/
Автор: Ржаницын А.Р.
Теги: конструктивные элементы несущие конструкции физика механика строительная физика
Год: 1986
Текст
А.Р.Ржаницын
СОСТАВНЫЕ
СТЕРЖНИ
И ПЛАСТИНКИ
МОСКВА
СТРОЙИЗДАТ
1986
УДК 624.072J-
РА2
Ржаницын А.Р. Составные стержни и пластинки. — М.:
Стройиздат, 1986.— 316 с., ил.
Дана общая теория расчета составных стержней. Рассмотрены
частные случаи стержней с абсолютно жесткими и податливыми попе-
речными связями, приведены расчеты составных балок Уделено вни-
мание также вопросам устойчивости составных стержней, их колеба-
ниям, расчету составных пластинок, предельному равновесию состав-
ных пластинок, предельному равновесию составных стержней и плас-
тинок и пр.
Для научных и инженерно-технических работников научно-исследо-
вательских и проектных организаций.
Табл. 2, ил. 152, список лит: 70 назв.
Печатается по решению секции литературы по строительной физи-
ке и конструкциям редакционного совета Стройнздата.
Рецензент: д-р техн, наук, проф. А.П. Филин.
3202000000 - 306
«7гоГ)-.-8Г “’-86
© Стройиздат. 1986
A. RZHANITSYN
BUILT-UP BARS AND PLATES
ABSTRACT
Theory of built-up bars with elastically pliable bracing, suggested
yet in the pre-war years (the first publication is referred to 1938)
gave the possibility on the basis of the simple statements of the
theory of the resistance of materials to explain the behavior and
develop efficient methods of calculation for built-up elements of
metal, wooden and reinforced concrete structures; for joints of
expanded and bent packets; systems of beams on elastically setting
and shearing bases etc. This theory was soon extended on to the
problems of stability of built-up bars and bars with bracings beyond
the elasticity limits. In such a form the theory has found wide
applications for calculating structures used in building and other
branches of industry. In the post-war years the theory in question
gave rise to the development of efficient calculation methods for
supporting structures of multi-storeyed panel and frame buildings.
Alongside with in the theory itself has been extensively developed.
In particular the problems of dynamics of built-up bars, calculations
of spatially stressed built-up bars with closed and unclosed sections
have been solved. The theory has been extended to the built-up
three- and multilayer bars; the problems of ultimate equilibrium
of built-up bars and plates working beyond elastically limits have
been also solved. All the aspects united by a common approach in
fact formed a new part of building mechanics theory, that is of
great practical importance by itself, but also can be used as an
apparatus of approximate calculations for some problems of the
elasticity theory.
In the book suggested the theory of built-up bars by Prof.
A. Rzhanitsyn is reflected to the full extent and is stated without
resorting to a complicated mathematical apparatus that makes the
book useful for engineers making calculations and designers who
will find in it much useful material for their practical and scientific
work.
3
ПРЕДИСЛОВИЕ
Теория составных стержней в настоящее время представляет собой один
из важных разделов строительной механики. Развитие этой теории шло
главным образом путем разработки методов расчета частных видов конст-
рукций, схема которых может быть принята в виде составного стержня.
Общность же этой схемы выявилась не сразу. Так, первые исследования
составных металлических стержней ставили только задачу уточнения зна-
чений критических сжимающих усилий. Немного позже внимание расчетчи-
ков было обращено на совместную работу рядов заклепок, затем на напря-
женное состояние фланговых сварных швов, резьбовых соединений и т.п.
С появлением конструкций в виде слоистых пластинок были заново постав-
лены н решены вопросы учета податливых связей, характерных для схемы
составного стержня. С развитием многоэтажного строительства появились
работы по расчету высоких стен, ослабленных регулярно расположенными
отверстиями. Все эти задачи, как оказалось, имеют одну и ту же теоретичес-
кую основу.
По-вндимому, впервые в работах автора 1938-1948 гг. схема составного
стержня была выделена в качестве самостоятельного вида систем конструк-
ций и поставлена задача разработки общей теории составных стержней и
пластинок. С момента выхода в свет (1948 г.) монографии автора ’’Теория
расчета составных стержней строительных конструкций” появилось много
работ, продолживших это направление.
Предлагаемая книга является обобщением материалов по теории состав-
ных стержней, причем автор ограничился, главным образом, собственными
работами, имеющими, как правило, отношение к строительным конструк-
циям.
В книге в основном использован простой математический аппарат. В не-
которых случаях более сложные математические представления н преоб-
разования подробно расшифровываются, особенно там, где это требуется
для уяснения основных понятий о работе составных стержней. В других
случаях, например при расчете составных пластинок, составных стержней
переменного сечения и т.п. предполагается знакомство читателя со специаль-
ным математическим аппаратом, относящимся к данному вопросу.
Автор приносит благодарность д-ру техн, наук А.П. Филину за ценные
замечания, сделанные нм при рецензировании книги.
Глава 1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
1. СОСТАВНЫЕ СТЕРЖНИ В СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЯХ
И КРАТКИЙ ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР ИССЛЕДОВАНИЙ
Составным стержнем называют такой стержень, поперечное сече-
ние которого состоит из нескольких отдельных частей. Если эти
части соединены между собой жестко по всей длине, то полученный
сложный стержень может считаться монолитным и рассматриваться
как один простой стержень, хотя бы даже различные части его попе-
речного сечения были сделаны из различных материалов. Тем не
менее часто не удается жестко соединить отдельные стержни и тогда
приходится учитывать влияние податливости соединений, взаимо-
связывающих эти стержни. Такую группу стержней следует рас-
сматривать как особую систему, называемую составным стержнем.
Далее будут даны определения составного стержня и его элементов
с точки зрения строительной механики.
Составные стержни широко применяются в строительных конст-
рукциях, выполненных из металла, железобетона и дерева. Предпо-
сылкой большого распространения металлических составных
стержней является ограниченность сортамента металла, вызываю-
щая необходимость сплачивания нескольких элементов для полу-
чения более мощных и выгодных сечений. Это сплачивание осу-
ществляется либо сваркой, заклепками и болтами, либо введением
промежуточных соединительных элементов — планок или решеток.
В последнем случае конструкция составного стержня называет-
ся сквозной.
Типы металлических составных стержней показаны на рис. 1—3.
На рис. 1 приведены наиболее употребительные типы металличес-
ких составных колонн. Для элементов, работающих на попереч-
ный изгиб, характерны составные клепаные или сварные балки
(рис. 2). Составляющими стержнями в них следует считать пояс-
ные листы, поясные уголки и стенку балки. К составным стержням
можно отнести также растянутые или сжатые пакеты, стыкованные
по длине внахлестку. Сюда относятся ступенчатые, универсальные
и перекрестные клепаные стыки (рис. 3).
В деревянных конструкциях составные стержни встречаются
еще чаще. Связями в них служат гвозди, болты, нагели, шпонки
(рис. 4), а также клей. Примеры деревянных составных стержней
показаны на рис. 5. К деревянным составным стержням можно
отнести также клееные фанерные и дощатые балки (рис. 6). Роль
связей в них играют вертикальные стенки, обладающие значитель-
5
Рис. 2
Рис. 3
6
Рис. 4
Рис. 5
3----Е
а в
н
|ф<ННННННН101111Н ------------Н1111101В»Н11||
7
Рис. 8
TZZZZZZZZZZZZZZ^ZZZZZZZZZZZZZTZZZZZZZZZZZZ^ZZZZZZZZZZZZZ
Рис. 9
Рис. 10
ной податливостью на сдвиг и на растяжение в направлении, пер-
пендикулярном оси балки.
В железобетонных конструкциях к схеме составного стержня
приводятся несущие конструкции многоэтажных зданий, рамные
каркасы и диафрагмы с проемами (рис. 7). Ригели и перемычки
здесь играют ту же роль, что планки в металлических колоннах.
Сюда же можно отнести сквозные балки типа фермы Виренделя
(рис. 8). Отметим также возможность использования в расчете
совместной работы железобетонных балок с уложенным по ним
и замоноличенным ребристым настилом, воспринимающим сжатие
вдоль оси балки и образующим совместно с балкой составной стер-
жень (рис. 9). Широкое распространение в строительстве имеют
пустотелые железобетонные плиты с каналами круглого сечения
(рис. 10), а также балки с аналогичными вырезами. В последних
двух случаях жесткость связей целесообразно находить экспери-
ментально. Приведенными примерами перечень конструкций,
сводящихся к схеме составного стержня, далеко не исчерпы-
вается.
Первые формулы для учета влияния податливости связей в сос-
тавных стержнях были даны в конце девятнадцатого столетия
Ф. Энгессером [64]. Составной стержень в них трактовался как
монолитный, но с пониженным модулем сдвига материала. Сам
сдвиг, влияющий на прогиб стержня, определялся ка. функция
8
поперечной силы в данном сечении. Таким образом, влияние подат-
ливости связей в составном стержне сводилось к влиянию на
прогиб поперечной силы. Этот довольно простой метод в приме-
нении к простым случаям загружения и закрепления стержней
сохранил свое значение и в настоящее время приводится обычно
в курсах строительных конструкций. Для сложных видов нагруз-
ки, например для внецентренного сжатия составного стержня,
он не дает удовлетворительного решения, так как не может ох-
ватить все разнообразие способов приложения нагрузки и гранич-
ных условий. Разработкой этого метода главным образом в приме-
нении к задаче устойчивости сжатых составных стержней занима-
лись Нуссбаум, Р. Мизес и И. Ратцердорфер [67], С.П. Тимошенко
[51] и др.
К тому же примерно времени относятся первые опыты со сжа-
тыми составными стержнями, которые показали, что несущая
способность составных стержней значительно падает при увели-
чении податливости связей.
В дальнейшем задача устойчивости составных стержней разви-
валась по пути трактовки составного стержня как рамной систе-
мы. Сюда можно отнести работы Н. Мюллера-Бреслау [68],
А. Люнгберга, Л. Грюнинга [65] и др. Все эти труды касались
только устойчивости составных стержней. К задаче о напряженном
состоянии составного стержня привели исследования о распре-
делении напряжений в рядах заклепок и во фланговых сварных
швах. Первые работы по этому вопросу были опубликованы
в 1908 г. И. Арновлевичем [62]. Им была получена общая зави-
симость распределения сдвигающих усилий по длине ряда закле-
пок, соединяющих многолистовой пакет, и рассмотрены некоторые
частные случаи. Последующие работы Филлунгера, Говгарда, Еже-
ка, А. Соколова и других относились к частным задачам. Анало-
гичные соотношения были найдены Н.Е. Жуковским [17] в зада-
че о распределении усилий в нарезке между болтом и гайкой.
В применении к деревянным составным стержням строгий учет
влияния податливости связей впервые был сделан В.Г. Писчико-
вым [26].
Следует упомянуть также о работе А.В. Дятлова [15] как об
одном из первых исследований по общей теории составных стерж-
ней, содержащем, однако, досадную ошибку, состоящую в том,
что в выражении потенциальной энергии стержня не была учтена
энергия связей сдвига, и о книге П.Ф. Плешкова [28], в которой
была сделана попытка построить упрощенную теорию составных
многослойных стержней, причем сдвиги в разных швах счита-
лись изменяющимися по длине стержня по одному закону.
Первая работа автора по общей теории составных стержней
с упругоподатливыми связями появилась в 1938 г. [36]. В ней
рассматривались вопросы напряженного состояния составного
стержня и соединительных связей в линейной постановке. В 1940 г.
была опубликована статья [38], в которой решалась задача ус-
тойчивости сжатых составных стержней. В 1948 г. вышла моногра-
9
фия [40], в которой теория составных стержней была уже пред-
ставлена в полном развитии, она и положена в основу этой книги.
На основе последней под руководством автора или самостоятельно
выполнен ряд работ В.И. Заборовым [18], В.В. Холопцевым
[59], Э.Г. Давыдовой [7], В.М. Захаровым [49], Р.А. Хечу-
мовым [58], Ю. В. Быховским [2], АТ. Хечумовым [53] и др.
В 1954 г. теория составных стержней была впервые применена
к расчету каркасов высотных зданий [50]. В 1966 г. П.Ф. Дроз-
дов [9] разработал вариант теории составных стержней в приме-
нении к практическим расчетам несущих конструкций много-
этажных зданий, обобщив его впоследствии и на пространствен-
ные задачи. 'Эти расчеты получили широкое внедрение в проекти-
рование и вошли в учебные курсы по железобетону. Теми же за-
дачами занимались также Л-Л. Паньшин [25], М.И. Додонов,
В.И. Лишак, А.П. Пшеиичкин [35] и др. Работе пространственных
составных стержней на изгиб и кручение посвящена книга Д.М. По-
дольского [34], в которой получили сочетание теория составных
и теория тонкостенных стержней. В несколько иной постановке,
на основе вариационного метода В.З. Власова задачу о составном
стержне решал И.Е. Милейковский [24].
За границей также публиковалось много работ по расчету зда-
ний по схеме составного стержня; в их числе можно назвать книги
и статьи Р .Росмана [70], М. Яаредо, БЛевицкого [66], Е. Гора-
чека, В. Ройка и др. В нашей стране переведены относящиеся к
рассматриваемому вопросу книги М.Енделе и И.Шейнога [16]
и Б.Гоши [5].
Многочисленные исследования проведены в области расчета
составных (двухслойных, трехслойных) пластинок, применяю-
щихся в машиностроительных и авиационных конструкциях.
Они велись на основе разных исходных предположений и не были
связаны с теорией составных стержней. Сюда относятся работы
А.С. Амбарцумяна, Э.И. Григолюка, В.И. Королева, АЛ. Прусако-
ва и многих других.
Автором в статье [44] было дано обобщение теории составных
стержней с жесткими поперечными связями на многослойные плас-
тинки. В дальнейшем АР. Хечумов [53] распространил уравнения
автора на анизотропные составные пластинки и на их динамику.
Динамический расчет составных стержней был опубликован в
статье [43]. Ю.В. Быховским [2] и Р.А. Хечумовым [58] были
развиты вопросы расчета составных стержней переменного сече-
ния.
Перспективными являются направления по расчету составных
стержней и пластинок за пределом упругости и по методу предель-
ного равновесия. К этим направлениям относятся статьи автора
[42], [47], а также глава в книге [40] и некоторые работы дру-
гих авторов.
10
2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Под составным стержнем будем подразумевать два или несколь-
ко монолитных прямолинейных! стержней, соединенных между
собой по всей длине податливыми или жесткими связями. Можно
различать плоские составные стержни, работа которых определя-
ется силами и перемещениями, расположенными в одной плоскос-
ти, и пространственные составные стержни. Вначале рассматрива-
ется плоская задача составного стержня.
Считается, что работа каждого отдельного стержня, входящего
в составной стержень, протекает в соответствии с обычными зако-
нами сопротивления материалов и, в частности, с законом плоских
сечений. Поэтому внутреннее напряженное состояние каждого
стержня считается полностью определенным, если известны значе-
ния моментов, нормальных и поперечных сил в каждом попереч-
ном сечении. Прогибы стержней считаются малыми по сравнению
с их длиной, так что в геометрической части задача решается ли-
нейными уравнениями, а для стержня имеет место закон незави-
симости действия сил. Исключением, как и для монолитных
стержней, являются задачи устойчивости.
Промежуток между составляющими стержнями, в котором
располагаются связи, будем называть швом. Число швов в плоском
составном стержне на единицу меньше числа составляющих стерж-
ней. Швы могут иметь значительную видимую толщину, при
этом через шов можно провести некоторую воображаемую плос-
кость, отделяющую один составляющий стержень от другого.
Поскольку поперечные сечения составляющих стержней могут
иметь любую форму, то можно считать, что зти сечения доходят
до разделяющих плоскостей, имея в зоне шва бесконечно малую
толщину (рис. 11). Поэтому ’’сплошной” составной стержень
со стержнями, непосредственно примыкающими один к другому,
принципиально не отличается от любого составного стержня.
Связи, соединяющие отдельные стержни, могут быть как непре-
рывно распределенными по длине шва, так и сосредоточенными
в отдельных точках длины стержня (дискретными). Часто сосредо-
точенные связи имеют одинаковую жесткость и расположены че-
рез одинаковые промежутки. В этом случае при не очень малом
числе отдельных связей можно распределить действие каждой
связи на участке длины шва, относящемся к этой связи и считать
стержень соединенным непрерывно распределенными связями.
Получаемая при такого рода представлении о работе составного
стержня незначительная неточность компенсируется упрощением
решения вследствие возможности перехода от системы линейных
алгебраических уравнений, выражающих взаимодействие отдель-
ных связей по длине одного и того же шва, к одному дифферен-
циальному уравнению.
1 Расчет криволинейных составных стержней имеет свою специфику и
здесь не рассматривается.
11
Рис. 11 Рис. 12
Следует заметить, что дискретные связи могут передавать кроме
сдвигающих и поперечных усилий также изгибающие моменты.
Это обстоятельство может повлиять на распределение усилий по
длине шва. Поэтому надо так выбирать разделяющую плоскость,
чтобы моменты в отдельных связях на ней обращались бы в нуль,
что почти всегда можно сделать.
По своему назначению связи в составном стержне могут быть
разделены на два вида: связи сдвига, воспринимающие сдвигаю-
щие усилия, которые возникают в швах составного стержня, и по-
перечные связи, которые препятствуют отрыву одних от других
или прижатию одних к другим отдельных стержней, входящих
в составной стержень (рис. 12). В дальнейшем будем строго раз-
граничивать эти два вида связей, хотя конструктивно они могут
совмещаться ,в одних и тех же элементах (например, в болтах).
Материал составляющих стержней, так же как и материал свя-
зей,в большинстве случаев может считаться подчиняющимся закону
Гука до известного предела, за которым возникают пластические
деформации.
Глава 2. ТИПЫ СВЯЗЕЙ СОСТАВНЫХ СТЕРЖНЕЙ
И КОЭФФИЦИЕНТЫ ЖЕСТКОСТИ ШВА
3. СВЯЗИ, ПРИМЕНЯЮЩИЕСЯ В МЕТАЛЛИЧЕСКИХ
КОНСТРУКЦИЯХ
Основная характеристика связей определяется зависимостью
между деформациями, возникающими внутри составного стерж-
ня, и внутренними усилиями, вызванными в связях этими дефор-
мациями. Эта зависимость в большинстве случаев при небольших
деформациях может считаться линейной, т.е. для работы связей
12
можно считать действительным закон Гука. В рассматриваемой
стадии работа связей может быть охарактеризована коэффициен-
том жесткости, представляющим отношение усилия в связях к
соответствующей ему деформации. Для связей сдвига вводим
коэффициент жесткости $ , причем
4 = т т/г, (3.1)
где 1с - сдвигающее усилие, приходящееся на одну связь; т - число свя-
зей, приходящееся на единицу длины шва; Г - деформация взаимного
сдвига смежных волокон двух соседних стержней, соединенных связями
сдвига 1 .
Для поперечных связей соответствующий коэффициент жест-
кости обозначаем через , причем
7 = Зст/Э, (3.2)
где - растягивающее усилие, приходящееся на одну связь; т - число
связей на единицу длины шва; Э - поперечное расхождение соседних стерж-
ней, соединенных связями. Размерность коэффициентов жесткости свя-
зей 4 и — Н/см .
Рассмотрим, как видоизменяются коэффициенты и в связях
различных типов, применяющихся в конструкциях. В металличес-
ких конструкциях в качестве связей применяются заклепки,
сварка, пленки и решетки различного типа.
Заклепки. Работа заклепок не является типичной среди прочих
связей. Ввиду укорочения стержня заклепки, возникающего при
ее остывании, склепываемые листы оказываются сильно сжатыми.
Поэтому, кроме деформации тела заклепки и смятия кромок от-
верстий листов, в работу связи включается также трение между
листами. При этом в начале загрузки сдвиг сопряжения происхо-
дит из-за деформаций, возникающих до преодоления трения между
листами. После того как сдвигающее усилие достигнет и превзой-
дет определеннную величину, зависимость между сдвигающим
усилием и сдвигом станет иной, и деформации будут расти зна-
чительно быстрее. Экспериментами установлено, что трение в
заклепочном соединении преодолевается при напряжениях на сдвиг
в теле заклепки порядка около 50 Н/см^.
Отнеся значение срезывающего напряжения тела заклепок к уг-
лу сдвига, получим так называемый модуль упругости заклепоч-
ного соединения Е3 . Согласно экспериментальным данным, этот
модуль для упругих деформаций составляет 100—120 Н/см2.
В соответствии с формулой (1) коэффициент жесткости шва будет
= E3JTol1 2k /(^се), (3.3)
1 Далее взаимные перемещения точек соседних стержней вдоль разделяю-
щей плоскости будем называть просто сдвигом.
13
где С — расстояние между центрами тяжести сечений склепанных стержней;
d- диаметр заклепок; е - шаг заклепок? к - число рядов заклепок по ши-
рине стержня.
При дальнейшем возрастании сдвигающего усилия работа закле-
пок переходит в пластическую стадию, в которой возможны зна-
чительные деформации без большого увеличения сдвигающего уси-
лия. Общая диаграмма работы заклепочного соединения на сдвиг
показана на рис. 13.
Столь же сильно сказываются на работе заклепок, как попе-
речных связей, поперечные деформации склепанных листов. Буду-
чи сжатыми усадочными усилиями, возникшими после остывания
заклепок, склепанные листы могут воспринимать довольно зна-
чительные усилия в поперечном направлении, работая при этом
почти как монолитное сплошное тело. После преодоления началь-
ного напряжения от усадочных усилий поперечные деформации
далее происходят в результате удлинений заклепок и изгиба лис-
тов, как пластинок. При этом напряжения в заклепках становятся
настолько большими, что превосходят обычно предел текучести.
Диаграмма работы заклепки на отрыв показана на рис. 14. Что
касается напряжений другого знака, т.е. сжатия листов, то тут,
очевидно, роль поперечных связей выполняет непосредственное
противодействие листов друг к другу, и склепанный стержень
работает как одно целое. Учитывая сказанное, можно для началь-
ной упругой стадии работы стержня принять коэффициент попе-
речной жесткости заклепочного шва 7 там> где оси заклепок рас-
положены в плоскостях, параллельных рабочей плоскости стержня,
равным бесконечности, т.е. считать поперечные связи бесконечно
Рис. 14
14
жесткими. Однако часто заклепки располагаются так, что, выпол-
няя назначение поперечных связей, работают на срез. Это может
быть, например, в шве, которым соединяются поясные уголки
клепаной двутавровой балки с ее стенкой (рис. 15). В этом случае
коэффициент поперечной жесткости шва tj, как и | , определя-
ется по формуле (3).
Аналогично заклепкам работают болтовые соединения, лишь с
той только разницей, что в них начальные напряжения попереч-
ного сжатия и силы трения, вызываемые натягиванием болтов гай-
ками, играют значительно меньшую роль.
Сварные швы. Податливость сварных швов необходимо учиты-
вать лишь тогда, когда напряжения в них значительно больше рас-
четных напряжений в теле окружающего металла. В противном
случае деформации стержня будут происходить в равной мере как
вследствие податливости сварных швов, так и в результате дефор-
маций материала соединяемых элементов, и стержень при этом сле-
дует рассматривать как сплошное монолитное тело. Тем не менее
часто податливость сварных швов значительно превышает воз-
можности деформации сдвига и поперечного растяжения материала
соединяемых стержней, в этом случае сварной стержень можно
рассматривать как составной на упругоподатливых связях, каки-
ми являются сварные швы. Особенно уместна будет такая схема
расчета в стержнях, соединенных прерывистыми или точечными
швами.
При определении коэффициентов жесткости сварных швов
можно принимать модуль упругости наплавленного металла рав-
ным модулю упругости основного металла соединяемых стерж-
ней. Так как сопротивление сварного шва сдвигу или разрыву
зависит от формы его поперечного сечения, причем определение на-
пряженного состояния внутри шва представляет собой в большин-
стве случаев нерешенную и весьма сложную задачу теории упру-
гости, то затруднительно дать простые формулы для определения
коэффициентов | и . Кроме того, необходимо иметь в виду не-
точность формы сечения по длине шва, начальные тепловые напря-
жения, достигающие в сварных соединениях значительной величи-
ны и т.д. Рассмотрение всех этих вопросов выходит за пределы
предлагаемой работы. Однако во многих случаях задача может
быть решена упрощенно, обычными методами сопротивления
материалов.
Для связей в виде перемычек или планок (рис. 16) сдвиг проис-
ходит в результате деформаций самих планок и вследствие дефор-
маций соединяемых ими ветвей на участках между планками.
Для определения коэффициента жесткости шва на сдвиг $ дадим
нижнему стержню (рис. 17) продольное смещение относительно
верхнего на величину Г и найдем возникающее при такой дефор-
мации сдвигающее напряжение t', отнесенное к единице длины
стержня. Число планок считаем бесконечно большим, а стержень
бесконечно длинным. Поэтому при решении задачи методом де-
формации получим в случае неравных сечений ветвей, соединенных
15
Рис. 16
планками, лишь два неизвестных — угол по-
ворота любого верхнего узла и угол пово-
рота любого нижнего узла стержня 4>г . Урав-
нения метода перемещений при обозначениях
(см. рис. 17) будут:
Как обычно, влиянием поперечных и про-
дольных сил, пренебрегаем. Решив уравнение
(4), получим:
1 Даже в случае квадратных планок влияние
поперечных сил составляет примерно 20% влияния
изгибающих моментов. Поскольку же изгиб та-
ких коротких планок создает малое перемещение
стержней, то поперечные силы в планках вполне
можно не учитывать.
Рис. 17
16
________(63nr/cz)(12 32/B + 23nlcl)___________
1~ W31 % /Вг + if8Jn(31-t- 32 VBc t 12 J„2 /с2
___________{бЗпГ/сг)(123,/В + 23n/c) .
V2= iiiilliailBS * *- + ^8 3 п(З^Зг)/Вс + 1212 /cz
Моменты, действующие на планку по ее концам, будут
(3.6)
а поперечная сила в планке
„ , _ 123ПГЕ 63пЕ
и~ 1С - - с3 -г, cZ
и> в'1п Е - 12 J'n ГЕ
~ ^2 с2 ~ С3 * Х
12 3, 3Z/BZ + jn (3-, + 32 )/Вс____
12 3.,3г /В* +43п (3.,+32)/Вс + /cz
f (3.7)
Отсюда в соответствии с формулой (1) получим выражение для
Тс 123пЕ /27, 7г /а 2 7„ /7, у 7г )/Вс
ВГ Вс3 123132/Bz^Jn(3i+J2)/Bc^-Jz/cz <3-8 * * *)
В частном случае одинаковых сечений ветвей 7,=^=^ получим
$ = 2bEl[Bcz (2сип1 . (3.9)
Иногда момент инерции планок Зп можно считать бесконечно
большим по сравнению с моментами инерции ветвей 7, и 32. Тогда
из формулы (8) следует:
(З.Ю)
. 12 (3, + Зг )Е
В2с2
или в случае одинаковых ветвей
- МЗ.Е !BZ с2-.
О
Рассматривая планки как поперечные связи, можно установить,
что при равномерном удалении стержней друг от друга ни планки,
ни ветви не изгибаются, и это удаление может происходить лишь в
результате осевого р|с¥й)К^ВДГ реформации рас-
17
тяжения планок незначительны, то в большинстве случаев послед-
ние можно считать абсолютно жесткими поперечными связями (7 —
=“), а составные стержни на планках — стержнями с абсолютно
жесткими поперечными связями.
Положение разделяющей плоскости определяется точками
перегиба планок. Положение этих точек находится из зпюры
моментов (рис. 17,5):
а = см1/(м1 + мг); смг/(м11-м2);
подставив значения Л^и из (6), с помощью (5) найдем
- + С> °' IZJ^c '
при 7, = 72
а. = Ъ = с/2
при 7„ = оо
Л=С7,/(7^72Л
Значения а. и Ъ далее будут нужны нам для определения усилий
в поперечных связях, т.е. продольных усилий в планках.
В шарнирно-стержневых системах (фермах) с параллельными
поясами сопротивление решетки сдвигу и расхождению ветвей
существенно зависит от ее конструкции. Если решетка образует
шарнирно неизменяемую схему, то работой ее элементов на изгиб
можно пренебречь и учитывать лишь их сжатие и растяжение. На
рис. 18 а, б, в приведены типы простых решеток, наиболее употре-
бительных в металлических конструкциях.
Рассмотрим решетку, показанную на рис. 18, а. Нетрудно по-
строить зпюру продольных сил, возникающих в решетке от единич-
ного сдвига Г = 1. Для того чтобы удержать этот сдвиг, следует
18
в узлах решетки приложить сдвигающие усилия Тс . Пояса и стойки
решетки при сдвиге остаются ненапряженными (рис. 19).
Единичное перемещение по направлению сил Тс ~ 1 можно
определить, пользуясь способом Мора. Суммируя и интегрируя
влияние нормальных сил в пределах одной панели, получим:
V 2
, f Nt-cLs 2 -1 В Л В
J EF- ~ (2cosa)z cos ос EF 2cos3ос £FP
где Fp - площадь поперечного сечения раскоса.
Этому перемещению соответствует усилие Т.~ 1. По форму-
ле (1)
| = EFp cos3ос /В 2. (3.11)
Предполагая, как обычно в фермах, шарнирное соединение
стержней в узлах, приходим к выводу, что под влиянием сил^= 1
(рис. 20) продольные силы возникают только в стойках решетки
и вызывают расхождение поясов на величину
( Fc — площадь поперечного сечения стойки). Поэтому коэффи-
циент поперечной жесткости шва в соответствии с (2) будет
П = £Fc/(Bc) = EFC l(B2tg <*.).
При этом пояса стержня должны деформироваться по ломаной
линии (см. рис. 20). В действительности, такой деформации бу-
дут противодействовать изгибающие моменты, возникающие в
узлах. Поэтому коэффициент жесткости д будет иметь немного
большее значение. При бесконечно жестких на изгиб поясах коэф-
фициент д имеет максимальное значение. Его нетрудно вычислить,
если учесть, что пояса в этом случае не будут деформироваться,
но зато в работу включатся раскосы решетки.
При расхождении поясов на Э -1 усилия в стойках будут {Э I
/с) EFt , а в раскосах (dsinzoc/c)EFP/ общая вертикальная проекция
усилий, действующих на каждый узел, будет
г? = (Э/с)Е (Fc f 2 since Fp ).
Отсюда
?= -Т~ ( F + 2sitfoc F„ ) =
Вс с р (3.12)
_ EF' + ? Esin2 ос cos ос
2Bztgoc z В2. FP"
19
Рис. 20
Рассмотрим теперь раскосную решетку без стоек (см. рис. 18,6).
Поскольку и в предыдущем случае, стойки не принимали
участия в работе решетки на сдвиг, то значение $ останется преж-
ним (10); что касается коэффициента поперечной жесткости ц ,
то при абсолютно жестких на изгиб поясах он может быть найден
по формуле (12), в которой следует принять Fc = 0. При гибких
поясах, учитывая их работу, получим:
2 sin ос 7 FPE + I ос) Fn Е
-±- (_____..___1_________+______I_____) •
Е \ 2 sih 2 ос COS ос Fp ^~Ьд2 ос Fп / *
Е_____________________1___________________
2Вг (2sinzec COSccFp)-1 +(‘itgzocFn)-1
Рассмотрим еще треугольную решетку (см. рис. 18, в). В ее
узлах приложим действующие в продольном и поперечном направ-
лениях силы Тс = 1 (рис. 21, а) и Зс= 1 (рис. 21, б). Применяя
формулу Мора для определения обобщенных перемещений Г и 3 ,
соответствующих обобщенным силам Тс и «Ус, получим:
В 1 1 , 2 1 в _
' cos^ecFp Fc /
Э~ ВЦ оС (1!EFC).
Отсюда
> = 11В _________________ Е_________.
Р В2 (COS ~ 3oc(fp +±д3 ОС / Fc)
t,- i/B - EF'
Э B2tg ос
20
Рис. 21
Кроме того, в данном случае возникает побочный коэффициент
жесткости , устанавливающий связь между силами Те и деформа-
циями Э, а также между силами 5С и сдвигами Г, в виде формул:
scJB = fir + чэ.
Для определения коэффициента J3 интегрируем, согласно фор-
муле Мора, произведение эпюр нормальных сил в стойках от
действия единичных сдвигающих и от единичных поперечных рас-
тягивающих сил и на полученное значение делим величину 1/5
/ ( Btg <x.-1-tgoc £FC
~ В \ £FC j В2 igzoc
Коэффициенты $ и Q для решеток получаются значительно боль-
ше, чем для соединений с помощью планок, что объясняется менее
выгодной работой последних на изгиб по сравнению с работой
элементов решеток на сжатие и растяжение.
Положение разделяющей плоскости в случае любой решетки
может быть определено двояко. Предполагая, что элементы решет-
ки шарнирно прикреплены к составляющим стержням, можно
считать сдвигающие усилия приложенными по линии прикрепления
решетки к первому или второму поясам. В первом случае полу-
чается а— 0, Ъ-с , а во втором — а — с , Л = 0. В обоих случаях
конечные результаты будут одинаковыми.
21
4. СВЯЗИ В КОНСТРУКЦИЯХ ДРУГИХ видов
Типы связей, применяемых в деревянных составных стержнях,
более разнообразны, чем в металлических составных стержнях. Их
можно объединить в следующие группы: 1) нагели, 2) врубки и
шпонки; 3) прокладки и решетки; 4) сплошные стенки балок.
Нагели. К нагельным соединениям относятся болты, гвозди,
шурупы, собственно нагели металлические и дубовые и пр. Работа
нагелей проявляется в смятии древесины под нагелем и в изгибе
самого нагеля. Кроме того, значительную роль играет трение спла-
чиваемых поверхностей древесины и работа нагелей на растяжение.
Расчет самого нагеля в нашу задачу не входит, он обычно произ-
водится по аналогии с балкой, лежащей на упругом основании.
Определение податливости нагеля теоретически представляет
довольно сложную задачу, причем громоздкость вычисления да-
леко не всегда соответствует достоверности получаемых результа-
тов. Существенными моментами, не учитываемыми в расчете наге-
лей (как и в расчете почти всех элементов деревянных конструк-
ций) , является влияние времени и скорости загружения на дефор-
мации. Поэтому большинство теоретических выводов и экспери-
ментальных данных имеют здесь условный характер и позволяют
судить лишь о порядке величины податливости нагельных сопря-
жений.
В работе нагелей на растяжение основную роль играет попереч-
ное смятие волокон древесины под шайбами или трение тела на-
геля о стенки отверстия (в гвоздях и глухарях). Эти деформации,
однако, в значительной степени зависят от времени и не могут счи-
таться достаточно изученными.
Вообще коэффициенты жесткости нагельного шва должны опре-
деляться по той же формуле, что и для заклепочных швов (3.3).
Врубки и шпоики в случае тщательного их выполнения явля-
ются очень жесткими, но хрупкими элементами конструкций.
Поэтому деформации балки на врубках и шпонках чаще всего
могут определяться без учета податливости связей сдвига так же,
как и скалывающие напряжения, приходящиеся на каждую связь,
т.е. по обычным формулам сопротивления материалов. Исклю-
чение представляют гладкие кольцевые и в особенности зубчато-
кольцевые шпонки, работа которых больше приближается по
своему характеру к нагельным соединениям.
Соединения на шпонках и врубках обычно снабжаются стяж-
ными болтами, прижимающими один брус к другому со значитель-
ной силой. Работа болтов, как поперечных связей, придает состав-
ному брусу в поперечном направлении достаточную жесткость,
не уступающую жесткости монолитного бруса. Таким образом,
для связей рассматриваемого типа оба коэффициента $ и близ-
ки к бесконечности. Это не значит, конечно, что прочность состав-
ной балки на врубках или шпонках равна прочности монолитной
балки того же сечения. Именно вследствие большой жесткости
врубок и шпонок на сдвиг напряжения в них распределяются
22
Рис. 22
очень неравномерно, причем благодаря хрупкости врубок ска-
лывание одной из них вызывает последовательное разрушение и
всех остальных, а затем и выход из строя всей балки. Различного
рода неплотности в гнездах врубок, которых очень трудно избе-
жать при изготовлении, еще более углубляют неравномерность
работы врубок и вносят большую неопределенность в фактичес-
кое распределение усилий.
Прокладки и решетки. Составной стержень, соединенный корот-
кими прокладками (рис. 22), аналогичен металлическому состав-
ному стержню на планках. Однако жесткость планок на изгиб
здесь можно считать равной бесконечности, поэтому коэффициент
жесткости шва на сдвиг £ можно вычислить по формуле (3.9).
Последняя же не учитывает податливости нагелей, соединяющих
прокладки с ветвями. Учесть их можно, определяя истинный
коэффициент $ по формуле
//$ = (4-0
Здесь £0 - коэффициент жесткости, определенный в предположении абсо-
лютной жесткости нагелей, а тот же коэффициент, вычисленный в пред-
положении абсолютной жесткости деревянных элементов стержня.
Все сказанное применимо и к составным решетчатым стерж-
ням. Коэффициенты жесткости шва в них могут определяться по
формулам, данным для металлических решетчатых стержней с
соответствующей поправкой по формуле (1), которая учитывает
податливость прикреплений элементов решетки к поясам.
Сплошные стенки балок. Сюда относятся дощатые перекрестные
и фанерные стенки двутавровых балок гвоздевых и клеевых,
а также дощатые стенки клееных коробчатых и двутавровых
балок.
Определим коэффициент жесткости | для балки со сплошной
стеной. При нагрузке единичными распределенными силами по ли-
нии прикрепления поясов (рис. 23) произойдет сдвиг стенки,
равный
Г, = ^сг^ст)' (4’2)
где с(ет- толщина стенки; ёст — модуль упругости стенки при сдвиге, С -
расстояние между осями поясов.
23
Рис. 23
Отсюда
'/с -dCTGcr!c-
К перемещению в виде сдвига Го (2) следует добавить сдвиг
гвоздевых соединений, равный в обоих поясах
где m - число срезов гвоздей в поясе на погонную единицу длины;Тгв- уси-
лие в одном гвоздевом срезе; Ггв— сдвиг, соответствующий этому усилию.
Общий сдвиг будет
а общий коэффциент жесткости стенки на сдвиг
$ = = 1/(c/dCTGCT^rr&ln,Tr&).
В клееной балке Гн =°° и
$ = 1/r^cLcTGCTlc. (4.3)
Аналогично определяется коэффициент жесткости стенки в
поперечном направлении
В железобетоне могут быть выполнены конструкции составных
колонн и ферм с раскосами и без раскосов (ферма Виренделя).
Расчет их в принципе не отличается от расчета аналогичных метал-
лических конструкций. Кроме того, имеются специфические желе-
зобетонные несущие конструкции, например балки с круглыми
или многоугольными отверстиями в стенке (рис. 8). Коэффи-
циенты жесткости швов в этих балках можно определить мето-
дами теории упругости, а также модельными или натурными
экспериментами. Сюда же следует отнести и широко применяемые
в строительстве железобетонные плиты с сквозными цилиндричес-
24
кими отверстиями (рис. 10). Эти плиты в поперечном направле-
нии работают так же, как балки с круглыми отверстиями.
