УДК 624.074.4.@7) .
Научный редактор — доктор фнз.-мат. наук проф. В. М. Даревский
Филин А. П. Элементы теории оболочек. Изд. 2-е, доп. и перераб. Л.,
Стройиздат, Ленингр. отд-ние, 1975, 256 с.
Книга представляет собой элементарное систематическое изложение
теории оболочек. После вывода основных'уравнений общей линейной теории
уделено внимание различным упрощенным ее вариантам: теории пологих
оболочек и безмоментнои теории (и краевому эффекту). Обсуждаются частные
случаи общей теории — теория оболочек вращения, в том числе цилиндри-
цилиндрических оболочек.
Нелинейная в геометрическом смысле теория рассмотрена для пологих
оболочек. Из общих уравнений нелинейной теории пологих оболочек полу-
получены как частные случаи уравнения различных вариантов теории пластин.
Книга предназначена для инженеров — проектировщиков-расчетчиков,
научных работников, преподавателей, аспирантов н студентов втузов.
ъ
Табл. 3, рис. 64.
30205-165
142—75
047@1)—75 © Стройиздат, Ленинградское, отделение, 1975
Анатоли й Петрович Филин
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК
Издание 2-е, дополненное и переработанное
Редактор #. В. Зарицкий
Оформление обложки художника И. Н. Кошароеского
Технический редактор В. В. Жченова
Корректор И. Г. Баранова
Сдано в набор 29/VIII-75 Подписано к печати 14/XI-75 М-29250
Формат 60 X 9О'/1в. Бумага типографская № 3 Усл. печ. л. 16,0
Уч.-изд. л. 17,37 Тираж 5000 экз. Уч.-изд. Кг 1496—Л. Заказ 1753. Цеиа 1 р. 15 к.
Стройиздат, Ленинградское отделение - .
19101.1, Ленинград, пл. Островского, д. 6
Ленинградская типография N° 4 Союзполиграфпрома при
Государственном комитете Совета Министров СССР по де-
делам издательств, полиграфии и книжной торговли, 196126,
Ленинград, Ф-126, Социалистическая ул., 14.

Светлой памяти незабвенных друзей—
профессоров
Георгия Юстиновича Джанелидзе
и Отара Давидовича Ониашвили
посвящает настоящий труд автор
ПРЕДИСЛОВИЕ
Тонкостенные конструкции типа оболочек и пластин составляют весьма
обширный класс. Формы объектов, которые могут быть причислены к этому
классу, чрезвычайно разнообразны, точно так же, как велико и число обла-
областей техники, в которых они встречаются: в машиностроении — это корпуса
всевозможных машин, улитки турбин; в' приборостроении — гибкие упругие
элементы: сильфоны, мембраны, в том числе гофрированные, тарельчатые
пружины; в гражданском и промышленном строительстве — покрытия и
перекрытия, пандусы, иавесы и козырьки; в кораблестроении — корпуса
судов, сухих и плавучих доков; в авиастроении — фюзеляжи и крылья са-
самолетов; в ракетостроении — корпуса ракет; в подвижном составе железных
дорог — кузова вагонов, цистерны, несущие конструкции локомотивов; в
других видах наземного транспорта — кузова автомобилей, тракторов;
в мостостроении — плиты проезжей части, кессоны, опускные колодцы,
сваи-оболочки; в тоннелестроении и, в частности, в метростроении — об-
обделка тоннелей; в гидротехническом (энергетическом) строительстве — ароч-
арочные и арочные контрфорсные плотины, затворы; в промышленной аппара-
аппаратуре — всевозможные емкости (аппаратура химических и ряда других про-
производств), резервуары, бункера; в котлостроении — котлы; в трубопрово-
трубопроводах, компенсаторах и т. п.
Как правило, во всех указанных конструкциях тонкостенная часть под-
подкреплена ребрами одного или двух направлении (например, набор в корпу-
корпусах судов и фюзеляжах самолетов) и имеет разнообразные отверстия, люки,
утолщения, подкрепления отверстий. Сама тонкостенная часть отличается
порой весьма сложной формой, представляя иногда комбинацию тонкостен-
тонкостенных элементов.
Непростыми бывают в ряде случаев условия опирания элементов тонко-
тонкостенных конструкций и их сочленения. Следует, к тому же, иметь в виду ог-
огромное разнообразие воздействий, испытываемых рассматриваемыми кон-
конструкциями (различные силовые и температурные воздействия — как ста-
статические, так и динамические), а также большую гамму свойств материалов,
из которых они выполнены.
Наряду со сложностью форм и воздействий тонкостенные конструкции,
как правило, отличаются еще и тем, что к ним предъявляются жесткие тре-
требования в отношении надежности и одновременно легкости. В связи с этим
расчет таких конструкций исключительно ответствен; вместе с тем он очень
сложен. , I
Указанными обстоятельствами и объясняется то большое внимание,
которое уделяется разработке теории тонкостенных систем, например теории
пластин и оболочек.
К настоящему времени накоплен огромный материал, сформировав-
сформировавшийся в стройную общую и частные теории. Известен ряд выдающихся мо-
монографий отечественных и зарубежных ученых, в которых излагаются ос-
основные разделы или отдельные аспекты теории; журналы, в которых систе-
систематически публикуются статьи по теории пластин и оболочек; спорадически
1* 3

издаваемые сборники, содержащие статьи иа. аналогичные темы; труды кон-
конференций, посвященных специально этой проблеме, и конференций, иа ко-
которых обсуждаются другие частные или общие проблемы механики. Однако
книг, дающих первоначальное представление об основах теории оболочек,
издано немного. К ним следует отнести, в частности, книгу Н. В. Колку-
иова.1 Настоящая книга преследует такую же цель. В ней, кроме уравнений
момеитной теории оболочек, включая и краткие сведения из дифференциаль-
дифференциальной геометрии, рассматриваются упрощенные варианты теории: безмомеит-
ная теория, краевой эффект и теория пологих оболочек. Специально обсуж-
обсуждаются наиболее часто встречающиеся на практике оболочки вращення, в том
числе цилиндрическая. Для пологих оболочек дается не только линейная,
но и геометрически нелинейная теория. Из последней вытекают уравнения
различных вариантов теорин пластин.
Книга состоит из пятнадцати глав. Ограниченный ее объем ие позволил
включить в нее большее количество примеров. Ознакомление с излагаемыми
в ней материалами, посвященными общей линейной теорин гладких изотроп-
изотропных оболочек и классическим частным ее случаям, заложит фундамент для
дальнейшего, более глубокого изучения Любого нового актуального направ-
направления теории. Представление о структуре современной теорин оболочек даио
в последней главе.
Автор стремился облегчить изучение читателем сущности теорин обо-
оболочек. В связн с этим, исходя нз предположения о минимальном исходном
объеме его знаний, автор отказался н от тензорного формализма, и от вариа-
вариационного пути получения уравнений н граничных условий, хотя оба фактора
весьма важны и использование их придало бы изложению ббльшую строй-
стройность н компактность, однако это, по-внднмому, нензбежио сузило бы круг
читателей.
Читателю, приступающему к изучению теорин оболочек н пластин, бу-
будут полезны некоторые советы.
Во-первых, ни в коем случае не надо пугаться большого числа формул.
Важно лншь четко понимать смысл входящих в уравнения величии, смысл
самих уравнений н основную идею их вывода. Кстати заметим, что форму-
формулами теорин оболочек в наиболее общем их виде при расчете пользоваться
почти никогда не приходится. Практически всегда, вследствие тех или иных'
условий, эти формулы упрощаются? главным образом это определяется очер-
очертанием срединной поверхности оболочек. Однако располагать уравнениями
в наиболее общем их виде очень существенно, ибо это позволяет легко полу-
получать нз них частные случаи, число н характер которых заранее предвидеть
невозможно. Важно уяснить, в чем состоит сущность применяемых гипотез
или упрощающих теорию предположений, помнить, где н как оин исполь-
используются, как в снязи с прннятнем этих, гипотез и допущений ограничивается
1 область применения соответствующего частного аппарата. В конце некото-
некоторых глав даютсятрезюме, подводящие соответствующие итоги. В них вновь
отмечается та минимальная информация, которая ин в коем случае не должна
ускользать из поля зрения читателя за всеми формулами н выкладками.
В тех главах, по которым иет'резюме, в тексте даиы подробные пояснения,
ие обремененные формулами, но освещающие сущность вопроса.
Во-вторых, весьма желательно, чтобы у читателя сложилось ясное и
четкое представление о структуре теорин оболочек, о том, как из уравнений
общей теории получаются уравйення, относящиеся к частным видам оболочек
или к частным случаям их напряженного состояния. Следует учитывать,
что теория пластин и оболочек является ветвью механики твердых деформи-
деформируемых тел, и поэтому имеется много аналогий с .соответствующими разде-
разделами других ветвей, например с пространственной задачей теорин упругости,'
с теорией стержней. Важно поинмать как эту аналогию, так н отличия ме-
между указанными ветвями.
1 Н. В. К о л к у н о в. Основы расчета упругих оболочек. Изд. 2-в|
М., «Высшая школа», 1972,

В-третьих, очеиЬ существенно, уяснить характер работы оболочки, рас-
распределение усилий в ней, удельное значение различных факторов в разных
условиях. ¦
Время от времени иужио возвращаться к резюме предыдущих глав,
чтобы закрепить основные понятия и идеи, а также восстановить общую кар-
картину; в частности, это необходимо для уясиеиия логических-связей между
отдельными главзми.
При рассмотрении вывода основных уравнений надо четко представить
себе его структуру, что поможет разобраться в принципиальных вопросах.
Все приведенные в настоящей книге уравнения являются классическими
(многие из иих впервые были получены отечественными учеными). Автор по^
ставил перед собой цель: опираясь иа превосходные монографин,1 по возмож-
возможности просто осветить содержание теории, сохранив в определенной мере
строгость доказательств. В ряде мест дается трактовка, отличная от приня-
принятой в упомянутых книгах. В частности, автор отремился к непосредственно
геометрической трактовке ряда зависимостей. По-видимому, располагать
таким выводом наряду с иными, изложенными в других книгах, весьма по-
полезно.
Ряд книг 2 по дифференциальной геометрии был использован при напи-
написании второй главы.
Несмотря на то, что, как отмечалось, тензорный формализм в настоящей
книге ие используется в уравнениях, предполагается, что читатель имеет
представление о симметричном тензоре второго ранга из курсов теории упру-
упругости и сопротивления материалов, в которых н напряжение и деформация
в точке трактуются как тензоры второго ранга. Тем ие менее, краткая инфор-
информация, относящаяся к этому понятию, приводится в подстрочных примеча-
примечаниях.
Настоящее издание подверглось следующим изменениям: добавлена
гл. 7 (здесь и далее в новой нумерации); внесены дополнения в уже имев-
имевшиеся главы: в гл. 3 добавлен п. 6, в котором дай вариант получения формул
для параметров деформации; сделано добавление к гл. 6 (п. 5), посвященное
статико-геометрической аналогии. Заново написаны главы 13 и 15.
Автор считает своим долгом выразить глубокую благодарность рецен-
рецензентам В. С. Калинину н Г. Э. Райнусу, научному редактору В. М. Дарев-
скому за весьма ценные замечания и советы, послужившие улучшению киигл.
Все замечания и пожелания читателей будут приняты автором с признатель-
признательностью.
1 А. И. Лурье. Статика тонкостенных упругих оболочек. М., Гос-
технздат, 1947.
В. 3. Власов. Общая теория оболочек и ее приложение в технике.
М., Гостехиздат, 1949.
В. В. Новожилов Теория тонких оболочек. Л., Судпромгиз,
1951 B-е изд., 1962).
А. Л. Гольденвейзер. Теория упругих тонких оболочек. М.,
Гостехнздат, 1953.
A. С. В о л ь м и р. Гибкие пластинки и оболочки. М., Гостехиздат,
1956.
B. Ф л ю г г е. Статика и динамика оболочек (перевод с ием.). М.,
Госстрой издат, 1961.
К- Ф. Черных. Линейная теория оболочек. Ч. I и II. Изд-во ЛГУ,
1962, 1964.
2 В. Ф. К а г а и. Основы теории поверхностей. Ч. II. М., Гостех-
Гостехнздат, 1952.
Математика, ее содержание, методы h значение. Т. II. АН СССР, 1956.
П. К. Р а ш е в с к и й. Курс дифференциальной геометрии. М., Физ-
матгнз, 1958.
А. П. Н о р д е и. Краткий курс дифференциальной геометрии. М.,
Физматгиз, 1958.

Основные обозначения
; — главные кривизны поверхности;
i —* средняя кривизна поверхности;
— гауссова кривизна поверхностн;
/?2 — радиусы главных, кривизн срединной поверхностн обо-
оболочки;
а1, а2 — криволинейные координаты в срединной поверхностн;
«1. б2> ел — триэдр ортов; ех н е2 направлены вдоль касательных к
координатным линиям ах и а2, а ел — по нормали к по-
поверхности (в частности, к средннной поверхности обо-
оболочки до ее деформации);
Е, F, G —- в гл. 2 и 3 — коэффициенты первой квадратичной формы
поверхности, в остальных главах Е и G — модули упру-
упругости материала оболочки;
¦^i. ^2 — коэффициенты Ламе в теории криволинейных координат;
X — угол, составляемый координатными линиями;
dslt ds2 — дифференциалы дуг нормальных сечений срединной по-
поверхностн, проведенных по направлению, координатных
линий (Xj, a2;
L, М, N — коэффициенты второй квадратичной формы;
штрих при аи а2; еъ е2, е„; Е, F, G; Alt Aa, Л12; L» М,
N; dslt ds2 означает, что соответствующая величина от-
относится к деформированной срединной поверхностн;
ei> е2 — линейные деформации волокон, совпадающих с
нормальными сечениями/проведенными в нап-
направлениях координатных линий средннной по-
поверхности оболочки; „
ы — сдвиг в средннной поверхности оболочки между ' ? '
направлениями указанных выше волокон; метры
дефор-
деформации
"it Х2 — изменения кривизн нормальных сечений средин-
срединной поверхности, проведённых по направлению
координатных линий ах, а2;
т — параметр, характеризующий кручение сре-
срединной поверхности оболочки;
(?>х, а>2 — углы, составляемые ортами е[ и е(, е2 и е2;
, и2, w — составляющие перемещения точки срединной поверх-
поверхностн по направлениям ортов е^ е2, ел;
#х, #2 — углы поворота нормального элемента (углы, составляе-
составляемые проекциями нормального элемента в оболочке,
испытавшей деформацию, на плоскости ехеп н е2е„ с
'проекцией на те же плоскости первоначального направ-
направления нормального элемента);
«1, и2, w; Ru R2; dslt ds2; alt a2; Аг, Л2; elt 82;
a, ©!, а>2 с нижним индексом (г) имеют смысл, аналогич-
аналогичный поясненному выше, но относятси ие к срединной
поверхности оболочки,, а к поверхностн, равноудаленной
от последней на величину г; а1и а22( а38, т12 = т21,
т13=~т81, Т2з=т82 — компоненты напряжения в системе
направлений elt е2, ел (Ti2 — составляющая напря-
напряжения, действующего на площадке с нормалью elt па-
параллельная орту е„);
А — толщина оболочки (во всей книге, кроме гл. 2; Л в гл. 2—
расстояние от касательной к поверхностн плоскости до
точки, лежащей на поверхности н расположенной
вблизи точки касания);
JVi, N2 —- погонные нормальные силы;
Si, S2 т- погонные сдвигающие силы;
Qif Qa — погонные поперечные силы; ?

Mi, Мг — догонные изгибающие моменты;
#i. #2 — погоиные крутящие моменты;
^l. 02. Яп — составляющие (по ортам elf e2, е„) интенсивности внеш-
внешней нагрузки, распределенной по срединной поверхно-
поверхности оболочки;
S, Н, Ф —.функции координат точек срединной поверхности обо-
оболочек;
ц — коэффициент Пуассона материала;
U — потенциальная энергия деформации оболочки;
li Фг. Фз — функции напряжений.

Раздел I
ОБОЛОЧКА И ЕЕ ГЕОМЕТРИЯ
Глава первая
ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Оболочкой называют тело, образованное в результате такого
движения прямолинейного элемента, при котором средняя его точка
остается на .гладкой (без изломов и острых вершин) поверхности,
а направление — нормальным к ней. Такая поверхность называется
срединной поверхностью оболочки.
Длина прямолинейного элемента может оставаться неизменной,
но она может и изменяться в процессе движения, однако так, чтобы
поверхности, описываемые его концами, также были гладкими.
Длина данного нормального элемента называется толщиной обо-
оболочки, которая может быть переменной, а в частном случае—, по-,
стоянной. -
Боковые грани, ограничивающие тело оболочки, можно предста-
представить как след скольжения прямой, нормальной к срединной по-
поверхности, по замкнутой линии, называемой контуром и располо-
- женной в этой поверхности. Иными словами, боковые грани пред-
представляются как линейчатые поверхности. Таким образом, контур
является пересечением боковых граней сосрединной поверхностью.
Оболочка может иметь не один, а два или несколько контуров*
(рис. 1). Встречаются оболочки, вовсе не имеющие контура, напри-
например полый шар — тело, ограниченное двумя концентрично располо-
расположенными сферическими поверхностями.
В книге рассматриваются тонкие оболочки, у которых толщина
намного меньше габаритных размеров в срединной поверхности.
Прн наличии контура оболочка обычно подкрепляется контур-
ними элементами (балки, арки, фермы, диски, рис. 2). Чаще всего
эти элементы представляют собой опоры (жесткие или податливые),
воспринимающие вес оболочки и нагрузку, действующую на иее.
По контуру оболочка может соединяться с другими частями кон-
конструкции; стержневыми, тонкостенными, массивными. В ряде слу-
случаев оболочка подкрепляется ребрами одного или двух направле-
направлений, оси которых образуют тот или иной рисунок на срединной ее
поверхности. :
Строго говоря, уравнения равновесия элемента оболочки должны
составляться с учетом деформации срединной поверхности; при
8

этом они получаются нелинейными. Нелинейными при строгом рас?
смотрении проблемы оказываются также зависимости между пе-
перемещениями и деформациями. Однако в большинстве случаев
уравнения равновесия допустимо составлять, не учитывая дефор-
Рис. 1. Примеры оболочек
мации элемента оболочки (тогда они будут линейными), а зависи-
зависимости между перемещениями и параметрами деформаций линеари-
линеаризовать. Такой вариант теории оболочек называется геометрически
линейной теорией. Если же указанные упрощения недопустимы в от-
Рис. 2. Примеры подкреплений и контурных элементов оболочек
ношении точности результатов, то приходится применять нелиней-
нелинейные уравнения, и соответствующая теория оболочек носит назва-
название геометрически нелинейной.
Проведение границы между областью допустимого использова-
использования геометрически линейной теории оболочек и областью," в кото-
которой приходится применять геометрически нелинейную теорию,—

задача непростая, ибо эта граница зависит и от статических и от
геометрических факторов. Одним из признаков допустимости при-
применения геометрически линейной теории оболочек является доста-
достаточная малость перемещений. Тип используемой теории (геометри-
(геометрически линейная или геометрически нелинейная) зависит и от ха-
характера решаемой проблемы. Так, например, если исследуется ус-
устойчивость оболочки, то даже при малых перемещениях может воз-
возникнуть необходимость использования геометрически нелинейной
теории.
Материал оболочки, как и в любых конструкциях, может об-
обладать различными реологическими свойствами. Внешние воздей-
воздействия на оболочку в наиболее общем случае имеют сложную дина-
динамическую природу.
Следует помнить, что в теории оболочек, как и в теории сред,
геометрические уравнения, т. е. зависимости, связывающие пара-
параметры деформации с составляющими перемещения, и уравнения
совместности деформаций, а также статические зависимости — урав-
уравнения равновесия справедливы для оболочек, выполненных из ма-
материала с любыми реологическими свойствами. Последние отра-
отражаются лишь в физических уравнениях.
В настоящей книге рассматривается самый простой случай, когда
материал оболочек подчиняется закону Гука, т. е. имеет место фи-
физическая линейность; предполагается, что в оболочке перемещения
достаточно малы, при этом обеспечивается и геометрическая ли-
линейность. Исключение представляет гл. 12, в которой рассматри-
рассматривается геометрически нелинейная теория пологих оболочек. Кроме
того, предполагается, что внешнее силовое воздействие является
статическим. Рассматриваются оболочки с гладкой срединной по-
поверхностью — без ребер, ступеней, острых вершин. Если средин-
срединной поверхности оболочки присущи отмеченные выше особенности,
то излагаемая в настоящей книге теория справедлива для отдель-
отдельных частей оболочки, отделенных одна от другой линиями наруше-
нарушения регулярности; для отыскания функций, характеризующих на-
напряженное состояние всей оболочки, приходится решать контакт-
контактную задачу, для чего выполняется соответствующее согласование
решений на границах упомянутых частей. Если в оболочке имеются
подкрепляющие ее ребра, то и в этом случае теория гладких оболо-
чек|может быть использована при решении контактной задачи для
гладкой оболочки и ребер набора.
Особенность формы оболочек, состоящая в резком различии
их толщины и габаритных размеров, влечет за собой возможность
упрощения теории путем некоторой схематизации действительной
работы конструкции. Эта схематизация формулируется в исполь-
используемых гипотезах, аналогичных по природе гипотезам в теории
стержней.
- Принятие гипотез намного упрощает расчет по сравнению со
строгой постановкой в теории сред, в частности в теории упругости-;
вместе с тем обеспечивается достаточная точность.
10 ч

В результате упрощения все функции, характеризующие на-
напряженно-деформированное состояние оболочки, оказываются функ*
циями двух координат точек срединной поверхности. Картина при
этом подобна наблюдаемой в теории стержней, в которой анало-
аналогичные функции являются функциями одной переменной — коор-
координаты точек оси стержня.
По схеме построения и точности результатов теория оболочек,
основанная на использовании гипотез (Кирхгофа—Лява), анало-
аналогична технической теории стержней в сопротивлении материалов,
вследствие чего некоторые авторы предлагают такую теорию обо-
оболочек называть тоже технической теорией (В. В. Новожилов) или
теорией оболочек первого приближения (В. Т. Койтер). Вместе
с тем аналогия между технической теорией стержней в сопротив-
сопротивлении материалов и теорией оболочек, основанной на гипотезах
Кирхгофа—Лява, нарушается, так как последняя содержит ряд
упрощенных вариантов (безмоментная теория, полубезмоментная
теория, теория пологих оболочек), в то время как в теории^ стерж-
стержней подобных вариантов нет. Вследствие этого отдельные исследо-
исследователи считают, что логичнее технической теорией оболочек назы-
называть отмеченные выше различные упрощенные варианты общей
теории, а неупрощенный вариант — просто теорией оболочек. По-
видимому, обе точки зрения имеют право на существование. Однако
нам представляется все же, что точка зрения В. В. Новожилова
более последовательна. Именно такая терминология и принята
в настоящей книге. При этом, конечно, надо учитывать, что имеются
более точные теории оболочек, чем техническая, занимающие в дан-
данном отношении промежуточное положение между последней и ре-
решением трехмерной задачи теории сред, в частности теории упруго-
упругости. Однако такие теории не находят широкого применения.
Оболочки, к которым применимы упомянутые выше гипотезы^
называются тонкими, а те, к которым эти гипотезы не применимы,—
толстыми.
Граница между тонкими и толстыми оболочками условна и
обычно определяется отношением (h/R)max « 1/20, где h — толщина
оболочки, R — радиус кривизны срединной поверхности.
Подавляющее же большинство оболочек имеет параметр hIR
намного меньший, чем 1/20. В теории тонких оболочек всеми
членами, имеющими порядок hIR, пренебрегают по сравнению
с единицей,1 ибо такую же погрешность дает использование
гипотез Кирхгофа, положенных в основу технической теории
оболочек.
Несмотря на ряд отмеченных упрощений и ограничений, мате*
матический аппарат технической теории оболочек все же сложен.
1 Отмеченный критерий для упрощения уравнений' был сформулирован
В. В. Новожиловым н Р. М. Фннкелыптейном в их совместной статье «О по-
погрешности гипотез Кирхгофа в теории оболочек». «Прикладная математика
и механика», т. VII, вып. 5, 1943.
11

Поскольку все функции, определяющие напряженно-деформи-
напряженно-деформированное состояние, представляют собой функции двух координат
точек срединной поверхности, приходится изучать вид срединной
поверхности и кривых, лежащих в ней как до, так и после деформа-
деформации* Такое изучение мыслимо лишь при использовании результатов
раздела математики, носящего название теории кривых и поверх-
поверхностей.
В этой теории изучаются свойства, присущие вообще кри-
кривой или поверхности независимо от их вида.
Теория кривых и поверхностей изучается в дифференциальной
геометрии; в ней рассматриваются дифференциальные свойства
кривых и поверхностей, т. е. свойства их в точке, или, иными сло-
словами, свойства, которые присущи сколь угодно малой части
кривой или поверхности.
Геометрические объекты в дифференциальной геометрии изу-
изучаются посредством аппарата анализа бесконечно малых. Предпо-
Предполагается, что кривая или поверхность могут быть заданы уравне-
уравнениями, содержащими функции, которые имеют достаточное число
последовательных производных.
РЕЗЮМЕ Г Л. 1
1. Техническая теория оболочек основана на гипотезах, анало-
аналогичных используемым в теории стержней. Эти гипотезы по-
позволяют свести трехмерную задачу теории
упругости к двухмерной, подобно тому как в теории
стержней трехмерная задача сведена к одномерной. Роль оси
стержня в теории стержней в теории оболочек играет срединная
поверхность. Так же как в теории стержней, где все функции, ха-
характеризующие напряженно-деформированное их состояние, яв-
являются функциями одной координаты точки оси, в теории оболочек
все функции, описывающие напряженно-деформированное их со-
состояние, суть функции двух координат точки срединной поверхно-
поверхности. ' ,
2. В технической теории тонких о б о л о ^
чек пренебрегают членами порядка hlR п о
сравнениюсединицей.
3. Применение линейной теории оболочек ограничивается об-
областью случаев, в которых, во-первых, переход от нелинейных
уравнений равновесия, полученных с учетом деформации элемента^
оболочки, к линейным, относящимся к недеформированному эле-
элементу, не влечет за собой недопустимых погрешностей; во-вторых,
линеаризация зависимостей между перемещениями и параметрами
деформации не приводит к недозволенной потере точности; в-третьих
справедлив закон Гука для материала.
При решении задачи теории устойчивости оболочки может воз-
возникнуть необходимость использования геометрически нелинейной
теории даже при малых перемещениях.
12 • .

Глава вторая
КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
1. ПОВЕРХНОСТЬ В ОБЪЕМЛЮЩЕМ ЕЕ ПРОСТРАНСТВЕ
1.1. Задание поверхности
Поверхиость может быть задана уравиением одного из типов:
z = f(x,y); A)
F(x,y,z) = 0, B)
которые определяют координату г как явную A) или неявную B)
функцию координат х, у. ~
Рис. 3. К заданию по-
поверхности
а—случай, при которой ком-
комбинации х я у соответствует
одно значение г; б — случай,
при которой комбинации х
и у соответствуют два значе-
значении 2
Задание поверхиости выполняется и в параметрической форме:
х = х(а, р); у = у{а, р); z = z(a, p).
Примером задания поверхиости уравиеиием типа A) может слу-
служить представление параболоида вращения (рис. 3, а) следующим
уравиеиием:
(*\ \
здесь поверхиость задана при любых х и у. Однако область задания
в A) может быть и ограниченной. Например, может представлять,
интерес часть параболоида вращения, отвечающая комбинациям
значений х и у, которым соответствуют точки, лежащие внутри
круга радиуса R или кольца с внешним и внутренним радиусами
равными соответственно R и г.
Будем предполагать, что функция / (х, у) имеет все первые, вто-
вторые, а иногда и некоторые последующие производные. Такая по-
поверхность может быть названа регулярной. Оиа не имеет ребер, ост-
острых вершии и тому подобных особенностей.
13

Не всякая поверхность полностью может быть задана при по-
помощи уравнения типа A), так как в ряде случаев одной комбинации
значений х и у соответствует не единственная точка на поверхности
(например, рис. 3, б). В подобных случаях приходится либо при-
прибегать к заданию поверхности неявным уравнением типа B), либо
использовать уравнение типа A), но не для всей поверхности сразу,
а по частям.
Уравнение типа B) для сферы, изображенной на рис. 3, б, имеет
вид
х2 + у2 + (г - сJ = Я2.
Та же сфера может быть задана и уравнением типа A), но по частям:
часть поверхности, лежащая ниже плоскости г = с, задается урав-
уравнением
C)
а находящаяся выше плоскости z = с — уравнением
D)
точки поверхности, лежащие в плоскости z = с, могут быть полу-
получены как из C), так и из D).
Заметим, что невозможность представления всей поверхности
полностью в форме A) в некоторой системе координат не исклю-
исключает представимости уравнения этой же поверхности в такой форме
в другой системе координат. ¦ ^
1.2. Касательная плоскость. Нормальные сечения
Можно доказать, что все касательные в точке А к"линиям, про-
проведенным на поверхности через эту точку, лежат в одной плоскости;
эта плоскость называется касательной к поверхности в точке А.
Таким образом, касательная плоскость к поверхности в точке А
(рис. 4) представляет собой геометрическое место касательных век-
векторов к кривым, лежащим на поверхности и [проходящим через
точку А. Вблизи точки касания поверхность как бы сливается с ка-
касательной плоскостью.
Перпендикуляр N д касательной плоскости в точке касания ее
с поверхностью называется нормалью к поверхности (рис. 5). След
пересечения поверхности с плоскостью, проходящей через нормаль,
представляет собой плоскую кривую, лежащую в поверхности и
называемую нормальным сечением (рис. 5). Плоскость, образующая
нормальное сечение, может быть задана углом фг составленным
этой плоскостью с некоторым начальным лучом а0, который лежит
в касательной плоскости (рис. 5). Через точку Л поверхности можно
провести бесчисленное множество нормальных сечений. Кривизна
нормального сечения в точке А является функцией угла ф; будем
14 .

обозначать ее символом ka, индекс а соответствует прямой в каса-
касательной плоскости, через которую проходит плоскость нормального
сечения (рис. 5). Кривизны нормальных сечений в точке А харак-
характеризуют кривизну поверхности в этой точке.
Рис. 4. Касательная к по-
поверхности плоскость
Рис. 6. К определению
визны нормального сечения
поверхности
Рис. .- Нормальное сече-
сечение поверхности
Кривизна ka выражается следующей формулой 1 (см. рис. 6):
i-o
i-o
1 Действительно, пусть необходимо иайти в точ-ке О кривизну плоской
кривой, заданной уравнением z = г (s). Совместим с этой точкой начало ко-
координат и направим ось s вдоль касательной, а ось г по нормали к кривой
в точке О, Из курса анализа известно выражение для кривизны кривой
*_ 1^1 ¦ " -
В нашем случае г' = 0, следовательно, k = \г" |.
15

По формуле Маклорена
f(x, y)**f(O, 0)+/Л0,
@,0) +
+ hy @, 0) ху + fyy @, 0).-?- + е (*а + у*).
Поскольку здесь начало координат системы xyz расположено в точке
касания касательной плоскости к поверхности, то
/@, 0) = 0,
а вследствие того, что оси х и у лежат в касательной плоскости,
М0,0) = 0; 4@,0) = 0.
Нижние индексы при / показывают аргументы, по которым выпол-
выполнено дифференцирование функции. -,
Имея в виду, что при х -*¦ 0 и у -+- 0 величина е также устрем-
устремляется к нулю, получаем:
и _и~. fxx (О. 0) *2 + 2fxy @, 0) ху + fyy @, 0) у2 + 2еР _
= fxx @, 0) cos2 a +fm @, 0) sin2 а + 2fxy @, 0) sin a cos а. E)
Здесь учтено, что
— = cosa; —-=sina.
В частности,
** = /«@,0); ky = fm(O,O). F)
Таким образом, зная кривизны любых двух ортогональных
нормальных сечений в точке А, например kx и ky, а также зная
fxy @, 0), можно найти кривизну любого другого нормального се-
сечения в той же точке.
По формуле Маклореиа
г=—
2
е -> при s -> 0 [в этом разложении учтено, что г @) = 0; г' @) = 0].
Таким образом,
*=|z"| = lim — =lim— .
16 ' "

1.3. Кривизна нормальных сечений поверхности — тензор
второго ранга
Можно показать, что кривизна нормальных сечений в осно-
основании нормали N является тензором второго ранга.1 Для этого
в касательной плоскости к поверхности (рис. 7) рассмотрим две
1 Тензором второго ранга называют такой физический или геометриче-
геометрический объект, который в пространстве п измерений в каждой из координат-
координатных систем характеризуется п2 числами, отмеченными двумя индексами и
преобразующимися при повороте координатных осей по закону
а , , =
здесь xv . . . , х., . . . , х., . . . , хп — оси первой, a xv . . . , хр, . . . , xq
л — оси второй систем координат; / , и / , — косинусы углов, состав-
*Pxi V/
ляемых соответственно осями х'„ с х, и х'„ с х,\ числа а , а , , — коордн-
" 1 " I' xixi ХР*„
наты {компоненты) тензора соответственно в системах координат xlt . . . ,
ха и х[, . . . , х'п. Если ах-х = ах х_ (i j= /), то тензор второго ранга назы-
называется симметричным. При п = 2 симметричный теизор второго ранга в си-
стемах-координат xv x% и х\, х'2 выражается компонентами, составляющими
матрицы
а , , а
Направляющие косинусы осей х[, х'2 в системе хх, х2 образуют матрицу
I , I ,
/, —l^^zosa, I, =m1=cos( а) = sin а,
= —sin a, I t = тг = cos а.
x2xx \ 2
Формулы преобразования компонентов симметричного тензора второго
ранга имеют вид:
а , , = а
a , , = a & + a_
+ 2агг Lm1 = ar , cos2 a + ar ,. sin2 a,+
XiX* *Л x^c'
-\-2arr cos a sin a; •
+ 2a,
& + a_ v m, + 2a, /22 -r r
x,xt »» ' J
— ^жл s'n a cos a;
= a-r r s'n2 a + ar * cos2 a —
r *
= —av „ cos a sin a + ar r sin
XiXx ' X^X?
av v (cos2a — sin2a) —
= — fav v — a, _ ) sin 2a + ar r cos 2a.
17

пары ортогональных осей: х, у и xlt ух. Пусть оси xt и х, а следо-
следовательно, и оси ух и у составляют угол а (рис. 8). Выведем формулы,
позволяющие по кривизнам нормальных сечений, которые обра-
образованы плоскостями, проходящими через оси х и у, находить кри-
кривизны нормальных сечений, образованных плоскостями, проходя-
проходящими через оси хг и уг.
Воспользовавшись формулами E) и F) и учитывая, что ось ух
составляет с х угол, равный (л/2 + а), получаем:
kXl = kx cos2a -f ky sin2 а + fxy.@, 0) sin 2а;
G)
a
sin 2
a
Используя формулы приведе-
приведения тригонометрических функ-
функций, преобразовываем (8) к сле-
следующему виду:
kyi = kxs\r?a-\- ky cos2 a—
. —/,, @,0) sin 2a. (9)
Phc. 7. Две пары ортогональных нор-
нормальных сеченнй поверхности
Рнс. 8. К установлению зави-
зависимости между координатами
точки в плоскости в двух си-
системах прямоугольных осей
Формулы G) и (9) имеют структуру, свойственную формулам
преобразования диагональных элементов в матрице компонентов
тензора второго ранга [см. формулы (a)lj2 в сноске на стр. 17].
Если кривизна нормальных сечений поверхности в точке каса-
касания действительно является тензором второго ранга, то, кроме
формул G) и (9), должна быть справедливой и следующая формула
[см. формулу (аK в подстрочном примечании иа стр. 17]:
/*,</, @. 0) = -i- (ke-kx) sin2a + fxy @, 0) cos2а,
¦ или, учитывая F),
fXiyi(Ot 0) = — [/
18
0, 0)cos2a. A0)

Нетрудно видеть, что формула A0) действительно справедлива.
С целью получения выражения для /ад, @, 0) применим правило
дифференцирования сложной функции:
Л2' = д / df \ д / df дх df ду\
dxt \ дух ) dxr \ dx dyt dy ду
дх\дх
ду
дх
dy \ dx dyt I dxt dx \ dy dy1) dxx
d I df dy\dy_d2f dx dx d*f dx dy
dy \ dy dyx ) dxt dx2 dyt dxt dx dy dyt dxt
dy
.
дхду
dx d2f dy dy
dxt dy2 dyt dxt
A1)
Здесь как функция fXlylt так и производные функции / в правой
части равенства рассматриваются при х = 0, у = 0.
' ~ Для получения выражений производных
дх дх ду ду
дхг дух дхх дух
входящих в формулу A1), приведем формулы преобразования ко-
координат xlt уг в координаты х, у (см. рис. 8):
х = хх cos а — </iSin а; у = A^sin а -(- </xcos а;
отсюда
дх
cosa,
дх
= —sina,
ду
= sma,
ду
= cosa.
A2)
Если учесть A2), то A1) приобретает вид:
„ = ^-sinacosa-f—^-si
дх2 ду2
— (cos2a—sin2a). A3)
дх ду
Формула A3) тождественна формуле A0). Следовательно, кри-
кривизна нормальных сечений поверхности в точке касания является
симметричным * тензором второго ранга:
A4)
/жж@,0) /ж„@,0) = kx txy
fyx @,0) fyy(O,Oy txy ky
Элемент txy характеризует кручение поверхности, о природе
которого "говорится в следующей главе.
1, Примерами симметричных тензоров второго ранга в пространстве двух
измерений могут служить: напряжение и деформация в точке тела, находя-
находящегося в плоском напряженном состоянии, и момент инерции площади пло-
плоской фигуры:
Ох
' %ху
Чу
аУ
8
1
2
Уху
2 ХУ
Ч
1-х
—Ixy
-Ixy
I у
19

Поскольку кривизна нормальных сечений поверхности в точке
представляет собой симметричный тензор второго ранга, справед-
справедливо следующее1:
а) Теорема о существовании главных кривизн. В касательной
плоскости к поверхности существуют два таких ортогональных
направления х0, у0, проходящих через точку касания, при которых
. компонент tX(,y0 тензора кривизн обращается в нуль. Нормальные
сечеиия поверхности, соответствующие, направлениям х0 и у0,
называются главными, а кривизны этих сечений в точке касания
называются главными кривизнами.2
1 Нижеприводимые теоремы и формулы вытекают из тензорной природы
кривизн нормальных сечений поверхности. Эти теоремы аналогичны доказы-
доказываемым в теории напряжений или деформаций сплошной среды (плоская за-
задача), или в теории моментов инерции площади плоской фигуры вследствие
тензорной природы всех упомянутых объектов.
2 Кривая,"построенная аналогично квадрике Коши в двухмерном случае
(см. анализ напряженного состояния в точке), называется в теории поверх-
поверхностей индикатрисой Дюпена. Поясним ее построение. Пусть на плоскости,
касающейся поверхности в точке А, проведено направление v, проходящее
через точку А. Направляющие косинусы v в прямоугольной системе осей
х, у суть / и т. Кривизна нормального сечения, проведенного через v, есть
ky. Отложим вдоль "V вектор , тогда координаты его конца выража-
* ются формулами * ~ v
•- - i=FHlT1=T7=^ (a)
(плюс принимается при &v>0, минус
Из (а) имеем: ,
' ~ЛГ ¦ 17 " (б)
На основе G) получим:
(в)
Подставляя (б) в (в), будем иметь:
± fev
Получили уравнение центральной кривой второго порядка, носящей назва-
название индикатрисы Дюпена. Это либо эллипс, либо гиперболы, либо параллель-
параллельные прямые. N
В главных осях уравнение индикатрисы Дйпена имеет вид:
Д ю п е и Пьер Шарль Франсуа (Dupin Pierre Charles Fr., 1784—1873)
французский геометр, член Парижской Академии наук (с 1818 г.). По обра-
образованию морской инженер. Уже в возрасте шестнадцати лет Дюпен вывел
уравнение циклоиды (циклоида Дюпена). Дюпену принадлежит ряд важных
результатов в области дифференциальной геометрии (введение понятия инди-
индикатрисы, носящей его имя; доказательство того факта, что поверхности ор-
ортогональных систем пересекаются вдоль общих линий кривизн). Наряду
с геометрией Дюпеи выполнял исследования и по механике твердых дефор-
деформируемых тел (исследование изгиба деревяииых балок и обнаружеиие при
этом нелинейного участка зависимости перемещений от нагрузки, пропорцио-
пропорциональность величины, обратной прогибу, ширине балки и кубу высоты ее по-
поперечного сечения и др.). Все эти результаты, получены до выхода в свет
книги Навье по сопротивлению материалов.
20

б) Теорема об экстремальности главных кривизн. Одна из глав^
ных кривизн в точке касания является максимальной,
а другая минимальной из множества кривизн всех нор-
нормальных сечений.
в) Главные кривизны определяются из квадратного уравнения
кх к 1ху _
/ Ь —Ь '
1ху Ку к
которое в развернутой форме имеет вид:
k*~(kx+ky)k+kxky-t2xy=-0. A5)
В силу симметричности матрицы A4) оба корня уравнения A5)
вещественны:
]/{^J , A6)
или окончательно: , i
{ jV . A7)
г) Направления ортогональных осей х0 и у0, соответствующие
нормальным сечениям, кривизны которых являются главными, оп-
определяются из условия обращения в нуль величины tXlVl — fXlyt
в формуле A0):
( Q = y%у @, 0) -/„ @, 0)] sin 2ао+fxy @, 0) cos 2а0;
отсюда
tg2ao = T^ = -^-. A8)
I xx — lyy Rx — Чу
Ось x0 с осью х или ось у0 с осью у составляют угол а0. Нетрудно
получить формулы A6) и A7) и иначе, чем показано выше, а именно:
подставляя в G) и в (9) вместо sin a, cos а и sin.2a их выражения
через tg 2a = tg 2a0.
д) Существуют инварианты тензора кривизн нормальных се-
сечений поверхности:
h (TA) = kxky—1% = kxK
В ряде случаев вместо главных кривизн удобно пользоваться
инвариантами кривизн.
Первый инвариант с точностью до множителя V2 представляет
собой так называемую среднюю кривизну поверхности в данной точке:
и- ki-\- k2
ср~ 2 '
. 21

Рис. 9. Отрицательная гауссова
в точке поверхности
кривизна
Средняя кривизна поверхности входит в результаты многих
и разнообразных механических задач. . ,
Второй инвариант представляет собой так называемую гауссову
(или полную) кривизну поверхности в данной точке:
К = М*
В зависимости от знаков главных кривизн kt и k2 можно отме-
отметить следующие характерные случаи в исследуемой точке, охваты-
охватывающие любые регуляр-
регулярные поверхности.
Если главные кри-
кривизны &j и k2 имеют
одинаковые знаки, то
кривизна поверхности
в исследуемой точке
положительна и сама
поверхность в окрест-
окрестности этой точки имеет
вид, показанный на
рис. 7 (индикатриса Дю-
Дюпена в этом случае —
эллипс).
Если главные кри-
кривизны kx и k2 имеют
разные знаки, то гаус-
гауссова кривизна поверх-
поверхности в исследуемой
точке А отрицательна,
а сама поверхность
в окрестности этой точки
имеет седлообразный
вид, изображенный да
рис. 9 (индикатриса Дю-
Дюпена представляет собой
в этом случае гипер-
гиперболы).
Если одна из кри-
кривизн равна нулю, то
гауссова кривизна в ис-
исследуемой точке А равна
нулю и поверхность
в окрестности этой точки имеет вид, изображенный на рис. 10
(индикатриса Дюпена представляет собой в этом случае две парал-
параллельные прямые).
Наконец, нулю гауссова кривизна может равняться в точке А
поверхности и в том случае, если обе главные кривизны равны
нулю. Такие точки называются точками уплощения; в их окрест-
окрестности поверхность имеет сложные свойства.
Рис. 10. Нулевая гауссова кривизна в точке
поверхности
22

Абсолютное значение гауссовой кривизны характеризует сте-
степень искривленности поверхности в рассмат-
рассматриваемой точке.
е) Формула для кривизны произвольного нормального сечения
в точке А, выраженной через главные кривизны, имеет вид:
kXl— ?icos2a + ?2sin2a.
Эта формула получается как частный случай из G), если направ-
направления х и у главные (при этом fxy = txy = 0).
1.4. Замечания о поверхности в целом
Если во всех точках поверхности К >0, то ее в целом можно
назвать поверхностью положительной гауссовой кривизны-.(например,
сфера, эллипсоид). При /С <0 во всех точках поверхности тела
поверхность называется поверхностью отрицательной гауссовой
кривизны (например, гиперболический параболоид).
Наконец, если во всех точках поверхности X = 0, то она назы-
называется поверхностью нулевой гауссовой кривизны (цилиндр, конус),
Поверхности с К — 0 являются развертывающимися — они могут
быть при помощи изгибания превращены в плоскость и имеют с по-
последней одинаковую внутреннюю геометрию.
В общем же случае в одной части поверхности /С->0, а в другой
К <0 и имеются области (в частности, линии), отделяющие друг
от друга эти части, гдеХ = 0. Если для всей поверхности /Сср =
= const и К, = const, то поверхность является геометрически од-
однородной, в противном случае — геометрически неоднородной.
Отметим без доказательства следующий важный факт.
Если, предположив, что поверхность выполнена из гибкого
нерастяжимого (несжимаемого) материала, подвергать эту поверх-
поверхность изгибаниям,1 то в каждой точке поверхности главные кри-
кривизны kx и k2 будут изменяться; гауссова же кривизна будет со-
сохранять свое значение. Таким образом, совместить за счет изгиба-
изгибания сферическую и цилиндрическую поверхности нельзя, так как
у первой К всюду будет сохранять свое положительное значение,
а во второй — нулевое.
Точно так же нельзя за счет изгибания перейти от сферическое
поверхности одного радиуса к сферической поверхности другого,
так как значения гауссовой кривизны, одинаковые во всех точках
одной сферы, различны для разных сфйёр; вместе с тем при изгиба-
изгибании поверхности в каждой ее точке сохраняется значение гауссо-
гауссовой кривизны.
1 При изгибании поверхности длины любых кривых, лежащих на поверх-
" иости, сохраняются неизменными.
23

1.5. Формула Менье1
Пусть плоскость, пересекающая поверхность, не проходит че-
через нормаль к ней, так что получающееся при этом сечение не яв-
является нормальным (рис. 11). Нетрудно показать, что кривизна
такого сечения связана с кри-
кривизной нормального сечения сле-
следующей формулой:
где
Рис. 11. Два сечення оболочки: нор-
нормальное и составляющее с ним угол {$
— угол, составляемый
плоскостями, обра-
образующими сечения на
поверхности;
.kH и ?р — кривизны соответ-
соответствующих сечений.
Таким образом, задание тен-
тензора кривизны поверхности в не-
некоторой ее точке полностью ха-
характеризует кривизну поверх-
поверхности в указанной точке. Если
поверхность геометрически не-
неоднородна, то задание тензора
кривизны этой поверхности как
функции координат ее точек
исчерпывающим образом- характеризует кривизны всей поверх-
поверхности, т. е. при этом представляется возможность получить кри-
кривизну любого сечения поверхности в любой ее точке.
2. ПОНЯТИЕ О ВНУТРЕННЕЙ ГЕОМЕТРИИ
ПОВЕРХНОСТИ
Выше было принято условие называть изгибанием такую де-
деформацию поверхности, при которой не изменяются расстояния
между любыми двумя ее точками. На рис. 12 показан пример —
изгибание плоскости.
Если интересоваться не только двумя поверхностями — перво-
первоначальной и окончательной, в которую путем изгибания преобра-
преобразована первая, а следить за всем процессом пе-
перехода одной поверхности в другую, то обнаруживается, что
не во всех случаях такой непрерывный процесс мыслим. В тех слу-
случаях, когда он возможен, изгибание называется непрерывным.
1 М е н ь е Жан Батист Мари Шарль (Mensnier Jean Baptlste Marie
Charles, 1745—1793) — французский математик, чяеи Парижской Академии
наук. Известен своими исследованиями в области дифференциальной геомет-
геометрии (свойства кривизн плоских сечений поверхностей); работал также в об-
области механики и физики.
24

Свойства поверхности, остающиеся неизменными при изгиба-
изгибаниях ее, составляют предмет так называемой внутренней геомет-
геометрии поверхности. Определение «внутренняя» подчеркивает тот факт,
что имеются в виду собственные свойства поверхности, присущие
именно ей и остающиеся неизменными при ее изгибаниях.
Например, отрезок прямой на плоском листе бумаги, соединяю-
соединяющий точки А и В, является кратчайшим между ними расстоянием.
Если изогнуть лист, то кривая АВ, в которую превратится отрезок
прямой, сохранит не только свою длину,- но и свойство кратчай-
кратчайшего расстояния между точками Л и В в изогнутой поверхности
листа бумаги. Таким образом, кратчайшее расстояние между точ-
точками А и В — это поня-
понятие, относящееся к внут-
внутренней геометрии.
Изучение объектов
внутренней геометрии по-
поверхности может выпол-
выполняться без рассмотрения
свойств поверхности в объ-
объемлющем ее пространстве.
Примером внутренней гео-
геометрии может служить вну-
внутренняя геометрия плос-
плоскости. Длина линии, лежа-
лежащей «а поверхности; ущл
между линиями, лежащими
на поверхности; площадь
части поверхности, ограни-
ограниченной линиями,— все это
объекты внутренней геометрии. Основным понятием внутренней
геометрии является длина линии; через длину линии выражаются
и ^углы и площади.
У разных поверхностей внутренняя геометрия, вообще говоря,
различна. Например, на всякой поверхности можно рассмотреть
геометрическое место точек, находящихся на расстоянии г от не-
некоторой точки О, измеренном на ловерхности. Это геометрическое
место естественно назвать окружностью радиуса г. Длина окруж-
окружности одного и того же радиуса на разных поверхностях различна.
Например, длина окружности радиуса г выражается формулами:
на плоскости (рис. 13, а) •
s = 2яг;
на сфере (рис. 13, б)
s = 2зтр = 2nR sin a = 2nR sin — .
R
Если Из поверхности вырезать три круга одинакового радиуса г,
но так, чтобы центр первого из них находился в точке поверхности
с нулевой гауссовой кривизной, центр второго — в точке с поло-
Рис. 12. Сохранение расстояния между точ-
точками при изгибании плоскости

жительной, а центр третьего — в точке с отрицательной (рис. 13,в)
гауссовой кривизнами, а затем произвести разрезы, разделяющие
круги на секторы с малыми центральными углами, то с достаточ-
достаточной точностью образовавшиеся выкройки можно совместить с пло-
плоскостью. При этом получается картина, изображенная на рис. 14
а).
Рис. 13. Окружности
а — на плоскости (поверхность нулевой гауссовой кривизны); б — иа по-
поверхности положительной гауссовой кривизны; в — на поверхности отрица-
отрицательной гауссовой кривизны
и свидетельствующая о том, что площадь круга при /С>0 меньше,
чем при К = 0, а последняя, в свою очередь, меньше, чем при К. <0.
Имеются факты, справедливые для внутренней геометрии лю-
любой поверхности. Изучение этих фактов и выражение их через ве-
Рис. 14. Выкройки кругов, расположенных а поверхностях
отрицательной, положительной и нулевой гауссовой кривизны
личины, характеризующие данную поверхность; является одной
из основных задач внутренней геометрии.
Для изучения внутренней геометрии поверхности важно поня-
понятие проекции того или иного объекта на касательную плоскость
в окрестности точки касания последней.
Так, площадь поверхности можно рассматривать как предел
суммы площадей проекций элементов, составляющих поверхность,
26

на плоскости, касательные к поверхности, каждая из которых
касается поверхности в одной из точек соответствующего элемента
последней.
Угол, образуемый двумя кривыми, лежащими в поверхности
и пересекающимися в точке А, равен углу, составляемому каса-.
тельными к этим кривым; заметим, что для любой пары кривых
эти касательные всегда лежат в касательной плоскости к поверх-
поверхности в точке А (рис. 15).
Степень отклонения внутренней геометрии поверхности от внут-
внутренней геометрии плоскости во многом определяется гауссовой кри-
кривизной: чем К ближе к нулю, тем ближе к планиметрии внутренняя'
геометрия поверхности.
Внутренняя геометрия
поверхности и геометрия
поверхности в объемлющем
ее пространстве («.внешняя
геометрия») связаны между
собой. Так, например, каж-
каждая из двух главных кри-
кривизн поверхности — это
внешне геометрическое
свойство, вместе с тем про-
произведение главных кри-
кривизн—гауссова кривизна—
является объектом внут-
внутренней геометрии.
Форма поверхности в пространстве определяется ее внутренней
геометрией и кривизнами нормальных сечений. Если у двух по-
поверхностей внутренняя геометрия одинакова и в каждой паре со-
соответствующих точек равны кривизны нормальных сечений, то по-
поверхности конгруэнтны (равны) — они могут быть совмещены одна
с другой за счет движения.
Рис. 15. Угол между кривыми, лежащими
в поверхности
3. НЕКОТОРЫЕ ФОРМУЛЫ И ТЕОРЕМЫ
3.1. Система координат
Поверхность удобно представлять не в системе декартовых ко-
координат в объемлющем пространстве, а в системе координат, вво-
вводимой на самой поверхности. При этом точка поверхности- опреде-
определяется двумя числами — аг и а2, связанными с данной точкой.
Числа аг и ,а2 — криволинейные координаты. Фиксируя значение
одной из координат, например а2, и изменяя ах, получим линию,
лежащую в поверхности и называемую координатной линией аг.
Аналогично координатная линия а2 получается в случае фиксации
координаты аг и изменения аг. Координатные линии двух семейств
образуют сеть.
27

Вообще говоря, система координат аь а2 может быть выбрана
произвольно. Введем лишь ограничение, состоящее в том, что ко-
координатные линии <*! и а2 в интересующей нас области нигде не
должны касаться друг 'друга, т. е. sin % Ф О, где % — угол между
координатными линиями ах и а2.
С поверхностью в любой точке можно связать триэдр ортов е^
е2, е„, из которых ех и е2 направлены вдоль касательных к линиям
ах и а2 в сторону возрастания координатах и а2) а орт е„ нормален
к ех и е2 и образует вместе с ними правую систему (рис. 16). Такой
триэдр называется основным.
Любой вектор в ортах
этого триэдра имеет вид:
здесь Sa,, So, и s,, называются
основными координатами, они
равны проекциям лишь в слу-
случае ортогональных координат.
Рис. 16. Сеть координатных линий
и триэдр ортов .
3.2. Векторное уравнение поверхности
Положение точки на поверхности определяется координатами
аг и а2, эта же точка по-другому может быть задана при помощи
радиуса-вектора г, имеющего неподвижное начало в некоторой
точке пространства и конец в точке поверхности (о^, а2). Очевидно,
что г является функцией от ах и а2:
= г(аь а2).
A9)
Векторному равенству A9) соответствуют три скалярных ра-
равенства:
х = х (аг, а2); у = у (аъ а2); z ^= г (ах, а2).
3.3. Векторное уравнение линии на поверхности
Один из способов задания кривой на поверхности (параметри-
(параметрический) состоит в представлении координат аг и а2 в виде функции
одного параметра t:
ax = ax (?); a2 = a2 (i).
Тогда уравнение кривой на поверхности изображается так:
г =
28

3.4. Первая квадратичная форма
Внутренняя геометрия поверхности может быть охарактеризо-
охарактеризована так называемой первой квадратичной формой, а внешняя
(искривленность в пространстве) — второй квадратичной формой.
Первую квадратичную форму можно трактовать как правую
часть формулы для (dsJ — квадрата дифференциала дуги кривой,
лежащей на поверхности.
.Для ds имеет место равенство
Умножим и разделим правую часть равенства на dt, тогда по-
получим:
ds = VW (t)]*+ W (О]2 + V (t)? dt, B0)
где х' (t), у' (t) и г' (t) — суть составляющие вектора dr/dt = г^;
тогда формулу B0) можно представить компактнее:
ds = \r't\dt. B1)
Выразим векторную производную, воспользовавшись правилом
дифференцирования сложных функций:
1 dt да,, dt да* dt a^ x)t^ **\ Vt- v >
Подставляя B2) в B1), получим:
отсюда
-
Вводя обозначения х
г;=ьЛ» = ?, г;г;=Л1Лясовх = /7, .*l=A\ = G B3)
и имея в виду, что
придем к окончательной формуле для первой квадратичной формы:
B4)
Форма B4) является квадратичной относительно dax и da2.
Задание Е, F, G — коэффициентов первой квадратичной формы
как функций криволинейных координат ах и а2 — определяет
1 Здесь х — угол, составляемый координатными кривыми а1 и ое2. Как
уже указывалось, предполагаем, что координатные линии а.г и а2 нигде не
касаются друг друга, т. е. sin х Ф 0. Если криволинейные координаты орто-
ортогональны, то х =— и cos х = 0.
2

