А. П. Филин
ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА
ТВЕРДОГО
ДЕФОРМИРУЕМОГО ТЕЛА
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
С ЭЛЕМЕНТАМИ ТЕОРИИ СПЛОШНЫХ СРЕД
И СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
Τ о м II
^
й
ш
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1978

30.121
Φ 53
УДК 620.10
Филин А. П. Прикладная механика твердого
деформируемого тела: Сопротивление материалов с элементами теории
сплошных сред и строительной механики. Т. II. — М.: Наука.
Главная редакция физико-математической литературы, 1978,
616 с.
В томе II излагается теория деформации стержней,
энергетические основы механики твердого деформируемого тела и
элементы строительной механики (статика стержневых систем). При
обсуждении ряда вопросов используется и аппарат теорий упругости,
пластичности и ползучести, с одной стороны, для оценки
элементарной теории, составляющей основное содержание курса, а с
другой стороны, для решения задач, не разрешаемых при помощи
элементарной теории.
Книга предназначена для студентов втузов, изучающих
сопротивление материалов, теории упругости, пластичности и
ползучести и строительную механику, а также для аспирантов,
научных работников и инженеров, занимающихся проблемой
прочности в различных областях техники (строительство,
машиностроение, судостроение, самолетостроение и др.).
Табл. 41, илл. 422.
Анатолий Петрович Филин
ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА
ТВЕРДОГО ДЕФОРМИРУЕМОГО ТЕЛА
Том II
М., 1978 г. 616 стр. с илл.
Редакторы В. С. Калинин, А Г. Мордвинцев
Техн. редактор С. Я. Шкляр
Корректор А. Л. Ипатова
ИБ № 11355
Сдано в набор 14.06.78. Подписано к печати 27.11.78. Т-22035. Бумага 60Χ90'/ιβ. тип. № 1.
Литературная гарнитура. Высокая печать. Условн. печ. л. 38,5. Уч.-изд. л. 38,86. Тираж
12 000 экз. Заказ № 1390. Цена книги 1 р. 70 к.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Отпечатано в ордена Трудового Красного Знамени Ленинградской типографии '№ 2
имени Евгении Соколовой «Союзполнграфпрома» при Государственном комитете СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли, 198052, Ленинград, Л-52,
Измайловский проспект, 29 с матриц ордена Октябрьской Революции, ордена Трудового
Красного Знамени Ленинградского производственно-технического объединения «Печатный
Двор» имени А. М. Горького Союзполнграфпрома при Государственном комитете Совета
Министров СССР по делам издательств, полиграфии н книжной торговли. 197136,
Ленинград, П-136, Гатчинская ул.. 26
. 30106 — 186 tna _й © Главная редакция
Φ /\eoft\n\ то 138-78 физико-математической литературы
053(02)-7о издательства «Наука», 1978

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 7
Отдел четвертый
ДЕФОРМАЦИЯ СТЕРЖНЕЙ
Глава XI. Сдвиг. Кручение стержней 11
§ 11.1.. Предварительные замечания 11
§ 11.2. Однородный чистый сдвиг прямоугольного параллелепипеда . . 12
§ 11.3. Понятие о свободном (нестесненном) и стесненном кручении.
Чистое кручение 14
§ 11.4. Характер деформации круглого цилиндра при чистом кручении 15
§ 11.5. Гипотезы, используемые при построении теории чистого
кручения круглых цилиндрических стержней 16
§ 11.6. Формула для касательного напряжения в поперечном сечении
круглого цилиндрического бруса при чистом кручении 16
§ 11.7. Условие прочности при чистом кручении круглого
цилиндрического бруса 20
§ 11.8. Деформация при чистом кручении круглого цилиндрического
бруса . 24
§ 11.9. Оценка результатов элементарной теории посредством аппарата
теории упругости 28
§ 11.10. Потенциальная энергия деформации при чистом кручении вала
круглого поперечного сечения 35
§ 11.11. Чистое кручение круглого цилиндрического вала при работе
материала в упруго-пластической стадии 36
§ 11.12. Кручение призматических стержней произвольного поперечного
сечения 42
§ 11.13. Понятие о кручении призматических стержней произвольного
поперечного сечения при упруго-пластической стадии работы
идеально-пластического материала 82
<j 11.14. Кручение круглых валов переменного диаметра . . ; 88
§ 11.15. Свободное кручение призматического стержня из наследственно-
упругого материала (пример применения принципа Вольтерра) 95

\
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава XII. Плоский изгиб стержней 97
§ 12.1. Предварительные замечания 97
§ 12.2. Характер деформации призматического бруса при чистом изгибе 99
§ 12.3. Гипотезы, используемые при построении технической теории
чистого изгиба призматического стержня 102
§ 12.4. Нормальные напряжения в поперечном сечении стержня при
чистом изгибе 104
§ 12.5. Исследование чистого изгиба призматического бруса методом
теории упругости 115
§ 12.6. Касательные напряжения при поперечном изгибе балки .... 124
§ 12.7. Анализ частных случаев поперечного изгиба балки
прямоугольного сечения методом теории упругости. Обоснование
предположений, принятых при построении технической теории 148
§ 12.8. Центр изгиба 166
§ 12.9. Траектории напряжений и деформаций при поперечном изгибе.
Эпюры напряжений, действующих в точках поперечного сечения
на площадках, не лежащих в нем. Линии равных деформаций 180
§ 12.10. Условия невозникновения предельного состояния материала
в локальной области в балках при поперечном изгибе 185
§ 12.11. Потенциальная энергия деформации при изгибе балки 193
§ 12.12. Дифференциальное уравнение изгиба балки 197
§ 12.13. Интегрирование дифференциального уравнения изгиба балки . . 207
§ 12.14. Интегрирование уравнения изгиба в случае балки переменной
вдоль длины жесткости 226
§ 12.15. Изгиб балок, лежащих на сплошном упругом основании .... 231
§ 12.16. Дифференциальное уравнение изгиба стержня в плоскости оси,
имеющей очертание окружности 255
§ 12.17. Изгиб балки при не чисто упругой работе материала 257
§ 12.18. Изгиб призматического стержня из наследственно-упругого
материала (пример применения принципа Вольтерра) 273
§ 12.19. Метод прогонки 273
Глава XIII. Сложное сопротивление стержней 285
§ 13.1. Предварительные соображения 285
§ 13.2. Пространственный поперечный изгиб. Косой изгиб 287
§ 13.3. Совместно происходящие пространственный изгиб и осевая
деформация жесткого стержня 298
§ 13.4. Внецентренное растяжение (сжатие) 302
§ 13.5. Совместно происходящие изгиб и осевая деформация
(растяжение) гибкого стержня 316
§ 13.6. Совместно происходящие пространственный изгиб и кручение
круглого цилиндрического стержня 328
§ 13.7. Общий случай деформации стержня с прямолинейной осью . . 334

ОГЛАВЛЕНИЕ 5
§ 13.8. Изгиб консольной призматической балки силой, действующей
в плоскости торца (результаты решения задачи) 337
§ 13.9. Дискретная матричная форма метода начальных параметров . . 354
Глава XIV. Стесненная деформация тонкостенных стержней 380
§ 14.1. Тонкостенный стержень. Определение 380
§ 14.2. Описание картины стесненной деформации тонкостенных
стержней открытого профиля 382
§ 14.3. Теория тонкостенных стержней открытого профиля 385
§ 14.4. Влияние деформируемости поперечного сечения на напряженно-
деформированное состояние криволинейной тонкостенной трубы 418
§ 14.5. Неравномерность деформации по ширине пояса в тонкостенном
стержне при изгибе/ Понятие о редукционном коэффициенте . . 425
§ 14.6. Примеры расчета стержней открытого тонкостенного профиля 430
Отдел пятый
ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ, ЗАКОНЫ, ТЕОРЕМЫ, МЕТОДЫ СТАТИКИ
ДЕФОРМИРУЕМЫХ СИСТЕМ
Глава XV. Вариационные принципы и энергетические теоремы
статической проблемы упругости 438
§ 15.1. Вводные замечания 438
§ 15.2. Вариационное исчисление и связь его с проблемами механики 439
§ 15.3. О возможности формулирования вариационных принципов
теории упругости 450
§ 15.4. Закон сохранения энергии 457
§ 15.5. Работа внешних сил, совершаемая за отрезок времени 6t, при
загружении сплошной среды 458
§ 15.6. Потенциалы напряжений и деформаций 460
§ 15.7, О связях между механическими, тепловыми и электрическими
величинами 467
§ 15.8. Потенциальная энергия деформации 473
§ 15.9. О двух вспомогательных понятиях 481
§ 15.10. Теорема Клапейрона 483
§ 15.11. Принцип возможных перемещений 484
^ 15.12. Принцип возможных изменений напряжений 488
15.13. Аналогия Еариационных принципов ... 494
§ 15.14. Замечание о двух разновидностях постановки экстремальной
задачи 495
§ 15.15. Теорема о взаимности работ и следствия из нее 490
§ 15.16. Определение перемещений по теореме Кастильяно 501
§ 15.17. Универсальная формула Мора для определения перемещений
в стержневых системах. Прием Верещагина 504
§ 15,18, Перемещения в стержневых системах от изменения температуры 509

6
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 15.19. Отыскание перемещений в статически неопределимых стержне-
ных системах 512
§ 15.20. Формула Папковича и вытекающие из нее следствия 514
§ 15.21. Вариационные принципы, соответствующие функционалам,
зависящим от двух, трех и четырех вектор-функций 522
Глава XVI. Некоторые элементы статики стержневых систем 532
§ 16.1. Вводные замечания 532
§ 16.2. Расчетная схема и кинематический анализ системы.
Статическая и кинематическая неопределимость. Неизвестные методов
сил и перемещений 534
§ 16.3. Метод сил 555
§ 16.4. Метод перемещений 583
Дополнение I. Геометрические характеристики поперечных сечений
стержней 598
Дополнение II. Краткие сведения о симметрии кристаллов 604
Именной указатель 611
Предметный указатель 613

ПРЕДИСЛОВИЕ
Второй том курса, предлагаемый вниманию читателя, содержит
два отдела. Первый из них (отдел четвертый) посвящен деформации
стержней, второй (отдел пятый)— энергетическим основам статики
систем — общим энергетическим законам и теоремам, вариац'ион-'
пым принципам и методам расчета систем при статическом на них
воздействии.
Особенностью изложения материала первого из упомянутых
отделов, как уже об этом предупреждался читатель в предисловии
к первому тому курса, является использование наряду с
элементарной теорией аппарата теории упругости, основы которой были
даны ранее —в девятой главе (первый том).
Органическое сочетание элементарной теории и теории
упругости позволило, с одной стороны, дать оценку результатов
элементарной теории, а с другой — решить не решаемые средствами
последней важные для практики задачи.
Так, в главе XI, посвященной кручению стержней, дана оценка
гипотез сопротивления материалов, используемых при построении
теории чистого свободного кручения круглого цилиндрического
бруса, и наряду с этим рассмотрена теория кручения
призматических (цилиндрических) стержней произвольного поперечного
сечения и теория кручения тел вращения. Изложение материала
главы XI принято таким, чтобы сделать наиболее естественным
и простым переход к главе XIV, посвященной теории
тонкостенных стержней.
В главе XII, кроме оценки результатов теории чистого изгиба
призм, получеь ных средствами элементарной теории, рассматри-
паются такие задачи (изгиб консоли сосредоточенной силой,
приложенной к торцу, изгиб балки на двух опорах равномерно
распределенной нагрузкой —обе на уровне плоской задачи теории
упругости), которые позволили подтвердить правомочность
применения формулы для-нормального напряжения в поперечном сечении
бплки, выведенной для чистого ее изгиба, при построении теории
поперечного изгиба.

8
ПРЕДИСЛОВИЕ
В главе XIII решение задачи об изгибе консоли позволило
дать оценку гипотезы о равномерном распределении по ширине
балки составляющей касательного напряжения, параллельной
плоскости действия сил, и определить другую составляющую
касательного напряжения. Решение этой же задачи позволило
определить положение центра изгиба и установить удельный вес
эффекта крутящего момента, возникающего вследствие приложения
внешней поперечной силы не в центре изгиба, а в центре тяжести,
как в случае тонкостенного, так и массивного стержня.
Важной является и демонстрация на указанных выше примерах
некоторых особенностей примененного в них полуобратного метода
Сен-Венана, имеющего общее самостоятельное значение.
Как задача о кручении стержня, так и задача об изгибе
(чистом и поперечном) решается не только для условий чисто
упругой работы материала, но и применительно к
упруго-пластической стадии его работы, а также применительно к работе стержня
при указанных на него воздействиях, если материал обладает
свойством вязкоупругости.
Из задач элементарной теории, кроме традиционных, обращено
внимание на обоснование метода начальных параметров и
подробное его рассмотрение, в частности — на получение системы частных
решений, удовлетворяющих требованиям метода. Обсуждена задача
о так называемом сложном (продольно-поперечном) изгибе гибкого
стержня, в которой не применим принцип независимости
действия сил.
Масштаб изложения материала пятого отдела принят иной чем
четвертого, поскольку имеется в виду, что этому материалу
посвящается особый самостоятельный курс. Относительно глав этих
отделов уместно сказать следующее.
В главах XV и XVI обращено внимание на формулирование
основных фундаментальных вариационных принципов механики
деформируемого тела, на их дуальность и вытекающую из нее
дуальность методов сил и перемещений. Примеры, приведенные
в главе XVI, призваны помочь читателю уяснить механический
смысл вопросов. Алгоритмический же и вычислительный аспекты
вопроса, в том числе в связи с использованием ЭВМ при расчете
сложных конструкций, обсуждается, из-за ограниченности объема
книги, лишь в общих чертах и даются указания на литературные
источники, где этот аспект освещен подробно. Думается, что даже
такое знакомство с новыми вопросами расширит кругозор
читателю, а указания на основные литературные источники будут
способствовать этому.
Тем не менее проблема использования ЭВМ имелась в виду
и при изложении материала глав XII и XIII. Так, в этих
главах использован в ряде случаев матричный формализм, хорошо
приспособленный к программированию для ЭВМ. Кроме того,

ПРЕДИСЛОВИЕ
9
обсуждены методы (метод прогонки в главе XII и матричный
дискретный метод начальных параметров в главе XIII),
использование которых непосредственно связано с необходимостью
применения ЭВМ. Вместе с тем эти методы позволили решить ряд
примеров повышенной сложности (примеры 12.28, 13.10, 13.11 и
13.12), что было бы невозможно при изложении лишь
традиционных методов. Так удалось рассмотреть решения геометрически и
(или) физически нелинейных задач, решение задачи о
произвольном пространственном стержне, подвергнутом произвольному
силовому воздействию.
В некоторых, редких случаях для иллюстрации обсуждаемых
вопросов приводится краткая информация— уравнения и
комментарии к ним —без подробного вывода и обсуждения метода их
решения (теория тонких стержней Кирхгоффа — Клебша, теория
связанной термоупругости, пиро- и пьезоэлектрического эффектов).
Ссылки на литературные источники, некоторые математические
комментарии и предлагаемый иллюстративный материал (примеры
и рисунки) по замыслу автора призваны помочь читателю в
ознакомлении с основами курса. Отдел шестой—динамика и
устойчивость, включая главу об усталости,—составит содержание
III тома.
В заключение, как и в томе I, приводим таблицу параграфов
и разделов, соответствующих курсу сопротивления материалов,
на изложение которого по учебному плану отводится 70 часов
лекций.
Если в учебном плане имеется курс теории упругости объемом
50 часов, то, как уже указывалось в предисловии к тому I,
целесообразно этот курс читать совместно с курсом сопротивления
материалов и в таком случае, кроме главы IX, рекомендуются
в качестве обязательных следующие параграфы и разделы из глав
настоящего тома: 11.9, 11.11—11.15, 12.5, 12.7, 12.17, 12.18,
13.8, 15.3, 15.5, 15.6, 15.20, 15.21.
При изучении небольшого курса статики сооружений (иногда
включаемого учебным планом в курс сопротивления материалов)
рекомендуем использовать следующие параграфы и разделы глав XV
н XVI: 15.18, 15.19, 16.1, 16.2 и 16.4.
Автор неизменно встречал внимательное отношение к своему
курсу со стороны В. В. Новожилова, чьи рекомендации и
поддержка в процессе работы над книгой были весьма ценными.
-Л. И. Балабух и В. С. Калинин существенно помогли автору
полезными советами и замечаниями, учет которых способствовал
улучшению книги. На всех этапах работы над книгой большую
помощь автору оказывала А. И. Филина. Всем этим лицам автор
очень благодарен.
Автор

10
ПРЕДИСЛОВИЕ
Материал II тома, рекомендуемый в качестве обязательного
при 70 часах лекций, отводимых на весь курс
Главы
XI
XII
XIII
XV
XVI
Параграфы
11.1-5-11.8, 11.40
12.1ч- 12.4, 12.6, 12.8-ί-12.11
12.12
12.13
13.1 Ч- 13.3
13.4
13.5
13.6, 13.7
15.4
15.8
15.9, 15.10
15.11
15.12
15.134-15.17
16.3
Разделы (указаны лишь для тех
параграфов, в которых
используются не все разделы)
1-Г-З
1, 2, 3.1Ч- 3.4
1 -5-6
1-5-6
1
1, 2, -4-5-6
1, 2, 44-6
1-5-3

Отдел четвертый
ДЕФОРМАЦИЯ СТЕРЖНЕЙ
Глава XI
СДВИГ. КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ
§ 11.1. Предварительные замечания
В настоящей Главе рассматриваются такие виды деформации
брусьев, при которых материал работает в условиях чистого сдвига.
К числу их относятся: однородный чистый сдвиг тела (например
прямоугольного параллелепипеда конечных размеров) и чистое
кручение круглых цилиндрических стержней.
Результаты технической теории оцениваются аппаратом
теории упругости.
Кроме упругой, рассматривается и упруго-пластическая
стадия работы материала, а также кручение стержня в случае
ползучести материала.
В этой же главе обсуждаются и более сложные случаи —
свободное кручение призматических стержней произвольного
поперечного сечения в упругой и упруго-пластической
стадиях работы материала, а также кручение круглых
цилиндрических стержней в случае переменного вдоль оси крутящего момента
и кручение тел вращения.
Кручение элементов конструкции и деталей машин встречается
и очень большом числе случаев. Одним из наиболее характерных
п.ч них является кручение вала машины (рис. 11.1, а). На
кручение работает стержень винтовой цилиндрической и конической
пружин. Кручение, наряду с другими видами деформации,
испытывают: в целом корпус корабля при расположении на косой
иолне1) (рис. 11.1, б); крыло самолета в случае, если равнодей-
1) Кручение возникает вследствие того, что по разные стороны от
диаметральной плоскости значения интенсивности сил поддержания, как функции
кпординаты г, различны. Например, в двух точках А и Аг кормы уровень
иоиерхности воды различен —в точке А он выше. Аналогично в точке В уро-
|нчп> выше, чем в точке Вг; вследствие этого силы поддержания в заштрихо-
шшиых частях оконечностей (носа и кормы) больше, чем в симметричных им,
опюсительно диаметральной плоскости, частях; отсюда и возникают внешние

12
СДВИГ. КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ XI
ствующая сил, приложенных к нему, не проходит через точку,
называемую центром изгиба (см. гл. XIII) (рис. ИЛ, б); балка
Рис. 11.1. Примеры элементов конструкций и машин, работающих на кручение: а) вал
машинь; б) когпус корабля на косой волне; в) крыло самолета; г) балочное перекрытие
(продольная балка изгибается, поперечные изгибаются и скручиваются).
перекрытия при изгибе (например, балки перекрестного
направления, изображенные на рис. 11.1, г). Можно привести и ряд
других примеров.
§ 11.2. Однородный чистый сдвиг прямоугольного
параллелепи педа
Рассмотрим прямоугольный параллелепипед конечных
размеров. Пусть на четыре его грани действует касательная
равномерно распределенная нагрузка с интенсивностью τ (рис. 11.2, а).
Напряженно-деформированное состояние параллелепипеда
однородное.
Если вырезать из него бесконечно малый элемент с гранями,
параллельными граням рассматриваемого параллелепипеда
конечных размеров (рис. 11.2, б), то на гранях элемента будут
действовать напряжения τ, вызывающие его сдвиг в той же плоско-
моменты, вызывающие кручение; они распределены по координате г по
сложному закону, зависящему от формы смоченной водой части поверхности
корабля и от формы поверхности волны.

«ί И.21
ОДНОРОДНЫЙ ЧИСТЫЙ СДВИГ
13
гги, в которой испытывает сдвиг параллелепипед с ребрами alt Ъ
и аг (рис. 11.2, а). Элементарный параллелепипед (а следовательно,
Ч
1'ис. 11.2. Чистый сдвиг параллелепипеда конечных размеров (однородное
напряженное состояние): а) поверхностные силы, действующие на параллелепипед конечных раз-
моров н вызывающие его чистый сдвиг; 6) чистый сдвиг бесконечно малого элемента.
и параллелепипед конечных размеров) находится в равновесии.
Одно из уравнений равновесия всего параллелепипеда (^момг/ = 0)
имеет вид
Ьаххаг — Ъа<{шх = 0.
Для исключения перемещения
параллелепипеда как
жесткого целого мысленно закрепим
точку О
uQ = vQ=wo = 0. (11.1)
11редотвратим в точке О и ^
повороты: элемента dx
относительно осей у и ζ и
элемента dy относительно оси χ
dw
дх
= 0,
dw
дх Jo '
ду
= 0.
(11.2)
Рис. 11.3. Деформация параллелепипеда
конечных размеров при чистом сдвиге.
Деформированный
параллелепипед при соблюдении
(11.1) и (11.2) показан на рис. 11.3. Здесь же изображены силы Qx
и Q,, являющиеся статическим эквивалентом распределенных на

14
СДВИГ. КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. XI
гранях касательных сил
Qx = J τζχ dFx = τ \ dF1 = xFx = ταφ (χζ) (12). (11.3)
F, F,
Из (11.3) имеем
τ = ~ или τ = ~.
Согласно закону Гука
v — Σ — ®х — J°k-
Ύ~ G GFt GF2'
Величину s{ называют абсолютным сдвигом. Согласно рис. 11.3
■%=αιΥ = %ρ δ2 = α2γ = ^-. (11.4)
Величина GFi (ί = 1, 2) в знаменателе (11.4) называется
жесткостью при сдвиге; она имеет физико-геометрическую природу. G —
модуль упругости при сдвиге, /^ — площадь грани прямоугольного
параллелепипеда, параллельно которой измеряется величина
абсолютного сдвига.
§ 11.3. Понятие о свободном (нестесненном)
и стесненном кручении. Чистое кручение
Свободным, или, иначе, нестесненным кручением
призматического стержня называют деформацию, возникающую в случае,
если к каждому из его торцов приложены поверхностные
тангенциальные силы, статическим эквивалентом которых является лишь
момент, действующий, разумеется, в плоскости торца. Моменты
на противоположных торцах равны по величине и противоположны
по направлению. Никакие связи на скручиваемый брус не
накладываются (деформация его ничем не стеснена). В случае круглого
или кругового кольцевого поперечного сечения скручиваемого
бруса при определенном законе распределения тангенциальных
поверхностных сил на торцах торцы и все поперечные сечения
остаются плоскими. Такой частный случай свободного кручения
называется чистым кручением. В случае любого другого
поперечного сечения, кроме указанных выше, плоскость поперечного
сечения под влиянием кручения искривляется —депланирует
(перестает быть плоской); при одном определенном для каждого вида
поперечного сечения законе распределения касательных сил на
торцах и таком же законе во всех поперечных сечениях депла-
нация всех поперечных сечений оказывается одинаковой. Из
сказанного ясно, что при свободном кручении призматического бруса
нормальные напряжения в поперечных сечениях отсутствуют.

<i 11.4] ДЕФОРМАЦИЯ КРУГЛОГО ЦИЛИНДРА ПРИ КРУЧЕНИИ 15
Если имеются какие-либо связи, препятствующие торцам или
отдельным поперечным сечениям депланировать так, как они депла-
пировали бы при отсутствии этих связей, то кручение называется
стесненным. Стеснение кручения влечет за собой возникновение
и поперечных сечениях стержня нормальных самоуравновешенных
напряжений, которые в случае массивных стержней быстро убы-
нают (затухают) при удалении от тех сечений, где создано
стеснение. В случае же стержней тонкостенного, в особенности
открытого, сечения, затухание эффекта стеснения происходит значительно
медленнее, поэтому стесненное кручение таких стержней на уровне
технической теории рассматривается самостоятельно (см. главу XIV).
§ 11.4. Характер деформации круглого цилиндра
при чистом кручении
Проследим за картиной деформации круглого цилиндра при
чистом кручении, наблюдаемой в эксперименте.
На рис. 11.4 β, показан брус до деформации, изображена
поверхностная нагрузка на торцах (линейный закон распределения
α) δ) δ)
I'm, 11.4. Деформация круглого цилиндра при кручеинн: а) система линий на поверх-
■ ···>'ιII круглого цилиндра и поверхностная нагрузка (на чертеже показан закон распре-
ш'.'ичши на одном из диаметров; такое же распределение имеет место на любом диаметре),
iiiii и.нающая его чистое кручение; б) картина деформации круглого цилиндра при чн-
имм кручеинн;. в) картина деформации вблизи торца при нелинейном распределении
касательных напряжений.
но радиусу) вдоль одного из диаметров на каждом торце.
Ιιικ.ΊΜ же нагрузка имеется на любом из диаметров. На каждом
и ι торцов она складывается в момент дЯ.
I la боковую поверхность цилиндрического бруса и на торцы нане-
"Ίι,ί сетка ортогональных линий, равноотстоящих в каждой системе.

16
СДВИГ. КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. XI
После деформации брус приобретает вид, показанный на
рис. 11.4, б. Продольные прямые линии на боковой поверхности
искривляются и превращаются в винтовые. Боковая поверхность
сохраняет форму круглой цилиндрической поверхности, высота
цилиндра не изменяется, поперечные линии и торцы остаются
плоскими и поворачиваются относительно оси цилиндра.
Относительный поворот поперечных линий пропорционален расстоянию
между ними. Радиальные линии на торцах поворачиваются и
остаются прямыми. Описанная картина деформации сохраняется
при любом отношении высоты и диаметра цилиндра. При другом
законе распределения внешних поверхностных сил, приложенных
к торцам и создающих такой же по величине, как и в первом
случае, внешний момент ЭУ1, получается несколько иным и
характер деформации бруса (рис. 11.4, в). Однако это отличие
ощутимо лишь в окрестности торцов, что полностью согласуется
с принципом Сен-Венана.
§ 11.5. Гипотезы, используемые при построении теории чистого
кручения круглых цилиндрических стержней
Наблюдаемая в опыте картина, описанная выше, позволяет
сформулировать следующие гипотезы х):
1. Поперечные сечения бруса, плоские до деформации, остаются
плоскими и в результате деформации, и расстояния между ними
не изменяются. Поперечное сечение круглого цилиндрического
бруса ведет себя при чистом кручении, как жесткий диск. При
этом радиальные отрезки в поперечных сечениях, прямолинейные
до деформации, остаются прямолинейными и после деформации и
в пределах поперечного сечения все поворачиваются на один и
тот же угол.
2. Поворот поперечных сечений относительно друг друга вокруг
оси круглого цилиндрического бруса пропорционален расстоянию
между сечениями.
§ 11.6. Формула для касательного напряжения
в поперечном сечении круглого цилиндрического бруса
при чистом кручении
1. Статическое обследование скручиваемого вала. Пусть имеем
круглый цилиндрический брус, подвергнутый чистому кручению.
Рассечем стержень на две части поперечным сечением с
координатой г. Коль скоро брус в целом находится в состоянии равно-
*) Термин гипотеза в рассматриваемом и в аналогичных ему случаях в
прикладной механике твердого деформируемого тела широко используется, хотя,
пожалуй, правильнее было бы применять термин допущение,

§ 11.6] КАСАТЕЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ ЧИСТОГО КРУЧЕНИЯ ВАЛА 17
весия, в равновесии должна находиться и любая из двух
образовавшихся при рассечении частей. На торец рассматриваемой части
бруса действует внешний момент ЭУ1г, а к другому торцу,
образовавшемуся вследствие рассечения бруса на две части,
приложены распределенные внутренние силы, которые по отношению
к рассматриваемой части бруса являются внешними.
Интенсивности трех составляющих (по осям хуг) этих сил в произвольной
точке поперечного сечения суть: xzx, xzy, σζ.
Стандартная система внутренних сил и моментов, являющихся
статическим эквивалентом этих распределенных по поперечному
сечению' сил, определяется из условий эквивалентности
Qx = J τζχ dF, Qy = J xzy dF, N = <\ σζ dF;
F F F
Mx = J azydF, My = \ σζχ dF, Mz = J (xzxy - xzyx) dF.
F F r"
Итак, на рассматриваемую часть стержня действуют дУ1г, Qx, ...
..., Mz, под влиянием которых она находится в равновесии.
Уравнения равновесия имеют вид
£прл; = 0, Q* = 0; £момл; = 0, МХ = 0 (ху)\
£прг = 0, Λ/ = 0; £момг = 0, Мг-Жг = Ъ\ Мг = Жг.
Если в (11.6) подставить (11.5), то получим
\xzxdF = 0, \xzydF = 0, \ozdF = 0,
F F F
J ozy dF = 0, J σζχ dF = 0, $ (xzxy - xzyx) dF = Шг. \
F F F )
Уравнения (11.7)3i4i5 показывают, что, во-первых, нормальные
напряжения либо тождественно равны нулю, либо во всей
площади поперечного сечения являются самоуравновешенными в его
пределах. Поэтому эти уравнения рассматривать не будем.
Остальные уравнения, в которые входят касательные компоненты
напряжений, могут быть удовлетворены при бесчисленном количестве
париантов распределений напряжений по поперечному сечению
стержня. Как уже указывалось в § 2.3, задача сопротивления
материалов является статически неопределимой относительно закона
распределения напряжений по поперечному сечению бруса.
2. Исследование деформации стержня. Для раскрытия
статической неопределимости представим в аналитической форме
функцию, характеризующую распределение деформаций. Вырежем из
стержня элемент двумя поперечными сечениями, расположенными
бесконечно близко одно от другого. Вид этого элемента до и после
(11.5)
(11.6)

18
СДВИГ. КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. XI
деформации с учетом принятых гипотез, показан на рис. 11.5, а.
Из этого элемента вырежем сектор- (рис. 11.5, б).
Рассмотрим поворот одного из торцов этого сектора по
отношению к другому. Очевидно, что все концентрические слои
цилиндра испытывают сдвиги, тем большие, чем дальше концентрический
Рис. 11.5. Деформация элемента круглого цилиндра при чистом кручении: а) элемент
вала: б) сектор, вырезанный из элемента вала.
слой отстоит от оси. Наружный слой испытывает сдвиг уг, а слой
радиуса ρ — сдвиг γρ. Отрезок ЛВ может быть представлен двояко
ΑΒ=ράϋ·ζ, AB = dz-yp; ρ άϋ·ζ = dz-yp,
отсюда
Vp = P^t· (И.8)
Уравнение (11.8) является тем дополнительным, которое, будучи
присоединенным к уравнениям равновесия, позволяет раскрыть
статическую неопределимость проблемы. Однако в уравнения
равновесия (11.7) входят компоненты напряжения, а в уравнение
(11.8)—деформации. Для совместного использования этих
уравнений необходимо связать напряжения с деформациями
аналитической зависимостью; такой является уравнение закона Гука.
3. Использование физической зависимости. Сдвиг и
касательное напряжение связаны уравнением закона Гука (рис. 11.6) τρ =
= Gyp, или, если учесть (11.8),
TP = Gp-^. (11.9)
Согласно (11.9) касательные напряжения распределяются в
зависимости от ρ по линейному закону. Однако формула (11.9) не
является расчетной, так как в нее входит величина d$z/dz,
которую мы не знаем. Желательно иметь формулу, в которой
касательное напряжение связано с крутящим моментом. С этой целью

Ί ll.dl КАСАТЕЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ ЧИСТОГО КРУЧЕНИЯ ВАЛА 19
подставим (11.9) в уравнение равновесия (11.7)6, которое для
удобства представим так, чтобы момент касательных сил в поперечном
ссчспии выражался не через компоненты касательного
напряжения, а через полное касательное напряжение (рис. 11.7),
направленное перпендикулярно радиусу. Если бы имелась отличная от
пуля составляющая касательного напряжения, направленная вдоль
радиуса (попутно заметим* что в точке поперечного сечения,
расположённой у контура, такая составляющая должна быть равна
нулю и в силу закона парности касательных напряжений, так как
боковая поверхность бруса свободна от всяких напряжений), то
Рис. 1Ь6. К зависимости между
напряжениями и деформациями
при чистом кручении круглого
цилиндра.
Рис. 11.7. Ортогональность
направлений полного касательного
напряжения и радиуса-вектора
точки его действия.
следствием этого было бы искривление поперечного сечения,
которое не обнаруживается в опыте и которое не согласуется с
принятой гипотезой о сохранении плоской формы поперечного сечения.
Итак, наши рассуждения утверждают нас в том представлении
о направлении полного касательного напряжения, которое было
шлсказано выше. В соответствии с этим представлением
уравнение (П'.7)6 заменим эквивалентным ему уравнением
\TppdF = $)1z. (11.10)
F
Подставим (11.9) в (11.10), в результате получим
dz
(11.11)
Учитывая, что интеграл в этом уравнении представляет собой
полярный момент инерции площади поперечного сечения
/Р = IP2 dF,
F
получим (11.11) в следующей форме:
0^ =
dz
Μ,
(11.12)

20
СДВИГ. КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. XI
Подставив (11.12) в (11.9), получим окончательную расчетную
формулу
τΡ = -Τ£·. (11ЛЗ)
1р
На рис. 11.8 изображена эпюра распределения касательных
напряжений в зависимости от р; такая эпюра имеет место на
любом из радиусов поперечного сечения.
Индекс ρ в формуле (11.13) в
дальнейшем будем опускать. Очевидно, что
при законе распределения
касательных напряжений (11.13) уравнения
(11.7)lf2 удовлетворяется, и их не
рассматриваем.
§ 11.7. Условие прочности
при чистом кручении круглого
цилиндрического бруса
Рис. 11.8. Эпюра полных
касательных напряжений по
радиусу поперечного
сечения круглого цилиндра при
чистом кручении.
1. Сплошное круглое поперечное
сечение. Максимальное касательное
напряжение имеет место в наиболее удаленной от
центра точке поперечного сечения при р = ртах = ^>
^тах = ^р |р—г == ·< "г/*/Ур.
Введем величину
называемую полярным моментом сопротивления поперечного
сечения скручиваемого круглого цилиндрического бруса. Тогда
формула для максимального напряжения приобретает вид
Ттах=^. (11.14)
w ρ
Материал рассматриваемого бруса испытывает чистый сдвиг,
поэтому условие прочности приобретает вид
Тгпах = ψ- < [τ], (11.15)
где [τ] —допускаемое касательное напряжение, определяемое по
той или иной теории прочности. 3
Учитывая, что для круглого поперечного сечения
г4 тг.гЗ
h =
пг*
w P 2
получим условие прочности в следующем виде:
2УИ,
π/-3
[τ].
(11.16)
(11.17)

§ 11.7] УСЛОВИЕ ПРОЧНОСТИ ПРИ ЧИСТОМ КРУЧЕНИИ ВАЛА 21
Пользуясь этим условием, можно решить как задачу проверки
прочности, так и задачу подбора поперечного сечения. В первом
случае задаются Мг и г и требуется сопоставить величину
т£ (И.18)
с [τ]. Для подбора сечения, который заключается в отыскании
величины г по заданным Мг и [τ], решим
(11.17) относительно г, г^У2Мг/п[т].
2. Рациональная форма центрально-
симметричного поперечного сечения
скручиваемого бруса. Рис. 11.8
свидетельствует о том, что материал внутренней зоны
поперечного сечения участвует в работе
в меньшей мере, чем периферийной. В связи
с этим применяют полые валы. Форма
поперечного сечения такого вала и
распределение касательных напряжений в нем
показаны на рис. 11.9. Из
нижеприведенных примеров станет ясно, что сплошной
вал способен воспринять меньший по
величине крутящий момент, чем полый вал
такой же площади поперечного сечения при одинаковых
максимальных напряжениях.
Для круглого кольцевого поперечного сечения вала полярный
момент инерции и полярный момент сопротивления выражаются
следующими формулами:
Рис. 11.9. Эпюра полных
касательных напряжений по
радиусу поперечного
сечения пустотелого круглого
вала при чистом кручении
1Р— 2
яг*
π
= ϊ(Κ*-ή,
\γ/ — Ip —lL·— ^ Γ ι
= ^0-«4),
(11.19)
где a = r/R.
Условие
полого вала.
прочности (11.15) сохраняет свой вид и в случае
Подставив (11.19) в (11.15), получим
ш- -ы
Тщах —'
(11.20)
π#3(1— α4)
Подбор сечения состоит в отыскании R из (11.20)
*-~~у π(ΐ_α4)[τ] '
3. Главные напряжения. Главные напряжения при кручении
осесимметричного вала постоянного сечения легко находятся в
соответствии с формулами (7.15) для чистого сдвига, ο1 = τ> σ2 = 0,
<r3 = — τ· Нормали к главным площадкам с ненулевыми главными

22
СДВИГ. КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. XI
напряжениями составляют угол 45° с поперечным сечением
(рис. 11.10, а). В зависимости от того, в хрупком или пластичном
состоянии находится материал, разрушение при чистом кручении
происходит по одной из двух схем: при хрупком состоянии
материала—от отрыва (рис. 11.10, б, б) и при пластичном — от среза
(рис. 11.10, г, д). Разрушение и от отрыва и от среза вследствие
г) д)
Рис. 11.10. Характер разрушения круглого цилиндрического вала при чистом
кручении: а) направления главных напряжений в круглом цилиндре при чистом кручении;
б), в) части разрушенного вала в случае хрупкого состояния материала; г) след плоскости
среза на боковой поверхности при пластичном разрушении вала; д) части разрушенного
вала в случае пластичного состояния материала.
одинаковости условий работы материала по длине вала
теоретически должно было бы произойти сразу во всех сечениях, однако
этого никогда не происходит из-за того, что материал на самом
деле не однороден, а квазиоднороден и разрушение происходит
в наиболее ослабленном месте.
4. Примеры.
Пример 11.1. Имеются два вала с одинаковыми площадями
поперечных сечений — один из них сплошной радиуса г0, а другой — пустотелый
с наружным и внутренним радиусами R и г (а=г//?= 1/2;/? = 2 )/"3r0/3).
Определить на сколько процентов крутящий момент в поперечном сечении
полого вала превышает крутящий момент в поперечном сечении сплошного

§ 11.7] УСЛОВИЕ ПРОЧНОСТИ ПРИ ЧИСТОМ КРУЧЕНИИ ВАЛА 23
вала при условии, что максимальные касательные напряжения в обоих
случаях одинаковы и равны [τ].
Решение. Определяем крутящий момент в поперечном сечении полого вала
M^) = Wfon) [τ] = η& (1_α4) [τ]=5/3 π/.3 [τ].
Определяем крутящий момент в поперечном сечении сплошного вала
М^спл) = ^(спл) [τ] = JW£ [Х].
находим отношение крутящих моментов ■
ЛКСПЛ> (nrl \ /5/3 \ 2/3
-I— = _ [τ] : тег» [τ] = = 0,692.
^пол) \ 2 ι 7 \ 12 / 5
Определяем процент превышения значения Μψ01^ над величиной М(гспл)
(1— Mfnn)lMf03l))- 100=30,8%.
Пример 11.2. Имеются два вала: сплошной (радиус поперечного
сечения—г0) и полый (с радиусами поперечного сечения наружным и
внутренним—/? и г, a = r/R = 2/3). Определить долю, составляемую площадью
поперечного сечения полого вала от площади поперечного сечения сплошного
■вала, при условии, что в сравниваемых случаях равны максимальные
напряжения (равные [τ]) и величины крутящих моментов Мг, возникающих в
поперечных сечениях.
Решение. Определяем радиус поперечного сечения сплошного вала из
условия
Мм _м. 2М£_М. ,-ί/Ж
^(спл)-М' ягз-[т]' '<>-У π [τ]'
Определяем площадь поперечного сечения сплошного вала
"---«-«уШ
Определяем наружный радиус поперечного сечения полого вала из условия
ф> = М *.:(^<1-"Ч)-М; Д-/»(1^)М·
Определяем площадь поперечного сечения полого вала
I /7 Щ \2
^П0Л> = Я^2 _ π/-2 = nR2 (l _ α2) = π ( ! _ α2) Τ/ [—^
α*) [τ]
Определяем отношение площадей поперечных сечений полого и сплошного
пила
3 // 2М~ \2 4
/•'<»<^ = "^-^К (я(1-о?)[т]) = 1-«* _ *"¥
-/(да ' *—* У(>-щ
= 0,643.

24 СДВИГ. КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ [ГЛ. XI
§ 11.8. Деформация при чистом кручении круглого
цилиндрического бруса
1. Угол крутильного поворота поперечного сечения вала. Из
(11.12) имеем
d$ =Mzdz
аХТг GIP
— угол, на который повернется один торец относительно другого
торца в элементе с размером dz (рис. 11.5).
Величину
*' = -5Г = -077 (11Л2)
естественно назвать интенсивностью угла закручивания стержня,
величину же $г —углом крутильного поворота сечения.
2. Дифференциальное уравнение относительно угла
закручивания. Выведем дифференциальное уравнение, связывающее $г с
интенсивностью распределенной моментной крутильной нагрузки тг.
Для этого воспользуемся уравнениями (11.12) и (1.9)6, которые
запишем так:
<».%->*.. *& — *.. (П.21)
Продифференцируем уравнение (11.21)! по ζ, учтя, что GIP =
= const,
сопоставив (11.22) с (11.21)2, получим
. d2flg _ dM
ρ dz2 ~ mz' dz* GI
GlP-^ = -mz, -f-JL=-7Tf-. (Ц.23)
3. Интеграл дифференциального уравнения в случае одного
участка. Рассмотрим сначала случай, в котором на всей длине
вала функции Мг и тг, а следовательно, и ■6г сохраняют свой
вид, т. е. вал содержит один участок.
Проинтегрируем (11.23)2 дважды. В результате первого
интегрирования найдем
О
и в результате второго
Ъг =- -^- ^ mzdzdz + ClZ + C2. (11.25)
GIP
0 0

§ 11.8]
ДЕФОРМАЦИЯ ПРИ ЧИСТОМ КРУЧЕНИИ ВАЛА
25
Постоянным интегрирования С± и С2 можно дать механическую
трактовку. С этой целью положим в (11.24) и (11.25) ζ = О, тогда
Μι
GI,
Μ
г. о
GIr
— ^1» vzlz-o — ^г,о — ^2·
(11.26)
z-o v'p ' ■ - .- - \
Здесь Ог>0 и ΜΖι0 — крутильный поворот поперечного сечения и
крутящий момент в поперечном сечении, проходящем через начало
координат. Величины ϋ·Ζι0 и Мг<0 —начальные параметры.
Учитывая (11.26), получим выражения для Мг и $г
Mg = Mg,0-[mgdz, 0г = Фг>о +
м
ζ ζ
ζ, ο
GI,
Ζ —
GI,
\\mzdz dz.
Ь о
4. Интеграл дифференциального уравнения в случае двух и
нескольких участков. Рассмотрим теперь случай, в котором в
пределах длины стержня имеются два участка и на каждом из них
функция интенсивности распределенной моментной крутильной
нагрузки своя собственная: тгл, mZi2. Пусть координата границы
между участками z = zv (Поскольку структура уравнения (11.23)2
совершенно аналогична структуре уравнения (2.27), дальнейшие
выкладки выполняем без комментариев, отсылая читателя к
разделу 3 § 2.21, где содержится аналогичный материал, подробно
поясненный.)
d2®z,i тг,г d2ftZt2 тй
dz2 GIP '
&®ζ,2 &ϋζΛ _
dz2 dz2
d4®z.2-$z,i)
dz2
__ '■Z, 2
dz2 ~ GIp '
тг,2 (_ mgj.
GIP [ GIp
_ тг,г—тг,г
GI„
При z\
Vz, 2 — ^ ι + ®z, доп, 2» тг, 2 _ mz, 1 4" mz, доп, 2»
θ
ζ, доп. 2
= ь
Μ
Ζ. ДОП. 2
dz2
г, zx, доп, 2
т
Ζ, ДОП. 2
GIn '
z,zlt доп, 2 '
{ζ-ζχ)
"ί-ν,,ο-t GI г QI
ζ ζ
Щ \\
г ζ
ffm^dzdz + 1 ft,, гь доп, г +
*J г.) \\г1
О О
г, доп, 2
\
dzdz.
+
Μ
ζ ζ
ζ, zt, доп, 2
GIn
(z-zJ-'qj- j j m2, Д0Пр 2 с?г с?г,
2l Ζ,
Λ1,-:- Λίζ. 0 _ J m, dz + |2i Aiz,z„flon.2- ί^ζ,Λοπ.2^.
(11.27)

26
сдвиг, кручение стержней
[гл. χι
Величины ^г, гь доп, 2 и Мг< Zli доп_ 2 — скачки соответственно в
функциях $г и Мг на границе участков. Если не иметь в виду
специального приспособления на границе
участков, то ΰΖιΖΐι доп,2 = 0.
шг>1
δ
h,3
Пример 11.3. Найти функции Мг и 0г
для вала, изображенного вместе с
приложенной к нему нагрузкой на рис. 11.11.
Решение. Поскольку нас интересуют
относительные повороты сечений ог,
связанные лишь с деформацией, закрепим вал
против поворота как жесткого целого
относительно оси г. Пусть при z = 0$z = bz 0 = 0.
Функции Мг и фг находим по формулам типа (11.27), но с учетом того факта,
что в рассматриваемом случае не два, а три участка, при этом
fl*,o = 0, Мг,0 = -Шгш1,
Рис. II.II, Вал и действующая на
него моментиая нагрузка.
**. *ь доп. 2 = °.
*2, г^доп.З^0'
М2,г1,доп,2 = 0'
м2,21, Д0П( з-а»г.2.
тг, доп. 2 = ~ тг>
т2,доп.З = 0·
Кроме того, из условия равновесия вала в целом.имеем:
вследствие чего
аК*,х-9К*,8 + 9Я*,8-/я*у = 0,
^.1 = ^.2-^,3 + ^^ = 0.
А,
GI.
-2»*.2+аи*,8·
тг — )г-
GI
г г
j- \ \ mzdzdz +
о о
г ζ
+
}'р 3 i
тг dz dz-\-\
Ш
•г, 2
//з GIp J .1 ""г ' Ц2//з GID
μ цъ ΐβ p
4<
Μ
г г
t= — №,!-^,3 + m2yj— \ тгсгг+ \ m2d2 +
o //3
2i/3
VZ, 2
5. Условие жесткости. Величина
b b
$г — \ Кг dz = \
Mz
GIn
dz
(11.28)
представляет собой поворот сечения с координатой г = 6 по
отношению к сечению с координатой z = a.
Легко понять, что отношение интеграла (11.28) к отрезку
интегрирования Ь — а представляет собой среднюю интенсивность
угла закручивания
κ*· ср — Ь—а \ κ*
(11.29)

*, 11.«I ДЕФОРМАЦИЯ ПРИ ЧИСТОМ КРУЧЕНИИ ВАЛА 27
Ноли на участке вала a^z^b интенсивность угла
закручивания постоянна, что эквивалентно постоянству Мг, то, как это
следует из (11.29),
Kz,4> = Kz = -Qf-· (11.30)
При хг = const, β = 0, b = l, угол $г получается по (11.28)
следующим:
^z = K(b — a)=^f-,
Величину кг ограничивают, так как при большом ее значении
может возникнуть расстройство нормальной работы машины,
а если внешние воздействия, прикладываемые к брусу, переменны
по величине во времени, то могут возникнуть и колебания со
значительными амплитудами.
Условие, ограничивающее величину хг>ср, называется условием
жесткости, которое имеет вид
»Чср<Ы, (п.31)
где [xj—допускаемое значение интенсивности угла закручивания.
Величина [хг] применительно к различным классам машин или
конструкций нормируется. Для того, чтобы составить
представление о порядке величины [хг], укажем, что для валов [хг]
долгое время принималось равным от 0,15° до 0,3° на 1 м длины
вала в зависимости от режима работы — чем динамичнее внешнее
воздействие, тем меньше [хг]. Последнее время некоторые
специалисты х) считают такую рекомендацию устаревшей, особенно
для тонких валов. В последнее время имеется тенденция к
увеличению [хг]. Так например, имеется рекомендация2) принимать
для длинных трансмиссионных валов [хг].= 0,01 рад/м (0,57° на
1 м), а иногда и еще большую величину (до 2° на 1 м).
В ряде случаев условие жесткости дает более сильное
ограничение, нежели условие прочности. В связи с этим покажем
использование условия жесткости с целью подбора сечения в случае
чистого кручения осесимметричного вала постоянного сечения.
Для вала сплошного круглого (кольцевого круглого) сечения,
подставив (11.30) в (11.31) и имея в виду, что
Лспл) _ ПП (П0Л) _ JlR* п 4.
ip — 2 ' 1р — 2 ^ ''
*) См., например, Решето в Д. Н., Детали машин, «Машиностроение».
1!)74, стр. 435.
а) Справочник по кранам. Под ред. А. И. Дукельского, т. 2, «Машино-
ι троение», Л., 1973, стр. 425.

28
СДВИГ. КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. XI
получим
откуда
Олг*
кь
2Шг
0π#4(1 — α4)
ы,
V Gn [кг] » п ^ V Gji (1 -а4) [кг] '
§ 11.9. Оценка результатов элементарной теории
посредством аппарата теории упругости
1. Вводные замечания. Пусть имеем брус в виде круглого
цилиндра, загруженный на торцах распределенной тангенциальной
нагрузкой, складывающейся в моменты, вызывающие кручение бруса.
Свяжем с брусом систему
прямолинейных прямоугольных координатных осей.
Начало координат поместим в центре
одного из торцов, ось г направим вдоль
оси бруса, а оси χ и у в плоскости
торца. Необходимо исследовать
напряженно-деформированное состояние
бруса, для чего применим полуобратный
метод Сен-Вен а на.
2. Первый этап решения задачи. На
первом этапе в качестве «угадываемых»
функций примем компоненты
напряжений, соответствующие напряжению τ,
полученному в элементарной теории.
Для этого перейдем от τ к
компонентам согласно рис. 11.12, %гх = — τ sin α, тгу = τ cos α. Учитывая,
что %ζ = τ = Μζρ/Ιρ = 9Ягр/1р, sina = #/p, cos a = x/p, получим
2«*Ρ у , _ы,р_х. (lb32)1>s
Рис. 11,12. Разложение полного
касательного напряжения на
компоненты.
^zx —
У_
Ρ
^гу —'
/,
X
~Р
все остальные компоненты напряжении равны нулю
Οχ = оу = σζ = хху = 0.
(И.32)з_б
3. Второй этап решения задачи. Проверяем, удовлетворяют ли
функции (11.32) уравнениям теории упругости, т. е. уравнениям
равновесия (9.1) и совместности деформаций.
Уравнения равновесия приобретают вид
Х = 0, 7 = 0,
ж, , т
+ ■
/
/,
+ ζ=ο,
(11.33)
т. е. функциями (11.32) удовлетворяются при условии, что
объемные силы (Χ, Υ, Ζ) равны нулю или при неучете этих сил.

Ч 11.0] ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ И ОЦЕНКА ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ТЕОРИИ ^
Такое ограничение является вполне приемлемым, так как эти
силы и не предполагалось учитывать в рассматриваемой задаче.
Уравнения совместности деформаций (9.27), записанные в
напряжениях, при условии (11.33) содержат в левых частях
однородные дифференциальные операторы второго порядка, функции
же (11.32) имеют либо нулевую, либо первую степень1) и, таким
образом, вторые производные от них равны нулю. Вследствие
сказанного уравнения совместности деформаций функциями (11.32)
удов летвор яются.
Таким образом функции (11.32) не противоречат уравнениям
теории упругости и им соответствует некоторое напряженное
состояние тела.
4. Третий этап решения задачи. Выясним, каким нагрузкам
на поверхности рассматриваемого бруса отвечают функции (11.32)
и сопоставим их с интересующими нас, для того чтобы
установить, является ли система функций (11.32) решением именно
нашей задачи. Уравнения равновесия элементарного тетраэдра
(9.2) позволяют найти составляющие поверхностной нагрузки на
торцах и боковой поверхности бруса, для чего, кроме
компонентов напряжений (11.32), необходимо знать I, m и п —
направляющие косинусы нормалей к площадкам, лежащим на торцах и
боковой поверхности.
Начнем с рассмотрения торцов бруса, для которых
1 = т = 0, п = ±\ (11.34)
(плюс относится к торцу, удаленному от начала координат, а
минус—к торцу, проходящему через начало координат).
Используя (9.2) при учете (11.34) и (11.32), получим
Ρνχ — -+-—7—» Pvy — — —7—» Pvz — и (И.оо;
' Ρ 'ρ
(нижние знаки—для торца, проходящего через начало
координат).
Проверим, что является статическим эквивалентом
распределенных по торцам поверхностных сил (11.35). С этой целью
определим следующие интегралы:
Qx = \pvxdF, Qy = \pvydF, Mz = \(pvyx-pvxy)dF. (11.36)
F F F
l) Такие задачи, в которых компоненты напряжений или компоненты
деформаций являются функциями степени не выше первой относительно
координат точек тела, называются простейшими — уравнения совместности
деформаций при этом выполняются тождественно.

30
СДВИГ. КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ, XI
Подставим (11.35) в (11.36), тогда получим
Р F P F
± aw,.
(11.37)
Равенство нулю величин Qx и Qy вытекает из того факта, что
интегралы, входящие в первые два уравнения (11.37),
представляют собой статические моменты
площади поперечного сечения бруса
относительно центральной оси, которые, как
известно, равны нулю. Итак,
статическим эквивалентом распределенных по
:} Ъ каждому из торцов касательных
поверхностных сил является момент,
действующий в плоскости торца и
равный Шг. Таким образом, граничные
условия на торцах совпадают с услог
виями решаемой нами задачи.
Ограничением является лишь тот факт, что
внешний крутящий момент,
приложенный к торцу бруса, создается
касательными поверхностными силами,
приложенными к торцу и распределенными не как угодно, а по строго
определенному закону, представленному формулами (11.35).
Рассмотрим боковую поверхность бруса; нормали к
площадкам, лежащим в этой поверхности, имеют следующие
направляющие косинусы (рис. 11.13):
/ = cosa, m = cos (π/2 — α) = sina, n = 0. (11.38)
Обозначим символами χ* и у* координаты точки, являющейся
центром рассматриваемой площадки на боковой поверхности, х* =
= г cos α, у* = г sin а. Учитывая (11.32) и (11.38), из (9.2)
получаем
Pvx = Pvy =-v,
Рис 11.13. Элемент на боковой
поверхности круглого цилиндра.
Pvz =
2Яг«
Zif
I,
cosa-
Ш,х*
I,
sina =
гШ, sin a cos a , гШ, sin a cos a
Λ
+
I,
= 0.
Итак, и на боковой поверхности граничные условия,
соответствующие функциям (11.32), принятым на первом этапе в качестве

§ 11.9]
ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ Й ОЦЕНКА ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ТЕОРИИ
31
решения, совпадают с граничными условиями .решаемой задачи —
боковая поверхность свободна от нагрузки.
Окончательно приходим к выводу: функции (11.32) являются
решением задачи теории упругости о чистом кручении круглого
цилиндра только при условии, что поверхностные нагрузки,
действующие на торцы и образующие моменты дЯг, распределены
согласно (11.35).
5. Четвертый этап решения задачи. На этом этапе найдем все
остальные функции, описывающие состояние бруса. К ним
относятся компоненты деформации εχ, ъу, ъг, уху, ууг и угх и
составляющие перемещения и, ν и т.
Компоненты деформации найдем из уравнений закона Гука
(9.5):
ε* = 0, 8^ = 0, εζ = 0, у^ = 0,
_ 2(1 + μ) Шгх _ 2(1 + μ) Шгу
™*~~ Ε Ι ρ ' *гх~ Ε Ι ρ '
Система уравнений Коши, используемая для определения и,
ν и w, приобретает вид:
ди _ p. dv p. dw p. dv . ди _ ~
~дх~ ' ~ду~ ' "дГ ' 1х~т"ду~ '
dw dv __ 2(1 + μ) Шгх ди dw _ 2(1+μ) ЗЯгу' '
dy ^"dz Ε Ιρ · dz + дх ~ Ε Ιρ '
Проинтегрируем эту систему уравнений. Предварительно
исключим из и, υ и w перемещения бруса как жесткого целого. С этой
целью закрепим точку О
*ο = ί/ο = ζο = 0, (11.39)
«следствие чего
u0 = v0 = wQ = О,
и не разрешим в той же точке (11.39) поворачиваться элементу dz
относительно осей χ и у и элементу dy — относительно оси ζ;
и связи с чем
£И£).-0· (-1).=°·
11(скольку подробно интегрирование уравнений Коши было
прокомментировано в § 9.6, здесь покажем лишь результаты
интегрирования и, чтобы читатель, выполняя это интегрирование
самостоятельно, имел возможность контролировать правильность

32
СДВИГ. КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. XI
преобразований, приведем и некоторые другие данные (выражения
для производных).
I.
2.
в)
3.
в)
II.
3.
III
1. £ =
дх
О;
■>£($И «>£(£)
а / ди\
дг\ду)
= 0;
ΛΓ=ΛΓθ
_ 2(1+μ) Жг ди _ 2(1+μ) Жг
х = хо Ε Ι ρ ' ду ~~ Έ ' Ιρ
«>£(£)-<>: «>£(£)
а /ди\
dz\dz J
_ 2(1 + μ) Эй,.
λ: = ΛΓ0 ^ Ы '
= 0,
χ = Χα
ди 2(1 +μ) Шг 2(1 +μ) 2Яг
аг — £ 1р У' и'~ Ε fp yz'
1 δυ 2(1 + μ) Ш1г2_ 0 δυ Λ.
Ь ~а* Ε [ρ > Ζ· ду _U'
а /а»\ 2(ΐ+μ) mg. б) а /d*\_0. . а /а»
ао 2(1+μ) Ж, 2(1+μ) 2Иг
az £ /р х' ν ε ι ρ xz-
. dw
= 0; 2. |ϋ—0; 3.
ay
az υ'
г;
= 0.
до = 0.
Итак, получили функции ы, и, до:
2(1+μ)2Κ2
и = ν ,ί,Λ—*- г/z,
2(1+μ)33ί2
и = ν ι„γ'—ζ-χζ,
EID *"' Είρ
до = 0. (11.40)
6. Анализ картины деформации бруса.
6.1. Координаты любой точки. Любая точка бруса
(х, у, ζ) в результате деформации занимает новое положение,
определяемое координатами х1 = х-\-и\ y1=yJt-v, z1 = z-\-w.
6.2. Ось бруса. Точки оси бруса (х = 0, у = 0) в
результате деформации имеют координаты
х1 = и\х-у-о = 0, yi=v\x-y-o = 0, z1 = z + w\x-y-0 = z. (11.41)
Из (11.41) ясно, что точки оси бруса не перемещаются, ось бруса
остается прямолинейной.
6.3. Поперечное сечение. Проследим за произвольным
плоским поперечным сечением z = г; точки этого сечения в
результате деформации представляют собой поверхность с уравнением
г1 = г+до1 2 = г. (11.42)

§ 11.9]
ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ И ОЦЕНКА ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ТЕОРИИ
33
Равенство (11.42) показывает, что поперечное сечение, плоское
до деформации, остается плоским и после деформации. Точки
поперечного сечения не выходят из плоскости этого сечения.
Проекция перемещения точки с координатами х, у, ζ на
направление радиуса-вектора, соединяющего точку (θ, 0, г) с точкой
(х, у, г), равна
(11.43)
и I ~ cos α-\-υ I ~ sin а,
2=2 ' 2=2 '
где
cos а =
V&+
У2
= —, sina =
Vx2+y2
= ^. (11.44)
Подставляя (11.40) и (11.44) в (11.43), получим
~ X , 2(\+\1)Ж, ..-. у
2(1 +μ) 8», ~ х_ , 2(1 + μ) SW
Е!п У г "f Е/в
г ΧΖ^-=0.
г
(11.45)
i-^rfz
Проекция перемещения точки с координатами х, у, ζ на
направление, перпендикулярное к отмеченному выше радиусу-вектору,
равна
t = — и |2=~sina -\-ν\ζ=~ cosa· (П-46)
Подставляя (11.40) и (11.44) в (11.46),
получим
2(1+μ)3», ; у , 2(1 + μ)3^ ~ χ _
1 ~ ΈΤΡ Уг г л Wp хг г -
2(\ + μ)Sΰlг~(x*+yz) Шг ~ /11/17ч
_ \ г_ г \ Т!>;= _г χτ (J J .47)
El,
GL
Рис. 11.14. К установле-
Равенства (11.45) и (11.47) показывают,
что поперечное сечение круглого бруса,
подвергнутого КРУЧенИЮ, ОСТаеТСЯ ПЛОСКИМ И нию зависимости между
г J r ·> ' „ углом зкручивання и пе-
ПОВОраЧИВаеТСЯ Как ЖеСТКИИ ДИСК ВОКруГ ремещеннем.
оси ζ на угол $г (рис. 11.14) относительно
торца ζ = 0. Относительный же погонный поворот сечений равен
_ъг _ тг _ 2(ΐ+μ) тг
G/,
/,
Поэтому формулы (11.40) можно представить так:
и = — кгуг, ν = κζχζ, w = 0.
(11.48)
Произведенный анализ. показал, что гипотезы о характере
деформации круглого цилиндра при чистом его кручении,
принятые при выводе формулы для касательного напряжения в

34
СДВИГ. КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ
\ТЛ. XI
поперечном сечении, оказались законом, правда, лишь при
одном строго определенном способе приложения к торцам внешних
крутящих моментов и малости угла закручивания.
При использовании аппарата геометрически нелинейной теории
упругости обнаруживается более точная картина деформации
круглого цилиндра при чистом его кручении. Если торцы не
закреплены против сближения, то первоначально прямолинейные
продольные волокна в процессе кручения не испытывают
растяжения. Но поскольку прямолинейная ось каждого из таких волокон
превращается при кручении в равновеликую по длине винтовую
кривую, концы последней должны располагаться в плоскостях,
перпендикулярных оси цилиндра, расстояние между которыми
меньше расстояния между плоскостями торцов до деформации.
При сопоставлении деформации двух первоначально
прямолинейных продольных волокон, находящихся на разных расстояниях
от оси цилиндра, обнаруживается, что винтовые кривые, в
которые превращаются оси этих волокон, имеют различные кривизны —
большую у более удаленного от оси цилиндра волокна.
Вследствие этого перемещения в направлении параллельном оси
цилиндра точек торцов, находящихся на разных расстояниях от оси
цилиндра, различны и торцы, строго говоря, перестают быть
плоскими. Если же сближению торцов воспрепятствовать, то при
кручении цилиндра первоначально прямолинейные продольные
волокна испытывают растяжение. Однако при малых углах
закручивания перемещения точек торцов в направлении, параллельном
оси цилиндра, оказываются величиной более высокого порядка
малости, чем перемещения этих же точек в плоскостях торцов,
и описанный эффект почти не проявляется, вследствие чего им
пренебрегают. При больших углах закручивания этим эффектом
пренебрегать нельзя и задача в таком случае становится
геометрически нелинейной.
Заметим, однако, что, как показал А. Ю. Ишлинский в статье
«О напряженном состоянии цилиндра при больших углах крутки»
(Прикладная математика и механика, том VII, 1943, вып. 3) эту
задачу можно решить и на основе классической линейной теории
упругости. Он изучил напряженно-деформированное состояние
упругого круглого цилиндра при больших углах крутки в
условиях, когда точки торцов в процессе деформации не перемещаются
в направлении, параллельном оси цилиндра. Кроме отмеченного
уже возникновения в поперечных сечениях вала нормальных
напряжений, складывающихся в продольную силу, обнаружено,
что, вследствие поперечной деформации продольных растягиваемых
волокон, происходит уменьшение радиуса цилиндра. Наряду с этим
возникают радиальные напряжения, равные нулю на боковой
поверхности цилиндра и достигающие максимального значения
в точках на оси цилиндра.

ч II 1и| ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ ПРИ ЧИСТОМ КРУЧЕНИИ ВАЛА 35
§ 11.10. Потенциальная энергия деформации при чистом
кручении вала круглого поперечного сечения
Рассмотрим вал круглого сечения в общем случае переменного
Ι ι,ι in уса 1), подвергнутый воздействию внешних крутящих моментов,
ны и,тающих внутренний крутящий момент, переменный вдоль оси
Ι Ι:ι такого вала вырежем элемент двумя поперечными сечениями,
находящимися одно от другого на расстоянии dz. Действие
отброшенных частей, примыкающих к этому элементу, заменим
внутренними силами, которые по отношению к элементу являются
шн'ишими. Такими внутренними силами оказываются лишь кру-
ηιιιι,ικ- моменты. В указанном элементе при деформации вала
накапливается потенциальная энергия деформации dU, численно
Iщипая работе dA внешних по отношению к элементу сил
dU = dA. (11.49)
ι', другой стороны,
NIC
dA=^Mgdbgt (11.50)
d*.-^i (И.51)
подставив (11.51) в (11.50) и после этой подстановки использовав
ипПленный результат в (11.49), получим
,,, 1 Mldz
Потенциальная энергия, накопленная во всем валу, найдется по
формуле
/
U
-ί
2GIp
о
I с./in поперечное сечение вала и крутящий момент не зависят от
.-, М, = Шг = const, то
м% с ми а»у
Г» MIL
2GI0 J 2Gf0 2Gf0
μ о
') \\ настоящем параграфе предполагается, что зависимости, полученные
ι ш круглого вала постоянного вдоль его оси радиуса, могут быть использо-
MMIH.I и и случае валов переменного радиуса. Такая концепция связана с допу-
iin iiiu'm некоторой погрешности. Более строгое рассмотрение на.пряженно-дефор-
Hii|mii;iиного состояния валов переменного радиуса производится в § 11,14·

36
СДВИГ. КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. XI
§ 11.11. Чистое кручение круглого цилиндрического вала
при работе материала в упруго-пластической стадии
1. Гипотезы. Рассмотрим постепенное возрастание внешних
моментов, приложенных к торцам круглого цилиндрического вала
и скручивающих его. Будем считать, что в какой бы стадии ни
работал материал— упругой, упруго-пластической или
пластической—сохраняются две гипотезы — гипотеза плоских сечений и
гипотеза о прямолинейности деформированных радиусов.
2. Диаграмма τ = τ(γ). Для расчета круглого скручиваемого
цилиндра на чистое кручение в любой стадии работы материала
необходимо иметь для материала вала диаграмму τ = τ(γ). Эту
диаграмму можно построить, либо используя непосредственно
опыт с тонкостенной осесимметричной цилиндрической трубкой,
изготовленной из исследуемого материала и подвергаемой чистому
кручению, либо путем пересчета результатов опыта с осевым
растяжениям образца. В первом случае в опыте замеряются Мг —
крутящий момент и $г — угол закручивания. Учитывая при этом
практическую однородность напряженного состояния во всем объеме
трубки, вследствие ее малой толщины и, следовательно,
вследствие практически равномерного распределения напряжений по
толщине трубки, определим τ и γ из уравнений одинаково
справедливых в рассматриваемом случае (однородность поля напряжений)
и в упругой и в пластической стадиях работы материала
Мг = 2nR - б ■ τ · R, ftzR = yl.
Здесь 2nR ■ δ — площадь поперечного сечения кольца.
Из этих уравнений
* = ЪЩЧ- 7-*Γ· С1·52»
Имея экспериментальную зависимость Μζ = Μζ(ϋ·ζ) и используя
(11.52), получаем зависимость τ = τ(γ). В случае, если для
построения τ=τ(γ) применяется диаграмма σ = σ(ε), то соответствие
между этими двумя диаграммами можно устанавливать так.
Предположим, что возникновение пластичности в материале
растягиваемого образца подчиняется условию пластичности в форме
энергетической теории (удельной потенциальной энергии формоизменения).
Интенсивность напряжений (см. гл. V, § 5.16, раздел 8) ^
выражается следующими формулами при двух частных видах
напряженного состояния: осевая деформация (οχφ0, σ2 = 0, σ3 = 0)
(растяжение)
σί = σ1 = σ, (11.53)
чистый сдвиг (σχ = τ, σ2 = 0, σ3 = —τ)
о( = УЗх, (11.54)

§ 11.117 УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОЕ КРУЧЕНИЕ ВАЛА 37
Сопоставляя (11.53) и (11.54), находим
σ = /3τ. (11.55)
Интенсивность деформаций (см, гл. VI, § 6.5, раздел 6) при
осевой деформации (растяжении) найдем, исходя из того, что % = е
и 83 = 83. Для отыскания е2 и е3, обусловленных эффектом
поперечной деформации, вспомним, что
ео= о ' Зб0 = 8+^бз» £2 = 83= 2—· (11.5b)
Учитывая (11.56), получим ег для осевого растяжения
&i = е — ε0.
При этом
._σο_ _σ0(1-2μ) _σ(1-2μ)
Ь° [К Ε 3£ *
Здесь учтено, что σ0 = (1/3) (σ1-\-σί-\-σ3) =σ/3, тогда
ef = е - σ ~Ε μ . (11.57)
Для чистого же сдвига в плоскости Оху (εχ = гу = гг — ууг — угх = 0;
Ы = Уу= (П.58)
или, сопоставляя (11.58) и (11.57), получаем
ε_(1-2μ)σ=-^, y = V2(e-l-=&u). (11.59)
ЪЕ V 2 х \ ЪЕ J v '
Если из (11.55) определить τ
τ-^. (11.60)
то, используя зависимость σ = σ(ε), найденную в опыте с
растягиваемым образцом, и учитывая (11.59) и (11.60), зависимость
τ = τ(γ) легко получить без выполнения опыта с образцом,
испытывающим чистый сдвиг.
3. Диаграмма касательных напряжений вдоль радиуса круглого
поперечного сечения цилиндрического скручиваемого стержня.
Указанная в заголовке диаграмма строится по диаграмме τ = τ(γ)
для материала и известной величине сдвига vmax, возникающего
к наиболее удаленных от центра точках поперечного сечения вала,
11апомним, что распределение γ по радиусу, вследствие
сохранения прямолинейной его формы при деформации, происходит по
ткону прямой линии Ύ ■ = —-—, у — μ Ymax. Совмещаем
Vmax "max Рщад

СДВИГ. КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. XI
Λ
•а-
в
α
>£
л
•э·
в
«>Е
Λ
л
Η
и
Л
с-4
Л
ы
,в
а
¥
•s
я
я
X
0)
в·
4)
υ
2
О
a
в·
ω
о.
0)
С
О
с
Я
X
0)
№
со
S
X
S
л
ч
О)
ь
Я
CJ
Я
«
о
о.
2
с
Я)
t-»
О
г
s
со
О.
и
са
К
t=c
>>
s
а.
И

§ fl.il} УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОЕ КРУЧЕНИЕ ВАЛА 39
начало координат диаграммы τ = τ (у) с центром круглого
поперечного сечения и равномерно сжимаем всю диаграмму в
направлении, параллельном оси γ, до достижения отрезком 7тах величины,
равной радиусу вала г. Получающаяся при этом кривая и есть
эпюра τ вдоль радиуса в поперечном сечении вала. По мере роста
интенсивности угла закручивания dftg/dz величина 7тах
располагается последовательно на разных
участках диаграммы τ = τ(γ) (рис. 11.15).
4. Нагружение вала. Пусть свойства
материала характеризуются диаграммой
Прандтля (рис. 11.16, а). Найдем
крутящий момент, соответствующий
возникновению в точках, наиболее
удаленных от центра, касательных
напряжений, равных пределу текучести при
сдвиге τΤ; для. этого воспользуемся
формулой (11.14)
Τ/max —
Μ
гт
W,
= ττ
Μη = %τΨρ = τ,
nrd
Сели Мг > Мгх и область пластической
работы материала еще не захватила
всего поперечного сечения вала (рис.
11.16,6), то
Рт г
Мг = 5 τ - 2πρ3 dp2 ■ р2 + $ ττ2πρχ dpx · ρν
ο ρτ
Рис. 11.16. Эпюра касательных
напряжений в поперечном
сечении вала при работе материала
в упруго-пластической стадии.
а) график зависимости τ = τ (ν);
б) эпюра касательных
напряжений.
Здесь рт—радиус границы между областями упругой и
пластической работы материала, τ —текущее значение касательного
напряжения в упругой области в зависимости от р2. Значение τ находим
из подобия треугольников на рис. 11.16
τ _ Ра _ _ Ра _
ТТ Рт' Рт
1:сли рт = г, то все поперечное сечение работает в упругой стадии и
ιζτ'
ρ "τ·
Сели рт = 0, то все поперечное сечение работает в пластической
стадии и
лл лл 2пттг3 4 jtr3 4 TV7 4 ΛΛ
Ms = Μζο = —J- = -3 -γ ττ = у WpxT = -3- Мгт.
Таким образом, Mg0 превышает Мп на 33%.

40
СДВИГ. КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. XI
5. Разгрузка. При малых деформациях разгрузку можно
рассматривать как нагружение силами (моментами), равными по
величине и противоположно направленными тем, какие были
в конце нагружения. При разгрузке зависимость между
напряжениями и деформациями становится линейной, с тем же модулем
упругости, который был на начальном участке нагружения. Таким
образом, эпюра напряжений при разгрузке, рассматриваемой как
нагружение противоположного знака, линейна. Максимальное
напряжение в этой эпюре должно быть таким, чтобы момент,
эквивалентный эпюре напряжений, линейно распределенных по
радиусу поперечного сечения вала, был равен окончательному
значению момента при нагружении. Если при нагружении имеет
место диаграмма Прандтля, то
/3 з\
"*г, разгр = W рТтах = 23ХТ.Г I-g -^ J ·
Отсюда
Ттах = ψ- 2πττ (у - Щ. (11.61)
На границе упругой и пластической областей
t = W^ = ^ ' & . (11.62)
г рт
"3 ~Ϊ2
Поскольку эпюра касательных напряжений в конце нагружения
не линейна, а эпюра напряжений при разгрузке линейна, после
снятия нагрузки в валу будут иметь место остаточные
напряжения (эпюра которых представляет собой разность эпюр нагружения
и разгрузки) и остаточные деформации.
Пример 11.4. Построить эпюру остаточных напряжений,- получающихся
после разгрузки вала, работающего в упруго-пластической стадии при
условии, что в процессе нагружения диаграммой напряжений в материале является
диаграмма Прандтля и упругая область соответствует значению рт=г/3.
Решение. Для построения эпюры остаточных напряжений достаточно
определить две ординаты: при р=рт = г/3 и при р=г. При р = г/3 величина тост
найдется как разность величины тт, взятой из диаграммы нагружения, и
напряжения τ (11.62)
тост ~ττ rWp \3 12/_TtL г.лгз\г 12 /J
Г 4w /r» ή \1 _ 136
~TtL &υ*\3 27-12JJ-243Tt'
При p = r τ^τ найдется как разность величины τ , взятой из диаграммы
нагружения, и напряжения (11.61) —из диаграммы разгрузки
1 //-з рз\ Г 2.2Я/Г» ρ»\Ί 26
^1, = ^-Щ 2πΤτ [Υ ~ 12 ) =Тт L1 "IP- [Τ ~ 12JJ = ~ 81 Τ-
Диаграмма остаточных напряжений, а также диаграммы нагружения и
разгрузки, разностью которых она является, показаны на рис. 11.17,

§ 11.111
УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОЕ КРУЧЕНИЕ ВАЛА
41
Выполним проверку, которая состоит в том, что система остаточных
напряжений, являясь самоуравновешенной, должна сводиться к нулевому
крутящему моменту. В упругой области формула для
касательного напряжения имеет вид
τ=£ρ;
/α 136
при р = г/3 τ = 243ττ.
ь JL - 136
3 ~243Тт'
Таким образом
τΙρ«ξ/73
отсюда
136 тт
81 /■'·
136 р_
"8Г г Χτ·
В области пластических деформаций
формула для касательного напряжения имеет вид
136
26
при р= у τ=^-τΤ; при р = г х = — -^ τΤ;
или
Цт^а+fc-g-, -|γττ = β + ν. (И-63)
Отсюда, вычитая из второго уравнения первое,
получим
f 26 136\ _ 2
ι~8Ϊ~243 Гт ХТГ;
решая это уравнение относительно kv найдем
107 тт
Подставляя найденное kx в любое из уравнений
системы (11.63), получим возможность
определить а
136
107 г тт
243ττ-α 81- 3 г ,
/136 107\ _
а==\243 + 243Гт-1Гт·
Итак, в области пластических деформаций
107 ρ
=г—8Т7-Тт-
а)
τ = χ·
δ)
Рис. 11.17. Построение эпюры
остаточных напряжений,
возникающих в поперечном сечении
вала после разгрузки,
последовавшей за работой материала в
упруго-пластической стадии:
а) эпюра касательных напряже-
нийв конце нагруження;б)эпюра
касательных напряжений при
разгрузке, рассматриваемой как
нагружение моментом
противоположного знака; в)
эпюра остаточных касательных
напряжений.
Теперь определим момент, статически эквивалентный касательным силам,
распределенным по поперечному сечению вала в соответствии с эпюрой.

42
СДВИГ. КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. XI
изображенной на рис. 11.17
г/г
М,
О л/3
. 136 1 р< к/з Рз
81 г 4 о 3
:=ττ\ 2πρ —--B.pdp + TT \ 2npil—щ- -Μ pdp=
о 107 ! Ρ4
л/3 81 г 4
л/3
68 \ ή . 2я / . /-3\ 107 π / . г*\
= 8ТПТ8ТТТ+ТГ-27)ТТ-ТЙТГ-8Т)ТТ=0-
Равенство нулю поперечных сил Qv и Q^ очевидно.
Проверка подтвердила правильность полученного решения.
§ 11.12. Кручение призматических стержней произвольного
поперечного сечения
1. Вводные замечания. Рассмотрим призматический стержень
произвольного поперечного сечения. Свяжем с ним правую систему
осей xyz; расположим начало координат в центре тяжести одного
из торцов и направим ось ζ вдоль оси стержня, а оси χ и у
совместим с главными осями инерции торца. Объемные силы
учитывать не будем, т. е. положим X = Υ = Ζ = 0.
Пусть на боковой поверхности призмы поверхностные силы
отсутствуют, а на каждом из торцов — распределены по некоторому
заранее ничем не ограниченному закону, при котором статическим
их эквивалентом является лишь момент, действующий в плоскости
торца. Наличие такого момента в каждом из торцов, при условии
их равенства и противоположности направления, вызывает
кручение стержня. Будем считать, что никаких связей, стесняющих
деформацию, на стержень не наложено —он находится в условиях
нестесненного, или, иначе, свободного, кручения, называемого сен-
венановым по имени французского ученого Сен-Венана,
поставившего и впервые решившего эту задачу.
Сначала рассмотрим кручение призм с односвязным
поперечным сечением, а затем обсудим случай неодносвязных поперечных
сечений.
Решение поставленной задачи выполним полуобратным методом
Сен-Венана.
2. Первый этап решения задачи. В качестве «угадываемой»
части решения примем две функции — и и ν, полагая их такими
же, как и в случае чистого кручения круглого цилиндра (11.48)
и = — кгуг, ν = %ζχζ. (11.64)
Кроме того, наложим ограничение на функцию w, считая, что
все поперечные сечения депланируют (искривляются) одинаково,
т. е. полагая функцию w, не зависящей от ζ
w = xzO(x, y)t (11.65)
Φ — называют функцией кручения.

