J + (y— Vm)] sin φ cos (|- + σ) ,
или после тригонометрических преобразований
cos (ω, ξ) = — cos <pm cos φ — sin (pm sin φ sin σ.
(193)
Подставив значения косинусов углов из (191), (192) и (193)
в выражения (190), будем иметь
— ω (cos <pmcos φ + sin <pm sin φ sin σ);
0)t
ωη = ω sin (pmcosa;
ως = ω cos γ = 0.
140.

Просуммировав полученные угловые скорости с проекциями
вектора Ω3 на оси Οξ, Οη, Οζ (169) и учтя равенство (189), найдем
о)£ = Q3cos φ — -5" (cos <pmcos φ -\- sin q>m sin φ sin σ);
V .
ωη ==-= sin cpmcosa;
ωζ = Ω3 sin φ.
(194)
С угловыми скоростями (194) координатная система Οξηζ,
ориентированная по плоскостям горизонта и меридиана, будет
вращаться в пространстве при движении объекта по дуге большого
круга. Так как скорости ωξ, ωη и ωζ известны, то по
формулам (174) можно определить угловые скорости вращения
координатной системы Οξηζ вокруг осей ОВ и ОС подвеса гироскопа
и перпендикулярной им оси OD, а тем самым и угловые скорости
отклонения оси гироскопа от плоскостей горизонта и меридиана
для рассматриваемого случая движения объекта.
Представим, что гироскоп установлен на объекте таким
образом, что его наружная ось подвеса ОС расположена вертикально
(рис. 58). В этом случае углы λ и σ равны нулю, в связи с чем
выражения (174) принимают вид (170). Подставив в (170) значения
угловых скоростей ω^, (οη и ωζ из (194), будем иметь
ω.
= — ( Ω3 cos φ гг cos Фт cos φ ^~ sin (pm sin φ sin σ j sin ψ0 +
+ -7г sin <pm cos σ cos ψ0;
coc = Ω3 sin φ;
coD = ( Q3cos φ d*cos 9mcos Φ ττ s^n Фт s^n Φ sin tf)cosij)0 +
+ -5- sin фт cos σ sin ψ0.
Подставив найденные значения ωβ, сос и coD в (164), получим
выражения, характеризующие угловые скорости отклонения оси
141

гироскопа от плоскостей горизонта и меридиана:
4 = ( Ω3 cos φ ^- cos <pmcos φ ^- sin cpm sin φ sin σ) Χ
V .
X sin ψ0 Tp sin cpmcos σ cos ψ0;
ψ = — Ω3δίη φ—(Q3cos<p — cosq)mcos(p — ι ^Q5j
— — sin cpm sin φ sin σ ) cos ψ0 tg ft0 —
— -£- sin <pm cos σ sin ψ0 tg O0.
Угол σ зависит от положения центра тяжести подвижного
объекта на дуге окружности большого круга. Обозначив угол,
составляемый прямыми 03С и 03L, через ρ, для сферического
треугольника CWL в соответствии с формулой (30) можем записать:
cos (W,L)= cos (С, W) cos (С, L) + sin (С, W) sin (C, I) cos {_LCW
или, учитывая принятые обозначения углов,
cos σ = cos φ cos ρ + sin φ sin ρ cos α. (196)
Значение угла φ может быть найдено из того же сферического
треугольника CWL. В соответствии с теоремой синусов имеем
sin (С, W) _ sin (С, L)
или
откуда находим
sin/_CLW
sin φ _
sinq>m
sin φ = sin
sin Z.CWL
sin ρ
<Pm sin ρ.
(197)
В свою очередь угол α будет определяться из сферического
треугольника NCF, для которого на основании формулы (30) имеем
cos (F, Ν) = cos (N, С) cos (С, F) + sin (N\ С) sin (С, F) cos LNCF
или
cos(y— cpw) =cos(y — (p)cos(y — ρ) +
+ sin ί~ — φ j sin i — — ρ) cos a.
142

После элементарных преобразований последнее равенство
принимает вид
sin cpm = sin φ sin ρ + cos φ cos ρ cos α,
откуда находим
cosa^sin<Pm--sin<PsinQ> (198)
cos φ cos ρ ν '
По формулам (196)—(198) можно вычислить начальные
значения углов α0, ρ0 и σ. Дальнейшее изменение углов α и ρ будет
зависеть от скорости V подвижного объекта. Эти изменения,
учитывая выражения (188) и (189), подчиняются зависимостям
a = a0 + f adt = a0 + f -g- sin a igq> dt; (199)
V
Q = Q0 + ^di = Q0H- J-£-di. (200)
Численное интегрирование выражения (195) с помощью
вспомогательных формул (196)—(200) дает возможность выяснить
характер изменения углов Φ и ψ отклонения оси гироскопа от
плоскостей горизонта и меридиана при перемещении его точки подвеса
относительно земной поверхности по дуге большого круга.
Пример 15. Определить изменения углов отклонения оси гироскопа,
установленного на летательном аппарате таким образом, что его наружная ось
подвеса ОС совмещена с осью OqZq летательного аппарата (см. рис. 59).
Летательный аппарат совершает горизонтальный полет по дуге большого круга с
постоянной скоростью V = 1500 км/час на высоте h = 12 000 м над уровнем моря.
Плоскость большого круга, по которому совершается полет летательного аппарата,
наклонена к плоскости экватора под углом <рт — 40°. Точка старта летательного
аппарата расположена на широте φ = 30°. В начальный момент времени θ0 — 0
и ψ0 = 0. #
Для определения скоростей θ и ψ изменения во времени углов θ и ψ
вычислим по формуле (189) значение угловой скорости вращения центра тяжести
объекта вокруг центра Земли:
У V 1500 АООА /
I = 0,236 рад./час,
или соответственно
R R3-\-h 6371 + 12
57 3
ω = 0,236-TTjj- = 0,225 град./мин.
По формуле (197) находим начальное значение угла ρ0:
einft sin φ sin 30°
sin ρ0 = ——— — --Γ5 = 0,777,
*υ sin cpm sin 40°
откуда
Qo=51°.
143

Дальнейшее изменение угла ρ будет (определиться зависимостью (200),
которая в данном случае принимает вид
ρ==ρο + Χ/==ρ° + 0'225/·
Разделим время работы прибора на равные промежутки Δ/. Полагая в
течение каждого такого промежутка времени параметры движения объекта
неизменными, вычислим значения ρ для каждого промежутка Δ/. Затем по формуле (197)
определим величину угла φ также для каждого промежутка Δ/:
sin φ = sin q>m sin ρ,
а по формуле (198) — соответствующую величину курса α:
sin(pm— sin φ sin ρ
cos α :
cos φ cos ρ
Ее начальное значение в нашем случае будет равно
— sin(pm —singysin ρ0 _ sin 40°— sin 30° sin 51 _
COS (Zq -— · — jt-Tq =-t-q — U,4oO
υ coscp0a^0 cos 30 cos 51
откуда α0 = 60° 50' = 60°83.
Определив для каждого выбранного промежутка времени Δ/ величины ρ, φ
и α, вычислим по формуле (196) соответствующие значения угла σ (см. рис. 61).
Начальное значение угла σ определится в этом случае равенством
cos σ0 = cos φ0 cos ρ0 -+- sin φ0 sin ρ0 cos α0 =
- cos 30° cos 51° + sin 30° sin 51° cos 60°83 = 0,734,
откуда σ0 = 42° 50' = 42°83.
Подставив в (195) численные значения ρ, α, σ, а также значение (168) Ω3,
выраженное в градусах в минуту времени (см. пример 14), будем иметь
π = ί Ω3 cos φ =- cos cpm cos φ — sin q>m sin φ sin σ J sin ψ0 —
у
=j- sin (pm cos a cos ψ0 = (0,25 cos φ,— 0,225 cos 40° cos φ —
A
— 0,225 sin 40° sin φ sin σ) sin ψ0 — 0,225 sin 40° cos σ cos ψ0;
/ ν
ψ — — Ω3 sin φ — ί Ω3 cos φ — cos фт cos φ —
■ sin фт sin φ sib σ j cos ψ0 tg θ0
о- sin фт cos σ sin % tg θ0 = — 0,25 sin φ —
A
— (0,25 cos φ — 0,225 cos 40° cos φ — 0,225 sin 40° sin φ sin σ) cos ψ0 tg θ0 —
— 0,225 sin 40° cos σ sin % tg θ0,
или
Ь = (0,078 cos φ — 0,145 sin φ sin σ) sin ψ0 — 0,145 cos σ cos ψ0;
144

ψ = —0,25 sin φ — (0,078 cos φ — 0,145 sin φ sin σ) cos ψ0 tg ύ0 —
— 0,145 cos σ sin ψ0 tg θ0.
Время Δ^, в течение которого θ и ψ полагаем постоянными, выберем равным
15 мин. Для каждого такого промежутка вычислим значения θ и ψ и определим
по формулам (173) изменения углов θ0 и ψ0. Результаты вычислений сведем
в табл. 3.
Таблица 3
Углы отклонения главной оси гироскопа от плоскостей горизонта
и меридиана при перемещении его точки подвеса по дуге большого круга
Время t, мин.
0
15
• 30
45
60
Углы, характеризующие
положение подвижного
объекта, град.
0)
gs
* н -
1 £°
1 Я <з
ах и
51
54,38
57,75
61,13
64,50
U О о
1 у £
9-&Э
30
31,5
32,9
34,3
35,5
я
о
α
1
60,83
64,08
66,92
68,08
70,18
σ — между
плоскостями
меридиана и
дуги
большого круга
42,83
46,58
51,01 '
54,42
58,00
Угол отклонения
главной оси
гироскопа от плоскостей,
град.
СО
Η
X
о
со
Я
α
о
0
— 1,59
—3,06
—4,41
—5,64
я
X
Я
К
Я
о,
О) о
0
— 1,87
—3,62
—5,65
—7,75
Угловая скорость
отклонения
гироскопа от
плоскостей, град./мин.
•О
я
χ
о
со
Я
о·
°
—0,106
—0,098
—0,090
—0,082
я
X
Я
Я
Я
α
0) I
2
—0,125
—0,130
—0,135
—0,140
По данным таблицы могут быть построены графики изменения углов θ0 и ψ0
во времени, наглядно характеризующие отклонение главной оси гироскопа от
плоскостей горизонта и меридиана.
§ 31. СИСТЕМАТИЧЕСКИЙ ДРЕЙФ ГИРОСКОПА,
ОБУСЛОВЛИВАЕМЫЙ ВРАЩЕНИЕМ ОСНОВАНИЯ ПРИБОРА
Исследование системы уравнений (160) в первом приближении
показало, что гироскоп, корпус которого вращается в
пространстве, систематически отклоняется от своего первоначального
положения с угловой скоростью —o)D tg 0v Это отклонение происходит
вокруг наружной оси подвеса и сопровождается нутационными
колебаниями, которые в свою очередь (см. § 20—22) порождают
дополнительное отклонение с угловой скоростью, определяемой
по выражению (108). Для вычисления амплитуды изменения
угловой скорости колебаний гироскопа вокруг его наружной оси
подвеса вновь обратимся к выражениям (163). Будем полагать, что в
начальный момент времени
θ (0) = 0; ψ (0) = 0; 6 (0) - 0; ψ (0) = 0.
145

При этих условиях постоянные интегрирования, входящие
в выражения (166), определяются зависимостями
с.=/1
J С (ос + coD tg θ0
С0£
η
с =^ — л/Jc. ω° + ω^ fe ^о. с = λ/ — · ωβ
3 У Jb ' η ' 4 У Jc ' η
или с учетом обозначения
a>c + <oDtgO0 = ωΗ
и равенства (53)
(201)
С,=
с. = -
ΛΩ cos00'
«/Ω cos θ0
с4 =
/Ω cos00
Jb^b
JQ cos θ0
Подставив вычисленные значения постоянных интегрирования
в выражения (166), найдем:
JQ cosOo J ^
ψ =
VJbJc^u „:„ „/ ^βωβ
ΛΩ cos00
+
sin nt
Jb^b
JQ cos00
J Ω cos u0
- J o)H dt.
ψ- cos nt +
(202)
Для определения угловых скоростей систематического
отклонения гироскопа от заданного в подвижной системе координат
направления продифференцируем выражения (202) по времени:
1/ ~f~ ωΗ sin nt — ωΒ cos nt'
ω
в>
ψ = (uHcostt/ -f Ί/ -ρ- (οβ sin η/— ωΗ.
Нетрудно заметить, что два первых члена каждого полученного
выражения характеризуют гармонические колебания угловых
скоростей, а третьи члены — их постоянные составляющие. При
этом амплитуда изменения угловой скорости колебаний гироскопа
вокруг его наружной оси
: ι / 2 . JB 2" ι / ^ωΗ + jb(u%
ψ« = у ω« + τϊ" ω* = V Тс
146

Следовательно, угловые скорости систематического отклонения
главной оси гироскопа от заданного в подвижной системе координат
направления будут с принятой выше степенью точности,
учитывая (108) и (201), определяться значениями
*с. у = # = — ωβί
Фс. у = Ψ + % = — ω0— (oD tgft0 + I (203)
1 J« + J°x tuft ^ω* + /*ω*
^ 2JQcosG0 L^U° Jc
Как видим, даже при отсутствии вредных сопротивлений
гироскоп в кардановом подвесе не остается стабильным в пространстве.
Кроме угловых скоростей ωβ и сос видимого ухода относительно
подвижной системы координат, гироскоп будет иметь еще и
систематический дрейф в мировом пространстве вокруг наружной оси
подвеса.
§32. ВЛИЯНИЕ ВРАЩЕНИЯ ОСНОВАНИЯ ПРИБОРА НА ХАРАКТЕР
ДВИЖЕНИЯ ГИРОСКОПА С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
Рассмотрим характер движения гироскопа с двумя степенями
свободы (см. рис. 41)при вращении корпуса прибора в пространстве.
Совместим с корпусом КП гироскопа подвижную систему
координат Οξηζ (рис. 62) таким образом, чтобы ее оси Οξ и О η были
соответственно параллельны осям OD и ОВ прибора, а оси Οζ и
ОС совмещены между собой. Будем полагать, что корпус КП
вращается в пространстве одновременно вокруг всех трех осей Οξ,
О η и Οζ с угловыми скоростями, соответственно равными ooD,
ωΒ и <ос.
Для выяснения характера движения гироскопа воспользуемся
уравнениями (163). Учитывая, что при устранении одной степени
свободы угол ψ поворота гироскопа вокруг оси ОС по отношению
к его корпусу КП будет неизменно равен нулю, перепишем
уравнения (163) в следующем виде:
jB$ == — jq (ooccos θ0 + (oD sin θ0);
θ = — ωΒ.
Второе уравнение (204) показывает, что при вращении
основания КП прибора вокруг оси ОВ с угловой скоростью ωβ гироскоп,
сохраняя свое положение неизменным в пространстве, будет
перемещаться относительно корпуса с угловой скоростью θ, равной
по величине, но обратной по направлению ωβ. В этом случае
гироскоп будет видимым образом отклоняться от своего
первоначального положения относительно корпуса КП. Если корпус КП будет
(204)
147

поворачиваться вокруг осей OD и ОСу то гироскоп начнет
поворачиваться вокруг оси 0ВУ изменяя свое положение уже в мировом
пространстве. Этот поворот будет происходить с ускорением,
величина которого определяется из первого уравнения (204):
θ = — (ос cos θ0 + ωϋ sin Όό)· (205)
Так как ускорение θ отрицательно, то угол θ0 отклонения
главной оси О А гироскопа от оси 0£>, перпендикулярной осям ОВ и ОС,
начнет уменьшаться.
Однако и при θ0 = 0 гироскоп
будет продолжать
поворачиваться с ускорением
* = --Τ^ω*
Лишь в тот момент,
когда главная ось О А
гироскопа совместится с
равнодействующей двух
векторов сос и ooD,
ускорение θ станет равным нулю.
Действительно, при
совмещении главной оси
гироскопа с суммарным
вектором оос + ω£) (рис. 63)
она составит с осью OD
угол —θο· При этом
значения косинуса и синуса угла
θο будут определяться
выражениями
Рис. 62. Гироскоп с двумя степенями свободы
на вращающемся основании.
cosib
С0£>
V-
sin Φο
+ ωί
Подставляя значения найденных тригонометрических величин
в формулу (205) и учитывая, что cos (— θο) = cos θο; sin (— ϋ*0) =
= —sin θ(), убеждаемся в том, что в данный момент ускорение
действительно равно нулю:
ϋ = — — / гЛ - ω° — ™- ω°
ω.
ω£)-
\f<*c + ωζ> ]А°с + ωζ>
= 0.
Указанное положение и будет являться положением равновесия
гироскопа с двумя степенями свободы.
Проинтегрировав выражение (205), найдем угловую скорость
поворота гироскопа вокруг оси ОВ, вызываемую вращением его
148

основания вокруг осей OD и ОС:
θ = — (оос cos θ0 + ωζ> sin ^o) ^·
Суммируя найденное значение с угловой скоростью (204)
видимого поворота гироскопа вокруг той же оси ОВ при вращении
основания прибора с угловой скоростью ωβ, находим суммарную
угловую скорость вращения гироскопа вокруг оси ОВ:
Г (cuccos θ0 + (uD sin θ0) dt
ω,
(206)
При первоначальном угле отклонения главной оси О А
гироскопа от направления суммарного вектора оос + wD, равном
γ, время /*, в течение которого ось О А гироскопа совместится
с вектором сос + wD, будет определяться выражением
/* = Y =
Зву
JQ J (сос cos θ0 + ωο sin θ0) cf/ + «/βωβ
о
(207)
■ν
Полученная зависимость не интегрируется в конечном виде.
Поэтому для определения /* приходится пользоваться одним из
известных методов
численного интегрирования. Из
выражения (207) следует, что
время t* прихода гироскопа к
положению равновесия, при
прочих равных условиях,
будет тем продолжительнее,
чем больше момент инерции
JB гироскопа относительно
оси подвеса О В (рис. 62) и
чем меньше угловые скорости
ωβ, (ос и coD вращения в
пространстве его корпуса КП.
Для подтверждения
сказанного на рис. 64 приведен
график экспериментально
снятых зависимостей времени Рис. 63. К определению равновесного по-
/* ОТ момента инерции JB ложения гироскопа с двумя степенями
гироскопа И угловой скоро- свободы на вращающемся основании,
сти оос вращения корпуса
прибора. Для проведения опыта главная ось ОА гироскопа
совмещалась с осью OD корпуса КП, которому сообщалось вращение
вокруг оси ОС с угловой скоростью сос. В процессе опыта
изменялись значения как сос, так и JB.
Пример 16. Определить время прихода в положение равновесия гиро-
дкопа с двумя степенями свободы (рис. 62), корпус которого вращается в про-
149

странстве вокруг оси ОС с угловой скоростью ω^= 0,02 сек."1. Гироскоп
обладает кинетическим моментом J Ω = 2020 Гсмсек и моментом инерции относительно
оси ОБ подвеса J в — 0,85 Гсмсек2. В начальный момент ось ОА совмещена
с осью OD корпуса прибора; следовательно, угол γ = 90°.
При равенстве угловых скоростей ω^ и сод нулю выражение (207)
принимает вид
/*
JbV
t*
JQ J (oc cos θ0 at
0
Разбивая угол γ на шесть одинаковых частей и считая, что за время пово-
0i остается неизменным,
Υ
рота гироскопа на угол у ι■ = ■—- = 15 значение cos
W(i)c,zeiCf
Рис. 64. Зависимость t* от сос и J в- J Ω = 2020 Гсмсек (J в
в Гсмсек2).
находим время tiy потребное для поворота гироскопа на одну шестую часть
угла γ:
JbVi
t; =■
Л^совО^+С,
или, учитывая численные значения входящих в полученное равенство величин
и выражая угловую скорость в градусах в секунду,
сос = 0,02-57,3 = 1,146 град./сек"1,
можем записать
* 0,85» 15 12,75
'"" 2020-1,146. cos Qorti+Ci ~ 2315 cos O0t·*? + Ci '
где Ci — постоянная интегрирования,
150

Значение Ct· для каждого этапа исследуемого движения будет определяться
величиной угловой скорости ω^· в начале данного этапа. Так как угловая
скорость вращения гироскопа вокруг оси ОВ в начале последующего этапа равна его
угловой скорости в конце предыдущего, то значение постоянной интегрирования С,-
для любого этапа может быть записано выражением
Ct- = JQc*c cos θ0Λ-ι + Ci-\,
или, учитывая численное значение коэффициента JQ(uq = 2020· 1,146= 2315 Гсм,
Ci = 2315 cos θ0· · t*_{ + C._,.
Подставляя значение С/ в выражение для ti% приходим к квадратному
уравнению
** , Ct л. 12.75
tt
~г
-t;
2315 cos %ι
= 0,
Η * 2oi5cosuoi
из которого, учитывая только значение его положительного корня, находим
ct
1 4630 cos θ„
у7 <± ν+ ι275 .
Г \ 4(330 cos θ0ι / 2315 cos θο/
Сведем результаты вычисления значений Ct· и £t. в табл. 4.
Таблица 4
Время поворота гироскопа с двумя степенями свободы
до положения равновесия при вращении основания прибора
Этапы
1
2
3
4
5
6
Участок
угла у,
проходимый
гироскопом в
течение этапа,
град.
0—15
15—30
30—45
45—60
60—75
75—90
Угол γ·
поворота
гироскопа, град.
15
15
15
15
15
15
cos #0 ·
1,0000
0,9659
0,8660
0,7071
0,5000
0,2588
С: Гсмсек
0,0
165,5
259,8
322,0
362,8
381,4
*
t., сек.
0,074
0,047
0,038
0,032
0,032
0,032
Таким образом, полное время поворота гироскопа вокруг оси ОВ будет равно:
6
** = 2 £ = °'074 + °'047 + °'038 + °'032 + °'032 + °'032 = °'255 сек*
Полученный результат несколько меньше времени t*t найденного
экспериментально (рис. 64), что объясняется влиянием момента сил трения, действующего
по оси подвеса гироскопа, не учтенном нами в данном примере.
151

Глава V
ВЛИЯНИЕ СИЛ ТРЕНИЯ В ОПОРАХ ПОДВЕСА
НА ДВИЖЕНИЕ ГИРОСКОПА
§ 33. СИЛЫ ТРЕНИЯ И ХАРАКТЕРИСТИКИ СОЗДАВАЕМЫХ
ИМИ МОМЕНТОВ
До сих пор при исследовании движения гироскопа мы не
учитывали сил трения, неизбежно существующих в опорах его подвеса.
Между тем среди различных факторов, порождающих дрейф
гироскопа, силы трения занимают одно из основных мест. Они создают
переменные моменты относительно осей подвеса и тем самым
оказывают непосредственное влияние на точность гироскопических
приборов. Вот почему возникает необходимость всестороннего
изучения воздействия сил трения в опорах подвеса на поведение
гироскопа.
Исследованием влияния сил трения в опорах подвеса на
движение гироскопической системы занимались А. Н. Крылов [17],
Б.В.Булгаков [4], Б. И. Кудревич [18], Е. Б. Левенталь [20],
Р. Граммель [47], А. Ю. Ишлинский [14], А. М. Летов [21],
Н. В. Бутенин [5] и др. Наиболее подробно этот вопрос был
разработан Е. Л. Николаи [24].
В зависимости от конструкции подвеса гироскопа в корпусе
прибора на гироскопическую систему относительно осей ее
подвеса будут действовать моменты сил либо сухого, либо вязкого
трения. Так, при использовании карданова подвеса с
механическими опорами (см. рис. 30) и шарового подвеса (см. рис. 28) на
гироскоп будут действовать преимущественно моменты сил сухого
трения, средние значения которых зависят от качества
изготовления опор и от действующих на них нагрузок. При использовании
гидравлических (см. рис. 27) и воздушных (см. рис. 29) опор на
гироскоп будут действовать моменты сил вязкого трения, величины
которых зависят от качества опор и от угловой скорости ω
взаимного поворота деталей опоры. В обоих случаях направления
действия моментов сил трения противоположны направлению
угловой скорости.
Моменты сил трения можно~представить графиками (рис. 65).
При действии сил сухого трения создаваемые ими моменты с
некоторым приближением можно полагать постоянными по модулю,
152

но изменяющими свое направление при перемене знака угловой
скорости ω (рис. 65, а). Эту зависимость можно записать в виде
равенства
Μτ-=— M0Tsignco, (208)
где Λί0τ — модуль момента сил трения;
( +1 при ω > 0,
sign ω =
I —1 при ω < 0.
В случае действия сил вязкого трения, создаваемые ими
моменты будут пропорциональны угловой скорости ω, но
противоположны ей по знаку (рис.
65, б). Такую зависимость а) ,м
—г
φ
\
\
ω
\
|_L
Μη
Ί07
Mr
\o ω
можно представить
равенством
ΛίΤ-—μω, (209)
где μ — коэффициент
пропорциональности.
Трение в опорах —
весьма сложное явление,
которое до настоящего
времени еще не получило
достаточно полного
физического объяснения. * Силы трения зависят от большого числа
трудно учитываемых случайных факторов, таких как чистота
обработки трущихся поверхностей, загрязнение этих поверхностей,
упругость материалов опор и т. п. Несмотря на это,
приведенные зависимости (208) и (209) позволяют в первом приближении
учитывать влияние моментов сил трения на движение гироскопа.
Рис. 65. Усредненные характеристики
моментов сил сухого (а) и вязкого (б) трения.
§ 34. ОСНОВНОЕ ТРЕБОВАНИЕ, ПРЕДЪЯВЛЯЕМОЕ К МОМЕНТАМ
СИЛ ТРЕНИЯ В ОПОРАХ ГИРОСКОПИЧЕСКИХ ПРИБОРОВ
Для исследования влияния сил трения в опорах подвеса на
поведение гироскопа обратимся к системе уравнений (162),
описывающих его движение в подвижной системе координат. Будем
полагать, что на гироскоп относительно его внутренней ОВ и
наружной ОС осей подвеса действуют только моменты сил
трения ΜτΒ и МтС, которые согласно выражениям (208) и (209)
являются функциями угловых скоростей взаимного поворота
подвижных элементов опоры. В рассматриваемом случае такими
угловыми скоростями будут скорости -θ и ψ поворота гироскопа вокруг
осей ОВ и ОС по отношению к корпусу КП прибора (см. рис. 30).
1 См.: И. В. Крагельский и В. С. Щедро в. Развитие науки о
трении. Изд. АН СССР, 1956.
153

Поэтому, учитывая в уравнениях (162) действие на гироскоп
моментов сил трения и пренебрегая опять величиной θ cos Ф0по
сравнению с sin Ф0, можем записать:
/βθ + /Ω (ψ + ωс) cos θ0 + JQ(ud sin θ0 = ΜτΒ (#);
/сф — У Ω (О + ω в) cos ft0 = МтС (ψ).
Из (210) вытекает указанное еще Α. Η. Крыловым [17, стр. 163]
весьма важное требование, предъявляемое к моментам сил
трения ΜτΒ и МтС. Предположим, что гироскоп, обладающий
собственной угловой скоростью вращения Ω =j= 0, установлен в
подвижной системе координат так, что
0(0) = ψ(0) = 0. (211)
В этом случае при анализе возможности движения гироскопа
в начальный момент времени относительно подвижной системы
координат приходится считаться уже не с моментами сил трения
движения ΜτΒ (4) и МтС (ψ), а с моментами сил трения покоя
MTtUB и Мт#пС. Направления действия этих моментов будут
противоположны направлениям действия моментов
гироскопических реакций jQ<ucCQsft0 и </Ωωβα)5θ0, возникающих в
результате переносного вращения гироскопа (см. § 8, рис. 22) вместе
с подвижной системой координат в пространстве. Поэтому для
начального момента времени при / = 0 система уравнений (210),
учитывая условия (211), принимает вид
J в® (°) + Л2шс cos θ0 + /Ωω0 sin θ0 = Λίτ# π Β\
Jcty (0) — /Ωωβ cos θ0 - —Λίτ. π c,
откуда следует, что начальные ускорения гироскопа
χ /q\ = ^т. πβ-^Ω (сое cos θ0 + ωΩ sin θ0)
- ,q, _ ΜΎ, Tic — J&toB cosOp
относительно подвижной системы координат будут существовать
лишь только при соблюдении условия
\MTuUB\<\JQ (<occos θ0 + <*>D sin θ0) | ;
|MT.„C|<|/Qa>acos00|.
При невыполнении условия (212) ускорения Φ (0) и ψ (0) будут
равны нулю. Следовательно, положение гироскопа в подвижной
системе координат будет неизменным. Так, если корпус гироскопа,
обладающего собственным вращением Ω =j= 0, установить
неподвижно на земной поверхности (аналогично тому, как это было
описано в § 27) и если при этом трение в опорах не будет удовлетворять
J54
(210)
(212)

условию (212), то положение такого гироскопа относительно
земных ориентиров будет оставаться неизменным. Иными словами,
гироскоп в этом случае не будет фиксировать вращения Земли,
как и любое другое тело, неподвижно расположенное на земной
поверхности.
Таким образом, чем меньше угловые скорости подвижной
системы координат, перемещения которой должны быть
зафиксированы гироскопом, тем меньше должны быть моменты сил трения
в опорах подвеса. Поэтому на практике принимают специальные
меры для снижения этих моментов до возможного минимума.
В идеальном случае их значение должно быть равно нулю, однако
достичь этого практически пока еще не удается. Поэтому при
определении точности гироскопической системы всегда приходится
считаться с наличием сил трения в опорах подвеса и их влиянием
на характер ее движения.
Пример 17. Гироскоп, обладающий кинетическим моментом J Ω =
= 14 000 Гсмсек, установлен неподвижно на земной поверхности на широте
φ = 60°; его главная ось в начальный момент времени горизонтальна и
направлена с запада на восток. Определить допустимые значения моментов сил трения
покоя в опорах подвеса, при которых гироскоп будет следить за суточным
вращением Земли.
В рассматриваемом случае главная ось гироскопа в начальный момент
времени составляет (см. рис. 55) с плоскостью горизонта угол θ0 = 0° и с
плоскостью меридиана угол ψ0 = 90°. По формулам (171) определим модули скорост й
вращения координатной системы, связанной с земными ориентирами, вокруг
осей подвеса гироскопа. Учитывая (168), находим
ωβ = Ω3 cos φ sin^0 = 7,3· ΙΟ"5 cos 60° sin 90° = 3,65· 10"5 сек."1;
ос = Ω3 sin φ = 7,3· ΙΟ"5 sin 60° = 6,32· ΙΟ"5 сек."1;
coD = Ω3 cos(pcos^0 = 7,3-10-5 cos 60° cos 90° = 0.
Подставив значения ωΒ, ω^ и ωρ в (212), определим допустимые величины
моментов сил трения покоя в опорах подвеса гироскопа:
Λίτ. nB<^(coccos00+ coDsin00) = 14 000-6,32- ΙΟ"5 == 0,88 Гсм\
MT.nC<^cuBcos00 = 14 000-3,65-ΙΟ"5 = 0,51 Гсм.
§ 35. ВЛИЯНИЕ СИЛ ВЯЗКОГО ТРЕНИЯ НА ДВИЖЕНИЕ
ГИРОСКОПА
При действии в опорах подвеса сил вязкого трения система
уравнений (210) согласно (209) принимает вид
/βθ + /Ω (ψ -f (oc) cos θ0 + JQ(oD sin θ0 = —μθ;
Λ?Ψ — «/Ω (ft + ωΒ) cos θ0 = — μψ.
Учтем в приведенной системе обозначение (201) и сгруппируем
переменные величины в левых частях уравнений:
cos Ό*0 -\- μΟ = —«y^(oHcos O0;
/ςψ — /Ωθ cos θ0 + μψ = /Ωωβ cos θ0.
(213)
}55

Переписав систему уравнений (213) в символической форме
(JBp2 + μ ρ) θ + /Ω cos θ0//ψ = —/ΩωΗcos θ0,
(/cp2 + μρ)\ρ — ΜάΜ$ϋΰρϋ = JQcubcos$0
и введя обозначения
JBp* + \ip = N\ Jcp*+\ip = L\ JQcos$0p = Q, (214)
будем иметь
Νϋ + Q-ψ = —JQ(uhcos$0\
Ly — QQ = JQ<oBQOsQ0. | (215)
Из первого уравнения системы (215) определим
_/Οω,€08θ. + ^> 216
Подставив значение (216) во второе уравнение системы (215),
получим
Q2 ~ W Ь = _/Qo>Bcos θ0 - L /Ωω" C0S θο '
откуда
QJQcdB cos θ0 + £«/ΩωΗ cos θ0 (0\7\
Q2 + LN
Подставляя значение (217) величины θ в выражение (216)
/ΩωΗ cos θ0 . Л/ QJQcub cos θ0 + Ζ,</ΩωΗ cos θ0
Ψ = ή ГТГ'
и приводя к общему знаменателю
I — —Q2^coHcos θ0 — LNJQ(uhcos θ0 + QNJQ(ubcos θ0 + LNJQ(pHcos θ0
находим
. ζ),/ΩωΗ cos00 — NJQ(uB cos θ0 /01Q4
* = Q2+T7V (218)
Выражения (217) и (218) характеризуют искомое решение
системы уравнений (213). Действительно, учитывая в (217) и (218)
значения (214), будем иметь
(219)
WbJcP3 + μ (J в + J с) Ρ2 + J2& cos2 θ0ρ + μ2Ρΐ θ =
= —/2Ω2ωβ cos2 θ0 — JCJQ cos θ0/?ω„ — μ/ΩωΗ cos θ0;
[«Vc/?3 + μ (Jb + J с) Ρ2 + «/2Ω2 cos2 θ0ρ + μ2ρ] ψ =
= — /2Ω2ωΗθ)$2θ0 + /β./Ω cos θ0/?ωβ -f μ/Ωωβα)5θ0.
При анализе уравнений (219) следует учитывать, что по
сравнению с частотой нутационных колебаний угловые скорости ωΒ и
ωΗ изменяют свои значения крайне медленно. В самом деле, ча-
15?

стота нутационных колебаний гироскопа измеряется тысячами
радиан в секунду (см. § 14), в то время как угловая скорость
суточного вращения Земли (см. § 27) определяется десятитысячными
долями радиана в секунду. Если объект будет вращаться в
пространстве с угловыми скоростями, в сотни раз превышающими угловую
скорость суточного вращения Земли, то и в этом случае его
угловая скорость будет несоизмеримо мала по сравнению с круговой
частотой нутационных колебаний гироскопа. Таким образом, в
пределах нескольких периодов нутационных колебаний гироскопа
изменения ωΒ и ωΗ столь медленны, что их производные по времени
практически не отличаются от нуля. Поэтому в дальнейшем будем
полагать
ω,
ωΗ
d(i)B
at
d(*>H
at
ρωΒ = 0\
- ρωΗ = 0.
Коэффициент μ, характеризующий значение момента сил
трения в опорах подвеса, всегда стремятся свести к минимуму,
поэтому практически
/2Ω2 cos2 θ0 > μ2. (220)
Пренебрегая в уравнениях (219) величиной μ2 по сравнению
с /2Ω2 cos2 θ0, а также ускорениями ωΒ и ωΗ и переходя к обычной
форме записи, получим два дифференциальных уравнения
JBJc® + μ (jb + J с) # + /2Q2dcos2d0
= — /2Ω2ωβ cos2 θ0 — μ/ΩωΗ cos θ0,
JBJc^ + μ (jb + Jc) Ψ + /2Ω2ψ cos2 θ0
— —/^2oHcos2d0 + μJΩωβCOsϋ^0i
(221)
частными решениями которых будут
ω
μωΗ
Ψγ = ~ «н +
μωβ
откуда следует
JQ cos θ0 *
(222)
*—K-'-To'sfir)*·
(223)
157

Решения однородных дифференциальных уравнений
JBJc$ + μ (Jв + Jс) θ + ^2Ω2θ cos2 θ0 = О,
JbJcV + μ (J в + J с) Ψ + ·Ζ2Ω2Ψ cos2 θ0 - О
будут определяться значениями корней характеристического
уравнения
р3 + ар2 + Ьр = О,
где
Решив характеристическое уравнение, находим его корни:
Л,.—НУШ3*! ft-0.
В соответствии с (220) в рассматриваемом случае будет иметь
место неравенство
, _ /2Ω2 cos2 θ0 / J в + J с \2 _/fl\2
^~ Ti^-y>\μ 2jbjc ) "It; '
вследствие чего корни характеристического уравнения
*..---f^iVMlTi ft-o.
Таким образом, согласно изложенному в § 13, решение системы
уравнений (213), с учетом (223), будет определяться выражениями
-4-<
(225)
fl = e 2 (Qcos n^ + C2 sin nt) + C3 - J((oB+ ,/^J df;
— — t
q = e 2 (Cbcosnt + Cesm nt) + C^- \ωΗ- JQ^^) dt. [
Сравнив (225) с (166), убеждаемся, что силы вязкого трения
в опорах подвеса вызывают за-тухание нутационных колебаний
гироскопа и порождают дополнительные угловые скорости его
систематического отклонения от первоначального положения.
Введем в (225) следующие обозначения:
С± = N cos φ; С2 = N sin φ;
Сь = L cos λ; CQ = L sin λ.
}
(226)
Выделив при этих обозначениях из равенств (225) члены,
характеризующие лишь нутационные колебания, можем записать:
$ = Ne 2 cos(nt — φ) +С3;
ψ = Le 2 cos (nt — λ) + C4,
(227)
158

где φ и λ — углы, характеризующие начальные фазы
исследуемых колебаний и зависящие от начальных условий движения.
Согласно (226)
φ-arctg-g-; λ-arctg-^-·
Из выражений (227) следует, что амплитуды Ne 2 nLe 2
непрерывно уменьшаются. Сказанное иллюстрируется графиком
(рис. 66) изменения углов Φ и ψ, на котором величины -2- = t# и
λ - f
характеризуют
смещение во времени
первых максимальных
значений θ и ψ относительно J
начальногб момента / = 0.
Интенсивность умень- ^
шения амплитуд нутацион- "*
ных колебаний зависит от
коэффициента затухания
А = -^-, величина
которого согласно (224)
определяется коэффициентом μ о
момента сил вязкого
трения и параметрами
гироскопа:
μ
Jb + Jc
2JBJc
(228)
Рис. 66. Графики затухания нутационных
колебаний гироскопа, вызываемого силами
вязкого трения.
Коэффициент затухания h позволяет найти отношение двух
последовательных максимальных отклонений исследуемой
величины в одном направлении. Так, если в моменты времени tx и /2
отклонения углов θ и ψ соответственно
О {tx) = NerM* = Νχ\ ψ (t2) = Le~ht> = Lv
то по прошествии времени Т одного периода нутационных
колебаний отклонения указанных углов будут
О (tx + T) = Ne~h Ci+r> = Ν2\ ψ (t2 + Τ)=·- Le~h «ш+т) = l2.
Разделив последующие отклонения на предыдущие,
найдем отношение двух последовательных отклонений в одном
159

исправлений:
<Ν*ι + Γ) = iVe-*<<'+f> _ _N± p_hT
Μ
Le"
,_MM-f)
Ne-ht*
-h(t2+T)
Ч>& + Л Le-nv>+'> = U__ p_hT
Произведение
называется декрементом затухания; оно характеризует убывание
амплитуды колебаний.
Величина, обратная декременту затухания,
1 ^ 2JbJc
hT \i{Jb + Jc)T
определяет число колебаний, по прошествии которых их амплитуда
уменьшится в е раз, т. е. в 2,718, или примерно в 3 раза.
Отношение двух последовательных размахов исследуемых
колебаний может быть вычислено и непосредственно, если учесть,
что разложение величины e~hT в ряд дает г
e-hT^l_lLL . т_Ш > ...
11^2! 3! ~Г
Ограничиваясь первыми двумя членами приведенного ряда,
приближенно можем записать
-р- = ^- - e~hT ^1—hT. (229)
Полученные выражения показывают, что чем больше
коэффициент момента сил трения, а тем самым и коэффициент затухания /ι,
тем интенсивнее уменьшаются· амплитуды нутационных
колебаний. Однако и после прекращения нутационных колебаний
гироскоп продолжает вращаться вокруг осей подвеса с угловыми
скоростями (222). Наличие сил вязкого трения, как это следует из
(225), изменяет угловые скорости видимого ухода гироскопа
соответственно на величины
4*-~π^ **-7Β^- <230>
Различие в характере движения гироскопа в подвижной системе
координат при отсутствии и наличии в опорах подвеса сил вяз-
1 См.: В. И. Смирнов. Курс высшей математики. Т. I, Гостехиздат,
1948, стр. 310.
160

кого трения можно продемонстрировать по перемещениям его
полюса на картинной плоскости (рис. 67). Если гироскоп свободен
от сил вязкого трения (μ = 0), то его полюс, как это следует из
выражений (166), будет непрерывно отклоняться от начала
координат О* как вдоль оси 0*ψ, так и вдоль оси 0*θ, совершая при
этом незатухающие нутационные колебания. Угловые скорости
такого отклонения при принятом обозначении (201) будут равны
— ωΒ и —ωΗ. Следовательно, если ωβ и ωΗ постоянны, то в любой
Рис. 67. Траектория движения полюса гироскопа при наличии и
отсутствии в опорах его подвеса сил вязкого трения.
момент времени / положение точки, вокруг которой полюс
совершает колебания, будет определяться координатами
0 = — ωΒί\ \р = — ωΗί. (231)
Если же в опорах подвеса гироскопа существуют силы вязкого
трения (μ =j= 0), то его полюс будет систематически отклоняться
от начала координат О*, как это следует из (225), с угловыми
скоростями
*—{-+■&*)■· ♦--(--TifSd
и положение центра, вокруг которого происходят колебания
полюса, в момент времени / будет определяться координатами
μβ>Β
отличными от (231).
J Ω cos ϋη
t,
161

Как видим, силы вязкого трения вызывают изменение скоростей
отклонения полюса гироскопа от начального положения и
обусловливают затухание его нутационных колебаний. При постоянных
значениях ωΒ и ωΗ полюс гироскопа после прекращения
нутационных колебаний будет перемещаться на картинной плоскости
(рис. 67) по прямой линии.
Пример 18. Определить угловые скорости отклонения гироскопа с тремя
степенями свободы от первоначально заданного ему положения в подвижной
системе координат, вращающейся в пространстве вокруг осей подвеса
гироскопа ОВ и ОС и перпендикулярной им оси 0D с угловыми скоростями ωΒ =
= 0,15 град./мин., сос = 0,20 град./мин., ω^ = 0,08 град./мин. Определить
также интенсивность затухания нутационных колебаний гироскопа, учитывая,
что в опорах подвеса существуют силы вязкого трения. Параметры гироскопа:
JQ = 2000 Гсмсек, J в— 1,1 Гсмсек?, Jq— 1.6 Гсмсек2, μ = 2,0 Гсмсек. В
начальный момент главная ось гироскопа составляет с перпендикуляром OD угол
θ0= 12°.
Вычислим по формуле (201) значение угловой скорости:
ωΗ = ω<: + &d tg θ0 = 0,20 + 0,08 tg 12° = 0,217 град./мин.
Переводя значения угловых скоростей ω^ и ωΗ в радианы в секунду, будем
иметь
ω^5^0=4·38·10_5<:βΚ·"1:
ω«=57& = 6·32·1°-5(:6Κ·-1·
Согласно выражениям (230) находим модули угловых скоростей гироскопа,
вызываемых силами вязкого трения:
ДО = μ β" α = 2,0 с<6;32'10"! 0 = 6,46.10-е сек/-1.
г J Ω cos θ0 200U cos 12°
Δψ = μ in** <ν = 2'° om?'10"ioo = 4·48·10"8 ceK-_1
Ύ r J Ω cos θ0 2000 cos 12°
Суммируя найденные значения ΔΟ и Δψ с угловыми скоростями ω^ и ωΗ,
находим в соответствии с (222) угловые скорости систематического отклонения
гироскопа относительно подвижной координатной системы:
Ь = — (ов — Δθ = —4,38· 10~5 — 6,46· 10~8 = —4,39· 10"в сек."1;
ψ = _ωΗ + Δψ = — 6,32· 10"5 + 4,48· 10"8 = —6,32· Ю-6 сек."1,
или соответственно
0= — 4,39· 10"5 -57,3-60= —0,15 град./мин.;
ψ = —6,32-10"5-57,3-60 = —0,22 град./мин.
Для выяснения интенсивности затухания нутационных колебаний гироскопа
определим по (228) коэффициент затухания:
162

по (53) частоту нутационных колебаний:
/Ω cos θ0 _ 2000» cos 12° = 1т ^ _χ
VJbJc ~ /"1.1-1.6
и по (15) их период:
2π 2-3,14 лпа 1Л „
Τ = = , ' = 4,26· I О-3 сек.
η 1473
Подставив вычисленные значения коэффициента затухания и периода
нутационных колебаний в формулу (229), найдем значение коэффициента,
характеризующего уменьшение их амплитуд:
е~нт * I — КГ = I — 1,53-4,26-10~3 = 0,004.
Таким образом, каждая последующая амплитуда нутационных колебаний
будет уменьшаться примерно на 0,5%.
§ 36. ВЛИЯНИЕ СИЛ СУХОГО ТРЕНИЯ
НА ХАРАКТЕР ДВИЖЕНИЯ ГИРОСКОПА
Силы сухого трения в опорах подвеса оказывают на движение
гироскопа влияние, отличное от воздействия сил вязкого трения.
Рассмотрим систему (210), которая в данном случае, учитывая
(201) и (208), принимает вид
/βθ + /Ω (ψ + ωΗ) cos θ0 = —Μ0τΒ sign θ; 1
Jcyp — /Ω (θ + ωΒ) cos θ0 = — Μ0 тС sign ψ.)
Для решения системы нелинейных дифференциальных
уравнений (232) вновь обратимся к методу последовательных
приближений (см. § И). Моменты сил трения в осях подвеса гироскопа,
в соответствии с условием (212), обычно малы, поэтому они лишь
незначительно искажают основной характер движения гироскопа,
но оказывают существенное влияние на его точность.
Для определения изменений знака моментов сил сухого трения
воспользуемся законами изменения угловых скоростей -θ и ψ,
найденными без учета сил трения. Как было показано выше (§ 26),
характер изменения углов -θ и ψ с течением времени по отношению
к подвижной системе координат при этих условиях определяется
из выражений (166). Дифференцируя (166) и учитывая (201),
найдем
= —пСг sin nt + ttC2cos nt — ω
в»
(233)
ψ = у -β- (nCj cos nt + nC2 sin nt) — ωΗ.
Если положить, что
пСг = D sin φ; пС2 = D cos φ, (234)
163

то выражения (233) могут быть переписаны в более удобном виде
θ = D cos (nt + ψ) — ωβ;
ψ = γ -ρ- D sin (я/ + φ) — ωΗ,
где φ — угол, характеризующий начальную фазу исследуемых
колебаний и равный, согласно (234),
Q
φ = arctg-7r-.
Изменение направления моментов сил трения обусловлено
переменой знака угловых скоростей движения. Нетрудно заметить,
что изменение направлений θ и ψ в рассматриваемом случае будет
зависеть от частоты η нутационных колебаний гироскопа, которая,
как известно,1 зависит не от начальных условий, а от его
конструктивных параметров. Поэтому, считая φ = 0, будем полагать, что
Ь = D cos nt — ωβ; ψ — D sin nt — ωΗ. (235)
Вводя (235) в правые части уравнений (232), можем записать:
JB$ + JQ (ψ + ωΗ) cos θ0 = —ΜοτΒ sign (D cos nt — ωβ);
Jc№ — /Ω (θ + ωβ) cos θ0 = — М0тС sing (D sin nt — ω„).
Из (236) следует, что изменение знака моментов сил сухого
трения зависит от соотношения между угловыми скоростями
нутационных колебаний гироскопа и перемещений в пространстве его
корпуса. В тех случаях, когда амплитуда D значительно
превышает угловые скорости ωΒ и сон (рис. 68, а), основное влияние на
изменение знака моментов сил трения будут оказывать угловые
скорости нутационных колебаний. Если же значения ωΒ и ωΗ будут
превосходить величину амплитуды D (рис. 68, б), знак момента сил
трения будет зависеть лишь от направления угловой скорости
вращения корпуса прибора.
Исследуем влияние моментов сил сухого трения в опорах
подвеса гироскопа на характер его движения в том случае, когда
амплитуда D нутационных колебаний значительно превосходит угловые
скорости вращения корпуса прибора. Пренебрежем в правых
частях уравнений (236) значениями ωβ и ωΗ и опустим из
рассмотрения уходы гироскопа, обусловливаемые вращением в
пространстве его корпуса; тогда исходная система уравнений примет вид
JBb + /Qij)cos Ф0 = —Λίοτβ sign D cos nt\
jcyjp — j&$ cos $o == —Λί0χΟ sign D sin nt.
1 См.: С. П. Стрелков. Введение в теорию колебаний. ГИТТЛ, 1950,
стр. 24.
(237)
164

Решение соответствующей однородной системы уравнений (50)
(см. § 14) при начальных условиях
О(0) = 0; ψ(0) = 0; θ(0) = θΗ; ψ(0)=ψΗ
определяется по выражениям (59).
Для упрощения будем полагать, что ψΗ = 0 и моменты инерции
гироскопа относительно осей подвеса равны друг другу:
При этих допущениях
выражения (59) примут
уже знакомый нам вид
JnK
0 =
ψ =
J Ω cos θ0
sin nt\
Γ\ Dcosnt f*\
IX—/_д
vy
i «i
\У
+
JQ cos θ0
^πθΗ
*ΐθ
JQ cos θ0
Вводя обозначение
JQ cos θ0
(239)
0
^-Mmsign(l)cosnt -ωβ)
Χ
\ /
TV"
.^...Ζ
ω6
\
/
ν^/.
%
0\-
Λ.
•Могв^сд-п (Dcosnt -Ο) β)
возводя каждое из
полученных выражений в квадрат
и складывая их между
собой, найдем уравнение
траектории
^2 + (i|)-Om)2 = dL
которую, как нам уже
известно (см. рис. 36),
проекция полюса гироскопа
описывает на картинной
плоскости.
В нашем частном случае траектория полюса будет представлять
собой окружность (рис. 69) радиуса dm, центр которой расположен
на оси 0*ψ и удален от начала координат на расстояние От.
Полученный вид траектории полюса гироскопа на картинной плоскости
еще раз (см. § 14) подтверждает, что при отсутствии в опорах
подвеса сил трения (Λί0τβ = МотС = 0) гироскоп совершает
незатухающие гармонические нутационные колебания.
Чтобы выяснить, как силы сухого трения влияют на характер
движения гироскопа, рассмотрим перемещения его полюса за один
Рис. 68. Графики изменения момента сил
трения: а — при D > ω^; б —при D < ω^.
165

период Т нутационных колебаний при наличии указанных сил
в опорах подвеса. Эти перемещения будем исследовать для каждой
четверти периода Τ отдельно.
При движении полюса гироскопа в первой четверти периода,
т
за время от 0 до -т-,моменты сил трения не меняют своего знака.
В первой четверти периода Τ углы θ и ψ непрерывно растут
(рис. 69) и, следовательно, угловые скорости -θ и ψ положительны.
Поэтому моменты сил трения
в течение первой четверти
периода Τ будут постоянны и
притом отрицательны.
Учитывая -сказанное, перепишем
систему уравнений (237) в
следующем виде:
/βθ + </&ij)cos θ0 = — ΜοτΒ;
Jcty— JQbcos'&Q = — М0тС.
Решение аналогичной
системы (47) было получено в
§ 15 и определялось
выражениями (64), которые в
рассматриваемом случае,
учитывая (238), принимают вид
θ = C^cos nt + С2 sin nt -\-
Рис. 69. Графики затухания
нутационных колебаний гироскопа, вызываемого
силами сухого трения.
+ сз + 7#St';(240)
ψ = Сг sin nt — C2 cos nt + C4 —
J Ω cos θ0
t.
Вычислим при начальных условиях
0(0)-0; ψ(0) = 0; Ь(0) = Ьв; ψ(0) = 0
постоянные интегрирования, которые согласно (53) и (238) будут
определяться равенствами
Ul ~ (/Ω cos θ0)2 ' 2 ~ /Ω cos θ0
(J Ω cosOo)2 '
3 . (./Ω cosOo)2 ' 4 /Ω cosOo
JnMот с
(/Ω cos θ0)2
166

Подставляя найденные значения постоянных интегрирования
в выражения (240) и учитывая (239), будем иметь
(J Ω cos θο)2
cos nt + Го,л - /УУ0ГчС,1 sin nt
1 L («/Ω cos Όό/ J
^отБ
ψ.
(J Ω cos θ0)2
JnM0TB c?n „, Γη
-Τ77Γ s-Tg- Sill /Ζί — MLT
(J Ω cos θ0) L
Л1М0ТС
+
M0rC
/Ω cos θ0
«/п^отС
ί:
+
(JΩ cos θ0)2
Λίοτβ
COS tlt
(/Ω cos θ0)2 /Ω cos θ0
ί.
(241)
Из полученных выражений нетрудно вычислить значения
углов # и ψ к концу первой четверти периода Τ нутационных
колебаний, когда nt согласно (60) принимает значение
, Τ Ι 2π π
4 4 /г 2
Подставив значение ηί в (241), найдем, что в момент /
углы θ и ψ будут равны
Т_
4
-MMqtB + Mqtc)
(JQ cos θ0)2
Jn(M0TC—M0TB)
f
Л^отС
«/Ω cos θ0
Л^отБ
(JQ cos θ0)2 JQ cos θ0
или, учитывая (60) и (238),
\ 4 / m (/Ω cos ф0)а "^ /QcosG0
ih/Z_\ — A Jn(M0TC + M0TB)
ψ\ 4 У Vffl (JQcosG0)a
откуда после преобразований
4
г
4 '
2я«/п
4/Ω cos θ0
2яУп
Мотв
/Ω cos θ0 ' 4,/Ω cos θ0 '
•(-τ) - ^-ΤΤΩ^όοΤ" (AiorB-Of67AiOTC);
♦ (-£-) = *"- (/ω/ο^ο)2 (^отс+1,57М0тб).
(242)
Вычисленные значения углов щ-т-) и ψ(-τ-) показывают, что
движение гироскопа при наличии в опорах его подвеса сил сухого
трения отлично от движения свободного гироскопа. Полюс
свободного гироскопа при перемещении по картинной плоскости
(рис. 69) к моменту времени t
-достигает точки А, удаленной
1G7

от начала координат по обеим осям 0*θ и 0*ψ на равные
расстояния dm. В рассматриваемом случае полюс гироскопа к моменту
т
времени / = -г-не совместится с точкой А. В результате действия
сил трения он к концу первой четверти периода достигнет
некоторой точки Л*, координаты которой определяются
выражениями (242).
Для определения угловых скоростей движения гироскопа в
первой четверти периода его нутационных колебаний
продифференцируем равенства (241) с учетом (53) и (238):
,^\ sinnf + f
Ш cos θ0 V
COS ХТл
MqtC \
Г Ω cos i}0 J
cos nt +
Mt
qtC
ψ
M0TB
JQ cos θ0
cos nt
+(
/Ω cos θ0 '
COS XT л
МотС
ΜοτΒ
JQ cos
'ϋτ)sin nt -
JQ cos θ0
Τ
откуда для момента времени t
вии с (239) находим
МогС — ΜοτΒ
,когда nt =-γ-,Β соответст-
*(-f) = <>.
/Ω cos θ0 '
_ Мотс-r Мотд
1 JQ. cos ΰ„
(243)
При исследовании движения гироскопа во второй четверти
периода его нутационных колебаний условимся отсчет времени
вести от момента, соответствующего окончанию первой четверти
периода Т. Обозначив время во второй четверти через /*, будем
иметь следующую зависимость между ним и текущим значением /:
t* = t — -J-. (244)
Во второй четверти периода (рис. 69) угол ψ продолжает расти,
а угол ύ* начинает уменьшаться. Следовательно, угловая скорость Φ
во второй четверти становится отрицательной, в связи с чем
момент сил трения Μ0τΒ принимает положительное значение.
Таким образом, изменения углов θ и ψ на протяжении второй
четверти периода будут характеризоваться выражениями
xJ = Cicosnt* + C2 sin ai** + C3+-
ψ = Сх sin nt* — C2cos nt* + C4 +
MqtC
JQ cos θ0
ΜοτΒ
JQ cos θ0
*·;
(245)

вытекающими из (240) после перемены в них знака перед ΛίοτΒ на
обратный.
Пользуясь методом припасовывания, г примем за начальные
условия те, которые характеризовали движение гироскопа в
момент окончания первой четверти нутационных колебаний,
соответствующий совмещению проекции его полюса на картинной
плоскости с точкой Л*. Эти условия определяются из выражений (242)
и (243), в связи с чем из равенств (245) и их первых производных
вытекают следующие зависимости:
О (0) = d + С3 = flm - (ί/Ω/οπ5θο)2 (Λίοτβ - 0,57МотС);
Ψ (0) = - С2 + С4 = К - (JQ<£eo), (More + 1,57Λί0τβ);
0(0) = *:,+ ιοΜοτ\ = мус-МотВ
ν ' 2 ' JQ cos θ0 J& cos A0
φ(υ) - ηϋχ + yQ cos θο - ϋΗ JQ cos Aq ,
из которых, учитывая (53) и (239), следует
Г _ .а Λι (А^отС + 2^0тВ) .
Ul_17m (JQ cos θ0)2 '
Г — ^пА^отБ . г _ Jn(l»57Ai0TC+Мотд) .
°2 (JQ cos θ0)2 ' 3 (/Ω COS θ0)2
Γ — Α λι (МотС + 2,57МотБ)
W-^m (/QcosA0)2
Подставив вычисленные значения постоянных интегрирования
в выражения (245), будем иметь
0=Га Ai(AW + 2M0tB)1 ^ Ат^отВ sin„/*,
U L w (/Q cos θ0)2 J (JQ cos θ0)2 Sm Ш +
, Ai(1.57MotC + MOT£) , AW ,».
1 (JQcosA0)2 JQcosOo
J- A — Jn(MQTC + 2>57^QTB) , МртД ,*
^ Um (JQcosOo)2 "^ JQcosA0
1 См.: Н. В. Б у т е н и н. Элементы теории нелинейных колебаний. Судпром-
гиз, 1962, стр. 58.
169

К концу второй четверти периода, по прошествии времени t* =
= -J- от нового начала отсчета, когда nt* = η-τ- = -γ, углы Ф и
ψ поворота гироскопа вокруг осей подвеса достигнут значений
Τ \ _ JnM0TB , ^п(1,57М0тс + ^отб) ,
А f /* =- —\ = — УпМотВ 4-
\ " 4 / (JQ cos θ0)2 Г
(УйсобОо)2
+ Моте Г
JQcos θ0 4 '
,Ь^/*=-1Л -9А «MAW + 2AW) Ju(MotC + 2,57MotB)
V\l 4 J LX}m (JQcosGo)2 (JQcosOo)2 ""*"
Λίοτβ Γ
+
«ШсоэФо 4
или, учитывая зависимости (60) и (244),
3,14/пМотС .
(,/Ω cos θ0)2 '
о α J η (2МотС + ЗЛ40тБ)
Um (JΩ cos θ0)2
(246)
Как видим, полюс гироскопа уже не совместится с точкой В.
Вследствие действия в опорах подвеса сил сухого трения он к концу
второй четверти периода нутационных колебаний совместится на
картинной плоскости с точкой β* (рис. 69). Следовательно, силы
сухого трения, так же как и вязкого, будут приводить к
постепенному уменьшению амплитуд нутационных колебаний гироскопа.
Однако характер их затухания под действием сил сухого трения
будет отличаться от процесса демпфирования нутационных
колебаний силами вязкого трения. Если силы вязкого трения порождают
у гироскопа, установленного на подвижном основании,
систематический дрейф сразу же с максимальными значениями угловых
скоростей (230),. то силы сухого трения порождают дрейф с
угловой скоростью, постепенно возрастающей от нуля до
определенного максимума.
Рассмотрим подробнее изменение момента сил сухого трения
за один период нутационных колебаний, например относительно
внутренней оси подвеса гироскопа (рис. 70). Нетрудно видеть,
что совместное влияние угловых скоростей D cos nt и ωβ на
изменение знака момента сил сухого трения будет обусловливать более
продолжительное время его действия в одном направлении, чем
в противоположном. Действительно, нулевые значения суммарной
угловой скорости D cos nt — ωβ, которым соответствуют изменения
Τ ЗТ
знака сил трения, имеют место не в моменты времени -j- и -j-,
а в моменты, смещенные относительно их на величину Δ. Эти мгно-
170

вения указаны на графике точками а и Ь. Тем самым действие на
гироскоп моментов сил трения во взаимно противоположных
направлениях за один период нутационных колебаний несимметрично.
1}
Υ
\
Dcosnt
г
I
I
\\\ / /г
il
1Л 11 \\ И '
I ' \ \
J^fi
Лг
ΜΓβ
V
»W·
-MOT6sLg-n(])cosnt -О)β)
Рис. 70. К определению изменения действия момента сил сухого
трения при затухании нутационных колебаний.
Действие момента сил трения в отрицательном направлении
продолжается в течение времени 0,5Г — 2Δ, а в
противоположном — в течение времени 0,5Г + 2Δ. Таким образом, за один
период Τ нутационных колебаний гироскоп под влиянием сил
сухого трения, согласно основному закону прецессии (32),
повернется сначала в одном, а затем в противоположном направлении
171

вокруг оси подвеса, перпендикулярной оси действия момента сил
трения. В рассматриваемом случае гироскоп будет вращаться
вокруг наружной оси. В результате несимметричного по времени
действия момента сил сухого трения в противоположных
направлениях гироскоп за время одного периода нутационных колебаний
повернется вокруг оси подвеса на угол
^ = -л^(°.57,-2Д) +
АЛ ~
2 cos ϋ0 ν ' ' JQ cos ϋ0
JQ
Как видим, суммарный угол поворота отличен от нуля.
Следовательно, за время Τ одного периода нутационных колебаний
главная ось гироскопа отклонилась от своего первоначального
направления на угол ψΓ. Относя величину угла ψΓ κο времени 7\ можно
определить среднюю угловую скорость, с которой гироскоп
отклоняется, или, как говорят, совершает дрейф, от заданного ему в
пространстве направления:
ih — -$£. = Μ°τΒ —
ψΓ Τ /QcosOo ' Τ '
Проанализировав график (рис. 70), нетрудно заметить, что
с уменьшением амплитуды D нутационных колебаний время Δ,
характеризующее несимметричность действия сил трения, будет
увеличиваться, так как Δ3 > Δ2 > Δχ > Δ, и тем самым будет
увеличиваться и угловая скорость ψΓ дрейфа. В предельном
случае, когда время 4Δ станет равным периоду Т, угловая скорость
дрейфа, порождаемая силами сухого трения, достигнет своего
максимального значения
[ _ МотВ
УГтах - jq cos θο ·
Это произойдет в тот момент, когда амплитуда D угловой
скорости нутационных колебаний снизится до величины угловой
скорости основания прибора. После этого моменты сил сухого
трения перестанут изменять свой знак и направление их воздействия
на гироскоп будет зависеть лишь от направления вращения его
основания, в связи с чем уравнения (236) движения гироскопа
примут вид
/вф + «/Ω (ψ + ωΗ) cos θ0 = ΜοτΒ sign ωΒ\ \
ζ · ( (247)
Jcty — /Ω(θ + <oB)cosfl0 = МотС sign ωΗ. J
Если угловые скорости вращения основания не будут изменять
своего направления, то действие на гироскоп моментов сил сухого
трения будет подобно влиянию постоянных моментов внешних сил
172

(§ 15). Действительно, в этом случае моменты сил сухого трения не
будут изменять знака (см. рис. 68, б), в связи с чем система (247)
примет вид
J в® + /й-фсоэ θ0 = — /ΩωΗ cos θ0 + ΜοτΒ\
/c\f> — /Ωθ cos θ0 = JQ(oB cos θ0 + М0тС.
Полученная система имеет частные решения:
*' — (»■-Tfffer)'·
Решение соответствующей однородной системы (50)
определяется из выражений (57). Таким образом, общее решение
рассматриваемой системы уравнений будет определяться равенствами
ft - Сх cos/if + C2 sin nt + C3- (ωΒ + jqS^0 ) *>
из которых следует, что гироскоп в подвижной системе координат
движется в данном случае с постоянными угловыми скоростями
А— ',л М°тС
ν-—ωΒ— JQcos$o ,
Ψ = -ωΗ+ /Ωοο5θο >
(248)
вызванными вращением в пространстве основания прибора и
возникающими прц этом в опорах подвеса силами сухого трения.
Такое систематическое прецессионное движение гироскопа
сопровождается его незатухающими нутационными колебаниями.
На возможность незатухающих нутационных колебаний
гироскопа при наличии сил трения в опорах его подвеса впервые
было указано Е. Л. Николаи [24].
Таким образом, в отличие от сил вязкого трения (см. рис. 67)
действие на гироскоп сил сухого трения обусловливает затухание
его нутационных колебаний лишь только до некоторого предела,
порождая одновременно дрейф с постепенно увеличивающейся
до своего максимума угловой скоростью. С того мгновения, когда
скорость дрейфа достигнет своего максимума и прекратится
затухание нутационных колебаний, движение гироскопа будет
продолжаться с постоянной угловой скоростью, как это видно по пере-
173

мещению его полюса на картинной плоскости (рис. 71),
записанному экспериментально.
Пример 19. Определить угловые скорости систематического дрейфа
гироскопа относительно подвижной системы координат и уменьшение амплитуды
его нутационных колебаний за первую половину их периода. Параметры
гироскопа JQ = 3500 Гсмсек, J в = J с ~ Jn — 1,5 Гсмсек2, Мотв — 1,0 Гсм,
Mqtc — 1,6 Гсм. Угол, составляемый главной осью гироскопа с
перпендикуляром к плоскости его наружного кольца, θ0 = 0. Угловые скорости вращения
основания α>β = ωΗ = 1,0· 10"4 сек."1. В начальный момент времени амплитуда
нутационных колебаний От = 0,7 угл. мин.
V
ч
-f
V
\
* (
ч
"^
N
1
/у
ψ
V-- ) \ \\
ν {it-
/ /J
/
/Ί
•'У
Рис. 71. Траектория движения полюса гироскопа при
наличии в опорах подвеса сил сухого трения.
Выразим значение начальной амплитуды в радианах:
1
= 0,7
60-57,3
= 2-10"4 рад.
Вычислим в угловых величинах расстояние точки В* от центра С (рис. 69),
вокруг которого перемещается полюс гироскопа в процессе нутационных
колебать
ний. К моменту времени — удаление точки В* от центра С будет определяться
проекциями В*С$ и В*Су на оси 0*$ и 0*ψ искомого расстояния В*С. Из
формул (246) находим
В*СЛ =
3,ШпМ0тС _ 3,14.1,5.1,6
(JQcosOo)2
35002
= 6,1 -10~7 рад.:
174

β*Γ,-Α Jn (2М"тС + ШвтВ) -О 10-4
β 6ψ - tfm (yQ cos θο), - - 10
1.5(2..,6 + 3.1,0λ = 1992>10.4рад
35002
Τ
Величина амплитуды нутационных колебаний в момент времени -^~
Ът (-у-) = VWcWTWc^f = К (бл - ю-Ъ" + (ι.992.ιυ-ν =
= 1,992. ΙΟ"4 рад.
Таким образом, за первую половину периода амплитуда колебаний
уменьшится пропорционально коэффициенту
..φ
1 992.10-4
0m 2-10-
т. е. на 0,4%.
Угловые скорости дрейфа гироскопа определяются по выражениям (248):
о = -(оБ_ /ηΜοτ^ ^-1>0.10-4--^- = -5,6.10-4 сек.-1;
JQcos^o 3500
ψ - - ω„ + /ff0T\ - - 1,0. ΙΟ"4 4- -Jbg- = 1,9. Ю-4 сек."1,
т ' ,/Ω cos θ0 3500
или соответственно
0= — 5,6·10-4·57,3·60= —1,93 град./мин.;
ψ = 1,9-10"4·57,3·60 = 0,65 град./мин.
§ 37. ВЛИЯНИЕ МОМЕНТОВ СИЛ СУХОГО ТРЕНИЯ В ОПОРАХ
ПОДВЕСА НА ХАРАКТЕР ДВИЖЕНИЯ ГИРОСКОПА ПРИ
ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЯХ ЕГО ОСНОВАНИЯ
Часто корпус гироскопического прибора, установленного на
подвижном объекте, вынужден совершать вместе с ним
непрерывные колебания, порождаемые различными возмущающими
воздействиями. Предположим, что в результате таких возмущений объект,
а вместе с ним и корпус прибора совершают относительно осей
подвеса ОВ и ОС и перпендикулярной им оси OD (рис. 72)
гармонические колебания с угловыми скоростями
ωΒ = ωοΒ sin qt\ ωα = oooccosqt\ ωΩ = ω0Ο sin qt.
Подставляя значения скоростей в систему уравнений (236) и
учитывая зависимость (201), можем записать
J в® + J& (ψ + ωοο cos Qt + ω0£) tg Oq sin qt) cos θ0 =·■
= — Μ0τΒ sign (D cos nt — ωοβ sin qt);
Jcty — /Ω (Ο + ωοβ sin qt) cos Ф0 =
== — M0TCsign (D sin /ι/— (ooccosqt — ωοΖ) tgOo sin qt).
175

Обозначим в приведенной системе
®оС = u0Hsin φ; G)ODtgOo= (u0Hcos(p,
в результате получим
JBft + /Ω [ψ + ω0Η sin fai + φ)] cos θ0 ==
= — Μ0τΒ sign (D cos nt — ωοβ sin qt);
Jc\p — У Ω (ф + ωοβ sin <jrf) cos ф0 =
= — М0тС sign [D sin /if — ω0Η sin (qt + φ)].
Амплитуда D угловых скоростей нутационных колебаний при
наличии в опорах подвеса сил сухого трения весьма быстро сни-
С
\
<oc*woccosift
(249)
ω^ωοιδίηφΐ
Рис. 72. Гироскоп на подвижном объекте.
жается до величины угловой скорости основания прибора, после
чего нутационные колебания уже не влияют на изменения знака
моментов сил трения (рис. 68, б). Поэтому для случая, когда
D ^ °β, систему (249), в которой опускаем из рассмотрения на-
^*» ω0Η
чальную фазу φ и инерционные члены, представим двумя
уравнениями:
JQ (ψ + ω0Η sin qt) cos #0 = Μ0τΒ sign (ωοβ sin qt);
/Ω (θ -f- ωοβ sin qt) cos θ0 = — М0тС sign (ω0Η sin qt),
176

описывающими прецессионное движение гироскопа относительно
осей подвижной системы координат, связанной с объектом.
Изменение угловой скорости ωοΒ sin qt или ω0Η sin qt
обусловливает изменение момента сил сухого трения (рис. 73). Нетрудно
видеть, что изменение его знака будет зависеть не от амплитуды ωοβ
или ω0Η колебаний угловых скоростей, а от частоты q их
изменения. Поэтому полученные выше уравнения движения гироскопа
могут быть переписаны в
виде
/Ω (ψ -f ω0Η sin qt) cos θ0 =
ωΒ
= мотв siSn (sin qt)\
У Ω (fl + ωοβ sin qt) cos θ0 = мтВ
= —MorC sign (sin ^Z).
0
(250)
r\
/WoBSWlft
\L
/ \
\ I
τ—f-
\j
■\
t
M0TBSi^n((u0Bsin(ftl
Рис. 73. Графики изменения моментов сил
сухого трения при гармонических
колебаниях корпуса гироскопа.
Действуя относительно
осей подвеса гироскопа,
моменты сил трения
меняются периодически, причем
значения функций ΜτΒ (t)
и МтС (t) могут быть вычислены по интервалам для каждого полу-
т т
периода -γ в отдельности. Так, в промежутке 0 < t < -у функ-
Μίβ (ή = +Λί0τβ. Для следующего полупериода, когда
5~< /< 7\ ΜτΒ(ή = —Μ0τΒ. Таким образом, в общем виде
Мт (ή = М0Т при 0 < t < -£-, Μτ (t) - -Μοτ при -L < / < 7\
и т. д. Для определения влияния моментов сил трения на
поведение гироскопа разложим функцию Μτ(ή в ряд Фурье *
ция
Τ
Λίτ (0 = /(*) = -£- -f 2 (ak sin kx + bk cos kx),
(251)
k=l
где χ = qt.
Коэффициенты ряда Фурье определяются по формулам
2π
α°^~Η f(x)d*m>
1 См.: В. И. Смирнов. Курс высшей математики. Т. II, изд. 11-е, Гос-
техиздат, 1952, стр. 394.
177

2π
Uk= ΊγΙ f (x) sin kxdx\
о
2π
bk = —J / (x) cos kx dx.
Из приведенных зависимостей находим:
2π
αη
ak = —
jAf0Td* —jAf0Td*
-0;
2π
j Λί0τ sin &л; б/л: — J Μ0τ sin &л: dx
Мот
π / 2π
■ COS kx Ι — — COS kx I
0 \ π
4Λ*ο
при k нечетном,
0 при k четном;
2π
j Λίοτ cos &χ dx — j Λί0τ cos kx dx
0 π
π 2π
sin &x | — sin kx |
0 π
M0T
0.
Таким образом, учитывая, что χ = qt, для функции Мт (t)
ряд Фурье (251) принимает вид
М.
^ = JM^ ^sjn 4/ + -L sin з9/ + -§- sin 5^ + · · ·) · (252)
Подставив значение (252) функции Μτ(ί) в уравнения (250),
будем иметь
/Ω (ψ + ω0„ sin ^0 cos θ0 = ^^ Χ
Χ Γ sin qt + -g- sin 3<jf + -y sin 5<j/ f · · · J;
/Ω (* + ωοβ sin qt) cos θ0 - — ^42* χ
X ( sin <jtf + — sin 3qtf + у sin 5qt + · · · J ,
178

откуда
<ψ = — ω0Η sin qt +
Шотв
Χ
Χ
π./ Ω cos00
( sin qt + -у- sin 3gi + -g- sin 5<^ +
4M0tC
■)>
= — ωοΒ sin <7^ ■
X
π./ Ω cos Όό
X ( sin qt + -^- sin Зд/ + -g- sin 5qt +
Проинтегрировав полученные равенства, найдем выражения
4М0тВ
- 4UN 111
я
y = ^cosqt.
X
ztqJQ cos ф0
Χ (COS ^ + -g~ COS 3<jtf -f -gg" C0S ^ + * * * ) + Cl>
q ч ι π<7«/Ω Cos θ0
X
X
(cos ^/ + -g- cos 3qt + -^g- cos 5qtf + · · · J + C2,
характеризующие изменения во времени углов θ и ψ отклонения
гироскопа относительно подвижного объекта, совершающего
вынужденные гармонические колебания.
При начальных условиях θ (0) = 0, ψ (0) = 0 постоянные
интегрирования будут равны:
С = ω°Η 1 4М0ТБ .
1 Я nqJQ cos θ0'
r _ ω0β 4М0тС
π<7«/Ω cos θ0 '
в соответствии с чем
Ψ = --^0-cos?0
4Λί,
οτβ
Χ
π<7«/Ω cos θ0
Χ 1 — cos qt g-cos 3qt — -^ cos 5qt — · ·
о = _^м(1_с05(7о ifiVx
<7 x ^ ' nqJQ cos θ0
■)··
X
ί 1 — cos qt-
cos 3qt — -ψ- cos 5qt
(253)
179

Из анализа зависимостей (253) видно, что при Колебаниях
основания прибора силы трения в опорах подвеса вызывают отклонения
главной оси гироскопа от заданного направления в пространстве.
Рассмотрим подробнее, как изменяется угол ψ.
При отклонении объекта от заданного направления движения
(рис. 74) на угол —^ (1 —cos qt) гироскоп повернется вокруг
наружной оси подвеса по отношению к объекту на угол ψ φ
=f= -^(1 —cos qt). Аналогичная
картина будет наблюдаться и при
поворотах объекта вокруг
внутренней оси подвеса гироскопа.
Разница между углами
соответствующих поворотов объекта и
гироскопа определяется
вторыми слагаемыми выражений (253):
Как видим, силы сухого
трения в опорах подвеса при
гармонических колебаниях
основания прибора вызывают
Δθ:
4М
О тС
nqJQ cos θ0
Χ ί 1—cos qt—-r-cos3<7/
Χ
~"25~COS^
■)=
MW_(,_C0S,(_
Рис. 74. К определению
вынужденных колебаний гироскопа при
гармонических колебаниях объекта.
nqJQ cos
g-cos3qt
— -25 cos 5^~
(254)
вынужденные колебания гироскопа, которые происходят не
только с основной q, но и с кратными ей частотами 3</, bq
колебаний объекта. Амплитуды этих колебаний тем меньше, чем
меньше моменты сил сухого трения МотВ и МотС, действующие
относительно осей подвеса, и чем больше кинетический момент /Ω
и частота q колебаний корпуса гироскопа. Необходимо иметь
в виду, что и при малых амплитудах вынужденных колебаний
возникнет систематический дрейф гироскопа. Его угловая
скорость, согласно изложенному в § 22, будет определяться выраже-
180

нием (109), которое в рассматриваемом случае принимает вид
С такой угловой скоростью главная ось О А гироскопа (рис. 74)
будет непрерывно отклоняться от заданного в пространстве
направления NL.
Пример 20. Определить амплитуды вынужденных колебаний и угловую
скорость систематического дрейфа гироскопа, вызываемых силами сухого трения
в опорах его подвеса при гармонических колебаниях основания прибора, период Τ
которых равен 1,2 сек. Параметры гироскопа: У Ω = 2800 Гсмсек\ J в — 0.7 Гсмсек2',
J С — 5,6 Гсмсек2', JBX =0,2 Гсмсек2', JH = 4,8 Гсмсек2. Моменты сил сухого
трения относительно осей подвеса гироскопа соответственно равны М0 тв =
= 0,8 Гсм\ Мотс= 1,0 Гсм. В начальный момент времени при t = 0 главная
ось О А гироскопа составляет с перпендикуляром OD (см. рис. 72) угол θ0 = 15°.
Вычислим круговую частоту q вынужденных колебаний по формуле (15):
2π 2-3,14 соо .
Я = -у = 12 = 5,23 сек.-1
Из равенств (254) находим амплитуды вынужденных колебаний гироскопа:
да 4М0ТС _ 4.1,0 24.10-4оал-
4α ~ ngJQ cos θ0 - 3,14-5,23.2800 cos 15° ~~ ' ιυ рад"
Δψα ~ nqJQ cos θ0 ~ 3,14-5,23.2800 cos 15° ~ 1,У ш раД*'
или соответственно
Δθα = 2,4· Ι0-4·57,3·60 = 0,83 угл. мин.;
Δψα= 1,9·10-4·57,3·60= 0,65 угл. мин.
Угловую скорость дрейфа определим по формуле (255):
Δψ* " 2 (Ja cos θ0)°tg θ° LV—Η—; +-7Ϊ\—ΊΓ~ )}-
4,8 + 0,2 ,Λ„..ΓΜ·0,8\2, 0,7 /4-1,0 γη neinln
= гтгжгсшвтtg 15 [(-πτ) +υ (-Щ-) J *°-5·10"10 сек-1·
ИЛИ
ΔψΛ = 0,5 ΊΟ"10 -57,3 -60 -60= 1,03· 10"5 угл. мин./мин.
§ 38. ВЛИЯНИЕ СИЛ СУХОГО ТРЕНИЯ НА ГИРОСКОП
ПРИ СЛУЧАЙНОМ ХАРАКТЕРЕ КОЛЕБАНИИ ЕГО ОСНОВАНИЯ
В предыдущем параграфе было рассмотрено влияние на
движение гироскопа сил сухого трения в опорах подвеса для случая
гармонических колебаний основания. Между тем в
действительности колебания объектов, с которыми основание гироскопа
соединяется обычно жестко, подчинены законам, отличающимся от
гармонических. Летательный алпарат, корабль и многие другие под-
m

вижные объекты вследствие воздействия различных возмущений
совершают колебания, имеющие случайный характер (рис. 75).
Также случайны и силы сухого трения в опорах подвеса
гироскопа. Находясь в сложной зависимости от статических
деформаций соприкасающихся тел, чистоты обработки их поверхностей,
Рис. 75. График изменения угла крена объекта.
радиусов кривизны этих тел и целого ряда других факторов,
силы трения порождают моменты, величины которых колеблются
в весьма широких пределах даже в одной и той же опоре. На
рис. 76 приведена осциллограмма изменения момента Мт сил
Рис. 76. Осциллограмма изменения момента сил
сухого трения в шариковом подшипнике в
зависимости от угла поворота его колец.
трения в шариковом подшипнике, находящемся под постоянной
нагрузкой в зависимости от угла θπ взаимного поворота его колец.
Случайный характер момента Мт приводит к тому, что даже его
среднее значение Мот не остается постоянным по модулю. Согласно
экспериментальным данным среднее значение момента сил сухого
трения в шариковых подшипниках при изменении направления
их движения изменяет не только свой знак, но и величину. Так,
при переходе угловой скорости θπ взаимного поворота колец шари-
182