Большое значение получил в последнее время расчет несущих
конструкций зданий повышенной этажности как каркасных, так и
панельных. Этажерка несущих конструкций многоэтажного здания
может рассматриваться как составной стержень, в котором свя-
зями сдвига являются перемычки над проемами и ригели карка-
са. Перекрытия при этом обеспечивают неизменяемость горизон-
тальных сечений здания и играют роль абсолютно жестких попереч-
ных связей. Вся конструкция здания часто работает пространствен-
но на изгиб в обоих направлениях и на кручение под действием
бокового ветра. По схеме составного стержня могут рассчитывать-
ся также и протяженные малоэтажные здания. Стержень при этом
считается лежащим на упругом основании или на отдельных фун-
даментных опорах, а связями сдвига будут простенки и попереч-
ные стены. Внешним воздействием здесь обычно является неравно-
мерная осадка здания.
Глава 3. СОСТАВНЫЕ СТЕРЖНИ
С ЖЕСТКИМИ ПОПЕРЕЧНЫМИ СВЯЗЯМИ
5. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ СДВИГАЮЩИХ УСИЛИЙ
В подавляющем большинстве случаев податливостью попереч-
ных связей можно пренебречь, в результате чего расчет составного
стержня значительно упростится. Предположение об абсолютной
жесткости поперечных связей вполне согласуется с гипотезой об
отсутствии поперечных деформаций в отдельных стержнях, рассчи-
тываемых по технической теории изгиба, лежащей в основе курса
сопротивления материалов. Погрешность, возникающая при не-
учете поперечных деформаций, оказывается заметной только в
случае коротких стержней с большой высотой поперечного сече-
ния. Точно так же в составном стержне, длина которого значитель-
но превышает высоту его полного сечения, влияние податливости
поперечных связей должно быть невелико, за исключением особых
случаев загружений, вызывающих работу, главным образом, попе-
речных связей.
В дальнейшем изложении будем рассматривать связи, непрерыв-
но распределенные по длине шва. Это предложение приемлемо и
в случае нескольких (более пяти-шести) сосредоточенных связей,
расположенных на одинаковых промежутках одни от других,
поскольку оно вносит лишь небольшую погрешность в результа-
ты расчета.
Возьмем составной стержень, составленный из п, + 1 отдельных
стержней. Во время работы составного стержня в связях сдвига
25
каждого шва возникают усилия, являющиеся функциями коорди-
наты л, отсчитываемой по длине стержня. Величину этих усилий,
отнесенную к единйце длины шва, обозначим через 2" (Н/см).
В волокнах составляющих стержней возникают продольные де-
формации £ и продольные смещения а. Сосредоточенный сдвиг Г
вдоль разделяющей плоскости шва равен разности смещения верх-
него волокна нижележащего стержня ив и нижних волокон выше-
лежащего стержня и.":
Р~ц.н-и.в (5.1)
(считаем, что сечения составляющих стержней доходят до разде-
ляющей плоскости шва, имея хотя бы нулевую ширину).
Связь между продольными деформациями волокон стержней
и смещениями и выражается формулой
е=-^- = а'. (5.2)
ax v 7
Дифференцируя (1),получим
Г'=£н-Ев} (5.3)
«в .
где £ и € - продольные деформации в волокнах, примыкающих к разде-
ляющей плоскости шва сверху и снизу.
Составной стержень со своими связями сдвига и поперечными
связями представляет собой статически неопределимую систему.
Будем рассчитывать ее методом сил, выбрав в качестве основной
системы стержень, лишенный связей сдвига, действие которых
заменим функциональными неизвестными , где /— индекс, оз-
начающий номер шва (см. рис. 24). Благодаря абсолютно жестким
поперечным связям данная система эквивалентна п + 1 совместно
изгибаемым отдельным стержням по одинаковой кривой изгиба
у (х), где п — число швов стержня.
Общая жесткость на изгиб составного стержня, лишенного свя-
зей сдвига, равна сумме жесткостей отдельных стержней
.27 Е.Э- = ЕЕJ
L — 1 * 4
(для сокращения записей в этой сумме не будем указывать преде-
лы суммирования и индексы).
Обозначим через м°- суммарный изгибающий момент, равный
сумме изгибающих моментов в сечениях каждого составляющего
стержня основной системы:
М"^
п+1
z:
Q
M. ,
I
26
Через М° обозначим изгибающий момент, возникающий в каждом
отдельном стержне от действия внешней нагрузки без учета уси-
лий, передающихся от поперечных связей и связей сдвига. Заме-
тим, что усилия в поперечных связях являются уравновешенными
и ничего не добавляют к общему изгибающему моменту состав-
ного стержня. Усилия в связях сдвига вызывают моменты в
составляющих стержнях, равные
М.
i
г Ъ. -Т.н.
1~1 1-1 < е
где 7^-_у и 72 - суммарные сдвигающие усилия В4-/-М и швах, накап-
ливаемые по длине стержня от его начала до рассматриваемого сечения
Г,=/г._,Л;
о о
(5.4)
Ъ^-1 и а-- расстояние от центра тяжести сечения z-ro стержня до разделяю-
щих плоскостей выше и нижележащего шва (см. рис. 24).
Суммируясь, моменты Л4- дают добавку к общему изгибаю-
щему моменту основной системы М°, в связи с чем полное значе-
ние изгибающего момента в системе становится равным
в *** т
м 1- ZL м . (5.5)
с—1 *
Подставив сюда выражения (3), и учтя, что То — — 0, полу-
чим вместо (5)
Рис. 24
27
о « п сП
М = м-22Т.а.~Е.Т.Ъ. = М~2:т.с., (5.6)
2=7 < г 4 г t г ’
где с- — расстояние между центрами тяжести сечений двух смежных стерж-
ней, разделенных z-м швом
С- ~ а . t Ъ . (5.7)
4 4 L
Изгибающий момент М вызывает искривление осей составляю-
щих стержней по одинаковым кривым у (л). Дифференциальное
уравнение кривой у (х) при малых прогибах имеет такой же вид,
как в обычной балке:
у"^~М/ЕУ. (5.8)
Нормальные усилия в составляющих стержнях выражаются
формулой
TL + T^1’ (5-9)
где Уi - нормальные усилия, вызываемые в /-м стержне одной только
внешней нагрузкой.
Определим теперь деформации крайних волокон стержней по
обе стороны разделяющей плоскости t-го шва
£>£-+1^"аг- <5-10)
Здесь £ °. , £ — осевые деформации г -го и г'* 7 -го стержня, которые
равны
F., - площади поперечных сечений i-го и ir1 -го стержней.
Подставив выражения (11) и (8) в формулы (10), получим:
е,в Ni М Н_ Ni+1__________М
С~ ЕгР. XEJ с’ С Е-+1Рг+1 SEj
По формуле (3) с учетом (7) будем иметь выражение для
производственной от сдвига по г-му шву
п' Мсг
i= Е + 1 (5Л2)
или, раскрыв выражения для продольных сил и изгибающего мо-
мента по формулам (9) и (6):
28
ri 'c + 1 "l_______' ' *-<_______
I £i+iFi+i EiF- EE J
Ъ+1 72, Ti Ti-1
^i- + 1Fi+1 Ei+,1 Fi + 1 Fi
4. JL=2---Q
F £FJ c
Запишем это выражение в форме
п
Г' = Е Т. Д..+ Л. (i= (5.13)
< j=i -i ‘J to ' ' 1 7
где << № Ml-
Л .-------ELL---------------------z— •
40 Ei+1F£+1 E-Fi EEJ
A _ -/ 4 с/
Ec^Fit1 + E- F- * ZLEJ 7
(5.14)
T^Z) - при
Легко заметить, что во всех случаях будет справедливо ра-
венство
Для того чтобы основная система стала эквивалентной заданной,
необходимо приравнять сдвиги Г/ в швах погонным сдвигающим
усилиям 2/, деленным на коэффициент жесткости шва £.. С уче-
том (4) 4
(5Л6)
Подставив в уравнение (12) выражение (15), получим
...П) (5Л7)
или при постоянных коэффициентах жесткости шва по длине
стержня в развернутом виде:
29
AitTi Л12^ inTn ~ ^10 >
Тг" _
$2 ^21 E 22^2 ~ &2n Tn ~ & 20 ’
&n2 E2 ~ " ' "Ann Гп ~^по\
(5.18)
6.0ПРЕДЕЛЕНИЕ УСИЛИЙ В ПОПЕРЕЧНЫХ СВЯЗЯХ
От внешней нагрузки и усилий в связях сдвига в стержнях
основной системы возникают изгибающие моменты
М = м°+мт= М°~Т. ,а . , -Т. Ъ;
I I С I L-1 L~1 II-
Кроме того, на стержни передают усилия поперечные связи, кото-
рые вызывают изгибающие моменты
где S- - усилия в поперечных связях z-ro шва, отнесенные к единице
длины стержня.
Суммарный изгибающий момент в z'-м стержне будет
м. ~ М° + М.т+ Ms= у. + Ms
I L I I I 4
В то же время этот момент равен
Учтя формулу (5.8), получим
М м° п
МГ ~ТЁЗ Ei ~ЁЁТ Ez ^Ti Ci ZE 3 ’
(6.1)
(6-2)
где M - полный изгибающий момент в основной системе, определяемый
йо формуле (5.6).
Приравняв правые части формул (1) и (2), найдем
S _ и
= Tl-iCL- ^Г-Ъ.-М^
Z-1 с~1 Z с i
ЕЕЗ ZE3^TJC>
30
Усилия в поперечных связях, передающиеся на Z-й стержень,
вычислим, взяв вторую производную от Л/ ?:
д ^Z Д
Здесь поперечная нагрузка, приложенная к 4-му стержню
полная поперечная нагрузка на весь составной стержень.
Итак, нами получена система уравнений для определения уси-
лий si в швах:
, п ,
, / E2Ja
$t~s2.~ Яг+ гг^г~ zsj
&П-1 ~Sn ~4'n' ^rt-t^n
sn. ~ Чгц- f f
И6.3)
- Ч’/Г
Отсюда легко получить все -3^(4 = 1,2,.. /г) последовательным
сложением уравнений (3). Сложив первые i уравнения этой систе-
мы, получим
Ъ * £, <с> <6л)
Заметим, что, если для определения усилий в связях сдвига
было безразлично, как провести разделяющую плоскость в шве,
поскольку в коэффициенты уравнений (16) входили лишь суммы
отрезков а- + Ъ г = , то для вычисления усилий в поперечных
связях надо знать точное положение разделяющей плоскости, кото-
рая должна пройти через точки, где моменты в поперечных связях
равны нулю. Например, для стержня с перемычками или планками
(см. рис. 16) разделяющая плоскость должна проходить через
нулевые точки эпюры моментов на перемычках (см. рис. 17).
Усилия и si_1 для 4-го стержня являются внешними силами,
поэтому они должны вместе с поперечной нагрузкой на данный
31
стержень q удовлетворять условиям равновесия, а именно — ра-
венству нулю суммы проекций всех сил на ось у и равентсву ну-
лю суммы моментов всех сил, включая сдвигающие усилия Т; и
Гв связях сдвига. Если эти условия равновесия не выполняют-
ся, то усилия в крайних поперечных связях данного стержня следу-
ет считать сосредоточенными. Предполагается, что вследствие
абсолютной жесткости поперечных связей, последние воспримут
эти усилия без деформаций.
7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ
После определения усилий в связях сдвига основная система,
лишенная связей сдвига, рассчитывается без труда.
Осевая сила Л^в каждом составляющем стержне
/V. = А/ ° - т + т
L L 4 L - 7
(7.1)
Внутренний момент в том же стержне равен (6.2):
М .= /ЕЕ J - Е 7"-с -Е. J. / (E.EJ). (7.2)
4 CL j- J J L 4 '
Продольные напряжения определяются по формуле
б - N. /F. + M.Z. /J- ,
X I ' С L С С
(7.3)
где z.- расстояние от центра тяжести сечения г"-го стержня до рассматрива-
емого волокна.
Эпюра продольных напряжений в составном стержне получа-
ется ступенчатой, но с одинаковым наклоном к вертикали во всех
стержнях (рис. 25). Скачки в эпюре продольных напряжений в
каждом шве равны Т-.
Для того чтобы определить касательные напряжения в
с-м стержне, рассмотрим равновесие призмы длиной dx и высотой
+ ^[-т> вырезанной из Z-ro стержня (рис. 26). Проектируя
все усилия на ось х, получим:
d Гг
B(Z^^=--dTJ ^х^^
- Ъ.
и с учетом формулы (3)
где Elz-J , SfzJ- площадь части сечения i-ro стержня, расположен-
ная выше уровня , и статический момент этой площади относи-
тельно центральной оси сечения Z-ro стержня,5 ширина сече-
ния на уровне .
32
Рис. 25
Рис. 26
С учетом (1) и (2) и, полагая N°= const, придем к равенству
, Г Z 5<\)
где
8. СТЕРЖЕНЬ, СОСТАВЛЕННЫЙ ИЗ ДВУХ БРУСЬЕВ
Если составной стержень состоит только из двух монолитных
стержней, то вместо системы (5.18) будем иметь только одно
уравнение
Г'7£ = &Т + Л. (8.1)
Коэффициент 2 и свободный член Д здесь имеют значения:
2-218
33
1 / с
~ E~F~^ Ez Fz * ZE J
Л-л < М°с
Л ЛП=~ E,F, EZFZ 2.EJ
(8.2)
Решение уравнения (I) можно записать в виде
Т-С1 shAx + chAx + у- / Л (t)sh А (к - -t)dt, (8.3)
О
где Z? ,4^- произвольные постоянные и
й = fsr1= VS (I/Ejp, + 1/ezF2. (8-4)
Усилия в поперечных связях, передающиеся с одного стержня
на другой, будут равны, согласно (6.4):
Е J
- rfr <£Р, 1Г'а *«р'£2 jz •
В частном случае стержня, симметричного относительно разде-
ляющей плоскости шва:
F, = FZ; Ef=Ez = £ ;
a=b=c/2; £EJ = 2EJ;
r 2 . с2 . л = -N^Nl _ Л/% .
ЕР ZE] ' £J ZEF '
S- —
Последняя формула показывает, что в случае симметричного
стержня из двух брусьев или ветвей усилия в абсолютно жестких
поперечных связях равны полуразности поперечных нагрузок, при-
ложенных к одному и другому брусу.
9. СТЕРЖЕНЬ ИЗ ТРЕХ БРУСЬЕВ, СИММЕТРИЧНЫЙ
ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОДОЛЬНОЙ ОСИ
В этом случае (рис. 27) будем иметь два дифференциальных
уравнения
Т,' |
г/ММ,гт; f Ьг1тглг„), J (’J)
34
Рис. 27
llllllllllll
где л = л =. (Е р )~1+ (Е FyUcz(EEJ)\
П 11,
Лг ~Azi =- (£cFcY1+c2(ZEF)-<
(индексы к, с соответствуют крайнему и среднему брусьям)
Обозначим:
(Г, + Т2MZ = Тл (ТгГг)/2=Тс. (9.2)
Здесь Та является антисимметричной частью совокупности усилий Т и 77, а
Т - симметричной. 2
Составим сумму и разность уравнений (1). С учетом (2) по-
лучим
или
(9.3)
где
Те= тс +лс\ (9.4)
Ъа. = Лц * Лг< = + EEJ ' Ла^Ыа' >
_ Л2о _ _ _ М°с
2 ~ EKFK SEJ '
-Гр- > V
Гк сс *с
л - Л*>-А22_ NaK №с
2
> (9.5)
35
Уравнение (3) относится к антисимметричной нагрузке, а урав-
нение (4) — к симметричной.
Усилия в поперечных связях при симметричной нагрузке
b, при антисимметричной нагрузке (9.6)
£c > s~ 22EJ (9.7)
где А£- расстояние между разделяющими плоскостями швов.
10. РАБОТА ВНУТРЕННИХ СИЛ
Работа внутренних сил в упругом составном стержне склады-
вается из работы напряжений в составляющих брусьях и работы
упругих связей сдвига. Приходящаяся на единицу длины работа
напряжений в Z-м стержне
А. - 05(М?/Е. + Н?/Е. ).
Подставляя сюда (7.2) и (7.1), находим
‘ 2(23 EJ)z
— ___с-^с ог а Н п п.
Z(EEJ>z (М -2М Е Тс <- 22 Z2 Т.Т с .с )+
J-1 <• J J К J к
•/ 2
4.__— ' - / 0 2 2 в О
2E-F; + Т +Т-2Т.Т. ,-2N T.-tZN Т ).
1 < С С-1 С С~1 г с i С-1
Суммируя эту работу по всем стержням, получим
д2 л
н+1 дГ /W л
~ 2££J ~(EEJJz TJ CJ +
у n+i п п
i=1 J.= 1 c c J к J К 2 L-^1 E.Pl
36
пч-i N°T, h<~1 №т,- .
F- F p. F.
F- -=1 Fi F^
Воспользовавшись обозначениями (5.13) и (5.14), это выра-
жение можно переписать в виде:
/)= о,5(Д,т^д^...,лпХ^
^^Гг+Л^Т3+-+Л1пТ^^
* ^zi Т2Тз * ^г*, Тг \ + " * A^n-i Тп-1 Тп *
+А20 Т2 + -+ ЛМТО+ Л00>
где э я
М° +п^ N°
2EEJ + г=1 2.Е- F-
11)111 п п
0.5 Г Г Л. .Т.Т. f х Л .„Т.+ 25п.
Fi Ч ‘ J i=i L° ‘ 00
37
Работа упругих связей сдвига, приходящаяся на единицу длины
стержня:
B-D5 (10.1)
i=1 < “
Суммарная работа внутренних сил в составном стержне
л г п п п ,г
<>«•«
Z-У Ь
При заданной внешней нагрузке эта работа должна иметь мини-
мальное значение. Условие минимума функционала (2) можно за-
писать в виде уравнений Эйлера—Пуассона:
= ° (^1,2,...,^), (10.3)
от ах аТ/
* 4
где Ф— подинтегральное выражение в (2),
Расшифровывая эти уравнения, получим
2 22 л., т. + 2Л.п = 2.Т."/$.
j-1 ij J lO i ’ i. ' ' z '
т.е. уравнения (5.17), которые здесь можно считать выведенными
другим способом.
11. СОБСТВЕННЫЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ СОСТАВНОГО
СТЕРЖНЯ
Квадратичную форму
А = X X Д..Т.Т (11.1)
* k=i lk 4 к
с помощью линейного преобразования переменных Г- можно при-
вести к сумме квадратов. Поставим, кроме того, задачу, чтобы
форма
й ,2 /
вг= г: т:
i=1 ‘ 4
преобразовалась в более простую форму
38
в=ёт'\ (H-2)
4 = 7
Очевидно, что для этого следует применить преобразование:
(И.З)
При этом квадратичная форма (1) получает вид
/I = S £ ос. . Т. Т. , (11.4)
7 1-1 J-1 lJ i J
где t
Найдем собственные векторы матрицы коэффициентов <xlf., т.е.
такие векторы ut/(> и2к > ,U-nki которые линейным преобра-
зованием с коэффициентами^* получают лишь одинаковый множи-
тель Л для всех своих составляющих
2
<*ц U1k + *l2U-2k+"-+0C1nUnk = ^k U1k '
<*21 “<к +0<22а2к + - + <*21, Unk ~ Ак U2k)
b (11-5)
2
<*nl“lk + <*nZ“2k+- + *пп“пк = Акикк-)
Однородная система линейных уравнений (5) имеет отличные от
нуля решения при равенстве нулю определителя:
<*11 Ак <*,г 067Л
<*2 1 <*22 ~ <*2п
осп1 осп2 ... <х.пп~Лк
(П.6)
После раскрытия этого определителя получается алгебраическое
уравнение /z-ой степени относительно Ак, которое имеет п корней.
Соответственно получим п систем уравнений (5) и п. собствен-
ных векторов, являющихся решениями этих систем уравнений.
Для того чтобы решения для собственных векторов были опре-
деленными, поставим в дополнение каждой системе уравнений ус-
ловие нормированное™
Sz/ = 1 (к -1,2 ..., п). (И.7)
i-1 ’
Покажем, что собственные векторы матрицы Нос-А || обладают
свойствами ортогональности
39
п
Е и ц.= Q при к+1. (11.8)
Для этого выразим в (8) значения и через левые части уравне-
ний (5):
п
«-1
I п п
~7Г ZJ и. .
Затем проделаем такую же операцию с значениями и , L
1
(11.10)
Учитывая симметрию коэффициентов , заключаем, что
равенство правых частей в (9) и (10), если Л* а= А|, возмож-
но лишь при условии (8).
Матрица (| ut-A || , образованная составляющими всех собствен-
ных векторов, благодаря условиям (7) и (8), является ортого-
нальной матрицей. _
Введем теперь переменные 7. по формулам:
" Uii ^21 + и» 1
~ ^12 22. 12 + * 11 ”2 Т?) ’
ТК~ * ^и^пГп
Обратные зависимости имеют вид:
(11.12)
Z^un^i-un2fz +ипптп.Г
Действительно, матрица преобразований (11) является обрат-
ной по отношению к матрице преобразований (12), так как произ-
ведение этих матриц равно единице:
40
U'Z1UZ2 - UZn
U11 U-Z1 • •' и п '1
^IZ 112 Z '' ’ UП 2
1 о ... о
0 1 ...о
и... ...и
П1 nz ПП
и. и. . .. и
In Zn иц
00 ... 1
что нетрудно проверить, если учесть равенства (7) и (8). Пере-
ставляя сомножители получим ту же матрицу.
Итак, на основании (12) можно записать:
Т. = £ и
j i-i л
Гг-
Подставим эти выражения в (4). Получим:
Л Л 4 А
л = 72TLcc..tt.
1 L-1 J3.i LJ J
П __ П
... 2Z и. т
т =
i
Изменяя порядок суммирования и замечая, что на основании (5)
= А*и.
с ।
можно записать:
л
Z1
2
Л. и
i ci
и т т
гк к г
* = г1=1
и с учетом (7), (8)
п 2
^=г?Л
г2
г
(П.13)
Таким образом, квадратичная форма (I) преобразованиями (3)
и (12) свелась к сумме квадратов (13). Заметим также, что орто-
гональное преобразование (12) не изменяет вида квадратичной
формы (2), что легко проверить подстановкой (12) в (2). Следо-
вательно,
41
Д -Л
Линейная форма
преобразованиями (3) и (12) получает вид:
A г—л А А
с= е а. /$ т-= е j. /г. е и т =
i = 1 Ю 1 i t=# to k
* Д zr- — n —
zr 2? A. /$; u.,T*E,/lT
c = 1 k = 1 ‘° I tk к k=i к к ’
где
Rt = ё Л /Г- U-. Z, 1 1,ч
к (.о 4 4< (11.14)
Итак, подинтегральное выражение в (10.2) преобразуется в сле-
дующее:
Л 2 4 И !1 И ~
X А Т2 + г rk + 2Е Rk тк +2ЛВВ ,
* К к= 1 /t'-“
(11.15)
а уравнения Эйлера—Пуассона (10.3) получают вид
X2 Т R - Т "=° (к= 1,2(II.16)
' к к к к
т.е. система дифференциальных уравнений (5.18) распадается на
п. независимых дифференциальных уравнений второго порядка.
Для отыскания собственных значений А* матрицы можно
преобразовать уравнение (6) делением столбцов определителя
на , а строк — на к виду
А ...
к,, 12
21^^ ^22 к " ^2п
ь2
.
&п1 Ahi ^пп
(11.17)
42
Покажем, что корни уравнений (17) и (6) — действительные
положительные числа. При этом заметим, что квадратичная форма
Д, (1), представляющая собой работу внутренних сил7},положи-
тельно определенная, т.е. при любых действительных значениях 7"х-
больше нуля и лишь при равенстве нулю всех?: обращается в нуль.
Следовательно, таким же свойством должна обладать и правая
часть равенства (13). Для этого необходимо, чтобы все Кгг были
положительными, что и доказывает высказанное утверждение.
Совокупность положительных корней \к характеристического
уравнения (17) образует спектр характеристических чисел системы
уравнений составного стержня.
Значения т г- , представляющие собой линейные комбинации
усилий
(11.18)
можно рассматривать как обобщенные внутренние силы, с по-
мощью которых расчет сложного составного стержня из п +7 -го
бруса во многих случаях сводится к расчету п условных простых
составных стержней из двух брусьев. Величины Rk (14) играют
при этом роль обобщенных нагрузок.
Обратный переход к усилиям Т может быть произведен по
формулам:
7^ — Т„ +U22 l/^ +--. ,
U1K Т2+-
(11.19)
Таким образом, линейными преобразованиями неизвестных
7^ по формулам (18) и свободных членов Aio по формулам (14)
система дифференциальных уравнений (5.17) сводится к незави-
симым одна от другой дифференциальным уравнениям второго по-
рядка (16).
Переменные Тк можно рассматривать как обобщенные неиз-
вестные усилия, а величины Rk -как обобщенные нагрузки. Введе-
нием переменных тк и Rk задача о расчете составного стержня из
многих брусьев сводится к более простой задаче о расчете составно-
43
го стержня из двух брусьев, для которого основная система урав-
нений состоит только из одного уравнения.
Л инейное преобразование (14) свободных членов Д^можно рас-
сматривать как разложение внешней нагрузки Rk и М° (к -1,2,...
. . . ,п) на некоторые обобщенные нагрузки Д, являющиеся, как и
До, заданными функциями длины стержнях . Поэтому такой метод
решения, можно назвать методом разложения внешней нагрузки по
собственным функциям основной системы уравнений составного
стержня.
12. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
СОСТАВНОГО СТЕРЖНЯ
Уравнения (11.16)
т" = f Т. + R (к~1,2,...,п) (12.1)
к к к к ' '
имеют общие интегралы
Г (t)sh (12.2)
(к = 1,2,..., п),
где Ак и произвольные постоянные.
Правильность интеграла (2) нетрудно проверить подстановкой
его в уравнение (1).
Пользуясь формулами (11.19), получим:
Т = Г и. . /Г Т = TL [С sh\x+T) .chi,* +
4 к-1 kt t к к-^ L kt к kt к
U,- '/1Г- Г
+-----' 4 J НЩ (x-t)dt,
где Ct- = U-k^ A', D..= U..^.B..
kt kt 7 к kt kt к
Произвольные постоянные А, и 5a(A = 1,2, ... ,/z) находятся из
граничных условий, число которых должно соответствовать поряд-
ку системы уравнений, т.е. равно 2п. Обычно граничные условия
ставятся на концах стержня. Если в торце стержня отсутствуют
дополнительные препятствия сдвигу по Z-му шву, то можно запи-
сать, что в торцевом сечении х = 0 или х = I.
44
Т.(0)-0 или ~Г-(1) = 0.
Другой вид граничных условий получается, если в л-ом шве
имеется абсолютно жесткое препятствие сдвигу. В этом случае
сдвиг Г) и пропорциональное ему напряжение сдвига Г. равно задан-
ной величине
Г. (а} = Т.'(а) ~ ^.aL.,
4 4
где z/;— значение предварительно созданной и жестко удерживаемой дефор-
мации сдвига по 4-му шву в сечении л « а.
Однородными граничными условиями называются такие усло-
вия, которые выполняются при нулевых значениях неизвестных
и их производных в заданном сечении стержня. В каждом шве мо-
гут быть свои граничные условия. Если для всех швов однород-
ные граничные условия имеют одну и ту же форму, то такие гранич-
ные условия назовем однотипными. Однотипные граничные усло-
вия допускают особенно простое решение уравнений стержня,
составленного из многих брусьев. Действительно, если все Т- в
данном сечении удовлетворяют одному и тому же однородному
условию, то этому же условию будут удовлетворять обобщенные
неизвестные Тк , образованные линейным преобразованием
(11.18) из TL. При этом произвольные постоянные Ак и Вк решения
(2) могут быть найдены независимо для каждого переменного тк .
Если же граничные условия не являются однотипными, то перемен-
ные Тк оказываются связанными ими между собой, и произволь-
ные постоянные приходится находить из совместного решения
системы 2п уравнений.
Если сечения, где заданы граничные условия, значительно уда-
лены одни от других, то целесообразно общее решение в интеграле
(2) писать в виде
(12.з)
к к к '
где А В' _ иные произвольные постоянные.
К к
При этом, учитывая, что при большом аргументе АЛх второй
член в правой части (3) не может очень сильно возрастать, следу-
ет положить, исходя из заданной точности вычислений, для
А к а - X (12.4)
постоянную В1к равной нулю. Так, если требуемая точность расче-
та 0,0I,то Х = -1п0,01 =4,6, при точности 0,001 Х~-1п0,001 =
--6,9. При этом можно считать
— , 1 -А. г
тк = (12.5)
45
Степень затухания функций Тк (4) вдоль длины стержня зави-
сит от характеристического числа Ак. Наименьшее характеристи-
ческое числО-Л., дает наименьшее затухание. На участке, где х ,
все усилия тк и их производные в однородной задаче практически
исчезают. Это означает, что сдвиги по всем швам на этом участке
равны нулю и стержень работает, как монолитный. Функция же
(5) определяет местное воздействие вблизи торца составного
стержня на участке А, л <- X , где х-расстояние от торца.
Если часть характеристических чисел меньше чем X II , где I -
длина стержня, а часть больше, то для малых характеристических
чисел общее решение соответствующего дифференциального урав-
нения следует брать в виде 0) или в виде
Г = A, ShA,х * B.chA.Xj
к к К к к
а для характеристических чисел, больших Х/г,в виде (5).
13. РАМНЫЙ СТЕРЖЕНЬ СО МНОГИМИ СТОЙКАМИ
Рамный стержень с двумя стойками 0м. рис. 16) в принципе
не отличается от любого составного стержня из двух брусьев и
сдвигающие усилия в нем подчиняются дифференциальному урав-
нению (8.1), причем коэффициент жесткости шва | определяет-
ся по формуле (3.8).
В случае нескольких стоек сдвигающие усилия в £-ом шве
основной системы (рис. 28) вызывают сдвиги не только в этом,
но и в соседних швах. Действительно, построив эпюры моментов
от единичных сдвигающих усилий с двух соседних швов, интегриро-
ванием произведений ординат этих двух эпюр найдем, что взаимная
работа сдвигов по соседним швам не равна нулю. Это может быть
объяснено тем, что сдвиг по шву в рамном стержне вызывается
искривлением не только перемычек, но и стоек, причем изгиб
стойки приводит к деформации сдвига в швах, расположенных
по обеим сторонам стойки. Поэтому сдвиг по t'-му шву здесь
оказывается равным
ОМ)
где < ^t + 1 — напряжения связей сдвига в трех соседних швах;
L и i+1 i - соответствующие им коэффициенты жесткости.
Подставив выражение (I) в формулу (5.13), получим вместо
46
К К + т2 \ +^2т2 +... -
т;/^г +д2гтг^^го;
'л-г ^h-2ln-1*Tn-ll$n-1in^*Tn.l^iп-1,п. ~
~^п-1,1^1+^п-1,2 Т2‘" + ^П-1,п\^ ^П-1,0’
К-1 / W Г'/^ЛЛ ^гТ2+-лКп •
Коэффициенты 4г г-ъ 4i/Z и ^„можно получить из эпюр,
показанных на рис. 28, по формуле Мора. При этом для $it- удет
формула 0.8).
f if л- л ^чсгэ-Зп (7,- + ______
t 122slL-----2Z ---------------—--------Т~г ’ (13.3)
“ вс3 12J.J.
с c+'l П t- c + i
а для i и формулы
> ^8EJj
сгвг ’
^г.и-Г сгв2
47
В случае одинаковых стоек J- ~ J-+1 = J формула 0) получа-
ет вид (3.9)
Л =._______------------
Л7 Всг(2с/Эп + B/J)
Работа связей сдвига здесь будет выражаться не суммой квадра-
тов (10.1), а квадратичной формой более общего вида
л J=l+1 т- т/
В= Z7 Г ~~ ’ (13.4)
z <=*
имеющей матрицу трехчленной ленточной структуры.
Система дифференциальных уравнений (2) так же, как и систе-
ма (5.17), допускает разложение ее на ряд независимых диффе-
ренциальных уравнений типа (11.16). Для этого следует квадра-
тичную форму (1) преобразованием:
Т- = £ Г.. т! <л= 1,2,..,п)
L i = 1 4
П /X
привести к сумме квадратов 7/ . Это может быть сде-
лано, например, таким же способом, каким в п. 11 квадратичная
форма (11.1) приводилась к сумме квадратов (11.13). При этом
уравнения (2) преобразуются и получают вид
+-+л'^ +^0'
где 4новые коэффициенты, получаемые умножением матриц II Д .• ||
и II <TCj- || .
Таким образом, система уравнений (2) приводится к виду
0.18), после чего методом, подробно описанным в п. II, система
сводится к независимым дифференциальным уравнениям (11.16).
Несмотря на кажущуюся громоздкость этого метода, он легко
может быть использован при наличии ЭВМ и программ для преоб-
разования матриц и отыскания собственных векторов и характе-
ристических чисел последних.
48
14. РЕШЕНИЕ ОСНОВНОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ РАЗЛОЖЕНИЕМ
ВНЕШНЕЙ НАГРУЗКИ В РЯДЫ ПО ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМ
ФУНКЦИЯМ
Этот метод так же, как описанный выше метод разложения
нагрузки по собственным функциям основной системы уравнений,
применим только в случае однотипных граничных условий. Возь-
мем, например, граничные условия вида
Т. (О) = Т (1) = О = 1,2,...п),
которые довольно часто встречаются на практике. Разложим сво-
бодные члены в тригонометрические ряды
Д.я = Т2 a.., sin (kzrx/i) (Z= 12..., п) . (14.1)
10 i=i <-к
Каждый член разложения дает следующее решение системы
£5.17)
к = Ьгк sit1 (АУГл/z (14.2)
где к — порядковый номер члена разложения.
Видим, что эти решения удовлетворяют заданным граничным
условиям. Подставив выражения (2) в систему (5.17) и сократив
на sin (клх/г ) , получим систему алгебраических линейных урав-
нений, в которой неизвестными являются коэффициенты tnk :
2 2
+ ' Ъ1к + Л12 Ъ2к+--+ Л1П Ъпк * aik - °'
&21 Ъ2к+- "Л2. Кк +а2к= °’ > (14’3)
(. , k2jr2 ) т п
Л Л + /\ Ъ + IД + 12. Ь I ® U'
2.к - л// г $nj *к пк
О кончательное решение будет суммой решений (I), полученных
для отдельных членов разложения
г - Г т = Zlb- sin(kJrx/i),
Оно в общем случае получается в виде бесконечного ряда, кото-
рый, однако,обладает, как показывает опыт, быстрой сходимостью,
так что для практических целей обычно бывает достаточно сохра-
нения двух членов разложения (к ~ I и к -2).
В случае граничных условий
49
т!=т'(г)=О'Т.е Г.(О)-г\(1)=0 (£= 1,2,...,^)
свободные члены следует разлагать в ряд
4. = £ «., COS ( kirx/t').
LO , IK
В общем случае однотипных граничных условий, который мо-
жет быть представлен равенствами
АГ- (О) г ВТ-го) = 0} ,
L 04.4)
СГ {I) -НОГ. (l) = O J
где А, В, С и D — некоторые заданные значения, разложение следует вести
по собственным функциям дифференциального уравнения
Y"+ ос2 У =0.
(14.5)
Пусть собственная функция, отвечающая уравнению (5), задан-
ным граничным условиям и некоторому характеристическому
числу ос = <х, будет V), другая такая же функция, отвечающая
характеристическому числу с<2 , - У2. Согласно уравнению (5),
можем написать:
У? + <*2 У, =О,
У* + Yz"°-
(14.6)
Умножив первое уравнение (6) на Уг , а второе на У,, проинтег-
рировав их от нуля до 1- и отняв одно от другого, получим:
* t
J ( Yz У, УгМ* + (<x*-<xZ2)j с/х = О.
о о
Производя интегрирование по частям, имеем:
/(у^-у^'м^у^у;^ (14.7)
= К (z; y'(D- У (г) У '(t)-YWy'^y (O)y'(O).
A f 1 A ti 7 Z
Самый общий случай граничных условий уравнения (5),соответ-
ствующий граничным условиям (4), будет:
А У (О) * В Y '(О) = О ; CWtilY '(t)=O.
50
Рис. 29
Обе функции У, и У2 должны удовлетворять указанным гранич-
ным условиям. Видим, что при этом правая (а следовательно, и
левая) часть выражения (7) будет всегда равна нулю. Отсюда сле-
дует, что при «, ф(Х.2
i
О *
Таким образом, доказывается, что собственные функции урав-
нения (5) взаимно ортогональны при любых граничных условиях
на концах стержня. Поэтому любая функция может быть разло-
жена по ним в ряд Фурье. Эти собственные функции, как это сле-
дует из решения уравнения (5), имеют вид:
Y - a sin (ос х + /})t
где — постоянные.
Их вторые производные равны Y,/= akzsin ( кх+ fi), поэтому
при подстановке в уравнения (5.17) общий множитель sin (кх + fi)
можно вынести за скобки и сократить, причем оставшаяся система
будет системой обыкновенных линейных уравнений.
Собственные функции Y можно представить себе как формы
выпучивания сжатого прямолинейного стержня постоянного сече-
ния с упруго поворачивающимися, но не смещающимися в попе-
речном направлении концами (рис. 29). Длина такого стержня
должна быть равна длине рассматриваемого составного стержня,
а граничные условия, выражающие зависимость между прогибом Y
и углом поворота Y'=-V на концах, должны соответствовать задан-
ным однотипным граничным условиям (4) составного стержня,
выражающим ту же зависимость, но между значениями Т. и Г- = Г..
Глава 4. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ СОСТАВНЫХ СТЕРЖНЕЙ
С АБСОЛЮТНО ЖЕСТКИМИ ПОПЕРЕЧНЫМИ СВЯЗЯМИ
15. НЕСИММЕТРИЧНЫЙ СТЕРЖЕНЬ ИЗ ТРЕХ БРУСЬЕВ
Применим полученное выше решение к случаю составного
стержня с двумя швами. Характеристические числа и опреде-
лятся из уравнения (11.6):
Решая это уравнение, получим:
2 4 Г~1 / ~~2 1
• <15|>
Для определения коэффициентов и 1к составим уравнения
(11.5). При А = Л7:
\Д, < 1г ^22 ~ \ ^21 = °'
Отсюда
UH = 1 1 ^11 __ $2 А z< t (15 2)
11 $2 ^72 1 ~ $2.^22
Для того чтобы нормировать коэффициенты и UZ1, введем
обозначение
«27 /«77^^^
тогда
U27 "«77
и, согласно условию (11.7):
Отсюда • U21 * /С03^^ 1. = cos V, ~ sin V.
52
Аналогично при Л = Л2 ;
U22 _ Л 2 ~ § 1 ^11 _ 1^ £г & 21
и12 И 4г ^2< . ^2 “ ^2 А22
Из (1) ВИДИМ, ЧТО
- ~ ~ $2 Лг2)-
(15.3)
Поэтому, сопоставив (2) и (3), найдем, что:
UZ2 Iй 12 ~ Iиг<~ ~
Отсюда получим, применив условие (11.7):
и.1г = - sin Vу uZ2 - cos Ч>.
Таким образом, матрица коэффициентов и-к имеет вид
U11 U12
cos У' ~ sin О
и21 ^22 sin О’ CDS Ч>
Теперь можно написать выражения для обобщенных неизвест-
ных (11.18) :
= (1 l^^cosO^ + (1 / )sin О rz ;
Т2 =-(i/ ^)sin OTf + (1/^) COS о т2
(15.4)
и для обобщенных нагрузочных членов (11.14):
,—• 7(15.5)
*2 = Л1О ^2 и21+Л20 «2^2 ^1OS>M2O COSV>)- J
Основная система уравнений составного стержня:
Г1"/^~-Л11Т1^12Т2+ Л1С’\
Г2^г=Л21ГгЛ22Т2^А2О I
(15.6)
53
распадается при этом на два независимых уравнения:
Т" = Л^Т + R.
