Краткий физико-математический справочник
От редакции
МАТЕМАТИКА
1.2. Десятичные дроби
1.3. Округление чисел. Приближенные числа
1.4. Метод математической индукции
2. Множества. Действительные числа. Функции
2.2. Действительные числа
2.3. Функции
2.4. Основные свойства функций
2.5. Обратная функция
2.6. Линейная и квадратичная функции. Модульы
2.7. Степенная функция
2.8. Показательная, гиперболические и логарифмическая функции
3. Уравнения. Системы уравнений. Неравенства
3.2. Линейное, квадратное и биквадратное уравнения
3.3. Многочлены
3.4. Алгебраические уравнения
3.5. Иррациональные уравнения. Уравнения с модулями
3.6. Системы уравнений
3.7. Неравенства
4. Тригонометрия
4.2. Тригонометрические формулы
4.3. Обратные тригонометрические функции
4.4. Тригонометрические уравнения и неравенства
5. Начала математического анализа
5.2. Предел функции
5.3. Непрерывность функции. Разрывы
5.4. Производная и ее применение. Правила дифференцирования
5.5. Некоторые дифференциальные уравнения
5.6. Первообразная и неопределенный интеграл
5.7. Определенный интеграл и его приложения
5.8. Некоторые сведения о рядах
6. Комбинаторика
6.2. Бином Ньютона
7. Комплексные числа
7.2. Алгебраическая форма
7.3. Тригонометрическая и показательная формы
7.5. Комплексные корни уравнений
8. Векторы. Координаты. Перемещения и симметрии
8.2. Скалярное и векторное произведения
8.3. Системы координат
8.4. Перемещение. Симметрия. Подобие
9. Планиметрия и стереометрия
9.2. Треугольники. Многоугольники
9.3. Окружность, эллипс, гипербола, парабола. Кривизна кривой
9.4. Точки, прямые и плоскости в пространстве
9.5. Многогранники
9.6. Тела вращения
9.7. Кривизна поверхности
5. Колебания и волны
10.Приближенные вычисления
10.2. Приближение функций
10.3. Приближенное интегрирование
10.4. Приближенное решение уравнений
10.5. Приближенное решение дифференциальных уравнений
11. Элементы теории вероятностей
11.2. Случайные величины и их распределения
12.Матрицы и определители
12.2. Определители
12.3. Собственные числа матриц и квадратичные формы
ФИЗИКА
1.2. Система единиц
1.3. Метод анализа размерностей
2. Механика
2.2. Динамика
2.3. Силы тяготения, трения и упругости
2.4. Законы сохранения
2.5. Движение в центральном поле тяготения
2.6. Механическое равновесие
2.7. Динамика твердого тела
2.8. Гидростатика
2.9. Гидродинамика
3. Молекулярная физика и термодинамика
3.2. Основы статистической механики
3.3. Статистические распределения
3.4. Реальные газы
3.5. Жидкости
3.6. Твердые тела
3.7. Теплообмен. Фазовые переходы
4. Электричество и магнетизм
4.2. Электрический ток
4.3. Магнитное поле
4.4. Электромагнитная индукция
4.5. Переменный электрический ток
4.6. Электромагнитное поле
5.2. Гармонические колебания
5.3. Собственные колебания простых систем
5.4. Вынужденные колебания. Резонанс
5.5. Параметрический резонанс. Автоколебания
5.6. Колебания сложных систем. Сложение колебаний
5.7. Волны
6. Оптика
6.2. Оптические приборы
6.3. Интерференция света
6.4. Дифракция света
6.5. Фотометрия
7. Релятивистская и квантовая физика
7.2. Релятивистская кинематика
7.3. Релятивистская динамика
7.4. Основы квантовой физики
7.5. Строение атома
7.6. Атомное ядро
7.7. Элементарные частицы
ПРИЛОЖЕНИЯ
II Физические величины и их единицы в СИ
III Соотношение между единицами СИ и гауссовой системы
IV Значения некоторых внесистемных единиц в единицах СИ
V Множители и приставки для образования десятичных кратных и дольных единиц СИ
VI Основные формулы электромагнетизма в гауссовой системе единиц и в СИ
VII Таблица элементарных частиц
VIII Названия, символы и атомные массы химических элементов
IX Таблица математических символов
Предметный указатель
Список таблиц
Текст
                    А. Г. Аленицын
Ε. И.Бутиков
А. С. Кондратьев
КРАТКИЙ
»
СПРАВОЧНИК
ПЕТРОГЛИФ · ЧЕРО


А. Г. Аленицын Ε. И. Бутиков А. С. Кондратьев КРАТКИЙ Ш СПРАВОЧНИК Петроглиф С.-Петербург 2005 ЧеРо Москва
УДК 373 377 378 ББК 22.1я2+22.3я2 К 78 Аленицын А. Г., Бутиков Е.И., Кондратьев А. С. К 78 Краткий физико-математический справочник. — Изд. 5-е, испр. —- СПб.: «Петроглиф», 2005. — 544 с: ил. — ISBN 5-98712-002-0 Охватывает все разделы современных начальных курсов физики и математики. Содержит определения основных понятий, физических и математических величин, формулировки физических законов, математических аксиом и теорем, важнейшие формулы. Все сведения приведенны в согласованную систему, что создает удобство в практическом применении справочника, например при решении задач. Для учащихся и преподавателей средней школы, техникумов, слушателей подготовительных отделений вузов, а также студентов педагогических и технических вузов. ББК 22.1я2+22.3я2 ISBN 5-98712-002-0 © Аленицын А. Г., Бутиков Е. И., Кондратьев А. С, 1990 © Курбанов И. В., обложка, 2005 © «Петроглиф», 2005 Учебное издание Аленицын Александр Георгиевич Бутиков Евгений Иванович Кондратьев Александр Сергеевич КРАТКИЙ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ СПРАВОЧНИК Редактор Е. В. Дольник Верстка С.С.Афонин Иллюстрации В. Р. Ткачу к Корректор Е.Г. Никитина ООО «Петроглиф» Подписано к печати 01.08.2005 г. Формат 60x90/16. Бумага типографская. Печать офсетная. Объем 34 п.л. Тираж 5 000 экз. Заказ 2172. Отпечатано в ГП Псковской области «Великолукская городская типография» 182100, Великие Луки, ул. Полиграфистов, 78/12 Тел./факс (811-53) 3-62-95. E-mail: VTL@MART.RU
От редакции Настоящее пятое издание «Краткого физико-математического справочника», авторы которого — известные ученые и педагоги,— выходит в эпоху так называемого информационного взрыва, при котором информация становится предметом повышенного спроса. Первое издание книги появилось в 1990 году и почти сразу было полностью распродано. В 1997 году справочник был издан в США на английском языке и с тех пор продолжает успешно продаваться там и в других странах мира, а в 2000 году книга появилась в списке 25 бестселлеров. Основная причина популярности данной книги в том, что это — единственное справочное пособие учебного характера, соединяющее в одно целое две родственные науки — физику и математику. Известно, что исторически долгое время физика и математика развивались как единое целое, и лишь позднее разделились на самостоятельные науки. Теперь наблюдается во многом обратная тенденция — методы математики все глубже проникают в физику (особенно теоретическую), а непрерывно возникающие новые физические проблемы и идеи служат мощным источником и стимулом для дальнейшего развития математики. Соединение в одной книге двух справочников — по математике и по физике — с одной стороны, отражает сказанное выше об органическом единстве этих наук, а с другой — преследует и чисто практическую цель — обеспечить читателю физической части книги возможность быстро и в согласованных терминах получить справку по математике, и наоборот (чему содействует, в частности, принятая в книге система взаимных ссылок). Успеху книги способствует расположение материала не в алфавитном, а в тематическом порядке, а также соединение ясности с высоким уровнем изложения. Материал излагается последовательно и иллюстрируется большим количеством примеров. В целом книга обладает достоинствами как справочни-
4 От редакции ка в собственном смысле слова, так и книги для чтения, что позволяет рекомендовать ее для самостоятельной работы и самообразования. Особенно полезна книга может быть для старших школьников, абитуриентов и студентов младших курсов средних и высших учебных заведений. Об авторах: Аленицын Александр Георгиевич — математик, доцент Санкт-Петербургского государственного университета и Российского государственного университета им. А. И. Герцена, автор ряда работ в области дифференциальных уравнений и их приложений в теории волн, постоянный сотрудник реферативного журнала «Mathematical Reviews» (США). Бутиков Евгений Иванович — физик, профессор Санкт- Петербургского государственного университета и Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий механики и оптики, автор научных работ по нелинейной механике и учебников по физике, а также оригинальных учебных компьютерных программ по небесной механике и теории колебаний. Кондратьев Александр Сергеевич — физик, академик РАО, профессор Санкт-Петербургского государственного университета, Российского государственного университета им. А. И. Герцена, Университета штата Вашингтон (США) и Правительственного университета в Лахоре (Пакистан), автор многочисленных работ по теории квантовых жидкостей, физике плазмы и квантовой статистической механике, а также учебников по физике и оригинальных курсов по методике преподавания физики.
МАТЕМАТИКА 1. ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ, ФОРМУЛЫ И ПОНЯТИЯ Эта глава содержит часто употребляемые простейшие алгебраические формулы, правила действий с дробями, вычислений с округлением, а также описание метода математической индукции. 1.1. Общие правила 1°. В математике, кроме обычных знаков арифметических действий и неравенств, употребляются следующие обозначения: € — принадлежит, & — не принадлежит, =» — следует, <^ — равносильно, 0 — пустое множество, U — объединение множеств, П — пересечение множеств, С — подмножество, N — множество натуральных чисел, Ζ — множество целых чисел, Q — множество рациональных чисел, R — множество действительных (вещественных) чисел, С — множество комплексных чисел. 2°. Правила раскрытия скобок: 1) а(Ь + с) = ab + ас, т. е. каждое слагаемое умножается на о и полученные произведения складываются. В частности, -(Ь + с) = -Ь-с; 2) (а + b)(c + d) = а(с + d) + b(c + d) —ac + ad + bc + bd или (a + b)(c + d) = (a + b)c+(a + b)d~ac + bc + ad + bd, т. е. каждое слагаемое из первой скобки умножается на каждое слагаемое из второй скобки и полученные произведения складываются. 3°. Формулы сокращенного умножения: (а + Ь)2 = а2 + 2аЬ + б2; (α~6)2 = α2-2α6 + 62;
6 Основные обозначения, формулы и понятия (а + Ь)3 = а3 + За26 + ЪаЪ2 + Ь3; (а - Ь)3 = а3 - Зо26 + Sab2 - Ь3; (о + 6)(о-6) = а2-62; (о + Ь)(а2 - аб + Ь2) = а3 + б3; (а-Ь)(а2 + а6 + Ь2) = а3-63; а3±63 = (а±6)(а2^а6 + 62); (l-9)(l + 9 + 92 + ...+9n) = l-9n+1; (1 + q) [1 - q + q2 - ... + (-1) V] = 1 + (-1) V+1. Эти формулы полезны для преобразования (упрощения) выражений; часто их применяют, читая «справа налево». Примеры 1-h5 _ (l-h)(l + h + h2 + h? + h*) 2 h* ] l-h? (I - Л)(1 + Л) +l + h' = X2/3 + гх^З^/З + у2/3 = ( 3^ + ^у)2 ; 3) (v^+v/6)4-(VS-\/6)4 = = [(VS+\/6)2-(v^-\/b)2|-[(v^+\/6)2+(v^-N/b)2| = = (a+2Vab+b-a+2\/ab-b\ (a+2\/ab+b+a-2>/ab+b) = = 8\/а6(а + 6). 771 4°. Выражение вида — (или ra/π), где η ^ 0, га и η — целые η числа (п. 2.2.1°), причем га не делится нацело на п, называется дробным числом или дробью (иногда — обыкновенной, или
Общие правила 7 натуральной, дробью). Дробь имеет числитель га и знаменатель п. Если |га| < |п|, дробь правильная, если |га| > |π|, дробь неправильная. У неправильной дроби можно выделить целую часть, например: 7 б 1 Л 1 1 3 3 3 3 3 (читается «два и одна треть»; не путать с 2 · - = -!). о о 5°. Правила действий с дробями: „ч га т-Ь \\ — = _ т# е# ПрИ умножении числителя и знаменателя η η- о на одно и то же число (не равное нулю) значение дроби не меняется; это правило используется: при сокращении дробей, например: 824 _ 103-8 _ 8 3 515 " 103-5 ~ 5 " 5' при сложении и вычитании дробей (для приведения к общему знаменателю), например: 5 11 _ 5 11 _ 5-2 11-3 _ 10 33 63 42 ""3-3-7 2·3·7~2·3·3·7 2·3·3·7~126 126* Здесь в первой дроби введен дополнительный множитель 2 в числитель и знаменатель, во второй дроби — дополнительный множитель 3. ЛЧ 771 , / 771 ± / , \ ^ » 2) — ± — = , т. е. при сложении (вычитании) дробей η η η с одинаковыми знаменателями складываются (вычитаются) их числители, а знаменатель новой дроби — тот же, что и общий знаменатель данных дробей, например: 10 33 _ 10 - 33 _ -23 _ 23 126 126 " 126 " 126 " 126* 3) Для приведения дробей к общему знаменателю: находят общее кратное знаменателей (п. 2.2.1°), т. е. целое число, которое делится (без остатка) на каждый из знаменателей;
8 Основные обозначения, формулы и понятия для каждой дроби находят дополнительный множитель, т. е. множитель, дополняющий знаменатель до общего кратного (общего знаменателя); домножают числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель, тогда дроби будут иметь общий знаменатель. После этого можно сложить (вычесть) дроби в соответствии с правилом 2). Обычно удобно находить наименьший общий знаменатель (т. е. наименьшее общее кратное знаменателей). Для этого каждый знаменатель раскладывают на простые множители и образуют общий знаменатель в виде произведения наибольших степеней этих множителей. Например, 7 324 2 15 11 + 180 ~ 1 3 4^-1 7 22. З4 = ¥ 2-2- т· I 1 22· 7-5 •34-5 7+1 2 1 —. Т. ( 11 з2 · + •5· •3· 1 Г •5 = 11 -З2 22 · З4 · 5 7- 5· ши -3-2· 7 vmho: = 3 ЖР 35 + 99 1620 •5 2· НИИ ППС _ 134 _ "* 1620 ~ -27 3-5-7 tfSfttt 4VtCJll 67 810' 9 70' ттели η к η- к перемножаются, знаменатели также перемножаются. кЧ т I т к т · к ^ ^ 5) — : - = — τ = г» т. е. деление дроби на дробь равно- п к η Ι η·1 сильно умножению на обратную («перевернутую») дробь, например: 21 7 21 · 15 5 * 15 5-7 = 3-3 = 9. 6°. Свойствами, аналогичными свойствам дробей, обладают дробные выражения (отношения), т. е. выражения вида — В (или A/J5), где А и В — любые числовые или буквенные выражения. Так, умножение и деление выполняются по тем же
Общие правила 9 правилам 4) и 5); сложение и вычитание можно выполнять, приводя дроби к общему знаменателю: А С _ АР С В _ АР±СВ В D~BD DB~ BD ' например, sin α cos α sin2 α + cos2 a tga + ctga= Ь- = : . cos a sin a sin a cos a 7°. Равенство двух отношений называется пропорцией: В~ D' Здесь А и D — крайние члены, В и С — средние члены пропорции. Свойства пропорции. тг А С Если — = —, то: В D' 1) А · D = В · С, т. е. произведение крайних членов равно произведению средних членов; А+В_C+D А-В_С-Р Л + Д__С + £> ' В ~ D ' В ~~ D ' A-B~~C-D* Вообще, А + аВ _ С + аД В + /?Л ~ D + /JC (производные пропорции), где а и β — произвольные числа; ж-3 з/-2 например, если —-— = —-—, то 5 о х + 2 = у+Л х + 2 = з/ + 4 5 ~ б ; 2аг-1~2з/ + 2* 8°. Одна сотая часть числа составляет один процент (%) этого числа; например, 5м— это 1% от 500 м; соответственно, 2% — это 0,02. Вообще, р% числа α соответствует р/100 части данного числа а. Само число α принимается за 100%; 50% чис-
10 Основные обозначения, формулы и понятия ла α — это половина а. Формула для подсчета процентов: чис- rP/ h ло Ь составляет р% числа а, если Ь = м , или р% = 100% · -. 100% а Примеры 1) При стрельбе в цель из 50 выстрелов было 32 попадания. Это составляет р% =* 100 · 32/50 = 64%. 2) За 1 год население города увеличилось на 2% и составило 830 тыс. человек. Какова была численность населения города в начале года? 830 тыс. — это 102% первоначального населения, а 1% — это (830/102) тыс., первоначально же было 100%, или 830 тыс. мп„ „,^~ » 813,7 тыс. человек. 102% 1.2. Десятичные дроби 1°. Дробь, знаменатель которой есть натуральная степень числа 10, может быть записана в виде десятичной дроби, например: 3 812 тгг=0,03 (читается «нуль целых три сотых»), 2 =2,812 («две целых восемьсот двенадцать тысячных»). Запятая отделяет целую часть от дробной; иногда вместо запятой употребляется точка. 2°. Правила действий с десятичными дробями: 1) Приписывание или отбрасывание нулей справа не меняет значения дроби (см., однако, § 1.3): 3,1400 = 3,140 = 3,14. 2) Умножение на 10 сводится к переносу запятой на один разряд (позицию) вправо: 2,812 · 10 = 28,12; 0,03 · 100 = 0,3 · 10 = 3,0 = 3.
Десятичные дроби 11 3) Деление на 10 сводится к переносу запятой на один разряд влево: 28,12 : 10 = 2,812; 2,812 : 10 = 0,2812; 0,2812 : 10 = 0,02812; 30 : 1000 = 3,0 : 100 = 0,3 : 10 = 0,03. 4) Сложение положительных десятичных дробей и вычитание меньшей дроби из большей производится «столбиком»; при этом числа записывают одно под другим таким образом, чтобы запятые оказались одна под другой: 312,07 _ 312,07 + 0,342 0,342 312,412 311,728 При действиях с округлениями младшие разряды следует отбрасывать (§ 1.3). 5) Умножение десятичных дробей сводится к умножению целых чисел: сначала умножают дроби как целые числа, не обращая внимания на запятые; затем в произведении отделяют справа запятой дробную часть, длина которой (т. е. число разрядов) равна сумме длин сомножителей, например: 312,07 · 0,342 = 106,72794. При умножении с округлением следует отбросить в ответе младшие разряды, в данном примере результат можно округлить до 106,728 или 106,73 (§ 1.3). 6) При делении десятичных дробей удобно сначала перенести запятую вправо у делимого и делителя на одинаковое число разрядов так, чтобы сделать делитель целым, затем выполнить деление по правилу деления на целое число «уголком», удерживая нужное количество разрядов (п. 1.3.1°). Длина целой части определяется при делении целой части делимого на делитель (п. 2.2.1°): 5,35 : 2 = 2,675 « 2,68; 5,35 : 0,2 = 53,5 : 2 = 26,75 » 26,8; 10 : 3,3 = 100 : 33 = 3,030303... » 3,03.
12 Основные обозначения, формулы и понятия 3°. Целые числа и десятичные дроби можно записать в нормализованной форме (с порядковым множителем или без него). При этом целая часть содержит один разряд, а справа от числа записывается порядковый множитель (целая степень числа 10). Например, 31,4 = 3,14 -101 (читается «три и четырнадцать сотых на десять в первой»), 0,002184 = 2,184 · КГ3; - 18506700 = -1,85067 · 107; 3 *= 3,0 · 10°; - 30 = -3,0 · 101 = -3 · 101. Дробную часть называют мантиссой, показатель степени числа 10 — порядком. Иногда под нормализованной формой понимается запись с нулевой целой частью: 3,14 = 0,314 · 101; 0,0018 = 0,18 · 10~2. Сложение (вычитание) нормализованных чисел выполняют, предварительно «выравняв» порядки: 3,14 -102 + 1,3 · Ю-2 = 3,14 · 102 + 0,00013 · 102 = = (3,14 + 0,00013) · 102 = 3,14013 · 102 « 3,14 · 102. Если вычисления выполняются с округлениями, то возможна «потеря точности» (п. 10.1.3°). Порядок действий при умножении (делении) нормализованных чисел: 1) умножают (делят) десятичные дроби, не обращая внимания на порядковые множители; 2) складывают (вычитают) порядки; 3) если надо, нормализуют и округляют результат. Например: 4,560 · 104 · 3,032 · 10"3 = = 13,82592 · 101 = 1,382592 · 102 » 1,383 · 102; 3,14 · 102 : 8,30 · 103 = = 0,37831325... · 10"1 « 3,7831325 · НГ2 » 3,78 · ИГ2. Нормализованную запись чисел употребляют, в частности, при работе с приближенными числами (п. 1.3.2°).
Десятичные дроби 13 4°. В некоторых случаях процесс деления «уголком» целых чисел (или десятичных дробей) оказывается бесконечным; результат имеет вид записи, в которой бесконечно повторяется одна и та же группа цифр. Такая бесконечная десятичная дробь называется периодической, а повторяющаяся группа цифр — периодом дроби; например, 101/33 = = 3,0606060606... — периодическая дробь с периодом (06). Для записи периодических дробей в скобках указывают период, в данном примере 101/33 = 3,(06). Периодическая часть может начинаться не сразу после запятой, например: 47/30 = = 1,566666 ... = 1,5(6); такие дроби называют смешанными периодическими. Дробь ra/η, где тип— целые числа, равна конечной десятичной дроби, если знаменатель η (после сокращений!) раскладывается только на множители 2 и 5; например, 17/20 = 0,85 — конечная десятичная дробь, но 17/21 = 0,809523809523... = = 0,(809523) — периодическая дробь. Каждую периодическую дробь можно преобразовать в обыкновенную дробь вида т/п по следующим правилам: 1) если периодическая часть начинается сразу после запятой, то к целой части прибавляют обыкновенную дробь, числитель которой есть период, а знаменатель состоит из подряд написанных цифр 9, число которых равно числу цифр периода: 16,(809523) = 16+ ^1 = 16^; ν } 999999 21' 2) если между запятой и периодической частью есть еще цифры, то предварительно переносят запятую к началу периодической части, пользуясь порядковым множителем: 1,5(6) = 15,(6) · ΙΟ"1 = (l5 + Ц) · ΙΟ"1 = ^ : 10 = |. Бесконечные непериодические дроби (иррациональные числа, см. п. 2.2.3°) невозможно точно записать в виде обыкновенной дроби.
14 Основные обозначения, формулы и понятия 1.3. Округление чисел. Приближенные числа 1°. При округлении десятичной дроби отбрасывают крайнюю правую цифру; при этом предыдущую цифру либо сохраняют, если отбрасывается одна из цифр 1, 2, 3, 4 (округление с недостатком), либо увеличивают на единицу, если отбрасывается одна из цифр 5, 6, 7, 8, 9 (округление с избытком): 41,32 » 41,3; 41,36 » 41,4; 41,35 » 41,4, (знак » читается «приближенно равно»). При отбрасывании цифры 5 иногда сохраняют предыдущую цифру, если она четная, и увеличивают ее на единицу, если она нечетная: 3,165 » 3,16 » 3,2 « 3, но 3,175 » 3,18. При таких округлениях погрешность округления, т. е. разница между исходным числом и его приближенным представлением, не превосходит (по модулю) 5 единиц отбрасываемого разряда: |3,165 - 3,16| < 0,005; |3,16 - 3,2| < 0,05. Иногда применяют более грубое правило округления — просто отбрасывают крайнюю правую цифру, тогда погрешность округления не превосходит 10 единиц отбрасываемого разряда, т. е. 1 единицы предыдущего разряда: |3,18-3,1|<0,1. Округление целых чисел выполняется аналогично; при этом на месте отбрасываемой цифры записывают цифру 0: 38074 « 38070 » 38100 « 38000 » 40000. Округление чисел применяют в тех случаях, когда точное вычисление невозможно или нецелесообразно или точная запись результата не имеет практического смысла, например при действиях над приближенными числами (п. 1.3.2°).
Метод математической индукции 15 2°. В результате округлений получаются приближенные числа, т. е. числа, близкие к исходным. Приближенные числа возникают также в результате измерений физических величин (расстояний, промежутков времени, массы, температуры и т. д.), так как любое измерение выполняется с ограниченной точностью, зависящей от погрешности измерительного прибора. Приближенные числа записывают в нормализованной форме, при этом длина дробной части характеризует точность приближенного числа; пишут только «верные» цифры, истинность которых не вызывает сомнений. Например, запись «диаметр Земли равен 1,27 · 107 м» означает, что цифры 1, 2, 7 установлены надежно, а дальнейшие цифры неизвестны, или несущественны, или не имеют смысла (форма Земли отличается от сферической). Запись приближенного числа может оканчиваться нулем — это означает, что цифра 0 верная: записи 3,50 · 10"1 и 3,5 · 10"1 имеют различный смысл. Принято считать, что погрешность приближенного числа не превосходит половины единицы разряда последней верной цифры. При вычислениях с приближенными числами следует помнить, что окончательный результат не может содержать больше значащих цифр (иметь большую разрядность), чем наименее точное из исходных данных. В промежуточных вычислениях следует сохранять один-два «запасных» разряда. При вычислениях с округлениями (в том числе при работе с ЭВМ) следует избегать случаев «потери точности» из-за вычитания близких чисел и из-за неудачного порядка арифметических действий (п. 10.1.3°). 1.4. Метод математической индукции В некоторых случаях формулы или утверждения (в частности, равенства или неравенства), содержащие целочисленную переменную величину π ^ 1, можно доказать с помощью метода математической индукции. Такое доказательство проводится в два этапа:
16 Основные обозначения, формулы и понятия 1) данное утверждение проверяют для π = 1 («база индукции»); 2) предположив, что данное утверждение справедливо для η = fc, проверяют, что из этого предположения вытекает его справедливость для η = к + 1 («индукционный шаг»); тем самым утверждение оказывается справедливым для π = 2, π = 3, π = 4, ..., т. е. для любого значения п. Если данное утверждение надо доказать для η ^ по, то базу берут при η = по. Пример Докажем, что при всех π ^ 1 справедливо равенство (п. 5.1.5°) . Л π(π + 1) 1 + 2 + ...+η= ν ;. Для η = 1 равенство очевидно. Предположим, что l + 2 + ... + fc= v ;. Составляя выражение l + 2 + ... + fc+(fc + l) и заменяя в нем сумму первых к слагаемых на к(к + 1)/2, получаем что и требовалось доказать. Замечание. Методом математической индукции осуществляется не вывод новых формул (утверждений), а только доказательство предполагаемых формул (утверждений).
Множества 17 2. МНОЖЕСТВА. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА. ФУНКЦИИ Понятия множества, действительного числа, функции относятся к фундаментальным понятиям математического анализа. Рассматриваются натуральные, целые, рациональные и иррациональные числа, общее понятие и основные характеристики функциональной зависимости, приводятся свойства и графики некоторых важнейших элементарных функций. 2.1. Множества 1°. Множество — это совокупность, набор, собрание элементов, объединяемых по какому-либо признаку. Например, множество студентов, множество целых чисел, множество планет Солнечной системы, множество точек на окружности. Если элемент χ принадлежит множеству А) то пишут χ € А] если χ не принадлежит А, то пишут χ £ А. Множество, не имеющее элементов, называют пустым и обозначают 0. Примеры пустых множеств: множество тупых углов равностороннего треугольника, множество действительных корней уравнения х2 + 1 = О, множество людей старше 300 лет. Иногда удобно явно указывать элементы множества: запись {1; 2;3; 4} означает множество, состоящее из элементов 1, 2, 3, 4; запись {χ \ х2 < 1} читается «множество таких х, для которых х2 < 1». Два множества считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов, например: {х | х2 + Зх + 2 = 0} = {-2; -1} = {-1; -2}. Объединение множеств А и В (обозначается A U В) — это множество, составленное из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств, например: {1;3;4}U{0;2} = {0;1;2;3;4}; {1;3;4}U{0;1;2;3} = {0;1;2;3;4}. 2-2172
18 Множества. Действительные числа. Функции Объединение множества рациональных чисел и множества иррациональных чисел есть множество действительных чисел (§ 2.2). Пересечение множеств А и В (обозначается А П В) — это множество, составленное из элементов, принадлежащих одновременно обоим множествам, например: {1;3;4}П{О;2} = 0; {1;3;4}П{0;1;2;3} = {1;3}. Пересечение множества целых чисел и множества натуральных чисел есть множество натуральных чисел (п. 2.2.1°). 2°. Подмножество Ρ данного множества А (обозначается Ρ С А) — это множество, составленное из некоторых элементов множества Л, т. е. подмножество есть часть данного множества. При этом не исключены случаи Ρ = А или Ρ = 0. Примеры подмножеств: множество натуральных чисел есть подмножество множества целых чисел; целые числа составляют подмножество множества действительных чисел; действительные числа составляют подмножество множества комплексных чисел (§ 7.1). Запись {х е А \ L} означает подмножество множества Д элементы которого удовлетворяют условию L; например, χ€Ζ| — 2<х<9 есть подмножество множества Ζ целых чисел, больших —2 и меньших 9. Число всех подмножеств множества, состоящего из η элементов, равно 2П. (В это число входят само множество и пустое множество.) 3°. Часто встречаются числовые множества, называемые промежутками: 1) замкнутый промежуток, или отрезок: [а,6] = {хе Ж\а < χ < 6}; 2) открытый промежуток, или интервал: (а,6) = {х еШ\а< χ < Ь} (иногда для интервалов используют обозначение ]а;6[);
Действительные числа 19 3) полуоткрытые промежутки: (а, Ь] = {х е К | а < χ < Ь} [а, Ь) = {х € К | а ^ χ < b} (в других обозначениях ]а;Ь] и [а;6[ соответственно); 4) бесконечные промежутки (лучи, полупрямые): (-оо, а) = {х е К | χ < а}; (-оо, а] = {х € R | χ ^ а}; (а, +оо) = {х 6 К | χ > а}; [а, +оо) = {х € К | χ ^ а}; (—оо, +оо) = К (прямая). 2.2. Действительные числа 1°. Натуральные числа — это числа, используемые для счета: 1, 2, 3, ... Множество натуральных чисел обозначают символом N. В этом множестве определены операции сложения и умножения; обратные операции (вычитание и деление) применимы не ко всем натуральным числам. Говорят, что натуральное число т делится на натуральное число п, если существует натуральное число / такое, что т = η · /; например, 12 делится на 3, но не делится на 5. Любое натуральное число делится на единицу и на само это число. Натуральные числа, на которые делится данное число, называются делителями этого числа; например, числа 1, 2, 3, 4, 6, 12 — делители числа 12; 1 и 7 — делители числа 7. Простое число — это натуральное число т > 1, которое имеет только два делителя: единицу и само т (например, 2, 3, 7, 11, 17, 23, ...). Простых чисел бесконечно много. Некоторые теоремы о простых числах: 1) для любого натурального η между η и п! (§ 6.1) содержится по меньшей мере одно простое число; 2) натуральное число ρ > 2 простое в том и только в том случае, когда число (р - 2)! - 1 делится на ρ (Лейбниц); 3) каждое простое число вида 4п + 1 есть сумма квадратов двух натуральных чисел (Ферма). 2*
20 Множества. Действительные числа. Функции Натуральные числа, не являющиеся простыми, называются составными. Все четные числа, кроме 2, — составные. Основная теорема арифметики: любое натуральное число, отличное от единицы, может быть единственным образом (с точностью до порядка сомножителей) разложено на простые множители. Некоторые признаки делимости натуральных чисел: 1) число делится на 2, если его последняя цифра есть четное число или нуль; 2) число делится на 4, если две его последние цифры — нули или образуют число, делящееся на 4; 3) число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3; число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9; 4) число делится на 5, если оно оканчивается нулем или цифрой 5. Целые числа: ..., -3, -2, — 1,0,1,2,3,... Множество целых чисел обозначается символом Z. Натуральные числа — это целые положительные числа. Для натуральных чисел вводится деление с остатком — операция, сопоставляющая паре натуральных чисел тип пару целых чисел / и г таких, что т — I · η + г, причем 0 ^ /, 0 ^ г < п. Число / называют частным, г — остатком. Результат деления с остатком записывают в виде т/п = / + г /п. Например, 7 Л 1 3 Л 3 12 Л 0 ■Г2 + з; 7=0+г ¥ = 4+з· Общий делитель двух натуральных чисел тип— натуральное число р, являющееся делителем числа т и числа п. Среди общих делителей двух данных натуральных чисел имеется наибольший общий делитель (НОД). Для нахождения НОД чисел тип можно разложить эти числа на простые множители и составить НОД как произведение всех простых множителей, общих для данных чисел.
Действительные числа 21 Например, 600 = 23·3·52; 3780 = 22·33·5·7; следовательно, НОД = 22 · 3 · 5 = 60. Для быстрого нахождения НОД применяют алгоритм Евклида: пусть заданы натуральные числа тип, причем т> п. Делим с остатком га на п, получаем остаток г\\ если г\ = 0, то НОД = п. При г ι φ 0 делим с остатком η на п, получаем остаток Т2\ если г2 = 0, то НОД = г\. При г 2 φ 0 делим с остатком ri на Г2, и т. д. Например, га = 3780; η = 600; η = 180; r2 = 60; r3 = 0; следовательно, НОД = r2 = 60. 2°. Рациональные числа имеют вид ra/η, где тип— целые числа (пфО). Если π = 1 (или га делится на η без остатка), то рациональное число ra/η совпадает с целым числом; в противном случае рациональное число ra/η является дробным числом (п. 1.1.4°). Множество рациональных чисел обозначается символом Q. Очевидно, N С Ζ с Q. Каждое рациональное число можно записать в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби (п. 1.2.4°). 3°. Иррациональные числа можно определить как бесконечные непериодические десятичные дроби. Иррациональное число ни при каких целых га и η (η φ 0) нельзя представить в виде дроби ra/η. Например, 0,101001000100001... есть иррациональное число (эта бесконечная десятичная дробь непериодическая, так как число нулей между единицами возрастает). Числа >/2= 1,4142..., уД= 1,73205..., π = 3,14159..., е = 2,71828... также служат примерами иррациональных чисел. Очевидно, если ρ — иррациональное число, то произведение пр не является целым числом ни при каких натуральных п.
22 Множества. Действительные числа. Функции Объединение множества рациональных чисел и множества иррациональных чисел есть множество действительных или вещественных чисел (обозначается символом R). Действительные числа геометрически изображаются точками числовой оси х, причем расстояние от начала отсчета 0 до точки, изображающей число 6, равно |6|. Точки, изображающие действительные числа, расположены «всюду плотно» на оси: между любыми двумя действительными числами найдется бесконечно много действительных чисел. Свойством плотности обладают также множества иррациональных и рациональных чисел. Любое иррациональное число можно как угодно точно приближать рациональными числами, в частности конечными десятичными дробями, имеющими все более длинные дробные части; например, л/2 = 1,4, 1,41, 1,414, 1,4142, 1,41421, ... При практических вычислениях с ограниченной точностью различие между рациональными и иррациональными числами не проявляется. 4°. Операции сложения и умножения действительных чисел обладают свойствами: 1) коммутативности: а + b — b + α, ab = 6α; 2) ассоциативности: (a + b) + с = а + (b + с), (ab)c = а(6с); 3) дистрибутивности: (а + b)c = ac + be. 2.3. Функции 1°. Пусть X — некоторое множество чисел (например, промежуток). Если задано правило, которое каждому числу χ € X сопоставляет какое-нибудь число у, то такое правило называют функцией и записывают в виде у = f(x) или у = у(х). Запись у = f(x) (читается «у равен / от х») означает, что функция / числу χ сопоставляет число у. При этом χ называется значением аргумента функции / или /(х), у — значением функции, соответствующим значению аргумента х, или значением функции в точке х.
Функции 23 Множество X чисел х, на котором задана функция /, называется областью определения функции (обозначается D(f)). Множество чисел вида /(х), где χ G D(f)) называется областью значений функции (обозначается R(f)). Η л ук Л Л r-V1-*2 О х -10 1х а) б) Рис. 2.1. а — графическое задание функции, б — график функции у = \/1 — х2 Способы задания функции: аналитический (формулой), например у = х2) у — sin3x, у — 1пх; графиком (рис. 2.1, а); таблицей; словесным описанием. В физике и технике наиболее важны функции, заданные формулами или графиками. 2°. Если у = f(x)) то говорят, что переменные χ и у связаны функциональной зависимостью; χ называется независимой переменной, у — зависимой переменной. Идея функциональной зависимости широко используется в физике; например, при движении точки пройденный ею путь есть функция времени, давление газа в замкнутом сосуде есть функция его температуры, сила взаимодействия двух электрических зарядов есть функция расстояния между зарядами. Замечания 1) Данное выше понятие функции относится к однозначным функциям; иногда рассматривают многозначные функции, которые каждому значению аргумента χ сопоставляют несколько значений у; такова например, двузначная функция у = ±у/х. 2) Во многих задачах математики, физики, техники встречаются функции нескольких переменных: у = f(xi)X2> · · · >#п)> а также вектор-функции (например, радиус-вектор г = r(i), см. п. Ф2.1.1°).
24 Множества. Действительные числа. Функции Примеры 1) у = х2 + 1, здесь £>(/) = (-оо, +оо), Я(/) = [1, +оо); 2)y = V=&,D(f) = R(f) = {0y, 3) у = (х2 + 8)/(* - 1), £>(/) = (-оо, 1) U (1, +оо), Я(/) = (-оо,-4]и[8,+оо); 4) у = sinx, D(f) = (-оо, +оо), Я(/) = [-1; 1]. 3°. Введем на плоскости прямоугольную систему координат ху (§ 8.3). График функции f(x) — это множество точек на плоскости, имеющих координаты (х)у)) где у = f(x). Таким образом, когда аргумент χ пробегает область определения функции /(я), точка (х,/(х)) на плоскости пробегает график функции. Обычно график функции — некоторая «гладкая» кривая. На рис. 2.1, б изображен график функции у = у/\ — х2 (полуокружность). Графики функций широко применяются для наглядного изображения характера функциональной зависимости (практические приемы построения графиков см. в п. 5.4.3°, п. 5.4.4°). 2.4. Основные свойства функций 1°. Монотонность . Функция f(x) называется возрастающей на промежутке (а, 6), если большим значениям аргумента соответствуют большие значения функции: /ОЫ > f(xi) при х2>х\. (2.1) Здесь предполагается, что промежуток (а, 6) лежит в области определения функции и что х\,х2 — любые точки из (а, 6). Если вместо (2.1) выполняется f(x2) < f(xi) при х2>хи (2.2) функция называется убывающей на промежутке (а, 6). Если функция f(x) возрастает (убывает) на всей своей области определения, она кратко называется возрастающей (убывающей).
Основные свойства функций 25 Если вместо (2.1) выполняется неравенство /(хг) ^ f(xi) при Х2 > х\) функция называется неубывающей; если /(хг) ^ ^ f(x\) при Х2 > х\, функция невозрасгпающая. Возрастающие и убывающие функции называются строго монотонными-, неубывающие и невозрастающие функции — монотонными в широком смысле. При движении χ слева направо график возрастающей функции поднимается вверх, график убывающей функции опускается вниз. Функция может возрастать или убывать на отдельных промежутках; например, у — л/1 — х2 убывает при χ > О и возрастает при χ < О (рис. 2.1, б). Достаточное условие монотонности на промежутке (а, 6) функции /(я), дифференцируемой на этом промежутке (§ 5.4): f'(x) φ 0 при всех χ е (а, 6). При этом f'(x) > 0 соответствует возрастанию, f'(x) < 0 — убыванию функции (в данных неравенствах можно допустить обращение f(x) в нуль в отдельных точках). Примеры l)f(x)-n±* f>(x)- *2~2*-8 - (* + 2)(*~4) Знак vtw- x_1,tw- (ж_1)2 - (ж_1)2 -^нак полученного дробного выражения можно исследовать методом интервалов (п. 3.7.5°). Результат: f\x) > 0 при χ < — 2 и при χ > 4, здесь функция f(x) возрастает; f\x) < 0 при — 2 < χ < 4, хф —\, здесь /(х) убывает. 2) у = х3. Функция возрастает при всех χ € R, несмотря на то, что 2/(0) = 0. 2°. Периодичность. Функция f(x) называется периодической, если значения функции не меняются при изменении значений аргумента на некоторое постоянное число Τ φ 0: для любых χ из области определения функции точки χ ± Τ также принадлежат области определения и имеют место равенства f(x + T) = f(x-T) = f(x).
26 Множества. Действительные числа. Функции Число Τ называется периодом функции; если Τ — период, то тТ — также период для любого целого га φ 0. Обычно под термином «период» подразумевают наименьший положительный период; например, sin χ и cos x имеют наименьший период 2π. График периодической функции состоит из бесконечно повторяющихся одинаковых кусков кривой (рис. 2.2). В физике периодические функции описывают колебательные процессы (§ Ф5.1). Периодическая функция 3°. Четность и нечетность. Функция /(х) называется четной, если для любых χ из ее области определения выполняется равенство /(-*) = /(*). (2.3) При этом предполагается, что область определения функции симметрична относительно точки χ = 0. Функция f(x) называется нечетной, если /(-х) = -/(»). (2.4) Примеры четных функций: cosx, х2п, \х\\ нечетных: sinx, х2п+\ х/|х|. График четной функции симметричен относительно оси у, график нечетной — относительно начала координат. Функция может не иметь свойств четности или нечетности; например, у = х2 + х. Любую функцию (с симметричной областью определения) можно представить как сумму четной и нечетной частей: f(x) = Mx) + f2(x), где /i(*) = J [/(*) +/(-*)] и /2(х) = \ [/(*) - /(-*)] — четная и нечетная части соответственно.
Обратная функция 27 Сумма или разность двух четных (нечетных) функций четна (нечетна), произведение двух четных или двух нечетных функций четно, произведение четной функции на нечетную нечетно. 4°. Ограниченность. Функция f(x) называется ограниченной, если при всех χ из ее области определения выполняется неравенство \f(x)\ ^ Μ или неравенство Μι ^ f(x) ^ Мг, где Μ, Μι, Μ2 — какие-либо постоянные числа. Примеры ограниченных функций: | sin χ| ^ 1, 0 ^ е~^ < 1, |arctgx| ^ π/2. Примеры неограниченных функций: 1/х, tgx, 2*, In x. 2.5. Обратная функция 1°. Соответствие между элементами двух множеств А и В называется взаимно однозначным, если каждому элементу а 6 А соответствует точно один элемент 6 6 В, и обратно, каждому элементу b € В соответствует точно один элемент α € А. Если функция / задает взаимно однозначное соответствие между своей областью определения X и своей областью значений У, то говорят, что функция / имеет обратную функцию или что функция / обратима. Обратная функция, по определению, — это правило, которое каждому числу у € У сопоставляет число χ € X, причем у = /(х). Область определения обратной функции есть У, область значений — X. Для обратных функций обычно применяют специальные обозначения; например, если у = ех, то χ = In у (логарифм есть обратная функция для показательной функции). Функция, обратная к обратной для заданной, равна этой заданной (исходной) функции; например, еШ(е*) = ех_
28 Множества. Действительные числа. Функции Исходную функцию и ее обратную вместе называют взаимно обратными] например, логарифм и показательная функция — взаимно обратные функции. 2°. Все строго монотонные функции — как возрастающие, так и убывающие — имеют обратные; обратные функции при этом также строго монотонные. Если исходная функция f(x) немонотонна, то некоторые свои значения она может принимать два или несколько раз (например, у = х2 или у = sinx). В этом случае для введения обратной функции область определения функции f(x) разбивают на участки монотонности f(x) и с каждым таким участком связывают свою обратную функцию. Примеры 1) у = х2. Здесь определяют две обратные функции х = у/у и х = — у/у, так как имеются два промежутка монотонности (~оо,0) и (0, +оо) исходной функции. Каждая из обратных функций у/у и —у/у дает однозначное отображение полуоси у ^ 0 на свою часть области определения (—оо, +оо) исходной функции у = х2. 2) у = sinx. Для χ Ε [—π/2; π/2] обратная функция χ = arcsiny (§ 4.3). 3°. Графики исходной функции у = f(x) и обратной функции у = f~~l(x) симметричны относительно биссектрисы I—III квадрантов, поэтому график обратной функции можно получить переворачиванием вокруг этой биссектрисы плоскости, на которой изображен график исходной функции (рис. 2.3). Рис. 2.3. Взаимно обратные функции
Линейная и квадратичная функции. Модуль... 29 Рис. 2.4. Наклон прямой у = ах + Ъ в зависимости от а 2.6. Линейная и квадратичная функции. Модуль действительного числа 1°. Функция вида у — ах + Ь называется линейной] здесь а и 6 — постоянные коэффициенты. Область определения: χ 6 К. Область значений: если а φ О, то Υ = R, т. е. значения линейной функции пробегают всю действительную ось; при а = О функция вырождается в постоянную у = 6. График линейной функции — прямая линия (рис. 2.4). Коэффициент а называется угловым коэффициентом прямой линии, так как а = tga, где α — угол наклона прямой к оси χ (отсчи- тывается против часовой стрелки от положительной полуоси). Линейная функция монотонна при всех х: возрастает, если а > 0; убывает, если а < 0. При а ф 0 нет периодичности. При 6 = 0 зависимость у = ах называется пропорциональной; это — нечетная функция. Обратная функция существует при а ф 0, χ = (у — Ь) /а и также является линейной функцией. Примеры физических применений линейной функции: путь s = vt при равномерном движении и скорость ν = vq + at при равноускоренном движении — линейные функции времени. Линейную функцию иногда рассматривают на множестве С комплексных чисел (§ 7.1); при а ф 0 она взаимно однозначно отображает С на С. 2°. Квадратичная функция или квадратный трехчлен — это функция вида у — ах2 + Ьх + с, где а ф 0. Область определения: χ € К; область значений: [т, +оо) при а > 0, (-οο,Μ] при а < 0 (т — минимальное, Μ — максимальное значение, см. ниже). В случае 6 = с = 0 график квадратичной функции у = ах2 — парабола, вершина которой — в начале координат, ось симметрии совпадает с осью у (рис. 2.5, а). В общем слу-
30 Множества. Действительные числа. Функции Ук Уо\ О ψ: οι *' б) Рис. 2.5. α — возможные случаи расположения параболы у — ах2 на плоскости ху; б — параллельный перенос системы координат чае квадратный трехчлен ах2 + Ьх + с может быть приведен к каноническому виду: ах +Ьх + с а (Ι+έ)' Аа2 + с = а(х- хо)2 + 2/о, где хо = —Ь/2а, уо = —D/Aa, D — дискриминант (D = b2 — 4ас). В новой системе координат х'у', где х' — χ — хо, у' — У — Уо, уравнение у = ах2 + Ьх + с имеет вид у' = а{х') . Система координат x'yf получается из системы ху сдвигом по оси χ на хо, по оси у — на уо (рис. 2.5, б). Отсюда следует, что график квадратичной функции общего вида у = ах2 + Ьх + с — парабола, полученная параллельным переносом параболы вида у = ах2. Координаты вершины параболы: Р(—6/2а, —D/Aa). Если а > 0, то Ρ — точка минимума функции ах2 + Ьх + с) при этом т = —D/Aa\ если а < 0, то Ρ — точка максимума, Μ = —D/Aa. Левее и правее вершины параболы квадратичная функция монотонна. При 6 = 0 функция четная. При любых значениях коэффициентов а, 6, с график квадратичной функции один раз пересекает ось у (при у = с). Число точек пересечения с осью χ зависит от дискриминанта D: если D < 0, парабола не имеет общих точек с осью х\ если D = 0, то общая точка одна (касание при χ = —b/2a)\ если D > 0, то имеются две точки пересечения (п. 3.2.2°).
Линейная и квадратичная функции. Модуль... 31 χ-ε χ + ε —i » » χ-ε α χ + ε α) 6) Рис. 2.6. α — график функции у — \χ\\ б — к решению неравенств \х — а\ < ε и \х — а\ > ε Если дискриминант D > О, то квадратный трехчлен можно разложить на множители: ах2 + Ьх + с = а(х - х\)(х - £2)» где х\ и Х2 — корни трехчлена (§ 3.2). Если D = 0, т. е. х\ = #2, то ах2 + Ьх + с = а(х — χ{γ. Если D < О, то в области действительных чисел разложение вида а(х — х\)(х — хг) невозможно, в области комплексных чисел такое разложение всегда возможно (§ 7.1, 3.3). Физические приложения квадратичной функции: координата точки при равноускоренном движении как функция времени (п. Ф2.1.4°), потенциальная энергия растягиваемой пружины как функция удлинения (п. Ф2.4.б°). 3°. Модуль (или абсолютная величина) действительного числа χ определяется следующим образом: \х\ = х) если χ ^ 0; \х\ = —х) если χ < 0. Таким образом, всегда \х\ ^ 0. Область определения функции у = \х\: χ 6 R; область значений: у ^ 0. Функция четная. График имеет вид прямого угла (рис. 2.6, а). Некоторые свойства модуля: \ах\ = \а\ · \х\) | — х\ = \х\) у/j? = |х|, |α + 6|<|α| + |6|, |α-6| £ ||α| - |6||. Пусть ε > 0. Неравенство |х — α| < ε равносильно двойному неравенству —ε < χ — а < ε или α — ε < χ < а + ε. Неравенство \χ — α I > ε равносильно совокупности неравенств χ — а > ε, χ — α<—ε или χ<α — ε, χ>α + ε. Другими словами, неравен-
32 Множества. Действительные числа. Функции 1 χ а) б) Рис. 2.7. Графики степенной функции у — ха при а > О (а) и а < О (б) ство \х — а\ < ε выполняется на промежутке χ 6 (α — ε, α + ε); неравенство |χ — α| > ε — на объединении двух полупрямых (рис. 2.6, 5) χ € (—оо, α — ε) U (α + ε, +οο). 2.7. Степенная функция 1°. Функция у = ха называется степенной] здесь а (показатель степени) — любое действительное число. Область определения: χ > 0, т. е. χ е (0, +оо); область значений: у > О, т. е. у € (0,+оо). Степенная функция монотонная: при а > О возрастающая, при а < 0 убывающая. Графики имеют различный вид в зависимости от а (рис. 2.7). 2°. Для целых значений показателя степени α 6 Ζ степенную функцию рассматривают при а > 0 на всей числовой оси, при а < 0 — на всей оси, кроме точки χ = О, где функция имеет бесконечный разрыв (п. 5.3.2°). При α = — 1 зависимость у = 1/х (или j/ = fc/x) называется обратной пропорциональностью. Например, закон Ома (п. Ф4.2.1°) утверждает, что сила тока на участке цепи при заданном напряжении обратно пропорциональна сопротивлению. На рис. 2.8 изображены графики степенных функций у = х3, у = х4, у = х~1 (равнобочная гипербола, см. п. 9.3.3°),
Показательная, гиперболические и логарифмическая функции 33 а) б) Рис. 2.8. Графики степенной функции у = ха при целых а у = х~2. При целочисленных показателях четность степенной функции совпадает с четностью показателя. 3°. Для некоторых дробных показателей степенную функцию также можно рассматривать на расширенной области определения: если а = т/п > О, где η — нечетное целое число, т — целое, то у = хт1п можно задавать на всей действительной оси; при а < О надо выбрасывать точку χ = 0. В частности, функция у/х = х1/3 определена при χ 6 (—оо,+оо), а функция х-1/3 — при χ € (—οο,Ο) U (0, +оо). При четном η и т/п > 0 функция хт1п (в частности, у/х = х1/2) определена при χ ^ 0. 2.8. Показательная, гиперболические и логарифмическая функции 1°. Показательная функция имеет вид у = ах, где основание а > 0, αφί. Область определения: χ е R; область значений: у € (0,+оо). Основное свойство показательной функции: aXl+X2 =aXl ах\ т. е. сумме значений аргумента соответствует произведение значений функции. Отметим также, что а0 = 1, а1 = а, ах > 0. 3-2172
34 Множества. Действительные числа. Функции Графики показательной функции у — ах (а), гиперболических функций (б) и логарифмической функции у — loga χ (в) Показательная функция монотонна: при a > 1 она возрастающая, при a < 1 — убывающая (рис. 2.9, а). При а > 1 показательная функция очень быстро растет, когда χ —> +оо («экспоненциальный рост» — быстрее любой степени х). Чаще других оснований используется число е (п. 5.1.8°). Функция ех называется экспонентной и иногда обозначается ехрх. Экспоненциальная зависимость часто встречается в природе; например, при радиоактивном распаде активность радиации экспоненциально убывает со временем (п. Ф7.6.2°). 2°. Выражения е±х часто встречаются в следующих стандартных комбинациях: 1) chx = (ех + е~х)/2 (гиперболический косинус)] 2) shx = (ех — е~х)/2 (гиперболический синус); . shx ex — е~~х 3) thx = —— = [гиперболический тангенс). ; άιχ ех + е~х v y } Гиперболические функции, в отличие от тригонометрических, непериодичны (рис. 2.9, б). Свойства этих функций: chx четная, shx и thx нечетные. Функции chx и shx не ограничены, thχ ограничена: | thx| < 1; при χ —> ±оо функция thx —> ±1. Имеют место формулы ch2 χ — sh2 χ = 1; ch 2x = ch2 χ + sh2 x\ sh(x± y) = shx -chyzfcchx -shy; ch(x ± y) = ch χ · ch у ± sh χ · sh y.
Показательная, гиперболические и логарифмическая функции 35 3°. Логарифмическая функция у = loga x (читается «у равен логарифму χ по основанию а»), где а > 0, а ф 1, является обратной функцией по отношению к показательной: если у — ах) то χ = logay. Область определения: χ € (0, +оо); область значений: вся действительная ось, у € К. Основное логарифмическое тождество: alogax = χ при χ е ^ +00). Свойства логарифмов (все аргументы считаем положительными): logal = 0; logaa= l; Χλ loge(xi · x2) = loga xi + loga x2; bge — = loga χχ - loge x2; #2 loga xb = b loga x; loga b = - ; log&a loga χ = log6 χ · loga f> = τ—ϊ—; log1/a χ = - loga x. log6 о ' Примеры 1) log1/3 45 = - log3(5 · 32) = - log3 5 - log3 32 = - log3 5-2; 2)4-logv^a:=^4) = (v/2)-41°g^X = V2log^(a:_4) x-4. Логарифмы с основанием 10 называются десятичными (обозначаются lgx); с основанием е — натуральными (обозначаются 1пх; о числе е см. в п. 5.1.8°). Связь натуральных и десятичных логарифмов: ■м-ь,,.*.-^. где lge » 0,434; In 10 » 2,30. Логарифмическая функция монотонна: при а > 1 она возрастающая, при α < 1 — убывающая (рис. 2.9, в).