-%
Μτ
fM
or
коподшипника через нуль (рис. 77) средняя величина момента
сил сухого трения изменяется от — Λί0τ до + νΛί0τ, где ν —
экспериментально определяемый коэффициент.
В общем случае моменты сил сухого трения относительно осей
подвеса гироскопа при колебаниях его основания вместе с объектом
будут несимметричны не только по времени, но и по величине.
В самом деле, при изменениях угла отклонения объекта от
заданного направления (рис. 75) угловая скорость этих отклонений будет
характеризоваться кривой β (t) (рис. 78), являющейся
результатом дифференцирования исходной функции β (ή. После того, как
амплитуда нутационных колебаний уменьшится до значения
угловой скорости β объекта, знак
момента сил сухого трения будет
обусловливаться (см. § 36) лишь
направлением угловой скорости β вращения
объекта. Поэтому изменение момента
сил сухого трения в рассматриваемом
примере будет характеризоваться
случайной функцией Λίτ (/).
Вследствие отсутствия какой-либо
периодичности в чередовании взаимно
противоположных направлений
действия моментов сил сухого трения
на гироскоп в данном случае уже не
представляется возможным
воспользоваться разложением функции Μт (t)
в ряд Фурье. Вот почему для
определения в рассматриваемых условиях работы отклонений гироскопа
от заданного направления в пространстве приходится обращаться
к методам теории вероятностей. *
Если бы нам были известны промежутки времени tl9 t3, tb,
Рис. 77. Графики изменения
момента сил трения в шариковых
опорах.
t2n-i> a также t2t /4, t6
t2n (рис. 78), в течение которых
моменты сил сухого трения соответственно отрицательны и
положительны, то отклонение гироскопа за то или иное время можно
было бы вычислить основываясь на законе прецессии.
Действительно, полагая для упрощения, что β является угловой скоростью
объекта вокруг внутренней оси ОВ гироскопа (см. рис. 72),
т. е. β = ωβ, по аналогии с изложенным в § 36 можем записать
ψ =
м
о ίΒ
J Ω cos θ0
π n
V t , νΑίо тВ "V
(256)
1 В настоящем параграфе приводятся лишь элементарные сведения о
методах исследования уходов гироскопа при случайном характере действующих на
него возмущений. Подробнее см. в [36].
183

где
2 'гл-ι = Ί + h + h + ' · · + ^2/г-1 = Т{-В)\
Л=1
►М
or
2 '«» = '« + f4 +'·+··■+ /:
4=1
2n
(+β)·
0
"Ματ
I
х;вш
^14
ι.! I'lili !|| j < Ι ί! U!
li Мм ι ι' ' I ' · ' 4 ' '
1 y\i 'л! u i/\' ki !/л.| ixl l^\! и к! U
к "г
t
ί»
г48—
Ч
h\
Щ

till
μζ.
_
ί«
Тг5 "
Ι,
ta\
uA*
\tl2
vs4^/
ίβ
_^
t*
+ *»
■ «η г-
» Γ!"
u L
t2
1
_7_
η И
Η
Λ;Ί Ι*
Γ4-
ι
ι
ι
ι
ι г
t
'Ъщ
Рис. 78. Графики изменения момента сил сухого трения при случайном
характере колебаний корпуса гироскопа.
Подставив принятые обозначения суммарных значений вре-
п η
мени 2 'гл-ι и 2^2* в выражение (256), будем иметь
Л=1
tel
Так как
* ~ - /ЙС0в*0 7 <~В> + Л COS *β 7 (+В)-
то полученное равенство может быть переписано в следующем
виде:
Относя величину угла ψ ко времени Т, в течение которого
произошел поворот гироскопа, и вводя обозначение
77
(+Д)
= *fl.
184

найдем выражение для средней угловой скорости
^-тгат^-^ + ^ь (257>
с которой за рассматриваемый промежуток времени Τ главная
ось отклонилась от первоначального направления.
Рассуждая аналогичным образом, можно получить
соответствующее выражение и для угловой скорости поворота .гироскопа
вокруг внутренней оси подвеса ОВ. Учитывая, согласно
формулам (250), знаки моментов сил трения для рассматриваемого
случая, будем иметь
л_ _ мотс
JQ cos θ0
[l_tc(l+v)], (258)
где хс — отношение времени действия момента сил трения в
положительном направлении к общему времени 7\
Из анализа выражений (257) и (258) видно, что входящие в них
коэффициенты хв и хс для каждого рассматриваемого промежутка
времени Τ могут иметь различные значения и, следовательно,
являются случайными величинами. Значения случайных
величин хв и хс не могут быть точно известны заранее, что не позволяет
при определении отклонений гироскопа от заданного направления
воспользоваться формулами (257) и (258). Однако по
экспериментальным записям колебаний объекта (рис. 75) можно вычислить
среднее арифметическое наблюденных значений случайной
величины:
η η
Σ xbj Σ xcj
mxB^i~-\ mtC = fci-, (259)
где xBj и xcj — значения случайных величин, наблюденные при
/-м опыте;
η — количество опытов.
При достаточно большом количестве экспериментов η среднее
арифметическое (259), согласно закону больших чисел, может быть
принято приближенно равным математическому ожиданию
рассматриваемой случайной величины х. Пользуясь данными
эксперимента, представляется возможным вычислить средние квадра-
тические отклонения случайных величин хв и хс от их
математических ожиданий:
α (χΒ) =
/^
Щв)2
1 См.: Е. С. В е н τ ц е л ь. Теория вероятностей. ГИФМЛ, 1958, стр. 130.
185

и квадраты этих параметров, или так называемые дисперсии
случайных величин:
Σ (тв/ — тхВ)2
£>Ы = '-
D(rc)
S(^c/-mtc)2
/=1
(260)
При нормальном законе распределения плотности вероятности,
который наиболее часто встречается на практике, математическое
ожидание и дисперсия дают полную характеристику
рассматриваемой случайной величины.
Так как коэффициенты хв и хс — величины случайные, то
естественно, что и зависящие от них угловые скорости ψ и θ,
определяемые из выражений (257) и (258), также будут случайными
величинами. Их математическое ожидание в соответствии с
теоремами о числовых характеристиках случайных величин может быть
выражено через математические ожидания случайных величин
хс и хв:
"4 =
ть =
Μρτί
7Ω cos
М0ТС
JQ cos θ0
V1
[1-
-α +
(l + v)
v)mtB];
mxC\·
(261)
По выражениям (261) можно вычислить угловые скорости
дрейфа гироскопа при случайном характере колебаний его
основания. Вероятность дрейфа с найденными угловыми скоростями
может быть определена по дисперсиям D (ψ) и D (θ) случайных
величин хв и тс:
β(ψ) =
2f7^i'-<'+~»v-7fe-.i'-<'+'"».4g
D{p)
186
П
Σ{
JQ cosOq
li-(H-v)Tc/]-7^^-[i-(i4-v)WTC]}i
η

Преобразовав последние выражения с учетом (260), найдем
s(M^0)2(1 + v)2D(tc)·
(262)
Как известно, х нормальный закон распределения (рис. 79)
вполне характеризуется
математическим ожиданием и
дисперсией случайной величины
/(*)"
V2stD(x)
2D (л:)
Поэтому предствляется
возможным определить вероятность 01
попадания случайной величины
χ в определенный диапазон
значений от а ДО Ь: Рис. 79. Нормальный закон распределения.
ъ
J
P(a<x<b) = ^ f(x)dx = y=
(χ)
Γ (x-mx?
уе^м dx.
Учитывая, что D {χ) = σ2 (χ), и вводя замену переменной
χ — тх ,
о {χ) V1* ~ '
перепишем последнее равенство в следующем виде:
α (χ) γ"2
P(a<x<b)^-L· f er^dt.
(263)
ο (χ) У2
Полученный интеграл не выражается через элементарные
функции, для его вычисления пользуются таблицами специальной
функции
о
(264)
1 См.: В. С. Π у г а ч е в. Теория случайных функций и ее применение к
задачам автоматического управления. ГИФМЛ, I960, стр. 51.
187

называемой интегралом вероятности.
Таблицы этой функции приводятся в курсах по теории
вероятностей, а ее график показан на рис. 80.
Искомая вероятность (263) может быть выражена через
интеграл вероятности (264) следующим образом:
b—mv
σ(χ) Υ 2
Р(а<Х<Ь) = -±= j er"dt = ±
σ (χ) γΐ
V
b~mx_
с (χ) V'2
'- ί -
t2dt
σ(χ) γ2
— ~ f (r-t2dt
тИ;
Ь — тх
(x)V"2
Φ
a(x)V"
I)
Ψ Μ
ψ
0,8
0,6
ο,*
0,2
Υ.
4
0
0
У
/
t
4
/
φ.ν
>'
*'
**
^"
#..
—
-"■"
...
-·■
ГУГ
та
га
0,5 W 1,5 ift 2}δ
Рис. 80. График функции интеграла вероятности.
3,0 И
В частном случае, когда интервал (а, Ь) симметричен
относительно тх (рис. 79), т. е. а = тх — ε, Ъ ~ тх + ε, полученная
формула принимает вид
Ρ (тх — ε < χ < тх + ε
ί-4-Κ
a(x)V2
-Φ
aW/2/J
Но так как Φ (и) нечетная функция, то окончательно будем
иметь
Р(|х-тх|<в)-ф(.
σ (*) 1^2
(265)
Такова формула для определения вероятности нахождения
случайной функции, вычисленной по формулам (261) в
определенном диапазоне ее отклонений от математического ожидания.
№

Пример 21. Определить угловые скорости дрейфа гироскопа,
кинетический момент которого /Ω = 3000 Гсмсек, вызываемого силами сухого трения
в опорах его подвеса при случайных колебаниях объекта. Вычислить также
вероятность сохранения гироскопом угловых скоростей дрейфа в пределах их
возможного отклонения от математического ожидания, не превышающих ±20%.
Математические ожидания случайных величин отношения времени действия
моментов сил трения в опорах подвеса на гироскоп в одном направлении к общему
времени работы прибора тхв = 0,52, тТс = 0,54, а их дисперсии D (Χβ) —
= 2,3· 10" 5, D (Тс) = 2,9· 10"5. Модули моментов сил трения М0 Тв = 0,5 Гсм,
М0 тс — 0,8 Гсм. Коэффициент изменения величины момента сил сухого трения
при изменении направления движения опоры ν= 1,06. В начальный момент
угол, составляемый главной осью гироскопа с перпендикуляром к плоскости
наружного кольца θ0 = 5°.
По формулам (261) определим математические ожидания угловых скоростей
дрейфа гироскопа:
0,5
3000 cos 5°
[1 — (1 + 1.06) 0,52] = 1,19. Ю-5 сек."1;
М0тс
Φ JQ cos O0
0,8
[l-(l+v)mtC) =
3000 cos 5°
[1—(1 + 1,06)0,54]= — 3,0- 10~δ сек."1.
или соответственно
m . = 1,19·10"5·57,3·60·60 = 2,46 град./час;
тъ = —3,0· 10"5· 57,3-60-60 = — 6,19 град./час.
Для определения вероятности сохранения угловых скоростей дрейфа в
диапазоне ±20% по отношению к их вычисленным математическим ожиданиям m .
Ψ
и m . из формул (262) найдем дисперсии рассматриваемых случайных величин:
= (зоосЙЫ^1 + W 2-3·10-5 =2·72· 10-12;
°<*) = (7ff^)2<1+v)iD^)-.
= (зООО^Б·)'0 + 1.06)^2,9.10-= 8,75-10-,
и их средние квадрэтические отклонения:

Изменения рассматриваемых случайных величин в диапазоне отклонения
±20% от их математических ожиданий будут определяться значениями:
ε. = 0,2m . =0,2-2,46-ΙΟ"5 = 4,92· Ю-всек."1;
ε . = 0,2m · =0,2-3,0- ΙΟ"5 = 6,0- 10"β сек."1.
Подставляя вычисленные параметры в правую часть формулы (265), находим
значения величин
в.-_д^= 4-92-|о-;.=2,п;
Ψ σ(ψ)|^2 1,65.10"βΚ2
ц.= 8V= β'0'10" =1,43.
* σ(θ)^2 2,96.10"e^2
В соответствии с вычисленными величинами и . и и ., пользуясь графиком
(рис. 80), находим значения функции Φ (и), а тем самым и вероятность
нахождения рассматриваемых случайных величин в заданных пределах:
р^-%\<%)=0·987·
М1*-%1<8<>)=0·954·
Полученные результаты показывают, что угловые скорости систематического
дрейфа гироскопа в заданных условиях колебания объекта не будут отклоняться
от своих математических ожиданий более чем на 20% по наружной оси подвеса
в 98, а по внутренней в 95 случаях из 100.
Φ

Глава VI
АСТАТИЧЕСКИЙ ГИРОСКОП
§ 39. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АСТАТИЧЕСКОГО ГИРОСКОПА
В СИСТЕМАХ УПРАВЛЕНИЯ ПОДВИЖНЫМИ ОБЪЕКТАМИ
Астатическим гироскопом, согласно определению Б. В.
Булгакова [4], принято называть гироскоп с тремя степенями свободы,
центр тяжести которого совмещен с точкой его подвеса. Такие
гироскопы (см. рис. 30) с каждым годом находят все большее
применение на практике. Их значение особенно возросло в связи
с появлением беспилотных летательных аппаратов и освоением
космического пространства.
Как известно, х для вывода искусственных спутников Земли и
космических кораблей на заданную орбиту необходимо, чтобы
ракета-носитель с момента старта до момента ее отделения
перемещалась строго по заранее заданной траектории. Старт ракеты
осуществляется вертикально вверх, в связи с чем начальное значение
βΗ угла наклона вектора V линейной скорости ракеты к плоскости
горизонта ξϋη должно быть равно — (рис. 81). Достигнув
определенной высоты, ракета начинает поворачиваться вокруг своей
поперечной оси Осус с тем, чтобы к моменту выключения двигателя
вектор V ее скорости составил с плоскостью ξϋη угол, равный
его конечному заданному значению βκ. Кроме того, на
протяжении указанного промежутка времени в процессе полета ракеты на
активном участке ее траектории центр тяжести Ос и вектор V
линейной скорости объекта должны быть совмещены с плоскостью
полета ξπΖ)ζ, составляющей в момент старта угол <хн с плоскостью
меридиана ξ£ζ.
Чтобы осуществить движение ракеты-носителя по заранее
заданной так называемой расчетной траектории, объект должен
быть оборудован такими приборами, которые неизменно
фиксировали бы начальные положения плоскостей ξπ£>ηπ и ξπΖ)ζ.
Для этого может быть использован астатический гироскоп,
главная ось которого с той или иной степенью точности сохраняет
заданное ей направление стабильным в пространстве (см. гл. II).
1 См.: С. Г. Александров и Р. Е. Федоров. Советские спутники
и космические корабли. Изд-во АН СССР, 1961.
19!

Устанавливая на объект астатические гироскопы и ориентируя
в начальный момент времени их главные оси по соответствующим
осям координатной системы Οξπηπζ, получают возможность
автоматически контролировать движение ракеты и управлять ее
полетом по заранее рассчитанной траектории.
Астатические гироскопы
нашли широкое применение и в
системах автоматического
управления беспилотными
летательными аппаратами. Их
весьма часто используют в тех
случаях, когда возникает
необходимость измерения углов
поворота объекта вокруг начала
системы координат Ocxcyczc,
неизменно с ним связанной. Для
этого главные оси гироскопов
в начальный момент
времени ориентируются по
соответствующим осям координат
Ocxcyczc. При ориентировании
главной оси гироскопа по оси
Осхс можно измерить углы
поворота объекта вокруг осей
Осус и Oczc[ При
ориентировании главной оси гироскопа по
оси Осус прибор будет измерять
углы поворота объекта вокруг
осей Oczc и Осхс и т. д,
§ 40. ГИРОСКОПИЧЕСКИЕ
ПРИБОРЫ ВЕРТИКАНТ И
ГОРИЗОНТ
Характерным примером ис-
Рис. 81. Траектория ракеты-носителя, пользования астатического
гироскопа для управления
объектами может служить система автоматического управления
баллистической ракетой V-2, подробно описанная в работах [42, 50].
В этой системе для контроля отклонений ракеты от плоскости
полета ξπΟζ (рис. 82) используется астатический гироскоп,
главная ось ОА которого устанавливается в начальный момент
параллельно оси Dr\n и, следовательно, перпендикулярно
плоскости полета ξπ£>ζ. При этом ось О А в течение некоторого времени
будет с достаточной точностью сохранять заданное ей в
пространстве направление D ηπ.
При отклонении от плоскости полета ξπ£>ζ в результате
поворота вокруг оси Oczc ракета будет одновременно поворачиваться и
192

вокруг наружной оси ОС гироскопа, сохраняющего стабильным
свое направление в пространстве. В процессе такого поворота
жестко укрепленный на наружном кардановом кольце движок
потенциометра Пс будет перемещаться по его обмотке,
смонтированной на корпусе ракеты. Снимаемый с потенциометра
Псэлектрический сигнал подается в автоматическое устройство — автопилот,
который осуществляет необходимый поворот рулей управления
Рис. 82. Принципиальная схема гироскопического прибора вертикант.
для возвращения ракеты к заданной плоскости полета. В случае
возникновения крена, что может произойти в результате поворота
ракеты вокруг оси Осхс, равносильного повороту вокруг
внутренней оси О В гироскопа, электрический сигнал будет сниматься
с потенциометра Пв. Получив этот сигнал, автопилот
произведет поворот рулей управления, который устранит возникший
крен.
Как видим, описанный гироскопический прибор контролирует
положение объекта в вертикальной плоскости полета ξπ£>ζ,
поэтому он получил название«вертикант». Так как его главная ось О А
установлена перпендикулярно к плоскости полета ξπ£>ζ, то движе-
193

ние ракеты по криволинейной траектории DOcL не порождает
вынужденных поворотов гироскопической системы. В самом деле,
поворачиваясь в плоскости полета ξπΖ)ζ вокруг оси 0сус, ракета
одновременно будет поворачиваться вокруг оси ОА. Из
изложенного в § 26 следует, что такой поворот основания прибора не вызы-
вгет отклонений гироскопа от первоначального его положения
в пространстве.
Рис. 83. Принципиальная схема гироскопического прибора горизонт.
Для придания ракете необходимого угла относительно
плоскости lnDr\n в описываемом устройстве автоматического управления
используется второй астатический гироскоп, размещение которого
в корпусе ракеты показано на рис. 83. В отличие от вертиканта
главная ось ОА этого гироскопа, получившего название
«горизонт», совмещена с плоскостью полета ΙηΟζ. Наружная ось ОС
прибора, несущая на себе движок потенциометра Яс, расположена
в этом случае параллельно поперечной оси 0^ объекта и в
первоначальный момент времени ориентируется по оси D ηπ,
перпендикулярной к плоскости полета ξ^ζ.
194

При таком расположений гироскоп будет фиксировать
повороты ракеты в плоскости полета ξη£>ζ. Представим себе, что
величина угла β, составляемого вектором V скорости объекта с осью
£>|п, изменилась по сравнению с его заданным значением. Это могло
произойти лишь в результате отклонения ракеты от заданной
траектории движения в плоскости полета ξπ£>ζ, или, иными
словами, в результате ее поворота вокруг оси Осус. Так как гироскоп
сохраняет стабильным свое положение в пространстве, то при
указанном отклонении ракеты движок потенциометра Пс переместится
по его обмотке, в результате чего будет получен электрический
сигнал, пропорциональный углу рассматриваемого отклонения.
Получив этот сигнал, автопилот произведет необходимый поворот
рулей управления, что устранит возникшее отклонение объекта
от заданной траектории.
Для изменения угла β в соответствии с заданной программой
полета обмотка потенциометра Пс смонтирована на плате Ν,
которая может поворачиваться относительно корпуса ракеты вокруг
оси ОС, параллельной оси Осус объекта. Плата N с помощью
ленточной передачи связана с профилированным кулачком /?,
приводимым во вращение вокруг оси ab, также параллельной оси 0^,
часовым механизмом ЧМ.
При повороте платы N, а вместе с ней и обмотки
потенциометра Ясего нулевая точка будет смещаться относительно движка,
который вместе с гироскопом сохранит неизменным свое
положение в пространстве. Таким образом, и в этом случае с
потенциометра Пс будет сниматься сигнал, сообщающий об отклонении
ракеты от требуемого положения относительно плоскости ξπ£>ηπ.
Поступая на автопилот, сигнал будет вызывать поворот рулей
управления, что приведет ракету в положение, при котором ее
наклон к плоскости lnD ηπ будет соответствовать требуемому для
данного момента времени значению угла β.
Профиль кулачка R выполняется строго в соответствии с
заданной траекторией движения. Поэтому плата N будет вращаться
с такой переменной угловой скоростью, с какой объект должен
изменять во времени значение угла β наклона по отношению
к плоскости 1ΏΏϊ\η. Таким образом, в результате непрерывного
вращения платы N вокруг наружной оси ОС подвеса гироскопа
сигнал, снимаемый с потенциометра Яс, оказывается
пропорциональным углу отклонения объекта от расчетной траектории его
движения в плоскости полета ΙηΟζ. Автопилот, получающий этот
сигнал, воздействует на соответствующие рули управления и
устраняет возникшие отклонения объекта от заданной
программы движения. Вот почему устройство, обеспечивающее
поворот платы Λί, а в месте с ней и обмотки потенциометра Пс
вокруг оси ОС гироскопа, получило название программного
механизма.
195

§ 41. АСТАТИЧЕСКИЕ ГИРОСКОПЫ ДЛЯ ИЗМЕРЕНИЯ УГЛОВ
ОТКЛОНЕНИЯ ОБЪЕКТОВ ОТ ЗАДАННОГО НАПРАВЛЕНИЯ
ДВИЖЕНИЯ
Весьма часто движение объекта в пространстве задается в
каком-либо направлении, которое должно быть выдержано
стабильным в течение того или иного промежутка времени. Представим
себе, например, что движение объекта задано в пространстве
в некотором направлении NL (рис. 84).
Для осуществления намеченного движения необходимо, чтобы
отсутствовало вращение объекта вокруг осей координатной
системы Ocxcyczc, неизменно с ним связанной. При этом условии про-
Рис. 84. Гироскопический прибор для измерения углов рыскания и крена.
дольная ось 0схс объекта будет неизменно совмещена с линией NL
и, следовательно, он будет перемещаться точно в заданном
направлении. Между тем, в действительности соблюдение этого условия
связано со значительными трудностями. Вследствие
непрерывных возмущений, испытываемых объектом в процессе движения,
будут неизбежно возникать отклонения от заданного направления.
Для измерения угловых отклонений в системах автоматического
управления объектами широко используются астатические
гироскопы. г
С помощью одного гироскопа с тремя степенями свободы можно
одновременно измерять два угла поворота объекта. В
рассматриваемом случае (рис. 84) гироскоп будет фиксировать повороты
объекта вокруг осей 0czc и 0схс> параллельных соответственно
внутренней ОВ и наружной ОС осям подвеса гироскопа. При этом
сигналы, снимаемые с потенциометров Пв и Яс, будут
пропорциональны углам α и γ поворота объекта вокруг осей Oczc и 0схс
соответственно. Сравнив схемы размещения гироскопа на подвижном
объекте (рис. 82 и 84), заметим, что в обоих вариантах гироскопи-
1 См.: В. И. Марисов и И. К. Кучеров. Управляемые снаряды.
Воениздат, 1959.
196

ческое устройство позволяет измерять углы поворота объекта
вокруг одних и тех же осей 0czc и 0схс. Отличие между ними
заключается лишь в том, что в одном варианте (рис. 84) для измерения
углов поворота объекта вокруг оси 0czc используется
потенциометр Яв, расположенный на внутренней оси ОВ подвеса гироскопа,
во втором (рис. 82) — потенциометр Яс, расположенный на
наружной оси ОС. Для измерения углов поворота объекта вокруг оси
Осхс в первом варианте (рис. 84) используется потенциометр Яс,
во втором (рис. 82) — потенциометр Пв.
Таким образом, для измерения углов рыскания α и крена γ
могут быть использованы два варианта установки астатического
Рис. 85. Гироскопический прибор для измерения углов
рыскания и тангажа.
гироскопа на объекте, которые получили название
гироскопических устройств курс — крен. Главные оси ОА этих гироскопов
размещаются параллельно оси 0сус.
Для измерения углов поворота объекта вокруг осей 0czc и
Осус также могут быть использованы два варианта установки
гироскопа. Одним из них является установка рассмотренного выше
(см. рис. 83) астатического гироскопа. Сориентируем ось ОА
такого гироскопа в начальный момент времени по оси 0схс объекта,
закрепим неподвижно по отношению к его корпусу плату N и
снабдим гироскоп вторым потенциометром, установленным по
внутренней оси подвеса ОВ. В результате получим гироскопическое
устройство, позволяющее измерять углы поворота объекта вокруг
осей 0czc и 0сус.
Второй возможный вариант размещения на объекте
гироскопа с тремя степенями свободы, предназначаемого для
измерения углов рыскания α и тангажа β, показан на рис. 85. Здесь,
так же как и в первом варианте (см. рис. 83), главная ось
гироскопа в начальный момент совмещается с продольной осью 0схс
объекта. Вследствие такого размещения повороты объекта вокруг
197

осей 0czc и 0сус сразу же фиксируются гироскопом. При этом
с потенциометров Пс и Пв (рис. 85) будут сниматься сигналы,
соответственно пропорциональные углам рыскания α и тангажа β
объекта по отношению к заданному направлению движения.
Вот почему рассматриваемые устройства и получили в системах
автоматического управления название гироскопических устройств
тангаж — рыскание.
Наконец, астатический гироскоп может быть использован и для
измерения углов отклонения объектов от заданной траектории при
повороте их вокруг своих осей 0схс и 0сус. В таких устройствах
главная ось О А гироскопа в начальный момент должна быть
совмещена с осью 0czc объекта. Нетрудно заметить (рис. 86), что и
здесь возможны два варианта размещения гироскопа.
а; . а)
Рис. 86. Гироскопический прибор для измерения углов крена и тангажа.
Описываемые приборы, получившие название гироскопических
устройств крен — тангаж, измеряют углы γ крена и β тангажа
объекта. В первом варианте (рис. 86, а) сигналы,
пропорциональные углам γ и β, снимаются соответственно с потенциометров Пс
и Пв. Во втором (рис. 86, б) сигнал, пропорциональный углу
крена γ, снимается с потенциометра Яв, смонтированного на
внутренней оси ОВ подвеса гироскопа, а сигнал, пропорциональный
углу тангажа β, — с потенциометра Пс.
Анализ возможных вариантов использования гироскопа для
измерения углов отклонения объекта от заданного направления
движения показывает, что для одновременного измерения всех
трех углов: α рыскания, β тангажа и γ крена на объекте должно
быть установлено не менее двух астатических гироскопов. При этом
для измерения одной и той же пары углов могут быть
использованы два варианта гироскопических устройств. При выборе одного
из них обычно отдают предпочтение тому варианту, который в
данном конкретном случае обеспечивает наименьшие ошибки при
одновременном измерении требуемой пары углов.
198

§ 42. ФАКТОРЫ, ВЫЗЫВАЮЩИЕ ОШИБКИ ПРИ ИЗМЕРЕНИЯХ
АСТАТИЧЕСКИМ ГИРОСКОПОМ УГЛОВ ПОВОРОТА ОБЪЕКТА
Выясним, какие ошибки возникают при измерении с помощью
описанных выше гироскопических устройств углов отклонения
объекта от неподвижной в пространстве системы координат
010ν\0ζο (рис. 87). Можно
считать, что объект отклоняется
от заданной траектории в
результате трех
последовательных поворотов: вокруг
оси 0ζ0 на угол
рыскания а, вокруг оси Оу на угол
тангажа β и, наконец, вокруг
оси 0хс на угол крена γ.
Спроектируем угловые
скорости α, β и γ на коорди- £0
натные оси Oxcyczc, неизменно L ^
связанные с объектом. В
результате получим
- χ
Рис. 87. К ориентации объекта в
неподвижной системе координат.
ω, = α cos (ζ0, xc) + β cos (у, хс) + у cos (*c, хс)\
(*у = а cos (ζ0, ус) + β cos (у, ус) + у cos (*с, ус); } ^66)
ω2 - α cos (ζ0, ζ0) +- β cos (ί/, zc) + γ cos (xc, zc).
Для определения косинусов углов, входящих в (266),
воспользуемся основным уравнением (30) сферической тригонометрии,
согласно которому
cos (ζ0, хс) =- cos (-у- + β) = —sin β;
cos(£0, yc) = cos(-y — γ)α*β + sin (-γ — v) sin β cos -|-=
= cos β sin γ;
cos^0, zc) = cos β cos γ -} sin β sin γ cos -
cosβcosγ;
cos (i/, xc) = cos — cos β + sin -~- sin β cos -^- = 0;
cos(i/, yc) = cosv;
cos (y, zj = cos {-γ + у j = —sin γ;
199

cos(*c, *c) = cosO = 1;
π
cos (xc, yc) = cos -
0:
cos (xcy zc) = cos — = 0.
Подставив вычисленные значения косинусов в выражения
(266), найдем проекции угловых скоростей вращения объекта
в пространстве на координатные оси Oxcyczc:
аь
—α sin β + γ;
ω. = α cos β sin γ + β cos γ;
(267)
ωζ = α cos β cos γ — β sin γ.
Астатический гироскоп, предназначенный для измерения
рассматриваемых углов, можно по-разному установить на объекте
Рис. 88. Положение астатического гироскопа на
подвижном объекте.
(см. § 41). В общем случае положение системы координат ODBC,
неизменно связанной с наружным кардановым кольцом
гироскопа, х относительно координатной системы ОХсУсгс, неизменно
связанной с объектом, может быть оценено тремя эйлеровыми
углами ρ, σ и τ (рис. 88).
1 Напомним, что ось OD является перпендикуляром к плоскости ВОС
наружного карданова кольца (рис. 52).
200

Первый эйлеров угол ρ образован в плоскости хсОус линией
узлов ON с осью 0хс. Второй угол σ расположен в плоскости ухОС,
перпендикулярной линии узлов ON, и образован пересечением
осей ОС и 0zc. Наконец, третий угол τ расположен в плоскости
NOy2 и составлен пересечением линии узлов ON и осью 0D. Зная
указанные углы, можно определить косинусы углов, составляемых
осями двух координатных систем Oxcyczc и ODBC.
Согласно уравнению (30) для сферического треугольника
xcDN можем записать
cos (D, хс) = cos ρ cos τ + sin ρ sin τ cos (τ — σ).
Для сферического треугольника xcNB
cos (β, *c) = cos ρ cos (*γ- + T) + sin QSin (-γ + τ J cos (τ — σ).
Для сферического треугольника xcCN аналогично находим
cos (С, хс) = cos ρ cos — + sin ρ sin — cos ( — σ j.
Так как угол между линией узлов ON и осью Оус равен — ρ,
то, очевидно, что косинусы углов, составляемых осью Оус с осями
OD, ОБ и ОС, могут быть легко получены из найденных выражений
косинусов углов (Ζ), хс), (В, хс) и (С, хс), если в них угол ρ заменить,
/π \
учитывая направления отсчета, величиной —ί — ρ]:
cos (D, yc) = cos £— (-y- — ρ)] cos τ +
+ sin [— (-|- — ρ)] sin tcos(-:— σ);
cos (β, yc) = cos [— (-|- — ρ)] cos (-^- + t) +
+ sin [— (-|- — ρ)] sin (-£- + t) cos (τ — σ);
cos (C, yc) = cos[— (-^- — q)]cos-^- +
+ sin[-(lT ^)]sinir cos(-f -σ)·
Для сферического треугольника NzcD можем записать
cos(D, zc) = cos -^- cos τ + sin -|- sin τ cos ί ·— σ].
201

Угол, составляемый линией узлов ON с осью 0В> равен ~ +
+ т. Поэтому, заменяя в полученной формуле τ величиной
— + t, найдем выражение для косинуса угла между осями ОВ
и 0zc:
cos (β, zc) = cos -^cos ί-γ + τ J +
+ sin -γ sin (-£- + t) cos (-y- — σ) .
Из рис. 88 видно, что
cos (С, zc) = cos σ.
Производя в полученных выражениях тригонометрические
преобразования, находим
cos (D, *с) = cos ρ cos t — sin ρ sin t cos σ;
cos (β, xc) = —cos ρ sin t— sin ρ cos t cos σ;
cos (С, хс) = sin ρ sin σ;
cos (D, yc) = sin ρ cost -f- cos ρ sin tcosa;
cos (β, yc) = — sin ρ sin t -f- cos ρ cos t cos σ; [ (268)
cos (C, yc) = — cos ρ sin σ;
cos(D, zc) = sin t sin σ;
cos (β, zc) = cos t sin σ;
cos (C, zc) = cos σ.
Проектируя угловые скорости (267) на оси координат ODBC
и учитывая найденные значения (268) косинусов, можем записать:
ω0 = (—α sin β + γ) (cos ρ cos t — sin ρ sin x cos σ) +
+ (α cos β sin γ -j- β cos γ) (sin ρ cos χ + cos ρ sin tcosa) +
+ (a cos β cos γ— β sin γ) sin tsina;
ωΒ = (—a sin β + γ) (—cos ρ sin τ— sin ρ cos tcosa) 4-
+ (α^5βδίηγ + β cos γ) (— sin ρ sin t -f cos ρ cos tcosa) +
+ (a cos β cos γ — β sin γ) cos t sin σ;
e)c «e (~-a sin β + γ) sin ρ sin a —
— (a cos β sin γ -f β cos γ) cos ρ sin a +
+ (a cos β cos γ— ^siny)cosa,
202

или, производя преобразования:
(ud= а ( — sin β cos ρ cos τ -f sin β sin ρ sin τ cos σ +
+ cos β sin γ sin ρ cos τ -{- cos β sin γ cos ρ sin τ cos σ +
+ cos β cos γ sin τ sin σ) + β (cos γ sin ρ cos τ +
-f- cos γ cos ρ sin τ cos σ — sin γ sin τ sin σ) 4-
4- γ (cos ρ cos τ — sin ρ sin τ cos σ);
ωΒ — α (sin β cos ρ sin τ 4- sin β sin ρ cos τ cos σ —
— cos β sin γ sin ρ sin τ 4- cos β sin γ cos ρ cos τ cos σ 4- f (269)
4- cos β cos γ cos τ sin σ) 4- β (— cos γ sin ρ sin τ 4-
4- cos γ cos ρ cos τ cos σ — sin γ cos τ sin σ) —
— γ (cos ρ sin τ 4- sin ρ cos τ cos σ);
ω0 = — α (sin β sin ρ sin σ + cos β sin γ cos ρ sin σ —
— cos β cos γ cos σ) — β (cos γ cos ρ sin σ 4-
4- sin γ cos σ) 4- Υ sin ρ sin σ.
В зависимости от варианта размещения астатического
гироскопа на объекте углы ρ, σ и τ в каждом конкретном случае будут
принимать свои, вполне определенные значения. В связи с этим
и выражения (269) получат различный вид для каждого варианта
установки гироскопа. Чтобы выяснить, как изменяются
выражения (269), в табл. 5 сведены значения углов ρ, σ и τ при различных
вариантах установки астатического гироскопа на объекте.
Искомые значения углов вытекают непосредственно из
принципиальных схем приборов, описанных в § 41. Поворачивая в каждом
конкретном случае координатную систему Oxnyczc до совмещения
с осями ODBC, можно определить значения углов ρ, σ и τ.
Подставив приведенные в табл. 5 значения углов ρ, σ и τ в
выражения (269), найдем угловые скорости вращения объекта вокруг
осей OD, ОВ и ОС гироскопа при различных вариантах его
размещения. Угловая скорость (oDi согласно изложенному в § 26,
вызывает дрейф гироскопа в пространстве. Естественно, что при
знакопеременном изменении величины (oDi обусловливаемом самим
характером колебаний объекта (см. рис. 75), отклонение гироскопа
в этом случае будет незначительным. Последнее обстоятельство
позволяет пренебрегать влиянием угловой скорости ω^ на
изменение углов отклонения объекта. Поэтому, опуская из
дальнейшего рассмотрения угловую скорость ωΏ) определим для каждого
варианта размещения гироскопа на объекте лишь угловые
скорости ωβ и сос; получаемые при этом выражения сведены в табл. 6.
Из табл. 6 следует, что угловые скорости ωΒ и сос вращения
объекта вокруг осей ОВ и ОС гироскопа при любом варианте его
203

Таблица 5
Значения углов, характеризующих размещение астатического
гироскопа на объекте
Углы поворота объекта,
измеряемые гипроскопом
Крен—рыскание
Тангаж—рыскание
Крен—тангаж
Номер
рисунка
84
82
83
85
86, а
86, б
Значение углов
Q
π
ΊΓ
0
0
0
π
ΊΓ
0
σ | τ
π
ΊΓ
0
ΊΓ
0
π
ΊΓ
π
ΊΓ
0
π
ΊΓ
ο
0
π
ΊΓ
π
ΊΓ
Таблица 6
Уголовые скорости вращения объекта вокруг осей подвеса астатического
гироскопа при различных вариантах его установки на объекте
Углы поворота объекта,
измеряемые гироскопом
Крен—рыскание
Тангаж—рыскание
Крен—тангаж
Номер
рисунка
84
82
83
85
86, а
86,6
Угловые скорости
(ύβ И (U£
ω в = α cos β cos γ — β sin γ
сое =ν
соя = α sin β — γ
ωά = a cos β cos γ
α>β = α cos β cos γ — β sin γ
ос = — acos β sin γ — β cos γ
(ub = α cos β sin γ 4- β cos γ
a>c = α cos β cos γ — β sin γ
(ύβ — — α cos β sin γ — β cos γ
coc — — α sin β + γ
соя = α sin β — γ
сое = — α cos β sin γ — β cos γ
204

размещения зависят, как правило, от угловых скоростей вращения s
объекта одновременно вокруг каких-либо двух его осей 0хс1 0ус и
0zc. Поэтому углы поворота астатического гироскопа вокруг осей ,
подвеса ОВ и ОС по отношению к объекту не будут в точности соот- !
ветствовать углам поворота объекта вокруг той или иной пары
осей 0хс: 0ус и 0zc. Однако, зная пределы изменения углов α
рыскания, β тангажа и γ крена, в каждом отдельном случае по табл. 6
можно выбрать такой вариант размещения гироскопа, при котором
ошибки измерений будут наименьшими.
§ 43. КАРДАНОВЫ ОШИБКИ АСТАТИЧЕСКИХ ГИРОСКОПОВ
В общем случае движения центр тяжести объекта
перемещается в пространстве по сложной траектории. При этом углы
поворотов объекта по курсу, тангажу и крену могут принимать
весьма большие значения. Вот почему во многих случаях
практического использования астатического гироскопа нельзя
ограничиваться только качественной оценкой возможных ошибок.
Для определения искажений при измерении углов поворота
объектов приходится подробно исследовать так называемые кардановы
ошибки, обусловливаемые геометрией подвеса гироскопа.
Необходимо особо подчеркнуть, что характер кардановых
ошибок меняется в зависимости от принятого варианта размещения
гироскопа на объекте. Последнее обстоятельство и вызывает
необходимость исследования возможных искажений при измерении
углов поворота объекта для каждого типа гироскопических
приборов в отдельности.
Анализом кардановых ошибок гироскопических приборов
занимались многие авторы [12, 33, 36]. Ознакомление с
результатами этих работ выходит за рамки настоящей книги. Поэтому
методику исследования кардановых ошибок покажем здесь лишь
на одном частном примере. Выберем с этой целью два прибора
(рис. 89), предназначенных для измерения всех трех углов
поворота объекта. Потенциометры ПС1 и Пвъ расположенные по осям
0ХСХ и 0ХВХ подвеса первого гироскопа, предназначены для
измерения углов тангажа и крена. Потенциометр ЯС2, установленный
по наружной оси 02С2 второго гироскопа, предназначен для
измерения угла рыскания.
Предположим, что в начальный момент времени оси подвеса
гироскопа совмещены с осями неподвижной в пространстве системы
координат Οξ0η0ζ0. Кроме того, условимся считать, что за время
выполнения эволюции главные оси ОхАх и 02А2 гироскопов
сохраняют первоначально заданные направления. При этих условиях
в процессе перемещения объекта гироскопы будут фиксировать
направления осей той опорной системы координат Οξ0ν\0ζ0ι по
отношению к которой определяются углы поворота объекта.
Предположим, как и выше (см. рис. 87), что объект совершил
три последовательных поворота на углы α, β и γ вокруг осей Οζ0,
205

Оу и Охс соответственно. В этом случае косинусы углов,
составляемых осями координат Οξ0η0ζ0 и Oxcyczc, согласно уравнению (30)
будут определяться следующими выражениями:
cos (xci ξ0) == cos α cos β + sin α sin β cos -γ-;
cos(#e, η0) «= cos β cos f~ α J + sin β sin (~ — ajcos-^;
cos(*c, ;0)«cos(-y-+ β);
Co 2c
Рис. 89. Система двух астатических гироскопов для измерения углов
рыскания, тангажа и крена объекта.
cos ({/с, ξ0) = cos γ cos (-^- + «).+ sinYsin [γ + a) cos (-£- — β J ;
cos (yc, η0) = cos γ cos a + sin γ sin a cos ( -^ β j;
cos (yc1 ζ0) = cos (-γ — γ) cos β + sin (-£- — γ) sin β cos -γ;
cos (zc, go) = cos (-£- + γ) cos (-γ- + «) + sin (-J- + γ) sin (-J- -f
+ a)cos(4f— β);
cos (zc, Ль) = cos (-£- + γ) cos a + sin^-£- + γ) sin a cos (-£- — β) ;
cos (zc, Co) = cos β cos γ + sin β sin γ cos.-g-,
206

или после тригонометрических преобразований:
cos (хс, ξ0) = cos α cos β;
cos (хС1 η0) = sin α cos β;
cos(xc, ζ0) = — sin β;
cos (i/c, ξ0) = — sin α cos γ + cos α sin β sin γ;
eos (уш, η0) — cos α cos γ + sin α sin β sin γ; } (270)
cos(i/c, Co)=-cospsinY;
|"cos (z„ ζ0) =» sin α sin γ + cos α sin β cos γ;
cos (ze, η0) = — cos α sin γ + sin α sin β cos у;
cos(zc, ζ0) = cos β cos γ.
При вращении объекта гироскопы, сохраняя направления осей
ΟχΑι и 02А2 (рис. 89) неизменными в пространстве, вынуждены
Рис. 90. Положение [гироскопов, измеряющих углы рыскания, тангажа
и крена, на подвижном объекте.
будут изменить свои положения в системе координат Oxcyczci
неизменно связанной с объектом. Действительно, наружная ось
ОСх первого гироскопа, ось ОАх которого остается совмещенной
с осью Οζ0, повернется вместе с осью Оус объекта в пространстве
(рис. 90, а). Наружная ось ОС2 второго гироскопа, ось ОА2
которого остается совмещенной с осью Οη0 (рис. 90, б), повернется
в пространстве вместе с осью Ozc объекта. В обоих случаях
внутренние оси подвеса ΟλΒχ и 02В2 гироскопов займут положения:
первая — перпендикулярно осям ОхАх и ОхСъ вторая —
перпендикулярно осям 02А2 и 02С2 (рис. 89).
Для определения положений внутренних осей подвеса ΟλΒλ и
02В2 гироскопов повернем объект относительно неподвижной
системы координат Οξ0η0ζ0 вначале на угол ах вокруг оси Οζ0
207

(рис. 91), затем на угол ух вокруг оси Охг и, наконец, на угол βχ
вокруг оси 0СХ гироскопа. При таком взаимном расположении
координатных систем 0£оЛо£о и Oxcyczc косинусы углов, составляемых
их осями, будут определяться из выражений
cos (*с, ξ0) = cos <χχ cos βχ -f sin αχ sin βχ cos ί -g- -+- Yi ) ;
cos(*c, η0) = cos(-£- — a^cospi + sini--- — a^sin piCos^-^·—Yij ;
cos (xC9 ζ0) = cos (-j- + βχ) cos Yx + sin (-|- + βι) sin γχ cos -J-;
cos (yci ξ0) = cos γχ cos (~- + «i) + sin γχ sin (-y- + ax ) cos -|-;
cos (r/c, η0) = cos γχ cos ax -f- sin y± sin ax cos -y;
cos(i/c, ζ0) =cos(-y-—уг);
cos (zc, ξ0) = cos (-|- — Pi) cos ax +
+ sin f-|- — Pi) sin 04 cos (-5- — Υχ) ;
cos(zc, η0) =cos(-£-— Px)cos(-| axJ+
-| sin (-£-— P2) sin (-5— al)cos(>|- + Y1);
cos (zc, ζ0) = cos γχ cos px -f sin γ5 sin βα cos -g-,
которые после элементарных .тригонометрических преобразований
принимают вид
cos (хС1 ξ0) =■- cos <xx cos βχ — sin <χχ sin βχ sin γχ;
cos (*c, η0) = sin ax cos βχ + cos <χχ sin βχ sin уг\
cos(xc, ζ0) = — sin βχ cosyx;
cos (f/c, ξ0> = — sin ax cos уг\
cos(i/c, η0) = cosa1cosY1; } (271)
cos (i/c, ζ0) - sin γχ;
cos (zc, ξ0) -- cos ax sin βχ + sin ax cos β2 sin γχ;
cos (zc, η0) = sin <xx sin βχ — cos <xx cos βχ sin Υχ·,
cos(zc, ζο) = cosp1cosv1.
208

Поступая аналогичным образом, повернем объект вокруг оси
0η0 на угол β2 (рис. 92), вокруг оси 0х2 на угол γ2 и вокруг оси
0zc на угол <х2. При таком взаимном" положении координатных
систем Oxcyczc и Οξ0η0ζ0 косинусы углов между их осями будут
равны
cos (хс, ξ0) = cos p2cosa2 + sin β2 sin a2cos ί у —γ2) ;
cos(xcf η0) = cos(-| —a2jcosY2+ sin (j£— a2) sinv2cos-|;
Рис. 91. Положение на объекте осей под- Рис. 92. Положение на объекте
веса гироскопа, измеряющего углы танга- осей подвеса гироскопа, измеряю-
жа и крена. щего угол рыскания.
cos(*c, ζ0) ^cosa2cos^y + β2) + sin a2sin("f + β2) cos (у — γ2) ;
cos(r/c, У = cos (if + aa)cosp2 + sin(y + a2) sin Pacos (у — Y2) ;
тс
cos (г/с, η0) = cos a2 cos γ2 + sin a2 sin γ2 cos γ;
cos (i/c, ζ0) = cos (y + <*2) cos (y + β2) -f
+ sin (y + a2) sin (y + β2) cos (y — γ2) ;
cos(zc, ξ0) -cosY2cos(y— p2)+sinY2sin^y — P2)cos у;
209

cos(zc, r]0) = cos(|- -f γ2);
cos(zc, ζ0) = cos γ2cos β2 + sin y2sin Pgcosy,
или после тригонометрических преобразований:
cos (xCi ξ0) = cos α2 cos β2 + sin α2 sin β2 sin γ2;
cos(xc, η0) = sina2cosv2;
cos (xct ζ0) = — cos a2 sin β2 + sin a2 cos β2 sin γ2;
cos (i/c, ξ0) = — sin <x2 cos β2 + cos a2 sin β2 sin γ2;
cos (i/c, η0) = cos a2 cos γ2; } (272)
cos (i/c, ζ0) = sin a2 sin β2 + cos a2cos β2 sin γ2;
cos(zc, ξ0) = sin β2^γ2;
cos (zc, η0) - — sin γ2;
cos (zc, ζ0) = cos β2 cos γ2.
Вполне очевидно, что косинусы углов между осями
координат О^оЛо^о и Oxcyczc при любой последовательности поворотов
(рис. 87, 91 и 92) будут неизменны. Поэтому, приравняв косинусы
одних и тех же углов в выражениях (271) и (270), найдем
sin γχ = cos β sin γ (273)
и
— sin βχ cos γχ = — sin β;
cos βχ cos Yj = cos β cos γ.
Разделив последние два равенства одно на другое, найдем
tgp
tgPi
cos υ
(274)
По аналогии из выражений (272) и (270) следует
sin a2cos γ2 = sin a cos β;
cos <x2 cos γ2 = cos a cos γ + sin a sin β sin γ,
откуда
ctg <x2 = ctg a-^Jy + tg β sin γ.
(275)
Зависимости (273)—(275) позволяют определить значения карда-
новых ошибок при измерении углов поворота объекта с помощью
друх астатических гироскопов (см. рис. 89). Вычитая из
действительных значений углов поворота α по курсу, β по тангажу и
210

γ по крену их величины а2, рх и у19 измеренные
гироскопическими устройствами, получим разности
Δα = α — аа = α — arc ctg (ctg а -gJJ- + tg β sin γ ) ;
Δ β = β - β, = β - arc tg (-^-) ;
(276)
Δγ == γ — γ3 = γ — arc sin (cos β sin γ),
которые характеризуют кардановы ошибки, возникающие при
измерениях углов поворота объекта с помощью астатических
гироскопов.
§ 44. ИССЛЕДОВАНИЕ КАРДАНОВЫХ ОШИБОК
АСТАТИЧЕСКИХ ГИРОСКОПОВ
Из анализа выражений (276) следует, что кардановы ошибки
являются функциями нескольких переменных. Их величины будут
достигать своего максимума или минимума при тех значениях
независимых переменных α, β и γ, при которых частные
производные первого порядка исследуемых функций (276) обращаются
в нуль либо не существуют.1
Учитывая сказанное, вычислим частные производные первого
порядка функции Δα (α, β, γ), определяемой первым выражением
(276), и приравняем их нулю. В результате дифференцирования
будем иметь
cos γ
dAa
ΰα
ι +
cos β sin2 α
sin β
= 0;
dAa
ctg a cos γ
sin γ
cos2 β ^ cos2 β
dAa
dy
l + (ctga
ctg a
cos γ
cos β
sin β
cos β
+ tgpsinvy
— tg β cos γ
• = 0;
l + (ctg«-^- + tgpsinY)
= 0.
Полученная система трех уравнений может быть переписана
в следующем виде:
1 + (ctg a -^JX -h tgp sin γ)'—
cos γ
cos β sin2 a
ctg a cos γ sin β + sin γ = 0;
ctg a sin γ — sin β cos γ = 0.
0:
(277)
1 См.: В. И. Смирнов. Курс высшей математики. Т. I, Гостехиздат,
1948, стр. 382.
14*
211

Δ <*-, град
50
-80
-60
-kO
-20
сс,8рад
Рис. 93. Графики кардановой ошибки измерения угла рыскания
при β = 0.
]30 ос,ϊрад
Рис. 94. Графики кардановой ошибки измерения угла рыскания при
β = 20°.
212

Определяя значение sin β cos γ из третьего уравнения (277) и
подставляя его во второе, находим равенство ctg α = ]/"—1,
которое указывает на отсутствие экстремумов функции Δα (α, β, γ)
в области вещественных значений независимых переменных.
Поэтому для выяснения характера изменения Δα по первому
выражению (276) построим семейства кривых Δα (α) при некоторых
Рис. 95. Графики кардановой ошибки измерения угла рыскания при
β = 40°.
значениях β и γ. Полученные графики * для постоянных углов
тангажа β, равных 0, 20, 40 и 60°, приведены на рис. 93—96.
Как видим, несмотря на отсутствие у функции Δα (α, β, γ) общего
экстремума, любое ее сечение при β = const и γ = const имеет
свой максимум. При увеличении углов тангажа β и крена γ
максимальное значение кардановой ошибки Δα будет увеличиваться по
абсолютной величине и несколько смещаться вдоль ординаты α
к началу координат.
1 Графики кардановых ошибок получены И. В. Павловым [33].
213

Карданова ошибка Δβ по тангажу, определяемая вторым
выражением (276), является функцией двух переменных β и γ. Вычио
90 сс;град.
Рис. 96. Графики кардановой ошибки измерения угла рыскания при β = 60*.
лим частные производные первого порядка функции Δβ (β, γ) и
приравняем их нулю:
1
<3Δβ 1 cos2 β cos γ ~
1 +
\ cos γ /
3Δβ
ay
щ ρ cos2 у
1 +
iJ£JL\2
\ cosy /
214

откуда
1 +
tg2p
cos2 β cos γ
**a sinY η
= 0,
(278)
или окончательно
cos2 β cos2 γ + sin2 β — cos γ = 0;
tg β sin γ = 0.
Из второго уравнения системы (278) видно, что -^- = 0 при
β = 0 и при γ = 0. В тех случаях, когда угол крена γ = 0, кар-
данова ошибка Δβ также
равна нулю:
0Δβ _
Δβ = β - arc tg (tg β) =
= β — β = 0.
Это указывает на то,
что частные производные
ή β, град
ΊΟ
рО
20
W
60
3Δβ 3Δβ
при γ = 0
SO
Λ\Ν
l·
l\
\
ч
Г-ФГ "* Ι
ft
4
Ν,
■·>
V.
^
\
\
»·
Ι
\
J=m
1-30]
νΗ
ι
X/:V
Рис. 97. Графики кардановой ошибки при
измерении угла тангажа.
<3β σγ
принимают нулевые
значения при любых
величинах угла тангажа β. Иными
словами, карданова
ошибка Δβ в этом случае будет
отсутствовать и ее график
представит собой прямую Μ
линию (рис. 97).
Если же нулю будет
равен угол тангажа β, то
экстремумы функции Δβ будут соответствовать значениям γ,
определяемым из первого уравнения системы (278), которое при
β = 0 принимает вид
cos2 γ — cos γ = 0.
Решая последнее уравнение, находим
cos γ = 0; cos γ = 1,
следовательно,
γ = τ; γ = 0.
В первом случае, когда γ = 0, ошибка Δβ отсутствует. Во
втором случае, когда γ = у , определение кардановой ошибки при
измерении угла тангажа β теряет смысл. Действительно, при
?15

этом условии наружная ОхСх и главная ОхАх оси гироскопа
совместятся между собой (рис. 98) и он перестанет выполнять свои
функции (см. § 8).
Для выяснения характера изменений кардановой ошибки Δβ
при промежуточных значениях угла крена 0 < γ < γ в
пределах изменения угла тангажа β от нуля до у по второму
уравнению (276) построим семейство кривых Δβ (β, γ). Анализ графиков
(рис. 97) показывает, что с
увеличением угла крена γ карда-
нова ошибка Δβ возрастает,
причем ее максимальное
значение смещается к оси
ординат.
Из третьего равенства вы-
^ ражений (276) определим ча-
хс стные производные Δγ по
переменным β и γ и приравняем
их нулю. Дифференцируя,
находим
дАу _ sin β sin γ
Рис. 98. Совмещение осей подвеса
гироскопа при угле крена объекта Υ — о '
др
Kl —cos2 β sin2 γ
0:
<9Δγ
ду
= 1
cos β cos γ
J/1 —cos2 β sin2 γ
= o,
откуда следует
sin β sin γ = 0;
УI —cos* β sinaY — cos β cos γ = 0.
Возводя последнее равенство в квадрат и производя элемен
тарные преобразования, получим
sin β sin γ = 0;
cos2 β = 1.
(279)
Выражения (279) показывают, что частные производные
первого порядка функции Δγ (β, γ) обращаются в нуль при β = 0 и
любом значении γ. Следовательно, карданова ошибка Δγ
измерения угла крена в этих случаях будет отсутствовать и функция
Δγ (β = 0, γ) представит на графике прямую линию (рис. 99).
Для характеристики изменения ошибки Δγ при значениях β,
отличных от нуля, на график нанесены также найденные из
третьего уравнения (276) кривые зависимости Δγ и γ для разных β.
Как видим, карданова ошибка Δγ при измерении угла крена
монотонно возрастает с увеличением β и γ,
216

Описанный метод исследования позволяет вычислить карда-
новы ошибки при измерении углов поворота объектов с помощью
астатических гироскопов для каждого конкретного случая.
Пример 22. Объект совершает эволюцию по курсу при углах тангажа
β = 20° и крена γ = 30°. Определить максимальную карданову ошибку Δα при
измерении угла рыскания и значение угла рыскания, при котором Δα становится
максимальной.
Подставив заданные значения углов β и γ в первое уравнение (277), будем
иметь
cos γ __
cos β sin2 α
cos 30°
0,92
sin2 α
= 0.
1 + (CtgaW + tgPSinY)2""
-14Ctgall: + tg20Osin3QO)2--cos20-s^a
= 1 + (0,92 ctg a + 0,182)2 -
Производя преобразования AY май
sin2 a + 0,846 (1 — sin2 a) +
-f 0,335 sin a cos a + 0,033 sin2 a —
— 0,92 = 0,
получим
0,187 sin2 a —0,074 =
= —0,335 sin a cos a.
Возводя последнее уравнение
в квадрат, приходим к
биквадратному уравнению
0,035 sin4 a — 0,028 sin2 a +
+ 0,005= 0,112 sin2 a (1 — sin2 a)
или
0,147 sin* a — 0,14 sin2 a +
+ 0,005 = 0.
10 40
/, град.
Рис. 99. Графики кардановой ошибки при
измерении угла крена.
Решив полученное уравнение, найдем
, Ί /~0,14± V Ο,ι
sina = ±J/ , ^
0196 — 0,003
откуда
и, следовательно,
аг = 72° 50';
sin ax = 0,956;
sina3= 0,193;
Ъ a2 = —72° 50' =
a3= 11° 10';
294
sin a2 = —0,956;
sina4= —0,193,
287° 10';
= —11° io' = 348° 50'.
217

Для определения величины кардановой ошибки при вычисленных значениях
угла рыскания воспользуемся первым выражением (276). Подставив численные
значения входящих в него величин, будем иметь
Δαχ = 72°50' - arc ctg (ctg 72°50' ^-|£ + tg 20° sin 30°) =
= 72°50'
Δα3=ΐΓ10'
= 1 ΓΙΟ' - arc ctg(4.915) = 11Ί0' — 11°30' = — 0°20';
Δα4 = 0° 20'.
§ 45. УСТАНОВКА АСТАТИЧЕСКОГО ГИРОСКОПА
ПО ЗЕМНЫМ ОРИЕНТИРАМ
В целом ряде случаев до включения в систему
автоматического управления объектом астатические гироскопы должны быть
вполне определенным образом установлены по отношению к
плоскостям горизонта и меридиана. Такое требование обязательно
для описанных выше гироскопических приборов вертикант
(рис. 82) и горизонт (рис. 83). Для обеспечения движения
ракеты-носителя по заданной траектории необходимо еще до старта
наружную ось 01С1 вертиканта (рис. 100) и главную ось 02А2
горизонта точно совместить и с плоскостью полета ξπ£)ζ и с
горизонтальной плоскостью ξπΖ) ηπ. В свою очередь главную ось ОгАг
вертчканта и наружную ось 02С2 горизонта нужно расположить
параллельно оси £)ηπ. Тем самым внутренние оси ОгВг и 02В2
обоих гироскопов направления должны быть совмещены с
вертикалью Ζ)ζ.
Из анализа схемы (рис. 100) следует, что перечисленные
требования будут выполнены, если плоскости ClOlB1 и С202В2
наружных колец обоих гироскопов будут совмещены с вертикальными
плоскостями ζαΟζ и ηπ£>ζ, а плоскости А101В1 и А202В2
внутренних колец подвеса будут перпендикулярны им. Для
автоматического осуществления такой установки астатических гироскопов по
земным ориентирам применяются специальные устройства,
получившие название корректирующих.
Корректирующее устройство, удерживающее наружное кольцо
гироскопа в вертикальной плоскости, а внутреннее —
перпендикулярно ему, показано на рис. 101. Для выполнения первой
задачи на наружном кардановом кольце UK устанавливается
маятник Z, имеющий свободу вращения вокруг оси С*С*,
параллельной наружной оси ОС подвеса гироскопа. В силу своей природы
(см. § 2), маятник L при отсутствии внешних возмущений будет
сохранять отвесное положение. Поэтому при любом отклонений
21§
- arc ctg (0,4662) = 72°50' — 65°00' = 7°50';
Δα2 = — 7°50';
- arc ctg (ctg 11°10' ^^0 + tg 20° sin 30°) =

Рис. 100. Вертикант и
горизонт, установленные по
земным ориентирам.
Рис. 101. Принципиальная схема гироскопа с корректирующим устройством.

наружного кольца НК гироскопа от вертикальной плоскости
между кольцом НК и маятником L будет возникать угол
рассогласования. Его величина будет равна углу отклонения гироскопа
от вертикальной плоскости. Как видим, маятник L позволяет
измерять угол отклонения гироскопа от задаваемого ему
положения, в связи с чем такой маятник часто называют измерительным
органом корректирующего устройства или просто
измерителем.
Чтобы определить угол отклонения гироскопа от вертикальной
плоскости, на его наружном кольце НК крепится потенциометр
Яс, по обмотке которого может перемещаться движок, неподвижно
укрепленный на маятнике L. При отклонении кольца Η К от
вертикальной плоскости маятник L, сохраняющий отвесное положение,
переместит движок по обмотке потенциометра Пс. При этом движок
маятника сместится с нулевой точки потенциометра Яс, вследствие
чего с его обмотки будет снят эпектрической сигнал,
пропорциональный углу поворота наружного кольца НК вокруг оси ОС по
отношению к вертикальной плоскости. Этот сигнал подается на
механизм ДМВ, представляющий собой либо электродвигатель,
либо электромагнит, либо какое-нибудь другое устройство,
позволяющее создавать реверсируемый момент внешних сил
относительно оси подвеса гироскопа. Такое устройство называют обычно
датчиком моментов. Устройство, позволяющее определять углы
отклонения гироскопа от того или иного положения, принято
называть датчиком угла.
Как только сигнал, снимаемый с потенциометра Яс, поступит
на датчик моментов ДМВ, сразу же на гироскоп относительно его
внутренней оси подвеса ОВ начнет действовать корректирующий
момент. Величина этого момента в данной схеме пропорциональна
углу рассогласования, а его направление выбирается таким
образом, чтобы вызываемое им прецессионное движение гироскопа
приводило к устранению возникшего рассогласования. Таким
образом, прецессируя вокруг оси ОС, гироскоп будет восстанавливать
вертикальное положение своего наружного кольца НК- Вместе
с кольцом НК будет поворачиваться вокруг оси ОС и жестко с ним
соединенная обмотка потенциометра Яс, нулевая точка которого
начнет приближаться к совмещению с движком маятника L.
В то мгновение, когда наружное кольцо НК возвратится к
вертикальному положению, движок совместится с нулевой точкой
потенциометра Пс. Снимаемый с негр ток станет равным нулю, и
корректирующий момент перестанет действовать на гироскоп
относительно его внутренней оси подвеса ОВ. Прецессия гироскопа
вокруг оси ОС прекратится, и его наружное кольцо НК останется
совмещенным с вертикальной плоскостью. Тем самым главная
ось ОА гироскопа будет приведена в плоскость горизонта. Если
в силу каких-либо причин произойдет новое отклонение гироскопа
от плоскости горизонта, описанный процесс повторится вновь,
220

Чтобы сохранить перпендикулярность между кардановЫмй
кольцами НК и ВК, на оси подвеса ОВ внутреннего кольца ВК
установлен движок, а на наружном НК — обмотка
потенциометра Пв. При нарушении перпендикулярности между кольцами,
что может произойти лишь в результате поворота внутреннего
кольца ВК вокруг оси ОВ по отношению к наружному Η К, движок
потенциометра Пв сместится с нулевой точки его обмотки и с
потенциометра будет снят сигнал, пропорциональный углу рассма-
риваемого поворота гироскопа..
Подавая снимаемый с потенциометра Пв сигнал на датчик '
момента ДМС, создают корректирующий момент, действующий на
гироскоп относительно наружной оси подвеса ОС. Направление
действия этого момента выбирается таким образом, чтобы
вызываемое им прецессионное движение приводило к восстановлению
перпендикулярности между кардановыми кольцами гироскопа.
Зависимость величины корректирующего момента от угла
отклонения гироскопа относительно той или иной плоскости может
быть не только пропорциональной. В гироскопических приборах
используются также релейные и смешанные характеристики
коррекции. Каждая из них вносит свою специфику в движение
гироскопа к корректируемому положению.
§ 46. ТРАЕКТОРИИ ДВИЖЕНИЯ ПОЛЮСА ГИРОСКОПА
К КОРРЕКТИРУЕМОМУ ПОЛОЖЕНИЮ
В целях выяснения характера движения гироскопа под
действием корректирующих моментов обратимся вновь к системе
уравнений (162), описывающих движение гироскопа в подвижной
системе координат. Так как в рассматриваемом случае сохраняется
перпендикулярность между кардановыми кольцами, то угол θ0
остается близким нулю, в связи с чем система уравнений (162),
если пренебречь величиной ω^θ, принимает вид
JBb + JQ (ψ + oc) = MBl J (280)
Jcy> — №($ + (oB) =MC. J
Для определения действующих на гироскоп моментов внешних
сил составим кинематическую схему (рис. 102), соответствующую
рассматриваемому гироскопическому устройству (рис. 101).
Согласно выбранной ранее (рис. 30) ориентации координатных
осей ось Ох системы координат Oxyz, неизменно связанной с
внутренним кардановым кольцом, будет совмещена с главной осью О А
гироскопа и направлена на читателя (рис. 102), ось Оу совмещена
с внутренней осью подвеса ОВ и направлена вниз и, наконец,
ось Oz расположена перпендикулярно к осям Ох и Оу.
Если при таком расположении системы координат Oxyz
гироскоп повернется вокруг наружной оси подвеса ОС на угол ψ в по-
221

Ложительном направлении, корректирующий момент МкВ,
создаваемый датчиком моментов ДМВ, для устранения возникшего
поворота, согласно основному закону прецессии (см. § 8),
должен быть направлен в сторону отрицательных значений оси Оу.
При повороте гироскопа вокруг внутренней оси подвеса ОВ в
положительном направлении на угол θ корректирующий момент
МкС будет создан датчиком моментов ДМС. На основании того же
закона прецессии для ликвидации возникшего поворота гироскопа
вокруг оси ОВ вектор момента МкС должен быть совмещен с
положительным направлением оси ОС.
£Рис. 102. Кинематическая схема корректируемого гироскопа.
Выше уже говорилось, что величины корректирующих
моментов МкС и МкВ соответственно пропорциональны углу θ поророта
гироскопа вокруг оси ОВ и углу рассогласования между
маятником L и наружным кольцом Я/С. Так как маятник под действием
возмущающих факторов может отклоняться от вертикальной
плоскости ξπΟζ на угол ε, то значения корректирующих моментов
в рассматриваемом случае могут быть выражены следующими
равенствами:
МкВ = - Кв (Ψ - в); МкС = /Сс*.
где Кв и Кс — коэффициенты пропорциональности
корректирующих моментов соответственно углу поворота θ и углу
рассогласования (ψ — ε).
222

Учитывая в системе уравнений (280) найденные значений
Корректирующих моментов и моменты сил сухого трения, возникающие
в опорах подвеса, в соответствии с зависимостью (208) можем
записать
JBb + JQ(ir + <oc) = -KB№-*)-MnBsignbi \
Jcyp — JQ [ ft + ωΒ) = Кс® — M0TC sign ψ. J
Для решения системы (281) необходимо знать закон изменения
с течением времени угла ε. Обратимся с этой целью к уравнению (4),
описывающему движение маятника. Будем полагать, что
действующие на маятник моменты внешних сил вызываются лишь
силами трения в опоре его подвеса. При этом условии уравнение (4)
принимает вид
К* +Квг = — Λί0τ. и sign ε.
Подставив приведенное уравнение маятника в уравнения (281),
будем иметь
J β + /Ω(|ψ + (ос) = — Кв (ψ — ε) — М0 τΒ sign >
Jcty — JQ(b + ωв) = Кс® — МотСsign ψ;
^Ηε + Киг = —Μ 0τ. и sign ε.
(282)
В связи с тем, что в рассматриваемом случае исследуетсяхарак-
тер движения гироскопа к вполне определенному положению
равновесия, вычислим угол застоя, на который маятник-измеритель
может не дойти до совмещения с вертикалью. Этот угол будет
определяться частным решением третьего уравнения системы (282)
, ^От.и
&r= ± —Z ·
Ли
Подставляя в первое уравнение (282) вместо ε найденное
значение εΓ и спуская члены, характеризующие нутационные
колебания гироскопа, приходим к двум уравнениям
ψ + τ^ψ—^-ι^/ω лг^ъ
А % С α М0тС · " (283)
решение которых позволяет выявить характер исследуемого
движения гироскопа.
Для большей наглядности- анализа уравнений (283) выберем,
следуя проф. Б. В. Булгакову [4, стр. 57 J, на положительном
направлении главной оси гироскопа произвольную точку и назовем
ее, как и выше (§ 14). полюсом, Представим себе, что в начальный
момент времени главная ось ОА гироскопа (рис. 102) отклонена
223

от оси όηπ на положительные углы Ό (0) = дн и ψ (0) = ψΗ.
При таком расположении гироскопа относительно осей координат
Οξπηπζ его полюс будет проектироваться на картинную плоскость
в точку W (рис. 103), координаты которой в системе Ο^ψ при
малых значениях углов θ и ψ будут определяться непосредственно
величинами θΗ и ψΗ. Вполне очевидно, что проекция полюса
гироскопа на картинную плоскость
Л
/'
w(uH;p)
х8>нс
/
о:
л
к
/
А
--7Х
/
N
и в <кс
Ке-*с
Ш
не будет неизменно совмещена
с точкой W. Вследствие
наличия корректирующего
устройства главная ось гироскопа
начнет возвращаться к
совмещению с осью Οηπ (рис. 102).
При этом углы θ и ψ начнут
уменьшаться (рис, 103) и,
следовательно, угловые скорости
О и ψ будут отрицательны.
Учитывая в (283), что 4 < 0
и ψ < 0, получим
дифференциальные уравнения
Рис. 103. Траектории движения
полюса гироскопа к положению равно-
JQ
— а>г ±
КВЩ
JQ
θ = — 0)Я ■
с "" ΛΗ/Ω
Л1
веси я.
т. и г Μ0τΒ
JQ
'ОтС
JQ
(284)
которые и будут описывать движение гироскопа к совмещению
своей главной оси О А с осью Οηπ (рис. 102) в том случае, когда
отклонение полюса гироскопа от начала координатной системы
0*ΰ"ψ (рис. 103) будет находиться в первом квадранте.
Уравнения (284) будут иметь частные решения
1>г = -
Л2сос — Μ0τΒ
Mt
От. и
Кв
Ли
*, = -·
JQ(ur
Mt
ОтС
Ас
(285)
характеризующие равновесное положение гироскопа.
Как видим, положение равновесия не совпадает точно с осью
О ηπ, а составляет с нею углы θΓ и ψΓ. Из решения соответствующих
однородных уравнений
* + ж^ = °; * +
JQ
= 0
224

следует, что к указанному положению равновесия гироскоп будет
приближаться асимптотически:
Ψρ = Сге
= С9е JQ *
(286)
Таким образом, общие решения уравнений (284) будут иметь
вид
Л2сос-Л40тБ
Кв
Μ,
От. и ·
Кш
(287)
При начальных условиях ψ (0) = ψΗ, ■& (0) = Фн постоянные
интегрирования Сг и С2 будут равны
Сх - ψ, +
Л2шс—Λί0τβ
От. и..
>н +
Кв - #и
^Ω^β+^οτ с
ТС '
или, учитывая (285),
^ = *η + Φγ = +:;
с2 = *. + *, = *;;.
(288)
Для выяснения характера траекторий движения полюса
гироскопа к положению равновесия обратимся к выражениям (287),
которые, учитывая (288), перепишем в виде
Ψ^Ψη£
JQ
= vHe
JQ *
откуда
(289)
Отношение (289) показывает, что при равенстве коэффициентов
Кв и Кс движение полюса гироскопа на картинной плоскости из
любого начального положения W к точке N, характеризующей
положение равновесия гироскопа, происходит по прямой линии.
В случае неодинаковой эффективности корректирующих моментов,
225

когда Кв Φ Кс> траектории движения пслюса гироскопа к
совмещению с точкой N равновесного положения будут отличны от
прямой линии. Они получат характерный изгиб либо в сторону оси
0*ψ при Кв < К& либо в сторону оси О* θ при Кв > Кс-
Положение равновесия, определяемое из (285), будет зависеть
от того, в каком квадранте находится пслюс гироскопа в
начальный момент времени. Анализ выражений (285) показывает, что
ΰ<ΰ;γ
№; f<o
ft>0; fcO
Рис. 104. Положение на картинной плоскости точки,
характеризующей равновесное положение корректируемого
гироскопа.
точка N изменяет свое положение на картинной плоскости в
зависимости от направления действия моментов сил трения М0ТфИ,
МотВ и М0тС. Знак момента М0т, и определяется направлением той
угловой скорости, с которой маятник-измеритель будет
перемещаться по отношению к наружному карданову кольцу при
совмещении с положением равновесия. Так как направление указанной
угловой скорости зависит от многих факторов, то естественно, что
направление действия момента УИ0Т. „будет носить случайный
характер. Таким образом, влияние момента сил трения УИ0Т.И будет
вызывать перемещение точки N вдоль оси ординат 0*ψ (рис. 104)
на величину ±
Λί,
От. ι
кш
22в

В свою очередь направления действия моментов сил трения
МотВ и МотС в опорах подвеса гироскопа будут зависеть от
направления движения полюса гироскопа. При движении полюса
гироскопа к совмещению с положением равновесия из первого крад-
ранта обе угловые скорости θ и ψ будут отрицательны и,
следовательно, моменты сил трения МотВ и МотС положительны. Таким
образом, при отрицательном значении угла застоя маятника гг =
= £г^ полюс гироскопа из точки Wlt расположенной на кар-
тинной плоскости в первом квадранте, придет к совмещению
с точкой Νλ.
Рис. 105. Спектры траекторий полюса гироскопа.
При движении полюса гироскопа из точки W2, расположенной
во втором квадранте, угловые скорости движения гироскопа
#<0иф>0и, следовательно ΜοτΒ > 0 и МотС < 0. Указанные
условия и вызовут приход полюса гироскопа к совмещению с
точкой Ν2· Движение полюса гироскопа из третьего квадранта будет
характеризоваться угловыми скоростями θ>0 Ηψ >> Ои
соответственно моментами сил трения МотВ < 0, УИотС< 0. Поэтому,
двигаясь из точки W3, полюс гироскопа придет к совмещению
с точкой Ν3.
Из четвертого квадранта полюс гироскопа будет двигаться
с угловыми скоростями θ >0 и ψ <Ό, что обусловит действие на
гироскоп моментов сил трения ΜοτΒ < 0 и Мотс^> 0. В
результате полюс гироскопа, двигаясь из точки W4, придет к совмещению
с точкой jV4.
Как видим, моменты сил трения в опорах подвеса изменяют
положение равновесия корректируемого гироскопа, перемещая
точку N на картинной плоскости относительно точки 0N,
координаты которой в системе 0*θψ зависят от угловых скоростей
ωβ и ωα основания прибора и угла застоя маятника. Спектры
траекторий движения полюса гироскопа к совмещению с
положением равновесия в зависимости от отношения между Кв и Кс
показаны на рис. 105. На рисунке начало координат совмещено
с точкой 0Ν.
227

Пример 23. Астатический гироскоп, снабженный корректирующим
устройством (рис. 102), предназначен для стабилизации своей главной оси в
плоскости горизонта. Наружная ось подвеса гироскопа горизонтальна и совмещена
с вертикальной плоскостью движения объекта, составляющей с плоскостью
меридиана угол α = 150°. Определить точность установки главной оси гироскопа в
требуемом положении, если его корпус установлен неподвижно на земной
поверхности под широтой φ = 50°. Определить также характер движения полюса
гироскопа к положению равновесия. Параметры гироскопа J 0 = 3200 Гсмсек, К в ~
= 140 Гсм/рад, /Сс= 200 Гсм/рад, ΜοτΒ = 0,2 Гсм, ΛίοΤ с = 0,4 Гсм. Угол
Мот. и
застоя маятника —-— = ± 1 угл. мин. Угловая скорость ε при подходе маят-
Аи
ника к положению вертикали отрицательна. Начальные углы отклонения главной
оси гироскопа от корректируемого направления ψΗ = 5°, θΗ = 4°.
Для определения угловых скоростей ω^ и ω^ вращения основания прибора
вокруг осей подвеса гироскопа воспользуемся схемой рис. 55. Спроектируем
вектор угловой скорости Ω3 суточного вращения Земли на оси подвеса гироскопа
Так как внутренняя ось подвеса в рассматриваемом случае (см. рис. 102)
расположена вертикально, а наружная — горизонтально под углом α к плоскости
меридиана, то искомые угловые скорости будут определяться из выражений
ωΒ = Ω3 sin φ; (uc = Ω3 cos φ cos α,
или, учитывая равенство (168) и значения углов φ и а,
ωΒ= 7,29· Ю-6 sin 50° = 5,58·10~5 сек.-1;
сос = 7,29· 10"» cos 50° cos 150° = —4,06· 10~5 сек."1.
Для вычисления углов отклонения равновесного положения главной оси
гироскопа от заданного направления воспользуемся формулами (285). Так как
угловая скорость ε< 0, то момент сил трения ΛίοΤ# и^> 0· В то же время при
θΗ > 0 и ψΗ > 0 угловые скорости θ < 0 и ψ < 0. Поэтому будем иметь
J^C~M0tB . М0т.и
*'в Тв— + -^г;
J&<ub+M0tC
Кс
Подставив в полученные равенства значения входящих в них величин и вы-
^От.и
ражая угол застоя маятника —-г,— в радианах, найдем
Ли
- 3200-4,06- ΙΟ"5—0,2 . 1 осмпз
*' = По h "60^3" = 2·65'10 рад-;
θΓ = - Ш'5У + 0'4 = - 2,89. Ю- рад.
или соответственно
i|V = 2,65· 10"8·57,3·60 = 9,2 угл. мин.;
дг = —2,89· ΙΟ"*8-57,3-60= —9,95 угл. мин.
Для выяснения характера траектории движения полюса гироскопа к
положению равновесия определим по формулам (288) значения углов:
ψ* = 5-60 + 9,2 = 309,20 угл. мин.;
θ* == 4--60 — 9,95 = 230,05 угл. мин.
228

Учитывая значения коэффициентов Кв и Кс и углов θΗ и ψΗ, из (289) находим
. / § \200
Ψ=309·2(-23δΤ5) '
ИЛИ
,0,7
*=309'2(w5)
Пользуясь полученной зависимостью, зададим Φ произвольные значения в
пределах от θΗ до нуля и определим соответствующие им значения угла ψ:
θ, угл. мин.
ψ, уГл. мин.
^ 230,05 | 180 | 120 | 60
309,20 | 262 | 197,5 | 94,6
0
0
Анализируя результаты вычислений, убеждаемся в том, что траектория
полюса в рассматриваемом случае будет обращена выпуклостью в сторону оси 0*ψ,
как это и показано на рис. 103 для случая, когда /Св<С Кс-
§ 47. ТОЧНОСТЬ ВЫДЕРЖИВАНИЯ АСТАТИЧЕСКИМ
ГИРОСКОПОМ ЗАДАННОГО ПОЛОЖЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Рассмотренное в § 45 корректирующее устройство обеспечивает
, совмещение астатического гироскопа с заданным ему положением
в системе координат, связанной с плоскостями горизонта и
меридиана, только в процессе установки гироскопа по земным
ориентирам. При старте ракеты-носителя корректирующее устройство
выключается и гироскоп с этого мгновения продолжает работу, не
воспринимая никакого воздействия корректирующих моментов.
Тем самым с начального момента движения ракеты астатический
гироскоп будет выдерживать приданное ему при старте
положение стабильным теперь уже в инерциальном пространстве.
Чем с большей точностью гироскоп будет стабилизировать
заданное ему положение в пространстве, тем с меньшими
отклонениями от заранее намеченной траектории будет двигаться
объект. Причины, порождающие систематический дрейф гироскопа,
были подробно рассмотрены в предыдущих главах. В общем случае
отклонение астатического гироскопа будет порождаться и
моментами сил трения в опорах подвеса, и инертностью масс кардановых
колец, и вращением основания прибора.
Силы трения в опорах подвеса (см. § 38) обусловливают
угловые скорости дрейфа, равные согласно (257) и (258)
Здесь коэффициенты хв и хс характеризуют отношения между
продолжительностью действия на гироскоп моментов сил трения
229

в положительном и отрицательном направлениях относительно
внутренней и наружной осей его подвеса. Коэффициент ν
характеризует отношение между средними значениями моментов сил
сухого трения (см. рис. 7?), возникающих при положительном и
отрицательном направлениях вращения колец подшипников
относительно друг друга.
Однако скорости ψχ и θχ, порождаемые силами трения в опорах
подвеса, не будут единственными. Величина момента сил сухого
трения в шариковых подшипниках (см. рис. 76) при повороте
гироскопа вокруг оси подвеса даже на весьма малый угол может в
течение бесконечно малого времени получить значительное
приращение. Влияние такого изменения момента сил трения на гироскоп
будет аналогично рассмотренному выше (§ 14) действию момента
мгновенной силы, сообщающему гироскопу новые начальные
угловые скорости θΗ и ψΗ, Возникающие при этом нутационные
колебания гироскопа вызывают дрейф гироскопа с угловыми
скоростями, определяемыми по выражениям (95):
*2
>η+^Ψη
2/Ω cos θ0 \Je cos θ0
Ή+'β
sin Φο +
лЙг;-2».)
V 'в&« + 'сЫ ^Hsin2O0
2JQ cos fln
2]fJc
Наконец, при вращении основания прибора вокруг оси OD
гироскопа (см. рис. 54) при отсутствии перпендикулярности между
главной и наружной осями подвеса гироскопа (θ0 Φ 0) будет
возникать систематический дрейф гироскопа вокруг его наружной
оси с угловой скоростью, определяемой в соответствии с
изложенным в § 26 выражением
Фз = ~ oDtgfl0.
Таким образом, в общем случае систематическое отклонение
астатического гироскопа от заданного ему в пространстве
положения будет происходить с суммарными угловыми скоростями
+
+
./Ω cosfl0
3*2 +JC^h
[1-τβ(1 +ν)] +
J' + J\x sin fl0 +
2JQ cos %
Ju^-cos200)-(D0tg#0;
[1 —tc(1 + v)]-
J Ω cos
M0Tc
Д /Ω cos θ0
VJB®l+Jcil /G„sin2G0
2/Ω cos θη
2lfJc
(290)
230

В общем случае знаки перед отдельными членами выражений
(290) зависят от начальных условий. Поэтому по формулам (290)
можно определить лишь максимальные величины угловых
скоростей дрейфа гироскопа, считая, что все их составляющие,
порождаемые рассмотренными выше факторами, имеют одинаковый знак.
Для более точного анализа возможных уходов астатического
гироскопа приходится обращаться уже к вероятностным методам
[36, 38].
Кроме того, необходимо иметь в виду, что на систематическое
отклонение астатического гироскопа от первоначального
положения в пространстве будут оказывать влияние как конструктивные,
так и технологические ошибки, допущенные в процессе
проектирования и изготовления прибора. Эти ошибки имеют общий характер
для всех гироскопических приборов независимо от их назначения.
Влияние указанных конструктивных и технологических
погрешностей на точность работы гироскопа будет рассмотрено в разделе,
посвященном проектированию гироскопических приборов.