1 11 ‘
7-4
Решения этих уравнений следующие:
Г Л * у! Я,
1 7 7 7 ' <’1 W
О
X
Тг =AzshAz Х + Вг ChAzx г J Нг (-t-)shty.., dt.
О
Обратный переход от функций Т, и Тг к сдвигающим усилиям
L и Тг производится по формулам (11.19):
Г# = cos V 7) ~ sin W Тг ;
Тг = Sin Ч>Т^/^г СОзЧ>Тг .
Таким образом, для расчета составного стержня из трех брусьев
с помощью линейных преобразований (4) и (5) вводятся такие
обобщенные неизвестные силы и нагрузки, при которых основная
система дифференциальных уравнений распадается на два независи-
мых уравнения, и задача (в случае однотипных граничных усло-
вий) сводится к расчету двух составных стержней, каждый с од-
ним ’’обобщенным швом”, по которому действуют усилия или
7Z . В частном случае симметрично составленного стержня эти
два расчета соответствуют случаям симметричной и антисимметрич-
ной работы стержня.
Вместо алгебраического решения характеристического у равне-
ния (1) можно использовать графический способ, известный под
названием круга Мора, позволяющий находить компоненты тензо-
ра второго ранга в пространстве двух измерений и в произвольной
системе ортогональных осей координат (напряжения или деформа-
ции в точке, моменты инерции площадей плоских фигур, кривиз-
ны нормальных сечений поверхности и пр.) . Круг Мора дает графи-
ческую интерпретацию линейного преобразования любой сим-
метричной матрицы или квадратичной формы второго ранга при
повороте осей и, в частности, может служить для решения векового
уравнения второй степени.
Откладываем по горизонтальной оси отрезки длины, которые в
определенном масштабе равны 4,Л#,и $гДг2фис. 30). От получен-
ных точек А и В соответственно вверх и вниз откладываются отрез-
ки Ам и 6Хв том же масштабе, равные V 4, 4, Д1г.3атем на линии MN,
как на диаметре, строится окружность, которая отсекает на оси ОХ
отрезки А* и Л 2г . 2
Ппя доказательства определим геометрически длины отрезков Л7
и Л ‘ :
2 М + Ов МН t .г
1 ~~Г~ * ~2— —1 V \ 1 >
аналогично
2 OAMJB MN A az
г 2 " 2 ~ 2 у\ 2 ) i 1Z-
Полуденные выражения совпадают с формулами (1).
Из этого же круга легко находится угол V, с помощью которого
выражаются коэффициенты и;к . Этот угол образован осью ОХ и ли-
нией MD. Действительно,
+ ч> ma ам _ /<7$; Л
лр FB А*-$гАг2’
что совпадает с выражением (2) . ЛинияMNповернута относительно
оси на угол 2V.
55
16. СТЕРЖЕНЬ, СОСТАВЛЕННЫЙ ИЗ ОДИНАКОВЫХ БРУСЬЕВ
Положим теперь, что все брусья, входящие в составной стер-
жень, имеют одинаковое сечение и расположены на равных расстоя-
ниях одни от других. При этом коэффициенты дифференциальных
уравнений составного стержня, согласно формулам (5.14), равны:
LL р£ tnEJ FE \ гпгг /
л 1 .Y
FE + tnEJ FE Утт1-
л -
FF
М°с
tnE J
M с
Здесь т — число отдельных брусьев; г — VjfF _ радиус инерции площади
поперечного сечения каждого бруса; Д/V/ — разность продольных сил в двух
брусьях основной системы, находящихся по обе стороны 4-го шва.
Дифференциальные уравнения (5.18) принимают вид ;
Введем обозначения:
EFl^=fl-, cz/mr2 = V- MQc/mr2=/H. (16.2)
56
Тогда уравнения (1) можно переписать:
fir" = ( 9 + 2)^ + +
fir2'= (>>-f)T2 *(^+2)тг+ (^1)т3+..<Утп+ды°+;и;
H16.3)
уЗ^'= VTM?r2 +...+(^2)тл+д№п +М.
Характеристическое уравнение этой системы имеет вид
1+2~XZJ3 9-1 9 V
9 - 1 9-7 ... X
9 9 - 1 9 -Q.
9 9 9 г 'i)+2-X fl>
Простые формулы для А получаются при т-2, т-3 и т-4.
При т -2 единственный корень характеристического уравнения
(16.4)
что, очевидно, является частным случаем формулы (8.4).
При т-3 получим:
или, подставляя значения 9 иуЭ из (2) и т-3,
_1/3|
\~JEF
(16.5)
Эти формулы соответствуют частным случаям формул (9.5)
Для стержня симметричного сечения, составленного из трех брусь-
ев. Первое значение соответствует симметричному загружению,
а второе А2 - обратно симметричному.
При четырех брусьях характеристическое уравнение системы (3)
приобретает вид
57
уи-г-^fi
'/-i
•У
V- 1
J+2~*2ft
V
9-7
9*2-Д2ft
или после раскрытия определителя
(9*2 ~fy) + 2W~1)Z~W+ Z-ffoll'f + 2(*~ (16.6)
О бозначая
)) + 2 - A2ft=y, (16.7)
можно представить уравнение (6) в виде
У3~ y[lZ+2( 9-7)2J/-29(9-7)2 = Z7_,
откуда
у^ V ; у23± 1/2 {- 9±V 9У*-1Б1<-в’'). (16.8)
Определяя из (7)
Л2= (9*2-у?/0
и подставляя в это равенство значения 9 aft из (2) и т~4, полу-
чим из формул (8):
л2 = 2//з- 2$К.еру
(16.9)
Каждому Л1 соответствует определенное тождественное соотноше-
ние между сдвигающими усилиями во всех трех швах. Эти соотно-
шения выражаются коэффициентами и.^ , вычисляемыми с по-
мощью уравнений (11.5) и (11.6).
Проделав соответствующие вычисления, найдем, что элементы
матрицы
II “-и U12 и13
uZi U'zz
|| и31 изг
58
равньг
% = 0,7071} LLZ1"0', U31 = ' 0,7071,^
и. _ \ J S) + ig^z- 7SH+8 .
’ и1з~2у9^-1Б^ 8 ’
> (16.10)
и W + Joyf2 -16^1 7-8
32 2. Узу г -1В^>+в ’ 2 У 9^ - 1БЦ-д
Используя эти коэффициенты можно перегруппировать неизвест-
ные таким образом, чтобы система уравнений (3) разделилась на
независимые одни от других уравнения. Новыми обобщенными
неизвестными при этом станут Q 1.18):
Т, ~ yqp (о-ц + U21 Т2 + U31 Тз ) ’>
* UZ2TZ+Lli2T^
+ игзТ2 + и'.зз7з)-
Видим, что Т, является симметричной неизвестной, а Тг и - об-
ратно симметричными. Свободные члены уравнений (3) должны
быть при этом также сгруппированы, согласно формулам (11.14).
Новые обобщенные свободные члены выражаются через первона-
чальные следующим образом:
^11 Л-Ю + U2i ^21 + ^31 ^зо ) >
^2 = U12 ^1O+ U22 ^20+ U32 ^зо) }
~ w +и + U 30) .
Нагрузочный член Я-j группирует симметричные внешние усилия,
а нагрузочные члены /?2 и - обратно симметричные.
Основная система уравнений теперь распадается на три незави-
симых уравнения:
59
— Ч 2 Z — _ н Z ~
ti=*iti^tz = X2tz + r2 и т3 = ^тз^з,
которым отвечают решения
х
Т-А- sh X .x + B.chA х +-г { R.(t)sh[A-(x-t)]dt
l 4 4 < I A- J < <-
L О
(c = 1,2,3).
Обратный переход от усилий Т- к суммарным сдвигающим си-
лам в швах тг может быть произведен по формулам:
~^2- ~ 21 Т1 игг ^2 + и2з V*$ j
К, ~ (и 31 Т1 + U32 Tz+ U33T3 '
Для практически важного частного случая пакета, составленного из
прямоугольных брусьев без прокладок, все найденные величины
принимают следующие значения.
Обозначая ширину пакета через Д , а высоту каждого бруса или
листа, входящего в состав пакета, через h, получим :
C=h- Сг/г1=12.1
для двухлистового пакета из формулы (4)
А — У ](Edh) J
для трехлистового пакета из формул (5)
х = лс= /^/(Edh)'-, ) (i6.li)
для четырехлистового пакета из формул (9):
Х1 = ^2^l(Edh)' =- 0,7171 /^/(Edh) ;
j 13- \pft % ’ ,/-:------7
= 1,81&U/(Edh) .
Причем матрица коэффициентов (Ю) получит значения:
60
U21 11 2.2 ^23
U 31 U32 U 33
0,7071 0,3645
0 - 0,8569
-0,7071 0,3645
0,6059
0,5156
0,6059
Таким образом, для четырехлистового пакета:
Т - (О‘1О7<Т 10,3645 5 1- 0,60597,)^ >
Т = (- 085695 + 05156Т
2'2 3
Т3 =1-0,1071 7J + 05645TZ1-O659T3)^ ]
Tf = 0,1071 (Т, ~ Т3)/ у
Г, = [0,3645 (T^Tj)-О 8569T/l/'f$ ;
f3 = [0,6059 (Т1+Т3)1015156Тг'\1'Ц-,
0,7071 ( Л.ю- А/Г;
Rz = [0,3645 (Л10 гЛзо)-08569Л2О\|/?
[0,6059 (Л10г А 30)- 0,5150 Л 20\
17. БЕСКОНЕЧНОЕ ЧИСЛО СОСТАВЛЯЮЩИХ СТЕРЖНЕЙ
В тех случаях, когда число брусьев пакета п стремится к беско-
нечности, значение 9 (16.2) в уравнениях (16.3) стремится к нулю,
а сами эти уравнения получают вид:
fi'ri ^2ТГТ2
<-2Т2-Т3+л№2+^;
~Г^1 +
Эта система уравнений может быть представлена одним уравнением
в конечных разностях:
61
Символы Ду и означают здесь конечные разности первого и вто-
рого порядка, взятые по направлению у , перпендикулярному
оси стержня. В пределе конечные разности переходят в диффе-
ренциалы И получается уравнение в частных производных:
fi
д*Т
д*2
д2Т
dyz
д№
ду
2
с + с
+ /У.
Подставляя сюда (d- толщина пакета)
EF/5 = г'=
сокращая на de" и дифференцируя по х, получим:
Ed д2Ъу , д^у -г д2№ ,
$с дхг &yz de дхду ™
(17.1)
Составной стержень при этом обращается в анизотропную пластин-
ку, имеющую продольный модуль упругости Е, модуль сдвига:
В = ^c/d
(17.2)
[ср. формулу (4.3) ], и, ввиду предположения об абсолютной жест-
кости поперечных связей, бесконечный модуль упругости в направ-
лении, перпендикулярном оси стержня.
Далее замечаем, что
д№ jdx=- Xdc, (17.3)
где X — объемная сила в направлении оси стержня.
Учитывая (2) и (3), запишем уравнение (I) в виде:
+ + .д*.. -м'=о
В dxz ду2 ду
(17-4)
Получается дифференциальное уравнение для плоского напря-
женного состояния анизотропной пластинки с модулями упругос-
ти Ех -Е, Еу= оо и модулем сдвига G. о
Величина /и пропорциональна средней моментной нагрузке М /
Im, приходящейся на каждый стержень. Согласно (16.2):
-М°с/гптг /\л'= -@°с/ттг.
62
Уравнение (4) можно получить методами теории упругости, для
этого используем дифференциальное уравнение равновесия
(17.5)
дх ду
и уравнение совместности деформаций
ду2 + дх2 дхду °' О'7-6)
Положив деформацию равной нулю и выразив деформации
и через напряжения, получим вместо (6)
1 дгъ 1 (и.?)
Е дуг G дхду
(Коэффициент Пуассона, учитывая абсолютную жесткость попереч-
ных связей, считаем равным нулю)
Уравнение (5) продифференцируем два раза по у , а уравнение
(7) один раз по л :
; t dZX
дхду2 ду%
дхду2 и~
(17.8)
Вычитая второе уравнение (8) из первого, получим
е . дгХ
ду^ * G dxzdy * ду2
и, интегрируя по у , придем к равенству
дГху
ду2
Е д 2~х</ Gx
G дх 2 ду
+ -Р(х) =0,
т.е. положив х) --м'(х) , к уравнению (4).
18. ВНЕЦЕНТРЕННОЕ СЖАТИЕ-РАСТЯЖЕНИЕ И ЧИСТЫЙ ИЗГИБ
СТЕРЖНЕЙ, СОСТАВЛЕННЫХ ИЗ ДВУХ БРУСЬЕВ
Эту задачу будем рассматривать в пределах малых гибкостей
без учета дополнительных моментов, возникающих в результате
63
прогиба стержня. Для решения определим прежде всего свобод-
ный член уравнения (8.1):
_____У/ №z М°с
Л~ E.F1 + E2.F2 ZEJ
1 i £ £
(обозначения показаны на рис. 31, а). Так как значение 4 на зави-
сит от л , то частное решение уравнения (8.1) будет ^=“Д/^',а
полное решение выразится формулой
T=C1shAx + C^ch Ах~ А/ &. Q8.1)
Из условия симметрии заключаем, что член С1 sh Ах должен
быть равен нулю. Остается решение
Т=С2 ChA^-Л/гг (18.2)
у концов стержня суммарная сдвигающая сила Т равна нулю. От-
сюда:
C^chXl-Л/г-О , Сг= А /(zreh Al).
Таким образом, решение получает вид
Д / ch А х |
д' k Ch A z ~ У' (18 3)
Сдвигающее напряжение Т будет
A AshAx ^AshAx
~ ТГ ChAl = ~ Ac/>U • (18-4)
64
Как видим, эпюра скалывающих напряжений представляет собой
гиперболическую синусоиду (рис. 31,0.
Максимальное скалывающее напряжение будет у концов
стержня
^та.х ± ЫЛ I. (18.5)
Сдвиг одного стержня относительно другого пропорционален
сдвигающим напряжениям
Сдвиги по шву не возникают, если Л — 0. Пусть сила /V° прило-
жена к первому стержню с эксцентриситетом е, по отношению к
оси этого стержня, а сила приложена ко второму стержню с
эксцентриситетом р2 относительно оси второго стержня (рис. 32) .
Значение М ° при этом
M°-N°ei+N°ze2,
а значение 4
(18-7)
Приравняв это выражение нулю, найдем условие отсутствия
сдвигов по шву при внецентренном растяжении. При равенстве
4—0 эпюра продольных напряжений по высоте стержня не
имеет скачка на линии, разделяющей плоскостей вполне подобна
эпюре напряжений в монолитном стержне. Составной стержень
в этих случаях работает как не соединенный связями сдвига.
Напряжения в составном стержне находятся следующим обра-
зом.
Осевая сила в первом брусе
а о
во втором брусе
Д / ch Л х
З' ( ch XI
Рис. 32
3-
65
Сдвигающие усилия создают дополнительный момент, изгибаю-
щий стержень. Суммарный изгибающий момент равен
о Лс ( ch л* J
М=М -Тс- М р \ ch Al 7
и напряжения в первом и во втором брусьях определятся по фор-
мулам:
6z^nzif2 + mezz/(bej),
где z — расстояние от рассматриваемого волокна до центра тяжести сече-
ния соответствующего стержня.
Усилия в поперечных связях, согласно формуле (8.5) :
± Ch Ах ,]8 9)
-----EEJ chM
Эти усилия, действующие на всей длине стержня, 2.1, уравнове-
шиваются сосредоточенными силами в крайних поперечных свя-
зях у концов стержня -5J и 5fi, равными по величине:
> Р E^.a-E.J.i ЕА
Если £, J2a —Е Ъ , например в случае равных брусьев, то з — 0 и
~ О.
При положительном Д, если Ez а > 57 Ъг усилия -5 =
положительны, а 5 — отрицательны. Это значит, что по всей длине
шва действуют прижимающие усилия, кроме концов, где один
стержень отрывается от другого (рис. 33, а). При ? Ez3za и
положительном А прижимающие усилия действуют по концам
стержня; по всей же его длине действуют усилия, отрывающие
один брус от другого (рис. 33, б).
Кроме сосредоточенных сил в точках А и Ё действуют сосредо-
точенные пары сил, перераспределяющие внешние моменты между
обоими стержнями пропорционально их жесткостям. В действи-
тельности, возникновение сосредоточенных сил и пар сил в попе-
речных связях не возможно, так как поперечные связи всегда
обладают в какой-то мере податливостью. Поэтому теория состав-
ных стержней с абсолютно жесткими поперечными связями не мо-
жет дать полностью адекватного решения о распределении усилий
в поперечных связях, но тем не менее некоторое представление об
66
Рис. 33
их работе получить можно. Далее дается точное решение для состав-
ного стержня, учитывающее податливость поперечных связей.
Если произведение А х сравнительно велико (больше трех-че-
тырех), что может быть при малой податливости связей сдвига,
когда значение £ велико, или при большом значении х, то тогда,
рассматривая усилия в шве вблизи концов стержня, можно счи-
тать, что:
6 **=0; sh Ах = Ch Ах - 0t5 с**', ~ЕЬАх~1.
Формулы, относящиеся к этому случаю принимают следующий,
более простой вид:
Д !еКк
(Г I М
a(x-z;i .
е J ?
0
Л max Д
з (о) - о;
Д £ 2 -З2. О'
Sa = = ~А HEJ
В этом случае составной стержень в середине работает как
монолитный, сдвиги же и касательные напряжения от некоторого
максимального значения на концах затухают к середине по зако-
ну показательной функции.
Выведенные формулы можно распространить на случай симмет-
ричного составного стержня из трех брусьев (рис. 34). При этом
внешнюю нагрузку следует разлагать на симметричную и анти-
симметричную, как показано на рис. 34, и затем рассматривать
эти два случая отдельно, принимая каждый раз свои значения % и
4, определенные по формулам (9.5). Формулы (1) - (6) при
этом остаются в силе и для симметричного поперечного сечения
стержня из трех брусьев, причем, как всегда, следует полагать
/ГГ.
67
Симметричная нагрузка
Обратно-симметричная нагрузка
Рис. 34
Для определения усилий в поперечных связях следует исходить
из формул (9.6) и (9.7). При симметричной относительно продоль-
ной оси стержня нагрузке
5= а.г'=
ch Хс *
с h X е I
При антисимметричной:
ЕсЭса. ^а. х
zfj сьхаг ’
' _ £^Khc ЕсЭса
^CL
Все сказанное в п. 18 относится также и к случаю чистого изгиба
составного стержня парами сил, приложенными к составляющим
брусьям по концам. При этом значения N? принимаются равными
нулю и учитывается только м°= ТМ?.
68
19. ПЕРЕДАЧА ПРОДОЛЬНЫХ УСИЛИЙ С ОДНОГО СТЕРЖНЯ
НА ДРУГОЙ
Рассмотрим некоторые случаи передачи продольного усилия
с одного стержня на другой с помощью связей сдвига, которые
встречаются при стыковании растянутых элементов конструкций.
Так, при встречной передаче усилия с одного стержня на другой
(рис. 35) продольное усилие считаем приложенным на обоих кон-
цах стыка по одной линии, параллельной оси стержня так, что для
равновесия его не требуется дополнительных поперечных усилий,
действующих в поперечном направлении.
Так как продольные силы и моменты в основной системе посто-
янны, то общее решение для суммарных сдвигающих усилий
имеет тот же вид, что и для случая внецентренного сжатия — рас-
тяжения, рассмотренного в п. 18:
(19-1)
Т = С1 sh Ах + СгсЬ Л х - A /г.
Для определения значения А следует учесть все силы, действую-
щие слева от рассматриваемых сечений. Поэтому
4=дл_---£___^£.
Л Е, F EEJ
Индекс ”л” здесь означает, что расчет ведется с левого конца стыка.
Стык можно рассчитывать с другого конца, для чего следует
повернуть рисунок в его плоскости на 180°, при этом получим
другое значение Д =ДП, равное
Л _ _ Р _ Рв2.С
п Е2Е2 ZEJ •
69
Видим, что
е^ег^с и д^Л„=~Р^.
В качестве граничных условий следует учесть значения суммар-
ной сдвигающей силы 7" на концах стыка. Из условия равновесия
верхнего бруса при расчете слева
Т(О) = 0} T(L)~P. (19.2)
Подставив в эти условия выражение (1), получим уравнения
для определения произвольных постоянных С, и С2:
сг ~лл /> =0'>
CtshAL + C2chAL- Дл /г =-Р,
откуда
с = А, . Р + (Дл!7)(1-сЬАР) _ -Дп-дясНАЬ
2 & ’ 1 shAL ~ fshAL
Таким образом, получим решение:
VShAL. [('^„-^ChALfshAx + ДЛ$ЬАЬ*
*(ChAx-1)] -
S'shAL ^ShXL~ • (19.3)
~AnshA xj;
T(- ch-1" -’> - c
Если производить расчет с правого конца, то следует Дп заменить
на Дп , а х на L - х , причем, естественно, получим то же выражение
для Г.
Эпюра сдвигающих напряжений имеет вид гиперболической
косинусоиды (см. рис. 35). Наибольшие скалывающие напряжения
возникают у концов стыка:
70
Вершина гиперболической косинусоиды находится на расстоя-
нии к от левого конца, определяемом из условия дт / дх ~ О,
приводящего к уравнению
shLA(k-k)] _ Ап
shAk =
Усилия в поперечных связях находятся аналогично тому, как
они определялись выше для случая внецентренного сжатия стержня
(18.9):
E1J1 Ъ -E2J2a. Е,^1 Ъ - Е232а $
* [A^sfyA ( L~ x)-A„sh Ах]. (19.5)
Эти усилия имеют различные знаки у различных концов стыка.
Реакции концевых поперечных связей 5, и SB определятся из усло-
вий статики:
L
('!/k)J'sxdx ; SA= S(L~ x)dx.
° о
Введем обозначение
Еч^тЪ ~ Е2 J2 а,
ЕЕЭ = %
тогда, согласно (5):
о
Интегрируя по частям, получим:
(4>/L)[fx\ tdx]- (V/l)[T(l)l-t(l) +Т(О)]
О
И С учетом (2), (3) и (4) -
[ ^shAL +
^AnchAL)~^y
Аналогично
71
£=-¥-[ r'(L.-x)dx^ — [~T(O)L +та)-Т(О)] =
s a J L
A „ . p 1
' ZEJ [ ^sTrAZ, (an+Anch*L) + Tr
Если усилие 5Л или оказывается положительным, то в точкахЛ
или В следует предусмотреть жесткую связь (например, болт),
рассчитанную на это усилие (см. рис. 35). Если оба стержня имеют
одинаковое сечение, то усилия 5 тождественно равны нулю. Кроме
того,
Л Ал Яр/2, Т 2sh(ALf2)Ch[^( Z Л)]’
т.е. вершина гиперболической косинусоиды лежит в середине
стыка и
При большом XL получим:
Т(0)= ~хдл /г; Г(Ь)=-ХДп /<г.
Рассмотрим теперь случай приложения двух равных и противо-
положно направленных сил на одном конце стержня (рис. 36) .
Тогда решение (3) сохраняется, но 4 при расчете слева будет
. Р Р Pte^lc-e^lc
* ezf2 zej
и при расчете справа Л п = 0.
Эти значения мы можем подставить в предыдущее решение, при-
чем получим:
Рис. 36
72
Т - —-— [ J" ch Я L • shA X - tfsh Л L ( ch А л -j)} =
и S п д L
Г ShAfL-л) -1.
L ShAi. 'Д’
Р A ch A (L -л)
sh A L '
Т(0)= —— = .
thAL max > shXb
Необходимо отметить, что эксцентриситет приложения сил Р от-
носительно оси верхнего бруса б>, не влияет здесь на распределение
напряжений в стержне и в связях.
Эпюра f имеет вид затухающей кривой, которая при больших Л
обращается в затухающую показательную кривую с максимальной
ординатой Ттах=РА Лх
РЛе
Эпюра s имеет также вид затухающей кривой. Реакция в край-
ней поперечной связи при большом AL
е EiZ,i'b~ Ez а- .
~ ЕЕ J РЛ‘
Если силы, приложенные к каждому из брусьев, не направлены
по одной линии, то весь стык должен уравновешиваться внешними
поперечными реакциями, которые должны вызвать линейно изме-
няющийся изгибающий момент М° в основной системе. В результа-
те решение усложняется.
Если стык лежит на жестком основании и не может изгибаться,
то при любых эксцентриситетах е1 и приложения сил значения
4 получаются постоянными по длине и независящими от эксцен-
триситетов. Для решения задачи в этом случае достаточно положить
в выведенных формулах .
К этим же формулам сводится задача о симметричном стыке из
трех брусьев с симметричной передачей усилий (рис. 37). Тогда
проще всего также принять KEV = оа, А-Ас , (Т - <тс .
Рис. 37
Кроме того, должно равняться сумме жесткостей на рас-
тяжение обоих крайних стержней, а Е, F, — жесткости на растя-
жение среднего бруса.
73
20. СТУПЕНЧАТЫЙ СТЫК ТРЕХЛИСТОВОГО ПАКЕТА
В качестве примера более сложной передачи усилий рассмотрим
ступенчатый стык растянутого пакета из трех одинаковых брусь-
ев прямоугольного сечения (рис. 38,а). Граничные условия здесь
не являются однотипными, поэтому задачу нельзя решать разло-
жением нагрузки на симметричную и антисимметричную.
Из условий симметрии можно вывести заключение, что накопле-
ние продольных усилий в крайних брусьях на протяжении от сты-
ка данного крайнего бруса до стыка среднего бруса одинаково для
обоих крайних брусьев. Отсюда следует, что в местах стыкования
средних брусьев продольные усилия в крайних брусьях одинаковы
и равны Р/2, где Р— общая продольная сила, растягивающая пакет.
Рассмотрим работу стыка по участкам (рис. 38, б). Ширину па-
кета считаем равной единице.
Для первого участка (рис. 39, а):
№^р/2-, р/2', м°=о-,
Л „ = Zl22 = ZI(EF) + h212 /(3Eh3) - 6/(EF)j
(EF) + /i/(EF) =3/(EF);
'P/(2EF) ' &2O = P/UEF).
Находим сначала частное решение Т°, Т° системы уравнений
составного стержня в виде постоянных величин, определяемых из
уравнений:
°)
Рис. 38
- । ЕЕ
г !
участок 3-й участок
Рис. 39
74
& 11 Р1 + &12 Р2 + &10 “ ]
л^-л^^Д^о, j
(20.1)
откуда
го Д1ОДц Лго^12______Р .
1=~ ДЬ-ЛЪ ' 6"
о Дго Дп ~ Дю Д12__Р_
2=“ и 2 _ л 2 _ 6 '
ы-д?2
Общее решение:
7 =£?.$/> Л. х + C.chA х + C,sh Ах + C^ch А„х + Р/6',
7 у и t- J 1А. • U- *
Т2 = - sh Ас X ~ CzchKcx +C3shAax + chAaх ~Р/6,
\с и Ла определяются по формулам (9.5).
Граничные условия будут:
при х — 0, 7 = 0, Tz — 0,
при л =Z, т^-РЦ, Тг-Х,
где Л — какое-то неизвестное пока значение.
(20.2)
Подставив эти граничные условия в уравнения (2), найдем,
что:
С - (Р/е)~**<Р/3 )ChAc I р
2sh Ас7 ’ С2~~ ~6~'
о Л + Р/2
'3~ 2shAa.l
l\^D.
Сдвигающее напряжение во втором шве в точке х = I
^г= ~С1 Ас сЬАс1-СгЛс5/1Ас1^3Аае^а1^^а^Аа^
=х( Лс + }-р( Ас + *с - _\
^ZthAcl 2thAai/ K4zthAcl G$hXcl ‘ilhAgll
Перейдем ко второму участку (рис. 39, б). Для него имеем:
Л/®= fft н°- р/i ~/j N°- р/2 +Х, М°-~ (Р/2)h~Xh.
(Сила Р /2 действует на средний стержень с эксцентриситетом h,
так как линия ее действия совпадает с осью верхнего бруса.)
75
10
0,5 Р-Х
hZ(-X-0,5P)
3Eh */ 12
1 , ,
= — (3X + 2,5P),
4 =
. 0.5P-X 0,5 P+X
ZJ — ' •+ '
io EF EF
hZi-0,5P)
5Eh3/12
= -7 (6X+2P).
Решив систему уравнений (1) при новых значениях Л^к
найдем:
т'-.-Р/З, Т°--Х~Р/б-
1 с
Общее решение для второго участка имеет вид:
TJ = D1 sh Хсх + ВгсЕАсх + D3shAax ^D^chX^x -P/5, 1
Г2 = -D1shA{.x-J)zChXcx+D3shXax + ohAax-P/5-X.j20'^
Граничными условиями являются:
при х — 0, 7^ = О, Т2 = 0;
прих = г, 77- -х -Р!2,Тг--X -Р/2.
Отсчет координаты л здесь ведем от другой точки — от начала
второго участка.
После подстановки этих граничных условий в уравнения (4)
найдем, что:
n = _L /_L_ _ ) + 2LZ * -L___________\
-> 12\ShXcl thXcl ) 2 {shAc I th Xcl )
Д, = -X/2 < P/12,
D3^(_________1-_______---------------+-d— },
5 \ shA.l 2A4Z ) 2\sh\ 1 1ЬХЛ1
1л, (Л 1Л, '
X/2 -tp/5.
Сдвигающее напряжение T? при х = 0
+____________+ 4а \
(2thАс I 2sh ЛС1 2th Аа I 2shAal /
----------—---------—----------—-----\ (20.5)
12th Acl 12shXcl hthX^l ^shXal /
и.РЛИраВНЯВ 0ДН0 «РУ10^ выражения , из формул (3) и (5)
найдем v z \ / >
76
Хс Ас________Ад, _ Аа
л_р GthXcl 12shXfl 2th Хлг ^shXgl
Ас _ Ас Аа Аа
th Хс 1 2 sh Хс I th Ад Z 2sh Хл1
После определения Л нетрудно вычислить и все прочие искомые
значения: т, Т, N, Г и др.
При нахождении значений Хс и А а нужно иметь в виду два слу-
чая — когда стыкуемый участок пакета может изгибаться вслед-
ствие внецентренного приложения усилий в ослабленных сечениях
и когда возможность изгиба стыкуемого участка предотвращена
какими-либо конструктивными мероприятиями. Последнее имеет
место, если, например, рассматриваемый пакет из трех брусьев
представляет собой половину симметрично загруженного паке-
та из шести брусьев, соединенных жесткими поперечными связя-
ми; распределение продольных напряжений по сечениям отдельных
брусьев при этом равномерное, и пакет не изгибается.
В первом случае значения / , согласно (16.11), выразятся фор-
мулами:
хс= з^/(еру‘, ха=з>П7ТЁТГ.
Во втором случае при вычислении Л , по формулам (9.5), сле-
дует принять ЕЕЭ равным бесконечности и тогда:
з$/(efT , Aa=V $/(ef)
т.е. Af имеет то же значение, что и в первом случае, а Аа— в 3 ра-
за меньше.
Свободные члены уравнений (1) для неизгибаемого пакета
получают другие значения, но величины 7° и т/, т.е. частные реше-
ния, остаются теми же, что и в случае изгибаемого пакета. Поэто-
му формула (6) применима в обоих случаях.
На рис. 40 изображена эпюра продольных усилий в каждом
брусе. Наиболее опасными, как и следовало ожидать, являются
места стыкования крайних брусьев (сечения 1-1). Естественно,
что при неизгибаемом пакете (рис. 40, а) допускаемое усилие
на весь пакет значительно больше, чем в случае изгибаемого пакета
(рис. 40, б), причем это обстоятельство еще больше усугубля-
ется неравномерностью распределения напряжений в отдельных
брусьях изгибаемого пакета.
В случае изгибаемого пакета момент в опасном сечении 1-1
равен
Л/= М° = - (Х+ p/2)h.
Этот момент вызывает напряжения в крайних волокнах опасного
сечения
77
Рис. 40
М h _ ЗМ 6Х i- ЗР
* 2ЬЪ/12 2 hz 2h
Продольные силы в этом же сечении
Nz^P/2~x- N3-p]2+X.
Таким образом, полные значения напряжений б изгибаемого па-
кета равны:
наверху второго бруса
б **llh}(0,5P-X + 3X +1,5Р) ^1НУР*Х);
внизу второго бруса
й=\11Ь)(0,5Р -Л -ЗХ - 1,5Р) =tyh)(~ Р-Ю),
вверху третьего бруса
б ={ЦИ>(0, SP +Х +ЗХ * 1,5Р) =[2lh')(P +2Х)}
внизу третьего бруса
б =(1/ЬУ(0,5Р^Х-ЗХ-1,5Р) ^/h)(-P-2X),
В случае неизгибаемого пакета.:
во втором брусе
б=(7/ЛК>°/2 -X) -
в третьем брусе
&={1/h)(PI2->-X).
78
изгибаемый пакет
жесткие связи
изгибаемый пакет
податливые связи
Иеизгибаемый пакет
жесткие связи
Рис. 41
иеизгибаемый пакет
податливые связи
F Е| 0,750P/h
0,250 P/h
Рис. 42
— 1,0 P/h 1
При достаточно жестких связях сдвига значения shX х можно
считать бесконечно большими по сравнению с thXx я 1. При этом
значение X становится равным:
в случае неизгибаемого пакета (6)
1/Б - /з /2.
1 + УТ
= - 0,256 Р;
в случае изгибаемого пакета
Л = Р
Уз/6 - 1/2
= - 0,076Р.
При очень податливых связях сдвига, т.е. когда деформации
последних значительно больше деформаций удлинения брусьев -
зЛАл ^thXx ~ Хху и, как в случае изгибаемого, так и при
неизгибаемом пакете:
1/6 + 1/12 - 1/2 ~ 1/5
1-1/2+1 +1/2
= -а, 25О р.
79
Распределение напряжений по опасному сечению для этих пре-
дельных случаев показано на рис. 41. Из него видно, насколько
невыгодным является распределение напряжений в изгибаемом па-
кете; если бы разрезать в опасном сечении также и нижний брус,
добившись таким образом симметричной работы стыка, то мак-
симальные напряжения можно снизить (в случае податливых
связей) с 1,5Р/Л до 1Р/Л (рис. 42), т.е. в 1,5 раза.
Глава 5. СОСТАВНЫЕ БАЛКИ
21. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОСТАВНОЙ БАЛКИ
Балкой будем называть стержень, нагруженный только попе-
речной нагрузкой. Эта нагрузка может быть как распределенной
на некотором участке балки по определенному закону, так и
сосредоточенной в отдельных точках оси балки. К поперечной на-
грузке здесь следует относить также нагрузку сосредоточенными
или распределенными моментами, действующими в плоскости
изгиба балки.
Поперечная нагрузка вызывает в составной балке, лишенной
связей сдвига при абсолютно жестких поперечных связях, только
изгибающий момент М °, продольные же силы а/ (z =1, 2,. . . ,
п+ 1) в ней отсутствуют . Поэтому свободные члены основных
уравнений составной балки, согласно (5.14), имеют вид:
^=1'2....п)-
Применяя метод разложения нагрузки по собственным функци-
ям системы уравнений составного стержня, совершаем преобра-
зование свободных членов по формулам 01.14). Преобразованные
свободные члены получают вид
> ко к ki ZEJ
т.е. они так же, как и до преобразования, равны произведениям
№= М °(х) на некоторые постоянные величины, определяемые
геометрическими размерами и упругими константами составной
балки. Задача в дальнейшем сводится к решению независимых
одни от других уравнений
T."=A2r;+R., (21.1)
4 L I L
которые принципиально ничем не отличаются от уравнения для
балки, составленной из двух брусьев и нагруженной той же нагруз-
кой. Поэтому важно получить решения для различных случаев
80
Рис. 43 I___________________________________________________________________________I
загружения балки, составленной из двух брусьев, причем эти
решения в дальнейшем можно использовать при расчете балок,
составленных из любого числа брусьев. Действительно, если мы
имеем решение Т(х) для сдвигающих сил в балке, составленной из
двух брусьев, то в балке из нескольких брусьев при той_же нагруз-
ке решение для любой обобщенной сдвигающей силы 7}(х) можно
написать сразу путем замены значения Л к Т(х) через Л6 и пропор-
ционального изменения 77х)в отношении
Т(х) & с “kl
(Д и с без индекса здесь относятся к балке, составленной из двух
брусьев). Поэтому в дальнейшем изложении будут рассмотрены
главным образом составные балки из двух брусьев.
Необходимо еще раз оговориться, что в случае неоднотипных
граничных условий такой путь решения сложной составной балки
неприменим; так, например, балку из трех брусьев, имеющую по
концам у нижнего шва упоры, препятствующие сдвигу среднего
бруса относительно нижнего (рис. 43), свести к балке из двух
брусьев не представляется возможным.
Если балка имеет продольную ось симметрии, то ее напряженное
состояние обратно симметрично по отношению к этой оси. Поэтому
можно заранее сказать, что в симметрично составленной балке
симметричные обобщенные неизвестные обращаются тождественно
в нуль, благодаря чему количество независимых дифференциаль-
ных уравнений (1) значительно уменьшается по сравнению с общей
задачей о расчете составного стержня. В частности, для балки, сим-
метрично составленной из трех брусьев,_приходится учитывать
лишь одно обобщенное сдвигающее усилие Та, и расчет такой балки
сводится к расчету балки из двух брусьев без всяких дополнитель-
ных вычислений. Необходимо лишь при этом заменить значенияА и
& в балке из двух брусьев соответственно на Ааи определенные
для симметрично составленной балки из трех брусьев (9.5).
22. ПЕРЕХОД ОТ СОСТАВНОЙ БАЛКИ К МОНОЛИТНОЙ
Если в основных уравнениях составной балки
= = (22.1)
4/ ‘к к EEJ
81
положить все $<•(<= 1, 2..../г) равными бесконечности, то по-
лучится монолитная балка. Продольные сдвигающие усилия 7^- в
такой балке будут изменяться по тому же закону, что и М°, а сдви-
гающие напряжения - по закону поперечной силы Q.
Решив уравнения (1) с левой частью, равной нулю, найдем для
Т- значения
Т = (1/D) £ С Л М°/КЕа, (22.2)
4 к.~1 * ‘к
где 7) — определитель матрицы коэффициентов Л ц.; Л . - минор этого оп-
ределителя для элемента LK
Вместе с тем сдвигающее усилие 7} может быть определено по
обычной формуле Д.И. Журавского, известной из сопротивления
материалов:
/JM. (22.3)
Здесь — статический момент площади тон части сечения, которая распо-
ложена выше /-го шва, взятый относительно центральной оси всего сече-
ния стержня, рассматриваемого как монолитное; J м — момент инерции все-
го сечения балки.
При определении 5Mi- и 7М должны быть учтены различные моду-
ли упругости отдельных частей балки (если они сделаны из раз-
ных материалов) приведением к какому-либо одному условному
модулю упругости Еа.
Сравнивая формулы (2) и (3), получим тождественное соотно-
шение:
VZEJ
м
В случае балки, составленной из двух брусьев, получим простую
формулу
С /(?ЕЕТ). (22.5)
Эта же формула (5) будет справедлива и для случая балки,
симметрично составленной из трех брусьев, причем у берется рав-'
ным Ja(9.5):
Формула (4) дает выражение значения 5’Mt/JM,определенного
для монолитного стержня, через элементы сечений отдельных
брусьев, входящих в состав всего стержня.