§ 11.12] КРУЧЕНИЕ ПРИЗМ ПРОИЗВОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ 43
3. Второй этап решения задачи. Произведем проверку
удовлетворения функциями (11.64) и (11.65) условиям равновесия —
уравнениям Ламе (9.30). Условия совместности деформаций Сен-Венана
при решении задачи в перемещениях удовлетворяются
тождественно.
Используя (11.64), составим следующие дифференциальные
выражения:
. д2ы , r)2u , агы Λ . d*v . №v d*v Λ
. /агф , дчь\
(11.66)
Подставив (11.66) и (11.67) в (9.30) и учтя, что Χ = 7 = Ζ = 0,
получаем тождественное удовлетворение уравнений (9.30)1)2. Что
касается уравнения (9.30)3, то оно, после подстановки в него
(11.66) и (11.67) и сокращения на кг, приобретает вид
i^ + W~0· (11,68)
Таким образом, функции (11.64) и (11.65), принятые на первом
этапе решения задачи, .допустимы — им соответствует некоторое
напряженно-деформированное состояние тела при условии, что
функция кручения Φ является гармонической, т. е. удовлетворяет
гармоническому уравнению (11.68). Приняв решение в форме
(11.64) и (11.65), мы упростили задачу, сведя систему уравнений
(9.30) к одному уравнению (11.68).
4. Третий этап решения задачи. Установим каким граничным
условиям удовлетворяют (11.64) и (11.65) и сопоставим их с
граничными условиями решаемой задачи, сформулированными в
разделе 1.
Поскольку в поставленной задаче сформулированы статические
граничные условия (на торцах —в интегральной форме),
необходимо получить и граничные условия, соответствующие функциям
(11.64) и (11.65) в статической же форме (9.2). С этой целью
выразим компоненты напряжений через составляющие
перемещения (точнее через функцию Ф), воспользовавшись для этого
уравнениями закона Гука (9.6) и уравнениями Коши (9.3).
Из уравнений (9.3), учитывая (11.64) и (11.65), имеем:
е* = 0, 8^ = 0, ег=0, уху = %ζζ - κζζ = 0,
(дФ . \ (дФ \ (11.69)

44
СДВИГ. КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ Х\
Уравнения закона Гука (9.6) при учете (11.69) записываются так:
tf* = 0, σί/ = 0, σζ = 0, τΧΰ = ϋ,
Теперь все подготовлено для выражения граничных условий (9.2)
через функцию Ф.
Рис. 11.18. Элемент на боковой поверхности призмы
Рассмотрим боковую поверхность призмы. Направляющие
косинусы нормали к элементу боковой поверхности суть (рис. 11.18)
/ = cos(v, л;) = cos α, m = cos(v, у) — cos [γ — ос) = sin α, /г = 0.
Подставляя (11.70) и выражения для I, т и η в (9.2), получим
Pv* = 0, pvy = 0, pvz = τχζ cos (v, *)+t^cos(v, у).
Поскольку по условию поставленной задачи боковая поверхность
призмы должна быть свободна от поверхностной нагрузки, требуем,
чтобы
Pvz = txz COS (V, Χ) + Туг COS (ν, у) = 0, (11.71)
а для этого, учитывая закон парности касательных напряжений,
в поперечном сечении бруса в точках, расположенных у контура Г,
должно выполняться условие
x^cos(v, χ) -f тгу cos (v, #) = 0 на Г, (11.72)
которое (см. рис. 11.19, а) можно трактовать как равенство нулю
составляющей полного касательного напряжения, направленной
по нормали к контуру, во всех точках поперечного сечения,
расположенных у контура.
Иными словами (11.72) — это условие, согласно которому
полное касательное напряжение в точках поперечного сечения,
находящихся у контура, направлено вдоль касательной к последнему.
Рассмотрим торцы призмы. Направляющие косинусы нормали
к элементу торца суть:
/=0, т = 0, л=;±1 (11.73)

§ 11.12] КРУЧЕНИЕ ПРИЗМ ПРОИЗВОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ 45
(плюс относится к торцу, удаленному от начала координат, а
минус—к торцу, содержащему начало координат). Подставляя (11.70)
и (11.73) в (9.2), получим
pvx = =b 1 · τ„ = ± Gkz \j£ — y)>
ρν, = ±1·τ,„ = ±:<3κ, (?£■ + *), pv, = 0. (11.74)
Итак, функциям (11.64) и (11.65) соответствует распределение
поверхностной нагрузки по торцам согласно (11.74).
а) $) 6)
Рис. 11.19. К установлен и ю граничного условия для функции Φ в задаче о свободном
кручении призмы произвольного поперечного сечения: а) поперечное сечение призмы и
точка на контуре; б) к зависимости между dv, dx и dy; в) к зависимости между ds, dx и dy.
Остается определить на торцах интегральные факторы
Qx = \ Pvx dF, Qy = \ pvy dF, Мг = J (pvxy - pvyx) dF,
F F F
чтобы удостовериться выполняются ли условия
Qx = 0, Qy = 0 и МгфО.
Анализ условий на торцах выполним позже.
5. Четвертый этап решения задачи. В этом этапе должны быть
определены все интересующие нас оставшиеся еще не найденными
функции.
Функция w по формуле (11.65) выражается через Ф.
Выше были получены формулы и для компонентов
напряжений (11.70), ненулевые из которых (%гх и хгу) также выражаются
через функцию Ф. Наконец, компоненты деформации легко могут
быть найдены по компонентам напряжений из закона Гука.
Таким образом, решение всей проблемы сводится к отысканию
функции Ф. Для ее отыскания получено уравнение (11.68);
граничные же условия для Φ пока сформулированы не были.
Выполним эту операцию, для чего поступим следующим образом.
Воспользуемся (11.72), подставив в него (11.70) и сократив

46 СДВИГ. КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ [Г.Л XI
получившееся после этого равенство на Gx2; в результате получим
[l& ~ у) cos <v' *) + {% + х)cos (v> ^ = ° на Г'
или
-^cos(v, χ)-f ^-cos (v, у) = у cos (ν, χ)-χ cos (ν, ί/) на Г. (11.75)
Левая часть равенства (11.75) представляет собой производную
функции Φ по координате, совпадающей по направлению с ν, —
нормалью к контуру. Действительно (рис. 11.19,6):
дФ _ дФ dx . дФ dy
dv ~ дх dv ' ду dv '
при этом dx/dv = cos (χ, ν), dy/dv — cos (v, у), откуда
дФ дФ , , , дФ , ч η /п 7С,
17 = Ж cos <*' V)+Wc (ί/' ν) на (11,76)
Теперь преобразуем правую часть (11.75), учтя следующие
соотношения (рис. 11.19)
x = rcos(r, x), y = rcos(r, у) на Г (11.77)
на Г. (11.78)
-^ = cos(/, х) = — cos(v, y) = — jfct
^- = cos(/, i/) = cos(v, *) = -^
Здесь г —радиус-вектор точки контура поперечного сечения (начало
вектора расположено в начале координат). Подставляя (11.77)
в правую часть (11.75), получим
г/cos (ν, χ) —л; cos (v, г/) =
= г [cos (г, у) cos (ν, χ)— cos (r, x) cos (ν, у)] на Г.
Теперь учтем (11.78), тогда
у cos (ν, χ) —χ cos (ν, #) =
= r [cos (r, у) cos (/, #) + cos (r, λ;) cos (ί, χ)] на Г,
или
у cos (ν, χ)— λ; cos (ν, г/) = r cos (r, ί) на Г. (11.79)
Подставляя в (11.75) вместо левой части равенства выражение
(11.76) и вместо правой части равенства —выражение (11.79), будем
иметь:
~ = г cos (г, 0 на Г. (11.80)

§ 11.12] КРУЧЕНИЕ ПРИЗМ ПРОИЗВОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ 47
Правая часть (11.80) представляет собой проекцию г на
направление t (см. рис. 11.19, а). Условие (11.80) и является граничным
для функции х) Ф.
/»cos(«#~/7
0)
5)
в)
Рис. 11.20. График функции л cos (г, (), равной производной дФ/dv, на контуре
поперечного сечения в случае, если последнее имеет вид: а) круга; б) прямоугольника; в) эллипса.
На рис. 11.20 показаны поперечные сечения скручиваемых
призм и изображены функции г cos (г, ή на их контурах.
6. Решение задачи о кручении призмы при помощи функции
Ψ, сопряженной с функцией Ф. Путем перехода от функции Φ
к гармонической функции Ψ, сопряженной с нею, задача о
кручении призмы может быть сформулирована как некоторая другая
краевая задача (задача Дирихле2)) для этой вновь введенной
функции. С этой целью в условии (11.72) направляющие косинусы
нормали ν выразим через соответствующие направляющие
косинусы касательной /, согласно (11.78), в результате получим
Tzxcos(t, y) — Tzycos(t, х) = 0 на Г. (11.81)
Подставив (11.70) в (11.81) и сократив после этого все члены на
Gkz, получим
("Ж" ~"у)cos V> ^_("^"+x)cos^' *)==0 на Г;
учтя формулы (11.78) для cos (t, у), cos (t, x), будем иметь
дФ . \ dx
у ds
ох
ду
+ х)
ds
= 0 на Г,
или, сократив на l/ds и произведя некоторые элементарные
преобразования, получим
дФ
дх
dy
дФ
ду
dx = xdx-\-ydy на Г.
(11.82)
*) Краевая задача для гармонической функции, в которой на контуре
в качестве граничного условия задана производная искомой функции по
координате, измеряемой по направлению нормали к контуру, называется
задачей Неймана.
2) Задачей Дирихле называется краевая задача для гармонической
функции в случае, если на контуре задано значение самой искомой функции.

48 СДВИГ. КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ [ГЛ. XI
Для того чтобы получить в левой части полный дифференциал,
введем новую функцию Ψ, удовлетворяющую следующим
условиям:
дФ _ 0Ψ дФ _ 0Ψ /η βο4
носящим в теории аналитических функций название условий Коши —
Римана. При этом функция Ψ также является гармонической,
т. е. удовлетворяет уравнению Лапласа
S+S"»- (11.84,
Имея в виду (11.83), придадим условию (11.82) следующий вид:
—^—dx-\--^—dy = xdx-\-ydy на Г, (11.85)
или, учитывая, что выражение в левой части представляет собой
полный дифференциал, получаем
άΨ = χ dx + у dy на Г.
Проинтегрировав (11.85), получим
Ψ(χ, у) = ^ + ^- + С на Г. (11.86)
Очевидно, что (11.86) регламентирует значения Ψ (я, у) на контуре.
Таким образом, введя вместо Φ функцию Ψ, получили задачу
Дирихле для Ψ; эта функция должна удовлетворять
гармоническому уравнению (11.84) и приобретать на контуре значения (11.86).
Формулы (11.70) для хгх и тгу, выраженные через*- функцию Ψ,
имеют вид
*«=<Ц4£-- у), тг,= (Ц-^- + х). (11.87)
7. Решение задачи о кручении призмы при помощи функции
Прандтля. Задача о кручении призмы становится особен чо
изящной, если для описания ее используется функция φ,
предложенная Прандтлем. Эта функция задается во всей области D, т, е.
во всем поперечном сечении призмы, и имеет вид
φ(χ, y) = Gxe(V-£±£} в D. (11.88)
При этом
£-<*.(£--*). £-<4f·-»)· (11-89>
Сопоставляя (11.89) с (11.87), легко обнаруживаем, что
Ъ-%, τ„ = -£. (11.90,

§ 11.12] КРУЧЕНИЕ ПРИЗМ ПРОИЗВОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ 49
Функцию Прандтля ср по аналогии с функцией Эри называют
функцией напряжений: остается установить, какому уравнению и
какому граничному условию она должна удовлетворять.
Для этого продифференцируем (11.88) дважды по л: и отдельно
дважды по у
£-(»«.£-<*.. £=<*.£-<*. в D. (П.9.)
Сложим теперь уравнения (11.91)1>2, при этом получим
Учтя (11.84), получим
~Φ + 45- = - 20и« в D. (11.92)
дх2 ' ду2
Уравнение (11.92) называют уравнением Пуассона.
Сопоставляя (11.88) с (11.86), обнаруживаем, что
φ(χ, y)-=GxzC ha Г, (11.93)
т. е. функция Прандтля на контуре поперечного сечения
приобретает произвольное, но постоянное во всех точках значение.
Таким образом, решение проблемы о кручении призмы сводится
к отысканию функции Прандтля, которая находится из уравнения
(11.92) при граничном условии (11.93). После отыскания функции
Прандтля, ненулевые компоненты напряжений находятся по
формулам (11.90), ненулевые компоненты деформаций — из уравнений
закона Гука по формулам
__L __L
Угх q τζχ, Угу q ^гу
Наконец, для того чтобы найти w по (11.65), нужно выразить Φ
через функцию Ψ.
Предварительно найдем Ψ из (11.88)
ψ=0£φ(*. У) + Ц^ в D. (11.94)
После отыскания Ψ, функция Φ находится из (11.83) путем
интегрирования, выполняемого элементарно.
8. Определение интегральных силовых факторов на торцах
призмы. Вернемся к определению статического эквивалента
поверхностных сил Ρν_κ η pvy, действующих на торцы призмы, выразив
их через функцию Прандтля. Согласно (11.74) и (11.90) имеем

50 СДВИГ. КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ [ГЛ. XI
Определим поперечную силу
F F х0 у0
Χι ί/ι Χι
Xo Уя х»
Равенство нулю интеграла вызвано равенством нулю
подынтегрального выражения, так как функция φ приобретает в точках
контура одинаковые значения и, таким образом, согласно (11.93)
ф(*. &) = Ф(*. y0) = GKzC.
Аналогично получаем Qy = 0.
Наконец, определим Мг (формула составлена для торца,
проходящего через начало координат)
Μ
F F
~ \ dy\^xdx==~~ J dx\^y~\ Фф)~ \ dy(y>x-^ ydxj =
= - j [φ (*. yi) ui - φ (*. ί/ο) y0—$4>dy
dx —
- J [ф(*ь #)*ι-φ(*ο. #)*o- J Φ^ di/.
Для внутренних интегралов было применено интегрирование по
частям. Учитывая, что во всех точках контура значение функции
φ одинаково
φ (χ, yi) = φ (χ, у о) = φ fa. у) = φ fa» г/) = Gx*c = %.
заключаем, что
ж**
ί/**
Первый и третий интегралы, входящие в формулы для Мг,
представляют собой площадь, ограниченную внешним контуром
поперечного сечения скручиваемого бруса (рис. 11.21, а, б)
у**
S (yi-yo)dx= $ (xl-x0)dF = F.
χ* у*
Следовательно,
Mz = 2(^<pdxdy-F%y (11.95)

§ 11.12] КРУЧЕНИЕ ПРИЗМ ПРОИЗВОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ 51
Если поперечное сечение скручиваемой призмы многосвязно,
и прямая у = const (рис. 11.21, в) или χ = const (рис. 11.21, г)
пересекает внутренний контур, то интегралы в формуле для Мг
берутся так же как и ранее по частям, но в других пределах,
За х
я,
^\ °
У*
■< >-
.
'/^w!
щ
у**
-*
# J
1
) ,
'
Xi
'"У
Хд
^
6)
а
γ
ч
fy
\
Ν \
) )
^f
1
XZ '
\х1
\
,
ч
' ,
' У
Хд
6)
δ)
Рис. 11.21. К определению интеграла прн установлении статической эквивалентности
касательных сил иа торце призмы крутящему моменту: а) к определению \ ητ-y dy
(поперечное сечение односвязное); б) к определению \ ——χ dx (поперечное сечение односвяз-
ное); в) к определению \ -~- у dy (поперечное сечение двухсвязное и прямая у = const
J dy
Saw
-τ—χ dx (поперечное сечение
двухсвязное н прямая χ = const пересекает внутренний контур).
чем если указанного пересечения нет (на внутреннем контуре
функция φ приобретает значение φχ)
м* = — S &ιΦι ~ УоУо + #зФо - £fe<Pi) ^ + SS Φ dx dy -
— J (*ιΦι - *οΦο + *зФо - *«Φι) dy + \\ydxdy =
= 2\\(pdxdy-\-(p1\(y2- yx) dx + ц>г \ (x2 - xx) dy -
- Фо\ (Уз -Уо) dx-ψο] (хз ~ Xq) аУ = 2 (S J Ψ <**Φ + ΨΛ-Ф<Д)·

52 СДВИГ. КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ [ГЛ. X!
Здесь интегралы от φ берутся лишь в пределах материальной
части области. Ft и /^ — площади, ограниченные соответственно
внутренним и наружным контурами.
ι ι ι
Рис. 11.22. К определению крутящего момента: а) по формуле (11.95) (поперечное
сечение односвяэное); б) по формуле (11.96) (поперечное сеченне неодносвязное).
Если в поперечном сечении скручиваемого вала имеется
несколько внутренних полостей (сечение /г-связное), то формула для
Мг приобретает вид
MB-2\\\ydxdy + 2 Φ^-φοΛ,ν (Η·99)

§ 11.12] КРУЧЕНИЕ ПРИЗМ ПРОИЗВОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ 53
Рассматривая (11.95) или (11.96), обнаруживаем, что Мг не
зависит от значения функции φ0 на контуре. Крутящий момент равен
удвоенному объему, ограниченному, с одной стороны, поверхностью
φ (χ, у) и плоскостями, параллельными плоскости ху в пределах
внутренних полостей и, с другой стороны, плоскостью,
проходящей параллельно координатной плоскости Оху на расстоянии φ0 =
= GkzC от нее (рис. 11.22, а, б).
Итак, мы удостоверились, что поверхностные силы (11.76),
действующие на торцы призмы, имеют своим статическим
эквивалентом только внешний крутящий момент.
9. Окончательная математическая формулировка задачи. Таким
образом, проблема кручения призмы сведена к отысканию
функции Прандтля φ (χ, у) из дифференциального уравнения
Δφ = -2£κζ в D, (11.97)
при граничном условии на контуре
Ф = СхгС на Г. (11.98)
Вследствие независимости Мг от значения С это значение может
быть принято равным нулю, тогда на контуре
φ = φο = 0. (11.99)
10. Определение интенсивности угла закручивания. Выразим
крутящий момент через функцию Φ
Мг = J (pvxy - pvyx) dF =
-μ-<^-,)ί+<*.(»+,),]<ΐΡ_
отсюда
*,-sb (п.юо)
где GIK — жесткость призмы при кручении, а так называемая
постоянная кручения /к отражает в выражении жесткости геометрию
ИИ
x* + y2 + {-^-x--^-y)]dxdy
Если поперечное сечение скручиваемого бруса круглое, то
поперечные сечения его остаются плоскими и, следовательно, Φ (χ, j) ==
==0, вследствие чего

54
СДВИГ. КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. Χί
т. е. постоянная кручения в этом случае равна полярному моменту
инерции. Постоянную кручения можно выразить, разумеется, и
через функцию Ψ. Для этого подставим в (11.95), вместо φ,
выражение через Ψ, согласно (11.88), и положим φ0 = 0, в результате
получим
Mz = 2Gkz ^(ψ-^^jdxdy. (11.101)
Hi Условие однозначности перемещения w в случае неодно-
связного поперечного сечения призмы. Если поперечное сечение
скручиваемой призмы неодносвязно, то проблема по-прежнему
сводится к краевой задаче
Δφ = —2Схг в D,
9 = Q на Tt (i = 0, 1, 2, ..., η — 1).
На каждом из контуров Г,- постоянная Ct своя собственная. При
этом необходимо соблюдать еще и условие однозначности
перемещения, которое при «-связности поперечного сечения, согласно
главе IX, имеет вид
Kt = §^ds = 0 (i = l, .... я-1). (11.102)
При этом интегралы берутся вдоль произвольной замкнутой линии,
лежащей в пределах поперечного сечения и проходящей через
мысленный разрез, проведение которого уменьшает связность
поперечного сечения на единицу. Имеется в виду, что каждая
следующая г-я замкнутая линия (ί = 1, ..., η— 1) проходит хотя
бы через один новый разрез по сравнению с ранее
рассматривавшимися.
Расшифруем условие (11.102)
*<-$(£!+£D*-° с-'. ·■·.»->)■ (".юз)
Здесь, если учесть (11.65) и (11.83),
dw_ дФ_ &Ψ dw_ дФ ΘΨ
д^ — *г 'Ш~У'г~ду' Ъу~У'гду~ Kz дх'
Наконец, принимая во внимание (11.94) и (11.90), получим
— -κ f-L^4-^---^4-wx -^4-ϋκ
дх -Хг \(3нг ду^У}- G ду^уУ1г~ G ^У*г'
dw / ^ ^Ψ_l \ _L?5 Zf£
~dy y'z\GKz~dx~T'X)- ~'Gd~x~Xy'z~ G -χ*ζ>
тогда (11.103) запишется в следующем виде:
Ы4-4-)^ + Ш*4;+^а-?)л=° <!1Л04>

§ 11.12] КРУЧЕНИЕ ПРИЗМ ПРОИЗВОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ 55
или, учитывая, что для любой кривой линии внутри поперечного
сечения так же как и для контура Г справедливы формулы (11.78)
£=cos(t, χ), & = cos(t, у),
получаем
(I)t2cos(t2, t) ds = Gkz φ (χ j- — у -£\ ds. (11.105)
Итак, в левой части равенства имеем интеграл по замкнутой
линии от проекции полного касательного напряжения на
направление касательной к этой линии.
В правой части равенства (11.105) каждый из интегралов
&x-^ds = &xdy и ~foy-^ds = — (bydx (11.106)
выражает собой площадь фигуры (рис. 11.23), ограниченной
замкнутой линией, по которой происходит интегрирование. При этом
учтено, что перед вторым интегралом стоит знак минус и,
следовательно, у площадей, изображенных на рис. 11.23, б, знаки
должны быть изменены на обратные. Отметим, что за
положительное направление обхода замкнутой линии принято такое, при
котором ось χ совмещается с у кратчайшим путем.
Итак, равенство (11.104) приобретает вид
φ τ* cos (τ*, t)ds = 2Gxg%· (11.107)
Интеграл, стоящий в левой части называют циркуляцией
касательного напряжения по замкнутой линии; обозначим его
символом J
У = φ τ* cos (τ„. () ds, (11.108)
тогда формула (11.107) приобретает следующий вид:
J = 2(mz% (11.109)
Для любой замкнутой линии, полностью расположенной в
поперечном сечении призмы, циркуляция касательного напряжения
равна умноженной на 2Gkz площади %, заключенной внутри этой
замкнутой линии. Приведенное утверждение составляет
содержание так называемой теоремы Бредта, по имени английского
ученого, сформулировавшего ее.
Если замкнутые линии выбраны так, как это необходимо для
условия однозначности перемещения w (11.102), то последние
условия записываются в следующей форме:
/, = 2Gx.& (i=\, 2, ..... η-\). (11.110)
Возвращаясь к тому, что на каждом из контуров,
ограничивающих область D, функция φ должна приобретать свое постоянное

56
СДВИГ. КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. XI
Af5f:
dy>U,x>0;
xdy>0
а2в2:
y<0,dx>0
ydx<0
fffcf:
dy<0, x>0;
xdy<0
щ:
dy<0,w<0;
xdy>0
SfAf:
dy<0,x>0;
xdy<0
вгс2:
y>0, dx>Q\
ydx>0
игАг;
y<o;dx<o;
ydx>0
dy
Рис. 11.23. К определению (υ ί χ -jf- — у -r— J ds: а) к определению ш j-ds, б) к опре·
делен
ию (ν) у
ds.

§ 11.12] КРУЧЕНИЕ ПРИЗМ ПРОИЗВОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ 57
значение, подчеркнем, что на каждом из граничных контуров
величины этих постоянных оставались пока неизвестными. Как бы
их не изменять, равновесие и совместность деформаций будут
обеспечены. Условиями же для установления величин этих
постоянных являются условия однозначности перемещений w (11.110)
на каждой из замкнутых линий, совпадающих с внутренними
граничными контурами.
12. Определение напряжения и погонного угла закручивания при чистом
кручении цилиндрического стержня эллиптического поперечного сечения.
12.1. Функция Прандтля. В рассматриваемом случае функцию
Прандтля φ легко подобрать, т. е. легко подобрать функцию, которая
удовлетворяла бы и уравнению (11.97) в любой точке эллипса и граничному
условию (11.98) в любой точке контура. Действительно, если принять ее в виде
(р==л(^ + ^-1)' (11Л11)
понимая под А постоянную величину, то на контуре, уравнение которого
х2 и2
-£--}-^-=1, она обращается в нуль, что соответствует граничному условию
(11.99). Для того, чтобы функция (11.111) удовлетворяла и уравнению (11.97),
подставим в него φ и определим из полученного уравнения постоянную А.
Найдем производные от φ
д\ = 2А &φ_2Α
дх2 а2 ' ду2 6й * { }
Теперь, подставив (11.112) в (11.97), получим
1 . 1 \ ™ - / 1 . 1 \ GkmW
Функция Прандтля приобретает вид
_ Gxza2b2 Ix2 у2
φ— a2-\-b2\^ +62 —
12.2. Определение компонентов напряжения. Компоненты
напряжения выражаются следующими формулами:
_3ср_ 2Gx£a2y _ δφ _20кгЬ2х
гх~ду~ а2+Ь2 ' Х*У~~ дх~ а2 + Ь2 " (И Ό)
12.3. Полное касательное напряжение. Эпюры
напряжений по диаметрам сечения. Полное касательное напряжение в
произвольной точке поперечного сечения с координатами χ и у находим так:
T*-V4*+^=^s Κ^ί/2+^ . (п.цз)
Если точка (х, у) лежит на контуре, то χ и у связаны между собой
уравнением . эллипса, используя которое можно одну из координат из формулы для
хг исключить; например, найдя у2
уъ = Ь2-^х2, (11.114)
прийти к формуле
:дд^*8 \fa*b2-а2Ь2х2 + №х2.

58
СДВИГ. КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ
ГГЛ Xt
Теперь легко найти точку с максимальным полным касательным напряжением,
для чего исследуем хг на экстремум,
можем искать экстремум τ|
Так как хг^0, вместо экстремума хг
402χ2
Т2 (fl2_J_62)2
(П)
d*
= 0,
402κ·2
(α2 + 62)2
(aW — aWx* + №x'2),
{—2а?ЬЧ-\-2№х) = Ъ,
4G2x2
или, учитывая, что
^ φ 0, 262* (б2 — а2) = 0. Пусть а Ф b, тогда je= 0
(α2 + 62)2
и, следовательно, если учесть (11.114), у=Ь.
Для того, чтобы судить о характере экстремума, рассмотрим знак второй
производной
d2(τ|) 402κ|
dx2 = (α2 + 62)2
(—2α262 + 26*).
Если α < 6, то d2 (x^/dx2 > 0, если же а > 6, то d2 (τ%)/άχ2 < 0 и тогда в точке
(0, Ь) х\, а следовательно, и хг, в первом случае принимает минимальное,
а во втором — максимальное значения. Из множества значений, принимаемых
полным касательным напряжением в точках, лежащих на контуре
эллиптического поперечного сечения скручиваемой призмы, максимальным является
значение хг в точке А, ближайшей к центру сечения, и минимальным в точке В,
наиболее удаленной от центра.
Итак, если а > Ь, то
тгтах — Ι τζχ
2Gxza2b
α2 + 62 :
Tzmin xzy
= a
0
2Gxzb*a
a2 + 62 '
Из формул (11.90') видно, что в точках каждого из главных диаметров эллипса
полное касательное напряжение совпадает с одним из компонентов и,
следовательно, направлено перпендикулярно диаметру
20щЬЧ
у = 0-Х*У- fl2 + 62 ' Т«
х = о {Хгх] α2 + 62 ' %г
У-
У
= 0;
х = 0
= 0.
(11.115)
(11.116)
Закон изменения полного касательного напряжения хг вдоль главных
диаметров эллипса [см. (11.115) и (11.116)] линейный. Можно показать, что в любой
точке любого не главного диаметра эллипса направление полного касательного
напряжения параллельно касательной к контуру в точке пресечения с ним
рассматриваемого диаметра и, что закон изменения величины полного
касательного напряжения, в зависимости от расстояния точки от центра сечения,
линейный.
У всех точек на некотором произвольном диаметре отношение χ и у
постоянно
— = tga=const.
У
Тогда из (11,113), вынося у из-под радикала, получаем

§ 11.12] КРУЧЕНИЕ ПРИЗМ ПРОИЗВОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ 59
Так как %г зависит линейно от у, то τζ линейно зависит и от
пропорциональных величине у расстояний точек диаметра от центра эллипса
\Гх*~+у* = у\/\+\Ф<х.
Параллельность же расположения хг касательной к контуру в точке
пересечения с ним диаметра легко обнаружить, если учесть, что в точках диаметра
отношение компонентов сохраняется постоянным
Ι τ,χ | Фу а2 ,
Распределение касательных напряжений в эллиптическом поперечном сечении
показано на рис. 11.24, а.
w=m
<Ш^
а)
6)
8)
Рис. 11.24. К кручению эллиптического цилиндра: а) распределение касательных
напряжений; б) Депланацня поперечного сечения эллиптического цилиндра при свободном
кручении (аксонометрия); в) ортогональная проекция горизонталей.
12.4. Интенсивность угла закручивания. Перейдем к
определению погонного угла закручивания хг; предварительно найдем функцию Ψ
Ч-=д^Ф(*,«+^
1
0хга262
Gxz α2 + 62
α2 "^б2
+
Хг + Ф
(11.117)
Подставив (11.117) в (11.101) и учтя (11.100), получим
Λ
-*Ш=
+ 62
α2 b2 ^^
-и=
A-2 + t/2 Χ2+ί/;
2 _ 2
Ω262
dx dy=
+ 62
Φ 62 ^
dxdy.
(11.118)
Отдельно найдем интеграл /
Так как интегрирование необходимо выполнить на всей площади эллипса
(поперечное сечение призмы), имеющего уравнение
И*-i=Q,
(11,119)

60 СДВИГ. КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ [ГЛ. X)
предел при интегрировании по χ определим, решив (11.119) относительно χ
Х2 = а*-^у*, χ=±αγ' \-У~ =±±У»-*.
Таким образом, необходимо найти следующий интеграл1):
+ь т ъ у
+br , „я , .., ^ ,+ £Vb
2_/y2
V
-Ь J-jYbt-yt
dy=
JL\+b
ь\-ь
- - mr [yvw^w^ K^+f arcsin £];
- [-2 £I ^T^¥+f? | (* K^=^+ b* arcsin l.)]+J +
+2{{(i/VW=y~*+b* arcsin |-)+* =
= — 7ΓΓΤ -?г- 2 arcsin 1 — 2 — — 62 arcsin 1 + 2 -;- 62 arcsin 1 =
bo3 2 о3 о о
ab n η ab π , . . π πα6 „, ,_Λ.
= -т2у-12+2й*гт· (lL120)
Подставив (11.120) в (11.118), получим окончательное выражение для Ik
. 0 а262 лоб а363 ,,, 10П
1к = 2а^¥-Т=ЛЖ^' (11Л21)
Теперь по формуле (11.100) после подстановки в нее (11.121) находим
интенсивность угла закручивания
**= oU · (11Л22)
12.5. Момент сопротивления при кручении. Напишем
формулу для максимального касательного напряжения (при а>Ь)
2в-лгаЧ
хг max — I хгх
,-о WW' <11Л23>
у=ь
г) Здесь использованы следующие табличные интегралы:
• У
arcsin ~
b
С fW=TyH dy=^ L yw^-\ь*
f i/*VW=!J*dy -|- ^(62_у2)з+^ L YW=y*+b* arcsin -|-\,
( K(62-i/2)3 di/=1 [ί/ Κ(62-ί/2)3+^. К^^Ч-^ arcsin i-1.

§ 11.12] КРУЧЕНИЕ ПРИЗМ ПРОИЗВОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ 61
Шдставим в (11.123) выражение для хг согласно (11.122), в результате получим
'«max πα62 ψ . w 2 ' l '
Величину W называют моментом сопротивления профиля при кручении.
12.6. Депланация поперечного сечения. Составляющая
перемещения w выражается следующей формулой (см. (11.65)):
т=кгФ(х, у).
Найдем функцию Φ (χ, у) по полному ее дифференциалу
ά®=ψχάχ + ^άϋ, (11.125)
дФ с№ ЧФ , дФ 6Ψ 262
■У + У' -лТГ = 5Г= „а , ш х~х-
дх ду а2 + 62 * ' Ό ду дх а?-\-1
Функцию Φ из (11.125) получим путем интегрирования, аналогичного
интегрированию уравнений Коши
^ l· дФ . , V- дФ
2α2
., 2α2 \ α2 —б2
При интегрировании (11.125) учтено, что в центре сечения w, а следовательно,
и Φ равны нулю из-за косой их симметрии относительно центра. Имея
формулу для Ф, находим и
а2 —б2
Функции w соответствует седлообразная поверхность — гиперболический
параболоид, изображенная на рис. 11.24, б в аксонометрии и на рис. 11.24, в при
помощи горизонталей на ортогональной проекции. Каждая из горизонталей
представляет собой гиперболу, отнесенную к осям χ и у как к асимптотам и
имеющую уравнение
хУ = к> k = ^-б2 ' (1U26)
Н* α2 + 62
w* — отметка на поверхности w, соответствующая обсуждаемой горизонтали.
Искривление первоначально плоского поперечного сечения, т. е.
депланация, наблюдается при свободном кручении призм любого поперечного сечения,
кроме круглого или круглого кольцевого, которые остаются плоскими и после
деформации.
12.7. Частный случай —круглое поперечное сечение.
Пусть a = b = r, тогда формулы (11.126), (11.90'). (11.121) и (11.124)
приобретают соответственно следующий вид:
а* —а?
а?-\-а?
2Gxza*y 2G%za*x
α2 + α2 - ΟΧ*ί/> %Ζΰ- α2 + α2
w \=Κζ -ο ■ _.. k = 0;
Ггх=~ „а ,*„я =-Gxgt/, χζΰ = —ς±-Γ = 0^ζ^
а3а*- лг4 , паа* иг* ._
(11.127)

62
СДВИГ. КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ
ГГЛ. XI
13. Результаты решения задачи о кручении призматического
бруса прямоугольного поперечного сечения. Решение задачи о
свободном кручении призмы прямоугольного поперечного сечения
(рис. 11.25) в принципе выполняется по той же схеме, которая
показана в предыдущем разделе в примере о свободном
кручении эллиптического цилиндра. Однако в случае прямоугольного
поперечного сечения практическая реализация этой схемы намного
сложнее. Основная сложность состоит в решении краевой задачи
(11.97), (11.98).
,
1
/
►c>|cvi
к
'
ι
ι
а
1
Г
а
1
'
я
а)
Рис. 11.25. К свободному кручению призмы прямоугольного поперечного сечения:-
а) поперечное сеченне призмы; б) эпюры касательных напряжений в поперечном сечении.
Здесь не приводится весь ход решения и даются лишь
окончательные результаты, представленные в виде формул, таблиц и
рисунков.
Решение для φ ищется в виде ординарного
тригонометрического ряда, в котором вследствие очевидной симметрии задачи
сохранены лишь нечетные члены
Ф= 2 M#)cos-^-. (11Л28)
Граничное условие (11.98) на сторонах контура х = ±а/2
функцией (11.128) удовлетворяется. Правую часть уравнения (11.97)
представляем в виде ряда Фурье
1.3,5,...
~-2Gx,= 2 Akcos-^-. (11.129)

§ 11.12]
кручение Призм произвольного сечения
63
Теперь, подставляя (11.128) вместо φ и (11.129) вместо — 2Guz,
получаем дифференциальное уравнение для отыскания функций
/* (У)
tt(y)-(^)2h(y) = Ak. (11.130)
Две постоянные интегрирования в общем интеграле уравнения
(11.130) находятся из граничного условия на сторонах контура
y = ±b/2 fk (— 6/2) = fk (4- b/2) = 0. В результате отыскания
постоянных интегрирования и подстановки интеграла fk (у) в (11.128)
получаем функцию Прандтля в следующем виде:
<P = Gkz
т) -х-
80хгаа
π3
1, з. 5,
k— 1
(-1) 2
ks
, kny
ch —- ,
a knx
г—τ-COS
ch-^—
2a
Далее находятся компоненты напряжений по формулам (11.90).
Максимальное напряжение, постоянная кручения и момент
сопротивления профиля при кручении выражаются формулами
(если Ь>а)
<-z max
= τ
гу
у = о =ΰκζαΚ, Ik = a3bK1, W = a2bK2,
χ=αβ
в которых К, K-l и К2 — некоторые функции отношения Ь/а, для
которых составлены таблицы
1, 3, 5, ...
А * π2 L· k*
ch
knb
2a
*1=Т И
1, 3, 5, ...
192 a X\ 1
π5, b
1 τέ-th
knb
~2a~
K,=
JSi.
к
Из таблиц значений коэффициентов /С, Κι и К2 (табл. 11.1)
видно, что если поперечное сечение очень вытянуто, т. е.
Таблица 11.1
К
Ki
Кг
Ь/а
1
0,675
0,1406
0,208
1,2
0,759
0,166
0,219
1,5
0,848
0,196
0,231
2,0
0,930
0,229
0,246
2.5
0,968
0,249
0,258
3
0,985
0,263
0,267
4
0,997
0,281
0,282
5
0,999
0,291
0,291
10
1,000
0,312
0,312
00
1,000
0,333
0,333

64
СДВИГ. КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. XI
отношение Ь/а-*-оо, то
= вкга, /А = 4- a3b = О,3333α36, W = \a2b = 0,3333a2b.
ьгтах
Близкими к этим формулам оказываются и формулы и при
достаточно большом Ь/а, например, при Ь/а = \0 тгтах = бх.а,
Ik = 0,3\28a3b, W = 0,3\28a*b. Ha рис. 11.25, б изображены эпюры
касательных напряжений в прямоугольном поперечном сечении
призмы, испытывающей свободное кручение. тгтах возникает
в точке посредине длинной стороны поперечного сечения.
14. Аналогия Прандтля.
14.1. Аналогия и ее значение. Выведем уравнение
равновесия мембраны большого натяжения, растянутой равномерно
во всех направлениях силами интенсивности ρ и находящейся
под воздействием поперечной равномерно распределенной нагрузки
интенсивности q. Вырежем из мембраны элемент со сторонами dx
и dy, параллельными осям х и у соответственно (рис. 11.26, а).
Действие соседних отброшенных частей заменяем
соответствующими силами (рис. 11.26,6,6: по условию натяжение мембраны
одинаково во всей области по любому из направлений) и запишем
уравнение равновесия (Σπρζ = 0)
О,
pdy dx pdy(dx + дх2 dx)-\-pdx ду
или
ρ 9χ2 dxdy + p ду2 dxdy= qdxdy,
Δη>=—5-.
Ρ
·<"*(£+£*)-
— qdxdy
d2№ a2to _ q
dx2 "■"' at/2 — ρ
(11.
Здесь ft — смещение точек мембраны в направлении,
перпендикулярном той плоскости, в которой она располагалась до
приложения поперечной нагрузки1).
Сопоставление уравнений (11.131) и (11.97) показывает, что
при условии соблюдения равенства
^- = 2Q%Z (11.132)
оба уравнения становятся идентичными. Такая идентичность
свидетельствует о математической аналогии задачи о свободном
кручении и о деформации мембраны большого (одинакового во всех
направлениях) натяжения при воздействии на нее поперечной
*) Использована буква ш, поскольку буква w занята — ею обозначены
перемещения, параллельные оси г в скручиваемом брусе.

§ 11.12] КРУЧЕНИЕ ПРИЗМ ПРОИЗВОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ &>
равномерно распределенной нагрузкиг). Эта аналогия была
отмечена Л. Прандтлем и носит его имя. Аналогия Прандтля имеет
большое практическое значение, так как, во-первых, она
позволяет найти решение задачи о нестесненном кручении призмы
любого поперечного сечения путем проведения эксперимента
с мембраной; натянутой на плоский контур, имеющей такие же
'^тттттттТтттттТТ А А А
й)
дх'
ψ4ί-:
57
--f-
w*
Λ
ду ду\ду
ю
дх дх
Рис. 11.26. К выводу уравнения равновесия мембраны большого и равномерного по
области и направлениям натяжения: а) план; б) проекция элемента мембраны и
действующих на него сил на плоскость Окг; в) аксонометрическое изображение элемента мембраны
и действующих на него сил.
форму и размеры (в каком-либо масштабе), как и контур
поперечного сечения скручиваемой призмы. Во-вторых, отмеченная
аналогия позволяет, исходя из умозрительных соображений,
представить основной характер функций φ, а следовательно, и
распределение касательных напряжений по поперечному сечению
произвольной формы, так как характер провисания мембраны
под поперечной нагрузкой, т. е. вид функции ΐύ достаточно
очевиден, чего нельзя сказать о функции φ. Наконец, умозрительно
представляя вид функции то, в соответствии с ожидаемым
характером провисания мембраны можно придать этой функции упро-
*) Разумеется, для аналогии задач необходима и идентичность граничных
условий. Таковая имеет место, Функции φ и in на внешнем контуре равны О,

66
СДВИГ. КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ
(ГЛ. XI
щенный аналитический вид в случае некоторых видов поперечного
сечения призмы, и найти таким образом приближенное решение.
Аналогия Прандтля позволяет по известной форме провисания
мембраны, определяемой функцией ft, заданной в аналитическом
виде или отыскиваемой экспериментально, установить следующее:
1. Направление полного касательного напряжения в точке
поперечного сечения призмы.
2. Величину полного касательного напряжения в точке
поперечного сечения призмы.
3. Величину крутящего момента.
Остановимся на каждом из этих пунктов.
14.2. Определение направления и величины
касательного напряжения в точке поперечного
сечения призмы. Формулы (11.90)
показывают, что, беря производную от
функции φ по координате х(у),
получаем значение компонента касательного
напряжения, направленного
параллельно у (х). Представим теперь, что
поверхность φ = φ (χ, у) рассечена
плоскостями, параллельными плоскости ху.
Эти плоскости оставляют на поверхности
следы в виде замкнутых линий
—горизонталей. На рис. 11.27 изображены
проекции горизонталей на плоскость
поперечного сечения. Рассмотрим
произвольную точку поперечного сечения
и проходящую через нее проекцию
горизонтали φ = φ* = const. Проведем в
точке А касательную t и нормаль ν к
этой проекции горизонтали, которые
можно рассматривать как оси,
параллельные некоторым центральным осям хг и yv Если считать, что
вся обсужденная выше теория была построена при использовании
не осей х, у, а осей xlt ylt то вследствие произвольности выбора
осей все сохранилось бы и вместо зависимостей (11.90) имели бы
место
_ дц> ___ δφ
φ-ψ
oonst
Рис. 11.27. К обоснованию фор
д(р
~~ для точек
ov
лежащих на проекции горнэон
тали φ = φ* = const поверх
ностн φ = φ (χ, у).
мулы τ =х ,
(11.133)
Здесь сохранено обозначение функций Прандтля, хотя функция,
изображающая соответствующую поверхность, изменит
аналитический вид при переходе от одной системы осей к другой.
Поскольку t\\y1 и ν\\Χι, для точки А формулы (11.133) можно
записать и так
δφ
дф
τ*ν — dt ' %zt ~~
dv '
(11.134)

§ 11.12] КРУЧЕНИЕ ПРИЗМ ПРОИЗВОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ 67
С другой стороны, коль скоро кривая, по отношению к которой
в точке А оси ί и ν являются касательной и нормалью,
представляет собой проекцию горизонтали, где φ = φ* = const, имеет
место равенство dcp/dt = 0, или, если учесть (11.134), τζν = 0, и,
следовательно, полное напряжение совпадает с другой
составляющей
T.-Trf = -|f· (11.135)
и, таким образом, направлено по касательной к проекции
горизонтали поверхности φ.
Так как согласно аналогии Прандтля функция ft идентична
функции ср, приходим к выводу, что:
1. Полное касательное напряжение направлено вдоль
касательной к проекции горизонтали поверхности ft = ft (х, у) на
плоскость контура.
2. Величина полного касательного напряжения в точке- А
поперечного сечения равна тангенсу угла наклона касательной
к поверхности ft = ft (χ, у) в точке, проектирующейся в А, при
условии, что эта касательная проведена в плоскости наибольшего
ската поверхности; след этой плоскости на плоскости поперечного
сечения и представляет собой нормаль ν к проекции горизонтали.
14.3. Определение крутящего момента. Рассмотрим
сначала призму, поперечное сечение которой односвязно.
Поскольку имеется зависимость (11.95) и, кроме того,
вследствие аналогии Прандтля имеется равенство
η> = φ, (11.136)
справедлива и такая зависимость:
Мг = 2 J J ft dx dy.
Здесь учтено, что cpo = fto = 0.
Таким образом, удвоенный объем, ограниченный поверхностью
провисания мембраны, натянутой на плоский односвязный
контур (совпадающий с очертанием поперечного сечения
скручиваемой призмы), и плоскостью контура, равен крутящему моменту.
Если поперечное сечение скручиваемой призмы многосвязно,
то аналогия Прандтля приобретает следующий вид. Для
отождествления функций φ и ft, отыскиваемых из уравнений
Δφ = — 2ΰκ^ и Aw = q-,
необходимо натянуть мембрану на все контуры, соответствующие
границам поперечного сечения призмы, и, кроме соблюдения
условия (11.132) и постоянства на каждом из.контуров величины ft,
необходимо еще, чтобы на каждом из внутренних контуров

68
СДВИГ. КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. XI
функция ft удовлетворяла условию
7| = -§Ιτώ = 7&. (Π.137)
полностью аналогичному условию, определяемому формулами
(11.108) и (11.109). у т р у
Несколько преобразуем это последнее условие
φ τζ cos (Tj, t) ds = 2Схг$г.
Но в нашем случае, поскольку в качестве замкнутой линии
принят t-й внутренний контур поперечного сечения, хг cos (τ Л =
= %zt и, согласно (11.135), " '
T,COS(T„ t)=Tzt = -^-
в результате этой подстановки получим
- § Q ds = 2G*3i- (11.138)
Сопоставляя (11.138) с (11.137), убеждаемся в полной их
идентичности.
Соблюдение условий (11.137) позволяет добиться
однозначности функции ft и определить все постоянные, которым
равняется ft на каждом из контуров. Условие (11.137) по существу
является уравновешиванием нагрузки интенсивностью а
приходящейся на площадь внутри контура, силами натяжения мембраны
натянутой на этот контур. Действительно, если представить себе'
что внутрь каждого внутреннего контура строго по его
очертанию вставлен абсолютно жесткий невесомый диск, которому
разрешено перемещаться только в направлении, перпендикулярном
плоскости контура, то уравнение равновесия - равенство нулю
суммы проекций всех сил на вертикальную ось — приобретает вид
$psinads-<7ft = 0, (11.139)
где
Sina~tga = -^ = _A = Ti. (ПЛ40)
Подставляя (11.140) в (11.139), получим
~§-Wds = j% или §xgds=£$i.
Таким образом, окончательно аналогия Прандтля, в случае
многосвязных поперечных сечений призм, выглядит так: натягивается
мембрана на все контуры-внешние и внутренние в предположе-

§ 11.12] КРУЧЕНИЕ ПРИЗМ ПРОИЗВОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ 69
Рис. 11.28. К обоснованию формулы
с <?ш q
— Ф-т—rfs = — F.
dv
нии, что внутрь внутренних контуров вставлены абсолютно жесткие
невесомые диски, которым разрешено перемещаться лишь в
направлении, нормальном к
плоскости контура (рис. 11.28).
Погонное натяжение мембраны во
всех направлениях одинаково и
равно р. Поверхность
провисания такой мембраны при
загружен ии всей области, лежащей
внутри внешнего контура
равномерно распределенной нагрузкой
интенсивностью q, тождественно
совпадает с поверхностью
функции Прандтля φ, при условии,
(11.132). Отсюда вытекает
следствие. Величина и направление
полного касательного
напряжения находится так же, как и
в случае односвязного
поперечного сечения призмы; что касается
величины крутящего момента, то он находится по формуле,
аналогичной (11.96)
Мг = 2{]]vodxdy + J wfii-»<&}.
Здесь интеграл берется по всей площади поперечного сечения
(т. е. по площади, занятой материалом), w>0 можно принять
равным нулю, а величины \ι\ находятся из условий (11.137).
15. Свободное кручение тонкостенного призматического стержня
открытого профиля.
15.1. Свободное кручение призмы с
прямоугольным поперечным сечением, имеющим большое
отношение сторон. Пусть в прямоугольном поперечном
сечении b/c^l (рис. 11.29, а). Используем аналогию Прандтля.
Приближенно форму провисания мембраны, закрепленной на всем
контуре (рис. 11.29, б), представляем как форму, получающуюся
в случае закрепления лишь на двух противоположных длинных
сторонах (рис. 11.29, в). При этом поверхность провисания
цилиндрическая с поперечным сечением, имеющим такую же форму
как и форма провисания нити при воздействии на нее равномерно
распределенной нагрузки, т. е. эта форма — квадратная парабола
(см. 1 том, стр. 159) (рис. 11.29, г). Распор единицы ширины
мембраны определяется по той же формуле, как и распор нити
(формула (2.46))
_ φ*
8/
(11.141)

70
СДВИГ. КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. XI
1
>
\
1
у
'
С
X
|\
Очертание нити, как уже было сказано, представляет собой
квадратную параболу \г> = ах2 + d\ при х = с/2 tt> = 0, при л: = 0 \v—f,
или 0 = а·^- rd, f = d,
отсюда d — f, a= j-, и
уравнение параболы
приобретает вид
j^
*а
δ)
У^ дпюра tZy
\
У
ух
А
к
' t
,
X
V
д)
Рис. 11.29. К построению приближенного
решения (с использованием аналогии Прандтля)
задачи о свободном кручений призмы прямоугольного
поперечного сечения с большим отношением
сторон: а) поперечное сечение призмы; б)
горизонтали мембраны, натянутой на контур,
совпадающей с контуром поперечного сечения призмы
(точная картина); в) то же (приближенная картина);
г) поперечное сечение мембраны; д) эпюра
касательного напряжения на линии, параллельной
короткой стороне поперечного сечення; е)
эпюра касательных напряжений по линиям,
параллельным короткой и длинной сторонам
прямоугольного поперечного сечення скручиваемой
призмы.
П> =
4/
*2 + /·
Согласно аналогии
Прандтля касательное
напряжение выражается формулой
*гу
d\x>
dx
8[_
с2
(11.142)
Величину f, найденную из
(11.141),
/=|4 (1М43)
подставим в (11.142), при
этом получим
— A SL fi — <L
%гУ~ С2 ρ 8 х~~р х>
^гтах
— Тг(/тах — ~~ ~
Ρ 2
(11.144)
Теперь остается учесть в
(11.144) условие (11.132),
при котором выполняется
(11.136). Итак,
%гу = 2Gkzx,
Т^гтах — Δ\ΔΆ,Ζ _ — иУСгС.
(11.145)
Найдем крутящий момент как удвоенный объем, ограниченный
поверхностью провисания мембраны, учтя пос ледова! ельно

§ 11.12] КРУЧЕНИЕ ПРИЗМ ПРОИЗВОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ ■?!
формулы (11.143) и (11.132)
Мг = 2'^сЬ = ±сЬ±^ = ±ЬсЮкг. (11.146)
Отсюда' интенсивность угла закручивания
и, = У' ■ (11.147)
G — без
О
Для получения окончательной формулы для т2тах остается
подставить (11.147) в (11.145)2. В результате такой подстановки будем
иметь
T,m.x = Gc—γ5—= -ρ*-. (11.148)
G j be* -5- 6с2
Согласно (11.142) хгу распределено по ширине поперечного
сечения по линейному закону (рис. 11.29, д).
Определим-, какой момент является статическим эквивалентом
касательных поверхностных сил, эпюра которых изображена на
рис. 11.29, д,
Ш* 3 2 1..2 2 '
Таким образом, статическим эквивалентом касательных сил с
интенсивностью хгу является половина крутящего момента. Вторая
половина создается силами с интенсивностью %гх, неучитываемыми
нами, так как действительная поверхность провисания мембраны
заменена цилиндрической поверхностью. Из рис. 11.29, е, видно,
что %гх достигает максимума в серединах коротких сторон и что
в большей части области тгх<^тгу, но вследствие больших плеч
у сил %гх dF ими создается момент, равный Мг/2, т. е. такой же
момент, как и создаваемый силами %zydF.
Величины Ik и W, что видно соответственно из сопоставления
(11.100) с (11.147) и (11.124)х с (11.148), выражаются
следующими формулами:
Ik = ~bc\ Wk = \bc\
15.2. Применение результата предыдущего
раздела к кручению тонкостенного стержня
открытого профиля. Теперь перейдем к рассмотрению свободного
кручения тонкостенных призматических стержней открытого, т. е.
односвязного профиля (рис. 11.30). Все эти поперечные сечения

72
СДВИГ. КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. Xt
состоят из прямоугольников, и, исходя из аналогии Прандтля,
представляется возможным записать следующую приближенную
зависимость х):
М,
21 Ц Gkz = GIk*,; /* —g- 2 biCh *г = Щ;' {ПЛ49)
Максимальное касательное напряжение в пределах г-го
прямоугольника, входящего в состав
поперечного сечения стержня,
Мгс{
'2 max
ι = GkzCi = ■
(11.150)
15.3. Пример 11.5. Определить
максимальное касательное напряжение в
швеллере, составленном из полос
прямоугольного поперечного сечения (размеры
указаны на рис. 11.31), и интенсивность
угла закручивания, если крутящий
момент равен 0,1 Тм и модуль упругости
материала при сдвиге G= 8· ΙΟ5 к.Г/см2.
ί
Рис. 11.30. Поперечные
сечения тонкостенных
стержней открытого профиля.
I
Ьп=50мм
^=ъ
а"ст=8мм
Рис. 11.31. Поперечное
сечение тонкостенного
стержня открытого
профиля.
Решение. Максимальное касательное напряжение в полке и в стенке
определим соответственно по формулам
Тгтах, π'
гтах, ст
Мгсп
10 000-1,2
1 6псп-2 + |6стсст) у-5. 1.2·.2+ 1.20.О,*
= 1308,6 кГ/слР
3
Мгсст
10 000 · 0,8
|6псп'2+46стсст) 1.5. 1,2».2 + 1.20.0,*
= 872,4 кГ/см\
J) Для учета повышения жесткости за счет сопряжения прямоугольных
участков поперечного сечения иногда вводят коэффициент k в выражение Ik,
Ik = —\ bff (для двутаврового профиля k «s 1,20, для швеллерного—k^a 1,12).

§ 11.12]
КРУЧЕНИЕ ПРИЗМ ПРОИЗВОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ
73
Интенсивность угла закручивания найдем по формуле
Мг
я
С'|«-2 + -3-6с^т
10 000
800 000
(j.5.1,2».2+j.20-0,88)
. = 0,001363 рад/см.
16. Свободное кручение тонкостенного стержня закрытого
профиля.
16.1. Общие положения. Как и в случае кручения
тонкостенного стержня открытого профиля воспользуемся аналогией
Прандтля, но с учетом многосвязности поперечного сечения.
Пусть имеем двухсвязное поперечное сечение скручиваемого
стержня (рис. 11.32, а). Проведем прямолинейный отрезок аЪ
ЩшРо~0
Ξ=ΞΞ25^
»т
^ζ
а)
)
\ \
б)
Рис. 11.32. К использованию аналогии Прандтля прн решении задачи о свободном
кручении призмы двухсвязного тонкостенного сечения (трубы): а) поперечное сечение трубы
и вид сбоку на мембрану, натянутую на внешний и внутренний контуры поперечного
сечения трубы; б) к обоснованию ортогональности полных напряжений отрезку а—Ь,
нормальному к контуру, делящему толщину трубы пополам; в) к обоснованию
равномерности распределения касательных напряжений по толщине трубы.
через точку А нормально к контуру, делящему толщину трубы
в поперечном ее сечении пополам. Будем считать, что отрезок аЬ
нормален не только к контуру, но и ко всем пересекающим его
проекциям горизонталей поверхности провисания мембраны
(рис. 11.32, б). В таком случае во всех точках отрезка аЬ полные
касательные напряжения, согласно аналогии Прандтля,
направлены перпендикулярно к этому отрезку.
Учитывая малую толщину стенки по сравнению с габаритными
размерами поперечного сечения стержня, заключаем, что уклон
поверхности провисания мембраны в направлении, нормальном
к оси контура в разных точках по толщине (рис, 11.32, в), изме-

74 СДВИГ. КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ [ГЛ. 5CI
няется мало и приближенно может быть принят постояннымх).
При таком предположении касательное напряжение распределяется
по толщине стенки равномерно. Эпюра полных касательных
напряжений %г на отрезке ab изображена на рис. 11.32, б.
Величина %г определяется по формуле
T, = tga = ^ = -^, (11.151)
вытекающей из аналогии Прандтля (здесь учтено, что WQ принято
равным нулю).
Крутящий момент приближенно определяется по формуле
Мг = 2&И)! = 2£cPl = 2$τζδ, (11.152)
где % — площадь, ограниченная контуром, всюду делящим толщину
трубы в поперечном сечении пополам.
Μ
Из (11.152) найдем φ1 — -~ и подставим его в (11.151), тогда
_ мг
Величина τζ достигает максимума там, где толщина стенки
двухсвязного тонкостенного поперечного сечения минимальна
Μζ
Tzmax— off A . '
zoumin
Наконец, в связи с двухсвязностью поперечного сечения
необходимо обеспечить следующее равенство:
§
д\ъ
ds = ±%,
dv p
которое в силу аналогии Прандтля представим так:
_ £ J*t ds = 2Gn$; (11.153)
учитывая (11.135) и (11.151), уравнение (11.153) представим так:
&Tgds = 2Gkz%, φχ <т> —- = 2Gk$,
откуда находим пока оставшееся неизвестным значение φχ и
окончательную формулу для %г
Ψι= с ds κ" Хг= С ^ %г' (И-154)
ds
Τ
г) Имея в виду тождественность функций поверхности провисания
мембраны to и Прандтля φ в дальнейшем вместо буквы № будем использовать
букву φ.

§ 11.12] КРУЧЕНИЕ ПРИЗМ ПРОИЗВОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ
75
Подставляя (11.154) в (11.152), получим
г (β)2 .. Мг М,
М,
§
ds_
δ
'^ζ>
у,г — ■
(2ΐ?)2
ds_
δ
Git
h =
§
(23)»
(11.155)
16.2. Пример 11.6. Определить максимальные касательные напряжения
в элементах трехсвязного
поперечного сечения тонкостенного стержня
(размеры даны на рис. 11.33, здесь
же указаны номера контуров) и
интенсивность угла закручивания, если
крутящий момент равен 100 Тм и
модуль упругости материала при
сдвиге G = 800 000 кГ/см*.
Решение. Постоянные значения
функции Прандтля φ на контурах φι
и φ2 нам не известны.
Крутящий момент найдем по
формуле (11.96), которая в
рассматриваемом случае приобретает вид
Мг = 2$!\\\ + 2Ъ2Щ = 2#ιφι + 2#2φ2.
(11.156)
Условия однозначности перемещений w
записываются так:
ρ
h= — $2 = 2СхДг = /2.
(11.157)
В
I
II
*3
1
N
с=1000 мм
Л.
О
7Г
= -=4
df=2L·?мм\,£t=2C}мм
■* »
У
С "
ΊΓ
л,=гомм
л -
//м
:-#гЧОмм
Из этих условий определим φχ и ш2,
входящие в выражения J1 · и У2,
Рис. 11.33. Трехсвязное поперечное
сечение тонкостенного стержня: а) размеры
сечения; б) площади ^ и ^f,.
2, предварительно составив последние:
АВ ВС CD DA
AD
DM
а с а
"φι"δΓ+φι^+φιδΤ +
MN NA
_ φ2-φι φ2 φ2
φι
г-
-Φ2
δ2 С'
Lilft
(11.158)
δ2 ' δι " ' δι u_r δι
Подставляя (11.158) в (11.157), учитывая, что %i = ac и Ъ% = Ьс и
группируя члены, содержащие одинаковые φ/, получим
/2а+с с \ с 0„ Φι , /с , 264-с\ ._ ,
φι (-^- + ^]-q» б-а =2G^c, - ^-с + ф2 ^ + _^j = 2Gk,fc.

76 СДВИГ. КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ [ГЛ. XI
Отсюда находим φί и φ2
φι = 2Gv.!fi1ai, φ2 = 2Gxg82a2,
αι = -
2b + c с \ be
θι TW αδ2 13
2а + с с \(2Ь + с , с \ с2 1940 '
а2 =
δι ^ bj\ δι ^δ2/ δ!
а -|- с с \ , ас
"ζ h V + Ma 21
(11.159)
/2а + с _с_\ (2b + c ,_с_\_^_ 970
\ δι +δ2;\ δχ + 6j δΐ
Подставляя (11.159) в (11.156), найдем
Мг = 2с2 · 2Gxz (α2α! + £>2α2) =
= 4 · 1002 · 800 000 (βΟ2 · -^-+202 -^W = 1647 · Ю»хг.
Отсюда найдем погонный угол закручивания
Μг 107 рад 1 рад __ град
AG (Sjai + ffiaj,) 1647-10» еж 1647 ж ж '
Наконец, находим максимальные полные касательные напряжения по формулам:
на участках АВ и ВС
_ Ц>1 _ 2GjyV'1a1 _ Aig^1a1 _
Tz max —£~ ~ β] ~ 2δ(*?αι + ί^α2) ~~
1 4U 260
2-2(802-1002-w+202-1002w)
на участке Л£>
φι —Фг _ 2Gxz$1<x1 — ff2a2) _ Мг (#ι«ι — ^а«г) _
^max- 02 - δ2 -2δ2(^(Χι + ^α2) ~
ΙΟ7 (β0- ΙΟΟ-ττ^Γ — 20· 100- 2
2 '
"Μ это/ =9EUr/aft
2· 1 ■ί802·1002·-π^ + 202· 1002 2l
1940 ' 970
на участках ΝΑ и ЛШ
_ φ2 _ 2G%J8tfX2 _ Μβ2&2 _
τζ max - "β— - ζ ~ 2δχ (fffa +8$ая) ~~
ΙΟ7· 20 -100- 21
970
13 2Μ = 210 кГ/см*,
2.2^802.1002-Tg4ir+202.1002-970
16.3. Пример 11.7. Сопоставить крутильные жесткости и максимальные
напряжения стержней открытого и закрытого профилей (рис. 11.34, а, б).
Решение. Величины I/it входящие в формулы для крутильных жесткостей
стержней открытого и закрытого профилей, определяются соответственно по

§ 11.12]
КРУЧЕНИЕ ПРИЗМ ПРОИЗВОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ
77
формулам (11.149)2 и (11.155)3, а касательные напряжения—по формулам
(11.150) и (11.154)2, которые применительно к обозначениям рис. 11.34, а
приобретают вид
/откР = ^2.|.бз + 2&б9 + а^=^(а + &))
/закр.
АаЧг
26 +г δ + δ
2аЧ*Ь
а-\-Ь
_откр _ МгО
max ι-οτκρ
к
гэакр
Мг
2вт1а*
Μζδ·3
2№(a + b)
_ Мг
2bab '
Рассмотрим отношение жесткостей и
максимальных напряжений при Ь=а и δ = 0,1α
2aWd · 3
/закр
к
готкр
-.закр
max
тоткр
max
(a + b)263(a + b)
3aW
300α*
Μ,
&{a + by 4α4
2&{a + b) δ(α + &)
= 75,
2bab
3Μζδ
ЪаЬ
α2α 1
=—=0,0(6).
30α2 15
Ш
w-l/l
'
Ι '
δ-
If
#2
r~ с
\
ι
-<
ν
a
•ο
V
Рис. 11.34. Поперечные сечения
тонкостенных стержней: а)
открытого профиля; б) закрытого
профиля.
Производя продольный разрез одной из пластин, образующих стержень
замкнутого профиля, тем самым весьма существенно снижаем крутильную
жесткость (в нашем примере в 75 раз) и повышаем касательные напряжения
(в нашем примере в 15 раз).
16.4. Формула для перемещения ш в
тонкостенном стержне замкнутого профиля при чистом
кручении. Рассмотрим тонкостенный стержень замкнутого
поперечного сечения, фрагмент последнего показан на рис. 11.35, а.
На этом рисунке изображены и две системы осей Μξη —
подвижная и Оху — неподвижная. В подвижной системе ось ξ направлена
по касательной к контуру в текущей его точке М, а η —по
нормали к контуру. Обе системы левые. Исходя из аналогии Прандтля
и допуская некоторую весьма несущественную погрешность, будем
считать, что полные касательные напряжения %г по толщине δ
распределены равномерно и параллельны ξ — касательной к
контуру, т. е. тг| = тг, тгп = 0. Аналогично по толщине δ будем
считать распределенными равномерно и перемещения w.
В неподвижной системе начало координат расположено в точке,
относительно которой момент всех касательных сил (интенсивность
их есть τ?) равен нулю. Такая точка называется центром изкиба,

78
СДВИГ. КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. XI
о ней подробно говорится в главе XII. Оси хну располагаем
произвольно.
Составим выражение %г ds, учитывая, что напряжение %г
направлено вдоль касательной к контурной линии в сторону
возрастания координаты s (против часовой
стрелки при обходе по контуру)
(рис. 11.35, а)
%г ds = (t^cos a-\-Tzys\n a) ds.
(11.160)
Согласно рис. 11.35, б
cos a =
dx
sina =
dy_
ds
(11.161)
Имея в виду (11.70) и (11.161),
формулу (11.160) представим так х):
τ, ds = Gk,
дФ
дх
dx . дФ dy
"57 + "
dy dx
' ds У ds
dy ds
ds. (11.162)
Учитывая обозначения,
изображенные на рис. 11.35, б, имеем
h = ycosa·
dx dy
■χ sin a = y -j χ -~;
тогда формула (11.162) приобретает
вид
τ, ds = Gn,
дФ , ■ . дФ ,
dx + -gy-dy
— G%zh ds,
dx
Рис. 11.36. К установлению связи
между функцией Φ и секторной
площадью; фрагмент поперечного
сечения тонкостенного стержня;
а) полное касательное напряжение
и его составляющие; б) к
установлению геометрических соотношений;
в) пояснение понятия rfco.
Введем обозначение
d(u=h ds.
(11.163)
(11.164)
•Согласно рис. 11.35, в du>
представляет собой удвоенную
площадь заштрихованного треугольника
(сектора). Величину ω называют секторной площадью. Поскольку
выражение в скобках в формуле (11.163) представляет собой
полный дифференциал функции Ф, представим (11.163), учтя при
этом (11.164), следующим образом:
τ, ds = Gy.z (άΦ - dco). (11.165)
г) Здесь учтено, что компоненты ггх и тгу, изображенные на рис, 11,35, а,
положительны (система осей хуг левая),

§ 11.12]
КРУЧЕНИЕ ПРИЗМ ПРОИЗВОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ
79
Если контур поперечного сечения представляет собой
замкнутую линию, то, производя по нему интегрирование выражения
(11.165), получаем
§xgds = Gxg§(dO-du>) = — GnzQ, (11.166)
поскольку
§άω = Ω, $dO = 0. (11.167)
В (11.166) величина ι) Ω —удвоенная площадь, ограниченная
замкнутой контурной линией. Равенство (11.167)2 имеет место
вследствие постоянства значения функции Φ вдоль s.
Нетрудно понять, что интеграл (11.166) является циркуляцией
касательного напряжения (см. формулу (11.108), учитывая при
этом расположение %г вдоль касательной к контурной линии),
вследствие чего (11.166) совпадает с (11.109), но на сей раз
в (11.109) под 5 понимается Ω/2 —площадь, ограниченная
контурной линией замкнутого поперечного сечения тонкостенного
профиля. Различие знаков в (11.109) и в (11.166) вызвано
неодинаковым направлением обхода контура в сопоставляемых случаях.
Найдем из (11.165) функцию Φ путем интегрирования по s
обеих частей этого равенства
S
Ф= [-^-ds-ω + Α. (11.168)
ί 0κ*
Поскольку отсчет ω начинается от точки s = 0 постоянная
интегрирования А представляет собой значение функции Φ при
s = 0
Л=Фи = Ф0. (11.169)
Подставим теперь (11.168) в формулу (11.65), с учетом (11.169)
получаем
S
w = хгФ = — κζω + f -^ ds + хгФ0.
о
Последний член представляет собой перемещение w в точке s = 0:
w\s-q=wq = kzOq.
Таким образом,
s
а> = ю0-хго>+ С if-ds, (11.170)
о
х) При обходе контура против часовой стрелки (рис. 11.35, β) 4ω > 0.

80
СДВИГ. КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. XI
или, подставляя в (11.170) вместо τζ выражение согласно (11.152),
т. е.
_ мг _ мг
ι, — ·
"* ~~ 2?δ ~~ Ωδ '
получим
S
w=wo(z)Jr-^t\[^-^. (11.171)
о
Для исключения wQ (ζ) воспользуемся свойством периодичности
функции w(z) — при полном обходе контура поперечного сечения
стержня вновь получаем то же значение w(z), которое имеется
в точке начала обхода, т. е. w0 (ζ) = w0 (г) -f -qft Φ -£-— κ*Ω,
отсюда
x -J^H^-JL· Γ Ω2 ΠΙ 172}
Подставим в (11.171) выражение для М
GQ%
найденное из (11.172), в результате получим
S
J
ds_
δ
ш (г) = w0 (z) + Ω ° . пг - ηζω,
или
1
α» (г) = йУ0 (г) + Ω -^- κ* — хгсо, (11.173)
Здесь величины 5= \ -^, s° = (T)-r представляют собой приве-
о
денные 'длины соответственно на участке контура длиной s и на
всем замкнутом контуре. Величину Ω/s0 можно назвать средним-
радиусом замкнутого контура и обозначить символом р, тогда
формула (11.173) приобретает вид w (ζ) = w0 (ζ)-{-р5кг — κζω;
w (ζ) = wQ (ζ) — кг (ω — ps), или, например, w (ζ) = w0 (z) — хгб5, где
65 = ω — ρ§ принято называть обобщенной секторной площадью.
Если интересоваться относительным смещением одной точки
относительно другой, то можно положить w0(z) равным нулю и тогда
w(z) = — κζ®, т. е. депланация тонкостенного стержня замкнутого
профиля происходит по закону обобщенной секторной площади.

§ 11.12]
КРУЧЕНИЕ ПРИЗМ ПРОИЗВОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ
81
При свободном кручении Мг сохраняет свою величину по длине
стержня, вследствие чего x£ = Mi/(G/K) =0, поэтому
ю'(2)=_%'г® = 0 (11.174)
и, таким образом, ay (z) = const, т. е. депланация всех
поперечных сечений оказывается одинаковой.
Таблица 11,2
Форма
сечеиня
/к, см*
WK, см»
Точки с
наибольшими
касательными
напряжениями
Примечание
d
* ■■ ■ 5»
J,
4,74d*
2Λ
d
3.35
d? /2Λ\2·82
22,9 I d
и точке А
0,125<-^<0,5
α
D*_
16
D3
в точке А
d/D
0
0,05
0,10
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
α
1,57
0,80
0,82
0,81
0,76
0,66
0,52
0,38
β
1,57
1,56
1,56
1,46
1,22
0,92
0,63
0,38
WAx
χ(Λδ2+6δι-
-δϊ-δ1)-ι,
Λ0 = Λ-2δ2,
ί>0 = ί>-2δ,
№Ki=2A<AA
№κ2=2/ιυί>0δ2
в точке At
в точке И2
Во внутренних
углах имеет место
высокая
концентрация
напряжений; для ее
уменьшения
необходимо делать
закругления
Из формулы (11.174) как частный случай получается формула
и для стержней открытого профиля, для которых Ω=0, а
следовательно, и р = 0, вследствие чего ω = ω, и таким образом
w' (ζ) = — κ'ζω = 0, w (ζ) = w0 (ζ) — кг(й = const.
17. Таблица для расчета призматических стержней
некруглого поперечного сечения на свободное кручение. В табл. 11.2
приведены данные, позволяющие определять максимальные
касательные напряжения, возникающие в поперечных сечениях
некруглых призматических стержней при их свободном кручении.

82
СДВИГ. КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. XI
§ 11.13. Понятие о кручении призматических стержней
произвольного поперечного сечения
при упруго-пластической стадии работы
идеально-пластичного материала
1. Вводные замечания. Пусть имеем призматический стержень
произвольного поперечного сечения, свяжем с ним систему осей
xyz, поместив начало координат в центре тяжести одного из
торцов, направив ось ζ вдоль оси призмы, а оси χ и у расположив
в плоскости торца. Будем считать, что стержень подвергнут
воздействию внешних крутящих моментов Шг, приложенных к
торцам и вызывающих свободное кручение. В поперечных сечениях
возникают одинаковые по величине крутящие моменты Мг = дЛг.
Будем считать, что диаграмма напряжений τ = τ(γ) имеет вид
диаграммы Прандтля. Отметим два характерных значения Мг: Μζτ —
крутящий момент, при котором в наиболее напряженных точках
поперечного сечения возникают касательные напряжения, равные
пределу текучести τΤ, и Мг0 — крутящий момент, при котором
во всем поперечном сечении касательные напряжения оказываются
равными тт.
Рассмотрим работу стержня при Мгт^Мг^Мг0. Иными
словами, будем считать, что материал в части объема призмы
работает в упругой стадии, а в остальной —в пластической.
Необходимо, во-первых, установить те положения теории, которые верны
для обеих указанных областей, во-вторых, отдельно для каждой
из областей установить положения, верные только именно для
нее, и, наконец, сформулировать условия, позволяющие
установить границу между областями.
2. Положения, справедливые как для области, в которой
материал работает в упругой стадии, так и для области, где
материал работает в пластической стадии.
а) Объемные силы не учитываем, полагая
X = y = Z = 0. (11.175)
б) Считаем, что боковая поверхность призмы свободна от
поверхностной нагрузки. По торцам действуют только касательные
поверхностные силы, статическим эквивалентом которых являются
внешние крутящие моменты дЯг. Именно эта поверхностная нагрузка
должна быть отражена в граничных условиях.
в) Предполагаем, что напряженное состояние характеризуется
функциями, не зависящими от г. При этом из шести компонентов
напряжений отличными от нуля являются только два:
^гу = тгу(х, у)фО\ (11.176)
<7* = σ# = σ, = τ^=0. )

I 11.13] УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОЕ КРУЧЕНИБ ЛЮБЫХ ПРИЗМ 83
г) Должны быть удовлетворены уравнения равновесия (5.59).
Если учесть (11.175) и (11.176), то два первых из этих
уравнений удовлетворяются тождественно в форме 0ξ=0, а третье
приобретает вид
дхгх дт?..
+ -^Г = 0. (1Ы77)
дх п ду
Это уравнение может быть удовлетворено, если %гх и %гу выразить
через некоторую функцию ψ в следующей форме:
(11.178)
τζχ ду ,
_ д\р
%гу~ ~дТ
действительно, при этом получаем (11.177) в таком виде:
32ψ £2ψ
дх ду дх ду
= 0, 0 = 0.
д) На боковой поверхности призмы, где нормаль к элементу
этой поверхности имеет следующие направляющие косинусы
(см. рис. 11.18):
/ = cos (ν, χ) = cos α,]
tn = cos {ν, у) =ύηα,\ (11.179)
η = cos (ν, ζ) = 0, J
должны выполняться условия
Первые два из них, учитывая (11.176) и (11.179), выполняются
в форме 0==0, третье — приобретает вид
||-cos(v, χ) - -Ц- cos (v, y)=Q на Г. (11.180)
Поскольку, согласно (11.78),
cos(v, x) = dl,
αχ
cos (v, y) = —Is на Г,
(11.180) получаем в следующем виде:
&ύ> dy . 5ψ dx ,, /11 ιοί\
f i + Wd7=0 на *· (11Л81)

84 СДВИГ. КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ [ГЛ. XI
Применяя правило дифференцирования сложных функций,
условие (11.181) представим так:
~- = 0, ψ = const на Г.
Для односвязных поперечных сечений можно положить
ψ = 0 на Г. (11.182)
3. Условия, которые должны выполняться в области упругой
работы материала. Помимо условий равновесия в упругой
области должны выполняться и условия совместности деформаций.
Из шести условий Бельтрами, если учесть (11.175) и (11.176),
первые четыре выполняются тождественно в форме 0 == 0, а пятое и
шестое приобретают вид
Δτ^ = 0, Лтгл = 0. (11.183)
Если подставить (11.178) в (11.183), то получим1)
Α Δψ(νπΡ> = 0, ~ Δψ(νπρ> = 0.
Следовательно,
A^(ynp) = C = const. (11.184)
Введем обозначение для константы в правой части (11.184) С =
= — 20кг. В результате получим уравнение
Δψ(Υπρ)==_2(}κ2,
в предыдущем параграфе выведенное иным образом
относительно функции Прандтля. Граничным условием для ψ(νπΡ>
является (11.182).
4. Условие, которое должно выполняться в области
пластической работы материала. В области пластической работы
материала должно выполняться условие пластичности. Примем это
условие в форме Мизеса (см. гл. VIII, § 3, формула (8.21))
-—■ V{gx - σ2)2 + (σ2 - σ3)2 + (σ3 - σχ)2 = σ?
или
Κ - σ2)2 + (σ2 - σ3)2 + (σ3 - σχ)2 = 2σ*. (11.185)
Сопоставление интенсивности напряжений при осевой деформации
и при чистом сдвиге приводит, как это, в частности, было
показано в (11.60), к зависимости σ=]/3τ, откуда имеем и
σΤ. = /3τΤ. (11.186)
1) Индекс (упр) указывает на то, что рассматривается тот частный случай
функции ψ, который относится к области упругой работы материала,

§ 11.131 УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОЕ КРУЧЕНИЕ ЛЮБЫХ ПРИЗМ #5
Таким образом, подставляя (11.186) в (11.185), получим условие
текучести Мизеса в следующем виде:
т [(σχ - σ2)2 + (σ2 - σ3)2 + (σ8 - σ^2] = τ?,
или, вспоминая выражение второго инварианта девиатора
напряжений, получим
j [(σ, - σу)2 + (σ„ - σ,)2 + (σ, - σ*)2] + τϊ„ + τ£2 + τί* = τ?.
В нашем случае, если учесть (11.176), будем иметь
т!, + т!х = < (11.187)
или, подставляя в (11.187) их выражения, согласно1) (11.178),
Левая часть полученного уравнения представляет собой квадрат
градиента 4>(пл), который, как известно, является наибольшим
уклоном поверхности 4>(пл). Итак, поверхность яр<пл> = ψί1™) (χ, #)
в области пластических деформаций представляет собой,
поверхность с постоянным углом ската.
Если бы все поперечное сечение было охвачено пластической
деформацией, то над всем ним следовало бы построить поверхность
с постоянным углом ската. Для наглядного изображения этой
поверхности можно было бы поступить следующим образом:
изготовить из картона пластину (по форме и размерам повторяющую
поперечное сечение скручиваемой призмы) и, расположив ее
горизонтально, насыпать на нее сухой песок в количестве,
превышающем то, которое может удержаться на ней. Образовавшаяся насыпь
будет ограничена поверхностями естественного откоса —это и будет
поверхность постоянного ската яр(пл) (рис. 11.36). Функция ψ*"·"),
что видно из (11.188), не зависит от интенсивности угла
закручивания.
5. Установление границы между областями упругой и
пластической работы материала в поперечном сечении. Отмеченная
в заголовке граница характеризуется тем, что в точках,
расположенных на ней, полные касательные напряжения
Τ-ζ = V Τ>ζχ ~τ~ Т'гу
достигают величины τ.Γ; по одну сторону от этой границы лежит
область в точках которой тг<тт, а по другую τζ = ττ. На
х) Индекс (пл) подчеркивает, что рассматривается тот частный случай
функции ф, который относится к области пластической работы материала.

86
СДВИГ. КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. XI
Рис. 11.36. К кручению призмы в упруго-пластической области работы материала!
а) поверхности равного ската, построенные при помощи сухого песка, насыпанного.на
плоскую горизонтальную платформу, повторяющую размеры и форму поперечного
сечения скручиваемой призмы; б) экспериментальное установление границы областей
упругой и пластической работы материала — разрез экспериментальной установки; в) план;
г) аксонометрия; / — контур — рамка (из жесткой проволоки), по очертанию повторйю-
щая контур поперечного сечения скручиваемой призмы; 2 — поверхность равного ската,
изготовленная из твердого прозрачного материала и опирающаяся на контурную рамку;
3 — мембрана, натянутая на контурную рамку до приложения к ней поперечной нагрузки;
4 — равномерное давление интенсивности q, передаваемое на мембрану! 3' — положение
мембраны при q = qt\ 3" — положение мембраны при q = qz (q2 > q{); 3'" —
положение мембраны при q =■ q» (q* > q^Y, 5 — область (заштрихована) контакта мембраны
и поверхности равного ската при q = qt; 6 — проекция области контакта мембраны и
поверхности равного ската на поперечное сечение призмы; 7' — проекция гра:!.чцы
области контакта мембраны и поверхности рапного ската при q = qL; 7" — то же πρι η == 172;
7"' — то же при q — 17,.

§ 11.13] УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОЕ КРУЧЕНИЕ ЛЮБЫХ ПРИЗМ
87
границе областей т<упр} ==т£л,| т^пр) =т<пл\ или
""1у ~~ду~' дх ~ ~ΈΓ' (11.189)
Имея в виду (11.189), заключаем, что
ψ(γπρ) = ^(пл) Ц_ С,
Если в какой-либо из точек границы между областями упругой
и пластической работы материала
ψ<νπΡ)=ψ(™), (11.190)
то С = 0, и равенство (11.190) справедливо на всей границе
областей.
Опытным путем обсуждаемую границу между областями можно
построить так. Изготовить из прозрачного листового материала
(стекло или подобный ему материал) поверхность равного ската
на плоском контуре, совпадающем с контуром поперечного
сечения скручиваемой призмы. Далее на этот плоский контур
натянуть мембрану и снизу действовать на нее равномерно
распределенной нагрузкой. При некоторой нагрузке на мембрану
последняя в некоторой области достигнет поверхности равного ската и
совпадет с нею. Этот момент опыта соответствует такой работе
призмы, при которой под свободной частью мембраны
располагается область упругой работы материала, а под касающейся
поверхности равного ската — область пластической работы
материала. По мере увеличения нагрузки область соприкасания
мембраны и поверхности равного ската (т. е. область пластической
работы) увеличивается (рис. 11.36). Крутящий момент при упруго-
пластической работе поперечного сечения скручиваемой призмы
определяется по формуле (использованы формулы (11.178))
Мг = J \ (%гхУ~Хг^ dxdy=\) (-Jjj-У + 1ьГ х)dx аУ-
В § 11.12 было показано, что в случае односвязного поперечного
сечения призмы и при условии (11.182)
Мг = 2 J J ψ dx dy.
Иными словами, удвоенный объем, ограниченный мембраной (на
части поверхности, упершейся в поверхность равного ската и на
другой части, не касающейся этой поверхности) и плоскостью
контура, на который она натянута, равняется крутящему моменту.