Глава VII
ГИРОСКОП НАПРАВЛЕНИЯ
§ 48. ПРИНЦИП УСТРОЙСТВА ГИРОСКОПА НАПРАВЛЕНИЯ
При движении по заданной траектории положение объекта
весьма часто определяют не по отношению к неподвижному в инер-
циальном пространстве направлению, а по отношению к земным
ориентирам. Так, при перемещениях объ'ектов по земной
поверхности или в непосредственной близости от нее, например корабля
в открытом море или летательного аппарата в земной атмосфере,
наиболее рационально ориентировать их по плоскостям горизонта
и меридиана,
В тех случаях, когда отсутствует возможность визирования
земных ориентиров, характеризующих положение плоскостей
горизонта и меридиана, для обеспечения движения объектов по
заданной траектории широко используются гироскопические
приборы. В частности, для выдерживания объекта под заданным
курсом к плоскости меридиана может быть использован гироскоп
с тремя степенями свободы.
Представим, что на корабле установлен гироскоп с тремя
степенями свободы так, что его наружная ось подвеса ОС расположена
перпендикулярно палубе (рис. 106). В процессе движения корабля
при отсутствии качки ось ОС будет совмещена с вертикалью Οζ.
Тем самым будет получена возможность регистрировать изменения
курса объекта. Действительно, при сообщении ротору гироскопа
вращения с достаточно большой угловой скоростью вокруг его
главной оси О А положение последней, как известно, будет
оставаться стабильным в пространстве. Вследствие этого направление
движения объекта можно оценивать величиной угла <хк,
образуемого продольной осью Осхс объекта с плоскостью хОС гироскопа и
называемого компасным курсом.
Для удобства измерения компасного курса <хк наружное кольцо
НК гироскопа снабжают диском N (со шкалой, разделенной на
360°), а корпус прибора — индексом L, остающимся неподвижным
относительно объекта. Нулевую черту, соединяющую деления
«0» и «180» шкалы диска, или так называемой картушки Ν9
совмещают с плоскостью хОС гироскопа, которой всегда находится его
главная ось О А. Поэтому в тех случаях, когда величина угла ψ
отклонения главной оси ОА гироскопа от плоскости мери-
232

диана ξΟζ известна, гироскопом может быть измерен и истинный
курс а, равный сумме двух углов:
α = Ψ + «κ·
Однако пользоваться подобным методом измерения истинного
курса α в течение более или менее продолжительного времени
Рис. 106. Принципиальная схема гироскопа направления.
нельзя. Непрерывное отклонение гироскопа от плоскости
меридиана ξΟζ вызывает непрерывное изменение угла ψ, в результате
чего появляется
необходимость введения
поправок в величину
измеренного угла акдля
определения истинного курса а.
Избежать этого неудобства
можно только в том
случае, если положение
главной оси ОА гироскопа, а
следовательно, и нулевой
черты картушки будет
оставаться неизменным
относительно плоскости
меридиана ξΟζ. Для выяснения
возможностей выполнения
указанного требования
обратимся вновь к системе уравнений (162), описывающей
движение гироскопа в подвижной системе координат.
233
Рис. 107. Схема перемещения объекта вместе
с Землей в мировом пространстве.

Предположим, что в начальный момент времени корабль
находился в пункте D0 (рис. 107) земной поверхности. По прошествии
времени / вследствие суточного вращения Земли пункт D0
переместится в пространстве и займет положение D. Однако корабль
в этот момент уже не будет находиться в точке D: за время / он
удалится от пункта D на расстояние S. Так как движение корабля
происходит с относительно малыми скоростями, то можно
утверждать, что путь S, пройденный кораблем, будет мал по сравнению
с дугой D0D, на величину которой переместится пункт D0
в мировом пространстве. Поэтому можно приближенно считать,
что на протяжении довольно продолжительного времени угловые
скорости ωβ, (ос и ωΩ вращения основания гироскопа зависят
только от угловой скорости суточного вращения Земли. При
таком допущении ωβ, шс и ω^ будут определяться по
выражениям (171), и система уравнений (162) примет вид
/βθ -f </Ω (ψ -f Ω3 sin φ) cos θσ +
+ </ΩΩ3 cos φ cos ψ0 sin θ0 = ΜΒ\
Усф — J Ω (θ — Ω3 cos φ sin ψ0) cos θ0 = Mc
(291)
Пренебрегая в уравнениях (291) членами, оказывающими
влияние на параметры нутационных колебаний, находим угловые
скорости прецессионного движения гироскопа
* = J Ω col % Йз <sin Φ + cos Φ cos Ψο tg θ0);
^-^cosl +Ω3οο5φδίηψ0,
(292)
с которыми его главная ось будет перемещаться относительно
плоскостей меридиана и горизонта.
Необходимо иметь в виду, что выражения (292) действительны
лишь при неподвижном положении точки опоры гироскопа или
медленном ее перемещении относительно земной поверхности.
Из анализа (292) следует, что при совмещении в начальный
момент времени главной оси ОА гироскопа с плоскостями
горизонта (θ0 = 0) и меридиана (ψ0 = 0) одновременно в принципе
можно создать такие условия, при которых гироскоп будет
сохранять неизменным свое положение относительно плоскостей
горизонта и меридиана. Действительно, при нулевых значениях углов
θ0 и ψ0 выражения (292) принимают вид
Ψ = -7#-—Ω35ΐηφ;
А__ Мс_
234

откуда следует, что для обеспечения стабильного положения
гироскопа относительно плоскостей горизонта и меридиана, когда
ψ = 0, θ = 0, необходимо, чтобы моменты действующих на него
внешних сил были равны
M5~yQQssin(p; MC*~Q. (293)
Внешний момент МВу постоянно действующий на гироскоп
относительно внутренней оси О В его подвеса и удовлетворяющий
условию (293), может быть
создан весьма простыми
средствами. Одним из них
является смещение центра тяжести
гироскопа относительно
точки О подвеса вдоль главной
оси О А (рис. 108). В этом
случае сила G веса гироскопа,
действуя на плече /, создает
момент относительно оси ОБ.
Регулируя величину /, при
θ0 = 0 подбирают такое
значение момента Мв, которое
удовлетворяло бы условию
(293)
Мв= Gl = JQQ3sinq) (294)
и обеспечивало бы нулевое
значение угловой скорости
Если условие (294) будет обеспечено, то главная ось гироскопа
сохранит свое положение совмещенным с неизменным
азимутальным направлением относительно плоскости меридиана. Поэтому
такие гироскопы и получили название азимутальных или
гироскопов направления.
Создатели первых гироскопов направления полагали, что силы
трения в опорах подвеса мало влияют на движение гироскопа,
вследствие чего условие (294) практически легко осуществимо.
Между тем, в действительности указанные силы трения оказывали
значительное влияние. Условие (294) не выполнялось, и гироскопы
направления, построенные по описанной схеме (рис. 108),
изменяли свое положение относительно плоскости меридиана.
В показаниях прибора возникали ошибки, величина которых
за 10—15 минут работы достигала 2—3°.
Рис. 108. Гироскоп направления со
смещенным центром тяжести.
235

§ 49. АНАЛИЗ РАБОТЫ ПРОСТЕЙШЕГО ГИРОСКОПА
НАПРАВЛЕНИЯ
Чтобы выяснить, в какой мере простейший гироскоп
направления сохраняет свое положение неизменным по отношению к
плоскостям горизонта и меридиана, обратимся к системе уравнений
(291). Будем полагать, что в начальный момент времени созданы
наиболее благоприятные условия для сохранения гироскопом
неизменного положения относительно плоскости меридиана. Согласно
изложенному выше (§ 48), такие условия обеспечиваются
горизонтальным положением главной оси при совмещении ее с
плоскостью меридиана и действием на гироскоп моментов внешних
сил, удовлетворяющих условию (293).
Если осуществить в начальный момент времени требование
Фо = 0 и ψ0 = 0 несложно, то обеспечить условия (293) при
наличии сил трения в опорах подвеса практически невозможно.
Таким образом, рассматривая систему уравнений (291) и
полагая в ней углы θ0 и ψ0 равными нулю, необходимо учитывать еще
и моменты сил трения, неизбежно существующие в опорах
подвеса гироскопа. Если указанные моменты порождаются силами
сухого трения и центр тяжести гироскопа· смещен относительно
его точки подвеса вдоль главной оси, то уравнения (291) примут
вид
JBti + JQ (ψ + Ω3 sin φ) - Gl — M0TBsignd; )
... . } \2oO)
Jcty — /Ωθ = — M0TCsign\|). J
Если моменты сил трения были бы равны нулю, то систему (295)
можно было бы переписать в виде
/βθ + /Ωψ = Gl — /ΩΩ3 sin φ; )
Jcy—JQb = 0. J
Ее частное решение определится по выражениям
Gl — JQQ3 sin φ
(296)
-0; ψΓ =
JQ
откуда, учитывая, что θ (0) = ψ (0) = 0, получим
βΓ = 0; yr=Gl-J™**{n*t. (297)
Решение однородной системы дифференциальных уравнений,
соответствующей (296), будет определяться по выражениям (57).
Таким образом, общее решение системы (296) будет иметь вид
О = Сх cos n t + С2 sin n t -f C3;
ψ = yiji {Cl sin nt- QcosnO + C4 + G/~^3Sin(p t }. (298)
236

Выражения (298) показывают, что при отсутствии сил трения
в опорах подвеса, совмещении главной оси с полуденной линией и
соблюдении условия (294) положение гироскопа остается
неизменным относительно плоскостей горизонта и меридиана. Гироскоп
лишь совершает нутационные колебания вокруг оси, сохраняющей
стабильным свое направление в системе координат, связанной
с земными ориентирами.
Однако силы трения в опорах подвеса неизбежно существуют,
и создаваемые ими моменты не могут не влиять на характер
движения гироскопа. Моменты сил сухого трения сохраняют свое
среднее значение и знак неизменными на протяжении одной четверти
периода нутационных колебаний (см. § 36). Поэтому условимся
влияние сил сухого трения на поведение простейшего гироскопа
направления рассматривать отдельно в каждой четверти периода
нутационных колебаний. В этом случае моменты сил сухого трения
будут постоянными, в связи с чем уравнения (295) для первой
четверти периода нутационных колебаний примут вид
7βθ + /Ωψ-0/-Μοτβ-/ΩΩ38ίηφ; j
Jc^-JQ6 = -M0tC. J
Система (299) будет иметь частное решение
GI — М0 т в — ^ΩΩ3 sin φ .
Ψ,
JQ
МотС
JQ
а ее общее решение по аналогии с (298) определится выражениями
^CiCosnf+ Casin/tf + C3+ M]£c t\
ψ = 1/ —~ (Сг sin nt — С2 cos nt) + С4 +
GI — Мот в — JQQ3 sin φ ,
+ Τω u
(300)
Чтобы определить постоянные интегрирования, входящие
в выражения (300), обратимся к начальным условиям
рассматриваемого движения. В начальный момент при t = 0 главная ось
гироскопа горизонтальна и совмещена с плоскостью меридиана;
следовательно θ (0) = 0; ψ (0) = 0. Для компенсации
азимутального ухода гироскопа создается корректирующий момент G/,
действующий относительно оси ОВ подвеса. Если при действии
моментов GI и сил трения Λίοτβ соблюдается условие
Gl — M0TB—JQQ3sin φ - 0, (301)
237

то движение гироскопа вокруг оси ОС в начальный момент времени
будет отсутствовать.
Также будет отсутствовать в начальный момент времени и
скорость поворота гироскопа вокруг оси ОВ. Следовательно,
начальные значения угловых скоростей θ (0) = 0; ψ (0) = 0.
При указанных начальных условиях из выражения (300) и их
первых производных следует:
«(О^Сх + С-О;
*(0)=*-У#С% + СА = 0;
b(0) = nC2 + ^f^
0;
ψ(0) = γ-lL· „Ci+C/-AW-^3sincp =0
Учитывая (53) при θ0 = 0 и условие (301), из последних
равенств определяем:
С1 = С8=0;
Св =
VJbJcmotc
Cd = -
JbMotC
Подставив значения постоянных интегрирования в выражения
(300) и принимая во внимание (301), будем иметь
VJBJc ^otC
sin nt +
Μ
отС
ф = _УвЛ^ссо5п,
JbM0 t с
t;
(302)
К концу первой четверти периода нутационных колебаний
при t = -j-, когда nt станет равным — (см. § 36), углы θ и ψ
поворота гироскопа вокруг внутренней и наружной осей подвеса
достигнут значений
VjbJcMotC , МотСТ
y*Qa
+ '
4 J Ω
Ψι =
JBMt
отС
J'Q*
(303)
Так как в выражении для Όί второй член заведомо больше
первого, то проекция полюса гироскопа на картинной плоскости
(рис. 109) к концу первой четверти периода нутационных
колебаний совместится с точкой а, координаты которой в системе 0*ΰ"ψ
будут характеризоваться выражениями (303). К этому же моменту
238

времени угловые скорости 4 и ψ, определяемые первыми
производными выражений (302), достигнут значений
θχ
■■ *—V!
Мотс
(304)
Рассматривая движение гироскопа во второй четверти периода
его нутационных колебаний, будем как ив § 36, отсчитывать
ψ
Ы
3 \
i
Ρ
Ьг
χ
'¥-
-Л
~
V-itt
Рис. 109. Траектория перемещения проекции полюса
гироскопа направления на картинной плоскости.
время t* = t —
Τ
■j- от момента окончания первой четверти.
Во второй четверти момент МтС меняет свой знак на обратный и
одновременно может изменить свою величину пропорционально
коэффициенту ν (см. рис. 77). В результате выражения (300) с
учетом равенства (301) принимают вид
*.
Cxcosnt* + C% sin nt* + C9—~j^ /*;
/ JB
Jo
(Cx sin nt*~C2 cos nt*) + C4.
(305)
239

В начальный момент при /* — 0 положение гироскопа
характеризовалось на картинной плоскости (рис. 109) точкой а, а
условия его движения, согласно (303) и (304), зависимостями
Φ(0) = — ^JbJcmqtc _|_ МотСТ _ А .
Ф(0)
/2Ω2
JbMotC
4JQ
/2Ω2
= Ψι;
■(О)
JQ " ϋι·
ψ
(°)" /ΐ-^^·
При этих условиях постоянные интегрирования, входящие
в (305), определятся из уравнений
V (ϋ) = Ч + Ч = J2Q2
, AW?" .
1 4JQ '
*(0) = -1ЛЙ-с, + с4 = -
0 (0) = пС2
νΜ,
отс
Μ
JQ
JbM0tc
J2Q>
отС .
JQ
Учитывая значение круговой частоты η (53) при ·θ0 = 0,
находим
r _ VJbJcMotC . r VJbJcMotC(\+v).
Ч ~" J2Q2 » Ч — /2Q2 »
С3 =
4/Ω
сА =
/2Ω2
тС
Подставив вычисленные значения постоянных'
интегрирования в (305), будем иметь
О = Ki^cAW cosnf* + K^jWl+v) sin nt* +
уИотСГ vAf,
отС /*.
./Ω ' '
yaQa
+·
J2Qa
(306)
Следовательно, к концу второй четверти, по прошествии вре-
т
мени ϊ* = —, углы поворота гироскопа вокруг соответствующих
240

осей подвеса достигнут значений
θ2
VJbJcMotC(\+v)
J2Q2
^otc(1-v)T,
4JQ
Ψί =
«УИртСО— V)
J2Q2
(307)
и проекция полюса гироскопа на картинной плоскости (см. рис. 109)
перейдет в точку 6.
К этому моменту угловые скорости θ и ψ, определяемые
первыми производными выражений (306), станут равными
».- ^(q~v); *"Утр'тс;о+у,)· w
При движении гироскопа в третьей четверти периода его
нутационных колебаний (рис. 109) изменятся и знак, и величина
момента ΜτΒ. Момент МтС сохранит свое значение неизменным.
При этих условиях выражения (300), учитывая равенство (301),
примут вид
ϋ = Cxcos nt** + С2 sin tit** + C3- -^т c
JQ
t**:
ψ = Υ-ψ- (Сг sin nt** — C2cosnt**) + C4 +
+ Τω г >
(309)
ι 2
где t*
В соответствии с начальными условиями движения гироскопа
в третьей четверти (307) и (308) из выражений (309) и их первых
производных следует;
ft(0) = C1 + C3= ^c*W(l+v) + *.τοΟ-ν)Γ.
y2Q2
*® = - Ynk c> + c* = - JbM"$ ~ v)>
"Ус "N"1 l ' ' JQ У J с
откуда находим '
г _ (лГГТ т \ Могс(\ + ν) . г _ VJbJсΜοτс .
W — \Г •'Д^С JC/ Г2 02 » и2 — * J2Q2 "ι
с,«
y2Q2
y2Q2
<V
УбуМотС
y2Q2
241

Подставив найденные значения постоянных интегрирования
в выражения (309), будем иметь
Мп
θ = (Yjrfc-jc)J20-cosnt** +
л 7^ sin т л ТчР 7Ω~" ι '
Ψ = (J в - VTsTc) M"cj£ + V) sin nt** -
JbMotC pnQ„/** , ^вуМотс j ΑίοτΒ(1 + ν) ,**
"COS/If -i j^ I jg Ϊ .
(310)
Проанализировав выражения (310), нетрудно заметить, что
к концу третьей черверти периода нутационных колебаний, когда
т
время t** станет равным -j-, углы θ и ψ поворота гироскопа
вокруг осей подвеса достигнут значений
*, = -^[/c<l+v)+V75ra-^;
%=-%?££- [/во+2v)~ vtj-c{\+ν)] + ^Tg4(;+v)r,
(311)
при которых проекция полюса гироскопа совместится на
картинной плоскости с точкой с.
К этому моменту времени угловые скорости д и ψ движения
гироскопа, определяемые первыми производными выражений (310),
достигнут значений
J_B_
Jc
(312)
При исследовании движения гироскопа в четвертой четверти
периода нутационных колебаний необходимо учитывать, что
момент сил трения в опорах по наружной оси подвеса вновь
поменяет свой знак и величину. Так как величина момента сил трения
в опорах по внутренней оси не изменяется, то выражения (300),
характеризующие изменения углов θ и ψ в четвертой четверти
рассматриваемого периода, примут вид
Μρτс /***.
= Cjcos/ι***"* + С2 sin я^*** + С3 +
ψ^ j/-^(ClSintt/*** — C2costt****) + C4
ΜοτΒ(\ + ν) ,***
JQ ι
(313)
где /***
242
t —
ЗГ

Постоянные интегрирования, входящие в (313), будут
определяться зависимостями (311) и (312), в соответствии с которыми из
(313) и их первых производных следует:
O(0) = c1 + C3 = ^f-[/c(i+v) + l/Wc]-^%^;
ψ(0) = _ |/4^С2+ С4 = -^фв(1 + 2ν)-//Ус(1 +ν)] +
■ ^отв(1 + у)7·.
*(Р) = «с.-^- = —t5F-('+v+1/^):
Решая совместно полученные зависимости, находим
Ci = 7^-[M«Tc(l + ν + /тг)- Μ0τΒ (1 + ν)];
г _ vMqtcT1 , JcMqtbO +v).
3 4./Ω ~г /"Ω2
Г _ -/Д^отс /ι .л VJbJcMoiC Л ... ι ! \ ι
Λί0τβ(Η-ν)Τ
+
47 Ω
в соответствии с чем выражения (313) могут быть переписаны в
следующем виде:
* = 7&-[Moxc(l +v+ V~)- M0TB(l +v)]x
χ cos ηί*·* ~ /7^f0TC-(2 + ν + /τ?") sin "'*** -
■vM0TCT , JcMqtbH + v) ι MqtC ,***.
4JQ "г -/'Ω' "·" JQ ' Ι (314)
^ = J^KTc(l+v+j/^)-M0TB(l + v)]x
X sin «**** + y^VC (2 + ν + j/"·^-) cos /ιί **· —
243

МртвП + ν) Τ_ , Мотб(1 + ν) f * * *
+
4/Ω
JQ
(314)
Из зависимостей (314) следует, что в концу четвертой четверти
периода нутационных колебаний углы д и ψ достигнут значений
А - Мотс(\-У)Т , JCMotB(\ + V) _
4 4/Ω · /2Ω2
%
VJbJc Μ,
ОТ С
ЯОа
)-·
VJbJcMqtb(\ + ν)
/2Ω2
JbMotC(1 — ν)
/2Ω2
+
Jc
Μοτβ(1 + ν)Γ
2JQ
(315)
Μ\
JO
а-ДО
Как видим, уже к концу первого периода нутационных
колебаний гироскопа, когда проекция его полюса совместится на
картинной плоскости с точкой dy
го углы θ и ψ будут отличны
от нуля. Из-за наличия сил
трения в опорах подвеса
гироскоп, совершив одно
нутационное колебание, не
возвратится в исходное
положение. Таким образом, в
реальных условиях нутационные
колебания гироскопа будут
сопровождаться
отклонениями его главной.оси от
первоначального положения. С
каждым новым циклом
колебаний эти отклонения
будут все более увеличиваться,
и, хотя приращения углов θ
и,ψ за один период
нутационных колебаний ничтожно
малы, их значения вследствие
большой частоты собственных колебаний гироскопа (см. § 14) в
течение одной секунды могут возрасти в сотни раз.
Если основание прибора остается неподвижным на земной
поверхности, отклонения гироскопа направления, несмотря на
непостоянство величин моментов сил трения в опорах подвеса (см.
рис. 76), сохраняют некоторую закономерность. Для
подтверждения сказанного на рис. 110 приведены графики изменения во вре-
^Q
I
бремя, мин
Рис. 110. Графики изменения углов
отклонения гироскопа направления от
меридиана при неподвижном положении его
корпуса на земной поверхности.
244

мени углаг|)0, составляемого главной осью гироскопа направления,
точка подвеса которого неподвижна на земной поверхности, с
плоскостью меридиана. Приводимые кривые получены
экспериментально для двух гироскопов направления (/ и //), параметры
которых характеризуются следующими данными:
Гироскоп
направления

Кинетический момент
JQ,
Гсмсек
6600
2820
Вес ротора
G, Г
700
172
Моменты сил трения
в опорах подвеса,
Гсм
МотВ
1,0
0,45
мотС
1,0
0,6
Осевой люфт
в опорах
главной оси,
мм
0,005
0,03
Если точка подвеса гироскопа направления перемещается
вместе с объектом относительно земной поверхности, то
отклонения главной оси гироскопа от плоскости меридиана будут
подчиняться более сложному закону. Из-за непостоянства величин
моментов сил трения в опорах подвеса (рис. 76) и отличия реальных
колебаний объектов от гармонических (рис. 75) рассматриваемое
отклонения носят, как правило, случайный характер. В этих
случаях при определении угловой скорости отклонения гироскопа
направления от плоскости меридиана приходится пользоваться
вероятностными методами анализа (см. § 38).
Из выражений (315) следует также, что, уходя от плоскости
меридиана, гироскоп одновременно отклоняется и от плоскости
горизонта. По прошествии некоторого времени главная ось
гироскопа составит с плоскостью горизонта угол θ0, отличный от нуля.
При этом его величина с течением времени будет непрерывно
увеличиваться.
Вполне очевидно, что при θ0 =f= 0 уже нельзя пользоваться
системой (295). Для исследования дальнейшего движения
простейшего гироскопа направления приходится снова обращаться
к уравнениям (291), частное решение которых приводит к
выражениям (292), характеризующим угловые скорости
прецессионного движения гироскопа направления.
В рассматриваемом случае на гироскоп направления действует
момент силы G его веса, равный в общем случае (см. рис. 108)
произведению Gl cos ·&0, и моменты сил трения в опорах подвеса.
Учитывая указанные моменты в выражениях (292), будем иметь
·, Gl cos θ0 — MoTfisigno гл / · , . ,^ α \
Ψ = 7θ.ηΛ Ω3 («η φ + cos φ cos ψ0 tg Φ0);
JQ cos θ0
Α_ Μο τ С sign ψ
JQ cos θ0
+ Q3coscp sin ψ0.
(316)
245

Из (316) следует, что с увеличением угла наклона О0 будут
возрастать и угловые скорости θ и ψ отклонения гироскопа
направления от плоскостей горизонта и меридиана. Действительно, если
в начальный момент было соблюдено условие (301), то для
промежутка времени, в течение которого угловые скорости О
i
/5
/_
I
ι
ι»
ι "■ ■
V
v4iL
.V
β/
1
i
Δ
(
0/
/o
. . _
о
%t град
\1b
15
t
бремя, мин
Рис. 111. Кривые изменения угла Ф0 и скорости ψ во времени
и ij? остаются положительными, выражения (316) могут быть
переписаны в следующем виде:
• _ Gl cos θ0 — М0 т в __ М0Г в ,
ψ— JQcosOo JQ ~t~
+ ^ж~- Ω* <sin ψ +cos φ cos Ψο tg *0);
JQ cos θ0
+ Q3cos φ sin ψ0.
246

Согласно (301)
Gl cos θ0
Μ
ОТ В
J Ω cos θ0
JQ
■ Ω3 sin φ = 0,
в связи с чем угловые скорости прецессии будут равны
МотВ cosOo—1
ψ:
./Ω
cos θ0
— Ω3 cos φ cos % tg θ0;
<>= лГсозО,, +Ω3£ο5φ8ίηφ0,
Г
5"»
5
5г> .
что подтверждает сказанное выше об их увеличении при
возрастании угла θ0.
Для иллюстрации полученного вывода на рис. 111 приведены
экспериментальные графики изменения во времени угла θ0 и
угловой скорости ψ по- if
воротов вокруг
внутренней и наружной осей
подвеса гироскопа
направления, обладающего
кинетическим моментом У Ω =
= 10 000 Гсмсек и
моментами сил трения МотВ=
'= 1,2 Г см и МотС =
= 7;0 Гсм.
Особое внимание
должно быть обращено на то,
что с приближением θ0 к
-£- (рис. 112) угловая
скорость ϋ прецессионного
движения гироскопа
вокруг его внутренней оси
подвеса стремится к
бесконечности. В то
мгновение, когда угол θ0 достиг-
π
нет значения — , главная ось гироскопа совместится с его
наружной осью подвеса (см. рис. 23 и 98) и работа прибора как
гироскопической системы прекратится.
Таким образом, для обеспечения нормальной работы
гироскопа направления в течение достаточно продолжительного
времени необходимо прежде всего ограничить изменение угла θ0,
не лишая при этом гироскоп свободы вращения вокруг внутренней
оси подвеса. Для уменьшения угловой скорости ψ необходимо
угол θ0 удерживать близким к нулю. Вот почему во всех
современных моделях гироскопов направления его главную ось
принудительно удерживают в горизонтальной плоскости.
.^
/
У
/
/
/
/
/
/
/
/
1
SO
Рис. 112. Зависимость скорости θ от угла θ0.
247

Пример 24. Определить углы отклонения главной оси простейшего
гироскопа направления от плоскостей горизонта и меридиана за время одного
периода нутационных колебаний и построить кривую перемещения полюса по
картинной плоскости. Вычислить углы отклонения гироскопа от указанных
плоскостей к концу первой секунды, полагая, что в течение этого промежутка
времени гироскоп имеет одинаковые уходы за каждый период его нутационных
колебаний. Параметры гироскопа: /Ω = 2800 Гсмсек, J в— 0,7 Гсмсек2, J с —
= 1,0 Гсмсек2, М0тв= 0,5 Гсм, Мотс=0,8 Гсм. Коэффициент изменения
величины моментов сил трения при перемене направления движения v= 1,07.
Вычислим период Τ нутационных колебаний гироскопа. Из формулы (60)
при θ0 = 0 находим
Τ = 2π -£ПЯ - 2-3,14 ^SS- - 1,87. Ю- сек.
J Ω cos θ0 2800 cos 0
Согласно выражениям (303) вычислим значения углов поворота гироскопа
к концу первой четверти периода его нутационных колебаний:
VJbJcMotC MotCT_ ^0,7-1,0-0,8
ΡΩ2 "*" 4/Ω 28002
, 0,8.1,87. ΙΟ"3 ηΛΟ 1Λ 7
■ —0,48»ΙΟ'7 рад.;
^ 4-2800
По формулам (307) определим величины рассматриваемых углов к концу
второй четверти периода нутационных колебаний:
. VJbJcMotC(1 + v) , M0TC(l-v)T_V'0jlu.0fi(\ + U07)
Щ~~ J2Q2 ~*~ 4/Ω 28002 "ί~
, 0,8(1-1,07) 1,87.10-3 , aQ 1Π 7
' ■' ν ' —= 1,68.Ю-7 рад.;
1 4-2800
,_ /бМотС(1-у) J 0,7-0,8(1-1,07)
. %- J2Q2 - 28002 -0,05-10 рад,
В соответствии с равенствами (311) найдем значения углов Φ и ψ в конце
третьей четверти периода колебаний гироскопа:
os=4^-Uc(i + v) + lA7irc]--^L =
О.8 г, л/, , .л-74 , ι^ηΤΤηΐ 1,07-0,8.1,87-10-'
= l80Fll,0(1 + 1'07) + ,A0·7·1·01, ТШО =
= 1,56-10-' рад.;
0,8
28002
[0,7 (1 + 2-1,07) - VQJ. 1,0 (1 + 1,07)] +
ОМУ+ШШ'1^^^^^
4-2800
248

Наконец, по выражениям (315) вычислим углы поворота гироскопа к моменту
окончания первого периода его нутационных колебаний:
a _MotC(1-v)T JcMotb(\ + v)
0,8 (1 — 1,07) 1,87» ΙΟ"3 , 1,0-0,5(1 + 1,07)
*"·' 4-2800 "J + * 28002' Г" ""
*4-—75£р ^К 7^ 7Г/ Ш
^βΛίοτθ(Ι-ν) , Λί0Ιβ(1+ν)Τ
J*Q* т 2/Ω
KV-1,0-0,8 / -ι /(V7 1_\ _ 1Λ),7-1,0-0,5(1 + 1,07) _
28002 V Г 1,0 1,0 / 28002
0.7.0,8(1-1,07) + ^(1 + 1,07)1,87.10-3 = ^^ ^
28002 ' 2-2800
Нанося вычисленные к концу каждой четверти периода нутационных
колебаний значения углов θ и ψ на график (см. рис. 109) и соединяя полученные таким
образом точки кривой, находим траекторию перемещения проекции полюса
гироскопа на картинной плоскости за время Τ одного периода. Для определения
отклонений гироскопа направления в течение одной секунды вычислим частоту его
колебаний:
f = Τ = 1,87-ΙΟ"3 " 535 Щ'
Следовательно, углы отклонения гироскопа направления от плоскости
горизонта и меридиана по истечении одной секунды достигнут значений
Ф= ®J = —2,1 ·10"7-535 = —1,12-10~4 рад.;
ψ = ypj = 2,28-10"7·535 = 1,22-10~4 рад.
или соответственно
0= —1,12· 10"4-57,3-60 = —0,39 угл. мин.;
ψ«= 1,22- ΙΟ"4· 57,3- 60== 0,53 угл. мин.
§ 50. НИВЕЛИРОВАНИЕ ГЛАВНОЙ ОСИ ГИРОСКОПА
НАПРАВЛЕНИЯ
Для сохранения главной оси гироскопа направления в
горизонтальной плоскости, или, как говорят, для ее нивелирования,
применяются корректирующие устройства, аналогичные
описанным в § 45. Существуют два принципиально различных метода
249

нивелирования. Один из них основан на предположении, что
объект, как правило, перемещается в горизонтальной плоскости.
В этом случае наружная ось ОС подвеса гироскопа (рис. 106)
расположена вертикально. Нетрудно заметить, что в указанных
условиях работы гироскопа направления достаточно соблюсти
перпендикулярность между кардановыми кольцами, чтобы
обеспечить горизонтальное положение его главной оси ОА. Такая
схема нивелирования, получившая название межрамочной
коррекции, нашла широкое применение во многих конструкциях
гироскопов направления.
Принцип устройства межрамочной коррекции уже был
описан в § 45. По внутренней оси ОВ (см. рис. .101) устанавливается
потенциометр Пв, управляющий датчиком моментов ДМС. При
нарушении перпендикулярности между осями ОА и ОС с
потенциометра Пв снимается напряжение, поступающее на датчик
моментов ДМС- Создавая внешний момент относительно наружной
оси в соответствующем направлении, датчик обеспечивает
восстановление перпендикулярности между осями ОА и ОС гироскопа.
Для работы нивелирующих устройств часто используется
энергия воздуха, сжимаемого вращающимся ротором. С этой
целью ротор гироскопа монтируют не во внутреннем кардановом
кольце β/C, как показано на схеме рис. 106, а в специальной
камере (рис. ИЗ). Гироскопическая камера — гирокамера —
монтируется так же, как и внутреннее кольцо подвеса, на опорах,
расположенных по оси ВВ в наружном кардановом кольце
гироскопа. Выполняя функцию внутреннего карданова кольца,
гирокамера является одновременно и кожухом, закрывающим со всех
сторон тело ротора.
При вращении ротора с достаточно большой угловой скоростью
вокруг оси АА частицы воздуха, находящиеся внутри гирока-
меры, вследствие действия сил трения увлекаются вращающимся
ротором. При этом, как только частицы воздуха будут приведены
во вращение вокруг оси АА, они в силу инерции своей массы
начнут перемещаться к периферии ротора, создавая у обода ги-
рокамеры избыточное давление, а вблизи оси АА — вакуум.
Вследствие образовавшегося вакуума во внутреннюю полость
гирокамеры, через отверстия в ее крышках, начнет поступать
атмосферный воздух. Тем самым создается непрерывный «подпор»
воздуха между ротором и ободом гирокамеры. На рис. 114
приведена полученная экспериментально кривая изменения перепада
давления воздуха внутри гирокамеры на промежутке от оси АА
вращения ротора до его обода.
Если по ободу гирокамеры выфрезеровать отверстия той или
иной формы (см. рис. ИЗ), то воздух, находящийся под давлением
внутри гирокамеры, будет выходить за ее пределы с некоторой
скоростью, зависящей от перепада давлений внутри и вне камеры.
В некоторых конструкциях гироскопов направления такие от-
250

верстия осуществляются в непосредственной близости от
внутренней оси ОВ подвеса гироскопа (рис. 115). Наружное карданово
кольцо НК также снабжают отверстиями, которые при
перпендикулярном положении осей ОА и ОС находятся точно против
Рис. 113. Гирокамера.
выходных отверстий гирокамеры. С наружной стороны кольца
подвеса НК приемные отверстия закрыты специальными полыми
резервуарами Q,
снабженными струераздельным но- Лр7ммбоАст.
жом N. Каждый резервуар Q
имеет два выходных
отверстия, расположенных строго
по оси аа, перпендикулярной
к плоскости СОВ наружного
кольца подвеса гироскопа.
Если оси ОА и ОС
перпендикулярны, струя
воздуха, выходя из гирокамеры и
попадая в приемное отверстие
наружного кольца, делится
струераздельным ножом N
точно на две равные части.
Равные количества воздуха,
выходя из отверстий
резервуара, создают одинаковые
по величине, но противопо-
ложныепо направлению
реактивные силы. Их сумма
будет равна нулю, и, следо-
15\
1°\
Ί
£
.7
/7
w
гъ
0,5
--U
1
1
ψ'
°У
*->
I
1
1
/
1 1
1
/
1
1
W
Т]
Рис. 114. Кривая перепада давления Ар
воздуха внутри гирокамеры (R — радиус
ротора).
вательно, реакция струи воздуха никакого влияния на гироскоп
оказывать не будет. Но как только главная ось ОА гироскопа
изменит свое положение относительно наружного кольца,
совершив поворот вокруг оси ОВ, выходное отверстие гирокамеры
251

сразу же сместится по отношению к приемному отверстию на
наружном кольце НК. Струя воздуха, выбрасываемая из выходного
отверстия гирокамеры, будет теперь попадать в резервуар Q
только по одну сторону ножа N и выходить из резервуара Q
в атмосферу из одного отверстия, создавая реактивную силу F>
направленную перпендикулярно плоскости СОВ наружного
Рис. 115. Пневматическое нивелирующее устройство.
кольца. В результате сила F создаст относительно оси ОС
реактивный момент МкС, который будет являться внешним для
гироскопа. Под действием момента МкС гироскоп получит
прецессионное движение вокруг оси ОВ, которое будет продолжаться
до тех пор, пока главная ось О А гироскопа вновь не совместится
с осью OD. Иными словами, указанная прецессия гироскопа
будет продолжаться до того мгновения, пока ось О А вновь не
займет перпендикулярное положение по отношению к наружной
оси ОС подвеса гироскопа направления.
Если выходные отверстия разместить на ободе гирокамеры
на значительном расстоянии от оси ОВ (рис. 116), то выходящий
252

из них направленными струями воздух будет Создавать
реактивный момент 2FI относительно оси О А. При перпендикулярности
осей О А и ОС реактивные силы F воздушных струй будут
действовать в плоскости СОВ наружного кольца подвеса. Поэтому
создаваемый ими реактивный момент 2FI будет погашаться реакцией
опор, расположенных по наружной оси ОС подвеса гироскопа
(рис. 116, а).
Рис. 116. Принципиальная схема воздушной коррекции.
При повороте гироскопа вокруг оси ОВ на угол θ (рис. 116, б)
реактивный момент 2FI, действующий относительно оси ОЛ,
будет проектироваться и на оси ОС и OD. Значения этих
проекций будут равны
Мк D = 2FI cos θ; Λίκ с == 2FI sin θ,
где I cos θ и Ζ sin θ — расстояния от выходных отверстий до
осей OD и ОС соответственно.
Так же, как и в предыдущем случае, момент Мк£) будет
погашаться реакцией опор наружной оси ОС подвеса, однако
момент МкС, действующий относительно оси ОС, вызовет
прецессионное движение гироскопа вокруг оси ОВ, в процессе которого
угол θ будет уменьшаться. Соответственно будет уменьшаться и
внешний момент 2FI sin θ, а следовательно, и угловая скорость д
прецессионного движения, которое прекратится полностью, как
только ось Ог вновь совместится с осью ОС и угол Φ станет равным
нулю. Для подтверждения сказанного на рис. 117 приведен
экспериментальный график зависимости нивелирующего момента МкС
корректирующего устройства, выполненного по схеме рис. 116,
от угла д поворота гирокамеры. ,
Устройства для нивелирования главной оси гироскопа в
горизонтальной плоскости, выполненные по описанным выше схе-
253

мам, нормально работают лишь при горизонтальных
перемещениях объектов. В тех случаях, когда объект в процессе движения
выходит из горизонтального положения, межрамочная
коррекция порождает ошибки в показаниях гироскопа направления,
возникающие при курсовых эволюциях объекта. В целях
предупреждения таких ошибок в некоторых моделях гироскопов
направления в нивелирующих устройствах применяют
корректирующие маятники, анало-
МкС, Г см
2,5
1
I
1
w
о
0 iff Iff 30 40 50 60 fyipu.
Угол наклона гирокамеры .
Рис. 117. График зависимости нивелирующего
момента Мкс от угла θ.
гичные использованному
в схеме на рис. 101.
Подобные системы
называют обычно
маятниковыми нивелирующими
устройствами.
Устанавливая маятник-
измеритель на внутреннем
кардановом кольце или
гирокамере гироскопа,
получают возможность
фиксировать углы наклона его
главной оси
непосредственно по отношению к
плоскости горизонта.
Один из
конструктивных вариантов маятников
вого нивелирующего
устройства приведен на рис.
118. В переходной втулке,
на которой монтируются
подшипники оси подвеса
гирокамеры в наружном
кардановом кольце,
выбраны специальные отверстия, перекрываемые плоским
маятником L, ось подвеса которого закреплена в теле гирокамеры.
При наклоне главной оси гироскопа относительно
плоскости горизонта маятник L откроет одно из отверстий втулки,
освободив выход для струи сжатого воздуха по направлению аа.
Возникающая в результате истечения воздуха сила реакции F
создаст момент MKZ = Fl, действующий на гироскоп относительно
оси Oz. Как и в предыдущих случаях, наличие внешнего
момента Μκζ вызовет у гироскопа прецессионное движение вокруг
оси ОВ, котсрое будет продолжаться до тех пор, пока его
главная ось ОА не примет горизонтального положения. В этот
момент маятник L вновь перекроет оба отверстия, преградив тем
самым выход сжатому воздуху из гирокамеры.
Описанные схемы пневматических устройств нивелирования
весьма просты, но создают малую величину реактивного момента.
254

Увеличение реактивного момента требует повышения давления
воздуха внутри гирокамеры, что практически можно осуществить
посадив на ротор специальные лопасти и выполняя гирокамеру
сплошной, без вентиляционных отверстий. Однако указанные
изменения влекут за собой увеличение потребляемой прибором
мощности, чрезмерный нагрев прибора, засасывание смазки из опор
главной оси внутрь гирокамеры и т. п. Вот почему в тех приборах,
где для удержания главной оси гироскопа в плоскости горизонта
необходим сравнительно большой корректирующий момент,
приходится применять электрические схемы нивелирования.
Так же, как и в
предыдущих, в электрических
схемах в качестве
измерительного органа
используется маятник L (рис.
119), который
устанавливается на внутреннем
кольце или гирокамере
прибора. Одновременно на
внутреннем кольце
устанавливаются либо потенциометр,
как это было выполнено в
схеме на рис. 101, либо
две изолированные друг
от друга и корпуса
прибора контактные ламели ах
и а2. Маятник L
является токопроводящей
деталью схемы, он соединен электрически с массой внутреннего
кольца, а через нее и с корпусом прибора.Таким образом, при
наклоне гироскопа относительно плоскости горизонта маятник L,
сохраняя отвесное положение, замкнет правый а2 или левый ах
контакты и включит ток в обмотку одного из поворотных
электромагнитов ПЭ. Возникающий при этом магнитный поток стремится
повернуть вокруг оси ОС неподвижно закрепленный на наружном
кольце гироскопа якорь Я, создавая тем самым в системе
гироскопа внешний момент, действующий относительно оси ОС. В
зависимости от наклона гироскопа внешний момент будет либо
положительным, либо отрицательным, обеспечивая в каждом
случае такое направление прецессионного движения, которое
приведет гироскоп в плоскость горизонта.
Чтобы якорь >7 каждый раз занимал симметричное положение
между двумя поворотными электромагнитами, их сердечники
монтируют на диске Д, имеющем свободу вращения вокруг оси ОС.
На диске Д устанавливаются контактные полукольца ^ и 6,,
по которым может перемещаться ролик г, так же как и якорь ,Я,
участвующий в поворотах гироскопа вокруг оси ОС. Вращение
Рис. 118. Маятниковая коррекция.
255

гироскопа вокруг оси ОС вызовет смещение ролика г от
нейтрального положения между контактными полукольцами Ьг и Ь2-
В результате одно из них будет включено в электрическую сеть
прибора, благодаря чему будет подан ток в один из
электромагнитов промежуточного реле ПР.
Срабатывание промежуточного реле ПР вызовет перемещение
одного из подвижных контактов Ρ из верхнего положения, в
котором он удерживается пружинами /х или /2» в нижнее. Тем
ι
Рис. 119. Электрическая схема маятниковой коррекции] гироскопа
направления.
самым будет включено питание в цепь электродвигателя АД,
вал которого связан с диском Д посредством червячной передачи.
Соединение обмоток двигателя АД с контактными пластинами
промежуточного реле ПР выполнено так, чтобы при смещении
ролика г относительно зазора между ламелями Ьг и Ь2 электро-
двигатель АД поворачивал диск Д до нового совмещения ролика г
с межламельным зазором.
Как только диск Д займет положение, при котором ролик г
вновь установится между ламелями Ьг и Ь2, ток, питающий
обмотку электромагнита реле ЯР~, прервется и питание двигателя
выключится. Поворотные электромагниты в этот момент вновь
займут положение, симметричное относительно якоря #.
256

Как видим, при вращении гироскопа вокруг оси ОС диск Д
автоматически следит за положением гироскопа, совмещая оси
симметрии якоря ^ и башмаков электромагнита ПЭ. Поэтому
указанное устройство получило название следящей системы,
а электродвигатель АД, поворачивающий следящую систему
в азимуте рокруг вертикальной оси ОС, — азимут-двигателя.
§ 51. ДВИЖЕНИЕ ГИРОСКОПА НАПРАВЛЕНИЯ
С МЕЖРАМОЧНЫМ НИВЕЛИРОВАНИЕМ ПРИ НЕПОДВИЖНОМ
ПОЛОЖЕНИИ ЕГО ОСНОВАНИЯ НА ЗЕМНОЙ ПОВЕРХНОСТИ
Включение в схему гироскопа направления нивелирующего
устройства оказывает влияние на движение гироскопа. Характер
этого влияния зависит от конструкции нивелирующего
устройства. Выясним, как влияет на движение гироскопа направления
межрамочное нивелирующее устройство, если основание
гироскопа неподвижно на земной поверхности. Обращаясь к системе
(291), учтем в ней особенности, характеризующие работу
рассматриваемого гироскопического прибора.
Из описания схемы межрамочной коррекции следует, что на
гироскоп относительно оси ОВ действует момент GI (см. рис. 108)
и относительно оси ОС — момент, создаваемый нивелирующим
устройством. Величина последнего пропорциональна углу θ
рассогласования между осями Οζ и ОС (см. рис. 115) и равна Кс$>
где Кс—коэффициент пропорциональности. Кроме того, при
межрамочной коррекции угол θ0 = 0. При этих условиях система
(291), если опустить в ней моменты сил трения в опорах подвеса,
принимает вид
JBb + JQ (ψ + Ω3 sin φ) = Gl;
Jcyp— JQ (b — Q3cosq)sini|)0) = /Ccd,
или, если учесть условия (301),
JBb + /Ωψ = 0;
Jcty— JQb— /CcO = —/QQ3cos φ sin ψ0·
Система (317) имеет частное решение
Соответствующая ей однородная система дифференциальных
уравнений
JBb + /Ωψ = 0, )
... (319)
Jcyp — /Ωθ — Кс® = 0 J
257
(317)
(318)

может быть решена следующим образом. Определим из первого
уравнения (319)
♦ ---та-* <320>
и подставим значение ψ во второе уравнение системы (319), тогда
-^ Ъ + JQb + Кс® = 0.
Характеристическое уравнение в этом случае будет иметь вид
Для определения корней характеристического уравнения (321)
воспользуемся (по аналогии с изложенным в § 23) формулами
Кардана (135). С этой целью вычислим вспомогательные величины
? / JQKC
2JBJc
^ У \ 2JBJc J ^ \ 3JBJc ) '
\f JQKc ί// JQac\2 ■ / ^Ω2 \з
Пользуясь приближенными методами извлечения корней, х
приведенные равенства можно переписать в следующем виде:
3 г
JQKc ^3Ω3 ЗЛс
2JBJc + VWbJc? 8 VTbTcJQ '
,/Ω/fc ^3Ω3 3/(c
2JbJc V(3JbJcT ^\iJBJcJQ '
Нетрудно заметить, что третье слагаемое полученных
выражений представляет собой величину более высокого порядка малости
по сравнению с двумя другими членами. Пренебрегая на этом
основании третьим слагаемым, будем иметь
^ з f J3Q3 JQKc.
U^ У V{VBJc? 2Jbjc '
~J4P JQt\c
ϋ^ У l^W&cf ' -2JbJc
Дальнейшее преобразование дает
JQ Кс JQ Кс
]^ШГс 2УО ' VzTbTc 2JQ
1 См. «Энциклопедический справочник». Машиностроение, т. I, кн. 1, ГНТИ,
1947, стр. 111.
258.

Таким образом, в соответствии с выражениями (135) корни
исследуемого характеристического уравнения (321) будут
определяться значениями
Pi,2
Кс
±i-
JQ
2JQ " VWc '
Согласно изложенному в § 13 решение системы
дифференциальных уравнений (317) для переменной θ с учетом (318) может быть
записано в виде
«с ,
e2JQ (CiCos/i/ + С2 sin nt) +
+ С3е
кс
-jcT f , ^ΩΩ3 cos φ sin ψ0
где η
JQ
^ ' Кс
частота нутационных колебаний.
(322)
VJbJc
Для определения угла ψ проинтегрируем зависимость (320):
ψ
^Ω
(323)
Продифференцировав выражение (322), найдем
Кс
^ = -^-e2JQ (Qcosnf + C2sinn/) +
+ е
2УЙ
' /Ω
(—Cx sin n/ -f C2 cos n/)
/Cc C3e~~^'
После подстановки найденного значения θ в уравнение (323)
получим
кс
y = -+^e~^t(C1cosnt + C2sinnt) +
+ у-
2Ji№
ψ- е2Ш ' (d sin nt — Ca cos «0 +
JbKc
Kr
+
J'Q*
C3e Jo +Ci.
(324)
Если в формуле (324) пренебречь первым слагаемым как
величиной малой, то зависимости (322) и (324) примут более
простой вид:
Kq Kq
θ = i*7^' (Cx cos nt + C2 sin nt) + C3e~ ^ '+
/ΩΩ3 cos φ sin ψ0
Ac
— P2JQ
ψ = e
/£(C,
sin nt— C2cosnt) -f
Kr
1вКс_с ТёГ* \n
J2Q2 °3^ \ U4*
(325)
259

Первые слагаемые (325) описывают нутационные колебаний
гироскопа направления, вторые — его прецессионное движение.
При отсутствии сил трения в опорах подвеса амплитуды
нутационных колебаний гироскопа направления с межрамочным
нивелирующим устройством постепенно возрастали бы. Между тем,
силы трения практически существуют. Поэтому в
действительности амплитуды нутационных колебаний не смогут превысить
определенного предела, обусловливаемого величиной угловой
скорости вращения основания прибора вокруг соответствующей оси
подвеса гироскопа (см. § 36). Как только амплитуда угловой
скорости нутации превысит значение угловой скорости основания
гироскопа (см. рис. 68), знак момента сил трения станет
противоположным знаку угловой скорости нутационных колебаний, что
и вызовет их демпфирование.
Опуская на этом основании в выражениях (325) слагаемые,
описывающие нутационные колебания, рассмотрим лишь
прецессионное движение гироскопа:
кс
А — Г о" Τω" ' ι ^QQaCOScpsintfro
кс
Υ — /202 ^όβ Τ" W-
(326)
,/2Ω2
При начальных условиях
θ (0) = β0> ψ (0) = ψ0 (327)
постоянные интегрирования С3 и С4 определяются зависимостями
г α /QQ3cos φβίηψρ
г — ,ь JbKc ( * /ΩΩ3 cos φ sin ψ0 \
W - Ψθ — -72Q2- [Vo -JQ ) >
или, если пренебречь малыми величинами,
Г _ Α «/ΩΩ3 cos φ sin ψ0 # г — *ь
^3 ~ Щ ](Z > W — ΥΟ*
Подставив вычисленные значения постоянных интегрирования
в выражения (326), будем иметь
кс
% _ { % _ ^ΩΩ3 cos φ sin ψ0 \ "" "7ω~ t \_ ^ΩΩ3 cos φ sin ψ0
^"Г0 Тс )e + T<~c ;
кс
,,,_ JbKc Λα /ΩΩ3 cos φ sin ψρ \ -^ЙГ* , h
ψ_ ^Ω2 ^ο ^ ;^ -ι-Ψο·
260

Из полученных выражений следует, что первое слагаемое
второго равенства — величина высшего порядка малости по
сравнению с остальными. Поэтому, пренебрегая им, можем записать
*=(V
JQQ3 cos φ sin ψ0 \ —Js
t , _Л2Й3 cos φ sin ψο^
(328)
Kc J" ' Kc
Ψ = Ψο·
Проследим за движением гироскопа направления с
нивелирующим устройством по перемещению его полюса на
картинной плоскости. В соответствии
ь
(*ϋΦο)
t
t
t
to)
\o*.
Рис. 120. Траектория перемещения
полюса гироскопа направления на
картинной плоскости при нивелировании
его главной оси.
с условиями (327) полюс
гироскопа в начальный момент
времени будет проектироваться на
картинную плоскость (рис.120)
в точку а с координатами θ0 и
ψ0. Из этой точки полюс
гироскопа начнет перемещаться
вдоль оси 0*θ к совмещению
с осью 0*ψ. Как видим,
главная ось гироскопа,
поворачиваясь под действием
корректирующего момента, создаваемого
нивелирующим устройством,
будет двигаться к плоскости
горизонта. Однако полного
совмещения ее с горизонтальной
плоскостью не произойдет, и
согласно (328) главная ось гироскопа составит с плоскостью
горизонта угол
а __ /ΩΩ3 cos φ sin ψ0
r ~ Kc
Положение главной оси ОА гироскопа относительно
плоскости ξΟζ меридиана (см. рис. 106) остается неизменным,
совмещенным с некоторой азимутальной плоскостью, составляющей
с плоскостью меридиана угол ψ0.
Естественно, что силы трения в опорах гироскопической
системы, люфты в сочленениях ее отдельных элементов, упругие и
температурные деформации и подобные им факторы будут
вызывать отклонения гироскопа относительно плоскости меридиана.
§ 52. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ГИРОСКОПА НАПРАВЛЕНИЯ,
УСТАНОВЛЕННОГО НА ОБЪЕКТЕ, ПЕРЕМЕЩАЮЩЕМСЯ
ПО ЛОКСОДРОМИИ, И ИХ АНАЛИЗ
Исследование движения гироскопа направления при
неподвижном на земной поверхности положении точки его подвеса
показало, что силы трения в опорах подвеса вызывают его отклоне-
261

ния как от плоскости меридиана, так и от плоскости горизонта.
Если наклон главной оси гироскопа может быть устранен
введением в схему прибора нивелирующего устройства, то
возникшее отклонение, или девиацию гироскопа направления, от
плоскости меридиана устранить не представляется возможным.
Поэтому проблема создания гироскопа направления требуемой
точности сводится по существу к разработке таких компенсирующих
устройств, при наличии которых отклонение гироскопа за
единицу времени от плоскости меридиана, т. е. его азимутальный
уход или дрейф, не превышало бы допускаемых значений.
С целью выяснения характера движения гироскопа
направления, установленного на объекте, в системе (162) учтем, что при
горизонтальных перемещениях объекта и при наличии в гироскопе
нивелирующего устройства угол . θ0 будет оставаться равным
нулю. В связи с этим уравнения движения (162), если
пренебречь в них величиной ω^θ по сравнению с шс, примут вид
Jcyp — /Ω (θ + ωβ) - Mc.
Опуская из рассмотрения нутационные члены, находим
угловые скорости прецессионного движения:
г|> = -(ос + JQ
к МС
(329)
Перемещаясь по локсодромии, объект движется горизонтально
с углом тангажа β = 0 и под курсом α = const. При этом
условии проекции векторов ω^, ωη и ωζ угловых скоростей объекта
(183) на оси подвеса гироскопа, главная ось которого составляет
угол ψ0 с плоскостью меридиана, определяются выражениями
(ύΒ *=г —Q3 cos φ sin % + -у cos (α — ψ0);
cdc =» Ω3 sin φ -π- sin α tg φ.
(330)
Смещение центра тяжести системы вдоль оси ОА на величину /
(см. рис. 108) порождает действие на гироскоп относительно оси
ОВ постоянного момента GI и обусловливает возникновение
моментов сил инерции при ускорениях объекта. Действительно,
движение объекта с ускорением V (рис. 121) вызывает
перемещения точки О подвеса гироскопа вдоль осей О А, ОВ и ОС с
ускорениями VAiVB и Vc, определяемыми проекциями вектора V на
перечисленные оси,
26?

Однако масса т гироскопа вследствие своей инертности
будет оказывать сопротивление силам, стремящимся сообщить ей
ускоренное движение. Возникнут силы инерции mVAl mVB и
mVc, приложенные в центре тяжести От гироскопа и
направленные противоположно соответствующим ускорениям. Эти силы
инерции создадут относительно осей подвеса моменты,
соответственно равные
Мя а = 0; Ми в = mVcl\ МяС = —mVBt.
Рис. 121. К определению влияния ускорений объекта на
движение гироскопа направления.
При угле θ наклона главной оси к плоскости горизонта на
гироскоп относительно оси ОС начнет действовать
корректирующий момент, пропорциональный углу Φ:
мкс = ксъ.
Наконец, на гироскоп будут действовать моменты сил трения
ΜτΒ и МтС в опорах его подвеса, направленные противоположно
угловым скоростям вращения объекта вокруг осей ОВ и ОС (§ 37)
и равные
ΜτΒ^ΜοτΒ^Ώ(ωΒ); MTC = MOTCsign(coc).
#3

Суммарные значения моментов внешних сил будут определяться
равенствами
MB=Gl + mVcl + ΜοτΒ sign (ωΒ);
Mc = Кс® — mVBl + MQ т с sign (шс).
(331)
Подставив значения угловых скоростей ωΒ и шс из (330) и
моментов Мв и Мс из (331) в (329), найдем
ψ = —Ω3 sin φ + ~η~ sin α tg φ +
G/ + mVcj + Λί0 τ.β sign (ωβ) #
/Ω
θ ■= Ω3 cos φ sin ψ0 ^- cos (α — ψ0) —
__ Кс® — тУв1 -fAipiC sign (сое)
/Ω
(332)
По формулам (332) в каждом конкретном случае можно
выяснить изменения во времени угловых скоростей ψ и θ и тем
самым определить отклонения гироскопа направления от
плоскостей горизонта и меридиана, порождаемые различными
факторами. Зная характер угловых колебаний объекта, можно
вычислить (см. гл. V) уход гироскопа, вызываемый моментами ΜτΒ и
МтС сил трения в опорах подвеса. Закон изменения ускорения V
позволяет найти угловые скорости
ψ
mVcl
θ
mVBl
~7ω~"
(333)
отклонения гироскопа от плоскостей меридиана и горизонта,
обусловливаемые ускорением объекта.
Для определения уходов гироскопа направления за
небольшой промежуток времени можно полагать, что в течение этого
времени широта φ практически остается неизменной и равной φτ.
Такое допущение позволяет переписать выражения (332),
пренебрегая в них моментами М0тВ и М0тС, в следующем виде:
ел · ι V · *„ Gl + mVcl
ψ = —Q3sin φτ + -£- sin α tg φτ + - —'
Φ = Q3cos φτ sin ψ0 ^- cos (α — ψ0)
/Ω
JQ
(334)
264

Интегрируя первое уравнение системы (334) и полагая
ускорение объекта за рассматриваемое время постоянным, находим
ψ = | ψ dt = — Ω3/ sin φτ + -^- 1 V d/ sin α tg φτ +
Принятое выше допущение требует, чтобы время отсчитыва-
лось от фиксированного момента / = т. В связи с этим
постоянная интегрирования С будет равна начальному значению ψ0
угла ψ. Таким образом, выражение для угла ψ можно записать
в следующем виде:
Ψ = Ψο + Δψ,
где
ΔΨ = {G+JQVC /~Ω3^" Φτ) t + \\vdt sin atgq)t. (335)
Из второго уравнения (334) следует:
* + 4& θ = ^3COSTtsin^0-^-cos(a-i|)0) + -^-/.
Решение последнего уравнения при θ (0) = θ0 будет
определяться выражением
_ ^с_ t JQQ3 cos φτ sin ψ0
$ = $0e Jo + Тс
~ TOR C0S (α ~~ ψϋ) + "ΤΓ" ( *
Как видим, главная ось гироскопа направления с
нивелирующим устройством, точка подвеса которого перемещается
относительно земной поверхности, удерживается вблизи плоскости
горизонта. Угол рассогласования, определяемый тремя
последними членами выражения (336), может изменяться во времени
в связи с изменениями параметров движения объекта. Однако при
правильном выборе конструктивных параметров
гироскопической системы угол рассогласования не будет превышать
заданного значения при самых неблагоприятных условиях движения
объекта.
Как следует из (335), ограничение азимутального ухода
гироскопа может быть достигнуто только при соблюдении условия
G+jqV° l — Ω3 sin φτ + -£- sin a tg φτ = 0.
Однако выполнение этого условия связано с определенными
трудностями, так как величины V, Vc, φτ> α и Я в процессе дви-
265

жения объекта могут изменяться в широких пределах, в то время
как момент МкВ = GI остается постоянным. Для устранения
этого несоответствия в прецизионных гироскопах направления
корректирующий момент МкВ регулируют по величине и
направлению с тем, чтобы постоянно соблюдалось равенство
Мк в = —mVcl + /ΩΩ3 sin φτ — /Ω -^- sin α tg φτ. (337)
Нетрудно заметить, что в этом случае момент МкВ должен
изменяться во времени по весьма сложному закону, зависящему
от изменений величин V, a, R и φτ. С этой целью в системы
современных гироскопов направления весьма часто вводят
специальные счетно-решающие устройства, которые и осуществляют
необходимое регулирование корректирующего момента МкВ,
действующего на гироскоп относительно его внутренней оси подвеса.
§ 53. ДВИЖЕНИЕ ГИРОСКОПА НАПРАВЛЕНИЯ
С МАЯТНИКОВЫМ НИВЕЛИРУЮЩИМ УСТРОЙСТВОМ
Рассмотренные выше причины, порождающие возникновение
ошибок в показаниях гироскопа направления с межрамочной
коррекцией, имеют место
и в приборах с
маятниковым нивелирующим
устройством (см. рис. 118 и
119). Для выяснения
характера движения такой
гироскопической системы будем
полагать, что объект, на
котором установлен
рассматриваемый гироскоп
направления, движется с
постоянным ускорением V.
Проекции ускорения V на
неизменно связанные с
наружным кардановым
кольцом координатные оси
ODBC (рис. 122) равны
соответственно VDi VB и Vc.
При маятниковом
нивелирующем устройстве
(см. рис. 118) ось О А
гироскопа направления будет
приводиться к совмещению не с осью ОД а с направлением,
перпендикулярным продольной оси корректирующего маятника L.
Поэтому в общем случае между^осями ОА и OD может существо-
Рис. 122. К определению влияния
ускорений объекта на движение гироскопа
направления с маятниковым нивелированием.
266

вать угол рассогласования θ0. (рис. 122). Вследствие смещения
центра тяжести гироскопа вдоль его главной оси ОА на
расстояние / по отношению к точке подвеса О силы инерции массы т
гироскопа создадут относительно осей его подвеса моменты
МяВ = ml(VDsin,&0 + Ус cos 00);
МиС = —mlVB.
Кроме моментов сил инерции, относительно обеих осей
подвеса будут действовать моменты сил сухого трения
ΜτΒ = —M0TBsign(U); MTc-=—M0TCsign(\p)y
а также моменты силы веса Gl cos θ0 относительно оси ОВ и
нивелирующий МкС относительно оси ОС.
Рассуждая по аналогии с изложенным в § 46, нетрудно
убедиться, что величина момента МкС будет в рассматриваемом
случае зависеть не только от угла θ между осями О А и OD, но еще
и от угла ε отклонения маятника L от вертикали места, которую
полагаем параллельной наружной оси ОС подвеса гироскопа.
Учитывая сказанное, при малой величине угла ε и коэффициенте
пропорциональности Кс будем иметь
МкС=Кс(Ъ-г).
Подставив значения перечисленных моментов в систему
уравнений (163), найдем
J в® + ^Ω (ψ + юс) cos θ0 + JQ(ud sin θ0 =
= Gl cos θ0 + ml(VD sin θ0 + Vc cos θ0) — MQ T B sign (0);
/cif — /Ω (θ + ωβ) cos θ0 « Kc (ft — β) — m/VB —
-M0TCsign(\j)).
(338)
Для решения системы (338) необходимо иметь суждение о
характере изменения угла ε. С этой целью обратимся к уравнению
(4) и учтем, что, кроме сил трения, относительно оси подвеса
маятника будут создавать моменты еще и силы инерции его массы тм.
Действуя на плече /м, равном удалению Оха центра тяжести
маятника L от оси ОЁ его подвеса на внутреннем кардановом кольце,
силы инерции (рис. 122) будут создавать момент
Л*н. и = mJu (V^cos ε — ycsin ε),
или при малой величине угла ε
Mb.u = mJu(VD—V<*).
267

Таким образом, исходная система уравнений, описывающая
движение гироскопа направления с маятниковым нивелирующим
устройством, принимает вид
JB$ + J Ω (ψ + <oc) cos θ0 + JQ(oD sin θ0 = ·
= G/cosd0 + ml(VDs\n$Q + Kccosd0) — Μ0τΒ sign ι
Jcty — У Ω (ϋ + ωβ) cos θ0 - /Cc (θ — ε) — } (339)
— mlVB — M0TCsign (ψ);
К* + >*м^ме = mJu (VD — Vcz) — Λί0 т. и sign (ε).
Выясним характер прецессионного движения гироскопа
направления при установившемся режиме его работы. С этой целью
из третьего уравнения системы (339) определим его частное
решение при VD = const и Vc = const:
M0
g f Vc mJu (g + Vc)
Подставив найденное значение εΓ в первые два уравнения
исследуемой системы и пренебрегая в ней нутационными членами,
будем иметь
/Ω (ψ + <ос) cosO0 -|- /Ωω^ sin 00 =
= G/cosd0 + ml (VDsm θ0 + l/ccosft0) ± Λί0τβ;
JQ (θ + «B)cos*0 = -КСЪ + Кс-^г ± f^0™ +
g + VC mju {g + l/c)
откуда находим
ψ = — сос-
+т/УБ± МотС,
«z;tgO0 + -^ + ^-(l/Dtg^0 + ^c)±
Λί,
οτΰ
~" JQ cos ι
θ =
JQcub
cos Φ0 +
Мрг. и
"Vm (g + VC)
~ Kc '
(340)
Проанализировав первые выражения (340) и (332), убеждаемся,
что ускорение Vc объекта вдоль наружной оси ОС подвеса влияет
268

на угловую скорость ψ азимутального ухода гироскопа
направления.
В отличие от гироскопа с межрамочной коррекцией на
величину угловой скорости φ гироскопа направления с маятниковым
нивелирующим устройством будут оказывать дополнительное
влияние угловая скорость ω^ вращения основания вокруг оси OD
и ускорение VD объекта вдоль этой оси. Из сопоставления вторых
выражений (340) и (332) следует также, что ускорение VD объекта
и момент сил трения Λί0τ. и в опоре подвеса корректирующего
маятника будут вызывать дополнительное влияние на величину
угла θΛ гироскопа направления с маятниковым нивелированием.
§ 54. ГИРОСКОП НАПРАВЛЕНИЯ
СО СЧЕТНО-РЕШАЮЩИМ УСТРОЙСТВОМ
Компенсация азимутального ухода гироскопа смещением его
центра тяжести вдоль главной оси (см. рис. 108) не во всех
случаях приводит к желаемым результатам. Как было показано
выше (§ 52), при перемещениях прибора вместе с объектом
относительно земной поверхности постоянный корректирующий
момент не может обеспечить стабильного положения гироскопа
в азимуте. Более того, смещение его центра тяжести относительно
точки подвеса порождает при ускоренном движении объекта
моменты сил инерции и, как следствие этого, прецессию гироскопа
в азимуте.
Для устранения влияния ускорения объекта на точность
работы гироскопа направления в приборах центр тяжести
гироскопа с максимально возможной точностью совмещают с точкой
его подвеса. При этом условии гироскоп, как известно (см. гл. IV),
будет непрерывно отклоняться от плоскостей горизонта и
меридиана. Для нивелирования главной оси такого гироскопа
используются устройства, описанные в § 50. При нарушении
перпендикулярности между осями О А и ОС электрический сигнал,
снимаемый с потенциометра Пв (рис. 123), подается на датчик
моментов ДМ0 который создает корректирующий момент
относительно оси ОС и тем самым восстанавливает нарушенную
перпендикулярность.
Для компенсации отклонения гироскопа от плоскости
меридиана на оси подвеса наружного карданова кольца жестко
крепится диск Д, на котором монтируется электрический
двигатель ЭД с независимым возбуждением. Угловая скорость
вращения вала такого электродвигателя, как известно, * пропор-
1 См.: С. П. К о л о со в. Элементы авиационных автоматических устройств.
Оборонгиз, 1958.
269

ЦйонаЛьна Ёелйчине ёхоДного напряжения и может регулиро*
ваться в довольно широких пределах. Напряжение, подаваемое
на электродвигатель ЗД, регулируется таким образом, чтобы его
выходной вал вращался вокруг оси ОС с угловой скоростью, равной
по величине, но обратной по направлению угловой скорости
азимутального ухода гироскопа.
При этом условии
курсовая черта картушки N,
установленной на
выходном валу
электродвигателя ЗД, будет оставаться
стабильной по отношению
к плоскости меридиана.
По положению индекса L
относительно курсовой
черты картушки N
определяют курс объекта.
Если не учитывать
действия сил трения в опорах
подвеса, то описываемый
гироскоп будет
отклоняться от плоскости меридиана,
поворачиваясь вокруг
вертикали Οζ с угловой
скоростью ψ = — (ос.
Величина угловой скорости сос
при движении объекта по
локсодромии будет
зависеть непосредственно от
угловой скорости ωζ,
определяемой из выражений
(183). Таким образом, при
β = 0 отклонение
гироскопа от плоскости
меридиана будет происходить
с угловой скоростью
Рис. 123. Гироскоп направления со счетно-
решающим устройством. ψ=— Ω3 sin T+-^-sinatg φ.
Чтобы курсовая черта картушки N оставалась неизменной
относительно плоскости меридиана, выходной вал
электродвигателя ЭД должен вращаться вокруг оси Οζ с угловой скоростью
V
ωΜ = —ψ = Ω3 sin φ
sin atgq).
Для этого необходимо, чтобы напряжение, подаваемое на
электродвигатель, регулировалось в зависимости от изменения φ,
270

Μ и α. Такое регуЛироЬанйе осуществляется в системе
описываемого гироскопа направления специальным счетно-решающим
устройством РУ, на вход которого подаются электрические
сигналы, пропорциональные перечисленным параметрам.
В тех случаях, когда скорость V объекта сравнительно
невелика, угловая скорость ωΝ вращения картушки N вокруг
оси ОС наружного кольца гироскопа может регулироваться
дискретно, через определенные промежутки времени. При
указанных условиях работы электрический двигатель ЭД в некоторых
конструкциях заменяют часовым механизмом. Число оборотов
выходного вала часового механизма регулируется таким образом,
чтобы угловая скорость ωΝ картушки N была равна средней
угловой скорости г|)ср ухода гироскопа при перемещениях объекта
в течение определенного промежутка времени.
При использовании описанного принципа компенсации
азимутального ухода гироскопа необходимо иметь в виду, что в этом
случае угловая скорость азимутального ухода вследствие
наличия сил трения в опорах подвеса не остается постоянной даже
при неподвижном положении точки подвеса. В самом деле,
угловые скорости отклонения гироскопа от плоскостей горизонта и
меридиана при неподвижной относительно земной поверхности
точке подвесе будут, как известно, определяться по
выражениям (172). При нивелировании оси гироскопа ее положение
может отклоняться от плоскости горизонта лишь на незначительные
углы. Учитывая, что θ0 = 0, перепишем выражения (172) в виде
θ = Q3cos φ sin ψ0;
ψ = —Ω3 sin φ.
Однако силы трения в опорах подвеса будут искажать
приведенные зависимости, и угловые скорости рассматриваемого
отклонения гироскопа в этом случае определятся, согласно (232),
выражениями
ό = Ω3 cos φ sin ψ0 -\ j^- sign ψ;
ур=.— Q3sincp — Mj°£B sign θ.
Из анализа (341) следует, что с первого же мгновения работы
гироскопа, моменты сил трения в опорах подвеса которого
удовлетворяют требованию (212), угловые скорости его отклонения от
плоскостей горизонта и меридиана будут
*>0; Ψ<0.
Гироскоп будет двигаться в указанном направлении до тех
пор, пока его главная ось не составит с плоскостью горизонта
271

некоторый малый по величине угол $3, при котором
нивелирующее устройство создаст корректирующий момент МкС. Если
гироскоп наклонится на угол Ф3 за время t = tlt то можно
утверждать, что в первом интервале от t = t0 до t = tx (рис. 124),
когда угол Φ изменяется от 0 до Ф3, гироскоп будет двигаться с
угловыми скоростями
Ьх = Q3cosq) sint|)0 ■' отС
JQ
ij)j = —Ω3 sin φ
JQ
(342)
Как только главная ось гироскопа повернется на угол θ3,
равный половине угловой величины зазора между ламелями ах
m ^ тг<- 1ч-
/! ^ч. iW /!
71
/
Ь
Ь
и
и
ι
U
ίβ
yCp(t)
L-<
fit)
L_J
L-.
Рис. 124. Графики изменения, θ и ψ гироскопа направления.
и а2 (см. рис. 119), маятник L замкнет одну из них и тем самым
включит ток в обмотку поворотного электромагнита ПЭ. В
результате на гироскоп относительно оси ОС подействует
корректирующий момент МкС, под влиянием которого главная ось
гироскопа начнет возвращаться к плоскости горизонта. Таким
образом, во втором интервале времени от / = tx до / = t2 (рис. 124)
гироскоп будет вращаться вокруг осей ОВ и ОС с угловыми
скоростями, отличными от (342) и равными
<>„ - Q3cosq) sin ψ0 - ^°^- - ^^
JQ
JQ
Ψιι = —Ω3 sin Φ +
Μ
ОТ Β
JQ
(343)
272

Под влиянием момента МкС гироскоп начнет двигаться к
плоскости горизонта с угловой скоростью θπ, одновременно
продолжая отклоняться от плоскости меридиана, но уже со
скоростью ψπ, отличной от ψϊ. Сравнив выражения (342) и (343),
нетрудно заметить, что по величине Ψη < ψι, так как
Λί,
Ω3 sin φ f^- < Ω3 sin φ
JQ
Μ
οτΰ
JQ
Подобное движение гироскопа будет существовать до того
момента, пока маятник L не выключит ток в обмотке поворотного
электромагнита ПЭ (см. рис. 119), что произойдет по истечении
времени t2 — tx (рис. 124). После этого цикл поворота гироскопа
вокруг оси ОВ повторится вновь. Однако интервал времени t3—
/2гв течение которого гироскоп вторично отклонится от плоскости
горизонта на угол Ф3, будет меньше времени tx — /0, так как с
увеличением угла ψ0 отклонения гироскопа от плоскости меридиана
угловая скорость Ьъ как это следует из выражений (342), будет
увеличиваться. Вместе с тем интервал времени /4 — /3
возвращения гироскопа к плоскости горизонта будет больше времени
/2 — tl9 так как с увеличением ψ0 угловая скорость θπ
уменьшится по модулю.
С каждым новым циклом колебаний время отклонения
гироскопа от плоскости горизонта на величину угла θ3 будет
уменьшаться:
а время возвращения к совмещению с плоскостью горизонта —
увеличиваться:
Таким образом, с каждым новым циклом колебаний среднее
значение угловой скорости фср будет уменьшаться до тех пор,
пока sin ψ0 не достигнет своего максимального значения при ψ0 =
= -ψ. С дальнейшим увеличением ψ0 угловая скорость
увеличивается и достигает максимума при ψ0 = я. Затем с увеличением
3
угла ψ0 от я до -ψ я угловая скорость начинает уменьшаться, пока
3
при ψ0 = —яее величина не получит минимального значения.
Дальнейшее увеличение угла ψ0 вызовет новое возрастание
угловой скорости ψορ·
На рис. 125 показана кривая изменения угловой скорости фср
отклонения от плоскости меридиана гироскопа направления,
схема которого приведена на рис. 123. При эксперименте был
использован гироскоп, у которого кинетический момент /Ω =
273

= 10 000 Гсмсек, средние значения моментов трения по осям его
подвеса М0тВ = 1,2 Гсм и МотС = 7,0 Гсм, а величина
корректирующего момента МкС = 8,0 Гс-w. Такое изменение угловой
скорости ψορ отклонения гироскопа направления необходимо
учитывать при определении точности его показаний в условиях
неподвижного положения точки подвеса гироскопа на земной
поверхности.
£ср,2рад/мш
Пример 25. Определить
период прецессионных
колебаний относительно плоскости го-
ф zpag ризонта и изменение величины
—— угловой скорости отклонения от
плоскости меридиана гироскопа
направления, уход которого в
азимуте корректируется
вращением его картушки специальным
двигателем. Параметры
гироскопа: JΩ=\0 000 Гсмсек, Λίοτ'β =
= 1,2 Гсм, Мотс= 7,0 Гсм,
МкС=15,0 Гсм, 2#з=0°, 5.
В начальный момент времени
гироскоп располагался на земной
поверхности под географической
широтой φ = 60°, его главная
ось составляла с плоскостью
меридиана угол ψ0 = 30°.
По выражениям (342) и (343)
с учетом величины угловой
скорости Ω3 (168) находим
ψΐ = -Ω35ίηφ- ΜούΒ
JQ
Рис. 125. Кривая изменения ψορ в
зависимости от ψ0.
= -0,73. Ю-4· sin 60°
1,2
1 0000
= —1,83.10-4 сек."1;
•фи = —Ω3 sin φ +
М
от β
JQ
: 0,57-ΙΟ"4 сек.
или
-ф! = —1,83-10"4·57,3·60 = —6,29 град./мин.;
ψπ = 0,57-10-4·57,3·60 = 0,2 град./мин.
Угловая скорость Oj при отклонении гироскопа от плоскости меридиана на
угол ψ0 = 30°, согласно (342),
bi = Ω3 cos φ sinψ0 4- M°rZC = 0,73.10"4 cos 60° sin 30° -f
7,0
10 000
= 7,18- Ю-4 сек."1,
274

fy= 7,18·10-4·57,3·60= 2,47 град./мин.
Следовательно, время tlt в течение которого гироскоп наклонится
относительно плоскости горизонта на угол θ3
^ =-- -^- = -££- = 0,101 мин. = 6,06 сек.
Величину угловой скорости оц возвращения гироскопа к плоскости
горизонта определяем по формулам (343), учитывая в них положительное значение
угловой скорости "фц:
<^а,со8ф81пЪ--^-^- =
= 0,73-10-. cos 60° sin 30· - j^ - ^ = -0,22- Ю- сек-,
или
Ьи= —0,22-10"2· 57,3-60= —7,5 град./мин.
Время /2 — h возвращения гироскопа к плоскости горизонта под действием
корректирующего момента Мкс будет равно:
/2 — /1 = Ji8-=—^±L = 0,033 мин. = 2,01 сек.,
Он ~7>5
а величина периода колебаний
Τ = (h — /0) -^ (*2 — *i) = 6,06 -f 2,01 = 8,07 сек.
§ 55. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ГИРОСКОПА НАПРАВЛЕНИЯ
ДЛЯ ОСУЩЕСТВЛЕНИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ОБЪЕКТА
ПО ОРТОДРОМИИ
При изучении законов отклонений от плоскостей горизонта
и меридиана гироскопа, установленного на объекте,
перемещающемся относительно земной поверхности по дуге большого круга —
ортодромии (§ 30), — было получено выражение (188),
характеризующее в этом случае угловую скорость изменения курса а.
В то же время отклонение от плоскости меридиана главной оси
гироскопа направления, перемещающегося вместе с объектом
в плоскости горизонта (§ 29), происходит с угловой скоростью ψ,
определяемой по выражению (184). Если в гироскопе
направления применяется нивелирующее устройство, то θ0 = 0 и угловая
скорость ψ =—ωε. Поэтому можем записать
ХГ (344)
ψ = —Ω3 sin φ -f ττ- sin α tg φ.
275

Сравнив выражения (188) и (344), нетрудно заметить, что
достаточно скомпенсировать первую составляющую угловой
скорости азимутального ухода гироскопа (344), чтобы его
отклонения от плоскости меридиана происходили с угловой скоростью
tiv = -£-sin<xtg(p,
равной и по величине и по направлению угловой скорости (188)
изменения курса при движении объекта по ортодромии.
Таким образом, если в
1Д, ^1 j L J j I гироскопе будут отсутство-
L-r-J вать внешние возмущения,
вызывающие недопустимо
большие угловые скорости
дрейфа, то такой
гироскопический прибор может быть
использован для управления
движением объекта по дуге
большого круга. Создавая
относительно внутренней оси
гироскопа корректирующий
момент МкВу необходимо,
чтобы порождаемая им
угловая скорость прецессии
удовлетворяла условию
*WJ
Рис. 126. Движение объекта по
ортодромии.
JQ
Ω3 sin φ = 0.
Соблюдение этого условия возможно лишь в том случае, если
корректирующий момент
MKB = JQQ3s\r\(p. (345)
Из четырех величин, входящих в правую часть равенства (345),
только sin φ может изменяться с течением времени.
В § 30 были установлены зависимости (197) и (200) изменения
широты φ и угла ρ отклонения объекта в плоскости большого
круга от экватора (рис. 126). Учитывая эти зависимости в
равенстве (345), будем иметь
МкВ = JQQ3 sin <pm sin (qo + J χ dt) ·
Так как при горизонтальном перемещении объекта его
расстояние R от центра Земли 03 меняется весьма медленно, то
последнее равенство с достаточной для практики степенью точности
может быть переписано в следующем виде:
Μ
кВ = /ΩΩ3 sin tpm sin (Co + JL J Vdtj .
(346)
276

Из величин, входящих в равенство (346), изменяется со
временем лишь значение-7г | Vdt = Δρ. Чтобы автоматически
регулировать корректирующий момент МкВ в зависимости от
изменения Δρ, на объекте устанавливают акселерометр, измеряющий
линейное ускорение V объекта (рис. 126). Подавая сигнал,
пропорциональный V, в первое интегрирующее устройство, на его
выходе получают сигнал, пропорциональный скорости V объекта.
Этот сигнал пропускают через второе интегрирующее устройство
и получают на выходе сигнал, пропорциональный пройденному
объектом пути S. Деля последний в счетно-решающем устройстве
ι
на величину-д-, получают в результате сигнал,
пропорциональный углу Δρ, который и используют для регулирования величины
корректирующего момента.
§ 56. ОШИБКИ ГИРОСКОПА НАПРАВЛЕНИЯ,
ОБУСЛОВЛИВАЕМЫЕ НИВЕЛИРУЮЩИМ УСТРОЙСТВОМ.
БИКАРДАНОВ ПОДВЕС ГИРОСКОПА
Нивелирующие устройства гироскопов направления при эво-
люциях объекта оказывают возмущающее воздействие на
гироскопическую систему, что вызывает ее отклонение от плоскости
меридиана. Выясним характер этих отклонений. Рассмотрим
в качестве объекта, перемещающегося в горизонтальной
плоскости ξΟη (рис. 127) курсом α к плоскости меридиана ξΟζ,
летательный аппарат.
Предположим, что в некоторый начальный момент
летательный аппарат начал совершать вираж вокруг вертикали Οζ с
угловой скоростью соц. Для компенсации влияния возникающих
при этом центробежных сил инерции корпусу летательного
аппарата должен быть придан крен γ тем больший, чем с большей
угловой скоростью соц и с меньшим радиусом совершается
разворот вокруг вертикали Οζ. Как только летательному аппарату
будет придан крен γ, наружная ось ОС подвеса гироскопа,
неизменно совмещенная с осью 0zc объекта, выйдет из
вертикального положения. Между осью ОС и вертикалью будет образован
угол, равный углу γ.
Крен летательного аппарата вызовет поворот не только оси ОС,
но и перпендикулярный ей оси OD. В результате между осью OD
и главной осью ОА гироскопа направления, сохраняющей свое
положение неизменно совмещенным с осью Οξ, возникнет угол
рассогласования θ0. Это обстоятельство и обусловит отклонение
гироскопа направления от плоскости меридиана ξΟζ.
Действительно, при вираже летательного аппарата вокруг
оси Οζ вследствие его крена будет возникать вынужденный
поворот гироскопа вокруг оси 0D с угловой скоростью
coD « шц cos (ζ, D}. (347)
277

Для определения косинуса угла между осями Οζ и OD
обратимся к сферическому треугольнику £gC. Зависимость между
его углами в соответствии с формулой (30) определится равенством
cosy = cos ~cos (-ΐ- + Ф0) + sin-у-sin (-|- + fl0)c°s(-y- + α) ,
из которого следует, что
cos μ
cosy
cos θη
(348)
Из сферического треугольника ζΌζ находим косинус
искомого угла:
/
I
гс/С
у' У \
Рис. 127. Виражные ошибки гироскопа направления.
cos (ζ, D) = cos μ cos ί-^ ЬЛ -f- sin μ sin f~ d0Jcos-^-,
или, учитывая (348), ι
cos (ζ, D) = cos μ sin θ0 = cos γ tg θ0. (349)
Подставив (349) в (347), определим величину угловой скорости
которая, как известно (см. § 26),. вызывает дрейф гироскопа
вокруг его наружной оси ОС с угловой скоростью, определяемой
по выражению (164),
?78

Учитывая, что угол между осями ОА и 0D характеризуется
непосредственно величиной θ0, вместо (164) получим
ψ = — cducosy tg2fl0. (350)
Кроме того, при крене летательного аппарата в гироскопе
направления с маятниковой коррекцией произойдет
рассогласование между осями Ох гироскопа и ОхМ маятника-измерителя;
включится датчик моментов, который создаст корректирующий
момент МкС> обусловливающий прецессию гироскопа вокруг
оси ОВ с некоторой угловой скоростью θ. В процессе этого
движения главная ось ОА гироскопа будет перемещаться в
плоскости %ОС и, следовательно, отклоняться от плоскости
меридиана ξΟζ (рис. 127).
Крен летательного аппарата вызовет поворот главной оси ОА
и у гироскопа направления с межрамочной коррекцией.
Действительно, как только будет нарушена перпендикулярность
между осями О А и ОС, на гироскоп начнет действовать момент МкС.
Под влиянием этого корректирующего момента ось ОА гироскопа
начнет поворачиваться вокруг оси ОВ, перемещаясь в
плоскости %ОС с угловой скоростью —θ. Следовательно, и при
межрамочной коррекции ось ОА гироскопа в результате действия
момента МкС будет отклоняться от плоскости меридиана ξΟζ.
Угловая скорость азимутального отклонения гироскопа
будет определяться проекцией вектора —θ на ось Οζ:
ψ = —θ cos (β, ζ). (351)
Величина cos (Β, ζ) может быть найдена из сферического
треугольника ζΒζ. Согласно формуле (30) имеем
/с.г>ч Jt Jt..Jt.Jt /Я|\
cos (ζ, Β) « cos -γ cos -γ + sin -γ- sin -γ cos ( -γ + μ J,
или, учитывая (348),
cos (ζ, Β) = -sin μ = - /l-(^-)2 · (352)
Подставив (352) в (351), найдем
*--*/·-(-£$-)'· <353>
Так как угол θ0 в процессе виража непрерывно изменяется,
то отклонение гироскопа от плоскости меридиана будет подчинено
весьма сложной зависимости. Анализ этой зависимости выполнен
в работах С. С. Тихменева [40]. Д. С. Пельпора [3] и др.
На угловую скорость ψ азимутального отклонения гироскопа
при вираже объекта дополнительно накладываются кардановы
279

ошибки (см. § 43). Чтобы избежать ошибок, обусловленных
геометрией карданова подвеса, в некоторых прецизионных
гироскопах направления применяют бикарданов подвес [27],
принцип устройства которого показан на рис. 128. В этом
случае гироскопическая система подвешивается в корпусе КП,
который с помощью дополнительного карданова кольца КК
подвешивается уже в кожухе или так называемом нактоузе
прибора Я. Центр тяжести корпуса КП гироскопа расположен ниже
Рис. 128. Бикарданов подвес гироскопа.
внутренней оси 0ВА дополнительного кардана. Благодаря
этому наружная ось ОС гироскопа даже и при виражах объекта
занимает положение, близкое к вертикали.
Таким образом, применение бикарданова подвеса устраняет
возможность появления отклонений гироскопа направления от
заданной азимутальной плоскости, которые вызываются как
геометрией одинарного кардана, так и нарушением
перпендикулярности между осями ОА и ОС гироскопа. Для демпфирования
собственных колебаний корпуса гироскопа в приборе применяются
воздушные успокоители У, расположенные по каждой оси
подвеса 02?д и 0СД дополнительного кардана.