Дадим здесь попутно вывод формулы для определения момен-
та инерции монолитного стержня через элементы сечений от-
дельных стержней. При вычислении момента инерции сложного
монолитного сечения некоторые затруднения вызывает необходи-
82
мость предварительного определения центра тяжести всего сече-
ния и расстояний от него до центров тяжести отдельных элементов
сечения. Вычисление может быть упрощено применением выведен-
ной ниже формулы, в которую не входят координаты центра тя-
жести сложного сечения.
Используем известную формулу для определения момента
инерции сечения относительно оси, не проходящей через центр тя-
жести сечения:
J ~ J + FzZ. (22.6)
А о
Здесь Эд — момент инерции относительно оси А , проходящей на расстоянии
z. от центра тяжести; Ьо — момент инерции относительно центральной оси,
параллельной оси А
(22.7)
где - статический момент сечения относительно оси Л.
Из формул (6) и (7) получим:
Jo = JA - tF- (22.8)
Если сечение состоит из отдельных частей с площадями F ,F
, причем
F = е F. ,
L—1 с
а центры тяжести этих площадей находятся на расстояниях ...
. . . , от оси А, то момент инерции и статический момент относи-
тельно оси А находятся по формулам:
т т ,
3 = Е J. + Е F. z z. ;
А i-1 £ 1-1 с 4
№
Подставим эти выражения в формулу (8):
Переставим индексы в суммируемых выражениях правой части
формулы (9):
83
. /Т7 /л /л _ £2 / Э О 1
(l-LJ.)F--EEFFz^XZ F-F-z.z. (22-10)
L~1 4 С-1 j-1 J L J i=.i j-1 J l J *-
и сложим равенства (9) и (10). Получим
т т т > 9 , гг,т 2
2(3 ~ KJ-JF - 2- 2F F. (z--2z-z. + z.) = 22 F.F.^.-Z-b
° /=, <• J t- J J L J L J
откуда
m 1 m m 2.
J7 Z Z E F. F. (z. - z,) .
Учитывая, что в этой формуле под знаком двойной суммы соче-
тание каждой пары индексов встречается два раза, можно написать
окончательно:
Эта формула удобна для расчетов, особенно при небольшом
числе составляющих элементов полного сечения. В случае если от-
дельные элементы имеют разные модули упругости, нетрудно
ввести их в виде дополнительных множителей к каждому значению
Г. и ZT и получить таким образом приведенную жесткость моно-
литной балки:
т
где Рд обозначает 23 Е L F-.
i.—i
Для балки из двух брусьев
Е J - 22EJ-+- -El Fl F2 cZ . ,
О о г- — —-------- I
Для балки из трех брусьев
F £1F1E2F2C* *
0П F1F1FF2F2 + F3F3
84
и если эта балка симметричною сечения, то
Е к Ес Fc2с*+ Е* F^cг
E0J0=ZEJ+----- У — / * — ZEJt2EK
Последняя формула, впрочем, очевидна.
23. СОСТАВНЫЕ БАЛКИ ИЗ ДВУХ БРУСЬЕВ
Перейдем теперь к расчету балки, состоящей их двух брусьев.
Сдвигающее усилие Т в составной балке из двух брусьев опреде-
ляется из уравнения (8.1):
Т1'/^'3-Г+&- (23.1)
Здесь свободный член 4 вследствие отсутствия продольной
нагрузки становится
ZJ =- (С/ЕЕ2)М°.
Напишем уравнение (1) в виде
<23.2)
и продифференцируем его два раза:
Т“^г (23.3)
о”
Здесь cj=--M — поперечная нагрузка на балку.
Уравнение (3) аналогично уравнению для растянутого изогнутого
стержня, которое имеет, как известно, вид
где /V— продольная растягивающая сила; £ Jc~ изгибная жесткость стержня;
ус— поперечная нагрузка.
Для того чтобы провести полную аналогию между этими двумя
уравнениями, следует приравнять друг другу их соответствую-
щие коэффициенты, т.е. положить:
/V/(EJc)=^3T- EJC= EEJ/($c),
после чего можно заменить решение одной задачи решением другой,
и наоборот. При этом необходимо учитывать граничные условия,
которые должны также иметь в обоих случаях одинаковый вид.
85
Свободный сдвиг
торца
Иесдвигающийся
торец
Шарнирное опирание
Свободный
конец
г'*0
t"-»?t=o
т’= о
Т"-Хгт^о
7“"^ О
Заделка
Рис. 44
В нашем случае составной балки граничные условия будут:
при свободном торце Т— 0; при несдвигающемся торце Т— Т-
— 0.
Различные условия опирания приводят к следующим граничным
условиям:
1) Шарнирное опирание:
о
М — О
или, так как из (2) следует, что
М°=-(FEj/c)(-r"-
то условие шарнирного опирания может быть написано в виде
Г"~ 4 2Г Т = О. (23.4)
2) Свободный конец стержня. На свободном ненагруженном
конце стержня поперечная сила равна нулю
0°= М°‘^ 0
или, так как
86
Q°~ EEJ (-т"'+ $ ЗГ7')/($с),
Комбинируя условия опирания и сдвига торца, получим схемы
опорных устройств, показанные на рис. 44. Каждому виду опоры
соответствуют определенные граничные условия, приведенные на
рис. 44.
Общее решение уравнения (20.3) при наличии нагрузки у запи-
сывается так:
т~С1 shXx <CzchA* + С^х <23'5)
[shX(x-t) -X(x-t)]q,(t)dt,
где , С2,С3, - произвольные постоянные, определяемые из
граничных условий.
Можно пользоваться также формулой (8.3), в которой 4 (i) надо
положить равным -м ° с / S.EJ. При этом часть граничных условий
оказывается уже учтенной при определении М ’
Полный изгибающий момент в составной балке из двух брусьев
т-" Л Z-EJa )
М~М'7с=- — Г-(с-------------------)Т.
Продольные же силы в верхнем и нижнем брусьях
* Т
Отсюда легко перейти к продольным напряжениям. Однако их
можно определить и несколько иным путем. Положим, что нас
интересуют продольные напряжения в какой-то точке А. Если бы
балка была монолитной, то напряжения в этой точке определились
бы с помощью обычной формулы сопротивления материалов. Обо-
значим эти напряжения через . В составной балке, лишенной
связей сдвига, напряжения в точке А при данной нагрузке также
определяются без труда. Эти напряжения мы обозначим через .
Таким образом:
= = Еа
” Е030 * EEJ
Здесь *м- расстояние от точки Д до центральной оси монолитной балки; z -
расстояние от точки А до центральной осн составляющего бруса, в котором
берется точка А ; ЕА — модуль упругости в точке А ; Ео - приведенная
жесткость всей балки как монолитной.
На балку, лишенную связей сдвига, кроме поперечной нагруз-
ки действует также сдвигающее усилие в шве Г. Пусть суммап-
87
ное сдвигающее усилие, равное единице в сечении, где расположе-
на точка Л , вызывает в этой точке напряжение Тогда общее на-
пряжение в точке /4, согласно принципу независимости действия
сил, будет:
В монолитной балке :
Г = Г ; 6= б +Т б
Af ' М Л М Т '
О тсюда
О*в„-Кв„-е„>Г/Т„
или, окончательно, вводя обозначение
6 = ^ + в"1?.
Эта формула дает возможность определять напряжения после
того, как решением дифференциального уравнения найдены
сдвигающие усилия Т. Формула (6), равно как и решение (5),
применима и для симметрично составленной балки из трех
брусьев.
24. СВЕДЕНИЕ СОСТАВНОЙ БАЛКИ ИЗ НЕСКОЛЬКИХ БРУСЬЕВ
К СОСТАВНОЙ БАЛКЕ ИЗ ДВУХ БРУСЬЕВ
В особых случаях соотношения между сдвигающими усилиями
в различных швах могут сохраняться по всей длине стержня.
Положим, что
Т. ~ о( Т (i= 12,. п),
‘ t (24.1)
где Т— некоторое усилие, не зависящее от номера шва.
Подставляя (1) в уравнения (5.18), получим
~^Г~=ТЛ°СхЛг^\0 (24.2)
Для того чтобы эти уравнения были совместны, надо положить,
во-первых,
88
и, во-вторых,
где и Ло- не зависят от номера шва.
При этих частных значениях коэффициентов жесткости швов и
нагрузочных членов уравнения (2) получают вид, одинаковый для
всех швов:
(,43)
Например, в составной балке, где
М° с;
со '
надо положить
п
к=1
т.е. расстояния между центрами тяжести сечений соседних стержней
С- должны быть пропорциональны значениям +<х2 Д + ...
• • -*ОСп Д
Очевидно, что распространять уравнения (3) и (1) на произ-
вольные составные стержни или балки, неправомочно (за исклю-
чением балки из двух брусьев и из трех брусьев, симметричных
относительно продольной оси балки). Однако в литературе такие
рекомендации имели место [28], причем коэффициенты ^-предла-
галось брать пропорциональными сдвигающим усилиям, опреде-
ленным по формуле Д.И. Журавского, т.е. как для монолитной
балки. Нами начисто отвергается такой подход к расчету составных
балок из нескольких брусьев.
Приближенно сведение системы дифференциальных уравнений
(5.17) к одному уравнению можно выполнить иным путем, соот-
ветствующим известным вариационным методам решения уравне-
ний упругости. Подставив соотношения (1) в выражение для потен-
циальной энергии внутренних сил (10.2), получим:
j о/ 2 п п. п г п ct?
\J Л..ОС.К. + 2.ТХ: Л. <х.+т Г— +Л }dx.
c=ij=i ч с j lo 4
Условие минимума А , представляющее собой уравнение Лагран-
жа-Эйлера, здесь имеет вид:
89
Л п п
Т Г Д..сс.<х.+^ Д
c=7j=7 *-J L J {-у iO
ИЛИ
>• * г
<*^7 Zoc. /$.
1 t^-1 L ' ус
-г"-^т-л0<
(24.4)
где
В качестве коэффициентов <х- для балок со сравнительно жестки-
ми швами можно взять значения, пропорциональные сдвигающим
силам, определенным по формуле Д.И. Журавского, т.е. пропор-
циональные статическим моментам вышележащей части сечения,
рассматриваемого как монолитное, относительно центральной оси
этого монолитного сечения. При малой жесткости швов лучше
брать значения =ct-, что соответствует сдвигам в швах стержня,
лишенного связей сдвига.
Уравнение (4) описывает лишь общую картину изменения
сдвигающих усилий вдоль стержня и не может быть использовано
для определения максимальных напряжений в местах концентра-
ции напряжений на концах стержня.
25. БАЛКА НА ДВУХ ОПОРАХ СО СВОБОДНЫМИ ТОРЦАМИ,
НАГРУЖЕННАЯ РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННОЙ НАГРУЗКОЙ
Для балки с равномерно распределенной нагрузкой (рис. 45, а)
q-const решение (23.5) представится в виде
Г = 4; sh Ал * ch Л х + С3 х + -
f Ах2 7 t
Ч ZE ДА3 L 2- Л (chAx 1) .
Половину частного решения можно отнести в общее решение,
изменив соответственно произвольные постоянные. Получим:
Т = С, shAx + Cz ch А х С3 х + гх'дту Д).
Возьмем начало координат в середине балки. Тогда, вследствие
симметрии нагрузки, коэффициенты при нечетных функциях об-
ратятся в нуль. Останется
90
Т= С2 ChAx+С^
На концах балки при х = t граничные условия будут
Т(1)~О ; Т"(1)-0.
После подстановки в них (I) и определения из полученных
урат нений произвольных постоянных и получим окончательно:
<2 С 2 2, Чс ( „ chAx \
Т~ 2VEEJ rAzEEj(1 ^ЬА1 )*
, ас Чс sh Ах
~ ?EEJ ГАЕЕ^ ch А 1
(25.2)
Первые члены в обоих равенствах представляют собой значения Г
и Т, возникающие в монолитной балке, а вторые члены выражают
влияние податливости связей сдвига. Действительно, если податли-
вость связей сдвига равна нулю, то А = <х>, и выражения (2) будут:
Г_____If____Ч^
Поэтому выражения (2) можно представить так:
и
2(chAl-chAx)
Az(lz-xz)chAt
В середине пролета при х = О
( sh Ах
* V Ах ch -А
(25.3)
(2 2
Г [1 Д f------—
м \ A2-lz А2 Z2 ehAl
(25.4)
Максимальные скалывающие напряжения возникают на опорах
при л = I
max M(fnax) \7 (25.5)
м(шах У ~ максимальные скалывающие напряжения в монолитной
балке.
Касательная к эпюре скалывающих напряжений горизонтальна
в точках х = ± I (рис. 45, так как
, 91
2'0=0,
a)
Рис. 45
шшшйпп USB шшш
I , z
6)
Эпюра т-
Эпюра T"
26. БАЛКА НА ДВУХ ОПОРАХ,
НАГРУЖЕННАЯ СОСРЕДОТОЧЕННОЙ СИЛОЙ
Для определения напряженного состояния такой балки
(рис. 46, а) воспользуемся методом начальных параметров. Ранее
было приведено общее решение (8.3) дифференциального урав-
нения (8.1) при любой нагрузке:
х
Т= sh Ал T-C^chA* + /A)J Д (t)shA (x-t)ctt >
О х
1Р - A ch Ах + C2AshAx (tA ch A(x-t )d±-
О
Заменим произвольные постоянные С1 и ^начальными значения-
ми 7"и Т, которые принимают эти функции при л = 0,-^и ТС. Полу-
чим формулы, необходимые для применения метода начальных
параметров:
T-Т chAx + -р~ sh Ах +-г- I &(t) sh A(x~t)d± j
0 A A J
X
T=t chAx + T AshAx+$ JAWc-hA (x-i)dt.
О О J 7
0
(26.1)
В рассматриваемом случае нам известны значения То = 0 и T(L ) -
= 0. Поэтому можем написать следующее уравнение, в котором
неизвестной величиной является Т:
О
L
T(L)=^-sh AL +— f A(-t)sh A (L't)dt. (26.2)
Л И J
о
Свободный член Л
92
M°c P(L-a) с__________ v
Л =4 (х)^~ - L £EJ
на участке от левой опоры до точки х —а. приложения силы Р, а
на участке от точки приложения силы Р до правой опоры
Вычисляя интеграл ] A(t)shX(L—t)di отдельно по участкам
от / = 0 до / = а и от t°= а. до t~ L,, получим
С P(L-a) с г ,
J A(t) sb A (x-±)dt =-~L— ууу J tshX
о
- Р— (L-t)shA (L-t)di- t [L3hX(L-a>
LEEJ J LX
a
-(L~a)shXL\.
Из уравнения (2) находим:
ro~~shXL \ LX(t)shX(L-t)dt = ~^—\(L~CL)-L^Tr
o LX ZE J L ^hXL
93
Подставляя это значение Тд , а также Т = 0 в первую формулу
(1), получим
t —J лссХзьА (-х
о
Для левого участка балки (0<х<0)
fdttXshA (x-t)dt -P(L'a)c
Q
и
P(L-a)c
~LXEJX2
LTIEJ $hA (x--t)dt-
О
(Ax-ch Ax)
Pc Г L-a
&EEJ I 4
_ ~а)3^А к
FEEJ I h
Л Sh A L
shX(L-a) . .
---r-r--- Ch Ax
Sh XL
(26.3)
Для правого участка ( a. < x < L ) выражение для T можно полу-
чить, заменив а через L-a их через L-x
Т- Ре [ а (L-*) _ shAg-shX(L-x)
~ рЕЕ] L L Ash XL J’
- Pc r <1 sh A CL , , , ,1
IP- T= - -r- + -Т-Г-,-Ch X(L-хЯ-
EJ L L sh X L J
Эпюра T показана на рис. 46, S. Максимальные сдвигающие напря-
жения 'Prr,ax возникают в сечениях л =0 и х — L.
Рс Г L-a shX(L-a) 1
LTZEJ i L sh A a J ’
< z,; - _ p>c ( a _ shXa \
^EEJ ( L sh>L /
(26.4)
Последние два выражения представляют собой функции влия-
ния сдвигающих напряжений на опорах, умноженные на величину
груза Р, и графически выражаются линиями влияния Тд и T(L).Мак-
симальная ордината в этих линиях влияния располагается не над
94
соответствующими опорами, а на некотором расстоянии от них
(рис. 46, в).
Если принять во внимание выведенное ранее соотношение (22.5)
то формулы (3) и (4) можно преобразовать к виду:
(26.5)
-для левой части балки и
_ -г Г1 А shAa
т~ Тм L 7 a. sh XL
ГJ Л
4 м| CL sh XL
sh Х(L -х )
Х( L -x)
L'hX(L -x)
(26.6)
— для правой части балки.
Через 1~м и здесь обозначены соответственно сдвигающие усилия и
напряжения в монолитной балке того же сечения,
В частном случае, когда груз Р приложен в середине пролета бал-
ки, формулы (5) получают вид:
ГхГ 1-------L---
м\ Ch(AL/2)
sh X х
ch Хх
Ch (XL/2}
(26.7)
(для левой части балки). Максимальное напряжение при этом
— У"' ------------/ — т х/. XL ,. XL
t'na.x~ м(тах)\ ChfXL/Z.)) *(maxfn 2 кп '
Если на балке имеются два одинаковых груза Р, находящихся
на равных расстояниях от середины пролета (рис. 47), то можно
получить из формул (3) - (6) для крайних участков балки:
Pc Ch 2 ~^)
------ -----i
[Xch(XL/2)
chx(-^-a)
А х ch (XL /2)
shXx-1
= Г
м
95
р р Рис. 47
Pc chx(^-a)
PZEJ \j:h (AL /2)
chAx-1 -T л
M
'~ C h A ( 2 ~ &)
Ch (AL/2)
ChXx-1
а для среднего участка балки:
Pc shAach/fe-*) _r shAa.chx(2 -*)
T- Xch(XL/2) J ML Xach(AL(2.) J’
Pc' shAa-shA (~2~~a)
~ ЕЭ ch (AL/2)
Максимальное напряжение возникает на опоре
Г =
max
Рс Г„ chA(^-a)\ сьА(2 -а.)
VEEJ Ch (XL/2) J м(тах)\^ ch (AL/2) _
Максимальное сдвигающее усилие ~С в середине пролета:
у _ т (.j______sh Ха
t™-* м1 Aach(AL(2)
27. БАЛКА, НАГРУЖЕННАЯ СИНУСОИДАЛЬНОЙ НАГРУЗКОЙ
Для этого случая (рис. 48) воспользуемся решением, данным
в п. 14. Ряд (14.1) здесь будет представлен одним первым членом
96
q,^qositb (7Гх/ь)у
10 E£J
°
M = —^.z Sin (JF*/L),
%L2c
№-xej
- sin
L
Поэтому сдвигающая сила т будет
То sin (Жх/4).
Система (14.3) обратится в одно уравнение
откуда
V *г %L\ sin ЧГк/L)
Положив = 00, получим сдвигающие усилия в монолитной бал-
ке:
% L 2С Sin (Л* / L)
м -Г2
Поэтому
Т=т ______? -т - ^LZ
м ?+лг2/(1.Ч) м лЧ2 1-л2
Эту формулу без большой погрешности можно применять и при
других видах загружения. Так, для равномерно распределенной
нагрузки в середине пролета получено (25.4)
4-
97
Рис. 49
Т=Т* (1 A2L2 A2hzCh(AL/2)) (L Zt)'
Сравнительные кривые зависимостей Т / 7^ от XL для синусо-
идальной и равномерно распределенной нагрузок представлены
на рис. 49.
Скалывающие напряжения Т при синусоидальной нагрузке
распределяются по закону косинуса
_ cOS&x/L) ,Лй42 ?
Г~ ЛЕЕ? 7Г+ STZ/(LZ^) м XZLzjr2 (27Д)
где Т - скалывающие напряжения в монолитной балке.
Отношение т!тм =V в балке с синусоидальной нагрузкой не
меняется вдоль пролета
yg_L-= 2 =const.
* тм Л2Д2+Л-2
Поэтому формула (23.6) для определения напряжений в состав ной
балке приобретает здесь простой вид
JTZ(3j, + A2'LZdM
7T* + A2L2
(27.2)
Таким образом, продольные напряжения в составной балке при
синусоидальной нагрузке являются средними взвешенными между
напряжениями в монолитной балке того же сечения бм и напряже-
ниями в балке, лишенной связей сдвига бл , причем напряжениям
придается вес Jr , а напряжениям С^—вес Лг L2
98
В частном случаеМ=Я напряжения й будут равны средней ариф-
метической 6Л н бм. При более короткой балке они будут приб-
лижаться к бл , а при более длинной и с более жеткими связями
сдвига - к бм-
28. БАЛКА С НЕСДВИГАЮЩИМИСЯ ТОРЦАМИ
Нами рассмотрено несколько случаев загружения балки, шар-
нирно опертой по концам и не имеющей каких либо препятствий
у торцов к взаимному сдвигу отдельных брусьев. Граничные усло-
вия на концах такой балки были Т— 0, т"= 0. Рассмотрим теперь
шарнирно опертую балку, имеющую жесткую заделку, препят-
ствующую сдвигу на опорах (рис. 50). При этом на опорах вместе
со сдвигом обращается в нуль и сдвигающее напряжение Г. Мате-
матическое выражение граничных условий на концах будет
т'^0, Т'-^Т^О. (28.1)
Возьмем случай равномерно распределенной нагрузки
(см. рис. 45). Выше было получено общее решение для сдвигаю-
щих усилий Т в равномерно загруженной балке (25.1):
ch А х
$cxz
2ГЕЕ J
откуда
(28.2)
Подставив в граничные условия
Т(±1) = 0
Рис. 50
99
выражение (2), найдем
Отсюда
Суммарное сдвигающее усилие
с / х2_____t ch Ах +
2TEEJ 2 Л sh А1
(28.3)
где С — некоторая постоянная, которую можно найти из условия шарнирно-
го опирания на опоре (1):
а при х = ±i.
Подставив в это условие выражение Т (3), найдем
С = 7/Л2 -1г/2.
Таким образом,
/ х2-__I ch Хх j___________
rZfJ ’ 2 Л Sh Al + Az 2 )~
м
2X1 ch Хх -shXl
Az(lz-Az)shX I
В середине пролета
° г'Ге?
На опорах
I
XshX I
/ , -^с / А
t
~~ С
(28.4)
Максимальные сдвигающие напряжения будут в точке, абсцисса ко-
торой определяется из.уравнения:
Ch Хх =shXl/(M).
Общий вид эпюр Т и Т показан на рис. 50.
Возьмем теперь случай сосредоточенной силы, приложенной в
пролете балки с несдвигающими торцами (рис. 51, а). Подстав-
ляя во вторую формулу (26.1) значение h(O) -- 0 и t(L) = 0, полу-
чим уравнение:
100
Отсюда
Рис. 51
't'(L) = TgXshXL + ^ Л (t)ch A(L-t)dt^O.
О
T~ - ^/(AshAL) f'd(t)chA (C--t)cLt.
О
Подставив это значение Тв в первую формулу (26.1), получим:
$ Ch X х Г
Т~ ~ XshXL J Mt) ch A (L
a
+ J A(t)$h X (h-t )oLt.
0
(28.5)
Наконец, вычислив значения
выражения (5) при:
интегралов, входящих в правую часть
. P/L-a)
д =-----.—
л - Рл
Л ~~~
1 сх
' ZEJ
c(L -л)
101
получим для левого участка балки:
Рс Г chA(L~a)chXx L-g, chA (L-x)
TEED L AshAL + AL •S'AAZ
a ch A x L-a 1.
*+• 1 + --- X I j
ALshAL L J
Pc Г chA(L-a)shAx _ L-g shA (L-x) *
'TEED I shAL L shAL
a. sh Ax Д -g 1
f L shAL + L J
и соответственно для правого участка балки:
_ Рс [ _ chAa-- chK(L-x) д ch Ах
~ TEED [ AshAL * Al. ShAL
(L-a.)ch A (L-x) а Z/
* AL-shAL +~(L
Pc Г ch Aa- -shA(L-x) a shXx (L-a)shA(L-x) al
TEED I shAL + AL sh)L~ L~shAL ~ L J
Эпюры 7 и 'L для этого случая показаны на рис. 51,5, в. Как
видим, они значительно отличаются от соответствующих эпюр при
свободных торцах балки. Отличие это состоит в том, что сдвигаю-
щие усилия, которые передаются на связи сдвига, намного умень-
шаются в результате передачи сил Т(0) и T(l) на жесткие торцевые
устройства, препятствующие сдвигам по шву.
Значение 7Wдля рассмотренного случая
Рс ch A (L-a) L-a chAL + а ~1
TEED L A shAL AL shAL ALsh AL]
_ Pc -L chA (L-a)+(L-a)chALi-a.
~ AL ShAL
Линия влияния имеет вид, показанный на рис. 52, г.
Для частного случая приложения груза в середине пролета
(а = L/2-L ):
-г ?с [ -chАх ch А(г-х) х ~1 _
~ TEED [ 2XshAl 2.AshAl 2. J
_ Pc Г -shA (>i~
2TEEJ [ Ach (At/2) J ’
102
Рс Г chxk-x-i/z)
ZTs'EEJ L Ch(Xl/2)
т Рс ., XI .
“ 2 д'ЕЕ ЭЛ 2. ’
,(28.6)
^тлх 2ЭЕЕэ(сИ(Х1/2) 1) 2 th Ч (пР” х~ Ч?)-,
29. УЧЕТ СИЛ ТРЕНИЯ В ШВЕ СОСТАВНОЙ БАЛКИ
Если составная балка устроена без прокладок, как это часто
бывает в деревянных конструкциях, то силы s прижатия одного
бруса к другому создают добавочные препятствия сдвигу по шву
в виде трения. При абсолютно жестких поперечных связях получа-
ем сосредоточенные усилия 5, которые прижимают составляю-
щие стержни по концам. Ограничимся (для простоты) рассмотре-
нием симметрично составленной балки из двух брусьев. В конце
п. 8 было установлено, что для такой балки усилия в поперечных
связях при абсолютной жесткости последних равны полуразности
поперечных нагрузок, приложенных к каждому из составляющих
стержней. Следовательно, сосредоточенные усилия над опорами
балки будут равны половине опорной реакции балки (при отсут-
ствии сосредоточенного груза над опорой). Далее при более точном
решении, учитывающем податливость поперечных связей, будет по-
казано, что значения усилий 5, максимальные над опорами, быстро
падают в пролете балки. Таким образом, общее усилие, близкое
по величине к половине опорной реакции, передается с одного
составляющего бруса на другой лишь на небольшом участке длины
составной балки. То же самое можно установить и в других местах
приложения сосредоточенных грузов. Поэтому будем считать,
что силы трения, прямо пропорциональные давлению одного бру-
са на другой, сосредоточены в точках приложения опорных реак-
ций и сосредоточенных грузов, действующих по направлению к
шву составной балки, т.е. прижимающих брус к другому. Трение,
противодействующее сдвигу,
Лр = -5'^ (29.1)
где V— коэффициент трения, зависящий от материала трущихся брусьев
и состояния их поверхностей.
Эти предельные усилия трения могут и не возникнуть, если
сосредоточенное усилие 7) , которое появилось бы в абсолютно
жесткой связи против сдвига в данной точке при данной нагруз-
ке, оказалось бы меньше значения Г Тр, определенного по форму-
ле (1). Поэтому вначале следует предположить наличие в местах
сосредоточенных сжимающих усилий 5 абсолютно жестких закреп-
103
лений против сдвига и рассчитать на них балку. Если же окажется,
что усилия в этих закреплениях превышают SV , то рассчитать
балку вторично в предположении постоянного усилияГ в закреп-
лении,равного 5 у>.
Для примера рассмотрим балку на двух опорах, нагруженную
равномерно распределенной нагрузкой Ц . Сосредоточенные усилия
S возникнут в такой балке над опорами и будут равны
3,= s^i/z.
Предполагаем, конечно, что балка положена на опоры нижним
брусом, а не подвешена за верхний брус. В противном случае уси-
лия S, и были бы растягивающими и не вызывали никаких до-
бавочных сил трения. В п. 28 установлено (28.4), что при наличии
у опор абсолютно жестких закреплений против сдвига в несдви-
гающихся торцах равномерно загруженной балки возникают уси-
лия
т= —V-
В случае если эти усилия окажутся меньше по абсолютной
величине или равными (1/2)^. Z , т.е. при коэффициенте трения,
удовлетворяющем условию
2с / 1 cthXt М I 2.tSM [ 1 cthXtX
2ГЕЕЗ \АЧ ~ Л /I I JM Ч2!2 AZ- /
сдвига на торцах балки не будет, и к ней будут полностью примени-
мы формулы п. 28. При
( rthXi 1________М
I V н ХЧ2)\
следует исходить из решения для балки со свободными торцами
(25.2), дополнив его решением для стержня, нагруженного по
торцам продольными усилиями ± , приложенными по обеим сто-
ронам шва. Это дополнительное решение, согласно формуле (18.3),
выражается так:
2 X 2 chXt
Общее решение для балки:
Т 2ff£EtT rA2ZEjV chAT- > 2.
104
Рис. 52
' ChXx ч'| -^,1,2) J.
т- ~^5'и х + ( ?s” + ) shX*
7„ UJM 2 J chXt
Максимальные напряжения Т действуют в точке, абцисса кото-
рой определяется из уравнения
9s* t [ ^Хгу\ ChXx
\ JM 2 J ch XI ~0
или
ChXx —
2SM chXl
2SM t tXzJM4>
В случае балки, составленной из неодинаковых брусьев, сосре-
доточенное усилие 51 нельзя принимать равным половине опорной
реакции (1/2) qt и приходится определять ее по формуле (8.4).
Последующий ход вьиислений остается без изменений.
Вторым примером рассмотрим балку, нагруженную сосредо-
точенной силой в середине пролета (рис. 52). Сосредоточенные
усилия трения, которые могут возникнуть над опорами, здесь
будут равны в случае одинаковых брусьев
Гтр= РУ/4,
В балке с несдвигающимися торцами при той же нагрузке уси-
лия на торцах равны (28.6)
Г (О) = [PSM К 2 3м A)] th (X 1/2).
Формулы (28.6) действительны при Тгр З-Т(О) , т.е. при
105
У? [2SM/f7MA)Hh(M/V.
В противном случае следует исходить из решения (26.7), добав-
ляя к нему решение для балки сжатой или растянутой силами
=Р?/4
т_ г 4 sh* * ) + рч> Г сЬА(г~А) 1.
' '»{ Ах ch AZ / 4 [ ch az J’
Л ch Ах \ РЧ>Л 'shA(t-x)
< Ch Аг ) 4 сьхг •
Напряжения в связях сдвига на опоре
f(0) = TthAlth th At.
Максимальные напряжения fwex возникают в точке, положение
которой определяется из уравнения
Т"=О; -Г Ash ch А (г-*)* о
М I
или
2SM
cihXx = thAl + P4,XchAt - ihXl + ^XchAt *
Напряжения в связях сдвига, вызванные трением, значительно
уменьшаются к опорам балки. Это явление неоднократно под-
тверждалось экспериментами.
30. КОНСОЛЬНАЯ БАЛКА, СОСТАВЛЕННАЯ ИЗ ДВУХ БРУСЬЕВ
И НАГРУЖЕННАЯ РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННОЙ НАГРУЗКОЙ
Подставляя в дифференциальное уравнение (23.2)
т А 2 т+ Me $/(se:j)= О
выражение для изгибающего момента
получим
" ,2r <}сХ2-хг
АГ~ - 23-еез
(30.1)
106
Рис. 53
ННННИН1НННННГ
Интеграл уравнения (1) имеет вид:
Т = <2, sh Лх + C?chAx~ у 2 * Л2/ (30.2)
что нетрудно проверить подстановкой его в уравнение (1).
Рассмотрим четыре схемы закрепления концов консольной
балки. В первой схеме (рис. 53) оба конца балки не закреплены
против сдвигов. Граничные условия при этом будут
Т(0) = Г(1) - 0.
Из них получим:
С
„ , Ч,с IIC 111 л \
Cish*1 + ~ &EEJ \~2~+~А^У°'
С = (- * 4. 11 )
< VZE3 ( Xzth\l 2sh\l + Xzsh^ J
Таким образом:
т Ч-с / ~2chXl shbx + shXx+2shh*+2.$h)1.chXx
~ 2TZEJ 2A*ShM
107
xi 1 \ q,c ZshXa-x^^^shXx^shXx-xVshXl-AshXt
~2 ^hrZEJ 2XzshXl
~ q.c -2chA(l-x)+Xzl2chXx + 2ehXx-2XxshXl
Т=Т~ГЁЁЗ 2XshXt
«_ 2shX(l-x)+X4zshX**2shXx-2shXl
~T PSEJ 2shM
В точке x =• 0 касательная к эпюре Т горизонтальна, так как
Г' (0) -0.
При х=0
, = 4е ~2chXt+Х21г+2 .
‘ ГЕЕЭ 2XshXl
при х~ I
Г(1] _ QC -2+X2l2chXt+2ehAl~2AlshXl
2TEEJ 2XshXl
Эпюры Т и Г для этого случая показаны на рис. 53, где, как и на
последующих рисунках, пунктиром даны также эпюры Тм и Т№, опре-
деленные по формулам сопротивления материалов для монолитной
балки.
При больших значениях можно положить
chAl = shXl= о,5ех*
к д*
и членами без множителей е пренебречь. Тогда будет:
Г(о)=----------•
2 1TXSEJ J
г(г)~ ZtfXEEj ( Хг1г + 2~2М\
Во второй схеме (рис. 54) не закреплен против сдвига свобод-
ный конец консоли, а в месте заделки сдвиг отсутствует. Гранич-
ные условия здесь:
Т(0) = 0;
Этим условиям удовлетворяют решения:
Г_. \( XI \ .2,2
гх zZEJ К Ch XI ^Xl/shXx + chXx--z-1
_ ____Г Msh Xx+chXCL ~x) _ Xzxz _ j
?XZEEJ L chXl 2 I
108
r KchAZ IhXtjchAx+shA*
tyc Г № ch Xx - Sh A( Z -л)
^AS£7 L ChM
На концах стержня имеем:
T(o)~o-, r(t)~—~—L^b2^11-
’ TAZSEJ\ ch Al Z
Г<У;= ^AZEJ (ch^t ~MAl);' Z(t) = 0.
В третьей схеме (рис. 55) сдвиг отсутствует на обоих концах
консоли и, следовательно:
Т(О) = Т(г)=О.
Дифференцируя (2), получим
лс
Т(х)= C^XchAx+C^shXx - G0.3)
' * С Л с J z
109
Из граничных условий следует:
С^Оу
Т(Т) = Cz XshXl ~ О', 7 fshXt
у, f tsh Л х )_ ffC tsh Хх -х shXl
*~1TEEJ\ ShM 7?EEJ ShM
T„ ?C ( MchXx )
TM~ XzZr£U\ shXt Z
,-m X^- Vе ( xiz .)
~ A^EJ\shxi T () хг^Е1\1нхг z 7"
Четвертой схеме (рис. 56) - свободный сдвиг в месте заделки
и отсутствие сдвига на свободном конце — соответствуют гранич-
ные условия
При этом, согласно (2)
110
(LCXZ
t=XClchAx^AC2shAx-~^-; t(O)=AC^0; ^ = 0;
T(l)= C2ChXl- jj^-(-T + yz)=o -> c2= ^EJ
„ A2zS? Пх2-tz+2)chA* Йглг 1
2chXl ’ '= rXzEEJ L ZchXl ~ 2 ]•
__2f_ Г tz+2)shXx _ . ]
ГАЕЕ1 L ZchXt ->
31. КОНСОЛЬНАЯ БАЛКА ИЗ ДВУХ БРУСЬЕВ,
НАГРУЖЕННАЯ НА КОНЦЕ СОСРЕДОТОЧЕННОЙ СИЛОЙ
Формулы для сдвигающих усилий в шве такой балки при че-
тырех случаях граничных условий приведем без выводов, ввиду
их элементарности
1. Рис. 57- T(O)^T(t)=O:
Т-. Pcl ( 3hA* *)- r pcXt fchXx 1 \
( shAi t )’ fZEj (.shxt At/
2. Рис. 58 - T(O)= T(l) = O:
Pc /shAx \ Pc /ChXx
X^SEJ\chXl ЛУ; ~~VZEJ\chXl
3. Рис. 59- T(0)= T(t)^D:
_ Pc [ XlchXx ~ sh X(l-x) 1 _ Pc
ZTASEJL Ch XI Лл1; ETEEJ
Г Ch X -x)-tXlshX x 1
L chXZ J
4. Рис. 60 - T (0) ~ T(t)=O:
22E J (shXx " th Ch Ax “ Ax);
7 (ch Ax-th sh Xx~l).
Ill
32. НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
<•
Приведенные примеры показывают, что усилия в связях состав-
ного стержня во многих случаях могут быть определены сравни-
тельно просто. Решение для составного стержня получается в виде
суммы частного решения, которое для всех случаев кусочно-равно-
мерной и сосредоточенной нагрузок совпадает с распределением
сдвигающих напряжений в монолитном стержне, и общего решения
однородного уравнения, являющегося суммой показательных
или, что то же самое, гиперболических функций от аргумента,
пропорционального координате л.
Предельные случаи работы связей соответствуют малым и
большим значениям характеристических чисел А . При малых зна-
112
чениях А. и Ах получим случай стержня с очень податливыми свя-
зями, при этом решение упрощается заменой sh Ал и th Ах через
Ах, a ch Хх через единицу. Общее решение в этом случае выра-
жается линейными функциями х.
Большим значениям А или Ах соответствует второй предельный
случай. Значения Ах и еААх при этом можно заменить через
(1/2)вАх , а значениями по сравнению с ними пренебречь. Об-
щее решение дает достаточно большое значение напряжений лишь в
зонах, близко расположенных к концам стержня, к точкам прило-
жения сосредоточенных сил и к другим характерным точкам, в ко-
торых сечение составного стержня испытывает какое-либо измене-
ние; при удалении от этих зон сдвигающие напряжения быстро за-
тухают по показательному закону и в местах, достаточно удален-
ных, могут считаться равными нулю? Если ограничиться требуемой
точностью вычислений, например в 2%, то, учитывая, что Р —0,018,
можно вполне считать значение Ах =4 бесконечно большим, а дли-
ну х =4/ А - бесконечно большой длиной шва.
При бесконечно длинных соединениях решение для составного
бруса упрощается во многих случаях настолько, что не требуется
почти никаких вычислений, кроме определения А и значений е~х*.
Так, например, для балки на двух опорах, нагруженных так, как
показано на рис. 61 (все участки балки ’’бесконечно длинные”),
эпюра Т может быть построена непосредственно по эпюре ^моно-
литной балки после ’’скривления” скачкообразных участков
последней эпюры кривыми вида Се
Если участки балки или стержня не бесконечно длинные, то с
помощью подобного рода ’’скривления” эпюры на глаз можно зара-
нее представить вид эпюры Г, что также весьма существенно.
Другой вывод можно сделать относительно значений напряжений
в составной балке. Они всегда являются средними между значе-
1
Рис. 61
ттшшин!
Эпюра ч!
Рис. 6 2
113
ниями напряжений, определенными для монолитной балки, и для
балки, лишенной связей сдвига. Общая формула для напряжений
в составной балке, как мы видели, имеет вид:
б =6МЧ> + бя(1-Ч>), (32.1)
\ .*
где и бл — напряжения в монолитной балке и в балке, лишенной связей
сдвига того же сечения и таким же образом нагруженной; V — коэффициент,
который зависит от вида нагрузки и размеров балки.