88 СДВИГ. КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ [ГЛ. XI
§ 11.14. Кручение круглых валов переменного диаметра
1. Вводные замечания. В настоящем параграфе описывается
общая картина напряженно-деформированного состояния круглого
вала переменного диаметра без подробного решения какого-либо
конкретного примера.
Рассматривается тело вращения, к торцам которого приложены
внешние крутящие моменты, при этом распределение касательных
сил на торцах, создающих эти моменты, выполняется по некото-,
рому закону, заранее не задаваемому.
Основной математический аппарат для решения такой задачи
был дан в § 9.12.
Было отмечено, что часть составляющих перемещений,
компонентов деформации и напряжений обращается в нуль
u = w = Q; εΓ = ε^ = ег = γ^ = 0; σΓ = σ# = σζ = τΓΖ = 0.
Остающиеся ненулевыми функции и, уг#, уг$, тнь τζ$ связаны
между собой следующими зависимостями: уравнениями (Коши)
совместности деформаций и перемещений
ди υ dv /ι ι im\
Yr* = ^:-y, Y**=a£. (11.191)
уравнениями совместности деформаций, выраженными через
напряжения,
ΔτΓβ.-;ττ^ = 0, Δτ^-^τ^=0; (11.192)
уравнением равновесия
дг "*" dz "+" г _υ
и уравнениями закона Гука
trb = GyH>, τ^ = Gvrt·. (11 · 193)
Если представить напряжения через функцию φ, называемую
функцией напряжений
τ*>=-"^"Ιτ' τ** = ^' (11.194)
то уравнение равновесия удовлетворяется.
Для отыскания самой функции φ служат условия
совместности деформаций (11.192), которые после подстановки в них (11.194)
оба приобретают вид:
Ш~Тд£ + Ш = °- ("-«95)
Граничным для функции φ является условие отсутствия
касательной нагрузки на боковой поверхности вала, согласно кото-

§ 11.14] КРУЧЕНИЕ КРУГЛЫХ ВАЛОВ ПЕРЕМЕННОГО ДИАМЕТРА 89
рому полное касательное напряжение τ^ в осевом
у контура располагается по касательной к контуру
т. е. проекция этого напряжения на ν —нормаль
равна нулю
T^sina = 0. (11.196)
сечении вала
(рис. 11.37),
к контуру —
V
Tfly cos a ■
Здесь
dz
C0Sa = Ts>
dr
sin a = -j-.
ds
(11.197)
Подставляя (11.194)
(11.196), получаем
и (11.197) в
dcp dz . дц> dr_ ^
dz ds dr ds
(11.198)
Имея в виду формулу
дифференцирования сложных функций, представляем
(11.198) в следующем виде:
д^ = 0
ds υ·
(11.199)
Рис. 11.37. Осевое сечение
круглого вала переменного вдоль его
оси радиуса; касательное
напряжение вблизи контура, осевого
сечения вала.
Зависимость (11.199) и является граничным условием для φ,
используемым при интегрировании уравнения (11.195). Таким
образом, последовательность решения задачи следующая.
1. Находится функция φ путем интегрирования уравнения
(11.195) при выполнении граничного условия (11.199). Этим
обеспечивается выполнение условий совместности деформаций.
2. Находятся компоненты напряжений т®г и τ#ζ по формулам
(11.194). Этим самым обеспечивается соблюдение равновесия тела.
3. Путем использования уравнений закона Гука (11.193)
определяются компоненты деформации у$г и у$г.
4. Определяется перемещение ν путем интегрирования
уравнений (11.191).
2. Понятие о поверхности равных углов поворота. При
кручении круглых валов переменного диаметра в отличие от круглых
цилиндрических валов совокупность точек, располагающихся до
деформации на радиусе поперечного сечения, оказывается в
результате деформации на некоторой кривой линии. По-другому
картину деформации можно пояснить так. Если мысленно
представить вал, состоящим из концентрически расположенных тонких
элементарных трубок, то в процессе кручения вала поперечные
сечения этих трубок, лежащие в одном и том же поперечном
сечении вала, поворачиваются на разные углы.
В утрированном виде это показано на рис. 11.38, где
изображены поперечные сечения трубчатых слоев вала до и после
деформации, на которых, для того чтобы следить за поворотами
сделаны отметки. Из рисунка очевидно, что ψ — угол крутильного

90
СДВИГ. КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. XI
поворота кольца радиуса г находится по формуле
t = -f. (11.200)
Теперь представим себе, что аналогичные отметки сделаны
в нескольких соседних поперечных сечениях и при этом так, что
Рис. 11.38. Перемещения точек,
лежащих на радиусе
поперечного сечения круглого вала
переменного вдоль его оси радиуса:
а) отметки на концентрических
слоях вала, сделанные на
радиусе поперечного сечения (до
деформации) вала; б)
расположение отметок в результате
деформации.
Рис 11.39. К построению линии равных поворотов
в круглом валу переменного вдоль его осн радиуса;
а) проекции следов фронтальной осевой плоскости
(А — проекция следа на поверхности равных
поворотов; I, II, III и IV — проекции следов на
плоскостях, перпендикулярных оси вала; кривая,
ортогональная А — проекция следа на боковой
поверхности); б) проекция на плоскость, перпендикулярную
оси вала; О — проекция следа осевой плоскости,
составляющей с фронтальной угол ψ; В — проекция
следа фронтальной плоскости; 1, 2, 3, 4 — проекции
концов радиусов, лежащих в плоскостях I, II, III,
IV; Г, 2', 3', 4' — проекции концов упомянутых
выше искривившихся первоначально направленных
вдоль радиусов отрезков (пересечения этих проекций
искривившихся отрезков с линией О^В — суть
проекции точек линии равных поворотов).
радиусы, на которых располагаются отметки до деформации лежат
в одном и том же осевом сечении вала (по одному радиусу в
каждом поперечном сечении вала (рис. 11.39, а)).

§ 11.14] КРУЧЕНИЕ КРУГЛЫХ ВАЛОВ ПЕРЕМЕННОГО ДИАМЕТРА 91
Картина, получающаяся после деформации, изображена на
рис. 11.39,6, где цифрами 1, 2, 3, ... обозначены концы
радиусов, лежащие до деформации вала в одном и том же осевом
его сечении, но в разных поперечных сечениях; теми же
цифрами со штрихами отмечены концы этих же искривленных
радиусов после деформации (под термином искривленный радиус
здесь понимается совокупность материальных точек). Если теперь
провести осевое сечение В, составляющее с сечением 0, где
первоначально располагались радиусы, угол ψ, то точки пересечения
искривленных радиусов (т. е. испытавших деформацию) с
плоскостью отметят те поперечные сечения колец (они лежат в
плоскостях разных поперечных сечений), которые при деформации
повернулись на один и тот же угол.
Увеличивая число поперечных сечений на рассматриваемом
участке по длине вала, за счет их сгущения, получим на
плоскости В плавную кривую, образованную точками пересечения с этой
плоскостью искривленных радиусов или, иначе, образованную
точками вала, совершившими в составе поперечных сечений колец
одинаковый крутильный поворот. Таким образом, в плоскости
осевого сечения вала можно отметить точки, располагающиеся до
деформации вала на кривой, которая в результате деформации
вала, оставаясь плоской, повернется на угол ψ вокруг оси вала.
Эта кривая ортогональна контурной кривой в осевом сечении
вала. Вследствие осевой симметрии крутильной деформации точно
такая же кривая может быть отмечена в любом из осевых
сечений. Эти кривые образуют поверхность вращения, ортогональную
боковой поверхности вала. Совокупность точек, лежащих на этой
поверхности при кручении круглого вала переменного диаметра,
поворачивается как жесткий диск. Эта поверхность, в случае если
вал становится круглым цилиндром, превращается в плоскость
поперечного сечения, а ее меридиан превращается в радиус
круглого поперечного сечения цилиндра. Если вал имеет коническую
форму, эти поверхности становятся сферическими с центром в
вершине конуса.
Уравнение обсуждавшейся выше поверхности вращения, все
точки которой поворачиваются как жесткий диск, может быть
легко получено. Воспользуемся уравнениями закона Гука (11.193),
подставив в них вместо сдвигов у^ и уг$ их выражения, согласно
(11.191), а вместо тг$ и тг# — их выражения через функцию φ;
в результате получим
~~ 7^lh ~ \дг ~ Т)' n"dr~U~dz'
или
Ι δφ _ „ д I и \ 1 δφ _ „ д_ Ι υ\
~~ή~Έ~ог д~г [Τ)· ^ а?-ог aTv~/'

92 СДВИГ. КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ"
или, наконец, учитывая (11.200)
[ГЛ. XI
dz дг '
(11.201)
Продифференцируем первое из равенств (11.201) по г, а второе
^Р = Qr3d_f
дг dz
по ζ
^φ _ п д (,дМр
dzdr
дг
дг
д\ _
дг dz
= о£(г>%). (11.202)
Ввиду одинаковости левых частей в обоих равенствах (11.202)
имеем равенство и правых частей, которое после сокращения на G
прибретает вид:
дг
0ψ
дг
+
dz
0ψ
dz
а но,
или
d*ty 3 d-ψ дЦ> _ п
а7* ~*~ Τ дг 'Т' ~dz* ~~
Решением этого уравнения является функция ty = \|)(r, г),
показывающая крутильный угол поворота плоского кольцевого эле·?
мента с координатами г и г (рис. 11.40, а). Если положить
величину ψ постоянной, ψ (г, r) = C = const, то каждому значению С
<Сяя? тбершсти
<p~const
δ]
\
В)
Рис. 11.40. Пояснение к понятию поверхности равных углов ι/оворота: а) бесконечно
узкий кольцевой элемент поперечного сечения с координатой г, поворачивающийся как
жесткое целое относительно оси г при кручении вала; б) поверхность равных поворотов,
образованная линиями, расположенными в разных поперечных сечениях, но имеющими
одинаковый поворот относительно оси г; в) след поверхности равных поворотов на осевой
плоскости,
будет соответствовать поверхность (рис. 11.40, б, в), которая как
жесткое целое поворачивается на угол ·ψ. Вал в целом
представляет собой совокупность таких поверхностей, плотно заполняющих
его объем,

§ 11.14] КРУЧЕНИЕ КРУГЛЫХ ВАЛОВ ПЕРЕМЕННОГО ДИАМЕТРА »о
3. Картина деформации в локальной области. Весь материал
скручиваемого тела вращения испытывает чистый сдвиг. Все тело
вала можно представить состоящим из элементарных пластинок,
подвергнутых чистому сдвигу. Каждая из них располагается
нормально к одному из меридианов поверхности равных углов
закручивания. Эти пластины испытывают тем больший сдвиг, чем дальше
от оси вала они располагаются (рис. 11.41). Весь объем вала
Рис. 11.41. Чистый сдвиг элементов, нормальных линий равных поворотов.
можно представить состоящим из элементарных трубок
(переменного вдоль оси ζ радиуса), срединная поверхность каждой из
которых является поверхностью равных сдвигов, ортогональной
поверхностям равных углов закручивания. Отмеченные выше
элементарные пластинки, испытывающие чистый сдвиг, входят в
состав этих трубок. Рассмотрим две соседние поверхности равных
углов закручивания, находящиеся друг от друга на расстоянии ds,
измеренном вдоль меридиана вала (рис. 11.42, а), такие, что
крутильный поворот всей первой поверхности с координатой s
представляет собой ψ, а второй поверхности — с координатой s-\-ds —
равен ψ + ίίψ. Вырежем сектор из слоя между этими
поверхностями (рис. 11.42, а, б). Поскольку одна поверхность по
отношению к другой повернулась на dty вокруг оси г, перемещение
точки с на меридиане второй поверхности, совершаемое при этом,
равно cc'=rdty. Здесь г —радиус дуги ее'. В частности, если
точка располагается на поверхности вала (рис. 11.42, в),
то
аа' = R dty.
С другой стороны (рис. 11.42,6)
ее' = уг dst аа' = yR ds.

94
СДВИГ. КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. XI
Отсюда
dty
ds
и
^-Ο,,-flrf, τβ-Οτβ = 0*2.
Напряжение т(г) действует на площадке, нормальной оси ft
Рис. 11 42 Картина деформации круглого вала переменного вдоль его оси радиусаг
а) вал и элементарный сектор вала, заключенный между двумя поверхностями равных
поворотов расположенными бесконечно близко одна от другой; б) изображение
указанного выше сектора — до и после деформации; в) след на осевой плоскости поверхностей
одинакового поворота, ограничивающих выделенный сектор; г) пластинчатые элементы
сектора н напряжения, вызывающие их чистый сдвиг; д) полное касательное
напряжение в осевом сечении вала у его контура н составляющие этого напряжения;
треугольный элемент осевого сечения с ребрами ds, dr, аг.
(рис. 11.42,г), поэтому его можно обозначить: т(г) =τ#.
Напряжение τ# раскладывается на две составляющие в осях гиг: %$г и
τ$ζ (рис. 11.42, д)\ при этом
τ(/) = τ<> = т$г cos a -f 'tflr sin ά.

§ 11.15] КРУЧЕНИЕ НАСЛЕДСТВЕННО-УПРУГОГО ВАЛА 95
§ 11.15. Свободное кручение призматического стержня
из наследственно-упругого материала (пример применения
принципа Вольтерра)1)
Пусть задача решается в функции напряжения Прандтля2):
Для φ имеем
Δφ = —2 внутри D,
φ = const на Г;
D и Г —область, занятая сечением стержня, и ее граница (для
простоты взято односвязное сечение). Ясно, что φ от упругих
постоянных не зависит и полностью определяется геометрией
сечения.
Для интенсивности угла закручивания хг имеем
_ мг
Кг~ GIK '
где GIK — жесткость при кручении, GIK = 2G J jj φ (χ, y)dx dy.
Πόλο
ставляя выражение для %г в формулы для тгх, тгу, находим
%гх~ /к ду ' %гу~ U дх'
Так как φ и /к не зависят от упругих постоянных, то и
напряжения от них не зависят. Значит, согласно принципу Вольтерра3),
в наследственно-упругом теле напряжения будут такими же, как
в упругом. В частности, если крутящий момент меняется во
времени по закону M = M(t), то
т„(0=м(в^|. т.,(о=-м<о£г!.
т. е. изменение напряжений мгновенно следует за изменением
момента.
*) § 11.15 написан Ю. Б. Шулькиным.
2) Имеется в виду, что φ = φ/(κ20) (φ—функция Прандтля в той ее форме,
которая использована в предыдущих параграфах).
3) Вито Вольтерра (1860—1940) итальянский математик и механик.
Описание его жизни и деятельности с анализом полученных им научных
результатов дано в книге: Полищук Ε. Μ. Вито Вольтерра.—Л.: Наука, 1977.

96
СДВИГ. КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. XI
Перейдем к определению погонного угла закручивания хг для
стержня из наследственно-упругого материала. Снова применяя
принцип Вольтерра, получаем вместо вышеприведенной формулы
для хг следующую формулу:
М*) = 7£^гМ*(9.
или в подробной записи
Mg(t)
G
Μ.
ι
Здесь g(t — τ) — ядро ползучести для чистого сдвига. В чадтном
случае Мг = const имеем
<^Мг
м,
+ §g(t-T)
άτ
^-[1+Λ(/)],
где Λ (ή— функция ползучести при чистом сдвиге, определяемая
экспериментально. Таким образом, при Мг = const в стержне из
наследственно-упругого материала напряжения не меняются, а угол
закручивания нарастает по такому же закону, по какому растут
деформации сдвига в этом материале при постоянных касательных
напряжениях.

Глава XII
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ
§ 12.1, Предварительные замечания
Рассмотрим один из элементарных видов деформации стержня —
изгиб, характеризующийся тем, что при нем происходит изменение
кривизны оси; в частности, если первоначально ось стержня
прямолинейна, то при изгибе она становится криволинейной.
Изгибаемый стержень называется балкой г).
Изучение начнем с простейшего случая — чистого изгиба
призматического стержня, т. е. такого изгиба, при котором
изгибающий момент по всей длине балки отличен от нуля и одинаков
во всех сечениях, все же остальные моменты и усилия равны
нулю
Λί* = const; N = Qx = Qy = My = Mz==0 (xy). (12.1)
После этого будут рассмотрены и более сложные случаи изгиба—.
в частности, поперечный изгиб, при котором отличны от нуля и
изгибающий момент и поперечная сила, остальные же усилия и
моменты по всей длине балки равны нулю.
В теории упругости термин чистый изгиб призматического
бруса подразумевает такую деформацию, при которой, кроме
условий (12.1), имеет место строго определенное распределение
на торцах поверхностной нагрузки, статическим эквивалентом
которой являются моменты Ш, а именно распределение этой
нагрузки по линейному —в зависимости от у (или л;) —закону, если
чистый изгиб происходит в плоскости Oyz(Oxz). При этом во всем
брусе отсутствуют не только поперечные и продольные силы и
крутящий момент, но и самоуравновешенные в пределах
поперечного сечения напряжения, в том числе касательные
напряжения, а следовательно, если учесть закон Гука, то отсутствуют
и сдвиги.
*) Балкой принято называть и стержень, преимущественно
испытывающий изгиб, т. е. стержень, испытывающий, возможно, и другие вида
деформаций. Если изгиб возникает лишь при потере устойчивости
первоначальной формы равновесия (сжатый стержень), то стержень балкой не
называется.

98
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. XII
На рис. 12.1, а, б показаны такие случаи нагружения
призматического бруса, которые вызывают в нем чистый изгиб
в понимании сопротивления материалов. При этом случай,
изображенный на рис. 12.1, а, является чистым изгибом и
в смысле теории упругости, а случай 12.1, б с позиций теории
упругости не является чистым изгибом, так как существует
самоуравновешенная доля у нормальной поверхностной нагрузки,
приложенной к торцу. Исследования этого случая
средствами теории упругости намного сложнее исследования
(^
γ
к
■Ж
т
Ψ\
Ы
— ·****»->
ч.
■J
δ)
Рис. 12.1. Чистый изгиб балки: а) чистый изгиб и в смысле сопротивления материалов,
м в смысле теории упругости; 6) чистый изгиб лишь в смысле технической теории (сопро«
тнвлепня материалов).
чистого изгиба. Штриховой дуговой стрелкой на обоих рисунках
12.1 показаны моменты Ш, являющиеся статическим
эквивалентом распределенных по торцу поверхностных сил. Имея в виду
принцип Сен-Венана, можно утверждать, что напряженные
состояния в случаях, изображенных на рис. 12.1, существенно отличаются
одно от другого лишь вблизи торцов.
На рис. 12.2 изображена балка на двух опорах с консолями;
нагрузка, действующая на нее, такова, что в средней (между
опорами) части
М*== Ρα = const, Qje = Qy = N = My = MltssQ.
В смысле сопротивления материалов эта средняя часть балки
подвергается чистому изгибу. В смысле же теории упругости
средняя часть балки не находится в состоянии чистого изгиба —
здесь при строгом решении проблемы обнаруживаются
самоуравновешенные в пределах поперечного сечения, в том числе
касательные, напряжения.
В этой главе предполагается, что материал балки линейно
упруг. Исключением являются последние два параграфа.
Рассматривается геометрически линейная постановка задачи, т. е.

§ 12.2] ДЕФОРМАЦИЯ ПРИЗМЫ ПРИ ЧИСТОМ ИЗГИБЕ 99
те случаи, в которых перемещения, связанные с деформацией,
малы по сравнению с габаритными размерами поперечного
сечения (точнее, в рассматриваемом случае мал по сравнению с
единицей квадрат угла поворота поперечных сечений).
Рис. 12.2. Балка, средний участок которой (между опорами) подвергнут чистому изгибу
в смысле технической теории (сопротивления материалов).
Начало исследования изгиба, как и других видов деформации,
состоит в построении эпюр усилий и моментов в рассматриваемых
балках, подвергнутых тем или иным внешним воздействиям. Эта
часть исследования для самого общего случая деформации и для
частных случаев, включая сюда и изгиб в различных его
разновидностях, была выполнена в §§ 1.13 и 1.15.
§ 12.2. Характер деформации призматического бруса
при чистом изгибе
Проследим за картиной деформации призматического бруса
прямоугольного поперечного сечения при чистом изгибе,
наблюдаемой в эксперименте. С целью получения заметных деформаций
для наглядности в эксперименте используем брус из такого
упругого низкомодульного материала, как резина.
На рис. 12.3, а показан брус до деформации; изображена
эпюра поверхностной нагрузки на торцах (линейный закон
распределения по высоте), создающей моменты Ш, которые изгибают
брус (балку). На боковую поверхность призматического бруса
нанесена сетка, образуемая системой равноотстоящих линий,
параллельных оси призмы, и системой равноотстоящих замкнутых линий,
лежащих в плоскостях поперечных сечений. Нанесена сетка
ортогональных линий и на торцы; линии этой сетки параллельны
сторонам прямоугольного торца.
После деформации брус приобретает вид, показанный на
рис. 12.3, б, продольные линии на боковой поверхности
искривляются; волокна, лежащие.;в.некотором слое, называемом
нейтральным, первоначальной длины своей не изменяют; в
призматическом брусе прямоугольного поперечного сечения нейтральный
слой расположен по середине высоты. Волокна, лежащие по одну
сторону от нейтрального слоя, удлиняются, а по другую —

100
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. XII
Рис. 12.3. Характер деформации балки прямоугольного поперечного сечения при чистом
изгибе: а) балка до деформации с сеткой линий, нанесенных на ее поверхности, и нагрузка,
вызывающая чистый изгиб; б) балка, испытавшая чистый изгиб; е) поперечное сечение
балки прямоугольного сечения, испытавшей изгиб; е) балка, загруженная моментами на
торцах, создаваемыми нагрузкой, распределенной не по линейному закону; д) характер
деформации балки, изображенной на фиг. г; е) поперечное сечение около торца (после
деформации) в балке, изображенной на фиг. г.

§ 12.2] ДЕФОРМАЦИЯ ПРИЗМЫ ПРИ ЧИСТОМ ИЗГИБЕ Щ
укорачиваются; удлинение или укорочение волокон получается
тем большим, чем дальше от нейтрального слоя расположено
волокно. Поперечные замкнутые линии, плоские до деформации,
остаются плоскими и после деформации; при этом, если до
деформации они лежали в параллельных плоскостях, то после
деформации — в плоскостях, образующих некоторые углы, отличные
от нуля, тем большие, чем дальше друг от друга расположены
линии. Стороны этих замкнутых линий, лежащие до деформации
в боковых плоскостях, остаются прямолинейными и
ортогональными к искривленным продольным линиям.
На рис. 12.3, в показано поперечное сечение бруса до и после
деформации. Верхняя и нижняя линии контура сечения в
результате деформации получаются криволинейными. В сжатой зоне
бруса, в силу эффекта поперечной деформации, происходит
расширение, а в растянутой —сужение поперечного сечения по
сравнению с первоначальной его шириной. Отмеченное
расширение и сужение тем больше, чем дальше слой расположен
от нейтрального. Угол а, изображенный на рис. 12.3, в, во всех
поперечных сечениях получается одинаковым.
Торцы бруса, плоские до деформации, остаются плоскими и
после деформации. Сетка линий, нанесенная на торцы, оставаясь
ортогональной, испытывает деформацию. Прямые линии,
первоначально параллельные двум боковым граням бруса, остаются
прямолинейными и поворачиваются друг относительно друга
на тем больший угол, чем было больше расстояние между ними
до деформации. Линии сетки на торце, параллельные верхней и
нижней граням, искривляются.
При этом линия, расположенная по середине высоты торца
бруса, длины своей не изменяет, а линии, расположенные выше
(ниже) нее, удлиняются (укорачиваются) и в тем большей мере,
чем больше расстояние линии от середины высоты торца (от
нейтрального слоя). Верхняя и нижняя грани бруса, плоские
до деформации, приобретают форму криволинейных поверхностей
отрицательной гауссовой кривизныг). Боковые грани становятся
линейчатыми поверхностями. Описанная картина деформации
сохранится при любых соотношениях размеров прямоугольного
параллелепипеда, которым является брус.
х) Гауссовой кривизной поверхности в точке А называется величина
/С = 1/(^?1^?г)» гДе #ι и #2 — радиусы главных кривизн в точке А, т. е.
максимальный и минимальный радиусы из числа радиусов кривизн всех кривых
(нормальных сечений), образуемых на поверхности, как следы пересечения
плоскостей, проходящих через нормаль к поверхности в точке А. Если центры
главных кривизн расположены на нормали к поверхности по разные от нее
стороны, то гауссова кривизна отрицательна. При расположении обоих
центров по одну сторону от поверхности гауссова кривизна положительна,

102
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. XII
При другом законе распределения внешних поверхностных
сил, приложенных к торцам и создающих такой же по величине,
как и в первом случае, внешний момент, который вызывает чистый
изгиб бруса (см., например, рис. 12.3, г), получается несколько
иным и характер деформации бруса (см. рис. 12.3, д, е). Однако
это различие ощутимо лишь в небольших областях, примыкающих
к торцам. Здесь, как и в других аналогичных случаях,
разобранных в главе II (осевая деформация) и в главе XI (кручение),
справедлив принцип Сен-Венана.
В случае иной формы поперечного сечения призматического
бруса картина деформации в целом остается аналогичной
описанной выше, а именно: замкнутые поперечные линии, плоские
до деформации, остаются плоскими и после деформации, и
плоскости их поворачиваются друг относительно друга.
Продольные линии искривляются и при этом две из них, лежащие
в некоторой плоскости (нейтральная плоскость),
перпендикулярной плоскости действия приложенных к торцам моментов, длины
своей не изменяют. Все другие продольные линии, искривляясь
в процессе деформации, изменяют свою длину и тем в большей
мере, чем дальше эта линия расположена от нейтрального слоя.
Торцы при чистом изгибе и в стержнях непрямоугольного профиля
остаются плоскими. Как и в описанном выше случае, строго такая
картина наблюдается всюду лишь при линейном распределении
на торцах нормальных поверхностных сил, создающих внешние
моменты, под действием которых происходит изгиб стержня. При
другом законе распределения на торцах поверхностных
нормальных сил описанная картина деформации нарушается, при этом
вблизи торцов в большей мере, чем в остальной области, где
это нарушение практически очень невелико.
§ 12.3. Гипотезы, используемые при построении
технической теории чистого изгиба призматического стержня
Пока нет подтверждения описанной выше картины деформации
теоретическим путем, естественно полагать ее не абсолютно
строгой, так как всякий опыт сопряжен с погрешностями. Поэтому
на основе экспериментальной картины формулируются гипотезы,
отражающие ее характер, и при помощи их строится техническая
теория чистого изгиба призматического стержня. Сформулируем
две гипотезы.
При чистом изгибе Призматического бруса
поперечные сечения плоские до деформации,
остаются плоскими и после деформации.
Продольные волокна в брусе при чистом его
изгибе не взаимодействуют в нормальном по
отношению к ним направлении, т. е. на площадках,

§ 12.3) ГИПОТЕЗЫ ТЕОРИИ ЧИСТОГО ИЗГИБА ПРИЗМЫ
103
6ΞΞ3»
параллельных оси бруса, нормальные
напряжения равны нулю.
Первая гипотеза чисто геометрическая (кинематическая).
Вторая — имеет статическую природу х).
Первая гипотеза формулируется как логическое следствие
наблюдаемого в опыте факта сохранения при чистом изгибе бруса
плоской формы поперечных замкнутых линий и сохранения
плоской формы торцов.
Для суждения о сохранении плоской формы поперечных
сечений при чистом изгибе достаточно исходить из того, что плоскими
остаются торцы. Действительно, пусть имеем призматический
брус, подвергнутый чистому
изгибу, и будем считать, что
торцы его остаются плоскими.
Вследствие симметрии
картины деформации плоским
остается и среднее поперечное ^^-j I
сечение. Теперь мысленно »/т-тя«-
рассечем брус на две части „ .
г l J Рис. 12.4. К обоснованию гипотезы об от?УТ·
Сечением ПОСреДИНе еГО ДЛИ- СТВИи взаимодействия между продольными
НЫ; у КаЖДОЙ ИЗ ЭТИХ Частей волокнами балки при чистом изгибе.
торцы плоские, поэтому
благодаря симметрии деформации плоскими останутся средние
сечения каждой из этих половинок бруса. Продолжая деление бруса
пополам и удостоверяясь, что среднее сечение каждой из Них
остается плоским, в пределе убеждаемся в сохранении плоской
формы у всех сечений.
Предположение об отсутствии взаимодействия между волокнами
при чистом изгибе может быть подтверждено следующим
рассуждением. Предположим, что мы вырезали из бруса продольный
элемент в виде прямоугольного параллелепипеда (рис. 12.4), одна
из граней которого выходит на поверхность. На этой грани нет
никакой, в том числе нормальной, поверхностной нагрузки.
Следовательно, не действует нормальное напряжение и на нижнюю
грань элемента, обращенную внутрь бруса, так как такое
напряжение нечем было бы уравновесить, если предполагать, что на
торцах и боковых гранях элемента не действуют вертикальные
касательные напряжения, поскольку в деформированном брусе
сохраняется ортогональность линий сетки и, следовательно, нет
сдвигов. Выделяя аналогичный элемент под ранее рассмотренным
и применяя к нему такие же рассуждения, придем и по
отношению к нему к аналогичному выводу. Продолжая этот процесс,
обследуем элементы по всей толщине бруса, Так как первый эле-
!) К обсуждению гипотез мы еще вернемся в § 12,7 (раздел 5), в котором
рассматривается Поперечный изгиб,

io4
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. ХН
мент выделен вблизи верхней грани произвольно, проведенные
рассуждения справедливы для всех элементов, из которых можно
представить состоящим брус. Аналогично можно было бы выделять
элементы, начиная от боковой грани бруса и двигаясь к
противоположной грани. Этим было бы доказано отсутствие нормальных
напряжений на боковых гранях всех элементов. Разумеется,
приведенное здесь обоснование является умозрительным и не
претендует на строгость, однако может служить основанием для
принятия соответствующей гипотезы.
Из второй гипотезы вытекает, что одно из уравнений закона
Гука
е* = £-[<**-μ (<** + <**)].
вследствие отсутствия взаимодействия волокон между собой, т. е.
вследствие равенства нулю напряжений σχ и оуу приобретает
следующий вид:
г* — Ε '
Таким образом, вторая гипотеза предписывает каждому волокну
находиться в линейном (одноосном) напряженном состоянии.
§ 12.4. Нормальные напряжения в поперечном сечении
стержня при чистом изгибе
1. Оси координат. Пусть имеем призматический стержень,
испытывающий чистый изгиб (рис. 12.5). Исследуем
распределение нормальных напряжений в поперечном сечении. Свяжем
со стержнем систему ортогональных осей xyz. Расположим оси χ
и ζ в нейтральной плоскости так, чтобы ось ζ являлась проекцией
оси стержня на эту плоскость.
2. Статическое исследование балки. Рассечем стержень на две
части поперечным сечением с координатой г. Поскольку стержень
в целом находится в состоянии равновесия, в равновесии должна
быть и любая из этих двух частей. На торец рассматриваемой
части бруса действует внешний момент Шх, а в поперечном
сечении имеются распределенные внутренние силы, которые по
отношению к рассматриваемой части стержня являются внешними.
Интенсивность трех составляющих (по осям х, у, ζ) этих сил
в произвольной точке поперечного сечения суть хгх, тгу, σζ,
а их статический эквивалент Qx, Qy, Ν, Мх, Му и Мг
выражается формулами (1.4). Уравнения равновесия рассматриваемой
части бруса имеют вид:
Qx = 0; 9)lx-Mx + Qy2=0, Af, = 3W,;
Q„ = 0; My-Qxz = 0, M,, = 0; (12.2)
iV = 0; M,-0.

§ 12.4] НОРМАЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ ЧИСТОГО ИЗГИБА СТЕРЖНЯ
105
Если в (12.2) вместо Qxt ... , Мг подставить их выражения
согласно (1.4), то получим уравнения равновесия в следующем
виде:
\%zxdF = 0, \TzydF = 0, ]azdF = 0,
F F F
\uzydF = mx = Mx, \<szxdF = 0, l(Texy-xzyx)dF = 0. (12.3)
F F F
Эти уравнения могут быть удовлетворены при бесчисленном
множестве вариантов распределения напряжений по поперечному
δ)
Рис. 12.5. Чистый изгиб балки: а) балка и действующие на нее внешние моменты; б) часть
балки, отделенная разрезом, проведенным в плоскости поперечного сечения.
сечению стержня (в § 2.3 и в § 11.6 уже отмечалось, что закон
распределения напряжений по поперечному сечению бруса
статически неопределим).
Из первого, второго и шестого уравнений (12.3) видно, что
касательные компоненты напряжения в поперечном сечении стержня
либо тождественно равны нулю, либо составляют
самоуравновешенную систему сил. Вследствие этого отмеченные уравнения
рассматривать не будем.
3. Исследование деформации балки. Для раскрытия
статической неопределимости закона распределения напряжений произведем
кинематическое (геометрическое) исследование проблемы —найдем
функцию, характеризующую распределение деформаций. Изогнутая
ось расположена в плоскости Оуг. Вырежем из стержня элемент,
эид которого до и после деформации, с учетом гипотезы плоских

106
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ
[гл. m
сечений, показан на рис. 12.6. Рассмотрим волокно АгА2,
параллельное нейтральному слою и расположенное от него на
расстоянии у, при этом
А[А'% = dz + Δ (dz) = dz -f гг dz = (1 + вг) dz.
Из подобия треугольников А\ОА'^ и СгОСг имеем
А[А'г pjc+y
JifljC
Ρ/
u'i
*ϊ
0
/\
Λ/ ^2
<?
#? ι
u s
\
QCa
P*
(12.4)
Рис. 12.6. Картина
деформации элемента
(юлки, подвергнутой
чистому изгибу, при
использовании
гипотезы плоских
сечений.
где рх— радиус кривизны нейтрального слоя
изогнутого стержня при изгибе в плоскости,
перпендикулярной оси х.
Учитывая, что CxC2 = dz, получаем (12.4) в
следующем виде:
*· ~~Р7~' 1+8г_1+Р^
dz
или
Рх'
(12.6)
Уравнение деформацииг) (12.5), присоединяемое к (12.3),
позволяет раскрыть статическую неопределимость закона
распределения напряжений по поперечному сечению.
4. Использование физической зависимости. Чтобы
использовать уравнения (12.3) и (12.5) совместно, их нужно выразить
через одно и то же неизвестное; с этой целью воспользуемся
связью между ог и гг, даваемую уравнением закона Гука, которое
с учетом второй гипотезы, как уже указывалось выше,
приобретает вид
в,.= £.
о* = Ее,
Учитывая (12.5), получаем
Рх
σζ = £
Ρ*
(12.6)
Формула в скобках в (12.6) относится к чистому изгибу,
происходящему в плоскости Οχζ.
*) Формула (12.6) является хорошей иллюстрацией общей особенности
технической теории стержней, состоящей в том, что путем использования
гипотез, характеризующих деформацию стержня, оказывается возможным
деформацию в любой точке поперечного сечения связать с деформацией оси.
Последняя описывается некоторыми параметрами, являющимися функцией
одной лишь координаты г. В формуле (12.5) таким параметром является
кривизна оси балки 1/ρ* = κ*, возникающая вследствие ее изгиба,

I 12.4] НОРМАЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ ЧИСТОГО ИЗГИБА СТЕРЖНЯ ^7
5. Условия существования чистого изгиба. Раскрытие
статической неопределимости закона распределения σζ по
поперечному сечению. Подставим (12.6) в уравнения1) (12.3)3<4) б, в
результате этого получим:
H-\ydF = Ot ?-\y*dF=Mxt l\xydF = 0. (12.7)
Ух t) ух *) ух J
F F F
Уравнения (12.7)li3 свидетельствуют о том, что соответственно
обращаются в нуль интегралы
lydF = Q, *\xydF = 0. (12.8)
F F
Поскольку интеграл в (12.8)! — статический момент площади
поперечного сечения относительно оси х, совпадающей со следом
нейтрального слоя на плоскости поперечного сечения стержня,
равенство (12.8)! возможно лишь в случае, если ось χ проходит
через центр тяжести поперечного сечения. Выше было принято,
что ось ζ есть проекция оси стержня на нейтральный слой. Сейчас
получили уточнение — ось стержня лежит в нейтральном слое и,
следовательно, совпадает со своей проекцией — осью ζ. Поскольку
интеграл в (12.8)2 —центробежный момент инерции площади
поперечного сечения, выполнение (12.8)2 возможно, если оси χ и у
являются главными осями инерции площади поперечного сечения.
Выше было сделано предположение о совпадении плоскости
действия внешних моментов, вызывающих чистый изгиб бруса,
с плоскостью изгиба, в которой лежит изогнутая ось стержня,
а следовательно, и центр и радиус кривизны оси. Теперь получено
условие (12.8)2, при котором такое совпадение возможно. Только
в том случае, если плоскость действия внешних моментов,
вызывающих чистый изгиб, содержит в себе одну из главных осей
инерции площади всех поперечных сечений стержня, эта плоскость
совпадает с плоскостью изгиба; другая главная ось инерции
площади поперечного сечения сливается с нейтральной линией.
В отличие от обсужденного выше существует и так называемый
косой чистый изгиб, при Котором плоскость действия внешних
моментов и плоскость изгиба не совпадают (имеется в виду, что
обе плоскости содержат ось стержня). Косой изгиб рассмотрен
в главе XIII как частный случай более сложной деформации
стержня — пространственного поперечного изгиба.
Наконец, уравнение (12.7)2 можно записать так:
х) Уравнения (12.3)lf 2.6 не рассматриваем, поскольку они не связаны
с нормальными напряжениями.

108
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ (ГЛ. XII
Подставляя (12.9) в (12.6) получим искомую формулу
Мху
σ =
Λ
σ =
Мух
(12.10)
Индекс ζ у σ опущен. На рис. 12.7 показана эпюра распределения
нормальных напряжений в поперечном сечении при прямом
а)
δ)
Рис. 12.7. Распределение нормальных напряжений по поперечному сеченню балки,
испытывающей чистый изгиб: о) фасад балки; б) аксонометрия.
чистом изгибе. В скобках в (12.10) показана формула в случае,
если плоскость действия внешних моментов, вызывающих чистый
прямой изгиб, совпадает с плоскостью Οχζ.
6. Условия прочности. Пусть изгиб балки происходит в
плоскости Oyz, а ось χ не является осью симметрии поперечного
сечения; тогда в одном из двух крайних волокон, расположенном
ближе к нейтральному слою, чем другое, напряжение по
абсолютному значению меньше, чем во втором. При условии
неодинаковости сопротивления материала растяжению и сжатию возникает
необходимость в определении напряжений в обоих крайних
волокнах и проверки прочности в каждом из них.
Два условия прочности при М*;>0 имеют следующий вид:
О^тах — '
Мху
max
Λί,
w
jemax
ы.
Μ,
O'min —
w
лгтт
Ml; (i2.li)
здесь величины
W xmax — '
w χ min —
'max
^min
(12.12)
называются моментами сопротивления поперечного сечения при
ИЗГИбе (i/max>0, i/min < 0).

§ 12.4] ^нормальные напряжения чистого изгиба стержня Ю9
Если Мх<0, то формулы для атах и amin находятся аналогично
|σ„,„| = ^<|[σβ]|, ашах=^-<[ар]. (12.13)
w jcmax w *min
Если ось χ является осью симметрии, то \Wxmin\ = WXmax=!-Wx.
Если материал одинаково сопротивляется растяжению и сжатию,
то из двух формул (12.11) при Мх>0, или из двух формул
(12.13) при Мх<сО, пользуются той, в которую входит
наибольшая по абсолютному значению величина из двух величин атах и
C^min·
Пользуясь (12.11), можно решить три следующие задачи.
а) Проверка прочности. Даны Мх, Wx, [σ], требуется проверить,
обеспечивается ли прочность. Для этого достаточно удостовериться,
выполняются ли условия (12.11) или (12.13) в зависимости от
знака Мх.
б) Подбор сечения. Даны: Мх, [σρ], [ас], требуется подобрать
поперечное сечение балки.
В зависимости от знака Мх из (12.11) или (12.13) находим
два значения Wxmax, \Wxm\n\, имея которые можно
сконструировать поперечное сечение необходимых размеров. Задача упрощается,
если в (12.12) ут№ = \ уты |, при этом | Wxmin | = Wx max и если,
кроме того, [σρ] = | [σε] |. *
в) Определение коэффициента запаса. Даны Мх, Wxmax,
\Wxmm\, σ0ΠιΡ, σ0Πι(., [σρ], [σ0]. Ищутся kp и kz. При этом
используются (12.11) или (12.13) и в них полагается [σρ] =
= σοπ, ρ/V К] = σοΙ1( JK-
7. Деформация балки. Уравнение (12.9) является весьма
важным — оно связывает изгибающий момент Мх с кх, кривизной
изогнутой оси первоначально прямолинейного стержня (усх=\/рх),
и может быть представлено так:
Μχ = ΕΙχκχ (Му = Е1уХу). (12.14)
Параметру кх можно дать и геометрическую трактовку.
Действительно, кх dz представляет собой относительный угол поворота
сечений, расположенных на расстоянии dz одно от другого.
Согласно рис. 12.6 имеем
dz = Kxpxdz, κ* = — !ку = —). (12.15)
В (12.14) и в (12.15) в скобки помещены уравнения, относящиеся
к изгибу в плоскости Oxz. Уравнения (12.14) —физические
уравнения (уравнения закона Гука), но не для материала,
а для всего стержня, подвергнутого чистому изгибу.
Уравнение (12.9) свидетельствует о следующих фактах. Во-первых, во
всех точках изогнутой оси балки величина 1/р* имеет одинаковое
значение, так как одинаковые значения во всех сечениях имеют

по
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. ХП
Мх (в силу того, что изгиб чистый) и Е1Х (в силу того, что
рассматривается призматический брус). Постоянство вдоль оси
балки величины κ*= 1/р* (кривизны) означает, что изогнутой осью
призматической балки при чистом изгибе является дуга окружности.
Во-вторых, чем больше величина Е1Х, тем меньше 1/р*. Вследствие
этого Е1Х естественно назвать жесткостью стержня при изгибе.
Этот фактор имеет физик о-геометрическую природу.
Множитель Ε характеризует жесткость материала, а множитель 1Х—
жесткость балки, обусловленную геометрическими свойствами
сечения (чем больше 1Х, тем жестче балка). Линейку значительно
труднее согнуть в ее плоскости, нежели расположив плашмя
(рис. 12.8).
►t:|<Nj
*:|c4j
Ζ
Рис. 12.8. Сопоставление нзгнбного
воздействия на одну н ту же балку в разных
плоскостях — большой н малой нзгнбной
жесткости.
ί
Рнс. 12.9. Идеальное
поперечное сечение балки
при чистом изгибе.
8. Идеальный профиль балки. Для создания большого 1Х при
заданном значении F необходимо материал в поперечном сечении
балки относить как можно дальше от нейтрального слоя. Идеальным
при чистом изгибе является профиль, у которого весь материал
расположен в одинаковом удалении от нейтральной оси (рис. 12.9).
Выбор высоты h диктуется условиями эксплуатации балки и
другими обстоятельствами, о которых говорится ниже.
Разумеется, расстояние между двумя частями поперечного
сечения— поясами—должно сохраниться в процессе изгиба
неизменным, т. е. должна быть обеспечена совместность работы двух
поясов балки—верхнего и нижнего. Для этого некоторая часть
материала балки расходуется на создание связей между поясами;
такой связью в балках сплошного сечения является стенка.
Становится ясным, почему нельзя увеличивать h беспредельно для
повышения 1Х и Wx, если этому даже и не мешали бы условия
эксплуатации. Увеличению h от некоторого его значения
препятствует превалирование увеличения расхода материала на стенку
(толщину ее нельзя делать сколь угодно малой, вследствие
опасности выпучивания из плоскости) над уменьшением расхода
материала на пояса. При увеличении высоты балки приходится

§ 12.4] НОРМАЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ ЧИСТОГО ИЗГИБА СТЕРЖНЯ 41
для обеспечения устойчивости стенки увеличить ее толщину и
создавать специальные конструктивные элементы —так называемые
ребра жесткости.
9. Примеры.
Пример 12.1. Подобрать размеры таврового поперечного сечения,
заданного с точностью до параметра а—рис. 12.10, а, призматической балки,
подвергнутой чистому изгибу в плоскости Oyz. Заданными являются МХ=>ЯИ,
[ос], [σρ] ([ [ас] | = 8 [σρ]). Решение требуется найти в двух предположениях:
Мх>0, Мх<.0 (рис. 12.10,б, в) и результаты сравнить.
Рис. 12.10. К примеру 12.1: а) поперечное сеченне балкн — геометрические размеры;
б) изгиб, при котором ребро сжато; в) изгиб, при котором ребро растянуто; г) к
вычислению статического момента площади поперечного сечення относительно оси хл\ д) к вычн»
сленню /„ — момента инерции площади поперечного сечення балкн; е) к определению
моментов сопротивления.
Решение, а) Определяем положение центра тяжести площади поперечного
сечения и, таким образом, — положение нейтрального слоя. С этой целью
найдем площадь поперечного сечения и ее статический момент относительно
некоторой произвольно выбранной оси х0 (рис. 12.10, о)
F = 3a-a + 5a-a = 8a2, S^—— За-α- 2,5α—α ·5α· 0,5а=—«10а«
(размеры см. на рис 12.Ю, г),
*с—£ϊ = -
-10α»
8α2
.— —1,25α.
б) Находим момент инерции .площади поперечного сечения относительно
оси χ (рис. 12.10,5)
. α (За)3 . „ .. ._ .„ . 5а· а3 . _ /л7г w 61 .
1Х = —^ + а. За (1,25а)2+ —— + 5а · а · (0,75а/ = -ψ о*.

112
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. XI!
в) Определяем моменты сопротивления поперечного сечения балки
w =J* (461/48) α4 461
Wxmax Утгх (5/4) α 60 '
Ιχ _ (461/48) α* 461 3
Wxmin'mymla ~ (-11/4) α 132 α'
г) Рассматриваем изгиб балки, изображенной на рис. 12.10,6. Условия
прочности имеют вид
Мх Ш _ 60 Ж . .
°m**~Wxmax =(461/60)аз — 461 а? ^ 1<ТР]* (иЛЬ)
мх ш 132 Ш1 ^ . г Έ. /10 ,_.
ι °«°1Я ι=]-^д " ι <-461/132>а* ι° ш"^ ' '' (
Из условий (12.16) и (12,17) соответственно
β /"WW~ (2J ^ /"132 а» " = τ/ϊ32~"вд~ ^/ϊ6,5 ад
α ~Κ 461 [σρ] » α β Κ 461 I [ac] | К 461 8 [σ0] _ Κ 461 [σρ];
так как α(*> >αί2>, определяющим размеры сечения является α=α(1>.
д) Рассматриваем изгиб балки, изображенной на рис. 12.10, е. Условия
прочности имеют вид
ισ |-|Μ«Ι- 1-^1 -60 * <.rgi| (1218)
I min l~^max ~ (461/60)аз ~ 461 аз ^ ' l<?cJ '· (12'Щ
_ мх _ —m _ 132 ж
Оты-ψ^ - (_ 461/132) аз ~ 461 Φ ^ 1<7PJ* (12ЛУ>
Из условий (12.18) и (12.19) соответственно
(Г).,?/"60 ЗЯ -Ί,/60 ^ -\/"7'Ъ Ш (2')-ί/?ϊ
а К 461 | [<тс11 К 461 8 [σρ] У 461 [σρ]' а — У 461 [σρ]'
Так как α(2,)>α(1/), определяющим размеры сечения является а = сР'\
е) Сопоставляем два случая расположения балки при работе на одну и
ту же внешнюю моментную нагрузку и обнаруживаем, что более экономным
оказался случай расположения балки, при котором ребро сжато. Выигрыш
в размере а, а следовательно, площади поперечного сечения определяется
отношением
-72T = l/ —=0'77 или Γ72μΈ = °'772 = 0'593·
α(2 > V 132 [α(2 ]f
Итак, площадь поперечного сечения балки при расположении ребра в сжатой
зоне составляет 59,3% от площади поперечного сечения балки при
расположении ребра в растянутой зоне. Экономия получается равной 40,7%. При
других соотношениях размеров тавра и других соотношениях допускаемых
напряжений при растяжении и сжатии экономия будет иной.
Пример показывает как простой поворот балки на 180*
относительно продольной оси позволяет использовать
ее значительно эффективнее, чем в первоначальном
положен и и.

§ 12.4] НОРМАЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ ЧИСТОГО ИЗГИБА СТЕРЖНЯ ИЗ
Пример 12.2. Сопоставить изгибающие моменты, вызывающие одинаковые
фибровые напряжения, равные допускаемому, в случае чистого изгиба
призматических балок разных поперечных сечении, площадь которых одинакова и
равна 45а2 (рис, 12.11).
χ
У
На
< »►
1М
9а
Ю
«3
1
За
За
1
1 >«
1
За
9а
·* »■
Ϊ3
/
'
1
11а
\
I
'
ι
δ)
Рис. 12.11. Два варианта поперечного сечения, имеющие одинаковую площадь; а)
первый вариант; б) второй вариант.
Решение, а) Найдем моменты инерции площадей поперечных сечений.
Первый вариант:
η 9α (13α)3 8а(9а)з 4627
/'" —
IX =
12
12
= —а
Второй вариант —
2, 9α (11α)» 6а(9а)з 2535
,(2)
IX =
12
12
= — й
б) Определим моменты сопротивления.
В первом и втором вариантах соответственно,
,11)
wr=
13α/2
2_
13
4627α4 4627
4α
= Ί26-α3'
г'21
x lla/2
2_ 2535a*
11 ' 4a
2535 ,
в) Определим изгибающие моменты, вызывающие фибровые напряжения,
равные допускаемым; для этого воспользуемся формулой Mx/Wх^[о], отсюда
соответственно в первом и втором вариантах
Mm iir/d) г ι 4627 „ г .
х =WX [σ]=-^-αΛ[σ],
f'21
2535
^=ΐη'·[σ]=^α3[σ]
г) Отношение изгибающих моментов в двух вариантах Мх1)/Мх ' = 1,28.
Таким образом, за счет перераспределения материала в пределах поперечного
сечения балки удалось увеличить изгибающий момент, могущий возникнуть
в поперечном сечении балки, иа 28% при условии, что фибровые напряжения
в сопоставляемых случаях одинаковы и равны допускаемому.
Пример 12.3. Определить, какой должна быть высота hj у пустотелой
балки, изображенной на рис. 12.12, а, чтобы в условиях чистого изгиба она
воспринимала такой же момент 2)1, как балка, изображенная на рис. 12.12,6.
Установить, какой процент материала экономится при переходе от сплошного
с£чения к пустотелому; при этом учесть, что h/b=a=2; 6 = 50 см.

114
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. XII
Решение, а) Определим момент Ш, который может воспринять балка при
чистом изгибе, если поперечное сечение ее имеет вид, показанный на
рис. 12.12,6, Воспользуемся условием прочности —^ ^ [σ], или—πϊΓ^Ισ]ϊ
Wx Wx
отсюда
Wl = Wxv [σ]=^[σ]=^[ο]. (12.20)
б) Установим, каким должен быть момент сопротивления, чтобы во втором
варианте балки изгибающий момент, такой же как и в первом варианте,
вызывал такие же напряжения в крайних
<s|Lrs
I
-Г
Π
rfb|iri
^3
1.
2SS^
i
волокнах, т, е. имея
[о],
или
\П2'
bh\
[σ]. Найдем
ш
а)
δ)
Рис. 12.12. Два варианта поперечного
сечения, в которых одинаков момент
сопротивления: а) первый вариант;
б) второй вариант.
12 12 //1!/2. [σ] * (12.21)
Совершая преобразования, получим
bhl . 3 иы.* ( 6 м ι т\ и , 4 ,а
Ж + 25^~(т25&3 + м)^ + 62564=
= 0,
или, подставляя сюда вместо Ш соответствующее выражение согласно (12.20)
и умножая все члены на 15/6, будем иметь
Учитывая, что а=2, 6=50 см, придем к следующему кубическому уравнению
/if + Ш\ — 26 800/ii + 12 000 = 0,
единственным вещественным корнем которого является hi = 124,5 см. Итак,
момент сопротивления поперечного сечения пустотелой балки получим,
подставив Ь и h-i в левую часть формулы (12.21)2,
„с4>^-4(,2«--Н3]т2Ь=,г,0000·6 «*
Проверкой правильности полученного решения может служить сопоставление
Ψ? с ΨΤ
6 6
в) Определим, чему равна площадь поперечного сечения пустотелой балки
F^^bhy—bthi— -уft] = 50. 124,5— |-.5θίΐ24,5—-|·ΰθ)=3090 см*,-
для сопоставления приведем /?Φ=50· 100=5000 см2.
г) Найдем экономию, полученную за счет перехода к пустотелому сечению4
/ГЦ) /7(2)
tL_£ 100=38,2о/о.

§ 12.5] ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ В ЗАДАЧЕ ЧИСТОГО ИЗГИБА 115
§ 12.5, Исследование чистого изгиба призматического бруса
методом теории упругости
1. Вводные замечания. Пусть имеем призматический брус,
загруженный на торцах нормальной распределенной нагрузкой,
складывающейся в моменты, вызывающие изгиб( бруса. Свяжем
с брусом систему декартовых координат, расположив начало ее
в центре тяжести одного из торцов, оси χ и у по направлению
главных осей инерции площади торца, а ось ζ — вдоль оси бруса
в сторону противоположного торца.
Для исследования напряженно-деформированного состояния
бруса применим полуобратный метод Сен-Венана.
2. Первый этап решения задачи. В первом этапе в качестве
«угадываемых» функций примем компоненты напряжений,
полученные в элементарной теории, изложенной в § 12.4,
β
ох = оу = τχυ = туг = χΖχ = О, аг=— у. (12.22)
3. Второй этап решения задачи. Проверим, удовлетворяют ли
функции (12.22) уравнениям теории упругости, т. е. уравнениям
равновесия и совместности деформаций.
Уравнения равновесия (9.1) функциями (12.22) удовлетворяются
при условии
χ = γ = Ζ = 0, (12.23)
т. е., если объемные силы равны нулю или не учитываются.
Такое ограничение является вполне приемлемым, так как эти
силы и не предполагалось учитывать в рассматриваемой задаче.
Уравнения совместности деформаций (9.22) и (9.26),
выраженные в напряжениях, при условии (12.23) также удовлетворяются,
так как они в левых частях содержат однородные
дифференциальные операторы второго порядка, функции же (12.22) либо
нулевой, либо первой степени и, таким образом, вторые производные
от них равны нулю.
Таким образом, функции (12.22) не противоречат уравнениям
теории упругости и им соответствует некоторое напряженное
состояние тела. „
4. Третий этап решения задачи. Выясним, каким нагрузкам
на поверхности рассматриваемого бруса отвечают функции (12.22),
и сопоставим эти нагрузки с интересующими нас для того, чтобы
установить, является ли (12.22) решением именно нашей задачи.
Уравнения равновесия элементарного тетраэдра (9.2) позволяют
найти составляющие поверхностной нагрузки на всех гранях бруса,
для чего, кроме компонентов напряжений (12.22), необходимо
знать /, т и η — направляющие косинусы нормалей к площадкам,
лежащим в этих гранях.

116
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. Χΐί
Начнем с рассмотрения торцов бруса, для которых
1 = т = 0, п=±\ (12.24)
(плюс, относится к торцу, удаленному от начала координат, а
минус—к торцу, проходящему через начало координат).
Используя (9.2) при учете (12.22) и (12.24), получим
β
Ρν* = 0, ρνί/ = 0, ρνζ = ± — у (12.25)
г
(минус —для торца, проходящего через начало координат). Таким
образом, (12.22) является решением задачи теории упругости при
условии, что моменты, действующие на торцы, образуются из
поверхностных сил, распределенных на торцах именно так, как
это предписано функциям (12.25).
Рис. 12.13. К определению направляющих косинусов нормалей к площадкам
поверхности призматического бруса.
Рассмотрим боковую поверхность бруса; нормали к площадкам,
лежащим в этой поверхности, имеют следующие направляющие
косинусы (рис. 12.13):
/ = cosa, m = cos (γ — α] = sin a, n = 0. (12.26)
Учитывая (12.22) и (12.26), из (9.2) получаем на боковой
поверхности pvx = 0, pvy = 0, pVz = 0 и убеждаемся, что функциям (12.22)
как на торцах, так и на боковой поверхности соответствует
интересующая нас поверхностная нагрузка.
Следовательно, функции (12.22) могут рассматриваться не
только как решение какой-то задачи теории упругости, но и
именно интересующей нас.
5. Четвертый этап решения задачи. В этом этапе найдем все
остальные функции, описывающие состояние бруса. К ним
относятся: компоненты деформации &х, гу, гг, уху, ууг и угх и
составляющие перемещения и, ν и w. Предварительно найдем
составляющие внутреннего момента и внутренней силы в поперечном

§ 12.5] Теорий упругости в задаче чистого изгиба 117
сечении, пользуясь условиями эквивалентности
Mx = $azydF=^y*dF=^,
F F
Мя = \ ozxdF=E-^ yxdF=^L = 0,
F F
N=[azdF=^ydF = ^Sx = 0.
F F
Так как за оси χ и у нами приняты главные центральные оси
инерции площади поперечного сечения бруса, центробежный момент
инерции 1ху равен нулю, вследствие чего нулю равен и
изгибающий момент My. Поскольку ось х — центральная, статический
момент Sx относительно этой оси равен нулю; отсюда нулю равна
и продольная сила N.
Компоненты деформации найдем из уравнений закона Гука
ε* = w [σχ - μ (oy + οζ) ] = — -^ у = — μ ^f- у,
EL
Μχ
1 г / ι \ι У Μ χ
#.
Ρ £'*
2(1 + μ) _0 =2(1 + μ) _0 _2(Ι + μ) _0
Система уравнений Коши, используемая для определения и, ν и w,
приобретает вид
ди_ Мх ду _ Мх dw _ Мх
dv \ди _(\ dw . dv _ ^ du , dw _ ~
аё + ^ —υ· ay+аг-υ» dz^~dx~υ·
Проинтегрируем эту систему уравнений. Предварительно исключим
из и, ν и а» перемещения бруса как жесткого целого. С этой
целью закрепим точку O(xo = yo = zQ = 0), вследствие чего и0 = v0 —
= w0 = 0, и не разрешим в той же точке поворачиваться элементу
dz относительно осей χ и у и элементу <&/ —относительно оси г,
в связи с чем
!).=Ш.=0· (1).=°·
Поскольку подробно интегрирование уравнений Коши было
прокомментировано в § 9.6, здесь никаких пояснений не даем и при-

118
Плоский изгиб стержней
[ΓΛ. XII
водим лишь некоторые промежуточные выкладки и окончательные
результаты.
τ ι ди Мх
I. 1. ^- = е* = — μ
дх
Е1>
У\
*·■>£(!)—* φ !(£)-°.
ч д /ди \ Λ ди Мх
χ;
3··)δ(κ) = 0. 6)|(i) = 0· »)|(1)-0.
Ε/,
au
a7
= 0; и = — μ
EL
xy.
ay — 8ί/ μ
з ^ i. ^ =
£Λ
#
ν a /dv\ Λ лча /ао\ Λ ч а /а»\
дг EIX> V 2EIX L z ^ μ ^ ί/ ;j-
ш. ι. |=о;
2 cb = М*г_
' ду Е1Х
г. dw Мху
dz ~~ I7J:
w
Мхуг
EL
Итак, получили функции и, ν и w
Μ
* xy = —?-xy,
χ Ρ
ϋ =
Μ,
2£/,
Γ_ г2 + μ (jf. _ y2}] = Γ_ 22 + μ (χ2 _ ^2)]>
2ρ
αί=
Μ,
1
•г/г = -- z/г.
£/* "' Ρ
(12.27)
6. Анализ картины деформации бруса.
6.1. Координаты любой точки. Точки бруса (я, г/, г)
в результате деформации занимают новое положение,
определяемое координатами х1 = х-\-и, y\--y-\-v, z1 = z-{-w.
6.2. Ось бруса. Точки оси бруса {х = 0, г/ = 0) в результате
деформации занимают новое положение (рис. 12.14)
Хл — U L_
г*М
х-у-0
= 0, ί/ι = » U-ί,-ο = — 2Ж77 ="~ 2^» г1 = г + ®\х-У-о = г>
(12.28)
т. е. располагаются на параболе (рис. 12.14), мало уклоняющейся
от дуги окружности при малых прогибах; действительно, кривизна
этой параболы, если подсчитать ее по приближенной формуле
κκ = ν
\х-У-0>

§ 12.5]
ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ В ЗАДАЧЕ ЧИСТОГО ИЗГИБА
119
оказывается постоянной величиной
v \x-v-o ~~
х'■ = — = const,
ΕΙ
что характерно для окружности. При больших прогибах
приходится пользоваться точной формулой для кривизны изогнутой оси,
имеющей следующий вид:
«л "—
К[1+ИаР
Х-У-0
или, учитывая выражение для ν \x-y-Q, получаем функцию
ЛЛ
κ,
ЕЛ
/M-rni
зависящую от г, что свидетельствует о том, что изогнутая ось не
есть окружность. Однако при больших прогибах нельзя
пользоваться линейными уравнениями Коши и необходимо прибегать
Рис. 12.14. Изогнутая ось призматического бруса при чистом изгибе.
к нелинейным зависимостям между параметрами деформации и
составляющими перемещения. Интегрирование этих точных
(нелинейных) уравнений привело бы нас к уравнению окружности для
деформированной оси бруса. Приближенность линейных уравнений
Коши усматривается хотя бы и в том, что точка оси бруса после
деформации имеет координату z1 = z, такую же как и до
деформации (формула (12.28) и рис. 12.14). Тогда, как ясно, что гх
должно быть меньше ζ вследствие того, что осевое волокно длины
своей не меняет.
6.3. Поперечное сечение. Проследим за произвольным
плоским поперечным сечением ζ=*ζ*, точки которого в результате
деформации располагаются на поверхности с уравнением
Мх .._* * Л , Λί,
z1 = z*4-w|2=2. = z*+|^02* = z*(l -lYffy)
= z*
1+-*-
(12.29)

120
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. XII
Это — уравнение плоскости, параллельной оси χ (рис. 12.15). При
У>0 ζ1>ζ*, при ί/<0 г1<г*.
6.4. Ортогона л ь ность поперечного сечения оси
бруса после деформации. Покажем, что поперечное
сечение остается в результате деформации нормальным к изогнутой
оси. Для этого (12.29) запишем так
ъ - ι а- у и— р у π
Это есть уравнение прямой, представляющей собой след плоскости
поперечного сечения на плоскости Oyz. Угловой коэффициент этой
прямой равен ρ/ζ* или (см. рис. 12.15)
ctgp=^.
(12.30)
Уравнение касательной прямой к оси бруса в точке z = z* имеет
вид
zl
ρ
tib-f
2 = 2*
(12.31)
Предположим, что след плоскости поперечного сечения на
плоскости Oyz и касательная прямая к изогнутой оси бруса являются
%-f+p
z=z
f*Mrf)
Рис. 12.15. Ортогональность поперечного сечения деформированного бруса к изогнутой
его оси при чистом изгибе.
Я
перпендикулярными прямыми, тогда βχ = γ + β· Если это так, то,
согласно формулам приведения, должно выполняться равенство
π
tgPi = tg(^-+p = —ctgp.
(13.32)
Сопоставляя (12.30) и (12.31), убеждаемся в том, что равенство
(12.32) выполняется, следовательно, сделанное предположение
о перпендикулярности указанных выше прямых справедливо.
Таким образом гипотеза плоских сечений, принятая при
построении технической теории чистого изгиба бруса, является на
самом деле законом, т. е., формулируя гипотезу, мы «угадали»
действительную картину деформации.

§ 12.5]
ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ Й ЗАДАЧЕ ЧИСТОГО ИЗГИБА
121
6.5. Деформация боковых г ρ а ней в с л учае, если
брус представляет собой прямоугольный
параллелепипед. Боковые линии в некотором прямоугольном
поперечном сечении до изгиба бруса (рис. 12.16) представляются
уравнениями
z = z*t
х = ±
2 »
после Деформаций они превращаются в линий, имеющие следую*
щие уравнения:
хг = х-\- и
21=Z+ W
. Ь μ Ь
г==г* =zt-2-_,_-Ti/:
~4-*·+£-*·(ι+-*).
2 = 2*
1
ρ
(12.33)
Так как и хг и Ζχ зависят от у линейно, линии боковых сторон
ab и cd поперечного сечения после деформации представляют
Я
S>i/:
О
У
Рис. 12.16. Прямоугольный параллелепипед.
собой прямые агЬг и οχάχ\ как и до деформации их положение
в пространстве можно охарактеризовать положением проекций
на плоскости Оху и Oyz. Проекция на плоскость Oyz лежит в
прямой линии, представляющей собой проекцию на эту же плоскость
всего поперечного сечения бруса, испытавшего деформацию
(см. рис. 12.17, а). Рассмотрим проекцию этой линии на плоскость
Оху (см. рис. 12.17,6). Обозначения проекций точек аъ Ьъ сг и
с?! на плоскость Oyz снабжены верхним штрихом, а на плоскость
Оху — двумя штрихами.
Составляющие перемещений точек а, Ь, с и d при переходе
в новое положение аъ Ьъ сг и аъ произошедшем в процессе
деформации бруса, показанные на рис. 12.17, получены по
формулам (12.27).
Составляющие перемещений точек a (x=b/2, y = — h/2, z = z*)
и с (х^ — Ь/2, ί/ = —/г/2, г = г*), согласно (12.27), выражаются

l" ПЛОСКИЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ
следующими формулами:
[ГЛ. XII
μ Ъ
Ua-~~p~2\~^)-JT= — U"
μ bh
V* = k
Wa=-\ —
&2 _Д2
4 4
__ hz*
2p:
] = t»c,
Wr
-Ζ*2 + μ
P \ 2Γ
Составляющие перемещений точек
* = — у, У = ~2, z = z*j, согласно (12.27), суть:
Ь(х=±, *-*
= z*\
μ b h
μ bh
"i = -7TT=-iT
• — ud,
υ* = Τ9
wb
ι
P 2
[_Ι..+μ^_*)]_ΡΛ
wd.
Угловой коэффициент в уравнении прямой а\Ь\ на рис. 12.17, б
равен ^ζμ6/(2ρ). Иными словами (см. рис. 12.17), tgy=»
~° + %> с ДРУГ0Й стороны, tgv = tg[rt—у). tgy. Отсюда
α
~Щ = + %> Щ = щ; = Г·*-' (12.34)
Формула (12.34) показывает наклон боковой стороны первоначально
прямоугольного поперечного сечения, получающийся в результате
гиа-щ
Рис. 12.17. Картина перемещений точек боковых сторон первоначально прямоуголь·
ного поперечного сечения при чистом изгибе бруса, имеющего форму прямоугольного
параллелепипеда: а) проекция на плоскость Оуг; б) проекция на плоскость Оку.
деформации, по отношению к оси у. Вся боковая поверхность
оказывается линейчатой,

§ 12.5]
ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ В ЗАДАЧЕ ЧИСТОГО ИЗГИБА
123
6.6. Деформация верхней и нижней сторон в
прямоугольном поперечном сечении. Верхняя и нижняя
линии ас и bd в некотором прямоугольном поперечном сечений
до изгиба бруса (рис. 12.16) представляются уравнениями
z = z*.
У=±±
2*
После деформации ас и bd превращаются в линии ахехсх и Ь^гаъ
имеющие следующие уравнения:
У1=У + у
Z-l—Z+W
»=±
Α ι J.
2 "τ" 2р |_
.· =ζ*-+~ — — ζ*=ζ*(\-+~—)
*\ ζ - ρ 2Ζ ζ 11-2Ρ;·
# —"+" гс
у — 2
Эти линии представим проекциями на плоскости Oyz и Оху
(рис. 12.18).
W
δ)
Рис. 12.18. Картина перемещений точек верхней, нижней н средней линий
первоначально прямоугольного сечейня при чистом изгибе призматического бруса: а) проекция
на плоскость Oyz; б) проекция на плоскость Оху.
Уравнения проекций линий ахехсх в b-J^ на плоскость Оху
имеют вид
# = ;
2
г*2
+
μχ1
μ/ι2
2р ' 2р 8р
(плюс в формулах используется для линии Ь^гаг и минус для а^с^Ц-
»*2
а линии г^! на ту же плоскость у = — "^~ + _γ-· Все три кри-;
вые представляют собой квадратные параболы, которые при более
строгом решении, основанном на использовании не уравнений

124
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. XII
Коши (линейных), а нелинейных уравнений, связывающих
параметры деформации с перемещениями, оказываются дугами
окружностей, при этом дуга r-^tx имеет радиус ρ/μ. Чем меньше μ, тем
больше радиус и в пределе при μ = 0 этот радиус устремляется
к бесконечности, а угол а (см. формулу
(12.34)) устремляется к нулю, вследствие
чего прямоугольное поперечное сечение
остается прямоугольным. В связи со
сказанным интересно вернуться к формуле
(12.34), связывающей радиус кривизны
изогнутой оси бруса, радиус кривизны
срединного слоя в плоскости
поперечного сечения и коэффициент Пуассона.
Соответствующая геометрическая картина
показана на рис. 12.19, из которого
очевидна отрицательность гауссовой кривизны
деформированного нейтрального слоя и,
аналогично, отрицательность гауссовой
кривизны деформированных верхней и нижней
поверхностей бруса. Приведенный здесь
анализ полностью подтверждает картину
деформации, описанную качественно в
§ 12.2.
§ 12.6, Касательные напряжения
при поперечном изгибе балки
1. Вводные замечания. Ограничимся
пока рассмотрением балки, которая имеет
продольную плоскость симметрии,
являющуюся и плоскостью действия всех
внешних сил и моментов, в том числе
реактивных. В § 12.8 это ограничение будет снято.
Будем рассматривать нагрузку, не
вызывающую продольной силы. Иными словами,
рассмотрим балку, в поперечных сечениях которой возникают лишь
изгибающий момент и поперечная сила, действующие также в
плоскости симметрии балки. Возникающая при таких условиях
деформация называется прямым (плоским) поперечным изгибом балки.
Будем считать, что и к поперечному изгибу можно
применять формулу (12.10) для нормального
напряжения, выведенную применительно к чистому
изгибу, т. е., что можно применить гипотезы, введенные в теории
чистого изгиба, и к поперечному изгибу в части касающейся
нормального напряжения. Позднее правомочность такого
допущения будет обсуждена.
Рис. 12.19. Взаимное
расположение и кривизны
изогнутой оси бруса и
нейтральной линии в поперечном
сечении: / — поперечное
сечение бруса; 2 — изогнутая
ось бруса; 3 — нейтральная
линия в поперечном сечении.

§ 12.6] КАСАТЕЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ ПОПЕРЕЧНОМ ИЗГИБЕ 125
2. Наличие касательных напряжений в балке при поперечном
изгибе. Возникновение в поперечном сечении балки поперечной
силы свидетельствует о наличии в нем и касательных напряжений,
являющихся интенсивностью распределенных касательных сил,
статическим эквивалентом которых и
является поперечная сила.
Однако к этому вопросу можно подойти
и не столь формально, а воспользоваться
опытом, в процессе которого
обнаруживаются касательные напряжения в
нейтральной плоскости и в плоскостях,
параллельных ей. Используя при этом закон
парности касательных напряжений,
приходим к заключению о наличии касательных
напряжений и в поперечных сечениях.
Представим себе балку на двух
опорах, составленную из двух брусков,
свободно лежащих один на другом (рис.
12.20, а). Если такую систему нагрузить
вертикальной силой Р, то возникнет
изгиб, в процессе которого, учитывая, что
бруски никак друг с другом не соединены,
произойдет проскальзывание одного бруска
по другому так, как это показано на
рис. 12.20, а; имеется в виду, что силы
трения между брусками невелики и ими
можно пренебречь. Если же при
составлении балки склеить бруски друг с другом,
то картина изгиба получится иной, она
изображена на рис. 12.20, б. Различие в
двух картинах деформации определяется
ролью, которую играет клей. Она состоит
в том, что клей, обеспечивая совместную
деформацию брусков, препятствует
удлинению нижних волокон верхнего бруска и
укорочению верхних волокон нижнего.
Постольку поскольку непосредственное
действие клея на бруски локализуется
лишь гранями, которыми они соприкасаются
друг с другом, это действие можно представить при помощи сил,
приложенных к нижней грани верхнего бруска и верхней грани
нижнего. Для достижения отмеченного выше эффекта, являющегося
результатом действия клея, направление сил должно быть таким,
каким оно показано на рис. 12.20, в. Очевидно, что если вместо
склеенной из двух брусков балки изгибать монолитную, имеющую
такую же высоту, как и высота балки, составленной из двух
φ
5)
Ж
τ
Клей
Рис. 12.20. Эксперимент,
выявляющий наличие
касательных напряжений в балке при
поперечном изгибе: а)
поперечный изгиб балки,
составленной из двух несвязанных
между собой этажно
расположенных брусков; б)
поперечный изгиб балки,
составленной из двух склеенных
между собой этажно
расположенных брусков; в)
картина усилий, создающих
эффект, эквивалентный роли
клея, соединяющего бруски
в балку.

126
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. XII
брусков, то тенденция к проскальзыванию двух частей балки —
расположенных выше и ниже нейтрального слоя будет устранена
касательными силами взаимодействия верхней и нижней частей. Если
интенсивность этих сил достигнет определенного для материала
балки значения, то произойдет скалывание — т. е. разрушение —
разделение балки на две части, верхнюю и нижнюю. Разумеется,
что такой характер разрушения мыслим лишь при тех
соотношениях геометрических размеров и сопротивлений материала
различным видам разрушения, при которых раньше указанного
скалывания не наступит разрушение от других причин. Описанная
картина скалывания может иметь место в балках с малым
отношением l/h и выполненных из материала с малым отношением
тск/аР(С). Здесь тск — предел прочности при скалывании, σρ(ε)
—предел прочности при растяжении (сжатии). Примером такого
материала может служить древесина, при совмещении годичного слоя
с нейтральным. Аналогично можно было бы показать наличие
касательных напряжений не только в нейтральном слое балки, но
и в любой из плоскостей, лежащих в теле балки и параллельных
нейтральному. Итак, опыт доказывает наличие касательных
напряжений в нейтральной плоскости и в параллельных ей плоскостях.
В силу закона парности, касательные напряжения возникают и
в поперечных сечениях балки.
3. Формула для составляющей касательного напряжения,
параллельной поперечной силе, в точке поперечного сечения балки.
Установим зависимость величины касательного напряжения от
координат точки в поперечном сечении. Отнесем балку к той же
системе координатных осей, которая была рассмотрена в двух
предыдущих параграфах. Напомним, что рассматривается балка
симметричного поперечного сечения при условии, что ось
симметрии лежит в плоскости действия внешних сил. Будем, следуя
Д. И. Журавскому х), считать, что определению подлежит не полная
величина касательного напряжения, а лишь составляющая его,
параллельная соответствующей поперечной силе Qy. Иными
словами, будем изучать ту составляющую касательного напряжения,
статическим эквивалентом которой является поперечная сила Qy.
Другая составляющая в пределах сечения, если она имеется при
изгибе в плоскости Oyz, образует систему самоуравновешенных,
распределенных в поперечном сечении касательных сил.
Примем гипотезу статического характера о распределении
касательных напряжений в поперечном сечении балки, которую сфор^
мулировал Д. И. Журавский, впервые получивший формулу для
х) Журавский Дмитрий Иванович (1821 —1871) — русский инженер и
ученый в области строительства, в частности мостостроения и строительной
механики, автор проектов и строитель мостов (деревянных) на железнодорожной
линии Петербург — Москва.

§ 12.6] КАСАТЕЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЙ ПРИ ПОПЕРЕЧНОМ ИЗГИБЕ 12?
касательного напряжения при поперечном изгибе балки. Эта
гипотеза состоит в следующем.
Во всех точках поперечного сечения, лежащих
на линии, параллельной нейтральной оси, значение
составляющей полного касательного напряжения,
параллельной плоскости действия сил, одинаково.
Из балки1, подвергнутой поперечному изгибу, вырежем элемент
двумя бесконечно близко друг к другу расположенными
поперечными сечениями, одно из которых, обозначенное индексом /, имеет
координату г, а другое, обозначенное индексом 2, — координату
z-\-dz. Пусть изгибающий момент в сечении / равен М, а в
сечении 2 равен M-\-dM. На рис. 12.21, а изображен этот элемент
балки и в сечениях / и 2 показаны эпюры нормальных
напряжений. В сечении 2 величина нормальных напряжений больше, чем
в соответствующих точках (с теми же координатами χ и у)
сечения /, именно поэтому в сечении 2 изгибающий момент больше,
чем в сечении /, на величину dM.
Найдем величину касательного напряжения в точке
поперечного сечения стержня с координатой у. Отсечем от
рассматриваемого элемента некоторую его часть плоскостью, параллельной Охг
и находящейся от нее на этом расстоянии у, и рассмотрим
равновесие сил, действующих на эту часть элемента (рис. 12.21, б).
Такими силами, действующими параллельно оси ζ, являются W0TC,
№TC + dN0TC и άΤ.
Сила Af°TC = W0TC является равнодействующей нормальных сил,
распределенных по линейному относительно у закону, приложенных
к грани A±B-J)X. N™ = N0TC + ά№™ — аналогичная сила,
возникающая на грани A2BJ)2 рассматриваемой части элемента. Сила
dT — равнодействующая касательных распределенных сил,
возникающих на грани A1B1BiA2. Наличие силы dT обусловлено
неодинаковостью сил W?TC и Л^тс; без силы dT элемент под влиянием
сил NiTC и Л^2ТС не находился бы в равновесии.
Уравнение равновесия имеет вид
(№TC + d№lc)-NOTC-dT = Of dT = dN™. (12.35)
Силу dT находим по следующей формуле, происхождение которой
очевидног)
dT = b(y)dz.r$. (12.36)
На основании закона парности касательных напряжений
заключаем, что %*уг> действующее на площадке АхВгА2Вг, равно искомому
1) Здесь и дальше верхний индекс (у) или (х) при символе компонента
касательного напряжения подчеркивает тот факт, что данный компонент
соответствует изгибу в плоскости Оуг и Охг.

128
Плоский изгиб стержней
[Гл. хп
касательному напряжению τ%] в любой точке линии А2В2 в
плоскости поперечного сечения стержня; Ь (у) — размер
поперечного сечения балки вдоль линии, параллельной оси х, проведенной
/ι
H+dfi
Рис. 12.21. К выводу формулы для касательных напряжений при поперечном изгибе:
а) элемент балки в двух ортогональных проекциях; б) аксонометрическое изображение
части элемента балки, отделенной от последнего сечением, параллельным нейтральной
плоскости на уробйе точки в поперечном сечении, в которой определяется касательное
напряжение.
на расстоянии у от плоскости Oxz. Сила d№TC выражается
формулой
dN^=\dadF1=\^dF1=^ Г уdFx = Ш*'S* . (12.37)
S: ^ Χ X 4J Χ
Fi Ft Fi
Здесь Fx площадь грани A2B2D2, т. е. часть площади поперечного
сечения стержня, расположенная по одну сторону от прямой,
проходящей через точку поперечного сечения, в которой опреде-

§ 12.6] КАСАТЕЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ ПОПЕРЕЧНОМ ИЗГИБЕ 129
напряжение, и параллельной нейтральной
lydF^S* (12.38)
ляется касательно
линии. Интеграл
представляет собой статический момент указанной выше части
площади поперечного сечения стержня относительно нейтральной
оси.
Подставляя (12.36) и (12.37) в (12.35), получим
.(«/) _ dMx
Ь (у) dz ■ xfj =
(у) _ άΜχ_
st
st
или
QyS\
ъуг
τ(χ)-
dz b (y), Ix
QXS*
(12.39)
(12.40)
3! 5sj
h(X)Iy
При переходе от (12.39) к (12.40), во-первых, учтена
дифференциальная зависимость между Qy и Мх, а, во-вторых, учтен закон
парности касательных
напряжений. В скобки в I \ Нейтральная ось
(12.40) помещена формула
для составляющей
касательного напряжения при
изгибе в плоскости Oxz.
Здесь h (χ) — размер
поперечного сечения балки
вдоль линии, параллельной
оси у, проведенной на
расстоянии χ от нее (рис.
12.22).
Абсолютная величина
интеграла (12.38) не
зависит от того,
рассматривается ли статический момент
площади A2BJD2 или площади A2L2B2 относительно нейтральной
оси, так как эта ось проходит через центр тяжести площади
A2D2B2L2, являющейся суммой площадей A2B2D2 и A2L2B2
^х, пл, АгОгВгЬг
Ю
■δ)
Рис. 12.22, Пояснение к формулам (12.40): а)
изгиб в плоскости Oyz. б) изгиб в плоскости Oxz.
— ^>х, пл АгОгВг~Т~ "Ьд:. пл АгЬгВгу
ИЛИ
>->дс, пл АгОгВ.г~Г £>х, пл A2L2B2—0, Ox> Пл. АгЬгВ.,— — <Ъ'Г, пл АфгВг>
Если в формулу (12.40) ввести символ абсолютного значения
статического момента S*, то можно иметь в виду статический
момент любой из двух частей площади поперечного сечения
(расположенной выше или ниже линии А2В2) относительно
нейтральной линии.

130
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ
(ГЛ. ΧΪ1
Полученное распределение касательных напряжений (формула
(12.40)) относится к поперечным сечениям, не проходящим через
точки 1, 2 приложения сосредоточенных сил. Вблизи сечений
приложения сосредоточенных сил имеют место особые области, не
поддающиеся анализу средствами технической теории. Для
исследования этих областей, если материал упруг, необходимо
использовать аппарат теории упругости.
4. Эпюры касательных напряжений в поперечном сечении балки.
4.1. Вводное замечание. Имея формулу (12.40), можно
построить эпюру касательных напряжений по высоте поперечного
сечения балки.
Рассмотрим три характерных формы поперечного сечения
балки; прямоугольник, круг и двутавр. На этих сечениях могут
быть выявлены основные особенности в распределении
касательных напряжений по поперечному сечению любого вида.
4.2. Пр я мо у г о л ьное поперечное сечение.
= Y{Y-y){j + y) = j{~r-y'
b(y) =b = const, Ιχ = -τψ-
h 2\ 4
Qy 2" Π-- У 3 Qy I 4y<
^ = ΊΓ Ш ' =ТЖ ^-ίΗ· <12·41)
12
Функция (12.41) —квадратная парабола (рис. 12.23, а). Согласно
(12.41) наибольшее касательное напряжение, из числа
возникающих на площадках, лежащих в плоскости поперечного сечения,
имеет место в точках поперечного сечения балки, находящихся
на нейтральном слое, а у верхнего и нижнего краев поперечного
сечения касательное напряжение равно нулю.
3 Qy
^zy !ί/-ο — 2 ~bh ' %гу
= 0.
В случае прямоугольного сечения формула (12.40), а следовательно,
и полученная из нее формула (12.41), позволяет найти
составляющую касательного напряжения, совпадающую с полным
касательным напряжением хг (вторая составляющая τζχ равна нулю).
4.3. Круглое поперечное сечение.
/* = -χ-, &(y) = 2rslnaf
2 2 2 (12·42)
S% =-n- r3 sin α — -ή- r3 sin α cos2 a = —rz sin3 α.