36 Уравнения. Системы уравнений. Неравенства 3. УРАВНЕНИЯ. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ. НЕРАВЕНСТВА Многие физические и математические задачи связаны с исследованием и решением уравнений, систем уравнений и неравенств. В данной главе обсуждаются общие свойства уравнений и неравенств, рассматриваются линейное, квадратное и биквадратное уравнения, общие свойства многочленов и алгебраических уравнений, иррациональные уравнения и уравнения с модулями, линейные и нелинейные системы уравнений. 3.1. Общие понятия 1°. Уравнением с одним неизвестным χ называется соотношение вида /(*) = 0, (3.1) где f(x) — какая-либо заданная функция действительного или комплексного переменного х. Встречаются также уравнения вида f(x) = g(x)> где f(x) и д(х) — две заданные функции (f(x) — левая часть, д(х) — правая часть уравнения). Переносом д(х) в левую часть получаем f(x) — д(х) = О — уравнение вида (3.1). Уравнение следует рассматривать в области допустимых значений (ОДЗ), т. е. на множестве чисел х) на котором определены все входящие в уравнение функции. Для уравнения (3.1) ОДЗ совпадает с областью определения функции f(x)\ для уравнения f(x) = g(x) ОДЗ есть пересечение областей определения левой и правой частей. Решить уравнение (3.1) — значит найти его корни (или решения) , т. е. значения ж, при подстановке которых в уравнение получается истинное (верное) равенство. Другими словами, решить уравнение — значит найти нули (или корни) функции /(х), т. е. значения аргумента х) при которых график функции пересекает ось х. Говорят, что корни уравнения удовлетворяют этому уравнению. Если корней уравнения несколько,
Общие понятия 37 их обычно нумеруют: χι, Х2, #з и т. д. Например, уравнение х2 — 5х + 6 имеет корни х\ = 2, #2 = 3; уравнение 10х = 0 корней не имеет. Если уравнение не удается решить точно, то можно искать приближенные решения (§ 10.4). 2°. Если в точке хо сама функция /(х) и все ее производные (§ 5.4) до порядка (п — 1) включительно равны нулю, а производная порядка η отлична от нуля: /(хо) = /'(хо) = · · · = /(п_1)(хо) = 0, но /<">(*ο) Φ Ο, то хо называется нулем (или корнем) функции f(x) кратности п. Например, χ = 0 — нуль кратности 2 функции у = sin2 χ, так как у(0) = 0, у'(О) = 0, у"(0) = 2. Корень хо уравнения (3.1) имеет кратность п, если хо — нуль функции /(х) кратности п. 3°. Два уравнения h(x) = 9i(x)> f2(x) = 92(x) называются равносильными (эквивалентными), если все корни первого уравнения являются корнями второго, а все корни второго уравнения — корнями первого. Другими словами, множества корней равносильных уравнений совпадают. Например, уравнения Зх — 6 = 0их = 2 равносильны (один корень х = 2); уравнения х2 = 4 и χ = 2 не равносильны (корни первого уравнения χι = 2 и Х2 = —2, корень второго уравнения один, χ = 2). Равносильные уравнения обозначают символом <=>] например, Зх-6 = 0^х-2 = 0. Равносильные преобразования уравнения — преобразования, приводящие к равносильному уравнению: 1) прибавление одновременно к обеим частям уравнения любого числа (в частности, перенос слагаемых из одной части уравнения в другую с изменением знака); 2) умножение (и деление) обеих частей уравнения одновременно на любое число, отличное от нуля (в частности, на —1);
38 Уравнения. Системы уравнений. Неравенства для уравнений в области действительных чисел, кроме того: 3) возведение обеих частей уравнения в любую нечетную натуральную степень (например, в третью); 4) возведение обеих частей уравнения в любую четную натуральную степень (например, в квадрат), если обе части уравнения неотрицательны. 4°. Если все корни уравнения fi(x) = gi(x) удовлетворяют уравнению /г(^) = <?2 (#)> то говорят, что уравнение /2(#)=ί?2(#) есть следствие уравнения fi(x) = <?ι(#), и пишут /ι(») = 9\{х) =* /2(я) = 92{х). Например, χ = 2 =>► χ2 = 4 (однако утверждение х2 = 4 =>► χ = 2 ошибочно!). Важный пример неравносильного преобразования — возведение обеих частей уравнения вида f(x) = g(x) в четную степень: f{x)=g{x)^fm{x)=g2m{x). Возведение обеих частей уравнения в четную степень, вообще говоря, приводит к появлению посторонних корней (посторонние корни — это корни уравнения f(x) = —g(x)). Например, уравнение х2 = — 1, не имеющее действительных корней, после возведения в квадрат превращается в уравнение х4 = 1, имеющее два действительных корня χ = ±1; это посторонние корни для исходного уравнения. 3.2. Линейное, квадратное и биквадратное уравнения 1°. Линейное уравнение: ах + Ь = О, где а и Ь — заданные действительные или комплексные числа, называемые коэффициентами. При любом а ф О линейное уравнение имеет единственное решение χ = —b/a. При а = О, b φ О решений нет.
Линейное, квадратное и биквадратное уравнения 39 2°. Квадратное уравнение: ах2 + Ъх + с = 0; здесь а, 6, с — коэффициенты (действительные или комплексные). Если а = 0, квадратное уравнение вырождается в линейное уравнение; при а ф 0 делением обеих частей на а квадратное уравнение приводится к виду х2 + рх + q = 0 (приведенное квадратное уравнение). Далее предполагается, что а φ 0. Квадратное уравнение всегда имеет корни (действительные или комплексные), при действительных а, 6, с вычисляемые следующим образом. Вычисляем дискриминант D = Ь2 — 4ас: 1) если D = 0, корень один (двукратный, см. § 3.1): 2) если D > 0, имеются два действительных корня: -Ь + yfD -b-y/D Χ1 = —^—> Х2 = ~^—; (33) 3) если D < 0, нет действительных корней, имеются два комплексных корня: Х1~ 2а ' Х2~ 2а ' {όΑ) где г — мнимая единица (п. 7.1.1°); в этом случае корни комплексно сопряженные, Х2 = —х\. Если коэффициенты а, 6, с — комплексные числа, то формулы (3.2) — (3.4) сохраняют смысл; при этом символ y/z означает какое-нибудь (например, главное, см. п. 7.3.7°) значение корня. Для приведенного квадратного уравнения формула (3.3) имеет вид что особенно удобно в случае четного коэффициента р. Например, для уравнения х2 - \2х - 347 = 0 корни χι 2 = 6 ± \/36 + 347 = 6 ± v/383.
40 Уравнения. Системы уравнений. Неравенства Свойство корней приведенного квадратного уравнения х2 + рх + q = 0 (теорема Виета): х\ - Х2 = Я) х\ +Х2 = —р, т. е. произведение корней равно свободному члену, а сумма корней равна коэффициенту при х, взятому с противоположным знаком. Теорема Виета позволяет производить быструю проверку корней, а иногда и угадывать корни квадратного уравнения. Так, корни х\ = 50, Х2 = 7 уравнения х2 — 57х + 350 = 0 видны из разложений 350 = 50-7, 57 = 50 + 7. 3°. Биквадратное уравнение ах4 + Ьх2 + с = 0 заменой t — χ2 сводится к квадратному уравнению at2 + bt + с = 0. В случае действительных коэффициентов а, 6, с при D = У2 — 4ас < 0 действительных корней нет; при D > 0 получаются два действительных значения t: t\^ — (— b ± \[ЪJ /(2а); при D = 0 — одно действительное значение t: t\ = —b/(2a). Корни биквадратного уравнения действительны или комплексны в зависимости от знаков t\ и <2· В комплексной плоскости (х € С) корни биквадратного уравнения (в том числе с комплексными коэффициентами) всегда существуют. 3.3. Многочлены 1°. Многочленом (полиномом) степени η от переменной χ называется функция вида Р(х) = а0хп + αιχη~ι + ... + αη. Здесь αο φ 0, η — целое число (η ^ 0). Числа αο, αχ,..., αη (действительные или комплексные) называются коэффициентами многочлена. Многочлен нулевой степени (п = 0) совпадает с постоянной. Многочлены рассматривают на действительной оси (х 6 R) или в комплексной плоскости (х € С). 2°. Многочлены на действительной оси: переменная χ и коэффициенты αο, αϊ,..., αη — действительные числа. Область определения — вся действительная ось.
Многочлены 41 Область значений при η нечетном — вся ось R; при η четном: если ао < 0, то полупрямая (—оо, Μ], где Μ — наибольшее значение Р(х)\ если ао > 0, то полупрямая [т,+оо), где га — наименьшее значение Р(х)\ при η = О область значений состоит из одной точки ао. Многочлен степени выше нулевой — функция непериодическая , неограниченная и, вообще говоря, немонотонная =х*-2х*+3\ ι /ι ι -3 -2/ J -1 Ук [ 4 Ч3 1 0 -1 -2 - - \ У= JC 1 \* - ^> у— j?/-3x+l /\ 1 ^ /А 3 ** \х*+х* Рис. 3.1. Графики некоторых многочленов Графики некоторых многочленов представлены на рис. 3.1. Многочлены в комплексной плоскости: область определения — вся комплексная плоскость С; область значений при η > 0 — вся комплексная плоскость С. 3°. Вычисление значения многочлена в заданной точке χ удобно производить по схеме Горнера: вычисляют последовательно числа Ρο = αο> Ρι=Ρο# + αι, Рп =Ρη-ι# + αη> тогда Р(х) = рп. Этот способ обычно применяют при работе с ЭВМ. 4°. Алгебра многочленов 1) Два многочлена Р(х) = а0хт + aixm_1 + . Q{x) = box" + Μ"-1 + .. • · + %, ■ + ьп называют равными, если они тождественно совпадают: при всех χ е К (или χ 6 С) Р(х) = Q(x). У равных многочленов равны степени и все соответствующие коэффициенты. Два различных многочлена могут принимать равные значе-
42 Уравнения. Системы уравнений. Неравенства ния в отдельных точках; например, многочлены Р(х) = х2 и Q(x) = —х2 + 2х совпадают при χ = 0 и χ = 1. Теорема: если два многочлена Р(х) и Q(x) степени не более η совпадают в каких-либо (п + 1) различных точках х\) #2,..., яп + 1, т. е. Р(хк) = Q(xk) Для к = 1,2,..., η + 1, то эти многочлены равны (тождественно совпадают). 2) При сложении двух многочленов степень суммы равна наибольшей из степеней слагаемых, кроме случая двух многочленов равной степени п, у которых ао = —bo (B этом случае степень суммы меньше п). 3) Произведение двух многочленов есть многочлен, степень которого равна сумме степеней данных многочленов. Коэффициенты произведения получаются при соответствующих степенях χ после раскрытия скобок и приведения подобных членов; например, (х + 2)(х2-2х + 4) = х3 + 8. 4) Дробно-рациональной функцией (рациональной дробью) называется дробное выражение вида R(x) = P(x)/Q(x)) где Р(х) и Q(x) — многочлены. Если степень числителя меньше степени знаменателя, то дробь P(x)/Q(x) называется правильной. Если степень числителя га больше или равна степени знаменателя п, то дробь P(x)/Q(x) может быть представлена в виде т=ф)+ш· (35) где р(х) — многочлен степени (га — п), называемый целой частью (или частным); q(x) — многочлен степени не выше (п — 1), называемый остатком, например, (2х2 + 1)/(х - 1) = 2х + 2 + 3/(ж - 1). Формулу (3.5) можно переписать в виде P(x)=p(x)Q(x) + q(x).
Многочлены 43 Если остаток q(x) равен нулю, то говорят, что многочлен Р(х) делится нацело на многочлен Q(x)\ например, (х3 + 8)/(х2 - 2х + 4) = χ + 2. Теорема Безу: остаток при делении многочлена Р(х) на разность (х — Ь) равен Р(Ь), т. е. равен значению многочлена в точке Ь. Следствие: если Р(Ь) = О, т. е. число b — корень многочлена, то многочлен нацело делится на (х — Ь). Другими словами, в этом случае многочлен Р(х) можно представить в виде разложения на множители: Р(х) = (х - δ)ρ(χ), причем если степень Р(х) равна п, то степень р(х) равна (п — 1). Практически деление многочленов P(x)/Q(x) выполняют «уголком». Предварительно надо расположить оба многочлена по убывающим степеням χ и записать их рядом, отделив «уголком»: 2x3 + 3x2 + x-l\x2 + 2 Сначала делим старший член делимого на старший член делителя, здесь 2хг/хг = 2х) и записываем результат под горизонтальной чертой: 2хг + Зх2 + х-1 х2 + 2 2х Затем под делимым подписываем произведение делителя на указанный результат и вычитаем это произведение из делимого: 2х3 + 3х2+ х-1 2х3 + Ах Зх2 - Зх -1 х2 + 2 2х
44 Уравнения. Системы уравнений. Неравенства Теперь задача свелась к делению нового многочлена меньшей степени (здесь Зх2 — Зх — 1) на прежний делитель. Дальнейшие действия аналогичны описанным. В данном примере получается схема 2х3 + 3х2 + х-1 2х3 + 4х х2 + 2 2х + 3 _ Зх2 - Зх - 1 Зх^ +6 -Зх-7 Дальнейшее деление невозможно; 2х + 3 есть целая часть (частное), —Зх — 7 есть остаток. 5°. Любой многочлен степени η > О может быть разложен на η линейных множителей: Р(х) = а0(х - χι)(χ - Х2)... (х ~ хп)> (3.6) где χι, Χ2, ..., хп — корни многочлена, вообще говоря комплексные. Например, х3 - 2х2 - χ + 2 = (х - 1)(х - 2)(х + 1), х3 + 8 = (х + 2)(х - 1 - г\/3)(х - 1 + г\/3), где г = >/—Г (§ 7.1). Среди чисел χι, Χ2, ..., хп могут оказаться одинаковые; тогда разложение (3.6) можно записать в виде Р(х) = а0(х - χι)ηι(χ - Х2)*1... (ж - χι)ηι. (3.7) Здесь все числа χχ, Χ2, ..., х\ различные; показатели πι, П2, ..., щ являются кратностями (§3.1) соответствующих корней; п\ + П2 + ... + щ = п. Например, х7~3х6 + 5х5~7х4 + 7х3~5х2 + 3х~1 = (х~1)3(х~г)2(х + г)2, где χι = 1 — корень кратности 3, Х2 = г и хз = —г — корни кратности 2.
Алгебраические уравнения 45 Комплексные корни многочлена с действительными коэффициентами попарно сопряженные (§ 7.1), поэтому многочлен с действительными коэффициентами может быть разложен на действительные множители: Р(х) = α0(χ-χι)ηι... (х-хг)Пг(x2+pix+qi)mi... (x2+pkx+qk)mk, где χι, Χ2, ..., хт — различные действительные корни, а каждый квадратный трехчлен х2 + pjX + qj, (j — 1,2,..., к) имеет по два сопряженных корня (п. 3.2.2°): zlt2 = -pj/2±iyJqj-(pj/2)2 (каждый корень кратности т^). При этом выполняется соотношение п\ + п2 + ... + nr + 2(mi + m2 + ... + m*) = η. Например, χ3 + 8 = (χ + 2)(χ2 — 2χ + 4); здесь η\ = 1, m\ — 1. 3.4. Алгебраические уравнения 1°. Уравнение вида а0хп + αλχη~λ + ... + ап = О (3.8) где αο φ 0, называется алгебраическим уравнением степени п. Его корни — это корни соответствующего многочлена Р(х)) стоящего в левой части уравнения. Линейное, квадратное и биквадратное уравнения являются примерами алгебраических уравнений. Основная теорема алгебры: любое алгебраическое уравнение степени η > О имеет по крайней мере один корень (возможно, комплексный). Из этой теоремы и теоремы Везу (п. 3.3.4°) вытекает утверждение: любое алгебраическое уравнение степени η > О имеет в комплексной плоскости ровно η корней (каждый корень кратности т учитывается т раз). Так, уравнение х2 = О имеет один двукратный корень xq = 0 или два совпадающих корня χι = х2 = 0.
46 Уравнения. Системы уравнений. Неравенства Задача вычисления корней алгебраических уравнений имеет важное практическое значение в теоретической и прикладной математике, физике и технике. 2°. Для уравнения степени 1, 2, 3, 4 существуют формулы, выражающие корни уравнения «в радикалах», т. е. с помощью дробных степеней некоторых комбинаций коэффициентов. Для линейного и квадратного уравнений такие формулы приведены в § 3.2; для уравнения третьей степени (кубического уравнения) известны формулы Кардано] для общего уравнения четвертой степени также существуют довольно сложные формулы. Доказано, что ни для какого η ^ 5 не могут существовать формулы, выражающие корни произвольного уравнения степени η через его коэффициенты с помощью конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в целую или дробную степень (теорема Абеля). 3°. Если удается разложить многочлен Р(х) на множители, задача решения уравнения упрощается. Например, х3 - 6х2 + Их - 6 = (х - 1)(х2 -5х + 6); следовательно, х\ — 1, остальные корни находятся из квадратного уравнения х2 — Ъх + 6 = 0. В общем случае, если удалось каким-либо способом, например подбором, найти один корень х\ алгебраического уравнения, то делением многочлена Р(х) на разность (х — х\) (п. 3.3.4°) задача сводится к решению уравнения степени (п — 1). Этот прием называется понижением степени. Например, число χι = 2 удовлетворяет уравнению х4 - 2х3 - Зх2 + Их - 6 = 0, поэтому делением левой части на (х — 2) получаем уравнение третьей степени для прочих корней: хг - 4х + 3 = 0. В свою очередь, Х2 = 1 есть очевидный корень этого уравнения, и т. д.
Иррациональные уравнения. Уравнения с модулями 47 4°. Двучленные алгебраические уравнения имеют вид ахп + 6 = 0. Они решаются в явном виде: хп = с, где с = —Ь/а. Если b φ 0, то в комплексной плоскости имеется η различных корней: Хк = И1/" ехр [%{φ + 2пк)/п], </? = arg с, где к = 0,1,..., η — 1 (п. 7.3.7°); если b = 0, то корень один: χ = 0. Если η нечетно, то при любом действительном с имеется один действительный корень xq = >/с. Если η четно и при этом с > 0, то действительных корней два: χι = γ/c и Х2 = — \/с, если же с < 0, то действительных корней нет. 5°. К алгебраическим уравнениям сводятся дробно-рациональные уравнения вида P(x)/Q(x) = 0, где Р(х) и Q(x) — многочлены. Здесь допустимые значения χ — вся действительная ось (или комплексная плоскость), за исключением корней знаменателя. В области допустимых значений (ОДЗ) уравнение равносильно алгебраическому уравнению Р(х) = 0. 3.5. Иррациональные уравнения. Уравнения с модулями 1°. Иррациональные уравнения содержат выражения вида 1y/P(x)i где Р(х) — некоторый многочлен (например, уравнение χ = \/2х2 — 1). Иррациональные уравнения обычно рассматривают при действительных значениях переменной х. Область допустимых значений — множество таких χ € R, при которых определены все входящие в уравнение функции. В данном примере ОДЗ представляет собой объединение двух лучей: (-оо,-1/\/2]и[1/^,+оо). 2°. В некоторых случаях иррациональные уравнения удается привести к алгебраическим уравнениям. Рассмотрим простейшие виды таких уравнений.
48 Уравнения. Системы уравнений. Неравенства 1) Уравнение VP@) = Q(*)> (3-9) где Р(х) и Q(x) — многочлены. При нечетном га ОДЗ — вся действительная ось К, при четном — множество χ таких, что Р(х) ^ 0 (п. 3.7.5°). Возводя обе части уравнения (3.9) в степень га, получаем алгебраическое уравнение Р(х) = Qm(x). (3.10) Если га нечетное, то уравнение (3.10) равносильно уравнению (3.9). Если га четное, то (3.10) есть следствие (3.9): вместе с корнями уравнения (3.9) уравнению (3.10) удовлетворяют также посторонние корни — корни уравнения Ту/Р(х) = —Q(x). При четном га, найдя все корни (3.10), следует произвести проверку каждого корня подстановкой в (3.9). Можно поступить проще: пусть данный корень хо уравнения (3.10) принадлежит ОДЗ исходного уравнения; тогда достаточно найти знак Q(xo)- если Q(xq) < 0, то хо — посторонний корень; если Q(xo) ^ 0, то хо — корень исходного уравнения. Пример \/2х2 - 1 = χ =*► 2х2 - 1 = х2 & х2 = 1. Корни хг = 1, Х2 = — 1; оба корня лежат в ОДЗ; корень х^ посторонний, так как Q[x2) = хо < 0. Ответ: χ = 1. 2) Уравнение Ту/Р(х) = \/Q(x), где Р(х) nQ(x) — многочлены. Возведением в степень га · η данное уравнение приводится к алгебраическому уравнению р»{х) = Q™(x). Исследование ОДЗ и посторонних корней аналогично описанному выше. 3) Уравнение Р(х) tyax+b) = 0 (в частности, Р(х, ^/х) = 0). Здесь Р(х,у) — многочлен от двух переменных χ и у, т. е. функция вида Р(х, У) = а0х1оуко + axxhykl + ... + anxlnykn.
Иррациональные уравнения. Уравнения с модулями 49 Для уравнения Р(х) "у/ах + Ь) = О ОДЗ — вся ось R или полуось (в зависимости от четности га). Подстановка t = "у/ах + b приводит уравнение к алгебраическому: Пример Ху/х — 2у/х + 1 = 0. Подстановка t = у/х (ί ^ 0) дает ί3 - 2ί + 1 = 0 <* (t - 1)(ί2 + ί - 1) = 0. Корни ίι = 1, ί2 = (~1 + \/5) /2, t3 = (—1 — л/б) /2 (посторонний корень, так как ts < 0). Ответ: хх = 1, х2 = [{у/Ь - 1) /2]2 = (3 - у/Щ /2. 4) Уравнение у/Р(х) = д/ФО*) + R(x)> гДе Р(х)> Φ(χ)> R(x) — многочлены. ОДЗ — общая часть областей определения функций у/Р(х) и y/Q(x), т. е. {х\Р(х) > 0} П {a;|Q0r) ^ 0}. Возводя обе части уравнения в квадрат, получаем у/рЩ=у/Щ^+Щх)^Р№ & 2R(x)x/Q{x) = Р(х) - Q(x) - В2(χ) =» =» 4i?2(x)Q(x) = (Р(ж) - Q(x) - R2(x))2. При этих преобразованиях дважды могли появиться посторонние корни. Отметим, однако, что если, например, R(x) ^ 0 при всех χ 6 ОДЗ, то первое возведение в квадрат есть равносильное преобразование (в ОДЗ). Пример \J1x- 1 = у/Ъх - 1. ОДЗ: χ € [0,5; +оо). Возведение в квадрат дает лишь следствие, а не равносильное уравнение. Здесь лучше переписать уравнение в виде у/Ъх = у/2х-\ + 1^3х = 2х-1 + 2\/2х - 1 + 1<Ф & 2\j2x - 1 = χ & χ2 - 8х + 4 = 0. Оба корня #1,2 = 4 ± 2\/3 лежат в ОДЗ. 4-2172
50 Уравнения. Системы уравнений. Неравенства 3°. Уравнения с модулями (абсолютными величинами) содержат выражения вида |</?(х)|; обычно эти уравнения рассматривают в области действительных чисел. Найдя интервалы постоянства знака функций, стоящих под знаком модуля, на каждом таком интервале уравнение записывают без знака модуля (метод интервалов). Таким образом, уравнение с модулями сводится к совокупности обычных уравнений на соответствующих интервалах, а множество решений уравнения является объединением соответствующих множеств. Пример \х-1| = 2х + \х-2|. Функции φι = χ-Ιπφ2 = χ-2 меняют знак в своих корнях: φι — в точке х\ — 1, φ2 ~ в точке Х2 = 2. Возникают три интервала на оси χ (рис. 3.2): Рис. 3.2. Уравнение \х — 1| = 2х + \х - 2| рассматривается на каждом из трех интервалов I) 1 - χ = 2х + 2 — х, или χ = -1/2, χ е I; Η) χ — 1 = 2х + 2 - х, нет корней при χ е И; III) χ - 1 = 2х + χ - 2, или χ = 1/2, χ £ III. Ответ: χ = —1/2. 3.6. Системы уравнений 1°. Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными χ и у имеет вид (а1х + Ь1у = с1 { а2х + Ь2у = с2 Здесь коэффициенты αϊ, а2, 6i, b2 и правые части с\, с2 ~ заданные числа (действительные или комплексные). Решить систему — значит найти все ее решения, т. е. пары чисел (х,у), при подстановке которых в оба уравнения получаются верные
Системы уравнений 51 равенства. Например, система < имеет единственное решение: χ = 2, у = 1, т. е. одну пару чисел (2,1); система /х+у=3 ж (х+у=г < Л , Л .не имеет решений; система < Л , Л - име- ( 2х + 2j/ = 1 ^ 2х + 2j/ = 6 ет бесчисленное множество решений: любая пара чисел вида (а, 3 — а), где а произвольно, удовлетворяет обоим уравнениям. Уравнения, составляющие систему (3.11), имеют простой геометрический смысл: каждое уравнение задает некоторую прямую линию на плоскости ху (п. 9.1.1°). Решение системы (3.11) — это координаты точки пересечения прямых. Таким образом, решение единственно, если прямые пересекаются; решений нет, если прямые параллельны; решений бесконечно много, если прямые совпадают. Две системы уравнений называются равносильными, если все решения одной системы являются решениями другой системы, и наоборот, все решения второй системы удовлетворяют первой системе. Перестановка уравнений местами, умножение обеих частей какого-либо уравнения на ненулевое число, прибавление к какому-либо уравнению другого уравнения, умноженного на число,— это равносильные преобразования системы: при таких преобразованиях система преобразуется к равносильной. Для решения системы (3.11) составим определитель системы Δ = αι&2 ~ ^2^1· Если Δ φ О, то решение существует и единственно, причем имеют место формулы Крамера χ = Δβ/Δ, у = Δ„/Δ, где Δχ = ci&2 — С2&1, Ау = а\С2 — а2С\. Если Δ = 0, то решений либо нет, либо бесконечно много. На практике обычно удобнее решать системы методом подстановки: одно из уравнений «решаем» относительно χ или у (например, у = (с\ — a\x)/bi) и подставляем это выражение 4*
52 Уравнения. Системы уравнений. Неравенства в другое уравнение; тогда получится линейное уравнение для одного неизвестного (в данном случае для х). Пример Г 2х + Зу = 4 т. о ι к < 0 . Из первого уравнения имеем χ = 2 — 1,5у; [ ох -- 2у = о подставляя χ во второе уравнение, получаем 5(2 - 1,5у) ~ 2у = 3, или 9,5у = 7, у = 14/19. Теперь χ находится по формуле подстановки: ж = 2 - 1,5 · 14/19 = 17/19. В результате подстановки у = (ci — а\х)/Ь\ может получиться уравнение вида 0 · χ = η. Если η φ О, то система решений не имеет; если η = О, то χ произвольно, решений бесконечно много, у выражается через χ по формуле подстановки. Метод исключения {метод Гаусса), по существу, не отличается от метода подстановки: умножая первое уравнение на ί>2, второе — на Ь\ и вычитая второе уравнение из первого, получаем линейное уравнение для одного неизвестного х. Для нахождения у можно поступить аналогично (умножить уравнения на а2 и αχ) либо выразить у через уже известное χ с помощью первого или второго уравнения (3.11). 2°. Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными х, у, ζ имеет вид а\х + b\y + c\z = d\ α2χ + &22/ + c2z = d2. (3.12) аз# + hy + csz = ds Геометрический смысл системы: каждое уравнение задает некоторую плоскость в пространстве (п. 9.4.7°). Линия пересечения двух плоскостей есть прямая линия. Если эта прямая не параллельна третьей плоскости, то общая точка трех плоскостей единственна и система имеет единственное решение — тройку координат х, у, ζ (п. 8.1.2°) точки пересечения. Если среди плоскостей есть параллельные либо линия пересечения двух плоскостей параллельна третьей плоскости, то система
Системы уравнений 53 не имеет решений. Возможен также случай существования бесконечного множества решений (например, все три плоскости пересекаются по некоторой прямой). Будем считать, что система (3.12) имеет единственное решение. Его можно найти методом подстановки или методом исключения. В методе подстановки выражают, например, χ через у и ζ из первого уравнения: χ = {d\ — b\y — c\z)/a\, и подставляют это выражение во второе и третье уравнения на место х. Получается система двух уравнений с двумя неизвестными у и ζ, ее решают, как описано в п. 1°. В методе исключения делят первое уравнение на αϊ (если αϊ 7^ 0), получают х + b[y + c[z + d[, где 6{ = 6ι/αι, c{ = ci/ai, d[ = d\/ai. Затем, умножая это уравнение на а2, вычитают его из второго уравнения, а умножая на аз, вычитают из третьего уравнения (при этом «пропадает» х). Система приобретает вид ( x + b[y + c[z = d[ 1 Ъ'2У + c^z = d'2. [ Ь^у + c^z = d^ К последним двум уравнениям можно применить такую же процедуру и получить уравнение для ζ вида αζ = η. Отсюда находят ζ, подставляют его во второе и первое уравнения, далее находят у, а затем х. В случаях невозможности деления (обращения в нуль соответствующего коэффициента) уравнения следует поменять местами. Если в процессе исключения неизвестных встретится равенство вида 0x + 0y + 0z = /y, где 7 7^ 0» то это означает, что система не имеет решений. Если система имеет бесконечное множество решений, то в процессе исключения одно из уравнений приобретет вид
54 Уравнения. Системы уравнений. Неравенства 3°. В общем случае система двух уравнений с двумя неизвестными χ и у имеет вид где f(x,y) и д(х,у) — заданные функции двух переменных. Здесь ОДЗ — множество пар (х,у) (точек на плоскости), для которых определены обе функции /ид. Решениями системы (3.13) называют пары чисел (х,у), при подстановке которых в оба уравнения (3.13) получаются верные равенства. Напри- (х + у = 3 , . мер, нелинейная система < _ имеет два решения: (1,2) и (2,1). К некоторым системам удается применить метод подстановки: если, например, первое из уравнений (3.13) можно решить относительно j/, т. е. найти у как функцию у = φ(χ), то подстановка φ(χ) во второе уравнение на место у дает для χ уравнение д(х, φ(χ)) = 0. Пример Г χ 4- ν = 3 < _ .Из первого уравнения находим у = 3 — х, под- ^ %У — ^ ставляем во второе: х(3 — х) = 2, или х2 — Зх + 2 = 0, откуда χι = 1, х2 = 2; тогда у\ = 3 - 1 = 2, у2 = 3 - 2 = 1. Может найтись не одна, а несколько функций вида φ(χ)\ тогда получится столько же уравнений вида #(х, φ(χ)) = 0. Пример Г χ2 +1/2 = 4 < .Из первого уравнения находим у = >/4 — х2 или у = —\/4 — х2. Это дает два иррациональных уравнения: х\/4 — х2 = 1 и х\/4 — х2 = — 1; оба надо решить. В данном примере, однако, выгодно поступить иначе: из второго уравнения у однозначно выражается в виде у— 1/х, и подстановка у в первое уравнение дает χ2 Η—^ = 4, или х4 — 4х2 + 1 = 0 — х1 биквадратное уравнение (п. 3.2.3°).
Неравенства 55 В некоторых случаях полезно заменить систему более простой равносильной системой. Преобразования, приводящие к равносильным системам,— равносильные преобразования каждого уравнения (§ 3.1), а также перестановка уравнений и прибавление к какому-либо уравнению другого уравнения, умноженного на какое-либо число. Пример / х2 + у2 = 4 Г х2 - 2ху + у2 = 2 \ху = 1 * \х2 + 2ху + у2 = 6 (ИЗ П6РВ0Г0 УРаВН6- ния вычли удвоенное второе, к первому уравнению прибавили удвоенное второе). Очевидно, Г(х-у)2 = 2 ί>-3/| = ν/2. \(x + y)2 = 6^\|x + y| = v/6' получаем совокупность четырех линейных систем: (х-у=у/2т (х-у=-у/2и (х-у = -у/2 (х-у = у/2 \ х+2/ = л/6 ' \х+у = у/б ' \х+у=-у/б) \х+у = -у/б' В результате имеем четыре решения: /^+\/2 \/6-v/2\ (уД-у/2 \/б + \/2\ '-\/б-\/2 \/2-\/б\ fy/2-уД -\/б-у/2У 3.7. Неравенства 1°. Неравенствами называются соотношения вида Л < В, А> В, Л^В, Л^В, Л ^ В (читается «Л меньше В, Л больше В, Л меньше или равно В, Л больше или равно В, А не равно В»). Здесь А и В — действительные числа или функции, принимающие действительные значений. Неравенство состоит из левой части и правой части, соединенных знаком неравенства. В случае знаков > или <
56 Уравнения. Системы уравнений. Неравенства неравенство называют строгим, в случае знаков ^ или ^ — нестрогим. Неравенство может быть истинно (верно, справедливо) или ложно (неверно, несправедливо). Например, 7^—2 и 1 — у/2 < 0 — истинные неравенства; 7^—2 — ложное неравенство; х2 — 1 < 0 истинно при χ 6 (—1,1) и ложно при χ £ (—1,1); неравенство х2 + 1 > 0 истинно при всех χ 6 R. Пусть имеются два неравенства. Если из истинности первого неравенства следует истинность второго, то второе неравенство называют следствием первого и используют символ =*►. Например, χ > 1 =*► χ ^ 0. Если второе неравенство есть следствие первого, а первое неравенство — следствие второго, то такие неравенства называют равносильными (эквивалентными). Например, 2а ^ 2Ь ^ а ^ b при а, Ь € К. 2°. Основные свойства неравенств: 1) к обеим частям неравенства можно прибавить одно и то же число: А<В & Α + η <В + у, 2) обе части неравенства можно умножить (или разделить) на одно и то же положительное число: А < В <=> η Α < ηΒ, если η > 0; 3) обе части неравенства можно умножить (или разделить) на одно и то же отрицательное число (при этом необходимо изменить знак неравенства на противоположный): А < В <f> ηΑ > ηΒ, если η < 0. Нестрогие неравенства имеют аналогичные свойства. Система неравенств (два или более неравенств) считается выполненной (истинной), если истинны все составляющие ее неравенства. Например, система < выполнена; [ ~~о ζ 1 Г 7 > 2 Г 7 > 2 система < ft х , не выполнена; система < ., Л выполнена \3< 1 ' \х-1>0 только при χ 6 (1, +оо).
Неравенства 57 Два истинных неравенства, знаки которых одинаковы, можно почленно сложить — получим истинное неравенство: Два истинных неравенства, левые и правые части которых положительны, а знаки неравенств одинаковы, можно перемножить: Г А>В Например, OD-AC>Ba 7 > 2 , 0=> 28 > 6. 4>3 Неравенство, обе части которого положительны, можно возвести в любую натуральную степень (в том числе и четную): А < В & Ат < J3m, если А > О и В > 0. Любое неравенство можно возвести в нечетную натуральную степень: A<B&A2n+l <В2п+\ Двойные неравенства: А<В < С, А < В ^ С и т. д. Такие записи означают систему соответствующих неравенств: (А<В (А<В \в<с> \в^с ит*д- 3°. В связи с неравенствами рассматриваются два типа задач: 1) доказать истинность (или ложность) какого-либо неравенства; 2) решить неравенство, т. е. найти все значения переменных, входящих в неравенство, при которых неравенство истинно.
58 Уравнения. Системы уравнений. Неравенства Примеры таких задач: 1) доказать, что а + - ^ 2 при любых а > 0; а 2) решить неравенство у/Зх — 1 ^ х. Некоторые полезные неравенства: 1) \а + Ь\ < \а\ + \Ь\) \а - Ь\ ^ ||а| - |6|| — неравенства треугольника; 2) а + а~1 ^ 2 для а € (0, +оо); 3)|α6|^(α2 + 62)/2; 4) y/ab ^ (а + 6)/2 для а, Ь € [0, +оо), т. е. среднее геометрическое двух чисел не больше их среднего арифметического; 5) {а\Ь\ + а2&2 + · · · + a>nbn)2 ^ ^(a\ + al + ...+al)(b\ + bl + ... + b2n) — неравенство Коши — Буняковского; в частности, (ab + cd)2^(a2 + c2)(62 + d2), (αχ + α2 + ... + αη)2 ^ η(α\ + α22 + ... + α2); 6) |sinx| ^ \χ\ для χ € R, 0 < sinx < χ для χ € (Ο,π), sin χ > (2/π)χ для χ 6 (0, π/2); 7) tgx > χ для χ € (0,π/2). (В неравенствах 6) и 7) угол х в радианах!) 4°. Решение неравенств вида /(х) < д(х) или /(χ) ^ #(х) следует начинать с нахождения ОДЗ — области допустимых значений переменной х, т. е. множества, на котором определены все входящие в неравенство функции. С помощью равносильных преобразований (п. 1°) иногда удается упростить неравенства и решить их. Обычно решение неравенства имеет вид одного или объединения нескольких промежутков. 5°. Алгебраические неравенства. 1) Р(х) > 0 или Р(х) < 0, где Р(х) — многочлен. Если известно разложение Р(х) на действительные множители (п. 3.3.5°): Р(х) = a0(x-xi)mi... (x-xr)mr (x2+Pix+<Zi)ni... (x2+pkx+qk)n\
Неравенства 59 то промежутки, на которых Р(х) > О, легко найти, пользуясь методом интервалов. Согласно методу интервалов, следует нанести на числовую ось точки rci, #2,..., жг, т. е. действительные корни многочлена Р(х). Эти точки разбивают числовую ось на интервалы, на каждом из которых знак Р(х) сохраняется. При переходе от одного интервала к другому через какую- либо из этих точек (например, через х\) знак Р(х) меняется, если гп\ нечетно, и сохраняется, если т\ четно. Квадратичные множители всегда положительны. Теперь достаточно узнать знак Р(х) внутри одного какого-либо интервала (обычно удобно взять χ правее самого правого корня), чтобы расставить знаки Р(х) на всех интервалах. Тем самым решение неравенства получено. Замечание. Знак Р(х) справа от самого правого корня совпадает со знаком αο· Рис. 3.3. К решению методом интервалов неравенства -3(х + 1)х3(х - 1)2(х2 + χ + 1) > О Пример Пусть Р(х) = -3(х + 1)х3(х-1)2(х2 + х + 1). На рис. 3.3 дугами показаны интервалы постоянства знака Р(х). Решением неравенства Р(х) > 0 является промежуток (—1,0); решением неравенства Р(х) < 0 — объединение трех промежутков: (-oo,-l)U(0,l)U(l,+oo). 2) Нестрогие неравенства Р(х) ^ 0 или Р(х) < 0 решаются так же, как и строгие, при этом концы промежутков включаются в ответ. Например, неравенство (х-0,5)(х-2)2(х-4)^0 имеет решение (-оо,0,5] U {2} U [4, +оо), причем точка χ = 2 (конец интервала (2,4)) удовлетворяет неравенству.
60 Уравнения. Системы уравнений. Неравенства 3) Неравенство Р(х) < Q(x), где Р(х) и Q(x) — многочлены, решается переносом Q(x) в левую часть. 4) P(x)/Q(x) < 0, где Р(х) и Q(x) — многочлены. ОДЗ неравенства — вся действительная ось, за исключением корней знаменателя дроби. Умножением обеих частей неравенства на множитель Q2(x) (положительный в ОДЗ) сводим данное неравенство к равносильному (в ОДЗ): P(x)Q(x) < 0. /ВД .ВД Pl(x)Q2(x)-Qi(x)P2(x) ' Qi(x) Q2(x) Qx(x)Q2(x) 6°. Иррациональные неравенства содержат выражения вида Jy/P(x), где Р(х) — многочлен. Основные приемы преобразования иррациональных неравенств к алгебраическим те же, что и для соответствующих уравнений (§ 3.5), но здесь есть и существенные отличия, связанные с возведением неравенства в четную степень. Например, при решении неравенства у/Р(х) < Q(x) необходимо предусмотреть два случая: 1) Q(x) ^ 0, при этом неравенство Р(х) < Q2(x) будет равносильно исходному (в ОДЗ); 2) Q(x) < 0, здесь нельзя возводить неравенство в квадрат (в данном случае неравенство не имеет решений). Неравенство \fP(x) ^ Q(x) в случае Q(x) ^ 0 можно возводить в квадрат: Р(х) ^ Q2(x), а при Q(x) < 0 неравенство выполняется «автоматически», т. е. при любом χ 6 ОДЗ. Примеры 1) у/Зх ^ 1 + у/2х - 1; ОДЗ: [0,5; +оо). Так как обе части неотрицательны, можно возвести их в квадрат: Ъх ^ 1 + 2х - 1 + 2л/2х - 1 & 2\/2х - 1 ^ χ & 4(2х - 1) ^ х2 & & х2 - 8х + 4 ^ 0 <=> (х - χι)(χ - х2) > 0, где х\ и Х2 — корни уравнения х2 — 8х + 4 = 0; х\^ = 4 ± 2\/3· Полученное неравенство справедливо вне интервала (жь^г)· Учитывая ОДЗ, получаем ответ (см. рис. 3.4): χ е [0,5; 4 - 2>/3] U [4 + 2\/3; +оо).
Неравенства 61 Рис. 3.4. К решению неравенства у/Зх > 1 + \J1x-\ 0 0,5 хл х* Утверждение о том, что 0,5 < х\, доказывается следующим образом: 0,5 < 4 - 2>/3 <& К 8 - 4\/3 & 4\/3 < 7 & 48 < 49. Так как преобразования равносильные, а последнее неравенство истинное, то истинно и первоначальное неравенство. 2) у/^^Ъо > χ - 4; ОДЗ: (-оо, 0] U [2, +оо). а) х ^ 4. Возводим неравенство в квадрат: х2 - 2х > х2 - 8х + 16 & Зх > 8; в этом случае χ € [4, +оо). б) χ < 4. Левая часть неравенства положительна, правая отрицательна; подходит любое χ € [2,4) или χ € (—οο,Ο]. Общий ответ: χ € (—οο,Ο] U [2,+oo). 3) Vx2 - 2х < χ - 4. а) х ^ 4. Возводим неравенство в квадрат, получаем Зх < 8, что при χ ^ 4 невозможно. б) χ < 4. Левая часть неотрицательна, правая отрицательна; решений нет. Итак, данное неравенство решений не имеет. 7°. Трансцендентные неравенства содержат показательные, логарифмические и тригонометрические функции. В некоторых случаях такие неравенства удается решить, используя свойства входящих в них функций. Примеры 1) ах > 6. При 6^0 χ е R; при 6 > 0, α > 1 α € (loga 6, +оо); при 6 > 0, a < 1 χ е (—оо, loga 6). 2) 4х - 5 · 2х + 6 ^ 0. Обозначим 2х = t (ί > 0). Данное неравенство принимает вид t2 — 5ί + 6 ^ 0, откуда £ € (0,2] U [3, +оо); следовательно χ € (-оо, 1] U [log2 3, +оо).
62 Тригонометрия 3) -31og0 7(x + 1) < 6; ОДЗ: χ > -1. Делением на -3 получаем равносильное неравенство: logo,7(* + 1) > "2 & logo,7(z + 1) > log0,7(0,7)"2 & & χ + К (0,7)2 & χ < -1 + (0,7)"2. Ответ: -1 < χ < 51/49. 8°. Неравенства, содержащие модули, как и аналогичные уравнения (п. 3.5.3°), следует рассматривать отдельно на каждом из интервалов постоянства знака выражений, стоящих под знаком модуля. В результате получается совокупность неравенств обычного вида на соответствующих интервалах, а множество решений неравенства является объединением соответствующих множеств. Пример |ж + 1| + |2ж-1| > |х-1|-3. Переходные точки: —1; 0,5; 1. Соответственно имеется четыре интервала: (-оо;-1), (-1;0,5), (0,5; 1), (1;+оо). Например, при χ € (—1; 0,5) данное неравенство равносильно χ + 1 - (2х - 1) > 1 - χ - 3 или 1 > -3, что верно независимо от х\ это значит, что весь интервал (—1; 0,5) удовлетворяет данному неравенству. Аналогично исследуются и другие интервалы. 4. ТРИГОНОМЕТРИЯ Тригонометрия возникла при изучении соотношений между сторонами и углами треугольников. Наряду с многочленами тригонометрические функции чаще других встречаются во всевозможных вычислениях. В тригонометрии используют как градусную, так и радиан- ную меру углов (п. 9.1.4°). Если не оговорено противоположное, будем считать угол а измеренным в радианах, при этом а является безразмерной величиной (§ Ф1.2), а € (—оо,+оо).
Тригонометрические функции и их графики 63 4.1. Тригонометрические функции и их графики 1°. Тригонометрические функции острого угла. Простейший способ введения тригонометрических функций — с помощью прямоугольных треугольников (рис. 4.1). Отношение длины стороны ВС (катета) к длине стороны АВ (гипотенузы) называется синусом угла а, противолежащего катету ВС: sin α = \вс\ \АВ\ ИЛИ sin α = где длины сторон прямоугольного треугольника обозначены а, 6, с. Отношение |л4С|/|ЛВ| называется косинусом угла а, прилежащего к катету АС. cos а = -. с ~ Ь Рис. 4.1. К определению тригонометрических функций с помощью прямоугольного треугольника Отношение длин катетов \ВС\ к \АС\ называется тангенсом, обратное отношение — котангенсом угла а: а tga=-, Из этих равенств следует, что sin a ctg a = -. a tga = ctg a cos a sin a cos a Очевидные формулы: sin a = cos /3, tg a = ctg /3, где α и β — острые углы прямоугольного треугольника (α + /? = π/2). Реже используют функции секанс и косеканс: 1 1 sec a = cos a cosec a sin a
64 Тригонометрия 2°. Тригонометрические функции произвольных значений аргумента. Возьмем на плоскости луч ОМо и будем поворачивать его вокруг точки О против часовой стрелки (рис. 4.2, а). При повороте на угол а луч ОМо отобразится на луч ОМа; точка Мо, пробежав часть окружности с центром в точке О, попадет в точку Ма. Если угол поворота прямой (α = π/2), дуга МоМа — четверть окружности; если угол поворота развернутый (а = π), дуга МоМа — полуокружность; если угол поворота полный (α = 2π), дуга М'оМа — полная окружность, в этом случае Ма = Mq. а) б) Рис. 4.2. При повороте на угол α луч ОМо отобразится на луч ОМа Продолжая поворачивать луч против часовой стрелки, мы заставим точку Мо вновь пробегать окружность, при этом угол поворота а будет больше полного. На рис. 4.2, б угол а = 2π + π/6. Направление поворотов против часовой стрелки считается положительным (а > 0), направление по часовой стрелке — отрицательным (а < 0). Рассмотрим прямоугольную систему координат ху на плоскости (п. 8.3.2°) и круг единичного радиуса, имеющий центр в начале координат (рис. 4.3). Такой круг называется единичным кругом. Точка Ма на его окружности получается из точки Мо (1,0) в результате поворота луча ОМо на угол а. Отметим, что если два угла поворота а и β отличаются на целое число полных оборотов, т. е. на 360° · т (т Ε Ζ), то соответствующие точки Ма и Μ β совпадают. Координаты точки Ма обозначим χ и у\ очевидно, х2 + у2 = 1 (уравнение окружности).
Тригонометрические функции и их графики 65 Тригонометрические функции определяются следующим образом: sin α = у, sin α tga = cos a = x, cos a cos a ctga sin a Для положительных острых углов эти определения совпадают с приведенными в п. 1°. Квадранты, или четверти круга, нумеруются в положительном направлении от I до IV (рис. 4.3). Знаки тригонометрических функций в различных квадрантах даны в табл. 4.1. Таблица4.1 Знаки тригонометрических функций Квадрант I II III IV Функция sin a + + - - cos a + - - + tga + - + - ctga + - + ι - £da(X9y) M0(1,0J Рис. 4.З. Единичный круг 3°. Графики и свойства тригонометрических функций. Здесь удобно обозначать, как обычно, аргумент х, а значение функции у. 1) у = sinx. График — синусоида (сплошная линия на рис. 4.4). Область определения: χ € (—оо,+оо); область значений: у 6 [—1,1]. Функция периодическая (период 2π), нечетная, ограниченная, непрерывная (п. 5.3.1°). Промежутки монотонности: (—π/2 + ηπ, π/2 + ηπ); корни: хп = ηπ (η 6 Ζ). 2) у = cos χ. График — косинусоида (штриховая линия на рис. 4.4). Косинусоида получается из синусоиды сдвигом влево на π/2. Область определения: χ € (—оо, +оо); область значений: у е [—1,1]. Функция периодическая (период 2π), четная, ограниченная, непрерывная. Промежутки монотонности: (ηπ, π + ηπ), корни: хп = π/2 + ηπ (η € Ζ). -2172
66 Тригонометрия cos χ Рис. 4.4. Графики синуса и косинуса 3) У = tgx. График — тангенсоида (сплошная линия на рис. 4.5). Область определения: вся действительная ось (—оо, +оо), за исключением точек х^ = π/2 + &π; область значений: (—оо,+оо). Функция периодическая (период π), нечетная, неограниченная, непрерывная при χ φ π/2 + кп) имеет бесконечные разрывы в точках Xk = π/2 + кп (к € Ζ). На каждом промежутке непрерывности функция у = tgx возрастающая. Рис. 4.5. Графики тангенса и котангенса (вертикальные линии — асимптоты) 4) у = ctgx. График — котангенсоида (штриховая линия на рис. 4.5). Область определения: вся действительная ось (—оо,+оо), за исключением точек хт = τηπ (га € Ζ); область значений: (—оо,+оо). Функция периодическая (период π), нечетная, неограниченная, непрерывная при χ φ τηπ, имеет бесконечные разрывы в точках хт = τηπ (га 6 Ζ). На каждом промежутке непрерывности функция у — ctgx убывающая. 4°. Значения тригонометрических функций некоторых углов приведены в табл. 4.2. В этой таблице условный знак оо означает, что в самой точке ао функция не определена; при этом существует бесконечный предел (п. 5.2.3°): lim /(a) α—»αο ОО.
Тригонометрические формулы 67 Таблица 4.2 Значения тригонометрических функций для некоторых значений аргумента Функция sin α cos α tga ctga Угол a 0 0° 0 1 0 оо π/6 30° 1/2 \/3/2 1/V5 π/4 45° 1/V2 1/\/2 1 1 π/3 60° ν/3/2 1/2 ν/3 1/V3 π/2 90° 1 0 οο 0 π 180° 0 -1 0 οο 4.2. Тригонометрические формулы 1°. Формулы приведения полезны для упрощения аргументов тригонометрических функций: sin(a + 2πη) = sin a, cos(a + 2ππ) = cos a, tg(a + πη) = tg a, ctg(a + πη) = ctg a (через период функции не меняют значений); sin(a + π) = — sin a, cos(a + π) = — cos a (через половину периода синус и косинус меняют знаки); sin(a ± π/2) = ± cos a, cos(a ± π/2) = =р sin a, tg(a ± π/2) = - ctg a, ctg(a ± π/2) = - tg a, 8ΐη(α + ππ) = (~l)nsina, cos(a + nn) = (~l)ncosa, sin(a + π/2 + πη) = (~l)ncosa, cos(a + π/2 + πη) = (~1)η+χ sin a. В этих формулах η — любое целое число (η € Ζ). Свойства четности и нечетности: sin(—a) = —sin a, cos(—a) = cos а, tg(--a) = -tga, ctg(-a) = -ctga. Функции дополнительных углов: 8ΐη(π — а) = sin a, cos^ — а) = — cos a, 8ΐη(π/2 — а) = cos а4 cos^/2 — а) = sin a.
68 Тригонометрия 5π cosT Примеры 1) sin 1873° = sin(73° + 360° · 5) = sin 73° = = sin(90°-17°) = cosl7°; 2) cos ( -27-π J = cos ( -28π + -^ J / 3π\ 3π = cos^--j=-cos-; 3) ctg 539° = ctg(539° - 180° · 3) = - ctg 1°. Формулы приведения могут быть получены с помощью формул для функций от суммы (разности) углов (см. ниже) или с помощью геометрических соображений. 2°. Основные формулы тригонометрии: tga · ctg a = 1, sin2 a + cos2 a = 1 (теорема Пифагора), sin(a ± β) = sin a cos β ± cos a sin /3, cos(a ± β) = cos a cos β =F sin a sin β. Следствия этих формул: sin 2a = 2 sin a cos a, cos 2a = cos2 a — sin2 a, cos 2a = 2 cos2 a — 1, cos 2a = 1 -2 sin2 a, 1 + cos a = 2 cos —, 1 — cos a = 2 sin —, Δ Δ 2 tg α Λ ctg2 a - 1 tg2a = -—Ц—, ctg2a = -^ , 6 l-tg2a' 6 2ctga ' w -l/3\ tga±tg/3 ctgactg/3qFl tg(a ± /?) = —— —r, ctg(a ±β)= , lqFtgatg/3 ctg/3±ctga l + tg2a=—9—, l + ctg2a cosJ a sur a . Λ Λ . α + β α-β sina + sin p = 2sin —-— cos —-—, Δ Δ α-β α + β sma — sin p = 2sin —-— cos —-—,
Обратные тригонометрические функции 69 п л α + β α-β cosa + cos/3 = 2cos —-— cos —-—, Δ Δ Λ . α + β . α-β cos a — cos β = —2 sin —-— sin —-—, Δ Δ sin a sin β = - [cos(a — β) - cos(a + β)], Δ cos a cos/3 = - [cos(a — /3) + cos(a + β)], Δ sin a cos /3 = - [sin(a - /3) + sin(a + /3)], Δ 2ί 1-ί2 2ί α sina = iT^' cosa=IT^' tga = r^> t = 1*2· a __ 1 — cos a a _ 1 + cos a tg^ = sin a ' Ctg2 = sin a ' sin — = -(1 - cosa), cos — = -(1 + cosa), 2 2V h 2 2 sin 3a = 3 sin a — 4 sin3 a, cos 3a = 4 cos3 a — 3 cos a. Тригонометрические функции кратных углов (т. е. углов вида па) см. в п. 7.3.6°. 4.3. Обратные тригонометрические функции 1°. Поскольку синус — немонотонная функция, то для введения обратной функции следует выбрать какой-либо промежуток монотонности синуса. Принято следующее определение. Арксинус числа χ € [—1,1] — это угол у € [—π/2, π/2], синус которого равен х: у = arcsin x, sin j/ = χ. Например, arcsin0,5 = π/6, arcsinO = О, arcsin 1 = π/2, arcsin ί —l/\/2J = —π/4,
70 Тригонометрия arcsin2 не существует (в области комплексных чисел уравнение sin z = 2 имеет решение, см. п. 7.5.2°). График функции у = arcsinx приведен на рис. 4.6 (сплошная линия). Область определения: χ е [—1,1]; область значений: у 6 [-π/2, π/2]. Функция возрастающая, нечетная, ограниченная, непрерывная. у=агссоах\ y=arcsinjc Рис. 4.6. Графики арксинуса и арккосинуса Рис. 4.7. Графики арктангенса и арккотангенса (горизонтальные штриховые линии — асимптоты) 2°. Арккосинус — обратная функция для косинуса: у = arccosx, cosy = χ; χ € [—1,1], у € [0,π]. График приведен на рис. 4.6 (штриховая линия). Область определения: χ Ε [—1,1]; область значений: у = [Ο,π]. Функция убывающая, ограниченная, непрерывная, свойств четности (нечетности) не имеет. 3°. Арктангенс — обратная функция для тангенса: y = arctgx, tgy = x; s 6 (-оо,+оо), у е (-π/2,π/2). График приведен на рис. 4.7 (сплошная линия). Область определения: χ е (—оо,+оо); область значений: у е (—π/2, π/2). Функция возрастающая, ограниченная, непрерывная, нечетная; arctgx χ—»±оо ±тг/2.