Глава VIII
ГИРОМАГНИТНЫЙ КОМПАС
§ 57. ПРИНЦИП ДЕЙСТВИЯ ГИРОМАГНИТНОГО КОМПАСА
Для сохранения положения гироскопа направления
стабильным относительно плоскости меридиана корректирующий
момент МкВ должен (см. § 52) регулироваться таким образом, чтобы
при изменениях курса а, скорости V и высоты h объекта с
достаточной точностью соблюдалось условие (337). Между тем,
регулирование момента МкВ связано с преодолением значительных
принципиальных и конструктивных трудностей. Так, например,
скорость V объекта должна измеряться не относительно среды, в
которой объект перемещается, а относительно земных ориентиров;
кроме того, гироскоп направления не обладает направляющим
моментом, возвращающим его ось к первоначально заданному
направлению в азимуте. Он, как говорят, не обладает
избирательностью, что резко снижает точность измерения курса а. Если
по тем или иным причинам главная ось гироскопа направления
будет выведена из заданного относительно плоскости меридиана
направления, она не возвратится в прежнее положение. В
результате в измерение курса α будет вноситься ошибка, которая
скажется на работе счетно-решающего устройства, изменяющего
величину и направление действия корректирующего момента МкВ.
Условие (337) нарушится, и ошибка в показаниях гироскопа
направления будет непрерывно возрастать.
Эти причины заставляли искать новые методы азимутальной
коррекции гироскопа, обеспечивающие в течение
неограниченного времени стабильное положение его главной оси относительно
плоскости меридиана. Советские конструкторы Д. А. Браславский
М. М. Качкачьян и М. Г. Элькинд первыми в мире решили
указанную проблему весьма простым и оригинальным способом.
В 1935 году ими был создан принципиально новый
гироскопический навигационный прибор, получивший название
гиромагнитного компаса. В этом приборе, идея которого сразу же завоевала
мировое признание, для осуществления азимутальной коррекции
была использована стрелка магнитного компаса,
устанавливающаяся, как известно (§ 2), в плоскости магнитного меридиана.
Магнитную стрелку размещали в приборе таким образом,
чтобы ее ось вращения являлась геометрическим продолжением
авд

наружной оси ОС подвеса гироскопа (рис. 129). Стрелку
соединяли с "движком г потенциометра Яс, обмотка которого
размещалась на диске Д, укрепленном на наружном кольце НК
гироскопа. При этом нулевую точку обмотки потенциометра Пс
устанавливали строго в плоскости АОС гироскопа.
Таким образом, если в силу каких-либо причин между
главной осью ОА гироскопа и продольной осью ns магнитной стрелки
возникнет в
горизонтальной плоскости угол
рассогласования, с обмотки
потенциометра Пс будет
снят сигнал,
пропорциональный величине этого
угла. Подавая этот сигнал
на датчик моментов ДМВ,
создают корректирующий
момент требуемого
направления.
Под влиянием
корректирующего момента,
который действует на
гироскоп относительно
внутренней оси подвеса ОВ,
возникает прецессионное
движение вокруг наруж-
нойоси ОС. Приэтом
направление действия
корректирующего момента
выбирают так, чтобы в
результате создаваемого им
прецессионного движения,
главная ось ОА гироскопа
возвращалась к плоскости
пОхС. Так как продольная
ось ns магнитной стрелки
стремится сохранить свое положение в плоскости £mQi£
магнитного меридиана, то главная ось ОА гироскопа будет приводиться
к совмещению с плоскостью магнитного меридиана.
В тот момент, когда главная ось ОА гироскопа и продольная
ось ns магнитной стрелки совместятся в одной вертикальной
плоскости, движок г потенциометра Пс займет на обмотке последнего
нулевое положение, в связи с чем снимаемый с него сигнал станет
равным нулю. При этом условии напряжение на датчик
моментов ДМВ перестанет подаваться и воздействие корректирующего
момента на гироскоп прекратится. В результате прекратится
прецессионное движение гироскопа, и его главная ось ОА
остановится в плоскости магнитного меридиана.
Рис. J29. Принципиальная схема гиромаТнит
ного компаса.
282

В случае возникновения нового рассогласования между
главной осью ОА гироскопа и продольной осью ns магнитной стрелки
описанный процесс коррекции полностью повторится и гироскоп
снова будет приведен в плоскость магнитного меридиана. Как
видим, рассматриваемый гироскопический прибор уже обладает
избирательностью. Будучи выведен из плоскости магнитного
меридиана, он снова к ней возвращается. Следовательно, ошибка
в показаниях гиромагнитного компаса не может накапливаться
с течением времени, как в астатических гироскопах и гироскопах
направления, лишенных ^^
избирательности. 11
В системах коррекции f |
гироскопа относительно 2~§
плоскости магнитного
меридиана в качестве
измерительного органа может
быть использована не
только стрелка магнитного
компаса. Для измерения
отклонений гироскопа от
плоскости магнитного
меридиана нашли
применение г индукционные,
электронные и другие типы
компасов,
устанавливающихся по направлению
вектора напряженности рис j30. Датчик индукционного компаса,
поля земного магнетизма.
Так, например, магнитная стрелка может быть заменена
индукционным компасом, основной частью которого является
элемент, состоящий из трех пар стержней, выполненных из
пермаллоя — материала с высокой магнитной проницаемостью. Стержни
смонтированы (рис. 130) так, что составляют равносторонний
треугольник. Каждая пара стержней имеет по две обмотки, одна
из которых предназначена для намагничивания стержней,
вторая — для фиксирования их положения относительно плоскости
магнитного меридиана.
Первые обмотки, или обмотки возбуждения, соединены
последовательно и питаются переменным током частотой 400—500 гц.
Образующиеся при этом переменные магнитные потоки в каждой
паре стержней имеют взаимно противоположные направления и
поэтому не индуктируют электродвижущую силу во вторичных
обмотках, охватывающих оба стержня каждой пары. В то же
время вследствие переменности магнитных потоков, создавае-
1 См.: Н. И. Чистяков. Электрические авиационные приборы. Оборон-
гиз, 1950.
^ 283

мых в стержнях, их магнитная проницаемость периодически
изменяется. В результате горизонтальная составляющая магнитного
поля Земли создает в стержнях пульсирующие магнитные потоки,
порождающие электродвижущие силы во вторичных обмотках.
Величина и знак напряжения во вторичных обмотках будут
зависеть от расположения стержней по отношению к магнитному
меридиану. В обмотках
стержней, направленных
перпендикулярно
плоскости магнитного меридиана,
витки которых не
пересекаются магнитным полем
Земли, напряжение будет
отсутствовать. В обмотках
стержней, направленных
вдоль плоскости
магнитного меридиана, витки
которых пересекаются полем
земного магнетизма,
напряжение будет иметь
наибольшую величину. В
зависимости от поворота
стержней относительно
плоскости магнитного
меридиана будут изменяться
напряжения и во
вторичных обмотках,
вызывающие соответствующие токи
в проводах, соединенных
через усилитель с
обмотками датчика моментов.
. Таким образом, при
отклонении гироскопа, -а
Рис. 131. Индукционный гирокомпас. вместе с ним и
индукционного датчика от
плоскости магнитного меридиана в датчик моментов будет подаваться
электрический ток. Напряжение и знак подаваемого тока будут
обусловливать создание датчиком моментов такого
корректирующего момента, под воздействием которого гироскоп придет
в плоскость магнитного меридиана, аналогично тому, как это
было описано выше.
Для азимутальной коррекции гироскопа может быть
использован индукционный компас. В описываемой конструкции
(рис. 131) ротор коллекторной электрической машины,
соединенный с ротором воздушной турбинки ВТ, приводится во вращение
вокруг оси ОС встречным потоком воздуха, возникающим при
перемещениях объекта.
284

В связи с тем, что вращение ротора электромашины
происходит в поле земного магнетизма, в его обмотке наводится
электродвижущая сила. Как и во всяком генераторе постоянного тока,
напряжение тока между щетками коллектора будет зависеть от
их положения по отношению к направлению действия магнитных
силовых линий. Поэтому изменением положения диаметральной
плоскости щеток электрической машины относительно
направления магнитного поля Земли можно изменять напряжение и
полярность тока, вырабатываемого генератором.
Используя описанный принцип работы индукционного компаса,
можно осуществить азимутальную коррекцию гироскопа.
Устанавливая с этой целью щетки коллектора электромашины на
изолированной плате, жестко укрепленной на наружном кольце НК
гироскопа, получают схему автоматического устройства,
измеряющего угол и направление отклонения гироскопа от плоскости
магнитного меридиана. При совмещении главной оси гироскопа
с плоскостью магнитного меридиана, а щеток коллектора с
плоскостью, ей перпендикулярной, напряжение тока между щетками
будет равно нулю. При отклонении главной оси гироскопа от
плоскости магнитного меридиана и, следовательно, щеток от
плоскости, ей перпендикулярной, напряжение тока между
щетками коллектора начнет возрастать, причем полярность тока будет
зависеть от направления отклонения гироскопа. Снимаемое со
щеток коллектора напряжение подается на усилитель УС и затем
на датчик моментов ДМВ, в результате чего создается
корректирующий момент, вызывающий прецессионное движение гироскопа
к плоскости магнитного меридиана.
Для осуществления коррекции гироскопа в азимуте
предлагалось использовать в качестве измерительного органа
электроннолучевую трубку (рис. 132). Впервые эта идея гироэлектронного
компаса была высказана советскими учеными Л. А. Гончарским,
А. П. Молчановым, В. К. Зворыкиным и др. В таком устройстве
вертикально расположенная электронно-лучевая трубка имеет
анодную пластину, разделенную на четыре равных сектора.
Электронный пучок, интенсивность потока которого периодически
изменяется подачей переменного напряжения на расположенную
около катода сетку, направляется посредством системы
центрирующих электродов точно в центр анода. Это достигается
компенсацией (при помощи специальных установок) влияния
магнитного поля Земли. При таком положении пучка электронов
относительно секторов анода токи /х, /2 и /3, /4 в первичных
обмотках трансформаторов Тг и Т2 будут равны по величине
и обратны по направлению и, следовательно, напряжение во
вторичных обмотках трансформаторов будет отсутствовать.
Если после такого регулирования трубка будет установлена
на объекте, то пучок электронов в результате воздействия на него
поля земного магнетизма отклонится к западу. Направление от-
285

клонения пучка электронов относительно секторов анода будет
зависеть от угла, составляемого прорезью между секторами с
плоскостью магнитного меридиана. Так как относительно
вертикальной оси трубка не имеет свободы вращения на объекте, то угол
между прорезью секторов анода и плоскостью магнитного
меридиана будет равен курсу <хт, составляемому направлением
движения объекта с плоскостью магнитного меридиана.
Рис. 132. Гироэлектронный компас.
Вследствие отклонения пучка электронов от центра секторов
анода равенство токов в первичных обмотках трансформаторов
нарушается и переменные слагаемые разностных анодных токов
электронной трубки создают во вторичных обмотках
напряжения иг и t/2> зависящие от угла ат. Эта зависимость весьма
близка к синусоидальной, и поэтому напряжения на вторичных
обмотках трансформаторов можно полагать равными
Ux = U0 sin ат\ U2 = U0 cos <xm.
Напряжения ί/χ и ί/2 подводятся к двум синусным
потенциометрам Пг и Я2, щетки которых укреплены на наружном
кольце НК гироскопа. Если его главная ось ОА будет повернута
относительно продольной оси 0хс объекта на угол ψ*, то
снимаемые с потенциометров Пг и Я2 напряжения будут соответственно
286

равны
^m^-^-^i^osyp*; Un2 = -γ U2 sin ψ*.
Разность напряжений ί/π1 — t/n2 поступает через усилитель УС
на датчик моментов ДМВ корректирующего устройства, в
результате чего на гироскоп относительно его внутренней оси ОВ
начинает действовать корректирующий момент, обусловливающий
прецессионное движение гироскопа вокруг оси ОС. Прецессия
будет происходить до тех пор, пока разность напряжений не
станет равной нулю:
t/щ ~ Vn2 = 0. (354)
Подставив в (354) значения t/nl и 1/п2, получим
-γ U0 (sin am cos ψ* — cos am sin ψ*) = 0,
откуда следует, что корректирующий момент не будет
действовать лишь тогда, когда
tg ат = tg ψ*
или
Полученное равенство показывает, что при использовании
электронного компаса для азимутальной коррекции гироскопа
главная ось ОА последнего будет также устанавливаться в
плоскости магнитного'меридиана.
§ 58. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ГИРОМАГНИТНОГО КОМПАСА
Для выяснения законов изменения во времени углов θ и ψ
отклонения гиромагнитного компаса от плоскостей горизонта и
магнитного меридиана обратимся вновь к системе уравнений (162)
и определим значения действующих на гироскоп моментов Мв
и Мс внешних сил. Положение гироскопической системы
относительно земных ориентиров корректируется в гиромагнитном
компасе (см. рис. 129) одновременно по обеим осям. Следовательно,
относительно осей ОВ и ОС подвеса гироскопа будут действовать
моменты МкВ и МкС. Кроме того, относительно этих же осей
на гироскоп будут действовать моменты ΜτΒ и N1^ сил трения
в опорах подвеса.
Подставим указанные моменты в уравнения (162) и учтем,
что при наличии в гиромагнитном компасе нивелирующего уст-
287

ройства угол д0 будет оставаться близким~нулю. Пренебрегая при
этом малой величиной ω^θ, получим
</βθ + № (ψ -μ (ос)
Jcty — /Ω (ft + ω Β)
Μ,
■Λί,
(355)
Значения корректирующих моментов УИкБ и МкС зависят
от углов ψ и θ поворота гироскопа вокруг соответствующих осей
подвеса. Если эта зависи-
4IAi мость пропорциональна, то
момент МкС, действующий на
гироскоп относительно его
наружной оси ОС (см. рис.
129), при межрамочной схеме
коррекции пропорционален
углу θ поворота гироскопа
вокруг оси О В:
Мк
Кс®.
Для определения
корректирующего момента МкВ>
действующего на гироскоп
относительно его внутренней
оси подвеса, воспользуемся
схемой рис. 129. Обозначим,
как и ранее (§2), через ε угол
отклонения магнитной
стрелки от плоскости |т0х?
магнитного меридиана NmSml ко-
Рис. 133. К определению корректирую
щего момента МкВ.
торый составляет с
плоскостью географического
меридиана NS (рис. 133) некоторый угол б, называемый углом
магнитного склонения. При отклонении гироскопа от плоскости
географического меридиана NS на угол ψ между главной осью ОА
гироскопа и продольной осью ns магнитной стрелки возникнет
угол рассогласования, равный ψ — (ε + δ). Следовательно,
корректирующий момент, действующий относительно
внутренней оси подвеса гироскопа,
МкВ = —Кв (Ψ — β — δ).
Действующие на гироскоп моменты сил сухого трения при
колебаниях объекта с круговой частотой q могут быть
представлены в виде тригонометрического ряда (252). Оставляя лишь
288

первый член указанного ряда, подставим найденные значения
моментов в уравнения (355):
/в0 + /Ω (ψ + шс) = - KB(yp-e-6)+^^sin qt;
Jcy — JQ (Ь + ωΒ) = Кс® — ^ν^ sin qt.
(356)
Угол ε не остается постоянным. В процессе движения объекта
на магнитную стрелку будут действовать моменты возмущающих
сил, вызывая тем самым (см. § 2) непрерывные изменения угла ε.
Характер этих изменений определяется из уравнения (4)
движения магнитной стрелки. Если учесть действие моментов сил
сопротивления окружающей среды, это уравнение примет вид
Л,е + μΗβ + /Снв = ΛίΗ> (357)
где Ju — момент инерции магнитной стрелки относительно оси
ее подвеса;
μΗ — коэффициент момента сил сопротивления окружающей
среды;
/Си — коэффициент восстанавливающего момента, зависящий
от магнитных масс стрелки, их удаления от оси ее
подвеса и напряженности магнитного поля Земли;
Ми — момент внешних сил, действующий на магнитную
стрелку относительно оси ее подвеса.
Подставив (357) в (356), получим систему уравнений,
описывающих движение гиромагнитного компаса с пропорциональной
коррекцией при межрамочной схеме нивелирования его главной
оси:
JB^ + JQ(i + ω€) = -Кв(ур- е-6) + ^^ sinqt;
Jcq> - /Ω (θ + ωΒ) = Kc® - ^^ sin qt;
/„ε + μ„ε +/ΓΗε - ΛίΗ.
(358)
Коррекция гиромагнитного компаса может быть выполнена
и по релейной схеме (рис. 134). В этом случае движок г,
укрепленный на оси вращения магнитной стрелки, будет перемещаться
по изолированным друг от друга ламелям Ьг и b2f укрепленным
на наружном кардановом кольце НК гироскопа. При отклонении
главной оси ОА гироскопа от вертикальной плоскости,
совпадающей с продольной осью ns магнитной стрелки, движок г замкнет
одну из двух ламелей: Ьг или Ь2. В результате через одну из
обмоток электромагнита ЭМ, неподвижно укрепленного на
наружном кольце НК гироскопа, пойдет электрический ток. При вклю-
289

чении обмотки электромагнита возникающий магнитный поток,
действуя на якорь ,Я, укрепленный на оси ОВ подвеса
внутреннего кольца ВКу создаст корректирующий момент, стремящийся
повернуть гироскоп вокруг его оси ОВ. Под действием этого
момента возникнет прецессионное движение гироскопа вокруг
оси ОС, которое будет происходить до тех пор, пока главная
ось ОА гироскопа не
совместится вновь в одной
вертикальной плоскости с
продольной осью ns магнитной
стрелки.
В это мгновение движок г
разомкнет контакт с ламелью,
выключится питание
катушки электромагнита ЭМ, и
действие на гироскоп
корректирующего момента
прекратится. Аналогично работает
релейное устройство
нивелирования главной оси
гироскопа в плоскости горизонта
(рис. 134). Учитывая, что при
релейной коррекции
моменты МкВ и Мкс меняют лишь
направление своего действия
в зависимости от знака углов
θ и ψ поворота гироскопа,
уравнениядвижения
гиромагнитного компаса примут вид
Рис. 134. Гиромагнитный компас с
релейной характеристикой коррекции.
JB$ + У Ω (ψ + cdc) = — Мок в sign (ψ — ε — δ) +■
4Λί0τβ
+ '
sin qt\
Ус* — J Ω (Ь + ωв) = Мок с sign (θ) —
4ЛГ
от С
sin qt\
(359)
Из уравнений (358) и (359) следует, что движение магнитной
стрелки непосредственно влияет на перемещения гироскопа.
Нетрудно заметить, что третье уравнение в обеих системах может
быть исследовано самостоятельно. Поэтому обратимся сначала
к уравнению (357) и исследуем законы изменения угла ε.
Предположим, что под действием некоторого возмущающего
момента магнитная стрелка была выведена из плоскости
магнитного меридиана на некоторый угол ε0 и затем предоставлена самой
290

себе. Если при этом условии в уравнении (357) пренебречь силами
трения в опорах подвеса, то его можно переписать в следующем
виде:
в + as + Ьг = О, (360)
где
и — j , и — τ
Составим для дифференциального уравнения (360)
характеристическое уравнение
р2 + ар + Ъ = 0
и определим его корни
Современные магнитные компасы, предназначаемые для
работы на подвижных объектах, выполняют таким образом, чтобы
коэффициент μ был меньше ]/б [43, стр. 206]. При этом условии
можно утверждать, что величина b будет больше (-γ) , в связи
с чем корни характеристического уравнения примут вид
Тогда решение уравнения (360), согласно изложенному в § 13
(см. рис. 33), определится из выражения
а *
ε = е (С1 cos n J + C2 sin n J), (361)
где
"H = lA-(-f)2 (362)
характеризует круговую частоту собственных колебаний
магнитной стрелки.
Выразим постоянные интегрирования Сг и С2 через новые
постоянные £ и λ, связав их зависимостями
Сг = Ε cos λ; С2 = Ε sin λ.
В связи с этим (361) примет вид
ε.= £έ? 2 cos(nJ — λ). (363)
291

Постоянные £ и λ определяются начальными условиями
ε (0) = ε0; ε ( 0) = 0.
При этих условиях из (363) следует
ε (0) = Ε cos λ - ε0. (364)
Продифференцировав (363) по времени, будем иметь
— — t —— t
ε= ψ Ее 2 cos(azh/—λ)—Епие 2 sin nj cos λ +
--£ t
-f EnHe 2 cos η J sin λ,
откуда находим, что при t = 0 в соответствии со вторым
начальным условием
ε (0) = — -|- Ε cos λ + Епи sin λ = 0.
Подставив в последнее равенство значение Ε cos λ из (364),
будем иметь
£δίηλ=2|Γε<>· <365>
Возведем в квадрат равенства (364) и (365). Суммируя
полученные результаты, находим
= εοΐ/1+^Τ· (366)
4/г2 #
'и
Разделив (365) на (364) и учтя зависимость (362), найдем
а а
откуда
x = arctgFlfap· (367)
Из анализа выражения (367) следует, что величина угла λ
весьма мала, так как коэффициент а, характеризующий силы
сопротивления окружающей среды, является, как уже говорилось
выше, величиной малой. Поэтому с достаточной для практики
степенью точности можно положить
λ ^ 0; Ε % ε0,
в связи с чем выражение (363) примет вид
-— t
ε = ε0£ 2 cosnj. (368)
292

Учитывая найденное решение (368) третьего уравнения
системы (358), получим систему двух дифференциальных уравнений
7βθ + Л2 (ψ + (ос) - — KBV + KbW 2 cos nJ +
+ KB6 + ^S sin qt;
Jcy — У Ω (6 + <oB) = Kc® — ^^ sin qU
(369)
описывающих движение гиромагнитного компаса при
затухающих колебаниях стрелки магнитного компаса.
Если колебания магнитной стрелки будут непрерывно
возбуждаться, например гармонически изменяющейся внешней
силой, создающей момент Ми — Мои cos qHt, то третье уравнение
систем (358) и (359) примет вид
Λ,ε + μ„ε + Κ„ε = Мои cos qj.
(370)
Решение соответствующего однородного уравнения (360)
определяется по выражению (361). Частное решение (370) по
аналогии с изложенным в § 2 будем искать в виде (9). Подставив (9)
в уравнение (370), будем иметь
— JHqlN cos qj — JuqlL sin qj — μ^ΗΝ sin qj +
+ ^q^Lzo^qJ + KHN cos qj + KHLs\nqJ = MQHcosqJ.
Приравняв в полученной зависимости коэффициенты при
одинаковых тригонометрических членах в ее правой и левой частях,
найдем
К-^иУиКи
ЛГ =
! = ■
μ<7ΗΜ0
Следовательно, в рассматриваемом случае выражение (9)
принимает вид
гг — D cos (qut— φ),
где
1
(371)
D =- У Ν* + L2 =
ма
(372)
Таким образом, общее решение уравнения (370), учитывая
решение (361) соответствующего однородного уравнения (360),
293

будет определяться выражением
ε = е
+
2 (Сг cos nHt + С2 sin яи^) +
Мои
!Λ*.-ν.)2 + μΜ
cos(qHt— φ).
(373)
Первое слагаемое выражения (373) характеризует собственные
колебания магнитной стрелки, которые, как видим, затухают и,
следовательно, по прошествии некоторого времени исчезают.
Вынужденные колебания, характеризуемые вторым слагаемым
выражения (373), остаются. Поэтому влияние магнитной стрелки
на гироскоп при ее вынужденных колебаниях будет определяться
в основном вторым слагаемым выражения (373). Учитывая
указанное обстоятельство и пренебрегая в (373) величиной угла φ
сдвига фаз между вынужденными колебаниями магнитной стрелки
и гироскопа, систему уравнений (358) можно переписать в виде
двух уравнений
7βθ + /Ω (ψ + ос) = - КвЦ +
КвМ" .CosqJ+ KB6 + ^ sin qt;
+
Усг|> — JQ (θ + ωΒ) = Kc$— ^^ sin qt,
(374)
описывающих движение гиромагнитного компаса с
пропорциональной коррекцией при вынужденных колебаниях магнитной
стрелки.
§ 59, ДВИЖЕНИЕ ГИРОМАГНИТНОГО КОМПАСА
С ПРОПОРЦИОНАЛЬНОЙ КОРРЕКЦИЕЙ ПРИ ЗАТУХАЮЩИХ
КОЛЕБАНИЯХ МАГНИТНОЙ СТРЕЛКИ
Для исследования влияния затухающих колебаний
магнитной стрелки на характер движения гиромагнитного компаса
обратимся к системе уравнений (369). Опуская в ней члены,
влияющие лишь на параметры нутационных колебаний гироскопа и
пренебрегая влиянием сил трения в опорах его подвеса, будем
иметь
* + -ж*:
, Кв
-Пс + Ж^
* + ■&*=-
2'С05"и'+4г
ωβ.
(375)
Решение второго уравнения системы (375) было найдено выше,
в виде выражения (287), которое для рассматриваемого случая*
294

будет равно
кс
а _ г {TJ^t JQ(*B
2 Кс '
или, учитывая значение угловой скорости ωβ, определяемое из
выражений (330),
__Кс
θ = С2е JQ γ- Г— Ω3 cos φ sin Ψο + "#~ cos (α — Ψο) · (376)
Решение (376) повторяет сделанные выше (§ 52) выводы о том,
что из любого положения главная ось гироскопа, снабженного
нивелирующим устройством, движется к плоскости горизонта.
Угол рассогласования между ними, определяемый вторым
слагаемым выражения (376),
лг = -д£- [Ω3cos Φ sin Ψο — "#" cos (α — Ψο)] (377)
может быть сведен до требуемого минимума на всем диапазоне
возможных изменений а, V, R и ψ0.
Это достигается соответствующим подбором значений
кинетического момента /Ω гироскопа и коэффициента Кс его
корректирующего момента.
Для выяснения характера изменений угла ψ обратимся к
первому уравнению (375). Учтем, что колебания стрелки около
плоскости магнитного меридиана вызывают колебания гироскопа
в азимуте (см. § 17), причем колебания стрелки и гироскопа
будут происходить в этом случае с одной и той же круговой
частотой пи. На этом основании частное решение первого уравнения
(375) будем искать в виде
-А,
ψΓ - е 2 (Q cos nJ + R sin nj) + W. (378)
Продифференцировав (378), подставим значения ψΓ и ψΓ
в первое уравнение (375). В результате получим
*"*' {—YQ + n»R + Ж <Э)со5/гиг + е~^ ' (--f Я-
- n«Q+-mR)sin"»' +-jiw = - °>c +
295

Приравняв коэффициенты в обеих частях полученного
тождества, будем иметь
а R-nHQ + 4£rR = 0;
2
JQ
JQ
(379)
Совместное решение первых двух уравнений системы (379)
позволяет определить коэффициенты
2 (2Kb — «Ώα) Кв^о .
Q =
я-
(2/Ся~ /Ωα)8 + 4J2Q2«2 '
4JQnaKB^o
(2KB — JQaf + 4J2Q2nl
2 >
а ее третье уравнение — найти значение
W = —
/Ωω^
Таким образом, частное решение (378) первого уравнения (375)
после подстановки найденных значений Q, R и W принимает вид
Ψγ-
4/(23-2/Ωα^β
J2Q2 (4n2 + α2) - 4JQaKB + 4/C
Υ г0е 2 cos nj +
+
4JQnHKB
J2Q2 (4/г2 + α2) — 4JQaKB + 4/(|
8fte 2 Sin /iHf
/Ωω£
2 °o'
Kb
+ δ.
Учитывая, что, в соответствии с принятыми обозначениями
(360), величина а весьма мала; пренебрежем в полученном
выражении значением а2 по сравнению с 4п2и. При таком допущении
будем иметь
Ψγ
- е0е 2 cos nHt +
+
К % — 0,5/ΩαΑ:β
/2Ω2η2 — JQKBa + Kb
e0e 2 sin η J j^f- -f o.
JQnHKB
J2Q2nl - JQKBa + K% ~°~ *"" """ **
Решение соответствующего однородного уравнения
n^t = °
296

по аналогии с решением (376) может быть записано в виде
Следовательно, общий интеграл первого уравнения (375)
будет иметь вид
^i K%-0,5JQaKR -±t
J2Q2n2H ~ JQKBa + Κ%
+ ■"*»«.** - τ ' sin „ t _ j^coc ό (380)
J2Q2n2H - JQKBa + Κ% ° Kb ^ κ ;
Постоянная интегрирования Сх в выражении (380)
определяется начальными условиями. Полагая, что ψ (0) = ψ0,
непосредственно из (380) имеем
К2в-0,5таКв JQu>c
4 + JWH - JQaKB + К% ° Кв +°- ^'
откуда находим
С - * - *|-0.5.Ю**а Л2сос
4 - Ψο ' ./WH - JQaKB + K% ° + **
Подставив найденное значение постоянной интегрирования Сх
в выражение (380), получим искомый закон изменения во времени
угла ψ отклонения главной оси гиромагнитного компаса от
плоскости меридиана:
Ψ \*° /2Ω2η2 - /Ω/(βα + *| 8° + Kb °)6 4
Я! — 0,5/ΩαΛ:β - -£- t
Η 9 9 ο ~ Ο- %e 2 COS/Z„i +
/2Ω2η| - JQKBa + Κ%
+ 2 2 2 /ΩΓΗ/(Β Γε0Γ^ί5ίη^-^ + δ. (381)
./2Ω2η2 - /ΩΑ:βα + Κ% Kb ^ κ '
Из анализа выражения (381) следует, что при отклонении
гиромагнитного компаса от плоскости меридиана на тот или иной
угол ψ0 гироскопу сразу же сообщается прецессионное движение.
В результате этой прецессии его главная ось будет двигаться к
совмещению с осью магнитной стрелки. На указанное движение,
характеризуемое первым членом выражения (381), будут
накладываться затухающие колебания гироскопа, описываемые вторым
и третьим членами рассматриваемого выражения. По прошествии
некоторого времени колебания гироскопа затухнут и он
установится в положении равновесия, определяемом последними двумя
членами выражения (381):
* —т^ + »·
297

Естественно, что угол ψΓ отклонения главной оси
гиромагнитного компаса от плоскости меридиана будет изменяться. Его
величина будет зависеть от угла δ магнитного склонения в данном
пункте земной поверхности и от угловой скорости сос вращения
основания прибора вокруг наружной оси подвеса гироскопа.
Подставив в последнее равенство значение сос из (330), получим
выражение
*' = ~Тв~(®3 Sin 4~Ύ Sin atg(p) + δ' (382)
характеризующее изменение угла ψΓ в зависимости от изменения
параметров движения объекта, географической широты φ его
местоположения и величины магнитного склонения δ.
Из формулы (382) следует, что с увеличением угла φ при
движениях объекта под курсами, отличными от 0 и 180°, угол ψΓ
отклонения главной оси гиромагнитного компаса от
географического меридиана может достигать большого значения. Поэтому
при определении возможных ошибок в показаниях
гиромагнитного компаса необходимо учитывать весь диапазон изменения
величин, входящих в выражение (382).
Пример 26. Определить необходимые значения коэффициентов Кв и Кс
корректирующих моментов гиромагнитного компаса, предназначенного для
работы на самолете, совершающем полеты на высоте h = 10 000 ж над уровнем моря
со скоростью V — 1000 км/час. Самолет совершает рейсы от центрального
аэродрома, расположенного на земной поверхности под широтой φ = 40°, в любых
азимутальных направлениях. Продолжительность беспосадочного перелета
достигает 3 час. Кинетический момент J Ω гироскопа, используемого в приборе,
равен 6500 Гсмсек, а углы fly и г|)г отклонения его главной оси от плоскостей
горизонта и меридиана не должны превышать 3 и 2° соответственно. Диапазон
изменения угла δ магнитного склонения на территории, обслуживаемой полетами
самолета, находится в пределах ±1,°5.
Значения коэффициентов К в и Кс вычисляем по формулам (382) и (377):
Кв = - -ψτ+Τ \ 3 sin φ ~ Ύsin α δ φ);
Кс = -ψ- Ω3 cos φ sin ψ0 £- cos (α — ψ0) Ι .
Как видим, максимально необходимое значение коэффициента Кв
обусловливается полетом курсом a = 270° при отрицательном значении угла δ:
К В max = φΓ_β ( Ω3 sin Фтах + "д" tg Фтах J >
где Фтах — максимальное значение географической широты, достигаемой
самолетом во время полета.
Учитывая малость угла ψ0, можно утверждать, что максимально
необходимое значение Кс будет обусловливаться полетом курсом a = 180°. Следовательно,
максимальное значение коэффициента Kq будет определяться по формуле
298

AC max = ~§— (^Ω3 COS (pmin + — j ,
где фт,п — минимальная величина угла географической широты места в районе
возможных полетов.
Считая, что средний радиус земного шара R3 = 6371 км, вычислим величину
угловой скорости:
V 1000 = 0 157 час _г = 4 34. ю-5 ceK#-i
R 6371 + Ю
или соответственно
-£- - 0,157-57,3 = 9,0 град/час.
А
Полагая скорость V и высоту h полета постоянными и равными своим
максимальным значениям, из (180) находим диапазон изменения угла географической
широты места:
у_
R
Фтах = Фо + 4" ' = 40 + 9'3 = 67°ί
Фтт = Фо ~ \t =. 40 - 9.3 = 13°.
Выразим в радианах величины углов:
*' = 3°=5^ = 5,2-10-2 рад/§
ψΓ- δ - 2°- 1°,5 = -^ = 8,72-10-3 рад.
Подставив значения величин, входящих в выражения для коэффициентов
max и %С max» и учитывая (168), будем иметь
К в max = 8 79?H)-a (7'29,Ю-5·0.9205 + 4.34· Ю"6· 2,3559) = 126,3 Гсм/рад;
Кс max = 5 2^10"» (7'29' 10~5·0'9744 + 4'34'10"5) = 14'2 Гсм'Рад-
§ 60. ДВИЖЕНИЕ ГИРОМАГНИТНОГО КОМПАСА, СНАБЖЕННОГО
КОРРЕКТИРУЮЩИМ УСТРОЙСТВОМ С ПРОПОРЦИОНАЛЬНОЙ
ХАРАКТЕРИСТИКОЙ, ПРИ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЯХ
МАГНИТНОЙ СТРЕЛКИ
Как было показано выше, движение гиромагнитного компаса
при вынужденных колебаниях магнитной стрелки описывается
системой уравнений (374). Опустив в ней члены, характеризующие
299

нутационные колебания гироскопа, будем иметь
Ψ + Ж*
®С + 7§ emCOS(7„/ + J§ δ +
4МотВ
+ ^ = -ωΒ
π,/Ω
, 4Л*отс
где
ε», —
sin (7/;
π7Ω Sin^·
ΑίοΗ
(383)
(384)
(385)
Решение уравнений (383) будем искать в виде
<ψΓ = N cos qHt + L sin qj + R cos g/ -f Q sin qt + W;
ftr = fl* cos?* + Q* sin qt + W*.
Продифференцировав равенства (385) и подставив затем
значения ψΓ, ψΓ, θΓ и Ьг в уравнения (383), будем иметь
— qHN sin <7И£ + qHL cos ^Ηί — gi? sin qt -f #Q cos g/ +
+ "Ж ^ cos ^ + L sin ^ + ^ cos ^ + Q sin qt + W) =
/(в
Яд
Wc + 7#8"*C0S^+77T6
./Ω
./Ω
4Αί0Τ£
π/Ω
sin <^;
*c
— qR* sin qt + qQ* cos qt +-j^- (R* cos <ji + Q* sin <jf + U?*) =
Приравняв в полученных уравнениях коэффициенты правых
и левых частей, можем записать
JQ
-gR + ^-Q
4Μ0τβ
JQ
QQ
Kb
Я = 0;
Kb
JQ
W =
JQ ^ nJQ ' ^4 ' /Ω
ω£ + -7ο"°» ~~ ^ +"7о-У - «ίο >
7Ω
/Ω
π/Ω
Кс
# + ^^-0; Г* =
/Ωω
β
Кс
300

откуда находим
о
м - Кв г · / - -ГйКвди .
π (/W + К%У π (/2qV + /β) '
117 — ^Ωω0 , я. /ί* _ 4/(cMq tC .
** "h ' * ~π(/2Ω2<72 + 4)'
η* _ JJQqM0 тс . η7*=_^Ωωβ
* " π(/2Ω2«72 + 4)' "RT"
Подставив вычисленные значения коэффициентов в выражения
(385), получим
Ь = iff™ 2 cos qj + ίΖΚ?*η2 sin 1»* ~
"<ffi ТВ f + g, TB sin , _
_ Л2сос . δ.
*в
ЛТ°ТС2. COS^+ ,*^*^ Si"^
/Ωωβ
или, обозначая
π(/2Ω2<72 + Κ|) τ π(/2ΩΥ + *|)
π ( У2Ω2?2 + ^ ) π (J2Q2g2 + *£)
получим
JQ(Dn
ypr = D cos (<jrHi — λ) — £cos (qt + φ) ^ + δ;
Kb
/Ωω„
= — Τ7 cos {qt — v) j^
(386)
301