§ 12.6]
КАСАТЕЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ ПОПЕРЕЧНОМ ИЗГИБЕ
131
Первое слагаемое в формуле для 5* представляет собой
статический момент площади сектора круга (с центральным углом 2а)
относительно нейтральной оси, а второе — равнобедренного
треугольника с углом при вершине 2а
Х(У) =
Qy-^r* sins а 4 Q
2r sin а
яг4
3 ηή
у sin2a =
4 QV /I 2 ч
= -5-—г (1 —cos2 a)
3 тег2 v '
4 Q
У
3 я/8
1 -
Г2
(12.42')
График функции (12.42') изображен на рис. 12.24, б сплошной
линией.
О
У
а)
шип
ШИН
ниш
ttmu
ь
■* *■
δ)
Рис. 12.23. Распределение касательных напряжений в прямоугольном поперечном
сечении балки, испытывающей поперечный изгиб: а) эпюра напряжений хгу\ б)
иллюстрация к распределению xSy в поперечных и продольных площадках с учетом закона
парности касательных напряжений.
У контура поперечного сечения полное касательное
напряжение располагается вдоль касательной к контуру (рис. 12.24, в).
При этом условии составляющая полного касательного
напряжения, нормальная к контуру, равна нулю, что и должно быть
(имея в виду закон парности касательных напряжений), так как
боковая поверхность изгибаемого бруса свободна от поверхностной
нагрузки и, следовательно, на ней нет и касательной
составляющей, параллельной оси бруса.
Полное касательное напряжение в точках круглого
поперечного сечения, расположенных у контура, равно
%г~ sina ~~ Ъпг* V i
ML

132
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. XII
Рис. 12.24. К распределению касательных напряжений в круглом поперечном сечении
балки, испытывающей поперечный изгиб: а) поперечное сечение балки, заштрихована часть
площади поперечного сечения, статический момент которой относительно нейтральной
оси необходимо найти для определения касательного напряжения х™> в любой точке на
)ямой АВ; б) эпюра распределения τ^=τ^ (у) (линия /) и τ^3χ = ^mayiy)
4 Qu
отрезке npj
У
Уг
О,
(линия 2). Ординаты линии 1 равны кх -^ —j-, коэффициент ki= 1— — при у/г
1/4, 1/2, 3/4 и 1 соответственно приобретает следующие значения: 1; 0,9375; 0 7500;
0,4375; 0; ординаты линии 2 равны кг ^ —~, коэффициент kt=Vl—(t//r)* при у/г = О,
1/4, 1/2, 3/4 и 1 соответственно приобретает следующие значения: 1; 0,96825; 0,86600;
0,66150; 0; в) направление полного касательного напряжения в точке поперечного
сечения, расположенной у его контура; 3 — боковая поверхность; 4 — поперечное сечение;
Μ
ли) „ лу)
г) эпюры полных касательных напряжений χν|' и их компонентов V"' и τν^ в точках
отрезка линии АВ поперечного сечения.

§ 12.6] КАСАТЕЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ ПОПЕРЕЧНОМ ИЗГИБЕ ι*>
Соответствующий график показан на рис. 12.24, б штриховой
линией. Распределение полных касательных напряжений на линии
круглого поперечного сечения, параллельной нейтральной линии,
показано на рис. 12.24, г.
Рассматривая балку такого массивного поперечного сечения
как круглое и исследуя поперечный изгиб ее в плоскости Oyz,
мы, пользуясь формулой (12.40)!, находили т(гиу\ а %ZUJ,
соответствующее этому изгибу, оставалось неопределенным, а при изгибе
в плоскости Οχζ, аналогично мы находим по формуле (12.40)2
τΜ, а тгМ остается неопределенным. При одновременном изгибе
в обеих плоскостях полные касательные компоненты напряжений
выражаются следующими формулами:
+ тё, (12.43)
а полное касательное напряжение хг находится как
геометрическая сумма полных компонентов хг = У~х\у -\-ι\χ. Учитывая, что
доли компонентов, символы которых в формулах (12.43) обведены
рамками, средствами сопротивления материалов найти не удается,
становится очевидной невозможность полного определения
касательных напряжений при поперечном изгибе балки произвольного
профиля. В некоторых случаях, например в случае
прямоугольной балки, когда τ^ и %№ равны нулю, или в тонкостенных
балках открытого профиля, о которых говорится ниже, найти
полное хг представляется возможным. Можно найти полное
значение хг и в массивных профилях общего вида, но не во всех
точках, а лишь вблизи контура, где известно направление
полного напряжения %г.
4.4. Двутавровое поперечное сечение. Двутавр
обладает специфической особенностью — тонкостенностью,
характерной для большого класса балок. В связи с этим приведем
некоторые краткие сведения об этих стержнях.
Тонкостенным называется такой стержень (рис. 12.25), у
которого / ^> s ^> δ, / — длина стержня, s — характерный габаритный
размер поперечного сечения (например, длина контура), δ
—толщина стержня. Контур поперечного сечения в одних случаях
может представлять собой замкнутую, а в других не замкнутую
линию. В соответствии с этим тонкостенный стержень в первом
случае называется стержнем закрытого, а во втором — открытого
профиля1) (см. рис. 12.26).
Распределение касательных напряжений в поперечном сечении
балки тонкостенного открытого профиля обладает некоторой
(у)
tzy — tzy "Τ
^zy
^ζχ —
*ζχ
ι) К определению понятия тонкостенный стержень вернемся в главе XIV.

134
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. XII
спецификой, на которой остановимся сначала на примере
двутавровой балки, а затем рассмотрим вопрос в общем виде.
Рассмотрим распределение касательных напряжений по
двутавровому поперечному сечению балки при поперечном ее изгибе
в плоскости Oyz (в плоскости стенки). Если иметь в виду
упрощенную форму двутавра, изображенную на рис. 12.27, а, и
находить распределение касательных
напряжений τ^ путем
формального применения формулы (12.40),
то эпюра этих напряжений имеет
вид, показанный на рис. 12.27, б.
В эпюре τΜ получился разрыв на
уровне перехода от стенки к полке
вследствие того, что на этом уровне
претерпевает разрыв ширина
сечения Ь — в точке, лежащей
бесконечно близко к уровню перехода от
полки к стенке выше этого
перехода, ширина Ь, используемая в
формуле (12.40), представляет
собой ширину полки двутавра,
а в точке, лежащей бесконечно
близко к тому же уровню, но
расположенной ниже него,
ширина сечения представляет собой
толщину стенки. Разумеется,
такая картина является
упрощенной и при более строгом
решении задачи указанного разрыва
в τ№ не обнаруживается.
Эпюра на рис. 12.27, б относится
к любой линии, лежащей в пределах стенки и параллельной
оси у. В силу сделанного предположения о равномерности
распределения касательного напряжения на любой прямой,
параллельной нейтральной линии, эпюра x^J в пределах полки должна
была бы иметь вид, показанный на рис. 12.27, в. Однако такая
эпюра противоречит закону парности касательных напряжений,
так как касательных напряжений, параллельных оси г, на нижней
грани полки не имеется.
В связи с отмеченными двумя несоответствиями эпюр,
получаемых при использовании формул (12.40), реальному
распределению напряжений представляет интерес рассмотреть, каким
получается это распределение при решении проблемы более
совершенными средствами, например, методом теории упругости. На
рис. 12.27, г показаны эпюры напряжений, соответствующие решению
Рис. 12.25. Соотношение размеров в
тонкостенном стержне; I > s > б.

§ 12.6] КАСАТЕЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ ПОПЕРЕЧНОМ ИЗГИБЕ 135
гл
а)
б)
Рис. 12.26. Примеры поперечных сечений тонкостенных стержней: а) открытого профиля;
б) закрытого профиля.
Рис. 12.27. Распределение касательных напряжений в поперечном сечении двутавровой
балки при поперечном ее изгибе: а) поперечное двутавровое сечение; б) эпюра напряже-
ннй τζυ п0 лнинн 1 — 1 поперечного сечеыня, определенных по формуле (12.40); в) то же
по лнинн 4—4', г) эпюры напряжения ν··/., определенного методом теории упругости;
д) поперечное сечение прокатного двутавра и эпюры напряжений t№J в этом сечении.

136
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. XII
методом теории упругости. При этом, поскольку при точном
решении обнаруживается неравномерность распределения
напряжений по ширине сечения, дано несколько эпюр х^\
соответствующих различным линиям, параллельным оси г/, в том числе и
проходящей в пределах полки. В этих эпюрах нет разрыва на
уровне перехода от стенки к полке, нет противоречия закону
парности касательных напряжений в эпюре в пределах полки.
Вблизи входящего угла в том месте, где стенка соединяется с
полкой," имеется особая точка —в ней напряжение стремится к
бесконечности. Разумеется, что и такого положения вещей не может
быть в натуре. Аппарат теории упругости справедлив лишь в
пределах упругости, и как только напряжения превышают этот
предел результаты теории упругости перестают быть верными.
Следовательно, правильнее было бы либо исключить из рассмотрения
указанную выше точку, либо применить теорию у пру
го-пластических деформаций.
В силу наличия отмеченной концентрации напряжений в
прокатных профилях вблизи перехода от стенки к полке делают
закругления и тем самым существенно уменьшают концентрацию
напряжений. На рис. 12.26, д показаны эпюры τ^> в реальном
профиле с закруглениями, построенные на основании решения
теории упругости. Заметим, что в этом случае результат мало
отличается от полученного и по элементарной теории (формула
(12.40)) и от наблюдаемого при экспериментальном анализе
напряженного состояния. Напряжение т№ в пределах полки намного
меньше, чем в пределах стенки.
Особенностью двутавра, как тонкостенного открытого профиля,
является то, что при изгибе в плоскости Oyz компонент τ^
в стенке почти точно совпадает с полным напряжением χ (у)
в полках же компонентом х\у) можно пренебречь вообще; в них
наиболее существенным компонентом, также почти точно
совпадающим с полным напряжением χψ, является χ(£. Иными
словами, в тонкостенном открытом профиле, в частности таком как
двутавр, с большой степенью точности можно считать, что
полное касательное напряжение направлено параллельно оси
контура. В стенке это х{Л), а в полках x[v). Для отыскания х{у) в пол-
ках двутавра выполняется операция, аналогичная той, которая
была использована при выводе формулы (12.40). С этой целью
от элемента балки, заключенного между сечениями /—1 и 2—2
с координатами ζ и z-\-dz (рис. 12.28, а) отрежем часть полки и
рассмотрим равновесие ее, имея в виду, что в сечении /—/ балки
действует изгибающий момент Мх, а в сечении 2—2 — Мх -\- dMx.
Уравнение равновесия отсеченной части полки имеет вид
{№™ + ά№™)-Ν°™-άΤ = 0, dT^dN™, (12.44)

§ 12.6] КАСАТЕЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ ПОПЕРЕЧНОМ ИЗГИБЕ 137
Примем предположение о равномерности распределения по
толщине полки tn как х[Ух, так и σ. Относительно σ это
предположение обосновывается тем, что при линейном распределении σ по
*\ s\ .N™+dNm'
β)
γ гл/таж Тут / ^7 "
21
S)
г (У)
Г
ΐΙ
ЛУ)
■у
~(У)
ЛУ)
Рис. 12.28. К определению касательного напряжения v^y в полках двутавровой балки:
а) элемент балки; б) часть полки элемента балки н действующие на нее силы; в) эпюра
в стенке балки двутаврового сечения; г) направление касательных на-
τ^' в полках н rfj
пряжений ν*&> в полках и т^//в стенке.
высоте балки в пределах полки изменение σ очень
незначительное, что легко видеть из рис. 12.28, б. Что же касается τ^, то

138
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. XII
сделанное предположение находится на уровне гипотезы Журав-
ского, достаточно хорошо подтверждающейся для тонкостенных
балок экспериментом.
В формуле (12.44)
άΤ = dz · tn ■ х{£\ dN0TC = ltn άσπ. (12.45)
Здесь άση — приращение нормального напряжения в поперечном
сечении балки в пределах полки при переходе от сечения /—/
к сечению 2—2, обусловленное приращением момента dMx
dM |Ά_Μ
, am*\2 2 dMx ,u , . /ю.сч
dan = '-j- L = —JJ!L(h-tn). (12.46)
Подставляя (12.46) в (12.45) и после этой подстановки (12.45)
в (12.44), получим
d2.tn%H = ltn^-(h-ta),
2/,
откуда
{у) dM l{h-tn) {y)_QyUh-t.)
%хг — dz 2/x ' %гх ~ 2l\. * V*·*')
На рис. 12.28, в показаны эпюры напряжений τ&> в пределах
полок и x[yj в стенке, возникающие при изгибе в плоскости Oyz.
На рис. 12.28, г изображены сами напряжения в поперечном
сечении. Наряду с этим в полках имеются напряжения τψ>t
представленные эпюрами на рис. 12.27.
В пределах всего сечения двутавра, в силу его симметрии
напряжения χ№ в полках само уравновешиваются, т. е. не
складываются ни в какую силу. Однако учитывать эти напряжения
при оценке прочности необходимо.
5. Касательные напряжения в поперечном сечении балки
тонкостенного открытого профиля. Рассмотрим теперь тонкостенный
профиль произвольного вида, сохранив пока лишь условие
наличия оси симметрии у поперечного сечения, лежащей в плоскости
действия внешних сил.
Прежде всего, как и при рассмотрении двутавра, условимся
считать, что по толщине тонкостенного профиля нормальные
напряжения при изгибе балки распределены равномерно; допускаемая
при этом погрешность невелика. На рис. 12.29 показана балка
тонкостенного профиля и эпюра нормальных напряжений,
возникающих в поперечном ее сечении; вследствие малости отношения
-r-jx разница в величинах нормальных напряжений в верхней и
нижней точках сечения 1 — 1 невелика, аналогичная разность

§ I2.<fl КАСАТЕЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ ПОПЕРЕЧНОМ ИЗГИБЕ 1-эУ
в сечении 2 —2, а тем более 3 — 3, еще меньше. В дальнейшем
будем считать, что по толщине тонкостенного профиля
напряжения распределены равномерно и при этом равны величине,
соответствующей точке, лежащей посредине толщины профиля, т. е.
на контуре.
При выводе формулы для касательного напряжения в
поперечном сочении балки тонкостенного открытого профиля при
поперечном изгибе поступим аналогично тому, как это делалось выше,
применительно к балкам массивным или двутаврового сечения.
Рис. 12.29. К обоснованию допущения о равномерности распределения нормальных
напряжений при изгибе балки открытого тонкостенного Профиля: /в> 2В, Зв, —'
Нормальные напряжения в верхних волокнах сечений / — /, 2—2, 3—3; /н, 2Н, Зи — то же в
нижних волокнах.
Пусть требуется найти касательное напряжение в точке А,
находящейся внутри балки. Проводим через эту точку поперечное
сечение и на расстоянии dz от него еще одно поперечное сечение.
Таким образом, из балки выделяется бесконечно малый элемент
(рис. 12.30, а). Пусть в сечении, проходящем через точку Л, дей-.
ствует изгибающий момент Mx-\-dMx, а в другом сечении — Мх.
Теперь через точку А проведем продольное сечение aAdcb
(рис. 12.30, б). Очевидно, что чем меньше площадь aAdcb, тем
больше по величине касательные напряжения, возникающие на
ней. Наименьшей площадь aAdcb становится, если эта площадка
проведена нормально к контуру (рис. 12.30, б). Вследствие закона
парности касательных напряжений, напряжение τ в поперечном
сечении направлено перпендикулярно отрезку ad, т. е. вдоль
касательной к контуру. Вместе с тем, учитывая тонкостенность
стержня можно говорить о равномерности распределения не только
нормальных, но и касательных напряжений по толщине профиля
(рис. 12.30, г). Расположение же касательных напряжений по
направлению касательной к контуру свидетельствует о том, что
это есть полное напряжение. При выводе формулы для касатель-

140
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. XII
ного напряжения %<&} (τ^) в массивных балках сечение,
содержащее dT, располагалось параллельно нейтральному слою Oxz (Oyz).
Итак, отличие рассматриваемого здесь вывода от ранее
выполненного состоит в том, что в формуле (12.40) вместо b (у) надо
иметь в виду δ (s) — толщину профиля в рассматриваемой точке
Рис. 12.30. К выводу формулы для касательного напряжения прн поперечном нзгнбе
тонкостенной балкн открытого профиля: а) элемент балки; б) часть элемента балки и
действующие на нее силы; в) к обоснованию выбора нормального сечения — отделение
части элемента сечением с максимальными касательными напряжениями; г) направление
полного касательного напряжения, определяемого формулой (12.48), и распределение
его по толщине профиля.
контура (рис. 12.30, а). Во всем остальном имеется полное
совпадение. Поэтому
%(*) =
_QySl
δ/>
%(У) =
QxS]
(12.48)
При изгибе как в плоскости Oyz, так и в плоскости Oxz
напряжение τ располагается вдоль касательной к контуру. Поэтому
при изгибе одновременно в обеих плоскостях касательные
напряжения в тонкостенных открытых профилях, определенные по
формулам (12.48), складываются алгебраически (см.
рис. 12,31)
{у)
τ, = τΥι + τ.
.(χ) _ QySx
QxSy
Ыл
δ/,
(12.49)
6. Оценка порядка величины отношения ттах/сГтах. Произведем
сопоставительную оценку порядка величин нормальных и каса-

§ 12.6] КАСАТЕЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ ПОПЕРЕЧНОМ ИЗГИБЕ 141
тельных напряжений, возникающих при поперечном изгибе балок
нетонкостенного профиля. С этой целью рассмотрим поперечный
изгиб однопролетной балки прямоугольного поперечного сечения,
шарнирно опертой по концам и загруженной равномерно
распределенной нагрузкой. В такой балке максимальное нормальное
Рис. 12.31. Распределение полного касательного напряжения по толщине профиля;
а) при изгибе в плоскости Oyz; б) при изгибе в плоскости Oxz, β) при одновременном из;
гнбе в плоскостях Oyz и Oxz.
напряжение возникает в сечении посредине пролета (где
максимален изгибающий момент) в волокнах, наиболее удаленных от
нейтрального слоя. Эти напряжения равны
Μ
OYnflY '
л: max
ql*
W
8
bh*
3 qfi
Максимальные касательные напряжения в поперечном сечении
возникают в опорном сечении (где максимальна поперечная сила)
на уровне волокон нейтрального слоя; эти напряжения равны
τ "i/max
3 2
~2~bh
3 ql
II'
Отношение xmax и amax выражается формулой
max
max
3 ql
3 ql*
TW
h
T"
Если не ограничиваться площадками поперечных сечений, то ясно,
что наибольшего значения τ достигает в крайних точках среднего
поперечного сечения на площадках, составляющих с ним 45°.
Здесь τ max — CFmax/2. ОрИ ИНЫХ балке И НЭГруЗКб у Ощах И Тщах
адреса другие.

142
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. XII
7. Искривление плоскости поперечного сечения балки
вследствие неодинаковости в различных точках поперечного сечения
сдвига при изгибе. Представим себе элемент балки между сече-*
ниями с координатами ζ и z-\-dz. Распределение касательных
напряжений, возникающих при поперечном изгибе балки по высоте
поперечного сечения ее, неравномерное. Если элемент балки
(рис. 12.32) мысленно разбить на бесконечно тонкие пластины,
параллельные срединному слою, то каждая из них под влиянием
касательных напряжений подвергается сдвигу. Наибольшему сдвигу
подвергается пластина, расположенная на уровне нейтрального
касательные напряжения в попе-
Наиболее же удаленные от нейт-
не подвергаются сдвигу, так как
в этих местах касательные
напряжения в поперечных сечениях
равны нулю. Совместность
деформации всех испытавших
деформацию пластин, на которые разбит
элемент балки, мыслима лишь при
искривлении поперечных сечений.
На рис. 12.32 показан элемент
после деформации. При этом видно,
что различные пластины испытали
различный сдвиг — наибольший у
нейтрального слоя; не испытали
сдвига вовсе пластины, наиболее
удаленные от нейтрального слоя.
На этом же рисунке штрихами
показан вид деформированного элемента с учетом деформаций,
возникающих и от нормальных напряжений. Итак, вследствие
сдвига при изгибе поперечные сечения в балке искривляются.
8. К вопросу об использовании формулы для нормальных
напряжений, выведенной применительно к чистому изгибу, и
в случае поперечного изгиба. При выводе формулы для
касательного напряжения при поперечном изгибе, на первый взгляд,
обнаружилась некоторая несогласованность с первой гипотезой,
которая нуждается в разъяснении.
Формула (12.10) для абыла выведена применительно к чистому
изгибу, при этом использовалась гипотеза плоских сечений.
При рассмотрении поперечного изгиба в процессе вывода
формулы (12.40) для τ без специального обоснования была применена
формула (12.10) для σ. Вместе с тем был обнаружен факт
искривления поперечных сечений вследствие неравномерности сдвига при
изгибе. Возникает вопрос, можно ли использовать формулу (12.10)
для σ при поперечном изгибе и, как следствие, — является ли
достоверной формула (12.40). Ответ на эти вопросы можно дать
слоя, так как именно здесь
речном сечении максимальны,
рального слоя пластины вовсе
Рис. 12.32. Искривление поперечных
сечений балки при поперечном изгибе
вследствие неравномерности сдвига.

§ 12.6] КАСАТЕЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ ПОПЕРЕЧНОМ ИЗГИБЕ 143
положительный и объясняется это
следующим. При выводе формулы (12.10)
для σ на основе гипотезы плоских
сечений существенным был не сам факт
сохранения плоской формы поперечного
сечения, а вытекающая из него
линейность зависимости (12.6) гг от у. При
сохранении плоской формы сечения
эта линейность выполняется с
очевидностью, однако линейность
зависимости ez от у может соблюдаться и при
одинаковом искривлении (депланации)
всех поперечных сечений. Легко
представить себе, что если испытавшие
деформацию волокна, из которых состоит
элемент балки после деформации (торцы
пластинок располагаются на
криволинейных линиях, изображенных на
рис. 12.32 штрихами), расположить
так, чтобы левые торцы их, лежали на
прямой (рис. 12.33), то и правые торцы
могут расположиться либо на прямой,
либо на кривой, мало отличающейся
от нее. К вопросу о гипотезах мы
вернемся еще раз в разделе 5 § 12.7.
^§w
о
k
\
Рис. 12.33. К обоснованию
допустимости использования
формулы для нормального
напряжения в поперечном сечении
балки, находящейся в условиях
чистого изгиба, при выводе
формулы для касательного
напряжения при
поперечном изгибе: несмотря на
искривление поперечных сечений
при поперечном изгибе балки,
относительные удлинения
волокон подчиняются линейному или
близкому к нему закону,
вследствие чего формула (12.5) для ε
остается такою же как н при
чистом изгибе, где сечения
сохраняются плоскими. В этой
иллюстрации для простоты
пояснения сдвиг полосок не показан.
9. Примеры.
Пример 12.4. В круглом поперечном
сечении балки, испытывающей поперечный изгиб в двух ортогональных
плоскостях Οχζ и Oyz, определить полное касательное напряжение в точке А,
расположенной у контура (рис. 12.34, а). Радиус круга г, поперечные
^илы Qx и Qy (их отношение Qx/Qi/=2) заданы. Применить принцип
независимости действия сил.
Решение. Определяем x^J по формуле (12.42)
4 Qy /ι , * 4 Q" Γι 1П\2Л Qy
Ли) — .
w 3 itr2
x<zy) 2
Определяем x^ по формуле x^) = zy — —
Qy
формуле, аналогичной (12.42),
sin α 3 iu2
Определяем
rg> no
lzx
4 Q*
3 jtr2
Определяем χΜ по формуле
['--(T-K&Ntfl-k
Μ) —
Λχ)
ιζχ
2 <2д
2/3 Qx 4J/3 Qy
sin
π
— a
Ϋ2> sir*
nr*
ПГ*

144
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. XII
Определяем хг по формуле
v-^-*.
<*>—.
Щ
Злг2
(2/3-1) 1,64
иг2
Условно принятое положительное направление хг показано на рис. 12.34, б.
Пример 12.5. В прямоугольном поперечном сечении балки, испытывающей
поперечный изгиб в двух ортогональных плоскостях Охг и Oyz, определить
й)
δ)
Рис. 12.34. К примеру 12.4: а) поперечное сечение балки, в точке А которого требуется
найти касательное напряжение; б) к определению компонентов касательного напряже-
„ня if н τ£>.
полные касательные напряжения в точках А, В и С (рис. 12.35, а). Стороны
прямоугольника Ь и h, поперечные силы Qx и QH заданы (Qx/Qy=l).
is
b
4
a
A
С
».b
b
V
·/
/'
/
•*=:|·*
да
В
ж
■*r-* к _ _r(X> _
Ус
~z(»-~z
ferW
8)
Рис. 12.35. К примеру 12.5: α) поперечное сечение балки и точки А, В, С, в которых
требуется найти касательные напряжения; б) изгиб в плоскости Oyz; в) изгиб в плоскости
Охг: г) совместное действие изгиба в плоскостях Оуг и Охг.
Решение. Определяем xfj по формуле (12.41) (рис. 12.35, б)
Т*У~2 bh\ №}~ 2 bh 4 8 № τ* ' τ^ _υ·
Такие напряжения имеют место и в точке Л и d точке В.
Определяем x^J по формуле, аналогичной (12.41) (рис. 12.35, в)
гх
3_Q
2
Aft
4х2
ί>2
2 hb A
9 Q,
8 Μ
rM
2#

§ 12.6] КАСАТЕЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ ПОПЕРЕЧНОМ ИЗГИБЕ Н5
Такие напряжения имеют место и в точке Лив точке С."
В точке С х%/=0, г<*>=0.
В точке В т<*)=0. х[х,}=0.
В точке А полное напряжение %г определяется по формуле (рис. 14.35, г)
lz(A)
-Vwr+Wr-Tc&vs (β-β,-ω
8. bh
Полные напряжения в точках В и С находим соответственно по формулам
τ — rUO.
τζ(Β)~ιζ ■
lzy ' «(С)-%ζ ~ιζχ-
Пример 12.6. В равнобедренном треугольном поперечном сечении балки,
испытывающей поперечный изгиб в плоскости Oyz (у—ось симметрии
треугольника, рис. 12,36, а), найти максимальное касательное напряжение. Размеры
треугольника: с (основание), h (высота) и поперечная сила Qy заданы.
^
if г
*zmtti
Рис. 12.36. К примеру 12.6: а) поперечное сеченне балкн; б) к определению статического
момента части площади поперечного сечения, расположенной по одну сторону от точки
с искомым касательным напряжением; в) месторасположение точки с максимальным
■ЛМ(-Ли)
zy
(ti„m>o») н с максимальным полным касательным напряжением х™' 1x^2. )
\ 2i/max/ r г \ ггпах/·
Решение. Для отыскания касательного напряжения воспользуемся
формулой (12.40)ϊ· Момент инерции площади треугольника относительно
центральной оси, параллельной основанию, выражается формулой 1х=с№/36. Ширина
текущего сечения (рис. 12.36, б), параллельного оси х, как функция у
выражается следующей формулой:
^4-<+τΗτ+ί-)·>ь
= с, Ь
УГТ
=0.
у=-тн
Абсолютное значение статического момента площади части треугольника,
расположенной по одну сторону от отмеченного выше текущего сечения, найдем
по формуле
3+Т)ЫН+У)Т[Т-У)
si
1 /2 \ 2 (h \ 1 /2 h Л
Максимума по высоте сечения величина хгу достигает при таком у, при
котором достигает максимума отношение Sx/b (у).

146
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. XII
Исследуем отношение St/b (у) на экстремум
'dy
Ь(У)
Ь(У)
-Α-2ί/) = 0; _Α_2ί/=0;
У=*~тг
dy*
S*
St
Ь(У)
max
>-i(-4)-(-
Mrt/
= -|<o,
2f/ max
= t
«i/
# = —
Qj/ St
I u b(y)
Qu
y= —
h —
c/l8/36
h2
·*■■— ч
12 c/i
Однако максимальным касательным напряжением является напряжение
не в точке С поперечного сечения при у — — Λ/6,' а полное напряжение в точке
поперечного сечения D на том же уровне, направленное по касательной к
контуру. В рассмотренном случае этот уровень не совпадает с нейтральным слоем
"гтах
_ T2i/max _^ Qy
cos α "~ *" ch
V-
/i2 +
r2
h
Пример 12.7. Построить эпюру распределения касательных напряжений
по поперечному сечению балки тонкостенного открытого профиля,
изображенного на рис. 12.37, а, при поперечном изгибе в плоскости Oyz. Размеры
сечения г, δ и поперечная сила Qy заданы.
Рис. 12.37. К примеру 12.7: а) поперечное сеченне балки; б) эпюра τ (она же, с точностью
до множителя oV8jx/Q , эпюра распределения по контуру абсолютного значения
статического момента части площади поперечного сечения, лежащей по одну сторону от
текущей точки контура, относительно оси х); в) распределение касательных напряжений
по толщине профиля.
Решение. Для построения эпюры %г найдем функцию хг=т:г(ц))· С этой
целью воспользуемся формулой (12.48)^,
St = \ губ ац> = V г2б cos φ ίίφ = ήδ sin φ,
2л 2π
/Λ-= \ rf/26d(p = r36 I cos29 άφ = ήδ(-~- φ + -κ- sin2(p]
2π
= ήδπ,
T(i/) = Qi/2Ssin<P Qy
δήδϊΐ
=ш5т(*·

12.6]
КАСАТЕЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ ПОПЕРЕЧНОМ ИЗГИБЕ
147
На рис. 12.37, б, в показана эпюра распределения касательных
напряжений хг по периметру контура.
Пример 12.8. Построить эпюры распределения касательных напряжений
хг^ (х^) по поперечному сечению балки тонкостенного открытого профиля,
изображенного на рис. 12.38, а, при поперечном изгибе в плоскости Oyz(Oxz).
Размеры сечения, указанные на рис. 12.38, а, и поперечная сила Qt/[QX) заданы.
d *
Ч>
$ #Ы+ЬНаг+аг+к
£(а±Ь)4^7гЛ
fy/a^+B
2Va^d^
8)
Рис. 12.38. К примеру 12,8: а) поперечное сеченне балкн; б) эпюра статического момента
S* (у) (л = 26 (а+-т>-) с)'· ") эпюра статического момента S* (я) (в = с& ί-|· +<ί))·
Решение. Касательные напряжения находим по формулам (12.48). Построим
эпюры St и Sy~.
Участок 1—2
-β» + -ί« S*L=o=0;
s$\Si=c=cb(c+d-^) = ^- + cdb.
Участок 2—3
S* = 6 (a-\ )r-4~s«{) a~\ a 2 ■)■
S$=cd (- + dW s26 /rf - d ,- S* .. ) ·
2

Участок 3-
2
На участке 3—4 S# = 0 поскольку центр тяжести отсеченной части
находится на оси у, относительно которой определяется статический момент. Эпюры
Sx и Sy показаны, соответственно па рис. 12.38, б и е. В силу того, что все
остальные члены, входящие в формулы для τ^ и τ^\ являются постоянными,
не зависящими от χ или у, эпюры τ^ и х[х) оказываются аффинно-эквивалент-
ными соответственно эпюрам S* и S*. Определение же 1Х и 1у не вызывает
затруднений и его здесь не приводим.
§ 12.7. Анализ частных случаев поперечного изгиба балки
прямоугольного сечения методом теории упругости.
Обоснование предположений, принятых при построении
технической теории
1. Вводные замечания. В настоящем параграфе обосновываются
некоторые положения, о которых говорилось в предыдущем
параграфе без доказательств. Имеются в виду такие вопросы как:
малость оу по сравнению с ог, линейность функции &г — &г (у) или
малость отклонения этой функции от линейной. Обоснование
указанных положений производится средствами теории упругости,
но не в общем виде, а на примерах, которые позволяют
экстраполировать результаты на другие частные случаи. Сначала
рассматривается плоская задача для балки, в которой поперечная
сила постоянна вдоль ее оси (консоль, загруженная на конце
сосредоточенной силой), затем в условиях опять-таки плоской
задачи исследуется изгиб балки на двух опорах, загруженной
равномерно распределенной нагрузкой. Разумеется, что в обоих
примерах сечение балки прямоугольное. Граничные условия на
торцах балки удовлетворяются в духе Сен-Венана.
На этих примерах удается проследить и за некоторыми
особенностями самого полуобратного метода Сен-Венана, оставшимися
невыясненными в силу большой простоты тех задач, которые выше
были решены этим методом.
2. Изгиб консоли.
2.1. Исходные данные. Имеем консольную балку в форме
прямоугольной пластины со сторонами / и h. В срединной
плоскости этой пластины расположим координатные оси ζ и у, подобно
тому, как это делалось в предыдущих параграфах для балок.
Пусть левый конец балки заделан, а правый свободен и загружен
сосредоточенной силой Ρ (рис. 12.39). Подробно о том, что
понимать под заделкой и под сосредоточенной силой будет сказано

§ 12.7] ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ. ОЦЕНКА ТЕХНИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ Н9
ниже в порядке уточнения этих понятий. Рассматриваемая задача
однородна, так как объемные силы не учитываются (полагаются
равными нулю). Выполним анализ напряженно-деформированного
состояния балки полуобратным методом Сен-Венана.
!
I
-*=Сч!
ί—ί
IP
44
Η
WjS
т
ί(Η
■§
'■Л
νζ
У
■У
δ)
Рис. 12.39. Консольная балка: а) фасад и поперечное сечение балки; б) к определению
знака опорного момента.
2.2. Первый этап решения задачи. Воспользуемся
технической теорией для установления вида компонентов
напряжений
Л2
σζ = -
мл
Л,
у=-
P(l-z)
У, о у = О,
Мх = -Р(1-г), Qy = P\ St = (~-y)b^[T + y =Y[j-y
r _.T _ Qy&
1 fh
— «2
!fi
2/,
(12.50)
b th*
2 \4
2.3. Второй этап решения задачи. Проверяем,
удовлетворяют ли функции (12.50) уравнениям однородной плоской
задачи теории упругости: уравнениям равновесия (9.87) и
уравнению совместности деформаций (9.94).
При подстановке (12.50) в (9.87), получаем
0 + 0 = 0,
Ρ Ρ
ТХУ+ТУ=0'
При подстановке (12.50) в (9.94), имеем 0 = 0.
Иными словами, компоненты напряжений (12.50) удовлетворяют
и условиям равновесия и условиям совместности деформации.
2.4. Третий этап решения задачи. Выясним, каким
поверхностным нагрузкам соответствует система функций (12.50)

150 ПЛОСКИЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ [ГЛ. ХН
и сопоставим их с заданными на поверхности силами для того,
чтобы удостовериться, является ли система (12.50) решением именно
той задачи, которая нас интересует. Условия на поверхности
имеют вид (9.88).
Рассмотрим нижнюю и верхнюю кромки y = ±h/2, где
т = ±1, п = 0. (12.51)
Учитывая (12.50) и (12.51), получим (9.88) в следующем виде:
Pvy = 0, pvz = 0.
Перейдем к торцам. Рассмотрим правый торец z = l, где
т = 0, п=\. (12.52)
Учитывая (12.50) и (12.52), получим (9.88) в таком виде
Ρν, = -Ητ '-, Ρν* = 0. (12.53)
2/,
Проинтегрируем pvy в пределах площади всего торца
+ А/2
п.. η пи ~π ι i l_ tt An — ,„, , _^_
8/, 2/.v 3 \ 8 T 8
— /i/2 —ft/2
+ Λ/2 +Ί/2
J pvzbdy = 0, ] pvzybdy = Q.
— ft/2 —ft/2
Итак, на правом торце действительно действует сила, равная Р,
как это и было задано в условии примера. Однако напряжения
(12.50) соответствуют не любому распределению этой силы на
торце, а лишь такому, какое предписано зависимостью (12.50).
При любом другом распределении силы Ρ на торце напряжения
будут другими, чем (12.50). Однако на основании принципа Сен-
Венана на небольшом удалении от торца на величину порядка h
практически закон распределения Ρ по торцу не существенно
влияет на напряжения.
Остается обследовать левый торец балки г = 0, где
т = 0, л = —1. (12.54)
Учитывая (12.50) и (12.54), получим (9.88) в следующем виде:
Pvy — 27 » Pvz — [У'

§ 12.7] ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ. ОЦЕНКА ТЕХНИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ 151
Производя интегрирование в пределах всей площади левого
торцевого сечения, получим
+ /1/2 + ft/2 + ft/2
С С С PI Pi
J pvybdy = — P, j pvzbdy = j Txbydy = -r
Plb i/2 +ft/2
= 0.
—/i/2
"ft/2 -"ft/2 —"ft/2
По смыслу задачи в левом торцевом сечении (сечение заделки)
должен возникнуть опорный момент, равный — PL Проверим,
приводится ли распределенная по этому торцу поверхностная
нагрузка pvz к указанному моменту. Для этого раскроем интеграл
+ /ι/2 + /ι/2
М= — j Pvzybdy = — -~ j у2dy = — 4S^- = - PI
— Л/2 ' —ft/2
12/,
Знак минус перед интегралом принят в связи с тем, что при
положительных у и руг изгибающий момент отрицателен (рис. 12.39, б).
Итак, получили подтверждение, что функции (12.50) представляют
собой компоненты напряжений именно в интересующей нас задаче.
2.5. Четвертый этап решения задачи. Из уравнений
закона Гука
1 г„ λΊ μ Ρ{1 — ζ)
гУ = ~Ё К _ №] = Ε Ιχ У'
1 г ι P(t — z)
«* = -Ε- [Ъ - μσΡ] = щ^- у,
_ 2(1+μ) _ l+μ ^JT^
Угу— Е τ-zy — - Е jj-
получаем компоненты деформации, имея которые, путем
интегрирования уравнений Коши
— J?? — _£ ^ (l — г) _ _аш_ _ _ Ρχΐ — ζ)
гУ~ ду ~ ~Ё" [х У> &г~ дг ~ Е1Х #'
ди . dw 1 + μ
Ч*У ~ ~дг + ~~ду~ ΊΓ~
/, εζ =
'(£-
dw
дг
~Уг)
(12.55)
найдем составляющие перемещения υ и саг.
Для исключения из ϋ и да перемещений как жесткого целого
закрепим балку, предотвратив перемещение центра левого торца
при у = ζ = 0, υ = υ0 = 0, w = wo = 0 и поворот одного из
элементов. Определение ν и w выполним в двух вариантах
закрепления против поворота (рис. 12.40). В первом варианте
закрепления (рис. 12.40, а) воспрепятствуем повороту элемента dz

152
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ -
Выполним интегрирование уравнений Коши
τ ι ЁИ — ±_ ρ(ι~ζ) ,,.
ι· ' ди ~ Ε ' h у'
[ГЛ. XII
0 ч д I ди\ _ г * л>
μ ρ
ди
Ρ (1-2)
ΕΙΧ
ди
"dz
μΡ y*_. Plz
> ~Γ
ΕΙ
Eh
Ρζ*
2ΕΙΧ '
Ρ Γ π \ У2 . Ιζ* ζ8 1
(12.56)
II. 1.
dw
ι+μ
^(-τ-^2
9 dw —
Δ' dz ~
Ε Ιχ
Ρ(1-ζ)
+
μΡ У2
ΕΙΧ 2
Plz Ρζ*
ΕΙ
2ΕΙΛ
Eh
У\
W
= -к[-{1-^У-^ + ^^у\ 02-57)
Во втором варианте закрепления (рис. 12.40, б) воспрепятствуем
повороту элемента dy
dw
ί/=2=ο \ ду /о
Информация, аналогичная приведенной выше (результат
интегрирования), дается и в этом случае, но здесь сначала определена
функция w, а затем v.
Eh
I 1 а) д ldw\ 1+μ 2Р и Ι μ Ρ и Ρ(2+μ) и
L ' а) ду \ду) ~ Ε Ixy^ Ε 1ХУ~ Р' У'
л\ д (dw\_ P(l — z)
dz \ ду
Eh
dw _ _ Ρ(2 + μ) У*_
ду ~ Eh "2
9 dw__ _ Р(1-г)
Δ' dz ~ Elx y'
w =
Eh
(2 +μ) У3
ΕΙ
+ ι
PI . Ρζ*
2Eh
Ψ
(12.58)
ΤΤ 1 J*L — Α Ρ(/-ζ) „.
η* ι' ду ~ Ε Ιχ У'
ρ (--у*)
д^= 1 + μ V 4 У ) Ρ(2 + μ) y» Plz
L' dz Ε Ιχ "τ" E/r 2 "^ EIX
v =
Eh
μ (/ — ζ) «ι te2
— 2— У2 + -2~
EI,
z*
6
f
(l+μ) ft2
Pz2
2EIX '
(12.59)

§ 12.7] ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ. ОЦЕНКА ТЕХНИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ 153
Сопоставляя (12.56), (12.57) с одной стороны и (12.58), (12.59)
с другой, обнаруживаем отличие в соответствующих формулах —
подчеркнутые члены отсутствуют в аналогичной функции из
другой группы формул.
Рис. 12.40. Закрепление балки против перемещения как жесткого целого:, а) первый
вариант закрепления; б) второй вариант закрепления; в) переход от картины
перемещений при одном варианте закрепления к картине перемещений при другом — путем
поворота деформированной балки как жесткого целого.
Наконец, рассмотрим еще три варианта закрепления, в каждом
ί ди\
из которых vQ, wQ и Nj— ι определяются из интегральных условии.
Во всех трех вариантах равны нулю два интеграла
+ ft/2 +ft/2
J v\z.0dy = 0, J w\z-ody = 0,
— ft/2 — /ι/2
а отличается один вариант от других видом третьего интеграла,
также обращенного в нуль. В третьем, четвертом и пятом
вариантах этот интеграл соответственно имеет вид;
+ ft/2
+ ft/2
+ Н/2
■ft/2 —ft/2 —ft/2
Функции ν и w находятся так, как показано выше, но
параметры ν0, ιινύ и (dv/dz)0 оставлены неизвестными
υ = υη
-№)*l+(£l·-
2£Л
Ρ/ζ2
du
дг)оУ +
2EIX
Ρμί/3
Рг?
6£/, '
6£Λ
Plzy , Pz*y
EIX "·" 2EIX

154 ПЛОСКИЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ [ГЛ. XII
Производные -~— и -=- и ω* находятся по следующим
формулам:
dw__ (1 + μ)ΡΛ? _ (1-}-μ)Ρί/2 ^ ^\ Ρμί/2 _ Ρ/ζ . Ρζ2
Я, . Τ OP/ PI ~Γ
5ί/ "~ 4£/* Elx \dz Jo ' 2£/* £/* ' 2EIX >
dv _ μΡί/2 , / dv \ Plz Pz*
~dz~ ~ - 2EIX + { dz /0 + E/, 2£/* '
aiw dv _ (1+μ)Ρ / Λ2 _ -\ _9(dv\ Ρμί/2 2P/z Рг^
ω*-^7 a*' £77~l4 #/ ^β*λ>+*/* eix+ Ё77-
Первые два интегральных условия в каждом из
рассматриваемых вариантов одинаковы и в раскрытом виде представляются так:
Отсюда
Ρμ/Λ2 г,
Третье условие, из которого находится (dv/dz)0 в каждом из
трех обсуждаемых вариантов закрепления имеет соответственно
следующий вид:
(1+μ)ΡΚ» (1 + μ)№ (dv\ . Pyh^ _ β _ Ρμ^_ / до\ ,_η
4£/* 12Ε/, \az;0/l'r24£/x ' 24£/ν "τ" \3ζ )0η~υ>
ΕΙΧ \ 4 12/ Vaz /о ^ 12£/л
Отсюда величина (dv/dz)Q в третьем, четвертом и пятом
вариантах соответственно выражается формулами:
/ dv\ ptv л , 5 \ /ао\ _ _μΡΛ2_ /а_и_\ ρ/ι2 /. . з \
\dz jo ~ 6Е1Х \ 1 + 4 μ/' V3z /о ~~ 2AEIX ' V ^ /о ~ 12E/, \ + 2 ^ '
2.6. Анализ картины деформации балки.
2.6.1. Координаты точки балки. Любая точка балки {у, ζ)
в результате деформации занимает новое положение, определяемое
координатами y1 = yJrv, z1 = z-\-w.
2.6.2. Ось балки. Рассмотрим ось балки, точки которой (ί/ = 0)
в результате деформации занимают новое положение уг = ν |,,_0,
z1 = z-\-w\y-0. Первый вариант закрепления
&=-шг[-т--тг]· Zl==z' (12,60)
1 X
Второй вариант закрепления
Ух
Чх-т + -^*]. ζ^ζ' (12·61)
ΕΙ
Позднее, находя перемещения при изгибе балки в § 12.15, мы
вернемся к формулам (12.60), (12.61). Последний член в формуле
(12.61) отражает влияние сдвигов на прогибы (см, рис. 12.41).

§ 12.7] ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ. ОЦЕНКА ТЕХНИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ 155
В третьем, четвертом и пятом вариантах закрепления
уравнение изогнутой оси балки соответственно имеет вид
У ι
Ул.
Ρμ/Λ2
24£/
Ρμ/fr
24EL
+
Ркч
χ GEIX
1+|μ) +
, Ρμ№ζ Р№
Ρ/ζ2
2Ε/Χ
Ρζ*
24ΕΙΧ
Ph4
2EL
_ Ρμ№ ■
^1— 24£/κ "+" \2ΕΙ
ι+4 μ +
Ρ/ζ2
2Ε/,
Ρζ3
"6£77
Ρζ*
6ΕΙ*
2.6.3. Поперечное сечение. Проследим за произвольным
первоначально плоским поперечным сечением ζ = ζ* = const; точки этого
сечения в результате деформации оказываются на поверхности
с уравнением
г1 = г* + ау|2=2*. (12.62)
а) Первый вариант закрепления.
В формулу (12.62) подставляем w
согласно (12.57), тогда уравнение
деформированного поперечного
сечения приобретает вид
Ρ Г (, ζ* \ *
ίγ)ζ у-
1 Е1Х
(2 + μ)ί/3
6
[-(
/
+
(1 + μ)Α*0
]. (12.63)
Рис. 12.41. Прогиб вследствие
сдвигов в балке.
Поперечное сечение перестало быть плоским и искривилось по
кубической параболе. Форма искривленного левого торца
описывается уравнением, получаемым из (12.63) при ζ* =0
-£ф£. + 2±Р»-у]. (12.64)
Е1Л
Напомним, что в первом варианте закрепления в точке у ~
= г = 0 элемент dz не поворачивается. Определим угол,
составляемый элементом dy, лежащим в поперечном сечении, с осью у
в результате деформации. Для этого найдем производную от zlt
согласно (12.64), по у
dzi
dy
Ρ(1+μ)/ι2 2(1+μ)ΡΛ212 3Ρ
ί/=0
ΑΕΙ,
~№ 2bhG
Ъ_Р_
2 FG'
Здесь Ζ7—площадь поперечного сечения балки, a G — модуль
упругости при сдвиге. Результат получен ожидаемый (рис. 12.40, а).
Действительно, в балке прямоугольного сечения на уровне
нейтрального слоя касательное напряжение и сдвиг выражаются
формулами
. — А^__ЗР _ τ 3 Ρ
*~ 2T~2F> У~ ~G~ 2 FG'

156
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. XII
б) Второй вариант закрепления. Используем в (12.62) w из
(12.58), тогда уравнение деформированного поперечного сечения
при z = z* имеет вид
При г* = 0, т. е. на левом торце, имеем
Ρ (2 + μ)0»
Zl
ΕΙΛ
Во втором варианте закрепления в точке у = ζ = Ο не
поворачивается элемент dy, элемент же оси dz поворачивается. Определим
указанный поворот. Для этого из (12.61) найдем производную
dz
_ (ΐ+μ)^2 ρ з р
2 = 0 _ 4 ΕΙΧ~ 2 FG'
Картина описанной здесь деформации показана на рис. 12.40, б.
При различных способах закрепления функции ν и w получаются
различными (например (12.56), (12.57), с одной стороны и (12.58),
(12.59) — с другой), форма же тела, испытывающего деформацию,
остается во всех случаях неизменной. Последнее иллюстрируется
на рис. 12.40, в. Переход от картины, соответствующей первому
варианту закрепления, к картине, отвечающей второму варианту,
осуществляется за счет поворота деформированной балки как
з ρ
жесткого целого на угол ττψβ вокруг точки О.
2.6.4. Еще об оси балки. До сих пор отмечалась схематизация
представления нагрузки и внутренних усилий, используемая
в сопротивлении материалов. Здесь обсуждена ситуация, которая
позднее позволит уяснить еще один тип схематизации,
используемый в сопротивлении материалов —схематизацию характера
закрепления тела на опорах. Из бесчисленного количества способов
закрепления балки в левом торцевом сечении рассмотрено два
и каждому из них соответствует своя кривая изогнутой оси
(рис. 12.40, в). Закрепление балки, для исключения ее
перемещения как жесткого целого, было выполнено при минимально
необходимом количестве связей. Этим случаям закрепления
соответствуют определенные трактовки на уровне сопротивления
материалов. На самом же деле может возникнуть потребность решения
более сложной задачи, например, задачи об изгибе консоли,
которая во всех точках торца припаяна к абсолютно жесткой стене.
Такая задача не может быть решена средствами технической
теории сопротивления материалов и является типичной для теории
сред, в частности теории упругости.
Прогиб конца консоли в двух сопоставляемых вариантах
закрепления балки, соответственно первом и втором, выражается

§ 12.7] ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ. ОЦЕНКА ТЕХНИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ 157
формулами
V
V г =
Ιί/=
ΕΙ,
Ρ
ΕΙ>
Р/з
3ΕΙ'
Β
/3 (1+μ)Λ» ,
3£/* + 2 GF'
Во втором варианте закрепления второй член в выражении для
прогиба на конце консоли учитывает влияние сдвигов. В первом
варианте закрепления сдвиги на перемещения оси влияния не
оказывают, но зато влияют на поворот элемента, лежащего в
поперечном сечении заделки.
В последних трех вариантах закрепления балки прогиб конца
консоли выражается соответственно формулами
ν
р/з , Ρ/ΑΜί + μ) _
Ιί/=ο
Р/з
3£V
+
6£Λ
Р/з Pl_
Pi:
Р/з , Ρ//ι2(1+μ)
'ЗБ/,
+
12ΕΛ
3£/
Ρ/» , Ρ/
3£/
2GF'
3. Изгиб балки на двух опорах.
3.1. Исходные данные. Имеем балку в форме
прямоугольной пластины со сторонами / и h (рис. 12.42). Балка по концам
свободно опирается на опоры и загружена равномерно
распределенной нагрузкой интенсивностью q. Более подробно о характере
- о
A
ντϊ It 11 Ιττ ttϊττίι'
I
c 2 τ
A
ζ
■*—>■
■
IHIUI
ν
'4fr
/Ζ
Рис. 12.42. Балка на двух опорах.
распределения реакций по торцам балки и о характере
закрепления балки на опорах будет сказано ниже (их примем такими,
какими они получаются, если исходить из решения аналогичной
задачи в технической теории). Рассматриваемая задача является
плоской однородной (объемные силы полагаются равными нулю).
Используем для анализа напряженно-деформированного
состояния полуобратный метод Сен-Венана.

158
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. XII
3.2, Первый этап решения задачи. Воспользуемся
технической теорией для установления вида компонентов
напряжений
σ.
Мху
*(£--)»
*гу ■
Qys*x
ых
а„
qz
' χ
2 V 4
Ла
-У
Λ
О,
Яг { 4 у2
2 /.*
(12.65)
Здесь имеется в виду (рис. 12.42), что
3.3. Второй этап решения задачи. Проверяем,
удовлетворяют ли функции (12.65) уравнениям однородной плоской
задачи теории упругости: уравнениям равновесия (9.87) и
уравнению совместности деформаций (9.94). При подстановке (12.65)
в (9.87), получаем
(τ-ή_
о,
fr + lr^0· <12·66>
Второе уравнение равновесия удовлетворено, а первое —нет,
выражение, стоящее в левой части (12.66)!, не нуль.
Неудовлетворения первому уравнению равновесия следовало ожидать, так как
принимаемое в технической теории равенство оу = 0 противоречит
хотя бы тому условию, что на верхней грани балки аи = — q\
разумеется, σ^ΦΟ и на площадках, параллельных верхней грани.
Для обращения в нуль выражения, стоящего в левой части
уравнения (12.66)!, производная да^/ду должна иметь следующую
структуру:
д-^ = А1У* + А» (12.67)
а это означает, что само напряжение σ,, должно быть выражено
следующей функцией:
ty =
А&
\-Α& + Α9.
При таком условии, подставляя (12.67) наряду с хгу согласно
(12.65) в (9.87), получим
^+A-l£+2-fi/3
0; Аг — — 27^,
А -^

§ 12.7]
ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ. ОЦЕНКА ТЕХНИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
159
Итак, после внесения коррективы, получили систему функций,
которые удовлетворяют условиям равновесия
qz /A»
Я (Р
Ыхи "т"8/,» ' '*3' °г~21х\А Z ly>
^гу
2Л
(τ-ή-
(12.68)
Теперь для проверки удовлетворения условию совместности
деформаций подставим (12.68) в (9.94)
2?
— j-y-j-y = 0 или fy = 0.
(12.69)
Выражение, стоящее в левой части (12.69), при у φ О, не
нуль. Следовательно, уравнение совместности деформаций не
удовлетворяется. Для удовлетворения этому условию требуется в (12.68)
внести коррективу, но так, чтобы при этом не нарушалось
равновесие тела. Не будем изменять σ,, и хгу и тем самым сохраним
удовлетворение первому уравнению равновесия. Изменим лишь аг,
однако, чтобы при этом не нарушалось удовлетворение второму
уравнению равновесия. С этой целью в выражение для σζ введем
слагаемые, производная от которых по ζ равна нулю, а вторая
производная по у имеет вид Ллу. Тогда сами эти слагаемые ока-
А и3
зываются такими —Ψ--{■ Аьу-{■ Ав. Итак, полагаем:
°»-Ы^+й;*+л.. «.-&(£-*■)*+¥+*·*+*.
τ*ί/
21 χ
qz /h2
■У
Условие совместности деформаций (9.94), после подстановки в него
последнего варианта формул для σ^, аг и %гуу оказывается таким:
'χ 'χ 'χ
Откорректированные компоненты напряжений
°у = — (П-У3 + $гУ+А3,
8/Л·'
°*=щ[т ~2")У +щУ3+а*у+А«
^zy —
—Ш-*
(12.70)
удовлетворяют условиям и равновесия, и совместности деформаций.

160 ПЛОСКИЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ [ГЛ. XII
3.4. Третий этап решения задачи. Выясним, каким
поверхностным нагрузкам соответствуют компоненты напряжений,
полученные в конце второго этапа, и сопоставим их с заданными
на поверхности для того, чтобы удостовериться, являются ли
указанные компоненты решением именно той задачи, которая нас
интересует.
Условия на поверхности имеют вид (9.88). Рассмотрим нижнюю
кромку y = h/2, где
m=lf Λ = 0. (12.71)
Учитывая (12.70) и (12.71), получим (9.88) в следующем виде:
q h? ,qh2 h , * π
ρ™—~ ш~х "β" + βτ; "5"+Лз' Ρνζ ~ υ*
Из условия обращения в нуль pvy, имея в виду, что на нижней
кромке нет никакой нагрузки, найдем
д _ £_№_ _ q№ _ qh3 q_
3~"6IX 8 16/* ~ 24/х ~ 2 *
После удовлетворения граничным условиям на нижней кромке
получаем
ау=-£;У3+1гхУ-т>
а*=£х{т-г2)у+£хУ3+А*У+л*> \ <12·72)
τ*υ 2/χ \ 4 У
Рассмотрим верхнюю кромку у — — h/2, где
т = —1, л = 0. (12.73)
Учитывая (12.72) и (12.73), получим (9.88) в следующем виде:
q 12/i3 , qh42 h , q _ „ _π
Pvy~ "6"/ι3 8 + 8/гз 2 "+" 2 — *' Pvz ~υ*
Перейдем к торцам ζ = ± 1/2, на которых
т = 0, п=±1. (12.74)
Учитывая (12.72) и (12.74), получим (9.88) в следующем виде:
Pv. = 4=^r(f-#2). Р^«±(з7^8 + 40 + Л.). (12.75)

§ 12.7]
ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ. ОЦЕНКА ТЕХНИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
161
Проинтегрируем pvy и ρνζ в пределах всей площади торца (тол
щину пластины полагаем равной единице)
+ А/2 +Л/2
J Pvy
— ft/2
+ Л/2 _ ql
ί///ι2ί/ qly*
•ft/2
Ι6Λ
12/,
•ft/2
+ Α72
+ ft/2
S PwL=±//2^=± S (щУ3 + Аьу + ЛвУу = ±А6Н.
-ft/2 -ft/2
(12.76)
(12.77)
Интеграл (12.76) определяет собой поперечную силу, а (12.77) —
продольную силу на торцах. Найдем величину моментов, которые
может создать на торцах поверхностная нагрузка pvz (12.75)
+ А/2 +ft/2
J Pvz
-ftZ2
-J/2
ydy = ±: J (^tf + A^ + Aoyjdy-
— h/2
— 3/* 5 16— Пъ 3 4 '
(12.78)
В решаемом примере ни продольной силы, ни изгибающего момента
на торцах нет. Распоряжаясь постоянными Аь и Лв, обеспечим
равенство нулю этих величин. Для равенства нулю продольной,
силы на торцах, согласно (12.77), необходимо, чтобы Ав = 0. Для
равенства нулю изгибающего момента на торцах, согласно (12.78),
ffi
qh?
требуется, чтобы ±gi-^-±: Л6-^ = 0, Аъ= — щ-. Окончательно
формулы для компонентов напряжений приобретают вид
а - q ,J3-Uqh2 11-3-
я /ι*
^у+±у3- —
20/ХУ* Т*У— 2/,\4 У
(12.72')
Таким образом, откорректированное решение технической теории
соответствует поставленной задаче, если распределение реактивных
сил на торцах подчинено закону (12.75), который с учетом
полученных значений для Аь и А6 приобретает вид
ql /h* ,
р-у=+Ш1-у
Pv,=±u-y>-m.
·χ\ι ι \"χ- so/,;·
При других законах и сохранении величины интеграла (12.76),
а также равенстве нулю продольной силы и изгибающего момента
на торцах компоненты напряжений будут иными, чем даваемые
формулами (12.72), однако, согласно принципу Сен-Венана, уже
в небольшом удалении от торцов численно напряжения будут
мало от них отличаться.

162
ПЛОСКИЙ ИЗГЙб СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. Xlt
3.5.· Четвертый этап решения задачи. Найдем все
остальные функции.
Из уравнений закона Гука
' = ^Κ-μσ*] = 2ΐ77{-(1+2μ)ΊΓ +
2Е1Х
р2
+
[4
О + т^-Кт-^-й}-
■ -j[oe - μσ^ - 2Ш7 \ 3 +
Угу'-
2(1+μ)
"tzy
+[(ί-*Κ(ί+")]'+>4}·
(τ-ή
ΕΙ χ
(12.79)
получаем компоненты деформаций, имея которые путем
интегрирования уравнений Коши (9.89) найдем составляющие
перемещения и и υ. Приведем результаты интегрирования этих уравнений,
выполняемого совершенно аналогично тому, как это было
показано в § 9.6. Для исключения из υ и w перемещений как
жесткого целого закрепим балку, предотвратив перемещение центра
среднего сечения и поворот элемента dz при у = г — 0
'dv\
У-г-0
U)o
о,
υ
£_/-
ΕΙ A
W
(l + M)/t»zy , 1 + μ ο
4 ]г~Т~гУ "
цгуа
+
1+μ
Wzy + Щ.
3.6. Анализ картины деформации балки.
3.6.1. Координаты произвольной точки балки. Любая точка
балки (у, ζ) в результате деформации занимает новое положение,
определяемое координатами уг = у-\-и, zx = z-\-w.
3.6.2. Ось балки. Рассмотрим ось балки, точки которой (г/ = 0)
в результате деформации занимают новое положение
*-<)~--ώ:{-[(τ-*)-τ{τ-ήν-Ψ»ή'
■ £ ~j— о г? ^*
4Е1Х
Последний член в формуле для гг очень мал, так как мал
порядок отношения q/E, и им можно пренебречь. Происхождение
этого члена таково, что вследствие наличия ау и поперечного
сжатия балки под влиянием этого напряжения происходит удлинение
осевого волокна балки. Аналогично происхождение последнего
члена в формуле для ε, (12.79).

§ 12.7] ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ. ОЦЕНКА ТЕХНИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ "^ 163
3.6.3. Поперечное сечение. Рассмотрим произвольное
первоначально плоское поперечное сечение балки г = г* = const;
множество точек этого сечения в результате деформации представляет
собой поверхность с уравнением
Ζχ = Ζ* + W \z-z* =
B^+A{-(1+1Wy+24b'W^^+iia4(12'80)
В формуле (12.80) подчеркнут член, связанный с искривлением
поперечного сечения.
4. Анализ допущений, принятых в технической теории изгиба
балки.
4.1. О зависимости 8г = ег(г/). Как уже указывалось, при
выводе формулы (12.10) существенным было не сохранение
плоской формы сечений, а линейность зависимости ег = ег(г/).
Примеры, приведенные в настоящем параграфе, показывают, что и
в случае искривления сечений, но сохранения неизменной
величины поперечной силы (изгиб консоли силой), гг остается
линейной функцией как и при чистом изгибе (см. (12.55)).
При искривлении сечений в условиях переменной вдоль оси ζ
поперечной силы (изгиб балки на двух опорах равномерно
распределенной нагрузкой) гг оказывается нелинейной функцией
(формула (12.79)), однако отклонение ее от линейной
незначительно. Чтобы доказать это утверждение, оценим удельный вес
подчеркнутого нелинейного относительно у члена в общей
величине выражения в фигурных скобках в формуле для гг (12.79).
В табл. 12.1 приведен процент, составляемый нелинейным членом,
а также последним членом от всего значения выражения,
стоящего в фигурных скобках в формуле для гг (12.79). С целью
перехода к безразмерным величинам все члены в скобках
разделены на /3. Из таблицы становится очевидной возможность
использования формулы (12.10) для σ и при искривлении поперечных
сечений вследствие неравномерности сдвига по высоте балки.
Только вблизи торцов влияние нелинейного члена становится
большим. Сказанным подтверждается утверждение, сделанное в
разделе 8 § 12.6 о целесообразности отказа от гипотезы плоских сечений
в пользу гипотезы о постоянстве вдоль оси балки депланации
сечений.
4.2. Сопоставление величин аутах и σζ max. Имея
функцию a,j, легко построить эпюру (рис. 12.43) распределения этого
компонента напряжения по высоте балки. Из этой эпюры видно,
что максимальное значение ау равно интенсивности внешней
нагрузки q
_ q 12 № qh* 12 q
Gv „= * - 6" h* ' Τ ~~ 16 ' λ*' 2 ~ q'

ПЛОСКИЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. XII
см
W
Я
К
Ч
\о
се
Η
Ϊ?
S
**"
SIS
^
о
о
л)л
ТЕ, S2·
w w
+ β
^•■s
е +
+ S
£ +
II *|3
blss «Я
!·> ""1·^
""|к· II
χ Χ |
- Ι* (Ν к Г*
1 V 1
а>
S* Ч.
N
1
uh
-^J_l_^
-la
" -
а, £

ΙΑ
+
<Ν
О
ι
со — 5,
1
II
-I*
a>
N
-Й
о
<л
CO
г^
(О
m
■*
СО
<м
-
Tf СО 00 О СЛ 00
со со ·"* Is- ι~- оо
·. л -. ·* ·. »·
— о «—· О —< О
(О t~ О (О -ι чС
t> О) 00^ ^ О О)
©" <n" о" со" -J оо"
CN Is- Is- Is- CN Is-
Tt· со —■ —■ ■* со
iO <D ^ ■* О (О
со со ю о — —
rj< CN СО Is- СО О
N Ю « И С» О!
— CN — СМ О —
о, о„ о_ о^ о_ о^
о" о* о" о" сГ о"
t^- г^— г^— г^— г^— г^—
со со со со со со
со со со со со со
со со со со со со
1—1 ι—Ι 1—1 1—1 ι 1 1—1
о о о о о о
о о о о о о
о о о о о о
о о о о о о
Ю О IQ О iO О
N Ю N Ю N Ю
оо со оо со оо со
о о о о о о
о о о о о о
о, о^ о_ о_ о_ ол
о" ρ о* о" о" о"
ι Τ ι ι ι ι
О О iO О О О
О О Is- ιΟ О О
О О 00 Is- ιΟ О
О О — 00 Is- ιΟ
iO Q Is- ■* 00 Is-
СМ Ю —' 00 OS 00
-Ν -UN О -
о о о о о о
о о о о о о
ιΟ Ο Ό Ο Ό О
Is- О Is- О Is- О
оо о оо о оо о
σι ю oj ю οι ю
О Is- О Is- О Is-
о о о о о о
о о о о о о
о о о о о о
о о о о о о
о о о о о о
СМ — СМ —ι СМ —ι
— |оо — Is*
о '
+1 +1
со σι со о
О ■* О ιΟ
оо" ~ ее см"
ιΟ СО
СЧ
1
00 OS Is- Ю
г-^ со^ —^ см
•—Г СО" ιθ" —Г
■* оо
— см
|
Is- Is- 00 Is-
— — Ю СО
Tf Tf Tf CO
о о со со
■* Ν Ο Ν
ю — о о
о — о о
о_ о, о„ о„
о о о о
1
Is- Is- Is- Is-
СО СО СО СО
со со со со
со со со со
ι—· 1—1 ι—· г—4
о о о о
о о о о
О, О^ 0„ О^
со" со" о со"
Ю OIQ О
см ю см ю
оо со оо со
о о о о
о о о о
о о о о
о о о о
I I I 1
ю о
Is- Ю
00 Is-
со оо
■* σ>
ю о
о —
°- °„
со" о" о о
ю о ю о
Is- О Is- О
оо о оо о
со ю σι ю
О Is- О Is-
о о о о
о о о о
о о о о
о о о о
о о о о
см — см —
*■»*
со loo ~ |см
1 1
+1 +1
— |ιΟ
COt^COOOiOCMCOOOCMO
00^ —^ 00^ —_ Tf CM t-^ 00^ — ιΟ
d d о" о о" о о* о" со м"
ю со
ч
1
СО
союооюоиомм
— h-CNOOCMCfiTft^cMCN
■» _ ^ лл»ч»ч»ч_»ч_
ООООООО —ι Ю -1
Tf 00
— см
1
oooooooooooooot'-oo
osoooooTfoooooooo
— со — смслоососмоосо
TfCOiOiOt'-OCMQOCO
МШМГ«(0*Г>1000
(ΟΝιΟ-^ΟΙΝιηΟΟ
о — о — о о о о о о
оооооооооо
^^«ч^^*1«ч«ч«ч*ч
оооооооооо
1
оооооооооооо'оооооооо
00000000000000000000
оооооооооо
CN(N(N(N(NCNfNCN(N(N
оооооооооо
оооооооооо
оооооооооо
о о о„ о о. ооооо
«к «Ч ·. «ч ·. «t ~фь «Ч «Ч ^
оооооооооо
CMlOCMiOCMlOCMIOCMlO
СОСМСОСМСОСМСОСМСОСМ
о — о— о — о — о —
TfCO'ifOOTfCO'iCO'tCO
оооооооооо
оооооооооо
оооооооооо
оооооооооо
ОООООООООО
I I I I I I I I I 1
ООГ~-ЮООГ~-10
ΟΟΟΟΓ~-ιΟΟΟΟΓ~-
оосйсо^ю^со
ю о ю — оо Is- со со
CMLOoots-cocots--'*
со см ю — ■* ел см ю
о — о — оооо
оооооооо
оооооооооо
СМЮСМЮСМЮСМЮСМЮ
Г"-Г"-Г"-Г"-Г"-Г"-Г"-Г"-Г"-Г"-
— 00 — 00 — 00 — 00 — 00
— OJ—ι СЯ « G >-1 О) -4 Си
оооооооооо
оооооооооо
оооооооооо
оооооооооо
оооооооооо
оооооооооо
^CN'*(N'*CN'*fS'*CN
>*ч!
"- |оо —* |-ч*< со loo >-·» |см
о ' ι" ι ι
+1 +1 +1 +1
~^ IO
^1—

§ 12.7] ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ. ОЦЕНКА ТЕХНИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ 165
Оценим порядок величины отношения агтах/\ау\тах = о2тах/д,
'г max
'г |z = 0, y=h/2
1 /qPhl2
q\2h* qh42h\ 3 /2 1
"г ам« ocihso I = Τ Τλ'ΤΎ'·
Рис. 12.43. Эпюра
распределения σ по
высоте балкн.
q q q \ lbft» ' ШЩ 20h^2 J 4 /ι2 ' 5
Учитывая, что ЦК >· 5, легко понять пренебрежимую малость
I ву |тах по сравнению с σζ max. Этим оправдывается пренебрежение
напряжением ау по сравнению с σζ в технической теории балок.
5. Еще о гипотезах элементарной теории балок. Анализ чистого
изгиба балки, выполненный в § 12.5 при помощи аппарата теории
упругости, полностью подтвердил правомочность гипотез,
принятых в § 12.3, на основе которых была построена элементарная
теория чистого изгиба балки. На самом деле
то, что постулировались этими гипотезами в
случае чистого изгиба представляет собой
закон.
При рассмотрении же поперечного изгиба
было обнаружено, что, во-первых, поперечные
сечения вследствие неравномерности сдвигов по
высоте балки искривляются, а на площадках,
параллельных оси г, вообще говоря, возникают
нормальные напряжения. Эти факторы при
формальном подходе к вопросу противоречат
содержанию гипотез, принятых в § 12.3 для чистого
изгиба и далее распространенных на случай поперечного изгиба.
Однако на самом деле результаты, полученные в § 12.4 и § 12.6,
вполне приемлемы применительно к поперечному изгибу. В
сказанном утверждают и оба примера, рассмотренных в настоящем
параграфе.
Коснемся первой гипотезы. В разделе 8 § 12.6 уже
говорилось, что существенным является не сам факт сохранения плоской
формы сечения, а вытекающая из него линейность относительно у
функции ег, и что эта линейность может иметь место и при
искривлении сечений.
Решение задачи об изгибе консоли (раздел 2 настоящего
параграфа) показало, что, если поперечная сила во всех
поперечных сечениях одинакова (Qy = const), то одинаковыми оказываются
и возникающие в результате деформации искривления (деплана-
цпи) всех поперечных сечений. При этом функция гг оказывается
линейной и точно такою же как и в условиях применения
гипотезы плоских сечений. Если же Qy φ const, то, как показало
решение задачи об изгибе балки на двух опорах равномерно
распределенной нагрузкой (раздел 3 настоящего параграфа),
искривления (депланация) поперечных сечений не одинакова по длине
f>;uiiui, но мало изменяется при переходе от одного сечения к
другому и функция ег вследствие этого отличается от линейной
несущественно.

166
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. XII
Решение последней из двух упомянутых задач настоящего
параграфа показало и малость отношения нормальных
напряжений ау/аг.
Вследствие сказанного выше для того, чтобы гипотезы были
одинаково приемлемы не только по существу, но и формально и
для чистого и для поперечного изгиба их следует, оставляя
сущность вопроса неизменной, сформулировать несколько иначе,
а именно:
а) депланация одинакова во всех поперечных
сечен и я х;
б) нормальные напряжения на площадках,
параллельных оси балки, пренебрежимо малы по
сравнению с нормальными напряжениями в
поперечных сечениях.
Заметим, что кроме двух упомянутых гипотез в элементарной
теории изгиба стержня, излагаемой в § 12.4 и § 12.6, фактически
используется еще одна гипотеза, которую сформулируем так:
в) поперечные сечения не испытывают
деформации в своей плоскости.
В такой формулировке гипотезы а), б) и в), а следовательно,
и все результаты настоящей главы справедливы не только для
массивных, но и для тонкостенных стержней; однако
применительно к одной из ситуаций работы последних (стеснение депла-
нации) требуется введение и других гипотез 1).
В случае чистого изгиба гипотеза а) переходит в гипотезу
плоских сечений — все сечения имеют одинаковую нулевую депла-
нацию (отсутствие депланации), гипотеза же б) заменяется более
сильной —отношение ау/аг не мало, а просто равно нулю.
Фактически в совокупности все три гипотезы предусматривают
обращение в нуль деформаций е*, гу и уху.
§ 12.8. Центр изгиба
1. Определение. Пусть имеется поле касательных напряжений
в поперечном сечении балки, вызванных поперечным изгибом.
Приняв в качестве точки приведения касательных сил,
распределенных в поперечном сечении, произвольную точку, лежащую
в нем, мы можем ввести статический эквивалент указанных
распределенных сил в виде равнодействующих силы и момента.
Существует одна такая точка*в поперечном сечении, которая
обладает тем свойством, что момент касательных сил, действующих
в поперечном сечении, относительно этой точки равен нулю. Такая
точка называется центром изгиба. Очевидно, что если в качестве
11 Рассмотрению этой особой ситуации в работе тонкостенного стержня
посвящена глава XIV.

§ 12.81
tlEHTP ИЗГИБА
№
точки приведения внутренних касательных сил, действующих
в поперечном сечении, принять центр изгиба, то статическим
эквивалентом этих сил будет только равнодействующая сила, а
равнодействующий момент окажется равным нулю.
Практический интерес центр изгиба представляет лишь для
тонкостенных открытых профилей, по причине, которая будет
пояснена ниже.
2. Отыскание положения центра изгиба в простейших случаях.
В общем случае для отыскания координат центра изгиба
необходим специальный расчет. Однако для некоторых тонкостенных
открытых профилей положение центра изгиба является очевидным
(рис. 12.44), поскольку очевидно положение точки, относительно
которой момент всех касательных сил, распределенных по
поперечному сечению, равен нулю.
ШЩЩШ ШШ
И
Η
и
w
It
н
Η
■С
[Ц
w
*♦
Η
It
w
mi
δ)
6)
Рис. 12.44. Примеры очевидного расположения центра изгиба в поперечных сечениях:
а) двутавровом; б) зетовом; в) уголковом и тавровом.
В случае поперечного сечения балки в виде швеллера
(рис. 12.45, а) положение центра изгиба находится путем
несложного расчета. Равнодействующая касательных сил в каждой из
полок равна 7\, а в стенке — Т2 (рис. 12.45,6). Точка С должна
быть расположена так, чтобы момент, создаваемый силами Tlt
имел знак, противоположный моменту, создаваемому силой Т2, и
уравновешивал его. Ясно, что точка С должна лежать не внутри
порыта, а вне него. Вместе с тем при наличии оси симметрии
у сечения центр изгиба располагается на ней. Таким образом,
точка С лежит на горизонтальной оси симметрии, где-то левее
стенки — на расстоянии е от ее оси. Для определения величины е
достаточно учесть, что относительно точки С момент обеих сил 7\
и Т2 должен быть равен нулю,
Опла Т2 равна поперечной силе Qy, так как она создается именно
ι пи [ряжениями в стенке (доля, создаваемая вертикальными

166
Плоский изгйв Стержней
[ГЛ. XI}
касательными напряжениями в полке ничтожна и ею
пренебрегаем). Силу 7\ находим, исходя из формулы (12.47), выведенной
для касательных напряжений в половине полки двутавра, ничем
. и
' II
N
i
«si
.
,
яр=е-с|
it
1
ι
- С
ι
'
а- '
« Ι
:-5
•^ ■
. *4
>— -
δ1
■«-3 >
f '
Ι
α)
ΰ)
6)
8)
Рис 12.45. К определению координаты центра изгиба в швеллерном профиле балки:
а) распределение касательных напряжений по поперечному сечению; б)
равнодействующие касательные силы в отдельных элементах профиля; в) эпюра касательных
напряжений в полке; г) статический эквивалент распределенных по поперечному сечению
касательных сил в случае совмещения точки приведения сил с центром изгиба.
не отличающийся от формулы для такого напряжения в полке
швеллера1) (рис. 12.45, в)
Т-гх — '
21* '
Таким образом,
*zx max
е =
Qybh
"277
1 Qyb*ht
Τ 2ΙΧ
7Ί =-5-τ
ζχ max
Ы = -г
1 QybVit
4 2/Λ
Q
у
1 №КЧ
8 /*
Итак, статический эквивалент двух сил Тх и силы Т2
представляется в виде силы, равной T2 = Qy и приложенной в точке С
(рис. 12.45,г).
3. Практическое значение понятия центра изгиба. В балках
открытого тонкостенного профиля наблюдается некоторое
явление, сущность которого объясняется ниже. Как будет показано,
с этим явлением связано понятие центра изгиба.
Представим себе консольную балку швеллерного сечения,
нагруженную на свободном конце силой Р, приложенной в центре
тяжести сечения, и расположенную параллельно стенке, т. е. линия
действия силы Ρ совпадает с одной из главных осей инерции
(рис. 12.46, а). Отсечем от консоли некоторую часть произвольным
!) В обсуждаемом здесь случае символом h обозначена не полная высота
профиля, а расстояние между серединами толщин его полок,

§ 12.8]
ЦЕНТР ИЗГИБА
169
поперечным сечением (рис. 12.46, б). Статическим эквивалентом
внутренних касательных сил, распределенных по сечению, если
за точку приведения принять центр изгиба, явится одна сила
Qy = P (рис. 12.46,6). Внешняя сила Ρ и внутренняя Qy не
находятся в равновесии — не выполняется равенство нулю момента
этих сил относительно любой оси, параллельной оси стержня.
Вследствие этого, кроме изгиба, неизбежно возникает кручение,
создающее в поперечном сечении балки дополнительное поле
касательных напряжений, которое совместно с полем изгибных
касательных напряжений уравновешивает силу Р. Явление
закручивания стержня при тех условиях, которые описаны выше,
Рис. 12.46. К пояснению причины возникновения кручення при поперечном изгибе,
вызванном силами, приложенными не в центре изгиба: а) консольная балка, изгибаемая
силой Р, приложенной в центре тяжести торца; б) часть упомянутой выше консоли
(внутренние касательные силы в поперечном сечении приведены к центру изгиба); в) кручение,
сопутствующее поперечному изгибу и возникающее вследствие неуравновешенности
внешней силы полем касательных напряжений, соответствующих лишь поперечному изгибу;
г) способ приложения внешней силы, при котором поперечный изгиб не сопровождается
кручением.
обнаруживается и в опыте, и балка испытывает деформацию,
изображенную на рис. 12.46, в. Для предотвращения этого кручения
внешнюю силу Ρ надо приложить так, чтобы статический
эквивалент внутренних сил, распределенных по поперечному сечению,
мог уравновесить ее без возникновения поля касательных
напряжений, связанных с кручением. С этой целью внешнюю силу Ρ
необходимо прикладывать в центре изгиба (рис. 12.46, г). При
этом будет происходить только изгиб, не сопровождаемый
кручением. В принципе подобное явление имеет шесто и в случае
массивного сечения, однако в этих сечениях, даже если они
произвольного вида и не имеют осей симметрии, центр изгиба и центр
тяжести отстоят один от другого на величину малую по
сравнению с габаритными размерами сечения, вследствие чего крутящий
момент, возникающий от силы Ρ и найденный относительно центра
тяжести поперечного сечения, мало отличается от момента той же
силы относительно центра изгиба поперечного сечения. Вместе
г тем крутильная жесткость стержней массивного сечения или
тонкостенного замкнутого профиля велика, тогда как у тонко-

170
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. XII
стенных открытого профиля —мала (см. пример 11.10). Этим и
объясняется тот факт, что возникновения кручения при изгибе
массйвно"гб_'стержня" сйламйГ¥ё" проходящими
практически"почти не' обнаруживается'; В тонкостенных жёстерж-"
нях открытого профиля "вся картина явления гораздо более
выпукла. Задача определения координат центра изгиба в случае
массивных поперечных сечений не является элементарной и здесь
не рассматривается. Этому вопросу посвящен § 13.8.
Теперь становится понятно, почему, говоря о поперечном изгибе,
мы ограничивали форму поперечного сечения, считая ее
симметричной, и при этом имели в виду, что плоскость действия
внешних сил проходит через оси симметрии поперечных сечений. Это
ограничение делалось с целью еще до введения понятия центра
изгиба исключить случаи возникновения кручения при изгибе,
так как центр изгиба лежит на оси симметрии поперечного
сечения и, требуя расположения внешней силы в оси симметрии
поперечного сечения, мы тем самым гарантировали прохождение
линии действия силы через центр изгиба.
Сейчас стало ясно, что нужно делать для создания лишь
поперечного изгиба без возникновения кручения. Однако вследствие
отмеченной выше незначительности удельного веса этого явления
в случае стержня массивного поперечного сечения мы не будем
его учитывать, т. е. мы будем использовать_построенную_выше
теорию поперечного тшба'бёзП^Ш^либо поправок на
возникающее кручение' й в" том случае, когда при наличии массивного
сечения, внешняя сила не проходит" через центр изгиба.
"Применительно же "к стержням открытого тонкостенного
профиля обсужденное выше явление необходимо учитывать — либо
располагать внешние силы так, чтобы не возникало кручения,
либо, если это невозможно по конструктивным и
эксплуатационным соображениям, и кручение возникает, то отражать его в
расчете.
4. Определение координат центра изгиба в случае
тонкостенного открытого профиля произвольного вида.
4.1. Секторная площадь. Для дальнейшего изложения
вопроса об определении координат центра изгиба поперечного
сечения тонкостенного стержня нам понадобится ввести в
рассмотрение новые понятия — геометрические характеристики поперечных
сечений тонкостенных стержней, называемые секторными,
аналогичные уже использовавшимся характеристикам.
Пусть имеем некоторый открытый профиль тонкостенного
стержня; изобразим контур —среднюю линию его поперечного
сечения (рис. 12.47, а), на котором отметим некоторую
произвольную точку Ov—начало отсчета дуги s контура, определяющей
на нем положение точки К. Из некоторой произвольной точки Р,
называемой полюсом, проведем -радиусы к концам элементарной

§ 12.8] ЦЕНТР ИЗГИБА 171
дуги ds, заключенной между точками К и К'. Удвоенную
площадь треугольника К.РК' будем рассматривать как
дифференциал секторной площади ω.
d(u = h ds,
где h — высота треугольника КРК', a ds —его основание.
Величину h можно рассматривать как расстояние от Ρ до прямой,
содержащей в себе ds. Имея выражение для da>, найдем ω
S
ω = ^ h ds.
о
Интегрирование ведется от точки Ог — начала отсчета дуги s до
текущего значения s. Величина со представляет собой функцию
о) . 5) б)
Рис. 12.47. К определению момента касательных сил в поперечном сеченнн тонкостенной
балкн открытого профиля относительно полюса Р: а) произвольный открытый профиль
тонкостенного стержня; б) варианты эпюры ω, соответствующие различным комбинациям
выбора положения точек Ρ и Οΰ в) к обоснованию формулы (12.81).
от s, зависящую от положения полюса Ρ и начала отсчета Ог
как от параметров. При перемещении текущей точки К по контуру
радиус РК поворачивается вокруг точки Р. Если этот поворот
происходит против часовой стрелки, то с?со;>0, если по часовой
стрелке, то с?со<;0.
Из рис. 12.47,6 вытекает формула для элементарного момента,
создаваемого касательными напряжениями относительно точки D
dM=hxbds. (12.81)
На рис. 12.47, б показан пример построения эпюры ω для
одного контура, но при разных положениях точек Ρ и Ог.
Нам понадобится связь между секторными площадями ω и ω'
относительно двух полюсов А и В (рис. 12.48). С этой целью
покажем сначала чему равняется дифференциал секторной

№ ПЛОСКИЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ [ГЛ. Xlt
площади, если полюс располагается в начале координат некоторой
системы осей ху (рис. 12.48, а).
Плечо h выражается через координаты точки К на контуре
следующей формулой: h = χ sin α -~y cos α. Тогда
d(u = hds — χ sin ads — у cos <xds = — χ dy -\- у dx\
здесь учтено, что sinac?s = — dy, cos a ds = —dx.
Если полюс секторной площади находится не в начале
координат, а в точке Л или в точке В (рис. 12.48, б), то
άωΑ = — (χ — ах) dy-\-(y — ay) dx, άωβ = — (χ — bx) dy-\-(y — by) dx.
Вычитая άωΒ из άωΑ, получим
d (ωΑ — ωв) = — (ау — by) dx -\- (ах — bx) dy = ах dy — ау dx,
τββ ax — bx = ax, ay — by — ay. После интегрирования сол — ωβ =
= ах (у - у0) -ау(х- л:0) + β. Отсюда
о)д = ωβ + ах (у - у0) - ау (х - х0) + β.
Здесь β — постоянная интегрирования, х0 и у0 — координаты начала
в эпюре секторных площадей (рис. 12.48, в).
ю б) 5)
Рис. 12.48. К определению центра нзгнба произвольного тонкостенного открытого
профиля: а) полюс совмещен с началом координат; б) дифференциалы секторных площадей,
соответствующие полюсам А и В; в) секторные площади, соответствующие полюсам А и В,
4.2. Механическое условие, определяющее
положение центра изгиба. Рассмотрим произвольный
тонкостенный открытый профиль (рис. 12.48). Условием для отыскания
координат центра изгиба С является равенство нулю относительно
этого центра момента (формула (12.81)), создаваемого
касательными силами в поперечном сечении,
\bxhds = Q. (12.82)
F
Имеется в виду, что центр изгиба С, относительно которого
выполняется условие (12.82), нам пока не известен. Подставим
в (12.82) вместо τ его выражение согласно формуле (12.49); кроме

§ 12.81 ЦЕНТР ИЗГИБА 173
того, учтем, что hds представляет собой дифференциал секторной
площади (άω), если точку С считать в качестве полюса. Наконец
умножим и числитель и знаменатель на dF — дифференциал
площади поперечного сечения, в пределах которого производится
интегрирование- Итак, после выполнения отмеченного и
сокращения подынтегрального выражения на δ (12.82) приобретает вид:
Qu с Л day Qx с d(u
F F
Возьмем каждый из интегралов по частям
Qu
Ιχ s, Ιχ J dF ' [y у Sl /J df '
(12.83)
si и s2 — координаты точек 1 и 2 контура, являющихся
граничными для него. Статические моменты 5* и SJ, соответствующие
этим точкам, равны нулю, так как отсеченная от поперечного
сечения площадь для одной из этих точек равна нулю, а для
другой равна всей площади поперечного сечения.
Итак, (12.83) приобретает вид
Qu с dS* Qx с dS*
-77Ьж^+Т7Ь^=0· <12·84>
F F
Учтем, что
г· г* dS* dS*
St=\ydF, SU=\xdF,4± = y, -^- = x. (12.85)
Ft F1
Учитывая (12.85)3(4, представим (12.84) в следующем виде:
^- f ya>dF + ^ f x(udF = 0. (12.86)
F У F
Равенство (12.86) при произвольных Qx и Qy мыслимо лишь
в случае, если
ly(odF = 0, lx(udF = Q. (12.87)
F F
Итак, получили условия (12.87), которым должен удовлетворять
центр изгиба.
Практически отыскание центра изгиба путем использования
условий (12.87) осуществляется следующим образом:
а) находим центр тяжести площади поперечного сечения балки;
б) находим главные оси инерции площади поперечного
сечения балки;

174 плоский изгиб стержней [гл. хи
в) при произвольно выбранном полюсе Р' (рис. 12.48)
вычисляем интегралы
Sxa/dF, \yu>'dF; (12.88)
F F
г) имея в виду, что относительно центра изгиба как полюса Ρ
секторная площадь есть ω, и учитывая связь между секторными
площадями для двух полюсов Ρ и Р'
ω = 0)4-0* (у-у0) -ау (х-х0) + β
(хо> Уо"~ координаты начала в эпюре секторных площадей),
составляем условия (12.87)
J уса dF — \ ί/ω' dF + о* \ уг dF — аху0 $ у dF —
F F F F
-ay[xydF-\-ayx0\ydF + ^ydF = Ot (12.89)
F F F
J χω dF — 5 χω' dF-\-ax^xy dF — axyQ J χ dF —
F F F F
— <xy ^x2 dF -f- aux0 J χ dF + β J л; c?F = 0.
Если оси х и у являются центральными, имеем
\xdF = 0, \ydF = Q\ (12.90)
F F
если, кроме того, эти оси являются главными осями инерции,
получаем еще одно равенство
\xydF = 0. (12.91)
F
Имея в гвиду (12.90) и (12.91), уравнения (12.89) записываем
в виде
\уы' dF + ax\y*dF = Q>, \x<u'dF-ay$*2dF = 0,
F F F
откуда
ϊ ί/ω' dF [X(u'dP
CCX = — j , <Xy = j .
'x ' у
Получены окончательно формулы для координат центра изгиба,
отсчитываемых от того произвольного полюса, относительно
которого построена первоначальная эпюра секторных площадей ω' и
вычислены интегралы (12.88).