Тригонометрические уравнения и неравенства 71 4°. Арккотангенс — обратная функция для котангенса: у = arcctgx, ctgj/ = x; χ € (-00,+00), у е (0,π). График приведен на рис. 4.7 (штриховая линия). Функция убывающая, ограниченная, непрерывная, свойств четности (нечетности) не имеет; arcctgx ► π, arcctgx ► 0. χ—*—οο χ—*+οο 5°. Некоторые формулы для обратных тригонометрических функции: sin(arcsin χ) = χ, cos(arccosx) = χ, arcsin(sinx) = χ, χ € [-π/2,π/2], arccos(cosx) = χ, χ € [Ο,π], arcsin(—χ) = — arcsinx, arccos(—χ) = π — arccosx, arctg(—χ) = — arctgx, arcctg(—χ) = π — arcctgx, arcsin χ + arccos χ = π/2, arctg χ + arcctg χ = π/2, arcsinx = arccos γ 1 — χ2, arccosx = arcsin γ 1 — χ2, χ € [0,1], arcctgx = arctg (1/x), χ € (0, +οο). 4.4. Тригонометрические уравнения и неравенства 1°. Простейшие тригонометрические уравнения и их решения: sinx = 0, χ = πη; tgx = 0, χ = πη; cos χ = 0, χ = π/2 + πη; ctg χ = 0, χ = π/2 + πη; sinx = l, χ = π/2 + 2πη; sinx = — 1, χ = —π/2 + 2πη; cosx = 1, χ = 2πη; cosx = —1, χ = π(2η + 1); sinx = α, χ — (—1)η arcsin α+ πη, α € [—1,1]; cosx = α, χ = ± arccos χ + 2πη, α 6 [—1,1]; tg χ = α, χ = arctg α + πη; ctg χ = α, χ = arcctg χ + πη. В этих формулах η — любое целое число (η € Ζ). 2°. Для решения уравнений вида /(у?(х)), содержащих какую-либо одну тригонометрическую функцию φ{χ), вводят
72 Тригонометрия обозначение t = φ(χ) и находят корни ίχ, ίχ, ..., im полученного уравнения f(t) = 0. Затем для каждого из этих корней составляют и решают уравнения φ(χ) = ίχ, φ(χ) = ί2, ..., у>(ж) = tm. (4.1) Ответ получается объединением (п. 2.1.1°) множеств решений каждого из уравнений (4.1). Примеры 1) 2cos22x — 9cos2x + 4 = 0. Полагая t = cos2x, где t e [—1,1], получаем квадратное уравнение 2ί2 — 9ί + 4 = 0, корни которого ίχ = 4, Ϊ2 = 1/2. Корень t\ не дает решений тригонометрического уравнения (так как |cos2x| ^1). Корню ί2 соответствует уравнение cos2x = 1/2, откуда 2х = ±π/3 + 2πη, или χ = ±π/6 + πη, η € Ζ. 2) 2 cos2 χ — 4 sin χ cos χ + 1 = 0. Приведем уравнение к виду, содержащему одну тригонометрическую функцию: 2 cos2 χ — 4 sin x cos χ + sin2 χ + cos2 χ = 0. Удобно разделить обе части уравнения на cos2 x (это можно сделать, так как если cos χ = 0, то sin2 x = 1 и уравнение не удовлетворяется): tg2x-4tgx + 3 = 0. Подстановка t = tgx дает уравнение t2 — At + 3 = 0, корни которого ίχ = 1, ί2 = 3. Для χ имеем два уравнения: tgx = 1 и tgx = 3, откуда находим корни исходного уравнения: χ = π/4 + πη, χ = arctg 3 + πη, η € Ζ. 3°. В некоторых случаях тригонометрические уравнения приводятся к виду asinx + bcosx = с, где α ф 0, Ьф 0. (4.2) Выражение в левой части (4.2) может быть преобразовано к виду синуса (или косинуса) сдвинутого аргумента: п(* · b \ asinx + &COSX = D — sinx + — cosx ,
Тригонометрические уравнения и неравенства 73 где D = ±\/а2 + б2, знак перед корнем совпадает со знаком а. Теперь коэффициенты в скобке при sin χ и cos x можно рассматривать как cos 7 и sin 7 некоторого вспомогательного угла η: a/D = cos 7, b/D = sin 7. Угол 7 находится по формуле 7 = arctg(tya), 7 € (-π/2, π/2). Итак, a sin χ + b cos χ = D sin(x + 7), (4.3) и уравнение (4.2) приведено к простейшему виду sin(x + 7) = d, где d = c/D. Отметим, что формула (4.3) имеет физический смысл сложения двух гармонических колебаний, имеющих одинаковую частоту (§ Ф5.2). Пример cos χ sin x + 3 cos 2x = 0. Так как cos2x = cos2 χ — sin2 χ = (cos χ — sin x)(cos χ + sin χ), то уравнение равносильно следующему: (cos χ + sin χ) [1 + 3(cosx — sin χ)] = 0. Получаем совокупность двух уравнений: а) cosx + sinx = 0 <=> tgx = — 1, χ = —π/4 + πη, η € Ζ; ^ . 1 «/1 . 1 \ 1 б) sinx - cosx = -, или v2 —r=sinx 7= cosx = -: } 3' v VV2 л/2 / 3' здесь 7 = arctg(—1) = —π/4, и уравнение приводится к виду sin(x - π/4) = 1/Зл/2, откуда π . 1 χ = — + (—1) arcsin —7= + тг™> η € Ζ. 4 3\/2 Другой способ решения уравнения (4.2) состоит в подстановке t = tg(x/2); при этом sinx и cosx выражаются через t по формулам п. 4.2.2°: 2at 6(1 -12) l+t2 l + t2
74 Тригонометрия Получается квадратное уравнение для ί, корням которого t\ и *2 соответствуют два уравнения простейшего вида X X tgg =<ь tg- =ί2. Уравнение (4.2) можно также решить, перенося 6 cos x в правую часть и возводя обе части уравнения в квадрат; тогда получим для cos χ квадратное уравнение а2(1 — cos2 χ) = bcos2 χ — 2bccos x + с2. Этот способ обладает недостатком: при возведении уравнения в квадрат появляются посторонние корни, и необходима проверка ответов. 4°. Тригонометрические неравенства сводят к простейшим: sinx<a, cosx<a, tgx<a, ctgx<a и аналогичным противоположным строгим или нестрогим неравенствам. Решая простейшие тригонометрические неравенства, полезно представлять себе график соответствующей функции или единичный круг. Примеры 1) tgx < α. При любом a € К решение есть объединение промежутков вида (—π/2 + πη, arctga + πη), η € Ζ (рис. 4.8). Рис. 4.8. Рис. 4.9. К решению неравенства К решению неравенства tgx < a cosx ^ a
Последовательности 75 2) cos χ ^ α. Если α < —1, решений нет; если α = —1, χ = π + 2πη, η € Ζ; если —1 < α ^ 1, χ € [arccosa + 2πη,2π — arccosa + 2πη], η € Ζ, (рис. 4.9); если a > 1, χ € К. 5. НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Понятия предела последовательности и функции лежат в основе математического анализа. Исследованием свойств функций с помощью понятия производной занимается дифференциальное исчисление, задачей восстановления функции по ее заданной производной — интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения и ряды часто встречаются при формулировке и решении физических и математических задач. 5.1. Последовательности 1°. Последовательность — это множество чисел, упорядоченное номером (т. е. перенумерованное). Последовательности бывают конечные: х\)Х2) · · · ,#п и бесконечные: х\,Х2,... ,хп,... Числа xi, a?2> ···> #n> ... называются членами последовательности. Примеры: последовательность натуральных чисел 1,2,3,... (здесь хп = п); конечная последовательность 1,2,3,4,5,6; последовательность десятичных приближений дроби 1/3: χι = 0,3, х2 = 0,33, х3 = 0,333, ... (п. 1.2.4°). Последовательность с общим членом хп обозначают кратко {хп}. 2°. У некоторых бесконечных последовательностей члены с большими номерами оказываются близкими к какому-то постоянному числу, причем это приближение тем точнее, чем больше номер члена. Определение: число а называется пределом последовательности х\)Х2)- ·. )Хп)· · ·> если для любого (сколь угодно малого) положительного числа ε найдется номер N такой, что при всех η ^ Ν выполняется неравенство \хп - а\ < ε.
76 Начала математического анализа Принято писать lim хп = а или хп ► а п—*оо п—*оо (читается «предел хп при п, стремящемся к бесконечности, равен а» или «хп стремится к а, когда η стремится к бесконечности»). Говорят также, что хп сходится к а. Геометрически хп ► а означает, что точки χ ι, Χ2, ..., η—* с» хп, ... неограниченно приближаются к точке а при неограниченном увеличении номера. Можно также сказать, что в любую (сколь угодно малую) окрестность точки а попадают все члены последовательности, начиная с некоторого номера N (рис. 5.1). (Окрестность точки а — это интервал, середина которого совпадает с данной точкой а.) α-ε α α+ε I I 1—1 h-tttOH—I 1—1 ► Рис. 5.1. В окрестность (α — ε, α + ε) точки а попадают все члены последовательности {хп}, начиная с некоторого номера N Примеры 1) lim — = 0, так как — < ε <=> η > -, ив качестве N п-+оо η Ι η Ι ε годится любое натуральное число, большее чем l/ε. Например, если ε = 0,1, то N > 10; если ε = 0,001, то N > 1000; и т. д. 2) lim -^— = \. ; п->оо 2п + 1 2 Теоремы о пределах последовательностей: 1) если предел последовательности существует, то он единственный; 2) lim с — с— предел постоянной равен этой постоянной; п—»оо 3) lim (xn + yn) = lim xn + lim yn — предел суммы равен п—*оо п—*оо п—*оо сумме пределов; 4) lim (ΊΧη) = 7 ^т χη — постоянный множитель можно выносить за знак предела;
Последовательности 77 5) lim (xn · у η) = lim xn · lim yn — предел произведения п—*оо п—*оо п—*оо равен произведению пределов; χ^ lim xn 6) lim — = 1^122— если цт упф{) — предел отношения п-*°° Уп lim Уп п-*°° п—*оо равен отношению пределов; 7) ограниченная монотонная последовательность имеет предел; 8) если ап ^ хп ^ βη и обе последовательности {αη} и {βη} и^еют один и тот же предел с, то lim xn = с. п—*оо В теоремах 3) — 6) предполагается, что все пределы в правой части равенств существуют. 3°. Последовательность {хп} называется возрастающей, если для любого η верно xn+i > %n\ убывающей, если χη+ι < хп; невозрастающей, если χη+ι ^ хп; неубывающей, если £η+ι ^ хп- Возрастающие, убывающие, невозрастающие, неубывающие последовательности называются монотонными последовательностями. Последовательность называется ограниченной, если \хп\ ^ С или С\ ^ хп ^ Сг, где С, Ci, Сг — некоторые постоянные. Пример применения теоремы 7): возьмем какую-нибудь правильную десятичную дробь хп, имеющую η цифр в дробной части. Припишем справа любую цифру, получим £п+ъ и т· Д· Предел такой последовательности дробей существует, так как 0 ^ хп < 1 и хп+\ ^ #η· Примеры Вычисление пределов с помощью теорем о пределах последовательностей: 1) lim (1 + - + -^ ) = lim 1 + lim - + 2 lim -^ = 1, η—»оо у η П J n—>oo n—*oo η η—*οο η 1 1 / 1\2 с lim 1 = 1, lim — = 0, lim —=■ = I lim — 1 =0; n—*oo n—*oo η n—>oo nz \n—*oo η J n->oo 3n — 5 n-><x> n(3 — 5/n) lim (3 — 5/n) 3 так
78 Начала математического анализа Бесконечно малая последовательность — это последовательность, предел которой равен нулю. Теорема: произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность есть бесконечно малая последовательность. Например, последовательность хп = sin η — ограниченная, уп = l/π — бесконечно малая; следовательно, последовательность zn = (l/n)sinn — бесконечно малая, т. е. η—*οο η 4°. Если члены последовательности с ростом номера неограниченно возрастают, то говорят о бесконечном пределе последовательности. Определение: предел последовательности х\, Χ2, ..., хп, ... равен бесконечности, если для любого (сколь угодно большого) числа Ε > О найдется номер N такой, что при всех η ^ Ν выполняется неравенство \хп\>Е. (5.1) В этом случае пишут lim хп = оо или хп ► сю. п—»оо х—*оо Например, lim Jn = оо, так как Jn > Ε <=> η > Ε2 и можно η—* с» взять Ν > Ε2. Если вместо неравенства (5.1) выполняется неравенство хп > Ε (или хп < —Е), то говорят, что lim хп = +оо (соот- п—*оо ветственно, что lim xm = —оо). Например, п—»оо lim Inn = +oo, lim lg — = —оо. η—*οο η—*οο η Бесконечно большая последовательность — это последовательность, предел которой равен бесконечности.
Последовательности 79 Теорема: если lim хп = 0, то lim — = 00; η—юо η—>оо χη если lim xn = оо, то lim — = 0. η—*οο η—>οο χη 5°. Арифметической прогрессией называется последовательность (конечная или бесконечная), каждый последующий член которой равен предыдущему плюс некоторое постоянное число, называемое разностью прогрессии: βη+ι = ап + d, η = 1,2,3,... Формула общего члена: а>п = о>\ + (п - l)d. Примеры 1) Числа 3, 5, 7, 9, ... составляют арифметическую прогрессию, где а\ = 3, d = 2. 2) Числа 20,5; 15,5; 10,5; 5,5; 0,5; —4,5; —9,5; ... составляют арифметическую прогрессию, где а\ = 20,5, d = —5. Основное свойство арифметической прогрессии: о>п = 2^-1 + αη+ι), (5.2) т. е. каждый член равен среднему арифметическому (полусумме) предыдущего и последующего членов. Сумма Sn = а\ + а,2 + ... + ап первых η членов арифметической прогрессии: (n-l)d η(αι + ап) Sn = ~ , или Sn = n αϊ + (5.3) В частности, сумма первых η натуральных чисел , „ Л п(п+1) 1 + 2 + 3 + ... + η = ν ;. Пример Завод выпускает приборы. Определим, сколько приборов выпущено за 10 лет, если за первый год было выпущено
80 Начала математического анализа 10 тыс. приборов, а в каждый последующий год выпуск увеличивался на 2 тыс. приборов. Ежегодный выпуск составляет арифметическую прогрессию с первым членом а\ = 10 000, разностью d = 2000 и числом членов η = 10. Общий выпуск за 10 лет равен сумме 10 членов арифметической прогрессии. По второй формуле (5.3) находим 5ю = 10 · (10000 + 9'2^00\ = 190000. 6°. Геометрической прогрессией называется последовательность (конечная или бесконечная), каждый последующий член которой равен предыдущему члену, умноженному на некоторое постоянное число, называемое знаменателем прогрессии: bn+i = bn-q) n = 1,2,3,... (5.4) Формула общего члена: Ьп = Ь1-дп-1. Примеры 1) Числа 3, 6, 12, 24, 48 составляют геометрическую прогрессию, где &ι = 3, q = 2. 2) Числа 40, —20, 10, —5, 5/2, —5/4, ...составляют геометрическую прогрессию, где Ь\ = 40, q = —1/2. 3) Активность (скорость распада) радиоактивного изотопа некоторого элемента убывает в 2 раза через каждые 60 секунд. Значения активности изотопа в начальный момент и через 1, 2, 3, ... минуты составляют геометрическую прогрессию Ь\, ί>2> Ьз> · · · со знаменателем q = 0,5. Через 30 минут активность будет равна 631 = big30 = 2~30 · 6χ, τ. е. приблизительно в 109 раз меньше первоначальной. Основное свойство геометрической прогрессии: Ьп = Ьп-1 'δη+ь (5·5) т. е. каждый член по модулю равен среднему геометрическому предыдущего и последующего членов.
Последовательности 81 Сумма Sn = b\ + 62 + · · · + bn первых п членов геометрической прогрессии: с h - qbn l - qn Sn = — , или Sn = bi- . (5.6) 1-q l-q Пример Завод выпускает приборы. Определим, сколько приборов будет выпущено за 10 лет, если за первый год выпущено 10 тыс. приборов, а ежегодный прирост составляет 5% выпуска предыдущего года. Ежегодный выпуск составляет геометрическую прогрессию с первый членом Ь\ = 10000, знаменателем q = 1,05 и числом членов η = 10. Общий выпуск за 10 лет равен сумме 10 членов геометрической прогрессии. По второй формуле (5.6) находим ι 0510 - 1 5ю = 10000 · ^Г7^— « 10000· 12,578 = 125 780. 7°. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия — геометрическая прогрессия, у которой знаменатель по модулю меньше единицы: \q\ < 1. В этом случае справедливы формулы (5.4) — (5.6), кроме того, существует предел суммы η членов прогрессии при η —> оо: S= lim Sn = bi^—. (5.7) η—юо \ — q Примеры 1) Найдем сумму ряда (§ 5.8) 5=1+2 + 2* + 2* + ··· По формуле (5.7) получаем 1 5 = 1 1-0,5 -2172
82 Начала математического аналиэа 2) Парадокс Зенона. Догонит ли Ахиллес черепаху? Ахиллес, скорость которого равна V, хочет догнать черепаху, ползущую от него со скоростью v) причем ν < V. Пусть в начальный момент расстояние между ними равно d\. Пока Ахиллес пройдет путь di, черепаха проползет расстояние cfe; пока Ахиллес пройдет путь с^, черепаха еще проползет расстояние с^з, и т. д. Может показаться, что Ахиллес никогда не догонит черепаху (?) Объяснение парадокса. Время t\, за которое Ахиллес пройдет путь d\: t\ = d\/V\ тогда cfe = h · υ = d\ · v/V. Время *2> за которое Ахиллес пройдет путь ώχ. t2 = d2/V = (d\/V) · v/V] тогда d3 = d\ · (v/V)2, и т. д.; dn = dx · (v/V)»'1, tn = (di/V) · (^/У)71"1. Видно, что промежутки времени ίχ, *2> *з> · · · образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с первым членом Ь\ — d\/V и знаменателем q = v/V < 1. Полное время движения Ахиллеса и черепахи равно сумме всех промежутков времени: d\ 1 d\ t = ίι + t2 + t3 + ... = -± У 1 - v/V У - ν Таким образом, Ахиллес догонит черепаху за конечное время t. Результат очевиден, поскольку это время сразу можно найти (без геометрической прогрессии) делением начального расстояния на относительную скорость V — v. 8°. Последовательность хп = (1 + 1/п)п имеет конечный предел е = 2,7182818... Доказано, что е — число иррациональное (п. 2.2.3°). 5.2. Предел функции 1°. Понятие предела функции лежит в основе математического анализа. Если значения функции приближаются к некоторому числу 6, когда значения аргумента приближаются к числу а, то это число b называют пределом функции в точке а.
Предел функции 83 Определение («на языке ε — <$»): число b называется пределом функции f(x) в точке а (или при стремлении χ κ α), если для любого (сколь угодно малого) числа ε > 0 найдется число δ > О такое, что при всех х) удовлетворяющих неравенству О < \х - а\ < £, (5.8) выполняется неравенство \f(x)-b\<e. (5.9) Принято писать lim f(x) = b или f(x) ► b. x—*a x—*a Замечание. В данном определении предполагается, что функция f(x) определена в некоторой окрестности точки а (за исключением, возможно, самой точки а) и что χ в неравенствах (5.8) и (5.9) принадлежит этой окрестности. Рис. 5.2. Точки графика функции: а — приближаются к точке (а, 6) при χ —► а; б — лежат в полоске 6 — ε < у <Ь + ε при всех χ € (α — δ,α + δ) Геометрически f(x) у b означает, что точки графика х—*а функции у = f(x) приближаются к точке (а, Ь) на плоскости ху при приближении точки χ к точке а на оси χ (рис. 5.2, а). Неравенства (5.8) и (5.9) геометрически означают, что при всех х, достаточно близких к а, точки графика функции f(x) лежат в сколь угодно узкой полоске вида b-ε <у <b + ε (рис. 5.2, б).
84 Начала математического анализа Теоремы о пределах функций: 1) если предел функции в точке а существует, то он единственный; 2) lim c = с — предел постоянной равен этой постоянной; х—*а 3) lim [f(x) + g(x)] = Um f(x) + lim g(x) — предел суммы χ—»α χ—*α χ—*α равен сумме пределов; 4) lim [yf(x)] = 7 lim f(x) — постоянный множитель можно χ—>д χ—>д выносить за знак предела; 5) lim [f(x) · g{x)) = lim f(x) · lim g(x) — предел произведе- x—»α χ—»α χ—»α ния равен произведению пределов; fix) Й^(х) 6) lim —;—- = x~*a . x, если lim g(x) Φ 0 — предел отноше- χ—»α ния равен отношению пределов. В теоремах 3) — 6) предполагается существование пределов всех функций в правых частях равенств. Примеры Вычисление пределов с помощью теорем о пределах функций: 3 + х2 _]^0(3 + χ2) χ->ο 7х-А~ lim(7x - 4) ~ х—»0 lim 3 + lim χ · lim x x—>0 x—>0 x—>0 л 7r = 71imx-lim4 = "°'75; x->0 x->0 2) lim = lim * ^- i = lim (ж + 1) = 2. χ->1 Χ — 1 x->l X — \ x->\
Предел функции 85 2°. В некоторых вопросах важно изучать поведение функции не просто вблизи заданной точки, как в п. 1°, а с одной стороны от этой точки — слева или справа (односторонние пределы). Определение: число δχ называется левым пределом (или пределом слева) функции f(x) в точке а, если для любого числа ε > 0 существует число δ > 0 такое, что при всех х) удовлетворяющих неравенству α-δ<χ<α (5.10) выполняется неравенство |/(χ)-δχ|<ε. (5.11) Принято писать lim f(x) = δχ, или f(x) ► δχ, или /(α — 0) = δχ. χ—»α—0 χ—»α—0 В данном определении предполагается, что функция f(x) определена в левой полуокрестности точки а, т. е. при χ € (а — /у)а), где 7 > 0, и что χ в неравенствах (5.10) и (5.11) принадлежит этой полуокрестности. Аналогично определяется правый предел (или предел справа): lim f(x) = δ2, или f(x) ► δ2 или /(α + 0) = δ2· χ—»α+0 χ—»α+0 В этом случае (5.10) следует заменить неравенством а < χ < α + δ. Пример X X lim — = -1, lim — = +1, я-*0-0 \х\ а?->0+0 |х| предел lim — не существует. χ->ο \х\ Обычный предел lim f(x) существует в том и только в том х—*а случае, когда левый и правый пределы в этой точке существуют и равны.
86 Начала математического анализа 3°. Если при приближении χ к некоторой точке а значения функции неограниченно возрастают, говорят о бесконечном пределе функции в этой точке. Определение: функция f(x) имеет в точке а бесконечный предел, если для любого (сколь угодно большого) числа Ε > О существует число δ > О такое, что при всех х) удовлетворяющих неравенству О < \х - а\ < 5, (5.12) выполняется неравенство |/(х)| > Е. (5.13) Принято писать lim f(x) = оо или χ—»α f(x) > оо (читается «предел f(x) х—*а в точке а равен бесконечности» или «f(x) стремится к бесконечности при χ —» а»). График функции у = f(x)) имеющей бесконечный предел в точке а, при χ —* а неограниченно удаляется от оси х, приближаясь к прямой χ = а («вертикальная асимптота», см. рис. 5.3). Если при х, удовлетворяющих (5.12), вместо (5.13) выполняется неравенство f(x) > Ε (или f(x) < —Е)) то говорят, что lim f(x) = +оо (соответственно lim f(x) = —оо). χ—»α χ—*α Вводятся также односторонние бесконечные пределы. Замечание. Возможен случай, когда левый предел конечный, а правый бесконечный (или наоборот); например (рис. 5.4, а), lim el'x = Q, lim el'x = +oo. я-*0-0 я-*0+0 Возможен также случай, когда при χ бесконечного предела; например, Рис. 5.3. Бесконечный предел в точке χ — О а нет ни конечного, ни lim sin — х->о χ не существует: когда χ приближается к нулю, функция колеблется от —1 до +1 со все возрастающей частотой (рис. 5.4, б).
Предел функции 87 У* у = sin (1/*) ^Wh а) б) Рис. 5.4. α — левый предел 0, правый +оо; б — в точке χ ■= 0 нет никакого предела Примеры Односторонние и бесконечные пределы: ,ч ν Ν ,. Μ 1) lim -Ч^- = ~оо, lim —± = +оо; 7 я-*о-о х3 я-*о+о х3 1 π 1 2 - χ ~ 2' x-i^-o^0 g 2 - χ 2) lim arctg 3) lim tgx =+oo, lim tgx = —oo. я-*7г/2-0 ζ-*π/2+0 π 2; 4°. Если при неограниченном возрастании аргумента значения функции приближаются к некоторому числу, говорят о пределе функции на бесконечности. Определение: число Ь\ называется пределом функции /(х) на плюс бесконечности, если для любого числа ε > О существует число Δ > 0 такое, что при всех х, удовлетворяющих неравенству χ > Δ, (5.14) выполняется неравенство |/(x)-6i|<e. Принято писать lim /(χ) = 6Ь или fix) ► Ь\. В данном определении предполагается, что функция /(х) определена в окрестности плюс бесконечности, т. е. при χ > 7,
88 Начала математического анализа где 7 > 0 — некоторое число. Геометрически f(x) h χ—»+оо означает, что при неограниченном удалении точки χ от начала координат вправо график функции неограниченно приближается к прямой χ = Ь\ («горизонтальная асимптота», см. рис. 5.5). у^ Определение предела функции на минус бесконечности lim f(x) от- х—♦—с» личается от определения 0 с с lim fix) тем, что вме- Рис. 5.5. а?->+оо v ; Конечные пределы при χ —► —оо сто (5.14) следует напи- и χ —► +00 сать неравенство χ < — Δ. Геометрически fix) ► 62 означает, что при неограничен- ном удалении влево от начала координат график функции неограниченно приближается к прямой у = &2 (рис. 5.5). Примеры 1) lim arctgx = ±π/2; ζ-*±οο 2) lim χ2 = +οο; χ—»±οο 3) lim ex О, lim ex = +оо. х—»+оо 5°. Вычисление пределов функции. Для непрерывных функций (§ 5.3) вычисление пределов в точках, принадлежащих области определения, сводится к подстановке соответствующих значений аргумента функции, т. е. lim f(x) = f(xo). В частности, это правило относится X—*Хо к элементарным функциям (ха, ах, logax, sinx, cosx, arcsinx, arccosx и их комбинациям). Примеры 1) lim sin χ = sin(7r/4) = \/2/2; χ—*π/4 2) lim \/Τ^2 = >/Γ=Τ = 0; χ—►!— 0
Предел функции 89 rtX .. sin χ , sin Ο , „ ν 3) lim ψ —— (нуль не входит в область определения). χ-*ο χ О Если lim fix) = О, то lim ——г = оо, т. е. величина, об- х->а х->а f{X) ратная к бесконечно малой, есть бесконечно большая; если lim fix) = оо, то lim -77-7 = 0, т. е. величина, обратная к бес- х->аК f ' х->а f(x) ' ' V конечно большой, есть бесконечно малая. Здесь а означает конечную точку или символ оо. Пример Потенциал электростатического поля точечного заряда Q в точке, удаленной от заряда на некоторое расстояние г, равен φ = Q/r (п. Ф4.1.2°). Если г —* 0 (точка наблюдения приближается к заряду), то потенциал бесконечно растет: φ ► оо. г—»0 При стремлении г к бесконечности (удаление от заряда) потенциал убывает: φ ► 0. Здесь роль функции /(г) играет г—* с» выражение r/Q. Выражения вида f(x)/g(x) в случаях, когда f(x) ► О г—*а. и д(х) ► 0 либо f(x) ► 00 и д(х) ► оо, называются г—*а г—*а г—*а неопределенностями вида О/О или оо/оо. Раскрыть неопреде- у Six) ленность — значит вычислить lim х->а д[х) Способы раскрытия неопределенностей вида О/О и оо/оо: 1) тождественное преобразование выражения; 2) использование «основных пределов»: χ—»0 χ χ—»0 Χ toizl.!, lim Hi±u! . !, χ—»0 Χ χ—»0 Χ ν /ι , Μ/χ г (1+^Γ-1 hm(l + χΥ/χ = e, hm = α χ->0 χ->0 χ (о числе е см. в п. 5.1.8°);
90 Начала математического анализа 3) применение правила Лопиталя: если существует предел (конечный или бесконечный) отношения производных двух функций, то предел отношения этих функций существует и равен пределу отношения производных: hm -^-( = hm -^ (иногда правило Лопиталя приходится применять несколько раз подряд). Примеры х ■->ι у/х — 1 я?->1 у/х — 1 = lim(Va; + 1)(х + 1) = 2 · 2 = 4, χ—Λ х2-х + 1 _ х2(1-х~1 +х~2) _1 *-^ο3χ2-ν/ϊ-2 " χ1^ο χ2(3 _ х-з/2 _ 2χ~2) " 3; ΛΝ _. sin5x .. /sin5x 8х 5\ 2) hm . rt = hm — —— · - 1 = x-*osin8x a?->o \ 5x sin8x 8/ _ 5 / sin5x\ // sin8x\ ~~ 8 \a?->0 X )/ \a?->0 8x J 5 8; ΛΝ _. sin5x .. (sin5x) .. 5cos5x 5 3) hm . л = hm t . л . , = hm — = -, z-*o sin 8x z-*o (sin 8x)' χ->ο 8 cos 8x 8 lna; .. 1/x hm = hm -7- = 0, χ—*+οο χ x—*+oo 1 sin χ —χ .. cos(x — 1) .. --sin χ 1 hm r = hm ;—=—- = hm — = —- x-->Q χά x->0 3x^ x->0 OX 6 (в последнем примере правило Лопиталя применено дважды, так как после первого применения опять получилась неопределенность вида 0/0); .ч .. sin(x — 1) .. cos(x — 1) 1 .. 1 4) hm -τ-Ίζ—-~ = hm 9—^- = - hm -=—г = οο. у χ->ι (χ2 - Ι)2 χ->ι 4χ(χ2 -1) 4 *->ι χ2 - 1
Предел функции 91 Неопределенности вида 0 · оо и оо — оо раскрывают, сводя их предварительно к видам 0/0 или оо/оо. Примеры 1/х lim χ->ο -1/х2 l)lim(zlnz) = lim^ ж-*0ч ' х->0 1/х (применено правило Лопиталя); лч .. Г/ 1 1 \ 1Ί .. х —sinx 2) hm = hm χ-+ο ι \sinx χ) χ\ χ->ο lim (-χ) = 0 χ—»0 χ2 sin χ ( χ χ — sinx\ .. χ .. χ — sinx hm —— · 5 = lim ~— · llm z-*0\SinX X*3 / χ->ο sin χ ж-*о 1 — cos χ x° 1 · lim 9 ж-*о Зх^ sinx 1 lim -5— = * ж—»0 OX 6 (дважды применено правило Лопиталя). Неопределенность вида 1°° — это выражение u{x)v^x\ где и(х) —* 1, υ(χ) —> оо при χ —> α; например, lim(l + χ)1/* = е. а:-*0 Один из способов раскрытия такой неопределенности — применение логарифмов: lim u(x)v№ = exp I lim [υ(χ) In u(x)] \ . a:—»a la:—»a J Пример Ρ = lim(l + 2x)ctzx = exp (lim [ctgx · ln(l + 2x)l) , ln(l + 2x)' (5.15) lim [ctgx · ln(l + 2x)] = lim cos χ X HJ X HJ I / \ ln(l + 2x) = hm cos χ · hm : = \x->0 J x->0 sinx 1-lim sin χ χ->ο (1 + 2x) cos χ (применено правило Лопиталя); итак, Р = е2. Неопределенность вида 0° раскрывают, применяя логарифмы, по формуле (5.15). Пример lim хх = exp {(χ In χ)} = e° = 1 (предел lim (χ In χ) = 0, как показано ранее). х—»0+0
92 Начала математического анализа 5.3. Непрерывность функции. Разрывы 1°. Говорят, что функция f(x) непрерывна в точке а, если предел функции в точке а равен значению функции в этой точке: \imf(x) = f(a). (5.16) χ—*α В данном определении предполагается, что функция определена в самой точке айв некоторой ее окрестности. Функция f(x) непрерывна слева в точке а, если lira f(x) = χ—*α—0 = /(а), т. е. левый предел (п. 5.2.2°) в этой точке существует и равен значению функции в точке а. Аналогично f(x) непрерывна справа в точке а, если Km /(х) = /(а). χ—*α+Ό Говорят, что: 1) функция непрерывна на интервале (а, 6), если она непрерывна в каждой точке этого интервала; 2) функция непрерывна на замкнутом промежутке [а, 6], если она непрерывна на интервале (а, 6) и непрерывна справа в точке а и слева в точке 6. График непрерывной функции имеет вид сплошной линии. Все элементарные функции непрерывны в своих областях определения. Например, многочлены, синус, косинус, экспонента непрерывны на всей действительной оси, тангенс непрерывен при χ φ π/2 + ηπ (η € Ζ). Дробно-рациональная функция (п. 3.3.4°) непрерывна во всех точках, где ее знаменатель не равен нулю. Свойства непрерывных функций: 1) сумма и произведение двух непрерывных функций непрерывны; 2) отношение двух непрерывных функций непрерывно всюду, где знаменатель не равен нулю;
Непрерывность функции. Разрывы 93 3) если функция φ(χ) непрерывна в точке χ = а и функция f(u) непрерывна в точке и = φ(α)) то сложная функция /(φ(χ)) непрерывна в точке χ = α; например, sin(x3 +1) непрерывен при χ 6 К, так как многочлен х3 + 1 непрерывен при χ 6 К и sin и непрерывен при и € К (здесь и = х3 + 1); 4) функция, непрерывная на замкнутом промежутке, ограничена; 5) функция, непрерывная на замкнутом промежутке, достигает на нем своего наибольшего и своего наименьшего значений; 6) если непрерывная функция меняет знак на замкнутом промежутке [а, 6], то она имеет по крайней мере один корень внутри интервала (а, 6) (теорема Коти). 2°. Если в некоторой точке xq не выполняется равенство (5.16), говорят, что в этой точке функция имеет разрыв. Здесь предполагается, что функция определена слева и справа от точки хо, т. е. при а < χ < хо и при xq < χ < 6. Точка хо называется точкой разрыва функции. Классификация разрывов. 1) Разрыв I рода: устранимый разрыв, если существует предел lim /(х), но при этом f(xo) Φ Um /(x), либо функция χ—*хо х—*хо не определена в точке хо (точки х\ и Х2 на рис. 5.6, а); неустранимый разрыв или скачок, если существуют оба односторонних X* Ха X а) б) Рис. 5.6. а — разрывы I рода; б — разрывы II рода
94 Начала математического анализа предела b\ = lim f(x) и 62 = lim f(x)) но b\ φ &2 (точки χ—*жо-0 ж—»а:о+0 хз и Х4 на рис 5.6, а). 2) Разрыв II рода: хотя бы один из двух односторонних пределов бесконечен или не существует никакого предела (точки х\ и Х2 на рис. 5.6, б). Устранимые разрывы на практике обычно считаются устраненными. Примеры Разрывы I рода: 1) /(*) sin χ X , устранимый разрыв в точке xq = О (сплошная линия на рис. 5.7); \х\ 2) f(x) = —, скачок в точке xq = О (штриховая линия на X рис. 5.7). Рис. 5.7. Графики функций sin x \х\ у = ~г иу = — X X Ϊ —I—х. >^"*^s »■ о\^-^^ -о Разрывы II рода: 3)/(*) = е1/*, х0 = 0, lim fix) = О, lim fix) = +00 (рис. 5.4, α); 1 4) f(x) = sin-, x0 = 0, χ lim f(x) не существует (рис. 5.4, 5); 5) /(х) = tgx, хо = π/2, lim /(χ) = =роо. ζ-*π/2±0
Производная и ее применение. Правила дифференцирования 95 5.4. Производная и ее применение. Правила дифференцирования 1°. Производная функции характеризует скорость изменения функции при изменении аргумента. Производной функции f(x) в точке xq называется предел (если он существует) отношения приращения функции f(xo + Ах) — f(xo) к приращению аргумента Δχ, когда Ах стремится к нулю: /0го + Ах) - /0го) /'Ы lim Аж->0 Ах Для обозначения производной используются также символы df(xo)/dx или df(x)/dx\ = (иногда Df(x$)). В данном определении производной предполагается, что функция определена в окрестности точки xq и что может быть Ах > 0 и Ах < О, т. е. точка xq + Ах может приближаться к точке хо как справа, так и слева. Геометрический смысл производной: f'(xo) равна тангенсу угла наклона а касательной к графику функции f(x) в точке xq (рис. 5.8, а). х0 χ 01 а) б) Рис. 5.8. α — геометрический смысл производной; б — в точках экстремума касательная горизонтальна Физический смысл производной: если какая-либо величина φ зависит от времени ί, т. е. ψ — φ(ί), то скорость изменения этой величины в момент времени ίο равна производной φ'(ί$). Например, если координата χ точки зависит от времени: χ = χ(ί), то (мгновенная) скорость точки в момент ίο равна vx(to) — χ'(ίο); ускорение равно производной скорости: М*о) = v^(*o)·
96 Начала математического анализа Таблица 5.1 Исследование функции в окрестности критической точки Знак f'(x) X < Xq I + I + Χ > Xq I + + I Изменение f(x) X < Xq / \ / \ X > Xq \ / / \ Поведение функции максимум минимум перегиб* перегиб* *Или разрыв производной (неустранимый) Функция, имеющая в точке производную, называется дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая в каждой точке интервала (а, 6), называется дифференцируемой на этом интервале. Функция, дифференцируемая в точке хо? непрерывна в этой точке. Однако не всякая непрерывная функция дифференцируема: у = у/х непрерывна в точке хо = 0, но производная в этой точке не существует. 2°. Значение производной зависит от точки, в которой она вычисляется, т. е. производную можно рассматривать как функцию от х: f'(x). Производная от производной (если существует) называется второй производной или производной второго порядка от функции f(x): /"(*) = (/'(*))'· Аналогично определяются третья и четвертая производные: Для производных η-го порядка употребляются обозначения /(п)(х), или ^/^, или Dnf(x). ахп 3°. Применение производной для исследования экстремумов (максимумов или минимумов) непрерывных функций основано на теореме Ферма: если функция f(x) в точке экстремума хо имеет производную, то эта производная равна нулю: f'(xO) = 0. (5.17)
Производная и ее применение. Правила дифференцирования 97 Точка хо называется точкой (локального) максимума функции /(х), если в окрестности этой точки значения функции меньше, чем в самой этой точке: f(x) < f(xo) при χ φ xq. Точка хо "~ точка минимума /(я), если в ее окрестности значения функции больше, чем в самой точке: f(x) > f(xo) при χ φ х0. Геометрический смысл (5.17): касательная к графику функции в точке максимума или минимума горизонтальна (рис. 5.8, б). Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими. Для нахождения экстремумов следует найти критические точки и исследовать знак производной в окрестности этих точек (табл. 5.1). Иногда удобно наличие экстремума в критической точке выяснить с помощью производной второго порядка: если f"(xo) < 0, то хо ~ точка максимума /(я); если f"(xo) > 0, то xq — точка минимума f(x). 4°. Точка х* — точка перегиба кривой, если в окрестности точки х* кривая при χ < xq расположена по одну сторону от касательной в точке х*, а при χ > xq — по другую сторону (рис. 5.9). В точке перегиба изменяется направление выпуклости кривой. Перегибы графика функции называют перегибами функции. Для нахождения точек перегиба следует найти точки, «подозрительные на перегиб»: в этих точках ff,(xo) = 0 или не существует. Вопрос о наличии или отсутствии перегиба в точке х* решается исследованием знаков f"(x) в окрестности точки х+ слева и справа от этой точки: если знаки одинаковые, перегиба нет; если знаки разные, имеется перегиб. Точка перегиба / у—2172
98 Начала математического анализа Пример /(х) = χ3 - Зх + 1, f'(x) = Зх2 - 3 (п. 5°). Критические точки находятся из уравнения Зх2 — 3 = 0, откуда х\ = — 1, х2 = 1. Далее, /"(х) = 6х. Так как /"(-Ι) = -6 < 0, то хг - точка максимума, /"(1) = 6 > 0, Х2 — точка минимума. Точка х3 = 0 — подозрительная на перегиб; поскольку /"(х) < 0 при χ < 0, /"(х) > 0 при χ > 0, то хз есть точка перегиба. График функции изображен на рис. 5.10. у=х8-Зх+1 Рис. 5.10. График функции у = х3 - Зх + 1 5°. Дифференцирование, или вычисление производной, выполняется по следующим правилам: 1) С — 0 — производная постоянной равна нулю; 2) (/(х) + д(х))' = /'(х) + д'(х) — производная суммы равна сумме производных; 3) (7/0*0)' = 7/'(а0 "~ постоянный множитель выносится за знак производной; 4) (/(х)з(х))' = f'{x)g{x) + f(x)g'(x) - при дифференцировании произведения сомножители дифференцируются по очереди; '(x)g(x)-f(x)g'(x) 5) в частности, f 92{x) *> (~т~т ) = —2гт*0'(х)*> \9(x)J 92{x) 6) [f {ψ{χ))]' = ί'{ψ) ' ψ'{χ) ~ «цепное правило» дифференцирования сложной функции. В правилах 2) — 6) предполагается существование производных в правых частях равенств. Производные от элементарных функций приведены в табл. 5.2.
Некоторые дифференциальные уравнения 99 Таблица 5.2 Таблица производных № хп \/х 1 X ! е1 ах С /'(*) nxn_1 1 V* 1 ~х2 ех αχ1ηα 0 /(*) lnx bgax sin x cos χ tgx ctgx /'(*) 1 χ 1 χ In a cos χ — sinx 1 COS2 X 1 sin2 χ /(*) shx chx arcsin χ arccosx arctgx arcctgx /'(*) chx shx 1 y/T^x* 1 vT^x2" 1 1 + x2 1 1 + x2 | Примеры 1) f(x) = siny/3x+l, /'(x) = cos>/3xTl · (л/5ж+Т); = _ cos л/Зх + 1. ., _ 3 cos л/3 + 1 2ν/3χΤϊ Χ+ ' 2>/ЗхТТ~' 2) /(x) = xlnx + arctg(ex/x), xex - ex _ x2 x2 Λ (χ - l)ex = lnx + l+v J2x . Здесь, кроме таблицы производных, применялись правила 1) - 6). 5.5. Некоторые дифференциальные уравнения 1°. Уравнение, в которое входят производные искомой функции, называется дифференциальным уравнением. К дифференциальным уравнениям сводится большинство задач теоретической и математической физики, механики, электромагнитной теории, волновых процессов, теории управления, био- /(*) = 1η* + *.- + ϊ-_ 7*
100 Начала математического анализа логических процессов и т. д. Ниже рассматриваются только обыкновенные дифференциальные уравнения, т. е. уравнения для функции от одной переменной. Дифференциальное уравнение первого порядка имеет общий вид F(x,y,y/) = 0. Здесь F — заданная функция трех переменных х) у, у'; χ — независимая переменная; у = у(х) — искомая (неизвестная) функция от х; у' = у'(х) — ее производная. Решением дифференциального уравнения называется функция у(х)) при подстановке которой в уравнение получается тождественно верное равенство: F(x)y(x))y,(x)) = 0 при всех χ из рассматриваемого промежутка. Дифференциальное уравнение η-го порядка имеет вид F(x,y,y',y",...,y<">) = 0. 2°. Простейшие дифференциальные уравнения. 1)у' = 0. Решение: у(х) = С, где С — произвольная постоянная, т. е. при любом выборе числа С уравнение удовлетворяется. Например, если v(t) — скорость точки, t — время, то уравнение г/ = 0 имеет решение v(t) = С, т. е. движение происходит с постоянной скоростью. 2) у' = ί?(χ)> где д(х) — заданная функция. Решение: у(х) = f g(x)dx + С, где С — произвольная постоянная (§ 5.6). Например, если задана зависимость проекции скорости на ось χ от времени г;х(<), то координата x(t) находится как решение уравнения x'(t) = %(<), т. е. x(t)= Ivx(t)dt + C (о нахождении С см. в п. 3°). 3) у' = ау) где а — заданное постоянное число. Решение: у(х) = Сеах, где С — произвольная постоянная. Физический смысл этого дифференциального уравнения: скорость изменения некоторой величины y(t) пропорциональна значению этой величины в данный момент времени t. Если
Некоторые дифференциальные уравнения 101 а < 0, то с течением времени будет y(t) —» 0 (затухающий процесс); если а > 0, то у(£) —> оо при ί —> +оо (лавинообразно нарастающий процесс). 4) у"+ш2у = 0, где ω — постоянное число, ω φ 0. Это уравнение встречается в теории колебаний (п. Ф5.3.1°). Например, такой вид имеет уравнение малых колебаний маятника. Решение: у[х) = A cos ωχ + Βδίτιωχ, или у (χ) = Се™х + De~™x, или у(х) = Esm(ux + φ). Здесь А) J3; С, D\ Ε, φ — произвольные постоянные. 5) у" — а2у = 0, где а — постоянное число, а ф 0. Решение: у[х) = Ае™ + Be'0*, или у(х) = Cchax + Dshax, где А, В, С, D — произвольные постоянные. Решения имеют монотонный характер (лавинообразный рост или затухание при возрастании х). 6) у" — 0. Решение: у(х) = Ах + J3, где А и В — произвольные постоянные. 7) у" + ш$у = /ocosc^ix, где /о, о>о, и>г — постоянные числа. Это — линейное уравнение с постоянными коэффициентами. В физике такое дифференциальное уравнение встречается в теории колебаний (§ Ф5), где принято независимую переменную обозначать t (время), искомую функцию χ(ί), а производную вместо штриха обозначать точкой: X + U>qX = /о COS U>\t. Это уравнение описывает вынужденные колебания осциллятора, имеющего собственную частоту а;о, под действием вынуждающей периодической гармонической силы, частота которой ω\. Данное уравнение не учитывает трение. В зависимости от соотношения частот и>о и ωχ, характер решений оказывается различным.
102 Начала математического анализа а) ω\ φ ωο, частота вынуждающей силы отлична от собственной частоты. Решение имеет общий вид х№ — ~2 2 cosa;i* + ^4cos(o;o< + ψο)- Здесь первый член представляет собой одно из решений («частное решение») неоднородного дифференциального уравнения. Физический смысл этого частного решения: это частное решение описывает установившиеся вынужденные колебания, происходящие на частоте вынуждающей силы. Их амплитуда и фаза не зависят от начальных данных. Второй член представляет собой общее решение однородного уравнения (которое получается из исходного, если заменить /о — нулем). Его физический смысл — собственные колебания на частоте α;ο· Амплитуда А и начальная фаза φο этих колебаний — произвольные постоянные. Их значения определяются из начальных условий, т. е. выражаются через начальные смещения х(<о) и скорость χ (ίο) при < = <о· б) ω\ = ωο, частота вынуждающей силы совпадает с собственной частотой. В этом случае имеет место резонанс (п. Ф5.4.2°). Решение имеет вид (в отсутствие трения!): x(t) = -—tsinu>ot + A cos(u>ot + φο). 2α;ο Из этой формулы видно, что амплитуда неограниченно возрастает с течением времени. В реальности следует учитывать силу трения, как это и сделано в п. Ф5.4.1° и п. Ф5.4.2°. Оказывается, что благодаря трению амплитуда всегда ограничена, хотя и может принимать большие значения. 3°. Задачи для дифференциальных уравнений. Задача Коши: для уравнения первого порядка, кроме самого уравнения F(x,y,y'), задано начальное условие у(хо) = Уо*> для уравнения второго порядка задаются два начальных условия у(хо) = Уо и у'(хо) — У\ (здесь хо — какая-либо точка на оси х) уо и У ι — заданные числа).
Некоторые дифференциальные уравнения 103 Примеры 1) Уравнение радиоактивного распада: Nf(t) = —AJV(i); постоянная λ характеризует скорость распада, N(t) — число радиоактивных ядер в момент t. Пусть в момент времени ίο = 0 число радиоактивных ядер равно No. В момент времени t величина N(t) = Ce~xt\ постоянная С находится из условия N(0) = Nq: j/o = Се°) С = уо· Ответ: N(t) = N0e~xt (п. Ф7.б.2°). 2) Пусть движение материальной точки, масса которой га, совершается вдоль оси χ под действием силы, проекция которой на ось χ равна F. Согласно второму закону Ньютона (п. Ф2.2.1°), имеет место соотношение т = 1-f, т где x(t) — координата точки на оси χ в момент времени t. Если сила F задана как функция t и х, то это соотношение представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка для неизвестной функции x(t). Для однозначного задания движения точки следует дополнить дифференциальное уравнение начальными условиями, а именно — указать начальную координату xq = х(<о) и начальную скорость vq = £(<о)· В частности, если F = 0) то x(t) = χ0 + ν0· (ί — ί0)· Краевая задача: для уравнения второго порядка, кроме самого уравнения ^(я,у,у',у")> заданы краевые (или граничные) условия на концах какого-либо промежутка [а, 6]: у (а) = Л, у(6) = В, где А и В — заданные числа. Пример Задача о форме равновесия однородной тяжелой цепи, концы которой закреплены на одинаковой высоте h) сводится к краевой задаче для уравнения у" — а2у = 0 с граничными условиями у(—Ь) = h) y(b) = h (расстояние между точками закрепления равно 26).
104 Начала математического анализа Цепная линия (п. 2.8.2°), то отсюда следует, что С2 = 0, С\ Решение: у(х) = С\ ch ах + С2 sh ах\ условия при χ = ±6: h = Ci ch(-a6) + С2 sh(-a6), h = C\ ch ab + C2 sh ab. Так как sh(—7) = — sh7, ch(—7) = di7 h cha6* Ответ: у = h——-; «провисание» цепи (рис. 5.11) составляет ch ab Ah = h- y(0) = Л (1 ch ab J 5.6. Первообразная и неопределенный интеграл 1°. Часто бывает необходимо найти функцию, если известна ее производная. В связи с этим вводятся понятия первообразной и неопределенного интеграла. Если на интервале (а, 6) для двух функций f(x) и F(x) справедливо соотношение F'(x) = /(х), то F(x) называется первообразной функцией для функции /(х). Например, для cosx первообразная равна sinx, для у/х первообразная равна (2/3)х3/2 (проверяется дифференцированием). Таким образом, нахождение первообразной — обратная операция по отношению к вычислению производной. Любая непрерывная функция имеет первообразную. Первообразная всегда непрерывна. В данном параграфе предполагается непрерывность всех встречающихся функций. Основные свойства первообразной: 1) если F(x) — первообразная для /(х), то при любой постоянной С функция F(x) + С также первообразная для /(х);
Первообразная и неопределенный интеграл 105 2) любые две первообразные F\(x) и F2{x) одной и той же функции отличаются на постоянную: Fl(x)-F2(x) = C. 2°. Неопределенным интегралом от функции f(x) называется общее выражение F(x) + С всех первообразных этой функции. Здесь F(x) — какая-либо первообразная /(х), С — произвольная постоянная. Неопределенный интеграл обозначается символом f f(x)dx (читается «интеграл от функции /(х), дифференциал х» или «интеграл f(x) дэ икс»). По определению, ί f{x)dx = F{x) + C) (ff(x)dx\ =/(*). Функция f(x) называется подынтегральной функцией, χ — переменной интегрирования. Неопределенные интегралы от элементарных функций приведены в табл. 5.3. Таблица 5.3 Таблица неопределенных интегралов № ff{x)dx № ff(x)dx 1 хп (η φ -1) 1. χ х + С „η+1 + C cos χ 1 sin χ n + 1 In |x| + С ex + C In α — cosx + C a2 a2 s/a + 1 1 2 _ 1 X2 X2 ■X2 sinx + C 1 χ - arctg - + C a a 2a In a + x a — x + C arcsin - + С (а > 0) a Vx*+b lnlx + Vx^Tbl + С Свойства неопределенного интеграла: 1) JOdx = C] 2) / (f(x) + <?(#)) dx = J f(x) dx + J g(x) dx — интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций; 3) /т/(х) dx = 7 / f(%) dx — постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.