В основном этот коэффициент V зависит от значения^ А, где Д -
пролет балки, характер же нагрузки (при обычных нагрузках) на
него влияет мало. Поэтому во многих случаях V можно принять та-
ким, как при синусоидальной нагрузке на балку:
(32.2)
причем он оказывается постоянным для всех сечений балки.
Формула ( I) дает возможность быстро определять знак и поря-
док величины напряжения в любой точке составной балки.
Окончательная эпюра напряжений по высоте составной балки
представляет, таким образом, линейную комбинацию двух эпюр
напряжений -линейной эпюры напряжений в монолитной балке и
эпюры напряжений в балке, лишенной связей сдвига (рис. 62).
В тех точках, где напряжения /5^ и бл равны между собой, им же
будут равны и окончательные напряжения б независимо от коэф-
фициента жесткости связей сдвига £ .
33. ОПТИМИЗАЦИЯ СОСТАВНОЙ БАЛКИ
ПО ЕЕ НЕСУЩЕЙ СПОСОБНОСТИ
При увеличении числа связей сдвига составная балка приближа-
ется к монолитной, причем увеличивается ее жесткость и соот-
ветственно уменьшаются максимальные краевые напряжения в
балке, определяемые по формуле (32.1). Действительно, при уве-
личении коэффициента жесткости связей сдвига 4 возрастает зна-
чение А2 = $зг и значение у (32.2). Напряжения же б в материале
балки приближаются к значениям, которые они имели бы в моно-
литной балке б„ . В то же время увеличение $ создает большую
концентрацию сдвигающих напряжений у опор, поэтому макси-
мальные напряжения f в связях сдвига увеличиваются. Таким об-
разом, несущая способность балки, определенная по максималь-
ным краевым напряжениям б , с возрастанием 4 увеличивается,
а определенная по максимальным напряжениям в связях сдвига
г — уменьшается. Оптимальным коэффициентом будет такой, при
котором несущая способность балки, определенная обоими этими
способами, оказывается одинаковой.
Возьмем в качестве наиболее простого случая балку, шарнирно
опертую по концам со свободными на сдвиг торцами, нагруженную
синусоидальной нагрузкой (см. п. 27). Согласно (27.2), здесь
U4
будет:
зг2*ь2ь2
(33.1)
где
0 =/h7/vm; бл^м°/мл> (зз.2)
rW “ fl fl '
где И', и Шл — моменты сопротивления сечения стержня: монолитного и ли-
шенного связей сдвига.
Этот последний момент сопротивления
Л/ = ЕЗ/а,
где а - расстояние от крайнего волокна крайнего стержня до центра тяжес-
ти сечеиня последнего.
Изгибающий момент в среднем сечении балки, нагруженной
синусоидальной нагрузкой,
Ч = % L / > (33.4)
где Цо~ интенсивность нагрузки в середине пролета балки.
С учетом (4) и (2) формула (1) принимает вид
б_ ^42 я2е + Х2 L2
Я2Нм Я2 +Х 2L2
где в^м/ыл.
Приравняв напряжение & его максимально допустимому зна-
чению Гб ] , получим значение несущей способности по напряжениям
в материале стержней
а - W”"» ^\2Lz . (335)
L2 JT20+^L2
Максимальные напряжения в связях сдвига, согласно (27.1):
** 7T2+xzl2 2 frz + XzLz>
(33.6)
где 5 — статический момент части сечения всего стержня, как монолитного,
лежащей выше рассматриваемого шва, взятый относительно оси, проходя-
щей через центр тяжести монолитного сечения.
Из формулы (6), положив допускаемому напряжению
на сдвиг шва, получим несущую способность по связям сдвига
115
~
25 A2
2 2 2
Зависимости от A L /JT по формулам (5) и (7) можно изо-
бразить в виде кривых, точка пересечения которых соответствует
максимальной несущей способности max • удовлетворяющей
требованиям прочности как самого материала стержня, так и свя-
зей сдвига.
Для определения <2 надо приравнять правые части формул
(5) и (7)
2
2 jr*0<-Azi?~ sa2l2 ’ ( -*
Далее можно положить, что предельно допустимое напряжение
в связях сдвига [М возрастает с увеличением густоты связей так же,
как и коэффициент жесткости связей |. Тогда
= $ Т/ГГ] = 2 (33.9)
где
к = 4 /Гtrj = const.
При этом формуле (8) можно придать вид
У 2 £б] WM________1__________1
2UM ^rzQtky[tlL2~ SkTL
Отсюда можно определить, что
ГГ1 >
22 \ 2UM klTlV,)
При этом
----М
кТ".)
и, согласно формуле (5),
rma.x L,2 . fCdJSL 1 ) 1 lk^(^SL 1— 'I Ц k-rwj
116
Для других загружений составной балки следует применять
формулу (23.6)
(33.10)
При равномерно распределенной нагрузке fy=const имеем в сере-
дине пролета, согласно (25.4):
Ч> = 1~2/(ЛгI2} + 2.1(Лг12ch Л )
и, согласно (25.5), — на опоре:
т Л **)
X mJ'
Из формулы (10) получим
и, приравняв 6тах = [б]н т„аг Г^1 > найдем предельную нагрузку по
напряжениям в стержне и в связях сдвига:
W 2 [61 i
^пр ~ Ч’+е('1-ч>)
~ _______________2 Гб] >УМ____________________
г2[У~ + А*1гсЬМ+ 9 " Azt2chM Я
и (Т) [T1JM At
?np ~ tS At - ih Al
Оптимальная балка будет при „р = q пр , т.е. при
2162S)VM [л 2.2 . ( 2.
Lfl W L " Аг12 Аг12'сЬА1 hzt2
Подставив сюда (9), получим
[61SWMl
к ГЭМ
(33.11)
Зная все величины, входящие в левую часть уравнения (11), можно
определить Al и И =Л2/Л Г, соответствующие оптимальной балке,
и затем получить наиболее выгодную густоту связей сдвига.
117
Для случая силы, приложенной в середине пролета балки, фор-
мулы (26.7) дают: shAl
v'=1 ~~xtchxT’
отсюда '”4* ChAl^ 2f chXt^
Pi г -.Pl L shxl o sh XI \
М^1+&ЛГ^Г)’
(6) gfg] И<и XI ch XI________.
nP ~ I XI Ch Xl ~ Sh XT- i-в sh XI
n<V 2(11Л Chxl
Ипр ~ S ChXl--r
и из равенства следует
216AWMS _ XtchXl-shXl+BshXl
[Т1 JMl ~ AZ(cAAZ-7)
Заменяя ft] по формуле (9) получим трансцендентное уравнение:
2[6JWMSkyi (XI chXI-Shkl-+ dshXDXl
~ ChM-1 ’
из которого можно определить оптимальные значения X и [t j.
Глава 6. ПРОГИБЫ СОСТАВНОГО СТЕРЖНЯ
34. ОБЩИЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПРОГИБОВ
СОСТАВНОГО СТЕРЖНЯ
Для стержня, составленного из нескольких брусьев, прогиб мо-
жет быть определен после вычисления суммарного изгибающего
момента
М = М° ~ £ Т.С. . (* 34-0
Далее находится выражение для кривизны
у - M/ZEJ.
Интегрируя его дважды, найдем искомый прогиб.
Таким образом, к системе уравнений (5.18)
(34.2)
здесь добавляется уравнение
EEJy'^ZC Т-М (34.3)
* Я
118
с дополнительным неизвестным у.
Если систему дифференциальных уравнений (2) представить
в виде (11.16)
где, согласно (11.18) и (11.14),
_ л Uki п.
Tl = 2 ^~-Т - =
*=? ’ * Л=7 ко к кС
и взять решение дляТ в виде (12.2)
Y Г
T.^A.shA.x + B.chA.^-f; J FL(t)shA.(x-t)dt,
с о
тогда, возвращаясь к первоначальным переменным Т. , будем
иметь (11.19):
Л- / “•!
Г = .27 4Z Uk Т. ,
К L—1 * 4
Л п п ________, _ П ____ _
2 СТ.^Е 2 Н., fejc- = 22 Т.е.
к-1 к к ^=1 ск l с=1 4 4 7
где
г.= Г и.. с .
i к=1 ьк 'к к
При этом уравнение (3) получит вид
22T2Jу" - 22 Т. С. - М°- 2 с. [A-shA х+3-ch\.xi-
1-1 4 L L ц с > < С
+ (1/A.)fЯ.СОЫА- (x-t)dt^-fA°
L о L L
(34.3)
и после двухкратного интегрирования
2Eju=2 (c./A2){A.shA-x + Bch\.^i-
У i=t ‘ ' 1 х L L ‘ (34.5)
+ С.* 1-D. 1 (1/А^)J FT (t) [shA (x-t)~
XX °
- (x-t)]dt -ff
a о
где , ~D—произвольные постоянные, которые находятся из
граничных условий.
Действительно, дифференцируя дважды (5), приходим к урав-
нению (4).
119
35. ПРОГИБЫ СОСТАВНОЙ БАЛКИ ИЗ ДВУХ БРУСЬЕВ
Для определения прогибов балки, составленной из двух брусь-
ев произвольного сечения или из трех брусьев, симметричных от-
носительно продольной оси балки, выразим прогибы через полные
изгибающие моменты. Нагрузку на балку будем считать удовлетво-
ряющей тому условию, что сумма проекций всех сил на продоль-
ную ось балки в любом сечении равна нулю. Для балки, составлен-
ной из двух брусьев, используем дифференциальное уравнение
изогнутой оси
^ЕЗу'^Тс ~М° (35.1)
и второе уравнение для определения суммарных сдвигающих уси-
лий У
= (35.2)
Из уравнения (1) получим:
м . If
7= + с С у ;
и м°" , Е £77 л (35.3)
Т - с + С * • J
После подстановки значений 7" и Г в уравнение (2) имеем
ztej is „ м0" ма?г
---т—у----------у — — —7— -/---------+ Д
с 5 с ? с $ .с
или
лл °"
У^-^,7У"= ~ + (/№? + Ас). (35.4)
Выясним смысл выражения, стоящего в правой части последнего
уравнения в скобках:
№ с
№ С Л1°Сг M0-N.°C М° №^С
~Е-,р. + ~е2 f2
Присоединим сюда условие, наложенное на внешнюю нагрузку:
27 №=О.
120
Отсюда следует
7V/= - №. = №
1 Z
и уравнение (4) принимает вид
но № - №с в нашем случае есть не что иное, как внешний мо-
мент, который возникал бы под данной нагрузкой в монолитной
балке. Обозначим его через Мм . Тогда уравнение (4) выразится
в виде
У ^У=~ЕЕЗ + ЕЕ J (ечРч + <'35'5)
Если податливость связей очень мала, то $ стремится к бесконеч-
ности. Уравнение (5) при этом обращается в
Мм / 1 1 \
У~ 7ЕЕЕЗ\Е№ч +szF2/ (35'6)
Нетрудно доказать, что правая часть уравнения (6) представ-
ляет собой момент в монолитной балке, деленный на приведенную
жесткость этой балки, т.е. на момент инерции приведенной площа-
ди всего стержня, умноженный на модуль упругости, который
положен в основу приведения.
Действительно,
+ £2^2 + (£1 J1 + Ez Jz
Еч Ё2 Fz
fiT +EZFZ
2
— f 7 7, * Ez32 +с
Еч F, Ez Fz
Еч Еч +E2Fz
а это выражение совпадает с выражением (22.11) для приведенной
жесткости Е0Эа балки из двух брусьев, рассматриваемой как моно-
литная. Отсюда следует, что уравнение (5) можно еще раз перепи-
сать в виде
<35-7>
Рассмотрим теперь стержень из трех симметрично расположен-
ных брусьев. Условие равенства нулю проекции всех сил на про-
дольную ось в любом сечении здесь можно заменить требованием
обратной симметрии внешней нагрузки, так как прямо симметрич-
ная нагрузка, составляющая внешней нагрузки, создает повсюду
прогибы, равные нулю,и может поэтому не учитываться.
Уравнение изогнутой оси стержня здесь будет:
EEJy" = -м"^ 2 Тс, (35.8)
121
а уравнение суммарных сдвигающих усилий - (9.3)
т"/5 + (35.9)
Из уравнения (8) определяем:
_ М° EEJ ,,
т= ~гГ + —с—У '
и &
2с * 2с 4
Подставляем эти значения в уравнение (9):
2ZEJ Д' и М°" М°Га. . .
Мо,‘ Л
У*~ /' = - -£ЁТ * -ТЁЭ
Далее из первых двух выражений (9.5) находим, что
л О О л <3 в С О
о „ М 2с /И 2с N° 2с М М -2cNK
М*а+2сАъ Ekf/ ХЕТ) £КРК ZEJ ' ExF*
Отсюда, принимая во внимание, что М°= 2с N°- М м , т.е. равно
моменту, возникающему от данной внешней нагрузки в монолит-
ной балке, получим
У*~ * К /'= F^- (35ДО)
Определим, чему равен момент инерции всего приведенного
сечения балки:
-М = Ъ £с Ек 1Е0 + 2сгЕк /Ео ,
далее
= ЕВ (JZJ ^Е+2сгРк^) = Е J -£ J
° с Ев Ев * Ео' ом о “о-
Отсюда заключаем, что уравнение (10) может быть, как и для
случая балки из двух брусьев, написано в виде
ди i5r // М°" х Л/м
У ~ 5 2Г У ~---------+ Ь <Г — - •
ZEJ ^<!а EoJg
Чаще всего на составную балку действует только поперечная внеш-
няя нагрузка . При этом
Мм = М°" ’ ^dx2~’
и уравнение изгиба составной балки можно записать:
-ZF . // 4 . м м
У -“У
(35.11)
122
При абсолютно податливых связях сдвига (^ = 0) уравнение
(11) обращается в уравнение изгиба пакета из брусьев, не скреп-
ленных между собой связями сдвига:
ys= - /ZEJ = q/E Е J.
В случае абсолютно жестких связей сдвига ($ =<*>) получим мо-
нолитную балку, изгибающуюся, согласно уравнению:
У"=~ V-
36. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УПРУГОЙ ОСИ СОСТАВНОЙ БАЛКИ
Приведем некоторые решения для прогибов составной балки из
двух брусьев, шарнирно опертой по концам со свободными для
сдвига торцами. „
1. Чистый изгиб балки (М— const). Уравнение (35.11) получает
вид
М/(Еодо), (36.1)
где 2
М = Мв= const, Я = 4
Решение уравнения (1) будет:
y~C^shXx->-Czch\^ + С3Л i- С^~ (36.2)
Располагая начало координат в середине пролета балки, можно
ограничиться только симметричной частью решения (2):
У = Сг ch** + С<,- £Е-~5~
На концах балки у — 0 и Т- 0 или, согласно (35.3):
у(1) = О; у"(г)~ - М/ЕЕЭ, (36.3)
где I — половина пролета балки.
Для определения постоянных Сги £. получим уравнения:
откуда
с- М 11 7 1 М ( 1 1 } t
z tfchM\EtJ0 ЕЕ J/' « A2 \?EJ Е0Э0/ ZE,^'
Введем обозначение
1/D= цш-
123
тогда
Ch Al - ch Ax i 2-x2 )
Xz D ch Xl + 2.EoU0 J
(36.4)
Максимальный прогиб в середине пролета балки
Утах
- у (О) — М
\2EoJ0
ch Л 1-1
(36.5)
X 2 D ch X t
Вторые члены в скобках формул (4) и (5) представляют собой
прогиб монолитного стержня, -а первые — добавки, возникающие
в результате податливости связей сдвига.
Если в торцах балки имеются жесткие препятствия сдвигам,
то вместо граничных условий (3) надо положить
Тогда
, М х z
у"' (i)= X3Czsh\l-0 ; C^D-у-С^-Т^--- -
После определения получим уравнение изогнутой оси монолит-
ного стержня
У = МП Z-xZy)l(.2. Ео Эо ), (36.6)
что означает отсутствие сдвигов по шву и сдвигающих напряже-
ний Т-
2. Балка, нагруженная в середине пролета сосредоточенной си-
лой. Располагая начало координат на левой опоре, получим урав-
нение
y*-fy"=^Рх/ (2 ЕаЭ0)
и его решение:
у - C.Sh Х* + C?ch Ах ¥- С х + С1 - Рх3/(12 Е Э ). (36.7)
На левом конце балки, поскольку М(0)= О,
у(0)=0, у "(0)^0,
следовательно,
С2 + Сч = О' A'LCZ^O ; CZ^C^ О.
Поэтому
у shAx + C3x - Рх3/'(12 EoJo).
В середине пролета при х = I
124
у'- AC1chAl^C3-Plz/ (У E0Ja)=О , (36.8)
и, кроме того,
Г= (11с)(^ЕРу'"+М')=0,
что дает
у'" = -М = ~Р1(2ЕЕЗ), (36-9)
А3с; shAt-P/tZE^^-PlCZ^y
Из уравнений (8) и (9) находим:
2А*Т)сУА1 ,С3~4ЕОУО ЛС^сЬМ- 4Eoje~>'2\*d'>
(36. Ю)
Максимальный прогиб
Ута^уШ = [Р/(2А?В)] (Al~ihA'l)+Pl/(EEgJo). (36.ll)
3. Балка, нагруженная равномерно распределенной нагрузкой
у-const Ввиду симметрии нагрузки начало координат берем в
середине пролета (I — половина пролета балки). Уравнение (34.11)
принимает вид
У*-Аг у"= г<л2 + .
2 EBJ0 ЕЕ J
Симметричная часть решения этого уравнения будет
<2 / lzxz хг \ У
(36.12)
На конце балки
M(t)=O; у(1)=0 ; у"(1)=О.
(36.13)
Подставляя (12) в условия (13), получим уравнения:
# / 51^ tz \ У12
CzChAl+Cz - ~Ё^\ 2Ь ZAz ) 2AzZEJ ’
2 / 4 1 ) -
А сг Ch Al - E0JB ) Аг7)
125
и решив их, найдем:
л 5 ql**
Сг= УТ)сЬЛ1 ’' C‘<=~C^chAtt ~2Ч ~Ё^~О +
qil Sgl* 4 ( I2 7 \
+ 2AzZ> 24 E0J0 ТА \ 2А2 ^ )'
Таким образом,
q ch А х Eql* q / t2 _ 1 \
A*Z»cA AZ + 2ЧЕ<Л0 + 2) \ ZA2- A* /
<? / л* Z2** ) Vх* . ? ..
+ E0J0 k 24 1 ) 2X2D ~ A^D
* Г.£^л- + (SS) - -/I +^—(5i^z)(t^). <36-14)
L Ch Al 2 J МЕЛ
В середине пролета
q I 4 AZlz Л . Sql*
У(°) = Ута.х~ A11!) (ch AI + 2 1 / 24 ЕоЭ0 '
37. БАЛКА НА ДВУХ ОПОРАХ С ЖЕСТКИМИ СВЯЗЯМИ,
СОПРОТИВЛЯЮЩИМИСЯ СДВИГУ НА ТОРЦАХ
Чистый изгиб такой балки был рассмотрен в п. 36. При наличии
поперечной нагрузки расчет должен вестись с учетом появления
дополнительного неизвестного значения То — сосредоточенного
сдвигающего усилия, передающегося на шов балки от жесткого
закрепления в торце (рис. 63). Граничные условия на каждом
торце балки следующие: равенство нулю прогиба у, равенство
нулю сдвигающих напряжений в шве t и равенство суммарных
сдвигающих усилий в шве Т значению Тд.
Рассмотрим два случая загружения балки.
1. Сосредоточенный груз в середине балки. Используя решение
(36.7)
CjShAx + C2chAx + Сч~ рЛ/ (12Е020),
найдем производные от прогиба:
У '= AC^shAx + AC2shAx +С3~Рх2/(ЧЕ02о)-,
Ч" = AZCfShXx + AZCzchhx- Рх/(2Е0Э0);
У А3С^ ch Ах +A3CzAx- Р/(2ЕВ 20).
Из условия у/С)— 0, получим:
126
Рис. 63
4==4
С^С^О-, C^-Cz. (37.1)
Из условия Т( 0) = 0:
Q (.0)+ £ Ely'" (0)^0 > Р^ЕЕЗ+^С,-Р / (2ЕдЭо)=0>
X3С^-- Р/(2D). (37.2)
Из условия ~Г(О)=ТВ-.
(1 /С) [М(0) + ГЕ 1у "(О)] = Тд> м(О)= 0;
Х^С^Т^с /ZE3. (37.3)
В середине балки имеем условия:
у'(г) = О-, Т(1)^0,
откуда следует:
XC^hXlt XCzshM^-C3-Pt2-/(y£oio)^0- (31А)
Q(i)^XEly '"(i) = О', Р/2 ХЕЗ+Х3^ ch AI +X?C2 shA I - Р/(2 Е^О;
X3C1chM + X3C2shXl^-p/(2D). (37.5)
Поделив (5) на Л2 и вычтя из (4), найдем:
C^Pl1/(<iE3g)+Pl(2fD), (37.6)
а подставив в (5) значения С* из (2) и <?2из (3):
р X с ~Г„ . , _ р
+ ^Г5Алг"~75--
получим
" 2ЛсР sb А1 2АсТ> 2
Теперь, используя выражения (2), (8), (1) и (6), можно написать:
,, р , . Р .. А1 , , Plzx Рх Р
У~ 2A^J>ShAX+2A3J>th 2 ChA*+iEDJe * 2XZD
['ShAx+ih -^(cAAx-/ЛЯл]
(37.8)
127
2. Равномерно загруженная балка. Берем начало координат
в середине пролета и выписываем решение (36.12) с его производ-
ными:
У = А C2ChXx + 2 2 А2 ) SEJXZ’
На концах балки при
С2 chXI + Сч
х~1 у(1)=О> откуда
5у _
= ТЩзГ''’ гхгп
Далее имеем:
?«->--± [вы zEJCai]-- <
(37.10)
что дает:
A2C2chAl-^ = Z£J
з 9"
Л Czsh XI ' -у- = 0.
(37.11)
Из выражений (11), (10) и (9) получим
<?Z
Сг' Л’ 2s* Л ' Т°~
И X3D I 2 / Z^E0J0 (37.12)
^l-chXx gt ( xt\ 5q.l‘i 9 4 2 2.
У X3SshXl x3D\cthXl 2Г2^ЁТ^2ЬЁ1'{>('В1>(}~
_ fr*2 _ Я l(chXx-ChXl) д.(1г-кг) (51ч-61^х^+ хЧ)
2X3-!) D X3shXl + 2 ХгР +У 26E J
о о
128
38. ПРОГИБ КОНСОЛЬНОЙ БАЛКИ
Консольная балка длиной t, нагруженная на свободном конце
сосредоточенной силой Р, а на другом конце жестко заделанная с
отсутствием сдвигов по шву (рис. 64, а), эквивалентна половине
шарнирно опертой балки, имеющей пролет 21 и загруженной в
середине пролета силой — 2Р (рис. 64, б). При этом прогибы кон-
сольной балки ук связаны с прогибами шарнирно опертой балки у
зависимостью
У к
(38.1)
Поэтому уравнение изогнутой оси консольной балки можно легко
получить из выведенных ранее формул для прогиба шарнирно опер-
той балки, нагруженной сосредоточенной силой в середине про-
лета.
При свободном сдвиге на конце консоли получим, согласно (1)д
из формул (36.10) и (36.11), заменив в них у на уши Л на 2Р
. ,, pt-3 Р ^1 р shX* Рх Р12*
6ЕВЭВ л V \ : ChM / SEoJ0 4
При жестком закреплении против сдвигов на свободном конце
консоли и таким же образом из формулы (37.8) получим
у~ Ук- [-ShAZ + shAx i- th (ChAl+chAx) +
129
XsDshXl (I'*)-chXt + chXx\ + (L~x) +
P 3 2 3%
+ -TT-Z- (21-31 x+x )
sea'1o
Максимальный прогиб на конце консоли равен:
при свободном сдвиге торца
Утах = У(0) = Р(М>'1 hXl)l(^) '*(Pl3l3EoOo
при жестком закреплении против сдвигов на торце
„,3^/2-2cAAZ ,Д, Pl3 Р ... р*3
~x3D( г>
Формулы для прогибов консоли, нагруженной равномерно
распределенной нагрузкой приведем без вывода.
При отсутствии закреплений против сдвига на торце:
»- % \XlshXl t t < XlshAl+1 , A*,-2
У A*Z> L chAt sbXx + chXx- chAl + z ft-;
, Ч з it
+ 2hEoJ0 ~ (5L ~hl x+x ),
U = u(0) = -1— ( cbAl-XlshAt-1 Xztz\ ,
уЛ7вл y k Ch Al 2 J + 8 Fodc
При жестком закреплении торца против сдвигов:
y-_L
)?(l -J) XI(ChXi -сЛЛх/1 (
2 ^hXl Г 2b Ев Jt
уи~хг1>\2 Xt*h 2 / 8E0J0
:d>-
39. ПРОГИБ БАЛКИ, ЗАДЕЛАННОЙ ДВУМЯ КОНЦАМИ
Уравнение упругой оси балки, заделанной обоими концами,
можно получить, суммируя решения для шарнирно опертой балки
и для балки, изогнутой постоянным моментом М, значение которо-
го определяется из условия равенства нулю угла наклона упругой
оси на опорах.
Возьмем балку со свободными в отношении сдвига торцами, на-
груженную в середине пролета сосредоточенной силой Р. Из урав-
нения (36.10), выведенного для такой же балки с шарнирными
опорами, получим:
30
, ( ch Хх - ch XI tz - л2 )
y ~P\ 2XZD ch XI + Ч Ea 20 ' ’
На левой опоре при x =0
у = и '(О) = Р (—1 ~chAl j. —1— Y
р у{ \2X2DchXl iE^t, /
При загружении балки изгибающими моментами, приложенными к
торцам, согласно (36.4), имеем:
/ _ .. / Sh Хх х 'J
. У XDchXl ~ EoJ0X
а на левой опоре при х--1
ч , .. / thX I i \
да»
Приравняв нулю выражение
ч>+ч> = р _________<hXl-1 \ (_1_
Р " \ЪЕО1В 2 X* Veh XI / \Еоао
th X I
XD
получим
_ Pl (chXl -1) ~РХг1гchXl
M ^Ea^BXl shXl +UX2lzehXt
или, видя обозначения:
X i = V ;
> (39.2)
И _ tKEoJo) ~
^o-^o 1/(^EJ)~1/(E[)'3B') ЕО2В~Е.ЕЭ
найдем
Pl 2chX-2-fi^ch-X _
4 9shy) 1-fo'Xz ch'tX
В случае жестко закрепленных на сдвиг торцов из (37.8) имеем
на левой опоре
, pi2
и для имеем выражение (39.1). Из условия Ч’ + 9* =0
находим: р N
..(th Al t \ Pl2
M\~W~ + TT)+ 4M(EoJ)thXl+I}Xl)hDPlZX=O;
О 0 *~O
131
Pl2 A Pl2A__________________________
EoJothAl-pDAt АЕаИа (thAli-flXl)
Возьмем теперь балку, нагруженную равномерно распределен-
ной нагрузкой.
При торцах, свободных в отношении сдвига, согласно (36.14):
' Ч tshAx
У A3D k chAl
на опоре
О' 01^
ср — l/' (~ Z ? = —5 th Al +Al)-
У < зЕ^
С учетом (1) получим:
/ Al-thM Z3 ) / thA i
(Al-ihAl)/(A3D)tl3/(3£0Jc,) q.lz
M= -thAl/Oty + lHE^) 3
О ио '
5A~3th O+fi'D3
У 2th 0 -t- Jh'J'h
При жестко закрепленных торцах из (37.12) следует:
Ф IshAx 9Г'_^гал^^лэ2
у ‘ э A2shXl A2D + EoD0
Я- I , , qt3 yl3
У(1)- TA A2+~^^^--T^'
‘J-t2 , Ml кл fyl2
40. ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПРОГИБОВ
СОСТАВНОГО СТЕРЖНЯ
Общее решение дифференциального уравнения (35.11) можно
получить методом вариации произвольных постоянных. Ввиду не-
которой громоздкости вывода дадим сразу окончательный резуль-
тат, который затем проверим подстановкой в исходное уравнение
X
и - CshAx i- C,Ch Ах t С х + С, - Г Мп (t) х
27 1 * з ч AT) J °
1 г О ° (40.1)
х Sh А(х-t) dt - г- / М (t)(x~t)dt.
^0 J
о
Дифференцируя, получим
132
I 4 с ° 7 Г о
/=АС,сЛАх i-XC,shXx+C~~r \M(t)ChX(x-t)dt- —
1 2 3 J>0J EoJBJ
,. О A P Q , ,rf <*} '*' t'*/
у - X shXx + X C^chXx-r^ j /V (b)sh\(x~t)ctt--^ E Jo ~
= X2Q1shXx + X C2chXx f M (-t)shX (x~t)d.t
in 3 3 У%" c ° (x
и = A CchAx + A C shAx - — / M Ct) ch A (x-t)M - — -
7 2 JJ J lZ J
y^C X1,C1 shX* +Xl'C2chXx -~-fMa(i)shX
и подставляя в (35.7), приходим к тождеству.
Далее находим
'ур~. - и '= X С shXx+X С' сЬЛх~^-[м (t)shX (x-t)dt,
£-tZ-J £_CZJ X ' H -Li <J
0^
~ f У "'= A'c. Lh A X + xc Shxx-^[ма(УсЬХ (x-t)dt.
J и J * «£/ t
При л - 0
2 S F7 3 EE 7
y(O) = C<-C’ . y'(O)-XC -f-C -,T(O)^X —^C -, t(0XX
j d J ’ э c L 7
Отсюда:
ОД; 32rgj- W;
Г»=!"®-ТЙ75 ™л
Подставив эти значения произвольных постоянных в решение
(1) - (2), получим уравнения метода начальных параметров:
133
у = y(O)+ У '(O)x +1(0) - 3 ^:c (shAx -Ax) + T(O)
Л £ J
x
*-7 (ChAx~1)--l=r fM°(t)sbA (x-t)dt -
A £ c J XJ) J c & Uq
*]Ma(tHx~t)dt >
0
, f D c
y’=y (0) + T(0) (ChAx-1) + T(O)j^
X *
1 Г о 4 C &
J M (t)ch A (x-t)dt ' J M (t)cl±;
о о о о
T^T(O)^. + T(O}ch>.x-—Z-EJ fM°(tJshX (x-t)dt.
А сП %
х
Г = T(O)chXx +XT(O)shXx- §M(t)ch) (x-t)dt.
₽
shAx -I (403)
Заметим также, что
X
- JM(t)(x-i)dt;
° о
> (40.4)
y‘-г * У vfe- - /Лл
Выражения (4) не содержат гиперболических функций.
В формулах (3) и (4) внешняя нагрузка представлена через из-
гибающие моменты, которые нетрудно получить для статически оп-
ределимых балок. Если же балка статически неопределима, на-
пример заделана по концам, то эпюру моментов следует предста-
вить в виде суммы эпюр пролетных моментов М„ (*), вычисляемых
для статически определимой (свободно опертой или консольной)
балки и опорных моментов Мйп= MA + Qx, где МА и (2Л -значения
изгибающего момента и поперечной силы на левом конце балки.
Подставив в выражения (3)
Моп (t> ^МА+аА± + МП^ <40-5)
и, учитывая, что
J sb Л (x-t)dt = (chAx-1)/A , \chA(x-t)dt~ ($ЬАх)/Х )
о о
I.U
X A
f ijh A (x~E)d.-t=(shAx-Ax)/^,^tchA(x -t)dt - (ch A x~l)/Aj
О x д X a x
(X -t)(tt-xz/2; fdx^x, Ji(x-t)(Lt=x/6; ltdt=AZ/2,
о о О о
получим
у ~ и (О) < у'(О1х * Г/д? - f (shAx -Ax)tT(O1-.j^ *
J rlfj Л *-t:J
мА ч мА аА
'(chAx-1)-;^ (chAx-1)- j-j- —~уз£ OhAx-Ax)-
X ° Q -Л
- _Од_ —£_ I'm aj ShA (x -t)dt- -^T \Mn(tXx-t)d.t-,
EOJO S ЛИ J n ЕоЩ n
° С С Мд
/=y'(0> + W «*** - +т(0) ^7 sh** ~Уп'3(
x ShAx - -^- X - -^- (chAx -1)~ -J
Eo^o А П x z
chA(x- t)dt - g 4- / Afn Wdt;
CO do 0
>(40.6)
a
T=T(0) Sh**- + T(0)chAx-^~ MA(chAx-1)-j^-QAX
x(shAx-Ax)-^- f
cD q
t-t(O)ehAx + T(O)AshAx-^^-M^shAx-
XzZEJ f
x(chAx-t)- ~ J M„(-t)chX(x-t)dt.
p
Сюда можно добавить еще уравнения (1) :
М = МА + Qa х + Мп (х)у Q-QA*-M'n (х).
Получены уравнения начальных параметров более общего вида
пригодного для статически неопределимых балок.
41. РАСЧЕТ РАМ ИЗ СОСТАВНЫХ СТЕРЖНЕЙ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Весьма эффективный расчет рам по методу перемещений при-
меняется как для обычного недеформационного расчета, так и для
расчета рам на устойчивость и на динамические воздействия. О снов-
135
Рис. 65
Рис. 66
Рис. 67
ным элементом этого расчета является стержень, заделанный обо-
ими концами или заделанный одним концом с шарнирно опертым
или свободным другим. Если стержни рамы составные, то для
определения реакций опор при повороте или смещении узлов сле-
дует исходить из уравнений прогиба составного стержня - в обыч-
ном случае двухветвенного стержня из уравнения (35.11) и его ре-
шения в форме метода начальных параметров (40.3).
Стержни рамы могут иметь на концах жесткие закрепления про-
тив сдвигов, что является наиболее частым случаем (рис. 65),
или свободные для сдвигов торцы (рис. 66). Наконец, могут быть
упругие закрепления против сдвигов, возникающие как следствие
неразрывной передачи сдвигов от стержня к стержню, как, напри-
мер, в неразрезных составных балках (рис. 67).
Рассмотрим сначала работу заделанного по концам двухветвен-
ного стержня с жесткими закреплениями против сдвигов торцов.
При повороте левого конца такого стержня на угол Ч>0 имеем
начальные условия:
у(0) = 0-, У'(О)-Ч>о-1 Т(О)~О (41.1)
и условия на правом конце:
У а)^Оу'(1) = О-, zid-o. (41-2)
Используя формулы (40.6) и полагая в них Мп = 0, на основа-
нии (1) и (2) получим систему уравнений:
136
С Ma Мд Z2 Qa
V + U0) fZE?
dA 1.3
*(shM~A =
C0 “
C Ma Ma Qa
v + t(0) shAl ~7тГ5ЬА1~ТТ ачГ'
° Ale ] Л1/ QJ0 Л JJ
C n
Of
M. QA
T(O)Ash*l~ -^AEEJshAl-^ZEJ (chAl~'/)=O- ,
Второе уравнение этой системы можно упростить, вычитая из
него третье уравнение, умноженное на с/(ЕЕЭ Х2) , приведя его та-
ким образом к виду
со Jo соо
(41.4)
Далее, используя обозначения (39.2)
9 = fi^D/E0J0,
системе уравнений (3), (4) можно придать вид
2? л Z ^А 1
Т(о)zTj с(ch1А + f) + у-V-shi>-~
~МА + ц> ^о_^0.
А Л 2 о I и >
Т(О)~~ cshi>-M shi>-^~ (ch^-1)=D.
Cz J А и
(41-5)
Решая эту последнюю систему по правилу Крамера, находим
ее определитель
CAP-? 1-Ch^-^-Ji^ V - Sh'f-—ftj3
Sh ~sh y> ; _ ch 9
= 2-2ch^i-^sh>)+(1/12)fi^3sh9 (41-6)
и определитель, получаемый заменой второго столбца свободными
членами:
137
ch )>~1
0
Sh P
% Eq Jo
t
О
____1>
2
1-ChS>
__Wo^o (Z-Zchf+tfsh-S + j-jM3sh>i). (41.7)
Отсюда получим
з
%Eo3a 2~2cht)+2sh-) + (1/3)shi>
Л? =.----- -—------------------------------
A l 2~2ch'^+'i>sh0)-(ll12)fi))3sh))
и далее находим
Q _ 2А IV'EqJq \ У.Е.Ъ Ji^sb^____________________________=
A~ -i \ I a) zi2 2-2chi)+9sh-9+(l/l2)j5/sh^ (41.9)
____________P35h>>_________________ .
2l2 2-2ch-H+-?sh-i>+(ll12)jM>ish'i)
M 2-2ch^Sh>-(l/6)J393shi> (41.10)
M = Л7 * I 12--5 --------------------------------- 7
8 A A tz 2-2ehi> bi>sh'>>+(i/12)fii> sh^
При оседании правой опоры на значение S граничные условия
следующие:
у(О)-О} у'(О') = О', t(O)~O', 1
y(V = 3-, у'(1) =о; 2-^=0, J (41.11)
и получим уравнения:
с мл Гт А х МЛ t-2 (ch^> 1) Eo-jo 2
A^D ' E,JO 6 I (41.12)
^A/ej^-Ai ц ^A z ,ЭО1 AZD (ch^l) EJb2~0’
Мл T(o)Ash £-AZEJsh Р CD Q XEtJ (ch)>-l)=O, CD J
138
причем второе уравнение системы здесь можно заменить на
мА QA г2 „ 3 п 2ма
- А I +----------0, откуда Q.~--z—
2 л 1
Определитель системы уравнений (11) —(12) тот же, что и у
системы (5) и выражается формулой (6), а вместо (7) получим:
, j*
chi)-1 A2DS i>-shi>-Ji^-
0 О
Sh )> О 1- ch)
Л 2
-~~2~ Л Ddsh 9
и вместо (8)-(10) ;
___________)3shi>__________.
А 21z 2-2 ch) +-Ash') + (fi)3/f2)sbl)
Q = SD____________)3sh)______________ .
A t3 2-2ch) 9sh) + (/12)sh 9
Если стержень шарнирно оперт правым концом, то при повороте
левого конца на угол граничные условия будут:
yia)-r(O)=D', у(1)=Т(1)^Мв=0,
а уравнения метода начальных параметров;
T('0)~^EV (Chi)-1)<-MA (l-chit-fti)2)*-—-*
х( 9 -shl) + —- Ч> IDA2-
T(0')'^jsh^-MAShi)--^' (ch-)-1) = O;
Ma +(0A
(41.13)
Определитель этой системы уравнений
139
ch P -1
Sh P
-Y 2 1 3
9-sb})-JiV
-Sh P 1 - chi>
0 1 P
-2-2chl>+^sh^ +
+ (-t/3)J5i)3sh P.
Далее, заменяя второй столбец определителя столбцом свобод-
ных членов уравнений (13), получим:
Chi>-1 -4>otDX2
sh у О
О О
%Т>______________i>3shi)___________
* Ь Z-Z.ch'Hi-'fsh'f+yJi^sh-)
М.
^=--^-•(41.14)
При осадке правой шарнирной опоры на значение^'из условий
у(О)^у'(О)~'Г(О)=О-, y(t)=S-, T(t)-Mg-0
получим аналогично
6D_____________Р sAP______________. Q Ч _
Z.2 2-2 ch)) + 2sh)) + -jJiif'shi) ’ A I
Последние выражения могут быть получены из формул (14) с по-
мощью теоремы о взаимности реакций.