внутреннюю геометрию поверхности, так как, имея возможность
определить при помощи этих коэффициентов длину кривой, лежа-
лежащей на поверхности, можно найти и все остальные величины, харак-
характеризующие внутреннюю геометрию: площадь поверхности, угол,
составляемый лежащими на поверхности и пересекающимися кри-
кривыми, и т. п.
Коэффициенты Е, F, G полностью поверхности не определяют;
можно построить семейство поверхностей, у которых соответственно'
Е, F, G одинаковы, а сами поверхности различны; переход от од-
одной поверхности такого семейства к другой происходит без измене-
изменения длин отрезков и углов между линиями и, следовательно, пред-
представляет собой изгибание. Итак, Е, F, G определяют поверхность
с точностью до изгибания и положения в пространстве.
. Величины Ах и Ла являются коэффициентами Ламе в теории
криволинейных координат, т. е. коэффициентами пропорциональ-
пропорциональности в формулах, выражающих дифференциалы дуг координатных
линий через дифференциалы криволинейных координат:
dsx = А^аг; ds2 = A2da2-
3.5. Вторая квадратичная форма
i
Вторую квадратичную форму можно трактовать как праЪую
часть формулы для удвоенной главной части h — отклонения по-
поверхности от касательной плоскости, характеризующего искривлен-
искривленность поверхности в объемлющем пространстве.
Величину h можно рассматривать как проекцию вектора Аг на
нормаль к поверхности в точке касания к ней-касательной плоско-
плоскости. Под Аг понимается приращение радиуса-вектора г при пере-
переходе из точки касания касательной плоскости к поверхности в со-
соседнюю точку поверхности (рис. 16).
Скалярное произведение векторов Аг и е„, с учетом того, что е„ —
единичный вектор, и представит собой проекцию Аг на нормаль.
Таким образом,
Л==е„Аг.
Используя формулу Тейлора, получим;
; B5)
здесь е -»¦ 0 при l/r(doc1)a + (daa)a->O. В силу того, что вектор
dr лежит в касательной плоскости endr = 0, и учитывая малость
члена е [(dajJ + (daa)al по сравнению с вторым членом в правой
части B5), найдем:
2h = e/h = ef^(daiy + 2e/^dalda2 + ey^(da2^ B6)
30

При переходе от B5) к B6) учтено, что в правой части сохра-
сохраняется лишь второй член и что
Окончательно вторая квадратичная форма (правая часть ра-
равенства) приобретает вид:
2h = L(da1J + 2Mda1da2 + N(da2f; B7)
здесь L = e/;ai, М = е^'ал, N = ъ/а^~ коэффициенты второй
квадратичной формы. Форма B7) является квадратичной относи-
относительно dat и da2.
3.6. Задание поверхности двумя квадратичными формами
Первая и вторая квадратичные формы определяют собой по-
поверхность с точностью до положения ее в пространстве. Как будет,
показано ниже, коэффициенты обеих квадратичных форм не могут
быть произвольными, они связаны определенными дш}х})еренциаль-
ными зависимостями, и только при удовлетворении этим зависи-
зависимостям комбинации функций Е, F, G, L, М, N отвечает какая-то
поверхность.
Пусть имеются две точки на поверхности (alt а2) и (ax + dalt
a2 + da2). Если .провести нормальное сечение в точке (а1( а2) так,
чтобы оно прошло и через точку (аг + dalt a2 + da2), то кривизна
этого нормального сечения выразится формулой
2h e"d2r
kylm
R i.of» (dsf
Знак перед MR в B8) принят в соответствии с выбором положи-
положительного направления орта е„.
3.7. Сети координатных линий
Два пересекающихся семейства линий на поверхности образуют
сеть линий. Среди бесконечного множества различных сетей линий
имеются некоторые, обладающие важными свойствами. К числу
таких сетей относятся: сети сопряженных линий, сети ортогональ-
ортогональных линий, сеть линий главных кривизн. Любая система коорди-
координатных линий представляет собой сеть линий. Уравнения теории
оболочек получаются наиболее'простыми, если в качестве коорди-
координатных линий на срединной поверхности принята сеть линий глав-
главных кривизн. Координаты а1( а2, соответствующие сети линий
главных кривизн, называются главными координатами. Поясним
понятия: сеть сопряженных линий, ?еть ортогональных линий
и сеть линий главных кривизн.
Как известно, отрезок прямой, пересекающей эллипс или гипер-
гиперболу, заключенный между точками пересечения, называется хор-
31

дой. Если хорда проходит через центр эллипса или гиперболы,
то она называется диаметром. Каждый диаметр делит пополам
все хорды, параллельные некоторому направлению. Такой диаметр
называют сопряженным с хордами соответствующего направления;
Среди указанных параллельных хорд, в свою очередь, есть диаметр;
этот диаметр и диаметр, сопряженный с хордами, называют сопря-
сопряженными диаметрами.
Имеется бесчисленное множество сопряженных диаметров, но
только в одной паре таких диаметров последние ортогональны —
это главные диаметры.
Существует бесчисленное множество ортогональных диаметров,
но только диаметры одной такой пары являются сопряженными —
это главные диаметры.
Линии на поверхности, в каждой точке касающиеся сопряжен-
сопряженных диаметров индикатрисы Дюпена, называются сопряженными.
Если в качестве сопряженных в каждой точке приняты главные
диаметры, то соответствующие сопряженные линии на поверхности
называются линиями кривизн или линиями- главных кривизн. Со-
Совершенно очевидно, что, так как не всякие ортогональные направ-
направления являются сопряженными, не всякая ортогональная сеть яв-
является сетью линий главных кривизн.. Линии на поверхности,
всюду касающиеся асимптот индикатрисы Дюпена в той области
поверхности, где таковой являются гиперболы или параллельные
линии, называются асимптотическими (в случае, если индикатри-
индикатрисой Дюпена являются две параллельные линии, то обе асимптоты
сливаются в одну).
Если в качестве сети координатных линий принята сеть сопря-
сопряженных линий (не обязательно ортогональных), то второй коэффи-
коэффициент второй квадратичной формы равен нулю (М — 0). Если
в качестве сети координатных линий принята сеть линий главных
кривизн, то равен нулю и второй коэффициент первой квадратич-
квадратичной формы (М = 0, F = 0).
Если поверхность всюду имеет отрицательную гауссову кри-
кривизну, то ее можно отнести к сети асимптотических линий как
к сети координатных линий, тогда из трех коэффициентов второй
квадратичной формы отличен от нуля лишь второй (L, = 0, Aft= 0).
Если aj и а2 — главные координаты, то ёх и е2 ортогональны.
При этом, полагая dax ф 0, da2 = 0, получим:
~1Г=Т^ ' B9)
Ri Е А2
и, аналогично, при da1 = 0, da2 Ф 0 имеем:
__LeJ!UJL. ' (зо)
fia G A2
Иными словами, получены кривизны нормальных сечений, прове-
проведенных в направлениях главных координатных линий.
32

3.8. Теорема Родрига
Каждая из линий главных кривых характерна тем, что при пе-
переходе вдоль линии главной кривизны от точки Мг к точке М2,
бесконечно близко к ней расположенной, орт е„ остается компла-
компланарным с точностью до величин второго порядка малости и пово-
поворачивается вокруг соответствующего центра кривизны поверхно-
поверхности (рис. 17). Это свойство пред-
представляет содержание так называе-
называемой теоремы Родрига.
3.9. Правило дифференци-
дифференцирования ортов
Для того чтобы уметь дифферен-
дифференцировать любой вектор в системе
ортов elt e2, е„, необходимо по-
получить выражения производных
от каждого из трех ортов е1( е2,
е„ по каждой из двух координат
Рис. 17. Компланарное расположение
нормалей к поверхности в точках, ле-
лежащих на линиях главных кривизн
в окрестности точки их пересечения
(к теореме Родрига)
5
аг и а2. Каждая из этих шести производных —- —— пред-
представляет собой вектор, который можно разложить по ортам е1г е2
и е„. Такому разложению соответствует следующая форма записи:
dei » dei «, д*
деп
да2
ei
ei--
*?¦
e2-
-de*
де„
e2-
деп
да2
деп
е„
C1)
o«2 oa2 oas
Найдем для всех восемнадцати скалярных произведений, входя-
входящих в матрицу в формуле C1), выражения через Ах, Л2, Rx и /?2.
2 Заказ Ш 1753
КОЛ.ОХЗА
~\
33

Для этого прежде всего получим формулы для ортов е^ е2 и е„.
Орты ех и.е2 можно представить следующими формулами, поль-
пользуясь определением понятия производной векторной функции ска-
скалярного аргумента:
_ дг _ дг
*~ ds ' ^~ds "
Применяя правило дифференцирования сложных функций, по-
получим:
dr du.1 дг das
ei 1 Z— » еа = И Z— >
d«i ds1 да2 dss
или, имея в виду обозначения производных
¦¦-*_ = Г' _аЛ = г'
д«! а'* да2 а*
и формулы
^ = Ахда^, ds2 = Л2?/а2,
получим: '
е1 = -^-; -е, = -^_. C2)
Зная в! и е2, легко найти е„ как векторное произведение ортов
ег и е2:
е„ = е1Хе2.
Так как производная"—^ представляет собой вектор, ортого-
d«i
нальный орту в! (что легко обнаружить из рассмотрения * рис. 18,а),
а производная —— есть вектор, ортогональный орту е2, имеем:
да2
е1.^- = е2-^- = 0. C3)
d« да
По аналогии легко видеть, что производная —— есть вектор, ор-
ональный орту е2 (рис. 18, б), а производн
ортогональный орту ех; вследствие этого имеем:
тогональный орту е2 (рис. 18, б), а производная — вектор,
dot
C4)
1 Рассматривая каждую из трех фигур на рис. 18, следует иметь в виду,
что дуга вдоль координатной линии ах бесконечно мала, а при неограничен-
неограниченном ее уменьшении векторы &'elt A"e2i Д'ел оказываются перпендикуляр-
перпендикулярными соответственно векторам ej, e2, е„.
34

Для двух производных —— и —— легко вывести формулы не-
посредственно из простых геометрических соображений. Действи-
Действительно, рассматривая рис. 18, в, легко обнаруживаем, что
|А'е„1 _ MtMa _ А^дщ
I е„ | R1 R1
C5)
Учитывая, что |е„| = 1, легко переходим, от C5) к следующей
формуле:
а)
Рис. 18. Ортогонагльиость приращений ортов самим ортам
о — ортогональность A'ei орту et; б — ортогональность Д"еа орту е2;
• в — ортогональность А'е„ орту е
Из рис. 18, в видно, что вектор деп/да1 коллинеарен вектору е1(
вследствие чего ^
отсюда следует, что
Аналогично получается формула
C6)
и вследствие этого
C7)
35

Еще для двух производных —— и —— формулы легко полу-
получаются из условия
д2г d2r
которое, если учесть C2), приобретает вид:
j) _ д(Л2е2)
(Эа2 даг
Из C8) можно получить два равенства, если представить произ-
производную от произведения в развернутой форме, в первом случае со-
сохраняя неизменной правую часть равенства C8), а во втором —
сохраняя неизменной левую часть равенства:
А дех , дАг _<Э(Лае2).
даг да2 o«i
= At^h. + J6s.et. D0)
3« 3a
da2 o«i d(
Из C9) находим -^-, а из D0) -^
da2 За
, 1 (Э(Л2е,) 1 &4, . . de» 1
(Э«2 Лх (Э«1 Ах д«2 (Э«1 Л2 ^a2 ^8
Имея D1), легко находим е^-^-:
Лх dex 1 дА2 г
А% da2
второе скалярное произведение в правой части D2) в силу ортого-
ортогональности векторов ех и —— [см. формулу C4) ] равно нулю; третье
скалярное произведение в правой части D2) равно нулю вследствие,
ортогональности ортов ех и е2; тогда, окончательно учитывая, что
е1-е} — 1, имеем:
1 • de2 I dAi ,Ло\
Аналогично находим:
е2--^- = — -^-. D4)
36

Наконец, ввиду ортогональности векторов ef и е/ (i =1,2, п;
j = 1, 2, п; i =f= j) имеем:
dJ3Lli}==0 {k=l, 2),
dak
или
откуда
de/
dak
=_e;..ifL (i=l,2,n; / = l,2,n; i=?/; ft-1,2). D5)
Используя все получающиеся из D5) комбинации и учитывая
D3), D4), C6), C7), находим последние, неизвестные еще шесть из
восемнадцати скалярных произведений, входящих в матрицу фор-
формулы C1):
да2
= 0;
да»
За»
За»
«2
D6)
Учитывая формулы C3), C4), C6), C7), D3), D4) и D6), полу-
получаем C1) в следующем виде:
деп
da з
де2
да%
де„
да2
0
1 dAt
Л2 аа2
0
1 ал»
Ах дах
0
1 а
Л2 д<
о
о
1 ал»
0
0
о —^~
^ о
D7)
37

Имея правило дифференцирования векторов е1( е2, е„, можем
продифференцировать любой вектор, заданный в системе ортов
ei, elf е„.
3.10. Условия Кодацци—Гаусса
Выше уже говорилось о том, что коэффициенты первой и второй
квадратичных форм, являющиеся функциями координат а1 и а2).
не могут быть независимыми, т. е. не всякой совокупности, шести
функций двух переменных соответствует некоторая поверхность,
коэффициенты двух квадратичных форм должны удовлетворять
трем уравнениям, носящим название уравнений Кодацци—Гаусса.1
Ниже показан вывод этих уравнений сначала .применительно
к случаю, когда в качестве координатных линий приняты линии
главных кривизн поверхности. В этом случае из шести коэффици-
коэффициентов двух квадратичных форм два обращаются в нуль (F = 0 и
М = 0). Таким образом, остается найти зависимости между Е,
G, L и N или, учитывая B3), B9) и C0),— зависимости между А1г
Условия, из которых выводятся уравнения Кодацци—Гаусса,
имеют следующий вид:
дЧп = дЧп
Справедливость этих зависимостей при регулярности формы по-
поверхности очевидна.
Для представления уравнений D8) в развернутой форме вос-
воспользуемся выражениями производных от каждого из трех ортов
е1; е2, е„ по каждой из двух координат.
1 Одно из этих трех уравнений получил К. Гаусс. Два других уравнения
выведены К. М. Петерсоном A853 г.), при этом на 4 года раньше итальянского
математика Г. Майнарди A857 г.) и на 15 лет раньше другого итальянского
математика Д. Кодацци A868 г.), придавшего им современную форму. Од-
Однако в литературе по теории оболочек за этими уравнениями без достаточ-
достаточного основания утвердилось название уравнений Кодацци.
Карл Михайлович Петерсон A828—1881) — русский геометр, по
национальности латыш. В 1852 г. окончил Дерптский (Тартуский) универси-
университет. В 1853 г. в кандидатской диссертации «Об изгибании поверхностей» дал
полную систему основных уравнений теории поверхностей. С 1865 г. препо-
преподавал в Петропавловском училище в Москве. К. М: Петерсону принадлежат
важнейшие результаты в дифференциальной геометрии, явившиеся основой
для дальнейшего развития этой области математики на протяжении ряда
десятилетий. Наряду с этим известны работы К. М. Петерсона и по дифферен-
дифференциальным уравнениям с частными производными. К числу главных научных
результатов К- М. Петерсона принадлежат следующие: упомянутые выше
дифференциальные соотношения между коэффициентами квадратичных форм,
введение понятия изгибания поверхности на главном основании (изгибание,
в процессе которого некоторая сопряженная сеть поверхности остается со-
сопряженной; эта сеть линий называется главным основанием поверхности)
и ряд основных теорем об изгибании на главном основании, открытие изги-
изгибания минимальных поверхностей и поверхностей переноса, открытие класса
поверхностей, носящих его имя, и др. К- М. Петерсон был одним из учреди-
учредителей Московского математического общества.

Раскрывая тождества D8), согласно D7) получим:
\
д
ddi
д
1 дА2 t\ д I 1 аЛх
Ai 5«x / a«2 \ Аг даг
I L_EdLe —^e W—f—-
i лх a«! #a 7 aoa U» (¦
Преобразуем равенство D9)х:
выполняем дифференцирование произведений:
,— ei
D9)
а«2 \r
r
;ао1
используем D7)
a /At
или
ч Ui
Л \ 1
" -i I * I ^ 1 - I  \ -
E0)
Так как левая часть равенства E0) представляет собой нулевой
вектор, составляющие его при разложении по ортам равны нулю;
вместо одного векторного равенства получаем два скалярных, име-
именуемых в теории поверхностей условиями Кодацци:
\ а /ал= 1 алх .
да2 \RiJ R2 да2
а Ма\ 1 дА2
Теперь преобразуем второе равенство в D9), выполняя диффе-
дифференцирование произведений:
1 аЛ« \ . 1 дАщ dt, , д
E1)
• 1 I//IJ fC2 . U I П\
Аг да2 да2 даг \Г
Воспользовавшись^D7), получим:
а / 1 аЛ2 \ . 1 дА2 1 dAt
. Л1 (Эеп =
R д
дА2
или
! Л2? , д_
2 Rt п да2
i]en + Ji^e2 = 0,
-^-^-]е„-0.
39

Полученному векторному тождеству соответствуют два скаляр-
скалярных, из коих второе повторяет первое из условий Кодацци E1), а
первое имеет вид:
да,! Ui dat j <Эа2 \А, д
и в теории поверхностей носит название условия Гаусса.1 Третье
равенство из D9) не приводит к новым по сравнению с E1) и E2)
условиям.
Условия E1) и E2) вместе называются условиями Кодацци—
Гаусса. Им должны удовлетворять функции Л1( Аг, Я^и #2,
чтобы последним могла соответствовать какая-то поверхность.
1 Гаусс Карл Фридрих (Gauss Karl Friedrich,. 1777—1855) — вели-
великий немецкий математик, астроном и геодезист, отличавшийся огромным
разнообразием иаучиых интересов, глубиной исследований, органической
связью в них теории и практики, теоретической и прикладной математики.
Гаусс оказал большое влияние на развитие математики и физики в широком
смысле слова (высшей алгебры, теории чисел, дифференциальной геометрии,
теории притяжения, классической теории электричества,и магнетизма, гео-
геодезии, ряда отраслей теоретической астрономии). С 1795 по 1798 гг. Гаусс
учился в Геттингенеком университете, с которым практически была связана
вся его жизнь. В 1807 г. он избирается членом Геттингенской Академии наук
и получает кафедру математики и астрономии одновременно с должностью
директора Геттингенской обсерватории. Жизнь Гаусса можно разделить на
несколько периодов, в течение каждого из которых он занимался преимущест-
преимущественно одной из наук. До 1800 г. Это были исследования по математике, в ча-
частности по теории чисел (арифметическая теория квадратичных форм; теория
уравнения деления круга: хп — 1, во многом явившаяся прообразом теории
Э. Галуа). С 1800 по 1820 гг.-основными были работы по астрономии [метод
вычисления эллиптической орбиты планеты по трем наблюдениям, установ-
левие положения малых планет Цереры и Паллады, «Теория движения не-
небесных тел» A809)]. Наряду с этим проведены исследования по теории рядов
[«О гипергеометрическом ряде» A812), сходимость бесконечных рядов и др.].
В связи с геодезической съемкой Ганноверского королевства, организация
и руководство которой выполнялись Гауссом, он посвятил десять лет
A820—1830) работам по геодезии (создал общую теорию высшей геодезии,
изобрел прибор гелиотрон для оптической сигнализации). Наряду с этим
продолжались математические исследования, идейно тесно связанные с гео-
геодезией; к ним относятся: создание раздела о внутренней геометрии поверх-
поверхности, явившейся образцом для n-мерной римановой геометрии; разработка
способа наименьших квадратов для установления наиболее вероятной ве-
величины, находимой по измерениям; разработка алгоритма решения систем
линейных алгебраических уравнений (алгоритм Гаусса). Примерно к тому
же периоду относятся идеи о неэвклидовой геометрии A818 г.; в записях днев-
дневника, которые Гаусс не опубликовал, боясь быть не понятым) и создание
своеобразной теории эллиптических функций (до К. Якоби и Н. Абеля).
Последний период жизни, начиная с 1830 г., Гаусс посвятил исследова-
исследованиям по теоретической физике: создание абсолютной системы электромагнит-
электромагнитных единиц, электромагнитного телеграфа A833), магнитной обсерватории
при Геттингенской астрономической обсерватории A835), создание основ
теории потенциала A834—1840), теории капиллярности A830), теории пост-
построения изображений в системе линз A840), формулирование так называе-
называемого принципа наименьшего принуждения (принцип Гаусса). После Гаусса
осталось много неопубликованных работ. К 1939 г. было издано 11 томов его
сочинений.
40 -

Использование этих зависимостей, составленных для недефор-
мированной срединной поверхности, в ряде случаев упрощает
выкладки [см., например, уравнения A72)].
В случае, если поверхность отнесена к неортогональным несо-
несопряженным криволинейным координатам, то уравнения Кодацци—
Гаусса в принципе выводятся аналогично, но получаются сложнее,
так как в упомянутых координатах все шесть коэффициентов двух
квадратичных форм (Е, F, G, L, M, N) не равны нулю и входят
в эти уравнения. Не приводя вывода уравнений Кодацци—Гаусса
в случае неортогональной несопряженной системы координат, по-
покажем их окончательный вид * [здесь учтены формулы B3), в ко-
которых Е, F и G выражены через Alt А2я %\:
dL
-Al^
ON дМ | l_* o«2 2 d«a * »«i f |
00C1 00C2 A A sin y
ал2 ,- . j2..... ал, . , ..... а -_А>СО8^
OOCj OOtl 0*2
sin2x
a aI &A\
OOj
- Af —
,9 . (ЭЛ2 .2 «
Л|Л2—-s- — A\A2zos%
52^
E3)
1 См., например, А. Л. Гольденвейзер. Дополнения и по-
поправки к теории тонких оболочек. Пластинки и оболочки. Сб. статей под
ред. А. А. Гвоздева. М.—Л., Госстройиздат, 1939.
41

X
да.х да2
LN — M* 1
дА1
-J
да
cos%
1
.E4)
Уравнениям E3), E4) должны удовлетворять функции А1г А2,
%, L, М и N, чтобы этим функциям соответствовала какая-то ре-
регулярная поверхность. Эти условия, составленные для деформиро-
деформированной срединной поверхности, играют существенную роль в тео-
теории оболочек, о чем будет сказано ниже.
РЕЗЮМЕ ГЛ. 2
L Необходимость в кратких сведениях из теории поверхностей
при изучении теории тонких оболочек связана с тем фактом, что
деформация всей оболочки может быть описана, если известна
деформация срединной ее поверхности. Деформация же срединной
поверхности оболочки определяется геометрией этой поверхности
до и • после деформации. Один из разделов теории поверхностей
•изучает свойства, выражаемые при помощи производных и являю-
являющиеся общими для любой точки любой поверхности (любой локаль-
локальной области). Такие свойства можно назвать дифференциальными,
почему соответствующий раздел теории поверхностей назван диф-
дифференциальной геометрией.
2. Уравнение поверхности в пространстве может быть задано
в явной или неявной форме:
z = / (х, у); F (х, у, г) = 0.
3. Если в каждой точке поверхности можно провести плоскость,
касательную к последней, то будем называть поверхность регуляр-
регулярной. Перпендикуляр к касательной плоскости в точке касания
ее с поверхностью называется нормалью к поверхности. Плоскости,
проходящие через нормаль к поверхности, оставляют на последней
следы, называемые нормальными сечениями. Таким образом, нор-
нормальные сечения на поверхности — это плоские кривые. Кривизна
нормального сечения в точке касания определяется формулой (см.
рис. -6)
2*
4. Если в касательной плоскости к поверхности провести две
перпендикулярные оси хну через точку касания, то кривизны kx
и ky нормальных сечений, им соответствующих, и смешанная про-
производная fXy — d2f/dxdy (f — функция, изображающая поверх-
поверхность), с одной стороны, связаны е аналогичными величина^ kXl*
и kyi и fx>Vl (#!, ух — две другие ортогональные оси, лежащие
42 .

в касательной плоскости и проходящие через точку касания),
с другой стороны, зависимостями, характерными для симмет-
симметричного тензора второго ранга [формулы G), (8) и A3)]. Этот тензор
носит название тензора кривизн нормальных сечений поверхности.
Разумеется, указанные зависимости по структуре совершенно
. идентичны формулам, связывающим компоненты напряжений ах,
ву и хху в системе осей ху (плоская задача) с компонентами напря-
напряжений aXl, aVl и-Тад в системе осей х1у1, в силу того что и напря-
напряжение в точке также является тензором второго ранга.
5. Существуют два таких ортогональных нормальных сечения,
для которых в точке касания имеет место равенство [ХоУа = 0.
Такие направления х0 и у0 называются главными, а кривизны со-
соответствующих им нормальных сечений называются главными кри-
кривизнами. Сказанное совершенно аналогично тому, что в плоском
напряженном состоянии существуют такие ортогональные направ-
направления х0 и у0, которым соответствует хХоУо = 0.
Главные кривизны обладают свойством экстремальности: одна
из них является наибольшей, а другая — наименьшей из множе-
множества кривизн всех нормальных сечений в данной точке поверхности.
Зная kx и ky — кривизны двух произвольных ортогональных нор-
нормальных сечений, кроме того, зная величину fxy = txy, легко найти
главные кривизны kx и k2 и угол а0, определяющий положение
главных направлений в системе осей ху по формулам A6), A7) й
A8), совершенно аналогичным формулам для главных напряжений
и формуле для определения направления главных напряжений^
На касательной плоскости можно построить кривую, являю-
являющуюся геометрическим местом концов векторов -, откладывае-
мых из точки касания вдоль направления а, лежащего в касательной
плоскости; при этом ka — кривизна нормального сечения, образо-
еанного плоскостью, проходящей через прямую а. Такая кривая
является центральной кривой второго порядка; это, в зависимости
от знаков ^, и ^, либо эллипс (kt и k2 — одинакового знака), либо
две сопряженные гиперболы (kx и k2 — разных знаков), либо па»
раллельные линии (одна из главных кривизн равна нулю).
, 6. Существует два инварианта тензора кривизн нормальных
сечений поверхности:
кхку 1ху —
Первый из них (линейный) связан со средней кривизной нормаль-
нормальных сечений поверхности
а второй К = ktk% представляет собой так называемую бауссову
кривизну поверхности. В зависимости от знаков kx, кг в Жданной
точке поверхности могут встретиться случаи К>0, К=0 и К<0
43

(положительная, нулевая и отрицательная гауссова кривизна по-
поверхности в данной точке).
Абсолютное значение К характеризует степень искривленности
поверхности в окрестности рассматриваемой точки.
7. Если во всех точках поверхности К >0, К = 0 или К <0,
то поверхность в целом соответственно называется поверхностью
положительной (сфера, эллипсоид) или нулевой (цилиндр, конус),
или отрицательной (однополостный гиперболоид) гауссовой кри-
кривизны. Если во всех точках поверхности величины kx и k2 (или
Кср и К) сохраняют свое значение, то поверхность является гео-
геометрически однородной (плоскость, сфера, круговая цилиндриче-
цилиндрическая поверхность), в противном случае — геометрически неодно-
неоднородной.
8. Деформация поверхности, при которой не изменяются рас-
расстояния между любыми двумя ее точками, называется изгибанием.
Свойства поверхности, остающиеся неизменными при ее изги-
изгибаниях, составляют предмет так называемой внутренней геометрии
поверхности. Изучение внутренней геометрии может быть осущест-
осуществлено без выхода из нее в объемлющее пространство. Пример
внутренней геометрии — планиметрия, являющаяся геометрией
плоскости. У разных поверхностей внутренняя геометрия различна.
Например, - длина окружности радиуса г:
на плоскости
на сфере
всф = 2nR sin -?-
R
(# радиус сферы; г — криволинейный радиус окружности, рас-
расположенной на сфере).
Чем ближе К во всех точках поверхности к нулю, тем ближе
внутренняя геометрия поверхности к планиметрии.
Имеются закономерности, справедливые для внутренней гео-
геометрии любой поверхности. Изучение этих закономерностей и вы-
выражение их через величины, характеризующие данную поверхность,
является одной из основных задач внутренней геометрии. Внут-
Внутренняя геометрия поверхности и геометрия поверхности в объем-
объемлющем ее пространстве {«внешняя геометрия») связаны между
собой. Например, величина К при изгибании поверхности не из-
изменяется, следовательно, гауссова кривизна определяется внут-
внутренней геометрией поверхности. Вместе с тем kx и k2 (Произведе-
(Произведение которых представляет собой К) при изгибании поверхности
изменяются и, следовательно, являются понятиями геометрии по-
поверхности в объемлющем ее пространстве.
9. Положение точки на поверхности до и после ее деформации
можно определить двумя' числами аг и а2, которые называются
криволинейными координатами; они могут быть выбраны беско-
бесконечным числом способов. При а2 = const и изменении ах получаем
44

координатную линию ах; аналогично определяется координатная
линия а2. Координатные линии аг и а2 образуют на поверхности
сеть. Доверхность в пространстве изображается векторным урав-
уравнением
г = г(аь а»).
10-. Внутренняя геометрия поверхности может быть охаракте-
охарактеризована первой квадратичной формой:
(dsJ = Е (datf + 2Fda1da2 +<} {datf,
где Е = А\, F = Al2 = AxAzCosx, G = A\— коэффициенты
первой квадратичной формы; они являются
функциями координат точки поверхности, т. е.
функциями ах и а2;
X — угол между координатными линиями семейств
аг и G&2, пересекающимися в рассматриваемой
. точке поверхности; Л
ds — дифференциал дуги кривой, лежащей на поверх-
поверхности;
dsx и ds2 — длины дуг, взятых вдоль координатных линий
аг и а2; они выражаются следующими формулами:
dst = i4xcfalT_ds2 = A2da2;
Аг и А 2 — коэффициенты Ламе, связанные с функцией г,
определяющей поверхность, так:
г'а и г'а — производные радиуса-вектора точки поверхно-
поверхности соответственно по ах и а2.
11. Внешняя геометрия поверхности может быть охарактери-
охарактеризована второй квадратичной формой:
2h = L (daxJ + 2Mda1dai + N
где h — расстояние от точки поверхности с координатами
^ ах = dax и а2 = da2 до касательной плоскости,
касающейся поверхности в точке (ах = 0, а2 = 0);
L, М, N — коэффициенты второй квадратичной формы, цред-
ставляющие собой функции координат точки по-
поверхности, т. е. функции аг и а2:
L = епг^ а; М = епг^ а; N = епг^ ;
е„ — орт, направленный по нормали к поверхности:
^- \аГ~дВда~- A = 1'2; /=1'2)-
12. Поверхность задана с точностью до положения ее в про-
пространстве, если задано шесть функций: Е, F, G, L, M, N, т. е. если
заданы коэффициенты первой и второй квадратичных форм.
45

13. Кривизна нормального сечения, проведенного в точке
(alt a2) так, что оно проходит и через точку (ax -f da^ а2 + da2),
выражается формулой
14. Среди различных сетей координатных линий на поверхно-
поверхности отметим сеть ортогональных линий, у которой % — я/2 и, сле-
следовательно, F = Л12 = 0, и сб/пь сопряженных линий, у которой
М = 0. Особое значение имеет сеть координатных, линий главных
кривизн, называемых иначе главными координатными линиями.
В этой сети линии ортогональны и сопряжены, т. е. в сети главных
линий кривизн одновременно F = 0 и М = 0.
Сопряженными линиями сети называются линии, в кажДой
точке поверхности касающиеся сопряженных диаметров индикат-
индикатрисы Дюпена. Сопряженными называются такие диаметры в цен-
центральных кривых второго порядка, для которых характерно сле-
следующее:'все хорды, параллельные одному диаметру, делятся-дру-
делятся-другим диаметром, пополам.
15. Нормали к поверхности в точках линии главной кривизны
в локальной области лежат в одной плоскости и проходят через
центр кривизны, т. е. кручение линии главной кривизны равно нулю.
Сказанное составляет содержание теоремы Родрйга.
16. Функции Е, F, G, L, М и N, зависящие от двух координат
ах и а2, не могут быть произвольными. Им соответствует регуляр-
регулярная поверхность лишь в случае, если они удовлетворяют трем диф-
дифференциальным зависимостям, носящим название уравнений Ко-
дацци—Гаусса [уравнения E3) и E4) ].

Раздел II
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
Глава третья
ТЕОРИЯ ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧКИ
(ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ)
11 ГИПОТЕЗА (У ПРЯМОЛИНЕЙНОМ НОРМАЛЬНОМ
ЭЛЕМЕНТЕ И ВНОСИМОЕ ЕЮ УПРОЩЕНИЕ В АНАЛИЗ
ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧКИ
В основе технической теории.оболочек лежит гипотеза о прямо-
прямолинейном нормальном элементе (гипотеза Кирхгофа х—Лява 2),
имеющая геометрическую природу и аналогичная гипотезе плоских
1 Кирхгоф Густав Роберт (Kirchhoff Gustave Robert; 1824—Г887) —
немецкий физик, член Берлинской Академии иаук (с 1874 г.). В 1846 г. окон-
окончил Кенигсбергский университет, где слушал лекции Фраица Неймана,
оказавшего ему поддержку. В 1848 г. Кирхгоф получает степень доктора и
начинает преподавание в Берлинском университете. С 1850 г. работал про-
профессором в Бреславльском университете, где встретился с известным физиком
Буизеиом; вместе с ним в 1854 г. Кирхгоф переходит в Гейдельбергский
университет, в 1858 г. к ним присоединяется Гельмгольц, и на многие годы
Гейдельбергский университет в связи с работой в нем этих трех ученых
становится крупным научным центром Европы. С 1875 г. Кирхгоф возглавил
кафедру математической физики в Берлинском университете.
Из результатов, полученных Кирхгофом в механике твердых деформи-
деформируемых тел, отметим следующие: обоснование теории пластин двумя гипо-
гипотезами (ныне носящими имя автора), вывод формулы для потенциальной
энергии деформации пластины, энергетический вывод уравнения изгиба
пластины, приведение в соответствие числа граничных условий и порядка
дифференциального уравнения в теории пластин, исследование колебаний
пластин и стержней переменного сечения, построение геомеврически нелиней-
нелинейной теории изгиба пластин, вывод нелинейных уравнений равновесия для
пространственного гибкого стержня, формулирование динамической аналогии
(сопоставление уравнения равновесия стержня и уравнения движения твер-
твердого тела относительно неподвижной точки), экспериментальное определение
величины коэффициента Пуассона с целыб выявления правильной точки
зрения в дискуссии о числе независимых упругих постоянных в изотропном
теле.
Большой вклад в иауку сделан Кирхгофом и в других областях. В тео-
теории электричества ему принадлежат: введение понятия об электрическом
потенциале, теория распределения токов в сетях (правила Кирхгофа, 1847).
Капитальный четырехтомный труд Кирхгофа «Лекции по математической
физике» "A874—1894) сыграл существенную роль в развитии науки.
Из научных результатов Кирхгофа в физике отметим следующие: тех- -
иика спектрального анализа (совместно с Бунзеиом), применение спектраль-
47

сечений в теории стержней. Формулируется эта гипотеза так:
прямолинейные элементы оболочки, нормальные до деформации к
срединной ее поверхности, остаются прямолинейными, нормаль-
нормальными к деформированной срединной поверхности, и сохраняют свою
длину.
По-другому содержание ^первой части этой гипотезы можно
сформулировать и так: точки оболочки, лежащие на одной и той же
нормали к недеформированной срединной поверхности, после дефор-
деформации оболочки лежат также на одной и той же нормали к дефор-
деформированной срединной поверхности.
Использование гипотезы о прямолинейном нормальном эле-
элементе позволяет свести анализ деформации оболочки к рассмотре-
рассмотрению деформации срединного слоя (срединной поверхности).
Таким образом, трехмерная задача теории сред превращается
в двумерную — все искомые функции оказываются функциями
двух координат точек срединной поверхности. Деформация же
любой поверхности, эквидистантной по отношению к срединной
(т. е. находящейся на одинаковых расстояниях от срединной),
легко описывается при использовании указанной выше гипотезы
посредством параметров деформации срединной поверхности.
ного метода к химическому анализу, открытие химических элементов (це-
(цезий — 1860, рубидий — 1861), объяснение фрауигоферовых линий A861),
астрофизические исследования (установление того, что Солнце — раскален-
раскаленная жидкая масса, окруженная атмосферой паров, правильное установление
химического состава паров Солнца), введение понятия об абсолютно черном
теле, установление основных законов теплового излучения (закон Кирхгофа,
1859), строгая формулировка принципа Гюйгенса — Френеля.
2 А. Л я в (Love А. Е. Н.; 1863—1940) — английский ученый-механик,
специалист по теории упругости, окончил Сент-Джонс колледж в Кембридже
в 1885 г. С 1894 г.— член Королевского общества (английский аналог Ака-
Академии наук). Заведовал кафедрой в Кембриджском (с 1887 по 1899 г.) и в
Оксфордском (остальные годы жизни) университетах. Основной труд
А. Лява — курс по математической теории упругости (Treatise on the math-
mathematical, theory of elasticity; 1, 2, t. 1892—1893; имеется русский перевод
с 4-го английского издания «Математическая теория упругости»,'1935), ко-
торый7 отличаясь исключительной полнотой и строгостью изложения, стал
и продолжает быть настольной книгой специалистов по теории упругости.
В этот курс вошел в несколько измененном виде оригинальный результат,
принадлежащий Ляву,— теория оболочек (On the small free vibrations and
deformation of thin elastic shell. Phil. Trans. Roy, Soc, vol. 179 (A), 1888),
основанный на гипотезах Кирхгофа. Вследствие этого обычно отмеченные
гипотезы называют гипотезами Кирхгофа—Лява. В своем труде, посвящен-
посвященном оболочкам, А. Ляв исправляет некоторые существенные неточности,
допущенные Г. Ароном — автором первой полной работы по теории оболо-
оболочек (Aron H. Das Gleichgewicht und die Bewegung einer unendlich
dunnen beliebig gekrummten elastischen Schale, Journ. fur reine und ang.
Math., Bd. 78, 1874). Лявом было выведено разрешающее уравнение (отно-
(относительно одной функции) в осесимметричной задаче теории упругости, а так-
также дано решение некоторых задач по теории толстых плит. Кроме работ по
теории упругости, А. Ляву принадлежат исследования по геофизике; напри-
например, книга «Некоторые проблемы геодинамики» (Some problems of geodyna-
mics, 1911).
48

2. ПЕРЕМЕЩЕНИЕ ТОЧКИ СРЕДИННОЙ ПОВЕРХНОСТИ
ОБОЛОЧКИ
Будем считать, что в срединном слое используются главные
координаты ах и а2, т. е. координатными являются линии главных
кривизн, образующие ортогональную сеть. В каждой точке сре-
срединной поверхности имеем ортогональный триэдр ортов ех, е2,
е„ (будем считать его правым,
рис. 16).
Перемещение До точки средин-
срединной поверхности имеет составляю-
составляющие по ортам е1( е2 и е„, обозна-
обозначаемые соответственно символами
«!, и2 и w (рис. 19). При извест-
известной недеформированной поверхно-
поверхности оболочки функциями иъ ы2
и w определяется вид деформиро-
деформированной срединной поверхности обо-
оболочки. Будем рассматривать малую
деформацию оболочки.
Рис. 19. Перемещение точки срединной
поверхности и составляющие его иг,
м2, w по направлению ортов elt e2, е„
3. ДЕФОРМАЦИЯ СРЕДИННОГО СЛОЯ
3.1. Количество параметров деформации
Линии главных кривизн (главные координатные линии) ах иа2
в недеформированной срединной поверхности в результате дефор-
деформации этой поверхности оболочки переходят в кривые, которые
по-прежнему являются координатными, но уже не являются ли-
линиями главных кривизн и, таким образом, не образуют ортого-
ортогональную сопряженную сеть. Вместе с тем известно, что вид любой
поверхности определяется двумя квадратичными формами, каждая
из которых в случае сети неортогональных несопряженных линий
содержит три коэффициента; всего получается шесть коэффициен-
коэффициентов. Таким образом, для описания деформированной срединной
поверхности необходимо иметь шесть параметров, представляемых
как функции координаты аг и а2. В качестве шести параметров
деформации срединной поверхности оболочки удобно принимать
не коэффициенты квадратичных форм, а величины ех, е2, со, xlt
и2, т, связанные с ними, но имеющие другую природу.
Параметры ех и е2 — ато деформации линейных элементов dsx
и ds2 нормальных сечений,1 направленных вдоль координатных
1 Отличие дифференциала дуги нормального сечения dst (ds2), проведен-
проведенного в направлении координатной линии аг (а2), от дифференциала дуги са-
49

линий ах и а2 в точке О срединной поверхности. Параметр со —
это сдвиг в точке О между элементами dsx и ds2 (изменение угла
между этими элементами), возникающий в результате деформации.
Рис. 20. Нормальное сечение и координатные линии (широта
и меридиан) на поверхности вращения
а — ортогональная проекция на плоскость е^,,; Й> — аксонометрия
к1 и х2 — это параметры х изменения кривизн нормальных сечений
проведенных в направлении координатных линий ах и а2 в точке О
мой координатной линии dsj (ds2) легко уяснить рассматривая, например,
оболочку вращения. Главными координатными линиями являются меридианы
и широты. Из рис. 20 ясно, что ds2 располагается в параллели (на рисунке
отмеченной цифрой 1), в то время как в нормальном сечении (на рисунке отме-
отмечено цифрой 2), не совпадающем с параллелью, а лежащем в плоскости е2е„,
радиус кривизны элемента ds2 равен г, а радиус кривизны элемента ds2 ра-
равен R%. Вместе с тем оба элемента — ds2 и ds2 имеют обдую касательную,
направленную вдоль е2, и, следовательно, при беспредельном уменьшении
их величины сливаются. Возможны случаи, в которых нормальное сечение
на всем своем протяжении совпадает с координатной линией. Например,
меридиан в поверхности вращения -является нормальным сечением в любой
точке поверхности; в этих случаях разницы между dsx и ds~l ие имеется.
1 Параметры изменения кривизн и параметр кручения, как будет пока-
показано ниже, отличаются соответственно от самих изменений кривизн и круче-
кручения на пренебрежимо малые величины. Поэтому всюду далее, кроме вывода
уравнений совместности деформации, где это различие существенно, произ-
произведено отождествление понятий параметров изменения кривизн xt и х2 с са-
самими изменениями кривизн и параметра кручения т с самим кручением.
50 '

происходящего в результате деформации. Наконец, параметр т —
это параметр возникающего при деформации кручения * элемента
срединной поверхности оболочки.
3.2. Связь между коэффициентами квадратичных форм
срединной поверхности деформированной оболочки
и параметрами деформации
Покажем, что функции elf e2, со, xlf и2 и т действительно од-
однозначно связаны с шестью коэффициентами квадратичных форм
срединной поверхности деформированной оболочки.
Пусть Аг и А\— соответственно параметры Ламе срединной
-поверхности до и после деформации. Тогда длина линейного эле-
элемента, взятого вдоль линии аг до деформации и после деформации,
выражается следующими формулами:
cfej = A jdocj-, ds'{ = A |dat. E5)
Разность длин dsi и dst обусловлена линейной деформацией
в точке О в направлении ах. Между dsi и dst существует очевидная
зависимость
rfs; = ds, (l-bex). E6)
Подставляя E5) в E6), получим:^
или
Аналогичной получается формула и для второго коэффициента
Ламе: /
Учитывая B3),- получаем:
Я' = ЯA+е1J; E7)
G' = G(l+e2J. E8)
Очевидным является и следующее соотношение (из определе-
определения со):
cos x' .= <«>>'
так как
%' = - со.
1 Кручением элемента срединной поверхности оболочки, заключенного
между координатными линиями а\ иа,4 dat, a2 и a2 + da2, называют
предел отношения угла взаимного поворота двух противоположных сторон
отмеченного элемента (при условии, что сторона элемента поворачивается
в той нормальной к поверхяости плоскости, которая проведена через эту сто--
роиу до деформации элемента) к расстоянию между ними при устремлении
размеров элемента к нулю; этот предел одинаков для обеих пар противопо-
противоположных сторон.
51

Действительно,
cos %' = cos (я/2 — со) = sin (o
(в силу малости угла со).
Имея в виду B3), получаем:
E9)
Итак, получены три зависимости: E7), E8) и E9). Кроме них,
имеются еще три следующие формулы, впервые полученные Ля-
вом,1 которые приводим пока без вывода:2
+
R[ Ri Ri
R2
из них находятся зависимости между коэффициентами квадратич-
квадратичных форм срединной поверхности деформированной оболочки и
параметрами ее деформации. Для вывода этих зависимостей сле-
следует учесть:
1 _
R[ ~
l _
Rl~
a1:
L
A\~
V
E' '
L
E '
1 __
R'2~
l _
R*
N'
A'C
N
A\~
N'
G'
N
G
1 См. гл. 15.
2 Заметим, как указывалось выше, что щ — параметр изменения кри-
кривизны нормального сечения в направлении координатной линии а1г не совпа-
совпадающий с самим изменением кривизны \/Rl — \/Rl = x* и отличающийся
от него на величину s^Ri'.
Диалогично
.. ..•_ 82 , Ло =
Ri
Ниже будет показана пренебрежимая малость величин e1/R1 ие2/Я2
по сравнению cxj и х2.
52

Тогда из приведенных выше формул для кх, к2ит получаем зави-
зависимости:
U L , L
Е' Е 1 Е
~ == '— Т,
F0)
которые вместе с ранее приведенными E7), E8) и E9) составляют
полную систему зависимостей, необходимую для представления
шести коэффициентов квадратичных форм срединной поверхности
деформированной оболочки через параметры деформаций послед-
последней и коэффициенты квадратичных форм срединной поверхности
оболочки до деформации (т. е. поверхности, которую считаем от-
отнесенной к линиям главных кривизн, вследствие чего F = 0,
М = 0).
4. СВЯЗЬ МЕЖДУ ПАРАМЕТРАМИ ДЕФОРМАЦИИ
ОБОЛОЧКИ И ПЕРЕМЕЩЕНИЯМИ ТОЧЕК ЕЕ
СРЕДИННОЙ ПОВЕРХНОСТИ
4.1. Картина деформации, соответствующая
геометрической гипотезе Кирхгофа—Лява
Обсудим геометрическую картину деформации, соответствующую
принятой гипотезе о прямолинейном нормальном элементе.
Рассмотрим произвольную точку М (рис. 21) на срединной по-
поверхности оболочки до ее деформации. Через точку М проходят две
координатные линии аг и а2, совмещенные с линиями главных
кривизн; кроме того, через точку М проходит нормаль к срединной
поверхности. Направления касательных к линиям аг и а2 и нор-
нормали к поверхности в точке М определяются правым триэдром ор-
ортогональных ортов е^ е2 и е„. Отметим на нормали к срединной
поверхности в точке М на расстоянии z от нее точку Mt.
В результате деформации оболочки точки М я Мх переместятся,
заняв новые позиции соответственно в точках М и Мi пространства.
Перемещения ММ и М\М\ обозначим соответственно символами
А и ДB).
Векторы Л и ЛB) представим в виде разложений:
где м^ «2, w и ццг), «г (г), шB) — составляющие перемещений Л
и ЛB) в системе ортов е1( е2 и е„.
53

Рассматривая рис. 21, легко заключить, что имеет место равен-
равенство
откуда
F1)
В точке М' деформированной срединной поверхности имеем пра-
правый триэдр ортов ej, e'2,-e'n. Орт е^ вследствие гипотезы о прямоли-
прямолинейном нормальном элементе направлен вдоль М'М\ и ортогона-
ортогонален ортам е| я'е'2. Два последних
орта в общем случае друг другу
не ортогональны, поскольку ко-
координатные линии ах и сс2, пере-
переходя в результате деформации
оболочки в сс[ и а'2 соответ-
соответственно, вообще говоря, пере-
перестают быть ортогональными.
Расстояние между М' и М\
равно z, как и до деформации
между точками М и Мх.
Обозначим радиусы-векторы
точек М и М' соответственно
символами гиг; тогда оче-
очевидно, что
Рис. 21. Картина Г = Г + А = Г + м1е1 -f Ufa-\-X№n.
деформации, соот- з" ,Аоч
ветствующая гипо- \°^)
SS? ° ГрМм°аЛлИьН„оЙм Подчеркнем, что г и г - ра-
элементе диусы-векторы точек соответ-
соответственно недеформированной и
деформированной срединной по-
верхноспГоболочки. Из F2) очевидно, что, имел недеформирован-
ную срединную поверхность оболочки и вектор перемещения точек
этой поверхности, мы тем самым получаем деформированную сре-
срединную поверхность оболочки. Однако деформацию срединной по-
поверхности оболочки удобнее описывать не при помощи вектора Л,
а посредством параметров деформации ei; e2, со, къ и2 и т, о которых
уже было сказано в п. 3.2 настоящей главы. Коль скоро деформацию
оболочки можно представить либо при помощи вектора Л, либо
посредством параметров elt e2,
т, существуют зависимости
Л
посредством парамер 1г 2, , , уу
между этими параметрами и координатами вектора Л. Получение
этих зависимостей составляет одну из основных целей настоящей
главы.
Параметры elf e2 и © описывают деформацию в точке средин-
срединной поверхности оболочки в плоскости, касательной к этой поверх-
54

ности в указанной точке. Такую деформацию называют тангенци-
тангенциальной, а параметры elt е2 и (о — параметрами тангенциальной
деформации.
4.2. Формулы для параметров тангенциальной
деформации и поворотов нормали к срединной поверхности
Рассмотрим производную dr/dc^. Согласно F2) имеем:
дг__дг_ , еЭ_Д
д д д
или, учитывая F2) и C2), получим:
дг . , дил , ди2 , dw dei де, дс
^^А^+^ъ + ^ъ + ^-Ьп+и^ + и^+г»-*
даг дах дах да^ дах дах да
Воспользовавшись формулой D7), найдем:1
/ дг . , dui ¦ , ди2 , dw I dAt
— = Atf! + -^ех + —4 еа + — е„—их — —Le3 —
или
id»
В правой части все члены, кроме первого,, представляют собой в
развернутом виде, выражение
\
1 дА. ЗА
Т. е.
1 дк ад / 1 ащ t 1 дА1
да AA da
или
,д ЗА . /1 dui . 1 dAt . w
х дах АхАъ даа Ь
1 диг 1 дАх \, . I I dw «I \ j /соч
j—. L "iMs1e2+ — -\dsitn. F3)
55

Если на координатной линии ах на расстоянии dsx от точки М
отметить точку Bt (рис. 22), то ясно, что выражение
дА
аг
есть приращение перемещения точки Bt по сравнению с перемеще-
перемещением точки М. Выражения, являющиеся множителями при е1? е2
и е„ в формуле F3), представляют собой координаты вектора — dsx
в системе ортов ех, е2 и е„,
или, вследствие ортогональ-
ортогональности ортов, проекции вектора
— dst на направления elf
dsi
е2 и е„. Отношения же ука-
указанных выражений к dsx пред-
представляют собой соответственно
линейную деформацию ех и
проекции (йх и^! угла пово-
поворота элемента dst на плоско-
плоскости exe2 и exen (см. рис. 22).
Подчеркнем, что вследствие
а< малости деформации материа-
материала приращение перемещений
— dsi намного меньше, чем
ds1} вследствие чего допустима замена величины ф* на ¦&,
и со* на со,.
Итак:
м
Рис. 22. К определению ех,
1 ди
@,=-
At
1
*-+¦
1 dw
da»
JfL
F4)
Аналогично, путем рассмотрения производной дг/да2, получаем:
1 ди, , 1 дА»
@, = -
1
1
-0,=
ло G0^2
1 dw
«2-.