106 Начала математического анализа При вычислении неопределенных интегралов бывают полезными: 1) формула интегрирования по частям / u'(x)v(x)dx = u(x)v(x) — ι u(x)v,(x)dx) которую можно также записать в виде J f(x)g(x)dx = F(x)g(x) - ίF(x)g,(x)dx) (5.18) где F(x) — какая-либо первообразная для f(x)\ 2) формула замены переменной интегрирования: если χ = (/?(£), то ί /(х) dx= ί f (tp(t)) φ\ί) dt. (5.19) Примеры 1) / xlnxdx. Положим f(x) = x, g(x) = Inх; тогда m = xV2, ,'W = 1/.. Используя (5.18), имеем /х1„^ = = -x2 In χ = / -χ2 · - dx = -χ2 In χ - -χ2 + С 2 J 2 χ 2 4 2) / f(ax + b) dx, где а и b — постоянные (α φ 0). Введем новую переменную интегрирования t = αχ + 6, тогда (см. формулу (5.19)) χ = φ(ί) = (t — 6)/α, φ'(ί) = Ι/α. Таким обра- , / f(ax + b)dx = - / f(t)dt. Например, / sin(3x + 7) dx = зом sin t dt = - - cos ί + С, t = 3x + 7. 3) / zV3 cte = i /" e* Л = ^e* + C, ί χ3. Вообще говоря, интегрирование является гораздо более трудной задачей, чем дифференцирование. Производная от любой элементарной функции вычисляется в виде элементарной функции, в то время как интегралы только от некоторых
Определенный интеграл и его приложения 107 элементарных функций могут быть выражены в виде конечной комбинации элементарных функций. Например, / dx не выражается через элементарные J х функции. 5.7. Определенный интеграл и его приложения 1°. К понятию определенного интеграла естественно приходят при решении задачи о вычислении площади под графиком какой-либо функции. Разрежем фигуру ABC Ό на рис. 5.12, а на узкие полоски, каждую из них приближенно заменим на прямоугольник и подсчитаем сумму площадей прямоугольников — мы получим (приближенно) значение площади фигуры (§ 10.3). 0 αξ,ξ2 ξ„6 х а) б) Рис. 5.12. а — площадь фигуры ABCD приближенно равна сумме площадей прямоугольников; б — к определению определенного интеграла Определение: пусть на промежутке [а,6] задана функция f{x). Разобьем промежуток [а, 6] на η произвольных частей Δχ, Дг, ..., Δη (рис. 5.12, 5), на каждом частичном промежутке Ai произвольно выберем точку & € Δ; (г = 1,2,..., η) η и составим интегральную сумму Σ /(ξΐ)Δχΐ, где Αχ ι означа- г=1 ет длину промежутка Δ;. Теперь число промежутков устремим к бесконечности таким образом, чтобы наибольшая длина промежутков стремилась к нулю: max Αχι ► 0. 1<г<п п—юо
108 Начала математического анализа Предел интегральной суммы при η —► оо (если он существует) называется определенным интегралом на промежутке [а, 6] от функции f(x): ь [ f(x)dx= ton Υ"/(^)Δ^. a В данном определении предполагается, что предел не зависит от способов разбиения [а, 6] на части и от выбора точек & на Δ*. Символ f f(x) dx читается «интеграл от α до 6 от функции а f(x), дифференциал х» (или просто «дэ икс»). Функцию f(x) называют подынтегральной функцией, χ — переменной интегрирования, а — нижним пределом, b — верхним пределом, [а,Ь] — промежутком интегрирования. Определенный интеграл от любой непрерывной функции существует. В дальнейших формулах все функции, стоящие под знаком интеграла, предполагаются непрерывными (или имеющими конечное число разрывов I рода). Геометрический смысл определенного интеграла: если ь f(x) ^ 0, то f f(x)dx численно равен площади криволинейной а трапеции (рис. 5.13, а); если f(x) меняет знак на промежут- ке [а,Ь], то f f(x)dx равен «алгебраической сумме» площадей а криволинейных трапеций (перед площадью ставится знак плюс для участка графика выше оси х, знак минус — для участка графика ниже оси х, см. рис. 5.13, б). а Ь х а) Рис. 5.13. б) Определенный интеграл равен площади криволинейной трапеции (а) или алгебраической сумме площадей криволинейных трапеций (б) Р^Ф
Определенный интеграл и его приложения 109 Примеры применения определенного интеграла в физике: если f(x) означает проекцию силы на ось х, то 6 / f(x) dx = A — работа силы при перемещении точки приложения силы вдоль оси χ на [а, 6]; если vx(t) — проекция скорости как функция времени ί, то *2 / Vx(t)dt = Х2 — Х\ ti — проекция перемещения за время от t\ до t^ (п. Ф2.1.1°). 2°. Свойства определенных интегралов: ь ь 1) /Οώτ = 0, /Ых = 6-α; а а 2) ff(x)dx = -jf(x)dx, jf(x)dx = 0; а Ь cl Ъ Ь Ъ 3) f(f(x) + g(x)) dx = f f(x)dx + fg(x)dx — интеграл a a a от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций; 6 ь 4) flfix) dx = 7 / /(#) dx — постоянный множитель можно выносить за знак интеграла; ъ с ъ 5) f f(x)dx = f f(x)dx + f f(x)dx — аддитивность интеграла относительно промежутка; * 6 6) ff(x)dx ζ (6-α)· max |/(ж)|. Определенные интегралы вычисляются по формуле Ньютона — Лейбница: ь ь / f(x) dx = F{b) - F(a), или / f(x) dx = F(x) a a где F(x) — какая-либо первообразная для f(x). Символ F(x)\a читается «двойная подстановка F(x) от α до 6» или «подстановка F(x) в пределах α и 6».
по Начала математического анализа Некоторые определенные интегралы удается вычислить, минуя формулу Ньютона — Лейбница. Для этого применяются методы теории функций комплексного переменного, дифференцирование по параметру и прочие приемы (о приближенном вычислении интегралов см. в § 10.3). Некоторые определенные интегралы приведены в табл. 5.4. Таблица 5.4 Некоторые определенные интегралы pSinx . π J αχ = — о х 2 f e~x cosbxdx = Цг-е~ь /4 о 2 °J?sinx f cosx /π О ' тг/2 / In tg x dx — 0 о f sinx2c?x = f cosx2dx = a — -oo -oo V oo / e~x Inxdx = -C « -0,5772 о П! / xne-ax dx = —jr, a > 0, η € о πΓ2 · 2k J Ч2 2k J (2* ~ 1)!! π , J sin^xdx = J cosbxdx =-^p^--·-, fc€ (2fc)!! oo 0F e"a x dx= -^-, α>0 о 2a' тг/2 тг/2 (2fc)lf / sin2/c+1 xdx = / cos2/c+1 xdx = K }" , fc G : (О символах η! и ηϋ см. в § 6.1; С — постоянная Эйлера.)
Определенный интеграл и его приложения 111 3°. Несобственные интегралы от непрерывных функций по бесконечному промежутку. Определение: оо b /Г +оо f(x)dx= lim f(x)dx (иногда пишут Г f(x)dx). b-+ooj a a a oo Если конечный предел существует, говорят, что f f(x) dx схо- α дится, в противном случае — расходится. Примеры с» 6 1) / e~xdx = lim / е~х dx = lim (e° - e~b) = 1, интеграл J Ь—куо J b—*oo 0 0 сходится; с» 6 /dx ί dx — = lim / — = lim (In b — In 2) = оо, интеграл χ b—>oo J χ b->oo 2 2 расходится. yi Геометрический смысл / — площадь бесконеч- α θα ной криволинейной трапе- рис. 5.14. ции (рис. 5.14). Интеграл Фигура бесконечная, & ее площадь расходится, когда кривая конечная у = f(x) недостаточно быстро приближается к оси χ при χ —> оо. Если \f(x)\ ^ Μ/χι+ε при χ —> оо, интеграл сходится (здесь е>0). Несобственный интеграл по всей оси определяется аналогично: +оо а +оо / f(x)dx= / f(x)dx+ / f(x)dx = —с» —с» а a b = lim / fix) dx + lim / fix) dx, c^-ooj JK ' b^+ooj с а
112 Начала математического анализа Физический пример применения несобственного интеграла: работа электрического поля точечного заряда Q при перемещении точечного заряда q из данной точки го на бесконечность вычисляется как (п. Ф4.1.2°) с» Qq f dr Qq I 4πεο J r2 4πεοΓο го 4°. Несобственные интегралы от разрывных функций: если а — точка разрыва функции /(я), то несобственный интеграл ь f f(x)dx (α < b) определяется как предел lim / f(x)dx. с->а+0 ^ с с Пример /In χ dx = lim / In χ dx = lim [χ In χ — χ -dx \ = с—o+o у с—о+о I I с J χ J ο χ \ с / = lim (-cine-1 + c) =-1 - lim clnc=-l. c->0+0 c->0+0 В этом вычислении применена формула интегрирования по частям и предел lim x In x = 0 (п. 5.2.5°). я->0+0 5°. Некоторые приложения определенного интеграла, 1) Площадь плоской фигуры, ограниченной кривыми у = fi(x) и у = /2(х), где fi(x) ^ /2(х), а ^ χ ^ 6, и прямыми χ = α, χ = Ь (рис. 5.15, а): ь s = J Ых) - Л(*)] <fc. а Например, площадь фигуры, заключенной между параболой у = х2 и прямой у = —х, равна (рис. 5.15, б) 0 - ,з\ .0111 /(-х-х^х = -(^ + ^) -1 -1
Определенный интеграл и его приложения 113 а) б) Рис. 5.15. К вычислению площади плоской фигуры 2) Длина дуги плоской кривой у = f(x) при а ^ χ ^ Ь: Ь l = J>Jl + [f'(x)}2dx. Например, длина дуги «цепной линии» h · ch ax У (п. 5.5.3°) при ah = chafe равна 6 6 ch ab / γ 1 + sh2axdx = / chaxdx = -shax -6 -6 ь 2 = - sh ab. -b a 3) Объем тела, у которого известна зависимость от χ площади поперечного сечения S(x) (рис. 5.16, а), равен о I S(x)dx. В частности, объем тела вращения вокруг оси χ криволинейной трапеции О ^ у ^ f(x), а ^ χ ^ 6, равен о = т/[д*)]2 dx. 8-2172
114 Начала математического анализа Например, объем конуса (рис. 5.16, б), образованного вращением вокруг оси у треугольника с вершинами (0,0), (0,/ι), (г,/ι), равен v=nI{iiy)2dy=^--lh3=rr2h· о а) б) Рис. 5.16. К вычислению объема тела 4) Площадь поверхности вращения вокруг оси χ плоской кривой у = f(x) при а ^ χ ^ 6 равна 6 F = 2nj\f(x)\y/l + [f'(x)}2dx. а 5.8. Некоторые сведения о рядах 1°. Пусть дана бесконечная последовательность чисел {хп}. Составим суммы вида sn = Х\ + Х2 + ... + хп — частичные суммы. Если существует (конечный) предел последовательности (§ 5.1) частичных сумм S = lim sn, то говорят, что ряд п—кх> Х\ + х2 + · · · + Хп + · · · сходится; при этом число S называется суммой ряда. В этом случае пишут с» S = Χι + Х2 + . . . + Хп + . . . = У^ Хп. п=1 Если предел lim sn не существует, то говорят, что ряд расхо- п—>оо дится.
Некоторые сведения о рядах 115 Примеры 1) Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия 1 + Ч + Я2 + · · · (§ 5.1) сходится при \q\ < 1; ее сумма S = . 2) Ряд 1 + - + - + ... (гармонический ряд) расходится, Ζ о причем lim sn = +оо. η—* с» с» Если ряд Σ хп сходится, то хп ► 0, т. е. общий член стремится к нулю. Обратное утверждение неверно: если 00 1 я η —* 0, ряд может быть расходящимся, например Σ ""· 2°. Признаки сходимости рядов с положительными членами. оо 1) Признак сравнения: если 0 ^ ап ^ Ьп и ряд Σ bn сходит- n=l с» ся, то и ряд Σ ап сходится. п=1 Пример Ряд 1 + тт + ^7 + 5Т + ··· сходится, так как, во-первых, 1! Δ\ οι W\ = 1-2-3 ...η * 2^Τ' а· »>»торых, ряд 1 + 1 + i + + £ + £ + ... сходится (геометрическая прогрессия). Примечание. 1 + — + — + — + ... = е(п. 5.1.8°). 1! Z! о! 2) Признак Даламбера: пусть αη > 0 и существует lim —— = q. Если 0 ^ q < 1, то ряд У) αη сходится; если η-°° «η * п=1 q > 1, ряд расходится. Пример °^ η η η+1 1 V —, здесь αη = —-, а = lim —-— = -, ряд сходится. η2Τ12η 2η п-оо 2п 2
116 Начала математического анализа 3) Интегральный признак Коши: если f(x) — монотонно убывающая положительная непрерывная функция, то ряд С» 00 Σ f(n) и несобственный интеграл (п. 5.7.3°) / f{x)dx или оба п=1 1 сходятся, или оба расходятся. Примеры л\ £ г °rdx 1\°° ι 1) >, —τ? сходится, так как / —г- = — =1; η=ιη2 { х2 x\i х ~ 1 ~ώ ι» 2) J2 — расходится, так как J — = In χ = оо. η=1η λ χ Ιι 3°. Ряды с членами произвольных знаков. Если сходится с» с» ряд Σ |αη|, то говорят, что ряд ^ αη сходится абсолютно. п=1 п=1 с» с» Если ряд Σ ап сходится, но ряд Σ \αη\ расходится, говорят, п=\ п=1 что ряд сходится неабсолютно {условно). оо ( —1)п оо (_1)п Например, ряд Σ —Т~~ сходится абсолютно, ряд Σ — η=1 η η=1 η сходится неабсолютно. Абсолютно сходящиеся ряды по своим свойствам напоминают обычные конечные суммы: члены абсолютно сходящегося ряда можно переставить в любом порядке, от этого сумма не изменится. Напротив, сумма неабсолютно сходящегося ряда зависит от порядка слагаемых: можно так переставить члены ряда, что его сумма будет равна любому наперед заданному числу (теорема Римана). 4°. Функциональные ряды — это ряды, члены которых являются функциями: /l(z) + /2(z) + ... + /n(z) + ... Простейшими функциональными рядами являются степенные ряды: &(х-а)п. га=1
Некоторые сведения о рядах 117 Свойства степенных рядов: 1) степенной ряд абсолютно сходится на интервале сходимости, т. е. при —R <x — a<R\ число R называется радиусом сходимости; 2) степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно дифференцировать и интегрировать: с» если S(x) = Σ М# ~" а)П) то S'(x) = ^nbn(x - α)*-\ / S(x)dx = £ Ο η+\ + С η=1 η=1 (эти операции можно применять к степенному ряду любое число раз). В комплексной плоскости степенные ряды сходятся в круге сходимости, т. е. при \ζ — а\ < R, ζ € С (§ 7.1). Важнейшие степенные ряды и их область сходимости (при χ е К): 1) ~оо < χ < +оо: л» _ «А/ «А/ «А/ cosx = l-- + --..., chx = l + - + ¥ + ..., Sinx = X-- + --..., Sh* = *+ _ + - + ...; 2) -Κ χ < 1: 1 1-х 1 + ж + ж2 + ж3 + ..., 3)-Κι<1: φΔ φά rp**. - t . ч «A/ «A/ «A/ ln(l + x)=ar-y + y- —+ ...
118 Комбинаторика 6. КОМБИНАТОРИКА Комбинаторика — раздел математики, в котором изучаются задачи выбора элементов из заданного конечного множества и размещения (перенумерации) этих элементов в каком-либо порядке. Примеры комбинаторных задач: сколько различных четырехзначных чисел можно написать с помощью цифр 1, 2, 3, 4 без повторения цифр? Сколько различных составов команды по 11 игроков можно образовать из данных 15 игроков? 6.1. Перестановки. Размещения. Сочетания 1°. Пусть имеется η различных элементов χχ, #2, ···, #η· Перестановкой из η элементов называется каждая последовательность этих элементов в каком-либо порядке. Например, 3, 1, 4, 2 и 4, 3, 1, 2 — две различные перестановки цифр 1, 2, 3, 4; СОРТ, РОСТ и СТОР - три различные перестановки букв О, Р, С, Т. Перестановки отличаются друг от друга порядком следования элементов. 2°. Число Рп всех перестановок данных η элементов равно произведению всех натуральных чисел от 1 до п: Рп = 1 · 2 · 3 ·... · п. Такое произведение обозначается п! (читается «п факториал»). Пример б волейболистов можно разместить на площадке 6! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 = 720 способами. Дополнительно по определению полагают 0! = 1! = 1. Имеет место рекуррентная формула (η + 1)! = η!·(η+1). 3°. Величина п! чрезвычайно быстро растет с ростом η (табл. 6.1). Для больших значений η (практически при η ^ 3) п! « ( - ) · λ/2πη (приближенная формула Стирлинга).
Перестановки. Размещения. Сочетания 119 Таблица 6.1 Значения факториала η п\ 1 1 2 2 3 6 4 24 5 120 6 720 7 5040 8 40320 9 362880 10 3628800 4°. В некоторых формулах встречается символ п\\ («полуфакториал»): п!! = 2 · 4 · β -... - (2fc) для четного η = 2fc; ηϋ = 1 · 3 · 5 ·... · (2fc — 1) для нечетного п = 2fc - 1. Справедливы формулы (2fc)H = 2к · fc!, (2fc - 1)!! · (2fc)H = (2fc)! 5°. Пусть имеется п различных элементов χι, a?2> ···> #η· Требуется выбрать из них какие-нибудь т элементов и расположить эти т элементов в каком-либо порядке. Такие упорядоченные последовательности называются размещениями из η элементов по т элементов. Примеры задач на размещения: 1) из 9 человек надо выбрать 4 человека и разместить их на 4 занумерованных стульях (по 1 человеку на стуле); 2) 7 занумерованных шаров положить (по 1 шару в ящик) в какие-либо 7 из 20 занумерованных ящиков. В обеих задачах каждый способ выбора элементов и занятия мест является размещением. Число размещений из η элементов по га обозначается А™ (читается «А из η по га»). Справедлива формула ^=7-^ = ri(n-l)...(n-rn + l). {п — га)! Например, решением первой задачи будет Л| = 9-8-7-6 = 3024. 6°. Пусть имеется η различных элементов χχ, a?2> ···> #η· Сочетанием из η элементов по га элементов называется каждое подмножество множества {х*}, состоящее из га элементов (§ 2.1). Различные сочетания отличаются друг от друга только самими входящими в них элементами, порядок их
120 Комбинаторика следования безразличен. Например, каждый состав команды по 11 участников из данных 15 спортсменов является сочетанием из 15 по 11. Число сочетаний из η по т обозначается С™ (читается «С из η по т»), иногда I I. Имеют место формулы г?! Ат n m\(n-m)V °n " ' U"~m!· Примеры Гп_л Г2 3! п 15 · 14 · 13 · 12 Cn-h Сз = ^Т = 3, С1Ь = — 2 34 =1365. Для удобства записи некоторых формул по определению полагают С° = 1 (свойства С™ см. в п. 6.2.2°). 6.2. Бином Ньютона 1°. Бином Ньютона, или натуральная степень бинома, есть выражение вида (а + Ь)п, где η — натуральное число. Справедлива биномиальная формула {a + b)n = j^Cknan-kb\ (6.1) к=0 где С* — число сочетаний из η по к (п. 6.1.6°). В развернутом виде формула (6.1) имеет вид (а + Ъ)п = ап + Clnan~lb+Clan~2b2 +... + С^аЬ71'1 + 6П. (6.2) Подставляя —Ь на место 6, получаем η (α - b)n = ^{-1)кС*ап-кЬк = = ап- Clnan~xb + Clan~42 -... + {-1)пЬп. (6.3) Формулы (6.1) — (6.3) для η = 2 и η = 3 приведены в § 1.1. Пример (а - Ь)4 = а4 - 4а3Ь + 6а262 - 4аЬ3 + Ь4.
Бином Ньютона 121 2°. Свойства биномиальных коэффициентов: 1) Сп = Сп, Сп = п; 2) С* = С£~к (симметрия); 3) Σ С* = 2», Е(-1)*С* = 0; к=0 fc=0 4) С*+1 = С'п-1 + С* (рекуррентная формула); (6.4) 5) Сщ+п = СтСп + СтСп + ... + CmCn + CmCn\ (6.5) 6)(C°)2+(Ci)2 + ... + (^)2 = C^n (следствие формулы (6.5)). 3°. Схему последовательного вычисления биномиальных коэффициентов по формуле (6.4) удобно изобразить в виде треугольника Паскаля: 1 1 1 1 2 1 13 3 1 14 6 4 1 1 5 10 10 5 1 В каждой строке выписаны коэффициенты бинома степени соответственно нулевой, первой, ^второй и т. д. Каждый коэффициент (кроме крайних) получается как сумма двух ближайших к нему чисел в строке, лежащей над ним. Например, 4 = 1 + 3, 6 = 3 + 3 и т. д. 4°. С помощью биномиальных коэффициентов можно записать рекуррентную формулу для вычисления конечной суммы заданных т-х степеней первых η натуральных чисел. Обозначим эту сумму через Хт. η Хт = ^2 кт = 1т + 2т + Зт + ... + пт.
122 Комплексные числа Формула для т = 1 приведена в § 5.1: *=1 Для т ^ 2 справедлива рекуррентная формула (т + 1)Хт = = п(п + 1)т - Χι - СхтХ2 - С* Х3 -... - <%-2Хт-1. (6.6) Например, для т = 2 из формулы (6.6) получаем ЗХ2 = п(п + 1)2-Хь или X2 = W="("+1><2"+1>, (6.7) ^—' 6 *=1 Для т = 3 из формулы (6.6) имеем 4Х3 = п(п + I)3 - Χι -С\Х2. Используя формулу (6.7), можно окончательно записать лг N^,3 П2(п+1)2 __ ν2 Хг = 2^кό = —±——Ц или Хз = Х*. к=1 В развернутом виде I3 + 23 + З3 + ... + п3 = (1 + 2 + 3 + ... + п)2. 7. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Исторически понятие комплексного числа появилось как расширение понятия действительного числа в связи с задачей решения алгебраических уравнений: в множестве действительных чисел некоторые алгебраические уравнения не имеют корней, в то время как в множестве комплексных чисел любое алгебраическое уравнение имеет корни. Это расширение понятия числа оказалось весьма плодотворным для решения разнообразных задач математики, физики, техники.
Общие положения 123 7.1. Общие положения 1°. Комплексные числа — это упорядоченные пары действительных чисел (а, 6), для которых введены определенные правила действий. Множество комплексных чисел обозначается С. Комплексное число ζ = (α, b) состоит из действительной (вещественной) части а = Re z и мнимой части b = Imz; например, Re(3, -2) = 3, Im(3, -2) = -2. Числа вида (α,Ο) отождествляются с действительными числами: (а, 0) = а, поэтому понятие комплексного числа является расширением понятия действительного числа; в частности, число (0,0) совпадает с действительным числом 0 и называется нулем. Числа вида (0,6) называются (чисто) мнимымщ в частности, число (0,1) называется мнимой единицей и обозначается буквой г (иногда j). 2°. Правила действий с комплексными числами: 1) равенство (αι,6χ) = (а2,Ьг) равносильно системе двух равенств а\ = аг, Ь\ = ί>2> т. е. два комплексных числа равны тогда, когда соответственно равны их действительные и мнимые части; 2) (αι,δι) + (fl2>b2) = (αχ + α2,ί>ι + Ьг), т. е. при сложении комплексных чисел складываются отдельно их действительные и мнимые части; например, (3, —1) + (—2,5) = (1,4); 3) умножение: (αι,6ι) · (а2,6г) = («1^2 — Μ2,αι&2 + α2&ι) (§ 7.2); в частности, г2 = г · г = (—1,0) = —1; 4) вычитание и деление определяются как операции, обратные соответственно сложению и умножению; деление на нуль не определено. Операции сложения и умножения обладают обычными свойствами (коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность, см. п. 2.2.4°).
124 Комплексные числа 3°. Если ζ — (α, 6), то число (а, —Ь) называется сопряженным {комплексно сопряженным) для ζ и обозначается ~ζ или ζ*\ например, (2,3) = (2,-3). Очевидно, Ί = ζ) ζ · "ζ = а2 + b2 ^ 0, Re z = (ζ + ζ)/2, Im ζ = (ζ - z)/2i, (*ι + ζ2) = ζι+ ζ2) ζλ · ζ2 = ζ\ · ζ2. Неравенства >, ^, <, < между комплексными числами не определены. 7.2. Алгебраическая форма 1°. Комплексное число ζ = (α, b) можно записать в так называемой алгебраической форме: 1· -1 ό 1-i 2 + ί 2 χ ζ = а + %Ь\ например, (-3,4) = -3 + 4г. Сопряженное число запишется в виде ~ζ = а — ib. -1 •О 2-ί Алгебраическая форма удобна тем, что все действия с комплексными числами выполняются как с двучленами (раскрытие скобок и т. д.), в которых после выполнения всех упрощений следует заменить г2 на — 1. В частности, отсюда сразу получается закон умножения комплексных чисел (§ 7.1): (αχ + ibi) · (α2 + ib2) = {a\a2 - bib2) + i(a\b2 + a2bi). Рис. 7.1. Комплексное число изображается точкой на плоскости Примеры АП+А 1) г3 = -г, г4 = 1, г" 2) (-2 + Зг).4+(1 + г).(5 + 2г) = = -8 + 12г + 5 + 5г + 2г + 2г2 -5 + 19г.
Тригонометрическая и показательная формы 125 2°. Деление комплексных чисел удобно выполнять с помощью умножения делимого и делителя на число, сопряженное делителю; например, 2 + Зг (2 + Зг)(-1-2г) -1 + 2г (—1 + 2<)(—1 — 2i) _ -2 - Зг - 4г + 6 ~ 12 + 22 4-7г 0,8-1,4г. 3°. Комплексное число ζ = χ + гу изображается на плоскости точкой с координатами (х,у), см. геометрическое изображение чисел (2 + г), (2 — г), (—1 — г) на рис. 7.1. Ось абсцисс называется действительной осью, ось ординат — мнимой осью, плоскость называется комплексной плоскостью. Пара сопряженных чисел изображается точками, расположенными симметрично относительно действительной оси. г - χ + iy 7.3. Тригонометрическая и показательная формы 1°. Комплексное число ζ = χ + iy можно отождествить с вектором на плоскости ху, имеющим начало в точке 0 и проекции χ и у (рис. 7.2). Правила сложения и вычитания комплексных чисел совпадают с соответствующими правилами для векторов (§ 8.1). Векторная интерпретация широко используется для изображения гармонических колебаний, переменных синусоидальных токов и напряжений (п. Ф4.5.4°, п. Ф5.4.2°). 2°. Модулем комплексного числа называется длина соответствующего вектора: \z\ = y/x2 + y2>0. Аргумент argz = φ— угол (в радианах) между вектором и положительной полуосью χ (положительное направление отсчета Рис. 7.2. Комплексное число изображается вектором на плоскости
126 Комплексные числа угла — против часовой стрелки). Для каждого ζ φ О существует множество значений у?, отличающихся одно от другого слагаемыми вида 2пк (к = 0, ±1, ±2,...). Обычно используют главное значение аргумента: — π < φ ^ ^ π (иногда О ^ φ < 2π). Главное значение аргумента вычисляется по правилам, представленным в табл. 7.1, для действительных и чисто мнимых чисел — в табл. 7.2 Модуль и аргумент комплексного числа совпадают с полярными координатами точки ζ на плоскости ху (п. 8.3.4°). 3°. Тригонометрическая форма: ζ = /9(cos(^ + isiri(^). Таблица 7.1 Формулы для аргумента комплексного числа Квадрант Знак х, У Формула для аргумента II л- III. IV -V х>0 у>о х<0 У>0 х<0 У<0 х>0 у<о у у χ φ = arctg - = arcsin - = arccos - χ Ρ Ρ χ у у φ = arccos - = arctg - + π = π — arcsin - ρ χ ρ , У χ . У φ = arctg π = — arccos - = —π — arcsin - χ Ρ Ρ У У χ φ = arctg - = arcsin - = — arccos - χ ρ ρ Таблица 7.2 Аргументы действительных и чисто мнимых чисел Знак х, у х > 0, у = 0 χ = 0, у > 0 Значение аргумента φ = 0 φ = π/2 1 Знак χ, у χ < 0, у = 0 Ι χ = 0, у < 0 Значение аргумента φ = π у> = -π/2
Тригонометрическая и показательная формы 127 Примеры 1) 1 + 0· г = l-(cos0 + zsin0); 2) t = l· lcos- + zsin-1; 3) 1 + г = у/2 ίcos j + isin j j; 4) - 1 - г = \/3 (cos — + г sin — J V2 COS (-ί)-(-τ) 4 5) 3 + 4г = 5(cos φ + г sin у?), ^ = arctg -. о 4°. Показательная форма: ζ = \ζ\βιφ, или ζ — рег<р, или ζ = рехр(г</?), где число е « 2,718 (п. 5.1.8°). Например, ei7r/2 = г, e2i7r* = 1. Модуль числа вида ег<р равен единице при любом действительном φ. 5°. Формулы Эйлера: е^ = cos у? + г sin у?, cosy? = , siny?= — . Следствие: ex + e~x .ex - e~x . cos(zx) = = chx, sin(zx) = г = zshx, где shx, chx — гиперболические функции (п. 2.8.2°). Пример записи комплексного числа в различных формах: 1 + гу/3 = 2 (cos ^ + г sin ^ ) = 2ei7r/3.
128 Комплексные числа 6°. Тригонометрическая и показательная формы особенно удобны в физических приложениях, а также при выполнении умножения и деления и при возведении в степень; например, ζι·Ζ2 = Р\Р2 [cos(y>i + ψ2) + tsin(y>i + ψ2)) = ΡιΡ2βι{φι+φ2\ ^ = ^ [oosfai - φ2) + isin^i - φ2)) = ^-e^1"^. Ζ2 Ρ2 Ρ2 При умножении комплексных чисел модули перемножаются, а аргументы складываются; при делении модуль числителя делится на модуль знаменателя, а из аргумента числителя вычитается аргумент знаменателя. Пример η ί π . . тг\ ,/ π . . π\ ле%( π . . π\ 3 I cos —-Hsin —1 · 4 Icos —-Msin —1 =12 I cos —-Hsin — 1 = 12г, или З^/з . 4ei7r/6 = 12ei7r/2 = 12г. Геометрическая интерпретация умножения комплексных чисел: 1) при умножении комплексного числа z\ на положительное число ρ длина вектора, изображающего ζ\, увеличивается в ρ раз; 2) при умножении на отрицательное число q длина вектора увеличивается в \q\ раз, а направление меняется на противоположное; 3) при умножении z\ на комплексное число z2 длина вектора z\ увеличивается в \z2\ раз, а сам вектор поворачивается на угол arg^. Возведение в целую степень (формула Муавра): zn = pn(cosn<p + ιήτιηφ), ζη = ρηβίηφ. Пример (1 - г)8 = (χ/2)8 е8^"^2) = 16е"2™ = 16.
Тригонометрическая и показательная формы 129 Формулу Муавра можно использовать для вычисления тригонометрических функций кратных аргументов; например, sin2x = 1те2гх = Im(cosx + г sin χ)2 = = Im(cos2 χ + 2г sin χ cos χ — sin2 χ) = 2 sin χ cos χ; cos Зх = Re е3гх = Re(cos χ + г sin x)3 = = Re(cos3 χ + Зг cos2 x sin χ — 3 cos χ sin2 χ — г sin3 x) = = cos3 χ — 3 cos χ sin2 x; 5 sin 5x = Im ^ Ck cos5-* х(г sin χ)* = fc=o = C\ cos4 χ sin χ — C3 cos2 χ sin3 χ + Cf sin5 χ = = 5 cos4 χ sin χ — 10 cos2 χ sin3 χ + sin5 χ (бином Ньютона см. в п. 6.2.1°). Формула Муавра полезна также при вычислении сумм вида η η Σ qkcoskx и Σ qksinkx: k=0 k=l η / η \ η A = £У cosfcx = Re l^qkeikx = Re^V, k=0 \k=0 I k=0 где z = qeix, £** = !_£_ (|ΐ.ι), k=0 1 _ gn+leia:(n+l) ^ ^ _ ^η+Ι^η+Ι))^ _ ge-te) ^ 1 — дегж (1 — qelx)(l — qe~lx) = Ref 1 - Qn+lJx(n+l) _ -ix , n+2 inx\ l-2qcosx + q**e[i Q * qe + q e ) 1 - q cos χ - gn+1 cos(n + l)x + gn+2 cos nx 1 — 2g cos χ + g2 9-2172
130 Комплексные числа 7°. Корень т-й степени из нуля равен нулю. Возведение комплексного числа ζ φ 0 в степень 1/га, где т — натуральное число (т. е. извлечение корня т-й степени), дает т различных значений: у1/т Vz- 1/т ( Ψ + 2πΛ ,.·¥> + 2πΛ pi/m cos + г sin Ύ m m )· или ,l/m= ^ = rV-r™^ + 27rfc) exp m (7.1) (7.2) где к = 0,1,..., τη - 1; ρ1/™ > 0. Если в формулах (7.1), (7.2) —π <<£>^7ги/с = 0, то соответствующее значение корня называется главным значением. Пример что дает три значения: z\ = 2ei7r/3 = 2 (cos ^ + zsin ^ j = 1 + гл/3 (главное значение), z2 = 2in = 2(cos π + г sin π) = -2, Z3 = 2e5-/3 = 2 (cos у + г sin ψ) = 1 - <V5. Рис. 7.3. Корень степени т из комплексного числа имеет га различных значений Корни m-й степени из комплексного числа ζ изображаются на комплексной плоскости точками ζ\, Ζ2, ..., zm, расположенными в вершинах правильного га-угольника на окружности радиуса р1/771 с центром в точке ζ = 0 (га = 6 на рис. 7.3). В частности, два значения квадратного корня отличаются знаком (множителем —1); например, λ/Ϊ= ±1, \/=Т = ±г, Vi = ±(l + i)/y/2.
Логарифмы комплексных чисел 131 7.4. Логарифмы комплексных чисел Логарифм (натуральный) комплексного числа ζ φ О имеет бесконечное множество значений: Lnz = In ρ + ι{ψ + 2πΛ), к = О, ±1, ±2,... Здесь In ρ — обычный логарифм по основанию е (п. 5.1.8°), & φ = argz. Справедливо равенство eLn* = ζ. Примеры 1) Ln 1 = In 1 + 2гтгА; = 2mk; 2) Ln(-l) = ln 1 + ί(π + 2nk) = ζπ(2Λ + 1); 3) Ln(l + ъуД) = In2 + ι(π/3 + 2πΛ); 4) Lnz = ln 1 + ί(π/2 + 2πΛ) = гтг(2А; + 1/2). Главное значение логарифма: \ηζ = \ηρ + ίφ) где —π <φ^π. 7.5. Комплексные корни уравнений О решениях алгебраических уравнении в комплексной области см. § 3.4. 1°. Двучленное уравнение ζα = 6, где ζ — неизвестное комплексное число, 6 — заданное комплексное, α = т/п — заданное рациональное действительное число, имеет (при 6 ф 0) га решений: ** = |Ь|1/вехр -(<р + 2пк) a (7.3) где φ = arg 6, к = 0,1,2,..., πι — 1. Если α — действительное иррациональное число (§ 2.2), то решений бесконечно много и справедлива формула (7.3), но здесь к = 0, ±1, ±2,... Примеры 2) ζπ = 1 + г, Zk = 2l/2w exp Jfc = 0,±l,±2, 2з/4 '3t 2 fc = 0, fc= 1; 1(|+2л)]=2^-ехр[.(1+2«,)] 9*
132 Векторы. Координаты. Перемещения и симметрии 2°. Уравнение sin ζ = b имеет комплексные корни, если b комплексно или если 6 действительно, но |6| > 1. Для решения уравнения воспользуемся формулой Эйлера: smz = {eiz-e-iz)/(2i) и обозначим ω = elz\ тогда получим уравнение ω — ω~ι = 2г6, или ω2 — 2ibu — 1 = 0, откуда uj\y2 = ib ± \/\ — б2, где символ у — какое-нибудь значение квадратного корня. Теперь ζ находится логарифмированием: iz = Lnu;, ζ — —г [In |α;| + z(argu; + 2nk)], (7.4) где к = 0, ±1, ±2,... Получились две бесконечные серии корней, соответствующие значениям ω = ω\ и ω = и>2. Пример sin ζ = 2. В этом случае ω\$ = 2г± гу/З = г(2 ± \/3), argu;i)2 = +π/2, ζ = -г 1п(2 ± \/3) + (π/2 + 2пк). 3°. Уравнения cos ζ = 6, tg z = 6 решаются в комплексной области аналогично. 8. ВЕКТОРЫ. КООРДИНАТЫ. ПЕРЕМЕЩЕНИЯ И СИММЕТРИИ Векторы, векторные величины встречаются во многих разделах физики. Так, основные законы механики или электромагнитной теории наиболее удобно записываются в векторной форме. Для конкретных вычислений обычно переходят от векторных формул к соответствующим координатным формулам. Аппарат векторов и координат оказывается весьма полезным и в геометрии. Данная глава, кроме описания действий с векторами и систем координат, содержит также понятия и примеры симметрии и подобия фигур.
Векторы. Проекции 133 8.1. Векторы. Проекции 1°. Пара точек А и В задает вектор АВ, имеющий начало А и конец В. Вектор можно представить себе в виде направленного отрезка (рис. 8.1, а, вектор АВ, направление указано стрелкой). Если А —В (начало и конец вектора совпадают), то вектор АВ называется нулевым. Нулевой вектор изображается точкой, направление его не определено. Модулем (длиной или абсолютной величиной) вектора АВ называется длина отрезка АВ (обозначается |АВ|). Физические примеры векторных величин: перемещение, скорость, ускорение, сила, импульс (п. Ф2.1.2°, Ф2.2.1°). Два вектора АВ и CD считаются равными, если выполняются два условия: 1) \АВ\ = \CD\, т. е. длины векторов равны; 2) направления лучей АВ и CD одинаковы. -> ► ► ► Например, А\В\ — А2В2, но А\В\ Φ Л3В3, М&\ Φ ΜΒ± (рис. 8.1, б). Таким образом, каждому вектору АВ соответствует бесконечное множество равных ему векторов, получаемых из АВ всевозможными параллельными переносами. При таком определении векторы называются свободными, так как положение начальной точки не играет роли. В некоторых приложениях используют векторы с фиксированным началом, например радиус-вектор точки (п. Ф2.1.1°). /4 >в Τ Λ АВ а) А Рис. 8.1. Направленные отрезки
134 Векторы. Координаты. Перемещения и симметрии Векторы обычно обозначают одной буквой со стрелкой (или с чертой, или выделяют жирным шрифтом): ~а, а, а. Нулевой вектор обозначают 0 или 0. Действуя с векторами. 1) Сумма а + Ь векторов а и Ь находится по правилу треугольника (рис. 8.2, а) или по правилу параллелограмма (рис. 8.2, б) — эти правила равносильны. Сложение векторов коммутативно и ассоциативно: а + Ь = b + α, α + (b + с) = (α + b) + с. Правило треугольника удобно при сложении нескольких векторов (рис. 8.2, в). Отметим, что а + 0 = а. а) а+Ь+с + Т б) в) Рис. 8.2. Сумма и разность векторов г) Если а + Ь = 0, то Ь называют вектором, противоположным а, и обозначают —а. Вектор —а имеет ту же длину, что и а, но противоположное направление. Разность векторов а — Ь можно определить как сумму а+ (—Ь), т. е. вычитание заменяется прибавлением противоположного вектора. Удобно также правило треугольника: векторы а и Ь откладывают от общего начала, тогда разность а — Ь есть вектор, начало которого совпадает с концом Ь, а конец — с концом а (рис. 8.2, г). Рис. 8.3. Коллинеарные векторы
Векторы. Проекции 135 2) Произведением вектора а на действительное число μ (обозначается μα или αμ) называется вектор, модуль которого равен |μ| · |α|, а направление при μ > О совпадает с направлением а, при μ < О противоположно направлению а. Таким образом, умножение вектора на положительное число сводится к растяжению (сжатию) вектора, а умножение на отрицательное число — еще и к изменению направления на противоположное (рис. 8.3). Отметим, что 1 · а = а, 0 · а = 0. Коллинеарные векторы — векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых (рис. 8.3). Коллинеарные векторы отличаются лишь числовым множителем. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору. Компланарные векторы — три или более векторов, лежащих в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Любые три компланарных вектора а, Ь, с связаны зависимостью аа + /ЗЬ + ус = 0, где хотя бы один из коэффициентов а, /?, η отличен от нуля. Рис. 8.4. Проекция вектора на ось 2°. Проекцией вектора на любую ось I называется произведение модуля вектора на косинус угла между вектором и положительной полуосью I: (a)i = |a|cosy>. (8.1) Ось / — это прямая, на которой выбрано положительное направление; каждая точка оси делит ее на положительную и отрицательную полуоси. Проекция вектора положительна, если уголь φ острый (рис. 8.4, а), отрицательна, если угол тупой (рис. 8.4, #), и равна нулю, если угол прямой. Очевид-
136 Векторы. Координаты. Перемещения и симметрии но, (a)i = ±|PQ|, где Ρ и Q — основания перпендикуляров, опущенных на ось из начала и конца вектора а; знак «+(—)» соответствует острому (тупому) углу φ. Координатами ах, ау, αζ вектора α в прямоугольной системе координат xyz в пространстве (§ 8.3) называются его проекции на координатные оси х, у, ζ: г1 1 1 ϊ> JKT £\ а / У а>х = {о)х = |a|cosa, ау = (а)у = |a|cos/?, az = (а)г = |a|cos7· Рис. 8.5. Вектор а образует углы а, /3, 7 c осями координат Здесь а, /3, 7 г- углы между вектором и соответствующими положительными полуосями (рис. 8.5). Вектор а с координатами ах, а^, а2 записывают в виде α (α^,α^,α^). Координаты вектора называют также его проекциями (на оси координат). Проекции вектора АВ, заданного двумя точками A {x\,y\,z\) и -В(х2>У2>^2)? равны разностям соответствующих координат точек (§ 8.3): (8.2) При сложении векторов их соответствующие проекции складываются, при умножении вектора на число — умножаются на это число: (а + Ь)х = ах + 6Х, (а + Ь)у = ау + by, (a + b)z = az + bz, (μα) χ = μαχ, (μα)ν = μαν, (μα)ζ = μαζ. Модуль вектора a (ax,ay,az) вычисляется по формуле (АВ)Х (АВ)У (AB)Z = Ж2" = 2/2- = Z2- -χι; -vi; - z\. \<A = \]al + al + a (8.3)
Скалярное и векторное произведения 137 В случае векторов на плоскости ху справедливы те же формулы, но отсутствует третья координата; например, 3°. Любой вектор а на плоскости может быть разложен по ортам г, j прямоугольной системы координат ху (§ 8.3): а = ахг + ayj. В пространстве разложение по ортам г, j, к (§ 8.3) имеет вид а- ахг + ayj + azk. (8.4) Векторные слагаемые ахг, ayj, azk называются составляющими, или компонентами вектора а по осям х, у, ζ. Пример Разложим по ортам вектор с = За + 2Ь, где а (1,0,2), Ь (-2,1,0). Решение: c = 3(i + 2k) + 2(-2i+j) = (3-4)i + 2j + 6k = -i + 2j + 6k. 8.2. Скалярное и векторное произведения I6. Скалярное произведение а · Ь двух векторов а и Ь — это число, равное произведению модулей векторов на косинус угла между ними: α· Ь = \а\ - \Ь\ · cos(a;b). Скалярное произведение обозначается также аЬ или (ab), иногда (а, Ь). Если угол между векторами острый (тупой), скалярное произведение положительно (отрицательно), если угол прямой — равно нулю. Скалярное произведение используется в физике, например при определении понятия работы (п. Ф2.4.5°). Скалярное произведение выражается через проекции векторов по формуле a · Ь = axbx + ayby + azbz.
138 Векторы. Координаты. Перемещения и симметрии Примеры 1) а (1,2,-1), Ь (0,3,4); аЬ = 1 · 0 + 2 · 3 + (-1) · 4 = 2 (угол острый); 2) а (3, -2), Ь (-1,2); а · Ь = -3 - 4 = -7 (угол тупой); 3) α (2,1,-1), b (-1,1,-1); α·6 = -2 + 1 + 1 = 0 (угол прямой). Угол φ между векторами а и Ь можно вычислить по формуле о> · Ь О'хЬх + dyby + α?6? COS 09 = = —- - - И · 1&1 Jal + al + a* ■ у/% + Ц + % Пример а (3,-2), Ь (-1,2); -7 7 cosy? = . = —= « -0,682, v/(32 + 22)(l2 + 22) χ/65 откуда ^ = arccos ( —j= ) « 2,62 рад « 150°. 2°. Векторным произведением а х b двух векторов α и b называется вектор с, определяемый следующим образом: 1) \с\ = |а| · |b|sin(a;b), т. е. модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на данных векторах; 2) с _1_ а, с _1_ Ь, т. е. вектор с перпендикулярен плоскости, в которой лежат сомножители; 3) векторы а, Ь, с образуют правую тройку векторов, т. е. кратчайший поворот вектора а к вектору Ь виден из конца вектора с как поворот против часовой стрелки (правило буравчика, см. рис. 8.6, а). Векторное произведение обозначается также [ab], иногда [а, Ь]. Замечание. Правую тройку образуют, например, большой, указательный и средний пальцы правой руки; при пользовании
Скалярное и векторное произведения 139 α χ Ь ^z а) б) Рис. 8.6. а — векторное произведение векторов; б — параллелепипед левой системой координат (п. 8.3.3°) в определении векторного произведения вместо правой берут левую тройку а, Ь, с. Если а и Ь коллинеарны, то а х Ь — 0. Векторное произведение используется в физике, например при определении момента силы (п. Ф2.6.1°), силы Лоренца (п. Ф4.3.2°). Свойства векторного произведения: 1)αχα = 0; 2) α χ Ь = -6 χ α (векторное произведение антикоммута- тивно); 3) {а + Ъ)хс — ахс + Ъхс, (μα) xb = μ(α χ Ь). Координаты векторного произведения в прямоугольной системе координат (п. 8.3.3°): (α χ Ь)х — aybz — azby\ (а х Ь)у — azbx - axbz\ (8.5) (а х b)z = axby - aybx. Коротко векторное произведение записывается в виде определителя 3-го порядка: г 3 к ахЪ — &х Q"y Q>z bx by bz Векторные произведения ортов г, j, к: ixi = jxj = kxk = 0, г χ j — —j χ i — k, ix к — —к х г = — j, j x к = — к χ j = г. (8.6)
140 Векторы. Координаты. Перемещения и симметрии На практике векторное произведение удобно вычислять по формулам (8.5) либо записывать перемножаемые векторы в виде разложений по ортам (8.4), раскрывать скобки и пользоваться формулами (8.6). Пример Найдем площадь треугольника с вершинами А (1,0,1), В (-1,1,2), С (2,3,0). Площадь треугольника Sabc рэ.вна половине площади параллелограмма, построенного на векторах АВ и АС. Координаты векторов вычисляются по формуле (8.2): АВ (—2,1,1), АС (1,3,-1). Площадь параллелограмма вычисляется как модуль векторного произведения: АВ χ АС = (-2i+j + к)х(г + 3j - к) = = -2(г χ г) + 3(j χ г) + (к χ г) - 6(г χ j) + 3(j x j)+ + 3(fc x j) + 2(t χ к) - (j χ к) - (к х к) = -4г - j - 7fc. Модуль векторного произведения находится по формуле (8.3): \АВхАС\ = ν/42 + I2 + 72 = \/бб. Ответ: 5лвс = \/бб/2. Объем параллелепипеда, построенного на векторах а, Ь, с (рис. 8.6, б), можно вычислить по формуле V=\a-(bxc)\. 8.3. Системы координат 1°. Координатной осью называется прямая линия, на которой отмечена точка О (начало отсчета или начало координат), выбран масштаб, т. е. указан отрезок единичной длины для измерения расстояний (единичный или масштабный отрезок), и задано положительное направление. На рис. 8.7, а на координатной оси χ единичный отрезок обозначен ОЕ, направление от точки О к точке Ε считается положительным (показано стрелкой). Начало координат О делит координатную ось на два луча: положительную полуось (которой принадлежит точка Е) и отрицательную полуось.
Системы координат 141 У1 II Ри\ оР Ш IV а) б) Рис. 8.7. а — координатная ось; б — прямоугольная система координат Координатой точки Р, лежащей на оси х, называется число χ = ±|ОР| (где \ОР\ означает длину отрезка ОР), причем знак «+» (« —») соответствует расположению точки Ρ на положительной (отрицательной) полуоси; если Ρ = О, то χ = 0. Расстояние между двумя точками Р\ и Рч на оси χ равно Ι-Ρι-Рг! — \х\ — #2|> т. е оно равно модулю разности соответствующих координат. Орт оси χ — вектор ОЕ\ длина орта равна единице, направление совпадает с положительным направлением оси. 2°. Прямоугольная (или декартова) система координат на плоскости задается парой взаимно перпендикулярных координатных осей, имеющих общее начало в точке О и одинаковый масштаб (рис. 8.7, б). Оси координат на плоскости обычно обозначают χ и у — оси абсцисс и ординат соответственно. Координатную плоскость обозначают ху. Координатные оси разделяют плоскость ху на четыре квадранта (или четверти): I, II, III, IV (рис. 8.7, б). Пусть точка Ρ лежит на плоскости ху. Опустим из этой точки перпендикуляры на координатные оси; основания перпендикуляров обозначим Рх и Ру (рис. 8.7, б). Абсциссой точки Ρ называется координата χ точки Рх на оси х, ординатой — координата у точки Ру на оси у. Координаты точки, как правило, указывают в скобках рядом с обозначением точки: Ρ (х,у). Между точками на плоскости и парами их координат существует взаимно однозначное соответствие (п. 2.5.1°).
142 Векторы. Координаты. Перемещения и симметрии Расстояние между двумя точками Р\ (х\,у\) и P<i (x<i,y<i) на плоскости определяется теоремой Пифагора (§ 9.2): rf= V(xi -^2)2 + (У1 -У2)2· Орты осей х, у — единичные векторы г, j с началом в точке О. 3°. Прямоугольная (или декартова) система координат в пространстве задается тройкой попарно перпендикулярных координатных осей, имеющих общее начало в точке О и одинаковый масштаб. Оси координат в пространстве обычно обозначают х, у, ζ. Системы координат в пространстве возможны правые (рис. 8.8, а) и левые (рис. 8.8, б)\ на практике обычно пользуются правыми системами координат. Орты осей х, у, ζ — единичные векторы г, j, k с началом в точке О; направления ортов совпадают с направлением осей (рис. 8.8). Орты правой системы координат образуют правую тройку векторов (п. 8.2.2°), орты левой системы — левую тройку. Рис. 8.8. Системы прямоугольных координат в пространстве: а — правая система; б — левая система Координатные плоскости ху, yz, xz делят пространство на восемь октантов. Координаты х,у, ζ точки Ρ в пространстве определяются аналогично координатам на плоскости: это координаты (на соответствующих осях) оснований Рх, Ру, Ρζ перпендикуляров, опущенных из точки Ρ на оси х, у, ζ. Координаты точки обычно указывают в скобках: Ρ (χ, у, ζ). Между точками в пространстве и тройками их координат существует взаимно однозначное соответствие.
Системы координат 143 В' Пример Куб ABCDA'B'C'D* с длиной ребра d — 3 вписан в I октант (в котором χ > О, у > О, ζ > 0) так, что вершина А совпадает с началом координат, а грань ABCD вписана в I квадрант плоскости ху (рис. 8.9). Координаты вершин куба: А (0,0,0), В (3,0,0), С (3,3,0), D (0,3,0), Л'(ОДЗ), Я'(ЗДЗ), С" (3,3,3), Я'(0,3,3). Расстояние между двумя точками Р\ {х\, у\, ζχ) и Рч {хч ,уч,*ч) в пространстве определяется теоремой Пифагора (п. 9.5.3°): А Π ч LA I/d *у |ь—————Jy-i * Рис. 8.9. Куб вписан в I октант d= у/(х\ - Х2)2 + (yi - У2)2 + (*ι ~ *2)2. В частности, расстояние любой точки Ρ (χ, у, ζ) до начала координат равно do = \Л2 + У2 + ζ2· 4°. Полярная система координат на плоскости задается точкой О {полюсом) и полярной осью — лучом, выходящим из полюса (луч ОЕ на рис. 8.10а). На полярной оси выбран масштаб — единичный отрезок {ОЕ на рис. 8.10а). Полярные координаты (ρ, φ) точки Р, лежащей на плоскости: ρ — расстояние от точки до полюса, φ — угол между полярной осью и отрезком ОР. Угол φ считается положительным (отрицательным), если он отсчитывается от полярной оси в направлении против часовой стрелки (по часовой стрелке). Если Ρ = О, т. е. точка совпадает с полюсом, то ρ = 0, угол φ не определен. Если условиться считать, что 0 < φ ^ π (или что —π < φ ^ π), то соответствие между точками на плоскости и парами их полярных координат взаимно однозначное, за исключением точки Ρ = О. Рис. 8.10. Полярные координаты
144 Векторы. Координаты. Перемещения и симметрии Пример Вершины квадрата ABCD с длиной стороны d — 3, изображенного на рис. 8.10, б, имеют полярные координаты Л(0,<А)), 5(3,0), С(Зч/2,тг/4), D (3,тг/2), где φο произвольно. Поместим полюс полярной системы в начало прямоугольной системы координат, а полярную ось совместим с положительной полуосью оси х; тогда связь прямоугольных и полярных координат задается формулами X = /9COS<£, 2/ = /9Sin<p, откуда р= у/х2 + у2, tg<p = y/x, sin φ — у/ ρ, cos ψ — χ/p. Формулы, выражающие угол φ через χ и у, см. в п. 7.3.2°. рис g -ц Добавив к полярным координатам Цилиндрические ось *, перпендикулярную плоскости ху, координаты получаем цилиндрические координаты ρ, φ, ζ точки Μ (χ,у, ζ) в пространстве (рис. 8.11). 8.4. Перемещение. Симметрия. Подобие 1°. Перемещение (движение) плоскости — такое взаимно однозначное преобразование точек плоскости, при котором сохраняются расстояния: если точка А переходит в А', В — в В', то l^t'B'l = \АВ\. При перемещениях также сохраняются углы. Примеры перемещений плоскости: параллельный перенос (рис. 8.12, а), поворот вокруг некоторой точки О — центра поворота (рис. 8.12, б), отражение относительно некоторой оси I (осевая симметрия, см. рис. 8.12, в). Любое перемещение плоскости можно составить из этих трех типов перемещений. Говорят также о перемещениях фигур на плоскости. Две фигуры на плоскости считаются равными, если их можно совместить перемещением (рис. 8.12, все треугольники равны).