Найдем теперь формулы для реакций составного стержня со
свободно сдвигающимися торцами. При повороте левого конца на
угол % стержня, заделанного обоими концами, граничные условия
У (О) = О, у'(О) = Ч>е ,Т(О)=О, у(1)-у'(г)~Т(1)=О
дают уравнения:
П 7 3
*(Shi>-i>)-^—^-y- Z •
6Eo:JO ° ’
(41.15)
140
с МАМА Qa
rw (ch Тл 1 -
__£а_^___ v .
EOJO 2Л2
t(0)-^—^- Mjchi)-'l)-^-E:} Q (sh^-^D,
A De А АТ>с А
которые можно записать в следующей табличной форме:
сП A —
Т(0) AZEJ
Sh А - А J&)>2 У-Sh-J — -?IA2D
Ch А - 1 -Sh V -
^shA De 1) De 0
Третье уравнение здесь можно сократить на ХСД/рс и вычесть его
из первого, сократив остаток на-Л. Тогда матрица коэффициентов
уравнений и столбец свободных членов получат вид:
fill >зу 2
1 2 ~6~
, fill2
1-Chi) Sh-A+foV chJ-l + r~
sh !> 1- Ch P i)-sh У
%
№
О
Определитель матрицы коэффициентов
2 3 2 2
fi V , , fi-A 2fii)
-J? s/1 + ~~ i-------j— Ch A- J3A sh A * Ash
У +2-2ch 2,
а определитель, получаемый из него заменой второго столбца
свободными членами:
уЗУ2
1 4>„XD ~~В~
/ЗА2
1-chA Ч> AD ChA-1+—z- = 4’XD(AchA~shA +
0 2 в р г
sh9 О A-shA + -j-shA). (41.16)
Следовательно,
141
ч) ()ch ~sh + sh i))
I (J$z>>3 ~ .) , , /2Ач>2 ) , , ' J3)2
(—~z—js y-s>? — 2jch ч)+г+ —j—
Если же заменить свободными членами третий столбец определите-
ля, то получим
1
1 2
1-Ch Рsb т) +Jii>
Sh }) 1~Chl)
%™
0
/ fly , ’I
= 4>aAD{-ch^- — sb V + 1) .
Отсюда:
Q-^
* г
S)ZL-chy>- (fi^/2)sh V +/]
Л/ЗгрЗ ) T~ Ji})2’
\iz~ -^)^+'c~T- -2)ch^2+-y-
л '
При смещении правой опоры на значение (S' в уравнениях (15)
меняются лишь свободные члены, а именно, в первом уравнении
свободный член будет равен cP, а во втором и в третьем уравнени-
ях — нули. Соответственно вместо определителя (16) получим
6 ЬТ> №г
1 I 6 г
, У3»'
1-Chi) О СЬ)-1 + -
SD'f I \
\ 2 ~^ь^сЬу
shi) О ~ sb V
и, следовательно,
T)2(^sh-i>-1 + ___________
М*~ lz (Агу>ъ )
\—j^—fii) + T)/sh ) + (~j-2)ch ) +21 —
Точно так же находим:
142
SAD
7 2 I2
l-ch'J Sh 9+J09 0 =-p_i,(2-2rAP-j3P5>7 >9;
sh i) 1-Chl) D
$D ^(2-2Ch'2-fi9sh')'>
ZMA
I
Если один конец стержня шарнирно оперт, а другой защемлен,
то при повороте защемленного конца при свободно сдвигающихся
торцах имеем:
У(0)^0’, У'(0)=Ч>0-, Т(О) = О', у (1)- Т(I)-М&-0.
Здесь сохраняются первое и третье уравнения (15), а вместо второ-
го уравнения получим
Мл +0*1=0 или Ma4Qa/A)')^0.
Отсюда матрицу коэффициентов уравнений и столбец свободных
членов получим в виде
7 —
1 2
Sh 9 7- гЛ 9
О 1
fii>Z
б
i> -Shl>
9
О
о
Определитель этой матрицы
2 2 , 2,
9 ~^ch+ /6)sh^-9+Sh'i>'(fi'i> /2)sh'?=shi>-9ch')-(ft-j/3)sh 9.
ДляЛ^:
y3p2
1 % 6
sh 9 0 9-shi> = -<^Л779я7>9;
0 0 9
2 (41-17)
4>aT>_______1 shi____________
1 sh P - Jch>>-^~sh->>
Поперечная сила OA равна - Л4, /I.
143
При смещении правой опоры на д' свободный член первого урав-
нения (15) вместо — Ч>0 1 будет равен (Г. Поэтому простым умно-
жением (17) на — (J7<JZ) получим:
_ $Т) 2 Sh')
I2 sh)-) sh) ’ °A~ t
Сводка формул для определения реакций во введенных в основ-
ную систему связей дана в табл. 1.
42. ПАКЕТ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ БРУСЬЕВ, ИЗОГНУТЫЙ
ДО ПОСТАНОВКИ СВЯЗЕЙ
Часто составной балке или пакету перед постановкой связей
сдвига придают выгиб или строительный подъем. После освобож-
дения пакета связи сдвига оказываются напряженными, причем
напряжения в них могут быть определены из уравнений составного
стержня (5.17). Свободные члены этих уравнений вычисляются
по формуле (5.13), где все N? следует положить равными нулю,
а момент М — принять
О 1
М = -X ZEJ.
ЗдесьуЭ - радиус дуги, по которой произведен выгиб стержня до постановки
связей.
Таким образом, все Л.д равны
При пакете из одинаковых брусьев можно исходить из системы
уравнений (16.3), в которой следует положить:
Д№.^О (<>1,2,..., п.) ,
_ ZEJc Envr^Fc _ cFF
rvp2' ftmr2- Jim-n2 J)
)^c2 / ( mr2 fi^-EF/i,.
Граничные условия по концам будут
Г (±1)^0,
где I — половина длины пакета.
144
Таблица 1
Эскиз Торцы, закрепленные против сдвигов Свободные торцы
| 1 Q MA I a
1 yb л|г г а |<з Е0Э0 D /sh V t + htS i D^sh htS D г2 ^3sh V 25 Di , , r, , fii2 (^sh^x z*shl) ^^2f L 1 + 1 ——sh i)
г D >)3 sA V J) V3Sh2 D^2 Di2 . , , Si1
4„-4— —— (chi)-1 + l2 5/ J3J , + ~2~Sh^) —ГТГ (2~2chi+
лЬ Q । Ai t2 23 1г 25 г3 25 -r J3 2sh i)
7 г D /sh-j) I2 51 D /sh S-, D 2Zsh I S 3 D /sh г2
Hs ==—=g si й 0 г3 0
г
M. % Jy>35A V l2Si /sh 1 5 1 2. D 9 sh9 t2 s3 D /shi / S3
л\а Q (fl 0 D 0
1 1 V h , , 't з 1 3 . .
= fif sh^, $^ = s >-jW shi;
/j// 'j / 2Jb->>2 \ j3V3
o2 - (——-------Ji i + i) sh V + ( ~ 2Jch^+ 2+ - 3 ,
f3t>z
-У, -Sh 2 ~ Jch i-----=— sh
J J
Рассмотрим частные случаи сплошных (без зазоров между
брусьями) пакетов, где
С = л, ос—72//т7.
При т= 2 имеем одно уравнение
fiT”- (о<.+2)Т+р - 8Т + р, (42.1)
Если предварительный выгиб произведен по дуге круга, то уу —
-const, и
( ch Хх \ CEF ch Хх А
' ~ 8 ( ch XI V 8р V ch М/
ГДе Л=У <3/уЭ' = У в $/(EF)'-
Максимальные напряжения на концах:
Гтах = т'(±1) = ± thXI =
= 0,5536 -у- f^EFthhl. (42.2)
При достаточно жестких связях, обычно применяемых в строи-
тельстве, -th XI можно считать равным единице и тогда
2^ = 0,3536(с/ft) S^f.
В случае пакета из трех брусьев имеем два уравнения:
(<х= 72/J =•$)•
&Т"^ 6Т+ЗГ )
7 * * 2 ’ / (42.3)
J5VZ ^ЗТ+БТ2 J
Из условия симметрии относительно продольной оси пакета ^"=^=7;
Складывая уравнения (3) и сокращая, получим
fir"- 9T+J*.
Сравнивая это уравнение с уравнением (1), найдем, что решение
(2) остается в силе при условии замены коэффициента 0,3536 -
= 1/V8’ коэффициентом 0,333 = 1/V9’. Таким образом, для обоих
швов
Гта.х~ 0,333 (c/ft) / fEF'.
Не будем здесь приводить подробно решения для пакетов из
большего числа брусьев, которые проводятся методом, описанным
в пп. 21 и 16. Дадим лишь окончательный результат. Для пакета из
четырех брусьев:
146
в крайних швах
в средних швах
(с/р)\Г^Г.
Для пакета из пяти брусьев:
в крайних швах
0,^5 (c/fi)T^F
в средних швах
^ах = °^(с/Р)Г^ЁГ.
На рис. 68 приведено распределение сдвигающих напряжений
по швам пакетов из двух, трех, четырех и пяти брусьев. Видим,
что все близки друг к другу и располагаются вблизи значения
Г ~ D'3(cJ0) У $EF'.
max ' ' '' 1
Можно предполагать, что эта формула будет приближенно спра-
ведлива для всех швов в случае любого числа брусьев в пакете.
Распределение сдвигающих напряжений по длине шва в рассмат-
риваемом случае начального изгиба в точности соответствует
случаю загрузки составного стержня изгибающими моментами,
приложенными по торцам. Эта нагрузка вызывает изгиб стержня,
лишенного связей сдвига, по дуге круга, совпадающей с заданной
выше линией начального искривления стержня. Напряжения от
147
максимального значения Г (2) на концах стержня быстро убывают
к середине длины, т.е. здесь имеют место резко выраженные пики
напряжений (рис. 69).
Распределение сдвигающих напряжений вдоль шва можно значи-
тельно улучшить, если придать начальный выгиб пакету не по
дуге круга, а по кривой, кривизна которой уменьшается к концам
стержня. Целесообразным будет изгиб по кривой, соответствующей
действию сосредоточенной силы в середине пролета стержня,
лишенного связей сдвига. Тогда в свободные члены Мвсс1^ЕЗ
следует поставить выражение М° , соответствующее изгибу балки
сосредоточенным грузом, приложенным в середине пролета. Поэто-
му и распределение сдвигающих напряжений в связях, постав-
ленных после выгиба балки, соответствует распределению напря-
жений в балке, нагруженной сосредоточенным грузом (рис. 70).
Таким образом, в связях сдвига предварительно изогнутой балки
можно получить значительно более благоприятное распределение
начальных усилий.
После раскружаливания балки наблюдается некоторое ее рас-
прямление. Можно подсчитать получаемое при этом изменение кри-
визны стержня. Ограничимся случаем кругового начального изгиба.
Согласно формуле (36.4), имеем при чистом изгибе
У 2EoJo AzDchXl /
Подставляя сюда значение м"= Z.E J/р , получим выражение
для величины уменьшения прогиба:
Е 1 ( tZ ZEJ 1 ch^'1 )
Р \ 2 FgJ + Л2 chXt D /
Имея в виду, что начальная стрела прогиба Е при относительно
небольшом искривлении выражается формулой 4
fH=
можно определить прогиб, остающийся после раскружаливания:
_ _ „ _ ЕЕЭ\ _ 1 chM-i EEJ
+ост~ нум E0J0 / рА1 ch Al D
148
- Л__££2_у7________________________
2JJ \ A X2 I2-ch XI
43. СОСТАВНОЙ СТЕРЖЕНЬ С ГИБКИМИ ПОЯСАМИ
Положим в формуле (8.2) 2Г£7-* О. Тогда первыми двумя
членами в ней можно пренебречь по сравнению с третьим и считать;
зг=с2/е:ез.
Уравнение (34.7):
при этом после умножения на EEJ и пренебрежения малыми члена-
ми будет
„ /Им Л7°" М $
Уравнение (1) совпадает с известным уравнением изгиба балки,
учитывающим ’’влияние поперечной силы”, которое было дано
Энгессером. Коэффициент $ с г может быть представлен в виде
FUju , где F — площадь сечения балки (в данном случае сечения
обоих поясов) ; Q — модуль сдвига; ос — некоторое числовое значе-
ние, зависящее от формы поперечного сечения балки и вида связей
сдвига. Например, в случае тонкой стенки, соединяющей пояса,
из формулы (4.3) имеем:
_ dCTG /____________2______7 F
с ’ Ё,с2 ~ dCTGc ~ FG dCTc
и ос равно отношению суммарной площади сечений поясов к пло-
щади сечения стенки d с.
При выводе уравнения Энгессера полный прогиб балки раз-
деляется на две части — прогиб у,, возникающий от продольных
деформаций волокон и подчиняющийся уравнению
= <43-2)
где М — изгибающий момент в балке ; Е J — изгибная жесткость в сечении
балки;
У2 - прогиб, возникающий вследствие сдвига в поперечном на-
правлении и подчиняющийся уравнению.
y^KO/CF. (43.3)
149
Коэффициент учитывает неравномерность распределения касательных нап-
ряжений в поперечном сечении балки.
Дифференцируя уравнение (3) и складывая с уравнением (2),
получим уравнение Энгессера:
у'' + у'^ у"^ ~ -ocyf (QF), (43Л)
где ф — ~(2 — поперечная нагрузка.
Общий интеграл уравнения (1) имеет вид
у- у(О)+у'(О)х
М» (t)
£0з0
сЧ
(x-t)dt.
(43.5)
Применив интегрирование по частям получим
О I Р О О' о о
М (t)(x-t)dt=M (t)(x-t)l + 1М (t)dt = ~M (0)+M(X)-M(0),
О О о
тогда вместо (5) имеем
М°(х) [ 'rm гЛщ
Найдем теперь сдвигающую силу (35.3)
ГМлЛ -ЕЕЗу")/с
при 276J-Z7 имеем:
Т = М°/с ; F-M°'/c = О"/с, (43.7)
т.е. здесь выполняется условие пропорциональности сдвигов Г-Т$
поперечной силе Q. Из (7) следует
М° = Ге
и решение (6) можно еще раз переписать в виде
[ c^j j £eJg
(43.8)
150
Возьмем балку с гибкими поясами и со свободно сдвигающими-
ся торцами, свободно опертую на две опоры. Для нее имеем:
= М°- y(0)-y (L)= О; т(0) ~Т( D-0.
При х=Д из (8) получим:
L
Г , Т(0) 1 Г M(t)
ly'W----у- Z. - —— (x-t)dt -О
L 1 I EoJ°
и, следовательно,
, , х f M(i)
М(х) х Г М(-Ь)
+ L J Ева0
о
- -=~zr (x-t)dt',
J ^0 Jo
о
Г М(Е)
- — (x-t)art.
О
При расчете балки с закрепленными против сдвигов торцами
общее решение (8) не дает возможности удовлетворить всем
граничным условиям. Это объясняется тем, что связь, закрепляю-
щая торец на сдвиг, не может воспринять усилие Т , вследствие
перелома абсолютно гибких ветвей на угол V в точках примыкания
к жесткой торцевой связи, как показано на рис. 71, а. Поэтому
работа балки с жестко закрепленными торцами здесь не отлича-
ется от работы балки без этих закреплений и усилие Т(о)=М(0)/с в ней
равно нулю при любой нагрузке. Аналогичная картина возникает
при заделке балки со свободно сдвигающимися торцами, когда
у заделки происходит перелом гибких ветвей (рис. 71,6).
151
Глава 7. УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТАВНЫХ СТЕРЖНЕЙ
С АБСОЛЮТНО ЖЕСТКИМИ ПОПЕРЕЧНЫМИ СВЯЗЯМИ
44. ОКАТО ИЗОГНУТЫЕ СТЕРЖНИ, СОСТАВЛЕННЫЕ
ИЗ ЛЮБОГО ЧИСЛА БРУСЬЕВ
В гл. 3 было получено решение составного стержня на упруго-
податливых связях и жестких поперечных связях в виде системы
дифференциальных уравнений (5.18), в которой неизвестными
являются суммарные сдвигающие усилия в каждом шве. В этом
решении не было учтено изменение нагрузки, возникающее вслед-
ствие деформаций составного стержня.
Если рассматривать балки, стержни, нагруженные таким обра-
зом, что выполняется условие Z/V. — 0 — коротких и жестких
стержней и т.п., то решение, получаемое с помощью системы
(5.18), вполне применимо. Однако в случае сжато-изогнутых
или растянуто-изогнутых стержней большей гибкости необходи-
мо учитывать влияние деформаций на их работу. Для этого следу-
ет пересмотреть уравнения (5.18) и добавить к ним еще одно -
для определения прогибов.
Осевые силы, действующие на составной стержень, будем счи-
тать постоянными по его длине, поперечную же нагрузку — произ-
вольной функцией от координаты л сечения по длине стержня.
Точки приложения осевых сил будем считать смещающимися в
поперечном направлении под влиянием деформаций стержня.
Кроме того, может меняться на некоторый угол и направление
этих сил, в результате возникновения дополнительных поперечных
опорных реакций. В последнем случае, строго говоря, имеется
уже не осевая сила, а равнодействующая осевой силы и какой-то
постоянной поперечной силы, однако, ввиду малости последней,
эту равнодействующую можно считать равной осевой силе.
Вследствие отсутствия деформаций поперечных связей смеще-
ния точек приложения осевых сил в данном сечении одинаковы для
всех брусьев, входящих в составной стержень, и их можно охаракте-
ризовать смещением положения равнодействующей всех осевых
сил, приложенных к данному стержню.
Прогибом составного стержня с абсолютно жесткими попереч-
ными связями будем считать смещение сечения, но не относительно
неподвижных осей координат, а относительно точки прохождения
равнодействующей всех осевых сил через данное поперечное сече-
ние стержня. Другими словами, прогиб стержня отсчитываем не от
первоначального положения его оси, а от конечного положения ли-
нии действия равнодействующей всех осевых сил. Так, например,
в консольном стержне (рис. 72) прогиб свободного конца будем
считать равным нулю, а прогиб в заделке — некоторому максималь-
ному значению. Такое определение прогиба стержня позволит
написать для учета влияния деформаций стержня дополнительное
дифференциальное уравнение второго порядка, пригодное для
большинства случаев опорных закреплений.
152
Основную роль для решения принимаем ту
же, что и раньше - стержень, лишенный связей
сдвига. Выражения для приращения сдвига бу-
дут включать влияния единичных суммарных
сдвигающих усилий и влияния внешней нагруз-
ки на основную систему. К сумме членов, учи-
тывающих эти влияния, нужно, кроме того, при-
бавить член, выражающий влияние единичного
прогиба всего стержня в данном сечении. Это
последнее влияние выражается в том, что появ-
ляется дополнительный изгибающий момент
который вызывает приращения сдвига.
Таким образом, общее приращение сдвига в Лом
шве
Рис. 72
Г.'= ТА. + ТД + .+ Т А. + иА + Д
l 1 И 2 12 Псп * iy L0
Значения Агкопределяются по формулам (5.14) . Коэффициент
же' Aiy, который легко найти,применив формулу (5.12), выра-
жается формулой
‘У
Дополнительное условие, необходимое для определения всех
неизвестных, имеет вид
ЕЕ Jy ~М° + ЕТ. с. + • (44.1)
Правая часть выражения (1) представляет собой общий из-
гибающий момент, который действует на составной стержень,
лишенный связей сдвига. Умножив это уравнение на коэффициент
Г№/2-Е7, получим
о ч Zn"
----с„ т
ZEJ п п
(.EN°) EN
t------у--------
EEJ у EEJ
о
м,
или сокращенно
о и
21N у = Лу1Т -I- +... + АГ + Дуу у + Ду0 ?
153
где
Л =
У»
л _ 2?л/‘’ *
ПЕЭ Ci~^iy
д _ (х№)2
УЧ~ 2LEJ '
Вся система уравнений:
"Л,) Л - Д„Г,4 V- Ч» V,’>
н/^т;^, Т, *а„тг * й^‘
............................
z.N°n“’Af, Tt t&yz тг
(44.2)
(44.3)
Если свободные члены Л^а и Луо равны нулю, то система (3)
однородна. При однородных же и граничных условиях ее решением
является Г = О, у =• 0. Однако при некоторых значениях суммар-
ной продольной силы однородная система уравнений имеет реше-
ния, отличные от нуля, которые соответствуют формам потери
устойчивости сжатого составного стержня. Эти значения суммарной
продольной силы£7У являются критическими.
Возьмем простейший вид однородных граничных условий:
при х = О, 7^ = Т2 = ... = Тп = у = О;
при х=(, г,-г,=-.-г.-,=Л
Эти условия соответствуют шарнирному опиранию концов
стержня по схеме, показанной на рис. 73.
Однородная система дифференциальных уравнений при этих
граничных условиях имеет решение
Т. - ос. sin X *; у - ос. sinХх , (44.4)
С L J L ’
где Х = кЗГ/11 Л — целое положительное число; «• ,а„—некоторые постоян-
ные коэффициенты. ‘ у
Подставив значения (3) в систему и сокращая на sin Хх,полу-
чим:
(Аг т;)СЛ‘О:
154
/ \
Л ос + ~т~ ос +
21 1 У 22 £2 ) 2 2h П
ZN°
ZEJ
21 ^*4 .а +...+ Л
М 1 П2 2
х№
ZEZ/^1^ ZEJ С2Кг
лл ?„/
+ ZN'
-+ ZEJ ~^п
«+^W0-
h EEJ п у
_. О 9 1
Решение этой однородной системы обыкновенных уравнений,
в которой неизвестными являются ос- й <х^ , отличается от нуля
только тогда, когда определитель ее равен нулю. 0
Таким образом, для вычисления критических значений ZN по-
лучим следующее уравнение, которое сразу можно сократить на
(^№/£ EJ )г, так как EN должно быть отлично от нуля:
Раскрывая определитель по элементам последней строки, полу-
чим уравнение вида
а/е№+
155
из которого значение 2/V Находится однозначно; оно соответствует
определенным размерам и упругости составного стержня, а также
определенному целому числу к, входящему в выражение для X. Из
физического смысла явления ясно, что все продольные критичес-
кие силы должны быть сжимающими, т.е. все ?№ отрицательны.
Наименьшее по абсолютной величине значение ?№должно отвечать
продольному изгибу по одной полуволне синусоиды, т.е. А, равно-
му единице.
Уравнения (3) можно обобщить, распространив их на рамные
составные стержни (п. 13). При этом в левых частях этих уравне-
ний вместо значений (1/^)7^ ( i = 1,2,... ,п) следует поставить,
согласно (13.5):
45. УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТОГО СТЕРЖНЯ, СОСТАВЛЕННОГО
ИЗ ДВУХ БРУСЬЕВ
Для вывода уравнения сжато-изогнутого стержня, составленного
из двух брусьев, воспользуемся уравнением, полученным в п. 34:
Здесь необходимо лишь добавить к внешним изгибающим мо-
ментам им'момент, возникающий вследствие отклонения сече-
ния от линии действия равнодействующей силы Р, равный -2ГЛ/° = Ру
причем его следует добавлять и к М„и к М°, так как за его
счет увеличивается и момент М„, отнесенный к монолитному сече-
нию, и момент М , отнесенный к стержню, лишенному связей
сдвига. После переноса всех членов с у в левую часть искомое
уравнение будет
Суммарное сдвигающее усилие при этом выражается, соглас-
но (35,3), формулой
156
УЕJ " р м°
т-^у + —у+—>
(15.2)
а сдвигающее напряжение
, ZEJ >,< р , М0'
(45.3)
о
При отсутствии поперечной нагрузки или, точнее, при ~ М -О,
получим однородное уравнение
р
ZEJ
РЛ2 п
—=— V = о.
(45.4)
Его общее решение имеет вид
где
у - С sh х + С2 ch Р * + C^in^x + C^cos^x, (45.5)
.1/7/2 Р \ \Г 1 /.2 Р V
V/ 2 Г и)+ У 4 (А EEj) + E0Jg
Значения и < являются корнями характеристического уравне-
ния
Р
ХЕР
-л2р2
РЛ2
Е0Ре
-0.
Из решения (5) по формулам (2) и (3) можно найти общие вы-
ражения для т и г:
„ 2 ,
Р* J РХЕ J
с С1 sh -- Cz ch^x-
P-O^ZEJ , P-^XEJ
----<-3 sin У2Х - ---С2 COS V2 X ;
Р >>, т P/rfJ , , ,
--------с,ch v х +-j---е2sh^x-
poz - ^ZEJ PJZ - ^ZEJ
2 -c3 cos E-------—-yz x
I (45.6)
157
Произвольные постоянные С,, С2 , С3 и ^определяются из гра-
ничных условий. Для этого необходимо решить систему четырех
(по числу необходимых граничных условий) однородных линей-
ных уравнений. В общем случае все эти постоянные должны обра-
титься в нуль и лишь в особых случаях, при обращении определите-
ля уравнений в нуль, появляются отличные от нуля неопределен-
ные по величине решения. Эти решения соответствуют случаям по-
тери устойчивости и им отвечают определенные критические соот-
ношения между размерами стержня и значением сжимающего уси-
лия.
Рассмотрим, например, случай шарнирного опирания стержня по
концам при свободно сдвигающихся торцах. Граничные условия
при этом имеют вид
y(O)~y(L)=O, T(O)—~r(L) = О
или из (2), так как Л/°= О,
У(01 = уЩ^О ; У"(О)^ у" tL)~O. (45.7)
В этом случае можем оставить из решения (31.7) один третий
член
У — C3sin
Граничные условия (7) удовлетворяются при
О тсюда находим критическую длину при заданной нагрузке
L
кр Л2_____£_) \/1 (* Р V РА2 ’’
' 2 0 ZEj) * E0U0
Для определения Р при заданной длине L проще подставить
в уравнение (4)z/ = С3 sin(^x/L). Тогда после сокращения на Czin(JTxl
/Д) получим
л р>г
6* ^£7 Л/ LZ
Отсюда
р_________7Ti' /L11 + ЗГг /L2
кр ~ +У/(Ев& ’
(45.8)
В случае монолитного стержня А2=<» и формула (8) превращается
в формулу Эйлера:
158
Р = Р -Лг EJ /L z.
кр к о о '
Если податливость связей сдвига очень велика, то А =0, и снова
получается формула Эйлера
Ркр^ Рл
Формула (8) может быть представлена также в виде:
1 z 2 1 2
-р-А 4 + ~р~7Г2
1 _
Р А242*Ж2
*г
т.е. аналогично формуле для напряжений в балке с синусоидально
распределенной нагрузкой (27.2). Место напряжений здесь занима-
ет величина, обратная критической силе. Приведенные выше фор-
мулы справедливы также и для стержня, симметрично составлен-
ного из трех брусьев,, причем Д следует полагать при этом равным
Да. Исключение представляют формулы (2) и (3), в которых Т и Т
следует заменить при переходе к стержню из трех брусьев через
2Ги 2Т.
Если в уравнении (1) положить Е£7*0, то получим
Отсюда для критической силы Р получаем выражение Энгессера:
// Ркр 7 ) Ркр____ Ж
ЧЕЛ 1-PKpl(c^Lr°’ ЕоЭ0[1~Ркр1(сЦГ 4 2 ’
р )_ р _ ^e»Jo 1_______________
42сЧ/ . Д2 L2 1+Я*ЕЦ1гсЧ)
о о
Это выражение легко может быть найдено и непосредственно из
формулы (8), упрощая которую при 27\7-*0,получим
р УГ2 / Lz ____________________
кр зг7агс2$)+1/(Едзо) ^7(c7)+l7(eojo)
Осюда можно заключить, что формулы Энегессера и его теория
учета ’’влияния поперечной силы1’ на продольный изгиб составных
159
стержней справедливы лишь в тех случаях, когда собственные
моменты инерции ветвей составного стержня очень малы и стер-
жень можно рассматривать как ферму, имеющую шарниры в уз-
лах прикрепления элементов решетки.
46. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ДРУГИХ ВИДОВ
Наиболее простым видом граничных условий после разобранно-
го выше случая обращения в нуль всех TLи у при х = 0 и при л =
= L являются граничные условия, соответствующие полной задел-
ке обоих концов стержня:
при х=Ои х -L у'=0'. D (i~ 1,2,.. -,п).
При этом основная форма потери устойчивости стержня такова,
что все неизвестные уравнения (44.3) получают значения
<xL COs(27T^lL).
Критическая длина стержня при данной осевой нагрузке в 2 ра-
за больше, чем для стержня, шарнирно опертого по схеме
(см. рис. 73). Однако это не значит, что при данной длине крити-
ческая сила для заделанного стержня в 4 раза больше, чем крити-
ческая сила для шарнирно опертого стержня, как это имеет место
в монолитных стержнях. Для стержня из двух и из трех симметрич-
ных брусьев критическая сила Ркрв случае заделки обоих концов
стержня может быть определена по формуле (45.8), если в ней за-
менить L на 1/2L:
18^/^+ 4 7г‘/'l1 + A2JTZ/7
Р ~ . .и . -- —.... Ъ --- *
кр 42r7azZEJ)^z/(E0J0)
В числителе и знаменателе увеличивается роль первых слагаемых
и в результате работа составного стержня приближается к работе
стержня того же сечения, не скрепленного связями сдвига. По-
этому критическая сила при полной заделке обоих концов стержня
менее чем в 4 раза превышает критическую силу, определенную
для того же стержня при шарнирном опирании концов.
Однотипными нами были названы граничные условия, которые
имеют один и тот же вид для всех неизвестных Т и у . Разобранные
два случая полной заделки и шарнирного опирания концов отно-
сятся именно к однотипным граничным условиям. При них форма
потери устойчивости одинакова для всех Т. и у и может быть опре-
делена решением задачи для аналогичного случая монолитного
стержня. Отношение критической длины, вычисленной при этих
граничных условиях, к критической длине шарнирно опертого
160
стержня равно такому же отношению для монолитного стержня.
Поэтому приведенная длина составного стержня при однотипных
граничных условиях должна определяться так же, как для моно-
литного стержня: при полной заделке 1/2 L , при консольной
заделке L пр — 2 L и т.д. Что же касается критической силы Ркр, то
она изменяется не пропорционально квадрату приведенной длины,
а несколько иначе.
Для стержней, составленных из двух и из трех симметричных
брусьев, формула (45.8) справедлива для всех однотипных гранич-
ных условий, если в ней заменить значение 2 на L пр
^/^p+^/L\p
КР
При большом коэффициенте приведения работа стержня прибли-
жается к работе монолитного стержня, а при малой — к работе па-
кета брусьев, не соединенных между собой связями сдвига.
При неоднотипных граничных условиях задача определения кри-
тических длин и нагрузок сильно усложняется. Рассмотрим лишь
один случай неоднотипных граничных условий, имеющий большое
практическое значение, а именно:
при
у = (46.1)
причем ограничимся стержнями из двух или трех симметричных
брусьев. Эти граничные условия соответствуют шарнирному опи-
ранию концов стержня, устроенному таким образом, что сдви-
ги, а следовательно, и напряжения V опор стержня равны нулю
(рис. 74).
Начало координат берем в середине
стержня при наличии только центральной
осевой нагрузки имеет вид (45.4), а напря-
жения в связях сдвига Т выражаются при
этом согласно формуле (45.6) . Подставляя
эти выражения в граничные условия (2),
получим четыре уравнения для нахожде-
ния произвольных постоянных. Определи-
тель этой системы уравнений должен быть
равен нулю. Из этого условия получим
уравнение
Рис. 74
6-219
161
[-(P>>2-^ZEJ)sin>>l ch^t-(p^ COS^iy
x[(P))2 - ^ZEJ)cos ^Ish^l-kP^^ 3£EJ) Ch 1-sin l]= o,
откуда следуют два условия потери устойчивости стержня:
Р9г-^ХЕЗ ih^l Р^-^ХЕЭ -tg^l
Р^ + У3ЕЕЭ =~tg>>2l И PV^^ZEJ ~ ih
Первое условие дает симметричные формы потери устойчивос-
ти, а второе — обратно симметричные.
47. ВНЕЦЕНТРЕННО СЖАТЫЕ СОСТАВНЫЕ СТЕРЖНИ
В случае внецентренного приложения продольных сжимающих
сил
м„ = -рео, М°--ЕРе^
где ев— эксцентриситет приложения равнодействующей силы Р относительно
центра тяжести всего сечения, как монолитного; — эксцентриситеты при-
ложения сжимающих сил Р; к каждому стержню в отдельности (рнс. 75).
Так как Мм иМ‘~ постоянные, то общее решение (45.5) допол-
няется частным решением
4'°
что и следовало ожидать, поскольку ранее нами условлено отсчи-
тывать прогибы от линии действия равнодействующей сжимающей
силы, а здесь эта равнодействующая перемещается на расстояние е„
относительно первоначальной оси стержня. Однако, так как мы от-
носим значения Рей и Рс ei к поперечной нагрузке, то в данном
случае линию отсчета прогибов будет удобнее взять так, как если
бы эксцентриситет ее был равен нулю. Общее решение неоднород-
ного уравнения при этом
у sh х * Сг ch 9 х + С3 sin ^x+fyos^x +в0. (47.1)
Граничные условия примем такие, как в стержне со свобод-
но сдвигающимися торцами, шарнирно опертом в сечениях л — -I
х ~1‘.
у = Т(±г)=О.
162
откуда:
С.____—______ !е/ ); '
2 ()Ch Vе 2 EEJ /
-1 (г ^Piei ) [
(V 2 + )ces921 S £ •? /
(47.2)
Таким образом, уравнение изогнутой оси имеет вид
Z Рс eL \ cos ^гх
Z: EJ / cos 9г I
Максимальный прогиб в середине пролета
па* у ^i+^2 * '° 2 Z£J ' chК1
de /+ _1_ь _
V» ZED J cos)>zl\ ° ^z+^Z)^EJ
163
7__' eoZE3^+ZPbeL / 7
ch^l / ( >>/ + ) ZE J ( cos^t
Сдвигающие напряжения могут быть определены по формуле
(45.6), куда следует подставить найденные значения С2 и ^(2^ —
— С3 — 0). Максимальные сдвигающие напряжения возникают у
торцов стержня
+ Р3ЕЕЗ / ,
——---------I Р Y?
ZEJ
P^-^ZEJ/
1
X рс ег
±h'i>1l +
Если стержень имеет жесткие закрепления против сдвигов на
торцах при шарнирном опирании концов, то решение становится
иным. Граничные условия в этом случае выглядят так:
у = (± l)=0, Т (*1) = 0.
Так как
с'Г= ZEUy"'+ Ру‘+М°', №'^0,
ТС
ZEJy”\±l) + Ру' (±1) = О.
Произвольные постоянные определяются из уравнений:
С2 sh^t + COS И21 + ед-0;
(P^ + ^ZEJ)Czsh^t + (Pl'-^ZEJ)^ Sin9z 1^0,
откуда:
__________ед(Р^-^>2 ^EJ)sin^t_______________
(Р9+ SzEJ)sh 9 I -cosil-(PP2-^ZEJ)sin^l Ch^t
n____________-eB (P^t^ZE7)Sh 9ft_______________
. j з
(+1 EEJlsh I cos ^l-(P)>2 lz EEVsin l2l-ch^t
И47.3)
Максимальный прогиб
y(0)=C2+Cli + e0.
164
Как видим, решение в обоих случаях получается достаточно
сложным и неудобным для практического пользования.
Из рассмотрения формулы (1) следует, что при внецентренном
сжатии составного стержня упругая линия не является косинусои-
дой, а представляет собой линейную комбинацию обычной косину-
соиды с гиперболической.
Условиями равенства нулю прогибов по всей длине стержня при
любых и и свободном сдвиге торцов, согласно (2), будут:
2
е0 ZEJ - ЕР-е. =
е0 EEJ + ЕРг eL = О,
откуда
ео =о, ?р. е. = о.
Поэтому центрально сжатым составным стержнем со свободно
сдвигающими торцами следует называть стержень, загруженный
так, что равнодействующая всех продольных сил проходит через
центр тяжести всего сечения стержня, а отдельные продольные си-
лы, умноженные на эксцентриситеты приложения их относительно
оси соответствующего бруса, дают в сумме нуль. Так, например,
прямоугольный составной брус, показанный на рис. 76, нельзя
считать центрально сжатым, так как продольная сила вызывает
в нем момент Л/°= Р • 1,5. Такой брус с самого начала загружения
имеет прогибы, возрастающие с увеличением силы Р.
Стержень с жесткими на сдвиг торцами можно считать централь-
но сжатым при одном лишь условии е = 0, так как этим обеспечива-
ется равенство нулю и С, (3), а следовательно, и отсутствие
прогиба.
165
48. СЖАТО-ИЗОГНУТЫЕ СТЕРЖНИ ПРИ ЛЮБОЙ
ПОПЕРЕЧНОЙ НАГРУЗКЕ
Решение, данное в п. 47 для внецентренного сжатия и шарнирно
закрепленного по торцам стержня со свободно сдвигающимися
торцами, в работе [38] обобщено на случай любой поперечной
нагрузки. Для краткости приводим здесь лишь конечный резуль-
тат
ь
, 2 ,2 , Sh')>1 к t (
(У+V, )у----1-- [
0
, Sin^x Г 7 MM A2
02sin^>zLg J \ EOJO
О
J ( ЕоЗе -ЕЕЭ
o
'“Г] [TT"й<Н
* J /п
Начало координат здесь взято на конце стержня, а длина стерж-
ня принята равной L ; t представляет собой вспомогательную
переменную, заменяющую л в выраженияхЛ/миМ°под знаками ин-
тегралов.
Ввиду сложности этой формулы можно при граничных усло-
виях:
y(O)=y(L) = O и у" (О)-у" ( L)-О (48.1)
рекомендовать другой способ решения этой задачи, а именно —
разложение поперечной нагрузки в тригонометрический ряд.
Пусть Л-ый член ряда разложения выражается формулой
sinlkJTx/L ).
Решение, соответствующее этому члену, ищем в виде
у =-f^sin (.kJTx/i). (48.2)
Если у торцов Л/^равны нулю, т.е. если сила Р приложена централь-
но в смысле определения, данного в конце п. 48, то, согласно
(45.2) и (1), получим, что 7'(0) = 7"(Л) =0.
Замечая, что эпюра моментов по длине балки для данной нагруз-
ки выражается формулой
° к
М„=м = Т2тгг sin (kJr*!L)>
166
получим выражение для правой части уравнения (45.1)
+ ZEJ ~(k^0J0 к7ГХ,1)-
Левая часть уравнения (45.1) по подстановке решения (1) примет
Приравнивая правую и левую части, получим
а (..............+ .1 )
к~ k‘*Jr‘i / Р 2\ к2Лг РЛ2
z* ~ё^;
№ ( XZL к2 Л2 \
kW \Е0?о + ZSJ /
хЧ2(1--^-Ук2^(1- р/рл)
п_ п kz^rzs:ED
м L2 и л- Z2
эйлеровские критические силы; Рм — для монолитного стержня
того же сечения и Рй для стержня, лишенного связей сдвига.
При А = о» и А — 0 получим значения прогиба -Р при той же на-
грузке соответственно для монолитного стержня и для стержня,
лишенного связей сдвига:
_ ___________________.