Величины
β _ КвЪт . π 4Л*0 τΒ
yj2Q\2+K2By *yjW+K%
Ш
otC
ηγ~βΩ2ς2+Κ
(387)
характеризуют амплитуды вынужденных колебаний гироскопа,
используемого в системе гиромагнитного компаса.
Как видим, амплитуды вынужденных колебаний гироскопа
значительно меньше амплитуды колебаний магнитной стрелки.
Гироскоп как бы осредняет
^ _ показания магнитной
стрелах s-SmCosqHt / ки> сильно колеблющейся в
V ^ / условиях работы на подвиж-
\ f=Dcos(qHt-A) / ном объекте. Указанное об-
~~~ "у^-^ ^ / ^^ стоятельство имеет весьма
\ ^^~~/—"^простое физическое объясне-
\ / ние. При отклонении магнит-
\ / ной стрелки от плоскости маг-
%х—' нитного меридиана на
гироскоп, как об этом уже гово-
d 'юс г д. - рилось выше, начинает дей-
Рис. 135. Графики вынужденных коле- г «
баний гироскопа и магнитной стрелки. СТВОвать корректирующий
момент. Однако вызываемое
им прецессионное движение, вследствие большой инертности
гироскопа, происходит с весьма малой угловой скоростью. В
результате за время одного полупериода колебаний магнитной
стрелки гироскоп лишь незначительно отклонится от плоскости
магнитного меридиана (рис. 135).
Из выражений (386) и (381) следует, что отклонение главной
оси гиромагнитного компаса от плоскости меридиана тем больше,
чем больше угол магнитного склонения δ. Железные массы и
токонесущие проводники, расположенные вблизи стрелки
магнитного компаса (см. § 2), оказывают непосредственное влияние
на величину угла δ. Поэтому магнитную стрелку на современных
подвижных объектах стремятся по возможности изолировать от
воздействия магнитных возмущений. С этой целью ее
устанавливают в местах, максимально удаленных от двигателей, приборов
управления, вращающихся железных масс, электрических
проводов и т. п. Для управления корректирующим моментом в этом
случае используются различные системы дистанционной передачи.*
1 См.: Н. И. Чистяков. Электрические авиационные приборы. Оборон-
гиз, 1950, и работы [3, 26, 43].
302

Введение в схему прибора дистанционной передачи в
принципе не изменяет систем уравнений (358) и (359). Поэтому выводы,
полученные в результате анализа этих систем, сохраняют свое
значение и при изучении характера движения дистанционного
гиромагнитного компаса. Правда, при более подробном
исследовании в уравнениях движения системы необходимо учитывать
еще и ошибки, присущие самой дистанционной передаче.
Пример 27. Определить максимально возможные углы отклонения
главной оси гиромагнитного компаса от плоскости меридиана, если на магнитную
стрелку действует момент внешних возмущающих сил, изменяющийся по
гармоническому закону с амплитудой Мои = 0,09 Гсм и круговой частотой qa =
= 7,2 сек."1. Параметры магнитной стрелки: Уи = 0,01 Гсмсек2; Кн —
= 0,05 Гсм!раду μΗ = 0,006 Гсмсек. Параметры гироскопической системы: /Ω =
= 6000 Гсмсек, Кв— 500 Гсм/рад, Λί0Τβ= 0,2 Гсм. Объект, на котором
установлен гиромагнитный компас, в процессе своего движения совершает
гармонические колебания с круговой частотой q— 7,2 сек."1. При этом основание прибора
вращается вокруг наружной оси подвеса гироскопа с угловой скоростью ω^ =
= 10,4· 10~5 сек."1. Угол магнитного склонения в районе движения объекта
6—4 угл. мин.
Амплитуду гт вынужденных колебаний магнитной стрелки определим по
выражению (384):
β Мои
0,09
= 0.191 рад.
К*(0,05 — 0,01 · 7,22)2 + 0.0062 · 7,22
или соответственно
ет= 0,191-57,3- 10°94.
Учитывая найденное значение гт и значения входящих в выражения (387)
величин, находим амплитуды D и Ε колебаний гироскопа вокруг его наружной
оси подвеса:
П = — **«" = 500·°·191 = 2.2-10-» р,.,,
ΥJ2Q2gl+ K% ^6000'· 7,2*+500*
Ш0 τΒ = 4-0,2
η Υ J2tfq2+ K% 3,14/60002-7,2*+500*
£ = Ш^В 4·0·2 =Кй.,п-р.,,
или соответственно
D = 2,2· 10"3·57,3-60 = 7,56 угл. мин.;
Е= 5,9· 10"β·57,3-60 = 0,02 угл. мин.
Отклонение гироскопа от плоскости магнитного меридиана, согласно (386),
определится из равенства
JQ<dc 6000-10,4. ΙΟ"5 , ос 1Λ ,
*W = "TCTL = 500 «1.25-10- рад.,
ψΓω= 1,25· 10"3·57,3·60 = 4,3 угл. мин.
303

Таким образом, в случаях совпадения знаков перечисленных отклонений
максимальное значение угла, составляемого главной осью гиромагнитного
компаса с плоскостью меридиана, может достичь величины
= 7,56 + 0,02 + 4,3 + 4 = 15,88 угл. мин. & 16 угл. мин.
§ 61. АВТОКОЛЕБАНИЯ ГИРОМАГНИТНОГО КОМПАСА
С РЕЛЕЙНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ КОРРЕКЦИИ
Движение гиромагнитного компаса при релейной
характеристике коррекции описывается тремя дифференциальными
уравнениями (359). Учитывая, что при гармонических возмущениях
магнитной стрелки ее вынужденные колебания определяются
вторым слагаемым выражения (373), перепишем систему (359)
в следующем виде:
/βθ + J Ω (ψ + <oc) = — Μ0 кВ sign (ψ — гт cos qj — δ) +
, 4Μ0 τΒ
sin qt\
J^-JQ^ + v^^M^csignW-^^smqt,
(388)
где em и <7И — амплитуда и частота вынужденных колебаний
магнитной стрелки.
Пренебрегая в (388) членами, влияющими на параметры
нутационных колебаний, можем записать:
Ψ = — о)с j*2- sign (ψ— emcos qj — δ)
, 4М0 тв
π/Ω
sin qt\
. Μ* Kr · / α\ 4Λί0 тг . χ
- ω* + -лг- S1§n W —#sin ?'■
(389)
Из (389) можно определить необходимые значения
корректирующих моментов М0кВ и М0кс· Полагая, как и выше (§ 52),
что для времени t, близкого к любому фиксированному моменту
времени т, величины угловых скоростей ωΒ и ωα остаются
практически постоянными, будем колебания гироскопа рассматривать
отдельно для каждого размаха. При этом условии уравнения (389)
принимают вид
ί . Μ0 кв ι 4Λί0 тв . j
V- ωΒ± JQ nJQ sinqt,
304

откуда следует, что максимальные значения угловых скоростей
по модулю будут равны
ΙΦ
сос
Мл
/Ω
nJQ
ω
В max
М0кС , 4Мотс
/Ω _t" π/Ω
(390)
где юБтах и соСтах — максимально возможные значения угловых
скоростей вращения основания прибора вокруг осей подвеса
гироскопа при перемещениях объекта по заданному маршруту.
Для сохранения главной оси гиромагнитного компаса
неизменно совмещенной с плоскостями горизонта и магнитного
меридиана необходимо, чтобы углы θ и ψ были равны нулю. Так
как величины этих углов при нулевых начальных условиях
определяются выражениями
Mo кВ | 4М0 тВ
JQ
МркС
./Ω
л J Ω
Ш0
тС
nJQ
)<■■
·)'■
то равенства ψ = 0 и θ = 0 будут соблюдаться лишь только
в том случае, если
4М0ТВ
мокВ>
JQ(u
С max
+
м,
0 кС
>
л^Втах + ^
(391)
Полученные неравенства определяют те минимальные
значения корректирующих моментов М0кВ и М0кС, которые
необходимы для удержания главной оси гироскопа в неизменном
положении относительно плоскостей горизонта и магнитного
меридиана. Однако надлежащий выбор величин корректирующих
моментов еще не в полной мере характеризует работу
гиромагнитного компаса с релейной схемой коррекции. При отсутствии
внешних возмущений после успокоения собственных колебаний
магнитной стрелки рассматриваемая гироскопическая система может
войти в режим автоколебаний.
Амплитуда и частота автоколебательного режима будут
непосредственно влиять на качество работы прибора. Вот почему
при исследовании движения гироскопа, снабженного
корректирующими устройствами с релейной характеристикой, должны
быть обязательно определены амплитуда и частота возможных
автоколебаний. Обратимся с этой целью вновь к системе (359).
При анализе колебаний гироскопа около положения равновесия,
305

определяемого по выражениям (377) и (382), представляется
возможным полагать, что ωβ, йс и δ равны нулю. Если внешние
возмущения отсутствуют, то после успокоения собственных
колебаний магнитной стрелки величина ет также равна нулю. Тогда
моменты ΜοτΒ и М0тС сил трения в опорах подвеса будут менять
свой знак только в зависимости от изменения знака угловых
скоростей движения гироскопа (см. § 36). При этих условиях
система уравнений (359) принимает вид
/в* + /Ωψ - — М0 кВ sign (ψ) — М0 τΒ sign (d); J
Jcq — JQ$ = M0 kC sign (0) — MQ TC sign (ψ). J
Решить полученную систему уравнений в общем виде не
представляется возможным, поэтому приходится обращаться к
приближенным методам.
Воспользуемся методом
гармонической линеаризации. х Будем
полагать, что
рассматриваемые автоколебания близки к
гармоническим, и искать
решение системы уравнений
(392) в виде
θ = L cos nat\
ψ = Ν sin nat. (393)
Как было показано выше
(§ 37), при периодических
колебаниях гироскопа
функцию
мкВ (О
М0 кВ sign (ψ)
= /(*)
Рис. 136. Линеаризация функции
M*oBsign(i|>). ' можно разложить в ряд
Фурье (252).
Ограничиваясь первым членом ряда и учитывая (393), будем
иметь
(394)
MKB(t) = l*^ sin nat.
Зависимость (394) позволяет определить тот коэффициент
пропорциональности Кв, который должен быть учтен в
уравнениях (392) при замене в них нелинейной функции МкВ (ψ) =
— MoK^sign (ψ) соответствующей ей приближенной линейной
функцией МкВ (ψ) = /СБг|; (рис. 136). В тот момент, когда угол ψ
1 См.: Е. П. Π о π о в и И. П. Π а л ь τ о в. Приближенные методы
исследования нелинейных автоматических систем. Физматгиз, 1960.
306

достигнет значения Ν, что согласно (393) наступит при sin nat = 1,
величина корректирующего момента, как это следует из (394),
4М
достигнет значения —^-^-. Таким образом, величина коэффи-
π
циента /СБ, равная тангенсу угла β, определится зависимостью
Мок;
KB = tgp = i^·. (395)
Аналогичным образом могут быть найдены коэффициент
пропорциональности Кс при гармонической линеаризации функции
МкС (Ф) и соответственно коэффициенты μΒ и μα при
гармонической линеаризации функций ΜτΒ (θ) и МтС (ψ):
^ SI~> ^ = -Ί55Γ' И*--дат (3 }
Учитывая изложенное, перепишем систему уравнений (392)
в линейном виде
JB6 + /Ωψ = —/С** — μβϋ;
/сф — JQb = Кс® — μαΨ
или в символической форме записи
(JbP2 + μΒρ) Φ f (JQp + KB) ψ = 0; 1
(Λ;Ρ2 + μοΡ) Ψ - № + * с) θ = 0. J (ОУ/}
Разрешив систему (397) относительно переменной ψ, будем
иметь
(JbJcP* + JbPCp* + JcVbP3 + μΒμαΡ2 + ^2Ω2ρ2 +
+ JQKbP + J&KcP + KBKC) ψ = 0.
Так как в реальных конструкциях гироскопических приборов
коэффициенты μΒ и μα моментов сил трения малы, можно
утверждать, что
μΒμ€ « J*&2.
Угол ψ отклонения гироскопа от заданного ему положения
в процессе его автоколебаний также мал. В то же время угловая
скорость ψ = ρψ вследствие высокой частоты этих колебаний
может достигать больших значений. Поэтому всегда будут
существовать неравенства
JQKBp>KBKc<J&Kcp.
Опуская на этом основании четвертый и последний члены
исследуемого уравнения как величины высших порядков малости
307

по сравнению с остальными, можем записать
(/БУср4 + JbVcP* + jcVbP* + </2Ω2ρ2 -j-
+ JQKBp + JQKcp) ψ = 0. (398)
Обращаясь теперь к характеристическому уравнению,
соответствующему дифференциальному уравнению (398), находим
Ρ VbJcP3 + JbVcP2 + JcVbP* j- J2Q2P '
^JQKb + JQKc)^ 0.
Его первый корень р = 0 не влияет на характер движения
гироскопа (см. § 14) и поэтому должен быть опущен из
рассмотрения. Оставшееся уравнение
JBJcP3 + JbVoP2 + JcPbP* + J2&2P +
+ JQKB + J&KC = 0 (399)
позволяет определить искомые параметры исследуемых
автоколебаний.
Как было показано в § 13, гармонические изменения угла ψ,
обусловливаемые зависимостью (393), могут иметь место лишь
только в том случае, если корни характеристического уравнения
(399) будут чисто мнимыми. Подставив на этом основании в
уравнение (399) значение ρ = ina и выделив в последнем вещественную
и мнимую части, будем иметь
- J в Jcnl + J2&2na = 0; 1 (400
- {JbV^c + Jc^b) nl + JQ (Kb + Kc) - 0. j
Из первого уравнения (400), учитывая, что па =f= 0, находим
частоту па автоколебаний:
JQ (401)
а VJbJ'c
Второе уравнение (400) позволяет определить амплитуду
автоколебаний. Для этого необходимо иметь суждение хотя бы
о приближенных значениях коэффициентов μβ и μ0. При этом
условии, подставив во второе уравнение (400) значения (395),
(396) и (401) коэффициентов /СБ, Кс и частоты па автоколебаний,
получим
4 ВГ + ^ψ~) - i£r »*< + '** (402)
Законы движения гироскопа, рассмотренные в гл. II,
показывают, что между амплитудами его колебаний вокруг
внутренней и наружной осей подвеса существует определенная зависи-
308

мость. Согласно выражениям (57) эта зависимость в
рассматриваемом случае может быть записана равенством
L
У ψ- N. (403)
Учитывая его в выражении (402), находим
Ν = UbJc (УТсмокС + УТвМр кВ) 9 /404ч
nJQ VTb(Jb\ic + JcVb)
Как видим, частота па автоколебаний гироскопа, снабженного
корректирующими устройствами с релейной характеристикой,
равна частоте η его нутационных колебаний, определяемой из
выражения (53) при θ0 = 0. Корректирующие моменты МкВ
и МкС непрерывно поддерживают возникшие автоколебания,
которые при выключенной коррекции неизбежно почти сразу же
прекратятся вследствие сил трения в опорах подвеса гироскопа.
Π ρ и м е ρ 28. Определить частоту и амплитуду автоколебаний
гиромагнитного компаса, имеющего следующие параметры: кинетический момент У Ω =
= 2400 Гсмсек, моменты инерции гироскопа относительно осей подвеса J в —
— 0,7 Гсмсек2 и Jc= 5,5 Гсмсек2, корректирующие моменты Мокв= Мокс =
= 4,0 Гсм, моменты сил трения в опорах подвеса М0тв — 2,0 Гсм и М0тС~
= 3,0 Гсм.
Подставив значения параметров гироскопа в выражение (401), найдем
круговую частоту автоколебаний:
/Ω 2400 100β
па — , = , = 1226 гц.
VJbJc К0.7-5,5
Предположим, что амплитуда N автоколебаний гироскопа вокруг его
наружной оси подвеса не превосходит 5 угл. мин.:
л/ = 5'=-бода = 1'45-1°-3Рад·
Учитывая соотношения (403) между амплитудами колебаний гироскопа вокруг
его осей подвеса, находим
L= γψ-Ν== у -jjy 1,45. ΙΟ"3 = 0,52. ΙΟ"3 рад.
По зависимостям (396) определим соответственно
_ Шотв _ 4.2 _
μΒ - -Щ^Г ~ 3,14.1226-0,52. Ю-3 ~ 4,° ГсмсеК*
4уИотс 4-3 о ,r n
*С = -Щ^Г = 3.14.1226-1.45.10-3 = 2·15 Гсмек-
Подставив вычисленные значения μβ и μ^ в выражение (404), найдем
амплитуду автоколебаний гироскопа вокруг его наружной оси подвеса:
N = UbJc (V7^m0 kC + VTbM, kB)
π/Ω V Jв (JBV>c + jc\*-b) ·
309

4.0,7.5.5(^5,5.4+ /0,7-4) = ш.10-ш рад.
3,14-2400 VOJ (0,7-2,15 + 5,5-4)
или соответственно
N ** 1,32· 10"3·57,3-60= 4,56 угл. мин.
По (403) вычисляем амплитуду
Ι β l/j^- jV *= ]/ jg- 4.56 — 1,71 угл. мин.
Так как величина амплитуды N близко совпадает со сделанным в начале
расчета предположением, определение параметров автоколебаний гироскопа
на этом можно закончить. Если бы такого совпадения не произошло,
потребовалось бы уточнить значения коэффициентов μ# и μ^ моментов сил трения и затем
повторно вычислить амплитуды автоколебаний системы. В ряде случаев
целесообразно проверить устойчивость рассматриваемых автоколебаний (см. под·
строчное примечание на стр. 306).

Глава IX
ГИРОСКОПИЧЕСКИЙ КОМПАС
, ' ,, , . ■■ =т
§ 62. ГИРОКОМПАС ФУКО
Одно из замечательных свойств гироскопа заключается в его
стремлении приводить свою главную ось, принудительно
удерживаемую в горизонтальном положении, к совмещению с плоскостью
географического меридиана. На это свойство указывал Л. Фуко
еще в 1852 году.
Представим, что гироскоп
не имеет внутреннего кар-
данова кольца. Ротор такого
гироскопа (рис. 137)
монтируют непосредственно в
наружном кольце, вследствие
чего гироскоп лишается
одной степени свободы. В этом
случае он обладает свободой
вращения только вокруг
осей ОА и ОС. Выберем на
земной поверхности
некоторый расположенный на
экваторе пункт L, в котором
установим гироскоп таким
образом, чтобы его наружная
ОСЬ ОС была вертикальна. рис. 137. Принципиальная схема гироком-
Из-за отсутствия у гироскопа паса Фуко,
свободы вращения вокруг
оси ОВ его главная ось ОА будет неизменно горизонтальной.
Предположим, что в начальный момент времени ось ОА
была направлена с востока на запад. При таком расположении
гироскопа его ротор вынужден совершать вращение не только
вокруг оси О А: участвуя в суточном вращении Земли, ротор
гироскопа будет непрерывно поворачиваться еще и вокруг
полуденной линии ns, которая на экваторе параллельна земной оси NS.
Таким образом, с первого же мгновения гироскоп начнет вращаться
одновременно вокруг оси ОА с угловой* скоростью Ω и вокруг
оси ns с угловой скоростью Ω3. Следовательно, его движение
(см. § 8) будет сопровождаться поворотным ускорением. Это
311

обстоятельство, как известно, вызовет поворот гироскопа вокруг
его наружной оси ОС, свобода вращения относительно которой
ничем, кроме сил трения в опорах, не ограничена. В процессе
поворота главная ось ОА гироскопа будет стремиться
совместиться с осью ns его вынужденного вращения. В тот момент,
когда такое совмещение произойдет, поворотное ускорение
гироскопа станет равным нулю, в связи с чем исчезнет и сама причина,
вызывающая его вращение вокруг наружной оси подвеса ОС.
Характер движения и
ζ· время прихода главной
оси ОА гироскопа с двумя
степенями свободы к
совмещению с осью его
вынужденного вращения уже
были рассмотрены в § 32.
Поэтому исследуем здесь
движение гироскопа лишь
вблизи плоскости
географического меридиана.
Обратимся с этой целью к
уравнениям (162). Учтем,
что в рассматриваемом
случае углы θ0 и θ
неизменно равны нулю в силу
самой конструктивной
схемы прибора (рис. 138).
Угол ψ 0 также равен нулю,
так как отклонения гироскопа' от плоскости ξΟζ
географического меридиана исследуются лишь в пределах малого угла ψ.
При этих условиях система (162) принимает вид
/Ω (ф + <ос) = Мв\ 1
/cij) — J Ω ωв = Mc. j
Рис. 138. Положение гирокомпаса Фуко
относительно земных ориентиров.
(405)
При неподвижном положении корпуса прибора на земной
поверхности угловые скорости ωΒ и оос его вращения в
пространстве будут определяться проекциями на оси ОВ и ОС лишь
вектора Ω3 угловой скорости суточного вращения Земли. Как
известно (см. § 27), вектор Ω3 лежит в плоскости ξΟζ географического
меридиана и составляет с полуденной линией Οξ угол φ, равный
углу географической широты места; его проекции на оси ОВ
и ОС будут соответственно равны
<*>в = —Ω3 cos Ψ sin ψ ^ —Ω3ψ cos φ; coc = Ω3 sin φ.
Так как внешние силы не могут создавать момента
относительно оси ОВ (рис. 138), то в уравнениях (405) величина Мв
312

будет равна нулю, а момент Мс обусловится лишь силами трения
в опоре по оси ОС.
Будем полагать, что момент Мс обусловлен силами вязкого
трения. При этом условии система уравнения (405) принимает вид
-ф = —Ω3 sin φ; )
.. . (406)
Jc4> + «/ΩΩ3Ψ cos φ = —μψ. J
Переписав ее второе уравнение
ψ + αψ + 6ψ - 0, (407)
где
_ μ , _ /ΩΩ3 cos φ
α~7ϊ; °~ Jc
заметим, что ^>(-f") ·
Поэтому решение уравнения (407) по аналогии с решением
(361) уравнения (360) определится выражением
■т<
тр = е 2 (C^osnt + C2 sin nt), (408)
где согласно (407)
п = уь- (^-)2=^уФ_^ (409)
Постоянные интегрирования Сг и С2, входящие в выражение
(408), определяются начальными условиями. Первое уравнение
(406) показывает, что с первого же мгновения гироскоп
отклоняется от плоскости меридиана. Если в начальный момент его
ось ОА составляет с плоскостью меридиана ξΟζ угол ψΗ, то
начальные условия движения будут определяться равенствами
Ψ (0) = ψΗ; ψ (0) = -Q3 sin φ.
При этих условиях из выражения (408) следует
Сг = ψΗ,
а из его первой производной
ψ (0) = - -|- d + лСа = — Ω3 sin φ.
Учитывая величину Съ значение я, определяемое из
равенства (409), и обозначение (407) из последнего равенства, находим
£ 2 (JgQs sin φ + μψΗ)
2 ViJQJcQ3 cos φ — μ2'
313

Подставив найденные значения постоянных интегрирования
Сг и С2 в выражение (408), будем иметь
ψ«=β 2 <ψΗ COS tit г τ-г гун/ sm ^
Y L \f4JQJCQ* cos φ -μ2 J
2 (Ус&з sin Φ + μψΗ)
ΐ/*4^Ω«/οΩβ cos φ — μ3
Обозначив
можем записать
-— t
ψ-e 2 Ncos{nt + K). (410)
Учитывая малость величин Ω3 и μ, практически можно
принять, что
Л/ _ Ί А, 2 4-- 4 (^з sin φ + μ^ ^ ...
Изложенное выше показывает, что рассматриваемое
гироскопическое устройство из любого произвольного положения
движется к совмещению своей главной оси с плоскостью
географического меридиана. Совершив относительно последней несколько
затухающих колебаний, гироскоп установится так, что его
главная ось будет параллельна полуденной линии и совмещена с
плоскостью меридиана. Как видим, описанный гироскоп выполняет
функции компаса. По имени его автора он был назван
гирокомпасом Фуко.
§ 63. ПРАКТИЧЕСКОЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ГИРОКОМПАСА ФУКО
Из формулы (409) следует, что период колебаний гирокомпаса
Фуко около плоскости меридиана весьма мал:
гр 2π _ AnJc
п VsJQJc&z cos φ — μ2
(411)
Это создает определенные затруднения при использовании
гирокомпаса Фуко на подвижных объектах. Представим, что
объект перемещается относительно земной поверхности в
горизонтальной плоскости по локсодромии и совершает при этом
гармонические колебания вокруг своего центра тяжести (см. рис. 72).
Будем полагать, что на объекте установлен гирокомпас Фуко
(см. рис. 138), наружная ось подвеса которого вертикальна.
При указанных условиях угловая скорость вращения
основания прибора вокруг оси ОВ гироскопа (см. § 29 и 37)
определится из выражения
ωв = — Ω3 cos φ sin ψ0 +- ~^- cos (α — ψ0) + ωοβ sin qt
314

или, если заменить угол ψ0 углом ψ малых отклонений
гироскопа от плоскости меридиана, из выражения
_ V V
ωβ = — S8i|)cos φ + -тг cos α + -γ ψ sin α + ωοβ sin qt,
где α — курс объекта;
q — круговая частота его колебаний.
Подставив значение угловой скорости ω^ во второе уравнение
(405), будем иметь
Усг|-> + /Ω ( Ω8 cos φ ^~ sin α J ψ «=
= У Ω -^- cos α + /ΩωοΒ sin qt -f- Л4С.
Если по аналогии с предыдущим (§ 52) учесть, что широта
места φ изменяется медленно, и пренебречь влиянием момента МСу
то для времени £, близкого к т, движение гирокомпаса Фуко
может быть описано уравнением
ф + "2ψ = 4f"i"cos α + JQ*C0B sin <//, (412)
где
n* = -j^ (Q3cos φτ — -^- sin a) . (413)
Частное решение неоднородного дифференциального
уравнения (412) будем искать в виде
ψΓ = L cos qt +- R sin qt + Q. (414)
Подставив значения ψΓ и ψΓ, определяемые из выражения
(414), в уравнение (412), будем иметь
— q2L cos qt — q2R sin qt -f- ai2L cos <jtf -f n27? sin <jtf +
, *r\ JQ V , JΩω0в - j
+ n2Q — — -=- cos a -\ -—Ζ- sin qt.
Приравняв коэффициенты в обеих частях полученного
тождества, найдем
г Л n JQ(uqb r\ JQ V
^ = 0; # = 7^%; Q = 7^--Tcosa.
Заменив в выражении (414) величины L, R и Q их найденными
значениями, получим частное решение уравнения (412)
315

Решение соответствующего однородного дифференциального
уравнения
ψ + η2ψ = 0
будет определяться по выражению (408) при а = J— = 0.
Таким образом, общее решение уравнения (412) принимает вид
ψ = Cj cos η/ + C2 sin n^ +
■r f /о 24 sin j/ -г -г-T--rrcosa· (415)
Jc(n2~q2) Ί Jen2 R x 7
Полученное выражение показывает, что главная ось
гирокомпаса Фуко, установленного на объекте, перемещающемся
относительно земной поверхности, совершает колебания не относительно
плоскости географического меридиана, а относительно
некоторого азимутального направления, составляющего с плоскостью
меридиана угол
JQ ν
Jcn2 R
cos α.
Угол δΓ называется скоростной девиацией гирокомпаса.
Учитывая значение я, определяемое из выражения (413), найдем
величину этого угла:
« __ V cos α (л]рл
°г ~" R Ω3 cos φ — V sin α * ^410'
При высоких скоростях движения современных объектов
угол δΓ может достигать весьма больших значений, что,
естественно, будет затруднять использование прибора при
определении положения меридиана на подвижном объекте. Однако
основной недостаток гирокомпаса Фуко заключается в высокой
чувствительности к внешним возмущениям. Амплитуда его вынужденных
колебаний, описываемых третьим членом выражения (415), может
достигать весьма больших значений. Поведение гирокомпаса
Фуко на подвижном объекте аналогично поведению в этих
условиях магнитной стрелки (§ 2). Поэтому гирокомпас Фуко и не был
использован для работы на подвижных объектах.
Однако гирокомпас Фуко нашел широкое применение при
топографических, маркшейдерских и геодезических работах [8,
19], когда требуется определить направление географического
меридиана на неподвижном относительно земных ориентиров
основании. Чтобы показания такого гирокомпаса отвечали
требуемой точности, в опорах его наружной оси ОС должны
отсутствовать силы сухого трения. В самом деле, если силы трения
будут существовать, то второе уравнение (406) примет вид
Jcty + /ΩΩ3ψ cos φ — ±Μ0 тС.
316

Как видим, прибор в этом случае будет иметь угол застоя
φ =± М«?с
Tr JQQ3 cos φ
тем больший, чем больше величина момента МотС.
Для уменьшения угла застоя в современных конструкциях
гирокомпаса Фуко используются гидравлические, воздушные
и торсионные подвесы. При
гидравлическом подвесе (рис.
139) ротор Ρ гироскопа,
вращающийся вокруг оси О А,
помещают внутри герметически
закрытого цилиндра Я/С,
выполняющего в приборе
функцию наружного карданова
кольца. Цилиндр НК с
помощью двух опорных цапф а
и &, выполненных в виде
входящих в сферические
подпятники полушарий,
подвешивается в корпусе КП
прибора. Насос Я непрерывно
нагнетает в зазоры между
опорными поверхностями
цапф и подпятников
жидкость, создавая тем самым
своеобразную
гидравлическую подушку, на которой
и покоится гироскопическая
система.
Жидкость,
использованная в. подпятниках, через
сливные отверстия стекает
в нижний заборный
резервуар корпуса КП, заполняя при этом все свободное
промежуточное пространство между его внутренними стенками и
наружной поверхностью цилиндра НК. Геометрические размеры
элементов прибора подобраны так, что полый цилиндр Η К вместе
с помещенным внутри его ротором Ρ гироскопа находится в
жидкости во взвешенном состоянии. Ее непрерывная циркуляция,
поддерживаемая насосом Я, исключает возможность
соприкосновения цапф с подпятниками.
Описанная гидравлическая опора обеспечивает свободу
вращения гироскопа вокруг оси ОС при весьма малых моментах сил
трения. Именно поэтому в современных гироскопических
приборах, в основу которых положена схема гирокомпаса Фуко,
достигается высокая точность определения направления географи-
Рис. 139. Схема гирокомпаса Фуко
на гидравлическом подвесе.
317

ческого меридиана при отсутствии перемещений корпуса КП
прибора относительно земной поверхности.
В качестве поддерживающей жидкости обычно используют
раствор едкого кали в пропиловом спирте [8], обладающий
электропроводностью. Через три пары кольцевых металлических
электродов еъ е2 и е3 к гиромотору, вращающему ротор Ρ вокруг
оси О А, подводят трехфазный ток.
Аналогичным образом устроен гирокомпас Фуко, в котором
используются воздушные опоры [11 ]. В этом случае для создания
опорной поддерживающей подушки в зазор между сферическими
Рис. 140. К пояснению метода определения географического меридиана
по точкам возврата гирокомпаса.
цапфами и подпятниками насосом непрерывно нагнетают сжатый
воздух. Эта принципиальная схема отличается лишь токопере-
дающим устройством, которое при пневматической опоре должно
иметь контактное соприкосновение токопередающих элементов.
Подобное устройство для передачи энергии к гиромотору
показано ниже на рис. 141.
Силы сопротивления, возникающие при вращении гироскопа
вокруг наружной оси ОС как в гидравлической, так и в
воздушной опоре, весьма малы. Поэтому затухание колебаний
гирокомпаса около географического меридиана происходит чрезвычайно
медленно, что затрудняет определение меридиана по положению
нулевой черты картушки Ν, неизменно связанной с главной
осью О А гироскопа. На практике такое затруднение преодолевают
с помощью метода наблюдения точек возврата нулевой черты
картушки N при ее азимутальных колебаниях.
С этой целью на корпусе КП прибора неподвижно
устанавливают кольцо К (рис. 140), по окружности которого нанесены
угловые деления. При азимутальных колебаниях гирокомпаса
нулевая черта ab его картушки N будет изменять свое положение
318

относительно неподвижного кольца К. За этими перемещениями
картушки и ведутся наблюдения. Углы ty1 и ψ2 максимального
отклонения картушки N в положительном и отрицательном
направлениях фиксируются по шкале кольца К- Полуразность
зафиксированных угловых значений
Ψι— ψ2
определит направ-
ление географического меридиана. Для большей точности
результатов фиксируют обычно [19] не две, а большее количество точек
возврата картушки Ν, определяя направление меридиана по
среднему значению нескольких вычислений.
Как уже говорилось выше, в некоторых современных
конструкциях гирокомпаса Фуко нашли применение и торсионные
подвесы. В зависимости от разновидности их компоновки в гиро-
системе коренным образом может измениться схема прибора.
§ 64. ГИРОКОМПАС ДЛЯ НЕПОДВИЖНОГО ОСНОВАНИЯ
В процессе работы по совершенствованию гирокомпаса Фуко
была создана принципиально новая схема прибора [52],
устройство которого показано на
рис. 141. Ротор Ρ такого
прибора, обладающий
свободой вращения вокруг
оси ОЛ, установлен в гиро-
камере Η К, которая жестко
соединена с полым
цилиндром Ц. Внутри цилиндра
нанесена оптическая
метка S, играющая роль ну-"
левой черты картушки
гироскопа. Кроме того,
внутри цилиндра Ц
смонтированы изоляционные
диски, несущие
платиновые изогнутые под прямым
углом проводнички,
контактирующие с токопере-
дающими кольцами ех и е2.
С помощью такого
контактного устройства к гиро-
мотору подводится электро-
энергия, используемая для
вращения его ротора
вокруг оси ОА гироскопа.
Гирокамера НК вместе с ротором Ρ подвешивается с помощью
ленточного торсиона F в кожухе G, который монтируется на кер-
новых опорах в корпусе КП прибора, что обеспечивает свободу
вращения гироскопа и кожуха вокруг наружной оси подвеса ОС.
Рис. 141. Гирокомпас на торсионном подвесе.
319

Как только ротор Ρ начнет поворачиваться вокруг оси ОС,
он сразу же увлечет за собой и гирокамеру Я/С, на которой
установлен якорь индукционного датчика D. Так как статор датчика
неподвижно закреплен на кожухе G, то при повороте ротора
вокруг оси ОС относительно кожуха G с датчика D будет
сниматься электрический сигнал, пропорциональный углу этого
поворота. После усиления сигнал подается на электрический
двигатель АД, который приходит во вращение вокруг оси ЕЕ
и через зубчатую передачу поворачивает вокруг оси ОС кожух G
вслед за перемещением
а)
9
ψ//////ψ/ΜΛ
Рис. 142. Варианты торсионного подвеса.
гироскопа.
Когда кожух G
повернется вокруг оси ОС на
такой же угол, как и ротор Р,
сигнал, снимаемый с
индукционного датчика D,
станет равным нулю и
движение кожуха G
прекратится. Таким образом,
описанное устройство по
существу будет представлять
собой своеобразную
следящую систему,
аналогичную приведенной на рис.
119. Кожух G непрерывно
следует за перемещениями
гироскопа, устраняя тем
самым закручивание тор-
сиона F и действие на гироскоп моментов его упругих сил.
Для определения географического меридиана в
рассматриваемом приборе используют неподвижное кольцо /С, снабженное
шкалой с градусными делениями. Через визирную трубку L, жестко
укрепленную на цилиндрической оправке Ν, наблюдают за
азимутальными колебаниями гироскопа по перемещениям оптической
метки S. Поворачивая трубку L вместе с оправкой N вокруг оси
ОС, оператор по шкале кольца К фиксирует точки возврата
колеблющегося гироскопа (рис. 140) и по их угловым значениям
определяет направление географического меридиана.
Если бы гироскоп соединялся с кожухом G с помощью двух
торсионов Fx и F2 (рис. 142, а), которые не позволяли бы главной
оси ОА принимать наклонные положения относительно плоскости
горизонта, то такой прибор ничем не отличался бы от описанного
выше гирокомпаса Фуко (см. рис. 139). В рассматриваемом
устройстве (см. рис. 141) главная ось ОА может составить с плоскостью
горизонта некоторый угол θ (рис. 142, б). В этом случае сила
веса гироскопа и силы упругости торсиона F будут создавать
относительно оси, проходящей через точку О перпендикулярно
320

плоскости чертежа, восстанавливающий момент, стремящийся
возвратить главную ось ОА в горизонтальное положение. Чем
больше угол наклона Ф, тем больше величина восстанавливающего
момента, которая в первом приближении может быть принята
пропорциональной Ф.
Восстанавливающий момент окажет непосредственное влияние
на движение гироскопа, которое будет отличаться от
рассмотренного выше закона колебаний гирокомпаса Фуко. Вследствие
отсутствия в точке подвеса О двухсторонней удерживающей
связи между ротором Ρ и кожухом G (рис. 141) описанный
гироскопический прибор также не может быть использован для
работы на подвижных объектах.
§ 65. МОРЕХОДНЫЙ ГИРОКОМПАС
Проблема создания гироскопического компаса, нормально
работающего на подвижных объектах, была решена после того,
как для этой цели стали применять гироскоп с тремя степенями
свободы. Чтобы ограничить свободу отклонения главной оси ОА
Рис. 143. Принципиальная схема гирокомпаса^: маятником.
от плоскости горизонта, к гирокамере В К прикрепляли либо
груз Q (рис. 143), либо заполненные ртутью и сообщающиеся
между собой сосуды Ε (рис. 144). Такие дополнительные
устройства смещали центр тяжести гироскопа относительно точки О
его подвеса на некоторое расстояние / вдоль оси Οζ. Поэтому
как только главная ось ОА составляла с плоскостью горизонта
угол Ф, на гироскоп относительно его внутренней оси ОВ сразу же
начинал действовать момент внешних сил.
Представим, что гироскоп, к гирокамере которого подвешен
гРУз Q, установлен на земной поверхности в каком-либо пункте а
(рис. 143). В начальный момент времени его главная ось ОА
321

горизонтальна и направлена с запада на восток. При таком
положении прибора сила веса гироскопа, несмотря на расстояние /
между его центром тяжести и точкой подвеса О, не будет создавать
относительно точки О момента. Направление вектора G будет
совпадать в данном случае с вертикально расположенной осью ОС
наружного карданова кольца НК и, следовательно, проходить
через точку О подвеса гироскопа.
Начальное расположение гироскопа на земной поверхности
не будет оставаться неизменным. С течением времени вследствие
Рис. 144. Принципиальная схема гирокомпаса'с ртутными сосудами.
суточного вращения Земли место установки гироскопа будет
перемещаться в пространстве. Если за вращением Земли
наблюдать из мирового пространства со стороны ее северного полюса,
будет казаться, что это перемещение совершается против часовой
стрелки. Таким образом, по прошествии некоторого времени место
установки гироскопа, совершив вместе с Землей поворот вокруг
ее оси, переместится в пространстве на некоторый угол и займет
новое положение, обозначенное на схеме точкой б.
В процессе описываемого перемещения гироскоп,
стремящийся сохранить направление своей главной оси неизменным
в пространстве, начнет приобретать все увеличивающийся наклон
к горизонту. При этом восточный конец главной оси О А будет
непрерывно подниматься над горизонтом, а западный —
опускаться. Вместе с гироскопом вокруг оси О В будет поворачиваться
и груз Q. При наличии угла Ό* между главной осью и плоскостью
горизонта вектор G уже не будет проходить через точку О подвеса
гироскопа, обусловливая тем самым возникновение момента Мв,
действующего на гироскоп относительно его внутренней оси
подвеса ОБ.
322

Нетрудно заметить, что величина момента Мв
пропорциональна углу θ и определяется зависимостью Gl sin θ, которая
вследствие малости угла θ может быть принята равной Gift.
Направление момента Мв противоположно знаку угла ft поворота
главной оси гироскопа относительно плоскости горизонта.
Поэтому вектор Мв совмещен с положительным направлением оси ОВ
и в положении б будет перпендикулярен плоскости чертежа
и направлен на читателя.
Как только момент Мв начнет действовать на гироскоп,
возникнет прецессионное движение (см. § 15) вокруг наружной оси ОС.
В результате главная ось О А гироскопа, поворачиваясь вокруг
оси ОС с угловой скоростью ψ, начнет приближаться к плоскости
географического меридиана. При этом вектор кинетического
момента У Ω гироскопа будет двигаться в направлении к северному
географическому полюсу, как это показано на схеме в
положении е. Как видим, описанный гироскоп, снабженный
маятниковым грузом, также превращается в компас, поэтому он и получил
название гироскопического компаса с маятником.
Аналогично будет двигаться и гироскоп, на гирокамере
которого установлены сообщающиеся сосуды, заполненные ртутью
(рис. 144). Предположим, что рассматриваемый гироскопический
прибор, как и в предыдущем случае, установлен на земной
поверхности в пункте а так, что его главная ось О А в начальный
момент времени горизонтальна и направлена с запада на восток.
При горизонтальном положении оси ОА ртуть заполняет оба
сосуда Ε равномерно. Направление действия силы G проходит
через точку О подвеса гироскопа, не создавая относительно ее
моментов.
Такое положение не останется неизменным. Вследствие
суточного вращения Земли главная ось ОА гироскопа с течением
времени будет принимать все увеличивающийся угол ft наклона
к горизонту. Одновременно с гирокамерой ВК будут
поворачиваться вокруг внутренней оси подвеса и жестко соединенные
с ней сообщающиеся сосуды Е. Заполняющая их ртуть, сохраняя
свой уровень горизонтальным, начнет перетекать из восточного
сосуда в западный, как это показано на схеме в положении б.
Избыток ртути в западном сосуде обусловит возникновение
внешнего момента, действующего на гироскоп относительно его
внутренней оси подвеса ОВ. Так же, как и у гирокомпаса с
маятником, величина момента Мв пропорциональна углу ft и при его
малости равна произведению Gift. Однако знак момента Мв
совпадает со знаком угла ft.
Под влиянием момента Мв гироскоп получит прецессионное
движение вокруг оси ОС, которое будет происходить с угловой
скоростью —ψ. Его главная ось ОА начнет приближаться к
плоскости географического меридиана, в результате чего вектор ки-
323

нетического момента /Ω будет устанавливаться в направлении
на южный географический *полюс. Таким образом, описанный
гироскоп, снабженный ртутными сообщающимися сосудами, также
становится компасом, поэтому он и получил название гирокомпаса
с ртутными сосудами.
Рассмотренные выше принципы работы трех разновидностей
схем гироскопических компасов: на торсионном подвесе (рис. 141),
с маятником (рис. 143) и с ртутными сосудами (рис. 144),
позволяют сделать заключение о их динамической общности при
работе на неподвижном относительно земной поверхности
основании. Обратимся к системе уравнений (162), описывающих
движение гироскопа в подвижной системе координат.
Пренебрежем в них моментами сил трения и учтем, что главная ось
гироскопических компасов сохраняет положение, близкое к
горизонтальному, в связи с чем θ0 = 0. При этих условиях, если
пренебречь величиной ω0θ, система (162) для гирокомпасов на
торсионном подвесе (рис. 141) и с маятником (рис. 143), у которых
момент Мв противоположен по знаку углу θ, примет вид
/βθ + «/Ω (ψ + а>с) = — /(*;
Jcty — JQ (# + ωβ) =0.
Для гирокомпаса с ртутными сосудами (рис. 144), у которого
знак момента Мв совпадает со знаком угла θ, система (162) будет
иметь вид
/я£ + Лг(ф + а>с) = /С<>; 1 шя.
/сг|) — /Ω (θ + ωΒ) = 0. J
Для определения значений входящих в уравнения (417) и
(418) угловых скоростей ωΒ и сос вращения основания прибора
вокруг осей подвеса ОБ и ОС воспользуемся схемой, приведенной
на рис. 145. Учтем, что при неподвижном на земной поверхности
основании прибора угловые скорости ωβ и сос определяются
проекциями на оси подвеса ОБ и ОС гироскопа лишь вектора Ω3
угловой скорости суточного вращения Земли (см. § 27). При
этом будем различать, от какого направления полуденной линии
Οξ производится отсчет малых углов ψ отклонения главной оси О А
гироскопа от плоскости меридиана ξΟζ.
В гирокомпасах с торсионным подвесом (рис. 141) и с
маятником (рис. 143) отсчет угла ψ производится от северного (Ν)
направления полуденной линии Οξ (рис. 145, а). Поэтому искомые
угловые скорости будут равны
ωΒ = —Ω3ψ cos φ; coc = Ω3 sin φ. (419)
В гирокомпасе с ртутными сосудами (рис. 144) отсчет угла ψ
производится от южного направления полуденной линии 0|.
(417)
324

(рис. 145, б), в связи с чем рассматриваемые угловые скорости
определятся зависимостями
cog = Q3iJ)cos(p; coc = Ω3 sin φ.
Подставив найденные значения угловых скоростей ωΒ и сос
в соответствующие системы уравнений (417) и (418), получим
JB$ + /Ω (ψ + Ω3 sin φ) - — #θ;
Усф — JQ (θ — Ω3 i|)cos φ) = О
Рис. 145. Проекции угловой скорости суточного вращения Земли на оси
подвеса гирокомпаса.
и
JBQ + У Ω (ψ + Ω3 sin φ) = КЪ\ j
/сф — /Ω (θ + Ω3ψ cos φ) = 0. ]
Разрешив каждую из систем (420) и (421) относительно
переменной ф, придем к дифференциальным уравнениям
JbJc^™ + («^2Ω2 + JBJQQ3cos φ + JCK) ψ + Λ7ΩΩ3ψα)5φ - 0
и соответственно
JbJc^IV + (</2Ω2 —/β/ΩΩ3 cos φ + JCK) Ψ + KJQQ3^cos φ = 0.
Первое из этих уравнений описывает движение вокруг
наружной оси подвеса ОС гироскопических компасов на торсионном
подвесе (рис. 141) и с маятником (рис. 143), второе —
гироскопического компаса с ртутными сосудами (рис. 144). Сравнив эти
уравнения между собой, нетрудно заметить, что они отличаются
лишь коэффициентами вторых членов. Если пренебречь малыми
величинами /β/ΩΩ3 cos φ и JCK по сравнению с /2Ω2, то оба
уравнения примут один и тот же вид
<Vc^IV + </2Ω2ψ + Λ7ΩΩ3ψο)5 φ - 0,
что и подтверждает динамическую общность гироскопических
компасов, принципиальные схемы которых приведены на рис. 141,
143 и 144.
325

Таким образом, представляется возможным составить
суждение о характере движения этих гироскопических компасов по
результатам анализа какой-либо одной системы
дифференциальных уравнений: (420) или (421).
§ 66. НЕЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ ГИРОКОМПАСА
Для выяснения характера движения гироскопического
компаса обратимся к системе уравнений (420). При исследовании
в первом приближении пренебрежем нутационными членами
/Ω(ψ+Ω3δίηφ) + ^θ^0; 1
θ— Q3i|)cos φ = 0. J
Исключив из полученных уравнений переменную θ, будем
иметь
ψ + η2ψ = 0, (423)
где
л2 = *%^Р. (424)
Решение уравнения (423) по аналогии с решением (8)
уравнения (6) можем записать в виде
ψ = Сх cos nt + C2 sin nt. (425)
Продифференцировав (425) и подставив значение ψ в первое
уравнение системы (422), найдем выражение для угла θ:
θ = -jT-n (C^sin nt—C2cosnt) ^r-QgSin φ. (426)
Зависимости (425) и (426) характеризуют собой изменения во
времени углов ψ и θ отклонения главной оси ОА гирокомпаса
(рис. 146) соответственно от плоскостей ξΟζ меридиана и ξΟη
горизонта. Будем полагать, что в начальный момент времени
главная ось ОА гироскопа была совмещена с полуденной линией
Οξ. При таком положении гироскопа начальные условия будут
определяться значениями углов θ (0) = 0, ψ (0) = 0, в
соответствии с которыми непосредственно из выражений (425) и (426)
находим
г — π г — Ω3 sin φ
ох — и, ι>2 — -
326

Подставив найденные значения постоянных интегрирования
Сх и С2 в выражения (426) и (425), будем иметь
θ = j—— (cos nt — 1);
Ψ =
Ω3 sin φ
sin nt.
(427)
Полученные выражения (427) показывают, что гирокомпас,
основание которого установлено неподвижно на земной
поверхности, совершает незатухающие гармонические колебания
относительно плоскости ξΟζ географического меридиана и плоскости
MB-GLU
Рис. 146. Гирокомпас с маятником
ODE, наклоненной к плоскости горизонта ξΟη на угол θ,
определяемый последним членом выражения (426):
flr = ^- Ω3 sin φ.
(428)
Величина θΓ характеризует тот необходимый угол наклона
главной оси О А к плоскости горизонта ξΟη, при котором
обеспечивается непрерывное движение гирокомпаса в мировом
пространстве вслед за плоскостью меридиана ξΟζ. В самом деле,
плоскость меридиана вращается в пространстве вокруг вертикали
Οζ данного пункта земной поверхности с угловой скоростью
Ωз sin φ (см. § 27). Чтобы вызвать движение гироскопа вокруг
вертикали Οζ с угловой скоростью Ω3 sin φ, необходимо создать
постоянно действующий относительно внутренней оси подвеса ОВ
момент внешней силы. Этот момент возникает автоматически. Перво-
327

начально, когда главная ось ОА гирокомпаса горизонтальна,
плоскость меридиана ξΟζ, поворачиваясь вокруг вертикали Οζ
с постоянной угловой скоростью Qgsinq), начнет отклоняться
от оси ОА, остающейся стабильной в пространстве. Но как только
между главной осью ОА и плоскостью ξΟζ меридиана образуется
некоторый угол ψ, так сразу же гироскоп начнет изменять свое
положение и относительно плоскости горизонта ξΟη. Вращение
плоскости ξΟζ вокруг оси Οζ с положительной угловой скоростью
Ωз sin φ обусловит постепенное отклонение положительного
направления главной оси ОА гироскопа к востоку от меридиана.
При этом она со все увеличивающейся скоростью начнет
подниматься над плоскостью горизонта ξΟη.
Наличие угла — θ наклона гироскопа к горизонту вследствие
смещения между его центром тяжести и точкой подвеса вызовет
воздействие на гироскоп относительно внутренней оси подвеса ОВ
момента внешней силы, равного К (—θ). Под влиянием этого
момента 'возникнет прецессия гироскопа вокруг оси ОС с угловой
скоростью —^~ '. Первоначально эта скорость будет меньше
Ω3 sin φ. Однако с увеличением угла —θ скорость прецессии
будет возрастать и при некотором значении —θΓ сравняется
с Ω3 sin φ.
Значение угла θΓ, определяемое по выражению (428),
непосредственно вытекает из условия равенства рассматриваемых
угловых скоростей:
Из (427) следует, что среднее положение главной оси ОА
характеризуется значениями углов
ψ = 0; 0 = 0,= -jaQ'*n*. (429)
Относительно этого среднего положения и происходят
колебания гирокомпаса.
Для выяснения характера этих колебаний перепишем
выражения (427) с учетом (428) в виде
. Ω3 sin φ ,
ψ = - -=- Sin fit.
Обозначив в них
К
JQQ3s'm(p _ α Ω3 sin φ _ . (430)
328

будем иметь
О* = fl^cos/if; Ψ = — tym sin nt.
Возводя каждое из полученных равенств в квадрат и затем
складывая их, придем к уравнению
(£)'+(-£)·-'·
которое является уравнением кривой, описываемой проекцией
полюса гироскопа при ее перемещении по картинной плоскости Q.
Как видим, эта кривая представляет собой эллипс с
полуосями i|)m и θ/?2. Отношение между полуосями рассматриваемого
эллипса, учитывая (430), определяется зависимостью
flm _ nJQ
у ηζ- Ω3 cos φ.
Как видим, полуось Фт в несколько раз меньше полуоси г|)т.
Действительно, несмотря на то, что отношение -γ всегда больше
единицы вследствие малости угловой скорости Ω3 суточного
вращения Земли, определяемой равенством (168), величина
подкоренного количества всегда меньше единицы.
Период Τ колебаний гирокомпаса около положения его
равновесия (429) в соответствии с равенством (424) определится из
выражения
Τ = ** = 2π V *Q . (431)
Так как в гирокомпасе с маятником коэффициент К = G/,
выражение (431) можно переписать в виде
Τ = 2π VrJQ · (432)
Сравнив выражения (432) и (411), характеризующие периоды
собственных колебаний соответственно гирокомпаса с
маятником (см. рис. 143) и гирокомпаса Фуко (см. рис. 139), убеждаемся
в том, что период первого прибора значительно больше, чем
второго. Поэтому гирокомпас с маятником в меньшей степени
реагирует на внешние возмущения, чем гирокомпас Фуко. Это
обстоятельство и обеспечило возможность практического использования
гирокомпаса с маятником и с ртутными сосудами на подвижных
объектах.
Пример 29. Определить период и амплитуды колебаний гирокомпаса
с маятником, установленного на земной поверхности на широте φ = 60°. Пара-
метры прибора характеризуются отношением -гг- = -^ = 25.
329

Подставим в формулу (432) численные значения входящих в нее величин
и учтем равенство (168), в результате будем иметь
'^rtl/^l— =2.3,14 V:
τ 01 Ω3 cos φ г
25· 1
7,3-Ю-5 cos 60° ""
= 519,8 сек. = 86,63 мин.
Из зависимости (431) находим круговую частоту колебаний гирокомпаса:
2π 2-3,14 ПП1. ,
/г = -Г=ТГ9^==а012сек ·
Из выражений (430) находим значения амплитуд:
Ω38ίηφ 7,3-ΙΟ"5 sin 60° ЛЛПСО
tm = -^ = щ-2 = 0,0053 рад.
Om = JQQls[n Ψ = 25-7,3. Ю-5 sin 60° = 0,00158 рад.
А
или соответственно
Ут= 0,0053-57,3= 0°,3;
От = 0,00158-57,3= 0,°09.
Как видим, амплитуда От колебаний гирокомпаса вокруг его внутренней
оси подвеса в рассматриваемых условиях в несколько раз меньше амплитуды его
колебаний относительно плоскости географического меридиана.
§ 67. ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ
ГИРОКОМПАСА ВО ВТОРОМ ПРИБЛИЖЕНИИ
Выводы, полученные в предыдущем параграфе, явились
результатами исследования системы (420) при пренебрежении в ее
уравнениях членами, содержащими θ и ψ. С целью выяснения
ошибок, возникающих при таком допущении, вновь обратимся
к системе уравнений (420). Переписав ее в символическом виде
(JBp2 + К) θ + </Ωρψ = — /ΩΩ3 sin φ;
(Jcp2 + /ΩΩ3 cos» ψ — /Ωρθ = 0,
(433)
разрешим систему (433) относительно переменной ψ.
Определив из второго уравнения зависимость
Λ _ JcP2 + ^Q3cos(p
π - JQp ψ'
подставим найденное значение О в первое уравнение системы (433),
в результате получим
(JBp2 + К) (Jcp2 + </ΩΩ3 cos φ) ψ + </2Ω2ρ2ψ -
= —/Ωρ/ΩΩ3 sin φ.
330

Переходя к обычной форме записи и учитывая, что
производная от постоянной величины равна нулю, после очевидных
преобразований получим уже знакомое дифференциальное уравнение
JBJc^lV + Λψ + Κ</ΩΩ3α)δφ.ψ = 0, (434)
где
η = /2Ω2 + /β/ΩΩ3 cos φ + JCK. (435)
Чтобы получить дифференциальное уравнение, описывающее
колебания гироскопа вокруг его внутренней оси подвеса,
из первого уравнения системы (433) определим зависимость
(JBp2 + К) θ + /ΩΩ3 sin φ
ψ = -
JQp
и подставим ее во второе уравнение, в результате получим
—(JcP2 + </ΩΩ3 cos φ) l(JBp2 + Κ) θ + </ΩΩ3 sin φ] —
— /2Ω2ρ2θ = 0.
Умножим обе части уравнения на —1 и учтем обозначение
(435). Переходя к обычной форме записи, будем иметь
JBJc®lV + η® + /0/ΩΩ3 cos φ · θ =
= — /2Ω2Ωΐ cos φ sin φ. (436)
Найденное дифференциальное уравнение (436) неоднородно.
Его частное решение будет иметь вид
а _ /ΩΩ3 sin φ
К
(437)
Соответствующее (436) однородное уравнение аналогично (434).
Поэтому решения уравнений (434) и (436) будут зависеть от
значений корней одного и того же характеристического уравнения
JbJcP* + "Ρ2 + KJQ^3cos φ = 0:
Решив последнее относительно р2, находим
2 _ —п±Упг — 4JbJcKJ&®3 cos φ /aoq\
Второй член подкоренного выражения (438), как это следует
из (435), весьма мал по сравнению с первым, поэтому величина
подкоренного количества с достаточной степенью точности может
быть найдена приближенно
Vn*- 4JBJCKJ&Q3 cos φ ^ η - 2JbJcKJQQ9 cos φ _
331

В выражении (435) второй и третий члены также
несоизмеримо малы по сравнению с первым. Пренебрегая в выражении
(438) малыми величинами, получим
2JBh
откуда
, τ/ ΡΩ2 . /^3cosq> _,_ JQ
Pi,2 ^ ± у ■ L ^ ~4~
JbJc ' «/Ω - YTrf~c
^ -ι/ ΚΩ3 cos φ ^ l/'KQs cos φ .
В соответствии с найденными значениями корней решение
исследуемой системы уравнений (433), учитывая частное решение
(437), определится следующими двумя выражениями:
/-> JQ , . ^ . JQ , . ^ ί / ΛΩο cos Φ , ,
1/VbJc К^с
_l/^ „;„ 1 /^Ω3 cos φ t JQQ3sin(p
"Τ"c*sm У Τω γ я '
ψ = Ζλ cos . ί + Ζλ sin r t +
+ £,зС05 ухажер t + Disin j/*bcp ,.
Полученные выражения показывают, что нутационные
колебания гирокомпаса, происходящие с весьма малой амплитудой
^ « ./Ω
и большой частотой , не искажают характера его основного
у J в^с
движения, описываемого уравнениями (422). Вот почему при
исследовании движения гироскопических компасов представляется
возможным опускать из рассмотрения их нутационные
колебания, которые в указанных приборах практически не влияют на
положение их главной оси в подвижной системе координат.
§ 68. ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ ГИРОКОМПАСА
Как было показано выше, главная ось гирокомпаса,
движущаяся из любого положения к совмещению с плоскостью
географического меридиана, не устанавливается в этой плоскости,
а совершает относительно нее незатухающие колебания. С целью
устранения указанного недостатка конструкцию прибора
несколько видоизменяют. Дополнительный груз, создающий маят-
никовость гироскопической системы, крепят не к гирокамере В К,
332

как это было показано на рис. 146, а подвешивают на
специальных кронштейнах R1 и R2 (рис. 147), относительно которых
маятнику обеспечивается свобода вращения вокруг
горизонтальной оси. Кронштейны R± и R2 жестко монтируются на диске
следящей системы, который независимо от гироскопа имеет
свободу вращения вокруг оси ОС в корпусе прибора. На диске Д
расположена обмотка, а на оси наружного карданова кольца НК
установлен движок потенциометра Я. При повороте гироскопа
вокруг оси ОС движок потенциометра Π смещается с нулевой
точки и с его обмотки снимается электрический сигнал,
пропорциональный углу поворота гироскопа.
Сигнал подается через усилитель УС на электрический
двигатель АД, который приводит во вращение вокруг оси ОС диск Д.
В процессе вращения нулевая точка обмотки потенциометра Π
совмещается с его движком, обеспечивая тем самым совмещение
333

оси подвеса маятника W на кронштейнах Rx и R2 с внутренней
осью ОВ подвеса гироскопа.
Маятник W соединяется с гирокамерой ВК посредством
штифта /, ось ОЕ которого расположена в плоскости yOz и
составляет с осью Oz небольшой угол ε. Из схемы (рис. 147) видно, что
штифт / отклоняется от плоскости меридиана ξΟζ в восточном
направлении. Такое соединение маятника W с гирокамерой ВК,
называемое обычно эксцентричным, обеспечивает затухание
колебаний гирокомпаса. Несмотря на малость угла ε, величина
которого составляет всего лишь 1—2°, при наклоне к горизонту
главной оси ОА гирокомпаса с эксцентричным подвесом
возникают внешние моменты, действующие на гироскоп одновременно
относительно обеих осей его подвеса ОВ и ОС. При наклоне
главной оси О А гироскопа относительно плоскости горизонта ξΟη
на угол Ό* на такой же угол Φ будет выведен из совмещения с
вертикальной плоскостью ηΟζ и маятник W. При этом сила G его веса
создаст относительно оси подвеса маятника момент, равный по
величине Gl sin Φ, который будет передаваться на
гироскопическую систему в точке а (рис. 147) внешней силой
G/sitr» (39)
/0 cos ε ν 7
где /0 — расстояние от точки а приложения силы F до точки О
подвеса гироскопа.
Действуя на гироскоп, сила F создаст относительно осей О В
и ОС его подвеса моменты, соответственно равные
Мв = — Fl0 cos ε; Мс = Fl0 sin ε,
или, учитывая равенство (439),
Мв = — Gl sin θ; Мс = Gl sin θ tg ε.
Чтобы выяснить влияние эксцентричного подвеса маятника
на характер движения гироскопического компаса, подставим
полученные значения моментов Мв и Мс в систему уравнений
(162). Учитывая, как и выше (§ 65), нулевое значение угла θ0;
значения угловых скоростей ωβ и оос, определяемые по
выражениям (419), и малость углов -θ и ε, будем иметь
/β<> + </Ω (ψ + Ω3 sin φ) - — G/fl,
/сф — JQ (Ь — Ω3 cos φ.ψ) = G/εΦ
или, опуская из рассмотрения нутационные члены,
Gl
JQ
С' 1
ψ + то- * = — Ω3sin φ;
Ь— Q3cos φ·ψ + -§ίτ# = °·
(440)
334

Определив из первого уравнения (440) значение θ и подставив
θ и Ь во второе уравнение рассматриваемой системы, после
элементарных преобразований будем иметь
Gle
ψ + αψ + bty = — -jQ- Ω3 sin φ, (441)
где
α = Ύ<Τ> Ь^-Ж®*™^· (442)
Частное решение неоднородного дифференциального
уравнения (441) при φ = const с учетом (442) определится из равенства
*' = ~ wQ»dn φ = —8^ψ· (443)
Для нахождения решения соответствующего однородного
дифференциального уравнения
ψ + αψ + δψ = 0
составим характеристическое уравнение
р2 + ар + Ь = 0
и определим его корни".
ft..--Т±/(*)'-*
Из анализа зависимостей (442) следует, что в связи с малостью
угла ε в рассматриваемом случае имеет место очевидное
неравенство
/ а \2 / GU \2 . С/ η ,
("2") = (w)<7^Q3C0S<P = &>
поэтому корни характеристического уравнения будут
Pi, 2 = — ~у ± "*>
где согласно (442)
В соответствии с полученными значениями корней рг и р2
и частным решением (443) общее решение дифференциального
335

уравнения (441) по аналогии с решением (361) уравнения (360)
примет вид
-± t
ψ = е 2 (Qcosai^ + C2 sin nt) — etgcp. (445)
Продифференцировав выражение (445) и подставив значение ψ
в первое уравнение системы (440), найдем зависимость угла Φ
от времени t:
— — t
® = ~Же 2 [("f C,-/iC2)cos/ii +
+ (~f~Q + пСЛ sin nt -qt- Q3sin φ. (446)
Постоянные интегрирования, входящие в (445) и (446),
определяются из начальных условий. Будем полагать, как и выше
(§ 66), что в начальный момент при / = 0
Ь (0) - 0; ψ (0) - 0.
При этих условиях из выражений (446) и (445) следует
О(0) = -^-(-2-С1-лС,)-^-О881Пф = 0;
ψ (0) = Сх — ε tg φ = 0,
откуда, учитывая зависимости (442) и (444), находим
Г — trtm. Г — 2 (Gl&2 tg *Р ~ /ΩΩ3 Si" *P)
L/1 — 8 12. ф. L/o — —г ·
1 Ъ Т» 2 ^ G/ (4/qq3 sin φ _ G/g2)
Пренебрегая членами, содержащими квадраты малой величины
ε, с достаточной для практики степенью точности можем записать
C1 = etg9; Ca = —]/·
/ΩΩ3 sin φ
δ/
Подставим найденные значения постоянных интегрирования
Сх и С2 в выражения (446) и (445). Учитывая зависимости (442)
и (444) и опуская, как и выше,-члены, содержащие малую
величину ε2, получим
ft = е~ Τ ' [ 2JQQ^in φ cos nt-Y JQ%Sin φ Χ
Хв(1-ЦФ)81пп*]-Л"Уя>;
ψ = β (8tg(pcostt/ — Ι/ ^—-=- sin яЛ — etgcp.
(447)
Из выражений (447) следует, что главная ось О Л гирокомпаса
с эксцентрично подвешенным маятником в положении равновесия
отклонена от плоскости ξΟζ географического меридиана на угол
ψΓ = —ε tg φ и составляет угол ттг= ^—— с плоскостью
336

ξΟη горизонта. Такое отклонение оси О А гироскопа от полуденной
линии Οξ принято называть девиацией гироскопического компаса.
Если гирокомпас будет выведен из положения равновесия,
то после прекращения действия возмущения он начнет совершать
относительно равновесного положения затухающие колебания.
Их период, учитывая (444), равен
Τ = *L = 4я # /Ω (448)
п V Gl (4JQQ3 cos φ — G/ε2) ν '
Сравнив Τ с периодом Т незатухающих колебаний (432),
заметим, что Τ >> 7\ так как
4π„ /Ω .ο-ι/ /Ω
>2π/-
Κ G/ (4JQQ3 cos φ — G/ε58) ' ^/Ω3 cos φ '
Эксцентрическое соединение маятника с гирокамерой не
единственный способ обеспечения затухания собственных
колебаний гирокомпаса. Их демпфирование может быть получено
и другими методами,, например введением в схему прибора
специального датчика моментов (см. § 72) или гидравлического
успокоителя, принцип работы которого описан в § 75.
§ 69. РАБОТА ГИРОКОМПАСА НА ПОДВИЖНОМ ОБЪЕКТЕ.
СКОРОСТНАЯ ДЕВИАЦИЯ
При использовании гироскопического компаса на объектах
приходится считаться с возникновением дополнительных его
отклонений от плоскостей меридиана и горизонта. На величину
отклонений будут влиять скорости и ускорения объекта, его
колебания и вибрации, выполняемые эволюции и другие факторы.
С целью выяснения влияния перечисленных факторов на
характер прецессионного движения гироскопического компаса
обратимся к системе уравнений (162), в которых пренебрежем
нутационными членами, ωΩϋ и учтем, что θ0 = 0. Если принять малым
и угол ψ отклонения гирокомпаса от плоскости меридиана, то
угловые скорости ωΒ и сос вращения основания прибора по
аналогии с изложенным в § 29 определятся зависимостями
ωΒ = -г- Ω3ψcos φ + — cos (α — ψ);
γ
coc = Ω3 sin φ — -£- sin α tg φ.
337

Таким образом, при перечисленных условиях система
уравнений (162) примет вид
ψ -f Ω3 sin φ β- sin α tg φ
ft— (Q3cos φ r— sin α j ψ + ~б~ cos α =
MC
JQ '
(449)
Необходимо учесть, что в общем случае, кроме моментов
Μв = —G/ft и Мс = G/eft (см. § 68), относительно осей ОБ и ОС
| С;Х;ге
Рис. 148. К определению влияния ускорений объекта на гирокомпас
с маятником.
могут действовать еще и моменты сил инерции, возникающие
при ускорениях объекта. Вектор V линейного ускорения объекта
(рис. 148) может занимать произвольное положение в системе
координат ODBC, совмещенной с наружным кардановым кольцом
Я/С. Составляющие VD, VB и Vc вектора V по осям 0D, ОВ и ОС
связаны между собой векторным равенством
Ϋ = VD + Ϋβ + Vо
При ускорении объекта вследствие инертности массы
гирокомпаса возникнут силы инерции mVDf mVB и mVc, направления
338

действия которых будут проходить через центр тяжести системы
противоположно ускорениям VD, VB и Vc-
Нетрудно видеть, что моменты, создаваемые силами инерции.
mVB и mVc, погашаются силами реакции опор подвеса гироскопа.
И только сила mVD, направление действия которой проходит
на расстоянии / от точки подвеса О, будет создавать момент
относительно оси ОВ. Так как ось О А гирокомпаса составляет с
плоскостью горизонта ξΟη незначительный угол, то величина
указанного момента практически будет равна mVDl.
Подставив приведенные значения моментов в систему
уравнений (449), получим
ψ + Ω3 sin φ — -тг sin α tg φ = ТсГ® +
R
JQ
JQ
ϋ
/Q3cos φ n- sin aj ψ + -^-cosa = —
Gle
JQ
Продольная ось Охс объекта составляет с осью OD гироскопа
угол a—ψ. Поэтому проекция вектора V на ось OD при малом
угле ψ и VB = 0 будет
VD = VOos(a — ψ) = У (cos a + ψ sin a),
в связи с чем рассматриваемая система уравнений принимает вид
mVl
ψ + -^*-
JQ
JQ
ψ sin a = — Ω3 sin φ +
. V . ,^ . mVl
+ — sin a tg φ + -j^- cos a;
} (450)
ν — ( Ω3 cos φ £- sin a J ψ -f -дг- θ = ^- cos a. I
Определим положение равновесия гирокомпаса при движении
объекта с постоянной скоростью V = const. При этом условии
V = 0 и система уравнений (450) будет иметь вид
С"1 1/
* + Τω" * = ~ Ω* sin φ + ΊΓsin a tg φ;
<» — ( Ω3 cos φ — -£- sin α) ψ + ~j& Α = — χcos α·
Из первого уравнения этой системы находим величину угла Ап
соответствующую положению равновесия гирокомпаса:
а _ τη ^Ω3 sin φ — V sin a tg φ
t>, - —JW ^
(451)
339

Подставив во второе уравнение рассматриваемой системы
вместо Φ значение $п определим величину угла ψΓ:
Q3coscp з-sina
или, произведя преобразования,
Ψγ = — ε tg φ +
V cos a
#Ω3 cos φ — V sin a'
(452)
Выражения (451) и (452) показывают, что при работе на
подвижном объекте величина девиации гирокомпаса,
характеризуемая значениями углов 0Г и ψΓ,
N ' ζ претерпевает изменение по
сравнению с ее значением (447) при
| #зШ(Р неподвижном основании
прибора. В частности, изменяется
отклонение главной оси
гирокомпаса от плоскости географи-
-(#3шу-- ™*) ческого меридиана. Если при
неподвижном основании
прибора девиация определялась
зависимостью (443), то при
работе гирокомпаса на объекте,
перемещающемся с постоянной
скоростью V при постоянном
курсе а, ее величина достигнет
значения (452).
Сравнив (443) и (452), видим,
что при работе гирокомпаса на
подвижном объекте угол ψΓ его
отклонения от плоскости мери-
V
W
Рис. 149. Положение гироскопического
меридиана.
диана изменяется на величину угла δΓ, определяемую по
зависимости (416). Угол δΓ называется скоростной девиацией
гироскопического компаса. В рассматриваемом случае, когда h = О,
аг- Ро Vcosa,/ · (453)
г R3&3 cos φ — V sin a v '
Возникновение скоростной девиации гирокомпаса имеет
простое физическое объяснение. Как было показано выше (§ 62 и 65),
главная ось гирокомпаса, принудительно удерживаемая в
плоскости горизонта, стремится совместиться с вектором угловой
скорости вращения в пространстве плоскости горизонта. При
неподвижном относительно земной поверхности положении точки
подвеса гирокомпаса плоскость горизонта, согласно изложенному
в § 27, вращается лишь вокруг полуденной линии Οξ (рис. 149)
с угловой скоростью Ω3 cos φ. Если совместно с объектом, дви-
340

жущимся с постоянными скростью V и курсом а, перемещается
и точка подвеса гирокомпаса, то плоскость горизонта будет
вращаться вокруг точки подвеса уже с другой угловой скоростью.
Ее величина будет теперь определяться суммой трех
составляющих: угловой скоростью Ω3 cos φ и двумя дополнительными
угловыми скоростями cot и ω определяемыми по выражениям
(182).
В рассматриваемом случае при перемещении объекта по земной
V sin α
поверхности угловая скорость ω*, равная ъ—, характе-
ризует вращение плоскости горизонта вокруг оси Οξ, а угловая
скорость ωη, равная —5— > —вокруг оси Οη. Вектор суммарной
ι /<з
угловой скорости, совмещенный с направлением NrSr, составит
с полуденной линией Οξ угол δ, величина которого в соответствии
со схемой (рис. 149) определится из выражения
V
-75—cos α т/
♦ л Л - Яз _ У cos α (4сд\
δ ~ V . /^coscp-Vsina' ^°v
Ω3 cos φ 5~ sin a
A3
Именно с направлением NrSrf получившим название
гироскопического меридиана, и совмещается главная ось гирокомпаса,
установленного на объекте, перемещающемся с постоянными
скоростью V и курсом а. Для объектов, движущихся со сравнительно
малыми скоростями V, когда угловая скорость — значительно
меньше угловой скорости Ω3 суточного вращения Земли, величина
скоростной девиации невелика. В этом случае tg δ может быть
приравнен значению самого угла δΓ, величина которого будет
определяться по формуле (453).
Пример 30. Определить величину скоростной девиации гирокомпаса,
установленного на корабле, движущемся на широте φ = 53° со скоростью V =
= 64 км/час .курсом a = 30°.
Вычислим угловую скорость вращения Земли в радианах в час. Учитывая
равенство (168), будем иметь
Ω3= 7,29-Ю"5·60-60 = 0,26 час"1.
Подставив в формулу (454) значения входящих в нее величин, находим
. Л _ V cos a 64 cos 30°
tg0r"" #3Ω3 cos φ — V sin a ~ 6370-0,26 cos 53° —64 sin 30° "" ' '
откуда
δΓ = 3° 17'.
§ 70. ВЛИЯНИЕ УСКОРЕНИЙ ПОДВИЖНОГО ОБЪЕКТА
НА РАБОТУ ГИРОКОМПАСА
Ускорение объекта вдоль оси OD гироскопической системы
(рис. 148) вызывает прецессию гирокомпаса с маятником вокруг
наружной оси ОС его подвеса с угловой скоростью, согласно
341

(450) равной
ψ6
mVpl
(455)
Эта скорость получила название угловой скорости
инерционной, или баллистической, прецессии.
В результате такого прецессионного движения гирокомпас
будет отклоняться от плоскости меридиана.
Аналогичное явление
наблюдается и у
гирокомпаса с ртутными сосудами.
При перемещениях объекта
вдоль оси OD с ускорением
VD (рис. 150) жидкость,
заполняющая сосуды,
стремится установить свой
уровень по линии
кажущегося горизонта, поэтому
она начнет перетекать из
одного сосуда в другой.
Если колебания объекта
отсутствуют, то можно
считать, что уровень жидкости
в сообщающихся сосудах
в любой момент времени
практически совпадает с
кажущимся горизонтом.
Кажущийся горизонт составляет с истинным углом Δ,
величина которого (рис. 150) определяется из отношения
Рис. 150. К пояснению влияния ускорения
объекта на гирокомпас с ртутными сосудами.
tgA =
mVD
mg
Следовательно, высота h избыточного объема жидкости в одном
из сосудов будет равна
g
где / — расстояние от осей симметрии сосудов до точки О подвеса
гироскопа.
Избыточный объем Q жидкости зависит от внутреннего
диаметра d сосудов:
Обладая удельным весом γ, жидкость, заполняющая объем Q,
создаст момент, действующий на гироскоп относительно его
342

внутренней оси подвеса^
MB=yQl = y^-VD,
который вызовет прецессию гирокомпаса вокруг его наружной оси
подвеса ОС с угловой скоростью
*» = yw^· (456)
Сравнив выражения (455) и (456), убеждаемся в их общности.
Как видим, в обоих случаях угловая скорость ψ6 прецессионного
ΙΨ А
дг2\ T^^-fc^^-· ~
K,\—f-
±.jr.
0[ it
! At J
t?
Рис. 151. Инерционные ошибки
первого рода.
движения гирокомпаса пропорциональна ускорению VD объекта
вдоль оси OD гироскопической системы. При отсутствии качки
объекта эта общность позволяет исследовать влияние его
ускорений на гирокомпасы с маятником и с ртутными сосудами
с помощью одной системы уравнений.
Обозначив конструктивные постоянные гирокомпасов через
коэффициент пропорциональности [/, приведем^равенства (455)
и (456) к одному виду: "*
♦б-Tjr^D- (457)
Для гирокомпасов с маятником U = т/, с ртутными сосудами
По формуле (457) можно определить угол ψ6 отклонения
гирокомпаса от плоскости географического меридиана за то время,
в течение которого объект, совершая тот или иной маневр, двигался
с ускорением. Представим, что в некоторый момент времени
(рис. 151) объект, движущийся до этого со скоростью Vr курсом alf
начал изменять скорость и направление своего движения. По
прошествии некоторого времени Δ/ к моменту ί2 объект приобретет
новую скорость V2 и продолжит дальнейшее движение новым
343

курсом <х2. За время маневра гирокомпас повернется вокруг
своей наружной оси подвеса ОС на угол
ψ6 = J ψ6Λ = _ξ- J |/Drf/ = -ξ. (l/D2- l/Dl).
При сравнительно небольших скоростях движения объекта
главная ось ОА гирокомпаса (см. рис. 148) сохраняет свое среднее
положение вблизи плоскости географического меридиана.
Пренебрегая на этом основании влиянием угла ψ на разность
проекций скорости V объекта на ось OD гироскопической системы
в моменты времени t2 и tlt перепишем полученное выражение
в упрощенном виде:
ψ6 = -Jq- (V* cos α2 — У ιcos αι)· (458)
Таково значение угла инерционного перемещения гирокомпаса
вокруг наружной оси подвеса за время At совершения объектом
маневра, изменившего скорость и направление его движения.
Изменение скорости и направления движения объекта вызовет
изменение величины скоростной девиации гирокомпаса,
определяемой по выражению (453). Ее приращение за время At будет равно:
ДА — А А — V2 cos a2 V\ cos at
г — г 2 г ι — r3q3 cos φ — у2 Sin а2 R3Q3 cos φ — Vx sin аг '
При пренебрежении малыми по сравнению с R3Q3 cos φ
величинами Vx sin аг и V2 sin α2
= ^Cosat-Vicosa, (459)
Γ R3Q3 cos φ ν '
К концу маневра между величинами углов инерционного
смещения ψ6 гирокомпаса и приращения его скоростной девиации ΔδΓ
могут возникнуть три зависимости: ψ6 = ΔδΓ; ψ6 < ΔδΓ и ψ6 >
> Αδι. В двух последних случаях главная ось гирокомпаса к
моменту t2 окончания маневра (рис. 151) не придет в новое
положение равновесия, характеризуемое углом δΓ 2. В результате после
окончания маневра у гирокомпаса возникнут затухающие
колебания около положения равновесия с начальной амплитудой,
определяемой разностью ΔδΓ — ψ6.
Таким образом, в рассматриваемых случаях, когда ψ6 =j= ΔδΓ,
у гирокомпаса к концу маневра объекта будет существовать
погрешность относительно нового положения равновесия δΓ 2. Эта
погрешность, получившая название баллистической погрешности
гирокомпаса первого рода, имеет максимальное значение в
момент окончания маневра, а затем постепенно уменьшается.
344

В том случае, когда ψ6 = ΔδΓ, главная ось гирокомпаса в
процессе маневра объекта непрерывно совмещена с положением
динамического равновесия гироскопической системы в азимуте. После
окончания маневра она сразу же займет новое положение
равновесия, в связи с чем у гирокомпаса не будет наблюдаться
баллистической погрешности первого рода. Указанное перемещение
получило название апериодического перехода гирокомпаса к
новому положению равновесия.
При эксцентричном соединении маятника W с
гироскопической камерой ВК (см. рис. 147) у гирокомпаса при маневрах
объекта будут возникать баллистические погрешности не только
первого, но и второго рода. Сила инерции tnVD (см. рис. 148)
при эксцентричном соединении маятника (см. рис. 147) будет
создавать момент не только относительно внутренней оси ОВ
подвеса гирокомпаса, но и относительно его наружной оси ОС. Под
влиянием этого момента, величина которого по аналогии с
изложенным в § 68 может быть выражена зависимостью
Мс = mVDl sin ε,
возникнет прецессионное движение гирокомпаса вокруг его
внутренней оси подвеса ОВ.
Указанное движение будет происходить с угловой скоростью,
определяемой при малом угле ε равенством
Л _ т1г у
В результате за время маневра главная ось гирокомпаса со·
вершит вокруг оси ОВ поворот на угол [при θ6(0) == 0]
*β-_'ί*βΛ = —5£-JVf=—!§-(VDi-VD1).
Учитывая, как и в формуле (458), приближенные значения
скоростей объекта VD1 и VD2, последнее выражение можно
переписать в следующем виде:
°б = - -лг (У*cos α*- Fl cos αι)· (4б0)
Поворот главной оси гирокомпаса к моменту окончания
маневра на угол θ6 по отношению к плоскости горизонта и является
причиной, порождающей дополнительную погрешность в
показаниях прибора. Для выяснения ее физической природы
спроектируем, как и выше (см. рис. 147), на картинную плоскость Q
положения полюса гироскопа, соответствующие его равновесным
состояниям в моменты времени tx начала и t2 окончания маневра
объекта (см. рис. 151).
345

с
«1 <^<
/7
7\
J
α
ι**
4
ι
ί
ϊ
Ί
-ι
Как было показано в § 69, равновесие гирокомпаса
характеризуется величинами углов θΓ и ψΓ, определяемыми по
зависимостям (451) и (452). Их значения θΓΐ и ψΓΐ обусловят положение на
картинной плоскости точки а (рис. 152), являющейся проекцией
полюса гирокомпаса в момент времени tly соответствующий
движению объекта со скоростью Уг и курсом α1β Значения dr2 и ψΓ2
определят проекцию Ь полюса гирокомпаса в момент времени t2,
начиная с которого дальнейшее движение объекта будет
происходить со скоростью V2 и курсом а2.
При апериодическом переходе гирокомпаса из одного
положения равновесия в другое проекция его полюса в процессе
маневра объекта переместилась
бы на картинной плоскости
ртрого по линии ab. При этом
к моменту окончания маневра
главная ось гирокомпаса
составила бы с плоскостью
горизонта угол θΓ2, что обеспечило бы
отсутствие баллистической
погрешности в показаниях
прибора. Однако в
действительности при эксцентричном
соединении маятника с гирока-
мерой главная ось гирокомпаса
за время маневра объекта
повернется вокруг внутренней оси подвеса еще и на угол θ6.
Вследствие этого главная ось гирокомпаса к концу маневра составит
с плоскостью горизонта угол, отличный от θΓ2 на величину θ6,
определяемую по выражению (460). В результате к моменту
окончания маневра проекция полюса гироскопа совместится на
картинной плоскости не с точкой Ь, а с некоторой точкой с.
' Избыточный наклон главной оси к плоскости горизонта
вызовет (см. § 68) затухающие колебания гирокомпаса около
положения равновесия. В процессе этих колебаний его главная ось будет
отклоняться от плоскости гироскопического меридиана,
обусловливая тем самым дополнительные погрешности прибора, которые
и получили название баллистических погрешностей гирокомпаса
второго рода.
Как видим, погрешность обусловливается введением в
гирокомпас демпфирующего устройства, поэтому ее часто называют
погрешностью ускорения — затухания. Характерной
особенностью рассматриваемой погрешности является то, что ее
максимальное значение наступает не сразу же после окончания маневра,
а лишь по прошествии некоторого времени, равного примерно
четверти периода прецессионных колебаний гирокомпаса.
Рис. 152. Инерционные ошибки
второго рода.
346

§ 71. УСЛОВИЕ АПЕРИОДИЧЕСКОГО ПЕРЕХОДА ГИРОКОМПАСА
В НОВОЕ ПОЛОЖЕНИЕ РАВНОВЕСИЯ
Апериодический переход гирокомпаса из одного положения
равновесия в другое характерен тем, что в любой момент времени
угол отклонения его главной оси от плоскости географического
меридиана должен точно соответствовать мгновенным значениям
курса и скорости движения объекта. При апериодических
переходах гирокомпаса решения (451) и (452) должны в любой момент
времени удовлетворять системе уравнений (450).
Чтобы выяснить условие, необходимое для обеспечения
указанного требования, продифференцируем выражения (451) и (452),
полагая угол φ величиной постоянной:
ά 7Г| V sin α + Va cos α . .
*' = yQ ш3 *βφ
и соответственно
ι — (#з^з cos φ — К sin α) (V cos α — Va sin α)
Ψγ ~~ (R3Q3 cos φ — V sin α)Δ "·
, V cos α (V sin α + Va cos a)
"Γ (R3Q3 cos φ — V sin a)2
или после преобразований
R3Q3V cos a cos φ — (R3Q3 sin a cos φ — V) Va
iv =
(#3Ω3 cos φ — V sin a)2
Подставив найденные значения θΓ и ψΓ, а также значения θΓ
и ψΓ, определяемые по выражениям (451) и (452), в уравнения (450),
будем иметь
R3Q3V cos a cos φ — (R3Q3 sin a cos φ — V) Va
(#3Ω3 cos φ — V sin a)2
, Gl —JQ (#3Ω3 sin φ — V sin a tg φ)
*" ./Ω ' G/Дз
ml//sin a/ ,^ ,· 1/cosa
+
JQ
/ . · V cos a \ __
\ ε tg ф + R3Q3 cos φ — V sin a / ~~
— r-Q3sin#> + -]r~sm atg<P + "7q^C0S(X»
/n V sin a + Ka cos a .^
yQ urn; tg(p-
/?3Ω3 cos φ — V sin a / ., К cos a
, * , К cos a \ ,
^ — у β lg Ψ -t- Rsq3 cos φ _ 1/ sin a ) "t"
G/ε — «/Ω (/?3Ω3 sin φ — К sin a tg φ) V cos a
</Ω GlRa - /?з '
347

откуда после очевидных преобразований найдем
R3Q3V cos α cos φ — (R3Q3 sin α cos φ — V) Va
mVl sin α
Τω
(R3Q3 cos φ — V sin α)2
V cos α
(etgcp--^
JQ
Gl
Q3 cos φ — V sin
V sin α + Va cos α
=-)-
mVl
JQ
-cos a;
R*
tg9 = 0.
(461)
Таковы условия, при которых будет существовать
апериодический переход гирокомпаса из одного положения равновесия
в другое. Анализируя их, замечаем, что во втором равенстве (461)
множитель Г1 φ 0. Следовательно,
OlJK3
*(l>sina-f Va cos a) tg φ = 0. (462)
Движение объекта, в процессе которого tg φ остается равным
нулю, не представляет практического интереса. При этом условии
объект может перемещаться лишь только по экватору с
постоянным курсом а, равным либо -^-, либо -~. В обоих случаях
равенства (461) удовлетворяются при любых соотношениях между
конструктивными параметрами прибора.
В общем случае, когда φ =f= 0, из равенства (462) вытекает
зависимость
Va = — Ftga.
Подставив ее в первое равенство (461), будем иметь
R^Q3V cos a cos φ + (R3Q3 sin a cos φ — V) V tg a
+
mVl sin a
(R3Q3 cos φ — V sin a)*
/ . V cos a \
\etg(p Д3ЙзС08<р —Vsina )
JQ \ν'&γ R3Q3 cos<
откуда после сокращения на V.
+
mVl
TiTcosa'
ml Г R3Q3 cos a cos φ — V sin a cos a — R3Q3e sin a sin φ ,
JQ L R3Q3 cos φ — V sin a
• ^ε sin2 a tg φ + V cos a 1 _
Ί R3Q3 cos φ — V sin a J ~~
_ R3Q3 cos a cos φ 4- R3Q3 sin a cos φ tg a — V tg a
(R3Q3 cos φ -
или после преобразований
ml 1
JQ R3Q3 cos φ
V sin a)2
■X
X
V sin a
R3Q3 cos a cos φ + (R3Q3 sin a cos φ — V) tg a
R3Q3 cos a cos φ + V cos a (1 — sin a) — ε (R3Q3 sin φ — V sin a tg φ) sin a
(463)
348

Только при соблюдении условия (463) гирокомпас с
эксцентрично подвешенным маятником будет апериодически переходить
из одного положения равновесия в другое и, следовательно, не
будет подвержен влиянию ускорений. Однако, как нетрудно
видеть, выполнение условия (463) связано с значительными
практическими трудностями. Величины т, I и J, являющиеся
конструктивными параметрами гирокомпаса, в процессе его работы
сохраняют свои значения постоянными. Поэтому при изменениях
курса α скорости V и широты φ условие (463) принципиально
может быть выполнено лишь за счет соответствующего изменения
угловой скорости Ω собственного вращения ротора гироскопа.
Между тем, изменение величины Ω требует значительного
времени (см. § 19) и не может быть осуществлено в течение даже
нескольких секунд. Вследствие большого кинетического момента У Ω
и способности двигателей, приводящих во вращение ротор
гироскопа, к значительным перегрузкам, регулирование угловой
скорости Ω столь значительно отстает по времени от изменения
величин а, У и φ, что условие (463) практически невыполнимо.
Именно по этим причинам пока не удается получить гирокомпас,
полностью свободный от воздействия инерционных сил.
Однако гирокомпасы, весьма близко отвечающие условию (463),
реально существуют уже в течение многих лет. Этому
способствовало то, что при сравнительно малых скоростях V движения
объекта величины (R3U3 sin α cos φ — V) tg α, V cos α (1 — sin α)
и ε (R3Q3 sin φ — V sin α tg φ) sin α несоизмеримо малы по
сравнению с R3Q3 cos α cos φ. Поэтому входящий в равенство (463)
множитель
R3Q3 cos α cos φ + (#3Ω3 sin « cos φ — V) tg α ^ «
R3Q3 cos α cos φ + V cos α (1 — sin α) — ε (R3Q3 sin φ — V sin α tg φ) sin α ^" '
и само равенство, если пренебречь в нем величиной V sin a μο
сравнению с R3Q3 cos φ, принимают вид
ml ' 1
JQ R3Q3 cos φ
(464)
Условие (464) можно получить и более простым методом.
При апериодическом переходе гирокомпаса из одного положения
равновесия в другие углы ψ6 его инерционного смещения и ΔδΓ
приращения скоростной девиации должны быть равны между собой.
Согласно этому условию, приравняв значения углов ψ6 и ΔδΓ,
определяемые по выражениям (458) и (459), будем иметь
V /Т7 Т7 ч l/2cosa2 — ΙΛ cos αϊ
-77Г- (V2 cos a2 — V1 cos αΛ == —2——Д ΐ L.,
./Ω ν 2 2 г 17 R3Q3 cos φ '
откуда после замены величины U ее значением, равным для
гирокомпаса с маятником, согласно (457), произведению ml,
непосредственно вытекает найденная выше зависимость (464).
349

Выполнение приближенного условия (464) не вызывает тех
затруднений, которые возникают при необходимости выполнения
зависимости (463). Действительно, выразив в равенстве (464)
массу т гирокомпаса через его вес G, можем записать