§ 12.8]
ЦЕНТР ИЗГИБА
175
5. Примеры.
Пример 12.9. Найти координаты центра изгиба для профиля,
изображенного на рис. 12.49.
Решение. Центр тяжести площади поперечного сечения совпадает с О —
геометрическим центром кольца. Одна из
главных центральных осей инерции—ось
χ—совпадает с осью симметрии профиля, т. е.
проходит через линию разреза кольца;
вторая главная ось инерции—ось у
—перпендикулярна оси х.
Совместим полюс Р' с центром тяжести
(или иначе с О), тогда секторная площадь ω,
соответствующая точке В контура, если
начало отсчета ее расположить в точке А,
изобразится формулой
? 1
ω'(φ) = 2 Ι -^rd(fr=r2(f.
о
Координаты точки В суть: *(<p) = rcos<p,
у (φ) = — г sin φ. Тогда интегралы f χω' dF,
Рис. 12.49. К примеру 12.9.
1
yus'dF находим по следующим формулам (учитывая при этом, что dF ■■
·■ г c/φδ):
2π
2π=0.
ϊ χω' dF= \ r cos срг2фгб ίίφ = г*б (cos φ-f·φ sin φ) 1^
2π
у ω' dF =— ϊ r sin <рг2(ргб с?ф=»— г*д (sin φ — φ cos φ) Цп— 2пг*6.
ι
Моменты инерции площади поперечного сечения находятся по формулам
2π
1Х}= \ y*dF = f ή sin2 φδ/- dq> = r4 I — -^ sin 2<p -f -i-cpj |2π=π/-»δ,
С „ 2"
/ = \ x2dF= С /1
y J V ή cos2 φδΓ d® = r36 (-^ sin 2φ
= /*δ (-J- sin 2φ -f i- φ\ f" = π^δ,
Находим координаты центра изгиба
^ у<а' dF
ах=-
— 2πΓ*δ
/.,
ηήδ
= —2r, ay--
[т' dF
Jp
T7~
= 0.
Пример 12.10. Найти координаты центра изгиба для профиля,
изображенного на рис. 12.50, а.
Решение. 1. Координаты центра тяжести площади
поперечного сечения. Ох0у0^произвольная система осей (рис. 12.50*6).
Находим статические моменты площади поперечного сечения относительно'

Рис. 12.50. К примеру 12,10: а) поперечное сеченне тонкостенного стержня; б) оси х0,
Уа'.ь) координаты центра тяжести (в см); г) главные оси инерции; д) эпюра <а'(полюс в центре
тяжести) (линейные размеры в см, ординаты эпюры ω' в смг); е) к определению длины
отрезка /; ок) эпюра уг (ординаты в см); з) эпюра дс, (ординаты в ли); и) длины отрезков;
к) координаты центра изгиба (в еж).

§ I2.S]
ЦЕНТР ИЗГИБА
177
этих осей
S = 2 ft-;t0/ = 10- 1.45+15.· 1-37,5 + 50. Ь 15 + 20· 1-0 +
ί=ι
5
+ 35-2- 17,5 = 2987,5 слА,
8χ0=Σ ^«= 1°· 1-5+15- 1-0 + 50- 1 -20 + 20- 1-50 +
i = \
+ 35-2· 60 = 6250сл».
Площадь поперечного сечения стержня Ρ = Σ ^i=10· 1 + 15- 1 + 50- 1+20 χ
i
Χ 1+35 · 2= 165 см2. Координаты центра тяжести площади поперечного сечения
находим по формулам (см. рис. 12.50, в)
V — _Ji° —
2987,5
Хо
165
-= 18,106 еж, Уо = —к— =
6250
- = 37,879 ли.
2. Главные оси инерции площади поперечного сечения.
Прежде всего найдем осевые и центробежный моменты инерции площади
поперечного сечения стержня относительно центральных осей xv yv параллельных
Таблица 12.2
Участки
профиля (t)
1
2
3
4
5
F. смг
10
15
50
20
70
*1с. см
26,9
19,4
-3,1
-18,1
—0,6
и\с[см
-32,9
—37,9
— 17,9
12,1
22,1
,собств
1х см*
i
83,33
1,25
6666,7
666.7
23,33
,собств
'у. см*
0,833
281,2
3750,0
1,67
7145,8
соответственно осям х0, у0. Поместим в табл. 12.2 площади элементов
поперечного сечения, координаты центров тяжести (в системе осей xv уг)
5 5
lUy=HFix\c +Σ /^бств= Ю-26,92+15-19,42 + 50-(—3,1)2 + 20 (—18,1)2 +
i=l t=l l
+ 70 (—0,6)2 + 0,833 + 281,2 + 3750,0+1,67+7145,8 = 31118,97 сж*.
5 5
!χ=Σ Fiyl + Σ /$обств= Ю (- 32,9)2+ 15 (- 37,9)2 + 50 (- 17,9)2 +
+20· 12,12 + 70-22,12 + 83,33+1,25 + 6666,7 + 666,7 + 23,33 = 92948,80 еж4,
'**.= Σ Fixic{yxc,+ Σ Сбств=ίο(-32>9)·26·9+15(-37>9) ι9·4+
ί=1
1 = 1
+ 60(-17,9)(-3,l) + y
1/1-503 50-13
12
12
2-0,6-0,8 + 20- 12,1 (—18,1) +
+ 70-22,1 (— 0,6) = — 27410,9 см\

178
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ
[гл. хи
Определим угол, составляемый главной осью инерции xt с осью х±,
tg2a0
—2/
Х1У1
2 (—27410,9)
- = — 0,8867,
" 31118,97 — 92948,8
2a0 = — 41°34\ a0 = —20°47',
sin 2a0 = — 0,6635, cos 2cto = 0,7482, sin cto = — 0,3549, cos a0 = 0,9349.
Находим главные моменты инерции
Ικ =/„ cos2an+/„ sin2otn-f/, .. sin 2a =
χ2 Χι 0 ' U\ 0 ' *i U\ 0
= 92948,8 · 0,93492 + 31119 · (— 0,3549)2+ (— 27410,9) (—0,6635)= 103347,5 см*,
Ι^ = ΙΧι sin2a0+/tfi cos2a0—IXiyi sin 2aQ=
'= 92948,8 (— 0,3549)2 + 31119 · 0,93492 —(— 27410,9) (— 0,6635) = 20709,49 см*.
Для проверки найдем
/ =— sin 2an (I,. —fx) + IXIJ C092a =
х*Уш 2 0 \ Hi xi/ ' xiUt 0
= + i- (_ 0,6635) (—61829,8)-b(—27410,9)(0,9349) = 20510 — 20510 = 0.
3. Вычислим интегралы ] χ2ω' dF, ]у2(й' dF.
F F
Таблица 12.3
«
о
%
2
6
5
4
3
2
1
?!
£
—27,879
—37,879
—37,879
2,121
22,121
22,121
at
Η
26,894
26,894
11,894
—18,106
—18,106
16,894
ιι н
81
°>S2
82
ч U 3
25,143
25,143
11,120
—16,927
—16,927
15,794
II £
во
Те ι
%||0
9,8943
13,443
13,443
—0,753
—7,851
—7,851
at
•α
Η
15,249
11,700
- 2,323
—16,174
— 9,076
23,645
lis
ΰ<4
al
>пЗ
—9,545
—9,545
-4,221
6,426
6,426
—5,996
11 «
*1
UO
51155
—26,064
—35,413
—35,413
1,983
20,681
20,681
at
•0
—35,609
—44,958
—39,634
8,409
27,107
14,685
С этой целью построим эпюры ω', х2 и у2- Выберем полюс в произвольной
точке, например в центре тяжести площади поперечного сечения. Тогда эпюра ω'
приобретает вид (начало отсчета ω' помещено в точку 1), показанный на
рис. 12.50, 5. При этом учтем рисунок 12.50, е, согласно которому из подобия
треугольников находим отрезок f через с, d, e
ТШ4=1' ^ П.894 А» 15,828 с,
е = 37,879 —с=37,879— 15,828 = 22,051 см,
11,894
Ь0_
30 '
d= 11,894. у= 19,824 см,
22
/ 11,894 , ΟΟΛΚι 11,894 ,. _,_
ЖГ = -Т9Ж' /-22,051^324-= 13,212^.

§ 12.8]
ЦЕНТР ИЗГИБА
179
На рис. 12.50, ж и 12.50, а изображены эпюры *а и у2. При построении этих
эпюр учтено, что координаты концов отрезков, образующих контур в системе
осей хг и у1з имеют значения, показанн .ie на рис. 12.50, и, координаты же
этих точек в системе осей х2 и у2 находятся по формулам
*2=*ι сое щ—у\ sin α„, у2=*Χι sin α0+ι/ι cosa0.
Вычисления сведены в табл. 12.3.
Вычисляем1) интегралы
f χ2ω' dF= — {^p- 774,24 (— 2 ■ 9,076 + 23,645) +
F
ι or»
+ l^L [774,24 (— 2 · 9,076-16,174) +1136,36 (— 2. 16,174-9,076)] +
1 . 5Ω
+ _L^i [1136,36 (— 2-16,174-2,323)+ 1796,96 (—2-2,323—16,174)] +
+ -1^Д [1796,96 (— 2 · 2,323+ 11,70)+ 2365,14 (2. 11,70-2,323)] +
+ -Цр- [2365,Щ2 ■ 11,70 +15,249) + 2634,08 (2 · 15,249 + 11,70)]1 «
= — (49617,2 — 245497,1— 640095,3+ 156314,5 + 337605,3) =342055,4 см\
С yja' dF = - {-^l^ 774,24 (2 · 27,107+ 14,685) +
F
ί 9Ω
+ JLlfu [774,24 (2 · 27,107 + 8,409)+ 1136,36 (2 · 8,409+27,107)] +
1 5Ω
+ 11ΣΪ. [1136,36 (2 · 8,409 — 39,634)+ 1796,96 (— 2 · 39,634 + 8,409)] +
+ -Ц^- [1796,96 (— 2 . 39,634— 44,958) +2365,14 (— 2 .44,958 — 39,634)] +
+ -Цг^- [2365,14 (— 2 · 44,958 —35,609) + 2634,09 (— 2 · 35,609—44,958)]! =
= — (622346,8 — 327998,4— 1277120,0 — 324044 —1004806) = 2655625 еж5.
Находим координаты центра изгиба
\ £/2ω' dF
_ _F 2655625 0_7
a* Г = 103347,5 ""~2&,/ СЛ'
\ χ2ω' dF
i 342055,4 1Й_
au 20709,5 =lb'5 ™'
i) Здесь использован пример интегрирования, предложенный А,
Верещагиным и поясняемый в главе XV·

180
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ
[гл. χι ί
§ 12.9. Траектории напряжений и деформаций при поперечном
изгибе. Эпюры напряжений, действующих в точках поперечного
сечения на площадках, не лежащих в нем.
Линии равных деформаций
1. Траектории главных напряжений. Пусть имеем балку,
испытывающую поперечный изгиб. Рассмотрим в ней напряженное
состояние в ряде точек, расположенных в одном и том же
поперечном сечении на разных расстояниях от нейтрального слоя
(рис. 12.51) и, пользуясь кругами Мора, определим для каждой
7
Напрадл. б $
Напрадл. ss ^^-К \ Напрадл. бг
Напрадл. аъ
Напрабл. б'$
/г
Напрадл. ef=0
б
Направл.б-f
Напрабл. &δ=ϋ
= /71
б
Напрабл.вΊ
б Напрабл. бу
Рис. 12.51- Направление главных напряжений в точках поперечного сечения балки,
подвергнутой поперечному изгибу.
из них направления главных напряжений. В каждой из точек
нижнего волокна направление σχ совпадает с этим (растянутым)
волокном, а направление σ3 перпендикулярно последнему и
располагается в плоскости параллельной плоскости действия сил. Если
двигаться от крайнего растянутого волокна к крайнему сжатому,
то направления σχ и σ3 постепенно поворачиваются; на уровне
нейтрального слоя они составляют с ним углы, равные 45°; в
каждой точке верхнего волокна направление σχ лежит в поперечном
сечении, а направление σ3 совпадает с этим (сжатым) волокном.
Аналогичная картина наблюдается во всех остальных поперечных
сечениях балки. Представим себе два семейства кривых. Кривые
одного из них в каждой точке балки касаются направления σ1(
а кривые другого —направления σ3. Такие кривые, как об этом
уже говорилось в главе V, называются изостатами или
траекториями главных напряжений. Картина траекторий главных
напряжений в балке при поперечном ее изгибе, соответствующая
элементарной теории изгиба, показана на рис. 12.52, а.

§ 12.9] СИСТЕМЫ ОСОБЫХ ЛИНИЙ ПРИ ПОПЕРЕЧНОМ ИЗГИБЕ 161
Поскольку в изотропном теле имеет место коаксиальность
тензоров напряжения и деформации, т. е. в каждой точке
напряженно-деформированного тела направления главных напряжений
и главных деформаций совпадают, траектории главных
напряжений одновременно являются и траекториями главных деформаций.
Известно, что армирование бетона стальными стержнями
применяется в связи с тем, что бетон хорошо работающий на
сжатие, плохо сопротивляется растяжению. Стержни арматуры
располагают по возможности по направлению траекторий главных
растягивающих напряжений. Другим примером практического
б)
Рис. 12.52. Траектории главных напряжений в балке при поперечном изгибе: а)
картина траекторий (элементарное решение); б) расположение арматуры в железобетонной
балке.
использования траекторий главных напряжений является
подкрепление тонкой стенки стальной балки с целью предотвращения ее
выпучивания, вследствие наличия сжатия в стенке. Ребра
жесткости наиболее эффективны при расположении их по
направлению траекторий главных сжимающих напряжений. По
конструктивным соображениям в практике конструирования от такого
расположения в той или иной мере отклоняются.
Разумеется, для того, чтобы судить о том, как располагать
стержни арматуры или ребра жесткости, необходимо иметь поле
направлений главных напряжений; его и дает система траекторий
главных напряжений. На рис. 12.52, б изображены стержни
арматуры в балке, траектории главных напряжений в которой
показаны на рис. 12.52, а.
2. Эпюры главных напряжений в точках поперечного сечения.
Определив главные напряжения σχ и σ3 в точках поперечного
сечения балки по формуле (12.94), можно построить соответствующие

182
Плоский изгиб стержней
[Гл. хи
Ά
ΪΜ
тШ^
7f'50
Г
.
•ё
■
ι
У
7а
V
X
о
0,000b
0,020b
0,0558
0,0677
0,1521
Ο,δδΟΟ
0,550δ
0,8072
0,7871
1,0W
δ)
1,0U89
0,7871
0,8072
0,5603
Ο,δδΟΟ
0,1521
0,0677
0,0 δ58
0,020b
' 6,000b
-iff
Рис. 12.53. Эпюры главных напряжений прн поперечном изгибе балки: а)
прямоугольного поперечного сечения; б) двутаврового поперечного сечения.
Рис. 12.64. Траектории максимальных касательных напряжений.

§ 12.9] СИСТЕМЫ ОСОБЫХ ЛИНИЙ ПРИ ПОПЕРЕЧНОМ ИЗГИБЕ 183
Ттх
эпюры. На рис. 12.53 показаны такие эпюры для двух видов
поперечного сечения балки — прямоугольного и двутавровогох).
3. Траектории максимальных касательных напряжений. Имея
поле касательных напряжений и площадок, на которых они
действуют, можно построить два семейства кривых —так называемых
траекторий максимальных касательных напряжений. Каждая из
таких кривых в любой своей точке имеет касательную,
совпадающую с направлением максимального касательного напряжения
в соответствующей точке
напряженного тела. Кривые одного се- t й!
мейства ортогональны кривым дру- mz P
гого. На рис. 12.54 изображены 0,5859
траектории максимальных каса- о,кЪ99
тельных напряжений2).
4. Эпюра максимальных
касательных напряжений в точках
поперечного речения. Наряду с
представленной на рис. 12.23, а
эпюрой касательных напряжений
можно рассмотреть и эпюру
максимальных касательных
напряжений в точках поперечного сечения
(рис. 12.55); разумеется, при этом
площадки, на которых действуют
такие напряжения, не лежат в
поперечном сечении (за исключением
точек нейтрального слоя) и ориентированы так, что делят
двугранные прямые углы между главными площадками пополам.
Ниже в § 12.10 дается формула (12.94) для главных
напряжений при поперечном изгибе. Согласно этой формуле
0,1951
0,1529
0,0 h68
0,1529
0,2951
0,Ш9
0,5859
01
Ρ
0,52М
0,3938-
0,Ш38
0,1930
0,1988
0,1521
0,1988
0,2930
'0,W8
0,3938
0,5Z№
Ю
δ)
Рис. 12.55. Эпюра максимальных
касательных напряжений в точках
поперечного сечения: а) прямоугольное
сечение; б) двутавровое сечение.
Ттах = -^Ц— = Vol + 4τ
2
5. Линии равных деформаций. Имея поле значений и поле
направлений главных деформаций для каждого уровня
деформаций (в пределах от уровня нулевых деформаций и кончая
уровнем максимальной во всем поле главной деформации) можно
построить два семейства кривых — линий равных деформаций.
В каждой точке линии равных деформаций данного уровня
касательная к ней совпадает с тем направлением, вдоль которого
х) Подробного выполнения выкладок ввиду их элементарности и
очевидности не приводим. Эпюры на рис. 12.53 относятся к сечению заделки
консольной балки длиною /, загруженной силой Ρ на конце, при условии //а = 50.
8) Кривые, обсуждаемые в разделах 3 и 5 настоящего параграфа,
предложены В. М. Никитиным,

184
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. XII
Μ
δ)
Ί J I j | if u w к у if
Tttttttt ту
6)
Phc. 12.56. Лнннн равных деформаций (построены В. Μ. Никитиным): а) в балке,
подверженной чистому изгибу (уровень деформации соответствует деформации волокна
с у = di); б) то же при уровне деформации, соответствующем деформации волокна с у = а2;
в) линии нулевых деформаций в балке на Двух опорах, загруженной равномерно
распределенной нагрузкой. '

§ 12.Ю] Предельное состояние материала ё точке балки I85
удлинение в соответствующей точке балки равно принятому уровню
деформации.
Кривые одного семейства не являются ортогональными
кривым другого. На рис. 12.56 показаны примеры линий равных
деформаций.
0
§ 12.10. Условия невозникновения предельного состояния
материала в локальной области в балках
при поперечном изгибе
1. Вводные замечания. Обсуждение проверки условия,
отмеченного в названии параграфа, разобьем на две части. Во-первых,
покажем, как проверить невозникновение предельного состояния
материала в любой точке балки, а во-вторых, обсудим вопрос
о выборе наиболее опасной или
наиболее опасных точек
в балке.
2. Проверка невозникновения
предельного состояния в
материале в произвольном элементе
балки. Пусть имеем балку,
испытывающую изгиб. Рассмотрим
произвольное состояние этой
балки, в котором отличны от
нуля и изгибающий момент и
поперечная сила (рис. 12.57).
Элементы, расположенные в
крайних волокнах, испытывают
осевую деформацию (растяжение
или сжатие); элементы,
находящиеся на уровне нейтрального
слоя, подвергнуты чистому
сдвигу. Все остальные элементы, находящиеся в промежутке между
нейтральным слоем и наиболее от него удаленными волокнами,
испытывают плоское напряженное состояние, в котором
σζφ0, σ„ = 0, тгу = тугф0. (12.92)
Для проверки невозникновения предельного состояния в материале
балки в соответствующей точке необходимо применить теории
прочности или условия пластичности, в зависимости от того
ожидается ли хрупкое или пластичное состояние материала.
Напомним формулы для главных напряжений в общем случае плоского
напряженного состояния, используя индексы, соответствующие
плоскости Оуг
σι, и = -V1 ± у V(oy ~ Ozf + Ή
У*
Рис. 12.57. Напряженное состояние
элементов балки при поперечном изгибе.
Г*
(12.93)

№
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. XII
В случае поперечного изгиба, учитывая (12.92), главные
напряжения получаются как частный случай из (12.93), при этом
становится очевидным и то, какое из них является наибольшим и
какое наименьшим в алгебраическом смысле
σι^ + ΙΤ^ί+Щ,, σ2 = 0, σ3 = -^--ΙγΌΐ + ^τΙν;
(12.94)
в дальнейшем в формулах для главных напряжений индексы г и
гг/при компонентах напряжений будем опускать. Входящие в (12.94)
нормальные и касательные напряжения определяются по
формулам (индексы у σ и τ опущены)
Мху
σ =
(12.95)
в случае массивного поперечного сечения
τ =
QySt
Ых » <12·96)
в случае тонкостенного поперечного сечения открытого профиля
QyS%
χ —
6Λ
(12.97)
Условия невозникновения предельного состояния в материале по
четырем классическим теориям в случае поперечного изгиба,
с учетом равенства нулю σ2, имеют вид
σ,
экв!
= σ.
G:
экв!
μσ3 < [σ];
Μ;
= σο
Κ] Ι;)
σ3ΚΒ2 =* σ1 —
σ9ΚΒ3 = σ1 σ3
σ9ΚΒ4 = Υ<Α + σ| — σχσ9 < [σ].
(12.98)
Окончательные расчетные формулы получаются из (12.98)
подстановкой в них вместо σχ и σ3 соответствующих выражений согласно
(12.94). В результате такой подстановки получаем:
I теория:
<W -у + тVσ2 + 4τ2^[σ0]
или
σ,
экв!
= 4-|у^Т4*«£|К]|;
(12.99)
II теория:
σ9ΚΒ2 = | + -jV^T^-μγ + j μΥ^Τ^
отсюда
l
К
οναΛ = ί(1-μ)+Τ(1+μ)ν^ + ^*^Μ\ (12.100)

§ 12.10] ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ МАТЕРИАЛА В ТОЧКЕ БАЛКИ 187
III теория:
отсюда
σ3ΚΒ3 = 1/σ3+4τ2^[σ];
IV теория:
найдем предварительно выражение
тогда
σ9ΚΒ4 = Κσ2 + 3τ2 < [σ]. (12.102)
Используя одно из условий (12.99) —(12.102), производим
проверку невозникновения предельного состояния материала в
обследуемой точке балки.
3. Установление наиболее опасных точек в балке. Теперь, когда
уже показано, как произвести проверку невозникновения
предельного состояния материала в любой точке балки, остановимся на
вопросе, какие же точки балки подвергать такому обследованию.
Условия (12.99) — (12.102) показывают, что наиболее опасными
являются те точки балки, в которых одновременно и σ и τ
достигают больших значений. Формулы (12.95) и (12.96) или (12.97)
позволяют установить, что опасную точку следует искать в
сечении, в котором и М, и Q либо оба достигают максимальных по
абсолютной величине значений, либо одновременно имеют большие
значения, мало отличающиеся от наибольших. Для установления
же положения опасной точки в пределах найденного таким
образом сечения балки необходимо иметь в виду, что σ достигает
наибольшего значения там, где τ равно нулю и наоборот. Поэтому
в поперечном сечении следует искать точку, в которой
одновременно достигают большого значения те величины у и St/b,
которым соответственно пропорциональны значения σ и τ. Под
большими понимаются значения у и 5*/&, мало отличающиеся от
наибольших. Если, например, поперечное сечение балки двутавровое,
то в месте соединения стенки с полкой и σ, и τ имеют большие
значения; именно в этом месте и могут располагаться наиболее
опасные точки. Если нет сечения, в котором и М, и Q достигают
одновременно больших значений, мало отличающихся от
наибольших, и в поперечном сечении нет точек с одновременно большими,
т. е. мало отличающимися от наибольших значениями как у, так
и S%/b, то следует проверить точки, в которых достигают своего
максимума только а—-это наиболее удаленное от нейтрального
(12.101)
= σ2 + 3τ2,

188
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. XII
i
ffi
5,2м
Р=10т
слоя волокон в сечении с максимальным изгибающим моментом.
Проверять точку с максимальным касательным напряжением
(в сечении с максимальным Q) нужно только в случае
тонкостенных балок, так как в балках массивного сечения, как это
указывалось ВЫШе, Tmax/ffmax ^ h/L НаГЛЯД-
ное представление об относительной
степени напряженности точек поперечного
сечения дают эпюры предыдущего
параграфа.
4. Подбор сечения балки. Как
правило, подбор сечения балки при
поперечном изгибе производят так же, как
и при чистом изгибе, т. е. из условия
Р1
Р-
1?ПТт>^
Зп. Mm
ΐ
Эп. Qu
Ю
Рис. 12.58. К примеру 12.11:
а) схема балки и эпюры усилий;
б) поперечное сечеине балки.
атах = Mmax/U?i^[a]. После того как
сечение балки таким образом
подобрано, производят поясненную выше
проверку невозникновения предельного
состояния в локальной области и, в
случае необходимости, соответственно
несколько изменяют сечение балки.
5. Примеры.
Пример 12.11. Подбор сечения и
проверка прочности балки.
Подобрать сечение и произвести проверку
невозникновения предельного состояния в
локальной области в консольной балке, изображенной
вместе с нагрузкой и эпюрами усилий на рис.
12.58, а, где указаны и все размеры. Материал
балки —сталь (Ст. 3) с допускаемым
напряжением [σ]=1600 кГ/см2.
Решение. Проверку невозникновения
предельного состояния материала производим в
точке соединения стенки с полкой в сечении
заделки, используя четвертую теорию.
а) Подбор сечения произведем из условия
Μ /W =ζ[σ1, имея в виду, что Мт
•тах/^^М· ИМеЯ В ВИДУ> — »-тах-
= Р1 = 10 000 · 320 = 3 200 000 кГ см, это
условие представим в виде 3 200 000/1*7^1600, Ψ ==г 3 200 000/1600 = 2000 см3.
Сечение балки примем двутавровым по сортаменту. Двутавр с моментом
сопротивления, ближайшим к 2000 см3, является /V50c, у которого Wx =
= 2030 см3 и !х = 50 640 см*, Sx= 1210 слр.
б) Проверим невозникновение предельного состояния в локальной области.
Согласно (12.102) [Ασ2 + 3τ2^ [°V>
Мху
»(т-')
10 000-320.(25 — 2)
I*
QyS*
10 000
50 640
16,2 ·2·24
1450 кГ/см*,
τ=-ττ- = —1,6-50 640 =102 кГ/см2;
У1Щ*^Ъ · 1<§» = 1460 HflCM* < 1600 Щсм\

§ 12.101 ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ МАТЕРИАЛА В ТОЧКЕ БАЛКИ 189
yh=Gonst
Проверка показала, что материал в точке перехода от полки к стенке
находится в безопасном состоянии. Ближе к границе допускаемых состояний
находится материал в крайнем волокне в том же сечении заделки. Действительно,
напряжение в этом волокне
σ = M/W = 3 200 000/2030 =
= 1575 кГ/см* < 1600 кГ/см*.
Пример 12.12.
Проектирование балок
равного сопротивления.
Запроектировать консольную
балку (рис. 12.59, а) равного
сопротивления, понимая под
таковой балку, в каждом из
поперечных сечений которой
максимальные напряжения
одинаковы, в частности могут быть
равны допускаемым. Поперечное
сечение балки принять
прямоугольным. Пример решить в трех
вариантах предположения о
поперечных сечениях: а) высота
поперечного сечения постоянна
по длине балки; б) ширина
поперечного сечения постоянна по
длине балки; в) отношение
высоты к ширине поперечного
сечения постоянно по длине балки.
Решение. Условие равно-
прочности во всех вариантах
имеет вида = M/W = const = [σ];
в каждом из вариантов это
условие конкретизируется.
Первый вариант (h=const)
σ =
b(z) =
Μ (ζ)
b (ζ) /ι2
6
6Μ (ζ)
[ο];
6Ρζ
-τ-=α= const
ο
[σ] /ι2 [σ] Α2
Рис. 12.59. К примеру
противления: α) схема
сопротивления при h -
сопротивления при Ъ =
сопротивления
12.12. Балки равного со-
балкн; б) балка равного
= const; в) балка равного
const; г) балка равного
при h/b = const.
Функция Ь (ζ) — линейная (рис. 12.59,6). Найдем два характерных размера
6Р1
max-^ U-ί — [σ]/ι2 ' ^пнп— Ь ^^ — 0,
Второй вариант ф = const)
a=W^[<j]; HZ)
max
ftmin^0·

190 ПЛОСКИЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ [ГЛ. XII
Третий вариант Qi/b=a=const)
Pi
- Μ;
6 (г) aW (г)
6
.,. ; /"opt ... i /"брт ξ /6^ργ
&тах=У αϋ[σ] » "max [/ [σ] '*
*mln"-°» Лт1п = 0·
Сравним объемы полученных вариантов равнопрочных балок.
Первый вариант
К =-р;-/ . . ,„ П= . т ,· ИЛИ О = ——-.· -г-=>4 .
2 [σ]Λ2 [σ]/ι [σ]/2 ft α
Здесь введены безразмерные величины v = V/l3 и α=Α//, Λ=3Ρ/([σ]/2).
Второй вариант
о о
Третий вариант
з /г 6Р Ί2 j,—0 J Ι/Ί Γ6ΡΡ z5/3· 3 I'
Пусть Ρ = 10 Г =10 000 κΓ; /=»1 ж =100 еж; [σ] = 30 /сГ/сл2; тогда
3 · 1000 _1_
30- 100а== 100
и формулы для ν во всех трех сопоставляемых вариантах приобретают вид
Проследим внутри каждого варианта за изменением и в зависимости от
безразмерных параметров — соответственно от α, β и а. Этим зависимостям
отвечают графики, представленные на рис. 12.60 и позволяющие произвести
сопоставление вариантов, носящее, разумеется, лишь иллюстративный
характер, так как параметры α, β и α различны. При другом численном значении А
кривые безразмерных объемов материала оказались бы другими, Настоящий

§ 12.10) предельное состояние материала в точке балки Ш
пример показывает, что равнопрочных балок существует бесчисленное
множество, и каждая из них имеет свой собственный объем1)»
>=0,01 i (1)
1/k 1/1
Рис. 12.60. Кривые безразмерных объемов балок равного сопротивления как функции
безразмерных параметров сечений.
Сопоставление объема балки равного сопротивления с объемом
соответствующей балки постоянного сечения, в которой полнонапряженным
является одно сечение (сечение заделки) показывает следующий процент пере-
расхода материала в балках постоянного сечения.
Первый вариант.
Учитывая, что объем балки постоянного сечения выражается формулой
V —им— 6Pl ь/_6Р/а
const - °maxrti - [σ] h2 ni ~ j^,
!) Для получения балки наименьшего объема должна быть сформулирована
задача оптимизации, что не является целью настоящего примера. Заметим
лишь^ что сама постановка задачи оптимизации балки является вариантной и
в этой постановке требование равнопрочности не является обязательным.
Сочетание требований равнопрочности и минимальности площади
поперечного сечения балки (последнее эквивалентно минимальности объема статически
определимой балки) рассмотрено в статье А. Ю. Ишлинского «О равнопрочном
сечении балки» (Ученые записки Московского государственного университета,
вып. 39, Механика, М., 1940). Здесь автор показал, что не существует балки,
в сечениях которой возникают Μ и Q, такой, чтобы в каждой точке
поперечного сечения выполнялось условие
<W#eM (t = l 4).
Поперечное сечение балки, обладающее минимумом площади при
выполнении отмеченного условия и ограничении невыхода контура поперечного
сечения за заданный заблаговременно габаритный контур, не может быть
равнопрочным во всех точках,

192
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. XII
найдем коэффициент перерасхода материала в %
(6РР ЗР/2\ /ЗР/2
^con.t-^lftrtn/_r/W
ЮОо/о
]h [o]hJ'\[o]h
)]
100о/0 = 100о^.
Второй вариант
" const V max
^Ym-'· ν=ν^-τ^·
V t — V
const '
ν
const
100%=LlV iot-tV жглтУ iariJI00%=
50o/0.
Третий вариант
ν -h h i-\f 6Pl Ί,/"6αΡ//-τι./'
•const-°тахПтах'— |/ a2 [σι |/ [σ] ^
6P
2 /5
[σ] J a >
Г6Я1
2ii A
a ' Б '
'-4
ЮОо/о =—3-^ ЮОо/о = 66,7 o^.
V ,—V
v const "
Остановимся на одной детали. В настоящем примере исследовался
поперечный изгиб, однако мы не рассматривали касательных напряжений. Вместе
с тем, поскольку поперечная сила во
всех сечениях в рассматриваемом
случае одинакова, а изгибающие моменты
изменяются от нуля до конечного
значения, имеется область с малыми
значениями изгибающих моментов, где
размеры поперечного сечения балки
определяют не нормальные
напряжения, а касательные. Определим те
минимальные размеры сечений, которые
необходимы по условию прочности,
связанному с касательными
напряжениями. Где эти размеры окажутся
больше принятых по условию
нормальных напряжений, там их
установим по условию касательных
напряжений. Для того, чтобы решить
поставленную задачу, необходимо знать
допускаемое напряжение при чистом
сдвиге. Воспользуемся четвертой
теорией, согласно которой
[τ]=0,577[σ] = 17 кГ/см*.
Рис. 12.61. Увеличение размеров оало,>
равного сопротивления у конца консоли
с целью обеспечения выполнения условия
прочности элементов балки,
расположенных в нейтральном слое и испытывающих
чистый сдвиг: а) балка с h =■ const; б)
балка с Ь = const; в) балка с h/b = const.
Первый вариант
ЗР . .
^°min"
Второй вариант
ЗР . .
= [τ],
τ =
2bh
*mln =
^min —
mm

§ 12.11] ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ ПРИ ИЗГИБЕ БАЛКИ 193
Третий вариант
τ =
ЗР
2ftmiiAiIn
= [τ],
fQy\ %
Ь
■dz
со
У
=ПГ
На рис. 12.16 изображен свободный конец консольной балки в каждом из
трех вариантов с учетом создания условий для воспринятая касательных
напряжений.
§ 12.11. Потенциальная энергия деформации при изгибе балки
Представим себе некоторую балку, которая под воздействием
нагрузки испытала поперечный изгиб. Внешние силы,
деформирующие балку, совершают работу, в балке же накапливается
потенциальная энергия дефор-
мации, численно равная этой "#-
работе..
Определим энергию,
накопленную в балке. Вырежем
из балки двумя поперечными
сечениями элемент, имеющий
идоль оси ζ размер dz (рис.
12.62). Влияние отброшенных
частей, примыкающих к
элементу, заменим внутренними
силами, действующими в
сечениях стержня, статическим эквивалентом которых при
поперечном изгибе являются Qy и Мх. По отношению к элементу эти
силы являются внешними. Работа dA, совершаемая ими на
соответствующих им и вызванных ими перемещениях, равна
потенциальной энергии деформации dU, накапливаемой в элементег)
dA = dU. (12.103)
Рассмотрим два загружения выделенного элемента. В первом —
элемент загрузим моментами Мх, а во втором силами Qy. На
рис. 12.63 показана картина деформации в каждом из этих
случаев загружения элемента. Легко видеть, что при одновременном
действии Мх и Qy на элемент, каждая из сил способна произвести
работу лишь на перемещениях, ею же вызванных; на
перемещениях же, вызванных другой силой, ни Мх, ни Qy работы не
производят. Действительно, моменты Мх могут произвести
работу лишь в случае взаимного поворота сечений, к которым они
Рис. 12.62.
Элемент балки
изгибе.
при поперечном
*) Работа внутренних сил. возникающих в элементе при деформации, т. е.
работа приращений сил взаимодействия между астицами тела при росте
деформации всегда отрицательна, так как действие внутренних сил,
препятствующее деформации, всегда направлено противоположно соответствующим
перемещениям. Работа внутренних сил численно равна и противоположна по
знаку потенциальной энергии деформации.
7 А. П. Филин, т. II

194
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. XII
приложены; такого поворота не происходит под влиянием сил Qy.
Аналогично силы Qy производят работу при взаимном перемещении
по направлению, нормальному к оси балки центров поперечных
сечений; такого перемещения под воздействием Мх не происходит.
Таким образом, энергия dU, накапливаемая в элементе, может
быть найдена как сумма двух
слагаемых — dU м и dU0ii
dU = dUMx + dUQy.
Каждое из этих слагаемых
представляет собой энергию,
накопленную в элементе вследствие
того, что одна из сил Мх или Qy
производит работу на
перемещениях, соответствующих этой силе
и вызванных ею же.
Коль скоро внешняя нагрузка,
действующая на балку, приложена
к ней статически, статическим
оказывается и характер приложения
сил Мх и Qy к рассматриваемому
элементу, так как силы Мх и Qy
в любой момент времени
пропорциональны внешней нагрузке. Таким образом, каждая из
величин άϋΜχ и dUQ может быть найдена как действительная работа
соответственно сил Мх и Qy, статически приложенных к элементу.
Выведем формулу для dUMx. Имея в виду формулу (12.103),
получим
dUMx = dAMx = YMxd$x == 2χΕΙχ .
Ю
δ)
Рис. 12.63. Деформация элемента
балки: а) деформация вследствие поворота
сечений; б) деформация балки
вследствие относительного сдвига сечений.
Здесь ά$χ — угол относительного поворота торцов элемента
(рис. 12.63)
d$ r= M*dz
αχΤχ ΕΙх '
Для того, чтобы найти dUQy поступим следующим образом.
Выделим из рассмотренного элемента пластинку толщиной dy на
расстоянии у от нейтрального слоя (рис. 12.64) и найдем
потенциальную энергию деформации, накопленную в этой пластинке.
На гранях выделенной пластинки (рис. 12.64), лежащих в
поперечных сечениях балки, действуют силы хгуЪ (у) dy = xb (у) dy, а на
гранях, параллельных срединной плоскости,— силы xyzb (y)dz =i
;= xb (у) dz (хгу — хуг = τ — вследствие закона парности касательных
напряжений).

§ 12.11]
ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ ПРИ ИЗГИБЕ БАЛКИ
195
Потенциальная энергия деформации, накопленная в пластинке,
численно равная работе внешних по отношению к пластинке
сил %Ь (у) dz и xb (у) dy на соответствующих им перемещениях
yxdy и y2dz, определяется выражением (рис. 12.64):
2- (тЬ (у) dz) (7x dy) + у (τ& (у) dy) (γ2 dz) = у %b (у) dy dz (уг + γ2) =
= ±Tb(y)dydz-y = ±(TdF)^dz). (12.104)
Формула (12.104) получена с учетом закона Гука τ = γ(?, где
γ =^γ1 + γ2 — относительный сдвиг элемента. Для того, чтобы
получить потенциальную энергию деформации, накопленную во всем
+
·§>
Λ
г χ
Е2 2Ζ3
О
Ь(у)
/г \ tktfidg
Λ>ζ_
p-=i
rb(y)dz
- Λ.
■§»
Ε
rWz
Λ>
Й/.
5;
г;
Рис. 12.64. К определению dUn : а) элемент балки; 6) поперечное сечение; в) пластинка,
вырезанная из элемента балки; г) деформация пластинки, вырезанной из элемента балки.
элементе, изображенном на рис. 12.64, необходимо
просуммировать потенциальную энергию деформации всех пластинок, на
которые мысленно можно разбить элемент, или, иначе,
dUQy = dAQy _ I J (τ dF) (S. dz) _ -g J τ* rff.
учитывая (12.40), будем иметь
dUn.. =
Qydz
I
од:
2G/J J &2(ί/)
dF =
2G/7
/i J
«* ^ 6»(y)
s* dF = -Qy
2GF
у
где
* jK &2 (У)
dF.
(12.105)
Величину /^ называют приведенной по сдвигу в плоскости Oyz
площадью поперечного сечения. Необходимость введения Fy связана
с неодинаковостью сдвига пластинок по высоте поперечного
7*

196
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. XII
сечения, вызванной неравномерным распределением по высоте
сечения касательных напряжений. С этим же фактом (см. § 12.6)
связано искривление поперечных сечений.
Коэффициент Vy является отвлеченным числом, зависящим лишь
от формы поперечного сечения стержня. Например, для
прямоугольного поперечного сечения высотой h и шириной Ь
Vv~ (Ш_Х> \ б2 аг~Ъ'
^ ' — ft/2
Для двутаврового поперечного сечения можно приближенно
полагать vy = F: FCT, где F — полная площадь поперечного сечения,
/^ — площадь поперечного сечения стенки.
Выражение GFy называется жесткостью балки по сдвигу при
изгибе в плоскости Qyz. Эта величина имеет, как и жесткости
стержня при других видах деформации, физико-геометрическую
природу. Первый множитель содержит физическую информацию —
меру сопротивляемости материала сдвигу, т. е. жесткость
материала, второй геометрическую — жесткость, обусловленную формой
и размерами сечения.
Итак,
dU=M*te + Qldz
2Е1Х ' 2GFy '
Потенциальная энергия деформации, накопленная во всей балке,
находится так: "
/ ι а
Qydz
M^r + f
2GFy
о о *
Пример 12.13. Определить коэффициент vy для круглого поперечного
сечения радиуса г.
Решение. Воспользуемся формулой (12.105) при этом F = nr2, 1% = (яг4/4)2 =
jtV8 * 2
= ■, b — 2r sin a, dy = r sin a da, dF = b dy — 2r2 sin2 a da, Sx = —- r3 sin3 α
i О О
(b и S* были найдены в § 12.6 —формулы (12.42)2,3),
π
η /2 \2
γ r3 sin3 α] ηη %
Γ 7 32 Γ
——: —!— 2r2 sin2 ada — -r-- \ sin0 a da —
(2r sin α)2 9π J
sin5, a cos a , 5 / 3 1 . _ , 1
6
+ τ [τ α~τs,n 2α+τ2-Sln 4a)J о= τ·

'§ 12.12] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ИЗГИБА БАЛКИ 197
§ 12.12. Дифференциальное уравнение изгиба балки
1. Точное и приближенное уравнения. При выводе формулы
для нормального напряжения в случае чистого изгиба балки была
получена зависимость, связывающая кривизну у,х = \/рх с
изгибающим моментом и изгибной жесткостью балки
1 Мх (Ai, = 3W). (12.106)
Ρ*
EL
С другой стороны, кривизна кривой, которой является изогнутая
ось балки, может быть выражена через производные функции
Z) = v(z), изображающей эту ось
.(рис. 12.65)
— = ±-f= υ" (12.107)
Рнс. 12.65. Балка, испытывающая
чистый изгиб.
Прежде чем приравнять правые
части равенств (12.106) и (12.107),
имея в виду равенство их левых
частей, установим необходимый
знак в (12.107). Рис 12.65
показывает, что при положительном
изгибающем моменте изогнутая ось
принимает очертание кривой с отрицательной кривизной.
Следовательно, в (12.107) для выполнения соответствия знаков изгибаю-
.щего момента и кривизны необходимо принять знак минус
υ" = _ Jb. (12.108)
VV + (v'n* EIX-
Это дифференциальное уравнение изогнутой оси балки обыкновенно
называют точным, в отличие от приближенного, получаемого из
(12.108) в тех случаях, когда можно пренебречь величиной (ν')2
по сравнению с единицей, и имеющего следующий вид:
мх
V = —
EL
EIxv"
Μ,
(12.109)
Продифференцируем (12.109)2 дважды по г, исходя из того, что
жесткость Е1Х является переменной по длине балки, т. е.
представляет собой функцию от ζ
(FIxu")" = qy. (12.110)
Здесь учтена зависимость Ml——qu, имеющая место при тх = 0
(см. (1.9)2(4). В случае постоянной по длине жесткости балки, это
уравнение приобретает вид
Elxviv=qy. (12.111)
Вспоминая происхождение уравнения (12.106) (оно получено из

198
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ..Х1Г
четвертого уравнения равновесия системы (12.3)) заключаем, что·
дифференциальное уравнение изогнутой оси (точное или
приближенное) является уравнением равновесия балки при изгибе. В
дальнейшем для балок постоянной по длине жесткости в большинстве
случаев мы будем использовать приближенное дифференциальное
уравнение изогнутой оси в виде (12.111).
2. Обзор правил знаков, принятых в теории изгиба стержня^
Уместно дать обзор принятых правил знаков для всех величин,
участвующих в теории изгиба: qyt тх, Qu, Мх, ΰχ, ν (см. табл. 12.4)
и дать обзор всех основных формул, соответствующих принятым
правилам (существенными являются получающиеся в этих формулах
знаки (табл. 12.5)).
Таблица 12.4
О
&
О
0^2
»|74
У\
мх мх
9в
Р^^?
Щ Ц
'У
Ψ *' «* ΰ Ζ
у)
0
т.
6
У\
В таблицах 12.4 и 12.5 приведены два столбца, в первом из
них дается информация применительно к принятому в настоящей
книге сочетанию правил знаков, а во втором приводятся
аналогичные данные применительно к другому варианту комбинации
таких правил, принятому, в частности, в литературе по строительной,
механике корабля. Преимущество первой системы над второй — в
отсутствии знака минус в формулах для напряжений σ и τ, а также
в формулах условий эквивалентности; проигрыш этой системы по·
гравнению со второй — наличие знака минус в ряде
дифференциальных зависимостей.
3, Граница применимости приближенного дифференциального
уравнения изгиба балки. Как каждое приближенное уравнение,,
уравнение (12.111), или эквивалентное ему (12.109)2 имеет
некоторую границу применимости; установим ее.

§ 12.12]
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ИЗГИБА БАЛКИ
199
Таблица 12.5
Условия эквивалентности
Формулы для напряжений
I
Mx=\oydF
Qy = \%dF
F
Mx = ~\aydF
F
Qy-=~SxdF
τ = ·
Mxy
QSy*x
Ы,
о —
τ = —
Mxy
Ιχ
Q S*
^y χ
Ых
Дифференциальные зависимости
А =
V
V'
υ"
ν"'
νιν
0
*
*'
Φ'
<Γ
О
о
Μ
Μ'
Μ"
А = ВС
О О
о
о
о
я
о
о
Q
Q'
в=
υ О
О $
О О
О О
О О
О О
О О
Μ О
О Q
О О
с=
о
1
1
Е1Х
1
Е1Х
1
Е1Х
1
Е1Х
1
ΕΙχ Е1Х
О
О
1
1
-1
0 0
0 0
0 0
1 0
—1 1
с=
о
1
1
Е1Х
1
Е1Х
1
Е1Х
1
£/*
1
ΕΙχ Е1Х
0 0 0
0 0 0
1 О О
1 1 О
1 1 1
Замена точного дифференциального уравнения приближенным
допустима во всех тех случаях, когда максимальное значение (ν')2
является величиной пренебрежимо малой по сравнению с единицей.
Очертание изогнутой оси балки при постоянной вдоль ее оси
жесткости зависит от вида нагрузки и от характера закрепления
балки. Всегда можно изогнутую ось разбить на участки,
границами которых являются точки перегиба или центры концевых
сечений балки (рис. 12.66). Каждый из этих участков может
трактоваться как половина волны или доля от нее. Наибольшие значения
величины ν'\ а следовательно и (ν')2, соответствуют точкам
перегиба или крайним границам отмеченных половин волн. Можно
установить какими должны быть параметры половины волны,
чтобы на ее границах величина достигала предельного значения,
т. е. такого, при превышении которого уже нельзя пренебрегать
пеличиной (ν')2 по сравнению с единицей и, следовательно, нельзя
заменять точное дифференциальное уравнение (12.108)
приближенным (12.109). Для выполнения оценки будем предполагать,

200
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. XIГ
что половина волны представляет собой кривую, симметричную»
относительно середины ее длины. Тогда в качестве параметра,,
характеризующего половину волны, можно принять отношение а/Ь
(рис. 12.66). Если, например, полагать, что допустима
погрешность в 5%, то границей применения приближенного
дифференциального уравнения будет являться;
величина (у)2 = 0,05, или v' = tg'&f^^
^0,2236, или ft^l2°36'.
Оценим, каким должно быть
отношение а/Ь, чтобы на границе
половины волны выполнялось равенство.
$ = #* = 12°36'. С этой целью
рассмотрим три различных очертания:
кривой: синусоиду, квадратную
параболу и окружность. Вся информация
сведена в табл. 12.6.
χ—p^v-_L__>iJf·-^ ч Из табл. 12.6 очевидно, что пре-
^ t Г ГТ I 7777, дельному параметру а/Ь соответствуют
довольно крутые половины волн по·
сравнению с теми, которые допустимы,
в конструкциях. В балочных
разрезных пролетных строениях мостов
допустимая величина a/b = l/f не меньше
800—1000. Отсюда становится ясно,
что практически во всех случаях,,
встречающихся в строительных
конструкциях, в машиностроении,
самолето- и кораблестроении с большим:
запасом достаточна точность, даваемая приближенным
дифференциальным уравнением, и лишь в очень гибких элементах (в
которых только и могут иметь место а/Ь, указанные в таблице),,
встречающихся в приборостроении, может возникнуть
необходимость прибегать к точному дифференциальному уравнению.
Установим, каким должно быть отношение а/К, где К — высота:
балки, чтобы в этой балке при а/6 =18,00 (см. табл. 12.6),
материал оставался в пределах упругой работы, точнее — в пределах,
допускаемых напряжений. Из очевидного соотношения (см. рис
в последнем столбце табл. 12.6) р2 = -j- -f (ρ — Ь)2, отсюда
« а
г
^*й-_
7^
с ζ ,
_^^-^
а
г 2 ,
\
<ъ
11
Рис. 12.66. Характерные варианты
очертания изогнутой оси балки.
2рь=т + *г· т-
2Ь
а?
+ f>2
Ρ
2_
b
а?
4ί>2
+ 1
Подставляя сюда α/6 = 18,00 и 6 = α/18,00, получим
j__ 0,439
ρ α '
(12.112),

-^ 12.12] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ИЗГИБА БАЛКИ 201
Таблица 12.6
■<
j£V^
*у .
·*=»,
1
1
Синусоида
Квадратная
парабола
Окружность
max
Ό =
max
= υ'
пред
а
Ύ
b sin —
α
46
α*
(α—ζ) г
6π nz
cos —
a a
£<«-*>
6π
a
4b_
a
bn
a
■■ 0,2236
π
0,2236
= 14,05
46
— = 0,2236
α
0,2236
= 17,89
tg**=-
a
"2"
p—6 »
p2 = -^- + (p-6)2,
Д2 α2 A
2p6=4 + 6*. р = -^г + 4,
86
tgi}* =
α
"2
α
26
аи
α2 1
86 2 862 "2
α2 1 α
862 ιδυ 2 g 26 '
62 tgfl* 6 υ'
α
Τ
α
Τ
α
Τ
α
Τ
2 ·./" 4
tgO* ±(/ tg2f>* + »
2 + 2/1 + 0,05
0,2236 »
2 + 2.1,0247
0,2236 »
4,0494
0,2236
= 18.11

202
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. Х1Г
С другой стороны, если в (12.5) положить ymax=h/2, то
h 1 2егтах 2[σ]
8гтах=^-, — =? I =-Щ-· (12.113)
Приравнивая правые части (12.112) и (12.113), получим
0,439 _ 2[σ] α 0,439£
а ~ НЕ * h ~~ 2 [а] '
Если балка выполнена из стали Ст. 3 (£" = 2,1 -106 кГ/см2, [а] —
= 1,6-103 кГ/см2), то
а _ 0,439-2,1-Ю6 _ 9оо 9qn
τ - 2-1,6-юз- -28b^290·
Отсюда видно, что балка очень гибка. При отношении a/h = 290
балка может быть лишь гибким упругим элементом прибора,
наподобие пружины. Обычные же балки в строительных и
машиностроительных конструкциях имеют это отношение в несколько
десятков раз меньше, чем 290. Если α//ι=10, то а/Ь = 525.
4. О перемещениях вследствие сдвига при изгибе.
Рассматривавшиеся выше перемещения связаны с поворотами поперечных
сечений. Наряду с ними имеется еще одно слагаемое
—перемещения вследствие сдвига при изгибе (сдвиг при изгибе не
сопровождается поворотом поперечных сечений).
Эти перемещения, как будет позднее показано, значительно меньше
перемещений от изгиба и ими по сравнению с последними в
подавляющем большинстве случаев можно пренебречь, за
исключением балок с малым отношением l/h (порядка 5), выполненных
из материала с очень малым отношением G/E (порядка 1/10-f-1/20,
например, в деревянных балках). Поэтому ниже — всюду, где не
сделано специальной оговорки, — имеется в виду перемещение
лишь от поворота сечений при изгибе, определяемые из точного
(12.108) или приближенного (12.110) дифференциального
уравнения изгиба. В настоящем же разделе остановимся на том, как
учесть и влияние сдвигов на перемещения при изгибе, если в этом
возникает необходимость.
Итак, внешняя нагрузка, действующая на стержень и
вызывающая его поперечный изгиб в плоскости Oyz складывается из
распределенных силовой и моментной нагрузок qy и тх и
сосредоточенных сил и моментов Ру, Шх. При этом указываются
участки, на которых имеет место та или иная распределенная
силовая или моментная нагрузка и координата сечения приложения
сосредоточенной силы или сосредоточенного момента.
Внутренние момент и сила имеют отличные от нуля
составляющие: Мх Qy. В процессе деформации балки точки оси испыты-

■§ 12.12] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ИЗГИБА БАЛКИ 203
вают перемещения, а поперечные сечения поворачиваются.
Составляющие указанных перемещения и угла поворота в системе Oxyz,
соответствующие поперечному изгибу в плоскости Oyz,
обозначаются символами ν, $х. Деформация стержня в этом же случае
может быть задана и при помощи параметров деформации кх, уу.
Напряженно-деформированное состояние стержня определяется
условиями равновесия (статика проблемы), условиями совместности
деформаций (кинематика проблемы) и зависимостями между
усилиями и параметрами деформации (физика проблемы).
Из шести уравнений равновесия элемента стержня с
прямолинейной осью запишем два (1.9)2>4, относящихся к поперечному
изгибу в плоскости Oyz и сопровождающему его сдвигу. Эти
уравнения выражают равенство нулю суммы проекций всех сил
на ось у и равенство нулю суммы моментов всех сил относительно
оси χ
dQu dMx
-ЗГ + Яу = 0> -4r-Q, + mx = 0> (12.114)
или, подставляя выражение для Qy, найденное из уравнения
(12.114)2, в уравнение (12.114)!, получим
τ£- + ^4ί,-0. (12.115)
Уравнения, связывающие деформации (κ* и уу) и перемещения
(ν, ϋ·χ) на уровне геометрически линейной постановки проблемы,
имеют вид
κ* = _"2^' θ* + ν^ = -5ί· (12.116)
Природа второго уравнения пояснена на рис. 12.67, из
которого ясно, что часть прогибов обусловлена сдвигом уу. Этот
рисунок перекликается с рис. 12.40, б. Подстановка (12.116)2 в
(12.116)! дает
*—Т^-2Г- (12-47)
Сдвиг, вызываемый поперечной силой, не зависящей от ζ, также
остается неизменным по длине балки, при этом второй член
и (12.117) обращается в нуль, т. е. в этом случае сдвиг не вызы-
оает изменения кривизны оси стержня. Изменение кх — кривизны
оси стержня — вызывается переменным по ζ сдвигом; такой сдвиг
ио.шикает, если и Qy также зависит от ζ.
Физические уравнения (закон Гука для всего изгибаемого
стержня), связывающие усилия (Мх, Qy) и деформации (κ*, yy)t

204
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. XII
имеют вид1)
_ Мх
t^L ν -Ям.
dzGF' yv~~GF
у
(12.118)
Первое из этих уравнений является обобщением уравнения (12.109)
на случай учета влияния сдвига на изменение кривизны оси балки.
Выведем уравнение равновесия, выраженное через функцию υ
и справедливое в случае, если материал подчиняется закону Гука.
fx<0, dvT<0
dvr
dz fy
δ)
Рис. 12.67. Элемент балки при поперечном изгибе с учетом сдвигов: а) прогиб, связанный'
с поворотом сечення; б) прогиб, связанный со сдвигом.
Подставим в уравнение равновесия (12.115) вместо Мх еп>
выражение через параметры деформации, получаемое из (12.118),.
Мх = кхЕ1х--^-ду.
Такая подстановка дает
EI d2y,x 4- dm
dz2
dz
_ΕΙχΟ%
^ Чу пр. и-,2 υ·
GFfJ dz2
(12.119)
(12.120)·
Если (12.115) представляло собой уравнение равновесия для
стержня, испытывающего деформацию (геометрически линейный
*) Приведем сводку всех шести уравнений закона Гука для стержня
в целом, но без учета влияния неравномерности сдвига по длине балки на
кривизну ее оси
М,
*Х~'Е1К '
Уу
_ Qy
GFy>
κ,
_МУ
'-Ely*
Ч* GFX>
Ν
Μ,
Ъ- Ер, **- Qfk
Первые два уравнения относятся к изгибу к плоскости Oyz, вторые два —
к изгибу в плоскости Охг, пятое — к осевой деформации и шестое—к
свободному кручению.

§ 12.12] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ИЗГИБА БАЛКИ 205
случай), но выполненного из материала с любой зависимостью
между напряжением и деформациями, то (12.120) является
аналогичным уравнением равновесия, но уже лишь для стержня,
изготовленного из материала, следующего закону Гука.
Подставляя в уравнение (12.120) вместо параметра деформации
пх его выражение через перемещение согласно (12.116), получим
искомое уравнение
*1χάζ* dz q^GFy dz* Ό· (12.121)
Уравнение (12.121) по природе своей аналогично уравнениям Ламе
в теории упругости и является уточненным (учтен сдвиг)
приближенным дифференциальным уравнением изгиба стержня.
Если не учитывается влияние сдвигов на перемещения при
изгибе, что равносильно предположению о бесконечной жесткости
стержня по условию сдвига, то последний член в уравнении
(12.121) обращается в нуль; при отсутствии моментной
распределенной нагрузки, или ее независимости от ζ, в нуль обращается
и второй член в (12.121), при этом получается приближенное
дифференциальное уравнение изгиба балки, рассмотренное в начале
параграфа.
Последовательность отыскания шести неизвестных функций:
Мх, Qy, ν, $χ, кх, уу, полностью описывающих
напряженно-деформированное состояние прямолинейной балки при поперечном
изгибе в рамках технической теории, при условии задания
функций q и тх и численных значений и координат приложения
сосредоточенных сил Ру и моментов Шх, следующая. Интегрируя
(12.121), находим ν, далее из (12.116)! находим κχ. После этого
из (12.119) определяем Мх, из (12.114)2. находим Qy, из (12.118)2
находим уу, после чего из (12.116)2 определяем ϋ·χ.
5. Граничные условия. Для того, чтобы задача была решена,
т. е. найден интеграл дифференциального уравнения (12.121),.
имеющего четвертый порядок, необходимо иметь по два граничных
условия на каждом из концов стержня. Так, например, при г — гА
чти два граничных условия могут быть выбраны из числа
нижеприводимых четырех, за исключением расположенных в одной и
той же строке *)
ΜΙ (πΐ d3V . ΕΙχ аС1У\
ilv EIxd'v I EIxdqu mx
+
K<l? ' GFydz3 ' GFy GFy dz GFy
Elx
-GF-y«y
г=гл=Ь(А> ■ I - EI
d^v
= — 0{A)
-ZA ЧУ »
A vx , ^ "* dzZ
г=гА = м<хЛ) . (12.122)
') В формулах (12.122)2, з. 4 в левых частях внутри круглых скобок поме-
ιΐιΐ'ΐΐι,ι развернутые выражения соответственно поперечной силы, угла поворота
иппорсчпого сечения и ■ изгибающего момента. Формулы для изгибающего мо-

206
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. XII
Таким образом, если известны либо усилия и моменты в двух
сечениях стержня, либо перемещения и повороты, то можно найти
по указанной выше схеме все функции, описывающие напряженно-
деформированное состояние стержня.
Вернемся опять к упрощенному варианту постановки задачи
поперечного изгиба балки, в которой не учитывается влияние
сдвигов на прогибы. Одновременно будем считать равной нулю
распределенную моментную нагрузку. При этом граничные
условия (12.122) приобретают вид
.И>
2 = 2,
&ХЛ\ EIxv"
ΕΙχν'"
ϊ(Λ)
— <2Γ,
-м[А\
В частности, отсюда получаются такие характерные граничные
условия: жесткое защемление конца балки, шарнирное опирание
конца балки, свободный конец балки, для которых имеют место
соответственно следующие граничные условия при г = гд:
(и = 0, и' = 0), (и=*0, \Г = % (ζ/"=0, ι/' = 0).
Упруго-податливому защемлению (податливость 51) и упруго-
податливому опиранию (податливость А) конца балки при ζ~ζα
отвечают граничные условия г)
V-
-ΑΕΙχν'\
—%EL
■ν
мента получаются из (12.119) после подстановки в нее (12.116)];. Формула
для поперечной силы получается после решения (12.114) относительно Qy и
подстановки вместо Мх, отмеченного в настоящем примечании выражения.
Формула для угла поворота поперечного сечения получается из (12.116)2
путем решения относительно ϋχ и подстановки вместо γ^ выражения согласно
(12.118)2, в котором под Qy подразумевается выражение, полученное согласно
приведенному выше указанию настоящего примечания,
*) Податливости А и 51 пояснены на рис. 12.68, а, б.
δ)
Рис. 12.68. Пояснение природы податливосте.й! а) природа податливости ЭД (Щ — угол
поворота упругой заделки при действии на нее момента, равного единице); б) природа
податливости А (Л — просадка упругого проседающей опоры при действии на нее силы,
равной единице).

§ 12.13] ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ ИЗГИБА БАЛКИ 207
§ 12.13. Интегрирование дифференциального
уравнения изгиба балки
1. Вводные замечания. Особенностью определения перемещений
при изгибе посредством интегрирования дифференциального
уравнения изгиба является то, что в пределах рассматриваемой балки
может иметься несколько участков с различным видом функции v.
Деление оси балки на участки связано с рядом причин. Для того,
чтобы уяснить их, рассмотрим следующую форму записи
дифференциального уравнения изгиба:
ΕΙχυ" = — Μχ
Очевидно, что если при переходе через какое-то сечение балки
изменяется вид функции в правой части, то при этом изменяется
и вид функции v. Вместе с тем известны все причины, могущие
изменить вид функции Мх при переходе через некоторое сечение
ζ = Ζι', к числу их относится наличие в сечении ζ = ζι
сосредоточенной силы Ρ и (или) сосредоточенного момента Ш, изменение
в сечении г = г,· вида функции qy и (или) тх. На этом перечень
причин, влияющих на изменение вида функции ν можно было бы
закончить, но мы для некоторой общности, целесообразность
которой станет ясной несколько позже, отметим еще два фактора,
которые могли бы явиться причиной изменения вида функции
при переходе через сечение z = zt. Один из этих факторов
представляет собой ступеньку в очертании оси балки на некоторую
величину, а другой — излом в этом очертании на некоторый угол.
Происхождение ступеньки и излома будет обсуждено ниже.
В настоящем параграфе сначала обсуждается интегрирование
дифференциального уравнения изгиба при наличии в пределах
балки лишь одного участка, далее исследуется вопрос
интегрирования указанного уравнения в случае нескольких участков в
пределах длины балки. Все отмеченные выше разделы настоящего
параграфа посвящены определению перемещений в балках
постоянного вдоль оси ζ поперечного сечения. Случай балки, жесткость
которой зависит от г, рассматривается в §§ 12.14 и 12.19.
2. Интегрирование дифференциального уравнения изгиба балки
в случае одного участка. Пусть имеем дифференциальное
уравнение изгиба призматической балки
EIxv™ = qy. (12.123)
Пудем считать, что в пределах всей длины балки имеется один
участок.
Расположим начало координат (z = 0) в центре одного из
концевых сечений балки. Тогда, последовательно интегрируя

208
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. XII
уравнение (12.123) четырежды, получим
EIxvm = - Qy = - Qy0 + \ qy dz,
(12.124)
EIxv" = — Mx = — Mx0-Qyoz + J J qy dz dz,
о о
υ' = ϋχ== ϋχο — -ft- ζ
Mxo Qy0
ζ ζ ζ
-ΉΤχζ2+-Ε77$№^άζάζάζάζ>
*ο ΕΙΧ
0 0 0
ζ ζ ζ ζ
u^Uo + u^-g^T^-g^^ + lTj J ,) J J Qydzdzdzdz·
ο ό о о
В формуле для у первые четыре члена можно рассматривать как
общий интеграл однородного уравнения, соответствующего (12.123),
Ζ Ζ2 Ζ3
имея в виду, что 1, ц-, ^, зу — СУТЬ частные его решения, а
коэффициенты при них — постоянные интегрирования1). Последний
член в этой формуле можно рассматривать как частное решение
неоднородного уравнения (12.123). Другая форма частного
решения дается ниже формулой (12.136).
Решение (12.124) является общим для всех балок, содержащих
один участок. Специфика каждой из исследуемых балок
учитывается в величинах Qyo, Мхо, ϋ·χ(> и vQ, которым легко дать
механическую трактовку — это соответственно: поперечная сила,
изгибающий момент, угол поворота и прогиб в сечении, совпадающем
своим центром с началом интегрирования. Для того, чтобы
удостовериться в сказанном, положим г = 0, тогда все члены в
правых частях (12.124) обращаются в нуль за исключением одного
(Qy0— в первом, Мх0 — во втором, $хо — в третьем и v0 — в
четвертом уравнениях). Вместе с тем смысл левых частей уравнений
(12.124) соответственно таков: минус поперечная сила, минус
изгибающий момент, поворот и прогиб. Отсюда и делается
заключение о природе Qm Мхо, ftXQ и v0. Величины Qm, Мх0, ftXQ и v0t
называются начальными параметрами.
2) Заметим, что при последовательном интегрировании уравнения (12.123)
перед третьим интегрированием обе части уравнения (12.124)2 были разделены
на Е1Х для того, чтобы в результате третьего интегрирования получить угол
поворота поперечного сечения балки θ=υ', а в результате четвертого —
прогиб v. Без такого деления в результате третьего и четвертого интегрирования
имели бы не ν' и v, a EIxv' и ΕΙχν соответственно. Вследствие отмеченного
деления на Е1Х получилось то, что в (12.124)j постоянной интегрирования
является —■ Qy0 и в (12.124)2—величины—Qy<> и — Мх0, а в (12.124)3 таковыми
Qi/o ΜΛθ α /1о 1олч Qyo Mx0
являются —-ρ-ΐ—, ~ έτ~ и Ф*оИ в (12.124)4 — величины—-—_>—--_ νχ0 и ν0.
civ hi x hi v hi x

$ 12.13]
ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ ИЗГИБА БАЛКИ
209
До сих пор мы находили поперечную силу и изгибающий
момент, пользуясь правилами: поперечная сила Qy равна сумме
проекций всех сил, расположенных по одну сторону от
рассматриваемого сечения на ось г/, а изгибающий момент Мх равен сумме
моментов всех сил, расположенных по одну сторону от
рассматриваемого сечения относительно его центра. В соответствии с этими
правилами
г г
Qy = Qr/o - S Чи dz> M* = М*о + Qyo* - S Чу* dz. (12.125)
о о
Формула (12.125)χ для Qy совпадает с (12.124), a (12.125)2 —для
Mx представляет собой другую форму, во многих случаях более
удобную, чем (12.124), дающую тот же самый результат.
Формулы (12.124) представим в матричной форме
w(z) = Kw(0) + I; (12.126)
w(z)HQ*(*) МЛг) *,(*) υ (г)}; w(0)HQw М,0 Ъхо υ0};
1 0 0 0
ζ 10 0
ζ2 ζ
К
2ΕΙΧ
ΕΙΛ
2ΕΙ
1 0
г 1
л:
ζ г г
(12.127)
ίζ ζ ζ ζ ζ ζ
— \ qu dz — I V qy dz dz -щ- \\\qydzdz dz
г г г г \
ёЛ $ ί j j Яу dz dz dz dz\= V11*1*1*}'
0 0 0 0
Примеры 12.14 (рис. 12.69), 12.15 (рис. 12.70), 12.16 (рис. 12.71), 12.17
(рис. 12.72) решить самостоятельно. Во всех примерах для балок,
изображенных на рисунках, найти вектор w (г).
§
У1
τι?
ζ
Ι ι ' ,г
|JfJ V'l'V "n|f 4f
Τ
2
0
Л
1
1
Йтту
Я
Рис. 12.69. К примеру 12.14.
Рис. 12.70. К примеру 12.15.
Указания. Во всех четырех примерах матрица-столбец 1 имеет вид !
f
qz
qz2 qz*
qz*
6EIX 24EL
f

210
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. XII
Вследствие симметрии в примерах 12.15 и 12.17 начало координат удобно-
располагать посредине пролета.
1
о
JMjMJjj Jn Jnjf]'''
тттттττ
и
1
.1
ИIV
ί
О
У\
V | ' ' 1'injf и
Hi
Ч
ι
г
ъ
V,
Рис 12.71. К примеру 12.16.
Рис. 12.72. К примеру 12.17.
Векторы w (0) при записи их непосредственно из условий примеров
соответственно имеют вид
1) w(0) = {9/ -f 0 0J
(первые, два элемента находятся как реакции в заделке);
2) w(0)={0 Мх0 0 о0},
ΛίΛ-ο и и0 находятся из условий на любом конце балки, например, на правом::
1 0
I2 .
// \
аЦт)
ίι \
и -
Ы
8£А
Μχ0\\+
ql2
8
?/*
384£/*
=
0
0
Квадратная матрица второго порядка получена из матрицы К — сохранены,
элементы, находящиеся на пересечении строк, соответствующих Мх Ш2) и
ν (1/2) (вторая и четвертая строки), и столбцов, соответствующих Λί^ и %
(второй и четвертый столбцы), при этом ζ = 1/2,
Мх0
1 0
Ι2 ,
8ΕΙ,
ql2
8
384£/,
3) w(0) = {QJ/o Мх0 0 0}, Qyo и ΛίΛθ находятся из условия на правом-
конце балки:
МА1)
v(l)
ι
1
/з
I2
6ΕΙ« 2ΕΙ,
1 ®y° II4-
\мх0\Г
. ql2
2
24E1X
110
11 о
4) w(0) —{0 Mx0 0 v0}, Mx0 и v0 находятся из условий на любом,
конце балки, например, правом
О
ί1 \
νι-ζ-ι
\2/
2Е1Х
I2
8Е1Х
0
1
мх0
+
ql3
48EIX
ql*
Ъ84Е1Х
=
0
0

§ 12.13] ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ ИЗГИБА БАЛКИ 211
Ответы в примерах соответственно нижеследующие:
q(t-z)
qlz
1) w (ζ) =
ql* qz*
qlz2
2) w (z) =
2Elx
qlz3
GEIX
— qz
qP_
8
+
+
2 2
ql4
+
qz3
2EIX
qPz*
4EK r 24£/
6EIX
qz*
qz*
2
ql2z qz
8EI
6EL
ql4"- _5_ ψ_
"Γ ogj с; ι
qz9
16£/
384 EL
24EL
3) w (z) =
-g-ql — qz
ql2 5 , 0-22
4) w(z) =
<y/2
8£/*г
g/2
16£/* 2
— i?2
№_q£
24 2
<7/2
5 *' z2 + *
\6EIX
5 ^
6E/,
48 EI,
23 +
24£/j
24£/*
9*4
384E/,
z +
?/2
48£/
-z2 +
24£/j
Пример 12.18. Найти вектор w (г) для балки, изображенной на рис. 12.73
вместе с приложенной к ней нагрузкой.
Рис. 12.73. К примеру 12.18.
Решение. Располагаем начало координат в центре левого концевого
сечения балки, при этом
w(0) = {Qi/0 MM 0 0}, | = {-
0ι&
21
qiz3 ЯР*
4izb
6/ 24EIJ \20EI
>}·

212
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. XII
Qyo и Мх0 находим их условия
υ (I)
/2
/
Отсюда
Qyo
Μχϋ
/2
2Е1Х
/»
6ΕΙΧ
ί
ΕΙΧ
/2
2Eh
Qyo Ι! ,
Μλ-οΙΓ
Qp
24ΕΙΧ
ЯР
\20ΕΙΧ
=
0
0
2ΕΙΧ
/3
6ΕΙΧ
/2
2£/*
/3
/2
2Ε/,
-1
<7^3
24ΕΙΧ
111*
\20ΕΙΧ
ι
ΕΙΧ
/2
6£/,
2£/,
1
/*
/*
24ΕΙΧ
Qil1
120ΕΙΧ
=
3 ,
20^
30
,4{ΕΙχγ 6 (Ε/,)»;
Подставляя Q^q и Λί*0 в w (0) и используя после этого (12.126), получим
3^_г^
10 /
w(z) = y
-- + ^/z-
/2 _3_
Ϊ5 + Τθ
/2Ζ
15Е/,
/2ζ2
30£/*
3/
3/
20£/*
/ζ»
20£/*
z2 +
+
12EIJ
ζ*
60EIJ
w(/) =
~20^
20
0
0
Найдем максимальный изгибающий момент в пролете. Условие экстремума
функции Мх имеет вид
dM3
dz
= °* T0qil-2[Z* = 0' zi = |/"ffi/a = 0·546'· ζ2 = -0,546/.
Корень со знаком минус не удовлетворяет условию задачи — сечение
оказывается вне балки.
Определим знак второй производной, -т-у = — ~- <0. Следовательно, при
г = 0,546/ функция Мх достигает максимума.
Мхты = Мх\г-.
= 0,546/'
qi12 + ~ щ1 · 0,54б/-|[ (0,54603 = 0,0214^2.
30
Найдем максимальный прогиб. Условие экстремума функции ν имеет вид
dz
= 0,
30£/j
3. qil
40 Eh
z2-f
qtz*
q&
24EIJ
20EI
jEf'-l^+H-·.
21 = 0, 5z3 — 9/22 +4/3 = 0.
(12.128)
По смыслу задачи одним из корней должен быть z2 = /, так как при
г = / функция ν должна приобретать минимальное значение. Действительно,
подстановкой в (12.128) убеждаемся, что г = / является корнем этого
уравнения: 5/з — 9/з + 4/з = 0, 0===0.
Деля левую часть уравнения (12.128) на ζ—/, получим
(5гз—9/22 + 4/2); (/—г) = 5г2+5г/ — 4/2, (/—г) (5г2 + 5г/ — 4/2) = 0.

§ 12.13] ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ ИЗГИБА БАЛКИ 213'
4
Отсюда получаем квадратное уравнение z2-\-lz—=-/2=0, из которого
находим последние два корня z3 = 0,525/, г4=—1,525/. Последний корень
условиям задачи не удовлетворяет, так как точка г = г4 = —1,525/ выходит за<
пределы балки. Для того, чтобы установить вид экстремума рассмотрим знак.
ВТОРОЙ ПРОИЗВОДНОЙ При Ζ = Ζχ, Z2, 23
ν·= 1<
?[l'3-№+TzS]. °"1~.-=Ш77Т,3>0·
20£/..
ϋ" 1«^-2оЙ7/3>0' ϋΊ^2-ο,525,=6δΙ77/Μ-ι.2 8)<о.
Итак, при z = 2i = 0 и z = z2 = l функция ν приобретает минимальные,,
а при ζ = ζ3 = 0,525/ максимальное значения "*
ν |г_г1=о=0, ν |г_г2_/ = 0, ν |г=гз_о.525Г =0,00131 j^j-.
3. Интегрирование дифференциального уравнения изгиба балки
в случае наличия нескольких участков (метод начальных
параметров).
3.1. Вводные замечания. В тех случаях, когда в
пределах длины балки имеется два или большее число (т) участков,
вид функции ν (а следовательно, и $х, Мх и Qy) на каждом из
участков оказывается своим собственным.
Для каждого из т участков имеем свое дифференциальное
уравнение ΕΙχυ[ν = ς,Λ, ΕΙχν\ν = ςυ2, .... EIxv™ = qym.
Если не принимать никаких специальных мер, то, так как
в решении каждого из этих уравнений содержится четыре посто-
яннных интегрирования, пришлось бы составлять Am условий,
для их определения и решать систему Am уравнений с Am
неизвестными. Условиями для отыскания постоянных интегрирования
являлись бы: по два граничных условия на концах балки и по
четыре условия сопряжения функций vt и vi+1 и их первых трех
производных на каждой из границ, участков (t и t + l): vt
с Vi+1, $xi = v'i с v'i+1 = = ϋ·χ<ι+1 (согласование углов поворота),
— Mxi/(EIX) = υ'ι с ό"+1 = — ΜΧι ι+ι/(ΕΙχ) (согласование изгибающих
моментов), —Qyi/(EIx) = Vi" c ν'{'+{ = — Qy,i+i/(Eix) (согласование
поперечных сил). Согласование состоит в том, что функции и
(или) их производные на двух соседних участках должны либо
плавно переходить одна в другую, либо должен иметь место·
скачок.
В табл. 12.7 изображены причины возникновения участков и
отмечено, какие из функций ν, $х, Мх и Qy при этом
претерпевают скачок, а какие плавно (по ординатам) сопрягаются при
переходе через границу участков. Необходимость решения всякий
раз системы линейных алгебраических уравнений порядка Am
представляет значительное осложнение. С целью его преодоления
можно построить решение всей проблемы так, чтобы в нем все

'214
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. XII
Таблица 12.7
Фактор сечения
шг,
■ж
Цу· доп. k
-Ρ,
о
о
Μ
X, ДОП. k
—Py(z—zk-i)
т>
*
χ, доп. k
2ET(z-Zk-i)
-E77{z-Zk-l}
a
^доп. k
6EI,
(z — Zk-i)3
2E7Z{z-Zk-l)2
a(z—zk-i)
-P,
Q.y. Zk-χ, доп, k—Чу, доп. k \z — Zk-i
0 0
Μχ, ζ/ι-Ι· ДОП, k *"Xl дОП, k U-2^-l
m,
о
о
0 α
0
0
v"k-l· Д°п· * — ^доп. k \z-Zk-i
о о
Примечание. Силы в пружинах, в шарнире и ползуне обеспечивают
соответственно поворот н смещение до упора.