к»~ к‘•JT4 Ео10 (1-Р!Рм) 1
П №____________7_____
кл~ kW хеэи-р/р»)
Эти значения совпадают с известными формулами сопротивления
материалов. С их помощью прогиб составного сжато-изогнутого
стержня можно представить в виде
(fM ^^/кг)(1-Р/Рм^ РЛ^(1-Р1РЯ)
р -----------------------------(48 з)
(Аг(1~Р/РЙ)
Индекс к , указывающий на номер члена разложения нагрузки в
тригонометрический ряд, здесь опущен. Из формулы (3) следует,
что значение прогиба составного стержня является средневзвешен-
ным из значений прогибов монолитного стержня и стержня, лишен-
ного связей сдвига, причем прогиб монолитного стержня берется
с весом (А 2/а 2 ) (7 - Р/ Рм ), а прогиб стержня, лишенного
связей сдвига, с весом JT 2 (1- р/р^).
167
49. ПРОДОЛЬНЫЙ ИЗГИБ СОСТАВНЫХ КОЛОНН
Из общего выражения критической силы в составном стержне
(45.8)
'ГЛ2' / Lz
(49.1)
можно получить формулы для определения критической силы
при различных частных случаях составных колонн.
Для металлической колонны, составленной из двух одинаковых
ветвей, соединенных планками (рис. 77), мы имели ранее (3.9):
$—24Е/[Зс (2c/J„ + 3 /7в ;] . (49.2)
Подставив в формулу (1) это выражение, а также:
2 / 2
^2{(EFaYC ZE^ZEJ* FB/2),
получим
2*i ( 0,5cZFa ) Jn
всг ( 22] в с + В Z)n ) F6
(49.3)
и после преобразований
2
, ^в с + ZJn В + (2^L (7ГBF»c ) 02 д)
2JBC+Jn3t ^8LzJB2n)/(jfz&F/)
где F& и Jq — площадь и момент инерции сечения одной
ветви; JQ — момент инерции всего сечения колонны; Jn —
момент инерции сечения планок; С — расстояние между
осями ветвей колонн; Q — расстояние между планка-
ми; L— свободная длина колонны.
При бесконечно жестких планках ( Jn = <=о )
формула (4) приобретает более простой вид
Рис. 77
168
20 + (JT2 L2)
Р~ ~Тг 2Jb^(^2RczFb 'll(24L2) ‘
Если же исходить из формулы Энгессера (45.9)
Р = [1/(с2^ )+ L21(2ГгE2)Y1 ,
то подставив в нее значение £ (2), получим известную формулу
Тимошенко:
P-^\L21(УЕР0)+Вс1(12ЕЗпи^1(24Е2й}}\ (49.5)
Видим, что в выводе последней формулы имеется противоре-
чие, состоящее в том, что в коэффициенте учтена конечная жест-
кость ветвей Е Je , а выражение для (45.9) соответствует нулевой
жесткости EJe_ — 0. Таким образом, теоретически формула (5)
неправильна, так как при выводе ее Тимошенко использовал
неправильное предположение Энегессера о пропорциональности
сдвига поперечной силе.
Заметим, что при выводе обеих формул (4) и (5) мы пользо-
вались выражением для (49.2), в котором не учитывается влия-
ние продольных сил на жесткость элементов ветвей колонны. Это
влияние может быть очень значительным при большом расстоянии
между планками В. Тимошенко рекомендует его учитывать вве-
дением к жесткости EJ коэффициента
<Е-1-Р/Рв, (49.6)
где Р& — критическая сжимающая сила ветвей, вызывающая местное выпу-
чивание, равная 2^2E2BI В2.
При этом формула (5) приобретает вид уравнения относительно
Р. Введение коэффициента У (6) является приближенным, но
достаточно обоснованным решением, поэтому имеет смысл приме-
нять это уточнение в формуле (5). Обоснование этого уточнения
состоит в известной приближенной формуле для прогибов сжато-
изогнутого стержня, имеющей вид
где у — прогиб сжато-изогнутого стержня; Цо — тот же прогиб при отсутст-
вии сжимающей силы Р‘,Ркр — зйлеровская критическая сила для стержня.
Тем не менее нельзя просто значение 7В в формуле (5) заменить
через V'Jg . Это следует сделать лишь в формуле (2), оставив выра-
жения для Е и неизменными.
Заменив в (2) 2В через , получим
ь 24EJBJn(Pa-P)
&ег[2сЗв(РвР)^ВРвЗп1
Далее, учитывая (3),
169
B^[2cJB(P-P)t&PBJ„]FB
Из уравнения (1) следует
JT2( )
22, L? (Iff*EJ+:?&££, ~2pL*)
9 В В
Приравняв одно другому выражения (7) и (8), после некото-
рых преобразований получим
где
Р^27ГгЕдв1вг, Рм=ягЕЗо/Рг;
ря = 2XZE }L 2 Pn = JFZEJn /(cB).
Полученное квадратное уравнение в раскрытом виде будет
выглядеть так:
р2(1^)-р[Рл + Рп +р* (1+fi)+^P^ +
* рлРй + РлРп+РРвРм" °> (49Л0)
где в _ 2^zsn L2
JT2Fbc3B
Таким образом, определение критической силы Р сводится к ре-
шению квадратного уравнения (10), корни которого выписывать
в общем виде нет смысла.
Для практических расчетов такое решение довольно сложно
и его необходимо упростить. Обычным упрощением для колонны
с планками является предположение об абсолютной жесткости
планок. При этом -оо , и уравнение (9) получает вид
(Рв ~Р)(рм ~ Р)КР-Рл)=^ЕРв сг/(2^2)
или, учитывая, что 0t5 F& сг = 2М - 2 Jg
(Рв-РХР„-Р) Я2 ,n п ,
Р~Рл 12 (Р" Р^'
(49.11)
170
Выразим усилия Рм, Pg,PA и Р через обратно пропорциональные
им величины:
где Гм — радиус инерции всего сечения колонны; гд — радиус инерции сече-
ния одной ветви; Тар — приведенный радиус сечения колонны, учитывающий
податливость связей сдвига.
После указанной подстановки и решения относительно 1/Ам по-
лучим
________В______________________. (49 12)
лгм я / - А'г- ^7^2 'г - )
В таком виде формула более удобна для подбора сечения колон-
ны. Обычно при подборе сечения бывают известны общая гибкость
А, которая должна быть равна гибкости колонны в другой плоскос-
ти, и Ав — гибкость отдельной ветви, принимаемая обычно 30—40,
а также Лл— известная величина. После отыскания А „определяется
необходимое расстояние между центрами ветвей с.
Так как Ал обычно бывает велико по сравнению с другими А , то
формулу (12) можно еще упростить, отбросив значения Ал2, или,
другими словами, пренебрегая усилием РА по сравнению с Р, Р иРв.
Тогда вместо формулы (11) получим
( Рд - Р)( Р„ ~ Р) = (JT 2/12. )РРМ
и вместо (12)
Л„ = Z- (2Г2/121(АгА\/AZ- А\ ) (49-13)
В практике проектирования обычно применяется другая формула,
вошедшая в главу СНиП по проектированию металлических
конструкций:
,z i2 i2
Am = A-A8. (49.14)
Эта формула получена из формулы Тимошенко (5) при ^п-°° и
замене коэффициента ?Г2/24 в запас прочности единицей. Формула
(14) не учитывает пониженной жесткости ветвей на изгиб, вслед-
ствие наличия в последних сжимающих усилий, и поэтому может
приводить к недостаточной прочности сечения. Формула (13), не
учитывая влияния гибкости Ал , иногда дает излишние запасы. Что-
бы избавиться от них, необходимо вести расчет по более точным
формулам (12) и (10).
Выведем теперь формулу для критической силы решетчатой ко-
лонны (рис. 78). Здесь в формулу (1) следует подставить значение
$, равное (3.11)
EFpC0S3oc/В1(49.15)
171
При этом
Е 7Г В FB йв + L Fp COS се
1г JT2 BZF& +ZLzFpcos6oc { }
где Js - момент инерции сечения ветви; площадь
сечения ветви; Рр - площадь сечения раскоса (остальные
обозначения даны на рис. 78).
Если выражение (15) подставить в (45.9).
то получим формулу, найденную Энегессером
и Тимошенко;
1/Р-L11(ягЕЗм)+В? !(EF?c2cos3ol). (49.17)
Формулу (17) можно получить и из формулы
(49.16), если положить в последней ,7л = 0. Пос-
кольку 7« в решетчатых стержнях имеет очень
малое значение, то для практических расчетов
можно пользоваться формулой (17).
Рис. 78
Для определения гибкости решетчатых колонн СНиП рекомен-
дует пользоваться формулой (14). Это в принципе неверно, так
как гибкость ветвей здесь не играет существенной роли, особенно
в формуле Тимошенко (17). Окончательно уточнять формулы
для решеток прочих видов не имеет смысла, так как удобнее при
определении Ркрпользоваться простыми формулами для £, приве-
денными в п. 3, в сочетании с общей формулой (1).
Формулы, приведенные в п. 49, позволяют по заданной несущей
способности подобрать требуемые связи: планки или решетки.
Это и будет расчетом связей. В практике строительных расчетов
принято проверять сечение связей на поперечную силу, которую
ориентировочно берут равной 1—2% продольной сжимающей на-
грузки. Этот метод расчета не может считаться обоснованным.
Уменьшение размеров связей повлечет за собой не разрушение
последних, а снижение общей несущей способности центрально
нагруженной колонны, что уже учитывается данными здесь ос-
новными формулами.
В случае внецентренного сжатия напряжения в связях могут
быть определены по формулам, приведенным в п. 46.
Пример расчета составной металлической колонны на устойчивость.
Колонна составлена из двух швеллеров № 22 в, обращенных полками внутрь
и соединенных планками размером 10x180x260 мм (рис. 79). При этих раз-
мерах планки можно считать абсолютно жесткими на изгиб в своей плос-
кости. Расстояние между планками принято таким, чтобы гибкость одной
ветви на участке между двумя соседними планками была =
= 40. у
172
Потребная общая гибкость колонны должна быть
такой же, какую эта колонна имеет в другой своей
плоскости. При свободной длине колонны £ = 490 см,
8,3 см имеем
А = Лл =- 490/8,3 = 59.
По обычной формуле расчета (14) получим:
Л = +Лв ’ ЛМ = - А2’ = ^59г-Ыг'= 42 ;
2 Т* = 490/42- 11,7 = |/г/у + c^.
- Г ? = 11,72 - 2,172 - 132,2; с = 23 см.
в у
Этот результат намного ниже необходимого разме-
ра. По формуле (13) получим более точное значение:
2 А*А* 2 592 ’ 4°2
Ам^-7Га^Г=59 -°’823 -——-- = 32,4;
в 59 - 40z
2 9
Гу = 490/34,4= 15,1; С/4 = 15,1 -
2
- 2,17 = 223,3^ С — 30 см.
Рис. 79
006
Еще более точно можно вычислить необходимое с по формуле (12).
учитывающей сопротивляемость продольному изгибу стержня, лишенного
связей сдвига:
7 ( А~вг - \ г) Х'г-0,823А^(Х2~Л'л?)
Агм А~г-АГ2-0,823(А'2-А-л2)
Здесь: А.= 1/гьд = 490/2,17 = 226; А=59;Ае=40.
Подставив эти числовые значения в формулу (12), получим:
= 35,7; Гу - 13,7; С~ 27 см,
что ближе к тому значению с , которое получается при расчете по нормам,
однако все же превышает его. Это указывает на недостаточную надежность
общепринятого метода расчета подобных колонн.
Рассчитаем еще колонну, над которой производились испытания, в связи
с происшедшей в 1909 г. катастрофой гамбурского газгольдера. Размены
колонны погазаны на рис. 80. Кроме того: — 215000 МПа;7м = 644 см ;
— 85,3 см ; Эп ~ 320,1 см ; /-j— 24 см ; Д = 340 см; /3—1 13,3 см; г =
= 6,3 см; 2 9 2/21
Р„ = Яг EJJL - 1180 кН; Рл =Л EEJ/1 = 313 кН; fi = 247„Z. /(jr^ Вс ) =
= 132,5; рв =Т72£74/ В* - 282 кН; Рп ^jr^E J„/( Вс ) = 95100 кН.
Подставив эти значения в уравнение (10), получим:
133,5Р2-BlIICsP +4717000 = 0,
откуда Р= Ркр= 895 кН.
Эксперименты показали в трех случаях значения //р: 810, 835 и 894 кН.
_ При увеличенном вдвое числе планок: В = 56,65 см; Jb - 66,25 см; Рр -
= 11 280 кН; Рп — 190200 кН; остальные данные не изменяются. Критичес-
кая сила определится из уравнения
173
Рис. 80
67,25Рг- 1027S0P + 9434000 = 0,
откуда Р— 981 кН.
Среднее экспериментальное значение критической силы для этого случая
оказалось 1026 кН. Точность совпадения экспериментальных и теоретичес-
ких значений здесь следует признать высокой.
50. УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТАВНОГО СТЕРЖНЯ,
НАГРУЖЕННОГО РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННОЙ ПРОДОЛЬНОЙ
НАГРУЗКОЙ
Продифференцируем один раз уравнение изогнутой оси двухвет-
венного составного стержня (35.7)
У*- * Хг/Е J - (50.1)
Учитывая, что Мм - М^- Q и что при распределенной вдоль оси
стержня продольной нагрузке (рис. 81)
Q- Ру'+ Qa,
(50.2)
где Q — поперечная сила от внешней попереч-
ной нагрузки, представим (1) в виде
I" .2 W РЛ2
у -Лух
£?°Л2
/ (Ру')"
у--------+
XEJ
F1 — (50.3)
EJM XcJ
Если продольная и поперечная на-
грузки равномерно распределены по
оси стержня, то
P = p(l-x)\ (50.4)
Рис. 81
174
и уравнение (3) будет
е z tn Р(1-*) г ’ P(t~*)y"' 2.РУ"
У~ ЕЭ„ Л У EEJ EEJ ~
--ЁУ^^+—ЁЁ^ ХЕ!' Е3„
(50.5)
где 4>-у — угол поворота касательной к оси стержня.
Введем безразмерные величины
K=*ll -, JJ=pt3/EE], S^qV'lEEJ-, <* = EEJ/(EJM).
(50.7)
Тогда уравнение (5) преобразуется в следующее:
Ц>П-№ч>"+р(1-К)Ч>-2рЧ '-oc.p(1-X.)flZ4>
= осАг I2s(1 -X)- (50.6)
Здесь дифференцирование производится уже по безразмерной ко-
ординате %.
Запишем граничные условия на концах стержня, считая, что при
X — 0 будет полная заделка стержня, а при х=1 возможен свобод-
ный сдвиг торца:
при х — 0: у= 0, (/= 0, г'= 0;
при X=Z: Мя-М^ 0,<2°= 0, Т= 0.
Всего имеем шесть граничных условий, что соответствует диффе-
ренциальному уравнению шестого порядка. Однако при выводе
уравнения (6) его порядок снизился до четвертого. Это было
достигнуто благодаря введению переменной V, что исключило реше-
ние у — const, соответствующее неискривленному стержню, и сде-
лало ненужным условие у(0) = 0. Далее использованные выраже-
ния (2) и (4) предполагают отсутствие горизонтальной опоры на
верхнем конце стержня и автоматически удовлетворяют условию
0. Остаются, следовательно, четыре условия, которых доста-
точно для полного решения задачи. Преобразуем эти условия на ос-
новании того, что (35.1)
ГЕЭу"=Тс-М -, EEJy'"=T'c-Q=T'c-Py’- Q° (50.8)
При х = 0 второе равенство (8) дает
/£ЕЭ = $1 /ZEJ
или в безразмерных величинах
tp"+s-O.
При х — t из первого равенства (8) и условия 7= 0 получим
ХЕду"=0 или Ч>'=0
175
и, согласно уравнению (8.1):
т " =Я 2ТД = А2Т + Мдс /?EJ
и условию Мц-0 (7) ,Т0.
Продифференцируем два раза первое уравнение (8)
ГЕЗу^т'с -Q'=t"c -Ру" + $.
Тогда при х -1 получим
уШ -~Py"+q,
и в безразмерных координатах
У7"'/-= 0.
Итак, имеем четыре граничных условия:
4J(Q)=-Q, 4>"(O) + s=O , ч>'ц)=0)
^"'(l)+pV(1)-SzO. (50.9)
Рис. 82
Неоднородное дифференциальное уравнение с переменными
коэффициентами (6) можно решить методом конечных разностей.
Для этого разбиваем стержень по длине на п участков (рис. 82).
Значения производных от в точке i длины стержня заменяются
следующими выражениями конечных разностей:
(50.10)
= (7/глЯ^,
где h — 7//Z — безразмерный шаг, представляющий собой достаточно малую
долю длины стержня.
Воспользовавшись выражениями (10) и граничными условиями
(9), находим
4S?- (50.11)
176
Заменяя производные от*1 по формулам (10) с учетом (11), по-
лучим систему конечно-разностных уравнений, эквивалентную
дифференциальному уравнению (6),
Z т Ч1 +Г ,-О ( к = 12,...,п), (50.12)
Z=; ik i Ок
где коэффициенты т-к и свободные члены вычисляются по форму-
лам:
Гг =5-2(1~hlhZp +Zh\4l-(l-h)h4fl2oc.P,
Tn-ih-^ -(h-'l)h}hLp + 2.hZ(n-l)h]h4
r= 6+2h3JJ + 2hZ^l2;
Г-L = 6-2(1-ih)hZp + 2h^l2- (l-ih)h1^1гсср (i=2,3, ...,n-2)-,
T. Li1 = -^ + [1-(i±l)h]h2p-h2A2l2 П-2),
T ^~^~2h2 22 I2 ,
л,п-1
r. . = r. = 7 (c = 1,2, , n-77;
4,4*2 4,4-2
Tn,n-2 --2’
T’ik - О при li-kl >2 ,
r0-- - (1- i.h)2?l2a.s ( i= 2,3,..., n-1);
ron-2h3s.
Критические значения продольной нагрузки
ft* = р I3/(EJ ) = cC ,
вычисленные Э.Г. Давыдовой [8], приравниваем нулю определите-
ля однородной системы уравнений (И) при л = 0, приведены в
табл. 2.
Таблица 2
0,05 । | °’!0 | 0,15 | 0,20 1 0,25
0 0,392 0,785 1,18 1,57 1,96
0,5 0,427 0,849 1,27 1,68 2,09
1 0,525 1,03 1,52 1,99 2,45
1,5 0,675 1,30 1,88 2,43 2,94
177
Продолжение табл. 2
0,05 0,10 0,15 0,20 0,25
2 0,862 1,63 2,3 2,91 3,46
2,5 1,07 1,98 2,74 3,4 3,96
3 1,30 2,34 3,17 3,85 4,43
3,5 1,54 2,69 3,58 4,27 4,83
4 1,79 3,04 3,96 4,65 5,19
4,5 2,03 3,38 4,31 4,99 5,5
5 2,28 3,69 4,63 5,28 5,77
5,5 2,53 4,00 4,92 5,55 6
6 2,78 4,28 5,18 5,78 6,2
6,5 3,03 4,54 5,42 5,98 6,37
7 3,27 4,79 5,63 6,16 6,52
7,5 3,5 5,02 5,82 6,32 6,65
8 3,73 5,22 5,99 6,46 6,76
8,5 3,94 5,42 6,15 6,58 6,86
9 4,15 5,59 6,28 6,69 6,95
9,5 4,35 5,75 6,41 6,78 7,03
10 4,54 5,9 6,52 6,87 7,09
10,5 4,71 6,03 6,62 6,94 7,15
11 4,88 6,15 VI 7,01 7,21
11,5 5,04 6,26 6,79 7,07 7,26
12 5,19 6,37 6,86 7,13 7,30
12,5 5,33 6,46 6,93 7,18 7,34
13 5,46 6,54 6,99 7,22 7,37
13,5 5,58 6,62 7,04 7,26 7,4
14 5,7 6,69 7,09 7,30 7,43
15 5,91 6,82 7,18 7,36 7,48
Г л а в а 8. НЕКОТОРЫЕ ИНЫЕ ВИДЫ СОСТАВНЫХ СТЕРЖНЕЙ
51. СТЕРЖНИ С АБСОЛЮТНО ПОДАТЛИВЫМИ СВЯЗЯМИ СДВИГА.
ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ
Если в составном стержне с абсолютно жесткими поперечными
связями связи сдвига абсолютно податливы, т.е. коэффициенты
жесткости связей сдвига | равны нулю, то
Г. = Т.' = 0
4 I
и суммарные сдвигающие силы 7^ по длине шва не меняются. Ин-
тегрированием из формулы (5.13) получим, что разность сдвига,
накапливающаяся на участке ( Ъ —а) длины балки по Z-му шву при
этом
<51Л)
а,
178
Если хотя бы на одном конце бруса нет препятствий сдвигу по 4му
шву, то, очевидно:
тс = о.
Если брус имеет на обоих концах жесткие закрепления, пре-
пятствующие сдвигу по г-му шву (рис. 83), то получим условие
<\iЪ +л;2 тг \ +[*г0 ** = О.
Такое уравнение можно написать для каждого шва, имеющего
закрепления подобного рода. В итоге получается система алгебра-
ических линейных уравнений, в которых неизвестными являются
r(Z-l,2,...,«)
+Л12Т2+-Л ТП + 0’
«г
..........................................
т, +лпгт2 + .+ дптп + Ц/(ъп-ап)][длочх-о.
ап
> (51.2)
Расстояния между жесткими закреплениями могут быть
различными для каждого шва (рис. 84).
Если закрепления против сдвигов не абсолютно жесткие, а упру-
гоподатливые, то:
Г.(а.)=-Т.Ч> • (52.3)
4 I i iD ' i * 4 iCL
Здесь /} ( ) и (\ (di) — сдвиги в точках и О.^ по t-му шву, где имеются
упругие закрепления против сдвиге; — соответственные коэффи-
циенты податливости этих закреплении.
Подставляя равенства (3) в (1), получим:
Рис. 83
179
Рис. 84
Ч’У Т, Тп НЪгfix = Г (Ч'-( + Ч>£Ъ)-
Написав такое равенство для каждого шва, получим систему
уравнений:
1
ъ,
(л _ Tig. 1* I 7 +д т
(Af >,-Д, / “12 2
A tJa
^iiTi + \^22 iz - a2 / 2
1n n
Ъ^-О-г
U20d*=°'
аг
Ьп.....
Х51.4)
। ] д dx-O.
bn-a.nj * bn-aJ м
Свободные члены уравнений (2) и (4) представляют собой
средние значения Д-о на участке между точками а- и S- размещения
закреплений против сдвига шва.
В случае жестких закреплений система (2) почти совпадает
с системой уравнений для определения сдвигающих усилий Г.” в
монолитном стержне того же сечения, получаемой из системы
(5.17) при4г = °° (Z = 1,2,...,/?):
_ м . м м . „ '
+Л12Т2 + -^1пТп-^0=0-
М М м
м ж М М
^пгт2
(S1.S)
Разница между системами (2) и (5) состоит лишь в том, что в
системе (2) берутся осредненные значения свободных членов. Ре-
180
шение системы (5), известное из курса сопротивления материалов
(при отсутствии продольных нагрузок №), выражается форму-
лой Журавского:
тм= • / J
4 М М£, ' М >
где — общий изгибающий момент, действующий на весь стержень, как
монолитный; JM — момент инерции сечення всего стержня, как монолитно-
го; SM; — статический момент частоты сечения, лежащей выше z-ro шва.
Для стержня, показанного на рис. 83, при отсутствии продоль-
ных нагрузок решение системы (2) имеет вид
Ср
7> Л7. S - J ,
t i. ИС ' М
ср
где М- — осредненное значение изгибающего момента в Лом шве;
мср= [1/(Ь-a-)] j Mdx.
* l L а м
В общем случае стержня, изображенного на рис. 84, и при нали-
чии продольных нагрузок можно, определив осредненные значе-
ния Д10 для каждого шва, далее рассчитывать стержень, как моно-
литный с постоянными по длине нагрузочными членами . В обо-
их случаях силы 7^- считаются постоянными на рассчитываемой
длине шва.
Если на стержень из брусьев, скрепленных только по торцам,
действует нагрузка, обратно симметричная относительно середи-
ны длины стержня, то осредненные значения свободных членов Л£
все равны нулю, а следовательно, и все неизвестные Г- обращают-
ся в нуль. Поэтому закрепления против сдвигов (жесткие или
упругие) оказываются незагруженными, а весь стержень работает
как совершенно лишенный закреплений против сдвига.
При очень больших коэффициентах податливости закреплений
против сдвига или х для z'-го шва можно в соответствую-
щем уравнении системы (4) пренебречь влиянием коэффициентов
Получим для каждого шва уравнение с одним неизвестным
^ia~ Ч\ъ СР
—----—-Т. + Д . = О
Ъ- - а. ‘
откуда
Лср(ъгаг)
‘ ip. + Ч'.,
ср i-О- L &
где - осредненное значение свободного члена.
При средних значениях коэффициенте
Димо решать систему уравнений (4)
в податливости необхо-
181
52. УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТАВНОГО СТЕРЖНЯ
С АБСОЛЮТНО ПОДАТЛИВЫМИ СВЯЗЯМИ СДВИГА
Решим теперь задачу об устойчивости стержня с абсолютно по-
датливыми связями сдвига и абсолютно жесткими поперечными
связями. Будем считать, что стержень имеет абсолютно жесткие
закрепления против сдвигов на торцах и что он шарнирно оперт
по концам (рис. 85). Система уравнений (51.2) здесь изменится
лишь в том отношении, что место свободных членов 4 i0 , в соот-
ветствии с уравнениями (43.3), займут члены, зависящие от проги-
ба стержня Л у.
Таким образом будет:
А, тп *
i
f (52-1)
..............t - - • •
T: тп * Чу <г‘°-
Подставляя значение (43.2), получим выражение для
последних членов уравнений (1):
i
4f * 4 п
rpfi P=~£N° — суммарная сжимающая сила.
Система уравнений (1) эквивалентна сис-
теме, используемой для определения Т- в мо-
нолитном стержне при изгибе его моментом
t
М= (P/l)^У^х-
Последнюю в свою очередь получим из ос-
новной системы составного стержня (5.17)
при О (; = 1,2, . . . ,zt). Расчет желанной
системы может быть произведен по формуле
Журавского
(52.2)
гДе момент инерции монолитного сечения ,5
статический момент части сечения, расположенный
выше f ro шва.
Рис. 85
182
Возьмем теперь последнее уравнение системы уравнений устой-
чивости составного стержня (43.3):
или
тг сгтг+- + сптп' ру (52.3)
и проинтегрируем его по длине стержня:
-pjу (Lx *I Eix Т. -ЕЕО [_y'(L)-у'(О)};
-м^с- тг _ у'Ш-у'(о) , (52 4>
XFJ г
Левая часть представляет собой выражение кривизны монолитного
стержня, изогнутого моментом М [так как Т здесь определяется
по формуле (2) для монолитного стержня]. Поэтому уравнение
(4) можно переписать в виде
~Г7~= jydxt-^-[y'(V-y'(O)]. (52.5)
Далее из уравнения (3)
EEJ у"+ Ру = const
получим
y~C1sin<x.x+C2cosoc)(-t-C -, oi. = 't/Р/ЕЕ Э ,
где С — некоторое постоянное значение. Оно должно определяться совмест-
но с постоянными и Г2из граничных условий: у (О) = О, у (I) — О и усло-
вия (5). Получим систему уравнений:
Cj^+C^O',
С1 sin. oct+ СгС05 oct * С = О;
-С, (£-« .С1‘О.
Определитель этой системы должен быть равен нулю, иначе все
постояннь te обращаются в нуль: 0 1 1
sin ос t 1- cos act COS act Sin act 1 t = 0,
отсюда: cc p
t sin л I
2 2 -------
sin act + 1-COSact -COSoCt + COS act ~~7’ /n -O',
1/OC. KX.EgJglP
183
2( l~cosccl)~
t sin oct
1/<X -OCE0J0!P
oct _ cx-t____________oct___________
9 2 1-осг EgJo /P ~ 1-Eo;io/XEJ
Таким образом, получим следующее трансцендентное уравнение
для определения <х:
, oct oct XEJ
±д -----+--------------
2 2 Ea2o-^EJ
(51.6)
По значениюсс вычисляется и Р=ос EEJ. Уравнение (6) можно
решить с помощью таблиц функции* ig z/z.
Возьмем случай пакета одинаковых прямоугольных брусьев,
вплотную примыкающих одни к другим.
При двух брусьях:
= Z7 БдЗд-ЕЕЭ ~ 3
Решением уравнения
является
XI /2 = 2,456; гс =4,912/2
(нас интересует лишь наименьший корень). Отсюда:
4,9121 2 24,13Г£У 6,032
Р ~-2- EEJ = --7— =------------------= 0,б 1 1 Рм ,
2. 2
где Ри ~Л Е030/1 - критическая сила для монолитного стержня.
Для трех брусьев:
/Z7 = У 7 7 - ZEJ)^
pcZ /2 = 2,804; P= 3\,45ЕЕЭЦ^ 3,495/Z2= 0,354 P„ .
Для m брусьев (m>3) :
1 См., например, I', Янке, Ф. Эмде, Ф. Леш. Специальные функции.
М., 1964.
184
Jo _ z- EEJ 1 cci rnZ~1
~ZJ~ ~m ’ E0U0~ZEJ ~ tnz-l’ 2 ~ m2
^(тг-1)г
тЁ
Рассмотренная задача имеет значение как предельный случай
устойчивости составного стержня с податливыми связями сдвига,
шарнирно опертого по концам с несдвигающимися торцами. Точное
решение для случая стержней из двух и трех брусьев было дано
в и. 46, причем там оно не могло быть доведено до конечной прос-
той формулы.
53. ПРИБЛИЖЕННЫЙ РАСЧЕТ МНОГОСЛОЙНЫХ БАЛОК
В целях упрощения расчета составных балок можно с некоторой
степенью приближения в выражениях (5.14) для коэффициентов и
свободных членов уравнения составного стержня пренебречь осе-
выми податливостями стержней (ЕЕ )4 по сравнению с изгибной
податливостью (EEJ)'1. При этом:
Д.=с./ЕЕЭ-1 Дгк=С.Ск/ЕЕЭ; Д.о = /McjEEJ. (53.1)
Для того чтобы оценить погрешность, возникающую при этом
упрощении, рассмотрим наиболее невыгодный случай балки,
состоящий из двух одинаковых прямоугольных брусьев с нулевой
толщиной шва (рис. 86). При этом
1/2 12 hZ ) 8
ZSh3' ESh
A=2 828y—V-
' У E8h
Пренебрегая первым членом выражения в скобках, получим:
гг = B/(E6h); 2=2^5^/(Е6Ь)'.
Таким образом, максимальная ошибка в определении А состав-
ляетк§7б = 1,155, т.е. 15,5%.
Для балок из трех брусьев (рис. 87) такой же подсчет дает
приближенное значение для 8а (9.6), равное 12/(£гГА) вместо
точного значения 13/ (£4'Л) и ошибку для А —^13/12’ = 1,042.
При увеличении с за счет толщины шва или формы сечения
составляющих стержней последний член в выражениях (5.14) от-
носительно возрастает и погрешность уменьшается. После подста-
новки выражений (1) в уравнения (5.18) последние принимают
вид:
Т" с
(ТЛ+Т2Сг+ ^Тпсн + М°'> (с = 1,2,(.53.2)
185
или
Л.Т1.'=ТС1 + Тс+..+Тсп+м‘’ (53.3)
4 7 « * * ’» *
где
а=ГВ7/ (^.с.). (53.4)
Характеристическое уравнение системы дифференциальных
уравнений (3) имеет вид:
о, Л Сг ... сп ,
Сг~ОСгЛ ... Сп 3
= 0
2
С, cz • • Сп-^Л ;
ему можно также придать вид:
2
1-М 1 1 , . . 1;
9
1 1-мл 1 • • • 1;
1 1 1-а„,Лг... 1:
(53.5)
2
1
1 1
где введены новые коэффициенты и изменен порядок нумерации их на об-
ратный:
----- (53.6)
,or Lnf1-C 5н+1-1С„ + 1-1
Величина определителя, стоящего в левой части уравнения (5)
не изменится, если из какой-либо его строки вычесть другую его
строку. Поэтому вычтем из первой строки вторую, из второй -
третью и т.д., оставив последнюю строку без изменения. Получим:
7 2
-аХ 0 ... О ;
Л /7“7
2 Л
О X • • 0 j
.2
О о -ап_г X ... 0;
= 0 (53.7)
z
о оо ;
.2
1 1 1 1-агХ .
Раскрывая определитель, находим:
(53.8)
Заметив, что 1 А2, по рекурентной формуле (8), полу-
чим:
2 2 2 х 4 \
I>Z = -%X (1-ах^-^+а^Х+а^Х^а^-
Г 6 / •/ 1 А «1 Г 6 / -/ 1 1 А.<]
V'Wjp1 К'ЧЧ/J
Таким образом, легко установить, что
<53-9)
и что корни уравнения (7):
Xz = и Хг=0.
Многократный корень А2 — 0 пока можно отбросить, а первый
корень дает уравнение для определения вектора Tt ct (в дальней-
шем пределы суммирования для простоты записи будем опус-
кать) :
187
Thcn=H-,
Ti^+Tz(cz~cczZ~)+... + Tr=O;
.......................................Г (53.IO)
+ Тг c2 + ... т„ (cn ~ ocn E 0.
< 7
Поскольку, согласно (6) и (4),
Z ——=—— сг x-Z—= ——> i cz
c i, t~
то уравнениям (10) можно придать вид:
г, (е'~& ‘‘ ^Т‘С! ' г" -
т^^т1Сг ...* тп (с,гт^ ^.‘-)=0.
Отсюда
2
Г, / с. = тг сг = • " Т* /4« С*=Г Т‘С‘ '
Правая часть этих равенств не зависит от номера шва. Обозначая
ее буквой Л', будем иметь:
Г.Х (4 = 7Д...,лЛ (53.11)
с < I
т.е. суммарные сдвигающие усилия пропорциональны жесткости
шва и расстоянию между центрами тяжести соседних стержней е,
а закон изменения их по длине стержня один и тот же. ‘
Подставив (11) в уравнения (2), получим:
С- / 7 7 t 2 v 4/ сс
(53.12)
где ______ _________________
• <53.13!
188
Полное решение уравнения (12):
X - Л shAx + (LChAx + y № (i-'lsh A (x-±)(tt,
7 X “ 5/ ci *
С С D
где Cf , ^2 ~ произвольные постоянные, находимые из граничных условий,
которые должны быть одинаковые для Т- во всех швах.
При равенстве для всех швов усилия Т. во всех швах
одинаковы, а формула (13) приобретает вид
л2 =
Продольные усилия в составляющих стержнях
а суммарный изгибающий момент —
М = £Т.с. +М°= ХЕ$-сг +М°.
I, i с с
При одинаковой жесткости всех швов
N. = | (с. - С )Х; $£сг-Х1-М°,
а при одинаковых и с-
N.= D (при i #7 и Z/N = -Nn~ сX.
М~ $псгХ.
В последнем случае в балке оказываются напряженными на рас-
тяжение верхний стержень и на сжатие — нижний, средние же стерж-
ни не испытывают продольной нагрузки (рис. 88).
Граничные условия для определения постоянных С и Cz могут
быть следующие:
при отсутствии сопротивлению сдвига в торце стержня
2" - 7"'= 0, т.е. х' = 0;
при жестком закреплении против сдвигов на торце
Г = 0, т.е. Л = 0.
Например, для консольной балки, нагруженной равномерно
распределенной нагрузкой и заделанной на правом конце (рис.
89):
Q 2 /
М = ух /2 ;
x'^ACphAx +АСг shA*-ср /(АгЕЕ:П.
На левом конце:
Т=о, Х(О) = 0'7 Cz-y/(AZEJ).
189
эпюра б
Л_____К
ШШ1Ш1ШШНПН1
Рис. 88
Рис. 89
На правом конце:
qshM ql
Т-О ) X(l)=O; А С1 chXl+ з^£j ~ д гЕЕЗ °'
С" A‘,ZEj(thAl + chAl)
Таким образом,
<1 (-shAl-shAx+AlshXx .
х-
Второй, многократный корень уравнения (9)
А2 = 0
Лг*2
2
соответствует условиям:
г^о- т1с1 + тгсг + ...+ тпсп=о.
Последнее равенство может быть удовлетворено а — 1-ым спосо-
бом, например:
т^-(сг/с^тг- т3 = т1>=...= тГ1-о;
Tz = ~(c3 /с^Т3 , Т^Т^..= \=0 и г.д.,
(53.14)
что соответствует Л —1-ой кратности корня уравнения дг^л',;= 0.
Решения типа (14) дают смещения отдельных стержней вдоль
швов без продольных деформаций, т.е. как жесткого целого, в
соответствии с условиями 1/(£<- ) = 0. В составных балках такие
состояния могут не учитываться.
190
54. УПРОЩЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ ПОПЕРЕЧНОГО
И ПРОДОЛЬНОГО ИЗГИБА СОСТАВНЫХ БАЛОК
Полный изгибающий момент в составной балке
M=M° + ET.C^-ZEJy".
b 1г
Подставив сюда значения Т- (53.11), получим, с одной стороны:
М°+ХЕ^ cf= -EEJy", (54.1)
с другой стороны, имеется уравнение (53.12):
2 О
" м
Л EEJ ЕЕЗ
Определив из уравнения (1)
и подставив в уравнение (2), найдем:
EEJ jr Ме" „ , М°
Е^с? У Eiyc? + у + ZEJ~ ZEJ ’
у лН
g £<4 м°
у ЕЕ7 У ZEJ
и™ ys -Az y"=q/^EJ. (54.3)
Сравним последнее уравнение с более точным уравнением, вы-
веденным ранее для балки из двух брусьев (34.11):
ff .2 // 7 .2 м°
У -А У = уу • (54.4)
о
Видим, что уравнение (4) переходит в уравнение (3) при ^=“,
что соответствует бесконечно большой осевой жесткости состав-
ляющих стержней, как это и было принято в приближенной теории.
По своей форме уравнение (3) совпадает с уравнением растяну-
то-изогнутого упругого стержня и с уравнением для углов закручи-
вания стержня открытого тонкостенного профиля. Положив в (3):
у--Ру",
191
юлучим упрощенное уравнение устойчивости составного стерж-
ня, сжатого центрально приложенной силой Р-.
(54.5)
При шарнирных опорах на концах стержня (л = 0 и/—Z) кривая
выпучивания является синусоидой:
у- f sin (TTx/l). (54.6)
После подстановки (6) в (5) получим
откуда
п п л'^ЕЕЗ х 2
Р " V -J2— +Х ZEJ=---------72— + ? Л .
55. СОСТАВНЫЕ СТЕРЖНИ ПЕРЕМЕННОГО СЕЧЕНИЯ
Будем исходить из общего уравнения для сдвигающих сил
(5.17), которое имеет при двух составляющих брусьях вид
( т'/$)'= ffT+Д, (55.1)
где
Л = У°/(Е1 М Vc/EEJ.
Уравнению (I) можно придать вид:
Т"/$ - (^/^)т'=^т+Д или "-^'т'-Ц^гТ = ^Д. (55.2)
В общем случае уравнение (2) следует решать численными метода-
ми. Аналитические решения получаются лишь в частных случаях.
Рассмотрим некоторые из них.
1. Стержень не изменяется по высоте, но имеет переменную ши-
рину Ъ (х) . Связи сдвига равномерно распределены по площади
шва (рис. 90), имеющего постоянную толщину.