.9L = I . (465)
Подставив зависимость (465) в выражение (432),
характеризующее величину периода Τ колебаний гирокомпаса, найдем
Г^2с]/^зС08(р-. n ' =2т1/Ж,
V g Q3cos<p У g
или, вводя значение радиуса Земли R3 = 6,378 ·106 м и величину
ускорения силы тяжести g = 9,81 мсек'2,
гр о l/ 6,378· 10е ол л
Τ = 2-е |/ 981 = 84,4 мин.
Таким образом, для уменьшения инерционных погрешностей
гирокомпаса необходимо, чтобы период Τ его незатухающих
колебаний был равен 84,4 мин. Это условие впервые было получено
М. Шулером в 1910 году. При его соблюдении гирокомпас будет
апериодически, с точностью принятых выше допущений, переходить
из одного положения равновесия в другое. Условие Шулера
уточнялось советскими исследователями В. Г. Железновым, А. Ю. Иш-
линским, Я. Н. Ройтенбергом [14], Э. И. Сливом [37] и
некоторыми другими специалистами.
Так как условие (463) апериодических переходов гирокомпаса
с эксцентричным подвесом маятника на практике обычно не
выполняется, гирокомпас к моменту окончания объектом маневра,
как правило, будет обладать инерционной погрешностью. При
выполнении объектом нескольких следующих один за другим
маневров инерционная погрешность может накапливаться,
увеличиваясь с течением времени. Исследованию влияния
различных видов маневрирования объекта на величину и характер
изменения во времени указанной погрешности гирокомпаса
посвящены работы ряда авторов [1, 2, 13, 37]. Необходимо иметь в виду,
что инерционная погрешность гирокомпаса в общем случае
зависит не только от относительного путевого ускорения объекта,
но и от его переносного и кориолисова ускорений,
обусловливаемых суточным вращением Земли. Учет влияния этих ускорений
объекта осуществляется при более полном исследовании точности
работы гирокомпаса [14], что выходит за рамки данной книги.
§ 72. ДВУХРЕЖИМНЫЕ ГИРОКОМПАСЫ
Инерционные погрешности гирокомпасов, устанавливаемых
на объектах, движущихся с большими скоростями и ускорениями,
достигают столь высоких значений, что использовать прибор для
350

целей навигации становится невозможным. Между тем, в
настоящее время, когда объекты могут перемещаться относительно
земной поверхности на весьма большие расстояния, гирокомпас
становится одним из необходимейших приборов. Только
гироскопический компас может быть использован для коррекции
навигационной системы относительно плоскости географического
меридиана, в условиях
отсутствия внешней информа- f4^
ции. Естественно, что от r-v J ^>*
такого гирокомпаса тре- J Η.
буется высокая точность ^
сохранения положения
его главной оси
относительно плоскости
географического меридиана в
случае больших ускорений
объекта.
Удовлетворить
указанные требования обычными
гирокомпасами, схемы
которых были рассмотрены
выше, невозможно.
Поэтому пришлось искать новые
пути решения возникшей
проблемы, в результате
чего и были созданы так
называемые двухрежимные
гироскопические компасы,
используемые не только
на морских судах, но и
на летательных аппаратах.
В настоящее время
существует несколько типов
двухрежимных
гирокомпасов [15, 16, 54].
Принципиальная схема одного из
них приведена на рис. 153. Основным элементом прибора является
гироскоп с тремя степенями свободы, центр тяжести которого
совмещен с точкой О подвеса системы. Для измерения углов
наклона главной оси ОА гироскопа относительно плоскости
горизонта на внутреннем кардановом кольце ВК установлен маятник L,
ось DD подвеса которого параллельна внутренней оси ОВ.
В случае наклона главной оси ОА на тот или иной угол ϋ
к плоскости горизонта маятник L, стремящийся при отсутствии
ускорений объекта сохранить отвесное положение, перемещается
по обмотке потенциометра П. В результате с него снимается
электрический сигнал, пропорциональный углу ϋ. Этот сигнал
Рис. 153. Принципиальная схема двухрежим-
ного гирокомпаса.
351

подается на акселерометр £, выполн!енный в виде плоского
маятника. Акселерометр Ε установлен на картушке N и может
поворачиваться вокруг оси, параллельной оси ОС подвеса гироскопа.
С помощью двух пружин / плоский маятник Ε фиксируется
в среднем положении. Поэтому при отсутствии ускорений объекта
снимаемый с потенциометра Я сигнал, проходя через
акселерометр Е, поступает на средний контакт F и далее на датчик
моментов ДМВ. В результате на гироскоп относительно его внутренней
оси ОВ начинает действовать внешний момент MBi
пропорциональный по величине углу θ наклона главной оси гироскопа к
плоскости горизонта. Направление действия момента Мв выбирается
противоположным знаку угла θ. Таким образом, при отсутствии
ускорений объекта рассматриваемый гироскопический прибор
будет работать как гироскопический компас. Его движение будет
описываться системой уравнений (449), в которой, если не
учитывать сил трения в опорах подвеса, Мв = —Кв$, Мс = О,
где Кв — коэффициент пропорциональности.
Если объект начнет двигаться с ускорением, дающим
составляющую на плоскость АОС, то вследствие инерции своей массы
акселерометр Ε выйдет из среднего симметричного положения
и замкнет один из крайних контактов Р1 или Р2. В результате
сигнал, снимаемый с потенциометра Я, будет теперь поступать на
датчик моментов ДМС. Поэтому при нарушении
перпендикулярности между маятником L и осью ОА гироскопа будет создаваться
действующий уже относительно наружной оси ОС момент Мс,
пропорциональный углу рассогласования θ. Направление
действия момента Мс = Кс® устанавливается одного знака с углом θ,
а коэффициент пропорциональности /Сс выбирается значительно
меньшим, чем Кв. Как видим, при наличии ускорений объекта
прибор работает как гироскоп направления. Его движение в этом
случае описывается системой уравнений (291).
Вследствие возможности автоматического перевода работы
прибора с режима гирокомпаса на режим гироскопа направления
и обратно прибор был назван двухрежимным гирокомпасом.
В связи с тем, что при ускорениях объекта прибор работает
в режиме гироскопа направления, период его колебаний в режиме
гирокомпаса не требуется выдерживать равным 84,4 мин. Поэтому
главная ось ОА двухрежимного компаса совмещается с
положением равновесия (453) значительно быстрее, а его габариты могут
быть значительно меньше, чем у однорежимного гироскопического
компаса (см. § 65). Благодаря автоматическому переключению
прибора на режим гироскопа направления линейные ускорения
объекта не порождают больших отклонений главной оси ОА
гироскопа от плоскости меридиана. Действительно, при ускорениях
объекта в плоскости АОС маятник L будет устанавливаться по
направлению кажущейся вертикали, в результате чего с
потенциометра Я будет сниматься сигнал, пропорциональный углу между
352

истинной и кажущейся вертикалями. Если бы этот сигнал
продолжал подаваться на датчик моментов ДМВ, то возникло бы
прецессионное движение гироскопа вокруг оси ОС и его главная ось
ОА начала бы непрерывно отклоняться от плоскости
географического меридиана. Его полюс перемещался бы на картинной
плоскости (рис. 154) от некоторой начальной точки d вдоль
прямой de, параллельной" оси координат 0*г|).
В действительности при ускорении объекта подача снимаемого
с потенциометра Я сигнала автоматически переключается с ДМВ
на датчик моментов ДМС. Момент Мс = Кс$ вызовет
прецессию гироскопа вокруг его
внутренней оси ОВ. Переме- |
щение полюса гироскопа по j
картинной плоскости будет Μ =0М =k a t
происходить по прямой, па- в- > с с \1
раллельной оси 0*0, пока- ^ , j
зывая тем самым, что главная * ι
ось О А гироскопа сохраняет _ ^^_ ^ ^ Л
неизменное положение отно- β Ν. *
сительно плоскости геогра- ^Мв=-кдй;Мс^0
фического меридиана.
Соответствующим выбором
коэффициента Кс угловая Рис. 154. Инерционные ошибки гироком-
скорость отклонения главной паса и азимутального гироскопа,
оси гироскопа от плоскости
горизонта может быть ограничена весьма малой величиной. За
время ускоренного движения, объекта угол отклонения оси О А
гироскопа от плоскости горизонта будет при этом оставаться
достаточно малым. Вот почему, как только прекратится ускорение
объекта и прибор будет переключен на режим гирокомпаса, его
главная ось ОА через короткий промежуток времени вновь
совместится с положением равновесия, определяемым по выражению (453),
В схеме двухрежимного гирокомпаса может быть введено
затухание его собственных колебаний. С этой целью при работе
прибора в режиме гирокомпаса сигнал, снимаемый с потенциометра Я,
подается не только на датчик моментов ДМВ, но одновременно
и на датчик моментов ДМС. Чтобы момент, создаваемый
датчиком ДМС, удовлетворял требованиям, изложенным в § 68,
в цепь датчика моментов ДМС включается сопротивление,
уменьшающее соответствующим образом подаваемое напряжение.
В результате датчики ДМВ и ДМС будут создавать моменты Мв =
= —Кв$ и Мс = е/С^б1, обусловливая тем самым затухание
колебаний гирокомпаса около положения равновесия,
определяемого формулами (451) и (452).
%
353

Глава It
ГИРОВЕРТИКАЛЬ
§ 73. ПРОСТЕЙШАЯ СХЕМА МАЯТНИКОВОЙ ГИРОВЕРТИКАЛИ
Как было показано выше (см. гл. VI), для перемещения объекта
по заданной в инерциальном пространстве траектории на его борту
должны быть установлены два астатических гироскопа. В тех
случаях, когда траектория движения задана в системе координат,
связанных с земными ориентирами, объект также должен быть
оборудован двумя гироскопическими приборами, которые
позволяли бы измерять углы его отклонения от плоскостей меридиана
и горизонта. Курс объекта, характеризующий направление его
движения относительно плоскости меридиана, может быть
определен с помощью одного из трех рассмотренных выше
гироскопических приборов — либо гироскопа направления (гл. VII), либо
гиромагнитного компаса (гл. VIII), либо гироскопического
компаса (гл. IX). Для определения положения объекта относительно
плоскости горизонта необходим такой гироскопический прибор,
главная ось которого в течение всего времени работы оставалась
бы в вертикальном положении.
Совмещение главной оси гироскопа с вертикалью данного
места, непрерывно изменяющей свое положение в инерциальном
пространстве (см. § 27), может быть осуществлено лишь в
результате непрерывной прецессии гироскопа. Но для прецессионного
движения необходимо, чтобы при отклонении главной оси от
вертикали на гироскоп действовали внешние силы, создающие
относительно осей подвеса необходимые моменты. В качестве
такой силы может быть использована сила веса самого гироскопа.
Достаточно сместить его центр тяжести на расстояние / от точки
подвеса О вдоль главной оси О А (рис. 155), чтобы при
отклонении оси О А от вертикали Οζ сила G создавала
восстанавливающий момент, действующий на гироскоп относительно точки О.
Но гироскоп может поворачиваться вокруг осей ОС и ОВ. Поэтому
его главная ось О А в общем случае может отклониться от
вертикали Οζ на угол ψ в плоскости ΒΟζ и на угол Φ в плоскости АОС.
Вследствие этих поворотов сила G обусловит возникновение
восстанавливающих моментов, действующих на гироскоп
относительно обеих осей подвеса ОС и ОВ. Для определения их
значений вычислим предварительно величины проекций смещения /
354

на оси ОС и ОЕ. Учитывая, что отрезок / расположен на
отрицательной стороне оси О А, можем записать
lc= /cos[(—Л), С]; lE= /cos[(—Л), Е].
Рис. 155. Принципиальная схема маятниковой гировертикали.
Косинусы углов между рассматриваемыми осями в
соответствии со схемой (рис. 155) и формулой (30) характеризуются
равенствами
cos[(-i4)>C]=cos(^~*);
cos [{—А), Е] = cos (π — ϋ) cos Γ-5— ψ J +
+ sin (τ — ϋ) sin (-у- — ψ) cos-£-;
следовательно, искомые значения проекций будут равны
1С = / sin Φ; /£ = —/ cos ΰ* sin ψ.
355

Из анализа схемы (рис. 155) следует, что сила (3, действуя на
гироскоп на расстоянии 1С от точки его подвеса О, создает
относительно оси ОЕ момент ΛίΕ, отрицательный по направлению
и равный Gl sin ΰ*. При этом его проекция на внутреннюю ось
подвеса ОВ гироскопа определится из выражения
Μв = —МЕ cos ψ = —Gl sin ΰ* cos ψ.
Действуя на гироскоп на расстоянии 1Е от точки подвеса О,
сила G будет создавать относительно оси ОС момент
Мс = —Gl cos ΰ* sin ψ.
Кроме того, при движении объекта с ускорением V в
гироскопической системе будет возникать сила инерции mV, создающая
момент относительно оси ОС в положительном направлении,
равный произведению mVl^ Расстояние /ε, равное проекции / на
ось О ζ, определится из выражения
Ιζ = / cos [(—Α), ζ] = I [cos ΰ* cos (π + ψ) + sin ΰ* sin (π -f Ψ) cos -^-1 ,
или
Ιζ = —/ cos ΰ* cos ψ.
Таким образом, суммарные значения моментов, действующих
относительно осей подвеса рассматриваемого гироскопического
прибора, вследствие малости углов -θ и ψ равны
Мв = — G№\ Мс = —G/ψ + mlV.
Подставим найденные значения моментов Мв и Мс в систему
уравнений (162) и учтем, что восстанавливающие моменты будут
стремиться удерживать главную ось гироскопа вблизи
вертикали Οζ. При этом условии угол ΰ*ο = О и уравнения (162)
принимают вид
/Βθ + «/Ω (ψ + ω€) + JQ(uDft = — G/θ;
Jcyj?—JQ (4 + ωΒ) = — G/ψ + m/V.
Угловые скорости ωβ, g>c и (dd, входящие в (466), определятся
значениями проекций угловых скоростей координатной
системы Οξηζ, совмещенной с плоскостями горизонта и меридиана,
на оси ОВ, ОС и OD гироскопа. Как было показано выше (§ 29),
вращение осей Οξηζ в пространстве происходит с угловыми
скоростями, определяемыми по выражениям (183). Для случая дви-
(466)
356

жения объекта по поверхности моря эти выражения
упрощаются:
(ΰξ = Ω3 cos φ £— sin α;
<*ч = 1^™*а'>
ωε « Ω3 sin φ Б— sin α tg φ.
(467)
Спроектировав ω^, ωη и ωζ на оси OB, ОС и OD гироскопа,
можем записать:
ωΒ = (o^cos (ξ, Β) + ωη cos (η, Β) + (D:cos (ζ, Β); \
о)с = discos (ξ, С) + ωη cos (η, С) + cogcos (ζ, С); \ (468)
ω/>= <0gC0s(£, £>) + ωηα>5(η, £>) + ωζοοϊ(ζ, D). )
Из формулы (30) находим:
it
cos (ξ, 5) = cos α cos ψ + sin α sin ψ cos — = cos α cos ψ;
cos (η, В) = cos Г — α J cos ψ + sin ί-^ α J sin ψ cos ~- =»
= sin α cos ψ;
cos (ζ, 5) = cos (-γ + ψ) ^ —sin ψ;
cos (ξ, С) = cos (^ + α J = —sin α;
cos (η, С) с* cos α;
cos (ζ, С) ■* cos ψ cos-y- + sin ψ sin -^- cos -y «= 0;
cos(ξ, D) = cosacosf— ψ J -fsin a sin (~ ajncos-^-^
= cos a sin ψ;
cos (η, D) = cos(-| a)cos(-| ψ) + sinf-| α) χ
X sin ί "2 iln cos -^- = sin a sin ψ;
cos (ζ, D) = cosip.
357

Подставим найденные значения косинусов и значения
угловых скоростей ωβ, шс и ωΩ из (467) в выражения (468); после
элементарных преобразований, учитывая малость ψ, получим
ωΒ = Ω3 cos φ cos α — ( Ω3 sin φ — -=— sin α tg φ ] ψ; Ι
(Dc = —Q3cos φ sin α -f -5"~~ί
Аз
(DD = Ω3ψ cos φ cos α -f Ω3 sin φ 5— sin α tg φ.
Α3
(469)
(470)
Следовательно, исходная система уравнений (466) примет вид
/βΦ + /Ω ψ -f Ω3 cos φ sin α + -^—|- Ω3ΰ"ψ cos φ cos α +
+ (Ω3 sin φ — -^- sin α tg φ) θ] = — G/θ;
/0ψ—JQ ф _|_ ΩзCOsφcosα —
— ΓΩ3 sin φ — -*— sin atg(pji|)| = — G/ψ + mlV.
Проанализировав (470), нетрудно заметить, что члены
(Ω35ΐηφ ^-sin a tg φ) ΰ* и (Ω35ίηφ ^—sin a tg φ J ψ
являются величинами второго, а Ω3Ό"ψ cos φ cos a — третьего
порядка малости по сравнению с Ω3 cos φ sin α и Ω3 cos φ cos a.
Пренебрегая малыми величинами, можем записать:
/^θ + ^Ωψ + GW = /Ωί Q3cos<p sin a —в—);
/сгр — /Ωό + G/ψ « /ΩΩ3 cos φ cos a + m/V.
(471)
Полученные^ уравнения с принятой степенью точности
описывают движение рассматриваемого гироскопического прибора.
Если пренебречь в (471) нутационными членами и исследовать
лишь прецессионное движение гироскопа, то система уравнений
примет вид
Г>1 » τ
Ψ + τω" * = Ω3cos Ψ sin a— -^~;
ψ = —Ω3 cos φ cos a r~- V.
JQ
(472)
Выясним характер движения гироскопического прибора для
случая, когда его корпус расположен на земной поверхности не*
358

подвижно. Полагая в уравнениях (472) скорость V и ускорение V
объекта равными нулю, находим:
• о
ψ -f -tq- θ = Ω3 cos φ sin α;
*--s-*
-Q3cos φ cos α.
(473)
Если считать, что φ и α постоянны, система (473) будет иметь
частные решения
ь
-or-i>23cos(p sin a>
-ртт- Ω3 cos φ cos α.
(474)
Соответствующую однородную систему уравнений запишем
в символическом виде
Gl
(475)
а ее характеристическое уравнение в виде определителя
Gl
Р>
Gl
Ж'
Раскрыв определитель» получим
Gl \2
+ (£)
= 0.
о,
откуда находим корни характеристического уравнения:
/ ы \2 . gi
-(■ж) =±1ж = ±т-
(476)
В соответствии с полученными значениями корней
характеристического 'уравнения решения для одной из переменных
системы (475), например для Ф, примут вид
$р = Сх cos nt + С2 sin n/.
Продифференцировав полученное значение θρ и подставив его
во второе уравнение системы (475), найдем выражение для угла ψ:
ψρ = Са sin nt — С% cos nt.
359

Таким образом, общее решение системы (473), учитывая ее
частные решения (474), можно записать в виде
/Ω
φ = Сг cos nt + С2 sin nt + -£т- Ω3 cos φ sin α;
ψ = Cx sin nt — C2 cos nt + -gp Ω3 cos φ cos a.
(477)
Для определения постоянных интегрирования Сг и С2 будем
полагать, что при / = О
ft (0) = 0; ψ (0) = 0.
Тогда непосредственно из выражений (477) следует:
■ Ω3 cos φ sin a; C2 = -^ Ω3 cos φ cos a.
Ql Η«3^τ .„,-, ~2 — ω
Подставив найденные значения Сх и С2 в (477), будем иметь
η УΩΩ3 cos Φ sin α , . /ΩΩ3 cos φ cosa . , ,
•θ = ,,, cos nt ~\ ,./ sin η/ +
ш Ο/
, /ΩΩ3 cos φ sin a
ΐ|> =
Ο/
/ΩΩ3 cos φ sin α . , /ΩΩ3 cos φ cos α . .
τ sin nt э ^/ cos η* +
Gl
Gl
+
/ΩΩ3 cos φ cos a
или
ft /ΩΩ3 cos φ . , , ч . /ΩΩ3 cos φ sin a
θ== gy—^8ΐη(ηί —a) + Чтг^ ;
/ΩΩ3 cos φ , , . ч .
ψ = 1_—-L-cos (nt — a) +
Ы
/ΩΩ3 cos φ cos a
Gl
01
(478)
Как видим, рассматриваемый гироскопический прибор
(рис. 155) в случае неподвижного положения его основания на
земной поверхности совершает незатухающие колебания вокруг
оси ΟζΓ (рис. 156) с круговой частотой я, равной согласно (476)
Gl
η =
/Ω '
и периодом
π 2π 0 JQ
(479)
360

В процессе этих колебаний проекция полюса гироскопа на
картинную плоскость Q будет описывать замкнутую траекторию.
Перепишем (478) в виде
/ΩΩ3 cos .φ sin α /ΩΩ3 cos φ
" αϊ ~


ψο/
/ΩΩ3 cos φ cos α
67
■sin (nt— α);
/ΩΩ3 cos φ
GI
cos (nt— α).
Возводя каждое из полученных выражений в квадрат и
складывая, получим уравнение траектории, описываемой проекцией
полюса гироскопа на
картинной плоскости:
/ΩΩ3οθ8 φ sin α
/α /ΩΩ3 cos φ sin α \2
Λ* —οϊ ) +
, / . «/ΩΩ3 cos φ cos α \2_
__ / /ΩΩ3 cos φ у
~\ Ο/ ) ш
Рассматриваемая
траектория представляет
собой окружность радиуса
/ΩΩ3 cos φ
^.^гШ-^f-
NO*
01
с центром в точке N9
координаты которой
определяются значениями углов
#г и ψΓ из (474).
Для уточнения
положения оси ΟζΓ в системе
координат Οξηζ, неизменно
связанной с земными
ориентирами, вычислим
значение угла ν между плоскостями ΝΟ*ζ и ΒΟζ. Из прямоугольного
треугольника 0*NL, расположенного на картинной плоскости Q,
учитывая формулы (474), находим
/ΩΩ3 cos φ sin α Gl
Рис. 156. Девиация маятниковой
гировертикали.
& Ψγ . —0/./ΩΩ3 cos φ cos α
-tga
и, следовательно,
ν = —a.
Таким образом, ось ΟζΓ, характеризующая положение
динамического равновесия гироскопа, отклоняется в данном случае от
вертикали Οζ в плоскости ξΟζ географического меридиана.
Величина угла δ этого отклонения, или так называемой девиации при-
361

бора, может быть определена из того же прямоугольного
треугольника 0*NL, стороны которого связаны между собой зависимостью
W0* = V tf + tf.
Из этой зависимости, учитывая (474), при малых углах Фг
и ψΓ находим значение угла при вершине конуса, по поверхности
которого перемещается главная ось ОА гироскопа в процессе его
колебаний вокруг оси Οζ/.
δ = ΝΟ*= ;QQ'0,fCOBy . (480)
Так как угловая скорость Ω3, согласно равенству (168), весьма
мала, угол δ также достаточно мал. Последнее обстоятельство
позволяет считать, что главная ось гироскопа практически
совпадает с вертикалью места, в связи с чем описанный прибор и
получил название маятниковой гироскопической вертикали или
гировертикали.
Пример 31. Определить период Τ прецессионных колебаний и угол δ
девиации маятниковой гировертикали, установленной неподвижно на земной
поверхности под географической широтой φ = 50° таким образом, что
плоскость ΒΟΑ (рис. 156) составляет с плоскостью меридиана угол α = 20°.
Гировертикаль обладает кинетическим моментом J Ω = 13 700 Гсмсек и весом G =
= 500 Г, Смещение центра тяжести системы от точки ее подвеса /=1,5 см<
Из выражения (479) находим
Г г:-я Ш -2 311 1370° -11171 сек
1 /Л Ы * *14 500-1,5 '
Из равенства (480), учитывая значение угловой скорости Ω3 (168), находим
. JQQ3cos<p 13 700-7,29· Ю-8 cos 50° Q cc ,„ .
6« i—JL . —^ , 8,56.10-* рад.
или соответственно
ό ■» 0,000856-57,3-60 *■ 2,94 * 3 мин.
§ 74. СКОРОСТНАЯ ДЕВИАЦИЯ
МАЯТНИКОВОЙ ГИРОВЕРТИКАЛИ.
УСЛОВИЕ ЕЕ НЕВ03МУЩАЕМ0СТИ
Для выяснения характера движения маятниковой
гировертикали при перемещениях объекта со скоростью V (см. рис. 155)
вновь обратимся к системе уравнений (472), Примем, что движение
объекта происходит с постоянной скоростью V = const. При этом
условии система уравнений (472) принимает вид
ί . Gl α гл · V
Ψ + Τω" * = Ω3ςοδ Φsin α — ~#7;
Φ 77Γ Ψ — —Qacos φ cos α.
(481)
36?

Система (481) имеет частные решения
θΓ = -£f (^3cosq) sin α— ^г-) >
JΩ ~
ψΓ = T7J- Ω3 cos φ cos α,
(482)
которые характеризуют величину девиации маятниковой
гировертикали.
Соответствующая однородная система уравнений имеет
вид (475). Ее решение определится найденными выше (§ 73)
значениями' $р и ψρ. Таким
образом, общее решение
уравнений (481) будет
θ = Сг cos nt + C2 sin nt +
, JQ /0 . ν \
+ _^3coscpsina-^-);
ψ = Cx sin ηί — C2 cos ηί —
/Ω ^
ρτρ "3 C0S Ψ C0S α·
Из анализа полученных
равенств следует, что и в
данном случае маятниковая
гировертикаль совершает
незатухающие гармонические
колебания вокруг оси
динамического равновесия, которая
теперь не совмещена с
плоскостью географического меридиана. Действительно, положение
на картинной плоскости точки N (рис, 157), через которую
проходит ось динамического равновесия, обусловливается
значениями (482). Следовательно, угол ν, определяемый зависимостью
Рис. 157. К определению скоростной
девиации маятниковой гировертикали.
JQ ( Ω3 cos φ sin α £-— j Gl
= -tga-r;
*—GUQQ3 cos φ cos a
V
RaQ3 cos φ cos a
будет уже отличаться от курса a.
В связи с этим азимутальная плоскость, содержащая точку N,
составляет теперь с плоскостью географического меридиана угол,
равный разности a — v. Из схемы (рис. 157) видно, что
перемещение точки подвеса маятниковой гировертикали относительно
363

земной поверхности вызывает отклонение оси ее динамического
равновесия от плоскости географического меридиана в сторону
левого борта подвижного объекта. Это дополнительное по
сравнению с (474) отклонение оси динамического равновесия от
вертикали места на угол
получило название скоростной девиации маятниковой вертикали.
В процессе движения объекта его скорость может изменяться
как по величине, так и по направлению. Поэтому точка подвеса
маятниковой вертикали в общем случае будет перемещаться
относительно земной поверхности с ускорением. В связи с этим в
гироскопической системе будут возникать силы инерции,
порождающие дополнительные отклонения главной оси прибора от
вертикали места.
Выясним, при каком условии можно избежать указанных
ошибок в показаниях маятниковой гировертикали. При отсутствии
инерционных ошибок частные решения (482) должны
удовлетворять системе уравнений (472) в любой момент времени даже при
переменной скорости движения V. Основываясь на сказанном,
подставим в уравнения (472) вместо переменных θ и ψ значения θΓ
и ψΓ из (482) и их первых производных. Учтем также, что в
рассматриваемом случае (см. рис. 155) при ускорении объекта вдоль
его продольной оси Осхс углы α (курса) и φ (географической
широты места) за время маневра практически не изменяются. В
результате подстановки будем иметь
QgCos φ sin α π~ = Q3cos φ sin α w—;
JQV η * ml Ty
— OIR ' *~ 3 C0S У C0S α ** """ » C0S Φ cos α — Ί7Γ V·
Нетрудно заметить, что первое из полученных равенств
удовлетворяется во всех случаях, второе —. только при соблюдении
условия
/Ω __ ml
GIR3 ~~ ΊΊΓ*
Заменив в этом равенстве массу т гироскопа его весом G,
находим
(ж)! = *· <«>
При соблюдении условия (483) маятниковая гировертикаль
не будет реагировать на yςκopeния объекта в горизонтальной
плоскости .__Подставиз соотношение (483) между конструктивными
т

параметрами маятниковой гировертикали ё выражение (479),
определяющее значение периода ее незатухающих прецессионных
колебаний, получим
Τ = 2π-£7" = 2π γ — · (484)
Как видим, для того, чтобы маятниковая гировертикаль не
возмущалась при ускорениях объекта, период ее прецессионных
колебаний, так же как и период колебаний гироскопического
компаса (см. § 70), должен удовлетворять условию Шулера и быть
равным 84,4 мин.
Необходимо иметь в виду, что условие (483) невозмущаемости
маятниковой гировертикали, так же как и условие (465)
невозмущаемости гирокомпаса, является приближенным. Его
соблюдение не обеспечивает апериодических переходов гировертикали
из одного положения равновесия в другое при любых режимах
движения объекта. По причинам, которые были изложены в § 70,
создание абсолютно невозмущаемых маятниковых
гировертикалей связано с преодолением значительных технических
трудностей. Более того, при малых габаритах прибора соблюдение даже
приближенного условия невозмущаемости (483) практически
неосуществимо.
Для подтверждения сказанного обратимся к равенству (484).
Выразим в нем момент инерции / и вес G ротора через его массу т\
учтем, что период Τ колебаний гировертикали должен быть
равен 84,4 мин. или 5064 сек. Пренебрегая массой внутреннего
карданова кольца, найдем требуемую величину смещения центра
тяжести гировертикали
где ρ — радиус инерции ротора относительно главной оси
гироскопа;
g — ускорение силы тяжести, равное 981 смсек'2.
Одновременно центр тяжести гироскопа должен быть смещен
вдоль его главной оси по отношению к точке подвеса на такое
расстояние /, чтобы при допустимом значении угла Δ застоя прибора
момент силы О превышал или в крайнем случае был равен моменту
сил трения в опорах подвеса. Это требование будет соблюдаться
лишь при условии
Gl sin Δ > λΟ,
из которого при малой величине допустимого угла застоя Δ следует
1>-Г, (486)
где λ — коэффициент момента сил трения качения.
365

Приравняв между собой правые части выражений (485) и (486),
найдем минимально необходимую величину радиуса инерции ρ
ротора гироскопа:
^ = ~^Λ,26■10λ-e■ΔΩ^ <487>
Как следует из выражения (487), вследствие малого значения
допустимого угла застоя Δ даже при малой величине
коэффициента λ момента сил трения радиус инерции ρ ротора маятниковой
гировертикали, а следовательно, и ее габариты приобретают
значительные размеры. Это усугубляется еще и тем, что с
увеличением ρ угловую скорость Ω приходится ограничивать
определенными пределами, обусловливаемыми требованиями прочности
ротора. С уменьшением угловой скорости Ω, как это следует
из (487), радиус инерции ρ, при всех прочих равных условиях,
будет увеличиваться. В то же время смещение / центра тяжести
гироскопа относительно точки его подвеса, определяемое по
выражениям (485) или (486), оказывается весьма малым и во многих
случаях невыполнимым технологически.
Пример 32. Определить необходимые радиус ротора и смещение центра
тяжести маятниковой гировертикали, период колебаний которой равен 84,4 мин.
Ротор выполнен в виде цилиндра. Допустимый угол застоя Δ не превышает
5 угл. мин. Угловая скорость собственного вращения ротора Ω=30υ0 сек."1.
Коэффициент момента сил трения λ = 0,2· 10"3 см.
Переведем значение угла застоя в радианы:
Δ=5'=-6δ^ = 1·46·1°·3Ρ3«·
Подставив численные значения величин, входящих в выражение (487),
найдем необходимый размер радиуса инерции ротора:
- λ/ λ - ΐ/ ο>2·ιο-3 ~
Q У 1,26.КГ6-ΔΩ V 1,26-Ю"6· 1,^6· Ю^-ЗООО ' *
Как известно, * радиус инерции цилиндра равен 0,7071 его наружного
радиуса. Следовательно, необходимое значение радиуса в рассматриваемом случае
R = ~ojvfT = -ЩтГ = 10'3 см'
Величину смещения центра тяжести гироскопа / определим из
зависимости (486):
, λ 0,2-ΙΟ"3 Λ10_
/ = Х = 1,46. Ю-3 ^W-
Чтобы сравнить полученные результаты расчета с практическими данными,
укажем, что наружный радиус ротора шаровой гировертикали Сперри [см. 18,
стр. 108], работающей на воздушной опоре, R = 7,6 см.
1 См.: Техническая энциклопедия, т. 13, Гостехиздат, 1941, стр. 431.
366

§ 75. УСПОКОЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ
МАЯТНИКОВОЙ ГИРОВЕРТИКАЛИ
Анализ уравнений (472) показал, что маятниковая
гировертикаль совершает незатухающие гармонические колебания вокруг
оси динамического равновесия. Воспользоваться для
демпфирования собственных колебаний гировертикали естественными
силами сопротивления, например силами трения в опорах подвеса,
Рис. 158. Маятниковая гировертикаль с
гидравлическим успокоителем.
практически не представляется возможным. При качке или
маневрах объекта силы трения будут не столько гасить собственные,
сколько возбуждать вынужденные колебания гироскопа. Поэтому
на практике, как и говорилось выше (§ 34), стремятся уменьшить
силы трения в опорах подвеса до возможного минимума, а для
демпфирования собственных колебаний гироскопа используют
специальные, в частности гидравлические, успокоители.
Представим маятниковую гировертикаль (рис. 158), на гиро-
камере ВК которой установлены два сообщающихся между собой
сосуда Ьг и 62, соединенные тонкой трубкой. Сосуды
смонтированы на гирокамере ВК симметрично оси подвеса ОВ и заполнены
до определенного уровня жидкостью. Вес сообщающихся сосудов
с жидкостью при вертикальном положении главной оси ОА
гироскопа уравновешивается соответствующим грузом.
До тех пор, пока главная ось ОА вертикальна, в каждом
сосуде находятся одинаковые объемы жидкости. х Следовательно,
сила веса жидкости, заключенной в сообщающихся сосудах, лежит
Рассматривается движение объекта с постоянной скоростью.
367

в этом случае в плоскости ΒΟζ и не вызывает относительно оси ОВ
моментов. При отклонении главной оси ОА от вертикали Οζ
одновременно с гироскопом совершат поворот вокруг оси подвеса
и сообщающиеся сосуды. Один из них поднимается над плоскостью
горизонта, второй опустится (рис. 159). Вследствие малого
диаметра соединительной трубки жидкость, обладающая
определенной вязкостью, не сможет мгновенно переместиться из одного
сосуда в другой. Для такого перемещения потребуется некоторое
время, причем скорость перетекания жидкости будет зависеть
от разности уровней Л, коэффициента λ, определяемого длиной
и диаметром соединительной трубки, и вязкости жидкости [17,
if стр. 208]:
u = Xh.
В результате перетекания
в нижнем сосуде появится
избыточный объем жидкости,
сила веса которого будет
создавать момент относительно
соответствующей оси подвеса
гироскопа. Чтобы выяснить
влияние указанного момента
на характер движения
маятниковой
гировертикали,представим, что она повернулась
вокруг внутренней оси
подвеса ОВ на угол θ (рис. 159). Из-за увеличения объема жидкости
в нижнем сосуде линия аа, соединяющая центры площадей
поверхности жидкости в сообщающихся сосудах, составит с осью Oz
ротора гироскопа угол ε. Таким образом, разность уровней h при
расстоянии L между центрами сообщающихся сосудов определится
зависимостью
h = L sin (ΰ* — ε),
согласно которой выражение для скорости υ перетекания
жидкости из одного сосуда в другой, учитывая малость углов θ и ε,
примет вид
Ό = XL (θ — ε). (488)
Угол ε не остается неизменным. Перетекание жидкости
обусловит его постепенное увеличение, причем угловая скорость ε
изменения угла ε будет связана со скоростью жидкости следующим
равенством (см. рис. 159):
0,5Ζ.ε = υ.
Подставив эту зависимость в выражение (488), получим
дифференциальное уравнение
г = 2λ (θ — ε), (489)
описывающее изменение во времени угла ε.
Рис. 159. Гидравлический успокоитель.
368

Появляющийся в нижнем Сосуде избыточный объем жидкости Q,
определяемый внутренним диаметром d сосуда и углом ε:
Q = —ξ- / sin ε,
обусловит воздействие на гироскоп силы Р, зависящей от
удельного веса γ жидкости:
Ρ = yQ = У —г- I sin ε.
Сила Ρ веса избыточного объема жидкости в нижнем сосуде
создаст относительно оси ОБ момент
Μв = Ρ -0,5/ cos θ = γ —^— /2 sin ε cos θ,
который будет действовать на гироскоп в положительном
направлении.
Объединив в полученном выражении постоянные величины
JtJ2
общим коэффициентом К = у 8 /2, можем величину момента Мв
выразить зависимостью Мв = К sin ε cos θ.
Подставив найденное значение момента Мв в систему
уравнений (471) и опустив в них нутационные члены и члены,
характеризующие положение динамического равновесия, для малых
углов θ и ε найдем
/Ωψ + G/θ = Кг\
/Ωθ — 6/ψ = 0.
Полученная система двух уравнений содержит три
переменные: θ, ψ и ε; дополним ее третьим уравнением (489), описывающим
изменение угла ε; в результате исходная система уравнений
примет вид
/Ωψ + Gib —Кг = 0; )
/ΩΟ — G/ψ = 0;
β + 2λε — 2λθ = 0.
(490)
Определим из первого уравнения системы (490) величину ε
[одставим значения ε и ε в третье уравнение исследуемой си-
мы:
/ΩΟ — G/ψ = 0; |
... . (491)
/Ωψ + G/ft + 2λ/Ωψ + 2λ (G/ — Κ) Ο =0. J
369

Разрешив систему (491) относительно переменной θ, придем
к дифференциальному уравнению
<> + 2λ& + (-Ι-)2 д + 2Ш}?,[ГК) ^ = 0. (492)
Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид
рз + 2λ„· + (^)2Р+ 2kGlZ-K) * = 0. (493)
Произведя в нем подстановку
(494)
(495)
2λ
приведем уравнение (493) к виду
qs + a*q + ъ* = 0,
где
* 4λ2 . / G/ \2
,* _ 4λ3 2λ / Gl \2 2kGl(Gl-
-Κ)
27 3 \ Л2 / ' Λ'^
Коэффициенты уравнения (495) положительны, поэтому они
будут удовлетворять условию
т+т>°
и, следовательно, уравнение (495) будет иметь один вещественный
и два комплексных сопряженных корня: 1
qx = —m\ ?2, з = 4г ± *'".
Корни характеристического уравнения (493) с учетом (494)
равны
2λ
Pi^—m — = —а;
Рг^ = ^ — ~±ьп^~Ь± in.
Таким образом, согласно изложенному в § 13, решение
уравнения (492) может быть записано в виде
О = erbt (Сг cos nt + С2 sin nt) + C3e~at. (496)
1 См.: В. И. Смирнов. Курс высшей математики. Т. I, Гостехиздат,
1948, стр. 442.
370

Продифференцировав выражение для θ и подставив
величину θ в первое уравнение системы (491), найдем
ψ = 4^" е~М [~~ (пС1 + bC^ sin nt + (пС* ~ bC^ cos nt^ ~~
-JtoLcjr**. (497)
Из анализа выражений (496) и (497) следует, что при
отклонении главной оси от вертикального положения маятниковая
гировертикаль, снабженная успокоителем, начинает совершать
затухающие колебания около положения равновесия. В процессе
рассматриваемого движения проекции полюса гироскоп
совершит на картинной плоскости сложное перемещение, состоящее
из двух элементарных. Одно из них, описываемое третьими
членами выражений (496) и (497), есть движение проекции полюса по
кратчайшему расстоянию £0* (рис. 158) из отклоненного положения
к совмещению с точкой О*. Другое, описываемое первыми двумя
членами рассматриваемых выражений, является движением
проекции полюса по спирали. В результате сложения этих
элементарных перемещений проекция полюса гироскопа придет к
совмещению с точкой О*, совершив путь по некоторой кривой,
лежащей между прямой £Ό* и спиралью EfdO*. Как видим, установка
на маятниковой вертикали гидравлического успокоителя,
создающего момент относительно одной из осей подвеса, обеспечивает
демпфирование ее колебаний около положения динамического
равновесия.
§ 76. ГИР0Г0РИ30НТЫ
Как было показано выше (§ 74), условие (483) невозмущаемо-
сти маятниковой гировертикали выполнимо лишь в приборах,
имеющих большие габариты. Между тем, для управления
движением летательных аппаратов, морских катеров и подобных им
объектов необходимы высокопрецизионные гироскопические
вертикали малых габаритов. Это требование было удовлетворено
лишь в результате создания особого типа приборов, получивших
название гироскопических горизонтов, или сокращенно гиро-
горизонтов.
В гирогоризонтах (рис.* 160) в отличие от маятниковых
гировертикалей (см. рис. 155) центр тяжести системы совмещается с
точкой ее подвеса. Такой гироскоп, как известно (см. гл. IV), не
реагирует на ускорения объекта, но зато систематически отклоняется
от направления вертикали Οζ, так как не обладает
избирательностью. Чтобы предотвратить указанное отклонение, в
гирогоризонтах применяются корректирующие устройства, аналогичные
описанным в § 45, 50 и 57.
371

Для измерения углов Φ и ψ отклонения главной оси ОА
гироскопа от вертикали Οζ на гирокамере, или внутреннем кардано-
вом кольце ВК, устанавливается блок L, внутри которого
размещаются два маятника с потенциометрическими датчиками. При
отклонении главной оси ОА от вертикали Οζ один из маятников
измеряет угол ψ поворота гироскопа вокруг его наружной оси
подвеса ОС, второй — угол θ поворота вокруг внутренней оси ОВ.
Сигналы, снимаемые с потенциометров маятников, подаются
на датчики моментов ДМВ и ДМС, которые и создают
действующие на гироскоп относительно
осей подвеса О В и ОС
корректирующие моменты МкВ и МкС.
Сигнал, снимаемый с
потенциометра маятника, измеряющего
величину угла ψ, подается на
датчик моментов ДМВ. Сигнал,
снимаемый с потенциометра
второго маятника,
измеряющего величину угла θ, подается
на датчик моментов ДМС.
Будем полагать, что
величины корректирующих
моментов МкВ и МкС, создаваемых
датчиками моментов ДМВ и
ДМС, пропорциональны
соответственно углам ψ и θ. Напра-
~ ιηΓΪ π вления их действия выбираются
Рис. 160. Принципиальная схема гиро- * ^ г
горизонта. таким образом, чтобы под
влиянием корректирующих моментов
ось ОА гироскопа совмещалась с вертикалью Οζ. Из схемы
(рис. 160) видно, что это условие соблюдается, если
корректирующие моменты при положительных значениях углов Ό* и ψ
отклонения гироскопа будут равны <
МкВ = -/(βψ; Мкс = КСЪ. (498)
Для выяснения характера движения гирогоризонта подставим
значения корректирующих моментов из (498) в систему (162).
Учитывая, что в рассматриваемом случае угол θ0 = 0, можем записать
JBft + /Ω (ψ + <oc + <oDfl) = — КВЦ,
Jc\]p — /Ω (θ + ωΒ) = Кс®
(499)
или, подставив значения угловых скоростей ωβ, шс и (oD из (469)
и заменив для общности, согласно (1), R3 на R, получим
JBft +^Ω|ψ— Ω3 cos φ sin α + -n- + Ω3ψθοο$ (pcosa -f-
372

+ (Ω3 sin φ £- sin α tg φ) θ] =— ΚΒΫ,
Jcty — J Ω θ + Ω3 cos φ cos α — ( Ω3 sin φ ^- sin α tg φ J ψ 1 = Kc$.
Опуская из рассмотрения нутационные члены и величины
высших порядков малости, перепишем полученные уравнения в
следующем виде:
Ψ + Ύ§~ Ψ = Q3c°s Ψ sin α — —-;
JQ
Kc
JQ
ΰ* = —Ω3οο$ φ cos α.
(500)
Система уравнений (500) имеет частные решения:
^r==~KI \ 3°0δ φ sin α — "ЗГ/;
•θ,. = jr— Ω3 cos φ cos α.
(501)
Решения
уравнений
соответствующих однородных дифференциальных
Kb .u _ η αϊ #c_ a _ о
Ψ + -7<τΨ = 0> # +
,/Ω
,/Ω
определяются по выражениям (286).
Таким образом, общее * решение системы уравнений (500)
имеет вид
к*
(Ω3 cos φ sin α *Λ;
■RJ'
θ
JQ
Ac
Ω3 cos φ cos α.
(502)
Проанализировав выражения (502), нетрудно установить
различие в характере движения гирогоризонта и маятниковой
гировертикали. Как было показано выше, маятниковая вертикаль
при наличии успокоителя движется к положению динамического
равновесия так, что проекция полюса гироскопа описывает на
картинной плоскости спираль (см. рис. 158). При движении к
положению равновесия гирогоризонта проекция его полюса
перемещается на картинной плоскости более коротким путем, описывая
одну из траекторий, показанных на рис. 103.
Положение динамического равновесия гирогоризонта будет
также отличным от положения динамического равновесия
маятниковой гировертикали. Действительно, положение на картинной
373

плоскости точки N (рис. 161), через которую проходит ось
динамического равновесия гироскопического горизонта, характеризуется
углами θΓ и ψΓ, определяемыми по (501). В соответствии с этим
угол ν характеризуется отношением
К в Ω3 cos φ cos α
___ _.
Ω3 cos φ sin α ^~
В случае неподвижного объекта при V = 0 и Кв = Кс
tgv = ctg<x = tg (-J a),
следовательно,
π
ν =-2 α·
Как видим, при
неподвижном положении точки подвеса
гирогоризонта на земной
поверхности и при равенстве
коэффициентов Кв и Кс
положение оси его динамического
равновесия совмещено с
азимутальной плоскостью,
перпендикулярной плоскости
географического меридиана.
Движение объекта, как это следует
из первого выражения (501),
отклоняет ось динамического
равновесия в сторону отрицательных значений оси 0*ψ,
противоположную направлению движения объекта.
Пример 33. Определить девиацию гирогоризонта, установленного на
летательном аппарате, если высота полета h = 9000 м, скорость V ■= 800 км/ч,
курс a ■■ 20°, широта φ =* 40°. Параметры гироскопа: /Ω =» 2300 Генсек, Кв **
*■ Кс =■" 450 Г см]рад.
Учитывая значение радиуса Земли R3 *■ 6371 км, вычислим угловую
скорость:
— — _ _ «= П 195 пял /ияг = Я 47.10-5 грк -1
Рис. 161.
К определению девиации
гирогоризонта.
Лв
6371 + 9
0,125 рад./час = 3,47.10-5 сек."
Из выражений (501) и (168) находим:
/Ω
Кв
( Ω3 cos φ sin a — j =
(7,29-10-5 cos 40° sin 20° — 3,47- ΙΟ"5) =
2300
450
= —7.46· 10"5 рад. «=—0,25 угл. мин.;
374

JQ
Kc
Ω3 cos φ cos α = -
2300
45U
7,29-ΙΟ"5 cos 40°cos 20° =
= —26,7.ΙΟ"5 рад. =—0,92 угл. мин.
Следовательно, суммарная девиация
δ = У ф2 + ψ; = Vu№ + 0,2ο2 = 0,95 угл. мин.
§ 77. ОСНОВНЫЕ РАЗНОВИДНОСТИ ПРИНЦИПИАЛЬНЫХ
СХЕМ КОРРЕКЦИИ ГИР0Г0РИ30НТ0В
Практическое осуществление корректирующих устройств гиро-
горизонтов весьма разнообразно. Насчитывается большое
количество вариантов принципиального и конструктивного решения
вопроса. На рис. 162 представлен один из вариантов системы
коррекции гирогоризонта.
А\Х
Рис. 162. Гирогоризонт с коррекцией перемещающимися грузиками.
На гирокамере ВК такого прибора установлены два цилиндра
из антимагнитного материала, продольные оси которых взаимно
перпендикулярны и параллельны осям ОВ и ОС подвеса
гироскопа. С обоих концов цилиндров располагаются катушки
соленоидов N и L, включаемые в сеть электрического тока посредством
корректирующих маятников КМ1 и К7И2, оси подвесов которых
параллельны осям Оу и Οζ гирокамеры. Предположим, что в
результате поворота вокруг оси ОС гироскоп наклонился
относительно плоскости горизонта. В этом случае маятник /СМ2,
сохраняя отвесное положение, замкнет ламель Ь2, расположенную
вместе с ламелью Ь3 на изолированном основании /?,
установленном на гирокамере ВК-
375

Замыкая контактную ламель Ь2> маятник КМ2 включит ток
в катушку Lx соленоида, расположенного перпендикулярно оси Оу
гироскопа. Возникшее электромагнитное поле соленоида
воздействует на помещенный внутри цилиндра якорь Яъ в результате
чего он переместится вдоль
оси Oz. Вес Ρ якоря Я\
создаст на плече / внешний
момент МкВ = ΡU
действующий относительно оси
Оу. Момент Мк β вызовет
прецессионное движение
гироскопа вокруг оси ОС,
в результате которого его
главная ось О А будет
двигаться к вертикали. По
аналогичной схеме будет
работать и второй соленоид,
якорь которого
перемещается внутри цилиндра
при наклонах гироскопа
вокруг оси ОВ. При
совместной работе обоих
датчиков моментов главная
ось гироскопа
удерживается в вертикальном
положении. Как видим, для
создания моментов Мк в и
МкС в описываемой схеме
коррекции используется
вес якорей соленоидов N
и L, поэтому она и
получила название коррекции
перемещающимися
грузиками.
В современных гиро-
горизонтах вместо двух
физических маятников
КМХ и КМ 2 на гирокамере
или внутреннем кардано-
вом кольце ВК
устанавливают общий блок L (см. рис. 160), представляющий собой
пространственный электролитический маятник.
Он состоит из изоляционной платы, на которой по
окружности, на равном расстоянии друг от друга, смонтированы четыре
контакта d (рис. 163). Эти контакты размещаются на
гирокамере ВК попарно по двум взаимно перпендикулярным осям
Оу и Oz.
Рис.
163. Пространственный
электролитический маятник.
376

Контакты d закрыты медным выпуклым кожухом.
Пространство между кожухом и платой почти полностью, за исключением
малого пузырька воздуха, заполнено электропроводящей
жидкостью с относительно высоким удельным сопротивлением.
Контакты d маятника соединены с обмотками датчиков моментов ДМВ
и ДМС, а кожух является пятым электродом с выводом через
центральный контакт q.
Если корпус маятника занимает горизонтальное положение,
что соответствует совмещению главной оси гироскопа с
вертикалью места, пузырек воздуха устанавливается в центре между
Л
Ψ
Рис. 164. Гирогоризонт с шариковой коррекцией и графики изменения
корректирующих моментов.
контактами d. В этом случае последовательно с обмотками
датчиков моментов вводятся одинаковые жидкостные сопротивления.
По обеим секциям этих обмоток проходят равные токи. Их
действие взаимно уничтожается, и величина корректирующего
момента становится равной нулю.
При отклонении главной оси гироскопа от вертикали пузырек
воздуха смещается относительно центрального положения и
равенство сопротивлений в цепях обмоток нарушается. В результате
ток в одной из секций обмоток датчиков моментов возрастает,
благодаря чему на гироскоп начинают действовать
корректирующие моменты требуемого направления.
Оригинальным является и другой вариант корректирующего
устройства с так называемой шариковой коррекцией. Представим
себе гироскоп, на гирокамере ВК которого закреплен диск Д
(рис. 164). Вращающийся внутри гирокамеры ротор с помощью
понижающей фрикционной передачи приводит во вращение
вокруг главной оси О А гироскопа поводок Я, который двигает перед
собой по периферии диска корректирующий шарик N.
Вес Ρ шарика Ν, действуя на гироскоп на расстоянии гот оси ОЛ,
создает внешний момент Λίκ, вектор которого также вращается
377

вокруг оси ОА со скоростью вращения шарика N. При
горизонтальном положении диска Д, что имеет место при совмещении
главной оси ОА гироскопа с вертикалью Οζ, шарик, перемещаясь
по орбите диска с постоянной скоростью, будет создавать внешние
моменты, переменные относительно обеих о£ей подвеса. Однако,
как в этом нетрудно убедиться, суммарное значение
моментов МкВ и МкС за один оборот поводка Я будет равно нулю.
Проследим за изменениями корректирующих моментов МкВ
и Мк с в процессе одного оборота поводка Я. Условимся
рассматривать его движение начиная с положения а, совмещенного с
плоскостью уОх. Нанеся изменения МкВ и МкС на график,
убеждаемся, что они подчинены гармоническим законам. Следовательно,
средние значения рассматриваемых моментов за один поворот
поводка Я будут равны нулю. Таким образом, главная ось
гироскопа, прецессирующего в результате действия момента Λίκ,
создаваемого силой веса шарика Ν, будет описывать вокруг
вертикали Οζ конус, угол при вершине которого весьма мал.
Если же в силу тех или иных причин главная ось ОА
отклонится от вертикали Οζ, то суммарные значения корректирующих
моментов, создаваемых весом шарика Ν, будут отличными от
нуля. Предположим, что главная ось ОА отклонилась от
вертикали Οζ в результате поворота гироскопа, а вместе с ним и диска Д
вокруг наружной оси подвеса ОС. При таком наклоне диска Д
шарик N будет перемещаться по его периферии на участке между
точками а и b с прежней скоростью. Но как только поводок Я
переведет шарик N за точку 6, последний под влиянием
собственного веса оторвется от поводка Я и достигнет точки а диска Д
быстрее, чем с ней совместится сам поводок. Таким образом,
за время одного поворота поводка Я вокруг оси ОА шарик N
будет находиться на диске Д по одну сторону его диаметра ab
более продолжительное время, чем по другую сторону.
Естественно, что при таком перемещении шарика N средние
значения моментов МкВ и МкС будут определяться некоторыми,
отличными от нуля, величинами
Мк в ср = — Мг\ Мк с ср « М2:
Именно под влиянием этих моментов у гироскопа и возникает
прецессионное движение, в результате которого его главная
ось ОА будет двигаться к вертикали Οζ. Необходимо подчеркнуть,
что характер восстанавливающего движения в описанном приборе
будет близок к движению маятниковой гировертикали с
успокоителем.
Своеобразная принципиальная схема корректирующего
устройства применена в авиационном гирогоризонте, устройство которого
показано на рис. 165. На продолжении главной оси О А гироскопа
расположены два ролика 7?, приводимые во вращение вокруг
оси ОА ротором гироскопа через понижающий шестеренчатый
373

редуктор N. Ролики R, вращающиеся вокруг оси ОА в одном
направлении с ротором гироскопа, помещены в прорезях двух
полуколец LB и Lc, обладающих свободой вращения соответственно
вокруг осей 0хс и ОС.
Центры тяжести каждого
полукольца LB и Lc лежат выше их
осей подвеса, однако до тех пор,
пока главная ось ОА гироскопа
совмещена с вертикалью Οζ, силы
веса полуколец поглощаются
реакцией их опор и на гироскоп
влияния не оказывают. В этом случае
ролики R свободно вращаются в
прорезях полуколец LB и Lc,
находящихся в вертикальном
положении. При отклонении главной
оси ОА от вертикали Οζ
полукольца LB и Lc наклонятся к плоскости
горизонта, в связи с чем силы их
веса создадут моменты,
действующие на гироскоп.
Предположим, что главная ось ОА отклонилась от вертикали Οζ
в результате поворота гироскопа в отрицательном направлении
вокруг внутренней оси подвеса на угол Ό* (рис. 166). На такой же
Рис. 165. Гирогоризонт с
коррекцией маятниковыми полукольцами.
Рис. 166. Схема коррекции гирогоризонта силами трения.
угол отклонится от вертикальной плоскости χ00ζ и полукольцо LB,
сила Ρ веса которого теперь уже не будет проходить через точку О
подвеса гироскопа. Составляющая N = Psin,& веса Ρ полукольца
начнет действовать на вращающийся ролик 7?, в результате чего
379

между соприкасающимися поверхностями ролика и полукольца
возникнут силы трения. Нетрудно заметить, что величина силы
трения F, которая действует на гироскоп параллельно оси ОВ
его подвеса в направлении ее отрицательных значений, зависит
от угла θ наклона гироскопа и равна
F = λΡ sin θ,
где λ — коэффициент сил трения между соприкасающимися
поверхностями полукольца LB и ролика R.
Сила трения F, действуя на гироскоп на плече /sinf-^ Oj,
создаст относительно оси ОВ внешний момент
MB = XP/sindcosd.
При этом направление вектора момента Мв будет совпадать
с отрицательным направлением оси ОС. Под действием момента Мв
возникнет прецессионное движение гироскопа вокруг оси ОВ
с угловой скоростью
л λΡΙ sin θ cos θ
θ^ ΤΩ '
равной при малом угле θ
Α λΡΙ А
В результате такого движения главная ось О А гироскопа
начнет возвращаться к вертикали Οζ, и в тот момент, когда угол θ
станет равным нулю, прецессия прекратится. При наклоне
гироскопа относительно оси ОС его прецессионное движение будет
вызываться силами трения, возникающими между поверхностями
ролика R и полукольца Lc (см. рис. 165). Одновременное
взаимодействие между роликами R и полукольцами LBl Lc
обеспечивает совмещение главной оси описанного гирогоризонта с
вертикалью.
Укажем еще на один вариант корректирующего устройства
гирогоризонта. Представим, что электродвигатель ЭД подвешен
с помощью кардановых колец в корпусе прибора так, что его центр
тяжести ЦТ находится ниже точки 0D подвеса (рис. 167). Поэтому
ось 0DAD ротора двигателя ЭД будет перемещаться вокруг точки
подвеса 0D аналогично рассмотренному выше (§ 73) движению
маятниковой гировертикали. Тем самым вал электродвигателя ЭД
будет с определенной точностью сохранять вертикальное
положение. Вал двигателя ЭД заканчивается шаровой опорой О,
на которой монтируется ротор Ρ гироскопа, аналогично тому,
как это было описано в § 9.
С помощью шайбы F, на которую действуют упругие силы
диафрагмы £>, создают необходимое давление между соприкасаю-
380

щимися поверхностями шаровой опоры 0 и ротора Р. Вследствие
сил трения, возникающих между этими поверхностями, вращение
вала двигателя ЭД вокруг оси 0DAD передается ротору Р. При
совмещении осей ОА и 0DAD крутящий момент MD,
развиваемый двигателем ЭД, полностью расходуется на сообщение ротору
кинетического момента /Ω. В случае возникновения между
указанными осями угла θ на поддержание вращения ротора вокруг
оси ОА будет затрачиваться лишь составляющая MD cos θ
крутящего момента MD двигателя.
Вторая составляющая MD sin θ,
вектор которой направлен
перпендикулярно /Ω, вызовет
прецессию ротора Р, приводящую его
ось О А к совмещению с осью 0DAD
двигателя ЭД, выдерживающей
вертикальное положение.
Чтобы числа оборотов ротора
вокруг оси ОА оставались
постоянными, между ним и шайбой F
помещают стальные шарики d.
Вследствие центробежных сил
инерции шарики стремятся занять
наиболее удаленное положение от
оси вращения ОА. При
номинальных оборотах ротора они
устанавливаются на границе
цилиндрического и конусного участков
внутренней поверхности шайбы F.
С увеличением оборотов возрастают Рис 1б7> Схема коррекции гиро-
центробежные силы инерции и горизонта маятниковой гироверти-
шарики d начинают находить на калью.
конусную поверхность, отжимая
тем самым шайбу F от ротора Р. Давление между ними
уменьшается, и ротор начинает проскальзывать относительно
вращающегося вала двигателя ЭД, в результате чего обороты ротора
снижаются.
Из рассмотренных схем коррекции гироскопического
горизонта следует, что стабильное удерживание его главной оси в
вертикальном положении зависит от того, насколько точно среднее
положение корректирующих маятников совпадает с направлением
вертикали.
Следует иметь в виду, что при ускорениях объекта
корректирующие маятники отклоняются от вертикали. Если
ускорение в одном направлении будет длительным, то
корректирующие моменты могут за это время вызвать отклонение главной
оси гирогоризонта от вертикали на значительный угол.
381

§ 78. ВЛИЯНИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ КОРРЕКЦИИ НА ДВИЖЕНИЕ
ГИР0Г0РИ30НТА К ПОЛОЖЕНИЮ РАВНОВЕСИЯ
Характер движения главной оси гирогоризонта к положению
динамического равновесия обусловливается в первую очередь
зависимостью корректирующих моментов от углов поворота
гироскопа вокруг осей подвеса. При пропорциональной зависимости
?) М,
7
L
6)
Мк
д) мк
1
L
е) мк
Ί
L
ж) .м,
') .Л
«О Л>
Рис. 168. Характеристики коррекции гирогоризонтов.
между этими величинами (рис. 168, а), или, как говорят, при
пропорциональной характеристике коррекции, полюс гироскопа будет
перемещаться по траекториям, аналогичным рассмотренным в § 46.
В гироскопическом приборостроении используются также
постоянные (рис. 168, б) и смешанные (рис. 168, в) характеристики
коррекции. Каждая из них может обладать зоной нечувствительности
(рис. 168, г — е), а в некоторых случаях и гистерезисной петлей
(рис. 168, ж, з—и).
Более сложная характеристика коррекции обусловливает и
более сложный вид траектории проекции полюса гироскопа на
картинной плоскости при его движении к положению равновесия.
Так, например, при смешанной характеристике (рис. 168, в)
382

корректирующие моменты
лам # и ψ
Μ
кВ
и AiKC пропорциональны уг-
-КвЪ МкС = Кс®
(503)
лишь в пределах их малых значений, ограниченных на
картинной плоскости (рис. 169) областью IX.
При отклонении гирогоризонта от вертикали на углы Φ и ψ,
превышающие значения, ограниченные областью IX,
корректирующие моменты будут определяться зависимостями
-MoBsigni|),
МкВ =
MoCsignfl, (504)
соответствующими
положению проекции полюса
гироскопа на картинной
плоскости в областях / — IV.
В областях V и VII
корректирующие моменты будут
равны
МкВ = -КвЪ
MKC=MQCsign®, (505)
а в областях VI и VIII
Рис. 169. Траектория полюса
гирогоризонта при смешанной характеристике
коррекции.
MKB = —MoBsign^
МкС-=КсЪ. (506)
Проследим за перемещениями проекции полюса гироскопа
на картинной плоскости при смешанной характеристике
коррекции. С этой целью опустим в системе (162) нутационные члены
и члены, зависящие от угловых скоростей вращения основания
прибора, и учтем, что в данном случае $0 = 0. При этом условии
угловые скорости прецессионного движения гироскопа
Мд
J Ω
ψ=4£
* = ·
(507)
Предположим, что в первый момент времени полюс гироскопа
проектировался на картинную плоскость в точку,
расположенную в области / и имеющую координаты, определяемые
значениями углов йн и ψΗ. В первый период прецессионное движение
гироскопа в зависимости от действующих на него моментов (504)
происходит с угловыми скоростями
МоВ , η _ МоС
ψ
J Ω
JΩ
При равенстве моментов М0 в и М0 с будут равны между собой
и угловые скорости ψ и θ. Поэтому в пределах области / рассма-
383

триваемая траектория будет прямой линией. Как только проекция
полюса гироскопа достигнет точки с координатами ^ и ψ1?
расположенной на границе между областями / и VI,
корректирующие моменты станут равными значениям (506) и прецессия будет
происходить с угловыми скоростями
ψ JQ > π JQ π'
Как видим, с уменьшением угла θ уменьшается и угловая
скорость Φ, в то время как φ остается неизменной. В результате
проекция полюса гироскопа в пределах области VI перемещается по
кривой, пока не достигнет границы области IX, придя в точку
с координатами Оа и ψ2·
С этого момента, в соответствии с (503), угловые скорости
прецессии гироскопа
♦—-Й-* * = -tS-*·
При равенстве коэффициентов Кв и Кс рассматриваемая
траектория в пределах области IX будет представлять собой прямую,
проходящую через начало О* координатной системы 0*ihj).
В некоторых конструкциях, например в гирогоризонте с гру-
зиковой коррекцией (рис. 162), характеристика коррекции
обладает явно выраженной петлей гистерезиса (рис. 168, ж). Это
обусловливается наличием сил трения между соприкасающимися
поверхностями корректирующих грузов и их цилиндрическими
направляющими. Уравнения (507) прецессионного движения
гироскопа при такой характеристике коррекции примут вид
^-^(ψ-Δ^ηψ),
* = —7§"(*-Acsign4),
где Δβ и Ас — углы застоя, порождаемые силами трения в ци-
диндрах, продольные оси которых параллельны соответственно
осям О В и ОС подвеса гироскопа (рис. 162).
Введя обозначения
Assign ψ = d, kcs\gn$ = q (508)
и переписав рассматриваемые уравнения
найдем их решения
/Ω _, ,, %v r . „ _,_
~ JQ * и ~~ и" ~ JQ
ψ = ψΗ<Γ 7ΪΓ ' ± J<Bd 9 ^ = ^J- ΙΈ ' ± Ш.
384

в которых знаки перед вторыми членами определяются по
зависимостям (508). с
При равенстве коэффициентов Кв и Кс траектории проекции
полюса гироскопа на картинной плоскости (рис. 170) имеют
вид прямых, проходящих через точки с координатами ± --—-
Рис. 170. Спектр траекторий перемещения полюса
гирогоризонта при гистерезисной характеристике
коррекции.
И ±
Кед
JQ
В случае перемещения проекции полюса гироскопа
из первого квадранта, где углы йи ψ положительны, а угловые
скорости -θ и ψ отрицательны, ее возможные траектории будут,
как это следует из равенств (508), сходиться в точке с коорди-
Ква КсЯ
натами —лг и --^-.
Наличие в системе коррекции зоны нечувствительности
(рис. 168, 2 — е) и петли гистерезиса (рис. 168, ж—и) будет
также влиять на изменение вида траектории полюса гироскопа.
Эти влияния подробно разобраны в работах [4, 14, 36, 43, 44 и др. ].
§ 79. ВЛИЯНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ВОЗМУЩЕНИЙ
НА ДВИЖЕНИЕ ГИРОГОРИЗОНТА
Как уже говорилось (см. § 38), объект, несущий
гироскопический прибор, в процессе перемещений совершает непрерывные
колебания вокруг своего центра тяжести. Кроме того, скорость
и курс объекта могут изменяться, что сопровождается неизбеж-
385

иьши ускорениями. Так как точка подвеса гироскопической
системы в общем случае не совпадает с центром тяжести объекта,
то при его движении она будет вынуждена перемещаться в
пространстве с непрерывно изменяющимися ускорениями.
Естественно, что при этих условиях корректирующие
маятники, управляющие системой коррекции, уже не будут неизменно
совмещены с вертикалью. Стремясь занять положение
динамического равновесия, они будут составлять с вертикалью (см. § 2)
все новые и новые углы рассогласования. Поэтому
корректирующие моменты будут зависеть теперь от углов отклонения от
вертикали не только самого гирогоризонта, но и корректирующих
маятников.
Таким образом, в рассматриваемом случае система
уравнений (499) по аналогии с уравнениями (281) должна быть
переписана в следующем виде:
/ВФ + JQ (ψ + (ос + a>D0) =-- — Kb "(Ψ— ec);
Jcyp— /Ω (θ + ωβ) = Кс{$—ев),
где гв и ес — углы отклонения корректирующих маятников от
вертикали.
Два последних уравнения содержат четыре неизвестные
величины, для определения которых система (509) должна быть
пополнена двумя уравнениями (4), описывающими движение
корректирующих маятников. В результате получим систему
дифференциальных уравнений, описывающих движение гирогоризонта
с пропорциональной коррекцией:
JBQ + JQ (ψ + <ос + <oD0) - —Kb (Ψ- ее); ]
JC$-JQ (θ -Ь ωΒ) = *с(0- е*);
t (эш)
Λι вев + Ки ΒεΒ — Ми в\
J и с*с + К* с^с = МяХ:. )
Предположим, что моменты МиВ и МиС изменяются по
гармоническим законам:
MuB^MouBcosqt\ M„c = M0I!Csin^.
При этом условии решения двух последних уравнений
системы (510) примут вид (И). Учитывая, что со временем
собственные колебания корректирующих маятников исчезнут и останутся
(509)
386

только их вынужденные колебания, запишем решения указанных
уравнений в виде
вв= Л'В„» х cost?/;
КиВ
„2
П
иВ
ес = Л'^ ч stag*.
Подставим найденные значения εβ и ес в первые два
уравнения (510) и опустим в них, как и ранее, члены, характеризующие
нутационные колебания. Пренебрегая влиянием на прецессионное
движение гирогоризонта угловых скоростей его основания, можем
записать
H#t = Кв**шС ,2 N si* qt;
{ <с
Полученные уравнения имеют один и тот же вид. Поэтому для
выяснения характера движения гирогоризонта достаточно
проанализировать одно из них. Обращаясь с этой целью к первому
уравнению и обозначая в нем
КвМоиС
JQKn с [ 1
= Q, (511)
"и С
будем иметь
ψ + ^ψ-Qsin?/. (512)
Разыскивая частное решение уравнения (512) в виде
ψΓ = N cos qt + L sin qt
и учитывая, что решением соответствующего однородного
уравнения является выражение (286), находим общее решение
уравнения (512):
ψ = сГ ^ ' + 'У? (Кв sin qt - JQq cos qt),
{Jiig) -+- Αβ
387

или
y=Ce J° -f . ""v = s\n (gt — λ),
где
X = arctg^g-. (513)
Подставим в полученное выражение значение Q, определяемое
из равенства (511). Введя обозначение
Кв Мои с пяс
:*m. (514)
можем записать
/с
в
у = Се J*** + ypms\n (qt —λ). (515)
Для определения постоянной интегрирования С предположим,
что в начальный момент времени ψ (0) = ψΗ. При этом условии
непосредственно из (515) следует
C = ij)H + ij)msin^
где, согласно принятой зависимости (513),
. л JQq
sin λ = ч =■.
Подставив значение С в (515), будем иметь
^в Κβ
ψ = ψΗ<Γ 72Γ' + 7Ω? г|)тГ "75"' + Sfm s^ faf - λ). (516)
V(JQg)2 + K%
Из (516) следует, что гироскопический горизонт при
гармонических возмущениях его корректирующих маятников будет
апериодически двигаться к совмещению с положением динамического
равновесия, совершая при этом вынужденные колебания.
Как следует из равенства (514), амплитуда г|)т вынужденных
колебаний гирогоризонта тем меньше, чем меньше (при всех
прочих равных условиях) коэффициент /(β, характеризующий
эффективность коррекции. Однако уменьшение Кв и Кс ограничено
зависимостями (501), согласно которым при допустимом значении
углов отклонения главной оси гирогоризонта от вертикали
коэффициенты Кв и Кс не могут быть меньше некоторых величин,
определяемых условиями работы прибора в каждом конкретном случае.
Пример 34. Определить амплитуду вынужденных колебаний и угол
первоначального отклонения положения динамического равновесия гирогори-
388

зонта с кинетическим моментом J Ω = 5000 Гсмсек от вертикали,
Корректирующие маятники обладают относительно своих осей подвеса моментами
инерции Jhb— JhC = 0,005 Гсмсек2 и коэффициентами восстанавливающих
моментов КиВ— ки с = 6 Гсм/рад. Действующие на них внешние
возмущающие моменты изменяются с амплитудами М0 и в = М0 и С = 2 Гсм и с
круговой частотой q = 6 сек."1. Коэффициенты корректирующих моментов Κβ =-
= /Сс = 500 Гсм/рад.
По равенству (7) определим круговую частоту собственных колебаний
корректирующих маятников:
η„ β = «„ С = УЩ = ]/=£ - 34,64 сек.-
Подставив в выражение (514) значения входящих в него величин, определим
амплитуду вынужденных колебаний гирогоризонта:
,h Kb МоиС пиС _
= 5,72.Ю-3 рад.
500 2 34,642
6 /δΟΟΟ2-. 6* + 5002 34,64я — 6*
или соответственно
ψΜ== 5,72- Ю-3·57,3 = 0,33 град.
Определяемый вторым членом выражения (516) угол первоначального
отклонения положения динамического равновесия от вертикали будет равен
JQq
V(JQqf + Kl
tm «* ψ/и & 0,33 грал.
в
§ 80. СРАВНИТЕЛЬНАЯ ОЦЕНКА ОСНОВНЫХ ВИДОВ
ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМ КОРРЕКЦИИ
ГИРОСКОПИЧЕСКИХ ПРИБОРОВ
Выбор характеристики коррекции зависит от условий, в
которых гироскопический прибор будет работать. Чтобы составить
суждение о преимуществах и недостатках корректирующих
устройств, обладающих той или иной характеристикой. (см.
рис. 168), вновь обратимся к системе уравнений (162). Учитывая,
что при корректировании гироскопа угол $0 = 0 (см. § 45, 50,
57 и 76), перепишем уравнения (162) в следующем виде:
JBb + J Ω (ψ + <oc + <oDfl) = MB) J '
Jdip-JQ(u + <oB) = Mc. J
Моменты внешних сил, действующие на корректируемый
гироскоп, определяются, как известно (см. § 46, 59, 61, 78 и 79),
корректирующими моментами и моментами сил трения.
Корректирующие моменты являются функциями как углов ϋ и ψ
поворотов гироскопа, так и углов гв и ес отклонений указателей от
заданных направлений, а моменты сил трения — функциями угло-
389

вых скоростей -θ и ψ. Поэтому система уравнений (517) может быть
переписана в следующем виде:
JBti + /Ω (φ + ω0 + coDfl) = —ΜκΒ (ψ, ес) - ΜτΒ (0);
/сф— /Ω ({> + ωΒ) =- МкС(А, гв) — МтС (ψ).
Опуская нутационные члены и пренебрегая малой
величиной (ОдО· по сравнению с оос, находим
МкВ(Ц, *c) + MrB(b) + JQ<ocu )
Мк с (О, вБ) — Мт с(·») + «ΏωΒ
ΖΩ
ψ
(518)
Рассмотрим движение гироскопа к корректируемому
положению по перемещению проекции его полюса на картинной
плоскости (рис. 171). Будем полагать, что в начальный момент гироскоп
занимает положение, при котором его полюс проектируется на
картинную плоскость в точку Л, расположенную в первом
квадранте. В этом случае движение гироскопа к корректируемому
положению, а его полюса к началу О* системы координат 0*θψ
происходит с отрицательными угловыми скоростями (θ < О
и ψ <: θ), поэтому моменты сил трения положительны и
выражения (518) угловых скоростей прецессии гироскопа при
пропорциональной характеристике коррекции (см. § 46), принимают вид
К в (Ψ — ес) — М0 т в + Л2о>с
ψ:
Кс
(ΟΖΩ
εβ) + Μοτθ + ΖΩωβ
JQ
(519)
При релейной характеристике коррекции (см. § 61) скорости
прецессии гироскопа будут
• _ ___ MoKBsign^ — eri — MojB + JQiuc . )
0 =
Mq kC sign (θ — гв) + МотС-г JQ^b
JQ
(520)
Пользуясь выражениями (519) и (520), можно сравнить
основные разновидности (рис. 168, а—в) характеристик коррекции
гироскопа. Для упрощения будем считать, что измерители
корректирующих устройств не имеют зон застоя и что коррекция
гироскопа по обеим осям его подвеса обладает одинаковой
интенсивностью (Кв = Кс и Λί0κβ = МокС). Учитывая сказанное,
рассмотрим вначале движение полюса на картинной плоскости
при неподвижном положении корпуса прибора (ωβ = шс = 0)
и при отсутствии отклонений измерителей (гв = гс = 0) и момен-
390

тов сил трения (Л10тВ = Л10тС = 0).
При таких допущениях
исследуемые выражения (519) и (520)
можно представить равенствами
♦ = ■
JQ » " JQ
и соответственно
; М0 кВ . л М0кС
ψ " ΈΓ ' ~ J& '
Как видим, при
пропорциональной характеристике
коррекции с уменьшением углов # и ψ
будут уменьшаться и угловые
скорости Φ и ψ. Поэтому полюс
гироскопа перемещается по
прямой линии ЛО* со все
уменьшающейся скоростью, пока не
совместится сточкой О* (рис. 171, а). В
случае релейной характеристики
коррекции, при одинаковой ее
интенсивности, угловые скорости
прецессии гироскопа по обеим осям
его подвеса будут равны ψ === Ь.
Вследствие этого полюс гироскопа
будет двигаться на картинной
плоскости по прямой Л В,
расположенной под углом в 45° к линии абсцисс
0*ψ.
Как только полюс гироскопа
совместится с линией 0*ψ,
достигнув точки By и угол ft станет
равным нулю, корректирующий
момент МокС перестанет
действовать на гироскоп и движение
последнего вокруг внутренней оси
подвеса прекратится. Но действие
момента МокВ продолжится.
Поэтому гироскоп будет прецесси-
ровать вокруг наружной оси
подвеса, в связи с чем его полюс
будет двигаться по прямой 50*,
совмещенной с осью 0*ψ. Как только
полюс совместится с точкой О*,
угол ψ станет равным нулю, момент

М0кВ перестанет действовать и прецессия гироскопа
прекратится.
При смешанной характеристике коррекции полюс гироскопа
перемещается по прямой АВ до тех пор, пока коррекция по обеим
осям имеет релейную характеристику (см. § 78). При достижении
полюсом точки С на прямой АВ характеристика коррекции по
внутренней оси станет пропорциональной, в связи с чем
дальнейшее перемещение полюса происходит по кривой CD, пока он не
совместится с точкой D. С этого момента характеристики
коррекции по обеим осям подвеса гироскопа становятся
пропорциональными и полюс движется по прямой DO*, пока не совместится с
точкой О*.
Рассмотрим, как моменты сил трения влияют на приход
гироскопа к корректируемому положению. В этом случае выражения
(519) и (520) принимают вид
у = _К**-М*тв. 6 = _K<fi + M9Tc (521)
И
-ι, _ MqkB— МотВ . ή __ МокС + МотС /соо\
*- 7Ω > ϋ~ Л5 (bZZ)
Как следует из полученных зависимостей, наличие сил трения
при пропорциональной характеристике коррекции (521) изменит
положение равновесия гироскопа и его полюс придет к совмещению
на картинной плоскости не с точкой О , а с точкой От (рис. 171, б)
с координатами ~~- и—тгг~- В ЭТУ же точку От приходит
полюс гироскопа и при смешанной характеристике коррекции.
При релейной характеристике (522) моменты сил трения
нарушат равенство угловых скоростей прецессии. Коррекция вокруг
внутренней оси станет более интенсивной, чем вокруг наружной,
в связи с чем линия АВ пересечет ось 0*ψ под углом, отличным от
45°. Так как корректирующие моменты МокВ и МокС всегда
больше моментов Μ0τΒ и Λί 0тС сил трения, то полюс гироскопа,
достигнув точки В на оси абсцисс, будет перемещаться далее
вдоль оси 0*ψ, пока не придет в точку О*.
Таким образом, при релейной характеристике моменты сил
трения не вызывают дополнительных отклонений гироскопа.
Если при пропорциональной и смешанной характеристиках
силы трения порождают статические ошибки гироскопа,
определяемые частными решениями уравнений (521)
ϋ'~ ~ΎΓ' Ψγ~ Kb '
то при релейной характеристике, как это следует из
выражений (522), статические ошибки равны нулю:
392

Аналогичное влияние на изменение траектории перемещения
полюса гироскопа на картинной плоскости оказывают и угловые
скорости ωβ и сос вращения в пространстве корпуса гироскопа
вокруг его осей подвеса. Полагая в зависимостях (519) и (520)
углы гв и ес, а также моменты М0тВ и М0тС равными нулю,
имеем:
для случая пропорциональной характеристики
Ψ ~ 7U ' ϋ ~ Τω > (όΖό)
для релейной характеристики
М0 кв 4- JQ(*c . А _ М0 кС + JQ(*B
ψ = -.
У Ω > ν УЙ
Полученные выражения показывают, что положение
равновесия гироскопа при пропорциональной и смешанной
характеристиках коррекции совмещено с точкой 0*ω (рис. 171, в), координаты
которой определяются частными решениями уравнений (523):
Ac ' Yr ~ Kb
В случае релейной характеристики, когда корректирующие
моменты М0кВ и М0кС по модулю превосходят моменты
гироскопические JU(uc и /Ωωβ, перемещение полюса происходит по
ломаной линии АВО* до совмещения с точкой О*. Таким образом,
и в этом случае статические ошибки гироскопа равны нулю.
Однако изложенное не может явиться основанием для вывода
о преимуществах релейной характеристики коррекции по
сравнению с пропорциональной и смешанной. Необходимо иметь в виду,
что при. отклонениях измерителей от заданного направления,
когда гв =f= 0 и гс φ 0, угловые скорости прецессии зависят от
характеристики коррекции. Для подтверждения сказанного
примем, что в (519) и (520) θ, ψ, ΜοτΒ, М0тС, ωΒ и сос равны нулю.
При таком допущении рассматриваемые выражения примут вид
и соответственно
* = т; о = ^7^· (525)
МркВ . ά _ М0кС
JQ > ν ~~ /Ω
Из полученных равенств следует, что изменения углов гв
и ес по-разному влияют на угловые скорости ψ и θ прецессии
корректируемого гироскопа. При пропорциональной
характеристике коррекции / (рис. 172) с увеличением ев и ес возрастают и
угловые скорости прецессии (524). В случае релейной характери-
393

hj>
стики // угловые скорости прецессии (525) остаются постоянными
независимо от изменений ев и ес. При смешанной характеристике ///
угловые скорости ψ и θ пропорциональны гв и гс лишь в
некоторых пределах, а затем сохраняют постоянные значения. Поэтому
выбор той или иной
характеристики коррекции зави-
#/ сит от условий, в которых
/ух*' будет работать гироскопи-
.- ческий прибор. Если в
/ процессе его работы уско-
β рения объекта имеют боль-
/у- т" шие значения, необходимо
у,' /// выбирать релейную харак-
уу теристику коррекции, при
О \^L которой угловыескоростиф
д> с и θ не превышают выбран-
Рис. 172. Зависимость θ и ψ от углов εβ иес ных пределов при любых
при различных видах коррекции. г ^ г
у к уу- ускорениях. Если
ускорения объекта малы, предпочтительнее использовать
пропорциональную характеристику, чтобы при малых углах гв и гс
отклонения измерителей не вызывали прецессии гироскопа с излишне
большими угловыми скоростями. Наконец, в тех случаях, когда
ускорения объекта могут редко достигать больших значений,
рациональнее использовать смешанную коррекцию. Тогда при
больших ускорениях угловые скорости прецессии не превысят
установленного предела, а при малых ускорениях не будут излишне
большими.
§ 81. ДВИЖЕНИЕ ГИРОГОРИЗОНТА ПРИ СМЕ ЩЕНИИ ЕГО
ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ ОТНОСИТЕЛЬНО ТОЧКИ ПОДВЕСА
В тех случаях, когда центр тяжести гирогоризонта несколько
смещен относительно точки подвеса, при отклонениях главной
оси от вертикали на гироскоп действуют как восстанавливающие
моменты, обусловливаемые смещением центра тяжести, так и
моменты, создаваемые корректирующим устройством. Первые
учитывались в системе (466), вторые — в системе (499). В общем
случае система уравнений, описывающая движение гироскопа,
примет вид
jB о + /Ω (ψ + сос + <oD0) = - G/0 - ΚβΫ, I
/ · \ · Γ (ΟΖΟ)
Jcyp—JQ(ft + <uB) = — Glyp + Kcft + mlV. J
Опустим в системе (526) нутационные члены и ограничимся,
как и выше (§ 76), лишь основными составляющими значений угло-
394

вых скоростей вращения основания прибора. При таком
допущении, полагая ускорение объекта V равным нулю, будем иметь
* + lHf*^3C0S?sina-{;
(~τ1 Κ
Ь — -то" ψ + j§r θ = — Ω3 cosq) cos a.
(527)
Определив из первого уравнения (527) угол θ и подставив
значения О и θ во второе уравнение той же системы, получим
Ψ + 7Ω ψ + 1чё *-
Ω3 cos φ (Gl cos a + Kc sin a) — Kc -5-
(528)
~~ ,/Ω
Обозначив постоянные, входящие в (528),
/Сб+/Сс _„. G4* + KbKc _h.
JQ "' /2Ω2 "" ϋ>
V
Ω3 cos φ (Gl cos a + /Cc sin a) — Kc -5-
7Ω = d> (529)
получим
ψ + αψ + 6ψ = d. (530)
Из (530) находим частное решение:
d
Решение соответствующего однородного уравнения
ψ + βψ + byp — 0
при выполнении неравенства
/1\2_ ( Кв + Кс \*^,ОЧ* + КвКс _ и
\ 2 J ~ \ 2JQ ) ^ /2Ω2 ~ "'
как известно (см. § 58 и 68), имеет вид
ψρ = β 2 (Cj cos η/ + C2 sin n^),
где
n^/6-(-f)2. (531)
395

Таким образом, общее решение уравнения (530) примет вид
ψ = е~т ' (d cos nt + С2 sin nt) + -γ. (532)
Подставив найденное значение ψ и ψ в первое уравнение (527),
$ = е 2 '(CjSinni— C4COS/1O — 4f ·4- +
+ -^-Йз cos φ sin α — -jjf'-γ' (533)
Из выражений (532) и (533) следует, что в рассматриваемом
случае гироскоп совершает затухающие колебания около положения
динамического равновесия, отклоненного от вертикали на углы,
определяемые постоянными членами. Величины этих углов,
с учетом (529), будут равны:
ν
Ω3 cos φ (Gl cos α + Kc sin α) —- /fc -5-
</2/a + КвКс
у
Ω3 cos φ (Kb cos a — Gl sin a) + G/ —
-/Ω
(534)
04* + ДвЛс
Нетрудно заметить, что при соответствующих соотношениях
между конструктивными параме{рами гироскопа углы θτ и ψΓ
могут быть снижены до необходимых минимальных значений.
§ 82. ДЕВИАЦИЯ ГИР0Г0РИ30НТА ПРИ ВИРАЖЕ ОБЪЕКТА
Среди погрешностей гирогоризонта особое место занимают его
отклонения от вертикали при разворотах и виражах объектов.
Представим, например, что летательный аппарат (рис. 173)
совершает вираж вокруг вертикали Οζ с угловой скоростью соц. При
правильном его выполнении углы гс и гв отклонения
корректирующих маятников г от вертикали Οζ соответственно равны углу
крена у и нулю. Поэтому действующие на гироскоп
корректирующие моменты будут, как это следует непосредственно из схемы,
определяться из равенств
МкВ = КВ(У- Ψ); Мкс = КСЪ.
Подставим значения моментов МкВ и МкС в систему
уравнений (162) и учтем, что Ф0 = 0; в результате можем записать
Jв '6 + JQ (ψ + сос + <oD0) = Kb (У - Ψ); )
■Jcy-JQ(6+a>B) = Kcb. J
1 Корректирующие маятники на рис. 173 условно смещены вдоль осей
подвеса гироскопа.
396

В процессе выполнения виража угловая скорость соц
несоизмеримо велика по сравнению с остальными составляющими,
обусловливаемыми суточным вращением Земли и скоростью объекта.
Поэтому, спроектировав на оси ОВ, ОС wOD только вектор
угловой скорости соц, найдем
ωΒ = coucos (ζ, В)= (Оц X
X cos(-y + ψ)=—соц sin ψ;
ωα = cducos (ζ, С) = (оцХ
X cos-
0;
cdd = cuucos^, D) = cuucosi|).
Подставив значения ωβ,
coc и ωΏ в систему (535),
в которой опускаем
нутационные члены, в случае
малых углов θ и ψ будем
иметь
0 + 7§-#-соцг|) = 0.
(536)
Определив из первого
уравнения системы (536) Η
величину θ и подставив ΰ*
и θ во второе уравнение
этой системы, найдем
Рис. 173. Девиация гирогоризонта на
вираже.
ψ +
Кв + Кс
JQ
Ψ +
(УОшц)8 + КвКс
ψ =
КвКсУ
(7Ω)2
Решение полученного уравнения, согласно (361), имеет вид
кв+кс
-,(537)
ψ = е
2JQ
(Сх cos nt + C2 sin nt) -f-
КвКсу
(/Ωω4)* + /CBtfc
где
•|/4(,/Ошц)«-(Лд~Дс)'
V 2JQ
(538)
397

Подставив значение угла ψ из (537) в первое уравнение
системы (536), найдем
0 = g--S7o-'|Y Кс-Кв-С J}_c\cosnt +
+ ( *?,o ^ C2 + — СЛ sin /if 1 + '*?£* K ■ (539)
Как следует из выражений (538) и (539), при вираже объекта
гирогоризонт совершает затухающие колебания около положения
равновесия, составляющего с вертикалью углы
. КвКсУ θ JQ^KBy (Б40)
Ψί"~ (JQtotf+КвКс ' г~~ (^Ωω4)β + КвКс ' К }
Чтобы более наглядно представить движение гирогоризонта
при вираже объекта, примем, что коэффициенты Кв ~ Кс.= К-
При таком допущении выражения (537) и (539) принимают вид
ψ— ψΓ = Ne JQ sin (соц/ + δ);
> — Όν = Ne JQ cos (coui +
(541)
где
N = r Ky . (542)
Возведем уравнения (541) в квадрат и затем сложим их между
собой. В результате получим
Л,
(ψ_ψΓ)ί+(θ—Or)a = -/Vae JQ . (543)
Уравнение (543) по своему виду напоминает уравнение
окружности, центр которой имеет координаты Фг и ψΓ. Однако радиус
этой окружности уменьшается с течением времени по
экспоненциальному закону. Таким образом, перемещение проекции полюса
гироскопа на картинной плоскости происходит по кривой, близкой
к спирали. Аналогичный характер движения гирогоризонта при
вираже объекта наблюдается и в случае использования других
видов характеристик коррекции [14, 43].
Из выражений (540) следует, что при левом вираже объекта,
когда ооц > 0, координаты θΓ и ψΓ положительны. При соц < 0
изменится знак угла крена γ, в связи с чем ψΓ будет
отрицательным, а θΓ останется положительным. Траектории перемещения
проекции полюса гироскопа показывают, что в процессе движения
гирогоризонта к положению динамического равновесия в
отдельные моменты времени его главная ось отклоняется от вертикали
398

на углы, превосходящие значения $г и ψΓ, определяемые по
равенствам (540). Так как θΓ и ψΓ могут сами принимать большие
значения, в современных гирогоризонтах применяются специальные
меры для компенсации их виражных погрешностей.
Пример 35. Определить положение динамического равновесия гирогори-