«2
F5)
56

Очевидно, что сдвиг со представляет собой сумму поворотов
и со2:
„ л,* 1 ди*' 1 дА 1 au i ал
= а)+(о = —-—
Лх да-х AiAi да2 Л2 еа2 ¦Л1Л2 dat
после несложных преобразований получаем:
«V F6)
л2 / л2 а«2 \ а1
Формулы для slt e2 и со, а также для ^идг могут быть полу-
получены и несколько иначе.
4.3. Вариант вывода формул для е^ е2, со, $х и Ф2
Нам понадобятся формулы для е'р е^, а также для А\ и А'2,
в которых все эти величины выражены через и1г ы2 и w и их произ-
производные, а также через Аг и Л2, относящиеся к недеформированной
срединной поверхности.
Учитывая формулу C2) для ej и е2 и формулы B3) для А\ и А\,
по аналогии получим для деформированной срединной поверхности
e'__LJLL- e'_J_J>I_.
Л] aat Л2 da2
ИЛИ
—• F8)
Подставляя F2) в F7) и F8) и сохраняя лишь члены линейные
относительно их, «2, w и их производных, получаем;
«« T-E1—ГГ^»>K+e* + Т-^--F" е"'
а. - n («)
Л2 За2 А2
а)
G0)
По определению гг и е2 выражаются следующими формулами:
¦ ds\-dsl ds'2-ds2 ^
е1== _ ,; е2 = _ ( G1)
ds as
Л
где
dSi—A'jdan ds\ = A\dx1\ ds2 = /42da2; ds2 = Лг^а2.
57

Подставляя G0) в G1), получаем:
да,, А^ да2 Rt
Ввиду малости угла ю можно принять, что
и л* sin (о = cos |——и).
С другой стороны, cos (—— и) можно трактовать как скалярное
произведение ортов ej и t'2, составляющих между собой угол
(— ю]; поэтому
ш = е;-е^. G3)
Подставляя F9) в G3) и выполняя преобразования, находим:
, /_1_ Дца Г , dAi u \ j
{A dv^ AA a« V' \A da Rj\A9
G4)
Здесь, из-за малости последнего члена (произведение двух двучле-
двучленов, заключенных в круглые скобки) по сравнению с остальными,
этот член не учтен.
Вследствие малости наклона t'n по отношению к еп, орт t'n можно
представить так:
;
где ¦&! и ф2 — углы, изображенные на рис. 21. С другой стороны,
орт t'n можно найти как векторное произведение ортов ej и t'2:
Таким образом, имеем:
e;xe2==en+^ei+V2- G6)
58

После подстановки в G6) выражений F9) получим:
LIm !— iii. „ VlL JiL-J?
Ul)\2 da, Я
AtAt
]e2 + fM(
da2 #2/J L \Ai dat ЛхЛ2 da2
V^ да AA да }\
Приравнивая коэффициенты при е, и е2 в левой и правой частях
равенства и учитывая пренебрежимую малость в G7) всех произве-
произведений двух двучленов, получим:
Ri Л2 oa2 R2
4.4. Формулы для и,(г), «2B) и ш(г)
Подставляя G5) в F1), получим:
или
"i B)ei + "г B)е2 + w(z?n = («I+Ai2) е, + (ы2 + V) е2 + ше„;
векторному равенству G9) соответствуют три скалярных:1
ww=w. (80)
4.5. Формулы для /?1(г), /г2B), delw, dsaw, Л1B) и Л2(г)
Рассмотрим две поверхности в оболочке — срединную и экви-
эквидистантную по отношению к ней. Любая точка эквидистантной
поверхности находится от срединной на расстоянии z. Пусть через
1 Заметим, что (80)8 — равенство, обозначающее одинаковость нормаль-
нормальных к срединной поверхности перемещений у всех точек, принадлежащих
элементу оболочек, нормальному к этой поверхности, получилось как следст-
следствие малости поворота нормального элемента (малости 8t и $2) и гипотезы о
неизменности его длины в процессе деформации оболочки. Справедливо и
обратное утверждение: если все точки нормального элемента оболочки под-
подчиняются условию (80)8 и повороты (Ьх, $2) указанного элемента малы, то
это свидетельствует о том, что длина нормального элемента в процессе де-
деформации не изменяется.
Иногда (см., например, статьи В. Т. Койтера, указанные в подстрочном
примечании на стр. 124) при построении теории оболочек равенство (80)8 при-
принимают в качестве исходного предположения (гипотезы) о характере дефор-
деформации оболочки вместо предположения о неизменности длины нормального
элемента. Неизменность же длины получается как следствие указанной ги-
гипотезы в условиях малости поворотов (»1( $а) нормальных элементов. '
59

точку О срединной поверхности проходят главные координатные
линии at и а2. Представим движение нормали к срединной поверх-
поверхности вдол!у каждой из этих линий. Такая нормаль оставляет
следы а](., а2( на эквидистантной поверхности, которые пред-
представляют собой ортогональные координатные линии для экви-
эквидистантной поверхности. Действительно, в каждой паре точек
0г и О, лежащих на Одной нормали к срединной поверхности со-
соответственно в эквидистантной и срединной поверхностях, орты
е1B) ие,, а также орты е2(г) и е2 параллельны по поясненному
выше условию образования сетки линий а]B) и &2 Так как,
кроме того, орты е„(г) и еп совпадают по направлению, ясно, что
две нормали к эквидистантной поверхности в соседних точках,
лежащих на координатной линии, компланарны, а это мыслимо
лишь в случае, если ах иа2 являются линиями
главных кривизн, т. е. главными координатными
/?, р==^====Ц&/? ЛИНИЯМИ.
'f В силу сказанного становятся, очевидными
формулы, связывающие радиусы кривизн линий
-\ -
Рис. 23. К установлению зависимости между dsl ^ и ds(
/ — след срединной поверхности; 2 — след поверхности, эквиди-
эквидистантной по отношению к срединной
а1(. и а2 , с одной стороны, и радиусы кривизн линий ах
и а2 — с другой:
Так как отрезкам линий a](z) иа,, или а2{г) и а2, расположен-
расположенным между двумя нормалями к срединной поверхности, соответст-
соответствует одинаковое приращение координаты ^ах (или da2), имеем:
С другой стороны, из геометрических соображений (рис., 23) ясно,
что
( ?) ( ^a2. (82)
Сравнивая (82) с (81), находим:
4.6. Формулы для е1(г), е2G) и аB)'
Относительная линейная деформация элемента ds1(z) нормаль-
нормального сечения эквидистантной поверхности, проведенного в на-
направлении линии а](г), равна отношению приращения.длины этого
60

элемента, к. первоначальной его длине. Указанное приращение
можно выразить через параметры деформации соответствующего
элемента ds1 срединного слоя следующей формулой, происхожде-
происхождение которой очевидно:
тогда
8,,, = -
ds
1B)
ds
Между ds1(z) и dsl су-
существует простая зависи-
зависимость, вытекающая из (81)
(83):
ds.,, = 11 + — I ds, . (85)
Здесь учтено, что Aldal =
= dst. Подставляя (85)
в (84), получим:
е.,г) = —^(е. + ги.)(86)
и по аналогии
1
1B)
(iD,+zi,)ds,
(84)
Рис. 24. К определению <оB) (проекция на
).(87) плоскость ejen)
Эта формула аналогична известной формуле для относительной
линейной деформации волокон криволинейного бруса, эквиди-
эквидистантных по отношению к осевому слою. Однако, так же как
и в случае криволинейного бруса, гиперболический характер
этой зависимости ощутим лишь при zlR, составляющем заметную
долю от единицы. Во всех остальных случаях вместо гиперболиче-
гиперболической зависимости получаем соответствующую линейную:
B)~'
¦ w
Нарис. 24 показана картина сдвига в срединном .и эквидистант-
эквидистантном слоях, в соответствии с которой
2B)'
гта) dsa _
B)
ds,
2 (г)
отсюда, учитывая (85), получим:
Гг)
юа + г та
.1 + z/Rt I -f zlR2
(89)
61

4.7. Формулы для Xi, x2 и х
Подобно формулам F4)^ F5)Л и F6) для параметров деформа-
деформации срединного слоя е1г е2 и со, можно записать формулы и для
имеющих аналогичный смысл параметров деформации е1( е2
и co(z) слоя, эквидистантного по отношению к срединному. При.этом
вместо «j, и2 и до в формулах F4),, F5), и F6) должны быть м1BI
и2(г), доB) согласно (80), вместо Av Л2 — параметры АЦг) и А2{2)
согласно (83), а вместо R{ и R2 — величины Rl{z) и R2{z) соответст-
соответственно. Произведя указанную подстановку, получим:
е =_1_^Ш. + ! дАш и + Ш(г) A 2V
1 B) 1 1(z) 2(г) ^ 1 (z)
ш = 1Л du2(z) 1 дАЦг) и ,
1 ^z^ I I (?\ 2 ^z\ 2
. . ' а"'(г) 1 дА2(г)
А да А А да 2<z>'
2 fz^ 2 1 (z\ 2 ^z^ I
Учтем теперь формулы-(83) для Л1B)> Л2(г) и (80) для м1(г)>
М2(г> и Ш(г>> в результате получим:
' " ' ^+ . '.. тх
I '
R
^,[1+J-]|1 + ^-
X
X \ ^' (М1 + г<М + - '
о а» ,
(М2 + 2А2)
(90)
62

Производные dAt A + —) \д о^ и дА% A + —) Id аи если учесть
условия Кодацци E1), приобретут следующий вид:
дАМ+
J = дА,
[ g
(91)
Подставляя (91) в (90) и производя рчевидные преобразования,
получим:
1
» 1 + 4-
[ ,/ 1 а»! |
w,. = ¦
1 +
Ri
»¦)]•
или, учитывая F4)Ь2 и F5)l
8,,., = ¦
_г_
R
Сл /_. —— "
1+-
1+^
\ A2
(92)
63

Сопоставляя (92Iр2 с G9) и (80), а также формулу (92K с (89),
убеждаемся в том, что
1 д ft» , 1 дА 1 о
1
АХА2 да2
1 дА2
Аг
1
1 дА«
^«Г,
(93)
(94)
или, учитывая формулы F4K и F5K
1_ д / I dw «j \ 1 дАг I 1 За» «s
Л1 С Oti \ Л1 С ОС» л\ 1 / Л1Л0 С 0&2 \ ¦**2 U ^2 ^*
д /_1_ За» «2 \ 1 дЛ2 / 1 За»
Л2 да2 Rl
1_ д f 1 да> __ ц2 \ .
А ЗаДл do J? /
1 д / 1 gffi) «j \ .
АгА2
1 ал2/ 1
АгА2
1
ЗЛ2 / 1 dw «2_
дщ \ А2 да^ R2
(95)
(96)
Формулу (89) можно преобразовать, представив ее так:
1
<»<*)=¦
со2
(97)
В формуле (97) величина соB) выражена через параметры щ,
со2, тх и т2, однако число параметров можно уменьшить до двух,
если воспользоваться ранее введенной зависимостью
со = % + со2,
а также тем фактом, что имеет место равенство
(98)
(99)
справедливость которого нетрудно проверить. Применяя обозна-
обозначение
A00)
Ri
¦Rm
64

и учтя (98) и A00), получим:
1
Формула A00) может быть представлена и так:
riR1 + <oi = xR1, T2
отсюда, учитывая (98), найдем:
= T(i?! + i?2)—со. A02)
Если подставить A02) в A01), то
1
<103>
Пренебрегая членами порядка zlR по сравнению с единицей, полу-
получаем:
(оB) = (о + 2гт. A04)
Формулы (88) и A04), вытекающие из гипотезы о прямолиней-
прямолинейном нормальном элементе, являются результатом одного из этапов
при переходе от трехмерной проблемы теории упругости к двух-
двухмерной.
Для пояснения картины деформации показан элемент (рис. 25)
пластины в виде прямоугольного параллелепипеда '(высота равна
толщине пластины), испытывающего чистое кручение; эта деформа-
деформация соответствует второму члену в формуле A04). Тонкой штрих-
пунктирной линией обозначен след срединной плоскости на боко-
боковой поверхности элемента. Жирный штрихпунктир обрисовывает
контур срединной поверхности, в которую переходит в результате
кручения элемента контур срединной плоскости.
Легко определить относительный крутильный поворот проти-
противоположных сторон контура срединной плоскости. Нетрудно по-
понять, что две угловые точки контура, расположенные по концам
одной да диагоналей прямоугольника в срединной плоскости, опу-
опускаются, а две другие поднимаются; срединная плоскость при этом
искривляется, превращаясь в поверхность отрицательной гауссовой
кривизны. Вследствие того что ребра как нормальные элементы
должны оставаться нормальными к изогнутой срединной поверхно-
поверхности, неизбежен их поворот: два противоположных по диагонали
ребра поворачиваются, сближаясь верхними концами, а два дру-"
гих — нижними. В результате этого происходит сдвиг слоев, па-
параллельных срединному, в котором сдвига нет.
3 Заказ № 1763 . 65

Сдвиг слоев, лежащих по одну сторону от срединного, проис-
происходит при удлинении одной диагонали, а сдвиг слоев, лежащих
по другую сторону,— при удлинении перекрестной диагонали.
Чем дальше слой расположен от срединного, тем значительнее сдвиг
Рнс. 25. Деформация элемента пластины (аналогичная
в оболочке) при кручении моментами И
•вследствие кручения. Стрелками показано .перемещение точек эле-
элемента (вершин параллелепипеда и угловых точек прямоугольника
в срединном слое). Кручение элемента оболочки положительно,
если вызываемые им сдвиги в поверхностях, параллельных средин-
срединной поверхности, положительны со стороны отрицательных цент-
центров кривизны последней.
66

Остается вывести три зависимости (две из них приводились
в начале главы без вывода), которые, во-первых, покажут отличие
параметров изменения кривизн от самого изменения кривизн и
параметра кручения от самого кручения и, во-вторых, позволят
убедиться в пренебрежи^ой малости этого отличия. Если выраже-
выражения е1B), е2B) и соB) согласно (86), (87) и A03) разложить по сте-
степеням z, сохранив члены до второго включительно, а затем прене-
пренебречь величинами порядка hIR по сравнению с единицей, то полу-
получим:1
U 4/2J \Ri R
2 Ui R,)\ [\Ri R,j R% R\
В формулах для eIB), e2B) и соB) первые слагаемые — отно-
относительные удлинения и сдвиг, равномерно распределенные по тол-
толщине оболочки, а вторые т— относительные удлинения и сдвиг,
распределенные по толщине оболочки по линейному закону. Они
1 В 'качестве примера подробно покажем разложение 8i'(z):
8j
- 81 • е1 (г) ^
i+V |1+-
81 (г) |г=0— К«~Б~'
«1
67

связаны с изгибом, вследствие чего изменение кривизн и кру-
кручение согласно приведенным выше формулам для е1(г), е2(г) и соB)
изображаются так:
• 81 • во» СО / 1 . 1 \ /ir,r\
. x^-gL; х.-х,-^; х-т-т(- + -). A05)
Последним членам в правых частях равенств соответствуют сле-
следующие относительные удлинения и сдвиги в крайних слоях обо-
оболочки:
еи±л/2)=+^7 8р е2(±Л/2)= + ^ ч ю;±Л/2)=+ т («г+«г) •
Эти члены по сравнению с относительными удлинениями и сдвигом
в срединной поверхности имеют порядок hIR по сравнению с еди-
единицей, и ими можно пренебречь. Таким образом, влияние послед-
последних членов в правых частях равенств A05) пренебрежимо мало,
вследствие чего можно", полагать: и* «хр и* «и2, т* « т, о чем
говорилось в начале гл. 3 при первом пояснении параметров 'xlt
х8 и т.- . '
5. СВОДКА ФОРМУЯ ДЛЯ ПАРАМЕТРОВ ДЕФОРМАЦИИ
СРЕДИННОЙ ПОВЕРХНОСТИ ОБОЛОЧКИ
--Приведем все полученные выше формулы для параметров де-
деформации:
Ах да,! AtA2 da. . Rt
е —У1 д»а | 1 дА2 и j^JSL.
А2 За, AiA2 да.! R2
1 д t 1 dw ui\ 1 di4i /_\dw
Xa = —Lifi*-^) i_d_A*JJ
A2 да2\Л2 fla» R2 j AtA2 da
d2w 1 dAt dw 1 dA2 dw\ ,
X ; — I — -*-— I -f~
Zj flo&2 A i 5(*2 flotj A 2 otti oo^J
A06)
Й2 да2 i4ji42
Первые три параметра 8.lf e2 и со называют компонентами тан-
генциальной деформации, они определяют собой растяжения (сжа-
(сжатия) и сдвиги срединной поверхности и, таким образом, расстояния
между точками и углы между линиями в срединной поверхности-.
Параметры к1г х8ит называют параметрами изгибной деформации.
68

Они позволяют найти те дополнительные растяжения (сжатия) и
сдвиги, которые испытывают эквидистантные слои по сравнению
со срединным слоем.
6. ВАРИАНТ ПОЛУЧЕНИЯ ФОРМУЛ ДЛЯ §i, e2, «e, xlf x2, и t
(ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТРАКТОВКА)
6.1. Формулы для ех и е2
Рассмотрим две точки О и Л по концам элемента dsx в нормаль-
нормальном сечении, проведенном в направлении линии аг до деформации
оболочки. В результате деформации точка О займет в пространстве
положение О', а точка А — положение А' (рис. 26).
а)
dw
Рис. 26. К определению г{
а — евсташляющие по направлениям ортов ег е2 и еп перемещений точек О я А,
егртичинющих «лемеит dst нормального сечения, проведенного в точке О
по направлению at; б — к определению (дл) "; в — к определению
Деформацией гг называется отношение приращения длины эле-
элемента dslt произошедшее в результате деформации, к первоначаль-
первоначальной его длине. Перемещения точек О и Л суть векторы 00' и АА'\
обозначим их соответственно символами Ао и Ад. Проекция разно-
разности векторов Ад и Ао на направление ех, отнесенная к &sx и пред-
представляет собой ех:

Здесь учтено, что проекция на ег разности векторов АА и До равна
разности проекции этих векторов на ег: (Дд)е1 — ^(о)е,- Состав-
Составляющие вектора До на направления е^ е2, е„ суть ии ы2 и w. Век-
Вектор Дд представим как сумму семи слагаемых (рис. 26, а). Из них
три слагаемых (Дд)^. (^)е, и (&л)'ё направлены параллельно ех
dw .
и по два слагаемых параллельны е2 и е„: w и — dsx параллельны
и — ds! параллельны е2. Таким образом,
Определение слагаемого (Дл)ё» возникающего вследствие не-
непараллельности нормалей к срединной поверхности в точках О
и А, пояснено на рис. 26, б, согласно которому справедлива про-
пропорция
откуда
Определение слагаемого (&аI > возникающего вследствие не-
непараллельности касательных к координатным линиям ос2, прохо-
проходящим через точки О и Л (или, иначе., вследствие переменности
Ах — параметра Ламе — по координате ос2), пояснено на рис. 26, в,
согласно которому отрезок (Дд)^ как результат приращения пара-
параметра Ах при удалении вдоль ос2 на расстояние и2 от линии О А
находится по формуле
где -^J—скорость изменения Ах по s2;
—-и2— приращение параметра Лх при переходе от О А
к линии, параллельной и расположенной на рас-
расстоянии и2 от ОА;
дАг ¦ ,
—-и2аа1— приращение длины дуги dsx при переходе от ли-
ds2
нии ОА к линии, ей параллельной и находящейся
на расстоянии и2 от нее.
Наконец, (АА)'е определяется как составляющая перемещения
точки А .вдоль ех при и2 = 0 и до = 0:
И

Таким образом,
ди.\ . . дАл , . w
dsi 4 и da Ч
, ди.\ . . дАл , . w .
«j -f dsi 4 и% dai Ч ds1 — u1
_ dsxds R
% ai Ч1 1 w
ds2 R± дщ . дАх «?da2 , w_
ds fls ds R
dst ds j fls8
или, учитывая, что dsx = Aldalt ds2 = Афх%, получаем:
e » j*i +_L_ ?!.«,+ • A07)
i4j flat AiAt oolj Hi
Каждое из трех слагаемых в A07) показывает влияние состав-
составляющих перемещения м2 и w и изменения перемещения мх по ах
на относительную линейную деформацию ех.
По аналогии
ex (e2) положительна при растяжении волокна й направленииax
(a2) и отрицательна при сжатии.
6.2. Формула для «о
В точке О срединной поверхности оболочки рассмотрим линей-
линейные элементы dsx и ds2 нормальных сечений, проведенных по на-
направлению ортогональных координатных линий ах и ос2. В резуль-
результате деформации оболочки концы этих элементов — точки О, В
и С — переместятся в пространстве соответственно на величины
До, Дв и Дс и займут положения О', В' и С. Орты ех; е2 и е„ после
деформации перейдут соответственно в ej, e'2 и г'п (рис. 27, с). При
этом в общем случае орты ej и е'2 перестанут быть ортогональными."
Разность между прямым углом и углом, составляемым ортами е[
и е'2, и представляет собой сдвиг <о. Для упрощения задачи вместо
угла между ортами е, и е2 рассмотрим угол между проекциями
этих ортов на плоскость е^вз. Такая замена влечет за собой по-
погрешность не выше членов второго порядка малости по сравнению
с проекцией на плоскость eft^ угла между ej и е2. На рис. 27, б
изображена проекция всей картины рис. 27, а на плоскость е^е^
На этой проекции показаны составляющие векторов. Для простоты
обозначения проектируемых объектов и их проекций (или состав-
составляющих) приняты одинаковыми.
На рис. 27, б из точки О' выходят сплошные линии — это про-
проекции координатных линий после деформации (до деформации они
проходили через О), их орты суть е| и е2: лунктирные линии — это
координатные линии, проходившие через точку О" (на срединной
поверхности) до деформации, их орты е'0'- и ег° ' ортогональны.
71

Линии точечного пунктира (рис. 27, в) — эквидистантные линии
по отношению к координатным линиям (до деформации), проходя-
проходящим через- точку О. Согласно рис. 27, б сдвиг со определяется по
формуле
2. A08)
Покажем, как найти величину а^. Величину со2 запишем по
аналогии.
Пр'оследим за картиной деформации в связи с перемещением
точек элемента dst (рис. 27, в). Составляющие перемещения До =
= 00' по ех и е2 в точке О суть их и «2. Проведем через О' линию
Рис. 27. К определению со
а — картина изменения первоначально прямого угла между ортами tt и е«
в процессе деформации срединной поверхности; б — проекции той же кар-
картины на плоскость eie«; в — к определению ч>,\ г — к доказательству ортого-
ортогональности О'В' н OtO'
(точечный пунктир), отстоящую всюду на величину м2 от координат-
координатной линии ах. Если от. точки О2 вдоль этой эквидистантной линии
отложить отрезок, равный по длине dsi, то конец его расположится
в точке Вг. Если же через точку В провести линию, нормальную
к линии «?, проходящей через О (это будет одна из координатных
линий семейства ос2 до деформации), то она пересечет указанную
выше эквидистантную линию в точке 52. Отрезок BtB2 представ-
представляет собой разность длин отрезков эквидистантной линии, jipoxo-
дящей через О', и координатной линии, проведенной через точку О.
При этом имеется в виду, что оба отрезка ОВ и О2В2 заключены ме-
между координатными линиями семейства ос2, проходящими через
точки О и Б (до деформации). Иными словами, оба отрезка ОБ и
0B соответствуют одному и тому же приращению координаты at:
, ds-.
72

Определим длину отрезка BxBt. При переходе от линии ОВ
к О2В2 первый коэффициент Ламе испытывает приращение на ве-
величину '....¦
дАх
Таким образом, длина отрезка 02В2 может быть определена по
формуле
ds2 I Ах
а отрезок ВХВ% — как разноси/ длин 02В2 и ОВ:
или
Теперь легко найти угол ВхВВг, который обозначим символом
Перемещение Ав представлено как геометрическая сумма пере-
перемещений ВВг = и2 и ВгВ'. В свою очередь ВХВ' можно представить
как геометрическую сумму двух составляющих, из которых одна
направлена параллельно ВВ2, а другая перпендикулярно этому
отрезку. Нетрудно видеть, что эти составляющие соответственно
выражаются следующими формулами:
Спроектируем теперь перемещение ВХВ', или что то же самое,
отмеченные выше его составляющие, на направление ВВХ.
Указанная проекция равна 62?'; она получена как разность
проекций составляющих Bxb" и Вф', В силу малости угла {5Х при-
принято: '
sin Рх «IV, cos px« 1;
тогда
ВХЬ" cos px = Btb'f ¦ 1 = ^ dsj = — ^ dsx;
dsi A i d«i
ВXV sin px = bA k +
\ ds1
АхАг да2
73

Если линия 0"Ь% является координатной линией ах, прохо-
проходящей через точку О" (та срединной поверхности до деформации),
а это ниже доказывается; то легко получить:^
ЬаВ' ЬЪВ'
щ = —;— » ——
или
й ' ^-._L_|!lUl. A09)
А\ дах AtA2 да2 /
Остается доказать, что линия Ь2О" действительно является ко-
координатной линией ах (до деформации). С этой целью определим
(рис. 27, г) угол ОхС'О^ составляемый координатной линией а2
(до деформации), проходящей через точку О", и нормалью, вос-
восставленной в точке О" эквидистантной линии (точечный пунктир),
проходящей через эту точку.
Угол Ох(У'Ох найдем как отношение отрезков
ИГ
Отрезки ОО{ и О"Оц соответствуют одинаковому приращению
координаты ах, равному uJA^. Разность длин отрезков ООх и
ОО2" обусловлена отличием параметра Аг на соответствующих ли-
линиях. Приращение параметра Ах при переходе от одной линии
к другой равно
Таким образом,
OO-dAl
а угол ОгО"Ох определяется по формуле
Следовательно, линия О"Ь2, составляющая такой же угол с экви-
эквидистантной линией О"БХ:
ортогональна к координатной линии О"ОХ, т. е. и сама является
координатной, что и требовалось доказать.
По аналогии с A09) имеем:
1 дАI,
74

Теперь легко найти
1 ди2 1 dA't I dm 1 дА2
А\ да.1 АхА2 аа2 л3 аа3 ^Лз "ai
ИЛИ
и __ Aj_ _д_ (иЛ Aj_ J_ ("Л.
Ах даД Aaj А% да.г\А\ ) '
ш — положителен при уменьшении первоначально прямого угла
между линиями аг и а2.
Согласно общим представлениям теории упругости, имея at
и ш2 в точке срединной поверхности оболочки, можно получить
в этой точки не только ш — сдвиг, но и Q — поворот относительно
е„. При этом
оо /¦> ,-. '' ' ди* l dUl »i dAi i »2 9Аа
А д А д АА д AA d
6.3. Поворот нормали при деформации оболочки
При деформации оболочки нормаль к срединной поверхности
в каждой точке поворачивается (рис. 28, а). Определим ®г и Ф2 —
углы, составляемые проекциями (на плоскости, параллельные пло-
плоскостям exen и е2е„) нормали к деформированной срединной поверх-
поверхности в точке О' с направлением, проходящим через точку О' и
параллельным е„ в точке О.
Углы ft х и ft 2 легко находятся из простых геометрических со-
соображений. Покажем проекцию всего изображенного в аксономет-
аксонометрии (рис. 28, а) на плоскость е2е„ (рис. 28, б). При этом векторы
заменяем соответствующими составляющими в данной плоскости.
Угол Ф2 представим как сумму двух углов:
Перемещение точки О в положение О' можно представить двумя
слагаемыми ОО" и О"О'. Первому из них отвечает угол fl^— п0"
ворот проекции нормали, который имел бы место, если бы точка О
перемещалась, оставаясь в недеформированной срединной тюверх-
ности (т. е. попала бы в точку О", рис. 28, б). Угол ftg находится
из зависимости
Угол $2 — проекция того поворота, который имел бы место в слу-_
чае, если ы2 вовсе отсутствовало. Этот угол легко находится по фор-
формуле
«, dw 1_ dw_
2 ds2 A3 das'
75

Таким образом,
1 dw . и3
—- 1 За» _, ах .
1 Л а I г. »
формула для фх написана по аналогии.
(ПО)
6.4. Формулы для хх 'и xs ' '
Элемент dst нормального сечения, проведенного по направле-
направлению координатной линии а1( ограниченный точками О и В (рис. 29),
обладает до деформации оболочки некоторой кривизной в силу кри-
кривизны недеформированной срединной поверхности оболочки. Нас
интересует изменение кри-
кривизны этого элемента, воз-
возникающее вследствие де-
деформации срединного слоя
оболочки. Указанное изме-
изменение кривизны обозначим
символом к{.
е,' а,
Рис. 28. Картина перемещения и пово-
поворота отрезка OOt нормального элемента
оболочки
а — аксонометрия; б — проекция на пло-
плоскость е„ е„
Рис. 29. К- определению %
и тх; векторы поворота нор-
нормальных элементов в точ-
точках, ограничивающих эле-
элемент dst нормального сече-
/ ния, проведенного в точке О
по направлению аг
76

Величина хх определяется различием поворота нормалей-к сре-
срединной поверхности в точках О и В. Будем изображать углы по-
поворота векторами и внесем некоторые упрощения, представив кар-
картину деформации проекций на плоскость е1Ое2 (см. рис. 29).
Оси t и v параллельны ортам ех и е2; при этом t имеет направле-
направление, противоположное направлению ех.
Для определения к1 необходимо знать угол относительного по-
поворота проекций нормалей в точках О' и В' на плоскость, проходя-
проходящую через ось t нормально к плоскости е1Ое2, т. е. к плоскости чер-
чертежа (рис. 29). Этот относительный поворот, отнесенный к длине
дуги dslt соединяющей точки О' и В', и представляет собой хх. От-
Отмеченный выше угол относительного поворота легко находится
как разность проекций векторов углов поворота в точках В' и О'
на направление е2 (рис. 29):
o 5»2 .
Pi —- <щ является величиной второго порядка малости, поэтому
ее не учитываем; тогда
Щ = ——т 1 >
или
Подставляя в A11) выражения дляф2 и^г, согласно A10) най-
дем: 1 д I I dw иг\ 1 dAt / 1 dw щ
Ах да,х\Ах дах Ri) AtA2 да3 \А2
Формула для х2 получается аналогичной:
А2 да2 Ai
1 а I 1 I
«2
x. = ^# + ^V^-Ot.
или
__ 1 а / 1 За^_м 1 ал2 / 1 зш Ul\
«2 ОО*% \ С*^2 *^2 / **1**2 C*Otj \i^l vOtj /\l / *
xt (x2) положительна, если кривизна срединной поверхности уве-
увеличивается.
6.5. Формула для ?
Ниже выведем формулу, которая, как будет показано ниже,
представляет собой с определенной погрешностью т — кручение
элемента срединной поверхности в окрестности О.
Кручением т элемента поверхности будем называть предел от»
ношения относительного крутильного поворота противополож-
77

ных сторон элемента к расстоянию между ними. При этом предпо-
предполагаем, что элемент поверхности ограничен двумя парами беско-
бесконечно близко друг к другу расположенных линий главных коорди-
координат. Величина т получается одинаковой независимо от того, какие
противоположные стороны элемента рассматриваются. В качестве
упрощенной иллюстрации, подтверждающей это положение, рас-
рассмотрим элемент пластины. На рис. 30 показан элемент пластины
до и после кручения. Исходя из данного выше определения, нахо-
или
т _ /Cj + С4 , С2 + С3\ _ ^ _ Сх +
формула A12) предполагает, что т рассматривается как взаимный
крутильный поворот сторон 12 и 34 (т. е. поворот относитель-
относительно осей, параллельных
5—6, или, иначе, в пло-
скостях, перпендикуляр-
ных оси 5—6), отнесен-
ны**к Расстоянию между
ними (т- е- к а). Фор-
мула же A13) предпола-
Щ гает, что т рассматри-
c\j*^^ вается как взаимный
1^**^^ крутильный поворот сто-
Рис. 30. Кручение элемента пластины рон 14 и 23 (т. е. поворот
относительно осей, па-
параллельных 7—8, или, иначе, в плоскостях, перпендикулярных
оси 7—8), отнесенный к расстоянию между ними (т. е. к Ь).
Совершенно очевидно, что правые части в формулах A12) и A13)
действительно одинаковы. Ниже будет доказана аналогичная идеи/
тичность двух вариантов представления т и для элемента оболочки.
Рассмотрим один из вариантов представления т для оболочки;
второй вариант напишем по аналогии, а затем докажем их тождест-
тождественность.
Величину т представим как сумму двух слагаемых:
т = тх + х[.
Первое слагаемое представляет собой кручение элемента поверх-
поверхности в отсутствии сдвига, а второе — влияние сдвига.на круче-
кручение элемента поверхности.
Итак, т представляет собой частное от деления на dsx проекции
на плоскость е2е„ угла относительного поворота нормалей к по-
поверхности в точках, ограничивающих элемент dst.
Представим деформацию элемента оболочки проекцией на пло-
плоскость ех0е2. Соответствующая картина показана на рис. 29. Для
определения тх необходимо знать угол относительного поворота
78

проекций нормалей в точках О' и В' на плоскость е2Ое„ (орт е„
перпендикулярен плоскости чертежа). Этот относительный пово-
поворот, отнесенный к длине дуги ds1( соединяющей точки О' и В', и
представляет собой т^.
Отмеченный угол относительного поворота легко находится
так (см. рис. 29):
величина {5Х —- dsx является малой второго порядка малости, ее
не учитываем; тогда
тх = -
или
ds,
1 A да
AtA
tA2
dw dAa 1
dw dAa 1
да2 до^ А\
I gg L
даг
A14)
Рис. 31. К определению т{
Теперь найдем х'г Это слагаемое возникает в связи с тем, что
из-за криволинейности элемента dsx повороты элементов (точнее
поворот элемента ds2), происходящие вследствие сдвига, дают
крутильную составляющую поворота нормали. На рис. 31 пока-
показана картина поворотов (в векторном изображении) элементов dsi
и двух элементов ds2, проходящих через концы элемента dslt Изо-
Изображение на рис. 31 представляет собой проекцию на плоскость
ejOe,^ шх в точках О и Л — это поворот одного и того же элемента
dsx, вследствие этого Аа1 = 0; ш2 в точках О и А — это повороты
элементов ds2 (противоположные стороны элемента срединной по-
поверхности оболочки), ортогональных элементу dsx в точках в ит4.
Вследствие криволинейного dst при переходе из точки О в Л
имеет место приращение Аш2 = — dsx (из подобия треугольников
АОХЛО и АОЬа имеем: —^• = —-\, проекция вектора Аш2 на пло-
Шз Ri 1
скость ejOen, разделенная на dsv и дает х[. Итак,
г Ш2
дАг
A15)
79

или, подставляя в A15) выражения для Фх и Ф2 согласно (НО),
получим: *
j / 1 d%w . dw дА-г 1 ди2 1 \ .
А2 д<Ххда3 da3 dai Л^ da.xR2 I
. 1 дЛх 1 да> 1 dAt ux . щ __
АхАг да3 Ах да,! AtA2 да^ Rx Rx
d*w 1 дАг dw 1 dA2 dw\
^до^ A 3a da A д д/
АхА ,
^ AA дс*
Если аналогично изложенному выше представить т в форме
ТО
Х=Т7Г-ТГТ^
Формула A17) симметрична формуле A15). Если подставить
в A17) вместо Фъ ^2 и шх выражения по формулам (ПО) и A09),
то в результате получим выражение для т такое же, как и в окон-
окончательном виде в A16); таким образом, имеем:
R ¦' ¦ R ¦ (U8)
7. УСЛОВИЯ СОВМЕСТНОСТИ ДЕФОРМАЦИЙ
Очевидно, что непрерывность перемещений ых, щ и w точек сре-
срединной поверхности оболочки гарантирует сплошность этой поверх-
поверхности при деформации. Иными словами, ых, ы2 и w могут быть лю-
любыми непрерывными функциями. Каждой комбинации таких функ-
функций соответствует некоторая сплошная (без уплотнений и разры-
разрывов) срединная поверхность. Этого нельзя утверждать относительно
шести функций вх, е2, ш, к1г х2, т, которые не могут быть произ-
произвольными непрерывными функциями. Только4 при удовлетворении
этими функциями определенным зависимостям им отвечает сплош-
сплошная деформированная срединная поверхность.
Указанные зависимости называются, как и в теории упругости,
условиями совместности деформаций; таких условий три. Они мо-
могут быть получены путем составления уравнений Кодацци—Гаусса
для деформированной срединной поверхностнее этой целью шесть
коэффициентов квадратичных форм Е', F', G', L', М' и N' для сре-
срединной поверхности, испытавшей деформацию, должны быть вы-
выражены через параметры деформации &х, е2, ш, хх, х2 и т. Число
коэффициентов квадратичных форм равно шести, так как главные
координатные линии ах и а2 после деформации срединной поверх-
80

ности переходят в линии а\ и а'2 и перестают быть главными (со-
(сопряженными и ортогональными). Зависимостями между Е', F',
G', L', М' и N', с одной стороны, и elf е2, ш, хь х2 и т,— с другой,
являются шесть зависимостей: E7), E8), E9) и F0I# 2, з-
Схема вывода уравнений совместности деформаций такова: ис-
используются уравнения Кодацци—Гаусса E3) и E4); их рассмат-
рассматриваем как уравнения, соответствующие срединной поверхности
оболочки, испытавшей деформацию; в связи с этим йеобходимо под-
подставить в E3) и"E4) вместо величин Alt Л2, %, L, М и N величины
Л;, А'2, х', L', М' и N'.
В записанные таким образом уравнения E3) и E4) подставляются
выражения для А\, А'2^', V, М' и N', вытекающие из формул B3),
E7), E8), E9) и F0). В результате эти выражения изображаются
через параметры деформации оболочки: elf е2, ш, х1( х2 и т.
После такой подстановки и некоторых преобразований полу-
получаются уравнения совместности деформаций:
д(к2А2)
"\»"i; _, дА-у " I '
Г д(е2А2) , п дА2 , djaAt) , Rt „дА1]_ь.
L да,! д<Хх да2 R2 da2 J
д(хА2) д{щА,) дАг дАг 1
да аа да R
да-i да2 dax да2 R3
Rt AXA2 Eax A-i l
2 da*
г 1 д(в>А2)
L 2 аК1
>.
т
ал,
, Mil)
ajj
A19)
По-другому уравнения A19) могут быть получены из зависимо-
зависимостей A06) путем исключения из них составляющих перемещения,
наподобие того как в теории упругости получаются условия совмест-
совместности деформаций Сен-Венана из уравнений Коши.
Уравнения1 A19) являются условиями интегрируемости урав-
уравнений A06); в случае одцосвязных оболочек они, кроме того, выра-
выражают собой и условия совместности деформаций. Для неодносвяз-
ных оболочек с целью обеспечения совместности деформаций, ко-
которая может быть нарушена неоднозначностью перемещений, не-
необходимо удовлетворить условиям, аналогичным в теории упру-
упругости.
1 Уравнения совместности деформаций впервые были выведены
А. Л. Гольденвейзером [Уравнения теории оболочек. «Прикладная матема-
математика и мехчиика» (ПММ), т. IV, вып. 2, 1940].

В случае, если за координатные линии аг и а2 приняты не ли-
линии кривизн, в том числе и не ортогональные, все зависимости
типа A06) и A19) значительно усложняются.
РЕЗЮМЕ' ГЛ. 3
1. Теория деформации оболочек носит чйстю геометрический
характер. В ней не рассматриваются ни причины, вызывающие де-
деформацию, ни характер сопротивления конструкции (в частности,
ее материала) этой деформации.
2. В основе теории деформации тонких оболочек лежит гипо-
гипотеза о прямолинейном нормальном элементе, которая аналогична
гипотезе о плоских сечениях; она позволяет свести трехмерную
задачу к двухмерной, что выполняется так. Изучается-деформация
срединного слоя оболочки (срединной поверхности); при этом все
функции,"характеризующие ее, оказываются функциями двух ко-
координат точек срединной поверхности аг и а2. Приводимая в на-
настоящей книге теория построена при условии, что оболочка отне-
отнесена к сети координатных линий alt а2, которые до деформации
оболочки являлись линиями главных кривизн. Деформация же лю-
любого слоя, равноотстоящего от срединного, описывается через
деформацию срединного слоя путем использования гипотезы
о прямолинейном нормальном элементе, наподобие того как дефор-
деформация любого волокна балки, параллельного осевому, предста-
представляется через деформацию последнего при использовании гипо-
гипотезы плоских сечений. Гипотеза о прямолинейном нормальном эле-
элементе позволяет представить деформацию оболочки так, как на
рис. 23, 24, 25, 28, и описать соответствующими зависимостями.
3. Составляющие перемещения точки срединной поверхности
в системе ортов ех, e2 и е„ суть ыь ы2 и w; они являются функциями
координат ах и а2 указанной точки. Орты ех и е2 направлены по
касательным к координатным линиям ах и щ. Зная вид срединной
поверхности оболочки до деформации и имея функции ы1; ы2 и w,
мы тем самым получаем срединную поверхность оболочки, испы-
испытавшей деформацию.
4. Если в срединной поверхности оболочки до ее деформации
выбрать сеть координатных линий, совпадающую с линиями глав-
главных кривизн, то в результате деформации она перестанет быть
таковой и превратится в сеть неортогональных и несопряженных
линий.
5. В таком случае вид любой деформированной поверхности
с точностью до положения ее в пространстве определяется шестью
функциями двух координат аг и а2; такими функциями являются
коэффициенты двух квадратичных форм: Е', F', G', U, М' и N',
которые должны удовлетворять дифференциальным уравнениям
Кодацци—Гаусса. Однако вовсе не обязательно представлять по-
поверхность при помощи именно этих шести функций. Вместо них
можно взять другие шесть функций, связанные с Е', F', . . . , N',
82

Эти другие шесть функций также должны удовлетворять уравне-
уравнениям Кодацци—Гаусса, которые лишь подвергнутся преобразова-
преобразованию: в них вместо Е', F', . . . , N' нужно подставить их выраже-
выражения через новые шесть функций. В качестве таких шести функций,
при помощи которых удобно описывать деформированную поверх-
поверхность, принимаются: е^ е2) со, къ,- х2 и т. Каждая из них зависит
от двух аргументов: аг и а2. Функциям elt е2, . . . , т легко дать
трактовку: гг и 'е2 представляют собой относительные линейные
деформации элементов нормальнцх сечений, проведенных в рас-
рассматриваемой точке срединной поверхности оболочки вдоль на-
направлений координатных линий <хг и ос2; со — сдвиг между указан-
указанными элементами; хх и х2 — изменения кривизн нормальных сечений,
проведенных в направлениях координатных линий ах и а2; т —
параметр, характеризующий кручение поверхности в окрестности
рассматриваемой точки. Шесть функций гг, е2, со, яг, х2 и т, харак-
характеризующие деформированную срединную поверхность оболочки,
называются параметрами деформации оболочки, три из них (еь
е2 и со) называются параметрами тангенциальной деформации:
они по своей природе аналогичны компонентам деформации гх,
ЪУ и Уху в плоской задаче теории упругости. Три других параметра
деформации («х, и2 и т) в некотором смысле аналогичны параметрам,
описывающим изгибную и крутильную деформации стержня.
6. Параметры деформации и коэффициенты двух квадратичных
форм срединной поверхности оболочки, испытавшей деформацию,
связаны между собой зависимостями E7)—F0):
F'
U_ L_ _L_. ЛГ___ N_ ,JL.
Е, — *i e&1 E ' G' ~ %% G 'G '
M'
V E'G'
где E, G, L и N — коэффициенты двух квадратичных
форм срединной поверхности обо-
оболочек до ее деформации;
Е', F'', G', L', М' и М' — то же, для срединной поверхно-
поверхности оболочки, испытавшей де-
деформацию.
7. Срединная поверхность оболочки, испытавшей деформацию,
с одной стороны, характеризуется видом этой поверхности до де-
деформации и тремя функциями иъ иа и w, а с другой — шестью
функциями в1г е2, со, к1г х2 и т. Следовательно, функции их, ы2
и о) и функции ъх, еа, со, %lt x2 и т не могут быть независимыми;
между ними существуют зависимости [уравнения A06)], состав-
составляющие одну из основных систем уравнений теории оболочек. Пер-
83

вые три из них аналогичны трем уравнениям Коши плоской задачи
теории упругости:
Последние три уравнения в некоторой мере аналогичны диффе-
дифференциальным уравнениям, связывающим параметры изгибной и
крутильной деформаций и перемещения точек ©си стержня. Фор-
Формулы для 6j и е2 и отдельно для %х и ха имеют аналогичную струк-
структуру.
8. Применяя уравнения Кодацци—Гаусса [условия совместно-
совместности функций Ё = (A'if, F' = А[2 = А\А2cos %', G' = (A'2J,
Z/, M', N' ] к срединной поверхности оболочки, испытавшей де-
деформацию [уравнения E3) и E4)], и заменяя в них Аи А\2 и А'2;
L', М' и N' их выражениями через параметры деформации е1(
е2, со, К}, х2ит [формулы E7—60) и B3)], получаем условия сов-
совместности параметров деформации е1} е2,..., т, или, иначе, усло-
условия совместности деформаций. Таких условий три [уравнения A19)],
Первые два уравнения совместности деформаций аналогичны
по структуре. Система уравнений совместности деформаций A19)
также относится к основным системам уравнений теории оболочек.
Уравнения A0f>) и A19) полностью описывают деформацию средин-
срединной поверхности оболочки.
9. Имея ^перемещения точек срединной поверхности оболочки
и используя гипотезу о прямолинейном нормальном элементе,
легко найти перемещения любой точки оболочки, отстоящей от
срединной поверхности на величину г. Эти перемещения выра-
выражаются формулами
где ¦&! и ф а — углы, составляемые первоначальным направлением
нормального элемента и проекциями его в деформированной обо-
оболочке соответственно на плоскости exert и еаея (здесь е^ ег и ея —
орты в той точке срединной поверхности оболочки до деформации,
через которую проходит нормальный элемент). Углы •&1 и $2 вы-
выражаются через перемещения ult иг и w по формулам (ПО), имею-
имеющим одинаковую структуру.
10. Параметры деформации поверхности в оболочке, всюду от-
отстоящей от срединной на величину г, суть е](г), е2(г), со(г). Они легко
находятся через параметры деформации срединного слоя по фор-
формулам (86), (87) и A03). Из этих формул следует, что изменение от-
относительных линейных деформаций по толщине оболочки подчи-
подчиняется гиперболическому закону, наподобие изменению по толщине
бруса с криволинейной плоской осью относительной линейной де-
деформации волокон. Однако, как и в теории кривого бруса при ма-
малом отношении hlR, отличие гиперболического закона от линей-
линейного почти не ощущается, вследствие чего вместо формул (86), (87)
и A03) можно пользоваться формулами (88) и A04).
84

Глава четвертая
СТАТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ РАБОТЫ ОБОЛОЧКИ
1. ВНУТРЕННИЕ УСИЛИЯ И МОМЕНТЫ
Выделим из оболочки элемент путем движения нормали к сре-
срединной поверхности, имея в виду, что эта нормаль играет роль
образующей, а направляющей являются стороны четырехуголь-
четырехугольника, который ограничен координатными линиями а1( ах + dax\
а2, а2 + da2, лежащими в срединной поверхности (рис. 32, а).
К боковым граням такого элемента приложены распределенные
силы, заменяющие действие соседних с элементами частей обо-
0)
Рис. 32. Элемент оболочки и действующие иа него усилия
а — напряжения, действующие на грани элемента оболочки; б- — размеры элемента; в —
погонные усилия и моменты (результирующие усилия и моменты, действующие на грани
элемента, отнесенные к размеру грани в срединной поверхности dsi или dsi)
лочки. Эти силы по отношению к элементу являются внешними,
при рассмотрении же элемента в составе оболочки — внутренними.
Интенсивности этих сил представляют собой напряжения, ком-
компоненты которых на двух ортогональных гранях обозначим сле-
следующими символами: ап, т12, т13; а22, т21, т28. Принцип индекса-
индексации и правила знаков сохраняем такими же, как это принято в тео-
теории упругости..
Статическим эквивалентом распределенных по граням элемента
напряжений являются так называемые внутренние погонные уси-
усилия и моменты, которые выражаются через напряжения при по-
помощи соотношений эквивалентности.
Для примера подробно Показано получение формул для Nt и #2:
h_
85

¦J.
"d4 J
h_
i.
•г
Здесь в формуле для Nt выражение ds2{z)dz представляет собой
площадь элементарной площадки на боковой поверхности элемента.
Аналогичен смысл и выражения dsl.z,dz; ds]B) и ds2.. — ширины
боковых граней на расстоянии z от срединной поверхности.
гласно формуле (85) и ей симметричной получаем:
R2
Остальные соотношения эквивалентности получаются анало-
аналогично. Окончательный вид всех условий эквивалентности:
+ 2 +2
С I Z \ С
= I Tio I 1 -1 dZ\ Og= I
J \ Яа) ¦ J
4
2
2
h
'7
л
+т
A20)

На рис. 32, в показаны положительные внутренние погонные
усилия и моменты. Переход от распределенных по боковым граням
элемента сил к погонным интегральным факторам Nu Slt Qlt Mlt
Нг; N2, S2, Q2, M2 и Н2, которые можно относить к срединной
поверхности, представляет собой второй шаг сведения трехмерной
проблемы к двухмерной (первый шаг был сделан при описании
деформаций всего тела оболочек посредством параметров деформа-
деформации срединного слоя).
. 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ
Составим уравнения равновесия произвольного элемента- обо-
оболочки, выделенного аналогично тому, как это было пояснено в на-
начале предыдущего параграфа. Несущественное отличие состоит лишь
в том, что элемент выделен координатными линиями ах J ,
aH -, а2 -, а2-\ -. Постольку, поскольку внутренние
силы представлены через интегральные факторы Nlt . . . , #2,
изобразим на рис. 33 лишь срединную поверхность элемента. Так
как элемент выбран произвольный, уравнения равновесия его спра-
справедливы для любого элемента, а следовательно, для всех элементов
внутри оболочки. N{, S{ и Qt — соответственно нормальные, сдви-
сдвигающие и поперечные силы, a Mt и Н{ — изгибающие и крутящие
моменты (i — 1,2).
На рис. 33 приведен элемент (срединной поверхности) и пока-
показаны интенсивности действующих на него внешних сил, а также
внутренние погонные усилия и моменты; последние изображены
векторами.
В табл. 1 приведены все силы и моменты, действующие на эле-
элемент, и даны косинусы углов, составленных каждым из указанных
векторов с каждым из направлений ег, е2 и е„. При составлении
таблицы имелось в виду, что в точке 5, т. е. в центре элемента г
см. рис. 33, а), величины погонных усилий и моментов суть Nlt
1» Qi, Mlt #i; N2, S2, Q2, M2, H2, a величины коэффициентов
Ламе — Аг и А2. В пределах элемента длины дуг, совпадающих
с координатными линиями, которые проходят через точку 5, выра-
выражаются формулами
ds2 — A2da2.
Тогда полные величины усилий и моментов в пределах указанных
дуг выражаются формулами, представляющими собой первые
1 Вывод уравнений равновесия можно строить в предположении, что
величины.Nf, . . . , Я2, А\ и А% относятся к одной1 из угловых точек элемента
оболочки. Результат при данном подходе, разумеется, идентичен приведен-
приведенному в тексте.
87

Таблица 1
Точки
приложе-
приложения силы
(момента)
Силы и моменты (векторы)
Косинусы углов, составляемых силами и векторами-моментами с,
_1_
2
J_
2
J_
2
_1_
2
H1A2da2 -
2
ааг
1 l dA* L
2 A2 дй2
Г Ajdai
2 ' Rt
-L J_ Ml
2 Л2 даг
— 1
О
— 1
2 A2
О.
— 1
о
1 I
—
2 Л2
d(Q1A2da2)
J 1_ дА±
2 Л2 да2
1 Л,da,
• da-,
1
_L. 1
2
T~rT
i i ал^
— - — • *- dat
2 Л2 За2
— 1
2 Л2 да.
-da,

I
8
•I
4
п — О
— О О
8
•о
8"
•о
,8
f© <я
со
f© 94
СУ
45
4'
f© 94
45
Й *С
ГО в*
45
8°"
•§
fa,)
45 "^
оГ
45
|
Й ^^
^© 94
СУ
45
45
i
8 *ч;
^5 *4
Э5
45
— (N —. (N — (N — (N —.
— (N —. (N —• MN
О О.
8"
в4
•о
•I
"«С
•8
¦«с
94
•I
i
¦чТ
94
со
¦«с
СУ
89

члены в первом столбце табл. 1. Вторые слагаемые в этом же столбце
представляют собой те приращения, которые испытывают полные
величины усилий и моментов при переходе от дуг, проходящих
через точку 5, к дугам, проходящим соответственно через точки
/. 2, 3 и 4.
ч)
H,A2dag-...
Рис. 33. Элемент оболочки (показаи элемент срединной поверхности) и дейст-
действующие на него усилия и моменты (изображены погонные усилия и моменты)
а — аксонометрия; б —сеченне в плоскости е^; в — проекция на Плоскость е^ (по-
(показаны усилий н моменты лишь на двух противоположных кромках)
Обоснование величин направляющих косинусов в табл. 1, рав-
равных 1, 0 или — 1, очевидно.
Заметим лишь, что так как линии аг и а2 — линии главных
кривизн, углы, составляемые с е„ векторами, в состав которых
90

входит одна из величин Slt Mlt S2, M2, равны я/2; соответствую-
соответствующие направляющие косинусы равны нулю.
Остальные формулы для направляющих косинусов, векторов
усилий и моментов в системе ортов е1( е2 и е„, приведенные в табл. 1,
пояснены рис. 33, б, в.
Для составления уравнений равновесия элемента оболочки
путем использования табл. 1 достаточно выполнить следующую
операцию. Первые три уравнения равновесия (равенство нулю
сумм проекций всех сил на направления е1( е2 и е„) находятся пу-
путем умножения сил в столбце 1 поочередно на направляющие ко-
косинусы в столбцах 2, 3 и 4, суммирования получаемых произведе-
произведений и приравнивания каждой из этих сумм нулю. Произведение
силы на направляющий косинус представляет собой проекцию
(с учетом знака) этой силы на направление соответствующего орта.
Последние три уравнения равновесия (равенство нулю сумм момен-
моментов всех сил относительно направлений elt е2 и е„) получаются
аналогично, но умножать на направляющие косинусы приходится
не силы, а векторы, изображающие моменты. Кроме того, к най-
найденным таким образом суммам произведений необходимо приба-
вить-моменты, создаваемые силами.
Выполнение указанных операций приводит к следующим шести
уравнениям:
dax2 + Sx d
да,! fla2
2 -^- da1daz+ d(S*Al) йа1йа2 + q^AxA2A^da% = 0;
fla да
да2
Nl daidai + d
да2 dai
_|- 5 ±Ь- daxda% + -^- АхА$хф.% + q^A^ajda^ = 0;
fla R
= 0;
да2 щ 2
^ jda^da^ = 0;
+
fla3
И И
AAdada
fla2 fla!
—Q1A2da2A1da1 = 0;
0.
91

После деления всех членов во всех шести уравнениях
на АуА%дахдаг получаем окончательный вид дифференциальных
уравнений равновесия элемента оболочки:
1 Гд(ЛГИ2), d(S2Ad s dAi__N ±
AiA2 (_ flax da2 да.% дс
At/
1
х) ,
|й2 Nx +
да2 drtx За2 J R
atQ^)-! Nt N, =0.
aa3 J 7?! R2 4n
2) я- дА2 м _^41]_0 =0.
2 д^ * да2 \ 2
d(H2Al)
.
A21)
Последнее условие равновесия является тождеством. Действи-
Действительно, если в него подставить вместо Sx, S2, Нг и Я2 их выражения
согласно формулам A20), то получим:
+T
1
2 i,
Объединим в один интеграл первый и третий интегралы и отдельно
второй и четвертый:
или, производя объединение интегралов в левой части равенства
в один интеграл, получим:
+т

Тождественное равенство нулю интеграла, а следовательно,
и тождественное удовлетворение шестого уравнения равновесия
получается из равенства нулю выражения (т12—т21), вытекающего
из закона парности касательных напряжений.
При выводе уравнений равновесия никакие гипотезы не были
использованы. Область применения этих уравнений ограничивается
лишь необходимостью соблюдения условия малости перемещений,
позволяющего при составлении уравнений равновесия рассматри-
рассматривать недеформированный элемент оболочки.
3. УМЕНЬШЕНИЕ ЧИСЛА ИСКОМЫХ ФУНКЦИЙ ПОГОННЫХ
УСИЛИЙ И МОМЕНТОВ
3.1. Изучение равновесия позволило получить шесть уравне-
уравнений A21) (из которых одно оказалось тождеством) относительно
десяти неизвестных функций Nlt . . . , #2. Таким образом, про-
проблема теории оболочек статически неопределима в малом. К урав-
уравнениям равновесия для раскрытия статической неопределимости
приходится присоединить три уравнения совместности деформаций,
связывающие шесть параметров деформации, полученные в теории
деформации оболочки. Итого получается восемь уравнений отно-
относительно шестнадцати функций, из которых шесть функций —
параметры деформаций и десять функций — погонные усилия и мо-
моменты. Дальнейшее построение теории оболочек связано с необхо-
необходимостью выполнения двух операций. Первая из них состоит в сле-
следующем.
Для того чтобы все восемь уравнений можно было использовать
как совместную систему, нужно ввести в рассмотрение физические
уравнения проблемы, устанавливающие связь между погонными
усилиями и моментами, с одной стороны, и параметрами деформа-
деформации — с другой. Используя физические уравнения, можно выра-
выразить условия совместности деформаций через погонные усилия и
моменты,1 в результате чего получается система восьми уравнений
относительно десяти функций Nu . . . , #2. Решить такую систему,
не выполнив некоторого преобразования, приводящего в соответст-
соответствие число неизвестных и число уравнений, нельзя.
Ниже производится это преобразование, физические же зави-
зависимости обсуждаются в следующей главе.
3.2. Рассмотрим элемент оболочки (рис. 34, а). На этом рисунке
изображены те погонные усилия и моменты из числа действующих
на элемент, которые связаны со сдвигом в срединной поверхности:
Slt S2, Нх и Я2. Действительно, кроме усилий Sx и S2, в сдвиге
участвуют и моменты Нг и Я2. Из рис. 34, б следует, что проекция
каждого из векторов-моментов HrA%daz -\- . . .и НхАч<к*>ч — ...
Другой возможный путь будет обсужден в следующей главе.
93

на направление е„ равна (приращения, представляющие собой
малые второго порядка малости, несущественны) выражению
A22)
что изображено на рис. 34, в.
а) _ 5)
Рис. 34. Трактовка величины S
а —^элемент (срединной поверхности) оболочки и действующие иа него
сдвигающие усилия и крутящие моменты; б — проекция векторов кру-
крутящих моментов HiAida2 + . . . и Н A da — . . . иа плоскость ete ;
в — составляющие векторов-момеитов Н.А da \- . . . и НА „da — ...
по направлению орта еп (проекции иа плоскость е,е ); г — составляю-
составляющие векторов-момеитов HiAtdaa + . . . и HiAadat — ... и статически
им эквивалентные сдвигающие силы; д — сдвигающие силы, статически
эквивалентные составляющим векторов-момеитов H^A^da + . . . и
H^A^da^ — »t . по направлению орта ел; е — сдвигающие силы, стати-
статически эквивалентные составляющим векторов-моментов HiA^da^ -f~ . . ., ¦
H^Aidai — ... и HjXjrfOj + • • ¦ . ^2^l''al — " ' ' по направлению
орта еп; ж — погонные сдвигающие силы Si и Si и погонные значения
статических эквивалентов составляющих векторов-момеитов НхА3йщ-{-
-f . . ., HiAsda^ — • . • , НzA idat -f" . . . , H A^da. — . , . по направ-
направлению орта ея; 3 — величина S, трактуемая как сдвигающая сила
На рис. 34, г векторы-моменты A22) представлены при помощи
сдвигающих сил, действующих по кромкам, ортогональным if тем,
где приложены векторы-моменты. Плечом этих сдвигающих сил
является A2da2, вследствие чего сами сдвигающие силы приобре-
приобретают значение
Суммируя обе силы в пределах каждой из двух противополож-
противоположных кромок, получим картину, изображенную на рис. 34, д. Ана-
94

логична картина при проектировании векторов-моментов Н2Агдах-\-
+ • . . , H2A1da1 — ... на направление е„. В результате совмест-
совместного влияния проекций на е„ векторов-моментов HxA2da2 + ...-,
H1A2<bx2 — . . . , H2A1da1 + . . . , H,2A1da1 — ... имеем кар-
картину, изображенную на рис. 34, е. Если теперь просуммировать
силы, показанные на рис. 34, е, ¦ с силами StA2da2 + . . .,
S]y42da2 — . . . , S2A1da1 + . . . , S^^o^ — ... и перейти от
полных величин сил к интенсивностям, то получим картину, изо-
изображенную на рис. 34, ж. Здесь уместно вспомнить, что последнее
из уравнений равновесия A21) представляет собой тождество. Из
этого следует, что
о ___ Hi __ о H'l
A23)
Рнс. 35. Трактовка функций Н и Ф
а — элемент оболочки и действующие иа него крутящие
моменты Hi и Нг; б — представление крутящих моментов
как суммы симметричных и кососимметричиых долей;
в — Н как симметричная доля крутящих моментов; г —
Ф как кососииметричиая доля крутящих моментов
I
Таким образом, каждое из выражений, стоящих в левой и пра-
правой частях равенства A23), представляет собой одну и ту же функ-
функцию, которую обозначим символом S:
S = St—^_=S2—^-. A24)
Окончательно от рис. 34, ж переходим к рис. 34, з, на котором
изображен элемент, находящийся в условиях чистого сдвига. Итак,
совместное действие усилий S1/42da2 и S2A1da1 и проекций векто-
векторов-моментов НгА26а2 и H2A1dal на направление е„ сводится
к чистому сдвигу усилиями с интенсивностью S.
Проведенное выше рассуждение, проиллюстрированное рис. 34,
разумеется, не претендует больше чем на формальную трактовку
величин Щ/Rx и H2IR2 путем использования статических эквива-
эквивалентов. Такое рассуждение формально позволяет трактовать функ-
функцию S как некоторую сдвигающую силу.
3.3. Выше было рассмотрено участие моментов HxA2da2 и
Н2Агда.х в действии усилий. В настоящем параграфе рассмотрим
действие этих моментов, сохраняя моментную их природу.
95