§ 12.13] ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ ИЗГИБА БАЛКИ 215
сопряжения на границах участков происходили автоматически х>
и всего содержалось бы четыре начальных параметра.
Ниже примем следующий способ изложения. Сначала сущность
метода будет показана путем использования механических
понятий, а после этого приведено·
математическое обоснование.
3.2. Зависимости
метода начальных
параметров. Рассмотрим такое
загружение балки, которому
Рнс. 12.74. Представление распределенной Рис. 12.75. Представление
нагрузки при наличии двух участков на прогибов при наличии Двух
балке: а) нагрузка на первом участке; участков,
б) представление нагрузки на втором
участке как суммы нагрузки, продолженной по
закону первого участка и дополнительной
нагрузки.
соответствует два участка (рис. 12.74, а), вследствие чего имеются
два уравнения
.IV
ΕΙχΌι = qyl, EIX = v2 = q,J2
(12.129)
Представим прогиб и интенсивность нагрузки на втором участке
следующим образом (рис. 12.75):
»2 = t;l + tW2. Яи2=Яи1 + Яу.Лоп,2· (12.130).
*) В теории линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с
постоянными коэффициентами такое построение решения известно под названием.
метода Коши. Исторически, однако, получилось так, что в сопротивлении
материалов тот Hie по существу метод был разработан на основе механических
идей. В создании метода в такой трактовке принял участие ряд ученых, соеди
них были А- Клебш, И. Г. Бубнов, Н. П. Пузыревский, А. Н. Крылов,
Н. К· Снитко. Этот метод получил название метода начальных параметров.
Он используется в механике твердых деформируемых тел не только при
интегрировании уравнения изгиба балки, но и в других случаях (см. гл. II, XI),
где ситуация аналогична (наличие участков) —при интегрировании
дифференциальных уравнений изгиба балки на упругом основании, сложного
(продольно-поперечного) изгиба балки и других аналогичных.
В учебной литературе использование метода начальных параметров для
определения перемещения w при осевой деформации и φ при кручении
применил впервые, по-видимому, П. М. Варвак в своем учебном пособии
«Методические разработки по сопротивлению материалов» (Киев. Киевский
автодорожный институт. Кафедра сопротивления материалов, 1974).
Метод Коши подробно обсужден и проиллюстрирован примером в книге
А. П. Филина «Приближенные методы математического анализа, используемые-.
ίι механике твердых деформируемых тел» (Л., Стройиздат, 1971),

'216
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. XII
Например, для случая, изображенйого на рис. 12.74, а,
Яу1 = Яо ( 1— — J, <7t/2 = 0; qy, Ron, ъ = Яуг—Яу\ = — <7о (1 — —
На втором участке показаны: нагрузка qyi, определенная той же функцией,
которая задает нагрузку на первом участке, и нагрузка qy, доп, 2. прибавление
которой к qyi на втором участке создает qyi.
Подстановка (12.130)1р2 в (12.129)2 дает
ΕΙχ^ι + νΆ0Π,2Υν = qyl + qy,Ron,2\ (12.131)
вычитая (12.129)! из (12.131) получаем уравнение EIv^n> 2 = Яу,лоп,2>
аналогичное уравнению (12.123), вследствие чего и его интеграл
можно представить в форме, аналогичной интегралу (12.124)
уравнения (12.123). Выражению для и, согласно (12.124),
соответствует начало интегрирования в сечении балки с г = 0; поэтому
в рассматриваемом здесь случае (определение г>Д0Пр2) начало
интегрирования нужно расположить на границе первого и второго
участков, а в качестве начальных параметров принять конечные
приращения (скачки) функций v, $х, MXi Qy на границе
участков, т. е.
^доп, 2 \Z) = »\доп, 2W2l ,доп, 2 ~Г 'доп, 2» (1 2.1 32)
"Wflon. 2 \Z) ~ l^t/, доп, 2 MXt Д0Пр 2 ^х, доп, 2 ^доп, 2J»
^ζι, доп, 2 = Щу, ги доп, 2 '"■*. «ι, Доп, 2 ^*, гх, доп, 2 ^«l, доп, 21» ... . „,
(2 2 2 (12.133,1
J Я У, ДОП, 2 "2 J J ?</, ДОП, 2 "2 "2
2, 2, 2j
2 2 Ζ Ζ Ζ Ζ Ζ
Ж" ί ί ί ^доп·2 йг ^г rf2: "^7 ί ί J J ^доп·2 d2: d2 rf2 dz
Z\ 2j 2i
1
(z-zi)
(z-2l)8
2EIX
(2-2i)>
fiP/
2i 2j 2i 2i
0 0 0
1 0 0
(z-zi) j 0
£/,
(2-Zi)2 - , .
op/ (г zi) l
*^доп, 2
Аналогично (12.129)1>2 можно представить функции на третьем и
на любом ί-м участке
Щ = Щ+ ^доп, 3 = »1 + Идоп. 2 + »Д0П, 3*.
ί'ί/, доп, 3 Яу1 ~Г" *?(/, доп, 2 ~Г" *7t/, доп, 3»
ί i
Vi = v1Jt Σ идоп,А» <7ί/ί = <7ί/ι+ Σ Яу,Лоп,к (t = 2, 3, ..., m).
ft=2 ft=2

§ I2.I3J
ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ ИЗГИБА БАЛКИ
217
При этом получается формула для wRonj(z), аналогичная (12.132),.
с заменой в ней индекса 2 на t; аналогично заменяются индексы.
2 на ί и в выражениях матрицы КДОп.2 и векторов w2l)florip2,
I,
■доп, 2·
В последнем из указанных векторов и в матрицах КДОп,2 и
\ν*,,Λοπ,2 вместо гх должна быть координата 2/_χ сечения на
границе участков (t номерами i — 1 и ί.
В таблице 12.7 приведена информация, показывающая чему
равны дополнительные члены в функциях Qy, Мх, &х и ν на
участке z^zk-lt т. е. чему равны Qy,aolilit> MXiRon,k, $х1Л01и k>
νд0П>А, если в сечении z = zk-.x имеет место один из факторов Ру,
wlx't α, а. В частности показано, в каких функциях (из числа Qy,.
Mxt ΰχ, ν) возникают скачки при z = zk^lr вследствие наличия
отмеченных факторов, а также показано чему равны эти скачки
Qy-Zk-V доп' *' X,zk-V Д°п· *' *· "k-V догь *' V*k-V ДО11'*'
Разумеется, возможны случаи, при которых на границе
участков имеются все указанные причины, или любые комбинации
из этих причин, создающих деление балки на участки.
Окончательно для участка i вектор у/(г) выражается
формулой
с
W (2) = KW (0) + I + Σ (Кдоп. /,W*A_1( доп. ft + 1доп. *)· О 2> l 34>
/г =2
Матрица К в (12.134) имеет такой же вид, как и в (12.127),
а матрица Кдоп, к выражается следующей формулой:
*^доп, к
1
Z — Zk-l
2EIX
(z — Zk-ύ3
6£/,
0
1
EIX
(z-Zfe-i)2
2E1X
0
0
1 0
ζ — ζΛ_ι 1
(12.135)
Ρ
3.3. Примеры. Пример 12.19. Найти вектор ν/(ζ) для балки,
изображенной вместе с нагрузкой на рис. 12.76.
Решение. Матрицы К и Кдоп, k имеют
стандартный вид (см. (12.127)3 и (12.135)).
Остальные матрицы, входящие в
формулу для w(z) (формула (12.134)), имеют
следующий вид:
УА
О
'/'/.
y(0) = {Qyo 0 Ъх0 0},
™г1.яоп,2 = {-Р 0 0 0};
1 = {0 0 0 0},
1доп,2={0 0 0 0}, zx = l[2.
У1
{
I
1
я&
Рис. 12.76. К. примеру 12.19.

'218
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. XII
Начальные параметры QyQ и ϋ·χ0 найдем и# условия1) на правом конце
«балки
υ(1)
Отсюда
Qyo
ζ 0
г3
6ΕΛ
6EL
\Qyo
|θ*ο
+
2 О
Ζ3
-Χ
г —
/
кг
6£/
г —
X
— Р
О
121·
1_
2
/ \*
2 ;
2~т; _^
6EIX Z 2
— Р|
о
Р_
2
Р1*
Ш1Х
Наконец, используя (12.134), получаем искомый вектор w (z)
w(z) =
т+
2
Ρ/2
2 +
//2
//2
(-^)
<->К)
16£/^ 4Б/*
Ρ/2 ρ
■ζ2 +
16£Λ
12£/,
?8_
1/2 2ΕΙΧ
(-Ρ)
1/2 6£/д
/ \2
Пример 12.20. Найти вектор w(z) для балки, изображенной вместе с на;
грузкой на рис. 12.77.
W-
Mi
У
XT
ч
лгШ<№
а
< =н
Ч.
Рис. 12.77. К примеру 12.20.
х) Квадратные матрицы (2χ2) в этом условии образованы из элементов
соответственно матриц К и КДоп, л> лежащих на пересечении строк, соответч
сгзующих Мх{1) и υ (/), и столбцов, соответствующих Qy0 (Qy2i, лОП, 2) и
«лсо (yxzt, доп. г)*.

§ 12.13]
ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ ИЗГИБА БАЛКИ
219'
Решение. Вектор w (ζ) находим по формуле (12.1 4). Кроме стандартных:,
матриц К и Кдоп,k> B ЭТУ формулу входят векторы, имеющие следующий вид:.
w(0) = {Qil0
w,z доп, з={— Pi
(2-23)а
ι q ί
ι ?* /Г (г-г,)' (г4-г3)2
•доп, δ— Zi-zs \1 2 -г 2
(2-Zs)4 (Z4-Z3)41
М*0
0
2 0
з)2
0 0},
0 0},
о}; 1 =
(г-г,)»
wv
WV
ДОП, 2 {"
ДОП, 4= {"
= 'ДОП. 2 = 'ДОП, 3
1
{г-г-бУ·
Щ
0 0
= {0
1
0 0},
0},
0 0
(г-
0},
-2з)5
][-
EL
24
(г-г3)3 | "(г4-
120
2з)3
)>
— ί-
г/* L
£/« I 24
Здесь учтено, что
24
<7доп, 5 = — Я* И
Я/
Ζ — Ζ4
'/* L
б ■ б
(г — г3)6. (г4—г3)5
120
120
]}·
= -</'
ζ—ζ3
ζ4 — ζ3 / ' ζ4 — ^3
Начальные параметры {Qyo Mx0} определяем из условия
Qy(t)
Mx(l)
01
1
Qyo
мх0
+
Zi — Zs
+
2»! +
1
I — z2
-(1/2) -il-zzf
— (1/6).(Z —2fs)»
+
(-*Ί) +
1 С
/—Z4 ]
—3>l2
q* II [- (1/2) (/-z3)2 + (l/2) (z4-z3)2I
Z4-Z3 I [- (1/6) (/-z8)3+(l/6) (Z4-Z3)3]
После отыскания из этого условия столбца {Qy0 Λί.*ο} имеем все данные
для определения w (ζ) из (12.134). В приведенных выше граничных условиях
в матрицах КДОп,й использованы лишь те блоки, построенные из элементов
первых двух строк (соответствующих Qy (ζ) и Мх (ζ)), которые дают
ненулевые результаты.
3.4. Общая формула для частного-решения.
Найдем выражение для vROnik, вызванного qy,Ron,k' Для этого
воспользуемся решением для vRon> k от сосредоточенной силы,
рассматривая распределенную нагрузку как множество элементарных
Рис. 12.78. Представление частного решения в форме, в которой эффект элементарной
силы от распределенной нагрузки трактуется как эффект сосредоточенной силы.
сосредоточенных сил и пользуясь сложением эффектов действия
каждой из них на основании принципа независимости действия сил.
Пусть на некотором участке действует произвольная
добавочная нагрузка ду, лоа (рис. 12.78), выделим элементарную нагрузку

'220
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. XII
Яу, доп άζ и определим добавочный прогиб от этой силы в сечении z
, Я у, коп «ζ , „о
^доп= 6£77"(2~ζ)·
Полный добавочный прогиб, т. е. добавочный прогиб от всей
нагрузки, приложенный на участке от гг до ζ определится по
формуле (общая формула для определения частного решения ичр)
2 2
ν4.Ρ = νΆΟΠ=^άνΆοη = -^^^(ζ-ζ)4ζ. (12.136)
2, 2,
3.5. Математическое обоснованиеметода
начальных параметров. Существенными в построении решения
методом начальных параметров являются два обстоятельства:
а) условия, которым должна удовлетворять система частных
решений, из коих конструируется общее решение однородного
уравнения, соответствующего рассматриваемому, и б) вид
используемого частного решения неоднородного- уравнения. Остановимся
на обоих этих вопросах на примере решенного выше уравнения
(12.123).
Выше говорилось о том, что в формуле для ν (12.124) первые
четыре члена могут рассматриваться как общее решение
однородного уравнения, соответствующего уравнению (12.123),
сконструированное из четырех линейно независимых частных решений
. z гг г3
' 1!"' ~W' "ЗГ*
Эта система частных решений является системой с единичной
матрицей. Так называется система частных решений, которая
удовлетворяет условиям, показанным в табл. 12.8.
Таблица 12.8
f(0) = 1
ua,=z
f(2,=z2/2
V-3,=Z3/6
ο(0)
1
0
0
0
ν' (0)
0
1
0
0
Ό" (0)
0
0
1
0
υ'" (0)
0
0
0
1
Если решается любое другое обыкновенное неоднородное п-го
порядка дифференциальное уравнение с постоянными
коэффициентами, то все остается совершенно аналогичным, только другой
становится система линейно независимых частных решений с
единичной матрицей.

3 12.13] ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ ИЗГИБА БАЛКИ 221
Отметим, что систему линейно независимых частных решений
с единичной матрицей всегда можно построить, исходя из любой
произвольной системы линейно независимых частных решенийг).
Второй существенный факт состоит в том, что можно построить
такое частное решение неоднородного дифференциального
уравнения
t(v) = ^r + a1^[ + ... + anv = f(z), (12.137)
которое обладает тем свойством, что сам этот интеграл и первые
л — 1 его производные обращаются в нуль при г = 0.
Такой частный интеграл имеет вид
ν4^ = \ν(η^{ζ-ζ)ί(ζ)άζ. (12.138)
о
В случае уравнения (12.123) интеграл (12.138) записывается
так: »ч. ρ = J щ-: , поскольку »(я_1} = υ8 = -ψ и / (ζ) =
о
Я у {ζ)
- Е1Х *
Имея в виду свойство общего решения v = C0V(Q)-\-C1vil)-{-
+ С2и(2) -f C3u(3) однородного дифференциального уравнения,
соответствующего уравнению (12.123), отмеченное в табл. 12.8, а также
свойство частного решения (12.138) обращаться вместе со своими
л—1 производными (п — 4) в нуль при 2 = 0, получаем
механическую трактовку каждой из постоянных интегрирования.
Действительно, имея функцию υ и первые ее три производные
» = Ww + Ci»u) + c2v(2) + ед3) + »ч. р,
ν' = cov[0) + wId + c2v{2) +c3v{3) + V4. p,
V" = C0V№(o) + Ciufi) + C2U("2) + CSV'(Z) + f5. p.
»'" = <V<6> + Ci»(i) + C2V{2) + <V<8> + iCp,
заключаем, что co = t;(0), с1 = и'(0), са = »"(0), c8 = t;"'(0).
» = »(0)0(о) + »'(0)0(1) + ^(0)0(2, + »'"'(0)о(8, + оч.р. (12.139)
Из четырех начальных параметров два в большинстве случаев
известны2). Если же имеется несколько участков, то, вводя
понятия νΛ0Π и <7у,доп и повторяя все отмеченное выше для каждого
L) См., например, В. В. Степанов. Курс дифференциальных
уравнение!, изд. 3-е, М. — Л.: ОНТИ, 1939, гл. V, § 2 (примечание к теореме 5,
стр. 180); изд. 8-е, М.: Физматгиз, 1959.
2) Неизвестными оказываются все четыре начальных параметра, если
в сечении балки с z = 0 имеют место упруго-податливое защемление и упруго-
податливое опирание,

222
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. XII
из участков, а также имея в виду, что в большинстве случаев
все параметры в начале &-го участка
v*k-i· доп' * ' 2=2ft-i'
vz , доп, k ! 2-z. » ···' Uz , доп, fe'z-г. ,
известны1), понимаем, что сопряжение функции и всех ее
производных до (/г—1)-го порядка на границе участков выполняется
автоматически и что число участков не влияет на общее число
параметров, подлежащих определению.
3.6. Случаи, в которых игк_11ЛОП,кфО и (или)
®х, zk_v доп, кФ 0.
Пример 12.21. Для балки, изображенной на рис. 12.79, находящейся под
воздействием равномерно распределенной нагрузки, найти вектор w (ζ).
1
01
ΤΗΐίΐΜΠΠΠΠΜΠ
ч
%
</1
Рис. 12.79. К примеру 12.21. Балка с ползунком (величина скачка в υ заранее не«из«
вестиа).
Решение. Для отыскания w (ζ) используем формулу (12.134). Матрицы К
и Кдоп,2 имеют стандартный вид (12.127)3 и (12.135), остальные матрицы (вект
торы) представляются так:
w(0) = {QJ/0 ММ 0 0}.
w
«и ДОП
qz2 qz3 qz*
qZ ~~ΊΓ 6EIX 24£/,
,2 = {0 0 0 ^,доп,2},
j, 1доп,2={0 0 0 0},
zx = //4.
Параметры Qy0, Мх0 и vZu A0U< 2 найдем из условий
|*(0
\υ(1)
Ρ
I
2ΕΙΧ
I3
6ΕΙΧ
ΕΙΧ
Ι Qyo Ι
Μχθ\
+
ql3
6ΕΙΧ
24ΕΙΧ
ί
+ |
1 "ίι, доп, 2-
011
ο!»
2£/Λ
В результате решения этих уравнении получаем
q±
I Qyo II 4
\\МХ0\\ д?
24
_ ql*
Jzlt доп, 2 48£/JC »
*) Величина o«fe_,, ДОп, fe неизвестна в том случае, когда в сечении z=Zfc_j
расположен ползунок. Величина υ'ζ k неизвестна в случае, если в сече*
нии z=Zk-\ расположен шарнир,

-§ 12.13]
ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ ИЗГИБА БАЛКИ
223
я, наконец,
w(z) =
Qy(*)
Мх(г)
Ρ (2)
1
ζ
О
1
О
о
ζ2
2£/*
"6£/-
ζ2
'2£/,
+
-9Z
_£Ζ«
2
tfZ3
6£/*
^2*
24£/,
+μ
ι
г~т
!Z±L
2£/*
2~т
6£/.
2~Т
£/*
/ \2
ζ~τ
2EL
О
О
2~Т
1
О
о
о
qt*
48£/J
Пример 12.22. Для балки, изображенной на рис. 12.80, находящейся под
воздействием равномерно распределенной нагрузки, найти вектор w(z).
^u
W^
Рис. 12.80. К примеру 12.22. Балка с шарниром (величина скачка в Ъχ заранее ие
известна).
Решение. Решение представляем согласно формуле (12.124). Матрицы К
и К on а стандартны. Матрицы-столбцы w(0), I и 1доп,2 такие же, как в
предыдущем примере, матрица-столбец w 2 имеет следующий вид;
w.
Параметры Qy0, Мх0 и Ъх ги Д0П) 2 найдем из условий
ν (I) I
I*
2£/*
6£/*
/
£/*
/2
\\Qyo Ι 1
II
I qi*
\бЕ1х
ql*
|24£/л:
+
ι ι
1
ζ'τ
д —
wx, zl( доп, 2
2£/.v
Отсюда
IQi/o
29 ,
11 /2
•ft
» ^|2кДОП,2
ql*
~' №EIX »

224
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. XII
и, наконец,
w(z)
Qy(z)
Мх(г)
Qx (ζ)
ν (ζ)
"4
Ζ2
2ΕΙΧ
Ζ=»
6ΕΙΧ
ζ —
0
1
ζ
ΕΙΧ
ζ2
2ΕΙΧ
0
0
1
ζ
0
0
0
1
29
56*
И
112
0
0
ζ —
/ \2
2ΕΙΧ
Ζ"Τ
6£/*
0
1
Ζ~Τ
£/*
-ΤΤο?'2
/_\2
"4
2£/*
+
— ?ζ
qz*
2
tfZ3
6£/*
ί?Ζ4
24£/χ
0
ο
+
Ζ"Τ
ο
ο
168£/*
0
Припер 12.23. Найти вектор {ν Ο Λί Q} для неразрезной двухпролет-
ной (пролеты /t и /2) балки постоянного поперечного сечения с изгибной
жесткостью EI, опирающейся на шарнирные опоры, из которых одна
неподвижна. Балка загружена в левом пролете равномерно распределенной
нагрузкой интенсивности q на участке, левый и правый концы которого находятся
па расстояниях соответственно а и Ь от крайней левой опоры (а^О, b sc /х);
в правом пролете к балке приложены две сосредоточенные силы Р1 и Р2
(точки приложения их находятся от крайней левой опоры балки соответственно
на расстояниях end).
Решение. Свяжем с балкой систему координатных осей с началом,
совпадающим с центром шарнира крайней левой опоры, ось ζ направим вдоль оси
балки слева направо и ось у вниз. Для решения применим метод начальных
параметров. Поскольку начало координат совмещено с центром крайней левой
шарнирной опоры ν0=0, М0=0; тогда формула для искомого вектора
приобретает вид
ν
Μ
Q
ζ3
6£/
1 —
0
ο
2ΕΙ
ζ
1
\Щ
+ ΙΙα<7
(ζ-α)*
24£/
(ζ —α)3
6£/
(ζ —α)*
+IL R
2
-(ζ-α)
(z-k)3
6£/
(ζ-Ι ι)2
2ΕΙ
(ζ-ω
1
-hi
{ζ-by
24£/
(ζ-6)3
6£/
(ζ —6)2
llc^i
2
-(ζ -b)
{z — cf
+
6£/
{z — cf
2ΕΙ
(ζ-с)
1
-llrf^
(z — d)*
ЬЕ1
{z — dy
2EI
(z-d)
1

§ 12.14] ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ ИЗГИБА БАЛКИ -25
Неизвестные начальные параметры ϋ0 и Q0, а также неизвестную
реакцию R промежуточной опоры найдем из условий
v\z = ll = 0, v\z = li + h = 0, Μ\ζ = 1ι + Ιΐ = 0.
В развернутом виде эти условия получаются из приведенной выше
формулы; для этого используем дважды первую строку (при z=k и z = li-\-l2),
и третью строку (при ζ~=/ι + /2). В результате получим
к ~
к + к -
О
'1
6EI
(/ι+ω3
/l+/2
0
'2
6EI
к
%
Qo
R
"M[(ll"fl)4"(/l_i)41
_24l7[(/l+/2_a) -(/i+/2-6)J 617 6£7
-S-[(/l + /2-fl)2-(/l+/2-6)2] + Pl(/l+/2-C) + /52(/l + /2-d)
Решение этого матричного уравнения имеет вид
θ0
Qo
R
=
α11 α12 ^13
α21 α22 α23
fl31 α32 α33
9
Ρχ
ρ*
где
au=» —
1
48/i(/i + /a)£/
[_2/}(6>_β2)(3/1 + 4/ί) +
<2l2 = —
%з = —
M/l + '2-C)
+ 8/χ (6з_аз) (/1 + /2)_(64_а4) (3/, + 2/г)],
12/2
^4y^[/i-(/1 + /2-c)2]>
^±Vz|7[ZI_ft+/i_d)4:
^"δ/ϊ^+ω[8/? {b~a) (/ί+/2)_2/ι (62_α2) (^ι+^ί+ί*4-«4)ь
Αη^ο/^/'ΓΛ [(*i + f»-c)a-/il·
fl23;
2/1/2 (/1+/2)
k + h — d
2/1/2 (/1 +/2)
1
[(/i + /2_d)2-/l];
Сз1 = 8Ж [2/? (&2 ~ Q2) + Ulh (62 ~ α2) ~(Μ ~ α4)]'
^2 = Нг7?±[2с (/i + /2)-/?-C2],
Q33:
/1+/2 — d
2/,/*
& А. П. Филин, т. II
\2d{h + h)-l\-d*\.

226 ПЛОСКИЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ [ГЛ. XII
Подставляя найденный вектор {00 Qol и выражение для R в формулу для
искомого вектора, получим окончательные формулы для ν, ϋ, Μ и Q.
В качестве иллюстрации укажем, что в случае, если /ι=4 м, 12 = 6 м,
а=1 м, 6 = 3 м, с=6 м, d = 8 м, <7 = 2 Т/м, Ρι = 4 Τ, Ρ2=6 Τ, использова-
44 1 31
ние приведенных выше формул позволяет найти Ф0 = — т? ъ~, Ρα&·, Qo = tkx Τ,
45 Ы 120
fifiQ
#=-— Т. (При отыскании численного значения ϋ0 величина Ε должна
выражаться в Т/м2, а / — в ж4, поскольку при отыскании численного
коэффициента также использовались единицы измерения м и Т.)
В ранее приведенных примерах расчета однопролетных балок было
показано, что, используя метод начальных параметров, можно находить вектор
{v ft M Q} с одинаковой степенью сложности как для статически
определимых, так и для статически неопределимых балок. Рассмотренный пример
проиллюстрировал возможность отыскания методом начальных параметров
указанного выше вектора и для неоднопролетных статически неопределимых
балок. Однако при этом решение оказывается более трудоемким, чем при
комбинированном использовании метода сил для раскрытия статической
неопределимости (применительно к условиям нашего примера величина R
определилась бы из одного самостоятельного уравнения) и метода начальных
параметров для отыскания вектора {ν ■& Μ Q}, когда статическая неопределимость
уже раскрыта (начальные параметры при этом находятся из системы двух
уравнений с двумя неизвестными).
Наконец, заметим, что независимо от того, использован ли метод начальных
параметров в чистом виде или в комбинации с методом сил, в случае
неоднопролетных балок при вычислениях возникают малые разности близких по
значению величин, что связано либо с потерей точности, либо с необходимостью
сохранения при вычислениях большего, чем при использовании других
методов, числа значащих цифр.
§ 12.14. Интегрирование уравнения изгиба
в случае балки переменной вдоль длины жесткости
Дифференциальное уравнение изгиба балки в случае
жесткости, изменяющейся по ее длине, имеет вид
[EIxv"]' = qir
Это уравнение после двукратного интегрирования, выполненного
последовательно, дает
{EIxvn)' = -Qy = -QyQ + \qydzt (12.140)
о
г г
EIxv" = — Mx = — Mxo-Qy0z + ^qydzdz. (12.141)
о о
Дальнейшее же интегрирование выполним уже после деления
обеих частей равенства (12.141) на Е1Х
?,"__^L ν>-ϋ =$ _{M±dz
υ-—ΕΙχ, ν -vx-vXQ j ΕΙχαζ,
о
г г
v^v0 + $XQz- J §jfxdzdz-
(12.142)

§ 12.14] ИЗГИБ БАЛОК ПЕРЕМЕННОЙ ВДОЛЬ ОСИ ЖЕСТКОСТИ 227
Отыскание интегралов в формулах (12.142)2;3 в зависимости от
вида подынтегральной функции может быть выполнено либо
в замкнутой форме, либо по одной из приближенных формул
квадратур.
Пример 12.24. Определить перемещения в балке равного сопротивления,,
рассмотренной в примере 12.12 (первый вариант балки).
Решение. В рассматриваемом случае
£/x = £*sfjnpij_f Мх = -Рг, Qyo^-P, Мх0 = 0, qy = 0.
Таким образом, в соответствии с (12.140), (12.141), (12.142)2>3 Qi/= —Рк
Mx = —Pz,
г
o*=ox0-J
12(-Pz)/dz = A ,_12_«*
Eh3zh "" ~r£/i36 '
па zomax L.n υmax
г ζ
12P/
ο=ο0 + *χοζ— 1 \ -jjj-dzdz=v0-\-$x(iz
***m.x 2 «
о о
Вид функций Мх и ΕΙ χ оказался таким, что их отношение представляет собой
постоянную величину, вследствие чего интегрирование получается предельно
простым. Начальные параметры $х0 и ν0 найдем из условий
0*1.-1=0, Ъх0+-££—=0, *Λ 12Ρ/2 -
Eh*bmax M Eh*bmax
I П ι^/ι 6Р/3 П 12Р/3 6Р/3 6Р/3
max " "max "max " "max
Таким образом,
Ρ/2 . Plz
ъх=-
EI 'ΕΙ *
'*max *max
'jcmax
ι Pl* Pl* ■ - ι - _
'«max **max "*max "jcmax
В балке равного сопротивления прогиб в 1,5 раза больше, чем в
консольной балке постоянного сечения, такого же как и максимальное по размерам
сечение в балке равного сопротивления
_ Р/з _ Р/з
umax op i op/
ι.πιχ ocixmax
Таким образом, при той же прочности, как и балка
постоянного сечения, балка равного сопротивления значительно более
гибка. Это ее свойство используется в специальных элементах,
носящих название рессор. Такие элементы призваны, сохраняя
прочность, за счет большой деформируемости уменьшать эффект
ударных и иных динамических воздействий.
8*

228
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. XII
Конструктивно балку равного сопротивления с небольшой
постоянной высотой сечения, используемую в качестве рессоры,
оформляют так, чтобы габаритные размеры в плане (ширина) не
были бы очень большими. В связи с этим балку разрезают на по-
δ) г)
Рис. 12.81. Балка равного сопротивления при малой постоянной высоте (рессора):
а) план с указанием границ полосок, на которые разрезается балка; б) план и фасад при
этажном расположении полосок, составляющих балку; в) фасад рессоры; г) рессора
(аксонометрическое изображение).
лосы одинаковой ширины и располагают их этажно, не соединяя
один ярус с другим. Схематически это выглядит так, как показано
на рис. 12.81, б, в. На рис. 12.81, г представлена аксонометрия
конструкции рессоры.
Пример 12.25г). Определить прогибы судна относительно прямой,
соединяющей концы его оси, при следующих данных. Длина судна L = 80 м.
Значения изгибающего момента и момента инерции площадей поперечных сечений
эквивалентного бруса2) приведены в табл. 12.9.
Таблица 12.9
z/L
Мх {Тм)
1х(м*)
0
0
0,45
0,1
—500
0,50
0.2
—1700
0,67
0.3
-2600
0,82
0.4
—3100
0,85
0,5
—3200
0,85
0.6
—3100
0,85
0.7
—2500
0,79
0,8
-1400
0,70
0,9
—400
0,59
1.0
0
0,50
Решение. Определим постоянные г>0 и $хо, входящие в интеграл (12.142)3,
пользуясь граничными условиями задачи. Так как прогиб отсчитывается от
J) Взят из книги: Филин А- П., Соколова А. С, Строительная
механика корабля, ч. 1, «Речной транспорт», 1957.
2) Так называется некоторая условная балка, являющаяся расчетной
схемой корпуса корабля в расчетах на прочность при рассмотрении общего его
изгиба.

§ 12.14] ИЗГИБ БАЛОК ПЕРЕМЕННОЙ ВДОЛЬ ОСИ ЖЕСТКОСТИ 229
-прямой, соединяющей концы искривленной оси судна, то на обоих концах
прогиб отсутствует. Следовательно,
L z L г
0 0 U О
0 О 0 0
Применим для численного интегрирования правило трапеций, используя прием
определения интегралов с переменным верхним пределом, принятый в
судостроении. Расчет сводим в табл. 12.10, где
п Мхь' п 1ХЪ' 10 й М' L Z Ш сф-1 Ш ж2*
Поясним упомянутый выше прием интегрирования. Напишем формулу трапе-
L
ции для ингеграла 1 -~-йг, она применительно к нашему случаю имеет сле-
о
дующий вид:
СМ*. ΔΙ 1 /Мх0 , η Мх, , „ Мх* . , пМх„ . Мл
о
1* л, ~ AL ! fM*<> 4-2 M*i д.9 М*2 л. -L9 М*» _l м*"\
Ιχ Δ С \ Ιχο Ιχΐ 1χ·2 1χ9 1ХЩ /
Выполним некоторые преобразования. Во-первых, вынесем за скобки
отношение Мхъ11хъ и учтем обозначения для тп = Μхп: Μхь и in = IXn:/xn,
во-вторых, разобьем на слагаемые члены, содержащие коэффициенты 2, тогда
получим
-+("+")+0^)]·
Если теперь представить, что требуется вычислить интеграл
)ΕΓχάζ>
о
то все получится аналогично. Однако, так как верхний предел теперь не L,
a z, внутри квадратных скобок сохраняются лишь те выражения в круглых
скобках, которые соответствуют отрезку [0, ζ). Таким образом, при
увеличении ζ постепенно число учитываемых выражений в круглых скобках
увеличивается; при z = L учитываются все выражения, содержащиеся в интеграле
с верхним пределом L. Выражение в круглых скобках представляет собой
сумму ординат трапеции, номер которой такой же, как и индекс у второго
слагаемого в этом выражении.
Таким образом, каждое число в столбце (4) в /-й строке равно числу
в (/ — 1)-й строке того же столбца (это сумма выражений во всех предыдущих
круглых скобках) плюс сумма чисел в строках / — 1 и / столбца (3)—это

230
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. ХГГ
№
сечення
2
Τ

Интегральная
сумма
(3)

Интегральная
сумма
(4)
(2). 128,548
Таблица 12.10
1
(6) - (5)
X
= (7)Х
Мхъ (ΔΖ.)*
7д-54£
1
о
1
2
3
4
5
б
7
8
9
10
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0
0,265
0,676
0,840
0,970
1,000
0,970
0,840
0,532
0,180
0
О
0,265
1,206
2,722
4,532
6,502
8,472
10,282
11,654
12,366
12,546
О
0,265
1,736
5,664
12,918
23,952
38,926
57,680
79,616
103,636
128,548
0
12,855
25,710
38,565
51,420
64,274
77,129
89,984
102,839
115,694
128,548
0
12,590
23,974
32,901
38,502
40,322
38,203
32,304
23,223
12,058
0
0
—0,04
—0,07
—0,10
—0,12
—0,12
—0,11
—0,10
—0,07
—0,04
0
выражение в круглых скобках, соответствующее /'-му участку. Так^как
интегрировать приходится два раза, операция повторяется, но на сей раз роль
столбца (3), которая имелась при первом интегрировании, играет столбец (4),
а роль столбца (4) играет столбец (5). Кроме того, при втором
интегрировании перед выражением в квадратных скобках появляется еще раз множитель
AL/2. В столбце (6) помещены приближенные значения выражения
1
ΔΖΛ»
2)
а в столбце (5) —выражения
1 Μ
хъ
L г
г ССМх_
ΐ J J EIX
dz dz,
Ε Ι
ХЬ
I
о о
г г
И&
dz dz.
/ΔΖλ* 1 Мхь
Вычитая из столбца (6) столбец (5) находим в столбце (7) выражение
L г
Мх
1
ΔΙΝ» 1 Mxb [L
2J Ε 1ХЬ
oo oo /
тогда, умножая столбец (7) на (-»-) -w-j—-, находим в столбце (8) прибли-
\ ζ / с ] хъ
женные выражения для ν, точные значения которого определяются по
формуле (12.143).
К вопросу интегрирования линейных дифференциальных уравнений с пере>>
менными коэффициентами мы вернемся в § 12.19,

§ 12.15]
ИЗГИБ БАЛОК НА СПЛОШНОМ УПРУГОМ ОСНОВАНИИ
231
§ 12.15. Изгиб балок, лежащих на сплошном
упругом основании х)
1. Вводные замечания. Балкой, лежащей на сплошном
упругом основании,, называется такая балка, которая опирается по
всей своей длине на упругую среду, сопротивляющуюся
перемещениям, вызванным изгибом балки.
Балки на упругом основании встречаются в технике очень
часто. К числу примеров таких конструкций относятся: элементы
верхнего строения железнодорожного пути (рельсы и шпалы),
ленточные фундаменты зданий, корпуса кораблей. Расчетная схема
в виде балки на упругом основании ис-
пользуется в расчетах многих важных ΰ)
конструкций; например, осесимметрично
деформированных оболочек вращения, /ν-
балочных перекрытий. ^
На рисунках будем изображать бал- ζ
ку на упругом основании сплошной ά -
линией, а сплошное упругое основание л
под ней штрихами (рис. 12.82, α). δ>
Балки на сплошном упругом осно- Рис 12-82ι Балка на сплошном
ВаНИИ. КРОМе ЭТОГО ОСНОВаНИЯ, МОГУТ упругом основании: а) балка на
» г J сплошном упругом основании
ОПИраТЬСЯ еще И На ДИСКреТНЫе ОПОрЫ — без опор; б) балки на сплошном
жесткие и (или) упругоподатливые упругом °™ованнн н °поРа*.
{рис. 12.82, б). Нагрузка, действующая
на балку, уравновешивается и реакциями опор и реактивным
сопротивлением сплошного упругого основания.
2. Свойства упругого основания. Интенсивность реакций
упругого основания τ зависит от механических свойств основания, от
прогиба балки и от ширины опорной площадки балки.
Существует большое число различных схем сплошного упругого
основания; в соответствии с каждой из них создана теория балок на
упругом основании. Обзор этих схем и соответствующих им
теорий выходит за пределы предмета настоящей книги. Многие из
схем и теорий, построенные применительно к грунтам,
рассматриваются в механике грунтов и в курсе оснований и
фундаментов.
Наиболее простой и вместе с тем в ряде случаев достаточно
точной является гипотеза, выдвинутая Э. Винклером. Для
грунтов эта гипотеза не является идеальной, ко тем не менее общий
характер распределения усилий в балке на упругом основании
она позволяет уловить. Сущность этой гипотезы состоит в том,
1) При изложении материала настоящего параграфа использована книга:
Филин А. П., Соколова С. А, Строительная механика корабля, ч. 1,=»
Речной транспорт, 1957»

232
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. XII
что реакция упругого основания считается пропорциональной
просадке в рассматриваемой точке1) (рис. 12.83)
г (г) = kv (г).
Коэффициент пропорциональности k в этой зависимости называется
коэффициентом погонной жесткости упругого основания и имеет
Рнс. 12.83. Реактивное давление на балку со стороны сплошного упругого основания,
согласно гипотезе Винклера: а) балка на сплошном упругом основании; б) балка на
сплошном упругом основании и опорах.
размерность F/L2. Винклерово упругое основание можно
представить как бесконечное множество независимых упруго
проседающих опор (пружин с одинаковыми жесткостными характеристи-
Рнс. 12.84. Механическая модель Винклерова упругого основания: а) самостоятельно
деформирующиеся пружинки с одинаковыми линейными характеристиками; б)
распределение усилий в пружинах, пропорциональное просадкам.
ками), расположенных по всей опорной поверхности балки (рис.
12.84). Если ширина балки равна Ь, то k можно представить так:
k = bkQ.
!) Гипотеза Винклера предусматривает наличие двухсторонних связей
между, балкой и основанием. Для случая односторонних связей аналогичная
гипотеза была предложена задолго до Винклера академиком Российской
академии наук Н. И. Фуссом.
Заметим, что гипотеза Фусса является идеальной для плавающем призма·
тической балки.
Жизни и деятельности Н. И. Фусса (1755—1826) посвящена книга:
Лысенко В. И- Николай Иванович Фусс—Наука. 1975,

§ 12.15] ИЗГИБ БАЛОК НА СПЛОШНОМ УПРУГОМ ОСНОВАНИИ 233
Здесь kQ —коэффициент жесткости упругого основания
(коэффициент жесткости постели), имеющий размерность F/L3. Если b —
функция от г, то функцией от г становится и k. Такое упругое
основание называется основанием переменной жесткости. Мы будем
рассматривать/случай постоянного по длине балки значения /г1)
(основание постоянной жесткости).
Конструкцией, родственной балке на упругом основании,
является балка на упруго проседающих опорах, расстояние между
которыми намного меньше
общей длины балки.
Примерами могут служить: рельс,
опирающийся на шпалы (рис.
12.85), балка, работающая
в составе перекрытия, где
количество пересекаемых ею
балок велико, и другие. Для
упрощения расчета упругие
опоры таких балок в
расчетной схеме заменяют
сплошным упругим основанием с
коэффициентом погонной
жесткости k — c/a, где с —
коэффициент жесткости опоры
(сила, необходимая для
просадки опоры на линейную единицу), а— расстояние между опорами.
Оценка погрешности, возникающей от такой схематизации,
выполненная И. Г. Бубновым, показала, что абсолютная ошибка
при определении изгибающих моментов имеет величину порядка
га2, а сам изгибающий момент — величину порядка ή2.
Следовательно, относительная погрешность оказывается величиной порядка
а2/12 — 1/п2, где п — число участков балки. Даже при трех
промежуточных опорах, т. е. при η = 4, погрешность получается порядка
всего 6%.
3. Дифференциальное уравнение изгиба балки на сплошном
упругом винклеровом основании. Будем исходить из
дифференциального уравнения изгиба балки постоянного сечения
EIxu™ = qy, (12.144)
!) Классической иллюстрацией балки на фуссовом основании переменной
жесткости является плавающее судно. Интенсивность реакции в этом случае
г = уи>. Здесь у— удельный вес жидкости, ω — площадь погруженной части
шпангаута, являющаяся функцией осадки Т.
Случай прямостеыного судна с ватерлинией в форме прямоугольника,
когда г—yBT=kT, соответствует случаю балки на фуссовом упругом
основании постоянной жесткости; в общем случае при наличии развала бортов и
заострений оконечностей В становится функцией координаты по длине судна и
меняется с изменением осадки, поэтому зависимость между г и Τ оказывается
более сложной, хотя основание остается фуссовым.
Рнс. 12.85. Примеры балок с дискретно
расположенными упруго проседающими опорами,
которые приближенно можно рассматривать
как балку на сплошном упругом основании:
а) железнодорожный рельс на шпалах; б) балка
перекрытия, опирающаяся на ряд балок
перпендикулярного направления.

234
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. XII
однако, имея в виду использовать это уравнение для расчета
балки на упругом основании и учитывая, что на балку действует
не только распределенная внешняя нагрузка, но и
распределенные силы реакции сплошного упругого основания, необходимо
вместо qy подставить разность qy — r — qy — kv. При этом
предполагается, что положительное направление реактивных сил
противоположно положительному направлению нагрузки. Тогда вместо
уравнения (12.144) получаем
EIxvlv = qy-kv, или EIxvlv + kv = qy. (12.145)
Если связи между балкой и сплошным упругим основанием
односторонние, то задача становится нелинейно й. Расчет при этом
приходится вести методом последовательных
приближений. В нулевом приближении задаемся длиной и
расположением участков, на протяжении которых балка перестает иметь
контакт с основанием, далее решается задача и выявляются
области, в пределах которых балка имеет перемещения не в сторону
основания. Полученная картина принимается в качестве исходной
в расчете в первом приближении. Далее процесс продолжается
до тех пор, пока области отсутствия контакта балки с основанием
в двух соседних приближениях не окажутся практически
совпадающими.
4. Четыре формы интеграла дифференциального уравнения
изгиба балки на сплошном винклеровом упругом основании в
случае одного участка в пределах балки. Пусть вся длина балки
составляет один участок.
Уравнение (12.145)^ является линейным обыкновенным
неоднородным дифференциальным уравнением с постоянными
коэффициентами четвертого порядка. Общий интеграл такого уравнения
в силу его линейности складывается из общего интеграла
соответствующего однородного уравнения
EIxO™ + kv = Q (12.146)
и какого-либо частного решения Неоднородного уравнения (12.145)2.
Общее решение однородного уравнения (12.146) вследствие
того, что порядок его четвертый, состоит из суммы четырех линейно
независимых частных решений этого уравнения, которые примем
в виде
Ό = Αέν. (12.147)
Подставив (12.147) в (12.146), получим после деления на Ае^фО
следующее характеристическое уравнение:
Е1хц* + к = 0;

$ 12.15] ИЗГИБ БАЛОК НА СПЛОШНОМ УПРУГОМ ОСНОВАНИИ 235
разделив оба члена этого уравнения на Е1Х и введя обозначение
α = γ^ίι/(4ΕΙχ), получим характеристическое уравнение в
следующей форме:
η4 + 4α4 = 0, η4 = —4α4.
Применив тригонометрическую форму изображения минус единицы
как частного случая комплексного числа, получим
η4 = 4α4 [cos (1 + 2λ) π + i sin (1 + 2λ) π]. (12.148)
Извлечем корень четвертой степени из обеих частей равенства
(12.148) по формуле Муавра
η _ Υ2 a [cos -ί!±£ϋ + i sin Л±*ЙД.].
Придавая п четыре значения: 0, 1» 2, 3, получим следующие четыре
значения η и соответствующие им частные решения уравнения
<12.146):
% = α (1 + 0, Щ = Л ^ Vх*,
η2 = α (—1 + 0, vx = Л 2<raVa*,
η3 = α (—1 - i), »a = A3e-aze~iazt
η4 = α (1 — i), ν3 == Л4еаге_
•,α,ζο-ιαζ
Общий интеграл уравнения (12.145) приобретает вид (решение
в показательной форме)
0 = ич. ρ + е~аг (Л 2е1'аг + Л3<г'"аг) + еаг (Л^1'"* + Л 4<riaz).
Здесь ичр —любое частное решение уравнения (12.145). Имея
в виду соотношение Эйлера, связывающее показательные
функции с тригонометрическими
e±iaz — cos a2 + I sin a2>
переходим к показательно-тригонометрической форме интеграла
ν = ич.ρ + е~аг (^i cos аг + ^2 sin az) + еаг (^з cos аг + £4 sin а·?)·
(12.149)
Здесь Я^Лз + Лз, В2 = (Л2-Л3)*\ 5. = ^ + ^, В^{АХ-А,)и
Используя соотношение, связывающее показательную функцию
с гиперболическими e±az = chazdz$hazt перейдем от (12.149)
к гиперболо-тригонометрической форме интеграла уравнения (12.145)
v — ич. ρ + Cicn az cos аг + C2 ch az sin аг + C3 sh аг cos аг +
+ C4sha2sina2. (12.150)
Здесь C^B^B» C2 = B2-\-Bt, C3 = -Bx-\-Bs, С4 = _В2 + Я4.
Постоянные интегрирования в каждой из трех приведенных выше
форм решения находятся из граничных условий.

236
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. XII
Наконец, построим решение методом начальных параметров.
Будем исходить из семейства линейно независимых частных
решений, входящих в (12.150)
v0 = ch аг cos аг, ϋχ — ch аг sin аг,
щ = sh аг cos аг, v3 = sh аг sin аг.
(12.151)
Перейдем от этого семейства к другому, в котором частные
решения представлены как линейные комбинации (12.151):
з
I
Vft=2c«*i (k==0> 1> 2>3)'
(12.152)
удовлетворяющие условию единичной матрицы.
Нам понадобится матрица
V0 Vi V2 V3
ν,
0
β
rtr
П
ϋΐ
~*ψψψ
v's
ц
~*trt
η
vl
—rrr
v,
ν,
νΆ
= V.
Выражения производных от функций vit входящих в ν, легко
получить, имея сами функции (12.151). Этих производных для
сокращения объема книги не показываем и предлагаем читателю
найти их самостоятельно.
Матрица ν при г = 0 имеет вид
vU-o =
1
0
0
0
0
α
0
2аз
0
α
0
—2аз
0
0
2α2
0
(12.153)
Такую матрицу имеет система уравнений относительно
коэффициентов в линейных комбинациях (12.152). Искомые коэффициенты
в (12.152) находим из уравнения
1 0
0 α
0 0
0 2аЗ
0
а
0
-2а3
0
0
2а2
0
II
II
С<)0 с10 с20 с30
Coi cii c2i c3i
с02 с12 с22 С32
СОЗ С13 С2з Сзз
1
0
0
0
0
1
0
0
0 Of
0 0
1 0
0 1
решая которое имеем
с00 с10 с20 с30
Coi cii c2i csi
c02 C12 c22 c32
^03 ^18 ^23 c33
1 0
0 α
0 0
0 2α3
0
α
0
2α3
0
0
2α2
0
V1
/
10 0 0
0 10 0
0 0 10
0 0 0 1
(12.154)

§ 12.15] ИЗГИБ БАЛОК НА СПЛОШНОМ УПРУГОМ ОСНОВАНИИ 237
Матрицу, обратную матрице (12.153), легко найти,
выразив через союзную. Приведем готовый результат
1
0
0"
0
0'
α
0
2α3
0
α
0
—2α3
0
0
2α2
0
-1
0 0
0
1
2α
1
2α
0
ο
ο
0
1
4α3
1
4α3
1
2α2
Подставляя (12.155) в (12.154), получаем
соо сю с2о Сзо
с01 с11 с21 с31
с02 с12 с22 с32
СОЗ с13 с23 с33
0 0 г—
0
1
2а
1
2а
0
0
0
0 —
1
2а2
0
1
4а3
1
4а3
0
1
о
о о
о о
0 0 0
1 0 О
1
о
Придадим (12.152) матричную форму
или
Vo
Vx
v2
v3
1
0
0
0
0
1
2α"
0
1
4α3
Vo
Vi
v2
v3
0 0
1
2c
0
1
4α
- (
г
1
2
,3 (
)
[
X2
)
c00 c01 ^02
C03
c10 cll C]2 Cj3
c20 c21 c22 c23
СЗО с31 С32 С 33
chazcosaz
ch az sin az
sh az cos az
shaz sinaz
=
0
1
1
0
ch az cos az
„— (ch az sin az+ sh az cos az)
1
2a2
1
sh az sin az
j-- (ch az sin az — sh az cos az)
например,
(12.155)
0
1
2a
1
2a
(J
0
0
0 -
1
0
1
4a3
1
4a3
0
(12.156)

238
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. XII
Если составить матрицу (эту простую операцию здесь не
показываем)
V0 Vi V2 V3
v'o vi v; v3-
v0ff vr vsff v3"
Vi" У/' V;" V3"
то обнаруживаются дифференциальные зависимости между
функциями V0, Vlf V2 и V3, представленные в нижеприводимой матрице
V =
(12.157)
V =
V0
VJ =- 4α* V3
V^' =_4a4V2
V0'* = —4a*Vi
Vi V2 Vg
vi =v0 v; =Vi vj
v; =-4a*v3 v; =v0 v;
V;" = _4a4V2 v;*' = —4a*V8 Vi"
=v2
■Vo
(12.158)
Легко обнаружить и то, что матрица (12.158) действительно
приобретает вид единичной при г —О
10 0 0
0 10 0
0 0 10
0 0 0 1
VI =
* \г-о —
(12.159)
Полностью аналогично выводу формулы (12.136) построим
отыскание частного решения
°ч.р— $
Е/л
V3 [α (ζ - ζ)] d£.
(12.160)
Это частное решение обладает свойством
^ч. ρ U—о ~ ^ч. ρ \г-о ~ ^ч. ρ \ζ~ο — Уч. ρ \ζ-ο ~ ^· (1 ■£· 1 61)
Теперь построим выражение общего интеграла через функции
V0, Vj, V2, V3, носящие название функций Η. П. Пузыревского1) —
А. Н. Крылова2) по именам ученых впервые и независимо один
от другого предложивших их3),
ν = v4m ρ + D0V0 (ок) + 0iVx (ok) + D2V2 (ok) + АЛ'з (az). (12.162)
Ύ) Пузыревский Нестор Платонович (1861 — 1937) — советский гидротехник,
строитель и ученый.
2) Крылов Алексей Николаевич (1863—1945) —советский ученый,
механик, математик, кораблестроитель.
3) Выше представлены функции А. Н. Крылова (12.156). Функции
Н. П. Пузыревского отличаются от функций А. Н. Крылова лишь
коэффициентами и имеют следующий вид:
V0 = ch az cos az, Vi = —т=- (ch az sin az+sh az cosaz),
Va=shaz sinaz, Va
V'2
1
(ch az sin az — sh az cos аг).

§ 12.15]
ИЗГИБ БАЛОК НА СПЛОШНОМ УПРУГОМ ОСНОВАНИИ
239
Легко обнаружить, что при использовании системы частных
решений с единичной матрицей и частного интеграла в форме (12.160),
удовлетворяющей условиям (12.161), постоянные интегрирования
Ь0, Dlt D2 и D9 имеют смысл начальных параметров. С этой целью
найдем ν', ν" и гГ, учтя дифференциальные зависимости (12.158)
между функциями V0, V\, V2, V3,
υ
О, = v'4.p+ D0 (- 4α4) V3 + ОгV0 + ДМ + ^3V2,
ν — — ■
ν'"' = ■
_Μχ
ΕΙ,
Qu
ΕΙΛ
= ^.P+^o(-4a4)V2 +
+ Dx (- 4α4) V3 + D2V0 + D8Vlf
+ Ц)(-4а*)У1 +
υ,
ч. ρ
(12.163)
+ Dx (- 4α*) V2 + D.2 (- 4a4) V3 + D3V0.
Зависимости (12.162) и (12.163) при z — 0, если учесть (12.159)
и (12.161), принимают вид
ν ._
г-0
г=0
Щ = А>,
<M«-o = <U = A.
AJ
Λ0
£Λ
= £>2,
Q,
£/,
Q
ί/Ο
г-0
ΕΙ,
= Ζλ
(12.164)
Таким образом, окончательно имеем
w(2) = Kw0+I0,
или
w(z) =
Qi/
Μ*
θ,
V0
Vi
v2
Уз
4a4V3
V0
Vi
£/*
V2
4a4£/*V2
4α4£/*ν3
Vi
4a4£/jeV1
4a4£/*V2
—4a4V3
V0
0
4yo
Μ
О
■«о
■«о
00
+
— Ε/ о"'
jc ч.
— ΕΙ ν"
X Ч.
ч. ρ
Уч. ρ
(12.165)
Дифференциальные зависимости между функциями Пузыревского представлены
следующей матрицей, аналогичной матрице (12.158):
V0 Vi V2
V0' =-/2aV3 Vi =/2aV0 V2' =Ϋ2 αΫχ
V-=_2a2V2 V? =— 2a2 V3 V,' = 2a2V0
V;" = —2К2азУ! УГ = -2К2азу2 Vi" = —2l/2a»V8
Этой матрице отвечает не единичная матрица (12.159),
гональная матрица [~1 Ϋ2α 2a2 2|A2a3J. Функции Η. П. Пузыревского
безразмерны, а размерность функции А. Н. Крылова определяется
размерностью входящих в них коэффициентов, содержащих а. Функция
V0—безразмерна, функции Vj, V2, V3 имеют размерность соответственно; длины, длины
в квадрате и длины в кубе,
V3
v; =K2av8
Vi =2a2Vi
V;' = 2Y2a*Vo
а некоторая дна-

240
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. XII
Здесь Qy, Мх, ϋ·χ и и, а также иЧшР и его производные являются
функциями от 2 (от α зависят как от параметра), a V0, Vlf V2
и V3 —функциями от az.
Структура формулы (12.165) аналогична структуре формулы
(12.126), только вид матриц К и I здесь получился иной вслед-
ствие того, что вместо частных решений 1, -^, -„-, -^·,
образующих общий интеграл однородного дифференциального уравнения
изгиба обыкновенной балки (не на упругом основании), имеют
место частные решения VQ(az), Υ1(αζ), \ί2(αζ), \ί3(αζ), линейная
комбинация которых является решением однородного
дифференциального уравнения изгиба балки на упругом основании.
Начальные параметры находим из граничных условий. Обычно
из четырех начальных параметров значения двух оказываются
очевидными. Функции V0, Vlt V2 и V3 табулированы. Однако, при
использовании ЭВМ удобнее в общую программу включать
подпрограммы вычисления функций V0, .... V3.
5. Интеграл в форме, характерной для метода начальных
параметров в случае нескольких участков. При наличии нескольких
участков, как и в случае изгиба балок
,«.. не на упругом основании, используем
1доп,№' представление (12.134), но при иных
— выражениях для матриц К и Кдоп,й,
I и 1доп, к· При этом формулы для
К и I уже показаны в (12.165).
Матрица Кдоп, к аналогична матрице К
с той лишь разницей, что V0, Vlf
V2 и V3 являются функциями не
аргумента аг, а а (г — г^). Наконец, матрица 1Д0П> k имеет
следующий вид:
1доп,А —{ £>ч.р,доп,6 &'х £>ч.р,доп,/г & ' χ ^ч.р.доп.й ^ч. р. доп. ftj·
(12.166)
Zh-1
Рис. 12.86. К отысканию частного
решения.
Рассмотрим два частных случая нагрузки и соответствующие
частные решения:
1· ?«,, доп, « = 4 = const,
V
ч. р. доп, η '
ζ
η^ \ ν3[α(ζ-ζ)Μ =
---Йг(-т5г)у.[«(*-МСм-
1Е^Г {1 - V, [α (ζ - гм)]| = I {1 - V, [а (г - г»-,)]}.

§ 12.15] ИЗГИБ БАЛОК НА СПЛОШНОМ УПРУГОМ ОСНОВАНИИ
2. ^,доп.я = <7о(£-2я-1) (РИС· 12·86)'
ζ
—^- $ (ζ-ζη^)Υ3[α(ζ-ζ)]άζ.
ΖΠ-1
241
ϋ
ч. р. доп, я
Интегрируя по частям, получаем
<7о ( 1
ν,
ч. р, доп> я'
£/,
4а4
(C-2«-i)V0[a(2-0]|« +
Я-1
+
go
1
<7о
= ^ (г - гм) -Ь
4а4
<7о
ζ
$ V0[a(2-C)]dC =
'я-1
Я/*
1
νχ[α(2-ζ)]
= %u*
4а4/ -- · ---„_ι
^-iJ-VJa^-e,^)]}.
(12.167)
6. Использование функций V/ при любом выборе частного
решения v4.p. Заметим, что функциями V/ (аг) (i = 0, 1, 2, 3) можно
пользоваться как линейно независимыми частными решениями
однородного уравнения (12.146) для построения его общего
интеграла при любом виде ич>р —частного решения неоднородного
уравнения (12.145). Однако если ич-р не обращается в нуль при 2 = 0
вместе со своими первыми тремя производными, постоянные
интегрирования в общем интеграле однородного уравнения (12.146)
не представляют собой начальных параметров с точностью до
некоторых постоянных множителей как это было в том случае (см.
формулы (12.164)), когда ичр было принято таким, что при 2 = 0
обращалось в нуль вместе со своими первыми тремя
производными.
Иными словами, общий интеграл уравнения (12.145) можно
представить и так:
ν = »,.ρ + /C0V0 (аг) + /С^ (аг) + /C2V2 (аг) + tf.V. (аг), (12.168)
где v4.9 — может быть любым частным решением уравнения
(12.145).Вместо функций У$ можно применять и W
гп р г^ш
/7Й1Н jr ] |
Л
ZZf
Zz
Рис. 12.87. К примеру 12.26.
Пример 12.26. Найти вектор w (z) для балки на сплошном упругом
основании, изображенной вместе с действующей на нее нагрузкой на рис. 12.87,

*** ПЛОСКИЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ [ГЛ. XII
Решение. Для получения w (г) воспользуемся формулой (12.134).
Матрицы К и Кдоп, k имеют стандартный вид. Остальные векторы выражаются:
следующими формулами:
1 = j {—4α4£/*λ'ί (αζ) — 4α4£/ *V2 (αζ) 4а4V3 (αζ) [ 1 — V0 (αζ)]},
1доП, s==—f- {-4a4£/^V! [a (z-2l)] -4α4£/*Υ2 [а (ζ-Ζχ)]
4o*V8 [а (г-zrf] [1- V0 (a (z-Zl))]}>
1доП;з = 1доп,4={0 0 0 0}, WjJ0n,3={-P 0 0 Of,
wflOn,4 = {0 й»г 0 0}.
7. Расчет бесконечных и полубесконечных балок на сплошном
упругом основании.
7.1. Общие замечания. В теории бесконечных балок
различают две их разновидности — бесконечные балки,
простирающиеся до бесконечности в обе стороны, и полубесконечные, —
имеющие один конец и простирающиеся бесконечно лишь в одну
противоположную этому концу сторону.
В ряде случаев балки, лежащие на упругом основании,
обладают большой длиной. Примером может служить рельс
железнодорожного пути. Для таких, да и для менее длинных балок
анализ напряженно-деформированного состояния можно выполнить
как для балок бесконечно длинных. Такой подход выгоден, так
как расчет бесконечных балок проще, чем балок конечной длины.
7.2. Полубесконечная балка. Рассмотрим
полубесконечную балку на сплошном упругом основании, загруженную на
конце силой Ρ и моментом дЯ (рис. 12.88). Воспользуемся пока-
Ш Р
Q: ,
if"
Рис. 12.88. Полубесконечная балка на сплошном упругом основании, загруженная
сосредоточенными силой и моментом на конце.
зательно-тригонометрической формой интеграла, при этом, так как
распределенной нагрузки нет, ϋ4ρ = 0,
v=.e-az ф^ cos az_|_B2s'maz) + еаг (В3 cos аг-\-В^'таг).
При беспредельном удалении от загруженного конца балки
прогибы, уменьшаясь, должны устремляться к нулю. В связи с этим
в выражении для ν нужно сохранить лишь затухающие члены,
а возрастающие положить равными нулю. Таким образом, из
условий на бесконечности В3 = В4 = 0, и решение приобретает вид
v = e-az(B1cosaz + B2smaz). (12.169)

§ 12.15]
ИЗГИБ БАЛОК НА СПЛОШНОМ УПРУГОМ ОСНОВАНИИ
243
Для определения Вх и Bz воспользуемся граничными условиями
на конце балки —при г = 0
ΈΙχν" = — 3W, ΕΙχυ"' = Ρ. (12.170)
Для раскрытия этих условий найдем ν" и ν'"
ν' = — ае-аг (Вх cos аг + В2sinaz) + ае~аг (— Вхsinaz + В2 cos аг) --■=
= ае-аг[(В2 — В1) cosaz —(fii + fijjxinaz],
и" = 2а2<гаг [— fi2cosaz + fiiSinc6z], (12.171)
ε»'" = 2а3<гаг [(fix + В2) cos аг + (£2 - Вх) sinaz].
Подставляя (12.171) в (12.170), получим
т
2Е1ха*[-В2] = -ЭЯ,
В*~ 2Е1м*'
2Е1ха3(В1 + В2) = Р, Вх + В2 =
2ЕКа?'
В,--
т
2Е1ха? 2Е1^'
Подставляя Вг и В2 в (12.169) и в (12.171), найдем
0 = 2^ Ъ(«)-5?|п %(«*)·
<К =
ЭД
^Εττ^Μ+^τ-ηοΜ
' }
М* = — — η2 («г) + 2Κη8 (аг),
а
Qy = — ΡΆι (аг) - 2аЭИт]8 (аг),
(12.172)
где
г)0 (аг) = е~аг cos аг, ηχ (аг) = е~аг (cos аг — sin аг),
η2(αζ)=£_α* sinaz, η3 (аг) = е~аг (cos аг +sinaz).
С увеличением аргумента происходит быстрое уменьшение
значений («затухание») функций т)0(аг), .... η2(αζ). Графики их
представляют собой
волнообразные линии с расстояниями *S\
между нулевыми точками,
равными π. Функции r\Q(az),
..., η2 (аг) табулированы. Вид
функций графиков v, Mx, Qv в
двух случаях (Ш = 0, Ρ Φ 0 и
3)] φ 0, Ρ = 0) показан на
рис. 12.89, а, б.
Из графиков в 12.89, а, б,
легко заключить, что при
аг^уЯ Мх и Qi/
пренебрежимо малы по сравнению
с максимальными их значе-
16*
Рис. 12.89. Эпюры υ, Μχ и Q в
полубесконечной балке на сплошном упругом основании;
а) случай «ДО = 0, Ρ = I; б) случай SJJt = 1,
Ρ ~ 0. .

244 ПЛОСКИЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ [ГЛ. XII
ниями и, следовательно, Мх и Qy в полубесконечной балке
пренебрежимо мало отличаются от таковых в балке, имеющей
3 я
длину />γ —. Этот факт определяет большое практическое
значение информации, относящейся к полубесконечной балке.
Рис. 12.90. Бесконечная балка на сплошном упругом основании: а) балка, загруженная
сосредоточенной силой; б) основная система в виде двух полубесконечных балок; в)
использование результата, относящегося к бесконечной балке, загруженной сосредоточенной
силой для отыскания эффекта действия произвольной нагрузки; г) эпюра ν в роли линий
влияния прогиба в сечении под сосредоточенной силой: / — линия прогиба бесконечной
балки на упругом основании при действии силы, равной единице, в точке А; 2 — то же
при действии силы, равной единице, в точке В; кривая / полностью совмещается с кри^
вой 2 при смещении вправо на расстояние а. Поскольку νΑφ^ = υβ(Α) (первый индекс —
адрес перемещения, второй — адрес силы, вызвавшей перемещение), кривая / — линия
влияния прогиба в точке А, а кривая 2 — линия влияния прогиба в точке В.
7.3. Бесконечная балка. Пусть имеем бесконечную
балку на сплошном упругом основании, загруженную
сосредоточенной силой Ρ (рис. 12.90, а). Воспользуемся результатом
(12.172), полученным для полубесконечной балки для того, чтобы
проанализировать напряженно-деформированное состояние
бесконечной балки. С этой целью мысленно разрежем бесконечную

§ 12.15] ИЗГИБ БАЛОК НА СПЛОШНОМ УПРУГОМ ОСНОВАНИИ 245»
балку в сечении приложения силы и эту силу поровну (по Р/2)·
приложим к краям проведенного разреза. Вследствие симметрии"
бесконечной балки и нагрузки относительно точки О (см.
рис. 12.90, б) кососимметричные факторы (Ό·* и Qy) в сечении■
г = 0 равны нулю, поэтому, проведя разрез в сечении г = 0,
действие одной части балки на другую заменяем лишь внутренним:
моментом (изгибающим моментом Мх). Получили так называемую-
основную систему1) (рис. 12.90, б) для бесконечной балки.
Величина МХ0 = Х нам не известна, ее найдем из условия равенства*
нулю относительного угла поворота сечений, совпадающих с краями;
разреза; вследствие симметрии каждое из краевых сечений у
разреза поворачивается на одинаковые по величине углы, равные нулю.
Воспользуемся функцией $х при г = 0 для полубесконечной,
балки, учтя, что вместо Р, надо иметь в виду Р/2, а вместо Ш
неизвестную величину X, при этом 1&д:|г_0 = 0.
Итак, имеем (здесь учтено, что η3(0) = 1, η0(0) = 1:
Р +7^ = 0, Х=Р
4сс2£/* ' аЕ1х ' 4а'
Теперь найдем все функции: и, $х, Мх и Qy, для чего в
формулы (12.172) вместо Ρ подставим Р/2, а вместо Ш величину
Р/(4а). В результате такой подстановки найдем для правой части:
балки с г^О
ϋ = 4^ ^(az)-g^ %(«*)==
^ = (-4^С05аг-4^81Паг+4^С05аг)е"аг =
= ~4^ЁГх^^аг^ (12.173).
/ Ρ Ρ Ρ \ Ρ
Μχ = [— 2^sina2 + ^cosa2 + 4^sina2je-a2=^%(a0),
rs ( Р ι Ρ ■ 2<XP ■ \ a- Pis
Qy = [— γ cosаг-Ь-уsinew — -^sinazje-"* = —— г]0(аг),
Ρ Ρ Ρ
V \ζ-ο = ^max = gas£/ » *™χ \ζ-ο = Μ. κ max = ^ > Qt/ |ζ = ο + ε = Qmax =— "у *■·
I — — b — Pk — Pa
r U-o — rmax — K^max — ga3£/ ~ ~2~'
*) Основной системой в строительной механике называют систему! в'
каком-то смысле более простую, чем заданная, и полученную из последней"
при помощи той или иной ее модификации, вследствие которой основная.,
система отличается от рассчитываемой заданной. Далее, вместо
непосредственного расчета заданной системы рассчитывают основную, но в алгоритме этого-
расчета имеется аппарат, ликвидирующий отличие основной системы от
заданной, вследствие чего результат, полученный для основной системы, спра—
подлив и для заданной,

'246
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. XII
Имея формулы (12.173), можно найти υ, $х, Мх и Qy от любой
распределенной нагрузки, а также от любой системы
сосредоточенных сил. Покажем как это делается. Пусть имеем
бесконечную балку, загруженную на участке длиной d нагрузкой,
распределенной по любому закону (рис. 12.90, в) и сосредоточенными
силами Pi (i = l, ..., η). Принимаем некоторую точку оси балки
в качестве начала координат; координаты начала и конца участка,
загруженного распределенной нагрузкой, и координата точек
приложения ί-й сосредоточенной силы, суть: a, b и z{ соответственно.
Рассмотрим некоторое текущее сечение балки с координатой ζ и
. для него найдем интересующие нас функции υ, ϋ·χ, Мх и Qy,
пользуясь формулами (12.173). Нагрузку qydt, собранную с участка
длиной άζ, будем рассматривать как сосредоточенную силу, тогда
-от распределенной нагрузки
dt Ь
-Если же учесть еще и воздействие сосредоточенных сил, то
η Ь
VI Pi С Яу
υ= Σ^έτχ^α^-Ζ^+)8^ΕΓχ^α^-ζ^άζ·
t = I a
Аналогично находим и остальные функции
η Ь
®* = ~2ιΤ^Μα(ζ-Ζι)]-Ιϊ^χΆΛν{ζ-ς)}άζ,
i= I a
η Ь
i=I a
η Ь
Qy = — 2 τ ^ο[«(ζ - χι)]- §Ц- η0[« (* - Q]αζ.
i~\
Если qy = const = q и EIX = const и если учесть следующие
дифференциальные зависимости между затухающими функциями:
r\'0(az) = — оиг)з(аг), ηί (аг) = — 2αη0 (аг), η^ (ocz) = αηχ (ocz),
% (аг) = —2αη2 (аг),

§ 12.15] ИЗГИБ БАЛОК НА СПЛОШНОМ УПРУГОМ ОСНОВАНИИ 247"
то формулы для ν, ϋ·χ, Мх и Qy приобретают вид
η
υ=Σ №ΕΓχ^α(ζ~ ζΜ~8^ΕΓχ^οta (г~6)]_т1о[«(ζ-α)]},
η
®χ=— 245^η2[α(2-2/)] + Β^7^{η3[α(2-6)]-η3[α(2-Ω)]},..
ί=1
η
ί=1
η
^ = - Σ T1h["b-2i)] + ±{41[a(2-b)]--ih[a{2--a)]}.
ί=1
Заметим, что функция ν (αζ) = ν (αζ)/Ρ является так называемой
функцией влияния, график ее (линия влияния) обладает тем
свойством, что каждая его ордината представляет собой ν в сечении
г = 0,_когда над этой ординатой располагается единичная сила
(Р = Р= 1). Приведенное утверждение легко уяснить рассматривая
рис. 12.90, г.
8. Расчет однопролетной балки на сплошном упругом
основании.
Пример 12.27. Найти функцию ν, $χ, Мх и Qy для балки,
изображенной на рис. 12.91, а.
Решение. Вследствие симметрии балки и действующей на нее нагрузки·
относительно середины пролета расположим начало координат в этой точке—
Воспользуемся решением в форме (12.168). При этом сохраним в нем лишь-
четные функции и учтем, что частное решение имеет вид1) v4,v = qjk, таким-
образом
ν = у + KoVo (az) + /C22a2V2 (as).
Значения постоянных интегрирования найдем из граничных условий
= 0.
f|,=+//9 = 0, v"=- Μχ
12 =
:*/2-υ· " —~EL
;l/2
'χ
В развернутом виде эти условия, если ввести обозначение u — αΐβ,
запишутся так:
■j + K0Vo («) + K£v?V2 (и) = 0, - /Co4a*V2 (и) + K22a*V0 (и) .-= 0.
Отсюда
„ _ Я Уо(Ц) „ Я 2a2V2 (и)
* Vg(")+4a4Vl(u) ' ^ k VJ(«) + 4a*Vi(u) *
г) Если нагрузка <7 (ζ) в (12.145) выражается алгебраическим полиномом.·.
степени не выше третьей, то ι>4.ρ можно принять в форме
»ч. ρ = ?/*·. (12.174)
В справедливости этого уравнения легко убедиться, подставив (12.174)"·
и (12.145). Использованы табл. V/ с учетом связи V,- с V; (Vj = 2a2Vt·).

,:248 ПЛОСКИЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ
■Подставляя полученные выражения для Ко и К-2 в ν, $χ>... найдем
,. _ Я Г, Уо («) У» (αζ) + 4а*У2 (и) У2 (аг) 1 )
*L VJ(«) + 4a*V|(u) J'
- _ <7 4α*ν0 (и) У3 (аг) -4а«У2 (и) Vf (аг)
Х Ь Vg(u) + 4a4Vl(u)
Μχ—ΕΙυ —ς _____ , ^
η _ £,,.» _ 0 Уо («) Vi («Ю + 4a'V, (и) V3 (аг)
Vi/ v 4 V2(u) + 4a4V|(u)
[ГЛ. XII
(12.175)
(12.176)
Найдем величину и место расположения максимального прогиба; с этой
кнелью приравняем нулю υ' или» что то же самое, ву, равенство же нулю $х
γγγττνΐΗΐΙΙτττττττττ'Ι'Πτττττ
''ШУИ
300см
О
300см
„пилот* V» 0,0001865(1см
ОЩтвдсн Μ у Д00019Щ
см
ΟΜΟγ-
0,00173
■£' 0,020 f
qll
?Рис. 12.91. К примеру 12.24. Балка с шарннрно опертыми концами на сплошном
упругом основании: а) вид балки и связанной с нею системы осей; б) эпюры прогибов при двух
значениях коэффициента погонной жесткости упругого основания \q в кГ/см); в) эпюры
изгибающих моментов при двух значениях коэффициента погонной жесткости упругого
ι основания: I — первый вариант (А = 108,6 кГ/см*, 2 — второй вариант (А = 5500 кГ1смг)\
при k = 0 (балка без упругого основания) w — --—■ 2,, ■ .
max 384 с/„

§ 12.15] ИЗГИБ БАЛОК НА СПЛОШНОМ УПРУГОМ ОСНОВАНИИ 243'
мыслимо при условии равенства нулю числителя в выражении $х, т. е.
V0 (и) V3 (αζ) - V2 (u) Vx (αζ) = 0. (12.177)-
Найдем численное решение для двух вариантов значений исходных данных:.
/ = 600 см, Ε =2- 106 Kf/CM2t /x = 21 720 см* (двутавр № 40а). Величина k-
взята в двух вариантах /г = 108,6 кГ/см2 и /г = 5500 кГ/см2. Двум вариантам &_-
соответствует и два значения α
,6 _ 1 1
a —I/ ir?, —I/ , „ 1rt. 21720 ~" 200 см '
-■i/JL_ei/ »
|/ 4£/* |/ 4-2- 10·-
5500 2_ J_
а — !/ 4 · 2 · 106 · 21 720 ~" 150 см '
тогда и в обоих вариантах определится величинами
а/ 1 600 ^ а/ 2 600
"-Т-мо'-Г-1·5^· "==Т==150'-У=4(раа)·
Уравнение (12.177) с учетом вида функции V/ становится таким:
(ch и cos и) j~ (ch αζ sin αζ —sh αζ cos αζ) —
— fj-g (sh " sin ") "о- (ch αζ sin αζ+sh αζ cos αζ) = 0-
После сокращения на γ-^ в первом варианте \& — ппп —)
жесткости
получаем трансцендентное уравнение
2,34675 (ch αζ sinaz—shazcosaz) — 0,14884 (ch αζ sinaz + sh αζ cosaz) = 0,
корнем которого является аг=0. Следовательно, согласно (12.175)!, учитывая,
что V2(az) |a*-o = °> V0 (аг) |аг_0 = 0,
W - V [„о —Я1 ~ у» («) + 4aWf («)] ' итах = ^|2-о = Т[1-(«,о(")]·
V0 (и) Vq(1,5)
Фо(")
Vg (и) + 4a*Vl (u) Va2 (1,5) + 4a*Vl (1.5)
0,1664
■ = 0,0367, vmaY = 4- 0,9633.-
(0,1664)2 + (2,1239)2 * * max k
Во втором варианте уравнение (12.177) имеет вид
(ch 4 cos 4) j-g (ch αζ sin αζ—sh аг cos αζ)—
— ψ-g (sh 4 sin 4) ^— (ch αζ sin αζ + sh az cosaz) = 0,.
после сокращения на l/(4a3) получаем
17,8158 (chaz sinaz—sh az cosaz) —20,6802 (ch az sinaz + shazcosaz) = 0.
Это уравнение, кроме корня (αζ)χ = 0, имеет еще два корня: (αζ)2= 1,65 w
ι аг f Ь65 1,65-150 ... . _ .
(az)3= —1.65 lz = ± = ± η = ±124 ел). Действительно, при>
аг = 1,65
ch az sin az — sh аг cos az = 4a3V3 (az) = 2,8895,
ch az sin az + sh az cos az = 2a Vi (az) = 2,4927;

'250 ПЛОСКИЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ [ГЛ. XII
17,8158-2,8895 —20,6802-2,4927 = 51,5 —51,5 = 0. Найдем функцию ν при при-
>веденных выше значениях αζ
„| Ч\\ V"(4) Ί 9 Γι ~17'850 Ί ? ίο»!
v,*-° k [_ Vg(4) + 4a*Vl(4)J *[_ (—17,850)2 +(20,653)2j_ /fe 1,υ^'
,, . Hi Vo(4)Vo(1-65) + 4aW2(4)V2(l,65)l-| 9
"Ία*-ι,65 = Τ[_1 Vg(4) + 4a*Vl(4) J = Τ [1 ~F° (u) 1»-*' =
_£_ Γ. (— 17,850) (— 0,2136)+ (— 20,653) - 2,4996 1 _ q_
k L (—17,850)2 + (—20,653)2 J fc 1,Ub4·
Вследствие четности функций V0 и Vj такой же результат получается и
при *) az =— 1,65.
Таким образом, существует не один, а три экстремума у функции υ. На
рис. 12.91, б изображена изогнутая ось балки в двух вариантах величины
жесткости сплошного упругого основания.
Границей между областью значений и, в которой кривая изогнутой оси
имеет один экстремум и областью и, где кривая изогнутой оси имеет три
■экстремума, является и = 3,1. При и<3,1 кривая ν имеет один экстремум,
при u$s 3,1— три экстремума.
Найдем величину и место расположения максимального изгибающего
.момента; с этой целью приравняем нулю dMx/dz = Q{/; равенство же нулю Qy
мыслимо при условии равенства нулю числителя в выражении (12.176)", т. е.
V0 (и) Vi (аг) + 4a*V2 (u)V8 (az) = 0. (12.179)
Уравнение (12.179) в первом варианте (а = -^т ) приобретает вид
:0,1664 тг— (chaz sinaz+sh azcosaz) +
+ 2a2· 2,1239 -j—- (ch azsinaz—shazcosae) = 0.
-Сокращая на l/(2a), получаем
0,1664 (chazsinaz+shazcosaz) + 2,1239 (ch azsinaz—shazcosaz)=0.
Это уравнение имеет единственный корень αζ = 0. Вследствие этого, согласно
*(12.175)з, учитывая, что V2 (az) |аг_0=0, получаем
Μ У2 (и)
Ч Vg(") + 4a4Vl(") *
Придадим формуле вид, удобный для сопоставления с изгибающим моментом
* балке не на упругом основании
ql* 8 1 2a2V2(u)
Мх = -
'X
8 β 2α2 [Vj»(u) + 4a«V5(u)l
qP_ ^_ 2a«Va(l,5) _ qP_ J 2,1239 = ^ш qP_
8 Z2«2 Vg(l,5) + 4a«VS(l,5) 8 1,5» 0,1664»+ 2.12392 ' " 8
*) Функция F0 (и) выражается следующей формулой:
ρ ,,Λ Ур (и) V0 (az2,3) + 4a4V2 (и) У2 (αζ2ι3) Μ9 ,_я
FM = Vg(") + 4a*V|(u) · <12Л78>
'Здесь (az2pS) — ненулевые корни (аг2=—аг3) уравнения (Г2.177). Величина
этих корней, что видно из уравнения (12.177), зависит от и, вследствие чего
все выражение в правой части формулы (12.178) является функцией лишь й.
Аналогично функцией лишь и является и нижеприводимая Х0» но только
(аг2,з) являются ненулевыми корнями уравнения (12,179).