зонта, установленного на летательном аппарате, совершающем вираж со
скоростью V = 540 км/ч = 150 м/сек при радиусе /?ц = 2000 м. Кинетический
момент гироскопа J Ω = 6000 Гсмсек, коэффициенты корректирующих моментов
Кв= Кс= 250 Гсм/рад.
Находим угловую скорость виража
ш«=^гг»-=ао75сек·"1
и соответствующий ей угол крена
Υ = —у- = g-gj =^ 1,15 рад. = 65,5 град.
Подставив вычисленные значения соц и γ в выражения (540), найдем
КвКсУ 2502· 1.15 nQCQ опо
*' = {JQvtf+КвКс = 6000*.0,075*+250* = °'353 РЗД' = 2°'2 Град-;
. ΖΩω^γ 6000.0,075.250.1,15 _ „_ _ Q
*' = (ЛЫ^+КвКс = 6000»-0,075'+250* = °'635 раД* = 36'3 ГрЗД'
§ 83. КОМПЕНСАЦИЯ ВЛИЯНИЯ УСКОРЕНИЙ ОБЪЕКТА НА
ГИРОВЕРТИКАЛЬ
Если период прецессионных колебаний маятниковой
гировертикали равен 84,4 мин., то она, как говорилось выше (§ 74),
практически не будет реагировать на ускорения объекта. Необходимо
указать, что такой способ компенсации влияния ускорений на
отклонение главной оси гироскопа от вертикали не является
единственным. Так, например, компенсация влияния
центростремительных ускорений объекта на поведение маятниковой
гировертикали при определенных скоростях движения может быть
достигнута рассогласованием оси Ох внутреннего карданова кольца ВК
и главной оси ОА гироскопа на угол θ* (рис. 174, а).
Действительно, при вираже объекта вокруг вертикали Οζ
с угловой скоростью (Оц возникает центростремительное
ускорение Уц = (ОцУ. Так как центр тяжести гироскопа смещен
относительно точки подвеса О вдоль оси Ох на расстояние /, то при
движении объекта с центростремительным ускорением Vn возникнут
силы инерции mVd) которые создадут относительно оси ОВ
момент тУц/. В то же время вследствие рассогласования между осями
Ох и ОА при вынужденном повороте гироскопа вокруг оси Οζ
с угловой скоростью соц будет возникать относительно той же
оси ОВ гироскопический момент (см. § 7), равный /Ωω4 sin θ*.
399

Нетрудно видеть, что направления действия указанных
моментов противоположны, поэтому при их равенстве
mVJ = /Ωω,^ίη Φ*
гироскоп не будет реагировать на центростремительные
ускорения объекта.
Рис. 174. Схемы компенсации влияния центростремительных
ускорений.
Последняя зависимость обусловливает и необходимую
величину угла рассогласования между осями О А и Ох, которая,
учитывая малость рассматриваемого угла, равна
sin θ* ^ θ* =
ml
ЛЫк
V =J^-V
(544)
Описанный метод может быть использован и для компенсации
влияния центростремительных ускорений объекта на положение
гирогоризонта. При движении объекта с центростремительным
ускорением Уц корректирующий маятник, ось подвеса которого
параллельна оси ОВ гироскопа (рис. 174, б), отклонится от
вертикали Οζ на угол
■ _ ω^ _ о)ц1/
g
8
В результате на датчик моментов ДМС будет подан сигнал,
что обусловит действие на гироскоп относительно оси ОС
корректирующего момента МкС = Ксгв-
Если главная ось ОА гирогоризонта составляет с осью Ох
внутреннего карданова кольца ВК угол ψ* в плоскости ВОх, то
при вращении гироскопа вокруг оси Οζ с угловой скоростью соц
относительно оси ОС возникнет гироскопический момент
/Ωω4 sin ψ*; направление этого момента противоположно
корректирующему. Из равенства моментов
Ксъв = ^Ωωα sin ψ*
400

можно определить необходимое значение угла
sin ψ* ^ψ*
JQ(£>n gJQ
V,
(545)
Рис. 175. Схема компенсации
влияния ускорений на
маятниковую гировертикаль.
при соблюдении которого главная ось гирогоризонта не будет
отклоняться от вертикали при вираже объекта, движущегося
со скоростью V.
Полученная зависимость показывает, что при изменении
скорости V движения объекта необходимо изменять и величину
угла ψ*. Это не всегда удобно, поэтому во многих системах гиро-
горизонтов используется метод автоматического выключения
коррекции (на время выполнения
объектом азимутальных разворотов). Однако
в принципе могут быть созданы системы
компенсации влияния ускорений и при
изменениях скоростей движения.
Представим себе, например,
маятниковую вертикаль (рис. 175), снабженную
дополнительным гироскопом, с двумя
степенями свободы по отношению к
внутреннему карданову кольцу ВК
основного гироскопа. Главную ось О0А0
дополнительного гироскопа
принудительно устанавливают под углом θ* к
главной оси О А основного. Согласно
условию (544) угол θ* должен быть
пропорционален скорости V. Для обеспечения этого условия в приборе
используется интегрирующий электродвигатель ЗД, управление
которым осуществляется от указателя скорости движения объекта.
В описанном устройстве в случае движения объекта с
ускорением V вдоль оси 0хс будет возникать не только момент mVl.
Дополнительный гироскоп с кинетическим моментом J0Q0i
поворачиваемый принудительно вокруг своей оси подвеса во
внутреннем кардановом кольце ВК в сторону левого борта объекта с
угловой скоростью θ*, обусловит возникновение гироскопического
момента /0Ω0θ*. Направления действия указанных моментов
противоположны. Из равенства этих моментов mVl = /0Ω0θ*
определяется необходимая величина угловой скорости
принудительного поворота дополнительного гироскопа вокруг его оси
подвеса:
О* = -^г- V. (546)
Проинтегрируем выражение (546) и учтем, что при V = О
угол θ* также равен нулю; найдем уже знакомую зависимость (544):
a* ml
t/οΩο
V.
401

Как видим, при соблюдении условия (546) в рассматриваемом
варианте маятниковой гировертикали осуществляется
автоматическая компенсация влияния как путевых, так и
центростремительных ускорений объекта.
§ 84. ИНЕРЦИАЛЬНАЯ ГИРОВЕРТИКАЛЬ
Совмещение главной оси гироскопа с вертикалью места может
быть осуществлено и с помощью метода, аналогичного
используемому для удержания главной оси гироскопа направления
в плоскости ортодромии (см. § 55). Представим себе гироскоп
с тремя степенями свободы (рис. 176), на внутреннем кардановом
кольце ВК которого смонтирована площадка Я с двумя акселеро-
/-^ч Vt/R метрами ав и ас. Продольная
*'*Ё1Ё№^>Х$^Г'~\ ось °ДН0Г0 из них расположена
" (^^^^^^ЦIR^R B плоскости хОу, второго —в пло-
' г ^n ■ *N ♦ ■ скости xOz системы координат
Oxyz, неизменно связанной с
внутренним кардановым кольцом ВК.
Наружное кольцо НК
гироскопа устанавливается в
дополнительном кардановом кольце ДК,
ось ОЕ подвеса которого
монтируется в опорах, жестко
закрепленных на корпусе объекта.
Использование такого бикарданова
подвеса освобождает, как известно
(§ 56), прибор от ошибок,
порождаемых колебаниями объекта
вокруг оси, перпендикулярной
плоскости наружного карданова
кольца.
В начальный момент времени
главная ось ОА рассматриваемого
гироскопического прибора принудительно совмещается с
вертикалью места, а его оси подвеса ОВ и ОС — с плоскостью горизонта,
причем таким образом, чтобы одна из них совпадала с полуденной
линией. Если такой гироскоп начнет перемещаться совместно
с объектом относительно земной поверхности, то акселерометры,
установленные на площадке Я, будут измерять ускорения
указанного движения. При этом акселерометр ав будет измерять
ускорение объекта VN вдоль меридиана, а акселерометр ас —
ускорение VE по параллели.
По обеим осям подвеса гироскопа устанавливаются датчики
моментов ДМВ и ДМС, на которые подаются напряжения,
пропорциональные скоростям движения объекта по полуденной линии
и по параллели соответственно. Возникающие при этом коррек-
Рис. 176.
Инерциальная
гировертикаль.
402

тирующие моменты вызывают прецессию гироскопа, в результате
которой его главная ось будет удерживаться совмещенной с
вертикалью места.
Для выяснения принципа работы инерциальной
гировертикали рассмотрим процесс совмещения ее главной оси с
направлением радиуса Земли. Будем полагать, что внутренняя ось ОВ
подвеса гироскопа совмещена с полуденной линией. Это
обеспечивается стабилизацией дополнительного карданова кольца ДК
прибора в азимуте с помощью любого курсового гироскопического
прибора(см. гл. VII—IX). Одновременно будем полагать, что
перемещение объекта происходит в
плоскости меридиана и притом
горизонтально (рис. 177). В этом
случае для совмещения главной
оси с вертикалью необходимо,
чтобы гироскоп прецессировал
вокруг точки подвеса (рис. 176),
причем скорость прецессии должна
обеспечивать поворот гироскопа
за любой промежуток времени
на угол θ, равный углу β
поворота объекта за это же время
вокруг центра 03 Земли (рис. 177).
Нетрудно заметить, что при
горизонтальном движении Объекта Рис 177 Принципиальная схема
В ПЛОСКОСТИ меридиана со скоро- инерциальной гировертикали,
стью VN и удалении R его центра
тяжести от центра 03 Земли, угловая скорость объекта
V> = -^VN = ±\vNdt. (547)
Если на гироскоп будет действовать создаваемый датчиком ДМ
корректирующий момент Мк, вызывающий прецессию с угловой
скоростью
* = ж = *=-Н^л. (548)
то главная ось гироскопа останется совмещенной с вертикалью
места.
Указанное требование можно выполнить, если управлять
датчиком момента ДМ через акселерометр ав. Действительно, снимая
с акселерометра ав сигнал, пропорциональный ускорению VN
объекта, и интегрируя его в счетно-решающем устройстве, получают
на выходе последнего сигнал, пропорциональный скорости VN
объекта вдоль полуденной линии. Производя в том же счетно-
решающем устройстве деление сигнала, пропорционального ско-
403

рости VN, на расстояние R, вырабатывают напряжение,
пропорциональное уже угловой скорости -~. Подавая
сформированный указанным образом сигнал на датчик моментов ДМ, создают
корректирующий момент Мк такой величины и направления,
который, действуя на гироскоп, обеспечивает выполнение
условия (548).
Описанный принцип управления угловой скоростью прецессии
в инерциальной гировертикали (рис. 176) осуществляется по обеим
осям ОВ и ОС подвеса
одновременно, благодаря чему
главная ось ОА гироскопа
удерживается в вертикальном
положении при любом курсе
горизонтального движения объекта
относительно земной
поверхности. Здесь необходимо лишь
указать, что сигнал,
пропорциональный ускорению VE
движения объекта вдоль параллели,
после интегрирования должен
делиться, согласно изложенному
в § 29^ на величину R cos φ
расстояния от центра тяжести
объекта до оси Земли.
Если сигналы, пропорцио-
Ум Уё
нальные -£- и п _г_ ж, проинте-
Рис. 178. Схема взаимодействия
акселерометра и гироскопа.
R " R cos φ '
грировать вторично, то в результате будут получены сигналы,
пропорциональные пути*, пройденному как в направлении
меридиана -£- SN, так и в направлении параллели -~ SE. Нетрудно
видеть, что эти же сигналы пропорциональны приращениям как
широты φ, так и долготы λ, <ιτο· позволяет получать непрерывные
сведения о местоположении объекта в любой момент времени.
В том случае, когда в силу тех или иных причин главная
ось ОА гироскопа отклонится от вертикали Οζ (рис. 178) на угол ψ,
под влиянием составляющей G sin ψ силы G веса массы
акселерометра произойдет ее перемещение относительно нулевой точки
потенциометра. В результате с обмотки потенциометра будет снят
сигнал, пропорциональный не только силе инерции mVN cos ψ,
но еще и силе веса G sin ψ. Силы инерции и веса массы
акселерометра уравновешиваются упругими силами его пружин:
сх = mVN cos ψ + G sin ψ,
где с — жесткость пружин акселерометра;
χ — его перемещение.
404

Вынесем в полученном равенстве массу т акселерометра за
скобки и положим угол ψ величиной малой; в результате найдем
перемещение акселерометра:
х = -^(У„ + ёЦ). (549)
Сигнал, пропорциональный перемещению х, после
интегрирования будет подаваться на датчик моментов ДМ, который при
коэффициенте пропорциональности К создаст действующий на
гироскоп момент
Мк = K\xdt. (550)
Под влиянием этого момента гироскоп будет прецессировать
вслед за вертикалью Οζ, которая сама вращается в пространстве
с угловой скоростью β, определяемой зависимостью (547).
При этом угловая скорость прецессии гироскопа относительно
вертикали Οζ определится равенством
мк
ψ = β-
JQ
которое, учитывая выражения (547), (549) и (550), может быть
переписано в следующем виде:
т
где ε «= К коэффициент пропорциональности, зависящий от
с
конструктивных параметров прибора.
Продифференцировав равенство (551), получим уравнение
* + -лг«* = (х-:а>» <552>
описывающее колебания главной оси О А инерциальной
гировертикали около положения равновесия, определяемого частным
решением уравнения (552).
Нетрудно заметить, что при соблюдении условия
тЬ- = тг <553>
положение равновесия прибора будет совмещено с вертикалью
места Οζ, вокруг которой колебания гироскопа происходят с
круговой частотой
405

и, следовательно, с периодом Т\ согласно изложенному выше
(см. § 74)
Г = -^ = 2π V— = 84,4 мин.
Как видим, при соблюдении условия (553) у инерциальной
гировертикали будут отсутствовать ошибки [43] при
горизонтальных ускорениях объекта. При этом осуществление ее собственных
колебаний с периодом 84,4 мин. практически может быть
достигнуто более простыми средствами, чем в маятниковой гировертикали
(§ 74). Действительно, учитывая в равенстве (553) величину
коэффициента ε, находим
Km _ ./Ω
откуда следует, что для соблюдения условия (553) достаточно
подобрать коэффициент пропорциональности К корректирующего
момента Мк равным
что при современных возможностях электротехники не вызывает
затруднений.

Глава XI
ГИРОСКОПИЧЕСКИЕ ПРИБОРЫ ДЛЯ ИЗМЕРЕНИЯ
УГЛОВЫХ СКОРОСТЕЙ И УСКОРЕНИЙ
§ 85. ОСНОВНЫЕ РАЗНОВИДНОСТИ ГИРОТАХОМЕТРОВ
При решении ряда навигационных задач, требующих
выполнения определенных эволюции, возникает необходимость в
измерении не только углов, но и угловых скоростей объекта. Так,
например, осуществление кораблем циркуляции или летательным
аппаратом виража заданного радиуса в установленное время возможно
только при выдерживании в процессе выполнения маневра вполне
определенной угловой скорости разворота. При более сложных
эволюциях требуется измерение еще и угловых ускорений объекта.
Непрерывные измерения угловых перемещений, скоростей
и ускорений необходимо и при осуществлении автоматической
стабилизации объектов. Чем точнее и с меньшим запаздыванием
во времени будут измеряться перечисленные параметры, тем
качественнее будет протекать процесс стабилизации, тем на
меньшие углы будет отклоняться объект от требуемого направления
движения при действии внешних возмущений.
В практике управления объектами встречаются случаи, когда
необходимо выполнить определенный маневр по отношению к
другому объекту, также перемещающемуся в пространстве. Для
правильного выполнения такого маневра необходимо иметь сведения
об относительной угловой скорости между перемещающимися
объектами.
В процессе взаимных перемещений нельзя установить
непосредственный контакт между принятой для производства отсчета
исходной системой координат, зафиксированной на маневрирующем
объекте, и выбранным ориентиром. Поэтому измерить указанные
угловые скорости обычными тахометрическими приборами х
невозможно. Только гироскопические приборы позволяют произвести
необходимое измерение.
В настоящее время существует большое число моделей
гироскопических приборов, предназначенных для измерения
угловых скоростей. Все эти приборы, называемые гироскопическими
тахометрами или гиротахометрами, делятся на три основные
1 См.: Η. Ε. Кобринский. Методы и приборы для измерения угловых
скоростей. Изд-во АН СССР, 194L
407

группы. В первой группе используется гироскоп с тремя
степенями свободы, во второй — с двумя. В третьей группе используется
вибрационный гироскоп.
§ 86. ГИРОТАХОМЕТРЫ С ТРЕМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
Представим себе гироскоп, ротор Ρ которого вращается вокруг
корпуса визирной трубы ВТ (рис. 179), жестко закрепленного во
внутреннем кардановом кольце ВК. Кольцо ВК смонтировано
Рис. 179. Гиротахометр с тремя степенями свободы.
на опорах в наружном кардановом кольце Я/С, имеющем свободу
вращения вокруг наружной оси ОС в корпусе КП прибора.
Оптическая ось визирной трубы ВТ совмещена с главной осью ОА
гироскопа, обладающего свободой вращения вокруг трех осей О А,
ОВ и ОС.
Наблюдая через визирную трубу ВТ такого гироскопического
устройства за перемещениями в пространстве объекта D, трубу ВТ
приходится поворачивать вокруг осей ОВ и ОС. Для создания
таких поворотов на гироскоп относительно осей подвеса действуют
соответствующими моментами внешних сил. С этой целью на
корпусе визирной трубы ВТ устанавливают два динамометра Дв
408

и Дс. Продольная ось динамометра Дв параллельна оси ОВ,
а динамометра Дс — оси ОС подвеса гироскопа.
Действуя на рукоятки динамометров Дв и Дс внешними
усилиями FB и FCl создают моменты Мв = —Fcl и Мс = 7^/, что
вызывает прецессионное движение гироскопа, а вместе с ним и
визирной трубы ВТ вокруг осей ОС и ОВ. Выбирая направление
и регулируя величину усилий FB и FCi обеспечивают непрерывное
совмещение оптической оси визирной трубы ВТ с наблюдаемым
объектом D. Угловые скорости трубы ВТ вокруг осей ОВ и ОС
подвеса гироскопа, равные, согласно изложенному в § 15,
θ = ~~ JQ cos θ0 ' ψ = ./Ω cos θ0 ' (555)
будут характеризовать угловые скорости перемещения объекта D
вокруг осей ОВ и ОС, а их геометрическая сумма ω = θ + ψ —
угловую скорость объекта относительно точки О подвеса
гироскопа.
Из (555) следует, что угловые скорости θ и ψ
пропорциональны —— и ^5—, так как величины J, Ω и / постоянны и зави-
cosO0 cosO0 '
сят от конструкции прибора. Сигналы, снимаемые с
динамометров Дв и Дс и пропорциональные внешним усилиям FB и Fc,
направляют в счетное устройство СУ. После их деления на cos θ0
/
и умножения на постоянный множитель -щ- из счетного
устройства СУ. выходят сигналы, пропорциональные уже
непосредственно θ и ψ. Измеряя напряжения сигналов по шкалам
измерительных приборов #Я, судят об угловых скоростях объекта D
относительно места установки описанного гироскопического
тахометра.
Измерение угловых скоростей вращения какого-либо тела,
например той же визирной трубы, с помощью гироскопа с тремя
степенями свободы можно осуществить и по несколько иному
принципу. Представим, что визирная труба ВТ (рис. 180)
смонтирована на основании КП с помощью карданова подвеса,
обеспечивающего свободу ее вращения вокруг осей ОВ и ОС.
На корпусе визирной трубы установлен электродвигатель ЗД,
приводящий во вращение ротор Р. Ротор Ρ соединен с валом
электродвигателя ЭД посредством шаровой опоры, аналогично тому,
как это было выполнено в гирогоризонте с коррекцией от
маятниковой гировертикали (см. рис. 167). Так как центр тяжести ротора
совмещен с точкой его опоры, то при неподвижном положении
визирной трубы главная ось Орх гироскопа будет совмещена
с продольной осью электродвигателя ЭД. Как только визирной
трубе будет сообщено вращение вокруг точки О с угловой
скоростью ω, сразу же главная ось 0?х гироскопа составит с осью 0|
409

трубы некоторый угол и, следовательно, вектор Jil кинетического
момента гироскопа уже не будет совмещен с вектором MD момента
двигателя.
Для определения характера движения гироскопа относительно
визирной трубы ВТ в качестве подвижной системы координат
выберем оси Οξηζ, связанные с визиром (рис. 180). Будем
полагать, что труба ВТ поворачивается вокруг осей ОВ и ОС с
угловыми скоростями ωΒ и оос. Но при повороте ротора гироскопа
Рис. 180. Разновидность гиротахо-
метра с тремя степенями свободы.
относительно трубы ВТ на угол θ вокруг оси Ору на него
относительно оси Ор2 начнет действовать составляющая MD sin θ
крутящего момента MD двигателя ЭД (см. рис. 167). При
аналогичном повороте ротора вокруг оси Ovz на угол ψ на гироскоп1
относительно оси Ору начнет действовать составляющая —MD sin ψ
того же момента MD.
Таким образом в рассматриваемом случае система
уравнений (162), если учесть малость углов θ и ψ, а также нулевые
значения угла θ0 и угловой скорости ωΩ и пренебречь
нутационными членами, примет вид
/Ω (ψ -f (oc) = — MDi|r,
/Ω (φ + ωβ) = — MDfl.
Решения уравнений (556)
(556)
^ = Схе
Mr
JQ
Mr
C«e Ju
JQ
md
JQ
Mp
ω
с»
ωΒ
410

показывают, что при поворотах визирной трубы с угловыми
скоростями ωΒ и (йс вокруг осей ОВ и ОС ротор гироскопа вращается
вокруг этих осей с теми же угловыми скоростями, но с некоторым
отставанием.
Углы отставания определяются частными решениями
уравнений (556):
*' = -^ω* ^ = -η^<»Β· (557)
Коэффициент -tj— зависит от конструктивных параметров
прибора, в связи с чем углы θΓ и ψΓ пропорциональны лишь
угловым скоростям ωΒ и (йс соответственно. Поэтому по величинам
углов θΓ и ψΓ рассогласования главной оси гироскопа с оптической
осью визирной трубы можно судить об угловых скоростях ее
вращения вокруг точки подвеса О.
Пример 36. Определить углы рассогласования между главной осью
ротора гироскопа и оптической осью визирной трубы (рис. 180), если ее вращение
вокруг осей ОВ и ОС происходит с угловыми скоростями ω β и а>с, соответственно
равными 0,5 и 0,3 град./сек. Кинетический момент гироскопа J Ω = 2300 Гсмсек.
Крутящий момент двигателя Μ о — 75 Гсм.
По выражениям (557) находим
/Ω сос=_ 2^0 0,3 =-0,16 рад. = -9,17 град.;
MD ° 75-57,3
/Ω 2300 ПС ПО* 1„Й
ωΒ = 7 ε eve» °'5 = — °'26 РаД· = —14,9 град.
MD * 7,5-57,3
§ 87. ГИРОТАХОМЕТРЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
Для измерения угловых скоростей объектов наиболее широкое
распространение на практике получили гиротахометры, основным
элементом которых является гироскоп с двумя степенями свободы.
При вращении основания такого гироскопического прибора его
главная ось совмещается с проекцией вектора угловой скорости
основания на плоскость, перпендикулярную оси подвеса (см.
§ 18 и 32).
Чтобы воспрепятствовать указанному совмещению, в гиротахо-
метре с двумя степенями свободы (рис. 181) используются
пружины /χ и/а, один конец которых закреплен на рычаге/?, второй —
на корпусе КП прибора. Рычаг D жестко соединен с кардановым
кольцом ВК. Поэтому при повороте гироскопа вокруг оси ОВ
на угол θ пружины fx и /2 деформируются. Возникающая в
результате деформации сила упругости F, действуя на гироскоп на плече /,
создаст относительно оси ОВ противоположный по направлению
углу поворота θ момент
Мв = — Fl· = — сЫ = —cl2 sin θ, (558)
где с — жесткость пружин;
Δ — деформация пружин,
4U

Для выяснения характера движения рассматриваемого
гироскопического прибора при вращении его корпуса КП вокруг
осей ОВ, ОС и 0D с угловыми скоростями ωβ, оос и ooD
соответственно вновь обратимся к системе уравнений (162). Заметим, что
пружины /х и /2 удерживают главную ось ОА гироскопа
перпендикулярно плоскости ВОС\ следовательно, л0 = 0. Угол ψ, также
равен нулю, так как свобода вращения гироскопа вокруг оси ОС
в рассматриваемом приборе ликвидирована. При этих условиях
система уравнений (162)
принимает вид
JBb+JQ((uc + ωΩϋ) = Мв\
—JQ (φ + ωΒ) = Мс.
Второе уравнение
характеризует величину
момента, воспринимаемого
деталями крепления скобы
НК к корпусу КП (см.
§ 18). Силы реакции
указанного соединения
преодолевают гироскопический
момент /Ω (θ + ωΒ),
возникающий при сообщении
массе ротора движения с
поворотным ускорением в
результате ее
одновременного вращения вокруг
осей О А и ОБ. Первое
уравнение описывает рассматриваемое движение гироскопа.
Подставив в него значение момента Мв из (558), обозначив
произведение конструктивных постоянных с/2 коэффициентом К и учтя
малость угла θ, будем иметь
JBti + JQ (ω6> + a>D0) = —К®. (559)
Переписав полученное уравнение в виде
Рис. Ш. Гиротахометр с двумя степенями
свободы.
+ ■
Jb
Jb
и положив о)с и (oD постоянными, найдем его частное решение
а - JQ(uc
К + JQ(&d%
(560)
и решение соответствующего однородного уравнения
ftp я- Сх cos nt + C3 sin nt,
41?

где
η=γ.
К + JQ(pD
Jb
Общее решение уравнения (559)
О == Сх cos nt 4- С2 sin nt —
JQiur
К +Jil(HD
(561)
(562)
показывает, что гиротахометр с двумя степенями свободы при
сообщении ему вынужденного поворота вокруг оси ОС с угловой
скоростью сос начинает
совершать незатухающие
колебания с периодом
2π
η
2π
/:
Jb
K + J&&D
Рис. 182. Гиротахометр с
электромагнитным успокоителем.
около положения равновесия,
определяемого углом θΓ,
величина (560) которого и
является мерой угловой
скорости (йс.
Для демпфирования
колебаний гироскопа в
гиротахометр вводят успокоитель той
или иной конструкции. В
качестве примера на рис. 182
приведена схема гиротахо-
метра с электромагнитным
успокоителем. В этом случае с кардановым кольцом В К гироскопа,
ротор Ρ которого выполнен в виде шара, жестко соединена
пластина Η из листовой нагартованной меди. При колебаниях
гироскопа вокруг оси ОВ пластина Η перемещается в создаваемом
электромагнитами ЭМ магнитном поле, обусловливая тем самым
возникновение демпфирующего момента, пропорционального
угловой скорости Ь. Учитывая этот момент в уравнении (559) и полагая
коэффициент момента сил демпфирования равным μ, можем
записать
JB{} + JQ (<ос -}- (oDti) = — /(θ — μθ
или
μ а , K + JQap α = J&(uC
+
Jb
Jb
Jb
(563)
Частное решение уравнения (563) имеет тот же вид (560), что
и в случае гиротахометра без успокоителя. Решение
соответствующего однородного уравнения
# Ι μ ft ι K + JQap д = р
Jb Jb
413

будет определяться значениями корней характеристического
уравнения
р2 + яр + Ь = О,
коэффициенты которого
___μ_. h_ K-\-JQu>d
J в ' ^в
При рациональной конструкции прибора момент
восстанавливающих сил всегда больше момента сил демпфирования. Поэтому
коэффициент Ъ всегда больше (-у-Г > в соответствии с чем корни
рассматриваемого характеристического уравнения
л..—г*'/»-(т)'·
Следовательно, общее решение уравнения (563) будет (см.
§ 13)
О = Г "*"' (^ cos η/ + С2 sin ηί) - /*"£ωι> · (564)
Как видим, при наличии успокоителя гиротахометр с двумя
степенями свободы по прошествии некоторого времени
устанавливается в положении равновесия. Продолжительность времени
затухания зависит от коэффициента демпфирования -γ = "оу*
Время т, потребное для уменьшения амплитуды собственных
колебаний прибора в ν раз, определяется из условия
V
или
—fer*=ln4" (565)
При осуществлении гироскопических тахометров с двумя
степенями свободы коэффициент К приходится выбирать достаточно
большим. В связи с этим во многих практических случаях в
выражении (560) представляется возможным пренебречь вторым
слагаемым знаменателя и полагать угол
_ JQo>c
(566)
Равенство (566) позволяет по величине угла Or с достаточной
степенью точности определять значение измеряемой угловой
СКОРОСТИ (йс.
414

Пример 37. Определить необходимый коэффициент К момента упругих
сил пружины гиротахометра с двумя степенями свободы (см. рис. 182),
предназначенного для измерения угловых скоростей сое- Максимальное значение ω^ не
превосходит 10 град./сек., кинетический момент J Ω = 1500 Гсмсек, максимально
допустимый угол поворота гироскопа вокруг оси подвеса Or max = 5°. Вычислить
также ошибку измерения сос при наличии угловой скорости α>£> = 8 град./сек.
Выразим угловые скорости в радианах в секунду:
10 8
®с = -ет^г =0,175 сек."1; cu£> =—=-^-= 0,14 сек.-1,
о/,о 5/,о
а максимальный угол в радианах:
Фг max = -5^3" = °'087 Рад'
Подставив значения fly max и ω^ в выражение (566), найдем
_, JQ(*C 1500-0,175 om_ оппп г . Л
К = -а — = ттт^ = 3017 ^ 3000 Г см/рад.
Vr max 0,087
Чтобы вычислить ошибку измерения угловой скорости а>с при наличии сод,
определим величину угла fly по формуле (566):
<, JQ(*c 1500-0,175 ЛЛ07-
А — — ■ = —0,0875 рад.
г к зооо
и по формуле (560):
,*__ Л2сос __ 1500-0,175
К + «Ώωζ) 3000 + 1500-0,14
—0,0818 рад.
Следовательно, искомая ошибка будет составлять
®г~К 0,0875-0,0818 лпп
θΓ 100 = Ш5 ЮО = б,5о/0.
§ 88. РАЗНОВИДНОСТИ ГИРОТАХОМЕТРОВ
С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
Для съема показаний в гиротахометрах, так же как и в
гироскопических приборах иных назначений, используются различные
датчики угла. Потенциометрический датчик показан на рис. 182.
Здесь карданово кольцо В К снабжено поводком L, несущим на себе
движок потенциометра П. Обмотка потенциометра включена в цепь
постоянного электрического тока параллельно с катушками
электромагнитов ЭМ успокоителя.
Сопротивления R1 и Rs катушек электромагнитов и
сопротивления R2 и i?4, отсекаемые на потенциометре Π движком L,
составляют мост сопротивлений. От средней точки обмоток
электромагнитов и от движка L выведены провода, по которым
напряжение, снимаемое с диагонали моста, может подаваться как на
визуальные приборы, так и в систему того или иного автоматиче-
415

ского устройства. Это напряжение пропорционально углу $г,
а следовательно, и угловой скорости оос.
В некоторых случаях, например при вираже летательного
аппарата, нет необходимости точно определять величины угловой
скорости объекта, а достаточно знать лишь ее направление. Для этой
цели также используются гироскопические тахометры
упрощенной конструкции (рис. 183). На кардановом кольце такого
гироскопического прибора, получившего название указателя поворотов,
жестко крепится поводок, связанный через рычажную передачу N
со стрелкой L. Шкала прибора имеет лишь три деления: одно
центральное и два крайних, обозначенных буквами Π и Л. Кроме того,
Рис. 183. Гироскопический указатель поворотов.
описываемый прибор снабжают маятниковым креномером,
выполненным в виде изогнутой стеклянной трубки Г, внутри которой
помещен шарик d.
Одновременная оценка показаний гиротахометра и
маятникового креномера позволяет обнаруживать отклонения летательного
аппарата от положения, соответствующего нормальному полету.
Так, при прямолинейном полете стрелка L тахометра должна быть
совмещена с центральным делением шкалы, а шарик d должен
находиться в нулевом положении. При вираже, когда гироскоп
повернется вокруг оси ОВ на угол θΓ, шарик d креномера
установится по равнодействующей силы тяжести и центробежных сил
инерции. Так, как при правильном выполнении виража плоскость
крыльев летательного аппарата должна располагаться
перпендикулярно вектору указанной равнодействующей, то шарик d
креномера и в этом случае будет находиться в нулевом положении.
Как видим, пользуясь указателем поворотов, можно легко
контролировать правильность движения объекта. Для этого
достаточно и при вираже, и при горизонтальном полете удерживать
шарик d креномера в нулевом положении. Несоблюдение
указанного условия будет сигнализировать о нарушении правильного
режима полета.
416

Если необходимо измерить угловые скорости объекта с высокой
точностью и притом в большом диапазоне их изменений,
используют так называемые гиротахометры с приводом на нуль.
Принципиальная схема такого прибора представлена на рис. 184.
На внутреннем кардановом кольце ВК смонтирован ролик г,
перемещающийся при повороте гироскопа вокруг оси ОВ по
контактным ламелям Ь1 и 62, жестко закрепленным на корпусе КП
Рис. 184. Гиротахометр с приводом на нуль.
прибора. С поводком L гиротахометра соединены две спиральные
пружины, смонтированные в серьге N, соединенной с ходовым
винтом Μ при помощи гайки Г.
При вращении корпуса КП прибора с угловой скоростью сос
главная ось ОА гироскопа повернется вокруг оси подвеса ОВ
на угол ϋη определяемый по (566), и спиральные пружины будут
деформированы на величину Δ. Одновременно с гироскопом
вокруг оси ОВ повернется и ролик г. Последний замкнет одну из
контактных ламелей, Ьг или 62, и тем самым через промежуточное
реле ПР включит ток, питающий электродвигатель ЭД.
Электродвигатель ЭД приведет во вращение ходовой винт М.
Направление вращения винта Μ выбирается таким образом, чтобы
417

гайка Г сообщала серьге N перемещение, при котором гироскоп
принудительно возвращается в нулевое положение.
Подобное перемещение деталей прибора будет происходить до
тех пор, пока ролик г не займет нейтрального положения между
ламелями Ьх и Ь2. В этот момент времени, соответствующий
возвращению гироскопа в исходное положение, ток в цепи
электродвигателя ЭД прервется и движение серьги N прекратится. Однако
серьга N будет смещена относительно нулевого положения на
величину Δ деформации пружины, которая будет мерой угловой
скорости. Снабжая серьгу N индексом, можно определить величину
измеряемой угловой скорости по шкале S, градуированной в
соответствующем масштабе. Если вместо шкалы S снабдить прибор
датчиком величины деформации Δ, то снимаемый с него сигнал,
пропорциональный угловой скорости сос, может быть передан в то
или иное автоматическое устройство.
В шариковых подшипниках, используемых в качестве опор
подвеса гиротахометров, неизбежно существуют силы сухого
трения. Создаваемый ими момент оказывает непосредственное
влияние на точность прибора. Действительно, учитывая в
уравнении (559) действующий на гироскоп момент сил сухого трения
и полагая в нем ωΏ = О, можем записать
JBft + JQ(uc = —/СО — М0т sign (*).
Из последнего уравнения следует, что положение равновесия
гиротахометра будет определяться углом
а _ JQ(uc ± Μοτ
vr— К '
Как видим, наличие момента сил трения в опорах подвеса
обусловливает ошибку ± от в измерении угловой скорости оос
тем большую, чем больше величина М0т. Кроме того, величина
угла θΓ отлична от нуля только в том случае, когда
гироскопический момент JQu)c превышает момент Μ0τ сил трения.
Следовательно, момент сил трения ограничивает величину минимальной
угловой скорости, измеряемой гироскопическим тахометром:
<oCmi„>4^· (567)
Чем меньше момент Λίοτ, тем меньшую угловую скорость будет
измерять гироскопический тахометр. Таким образом, для
повышения качества прибора момент сил трения в опорах подвеса
гироскопа должен быть снижен до возможного минимума.
Для уменьшения вредного влияния сил сухого трения на
показания гиротахометров в современных конструкциях
применяют торсионные и жидкостные подвесы. Торсионный под-
418

вес гироскопа показан на рис. 185. Внутреннее кольцо ВК вместе
с вращающимся в нем ротором подвешивается в корпусе КП
прибора с помощью двух торсионов /, выполняемых обычно в виде
плоских стальных пластин.
При таком подвесе в случае поворота корпуса КП вокруг оси ОС
гироскоп, стремящийся совместить свою главную ось О А с осью ОС
вынужденного поворота, начнет деформировать торсионы /,
закручивая их вокруг оси ОВ. В результате возникнет момент сил упру-
Рис. 185. Гиротахометр на торсионном подвесе.
гости материала торсионов, стремящийся вернуть гироскоп в
первоначальное положение. Равенство восстанавливающего и
гироскопических моментов обусловит величину угла $г поворота
гироскопа, соответствующего положению его динамического
равновесия. Для съема показаний гиротахометра используются тензо-
метрические датчики d [6], сигналы которых после усиления
подаются либо на индикаторный прибор #Я, либо в систему
автоматического устройства.
При жидкостном подвесе гиротахометра роль внутреннего
карданова кольца выполняет герметически закрытый полый
цилиндр ВК (рис. 186), называющийся поплавком. Внутри
цилиндра ВК на специальном кронштейне L размещен ротор Ρ
гироскопа, имеющий свободу вращения вокруг оси О А.
Поплавок ВК вместе с ротором Ρ имеет свободу вращения в
наружном цилиндре КП, являющемся корпусом прибора. Между
внутренней поверхностью корпуса КП и наружной поверхностью
поплавка ВК залита поддерживающая жидкость, плотность кото-
419

рой выбирается так, чтобы вес поплавка уравновешивался его
подъемной силой в жидкости. Поэтому опоры, установленные по
оси ОВ подвеса гироскопа, почти не несут нагрузки, в связи с чем
моменты сил трения в них практически мало отличны от нуля.
Если корпус КП описываемого гиротахометра начать вращать
вокруг оси ОС с угловой скоростью сос, то главная ось О А
гироскопа будет, как известно (см. § 8), поворачиваться вокруг оси ОВ.
Вместе с ротором будет поворачиваться и якорь индукционного
датчика угла ДУ. Сигнал, снимаемый с этого датчика, подается
на индикаторный прибор ИП или же в систему автоматического
управления и одновременно на управляющие обмотки датчика
момента ДМ, с помощью которого создается восстанавливающий
момент, пропорциональный углу θ.
При повороте поплавка ВК вместе с ротором Ρ вокруг оси ОВ,
кроме восстанавливающего момента, возникает еще момент сил
сопротивления поддерживающей жидкости. Таким образом, дви-
жение'поплавкового гиротахометра будет описываться тем же
дифференциальным уравнением (563), которое было получено при
исследовании схемы гиротахометра на шариковых подшипниках
(рис. 182). Этим подтверждается их динамическая общность.
§ 89. ПОВЕДЕНИЕ ГИРОТАХОМЕТРА С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ
СВОБОДЫ ПРИ КОЛЕБАНИЯХ ОБЪЕКТА
При колебаниях объекта его угловая скорость оос непрерывно
изменяется во времени. Если изменения оос носят гармонический
характер: сос = cuocsin qt, то уравнение (563), при ωΩ = О
420

принимает вид
^ + 7Γ* + ^θ==-1Ι"ω^·δίη^· (568)
Решение соответствующего однородного дифференциального
уравнения будет определяться первым слагаемым выражения (564).
Частное решение уравнения (568) будем искать в виде
0Г = N cos qt + L sin qt. (569)
Подставив значение угла 0Г из (569) и его производных Ьг
и Ьг в уравнение (568), будем иметь
—q2N cos qt — q2L sin qt + -—- (—qN sin qt + qL cos qt) +
К JQ
• j- y— (N cos qt + L sin qtf) = — -^— ω0 c sin qt.
Приравняв коэффициенты при тригонометрических членах
в обеих частях полученного равенства, найдем
{K-JBq*)N + VqL = 0·
(К — JBQ2)L — MN = —/Ωω0Ο.
Совместное решение последних уравнений позволяет
определить значения амплитуд:
{K-Jbq'Y + W (К~<*ьдУ + №
Таким образом, общее решение уравнения (568) будет
характеризоваться выражением
θ = е 2jb (C1 cos nt + С2 sin /ιί) +
где
(κ-j &*)* + №*Ιμη cos ^ ~~(/(~ /βί/2) sin ^
Κ4/^_-μ«_β (570)
2^β
Полагая в нем
Μ __ ςίη * K-JBg2 _ ρπς λ
(/C - ^ Τ + μ V ~ Sin Λ' (Κ-^)2 + μ2<72 - cos Λ'
421

можем записать
= е 2Jb (Cx cos nt + С4 sin tit) —
·/Ωω»° sin (qt -λ), (571)
где
Как видим, при гармонических колебаниях объекта движение
гироскопа вокруг оси подвеса состоит из собственных и
вынужденных колебаний. Собственные колебания гироскопа,
характеризуемые первым слагаемым выражения (571), по прошествии
некоторого времени исчезнут. С этого момента движение гироскопа
практически можно рассматривать состоящим лишь из вынужденных
колебаний
V(K—JyiAY+№
sin (qt — λ),
происходящих с частотой q изменения угловой скорости сос
и с некоторым сдвигом λ по фазе.
Вынося К за знак корня, перепишем последнее выражение
в следующем виде:
νΌ-τΜ+ΐ
Учитывая, что, согласно формуле (570), отношение 1/ -f—
характеризует круговую частоту η собственных колебаний
гироскопа при отсутствии демпфирующего устройства и производя
преобразование
К* q -\ JbK qJ \ Jen2 q) \Jffi ) n» '
можем записать:
$ = _JQpc_ 1 sin (qt-λ). (573)
Сравнив выражения (573) и (566), нетрудно убедиться в том,
что коэффициент
1
/(-*-)"+UrO'-S-
= σ (574)
422

характеризует динамические искажения измерения угловой
скорости объекта при его гармонических колебаниях.
Как следует из равенства (574), величина коэффициента а
зависит от соотношения между частотами η собственных и q
вынужденных колебаний и от значения коэффициента ^=-^—,
характеризующего интенсивность демпфирования собственных
колебаний гироскопа. На рис. 187, а приведены зависимости1
коэффициента динамичности σ от отношения — при различных
а) ^ б) А,град
Рис. 187. Амплитудно-частотная (а) и фазо-частотная (б)
характеристики гиротахометра.
значениях v. Пользуясь указанными зависимостями,
называемыми амплитудно-частотными характеристиками, представляется
возможным определить необходимый коэффициент момента
демпфирования μ и допустимое соотношение между частотами η и q,
при которых коэффициент динамичности σ не превысит
допустимого значения. Чем ближе это значение к единице, тем меньшим
должно быть отношение q к п, что имеет место при η > q.
На качество прибора влияет и величина λ сдвига фазы. Этот
параметр особенно важен для гиротахометров, используемых
в системах автоматического регулирования и стабилизации. Чем
меньше сдвиг фазы λ, тем выше точность процесса стабилизации.
С увеличением λ качество процесса ухудшается, а при λ > —
его осуществление становится невозможным. Вот почему при
оценке качества гиротахометра и выяснении возможности его
использования в заданных условиях работы должен быть
определен диапазон изменений угла λ.
1 См.: Л. Г. Лойцянский и А. И. Лурье. Курс теоретической
механики. Т. II, ГИТТЛ, 1955, стр. 86.
423

Из (572) следует, что величина угла λ, определяемая из
выражения
μς _ ν _д_
η '
tgλ =
K-JeV*
1-£
также зависит от соотношения между частотами q и η колебаний
гироскопа и от коэффициента ν
JEn
Характер этой зависимости, называемой фазо-частотной
характеристикой, показан на рис. 187, б.
§ 90. ВИБРАЦИОННЫЙ ГИРОТАХОМЕТР
Как показывает выражение (567), силы трения в опорах
подвеса отрицательно влияют на точность измерения угловых
скоростей и на чувствительность гиротахометра с двумя степенями
свободы. Этим недостатком не обладают так называемые вибрационные
ζ
Рис. 188. Вибрационные гиротахометры.
гироскопы, прототипом которых может служить описанный ранее
(§ 6) гибкий ротор.
В настоящее время имеется много опытных образцов
вибрационных гиротахометров [10, 46], которые могут быть разбиты на две
группы: вибрационные гиротахометры роторного и
камертонного типов.
Вибрационный гиротахометр роторного типа состоит из
ротора Ρ (рис. 188, а), выполненного в виде обода, соединенного
с валом электродвигателя ЭД посредством плоской пружинки /.
Корпус электродвигателя жестко укреплен на основании КП
424

прибора. Приводя во вращение вал электродвигателя ЗД,
сообщают одновременно вращение вокруг оси Οξ с угловой
скоростью φ = Ω и ротору Р. При вращении основания КП прибора
вокруг оси Οζ с угловой скоростью ω, масса ротора Р, стремясь
в силу присущей ей инерции сохранить первоначальное
направление движения (см. § 8), будет отклоняться от плоскости ηΟζ,
поворачиваясь вокруг оси Οη. Пружинка / начнет
деформироваться, создавая момент упругости, уравновешивающий момент
гироскопической реакции Мг = JQco.
Вектор Мг гироскопического момента, как известно (см. § 7),
перпендикулярен векторам Ω и ω и в нашем случае совмещен
с осью Οη, неподвижной относительно корпуса КП прибора.
В то же время оси Оу и Ох, связанные с телом ротора Р, изменяют
свое положение в системе координат Οξηζ. При этом проекции
момента Мг на оси Оу и Ох ротора определятся выражениями:
Мг у = Мг sin φ = /Ωω sin Qt]
ΜΓΖ -= Mrcos(p = /Ωωα)5 Qt.
Моменты Мгу и ΜΓΖ уравновешиваются моментами сил
упругости пружинки / относительно осей Оу и Ох ротора. При
прямоугольном сечении пружинки / ее сопротивление кручению вокруг
оси Ох весьма велико по сравнению с сопротивлением изгибу
относительно оси Оу. Поэтому практически составляющая ΜΓΖ
гироскопического момента Мг будет погашена силами упругости
пружинки /при исчезающе малых деформациях. Однако для
уравновешивания составляющей Мгу потребуется значительный
момент упругих сил пружинки /, возникающий при повороте
ротора Ρ вокруг оси Оу. Величина Мгу изменяется по
гармоническому закону. Этому же закону будет подчинено изменение
и угла Φ поворота ротора Ρ вокруг оси Оу.
Как видим, ротор Ρ совершает колебания вокруг оси Оу.
В процессе этих колебаний составляющая Мгу уравновешивается
моментами сил упругости пружинки/, сопротивления окружающей
среды и инерции массы ротора. Силы упругости создают
относительно оси Оу момент /CO1, пропорциональный углу θ, силы
сопротивления среды — момент μ-θ, пропорциональный угловой
скорости ΰ1, и, наконец, силы инерции — момент Jfl, зависящий от
экваториального момента инерции Уэ ротора и его ускорения Φ.
Таким образом, уравнение движения ротора Ρ вокруг оси Оу
в рассматриваемом гироскопическом устройстве примет вид
J β + μό + /СФ = /Ωω sin Qt. (575)
w Вибрационный гиротахометр камертонного типа показан на
рис. 188, б. Основой прибора является упругое U-образное тело,
похожее на обычный камертон, соединенное с основанием КП
425

торсионом /. Ветви камертона располагаются между
электромагнитами ЭМ, возбуждающими их колебания с круговой частотой Ω.
В результате ветвям камертона сообщаются линейные
перемещения в плоскости ξΟζ во взаимно противоположных направлениях
со скоростями Vx и 1/2, изменяющимися по гармоническим
законам:
Vx - V0 sin Ш; V2 = V0 sin (Qt + π). (576)
Если основание КП колеблющегося указанным образом
камертона начать поворачивать вокруг оси Оζ с угловой
скоростью ω, то материальные частицы его ветвей будут вынуждены
совершать движение с поворотным ускорением Vu. Масса ветвей
камертона в силу присущей ей инерции будет, как известно
(см. § 5), оказывать сопротивление движению с поворотным
ускорением. Поэтому ветви камертона начнут поворачиваться
вокруг оси Οζ, закручивая торсион / на угол ψ. Возникающие при
этом моменты сил упругости 7(ψ, сил сопротивления среды μψ
и сил инерции /ζψ уравновесят момент сил Кориолиса 2mVnl:
/ζψ + μψ +/0|) - 2m(y.
Но, как следует из выражения (16), поворотное ускорение Vu =
— 21/ω sin α, следовательно, при α = — последнее уравнение,
если учесть (576), примет вид
/ζψ+ μψ + Κψ = 4/ηων0/8ίηΩί. (577)
Сравнив дифференциальные уравнения (575) и (577),
убеждаемся в их общности. Нетрудно видеть, что они могут быть
заменены одним уравнением
jzS -|- μδ + /Сб = Qco sin Qt, (578)
где Jz — экваториальный момент инерции Уэ ротора или момент
инерции У^ камертона относительно оси О ζ;
δ — угол ΰ* поворота ротора вокруг оси Оу или угол ψ
скручивания торсиона /, соединяющего камертон с
основанием прибора;
Q — конструктивная постоянная, равная либо
кинетическому моменту /Ω ротора, либо произведению 4mV0l
для ветвей камертона.
Решение однородного уравнения, соответствующего
дифференциальному уравнению (578), по аналогии с (564) может быть
записано в виде
μ_
Sp=e 2Jb ' (Сх cos /ιί + Ca sin /ιί). - (579)
Частное решение, полагая ω = const, будем искать в виде
δΓ = N cos Ш + L sin Qt. (580)
426

Подставив значение (580) для δΓ и его производные 6Г и 6Г
в уравнение (578), получим
—ΝΩ2 sin Ωί — Ζ,Ω2 cos Ωί + -£- ΝΩ cos
Ωί
— -£- Ζ,Ω sin Ω/ + 4- N sin Ωί + -£- L cos Ωί - -^ sin &t.
jz jz jz jz
Приравняв коэффициенты - при синусе и косинусе в правой
и левой частях этого уравнения, найдем
д, _ _ Q(u (JZQ2 — К) . г ΟωμΩ
(</2Ω* — /С)2 + μ*№ ' (</*Ω2 — К)2 + μ2Ω2'
Учитывая значения N и L, перепишем формулу (580) в
следующем виде:
6Г = Qo) sjn ^ш λ
r Κ(^Ω* — K)A + μ2Ω2 ;
где
μΩ
λ= arctg-
J2Qa — /С
Таким образом, общим решением уравнения (578) будет
μ_
δ =е 2Jb Uc^osnt + С* sin nt) + Qfa) sin(Qf + X).
Как видим, оба типа вибрационных гироскопов (рис. 188)
совершают сложное движение, состоящее из собственных
затухающих и вынужденных колебаний. Амплитуда вынужденных
колебаний пропорциональна угловой скорости ω основания прибора:
6т= г Qfa) (581)
т V(J2Q< - КГ + μ2Ω2 V '
причем при равенстве частот 1/ -γ- собственных и Ω вынужденных
колебаний, когда вибрационный гироскоп работает в режиме
резонанса, амплитуда вынужденных колебаний достигает
максимального значения:
« Q
Настраивая вибрационный гироскоп на резонансный режим,
получают возможность по величине амплитуды вынужденных
колебаний измерять весьма малые значения угловой скорости ω.
Съем показаний вибрационного гироскопа осуществляется с по-
427

мощью датчиков угла ДУ, измеряющих амплитуды колебаний
либо торсиона / вокруг оси О ζ, либо ротора Ρ вокруг оси Оу
(рис. 188). Наибольшие трудности при практической реализации
вибрационных гиротахометров вызывают измерения амплитуд
малых колебаний их упругих элементов и обеспечение
необходимого демпфирования собственных колебаний системы. При
недостаточной интенсивности демпфирования вибрационный гироскоп
будет обладать большими динамическими погрешностями.
§ 91. ГИРОСКОПИЧЕСКИЕ ПРИБОРЫ ДЛЯ ИЗМЕРЕНИЯ
УГЛОВЫХ СКОРОСТЕЙ И УСКОРЕНИЙ
Ограничивая свободу вращения гироскопа вокруг обеих осей
его подвеса, можно получить прибор, измеряющий одновременно
угловые скорость и ускорение объекта. Такой прибор называется
гиротахоакселерометром.
Представим себе, что свобода
вращения гироскопа (рис. 189) вокруг
осей О В и ОС подвеса
ограничена пружинами fB и /с. Если
основание К Π такого гироскопа
поворачивается вокруг осей ОВ
я ОС с переменными во времени
угловыми скоростями
ωβ = β; (ос = α,
то ротор гироскопа, стремясь
сохранить положение своей оси
стабильным в пространстве,
будет деформировать пружины fB
и /с, вызывая тем самым
действие на гироскоп
восстанавливающих моментов,
МВ = —КВЪ\ Мс = -Кс^.
Подставляя значения Мв и
Мс в уравнения (162), учтем,
что в рассматриваемом гиро-
= 0. Пренебрегая на этом основа-
имеем
Рис. 189. Гиротахоакселерометр.
скопическом приборе угол θ0
нии угловой скоростью (oD,
JB# + /Ω (ψ + ά) = — ΚΒ$]
/сф—/Ω(<Η-β) = — КСЦ.
428

Опустив в полученной системе нутационные члены, можем
записать
*+#
= — а;
*-
■&♦=-+
(582)
Определив из первого уравнения (582) величину θ и подставив
значение ΰ* во второе уравнение этой же системы, будем иметь
*;, , КвКс „ι, '' , Кв б
/*Ω2
,/Ω
(583)
Разрешив аналогичным образом систему (582) относительно
переменной θ, найдем
ι КвКс А А^с · о
(584)
Как следует из уравнений (583) и (584), колебания
рассматриваемого гироскопического прибора происходят с частотой
VXbTc
η =
JQ
(585)
x)dx\
(586)
около некоторого среднего положения, характеризуемого
частными решениями этих уравнений.
В общем случае частные решения уравнений (584) и (583),
как известно,1 определятся выражениями
t t
*r=4" I жα sin n ν ~~ x^dx —η* ί ρ sin л ^"
ψΓ = ί α sin η (t — τ) dx +
где ^0 — некоторый фиксируемый момент времени, от которого
отсчитывается время т.
Согласно выражениям (586) среднее положение гироскопа
зависит от скоростей и ускорений вращения его корпуса вокруг
осей подвеса. В тех случаях, когда требуется раздельное
измерение угловой скорости α и углового ускорения а, коэффициент /Сс
1 См.: В. И: Смирнов. Курс высшей математики. Т. II, Гостехиздат,
1948, стр. 94.
429

жесткости пружин fc выбирают весьма большим. При соблюдении
последнего условия коэффициенты при переменных β и β будут
малы по сравнению с аналогичными коэффициентами при
переменных α и а. В самом деле, вынося в выражениях (586) постоянные
величины за знаки интегрирования и учитывая значение (585)
частоты я, получим
t t
0Г -в у η^- \ <х sin n (t — χ) dx Γ β sin n (t — τ) dx\
to
JQ
t m <
Γ α sin n (t — r) dx + 1/ -j-$- \ β sin n (t — x) dx.
VKbKc
U
При Кс > Kb и пренебрежении малыми величинами
последние выражения примут вид
г
О, = ]/-^| J a sin n (t—x) dx;
и
t
ψΓ = \ α sin n (i — τ) dx.
VKbKc J
(587)
Как видим, на величину угла θΓ практически оказывает
влияние лишь а, а на величину ψΓ — α. Именно поэтому рассмотренный
гироскопический прибор и получил название гиротахоакселеро-
метра.
В некоторых курсовых автоматических системах необходимо
управлять рулями поворота объекта не только по угловым
параметрам (а, а, а) отклонения от заданного курса, но и по угловым
параметрам (γ, γ и γ) крена. При возникновении крена
осуществление указанного закона управления обеспечивает
своевременную перекладку рулей поворота в сторону крена, предупреждая
тем самым скольжение объекта. Сигналы, пропорциональные
перечисленным параметрам, перед поступлением на исполнительный
механизм должны быть просуммированы. Для этой цели также
может быть использован гироскопический прибор, с осей подвеса
которого непосредственно снимается требуемый суммарный сигнал.
Такой прибор называется демпфирующим гироскопом.
Принципиальная схема такого прибора весьма сходна со
схемой гиротахоакселерометра (рис. 189). Отличие между ними
заключается в том, что обе пары пружин fB и /с (рис. 190),
ограничивающие свободу вращения гироскопа вокруг осей подвеса ОВ
и ОС, закрепляются непосредственно на корпусе К77. Кроме того,
430

для уменьшения габаритов прибора его наружное кольцо Η К
размещается внутри кольца ВК.
Выше было показано, что на величины углов θ и ψ поворотов
гиротахоакселерометра оказывают влияние угловые скорости
вращения объекта вокруг обеих осей О В и ОС подвеса гироскопа.
Рис. 190. Демпфирующий гироскоп.
Для обеспечения необходимой интенсивности суммарного сигнала,
зависящего от параметров вращения объекта как вокруг оси Осгс,
так и вокруг оси OcxCi корпус КП прибора устанавливают под
углом δ (рис. 190) к плоскости хсОсус объекта. При этом оси ОВ
и ОС совмещаются с плоскостью xcOczc:
θ

Глава XII
ГИРОСКОПИЧЕСКИЕ РАМЫ
§ 92. ПРИНЦИП УСТРОЙСТВА ГИРОСКОПИЧЕСКИХ
СИЛОВЫХ РАМ
Из анализа схем рассмотренных выше гироскопических
приборов следует, что момент внешних сил, действующий на гироскоп
относительно его наружной оси, как правило, всегда больше
момента относительно внутренней оси. Это справедливо даже в том
случае, когда на гироскоп действуют лишь моменты сил трения.
Действительно, опоры наружной оси подвеса воспринимают всегда
большую нагрузку по сравнению с опорами внутренней оси
гироскопа, по крайней мере на величину веса наружного карданова
кольца. Тем самым и момент сил трения в наружных опорах больше,
чем во внутренних. Кроме того, наружное кольцо гироскопа
снабжают обычно устройствами для съема показаний прибора
и управления следящими системами, что вызывает увеличение
моментов внешних сил, действующих относительно наружной
оси подвеса. Наконец, наружное кольцо гироскопа может быть
механически связано с самыми различными элементами и
приборами, которые при движении объекта должны быть
стабилизированы в заданном положении.
На возможность компенсации вредного влияния моментов
внешних сил, действующих относительно наружной оси подвеса
гироскопа, еще в 1924 году указал советский
инженер-изобретатель С. А. Ноздровский.1 Представим себе гироскоп (рис. 191)
с тремя степенями свободы, установленный в корпусе на опорах Q.
Если относительно наружной оси ОС гироскопа приложен
внешний момент МвС, то гироскоп, как известно (см. § 15),
начнет прецессировать вокруг оси ОВ с угловой скоростью
где Φ 0 — начальный угол рассогласования между осями О А и 0D.
В результате прецессии сразу же относительно оси ОС
возникнет момент Мг гироскопической реакции (см. § 6), направленный
1 См.: Патент на изобретение № 2168, класс 42с, заявленное 2 августа
1924 года.
432

противоположно вектору МьС. При этом величина момента Мг
(см. §.7)
Μг = /Ω cos fl0fl = /Ω cos fl0 JQM°Qe^ = ΜB c.
Как видим, гироскопический момент ΛίΓ всегда уравновешивает
момент МвС внешних сил, обеспечивая тем самым стабильное
положение наружного кольца НК относительно оси ОС. Однако
продолжительность такой стабилизации весьма ограничена. Прецес-
сируя вокруг оси 05, ось ОА гироскопа будет непрерывно
приближаться к наружной оси ОС, увеличивая угол ft0. Это
обстоятельство вызовет увеличение угловой скорости Φ, которая при
Рис. 191. Принципиальная схема силовой гирорамы.
it
ft0, близком к —, будет приближаться к бесконечности. Поэтому
под влиянием внешнего возмущающего момента МвС гироскоп
сравнительно быстро повернется вокруг оси ОВ на угол — и при
совмещении осей О А и ОВ перестанет оказывать сопротивление
внешнему возмущению, вследствие чего стабильность положения
наружного кольца НК нарушится.
Чтобы не допускать совмещения осей О А и ОС, С. А. Ноздров-
ский предложил при возникновении внешнего возмущающего
момента МвС прикладывать к гироскопу компенсирующий момент,
равный по величине, но противоположный по направлению
моменту МвС. При этом условии суммарный момент внешних сил
433

относительно оси ОС будет равен нулю и прецессия гироскопа
вокруг оси ОВ будет отсутствовать.
Следуя указанному принципу, в современных гироскопических
устройствах используется специальный электродвигатель ЭД,
соединяемый с наружным кольцом НК либо через редуктор, либо
непосредственно муфтой. Управление двигателем осуществляется
через потенциометрический датчик Я, обмотка которого закреплена
на наружном Я/С, а движок — на внутреннем ВК кардановом
кольце. При действии относительно оси ОС момента внешних
сил МвС описываемый гироскоп начнет прецессировать вокруг
оси ОВ, проворачивая за собой движок потенциометра Я.
Последний сместится относительно нулевой точки, в результате чего
с потенциометра будет сниматься сигнал, пропорциональный
углу Φ поворота гироскопа вокруг оси ОВ.
Снимаемое с потенциометра Я напряжение, после усиления
в усилителе УС, подается на управляющую обмотку
электродвигателя ЭД. Возникающий при этом момент MD двигателя будет
также пропорционален углу Φ поворота гироскопа вокруг оси ОВ.
Направление момента MD выбирается противоположным внешнему
возмущающему моменту.
Как видим, компенсация внешнего возмущающего момента МвС
в рассматриваемом приборе осуществляется моментом MD
двигателя ЭД, называемым опорным или стабилизирующим. Для
создания необходимого стабилизирующего момента MD гироскоп
должен повернуться вокруг оси ОВ на некоторый угол θ. Так как
этот поворот является следствием прецессии гироскопа, ось ОВ
часто называют осью прецессии. Равенство моментов МвС и MD
обеспечивает стабильное положение гироскопа относительно
оси ОС, получившей название оси стабилизации.
Рассматриваемое гироскопическое устройство обладает тем
преимуществом, что действующие на него нагрузки фактически
воспринимаются опорным двигателем. Гироскоп лишь управляет
этим двигателем. Поэтому, выбирая соответствующую мощность
опорного двигателя, можно осуществить стабилизацию
значительных масс, используя для этого гироскоп с малым кинетическим
моментом.
Величина внешнего возмущающего момента, воспринимаемого
гироскопическим устройством, зависит в основном от прочности
наружного карданова кольца, которое в рассматриваемых
приборах принято называть рамой.
Поэтому все устройство в целом получило название
гироскопической рамы или гирорамы. В связи с тем, что
гироскопической рамой можно стабилизировать значительные массы,
подверженные воздействию больших моментов внешних возмущающих
сил, описанные устройства называют еще и гироскопическими
силовыми рамами или стабилизаторами.
434

§ 93. ПОВЕДЕНИЕ ГИРОСКОПИЧЕСКОЙ РАМЫ
НА ПОДВИЖНОМ ОСНОВАНИИ
Для выявления характера движения гироскопической рамы
по отношению к ее основанию, вращающемуся в пространстве,
вновь обратимся к системе уравнений (162). Из схемы прибора
(рис. 191) видно, что при наличии стабилизирующего двигателя
главная ось О А будет отклоняться от оси OD лишь на малые углы.
Поэтому начальный угол Фо равен нулю. При малом угле Φ
величина ω^ будет также величиной малой.
Будем полагать, что коэффициент пропорциональности
момента MD углу Φ равен К- Учтем также, что при Φ > О
момент MD > 0. При этих условиях, если пренебречь силами
трения в опорах подвеса, система (162) может быть переписана
в виде
JBQ + /Ω (ψ + <ос) = 0; )
.. 7. \ (588)
Если в полученной системе уравнений опустить из
рассмотрения нутационные члены, то исследуемые уравнения примут более
простой вид:
Ψ = —®с>
JQb + KQ = МвС — №<йв·
Решения последних уравнений будут определяться по
выражениям
t
Ч> = — J ®cdt -\-Сг\
о
к
Ъ-=С2е~-^'+ m*c-JQ*b
(589)
из которых следует, что гироскопическая рама стабилизирует свое
положение в пространстве только относительно оси ОС.
Если гирорама установлена на вращающемся основании, то
относительное перемещение между ними происходит лишь вокруг
оси стабилизации. Угловая скорость этого перемещения равна
по величине, но обратна по направлению угловой скорости оос
вращения основания вокруг оси ОС в пространстве. Стабилизация
положения гироскопа относительно оси ОВ отсутствует, гироскоп
лишь поворачивается вокруг нее на угол
Мвс — JQ<*b
#г =
К
создавая рассогласование между осями О А и OD.
Вот почему описанная гироскопическая рама носит название
одноосной или однокомпонентной.
435

§ 94. РАЗНОВИДНОСТИ ГИРОСКОПИЧЕСКИХ РАМ
Из изложенного выше следует, что одноосная гироскопическая
рама стабилизирует относительно своей наружной оси лишь
наружное карданово кольцо. Поэтому она может быть
использована только в тех случаях, когда в системе координат Οξηζ
(рис. 192). должно быть выдержано направление ON,
характеризуемое лишь oahhmJ углом. Так, например, если объект
движется в плоскости ξΟη,
сохраняя наружную ось ОС
совмещенной с Οζ, то с помощью
одноосной гирорамы можно
стабилизировать положение
плоскости ΝΟζ, составляющей угол
α с плоскостью ηΟζ.
Если система координат Οξηζ
неподвижна в пространстве и ее
угловые скорости ωΒ и оос равны
нулю, то внутренняя ось
подвеса ОВ будет неизменно
совмещена с плоскостью ΝΟζ. Если
оси Οξηζ вращаются, то
наружное кольцо НК и связанная с
ним ось ОВ гироскопа, согласно
выражениям (589), будут
непрерывно отклоняться от плоскости
ηΟζ. Чтобы гироскопическая
рама стабилизировала свое
положение относительно
подвижных осей, в ее систему вводят
корректирующие устройства.
При использовании
одноосной гирорамы для стабилизации
курса объекта компенсация ее азимутальных отклонений может
быть осуществлена с помощью дистанционного магнитного
компаса. Магнитный компас ДМК с помощью дистанционной передачи
удерживает движок г в плоскости магнитного меридиана. Поэтому
как только плоскость ВОС наружного кольца НК гирорамы
выйдет из совмещения с плоскостью магнитного меридиана, так
сразу же движок г сместится с нулевой точки обмотки
потенциометра Яс, жестко укрепленной на наружном кольце НК.
Напряжение, снимаемое при этом с потенциометра Яс, подается на датчик
моментов ДМ, который создает корректирующий момент Λίκβ,
действующий на гироскоп относительно оси ОВ. Гироскоп начинает
прецессировать вокруг оси ОС к плоскости магнитного меридиана.
Для подтверждения сказанного обратимся к системе
уравнений (588). Наличие коррекции гирорамы обусловливает действие
Рис. 192. Одноосная гирорама.
436

относительно ее внутренней оси момента МкВ, пропорционального
углу ψ. Заметим, что при отклонении гирорамы от плоскости
магнитного меридиана на угол ψ > 0 момент МкВ должен быть
отрицателен. На гироскопическую раму действует также момент
опорного двигателя, пропорциональный углу Ф.
Обозначая через Кв и Кс коэффициенты пропорциональности
корректирующего и стабилизирующего моментов углам ψ и §
соответственно и полагая для простоты плоскости магнитного
и географического меридиана совмещенными, перепишем
систему (588) в следующем виде:
JBb + /Ω (ψ + <ос) - -**♦; {
/· \ г (590)
Jtf-JQ (θ + ωΒ) = -Мвс + /Сс0. ]
Опуская, как и выше, из рассмотрения нутационные члены,
можем записать
* + -&* = -«*;
откуда находим
KBt
JQ
Kct
ι /-> ~~ То— JQ(ur
4> = Cle ~~/Ci^
-Γρ -ό ι MbC~JQo>b
(591)
Как видим, при совмещении оси стабилизации одноосной
гирорамы с вертикалью, наличие корректирующего устройства
обеспечивает стабильное положение ее наружного кольца
относительно плоскости магнитного меридиана. Однако стабилизация
объекта лишь по курсу в общем случае является недостаточной.
Для таких объектов, как летательные аппараты, необходима
стабилизация еще и относительно плоскости горизонта, т. е. по углам
крена и тангажа. Последнее условие может быть выполнено также
с помощью гироскопической рамы, но уже не с одной, а с двумя
осями стабилизации.
В качестве примера двухосной гирорамы на рис. 193
приведена схема центральной гировертикали. Эта гировертикаль
состоит из двух гироскопов Γχ и Г2 с вертикальным расположением
главных осей ОхАх и 02А2. Внутренние кольца ВКг и ВКъ
гироскопов смонтированы внутри полого цилиндра НК,
выполняющего в описываемом приборе функцию наружного карданова
кольца. При этом оси подвеса 01В1 и 0253 размещены взаимно
перпендикулярно.
437

Цилиндр НК крепится на опорах, расположенных по оси ОВ
в дополнительном кардановом кольце ДК- Кольцо ДК
установлено по оси ОС в опорах Q, жестко закрепленных в корпусе
прибора. Посредством зубчатых передач цилиндр НК и кольцо ДК
соединены с осями стабилизирующих двигателей ЭД2 и ЭДХ,
закрепленных соответственно в кольце ДК и на корпусе прибора.
Из схемы видно, что описываемый прибор состоит из двух гиро-
рам, объединенных единой конструкцией.
Рис. 193. Двухосная гирорама.
При действии на рассматриваемую гирораму относительно
оси ОС внешнего момента гироскоп Гг начинает прецессировать
вокруг оси Οχβχ, вызывая поворот вокруг этой же оси движка
потенциометра Πν Сигнал, снимаемый при этом с
потенциометра Пъ подается на стабилизирующий двигатель ЭДЪ момент
которого уравновешивает внешний возмущающий момент. Если
внешние силы создают момент относительно оси ОВ, то возникает
прецессия гироскопа Г2 вокруг оси 0252. В результате
стабилизирующий двигатель ЗД2, управляемый через потенциометр Я2,
создает момент, компенсирующий возникшее возмущение. Как
видим, двухосная гирорама стабилизирует положение
цилиндра НК относительно двух осей ОВ и ОС.
Для того чтобы описанная двухосная, или, как говорят, двух-
компонентная, гирорама сохраняла свое положение относительно
плоскости горизонта, в нижней части цилиндра НК устанавли-
438

вают пространственный электролитический маятник L,
устройство которого было показано на рис. 163. При отклонении
цилиндра НК от вертикали в результате его поворотов вокруг
осей ОВ и ОС (рис. 193) с электролитического маятника снимаются
сигналы, пропорциональные углам указанных поворотов.
Подавая эти сигналы на датчики моментов ДМХ и ДМ2, создают
корректирующие моменты, под действием которых гирорама будет
возвращаться к вертикальному положению. Приборы
рассматриваемого типа получили название силовых гировертикалей.
Рис. 194. Трехосная гирорама.
В тех случаях, когда необходимо обеспечить стабилизацию по
трем взаимно перпендикулярным осям, используют
трехосные гирорамы. Принципиальная схема такого гироскопического
устройства приведена на рис. 194. В раме НК установлены три
гироскопа Гх, Г2 и Г3, каждый из которых обладает по
отношению к ней двумя степенями свободы. Рама НК подвешена в кар-
дановых кольцах ДКВ и ДКН. Кольцо ДКН установлено в
опорах Q, закрепленных в корпусе прибора.
По всем трем осям О А, ОВ и ОС подвеса рамы НК
установлены стабилизирующие двигатели ЭДЛ) ЭДВ и ЭДС) а по
осям ОВъ 02В2 и 03В3 подвесов гироскопов — потенциометры illt
П2 и Я3. Таким образом, в рассматриваемом приборе имеются все
элементы гирорамы (см. рис. 191), посредством которых
осуществляется стабилизация рамы НК (рис. 194) по всем трем осям ОЛ,
О В и ОС ее подвеса. При действии на гирораму внешнего
возмущающего момента относительно оси ОА прецессирует вокруг
оси ОВх гироскоп Г χ. Снимаемый с потенциометра Пг сигнал
подается непосредственно на стабилизирующий двигатель ЭДА,
момент которого уравновесит момент внешних сил. При действии
439

на гирораму внешних моментов относительно осей ОВ и ОС пре-
цессируют вокруг своих осей подвесов 02В2 и 03В3 гироскопы Г2
и Г3. Однако сигналы, снимаемые с их потенциометров Я2 и Я3,
подавать непосредственно на стабилизирующие двигатели ЭДВ
и ЭДС нельзя. Если рама НК и кольцо ДКВ взаимно
перпендикулярны (рис. 194), то в случае действия возмущающего
момента относительно оси ОС будет прецессировать гироскоп Г2.
Следовательно, сигнал, снимаемый с потенциометра Я2, должен
будет подаваться на стабилизирующий двигатель ЭДС. Однако
взаимно-перпендикулярное положение между рамой НК и
кольцом ДКВ не может оставаться неизменным. При поворотах объекта
вокруг оси ОА вместе с ним поворачиваются и оба кольца ДКВ
и ДКН по отношению к раме НК, остающейся стабильной в
пространстве.
Как только объект повернется на 90°, плоскости рамы НК
и кольца ДКВ совместятся. В таком положении под влиянием
момента относительно оси ОС будет прецессировать вокруг своей
оси подвеса 03В3 уже гироскоп Г3. Естественно, что в этом
случае сигнал, управляющий стабилизирующим двигателем ЭДС,
должен будет подаваться с потенциометра П3. Аналогичное
явление наблюдается и при осуществлении стабилизации по оси ОВ.
Из изложенного следует, что в общем случае сигналы,
снимаемые с потенциометров Я2 и Я3, должны подаваться
одновременно на оба стабилизирующих двигателя ЭДВ и ЭД0 изменяясь
по законам: первый — косинуса, второй — синуса. С целью
распределения сигналов, снимаемых с потенциометров Я2 и Я3,
между стабилизирующими двигателями ЭДВ и ЭДС в
пространственной гирораме используется распределительное устройство PC.
Последнее представляет собой либо синусно-косинусные
потенциометры, либо вращающиеся трансформаторы и называется
обычно распределителем сигналов или преобразователем
координат.
Рассмотренный тип трехоснрй гирорамы при ориентировании
ее наружного карданова кольца НК по плоскостям горизонта и
меридиана принято называть гироазимутгоризонтом или силовой
курсовертикалью.
§ 95. КОМПЕНСАЦИЯ ВЛИЯНИЯ ВРАЩЕНИЯ ОСНОВАНИЯ
ГИРОСКОПИЧЕСКОЙ РАМЫ ВОКРУГ ЕЕ ОСИ ПРЕЦЕССИИ
Устанавливая одноосные и двухосные гирорамы на объекте,
необходимо иметь в виду, что угловые скорости вращения объекта
вокруг осей прецессии оказывают непосредственное влияние на
работу гироскопической рамы.
Рассмотрим движение гирорамы при отсутствии внешнего
возмущающего, момента МвС и угловой скорости сос вращения ее
440

основания вокруг оси стабилизации. При этом условии система
уравнений (590) принимает вид
Jcyp— Jtift — Kc® = «/Ωω5
или в символической форме записи
JBp*b + (JQp + KB)y = 0\
JcP2^— {J&P + Кс) О = /ΩωΒ.
Рис. 195. Одноосная двухгироскопная рама.
Разрешив полученную систему относительно переменной ψ,
найдем дифференциальное уравнение
JbJcP^ + ^2Ω2ρ2ψ + № (Kb + Кс) ΡΨ +
+ КвКс§ = ^β/Ωρ2ωβ,
из которого следует, что вращение объекта вокруг оси прецессии
гирорамы влияет на ее отклонение по оси стабилизации.
Для устранения указанного влияния гирораму снабжают
двумя гироскопами Гг и Г2 (рис. 195), обладающими одинаковыми
по величине, но противоположными по направлению
кинетическими моментами /Ωχ и /Ω2. Гироскопы связаны между собой
либо зубчатыми секторами, жестко соединенными с их
внутренними кардановыми кольцами, либо антипараллелограммом
[14, стр. 431].
При действии на описываемую гирораму внешнего
возмущающего момента МьС сразу же возникнет прецессия гироскопов
441

вокруг осей ΟχΒχ и 0252 во взаимно противоположных
направлениях. Такому движению зубчатые секторы не оказывают сопра-
тивления. Если же объект, на котором установлена гирорама,
начнет поворачиваться вокруг оси ОБ с угловой скоростью ωβ,
то гироскопы, стремящиеся сохранить свое положение
стабильным в пространстве, начнут поворачиваться внутри рамы НК
вокруг осей ОхВх и 02В2 и притом в одном и том же
направлении. Однако этот поворот будет сразу же погашен, так как
зубчатые секторы заклинят друг друга и гироскопы вынуждены
будут поворачиваться вокруг оси ОС вместе с наружным кольцом НК.
Таким образом, влияние вращения объекта вокруг оси ОВ на
положение гироскопической рамы в пространстве будет
автоматически погашаться.
В самом деле, если бы гироскопы не были связаны единым
наружным кардановым кольцом Я/С, то движение каждого из них
описывалось бы системой уравнений (590). Так как
корректирующие моменты гироскопов в рассматриваемом случае имеют
противоположные направления, движения гироскопов описывались бы
двумя самостоятельными системами дифференциальных уравнений
J в ι*ι + J&i (Ψι + ω с) = — Кв^;
Jс χψχ - Шг (θχ + ωΒ) = -МвС1 + Кс®!
и
J В 2*2 + ^ Ω2 (ψ2 + <°c) = Кв^>2>
J с 2ψ2 — ^Ω2 (*2 + ωβ) - — МвС 2 + /Сс*2.
Однако в действительности оба гироскопа установлены в
одном наружном кардановом кольце Я/С, которое может вращаться
только вокруг одной оси ОС. Поэтому углы ψχ и ψ2 являются по
существу одним и тем же углом ψ, характеризующим поворот
наружного кольца Я/С вокруг оси ОС. Необходимо иметь в виду,
что на изменение угла ψ оказывают влияние параметры
движения обоих гироскопов. Чтобы отразить это влияние в
уравнениях (592) и (593), перепишем их в одну систему, складывая между
собой уравнения, описывающие движение гироскопов вокруг
оси стабилизации ОС. В результате такого действия при ψχ =
= Ψ2 = Ψ имеем
J В 1*1 + J&L (ψ Π" <Ос) = — ΚΒΫ> Ι
JB 2θ2 + /Ω2 (ψ + (oc) = ΚβΫ,
(Jc ι + Jct) Ψ - № (*ι + ω*) + тг (<>2 + ωβ)] -
= - (Μвс ι + МвС 2) + Кс (*! + Oa). I
Выше уже говорилось, что гироскопы Гг и Г2 обладают
одинаковыми конструктивными параметрами и отличаются друг от
(592)
(593)
4 42

друга только направлением собственного вращения. Поэтому
между величинами, входящими в уравнения (594), существуют
следующие зависимости:
J β λ — J в 2 — J B\ Ωχ = Ω; Ω2 =з= — Ω;
Суммарное значение моментов инерции /Ci и Л; 2 представляет
собой момент инерции Jc системы относительно оси ОС. Сумма
моментов МвС1 и МвС2 определяет величину внешнего
возмущающего момента МвС, действующего на гироскопическую раму
относительно ее оси стабилизации ОС. Учитывая указанные
зависимости в системе уравнений (594), будем иметь
/βθ + /Ω (ψ + а>с) = — #βψ;
— JB$ — /Ω (.ψ + a>c) - Кв^\
Jc^ — 2/Ωθ = — МвС + Кс (θ — θ).
Как следует из полученной системы, уравнения движения
гироскопов вокруг их осей подвесов ОхВх и 02В2 в кардановом
кольце НК полностью идентичны. Поэтому при исследовании
характера движения рассматриваемой гирорамы можно
ограничиться одним из них. Для управления стабилизирующим
двигателем ЭД (рис. 195) потенциометр Я должен быть установлен по
оси прецессии какого-либо одного гироскопа. Также необходим
лишь один датчик для создания моментов коррекции
гирорамы. При этих условиях последняя система уравнений
принимает вид
JBQ + /Ωψ + /(βψ = - /Ωω* J
Jc^—2JQ6—Kc^ = — MbC. J
Решение усеченных уравнений системы (595) определяется
по выражениям
— JQ
У = Сге <>* — ττ-ω0
Kb
Mb С
Ъ^С2е 2'Ω -г-д->
которые подтверждают сказанное выше о том, что на положение
равновесия одноосной двухгироскопной рамы угловая скорость ωβ
вращения объекта не влияет.
Поэтому во всех тех случаях, когда ωβ может вносить
существенную ошибку в стабилизацию заданного положения, гирораму
снабжают двумя связанными между собой гироскопами. Это
в полной мере относится и к двухосной гироскопической раме.
Только в трехосной пространственной раме нет необходимости
443

устанавливать два гироскопа по каждой оси стабилизации:
взаимодействие между всеми тремя каналами стабилизации
обеспечивает автоматическую компенсацию влияния вращения основания
на изменение в пространстве положения равновесия трехосной
гироскопической рамы.
§ 96. УСТОЙЧИВОСТЬ ГИРОСКОПИЧЕСКОЙ РАМЫ
Выясним характер движения гирорамы в пространстве после
импульсного действия момента внешней силы, полагая, что
положение ее корпуса неподвижно (ωΒ = оос = 0) и
корректирующее устройство отсутствует (Кв == 0)· При этих условиях
уравнения (590), переписанные в символической форме, будут
иметь вид
<1вР2® + «Ώρψ = 0; Ι
JcP^t - №ρ + ffc) О = 0. J (596)
Характеристическое уравнение для системы (596) может быть
записано в виде определителя
JBp2, JQp
-(JQp + Kc), JCP2
найдем
ΡΩ2
= 0,
раскрыв который,
Р4 +
JbJc
* + ££р=о.
Обозначив коэффициенты
/2Ω2
= а,
JbJc
JQKc
JbJc ' JbJc
и учтя, что они удовлетворяют условию
(-*-)'+(т)">0·
по аналогии с решением уравнения (130) находим значения корней:
Pl- = -U + V;
Рг,з =
р4=0.
Для рассматриваемого случая
■(U-V);
U
- ι У JQKc , -ι// JQKc у ι / J2Q2 у
~ V MbJc + У \ ZJbJc ) + \ 3JBJC ) '
V =
з /■■
ν-
J2Q2
Y(W<L)2+(
2JBJC У \ ZJbJc J ^ \ 3JBJC
JQKc
?■
Из полученных выражений следует, что положительным будет
либо значение вещественного корня, либо значение вещественной
444

части комплексных сопряженных корней. Это обстоятельство
говорит о том, что положение равновесия гироскопической рамы
в данном случае неустойчиво (см. § 13).
Для обеспечения устойчивости гирорамы в ее систему вводят
успокоитель УС (рис. 196), создающий момент сил демпфирования
Рис. 196. Гирорама
с успокоителем.
относительно оси прецессии ОВ.1 Так как величина
демпфирующего момента пропорциональна угловой скорости θ, то,
учитывая в системе (596) член μρθ, где μ — коэффициент момента сил
демпфирования, можем записать
(JBp2 + μρ) θ + /Ωρψ = 0;
Jcp^-(mp + Kc)® = 9·
Составив для системы (597) определитель
μΒρ2 + μρ), JQp\
-(JQp + Kc). JcP2\
находим характеристическое уравнение
(597)
= 0,
Р4 + ^Р3 +
J2Q2
Р2 +
JQKc
р=0.
(598)
J в н ' JbJc h ' Jb*c
Вынося за скобки общий множитель р, определим значение
одного из четырех корней уравнения (598):
Р4 = 0.
1 Демпфирующий момент может быть осуществлен и относительно оси
стабилизации. Для этого на практике используется обычно противоэлектродвижу-
щая сила стабилизирующего двигателя (см. [37, стр. 324]).
445

В оставшемся уравнении
по аналогии с (493) введем замену
p3+^2+^ + w = ° <599>
μ
3JB '
в соответствии с которой (599) примет вид
q* + aq + b = 0,
где
μ2 , /2Ω2 « 2μ3
3J| ^C ' 27J%
/2Ω2μ /Ω/Cc
(600)
(601)
(602)
Так как коэффициенты уравнения (601) удовлетворяют
условию
(4-)·+(τ)·>ο.
то в соответствии с решением уравнения (132) можем записать:
Яг = U + V; _
ft,a= - 4" & + V) ± "Цт" & ~ V">>
где
"- f-i+vm+ (-τ)··.
V-
vw+w
Подставив в последние выражения значения коэффициентов а
и & из (602), найдем, что и в этом случае либо вещественный
корень <7ι> либо вещественная часть комплексных сопряженных
корней q2 и q3 уравнения (601) будут положительны. Однако и
вещественные корни и вещественные части комплексных корней
характеристического уравнения (599) могут быть отрицательными.
Действительно, как следует из зависимости (600), при
соответствующей величине коэффициента μ момента сил демпфирования
даже при положительном значении q величина ρ может быть
отрицательной. Таким образом, движение гироскопической рамы,
снабженной успокоителем, будет устойчивым.
Сложность практического вычисления корней
характеристического уравнения увеличивается с возрастанием степени
уравнения. Поэтому при исследовании устойчивости движения можно
446

воспользоваться теоремой Гурвица,г позволяющей судить об
устойчивости системы не вычисляя значений корней
характеристического уравнения.
При исследовании уравнений движения гироскопических
приборов и устройств наиболее часто приходится встречаться с
характеристическими уравнениями четвертой степени, в общем
случае имеющими вид
ЯоР4 + ciiP3 + а2р2 + а3р + а4 = 0.
Согласно теореме Гурвица корни такого уравнения будут
вещественными отрицательными или комплексными с
отрицательной вещественной частью только в том случае, когда его
коэффициенты а0, alt a2f as и α4 удовлетворяют следующим условиям:
а0 > 0; аг > 0; сц > 0; а3 > 0; а4 > 0;
\аг а3 0
|>0; Δ3 = Ιαο α2 β4|>0;
аг а3
а0 а2
а0 а2 а4
0 а1 а3
>0
аг а3 0 0
а0 а2 а4 0
0 ах а3 0
0 ап а* а&
Нетрудно заметить, что между записанными условиями
существует определенная зависимость. Действительно, раскрыв
определители,2 будем иметь
Δ 2 = аха2 — а0ав;
Δ3 = α3 (αιθ2 — а0аг) — α?α4 = α3Δ2 — α?α4;
Δ4 = α4 {а\Оъаъ — α?α4 — α0α23) = α4Δ3.
Таким образом, для того чтобы характеристическое уравнение
четвертой степени не имело положительных вещественных корней
или комплексных корней с положительной вещественной частью,
необходимо и достаточно выполнить два условия:
а0 > 0; аг > 0; а2 > 0; а3 > 0; а4 > 0;
Δ3 = аъ (а{а2 — а0а3) — а\а± > 0.
(603)
1 См.: Е. П. Попов. Динамика систем автоматического регулирования.
ГИТТЛ, 1954, стр. 283.
2 См.: В. И. С м и ρ н о в. Курс высшей математики. Т. III, ч. I, ГИТТЛ,
1949, стр. 21.
447

Условия (603) накладывают определенные требования на
соотношения между параметрами гироскопической рамы.
Действительно, обращаясь к характеристическому уравнению (598)
системы (597), описывающей движение одноосной гирорамы,
убеждаемся в том, что все его коэффициенты положительны. Тем
самым удовлетворяются первые неравенства условия
устойчивости (603). Подставив в последнее неравенство (603) значения
входящих в него коэффициентов, будем иметь
JQKc ( μ ^2Ω2 j JQKc \ μ2 ρ > Q
Kc) > 0. (604)
ИЛИ
J2Q2Kc ( μ^Ω
J2
Так как множитель
j%j% \ JBi
^B^C
то неравенство (604) будет иметь место лишь при условии
^-*с>0,
откуда следует, что
£>*· <605)
Таким образом, если параметры гироскопической рамы
выбраны так, что неравенство (605) соблюдено, то ее движение
будет устойчивым.
Пример 38. Проверить устойчивость движения одноосной
гироскопической рамы, обладающей кинетическим моментом J Ω = 1600 Гсмсек. Моменты