На рис. 35, а показаны элемент и приложенные к его кромкам
векторы погонных моментов Ях и Я2, вообще говоря, не равные
друг другу по модулю. Всегда можно представить векторы Нх и
Яя как сумму и разность двух некоторых векторов Я и Ф:
ЯЯ = Я—Ф; A25)
1
при этом и л.н и и
H==Jh+Jh.- ф= Н1~н» . A26)
2 2 V '
Равенства A25) наглядно показаны на рис. 35, б. Картина,
изображенная на рис. 35, а, или эквивалентная/ ей картина на
рис. 35, б может быть представлена как сумма двух слагаемых,
которые приведены на рис. 35, в и г.
В обычных случаях учет функции Ф не приводит к ощутимому
изменению результата, в связи с чем ее можно не учитывать и, та-
таким образом, считать, что Я\ = Я'2 = Нг-.
Итак, вместо четырех функций Slt S2, Hx и Я2 пришли к двум
функциям^ статически им эквивалентным: S и Я, и, следовательно,
проблема свелась к системе восьми уравнений: пяти уравнений рав-
равновесия и трех уравнений совместимости деформаций с восьмью
неизвестными функциями Nlt Mlt Qx, Na, M2, Qz, Я, S и оказа-
оказалась разрешимой.1
4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ
Систему пяти уравнений равновесия A21) (шестое, как было
показано, удовлетворяется тождественно) можно привести к трем
уравнениям. Для этого достаточно подставить в первые три урав-
уравнения A21) вместо Qx и Q2 их выражения, найденные соответственно
из пятого и четвертого уравнений (Г21). Если, выполняя эту
операцию, кроме того, иметь в виду A24) и равенство Ях = Я2 —Я,
то придем к следующей системе трех уравнений, выражающей все
условия равновесия оболочки:
| a (SdJ j s dAj. N^ дА2 | 1
d(SA2) | d(N2Ax) | g дА2 N дАх | 1
д<Хх 5oj да-х х д<Хг R2 [ да%
Rx Rt A'tA2 \ дах Ai L
—МаЩ + -Ё-А.\ШМ + a(M*Ai) + н^—МхЩ) = qn,
дах\ да% А2\_ да± да% дах 5ota_lJ
A27)
1 Разумеется, условия совместности деформаций предполагаются выра-
выраженными через указанные искомые функции.
96

Выполненное преобразование, позволившее уменьшить суммар-
суммарное число параметров усилий и моментов до суммарного числа урав-
уравнений равновесия и совместности деформаций, одновременно при-
привело в соответствие суммарное число параметров усилий и момен-
моментов— числу параметров деформаций1. Такое соответствие присуще
всем точным и приближенным теориям механики твердого деформи-
деформируемого тела.
РЕЗЮМЕ Г Л. 4
1. Все внутренние силы, действующие на площадках высотой h
(толщина оболочки) и расположенные нормально к координатным
линиям аг и а2, приводятся к стандартной системе внутренних
погонных усилий и моментов: Nx, Sx, Qlt Мх, Нх и N2, S2, Q2, M2,
Н2. Такая операция совершенно аналогична введению стандартной
системы внутренних усилий Qx, Qy, N и моментов Мх, Му, Мг
в теории стержней. Формулы A20), связывающие внутренние по-
погонные усилия и моменты с напряжениями, действующими на соот-
соответствующих площадках, можно назвать соотношениями экви-
эквивалентности, так как они показывают, что величины-^, Sx, . . . ,
Нх (N2, S2 Н2) эквивалентны в статическом отношении внут-
внутренним силам, распределенным по указанным выше площадкам.
Усилия N-l и N2 называются нормальными силами, Sx и S2 — сдви-
сдвигающими силами, Qx и Q2 — поперечными силами, моменты Мх
и М2 — изгибающими моментами, Нг и Н2 — крутящими момен-
моментами. Все эти десять величин являются функциями координат ах
и а 2 точек срединной поверхности оболочки.
2. Для получения уравнений равновесия из оболочки выде-
выделяется элемент, заключенный между координатными линиями ах —
— ; ах-\—— ; а2 ^- ; а2-\——. Так как перемещения то-
2, 2, 2, 2,
чки срединной поверхности предполагаются малыми по сравнению
с толщиной оболочки, уравнения равновесия можно составить,
рассматривая недеформированный элемент оболочки. В такой по-
постановке статическое обследование оболочки не связано ии с рас-
рассмотрением ее деформации, ни с рассмотрением физических свойств
материала. Взамен отброшенных частей оболочки, окружающих
этот элемент, к последнему прикладываются соответствующие силь!
и моменты. Кроме того, прикладывается внешняя нагрузка, прихо-
приходящаяся на этот элемент. Далее находятся углы, составленные
векторами сил и моментов с ортами ех, е2 и е„. После этого нетрудно
написать шесть уравнений равновесия A21), три из которых пред-
представляют собой равенство нулю сумм проекций всех сил на направ-
направления ех, е2 и е„, а три других — равенство нулю сумм моментов
1 Введение линейных комбинаций S н Н, позволяющее уменьшить число
функций и приводящее это число в соответствие с количеством уравнений
технической теории оболочек, принадлежит отечественным ученым.
4 Заказ № 1753 97

всех сил относительно тех же направлений. Шестое уравнение рав-
равновесия удовлетворяется тождественно в силу закона парности
касательных напряжений.
3. Число неизвестных функций Nlt Slt . . . , Нц Nt, S2, . . .,
Я2 (десять) можно уменьшить, доведя его до восьми, путем введе-
введения функций S и Я:
S-Sl—^-S,~—, H—j—. A28)
Первое из этих условий вытекает из шестого уравнения равнове-
равновесия, выполняемого тождественно. Второе из равенств A28) выте-
вытекает из следующего представления Нг и Я2:
Я2 = Я—Ф; Ф=
Функция Ф практически не является существенной, и ее можно
полагать Ф = 0 и, таким образом, полагать Н{ = Я2 = Я. Итак,
вместо десяти получили восемь неизвестных функций: Nlt Qlt M1,
N» Q» М2, S и Я. ,
4. Из пяти уравнений равновесия легко исключать Qx и Q2,
в результате чего получаются три уравнения равновесия A27)
с шестью неизвестными функциями Nlt Mlt N2, M2, S и Я. Эти
усилия и моменты статически неопределимы^ так как число их пре-
превышает число уравнений статики (уравнений равновесия).
5. Для раскрытия статической неопределимости к трем урав-
уравнениям равновесия необходимо присоединить три уравнения сов-
совместности деформаций. Тогда шести уравнений будет достаточно
для отыскания шести неизвестных фун'кций. Однако это возможно
лишь в том случае, если и уравнения совместности деформаций
выражаются через усилия и моменты. На самом же деле [см. урав-
уравнения A19)] они выражаются через шесть других функций: ех,
е2, со, их, к2, т. Для.того чтобы раскрытие статической неопредели-
неопределимости относительно функций Nlt Мг, . . . , Я могло быть выполнено,
параметры деформаций надо выразить через усилия и моменты Nlt
Ми...,Н.
Уравнения, связывающие усилия и моменты, с одной стороны,
и параметры дефбрмаций — с другой (физические уравнения),
рассматриваются в следующей главе.
Глава пятая ;
ФИЗИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК
1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
В третьей и четвертой главах оболочка была исследована в двух,
пока не связанных друг с другом, аспектах. ^_
Первый аспект — это геометрическая теория ЪеформаГ
ции оболочки (см. гл. 3);~при рассмотрении деформации были со-

вершенно безразличны, во-первых, физические свойства материала,
в частности, его сопротивляемость деформации; во-вторых, не рас-
рассматривались ни внешние, ни внутренние силы, т. е. ни причины,
вызывающие деформацию, ни изменения в напряженном состоянии,
происходящие в результате деформации.
Второй аспект (см. гл. 4) носил чисто статический ха-
характер — исследовалось равновесие внешних и внутренних сил
в оболочке; при этом внутренние силы, распределенные по сечениям,
нормальным к срединной поверхности (эти сечения — линейчатые
поверхности), были заменены статическим их эквивалентом, но-
носящим название погонных усилий и моментов.
При изучении равновесия оставались вне поля зрения как фи-
физические свойства материала, так и картина деформации. В связи
с последним обстоятельством заметим, что такая независимость
теории равновесия оболочки от теории деформации ее мыслима
лишь при условии малости перемещений, а следовательно, и де-
деформаций, обеспечивающей возможность рассматривать равнове-
равновесие оболочки в недеформированном ее состоянии. Еслргбы рассмат-
рассматривались большие перемещения, соизмеримые с толщиной и превы-
превышающие ее, то пришлось бы изучать равновесие оболочки_в дефор-
деформированном состоянии и, таким образом, теория равновесия не
была бы автономна от теории деформации.
2. СТАТИЧЕСКАЯ ГИПОТЕЗА
Предполагается, что слои, эквидистант-
эквидистантные по отношению к срединному, не испы-
испытывают нормальных сил взаимодействия.
Допустимость использования этой гипотезы легко может быть обо-
обоснована.
Если ввести обозначение для нормальной составляющей напря-
напряжения, действующего по площадкам, параллельным срединному
слою или лежащим в последнем, при помощи символа одз, то приня-
принятие сформулированной выше гипотезы аналитически выразится так:
0зз = О. A29)
На самом деле условие A29) может быть использовано с малой
погрешностью и в тех случаях, в которых
10зз |< max (|0u|, |022|).
Пренебрежение напряжением 0аз не вносит заметного искаже-
искажения в напряженное состояние оболочки. Действительно, при более
строгой постановке вопроса, чем в технической теории оболочек,
например при исследовании оболочки как трехмерного тела мето-
методами теории упругости, обнаруживаем, что
Озз^Яп, . A30>
где qn — интенсивность нормальной к поверхности оболочки со-
составляющей поверхностной нагрузки (рис. 36).
4* . ' 99

Вместе с тем известно, что нагрузка qn вызывает напряжения
в площадках, нормальных к срединному слою, значительно боль-
большие по величине, чем qn. Так, например, окружное усилие в ци-
цилиндрической оболочке, подвергнутой внутреннему равномерному
давлению интенсивностью qn, равно Ыг = qnRt, а соответствую-
соответствующее нормальное напряжение
выражается формулой
ИЛИ
ои — —— =
Чп =
h
h
Итак, qn составляет от ап
долю, определяемую отноше-
отношением hlRt. Имея в виду A30),
приходим к выводу, что
Рис. 36. Эпюра распределения напряже-
напряжения 033 по толщине оболочки, загру-
загруженной распределенной нагрузкой, при-
приложенной к наружной поверхности
«1
Если, например, h — 2 см,
t = 200 см, то
33
юо
В свете сказанного вполне оправдывается отказ от учета 033,
т. е. оправдывается гипотеза, согласно которой справедливо равен-
равенство' A29).
3. ФИЗИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК
Для получения зависимостей, связывающих усилия и моменты
с параметрами деформации оболочки, поступим следующим обра-
образом. Воспользуемся известными уравнениями закона Гука для про-
пространственного напряженного состояния однородного изотропного
тела, которые в нашем случае, если учесть гл. 3, изображаются так:
°W
1—2ц
1 —2р.
1—2ц
Jl(z)
,ф
2 A
A31)
)
Два последних уравнения закона Гука, связывающие напряже-
напряжение т13 с ю13 = Yi> и тгз с Й2з — Угг. не записываем.
О^гласно гипотезе о прямолинейном нормальном элементе
у1г = yiz = 0; следовательно, если пользоваться за-
законом Гука, то и т13 = т23 = 0, откуда вытекает [см. фор-
100

мулы A20)], что Qx = Q2 = 0. На самом же деле ни т13 и т23,
ни Qx и Q2 не равны нулю. Здесь мы сталкиваемся с типичной си-
ситуацией, имеющей место при построении приближенных теорий,
в основу которых кладутся те или иные гипотезы. Принятие гипотез
приводит к некоторой внутренней несогласованности теории на-
наподобие отмеченной выше. С такого рода несогласованностью при-
приходится мириться.
Величины Qt и Q2 можно найти, но не через напряжения сог-
согласно A20) при использовании закона Гука, а непосредст-
непосредственно из уравнений равновесия A21). Напряже-
Напряжения же т13 и т23 находим после отыскания Qx и Q2, пользуясь фор-
формулами сопротивления материалов. Отличие от нуля т13 и т23 сви-
свидетельствует о наличии сдвигов ylz и y2z.
Совершенно аналогичная картина наблюдается и в теории стерж-
стержней, где используется гипотеза плоских сечений. Итак, предполо-
предположение о сохранении прямого угла между нормальным элементом
и срединной поверхностью, испытавшей деформацию, используется
при анализе деформации слоев, эквидистантных по отношению
к срединному, и не используется при статическом обследовании
оболочки. Строго говоря, это обстоятельство можно было отметить
в формулировке гипотезы о прямолинейном нормальном элементе,
сказав, что гипотеза о жестком нормальном элементе используется
только при определении е1, е2 и со.
Напряжением а33 в соответствии со второй (статической) гипо-
гипотезой пренебрегаем. Тогда третье уравнение в системе A31) приоб-
приобретает вид: „
отсюда „
j> .— ¦* /р
* о /*л ———^_—. ^
Нам приходится еще раз столкнуться с тем фактом, что гипо-
гипотеза о прямолинейном нормальном элементе использована при
геометрическом обследовании (имеется в виду предполо-
предположение о неизменности длины этого элемента), что же касается ста-
статического обследования оболочки, то здесь этой гипотезой
не" пользуемся и, как видно из A32), учитываем удлинение нормаль-
нормального элемента. ~
Первый инвариант тензора деформации изобразится так:
Подставив A33) в первые два уравнения A31), получим:
101

Подставив формулы A34) в A20), найдем выражение для Nlt
N^, Мг и Л!2, а если учтем формулу A31) для т12 и формулы A20),
A24) и A26),— то и выражения для Я и S как функции от е1B),
82<г) и й(г)- Проследим за выюдом формул для Nlt Mt, S и Я.
Формулы для N2 и М2 получаются аналогичными формулам
для Nx и Мх:
+т
+Т
2A+n)
R,\ Rill B)
R, R
A35)
102

Подставим в A35) вместо е1B), е2B) и со( их выражения через
параметры деформации срединной поверхности согласно формулам
(86), (87) и A03) н пренебрежем членами порядка hIR по сравнеито
с единицей:
4
12.A—f
2A +
1+
12A+1»)
A36)
103

Итак, окончательно:
:1
1 —
1 —
12A —
(«г
Eh
2A
(о; п=-
A37)
Подчеркнем, что погонные усилия и моменты S1; S2, Яа и Н2
выражаются формулами A24), 'A25), согласно которым с учетом
A37) имеем:
Eh
Eh
12A
1 1
Eh»
12A
СО+-
m 4--
?Л»
12A + ц)
?Л»
¦Ф;
т
#2
Т
ф
2A
12A +
A38)
Физические уравнения (уравнения закона Гука) можно пред-
представить в иной ферме, выразив параметры деформации через уси-
усилия и моменты. Для этого достаточно решить систему A37) относи-
относительно е1; е2, xlt x2, со и т. В результате такого решения получаются
следующие формулы:
4(
СП
СП"
12A+,)
?Л»
A39)
Формулами A38) практически не приходится пользоваться, за
исключением тех редких случаев, в которых нужно определять
усилия Qlt Q2 (касательные напряжения, соответствующие этим
усилиям, очень невелики при малых hIR по сравнению с единицей).
Величина
-= D называется цилиндрической жесткостью, так
12 A - f)
как такой жесткостью обладает балка-полоска шириной, равной единице,
работающая в составе пластины, гнущейся по цилиндрической поверхности.
представляет собой жесткость той же полоски, но работающей в со-
1 — ц2
ставе пластины, подверженной равномерному растяжению в направлении,
параллельном оси полоски. ' '
104

В тех редких случаях, когда возникает необходимость в исполь-
использовании формул A38), функция Ф находится по формуле A26):
2
откуда, учитывая A20), A31), A03), получим:
ф^-L f Tl2W_L Md2=_L
3 J, U, Ri) 2
или, пренебрегая членами порядка Л/7? по сравнению с единицей:
Ф= Ш f-i—-Цсо. (НО,
Легко видеть, что Ф имеет порядок малости
Закон ^Рука для оболочек в форме уравнений A37) и формулы
A38) были получены В. В. Новожиловым A944 г.), использовав-
использовавшим для их вывода энергетические соображения. Почти одновре-
одновременно и независимо уравнения A38) были получены и Л. И. Бала-
бухом.
Запись физических уравнений в форме A37) с учетом A24) —
A26) и A38) не противоречит шестому уравнению равновесия, яв-
являющемуся тождеством, и соблюдению теоремы о взаимности пе-
перемещений. Последнее свидетельствует о ненарушении энергетиче-
энергетических принципов.
4. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ
Определим потенциальную энергию деформации оболочки. Пер-
Первым долгом найдем потенциальную энергию деформации dU, на-
накапливаемую в элементе, изображенном на рис. 33, a; dU выра-
выражается следующей формулой:
dU = —[
+ Н A 2da2 • -хА jda.! + Н А ^
+ N2A1da1-e2A2da2 + SA2da2-aIA1da1 + SAidayfOiA^a,,]. A41)
105

В этой формуле в каждом слагаемом первый множитель представ-
представляет собой силу или момент, действующий в пределах
стороны элемента, а второй множитель — соответствующее этой
силе или моменту обобщенное перемещение (рис. 37).
На рис. 37 изображена картина, соответствующая нечетным сла-
слагаемым в квадратных скобках формулы A41). Картина, соответст-
соответствующая четным слагаемым, аналогична.
H,A2da2
Рис. 37. К выводу формулы для потенциальной энергни деформации
оболочки
а — изгибающие моменты М tA 2da» как обобщенная сила и соответствующее ей
обобщенное перемещение XiAidai; б — крутящие моменты HiAid&t как обоб-
обобщенная сила и соответствующее ей обобщенное перемещение ХА ida^, в — нор-
нормальные усилия NtAzda2 как обобщенная сила и соответствующее ев обоб-
обобщенное перемещение; г — сдвигающие силы SA2da2 как обобщенная сила
и соответствующее ей обобщенное перемещение
Подставляя в A41) вместо Мг, Mit H, Nlf ^V2">t S их выражения
согласно A37) и учитывая A08), получим:
отсюда, производя преобразования и выполняя интегрирование
по всей срединной поверхности оболочки, будем иметь:
U =
24A?^ Jj H*i
A43)
106

Характерной особенностью формулы A43) для U является то,
что в ней разделены доли энергии, обусловленные изгибной (пер-
(первый интеграл) и тангенциальной (второй интеграл) деформациями.
Эта формула была опубликована Лявом в работе, указанной в при-
примечании на стр. 48, и является результатом использования гипотез
Кирхгофа—Лява. Вследствие этого формулу A43) в литературе
называют формулой Лява для энергии деформации оболочки или
приближением Лява для энергии деформаций.
Если в выражении A41) заменить параметры Деформации elt . . .
х их выражениями согласно формулам A39) и далее выполнить ин-
интегрирование по всей срединной поверхности оболочки, то получим
формулу для потенциальной энергии деформации оболочки, выра-
выраженную через усилия и моменты:
?/ =
, 6
JJ [(Af x+M2f-2(\ + ^(M^-H^A^da.da,. A43')
РЕЗЮМЕ ГЛ. 5
1. В третьей главе деформация оболочки находилась независимо
от рассмотрения сил, вызывающих деформацию, и характера со-
сопротивления деформации, определяемого физическими свойствами
материала. В четвертой главе изучалось равновесие оболочки не-
независимо от ее деформации и физических свойств материала.
Для того чтобы иметь возможность обе системы уравнений
(уравнения совместности деформаций и уравнения равновесия)
использовать совместно с целью раскрытия статической неопре-
неопределимости, необходимо установить зависимости, связывающие па-
параметры деформации, с одной стороны, и погонные усилия и мо-
моменты — с другой. Пользуясь этими зависимостями (физическими
уравнениями), можно обе системы выразить через одни ичте же не-
неизвестные функции, что позволяет разрешить проблему.
2. Вывод физических уравнений теории оболочек осуществ-
осуществляется так. Определяются, напряжения о11г а22 и т12 = т21 исходя
из уравнения обобщенного закона ГуКа в случае пространственной
задачи теории упругости [уравнения A31)]. Согласно этим уравне-
уравнениям (ГХ1 и (Г22 выражаются через e1{z), в2{2) и e3(z).
Далее используется положенная в основу теории вторая гипо-
гипотеза об отсутствии взаимодействия между слоями оболочки, «па-
«параллельными» срединной поверхности, в направлении нормали к
ним. Эта гипотеза аналогична гипотезе об отсутствии взаимодейст-
взаимодействия между продольными волокнами бруса в нормальном по отно-
отношению * ним направлении в теории стержней.
Указанная гипотеза сводится к тому, что нормальная состав-
составляющая напряжения, действующего яа площадках, параллельных
107

срединной поверхности, приравнивается нулю (ст33 = 0). Можно,
эту гипотезу трактовать и как условие
|ог88|<тах (|стп|, |ог22|),
влекущее за собой допустимость пренебрежения величиной о33
по сравнению с СТц и ст22. Такое пренебрежение вполне допустимо,
ибо величина этого напряжения приблизительно в Rlh раз меньше
величины нормальных составляющих напряжений, которые дейст-
действуют по площадкам, нормальным к срединной поверхности.
Из уравнения обобщенного закона Гука (с учетом равенства
<*зз = 0) Е |. ^
. °33 =Т+7 [63W + !_2|1 F1 М + 62
е3B) выражается через е1(г) и е2B); подставляя это выражение
в правые части формул для аг1 и ст22, получаем формулы для стп
и ст22, в которых они выражены через е1(г) и е2(г). Далее эти выра-
выражения для стп и ст22 и выражение для т12 через о)(г) подставляются
в формулы для Nlt Mlt N2, М2, S и Я из числа условий эквивалент-
эквивалентности. В результате находятся зависимости между погонными уси-
усилиями Nlt N2 и S и погонными моментами Mlt М2 и Я, с одной
стороны, и параметрами деформации е1(г), е2B) и ю(г) — с другой.
Используя выражения е1B), е2B) и юB) через параметры дефор-
деформации срединного слоя elt е2, о>, х15 х2» т и подставляя их в фор-
формулы для. №lt Mlt N2, M2, S и Я, после интегрирования по толщине
оболочке и пренебрежения величинами z/# по сравнению с едини-
единицей получаем окончательные зависимости Nlt M1, N2, M2, S и Я
от параметров деформации срединного слоя [уравнения A37)].
Эти уравнения выражают закон Гука в теории оболочек. Их можно
решить и относительно параметров деформации, в результате чего
имеем формулы A39).
3. Из шести уравнений обобщенного закона Гука два, связы-
связывающие т13 с оI3 = Yiz> и Т2з с Ю2г = Угг> не используются вовсе,
так как в силу гипотезы о прямолинейном нормальном элементе
Yi2 = Y2z = 0. Согласно этим уравнениям касательные напряже-
напряжения т13 и т23 должны были бы равняться нулю, тогда как на самом
деле они не равны нулю и интегральные факторы, им соответствую-
щие, а именно поперечные силы Qj и Q2, учитываются в теории
оболочек, но находятся не из условий эквивалентности с использо-
использованием з"акона Гука, а непосредственно из уравнений равновесия.
Соответствующие выражения для Q1 и Q2 из уравнений равнове-
равновесия уже получались в гл, 4 при исключении Qx и Q2 из уравнений
равновесия (при переходе от пяти уравнений равновесия относи-
относительно функций Nlt Qlt Mlt N2, Q2, M2t S, Як трем уравнениям
равновесия относительно функций Nlt Мг, N2, M2, S и Я). По-
иному описываемую ситуацию можно трактовать и так, что гипо-
гипотеза о жестком нормальном элементе исаользуется только при оп-
ределении ei(z), e2(z) и о>(г).
108

4. В формулах A37) закона Гука для оболочек
Eh , , _ .
(и им аналогичных для N2 и М2) вторые члены учитывают эффект
поперечной деформации.
Выражения и D = представляют собой жесткости
оболочек соответственно при растяжении (сжатии), и при изгибе
(последняя называется цилиндрической жесткостью); эти жесткости
аналогичны жесткостям стержня EF, El.
5. Аналогично тому, как получены формулы для Nlt Mlt N2,
М2, S и Н, можно вывести формулы и для Нг, Н2, Slt S2. В выра-
выражения для этих величин входит и функция Ф.
Исходя из формулы
H н
ф
и используя при определении Нг и Н2 принятую выше схему вы-
вывода формул для Nlt Mlt . . . , Н, получаем формулу A40) для Ф.
Практически функцией Ф пользоваться не приходится в силу
того, что она близка к нулю (имеет порядок WIRT).
6. Формула для dU — дифференциала потенциальной энергии
деформации (энергии, накопленной в элементе оболочки, вырезан-
вырезанном из нее сечениями al3 at + dax; a2, a2 + da2) находится из
условия, что величинам XidSj, x2ds2, e^s^ e2ds2, т^, tds2, (Oj^ds^
oJds2, характеризующим деформацию элемента оболочки, как
обобщенным перемещениям соответствуют обобщенные силы Mxds2,
M2dsly Nxds2, N2dslt Hds2, Hdslt Sds2, Sds1.
Используя уравнения закона Гука теории оболочек, выражаем
дифференциал потенциальной энергии через параметры деформа-
деформации. Формула для потенциальной энергии всей оболочки полу-
получается путем интегрирования dU по всей срединной ее поверхности.
Глава шестая
ПУТИ РЕШЕНИЯ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК
1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
В предыдущих главах были получены системы геометрических-,
статических, физических уравнений, из которых можно вывести
системы разрешающих уравнений.
Как и при рассмотрении пространственной задачи теории упру-
упругости, имеются два основных пути решения проблемы — решение
109

в перемещениях и решение в усилиях (в теории упругости — в на-
напряжениях). Получение разрешающих систем уравнений в обоих
случаях рассматривается в настоящей главе. При этом формули-
формулируются и не обсуждавшиеся до сих пор граничные условия. Здесь
же приводятся краткие сведения о так называемой статико-гео-
мещрической аналогии.
Разрешающие системы уравнений, полученные в каждом из
основных путей решения проблемы теории оболочек, оказываются
очень сложными. В таком общем и неупрощенном виде использо-
использовать эти системы уравнений исключительно затруднительно, у Этим
объясняется стремление к упрощению уравнений посредством пре-
пренебрежения некоторыми величинами. Два важных случая упро-
упрощения, которые оформились в такие разделы теории, как безмомент-
ная теория оболочек и теория пологих оболочек, освещаются в
гл. 8—12. -
2. РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ МЕТОДОМ НЕПОСРЕДСТВЕННОГО
ОПРЕДЕЛЕНИЯ УСИЛИЙ И МОМЕНТОВ
Один из классических путей решения проблемы теории оболо-
оболочек состоит в отыскании в первую очередь усилий и моментов. Раз-
Разрешающей системой уравнений при использовании этого пути яв-
является система уравнений равновесия A27) и система уравнений
совместности деформаций, выраженных через усилия и моменты,
которую можно получить из A19), если вместо параметров дефор-
деформации подставить их выражения через усилия согласно физическим
уравнениям A39).
Опуская преобразования в описанном выше выводе, приведем
окончательный вид уравнений совместности деформаций, выра-
выраженных через усилия и моменты:
(l ¦ ч
д(АгН) дАг
д
да2
12/?!
дА2
да,
d(AtS)
A44)
д(А2Н) . дА2
Н\-
ПО

X
i— цМх | Mi—\
д 1
¦+ТГТГ*
A*L
da2 / даг • J
X
da2
A44)
Уравнения совместности деформаций, выраженные через усилия
и моменты, являются аналогом уравнений Бельтрами — Мичелла
в теории упругости. Таким образом, разрешающая система урав-
уравнений содержит шесть уравнений [A27) и A44)] относи-
относительно шести неизвестных функций Nlt N2, Mlt
M2t S и Н. Эта система имеет восьмой порядок.
3. РАЗРЕШАЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ В МЕТОДЕ
НЕПОСРЕДСТВЕННОГО ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Второй классический путь решения проблемы теории оболочек
состоит в отыскании в первую очередь перемещений точек средин-
срединной поверхности, т. е. в отыскании функций иг, и2 и до. Как и в
теории упругости, разрешающие уравнения в этом случае выво-
выводятся с таким расчетом, чтобы они выражали и условия равновесия
и условия совместности деформаций применительно к оболочке,
материал которой подчиняется закону Гука.
Схема вывода таких разрешающих уравнений, являющихся
аналогом уравнений Ламе в теории упругости, следующая: в урав-
уравнения равновесия A27), справедливые для оболочки, выполненной
из, материала с любыми физическими свойствами, вместо усилий-
Nlt Nz, S и моментов Мх, М2 и Н подставляются их выражения
через параметры деформации согласно физическим уравнениям
A37). В результате такой подстановки получаются три уравнения
равновесия оболочки, выполненной из материала, подчиняющегося
закону Гука. Далее в полученные уравнения вместо параметров
деформации elf e2, o>, xlf x2 и т подставляются их выражения че-
через перемещения их, м2 и до согласно уравнениям A06)., имеющим
чисто геометрический характер. Использование уравнений A06)
гарантирует удовлетворение условиям совместности деформации
в срединном слое.
Таким юбразом, три уравнения относительно неизвестных функ-
функций «J, м2 и до, получаемые в результате поясненного выше вывода,
ш

представляют собой уравнения равновесия оболочки, выполненной
из материала, подчиняющегося закону Гука, автоматически гаран-
гарантирующие, кроме того, соблюдение совместности деформаций в
срединном слое. Этих уравнений достаточно * для разрешения про-
проблемы теории оболочек. Как и в предыдущем случае, обсуждаемая
здесь система разрешающих уравнений имеет восьмой порядок.
4. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
Рассмотрим случай, в котором кромка совпадает с координат-
координатной линией.2
В обеих схемах решенияпроблемы теории оболочек, рассмотрен-
рассмотренных в § 2 и 3, разрешающие системы уравнений имеют восьмой по-
порядок. При этом, вообще говоря, в каждой точке контура в случае
его наличия должны быть сформулированы четыре граничных ус-
условия.
Вместе с тем на кромке, совпадающей с координатной линией,
в общем случае имеется пять усилий и моментов. Например, если
кромка совмещена с линией аг = const, то такими являются Nlt
Slt Mlt #i, Qi- Однако противоречие между необходимым числом
граничных условий и имеющимся количеством усилий и моментов
на кромке преодолевается, так как последнее легко доводится с
пяти до четырех путем использования приближенного приема,
предложенного Кирхгофом применительно к пластинам. Для этого
достаточно ввести следующую',интерпретацию крутящего момента Нг.
Рассмотрим кромку оболочки и отметим на ней систему точек
d, С2, С3, . . . , находящихся на расстоянии ds2 одна от другой
(рис. 38, а). Пусть расстояния между этими точками делятся по-
пополам точками Dlt D2, . . . . В силу малости отрезка ds2 можно
не различать дуги и хорды (например, дугу C1D1C2 и хорду СхСг).
Если погонный крутящий момент в точке D, равен Ни то в точке
D2 он равен по величине Нг-\ -ds2. При этом величина крутя-
2
щего момента на участке QC2 есть Hxds2, а на участке С2С3 — есть
Нг-\ -ds2)ds2. Эти моменты можно представить в виде пар сил,
ds2 /
показанных на рис. 38, б.
Если произвести аналогичную операцию вдоль всей кромки,
то окажется, что распределенные по кромке крутящие моменты за-
заменены статически эквивалентными им силами, приложенными
в точках на границах участков (например, силы Hi и Ht H -d&t
в точке С2). Вместо этих сил рассмотрим статически эквивалент-
1 Разумеется, должны быть заданы н граничные условия.
2 Если такого совпадения нет, то граничные-условия получаются слож-
сложнее, чем обсуждаемые здесь.
112

ные им силы, из которых одну направим по нормали к контуру, а
другую по касательной к нему. Проектируя силы Н\ и Ht ^ -ds2
на нормаль п и на касательную I, получим:
ds,
Если разделить эти силы на длину отрезка DXD% = ds2r то найдем
соответствующие погонные силы —- и —.
ds2 R%
Рис. 38. К формулированию граничных условий
а — кромка оболочки; б — представление крутящих моментов
в виде пар сил
Таким образом, вместо распределенного по контуру крутящего
момента можно рассматривать слагаемое —-, присоединяемое к ве-
личине поперечной силы Qlt получая при этом обобщенную по-'
перечную силу
т1
и слагаемое HJR^, присоединяемое к величине сдвигающей силы
Slt получая при этом обобщенную сдвигающую силу
Н1
A46)
ИЗ

В результате вместо трех усилий и двух моментов Nlt Slt Qlt
Mlt Ht имеем три усилия и один момент1:
) *¦• A47)
К граничным условиям, в которых регламентируются величины
A47), нельзя присоединить ни одного дополнительного условия.
В частности, нельзя потребовать, чтобы на кромке крутящий мо-
момент равнялся нулю. Таким образом, в теории оболочек вследствие
ее приближенности нельзя добиться того, чтобы на краях оболочки
все силы и моменты принимали заданное значение.
Интересно отметить, что усилия A45) и A46) могут быть выра-
выражены через ранее введенные Н и-S. Для этого достаточно восполь-
воспользоваться формулами A24), A26) и пятым уравнением из системы
A21):
-
1дН1= 1 U д(А1Н) | д(А2Мг) дА,м\
А2 да? АХА2 \ да2 даг дщ 2/
Таким образом, усилия Slt S2, Нг, Н2 не входят самостоятельно
ни в уравнения, ни в граничные условия. Вместо них и в уравне-
уравнениях и в граничных условиях содержатся S и Н, вследствие чего
полностью оправдывается использование этих функций.
Если кромка оболочки at = const свободна, то граничные ус-,
ловия имеют вид:
(??) =0; А11 = 0; -
d(AtH) d(AtMl) дА2 м\_
йа dos da J
В случае абсолютной заделки кромки аг = const имеем гранич-
граничные условия
0 0
Аг
1 Если бы кромка не совпадала с координатной линией и направление
ее определялось нормалью vk кромке,- на ней возникали бы следующие по-
погонные усилия:
которые аналогичным описанному путем приводятся к четырем следующим:
dt
здесь / — направление, касательное к контуру, в рассматриваемой точке.
114

Наряду с отмеченными возможны различные иные варианты
закрепления кромки, в том числе и упругоподатливые,
Если координатные линии одного или обоих семейств являются
замкнутыми, например в цилиндрической или в сферической обо-
оболочках, то кромки, расположенной нормально к замкнутой коор-
координатной линии или вообще пересекающей ее, не имеется, и в та-
таком случае вместо граничных условий необходимо Сформулировать
условие периодичности функций (усилий, моментов, перемещений),
Рис. 39. Примеры оболочек, в которых вдоль координатных ли-
линий должны выполняться условия периодичности/
так как при полном обороте по замкнутой координатной линии при-
приходим в исходную точку срединной поверхности (рис. 39), в связи
с чем величины всех функций должны повторяться: это и есть ус-
условие периодичности.
5. СТАТИ КО-ГЕОМЕТРИИ ЕС КАЯ АНАЛОГИЯ ,
Сопоставляя уравнения равновесия A27) и соответствующие
уравнения совместности деформаций A19), обнаруживаем полную
аналогичность структуры их левых частей, называемую в теории
оболочек статико-геометрической аналогией. Левые части уравне-
уравнений A27) могут быть получены из левых частей соответствующих
уравнений A19) и, наоборот, если производить замену функций
по нижеприводимой схеме: ;
*2Н; т—— S..J
A49)
Если сопоставить формулы A24) и A26), с одной стороны, и
формулы A18) и A08) — с другой, то, кроме A49), получаем схему
замены функций:
#2;
A50)
115

Статико-геометрическая аналогия позволяет сделать следующий
вывод.1 Если задача однородна, т. е. qx = q2 = qn = 0, то, коль
скоро функции ех, е2, <а, и„ х2 и т, входящие в уравнения A19),
выражаются через три непрерывные функции их, иг и w, можно вы-
выразить и функции — М2, — Мх, 2Н, N2, Nx и — 5 через некото-
некоторые три непрерывные функции Ф1; Ф2 и Ф3. При этом формулы
для — М2, —Мх, 2#, N2, Nx и — 5 получатся аналогичными
формулам A06). Таким образом, имеем:
" и _ 1 дф1.1 1 ^1Л» I фз.
ЛгЛ2
1
М - 1
Л
2#=is JL
A д
дг 1 и # 1 ич-з SZL\
I дФ3
Ф,
А2 да?
A51)
_s= 1 /
А^А2 \
да
'з 1 дАх дФ3 1 дА2 дФ3\ .
Аг дог дах А2 dat да^}
R2
* Нетрудно убедиться, что, подставляя A51) в A27) и учитывая,
что 7ii q2 и qn приняты равными нулю, получаем тождественное
удовлетворение уравнениям -равновесия A27) наподобие того, как
подстановка A06) в A19) приводит к тождественному удовлетво-
удовлетворению уравнений A19). Статико-геометрическая аналогия может
быть распространена и на граничные условия, для чего последние
необходимо выразить через деформации.2
Функции Ф1г Ф2 и Ф3 по природе своей аналогичны функции
Эри в плоской задаче теории упругости. Так же как и в случае
плоской задачи, они находятся из условий совместности деформа-
деформаций. Для этого уравнения A19) нужно выразить через Фх, Ф2 и
Ф3, что достигается следующим образом.
Пользуясь зависимостями A39) и подставляя в них вместо уси-
усилий и моментов их выражения через функции Фх, Ф2 и Ф3, полу-
1 Нижеприводимый результат впервые был получен А. Л. Гольденвей-
Гольденвейзером (Уравнения теории оболочек; ПАШ, т. IV, вып. 2, 1940) и независимо
от него А. И. Лурье (Общая теория упругих тонких оболочек, ПЛШ, т. IV,
вып. 2, 1940). Если находить отдельно Ht и Н2, то, кроме трех функций Фь
Ф2 и Ф3, необходимо еще иметь и четвертую функцию Ф.
2 Это было выполнено К. Ф. Черных в его докторской диссертации.
См., например К- Ф. Черных. Линейная теория оболочек, ч. I, Об-
Общая теомя. Изд-во Ленинградского университета, 1962.
116

чаем формулы для параметров деформации в зависимости от Ф1(
Ф2 и Ф3. Далее остается полученные формулы подставить в урав-
уравнения совместности деформаций A19). Эти уравнения, выражен-
выраженные "через функции усилий и моментов1 Фи Ф2 и Ф3) аналогичны
уравнениям равновесия* выраженным через перемещения и1г и%
и w. Таким образом, практически оба пути решения проблемы тео-
теории оболочек в усилиях и в перемещениях сводятся к одной и той
же по структуре системе уравнений.
Наконец, заметим, что статико-геометрическая аналогия по-
позволила вдвое понизить порядок разрешающей системы дифферен-
дифференциальных уравнений теории оболочек 2 путем записи их в комплекс^
ной форме.
Кроме уже отмеченной аналогии между уравнениями равнове-
равновесия и уравнениями совместности деформаций в общей теории обо-
оболочек, статико-геометрическая аналогия позволяет при наличии
любой однородной (без свободных членов) зависимости
/ = 0, A52)
связывающей усилия, моменты, параметры деформации, функции
напряжений и составляющие смещения, утверждать существова-
существование другой двойственной по отношению к A52) зависимости
Ф = 0, ~ A53)
которую можно получить, если в A52) произвести замену величин
согласно схемам A49) и A50). Ниже неоднократно обнаруживается
такая же аналогия в разрешающих уравнениях (представленных
либо в перемещениях, либо в функциях напряжений) частных тео-
теорий — теорий пологих оболочек, теорий оболочек вращения и т. п..
По сути дела и в A52) и в A53) имеют место одни и те же математи-
математические факты.
Учитывая двойственность зависимостей A52) и A53),. можно
продолжить перечень замены функций, даваемый в A49) и A50).
В частности, нам понадобится схема замены еще двух функций.
Из первого и второго уравнений равновесия A21), полагая в них
9i = й* = °. найдем Qt и Q2:
да,! даг да2 да2 \ АХА2
q _nJdA дEИ) a(iM)
2
да2 да.! да2
1 Для краткости дальше будем называть их функциями напряжения.
2 В. В. Новожилов, используя статико-геометрическую аналогию, вы-
выполнил комплексное преобразование уравнений теории тонких оболочек,
снизившее порядок системы вдвое. См. В. В. Новожилов, Теория
тонких оболочек. Судпромгнз, 1951.
117

Если, пользуясь статико-геометрической аналогией, составить
выражения, соответствующие согласно A49) и A50) правым частям
формул для Qx и Q2, то получим:
г
I
Г Г Ч —
J
J
A , a(VU a (Mi) , алл
Коль скоро эти выражения зависят от параметров деформации,
сами они^гакже представляют собой некоторые параметры деформа-
' ций, обозначим их соответственно символами g2 и gx; тогда в до-
дополнение к A49) и A50):
/ это позволит нам записать, пользуясь статико-геометрической ана-
аналогией, уравнения совместности деформаций в форме, аналогичной
уравнениям равновесия A21):
1 г a (Mi) a (Mi) т> ал, мп | g2 =Q.
1 г а(т2л
, a (Mi) * 5^2
1 - i~S
da2 J /?2 /?i
1 f a (Mi) , d(<Mg) i » йЛ2 ЗЛЛ -. __n.
ji^a L оаг о«! oaj 002 J
1 Г д(е2Аь) 8@)^) ^ а dAi \-ь^дАЛ % =0'
j^a [ d«i dota дог tox J
6, О ТИПАХ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ОБОЛОЧЕК
R ЧАСТНЫХ СЛУЧАЯХ ТЕОРИИ
В зависимости от формы срединной поверхности, закона изме-
изменения толщин, характера закрепления и вида внешнего воздейст-
воздействия оболочка или часть оболочки могут находиться в трех различ-
различных характерных напряженных состояниях. В одном из них сов-
совместно возникают так называемые мембранные или цепные напря-
окения, связанные с усилиями NltN2 и 5, и так называемые изгиб-
ные напряоюения, связанные с моментами М1г М2 и Н а с сопутст-
сопутствующими им силами Qx и Q2; при этом оба типа напряжений полу-
получаются одного порядка величины; такое напряженное состояние,
следуя В. В. Новожилову, можно назвать смешанным.
Второй тип напряженного состояния характерен тем, что на-
напряжения от усилий намного превышают напряжения от моментов;
такое напряженное состояние условно можно назвать безмомент-
118

ным. В редчайших случаях напряженное состояние может быть
строго безмоментным.
Наконец, третий тип напряженного состояния характеризуется
тем, что напряжения от усилий намного меньше напряжений от
моментов. Такое напряженное состояние можно условно назвать
чисто моментным или изгибным.
Наиболее выгодным для работы оболочки является безмомент-
ное состояние. К нему, как правило, и стремятся, придавая обо-
оболочке соответствующую форму и закрепляя ее надлежащим обра-
образом. Поэтому изучение безмоментного состояния (выявление усло-
условий, при которых:оно возможно, и отыскание усилий при наличии
этих условий) представляет значительный практический интерес.
Соответствующая теория носит название безмоментной теории обо-
оболочек в отличие от общей теории оболочек.
Изучение безмоментного напряженного состояния является
весьма важным еще и потому, что в ряде случаев напряженное
состояние оболочки при его анализе удается разбить на два слагае-
слагаемых — безмоментное напряженное состояние и так называемый
«краевой эффект».1 «Краевой эффект» представляет собой смешан-
смешанное напряженное состояние, локализованное в небольшой области,
примыкающей к той или иной линии (линии искажения) в средин-
срединной поверхности оболочки. Этой линией может быть: край оболочки
(отсюда и появился термин); линия, на которой скачком изменяется
радиус кривизны оболочки или ее толщина; линия присоединения
подкрепляющего ребра; линия, совпадающая с местом изменения
характера нагрузки, и т. п. Быстрое затухание напряжений сме-
смешанного типа во всех указанных случаях в направлении, ортого-
1 Краевой эффект — это специфическое явление, обнаруживаемое лишь
в тонких оболочках. Он обусловлен двумя факторами — искривленностью
срединной поверхности и малостью толщины оболочки.
Искривленность срединной поверхности оболочки является причиной
того, что внешние моменты и силы, плоскости и линии действия которых нор-
нормальны к срединной поверхности, уравновешиваются не только изгибающими
и крутящими моментами и поперечными силами, ио и тангенциальными (мемг
бранными) силами.
Малость же толщины оболочки приводит к следующему. Согласно фор-
формуле A43') посредством моментов накапливается значительно ббльшее ко-
количество" потенциальной энергии, чем посредством тангенциальных усилий
[малая величииа"Л находится в A43')^в знаменателе, ио в члене, соответст-
соответствующем моментам, в третьей степени, "а в члене, соответствующем тангенци-
тангенциальным усилиям*— в первой степени]. Поэтому при удалении от той области,
где внешние причины вызывают появление изгибающих моментов и попереч-
поперечных сил, вследствие принципа минимума потенциальной энергии, должны
затухать интенсивности моментов и поперечных сил, разумеется, если при
этом выполнимы условия статики.
Вопрос этот, как и относительный размер области затухания краевых
эффектов, был проанализирован А. Л. Гольденвейзером (Теория упругих
тонких оболочек. Гостехтеориздат, М., 1953, гл. 11). В случае достаточно
тонких оболочек отмеченный относительный размер составляет десятые доли
радиуса срединной поверхности оболочки. В общем же на скорость зат^уха-
иия краевого эффекта существенно влияет степень искривленности линии
искажения. Пояснение последнего термина дано в гл. 8.
119

нальном линии искажения, является отличительной особенностью
оболочек.
Упрощение теории оболочек возможно не только путем разбие-
разбиения напряжённого состояния на безмоментное и краевой эффект.
В некоторых типичных случаях в зависимости от формы оболочки
удается внести существенное упрощение за счет схематизации внут-
внутренней геометрии срединной поверхности, в частности за счет при-
принятия этой геометрии такой же, как на плоскости. Соответствую-
Соответствующая теория называется теорией пологих оболочек. В последующих
главах как безмоментная теория, так и теория пологих оболочек
рассматриваются подробнее.
РЕЗЮМЕ ГЛ. 6
1. Использование геометрических A06), A19), статических
A27) и физических A37) или A39) уравнений позволяет вывести
две системы разрешающих уравнений, каждая из которых разре-
разрешает проблему теории оболочек.
2. Одним из путей решения проблемы теории оболочек является
путь непосредственного определения усилий и моментов (этот путь,
носящий название решения в усилиях и моментах, ^аналогичен пути
непосредственного определения напряжений в теории упругости).
Разрешающая система уравнений состоит из трех уравнений рав-
равновесия A27) и трех уравнений совместности деформаций A44),
выраженных через усилия и моменты.
Три уравнения A44) по своей природе аналогичны шести урав-
уравнениям Бельтрами в теории упругости. Уравнения A44) получаются
из уравнений совместности деформаций A19), выраженных через
параметры деформации, путем подстановки в них вместо ez, е2, со,
к1( х8 ит соответствующих выражений через Nlt N2, S, Mlt M2
и Я согласно физическим уравнениям A39). Следовательно, в раз-
разрешающих уравнениях A27) и A44) отражены" все три стороны
проблемы: геометрическая, статическая и физическая. Разрешаю-
Разрешающая система при таком пути решения проблемы теории оболочек
содержит шесть уравнений относительно Nl7 N2, S, М1з М2 и Я;
порядок этой системы восьмой.
3. Другим путем решения проблемы теория оболочек является
путь непосредственного определения перемещений. Разрешающая
система уравнений Состоит из трех уравнений равновесия оболочки,
справедливых при использовании материала, подчиняющегося за-
закону Гука, и гарантирующих совместность деформаций. Эта си-
система разрешающих уравнений (аналогичная по природе уравне-
уравнениям Ламе в теории упругости), так же как и рассмотренная выше,
имеет восьмой порядок.
Соответствующий путь решения проблемы теории оболочек
называется решением в перемещениях.
4. Поскольку разрешающими системами уравнений теории обо-
оболочек являются системы дифференциальных уравнений, для ко-
120

торых решается краевая задача, необходимо сформулировать и
использовать граничные условия для искомых функций. В силу
того, что каждая из разрешающих систем уравнений теории оболо-
оболочек имеет восьмой порядок, в каждой точке контура оболочки,
если такой имеется, должны быть четыре граничных условия.
Вместе с тем в каждой точке контура имеется пять усилий
и моментов.
Для согласования числа функций с числом необходимых гра-
граничных условий производится замена, например на контуре ах =
= const, крутящего момента Нх статически эквивалентными ему
сдвигающей (#х/#2) и поперечной (d#x/ds2) силами. Суммы HJR2+
4- 5Х и d#x/ds2 -Ь Qi называются обобщенной сдвигающей и обоб-
обобщенной поперечной силами. В результате, вместо трех усилий Nlt
Sx и Qi и двух моментов Mlt #х в каждой точке контура получаются
три усилия: NtJ 52 + —; Qx~\ и один момент Мг. Усилия
тт rif-f
St-\—г и QxH могут быть выражены через S и Н [фор-
мулы A48)].
Таким образом, усилия Slt H:1 и S2, #2 входят не только
в дифференциальные уравнения, но и в граничные условия в виде
линейных комбинаций, обозначенных через S и Н, что полностью
оправдывает использование этих функций.
5. Если граничные условия выражены лишь через усилия и
моменты, то эти условия называются статическими, если через
перемещения,— кинематическими, наконец, если и через усилия
и моменты и через перемещения,— смешанными.
6. Если линии одного из семейств (или обоих семейств) коор-
координатных линий представляют собой замкнутые кривые (например,
в цилиндрической или сферической оболочке), то кромки, распо-
расположенной нормально к этим линиям или пересекающей их, не су-
существует, и вместо граничных условий формулируются условия
периодичности функций в связи с повторением значений функции
при полном обороте по замкнутой координатной линии.
7. Левые части уравнений A27) и соответствующих по номеру
уравнений совместности деформации A19) в отношении структуры
полностью аналогичны. При этой аналогии имеет место соответст-
соответствие величин:
8]*-*—Ма; еа«——Afx; «о—-*2Н;
«!—»#2; х2~—#ь т*-*—S.
Кроме того, имеется аналогия между формулами A24) и A26),
с одной стороны, и между формулами A18) и A08) — с другой, со-
согласно чему обнаруживается следующее соответствие функций:
%¦—*#a'i Юа-"T#i'i Ti*——52; т2«—¦—Sv
Эта закономерность носит название статико-геояетрической ана-
аналогии. Она позволяет сделать вывод, что при qt = q2 = qn — 0
* 121

существуют зависимости, в которых функции —Мг, —Mlt 2#,
N2, N1 и S выражаются через три непрерывные функции Фх, Ф2
и Ф3, так же как функции е1( е2, о, и1; х,ит выражаются через
ult ы2 и w.
Функции Ф1Г Ф2 и Ф3 называются функциями напряжений;
они аналогичны функции Эри в плоской задаче теории упругости.
При наличии любой однородной (без свободных членов) зави-
зависимости
/ = 0,
связывающей усилия, моменты, параметры деформации, функции
напряжений и составляющие смещения, существует другая зави-
зависимость:
Ф = О,
которую можно получить" путем замены в / величин согласно при-
приведенной выше схеме соответствия функций.
8. Если напряжения, соответствующие Mlt M2 и Н, равны
нулю, то напряженное состояние оболочки называется безмомент-
ным. В этом случае равны нулю и напряжения т12, т23 соответст-
соответствующие Qlt Qa. Неравные нулю напряжения, соответствующие
ненулевым Nlt N2 и 5, называются мембранными или цепными.
Если напряжения, соответствующие Nt, N2 и 5, равны нулю,
а неравные нулю напряжения соответствуют Mlt M2 и Н, то на-
напряженное состояние называется чисто моментным или изгибным.
В тех случаях, когда в одной и той же области имеются- отлич-
отличные от нуля и цепные и изгибные напряжения, напряженное со-
состояние называется смешанным.
9. Наиболее выгодным является безмоментное состояние. Если
моментные напряжения не равны нулю, но намного меньше мем-
мембранных, то с определенной погрешностью напряженное состояние
также можно считать безмоментным.
10. В ряде случаев поле напряжений оболочки таково (это спе-
специфическая особенность главны^ образом оболочек), что его можно
представить как сумму полей безмоментного напряженного состоя-,
ния и так называемого краевого эффекта, быстро затухающего при
удалении от некоторой линии (в частности, от контура или иначе —
края, откуда и термин). -
Затухание краевого эффекта происходит в пределах полосы ши-
шириной порядка нескольких толщин оболочки.1
Линией, вблизи которой имеет место максимум напряжений крае-
краевого эффекта, кроме контура, может быть:' линия излома средин-
1 Интересно отметить, что если напряжения, приложенные к кромке
оболочки, самоуравиовешеиы в пределах толщины последней (рис. 40), то
напряжения затухают иа расстоянии от кромки намного меньшем толщины
оболочки. В данном случае затухающая система напряжений называется
системой типа пограничного слоя. Разумеется, такая система может быть
найдена лишь средствами теории трехмерной задачи, но ие в рамках техниче-
технической теории оболочек.
122 '

ной поверхности; линия, на которой скачком изменяется кривизна
срединной поверхности или толщина оболочки; линия, вдоль ко-
которой к оболочке прикреплено ребро; линия, совпадающая с ме-
местом изменения характера нагрузки, и т. п. Все такие линии назы-
называются линиями искажения. При удовлетворении срединной по-
поверхностью оболочки некоторым условиям (см. гл. 8) быстрое за-
затухание изгибных напряжений происходит и при удалении в лю-
любом направлении от сосредоточенной силы или от малой площадки
срединной поверхности, на которую действует распределенная на-
нагрузка. Локальность изгибного моментного эффекта такой нагрузки
краевым эффектом обычно не называют.
Рис. 40. Цилиндрическая оболочка, загруженная на торце системой
самоуравновешекных сил
Глава седьмая
ВОПРОСЫ ОБЩЕЙ ОЦЕНКИ ЛИНЕЙНЫХ ТЕОРИЙ
ОБОЛОЧЕК ПЕРВОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ
1. ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Выше, в гл. 3—5, была получена полная 'система уравнений ли-
линейной теории оболочек первого приближения, а в гл. 6 обсужден
вопрос о путях решения этой системы; причем были приведены
так называемые разрешающие системы уравнений. Все эти уравне-
уравнения составляют вариант линейной теории оболочек первого при-
приближения, изложенный в упомянутой книге В. В. Новожилова.
Следует обратить внимание на весьма существенный факт, состоя-
состоящий в том, что наряду с этим вариантом имеется ряд других линей-
линейных теорий оболочек первого приближения.
Вариантность теории при одних и тех же или, во всяком слу-
случае, эквивалентных исходных положениях объясняется тем, что
выбор параметров (функций координат точек срединной поверх-
поверхности), характеризующих напряженно-деформированное состоя-
123