§ 12.15] ИЗГИБ БАЛОК НА СПЛОШНОМ УПРУГОМ ОСНОВАНИИ 25Г
Таким образом, в рассмотренном случае в балке на сплошном упругом
основании максимальный изгибающий момент составляет 20,8% от максимального-
изгибающего момента в балке не на упругом основании.
Во втором варианте уравнение (12.179) приобретает вид
— 17,850 · -fr— (ch αζ sin az-\- sh <xz cos az) +
+ 2a2 (— 20,653) -j-j (ch az sinaz — shazcosaz)=(X.
Сокращая на l/(2a), получаем
— 17,850 (chaz sin az-fsh az cos az) — 20,653 (ch az sinaz — shaz cos az) = 0.
Это уравнение имеет следующие корни: (az),=0, (az)2 = 3,21 и (az)3=—3,21'.
/ " 3,21 3.2Ы50 ...
[z=h ■— = ± ^ = 241 см
\ a 2
Действительно, при az = 3,21 имеем
chaz sinaz+shazcosaz = 2aVi (az) = — 13,193,
chaz sinaz — shaz cos az = 4a3V3 (az) = 11,487,
— 17,850 (— 13,193) —20,653· 11,487=241,5—237,2=4,3. Погрешность
составляет (4,3/241,5) 100=1,78%.
Найдем функцию Мх при приведенных выше значениях az
м ι ql2 4 2k2V2 (4)
тх\(аг)1=0— 8 /2с£2 Vg(4) + 4a4VH4)
qP 1 (-20,653) qP
~ 8 16 (-17.850)2+ (—20,653)2 8 '
Нижеприводимая функция χ0 табулирована
1 2g2V2 (и)
Хо(Щ- ц2 у2(ц) + 4а4У|(ц) '
qP 4 2a2[V0(4)V2(3,21)-V2(4)V0(3,21)] _
Μ
*|(az),,«=±3,2i — — 8 Ρα2 Vg(4) + 4a*VJ(4) —
__ qP ч__^ 1 (—17,850) (—0,8508) - (—20,653) (—12,381)
— 8 л0(и)- 8 16 (—17,850)^ + (-20.653)2
= -^- 0,02Ог
Хо(«) = ·
1 2д2 [У0 (и) У2 (аг2,3) - У2 (и) V0 (az2,3)]
"2 Vg(") + 4a4Vl(u)
Границей между областью значений и, которой соответствует функция Мх-
с одним экстремумом и областью значений и, коим отвечает функция Мх
о тремя экстремумами, является ΐί=π/2. Если и^л/2, то у Мх — три
экстремума, если «<π/2, — то один. Эпюры Мх изображены на рис. 12.91, е.
Угол поворота опорного сечения балки найдем по нижеприведенной
формуле, получающейся из (12.175) путем подстановки az\z==[,2 = u,
« , _ № ( п 24 1 4дЗ[У0(ц)У3(ц)-У2(«)Уг(Ы)]
v*k=±//2-+ 24Е1Х { >~Р 4a3 V2(u) + 4a4Vl(U) =
qP

'-252 ПЛОСКИЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ [ГЛ. XII
Нижеприведенная функция ψ2 (и) табулирована
*и«л—* 1 4аЗ[У0(ц)У3(ц)-У2(ц)У1(ц)]
%l >- 4~"u3 V2(u) + 4a4Vl(u)
В нашем случае при и = 1,5
„ __ <7/3 , п3 1 0,1664.2,1959 — 2,1239-2,4971
^|z = ±Z/2--*- 24£/^ ( >Т 1,53 (0,1664)2 +(2,1239)2 "~
При и=4
- _ _Ф_, nJ_ 1 (—17,850) (—2,829)-(—20,653) (—38,505) _
'х|г=±//2~ 24Я/^ v ; 4 4з (-17.850)2+ (—20,653)2
__ ^*
24ΕΛ
0,012
Наконец, поперечную силу на опоре, т. е. при z = ±l/2, найдем по
формуле (12.176) после умножения и числителя, и знаменателя правой части на
л ι _-Я1 2 1 2°с [Уо (и) Vi (и) + 4а*У2 (и) Уэ(и)] __ ql
чу\г^±Ц2-+ 2 / 2а V2(«) + 4a*V|(w) __н 2 μ°ΐ;'
„л_1 1 2а [У0 (и) Уг (и) + 4а* У2 (и) У3 (и)]
μ°ι > ~ 2 ' и VI (и) + 4a*V| (и)
■Функция μ0 (и) табулирована.
В нашем случае при и = 1,5 и « = 4 соответственно имеем следующие
^значения μ„ и Qy:
, ,. _ 1_ 1 0,1664-2,4971+2,1239.2,1959 _
μβί")|«=ι,5--2 1,5 (0,1664)2+ (2,1239)2 - υ'όΙό>
Qy |2;=±//2==+ -тр 0,373,
... _ 1 J_ (-17,850) (-"8,505) + (-20,653) (-2,829)
М")|«-4—2 4 ' (—17,850)2 +(-20.653)2 "~ ,1Ь'
^ι2=±//2=+4·0·125·
Балка, рассмотренная в примере 12.26, впервые была исследована И. Г.
Бубновым наряду с балкой, защемленной по концам и также загруженной равно*
>мерно распределенной нагрузкой. Позднее П. Ф. Папкович обобщил эти
решения, распространив их на случай упругой податливости опор *).
1) Эти решения приводятся в курсе П. Ф. Папковича «Строительная
.механика корабля», ч. I, том II, «Морской транспорт», 1947, повторяются и
в других книгах по строительной механике корабля: Я- И. Короткий,
Л, 3. Л о к ш и н, Н, Л. Сивере, Изгиб и устойчивость стержней и стерж-

·§ 22.15] ИЗГИБ БАЛОК НА СПЛОШНОМ УПРУГОМ ОСНОВАНИИ 253
9. Затруднения, возникающие при расчете балок на сплошном
упругом основании, в случае большого значения аргумента az.
При бесконечно больших значениях аргумента аг функции
Крылова А. Н. (12.174), которые можно представить1) так:
V0 (аг) = ^ cos аг,
1 / еаг 4- е~аг еаг — е~аг \
Vi (аг) = 2^- ί ^ s in аг Η §—- cos azj,
1 еаг е~аг
V2 (аг) = -^5"' 2 Si° аг'
1 / gazj_g-az еаг е~аг \
v3 (аг) = -£-£ f 2 sin аг 2 cos azj '
вырождаются в следующей функции:
V0 (аг) = -s- cos аг, Vx (аг) = ^— eaz (sin аг + cos аг),
\ \ (12.180)
V2 (аг) =-д-теаг sin аг, V3 (аг) — g-g eaz (sin аг — cos аг).
Это вырождение происходит вследствие того, что при аг->-оо
устремляется к нулю величина е~аг. Функции (12.180)
представляют собой «синусоиды» с периодически возрастающими по
показательному закону ординатами. При аг-^оо функции Vi
становятся линейно зависимыми (например.V1 = 2— V0 + aV2, V3 = 2~ V2:—
—4-3-V0), вследствие чего посредством их вообще нельзя
выразить общий интеграл уравнения (12.146). Если аг не бесконечно
велико, но все же имеет достаточно большое значение, то функции
Крылова Н. А. становятся близкими к функциям (12.180).
Использовать функции Крылова для построения интеграла уравнения
(12.146) можно, но при этом происходит падение точности расчета,
в котором используются эти функции, вследствие того, что при
удалении от точки приложения силы влияние ее на υ, $х, Мх и
Qy уменьшается, вместе с тем аг, а следовательно, и максимальные
ординаты функций У0(аг), ..., У3(аг) увеличиваются. Таким обра-
невых систем, «Судостроение», 1958; А. П. Филин, А. С. Соколова,
Строительная механика корабля, ч. 1, Л. Речиздат, 1957.
В этих же книгах имеются таблицы тех функций, которые использованы
при определении в балке примера 12.26 экстремальных прогибов (функции <р0
и F0), изгибающих моментов (функции χ0 и Х0), наибольших значений углов
поворота сечений (функция ψ2) и поперечной силы (функция μ0), а также
таблицы аналогичных функций для балки на сплошном упругом основании
жестко защемленной по концам.
I) Если учесть, что
chaz— -£ . shaz=-^ = .

254
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. XII
4
У
(
I
W*
Ю
\ \\\\\ \\\\м\{\
Ri
5)
зом, получается, что все уменьшающийся с увеличением аг
результат становится разностью все увеличивающихся чисел; вместе
с тем хорошо известно, что наличие малых разностей больших
величин связано с большой потерей точности х). Из-за такой
опасности приходится принимать специальные меры для уменьшения
погрешности. Поступим так. Сначала
при отыскании влияния каждой
сосредоточенной силы балку рассматривают
как бы находящейся в составе
бесконечной и находят все функции в этом
предположении, не принимая во
внимание закрепления балки, т. е.
бесконечная балка служит для балки конечной
длины как бы основной системой. После
отыскания решения такой задачи к балке
прикладываются неизвестные реакции
опор (силы и моменты), и величина их
находится из условия, чтобы при
наложении их влияния в основной системе
на влияние внешних сил в основной же
системе были удовлетворены граничные
условия по концам балки. Этим
обеспечивается идентичность работы балки
конечной длины и соответствующего
участка в бесконечно длинной балке.
Идеи соответствующей методики были
предложены в 1882 г. Г. Циммерманом
и позднее развиты и детально разработаны Г. В. Клишевичем2).
Если удовлетворены следующие три условия: I) в пролете нет
ни сосредоточенных сил, ни сосредоточенных моментов и имеется
лишь распределенная нагрузка; 2) α/^3π/2; 3) функция q
выражается полиномом степени не выше третьей, то можно поступить
следующим образом (для конкретности рассмотрим балку,
изображенную на рис. 12.92, а). Примем основную систему в виде балки,
*) В качестве иллюстрации этого положения приведем пример. Пусть
в процессе расчета мы сталкиваемся с необходимостью такого вычисления:
100—99=1. Представим себе, что и в уменьшаемом и в вычитаемом
вследствие той или иной причины допущена ошибка в 1%, вследствие чего имеем:
101—98 = 3. В результате ошибка достигла 300%. Если бы тот же результат
получался иначе, например, как 3—2=1, то ошибка в одном проценте
и в вычитаемом и в уменьшаемом сказалась бы на результате не так сильно,
действительно, 3,03—1,98=1,05, погрешность в результате достигла 5%.
2) С расчетом балок на сплошном упругом основании по Г. Циммерману —
Г. Клишевичу можно познакомиться в капитальных трудах по строительной
механике (см., например, П. Φ. Π а п к о в и ч, Строительная механика корабля,
ч. I, т. II, «Морской транспорт», 1947, стр. 403). Г. Циммерман (Н. Zirnmer-
mann) — немецкий инженер. Г. В. Клишевич —профессор Ленинградского
политехнического института,
Рис. 12.92. К расчету балок на
упругом основании при большом
значении аргумента аг: а) балка
на сплошном упругом
основании; б) основная система — балка
без опор на сплошном упругом
основании, рассматриваемая как
полубесконечная балка,
простирающаяся бесконечно вправо
при учете влияния Mt и Rt и
бесконечно влево при учете
влияния Мг и R2.

§ 12.16] УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОГО ИЗГИБА КРУГОВОГО СТЕРЖНЯ 255
свободно лежащей на сплошном упругом основании и никак не
закрепленной на опорах. Перемещения от нагрузки, возникающие
в такой основной системе, определяются так: v — q/k. Неизвестные
реакции R1 и R2 и реактивные моменты Μλ и М2 найдем из
условий на концах балки, которые записываем следующим образом:
и|г_0 = 0, •&х\г-0 = 0, ϋ !*_/ = (), 0ж|г_, = О,
или в развёрнутом виде:
(12.181)
k
Здесь не учтено влияние силы R2 и момента М2 на прогиб и
угол поворота левого концевого сечения балки в силу того, что
это влияние пренебрежимо мало, так как α/^=3π/2. Аналогично
не учитываем по той же причине и влияние Rx и Мг на ν и $х
на правом конце балки. Влияние же R2 и М2 на υ и $х на левом
конце балки и влияние R2 и М2 на г; и Ό·* на правом конце балки
приближенно (с пренебрежимой погрешностью) находим как для
тюлубесконечной балки. Например, условия (12.181 )х при' этом
представляются следующим образом (см. формулы (12.172)):
± _ Ri , Mi 0 4_ _Ri Mj__п 9 1R
Α 2α3£/* "^ 2cc2£/* ' k Ч" 2α2£/* α£/* " Ι1-*·10*/
При этом имеется в виду, что η0_(0) = % (0) = η8 (0) = 1. Из (12.182)
находим Rx и Afj. Аналогично Находятся и R2 и М2.
§ 12.16. Дифференциальное уравнение изгиба стержня
в плоскости оси, имеющей очертание окружности
При рассмотрении изгиба стержня с прямолинейной осью была
использована зависимость между изгибающим моментом и
изменением кривизны оси κ = \/ρ = Μ/(ΕΙ). Поскольку первоначально
ось стержня прямолинейна, изменение кривизны оси (κ) совпадает
с самой кривизной изогнутой оси. В случае же, если ось стержня
еще до деформации криволинейна, то изменение кривизны
представляет собой разность кривизн оси после и до деформации, и
зависимость между изгибающим моментом в поперечном сечении
стержня и изменением кривизны оси стержня приобретает вид
1 1 Μ
= рт, здесь ρ и рх — радиусы кривизны оси стержня до
и после деформации.
В случае, если ось стержня до деформации представляет собой
окружность радиуса г, формула для 1/р имеет вид
_L — _L — *$.
ρ ~~ r ~ ds *

256
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. XIF
Пусть стержень с осью в виде окружности подвергается изгибу
в плоскости оси, вследствие которого точки оси получают
перемещения. Радиальное
(рис. 12.93). На рис.
перемещение обозначим символом «:
12.93 изображен элемент оси стержня до·
деформации (ab) и после
деформации (аф-^).
Очевидно, что кривизна
элемента оси после
деформации определяется по
формуле
1 ίίφ + Δ ίίφ
рх ds-{-Ads'
ds dsidsJ
Вследствие того, что и
представляет собой
функцию положения точки на
кривой, т. е. является
функцией s, касательная
к кривой агЬг в точке аг
составляет с нормалью к
отрезку прямой Оа угол
du/ds, а в точке Ьг
касательная к агЬг составляет с нормалью к отрезку Ob угол
dJ + ds (s") ds = Έ + S ds- Из рис· 12·93 видно' что Угол d(p +
-\-Ad(p, образуемый радиусами кривизны кривой ахЬг в точках
аг и b-i определяется следующей формулой:
du , du , d?u
Рис. 12.93. К выводу дифференционного
уравнения изгиба стержня с осью в виде окружности.
ίίφ + Δ άψ = d(p —
ds
+ Ж +
ds*
ds,
откуда
bdy = ~ds.
Если приближенно считать, что длина дуги ахЬг равна (р — и) dq>, т. е.
пренебрегать разностью длин дуг афх и агЬ\ то Δ ds = —-ud(p =
=—uds/p. Тогда, имея в виду формулу для l/plf получим
d*u
άφ . ds2
1
1
άφ + -г^г ds
Pi
ИЛИ *)
рГ
ds —
Ρ ~~
ds*
и ds
Ρ
1
*,!-£)
d(f
Is
i + f) + *"
ds2
i + -
Π Ρ
Ρ
Ρ
1j Здесь имеется в виду, что 1
пренебрежено всеми членами, начиная, от 2
91 Ρ Ρ2
u2
рЗ
+

§ 12.17]
УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИЙ ИЗГИБ БАЛКИ
257
Учитывая, что dq>/ds=\/p, получим
или, пренебрегая величиной и/р по сравнению с единицей и
подставляя полученное выражение для изменения кривизны оси
стержня в формулу, связывающую это изменение с отношением
М/(Е1), окончательно получаем
Μ _ и d*u
ΕΙ ~ ρ2 "τ ds2 '
§ 12.17. Изгиб балки при не чисто упругой работе материала
1. Предварительные замечания. Рассмотрим изгиб балки (чистый
и отдельно поперечный), при котором в части ее объема материал
испытывает чисто упругую деформацию, а в остальной— упруго-
пластическую, в частности, чисто пластическую. Как и в случае
упругой работы балки при изгибе, будем считать, что зависимость
продольных деформаций волокон от их расстояния до
нейтрального слоя линейна гг = у/р. В частности, такая зависимость
получается при использовании гипотезы плоских сечений.
Второе предположение состоит в том, что нормальные
напряжения, действующие на площадках, параллельных оси балки,
считаются равными нулю. Если отсутствие этих напряжений в чисто
упругой балке при чистом изгибе подтверждается строгой теорией,
то в случае работы материала балки в упруго-пластической
области обнаруживается, что, вследствие неодинаковости
коэффициента Пуассона в пластической и упругой областях (в первой
μ = 0,5, а во второй μ<0,5), возникают самоуравновешенные
нормальные напряжения на плоскостях, параллельных
нейтральному слою, а также касательные напряжения. Как показывает
эксперимент, неучет этого взаимодействия волокон, параллельных
оси, не влечет за собой заметной погрешности и является
приемлемым.
С целью упрощения выкладок, но без ущерба для выявления
принципиальных особенностей изучаемого вида деформации,
предполагается, что поперечное сечение балки имеет две оси
симметрии и что одна из них лежит в плоскости действия моментов и
'или) сил; при этом вторая ось лежит в нейтральном слое.
Кривая зависимости σ = σ(ε) за пределом пропорциональности
может иметь произвольный вид (рис. 12.94, а), в частности,
представлять собой отрезок прямой линии, продолжение которой
не проходит через начало координат (линейное упрочнение)
(рис. 12.94,6) (если угол наклона прямой равен нулю, то кривая
σ = σ(ε) имеет вид диаграммы Прандтля — рис. 12.94, в; если при
этом угол наклона прямолинейного участка диаграммы, располо-
9 А. П. Филин, т. II

258
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. XII
женного ниже предела пропорциональности, равен 90°, то
получаем диаграмму жестко-пластического тела — рис, 12.94, г). В
основном коснемся работы стержней, изготовленных из материала
упруго-пластического (диаграмма рис. 12.94, б).
ел
0 Л
О
<Si\
f
ε J
а)
δ)
6j
8}
Рис. 12.94. Диаграммы напряжений: α) произвольного вида без площадки текучести;
б) с линейным упрочнением и без площадки текучести; в) диаграмма Праидтля (упруго-
пластнческое тело); г) диаграмма напряжений жестко пластического тела.
Рассмотрим два режима работы стержня — нагружение и
разгрузку.
2. Чистый изгиб.
2.1. Нагружение. Первым долгом проследим за характером
распределения нормальных напряжений в поперечном сечении
в процессе постепенного роста моментов, изгибающих стержень,
от нулевого их значения.
Вследствие того, что сечения остаются плоскими,
относительные деформации продольных волокон балки изменяются по
линейному закону; в наиболее удаленных от нейтрального слоя, т. е.
При t/ = t/max, ОНИ рЭВНЫ 82,maX. ТаКИМ обраЗОМ, Существует ЗЭВИ-
симость
&г - у . (12.183)
2, max
Уп
Разумеется, что каждому текущему значению моментов,
изгибающих брус, а следовательно, и текущему значению Мх
соответствует свое собственное текущее ε2> max. Перестроим диаграмму
напряжения так, чтобы по оси абсцисс откладывалась величина εζ/εΖιΠΙΆΚ.
Итак,
σ* = /(ε,/ε2)Π13χ). (12.184)
Подставляя в (12.184) выражение гг/гг<тах согласно (12.183),
получаем зависимость
<*z=f (У/У max).
Точке на оси ег/ег>тах в диаграмме напряжений и точке на оси
у/Утах в поперечном сечении с одинаковыми (безразмерными)
координатами соответствует одинаковое напряжение (рис. 12.95). В
качестве иллюстрации, на рис. 12.96 показано четыре уровня

§ 12.171
УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИЙ ИЗГИБ БАЛКИ
25»
βζ~σζ(εζ)
Рис. 12.95. Совпадение диаграммы напряжения на участке О
-тпах
(ε
max

деформация в крайнем волокне поперечного сечения балки) и эпюры нормальных напряжений
в поперечном сечении в безразмерных осях (е/бтах и у/утах).
Рис. 12.96. Совпадение диаграммы напряжения на участке 0 — emaxi (8max^ _ дефор-
мация в крайнем волокне поперечного сечения балки) и эпюры нормальных напряжений
в поперечном сечении в безразмерных осях (8/етах£ и У/Утах) при разных уровнях
нагружения.
9*

260
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. XII
значений изгибающего момента и соответствующие им ε2( max, ι (i =
= 1, 2, 3, 4). В каждом случае точке с 82>тах отвечает
безразмерная координата 1. Иными словами, эпюра нормальных
напряжений в поперечном сечении представляет собой кривую
нормальных напряжений на отрезке 0 —8г,тах, при этом ег,тах,
соответствует текущему значению Мх.
σ<βτ
1
ю
а=бт
LJ
Ж.
δ)
6)
3)
Рис. 12.97. Распределение нормальных напряжений по высоте поперечного сечения
Салки: а) Мх < Мхт; б) Мх
М,
в) Мхт < Мх < Мх$, г) Мх = M^Q.
Таким образом, если зависимость между σζ и гг выражается
диаграммой Прандтля, то отдельные стадии нагружения
характеризуются эпюрами распределения ог по поперечному сечению,
изображенными на рис. 12.97.
Теперь остановимся на определении двух характерных
значений изгибающего момента. Первый из них (ΜΧί) соответствует
возникновению
напряжения, равного пределу
текучести, в наиболее
удаленных от нейтрального слоя
волокнах, а второй
—любому текущему моменту
Мх > ΜΧΎ, в частности
моменту, при котором в
случае диаграммы Прандтля
пластические деформации
охватывают все поперечное
сечение стержня.
Итак, исходя из
формулы для нормального
напряжения в поперечном
сечении балки в случае
упругой ее работы аг = Мху/1Х, находим изгибающий момент,
соответствующий возникновению в крайних волокнах (т. е. при
y = h/2) напряжения σζ, равного пределу текучести στ
Μχ = Μ„ = Ψστ. (12.185)
Изгибающий момент в стадии работы балки после
возникновения в крайних волокнах напряжения, равного σ.,., в случае
Рис. 12.98. Распределение напряжений по
поперечному сечению балки при линейном
упрочнении. К. определению момента, статически
эквивалентного силам, распределенным по поперечному
сечению.

§ 12.17]
УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИЙ ИЗГИБ БАЛКИ
261
линейного упрочнения (рис. 12.98), если высота той части
поперечного сечения, которая работает в чисто упругой стадии, равна
2η, а фибровое напряжение σ, выражается формулой
Мх = £ (στ ^) Ьух dyx + 2 j (στ + щ^ (уг - η)) г/2& <*&.
В частности, если зависимость между напряжениями и
деформациями характеризуется диаграммой Прандтля, то σ — στ = 0 и
Μ.
η Α/2
= ^ j г/16 di/x + 2στ J ί/2& d#2,
или
Μ
x = ^$yldF1 + 2oT$y2dF2 = ^ I{rp) + oTSr\ (12.186)
F, F2
где
Ft Fz
jtynw _ момент инерции площади той части поперечного сечения,
примыкающей к нейтральной оси, в которой напряжения не
превышают величины στ и материал работает упруго, относительно
нейтральной оси; 5(пл) — статический момент площади той части
- -Y/Z/7/Z/7/Z/7/7/7/7/7/7/7/7/7/-/7/7777Z/7,
Рис. 12.99. Упругая и пластическая области в балке при чистом изгибе,
соответствующие некоторому уровню нагрузки, при котором ΜΧτ < Μ χ< Mxq.
поперечного сечения (две зоны по разные стороны от упруго
работающей части сечения), материал которой работает в пластической
области, относительно нейтральной оси.
Поскольку при чистом изгибе во всех сечениях эпюры
напряжений одинаковы, границы областей упругой и пластической
работы материала представляют собой плоскости, параллельные
оси стержня (рис. 12.99).

262
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. XII
Если пластическая деформация охватывает материал во всем
поперечном сечении, то изгибающий момент становится
предельным Мх = Мхо; ему соответствует превращение балки в изменяемую
систему, этот изгибающий момент выражается формулой
(пл)
Мхо — СГтОдгтах·
В случае прямоугольного поперечного сечения (рис. 12.100)
Ь№
с(пл) _ 9 JA A _
Охтах — ^ * 2*4 4
Μ
ХО
(12.187)
При расчете же по допускаемым напряжениям предельным
считается изгибающий момент, соответствующий возникновению
напряжений, равных пределу текучести, в наиболее удаленных от
нейтрального слоя волокнах; этот момент
находится по формуле (12.185). В случае
прямоугольного поперечного сечения
W
ft'
т
ь
ft'
Ж
>
•*5|<*-(
' 1
1
V
Мх, = -ρ- στ.
(12.188)
Рис. 12.100. Прямоугольное
поперечное сечение балки.
К определению статического
момента s^ax при разви-
тии пластических
деформаций во всем поперечном
сечении.
Сопоставляя (12.188) с (12.187),
находим МХ0 = ШХТ = \,5МХТ, ft = 1,5. Учет
пластической деформации позволяет в
полтора раза экономнее использовать балку
прямоугольного поперечного сечения, чем
при расчете с учетом лишь упругой стадии
работы материала.
Теперь выясним, какую экономию
можно получить в случае прокатного профиля
(двутавр I № 50) 5<.пл> = 2 ■ 899 = 1798 см\
Мхо = S<™4 = 1798στ, Μχτ = Ψστ = 1560στ,
ί^1 = k = τέ^κ = 1,15. Учет пластических
Мхт 1560
деформаций в случае тонкостенного прокатного профиля приводит
к меньшему выигрышу, чем в случае массивных поперечных
сечений. К тому же, допуская развитие значительных
напряжений в стенке, а на половине высоты сечения эти напряжения
сжимающие, мы создаем условия, в которых возможна потеря
устойчивости плоской формы изгиба, т. е. выпучивание стенки.
Поэтому часто опасаются допускать возникновение во всей стенке
тонкостенного профиля больших напряжений, и в качестве
опасного состояния балки считают то, при котором напряжения,
равные пределу текучести, возникают лишь в крайних волокнах.
Иными словами, пластических свойств материала не принимают
во внимание.

$ 12.17]
УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИЙ ИЗГИБ БАЛКИ
263
Интересно отметить, что при изменении η в довольно широких пределах
величина изгибающего момента мало отличается от Мх0- Ниже приводим для
прямоугольного сечения значения Мх соответственно при η=Α/4 и η=/ι/3
J Μ3
ал στ \ 2 ^ 0 1 .. (h 1 1 ,\ 11 ...
м'~т
12
48
12
f στ
*Х1Ч4*Ы^·
Найдем отношение Мх/Мх0 при двух указанных выше значениях η
Мх _ 11/48 = 11 М^ _ 23/108 23
Мл.0 ~ 1/4 ~ 12 · Μχο ~ 1/4 ~ 27 *
Отличие Λί* от Мх0 при η = Λ/4 и η = /ι/3 составляет соответственно г—-—χ
1 23/27
χ.100 = 8,(3)% и j-ί 100=14,8%. Для двутаврового сечения (например,
1
I № 50) это отличие Мх от
(рис. 12.101)
Мх
Мх
στ
0,93 · 25з
Мх0 при тех же значениях η еще меньше
12,5
h— ι
50
'' 3
50
12
0,93 · 33,(3)2
12
fστ·2 899 — 0,93· 12,5
|-στ2 899 —0,93· 16,7
16,7
= 1749,6στ.
= 17ΐ0,8στ.
Здесь учтено, что толщина стенки равна 0,93 см; статический момент площади,
расположенной по одну сторону от оси χ относительно этой оси, равен 899 см3;
для получения статического момента
части площади поперечного сечения,
за исключением той зоны, в которой
деформации упруги, из 899 см3
вычтена соответствующая величина.
Отличие Мх от Мх0 при η = /ι/4
и η = /ι/3 составляет соответственно:
100 (1798 — 1749,6) : 1798 = 2,7% и
100(1798—1710,8): 1798 = 4,8%.
Пусть пластическая область
распространяется на всю
площадь поперечного сечения.
Условие равенства нулю
продольной силы в поперечном сечении
имеет вид N = — Fcxgt-\-Fpgt =
= 0. Отсюда
0,9Ъсм
0,95см
Fynp*
Fn
9
ι*??.'??*·*.
пл
Рис. 12.101. Поперечные сечения двутавра
при различном развитии пластической
области. К определению влияния η на
еж
т. е. нейтральная ось делит площадь поперечного сечения пополам.
Если поперечное сечение балки имеет лишь одну ось
симметрии, лежащую в плоскости действия внешних моментов, то
нейтральная ось не проходит через центр тяжести сечения.

264 ПЛОСКИЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. XII
Кривизна оси балки в случае наличия упруго работающей
части поперечного сечения может быть найдена так. Напряжение
упруго работающего волокна равно
σ =
дем
-Ег =
1
~р~
[ ИЗ
Ρ у 1 d2v о
"ρ ' "ρ" ~~ ώ? ~~ ~Еу '
d2v στ
ί/_η ~~ d& ~ £η *
а /(упр)
(12.186) η- τχ ,п.
V ' ' Л/f С(ПЛ)
(12.189)
. Подставляя η;
в (12.189), получаем
d% 1 ΛΓ,—σ Sl.njI)
vi-hsti— (12·190>
2.2. Разгрузка. Если деформации малы, то разгрузку
можно представить как нагружение силами (моментами), равными
и противоположными тем, какие были в конце нагружения. При
разгрузке зависимость между напряжениями и деформациями
становится линейной с тем же модулем упругости, который был
на начальном участке нагружения.
Максимальное напряжение в эпюре напряжений при разгрузке
должно быть таким, чтобы момент, эквивалентный эпюре линейно
распределенных по высоте сечения напряжений, был равен
окончательному значению момента при нагружении. Пусть при нагру-
жении имеет место диаграмма Прандтля, тогда
М — W/n — °т /(УПР) ι п с(пл)
lvlx, разгр— № "max, разгр — ~ 'х ~Г <->т°* »
С^тах, разгр ==ZW ( ~ΖΓ ' х ~\~&τ&χ )· (12.191)
На уровне границы упругой и пластической зон при разгрузке
возникает напряжение
η — rr η _ ^Π_/στ /(УПР) ι „ с(пл)\ /19 109*
аразгр —°max, разгр ^β — ψ^ \ ΊΓ" ιχ Τυτ°* )· Uz-lyz/
Поскольку эпюра нормальных напряжений в конце нагружения
была нелинейной, а при разгрузке — линейной, после снятия
нагрузки в балке имеют место остаточные деформации и
напряжения, эпюра которых равна разности эпюр нагружения и
разгрузки.
Пример 12.28. Построить эпюру остаточных напряжений, получающихся
после разгрузки балки, работающей в упруго-пластической стадии при
следующих условиях: поперечное сечение прямоугольное, в процессе нагружения
материал характеризуется диаграммой Прандтля, упругая зона составляет·
одну треть от высоты балки (2η = Λ/3).

$ 12.17] УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИЙ ИЗГИБ БАЛКИ 265
Решение. Для построения эпюры остаточных напряжений оост достаточно
определить две ординаты при y=r\ = h/6 и при y = h/2. При y=h/6 oOCT
*:!*>*
•**1^
^1^
°тах,разгр π ит
Рис. 12.102. Эпюры нормальных напряжений по высоте прямоугольного поперечного
сечення: а) при нагружении; б) при разгрузке (Сразгр ). трактуемой как нагружение
моментом, равным по величине моменту в конце нагруження, но противоположным ему по
знаку; в) эпюра остаточных напряжений (оост).
/ 13
найдется как разность величины στ и напряжения (12.192) [о \n=h/6 =o7 στ
{рис. 12.102)
«ост —σ-r ψ^η'χ -Гитс>х J
= στ
η = /ι/6
2/ι·6 /6 b (/ι/3)3
6Μ3 -h\h
12
f2
hb h
r;J=27 στ·
При y = h/2 величина оост найдется как разность величины στ, взятой из
диаграммы нагружения, и напряжения (12.191) (amaxpa3rp = -q-crT j из
диаграммы разгрузки
„ —п L 111. /(Упр) ι σ с(пл)\ _
«ост —στ— ψ I 1Х ^итс>х I —
Γ, 6/6 b (/ι/3)3 26/ι2\Ί 4
= (T41_^U~l2—+ -9-]] = --9-στ·
Выполним проверки, которые состоят в том, что система остаточных
напряжений, являясь самоуравновешенной, должна сводиться к нулевой
продольной силе и нулевому изгибающему моменту
JV=T'-9-aTr3/l-T'27(TTU + 39/lj +
+
14
27'
_7_
39'
отМ-гг+одА) —-o-'-g-oTjg Ί=0.
Λί*= -гг
4 2 . /. . 1 2 Λ 1 14 7 (h . .
-9-στΊ3Λ А-2.у. йЛ)-Т' 27 σ' 39Λ(τ + 2"
+ Г-1^т(т-24-4)- 117-^27.6 ^680-15582-7098)^0.

266
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. XII
Коснемся теперь остаточных деформаций. После полного
снятия внешних моментов брус остается криволинейным. Если в конце
нагружения, когда изгибающий момент достиг величины Мх, кри-
1 Mx-oxSxnll)
визна оси бруса согласно (12.190) равна — = — (упр)—, а умень-
1 Мк
шение кривизны оси в процессе разгрузки равно = ~-,
Рразгр Е'х
остаточная кривизна оси выражается формулой
1 _!__!__ Mx-aTS^ _JK_== Mx\lx-ITP)]-0TSK^/X
ΕΙχ £/ /(упр)
το
ост
разгр
£/(упр>
Если упругая область захватывает все поперечное сечение, то
(пл)
irp, = ix, sr=o, ι/ρ
ост
0.
3. Поперечный изгиб. Пусть для материала балки справедлива
диаграмма Прандтля. При поперечном изгибе степень развития
пластических деформации в различных сечениях различна х), так
как изгибающий момент не постоянен по длине балки, как это
<*r. <*г,
Δ 5-5№Ъ-Ъ1-11-1
Рис. 12.103. Упругая н пластическая области в балке при поперечном изгибе, соответ^
ствующне некоторому уровню нагрузки.
имеет место при чистом изгибе. В связи с этим граница между
областями упругой и пластической работы материала представляет
собой некоторую криволинейную поверхность. На простом
примере покажем, как она находится (рис. 12.103).
Изгибающий момент балки в сечении с координатой г=^//2
выражается формулой
Ρζ
Мх=^, Мх\г^т = М
х, max
EL
4 '
*) Напоминаем, что, как это было отмечено выше, влияние касательных
напряжений на условие возникновения пластических деформаций в
рассматриваемом случае невелико и им пренебрегаем,

§ 12.17]
УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИЙ ИЗГИБ БАЛКИ
267
Именно в крайних волокнах сечения z = l/2 в процессе роста
силы Ρ в первую очередь возникают напряжения, равные пределу
текучести στ. Снабдим обозначение соответствующих изгибающего
момента, внешней силы и радиуса кривизны индексом τ: Мхт,
Ρτ и рт. При этом МХт = Рт1/4. Теперь найдем координату ζτ
поперечного сечения, лежащего на границе областей балки, одна
из которых работает полностью упруго, а в другой напряжения,
равные пределу текучести, захватывают некоторую часть
поперечного сечения, начиная от одного крайнего волокна в сечении
с ζ = ζτ и кончая сечением под силой, где часть его, работающая
при σ=στ, максимальна. С этой целью приравняем изгибающий
момент Мх значению момента МХт
"гт "т* л л ~ fjt_ '
χ — 9 — 4 —/К1*т» ^т— ρ * о "
Установим связь между Мх/МХт и р/рт. Текущее значение
изгибающего момента Мх (Мх > Мхт) выражается формулой Мх =
ft/2
= 2 $ oby dy. Заменим переменную интегрирования,-имея в виду
6
зависимость ί//ρ = ε, # = ερ, dy = pde, e \y=h/2 = emax =/г/(2р), ρ =
= /i/(2emax), тогда получим
emax emax
M* = 2p2 С аЬгаг = щ^ С оЬгаг. (12.193)
о δ
Если ширина поперечного сечения балки постоянна, то Ь в (12.193)
можно вынести за знак интеграла. Разобьем интеграл на два —
первый возьмем в пределах от 0 до ет, а второй от ет до 8тах,
тогда
м, ш
^-тах
ετ етах
(12.194)
\ σε аг + Ι* σε
0 ε„
τ
В первом и во втором интегралах соответственно имеем
а = Ее, σ = στ. (12.195)
Учитывая (12.195)1>2, представим (12.194) в виде
Ь№ г b't /в» 82
Μ
X Ор2
Учтем, что
&Τ~ τ> Жд;~2в2тах[-3+ 2 2j- 12 6ΐ^+4σΧ·
Μ2σ re* ε2 ε2, η 6Λ2 σ ε? Μ2

268
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ
Имея в виду, что ΜΧΎ = -^-σΛ, ετ = g- , 8тах=2Б,
[гл. χιϊ
_ Ρ
получим
м,=-%ё+|м,Т=
2р/ ~тах-2р
max
2 Рт
2 (d P?
Ρ
(12.196)
Из (12.196) находим ρ
Исходя из ранее приведенной зависимости у = гр, найдем ρ
при у=у\ и соответственно е = ет:
У
η
Ец
Eh
P=t = g- = -', Р1„-*2=Рт=й;. (12Л98)
Подставим (12.198)1ι2 в (12.197)2 и сократим полученное после
этого уравнение на Ε/στ, в результате находим
■η (ζ).
1-4/
3-2
Λ4*
Λί,-τ
Υ
Здесь учтено, что
Μ,
2 » ίΥ1τ 4 '
(12.199)
Функции η = η(ζ) соответствует граница между упругой и
пластической областями. Эта граница имеет вид квадратной параболы.
<?г
Элюраб
Рис. 12.104. Поперечный нзгнб балкн в упруго пластической области работы материала?
а) границы пластической и упругой областей при разных уровнях нагрузки; б)
образование пластического шарнира при Ρ = Р„.
По мере роста силы Ρ происходит расширение области
пластических деформаций (рис.12.104, а). При некотором значении силы:
Р=Р0 все поперечное сечение под силой работает в пластической
области — образуется так называемый пластический шарнир и;
балка теряет свою геометрическую неизменяемость (рис. 12.104, б)*

§ 12.17]
УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИЙ ИЗГИБ БАЛКИ
269
Изгибающий момент в сечении под силой должен при этом стать
таким же как и предельный момент при чистом изгибе, а именно
Μχο = ^στ. (12.200)
Формулу (12.200) можно получить и из (12.199), если положить
в ней η = 0, ζ = у, Ρ = Р0\ 0 = -^ 1/ 3 — 4 ~- ^. Решаем
полученное уравнение относительно Р0 и далее находим *МХ0
ro— 2 τ— 2 / — [ ^ϋτ— / υτ» mxo— 4 — 4 τ'
Координата ζΊ при Р = Р0 приобретает значение
— Oil — 11 — 1
Ζ"[~¥ύ2~Ζ2~Ζ'
Иными словами, в момент образования пластического шарнира
в рассматриваемой балке напряжения в крайних волокнах равны
στ на протяжении средней трети длины балки. Разумеется, что
при другой нагрузке и (или) иной форме поперечного сечения
величины Р0, Мх0, гт окажутся иными. Принцип же их отыскания
остается неизменным. Нагрузка Р0 является .опасной "для всей
балки в целом, поскольку последняя при ее воздействии теряет
свою геометрическую неизменность. При расчете балки по
допускаемым нагрузкам условие прочности приобретает вид1)
Ρ < [Я] = Polk.
4. Изгиб статически неопределимых балок.
4.1. Идея расчета. Статически неопределимая балка при
образовании в ней одного пластического шарнира в сечении с
максимальным изгибающим моментом не теряет своей геометрической
неизменяемости, меняется лишь расчетная схема балки, т. е.
изменяется характер ее работы, но балка способна выдерживать
дальнейшее увеличение нагрузки. В сечении, где расположен
пластический шарнир, при дальнейшем увеличении нагрузки изгибающий
момент не возрастает. Будем предполагать, что все силы
монотонно возрастают пропорционально одному общему для них
параметру. При некотором значении параметра нагрузки, превышающем
то, при котором образовался первый пластический шарнир, в
балке образуется второй пластический шарнир и, если при этом не
теряется геометрическая неизменность системы, то балка
способна выдержать дальнейшее увеличение нагрузки, но расчет
ведется по новой расчетной схеме на этот раз в виде балки с двумя
пластическими шарнирами.
*) Идея расчета систем по методу допускаемых нагрузок изложена в § 3.10.

Па
ЖЕ
ПО k
μ° ι щ иг τ 2 ~ί/ι
е)

§ 12.17]
УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИЙ ИЗГИБ БАЛКИ
271
li+lz=2,5l
Рис. 12.105. К примеру 12.29: а) иераэрезная балка и действующая на нее нагрузка
(такая балка рассматривалась в примере 12.23 прн Ρ — 4 Г н I = 4 м); б) эпюра
изгибающего момента (значения, помещенные в скобки относятся к примеру 12.23, вне
скобок — к общему случаю значений Ρ и /); в) расчетная схема балки после возникновения
первого пластического шара; г) эпюра изгибающих моментов прн образовании второго
пластического шарнира и соответствующая схема балкн (масштаб ординат принят таким,
какой получается прн условии, что на фнг. б Ρ = Рт); д) к построению балочной эпюры
для правого пролета; е) к проверке правильности эпюры, изображенной на фнг. г; ж)
закономерность изменения ординат эпюры Μ как функции параметра Ρ (между значениями
Ρ — Ρ и Ρ = А. не показана; построение эпюры в открытом промежутке LPTf P01 не
является элементарной задачей).

272
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. XII
Количество пластических шарниров, при котором балка
перестает быть неизменяемой, зависит от степени ее статической
неопределимости и от вида нагрузки. Если степень статической
неопределимости системы равна п, то максимальное количество связей,
выключение которых превращает ее в геометрически изменяемую,
равно я-Н 1. Однако может быть и такая ситуация (в случае
неразрезных балок она возникает часто), при которой
образование даже меньшего количества, чем п-\-\ пластических шарниров,
приводит к геометрической изменяемости части конструкции, в то
время как другая часть остается статически неопределимой.
4.2. Пример 12.29. Определить опасное значение параметра нагрузки для
балки, рассмотренной в примере 12.23 и изображенной на рис. 12.105, а. По
сравнению с этим примером внесено обобщение. Если в примере 12.23 Р = 4
и /ι = 4 м, то в рассматриваемом здесь случае величины Ρ и ^ = 1 сохранены
в общем виде.
Решение. На рис. 12.105, б представлена эпюра изгибающих моментов,
возникающих в балке. Даны значения ординат как при Р=4Г и /1==/ = 4 м
(помещены в скобки), так и в общем виде. Последние получены из первых
путем деления на 4-4=16 и умножения на Р1. Определение реакций RA и
RB, а также само построение эпюры не показываем, поскольку после
определения R, выполненного в примере 12.23, такие операции элементарны.
Максимальный изгибающий момент имеет место в сечении г — 8м
Μ |2 = 8ж = 0,52152 (7) PL
Обозначим величину силы, при которой в крайних волокнах этого сечения
(предполагаем сечения симметричными относительно оси х) возникает
напряжение равное στ, символом Рт, а соответствующий этой силе изгибающий
момент в сечении ζ = 8 м — символом Μτ. Λίτ=0,52152 (7) PTL
Поскольку при этом материал во всем сечений работает в упругой стадии
Μτ_ 0,52152 (7) /у _ 1 Ψστ_Λ n„WaT
ψ -στ, ψ _στ, ^τ-0522 / -1.У1/ / .
Величину изгибающего момента, соответствующего возникновению в
сечении г = 8 м пластического шарнира обозначим символом М0. При этом М0=
= ηΜτ. η зависит от формы и размеров поперечного· сечения. Напоминаем,
что, например, для прямоугольного сечения я=1,5.
С момента возникновения в сечении г = 8 м пластического шарнира
расчетная схема балки приобретает вид, показанный на рис. 12.105, е.
Дальнейшее увеличение параметра Ρ приводит к возрастанию опорного
изгибающего момента, в сечении же г = 8 м изгибающий момент возрастать не может.
При том значении параметра нагрузки (обозначим его символом Р0), при
котором и в опорном сечении изгибающий момент достигает величины М0, в
опорном сечении также возникает пластический шарнир, и балка теряет
геометрическую неизменяемость. Эпюра изгибающих моментов приобретает вид,
показанный на рис. 12.23, г. Вместе с тем, при действии на однопролетную балку
пролетом 1,5/ сил Ρ и 1,5Р, как это показано на рис. 12.105, д, в сечении
2 2 Μ
под силой 1,5Р изгибающий момент равен -ттР1, поэтому — Р01 = М0-{-—- =
-4«.. Отсюда p.-l.^-^-Mil-MpjL. Тогда pjPt_
= (2ηΨστ/1): (1,9\7Ψστ/1) = \,043η.

§ 12.19]
МЕТОД ПРОГОНКИ
273
Коэффициент 1,043 показывает долю увеличения Р0 по сравнению с Рт,
обусловленную статической неопределимостью системы, т. е. тем, что
геометрическая неизменяемость наступает после образования не первого, а второго
пластического шарнира. После возникновения первого пластического шарнира
увеличение нагрузки лишь на 4,3% влечет за собой возникновение второго
пластического шарнира, сопровождающееся потерей геометрической
неизменяемости.
Условие прочности, пользуясь которым подбираем сечение, имеет вид
„ Р0 2nWoT 2nW. . ,
Ρ = -ς- = —-~- = —ζ—[σ], отсюда находим необходимый момент
сопротивления балки W —Ρ1/2η[σ].
§ 12.18. Изгиб призматического стержня из наследственно-упругого
материала (пример применения принципа Вольтерра)г)
По технической теории балки напряжения не зависят от
упругих постоянных
"г.
/* ' гу ~ Μ (у)'
Значит по принципу Вольтерра напряжения в упругой и
наследственно-упругой балках с одинаковой геометрией и внешней
статикой будут одинаковыми.
Поскольку кривизна в упругой балке выражается следующей
формулой:— = -р/-,для наследственно-упругой балки имеем
О»- tLI v
1 1
Px(t) 1ХЕ*"'Х^> 1ХЕ
Mx(t)
Μ
ι
χ(ί)+^(ρ(ί-τ)Μχ(τ)άτ
где φ(ί —τ) —ядро ползучести при растяжении — сжатии
(предполагается, что смена знака у напряжения не меняет характера
ползучести). В частности, когда Мх = const
J- = ^L-[l + 0(i)]f
WX Е-'Χ
где Φ (/) — функция ползучести при растяжении —сжатии.
§ 12.19. Метод прогонки
1. Предварительные замечания. Для избежания отмеченного в
разделе 9 параграфа 12.15 недостатка метода начальных
параметров—потери точности, а также для эффективного выполнения
х) § 12.18 написан Ю. Б. Шулькиным.

274
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. XIГ
расчетов в тех случаях, когда коэффициенты в подлежащих:
интегрированию дифференциальных уравнениях переменны —
представляют собой функции того же аргумента, что и искомая
функция—может быть использован так называемый метод прогонки,-
Ниже, в разделе 2, излагается его сущность.
Пусть имеем краевую задачу для дифференциального
уравнения порядка 2п относительно функции s (ζ) с двухточечными
граничными условиями:
s(2'l) (2) + а2п (z) s^-D (?) + ... + й, (г) s" (г) + а, (г) s' (ζ) +
+ аг (ζ) s (ζ) + α0 (ζ) = 0 в промежутке [0, /],
s(2* -1) (0) + bin_h aS(2,-2) (0) + . . . + b3> ,/ (0) + b% kS' (0) +
+ bhks(0) + b0,k = 0t
s(2'- x> (/) + c2n_lt ks^~v (1) +... + c3i ks" (I) + cit ks' (I) +
+ c1,ks(l) + co,k = 0 .
(й=1, 2, .... /г).
Эту краевую задачу можно сформулировать в других
терминах, перейдя от одного дифференциального уравнения порядка Ire
к системе порядка 2/г, состоящей из 2п дифференциальных
уравнений, каждое из которых, будучи первого порядка, разрешено
относительно производной от одной из искомых функций. Такая
форма системы называется нормальной формой Коши. Разумеется,,
что при указанном переходе подвергаются соответствующей
модификации и граничные условия (12.202). Выполняется это
следующим образом.
Введем обозначение s (ζ) — sx (z).
Далее, применяя новые обозначения для последовательности
производных от s (ζ)
s'(z)=s'l(z)=s2(z); s"(z)=s3(z); ...; s^-1) (z) = s2n (z) (12.203)
и используя совместно (12.201) и (12.203), получим
s,(z)=sr1(z)=s2(z),
S"(z)=s;(2)=Sa(z),
S*(2)=SH?)=M*).
s^^-1) (г) = s^ _ ι (г) = s2rt (г),
s(2«) (г) _ s'2n {ζ) = — (цп (г) s2„ (г) —
— flfe*~i(z)s2«-i(z) —··· —
- Ог (г) s2 (г) - ах (г) s± (г) - а0 (г). :
(12.201)
(12.202>

-§ 12.19]
МЕТОД ПРОГОНКИ
275
Граничные условия (12.202) с учетом (12.203) и (12.204)2Л
приобретают вид
s2n (0) + 62я-1, ks2n-i (0) +... + 62, ks2 (0) + bh ASi (0) + bQt k = 0, "1
s2n (!■) + с2я_ь fcSa^i (/) + ... + c2i fts2 (/) + clt ftSi (0 + c0> ft = 0 J
(12.205)
(6 = 1, ..., η).
В матричной форме (12.204) и (12.205) представляются
соответственно так:
s[ (ζ)
s'Az)
S2n - 1(2)
>2л
(^
0
0
0
at(z)
1
0
0
— a2
(г)
0
1
0
— a3
(ζ)
0
0
0
— «2Я-
-i(z)
0
0
1
— a.
X
а2я (г)
Χ
«ι (ζ)
Si (г)
S2/l-l'(z)
s-in (г)
+
1
I
1
0
0
0
— <% (z)
(12.206)
в промежутке [0, 1],
*1.1
&1,2
*>ί. Я-1
&1.Я
сы
с1.2
ci, я-ι
с1. Я
ί>2. 1 ···
&2, 2 · · ·
^2. Я-1 · · ■
Ьг. η '··
С%, ι
^2. 2 · ·
С2. Я—1 * ·
са. я · ?
&2я-1. 1 ^
^ая-'.а *
&2Я-1, Я-1 *
&2Я-1. Я 1
• с2л-1.1 1
Сая-i, 2 1
• С2я-1. Л-1 '
С2я-1. Я 1
5,(0)
s2(0)
San-i (0)
52я (0)
МО)
s, (0)
«ая-ι (0)
s2* (0)
— &o.j
0. Я-1
-fc,
— b0, η
— Co. ι
— C0. 2
— co. я-1
C0. Я
(12.207)
или
ds
—- = As + g в промежутке [0,1],
dz
Bs(0)=b, Cs(/)=c.
(12.208)
(12.209)
Сопоставляя (12.208) с (12.206) и (12.209) с (12.207), легко
понять, что понимается под символами s, A, g, В, Ь, С, с.
2. Алгоритм1). Разобьем совокупность неизвестных функций
Si {г), ..., s,2n(z) на две группы по η функций. Не поступаясь
х) Излагается вариант алгоритма метода прогонки, обсужденный в статье
В. Л. Бидермана «Применение метода прогонки для численного решения
задач строительной механики», Инженерный журнал «Механика твердого тела»,
1967, № 5, стр, 62 — 66.

276
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. ΧΙΓ
общностью, учитывая возможность произвольной нумерации
функций, будем считать, что эти группы составляются следующими
функциями: Si (г), ..., sn(z) и sn+1 (г),
52я
(г).
Тогда (12.208) и (12.209) можно представить соответственно"
так:
dsj
dz
dsa
dz
41
*21
A1S
A-22
+
gl
в промежутке [0, /], (12.210)=
Bl B2
I MO)
I MO)
=b, 1^ c2
MO
MO
= c.
(12.211)
Переведем граничное условие (12.211) на конце 0 промежутка-
[0, /] в условие на другом его конце /. С этой целью поступим,
так. Прежде всего решим (12.211)х относительное! (0):
или
si(0)=,—8^-8,8* +Bf1 b,
s1(0) = Los2(0) + ro.
(12.212).
(12.213)-
сопоставляя (12.213) и
Вид матриц L0 и г0 легко уяснить
(12.212).
Далее представим решение уравнения (12.210) в следующей,
форме:
s (г) = s<°> (г) + ClSu> (г) + .. . + C„s*n> (г), (12.214)
s(0) (г) — частное решение уравнения (12.208) (или, что то же самое,,
уравнения (12.210)), удовлетворяющее условию (12.213), a s(/) (г)·
(/ = 1, ..., п) — линейно независимые решения однородного
уравнения, соответствующего (12.208) (т. е. уравнения (12.208) при
g===0), удовлетворяющие однородному граничному условию,
соответствующему (12.213) (т. е. условию (12.213) при г(0)=0).
Поскольку рассматриваемая система дифференциальных
уравнений имеет порядок 2п, вектор функций (12.214), содержащий η
постоянных интегрирования, можно рассматривать в качестве ее
интеграла лишь в том случае, если подчинить (12.214) в каждой
точке оси ζ еще η условиям. Последние представим в следующем,
виде:
Si (г) = L (г) s2 (ζ) + г (г). (12.215).
При г = 0 условие (12.215) должно совпадать с (12.213), откуда;
следует, что L (0) = L0 и г (0) = г0.
Матрицы L (г) и г (г) подлежат отысканию. Их найдем из
условия, что s(0) (г) удовлетворяет (12.215), a su) (г) удовлетворяют
однородному условию, соответствующему (12.215) (т. е. условию
(12.215) при г(г)==0).

§ 12.19] МЕТОД ПРОГОНКИ 27 Ί.
Сначала выведем уравнение относительно L (г). Рассмотрим
однородное условие, соответствующее (12.215), полагая, что этому
условию удовлетворяет s(i) (z)
S(0 (г) = L (г) s<<> (г). (12.216)
Продифференцируем (12.216)
Л(0(г) dL(z) ds(0(2)
T = ^rsi"W + L«^. 02.217).
ds(0 (г) ds(0 (г)
Определим —^— и —^-— из (12.210) при условии, что gx (г)—·
= g2(2)=0, и подставим соответствующие выражения в (12.217)-.
ds(0 (г)
-^= AusW(2) + AusiO(2),
ds(0 (г)
-^== А218(/)(г) + А228(0(г);
AllSf> (г) + A12s(0 (г) = ^- sp (г) + L (г) Ая8<<> (г) + Цг) A22s<<> (г).
В полученное равенство вместо s\C) (г) подставим его
выражение, определяемое формулой (12.216); в результате подстановки;
получим
AnL (г) ^» + A12sf = ££L s(/) + L (г) A21L (г) sp + L (г) Arf,
или
[тГ" + L & A*L ^ + L W A*» - A"L & - AiJ s(2° = °· 02·218>'
Поскольку (12.218) выполняется для п линейно независимых,
векторов, матрица, представленная множителем при sp, является:
нулевой; отсюда
^М = - L (г) A21L (г) - L (г) А22 + AUL (г) + А12. (12.219f-
Так.как матрица L (г) гс-го порядка, уравнение (12.219)
эквивалентно системе п2 дифференциальных нелинейных уравнений,,,
каждое из которых первого порядка и разрешено относительно
производной от искомой функции, Эта система уравнений может
быть решена при помощи того или иного численного метода.
В приведенном ниже примере использован предложенный нами-:
метод итераций.
Перейдем к выводу уравнения относительно г (г), во всем-
аналогичному выводу уравнения (12.219) относительно L (г).
Рассмотрим условие (12.215), считая, что ему удовлетворяет s(0) (г),.,
т. е. рассмотрим
s'j0 (г) = L (г) sa0' (г) + г (г). (12.220>

;278 ПЛОСКИЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ [ГЛ. XII
Продифференцируем (12.220)
&·/>' _ dL(z) ,0I , ds<°' dr(2) Л9 99П
"di HT~S2 +Ъ^-1Г + ~аГ' (12.221)
Определим ds^/dz и ds^'/dz из (12.210) и подставим в
соответствующие выражения в (12.221)
ds'r =A11sT + A12s^ + g1, ^ = A21sr + A22s:T + g.2;
dz "11U1 ' ' 12^ ' S1' d2
A11si0l+Ausiel + gl =
= ^- s'201 + L (г) A21si°'+ L (г) A22s2- + L (г) g2 + £$-.
В полученное равенство вместо s'/" поставим выражение,
определяемое равенством (12.220), а вместо dL (z)/dz — выражение
согласно (12.219); в результате подстановки получим
.AnL (г) s:201 + Aur (г) + A12s20) + gl =
= - L (г) A21L (г) sT - L (г) A22s201 + AnL (г) s201 + A12s201 +
+ L (г) A21L (г) s2<" + L (г) A21r (z) + L (г) A22s20) + L (г) g2 + ^L.
После взаимного уничтожения ряда членов придем к
дифференциальному уравнению относительно г (г)
£$■ = (Аи - L (г) А21) г (г) + gl - L (г) g2, (12.222)
эквивалентному системе η дифференциальных уравнений, которая
может быть решена одним из численных методов. В приведенном
ниже примере для решения этой системы применен метод итерации.
В результате интегрирования уравнений (12.219) и (12.222)
от г = 0 до z = l находим L (/) и г (/); подставляя их в (12.215),
получаем
s1(/) = L(/)s2(/) + r(/). (12.223)
Таким образом, выполнено выдвинутое выше требование
переведения («прогонки») граничного условия (12.211)! с конца г = 0
промежутка [0, /] к концу /, Отсюда и название метода (метод
прогонки).
Описанная выше операция составляет так называемую
«прямую» прогонку. Теперь необходимые для определения искомых 2п
функций, образующих столбец s(z), 2n условий все отнесены
к концу промежутка [0, /] и, таким образом, двухточечная
краевая задача сведена к задаче Коши. Однако для получения
вектора s(z) мы не будем решать задачу Коши, поскольку и при
этом решении происходит потеря точности, имеющая ту же
природу, что и потеря точности при использовании метода
начальных параметров.

§ 12.19]
МЕТОД ПРОГОНКИ
279'-
Поэтому, с целью избежания этого недостатка, для
определения вектора s (г) прибегнем к «.обратной» прогонке, для чего
поступим так. Интегрируя от z = l до г = 0, определим из (12.210)
вектор s2(z), подчиняя его и зависимости (12.215), которая
обеспечит выполнение условий при г = 0. Выглядит это так.
Определим ds2/dz из (12.210) и из полученного при этом уравнения;
исключим sx (г) при помощи (12.215). Итак,
ds2
dz
— ^21Sl "Τ* A22S2 ^2'
и уравнение относительно s2, с учетом (12.215), приобретает вид
ds2
dz
= A21L (г) s2 + А21г (г) + A22s2 + g2;
(12.224)
интегрируя его, находим s2. После этого из (12.215)
получаем sx (г). На этом завершается процесс обратной прогонки;,
таким образом задача
полностью решена.
ЧГЧо
3. Пример 12.30. Определить
вектор s(z) = {vftMQ} для балки
переменного сечения, опирающейся
по всей своей длине на винкле-
рово упругое основание
переменной жесткости, а по концам
упруго опертой и упруго
заделанной. Нагрузка, действующая на
балку, и информация о законах
изменения вдоль пролета Ink
(момент инерции площади
поперечного сечения балки и коэффициент
постели упругого основания)
показаны на рис. 12.106. Поперечное
сечение прямоугольное (ширина
90 см, высота 100 см), Е =
= 360000 кГ/см*, /0= (96 · 1003)/12=
= 8- 10е см1, £0 = 20 кГ/см2, q0 =
=ШкГ/см, 910 = 0,5· \0-Щ/кГсм,
А0 = 0,5 · 10'6 см/кГ, Щ =0,3-
■ \0-10\/кГсм, Лг = 0,3 · Ю-6 см/кГ.
Решение. Имея в виду
дифференциальные зависимости
Эпюра Ι=Ι(ζ}-
длюра к-кау
Рис. 12.106. К примеру 12.30: а) балка и
действующая на нее нагрузка; б) эпюра / = / (г);.-
в) эпюра k = k (г); Ε = 360000 кГ/смг, /0 =':
" " см*, ka = 20 кГ/см2, q% = 300 кГ/см,.
1 Ао = 0,5-10-в см/кГ,
8 · 10е см*, k0
Sl0 = 0,5-Ю-»0
SI; = 0,3· 10-"
кГ/см '
' А
кГ/см ' I
U =
M' = Q,
ΕΙ '
Q' = —q = —(q-ku), (12.225)
ΕΙ,
- = 0,00347 (2). 10-"
0,3· 10-· см/кГ,.
1
κΓόμ '
введя обозначения
υ (г) = si (г), Φ (г) = s2 (г), Μ (г) = ss (г), Q (г) = s4 (ζ) (12.226).
и учитывая тот факт, что от (12.204)3 зависимость между s2 и s3 отличается w
имеет вид
si (г) = —«я («)/(£/),

280
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. XII
ятредставим уравнение (12.206) в виде
о'(г)
О'(г)
М' (г)
Q'{z)
1 !
0J —
_0
ΕΙ (г)
0 0\
k (г) 0 I
0
0
ν (г)
О (г)
Μ (г)
<?(г)
+
О
О
О
•9 (г)
(12.227)
Разумеется, к (12.227) пришли бы и исходя из дифференциального
уравнения изгиба балки на упругом основании
(ΕΙ (г) ν" (г))'=ф (z) = -q (г)+* (г) и (ζ),
«ли
(£/(г)о'(г)Г+*(г)1>(г) = <7(г)
л выполняя процедуру, описанную в разделе 1 -настоящего параграфа.
Граничные условия имеют вид
1 0
0 1
■*о
ν(0)
*(0)
М(0)
Q(0)
0
0
9
1 0; 0 At
о ι ι si, о
ν (Ι)
*(/)
Λί(0
Q(0
0
0
Из (12.228)i
si (0) =
υ(0)
Ο(0)
О — Д,
-«о О
Μ (0)
Q(0)
+
(12.228)
= LoS2 (0) + r0. (12.229)
Переходим к отысканию матрицы L (г). Уравнение (12.219) относительно
1, (г) в нашем случае, если учесть (12.227), имеет вид
dLn(z)
dz
dL21 (z)
dz
dL12 (г)
dz
dL22 (г)
dz
Ui (г) L12 (г)
ί<2ΐ (г) L22 (г)
О О
Λ (г) О
Ln (г) L12 (г)
L2i (г) L22 (г)
ί-ιι (г) L12 (г)
L2i (г) L22 (г)
О 1
О О
+
О II
о о
Ln (г) L12 (г)
^2i (г) L22 (г)
+
1
Е1(г)
(12.230)
Производя в (12.230) простейшие матричные операции, получаем систему
дифференциальных уравнений относительно элементов матрицы L (г)
din (г)
dz
= L21 (z) — L12(z)k(z)Ln(z),
dLd\iZ) = L22 (ζ)-La (z)-Li2 (г) k (г) Li2 (г),
dL2l (г)
dz
dL22 (г)
dz
1
— L22(z)k(z)L11(z),
EI(z)
= — Ln (z) — L22 (г) k (г) Li2 (г).
(12.231)
Систему (12.231) интегрируем методом итераций с учетом начальных
условий (матрица L0 дана в формуле (12.229))
L(2)U-o = L(0) =
Ιιι(0) Lu(0)
^2i(0) Laa(0)
0 -Л0
— Slo 0
= L0. (12.232)

§ 12.19] МЕТОД ПРОГОНКИ
Итерации выполняем по следующим формулам1):
2
47> (г) = - [[ёЩ +L&~ Х) (г)* (г) МГ ° (г)] ώ + ««.
о
4? (г) = - J U^ (г) + ^"~ υ (г)* (г) Ltf" '> (г)] аг,
"о
4? (*> = J Ш? (г)-МГ '> (г)* (г) МГ !) (г)] <*г,
о
4? (г) = \[Ц? (г)-Li? (г)—Z-<g- '> (г) Л (г) Lft" ° (г)] d2 + A0,
о
(л=1, 2, ...).
281:
} (12.233).
В нулевом приближении принимаем L[\] (г) = 0, Ζ/β (г) = А0, Щ1 (г)=0.
Результаты вычислений2) приведены в табл. 12.11. Итерация прекращена
при получении в соседних приближениях Ly шести одинаковых значащих,
цифр в десятичной системе. Такой результат достигнут после двадцати
итераций при разбиении промежутка интегрирования на тридцать равных частей-
В табл. 12.11 приведены значения Li;- (ζ) через 1/10 промежутка
интегрирования.
Таблица 12.1?
2
0
0,1/
0,2/
0,3/
0,4/
0,5/
0,6/
0,7/
0,8/
0,9/
/
-L„ ■ 10'
(1/кГ)
0
0,0867112
0,2322393
0,4373973
0,6817992
0,9203529
1,107362
1,228536
1,302697
1,361435
1,437525
Llz ■ 10*
(см/кГ)
0,05000
0,14406
0,51183
1,27160
2,44966
3,89083
5,31293
6,51429
7,49662
8,41459
9,50758
-ί-,ι ■ Ю1»
(ХКкГсм))
0,50000
0,96050
1,51048
2,12839
2,74494
3,25603
3,58193
3,71589
3,70910
3,62855
3,53607
L„ ■ W
О/кГ)
0
0,0867112
0,2322393
0,4373973
0,6817992
0,9203529
1,107362
1,228536
1,302697
1,361435
1,437525
J) Верхний индекс у Ly (z) обозначает номер итерации.
2) Вычисления выполнены на ЭВМ ЕС-ЮЮ по программе, составленной.:
В. И. Париковым в ВЦ Ленпромстройпроекта в группе, руководимой В. И. Слив--
кером. Обоим этим лицам автор приносит глубокую благодарность^

.282
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. XII
Аналогично методом итерации находим и г (г). Согласно (12.222)
dRi (ζ)
dz
dR2 (ζ)
dz
0 1
0 0
tfl(2)
Rii?)
Lu (г) L12 (z)
i<2i (z) L22 (z)
1
0 0
IIЬ (ζ) 0
Ri(z)
R2(z)
Ln (г) L12 (ζ) ||
L2i (ζ)
/•22(2)1
0
— я
(12.234)
После выполнения матричных операций в (12.234) получаем систему
дифференциальных уравнений относительно #ι (ζ) и R2 (ζ)
dRx (z)
dz
dR2 (г)
dz
= R2 (z)-L12 (z) (/?! (z)k(z)-q (г)),
= L22{z){q{z)-R1(z)k{z)).
(12.235)
„При интегрировании учитываем начальное условие
#ι(0)
Яа(0)
= Гл
«■(z)U-o = r(0) =
'Итерации выполняем по следующим формулам:
#<«> (z) = J [L22 (z) (q (ζ)-/?{"- ') (z)k(z))]dz,
(12.236)
о
г
R[n) (*) = $ [#(2я) (z)-L12 (г) (R[n~ ') (г)* (ζ)-? (ζ))] dz.
6
(12.237)
"В нулевом приближении принимаем #iol(z)=0. Результаты вычислений
приведены в табл. 12.12. Итерация прекращена при получении в соседних
приближениях Ri шести одинаковых значащих цифр в десятичной системе. Такой
результат достигнут после тринадцати итераций при разбиении промежутка
интегрирования на тридцать равных частей. В табл. 12.12 значения Rt
шриведены через 1/10 промежутка интегрирования.
* 2
' 0
• ο,ι/
0,2/
) 0,3/
,; о,4/
: о,5/
Ri (см)
0
0,0372156
0,213243
0,756959
1,93668
3,87984
Rz ■ Ю'
0
0,151416
0,790724
2,21861
4,59396
7,67936
ζ
0,6/
0,7/
0,8/
0,9/
/
Таб
Rt (см)
6,43201
9,29586
12,3224
15,6622
19,8161
лица 12.12
Rz · Ю2
10,8642
13,6195
15,8876
18,0712
20,9167
После отыскания L (ζ) и R (ζ) из (12.228) и (12.223) находим столбец
{υ(1) *(/) M(l)Q(l)h

§ 12.19]
МЕТОД ПРОГОНКИ
285-
Итак имеем:
ι о; о Аг
о 11 «ι о
ν (0 II
*(о!"
£ц(0 Ц*(1)
L2i(l) L22il)
viD
O(0
Mil)
Q(i)
0
0
ι
Mil)
Qil)
+
Ri(t)
«2(0
\
(12,238);,
В развернутом виде эти уравнения имеют вид
о(0+ i4|Q(/) = 0, 1
Ф(0 + »|Л4(0 =0,
ν (Ι) - ί-u (/) Μ (/) - L„ (/) Q (/) = /?! (/),
О (0 - *4i (0 Af (0 - L22 (/) Q (/) = R2 (/). ,
Решая систему (12.238), получаем
υ (/) = Л, [R2 (/) Lu (0-/?i (0 Lai (/)-/?i (0 91Л : D,
* (0 = »i [«i (0 *.m (0- «2 (0 i-12 (0 - A[R2 (/)]: D,
Λί (/) = [—/?! (0 Iaa (0 + Яа(0^12 (0 + Л/Яа (01: £>.
Q (0 = [~ *.ii (0 «2 (0 + La (/) I?! (0 +Я1Я1 (01 : D,
Ο = '-ιι (0 ί-22 (0-^-12 (0 ί-21 (0-Я/ Lia (O + HfLa (0-Mi·
Численные значения приведенных выше величин суть:
ν (/) = 8,657381 · ΙΟ"2 см, φ (/) = — 1,608469 ■ 10"» рад.,
М(1) = — 5,361563 · 10' кГсм, Q (/) = — 2,885794 · Ю5 кГ.
Переходим к обратной прогонке, для чего интегрируем уравнение (12.224)»
в промежутке [0, /] от z = l к ζ = 0.
Это уравнение в рассматриваемом случае имеет следующий вид:
112 (ζ) Μ (ζ)
^22 (Z) Q {Ζ)
(12.239)-
dM
dz
dQ
dz
0
k(z)
0
0
I Ln (z)
+
+
Μ (ζ)
Q(z)
+
0
kiz)
Rx(z)
Я2(г)
+
0
-?(z)
Выполняя матричные операции, получим систему дифференциальных
уравнений относительно Μ (ζ) и Q (ζ)
dM^=Q(z),
dz
dQjz)
dz
= k (z) Ln (ζ) Μ (ζ) + £ (ζ) Lia (2) Q (ζ) + * (ζ) #г (ζ) - 9 (ζ).
(12.240),
Систему (12.240) интегрируем методом итерации в промежутке [0, /]„..
начиная от z=l и кончая z = 0,c учетом начальных условий (12.239)34—
Итерации выполняем по следующим формулам:
Μ'»1 iz) = M (/) + $ Q"*-1' (z) dz,
Q<«' (ζ) —
= Q (0 + $ [* (2) Lu (ζ) Λί<«> (2) +Λ (2) L12 (z) Q'«-*' (z) + , (z) /?! (z)-q (z)j dz.

:284 плоский изгиб стержней [гл. хн
Результаты вычислений помещены в табл. 12.13.
Таблица 12.13
г
0
0,1/
0,2/
0,3/
0,4/
0,5/
Λ1 · Ю-7
(кГсм)
—4,04180
—1,78572
0,013309
1,33578
2,16584
2,48219
Q · 10-*
(кГ)
2,06346
1,69309
1,30297
0,899324
0,481600
0,041386
ζ
0,6/
0,7/
0,8/
0,9/
/
м · ю-'
(кГсм)
2,24986
1,41681
—0,082778
—2,32000
-5,36156
Q · Ю-5
(кГ)
—0,435072
-0,961600
— 1,54663
—2,19039
—2,88579
В нулевом приближении принимаем Q (z) = Q (/). Итерация прекращена
*при получении в соседних приближениях Q и Μ семи одинаковых значащих
цифр в десятичной системе. Число итераций в программе было принято априорно
равным 41, что в четыре раза превысило количество необходимых итераций
для получения указанной выше точности.
Завершается расчет отысканием функций ν (ζ) и ϋ (ζ). Это выполняется
путем использования формулы (12.215), которая в рассматриваемом случае
приобретает следующий вид:
о (*) II
После выполнения указанных в (12.241) операций получаем значения ν (ζ)
и Φ (ζ), приведенные в табл. 12.14.
Таблица 12.14;
г
0
0,1/
0,2/
0,3/
0,4/
0,5/
V (СМ)
0,103173
0,435974
0,877053
1,31628
1,63977
1,75638
0-103 (рад)
2,02090
3,33469
3,79663
3,30917
1,93240
—0,021817
ζ
0,6/
0,7/
0,8/
0,9/
/
V (СМ)
1,62909
1,29114
0,835743
0,389435
0,865738
■&· 10» (рад)
—2,01244
—3,45875
—3,95333
—3,33139
— 1,60847
Приведенная выше информация для функций Q и Μ о точности, дости-
> гаемой в итерационном процессе, и о числе итераций относится и к функциям ν
,и ·θ. Как и при вычислении L^ и Ri при отыскании значений функций Q, М,
■ ν и ■& промежуток интегрирования разбивался на тридцать равных частей.
В табл. 12.13 и 12.14 даны результаты для аргументов, взятых через 1/10
; промежутка интегрирования.
Машинное время, затраченное на решение всего примера, составило 1 минуту
51 секунду. Цифровая информация, приведенная в таблицах 12.13 и .12.14 дана
-со значительно большей точностью, чем требуется в инженерных расчетах.
Lu (г)
Ln (z)
La (z)
L22 (ζ) Ι
\M(z)
Q(z)
+
Riiz)
Яа(2)
(12.241)

Глава XIII
СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ
§ 13.1. Предварительные соображения
В главах II, XI и XII рассмотрены так называемые
элементарные деформации стержня: осевая деформация, свободное
кручение и плоский поперечный изгиб. В первом! случае в
поперечных сечениях стержня возникает продольная сила N, во втором —
только крутящий момент Mz, в третьем — только изгибающий
Рис. 13.1. Примеры конструкций, в которых стержневые элементы испытывают сложное
напряженное состояние: а) водонапорная башня (колонна сжата весом бака с водой и
собственным весом и изогнута давлением ветра); б) рама (элементы аб н вг изгибаются
и скручиваются): в) пролетное строение моста (балки изгибаются в вертикальной плоскости
постоянной и временной нагрузками, сжимаются тормозной силой, изгибаются в
горизонтальной плоскости и скручиваются боковыми горизонтальными (удары подвижного
состава) воздействиями).
момент Мх и поперечная сила Qy (или Му и Qx). В ряде случаев
стержень работает в условиях, когда в его сечениях возникают
иные комбинации усилий, нежели отмеченные выше, а в самом
общем случае могут возникнуть все шесть составляющих
внутренних силы и момента г) - Qx, Qy, Ν, Мх, Му и Мг. Такую работу
*) Соответствующие примеры на построение эпюр последних рассмотрены
в главе I,

286 СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ [ГЛ. ХПГ
Pi
1\
—--*»т'
О
'/,
ж
ШЯ,
δ)
■ Pi
Pi \\
стержней в отличие от элементарных, упомянутых выше видов-
деформаций, называют сложным сопротивлением стержней. На
рис. 13.1 изображены стержневые конструкции, в которых стержни
испытывают сложное сопротивление.
Настоящая глава посвящена определению напряжений и
перемещений в случае сложного сопротивления стержней.
Если в стержне перемещения точек оси малы по сравнению·
с поперечными размерами, а повороты малы по сравнению с
единицей, то применим принцип
независимости действия сил, и, таким
образом, непосредственно могут быть,
использованы результаты теории
элементарных видов деформации стержня
с прямолинейной осью. Теория
сложного сопротивления стержня в этом
случае, при условии соблюдения и
закона Гука, оказывается линейной.
Именно так и строится теория в
§§ 13.2-13.4, 13.8 и 13.9.
В случае, если не выполняются
указанные выше условия, и,
следовательно, принцип независимости
действия сил не применим, приходится
строить специальную теорию, в
которой учитывается взаимное влияние
отдельных факторов.
Представим себе стержень,
загруженный силами Рг и Р2 (рис. 13.2).
Очевидно, что деформация,
вызванная каждой из сил Рг (сжатие, рис.
13.2, а) и Р2 (изгиб, рис. 13.2, б) при
одновременном их действии, влияет
на усилия, возникающие в
поперечных сечениях от другой силы. Действительно, под влиянием
силы Рг стержень укорачивается и, следовательно, плечо силы Р2
относительно центра любого сечения, например, с координатой
2 = 0 уменьшается, вследствие чего изгибающий момент, вызван-
wrn
В)
ю
Рис. 13.2. К установлению границы
использования принципа
независимости действия сил: в) сжатие
стержня силой Рх; б) изгиб стержня
силой Рг; в) совместное действие
сил Pi и Р2 на стержень. Если
Рг da — *ι) < Рг'о н Pte «S Рг/о, то
можно пользоваться принципом
независимости действия сил (обратите
внимание на то, что /0 — h зависит
от Pi н е зависит от Ра).
ный силой Р9 в сечении
г = 0,
Р,
также уменьшается. С другой
стороны, в отсутствие силы f2 сила Рг только сжимает стержень,
при наличии же силы Р2 сила Рх, кроме того, и изгибает
стержень, поскольку линия действия силы Рг не совпадает с его осью
из-за наличия прогиба, вызванного силой Р2. Такое взаимное
влияние имеет место всегда. Однако это влияние составляет
заметный процент от эффекта самостоятельного действия каждой из
сил лишь при условии, что стержень достаточно гибок (велико
отношение l/h, где / — длина, a h — поперечный размер) и что на

<§ 13.2] ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ ПОПЕРЕЧНЫЙ И КОСОЙ ИЗГИБ 287
него действует большая по величине нагрузка. При ощутимом
взаимном влиянии эффектов сил пользоваться принципом
независимости действия сил, в котором предполагается полное отсутствие
этого взаимного влияния, нельзя.
Вопрос о границе правомочности (с наперед заданной
точностью) принципа независимости действия сил при одновременном
приложении к стержню продольной и поперечной нагрузки
рассмотрен в § 13.5.
§ 13.2. Пространственный поперечный изгиб. Косой изгиб
1. Пространственный поперечный изгиб.
1.1. Внешние силы и внутренние усилия. Пусть
имеем призматическую балку; неподвижное закрепление ее как
жесткого тела в пространстве осуществим при помощи опорных
стержней. Свяжем с балкой систему координатных осей Охуг,
начало которой расположим в центре тяжести одного из торцов;
направим ось ζ вдоль оси балки, а оси χ и у совместим с
главными осями инерции торца. Будем считать, что вся нагрузка
гх
Рис. 13.3. Стандартная система внешних сил, вызывающих пространственный нзгнб
■(количество сосредоточенных воздействий может быть различным, сосредоточенные силы
и моменты могут быть прнложенылнбо к одному н тому же, либо к различным сечениям;
распределенные силовые и моментные нагрузки могут занимать различные участки на
балке, начиная от полной ее длины, и иметь различные пересечения областей действия).
(внешние силы и реакции опорных стержней, которые полагаем
известными), действующая на стержень, приведена к стандартной
системе.
Точки приложения сосредоточенных (Рг) и распределенных
(q = q(z)) сил лежат на прямой линии, на которой располагаются
центры изгиба поперечных сечений (такое приложение сил
исключает возникновение кручения), а точки приложения
сосредоточенных и распределенных векторов — моментов лежат на оси стержня.
Разложим Ри 9Rh q, m на составляющие в системе осей Охуг
(рис. 13.3): Plx, Piy, Piz, Ш1х, Ш1]}, ЪЖ1г, qx, qy, qz, тх, my, mz.
В настоящем параграфе будем считать, что
Ρ и
О, Ш1г = 0, ?is0, тг~ 0.

288 сложное сопротивление стержней [гл. хш
м,
:0.
При таких условиях в поперечных сечениях
ЛГ^О, Мг^0, <&ξ£0, Qtf=£0, Μ*ξ£0, ,„„.
Деформация балки при описанных выше условиях называется
пространственным поперечным изгибом, поскольку силы и
изогнутая ось балки располагаются не в плоскости, а в пространстве.
Пусть функции Qx, Qy, Мх, Му известны, например для них
построены эпюры.
1.2. Формула для нормального напряжения
в поперечном сечении. Применяя принцип независимости
действия сил, представим рассматриваемую деформацию балки
как сумму двух изгибов —в плоскостях Oyz и Охг. Вследствие
этого, учитывая (12.10), получаем
σ =
Мху
Мух
Ιχ Π 1у
1.3. Нейтральная линия, нейтральная
поверхность. Точки (х0, уа) в поперечном сечении, в которых σ=0τ
образуют прямую (нейтральную ось), уравнение которой имеет вид
Мху0 , Л^х0_
— — Ж,
+
о, * =
Рассмотрим
му1х
1х 'у
(13.1)
tga
Xq
My IX
tga = — W-T.
iY1x ' у
(13.2)
Угол α (рис. 13.4) является функцией г, поскольку от ζ
зависит отношение Му/Мх. Множество нейтральных осей всех попереч-
а?
х0
Jo^
I
Рис. 13.4. Положение
нейтральной оси при
пространственном изгибе стержня.
Рис. 13.5. Нейтральная поверхность при
простраиствениом изгибе стержня.
ных сечений образует нейтральную поверхность, которая, что ясно
из ее определения, является линейчатой (рис. 13.5).
1.4. Перемещения. Изогнутая ось определяется двумя
функциями υ = υ(ζ) и u = u(z), отыскиваемыми из
дифференциальных уравнений EIxv{V = qy, EIyulv = qx.

§ 13.2] ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ ПОПЕРЕЧНЫЙ И КОСОЙ ИЗГИБ 289
Полное поперечное перемещение, ортогональное к
первоначальной оси стержня, представляет собой величину ]/Лы2 + и2.
1.5. Касательные напряжения. Относительно
касательных напряжений подробное пояснение дано в главе XII. Там
показано, как поступать, когда имеются две отличные от нуля
поперечные силы Qx и Q,j.
1.6. Пример 13.1. Для балки, изображенной на рис. 13.6, а (здесь же
показана нагрузка), построить нейтральную поверхность, эпюры напряжений
и изогнутую ось.
Таблица 13.1
и
я
в·
>>
М,
М.
Му<Х
со
V/
V/
о
со
см
V/
V/
со
V/
V/
со
см
а.
го_
см
I
а.
ю
со"
+
а.
со
а.
см
го
см
I
а.
ю
со"
+
со
а.
см
оо [со
+
00
со
см
ю
со"
а.
+
со
а.
см
со_
см
ю
со"
а,
+
а.
■«#
0
Ιβ
13//36
7//18
51/12
41/9
51/9
-2//3
71/9
81/9
0,9293/ ^- ε
0,9293/ +ε
ι
0
0
. —31°35'
—40°50'
—58°0'
—63°2б'
—72°58'
—75°58'
—79°2'
—85°30'
—90°
+90·
+73° 17'
Пр. имечани я:
х~ 12 ' У~ 12 *
2. Величины Λί^. и Μ в характерных сечениях даны на рис. 13.6, б.
3. Численные значения tg α при г, указанных в графе 5, приведены на рис. 13.6, в.
10 А. П. Филин, т. II

290 СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ [ГЛ. ХШ
>\
ζΊιΗιΜι
z-gl z-jl z-^l щ1 ~L
0.3Wtl
Рис. IS.β. К примеру 1J.1: а) балка и действующие на нее силы; б) эпюры изгибающих
моментов Мг и М„; в) график функции tg α.