Перемещение. Симметрия. Подобие 145 а) б) в) Рис. 8.12. Перемещения на плоскости: а — параллельный перенос; б — поворот; в — отражение относительно оси Перемещение (движение) пространства определяется аналогично: это взаимно однозначное преобразование точек пространства, при котором сохраняются расстояния. При этом углы также сохраняются, фигуры переходят в равные фигуры. Примеры перемещений пространства: параллельный перенос (рис. 8.13, а), поворот вокруг некоторой оси I (рис. 8.13, б), отражение относительно некоторой плоскости (зеркальное отражение, см. рис. 8.13, в). Параллельный перенос и поворот фигур в пространстве можно осуществить как реальное перемещение, отражение потребовало бы выхода из трехмерного пространства, поэтому никакими реальными перемещениями нельзя совместить, например, левую и правую перчатки, хотя они и считаются (в геометрии!) равными. (То же касается правых и левых троек векторов, см. п. 8.2.2°.) а) б) в) Рис. 8.13. Перемещения в пространстве: а — параллельный перенос; б — поворот; в — отражение относительно плоскости ю-2172
146 Векторы. Координаты. Перемещения и симметрии ЛГ Μ а) б) Рис. 8.14. Точки Μ, Μ' и фигуры F, F' симметричны: α — относительно центра О; б — относительно оси / 2°. На плоскости или в пространстве точки МиМ' называются симметричными (друг другу) относительно центра О, если точка О — середина отрезка ММ' (рис. 8.14, а). Точ- киМиМ' называются симметричными относительно оси /, если I — серединный перпендикуляр (п. 9.2.2°) отрезка ММ' (рис. 8.14, б). Фигура F симметрична фигуре F' относительно центра {относительно оси), если все точки F симметричны точкам F' относительно этого центра (относительно этой оси). Говорят, что плоская фигура обладает центральной симметрией (фигура центрально-симметрична), если она симметрична сама себе относительно центра. Такая фигура совмещается сама с собой при повороте на 180° в плоскости вокруг центра. Примерами центрально-симметричных фигур могут служить круг, эллипс (§ 9.3), параллелограмм, звезды и правильные многоугольники с четным числом сторон, а также (приближенно) многие цветы (рис. 8.15). Говорят, что плоская фигура обладает осевой симметрией (фигура осесимметрична), если она симметрична сама себе CDLU 0<- Рис. 8.15. Центрально-симметричные фигуры
Перемещение. Симметрия. Подобие 147 относительно оси, лежащей в плоскости фигуры. Такая фигура совмещается сама с собой при повороте плоскости (в пространстве) вокруг оси на 180°. Примерами осесимметричных фигур могут служить: равнобедренная трапеция (п. 9.2.12°), парабола (п. 2.2.6°, 9.3.4°), звезды и правильные многоугольники с нечетным числом сторон, а также (приближенно) многие цветы и насекомые (рис. 8.16). Фигура может иметь оба вида симметрии: круг, эллипс, гипербола (§ 9.3), ромб и т. д. L lllii Рис. 8.16. Осесимметричные фигуры MQ 3°. В пространстве рассматривается еще один вид симметрии: точки Μ и М' называются симметричными относительно плоскости, если отрезок ММ' перпендикулярен этой плоскости и делится пополам в точке пересечения с ней (рис. 8.17). Можно сказать, что М' — зеркальное отражение точки Μ в плоскости симметрии. Фигура F симметрична фигуре F' относительно плоскости (зеркально-симметрична), если все точки F симметричны точкам F' относительно этой плоскости (рис. 8.17). Фигура F обладает зеркальной симметрией, если она симметрична сама себе относительно плоскости. Примеры зеркально- симметричных фигур: шар, МЪ Рис. 8.17. Точки М, Мг и фигуры F, F' симметричны относительно плоскости 10*
148 Векторы. Координаты. Перемещения и симметрии куб, цилиндр, прямая призма (§ 9.5), а также (приближенно) многие технические аппараты. В некоторых специальных вопросах (в том числе в кристаллографии) рассматривается еще один вид пространственной симметрии — осевая симметрия п-го порядка. Говорят, что фигура обладает симметрией η-го порядка относительно оси, если она совмещается сама с собой при повороте вокруг этой оси на наименьший угол φ = 360°/η, где η € N. Так, куб имеет симметрию 3-го порядка относительно каждой внутренней диагонали, симметрию 4-го порядка относительно прямой, проходящей через центры какой-либо пары противоположных граней, и симметрию 2-го порядка относительно прямой, проходящей через середины какой-либо пары противоположных ребер. Коротко говорят, что куб имеет оси 4-го порядка (три оси), 3-го порядка (четыре оси) и 2-го порядка (шесть осей). Снежинка имеет одну ось симметрии б-го порядка. Любой кристалл (п. Ф3.6.1°) может иметь оси лишь 2-го, 3-го, 4-го, б-го порядков — только такие осевые симметрии совместимы с трансляционной симметрией, т. е. пространственной периодичностью кристалла. Примеры плоских трансляционно-симметричных структур: паркет, обои. 4°. Преобразование подобия пространства — взаимно-однозначное преобразование точек пространства, при котором расстояния умножаются на одно и то же положительное число η {коэффициент подобия): \Α'Β'\ = η\ΑΒ\. Преобразование подобия в общем случае состоит из перемещения и растяжения (сжатия), см. рис. 8.18. Фигуры F и F' называются подобными, если F' получается из F преобразованием подобия. Примеры подобных фигур: подобные треугольники (п. 9.2.4°), любые отрезки, окружности, квадраты, шары, правильные тетраэдры (§ 9.5), модели каких-либо сооружений или машин.
Точки, прямые и углы на плоскости 149 Линейные размеры подобных фигур F' и F относятся как 7 : 1; площади плоских фигур и площади поверхности пространственных фигур — как 72 · 1; объемы пространственных фигур — как Подобные фигуры 73 :1. Это обстоятельство приводит к интересному явлению: геометрическое подобие тел не означает их физического подобия. Так, масса животного пропорциональна кубу линейных размеров, а прочность костей — квадрату; поэтому гигантские особи среди животных данного вида существовать не могут. Два стальных шарика различных диаметров, нагретые до одной и той же температуры, остывают на открытом воздухе с различной скоростью (маленький шарик быстрее большого), так как теплообмен с окружающей средой происходит через поверхность, а первоначальный запас внутренней энергии пропорционален объему. Крупные капли тумана оседают в воздухе быстрее маленьких, так как сила тяжести пропорциональна кубу линейных размеров, а сила сопротивления воздуха — первой степени (п. Ф2.9.3°). 9. ПЛАНИМЕТРИЯ И СТЕРЕОМЕТРИЯ Изучение геометрических свойств разнообразных фигур на плоскости и в пространстве часто может быть сведено к изучению треугольников, из которых составлены эти фигуры. В данной главе рассматриваются углы, треугольники и многоугольники на плоскости, многогранники и тела вращения в пространстве, а также понятие кривизны гладкой поверхности. 9.1. Точки, прямые и углы на плоскости 1°. Прямая линия, лежащая на плоскости, разбивает эту плоскость на две полуплоскости. Произвольная точка О, лежащая на прямой, делит эту прямую на два луча, или полу-
150 Планиметрия и стереометрия прямые. Точка О — начало обоих лучей; говорят, что лучи исходят из начала. Лучи обозначаются двумя буквами, первая из которых обозначает начало, вторая — любую другую точку луча (например, лучи О А и О В на рис. 9.1). О Через любые две точки на плоскости β д можно провести прямую и притом только Рис. 9.1. °ДНУ- Две (различные) прямые на плоско- Точка О делит сти либо пересекаются в одной точке, либо прямую на лучи параллельны, т. е. не имеют общих точек. О А и ОВ Свойство параллельности прямых обозначается символом «||»; например, а \\ Ь. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной прямой. Уравнение прямой линии на плоскости в прямоугольной системе координат ху (п. 8.3.2°): ах + by + с = 0, где а, 6, с — постоянные числа, χ и у — координаты переменной точки Μ (х,у) на прямой. Вектор Ν (α, Ь) (§ 8.1) — «нормаль» к прямой: этот вектор перпендикулярен прямой. Если & Φ 0> уравнение прямой можно переписать в виде у — ах + β (п. 2.6.1°). 2°. Две точки А и В на прямой ограничивают отрезок, обозначаемый АВ или В А; точки А и В — концы отрезка; длина отрезка АВ обозначается |АВ| или АВ. Два отрезка считаются равными, если равны их длины. Перемещением (п. 8.4.1°) отрезка его можно совместить с любым равным ему отрезком. Если точка О лежит на отрезке АВ между точками А и В, то \АВ\ = \АО\ + \ОВ\ (рис. 9.1). 3°. Пара лучей, исходящих из общего начала, называется углом. Стороны угла — лучи, его образующие; вершина угла — общее начало его сторон. Угол, образованный лучами ОА\ и ОА2, обозначается ΔΑ\ΟΑ2 или ΔΑ2ΟΑ\, (рис. 9.2, а). В практических задачах целесообразно рассматривать угол как
Точки, прямые и углы на плоскости 151 меру поворота луча вокруг его начала до заданного положения (рис. 9.2, б). В геометрии углы считаются положительными. ^2, О Al б) Рис. 9.2. Угол как пара лучей (а) или как мера поворота луча (б) Два угла считаются равными, если их можно совместить перемещением (п. 8.4.1°). Биссектриса угла — луч, исходящий из вершины угла и делящий угол пополам (рис. 9.2, в). Если при повороте вокруг начала луч совершил один полный оборот до совпадения с первоначальным положением (^2 = А\), то соответствующий угол называется полным (рис. 9.3, а); половина полного угла называется развернутым (рис. 9.3, б). Стороны развернутого угла лежат на одной прямой. Половина развернутого угла называется прямым углом (рис. 9.3, в). В; Φ -о— J^\ N О б) Лг Лг в) а) Рис. 9.3. Углы: а — полный; б — развернутый; в — прямой; г — 1 рад 4°. Градус (обозначается «°») — это 1/360 часть полного угла. Прямой угол содержит 90°, развернутый — 180°, полный — 360°. Углы, меньшие 90°, называются острыми (рис. 9.2, α, β); большие 90°, но меньшие 180° — тупыми (рис. 9.2, б). Угловая минута — это 1/60 часть градуса, угловая секунда — это 1/60 часть минуты. Запись 57°17/45// читается «57 градусов 17 минут 45 секунд». Углы можно измерять транспортиром; для более точных измерений пользуются гониометром, для геодезических измерений — теодолитом.
152 Планиметрия и стереометрия 5°. Радиан (рад) — это центральный угол (п. 9.3.1°), опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности (рис. 9.3, г). В градусной мере 1 рад приближенно равен 57° 17 '45". Прямой угол равен π/2 рад, развернутый — π рад, полный — 2π рад. Если а — значение угла в градусах, β — в радианах, то а = /М80о/тг, или /3 = α · тг/180°. Например, угол 30° имеет радианную меру β = 30° · π/180° = = π/6. 6°. Пусть две прямые пересекаются, при этом образуются четыре угла (рис. 9.4, а). Углы 1 и 2 (а также 2 и 3, 3 и 4, 4 и 1) — смежные, углы 1 и 3 (а также 2 и 4) — вертикальные. Вертикальные углы равны; сумма смежных углов равна 180°. а) б) Рис. 9.4. Углы: а — вертикальные (1 и 3, 2 и 4) и смежные (1 и 2, 2 и 3, 3 и 4, 4 и 1); б — внутренние односторонние (4 и 5, 3 и 6) и внутренние накрест лежащие (4 и 6, 3 и 5) Две прямые перпендикулярны {ортогональны), если, пересекаясь, они образуют прямые углы. Свойство перпендикулярности обозначают символом «_1_»; например, a Lb. Если обе стороны одного острого угла параллельны сторонам другого острого угла (либо обе стороны соответственно перпендикулярны), то эти углы равны. 7°. При пересечении двух прямых третьей прямой образуются восемь углов (рис. 9.4, б). Углы 4 и 5 (как и углы 3 и 6) называются внутренними односторонними; углы 4 и б (как и углы 3 и 5) — внутренними накрест лежащими.
Треугольники. Многоугольники 153 Признаки параллельности прямых. Две прямые параллельны, если: 1) каждая из двух прямых параллельна третьей прямой; 2) две прямые пересечены третьей прямой и внутренние накрест лежащие углы равны; 3) две прямые пересечены третьей прямой и сумма внутренних односторонних углов равна 180°; 4) каждая из двух прямых перпендикулярна третьей прямой. 8°. Пусть стороны угла с вершиной О пересечены несколькими параллельными прямыми αχ, α2, ..., ап. Отрезки, которые эти прямые отсекают на сторонах угла, пропорциональны: |ОЛх| \АгА2\ Ап-гАп Вп-\Вп Рис. 9.5. Параллельные прямые пересекают стороны угла \ОВг\ \ВгВ2\ " (рис. 9.5, η = 3). Следствие: если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне (теорема Фалеса). 9.2. Треугольники. Многоугольники 1°. Пусть А, В, С — три произвольные точки, не лежащие на одной прямой. Фигура, состоящая из трех отрезков АВ, ВС, АС, называется треугольником ABC (обозначается ААВС). Иногда треугольником называют часть плоскости, ограниченную отрезками АВ, ВС, АС. Точки А, В, С — вершины, отрезки АВ, ВС, АС — стороны треугольника (рис. 9.6). Углы CAB, ABC, ВС А треугольника АВС часто обозначают одной буквой (А, В, С соответственно) или греческими буквами α, β, j b С Рис. 9.6. Углы и стороны треугольники
154 Планиметрия и стереометрия (при этом внутри углов рисуют дуги, см. рис. 9.6). Говорят, что ΔΑ противолежит стороне ВС или сторона ВС противолежит ZA; так же ΔΒ и AC, Z.C и АВ противолежат (друг ДРУгу). Сумма углов треугольника равна 180°, или π рад: а + /3 + 7 = 180°. Если один из углов треугольника прямой, треугольник прямоугольный; если один из углов тупой — тупоугольный; если все три угла острые — остроугольный (рис. 9.7). В любом треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против равных углов лежат равные стороны. а) б) в) Рис. 9.7. Прямоугольный (а), тупоугольный (б) и остроугольный (в) треугольники 2°. Пусть в ААВС точка Μ — середина стороны АВ, луч CS делит ZC пополам, СН 1 АВ, MP 1 АВ (рис. 9.8, а). Тогда СМ — медиана стороны АВ, CS — биссектриса ZC, С Η — высота к стороне АВ, прямая MP — серединный перпендикуляр к стороне АВ. Две высоты тупоугольного треугольника лежат вне его: AF _1_ ВС, BG -L АС (рис. 9.8, б). Свойства биссектрисы угла треугольника: 1) точки биссектрисы равноудалены от сторон угла; 2) биссектриса делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника: \AS\/\BS\ = \AC\I\BC\. Четыре замечательные точки в треугольнике: 1) три медианы пересекаются в одной точке (центр масс однородной треугольной пластины, см. п. Ф2.4.2°);
Треугольники. Многоугольники 155 HS Μ В а) б) в) Рис. 9.8. а — некоторые элементы треугольника: С Η — высота, CS — биссектриса, СМ — медиана, MP — серединный перпендикуляр; б — две высоты тупоугольного треугольника лежат вне его; в — средняя линия треугольника 2) три биссектрисы пересекаются в одной точке (центр вписанной окружности, см. п. 9.3.1°); 3) три высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке («ортоцентр»); 4) три серединных перпендикуляра пересекаются в одной точке (центр описанной окружности, см. п. 9.2.5°; центр масс однородного треугольного каркаса, см. п. Ф2.4.2°). Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух его сторон, — параллельна третьей стороне и вдвое ее короче (рис. 9.8, в). 3°. Два треугольника называются равными, если их можно совместить перемещением (п. 8.4.1°). Например, ААВС на рис. 9.9 можно совместить с АА\В\С\, параллельным переносом, с ААВ2С2 — поворотом, с ААВСз — преобразованием симметрии (отражением) относительно оси АВ. Признаки равенства треугольников. Два треугольника равны, если: 1) две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника (признак «по двум сторонам и углу между ними»);
156 Планиметрия и стереометрия 2) сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника (признак «по стороне и прилежащим к ней углам»); Рис. 9.9. 3) ТРИ стороны одного треуголь- Равные треугольники ника равны соответственно трем сто- можно совместить ронам другого треугольника (признак перемещением «п0 трем сторонам»). В прямоугольном треугольнике сторона, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой, две другие стороны — катетами. Прямоугольные треугольники равны по двум элементам (кроме прямого угла): 1) по двум катетам; 2) по катету и гипотенузе; 3) по гипотенузе и острому углу; 4) по катету и прилежащему острому углу; 5) по катету и противолежащему острому углу. Треугольник, две стороны которого равны, называется равнобедренным (ЛС = ЯС на рис. 9.10, а). Третья сторона — основание, равные стороны — боковые стороны. Равнобедренный треугольник ABC симметричен относительно оси, проходящей через высоту С Η к основанию. Отрезок СН — высота, медиана и биссектриса; он делит ААВС на два равных прямоугольных треугольника. У равностороннего (или правильного) треугольника все стороны равны, все углы равны 60° (рис. 9.10, б). Равносторон- Рис. 9.10. Равнобедренный (а) и равносторонний (б) треугольники
Треугольники. Многоугольники 157 ний треугольник имеет ось симметрии 3-го порядка (п. 8.4.3°), перпендикулярную плоскости треугольника и проходящую через его центр (в центре совпадают все четыре замечательные точки). 4°. Два треугольника называются подобными, если преобразованием подобия (п. 8.4.4°) они переводятся друг в друга. Можно сказать, что подобные треугольники имеют одинаковую форму, но различные размеры. У подобных треугольников соответствующие стороны пропорциональны, а соответствующие углы равны (рис. 9.11): ΖΒ = ΖΒι, \ΑλΒλ\ = l^dl = l^Cil \ΑΒ\ \BC\ \AC\ Отношение сторон η = |j4iBi|/|AB| называется коэффициентом подобия. Коэффициент подобия характеризует растяжение плоскости, при котором ААВС превращается в /\A\B\C\. В подобных треугольниках отношение всех соответствующих линейных элементов (медиан, биссектрис, высот) равно 7, отношение площадей равно η2. Признаки подобия треугольников: два треугольника подобны, если: 1) два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника; 2) две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны; 3) три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника. В At Рис. 9.11. Подобные треугольники
158 Планиметрия и стереометрия 5°. Любой элемент треугольника можно найти по нескольким заданным элементам. Обозначим S — площадь; а, 6, с — стороны; а, β, η — углы; ρ — (а + 6 + с)/2 — полупериметр; R — радиус описанной окружности; г — радиус вписанной окружности; hc — высота, тпс — медиана, 1С — биссектриса, проведенные из вершины С. В Рис. 9.12. К решению треугольника: а — прямоугольного; б — произвольного 1) Прямоугольный треугольник (рис. 9.12, α, η = 90°): с2 = а2 + Ь2 (теорема Пифагора), а + β = 90°, а = с sin a = b tg α, sin a = cos /3, tg а = ctg /3, с 1 и ab b = -ab, r = , 2 ' a+b+c ab hc = —, R = m{ с 1 _ bcy/2 C~2C' lc"b + ^' 2) Произвольный треугольник (рис. 9.12, б): а + /? + 7 = 180°, с2 = а2 + 6 — 2a6cos7 (теорема косинусов), a b с sin a sin β sin 7 2R (теорема синусов), S =-aha, S=-a6sin7, S = rp, Δ Δ S = y/p(p — a)(p — b)(p — с) (формула Герона), ha = b sin 7 = с sin β, ma= - \Jb2 + c2 + 26c cos a, 26c a 25 Za = cos —, r = , 6 + c 2' a + 6 + c' a /3 7 . _ . a . β . 7 r = Ptg - tg - tg - = 4Rsin - sin - sin -.
Треугольники. Многоугольники 159 6°. Пусть на плоскости имеется конечная последовательность отрезков; у каждого отрезка один из концов назовем началом отрезка. Если начало второго отрезка совпадает с концом первого, начало третьего — с концом второго и т. д., то совокупность (объединение) этих отрезков называется ломаной (при этом предполагается, что никакие два соседних отрезка не лежат на одной прямой). Отрезки, составляющие ломаную, — звенья, концы отрезков — вершины ломаной (ломаная А1Л2... Лв на рис. 9.13, а). Ломаная называется простой, если она не имеет самопересечений; замкнутой, если конец последнего отрезка совпадает с началом первого отрезка (рис. 9.13, б). а) б) в) Рис. 9.13. Ломаная (а), многоугольник (б) и выпуклый многоугольник (в) Многоугольник — простая замкнутая ломаная. Звенья ломаной — стороны, вершины ломаной — вершины многоугольника. Многоугольник с η сторонами называется п-угольником. Иногда многоугольником называют часть плоскости, ограниченную простой замкнутой ломаной. Периметр многоугольника — сумма длин его сторон. Многоугольник называется выпуклым (рис. 9.13, в), если он лежит по одну сторону относительно прямой, содержащей любую его сторону. Углы {внутренние) многоугольника — это внутренние углы, образованные соседними сторонами. Число углов многоугольника равно числу сторон и числу вершин. Среди углов невыпуклого многоугольника имеется хотя бы один угол, больший 180°. Сумма углов η-угольника равна (п — 2) · 180°, или (η - 2)π.
160 Планиметрия и стереометрия Многоугольник, описанный около окружности (окружность касается всех сторон многоугольника), — выпуклый; его площадь S = рг, где г — радиус окружности, ρ — полупериметр (полусумма всех сторон). 7°. Многоугольник называется правильным, если у него все стороны равны и все углы равны. Любой правильный многоугольник — выпуклый. Примеры правильных многоугольников: правильный (или равносторонний) треугольник, квадрат, правильные пятиугольник, шестиугольник и т. д. Плоскость можно «замостить» правильными треугольниками, либо квадратами, либо шестиугольниками. В любой правильный многоугольник можно вписать окружность и около него можно описать окружность. Справедливы формулы а а XL = Г = 2 sin(7r/n)' 2 tg(7r/n)' где а — сторона, η — число сторон многоугольника, R — радиус описанной окружности, г — радиус вписанной окружности {апофема правильного многоугольника). Площадь правильного многоугольника: η 1 1 о π S = -паг = -па ctg —. 2 2 η 8°. Параллелограмм — четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны (рис. 9.14, а). Кроме общих свойств выпуклых многоугольников, параллелограмм имеет следующие свойства: 1) противоположные стороны равны; 2) противоположные углы равны; 3) диагонали делятся пополам точкой пересечения; 4) точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма; 5) длины сторон и диагоналей связаны формулой d\ + d\ = 2{a2 + b2).
Треугольники. Многоугольники 161 Рис. 9.14. Параллелограмм (а), ромб (5), прямоугольник (в), квадрат (г) и трапеция (д) Площадь параллелограмма (п. 8.2.2°): S = aha = Ыгь, S = absina = a6sin/3, S = \a χ b|. Признаки параллелограмма: четырехугольник является параллелограммом, если: 1) его противоположные стороны попарно равны; 2) его противоположные углы попарно равны; 3) две его противоположные стороны равны и параллельны; 4) его диагонали, пересекаясь, делятся пополам. 9°. Ромб — параллелограмм, все стороны которого равны (рис. 9.14, б). Кроме общих свойств параллелограмма, ромб имеет следующие свойства: 1) диагонали ромба перпендикулярны; 2) ромб симметричен относительно диагоналей; 3) диагонали ромба являются биссектрисами его углов; 4) площадь ромба выражается через диагонали: S = ^d\d2- ц-2172
162 Планиметрия и стереометрия 10°. Прямоугольник — параллелограмм, все углы которого прямые (рис. 9.14, в). Кроме общих свойств параллелограмма, прямоугольник имеет следующие свойства: 1) диагонали прямоугольника равны; 2) прямоугольник имеет две оси симметрии (рис. 9.14, в, штриховые линии); 3) S = аЬ; 4) d = у/а2 + b2. 11°. Квадрат — прямоугольник, все стороны которого равны (рис. 9.14, г). Имеет все свойства прямоугольника и ромба; S = a2, d = ау/2. 12°. Трапеция — четырехугольник, две стороны которого параллельны, а две другие не параллельны (рис. 9.14, д). Параллельные стороны называются основаниями, две другие стороны — боковыми сторонами. Средняя линия трапеции: отрезок МЛГ, соединяющий середины боковых сторон. Средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме. Площадь трапеции: где а и 6 — основания, h — высота (рис. 9.14, д). Трапеция называется равнобедренной или равнобочной, если ее боковые стороны равны. Равнобочная трапеция имеет ось симметрии — серединный перпендикуляр к основаниям. 9.3. Окружность, эллипс, гипербола, парабола. Кривизна кривой 1°. Окружность — множество точек на плоскости, расположенных на одинаковом расстоянии от заданной на плоскости точки (центра). Радиус окружности — отрезок, соединяющий какую-либо точку окружности с центром. Часть плоскости,
Окружность, эллипс, гипербола, парабола. Кривизна кривой 163 ограниченную окружностью, называют кругом (рис. 9.15, а). Уравнение окружности, имеющей центр Aq (хо,Уо) и радиус г: {х - х0)2 + {у- уо)2 = г2. Здесь χ и у — прямоугольные координаты (п. 8.3.2°) переменной точки на окружности. Прямая линия имеет с окружностью либо две общие точки, либо одну общую точку (точку касания), либо ни одной общей точки (рис. 9.15, б). Прямая, имеющая с окружностью одну общую точку, называется касательной. Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания (рис. 9.15, в). о. а) б) в) Рис. 9.15. Круг (а), пересечение прямой линии и окружности (б) и касательная к окружности (в) Хорда — отрезок, соединяющий две точки на окружности. Хорда, проходящая через центр, называется диаметром. Диаметр — самая длинная хорда; диаметр состоит из двух радиусов. Дуга — часть окружности, обозначается w AmB (рис. 9.16, а). Центральный угол образован двумя радиусами (угол а на рис. 9.16, а). Вписанный угол образован двумя хордами, общая точка которых — вершина угла — лежит на окружности (угол β на рис. 9.16, а). Центральный угол а и вписанный угол β опираются на дугу АтВ. и*
164 Планиметрия и стереометрия а) б) в) Рис. 9.16. а — центральный угол вдвое больше вписанного; б — вписанные углы равны; β — секущая и касательная, две пересекающиеся хорды Теорема: вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, что и центральный угол, равен половине центрального угла: /? = а/2. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны (рис. 9.16, б). Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, прямой. Следствие: вписанный в окружность треугольник, одна из сторон которого — диаметр, является прямоугольным. Свойство хорд, пересекающихся внутри окружности (рис. 9.16, в): произведения отрезков хорд равны, т. е. \DB\ · \ВЕ\ = \АВ\ · \ВС\ = г2- \ОВ\2. Свойство касательной и секущей (рис. 9.16, в): \PQ\ · |РЯ| = |РГ|2. Две касательные к окружности, проведенные из одной точки (вне окружности), симметричны относительно прямой, проходящей через центр и данную точку (рис. 9.17, а). Длина окружности и площадь круга: / = 2пг — nd, S — πτ·2, где π « 3,1415926536 « 3,14, г - радиус, d — диаметр. Дуга измеряется центральным углом, который на нее опирается: 1а = от, где 1а — длина дуги, а — центральный угол (в радианах).
Окружность, эллипс, гипербола, парабола. Кривизна кривой 165 а) б) Рис. 9.17. а — две касательные к окружности; б — сектор и сегмент Сектор — часть круга, ограниченная центральным углом и дугой, на которую он опирается (рис. 9.17, б). Площадь сектора (а в радианах): Sa = \аг2. Сегмент — часть круга, ограниченная дугой и стягивающей ее хордой (рис. 9.17, б). Площадь сегмента (β в радианах): ^Γ=^2(/3-8ίη/3). 2°. Эллипс — множество точек на плоскости, сумма расстояний которых до двух заданных точек (фокусов) постоянна (рис. 9.18, а): |FiM| + \F2M\ = 2а. а) б) Рис. 9.18. Эллипс (а), гипербола (б) и парабола (в)
166 Планиметрия и стереометрия Χ ξ а) б) в) Рис. 9.19. Оптические свойства эллиптического (а), гиперболического (б) и параболического (в) зеркал Если ось χ провести через фокусы, а начало прямоугольной системы координат поместить в середине отрезка F1F2 (рис. 9.18, а), то уравнение эллипса имеет вид α2 + б2 ~ ' где χ и у — координаты переменной точки эллипса, а — большая, b — малая полуось, b = у/а2 — с2, 2а— \F\Fi\ — расстояние между фокусами, с < а. Эллипс имеет две оси симметрии и центр симметрии. Параметрические уравнения эллипса: χ — α cosy?, у = bump, где φ — угол полярной системы координат (п. 8.3.2°), полюс в центре эллипса, φ — ZMOF2 (рис. 9.18, а, см. п. Ф2.1.1°). Планеты движутся (приближенно) по эллипсам, в одном из фокусов которого находится Солнце (п. Ф2.5.1°). Оптическое свойство эллиптического зеркала: лучи света, исходящие из одного фокуса, после отражения от зеркала собираются в другом фокусе (рис. 9.19, а). Площадь эллипса: S — nab.
Окружность, эллипс, гипербола, парабола. Кривизна кривой 167 3°. Гипербола — множество точек на плоскости, разность расстояний которых до двух заданных точек (фокусов) постоянна (рис. 9.18, б): \FiM\ - \F2M\ = ±2α (α > 0). Гипербола состоит из двух бесконечных симметричных ветвей. Если ось χ провести через фокусы, а начало прямоугольной системы координат поместить в середине отрезка F1F2, то уравнение гиперболы имеет вид ^ _ У1 = ι а2 б2 ' где а — действительная, b — мнимая полуось, b = у/с2 — а2, 2с = \F\F2\ — расстояние между фокусами, с > а. b Гипербола имеет две асимптоты — прямые у — ±-х, а к которым неограниченно приближаются точки гиперболы при \х\ —> оо. Если а — 6, гипербола называется равнобочной, при этом угол между асимптотами прямой. График обратно к пропорциональной зависимости у = — (п. 2.7.2°) — равнобоч- х ная гипербола, асимптоты которой совпадают с осями χ и у. По гиперболам (приближенно) движутся многие небесные тела, например непериодические кометы (п. Ф2.5.1°). Оптическое свойство гиперболического зеркала: лучи света, исходящие из одного фокуса, после отражения от зеркала идут так, как будто они испущены мнимым источником, расположенным в другом фокусе (рис. 9.19, б). 4°. Парабола — множество точек на плоскости, равноудаленных от заданной точки F (фокуса) и от заданной прямой d (директрисы), см. рис. 9.18, е. Если ось χ провести через фокус перпендикулярно директрисе, а начало прямоугольной системы координат поместить на равных расстояниях от директрисы и от фокуса, то уравнение параболы имеет вид у2 = 2рх, где ρ — расстояние от фокуса до директрисы. Ось χ — ось симметрии параболы. Асимптот у параболы нет. Оптическое свой-
168 Планиметрия и стереометрия ство параболического зеркала: лучи света, исходящие из фокуса, после отражения от зеркала идут параллельно оси симметрии (рис. 9.19, в). А 5°. Пусть на плоскости имеется гладкая (без изломов) кривая (рис. 9.20). Возьмем на кривой три близкие точки А\> Д), Л2 и проведем через них окружность (через три точки, не лежащие на одной прямой, всегда можно провести окружность и притом одну). Центр этой окружности — Рис. 9.20. К определению центра и радиуса кривизны плоской кривой точку 0 (рис 9щ можно най. ти как точку пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам Α χ Д) и Ло^2. Будем приближать точки А\ и Ач к точке А§\ предельное положение Оо точки О называется центром кривизны кривой в точке Д), а предельное значение радиуса окружности — радиусом кривизны в точке Ао. Дуга окружности такого радиуса аппроксимирует кривую в окрестности точки Ао. Если кривая задана на плоскости ху уравнением у — /(х), то радиус кривизны в точке (хо>Уо) равен R = 1/К, где К — кривизна кривой: 1ГЫ1 к = (Ж/'Ы]2) 3/2 9.4. Точки, прямые и плоскости в пространстве 1°. Плоскость делит (разбивает) пространство на два полупространства. Две плоскости в пространстве либо параллельны (т. е. не имеют общих точек), либо пересекаются по прямой линии. Прямая линия либо параллельна плоскости (т. е. не имеет с ней общих точек), либо пересекает ее в одной точке, либо вся лежит в плоскости. Признак параллельности прямой и плоскости: если прямая параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в плоскости, то она параллельна этой плоскости.
Точки, прямые и плоскости в пространстве 169 Рис. 9.21. Прямые а, с, d параллельны, а и b пересекаются, b и d скрещиваются 2°. Две прямые в пространстве либо пересекаются (имеют одну общую точку), либо скрещиваются, либо параллельны (рис. 9.21; прямые α и 6 пересекаются, прямые а, с и d параллельны, прямые 6 и d скрещиваются). Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость и притом только одну; то же справедливо и для параллельных прямых. Через две скрещивающиеся прямые невозможно провести плоскость — скрещивающиеся прямые лежат в параллельных плоскостях (рис. 9.21). Признак параллельности прямых: две прямые, каждая из которых параллельна третьей прямой, параллельны между собой. 3°. Всегда можно провести плоскость и притом только одну: 1) через три точки, не лежащие на одной прямой; 2) через прямую и точку, не лежащую на прямой; 3) через две параллельные прямые; 4) через две пересекающиеся прямые. 4°. Угол между двумя скрещивающимися прямыми равен, по определению, углу между двумя параллельными им пересекающимися прямыми (угол а на рис. 9.21). Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной (ортогональной или нормальной) этой плоскости, если она перпендикулярна всем прямым в этой плоскости (рис. 9.22, а). Если прямая перпендикулярна двум непараллельным прямым в плоскости, то эта прямая перпендикулярна плоскости. Пусть прямая пересекает плоскость в точке А и перпендикулярна плоскости; отрезок АВ этой прямой (рис. 9.22, б) называется перпендикуляром, проведенным (или опущенным) к этой плоскости из точки В. Длина перпендикуляра АВ называется расстоянием от точки В до плоскости.
170 Планиметрия и стереометрия Φ 0 а) б) Рис. 9.22. а — перпендикуляр к плоскости; б — перпендикуляр, наклонные и проекция наклонной Из произвольной точки вне плоскости можно опустить на плоскость один перпендикуляр и множество наклонных (рис. 9.22, б). Если АВ — перпендикуляр, ВС — наклонная, то АС — проекция наклонной на плоскость, точка С — основание наклонной, точка А — основание перпендикуляра. Угол между прямой и плоскостью определяется как угол между этой прямой и ее проекцией на плоскость. Теорема о трех перпендикулярах: прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, если она перпендикулярна проекции этой наклонной (рис. 9.22, б). Верно и обратное утверждение. 5°. Угол между двумя пересекающимися плоскостями — это угол между прямыми, по которым эти плоскости пересекаются с третьей плоскостью, перпендикулярной линии пересечения данных плоскостей (рис. 9.23, а). Для нахождения этого угла удобно взять произвольную точку на линии / пересечения данных плоскостей и провести из этой точки перпендикуляры к / в данных плоскостях (рис. 9.23, б). Плоскость, проведенная через прямую, перпендикулярную другой плоскости, перпендикулярна этой плоскости. Двугранный угол — совокупность двух полу плоскостей, имеющих общую границу (ребро двугранного угла, см. рис. 9.23, б). Двугранные углы измеряются соответствующими углами между плоскостями. Многогранный угол образован несколькими плоскими углами, имеющими общую вершину (рис. 9.23, в, трехгранный угол В).
Точки, прямые и плоскости в пространстве 171 6°. б) Рис. 9.23. угол между двумя плоскостями; б — двугранный угол; в — трехгранный угол Проекцией на плоскость а' плоской фигуры F, лежащей в плоскости а, называется множество оснований перпендикуляров, опущенных из каждой точки фигуры F на плоскость а' (рис. 9.24, F' — проекция F). Проекция отрезка АВ — отрезок А'В' (рис. 9.24). Площадь S многоугольника на плоскости а и площадь 5" его проекции на плоскость а' связаны формулой Рис. 9.24. Проекция на плоскость α' фигур, лежащих в плоскости α S cos φ, где φ — угол между плоскостями а и а . Эта формула справедлива для произвольной фигуры. 7°. Уравнение плоскости в пространстве: Ах + By + С ζ + D = О, где х, у, ζ — прямоугольные координаты (п. 8.8.3°) переменной точки плоскости, А, В, С — постоянные числа. Тройка чисел (Л, В, С) — координаты вектора N (А, В, С) — «нормали» к плоскости, этот вектор перпендикулярен плоскости.
172 Планиметрия и стереометрия 9.5. Многогранники 1°. Многогранная поверхность — поверхность, образованная из плоских многоугольников (граней поверхности) так, что каждая сторона любого из этих многоугольников (ребро поверхности) является стороной еще одного многоугольника (смежного с первым), а от каждой грани можно перейти к любой другой, переходя последовательно по смежным граням. Вершины многоугольников называются вершинами многогранной поверхности. В каждой вершине сходится не менее трех ребер. Многогранник — тело, ограниченное многогранной поверхностью. Выпуклый многогранник лежит по одну сторону от плоскости, содержащей любую его грань. Теорема Эйлера: в выпуклом многограннике сумма числа граней G и числа вершин V на два больше числа ребер R: G + V = R + 2. 2°. Призма — многогранник, две грани которого (основания) — равные η-угольники, лежащие в параллельных плоскостях, а остальные η граней — параллелограммы (боковые грани на рис. 9.25, а). Стороны боковых граней, не лежащие на основаниях, называются боковыми ребрами. Призму можно представить себе как результат параллельного переноса основания вдоль некоторого отрезка (ребра). а) б) в) Рис. 9.25. Призма (а), параллелепипед (б) и прямоугольный параллелепипед (в)
Многогранники 173 Высотой призмы называется расстояние между ее основа^ ниями. Объем призмы: V = 5ос„. · #, где So™. — площадь основания, Η — высота призмы. Боковые ребра прямой призмы перпендикулярны основаниям. У прямой призмы боковые грани — прямоугольники. Площадь боковой поверхности прямой призмы: 5бок. = Ρ Ή> где Ρ — периметр основания (сумма длин сторон основания). Призма правильная, если она прямая и ее основания — правильные многоугольники. Боковые грани правильной призмы — равные прямоугольники. 3°. Параллелепипед — призма, у которой основания — параллелограммы (рис. 9.25, б). Противоположные грани — равные параллелограммы. Все четыре (внутренние) диагонали пересекаются в одной точке (в центре симметрии) и делятся в ней пополам. Все грани прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники, все его ребра перпендикулярны соответствующим граням (рис. 9.25, в), все четыре (внутренние) диагонали равны. Теорема Пифагора для прямоугольного параллелепипеда: d2 = a2 + b2 + c2. Объем и площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда: V = α · 6 · с, 5„олн. = 2(а6 + ас + be). Куб — прямоугольный параллелепипед, все двенадцать ребер которого равны. Все шесть граней куба — равные квадраты. Диагональ куба d = α\/3· Объем и площадь поверхности куба: V = a\ 5полн. = 6а2.
174 Планиметрия и стереометрия 4 А а) б) в) Рис. 9.26. Пирамида (а), правильная пирамида (б) и усеченная пирамида (в) 4°. Пирамидой называется многогранник, одна из граней которого (основание) — многоугольник, остальные грани (боковые грани) — треугольники, имеющие одну общую вершину (вершину пирамиды, см. рис. 9.26, а). Высота пирамиды — расстояние от вершины до плоскости основания. Объем пирамиды: где 5осн. — площадь основания, Η — высота. Пирамида называется п-уг<}льнои, если основание ее — η-угольник. Пирамида правильная, если ее основание — правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания (рис. 9.26, б). Боковые грани правильной пирамиды — равные равнобедренные треугольники. Правильная п-уголь- ная пирамида имеет ось симметрии порядка η (п. 8.4.3°). Площадь боковой поверхности правильной пирамиды: где Ρ — периметр основания, h — высота боковой грани (апофема правильной пирамиды). 5°. Усеченная пирамида получается из пирамиды отсечением от нее верхней части плоскостью, параллельной основанию (фигура АВСА'В'С на рис. 9.26, в). Основания усеченной
Многогранники 175 Таблица 9.1 Правильные многогранники Название Тетраэдр Куб Октаэдр Додекаэдр Икосаэдр Число граней и форма 4 треугольника 6 квадратов 8 треугольников 12 пятиугольников 20 треугольников Число ребер 6 12 12 30 30 Число вершин 4 8 6 20 12 пирамиды — подобные многоугольники, боковые грани — трапеции. Высота усеченной пирамиды — расстояния между основаниями. Объем усеченной пирамиды: y=^(5+v/5^57 + 5,) = ^5(l + 7 + 72), где 7 = I-A'-B'I/IABI — коэффициент подобия оснований, S и S' — площади оснований ABC и А1 В1 С, Η — высота. Основания правильной η-угольной усеченной пирамиды — правильные η-угольники. Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды: S6oK. = \{P + P')-h, где Ρ и Р' — периметры оснований, h — высота боковой грани (апофема правильной усеченной пирамиды). 6°. Правильный многогранник — выпуклый многогранник, все грани которого — равные правильные многоугольники и все многогранные углы которого равны. Существует всего пять правильных многогранников (рис. 9.27, табл. 9.1). Рис. 9.27. Правильные многогранники
176 Планиметрия и стереометрия 9.6. Тела вращения 1°. Поверхность вращения — поверхность в пространстве, образованная плоской кривой при вращении плоскости, содержащей эту кривую, вокруг некоторой оси, лежащей в этой плоскости. 2°. Цилиндр (прямой круговой) — тело, ограниченное поверхностью вращения прямоугольника вокруг прямой, проходящей через середины противоположных сторон (рис. 9.28, а). Поверхность цилиндра состоит из двух кругов — оснований и боковой поверхности. Плоскости оснований параллельны, расстояние между ними — высота цилиндра. Ось цилиндра — прямая, проходящая через центры оснований, это ось симметрии бесконечного порядка (п. 8.4.3°). Боковая поверхность состоит из образующих — равных отрезков, параллельных оси. Боковую поверхность можно развернуть на плоскость — получится прямоугольник. Объем, площади боковой и полной поверхностей цилиндра: V = 7гЛ2#, 5боК. = 2тгД#, 5полн. = 2тгД# + 2тгД2, где R — радиус оснований, Η — высота цилиндра. а) б) в) Рис. 9.28. Цилиндр (а), конус (б) и плоские сечения конической поверхности (в): эллипс, парабола, гипербола 3°. Конус (прямой круговой) — тело, ограниченное поверхностью вращения равнобедренного треугольника вокруг его оси симметрии (рис. 9.28, б). Поверхность конуса состоит
Тела вращения 177 из круга — основания и боковой поверхности. Вершину конуса можно соединить с любой точкой окружности основания образующей — отрезком, лежащим на боковой поверхности. Высота конуса — расстояние от вершины до основания. Сечение боковой поверхности плоскостью, параллельной основанию, — окружность; сечение наклонной плоскостью — эллипс, часть параболы (п. 9.3.4°) или часть одной ветви гиперболы (п. 9.3.3°) — это зависит от наклона плоскости (рис. 9.28, а). Объем, площади боковой и полной поверхностей конуса: V=^SOCHH = -nr2H, S*OKa = ^PL = *rL> SnojlH, = nr(r + L), где г — радиус, 5осн. — площадь, Ρ — длина окружности основания, L — длина образующей, Η — высота конуса (рис. 9.28, б). Усеченный конус — часть конуса, заключенная между его основанием и сечением, параллельным основанию (рис. 9.29, а). Усеченный конус — результат вращения равнобедренной трапеции вокруг ее оси симметрии. Основания трапеции при вращении пробегают круги — основания усеченного конуса. Высота усеченного конуса — расстояние между основаниями. а) б) Рис. 9.29. Рис. 9.30. Усеченный конус (а) и его развертка {б) Шар Объем и площадь боковой поверхности усеченного конуса: V = -nh (r\ + rl + ΓιΓ2) , ^бок. = 7Г(Г1 + Γ2)ί, где h — высота усеченного конуса, г\ и г2 — радиусы оснований, / — длина образующей усеченного конуса. 12-2172
178 Планиметрия и стереометрия Развертка боковой поверхности конуса — сектор, радиус которого равен образующей конуса; развертка боковой поверхности усеченного конуса — соответствующая часть кругового кольца (рис. 9.29, б). Если а — угол при вершине в осевом сечении конуса, β — центральный угол на развертке (угол раствора сектора), то /? = 2πώι(α/2). 4°. Сфера — множество точек в пространстве, равноудаленных от фиксированной точки (центра сферы). Шар — тело, ограниченное сферой (рис. 9.30), — есть результат вращения круга около его диаметра. Радиус сферы — расстояние от центра до любой точки сферы, диаметр — длина отрезка, соединяющего две точки на сфере и проходящего через центр. Диаметр равен двум радиусам. Иногда радиусом и диаметром называют сами отрезки. Плоскость в пространстве либо не имеет общих точек со сферой, либо имеет одну общую точку (точку касания), либо пересекается по окружности. Плоские сечения шара представляют собой круги, наибольший из которых проходит через центр шара (большой круг). Экватор на глобусе — окружность большого круга, меридианы — полуокружности больших кругов (рис. 9.30). Через две точки, не лежащие на концах одного диаметра, можно провести одну и только одну окружность большого круга. Касательная к сфере плоскость перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. В прямоугольной системе координат (п. 8.3.3°) уравнение сферы имеет вид (х - х0)2 + (у- уо)2 + (ζ- ζ0)2 = Л2. Здесь х, у, ζ — координаты переменной точки на сфере; хо, Уо> ^о — координаты центра; R — радиус сферы. Объем шара и площадь сферы: V = ^тгЛ3, S = 4nR2. о
Тела вращения 179 Рис. 9.31. Рис. 9.32. Шаровой сегмент Шаровой сектор γ Рис. 9.33. Шаровой слой 5°. Шаровой сегмент — часть шара, отсеченная от него плоскостью (рис. 9.31). Сегментная поверхность — часть сферы, отсекаемая плоскостью. Объем шарового сегмента и площадь сегментной поверхности (h — высота шарового сегмента): V = \nh2(3R -h), S = 2nRh. о 6°. Шаровой сектор (телесный угол) — тело вращения плоского кругового сектора (п. 9.3.1°) вокруг его оси симметрии (рис. 9.32). Шаровой сектор можно составить из конуса и шарового сегмента. Полная поверхность шарового сектора состоит из сегментной поверхности и боковой поверхности конуса. Объем и площадь полной поверхности шарового сектора: о V = -TtR2h, 5пол„. = 2тгЯ/г + *R\/2Rh - /ι2, О где R — радиус шара, h — высота шарового сегмента. © 12*
180 Планиметрия и стереометрия 7°. Шаровой слой — часть шара, вырезаемая из него двумя параллельными плоскостями (рис. 9.33). Объем и площадь полной поверхности шарового слоя: V = lnh3 + ±nh(r2l+r22), Snojl„. = 2nRh + тг(г? + г§), где h — высота, г ι и г 2 — радиусы оснований шарового слоя. Рис. 9.34. Тор 8°. Тор — тело вращения круга вокруг оси, расположенной в плоскости круга вне его (рис. 9.34). Автомобильная камера, бублик имеют (приближенно) форму тора» Объем и площадь поверхности тора: V = 2n2r2R, 5 = 4тг2гД, где г — радиус круга, R — расстояние от центра круга до оси вращения. 9.7. Кривизна поверхности 1°. Рассмотрим поверхность S в пространстве (рис. 9.35, а). Пусть Ло, А\, Аъ — три некоторые близкие точки поверхности, не лежащие на одной прямой; через эти точки проведем секущую плоскость. Если одновременно устремить точки А\ и Л2 к точке Ло, то секущая плоскость в пределе превратится в плоскость, касательную к поверхности в точке Ао — точке касания (рис. 9.35, б). При этом предполагается, что точки А\ и Л 2 приближаются к точке Л о по кривым, имеющим различные касательные в точке Aq.
Кривизна поверхности 181 а — к определению касательной плоскости; б — касательная плоскость и нормаль к поверхности; β — нормальное сечение поверхности Выпуклая поверхность имеет с любой касательной плоскостью одну общую точку; такая поверхность лежит по одну сторону от любой касательной плоскости (это аналог выпуклой кривой, см. п. 5.4.4°). Примеры выпуклых поверхностей: сфера, эллипсоид вращения (результат вращения эллипса вокруг одной из его осей симметрии). 2°. Пусть л4о — точка касания плоскости а и выпуклой поверхности S. Нормалью к поверхности в точке Aq называется перпендикуляр к касательной плоскости, проведенной через точку Aq (рис. 9.35, б). Сечения поверхности плоскостями, проходящими через нормаль, называются нормальными (рис. 9.35, в, нормальное сечение Г — пересечение поверхности S и плоскости 7)· Радиус кривизны R (п. 9.3.5°) нормального сечения зависит, вообще говоря, от положения плоскости η\ поворачивая эту плоскость вокруг нормали п, мы будем получать различные значения R (в случае сферы все радиусы кривизны одинаковы и равны радиусу сферы). Наименьшее значение R обозначим i?i, наибольшее значение — i?2· Можно доказать, что соответствующие R\ и i?2 нормальные сечения лежат во взаимно перпендикулярных плоскостях. Средней кривизной поверхности S в точке Aq называется величина
182 Планиметрия и стереометрия Величина ρ — \/Н называется радиусом кривизны поверхности. Для сферы радиуса R во всех точках Η — 1/р, ρ — R. Для точек поверхности тора (п. 9.6.8°), наиболее удаленных от центра симметрии (рис. 9.34), я=КдЬ+;)· '- 2г R + r R + 2r' (9.2) Для цилиндрической поверхности наименьший радиус кривизны совпадает с радиусом цилиндра i?, i?2 = оо; поэтому # = 1/2Д, p = 2R. 3°. Примером невыпуклой поверхности служит седло (рис. 9.36). Невыпуклая поверхность в окрестности точки касания лежит по разные стороны от касательной плоскости (поверхность пересекается с касательной плоскостью по некоторым линиям). В случае невыпуклой поверхности формула (9.1) сохраняется; при этом одну из величин R\ или i?2 следует считать отрицательной; формулу (9.1) можно также записать в виде Седло Рис. 9.36. - пример невыпуклой поверхности я 2V№i т)' (9.3) Средняя кривизна может оказаться равной нулю, например, в точках поверхности тора, ближайших к центру симметрии (рис. 9.34): я=К^"дЬ)' и если R = 2г, то Η = 0. Понятие кривизны поверхностей используется в физике (п. Ф3.5.2°, Ф4.1.4°).
183 10. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ В связи с быстрым развитием вычислительной техники особо возрастает роль вычислительной математики — раздела математики, занимающегося разработкой методов приближенного решения задач. В данной главе кратко излагаются некоторые простейшие методы аппроксимации функций, приближенного интегрирования, приближенного решения обычных и дифференциальных уравнений. 10.1. Округления и погрешности 1°. Решение любой физической или технической задачи сопровождается вычислениями. В простейших случаях требуется выполнить несколько операций; например, для нахождения массы газа в цилиндрическом сосуде (п. Ф3.1.3°) по формуле т — pV = ρ · πΒ?Η (где ρ — плотность газа, R — радиус основания цилиндра, Η — высота) нужно произвести четыре умножения: ρ-π-R-R-H. Такие несложные вычисления выполняются «вручную» (на листе бумаги) или с помощью микрокалькулятора. Правила округления, применяемые в подобных случаях, см. в п. 1.3.1°. 2°. Решение более сложных задач может потребовать выполнения не единиц или десятков, а сотен тысяч или миллионов операций. Например, при расчете движения межпланетных станций приходится решать большие системы дифференциальных уравнений, для чего необходимы мощные автоматизированные вычислительные машины (компьютеры). Традиционную схему решения физической задачи с помощью компьютера можно представить себе следующим образом. Вначале создают математическую модель физической задачи, т. е. формулируют математическую задачу, соответствующую физической задаче; далее подбирают подходящий приближенный (или численный) метод решения математической задачи, позволяющий записать соответствующий алгоритм, т. е. последовательность формул и правил для получе-
184 Приближенные вычисления ния ответа; затем алгоритм записывают в виде программы для компьютера. В таком виде задача вводится в машину; ответ получается в виде чисел, таблиц чисел, графиков, рисунков на экране компьютера или управляющих сигналов для каких- либо установок. Пусть, например, некоторый процесс можно описать дифференциальным уравнением x'(t) — f(t,x(t)) с начальным условием x(to) = А (п. 5.5.3°), где t — время, x(t) — неизвестная функция, число А и функция f(t,x) известны — из теории или эксперимента. Так как не существует формул для решений дифференциальных уравнений с произвольной правой частью, приходится привлекать приближенные методы, например метод Эйлера (п. 10.5.1°): Xk+i =Xk + hf(tk,xk), где хо = A, tk = kh, к — 0,1,..., η; шаг h выбирается по возможности малым. Таким образом, алгоритм приближенного решения задачи состоит в последовательном вычислении x(t) в моменты времени ίχ, *2, · · ·, *η· Соответствующая программа на каком-либо алгоритмическом языке (Бейсик, Фортран, Паскаль, Си и т. п.) составляется легко; результаты расчета удовлетворительны при достаточно малых h. Более высокую точность дает метод Рунге — Кутта (п. 10.5.2°). 3°. С вычислениями связаны три типа погрешностей: погрешности исходных данных (приближенность результатов измерений); погрешности метода (формулы численных методов даже при идеально точном счете дают обычно лишь приближенные ответы); погрешности округлений. Современные компьютеры обладают быстродействием в десятки и сотни миллионов операций в секунду и высокой точностью (10-20 и более десятичных разрядов). Следует, однако, помнить, что практически все арифметические операции, которые производит вычислительная машина, выполняются с округлениями, при этом каждое округление несколько искажает результат. Суммарная погрешность, как правило, ма-
Округления и погрешности 185 ла, но при некоторых неблагоприятных условиях может очень сильно исказить ответ. Для иллюстрации сказанного приведем два примера такого рода вычислений на 4-разрядной машине. Примеры 1) С = (А + В - А) · 103, где А = 5 · 104, В = 1. Для сложения А + В вначале машина выравнивает порядки: 5,000 · 104 + 0,00001 · 104 = (5,000 + 0,00001) · 104, и округляет до четырех разрядов: (5,000 + 0,000) · 104 = 5,000 · 104. В результате получаем С = (5,000 · 104 - 5,000 · 104) · 103 = 0,000 · 103 = 0, в то время как точный ответ был бы С — 1000. 2) Пусть в процессе счета машина в некоторый момент должна выполнить действия: С = (А — В) : 3, причем к этому моменту переменные А и В (после округлений с 4-разрядной точностью) получили значения А — 3,142 · 102, В — 3,131 · 102. Машина выполнит действия: А - В = 0,001 · 102 = 1,100; С = 1,100 : 3 —► 3,667 · 10"1. Надежны ли все четыре цифры ответа? Очевидно, нет, так как значения А и В приближенные, и неизвестны их точные пятая, шестая и т. д. цифры. Правильно было бы записать приближенный результат в виде 3,7 · Ю-1 (п. 1.3.1°); машина же никаких указаний на это не дает! Эти примеры иллюстрируют явление «потери точности» при счете с округлениями. Следует по возможности избегать таких ситуаций. Так, если в первом примере перестроить формулу: С — (А — А + В) · 103, то получится точный результат С = 103. Замечание. В настоящее время широкое распространение получили компьютерные программы и пакеты программ типа Matcad, Matlab, Mathematica и др., ориентированные на научных и инженерно-технических работников в областях, где тре-
186 Приближенные вычисления буются математические вычисления и средства компьютерной обработки данных. Такие программы позволяют быстро и с высокой точностью вычислять решения многих математических задач, включая построение всевозможных графиков функций, приближенное интегрирование, действия с матрицами и дифференциальные уравнения. В основе любой такой программы лежит тот или иной метод приближенного вычисления, поэтому пользователю такого рода программ также полезно ознакомиться с основами соответствующей теории. Описываемые ниже приближенные методы, кроме того, в ряде случаев могут помочь найти модельный подход к сложной задаче (например, приближенное линейное уравнение колебаний математического маятника). В дальнейших параграфах рассматриваются некоторые простейшие приближенные методы. Все вычисления в приведенных примерах выполнены на 10-разрядном микрокалькуляторе; ответы округлены. 10.2. Приближение функций 1°. Приближение [аппроксимацию) функций, или приближенное представление функций, применяют в двух случаях: 1) когда заданная функциональная зависимость слишком сложна, надо приближенно заменить ее более простой; 2) когда функциональная зависимость задана таблицей. Многие приближенные формулы основаны на разложении функции в степенной ряд (п. 5.8.4°) в окрестности заданной точки [ряд Тейлора): /(χ) = /(α) + /'(α)(χ-α) + 1/"(α)(χ-α)2 + 1/"'(χ-α)3 + ... Обрывая ряд на некотором члене, получают приближенные формулы различной степени точности в виде многочлена степени п: /(*) = /(а) + f'(a)(x - а) + ... + -JM(a)(x - а)п, (10.1) п!