ние, может в определенной мере выполняться по усмотрению ав-
автора той или иной теории.
Второй источник вариантности теорий — сохранение или не^
сохранение их авторами в уравнениях тех или иных членов.
Отсутствие общепринятой и универсальной формы теории по-
порождает ряд неудобств и неясностей. Настоящая глава преследует
цель обсудить некоторые вопросы точности и универсальности тео-
теории. В § 2 данной главы рассматривается вопрос о точности, свя-
связанной с сохранением или несохранением тех или иных членов
в уравнениях, а в § 3 — вопрос о выборе оптимального варианта
параметров, характеризующих напряженно-деформированное со-
состояние оболочек.
2. О ВНУТРЕННЕЙ СОГЛАСОВАННОСТИ ОБЩЕЙ
ТЕХНИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ТОНКИХ УПРУГИХ ОБОЛОЧЕК
Как указывалось в первой главе, погрешность, обусловленная
допущениями технической теории оболочек, или, иначе, теории
оболочек первого приближения, имеет величину порядка hIR по
сравнению с единицей (В. В. Новожилов и Р. М. Финкельштейн,
1943 г.). Разумеется, численные результаты при правильном сохра-
сохранении количества значащих цифр при использовании любого ва-~
рианта уравнений теории оболочек, полученных на основе одних
и тех же гипотез, одинаковы. Однако степень сложности уравнений
в различных вариантах различна, так как в некоторых из них со-
содержатся члены, усложняющие, но не уточняющие уравнения.
Вопрос о внутренней согласованности, или, иными словами,
о последовательности любой приближенной теории, весьма важен.
Под последовательностью здесь понимается соответствие степени
точности уравнений, описывающих проблему, степени точности,
обусловленной гипотезами, которые положены в основу прибли-
приближенной теории.
Проблема внутренней согласованности общей технической тео-
теории оболочек обсуждена в статьях В. Т. Койтера.1 Поясним основ-
основные результаты анализа, выполненного этим автором. Напомним,.
что общую техническую теорию оболочек, в которой пренебрегают
величинами порядка h/R по сравнению с единицей, называют пер-
первым приближением общей теории тонких упругих оболочек как в слу-
случае линейной, так и нелинейной в геометрическом смысле теории.
В. Т. Койтер показал, что общая теория тонких упругих оболо-
оболочек, согласующаяся с первым приближением и справедливая для
1 W. Т. К о i t е г, A consistent first approximation in the general
theory of thin elastic shells. Part 1., Foundations and linear theory. Report of
Laboratory of Applied Mechanics. Delft E th August 1959).
W. Т. К о i t e r. A consistent first approximation in the general theory
of thin elastic shells. International Union of Theoretical and Applied Mecha-
Mechanics (IUTAM). Proceedings of the Symposium on the theory of thin elastic
shells (Delft, 24—28 august, 1959). Edited by W. T. Koiter. Technological
University. Delft, 1960, North-Holland Publishing Company. Amsterdam.
124

прогибов любой величины (в предположении, что деформации ос-
остаются малыми), может быть основана на приближенном выраже-
выражении Лява для энергии деформации,1 которое выводится на основе
трех следующих предположений:
1) оболочка тонка в любой точке срединной поверхности
[- <1; R — наименьший из радиусов главных кривизн неде-
\ inf | /? |
формированной оболочки);
2) деформации всюду малы (перемещения же w могут быть боль-
большими) и энергия деформации, отнесенная к единице недеформиро-
ванного объема, задается в виде квадратичной функции компонен-
компонентов деформации изотропного упругого теЛа (т. е. для материала
оболочки справедлив закон Гука);
3) напряженное состояние во всем объеме оболочки — прибли-
приближенно-плоское: в формуле для удельной потенциальной энергии
деформации пренебрегается эффектом поперечных касательных
(tZJCi и rZXa) и поперечного нормального (аг) напряжений, дейст-
действующих на поверхностях, эквидистантных по отношению к средин-
срединной. Следует заметить, что эти предположения эквивалентны ра-
ранее приводившимся гипотезам Кирхгофа—Лява.
Формула Лява для потенциальной энергии деформации полу-
получается при использовании приведенных выше трех предположений
(гипотез), если пренебречь рядом членов. В. Т. Койтер приводит
шесть таких членов и показывает, что порядок величин каждого
/i2 h2
из них меньше, чем —?/.,, или меньше — Ue. Сохранение таких
членов в формуле для U при получении уравнений теории оболо-
оболочек вариационным путем представляет собой лишь кажущееся
уточнение теории. Пример такого построения теории можно найти
в статье Дж. X. Хейвуда и Л. Б. Вильсона.2 Аналогичное кажу-
кажущееся уточнение теории выполняется и некоторыми авторами, не
использовавшими вариационного пути для получения уравнений
теории оболочек. Обнаруживается это, в частности, при рассмотре-
рассмотрении формул для изменения кривизн, о чем говорится ниже.
Известен ряд теорий, называемых теориями оболочек и пластин
средней толщины, построенных на более строгой основе, чем гипо-
гипотезы Кирхгофа—Лява, т. е. на основе, позволяющей получить бо-
более высокое, чем первое, приближение. В этих теориях учиты-
учитываются rZXl, rZXi и аг. Разумеется, в теории оболочек средней тол-
толщины необходимо сохранять соответствующие им доли в общем вы-
выражении для энергии деформации. Однако это выходит за рамки
настоящей книги, полностью посвященной теории первого прибли-
приближения.
1 Имеется в виду вариационный метод получения уравнений теории
оболочек.
2 J. H. Haywood and L. В. Wilson. The strain-energy expres-
expression for thin elastic shells. J. Appl. Mech., 25, 546, 1958. (см. также дискуссию
в J. Appl. Mech., 26, 315, 1959).
125

Из того факта, что формуле Лява A43) присуща ошибка того же
порядка величины, как порядок величины опущенных членов",
'В. Т. Койтер делает заключение, что точность.формулы Лява не
зависит от добавление или удаления некоторых членов такого типа.
В частности, поэтому допустимо добавлять к выражениям для хх,
х2 и т члены типа e/R, умноженные на числовой коэффициент не
превышающий существенно единицы. Такая свобода позволяет:
1) сопоставлять формулы для хх, х2 и т в разных теориях, ос-
основанных на гипотезах Кирхгофа—Лява;
- 2) упрощать формулы для хх, х2 и т путем прибавления к ним
или путем изъятия из них членов типа e/R.
Приведенные соображения В. Т. Койтера не всегда справедливы.
Можно отметить такие частные случаи, в которых поправки, вы-
вытекающие из сохранения отмечеИных выше членов, имеют порядок
меньший, чем hlR. Таким образом, члены, являющиеся дополни-
дополнительными к выражению Лява для энергии деформации, в одних слу-
случаях могут оказаться _больше погрешности, обусловленной исход-
исходными гипотезами, и тогда их следует сохранять, а в других случаях —
меньше указанной, погрешности, и тогда их надо отбрасывать.
В качестве конкретного примера в этой области отметим инте-
интересное исследование, выполненное В. М. Даревским1 примени-
применительно к оболочке частного вида — круговой замкнутой цилиндри-
цилиндрической оболочке. Рассмотрены два варианта записи физических
уравнений 2 и соответственно два варианта разрешающего уравне-
1 В. М. Д а р е в с к и й. Об основных соотношениях теории тонких
оболочек. ПММ, т. XXV, № 3, 1961.
2 Физические зависимости имеют следующий вид:
Первый вариант
Eh
12Я V R
Eh
2A
-foci)];
12
12A-Ц»)
h
24(l+|x)
Второй вариант
Ni = — (H
1a
— как и в первом варианте;
Eh*
12A-|
= как и в первом варианте.
A 2)
126

ния.1 В одном из этих вариантов члены О (h/R) удерживаются, а
в другом — отбрасываются. Если при этом имеется в виду2 еле-
дующая нагрузка: ^ = ^ C|а_6_ ^ cos 2Ь
и граничные условия на торцах3 при | = — =± :
Н 2
t = [6 A - |
+ -j A - \i) G + ц)] Rq0 cos 2fl,
= =F 6 A — \i) ^ sin 2^,
4*
= ±12A —ц) ^
Разрешающее уравнение имеет следующий вид:
Первый вариант
Второй вариант
а8Ф
а|8"
а8Ф
х
а«Ф
а|*аа2
абФ
а|2аа*
+ [8 + 3A-fi)P]X
а*Ф
12Я2
2 дс — расстояние в направлении, параллельном оси цилиндрической
срединной поверхности, от плоскости, делящей длину, цилиндра /
пополам;
R — радиус срединной цилиндрической поверхности.
9 qn и граничные условия выбраны таким образом* чтобы в соответст-
соответствующем решении первого варианта уравнения исчезал бы член
127

то на основе обоих отмеченных выше вариантов получаются прак
тически одинаковые результаты, для напряженного состояния и
для перемещения ы1( но разные для перемещений и2 и до, являю-
являющиеся величинами того же порядка, как и иг. При l^2]/r2R и
ц = 0,3 различие в максимальном абсолютном значении до|5„0 до-
достигает 5%. По этому поводу В. М. Даревский пишет: «хотя это
расхождение нельзя назвать большим, но важно, что оно не зави-
зависит от hlR, в этом смысле оно является существенным. В этой же
статье приводятся и другие аналогичные примеры.
На наш взгляд, наиболее строгой оценкой последовательности
любой теории оболочек первого приближения является сопостав-
сопоставление результатов, получаемых на ее основе, с результатами трех-
трехмерной теории.
Удовлетворение требованию сходимости является принципи-
принципиально важным. Правомочность теории оболочек обеспечивается
в случае, если она дает решение, стремящееся к тому, которое по-
получается на основе трехмерной теории при устремлении толщины
оболочки к нулю.
3. О ТЕНЗОРНОЙ ФОРМЕ УРАВНЕНИЙ И О ВЫБОРЕ
ПАРАМЕТРОВ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО
СОСТОЯНИЯ ОБОЛОЧЕК '
Природа всех объектов в теории оболочек тензорная. Действи-
Действительно, недеформированная срединная поверхность с точностью
до положения в пространстве определяется двумя тензорами —
метрическим и тензором кривизн, обеспечивающими удовлетворе-
удовлетворение условиям Кодацци—Гаусса. Деформированная оболочка, при
учете гипотезы о прямолинейной нормали элемента, определяется
характером деформации срединной поверхности. Деформированная
срединная поверхность, при условии задания недеформированной,
определяется вектором перемещения или, по-другому„— двумя
тензорами — метрическим и кривизн деформированной срединной
поверхности Gap, Sap. Тензорную природу имеют деформации
[как тангенциальная (мембранная) так и изгибная ] Еа$, /Cag и
напряжения или выражаемые через них погонные тангенциальные-
мембранные) усилия и моменты Na^, Ma(i. Наконец, упругие свой-
свойства (упругие податливости или упругие жесткости) также имеют
тензорную природу.
Вполне естественно поэтому представлять все уравнения теории
оболочек в тензорной форме. Такая форма уравнений делает обо-
обозримее все промежуточные преобразования при выводе или моди-
с большим параметром Р ; тогда в разрешающих уравнениях
первого и второго вариантов имеет место существенное различие
в некоторых членах с шестыми и четвертыми производными, вле-
влекущее за собой и ощутимое различие в решениях этих уравне-
уравнений.
128

фикации уравнений, вследствие чего к ней последние годы прибе-
прибегают все чаще; она сохраняется неизменной в любой системе криво-
криволинейных координат, используемых в срединной поверхности обо-
оболочек произвольной формы, и в этом ее большое достоинство. Вме-
Вместе с тем в любой частной системе криволинейных координат не
представляет особогр труда переход от тензорной формы уравнений
к развернутой. Отметим важное обстоятельство — не всякая раз-
развернутая форма уравнений допускает возможность перехода к тен-
тензорной.
Б. Будянский и Дж. Л. Сандерс,1 используя тензорный аппарат
в уравнениях теории оболочек, осветили вопрос о выборе парамет-
параметров "напряженно-деформированного состояния, от которого зависит
форма уравнений, показали в определенном смысле «лучший» ва-
вариант и оценили с этой точки зрения вариант, изложенный в моно-
монографии В. В. Новожилова и принятый в настоящей книге.
При построении теории оболочек, о чем уже говорилось в гл. 4,
обращает на себя внимание то, что при непосредственном использо-
использовании тензоров мембранных усилий Na^ и моментов Л4аР из-за их
несимметричности нарушается равенство числа параметров дефор-
деформации и параметров напряжений (усилий и моментов), обычное
для теорий механики твердого деформируемого тела. Действительно,
при шести параметрах деформации, которыми являются компоненты
двух симметричных тензоров Еа$ и Ка$, имеется восемь парамет-
параметров усилий и моментов — компонент двух несимметричных тензо-
тензоров #аР и 7ИаР.
Компоненты тензора ?ор имеют природу удлинений и сдвига,
тензора /<"ар — изменений кривизн и кручения, тензора #"р —
нормальных и сдвигающих сил и тензора Ма^ — изгибающих и
крутящих моментов. Будем называть такие тензоры элементарными
параметрами. Заметим, что напряженно-деформированное состоя-
состояние оболочки можно определять не обязательно элементарными
тензорами-параметрами. Эту роль могут играть, вообще говоря,
и линейные их комбинации, которые будем называть модифициро-
модифицированными параметрами.
Б. Будянский и Дж. Л. Сандерс приводят вариант выбора мо-
модифицированных тензоров-параметров тангенциальных усилий и
моментов:
который обеспечивает их симметричность и тем самым устраняет
противоречие, обусловленное различием числа параметров дефор-
деформации и тангенциальных усилий и моментов, имеющееся, как от-
1 В. Budiansky and J. L. Sanders. On the «best» first order
shell theory. Progress in applied mechanics (The Prager Anniversary Volume),
Macmillan Co, 1963.
5 Заказ Ns 1753 "* 129

мечалось, при использовании тензоров элементарных параметров.
В гл. 4 была показана аналогичная операция уменьшения числа
параметров тангенциальных усилий и моментов, выполненная
А. И. Лурье и В. В. Новожиловым, но не в тензорной форме и спра-
справедливая лишь в главных координатах.
- Авторы упомянутой в настоящем параграфе статьи, составив
выражения для возможной работы как внутренних, так и внешних
сил, показали, что при этом соблюдаются вариационные принципы
и теоремы взаимности, и доказали теорему единственности решения.
Далее эти авторы ставят перед собой цель за счет еще одной мо-
модификации параметров напряженно-деформированного состояния
удовлетворить не только условию симметрии модифицирован-
модифицированных тензоров тангенциальных усилий и моментов и всем энергети-
энергетическим требованиям механики твердого деформируемого тела, но
и обеспечить статико-геометрическую аналогию в тензорном пред-
представлении. С этой целью от результатов первой модификации, т. е.
от тензоров ?ар, Ка$, М°^, Na&, переходят после преобразований
к некоторой новой системе модифицированных тензорных парамет-
параметров ?ар, /Сор, Мар, Л^ар. Сопоставляя полученную форму уравне-
уравнений, в которые входят тензоры ?ор, Ка$> Ма^, //ар, с уравнениями,
представленными в книге В. В. Новожилова, л оценивая последние
с позиций В. Т. Койтера, авторы приходят к следующему выводу.
Теория оболочек, изложенная в монографии В. В. Новожилова
(использованная и в настоящей книге), согласуется с вариацион-
вариационными энергетическими принципами и теоремами взаимности, при-
причем принятые в ней параметры «допустимы» в понимании В. Т. Кой-
Койтера, но от уравнений, отнесенных к линиям главных кривизн,
представленных в упомянутой монографии, не может быть осущест-
осуществлен переход к уравнениям в тензорной форме в общих координа-
координатах для произвольной оболочки. В частности, и в статико-геомет-
рической аналогии в этой монографии должны иметься в виду не-
тензбрные мембранные усилия и моменты.

Раздел III
УПРОЩЕННЫЕ ВАРИАНТЫ ТЕОРИЙ
Глава восьмая
БЕЗМОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ ОБОЛОЧЕК х
ПРОИЗВОЛЬНОГО ВИДА
1. ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Безмоментная теория оболочек представляет собой упрощенный
вариант общей теории, в котором пренебрегается влиянием изги-
изгибающих и крутящих моментов и поперечных сил на напряженно-
деформированное состояние. В некоторых очень немногочислен-
немногочисленных случаях безмоментная теория описывает напряженно-деформи-
напряженно-деформированное состояние оболочки точно, так как и моменты и силы,
указанные выше, равны нулю. Оболочки, находящиеся в таком
напряженном состоянии, называются безмоментными (например,
полая сферическая оболочка, находящаяся под действием внутрен-
внутреннего или внешнего равномерных давлений). Возможность существо-
существования безмоментного напряженного состояния оболочки опреде-
определяется формой ее срединной поверхности, характером силового
воздействия, в том числе на контуре, и характером закрепления
оболочки на контуре.
В ряде случаев напряженно-деформированное состояние таково,
что изгибающие и крутящие моменты локализуются в непосредст-
непосредственной близости от краев оболочки (краевой эффект) или иных
линий в срединной поверхности, называемых линиями искажения,
а в остальной части оболочки имеет место практически безмомент-
ное напряженное состояние. В этих случаях представляется воз-
возможным изображать напряженно-деформированное состояние в
виде суммы двух слагаемых — безмоментного и краевого эффекта.
При этом безмоментная теория позволяет найти первое слагаемое.
Таким образом, безмоментная теория — это аппарат, который
в одних случаях дает строгое (в понимании технической теории)
описание, в других — достаточно хорошее приближенное описание
напряженно-деформированного состояния оболочек. В ряде слу-
случаев безмоментная теория не применима вовсе. -
/ 2. УРАВНЕНИЯ
Уравнения безмоментной теории получим как частный случай
уравнений общей теории при условии равенства нулю моментов
М1( Ма и Н.
5* . .131

Можно полагать, как отмечалось выше, что безмоментная тео-
теория применяется и в том случае, когда моментные (изгибные) на-
напряжений, соответствующие Мх, Мг и Н, намного меньше мембран-
мембранных (цепных), соответствующих Nlt Nz и S. В частности, очень
гибкие оболочки (мембраны) способны сопротивляться лишь ра-
растяжению и сдвигу.
Итак, при построении безмоментной теории оболочек будем
иметь в виду: м, = М,-0; 1
Из A54), учитывая A26), имеем:
Я = 0; Ф = 0.
Последние три уравнения равновесия из системы A21) приобре-
таютвид: Q> = ^ = Q; ^ = ^ = s
Тогда первые три уравнения равновесия A21) записываются так:
i (- о — iv i ——
001,1 OO-i О&.2
A55)
Получили три уравнения равновесия с тремя неизвестными функ-
функциями Nx, N2 и S. При строгом решении проблемы (если она ре-
решается в усилиях) к этим уравнениям следовало бы присоединить
три уравнения совместности деформаций, выраженные через уси-
усилия. Применительно к безмоментной теории уравнения A44) при-
приобретают вид:
132

Однако при таком подходе к проблеме сложность ее-все же оста-
оставалась бы очень большой. Поэтому вносят следующее упрощение:
не принимают во внимание условия совместности деформаций и,
используя то обстоятельство, что число уравнений равновесия
равно числу искомых функций, находят решение из одних урав-
уравнений равновесия. Разумеется, неиспользование уравнений сов-
совместности деформаций вносит искажение в отыскиваемое решение
по сравнению с действительным решением проблемы безмомент-
ной теории оболочек, так как совместность деформаций в средин^
ной поверхности оказывается нарушенной; однако с таким не-
несовершенством примиряются. При этом следует все же иметь в
виду, что нарушения совместности деформаций тем значительнее,
чем резче неоднородность кривизн срединной поверхности обо-
оболочки, чем резче изменяются толщина оболочки и нагрузка. В ча-
частности, безмоментная теория не дает возможности установить
характер напряженного состояния при воздействии сосредоточен-
сосредоточенных сил, во всяком случае в окрестности точек их приложения,
а эти-то области и представляют наибольший интерес при расчете,
так как они наиболее напряжены.
Итак, учитывая одинаковость числа уравнений равновесия
A55) и числа неизвестных функций, можно говорить о статической
определимости в малом х усилий в безмоментных оболочках. Однако
безмоментная оболочка в целом, т. е. относительно реакций опор-
опорных закреплений, может оказаться и статически неопределимой.
Картина эта полностью аналогична наблюдаемой в теории стерж-
стержней. Действительно, в малом усилия в стержне всегда статически
определимы: они могут быть найдены из дифференциальных зави-
зависимостей (уравнений равновесия), связывающих их с нагрузкой
и между собой. Однако в целом стержень может быть закреплен
так, что усилия в нем оказываются статически неопределимыми.
Предположим, что закрепление оболочки в целом таково, что
систему A55) удалось решить (о граничных условиях говорится
ниже), т. е. удалось найти функции Nlt N2 и S. Тогда, используя
A06) и A39), получаем уравнения для отыскания перемещений:
dui , 1- дАг , w 1
dat AiA2 да2 fli Eh
ди* 1 дА2 , w 1 / .г »т ,
L + JU + (^^y A56)
Eh
= 2D-
Eh
1 Статическая определимость усилий в малом — это статическая опреде-
определимость усилий при рассмотрении бесконечно малого элемента оболочки.
При этом имеется в виду, что рассматривается любой бесконечно малый эле-
элемент, кроме примыкающих к контуру.
133

Если представить решение системы в форме
«i = «i,p + «i0; «s = «s4p+«2o; w-w4f+w0',
где первые слагаемые являются каким-либо частным решением
системы неоднородных уравнений, а вторые составляют общее
решение системы однородных уравнений,1— становится ясным,
что общее решение и10, ы20, ш0 имеет место при отсутствии в оболочке
растяжения (сжатия) и сдвигов. Такое состояние мыслимо лишь
в случае, если и1о, ы20 и ш0 описывают жесткое перемещение и (или)
перемещения чистого изгиба. Разумеется, что только в том случае
неабсолютно гибкая оболочка может работать как безмоментная,
если перемещения чистого изгиба в ней устранены, так как иначе
возникает противоречие — отсутствие моментов при наличии чисто
изгибной деформации. Если же оболочка абсолютна гибка, то в ней
изгибная деформация не сопровождается возникновением изги-
изгибающих моментов, но в таком случае имеет место изменяемость
системы, не позволяющая говорить о сопротивляемости ее на-
нагрузке.
Таким образом, для обеспечения безмоментности работы обо-
оболочки необходимо посредством обеспечения соответствующих гра-
граничных условий, создаваемых определенными закреплениями, пре-
предотвратить в ней возможность появления чисто изгибной деформа-
деформации. '
3. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
Установим необходимое число граничных условий. Для
этого рассмотрим, какой порядок имеют системы уравнений отно-
относительно усилий и перемещений. Система уравнений равновесия
A55) имеет второй порядок, следовательно, при( ее решении
достаточно иметь одно граничное условие в каждой точке кон-
контура и, так как отыскание функций Nlt N2 и S не сопровождается
отысканием перемещений, это условие должно быть выражено
в усилиях. Учитывая то, что в безмоментной оболочке
& = Q2 = М1 = М2 = Н1 = Я2 = О,
заключаем, что и на контуре оболочки не должны иметь места ни
изгибающие, ни крутящие моменты, а также должна отсутствовать
поперечная сила. '
Таким образом, в качестве граничного условия на кромке ах =
= const может быть задано либо Nx, либо S, а на кромке а2 =
= const ^— либо N2, либо S. Система уравнений A56) относительно
перемещений также имеет второй порядок при условии; что Nl7
N2 и S известны. Иными, словами, если нас интересуют и усилия,
и перемещения, то мы можем определить их двумя ступенями,
1 Т. е. уравнений, получаемых из A56) при et ~ 0, е, = 0, со *= 0.
134

в каждой из которых должны использовать систему уравнений
второго! порядка.
Однако можно поступить и иначе: если учесть формулы A37)
для Nlt Na и S, а также формулы A06) для е1( е2 и w, то можно
перейти к формулам, выражающим усилия через перемещения;
N - Eh Г 1 dUi I '
1 1— цЧ Л* За» ЛхЛ
dAl
и | w
2"Г Я
Л4
д
_ . Eh Г 1 диг
I •"*— """"""~~ I ¦ " "
1—1*4 Аг дог
ал»
^Аг
A57)
2 A + |i) L ^i ^ai V A% l Аг а«2 \ Л1 /J
Тогда, подставляя A57) в A55), вместо двух систем второго по-
порядка приходим к одной системе четвертого порядка относительно
перемещений. После решения этой системы усилия находятся по
формулам A57) путем дифференцирования функций и1( и8 и ю.
Разумеется, это рассуждение понадобилось лишь для установле-
установления порядка системы относительно перемещений, если не исходить
из того, что усилия известны. Интегрировать же проще в два
приема, имея дело при каждом из них с системой второго порядка.
Коль скоро порядок системы относительно усилий второй, а
относительно перемещений — четвертый, приходим к выводу, что
в усилиях может быть выражено лишь одно граничное условие,
второе же условие обязательно должно быть задано через
перемещение. Если одно из граничных условий задано в усилиях,
то задача в целом для оболочки статически определима, так как
усилия могут быть найдены из одних условий равновесия A55) без
отыскания перемещений. Если же оба граничных условия заданы
в перемещениях, то задача в целом для оболочки статически неоп-
неопределима.
В безмоментной теории на контуре можно задавать граничные
условия лишь для перемещений иг и и2> происходящих в срединной
поверхности оболочки. Что касается перемещения w и поворотов
•&1 и §2, то ими распоряжаться нельзя — они могут приобретать
лишь те значения, которым отвечают нулевые, соответствующие
им обобщенные силы Q и М. Эта обязательность задания одного
из граничных условий в перемещениях существенна для удовлет-
удовлетворения закреплением оболочки на контуре условиям безмомент-
ного напряженного состояния.
т

4. УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ БЕЗМОМЕНТНОГО
НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ
В предыдущих параграфах по сути дела уже были сформули-
сформулированы условия существования безмоментного напряженного со-
состояния оболочки; они сводятся к следующим требованиям:
а) форма оболочки должна характеризоваться плавностью сре-
срединной поверхности, отсутствием в ней изломов, острых вершин,
скачкообразных изменений радиусов кривизн. Срединная поверх-
поверхность не должна обладать некоторыми особыми свойствами (ци-
(цилиндрическая оболочка при малой толщине не должна быть очень
длинной, коническая не должна содержать область, близкую
к вершине, срединная поверхность не должна касаться плоскости
по замкнутой кривой, как например, в торе). Изменение толщины
оболочки должно быть плавным. Оболочка не должна подкреп-
подкрепляться ребрами;
б) закрепление оболочки должно быть таким, чтобы не стесня-
стеснялись перемещения w и повороты ¦&1 иф2. Вместе с тем необходимо,
чтобы тангенциальные закрепления обеспечивали жесткость обо-
оболочки, т. е. чтобы она не могла деформироваться без растяжений
(сжатий) и сдвигов;
в) нагрузка, прикладываемая к оболочке, должна быть плав-
плавной. Не должно быть сосредоточенных сил, скачков в распределен-
распределенной нагрузке. К краям оболочки не должны быть приложены из-
изгибающие или крутящие моменты, а также поперечные силы.
5. ОБЛАСТЬ ПРИМЕНИМОСТИ БЕЗМОМЕНТНОЙ ТЕОРИИ
Безмоментная теория оболочек может быть применена всегда,
когда соблюдены условия существования безмоментного напряжен-
напряженного состояния. Наряду с этим она может использоваться и тогда,
когда имеются так называемые линии искажения напряженного
состояния, т. е. не соблюдены или не полностью соблюдены условия
существования безмоментного напряженного состояния в оболочке
в целом. В. таком случае безмоментное состояние представляет со-
собой одно из элементарных состояний, составляющих полное напря-
напряженное состояние оболочки. На безмоментное напряженное состоя-
состояние при этом необходимо накладывать поле напряжений краевых
эффектов. Разумеется, использование безмоментной теории при
наличии линий искажения целесообразно лишь тогда, когда удов-
удовлетворены определенные требования. А. Л. Гольденвейзер1 приво-
приводит следующие условия:
а) линии искажения не должны образовывать густую сетку.
В противном случае, практически не будет оставаться зон, в ко-
которых безмоментная теория дает правильные результаты;
1 А. Л. Гольденвейзер. Теория упругих оболочек (ч. V,
гл. XVII. § 6). Гостехиздат, М., 1953.
136

б) линии искажения не должны касаться асимптотических
линий срединной поверхности (напомним, что такие линии имеются
в поверхностях отрицательной и нулевой гауссовой кривизны).
Эти линии являются характеристиками х дифференциальных урав-
уравнений безмоментной теории, и поэтому вдоль них могут быть вы-
выполнены граничные условия лишь весьма частного вида.
Следует иметь в виду различное поведение оболочек положи-
положительной гауссовой кривизны и оболочек отрицательной или нуле-
нулевой гауссовой кривизны в случае воздействия локальной, в част-
частности сосредоточенной, нагрузки. Область возмущения, вносимого
такой нагрузкой в безмоментное напряженное состояние оболочки
положительной гауссовой кривизны, локальна — она включает
окрестность приложенной нагрузки (рис. 41, а). При этом локальна
и область, в которой испытывает возмущение поле перемещений.
В случае же оболочки нулевой (отрицательной) гауссовой кривизны
область возмущения в поле напряжений также локальна, что же
касается поля перемещений, то область возмущения в нем захваты-
захватывает полосы (полосу), расположенные вдоль асимптотических
(асимптотической) линий. Соответствующая иллюстрация пока-
показана на рис. 41, б, в. (На рис. 41 зачернена область приложения
1 Характеристиками дифференциального уравнения называют решения
так называемого характеристического уравнения, связанного с обсуждае-
обсуждаемым дифференциальным уравнением. Например, для дифференциального
уравнения
л дги . D дги , _ д% . ди . , ди , ,, .
А Ь1В \- С \- а—- + Ь у си = / (х, у)
дх* дхду ду* дх ду
характеристическим уравнением является
A (dy)* ~2Bdxdy+ С (dxJ = 0.
Для гиперболических уравнений имеются два семейства характеристик.
Параметры этих семейств можно принять за криволинейные координаты.
Характеристике можно дать и геометрическую трактовку. Пусть имеется
уравнение
pJr+Qir = /?' ' <158)
ах ду
где Р, Q, R — заданные непрерывные функции от х, у и г.
Каждой точке пространства (х, у, г) соответствует вектор {Р, Q, R).
Такие векторы образуют непрерывное поле всюду, кроме точек (особые точки
дифференциального уравнения), где Ра -f- Q* -f- R* = 0. Интеграл уравнения
(а) г = z (х, у) изображается так называемой интегральной поверхностью,
которая в каждой своей точке касается вектора {Р, Q, R,} соответствующего
этой точке. Кривые на интегральной поверхности, касающиеся вектора
(Р, Q, R), и называются характеристиками. Каждая интегральная поверх-
поверхность составляется из характеристик, определяемых системой обыкновенных
дифференциальных уравнений
dx _ dy _ dz
__ _ _.
137

локальной нагрузки, заштрихована область возмущения, внесен-
внесенного нагрузкой в безмоментное состояние).
Полезно учесть трактовку самой постановки задачи безмомент-
ной теории оболочек, данную А. Л. Гольденвейзером.
Учитывая то обстоятельство, что чисто безмомеитное напря-
напряженное состояние оболочки встречается редко, гораздо реже, чем
Рис. 41. Области возмущения безмомеит-
ного состояния при воздействии на обо-
оболочку локальной нагрузки (по А. Л.
Гольденвейзеру)
а -* оболочка положительной гауссовой кривизны;
б — оболочка отрицательной гауссовой кривизны;
в » оболочка нулевой гауссовой кривизны
Рис. 42. Закрепление оболочки отрицатель-
отрицательной гауссовой кривизны связями
а -= недопустимый случай (недостаточное закреп-
закрепление);^—разрешаемое (достаточное) закрепление
случаи, когда возможно использование безмоментной теории,
А. Л. Гольденвейзер предлагает следующую схему расчета оболочки.
На первом этапе определяются тангенциальные усилия ~Nlt
N2, S путем интегрирования уравнений равновесия A55) безмомент-
безмоментной теории.1
На втором этапе путем использования уравнений закона Гука
A37) находятся параметры тангенциальной деформации ех> е2, со.
1 Наличие постоянных интегрирования в этой чисто статической задаче
объясняется тем, что одной и той же нагрузке в области могут соответствовать
различные системы функций N\, Nt, S, каждая из которых отвечает опреде-
определенным краевым силам.
138

На третьем этапе путем интегрирования уравнений A56) опре-
определяются перемещения х их, и2 и w. Казалось бы, на этом расчет
по безмоментиой теории завершается. Однако предлагается найти
и все остальные функции общей теории оболочек, а именно:
на четвертом этапе — изгибные параметры деформации кх, и2 и т
по формулам A06);
на пятом этапе — из уравнений закона Гука A36) — моменты
Mlt M2 и Я;
на шестом этапе — поперечные силы Qx и Q2 из четвертого и
пятого уравнений равновесия общей теории оболочек A21).
Определение Мх, М2, Н, Qx и Q2 позволяет выполнить грубую
оценку допустимости использования безмоментной теории. Этапы
начиная с четвертого рассматриваются лишь как оценочные.
Приведем некоторые сведения о закреплениях, устраняющих
изгибную податливость, но сохраняющих безмоментность состоя-
состояния. Если оболочка, срединная поверхность которой имеет асимп-
асимптотические линии,2 закреплена (имеет жесткий контур) лишь по
асимптотической линии, то тонкая оболочка легко изгибается. По-
Поэтому в таких оболочках обычно вводят хотя бы одно жесткое за-
1 Определение перемещений и±, и2, ш, или доказательство возможности
определения их, А. Л. Гольденвейзер рассматривает как обязательную часть
расчета по безмомеитиой теории во избежание неединственности решения,
порождаемой тем, что в состав общего решения однородных уравнений A56)
могут входить чисто изгибиые перемещения при отсутствии препятствия
в виде соответствующего закрепления оболочки связями.
Наличие постоянных интегрирования в результате этого этапа (т. е.
в перемещениях) объясняется тем, что однородность системы уравнения
A56), общее решение которой входит в состав общего решения неоднородной
системы, выражает собой условия:
ех = е2 = ю = 0. Г
Иными словами, решение этой системы представляет собой перемеще-
перемещения, имеющие место при отсутствии растяжений (сжатий) и сдвигов в сре-
срединной поверхности, т. е. либо перемещения оболочки как жесткого целого,
либо перемещения, связанные с малым изгибанием поверхности. Одному
и тому же напряженному состоянию безмомеитиой оболочки может соответ-
соответствовать бесчисленное множество деформируемых состояний, в которых
е1г 82 и ш одинаковы. Безмомеитиая оболочка может быть уподоблена либо
воображаемому упругому телу нулевой толщины, ио конечной жесткости
на растяжение и сдвиг, либо геометрически изменяемой стержневой системе,
конфигурация которой при заданной мгновенно равновесной нагрузке не-
неопределенна. Поэтому понятие о безмомеитиой оболочке, лишенной Связей,
предотвращающих неодиозиачиость перемещений, т. е. изгибиых перемеще-
перемещений, физически несостоятельно. В математическом отношении эти несостоя-
несостоятельность проявляется-в том, что отсутствие связей (закреплений) ие позво-
позволяет сформулировать геометрические граничные условия для системы гео-
геометрических уравнений. Заменить же геометрическое граничное условие
статическим, т. е. иметь два статических условия, нельзя, так как проинтегри-
проинтегрировать систему статических уравнений второго порядка при двух граничных
условиях ие представляется возможным — граничное условие может быть
при втом лишь одно.
а Напомним, что это линии, в направлении которых в любой точке кри-
кривизна нормального сечения оболочки равна нулю.
• . 139

крепление по линии, не совпадающей с асимптотической линией
срединной поверхности.
Например, не следует закреплять незамкнутую цилиндриче-
цилиндрическую оболочку лишь вдоль кромок, совпадающих с образующими.
Необходимо закрепить такую оболочку и по торцам.
Аналогично нельзя закреплять оболочку, срединная поверх-
поверхность которой представляет собой линейчатую поверхность (на-
(например, однополостный гиперболоид вращения, в частности, обо-
оболочки градирен), связями, направленными вдоль прямых линий,
лежащих в срединной поверхности. Необходимо в таких случаях
иметь связи, не совпадающие с "указанными прямыми линиями.
Например, на рис. 42 показано недопустимое (в смысле недоста-
недостаточности) (а) и разрешаемое (б) закрепления.
Длинные цилиндрические оболочки занимают особое место в
теории оболочек; такие оболочки даже при подкреплении торцов
легко изгибаются.
6. УРАВНЕНИЕ ПРОСТОГО КРАЕВОГО ЭФФЕКТА
И АНАЛИЗ ЕГО РЕШЕНИЯ
Выше уже обсуждалось понятие «краевой эффект». Коснемся
его вновь более подробно. Краевым эффектом называется напряжен-
напряженное состояние [как правило, имеется в виду моментное (изгибное)
напряженное состояние], быстро изменяющееся (затухающее на
расстоянии нескольких толщин оболочки) по мере удаления от не-
некоторой области в некотором направлении. При этом производные
от затухающей функции с каждым новым дифференцированием по
координате в отмеченном выше направлении возрастают. Ширина
полосы, охваченной краевым эффектом, равна по величине несколь-
нескольким толщинам оболочки. Если линия искажения ни в одной точке
не касается асимптотической линии срединной поверхности, то
краевой эффект называется простым; в противном случае имеем так
называемый обобщенный краевой эффект — учет его значительно
сложнее, чем в случае простого краевого эффекта.
Можно привести следующий пример. Если сферический пологий
купол, находящийся под воздействием собственного веса, закре-
закрепить только тангенциальными связями (рис. 43, а) и при этом обес-
обеспечить возможность сохранения этой тангенциальности в процессе
деформации, то сферическая оболочка будет находиться в безмо-
ментном напряженном состоянии (связи на рис. 43, а поставлены
не только в меридиональных плоскостях купола, чтобы- предотв-
предотвратить мгновенный поворот купола как жесткого целого относи-
относительно оси симметрии). Если же закрепить купол не только танген-
тангенциально расположенными по отношению к срединной поверхности
связями, а воспрепятствовать и поворотам нормальных элементов
на контуре (например, заделать купол в опорное упругое кольцо,
рис. 43, б), то линия опорного контура становится линией искаже-
искажения безмоментного состояния. Пологий купол у опорного кольца
[40

в кольцевом направлении сжат, а опорное кольцо растянуто. Сов-
Совместность деформации опорного кольца и купола обеспечивается
за счет кручения и растяжения опорного кольца и изгиба и сжатия
купола (рис. 43, е). Вследствие этого в куполе появляются в районе
опорного кольца изгибающие моменты, быстро затухающие при
удалении от опорного кольца.
Быстрое затухание изгибных усилий и напряжений, вызванных
на линии искажения, характерное для краевого эффекта, является
особенностью главным образом обо-
оболочек, хотя такое явление наблю-
наблюдается и в стержнях и в пластинах,
если только они расположены на
упругом основании. Не во всех слу-
случаях изгибное напряженное состоя-
состояние носит характер краевого эф-
эффекта и в оболочках. Так, напри-
например, в цилиндрической оболочке
искажение безмоментного состоя-
состояния у контурной линии, совпадаю-
совпадающей с образующей, не имеет харак-
характера краевого эффекта. В простом
краевом эффекте.роль отдельных
усилий, моментов, параметров де-
деформации и перемещений раз-
различна.
В табл. 2 показано, какие из
факторов являются наиболее су-
. щественными и какие второстепен-
второстепенными. Здесь же оценена относи-
относительная роль отдельных факторов
в случае, если линия искажения
совпадает с координатной линией
ах = alf0 = const.
В ряде случаев некоторая ве-
величина играет второстепенную
роль, а производная от нее оказы-
оказывается одного порядка с основным фактором. Это обстоятельство
отмечается в четвертом столбце табл. 2. В целом напряженно-
деформированное состояние оболочки, соответствующее простому
краевому эффекту, имеет явно выраженный изгибный характер.
Наибольшие по абсолютной величине напряжения, возникающие
при простом краевом эффекте, связаны с моментом Мг и уси-
усилием Л^» а в случае достаточно большого значения коэффициента
Пуассона — и с моментом М2-
Простой краевой эффект приближенно может быть оценен сле-
следующим образом. Будем исходить из общих уравнений теории
оболочек (имея в виду однородную задачу q1 = q2 = qn = 0),
внося в них те упрощения, которые могут быть выполнены, если
О
г)
Рис. 43. Закрепление связями ку-
купола
а — расположение связей, обеспечи-
обеспечивающее безмоментное состояние обо-
оболочки; б — диаметральное сечение ку-
купола с опорным кольцом; в — диамет-
диаметральное сеченне деформированного
купола с опорным кольцом; г — нзгн-
бающнй момент (краевой эффект) в ку-.
поле в области прикрепления оболочки
к одорному кольцу прн невыполнении
условий сопряжения, обеспечивающих
безмоментность оболочки
141

Перемещения
<§
с
т
г.
$
с
1
ш
Параметры
тангенциальной
деформации
»
ьэ
се
м
1
•?
8
в)
в»
в
г
СО
Параметры
изгибной деформа-
деформации
$
|
1* 1"
г
Поперечные
силы
г
jP
Моменты-
to
II
? •
в)
3S
Тангенциальные
усилия
<;
i>
¦5°
в)
«Si
г
Оэ
г
со
г
ю
со
Группа
величин
вв я
ны,
пере
5 РОЛ
¦го
у
а
3
Величн
ростепе
а а
а Б
В
№
•о
В
г
[еча>
s

учесть информацию, помещенную в табл. 2. Нам понадобятся
третье и пятое уравнения равновесия 1см. систему A21}]:
+я JdL_Ai,JdLi^Q1=sOt
второе и четвертое геометрические соотношения [см. систему (Юё) ]:
LA/J_ii Uj\ I dAj I 1 dw иг
1 Ax dax\ At дщ Ri) АхАг да^ \ А2 даг #2
и второе и третье физические соотношения [см. систему A37) ]:
1 — (Д,2
М
12 A — |ха
Учитывая данные табл. 2, упростим уравнения равновесия, до-
доведя их до следующего вида:
«¦
Геометрические уравнения приобретают вид:
\ д 1 dw
Лх 5ai Л1 да±
Наконец, упрощение получат и физические уравнения
A60)
A61)
A62)
<163'
A64)
Получили семь уравнений с семью неизвестными N2, Мг, М2,
¦Qi, xlt e2, w, которые могут быть найдены из этих уравнений не-
независимо от остальных неизвестных. Преобразуем систему уравне-
1 Прн выводе формулы A62)*учтено, что ех = — цег.
143

ний A59) — A64), сведя ее к одному разрешающему уравнению,
для чего найдем Qt из второго уравнения A59) и подставим его в
первое уравнение A59). Далее в полученное уравнение вместо
Мг и N2 подставим их выражения через е2 и %1 согласно A63) и
A62). Наконец, в преобразованное так уравнение вместо е2 и хх
подставим их выражения через w согласно A60) и A61). В резуль-
результате получим следующее уравнение:
1+lpaao. (i65)
Из всех слагаемых, которые будут содержаться в первом члене
левой части полученного уравнения, после дифференцирования
наибольшую величину имеет слагаемое с наивысшим порядком
производной w, вследствие того, что, как отмечалось, краевой эф-
эффект характерен увеличением порядка величины у производных
(при каждом дифференцировании) от затухающей функции по ко-
координате в направлении затухания. Отбрасывая остальные слагае-
слагаемые, получаем разрешающее уравнение простого краевого эффекта
j_a% i2(i-,») ш = а
А\ да\ h2R\
Найдя из этого уравнения до, далее легко определяем е2 и хх по фор-
формулам A60) и A61), усилие N2 и моменты Мг и Мг по формулам
A62) — A64) и, наконец, усилие Q1 из второго уравнения A59).
В процессе вывода уравнения A66) сохранялся всего один член
при выполнении дифференцирования в первом члене A65). Это рав-
равносильно тому, что предполагается независимость Ах и Л2 от ах.
Можно дать и другое пояснение выполненного упрощения, считая
его вытекающим из условия
Естественно сохранить такое предположение и при интегрировании
уравнения A66). Таким образом, будем считать коэффициенты
в уравнении A66) постоянными, зависящими лишь от параметра а2.
Тогда решение получившегося обыкновенного дифференциального
уравнения можно искать в следующей форме:
A67)
Подставляя A67) в A66) и сокращая ~ на множитель
(г) к 1 i,o) ПОЛуЧИМ характеристическое уравнение относи-
относительно f:
J
C(a2)ef(a
144

Введя обозначение
получим:
или, что то же,
f* (eta) = 4А* [cos A + 2п) я + i sin A + 2n) я].
По общему правилу извлечения корня из комплексного числа
находим:
Придавая п значения 0, 1,2, 3, получаем четыре значения / (а2):
h = (l + i)k f, = (-l + i)k fs = (~l-i)k h = (l-i)b. A68)
Формулу для коэффициента % несколько преобразуем, положив
в ней вместо Ах и #2 те их значения, которые они приобретают
при ах = а1-0:
-V-
Числитель и знаменатель подкоренного выражения умножен на v2,
где v — постоянная, равная некоторому среднему значению вели-
величины R2t0 на интересующем нас участке контура ax = ali0. Выра-
Выражение для % представим так:
%=\/b(\-v})-^=k^gk, A69)
где
Учитывая A67), A68) и A69), получаем, общий интеграл уравне-
уравнения A66) в следующем виде:
w = Сх (a,) eft A+0 е ^-^- о).+ С2 (о,) е~* (
+ Cs (a,) e~fe A+i) г («I-"*, o) + C4 (a,) ek A"° «(ai-ai.«). A70)
В A70) происходит быстрое затухание первого и четвертого
слагаемых при удалении от ах =*= аь0 в область ax <«i,o. а вто-
второго и третьего слагаемых — при удалении от ах = аьо в область
ai >ai,o- Именно затухающими слагаемыми и нужно пользоваться
в соответствующих областях значений ах.
145

Итак, при аг
w~Cx (о,) е*A+i) ' Л""!, о) + С4 (о,) efc A-'> « Л"^«);
при oj >all0
ш = G2 (о,) е"* (I-?) « (ei-ai. о) + €3 Ы е~* 0+0 е ("Л о).
Комплексная форма записи общего решения неудобна для прак-
практического использования. Поэтому преобразуем ее, пользуясь за-т
висимостями Эйлера:1
при aj. < alt0
Ehw = [i|?rcos kg (a2—a^o) + ^ sin ^ (aj.—a1>0)J eftg (ai-ai.o) ;
при a > a1>0
e~ke ^~ai- o);
—alt 0) + ^4sin ^(a!—ax> 0)J e
здесь ipj, ipss, \p3 и ip4 — произвольные функции от a2, определяе-
определяемые из граничных условий.
РЕЗЮМЕ ГЛ. 8
1. Безмоментная теория оболочек представляет собой упро-
упрощенный вариант общей теории, в котором пренебрегается влиянием
изгибающих и крутящих моментов и поперечных сил на напря-
напряженно-деформированное состояние. В некоторых очень немного-
немногочисленных случаях безмоментная теория описывает напряженно-
деформированное состояние оболочек (с тою же точностью, с какой
общая теория описывает общий случай напряженного состояния
оболочки). Такое состояние оболочки называется безмоментным.
Встречаются случаи, в которых напряженное состояние не является
безмоментным, но, за исключением узких зон, слабо от него отли-
отличается и может быть разложено на чисто безмоментное и краевой
эффект.
-В этом случае безмоментная теория используется для отыскания
первого слагаемого.
2. Уравнения безмоментной теории получаются из общих урав-
уравнений путем устранения из них членов, которые при безмоментном
напряженном состоянии равны нулю; такими являются М1г М2,
#-, Ф, Qi, Q2; кроме того, Я]. = Н2 = 0 и St = S2 = S.
Напряженное состояние оболочек можно считать безмоментным
и в случае, если моментные (изгибные) напряжения намного меньше
мембранных (цепных).
. Безмоментное напряженное состояние имеет место вследствие
определенной комбинации формы оболочки, граничных условий
и характера нагрузки, приводящей к отсутствию или малости кру-
1 eix = cos x + i sin x; e '* = cos x — i sin x.
146

чения и изменения кривизн. В этом заключается сходство безмо-
ментной оболочки с безмоментной аркой. Однако, в отличие от
безмоментной арки, в оболочке безмоментное или практически без-
моментное напряженное состояние возникает не при одной лишь
нагрузке, а в достаточно широком диапазоне нагрузок, вследствие
чего оболочка особенно выгодна. Безмоментное напряженное со-
состояние,' в частности, может быть вследствие большой гибкости
оболочки, которая, являясь, по существу, мембраной, способна
сопротивляться лишь растяжению и сдвигу.
3. Уравнениями равновесия в безмоментной теории оболочек
являются три уравнения A55), содержащие три неизвестные функ-
функции Nx, N% и S. В малом проблема безмоментной теории оболочек
статически определима (имеется в виду любой элемент оболочки,
кроме примыкающих к контуру). Тем не менее при строгом решении
проблемы в усилиях к уравнениям равновесия следовало бы присое-
присоединить и уравнения совместности деформаций. Однако, как пра-
правило, их не учитывают, и тем не менее возникающее вследствие этого
нарушение совместности деформаций не приводит к ощутимым из-
изменениям поля усилий. ~'~ ч
4."Погрешность от неиспользования уравнений совместности
деформаций тем большая, чем резче неоднородность кривизны сре-
срединной поверхности оболочки, чем резче изменяются толщина,
нагрузка. В частности, безмоментная теория не Дает возможности
установить характер напряженного состояния при воздействии
сосредоточенных сил, во всяком случае, в окрестности точек их
приложения.
Однако, несмотря на статическую определимость в малом,
в целом безмоментная оболочка может быть статически неопреде-
неопределимой относительно реакций опорных закреплений.
В этом отношении у безмоментной оболочки имеется полная
аналогия со стержнем. При рассмотрении бесконечно малого эле-
элемента стержня он также всегда статически определим (число диф-
дифференциальных уравнений равновесия равно шести, так же как
и число внутренних усилий и моментов), но опирание его может
быть таким, что относительно опорных реакций он является ста-
статически неопределимым.
5. Если рассматривать случай, в котором относительно опорных
реакций безмоментная оболочка статически определима, то усилия
Nlt iVjs и S могут быть найдены из системы уравнений равновесия
A55). После этого, используя A39), можно найти elf e2 и со. Три
остальные уравнения A39) в условиях безмоментной теории обо-
оболочек обращаются в тождества 0 = 0.
Учитывая, с одной стороны, выражения для г1г е2 и о» через
усилия Nlt N2 и S, а, с другой, согласно A06) — через перемещения
иъ иг и w, получаем систему уравнений A56); общее решение
этой системы, имея в виду ее линейность, представляется в виде:
147

здесь ы1чр, и2чр, донр — частное решение, а ы10, ы20> Щ — общее."
решение однородной системы, соответствующей A56).
Иными словами, ы10, ы20, w0 — суть перемещения при условии
равенства нулю е1( е2 и со, т. е. либо при перемещении оболочки
как жесткого целого, либо при изгибании срединной поверхности
оболочки. Так как для не абсолютно гибкой оболочки немыслимо
состояние, при котором изгибающий и крутящий моменты равны
нулю, а чисто изгибные перемещения не равны нулю, приходим
к заключению, что безмоментное состояние оболочки возможно.
. лишь при условии такого ее закрепления, которое предотвращает^
перемещения чистого изгиба. '
Если же оболочка очень тонка (кк <^е), то перемещения до в ней
мыслимы и при Mv М2, H, равных нулю. Однако такие перемеще- ,
ния должны быть устранены посредством соответствующих закреп-
закреплений, так как в противном случае система будет изменяемой.
6. Система уравнений равновесия A55) имеет второй порядок.
Следовательно, в каждой точке контура должно быть задано одно
граничное условие, например нормальная или сдвигающая сила.
Система уравнений A56) относительно цх, и2 и w также второго
порядка при условии, что Nt, N 2 и S заданы. Если же считать,
что Nx, N2 a S неизвестны и в уравнения системы A55) вместо них
подставить их выражения через е^ е2 и со согласно A37), а вместо
elf e2 и со, в свою очередь, их выражения через ult ы2 и до, то тогда
система уравнений относительно цх, и2 и до окажется четвертого
порядка. Тогда в каждой точке контура для отыскания ult u2 и до
должны быть заданы два граничных условия. Найдя ult и2 и w
из системы уравнений четвертого порядка, далее путем дифферен-
дифференцирования этих функций находим, е^ е2 и со, а пользуясь A37), —
и усилия Nx, N2 и S.
Итак, для отыскания функций Nlt N2 и S необходимо одно
граничное условие; если оно выражено через усилие, то задача
внешне статически определима, если же через перемещение,— то
неопределима.
При отыскании функций и1г «2 и до путем интегрирования урав-
уравнений четвертого порядка относительно этих функций для внешней
статической определимости задачи из двух граничных условий
необходимо, чтобы обязательно одно выражалось через усилие,
второе же всегда должно выражаться через перемещение. Эта обя-
обязательность задания одного нз граничных условий в перемещениях
существенна для удовлетворения закреплением оболочки на кон-
контуре условиям безмоментного напряженного состояния.
Если же оба граничных условия заданы в перемещениях, то
безмоментная оболочка внешне (т. е. в большом) статически неопре-
неопределима,
7. В безмоментной теории на контуре можно задавать гранич-
граничные условия лишь для «! и ыа, функциями же до, di и ft a распоря-
распоряжаться нельзя, они могут приобретать лишь те значения, которые
обеспечивают равенство нулю величин Q, М, Н.
148

8. Условия существования безмоментного состояния в оболочке
следующие:
а) плавность срединной поверхности и изменения толщин обо-
оболочки, отсутствие подкрепляющих ее ребер;
б) отсутствие стеснений для перемещения до и поворотов,^ и $ 2
на контуре оболочки; наличие такого тангенциального закрепле-
закрепления, которое обеспечивает жесткость оболочки (невозможность де-
деформирования без растяжений и сдвигов).
в) плавность прикладываемых нагрузок, отсутствие сосредо-
сосредоточенных сил, отсутствие на краях моментов (изгибающих, крутя-
крутящих) и поперечных сил.
Имеется и ряд особых требований для существования безмо-
безмоментного напряженного состояния, относящихся к оболочкам ча-
частного вида — цилиндрической, конической и др.
9. Безмоментная теория может применяться во всех случаях,
когда соблюдены условия существования безмоментного напря-
напряженного состояния в оболочке.
Наряду с этим безмоментная теория может быть использована
и тогда, когда имеются так называемые линии искажения безмомент-
безмоментного напряженного состояния. В таком случае безмоментное соедоя-
ние представляет собой одно из слагаемых, на которые -разбивается
полное напряженное состояние. В этом случае на безмоментное
напряженное состояние необходимо наложить поле напряжений
краевых эффектов у каждой из линий искажений. Разумеется,
последние не должны образовывать густую сеть. Для того чтобы
можно было использовать безмоментную теорию совместно с уче-
учетом краевого эффекта при расчете оболочек нулевой и отрицатель-
отрицательной гауссовой кривизны,, линии искажения не должны касаться
асимптотических линий срединной поверхности. Например, в ци-
цилиндрической поверхности не должно быть ребер, направленных
вдоль образующих.
10. Область возмущения, вносимого сосредоточенной или близ-
близкой к ней нагрузкой в безмоментное напряженное состояние, в
случае оболочки положительной гауссовой кривизны, локальна;
в случае же оболочки нулевой или отрицательной гауссовой кри-
кривизны в поле напряжений эта область также локальна/ что же ка-
касается поля перемещений, то область возмущения распространяется
вдоль полосы (или полос), примыкающей к асимптотической линии
(или линиям). Поэтому при указанных нагрузках пользоваться
безмоментной теорией для расчета оболочек отрицательной гауссо-
гауссовой кривизны нельзя. Впрочем, это относится и к оболочкам по-
положительной гауссовой кривизны, так как наибольший интерес
в этих случаях представляет напряженное состояние именно в той
области, в которой результаты, даваемые безмоментной теорией,
неверны.
11. Существует и такая точка зрения, что при использовании
безмоментной теории оболочек не следует останавливаться на оп-
определении лишь усилий. Предлагается после отыскания усилий
149

Nlt Nit S из уравнений A55) находить перемещения ии иг и w'
из A56) даже в случае, в котором они не интересуют расчетчика,-
чтобы удостовериться, удовлетворяют ли закрепления оболочки
' на контуре связями условиям, исключающим чисто изгибные
перемещения; если такие условия не удовлетворены, то не-
неизбежна неединственность решения уравнений относительно и1г
и2 и w.
Предлагается, кроме того, после отыскания ult ыа и w опреде- '*
лять xlf х2 и т из A06), а далее Mlt М2 и Н — из A36), а также
определять Qt и Q2 из четвертого и пятого уравнений равновесия >
общей теории оболочек A21). Разумеется, в случае оболочки, на-
находящейся в чисто безмоментнрм напряженном состоянии, все функ- ¦¦-
ции Mlt М2, H, Qlt Q2 обращаются в тождественный нуль. Э тех .
же случаях, в которых безмоментность соблюдается лишь прябли* :
женно, отыскание Mlt M2, H, Qt и Q2 позволяет произвести какую- i
то оценку самой применимости безмоментной теории. -
12. Одной и той же нагрузке qu q2 и qn могут отвечать различ-
различные системы функций Nu N2 и S, каждая из которых соответствует
определенным краевым силам, т. е. определенным граничным ус-
условиям.
Этим обстоятельством и объясняется наличие постоянных инте-
интегрирования в решении для Nlt ЛГ2 и S.
13. Одному и тому же напряженному состоянию (т. е. одной -
комбинации функций #1( #2 и S, удовлетворяющей ^уравнениям-
равновесия и некоторым граничным условиям) соответствует бес- v
численное множество деформированных состояний, в которых
elt e2 и со одинаковы. '
Неоднозначность перемещений предотвращается необходимыми
для этого связями на контуре, вариантность которых не ограни-
ограничена; этим объясняется наличие постоянных интегрирования *
в решении для ult и2 и w.
14. Закрепления, устраняющие изгибную податливость, но ;
сохраняющие безмоментность напряженного состояния, кроме от- "
меченного предотвращения стеснения, должны удовлетворять оп- л
ределенным условиям.
Оболочку нулевой или отрицательной гауссовой кривизны, в ча- i
стности, нельзя закреплять лишь по участку контура, совпадаю-
совпадающему с асимптотической линией (кривизна нормального сечения i
вдоль которой равна нулю). \
Нельзя закреплять оболочку со срединной поверхностью в ;
виде однополостного гиперболоида лишь связями, направленными
вдоль прямых линий поверхности. Помимо таких связей, необхо-
необходимы и другие. s ;
15. Напряженное состояние, возникающее в оболочке вследст-
вследствие наличия в ней' линии искажения, быстро затухающее по мере
удаления от этой линии в нормальном к ней направлении и имею-
имеющее в целом ярко выраженный изгибный характер, называется
краевым эффектом. Если линия искажения ни в одной точке не ка-
150 '