§ 13.2] ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ ПОПЕРЕЧНЫЙ И КОСОЙ ИЗГИБ 29t
Решение. Раскладываем силы на составляющие, параллельные осям χ и у.
Нейтральная поверхность определяется уравнением (13.1).
Вся информация по определению Мх, Му, tga и α сведена в табл. 13.1.
График tga = /(z) показан на рис 13.6, в. Вид нейтральной поверхности
показан на. рис. 13.7. Определение напряжений сведено в табл. 13.2.
Рис. 13.7. К примеру 13.1. Нейтральная поверхность (продольный и поперечный
масштабы изображения балки различны здесь и на рис. 13.8 и 13.9).
На рис. 13.8 показаны эпюры напряжений в сечениях балки. На рис. 13.9
дана более исчерпывающая характеристика распределения напряжений в балке,
при этом использован принцип изображения, проиллюстрированный на рис. 13.10;
эпюры напряжений, лежащие в плоскостях боковой поверхности призмы
повернуты на 90° до совмещения с плоскостью поперечного сечения.
Рис. 13.8. К примеру 13Д. Эпюры нормальных напряжений в характерных
поперечных сечениях балки (сечения, в которых изменяется вид функции Μ и (или) Μ ).
У
Так как закон изменения изгибающих моментов вдоль оси балки по
участкам линейный, .достаточно было показать на рис 13.8 эпюры нормальных
напряжений лишь в тех поперечных сечениях, в которых происходит
изменение, вида функций Мх и (или) Му. Ввиду линейности закона изменения по
10*

.292
СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. XIII
участкам вдоль балки и Мх и Му, линейным по участкам оказывается и закон
изменения напряжений вдоль продольных ребер. Это и изображено на рис 13.9.
Имея эпюры изменения вдоль длины балки нормальных напряжений в углах
Off -^=7 . Lrb
мг ьь1
Рис. 13.9. К примеру 13.1. Эпюры нормальных напряжений в поперечных сечениях балки.
поперечных сечений, легко построить эпюру этих напряжений в любом поне-.
•речном сечении.
Ю 5)
Рис. 13.10. К построению повернутой эпюры нормальных напряжений в поперечном
сечении балки: а) эпюра нормальи'йх напряжений, в которой ординаты направлены вдоль
действительного направления σ; б) эпюра нормальных напряжений в точках поперечного
сечения, расположенных у его контура, в которой ординаты повернуты на 90° и
совмещены с плоскостью поперечного сечения; I — нейтральная ось.
Найдем функций υ и и, решая краевые задачи
Efxvlv=qy\ ο|,_/ = 0, у' U_/ = ^-U-/ = 0;
Elyuxv = qx\ и:|,_, = 0, и'\ζ^ = Оу |*_, = 0.
Не приводя промежуточных выкладок, подробно поясненных в главе XII
в ряде примеров, покажем окончательные выражения функций ρ и и,

§ 13.2] ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ ПОПЕРЕЧНЫЙ И КОСОЙ ИЗГИБ 293
со
то
Я
К
ч
ю
то
О
oq
о
«J
to
to
=»
5
«о
j;
,
«ο
!
Λ)
5
Η
5
Ν
С?
1
5"
Τ
(4) - (5
+
ю
+
2
1
ю
+
+
ю
■*
СО
CN
О
О
о
о
о
о
о
о
о
а.
см
•о
•^1
а.
см
Si
•о
1
•^1
см
<Я
-О
•^1
а.
см
<я
•О
1
о
*-л
а.
см
<Я
•О
1
о
а, μ
1
ео_
»--»
*■**
а,
см
<я
st
•о
•^1
а,
<Я
•о
II
-с |-о
^*
1
^
•^1
а,
<я
St
•о
II
·« |·ο
■*
Г
^J_^
•^1
а,
<Я
•О
а.
-*
•е
(Я
Ό
1
•^1
а.
(Я
•о
1
*-чк
а.
см
•^1
а.
см
го
1
со
1
со
см
·—*
а.
^*
(Я
-о
I
1
II
s: |S
см
Ί
II
•^1
Л
Si
СМ
о"
a, ла
00
00
см"
jL^
-с |-о
О)
о"
1
00
1
1
а.|3£
II
•е |·ο
σι
сГ
1
00
о_
·-* |ет
•^1
а.
σ>
о"
•si
<Я
-О
1
at
00
1 '
(Я
St
•О
•^*
а.
ю
о"
1
,ΙΒΡΙ
о
■^*»
•^1
а.
(Я
-Si
•o
00
00
см"
1
1
II
CL Ηί
CM
o"
1
II

294
СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. ХШ
(Промежуточные выкладки предлагаем выполнить читателю.)
Ρ/3 Р/2 РгЗ
о = О,1586-^ 0,3035 4гт- ζ '
Е1Х
II 5^2 Ρ/ _2_ \з
ΕΙ χ" ι'βΈΓχ~\ι \2ΕΙΧ \Ζ 3
3
Ρ/3 Ρ/2
κ = 0,171 ^τ °'2481ΓΓ 2 +
3E(y\Z з)
'у
ι 3£7,
з"
Определим функции и и ν в трех характерных сечениях г=0, 1/3, 2//3-
5J/J2P/ __2_ \8
2_ 12£/„ Г 3 '
3
Р/з р/з р/з
«1,-0 = 0,171^ = 0,684^-, 0 1,^ = 0,1586^-,
P/S Р/З
: 0,0636
РР
Е1Х'
Р/з р/з р/з
«|г=2;/3 =0,0183 ^-=0,0730^-, ν |г = 2г/3 =0,0057 ^-.
Здесь учтено, что /г/6 = 2, вследствие чего т^ = -т" : ~W == 1л ~ ' 'χ — ^y
На рис. 13.11 схематично изображена изогнутая ось балки. Очевидно, что
это пространственная кривая.
Рис. 13.11. К. примеру 13.1. Изогнутая ось балки (пространственная кривая); 1 —.
отклонения, характеризующие выход изогнутой оси из плоскости.
2. Косой изгиб
2.1. Условия возникновения. Рассмотрим частный
случай пространственного поперечного изгиба —так называемый
косой изгиб, возникающий при выполнении двух условий:
1) все силы (Ph q), включая реакции в опорных связях и
моменты (Ю1{, т), действуют в одной плоскости, называемой
плоскостью действия сил, которая в рассматриваемом случае: не
совпадает с главной плоскостью инерции;
2) моменты инерции площади поперечного сечения балки
относительно главных осей не равны один другому (1хф1у).
При таком расположении нагрузки отношение изгибающих
моментов Μχ/My имеет одинаковое значение во всех сечениях,

§ 13.2] ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ ПОПЕРЕЧНЫЙ И КОСОЙ ИЗГИБ 295
вследствие этого угол α сохраняет свою величину и нейтральной
поверхностью оказывается плоскость. Некоторые другие
особенности косого изгиба проследим на приводимом ниже примере.
2.2. Пример 13.2. Пусть имеется призматическая консольная балка,
загруженная одной силой Р, приложенной к центру тяжести торца
перпендикулярно оси балки и под углом φ к оси у (рис. 13.12) (начало координат
помещено в центре тяжести торца, ось ζ
направлена вдоль оси балки, оси χ и
у — главные оси инерции поперечного
сечения). Найти положение
нейтральной плоскости в этой балке и
распределение в ней нормальных
напряжений.
Решение. Разложим силу Ρ на
составляющие по осям χ и у: Рх и Ру
Рх — Р sin φ, Ρ у — Ρ cos φ.
При этом
Мх — — PyZ —— Ρ cos φ · ζ =— Μ coscp,
My = — Pxz — — Ρ sin φ · ζ — — Μ sin φ.
Здесь Μ = Ρζ.
Нормальные напряжения в
поперечных сечениях находим по формуле
Мху Мих
σ—^4-А. (13-3)
1 χ 'и
Рис. 13.12. Косой изгиб балки (существует
плоскость действия сил, составляющая
угол φ с у — главной осью инерции
поперечного сечения; Ιχ φ 1 ); t — плоскость
действия сил.
Уравнение нейтральной линии получим из условия σ = 0, так как в точках
Рис. 13.13. Расположение нейтральной линии в поперечном сеченнн балки,
испытывающей косой нзгнб: а) к зависимости между х», у» и a (tga =· ytlxt)\ б) вваимное
расположение следа плоскости действия сил и след* нейтральной плоскости
ί — нейтральная линия; t — след плоскости действия сил
(*«_·-££*,);
(*о· Уо) поперечного сечения на этой линии нормальные напряжения равны
нулю; Поскольку Μ φ О, получаем
л Уо Ιχ irt m
:0, -, = __ tg<p,
Χα ι и
у о соз φ . Хр sin φ
Ι χ +
■ у x0 ' у
ло, с другой стороны, отношение уа/ха (см, рис. 13.13, а), представляет собой

296 СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ [ГЛ. XIII
тангенс угла наклона нейтральной линии по отношению к оси х,
обозначавшегося в предыдущем разделе символом ос. Таким образом,
Ιχ
χο 'и
(13.4)
Если угол (π/2) —φ в первой четверти, то ее —в четвертой (рис. 13.13, б).
При 1х — 1у α = — φ и нейтральная плоскость перпендикулярна плоскости
действия сил (плоский изгиб). Во всех остальных случаях | ot | =^ ш и
нейтральная плоскость не перпендикулярна плоскости действия сил. Такой именно
изгиб и называется косым.
Отличие |сс| от φ увеличивается с увеличением отношения 1х/1у- В
качестве иллюстрации рассмотрим случай прямоугольного поперечного сечения со
сторонами /гиб при различных отношениях сторон (табл. 13.3). В
зависимости между | α | и φ существенной является не форма поперечного сечения,
а величина отношения главных моментов инерции площади поперечного
сечения. Поэтому результаты таблицы при рассмотренных отношениях 1х/1у
относятся к любым по форме поперечным сечениям.
Таблица 13.3
h
b
1
2
5
10
Lx ' у'
bb? ψ b3h
~ 12 : "12 ~~
ft*
1
4
25
100
tga
φ= 1°
= 0,0175
—0,0175
—0,0700
—0,4375
—1,7500
φ = 5°
tg<p=-
= 0.0875
—0,0875
-0,3500
—2,1875
—8,7500
φ= 10°
tg<p =
= 0,1763
—0,1763
—0,7052
—4,4075
— 17,6300
α
φ= 1°
— 1°
—4°
—23°36'
—60° 15'
φ = 5°
—5°
—19°17'
—65°26'
—83°30'
φ= 10°
—10°
—35°11'
—77°20'
—86°45'
Рассмотрим форму и положение в пространстве изогнутой оси балки.
Найдем функции и и ν, решая следующие краевые задачи:
•IV--<7* = 0; ц|г_г = 0, и'
■qy = 0; у|г=г = 0, ν'
EIuul
EIxv
IV
\z-l = Qy \z-l = 0,
\ζ-ι = ®χ |г-г = °;
PI3 sin φ PI2 sin φ Ρ sin φ
ЪЕ1у
Ρ Is cos φ
ЪЕ1Х
2EIy
PI2 cos φ
2EIX
6EI
z3,
у
Ρ cos φ я
' 6EIX '
При любом 'значении ζ — ζΐ (0
величину, Действительно,
Ρ Ρ sin φ
и
υ
ΕΙ,
1
ζ^Ι) отношение u/υ сохраняет-свою-
Ρ/3 cos φ
Elx
Ι £8\
τ+τ)
3 2^6
* 11
Введем обозначение (см. рис. 13.14) u/v-
i о U ι Ιχ
*g β = ^- = *δΨ7^ =
υ ι У
= tg β, получим
— tga.

§ [3.2] ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ ПОПЕРЕЧНЫЙ И КОСОЙ ИЗГИБ 297
Изогнутая ось представляет собой плоскую кривую, лежащую в плоскости,
проходящей через ось ζ и составляющую, с осью у угол, равный β.
Поскольку β=|α| плоскость, в которой располагается изогнутая ось
балки (плоскость изгиба), перпендикулярна нейтральной плоскости.
\
а
1
'
71%)
г а
Jph
\
7^
•ψ
^а
\у
β=ΰϋ
—Η
f*
)
1
<t
V
Рис. 13.14. Взаимное
расположение следа плоскости изгиба
(плоскости, в которой
располагается изогнутая ось) и следа
нейтральной плоскости: / — след
нейтральной плоскости; 2 — след
плоскости действия сил; 3 —
след плоскости изгиба.
Рис. 13.15. К
количественной оценке
отклонения плоскости изгиба от
плоскости действия сил:
/ — след плоскости
действия сил; 2 — след
плоскости изгиба.
Балки с большим отношением главных моментов инерции особенно
чувствительны к выходу силы из плоскости главных осей инерции.
Действительно, отклонение силы от главной оси инерции всего на 1°, при отношении
Ю
Рис. 13.16. Эпюра нормальных напряжений в поперечном сечении при косом изгибе;
а) аксонометрическое изображение; б) повернутая эпюра.
/_„.: /^=100, влечет за собой отклонение плоскости изгиба (см. табл. 13.3,
учитывая, что β = —α), т. е. плоскости, в которой располагается изогнутая
ось балки, на 60° 15' (рис, 13.15),

298 СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ [ГЛ. XIII
Вернемся к распределению нормальных напряжений на плоскости
поперечного сечения балки. На рис. 13.16 изображена эпюра распределения
напряжений согласно формуле (13.3). Эта эпюра имеет закон плоскости,
пересекающей поперечное сечение балки по нейтральной линии. Проверку прочности
следует производить в точках, наиболее удаленных от нейтральной линии.
§ 13.3. Совместно происходящие пространственный изгиб
и осевая деформация жесткого стержня
1. Предварительные замечания. Рассматривается случай, когда
можно использовать принцип независимости действия сил.
Условно1) в этом случае стержень будем называть жестким..
При комбинации деформаций, указанной в заголовке параграфа,,
в поперечных сечениях стержня, вообще говоря, возникают
отличные от нуля следующие усилия и моменты: Qx, Qu, Ν, Мх и Му.
Отличие от случая, обсужденного в предыдущем параграфе, состоит
в наличии продольной силы Ν, возникшей вследствие того, что
у внешних сосредоточенных сил (включая реактивные) и
интенсивности распределенной нагрузки q, кроме составляющих по
осям хну, имеется и составляющая по оси ζ. От общего случая
деформации стержня рассматриваемый отличается лишь
отсутствием кручения (Мг = 0). Обсудим два вопроса — вид нейтральной
поверхности в брусе и распределение нормальных напряжений
в поперечном сечении бруса. Распределение касательных
напряжений в поперечных сечениях получается таким же, как и в
случае пространственного изгиба.
2. Формула для нормального напряжения в поперечном
сечении бруса. Используем принцип независимости действия сил- и
просуммируем нормальные напряжения при осевом действии сил
и при двух плоских изгибах (в плоскостях Οχζ и Oyz). Получим
распределение нормального напряжения по поперечному сечению
по закону плоскости
N Мху Мух _Ν Λ MXF My F \ -
a-T + "77" + 1J - Ύ \l + -ТТ:У + ~¥ Tyx)■ <13·5)
3. Нейтральная поверхность. Кроме общей для всего стержня
системы координатных осей Oxyz, в каждом поперечном сечении
проведем оси Xj_\\x и уг\у с началом координат в точке Ог
(рис. 13.17), являющейся центром тяжести поперечного сечения.
Уравнение нейтральной линии в поперечном сечении имеет вид
1 + ^£ #о + ^*о = 0 (13.6)
!) Условность состоит в том, что, как уже указывалось, граница области,
в которой допустимо пользоваться принципом независимости действия сил,
совершая при этом ошибку не более установленной заранее, зависит не только
от относительных размеров стержня, но и от уровня нагрузки. Подробно об
этом говорится в § 13.5,

§ 13.3]
ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ ИЗГИБ И РАСТЯЖЕНИЕ БРУСА
299
Это уравнение соответствует прямой в плоскости поперечного
сечения, балки, не проходящей через точку Ov Прямую (13.6)
строим по отрезкам, отсекаемым на осях хх и уг (рис. 13.17),
, ΝΙΧ ι NIU .-to j\
MXF '
Myf
В каждом из сечений отрезки, отсекаемые нейтральной линией
та осях хх и ylt свои собственные, поскольку N, Мх и Ми
гу 1$
и;
."
г
К ι
•Рис. 13.17. Призматический стержень: а) системы осей Охуг и OtXiy,; б) нейтральная
линия в поперечном сечении.
(в 13.7) зависят от ζ. Нейтральная поверхность (13.6) является
линейчатой, но в отличие от рассмотренной в § 13.2, она не
содержит в себе ось г.
4. Пример 13.3. Даны брус и действующие на него силы (рис. 13.18),
отношение ///ι=5. Построить нейтральную поверхность и эпюру напряжений.
'Отличие условий настоящего
примера от условий примера 13.2
состоит лишь в наличии сил Pi —Ρ
и Рь — Р. Поскольку эти силы не
влияют на изгибающие моменты,
последние останутся такими же,
как и в примере 13.2. Вместе с тем
появятся вызываемые силами Р4 и
Р5 продольные силы, которых не
■было в брусе примера 13.2.
Решение. Строим эпюру
продольной силы (см. рис. 13.18).
Далее находим положение
нейтральных линий в характерных
сечениях (сечения приложения сил
и заделки).
В торцевом сечении Мх =
= Му = 0 и напряжения ог
возникают только от Ν, при этом
они распределены равномерно, а
нейтральная линия удалена в
бесконечность
ΝΙΚ
Уо==— -ττ-V ->■ СО,
ЗпюрвМ
Хо =
MXF
MyF
-*-OD.
Рис. 13.18. К примеру 13.3: а) балка н
действующие на нее силы; б) эпюра продольной
силы.
Определение отрезков, отсекаемых нейтральной линией на осях хх, у$
в поперечных сечениях через каждые Лг = //36 сведено в табл. 13,4, (При
этом учтено, что //А = 5, hjb — 2.)

300
СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ [ГЛ. ΧΪΙΓ
Таблица 13.4
ζβ
0
1/36
1/18
1/12
1/9
5/36
1/6
7/36
2/9
1/4
5/18
11/36
1/3-ε
1/3 + ε
13/36
7/18
5/12
4/9
17/36
1/2
19/36
5/9
7/12
11/18
23/36
2/3
25/36
13/18
3/4
Τβ
29/36
5/6
31/36
8/9
11/12
17/18
35/36
1
Ν
Ρ
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
ΡΙ
0
—1/36
—1/18
— 1/12
-1/9
—5/36
-1/6
—7/36
—2/9
-1/4
-5/18
—11/36
-1/3
-1/3
— 13/36
—7/18
—5/12
—4/9
—17/36
-1/2
— 19/36
—5/9
—7/12
—11/18
—23/36
—2/3
—0,5992
—0,5284
—0,4576
—0,3868
—0,3160
—0,2452
—0,1744
—0,1036
—0,0328
0,0380
0,1088
0,18
му
PI
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
—1/18
-1/9
-1/6
—2/D
—5/18
-1/3
—7/18
—4/9
-1/2
—5/9
— 11/18
—2/3
—0,6263
—0,5830
—0,5397
—0,4964
—0,4531
—0,4098
—0,3665
—0,3232
—0,2799
—0,2366
—0,1933
—0,15
Ό / ΝΙχ\ >
Τ \ mxf) h
со
0,6
0,3
0,2
0,15
0,12
0,10
0,0857
0,075
0,0667
0,06
0,0545
0,05
0,01
0,0923
0,0856
0,0800
0,0750
0,0706
0,0667
0,0632
0,0600
0,0571
0,0546
0,0521
0,0500
0,0556
0,0630
0,0737
0,0860
0,1053
0,136
0,191
0,3216
1,106
—0,880
—0,300
—0,185
χ0 j Nly\ ι
h \ MyFj h
CO
CO
CO
CO
CO
CO
CO
CO
CO
CO
CO
CO
CO
CO
0,15
0,075
0,050
0,0375
0,0300
0,0250
0,0214
0,0187
0,0166
0,0150
0,0136
0,0125
0,0133
0,0143
0,0154
0,0168
0,0184
0,0203
0,0227
0,0258
0,0298
0,0352
0,0430
0,055

§ 13.31 ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ ИЗГИБ И РАСТЯЖЕНИЕ БРУСА 301
Рис. 13.19. К примеру 13.3. Нейтральная поверхность (продольный и. поперечный
масштабы изображения балки здесь и на рисунках 13.20 и 13.21 различны).
Рис. 13.20. К примеру 13.3. Эпюры нормальных напряжений в характерных
поперечных сечениях балки (сечения, в которых изменяется вид функции_Μχ и (или) Μ ).
Рис. 13.21. К примеру 13.3. Эпюра нормальных напряжений в поперечных сечениях
балки-.

302
СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ [ГЛ. XII!
Таблица 13.5
г
1
0
1
ί-+·
21
3
ι
г
I
0
ι
21
3
/
Ν
2
Ρ
Ρ
2Ρ
2Ρ
2Ρ
Μχ
3
0
Ρ/
3
PI
3
2ΡΙ
3
0,18Ρί
<Μ
(5) + (6) + (7)
Ρ
bh
9Ρ
~~bh
8Ρ
bh
58Ρ
bh.
1,6Ρ
bh
%
4
0
0
0
ЧР1
3
-0,15 Ρ/
6/1
5
Ρ
Ρ
2Ρ
Wi"
2Ρ
2Ρ
Ж
σ£
(5) - (6) + (7)
Ρ
"Μ
IIP
bh
12Ρ
18Ρ
6/г
12.4Ρ
6Λί.ν
6fta
6
0
2Ρ/
b№
ЧР1
bh*
API
bW
1.08Ρ/
<*θ
(5) + (6) - (7)
Ρ
Ж
9Ρ
Tti
8Ρ
bh
22Ρ
bh
16,4Ρ
Wi
Шу
b*h
7
0
0
0
API
b*h
o,m
Wft
σΓ
(5) - (6) - (7)
Ρ
Ж
HP
fc/l
12P
bh
62P
Μ
5,6P
Wi
Нейтральная поверхность показана на рис. 13.19. Определение
нормальных напряжений в поперечных сечениях бруса выполнено в табл. 13.5. Эпюры
напряжений изображены на рис. 13.20 и 13.21.
§ 13.4. Внецентренное растяжение (сжатие)
1. Вводное замечание. Внецентренным растяжением {сжатием)
называется деформация стержня, вызываемая двумя равными и
противоположно направленными силами, приложенными к торцам
бруса в точках пересечения с торцами линии действия этих сил,
параллельной оси бруса, но не совпадающей с нею (рис. 13.22).
Если эта линия совпадает с осью, то растяжение (сжатие)
оказывается центральным или осевым. Стержень предполагается
произвольным призматическим. Очевидно, что при внецентренном

§ 13.41
ВНЕЦЕНТРЕННОЕ РАСТЯЖЕНИЕ (СЖАТИЕ)
303
растяжении (сжатии) в поперечных сечениях бруса возникают
следующие усилия: Мх^Сг = const, My^C2 = const, N^C3 =
= const. Иными словами, внецентренное растяжение (сжатие) есть
комбинация двух чистых изгибов, происходящих в главных
плоскостях инерции бруса и центрального (осевого)
растяжения (сжатия).
2. Формула для нормального напряжения в
поперечном сечении. Внецентренное растяжение
(сжатие) можно рассматривать как частный случай
совместно, происходящих пространственного изгиба
и осевой деформации.
В рассматриваемом случае1) (рис. 13.22)
N = ±P, Мх = ±РуР,
Му = ±РхР. (13.8)
Здесь Хр и уР — координаты точки приложения
силы Р.
Подставляя (13.8) в (13.5), получим
« +ίΡ ^РуРул Рхрк
/,
ι,
P I F F
= ± γ- [Ι + /- УрУ + j- XpX
Напомним, что величины
λί~1- = ί л[1-и- = [
(13.9)
(13.10)
Иис. 13.22.
Внецентренное
растяжение стержня.
называются радиусами инерции площади поперечного сечения
призмы. Учитывая (13.10), формулу (13.9), описывающую
распределение напряжений по закону плоскости, представим в виде
σ=±-£ (l + ^ + ^x). (13.11).
3. Нейтральная линия. Учитывая, что P/F Φ 0 уравнение
нейтральной линии (линии, на которой σ = 0) записываем в
следующем виде:
Ур
1 +7? ^ο + #χο = α
Это прямая, не проходящая через начало координат системы
О1Х1У1 (рис. 13.22), отсекает на осях хг и уг отрезки (рис. 13.23)
Уо |*о-о — ,, — aui
Ур
Ч> |£/о—О
= — -*- = аЛ
(13.12)
1) Здесь и ниже знак плюс относится к случаю внецентренного растяже·»
ния, а минус—к случаю внецентренного сжатия.

20.4 СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ [ГЛ. ХШ
Поскольку брус призматический и, следовательно, каждая из
величин i\ и i'yt а также хР и уР во всех сечениях сохраняет
свое значение, заключаем, что нейтральная поверхность
представляет собой плоскость, параллельную оси бруса и что во
всех поперечных
сечениях распределение
напряжений одинаковое
(рис. 13.24).
4. Проверка
прочности. Наибольшие
нормальные напряжения
возникают в точках,
наиболее удаленных от
нейтральной оси.
Именно в них и надо произво-
дитьпроверку прочности,
Рис. 13.23. Отрезки αχ
и а , отсекаемые на осях
xt н U\ нейтральной
линии в поперечном сечении
внецентренно
растянутого (сжатого) стержня.
Рис. 13.24. Эпюры нормальных напряжений в
поперечных сечениях стержня при внецентренном
сжатии: а) общий вид стержня; б) эпюра
нормальных напряжений в поперечном сечении
(аксонометрическое изображение); в) повернутая эпюра
нормальных напряжений.
сопоставляя напряжения с допускаемыми; если в
поперечном сечении возникают напряжения двух знаков, и материал
сопротивляется по-разному растяжению и сжатию (см. например,
рис. 13.24), условия прочности имеют вид
tfmin | — | &А I =
-т(1 + 1гУл + '$-ХА
ч
Кж]!,
σ
max
р /Ί г ур
I2
У
L^pacTj·
(13.13)
Если напряжения в пределах всего поперечного сечения одного
знака, то используется одно из приведенных выше условий в
зависимости от знака напряжения.

§ 13.4] В НЕЦЕНТРЕ ИНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ (СЖАТИЕ) 305
5. Ядро сечения. Пусть при некотором положении точки
приложения силы Ρ нейтральная линия касается контура и нигде
■его не пересекает. Очевидно, что при таком положении
нейтральной линии нормальное напряжение во всех точках поперечного
сечения имеет один знак (при внецентренном растяжении — плюс,
так как все сечение растянуто, а при внецентренном сжатии —
минус —все сечение сжато). Исключение составляет точка
касания (или точки касания) нейтральной линии к контуру, в
которой нормальное напряжение равно нулю.
Если рассмотреть все множество касательных к контуру,
«катая» касательную по нему (рис. 13.25) так, чтобы она нигде его
не пересекала г), то множество точек приложения силы Р,
соответствующих этим касающимся контура нейтральным линиям·,
at δ) δ}
Рис. 13.25. К построению ядра сечення: а) расположение нейтральных осей (каждая
■ось относится к своей собственной точке приложения силы в поперечном сечении)
касательно к контуру поперечного сечеиня при условии непересечения контура в любой
другой точке; б) пример.расположения касательной к контуру в точке С, пересекающей
этот контур в двух других точках Di и D2 (такое расположение нейтральной линии при
построении границы ядра сечения не используется); в) ядро сечення.
представит собой некоторую замкнутую линию (рис 13.25, в).
Часть поперечного сечения, заключенная внутри и на самой линий
называется ядром сечения. Если к любой его внутренней точке
приложить силу, пер пендикулярную плоскости сечения, то она
вызовет во всем поперечном сечении напряжение одного знака.
Если сила прикладывается к границе ядра сечения, то
нейтральная ось касается контура в некоторой точке, и, следовательно,
в этой точке нормальное напряжение равно нулю. Наконец, если
точка приложения силы Р, внецентренно растягивающей
(сжимающей) призму, находится вне ядра сечения, то нейтральная
линия пересекает контур поперечного сечения и, следовательно,
по одну сторону от нее в сечении имеются сжимающие, а по
другую сторону — растягивающие напряжения.
В тех случаях, когда материал хорошо сопротивляется
сжатию и плохо растяжению (например, бетон, камень, кирпич
х) Например, катание касательной по контуру в точках между Л и β не
производится, так как .касательные к контуру между точками А и В
пересекают контур (см. рис. 13.25, б).

306
СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. ХПГ
и т. п:),: то-при работе этого материала в составе внецентренно»
сжатого элемента иногда добиваются расположения точки
пересечения линии действия сил, с поперечным сечением внутри ядра·,
сечения.
. 6. Примеры. Пример 13.4., Построить ядро сечения для круглого
поперечного сечения радиуса г (рис. 13.26, а).
Решение. Пусть нейтральная линия касается контура в точке а с
координатами %=— '-г,- уо = 0» тогда формулы (13.12) получат следующий вид:
со— —
уР:
Ур — О,
i* Iy/F (nr*/4): ш*
т. е. выбранное расположение нейтральной линии соответствует приложению·
сты.Р .в точке А (г/4, 0). При этом точки Л и а лежат по 'разные стороны^
а)
δ)
Рис. 13.26. К построению ядра сечения в круглом поперечном сеченин стержня: а)
круглое поперечное сеченне; б) взаимное расположение точек А н а. (точка А. — точка
приложения силы; α — точка касания нейтральной линии к контуру); в) ядро сечения.
от центра О (рис. 13.26, б). Очевидно, что аналогичная картина имеет место·
при любом другом расположении точки касания. Следовательно, ядро сечения
представляет собой круг радиуса г/4, концентричный круглому поперечному
хёчению !(рис 13.26, в).
Пример. 13.5. Построить ядро сечения для прямоугольного поперечного-
сечения (рис. 13.27, а).
Решение. Расположим, нейтральную линию, так, чтобы она касалась одной-
из сторон контура (рис. 13.28,6), и учтем (13.12), тогда
b b il
Х°~ 2 ' 2 ~ хр'
Аналогично (см. рис: 13.27, в) при
b b
Х°~ 2' 2 ~
h h il
ifo---2~, - 2 --^.
2il
xp~'T =
2i%
b
Xp=-
h
*»Λ/12
. bh
b ~
b
6--·
„ 6/13/12
bh
h
b
6 *
h
6 '

§ 13.4]
ВНЕЦЕНТРЕННОЕ РАСТЯЖЕНИЕ (СЖАТИЕ)
307
Четырем положениям нейтральной линии
соответствуют четыре точки на границе ядра
сечения—Л, В, С и D. Для того, чтобы, получить
все остальные^точки этой границы, необходимо
проследить за" всем процессом катания
нейтральной линии по контуру при условии отсутствия
пересечений с контуром. Для этого достаточно
проследить за переходом касательной к контуру
на одной его стороне к касательной на смежной
■стороне контура. При этом переходе происходит
поворот касательной вокруг вершины
прямоугольника. (Например, при переходе от 1—1 к 2—
J? —вращение относительно точки К (рис 13.27, г).)
В процессе такого вращения точка, лежащая на
границе ядра сечения,:совершает путь от А до D.
Установим, какова форма этого пути, т. е. как
перемещается точка {хр, ур) положения силы Ρ
при условии, что координата точки, лежащей на
нейтральной линии, не изменяется, поскольку
точка К принадлежит всем этим линиям (xQ = xK,
Уо = Ук)·
Иными словами, в уравнении нейтральной
линии
хр Ур
1+-Тхк + ^тУк = °-
ly ΐχ
х и ук — фиксированные параметры, а хр и
у — переменные. Очевидно, что в такой
трактовке—это уравнение прямой и, следовательно,
повороту нейтральной линии вокруг точки /<"
соответствует перемещение точки приложения силы Ρ
по прямолинейному отрезку, соединяющему А н
D. Аналогично обстоит дело и при повороте
нейтральной линии вокруг Других вершин
прямоугольника. Итак, ядро сечения в прямоугольном
поперечном сечении имеет форму ромба с
диагоналями, равными одной трети длины
параллельных им сторон прямоугольника.
На рис. 13.28 изображен случай воздействия
на стержень прямоугольного поперечного сечения
силы Р, нормальной к сечению при нескольких
таких позициях этой силы, при которых точки
ее приложения располагаются на одной из
главных осей инерции поперечного сечения.
Вследствие этого изгиб происходит лишь в одной
плоскости Οχζ и формула для нормального
напряжения приобретает вид
Р ■ - ' (13.14)
^
X
0
Ώ\
Я
t
' а
ι В
8) f
US
В.
Μ
-^
о
г
К1
6
*4
^
-*т[1+%'У
На рис 13.28 показаны эпюры нормальных
напряжений при нескольких положениях силы.
Обращаем внимание на тот. факт, что среднее
напряжение во всех случаях остается одним и тем
же, равным P/F,
У
Рис. 13.27. К построению
ядра сечения в
прямоугольном поперечном сеченин
стержня: а) прямоугольное
поперечное сечеине; б)
взаимное расположение точки А
(точка приложения силы) и
нейтральной линии
(касается правой стороны
прямоугольника); в) взаимное
расположение точек С, D и В
(точки приложения силы) и
соответствующих
нейтральных линий, касающихся
сторон прямоугольника;
г) поворот нейтральной
лишний вокруг вершины К
поперечного сечения и
соответствующее ему перемещение
точки приложения силы.

308 СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ [ГЛ. XIII
Итак, если поперечное сечение имеет такую форму, что полное
обкатывание его нейтральной линией можно представить как
конечное число положений касательной, в каждом из которых
она имеет не менее двух общих точек с контуром и равное ему
число вращений относительно точек пересечения *
соответствующих соседних по ходу Обкатки касательных, тО ядро сечения
строится так< Находятся точки границы ядра, соответствующие
Л
Ρ
\Р
tlttimttfi
тот
F
т
ίφ^
ч
У'
'
X
jffft^
ч
У]
'
χ
■ уфг^.
Ч
У
ί
X
Sf!fib.~·
%
у
'
Рис. 13.28. Зависимость вида эпюры нормальных напряжений при виецеитреииом
сжатии бруса в случае различного расположения точки приложения силы в поперечно!*
! ι ' сечении. ' '
каждому,'из конечного числа положений, касательных к контуру.
Эти точки являются вершинами многоугольника. Остается лишь
соединить указанные вершины прямолинейными отрезками (рис. 13.29).
7. Цонятие О предварительном напряжении железобетонных
балок, известно, что бетон хороню сопротивляется сжатию и
плохо растяжению. Разрушающие напряжения при растяжении
составляют ^ 1/10 —1/15 долю разрушающих напряжений при
сжатии. Для оказания помощи бетону в той области
конструкции, где ему приходится, работать на растяжение, укладывают
стальную арматуру, воспринимающую на себя значительную часть,
растягивающих усилий. В ряде случаев бетон вовсе выключается,
из работы на растяжение вследствие возникновения в нём трещин,
и растягивающие усилия полностью воспринимаются
арматурой. Однако простое .использование стальной арматуры без·
дополнительных мер все же не позволяет решить всей проблемы.
Во-первых, несмотря на сцепление бетона с арматурой в нем,
как уже отмечено, могут возникнуть трещины. Это объясняется
тем, что предельная растяжимость бетона очень мала. Во-вторых,,
при тех относительных деформациях, при которых в бетоне воз*-

§ 13.4]
ВНЁЦЕНТРЕННОЕ РАСТЯЖЕНИЕ (СЖАТИЕ)
309
никают трещины, в арматуре напряжения значительно ниже
допускаемых. Так как допустимы лишь микротрещины в бетоне„
да и то не во всех конструкциях (например, в резервуарах или
корпусах судов, где требуется водонепроницаемость, трещины
вообще недопустимы), доводить
напряжения в арматуре до допускаемых даже
при использовании обычной стали
нельзя, так как поперечные размеры
трещин становятся уже опасными, (при
них возникнут коррозия арматуры
вследствие попадания к ней по
трещинам влаги и агрессивных газов и
эрозия бетона вследствие замерзания воды
в трещинах). Высокопрочную же сталь
применять в обычных железобетонных
конструкциях вовсе нецелесообразно.
С целью предотвращения
возникновения трещин используют
предварительное напряжение балки для
компенсации растягивающих напряжений в
бетоне в рабочем состоянии.
Пусть имеем бетонную балку прямо-'
угольного поперечного сечения на двух
опорах, нагруженную равномерно
распределенной нагрузкой (рис. 13.30, а).
Под влиянием этой нагрузки в
поперечных сечениях балки возникнут
изгибающие моменты, эпюра которых
представляет собой квадратную
параболу (рис. 13.30, б). Если балка чисто
бетонная, то в ней, как в балке из
однородного (квазиоднородного) материала, в области ниже
срединного по высоте слоя возникнут растягивающие напряжения;
наибольшее из них —в сечении посредине пролета.
Пусть теперь мы пожелали за счет предварительного
напряжения бетона улучшить работу балки. С этой целью домкратами,
упираясь в жесткие опоры (например, стены), разовьем давление
на торцы балки, вызывающее в общем случае такое внецентрен-
ное сжатие балки, напряжения от которого, складываясь с
напряжениями изгиба, вызванными поперечной нагрузкой,, полностью
компенсируют растяжение в нижних волокнах среднего сечения.
Пусть эксцентриситет силы Ρ равен е, рис. 13.30». в.
Напряжения, вызванные нагрузкой q, равны
8 __,_ 3ql2
Рис. 13.29. Ядро сечення: α) в
зетовом поперечном сеченнн;
б) в восьмиугольном
поперечном сеченнн.
OWb —

310 СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ [ГЛ. ХШ
Напряжения, вызванные внецентренным сжатием, определим
Ρ I e \
но формуле, аналогичной (13.14) σρ = 1 +-.т#). или
F \ ϊχ
σ
ρ __
II, В
-У1
eh
2bS-fbh
12
Ρ
bh
-& 1±
бе
Из условия σΗ =
3 ql*
мое Р\ P?=-j-
рис
ί?/2
4 ьт
= -°р„ =
Р_
bh
1 -f-τ-) найдем
необходима
£ = 0,
h/6
4 А(1Ч-6в/А)'
13.31, а, б, 5 показаны эпюры Мр и Np при разных
всем этим случаям эпюры
О)
< '"* г
и /ι/2, а также отвечающие
jLLjL3J''''ί "'χ'' jnjn jr jm" 1Щ
нормальных напряжении σ'
и σ"-|-σρ в сечениях ζ = 0,
//4 и //2. Такого же
эффекта можно добиться,
развивая силы, передаваемые на
торцы бетонной балки при
помощи натяжения
арматуры, помещенной в канал,
созданный в балке при ее
изготовлении. Достигнуть
этого можно так. Перед
бетонированием балки
поместить в опалубку (в
форму) трубки из жести
и в них с некоторым
зазором расположить
арматуру, например,
высокопрочные тросы. Затем
забетонировать балку и дать
бетону отвердеть и
приобрести необходимую
прочность. В теле бетонной
балки при этом образуются
каналы, внутренняя
поверхность которых
представляет собой внутреннюю поверхность уложенных жестяных
трубок. Арматура, находящаяся в этих каналах, не имеет
сцепления с бетоном. Если один конец каждого арматурного
стержня снабдить упорным устройством, а другой— домкратом,
упирающимся в торец бетонной балки (рис. 13.32), то при
-помощи домкрата будет создано напряжение в конструкции —
растяжение в арматуре и сжатие в бетоне.
Эпюра /У'
Эпюра Нр
Рис. 13.30". Нагружение балкн виецентренно
сжимающими ее силами Р: а) балка и действующая
:на нее нагрузка; б) эпюра изгибающих моментов
от нагрузки; в) внецентренное сжатие балкн
силами Ρ и эпюры изгибающего момента и
продольной силы, вызываемые этой силой.

§ 13.4]
ВНЕЦЕНТРЕННОЕ РАСТЯЖЕНИЕ (СЖАТИЕ)
311
*·!:§
\^l^rftf$
ъ.
^
с».
II
ЗЕ
^1
^ II
ΗΣ,
cvl
^>-,
■5*
^ I
K)|oq
^ И
V
ю
•с;
йш
■1за\
«D
^ττΤΤΤΐΤίϊϊΤ§Ι
,^ττίΤΤίΜΙ
~ϊϋ οι/
ч
о
с».
5:
t
I
ν*
I
\
Ш
CM
CM
I
I «a
Θ
III Ι Ι Ι Ι 111 ΙΙΤΠ
\:
φ
^^ШШтвп»
О.
IS
to
«IS
^тгШШПк.
^ЙГПТгтггг^
СЧ1
•«а
«у tw
^3
о-
II £
N «>
X *>
к ..
αϊ ·*£
Ζ II
X
3 «г
χ да
о. Ч
<и о
D
И <=
«>
в
я го
к в·
о. £-
га «>
я _
о
■3 «>
в
к га-
s S
5 ^ '
й- s
о о
в я
(X
е- «у
а. »;
■§ к.
~ Ч'
К со
г» W
* о,-
О. *"
^ +-
CS О-
«о ^
!

312 СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ [ГЛ. XIII
Положение того конца стержня, за который его вытягивал
домкрат, фиксируется после достижения проектного значения
усилия (например, постановкой шайб под колодку, которой
заканчивается арматурный стержень), и домкрат снимается.
Промежуток между стержнем арматуры и внутренней
поверхностью канала в бетонной балке инъектируется цементным
раствором, после твердения которого возникает сцепление между
арматурой и окружающим
ее телом балки.
Путем сопоставления
рис. 13.31,6, в можно
заключить, что при
расположении напрягающей силы
в пределах ядра сечения
суммарные эпюры σ?-}-σρ
во всех сечениях балки
оказываются однозначными
(напряжения
сжимающими). При выходе точки
приложения силы из ядра
сечения напряжения на
некоторой части длины в
верхней зоне балки
оказываются растягивающими,
т. е., улучшая работу
материала в одной части
балки, ухудшаем, правда, в
меньшей мере, —в другой.
Можно принять такие
меры, при которых будут
полностью компенсированы
изгибающие моменты во всех поперечных сечениях и, следовательно,
полностью устранены растяжение и неравномерность
распределения напряжений по высоте сечения балки. Отмеченный выигрыш
в работе конструкции достигается ценой усугубления работы
бетона на сжатие. Делается это так. Половину из числа трубок с
арматурой уложим горизонтально на некотором небольшом
расстоянии (обеспечивающем необходимую толщину так называемого
защитного слоя бетона) от нижней грани балки. Другую
половину расположим по квадратной параболе так, чтобы пересечение
последней с торцами балки находилось от оси балки на таком же
расстоянии как и арматуры, уложенной горизонтально
(рис. 13.32, б). Поскольку число стержней арматуры,
расположенных горизонтально, и число отогнутых стержней принято
одинаковым, и во всех стержнях усилия развивались домкратами
одинаковые, равнодействующая всех этих усилий в каждом
^iiilff^^
: ЗпюраМ1'
6)
Тис. 13.32. Предварительное напряжение балки
при помощи натяжения арматуры: а) случай,
когда арматура расположена параллельно оси
балки; домкрат, натягивающий арматуру силой Р,
упирается в торец балки (иа рисунке изображены
две силы по Р/2); б) случай, когда половина
арматурных стержней расположена параллельно
оси балки на расстоянии а от нее, а другая
половина стержней отогнута по квадратной
параболе, пересекающей торец тоже на расстоянии а
от оси балки (пунктиром показана линия
действия равнодействующей усилий во всех
арматурных стержнях, эта линия аффиино-эквивалеитна
эпюре изгибающих моментов от нагрузки); в)
эпюра изгибающих моментов от предварительного
напряжения в случае б.

§13.4] ВНЕЦЕНТРЕННОЕ РАСТЯЖЕНИЕ (СЖАТИЕ) 3!3
йз сечении будет иметь точку приложения посредине расстояния
между центрами тяжести горизонтальных и отогнутых стержней
в этом сечении. Множество точек приложения этих
равнодействующих представляет собой квадратную параболу (пунктир нз
рис. 13.32, б), аффинно-эквивалентную (сжатую по вертикали
в два раза) той, по которой расположены отогнутые стержни.
В каждом поперечном сечении действует сила (равнодействующая
усилий во всех стержнях арматуры), имеющая эксцентриситет,
равный расстоянию от точки пересечения параболы,
изображенной пунктиром, с поперечным сечением балки, до оси. Вследствие
наличия эксцентриситета указанная сила в каждом из сечений'
создает изгибающий момент, противоположный по направлению
тому, который вызывается внешней нагрузкой. Эпюра этих
изгибающих моментов, созданных предварительным напряжением
балки, как и от нагрузки, также представляет собой квадратную
параболу, но имеет противоположный знак. Чем больше величина,
суммарной силы натяжения стержней арматуры, тем
пропорционально больше все ординаты эпюры изгибающих моментов,
вызванных предварительным напряжением балки. Можно подобрать,
величину суммарной силы такой, чтобы эпюры Μι и Мр
с точностью до знака оказались тождественными j Μ?|ξ= | Λίρ j„
Так полностью компенсируется изгиб, однако в балке
возникает сжатие с продольной силой Ν = Ρ во всех сечениях,
В приведенном выше рассуждении в связи с большой пологостью
отогнутых стержней пренебрежено разницей между усилием
в отогнутом стержне и его проекцией на горизонтальное
направление.
Работа предварительно напряженных балок в натурных
условиях значительно сложнее описанной здесь.
Во-первых, под влиянием усадки и ползучести бетона и:
релаксации напряжений в арматуре со временем происходит
снижение силы натяжения в арматурных стержнях, а
следовательно и силы, сжимающей бетон. При назначении величины
силы натяжения арматуры это обстоятельство необходимо
учитывать.
Во-вторых, как правило, балка служит не для работы только
лишь на собственный вес интенсивностью qlt а для восприятия,
кроме того, той или иной так называемой полезной нагрузки
интенсивностью д2. Поэтому в расчете приходится различать три
стадии работы конструкции: работа только на нагрузку qlt работа
на нагрузку qx и предварительное напряжение и, наконец,
работа на qv предварительное напряжение и q2. На нагрузку qz
расчет балки ведется как обычной железобетонной балки, в
которой арматура имеет сцепление с бетоном. Разумеется, .что при
назначении величины силы натяжения нужно рассчитывать
на компенсацию и тех растягивающих напряжений, которые

314 СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ [ГЛ. ХШ
вызываются нагрузкой q2. Но при таком условии изгибающие
моменты, создаваемые предварительным напряжением балки,
должны не только компенсировать изгибающие моменты от
нагрузки qit но и создавать необходимый запас сжатия для
будущей работы на нагрузку q2, а это связано с возникновением
изгибающих моментов при совместном действии нагрузки q1 и
предварительного напряжения балки, противоположного знака
по сравнению со знаком изгибающих моментов от qv Вследствие
отмеченного, во второй стадии работы балки некоторые области
ее могут находиться в худших· условиях, нежели в третьей
стадии работы.
В-третьих, натяжение всех стержней арматуры не может быть
выполнено одновременно, при последовательном же натяжении
возбуждение усилия в каждом следующем стержне ослабляет
нат яжение ранее напряженных стержней. Этот эффект также
приходится учитывать в расчете. Имеется и ряд других причин,
усложняющих работу конструкции (наличие касательных
напряжений, технологическая сложность расположения стержней по
параболе и т. п.).
Все изложенное свидетельствует о значительной сложности
вопроса.
Предварительное напряжение применяется с целью улучшения
напряженного состояния не только железобетонных балок, но и
балок из однородного материала, например стали.
Регулированию напряжений в конструкциях при помощи
предварительного напряжения посвящена большая литература г).
8. Понятие о ядровых моментах. В ряде случаев при
рассмотрении внецентренного сжатия (имеется в виду плоская работа
стержня) удобно пользоваться не двухчленной формулой (13.14),
а некоторой одночленной. Для того чтобы достигнуть этого, введем
новое понятие — ядровые моменты. Пусть нормальные
составляющие внутренних сил, действующих в поперечном сечении стержня
(рис. 13.33, а), имеют равнодействующую Р, приложенную в точке
с эксцентриситетом, равным е (рис. 13.33, б). До сих пор эту
систему внутренних сил мы приводили к стандартной системе —
изгибающему моменту Μ.= Ре и продольной силе Ν =— Ρ,
выбирая в ■ качестве точки приведения сил центр тяжести площади
поперечного сечения (рис. 13.33, в). В результате этого формула
для нормальных напряжений в крайних волокнах приобретает вид
N . Μ Ρ Λ , eF\ /ίο 1сч
!) Bauingenieur — Praxis Heft 38. Die Vorspannung im Stahlbau. Theorie
und Konstruktionspraxis von Doz. Dipl. — Ing. Pavel Ferjencik, CSc., Dipl.—Irig.
Miloslav Tochacek, CSc. 1975. Verlag von Wilhelm Ernst und Sohn. Berlin,
Miinchen, Dtisseldorf (библ. 573 лит. источн.).

§ 13.4]
ВНЕЦЕНТРЕННОЕ РАСТЯЖЕНИЕ (СЖАТИЕ)
315
или для прямоугольного поперечного сечения
Ρ Λ бе
верхний знак в скобках относится к нижнему волокну.
^г
7^
{ bJ
( kf\
а)
f\
.
Км \
и
У
δ)
М-Рв
N=F
6)
Мв'Р(е-кв)
Зпюры напряжений
от Р,приложен.
в'точнеКв от Mg
от Р,приложен.
^МГР(ЫН) в ™чке КИ отИн
Рис. 13.33. Ядровые моменты: а) стержень (фрагмент) и действующая на него нагрузка;·
б) сила Р, заменяющая действие части стержня, расположенной правее сечения ИВ, на·
часть стержня левее этого сечения; в) приведение силы Р, показанной на фиг. б, к
статически ей эквивалентной стандартной системе обобщенных сил — продольной силе N и<
изгибающему (центральному) моменту, если за точку приведения выбран центр тяжести·
поперечного сечения; г) приведение силы Ρ (фиг. б) к статически ей эквивалентной
системе обобщенных сил — силе Р, приложенной в точке Кв , и Μβ (верхний ядровыГр
момент; точка приведения К — верхняя граница ядра сечения) и эпюры нормальных
напряжений в поперечном сечении, эквивалентных этим силам; д) приведение силы Р'
(фиг. б), к статически ей эквивалентной системе обобщенных сил: Р, приложенной в
точке К., и Μ (нижний ядровый момент; точка приведения Кн — нижняя граница ядра*
сечения) и эпюры нормальных напряжений в поперечном сечении, экрнвалентных им.
Можно поступить и иначе, выбрав в качестве точки
приведения внутренних нормальных к сечению сил не точку О, а точку

316 СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ [ГЛ.. XIII
Къ — верхнюю границу ядра сечения или точку /Сн — нижнюю
границу ядра сечения. В первом случае (рис. 13.33, г)
статическим эквивалентом силы Ρ с эксцентриситетом е является сила Ρ
с эксцентриситетом kB (верхний радиус ядра сечения) и момент
ΛίΒ = Ρ (е — kB) —.верхний ядровый момент, т. е. момент внутренних
сил относительно верхней границы ядра сечения. Нормальное
напряжение в нижнем волокне от силы Р, приложенной в Кв,
равно нулю, а от Мв
σ„ = -^-· (13.16)
Аналогично, во втором случае (13.33, д) статическим
эквивалентом силы Ρ с эксцентриситетом е является сила Ρ с
эксцентриситетом kn (нижний радиус ядра сечения) и момент ΜΆ = Ρ (е +
+ kH) — нижний ядровый момент, т. е. момент внутренних сил
относительно нижней границы ядра сечения. Нормальное
напряжение в верхнем волокне от силы Р, приложенной в К», равно
нулю, а от Мн
*- = —ίς-: <13·17)
Формулы (13.16) и (13.17) удобнее формулы (13.15) в случае,
если расчет ведется на подвижную нагрузку, вызывающую при
разном положении на конструкции усилия различных знаков,
так как приходится находить наиневыгоднейшее положение
нагрузки для.одного фактора (Мн или Мв), а не двух факторов (Ν
и М), имеющих, как правило, различные на.иневыгоднейшие
участки загружения конструкции, что осложняет отыскание
экстремальных напряжений по формуле (13.15).
§ 13.5. Совместно происходящие изгиб и осевая
деформация (растяжение) гибкого стержня
I. Предварительные замечания. В начале настоящей главы
было отмечено, что если стержень обладает значительной
жесткостью, то в некоторых пределах можно не считаться с взаимным
влиянием отдельных видов деформации. Например, можно не
считаться с возникновением дополнительных изгибающих моментов
от продольной внешней силы вследствие искривления оси стержня
под влиянием поперечной нагрузки, вызывающей изгиб. Граница
допустимости использования принципа независимости действия
сил оставалась неопределенной. В настоящем параграфе
показывается, как может быть учтено взаимное влияние осевой
деформации и изгиба и поясняется принцип установления границы
.допустимости пренебрежения этим влиянием, если величина
разрешаемой погрешности в процентах к решению, учитывающему
указанное влияние, установлена,

§ !3.5]
ИЗГИБ И ОСЕВАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ГИБКОГО СТЕРЖНЯ
317
2. Дифференциальное уравнение изгиба балки и его общий
интеграл: Рассмотрим закрепленный в пространстве
прямолинейный стержень, подвергнутый воздействию произвольной
распределенной поперечной нагрузки q{z), действующей в плоскости Oyz,
и, кроме того, воздействию продольных растягивающих1)· сил,
центрально приложенных к концам стержня (рис. 13.34).
Дифференциальное уравнение
изгиба балки имеет вид
EIxv" = — Mx. (13.18)
Изгибающий момент Мх и
поперечная сила Qy создаются
поперечной внешней нагрузкой
и внешними продольными
силами Р, т; е.
ΜΧ = ΜΧ + ΜΪ, Qy = Ql + QPy
(13.19)
•rm^JSrrrrmTTrn
У1
Рис. 13.34. Совместное действие на гибкий
стержень поперечной н продольной
растягивающей нагрузок.
dMxldz.
Из рис. 13.34 видно, что Мх =— Pv, Qy — — Ри'
Таким образом,
Mx = Mqx-Pv, Qy = Q«-pv'. (13.20)
Формулы (13.20) показывают, что при одновременном изгибе и
осевой деформации гибкого стержня усилия зависят от прогибов.
Подставляя (13.20) в (13.18), получаем дифференциальное
уравнение сложного изгиба балки
EIxu" = — Mx + Pv. (13.21)
Дифференцируя (13.21) последовательно два раза, получаем
(EIxv")' = -Ql + Pv\ (EIxv")" = qy + Pv".
Если функция ν известна, то углы поворота и усилия в
сечениях балки находятся обычным порядком
θ, = ο', Mx--= — EIxv\ Qy = — EIxv\ (13.22)
Ограничимся рассмотрением частного случая призматической
балки {EIX — const), тогда дифференциальное уравнение сложного
изгиба приобретает вид
EIxvW-Pv" = qm »iv_ftv = _^. k = ]i~. (13.23)
EIX> '" Ψ ΕΙΧ·
Общий интеграл неоднородного уравнения (13.23) равен сумме
общего интеграла однородного уравнения
uiv-W = 0 (13.24)
Ц Случай сжимающих сил ниже будет обсужден особо,

318
СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. XIII
и какого-либо частного интеграла неоднородного уравнения (13.23)..
Характеристическое уравнение и его корни имеют вида4 — k2a2 =
= 0; α1 = α2==0» Яз = ^» fl.4 = — &· Следовательно, общий интеграл:
уравнения (13.24) может быть представлен так: и(0) = Л1 + Azkz +■
+ Афкг + A4e-k*; и<°> = Вг + B2kz + Б3 ch fez + B4 sh /гг.
Ιζ=0 1г-0
W*
Α=Λ-<
'+Λ#/ ~(-£/um+Po'J/ ; Rz~RB~{-Q+Pv')\ -(ElOm+Rv'Jl
k»t Ιζ-σ lz-i /z
ггу δ)
zH
Рис' 13.35. К установлению связи между поперечной силой на опоре, опорной реакцией;
и силой, растягивающей стержень: а) левая опора; б) правая опора.
Частное решение уравнения (13.23) может быть найдено одним;
из известных способов, в частности, способом неопределенных
коэффициентов. Например, пусть q = const, ищем ич-р в следующей
форме:
»4.p = D1zs, + DiZe + DJ^.
Подставляя (13.25) в (13.23), получим
(— <№ΌΧ + 24D3) - 6#ϋ2ζ - 12k2D9z*
Яу
El,
(13.25)
(13.26>
Чтобы равенство (13.26) оказалось тождеством, необходимо-
обратить в нуль коэффициенты при ζ и г2, что эквивалентно
равенствам
D2 = D3 = 0. (13.27).
Учитывая (13.27) из (13.26), находим Dlt а затем и частное
решение
qy qy . _ qy ,2
£>ι =
1) ■= 7
2р' ич. ρ 2Ρ
Ч&Е1Х
Граничные условия для самого общего случая закрепления
конца балки (упругое защемление на упруго податливой опоре)
имеют вид:
для. левого конца (рис. 13.35)
v = ARX = А (— ΕΙ ν'" + Ρν'), ν' = Ш = —ϊ\ΕΙυ"; (13.28)
для правого конца
v = ARt = AiEIxxr + Pv'Y, V -- %Μ^%ΕΙχυ". (13.29)

'§13-5]
ИЗГИБ И: ОСЕВАЯ ДЕФОРМАЦИЯ : ГИБКОГО СТЕРЖНЯ
319:
Μ,ι ■ nil ■■ ■ И ■ '' ■■!' I
1
г
V
У}
SffiL
I яр?
г
Здесь Л — податливость упруго проседающей опоры, т. е. осадка
этой опоры при силе, действующей на нее, равной единице; VI—^
податливость упругого защемления конца балки, т. е. угол
поворота опорного сечения при
моменте, возникающем е. опорном
сечении, равном единице.
4 Из (13.28), (13.29). можно
получить граничные условия при
всех частных случаях закрепления
концов балки:
при неподатливой опоре А = О,
υ = 0;
при абсолютном защемлении
1Й = 0, 1>'=0;
на свободном левом (правом)
конце
Л = Я-^оо, ϋ"ί=0,
=ρ£/χ-Γ-/ν=0. (13.30)
P.
а)
immw^ г
1
I
■г
I
2 Г/
δ)
0..
^35
3. Примеры. Пример 13.6. Опреде-·
.лить перемещения и усилия в Однопро-
летной призматической балке, Шарнирно
опертой по концам, при воздействии на
нее равномерно'распределенной
поперечной нагрузки и продольных растягивают
щих сил, центрально' приложенных, по
концам (рис. 13.36, а).
Решение. Расположим начало
координат в центре среднего сечения балки
и вследствие симметрии, относительно
оси у и конструкции, и нагрузки
сохраним в общем интеграле . однородного
уравнения лишь четные функции > ■
v = B1 + Bschkz, (13.31)·
У)
I:
tfc—
m?
Μ>Μ
Ρ
Р.г.
δ)
Рис.· 13.36. Балки, испытывающие
сложный; изгиб: а) κ примеру 13.6;
б) κ примеру 13.7; в), κ примеру 13.8:
г) κ использованию' результата
примера 13.8.
а частное решение примем в форме ич.р = —^ г2. Тогда, общий интеграл
неоднородного уравнения примет вид
•ν =Вг + Вя ch kz-gp г*
Граничные условия »[2==;/2=0, ν"
(13.32)
= г/2=0 в развернутой форме
записываются тек:
Bi + 5,ch.»^?
ql*
8Р
■0,
ft*B8ch»^=0,
(13.33)
где »=/г//2, или 2»=fc/.
Из (13.33) находим'^ =|^-,^2.
ί»' Вз = Ш сК"»» И окончательно

320 СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ [ГЛ. XIIГ
* = «, Р = Е1Х(^У. (13.35)
ql*
v=-
k.7 1 1
^_1+T(»8_ftiz«)j, (13.36)
В функцию и внешняя растягивающая продольная сила Ρ входит в
знаменатель коэффициента перед скобкой и неявно в k и »-. Выразим Ρ и к
через »
После подстановки (13.35) в (13.34) и учета (13.22) получим
~ch kz
'Е1Х(Щ* ~ch~
0,— ВЦГ—£%£. (13.38)
В характерных сечениях функции (13.36) —(13.38) приобретают следующие
частные значения:
**!«-££ (l-^). (13.41)
Формулы (13.39) — (13.41) можно представить в следующем виде:
5 о/4 й/3
ϋ \*-«=-mETxh (ϋ)' °* k=±//2=- гщ;* <»)·
Μ*|*_β = ^<ρο(»). (13.42)
При этом имеются в виду следующие обозначения *):
24/1 1 \ ч
Λ<e>=65S(ηϊΓΪ-f+-2 β")· *■<»>=£<*-*»>.
«^ЧК1"^)' <13·43>
Пример 13.7. Условия отличаются от предыдущего примера только тем,
что концы балки жестко защемлены (рис. 13.36, б).
Решение. Вид общего интеграла неоднородного уравнения сохраняется
неизменным (формула 13.32), граничные же условия имеют вид
и1г=;/2 = 0' и'1г=//2 = 0>
или в развернутой форме
Bi + Ba ch»-g = 0, B3k sh»- |^ = 0,
откуда
3 2Р/г sh ϋ' βι 8P 2Р/г sh ϋ *
i) Заметим, что ψ0 (»)=/ι (2»)> ГДе функция /х (о) приведена ниже
(формула (13.46)!).

§ 13.5] ИЗГИБ И ОСЕВАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ГИБКОГО СТЕРЖНЯ 321
Подставляя в (13.32) найденные выражения для Βχ и В3 и имея в виду
равенства (13.35), получим
ql*
v = —^
eia^Y
/ch kz _ . \ J>_ Ό2 — fe2z2]
\ch» /th» + 2 J»
Mx = — EIxv"= — 7H-T5 —u !
* (2υ)2 \ sh d
(13.44)
В характерных сечениях имеем
, ί/» 24/ϊ » \ ql*
ν |г-о_з84£7;^ [γ -т~2) - mm-J1 {*}>
u=0 24 »а Г sh
h» ) = 24 φι <*>'
Μ\ζ=±1/2
?Ρ3 /,-th»\ ^
~~ 12 »2 \ th» / 12 χ^'
(13.45)
где использованы обозначения
w-£(i-*i). *«-*('-£)-*«-£(тг1*)· "3'46)
Пример 13.8. Определить перемещения и усилия в однопролетной
призматической шарнирно опертой по концам балке, при воздействии на нее
опорного момента и растягивающих осевых сил, приложенных по концам
(рис. 13.36, в).
Решение. Ввиду отсутствия распределенной пролетной нагрузки ич-р = 0 и
общий интеграл уравнений (13.23) имеет вид
v=Bi-\-B2kz-\-Bzohkz-\-Bishkz. (13.47)
Учитывая граничные условия на левом конце балки (z=0)
f|*-o = 0, f"U~o = 0,
которые в развернутой форме приобретают вид Вг-{-В$ = 0, k2B3 = 0, находим
Βί = Βζ = 0. (13.48)
Граничные условия на правом конце балки (2 = /)
* |*-*=о, Eixu"\z.t—an
в развернутом виде с учетом (13.35) записываются так:
522u+54sh2u = 0, E/xBifi*sb2v = — 331, (13.49)
Из (13.49) находим
дуг 1 $щ
β4=~£7^8Έ2ί' Βζ = Έ7χΜ^· (13*50)
Таким образом, с учетом (13.48) и (13.50) функция (13.47) имеет вид
Ш [kz shkz'
υ =
EIxk2 2»
[kz sh/гг]
L2^ shT2»J*
Зная функцию ν, находим
η , 33ί / 1 chkz\ „ „„ sh/гг
Е1М\Ъ sh2»7' * * sh2u'

322
СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ
(ГЛ. XIII
В характерных сечениях функция Ό* приобретает следующие частные
значения:
„ , _ Ш 6/1 1 \ ЧШ . . , ι
. . к/ з / ι ι\_ т . ,. [ (ШИ)
где!) VtW-K^-^), <i(»)-|(thW-^)·
При загружении моментами каждого из двух концов однопролетной
призматической балки с шарнирными опорами (рис. 13.36, г) углы поворота
находятся по следующим формулам, являющимся следствием формул (13.51):
°* ^зЖ^+бЖ^' **|г-<—бЖ^(")_з£7;% (ϋ)·
4. Влияние продольных внешних сил на перемещения и
усилия в растянуто-изогнутой балке. Все формулы (13.42), (13.45),
(13.51) имеют одинаковую в принципе структуру.
Выражение прогиба, угла поворота, изгибающего момента
в сечении paci я нуто-изогнутой балки содержат в качестве
множителя функции /, φ, χ, ψ, учитывающие влияние продольных
внешних сил. Выражения, на которые умножаются функции,
представляют собой соответственно прогиб, угол поворота, изгибающий
момент в том же сечении, но при условии равенства нулю
продольной внешней силы. Функции /, φ, χ, ψ убывают (затухают)
L -.AT
с увеличением аргумента »= -~- I/ -ετ- .
Графики функций f0, flt φ0, φΧ и χ показаны на рис. 13.37, а.
Чем больше величина растягивающей силы, тем при прочих
равных условиях в большей мере уменьшаются этой силой
прогибы, углы поворота и усилия, вызванные поперечной нагрузкой.
Если считать, что при расчете допустим какой-то процент
погрешности, например 5%, то по графикам или табличным значениям
функций /, φ, χ, ψ можно установить, какие значения аргумента2)
?и = х>Т соответствуют значениям функций, равным 0,95. Тогда при
x>i ^ t>* величина соответствующей функции больше 0,95,
следовательно, влияние продольных сил меньше 5% и этим влиянием
можно пренебречь, т. е. полагать, что изгиб и осевая
деформация происходят независимо друг от друга. Если же fy > *>*, то
неучет влияния продольной силы повлечет за собой погрешность
больше 5%.
Аргумент t>, от величины которого зависит степень влияния
внешней продольной силы на параметры изгиба, имеет сложную
!) Заметим, что ψι(») = χ(2»), ψ2 (») = ψι (2»)·
а) Заметим, что функции φ0, /0, φ,, fv χ принимают значение 0,9500
соответственно при » = 0,3550; 0,3598; 0,6698; 0,7260; 0,8985, а φ*, ff, φ*. /*,
χ* —значение 1,0500 при ν = 0,3384; 0,3422; 0,6404; 0,6900; 0,8365.

§ 13.5] ИЗГИБ И ОСЕВАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ГИБКОГО СТЕРЖНЯ -23
1-f0(W
Ζ- ffW)
1-φ0№
5-XW)
са νί- <>-Г ю" ·<*■" ^ ^ ^" °сГ ^ ξί ^" ^
50,0 -
Щ0
Щ0
ΖΟβ
10,0
5,0
1,0
1-f0*№
Z-ff*№
5-p*(W
5-X*№)
j ι ι 1 i__i ι ι L
0 0,50 1,0 1,5 > 2,0 2,50 2,75 3,0 Я W
2.
5)
Рис. 13.37. Графики функции: α) графики функций fQ (у)) ΐχ (V), Φ (»), Φχ (»)( χ (£);
б) графики функций /*, (0)) /* (1,)> φ* (^ φ* (^ χ* (у).
η*

324 СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ [ГЛ. XIII
природу — он представляет собой статико-геометрический фактор.
Относить стержень к той или иной категории (требующей или не·
требующей учета влияния продольной силы на параметры изгиба
при принятой величине допускаемой погрешности) можно лишь
на основе учета не только жесткости и длины стержня, но и
внешних осевых сил, растягивающих стержень. Один и тот же
стержень при одной продольной внешней силе может быть сильно
чувствителен к влиянию этой силы на параметры изгиба, а при
другом значении указанной силы —мало чувствителен. Сказанное
проливает свет на условность деления стержней на гибкие и
жесткие в зависимости лишь от отношения длины и поперечных
размеров. Дело не только в геометрии самого стержня, но и
в модуле упругости материала и величине продольных сил.
5. Случай совместного сжатия и поперечного изгиба. Если
сила Ρ является сжимающей, то в уравнении (13.23)! изменяется
знак перед Ρ и уравнение приобретает вид
EIxv™ + Pv" = qu. (13.23)?
Если под k понимать выражение, определяемое следующей
формулой: k~Y\P\l(EIx), то однородное уравнение,
соответствующее (13.23)*, запишется так:
ulv + fcV = 0. (13.24)*
Характеристическое уравнение и его корни приобретают вид
а4 + /г2а2 —0, аг = а2~0, a3 = ik, ai = — ik.
Общий интеграл уравнений (13.24)* становится таким:
и<о>* = А! + A2kz + Abeikz + A^~ihz
или
ϋ(0) * = Вг + B2kz + В3 cos kz + Bi s in kz.
Параметр ν» заменяется параметром Ό* = ikl/2 = it>. Вместо
функций φ0(ν), f0(v), 4>ι(ο), χ (ρ), Μ»), введенных в случае, если
силы Ρ растягивают стержень, в случае сжимающих сил имеют
место функции, получающиеся из них путем замены k на ik, и
Ό на i». Эти новые функции обозначим теми же символами, что
и исходные, но введем для отличия верхний индекс *.
В результате получим г)
φ° Μ = Щ* [{ ~~ chT») = ^(соГ» — 1
АЧ*) = 5$И^-1 + 4и2
м/ »! . J ι
5»*\ 2 ~ cos v
ϊ) Имеются в виду следующие формулы Эйлера:
еах ι ρ-αχ »
ейх ι g-ax gax e~ax eax e~ax
chax= -ζ ; sha^=· r- ; thcoi:

$ 13.5] ИЗГИБ И ОСЕВАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ГИБКОГО СТЕРЖНЯ 325
φ* Μ ~~ (ϋί)2 V sh t» J »» (sin »
л w (t»)a \ thf» J »2
* -1
tgto '
fW = (5i)i-("2-"th-2-j = ir(tgT-"TJ'
Функции /о, Фо с возрастанием аргумента » от 0 до зх/2
возрастают от 1 до бесконечности, а функции /*, φ* и χ* возрастают
ют 1 до бесконечности с возрастанием аргумента Ό от 0 до π
(рис. 13.37,6).
Такое устремление значений функций к бесконечности
происходит при значениях силы Р, равных соответственно зт2£7//2 и
4эх2£7//а. Эти значения сил играют фундаментальную роль в
теории устойчивости первоначальной формы равновесия сжатых
упругих стержней. Здесь же заметим, что бесконечного роста ни
перемещений, ни углов поворота, ни усилий в действительности быть
не может и сам факт такого возрастания указанных величин,
•обнаруживаемый расчетным способом, свидетельствует о
неправомочности расчетного аппарата при условии значительного роста
перемещений, поскольку в этом случае нельзя использовать
лриближенное дифференциальное уравнение изгиба стержня.
Использование же точного дифференциального уравнения позволило
бы получить достоверную картину роста перемещений в области
•больших их значений.
6. Влияние продольной силы на суммарные напряжения в сече-
яиях балки. Внешняя продольная растягивающая сила уменьшает
изгибающий момент от поперечной нагрузки. Однако это не
обязательно означает, что уменьшаются нормальные напряжения
в поперечных сечениях.
Наибольшее и наименьшее напряжения в поперечных сечениях
(в крайних волокнах) растянуто-изогнутой балки определяются
по следующей формуле:
σ—£. + -£. (13.52)
Выразим как Ν, так и Μ через аргумент ъ. Пусть
рассматривается балка, изображенная на рис. 13.38. В нашем случае Ν = Ρ.
Пользуясь формулой (13.35), находим
Ы = Р = Щ^&. (13.53)
giax_L. e~i(tx giax g-tax giax g-tax
COSOa= X ; sinax= g ; tga*= . (eiax+e-iax)
и вытекающие из них
ch iax=cos ax, sh iax=ί sin ax, th iax=i tg ax.

326
СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. ХПГ
Изгибающий момент в среднем поперечном сечении балки
выражается формулой
(13.54)·
м,=4-<м»)·
Учитывая (13.52), (13.53) и (13.54), представим растягивающие-
напряжения в крайнем волокне среднего поперечного сечения
следующим образом1):
qt* h
4ΕΙχ л
16 Ιχ
<Ро (*1)·
(13.55).
■ II ИР' ■■ ι I flip· Mf
Шт
,',,,,,Π
Ρ
ш
На рис. 13.39 при помощи графиков показаны слагаемые,
входящие в правую часть формулы (13.55). Для удобства их
суммирования графики отложены по
разные стороны от оси абсцисс. Суммьг-
ординат заштрихованы. Из графиков,
видно, что увеличение силы Ρ сначала
снижает суммарные нормальные
напряжения, а затем приводит к их.
увеличению.
7. Раскрытие статической
неопределимости продольных усилий. Во*
всех вышеприведенных разделах данного параграфа
предполагалось, что сила Ρ задана. В ряде случаев она не известна и
ее требуется найти. Пусть однопролетная балка, шарнирно оперта!
Рис. 13.38. Балка, испытывающая
сложный изгиб.
\"ММ1"ЧЧ1 ι"'
'liUr1"1"1
Sf S
ΑΙ
IIU'I'I
Ж
Рис. 13.39. Зависимость напря-
жения о = -=- + -==г от ν .
г W
Рис. 13.40. К раскрытию
статической неопределимости продольной
силы.
по концам, но обе опоры неподвижны. Под воздействием
поперечной нагрузки противоположные концы стремятся сблизиться^
но вследствие неподвижности опор такого сближения не
происходит, из-за чего в балке возникает наряду с изгибом
растяжение (рис. 13.40). Система статически неопределима относительно
*) Имеется в виду, что балка имеет плоскость симметрии,
перпендикулярную плоскости изгиба.

^ 13.5]
ИЗГИБ И ОСЕВАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ГИБКОГО СТЕРЖНЯ
327
растягивающей балку силы и для определения ее необходимо
-составить уравнение совместности деформаций.
Если бы одна из опор была подвижной, то в изгибаемой
балке концы ее сблизились 6li на величину бив ней не
возникло бы продольной силы. Однако так как на самом деле концы
сблизиться не могут, к ним как бы прикладывается неизвестная
растягивающая сила X, возвращающая конец балки,
переместившийся навстречу противоположному концу, в исходное положение.
Сближение концов выражается следующей формулой *):
11 (υ')2 dz.
о
Уравнение совместности деформации и его решение
записываются в следующем виде:
о о
Функция и', входящая под знак интеграла, в свою очередь
•зависит от X (см. формулу (13.37))
ν =·
ql*
<1Уж
sh
Уж
ch
l-V—
2 У Е/х
-Уж
*) δ —сближение концов балки при изгибе можно найти как разность
длин оси изогнутого стержня и длины его проекции на первоначальное
da
ds
—»-
..
§
Μ
'
ι
ι
Рис. 13.41. К определению сближения концов балки1 при отсутствии стеснения; элемент
балки до и после поворота, связанного с изгибом.
■направление оси (рис. 13.41)
db = ds—dz=Y(dz)* + {du)* —dz = ΫΊ + {ό')* dz — dz,
ι ι ι ι
,δ= f Y\ + (v'fdz- f dz«» C l+y(u')2~Uz- f dz =
0 0 0 0
ι ι
= l + ^(v'fdz-l = ^(v'fdz.

328
СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. ХШ
Таким образом, окончательно уравнение совместности
деформации приобретает вид
X
_ EF С
~ 2/ ]
qP
EI Al
Υ
χ
ΕΙΧ
sh
Уж
ch
w-
χ
EIX
-у
χ
EIV
άζ.
Получили сложное трансцендентное уравнение относительно'
неизвестной продольной силы X. Решить это уравнение можно·
методом итерации.
Могут встретиться и более сложные случаи, в которых
сближение опор воспрепятствовано не полностью, а в соответствии
с жесткостью некоторых элементов,,
называемых в судостроении
распорами. Соответствующую систему
иллюстрирует рис. 13.42.
§ 13.6. Совместно происходящие
пространственный изгиб и кручение
круглого цилиндрического стержня
Гибкая δαηκα
Ραοπορ
Рис. 13.42. Распор —жесткая связь,
препятствующая сближению концов
гибкой балки при ее изгибе под
воздействием поперечной нагрузки.
1. Усилия. Напряженное
состояние элемента. Деформацию стержня,,
отмеченную в названии параграфа*
рассмотрим на частном примере,
не теряя, тем не менее, общности.
Пусть имеем вал (рис. 13.43, а),
опирающийся на два подшипника и несущий два зубчатых колеса,
одно из которых А расположено на консоли, а другое Б между
подшипниками. Колесо А (радиуса #х) является ведомым; на него
со стороны ведущего колеса В действует сила Рг. Колесо Б
(радиуса R*,) — ведущее, на него со стороны ведомого колеса Г
действует сила Р2. Силы Рг и Р2 имеют горизонтальное
направление. Веса колес А и Б равны соответственно Gx и G2. Требуется
подобрать поперечное сечение вала. Свяжем с валом систему
осей Oxyz (рис. 13.43, а).
Строим эпюры крутящего и изгибающих моментов,
возникающих в валу (см. рис. 13.43, в, г, д). Найдем геометрическую
сумму эпюр Мх и Му, обозначив ее символом МИЗГ (рис. 13.43, е).
Поскольку поперечное сечение круглое и момент сопротивления
его при изгибе в любой плоскости одинаков, можно ординаты,
пространственной эпюры Мизг расположить и в одной плоскости.
Итак, расчетными являются эпюры крутящих моментов Мг = Мкр.
и эпюра полных изгибающих моментов Мтг.
Обращаем внимание на то, что в эпюре Мизг на рис. 13.43, е
нЬт нулевых ординат, кроме концевых сечений. В точке а нену-

·§ 13.6]
ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ ИЗГИБ И КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЯ
329
левая ордината в аксонометрическом изображении слилась с
нулевой линией.
Теперь рассмотрим напряженное состояние элемента вала,
находящегося вблизи боковой его поверхности (рис. 13.43, ж).
Мхи My
и)
43h
1Рис. 13.43. Совместное действие изгиба и кручения на стержень (вал): а) вал и зубчатые
«олеса — А (ведомое) и Б (ведущее); колесо В (ведущее) передает силу Pt на колесо А,
•колесо Г (ведомое) оказывает сопротивление Рп колесу Б; б) эпюра Μ , = Μ ·, в) эпюра Μ ·.
г) эпюра Μ \ δ) аксонометрическое изображение эпюр Μχ и Μ · е) эпюра л! —
геометрическая сумма эпюр Мк и Μ ; ж) сечение Ъ изогнуто-скрученного вала, эпюры
нормальных и касательных напряжений по диаметру, представляющему собой след пересечения
с поперечным сечением плоскости действия Л1 _ — изгибающего момента в
рассматриваемом сечении; з) наиболее напряженные элементы в рассматриваемом поперечном
сечении (сечение согласно фиг. д); и) тип напряженного состояния элемента при
совместном действии изгиба и кручения.
Элемент вырезан в поперечном сечении вала у конца диаметра,
являющегося следом плоскости, в которой действует момент Мизг
в данном сечении. На рис. 13.43, ж изображено напряженное
состояние этого элемента. Индексы «изг» и «кр» у σ и τ
подчеркивают, что эти напряжения вызваны соответственно изгибом и
кручением. Это напряженное состояние аналогично тому, которое

330 СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ [ГЛ. ΧΙΙΓ
испытывает при плоском изгибе балки любой элемент,
находящийся между нейтральным слоем и крайними волокнами.
2. Условия невозникновения предельного состояния. Для
проверки невозникновения предельного состояния в материале этого:
элемента (разрушения или пластической деформации течения)
можно воспользоваться соответствующими формулами (12.99) —
(12.102), выведенными при аналогичном анализе в случае
плоского поперечного изгиба. Только вместо σ надо иметь в виду
оизг, а вместо τ — напряжение τ1φ. Тогда эти формулы
приобретут следующий вид:
σ3ΚΒ> ι = т 1аизг + V tfvW + 4τ,^ρ] ^ [σ], (13.56)
σ31{13>2 !μ-ο.3 = 0,35σ„ΒΓ + 0,65 ]/σ*3Γ + 4τ2κρ < [σ], (13.57)
σβΙΜ.8 = ν/"σϊ.Γ + 4^κρ^[σ], (13.58)-
σβΜ, 4 = ^зг + Зт^р^ [σ]. (13.59)
Поскольку входящие в (13.56) —(13.59) напряжения σΗ3Γ и τκρ>
находим по формулам
Мтг Мтг 7Икр Мкр Мкр
σΗ3Γ— ψ — пгщ ι τκρ ·ψρ ягз/2 2W
условия (13.56) — (13.59) получаются в такой форме:
г~2 м^
_}_\Мш.+ 1/ i!k. . 4
иэкв, ι — 2 [ f г Г ψ2 ~ Ί
4Wa
2Ϊ^ — w ^m» μ ο. ου/
г, ft Q5 ^изг ι a gr Ι/ ^нзг ■ л Мкр _
_ 0,35Λ4Η3Γ + 0,65]/Λί2Η3Γ+Λ4κρ _ Мэкъ,2 ^ Γ^Ί ,„ш
— - ^ — ij» ;== L°J» U0-D1r
w w
1/ Λί ИЗГ ι ,7Ийр _ НЗГ ЭКВ. 3 —- Г_1 /1 О СО\
<W3=|/ -ψ—l"4l"WS" = № = —W~^LaJ' (10.04.
-д/"^нзг , Q Мкр Ум1зг + 0,75Мкр МЭкв.4 ^-r^l /1QAQ\
<W4=p -^—Ι"31¥Γ== № =—ψ-^ίσ\· (13.63)
Таким образом, расчетные формулы по всем теориям приобретают
единый вид
**«.* = J%si^M. (13.64)
где под M9KBii (t = l, 2, 3, 4) понимаются эквивалентные моменты,
определяемые выражениями, показанными в формулах (13.60) —

<§ 13.6] ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ ИЗГИБ И КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЯ 331
(13.63). Формула (13.64) во всем "аналогична формуле проверки
прочности крайнего волокна изогнутой балки
σ = 4^[σ], (13.65)
где, как известно, Μ — изгибающий момент, a W — момент
сопротивления поперечного сечения при изгибе. Этой аналогией и
объясняется то, что выражения, определяемые формулами (13.60),
(13.61), (13.62), (13.63), названы эквивалентными моментами.
3. Подбор сечения вала. Имея формулу (13.64), которую
представим так:
^■«М. (13-66)
можно подобрать сечени