Приближение функций 187 пригодные при а — ε^χ^α + ε, где ε > 0 — некоторое число (рис. 10.1; пунктирная линия — многочлен степени η > 1, прямая линия — линейное приближение). Рис. 10.1. Приближение функции отрезком ряда Тейлора: прямая линия — линейное приближение, штриховая — квадратичное α-ε α + ε Модуль разности точного и приближенного значений функции, называемый погрешностью приближенной формулы, оценивается следующим образом: Ы*)1<т^т1*-«Г+1> где (п + 1)!' Mn+1= max |/<"+1)(z)| α—ε^χ^α+ε В этих формулах символ п! означает произведение всех натуральных чисел от 1 до η (§ 6.1), символ /(п)(х) — производная η-го порядка от функции f(x) в точке χ (п. 5.4.2°). Чаще всего используют линейное приближение: f(x) = f(a) + f'(a)(x-a). Погрешность линейного приближения: Ы*)|Л(*-а)2· max |/"(x)|. Δ α—ε^χ^α+ε Геометрический смысл линейного приближения: график функции f(x) вблизи точки а заменяется прямой линией у = /(а) + f'(a)(x — а), касательной к графику функции в точке χ = а (рис. 10.1). Применение линейного приближения к физической задаче о математическом маятнике см. в п. Ф5.3.1°.
188 Приближенные вычисления Примеры 1) /(х) —ех, а — О, η — 1. Здесь е* = 1 + х, \п{х)\ 0,5xV. Если взять ε = 0,1, то погрешность не превосходит 0,5х2е0,1 ^ < 0,6х2. Так как \х\ ^ 0,1, то х2 ^ 0,01; тогда |п(ж)| ^ 0,006. 2) f(x) — 1п(1 + х), а — 0, η — 5. Здесь ι /, ν х2 х3 х4 х5 . , *. ^ . 6, 5! |х|6 1η(1 + χ)«χ-- + --1- + -, |Г5(х)| < |х6| · - = L±-m Если взять ε = 0,5, то |г5(х)| < (0,5)6/6 < 0,03. 3) f(x) = sin x, a — 0, η = 6. Здесь х3 х^ |х| sinx « χ - у + —, |гб(х)| ^ —. Если взять ε = 1, то |гб(х)| < 0,0002. Замечание, χ — угол в радианной мере (п. 9.1.5°), т. е. полученное приближение справедливо при |х| ^ 57°. Некоторые часто встречающиеся приближенные формулы, полученные из формулы (10.1), представлены в табл. 10.1. 2°. Функция у = у(х) может быть задана в виде таблицы: дается несколько значений χχ, Χ2, ..., хп аргумента и соответствующих значений j/χ, j/2, ···, Уп функции. Например, из эксперимента получена зависимость температуры Τ образца от времени ί, представленная в табл. 10.2. Числа χχ, Χ2, ..., хп, называют узлами таблицы, точки {xk,Vk) ~ узловыми точками. Требуется найти значение функции у(х) в некоторой точке х, расположенной на оси χ между узлами либо вне промежутка, содержащего все узлы. В такой постановке задача имеет бесчисленное множество решений — ответом может служить произвольное число. При разумной постановке задачи следует указать некоторый класс (т. е. множество) функций, среди которых разыскивается искомое приближение — тогда ответ будет вполне определенным.
Приближение функций 189 Таблица 10.1 Приближенные формулы Приближенная формула 1 \/1 ±Х « 1 ± ^Х 1 ±х ех « 1 + х ln(l ± х) « ±х sin χ « χ ι ! 2 cosx « 1 — -χ 2 sh χ « χ chx « 1 + -χ2 tgx « χ 1 3 smx «χ χ*3 6 arctgx « χ arcsinx « χ Область применения |х| ^ 0,5 \х\ ^ ОД |х| ^ 0,3 \х\ ^ 0,1 \х\ ^ 0,5 |яг| ^ 0,1 |х| ^ 0,3 \х\ ^ 0,1 \х\ < 1 \х\ < 0,1 |яг| ^ 1 \х\ ^ 0,1 |х| ^1 jxj ^ 0,1 \х\ ^1 jxj ^ 0,1 |х| ^ 0,5 \х\ ^ 0,1 |х| < 1 jxj < 0,1 |х| < 0,5 \х\ < 0,1 |х| ^ 0,5 \х\ ^ 0,1 Погрешность при данном х^0 меньше чем 0,2х2 0,15х2 1,5х2 1,2х2 0,6х2 0,6х2 0,8х2 0,6х2 6|х| 1 4 X 24 1 4 X 24 0,2|х|3 0,2|х|3 0,05х4 0,05х4 0,85|х|3 0,35|х3 -N5 120' ' -N5 120' ' з|х| 0,25|х|3 0,2|х|3 Погрешность на всем промежутке меньше чем 4,3 · ΙΟ"2 1,5-ΙΟ"3 0,13 1,2 · ΙΟ"2 0,15 5,2 · Ю-3 5,7 · ΙΟ"2 5,4 · 10"3 0,16 1,7 · Ю-4 4.1 · 10"2 4.2 · Ю-6 0,18 1,7 · Ю-4 4,4 · Ю-2 4,2 · Ю-6 4,7 · ΙΟ"2 3,4 · ΙΟ"4 8,2 · ΙΟ"3 8,4 · Ю-8 4,2 · 10~2 3,4 · Ю-4 2,4 · ИГ2 1,7-10"4
190 Приближенные вычисления Таблица 10.2 Результат эксперимента t, с Г, °С 0 54,15 10 54,22 20 54,21 30 54,19 40 54,18 50 54,21 60 54,31 70 54,46 Один из часто применяемых при интерполяции классов функций — многочлены заданной степени. Многочлен, график которого проходит через все узловые точки, называется интерполяционным многочленом. При заданной таблице с η узлами интерполяционный многочлен степени (п — 1) всегда существует и притом единственный. а — линейная интерполяция на отрезке; б — линейная ломаная (линейный сплайн) Наиболее распространенной является линейная, реже — квадратичная интерполяция. При линейной интерполяции на отрезке [жьаъ] функцию у(х) приближают линейной функцией, график которой (прямая линия) проходит через две узловые точки: (xi,j/i) и (а?2>У2) (рис. 10.2, а): у(х) = У\ + (х ~ хг)(У2 ~ Уг)/(х2 - х\) или У(х) = У2 - (ж2 - х)(у2 ~ Уг)/(х2 - Χι)- (Ю.2) Для погрешности линейной интерполяции справедлива оценка lri(s)| < ό •{x2-x\f· max |у"(ж)|, имеющая лишь теоретический интерес, так как сама функция у(х) нам неизвестна. Формулу (10.2) используют также для экстраполяции, т. е. при χ < х\ или χ > Х2.
Приближение функций 191 Если таблица содержит более двух точек, то на каждом промежутке между соседними узлами можно применять линейную интерполяцию — в результате график функции у(х) будет приближен линейной ломаной, проходящей через узловые точки (рис. 10.2, б). Линейная интерполяция используется, в частности, при работе с математическими таблицами. Для приближения функций часто используют сплайны, т. е. кусочно-многочленные гладкие функции. Сплайн Sm(x) степени га, соответствующий заданному разбиению промежутка [а, 6] на части: ΔιυΔ2υ...υΔη_ι = [α,6], на каждом частичном промежутке Δ*. совпадает с каким- либо многочленом степени не выше га, а в точках деления промежутка имеет непрерывные производные до по- Рис. 10.3. рядка (га - 1) включитель- Приближение функции но. В частности, линейный квадратичным сплайном сплайн S\{x) — это непрерывная функция, на каждом промежутке Δ*. = [#b#fc+i] представляющая собой линейную функцию (свою на каждом промежутке). График линейного сплайна — линейная ломаная (рис. 10.2, б). Квадратичный сплайн 52(х) — это непрерывная функция, на каждом промежутке между узлами совпадающая с некоторым квадратным трехчленом; в узловых точках график квадратичного сплайна «гладкий», т. е. не имеет изломов, в этих точках график имеет касательную: производная S^ix) непрерывна в местах соединения соседних звеньев сплайна (рис. 10.3). Условием прохождения через узловые точки квадратичный сплайн задается не полностью; для однозначного определения сплайна следует задать дополнительно, например, наклон касательной в одной из узловых точек. Кубический сплайн 5з(х) определяется аналогично квадратичному: на каждом промежутке [χ^,χ^+χ] сплайн Ss(x) равен
192 Приближенные вычисления какому-либо многочлену третьей степени, а в узловых точках сам сплайн Ss(x) и его производные S£(x) и S^f(x) непрерывны. Для однозначного задания кубического интерполяционного сплайна следует задать дополнительно, например, наклон касательных в крайних узловых точках. 3°. Метод наименьших квадратов (МНК) часто применяется для приближения функции, в частности при обработке результатов измерений. Пусть задана таблица (xi,j/i), (#2,ί/2), ..·, (Хп,Уп) некоторой функции у = у(х). В методе наименьших квадратов приближенную функцию ищут в виде многочлена невысокой степени, обычно первой: у(х) « у(х) — = ах + 6, реже — второй, третьей степени. Параметры а и 6 в МНК подбираются таким образом, чтобы квадратичное отклонение η ¥>(α,6) = 2 [у* - (αχ* + б)]2 оказалось минимальным. Это условие дает для α и 6 нормальную систему уравнений Γαία+ /?ι& = 7ι \ а2а + /%& = 72 ' η га, 71 = $^*' к=1 η αϊ, 72 = ^ХкУк' к=1 Нормальная система всегда имеет единственное решение (а, 6), которое можно найти по формулам Крамера или методом исключения (п. 3.6.1°). В результате получаем линейное приближение у(х) = ах + Ь) наиболее близкое (в смысле квадратичного отклонения) к табличной функции. График приближенной функции проходит вблизи узловых точек (рис. 10.4). В случае приближения многочленами более высокой степени нормальная система состоит из большего числа уравнений. О χ Рис. 10.4. Приближение по методу наименьших квадратов где η <*ι = У ]%к> к=1 η a2 = ]^Zfc, βχ β2
Приближенное интегрирование 193 10.3. Приближенное интегрирование Вычислить определенный интеграл f f(x)dx по формуле а Ньютона — Лейбница (п. 5.7.2°) удается лишь в тех случаях, когда известна первообразная функция. Для приближенного интегрирования применяют квадратурные формулы, в частности формулы трапеций, прямоугольников и Симпсона. Общая идея получения таких формул состоит в приближенной замене подынтегральной функции более простой функцией, интеграл от которой легко находится. Vk 0 Vk а-ъъ х2 хъ Ъ=х~х 0 а ξ1 ξ2 ξ8 ξ, b x а) б) Рис. 10.5. К формулам трапеций (а) и прямоугольников {б) 1°. Промежуток интегрирования [а, 6] разбивают на η равных частей при помощи точек хк — а + kh, где к — 0,1,..., п, h — (b — α)/η — шаг интегрирования. Точки xq — α, χ\, ..., хп — Ь называются узлами. На каждом частичном промежутке функция f(x) заменяется линейной функцией, график которой проходит через те же точки (xk,f(xk)), (xk+i>f(xk+i)), чт0 и график f(x). Точное значение интеграла, равное площади криволинейной трапеции (п. 5.7.1°), приближенно заменяется суммой площадей прямолинейных трапеций (рис. 10.5, α, η — 4). Вычисление ведется по формуле трапеций к=1 о I f(x) dx & h (10.3) или, в развернутой записи, 7(а)+/(6) / f(x)dx^h + f(a+h) + f(a+2h) + ... + f(b-h) l3-2.72
194 Приближенные вычисления Погрешность Rn формулы трапеций, т. е. разность между точным значением интеграла I = f f(x)dxn квадратурной су Μα мой (правой частью формулы (10.3)), оценивается следующим образом: |Яп| ^ 12^' где М2= тах|/''(*)|. Видно, что при увеличении η погрешность убывает как 1/п2. Формула трапеций проста и обычно дает хорошую точность уже при η порядка 10-200. Пример тг/2 I = f x sin x dx. о ,π/2 */2 + f cosxdx = 1. о о Точное значение I = — χ cos χ | По формуле трапеций: при η = 4 J « 1,013; при η = 8 J « 1,003. 2°. При тех же точках деления х^ — а + kh) что и в формуле трапеций, на каждом частичном промежутке [χ^-ι,χ*.] берут среднюю точку £*. = а — h/2 + kh) k — 1,2,..., η и приближенно вычисляют интеграл по формуле прямоугольников η , /(x)dz«/iV/(a-- + ib/i), (10.4) /■ a или, в развернутой записи, 6 'l^J\a~ 2 |/(χ)^ = /ι[/(α + ^+/(α + 3^+... + /(6-^|. a Геометрический смысл формулы прямоугольников: площадь криволинейной трапеции приближенно заменяется суммой
Приближенное интегрирование 195 площадей прямоугольников, основания которых — частичные промежутки, а высоты равны /(&) (рис. 10.5, б, η = 4). Погрешность формулы прямоугольников: М2 |Я»|< 24п2' где М2= тах|/"(х)|. Обычно при η порядка 10-200 формула прямоугольников дает хорошую точность. Пример π/2 При η = 4 f xsinxdx "Ш'УФМ^МИ i 0,9935. 3°. Формула Симпсона (или формула парабол) основана на квадратичной интерполяции подынтегральной функции. На каждом частичном промежутке функция f(x) приближенно заменяется квадратичной функцией, график которой (парабола) проходит через три точки: а=Хо ξ1 ξ2 Ь=ь х Рис. 10.6. К формуле Симпсона где £*. = а — h/2 + kh— середина частичного промежутка. В результате площадь всей криволинейной трапеции приближенно заменяется суммой площадей η маленьких криволинейных трапеций (рис. 10.6, η = 2). 13*
196 Приближенные вычисления Вычисление проводится по формуле Симпсона 6 u)dx ) + /(6) + 2[/(α + Λ)+/(α + 2/1) + ... + /(6-Λ)] + + *['{'+ϊ)+'{' + *ϊ)+- + '{*-ϊ)]}· (1°·5) или, в короткой записи, 6 Jf(x)dx « |(5χ + 53) + |s4, (10.6) ГД6 h n_1 Si = τ Ш + f(b)], 52 = h^fia + kh), 2 £4 = h\^ f I a — — + kh I , h == (шаг разбиения). Очевидно, число (5χ + £2) представляет собой квадратурную сумму формулы трапеций (10.3), число £4 — квадратурную сумму формулы прямоугольников (10.4). Оценка погрешности формулы Симпсона: Видно, что при увеличении η погрешность убывает как 1/п4, т. е. гораздо быстрее, чем в формулах трапеций или прямоугольников. В большинстве случаев для приближенного интегрирования применяют формулу Симпсона. Пример π/2 I — / xsinxdx = 1. о По формуле (10.5) при η = 4 имеем I « 0,999975.
Приближенное интегрирование 197 / Ь г п_! Замечание. Часто формулу Симпсона записывают в виде h \JW + J[.o) + * f(x)dx /(α) + /(b) + 2 Σ /(Ы + 4 Σ /foa-i) Пример ι . h b — a _ _ где /ΐχ = — = —— — шаг интегрирования, Ν — 2n — 1 — общее число всех внутренних узлов щ 6 (а,6), щ — а + ih\, » = 1,2,...,JV. 4°. Другой способ приближенного интегрирования основан на использовании формулы Тейлора (п. 10.2.1°): если функцию /(х) разложить в ряд в окрестности какой-нибудь точки ь с € [а, 6], то интеграл f f(x)dx приближенно равен сумме вида а ση = f(c)(b - α) + I/'(c) [(6 - с)2 - (α - с)2] +... ••• + ^TT)T/(n)(c)t(b-c)n+1-(a-c)n+1^ /· /V ж3 ж5 х7\ 7= sinxdx и / ж-—- + -—--7<^ж = У У V 3! 5! 7! У о о 1111111 1 = 2 " i + 6! - 8! = 2 - 24 + 720 " 40320 = °·45969742·'' Точное значение: I = 1 - cos 1 = 0,45969769... Метод разложения по формуле Тейлора дает хорошие результаты, если промежуток интегрирования невелик. Основные разложения см. в п. 5.8.4°. с» 5°. Несобственные интегралы (п. 5.7.3°) вида I = f f{x)dx, о где f(x) — непрерывная функция, можно приближенно вычислять методом «усечения»: промежуток [α,οο) разбивается на [а, 6] и [6, ос), причем число 6 берется настолько большим, что- оо бы f f(x)dx был малой величиной (например, меньше 10~4). 6 Ь Тогда I & f f(x) dx, и к этому интегралу можно применить од- а ну из квадратурных формул.
198 Приближенные вычисления Пример г г 10 оо (X) g—X Г g—X Г β—Χ I Т~> 2 dx=Z Т~> 2 dx+ ΤΊ 2 dX» о 1 + r J 1 + х2 J 1 + х2 О 10 (X) сю е—х г Г τ:άχ < / e~xdx = е~10 = 4,54 · 10"5 « 5 · 10" 10 1 + * У 10 10 По формуле Симпсона при η — 2 получаем ю е-х f 5 dz ~ 0,87154. 1 + r 10.4. Приближенное решение уравнений 1°. Метод деления отрезка пополам (метод вилки, метод бисекции) применяется к уравнениям общего вида /(х) = 0. (10.7) Предполагается, что на отрезке [а, 6] функция f(x) непрерывна и имеет на концах разные знаки: f(a)f(b) < 0. Тогда, согласно теореме Коши (п. 5.3.1°), уравнение (10.7) имеет хотя бы один корень ξ б (α, 6). В методе деления пополам за начальное приближение к корню ξ принимается середина промежутка [а, 6], т. е. хо = (а + 6)/2. Далее вычисляется /(а?о)· Если /(а)/(а?о) < 0, то это означает, что ξ 6 (1,#о)> и тогда за первое приближение принимают х\ — (а + а?о)/2; если f(xo) — 0, то хо — ξ (корень найден); если f(a)f(xo) > 0, то это означает, что £ € (яо>Ь)> и тогда полагают х\ = (хо + Ь)/2. Затем вычисляют f(x\) и снова проверяются знаки f(xi)f(xo) и т. д. Погрешность η-го приближения: \хп — ξ\ ^ ^ (6 — а)/2п. Метод деления пополам простой и надежный, но сходимость хп —► ξ довольно медленная. 2°. Метод итераций применяется к уравнениям вида χ = f(x). (10:8) Пусть ξ — корень уравнения (10.8). Итерационный процесс состоит из следующих действий: выбирается некоторое число
Приближенное решение уравнений 199 хо — начальное приближение, вычисляется первое приближение (первая итерация) по формуле х\ = /(яо)> далее — второе приближение (вторая итерация) x<i = f(x\) и т. д. Общая формула для итерации: Достаточные условия сходимости последовательности итераций к корню уравнения (10.8): пусть в некоторой окрестности De — [ξ — ε,£ + ε] корня ξ функция f(x) непрерывна и ее производная непрерывна и удовлетворяет условию «сжатия» |/'(х)| < 1. Тогда при любом хо € D€ lim xn — £; корень ξ — п—*оо единственный в De. Пример Уравнение Кеплера: χ = 0,3 sin x + 1. По графикам левой и правой частей уравнения видно, что £ существует. Так как здесь f(x) = 0,3sinx + l, f'(x) = 0,3cosx, \f'(x)\ ^0,3 при любых х 6 К, то условия сходимости выполнены при произвольном выборе ε. В качестве хо можно взять любое число. Пусть хо = 0; тогда последующие приближения будут иметь вид 1; 1,25244; 1,2849; 1,2878; 1,288069; 1,2880894; 1,2880911; 1,2880913; 1,288091312; 1,2880911313; 1,2880911313. Метод итераций пригоден и для вычисления комплексных корней. Неудобства метода — в необходимости преобразования общего уравнения вида (10.7) к специальному виду (10.8), причем должны выполняться условия сходимости. 3°. Метод Ньютона (метод касательных) применяют к уравнениям вида f(x) — 0, где f(x) непрерывна и имеет непрерывную производную. Корень приближенно определяется следующим образом: выбирается начальное приближение хо (по возможности близко к корню £), в точке хо вычисляются значения функции f(xo) и ее производной /'(а?о); тогда первое приближение х\ находится по формуле х\ — хо — /(#о)//'(хо)·
200 Приближенные вычисления Далее вычисляются f(x\) и f,(x\)) и второе приближение χ<ι находится аналогично: χ<ι — х\ — f(x\)/'f'{x\) и т. д. Общий вид итерационного процесса Ньютона: f(Xn) Хп+1-Хп г(Хпу Пусть ξ — простой корень, т. е. /(£) =0и /'(О φ 0; если начальное приближение xq взято достаточно близко к корню £, то последовательность итераций по методу Ньютона сходится к этому корню: lim хп — ξ. Если же xq недостаточно близко к корню, то последовательность хп может сойтись к другому корню, может и вовсе не иметь предела. При некоторой дополнительной информации о поведении функции f(x) выбор хо значительно облегчается. Например, если выполняются условия f(a)f(b) < 0, f'{x) φ 0 при χ е [а, 6], f"(x) φ 0 при χ е [а, 6], то lim хп — ξ при таком вы- Рис. 10.7. К методу Ньютона боре xq) что f{xo)f"(xo) > 0. В качестве xq удобно взять в этом случае соответствующий конец промежутка [а, 6]. Идея метода Ньютона основана на том, что уравнение f(x) = 0 на каждом шаге приближенно заменяется линейным уравнением. Геометрически этому соответствует проведение касательной к графику функции у = f(x) в точке хо и нахождение точки х\ ее пересечения с осью х, затем проведение касательной в точке Х\ и нахождение точки Х2 ее пересечения осью χ и т. д. (рис. 10.7). Сходимость приближений в методе Ньютона чрезвычайно быстрая (сходимость ускоряется по мере приближения к корню). Метод Ньютона пригоден и для вычисления комплексных корней. К недостаткам метода еле-
Приближенное решение дифференциальных уравнений 201 дует отнести большую чувствительность к выбору начального приближения, а также необходимость вычислять производную на каждом шаге процесса. Пример Уравнение х3 — Зх + 1 = 0. График левой части изображен на рис. 5.10. Видно, что имеются три действительных корня £ъ 6, £з, причем -2<6<-1, 0<£><1, К£з<2. Для вычисления £χ можно взять (в соответствии с достаточными условиями) xq — —2, для £г взять xq = 0,1, для £з взять a?o = 2. Результат вычисления корней (во всех случаях пять приближений): ξι « -1,879385241, ξ2 ~ 0,3472963553, & « 1,532088886. Погрешность не превышает 10~9. 10.5. Приближенное решение дифференциальных уравнений У=У(х) Х0 Χλ Χ2 Хц Ха, Хк Рис. 10.8. К методу Эйлера 1°. Метод Эйлера (метод ломаных) — простейший метод приближенного решения задачи Коши (п. 5.5.3°) для дифференциального уравнения у'=/(#,у(#)) при начальном условии у(хо) — Уо- Для вычисления у\ — приближенного значения решения у(х) в точке х\ — хо + h) где h — шаг интегрирования, — из формулы Тейлора (10.1) получаем расчетную формулу (линейное приближение) У\ — Уо + hf(xo)yo). Аналогично в точке χ<ι = х\ + h для У2 ~ у(#2) имеем у2 = у\ + hf(x\,y{) и т. д. Последовательность значений приближенного решения в точках хк — %о + kh (к — 0,1,2,..., п) вычисляется по рекуррентной формуле Ук+ι =Ук + Ь/(хк,ук).
202 Элементы теории вероятностей В результате вместо точного графика решения у = у(х) получается последовательность точек (хк,Ук) на плоскости ху, близкая к графику, если h — достаточно малое число (рис. 10.8). Метод Эйлера очень прост, но точность его невелика: порядок погрешности h2 при h —> 0. 2°. Метод Рунге — Кутта значительно точнее метода Эйлера. Приближенное значение у\ в точке х\ — хо + h для решения у(х) дифференциального уравнения у' — f(x,y(x)) с начальным условием у(хо) = уо вычисляется по следующей схеме: Pi = Л/(яо,!Л)), Р2 = hf Ixo + -h,yo + ~Р\ Рг = hf Ixo + -Л,уо + -р2) , Р4 = Л/(»о + Л,од +Рз), ί/ι = Уо + - (pi + 2р2 + 2р3 + Р4). Аналогично последовательно вычисляются j/2> Уз, · · ·, У η соответственно в точках Х2, #з, · · · j #η· Порядок погрешности метода Рунге — Кутта: h5 при /ι —> 0. В большинстве случаев для численного решения дифференциальных уравнений пользуются методом Рунге — Кутта (или одной из его модификаций). 11. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Методы теории вероятностей широко применяются в статистической физике, квантовой механике, математической физике, при математической обработке результатов измерений, а также во многих задачах радиосвязи, передачи информации, экономики, статистики, страхового дела, массового обслуживания. 11.1. Случайные события и их вероятности 1°. Событие, которое при заданном комплексе условий может произойти или не произойти, называется случайным событием. Так, дождь 1 июля в Москве; выпадение герба или цифры при бросании монеты на стол; выпадение грани с четной •
Случайные события и их вероятности 203 цифрой при бросании игральной кости (кубика с занумерованными гранями) — примеры случайных событий. Ответ на вопрос, считать ли данное событие случайным, зависит от имеющейся информации. Например, появление поезда на станции в промежутке времени от 1800 до 1810 — событие случайное с точки зрения пассажира, не знающего расписания, и неслучайное для пассажира, знающего расписание. В опыте с бросанием монеты, если знать с достаточной точностью массу, начальные координаты и скорость монеты, можно (в принципе) рассчитать ее траекторию и, следовательно, предсказать, которой из двух сторон она упадет на стол. Достоверное событие не может не произойти (например, выпадение не менее одного очка при бросании кости); невозможное событие не может произойти (например, выпадение семи очков). Два события называются несовместными, если появление их обоих (в данном опыте) невозможно. Например, при одном бросании кости появление не менее трех очков и при этом появление четной грани — события совместные, а появление цифры 3 и при этом появление четной грани — события несовместные. 2°. С понятием вероятности случайных событий мы встречаемся в своей повседневной деятельности, когда оцениваем шансы появления такого рода событий. Вероятность события А — число Р(А), характеризующее возможность появления этого события. По определению, 0 ^ Р(А) ^ 1. Вероятность невозможного события равна нулю, вероятность достоверного события равна единице. Иногда вероятность выражают в процентах. В некоторых простейших ситуациях вероятность случайного события можно указать сразу: при бросании (симметричной!) монеты естественно считать оба возможных исхода (герб или цифра) имеющими равную вероятность, т. е. 0,5, или 50%. При бросании игральной кости появление любой цифры от 1 до б — равновероятные события, с вероятностью 1/6 каждое. Вообще, если данный опыт может иметь η исходов и нет оснований считать появление какого-либо исхода более вероят-
204 Элементы теории вероятностей ным, чем другие, полагают вероятность каждого исхода равной 1/п. Если событие А происходит в результате одного из т равновероятных исходов, то Р(А) — т/п. Например, появление нечетной грани при бросании кости (событие А) происходит при выпадении 1, или 3, или 5, т. е. здесь т = 3, поэтому Р(А) — 3/6 = 1/2. Рассчитанную таким образом вероятность называют априорной. В более сложных ситуациях (например, в статистической физике) расчет вероятностей каких-либо случайных событий может производиться на основании предположений о законах, управляющих деталями соответствующих процессов (п. Ф3.3.1°). Суммой событий А и В (обозначается А + В) называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из двух событий А или В. Аналогично определяется сумма большего числа событий. Например, появление четной грани кости есть сумма трех событий: выпадение 2, или 4, или 6. Произведением событий А и В (обозначается А В) называется событие, состоящее в появлении обоих событий А и В. Например, пусть при бросании двух монет появление герба на первой монете — событие Л, появление герба на второй монете — событие J3; тогда произведение А · В — это появление гербов на обеих монетах. Произведение несовместных событий — событие невозможное. Сумма и произведение событий аналогичны соответственно объединению и пересечению множеств (п. 2.1.1°). Вероятность суммы А + В несовместных событий А и В равна сумме вероятностей событий А и В: Р(А + В) = Р(А) + Р(В). В общем случае Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(А · В). (11.1) Пример Два стрелка стреляют в одну и ту же цель, причем вероятность поражения цели первым стрелком 0,8, а вторым стрелком 0,5. Оба стрелка стреляют по команде (т. е. одновременно)
Случайные события и их вероятности 205 один раз. Какова вероятность, что цель будет поражена хотя бы одним из стрелков? Пусть А есть попадание в цель первым стрелком, В — вторым стрелком, А + В — поражение цели хотя бы одним стрелком, А · В — поражение цели обоими стрелками. По формуле (11.1) имеем Р(А + В) = 0,8 + 0,5 - Р(А · В). В данном примере можно считать события А и В независимыми (см. ниже), поэтому Р(А · В) = Р(А) · Р(В) = 0,8 · 0,5 = 0,4. Ответ: Р(А + В) = 0,9. Условная вероятность — вероятность появления события А при условии, что произошло событие J3,— обозначается Р(А\В). Вероятность произведения событий вычисляется с помощью условных вероятностей по формуле Р(А · В) = Р(А) · Р(В\А) = Р(В) · Р(А\В). (11.2) Пример В ящике имеются 7 белых и 5 черных шаров, отличающихся лишь цветом. Опыт состоит в том, что сначала вынимают (не глядя) один шар и, не опуская его обратно, вынимают еще один шар. Какова вероятность, что оба вынутых шара черные? Появление первого черного шара (событие А) имеет, очевидно, вероятность Р(А) — 5/12. Если первый шар оказался черным, то условная вероятность события В — появления второго черного шара (при условии, что первый шар был черным) — равна Р(В\А) — 4/11, так как перед выниманием второго шара осталось 11 шаров, из них 4 черных. Вероятность вынуть 2 черных шара подряд можно подсчитать по формуле (11.2):
206 Элементы теории вероятностей События А и В называются независимыми, если условная вероятность Р(А\В) равна вероятности Ρ (А). Другими словами, для независимых событий появление одного из них не влияет на вероятность появления другого. Так, в предыдущем примере вероятность появления второго черного шара не зависела бы от цвета вынутого первого шара, если, вынув первый шар, мы положили бы его обратно в ящик. Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий: Ρ(Α·Β) = Ρ(Α)·Ρ(Β). На практике независимые события встречаются очень часто, так как причинная связь явлений во многих случаях отсутствует или несущественна. Пример Производят η бросаний монеты. Результат каждого бросания — случайное событие, вероятность которого естественно считать не зависящей от результатов других бросаний, поэтому результаты этих η испытаний можно считать независимыми событиями. 3°. Если производится η независимых испытаний с двумя возможными исходами каждое: Л и не Л, при неизменных внешних условиях, так что вероятность Р(А) неизменна и равна р, то вероятность Рт,п того, что событие А появится т раз, подсчитывается по формуле Бернулли (биномиальное распределение): Рт,п = Спр (1 -р) где С™ — число сочетаний из η по т (п. 6.1.6°). Формула Бернулли применяется, в частности, в физике (п. Ф3.3.6°). Пример Монету бросают η = 2га раз. Какова вероятность того, что герб появится га раз?
Случайные события и их вероятности 207 По формуле Бернулли '^ 2т (2т)! т {Л _ 22т(т!)2' т. е. Р\,2 — 0,5 при т — 1; Рг,4 = 0,375 при т — 2; ^5,ю ~ 0,25 при т — 5, и т. д. При больших m и η из формулы Бернулли с помощью формулы Стирлинга для факториала (§ 6.1) можно получить приближенную формулу {распределение Гаусса или нормальное распределение) Ρ » 1 е-*2/2 σ\/2π где . ото ΎΊ.Ύ) σ = \/пр(1 -р), х= . σ При малых ρ более точное значение дает формула Пуассона Ут Рт,п « —7^ *, где у = пр. т! Пример Станок-автомат выпускает гвозди, причем вероятность появления бракованного гвоздя ρ = 0,1%. Какова вероятность получения не более двух бракованных гвоздей в серии из 1000 штук? Рассмотрим серии трех типов: без брака, с одним и с двумя бракованными гвоздями; тогда искомая вероятность Q = Д),1000 + А,1000 + ^2,1000 · По формуле Пуассона (у = 1) получаем Q « e-^l + 1 + 0,5) = 2,5е-1 » 92%. 4°. Отношение μ = m/n числа m появлений событий А при η испытаниях называется частотой этого события. С ростом η частота события в определенном смысле приближается к вероятности ρ этого события. Именно, пусть производятся независимые испытания, при каждом из которых вероятность со-
208 Элементы теории вероятностей бытия А неизменна и равна р. Справедливо следующее утверждение: для любого ε > 0 вероятность отклонения частоты от ρ на величину, меньшую ε, при η —> оо приближается к единице, т. е. lim Ρ(|μ-ρ|<ε) = 1. (11.3) η—►оо Это утверждение называется законом больших чисел или теоремой Бернулли. Соотношение (11.3) означает, что если число испытаний достаточно велико, то с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, отличие частоты события А от его вероятности меньше любого наперед заданного положительного числа. Так, много раз бросая монету, мы «почти наверняка» будем получать примерно равные частоты выпадений герба и цифры. 11.2. Случайные величины и их распределения 1°. Случайная величина — переменная величина, конкретное значение которой зависит от случая. Например, температура воздуха в 12 часов дня 1 июля в Москве, номер грани, выпадающий при бросании кости, скорость молекулы газа в данный момент времени и т. д. Для характеристики случайной величины нужно знать множество возможных значений этой величины и вероятности, с которыми она может принимать эти значения. Эти данные образуют закон распределения случайной величины. Например, распределение числа очков при бросании игральной кости описывается равными вероятностями 1/6 для каждого значения от 1 до 6. Множество возможных значений дискретной случайной величины конечно (или счетно). Встречаются также непрерывные случайные величины, возможные значения которых заполняют всю числовую ось (или некоторые интервалы). Непрерывную случайную величину А следует задавать не указанием вероятностей ее отдельных значений, а непрерывной (или кусочно-непрерывной) функцией р(х), называемой плотностью распределения вероятностей случайной ве-
Случайные величины и их распределения 209 1,σ = 0,18 личины А. При этом вероятность того, что значения А находятся в промежутке от χ до χ + Δχ, равна х+Ах χ При малой длине промежутка, т. е. при Δχ « 0, вероятность попадания значения А в этот промежуток приближенно равна р(х) · Δχ. В статистической физике принято р(х) называть функцией распределения случайной величины (п. Ф3.3.3°). Свойства плотности распределения: 1) р(х) > 0; +оо 2) / p(x)dx = l. — ОО Свойство 2) называется условием нормировки распределения. В физике часто встречается нормальное распределение или распределение Гаусса (§ ФЗ.З), для которого р(х) = —^=ехр σν2π Графики функции (11.4) приведены на рис. 11.1. Нормальное распределение имеют, в частности, случайные погрешности измерений. 2°. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины — наиболее важные ее характеристики. Математическое ожидание дискретной случайной величины, принимающей значения χχ, Х2, ..., хп с равными вероятностями ρ = 1/п, определяется как среднее арифметическое этих значений: η (А) г=1 = 1,σ = 0,36 0 1 2 Рис. 11.1. Плотность нормального распределения {-^} (11.4) 1 п 71 *—' 14 -2172
210 Элементы теории вероятностей В общем случае дискретной случайной величины Л, принимающей значения х\, χ<ι, ..., хп с вероятностями ρχ, р2, --Рп, математическое ожидание определяется как «среднее взвешенное», т. е. п п (A) = ^2piXi, где J^p» = 1. (11.5) Для непрерывной случайной величины А с плотностью распределения р(х) имеем +оо (А) = J p(x)xdx. (11.6) —оо Пример Пусть в некоторой лотерее на каждый билет вероятность выиграть 10 руб. - 3%, 100 руб. - 0,5%, 1000 руб. - 0,01%, других выигрышей нет. Каков средний выигрыш в лотерее (на один билет)? Средний выигрыш подсчитывается как математическое ожидание по формуле (11.5); он равен 0,03 · 10 + 0,005 · 100 + 0,0001 · 1000 = 0,90 руб. Пример вычисления средней скорости молекулы газа см. в п. Ф3.3.3°. Дисперсия случайной величины А определяется как математическое ожидание квадрата отклонения этой величины от ее среднего значения: D(A) = ((А - (А))2) . Для дискретной случайной величины Я(Л) = f> (*, - <Л))а ; г=1 для непрерывной случайной величины +оо D(A)= I р(х) (х - (Л))2 dx.
211 Здесь, как и в формуле (11.6), предполагается сходимость соответствующего несобственного интеграла. Свойство дисперсии: D(A) = (А2) - {А)\ Дисперсия характеризует меру разброса случайной величины около ее среднего значения. Для детерминированной величины А, принимающей только одно значение хо, математическое ожидание равно хо, а дисперсия равна нулю. Физический смысл дисперсии: параметр σ = у/ЩА) служит мерой флуктуации физической величины А (п. Ф3.3.6°). Например, в выделенном объеме газа, находящегося в состоянии термодинамического равновесия, число молекул η — случайная величина. При заданном среднем значении (п) = щ флуктуация числа молекул равна δη = \/({п-щ)2), т. е. корню из дисперсии величины п. Можно показать, что с увеличением щ значение δη растет как у/щ, а относительная флуктуация δη/ηο убывает как 1/у/щ. 12. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Матрицы и определители часто используются в различных задачах физики, математики, экономики, метеорологии, сейсмологии и в других областях. 12.1. Матрицы 1°. Матрица — это прямоугольная таблица, состоящая из чисел, которые называются элементами матрицы. Числа допускаются как действительные (§ 2.2), так и комплексные (§ 7.1). Элементы записывают в строках и столбцах. Например, матрица с 12 элементами II -10 2 3,2 || 3 3,14 -7 0 π 5 а —2 14*
212 Матрицы и определители состоит из трех строк и четырех столбцов. Двойные вертикальные линии указывают на то, что все двенадцать чисел следует рассматривать как единый объект — матрицу. Пример применения матриц для хранения информации: предположим, что в течение 7 дней измеряли температуру воздуха 12 раз в день с интервалами в 1 час. Можно записать эти 84 значения температуры в виде матрицы из 7 строк и 12 столбцов (или наоборот). В общем случае матрица, имеющая т строк и η столбцов, содержит ran элементов. Для обозначения матриц используют обычно заглавные буквы, например, ап 0>21 «ml αΐ2 · «22 · Gm2 · • а\п • а>2п • Q"mn Здесь матрица Д имеющая га строк и η столбцов (или, короче, матрица размера га χ η), состоит из элементов ац, αχ2, ..., Q"mn, при этом dik означает элемент, стоящий на пересечении г-й строки и fc-ro столбца. Номер строки (г) и номер столбца (к) называют индексами элемента а^. Нумерация строк — сверху вниз, столбцов — слева направо. Таким образом, а\ч — это элемент с двойным номером (1; 2), а не с одним номером 12. Если т = η = 1, знаки || || опускают, при этом матрица состоит из одного элемента, А = ац. Иногда бывают полезны так называемые матрица-строка (т = 1) и матрица- столбец (п = 1). Например, координаты ах, ау, αζ трехмерного вектора ~а (см. п. 8.1.2°) можно записать в строку (матрица-строка, или вектор-строка) или в столбец (матрица- столбец, или вектор-столбец). Векторный смысл можно придавать матрицам-строкам (и матрицам-столбцам) и при числе элементов, большем трех. 2°. Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, т. е. т = п, называется квадратной матрицей. Диагональные элементы квадратной матрицы — это те элементы, у которых индексы равны, т. е. г = к. Эти элементы образуют главную
Матрицы 213 диагональ матрицы. Например, числа and находятся на главной диагонали матрицы Ι α 6 I I с d I' Диагональная матрица — это квадратная матрица, все элементы которой, не лежащие на главной диагонали, равны нулю, т. е. aik = 0 при г φ к. Единичная матрица (обозначается / или Е) — это диагональная матрица, все диагональные элементы которой равны 1, т. е. ац = 1, aik = 0, г φ fc, 111 0 0 ... О Oil 0 1 0 ... 0 0 ||0 0 0 ... 0 1|| Нулевая матрица состоит только из нулей. 3°. Действия с матрицами. 1) Равенство матриц: две матрицы А и В одинаковых размеров тхп равны (А = В) если равны все их соответствующие элементы: <*>ik = hk при г = 1,2,..., гп\ к = 1,..., п. 2) Сложение матриц: равенство С = А + В означает, что (Чк = a>ik + hk при г = 1,..., τη; к = 1,... ,п, т. е. элементы суммы двух матриц (одинаковых размеров!) равны суммам соответствующих элементов. Пример 1 1 0-2 | 3 —1 1 + 2 12 -3 3-1 = |з ι о| 0 2 of 3) Умножение на число: пусть η — число, А — матрица с элементами а^. Матрица η А имеет элементы 7aifc> τ· е· все элементы матрицы А умножаются на данное число.
214 Матрицы и определители Пример И| | 2 —1J Ml | б -з| 4) Умножение двух матриц: пусть А — матрица т χ η, В — матрица η χ р. Произведение С — А- В (точку можно не писать) вычисляется следующим образом: η с%к = ^2aij 'bjk при i = l,...,ra; k= l,...,p. (12.1) j=i В развернутом виде эта формула выглядит так: Cik = anhk + <*<i2b2k + · · · + a>inKk, т. е. по очереди берут 1-й элемент строки номер г матрицы А и умножают его на 1-й элемент столбца номер к матрицы В, затем 2-й элемент г-й строки матрицы А умножают на 2-й элемент fc-ro столбца матрицы J3, и т. д., и затем все такие произведения складывают. Это правило называется «строка на столбец». Оно аналогично правилу вычисления скалярного произведения двух векторов по их координатам (п. 8.2.1°). В случае квадратных матрицпхп правило умножения имеет вид Cik = bjk, при г,к — l,...,n. Примеры 1) 2) з)| \а Ь\ \с d\ ' 1 2 -1 -2 αχ о 12 β з ill -1 5 II ' з||· 2 -4 -1 2 = ( 3a-6 ai + 56 3c -d ct + 5d\ = ii&H 0 0 0 0 "- αφ > -> 2 + o; з&з;
Матрицы 215 4) ||Ьх ь2 бз|| a\b\ αχ62 αχ&3 α2&ι α2&2 ^2&з аз&1 аз&2 «з^з Умножение матриц: а) ассоциативно: (АВ)С = А(ВС)\ б) дистрибутивно: (А + В)С = АС + ВС; в) некоммутативно: вообще говоря, АВ φ ΒΑ. Если АВ = В А, то говорят, что матрицы А и В коммутируют. Диагональные матрицы коммутируют друг с другом. Единичная матрица действует при умножении так же как число 1: ΙΑ = ΑΙ = А. 5) Если 1-ю строку матрицы А записать «вертикально», т. е. расположить элементы 1-й строки в виде 1-го столбца, затем 2-ю строку в виде 2-го столбца и т. д., то получится транспонированная матрица (обозначается А* или АТ). Очевидно, элементы А и А* связаны соотношением: а, гк — акг- Пример ι о| а 70 | 1* — 1 р 21 -1 а\ 1 о то | 4°. Обратная матрица. Путь А — квадратная пхп матрица. Если пхп матрица В такова, что ВА = 1, то В называют обратной матрицей для А и пишут: В = А~1. Справедливы равенства: А'1 А = АА~1 = /, (Л-1)"1 = Л, {ВС)~1 = С~1В-\ Матрица А обратима (т. е. имеет обратную) тогда и только тогда, когда определитель А (см. § 12.2) не равен нулю. О вычислении обратной матрицы см. п. 12.2.4°.
216 Матрицы и определители Пусть А и Τ — квадратные матрицы η χ η, и пусть существует матрица Т-1. Произведение Т~1АТ называется матрицей, подобной матрице А, Подобие матриц играет важную роль в теории квадратичных форм (§ 12.3). 5°. Системы линейных уравнений и матрицы. Система m линейных уравнений с η неизвестными χχ, х2, ..., хп имеет вид ( ацХ\ + а\2Х2 + · · · + Q>\nXn — h < (12.2) I am\X\ + ат2Х2 + ... + атпх Здесь заданные числа ац, ..., атп называются коэффициентами системы, заданные числа Ь\, ..., Ьш — правыми частями уравнений. Подчеркнем, что могут встретиться случаи т < п, т = п, т > п, т. е. число уравнений необязательно равно числу неизвестных. Для решения линейных систем применяют метод Гаусса (метод исключения), подобно тому как это изложено в § 3.6 для двух и трех уравнений. Систему (12.2) можно записать короче, если воспользоваться матрицами. Именно, пусть А — матрица т χ η, составленная из коэффициентов а^, 6 — вектор-столбец, состоящий из чисел &1, ..., Ьт, χ — вектор-столбец, состоящий из неиз- вестных Х\) ..., Χγι'» оц ... а1п XI Хп | ат\ · · · °"тп || || Ьт Тогда систему (12.2) можно записать в виде А ~х = V. (12.3) Здесь произведение матрицы А на вектор ~х понимается как ,\χι\ умножение матрицы А на матрицу-столбец хп по правилу (12.1). В частности, когда т = п (при этом матрица А квадратная), векторы χ и 6 имеют одинаковую «высоту». Систему урав-
Определители 217 нений называют в этом случае квадратной. Пример: системы из двух уравнений с двумя неизвестными и из трех уравнений с тремя неизвестными в § 3.6. Если квадратная матрица А не вырождена, т. е. ее определитель (см. 12.2) не равен нулю, то система (12.3) при любом задании правых частей 6χ, 62? ···> Ьп имеет единственное решение, которое можно вычислить по формулам Крамера (для п = 2см. п. 3.6.1°): д kll ·· · 0Ίη\ Х{ Δ' где Δ = det A а>п\ (12.4) а определитель Δ* получается из Δ заменой столбца номер г на столбец правых частей, например: Ь\ αχ2 Δι <*>\п Ьп an2 · · · Q"n (12.5) Решение квадратной системы (12.3) в случае det А ф О можно также записать с помощью обратной матрицы (п. 4° и п. 12.2.4°): ~х = А~1~Ь. На практике удобнее решать системы методом Гаусса. 12.2. Определители 1°. Каждой квадратной матрице можно сопоставить число, называемое определителем матрицы. Определитель вычисляется по правилам, изложенным в п. 12.2.2°. Определитель матрицы А с элементами а^ обозначается несколькими способами: det Л, или а\\ ... а\п 0"п\ а„ , или det ап а\п <*>п\ , или det||aijfe||. Определитель η χ η матрицы называют определителем п-го порядка.
218 Матрицы и определители 2°. При η = 1, когда матрица А = ац — одно число, определитель равен этому числу, detan = ац. При η = 2, т. е. для матрицы 2x2, определитель вычисляется по правилу (§ 3.2): detA ац ai2 a2l 0*22 «11«22 - «21«12· (12.6) При η = 3, т. е для матрицы 3x3, определитель вычисляется по правилу: detA где тп ац ai2 «13 «21 «22 «23 «31 «32 «33 «22 «23 «32 «33 5 «11 · ^12 - «12 · πΐΐ2 + αΐ3 · mi3, (12.7) ^12 «21 «23 «31 «33 ™13 «21 «22 «31 «32 Числа mifc называются минорами соответствующих элементов а^, к = 1,2,3. Минор элемента αχ* получается из исходного определителя элемента вычеркиванием αχ*, вместе с его строкой и столбцом. Например, тп Ац ai2 Ql3 «21 «22 «23 <f31 «32 «33 «22 «23 «32 «33 Пример 2 3-1 -10 2 14 2 = 2· 0 2 4 2 -3· -1 2 1 2 2·(-8)-3·(-4) + (-1)·(-4)=0.
Определители 219 При η = 4, т. е. для матрицы 4x4, определитель вычисляется по аналогичному правилу: det Л ап ... аи АЩ . . . (244 = ацтпц - αγιπίγι + а\ът\ъ — ацтли, (12.8) где гп\к — минор элемента а^, т. е. определитель 3-го порядка, полученный из исходного определителя вычеркиванием элемента а\к вместе с его строкой и столбцом. В общем случае определитель матрицы η χ η вычисляется аналогично с помощью миноров порядка (п — 1): det А = ацтпц - а^т^ + ... + (-1)1+ηαΐη^ΐΐη = η = Σΐ-1)1^*™!*· (12·9) k=l Тот же результат получается, если вместо 1-й строки взять любую строку: η det A = ^2(-l)i+kaikmik) г = 1,... ,η k=l или любой столбец: η det A = Y,(-l)i+kaikmik, к = 1, г=1 ,П. Таким образом, вычисление определителя η-го порядка сводится к вычислению η определителей порядка (п — 1), которые в свою очередь сводятся к вычислению определителей порядка (п — 2) и т. д., до порядков 2 и 1. Следует отметить, что с ростом η трудоемкость такого вычисления стремительно возрастает. Существуют гораздо более экономичные способы вычисления определителей, основанные на их свойствах.
220 Матрицы и определители 3°. Свойства определителей: 1) при транспонировании матрицы определитель не меняется: detA* = detA; 2) при умножении всех элементов какой-либо строки (или столбца) на число η определитель умножается на это число, например: 7«и 7^12 . 0>2\ ^22 · 0"п\ 0"п2 · .. ηα1η ·· 0>2п • · Q"nn = 7 an ^21 а>п\ а>\2 . ^22 · а>п2 · .. аы ■· 0>2п ■ · βηη 3) если какие-либо две строки (или два столбца) поменять местами, то определитель изменит знак, например: an ai2 ai3 ОЧп 0"п\ <*>п2 0>п3 · · · 0"пп а\2 о,\\ ai3 a>ir 0"п2 Q"n\ drib 4) определитель, содержащий две одинаковые строки (или два одинаковых столбца), равен нулю; 5) если все элементы какой-либо строки (столбца) равны нулю, то определитель равен нулю; 6) если ко всем элементам какой-либо строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число, то определитель не изменится, например: ац U21 Gin а*2п Q"n\ . dn ац ... ain <*21 + 7α11 · · · «2η + 7α1η Οηΐ α„ 7) определитель произведения матриц равен произведению их определителей: det(j4--B) = det;4-detB.
Определители 221 Δ Здесь ко второму столбцу Пример -11-21 1-10-2 13 4 = 14 41 2 0 —11 I 2 2 -1 прибавлен первый столбец. Теперь к третьему столбцу прибавим первый столбец, умноженный на (—2): -10 0 1 4 2 2 2-5 (-1) 4 2 2 -5 0 1 2 2 -5 + 0 1 4 22 24. Цель такого рода преобразований — получить как можно больше нулей в какой-либо строке (или столбце), тогда в сумме вида (12.9) останется мало ненулевых слагаемых. 4°. Элементы обратной матрицы вычисляются по формуле Крамера: (А-% 1 det^l (-1)г+*ты, (12.10) где τη** означает минор элемента а^. Обратная матрица существует при условии, что det А Φ 0. Пример Решение: det Л матрицу для А = 1 0 2 2 0 2 0 -1 1 = -2. |1 0 2| 2 1 1 | о —ι ι| 1+1 -2~~ (_1)1+2 -2 1 1 -1 1 02 -1 1 -ι, 1 и так далее. Ответ: А г -1 1 1 1 -1/2 -3/2 1 -1/2 -1/2
222 Матрицы и определители 5°. Пусть А — матрица, состоящая из т строк и η столбцов. Будем вычеркивать строки и столбцы, оставляя «частичные» квадратные матрицы меньших размеров. Определители таких частичных матриц называются минорами матрицы А. Для квадратной пх η матрицы А ее определитель detА включим в множество миноров. Определение. Если среди миноров порядка г имеется хотя бы один минор не равный нулю, а все миноры порядка (г + 1) равны нулю, то число г называется рангом матрицы. Пример 13 0 4 2 1-1 2 3 4-1 б| 7 1 3 2 1 #0; все четыре минора 3-го порядка нулевые, следовательно, ранг г = 2. Ранг матрицы — весьма важная ее характеристика, так как ранг совпадает с количеством линейно независимых строк и линейно независимых столбцов. Последнее означает, что если со строками производить такие же действия, как в методе Гаусса (п. 3.6.2°), то в результате останется ровно г ненулевых строк, а остальные (п — г) строк превратятся в нулевые. Это положение справедливо и в отношении столбцов. Пример Покажем стрелками преобразования матрицы А из предыдущего примера: 13 0 4 0 -5 -1 -6 0 -5 -1 -6 —► 13 0 4 0-5-1 -б 0 0 0 0 Здесь сначала из 2-й строки вычли удвоенную 1-ю строку, а из 3-й — утроенную 1-ю, затем из 3-й строки вычли 2-ю строку. Ранг при этом не изменился, и очевидно, что он равен 2, так как все миноры порядка три содержат нулевую строку и поэтому равны нулю.