сается асимптотической линии срединной поверхности, то краевой
эффект называется простым, в противном случае — обобщенным.
Учет последнего намного сложнее, чем первого.
Краевой эффект проявляется главным образом в оболочках.
В стержнях, в пластинах он встречается лишь, если они опираются
на упругое основание. Не во всех случаях изгибное напряженное
состояние и в оболочках носит характер краевого эффекта.
16. Величины, играющие первостепенную роль, второстепен-
второстепенные величины и соответствие порядка величин в краевом эффекте
при совпадении линии искажения с координатной линией at =
= const показаны в табл. 2.
Иногда некоторая величина играет второстепенную роль, а
производная от нее оказывается одного порядка с основным факто-
фактором (сопоставьте столбцы 2 и 4 табл, 2). Наибольшие напряжения,
возникающие при простом краевом эффекте, связаны с Mt и N2
(если ц велик, то и с М2).
17. Данные табл. 2 позволяют упростить основные уравнения
общей теории оболочек: третье и пятое уравнения равновесия из
системы A21), второе и четвертое уравнения совместности пара-
параметров деформации и перемещений из системы A06), второе и
третье физические уравнения из системы A37). Кроме этих шести
уравнений, используется еще зависимость
Получается семь уравнений с семью неизвестными функциями:
#2, Mlt M2, Qi» xi> e2> w> которые могут быть найдены из этих
уравнений независимо от остальных неизвестных. Такая система
сводится к одному разрешающему дифференциальному уравнению
четвертого порядка относительно до:
А* да* -А2/?2
носящему название уравнения простого краевого эффекта.
После отыскания до не представляет сложности найти все ос-
остальные функции: е3> х1( N2, Mlt М2, Qi по формулам A60) — A64)
и из второго уравнения A59).
18. При выводе уравнения краевого эффекта принято предпо-
предположение о независимости Аг и А2 от аг. Это же предположение
сохранено и при интегрировании указанного уравнения. В общем
интеграле из четырех слагаемых два затухают при удалении от а1#0
в область <%! <«i,o, а два других — в область аг >а1§0 (где at =
= аьо = const — есть адрес расположения линии искажения).
В каждой из этих областей используются лишь затухающие сла-
слагаемые.
151

Главадевятая
УРАВНЕНИЯ БЕЗМОМЕНТНОЙ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК
ВРАЩЕНИЯ
1. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ
В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ
Рассмотрим оболочку вращения произвольной формы (рис. 44, а).
В качестве криволинейных координат приняты * ах = 9 и ос2, = q>.
Легко видеть (рис. 44, б, в), что
dst = RidQ; ds2 = R2sin 0 dq>;
еп следовательно
e2 Л 1
dQ
A71)
Радиусы Rt и R2, являющиеся фик-
фикциями лишь 0, полностью определяют
поверхность вращения. Они связаны
следующей дифференциальной зависи-
зависимостью:
•«^i A72)
которая представляет собой второе ус-
условие Кодацци E1). Первое условие
Кодацци E1) и условие Гаусса E2) при-
приводят к тождеству: 0 = 0.
Учитывая A71) (включая сюда неза-
независимость Rx и R2 от ф) и A72), при-
приведем уравнения равновесия A55) к сле-
следующему виду:
Рис. 44. Геометрия оболочки вращения
а — криволинейные координаты и триэдр ортов; 6
радиусы главных кривизн и элемент меридиана; в
элемент дуги широты
dS
3<p
39
39
1 В настоящем параграфе под 9 подразумевается координата точки сре-
срединной поверхности, а не угол поворота_нормали.
152

или
' - + (iVx—i
Ri dQ
?i ae
• + <7i = 0;
+ 0
A73)
Система уравнений A56), с учетом A71) (включая сюда незави-
независимость #! и #2 от ф) и A72), в случае оболочки вращения приво-
приводится к следующему виду:
1 а«! . до 1 /дт дг \.
1 диа . 1 ai?2sin9.. , w 1
е2=-
со =
или
i?2sin9
ae
я*
'
#asin9/ i?2sin9 aq>
d / И1 \ 2Aгг-ц) 5
sin 9
i?2sin9 аэ
ft) = ——
аэ
R22sm2Q
_ 2A+ ц)
или, наконец,
sin 9
Eh
sin 9
A74)
Систему A74) можно преобразовать,1 для этого выразим iV2
через iVx из третьего уравнения и подставим в два других, а далее,
произведя замену неизвестных искомых функций по формулам
XB. В. Новожилов. Теория тонких оболочек. Судпромгиз, 1951,
с. 95. Изложение § 1 и 2 настоящей главы опирается на эту книгу.
153

и исключая из двух уравнений относительно Vx и V2 функцию V2,
приходим к следующему разрешающему дифференциальному урав-
уравнению второго порядка:
j5_ f Kg sine oyL | 1 fflVi
ae
Г i?| sin е ауЛ
[ Ri ae J
A75»
К уравнению с точно таким же дифференциальным оператором
в левой части приводится и система уравнений A74), для чего по-
после исключения функции до производится замена неизвестных иско-
искомых функций по формулам
= Ui
? —
1 sine ' а i?2sin9
и исключение функции %1ш ч
Правая часть разрешающего дифференциального уравнения
относительно функции ?2 имеет следующий вид:
2A 1 ц) dRtS ^ + ^ + 2^i^ а^
ae ^sme аф
, RijRi + pRi) dgnl 1
T J
T sin 6 аф J Eh '
2. ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ БЕЗМОМЕНТНОЙ
ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ
При осесимметричной деформации оболочек вращения уравне-
уравнения упрощаются. В них, во-первых, исчезают члены, содержащие
производные по q>, ибо в рассматриваемом случае все функции не
зависят от ф. Во-вторых, если предположить, что qt = 0, то один
из двух типов осесимметрнчной деформации — кручение оболочки —
исключается, вследствие чего обращается в нуль сдвигающая"
сила S. Учитывая отмеченное, из A73) получим систему уравнений
равновесия:
A76)
Ri ' R, ~°"
Преобразуем эту систему к одному уравнению; с этой целью в пер-
первом из уравнений учтем, что
ctge _ cos8 _ cose
164

Из второго уравнения найдем:
Учитывая A77) и A78), первое уравнение A76) представим в
виде:
Умножим все члены этого уравнения на RtR sin 9:
39
Jt-RR1q1sinQ—R2R1smQcosQ-qn = 0;
далее, учитывая, что
riCosQ==11Ei!™»L = M- и
dQ .dQ
получим:
sineR^
do
ИЛИ
sin 9 (R -^-+ Nx—\ + NiR cos 9 + RRt {qxsin Q~qn cos9) = 0.
Имея в виду, что
t i N dR =
sine d(RNl) +RNcosQ =
d6
dQ dQ
d
dQ
найдем:
— (Я#х sin 9) +#!#(<?! sin 6—<7ncos9) = 0. A79)
dQ
Уравнение A79) легко интегрируется.
Если оболочка не имеет выреза (рис. 45, а) у вершины (в вер-
вершине 0 = 0), то интеграл имеет вид:
в
5in9= JflKiO^cose—q1sinQ)dQ + C. A80)
При наличии выреза (рис. 45, б) изменяется лишь нижний пре-
предел у интеграла:
в
RNi sin в = f RRi (q cos 9—ft sin 6) dQ -f C.
60
Постоянная С находится из граничного условия. После опреде-
определения ЛГХ из формулы A80) находим N2 по A78).
155

Если умножить обе части A80) на 2л, то легко установить ме-
механический смысл интеграла, входящего в эту формулу:
в
A81)
здесь Nisin 8 представляет собой проекцию погонного усилия на
ось симметрии оболочки (рис. 46, a), a 2nRN1sin 0 — проекцию на
эту ось всех сил (рис. 46, б), возникающих в сечении оболочки,
определяемом параллелью с углом 0;
i?xd0 — ширина элементарного кольца на срединной поверх-
поверхности оболочки (рис. 46, в), соответствующего бесконечно малому
углу d0;
2nRR\dQ — площадь этого кольца; -
<7ncos 0 и q^'mQ — проекции интенсивностей внешней на-
нагрузки (соответствующие указанному элементарному кольцу) на
ось симметрии оболочки (рис. 46, г);
2nRR1(q1sin Q—qncosQ) dQ— проекция на ось симметрии
оболочки всей нагрузки, действующей на элементарное кольцо,
а интеграл от этой функции — проекция на ту же ось всей нагрузки,
действующей на часть оболочки, ограниченную параллелями,
соответствующими пределам интегрирования.
Член 2пС, т. е. постоянная интегрирования, имеет ту же при-
природу, что и член 2aRN1sinQ, но относится к параллели, соответст-'
вующей нижнему пределу интегрирования. Если нижний предел
интегрирования 0О = 0, т. е. у полюса в оболочке нет выреза, то
С = 0; при наличии выреза (рис. 46, д)
С = ар,
где а — радиус контурной параллели у выреза;
р — интенсивность проекции контурной нагрузки, параллель-
параллельной оси симметрии.
Таким образом, уравнение A81) является условием равновесия
в целом части оболочки, ограниченной снизу текущей параллелью.
Пример 1. Онределить усилия в сферическом куполе, воз-
возникающие от собственного веса, и построить их эпюры вдоль ме-
меридиана. Радиус сферической срединной поверхности г. Интенсив-
Интенсивность собственного веса q (вес элемента оболочки с площадью сре-
срединной поверхности, равной единице).
Так как оболочка сферическая,
Rx = R% — r, # = /?2sin0 = rsin0, q1 = qsinQ, qn = —qcosQ.
Для определения Nx и N2 воспользуемся формулами A80) и
A78), которые дают:
в
rq
=-gr
gr
sin29 1—cos20 1+cosG
156

Рис. 45. Меридиональное
сечение оболочки вращения
а — оболочка без выреза; б —
оболочка с вырезом у вершины
Ф
Рис. 46. К анализу напря-
напряженного состояния оболоч-
оболочки вращения
о — погонное усилие N i в те-
текущем широтном сечении; б —
составляющая усилия Nt в те-
текущем широтном сеченнн, па-
параллельная оси снмметрнн; в —
элементарное кольцо оболочки
вращения^ г — проекции ннтеи-
сивностей внешней нагрузки на
направление, параллельное оси
симметрии; 3 — интенсивность
проекции контурной нагрузки
на направление, параллельное
оси симметрии
Рис. 47. Распределение Nt
н N2 в куполе (усилия Nt
на аксонометрическом изо-
изображении не показаны)
ё)

В полюсе купола при 0 = О
Эпюры усилий N-l и N 2 показаны на рис. 47. Кольцевая нормаль- *
ная сила Nz из сжимающей в районе полюса переходит в растяги-
растягивающую; параллель с нулевым значением усилия Ns называют швом
перехода; этот шов соответствует углу 0П, определяемому из усло-
условия Af2,= 0:
cos 0П - = 0;
п l + cosO
отсюда 0П = 5Г49'. . *
Таким образом, если купол достаточно пологий (центральный
угол меньше 2-5Г49' = 103°38'), то в нем не возникает растяжение;
при большем центральном угле (> 103°38') в области ниже шва
перехода возникает растягивающее кольцевое усилие.
Аналогично могут быть определены усилия в куполах вращения
и с другим очертанием меридиана. ;
Рассматривая любой купол вращения, работающий в условиях
безмоментного напряженного состояния, обнаруживаем, что воз-
воздействие его на опору характеризуется наличием двух составляю-
составляющих силы (рис. 48, а): вертикальной и горизонтальной, называемой
распором. Вертикальная легко воспринимается стеной, на которую
опирается купол, а распор Т стене воспринять трудно (потребова-
(потребовались бы очень толстые стены с контрфорсами), и приходится созда- •[
вать специальную конструкцию, воспринимающую распор; такой
конструкцией является опорное кольцо, которое присоединяется
к оболочке. Из направления распора ясно, что опорное кольцо
работает на растяжение (рис. 48, б); назначение его аналогично"
функции затяжки в системе арка с затяжкой.
Распор тем больше, чем положе к горизонту располагается ка-
касательная к меридиану в районе опорной параллели. В сфериче-f
ском куполе распор тем больше, чем положе купол, т. е. чем меньше •-
fIL (рис. 49). Если срединная поверхность купола представляет!
собой половину шаровой поверхности, то распор равен нулю
(рис. 49, б). В этом случае в принципе можно обойтись и без опор- ь
ного кольца. Однако в крутом сферическом куполе кольцевые во-
волокна у опорной параллели подвергнуты значительному растяже-*
нию. Если купол выполнен из железобетона, плохо сопротивляю-
сопротивляющегося растяжению, то обеспечить прочность самого купола трудно.
Иногда с целью обеспечения прочности крутые купола утолщают
вдоль меридиана в направлении от полюса к опорной широте, чтобы
позволить расположить необходимое количество кольцевой арма-
туры.|Утолщение купола в районе опорной параллели может ока-
оказаться полезным и в связи с увеличением к опорной параллели
меридионального сжимающего усилия.
Часто для облегчения работы опорного кольца и растянутых
кольцевых волокон купола в районе опорной параллели~опорное
158

кольцо подвергают предварительному напряжению, например,
посредством натяжения арматуры, навитой на кольцо. В эллипсо-
эллипсоидальных куполах вращения равенство нулю распора может быть
при любом отношении flL, важно лишь, чтобы опорная параллель
совпала с диаметральной плоскостью эллипсоида (рис. 49, в). В ку-
куполах вращения с разным очертанием меридиана при одинаковой
пологости распор Т различен. Чем больше распор у купола, тем
большего поперечного сечения приходятся делать опорное кольцо.
Это обстоятельство необходимо учитывать при выборе варианта
Рис. 48. Воздействие купола на
опорное кольцо
Рис. 49. Воздействие купола на
опору
о — сферические купола разной поло-
пологости; б — купол, срединная поверх-
поверхность которого — половина сферы; в *-
эллиптические купола
купола в процессе проектирования (выбор очертания, выбор по-
пологости).
Следует иметь в виду еще одно существенное обстоятельство:
опорное кольцо растягивается, кольцевое же волокно купола у
опорного кольца в зависимости от flL н (или) от очертания купола
в одних случаях может испытывать растяжение, в других — сжа-
сжатие. Лишь в одном случае обеспечивается безмоментиая работа ку-
купола вращения: когда относительное растяжение опорного кольца
и относительное растяжение кольцевого волокна купола в месте
соединения его с опорным кольцом одинаковы. Строго говоря, для
обеспечения безмоментной работы купола с опорным кольцом не-
необходимо еще и равенство углов поворота нормали к срединной
поверхности оболочки у опорного кольца в диаметральной плоско-
плоскости углу поворота в той же плоскости поперечного сечения кольца.
Таким образом, сразу становится ясным, что купола, у которых
159

нет шва перехода, т. е. все кольцевые волокна сжатьт, не могут
работать как безмоментные, как уже выше говорилось (см. рис. 43,6);
в таких куполах в районе опорного кольца возникает изгибная
деформация, правда, быстро затухающая (краевой эффект) при
удалении от опорного кольца вдоль меридиана. Избежать краевого
эффекта в этом случае можно лишь путем отказа от опорного кольца
и воспринятия всей величины Nv посредством тангенциальных
связей.
Если кольцевые волокна купола вблизи'опорного кольца рас-
растянуты, то в принципе можно выбрать такой материал для кольца
и подобрать такое его сече-
а) ,^-Л, ние, при которых обеспечи-
обеспечивается равенство деформа-
деформаций кольца и кольцевого
волокна купола:
при одновременном удовле-
удовлетворении условию проч-
прочности.
Материал кольца дол-
должен иметь соответствующие
значения модуля Упругости
Е и прочностной, характе-
характеристики, чтобы удовлетво-
удовлетворить как условию жест-
жесткости A82), так и условию
прочности. Не всегда прак-
практически удается найти ма-
материал с необходимым со-
сочетанием свойств. Часто
бывает нерационально стре-
стремиться к выполнению усло-
условия A82) и более целесо-
целесообразно для экономии материала и исходя из конструктивных
соображений допустить возникновение краевого эффекта, который
при этом, разумеется, следует учитывать.
На рис. 50 показаны различные проанализированные В. В. Но-
Новожиловым купола, эпюры усилий Nx и N%, возникающие в них,
и величина распора. Как величина Nu так и величина 0О в каждом
куполе своя собственная: в сферическом куполе — см. формулы
A82); для параболического и эллиптического куполов формулы
приведем без вывода:
Рис. 50. Эпюры усилий в куполах различ-
различного очертания
о — сферический купол; б — параболический ку-
купол; в — эллиптический купол (половина эллип-
эллипсоида); г — эллиптический купол (часть эллип-
эллипсоида, меньшая половина)
N =
cos2 9
cos e,
N*=-gR0\l—l-
160

fj — ga V 1—e2cosae I A—cos9)(l +e2cos9) .
1— 2 sin2 6 1 1-е2 cos2 9
8 IV 1—8 К 1+8COS9JJ
qa cos 9 1 — e2 cos2 9 *, ,
l-62 U'
где а и fc — полуоси эллипса.
В. В. Новожилов приходит к выводу о том, что наиболее удач-
удачным является вариант, в котором можно подобрать опорное кольцо
сравнительно малой жесткости, обеспечивающее безмоментную ра-
работу оболочки.
Пример 2. Подобрать площадь поперечного сечения опор-
опорного кольца Fk, обеспечивающую безмоментность работы купола
вращения, если известны: г — радиус опорной параллели; h —
толщина купола в месте примыкания к кольцу; 0О — угол, состав-
составляемый горизонтальной плоскостью в касательной к меридиану
в точке пересечения его с кольцом; Е и Ек — модули упругости
материала купола и кольца; N°i и Nl — величины усилий мери-
меридионального и кольцевого в точке пересечения меридиана с опор-
опорным кольцом.
Напряжения в опорном кольце находим по формуле х
д^кольц
0кольЦ== = -LL—
F F
i Fk Fk
знак минус обеспечивает то, что при N\ < 0 напряжения 0КОЛЬЦ ;>о.
Кольцевые напряжения в куполе у опорной параллели найдем по
формуле
<7 = -
1 Формула для #кольц выведена при решении задачи о воздействии
на кольцо равномерно распределенного радиального давления интенсив-
интенсивности Т при радиусе г. Применяя метод сечений и рассматривая (рис. 51)
равновесие половины кольца, получим уравнение равновесия
я
2дгкольц = f Г sin ф Л Ар,
:{
ИЛИ
ИЛИ
отсюда
6 Заказ № 1753 161

Считая коэффициент Пуассона железобетона равным нулю, по-
получим условие
цКОЛЬЦ __ .
в виде:
N°\r
отсюда
EkFk
= - rh cos0o.
A83)
Формула A83) показывает, во-первых, что для обеспечения не-
неотрицательности площади поперечного сечения кольца, какая
Рис. 51. К определению-растягивающего усилия в кольце
от воздействия на него купола
только и может быть, усилия №\ и N^ должны быть разного знака;
следовательно, в параболическом куполе (рис. 49, б) невозможно
подобрать кольцо, обеспечивающее безмоментность работы обо-
оболочки. Во-вторых, из формулы следует, что Fk тем больше, т. е.
кольцо тем тяжелее, чем больше отношение №\Ш1 (условие различ-
различных знаков у №\ я N\, разумеется, должно выполняться). Из рис. 50
видно, что в сферическом куполе это отношение намного больше,
чем у эллиптического (вариант г). Таким образом, наивыгодней-
наивыгоднейшим является вариант г. В варианте в кольца не требуется вовсе,
однако в тяжелых условиях работает сам купол.
3. ПРИМЕРЫ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ
Рассмотрим цилиндрический барабан котла, к которому при-
присоединены днища в виде эллипсоидальных оболочек вращения.
В котле поддерживается равномерное внутреннее давление пара
интенсивностью q. Эпюры распределения меридиональных (Afx)
и кольцевых (N2) усилий показаны иа рис. 52. Вследствие разрыва
в усилии Af2 (безмоментного состояния) на линии сопряжения сре-
162

ись котла
динных поверхностей барабана и днища последнее не может рабо-
работать в чисто безмоментном состоянии, и возникает краевой эффект
у линии искажения, которой является
указанная линия сопряжения.
Пусть имеется оболочка вращения
типа полого кольца (рис. 53, а), нахо-
находящаяся под воздействием внутреннего
равномерного давления.-Такая оболочка
не может испытывать безмоментное на-
напряженное состояние. Действительно,
если разрезать ее на две части поверх-
поверхностью вращения, следами которой на
плоскости чертежа являются линии А^
и АгВг, то на внутреннюю часть обо-
Рис. 52. Эпюры усилий в цилиндрическом
котле в районе сопряжения с эллипсоидаль-
эллипсоидальным днищем (рисунок заимствован из книги
В. Флюгге «Статика й динамика оболочек»,
Госстройиздат, 1961)
лочки будет действовать статический эквивалент внутреннего дав-
давления, направленный вниз, а на внешнюю — направленный вверх.
Следовательно, уравновешивание
этих сил *в сечении оболочки, раз-
разделяющем ее на две части, немыс-
немыслимо без возникновения попереч-
поперечных сил (рис. 53, б, в), которых
не должно быть в безмоментном
напряженном состоянии.
a)
В,
Рис. 53. К пояснению невозможности
существования безмоментного состояния
в кольцевой полой оболочке с некруго-
некруговым меридиональным сечением, находя-
находящейся под внутренним давлением
о — меридиональный разрез оболочк»-со сле-
следом (AiBiBzAi) поверхности, разрезающей
оболочку на две части; б — нижняя часть обо-
оболочки; в — верхняя часть оболочки
/ — результирующая внешних сил (внутрен-
(внутреннего давления); 2 — поперечные силы (един-
(единственные силы, могущие уравновесить резуль-
результирующую внешних силЬ наличие которых
свидетельствует о момеитносги напряженного
состояния (по мотивам рисунка из книги
В. Флюгге «Статика и динамика оболочек»,
Госстройиздат, 1961)
В замкнутом сферическом резервуаре, целиком наполненном
водой и опирающемся на опорное кольцо, усилия, определенные
по безмоментной теории, распределяются согласно эпюрам, пока-
6* 163

занным на рис. 54, а, б, в; при этом решение ищется отдельно для
верхней и нижней зон (выше и ниже опорной конструкции).
Перенесение опорной параллели вверх или вниз лишь пере-
передвигает границу применимости решения для верхней и нижней
областей, которые находятся независимо от положения опорного
кольца. Скачок в усилиях свидетельствует о неизбежном краевом
Hi "г
Рис. 54. Эпюры усилий в замкну-
замкнутом сферическом резервуаре, це-
целиком наполненном водой
а, б, в — три случая опирання резер-
резервуара (по мотивам рисунка из книги
В. Флюгге «Статика и динамика обо-
оболочек», Госстройиздат, 1961)
Рис. 55. Эпюры усилий от соб-
собственного веса в конической гри-
грибовидной оболочке (рисунок заим-
заимствован из книги В. Флюгге «Ста-
«Статика н динамика оболочек», Гос-
Госстройиздат, 1961)
Мерид. Кольц.
эффекте. Сам резервуар получается легче при повышении парал-
параллели сопряжения его с поддерживающей конструкцией, так как
снижаются кольцевые усилия. Вместе с тем при этом возрастает
расход материала на поддерживающую конструкцию.
В конической осесимметричной грибовидной оболочке, опи-
опирающейся на центральную опору, под влиянием-собственного веса
возникают усилия, эпюры которых показаны на рис. 55. Так как
за опору принята точка, в ней, естественно, получаем бесконечное
значение меридионального усилия Ыг.
164

РЕЗЮМЕ ГЛ. 9
1. Как частный случай уравнений безмоментной теории интерес
представляют уравнения для оболочек вращения. В этом случае
а1 = 9, а2 = ф, А1 = Rlt А2 =* R2sin 9, Rt = Rx (9), Ra —
= R2 Ф) (см. рис. 44). Система трех уравнений равновесия безмо-
безмоментной теории сводится к одному разрешающему уравнению A75)
относительно функции V = jV1/?2sin29.
Аналогично система трех уравнений совместности параметров
деформации и перемещений безмоментной теории сводится к одному
разрешающему уравнению.
2. Дальнейшее упрощение достигается, если для оболочки вра-
вращения по безмоментной теории рассматривается осееимметричная
деформация. В данном случае все функции не зависят от ф, и поэ-
поэтому в общих уравнениях безмоментной теории оболочек вращения
члены, содержащие производные по ф, обращаются в нуль, а про-
производные по 9 оказываются обыкновенными. Кроме того, если по-
положить q2 = 0, то один из видов осесимметричной деформации
оболочки — ее кручение относительно оси симметрии — исклю-
исключается, вследствие чего 5 = 0.
В результате всех этих упрощений получается уравнение равно-
равновесия в форме A79), поддающейся интегрированию в квадратурах.
3. При анализе осесимметричной деформации сферических купо-
куполов, происходящей под влиянием собственного веса (кручение обо-
оболочки относительно оси симметрии, следовательно, отсутствует),
возникает такая картина распределения усилий Nx и N2.
Кольцевая нормальная сила N 2 в районе полюса является сжи-
сжимающей; по мере перемещения от полюса вдоль меридиана абсо-
абсолютное значение сжимающей силы N2 уменьшается. Если купол
достаточно крут (центральный угол >103°38'), то сжатие на не-
некоторой параллели, называемой швом перехода, доходит до нуля
и ниже этой параллели N2 становится растягивающим усилием,
тем большим по величине, чем дальше от шва перехода находится
рассматриваемая параллель, где действует N2.
Меридиональная нормальная сила N\ является всюду сжимаю-
сжимающей и увеличивается по мере удаления, вдоль меридиана от полюса
(рис. 47).
В целом аналогичная картина распределения^ Ыг и N2 наблю-
наблюдается при осесимметричной деформации осесимметричных куполов
и с другим очертанием меридиана.
4. Меридиональную нормальную силу Nt на опорной парал-
параллели можно разложить на две составляющие — вертикальную и
горизонтальную; последняя направлена от центра. В связи с тем,
что на такое воздействие опорной конструкции, поддерживающей
купол (например, стенам), работать трудно, для освобождения
опор" купола от действия этой нагрузки создается соединенное
с оболочкой так называемое опорное кольцо, воспринимающее го-
горизонтальную составляющую силы Nt и призванное разгрузить
165

от .этой составляющей опорную конструкцию, на которую опи-
опирается купол. Опорное кольцо работает на растяжение и играет
роль, аналогичную роли затяжки в конструкции арки с затяжкой.
Че.м положе располагается касательная к меридиану у «игорной
параллели к куполу, тем, при прочих равных условиях, больше
распор.
5. Безмоментная работа купола вращения в условиях осесим-
метричной его деформации под влиянием собственного веса при на-
наличии опорного кольца мыслима лишь в случае, если относитель-
относительные линейные растяжения опорного кольца и кольцевого опорного
волокна купола одинаковы. Во всех остальных случаях в куполе
у опорного кольца возникает краевой эффект. Поэтому чисто без-
моментное состояние (без краевого эффекта) в куполе (с опорным
кольцом) без шва перехода немыслимо.
Главадесятая
БЕЗМОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ
ОБОЛОЧЕК
1. УРАВНЕНИЯ
Пусть имеется цилиндрическая оболочка произвольной формы.
Расположим координатные линии по образующим й направляющим
цилиндрической поверхности и обозначим их соответственно xhs:
х — расстояние точки срединной поверхности от некоторой пло-
плоскости, перпендикулярной оси цилиндра: s — длина дуги направ-
направляющей, отсчитываемая от некоторой образующей. При этом оба
параметра Ламе равны единице, а радиусы кривизны: Rx = оо и
R2 = r = r(s).
, Учитывая сказанное, исходя из общих уравнений безмоментной
теории A55), получим:
li ^ 0; N> = rqn. A84)
дх as дх
Уравнения A56) приобретают вид:
е2 = —+ Т = —
дщ дщ = 2A +
дх ds Eh
Обе системы уравнений интегрируются в квадратурах.
A85)

2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ
Придадим уравнениям .A84) следующий вид:
N2 = rqn;
dS dN* g ¦
¦*¦ ___ ' _______ ___ /1
~— — — , 4v
dx ds
Представим усилия Nlt N2 и S так:
A86)
087)
здесь iVi1', M1'» SA) — частное решение системы A86);
Nf\ N^K S@>—общее решение соответствующей A86) од-
нородной системы уравнений.
Частное решение неоднородной системы находим непосредст-
непосредственно, интегрируя уравнения A86):
A88)
Нижний предел зависит от выбора сечения начала отсчета ко-
координаты х. Усилия Ny\ Л4О> и S@) получим как общее решение
системы:
+ 0;
дх ds
дЫг dS _n.
1—-— — ".
д; ds
г1
од; ds
это решение имеет вид:
A89)
167

Механический смысл произвольных функций интегрирования
легко уяснить, рассмотрев сечение х = х0:
Итак, fx (s) и /2 (s) представляют собой функции, согласно ко-
. торым в начальном сечении х = х0 распределяются соответственно
сдвигающие и нормальные погонные усилия 5<0) и А^*о>.
Перемещения ы1( ыа и w найдем из (i85) также в форме суммы
двух слагаемых:
A90,
здесь и}1', «2°, wA)— частное решение неоднородной системь.
уравнений A85);
м'0', «2°'. ау<0>—общее решение соответствующей A85) о'о
породной системы уравнений.
При этом, так как в состав правых частей уравнений системь
A85) входят усилия Nlt N2 и 5, каждое из которых состоит из дву::
слагаемых [см. A87) ], частное решение ы'1', «г1*, ^A> можно пред-
представить как сумму частных решений, отвечающих усилиям Л^'1
Л#>, 5A) и усилиям Nf\ Nf\ S<0):
A91
Учитывая введенные обозначения и считая, что рассматриваете*
оболочка постоянной толщины, получим:
*0
2A-НО
Eh
X
I
A92
166

л,0)_
dx\ dx;
w'"~' = i
Eh
-M-\^dx+h(s)
dx
A93)
«i0>. M20>, w{0) получим как общее решение однородной системы
уравнений:
Я" - = 0;
дх
ds
w
г
дх ' ds
это .решение имеет вид:
A94)
Перемещениям «?, и°, ш@>, что видно из самого их отыскания,
соответствует отсутствие тангенциальных усилий Nlt N2 и S. Этим
перемещениям отвечает бесконечно малое изгибание срединной
169

поверхности оболочки. Смысл произвольных функций интегри-
интегрирования легко уяснить, рассмотрев сечение х — х0:
Итак, giis) и g2(s) представляют собой функции, согласно ко-
которым в начальном сечении х -* х0 распределяются соответственно
составляющие перемещения ы'0' и и^.
3. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
В общем решении безмомеитиой теории оболочек A87) — A94)
. содержатся четыре' произвольные функции ^(s), f2(s),gi(s), g2(s).
Вместе с тем это решение ие содержит произвольных функций ар-
аргумента х. Поэтому ие представляется возможным добиться того,
чтобы какое-либо усилие или перемещение по кромке s = const
представляло собой некоторую заранее заданную функцию аргу-
аргумента х. Напомним, что линии s = const на цилиндрической поверх-
поверхности представляют собой асимптотические линии, совпадающие
с характеристиками дифференциальных уравнений безмомеитиой
теории. В безмоментиой теории оболочек удовлетворить граничным
условиям по кромкам, совпадающим с асимптотическими линиями
срединной поверхности оболочки, невозможно."
Если край оболочки ии в одной точке ие касается асимптоти-
асимптотической линии, то, следуя А. Л. Гольденвейзеру, будем называть
его всюду неасимптотическим краем. Частично асимптотический
край — это край, касающийся асимптотической линии в одной или
в нескольких точках.
Ограничимся рассмотрением цилиндрических оболочек, имею-
имеющих края, лежащие в плоскостях х = х0 и х = xlt перпендикуляр-
перпендикулярных оси цилиндрической поверхности. На каждом краю должно
быть по два граничных условия, для удовлетворения которым ис-
используются четыре произвольные функции.
Кроме того, искомое решение должно удовлетворять условию
периодичности, согласно которому все функции (усилия и пере-
перемещения) должны приобретать свои прежние значения после пол-
полного обхода срединной цилиндрической поверхности в любом по-
поперечном ее сечении. Имеющихся элементов произвола в решении
для удовлетворения и этому требованию достаточно, если, разу-
разумеется, безмомеитиая оболочка геометрически неизменяема; в про-
противном случае решение либо невозможно, либо (в отношении пе-
перемещений) оно ие единственно. Как уже пояснялось, решение по-
получается единственным, если ие менее двух граничных условий
из четырех являются геометрическими, иначе две функции gi(s)
и 8z(s)> входящие лишь в выражения для перемещений, ие могут
быть полиостью использованы.
Пример 3. Определить усилия в круглом цилиндрическом
резервуаре радиуса г с вертикальной осью симметрии, находящемся
под внутренним гидростатическим давлением (резервуар заполнен
170

жидкостью ла всю высоту) (рис. 56). В силу осесимметричиости
задачи, при которой S1 = 0,u2 = 0, граничные условия* имеют вид:
при х =± О
N, = 0;
при х = L '
Их = 0.
Воспользуемся цилиндрической системой координат х, ф, в ко-
которой
s = гф,
г
вследствие чего
Д — р
При этом учтем, что в вышеприве-
вышеприведенных формулах необходимо про-
произвести замену:
д( ) _ 1 д()
Рис. 56. Цилиндрический резервуар, цели-
целиком наполненный водой
Нагрузка изображается следующими функциями: qx = q% = 0;
qn =; ^- ^. Итак, в соответствии с A87) — A89) и Пояснением о
природе f^s), /2(s) имеем:
W-f q,
S@) = 0,
1 Если бы рассматривалась общая небезмоментная теория, то в осесим-
метричноа задаче, в которой Sj^-J — = 0 и и2 = 0, граничные условия
были бы такими:
при х = 0 -
ds
при * = L
= 0,
dw
17
¦о.
171

«('•') = —
2EhL
\лгух'г
1Eh '
EhL Eh '
uf) = ^
= 0.
g2 (s) принято равным нулю в силу осесимметричности деформации:
При х = L
или-
отсюда
Итак, окончательно получаем перемещения:
A95)
Из A95) видно, что образующая цилиндра после деформации
остается прямолинейной, а сама цилиндрическая поверхность пре-
превращается в поверхность усеченного конуса с углом при вершине,
равным —— .
Eh
Полученное решение удовлетворяет граничным условиям без-
моментной теории. Однако безмоментное состояние мыслимо лишь
в случае, если перемещения w, определяемые формулой A95), не
стеснены; в противном случае возникает моментное напряженное
состояние, носящее характер краевого эффекта.
172

Учет краевого эффекта можно уподобить восстановлению сов-
совместности деформации оболочки резервуара с условиями фактиче-
фактического закрепления, т. е. уподобить переходу от картины деформа-
деформации, соответствующей безмоментному решению (рис. 57, а), к кар-
картине деформации, при которой у днища соблюдаются условия
0OW г\ /1 f\t±\
, = 0. A96)
дх
Этот переход мыслим, если к кромке цилиндрической оболочки
в месте заделки (присоединения к днищу) приложить краевую по-
поперечную силу и краевой момент (рис. 57, б)
и подчинить их величины- требованию выпол-
выполнения условий A96). Такое выполнение пред-
представляется в виде, изображенном на рис. 57, в.
Безмоментное состояние можно рассматривать
как своего рода основную систему метода сил,
а М\ и Q1 — как лишние неизвестные. При
этом, разумеется, в силу приближенности
уравнения краевого эффекта и совместность
деформаций выполняется приближенно.
Пример 4. Найти краевой эффект
в условиях предыдущей задачи, имея в виду,
что w и w' на уровне днища обращаются
в нуль. ч
Рис. 57. К анализу работы цилиндрического резер-
резервуара, целиком наполненного водой
а — характер деформации цилиндрической оболочки, отде-
отделенной от днища (основная статически определимая си-
система — безмоментное состояние); б — усилия и моменты,
необходимые для согласования деформаций цилиндрической
оболочки с условиями закрепления (лишние неизвестные,
создающие краевой эффект); в — действительная картина
деформации оболочки (отчетливо видеи местный характер
изгибной деформации4— краевой эффект)
Уравнение краевого эффекта A66) приобретает вид:
dxi
A97)
Найдем общее решение этого уравнения. Составим характеристиче-
характеристическое уравнение
здесь
-V
12 A-
4/i2r2
Корнями уравнения являются:
173

Общий интеграл уравнения A97) имеет вид:
w = /(X~L) (Ciea(X~L)
или в тригонометрической форме
w = е* (X~L) [?>! cos X (х—L) + ?>2 sin X (х—L)] +
e~* {х~ц [D3 cos I (x—L) + Dt sin Цх—L)].
Нас интересует область значений х =^L; область x>L выходит
за пределы оболочки. При таком условии сохраним лишь член,
содержащий J"(X~L\ так как именно ему соответствует затухание
w при удалении от х = L. Таким образом,
w = ея {X~L) [D2 cos к (х—L) + A sin I (x—L)].
Присоединим полученный краевой эффект к безмоментному ре-
решению, при этом найдем:
^ x~L) [DlCosl(x~L) + D2sml(x—L)}. A98)
w
Eh
Постоянные интегрирования найдем из граничных условий
при х = L:
w = 0; — = 0. A99)
dx
Учтем, что
— = I?L + Xe^x-L> [(D1 + Dt) cQsX(x—L)+(Dt—Pd sinX(x—L)].
В развернутом виде условия A99) приобретают вид:
Eh
отсюда
. n _ I *t , r*tL _ r*t ( t \\
1 . Eh X Eh Eh Eh \ ' X
Окончательно сумма решения безмоментной теории и краевого
эффекта имеет вид:
x~L)cosk(x—X) +
Eh Eh
.JOL L l-
Я
174'

Теперь, зная w, можно найти М ь Qt и уточненное по сравнению
с безмоментной теорией выражение для N2. Усилия Я, S и Q2
в силу осевой симметрии деформации равны нулю; N-i и М2 не пред-
представляют большого интереса, и их не будем рассматривать. Для
отыскания Мг применим A37) и A06), учитывая при этом, что в на-
нашем случае
Лх=1; Л2 = г; а^х; c^-xp; Rt — оо;. R2 = г, B00)
ILL^u- ALL ^ILL- Boi)
5ф ' . dx dx
у, Eh3 d?w
X~ 12A— ц2) ~dx*~'
Для определения Qx воспользуемся пятым уравнением A21)
и учтем B00) и B01):
QdMi * Eh3 dPw
dx 12A— ц«) dx* '
Из A37), с учетом A06), найдем:
„г Eh I w , du
N2Ьн.т
1 — ца \ г dx
ИЛИ
М1= fhrLy =e^x-L>\U l]cosk(x-L)-sml(x-L)];
У 12A —ц«) [Ui / J
N2 = гул ^ ex (^) [cos A, (x- L) —11 -) sin Я, (*—1I.
Усилия вблизи днища, т. е. при х — L (будем полагать \i = 0),
приобретают значения:
' Эпюры усилий Мг и N2 представлены на рис. 58. На этом ри-
рисунке пунктиром показаны эпюры Мх hJV2 по безмоментнрй теории,
а сплошной линией — с учетом краевого эффекта. Характерно
быстрое затухание знакопеременного слагаемого, представляю-
представляющего собой краевой эффект.
175

Определим половину длины волны затухающих функций, т. е.
разность аргументов между двумя соседними экстремумами или
соседними нулями функции:
при х = L
cos К (x—L) = 1;
при х—L= — , или x=L + —
2л 2
2л
cos Я, (х—L) = 0.
Таким образом, половина длины волны равна d = — ,
Л.
а длина волны 2d = — .
Пусть размеры оболочки
резервуара следующие: L =
= 6,0 м, г = 4,0 м, h =
= 0,016 м; тогда
*f 12A -0,3^ ±
V 4.0,016а-42 м
и длина волны затухающей
функции
Рис. 58. Эпюры усилий и моментов
в оболочке цилиндрического резервуара
а — резервуар; б —- эпюра М й в — эпюра Ыг
т. е. длина волны мала по сравнению с высотой резервуара. Оценим
отношение соседних максимумов затухающей функции
Итак, скорость затухания краевого эффекта очень велика.
Так как полученное решение является приближенным, условия
при х = 0
q1—
ГЙф
= o и Л41==
выполняются также приближенно.
4. АНАЛИЗ БЕЗМОМЕНТНОГО НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ
ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК
Рассмотрим замкнутую цилиндрическую оболочку с торцами,
нормальными к оси цилиндра. В качестве координат точки средин-
срединной поверхности примем х и s (см. рис. 59), при этом Аг — А% = 1.
17fi

Расположим начало координат в центре тяжести площади одного
из торцов. Ось х направим параллельно оси цилиндрической сре-
срединной поверхности, а оси у
и z совместим е главными
центральными осями инерции
площади торца.
Рассмотрим случай, когда
<7i = <72 = <7n = O B02)
и\ на оболочку действуют
лишь краевые силы fx (s) =
Рис. 59. К| анализу безмомент-.
ного напряженного состояния ци-
цилиндрической оболочки
= S и f2 (s) = Nly распределенные по нижеприведенному закону:
B03)
B04)
где Рх, Ру, Рг — проекции равнодействующей краевых сил;
• Щх, Шу, 9Л2 — проекции вектора главного момента тех же
сил (рис. 59);
1у, 1г — главные центральные осевые моменты инер-
инерции площади торца (поперечного сечения
оболочки);
F — площадь торца (поперечного сечения обо-
оболочки);
п — площадь, заключенная внутри следа сре-
срединной поверхности на торце (в поперечном
сечении оболочки).
Имея в виду A87) и B02), а также A88) и A89), получим:1
JL
F
MyZ
B05)
1 При дифференцировании функции-^ (s) no s имеется в виду, что пер-
первый член в B04) от s не зависит и что дифференцирование и интегрирование—
обратные операции.
177

здесь
Мг=-Ш,-Ру>г,
. представляют собой продольную силу, изгибающие моменты и кру-
крутящий момент в поперечном сечении оболочки (с абсциссой х), рас-
рассматриваемой как балка. Вследствие безмоментности оболочки рас-
распределение напряжений по толщине равномерно. Величины —Nt
h
и —St представляют собой нормальное и касательное напряжения.
h
Формулы B05) свидетельствуют о том, что в цилиндрической
оболочке, если распределение краевых сил подчинено закону, опи-
описываемому B03) и B04), распределение напряжений такое же, как
и в балке, согласно элементарной теории.
В замкнутых длинных цилиндрических оболочках эффект само-
самоуравновешенной торцевой нагрузки, определяемый на основании
безмоментной теории, не затухает, тогда как на самом деле в таких
конструкциях имеет место затухание.
Моментная теория длинных цилиндрических оболочек дает за-
затухание этого эффекта, но очень медленное. Вместе с тем совершенно
очевидно, что фактически напряженное состояние длинной оболочки
не должно существенно отличаться от балочного и при контурных
нагрузках, отличных от B03), B04). Вследствие этого становится
ясным, что применение безмоментной теории к длинным замкнутым
цилиндрическим оболочкам недопустимо; безмоментная теория по-
показывает значительно большую чувствительность к самоуравнове-
самоуравновешенным силам, приложенным к торцам, чем это наблюдается
в опыте.
Из-за балочного характера работы длинной цилиндрической обо-
оболочки х пространственный эффект ее работы практически неощутим:
В противоположность этому для коротких цилиндрических оболо-
оболочек типичен пространственный характер работы системы, вследст-
вследствие/ чего ее надо рассчитывать по моментной теории. В случае же
цилиндрической оболочки средней длины без промежуточных ме-
между торцами линий искажения напряженное состояние оболочки
1 Длинной цилиндрическая оболочка считается при L/l>>4, средней —
при 4 >L/l>>\, короткой — при L/1 <1. Здесь L — длиначэболочки, / —
диаметр замкнутой цилиндрической оболочки или длина хорды в случае
открытой цилиндрической оболочки.
Заметим, что существует и другое определение: цилиндрической оболоч-
оболочкой средней длины называют такую, которая удовлетворяет условию
178

хорошо описывается суммой решения по бёзмоментной теории и
краевых эффектов.
При большой скорости изменения нагрузки вдоль направляю-
направляющей изгибающие моменты Мг могут оказаться существенными.
Безмоментная теория вообще не применима к незамкнутой ци-
цилиндрической оболочке независимо, от величины отношения LII —
в рамках этой теории не представляется возможным удовлетворить
граничным условиям на продольных (направленных вдоль образую-
образующих) кромках, которые совпадают с асимптотическими линиями
срединной поверхности. Действительно, в бёзмоментной теории
круговой цилиндрической оболочки усилие Л/2 находится не из
дифференциального уравнения, а по формуле A86)
вследствие чего математически получается, что граничные усло-
условия на прямолинейных кромках вообще не влияют на Л/2. На са-
самом же деле это влияние имеет место, но обнаружить его при по-
помощи бёзмоментной теории не представляется возможным.
" РЕЗЮМЕ ГЛ. 10
1. Представляет интерес частный случай бёзмоментной теории—
безмоментная теория круговых цилиндрических оболочек. В этом
случае
^Г1 = 0; #2 = г.
Система уравнений равновесия и система уравнений совместно-
совместности параметров деформации и перемещений приобретают вид. A84)
и A85), допускающий интегрирование в квадратурах^ Общее ре- -
шение системы A84) представляется* в форме:
где Л/'1', Л/11', SA) — частное решение системы A84);
Nf\ M0),S@)—общее решение однородной системы, полу-
получаемой из A84).
Общее решение системы A85) представляется в виде:
и^иГ'+иГ; «2=«l1)+«f; w=w{1)+wi0).
Слагаемые с индексами A) и @) имеют смысл, аналогичный ука-
указанному для усилий. В свою очередь, частное решение системы
A85) разбивается на две части:
Ы() = ы(.) + Ыа); U0) = u(.
Решение и'1'1', м?и\ шA>1) соответствует случаю, когда в пра-
правых частях уравнений A85) используется решение Л/11', М!> и SA),
A,0) A.0) A,0)
а решение и\ , щ иш соответствует случаю, когда в пра-
правых частях уравнений A85) используется решение Л/10), Л/г0', S@).
179

2. В безмоментной теории цилиндрических оболочек не пред-
представляется возможным удовлетворить граничным условиям на
кромке, совпадающей с образующей. Вследствие этого расчет та-
таких оболочек надо выполнять с учетом сопротивления их изгибу.
Вместе с тем решение безмоментной теории для цилиндрических
оболочек может использоваться как частное решение моментной
теории. При этом общее ее решение не имеет затухающего характера
изгибных напряжений в направлении, нормальном прямолиней-
прямолинейным кромкам.
Имеются, однако, исключительные случаи, в которых и без-
моментная теория позволяет получить решение для открытой ци-
цилиндрической оболочки; так, например, простейшей является за-
задача о растяжении оболочки силами, равномерно распределенными
на торцах.
3. Если напряженное, состояние оболочки можно считать со-
состоящим из двух слагаемых — безмоментного состояния и крае-^
вого эффекта, то, используя понятия и терминологию строительной
механики, первое из них можно рассматривать как поле усилий
в основной статически определимой системе в грузовом состоянии,
а краевой эффект — как поле усилий, возникающее в основной
системе под действием полной величины неизвестного, каким яв-
является некоторый параметр. Например, в задаче о цилиндрической
оболочке таким оказывается параметр сил и моментов на кромке.
Эти силы и моменты вызывают такое радиальное перемещение
в опорном поперечном сечении, которое совместно с радиальными
перемещениями от распределительной нагрузки обеспечивает ус-
условие жесткой заделки (рис. 57).
4. Если к торцам цилиндрической оболочки приложены силы,
закон распределения которых такой же, как и в поперечном сече-
сечении балки (закон, получаемый на основе элементарной теории по
формулам сопротивления материалов для общего случая воздейст-
воздействий на стержень), то при использовании безмоментной теории ци-
цилиндрических оболочек во всех поперечных сечениях оболочки рас-
распределение напряжений (равномерное по толщине) будет таким же,
какое было получено и по формулам сопротивления материалов.
Если изменить нагрузку, действующую на торцы оболочек по сравне-
сравнению с указанной выше, то будут иметь место и самоуравновешенные
в пределах торца силы. В этом случае безмоментная теория цилин-
цилиндрических оболочек независимо от длины оболочки покажет отсут-
отсутствие затухания эффекта действия самоуравновешенной нагрузки.
Опыт же показывает, что в длинных цилиндрических замкнутых
оболочках эффект действия самоуравновешенных сил, приложенных
к торцу, затухает, вследствие чего такие оболочки можно рассмат-
ривать# как стержни и пользоваться формулами сопротивления ма-
материалов. Отсюда вытекает вывод, что безмоментная теория цилин-
цилиндрических оболочек не позволяет получить достоверный результат
при большом отношении длины оболочки к габаритным размерам
поперечного сечения; в этих случаях применять ее нельзя.
180

Глава одиннадцатая
ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК
1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ
В настоящей главе рассмотрим еще один упрощенный вариант
общей теории оболочек, справедливый для так называемых пологих
оболочек.
Пологой будем называть оболочку, срединная поверхность ко-
которой такова, что производные от функции ее изображающей по
координатам, отсчитываемым вдоль осей, лежащих в плоскости,
наименее отклоняющейся от срединной поверхности, в любой точке
значительно меньше единицы. Например, на рис. 60, а, б показаны
Рис. 60. К определению понятия «пологая оболочка»
а — оболочка, удовлетворяющая интегральному условию пологости (f/а <1/5); б — обо-
оболочка, удовлетворяющая интегральному условию пологости (f/а <1/5), но не удовлет-
удовлетворяющая дифференциальному условию (дг/dxi и дг/дхг не малы по сравнению с единицей)
поверхности, первая из которых удовлетворяет, а вторая не удов-
удовлетворяет условию, на основе которого оболочку считают пологой.
В силу близости внутренних геометрий срединной поверхности
пологой оболочки и отмеченной выше плоскости или ей параллель-
параллельной, можно не делать различия между аг и хг и между а2 и х2.
Коэффициенты же А\ и А\ первой квадратичной формы можно при-
принять равными единице:
А\=\
{Аг~\, Л2=1);
Ai=l;
гауссова кривизна обращается в нуль; К = MR^R^ « 0.
X. М. Муштари установил, что если напряжения от моментов
сравнимы по величине с напряжениями от усилий или меньше
последних, то, кроме того, можно пренебречь перемещениями иг и
ы2 в формулах A06) для изменения кривизн (кг и к2)и кручения (т).
При этом напряжения и перемещения представляют собой функ-
функции, существенно возрастающие при каждом дифференцировании
хотя бы по одной из координат. Это позволяет пренебречь попереч-
поперечными силами в первых двух уравнениях равновесия A21). Кроме
того, вместо A24) можно считать, что
Q Q, ТТ ______ ТТ ТТ
1 О о *J j *^ 1 *л 9 J— л1 •
181

2. УРАВНЕНИЯ
Зависимости A06) между перемещениями и деформациями,
с учетом сказанного в предыдущем параграфе приобретают сле-
следующий вид: ,
w
дх\ '
дх\
f0=duL+duL.
дХх дх2
т= —
dx1dxi
B06
Легко видеть, что специфика оболочки в первых трех формулах
т. е. в тангенциальной деформации, отражена лишь во вторых чле-
членах формул для ег и е2. Эти члены обращаются р нуль, когда обо-
оболочка переходит в пластину, т. е. при ^1->сюи^2-»-оо.
Уравнения совместности деформаций A19) приобретают вид
0%2 ОХ * O8i
дх, дхп . дх.
дх2
дх\
B07
Здесь введены обозначения для кривизн срединной поверхности
до деформации: . .
[Сл — —^—— гСъ — ¦—— л
« R
Уравнения равновесия A21) приобретают вид:
дМ* ,
dXj,
—Q2=-0;
ОХ\ 0Хч
Последнее уравнение удовлетворяется
тельно, егй можно представить так:
B08
тождественно; действи-
действиВместе с тем в пологой оболочке гауссова кривизна приближение
принята равной нулю.
Легко видеть, что при kx =-= 0 и k% — 0, т. е. при переходе с
оболочки к пластине, первые два уравнения отделяются от осталь-
остальных, они выражают работу пластины в ее плоскости и совпадаю"
с уравнениями равновесия плоской задачи теории^упругости, ос
182

бальные же уравнения являются уравнениями равновесия пла-
пластины, изогнутой поперечной нагрузкой..
Физические уравнения сохраняют вид, как и в общей теории
оболочки A37) или A39). Рассмотрим случай, когда на пологую
оболочку действует лишь нагрузка qn, a q^ = q2 = 0.,
3. РАЗРЕШАЮЩАЯ СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ
Систему уравнений равновесия и уравнений совместности де-
деформаций можно -свести к разрешающей системе из двух уравне-
уравнений относительно функции w и функции напряжений ф наподобие
функции Эри в плоской задаче теории упругости.. Покажем этот
вывод.
Пользуясь статико-геометрической аналогией, можно утверж-
утверждать, что существуют зависимости, аналогичные B06), но такие,
что в них вместо г1г е2, со, xlt x2 и т имеют место усилия и моменты:
—М2, —Mlt 2#, N2, Nlt —S, а вместо функций иъ и2 и ш—-три
непрерывные функции напряжений. Нас будет интересовать' лишь
одна из этих функций ф, аналогичная функции w. Тогда, учитывая
B06), получим:
ЛГ2=-^; ЛГЛ &-; S =-**-. B09)
дх\ дх\ дх1дха
Преобразуем систему уравнений равновесия B08). Нетрудно
видеть, что прн условии qx = q2 = 0 функции B09) удовлетворяют
первым двум уравнениям равновесия. Из четвёртого и пятого урав-
уравнений этой системы имеем:
+f-; Q^^ + f-. B10)
д dx дх
Подставим в B10) вместо Н, Мг и М2 их выражения согласно
физическим уравнениям A37), тогда получим:
*1 ¦ UX\ U<
или, если учесть геометрические соотношения B06), то
дх\ дх\дх2 ' дх\дх2\ '
ИЛИ
B11)
дх] дх\
Формула для Qx написана по аналогии.
183

Подставим B11) и B09) в третье уравнение равновесия:
nr J1 „ , д2 о 1 , д2Ф , , д2а> . , г.
или
Dv«v"a'-vl9-'/B = 0; B12)
здесь у| — оператор, имеющий следующий вид:
V = * + *
1 э«| a^f *
Итак, уравнение B12) выражает собой все условия равновесия,
но, в отличие от системы B08), это уравнение выражает условия
равновесия для оболочки, материал которой подчиняется закону
Гука, в то время как система B08) справедлива для оболочки из
материала с любыми свойствами. Уравнение B12) и есть первое/
из двух уравнений разрешающей системы.
Преобразуем систему уравнений совместности деформаций. Пер-
Первые два уравнения B07) при подстановке в них выражений для ком-
компонентов деформаций согласно B06) приводят к равенствам
). B13)
l0; Л,0
дх\ R1R2 д* дх2 RtR2 дх2
Уравнения B13) в рамках принятых предположений мало от-
отличаются от тождества 0 = 0, а потому ими можно пренебречь.
Последнее же уравнение из системы B07) после использования
физических уравнений A39), т. е." после подстановки в него выра-
выражений для параметров деформаций ех, е2 и и, представленных
через усилия A39), и. подстановки вместо кх и к2 ''соответствую-
''соответствующих выражений через w согласно B06) приобретает вид:
Eh Эх? Eh дх22.
Теперь остается подставить в полученное уравнение вместо Af1;
N2 и S соответствующие вкражения через функцию напряжений;
в результате такой подстановки получим:
Eh [ дх\ ^ дх\дХ\ дх\ дх^дх* дх\дх\
184
х\ дх\дХ\ дх\ дх^дх дх\дх\
—k Q2w -о