инерции гирорамы относительно осей прецессии и стабилизации J в — 0,37 Гсмсек2
и J с — 0,8 Гсмсгк2. Коэффициенты моментов стабилизирующего двигателя и сил
демпфирования Кс — 6000 Гсм/рад и μ = 25 Гсм/рад.
Характеристическое уравнение (598) в рассматриваемом случае будет иметь
вид
4 25 а 16002 2 1600>6000
Р + 0,37 Р ^ 0,37-0,8 Р + 0,37.0,8 Р
р4 + 68р3 + 875· 10V + 326.\0*р = 0.
Как видим, все коэффициенты полученного уравнения больше нуля и тем
самым удовлетворяют первому условию (603). Вычислим величину Δ3 для
рассматриваемой гирорамы:
Δ3= 326· 105 (68-875-104 — 1-326-105) — 682-0= 18,3-1015>0.
448

Естественно, что при этом будет соблюдаться и условие (605):
JL _ J5_ - R7 ^7 ч* -*С - ^Ш
J в ~ 0,37 ~0/'0/ > JQ - 1600
= 3,7.
Таким образом, параметры гироскопической рамы, удовлетворяющие
условиям (603), выбраны правильно и ее движение будет устойчивым.
§ 97. ДЕМПФИРОВАНИЕ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ
ГИРОСКОПИЧЕСКОЙ РАМЫ ПРОТИВОЭЛЕКТРОДВИЖУЩЕЙ
СИЛОЙ СТАБИЛИЗИРУЮЩЕГО ДВИГАТЕЛЯ
Представим себе одноосную гироскопическую раму (рис. 197),
напряжение которой снимается с потенциометра Я и после
усиления в усилителе УС подается на обмотку якоря
стабилизирующего двигателя. Обмотка возбуждения двигателя СД питается от
Рис. 197. Схема демпфирования гирорамы противоэлектро-
движущей силой стабилизирующего двигателя.
источника электрической энергии постоянного тока. Как
известно, х момент MCD электрического двигателя постоянного
тока с независимым возбуждением с достаточной для практики
точностью определяется выражением
Мсо = cj>
где см — машинная постоянная двигателя;
/ — сила тока в обмотке якоря двигателя.
Будем полагать, что усилитель УС безынерционный и мощность
источника энергии ИЭ значительно превышает мощность,
потребляемую стабилизирующим двигателем. Пусть угловые скорости
1 См.: Α. Α. Β ο ρ о н о в. Элементы теории автоматического регулирования.
Воениздат, 1954, стр. 119.
449

вращения корпуса гирорамы в пространстве ωΒ = оос = 0 и
возмущающий момент МвС = 0. При этих условиях движение
гироскопической рамы по аналогии с (588) будет описываться
уравнениями
JBb + 7Ωψ = 0; ' )
.. (606)
Jcy — JQu = MCD = cJ.)
Сила тока / в обмотке якоря будет определяться по уравнению
в цепи якоря
где L — коэффициент самоиндукции в цепи якоря;
R — суммарное сопротивление в цепи якорями усилителя;
сеФ — коэффициент противоэлектродвижущей'силы;
i — передаточное отношение зубчатой передачи между
валом стабилизирующего двигателя СД и осью ОС
гирорамы;
U — напряжение в обмотке якоря, практически
пропорциональное углу θ поворота гироскопа вокруг оси ОВ
прецессии,
U = Кс®>
здесь Кс — коэффициент пропорциональности.
Учитывая сказанное, перепишем систему (606) в следующем
виде:
JB$ + 7Ωψ = 0;
Jc\p— №b = cuI;
t/ = tfcO.
Подставив в третье уравнение системы (607) значение U из
ее четвертого уравнения и значение силы тока I из второго, найдем
Уяд + Л2ф = 0;
(607)
СЫ СЫ СМ С1-
Переходя к символической форме записи
JBp4 + JSpty = 0;
450

й составляя определитель
JBp2, </Ωρ
-(™'+™> + «<)· (-^р- + ^ + ^)1-0·
найдем характеристическое уравнение системы (607):
Ρ μψ± Ρ* + -^ Ρ* + (^ + JBce®i) Ρ* +
-Ь-*^Р + Л2/СС =0. (608)
Один из корней уравнения (608) равен нулю. Это значит,
что положение равновесия рассматриваемой гирорамы
безразличное. В любом произвольно заданном в пространстве
положении при устойчивости движения гирорама будет сохранять
стабильное положение. Необходимое для устойчивого движения
соотношение между параметрами гирорамы определяется критерием
Гурвица (603), в соответствии с которым
^2Ω2 г RJbJc ( U*№ , j c φΛ LJBJC , ^2Ω2 Ί _
CM L ^M \ CM / ^М ^М J
или после преобразований
JQceQ)i > JCKC,
откуда
СеФ1 >4Я· (609)
Jc ^ «/Ω
При соблюдении условия (609) момент, создаваемый противо-
электродвижущей силой относительно оси стабилизации
гирорамы, интенсивность которого характеризуется
коэффициентом ce<Di, обеспечивает демпфирование ее собственных колебаний.
§ 98. ТОЧНОСТЬ СТАБИЛИЗАЦИИ ГИРОСКОПИЧЕСКОЙ РАМЫ
Исследования устойчивости движения гироскопической рамы
еще недостаточно для того, чтобы судить о качестве ее работы.
Одним из основных факторов, характеризующих работу
гирорамы, является максимальная величина ее отклонений от
заданного положения при воздействии на нее внешних возмущающих
моментов. Чем меньше величина указанных отклонений, тем выше
при одних и тех же максимально возможных внешних
возмущениях точность удержания гирорамой заданного положения, или,
как говорят, точность ее стабилизации. Чтобы определить зна-
451

чения углов отклонении гирорамы под действием переменного
момента МвС (/), перепишем систему уравнений (597) в
следующем виде:
JBft + 7Ωψ + μθ = 0;
/сф - /ΩΟ — Κϋ = ΜΒ cP(f).
Решение этой системы будет зависеть от закона изменения во
времени внешнего возмущающего момента МвС. Будем полагать,
что последний изменяется по гармоническому закону МвС =
= М0 sin qt. Тогда рассматриваемая система уравнений примет
вид
JBb + /Ωψ + μθ = 0; )
(610)
/сф — /ΩΟ —Κϋ = Μ0 sin f f. J
Частные решения системы (610) будем искать в виде
θΓ = N cos qt + L sin 9/;
фг = #* cos <7ί + L* sin <7i,
* r»nc /τ/ __L / * οΐη ni I ^ '
где Ν, L, jV*, L* — амплитуды колебаний.
Продифференцируем дважды выражения (611) по времени и
подставим значения θΓ, ψΓ и их производных в систему (610):
— JBq2N cos qt — JBq2L sin qt — JQqN* sin qt +
+ JQqL* cos <7^ — μ<7# sin qt + μ<7^ cos gtf = 0;
— Jcq2N* cos qt — /c<72£* sin gi + JQqN sin gi — JQqL cos ^ —
— KN cos gi — /CL sin qt = M0 sin qt.
Приравняв коэффициенты при тригонометрических членах
в правой и левой частях этих тождеств и решив полученные при
этом уравнения, найдем
д. _ JQaMp а j _ JQbM0
a* _j_ ъ* > ** φ -f- & »
(612)
где
a = J2Q2q—JBJcq3; b = /Ω/C— /<#*μ· (613)
Подставив значения (612) в первое уравнение (611), будем
иметь
α JQaM0 , JQbM0 . .
®r = 7F+#C0Sqt - ^T^"sin ^
452

Следовательно, амплитуда вынужденных колебаний гироскопа
вокруг оси прецессии
= Vn* + l2 =
JQM{
о
Va* -j- Ь1
или после подстановки значений а и Ь из (613)
α JQM0
V(J4*<g - JBJcg0)2 + (JQK - JcqW
(614)
Конструктивные параметры гироскопической рамы должны
быть такими, чтобы амплитуда ее колебаний вокруг оси
прецессии при заданных условиях работы не превышала
нескольких градусов.
Из второго уравнения (611) при использовании коэффициентов
(612) получаем
Ψγ = α2 +V УвЯь — И cos Я* + а* +V ^вда + μ^ sin qt ·
Следовательно, амплитуда вынужденных колебаний
гироскопической рамы вокруг оси стабилизации определится из
выражения
4Vma,= K#*2 + L
-_Mo]/jW+^_
У а* + ь*
или, учитывая равенства (613),
^тах= , ^*&+У (615)
Величина i|)rmax не должна превышать допустимого
отклонения гирорамы от заданного направления, определяемого
заданной точностью стабилизации.
Пример 39. Определить амплитуду вынужденных колебаний
гироскопической рамы, установленной на объекте, совершающем гармонические колебания
вокруг оси стабилизации гирорамы с периодом Τ = 1 сек. Максимальное
значение момента, воздействующего на гирораму относительно ее оси стабилизации,
М0=» 100 Гсм. Параметры гироскопической рамы те же, что и в примере 38.
Вычислим круговую частоту вынужденных колебаний:
2π 2-3,14 _OQ ,
q — -ψ- = —-— =6,28 сек. \
Подставив числовые значения параметров гирорамы в выражение (615),
будем иметь
_ 10θΚΌ,372.6,2824-252 =
ах- 1/"(16002·6,28 — 0,37.0,Ь.6,28а)2 + (6ϋ00· 1600 — 0,8·6,282.25)2 "~
s= 1.34-10"4 рад. = 0,46 угл. мин,
453

§ 99. ВЛИЯНИЕ СИЛ ТРЕНИЯ В ОПОРАХ ПОДВЕСА
ГИРОСКОПИЧЕСКОЙ РАМЫ НА ТОЧНОСТЬ СТАБИЛИЗАЦИИ
При анализе точности гироскопической рамы необходимо
выяснить влияние на характер ее движения сил трения в опорах
подвеса. С этой целью в уравнениях (588) учтем моменты сил
трения. В результате будем иметь
JB$ + /Ω(φ+ й)С) = МтД,
Jc^—JQ (θ + ωΒ) - /CO = - МвС + ΜтС.
Предположим, что в рассматриваемом случае возмущающий
момент МвС равен нулю, а основание гирорамы вращается в
пространстве с угловыми скоростями ωβ и сос. При этих условиях,
согласно изложенному в § 37, после того, как амплитуды
нутационных колебаний гироскопа снизятся до своего предела,
направления действия моментов сил трения относительно осей
подвеса гироскопа определятся лишь направлениями угловых
скоростей ωΒ и оос. Поэтому исходные уравнения принимают вид
JB$ + У Ω (φ + а>с) - ΜοτΒ sign (ωβ); }
... \ (Ыо)
/сф — У Ω (θ + ωΒ)—Κΰ = Μ0 тС sign (<oc). J
В том случае, когда основание прибора совершает
гармонические колебания с частотой q, изменения угловых скоростей ωβ
и (йс подчинены зависимостям
<°в ~ ωοΒ^ιη qt\ <°с= «occos Ч*>
учитывая их в уравнениях (616), будем иметь
JB$ + У Ω (ψ + ω0 ccos qt) =ΜοτΒ sign (sin qt);
Ус'ф — У Ω (·θ + ωοΒ sin qt)— /(θ = Λί0 T c sign (cos qt).
Разложив правые части полученных уравнений в ряд Фурье
(252) и ограничившись его первым членом, можем записать
УБ0 + Л2ф = — /Ωω0ccosqt + Ш^тВsin qt; )
Jc^ —JQ^^=JQco0Bsinqt+^^ cos qt.
Решение (617) аналогично решению системы (610).
Разыскивая решения в виде (611), определяют описанным выше методом
(см. § 98) значения амплитуд изменения углов θ и ψ. По
величинам этих амплитуд судят о точности стабилизации гирорамой
заданного положения. В тех случаях, когда угловые скорости ωβ
и g)c вращения основания остаются постоянными, уравнения (616)
454

при пренебрежении в них нутационными членами принимают
вид
Мотв.
ψ =- — (йс +
Jii
* А_ , ^ОтС
— ωβ —
JQ v ~ w» JQ
(618)
Момент сил трения МотС, действующий на гироскопическую
раму относительно ее оси стабилизации, оказывает влияние лишь
на положение внутреннего карданова ксльца в наружном.
Действительно, решив второе уравнение (618), найдем
-А/
а, = Гр JQ «/ΩωΒ + Λίοτθ
К
Как видим, момент МотС влияет лишь на величину угла
поворота внутреннего кольца вокруг оси прецессии
гироскопической рамы, не вызывая поворота последней вокруг оси
стабилизации.
Из первого уравнения (618) следует, что момент сил
трения МьтВ оказывает влияние на точность стабилизации
гироскопической рамой заданного положения. В самом деле, в случае
вращения основания с угловой скоростью оос гироскопическая
рама, сохраняющая положение своего наружного кольца
неизменным в пространстве при ΜοτΒ = 0 должна поворачиваться
относительно основания с угловой скоростью
φ = — сос. (619)
При моменте сил трения ΜοτΒΦ О, угловая скорость ψ
поворота гироскопа вокруг оси стабилизации определится из
выражения
JQ(uc — Мот в
ф:
Jti
Угловая скорость ψ не будет отвечать равенству (619). До тех
пор, пока 7Ωω0 меньше ΜοτΒι гирорама будет поворачиваться
вместе с основанием как одно тело. И лишь после того, как JQ(oc
станет больше МотВ, гирорама начнет стабилизировать свое
положение в пространстве, причем тем точнее, чем больше
величина JQa>c по сравнению с моментом сил трения ΜοτΒ. Та
минимальная угловая скорость озСт1п вращения основания, которую,
как говорят, будет «чувствовать» гироскопическая рама,
определится из равенства
JQ<*CnAn = ΜοτΒ
и, следовательно,
<oCmin = %^· (620)
455

Как видим, чем меньше момент сил трения относительно оси
прецессии, тем точнее гироскопическая рама стабилизирует
заданное положение в пространстве.
Пример 40. Гироскопическая рама, обладающая кинетическим
моментом J Ω = 2000 Гсмсек, должна стабилизировать заданное положение с точностью
одной угловой минуты в минуту времени. Определить допустимую величину
момента сил трения по оси прецессии.
Найдем значение минимальной угловой скорости основания гирорамы, на
которую последняя должна реагировать:
Шс min = 1-60-60-57,3 = 4'84· Ш"в СеК·"1·
Подставив значение <uq т'т в формулу (620), определим допустимую
величину момента сил трения:
Λί0Τβ= ^0)Cmin = 2000-4,84-ΙΟ"6 = 0,01 Гсм.
Таким образом, для обеспечения требуемой точности гироскопической рамы
момент сил трения относительно ее оси прецессии должен быть весьма малым,
что достигается обычно использованием воздушных, жидкостных и других типов
специальных опор подвеса гироскопа в наружном кардановом кольце.

Глава XIII
ГИРОСКОПИЧЕСКИЕ ПРИБОРЫ В СИСТЕМАХ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ,
СТАБИЛИЗАЦИИ И КОНТРОЛЯ
§ 100. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ГИРОСКОПИЧЕСКИХ ПРИБОРОВ
В АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ СТАБИЛИЗАЦИИ
И УПРАВЛЕНИЯ ПОДВИЖНЫМИ ОБЪЕКТАМИ
Гироскоп почти с первых лет его применения начали
использовать в качестве основного измерительного элемента в
системах автоматического управления подвижными объектами. В конце
восьмидесятых годов прошлого столетия был создан
гироскопический стабилизатор морской торпеды [4, стр. 102; 8,
стр. 248], обеспечивающий ее движение в заданном азимутальном
направлении. Немного позднее, в начале XX века, после
появления первых образцов мореходных гирокомпасов были
созданы гироскопические рулевые, обеспечивающие автоматическую
стабилизацию корабля на выбранном курсе [1, стр. 296]. А еще
через· несколько лет на конкурсе 1914 года по безопасности
самолетовождения демонстрировался гироскопический
автопилот, управляющий полетом летательного аппарата без
вмешательства летчика [26, стр. ИЗ].
Особенно интенсивное использование гироскопов в системах
автоматического управления объектами наблюдается в
последние десятилетия. Освоение космического пространства
обусловило необходимость полной автоматизации средств управления,
стабилизации и контроля, обеспечивающих практическое
осуществление движения объекта по заранее намеченной траектории.
При этом в общем комплексе автоматических устройств,
предназначаемых для решения указанных задач, выполнение целого
ряда функций возлагается на гироскопические приборы [42,
стр. 286].
В современных автоматических системах управления
движением объектов гироскопические приборы измеряют,
дифференцируют и интегрируют не только угловые, но и линейные
величины, характеризующие параметры движения. Естественно, что
каждый такой гироскопический прибор, используемый в
качестве отдельного звена того или*иного автоматического устройства,
будет оказывать непосредственное влияние на характер работы
457

всего автомата в целом. От динамических свойств
гироскопических элементов во многом зависят быстродействие и точность
автоматического осуществления желаемого процесса, будь то процесс
стабилизации, управления или контроля.
В теории автоматического регулирования для оценки
динамических свойств отдельных звеньев системы, независимо от их
физических и конструктивных разновидностей, используются
единые методы. Среди этих методов наиболее широкое
распространение в последние годы пслучил частотный метод анализа, *
следуя которому необходимо в первую очередь определить
передаточные функции отдельных звеньев системы. Получаемая
непосредственно из дифференциальных уравнений, описывающих
движение рассматриваемого звена, передаточная функция
позволяет по своему виду составить суждение о характере
возможных переходных процессов в данном звене и о его влиянии на
статические и динамические свойства автоматической системы
в целом.
§ 101. СТРУКТУРНАЯ СХЕМА И ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ
ГИРОСКОПИЧЕСКИХ ПРИБОРОВ,
ЛИШЕННЫХ ИЗБИРАТЕЛЬНОСТИ
Рассмотренные выше гироскопические приборы по их
динамическим свойствам можно разделить на группы. Так, астатические
гироскопы (гл. VI), гироскопы направления (гл. VH) и
некорректируемые гироскопы с тремя степенями свободы имеют одно
общее свойство — все они лишены избирательности.
Общность динамических свойств указанных гироскопических
приборов подтверждается тем, что и уравнения (280),
описывающие движение астатического гироскопа, и уравнения (291)
движения гироскопа направления могут быть заменены одной
объединяющей их системой дифференциальных уравнений
JB* + JQ (ψ + сос) « ΜΒ· )
Jcty—JQ(ft + (oB) = Mc. J
Переписав уравнения (621) в символической форме
JBp*$ + JQpyp = MB- JQ(oc] )
Jcp2yp _ /Ωρ# _ Мс + jq(UB) \ У°гг)
определим из первого уравнения системы (622) значение θ, а из
второго — значение ψ:
-j^riMz-JQcoc-JQpyy,
ψ = —^ (Мс + /Ωω* + /ΩρΦ).
(623)
1 См.: Основы автоматического регулирования. Под редакцией В. В. Соло-
довникова, т. I, гл. XII, Машгиз, 1954.
458

При исследовании процессов, протекающих в
автоматизированных системах, необходимо знать динамические свойства их
отдельных элементов. Для облегчения составления схемы той или
иной автоматизированной системы в теории автоматического
регулирования принято отдельные звенья системы изображать
условно в виде прямоугольников. * С одной стороны такого
прямоугольника изображается стрелкой входная величина, с другой —
выходная, связанная с входной той или иной зависимостью,
определяемой динамическими свойствами . рассматриваемого
звена. Принципиальная схема любой автоматической системы
может быть представлена так называемой структурной схемой,
составленной из отдельных
звеньев, которые могут быть
соединены последовательно,
параллельно и в замкнутые
контуры.
В общем случае
автоматические системы могут
состоять из нескольких
контуров, в связи с чем в
определенных точках входные и
выходные величины, или, как
их еще называют, сигналы,
будут либо суммироваться,
либо разветвляться. Для
Шь)с
мл
Jr Р<
-ϋΩρ
<и
JSip
ОсРг
Mr
№ωΔ
Рис. 198. Структурная схема гироскопа,
лишенного избирательности.
указания мест таких соединении в структурных схемах приняты
специальные обозначения. 2 В точках разветвления сигнала
линия, указывающая путь его прохождения, расщепляется и идет
дальше к двум или нескольким звеньям системы. Точки
суммирования сигналов, в отличие от точек разветвлений, обозначаются
на структурных схемах небольшим кружком.
Следуя указанному методу, по уравнению (623) можно
составить структурную схему гироскопа с тремя степенями свободы,
не обладающего избирательностью. Такая структурная схема
состоит в данном случае из четырех звеньев (рис. 198) и дает
наглядное представление о реакции гироскопа на действие
возмущающих факторов. Из схемы видно, что действие относительно
осей подвеса гироскопа моментов внешних сил Мв и Мс и
моментов /Ωω0 и /Ωωβ, порождаемых вращением основания
прибора, вызывает повороты гироскопа вокруг обеих осей подвеса.
Вращение гироскопа вокруг одной оси подвеса влияет на
характер его движения вокруг второй оси и наоборот; такое взаимное
влияние проявляется в результате действия относительно осей
1 См.: Α. Α. Φ е л ь д б а у м. Вычислительные устройства в автоматических
системах. ГИФМЛ, 1959, стр. 29.
2 См.: В. О π π е л ь. Основы техники автоматического регулирования.
Госэнергоиздат, I960, стр. 40.
459

подвеса моментов —/Ωρψ и /Ωρθ гироскопических
реакций.
Структурная схема (рис. 198) еще не дает возможности
установить зависимости изменения углов θ и ψ поворотов гироскопа
от возмущающих факторов. Для определения таких зависимостей
должны быть найдены передаточные функции гироскопа с тремя
степенями свободы, не обладающего избирательностью. С этой
целью в уравнениях (622) исключим поочередно переменные θ
и ψ. В результате будем иметь
0 = .
Приняв обозначения
VC __ Г2. JB _ д/ . JC __ дг
λ » /202 iV Bi /2П2 iVC»
перепишем полученные выражения в следующем виде:
θ
(624)
По равенствам (624) можно определить передаточные
функции рассматриваемого гироскопа, характеризующие зависимости
углов Ό* и ψ от любого возмущающего фактора. Для этого
необходимо в формулах (624) все возмущающие факторы, кроме
одного, принять равными нулю и при этом условии найти отношения
выходных величин θ и ψ к входному воздействию. * Определим
передаточные функции гироскопа с тремя степенями свободы,
не обладающего избирательностью, при наличии лишь одного
возмущающего фактора, например внешнего момента Мв. В этом
случае все остальные возмущающие факторы Мс, ωΒ и сос равны
нулю, в связи с чем уравнения (624) примут вид
л - _ Nc м · ih - Мв
1 В теории автоматического регулирования широкое распространение
получили методы анализа, использующие преобразования Лапласа. Передаточной
функцией в форме преобразований Лапласа называется отношение изображения
выходной величины к изображению входной величины при нулевых начальных
условиях. Структурная схема дает графическое представление зависимостей между
изображениями для внешнего возмущения и для переменных данной системы
(см., например, А. А. Красовский и Г. С. Поспелов. Основы
автоматики и технической кибернетики. Госэнергоиздат, 1962). Указанные методы
приводят к тем же результатам, которые получают при применении
символического метода, использованного в настоящей книге.
460

откуда, определяя отношения каждой выходной величины к воз*
мущающему параметру, находим искомые передаточные функции:
W(p)M
Φ - Ψ _ 1 1
Έβ~~ Τ2ρ2 + 1 'ΪΩρ
(625)
Пользуясь передаточными функциями (625), можно составить
суждение о динамических свойствах исследуемой системы. В
рассматриваемом случае из выражений передаточных функций
следует, что при действии относительно внутренней оси подвеса
момента Мв внешних сил движение гироскопа, характеризуемое
изменениями углов θ и ψ, складывается из гармонической и
постоянной составляющих.
На гармонические колебания, представляющие собой
нутационные колебания гироскопа (см. гл. II), указывает наличие
в выражениях (625) колебательного звена * с передаточной
функцией т<; . На систематическое возрастание угла ψ,
характеризующего поворот гироскопа вокруг наружной оси подвеса,
указывает наличие в системе интегрирующего звена с
передаточной функцией-75—.
Аналогичным образом могут быть найдены передаточные
функции рассматриваемого гироскопа и для других возмущающих
факторов. Однако и непосредственно по формулам (624) можно
составить суждение о реакции гироскопа на рассматриваемые
возмущения. В самом деле, из уравнений (624) следует, что
вынужденный поворот основания прибора приводит к возникновению
нутационных колебаний и, кроме того, к видимому уходу
гироскопа вокруг осей ОВ и ОС с угловыми скоростями ωβ и сос
соответственно.
Необходимо иметь в виду, что любое возмущенное движение
гироскопа, включенного в автоматическую систему, повлечет за
собой соответствующие отклонения ее от заданного режима
работы. Правда, во многих случаях, например в системах
автоматической стабилизации подвижных объектов, нутационные
колебания гироскопа, вызванные тем или иным внешним
возмущением, оказывают пренебрежимо малое влияние на поведение
системы. Зато его прецессионное движение будет ею практически
копироваться. С другой стороны, при использовании гироскопа
в системах автоматического контроля, например в самопишущих
приборах, нутационные колебания могут оказывать
непосредственное влияние на точность измерения контролируемой вели-
1 См.: Е. П. Попов. Динамика систем автоматического регулирования.
ГИТТЛ, 1954, стр. 175.
461

4ины. Вот почему изменения углов Ό* и ψ, характеризуемые
уравнениями (624), должны соответствующим образом учитываться
при оценке точности автоматической системы.
§ 102. СТРУКТУРНАЯ СХЕМА И ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ
КОРРЕКТИРУЕМЫХ ГИРОСКОПИЧЕСКИХ ПРИБОРОВ
Наиболее характерными примерами гироскопических
приборов, снабженных корректирующими устройствами, являются
гиромагнитные компасы (гл. VIII) и гироскопические горизонты
(гл. X). Системы уравнений (356) и (499), описывающие движения
гироскопов в этих приборах, весьма близки по виду. Это
обстоятельство указывает на общность динамических свойств
гиромагнитного компаса и гироскопического горизонта, что позволяет
объединить рассматриваемые уравнения в одну систему.
Пренебрегая силами трения и угловой скоростью (oD, приведем
системы (356) и (499) к общему виду:
/сф- JQ (θ + ωΒ) = /Сс(0- вв) + Μ6
*^и ВгВ + ^Си ВеВ — Л1И в\
J и СгС + Аи сгС = Ми с.
Переписав уравнения (626) в символической форме
JBp2$ + (JQp + Κβ)Ψ = MB-JQac + Квгс\
Λ;Ρ2Ψ — {J&P + Kc) * = Mc + /Ωωβ — Ксъв\
^ивР2 + КиВ)ев = МиВ)
(J*cP2+ К*с)ес=-МиС
и определив из них переменные θ, ψ, гв и ес, будем иметь
1 лМв-№<йс + Квгс-№р + Кв)М\
(626)
(627)
ф:
гв.
JbP*
1
Jcp*
[Мс + /Ωωβ — Кс^в + (JQp + Kc) θ];
ι
Jн ВР'1 + ^и В
1
Μ
и В)
ι . , ν МиГ.
(628)
Пользуясь полученными уравнениями (628), составим
структурную схему корректируемого гироскопа (рис. 199). Из
сравнения этой схемы со структурной схемой гироскопа, лишенного
избирательности (рис. 198), следует, что в рассматриваемом
случае на систему, кроме возмущающих моментов Мв, Мс, /Ωωβ
и JQ(oC) действуют внешние возмущения МиВ и МиС- Эти воз-
462

мущения проходят соответственно через звенья η 2 , »— и
;, представляющие собой передаточные' функции чувст-
J*CP* + K*C
вительных элементов корректирующих устройств, а затем через
звенья Кв и Кс> характеризующие передаточные функции
датчиков моментов, порождая дополнительные погрешности
гироскопа. Необходимо также отметить и изменение главного
замкнутого контура системы, обусловленное наличием моментов Квгс
-JQu)q
^
л
Щ/
Лй^С
"β
N fc
J- ^
-(JSip + па)
1
ι
ec
/
J8Pa
"
/
JuCPd+KuC
ύ
/
JcP2
'
'
J&P + KC
VL
<
-. MuC,
^MC
4
Μαβ
JudP +Η(έϋ
•"с
ЧЬь
JiiOJe
Рис. 199. Структурная схема корректируемого гироскопа.
и Ксгв> накладываемых на гироскоп устройствами коррекции.
Определим, как и ранее (§ 101), зависимости углов θ и ψ
поворота гироскопа вокруг осей подвеса от перечисленных выше
возмущающих моментов. Исключив с этой це^.ью из системы
уравнений (628) сначала переменные ψ, гв и ес, а затем θ, гв и ес,
можем записать
X
X
JbJcP* + J'№p*+JQKbp + JQKcP + KBl\c
[ - (J&P + Кв) Мс + Jcp*MB - JcJQp^c -
+ (JVP + KB) j ™л*в 1.
Jn BP -\~ А и В J
ψ=·
JbJcP4 + ΙΏψ + JQKbP + JUKcP + KbKc
X
} (629)
46$

X [(JQp + Кс) Мв + JBp2Mc + JbJ&P^b
+ (JQp + Kc)r Kf'° 1.
+
Если в знаменателе множителя перед квадратными скобками
уравнений (629) вынести произведение Кв%с> то выражение
рассматриваемого знаменателя примет вид
JBJcP* + J2®2P2 + J®KbP + J&KcP + KBKC = L =
Разделив многочлен, заключенный в квадратные скобки, по-
I, можем записа
следнего равенства на двучлен f ^ р2 + 1, можем записать
ь = квКс{4Шр2+1)
ТвТср2 +
J&ic .
/■Ώ2
Р2 +
Произведя приближенные вычисления,1 найдем
jbJc 2]
J41' μ J '
(630)
Учитывая, что в корректируемых гироскопических приборах
(π,ι. VIII и X) практически всегда выполняются неравенства
Кс ?? JQ ' Kb ??
JQ
пренебрежем последним слагаемым в квадратных скобках
выражения (630); в результате получим
L = Wc(^P2+i)[-03P2 + ^dt + ^)p+i].
* = *»*c(^p'+i)(£p+i)(-£+i). (631)
или
1 См.: А. Ю. И ш л и н с к и й. Приближенные вычисления.
Энциклопедический справочник. Машиностроение. Т. I, кн. 1, Машгиз, 1947, стр. 111.
464

Подставив (631) в уравнения (629) и введя обозначения
J42* ~~ '
Jn В
Айв
Т2 . JиС
1 и Б, "ТТ-—
Ли С
= f
и С ,
Кв
~ 1 в' Кс
= ТС,
будем иметь
X
X
КвКс(Т*р! + \){Твр+ \)(Тср+ 1)
- Кв (Твр + 1) Мс + /ср2УИв - VQpV -
Кв(7>+1)Л2сов+./с
АГв
Аис Г2иСр2-!-1
Л'вЛ'с Γβρ + 1
К« в Т\ вР2 + 1
Μ
ИВ
ψ
X
КвКс(Т*р* + \)(ТВР + 1)(7ср + 1)
Кс(Тср + 1) Мв + JBp*Mc + JBJQp^B
Кс Ρ2
Мис +
X
■Kc(TcP+l)J^c — Ji
К, в т*яВ?
мкв +
+
КвКс Тер + 1
Аис Г2иСр2+1
Μ
ИС
(632)
Уравнения (632) позволяют судить о впиянии возмущающих
факторов на движение гироскопа, снабженного корректирующими
устройствами. Как следует из этих уравнений, любой из
возмущающих факторов вызывает прежде всего нутационные
колебания гироскопа, определяемые колебательным звеном с
передаточной функцией Т2 2 . Кроме того, в отличие от
некорректируемого гироскопа [см. уравнения (624)], прецессионное движение
в данном случае имеет апериодический характер, на что
указывает наличие в уравнениях (632) апериодических звеньев ~ —-г-
1 вР ~г ι
ТсР + 1 '
Уравнения (632) позволяют также проанализировать влияние
возмущающих факторов, вызывающих отклонения измерителей
корректирующего устройства, на уходы гироскопа от требуемого
направления. Будем, например, полагать, что на систему
действует лишь внешний момент МиС- При этом условии передаточ-
465

ные функции, определяемые из уравнений (632), будут иметь
вид
ТГ{р)*мшс= JcP'
(633)
*с*и с (ТУ + 1) (ТВР + 1) (ТсР + 1) (Ti ср* + 1)'
*(Р)]&ИС = к»с(тУ+1)(твр + 1)(т1ср> + 1) ·
Как видим, действие внешнего момента МиС на измеритель
корректирующего устройства, установленный по наружной оси
подвеса, вызывает сложное движение гироскопа. В этом случае
он будет совершать вокруг обеих осей подвеса вынужденные
колебания, порождаемые колебаниями измерителя. На это
указывает колебательное звено с передаточной функцией—^—2 *
тисР + J
Кроме вынужденных колебаний, гироскоп будет совершать
нутационные колебания, на что указывает наличие в системе второго
колебательного звена с передаточной функцией _ , .
Одновременно гироскоп будет поворачиваться вокруг наружной оси
подвеса, двигаясь апериодически вслед за поворотами
измерителя; об этом свидетельствует апериодическое звено с
передаточной функцией-^——-. По внутренней оси подвеса на апе-
* Вр т~ 1
риодические составляющие движения гироскопа, согласно
передаточной функции W(p)tt с, оказывают влияние оба измерителя,
так как в системе имеются два апериодических звена, обладающих
соответственно передаточными функциями -~ г-г- и -=——г-.
ТвР+1 Тср+1
Исследуя аналогичным образом влияние на поведение
гироскопа других возмущающих факторов, можно оценить действие
гироскопического прибора на динамические свойства
автоматической системы, в которой он используется в качестве отдельного
звена.
§ 103. ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩИЕ ГИРОСКОПЫ
В системах автоматического управления объектами во многих
случаях для более качественного осуществления процессов
регулирования или слежения необходимо иметь непрерывные
сведения не только об углах, но еще и об угловых скоростях и
ускорениях отклонения объекта от заданной траектории движения.
Иными словами, необходимо вести непрерывные измерения не
только углов поворота объекта, но и их производных. В качестве
гироскопического прибора, дифференцирующего изменяющуюся
во времени величину угла поворота подвижного объекта вокруг
той или иной оси, может быть использован рассмотренный выше
(гл. XI) гиротахометр с двумя степенями свободы.
466

Такой гиротахометр измеряет угловую скорость оос вращения
основания прибора вокруг его оси ОС (см. § 87). Если указанную
ось ОС совместить с какой-либо осью объекта, то с
потенциометра Π гиротахометра (см. рис. 182) будет сниматься сигнал,
пропорциональный угловой скорости поворота объекта вокруг
выбранной оси. Пусть, например, ось ОС совмещена с
вертикальной осью объекта, вокруг которой он поворачивается на угол а.
Тогда угловая скорость оос будет равна α и, следовательно,
угол ύγ поворота гиротахометра вокруг оси его подвеса, согласно
выражению (566), будет равен
*, = _-_α.
Как видим, гироскопический тахометр с двумя степенями
свободы действительно производит дифференцирование угла
поворота объекта.
При наличии в приборе успокоителя движение
рассматриваемого дифференцирующего гироскопа будет описываться
уравнением (563). Если опустить из рассмотрения малую величину oc>Dd
и учесть возможность воздействия на гироскоп относительно оси
его подвеса внешнего возмущающего момента Μ, то уравнение (563)
примет вид
π^ J в ^ J в J в J в
или в символической форме записи
(JBp2 + μρ + Κ)ϋ = Μ — JQp α,
откуда находим
α 1
JbP1 + μρ + Κ
(M — JQpa). (634)
Вынесем в знаменателе равенства (634) коэффициент К за
скобку
<> = ,jB ' μ Γ(Λί-/Ωρα)
и введем по аналогии с изложенным в § 101 и 102 обозначение
= Т2
1L·
К
Если при этом коэффициент μ момента сил демпфирования
выразить через коэффициент ν затухания (см. § 89)
к к У к '
467

;Го уравнение (634) может быть переписано в виде
* = *(7V + vrp + l) (M ~ /ΩΡ(Χ)· (635)
Из уравнения (635) можно определить передаточные функции
гиротахометра по отношению к углу α поворота объекта
W WJ = KW + bp + l) <636>
и по отношению к возмущающему моменту Μ
W V& = KW + vTp + l) · (637)
Как уже говорилось выше (§ 89), динамические свойства
гироскопического тахометра могут быть достаточно полно
охарактеризованы его амплитудно-частотными характеристиками
(см. рис. 187). Полученные выражения (636) и (637) передаточных
функций дают возможность посредством подстановки ρ = iq
перейти к частотным характеристикам дифференцирующего
гироскопа. г Так, например, произведя указанную подстановку
в выражении (636), будем иметь
W ^)t = ^iq {l_T,gl) + vTig -
__ J Q . 1 (\—T2q2) — vTiq
■iq
К ч (\—T*q') + vTiq (1 — T*q') — vTiq
После простейших преобразований, разделив вещественную
и мнимые части, найдем
W Нл\* - iiL vTg2 -J- /— (1~Т2Я2)Я _
w \Ч)а. ■ к •(1_71V)a + (νΓ(7)2"1" Κ ' (\—T*q'Y + (vTqf
= U(q) + iV(q), (638)
где U (q) и V (q) — вещественная и мнимая частотные
характеристики соответственно.
Определив модуль комплексной величины (638)
| W (iq)* | = VU {qf + V (qf =, -^ . 1 =- (639)
и ее аргумент
arg W (iq)* = arc tg Ш = arc tg -L=^-, (640)
1 См.: Η. Т. Кузовков. Теория автоматического регулирования,
основанная на частотных методах. Оборонгиз, 1960, стр. 92.
468

получим возможность построить амплитудно-частотную (639) и
фазо-частотную (640) характеристики дифференцирующего
гироскопа, аналогичные характеристикам, приведенным на рис. 187.
В инженерной практике построение частотных характеристик
выполняют обычно в логарифмическом масштабе, благодаря чему
значительно сокращаются вычислительные работы. Для оценки
наклона графиков логарифмических частотных характеристик
используются специальные единицы — октава по оси абсцисс и
децибел по оси ординат. г Октавой называется отрезок по оси
абсцисс, соответствующий изменению частоты q в два раза. В
логарифмическом масштабе частот отрезок, изображающий октаву,
имеет одну и ту же длину, не зависящую от величины q и равную
lg 2, так как
lgty—Ig? = lg2-Hg<7—lg<j = lg2.
При этом по оси абсцисс наносятся цифры, соответствующие
значениям логарифмов частот q, равных 1; 10; 100 и т. д. (рис. 200).
Весьма часто используется единица измерения —декада,—
характеризующая отрезок по оси абсцисс, соответствующий изменению q
в десять раз.
По оси ординат откладываются логарифмические единицы —
децибелы, — позволяющие оценивать отношения между двумя
величинами. Связь между числом децибел и соответствующим ему
числом σ (см. рис. 187), характеризуется зависимостью
20 lg σ = 20 lg I W (iq) \.
По оси абсцисс логарифмической фазо-частотной
характеристики откладываются те же единицы, что и в логарифмической
амплитудно-частотной характеристике, а по оси ординат —
значение угла λ, определяемое из выражения (640):
* = arc,g£M.
Пример логарифмических частотных характеристик
дифференцирующего гироскопа приведен на рис. 200.
Проанализировав эти характеристики, нетрудно заметить, что при частотах
колебаний объекта, лежащих ниже частоты -у собственных
колебаний гиротахометра, последний ведет себя как идеальное
дифференцирующее звено.2 Действительно, для таких частот ампли-
1 См.: А. А. Воронов. Элементы теории автоматического
регулирования. Воениздат, 1954, стр. 205.
2 Об оценке динамических свойств звеньев по логарифмическим частотным
характеристикам см., например, Е. П. Попов. Динамика систем
автоматического регулирования. ГИТТЛ, 1954, стр. 190.
т

тудно-частотные характеристики (рис. 200) имеют постоянный
положительный наклон, равный +20 дб1дек, а фазо-частотные
характеристики обладают постоянным положительным сдвигом,
равным —. Из приведенных характеристик следует также, что
тшЦ
<<0
20
-20
*г2
I
Кг
1 \j/
ψ
щ
il||i/^fe II
|1ξ
А
w
2
2
I I
I
10
100
q9f/cen
90'
argrww)*
10
100
Ю00 W/cen
Рис. 200. Частотные характеристики дифференцирующего
гироскопа.
при частотах колебаний объекта, лежащих в районе частоты -ψ
или превышающих ее, операция дифференцирования,
выполняемая гиротахометром, сопровождается недопустимо большими
динамическими погрешностями, определяемыми наличием
колебательного звена в его передаточной функции (636). Из сказанного
следует, что частота собственных колебаний дифференцирующего
гироскопа, зависящая лишь от его конструктивных параметров,
должна значительно превышать возможные значения частот ко-
470

лебаний объекта. Обычно на практике рекомендуется частоту
собственных колебаний гиротахометра выбирать в 5—10 раз больше
максимально возможной частоты колебаний объекта.
Частотные характеристики, приведенные на рис.200, построены
при различных значениях кт = —γ- и ξ = v. Как видно из
графиков, увеличение коэффициента —γ- усиления гиротахометра
повышает его чувствительность. Уменьшение коэффициента ν
затухания колебаний гиротахометра увеличивает как амплитудные,
так и фазовые погрешности прибора.
§ 104. ИНТЕГРИРУЮЩИЕ ГИРОСКОПЫ
С помощью гироскопических приборов можно не только
дифференцировать, но и интегрировать отдельные величины. Так,
гироскоп направления, центр тяжести которого смещен
относительно точки подвеса вдоль главной оси (рис. 108), является по
существу интегратором ускорения силы тяжести. Действительно,
согласно изложенному в § 48, прецессия такого гироскопа вокруг
наружной оси подвеса ОС происходит с угловой скоростью
GI
Если в последнем равенстве вес G гироскопа заменить его
массой т, то получаемое выражение
показывает, что величина угла поворота
ml
ч>=Нл=ж1*^
пропорциональна интегралу от ускорения g силы тяжести.
Описанное свойство гироскопа с тремя степенями свободы
широко используется на практике для интегрирования линейных
ускорений. Представим (рис. 201) гироскоп с тремя степенями
свободы, центр тяжести которого смещен вдоль главной оси ОА
на расстояние / от точки подвеса О. Пусть ось гироскопа ОС
совмещена с осью Охс объекта. При такой установке прибора в
случае ускорения Vx объекта вдоль оси Охс возникает сила
инерции mVx массы m гироскопа, создающая момент mVJ относительно
оси ОВ. В результате появившегося возмущения гироскоп начнет
прецессировать вокруг оси ОС с угловой скоростью
♦ = 75-*" <641)
47L

Величина угла ψ поворота гироскопа в плоскости ycOzc
объекта будет определяться интегралом
Как видим, величина угла ψ пропорциональна скорости Vx,
достигнутой объектом к данному моменту времени. Однако
необходимо иметь в виду, что целый ряд факторов может вносить
ошибки в показания прибора. Так, например, ускорение Vz
Рис. 201. Гироскопический интегратор линейных ускорений.
объекта порождает момент mVJ относительно оси ОС,
обусловливающий прецессию гироскопа вокруг оси ОВ. В результате
перпендикулярность между кольцами подвеса нарушится, что
приведет к уменьшению плеча / и тем самым к изменению масштаба
измерения угла ψ.
Для устранения указанного недостатка в современных
конструкциях гироскопических интеграторов линейных ускорений
[42, стр. 325] ось β*β* подвеса внутреннего карданова кольца ВК
(рис. 202) смещают относительно плоскости СОВ наружного
кольца НК на расстояние /. При этом центр тяжести гироскопа
располагают на пересечении осей ОЛ, ОВ и ОС. Нетрудно
заметить, что при перемещениях основания такого гироскопа вдоль
осей ОА и ОВ с ускорениями VA и VB силы инерции его массы
не порождают моментов относительно осей подвеса ОВ и ОС.
И только ускорение Vc вдоль оси ОС будет порождать момент сил
инерции относительно оси β*β*, а тем самым и прецессию
гироскопа вокруг оси ОС с угловой скоростью, определяемой по
выражению (641).
472

Чтобы сохранить перпендикулярность между кардановыми
кольцами ВК и Η К, прибор снабжают корректирующим
устройством. При повороте внутреннего кольца вокруг оси β*β* вместе
с ним поворачивается и движок
потенциометра Я, с обмотки
которого снимается сигнал,
управляющий моментом корректирующего ^
двигателя ЭД. Момент,
создаваемый электродвигателем ЭД
относительно оси ОС, обеспечивает
выдерживание перпендикулярного
положения между внутренним ВК
и наружным НК кольцами
подвеса.
В общем случае при движении
объекта по криволинейной
траектории, когда продольная ось Осхс
объекта изменяет с течением
времени угол β своего наклона к
плоскости горизонта (рис. 203),
описанный гироскопический интегратор будет реагировать
только на ускорение объекта Vx вдоль продольной оси Осхс
также на его центростремительное ускорение V$ и на ускорение
Рис.
Гироинтегратор
рекцией.

корне
но
\
Рис. 203. Направления действия сил инерции массы акселерометра.
силы тяжести g. При угле атаки Δ сумма проекций сил mVx,
mV$ и mg на продольную ось Осхс, с которой совмещена
наружная ось подвеса гироскопа, определяется равенством
R = т [Vx + VpsinA+gsin(0 —Δ)].
473

Учитывая зависимость между ускорениями объекта V по
касательной к траектории и Vx вдоль его продольной оси 0схс>
перепишем последнее равенство в следующем виде:
R = m[Vcos/i+ VfrsinA +gsin(0 —Δ)].
Сила R при смещении / центра тяжести ротора и внутреннего
карданова кольца относительно внутренней оси подвеса (рис. 203)
обусловит прецессию гироскопа вокруг его наружной оси с
угловой скоростью
Ψ = -ж· = "И" № cos Δ + П sin Δ + g sin (β -
JQ
/Ω
Δ)],
и, следовательно, за время t гироскоп совершит поворот вокруг
своей наружной оси подвеса на угол ψ, равный
t t
ψ = J ψ dt = -Jg- j [l/ cos Δ + ^β sin Δ + g sin (β — Δ)] d/.
о о
Полученное выражение показывает, что гироскопический
интегратор с тремя степенями свободы при определении скорости V
объекта по касательной к
траектории движения вносит ошибки,
которые могут быть вычислены
заранее, если объекту задана
определенная программа движения.
С помощью гироскопических
приборов могут интегрироваться
и угловые скорости вращения
объекта. Предназначаемый для
этой цели гироскоп выполняется
обычно на поплавковом подвесе
(рис. 204) и имеет две степени
свободы. Схема такого гироскопа
аналогична рассмотренному выше
(см. рис. 186) поплавковому гиро-
тахометру. Отличие между ними
состоит лишь в том, что у рассматриваемого гироскопического
интегратора отсутствует датчик восстанавливающего момента.
При вынужденном повороте корпуса КП такого прибора
вокруг оси ОС с угловой скоростью (ос гироскоп будет двигаться
вокруг оси ОВ (рис. 204). Характер этого движения описывается
уравнением (563), в котором коэффициент К = 0. Если, кроме
того, не принимать во внимание возможную угловую скорость ωΩ
вращения корпуса КП прибора вокруг оси OD, то уравнение
движения получит вид
μ Л- JQ
Рис. 204. Гироинтегратор угловых
скоростей.
+
Jb
Jb
ω.
(643)
474

При медленном изменении шс решение уравнения (643), может
быть записано в приближенном1 виде
t
#^c/"^'--y-J a>cdt + C2. (644)
Постоянные интегрирования Сх и С2 определятся начальными
условиями. Будем полагать, что в начальный момент времени
θ (0) = 0; θ (0) = 0. При этих условиях из выражения (644)
и его первой производной имеем
д(0) = С1 + С, = 0; 0(0) = --jL-d—^-<ос = 0,
откуда следует
г — JbJ&<uc η — jbJ&<uc
Подставив значения постоянных интегрирования Сх и С2
в выражение (644), получим зависимость
t
0 = ^в^с(1_е-^-')_Л2_|(0сЛ( (645)
о
характеризующую изменение угла Ό* поворота гироскопа вокруг
оси подвеса ОБ.
При сообщении корпусу КП прибора вращения вокруг оси ОС
с угловой скоростью (ос сразу же возникает движение гироскопа
вокруг оси ОБ. Указанное движение будет ускоренным до тех пор,
пока момент μφ сил демпфирования не уравновесит
гироскопический момент JQ(uc. С этого мгновения ускоренное движение
гироскопа прекратится, и величина его угла поворота θ
практически будет пропорциональна интегралу от угловой скорости ως.
Для подтверждения сказанного определим угловую скорость ΰ*.
Продифференцировав (645) по времени, будем иметь
μ
μ
1-е jb
откуда следует, что при достаточной величине коэффициента μ
угловая скорость & гироскопа весьма быстро приобретет значение
1 Подробнее см. [8, стр. 242].
475

следовательно, значение угла ΰ* определяется равенством
Таким образом, угол ύ* поворота гироскопа вокруг оси ОВ
с достаточной для практики степенью точности пропорционален
интегралу от угловой скорости шс, или, что то же самое, углу
поворота корпуса КП прибора вокруг оси ОС.
При использовании гироскопических интеграторов в
автоматических системах необходимо учитывать их динамические
погрешности, обусловливаемые собственным ^ движением
гироскопов. Динамические характеристики интегратора линейных
ускорений могут быть определены по аналогии с изложенным
в § 101 и 102. Для определения динамических свойств
интегратора угловых скоростей перепишем уравнение (643) в
символической форме и учтем возможность воздействия на гироскоп
внешнего возмущающего момента Мв:
(JBp* + μρ) θ = Мв - /Qg>c.
Полагая шс = α = ρ α, находим
О - Μ* Ш α (646)
Введем обозначение
Jb _ γ
μ
В соответствии с уравнением (646) передаточные функции
гироскопического интегратора угловых скоростей определятся
выражениями: по отношению к измеряемой величине α
и по отношению к внешнему возмущающему моменту Мв
*wM*«B = wB=^hw· (648)
По частотным характеристикам прибора можно составить
полное суждение о его динамических свойствах. Так, например,
частотная характеристика интегрирующего гироскопа по
отношению к измеряемой величине α в соответствии с передаточной
функцией (647) будет иметь вид
W (iq)t = JQ
μ.(7ί?+1) ·
т

Разделив в полученном быраженйи вещественную и МнимуЮ
части
W (iq)t =
+ i-
JQTq
μ(7ν+1) ' * μ(Τ<ςΛ+ϊ)
определим модуль комплексной величины
= U(q) + iV(q),
IrWCI-Zi^ + Vi,,-^.·;^—
и ее аргумент
arg W (iq)t = arc tg -j^g- = arc tg Tq.
(649)
(650)
В соответствии с уравнениями (649) и (650) на рис. 205
приведены амплитудные и фазовые частотные характеристики
интегрирующего гироскопа, построенные для различных значений
[щ^Цвв
100
1000
10000
-20
'W!
argW(Lq)£
о
-30
-60
-90
Г"> | \Ти
\Ки,
?
у иг
пИ1 г пиг
Ъ/ > Гиг
Ψ
11|
1Г
1
100
1000
ЮООО q,l/ten
шк
4Л
- Ill
И Ζ
IIII
_
Рис. 205. Частотные характеристики интегрирующего гироскопа.
его постоянной времени Г и коэффициента усиления ки= —-.
Из частотных характеристик следует, что при колебаниях объекта
с частотой q меньшей, чем частота —, операция интегрирования
измеряемой угловой скорости осуществляется практически без
динамических искажений. Об этом свидетельствуют
прямолинейные участки кривых амплитудно-частотных характеристик. При
477

Приближений частоты ι/·Κγ показания гироскопического
интегратора начнут искажаться, на что указывает постепенный наклон
рассматриваемых кривых к оси абсцисс. Когда q станет больше -ψ,
прибор будет обладать недопустимо большими амплитудными
и фазовыми искажениями. Поэтому для обеспечения нормальной
работы интегрирующего гироскопа в автоматической системе
того или иного назначения необходимо, чтобы максимальная
частота <7пах возможных колебаний объекта во всех случаях
удовлетворяла неравенству
«
т '
что достигается малой постоянной времени Т.
Рассмотренные гироскопические интеграторы угловых
скоростей используются не только в автоматических системах
стабилизации и управления объектами, но также и в
гироскопических рамах (гл. XII) для управления стабилизирующими
двигателями.
§ 105. ИНТЕГРАЦИОННЫЙ ГИРОСКОП
И ГИРОСКОПИЧЕСКОЕ РЕЛЕ
С помощью гироскопа можно выполнить одновременно
дифференцирование и интегрирование угловой скорости вращения
объекта. Прибор,
осуществляющий эти функции, называемый
интеграционным гироскопом,
отличается от интегратора
угловых скоростей (см. рис. 204) тем,
что его внутреннее карданово
кольцо и успокоитель соединены
упругой связью (рис. 206).
При вращении объекта
вокруг оси ОС прибора с угловой
скоростью (ос = α гироскоп
начнет поворачиваться вокруг оси
Οβ, вызывая тем самым дефор-
^ мацию пружины / и поступа-
Рис. 206. Интеграционный гироскоп. тельное перемещение поршня в
цилиндре успокоителя УС.
Положение рассматриваемой механической системы будет
характеризоваться двумя независимыми переменными — углом θ
поворота гироскопа вокруг оси ОВ и перемещением s поршня успо-
478

койтеля УС относительно корпуса прибора. Поэтому движение
системы опишется следующими двумя уравнениями:
J в® + с12(&--?г)= —/Ωα; )
V l J (651)
"V + χδ"+ с (s — θ/) = 0, J
где с — коэффициент жесткости пружины /;
/ — расстояние от оси ОВ до точки крепления пружины /;
тп— масса поршня успокоителя;
χ — коэффициент демпфирующей силы успокоителя.
Опустив из рассмотрения члены /βθ и mns, определяющие
собственные колебания гироскопа и поршня успокоителя, и
исключив из системы уравнений (651) переменную s, найдем
θ, = --^-ά-^-ο. (652)
Как видим, угол поворота интеграционного гироскопа
зависит одновременно и от угловой скорости α и от ее интеграла·
Практически он пропорционален углу α поворота объекта и его
первой производной по времени. Описанный гироскопический
прибор как бы «чувствует» тенденцию к изменению угла а, поэтому
его иногда называют еще форсирующим гироскопом.
Если в интеграционном гироскопе пружину / выполнить
абсолютно жесткой, что соответствует условию с = оо, то первый
член выражения (652) станет равным нулю и прибор будет
работать как интегратор угловых скоростей (см. рис. 204). Если же
поршень лишить свободы перемещения в цилиндре
успокоителя УС, что соответствует условию χ = оо, то равным нулю
станет второй член выражения (652). В этом случае прибор будет
работать как гиротахометр с двумя степенями свободы
(см. рис. 186). Таким образом, описанный интеграционный
гироскоп как бы объединяет в себе функции двух приборов — и
гиротахометра и гироскопического интегратора угловых
скоростей.
В ряде схем автоматического управления при возникновении
вращательного движения объекта необходимо выключать из
работы автомата отдельные механизмы и включать их снова, когда
вращение объекта прекращается. В некоторых системах
требуется реверсировать действие отдельных элементов схемы при
изменении направления вращения объекта. Для выполнения
указанных задач в автоматических системах в качестве реле,
управляющего соответствующими механизмами, также используются
гироскопические приборы.
Представим себе гироскоп с двумя степенями свободы (рис. 207),
с кардановым кольцом которого жестко соединен рычажок г,
а на корпусе КП прибора установлен кронштейн с двумя изоли-
479

рованнымй друг от Друга контактами Ьх и Ь2. Если корпус КП
такого прибора начать поворачивать вокруг оси ОС с угловой
скоростью (ос, то гироскоп сразу же начнет вращаться вокруг
оси ОВ (см. § 8). Вместе с гироскопом вокруг оси ОВ будет
поворачиваться и рычажок г, который замкнет один из контактов Ъх или
С\ Ь2, жестко соединенных с
корпусом КП прибора. В
результате в обмотку ЭОх
или ЭО 2 соответствующего
механизма будет подан
электрический ток. Как
^ видим, описываемый
гироскопический прибор
работает по схеме реле, в связи
с чем он получил название
гироскопического реле,
или сокращенно гирореле.
В зависимости от
направления вращения
корпуса КП гироскопическое
реле будет переключать электрический ток с одной обмотки 90L
на другую Э02. Давление между поверхностями рычажка г и
приемного контакта Ьг или Ь2, определяемое равенством
D JQ
будет зависеть от угловой скорости <ос, кинетического момента J Ω
и длины / рычажка г.
Вполне очевидно, что для обеспечения надежной работы
гирореле величина Р, даже и при минимальном значении шс,
должна отвечать установленным нормам контактных давлений.
ψ L_J^_ .-
Рис. 207. Гирореле.
§ 106. ВОЗМОЖНОСТИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ГИРОСКОПОВ
ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ МЕСТОПОЛОЖЕНИЯ ОБЪЕКТА
Для осуществления навигационных систем, автоматически
управляющих движением объекта по заданной траектории,
необходимо иметь приборы, непрерывно определяющие
географические координаты объекта, — его широту φ и долготу λ. На
принципиальную возможность использования гироскопических
приборов для решения этой задачи указывал еще Л. Фуко,
который предложил применить гироскоп для определения
географической широты места.
Представим, что гироскоп с двумя степенями свободы (рис. 208)
установлен на земной поверхности так, что его ось подвеса ОВ
расположена перпендикулярно плоскости ξΟζ географического
меридиана. При таком размещеции прибора главная ось ОА
480

гироскопа может перемещаться лишь в плоскости меридиана.
Как известно (см. § 27), в этой же плоскости находится и
вектор Ω3 угловой скорости суточного вращения Земли, который
составляет с полуденной линией Οξ угол φ, равный углу
географической широты места.
Таким образом, гироскоп при угле θ между
направлением вектора Ω3 и главной осью О А будет вынужден
совершать вращение не только вокруг своей главной оси ОА, но
одновременно еще и вокруг оси ОС с угловой скоростью Ω3 sin θ.
В соответствии с изложенным
в § 62 уравнение движения
гироскопа в этом случае, полагая
угол Φ величиной малой, примет
вид
/βθ + /ΩΩ3θ = 0.
Решение полученного
уравнения будет определяться
выражением
θ = Сх cos nt + C2 sin n/,
где
ν
JQQ3
Рис. 208. Гироширот.
Из найденного выражения
следует, что в рассматриваемом
приборе главная ось ОА гироскопа совершает гармонические
колебания в плоскости меридиана около направления OLy
параллельного земной оси. Таким образом, по величине угла,
составляемого средним положением главной оси ОА с плоскостью ξΟη
горизонта, можно определить угол φ географической широты
места.
Как видим, гироскоп с двумя степенями свободы,
установленный неподвижно на земной поверхности указанным выше
образом, позволяет определять географическую широту, поэтому
такой прибор называется гироширотом Фуко. Однако по причинам,
изложенным в § 63, гироширот Фуко не может удовлетворительно
работать на колеблющемся основании, из-за чего он и не получил
практического распространения. Однако поиски возможностей
практического осуществления идеи Фуко не прекращаются до
нашего времени.
Из работ, посвященных проблеме «гироширота», вызывает
интерес работа Ч. Фокса [32, 45]. Согласно его идее на
платформе КП (рис. 209), стабилизированной с помощью
пространственной гирорамы (см. рис. 194) относительно плоскостей ξΟη
горизонта и ξΟζ меридиана, устанавливаются два гироскопа Гг
и Г2 с одинаковыми кинетическими моментами /Ω. Каждый ги-
481

роскоп обладает двумя степенями свободы, причем оси 01В1 и
02В2 их подвесов расположены параллельно осям Οξ и Οζ
соответственно.
При вращении платформы КП в пространстве вокруг осей Οξ,
Οη и Οζ с угловыми скоростями ωξ, ωη и ωζ гироскопы будут
стремиться совершить повороты вокруг своих осей подвеса ОхВх
и 02β2. При этом главная ось ΟχΑλ будет стремиться совместиться
с направлением, параллельным вектору ωζ, а главная ось 02Л2 —
с направлением, параллельным вектору ωξ. Однако как только
Рис. 209. Гироскопический определитель широты местности.
гироскопы начинают совершать повороты вокруг осей Οχβχ и
02β2, так сразу же сигналы, снимаемые с датчиков углов ДУХ
и ДУ2, будут поступать на датчики моментов ДМХ и ДМ2.
Последние создадут моменты, которые компенсируют моменты
гироскопической реакции /Ωωζ и /Ωωξ.
Таким образом, оба гироскопа будут удерживаться в своем
первоначальном положении относительно платформы КП точно
так же, как это осуществлялось в гиротахометре с приводом
на нуль (см. рис. 184). Измеряя моменты Мх и М2, создаваемые
датчиками моментов ДМХ и ДМ2, и затем деля эти величины друг
на друга, получают сигнал, пропорциональный тангенсу угла
географической широты места. Действительно, моменты Мх и М2
482

уравновешивают соответствующие гироскопические моменты,
поэтому можем записать
ЛЬ __ JQ(ui _ ωζ
или, подставив в последнее соотношение значения угловых
скоростей ωξ и ωζ, определяемые по выражениям (183), найдем
у
Ω3 sin φ 5" cos β sinα^Φ
-£j- = S = tg φ. (653)
Ω3 cos φ 5~ cos β sin α
Как следует из выражения (653), при идеальной стабилизации
платформы КП по плоскостям горизонта и меридиана отношение
моментов Λίχ и Λί2, создаваемых датчиками ДМ1 и ДМ2) равно
тангенсу широты места φ. Используя это свойство
рассматриваемой системы, представляется возможным определить и вторую
географическую координату — долготу λ местоположения объекта.
При непрерывном измерении отношения между моментами Мх
и Μ 2 будет известна угловая скорость
d ЛЬ
d ( .^ Mi \ dt Λί2 ,rr л\
+ V ль У
изменения широты места.
Согласно (180) угловая скорость φ при условии β = 0
связана с параметрами движения объекта зависимостью
V cos α
φ„__.
При идеальной работе описываемого гироскопического
устройства курс α будет определяться автоматически, так как
платформа КП сохраняет свое положение стабильным по отношению
к плоскости меридиана ξΟζ. Поэтому, если известна высота h
движения объекта над уровнем моря, то скорость V этого
движения будет определяться соотношением между известными
величинами:
V = 1Й7Г Φ- (β55)
Таким образом, текущие значения широты φ, скорости V и
курса α непрерывно выдаются прибором, обеспечивая тем самым
непрерывное вычисление угловой скорости ωΝ8,
характеризующей изменение долготы λ. Согласно (181) величина ωΝ8 при β = 0
будет определяться выражением
л V sin α
yVlb R cos φ
483

Учитывая значение (655) скорости V, будем иметь
л· · tg α
λ = φ
cos φ
откуда находим текущее значение долготы
t
tga
Jr
cos φ
dt + λ0. (656)
Подставив в выражение (656) значение (654) угловой
скорости φ и учтя найденное выше значение широты φ, получим
зависимости, определяющие географические координаты:
Mi
cp^arctg-^ ,
_d_ Μ г
dt Λί2 tg α
ι , / Μ1 V ( χ Μ1 \
1 + (тйГ) C°S(arCtg"Ad")
dt + X0
(657)
Для вычисления координат φ и λ необходимо непрерывно
измерять лишь три величины: а, Мг и Λί2. При выполнении этого
требования счетно-решающее устройство сможет выдавать
непрерывную информацию о текущих значениях географических
координат. Однако сложность практического осуществления
описанной идеи заключается в трудности отделения основных
сигналов, снимаемых с гироскопов Гг и Г2, от тех помех, которые
порождаются колебаниями объекта.
§ 107. ГИРОСКОПИЧЕСКИЕ САМОПИШУЩИЕ ПРИБОРЫ
Характер изменения во времени углов, угловых скоростей и
ускорений отклонения объекта от первоначального направления
движения в результате действия внешнего возмущения —
основной критерий при оценке устойчивости движения объекта. Поэтому
при летных или ходовых испытаниях требуются объективные
данные об изменениях амплитуд, скоростей и ускорений угловых
колебаний объекта, порождаемых различными возмущающими
факторами. Эти данные нельзя получить посредством визуальных
отсчетов показаний соответствующих гироскопических приборов,
в связи с чем и возникла необходимость создания записывающих
гироскопических устройств, непрерывно регистрирующих
изменение тех или иных параметров.
Каждый из рассмотренных выше гироскопических приборов
может быть использован в самопишущем регистрирующем
устройстве. Для этого на соответствующем кардановом кольце гироскопа
484

устанавливается кронштейн с закрепленным на нем
приспособлением, оставляющем след на движущейся ленте. Такое
приспособление обычно называют пером; оно может быть
выполнено в виде карандаша, чернильного пера, накалывающего
механизма, электрического разрядника и т. п. На рис. 210
приведены принципиальные схемы трех вариантов самопишущих
гироскопических приборов. Снабжая записывающим устройством
гироскоп с тремя степенями свободы, получают возможность
автоматически регистрировать изменения углов поворота объекта
вокруг любой его оси. При установке записывающего устройстба
на гиротахометре регистрируют угловые скорости объекта, а
снабжая пером гиротахоакселерометр, получают возможность
регистрировать одновременно и угловую скорость и угловое ускорение.
Для выяснения законов изменения во времени угловых
перемещений, скоростей и ускорений объекта вокруг какой-либо
одной его оси можно ограничиться лишь одним гироскопом.
Действительно, любая записанная кривая после ее графического
дифференцирования или интегрирования дает зависимость
изменения во времени производной или интеграла
зарегистрированной на ленте функции. Если же при изучении законов вращения
объекта должны быть зарегистрированы изменения того или иного
параметра относительно всех трех взаимно перпендикулярных
осей одновременно, то в этом случае прибор должен быть
оборудован уже тремя гироскопами.
В качестве примера гироскопического самопишущего прибора,
обеспечивающего одновременную запись изменения угловых
скоростей вращения объекта вокруг его трех осей, можно привести
485

гироскопический самописец ЦАГИ. Принцип устройства этого
прибора х показан на рис. 211. Три гироскопических тахометра Гх,
Гу и Г2, измеряющие угловые скорости ω^, ωρ и ω2 вращения
объекта вокруг трех взаимно перпендикулярных осей 0схс,
Рис. 211. Пространственный гироскопический самописец угловых
скоростей объекта.
0сус и 0czc, соединены соответственно с рычагами Рх, Ру и Р2,
несущими на себе записывающие устройства.
Так как углы поворотов гиротахометров пропорциональны
угловым скоростям объекта, то при их изменениях на движу-
1 См.: Приборы и аппаратура для летных испытаний самолета. ЦАГИ,
1940, стр. 95.
486

щейся ленте будут записываться кривые изменения исследуемых
угловых скоростей во времени. В результате на ленте будет
зарегистрировано одновременное изменение всех трех функций ω^ (/),
(uy (t) и ω2 (t). Для удобства чтения записанных графиков
направление собственного вращения каждого гироскопа выбирается
таким образом, чтобы положительные значения всех трех
измеряемых угловых скоростей откладывались на ленте в одну
сторону.
Для нанесения на движущуюся ленту масштаба времени
прибор снабжают часовым механизмом ЧМ той или иной
конструкции. В часовом механизме имеются электрические контакты,
замыкание которых происходит через строго определенные
промежутки времени. При каждом таком замыкании контактов
часового механизма подается ток в обмотку электромагнита
отметчика времени ЭО. Якорь указанного электромагнита несет
на продолжении своей продольной оси записывающее устройство,
которое, перемещаясь при каждом импульсе тока поперек
движущейся ленты, наносит на ней риски, по которым судят о
масштабе времени. Движение ленты осуществляется двигателем Д
через редуктор Ш, имеющий, как правило, несколько ступеней
передач. Тем самым существует возможность при записи
изменений исследуемых параметров устанавливать наиболее
рациональную в данном конкретном случае скорость перемещения ленты.
Точность регистрации исследуемого процесса при
использовании гироскопических самопишущих приборов зависит от
нескольких факторов: от точности самого гироскопа,
используемого в приборе, от тех нагрузок, которые обусловливаются
наличием записывающего устройства, и, наконец, от ошибок
передающих механизмов, вызываемых люфтами и упругими
деформациями рычажных или любых других передач между
гироскопом и пером записывающего устройства.

ЛИТЕРАТУРА
i. Блинов И. Α., Жерл аков А. В. и др. Электронавигационные
приборы. Изд-во «Морской транспорт», 1960.
2. Богданович М. М.,МочалинВ. С, Ильин П. А. Элементы
теории навигационных гироскопических приборов. Изд-во «Морской транспорт»,
1956.
3. БраславскийД. Α.,Логунов С. С, ПельпорД. С. Расчет
и конструкция авиационных приборов. Оборонгиз, 1954.
4. Б у л г а к о в Б. В. Прикладная теория гироскопов. ГИТТЛ, 1955.
5. Б у τ е н и н Н. В. О влиянии сил сухого и вязкого трения на движение
оси свободного гироскопа, установленного на неподвижном основании. Известия
высших учебных заведений. Приборостроение. Т. III, № 5, 1960.
6. Г о φ м а н А. А. Определение характеристик гиротахометров и гирота-
хоакселерометров на упругом подвесе. Вопросы прикладной гироскопии. Вып. III,
Судпромгиз, 1962.
7. Граммель Р. Гироскоп, его теория и применения. Т. I, Изд-во
иностр. лит., 1952.
8. Граммель Р. Гироскоп, его теория и применения. Т. II,βИзд-во
иностр. лит., 1952.
9. ДроздовичВ. Н. Исследование фрикционных автоколебаний
гироскопа. Вопросы теории и расчета гироприборов и приборов точной механики-
Вып. 36, ЛИТМО, 1958.
10. Д у в а к и н А. П. Вибрационный гироскоп (обзор). Механика. Сборник
переводов № 1 (53). Изд-во иностр. лит., 1955.
И. И л ь и н П. Α., С е ρ г е е в М. А. Сухопутный двухстепенной
гирокомпас с воздушными шаровыми опорами. Вопросы теории и расчета гироприборов
и приборов точной механики. Вып. 36, ЛИТМО, 1958.
12. И ш л и н с к и й А. Ю. Об уравнениях задачи определения
местоположения движущегося объекта посредством гироскопов и измерений ускорений.
ПММ, т. XXI, вып. 6, 1957.
13. И ш л и н с к и й А. Ю. К теории гирогоризонткомпаса. ПММ, т. XX,
вып. 4, 1956.
14. Ишлинский А. Ю. Механика гироскопических систем. Изд-во
АН СССР, 1963.
15. Коган В. М. Новый способ регулирования маятникового момента
в однороторном апериодическом гирокомпасе. Информационный сборник
«Судовождение и связь». Вып. 74, ЦНИИМФ, Л. 1962.
16. К о π τ я е в П. П. Двухрежимный гироскопический компас с
электромагнитной коррекцией и апериодическим приведением гирокомпаса в меридиан.
Вопросы прикладной гироскопии. Вып. 2, Судпромгиз, 1960.
^ 17. К ρ ы л о в Α. Η., Κ ρ у τ к о в Ю. А. Общая теория гироскопов и
некоторых технических их применений. Изд-во АН СССР, 1932.
18. КудревичБ. И. Теория гироскопических приборов. Т. I,
Судпромгиз, 1963.
488

19. Л а в р о в В. Н. Практика разработки и применения гирокомпасов
в горном деле. Известия высших учебных заведений. Приборостроение. Т. IV,
вып. 1, 1961.
20. Л е в е н τ а л ь Е. Б. О некоторых явлениях трения при вибрации и
качаниях, влияющих на показания приборов. Точная индустрия, № 4 и 5, 1937.
21. Лето в А. М. К теории гирополукомпасов. Инженерный сборник.
Т. XIII, Изд-во АН СССР, 1952.
22. Л у н ц Я. Л. О движении по инерции гироскопа в кардановом подвесе.
Известия высших учебных заведений. Приборостроение. Т. II, № 3, 1959.
23. Μ е ρ к и н Д. Р. Гироскопические системы. ГИТТЛ, 1956.
24. Η и к о л а и Е. Л. Гироскоп в кардановом подвесе. ГИТТЛ, 1944.
25. Η и к о л а и Е. Л. Теория гироскопов. Гостехиздат, 1948.
26. О л ь м а н Е. В., Τ о к а р е в В. П., С о л о в ь е в Я. И. Автопилоты.
Оборонгиз, 1946.
27. Павлов В. А. Основы конструирования гироскопических приборов.
Оборонгиз, 1946.
28. Π а в л о в В. А. Авиационные гироскопические приборы. Оборонгиз, 1954.
29. Π а в л о в В. А. Гироскопический эффект, его проявления и
использование. Судпромгиз, 1961.
30. Павлов В. А. Систематический дрейф гироскопа в кардановом
подвесе, обусловливаемый факторами, порождающими колебания системы. Известия
высших учебных заведений. Приборостроение. Т. IV, № 1, 1961.
31. Павлов В. А. Влияние крутящего момента гиромотора на движение
гироскопа в кардановом подвесе. Известия высших учебных заведений.
Приборостроение. Т. VI, № 1, 1963.
32. Павлов И. В. О возможности автоматического определения
географических координат подвижных платформ. Труды ЛИАП, вып. XXVIII, 1959.
33. Павлов И. В. Ошибки кардановых подвесов гироскопических
приборов. Информационно-технический сборник № 1. Судпромгиз, 1959.
34. Π е л ь π ο ρ Д. С. Свободное движение гироскопа, заключенного в
кардановом подвесе. Научные доклады высшей школы. Машиностроение и
приборостроение, № 3, 1958.
35. Проект однорельсовой жироскопической железной дороги Петроград —
Гатчино системы П. П. Шиловского. Госиздат, П., 1922
36. Ρ и в к и н С. С. Теория гироскопических устройств. Ч. I, Судпромгиз,
1962.
37. С а й д о в П. И., С л и в Э. И., Ч е ρ τ к о в Р. И. Вопросы прикладной
теории гироскопов. Судпромгиз, 1961.
38. С в е ш н и к о в А. А. О движении гироскопического маятника при
случайных перемещениях его точки подвеса. ПММ, т. XXVI, вып. 3, 1962.
39. СломянскийГ. Α., ПрядиловЮ. Н. Поплавковые гироскопы
и их применение. Оборонгиз, 1958.
40. Τ и χ м е н е в С. С. О виражных ошибках гирополукомпасов,
вызываемых влиянием коррекции горизонтальности оси гироскопа. Элементы теории
и расчета гироскопических и навигационных приборов. МВТУ им. Н. Э.
Баумана. Сборник № 48, Оборонгиз, 1955.
41. Тихменев С. С. К вопросу об «уводе» гироскопа на кардановом
подвесе при его нутации. Известия высших учебных заведений. Приборостроение.
Т. И, № 5, 1959.
42. Φ е о д о с ь е в В. И., С и н я ρ е в Г. Б. Введение в ракетную технику.
Оборонгиз, 1960.
43. ФридлендерГ. О.,Козлов М. С. Авиационные гироскопические
приборы. Оборонгиз, 1961.
44. Хохлов А. Ф. Теория и техническое применение автоматических
устройств. Машгиз, 1959.
45. Fox Ch. The mecanical determination of position and velocity on the
earth's surface. Proceedings of the Cambrige philosophical society. Vol. 45, part. 2,
April 1949.
489

46. С h a t t е г t ο η I. В. Some General Comparisons Between the Vibratory
and Conventional Rate Gyro. Journal of the Aeronautical sciences. Vol. 22, No 9,
1955.
47. Grammel R., Ziegler H. Der kardanisch gelagerte schnelle sym-
metrisches Kjeisel mit Lagerreibung. Ingenieur Archiv. Bd. 24, No 6, 1956.
48. I n g 1 i s С. Е. Gyroscopic Principles and Applications. The Engineer, XI,
26, London, 1943.
49. Magnus K. Beitrage zur Dynamik des Kraftefreien, kardanisch gela-
gerten Kjeisels. Zeitschrift fur angewandte Mathematik und Mechanik. Bd. 35,
No 1—2, 1955.
50. Μ i e 1 к е Н. Raketentechnik. Veb Verlag Technik. Berlin, 1959.
51. Plymale В., Goodstein R. Nutation of Free Gyro Subjected
to an Impulse. Journal of applied Mechanics. Transactions of the American Society
of Mechanical Engineers, Vol. 22, No 3, 1955.
52. North — Seeking Gyro Is Accurate within 5 Seconds. Missiles and Rockets,
Vol. V, No 53, 1959.
53. R a w 1 i η g s A. L. The theory of the Gyroscopic Compass and its
deviations. The Macmillan Company. New York, 1944.
54. S a v e t P. Gyroscopes: theory and design. Mc. Graw-Hill book Company.
New York, 1961.
Φ

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Введение
§ 1. Основная задача навигации 5
§ 2. Реакция магнитной стрелки и маятника на внешние возмущения 9
§ 3. Свойства быстро вращающихся тел 14
Глава .1
Физическая природа гироскопического эффекта
§ 4. Поворотное ускорение 19
§ 5. Усилие, необходимое для сообщения телу поворотного ускорения 22
§ 6. Момент гироскопической реакции 25
§ 7. Определение момента гироскопической реакции в общем случае 34
§ 8. Закон прецессии 36
Глава II
Уравнения движения гироскопа и их анализ
§ 9. Основная кинематическая схема подвесов гироскопа 43
§ 10. Уравнения движения гироскопической системы 45
§11. Упрощение уравнений движения гироскопической системы .... 49
§ 12. Исследование в первом приближении уравнения движения ротора
вокруг главной оси гироскопа 52
§ 13. Линеаризация системы уравнений движения гироскопа 53
§ 14. Движение гироскопа при воздействии на него момента мгновенных
внешних сил (первое приближение) 55
§ 15. Движение гироскопа при действии постоянного момента внешней
силы (первое приближение) 64
§ 16. Траектория полюса гироскопа _68
§ 17. Движение гироскопа под влиянием момента внешней силы,
изменяющегося по гармоническому закону 71
§ 18. Действие момента внешней силы на гироскоп с двумя степенями
свободы 75
Глава III
Уточнение результатов исследования движения гироскопа
в кардановом подвесе
§ 19. Изменение момента внешних сил, действующего на гироскоп
относительно его главной оси, при установившейся скорости вращения
ротора 78
491

§ 20. Систематический дрейф, возникающий при нутационных
колебаниях гироскопа 81
§ 21. Физические причины, обусловливающие систематический дрейф
гироскопа в результате его нутационных колебаний 87
§ 22. Систематический дрейф гироскопа, порождаемый его колебаниями 93
§ 23. Движение гироскопа в кардановом подвесе до достижения его
ротором постоянной угловой скорости собственного вращения 96
Глава IV
Уравнения движения гироскопа в подвижной системе координат
и их анализ
§ 24. Составление уравнений движения гироскопа в подвижной системе
координат ПО
§ 25. Упрощенные уравнения движения гироскопа в подвижной системе
координат 119
§ 26. Исследование в первом приближении движения гироскопа в
подвижной системе координат 122
§ 27. Движение гироскопа в кардановом подвесе, основание которого
закреплено неподвижно на земной поверхности относительно
плоскостей горизонта и меридиана 125
§ 28. Отклонение от земных ориентиров гироскопа в кардановом подвесе,
основание которого неподвижно на земной поверхности, а оси
подвеса занимают произвольное положение 129
§ 29. Движение относительно земных ориентиров гироскопа в кардановом
подвесе при перемещении его основания у земной поверхности по
локсодромии 130
§ 30. Движение относительно земных ориентиров гироскопа в кардановом
подвесе при перемещении его основания у земной поверхности по
ортодромии 137
§ 31. Систематический дрейф гироскопа, обусловливаемый вращением
основания прибора 145
§ 32. Влияние вращения основания прибора на характер движения
гироскопа с двумя степенями свободы 147
Глава V
Влияние сил трения в опорах подвеса на движение гироскопа
§ 33. Силы трения и характеристики создаваемых ими моментов .... 152
§ 34. Основное требование, предъявляемое к моментам сил трения в
опорах гироскопических приборов 153
§35. Влияние сил вязкого трения на движение гироскопа 155
§ 36. Влияние сил сухого трения на характер движения гироскопа ... 163
§ 37. Влияние моментов сил сухого трения в опорах подвеса на характер
движения гироскопа при гармонических колебаниях его основания 175
§ 38. Влияние сил сухого трения на гироскоп при случайном характере
колебаний его основания 181
Глава VI
Астатический гироскоп
§ 39. Использование астатического гироскопа в системах управления
подвижными объектами 191
§ 40. Гироскопические приборы вертикант и горизонт 192
§ 41. Астатические гироскопы для измерения углов отклонения объектов
от заданного направления движения 196
492

§ 42. Факторы, вызывающие ошибки при измерениях астатическим
гироскопом углов поворота объекта 199
§ 43. Кардановы ошибки астатических гироскопов 205
§ 44. Исследование кардановых ошибок астатических гироскопов .... 211
§ 45. Установка астатического гироскопа по земным ориентирам .... 218
§ 46. Траектории движения полюса гироскопа к корректируемому
положению 221
§ 47. Точность выдерживания астатическим гироскопом заданного
положения в пространстве 229
Глава VII
Гироскоп направления
§ 48. Принцип устройства гироскопа направления 232
§ 49. Анализ работы простейшего гироскопа направления 236
§ 50. Нивелирование главной оси гироскопа направления 249
§ 51. Движение гироскопа направления с межрамочным нивелированием
при неподвижном положении его основания на земной поверхности 257
§ 52. Уравнения движения гироскопа направления, установленного на
объекте, перемещающемся по локсодромии, и их анализ 261
§ 53. Движение гироскопа направления с маятниковым нивелирующим
устройством 266
§ 54. Гироскоп направления со счетно-решающим устройством 269
§ 55. Использование гироскопа направления для осуществления
перемещений объекта по ортодромии 275
§ 56. Ошибки гироскопа направления, обусловливаемые нивелирующим
устройством. Бикарданов подвес гироскопа 277
Глава VIII
Гиромагнитный компас
§ 57. Принцип действия гиромагнитного компаса 281
§ 58. Уравнения движения гиромагнитного компаса ,· · · 287
§ 59. Движение гиромагнитного компаса с пропорциональной
коррекцией при затухающих колебаниях магнитной стрелки 294
§ 60. Движение гиромагнитного компаса, снабженного корректирующим
устройством с пропорциональной характеристикой, при
вынужденных колебаниях магнитной стрелки 299
§ 61. Автоколебания гиромагнитного компаса с релейной
характеристикой коррекции 304
Глава IX
Гироскопический компас
§ 62. Гирокомпас Фуко 311
§ 63. Практическое использование гирокомпаса Фуко 314
§ 64. Гирокомпас для неподвижного основания ... 319
§ 65. Мореходный гирокомпас 321
§ 66. Незатухающие колебания гирокомпаса 326
§ 67. Исследование незатухающих колебаний гирокомпаса во втором
приближении 330
§ 68. Затухающие колебания гирокомпаса 332
§ 69. Работа гирокомпаса на подвижном объекте. Скоростная девиация 327
§ 70. Влияние ускорений подвижного объекта на работу гирокомпаса 341
493

§ 71. Условие апериодического перехода гирокомпаса в новое положение
равновесия 347
§ 72. Двухрежимные гирокомпасы 350
Глава X
Гировертикаль
§ 73. Простейшая схема маятниковой гировертикали 354
§ 74. Скоростная девиация маятниковой гировертикали. Условие ее не-
возмущаемости 362
§ 75. Успокоение колебаний маятниковой гировертикали 367
§ 76. Гирогоризонты 371
§ 77. Основные разновидности принципиальных схем коррекции гиро-
горизонтов 375
§ 78. Влияние характеристики коррекции на движение гирогоризонта
к положению равновесия 382
§ 79. Влияние периодических возмущений на движение гирогоризонта 385
§ 80. Сравнительная оценка основных видов характеристик систем
коррекции гироскопических приборов .... 389
§ 81. Движение гирогоризонта при смещении его центра тяжести
относительно точки подвеса 394
§ 82. Девиация гирогоризонта при вираже объекта 396
§ 83. Компенсация влияния ускорений объекта на гировертикаль . . . 399
§ 84. Инерциальнгя гировертикаль 402
Глава XI
Гироскопические приборы для измерения угловых скоростей и ускорений
§ 85. Основные разновидности гиротахометров 407
§ 86. Гиротахометры с тремя степенями свободы . 408
§ 87. Гиротахометры с двумя степенями свободы · 411
§ 88. Разновидности гиротахометров с двумя степенями свободы . . 415
§ 89. Поведение гиротахометра с двумя степенями свободы при
колебаниях объекта 420
§ 90. Вибрационный гиротахометр 424
§ 91. Гироскопические приборы для измерения угловых скоростей и
ускорений 428
Глава XII
Гироскопические рамы
§ 92. Принцип устройства гироскопических силовых рам 432
§ 93. Поведение гироскопической рамы на подвижном основании . . . 435
§ 94. Разновидности гироскопических рам 436
§ 95. Компенсация влияния вращения основания гироскопической рамы
вокруг ее оси прецессии 440
§ 96. Устойчивость гироскопической рамы 444
§ 97. Демпфирование собственных колебаний гироскопической рамы
противоэлектродвижущей силой стабилизирующего двигателя . . . 449
§ 98. Точность стабилизации гироскопической рамы 451
§ 99. Влияние сил трения в опорах подвеса гироскопической рамы на
точность стабилизации 454
494

Глава XIII
Гироскопические приборы
в системах автоматического управления, стабилизации и контроля
§ 100. Использование гироскопических приборов в автоматических
системах стабилизации и управления подвижными объектами .... 457
§ 101. Структурная схема и передаточные функции гироскопических
приборов, лишенных избирательности 458
§ 102. Структурная схема и передаточные функции корректируемых
гироскопических приборов 462
§ 103. Дифференцирующие гироскопы 466
§ 104. Интегрирующие гироскопы 471
§ 105. Интеграционный гироскоп и гироскопическое реле 478
§ 106. Возможности использования гироскопов для определения
местоположения объекта 480
§ 107. Гироскопические самопишущие приборы 484
Литература 488
Φ

ВСЕВОЛОД АЛЕКСАНДРОВИЧ ПАВЛОВ
ТЕОРИЯ ГИРОСКОПА И ГИРОСКОПИЧЕСКИХ
ПРИБОРОВ
Темплан 1964 г. № 8
Научный редактор д-р техн. наук
С. С. Ривкин
Рецензенты: д-ра техн. наук П. И. Сайдов
и С. Ф. Фармаковский
Редактор Г. П. Квочкина
Переплет художника В. У. Фонарева
Технический редактор Л. М. Шишкова
Корректоры М. П. Бушева и
Л. Я. Степнова
Сдано в набор 21/V 1964 г. Подписано к
печати 5/VIII 1964 г. Формат бумаги 60 Χ 907ιβ·
Физ. п. л. 31,0. Уч.-изд. л. 29,3. Изд. № 1348-63
М-11458. Тираж 9000 экз. Цена 1 руб. 23 коп.
Зак. 1879
Издательство «Судостроение», Ленинград, Д-65,
ул. Гоголя, 8
Ленинградская типография № 6
Главполиграфпрома
Государственного комитета Совета Министров
СССР по печати.
Ленинград, Моисеенко, 10

ЗАМЕЧЕННЫЕ ОПЕЧАТКИ
Стр.
33
50
82
84
140
275
342
348
370
398
405
421
Строка
9-я сверху
15-я »
1-я снизу
10-я »
1-я сверху
1-я снизу
13-я »
9-я »
5-я сверху
13-я »
15-я »
9-я снизу
Напечатано
где 1 —
(Φ— Ψείηθο —
+ Vc sin2 nt +
+ </Ωψ COS θ0 =
Оси 03U
+ —sinatgcp-
углом Δ
- V) V tg a
+ 7^ θ =
к
e /Ω
ft M*
JQ(*0C (K - JBg2)
(K- Jвq)2+μ2q* '
Следует читать
где 2/
(Φ — ψ sin θ0 —
+ Vc sin3 nt +
+ /Q\j)cosO0 =
Оси 03Ki
у
+ -£- sinatgcp-
угол Δ
- V) V tg a
2XGl(Gl — K)
+ 72Ω2 ~
I/QcooC (Κ - JbQ2)
{K-JBq2)2 + V2q2'