Определители 223 Таким образом, для нахождения ранга матрицы полезно сначала упростить ее по методу Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли: система линейных уравнений имеет решение в том и только в том случае, когда ранг матрицы ее коэффициентов равен рангу расширенной матрицы. Расширенная матрица А получается из матрицы А коэффициентов а^ приписыванием справа столбца правых частей Ъ\, h, ..., Ьт. Пример Изучить систему при различных значениях 6χ, ί>2, Ьз·' е Х\ + 3X2 + 4X4 = &1 2Х\ + Х2 ~ Хз + 2X4 = ^2 . ( 3χι + 4х2 - хз + 6x4 = Ьз 1-й случай: Ь\ = 1, &2 = 1, &з = 1· Ранг матрицы А системы уравнений равен 2 (см. предыдущий пример). Составим и затем упростим расширенную матрицу А: 4! 1 -6 1-1 О J —1 Видно, что ранг А равен 3, так как минор 3-го порядка 13 04| 1 2 1-1211 3 4 -1 6] l| -> 11 3 0 4| 0—5—1 —61 | 0 -5 -1 -6 | 1| -1 -2 -И 113 0 0-5-1 0 0 0 ι з| 0 -51 о о| 1 -1 -1 (-1) · (-5) φ 0. Следовательно, система не имеет решений. 2-й случай: Ъ\ — 1, &2 = 1, Ьз = 2. Те же преобразования приводят к результату: ранг А — 2, значит, система разрешима. Фактически получилось всего два независимых уравнения: χι + 3x2 + 4x4 = 1 — 5x2 — хз "~ 6#4 = — 1 ' { откуда < 2 3 2 х\ = - + -хг + гХ4 5 5 5 11 6 ' Х2=5_5ЖЗ~5Ж4
224 Матрицы и определители Неизвестные хз и χ4 произвольны, неизвестные х\ и χ<ι выражаются через них. Таким образом, существует бесконечное множество решений. 12.3. Собственные числа матриц и квадратичные формы В этом параграфе рассматриваются квадратные матрицы размера η χ п. 1°. Составим характеристический многочлен матрицы А: det(A - XI) = ап - λ αχ2 ^21 ^22 "~ λ ^2η ^nl ^n2 α„ -λ (12.11) Здесь из каждого диагонального элемента вычли число λ. Выражение (12.11) представляет собой многочлен степени η от переменной λ. Как известно (п. 3.3.5°), корни многочлена λχ, Аг,. · · > λη (среди них могут быть равные) на комплексной плоскости (см. главу 7) всегда существуют. Корни характеристического многочлена матрицы называются характеристическими, или собственными, числами этой матрицы. Итак, собственные числа матрицы А — это решения алгебраического уравнения n-й степени det(4 - AJ) = 0. (12.12) Это уравнение называют характеристическим (иногда — вековым) уравнением. Примеры 1)Л = А = 1 ± 2, λι = 3, λ2 1 2 2 1 1-λ 2 2 1-λ (1-λ)2-4, 1, корни действительные;
Собственные числа матриц и квадратичные формы 225 2) А 1 2 -2 1 λ = 1 ± 2г, λι (глава 7); 1 1 1-А 2 -2 1-λ 1 + 2г, λ2 = 1 (1-λ)2+ 4, — 2г, корни комплексные 3)4 = = (λ-2)2, 1-λ 1 -1 з||' | -1 3 — А| Αχ = \2 = 2, два равных корня, или один двукратный корень. 2°. Пусть λ χ — какое-нибудь собственное число матрицы А. Квадратная линейная система (4-λι/)"?= Ο* (12.13) имеет, кроме очевидного нулевого решения ~х — О , еще и ненулевые решения, поскольку det(4 — λχ/) = 0и, следовательно, число независимых уравнений меньше чем п, и имеется произвол в выборе хотя бы одного из неизвестных. Например, для 1) при λ = 3 2) при λ = -1 А = 1 2|| 2 1 -2 2| 2 -2\ II 2 2| || 2 2 | • 1х \У система χ II у\\ = = || 0| 0 , или , или -2х + 2у = 0, 2х-2у = 0' 2х + 2у = О 2х + 2у = 0 " Видно, что в обоих случаях второе уравнение фактически совпадает с первым и его можно отбросить. Значит, можно произвольно задать, скажем, рай выразить χ через него. Тогда в случае λ = 3 будет χ -а χ = а 1. а а , а в случае λ = — 1 будет Выбор а произволен, можно взять, например, Каждое ненулевое решение ~~х системы (12.13) называется собственным вектором матрицы, соответствующим собственному числу λχ. В данном примере собственному числу λ = 3 соответствует собственный вектор , а λ= —1 вектор -1 1 15- -2172
226 Матрицы и определители 3°. Если собственные векторы (обозначим их t\, t<i, ..., tn) образуют базис в пространстве Еп векторов-столбцов «высоты» п, то тогда матрица Т, составленная из этих векторов (как из столбцов), приводит матрицу А к диагональному виду: Т~1АТ = К, гдеЛ = Αι Ο . 0 А2 . 0 0 . .. 0 .. 0 ■ · Ап (12.14) Термин «базис» означает, что любой вектор из пространства Еп можно разложить по базисным векторам ίχ, *2> ..., tn и притом единственным образом. В трехмерном пространстве (п = 3) базисом служит, например, тройка ортов г , j , к (п. 8.1.3°), или любая тройка некомпланарных векторов (п. 8.1.1°). Векторы-столбцы t\, ^ · · · ? tn образуют базис в том случае, когда определитель матрицы Т, составленной из этих столбцов, не равен нулю. Пример Для матрицы А из примера 1 собственные векторы и 1 -1 1 1 образуют базис, так как здесь Τ = Согласно (12.14) тогда будет справедливо равенство t-ijt-II3 ° 1 ^-"ο-ι , detT = 2^0. Ι 1 2 1 I 2 1 Ι 2 1 2 Замечание. В этом примере Τ ι — Теорема 1. Если матрица размера η χ η имеет η различных собственных чисел, то ее собственные векторы образуют базис.
Собственные числа матриц и квадратичные формы 227 Теорема 2. Если матрица А вещественна (т. е. все ее элементы действительные числа) и симметрична (т. е. А* — Л), то все собственные числа действительные, а собственные векторы образуют базис. Замечание. Если матрица несимметрична, и при этом среди собственных чисел имеются кратные, то может оказаться, что базиса из собственных векторов не существует, и тогда матрица не приводится к диагональному виду (12.14). 4°. Для вещественных матриц введем понятие квадратичной формы. Квадратичной формой матрицы А — \\o<ik\\ называется выражение η Ф(хь х2,..., хп) = Σ агкХ&к, (12.15) t,fc=l где χχ, Χ2, ..., xn — действительные числа. Таким образом, квадратичная форма — это функция от η переменных χχ, Χ2, ..., хп, имеющая специальный вид — это однородный многочлен 2-й степени. Пример Выражение Эх2 — 4ху + 2у2 есть квадратичная форма, соответствующая матрице 3-2 -2 2 Замечание. По данной квадратичной форме матрица А восстанавливается неоднозначно, так как х^х*. = х^Хг- Напри- 3 -41 А = мер, в данном примере можно положить А А = О 2 или 3 -1 -3 2 5°. Применение квадратичных форм. Уравнение кривой 2-го порядка на плоскости имеет общий вид Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Еу + F = 0. (12.16) 15*
228 Матрицы и определители В частности, при А = 1/а2, В = О, С = 1/62, β = £ = О, F — — 1 получается уравнение эллипса (п. 9.3.2°); при А = 1/а2, J3 = О, С = -1/Ь2, Ζ? = -Б = О, F = —1 получается уравнение гиперболы (п. 9.3.3°); при Л = В = О, С = 1, D = -р, Я = О, F = 0 получается уравнение параболы (п. 9.3.4°). Уравнение поверхности 2-го порядка в трехмерном пространстве имеет общий вид з з ^ амхм + 2^2bkXk + с = 0, (12.17) где х\ — χ, Χ2 — у, хз — ζ- Например, если ац = а22 = азз — 1? остальные а^ и все 6*. равны нулю, и С = — i?2, то получаем уравнение сферы Х2 + у2 + 22 = Д2. Известны три основных типа поверхностей 2-го порядка: X XI Ζ 1) эллипсоид: — + — + — = 1,в частности, сфера; аг Ьг сг X XJ Ζ X XI Ζ 2) гиперболоид: - +--- = 1 *----- = 1; ζ χ у ζ χ χι 3) параболоид: - - —^ + —и- = -^--г. с αΔ οζ с αΔ Ьг 6°. Одна из важных задач в теории квадратичных форм: приведение квадратичной формы к каноническому виду. Это означает, что с помощью линейной замены переменных η *< = Σ**& (12Л8) требуется преобразовать выражение (12.15) к виду η Φ(χΐ,Χ2,...,Χη) = Σ^' (12Л9) г=1 т. е. за счет подстановки (12.18) записать данную функцию в виде суммы квадратов новых переменных с некоторыми коэффициентами (т. е. «избавиться» от произведений перемен-
Собственные числа матриц и квадратичные формы 229 ных). Преобразование (12.18) должно быть невырожденным, т. е. detT^O. Оказывается, такое упрощение возможно сделать многими способами. При этом, если в качестве приводящей матрицы Τ взять «ортогональную» матрицу, составленную из собственных векторов-столбцов симметричной матрицы Л, то канонический вид квадратичной формы выражается через собственные числа \i матрицы А: Ф(хьх2,.. ,хп) = λχξ? + \2U + . ·. + ΚξΙ (12.20) Термин «ортогональная» матрица означает, что выполняется равенство Т* = Т-1, что равносильно равенству ТТ* — I. В свою очередь, это равносильно ортонормированности столбцов матрицы Т, т. е. попарной их ортогональности и нормировке на 1 каждого столбца. Пример _1_ _1_ 71 71 _1 1_ 71 "71 0 0 1 ортогональная матрица. Геометрический смысл замены (12.18) в случае ортогональной матрицы Τ — поворот системы координат (возможно, с отражением). Примеры 1) Ф = 3х2 + 2ху + 3у2, А 3 1 1 3 λι = 4, λ2 = 2. 1 1 V2 1 Ι 1 Til χ = (ξ-η)/ν2 φ = Αξ2 + 2η2, Это преобразование означает поворот осей координат на угол 45°.
230 Матрицы и определители Кривая, заданная на плоскости ху уравнением Зх2 + 2ху + Зу2 - 1 = 0, в новых координатах ξ, η описывается уравнением 4ξ2 + 2η2 = 1, это эллипс (п. 9.3.2°) с полуосями - и —■=. (рис. 12.1); 2 у2 Рис. 12.1. Эллипс 2) Φ = 2ху + 2yz + 2xz, A = 0 1 1 1 0 1 1 1 0 Рис. 12.2. Гиперболоид , λι = 2, λ2 = Аз = —1. Г = 1 1 1 у/Ъ у/2 >/Ъ — О - — у/Ъ у/Ъ J. 1_ J_ (x = t/V3 + V/y/2 + C/y/6 (ζ = ξ/νΖ-η/ν2 + ζ/ν6 Поверхность в трехмерном пространстве, описываемая уравнением 2ху + 2xz + 2yz-l = 0,
Собственные числа матриц и квадратичные формы 231 в новых координатах £, τ/, ζ имеет уравнение 2ξ2-η2-ζ2 = 1, это двухполостный гиперболоид вращения (рис. 12.2). Такая поверхность может быть получена вращением вокруг оси ξ гиперболы 2ξ2 - ζ2 = 1. 7°. Закон инерции квадратичной формы: в результате приведения квадратичной формы к каноническому виду различными линейными преобразованиями, число положительных и число отрицательных коэффициентов в каноническом виде (12.19) не зависит от выбора преобразования.
ФИЗИКА 1. ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ, ИХ РАЗМЕРНОСТИ И СИСТЕМЫ ЕДИНИЦ Изучаемые физикой закономерности лежат в основе всего естествознания. Физика относится к точным наукам, т. е. ее законы допускают количественную формулировку. Законы физики базируются на фактах, установленных опытным путем — с помощью экспериментов, в которых производятся различные измерения. Единицы физических величин делятся на системные (т. е. входящие в какую-либо систему единиц) и внесистемные (например, единицы энергии электрон-вольт и киловатт-час). Системные единицы подразделяются на основные, выбираемые произвольно (по соглашению), и производные, которые выражаются через основные. Физические величины характеризуются определенной размерностью. Анализ размерностей в ряде случаев оказывается плодотворным теоретическим методом исследования физических явлений. 1.1. Основные понятия. Физические величины. Законы физики 1°. Характеристикам объектов и явлений природы дают названия, чтобы проводить различия между ними. При этом возникают понятия, определения которых отвечают на вопросы, что понимают под тем-то и тем-то. Иногда понятию можно сопоставить физическую величину. При этом соответствующая характеристика объекта, явления или процесса должна допускать количественное выражение, т. е. для нее можно определить (ввести по определению) процедуру измерения и устано-
Основные понятия. Физические величины. Законы физики 233 вить единицы, в которых она измеряется. Например, понятию пространственной протяженности сопоставляется физическая величина, называемая расстоянием. Для измерения расстояний принята по определению некоторая процедура и выбрана определенная единица (метр). Измерить физическую величину — это значит выяснить, сколько раз в ней содержится однородная с ней величина, принятая за единицу. Это есть числовое значение физической величины. 2°. Между разными физическими величинами удается установить объективно существующие соотношения, т. е. установить физические законы. Иногда эти законы можно представить в форме математических уравнений. Физику называют точной наукой, выражая этим то обстоятельство, что устанавливаемые в физике соотношения между физическими величинами имеют количественную форму. Но следует помнить, что эти соотношения (физические законы), как правило, приближенны и справедливы в ограниченных областях. В противоположность «чистой» математике, где величины по определению обладают теми свойствами, которые им произвольно приписаны, в физике необходимо не приписывать, а открывать отдельные объективно существующие свойства. Входящие в уравнения физических законов значения физических величин (как и обозначения их символов — буквы) всегда следует рассматривать как произведения числового значения и единицы измерения. Если в уравнении для физических величин участвуют математические функции типа In, sin, ехр, то их аргументом может быть только безразмерное число (в частности, отношение величин одинаковой размерности, см. § 1.3). 3°. При любом исследовании физических явлений необходим обоснованный выбор физической модели, т. е. определенная идеализация, при которой следует сохранить наиболее важные черты явления. Примерами физических моделей могут служить материальная точка, абсолютно твердое тело, иде-
234 Физические величины, их размерности и системы единиц альный газ и т. п. Применимость той или иной модели зависит не столько от свойства рассматриваемой реальной системы, сколько от характера вопросов, на которые нужно получить ответы. Очень важно при этом уметь определять необходимую меру математической строгости: бессмысленно стремиться к получению точного решения в рамках достаточно грубой физической модели. 1.2. Система единиц 1°. Любое измерение заключается в сравнении измеряемой величины с другой, однородной с ней величиной, принятой за единицу. В принципе, единицы для всех величин можно выбрать совершенно независимо друг от друга. Однако это практически неудобно, так как тогда во всех уравнениях, выражающих связь между различными физическими величинами, появятся числовые коэффициенты. Кроме того, пришлось бы для каждой физической величины вводить свой эталон. Основной особенностью современных систем единиц является то, что между единицами различных величин имеются определенные соотношения. Эти соотношения устанавливаются теми физическими законами или определениями, которыми связаны между собой измеряемые величины. Например, единицу скорости выбирают так, что она выражается через единицы длины и времени. При таком выборе единицы скорости используют определение скорости. Единицу силы устанавливают с использованием второго закона Ньютона и выражают через единицы ускорения и массы. Это означает, что для нескольких произвольно выбираемых физических величин единицы устанавливают независимо друг от друга и называют основными. Единицы для остальных величин выражают через основные и называют производными. Число основных единиц и сам их выбор в разных системах единиц могут быть различными. Например, в системе единиц Гаусса (СГС) в качестве основных выбраны три единицы: длины (L), времени (Г) и массы (М), а в Международной системе
Система единиц 235 единиц СИ в качестве основных выбраны семь единиц: длины (L), времени (Т), массы (М), термодинамической температуры (0), количества вещества (N), силы электрического тока (I) и силы света (J). Определения основных и произвольных единиц в СИ приведены в приложении И. 2°. Кроме произвола в выборе физических величин, единицы которых принимаются за основные, и произвола в выборе масштаба (размера) этих единиц, имеется еще произвол в выборе коэффициентов пропорциональности в формулах, которыми вводятся производные единицы. Проиллюстрируем это на примере единицы площади. Выбрав в качестве единицы длины метр, можно в качестве единицы площади выбрать либо квадратный метр — площадь квадрата, сторона которого равна 1 метру, либо «круглый» метр — площадь круга, диаметр которого равен 1 метру. В первом случае площадь квадрата со стороной / выражается формулой S = /2, а площадь круга с диаметром / — формулой S = π/2/4. Во втором случае более простая формула получается для площади круга: S = /2, в то время как формула для площади квадрата будет содержать π: S = 4/2/π. Рассмотренные возможности введения единиц площади, отличающихся числовым коэффициентом, основывались на одной и той же геометрической закономерности, связывающей площади подобных фигур с их линейными размерами: S ~ /2. Но при введении производной единицы какой-либо величины, кроме упомянутого произвола в выборе числового коэффициента, имеется еще произвол в выборе физического закона, с помощью которого устанавливается связь производных единиц с основными. Например, единица силы обычно устанавливается с помощью второго закона Ньютона F = та. В этом случае выражение единицы силы через основные единицы, т. е. размерность силы, имеет вид dim F = MLT~2. (1.1) Однако при тех же основных единицах (L, Μ, Τ) для установления единицы силы можно вместо второго закона Ньютона
236 Физические величины, их размерности и системы единиц использовать закон всемирного тяготения, полагая в нем коэффициент пропорциональности безразмерным и равным, например, единице: F = πΐ\πΐ2/τ2. В этом случае за единицу силы принимается сила, с которой притягиваются друг к другу единичные точечные массы, находящиеся на единичном расстоянии друг от друга. Размерность силы при этом имеет вид dim F = M2L~2. (1.2) При таком выборе единицы силы во втором законе Ньютона, разумеется, появится размерный коэффициент, подобно тому как при обычном выборе (на основе второго закона Ньютона) размерный коэффициент появляется в законе всемирного тяготения (гравитационная постоянная). Разобранный пример показывает, что размерность физической величины зависит от способа построения системы единиц. Таким образом, при выборе способа построения системы единиц существует большой произвол. Однако на практике приходится считаться с целым рядом требований, которые существенно ограничивают этот произвол. Слишком большое число основных единиц было бы неудобно из-за появления размерных коэффициентов во многих физических формулах и из-за необходимости установления большого числа эталонов. Слишком малое число основных единиц приводит к тому, что построенные на их основе производные единицы оказываются неудобными для использования. Практически используются системы, в которых число основных единиц колеблется от трех до семи. 3°. При установлении основных единиц весьма важной является возможность создания таких эталонов, которые обеспечивали бы постоянство единицы и возможность ее воспроизведения, а также восстановление эталона в случае его утраты. Самый надежный способ решения этой задачи — поручить «хранение» эталонов самой природе. Так, принятый в настоящее время эталон времени основывается на периоде колебаний,
Система единиц 237 происходящих в атоме изотопа цезия-133. По определению единица времени секунда содержит 9 192 631 770 периодов этих колебаний. Атомы одного и того же изотопа тождественны, поэтому при указанном выборе эталона времени природа предоставляет в наше распоряжение практически неограниченное число совершенно идентичных «часов». Для установления основной единицы длины в настоящее время используется тот же самый эталон: по определению метр — это длина пути, проходимого светом в вакууме за 1/299 792 458 секунды. Для эталона массы пока не удается использовать массу какой-либо атомной частицы, так как точность определения атомных масс уступает точности измерения масс при взвешивании. Эталоном массы килограмм служит платино-иридиевая гиря, хранящаяся в Международном бюро мер и весов. 4°. Сложившаяся в настоящее время ситуация, когда как в учебной, так и в научной литературе наряду с Международной системой единиц СИ (от международного символа SI) широко используется гауссова система (или симметричная система СГС — от первых букв наименований основных единиц Сантиметр, Грамм, Секунда), требует понимания принципов построения каждой из них. Единицы механических величин в этих двух системах отличаются только масштабом, так как основные единицы в них выбраны на основе одних и тех же физических величин — длины, времени и массы. Поэтому все формулы и уравнения, выражающие физические законы и определения, в механике одинаковы в обеих системах. Иначе обстоит дело в электродинамике. Единица электрического заряда является производной и выражается через основные в гауссовой системе с помощью закона Кулона, коэффициент пропорциональности в котором выбирается безразмерным и равным единице: F = 9ι?2/^2· Размерность заряда получается равной dimg = M1/2L3/2T-1. (1.3) Единица электрического заряда в гауссовой системе не имеет специального названия. Все остальные электрические величй-
238 Физические величины, их размерности и системы единиц ны в этой системе имеют единицы, выражающиеся через единицу заряда, а тем самым и через основные единицы. Например, размерность силы электрического тока άιταΙ = ΜχΙ4ζ'2Τ-2. (1.4) Аналогичным образом вводятся производные единицы напряженности электрического поля, потенциала, емкости и т. д. 5°. Единицы магнитных величин вводятся в гауссовой системе следующим образом. Рассмотрим магнитное поле, создаваемое прямолинейным бесконечным проводником, по которому течет ток I. Согласно закону Био — Савара — Лапласа элемент этого проводника Δ/ создает в точке наблюдения, находящейся на расстоянии г от элемента, индукцию магнитного поля Δ В, равную /Δ/ sin a &В = к- г2 где коэффициент к зависит от выбора единиц. Суммирование полей, создаваемых всеми элементами проводника, дает для результирующей индукции поля в точке наблюдения выражение В = к-. (1.5) г Обнаружить магнитное поле можно по его действию на другой проводник с током. Если этот проводник расположить параллельно проводнику, создающему магнитное поле, то действующая на него сила, согласно закону Ампера, будет пропорциональна индукции магнитного поля J3, току в нем /' и его длине /: F = k'l'BL (1.6) Коэффициент к в (1.5) может быть выбран произвольно, так как единица индукции магнитного поля В еще не установлена. Но после того как этот коэффициент к в (1.5) выбран (тем самым выбрана и единица индукции В), коэффициент к' в (1.6) уже не может выбираться произвольно, а должен определяться из эксперимента. Разумеется, можно поступить и на-
Система единиц 239 оборот: использовать уравнение (1.6) для введения единицы индукции магнитного поля, полагая к' — 1, тогда коэффициент к в (1.5) будет определяться на опыте. В системе Гаусса (в симметричной системе СГС) поступают следующим образом: выбирают коэффициент к в (1.5) так, чтобы он равнялся коэффициенту к' в (1.6). Если подставить в (1.6) индукцию магнитного поля В из (1.5), то для силы взаимодействия двух параллельных проводников с токами I и /', находящихся на расстоянии г друг от друга, получим следующее выражение: F = kk'2-^. (1.7) В гауссовой системе кк' — к2. Поскольку для всех величин, входящих в эту формулу, единицы уже выбраны, коэффициент А:2, как легко убедиться, имеет размерность L~2T2, обратную размерности квадрата скорости. Этот коэффициент должен определяться экспериментально по измерению силы взаимодействия двух параллельных проводников, находящихся на известном расстоянии, когда по ним протекают известные токи. Опыт показал, что числовое значение к2 равно 1/с2, где с — скорость света в вакууме: с = 2,99792458 · 1010 см/с » 3 · 1010 см/с. В гауссовой системе единиц закон Био — Савара — Лапласа и закон Ампера записываются в виде а т-* Ι/Δ/sina „ 1т/п1 ,„ . ΔΒ = = , F=-I'BL (1.8) с rz с На основании последней формулы из (1.8) устанавливается единица индукции магнитного поля гаусс. Гаусс — это индукция такого поля, которое действует на 1 сантиметр проводника с током в 1 единицу тока с силой, равной 1/с дины, если проводник расположен перпендикулярно линиям индукции магнитного поля.
240 Физические величины, их размерности и системы единиц 6°. В отличие от гауссовой системы единиц, где единица силы тока является производной и выражается через основные единицы с помощью закона Кулона, в системе единиц СИ единица силы тока является основной. Эта единица выбрана на основе закона взаимодействия параллельных токов, выражаемого (1.7). За единицу силы тока ампер принимают такой ток, при протекании которого по параллельным проводникам, расположенным в вакууме на расстоянии 1 метр друг от друга, сила взаимодействия, приходящаяся на 1 метр длины проводника, равна 2 · 10~7 ньютона. Наряду с метром, секундой и килограммом ампер является четвертой основной единицей СИ (см. приложение И). После того как единица силы тока выбрана, можно установить размерность коэффициента кк' в (1.7). Она оказывается равной Я/Л2, т. е. MLT~2I~2. Коэффициент кк1 в СИ обозначается μο/4π, а величина μο называется магнитной постоянной. С помощью (1.7) и определения ампера можно вычислить ее значение. Подставляя в (1.7) F = 2 · 10~7 Н, J = /' = 1 А, / = г = 1 м, кк' — μο/4π, находим μ0 = 4π · ΙΟ"7 Η/Α2 = 12,5666370614 · ΙΟ"7 Η/Α2. (1.9) Числовой множитель 4π вводится в (1.9) для так называемой рационализации системы единиц. Благодаря этому коэффициент 4π исчезает из многих часто употребляемых формул (хотя при этом он появляется в некоторых других формулах). Введение здесь множителя 4π совершенно аналогично рассмотренному выше примеру перехода от квадратных метров к «круглым» при измерении площади. Подчеркнем, что числовое значение магнитной постоянной μο (1.9) в СИ получается как прямое следствие определения ампера, а не устанавливается на опыте, в отличие от коэффициента 1/с2 в гауссовой системе. Так получается потому, что в СИ единица силы тока является основной (выбранной произвольно), в то время как в гауссовой системе эта единица является производной.
Система единиц 241 Введение единицы силы тока «ампер» однозначно определяет только произведение коэффициентов к и к\ входящих в (1.5) и (1.6): kkf = μο/4π. При этом еще остается произвол в выборе сомножителей. В СИ полагают к' — 1; тем самым для к получается значение, равное μο/4π. В результате закон Ампера, описывающий действие магнитного поля на проводник с током /', в СИ записывается в виде F = I'BI. (1.10) Этот закон используется для установления единицы индукции магнитного поля В. Эта единица имеет наименование тесла. Тесла — это индукция такого поля, которое на 1 метр проводника с током 1 ампер действует с силой 1 ньютон, если проводник расположен перпендикулярно линиям индукции магнитного поля. Из (1.10) видно, что В имеет размерность Н/(Ас), т.е. МТ"2/"1. Закон Био — Савара — Лапласа, на основе которого рассчитывается индукция магнитного поля, создаваемого проводником с током, в СИ содержит размерный коэффициент к = μ0/4π: /xo^Aisina 4π τΔ Закон Кулона, описывающий взаимодействие точечных зарядов, в СИ содержит размерный коэффициент, ибо единица заряда в СИ кулон устанавливается независимо от закона Кулона на основе единицы силы тока ампер: 1 Кл = 1 А · с. Размерный коэффициент в законе Кулона записывается в виде 1/(4πεο), где величина εο называется электрической постоянной, а числовой множитель 4π вводится для рационализации: F=J-*f. (1.11) 4πεο г2 Из (1.11) видно, что εο имеет размерность Кл2/(Н · м2), т. е. M~lL~3T4I2. Ее единица имеет наименование фарад на метр. Числовое значение электрической постоянной εο определяется на опыте. Его можно найти, измеряя, напри- 16-2172
242 Физические величины, их размерности и системы единиц мер, силу взаимодействия известных точечных зарядов, находящихся на известном расстоянии друг от друга. Измерения дают для εο следующее значение: ε0 = 8,854187817 · 1(Г12 Кл2/(Н · м2) = = 8,854187817 · 1(Г12 Ф/м. (1.12) 7°. Установить соотношение между единицами заряда (или тока) в гауссовой системе и в СИ можно следующим образом. Пусть по параллельным проводникам, находящимся на расстоянии 1 метр друг от друга, текут токи по 1 амперу. Тогда действующая на 1 метр длины проводника сила равна 2 · 10~7 ньютона, т. е. 2 · 10~2 дины. Формула (1.7) для вычисления этой силы в гауссовой системе единиц имеет вид С Г Подставив в левую часть этой формулы F = 2 · 10~2 дин, а в правую / = г = 100 см, с = 2,99792458 · 1010 см/с, найдем, что такую силу магнитного взаимодействия проводников обеспечивает ток, численно равный 0,1с единиц тока в гауссовой системе. Итак, 1 А/(1 ед. тока гаусс, сист.) = 2,99792458 · 109 « 3 · 109. Соотношение между единицами тока в гауссовой системе и в СИ выражается через определяемую на опыте постоянную с. Таким же является и соотношение между единицами заряда в этих системах: 1 Кл ~ 3 · 109 ед. заряда гаусс, сист. Зная это соотношение, можно вычислить значение электрической постоянной во- Два точечных заряда по 1 кулону, находящиеся на расстоянии 1 метр друг от друга, взаимодействуют с силой, равной 1/(4πεο) ньютона. В гауссовой системе единиц эта сила равна
Система единиц 243 Итак, числовое значение коэффициента 1/(4πεο) равно 9 · 109. Поэтому εο = 4π I 1Q9 Кл2/(Н · м2) = 8,854 · ΙΟ"12 Кл2/(Н · м2). Нетрудно видеть, что фактически мы не теоретически «вычислили» электрическую постоянную εο, а всего лишь выразили ее через другую экспериментально определяемую постоянную с. Это означает, что в конечном счете электрическая постоянная все-таки определяется экспериментально. Этим она принципиально отличается от магнитной постоянной μο> значение которой задается (а не измеряется) в связи с определением ампера. Такое различие между εο и μο связано с тем, что в СИ введение единицы заряда основано на магнитном взаимодействии токов, а не на электростатическом взаимодействии зарядов. Связь между экспериментально определяемыми постоянными εο и с может быть представлена в несколько иной форме. Для этого сравним выражения для сил электростатического взаимодействия зарядов и магнитного взаимодействия токов, записанные в гауссовой системе и в СИ: (1.13) (1.14) Безразмерное отношение FB/FM должно быть одинаковым в обеих системах единиц. Составляя отношение правых частей (1.13) и (1.14) и приравнивая значения этого отношения в обеих системах, можно убедиться, что 1/с2 = εο/χ0. (1.15) Как уже отмечалось, запись некоторых формул в гауссовой системе и в СИ отличается не только размерными коэффициентами, но и числовыми множителями, появление которых связано с рационализацией системы единиц СИ. В приложении VI М Э О' г2 _ 1 2/2/ [ ~~о » cz г ι я2 F* = —, 4πεο г2' μ02Ι21 4π г 16*
244 Физические величины, их размерности и системы единиц сопоставляется запись наиболее важных формул электромагнетизма в этих системах единиц. 1.3. Метод анализа размерностей 1°. Физические величины, числовое значение которых не зависит от выбранного масштаба (размера) единиц, называются безразмерными. Примеры безразмерных величин — угол (отношение длины дуги к радиусу), показатель преломления света (отношение скорости света в вакууме к скорости света в веществе). Физические величины, числовое значение которых меняется при изменении масштаба единиц, называются размерными. Примеры размерных величин — длина, скорость, энергия. Выражение производной единицы физической величины через основные называется ее размерностью (или формулой размерности). Например, размерность импульса dimp = LMT~l. Размерности физических величин в СИ приведены в приложении И. Соображения размерности можно использовать для проверки правильности полученных результатов при решении физических задач: правые и левые части полученных выражений, как и отдельные слагаемые в каждой из частей, должны иметь одинаковую размерность. Метод размерностей может использоваться и для вывода формул и уравнений, когда нам известно, от каких физических параметров может зависеть искомая величина. Сущность метода легче уяснить на конкретных примерах. 2°. Определим скорость г;, с которой упадет на землю свободно падающее с высоты h тело массы га. Так как искомая величина может зависеть от ускорения свободного падения #, высоты h и массы га, то выражение для υ можно искать в виде ν = Chxgymz, (1.16)
Метод анализа размерностей 245 где С — некоторая безразмерная постоянная, а х, у и ζ — числа, подлежащие определению. Приравниваем размерности левой и правой частей (1.6): LT~l = Lx{LT~2)yMz. Показатели степеней у L, Μ и Τ в левой и правой частях должны быть равны, поэтому L 1 = χ + у, Г -1 = -2у, Μ 0 = ζ. Отсюда ζ — О, у = 1/2, χ = 1/2, и формула (1.16) принимает вид ν = Cyfgh. (1.17) Истинное значение скорости ν = y2gh, т. е. анализ размерностей дал возможность определить характер зависимости υ от #, ките точностью до числового множителя С 3°. Определим дальность s полета пули, выпущенной с начальной скоростью ν в горизонтальном направлении на высоте h над земной поверхностью. Ищем s в виде s = Cvxgyhzmu. (1.18) Равенство размерностей: L = {LT'lf{LT'2)yLzMu, (1.19) Приравниваем показатели степеней: L l = x + y + z, Τ О = -χ - 2у, Μ 0 = гх. Отсюда χ = —2у, ζ = 1 + у, и выражение (1.18) для s принимает вид s = Cv~2ygyhl+y = СЛ (з/^У · (1-20) Анализ размерностей позволил установить, что дальность полета s не зависит от массы пули, но зависит от высоты h и некоторой неизвестной степени у безразмерной комбинации пара-
246 Физические величины, их размерности и системы единиц метров gh/υ2. Если нам известна (например, из опыта) зависимость s хотя бы от одного из параметров, то у немедленно определяется. Пусть известно, что s ~ υ\ тогда у = —1/2, и для s из (1.20) получаем s — Cvy/h/g, что с точностью до постоянного множителя С совпадает с истинным значением s — Vyj2h/g. Анализ размерностей не позволил полностью определить характер зависимости потому, что число параметров, от которых могла зависеть дальность s (четыре), оказалось больше числа основных единиц используемой системы единиц. В этом примере характер зависимости можно определить полностью, если воспользоваться так называемыми векторными единицами длины. Будем измерять длину в горизонтальном и вертикальном направлениях в разных единицах и обозначим их размерности через Lr и LB. Тогда, учитывая, что dimi; = LrT_1, dim g = LBT~2, dim/i = LB, вместо (1.19) получаем LT = (L.T"1)* (LbT-l)yLlMu. Приравниваем показатели степеней: Lr 1 = χ, Ьв 0 = у + ζ, Τ 0 = -χ - 2у, Μ 0 = u. Отсюда у — —1/2, ζ — 1/2 и для s получаем s = Cvg-l'2h1'2 = Cvjhfg. Увеличение числа основных единиц расширяет возможности метода размерностей. 4°. Рассмотрим ламинарное течение вязкой жидкости по трубе (рис. 1.1). Объем жидкости V, протекающей через сечение трубы за время £, пропорционален времени t и зависит
Метод анализа размерностей 247 от разности давлений Ар на концах трубы, вязкости жидкости т/, длины / и радиуса R трубы: V = C{Apf^lzRut. Здесь также удобно измерять длину вдоль и поперек трубы в разных единицах с размерностями L\\ и L±. Тогда dim/ = L||, dimi? = Lj_, dimV = L||Lj_, dimAp = ML||L22T"2, dim// = ML~lT-\ и равенство размерностей принимает вид L||L_l = (ML||LX2T-2)a;(ML-1r-1)2/L|Llr. Приравнивая показатели степеней, Μ О = χ + у, L± 2 = -2х + щ Τ 0 = -2х-у + 1, находим χ = 1, у = —1, ζ = —1, гл = 4 и для У получаем ηΐ Таким образом, объем жидко- Ьр=рх-рг д сти V, протекающей через сечение трубы за время £, пропорционален разности давлений на единицу длины трубы Ар/1 и обратно пропорциона- Рис. 1.1. лен вязкости, что достаточно к расчету объема V вязкой очевидно и без приведенного жидкости, протекающей через г\ сечение трубы за время t расчета. Однако не столь три- уу ^ виален вывод о том, что объем жидкости пропорционален четвертой степени радиуса трубы (т. е. квадрату площади ее поперечного сечения). Полученные закономерности справедливы для трубы с постоянным поперечным сечением произвольной формы. В случае круглого сечения динамический расчет дает С = π/8 (см. формулу Пуазейля (2.95)).
248 Физические величины, их размерности и системы единиц 5°. Определим зависимость скорости звука (т. е. продольных упругих волн, см. п. 5.7.4°) от свойств среды. Можно предположить, что эта скорость зависит от упругих свойств среды, определяемых модулем Юнга Ε (п. 3.6.2°), от инертных свойств, описываемых плотностью р, и от длины волны λ. Размерности этих величин: dim Ε = L-lMT~2, dim ρ = ML'3, dim λ = L. Записывая выражение для искомой скорости звука и в виде и = CExpyXz, приходим к следующему равенству размерностей: LT~l = (ML-lT-2)x(ML-3)yLz, откуда L I = -χ - Зу + ζ, Μ О = χ + у, Г -1 = -2х, т. е. χ = 1/2, у = —1/2, ζ = 0. Итак, получаем u = Cy/WJp. (1.21) Скорость звука не зависит от длины волны λ. Динамический вывод дает тот же результат с С = 1. 6°. Определим скорость волн на поверхности воды (п. 5.7.13°). Скорость капиллярных волн зависит от поверхностного натяжения σ (п. 3.5.1°), плотности воды ρ и длины волны λ. Записывая выражение для ик в виде ик = Caxpy\z и учитывая, что dima = МТ~2, получаем LT~l = (MT-2)x(ML-3)yLz, откуда χ = 1/2, y — z — —1/2. Поэтому ик = Cy/σ/ρλ. Динамическая теория дает С = \/2π.
Метод анализа размерностей 249 Скорость тяжелых волн на глубокой воде (h » λ) может зависеть только от д и λ. Составляя равенство размерностей для формулы ит = Сдх\у, находим χ = у = 1/2, т. е. ит = Су/дХ. (1.22) Динамическое рассмотрение дает С = \/у/2п. Скорость предельно длинных волн (λ » К) и волн на мелкой воде не должна зависеть от длины волны λ, но теперь она может зависеть от глубины водоема h. Равенство размерностей для формулы ит = Cgxhy дает ит = Cy/gh. (1.23) В данном случае С = 1. 7°. Микроскопическая модель реального газа. Для реального газа (п. 3.4.1°) требуется принимать во внимание конечный размер молекул. Простейшая модель такой системы — твердые шары радиуса го, взаимодействующие только при соприкосновении друг с другом. Кроме радиуса го, система характеризуется массой m молекул (шаров), их концентрацией η и средней тепловой энергией кТ. Близость свойств такой системы к свойствам идеального газа зависит от отношения энергии взаимодействия молекул к энергии теплового движения JkT, т. е. определяется безразмерным параметром, составленным из го, т, пи кТ. Поскольку время входит только в JkT, то кТ в безразмерный параметр η входить не может. Но тогда не может входить в него и масса т. А из оставшихся величин го и η можно составить только один независимый параметр η = г$п, физический смысл которого — отношение собственного объема шара к среднему объему, приходящемуся на одну молекулу в газе. Предельному случаю идеального газа соответствует сильное разрежение, т. е. η <С 1. Интересно, что отношение энергии взаимодействия молекул к энергии теплового движения кТ в такой модели оказалось не зависящим от кТ. Это значит, что энергия взаимодействия молекул в модели твердых шаров, так же как и кинетическая энергия, пропорциональна температуре!
250 Физические величины, их размерности и системы единиц Однако из опыта известно, что у реальных газов степень идеальности зависит от температуры, вопреки предсказанию модели твердых шаров. Это значит, что в микроскопической модели реального газа необходимо учитывать взаимодействие молекул друг с другом и на расстоянии, а не только при соприкосновении. 8°. Время релаксации в газе (время установления равновесного состояния, см. п. 3.1.1°). Анализ размерностей показывает, что из четырех характеризующих газ параметров го, га, п, кТ (п. 1.3.7°) в величину τ, имеющую размерность времени, масса молекулы га и энергия теплового движения кТ входят в определенных степенях в комбинации yJkT/m, в то время как зависимость г от го и η определяется с точностью до произвольной функции / безразмерного параметра η = г$п: „-1/3 :/(г03п). (1.24) у/кТ/т Поскольку у/кТ/т имеет смысл скорости теплового движения молекул, то полученный результат означает, что релаксация в газе из нейтральных молекул может происходить только благодаря их тепловому движению и характерное время г всегда обратно пропорционально корню из температуры. 9°. Время релаксации в плазме. В плазме вместо параметра го, характеризующего размер нейтральных частиц, фигурирует квадрат заряда е2, поскольку кулоновское взаимодействие заряженных частиц простирается на бесконечно большое расстояние. Анализ размерностей (который в данном случае удобно производить в гауссовой системе единиц) показывает, что из е2, п, га и кТ можно составить только один независимый безразмерный параметр η = e2n1/3/(fcT). Он имеет смысл отношения потенциальной энергии взаимодействия частиц, находящихся на среднем расстоянии п-1/3 друг от друга, к энергии теплового движения кТ. Поэтому классическая (не квантовая) плазма тем ближе по свойствам к идеальному газу, чем меньше концентрация η заряженных частиц и чем выше температура Т. По аналогии с (1.24) легко написать параметр т,
Метод анализа размерностей 251 имеющий размерность времени: -1/3 /eV/sX -да'(^)· (125) Как и в нейтральном газе, здесь существуют релаксационные процессы, определяемые тепловым движением частиц плазмы, когда /~1 иг~ —==. Однако возможны и процессы, у/кТ/тп характерное время которых не зависит от температуры: при f(x) = С/у/х из (1.25) имеем г = Су/тп/(пе2). (1.26) Независимость г от температуры означает, что это время не зависит от скорости частиц. Механическое движение частицы, характерное время которого не зависит от скорости,— это гармоническое колебание (§ 5.2). Колебания в плазме, период которых определяется формулой (1.26), возникают при локальном нарушении ее электронейтральности (когда в некотором месте концентрации частиц с зарядами противоположных знаков неодинаковы). Частота ω таких плазменных колебаний зависит от концентрации η электронов и, как показывает динамическое рассмотрение, равна у/4ппе2/тп в гауссовой системе единиц (ω = y/(ne2/meo) в СИ). 10°. Температурная зависимость излучения черного тела. Равновесное тепловое излучение можно рассматривать как газ фотонов. Объемная плотность энергии излучения w равна произведению концентрации η фотонов на среднюю энергию одного фотона (Е), которая в тепловом равновесии по порядку величины равна кТ. Так как dim n = L~3, то нужно составить комбинацию с размерностью длины из величин кТ, cnh. Единственная такая комбинация — это ch/(kT). Поэтому концентрация η фотонов пропорциональна (kT/ch) , и для объемной плотности энергии получаем w = C(kTf/(hcf, где С — безразмерный коэффициент. Полная испускаемая черным телом энергия пропорциональна четвертой степени температуры.
252 Механика 2. МЕХАНИКА Механика изучает простейшую форму движения материи — механическое движение. Механическое движение состоит в изменении положения тела относительно других тел. Описание механического движения производится в определенной системе отсчета. Системой отсчета называют тело (или совокупность неподвижных друг относительно друга тел) вместе с приборами для измерения расстояний и промежутков времени. Механическое движение относительно — одно и то же движение будет различным в разных системах отсчета. На основе изучения механического движения формируются представления о физическом пространстве и времени. Эти понятия являются фундаментальными, т. е. их нельзя определить через какие-то более простые понятия. Опытным путем установлены следующие их свойства: физическое пространство трехмерно, однородно и изотропно, время одномерно и однородно. Однородность времени проявляется в неизменности физических законов с течением времени: опыт, поставленный в одинаковых условиях в разные моменты времени, дает одинаковые результаты. С однородностью времени связано сохранение энергии (п. 2.4.7°). Однородность и изотропность пространства проявляются в независимости физических явлений в замкнутой (изолированной) физической системе от ее положения и ориентации как целого. С однородностью пространства связано сохранение импульса, с изотропностью — сохранение момента импульса (п. 2.4.3°). 2.1. Кинематика Задача кинематики — математическое описание движения без выяснения его физических причин. Используемые в кинематике физические модели — материальная точка, твердое тело, сплошная среда.
Кинематика 253 Г г 0 А/ r(tV As /fr(t + Μ) У \ V У Рис. 2.1. Радиус-вектор г, координаты х, у, ζ, траектория, перемещение Δγ, путь As Кинематика материальной точки 1°. Материальная точка — тело, размеры и форма которого несущественны в рассматриваемом движении. В частности, при поступательном движении (п. 2.1.6°) любое твердое тело можно считать материальной точкой. В выбранной системе отсчета пространственное положение материальной точки определяется ее радиус-вектором г, проведенным из начала системы координат (п. М8.1.1°). Задание радиус-вектора г эквивалентно указанию трех чисел, например трех его проекций х, у, ζ на оси декартовой системы координат (рис. 2.1), см. п. М8.1.2°. Число независимых координат, которое необходимо для задания пространственного положения механической системы, называется числом ее степеней свободы. Материальная точка имеет три степени свободы. При движении радиус-вектор и координаты изменяются с течением времени. Говорят, что задан закон движения, если указана векторная функция времени г = r(t) или три эквивалентные ей скалярные функции χ = x(t), у = y(t), z = z(t). Линия, описываемая движущейся материальной точкой в пространстве, называется траекторией. Движения разделяются на прямолинейные и криволинейные в зависимости от вида траектории. Пример Заданы координаты точки как функции времени, соответствующие гармоническим колебаниям с одинаковой частотой ω вдоль осей χ и у: x(t) = bcosut, y(t) = dsinut, z(t) = 0. (2.1)
254 Механика Для нахождения уравнения траектории надо исключить из (2.1) время t. Используя тождество cos2 ωί + sin2 ωί = 1 (п. М9.3.2°), получаем ^4-ί -Ί α2 + (Ρ " ' (2.2) Рис. 2.2. ~^ ^ Движение по эллипсу чт0 соответствует движению в плоскости ху по эллипсу с полуосями b и d (рис. 2.2). Движение происходит против часовой стрелки, в чем можно убедиться с помощью (2.1): при t = О точка находится в положении Л, затем при t > О χ начинает убывать, а у — возрастать; точка переходит в положение В. 2°. Перемещение точки за промежуток времени Δί — вектор Δγ, соединяющий положения точки в моменты t и t + At. Из рис. 2.1 видно, что r(t + At) = r(t) + Ar. Путь As, пройденный точкой за тот же промежуток времени At,— это длина соответствующего отрезка траектории. При прямолинейном движении в одном направлении As = |Δγ|, при криволинейном As > \Ar\. Путь s(t), пройденный точкой к моменту времени t,— это длина траектории от некоторого начального положения А до положения в момент t. Если точка меняла направление движения по той же траектории, то ее путь s — это полное пройденное вдоль траектории расстояние. Средняя скорость vcp = Ar/At. Средняя скорость прохождения пути (или движения по траектории) vs = As/At. При прямолинейном движении в одном направлении \vcp\ = va, при криволинейном — |vcp| < vs. Скорость в момент времени t — предел, к которому стремится средняя скорость при At —» 0, т. е. производная (п. М5.4.1°) от r(t) no t: Ar dr (2.3) ν = lim A Δί—0 At dt
Кинематика 255 Скорость в каждой точке направлена по касательной к траектории. Проекции скорости на оси координат: __ dx __ dy __ dz dt' * Л' * A Ускорение в момент времени < — производная от v(t) по ί: (2.4) а = Л"' или ах = dvx ~dt' α2 = ~dt (2.5) Пример Для движения по эллипсу, описываемому уравнениями (2.1), имеем vx = — ubsmut, ax = —u2bcosu>t) vy = udcosut, ay = —a;2dsina;i, (2.6) vz = 0, аг = О (п. М5.4.5°). В точке А (рис. 2.2) г/ж = 0, vy = a;d, т. е. скорость ν направлена вдоль оси у; ах = — ω26, α^ = 0, т. е. ускорение a направлено противоположно оси х. 3°. В случае произвольного криволинейного движения (рис. 2.3) ускорение можно разложить на две составляющие: ar, направленную по касательной к траектории, и an, направленную по нормали к центру кривизны траектории (п. М9.3.5°): = ат + ап, dv υ2 ап- R, (2-7) , ...-■^ϊν r/ с* где R — радиус кривизны траек- рис. 2.3. тории в данной точке. Тангенци- Ускорение при альное ускорение ат характеризу- криволинейном движении ет быстроту изменения модуля скорости, нормальное ускорение ап — ее направления.
256 Механика 4°. Прямолинейное движение. Если направить ось χ вдоль траектории, то проекции перемещения, скорости и ускорения на оси у и ζ равны нулю и под χ, ν и а следует понимать проекции соответствующих величин на ось х. При равномерном движении скорость постоянна, поэтому а = О, ν = г;о, χ = хо + v$t· (2.8) На графике скорости (рис. 2.4, а) заштрихованная площадь численно равна пути, пройденному от момента t = 0 до t. Тангенс угла наклона а графика координаты (рис. 2.4, б) численно равен скорости vq. Графики скорости и координаты при равномерном движении При движении с постоянным ускорением dot а = ао, v = vo + aot, x = xo + vot + -—. (2.9) На графике ускорения (рис. 2.5, а) заштрихованная площадь численно равна модулю приращения скорости за время от t = О до t. На графике скорости (рис. 2.5, б) заштрихованная площадь численно равна пути, пройденному от момента t = 0 до t. График координаты — парабола (рис. 2.5, в). В частном случае движения без начальной скорости (г;о = 0) из начала координат (xq = 0) ±2 ν = a0t, x = -γ-. (2.10)
Кинематика 257 Χ *. *-*β+ι>β*+¥ Рис. 2.5. Графики ускорения, скорости и координаты при равнопеременном движении Из этих формул следует ν2 = 2αοχ. В частном случае г;о φ О, хо = 0 имеем υ = vq + a$t, χ = vot+ ——, г;2 — Vq = 2αοχ. (2.11) (2.12) 5°. При равномерном движении (υ = const,) no окружности ατ = di;/<fe = 0, ускорение направлено к центру (центростремительное ускорение) и равно an = v2/R. (2.13) Угловая скорость ω связана со скоростью υ и радиусом R окружности соотношением v = uR. (2.14) Частота обращения по окружности ν = ω/2π, период обращения Г = 1/ι/ = 2π/α;. Для αη справедливы формулы αη = Л = 4тт21/2Я = -^-Я. (2.15) 17 -2172
258 Механика Кинематика твердого тела 6°. Твердое тело — система материальных точек, расстояния между которыми неизменны. Твердое тело имеет шесть степеней свободы: для задания его положения нужно указать, например, три координаты какой-либо его точки и три угла, характеризующие его ориентацию в пространстве. Движение тела, при котором его ориентация остается неизменной, называется поступательным. При поступательном движении все точки тела движутся по одинаковым траекториям с одинаковыми скоростями (рис. 2.6), поэтому все тело можно рассматривать как одну материальную точку (параллельный перенос, см. п. М8.4.1°). Другие важные виды движения твердого тела — вращение вокруг фиксированной оси, плоское движение, вращение вокруг неподвижной точки. Рис. 2.6. Поступательное движение = ώχ? 7°. При вращении вокруг фиксированной оси (рис. 2.7) все точки тела движутся по окружностям, причем скорость ν любой из них равна векторному произведению (§ М8.2) угловой скорости о>, направленной вдоль оси вращения, и радиуса-вектора г рассматриваемой точки тела: ν = ω χ г. (2.16) Рис. 2.7. Вращение вокруг оси Модуль скорости υ = a>i?, где R = г sin θ — расстояние до оси вращения (рис. 2.7). Такому движению соответствует одна степень свободы.