или после взаимного уничтожения некоторых членов и использо-
использования символов операторов получаем второе уравнение разрешаю-
разрешающей системы:
выражающее собой условия совместности деформаций.
Итак, разрешающая система уравнений линейной теории
логих оболочек приобретает вид:
по-
поB14)
Система уравнений B14) имеет восьмой порядок. Сформулируем
-граничные условия для функций фи». Общее число таких условий
в каждой точке контура должно быть равно четырем. Приведем ха-
характерные сочетания граничных условий.
1. Кромка оболочки хг — const свободно опирается на жесткую
опору (шарнирное опирание):
M1=—D
d2w
дх\
d2w
дх\
дх1дх2 R2
2. Кромка оболочки хг = const жестко защемлена:
R2 дххдх2
дхгдх2 R2
185

3. Упругое опирание и упругая заделка кромки хх = cons:
дх»
1 = _Л/)№
\1 L а»?
&>w
дх\
"^обобщ "
здесь Л и Щ — коэффициенты податливости опоры и заделки.
4. Незакрепленная кромка хх = const, загруженная контур-
контурной нагрузкой общего вида:
Q
1обобщ '
мг=— D
d*w
dxl
=h
Q _ рФ :
'-'обобщ — , , J
Во всех приведенных выше случаях граничных условий функ-
функции fx (х2), /2 (х2), f3 (x2), ft (x2) могут быть и тождественными но-
нолями. Систему уравнений B14) можно привести к одному разре-
разрешающему уравнению либо относительно функции ф,- либо относи
тельно функции до. Покажем, как это делается. Применим к обет
частям первого уравнения системы B14) оператор v?V2;
VV?*- B15-
Решим второе уравнение системы относительно
и результат подставим в B15):
D у V
= V2V V« •
В частности, дифференциальное уравнение для круговой цилиндри
ческой оболочки приобретает вид:
{^)Y- B16)

4. ПЕРЕХОД К ПЛАСТИНЕ
Заметим, что если kx — Q, k2 = 0, т. е. имеем не оболочку, а
пластину, то разрешающая система уравнений B14) распадается
на два самостоятельных уравнения:
из них первое описывает изгиб пластины, т. е. работу ее при де-
деформации из плоскости, л второе — обобщенное плоское напря-
напряженное состояние, т. е. работу пластины при деформации в ее пло-
плоскости.
Разделение w и ф происходит и в граничных условиях, вследст-
вследствие чего оба этих вида деформации в геометрически линейной по-
постановке задачи оказываются независимыми; это справедливо для
достаточно жестких пластин.
Как показано в следующем параграфе, в случае тибких пластин
работа пластины на поперечную нагрузку и на силы в плоскости
ее взаимно связаны.
5. ЗАМЕЧАНИЯ ОБ ОДНОЙ АНАЛОГИИ
В случае пологой сферической оболочки (f/d ^1/5) проблему
удается свести к разрешающему уравнению относительно радиаль-
радиального перемещения да:
имеющему такую же структуру, как и уравнение изгиба круглой
пластины на упругом основании, лежащей в плоскости, нормаль-
нормальной к оси симметрии сферы с контуром, представляющим собой
проекцию контура оболочки. Нетрудно показать, что это уравнение
эквивалентно уравнению пластины на упругом основании:
для чего достаточно в операторе
V ~ г [дгК дгГ г ~W\
перейти от г к безразмерной величине
При этом коэффициент упругого основания
k -
187

Аналогия распространяется и на формулы для изгибающих и
крутящего моментов, выраженных через параметры деформации,
и на формулы для поперечных сил, выраженных через да.
Отличие пологой сферической оболочки от круглой пластины
на упругом основании состоит в том, что в оболочке возникают
вследствие наличия кривизны еще и нормальные и сдвигающие
усилия, которых нет в пластине. Эти усилия определяются по фор-
формулам общей теории с учетом принятой системы координат.
Глава двенадцатая
НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК
1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Отличие построения геометрически нелинейной теории пологих
оболочек от линейной состоит в том, что, во-первых, используются
уточненные (нелинейные) геометрические соотношения между со-
составляющими перемещения и параметрами тангенциальной де-
деформации, во-вторых, вместо третьего уравнения равновесия ис-
используется уточненное, составленное для элемента оболочки, вы-
вырезанного из деформированной оболочки. Наконец, изменяется и
уравнение совместности деформаций.
2. ФОРМУЛЫ ДЛЯ sj, s2 И to
Как указывалось в предыдущей главе, в каждой из формул
для 8lf e2 имеется два слагаемых: первое из них повторяет соот-'
ветствующую общую формулу теории упругости (уравнения Коши),
а второе отражает специфическую особенность оболочки, обуслов-
обусловленную криволинейностью срединной поверхности. Та же картина
остается и в нелинейной теории, но если в линейной теории первое
слагаемое было одночленным, то в нелинейной — сложнее. Анало-
Аналогично добавляется нелинейный член и в ю.
В нелинейной теории деформаций (см., например, В. В. Ново-
Новожилов. Теория упругости. Судпромгиз, 1962) относительная ли-
линейная деформация в точке А тела в направлении г выражается
следующей формулой:
р __ dr' — dr __ dr' ,
dr dr
где dr — длина элемента AB, расположенного вдоль г до дефор-
деформации тела;
dr' — длина того же элемента после деформации; распола-
располагается он вдоль направления г'.
Пусть.тело отнесено к неподвижной системе координат Х]Хгхг;
г в этих осях имеет направляющие косинусы 1Х, /2, /3, а г' — на-
188 ' __. Ч

правляющие косинусы 1[, 1'2, 1'3. Составляющие dr no x^Xfe суть:
dxv dx2, dxv а составляющие dr' по тем же осям суть: dx[, dx'2,
dx'. Тогда очевидна справедливость формул
, _ d*, . , dx2 . , _ dx3 . ,, _ dx[ .,_dx'2 dx'3
dr dr dr l dr' * dr' 6 dr'
Составляющие перемещений точек А я В в системе осей
суть:
Очеввдны следующие соотношения:1
dx[ = dxL + u1B—и1Д, (x
«is—UiA = (u1A + dui)—u1A = d«! = —^-
0%
или
dx2 dx3
Деля обе части этого равенства на dr' и умножая, кроме того, пра-
¦ dr
вую часть на выражение —, равное единице, получаем:
dr
Учитывая, что
.'2 . /'2 , /'2
имеем:
дХ;
ИЛИ
B
+ 2eXl] Ц + [ 1 + 2е„] Г2 + [ 1 + 2е,3] /^ + 2ex,x2/i/2 -f
1 Символ (*i, x2, x3) (ut, u2, u3) указывает на наличие аналогичных фор-
мул, получаемых из написанной путем циклической перестановки букв xlt
Xi и *3) а также букв. ult u2 и us.
189

где
dut ди2 , dut dut , ди2 ди2
дх2 дхх дхг дх2 дхх дх2
, ди„ дия
хг дх2
{ххх2хг) (и1и2и3
B17
или, обозначая выражения в квадратных скобках символом f, пъ
ходим:
Учитывая, что fi+ll+ll = 1, получим:
~J =1+2 [ехД + ех/2 + ехД
следовательно, - ,
(?r+l)a=l+2/; ?'+2?r-2f = 0,
откуда
Er=-\+VTTW.
Если учесть обозначения линейной теории упругости
du2
2
то получим
е =г + — [б2+(— V +<» \2 + (— V — ft> \2]',
= V -1-8 I V —
xi xa ixt x, i **, у 2 x' x>
X
V +C0 18 +
+ (—Y —<o V—V
' 1 2 xa^i •«a I I 2 Х
-ft).
В линейной теории eXl, уХл (*i*2*b) рассматривались как кол
понешпы деформации, а (оХ[ (дгхДГгДГз) — как составляющие поворота
В нелинейной теории эти величины трактуются как параметрь
деформации и поворота, а в роли компонентов деформации высту-
выступают величины eXl еХЛ {х^х^х^) (составляющих поворота не рас-
рассматриваем). Для сохранения обозначений параметров деформацш
в нелинейной теории оболочек такими же, как и в линейной теорик
будем рассматривать eXi, ех„ еХЛ соответственно как уточненньк
выражения первых слагаемых в е^ еа [эти уточненные выражения
190

заключены в B18) в квадратные скобки ] и уточненное выражение со.
Согласно сказанному выше, учитывая B17), получаем:
6, =
dxt
е,=
I дх2 ' 2
dw
~дх~г
dw
со=-р- +
dx.
du2
dw dw
d*t dx2
B18)
При использовании формул B17) учтено, что в силу большой
податливости оболочки из ее поверхности и большой жесткости в
своей поверхности
dw
dw
дх2
dw dw
dXi дх2
( din \«
\ &xi 1
( dm V
{ дх J '
/ d«2 ^
/ du2 ^
1
\2.
)'
i2.
2
Йй2
dx2
dx2
B19)
вследствие чего членами, расположенными в правых частях нера-
неравенств B19), можно пренебречь при выводе B18) по сравнению с чле-
членами, находящимися в левых частях этих неравенств.
3. УТОЧНЕНИЕ ФОРМУЛ ДЛЯ xt И х2 В СВЯЗИ
С БОЛЬШОЙ ГИБКОСТЬЮ ОБОЛОЧКИ
В связи с тем, Что прогиб w в гибкой оболочке не является ве-
величиной меньшей,'чем толщина оболочки, приходится учитывать
влияние прогиба w на изменение кривизн щ и и2 в процессе дефор-
деформации. К основной части -лх и и2, определяемой правыми частями
соответствующих формул B06), добавляется доля, учитывающая
изменение радиуса кривизны вследствие перемещений w (рис. 61):
W
w
Ri
Окончательно срормулы для их и иа примут вид:
d2w w
dw
Rj
:
j
—¦• B20)
191

Оценка влияния втррого члена в формулах B20) по сравнению
с первым может быть произведена на примере замкнутой цилиндри-
цилиндрической оболочки (рис. 62). Если предположить,,что
пх~
то согласно B20)
nx2
R
B21)
R2 R R2
Из B21) вытекает, что отношение второго члена к первому равно
1/яа. Начиная с п = 4 этим влиянием практически можно прене-
пренебречь и вместо формулы B20) пользоваться формулами B06).
В дальнейшем будем предполагать возможность пренебрежения
вторыми членами в формулах для кх и и2 и использования формул
B06).
Рис. 61. К уточнению
формул для хх и к8
в случае большой гиб-
гибкости оболочки
Рис. 62. К оценке влия-
влияния Дхх и Дх2
4. УТОЧНЕННОЕ ТРЕТЬЕ УРАВНЕНИЕ РАВНОВЕСИЯ
В связи с заметным искажением первоначальной формы гибкой
оболочки, происходящим в результате ее деформации, третье урав-
уравнение равновесия необходимо составить для элемента, вырезанного
из деформированной оболочки, учитывая большие углы поворота
нормалей. Это равносильно тому, что, во-первых, в столбце табл. 1,
соответствующем е„, вместо выражений первоначальных кривизн *
Ы kxdxx, +—&2ал:21 используются кривизны после дефор-
деформации , , ,. d2w
а во-вторых, учтена проекция на е„ сдвигающих сил Sx и S2, появ-
появляющаяся из-за возникновения кручения линий кривизн в резуль-
1 Здесь уже учтено, что в силу большой пологости оболочки вместо AidoLx
имеем в виду йхг и вместо A2da2 соответственно dx2. Кроме того, учтено,
что l/#i = kx и 1/#2 = k2.
192

тате деформации; вследствие сказанного в столбце е„ табл. 1, в стро-
строках, соответствующих Sx и S2> вместо нулей должно быть (см. фор-
формулу A14) и ей аналогичную для т2, получаемую из A14) путем
замены индекса 1 на индекс 2]1:
2 dxjdx2 2 дхгдх.
Учитывая изменения в столбце е„ табл. 1 и упрощения, внесен-
внесенные пологостью оболочки, получим третье уравнение равновесия
B08) в следующем виде:
<222>
5. РАЗРЕШАЮЩАЯ СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ
Первое уравнение разрешающей системы (уравнение равнове-
равновесия) выводится аналогично тому, как это сделано в предыдущей
главе при рассмотрении линейной теории. Различие формул насту-
наступает лишь после подстановки в третье уравнение равновесия [в на-
нашем случае B22)] выражений для Qx и Q2 согласно B11); эта под-
подстановка дает:
+ (
дх\ \
или, окончательно, первое уравнение разрешающей системы нели-
нелинейной теории пологих оболочек приобретает вид:
DvY^—v*4>—L(». ф)—Яп=о,
где L (w, ф) — дифференциальное выражение, определяемое сле-
следующей формулой:
42
дх\ дх\Т дх\ дх\ дХ1дх2 дХ1дх2
1 В этих формулах члены вне скобок и второй член в скобках обращаются
в нуль, так как Л] и А2 считаются постоянными и равными единице, а послед-
последним членом в скобках, содержащим их или и2 по условию, принятому в самом
начале предыдущей главы, преиебрежено. В результате получаем выражения
" d2w _ d2w ,
дххдх2
для установления же углов поворота кромок элемента (рис. 33), получающе-
получающегося вследствие кручения, остается умножить тх и т2 соответственно иа
Т — dxv ни — dXi.
2 2
7 Заказ № 1763 193

Второе уравнение разрешающей системы (уравнение совместно-
совместности деформаций) получаем следующим образом. Будем исходить и:,
условия удовлетворения уравнениям B18). Сам факт этого удовле-i
ворения обеспечивает при непрерывности функций и1г и2 и w сов-
совместность деформаций. Подставим вместо ех, е2 и © их выражения
через усилия согласно A39):
Eh
Eh
^ диа
дх2/
2 I
dxx
dw
дхг
dw dw
Eh dxt dXf дх± дхг
Теперь первое равенство продифференцируем дважды по л2
второе — дважды по хх, а третье — один раз по хх и один раз по л»
Далее из суммы результатов дифференцирования первых дву.
уравнений вычтем результат дифференцирования третьего уравне-
уравнения. После выполнения сказанного будем иметь:
. 1 а» (У,-ii^) 2 A + ц) d*S _
Eh
дх\
dxxdx\
Eh
,[.(.
dw' \81
«*i / J
дх\
Eh dXidx2
дх\ дх\дх2
+T-
dxf dxxdx
d2 / dw dw \
dxtdxt \ dxi dx2 )
дх\дхг
B23;
Расшифруем входящие в правую часть уравиения B23) выраже
ния:
dxt
dx\
_ 1 д Гд/ dw \ 9ш 1
2 д% [ \дХ1] дхгдх2 J
-V.
1 \dx,l
2 dx\
1 д Гр I dw
2 dxt\_ \ dx2
дх\дх2
J \
dxtdxa
B24
194

I dw dw \ _ д Г OPw dw ' dw dPw 1 _
\ d*x d*2 j dxx у dxtdx2 dx2 dxt дх\ J
д2 I dw dw \ d Г SPw dw , dw
dxtdx2
d3w dw
dx\dx
2
'so ,'( d*w \2
«2 Л dxxdx2 I
d2w dzw . dw d*w
dx\ dx\' d*i dXld
B24)
Подставляя B24) в B23), производя возможные взаимные унич-
уничтожения членов и заменяя Nlt N2 и S их выражениями через ф
согласно B09), получим:
dx\ dx\dx% ,
. dhm
или окончательно:
J-V3v2<p=-V|a>—1-L(o», ay).
Таким образом, разрешающая система уравнений геометрически
нелинейной теории пологих оболочек имеет вид:
Нелинейные члены здесь сосредоточены лишь в операторе L (,).
6. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ
6.1. Круговая цилиндрическая оболочка (нелинейная ,
теория)
В этом случае в операторе у| кривизны приобретают вид (ось
хх направлена по образующей, а координата х2 измеряется по ок-
окружности поперечного сечения):
*i = 0; *, = -?-.
JK
и сама система уравнений B25) получается такой:
R dx\
195

6.2. Линейная теория пологих оболочек
Линейная теория из нелинейной получается при опускании
в уравнениях B25) нелинейных членов, т. е. оператора L (,).
6.3. Нелинейная теория гибких пластин
Отличие оболочки от пластины в системе уравнений B25) со-
сосредоточено в операторе у|. Опустив этот оператор, приходим
к системе уравнений нелинейной теории гибких пластин (уравне-
(уравнения Т. Кармана):
B26)
Eh " " ш"~ *"""' ""''
6.3.1. Вариант Сен-Венана
Рассмотрим такой частный случай нелинейной теории гибких
пластин, в котором влияние прогибов на тангенциальные усилия
оказывается малым, в связи с чем второе уравнение системы B26)
приобретает вид:
Из этого уравнения функция <р находится независимо от w, а затем
влияние функции ф (т. е. тангенциальных усилий) на прогибы учи-
учитывается путем сохранения в правой части первого уравнения си-
темы B26) нелинейного члена L (w, ф). Этот вариант теории гиб-
гибких пластин предложен Сен-Венаном в примечании к § 73 его пе-
перевода «Теория упругости» Клебша.
6.3.2. Мембраны (абсолютно гибкие пластины)
Полагая цилиндрическую жесткость D пластины равной нулю,
получаем математический аппарат для описания абсолютно гибких
мембран. Система уравнений B26) при этом приобретает вид:
L(w,
B27)
V2V2<P = EhL (w, w).
В частности, если мембрана имеет большое натяжение, влияние
прогибов на тангенциальные (мембранные, или цепные) усилия
в ней несущественно, вследствие чего система уравнений B27) ста-
становится такой:
т. е. фактически распадается на два самостоятельных уравнения
(первым решается второе уравнение, и результат подставляется
в первое).
196

Граничные условия для w и (р в теории мембран упрощены по
сравнению с теорией оболочек.
Наконец, в частном случае, если мембрана большого натяжения
в направлении обеих координатных линий хг и х2 равномерно растя-
растянута силами интенсивности N, а сдвигов нет, то состояние мем-
мембраны описывается следующим уравнением:
дх\ Зл|
носящим название уравнения Пуассона:
7. ЗАМЕЧАНИЯ О КЛАССИФИКАЦИИ НЕЛИНЕЙНЫХ
ТЕОРИЙ ОБОЛОЧЕК
В монографии X. М. Муштари и К. 3. Галимова г подвергнуты
тщательному анализу различные варианты нелинейной и линейной
постановок проблемы теории оболочек. Приведем лишь некоторые
самые элементарные результаты этого анализа.
Если повороты линейных нормальных к срединной поверхно-
поверхности элементов оболочки при изгибе всюду пренебрежимо малы по
сравнению с единицей:
0i «1; ^2 «1,
то изгиб оболочки предлагается называть слабым, и с принятой
степенью точности (допустимость пренебрежения членами порядка
— по сравнению с единицей) можно пользоваться линейной- тео-
R '
рией оболочек.. При этом перемещения иг, и,иш могут быть, самое
большое, величинами одного порядка с толщиной оболочки, если
эти функции являются медленно изменяющимися по аг и а2 и про-
производные их по аг и а2 меньше самих функций или одного с ними
порядка. Заметим, что уже лри — «0,3' линейная теория приво-
h
дит к заметным погрешностям.
Вопрос о том, в каких случаях применяется общая моментная
и линейная теория и в каких допустимо пользоваться безмоментной
теорией, был обсужден подробно в гл. 8.
Если квадраты поворотов линейных нормальных к сре-
срединной поверхности элементов оболочки при изгибе всюду прене-
пренебрежимо малы по сравнению с единицей:
а сами величины ф i и Ь 2 не являются малыми по сравнению с еди-
1 X. М. Муштари, К. 3. Г а л и м о в. Нелинейная теория упру-
упругих оболочек. АН СССР, Казанской филиал, Казань, 1957.
197

ницей, то такой изгиб оболочки предлагается называть средним.
При этом максимальный прогиб может быть одного порядка с тол-
толщиной оболочки и даже значительно превышать ее, но малым по
сравнению с другими, линейными размерами оболочки. В данном
случае допустимо пользоваться аппаратом нелинейной теории по-
пологих оболочек или ему аналогичным. Эта приближенная теория
применима и к непологой оболочке, если рассматривается такая
деформация, при которой оболочка делится на большое число по-
пологих частей "(большое число полуволн на поверхности оболочки,
испытавшей деформацию).
Наконец, если прогибы оболочки велики по сравнению с ее
толщиной и соизмеримы с характерным линейным размером, то
изгиб оболочкд можно назвать сильным. При этом повороты прямо-
прямолинейных нормальных к срединной поверхности элементов оказы-
оказываются порядка единицы. Кроме того, чтобы гарантировать работу
материала в упругой области и, таким образом, иметь возможность
рассматривать физически линейную теорию, должно выполняться
условие 1
В этом случае математический аппарат теории оболочек зависит
от характера деформации оболочки (смешанная деформация —
изгиб при значительных тангенциальных деформациях, деформа-
деформация с превалирующим изгибом), и приходится пользоваться геомет-
геометрически нелинейными уравнениями, при выводе которых все ве-
величины отнесены к деформированному состоянию.
См. сноску tfa предыдущей странице.

Раздел IV
ЧАСТНЫЕ ТЕОРИИ
Глава тринадцатая
ОБЩАЯ МОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ ОБОЛОЧЕК
ВРАЩЕНИЯ
1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
В настоящей главе рассматривается линейная общая (момент-
ная) теория оболочек вращения. —
Основные уравнения получаются как частный случай уравнений
общей теории оболочек; физические соотношения остаются такими
же, как и в общей теории. ¦
Система координат и основные обозначения приняты такими же,
как и при изложении безмоментиой теории оболочек вращения.
2. УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ
Как было показано в гл. 9 (§1), для оболочки вращения коэффи-
коэффициенты Ламе выражаются формулами A71). При этом как Rlt так
и R2 являются функциями лишь угла#. Если учесть A72) и ввести
обозначение
#asin# = # B28)
(R ¦— радиус параллели), то уравнения равновесия A27) для обо-
оболочки вращения с произвольным очертанием меридиана приобре-
приобретут следующий вид: .
d(N1R) , d(SR{) s дЪ
39 dtp 3q>
¦ 1 Г
Ri L
s N
dtp ..3q> * дЬ
2 .а» .эф
2 dtp
d(SR) dWM sdR -N 'did , Г TdjMtRi) ¦
d» д<р "*" . дЬ ' l dtp R2 1 dq>
a» T /d j» J
199

&. _?i 1 f Э 1 Га(ЛЦг) . djHRJ ¦
#1 #2 #i# 1 э» ;?! L эа Эф
-H^-~M dR] I Э J ГЭ<Я^ I dt^fli) ,
Эф 2 эа J" Зф л [ э& аф
эа х зф '.
Выполняя преобразования и учитывая, что R, Rx и R2 не за-
зависят от ф, получаем:
Эф
d(SR) . ,д ЭЛГ2 ,<j3i? , I г_ 3Mj 0D ЭЯ
+ 2Я М. + 2R2H cos # ] = - RiRfa
эф
или, наконец,
200

При выводе уравнений B30) второй и четвертый члены в квад-
квадратных скобках левой части B29) преобразованы следующим об-
образом:
\R2
3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ
3.1. Зависимости между параметрами деформаций
¦ и составляющими перемещения
Для оболочек вращения, при учете A71), уравнения A06) при-
приобретают следующий вид:
R2
R2 sin ft д
\ R2 sin a j R2 sin ft ду [ Rt ) '
sin*cos*f
/?2 Эф RiR \ db
\ дЩ R2 Эф j ##! Эф
B31)
3.2. Уравнения совместности деформаций
Уравнения совместности деформаций A19) преобразуются в слу-
случае оболочки вращения, при учете A71), A72) и B28), к следующему
201

виду, который непосредственно вытекает и из статико-геометоич*
ской аналогии:
B32
«i Л
R
Формулы для углов поворота нормального элемента (НО)
обретают следующий вид:
п 1 dw Ui л _1_ dw «2 sin 9
1~~R~df Rt ' *~~/f "dip й" '
4, ПРИМЕНЕНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ К РАСЧЕТУ ОБОЛОЧЕК
ВРАЩЕНИЯ
4.1. Представление искомых и Заданных функций в
обыкновенных рядов Фурье
Функции
Mi, Nz, S, Мъ Мг, Н; Qit Q2; еь е2, со, кь к2, т;
*i, *2; «1, «а, в>. B33^
характеризующие напряженно-деформированное состояние оболо-
оболочек, в случае замкнутой по параллелям оболочки вращения зг-
висят от аргументов # и ф и являются периодическими относительж
ф. Вследствие этого для решения уравнений теории оболочек в ос-
суждаемом случае можно применить метод обыкновенных рядоь
Фурье.
Представим все эти функции в виде ординарных рядов Фурье
по ф. Для того чтобы уяснить, по какой из систем функций—сину-
функций—синусам или косинусам — разлагать функции B33), начнем обсуждение
с нагрузки.
202

Будем предполагать, что нагрузка qlt q2n qn разложена в ряды
Фурье по ф:
= 2
ft=O
} cos fe<p -f- 9^fc> sin Дгф];
= 2 (^ <*>sin *ч> + я\к) cos fe(P j;
ft=0
?» = 2 (?»(*)cos
ft=0
B34)
Далее будем рассматривать следующие системы нагрузок:
ft=0
2
ft==0
sin
cos
ft=O
2
ft=0
B36)
ft=0
Остановимся пока на нагрузке {235). Результаты, соответствую-
соответствующие B36), получим по аналогии. В уравнения равновесия B30)!, 3
входят грузовые члены B35)ll3, содержащие cos fop, а в уравнение
B30J —- грузовой член B35J, содержащий sin fop; так как в эти
же уравнения B30) lf 3 входят производные четного порядка [нуле-
[нулевого и (или) второго] функций ЛГ1( N2, Mlt M2, а в уравнение
B30)а — производные нечетного (первого) порядка функций N2,.
М2,*легко заключить, что в случае нагрузки B35) функции N^,
N2, Mlt М2 должны быть представлены разложениями по cos fop.
Поскольку в уравнения B30)li8 входят производные нечетного (пер-
(первого) порядка, а в уравнения B30J — производные четного (ну-
(нулевого) порядка функций Я и S, эти функции в случае нагрузки
B35) должны быть представлены разложениями по sin fop.
Итак,
к=0
ft=0
= 2 ^2 (ft) cos fop; M|2] = 2 M2 w cos fop;
ft$ *0
2
*=0
S[2]=2Swsinfop.
ft0
B37)
203

Соответствие функций B37) нагрузке B35) подчеркнуто в обо-
обозначении коэффициентов разложений расположением индекса (k
внизу, так же как это сделано в обозначении коэффициентов разло-
разложения нагрузок B35), а в обозначении усилий — верхним индек
сом [1]. Очевидно, что, по аналогии, нагрузке B36) соответствуют
усилия
= 2 N\k) sin % М?] = 2 М[к) sin k<p;
ft=0 k=0
M2]=2
ft=O
cos ky;
M |2] = 2
2
sin
2
*=0
B38
Верхний индекс [2 ] в обозначении усилий указывает на то, чтг
они соответствуют нагрузке B36). В обозначении же коэффициенте^
разложений это соответствие отмечено верхним расположениел.
индекса (k). Разумеется, что усилия, соответствующие всей на
грузке B34), определятся по формулам
B39.
Продолжим обсуждение вида разложений функций из числа
B33) в зависимости от вида, нагрузки. С этой целью рассмотрим
уравнения A37). Очевидно, что из этих уравнений выражаются
линейно «1°, в?1 через NlP и М'], а к|'], и к|'] — через MV и ф
аналогично cof'] выражается через Sw, а х1С]—через Я^;
сюда получаем вид разложений функций ei'1, el'1, . . . , т[']
- 1, 2):
от-
от(f =
eti1] = 2 ei (k)cos
1 = 2 Ki (*)cos &p;
ft=O
— 2(
ft=O
(ft>°
41] = 2
cos
'= 2K2(ft)cosfesp;
k=0
B40)
204

sin &р;
42] = 2 e2ft) sin % 42] = 2 Kik) sin
B41)
При этом в случае действия всей нагрузки B34)
к, =
со =
т =
B42)
Перейдем к функциям ult aa и ш. С этой целью рассмотрим урав-
уравнения B31), имея в виду B40) и" B41). Кладя в основу рассужде-
рассуждений четность или нечетность порядка производных от иг, и2 и w
по ф в правых частях уравнений B31) и вид разложений функций,
расположенных в левых частях уравнений B31) согласно B40) и
B41), приходим к следующему заключению:
) COS
= 2 U2 (k) Si0
B43)
2
C0S
При этом в случае действия всей нагрузки B34)
B44)
B45)
Наконец, используя аналогично формулы для Qx и Q2, а также
формулы для $! и ¦да, получаем:
= 2 Qi ж cos «ф;
ft0
= ^ Q2 (fe) sin fef;
B46)
2
cos
B47)
- B48)
sin
*2ft) cos %
B49)
205

при действии всей нагрузки B34) v
l1][2] B50)
- B51)
Остановимся теперь на граничных условиях. Будем иметь в
виду, что функции, заданные на кромках оболочки & = ф (') (i =
= 1, 2), также представимы при помощи разложений типа B35)
и B36). Отметим лишь два'типа граничных условий — статические
и кинематические. Условия первого типа выражаются так:
A-=1J). B52)
а условия второго типа так:
иг=и\1]; щ = и1']; ш==ш{'}; Ъг = Ф (i=i, 2). B53)
На границах ¦& = ф'1' (t = 1, 2) в случае нагрузки B35) функ-
ции „Г}, wl'h ф; N?\ (Q1 + ^^)C) и мР^
( ^^)
ются в виде рядов по cos fop, а функции «2 и (S +—V'^ —
в виде рядов по sin fop. Если же на оболочку действует нагрузка
B36), то на границах # == # ' ' (t =» 1, 2) функции
выражанэтся рядами по sin fop, а. функции ы| и ( S + —V'
(t = 1, 2) — рядами по cos fop.
4.2. Системы уравнений относительно функциональных
коэффициентов в разложениях искомых функций
в ординарные ряды Фурье'
Подставим в уравнения B30), A37) и B31) вместо входящих
в них функций B33) и нагрузок qlt q2 и qn соответствующие разло-
разложения B31), B40), B43), B35) или B38), B41), B44), B36). Вследст-
206

вие единственности разложения в тригонометрический ряд уравне-
уравнения B30), A37) и B31) после указанной подстановки удовлетво-
удовлетворяются лишь в случае, если коэффициенты при одинаковых функ-
функциях (здесь имеется в виду и одинаковость аргументов) в левой и
правой частях уравнений оказываются одинаковыми.
Таким образом, система дифференциальных уравнений B30),
A37) и B31) с частными производными относительно функций B33)
распадается на бесконечное число самостоятельных подсистем обы-
обыкновенных дифференциальных уравнений относительно функцио-
функциональных коэффициентов в разложениях функций B33) в ряды
Фурье. Каждая подсистема относится к определенному k (k = 0,
: 1, 2, . . .). При этом указанная подсистема в рамках одного k рас-
распадается, в свою очередь, на две подсистемы относительно функцио-
функциональных коэффициентов отдельно с верхними и отдельно с нижними
индексами. Покажем эти подсистемы.
Система уравнений равновесия B30) распадается на подсистемы
следующего вида:
B54)
sin ft
R
207

Л L ¦*!
/ -1
cos
B55
Уравнения B54) 1э B54K и B55J получены путем приравнива-
приравнивания коэффициентов при cos fop, а уравнения B54J, B55)г и B55K —
приравниванием коэффициентов при sin fep в обеих частях равенств,
возникающих при подстановке B37) и B38) в B30). Поэтому, коль
скоро при k = 0 функция sin fop = 0, уравнения B54J и B55)!,.
при k = 0 исчезают. Физические уравнения приобретают вид:
Eh
Eh
M,,t =¦
12A-|
2 (ft) 12A-|
12A —ц2)
B56
208

S(*> =
//<*> =
B57)
Уравнения B56I,2,3i4, B57)s,6 получены путем приравнивания
коэффициентов при cos fep, а уравнения B56M,в, B57I>2,3,4 — при-
приравниванием коэффициентов при sin ф в обеих частях равенств,
возникающих при подстановке B37), B38), B40), B41) в A37).
Поэтому, коль скоро при k — 0 функция sin &ф = 0, уравнения
B56M>в, B57I>2>з,4 при k = 0 исчезают.
Уравнения, связывающие параметры деформации и составляю-
составляющие перемещения, получаются такими:
1 . "щ
D 2 (k) ' D
Wn /fcv
R
Rl
x
to/!
d»
cos <Л_
RiR
B58)
209

e<ft)=
!
,,<*)
«(*)
Mi WT
-i— cos ft -\ sin ft;
R R
R,
RXR
-^— sindcos*.
R2
d»
Уравнения B58I>2,4,б, B59K,в получены путем приравнивания
коэффициентов при cos fop, аг уравнения B58K,e, B59)lt2^,5 — при-
приравниванием коэффициентов при sin fop в обеих частях равенств
возникающих при подстановке B40), B43)^ B41), B44) в B31).-По-
B31).-Поэтому, коль скоро при к = 0 функция sin fop = 0, уравнения
B58K,в. B59)^2,4.б при к = 0 исчезают.
Уравнения совместности дефо'рмаций приобретают следующш
вид:
d(*2(ft)*) n
(О,
@/
sin»
da,.
fx
= 0;
Ri
R 4»)
B60^
210

Й
— — X
B61)
Уравнения B60)ll3 и B61J получены путем приравнивания ко-
коэффициентов при cos Лф, а уравнения B60) 2, B61I>3 — коэффи-
коэффициентов при sin fop в обеих частях равенств, возникающих при под-
подстановке B40) и B41) в B32). Поэтому, коль скоро при k = 0 функ-
функция sin &р = 0, уравнения B60J, B61I>3 при k — 0 исчезают.
4.3. Граничные условия для функциональных
коэффициентов в разложениях искомых функций
в ординарные ряды Фурье ч
Граничные условия приобретают следующий вид:
при задании на контурах (t = 1, 2) лишь усилий
N
К»)
7 (ft)
(ft)
B62)
где
Qi (*>¦=¦
d»
cos
d ;
211

A7<*)_
7(*> {'}
1 —'"I
Bбз;
где
при задании на контурах (i — 1, 2) лишь перемещений и пово
рота
"l(ft) = Ul(ft)> U2 (ft) ~ U2 (ft) ' W(k)~W{k) ! ^1 (ft) = ^1 (ft) ' (^4
здесь г
'к»)
- — и
«(ft)
.(ft) =.
—и}*)
Граничные условия B62I>3,4, B63J, B64I>3,4, B65J получень
путем приравнивания коэффициентов при cos fop, а условия B62/г
"B63)ll3,4 B64J, B65)ll3,4 — коэффициентов при sin fop в обеиг
частях равенств, возникающих при подстановке B43), B48) и B44)
B49) в B52) или B53) соответственно. Поэтому, коль скоро прг
k = 0 функция sin fop = 0, условия B62J, B63)ll3,4, B64J
265)ll3,4 при k =. О исчезают.
4.4. Общие замечания о напряженно-деформированных
состояниях оболочки, соответствующих различным к
В двух предыдущих параграфах была получена система диффе-
дифференциальных уравнений относительно функций Nl{k), N2(k,
Xl
"*\ (ft)> ^ (ft)' ^(fc)' "(ft)' Б1 (ft)' 62(fc)> ^(ft)' Xl(ft)' ^2 (ftI T(ft)' Ul (ft)
U2(ft)» w(ky ^i(ft)' ^2 (ft) и соответствующие граничные условия.
1 Приведем заодно формулы и для
ные условия:
не входящих в гранич-
гранич212

Аналогично получена система дифференциальных уравнений
относительно функций N\k), Nik) ¦O'ift), Фг*' и соответст-
соответствующие граничные условия. Таким образом, были сформулированы
краевые задачи, решая которые можно найти все функциональные
коэффициенты в разложениях искомых функций в обычные ряды
Фурье.
Различным k и различному расположению индекса — нижнему
и верхнему — соответствуют различные напряженно-деформиро-
напряженно-деформированные состояния оболочки вращения. В табл. 3 дана некоторая
информация о нагрузке и напряженно-деформированном состоянии
оболочек вращения при k — О и обоих расположениях индекса —
нижнем и верхнем.
Несмотря на существенное упрощение задачи при переходе от
системы дифференциальных уравнений с частными производными
к бесконечному числу систем обыкновенных дифференциальных
уравнений (разумеется, удерживается конечное число членов в ис-
используемых рядах),1 задача остается все же сложной. Степень слож-
сложности неодинакова при различных k. v
Наиболее простой оказывается задача о кручении оболочки
(k = 0, индекс k—верхний; см. табл. 3). Значительно сложнее
задача об осесимметричной деформации оболочки {k = 0, индекс
k—нижний; см. табл. 3). Для этого случая система уравнений,
описывающих напряженно-деформированное состояние оболочки,
сводится к системе двух разрешающих уравнений (с одинаковой
структурой левых частей), впервые введенных в теорию швейцар-
швейцарским ученым Е. Мейсснером.2
Для случая k= 1 — изгиб оболочки в целом как балки в плоско-
плоскости ф = 0 (нижнее расположение индекса) и в плоскости ф = я/2
(верхнее расположение индекса) уравнения типа Мейсснера полу-
получены В. С. Черниной.3
Начиная с k = 2 и выше нагрузки на каждом из контуров, а
также нагрузка, действующая на срединную поверхность, в преде-
пределах между контурами являются самоуравновешенными.
1 Следует иметь в виду, что при этом, в случае произвольной нагрузки,
решение получается приближенным. Однако могут представить самостоя-
самостоятельный интерес решения отдельных задач, соответствующие определенным k
и определенному расположению индекса — нижнему или верхнему. Если
нас интересует такая именно задача, то ее решение нужно рассматривать
как точное.
2 Е. Meissner. Das Elastizitatsproblem fur diinne Schalen von Ring-
flachen, Kugel — oder Kegelform. Phys. Z., 14, N 8, 343, 1913.
E. Meissner. Uber Elastizitat und Festigkeit dunner Schalen. Vier-
teljahrschrift der Naturforschenden Geselschaft im Zurich. Jahrgang 60,
23, 1915.
8 В. С. Ч е р н и и а. О системе дифференциальных уравнений равно-
равновесия оболочки вращения, подверженной изгибающей нагрузке. ПММ, 23,
№ 2, 1959. См. также ее монографию, специально посвященную оболочкам
вращения: В. С. Ч е р н и и а. Статика тонкостенных оболочек вращения.
«Наука», 1968.
213

Таблица
Нижнее расположение индекса
Нагрузка типа
Верхнее расположение индекса
Нагрузка типа
sin fcq>,
sin
Поскольку при k — О функция
cos&<p= I, sin&psO, составляю-
составляющие нагрузки, действующие по
касательной к меридиану и по
нормали к срединной поверхности
на любой параллели Ь = Ь*, имеют
постоянную интенсивность д1,0> =
a*) t
() W)
— Чп @) (* *) = const; вдоль мери-
диаиа интенсивности указанных
нагрузок изменяются по задан-
заданному (любому) закону, одинако-
одинаковому на всех меридианах; состав-
составляющая нагрузки, действующей
по касательной к параллели,
имеет всюду интенсивность, рав-
равную нулю. Оболочка испытывает
осесимметричную деформацию.
Поскольку при k = 0 функция
cos *ф з 1, sin ?<р = 0, состав-
составляющие нагрузки, действующие
по касательной к меридиану и
по нормали к срединной поверх-
поверхности, имеют всюду интенсив-
сивность, равную нулю; состав-
составляющая нагрузки, действующей
по касательной к параллели,
имеет на любой параллели
9 = 9*. постоянную интенсив-
интенсивность 40) = 40) (**) =const;
вдоль меридиана интенсивность
этой составляющей нагрузки
изменяется по заданному (любо-
(любому) закону, одинаковому иа
всех меридианах. -Оболочка ис-
испытывает деформацию кручения
d».
Уравнения равновесия
COS» +
_[?(iW)
!1cos»1 = — с
1 M(M,@)fl)
7
I
R
=
B66)
Физические уравнения
s@) -=
M
Eh
2A
Eh'
•X
12A —
X A - ц)т@> B67)
214

N ¦ i
Продолжение табл. 3
ft
Нижнее расположение индекса
Нагрузка типа
q\ (fe) cos &<Pt ^2(к) s*n ^' ^n(k)cos ^
Уравнения, связывающие
и составляющи
с -¦ 1 ( d"I<0> 1 Л-
C'(U> *Д л ' °J'
Л") ^ и
х, @) = —J— d Г-L х
V ( И'@) 1! \ 1 ¦
\ /ft °* ) '
1 о / dw(Q) \
@) /? R 1 w» <°) 1
Верхнее расположение индекса
Нагрузка типа
?j*) sin fecp, q^ cos *ф, ?^^ sin k<p
параметры деформации
e перемещения
R d ( 40) \
/?x d» \ R I
RRx d»
Уравнения совместности деформаций
}C,@)iC1COS»
1 fd(82@)R) 1
d»|(/?x d» ' cHO)^ico-&-JJ
— x2(Q)K-xI(Q)*lSin»=0
Граничиые
Статическ
^i@) = ^i@) _^=Ji 2)
Кинематиче
Ь 0 — *{') ((= l, 2)
+ / T<°) + w<0)\ /?lCos» +
dn»' Г/? dco<°)
+ R [ 2 d»
.+co<°)/?lCos»l = 0
условия
и й тип
(s<°>+"<Q)f («• 1 2)
с к ий тип
215

5. КРУЧЕНИЕ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ
Будем исходить из уравнения равновесия B66) (см. табл. 3),
которое перепишем в следующем виде, предварительно умножив
все члены B66) на R:
dH{0) . „@) n sin
H{0)R, cos ft sin ft
Объединим второй и пятый члены:
)^cos* = ^(s<°) + -f-)-f- B70)
и третий с четвертым:
R{H + sm^
oft \ ей dft
Полученное в B70) выражение вместе с первым членом в B69)
дает:
d
тогда, учитывая B71) и B72), преобразуем B69) к следующему
виду:
^1?3. B73)
При написании последнего члена в левой части равенства B73)
учтено, что #/#2 = shift и ^cosft = dRldft.
Наконец, объединяем последние два члена в B73) в производную
от произведения:
216

Интегрируя это уравнение, будем~иметь:
Ws@)+'
при ф = Ф 0 получаем:
или
@)
2Я<°>
2Я<°>
»=»„
здесь #0 = R |9=v
Воспользовавшись уравнениями B67) и B68), выразим S@) и
Я@) через «20) и производные от иР по ¦&:
S@)=
Я@) =
Eh
2A + |х
Eh?
12A —
R
40)
/?2
- d
db
П 4- ill
sin ¦Ь
1 „0) \
2 1
4°> eos »
cosft I.
) J
Eh Г 1 <*4'
¦3'
B75)
Легко видеть, что отношение Hi0)/S{0) имеет порядок tf/R,
а слагаемое 2H{0)/R2 по сравнению с S@) имеет порядок /12/Я2 по
сравнению с единицей. Поскольку погрешность исходных предпо-
предпосылок технической теории оболочек порядка hlRx или h/R2 по
сравнению с единицей,— членами, имеющими порядок hlR± или
h/R2 по сравнению с единицей, в технической теории пренебрегают,
а тем более следует пренебречь членами, имеющими порядок /i2/i?i
по сравнению с единицей. Таким образом, вместо B74) получаем1:
1 Заметим, Зто, так как в формуле S@) *= Sj°> , второй член при
t.2/r,2 ,
сопоставлении с первым также имеет порядок h ]R\ no сравнению с единицей,
вследствие чего S@) « S^.
217

После того как найдена функцня S@), легко найти «j0) из B75,,
которое запишем следующим образом:
Интегрируя, получим:
R
Eh
ИЛИ
отсюда
Eh
с.
в. ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ОБОЛОЧЕК
ВРАЩЕНИЯ. УРАВНЕНИЯ Е. МЕЙССНЕРА
Воспользуемся уравнениями, помещенными в табл. 3. Запишем
уравнения равновесия в следующем виде:
здесь
Ql '^
B76^
B77
Уравнения, связывающие параметры деформации с перемещу
нйями, учитывая, что R =\R2sin'&, запишем так:
B78
218

Уравнения B78) эквивалентны условиям совместности деформа-
деформаций. Эти уравнения при учете физических соотношений, решенных
относительно параметров деформации, могут быть представлены
и так:
12
Eh*
1 ,
Eh
¦*\1 \ '
j
* • 1*
) 1^Лм (U() — 1
1 @) \.
jCtgft + ^y;
/ QX?)ri\ \ 1
1 10) 1 I
B79)
Таким образом, имеется семь уравнений B42), B43), B45) от-
относительно семи неизвестных функций Nlt N2, Mlt M2, Qlt ux
и а;.
Уравнения B42), B43) и B45) могут быть приведены к системе
двух обыкновенных дифференциальных уравнений относительно
вспомогательных функций:
B80)
Такие функции, так же как и система из двух разрешающих обыкно-
обыкновенных дифференциальных уравнений, были предложены Е. Мейсс-
нером.
Покажем вывод уравнений Мейсснера.1 Первое' уравнение по-
получается, если нз последних двух уравнений B79) найти Мх и М а
или, что то же самое, если воспользоваться уравнениями A39) и
подставить их в уравнение равновесия B77):
1 А Г 1
1 См. сноску иа с. 213.
I 3lfl

Используя B80), получим:
ill, W__D(JL+ ,-*.
B81)
Уравнение B77) приобретает следующий вид после подстановки
в него М1@) и М2{0) согласно B81):
B82)
«2
Ниже показаны преобразования уравнения B82); дри этом
имеется в виду, что жесткость оболочки (толщина ее) может быть
переменная:
—D' (-?- + ц -%- ctg #) #а sin *—D (-?- + |i -J- ctg *Y fla sin * —
или, деля все члены на D/^sin 8 и раскрывая производную от вы-
выражения в круглых скобках, получим:
D
или, учитывая что Z?7D = 3h'/h и группируя члены по порядку
производных от х. будем иметь:
ctge—
]—^- [—
J «i L
Sin2 e K,
/?t
220

В результате преобразований получаем первое уравнение Мейсс-
нера:
LUJ Ri Ri
_SFrcl,e]^—A. B83)
Для вывода второго уравнения Мейсснера используем пока
не применявшиеся уравнения: первые два уравнения из системы
B76) и первые два уравнения из B79).
Решим первые два уравнения из B791 относительно выражений,
стоящих в скобках в правых частях равенств:
Eh
B84)
(N. — uNA.
Eh
Исключая w из B84), получим:
]. B85)
rM(a
En
Продифференцируем второе из равенств B84):
Введем обозначения:
А = [ЛГХ (/?х + !хЯ2) - iV2
тогда из B85)
Подставив B87) в B86), получим:
или
выражение, стоящее в круглых скобках в B88), равно минус еди-
единице; поэтому, учитывая B80), найдем:
221

или в развернутой форме:
Eh 1Ч^П ~
(/? + цК) ctg 9 1 -28д.
Eh J" * '
Будем считать, что-qi = 72 = 0. тогда, умножив первое из урав-
уравнений B76) на sin 8, а второе на cos 8 и сложив результаты этих
умножений, получим
(ВД)' sin 8 + ВД cos 8 + QtR sin 8 — (Qx#)' cos 8 = 0,
или, учитывая правило дифференцирования произведения функ-
функций, будем иметь
(NtR sin 8)' — (QXR cos 8)' = 0.
Интегрирование этого уравнения дает:
NXR sin 8 — Qi# cos 8 = С.
Каждый из членов левой части равенства представляет собой про-
проекцию равнодействующей внутренних сил на ось оболочки.
Постоянная же интегрирования С — это аналогичная проекция
внешней нагрузки. Если положить, что на каждой из граничных
параллелей оболочки действуют лишь самоуравновешенные уси-
усилия, то С равняется нулю, и тогда, учитывая B80), будем иметь:
tfi=*<2ictge=JLctge. B90)
К 2
Подставляя B90) во второе уравнение B76) и учитывая, что
R ctg 8 = #asin 8 ctg 8 = R2cos 8, получим
N2RlSin a + QiR ctg 8 — (QiRz)' sin 8 — Q^os 8 = 0,
или ^=^-(Qi^)'=^-Y- B91)
Теперь вместо Л/\ и N% в B89) можно подставить их выражения
согласно B90) и B91); результат такой подстановки имеет вид:
Выполняя дифференцирование, получим:
Ui
JL^ct ge- ^J-f
^ Eh* * s r Eh v
222

Умножая все члены полученного уравнения на Eh/Rx и группи-
группируя члены по порядку производной от г|з, получим (при этом учтем,
что ^ Ь ц ctg28 = — ц,) второе уравнение разрешающей
системы:
*l *-+Г (A.V +,А. ctg е- А. *11 JL-
Ri Ri l\Ri) Ri Ri ь\ Ri
B92)
Нетрудно обнаружить сходство дифференциальных операторов.
в B83) и B92). Отлнчие состоит лишь в членах, содержащих ft',
и в знаке ц в коэффициенте при г|з/^х.
Если ограничиться случаем оболочки постоянной толщины
(при этом члены, содержащие ft', обращаются в нуль) и, кроме
того, не включать в оператор член ц,, отличающийся знаком в B83)
и B92), то, как это сделал Мейсснер, можно ввести оператор (нося-
(носящий его имя), имеющий следующий вид:
+ f(y + ctgelcv
Ri Ri LUi/ *i ё J Ri Rt Ri
Используя этот оператор, представим разрешающую систему урав-
уравнений так: ,
B93)
¦Kl
Легко произвести разделение переменных в системе B93), для
этого достаточно решить первое уравнение относительно г|з и ре-
результат подставить во второе, и наоборот. В итоге таких преобразо-
преобразований получаем §ва обыкновенных дифференциальных уравнения
четвертого порядка:
B94)
Если в оболочке Ri x— const (сферическая, тороидальная, кони-
коническая, цилиндрическая оболочки), то во вторых членах уравнений
системы B94) можно вынести \IRX из-под 'знака оператора, и
тогда вторые и третьи члены взаимно уничтожаются и оба уравне-
уравнения становятся идентичными:
LL(t|)) + v4i|) = 0; B95)
здесь
v* = _Ei VL
D R*'
223

Теперь уравнение B95) можно представить в виде:
L [L (i|>) + iv4] — iv2 [L (г|з) + iv2^] = 0 B96)
Решение уравнения второго порядка с переменными~коэффици-
ентами
L'№) + /vN» = 0 B97)
является решением и уравнения B96).
Аналогичная картина имеет место не только при Rt = const,
но и при некоторых других условиях (например, ц = 0). Более
того, даже уравнения B83) и B92), справедливые для оболочки вра-
вращения переменной толщины, также сводятся к уравнениям второго
порядка, но при определенном законе изменения толщины обо-
оболочки вдоль меридиана.
Понижение порядка системы^уравнений .в два раза (при нали-
наличии аналогии в их структуре) за счет использования комплексной
формы уравнений в общей теории оболочек выполнено В. В. Ново-
Новожиловым.1 Основанием для такой операции послужила аналогия
в структуре уравнений равновесия и совместности деформаций
(статико-геометрическая аналогия).
Глава четырнадцатая
МОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ КРУГОВЫХ
ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК
1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Несмотря на то, что круговая цилиндрическая оболочка яв-
является частным случаем оболочек вращения, воспользоваться не-
непосредственно уравнениями, приведенными в предыдущей главе
для таких оболочек, не представляется возможным. Объясняется
это тем, что радиус Ri бесконечно велик и угол Э для любой точки
образующей остается неизменным и, таким образом, не может слу-
служить координатой. Изложенное позволяет вывести основные урав-
уравнения для цилиндрической оболочки самостоятельно из уравне-
уравнений общей теории оболочек произвольного очертания. Этот вывод
представлен достаточно подробно для того, чтобы читатель мог про-
проследить за всеми его этапами. :
1 Обзор развития идеи комплексного преобразования в теории оболочек
дан в статье В. В. Новожилова «Развитие метода комплексного преобразова-
преобразования в линейной теории оболочек за 50 лет» (обсуждено двадцать пять работ).
Сб. «Теория оболочек и пластин». АН Арм. ССР, Ереван, 196$.
224

2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
2.1. Система координат
В цилиндрической оболочке
R*
Воспользуемся системой безразмерных координат:
и, учитывая, что (см. рис. 63)
(dsJ = (dxJ + (dyJ =
= (rd%J + (rdcpJ,
найдем:
A^r, A2 = r. C00)
Рис. 63. Координаты точки срединной по-
поверхности круговой цилиндрической обо-
оболочки
2.2. Уравнения равновесия
Исходя из уравнений A21) и имея в виду C00), получим:
Х298)
B99)
+j
ofe off
Оф
<301)
Заказ № 1753
225

2.3. Геометрические соотношения
Геометрические соотношения A06) при учете B98) и C00) при
обретают вид:
1 Э«! . „ ld*w. )
1 / 52ш дий
1 r
a^J-ll^+lHL]. т== 1 / Уш ди2
г { dl dtp )' г2 \ dldy dl
2.4. Замечание о физических уравнениях
Соотношения упругости (физические уравнения) сохраняю"
свой общий вид A37), при котором шестое уравнение равновесия
C01) удовлетворяется автоматически, в связи с чем в дальнейшее
рассматривать его не будем.
2.5. Граничные условия
Статические граничные условия на торцах | = |0 и | = |^
замкнутой цилиндрической оболочки имеют вид:
1 @)'
, C03
N Г О л- 1 О
, 1 дН1 (L) .
+ Г До, '
=м,
Вместо граничных условий C03) или части из них могут быт:
заданы кинематические условия.
3. РАЗРЕШАЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ В ПЕРЕМЕЩЕНИЯХ
Будем следовать классической схеме получения разрешающи;
уравнений в перемещениях, а именно, выразим условия равно-
равновесия через параметры деформации, пользуясь физическими урав-
уравнениями, в результате чего получим уравнения равновесия в де-
деформациях, справедливые для оболочки, материал которой по/
чиняется закону Гука.
226

Далее, используя геометрические соотношения C02), предста-
представим эти уравнения через перемещения. Сам факт использования
уравнений C02) гарантирует совместность деформаций, вследствии
чего полученные уравнения в перемещениях выражают равновесие
оболочки, материал которой подчиняется закону Гука и в которой
соблюдается совместность деформаций.
Предварительно упростим исходные уравнения равновесия —
исключим из них Qj и Q2. Для этого найдем Q2 из четвертого, Qj —
из пятого уравнений системы C01) и подставим соответствующие
выражения во второе и третье уравнения той же системы. Произ-
Произведя эти операции и учитывая сказанное выше о шестом уравнении
равновесия, получим систему уравнений равновесия в следующем
виде:
Выразим усилия Nx, N2, S1( S2 и моменты Hlt #2, Мх, М2
через перемещения, пользуясь физическими уравнениями A37) и
A38) и геометрическими соотношениями C02); при этом в формулах
для Slt S2, Нг и #2 членом, содержащим Ф, пренебрежем:
\т Eh , ¦ ч Eh Г диг , I ди2
(i ii)
—и-
Eh
1 —p,2 A — ц2)
Eh , Eh3 x Eh 1
со -\ = X
2(l + ) ^ 12(l + ) r 2(l + ) r
I du2 dut\ Eh3 1 Г д ( dw
Xl dl + Эф] 12A + ) ' [э? (Эф 
Eh \ Eh
2A+,) 2A + ,) r{dl a,,
и tj Eh? Eh? 1 Э / dw
H1 = n2s= т =
т
12 A + |x) 12 A + |x) г2 Э| \Эф
(K + |M4) — X
12A —H-2) r2
Э2ш Эы
12 A—м-2)
-du2
Эф
^2 /
327

Подставляя C05) в C04), получим:
Eh I ravx а»и,
2A +ц) '
Eh J_ / д*иг д2иг \ Eh3 _1_
J Ч1 '
/ а3ш д*иа\ . Eh 1 (д*иг dw
[д&ду д1г ) A 2) ' I 5ф2 5
, .. « ~i I , . I ?А3 1 / &>w 52ы,
Eh*-
12 A -
,• ll^T~ 5ф2 + •*
1 Г ?й3 1 / а*ге» .
т L 12A —ц2) г» \ 5|4 **
d*w
1 Г Eh3 1
г [ 12A +
12A—
ц) г
d*w
йф2 - д1*д<р* )\
7Г^Г
A —ц2) ^
или объединяя в каяодом из уравнений члены по признаку опера-
операций отдельно над каждой из составляющих перемещения иг, ы2
и w, получим:
дг , 1 — и дг \ , /1 —и . \ 5
Mi + [ — + и, ы»
/1—и . \ д2 . /1 —ц 52 . 1 —ц А* 52 . 52 .
^ 2 / а|5ф \ 12 5|я 12 г1 dga 5ф2
-I ¦ | Цл -4- I X
' 4 Л *-%«.¦» ' 4П О Л/|J / \ 12 Г2
g» а A —и) ^ ^ а» а»
д1Щ *р
12 г* 5|25ф 12/*
22а

,
12r2
12r2
А__^ fe
12r2 5|4 12r2
12г2
12/-*
12/-2
Приводя подобные члены внутри каждой из скобок и вводя
обозначения для соответствующих операторов:
- g ,
Э|2
2 Эф2
д .
Э2
(
33
V V
C06)
где
а = -
12/-2
а также вводя следующие обозначения:
- 1 — ц2
— ц2
Ё
1 — ц2
получим разрешающую систему уравнений для круговой цилин-
цилиндрической оболочки в перемещениях:
= 0'.
= 0;
—r2qn = 0.
C07)
Матрица системы уравнений C07) симметрична; это связано
с теоремой Бетти о взаимности работ. При постоянных коэффици-
коэффициентах в линейных дифференциальных уравнениях C07) их можно
решать, как и линейные алгебраические уравнения.
229

Представим эту систему в следующем виде:
L12m2 + L13uv = fo
2gM2 + L28uU =/у,
L8l"l + L32W2
C08)
где
/1 = —1*Яъ /2 = — r*5,; /3 = r2qn.
В матричной форме C08) запишется так:
или
где
L =
Lu
L21
L,i
Lu L12
L21 L22
L31 L32
L13
L2»
L33
LU =
Li2 L13
т т
1-r22 ^гЗ
L32 L33
, 1
•
t
u2
w
=
/1
/2
/3
F,
J =
Щ.
u2
w
, F =
/1
/2
/3
C09)
Общее решение системы уравнений C07) [или, что то же самое,
уравнения C09) ] складывается из какого-либо частного решения
этой системы и из общего решения соответствующей однородной
системы уравнений:
Верхний индекс A) относится к частному решению неоднородной
системы, а индекс @) — к общему решению однородной системы.
Частное решение найдем в форме
или
11 =
D(L)
F;
Здесь Ltj — миноры определителя D (L), а матрица из этих мино-
миноров — союзная матрица.
1 Обращаем внимание на различие еператоров 1ц и L</.
930

В развернутом виде частное решение неоднородной системы вы-
выглядит так:
1
2
D(L)
1
D(L)
или, вводя обозначения
будем иметь:
~Ь^-21/2 ~Ь I-ZV з) •
12/l + ^-22^2 + ^-32/з) "•
+ ^-23/2 +^-33/з)>
Миноры Ly определяются по следующим формулам:
^-11:=::^22Ьзз L32L23; ?-21~ (L12L33 L13L32
L\2== — (L21L33—L23L31); L22 = ЬцЬзз— Ь31Ь13;
i-хз = L21L32 — L22L31; L23 = — (L11L32 — L'12L3i
^-зз = LuL22—L12L21,
или, учитывая C06), в развернутом виде:1
X
а?
• + "
X
-(i2)] X
C10)
C11)
C12)
C13)
1 Символ кратного дифференцирования рассматривается как произвб-
д д
дение соответствующих степеней символов — и —.
231

2 j d& dtp2
— 1*
X3
d<p
A — |i)|*(— + 2aA —
C13Ч
C13Ч
2 d(p2
.-» 52 ^r 5__a2X
X
l — i
232

1 —
d2-
ag2
a*
д*
B—2М- +
X
д*
1 — 1
2
a2)
C13)
В силу симметрии матрицы L симметрична и союзная матрица,
следовательно
i-21 = ^-12> ^31 = ^13' ^32 == ^23-
Обозначим оператор D (L) символом С
Для отыскания функций Ф,- имеем уравнения C10), которые
запишем таким образом.
Щ), = /, (i=l, 2, 3); C14)
в иной форме это уравнение выглядит так:
u L12 L13
L31 L32 L3
или
\L11L22L33 + 2Ь12Ь2зЬ31—ь
Учитывая C06), получим:
—ь22мз—L3^Li2—Ь11ЬзгJ Ф^ = ft.
+ 4
C15)
Общее решение м<°>, ы2°), а/°) однородной системы уравнений,
соответствующей C08), получаем из C11) заменой Ф1( Ф2 и Ф3
на Ф{, о, где Ф,-, 0 является решением однородного уравнения, со-
соответствующего уравнению C10), т. е. решением уравнения
C14')
Ln
L21
L31
L12
L22
L32
Lis
L23
L33
Ф = 0;
233

тогда
,(°).
w{0) =
При этом можно положить:
отсюда
W(o> _ ^ —?— ф- w(o> =
1 31 i v» **2
— |Х
Ф:
ф;
Ч-ц
C16)
Ф. C17)
> В каждом из выражений C17) содержатся свои постоянные ин-
интегрирования. Учитывая C16), разрешающему уравнению в одно-
однородной задаче придадим вид:
Ln '-'19, Lrj
L21 ь22
= 0.
1 — М-
L31 L32 L33
Запишем это уравнение в развернутой форме:
A 4-4а2) J- 4 A 4 а2) }- [6 + а2 A
, . д*Ф , д»Ф , /о О..Л 5вФ ,
4. УПРОЩЕННАЯ ФОРМА РАЗРЕШАЮЩЕГО УРАВНЕНИЯ,
ПРЕДЛОЖЕННАЯ В. 3. ВЛАСОВЫМ
В. формулах C06) члены, содержащие а2, малы по сравнению
с остальными (исключение составляют члены, входящие в выра-
выражение Ls8). В связи с этим пренебрежем ими, как это сделал
В. 3. Власов; тогда уравнения упрощаются. Уравнение C15) при-
приобретает вид:
*Q-v) Г
2 L
или
234
C19)

Аналогично уравнение C18) приобретает вид:
=O. C20)
Соответственно упрощаются и формулы для миноров Ltl-, через
которые выражаются перемещения и в частном решении неодно-
неоднородной системы уравнений и в общем решении соответствующей
однородной. В формулах C13) сохраняемые члены подчеркнуты.
Уравнение C29) может быть получено и из системы уравнений
теории пологих оболочек. Действительно, рассмотрим систему
B14), предполагая ее однородной (qn — 0), и учтем формулы B98)
и C00). Система приобретает вид:
*~ %
C21)
vVO+o.
Eh V V ''5л;2
-s
Совершим операцию y2V2 наД вторым уравнением системы
C21):
Подставляя сюда
2 2 1 52Ф
v v
v v rD дх*
найденное из первого уравнения системы C21), получим:
Это уравнение совершенно аналогично B16), если положить qn = 0,
как и должно быть на основании статико-геометрической аналогии.
Переходя к безразмерным координатам и используя формулу для
а2, получим C20).
5. МОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ ОСЕСИЛШЕТРИЧНОЙ ДЕФОРМАЦИИ
КРУГОВОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ
5.1. Общие уравнения
Рассмотрим осесимметричную деформацию круговой цилиндри-
цилиндрической оболочки. Вследствие осевой симметрии деформации Q2 = 0
и производные всех функций по <р обращаются в нуль в силу неза-
независимости функций от ф.
235

Тогда общие уравнения равновесия C01) круговой цилиндриче-
цилиндрической оболочки разделяются на две системы и приобретают следую-
следующий вид:
dl
дНг
dl
= 0;
= 0.
C22)
C23)^.
При этом система C23) соответствует кручению оболочки.
Геометрические соотношения также распадаются на две системы:
C24)
e2
CO =
w
r
r
1 ePw
r* dl2
du2
dl '
C25)
Система C25) соответствует кручению оболочки.
5.2. Пример
Рассчитать оболочку круглого цилиндрического резервуара.
В примере 3 эта же оболочка была рассчитана по безмоментной
теории, а в примере 4 был учтен краевой эффект.
Рассчитаем эту же оболочку по моментной теории и сопоставим
результат с полученным в примере 4. Воспользуемся системой
C22). Продифференцируем третье уравнение по \:
dl
=Q
236

г> d-Ол
В это уравнение вместо —?- подставим соответствующее выраже-
ние из второго уравнения C22):
или, переходя от безразмерной координаты g к координате х, по-
получим:
™±--ЛЬ- =,-%. C26)
Же2 т *" у >
Физические уравнения A37) с учетом геометрических соотноше-
соотношений C24) приводят к следующим зависимостям (здесь учтен пере-
переход от \ к х и равенство нулю ы2 в силу осевой симметрии некрутиль-
некрутильной деформации):
»r Eh , . ч Eh
12A—ц»)
Полагая коэффициент Пуассона равным нулю, найдем:
»r Ehw
г
Eh? d*w
C27)
12 dx*
Подставляя C27) в C26), придем к разрешающему уравнению:
12 dx* г2 х '
или, учитывая, что qn = ух,
---— + -—- w — —Y- . • C29)
Общее решение этого уравнения складывается из какого-либо ча-
частного решения данного уравнения и общего решения соответст-
соответствующего однородного уравнения:
В качестве частного решения можно принять решение без^омент-
ной теории A95):
—*¦• w
237

В удовлетворении C31) уравнению C29) нетрудно убедиться.
Общий интеграл уравнения C30) имеет вид:
ш(о> = / (x-L) j"Di CQS x (x—L) + D2 sin к (x~ L)} +
(^L) [Dacosl(x—L)+DtsinX(x—L)], C32)
где
тогда общий интеграл уравнения C26) представляется как сумма
C31) и C32):
При этом постоянные интегрирования находим из граничных ус-
условий:
при х = L
4
при х = 0
^ = 0, или
1
Qi = o; или
C33)
приводящих к системе четырех линейных алгебраических уравне-
уравнений относительно Dlt 0%, D3 и D4.
При решении той же задачи на основе суммирования решения
по безмоментной теории и краевого эффекта удерживались лишь
затухающие члены, в связи.с чем граничные условия C33) не вы-
выполнялись точно, но в области заметного влияния учтенного крае-
краевого эффекта, т. е. у днища, это невыполнение не было ощутимым
из-за значительного превышения длины цилиндрической оболочки
L над d — длиной волны затухающих функций; к тому же крае-
краевой эффект свободной незагруженной кромки в нашем случае во-
вообще мал. Разумеется, на безмоментное решение можно было на-
наложить и краевой эффект, связанный со свободной кромкой, это
приведет к еще большему уточнению решения. При учете влияния
на напряженное состояние оболочки обоих краевых эффектов ре-
результат будет отличаться от получаемого по моментной теории
лишь тем, что в последнем случае учитывается взаимное влияние
условий на противоположных торцах цилиндрической оболочки,
при учете же краевых эффектов это взаимное влияние опускается.
Взаимное влияние указанных факторов ощутимо лишь при
соизмеримости длины оболочки с длиной волны затухающих функ-
функций. Практически по соотношению размеров Lid при этом полу-
238

чается уже не резервуар, а кольцо, Если имеет место именно такое
соотношение размеров, то не остается области безмоментного со-
состояния и пользоваться безмоментной теорией и корректировкой
краевыми эффектами нельзя и необходимо переходить к момент-
ной теории.
6. ПОЛУБЕЗМОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ
/ ОБОЛОЧЕК
6.1. Предварительные замечания
Стремление к упрощению моментной теории цилиндрических
оболочек и малость в некоторых случаях моментов Mlt #х и #2,
а следовательно, и малость Q1 привели В. 3. Власова к созданию
так называемой полубез-
моментной теории цилин-
дрических оболочек. В этой
теории принимаются - рав-
равными ' нулю М-у, #ь #2
и Qlt благодаря чему су-
существенно упрощаются
уравнения, описывающие
напряженно-деформирован-
напряженно-деформированное состояние оболочки.
Такая упрощенная картина
работы системы соответ-
соответствует расчетной схеме,
изображенной на рис. 64.
Из этого рисунка ясно, что
вся оболочка уподобляется
системе соединенных между
собой арочек, могущих ра-
раб
р у р
ботать на изгиб в своей
Рис. 64. Схема В. 3. Власова полубезмо-
ментной цилиндрической оболочки
плоскости, тогда как пере-
передача моментов и поперечных сил от одной арки к другой не обеспе-
обеспечивается, вследствие чего Му и Qx равны нулю. Не сопротивляется
арка и кручению.
В. 3. Власов при выводе разрешающего уравнения полубезмо-
ментной теории, кроме указанных допущений
Mt = 0, Я1 = Я2 = 0 C34)
и вытекающего из первого из них равенства Qx = 0, принял и дру-
другие допущения, касающиеся геометрической и физической сторон
явления, а именно:
е2 = со = ц, = 0.
Однако в этом нет необходимости и результата, полученного В. 3. Вла-
Власовым, как показал В. В. Новожилов, можно достигнуть на основе менее
сильного и вместе' с тем гораздо более глубокого положения. Сущность
239

его состоит в следующем. В достаточно длинной цилиндрической оболочке
все функции, описывающие иапряжеиио-деформироваииое состояние, изме-
изменяются вдоль образующей цилиндрической поверхности значительно более
плавно, чем в направлении направляющей. Вследствие этого производные
о2( ) а*( )
намного меньше, чем , и, таким образом, первыми можно пре-
0§2 0ф2
небречь по сравнению со вторыми.
6.2. Основные уравнения
Воспользуемся системой координат, изображенной на рис. 63
[см. формулы B99) и C00)].
Уравнения равновесия C01) с учетом C34), а следовательно,
с учетом St = S2 = S приобретают вид:
iS_ =0;
dtp
C35)
Геометрические соотношения C02) и физические, уравнения
A37) сохраняют свой вид; при этом следует лишь учесть, что в силу
равенства '
^= 0 C36)
1 12A— ц2
должно существовать равенство хх + ц,х2 = 0, откуда
тогда
М. = — (х2 + ахх) = Щ- х2. C37)
12 A — (х2) V 2 ^ ' 12 2 . V/
Кроме того, в физических уравнениях в нашем случае
S1=Si = S = —^—со. C38)
' 2 0 + Ц)
Можно после решения проблемы найти и Мъ Qx и Нг из не-
неупрощенных уравнений равновесия с целью оценки самой воз-
возможности использования полубезмоментной теории цилиндриче-
цилиндрических оболочек.
Рассмотрим случай, в котором Цг— Чг — 0. Чп Ф 0- Общее
решение системы C35), C02) и A37) с учетом C36) — C38) полуг
безмоментной теории складывается из какого-либо частного реше-
решения этой системы (в качестве чего можно принять решение, полу-
получаемое по безмоментной теории) и общего решения соответствующей
однородной системы уравнений. Остановимся именно на последнем.
Однородная система уравнений может быть приведена к одному
разрешающему уравнению.
240

6.3. Разрешающее уравнение однородной задачи
полубезмоментной теории цилиндрических оболочек
Если выразить Q2 из четвертого уравнения C35) через произ-
производную от М2 и подставить полученное выражение во второе и
третье уравнения C35), то, учитывая однородность задачи (qx =
= Яг = Яп = °)> получим:
eg аф
¦§- + -^г1 + -у" -^- = 0;
а§ аф ' аф
1 а2лг, .,
Если выразить усилия через параметры деформации и в полу-
полученных формулах последние заменить соответствующими выра-
выражениями через составляющие перемещения иъ и2 и w, то найдем
разрешающую систему уравнений полубезмоментной теории обо-
оболочек, выраженную через иъ ы2 и до:
Eh
Eh
ag2
Eh3
r* 12
Eh
/ а2«2 а2^! х _ п.
I ара • а » i — ¦
2
d<p
d*u2 \ = 0.
аф2 / ~ '
\
)
1 ?А3 / d*W Ри. \ . Eh . l ди. . . auj \ n
-И l^-^ + w+u,—- =0,
r3 12 \ аф* афз / (i — u,2) т \ аф ai
или
= О;
C39)
Операторы Ljy- в C39) отличаются от операторов, обозначенных
такими же символами в системе C07), относящейся к общей момент-
ной теории круговых цилиндрических оболочек.
241

Сохраним предположение В. 3. Власова о равенстве нулю ко-
коэффициента Пуассона; тогда операторы LG- в C39) имеют вид:
11 ~~ дЬ2 2 дер2 ' п~ 2 ~^~ ' ™~
+ а—, L23 = —
= L13; L32 = L23; L33 = а
здесь по-прежнему
Применим, как и в случае общей моментной теории круговых
цилиндрических оболочек, операторный метод. Следуя поясненной
общей схеме, введем в рассмотрение-функции Ф1; Ф2, Ф3, удовлет-
удовлетворяющие уравнениям C14); напоминаем, что ?1 — оператор, пред-
представляющий собой определитель матрицы операторов L/;- в C39).
Решение уравнений C39) по-прежнему ищем в форме C16), вследст-
вследствие чего перемещения u1,ui и до, как и в случае общей теории,
выражаются формулами C18):
ы1 = 2131Ф; ы2 = 2?32Ф; до = 2133Ф; C40)
здесь учтено, что ц принят равным нулю.
Заметим, что при использовании формул C40), в которых из
2
трех функций Ф, 0, Ф20, Ф3 о сохранена лишь Ф3 „ = Ф,
¦ 1 — (г
теряются некоторые решения, например решение, соответствующее
простому растяжению:
«i = — I;  = 0; w=— A;
а
эти перемещения удовлетворяют однородным уравнениям C07).
Миноры L3i(i= 1, 2, 3) матрицы L выражаются через операторы
LG- формулами C14'); в развернутом виде они имеют вид:
\ C41)
242

Для отыскания функции Ф используется по-прежнему, как и
в общей моментной теории круговых цилиндрических оболочек,
третье уравнение C16), которое с учетом C17) приобретает вид:
или 2 2
(LUL22LSS + 2L12L2SL3i—L22Ll3 — LSSL12—ЬцЬзг) Ф = 0.
В развернутой форме это уравнение имеет вид:
(±а2^— + ± а2 _?1
I ' "" I ' "* I "' I ' "' I
2 dl* 4 д%Щ2 д%2дц>2 2 дф*
1 2 д* 1 2 д8 Id* д*
2 дф* 4
или после взаимных уничтожений некоторых членов и деления
на —а2 получим:
<Э8Ф 2 д6Ф д«Ф J_ а^Ф
Зф8 дф6 йф* а2 а|*
«,-„ +2_^^ + 4-^!Ф—+ 2 Й4Ф =0. C42)
^ Э|*<Эф* й?2йфб д?2йф* й?2йф2 ;
Члены, расположенные во второй строке, содержат наряду с диф-
дифференцированием по ф, дифференцирование и по ? (дважды или
четырежды), вследствие чего они намного меньше членов, не со-
содержащих дифференцирования по ?; они меньше последнего члена
в первой строке C42), несмотря на то что в нем содержится четырех-
четырехкратное дифференцирование по ?, так как в этом члене имеется
большой множитель 1/а2, делающий его одного порядка с первыми
тремя членами уравнения C42). Вследствие сказанного уравнение
C42) упрощается:
дф8
ИЛИ ,._ „.,„
C43)
дф* дф2
оператор В. 3. Власова.1
1 Если цилиндрическая оболочка не является круговой, то оператор
Власова имеет вид:
<Эф
243

6.4. Завершение расчета
После решения уравнения C43) перемещения ии ы2 и w нахо-
находятся по формулам * C40), в которых L31, L32 и L33 могут, быть уп-
упрощены по сравнению с C41) в соответствии со сказанным о мало-
малости —-LJ- по сравнению с —^- и о малости а2. Сохраняемые
члены в C41) подчёркнуты.
Итак,
д3Ф n
Усилия Л^ и Af2, учитывая формулы C05), момент М2 в соот
ветствии с C37) и Q2, имея в виду связь между М2 и Q2 [(последняя
формула из C35)], легко могут быть найдены по формулам
N .E7t д*Ф . ">
Ш^(^*Ф_Х
Eh»
Наконец, как уже говорилось, для оценки пренебрежимости ве-
величинами Мг, Н и Qx последние также могут быть найдены по фор-
формулам общей моментной теории.
Глава пятнадцатая
КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ О СОВРЕМЕННОМ СОСТОЯНИИ
ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК
Теория оболочек представляет собой один из важнейших разде-
разделов механики твердых деформируемых тел. Основы всего этого
раздела механики и, в частности, теории оболочек были .заложены
еще в XIX веке2.
1 При использовании формул C40), полученных путем принятия пред-
предложения о равенстве нулю двух функций из числа трех Ф,-, 0 (» == 1, 2, 3),
теряются некоторые решения.
2 Теория оболочек, основанная на гипотезах Кирхгофа, была впервые
разработана Г. Ароном (А г о n H., Das Gleichgewicht und die Bewegung
einer unendlich diinnen beliebig gekriimmten elastischen Schale, Journ. fur
reine und ang. Math., Bd. 78, 1874), но содержала ряд неточностей, устра-
устраненных А. Лявом (Love A., On the small free vibrations and deformation
of thin elastic shell Phil. Trans. Roy. Soc, vol. 179 (A), 1888), который позд-
позднее поместил теорию оболочек в свой известный курс (Л я в А. Математи-
Математическая теория упругости, 1935, пер. с 4-го англ. изд., 1927).
244

Интенсивное развитие теория- оболочек получила начиная
с тридцатых годов XX века. В первый период развития теории
исследовались общие вопросы: были получены и всесторонне про-
проанализированы основные уравнения линейной технической теории
упругих гладких оболочек и различные упрощенные их варианты
(безмоментная теория, теория пологих оболочек). В этот период
большой вклад внесен в науку отечественными учеными (Б. Г. Га-
леркин, В. 3. Власов, С. П. Тимошенко, А. И. Лурье, А. А. Гвоз-
Гвоздев, В. В. Новожилов, А. Л. Гольденвейзер, Ю. Н. Работнов,
И. Н.хВекуа, X. М. Муштари, К. 3. Галимов, Н. А. Алумяэ,
В. М. Даревский, Н. А. Кильчевский, И. Я. Штаерман, П. Л. Па-
Пастернак, и др.)* и рядом иностранных (Г. Рейсснер, Е. Мейсснер,
Л. Доннелл, В. Флюгге, Ф. Дишингер, В. Т. Койтер, Дж. Л. Сан-
Сандерс и др.). Наряду с общими уравнениями были обследованы урав-
уравнения, относящиеся к некоторым частным классам (оболочки вра-
вращения — А. И. Лурье, В. С. Чернина,2 Э. Рейсснер, Е. Мейсснер,
К- Трасделл, X. Нейбер, В. Церна, И. Геккеллер, Н. Хофф; ци-
цилиндрические оболочки — В. М. Даревский, К. Финстервальдер,
У. Федерхоффер, К- Мизель, Н. Хофф). В основном к настоящему
времени статическая проблема линейной технической теории уп-
упругих гладких оболочек в отношении общих концепций и форму-
формулирования уравнений разрешена.
Работы, посвященные общей теории оболочек, стали иметь в об-
общем объеме исследований меньший удельный вес, чем два-три де-
десятилетия тому назад3. ,"
1 Многочисленные важные исследования по построению общей и частных
теорий оболочек были обобщены в ряде выдающихся монографий по оболоч-
оболочкам, принадлежащих крупным отечественным ученым. К их числу необхо-
необходимо отнести монографии: А. И. Лурье «Статика тонкостенных упругих
оболочек» A947), В. 3. Власова «Общая теория оболочек» A949), В В. Ново-
Новожилова «Теория тонких оболочек» A951), А. Л. Гольденвейзера «Теория
упругих тонких оболочек» A953).
4 Из более поздних по времени издания монографий отметим «Линейную
теорию оболочек» К. Ф. Черных (два тома — 1962, 1964) и монографию
Н. А. Кильчевского «Основы аналитической механики оболочек» A963)..
Необходимо отметить и такие важные книги, сыгравшие значительную
роль в развитии теории пластин и оболочек, как монографии: И. Г. Бубнова
«Строительная механика корабля» A914), Б. Г. Галеркина «Упругие тонкие
плиты» A933), Ю. А. Шиманского «Изгиб пластин» A934), П. Ф. Папковича
«Строительная механика корабля», ч. II A941), С. П. Тимошенко «Пластинки
и оболочки» A943), пер. с англ., изд. 1948.
2 Имеется специальная монография, посвященная оболочкам вращения:
В С Чернина. Статика тонкостенных оболочек вращения. «Наука»,
М., 1968.
3 Отметим некоторые исследования и обзорные статьи, относящиеся
к общей теории:
А. Л. Гольденвейзер. Некоторые вопросы общей линейной
теории оболочек (лит.— 25 наимен.) (VII). (Здесь и дальше римская цифра,
заключенная в скобки, означает номер конференции по теории оболочек и
пластин, в трудах которой опубликована статья).
И. И. В о р о в и ч. Общие проблемы теории пластин и оболочек,
(лит.— 20 наимеи.) (VI).
245

Одновременно с процессом формирования общей линейной тео-
теории оболочек велся интенсивный поиск методов решения получен-
полученных уравнений и доведения результатов до числа, а также анализ
работы оболочек в зависимости от различных геометрических и
статических параметров на основе аналитических решений, число-
числовых результатов и экспериментов с оболочками и их моделями.
Немногим позже, в начале сороковых годов, стала развиваться
геометрически нелинейная техническая теория упругих оболочек
и тесно с нею связанная проблема устойчивости оболочек, все еще
в статической постановке1. Своеобразный геометрический аспект
теории устойчивости очень тонких оболочек и нелинейной теории
оболочек предложен в трудах А. В. Погорелова.2 Еще позже были
Н. А. Кильчевский. Интегродиффереициальные и интеграль-
интегральные уравнения статики и динамики тонких упругих оболочек (лит.— 40
иаимеи.) (IV).
Л. А. Фильштинский. Общие решения в теории пологих обо-
оболочек (VIII).
1 Обобщение собственных работ и исследований других авторов в этой
области содержится в монографиях А. С. Вольмира «Гибкие пластины и
оболочки» A956), X. М. Муштари и К. 3. Галимова «Нелинейная теория
упругих оболочек» A957). См. также книгу М. С. Корнишина «Нелинейные
задачи теории пластин и пологих оболочек и методы их решения» A964) и
книгу А. С. Вольмира «Устойчивость деформируемых систем» (Наука», 1967);
статьи иностранных авторов: Э. Треффтца, Р. Каппуса, Р. фон-Мизеса,
Л. Бразье, К. Маргуера, Т. фон-Кармана и М. Штейна. Последнему автору
принадлежит обзорная статья: М. Stein. Some recent advances in the
investigation of shell buckling, AIAAJ, № 12, 1968; в ней, в частности, рас-
расхождение теоретических результатов по так называемой линейной теории и
результатов, полученных экспериментально, объясняется не пороками ли-
линейной теории.
Наконец, отметим обзорные статьи:
A. С. Григорьев. О теории и задачах равновесия оболочек при
больших деформациях (лит.— 92 наимен.) (VII).
X. М. Муштари. О некоторых нелинейных задачах статики обо-
оболочек (лит.— 18 наимен.) (VII).
B. И. Ф е о д о с ь е в. Геометрически нелинейные задачи теории пла-
пластин и оболочек (лнт.— 9 наимен.) (VI).
X. М. Муштари. Некоторые нелинейные задачи теории упругих
оболочек и эффективные методы их решения, (лит.— 69 иаимен.) (IV).
А. В. К а р м и ш и н, В. И. М я ч е н к о в. Методы решения за-
задач теории устойчивости оболочек (лит.— 31 наимен.) (VII).
А. С. В о л ь м и р. Задачи теории устойчивости оболочек и пластин
(лит.— 25 наимен.) (VI).
Отметим серию работ В. М. Д а р е в с ко г о, посвященных устойчи-
устойчивости оболочек при динамическом воздействии: Устойчивость оболочек при
динамической нагрузке (VII); Устойчивоеть цилиндрической оболочки при
осевой динамической нагрузке. МТТ, № 2, 1973; Устойчивость оболочек
при динамической нагрузке. Сб. «Проблемы механики твердого деформируе-
деформируемого тела», «Судостроение», 1970; Устойчивость цилиндрической оболочки
при осевой динамической нагрузке (VIII).
2 А. В. Погорело в. Геометрическая теория . устойчивости обо-
оболочек. «Наука», М., 1966.
А. В. П о г о р е л о в. Геометрические методы в нелинейной теории
упругих оболочек. «Наука», М., 1967.
246

приложены усилия к разработке динамических проблем теории
оболочек,1 в том числе динамической устойчивости.2
Геометрически нелинейная теория оболочек, устойчивость и
динамика оболочек еще далеки от того состояния, в котором на-
находите» линейная теория в статической постановке.
1 Из книг, специально посвященных этой проблеме, укажем моногра-
монографию О. Д. Ониашвили «Некоторые динамические' задачи теории оболочек»
A957). Одна из глав посвящена динамике оболочек в книге В. Флюгге «Ста-
«Статика и динамика оболочек» (первое издание книги Statik und Dynamik der
Schalen вышло в 1934 г., второе в 1957 г.; со второго издания имеется перевод
на русский язык, изданный в 1961 г.). См. также книги П. М. Огибалова
«Вопросы динамики и устойчивости оболочек» A963) и В. С. Гонткевича
«Собственные колебания пластинок и оболочек» A964); П. М. Огибалова
и М. А. Колтунова. «Оболочки и пластины». Изд-во МГУ, 1969. В этой
книге обсуждаются и проблемы устойчивости, физической и геометрической
нелинейности. Проблеме динамики посвящены статьи иностранных авторов
Ф. Ниордсона, Р. Миндлина и др.
Наконец, отметим обзорные статьи: В. В. Б о л о т и и. Современ-
Современные направления в области динамики пластин и оболочек (лит.— 130 на-
имен.) (II). У. К. Н и г у л. Волновые процессы деформации оболочек
и пластин (лит.— 344 наимен.) (VII). Н. А. А л у м я э. Переходные
процессы деформации уцругих оболочек и пластин (лит.— 67 наимен.) (VI).
2 Динамическая устойчивость оболочек наряду с другими системами
обсуждается в монографии В. В. Болотииа «Динамическая устойчивость
упругих систем» A956).
В другой монографии того же автора «Цеконсервативные задачи теории
упругой устойчивости» A961) рассматривается поведение пластин и оболочек
в потоке газа (аэроупругость). Применение статистических методов в теории
устойчивости оболочек освещается в монографии В. В. Болотина («Статисти-
(«Статистические методы в строительной механике» A961). Этой же проблеме уделил
большое внимание в ряде своих работ И. И. Ворович («Статистический метод
в теории устойчивости оболочек». ПММ, т. 23, № 5, 1959 и др.).
Устойчивости оболочек при динамических воздействиях посвящена об-
обширная литература, в частности; две киигй А. С. Вольмира (одна из них уже
упоминалась — «Устойчивость деформируемых систем», а другая — «Не-
«Нелинейная динамика пластин и оболочек». «Наука», 1972) и книга «Dynamic
stability structures». Proc. of an Intern. Confer, (ed. by Herrmann G.), Oxford,
1967, в которых содержится большая библиография.
В работах ряда авторов обсуждаются критерии динамической устойчи-
устойчивости (Н. А. Алумяэ, В. В. Болотин, А. С. Вольмир, В. М. Даревский,
Б. Будянский, Дж. Хатчинсон, Н. Хофф, В. Койтер и др.), поведение оболо-
оболочек и пластин при ударном воздействии, при воздействии подвижной нагрузки
а также проблемы статистической динамики, возникающие вследствие слу-
случайного характера ряда динамических воздействий и имеющихся в конструк-
конструкции несовершенств.
Кроме упомянутых работ В. В. Болотина и И. И. Воровича, посвящен-
посвященных использованию статистических методов, отметим обзорные статьи:
В. В. Б о л о т и и. Стохастические краевые задачи в теории пластин
и оболочек (лит.— 27 иаимен.) (VI).
В. В. Болотин. Применение методов теории вероятностей в теории
пластин и оболочек (лит.— 136 наимен.) (IV).
И. И. В о р о & и ч. Некоторые вопросы использования статистических
методов в теории устойчивости пластин и оболочек (лит.— 137 наимен.) (IV).
В. В. Болотин, В. Ю. Волоховский. Применение теории
надежности к расчету пластин и оболочек (VIII). М (
Известны исследования в этой области В. М. Гончаренко, М. Ф. Димеит-
берга, Б. П. Макаренко, Б. Л. Кларксона и др.
247

Теория оболочек делится на большие разделы не только в связи
с характером внешнего воздействия (статическим или динамиче-
динамическим, силовым или температурным) или величиной перемещений
и поворотов (геометрически линейная и нелинейная теории), но
и в связи с реологическими свойствами материала. За последнее
время внимание привлекают проблемы физической нелинейности,1
пластичности 2 и ползучести,3 а также проблемы анизотропии,4
неоднородности среды 5 и многослойности 6.
Весьма существенной является проблема учета всевозможных
конструктивных особенностей (ребра,7 контурные элементы, вы-
вырезы, и их подкрепления 8), не позволяющих применять в чистом
1 Д. В. В а й н б е р г, Е. А. Г о ц у л я к, В. И. Гуляев.
Устойчивость физически нелинейных тонкостенных оболочек прн больших
перемещениях (VIII).
2 Л. М. К а ч а н о в. Упругопластические задачи теории оболочек
и пластин (лит.— 39 наимеи.) (VI).
Я- Рыхлевский, Г. С. Шапиро. Идеально пластические
пластинки и оболочки (лит.— 27 наимен.) (VI).
М. Ш. Микеладзе. Статика анизотропных пластических оболо-
оболочек. Изд-во АН Груз. ССР, Тбилиси, 1963.
В. Д. Клюшников. Изгиб и выпучивание пластин и оболочек
за пределом упругости (VII).
В. О л ь ш а к, А. Савчук. Неупругое поведение оболочек. Пер.
с англ. под ред. JT. С. Шапиро. «Мир», М., 1969 (лит.— 347 наимен.). В этой
книге обсуждаются ситуации, в которых материал оболочки линейно вязко-
упруг, или находится в состоянии установившейся ползучести, или испыты-
испытывает упругопластическое состояние; наконец, в книге рассматриваются ра-
работы, в которых изучается предельное состояние оболочек (работы Д. Дру-
кера, Г. Изопа, А. А. Ильюшина, М. Ш. Микеладзе, Ю. Н. Работнова,
B. Ольшака, Е. Оната, А. Р. Ржаницына, В. И. Розенблюма, А. Савчука,
C. М. Файиберга, П. Ходжа, Р. Шильда и др.) н несущая способность железо-
железобетонных оболочек.
3И. И. Гольденблат, Н. А. Николаенко. Ползучесть
и несущая способность оболочек. Госстройиздат, М., 1960.
И. Г. Т е р е г у л о в. Изгиб и устойчивость тонких пластин и оболо*
чек при ползучести. «Наука», М., 1969 (лит.— 128 наимен.).
См. также обзор: Л. И. К у р ш и н. Расчет оболочек.в условиях ползу-
ползучести (лит.— 44 наимен.) (VI). ' ~ .
4 С. А. Амбарцумян. Теория анизотропных оболочек. Физмат-
гиз, 1961.
6 См., например, А. С. Григорьев. Большие деформации неодно-
неоднородных осесимметричных оболочек (VIII).
Э. И. Григолюк, Л. А. Фильштинский. Перфорирован-
Перфорированные пластины и оболочки. «Наука», М., 1970.
6 См. обзор: А. Я. Александров. Л. И. Куршин. Много-
Многослойные пластины и оболочки (лит.— 23 наимен.) (VII).
7 Г. Н. Савин и Н. П. Флейшман. Пластинки и оболочки
с ребрами жесткости. «Наукова думка», Киев, 1964.
М. П. Шереметьев. Пластинки с подкрепленным краем. Изд-во
Львовск. гос. ун-та, Львов, 1960.
О. И, Т е р е б у ш к о. Устойчивость подкрепленных и анизотропных
оболочек (лит.— 83 наимен.) (VII).
8 А. Н. Г у з ь. Концентрация напряжений около отверстий (VII).
Г. Н. Савин. Распределение напряжений возле отверстий в пласти-
пластинах и оболочках (лит.— 38 наимен.) (VI).
248

виде теорию гладких оболочек. С этими вопросами тесно связано
исследование влияния локальных нагрузок,1 штампов, контакт-
контактная задача.2
В исследованиях последнего времени характерно стремление
рассчитывать оболочки очень сложных форм в связи с запросами
практики 3 (всевозможные корпуса машин, элементы приборов,'
улитки, крышки, лопасти и т. п.) и при этом одновременно учиты-
учитывать особенности нагрузки и других воздействий (в частности, тем-
температурного) и сложные реологические свойства материала.
Привлекают внимание проблемы аэро- и гидроупругости.4 Эти
проблемы очень важны для самолето- и ракетостроения. Важной
для ряда областей техники является проблема термоупругости и
термопластичности оболочек5.
Одной из уязвимых сторон теории оболочек, как, впрочем, и
теорий многих других систем, является несовершенство оценок
надежности конструкции в целом. Критерий расчета по допускае-
допускаемым напряжениям не позволяет вскрыть большие запасы, таящиеся
в конструкции; вместе с тем для такой несовершенной оценки при-
приходится ценой огромных усилий получать очень обширную инфор-
информацию, лишь ничтожная доля которой практически используется.
В ряде случаев более рациональна (в.смысле экономичности, пра-
правильности) оценка надежности по предельным состояниям с учетом
Г. Н. Савин. Нелинейные задачи концентрации напряжений около
отверстий в пластинах (лит.— 35 наимеи.) (IV).
Г. Н. Савин. Концентрация напряжений около отверстий в оболоч-
оболочках (лит.— 65 наимен.). Сб. «Теория пластин и оболочек». АН УССР,,Киев,
1962.
1 См. обзор: В. М. Даревский. Контактные задачи теории обо-
оболочек (действие локальных нагрузок иа оболочки) (лит. — 33 наимеи.) (VI).
Действие локальных -нагрузок на оболочку рассмотрено в ряде* работ
(П. А. Бейлард, Э. И. Григолюк и В. М. Толкачев, В. В. Новожилов и
К. Ф. Черных, А. С. Христенко, И. Л. Шаринов, Н. Хофф, Ж- Кемпиер и
Ф.Пол и др.). См. также главу 2 — «Оболочки под действием локальных на-
нагрузок» (В. М. Даревский) в книге «Прочность. Устойчивость. Колебания».
Т. 2, Справочник в трех томах под общей ред. И. А. Биргера и Я. Г. Паиовко.
«Машиностроение», 1968.
' ч2 См. обзор: Г. Н. Чернышев. О контактных задачах в теории
оболочек (лит.— 17 наимен.) (VII).
>. 8 См., например, А. Д. Коваленко. Развитие теории расчета
конических оболочек применительно к задачам машиностроения (лит.— 15
иаимеи.) (II).
* См. обзоры: Л. И. Б а л а б у х. Взаимодействие оболочек с жид- .
костью и газом (лит.— 22 наимен.) (VI).
Э. И. Григолюк. Проблемы взаимодействия оболочек с жидкостью
(лит.— 164 наимеи.) (VII). В этой статье, кроме колебаний оболочек с жид-
жидкостью, рассмотрены действие на оболочку акустической ударной волны и
удар оболочки о воду.
5 См. обзоры: А. Д. Коваленко. Термоупругость пластин и обо-
оболочек (лит.— 58 наимен.) (VII).
Сг М. Д у р г а р я и. Температурные задачи теории оболочек и пла-
стии (VI). "
В. Г. Баженов, Г. С. Михайлов, А. Г. У г о д ч и к о в.
Динамические задачи термопластичиости для оболочек вращения (VIII).
249

работы материала в пластической области и поведения всей кон-
конструкции.
Такие расчеты имеют большую специфику. В тех областях, где
произошло признание расчета по предельным состояниям, он во
многом освобождает от необходимости использования всего слож-
сложного аппарата теории упругих оболочек.1
Здесь же отметим еще раз, что далеко не всегда допустимо от-
отказываться от линейно-упругого расчета. Так, например, в неко-
некоторых авиационных конструкциях нельзя переходить за предел
упругости из-за усталости, а в изделиях из стеклопластиков —
из-3~а отсутствия пластичности.
Не менее важен, чем оценка надежности, и неразрывно с ним
связан вопрос об оптимизации, в частности об оптимальном разме-
размещении подкрепляющих элементов (ребер) и оптимальном распреде-
распределении материала между самой оболочкой и этими элементами.
В таких конструкциях, как летательные аппараты, где уменьшение
веса весьма желательно Или даже необходимо, проблема оптимиза-
оптимизации является важнейшей.2
Развились в самостоятельные ветви теория мягких оболочек,3
теория сетчатых оболочек4. Получили развитие и те разделы ме-
механики твердых деформируемых тел, которые позволяют произве-
произвести оценку технической теории оболочек или решить проблемы, не
поддающиеся решению средствами технической теории. Здесь
прежде всего имеется в виду теория оболочек средней толщины и
трехмерная задача теории сред. Над этой проблемой работает
И. И. Ворович и возглавляемая им научная школа. Связь трехмер-
трехмерной задачи теории упругости с теорией оболочек исследовалась
1 Существенный вклад в развитие теории расчета тонкостенных конструк-
конструкций по предельным состояниям внесли отечественные исследователи:
А. А. Гвоздев, А. М. Проценко, А. Р. Ржаницын, А. М. Свечкин, Н. В. Ах-
вледиани, а также иностранные: П. Ходж, Д. Друкер и др.
Интересна статья А. А. Гвоздева и А. М. Проценко. Пер-
Перспективы приложения теории предельного равновесия для оболочек (лит.—
59 наимен.) (VII).
2 См. обзор: В. В. Васильев. Оптимальное проектирование пла-
стииок и оболочек (лит.— 127 наимен.) (VII).
? См. работы: С. А. Алексеев. Основы общей теории мягких обо-
оболочек. В кн. «Расчет пространственных конструкций». Вып. 11, Госстройиз-
дат, 1967.
С. А. Алексеев. К теории мягких оболочек (VI).
В. Э. М а г у л а. Связь одноосного состояния с раскроем мягкой обо-
оболочки (VII).
Н. П. Стрекозов, В. И. Харченко. Равновесие мягкой
сферической оболочки при воздействии воздушного потока (VII).
Л. И. Б а л а б у х, В. И. У с ю к и н. Приближенная теория мяг-
мягких оболочек вращения (VIII).
В. Э. М а г у л а, Б. И. Друзь, В. Д. Кулагин, Е. П. Ми-
лославская, М. В. Новоселов. Судовые мягкие емкости. «Су-
«Судостроение», Л., 1966.
4 См. обзор: В. Л. Б и д е р м а н, Б. Л. Б у х и н. Расчет безмо-,
меитиых сетчатых оболочек (лит.— 39 иаимеи.) (VI).
250

еще Ю. Г. Галеркиным; к этой проблеме возвращались и позд-
позднее.1
В настоящее время глубоко исследуется проблема теории обо-
оболочек в различных ее аспектах и разновидностях, связанных с уче-
учетом нелинейностей, конструктивных нерегулярностей, временных
эффектов в материале, динамического характера воздействий,
с учетом взаимодействия полей (гидроупругость, аэроупругость,
термоупругость), с условиями контактной задачи и т. п. Картина
напоминает ту, которая два-три десятилетия тому назад была ха-
характерна для одномерных задач (стержневые системы). При этом
первостепенную роль играют следующие факторы: привлечение
все более мощного, а вместе с тем и более сложного математического
аппарата; использование физического моделирования и натурных
испытаний и наблюдений; использование электронных цифровых
(а иногда аналоговых) вычислительных машин.2 В связи с послед-
последним фактором находится проблема дискретизации; имеется в виду
как математический, так и механический ее аспекты.3
Интенсивно развивается порожденный машинной вычислитель-
вычислительной техникой метод конечных элементов.4
С современным состоянием теории оболочек и динамикой ее раз-
развития можно познакомиться по трудам систематически созывае-
созываемых всесоюзных конференций, специально посвященных теории
1 См. обзор: Н. А. Кильчевский. Анализ различных методов
приведения трехмерных задач теории упругости к двухмерным и исследова-
исследование постановки краевых задач теории оболочек (лит.— 20 иаимеи.) (II).
2 См. обзоры: Д. В. В а й и б е р г. Численные методы в теории обо-
оболочек и пластин (VI).
И. Е. Милейковский, В. Д. Райзер. Развитие приклад-
прикладных методов в задачах статического расчета тонкостенных пространственных
систем (оболочки и складки) (VII).
В. И. К о р н е в, Л. И. Ш к у т и и. О сочетании асимптотических
и численных методов при решении задач прочности, устойчивости и колеба-
колебаний упругих оболочек вращения (VIII).
* См. обзор: А. П. Филин. Современные проблемы использования
ЭЦВМ в механике твердого деформируемого тела. О согласовании дискретных
и континуальных объектов в механике твердых деформируемых тел. Строй-
издат, 1974.
* Отметим сборник докладов международного симпозиума IUTAM
(Льеж, 23—28 августа 1970 г.): Расчет упругих конструкций с использова-
использованием ЭВМ. Тт. I, II, пер. с англ. под ред. А. П. Филина. «Судостроение»,
Л., 1974. В этом сборнике ряд докладов посвящен разным аспектам метода
конечных элементов (МКЭ) применительно, главным образом, к расчету обо-
оболочек и пластин.
Заслуживают внимания книги, специально посвященные МКЭ:
Л. А. Р о з и и. Расчет гидротехнических сооружений на ЭЦВМ.
Метод конечных элементов. «Энергия», 1971.
В. А. П о с т и о в, И. Я. X а р х у р и м. Метод конечных элемен-
элементов в расчетах судовых конструкций. «Судостроение», 1974.
О. С. Zienkiewicz, J. К- Cheung. The finite element method
in structural and continuum mechanics. London. Me Graw-Hill, 1967.
V. Kolar, J. Kratochvil, F. Leitner, A. Zenisek.
Vypocet plosnych a prostorovych Konstrukci metodou Konecnych prvku. Praha,
1972, SNTL.
2S1

оболочек и пластин,1 совещаний и конференций по использованию
ЭЦВМ в строительной механике,2 съездов по теоретической и при-
прикладной механике 3 и других научных собраний: конгрессов, кон-
конференций, совещаний.4
Необходимо отметить также обзорные статьи О. Д. Ониашвили
в сборниках «Строительная механика в СССР. 1917—1957» A9,57)
и «Строительная механика в СССР. 1917—1967» A969) и большую
обзорную статью Н. А. Алумяэ: «Теория упругих оболочек и пла-
пластинок (сб. «Механика в СССР за 50 лет», М., 1972). Библиографи-
Библиографический список литературы по теории оболочек по состоянию на
1957 год был составлен В. Нешем.5
Большой вклад в теорию и литературу по оболочкам вносится
учеными казанской школы, систематически публикующими сбор-
сборники «Исследования по теории пластин и оболочек» (сб. III—1965,
IV—1966, V—1967, VI—VII—1970, VIH—1972), Изд-во Каз. ун-та.
Новые результаты систематически публикуются в таких журна-
журналах АН СССР, как «Прикладная математика и механика», «Меха-
«Механика твердого тела», а также в журнале «Строительная механика
и расчет сооружений».
1 Труды конференции по теории пластин и оболочек (Казань, 20—24
октября 1960 г.). Казань, 1961.
Теория пластин и оболочек. Труды 2-й всесоюзной конференции (Львов,
15—21 сентября 1961 г.). Изд-во Акад. наук УССР, Киев, 1962.
Теория оболочек и пластин. Труды 4-й всесрюзной конференции по тео-
теории оболочек и пластин (Ереван, 24—31. октября 1962 г.). Ереван, 1964.
Труды 6-й всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин (Баку,
1966 г.). «Наука», М., 1966;
Труды 7-й всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин (Дне-
(Днепропетровск, 1968 г.), «Наука», М., 1969. .
Теория оболочек и пластин. Труды VIII Всесоюзной конференции по
теории оболочек и пластин (Ростов-на-Дону, 1971 г.). «Наука», М., 1973.
Кроме конференций, труды которых изданы, отметим совещания в 1952 г.
в Москве, в 1957 г", в Тарту, всесоюзную конференцию в 1965 г. в Москве,
труды которых не были опубликованы, и всесоюзную конференцию в Ленин-
Ленинграде A973 г.), труды которой публикуются издательством «Судостроение».
2^ЭЦВМ в строительной механике. Труды 1-го всесоюзного совещания
по применению ЭЦВМ в строительной механике (Ленинград, 10—14 декабря
1963 г.). Стройиздат, Л., 1966.
8 2-й всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике. М.,
1964.
* Пространственные конструкции в СССР. По материалам 1-го всесоюз-
всесоюзного совещания по сборным железобетонным пространственным конструк-
конструкциям (Ленинград, 13—17 ноября 1962 г.), Стройиздат, Л., 1964.
Труды международного симпозиума (конгресса) IASS (Ленинград, 6—10
сентября 1966 г.). Large-Span Shells. Proceedings of the IASS Congress on
the Problems of Interdependence between Design and Erection of Shells for
Large-Span Industrial and Public Buildings. Moscow, 1968.
5 W. A. Nash. Bibliography on shells and shell-like structures.
Part I. David Taylor. Model Basin. Report, 863"A954). Part II, Dep. of
Eng. Mech. Univ. of Florida, 1957.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие 3
Основные обозначения 6
Раздел I
ОБОЛОЧКА И ЕЕ ГЕОМЕТРИЯ
Глава первая.-Вводные замечания 8
Резюме гл. 1 . ' 12
Глава, вторая. Краткие сведения из теории поверхностей . 13
1. Поверхность в объемлющем ее пространстве 13
1.1. Задание поверхности 13
1.2. Касательная плоскость. Нормальные сечения 14
1.3. Кривизна нормальных сеченнй поверхности — тензор второго
4 > ранга 17
1.4. Замечания о поверхности в целом 23
1.5. Формула Менье , 24
2. Понятие о внутренней геометрии поверхности 24
3. Некоторые формулы и теоремы 27
3. 1. Система координат 27
3. 2. Векторное уравнение поверхности 28
3. 3. Векторное уравнение линии на поверхности ....... 28
3. 4. Первая квадратичная форма 29
3. 5. Вторая квадратичная форма 30
3. 6. Задание поверхности двумя квадратичными формами . .'. 31
3. 7. Сети координатных линий 31
3. 8. Теорема Родрнга 33
3. 9. Правило дифференцирования ортов 33
3.10. Условия Кодаццн—Гаусса '. . . 38
Резюме гл. 2 42
РазделП
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
Глава третья. Теория деформации оболочки (геометрические соотноше-
соотношения) 47
1. Гипотеза о прямолинейном нормальном элементе и вносимое ею
упрощение в анализ деформации оболочки . . . . 47
2. Перемещение точки срединной поверхности оболочки ...... 49
253

Стр.
3. Деформация срединного слоя 49
3.1. Количество параметров деформации 49
3.2. Связь ме"жду коэффициентами квадратичных форм срединной
поверхности деформированной оболочки и параметрами де-
деформации 51
4. Связь между параметрами деформации оболочки и перемещениями
точек ее срединной поверхности 53
4.1. Картина деформации, соответствующая геометрической гипо-
гипотезе Кирхгофа—Лява 53
4.2. Формулы для параметров тангенциальной деформации и пово-
поворотов нормали к срединной поверхности 55
4.3. Вариант вывода формул для 8!, е2, со, 92 и &2 57
4.4. Формулы для М[ (г), и2 ^ и w^ 59
4.5. Формулы для #! (г), R2(z), ds1(z), ds2(z), Al(z) и А2(г) ... 59
4.6. Формулы для е( ф, 82(г) и <В(г^ ¦ 60
4.7. Формулы для Xi, х, и т 62
5. Сводка формул для параметров деформации срединной поверхно-
поверхности оболочки 68
6. Вариант получения формул для elt e2, cor^ii Иг и т (геометриче-
(геометрическая трактовка) 69
6.1. Формулы для 82 и е2 69
6.2. Формула для со 71
6.3. Поворот нормали при деформации оболочки 75
6.4. Формулы для Xj и X; ' 76
6.5. Формула для т . . 77
7. Условия совместности деформаций 80
Резюме гл. 3 82
Глава четвертая. Статическое исследование работы оболочки .... 85
1. Внутренние усилия и моменты 85
2. Дифференциальные уравнения равновесия 87
3. Уменьшение числа искомых функций погонных усилий и момен-
моментов , . . 93
4. Преобразование системы уравнений равновесия . 96
Резюме гл. 4 97
Глава пятая. Физические соотношения теории оболочек 98
1. Предварительные замечания ' 98
2. Статическая гипотеза : . 99
3. Физические уравнения теории оболочек 100
4. Потенциальная энергия деформации 105
Резюме гл. 5 107
Глава шестая. Пути решения проблемы теории оболочек 109
l.i Предварительные замечания 109
2. Решение проблемы методом непосредственного определения уси-
усилий и моментов ПО
3. Разрешающие уравнения в методе непосредственного определения
перемещений ¦ 111
4. Граничные условия 112
5. Статико-геометрическая аналогия 115
6. О типах напряженного состояния оболочек и частных случаях
теории 118
Резюме гл. 6 120
Глава седьмая. Вопросы общей оценки линейных теорий оболочек первого
приближения 123
1. Вводные замечания 123
2. О внутренней согласованности общей технической теории тонких
упругих оболочек - 124
3. О тензорной форме уравнений и о выборе параметров напряженно-
деформированного состояния оболочек \ ...>.. 128
254

Раздел III
УПРОЩЕННЫЕ ВАРИАНТЫ ТЕОРИИ
Стр.
Глава восьмая. Безмомеитиая теория оболочек произвольного вида ... 131
1. Вводные замечания -.131
2. Уравнения 131
3. Граничные условия 134
4. Условия существования безмоментного напряженного состояния 136
5. Область применимости безмоментной теории 136
6. Уравнение простого краевого эффекта и анализ его решения . . 140
Резюме гл. 8 146
Глава девятая. Уравнения безмомеитиой теории оболочек вращении . . 152
1. Уравнения для оболочек вращения в общем случае 152
2. Осесимметричная деформация безмоментной оболочки вращения 154
3. Примеры оболочек вращения 162
Резюме гл. 9 , . . . . 165
Глава десятая. Безмомеитиая теория цилиндрических оболочек . . . .166
1. Уравнения 166
2. Интегрирование уравнений 167
3. Граничные условия 170
4. Анализ безмоментного напряженного состояния цилиндрических
оболочек . ¦. 176
Резюме гл. 10 . .' - 179
Глава одиннадцатая. Линейная теория пологих оболочек 181
1. Определения 181
2. Уравнения 182
3. Разрешающая система уравнений .' . 183
4. Переход к пластине 187.
5. Замечания об одной аналогии 187
Глава двенадцатая. Нелинейная теории пологих оболочек 188
1. Предварительные замечания 188
х 2. Формулы для е1( е2 и со 188
3. Уточнение формул для к, и х: в связи с большой гибкостью обо-
оболочки 191
4. Уточненное третье уравнение равновесия 192
5. Разрешающая система уравнений 193
6. Частные случаи 195
6.1. Круговая цилиндрическая оболочка (нелинейная теория) . . 195
6.2. Линейная теория пологих оболочек 196
6.3. Нелинейная теория гибких пластин 196
6.3.1. Вариант Сен-Венана 196
6.3.2. Мембраны (абсолютно гибкие пластины) 196
7. Замечания о классификации нелинейных теорий оболочек .... 197
Р а з д е л IV
ЧАСТНЫЕ ТЕОРИИ
Глава тринадцатая. Общая момеитиая теория оболочек вращения . . 199
1. Предварительные замечания 199
2. Уравнения равновесия 199
3. Геометрические соотношения . . , 201
,3.1. Зависимости между параметрами деформаций н составляю-
составляющими перемещения 201
3.2. Уравнения совместности деформаций 201
255

' Стр.
4. Применение рядов Фурье к расчету оболочек вращения 202
4.1. Представление искомых и заданных функций в виде обыкно-
обыкновенных рядов Фурье 202
4.2. Системы уравнений относительно функциональных коэффици-
. ентов в разложениях искомых функций в ординарные ряды
Фурье * 206
4.3. Граничные условия для функциональных коэффициентов
в разложениях искомых функций в ординарные ряды Фурье 211
4.4. Общие замечания о напряженно-деформированных состоя-
состояниях оболочки, соответствующих различным к, 212
5. Кручение оболочек вращения 216
6. Осесимметричная деформация оболочек вращения. Уравнения
Е. Мейсснера 218
Глава четырнадцатая. Моментная теория круговых цилиндрических
оболочек 224
1. Предварительные замечания ......" 224
2. Основные уравнения . . .' ч 225
2.1. Система координат 225
" 2.2. Уравнения равновесия 225
2.3. Геометрические соотношения 226
2.4. Замечание о физических уравнениях 226
2.5. Граничные условия . 226
3. Разрешающие уравнения в перемещениях 226
4. Упрощенная форма разрешающего уравнения, предложенная
В. 3. Власовым 234
5. Моментная теория осесимметричной деформации круговой цилин-
цилиндрической оболочки 235
5.1. Общие "уравнения - 235
5.2. Пример 5 236
6. Полубезмоментная теория цилиндрических оболочек 239
6.1. Предварительные замечания 239
6.2. Основные уравнения 240
6.3. Разрешающее уравнение однородной задачи полубезмомент-
ной теории цилиндрических оболочек 241
6.4. Завершение расчета . 244
Глава пятнадцатая. Краткие сведения о современном состоянии теорнн
оболочек . . .... 244