Кинематика 259 8°. Частный случай плоского движения — качение цилиндра (рис. 2.8). Его можно представить как сумму вращения вокруг какой-либо оси, параллельной образующей цилиндра, и поступательного движения со скоростью, равной скорости точек цилиндра, лежащих на этой оси. При любом выборе оси угловая скорость ω одна и та же. В качестве оси вращения удобно выбирать либо ось О цилиндра, либо линию О' касания цилиндра с поверхностью, по которой он катится. Если качение происходит без проскальзывания, то скорости точек на линии касания О' равны нулю, а скорость любой другой точки цилиндра будет такой же, как при вращении с той же угловой скоростью вокруг неподвижной оси, проходящей через линию касания О' {мгновенная ось вращения). Распределение скоростей точек, лежащих на вертикальном диаметре, показано на рис. 2.8, а. Например, скорость точки А равна ν α = ω · 2i?, так как она находится на расстоянии 2R от мгновенной оси О'. Ее же можно представить как сумму скорости υ оси О цилиндра и скорости u>R, обусловленной вращением вокруг оси цилиндра (рис. 2.8, б): υ а = ν + uR = 2α; i?, так как при качении без проскальзывания υ = u>R. Точки оси цилиндра движутся прямолинейно; точки поверхности цилиндра — по циклоидам; точки, находящиеся между осью и поверхностью,— по трохоидам (кривым, похожим на циклоиду, но со сглаженными углами). а) а б) О Рис. 2.8. Качение цилиндра 9°. Пример вращения вокруг неподвижной точки — качение без проскальзывания конуса В по поверхности неподвижного конуса А, имеющего с ним общую вершину О (рис. 2.9). 17*
260 Механика +А Такое движение можно представить либо как чистое вращение конуса В с угловой скоростью ω вокруг мгновенной оси, проходящей по линии касания, либо как сумму двух вращении: с угловой скоростью о>о вокруг собственной оси и с угловой скоро- Рис. 2.9. стью Ω вокруг оси неподвижного ко- Вращение вокруг нуса А: неподвижной точки ω = ω0 + Ω. (2.17) Это значит, что скорость любой точки катящегося конуса определяется по формуле (2.16), в которую можно подставить ω из (2.17). Точки оси подвижного конуса движутся по окружностям, а не лежащие на оси точки описывают сложные волнообразные траектории. 2.2. Динамика 1°. Динамика изучает механическое движение тел, используя представление об их взаимодействии. Взаимодействие тел — это причина изменения скорости их движения, т. е. ускорения. Ускорение тела не может быть задано произвольно: его значение в данный момент не зависит от предшествующего движения тела и определяется положением и движением окружающих тел. Основу динамики составляют три закона Ньютона. Первый закон Ньютона (закон инерции) позволяет выбрать системы отсчета, в которых законы движения выглядят наиболее просто: существуют такие системы отсчета (называемые инерциальными)', в которых движение свободного тела происходит равномерно и прямолинейно (с постоянной скоростью ν). В таких системах отсчета покой или равномерное движение (движение «по инерции») представляет собой естественное состояние, а динамика должна объяснить изменение этого состояния (т. е. ускорение тела). Свободных тел, не подверженных
Динамика 261 воздействию со стороны других тел, строго говоря, не существует. Однако благодаря убыванию всех известных взаимодействий с увеличением расстояния такое тело можно реализовать с любой требуемой точностью. Опыт показывает, что гелиоцентрическая система отсчета (связанная с Солнцем и «неподвижными» звездами) является инерциальной в рамках достижимой в настоящее время точности измерений. Второй закон Ньютона связывает ускорение тела с действующими силами и его массой: в инерциальной системе отсчета ускорение тела пропорционально векторной сумме действующих на него сил и обратно пропорционально массе тела: а = -i . (2.18) τη Сила — это физическая величина, характеризующая взаимодействие тел. Измерение сил любой физической природы основывается на свойстве сил вызывать деформацию упругих тел и осуществляется с помощью динамометров. Опыт показывает, что сила — векторная физическая величина, т. е. на нее распространяются правила действий с векторами (п. М8.1.1°). В частности, под действием нескольких сил (даже разной физической природы) движение происходит так же, как под действием одной силы (равнодействующей), равной векторной сумме всех отдельных сил. Одна и та же сила разным телам сообщает различные ускорения. Чем меньше ускорение, тем больше инертность тела. Физическая величина, количественно характеризующая свойство инертности тела, называется массой. Измерение массы может основываться на сравнении ускорений, сообщаемых данному телу и эталонному телу одной и той же силой: отношение масс равно обратному отношению модулей ускорений. Такое динамическое измерение масс атомов и молекул производится в масс- спектрометрах, принцип действия которых основан на отклонении пучков ионов электрическими и магнитными полями. В этих измерениях используется атомная единица мае-
262 Механика сы (а. е. м.), равная 1/12 части массы нуклида (ядра) углерода-12: 1 а. е. м. = 1,6605402 · Ю-27 кг. Массы макроскопических тел на практике измеряют взвешиванием, т. е. сравнением действующей на тело силы тяготения с силой тяготения, действующей в том же гравитационном поле на эталон массы (гирю). Измерение массы взвешиванием основано на законе пропорциональности инертной и гравитационной масс (п. 2.3.1°). Как показывает опыт, масса представляет собой аддитивную скалярную величину, не зависящую от положения тела и его скорости (при условии, что скорость тела много меньше скорости света). Отношение массы т тела к его объему V называется плотностью: ρ = m/V. Плотности некоторых веществ приведены в п. 2.8.5°. Третий закон Ньютона количественно характеризует взаимодействие тел: силы, с которыми тела действуют друг на друга, равны по модулю и противоположны по направлению: Fl2 = -F2l. (2.19) В частности, третьему закону Ньютона удовлетворяют силы гравитационного воздействия (закон всемирного тяготения, см. п. 2.3.1°) и электростатического взаимодействия (закон Кулона, см. п. 4.1.1°). Силы взаимодействия материальных точек имеют центральный характер, т. е. направлены вдоль соединяющей их прямой. Третий закон предполагает мгновенное распространение взаимодействий, поэтому для взаимодействующих на расстоянии движущихся тел он справедлив лишь при достаточно медленных по сравнению со скоростью света движениях (§ 7.1). Отметим, что сформулированная здесь логическая схема динамики не является единственно возможной. Дело в том, что такие важные понятия динамики, как сила и масса, невоз-
Динамика 263 можно ввести независимо от самих законов динамики, т. е. вне ее рамок. Поэтому возникает некоторый произвол в том, какие положения рассматривать в качестве определений соответствующих величин, а какие считать утверждениями, проверяемыми на опыте. Например, процедуру измерения массы можно вводить по определению на основе третьего закона Ньютона: за отношение масс примем обратное отношение модулей ускорений двух тел при их взаимодействии друг с другом: ТП\/ГП2 = θ2/θχ. При таком измерении массы тела не используется понятие действующей на него силы. Теперь утверждение второго закона Ньютона об обратной пропорциональности ускорения тела его массе становится проверяемым на опыте положением, а не определением массы. Но физическое содержание третьего закона при этом сводится к утверждению: отношение модулей ускорений двух взаимодействующих тел будет всегда одним и тем же независимо от характера их взаимодействия, а векторы ускорений направлены в противоположные стороны. Еще одна непротиворечивая логическая схема возникает, когда способ измерения сил основывается не на их свойстве вызывать упругую деформацию, а на пропорциональности ускорения вызывающей его силе. 2°. Импульс материальной точки — это произведение ее массы на скорость: ρ = την. Поскольку а = dv/dt, то второй закон Ньютона (2.18) можно записать в виде г Второй закон Ньютона в форме (2.20) справедлив и при движении со скоростями, близкими к предельной скорости с (скорости света).
264 Механика Любая система отсчета, движущаяся относительно гелиоцентрической без ускорения, также является инерциальной. Законы Ньютона справедливы во всех инерциальных системах отсчета. Это означает, что никакими механическими опытами в изолированной физической системе нельзя установить, покоится она или движется как целое без ускорения относительно гелиоцентрической системы отсчета. Это утверждение выражает содержание механического принципа относительности или принципа относительности Галилея (п. 7.2.1°). 3°. В динамике различают два вида задач, решаемых с помощью второго закона Ньютона. Задачи первого вида заключаются в определении сил по известному движению тела. Классический пример — установление характера зависимости силы тяготения от расстояния на основе известных из астрономических наблюдений законов движения планет. В частности, третий закон Кеплера (п. 2.5.1°) утверждает, что для круговых орбит квадраты периодов обращения пропорциональны кубам радиусов орбит: Τ2 ~ г3. Поскольку при равномерном движении по окружности υ = 2пг/Т, а ускорение а направлено к центру и равно по модулю υ2/г, то действующая на планету сила, согласно второму закону Ньютона, равна г = та = га— = га . \^-*Ч г г Учитывая, что Т2 ~ г3, получаем F ~ тп/г2 — сила тяготения обратно пропорциональна квадрату расстояния от планеты до Солнца и прямо пропорциональна массе га планеты. Так как роль планеты и Солнца в их гравитационном взаимодействии одинакова, то сила тяготения должна быть пропорциональна и массе Μ Солнца: гаМ F = G- т2 (п. 2.3.1°). Значение гравитационной постоянной G нельзя получить из астрономических наблюдений — для этого требуется лабораторный эксперимент (опыт Кэвендиша).
Динамика 265 4°. Задачи второго вида состоят в определении характера движения тела, если известны действующие на него силы и начальное механическое состояние — положение и скорость в начальный момент. Простейший пример такой задачи — движение материальной точки в однородном постоянном (не зависящем от времени) поле. В частности, для движения материальной точки в поле тяготения вблизи поверхности Земли без учета сопротивления воздуха второй закон Ньютона приводится к виду dv _ И=9' Интегрирование этого уравнения с начальными условиями v(0) = v0, r(0) = r0. дает v{t) = v0 + gt, r(t) = r0 + v0t + (2.22) Рис. 2.10. Траектория в поле тяжести Траектория материальной точки лежит в плоскости, задаваемой векторами vo и g (рис. 2.10). Вводя в этой плоскости оси координат х, у (п. М8.3.2°), из (2.22) получаем проекции скорости и координаты точки как функции времени: Vx(t) — vo cos α, vy(£) = fosina — gt\ (2.23) г>о cos α, x(t) — (vocosa)t, y(t) = (v0sma)t- gt2 (2.24) где а — угол, образуемый начальной скоростью с осью х. Исключая время t из уравнения (2.24), получаем уравнение траектории (рис. 2.10) y = xtga-|^-(l + tg2a). (2.25)
266 Механика Уравнение (2.25) описывает семейство параболических траекторий, зависящее от двух параметров: аи% Решение задач о свободном падении сводится к исследованию этого уравнения. Примеры 1) Дальность s полета по горизонтали находится из (2.25), если положить y(s) = О (рис. 2.10): υ2 β = -£ sin 2α. (2.26) 9 Максимальная дальность (при заданном значении vo) достигается при а — 45°; smax — v\jg. 2) Граница достижимых целей при заданной начальной скорости определяется из уравнения траектории (2.25), если при фиксированном значении χ найти самую высокую точку, в которую еще может попасть тело. Для этого нужно найти максимум у как функции угла а, что сводится к исследованию квадратного трехчлена (п. М2.4.2°) относительно тангенса угла а. Трехчлен имеет максимум при tga = у%/(дх). Подстановка этого значения в (2.25) дает уравнение искомой границы (рис. 2.11): Рис. 2.11. Граница достижимых целей у % Н' (2.27) Граница (2.27) является огибающей семейства параболических траекторий (2.25) с фиксированным значением υο и сама представляет собой параболу с вершиной при χ — 0, у — v^/2g. 5°. В динамике встречаются также задачи, которые нельзя отнести ни к одному из указанных видов: некоторые силы заданы, а другие — как правило, силы реакции связей — сами подлежат определению. Для решения таких задач, кроме второго закона Ньютона, необходимо учитывать ограничения, налагаемые связями на рассматриваемое движение.
Силы тяготения, трения и упругости 267 Рис. 2.12. ? Конический маятник Пример Конический маятник длины / совершает вращение с угловой скоростью ω (рис. 2.12). Сила тяжести тд задана, а сила натяжения Τ неизвестна. Второй закон Ньютона: та — Τ + тд. Из характера движения ясно, что вектор та направлен горизонтально к центру окружности. Из подобия треугольников на рис. 2.12 следует Τ/(та) — 1/R. Так как а — u2R, то для силы натяжения нити получаем Τ — τηω21. Поскольку Τ — гипотенуза, а тд — катет, то Τ > тд, откуда ω2 > д/1 — только при выполнении этого неравенства возможно указанное движение. Угол отклонения от вертикали, как видно из рис. 2.12, определяется соотношением cos α = mg/R = д/ (ω2ΐ). 2.3. Силы тяготения, трения и упругости Законы Ньютона определяют движение тела независимо от природы сил, вызывающих ускорение. Все многообразие взаимодействий в природе сводится к четырем типам: гравитационное, электромагнитное, слабое и сильное. Область проявления сильных и слабых взаимодействий ограничивается процессами в атомных ядрах и превращениями элементарных частиц (п. 7.6.2°, § 7.7). Существует теория, в которой электромагнитное и слабое взаимодействия рассматриваются как разные проявления единого электрослабого взаимодействия. Дальнодействующие гравитационное и электромагнитное взаимодействия определяют все макроскопические явления. 1°. Гравитационное взаимодействие описывается законом всемирного тяготения: две материальные точки притягиваются с силой, пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними: ΤΠ\ΤΠ2 F = G- (2.28) Гравитационная постоянная G — 6,67259 · 10 и м3/ (кг · с2).
268 Механика В векторном виде закон всемирного тяготения записывается следующим образом (рис. 2.13): F12 = Gmim2lm _ |3· (2.29) r2 — ri |r2-ri|2 O*^ Выражения (2.28), (2.29) справедли- Рис. 2.13. вы и для взаимодействия точечной Закон всемирного массы с шаром, имеющим сфери- тяготения чески-симметричное распределение массы, и для гравитационного взаимодействия двух шаров. При этом под г нужно понимать расстояние между их центрами. Движение тел (планет, спутников) под действием гравитационных сил рассматривается в п. 2.5.2°. Источником доля тяготения является гравитационная масса (или гравитационный заряд) тела гагр, подобно тому как электрический заряд q является источником электрического поля. Это видно из сравнения закона всемирного тяготения (2.28) и закона Кулона (п. 4.1.1°). Опыт показывает, что гравитационная масса тела тгр пропорциональна его инертной массе гаин, входящей во второй закон Ньютона. Это позволяет использовать для измерения гагр те же единицы, что и для гаин. Появление размерной гравитационной постоянной G в (2.28) обусловлено тем, что единицы всех входящих в закон всемирного тяготения величин уже выбраны (независимо от этого закона). Пропорциональность инертной и гравитационной масс проверена на опыте с относительной погрешностью до 10~12. Неразрывная связь физических величин, характеризующих инертные и гравитационные свойства, проявляется в том, что свободное падение всех тел в заданном поле тяготения происходит с одинаковым ускорением. Ускорение #, сообщаемое телу силой тяготения Земли (ускорение свободного падения, напряженность гравитационного поля Земли), получаем, подставляя выражение для силы
Силы тяготения, трения и упругости 269 9(h) = „ . , ,»х2 « Я> (1 " 2Л/Л). (2-31) (2.28) в правую часть второго закона Ньютона (2.18): g{r) = G™, (2.30) где Μ — масса Земли, г — расстояние до центра Земли. Представляя г в виде R + h (R — радиус Земли), находим зависимость ускорения свободного падения д от высоты h над поверхностью Земли: до (1 + h/Rf где до — GM/R2 — 9,80665 м/с2 — ускорение свободного падения вблизи поверхности Земли. В действительности из-за сплюснутости Земли у полюсов и ее суточного вращения ускорение свободного падения зависит и от географической широты места: первая причина уменьшает д на экваторе на 0,18% по сравнению с его значением на полюсе, вторая уменьшает д еще на 0,34%. 2°. Силы трения и силы упругости — это разные проявления электромагнитного взаимодействия. Различают три вида трения при соприкосновении твердых тел: трение скольжения, трение покоя и трение качения. Сила трения скольжения направлена вдоль поверхности соприкосновения тел противоположно относительной скорости (рис. 2.14). Сила трения FTp и нормальная сила реакции N являются составляющими одной силы Q, с которой поверх- с* „ Л к Трение скольжения ность действует на тело. Модули этих сил * связаны между собой установленным на опыте приближенным законом Кулона — Амонтона: FTP = μΝ. (2.32) Коэффициент трения μ зависит от рода соприкасающихся поверхностей и степени их обработки. Он не зависит от площади соприкосновения тел и слабо зависит от скорости. Этой зависимостью обычно пренебрегают. Трение скольжения всегда 7777 s 77. Q ι ,\ 77777 N 77777. = μΛΓ V Ύ77777
270 Механика связано с превращением механической энергии во внутреннюю (в теплоту, см. п. 3.1.4°). Сила трения покоя может изменяться от нуля до некоторого максимального значения, которое обычно считают равным силе трения скольжения. Сила трения покоя определяется условием равновесия тела (п. 2.6.1°). Трение качения возникает из-за деформации материала перед катящимся телом и из-за разрыва временно образующихся молекулярных связей в месте контакта. Сила трения качения обратно пропорциональна радиусу катящегося тела. Обычно сила сопротивления перекатыванию гораздо меньше силы трения скольжения, однако при больших скоростях качения, сравнимых со скоростью распространения деформации (скоростью звука в веществе), она резко возрастает. К находящемуся на шероховатой горизонтальной поверхности ящику приложена сила F под углом а к горизонту. На рис. 2.15 показаны и все остальные действующие на ящик силы. Уравнение второго закона Ньютона: F + тд + N + FTp = та. (2.33) Если ящик остается в покое или движет- Рис. 2.15. ся вдоль поверхности, то вертикальная Силы, действующие составляющая его ускорения равна ну- на ящик лю, и проекция уравнения (2.33) на ось у позволяет определить силу нормальной реакции N: F sin а - тд + N = О, N = тд — Fsina. Ящик не отрывается от поверхности при N > О, т. е. Fsina < <тд. Проекция уравнения (2.33) на ось χ позволяет найти ускорение ящика, если он движется, или силу трения покоя: F Пример \в' \ Ч N //////////// \ ιΛ •<& s"¥ '////}////// mg (2.34) F cos a — FTO = ma. (2.35)
Законы сохранения 271 Если ящик движется, то сила трения скольжения FTp = μΝ — μ{τη§ — Fsina), и (2.35) дает F а — — (cos a + μ sin a) — μg. τη Ящик действительно движется при а > О, т. е. при F > -—: тд. cos а + μ sin a При противоположном неравенстве ящик покоится (а = 0), и из (2.35) находится сила трения покоя: Ттр = Fcosa. Отметим, что силы N и FTp можно рассматривать как составляющие одной силы Q, действующей на ящик со стороны поверхности (рис. 2.15). При скольжении ящика, когда FTp = μΝ, коэффициент трения μ равен тангенсу угла φ, образуемого силой Q с вертикалью: tgy? = FTp/N = μ. Силы упругости определяются взаимным расположением взаимодействующих тел и возникают при их деформациях (п. 3.6.2°). 2.4. Законы сохранения 1°. Импульсом Ρ системы частиц (материальных точек) называется векторная сумма импульсов р{ = rriiVi отдельных частиц: Р = Σ тт' * = 1,2,..., п. (2.36) г Скорость изменения импульса отдельной частицы определяется вторым законом Ньютона: т~ = Fi + Y^ Fik, h к = 1,2,..., η, (2.37) кфг где Fik — сила, с которой к-я частица системы действует на г-ю, a Fj - сила, с которой на г-ю частицу действуют тела, не входящие в состав рассматриваемой системы (внешняя сила).
272 Механика По третьему закону Ньютона F^ = -F^. Суммируя выражения (2.37) для всех частиц, находим закон изменения импульса системы частиц: г т. е. скорость изменения импульса системы частиц определяется суммой внешних сил, действующих на частицы системы. Если действующие на частицы внешние силы неизменны в течение, промежутка времени Δί, то (2.38) можно записать в виде AP = J2FiAt г Произведение FiAt называется импульсом силы F{. Изменение импульса системы частиц равно суммарному импульсу внешних сил. В замкнутой системе внешние силы отсутствуют и импульс системы частиц остается неизменным (Р = const), несмотря на то, что импульсы отдельных частиц могут изменяться при их взаимодействии (закон сохранения импульса). Если в незамкнутой системе равна нулю проекция внешних сил на какое-либо направление, то сохраняется проекция импульса системы частиц на данное направление. 2°. Центр масс (центр инерции) — это точка, радиус- вектор которой дается выражением η = Υ^παη/γ^πα, (2.39) г г где Т{ — радиус-вектор частицы, имеющей массу га^. Центр масс двух одинаковых частиц находится в середине соединяющего их отрезка; для разных частиц центр масс делит этот отрезок в отношении, обратно пропорциональном массам частиц.
Законы сохранения 273 Если однородное тело обладает центром, осью или плоскостью симметрии, то центр масс находится соответственно в центре симметрии, на оси или в плоскости симметрии (§ М8.4). Центр масс тела совпадает с его центром тяжести в однородном поле тяготения (т. е. совпадает с точкой приложения равнодействующей сил тяжести, действующих на отдельные элементы тела). Практический способ нахождения центра масс плоской фигуры: подвесим тело в поле тяжести так, чтобы оно могло свободно поворачиваться вокруг точки подвеса 0\ (рис. 2.16). В равновесии центр масс С находится на одной вертикали с точкой подвеса (ниже ее), так как равен нулю момент силы тяжести (п. 2.6.1°), которую можно считать приложенной в центре масс. Изменяя точку подвеса, таким же способом находим еще одну прямую ОгС, проходящую через центр масс. Положение центра масс дается точкой пересечения этих прямых. Скорость центра масс (2.40) Рис. 2.16. Нахождение центра масс плоской фигуры dR V = —— dt Emi Импульс системы частиц (2.36) равен произведению массы всей системы Μ = Σ πΐχ на скорость ее центра масс V: г P = J2mivi = mV- (2·41) г Центр масс характеризует движение системы как целого. 3°. Закон изменения импульса системы частиц (2.38) по существу представляет собой закон движения центра масс (цен- 18-2172
274 Механика тра инерции). Скорость изменения импульса равна произведению массы системы частиц на ускорение центра масс: dP %,dV dt dt Из (2.38) следует, что в каждый момент центр масс всей системы движется так, как двигалась бы материальная точка массы Μ под действием силы, равной сумме всех внешних сил, действующих на частицы системы: Μ^τ = Σ*ν (2·42) г Центр масс замкнутой системы движется с постоянной скоростью V либо покоится, хотя скорости входящих в систему частиц могут изменяться в результате их взаимодействия. Закон сохранения импульса универсален, т. е. выполняется во всех замкнутых системах при любых взаимодействиях. Эта универсальность обусловлена тем, что сохранение импульса связано не с какими-то конкретными видами взаимодействий, а с общим свойством однородности пространства. 4°. Закон сохранения импульса объясняет принцип реактивного движения. Если двигатель ракеты выбрасывает газы со скоростью Wo™, относительно ракеты, то уравнение движения ракеты {уравнение Мещерского) имеет вид dv dm „ /Л ,Λν m~dt=v™~di~+ ' ( ) где т — изменяющаяся масса ракеты, dm/dt — скорость ее изменения (dm/dt < О, так как масса ракеты убывает), F — действующие на ракету внешние силы (сила сопротивления атмосферы, сила тяжести). Если внешних сил нет и скорость истечения газов vWHm постоянна, то уравнение (2.43) приводится к виду dm/dv = — (l/vmH)m (п. М5.5.1°), и приобретаемая ракетой скорость связана с ее начальной (то) и конечной (т) массами формулой Циолковского: т = т0 exp (-v/vOT„.). (2.44)
Законы сохранения 275 5°. Работой силы F при элементарном перемещении Дг тела, к которому она приложена, называется скалярное произведение (п. М8.1.4°) ΔΑ = FAr = FAr cos a. (2.45) Работа положительна, если угол а между силой F и перемещением Дг острый, отрицательна, если тупой, и равна нулю, если сила F перпендикулярна перемещению Дг. Если на тело действует несколько сил Fi, F2, ..., Fn, то работа равнодействующей силы F (т. е. векторной суммы F = F\ + F2 + ... + Fn) равна сумме работ отдельных сил: А А = АА\ + АА2 + ... + ААп. Работа А силы при перемещении тела по некоторой траектории равна сумме работ АА этой силы на отдельных элементарных участках Дг. Кинетической энергией Ек материальной точки называется физическая величина Ек = 2^ = f. (2.46) 2 2т v ' Кинетическая энергия аддитивна: для системы частиц она равна сумме кинетических энергий отдельных частиц системы: _ mxv\ m2v\ mnv2n Ε*- — + — + ··· + -2-· (2·47) Изменение АЕК кинетической энергии материальной точки равно работе А равнодействующей всех действующих на нее сил: την2 την? £ = Α. (2.48) 2 2 Изменение кинетической энергии системы частиц равно сумме работ всех действующих в системе сил, как внешних, так и внутренних. Эти утверждения непосредственно следуют из второго закона Ньютона. Кинетическая энергия и работа имеют разные значения в различных инерциальных системах отсчета, однако выражение (2.48) справедливо для всех систем. 18*
276 Механика 6°. Все силы, действующие на частицы, можно разбить на потенциальные и непотенциальные. Силы называются потенциальными, если их работа при изменении положения частиц не зависит от траекторий, а определяется только начальной и конечной конфигурациями системы. Примеры потенциальных сил — сила тяжести, кулоновская сила взаимодействия заряженных частиц, сила упругости. Работа непотенциальных сил зависит от формы пути. Силы трения дают пример непотенциальных сил. Потенциальной энергией U частицы в некоторой точке называется работа потенциальных сил, совершаемая при перемещении частицы из данной точки в точку, потенциальная энергия в которой принята равной нулю. Выбор точки с нулевой потенциальной энергией произволен, поэтому потенциальная энергия определена неоднозначно (с точностью до аддитивной постоянной). Работа Αχ2 потенциальных сил при перемещении частицы из точки 1 в точку 2 равна разности начального (U\) и конечного (С/г) значений потенциальной энергии: А12 = C/i — С/2, или А = -Δ17, (2.49) где Δί7 = U2 — U\ — изменение потенциальной энергии. Потенциальная энергия системы взаимодействующих частиц равна работе, совершаемой всеми потенциальными силами (как внешними, так и внутренними) при переходе системы из данной конфигурации в некоторую конфигурацию, потенциальная энергия в которой принята равной нулю. Потенциальная энергия системы частиц состоит из потенциальной энергии взаимодействия частиц друг с другом и их потенциальной энергии во внешнем потенциальном поле. В отличие от аддитивной энергии частиц во внешнем поле потенциальная энергия их взаимодействия между собой не распадается на сумму энергий отдельных частиц. Она зависит только от взаимного расположения частиц, входящих в систему.
Законы сохранения 277 Потенциальная энергия тяготения точечных масс или тел со сферически-симметричным распределением масс т\ и m<i дается выражением U = _GH^a. (2.50) г Здесь потенциальная энергия считается равной нулю при бесконечно большом расстоянии г между телами. Для тела в поле тяготения Земли эту формулу удобно записать в виде R2 U = -тд—, (2.51) г где д — GM/R2 — ускорение свободного падения у поверхности Земли, Μ — масса Земли, R — радиус Земли. В однородном поле тяжести (д — const) потенциальная энергия тела массы т равна U = mgh, (2.52) где h — высота тела над уровнем с нулевой потенциальной энергией. Потенциальная энергия кулоновского взаимодействия (п. 4.1.7°) двух точечных зарядов и= ι Ш (253) 4πεο г В случае отталкивания зарядов (qiq2 > 0) потенциальная энергия положительна, в случае притяжения (qiq2 < 0) — отрицательна. Потенциальная энергия тела при упругой деформации, описываемой законом Гука (п. 3.6.2°), пропорциональна квадрату деформации. Например, для растянутой (сжатой) пружины или стержня U=h(M)2. (2.54) Δι 7°. Механической энергией Ε называют сумму кинетической энергии Ек и потенциальной энергии U: E = EK + U. (2.55)
278 Механика Механическая энергия зависит от координат и скоростей всех частиц, входящих в систему, т. е. является функцией механического состояния. Изменение механической энергии определяется суммой работ всех действующих в системе непотенциальных сил (внешних и внутренних): Е2 - Ελ = Лнепот.. (2.56) Закон сохранения механической энергии вытекает из (2.48), если входящую в его правую часть работу потенциальных сил выразить через изменение потенциальной энергии. Отметим, что работу внешних потенциальных сил можно оставить в явном виде в правой части (2.56), но под механической энергией системы Ε в этом случае следует понимать сумму кинетической энергии и потенциальной энергии только взаимодействия частиц системы друг с другом. Системы, в которых механическая энергия сохраняется, называются консервативными. Этим свойством обладают системы, в которых отсутствуют непотенциальные силы, а внешние силы постоянны. 8°. Столкновениями называют разнообразные процессы взаимодействия между телами при условии, что на достаточно большом расстоянии друг от друга тела можно рассматривать как свободные. В результате столкновения тела могут соединиться в одно тело {абсолютно неупругий удар), могут возникнуть новые тела (распад частиц или реакции, см. п. 7.6.3°), тела могут разойтись, изменив свое внутреннее состояние или не изменив его. В последнем случае столкновение называется абсолютно упругим ударом. При абсолютно неупругом ударе скорость образовавшегося тела массы т\ + Ш2 определяется законом сохранения импульса: она равна скорости центра масс сталкивающихся тел до удара v=m1v1 + m2v2 ГП\ + 7712
Законы сохранения 279 При рассмотрении упругих столкновений удобно одну из частиц до столкновения считать покоящейся: ν2 — 0. Тогда законы сохранения импульса и энергии записываются в виде / / m\v\ m\v[ m^v* /ft _ЛЧ m\v\ = miv1 + m2v2, —γ- = + ——, (2.58) где штрихом отмечены скорости частиц после столкновения. При лобовом (центральном) соударении из (2.58) получаем (п. М3.6.3°) ,7711-7712 , 27711 t>i = ■ vi, v2 = : vi. (2.59) 7711+7712 77li + 77l2 При mi > ^2 налетающая частица после удара движется в ту же сторону с меньшей скоростью, при т\ = 77i2 она останавливается, а при mi < ^2 отскакивает назад. При нецентральном упругом ударе частиц одинаковой массы (mi = 7712) после удара, как следует из (2.58), они разлетаются под прямым углом, а угол, на который изменяется направление скорости налетающей частицы (угол рассеяния), может иметь любое значение в пределах от 0 до 90° в зависимости от «прицельного расстояния», т. е. расстояния между направлением скорости налетающей частицы и центром покоящейся частицы. Если налетающая частица легче частицы-мишени (mi < 7712), то она может отклониться на любой угол (даже рассеяться назад), а угол разлета частиц — тупой. Тяжелая частица (mi > 7712) при столкновении с легкой не может отклониться на угол, превышающий </?тах = arcsin(m2/mi), а угол разлета — острый. Например, при упругом рассеянии дейтронов на неподвижных протонах (7712/mi = 1/2) угол рассеяния не может превышать 30°. Движущаяся частица при упругом столкновении с неподвижной частицей такой же массы может передать последней значительную часть своей энергии (при лобовом столкновении, как видно из (2.59), энергия передается полностью). Однако при упругих столкновениях между частицами с большим различием масс (таких, как электроны и ионы) обмен энергией затруднен: легкая частица «отскакивает» от неподвижной
280 Механика тяжелой как от стенки, передавая тяжелой лишь ничтожную часть (порядка τηι/πΐ2 <^С 1) своей энергии. Поэтому в смеси таких частиц (плазме) быстро устанавливается термодинамическое равновесие (п. 3.1.1°) в каждой из подсистем (легкой и тяжелой), но выравнивание средних кинетических энергий (п. 3.2.4°) легких и тяжелых частиц происходит медленно (за большое число столкновений), и плазму обычно характеризуют двумя различными температурами: электронов Те и ионов Т\. 2.5. Движение в центральном поле тяготения 1°. При движении в центральном поле тяготения выполняются законы сохранения энергии: mv2 „mM „ ,поп, —-G—= £*, (2.60) Δ Г и момента импульса, равного векторному произведению радиус-вектора частицы на ее импульс: г χ mv = Lo· (2·61) Пример такого движения — обращение планет вокруг Солнца в пренебрежении Рис. 2.17. их влиянием друг на друга, для кото- Эллиптическая орбита рош СПраведливы три закона Кеплера планеты (рис 2 ^ 1) планета движется по эллипсу (п. М9.3.2°), в одном из фокусов которого находится Солнце; 2) радиус-вектор планеты за равные промежутки времени описывает («заметает») равные площади; 3) квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей их эллиптических орбит: ТЦТ1 = а\1а\. (2.62) Движение по замкнутой эллиптической (в частном случае по круговой) орбите происходит при Ео < 0 — отрицательной полной энергии. При Eq — 0 траектория представляет собой
Движение в центральном поле тяготения 281 параболу, при Eq > О — гиперболу с фокусом в силовом центре (в Солнце). 2°. Первой космической скоростью щ или круговой скоростью называется горизонтальная начальная скорость, при которой тело становится спутником Земли, движущимся по круговой орбите: щ = ^GM/r, (2.63) где Μ — масса Земли, г — радиус круговой орбиты спутника. Вблизи поверхности Земли, когда τ ~ R (R — радиус Земли), значение первой космической скорости щ = y/GM/R = yfgR « 7,9 км/с (2.64) (д = GM/R2 — ускорение свободного падения вблизи поверхности Земли). Вторая космическая скорость vtt (скорость убегания, скорость освобождения, параболическая скорость) — минимальная скорость вблизи поверхности Земли, при которой тело может удалиться на бесконечное расстояние (если не учитывать притяжение Солнца). Ее значение определяется из закона сохранения энергии: vu = V2vl = y/2gR « 11,2 км/с. (2.65) Тело удалится на бесконечность независимо от того, в каком направлении сообщена ему вторая космическая скорость. Параболические траектории при этом будут различными. Скорости, удовлетворяющие неравенству νγ < υ < vlu называются эллиптическими (им соответствуют эллиптические орбиты), а неравенству υ > υη — гиперболическими. Третья космическая скорость соответствует скорости освобождения тела из поля тяготения Солнца с расстояния, равного радиусу земной орбиты (г « 1,5 · 1011 м): υ = y/2vop6. « 42,1 км/с (^орб. ~ 29,8 км/с — орбитальная скорость Земли). Если использовать орбитальное движение Земли, то дополнительная скорость при выходе из земного поля тяготения должна быть
282 Механика [у/2 — l) г;орб. « 12,3 км/с. Для этого у поверхности Земли телу нужно сообщить скорость (v/2-l) v, ,2 орб. + ν2η 1/2 16,6 км/с. (2.66) Рис. 2.18. К нахождению апогея орбиты спутника Спутнику сообщают вблизи поверхности Земли эллиптическую скорость г;о (vi <vq< vn) в горизонтальном направлении. Определим расстояние до апогея эллиптической орбиты (рис. 2.18). Закон сохранения энергии mvk _ mv2 R2 /Л _ —°-mgR=-—- mg— (2.67) Δ Δ Г дает уравнение, содержащее две неизвестные величины: расстояние г до апогея и скорость υ в апогее. Второе уравнение получаем с помощью закона сохранения момента импульса (второго закона Кеплера): учитывая, что в перигее и апогее эллиптической траектории скорость перпендикулярна радиусу-вектору спутника, имеем v0R = vr. (2.68) Подставляя υ из (2.68) в (2.67), получаем квадратное уравнение относительно г, корни которого равны R и v^R/(2gR — υ$). Первый корень соответствует перигею, второй — апогею орбиты. При г;о —► Уц = y/2gR апогей уходит в бесконечность — эллиптическая орбита превращается в параболическую. 2.6. Механическое равновесие 1°. Статика изучает условия равновесия тел. Во многих практически важных задачах статики можно использовать модель абсолютно твердого тела, т. е. тела, размеры и форма которого считаются неизменными. В инерциальной системе отсчета твердое тело находится в равновесии, если векторная сумма всех действующих на тело внешних сил и векторная сумма моментов этих сил равны нулю:
Механическое равновесие 283 Σ> = 0> (2·69) г Y^rixFi = 0. (2.70) г В определении момента силы как векторного произведения г% х F% (§ М8.2) выбор общего начала для радиус-векторов Т{ точек приложения всех действующих сил произволен. Поэтому такое начало выбирается только по соображениям удобства: уравнение моментов сил (2.70) будет тем проще, чем большее число сил будет иметь равные нулю моменты. При выполнении условия (2.69) равно нулю ускорение центра масс, при выполнении условия (2.70) отсутствует угловое ускорение вращения. 2°. Для плоской системы сил векторное уравнение (2.69) сводится к двумя скалярным: Σ>ζ = 0, (2.71) если расположить оси х, у в плоскости действия сил. Векторы моментов сил в этом случае направлены перпендикулярно плоскости, в которой лежат силы (если общее начало радиус- векторов точек приложения сил лежит в этой же плоскости). Поэтому векторное уравнение (2.70) сводится к одному скалярному: в равновесии алгебраическая сумма моментов сил равна нулю. При этом моменты сил, стремящиеся повернуть тело по часовой стрелке вокруг выбранного начала, берутся с одним знаком, против часовой стрелки — с противоположным. Если на тело действуют всего три силы, то в равновесии линии действия этих сил пересекаются в одной точке. В противном случае момент третьей силы относительно точки пересечения линий действия двух других был бы отличен от нуля. 3°. В задачах статики обычно часть действующих сил задана, а другие — силы реакции связей или опор — сами подлежат определению. В отсутствие трения силы реакции перпендикулярны поверхности соприкосновения тел.
284 Механика Легкая лестница-стремянка (рис. 2.19) состоит из двух одинаковых частей, шар- нирно соединенных вверху и связанных веревкой у основания. На середине одной из них стоит человек весом Р. Рассматриваемая система состоит из двух твердых тел — половинок лестницы, и условия равновесия можно применять как Рис. 2.19. для системы в целом, так и для ее ча- К нахождению сил стей. Из условия равновесия всей систе- реакции мы в целом определяются силы реакции пола Νι и N2 (рис. 2.19). В отсутствие трения условие (2.72) дает N1 + N2 = P; условие равновесия моментов сил относительно точки А дает iV1-2/cosa = (P//2)cosa. В результате получаем Νχ = Ρ/4, Ν2 = ЗР/4. Для нахождения силы натяжения Τ веревки (7\ = Т2 = Т) и силы взаимодействия Q в шарнире необходимо рассмотреть условия равновесия отдельных частей системы, например левой половины лестницы. Равенство моментов сил относительно точки С дает Nil cos a = Tl sin α, откуда T = iV1ctga = (P/4)ctga. Сила Qi направлена вниз вдоль левой половины лестницы, так как линия ее действия должна проходить через точку приложения сил N\ и Τι. Так как векторная сумма сил Q1? N\ и Τι равна нулю, то
Механическое равновесие 285 Рис. 2.20. Статически неопределимый случай Сила Q2> действующая в шарнире на правую половину, по третьему закону Ньютона равна — Qx. Иногда в задачах статики модель абсолютно твердого тела неприменима. Например, невозможно определить силы реакции, действующие на балку, лежащую на трех опорах, если не учитывать ее деформацию (рис. 2.20). 4°. Некоторые задачи статики удобно решать, используя закон сохранения энергии применительно к механизмам без трения {золотое правило механики) — ни один механизм не дает выигрыша в работе. д Пример Груз весом Ρ подвешен на невесомом шарнире с тремя звеньями (рис. 2.21). Определим силу натяжения нити, соединяющей точки А и В. Мысленно отвязав нить в точке Л, приподнимем за нее точку В на некоторую высоту. При этом груз поднимется на втрое большую высоту. Приравнивая работу силы натяжения нити увеличению потенциальной энергии груза, получаем Г = ЗР. 5°. Равновесие бывает устойчивым, неустойчивым и безразличным (рис. 2.22). Равновесие устойчиво, если при малых смещениях действующие силы стремятся вернуть тело в положение равновесия, и неустойчиво, если силы уводят его дальше от равновесия. При безразличном равновесии соседние положения также являются равновесными. Устойчивому равновесию соответствует минимум потенциальной энергии тела по отношению к ее значениям в соседних положениях, неустойчивому — максимум. Рис. 2.21. Шарнирный подвес
286 Механика Пример Вертикальная свободно стоящая колонна находится в устойчивом равновесии, поскольку при малых наклонах (рис. 2.23) ее центр масс приподнимается. Так происходит до тех пор, пока вертикальная проекция центра масс не выйдет за пределы площади опоры, т. е. угол отклонения от вертикали не превысит некоторого максимального значения. Другими словами, область устойчивости простирается от минимума потенциальной энергии (при вертикальном положении) до ближайшего к нему максимума (рис. 2.23). Когда центр масс расположен точно над границей площади опоры, колонна также находится в равновесии, но неустойчивом. Горизонтально лежащей колонне соответствует гораздо более широкая область устойчивости. 4ju*^ ////////Τ////// Рис. 2.22. Устойчивое, неустойчивое и безразличное равновесие Рис. 2.23. Положение центра масс 2.7. Динамика твердого тела 1°. Основу динамики твердого тела составляют законы изменения импульса Ρ (п. 2.4.3°) и момента импульса L тела, рассматриваемого как система материальных точек: dP-X-F dL ~dt Στί x-Fi- (2.73) (2.74)
Динамика твердого тела 287 Импульс Ρ и момент импульса L тела складываются из импульсов и моментов импульса отдельных материальных точек, на которые можно мысленно разбить твердое тело. Шесть независимых уравнений (2.73) и (2.74) соответствуют шести степеням свободы твердого тела (п. 2.1.6°). Если все внешние силы Fi известны, то уравнение (2.73) позволяет найти закон движения центра масс тела (п. 2.4.3°), а (2.74) — закон вращения тела вокруг центра масс. 2°. Вращение твердого тела вокруг фиксированной оси (п. 2.1.7°) характеризуется одной степенью свободы. В этом случае проекция уравнения момента импульса (2.74) на направление оси вращения не содержит неизвестных сил реакции в подшипниках, что позволяет найти угловое ускорение тела. Проекцию момента импульса на ось вращения можно представить в виде /ω, где I — момент инерции тела относительно оси, складывающийся из моментов инерции отдельных его элементов, равных произведению массы элемента Ami на квадрат расстояния Т{ до оси: / = £Дпцг?. (2.75) г Момент инерции зависит не только от массы тела, но и от ее распределения. Момент инерции обруча или тонкостенной трубы относительно оси I = mR2, так как все элементы Ami находятся на одинаковом расстоянии R от оси; момент инерции сплошного однородного диска или цилиндра I = ~m^2> °Д~ 2 ^ нородного шара I = -mR2, однородного стержня длиной / от- 5 носительно перпендикулярной стержню оси, проходящей через его середину, I = ~-mi2 (рис. 2.24, а). Момент инерции /о отно- сительно проходящей через центр масс оси связан с моментом инерции I относительно другой параллельной оси, отстоящей на расстоянии / (рис. 2.24, б), соотношением I = I0 + ml2. (2.76)
288 Механика I=mR* 1=\тЯ2 Φ τη I=imR2 I=h™l2 a) 6) Рис. 2.24. Моменты инерции различных тел (α) и связь моментов инерции относительно параллельных осей (б) Пример Рис. 2.25. Силы, действующие на вращающийся барабан На массивный барабан радиуса R, который может вращаться вокруг горизонтальной оси О, намотана невесомая нить (рис. 2.25). К нити приложена сила F. Момент импульса L барабана относительно оси О равен Ιω. Момент силы F относительно оси О равен RF. Проекция уравнения (2.74) на ось принимает вид duo I— = RF. (2.77) at Угловое ускорение барабана пропорционально моменту силы F и обратно пропорционально моменту инерции /. Силу реакции Q подшипников, действующую на ось барабана, можно найти из (2.73), учитывая, что ускорение центра масс равно нулю: Q = тд + F. 3°. Кинетическая энергия твердого тела, вращающегося вокруг фиксированной оси, определяется соотношением Е« w- (2.78) При плоском движении кинетическая энергия твердого тела равна сумме кинетической энергии вращения вокруг оси,
Динамика твердого тела 289 проходящей через центр масс, и кинетической энергии поступательного движения со скоростью V центра масс: Ек = -W + -mV2, (2.79) где /о — момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс. При качении без проскальзывания обруча или тонкостенной трубы кинетическая энергия делится поровну между энергией вращения и энергией поступательного движения; а при качении сплошного однородного цилиндра — в отношении 1:2. 4°. Симметричное тело, быстро вращающееся вокруг оси симметрии, называется гироскопом. Момент импульса L такого тела направлен вдоль оси вращения. В отсутствие моментов внешних сил ось гироскопа сохраняет свое направление в инерциальной системе отсчета. На этом свойстве основано действие приборов, используемых в инерциальных системах навигации. Изменение направления оси гироскопа происходит под действием моментов внешних сил. При не слишком больших моментах сил ось поворачивается медленно, и с хорошей точностью можно считать, что момент импульса L и в этом случае направлен вдоль оси. Это значит, что поведение оси гироскопа, как и поведение вектора L, описывается уравнением момента импульса (2.74). Пример Ось вращающегося тяжелого волчка отклонена от вертикали (рис. 2.26). Момент силы тяжести г χ тд направлен перпендикулярно вертикальной плоскости, проходящей через ось волчка. В соответствии с уравнением момента импульса (2.74) в этом же направлении получает приращение AL вектор L момента импульса волчка: AL = (г χ тд) At. Рис. 2.26. Прецессия гироскопа 19-2172
290 Механика В результате вектор L (и вместе с ним ось волчка) совершает прецессию, т. е. описывает конус, как можно увидеть на рис. 2.26. Момент силы тяжести, опрокидывающий волчок, заставляет его ось поворачиваться в перпендикулярном направлении. 2.8. Гидростатика 1°. В гидростатике изучается равновесие жидкости и механическое воздействие покоящейся жидкости на погруженные в нее тела. Медленное изменение формы жидкости без изменения ее объема может происходить под действием сколь угодно малой силы. В поле тяжести жидкость не обладает собственной формой, а принимает форму сосуда. Поверхность покоящейся жидкости перпендикулярна направлению силы тяжести (горизонтальна) независимо от формы сосуда. В сообщающихся сосудах однородная по плотности жидкость устанавливается на одном уровне (рис. 2.27). =to=, ч F2 я ПЕЕШШГИ Зг Рис. 2.27. Сообщающиеся сосуды Рис. 2.28. Гидравлический пресс 2°. Давлением ρ в жидкости называется отношение модуля силы F, действующей перпендикулярно выделенной площадке, к ее площади 5: F Ρ S' (2.80) Давление — скалярная величина. Давление не зависит от ориентации выделенной площадки. Согласно закону Паскаля ока-
Гидростатика 291 зываемое внешними силами давление передается жидкостью одинаково по всем направлениям. На законе Паскаля основано действие многих гидравлических устройств — прессов, тормозных систем автомобиля, гидроприводов, гидроусилителей и т. п. В гидравлическом прессе (рис. 2.28) небольшая сила Fi, приложенная к поршню малой площади, трансформируется в большую силу F2, действующую на больший поршень: F2 = Fi = ^, (2.81) так как ρ = F\/S\ — F2/S2. 3°. В поле тяжести давление в жидкости увеличивается с глубиной погружения благодаря действию веса самой жидкости. Для несжимаемой жидкости, где плотность ρ постоянна, таким образом получаем (рис. 2.29, а) P2=Pi+P9h. (2.82) Для сжимаемой жидкости или газа зависимость давления от высоты становится сложнее (п. 3.3.2°). а) б) Рис. 2.29. Давление в жидкости на разной глубине Суммарное давление р, производимое внешними силами на поверхность жидкости (ро) и обусловленное весом столба жидкости (pgh), называется гидростатическим (рис. 2.29, б)\ р = Ро + pgh. (2.83) 19*
292 Механика Рис. 2.30. Гидростатический парадокс Гидростатический парадокс заключается в том, что сила «весового» давления жидкости на дно сосуда (pghS) может не совпадать с весом налитой жидкости. В расширяющихся кверху сосудах сила давления меньше веса жидкости, в суживающихся — больше. Если жидкость налита до одной и той же высоты в сосуды разной формы, но с одинаковой площадью дна (рис. 2.30), то, несмотря на различный вес жидкости, сила «весового» давления на дно одинакова для всех сосудов и равна весу жидкости в цилиндрическом сосуде. Объясняется этот парадокс тем, что сила давления жидкости на наклонные стенки имеет вертикальную составляющую, которая направлена вниз в расширяющемся сосуде и вверх — в суживающемся. 4°. Закон Архимеда: на любое тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, направленная вертикально вверх, которая по модулю равна весу жидкости, занимающей такой же объем, как и погруженная часть тела. Точкой приложения этой силы можно считать центр масс этого однородного объема — так называемый центр водоизмещения В (рис. 2.31). В общем случае (когда тело неоднородно) эта точка может не совпадать с центром масс погруженной части самого тела. Выталкивающая сила является результатом векторного сложения сил давления жидкости на отдельные элементы поверхности данного тела, и ее возникновение обусловлено тем, что давление жидкости на поверхность тела внизу больше, чем вверху. 5°. Плотность ρ твердого тела можно найти, измеряя с помощью гидростатических весов вес Ρ этого тела в воздухе Рис. 2.31. Выталкивающая (архимедова) сила
Гидростатика 293 и вес Р\ — Ρ — Fa этого же тела в жидкости с некоторой известной плотностью р\\ ^ΐρΤρΓ- (2·84) При взвешивании тело должно быть полностью погружено в жидкость. Для определения таким методом плотности ρ<ι жидкости необходимо взвесить тело три раза, определяя, таким образом, его вес Ρ в воздухе, вес Р\ в жидкости с некоторой известной плотностью р\ и вес Ρ<ι в жидкости, плотность которой подлежит определению: Ρ - Ро р2 = р1т^· (2·85) Для измерений можно воспользоваться любым твердым телом, которое тонет (но не растворяется) в каждой из рассматриваемых жидкостей. Знать объем и плотность данного тела для проведения этих измерений не требуется. Плотности некоторых твердых тел и жидкостей приведены в табл. 2.1. 6°. Если при полном погружении тела выталкивающая сила превышает вес (Fa > Ρ), тело поднимается на поверхность и плавает, лишь частично погрузившись в жидкость. В равновесии (Fa — Ρ) точка приложения выталкивающей силы и центр масс плавающего тела лежат на одной вертикали, так как при этом должны уравновешиваться и моменты действующих сил. Устойчивость (остойчивость) плавания определяется положением метацентра относительно центра масс корабля (рис. 2.32). Метацентр — это точка пересечения плоскости Рис. 2.32. Метацентр С
294 Механика Таблица 2.1 Плотность некоторых веществ (в 103 кг/м3) Твердые вещества Алюминий Бериллий Ванадий Висмут Вольфрам Галлий Германий Железо Золото Иридий Калий Кремний Литий Магний Медь Натрий Никель Олово Ацетон Бензин Вода (4 °С) (20 °С) морская 2/70 1,84 5,6 9,78 19,3 5,93 7,7-7,88 19,3 22,42 0,86 2,35 0,534 1,74 8,89 0,97 8,8 7,3 Жидки 0,792 0,899 1,000 0,998 1,025 Платина Ртуть (-39 °С) Свинец Серебро Титан Хром Цинк Бронза Инвар Латунь Сталь Асбест Древесина Лед (0 °С) Парафин Пробка Стекло 1 Эбонит е вещества Глицерин Керосин Спирт этиловый Эфир 1 Ртуть (20 °С) 21,45 14,19 11,34 10,5 4,5 6,92 7,1 8,7-8,9 8,0 8,4-8,7 7,8 2,0-2,8 0,5-0,9 0,917 0,9 0,22-0,26 2,4-2,8 1,15 1,26 0,8 0,791 0,736 13,55 симметрии корабля с вертикалью, проходящей через точку приложения выталкивающей силы, действующей при боковом крене корабля. Если метацентр С лежит выше центра масс корабля, то корабль плавает устойчиво, ибо возникающие при крене моменты сил стремятся вернуть его в вертикальное положение.
Гидродинамика 295 2.9. Гидродинамика 1°. Для характеристики движущейся жидкости (или газа) используются линии тока, т. е. линии, касательные к которым в любой точке дают направление скорости частиц жидкости. В случае стационарного движения линии тока сохраняют свою конфигурацию с течением времени и совпадают с траекториями частиц жидкости. s;=£>Vt Рис. 2.33. Уравнение неразрывности При стационарном течении по трубе через любое сечение за равные промежутки времени протекают одинаковые массы жидкости. Поэтому плотность ρ жидкости, скорость υ ее течения и площадь S поперечного сечения трубы связаны уравнением неразрывности (рис. 2.33): P\S\v\ = p2S2v2. (2.86) В случае несжимаемой жидкости (р = const) через любое сечение протекают одинаковые объемы жидкости, поэтому SlVl = S2v2) (2.87) т. е. в сечении меньшей площади жидкость течет быстрее, и наоборот. 2°. В условиях, когда силы вязкого трения почти не влияют на движение жидкости, используется модель идеальной жидкости. В противном случае говорят о вязкой жидкости. При движении идеальной жидкости не происходит диссипации механической энергии. Математическим выражением закона сохранения энергии служит уравнение Бернулли 2 2 Pi + pghx + ^=P2 + pgh2 + ^. (2.88) Здесь р\ и р2 — давление, которое показывал бы в соответствующих точках манометр, движущийся вместе с жидкостью, h\ и h2 — высота этих точек, отсчитанная от какого-либо общего уровня, щ и υ2 — скорость жидкости в этих точках.
296 Механика Примеры 1) Для нахождения скорости истечения из очень узкого отверстия иглы шприца (рис. 2.34) в уравнении Бернулли (2.88) следует положить h\ = h<i и считать скорость щ жидкости у поршня равной нулю: V2 = y/2F/(pS). (2.89) Если площадью отверстия S нельзя пренебрегать по сравнению с площадью поршня 5χ, τ. е. условие S2/S1 <Cl не выполняется, то скорость истечения определяется соотношением щ = 2FSX p{s\-siy (2.90) S, ■\i42gh Рис. 2.34. Шприц ¥ Рис. 2.35. Формула Торричелли 2) Для скорости жидкости, вытекающей из отверстия широкого открытого сосуда (рис. 2.35), уравнение Бернулли (2.88) приводит к формуле Торричелли υ = y/2gh, (2.91) где h — высота уровня жидкости над отверстием. Скорость вытекающей жидкости не зависит от ее плотности и совпадает со скоростью свободного падения с высоты h. В действительности при необтекаемой форме краев отверстия скорости частиц жидкости в отверстии не параллельны друг другу, а имеют составляющую, направленную к оси потока: струя жидкости сужается. Поэтому эффективная скорость истечения всегда меньше и может быть записана в виде υ = μ\[ϊφ, (2.92) ξξ μ = 0,5 μ = 0,62 ^=-=· μ = 0,85 μ = 0,95 Рис. 2.36. Коэффициент истечения
Гидродинамика 297 где μ — коэффициент истечения, зависящий от формы отверстия (рис. 2.36). В движущейся жидкости давление на неподвижную площадку зависит от ее ориентации в потоке. Связь измеряемого давления со скоростью в каждом случае определяется уравнением Бернулли. Если отверстие манометра расположено на боковой поверхности трубки (рис. 2.37, а), то его показание ρ будет таким же, как и у манометра, движущегося вместе с жидкостью. Если трубка манометра с открытым передним концом обращена навстречу потоку жидкости (трубка Пито, см. рис. 2.37, #), то показание манометра будет соответственно Ризм. = Ρ + pv2/2. а) б) Рис. 2.37. Манометрические трубки в потоке Комбинация таких трубок называется трубкой Прандтля (рис. 2.38, а). Показываемая ею разность давлений Ар связана со скоростью потока соотношением Ар = ρυ2/2. а) б) Рис. 2.38. Трубки Прандтля (а) и Вентури (б)
298 Механика Трубка Вентури (рис. 2.38, б) измеряет разность давлений в