4 =аЪ(х)- ; а-= ~+ ~— +------------12с_ ;
Ъ(х> Е, Л7 ЕгЬ2
R о- '7 12М°с
25 = Ъ(х) ’ К" E,F~ Е2ь? Elhf гЕгЬ32’
где а, А - постоянные величины. '
192
Рис. 90
Фасад
Уравнение (2) будет
аЪ(х)т"~а-Ъ'(л)т’-а АЪ(х)Т- а1 Ъ (л)R
или
т"-g (*}т'~ a.AT=a.R , g(x)*b'(*)lb (.*) (55-3)
Аналитическое решение получим при
Ъ(х)^; gix)=cc,
когда уравнение (3) приводится к виду
т"- сс т'~ а АТ = аР
Общее решение здесь
Т= C1e^lX + Ci е*2*+т*,
где и — корни характеристического уравнения
А2- ос\ - аА -О,
определяемые по формуле
Т — частное решение. Постоянные и определяются из граничных усло-
вий.
При
>(Л,
уравнение (3) приобретает следующий вид:
Т" = (п/х)т'- а АТ ар.
Одноро дное уравнение
193
7
хТ пТ'~ ссА*Т=О
имеет решение 1
*)+CzKj(-faA х), (55-4>
где Ту и К? — модифицированные функции Бесселя порядка
{п+1)/2.
При п— 1, т.е. при линейной функции Ъ(х)=/Ьх порядок функций
Бесселя равен единице, при п — — 1 [Ь(х)-fi/x) получим функции
Бесселя порядка нуль, при я целом четное решение (4) выражает-
ся через элементарные функции.
Частное решение при R=COnst-pwH.oT=-(R/A) при переменном R
оно может быть найдено методом вариации произвольных посто-
янных, на чем здесь останавливаться не будем.
2. Оба стержня одинаково изменяются вдоль оси по высоте, но
не изменяются по ширине (рис. 91). Шов постоянной толщины
4-Const, $'=0',
3, ВгЬ (х)
hM h3(x) ~ h(x) ’
где В,, Bz > &з — постоянные величины.
Уравнение (2) будет
Т" _ &з
S h(*)
Т+Д .
При h (х) = х П
имеем
Г"-Ц/ЛГ^. (55.5)
Решение однородного дифференциального уравнения (zj = 0) :*
^Сгк, (ПТ, 4)],
2q ~2 = -п q- 1~п/2 ; V = = VC2-H.).
При 1:
v = 1, q = 1/2 .
Э. Камке. Справочник по
уравнениям, 1951, с. S81, ф-ла (9).
обыкновенным дифференциальным
Э. Камке. Справочник по
уравнениям, 1951, с. 581, ф-ла (10).
обыкновенным дифференциальным
194
При n — 3
= - 1, q=~ 1/2.
При п - 2 дифференциальное уравнение (5) вырождается в урав-
нение Эйлера, решение которого при/! — О можно искать в виде
ТСхЛ,
при этом:
С\ (х-1)хл~г~ Ш-1)~1;В3 = 0;
Л2-Л- $ В3 = 0; й = 1/2 ± fl/V+JT}
Таким образом, имеем решение:
где 7" — частное решение.
3. Площади сечений составляющих стержней постоянны, а рас-
стояние между ними изменяется по линейному закону; коэффици-
ент податливости шва изменяется по закону * . Этот случай
соответствует часто встречающимся в практике решетчатым состав-
ным стержням с поясами, оси которых составляют острый угол
(рис. 92).
Здесь:
r=/4xz § = в / с.2 - в/(.а2 *2), Ъ'/^-г/х-,
1I(E1FU1I(EZFZ) + Axi/ EEJ',
Ai\E1F1 E2FzJ xl ZfJ
195
где
„ В ( ч t 1 V А Е>____________
~ А2 ( E,F, В2 F2 Л ХЕЭ
Уравнение (2) при этом принимает вид
Однородное уравнение
*2т"+2*Т'- (Ъх2 + а)Т=О (55.6)
можно преобразовать следующим образом. Положим:
ОС / ОС. — 1 ос ! "I
Г= х Г ; Т —осх Т + к Т- /
Т"=х*7"+ госх* 1Т +ос( * Тогда, вместо (6) получим: хх'~гТ* + Zoe,**'1 + ос (ос~ + 2 х т^~(Ьх + ах хгТ* + (2.ос+2)хТ^<- (ос Приравняем 2<х+ 2 - I, отсюда ос - - Л2г;' + а + 6х\ Далее производим замену: х=/з • . _а! = _± У ’ dx Ji dy , dxz /У fiz dy2 dy ' « Положив = 1; Ji = приходим к уравнению Бесселя: 2 d2T* .dT, 1 ‘J 2 dy2- dy Отсюда x.2 > (55.7) oc - 1)x -J 1)х^т^ч- 2axXT^ + С>Тх=й' г + ос-^хг-а)Т^^=0. 1/2и ? Г+ =0. d2 ' dy? ’ 2 2-r- \ 2-^ bji У TJ=O. (55.8) /К + yz) =o.
196
у) = ^/а + //4
и, согласно (7), (8) и (9):
г, (fTx)^c2 (/Гх)].
Глава 9. ПРОСТРАНСТВЕННО РАБОТАЮЩИЕ
СОСТАВНЫЕ СТЕРЖНИ
С АБСОЛЮТНО ЖЕСТКИМИ ПОПЕРЕЧНЫМИ СВЯЗЯМИ
56. СТЕРЖЕНЬ, СОСТАВЛЕННЫЙ ИЗ ОТДЕЛЬНЫХ ТОНКОСТЕННЫХ
СТЕРЖНЕЙ ОТКРЫТОГО ПРОФИЛЯ
В пространственно работающем составном стержне поперечные
сечения его могут смещаться в своей плоскости в двух направлени-
ях, а также закручиваться вокруг некоторого мгновенного центра.
Считаем, что составляющие стержни тонкостенные, открытого про-
филя, скреплены жесткими в своей плоскости, достаточно часто по-
ставленными диафрагмами, играющими роль поперечных связей.
Ввиду этого все сечение составного стержня перемещается и пово-
рачивается в своей плоскости как жесткое целое. Связи сдвига в
пространственном составном стержне могут быть расположены так,
что они препятствуют взаимному смещению вдоль оси стержня
любых точек поперечного сечения различных составляющих стерж-
ней.
В качестве основной системы примем стержень, лишенный свя-
зей сдвига. Каждый составляющий стержень основной системы
нагружен приложенными к нему внешними силами и усилиями,
передающимися на него связями сдвига и жесткими диафрагмами.
Последние усилия перераспределяют внешние изгибающие и кру-
тящиеся моменты, которые приложены к составляющим стерж-
ням, между этими стержнями пропорционально их жесткостям на
изгиб и на стесненное кручение.
Для дальнейшего изложения необходимо ввести понятие центра
изгиба сечения составного стержня, лишенного связей сдвига,
и дать способ его определения. Повернем сечение составного стерж-
ня как жесткое целое на малый угол 6 вокруг центра с коорди-
натами , Су , заданными в произвольной прямоугольной систе-
ме координат л, у (рис. 93). При этом сечении каждого составляю-
щего стержня с координатами центра тяжести сместятся в
направлении оси л на величину 9 СЬу - су) и в направлении оси у
на величину - - Q ( - с* ). Эти смещения вызывают изгибаю-
щие моменты в составляющих стержнях:
су)-
197
Рис. 93
Сечение составного стержня
X
= Е^е''(Ъ^с^ Е^у
me 7Х\7; и У* — экваториальные и центробежный моменты инерции
сечения t-ro составляющего стержня; штрихами обозначены производные
по длине стержня z . В отличие от обычных правил сопротивления мате-
риалов момент инерции берется относительно оси у, а момент инерции
У — относительно оси л . и означают изгибающие моменты в 4-ом
стержне, действующие в плоскостях zx и zy.
Полные изгибающие моменты во всем сечении составного стерж-
ня выражаются формулами:
М, = Г/и; = -&"[EEOLx (6cx-cx)^EEJ^ ;
су) + £ЕЭ‘у
Если сх,су — координаты центра изгиба, иначе называемого цент-
ром вращения, то стержень испытывает только кручение без изги-
ба. Отсюда следует, что в этом случае М=М = О
ЕЕ^хсх + EEJxy Су = V + ЕЕОху Ъ*
- ^4 К-
Из этих двух уравнений находятся координаты сх, с центра изги-
ба, выражения для которых здесь записывать не будем.
Пусть относительное смещение сечения z = z„ и сечения z = zo+
+ ziz основной системы представляет собой поворот вокруг центра
198
изгиба С на угол в'dz. В каждом составляющем стержне при этом
возникают продольные перемещения ж, распределенные по закону
секториальной площади с полюсом в точке С. Эпюры этих пере-
мещений должны быть ортогональны к равномерным эпюрам,
возникающим при центральном растяжении каждого стержня и не
передающимся в основной системе другим стержням, т.е. имеем:
fcddF. =0.
Из этого условия определяем начальную точку отсчета секто-
риальных площадей для t-ro стержня.
Внешняя обобщенная сила, вызывающая закручивание стержня
вокруг центра С , равна бимоменту, взятому относительно этого
центра:
Я = ~ F3 в",
Lu <U ’
где
П
j = z
Ш i-1
iZ « »
а> dF = 27 V -
секториальный момент инерции всего сечения составного стержня
(лишенного связей сдвига) ; — секториальный момент инерции сечения
£-го стержня, взятый относительно точки п— число составляющих стерж-
ней.
Бимомент Вш определяется через внешнюю нагрузку по форму-
лам теории тонкостенных стержней открытого профиля и равен
сумме бимоментов относительно точки С, вызываемых в каждом
составляющем стержне непосредственно приложенной к нему
внешней нагрузкой. Благодаря жестким в своей плоскости диаф-
рагмам общий бимомент перераспределяется между составляю-
щими стержнями по формулам
' (‘- I, 2,..., т). (56.1)
Пусть точка сечения t-го составляющего стержня соединена
распределенными по длине стержня связями сдвига с точкой ^се-
чения /-го стержня. Будем считать, что связи сдвига имеют форму
тонкостенного стержня, изогнутого поперечного сечения (рис.94),
в частном случае этот стержень может быть плоским. В основной
системе связи сдвига разрезаны по линии, параллельной оси стерж-
ня. Обозначим точку разреза связи, соединяющей точки и Ак, че-
рез Aik. Тогда продольные деформации в точке Aik> если отнести ее
к i -му стержню,
а если точку<4.отнести к -му стержню, то
199
Рис. 95
Учитывая равенство (1), получим, что производная от разности
смешений связи сдвига в точке разреза
Г'=е‘(А. )'Ек(А )=[Bj(EJ>)'][u>t(A.k)-a1h(A.k)]! (56.2)
i.k
а так как координаты о/и ^отличаются одни от других только
разными началами отсчета, то выражение, стоящее в квадратных
скобках равенства (2), не зависит от положения точки А.кна линии
связи сдвига и, следовательно,
Г.' = (В/ЕЕЭ )Л^к,
ск W' ы' ’
L
где Леи — секториальная координата zu (Маточки — начала координат
. отсчитанная в координатах О'1; продолженных через связь А- — Ак , или
равная ей секториальная координата точки — начала отсчета
координат взятая в координатах продолженных через связь Ак —А’
(рис. 95). Полная секториальная жесткость здесь обозначена через
Дадим теперь поступательные смещения и. сечениям составного
стержня в направлении главной оси инерции всего сечения состав-
ного стержня х . При этом возникнут продольные перемещения,
распределенные по закону плоских сечений, причем в центре тяжес-
ти сечения каждого составляющего стержня эти перемещения бу-
дут равны нулю. Получим напряженное состояние, соответствую-
щее изгибу стержня в направлении оси х , которое полностью
соответствует поведению составного стержня с абсолютно жестки-
ми поперечными связями при изгибе в главной плоскости инерции
полного сечения. В основной системе по направлениям разрезов
200
связей сдвига в точках возникнут разности продольных смещении,
производные от которых равны:
, Л?хДх‘*
г _ ----*------,
ск
где Мх ~ внешний изгибающий момент, действующий в плоскости—
суммарная жесткость всех составляющих стержней на изгиб в плоскости гл:
л 1.^
разность координат центров тяжести сечений г-го и *-го составляющих
стержней.
Аналогично, при изгибе стержня в главной плоскости инерции
сечения всего составного стержня z//, получим
, _ МуДу
Ск~ ZEJy
где
разность координат by и by центров тяжести сечения z -го и Z-ro стерж-
ней.
Продольные внешние силы, приложенные к каждому состав-
ляющему стержню основной системы создают приращения разнос-
ти смещения в точках разреза связей сдвига:
Г' / ( Е F ) - N / ( Е F ).
ьк <• < к ' к
Суммируя влияние бимоментов, моментов и продольных сил,
получим выражение для приращения смещений в месте разреза свя-
зи сдвига:
i Вш Дсо М^Дх* МуДук Nl
кк^ 'EEjJ * SEJ* + ЕЕЭу +
/V* о
<56-3)
Кроме внешней нагрузки к основной системе должны быть при-
ложены сдвигающие усилия, которые заменяют действие отбро-
шенных связей сдвига. Эти усилия будем считать приложенными
в месте разреза связей сдвига. Единичное сдвигающее усилие в свя-
зи, соединяющей точку сечения Z-ro стержня с точкой /^сече-
ния Z-ro стержня, вызывает в Z-ом стержне растягивающую
силу /Vt , равную единице, а в к -ом стержне — силу равную
минус единице. Кроме того, эти усилия создают бимомент отно-
сительно точки С, равный для всего стержня
ш ( A.k ) - сок (Ait) = Д
и изгибающие моменты
М^Дхкк, М=Дуа.
X У
201
Подставляя эти значения нормальных сил, бимомента и момен-
тов в формулу (3), будем иметь при сдвигающем усилии в связи
t , (Аш ) (Дх ) (Ду J 1 1
!, ~ ~ ----------------------- + . .. - — -----------
It ik,ik ЕЕЭ^ EEJX ^ЕЭу EE EFk
(56.4)
Единичное усилие Tit — I в связи, соединяющей
I -ым стержнем, вызывает в основной системе:
4-ый стержень с
В, - Аш1г-} M=Axil , /!<,=? z3</ZZ ; /V. = /V, = #.
и/ ' X У " L ' К
Поэтому значение Г' , вызываемое усилием К* = 1, равно
„ Дм Ды1 Ах^Лх^ Ду Ayl1 1 .
U - ---------- А -------- ----------А --- • (56.3)
£Ej EFl
u> л у *•
Единичное усилие Tks в связи, соединяющей Z-ый и s -ый стерж-
ни, создает в основной системе нормальные силы /V = 0. = 1.
Поэтому ‘
_ ДшкЛик1 Ах^Дх^' AyLkAkj' 1
О. — ______f- —-----4- —-------------- . (56.6)
EEJ* ЕЕЭХ ЕРк
Усилие в связи, соединяющей I -ый и j -ый стержни, которые не
являются ни L -ым, ни к -ым стержнями, не вызовет в этих по-
следних стержнях нормальных сил, поэтому усилие 7^.= 1 дает
Лм^ДкУ Дх Axtj AyLk&ylj
О ---------- t----------+ ------------
Щ ЕЕЭ ZEJ ЕЕ Эи
(л) -7
(56.7)
Полное приращение разности смещения в точке
, аСк ЬСк
Pik ~ Гск ^ik,ik+j^i Tkj^t,kj+Tlj' ^i-k,0>
где — число связей сдвига, соединяющих i -ый стержень с другими
стержнями (не считая ж -го стержня) ; число связей сдвига, соединяю-
щих к -ый стержень с другими стержнями (не считая Z-ro стержня) ; —
число связей сдвига, не примыкающих ни к Z-му, ни к к -му стержню.
Разность смещений Fik можно считать пропорциональной сдви-
гающим напряжениям в связи сдвига, которая соединяет точки
Л-и Л,:
5* = ^/^.
где коэффициент жесткости этой связи.
202
Усилие же Т-^ представляет собой интеграл
az’
взятый по длине шва от начального сечения до рассматриваемого.
Из последних трех уравнений получим
т" /4 = 77 S + Е2Т £ 1-£Т<? ^£7/ (56.8)
ik lk ск Lktik il Lktil j=1 kJ ik,kj Lk,lJ tkp
Составив такие уравнения для каждого шва составного стержня,
получим полную систему дифференциальных уравнений, из кото-
рых можно определить сдвигающие усилия во всех швах.
Учтем теперь влияние сен-венановских крутильных жесткостей
Gl'Kp составляющих стержней, которые создают дополнительный
крутящий момент, равный ЕбЗКр0'} что следует из уравнения
кручения тонкостенного стержня:
EEG XG9kpe"=hi,
где /ту— погонная крутящая нагрузка.
Интегрируя это уравнение два раза, будем иметь:
хЕ^е"=Ееэкре-в„.
Здесь — бимомент, создаваемый внешней нагрузкой; EG ^кр в — до-
полнительный бимомент, возникающий вследствие крутильной жесткости
Этот дополнительный крутящий момент можно внести в сво-
бодные члены уравнений (8) и написать вместо формулы (3):
- A.^W(56.9)
Так как в систему (8) вводится дополнительно неизвестное зна-
чение 9 , то к этой системе следует добавить еще одно уравнение,
которым может служить равенство
ЕЕ9 д"^~В, Ла>"к &.
си l к *Р
Вся система уравнений для определения неизвестных Tik и 9 полу-
чит вид:
- /$. = Т. 6. + X Т S. , + Х Т S. к
ск ' Zk ск ik,tk it iktiZ j-i kj
cit
i- X T d +S.
EEZ!u
>(56.10)
ХЕЭ e"=-ETM>ik-B-k XGJ.
Uj I к *P
203
57. ОДИНОЧНЫЙ ТОНКОСТЕННЫЙ СТЕРЖЕНЬ ОТКРЫТОГО ПРОФИЛЯ
СО СВЯЗЯМИ СДВИГА
Поперечное сечение такого стержня (рис. 96) можно назвать
упруго замкнутым. Будем считать, что податливость связей сдвига
намного больше податливости на сдвиг стенок самого стержня;
тогда сдвигами стенок можно пренебречь и считать, что стержень
работает согласно закону секториальных площадей. Уравнения для
расчета такого стержня могут быть получены из уравнений (56.10) ,
как частный случай. Необходимо лишь отбросить знаки суммиро-
вания, положить 4xiV= 0, а 4<у‘^обозначить через /1ги,что
является разностью секториальных координат сечения в месте раз-
реза по связям сдвига. Учтем также, что нормальная сила в стержне
от действия усилий Т равна нулю, а внешняя нормальная сила и
внешние изгибающие моменты не вызывают сдвига по линии свя-
зей.
Согласно (56.3) и (56.4), получим:
Л, = <5'= В Да>Ц£Э ) S' = (Aaj)2/(EJ ).
Такимобразом, вместо (56.10)
Т" (Леи)2 Деи вЗ Деи
---------------------------^Гв''
EU е"=-ТДш-в + BJ. &
ы а>
или
Просуммируем уравнения (1):
т"/($дtее'—туцдш)
(57.1)
(57.2)
и, подставив (2) в первое уравнение (1), продифференцированное
два раза, получим
Рис. 96
204
£Эд,
jy ''
т + ЛиТ +
G J кр
% Ли '
т"+ви-о
ИЛИ 2
EJ, T&-LGJ ' + i= (Ли) ]т +^ЛиВш = О.
1л1 *Г
Если подставить 7"'= - 4 Ли б " в продифференцированное два раза
второе уравнение (1), то получим уравнение для углов закручи-
вания:
EJ 0:ВГ-[£б+$(Ди^]0"-3,"=О.
(лб F'P uj
Задачу можно обобщить на случай нескольких распределенных
связей сдвига, соединяющих различные точки поперечного сечения
стержня (рис. 97). При этом будем иметь несколько неизвестных
сдвигающих усилий т. и несколько коэффициентов Ли., пред-
ставляющих собой разность секториальных координат в ‘местах
разреза связей А. . Получим систему уравнений
EJ т'.'/Е = ЕТ1Ди>Ли.+В Ли.-бОЛи.б
и L ' 'с к к С и L */><.'
EJ е"^~ 22 Т. Л ш - В + GJ 0
си k~i к к си кр J
(57.3)
(Z = 1,2,..., п),
где П-— число связей сдвига в сечении стержня.
Разделим первое уравнение (3) на Д и сложим со вторым
уравнением. Тогда
т"/(EAuj. ) + 9"=0- т'\-Лси 4. &" (57.4)
•-'ll J L Lb
•f /П"
Следовательно, все Т пропорциональны значению 6.
Подставив (4) во второе уравнение (3), продифференцирован-
ное два раза, получим
EJ 0&~ (Ли )2 +GJve]e"-^0. (57.5)
LU с L *Р Ш
Например, для двутавра, усиленного планками, приваренными
к концам полок, как показано на рис. 98, имеем
Аи^ Ли^~ 0,5 bh,
и уравнение (5) становится:
Е0°- (0,5b2hZ$ + =0.
205
ь
Рис. 97
Рис. 98
58. СЛУЧАЙ ДВУХ СОСТАВЛЯЮЩИХ СТЕРЖНЕЙ
Положим сначала, что стержни соединены только одной распре-
деленной по длине связью. При этом система уравнений (56.5) при-
обретает вид (липшие индексы отбрасываем):
„ г (58Л)
=-тлш-
где, согласно (56.4) и (56.3):
д» (Ди>)2 (Дх)2 (Ду)2 -f /
°” - + ~±ёих + £ EJy * ТЁ^ + ~ЁЁГ ’
ВшДы МхДх МцДу A/r N2
^о~ Г + ЕР, EFZ '
Если стержни соединены несколькими связями, то в отношении
изгиба и продольной силы эти связи можно рассматривать как одну
обобщенную связь с приведенным коэффициентом жесткости $пр и
с одним суммарным сдвигающим усилием Т= Z. тк (к— число свя-
зей) . При наличии кручения так поступать нельзя, ввиду того, что
разность Лы зависит от пути перехода по связи от контура сечения
одного стержня к контуру сечения другого (тогда как значения Дх
и Ду от точек прикрепления связей не зависят). Поэтому систему
уравнений (1) для нескольких связей следует писать в виде:
77 (Дик)2 _ [ (Дх)2 (Ду)2 1
7+L EEJX + EEJy + EF, *
б "= (ТкДа>к)+ EGJxf> Q- 8Ш
[нетрудно произвести аналогичное обобщение уравнений (56.6)
для стержня с любым числом составляющих стержней].
206
59. НЕЗАКРУЧИВАЮЩИЕСЯ И СИММЕТРИЧНЫЕ СОСТАВНЫЕ СТЕРЖНИ
Если жесткости настолько велики, что в пределах
требуемой точности расчета их можно положить равными беско-
нечности, то вместо (56.3) — (56.7) можно написать:
^ik, it~ Ъ,кГ s MxAxik Mu АУik "i Г^к
EEJX + (Ax1*)2 z AxikAxil EEJy (Ayik)z EFi 1 EFk ' 1
EEJy ' A у Ay1-1 FFi ' EFk ’ >• (59.1)
EEJX ' Ax^AxkJ EEJy &y‘,kAykj ‘ tFi 1
AxikAx^J EE^y EFt AyLt Ay
Lk'lj ~ EEJX EE
и тогда с этими обозначениями остается в си Ле система уравнений
(56.8).
При наличии одной оси симметрии сечения стержня внешнюю
нагрузку можно разложить на симметричную относительно этой
оси и на обратно симметричную. Симметричная нагрузка не будет
вызывать кручения и изгиба стержня в направлении, перпендику-
лярном оси симметрии. Следовательно, здесь надо положить рав-
ными нулю все Z14> и Ду, а также &и и Л-'у. При этом:
6 = МхАхСк . .
ск'° Е0К EFt EFk '
г _ (Дхгк)2 7
££7* + + EFt ’
о Дх^Дх^1 1
ik.it ~ + £р. '
' - AxckAxkj 4 , Л _ Лх AxlJ
ik-kJ~ EEJX ~ EF ' kk,tj~ EEJX
В данном случае получаются уравнения плоского изгиба составного
стержня. Вместо использования условия симметрии к этим урав-
нениям можно прийти, устремляя в бесконечность жесткости
£ЕЗу,ЕЕЗш и EGJxp.
Обратно симметричная нагрузка не будет вызывать смещений
Вдоль оси симметрии. Уравнения для этого случая можно получить,
устремляя в бесконечность жесткость ХЕ^х; выражения коэффи-
циентов S выписывать не будем, ввиду очевидности их получения.
При наличии двух осей симметрии сечения внешняя нагрузка
разлагается на четыре части:
207
1) симметричную относительно обеих осей симметрии;
2) симметричную относительно первой оси симметрии и обратно
симметричную относительно второй;
3) симметричную относительно второй оси симметрии и обратно
симметричную относительно первой;
4) обратно симметричную относительно обеих осей симметрии.
Для второго и третьего случаев загружения имеет место плоская
деформация стержня. Для первого случая получим:
^f:.-N.IFF^NJEF, • 'Да- ’/FFf1'FF>'
f ’Ч/EF.-, = -1 /EF', <к.,-=0,
ik,it ' J. it,kj к ‘k'LJ
а для четвертого случая — кручения без изгиба:
= BJbS* Мг Nk
Л EF- EFk ’
* EFl * EFk ’ °а,1Г ’
г. 1 _ йы1кДа>к' 7
EFL ’ ~ EFk '
Для первого случая следует использовать уравнения (56.8), а для
остальных — уравнения (56.Ю). Симметричные и обратно симмет-
ричные составляющие стержни попарно обозначаются одинаковы-
ми индексами.
60. ПРИМЕР ПЛОСКО ДЕФОРМИРУЕМОГО ПРОСТРАНСТВЕННОГО
СОСТАВНОГО СТЕРЖНЯ
Для примера возьмем симметричную систему (с одной плос-
костью симметрии) из шести составляющих стержней, соединенных
связями сдвига так, как показано на рис. 99, и нагруженную сим-
метричной нагрузкой. Учитывая симметрию, ограничимся рассмот-
рением одной половины сечения.
Обозначим площади сечений составляющих стержней эквива-
лентной системы через 0,5 Fr, Fz, F3 и 0,5 F^. Знаки усилий в связях
сдвига Т12 ,Тг.б и принимаются такими, что стержень,номер
которого стоит в индексе первым оказывается этим усилием рас-
тянутым, а стержень, номер которого в индексе стоит на втором
месте, - сжатым. Расстояния между центрами тяжести сечений
составляющих стержней считаются положительными, если переход
от первого этого расстояния ко второму происходит в положи-
тельном направлении оси х .
В соответствии с равенствами (59.1) получим:
208
т''/4 & + т ff +тff +ff ;
12,12 23 12,23 34^12,34 41 12,41 12,0 ’
Т" It ~Т S + Т ff +Т ff +Т 6 + ff
'23'423 42 23,12 23 23,23 34 23,34 4123,41 23,0 ’
т" а 34 =т 3^ f 12°3^,12 + ~^23^3Ч,23 ТЗЧ^34,34^'Г41^34,41 + ^34,0 j (60.1)
Т" /£ =Т S + 41'2 41 12 41,12 Т23^41,23Т3<1^41,34^Т41^41,41 + ^41,0’
где 6 12,12~ (A^)Z EEJ„ + 2. 1 Дх Дх 1
EF^ ' ЕЕг ’ ° 12,23 EEJX EFZ 2
8 Ax^Ax^ „ _ Лх^Дх’11 2
12,ЪЧ EE J, ’ С12,41 EEJX EF1 '
S - <Зл23Л?г 1 . (Дх23)2 1 . 1
23,12 SE7X ЕРг ’“23,23 ZEJX EFZ ' ЕЕ3 ’
ff _ ДлгЭДх34 1 . x Длг3Дл
23,34 ZEJ* EF} ’“23,41 ZEJX
^34,12 _ A x 3 x 2 Дх^Дх23 1
ZEJX J “^'23 EEJX EF3 '
ff _ (Ax3,>)z , 1 . 1 . х2 Ax^'Ax41 2
ZE J, ' ЕЕ3 ЕЕ, ' ^34,41 ££2* C-F, ’
ff. 4 Да J л 12 г> л 41 . 23 2 . f, Дх Дх
и41,12 ZE 3, EF^ 41,23 ~ Z.EJ*
ff Дх^Лх 34 2 . п (Дх^)г 2. 2
41,34 ^ЕЭЛ ЕЕ^ ’“41,41 ZE1X ' ЕЕ,, ЕЕз
209
При составлении формул для коэффициентов <S можно руко-
водствоваться следующим правилом. Если все цифры в индексе
различны, то выражение для коэффициента имеет один член, если
одинаковые цифры индекса находятся по краям или в середине, то
второй член имеет знак минус, если одинаковые цифры расположе-
ны в индексе через одну, то второй член имеет знак плюс (имеют-
ся в виду члены вида 1/ ( £ Ее ), появляющиеся при двух одинако-
вых цифрах 4, и в индексе при £].
Свободные члены уравнений (1) имеют значения:
$ МхДх12 2N., /у? * N3
lip ZEJX * ~ЁЁ^ ~ EFZ 1 ZEJX * EF2~ EF3 3
Mx^3^ 2N4 МХЛ^t 2Nh 2Nj
ZEJX * EF3 ~ EF^ '°4ip ZEJ^EF, E F,
(60.2)
Подставляя численные значения размеров сечения, показанные
на рис. 103, получим: Дх1*- 2 м, Дхгз~ 8-м, Дх311-- 2 m,4xv =
— — 8 м, 227 = 18,5 м4 — для половины сечения.
Коэффициенты жесткости связей сдвига принимаем обратно
пропорциональными расстояниям между соединяемыми ими
стержнями
^i = d-l8’
где d — коэффициент пропорциональности, определяемый структурой и
размерами сечений связей сдвига.
Для связи 4—1 берем половинную жесткость ввиду того, что
она идет по оси симметрии сечения стержня. Усилие при этом
также относится к половинной толщине связи, т.е. в 2 раза меньше
истинного усилия^ в полном стержне, не разделенном плоскостью
симметрии.
В свободных членах (2) принимаем продольные силы пропор-
циональными площадям поперечных сечений соответствующих
стержней; при этом из выражений для свободных членов продоль-
ные силы исчезнут и будет:
^12,0 = °.Ю8Ш/£; <5‘23 о = О,4324^£; ^34 0 = - 0,1081^/£;
^4Ь0 = -°.4324/И/£.
После подстановки всех числовых значений в уравнения (1)
получим систему:
0,1818d£T"n =2,5495 7", 9 + 0,5315 - 0,2162 7\, -
-2,8649Т41Ф0,108Ш ; 23
O,25OOd£73b - 0,53157",9 + 4,7928 - 1,8649 -
- 3,45957-?, + 0,4324Л£; 4
0,1818d£7-3^=-0,2161 Г12- 1,8649Т23+ 1,4505 Т^-
210
- 1,5315Т4] - 0,1081 М,;
O,125Orf£^fi = — 2,8649 Г. 7 — 3,45957" — 1,5315 7"
+ 6,1261 Т4\ - 0,4324 /Ил.
Дальнейшее решение этой системы дифференциальных уравнений
производится известными методами и не вызывает принципиаль-
ных затруднений.
61. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ЦЕНТРАЛЬНО СЖАТОГО
СОСТАВНОГО СТЕРЖНЯ
Центрально сжатым составным стержнем называется такой
стержень, в котором продольные деформации всех составляющих
стержней имеют одинаковую величину, постоянную по всему се-
чению. При этом значения (56.3) равны нулю так же, как и
бимомент а уравнения' (56.10) становятся однородными,
имеющими тривиальное решение.
При вынужденных поступательных и вращательных перемеще-
ниях сечения центрально сжатого составного стержня
Мх~ Р(и-ауе) , Му~-P(v+ахе)'>
ВьГ р(ауи+а,
(61.1)
где и., и — поперечные перемещения центра тяжести всего сечения состав-
ного стержня; в — поворот сечения вокруг центра изгиба, имеющего коор-
динаты , а.у в главных центральных осях всего сечения; г/ — квадрат
полярного радиуса инерции всего сечения составного стержня, взятого отно-
сительно центра тяжести этого сечения.
Подставив значения и bu (1) в выражение (56.10),по-
лучим
г л ik л Ш
I Да> , г Дх ,
° I* *г.в> - ’а >в>
Ду
—-— (- v - а
- ~ Лео 9
[поскольку N./(ЕЕ ) =
тии]. Или ‘
Г.'=р\( а +
ik Ik У
Nk
Л
•'‘-'к
ik \
X )
при центральном сжа-
XEJ,, а
Ду ) / Ды*
—_-1 Y + ———
*
2 ZJ X
т---------а -
и ° Z£Jx *
iy
—Дшке.
Система уравнений (56.10) после этого приобретает вид:
211
Tjk
Г/ &(vLka
1к“Тё<
Acj^r*
Е-ЕЭ,.,
aik *>ik cik
*ЕГЛ T k
1=1 cl ck,t.l J=1 kJ ik,kjtjs1 Ij lk,lj
лЛ* Ayck \
7w + 2ЕЛ,/ *"
" У (61.2)
EG3Kp it
® EEG &U
Axik
ZE J*
Axikay Ду1ка
EEJ* ЕЕЭу
EEJ д"=-ЕТ Av-P(a.u + avi-r°B)<-GJ8.
cu l к у * и KP
При отсутствии обозначения области суммирования знак суммы
распространяется на все стержни или на все сдвигающие усилия.
Кроме уравнений (2), надо написать еще два:
EEJu"=-ETAxLk-P(u-ae)-, 1
L .. k (61.3)
EEJvv"=~ET.k AyL -P(vi-ax0). J
Эти последние уравнения соответствуют продольному изгибу
стержня в направлениях х и у без закручивания.
Неизвестными в уравнениях (2) и (3) являются От-
личные от нуля решения здесь возникают при равенстве нулю опре-
делителя этой системы уравнений, а значения сжимающей силы Р,
при которых определитель обращается в нуль, представляют собой
критические усилия.
Для двух составляющих стержней, соединенных одной связью,
имеем:
7" Г (Aw)2 (Лх)г (Ру)г
У=Г1 ЕЕЭш + ЕЕдх + ZEJy
/ Дыау
ДсуРр
EEJU
ХЕВшв"^-ТДш-Р(а^и-ах vcrff)-ZG3KpВ ;
ЕЕЗ*и"^-ТДх-Р(и ~аув);
ЕЕ Jyv"=-TAy~P(v + ах9).
212
Глава 10. КОЛЕБАНИЯ СОСТАВНЫХ СТЕРЖНЕЙ
62. ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ БАЛКИ
Упрощенное решение задачи о колебаниях составного стержня
получим, учитывая только те инерционные силы, которые действу-
ют перпендикулярно оси стержня. В большинстве случаев такой
подход вполне приемлем, поскольку продольные перемещения
стержней, как правило, значительно меньше поперечных. При этом
к внешней поперечной нагрузке входящей в уравнения состав-
ного стержня,требуется лишь добавить инерционный член -ту .
где т — погонная масса всего составного стержня. Точками буде'
обозначать производные по времени t , а штрихами и римскими
цифрами — производные по длине стержня х .
Продифференцируем два раза уравнения (33.2) и (33.3)
г.к , э
= ПУЛ
х о" Г (62Л)
ZEJyiy-=Zck Т^-М J
и, считая внешние продольные силы /V0 постоянными по длине
стержня, положим:
о" о .. М _ 'Я' + тУ
Л/ = - ^ + ту ~
Будем иметь систему дифференциальных уравнений в частных
производных:
7^® " ..
Тк * ZEJ Ч = ZEJ '
(1~ 7,2.}.. .}ti) 'j
IS Д И О
EEDy '
Для нахождения собственных частот и форм колебания состав-
ного стержня надо исходить из однородной системы уравнений,
получаемой при отсутствии внешней нагрузки:
72 к. „ mcL ..
ZEJy^my-Zc Т^' = О.
к = 1 * *
Полагая
у~ Y (х) sin (art + у>); Т. = в. (х) sin ( art / Ч,)>
213
где У, О — функции одной переменной Л; а> — частота; Ч> — фаза колеба-
ний.
Придем к системе обыкновенных дифференциальных уравне-
ний:
п п тaj2с
~~~ ~ ГЛ.. 0к--у.-_ 0;
*=f Lk ^EJ
jy у n „
LEJY -mjY-Zcff = 0.
k к
Для стержня из двух брусьев эта система получит вид:
0s „ ты2с
Лпв 2EEJ Y=°i
(62.2)
Исключая О из уравнений (2), получим:
0=(1/c)(EEUYiy- maiZY) (62.3)
и вместо второго уравнения (2)
VF "> " . Л? 2
Z£JX -muTY -AO(EEJY -ты Y)~
Хг0с2т^ (62-4)
A„ ZEJ
где _______
Учитывая тождественное соотношение
1-СгЦД„ ZEJ} = EEJ/(EJM ),
где Е — жесткость на изгиб всего стержня, рассматриваемого как моно-
литный, можно написать уравнение (4) в виде
EJM (ГЕЭУ*-тш У")-Л* SEJ(EJ"-^a?Y)=0. (62.5)
При абсолютно податливых связях сдвига = 0 имеем про-
дифференцированное два раза уравнение формы колебаний двух
параллельно работающих стержней, не связанных между собой
связями сдвига:
S 2 к и
ZEJY -тш У - О.
При абсолютно жестких связях сдвига получим урав-
нение колебания всего стержня, как монолитного
27 Z
ЕТ У -та> y = О.
м
214
Для балки, шарнирно опертой по концам с торцами без пре-
пятствий сдвигам по шву, форма собственных колебаний имеет вид
синусоиды:
У = Yk sin (kfl-x/l); sin (к7Гх/г). (62.6)
Подставив первое выражение (6) в уравнение (5) и сократив на
sin (kjrх/I') , получим алгебраическое уравнение
( кбЗГ6 г-
г ( г\ п
-Ао ---W
откуда
2
ты ----т-
кгЛг+ Аго 1г
оскг~-7Гг + \го1г
(62.7)
где ос = ЕИм /2.ЕЭ.
При этом суммарно сдвигающие усилия, согласно (3), будут:
(2 £7 ~^~рг ты) Y^sin {k^rxjl)
вк ----\^г )Yk sin (k^-x/i)
или, подставляя сюда (7),
в*~ с <*-/*za+t2/(kzsr2) y*siri
Из формулы (7) видно, что низшие собственные частоты при не
слишком малых Хо I приближаются к частотам монолитной балки
того же сечения, а высшие — к частотам балки, лишенной связей
сдвига. Следовательно, спектр собственных частот составной балки
несколько сгущается по сравнению со спектром монолитной балки.
В случае других граничных условий необходимо найти сначала
общий интеграл уравнения (4):
6 Ал
У=21с. г> ‘, (62.8)
4 = 7
где А • (£ = 1,2, 3, 4, 5, 6) — корни характеристического уравнения
EJ (EEUA-ma/ Аг}-^п EEJ (EJA-m^hO
м ом
или
/- Л* Л /л - -A-J = 0. (62.9)
215
2 2
При А ~>о° левая часть уравнения (9) отрицательна, при Л=0
равна /(в ) 7 О , при она равна А$ (А~~Х ^0,
так как ос > 1, и при Аг-»<» левая часть снова становится положитель-
ной. Следовательно, уравнение (9) имеет для Д2 три действи-
тельных корня, из которых один отрицательный и два положитель-
ных. Обозначим эти корни через и Jb3
Тогда общее решение (8) можно будет записать так:
У = 7, sin Д х * Сг cos fi1 х +C3shfoz* +
+ chfi2x + C5shfi3x + C^chfl3x. (62.10)
На основании (2) при этом:
e — [(EEJJ^ - mcd)(C1 sinfi1 x+Cz cosj31 x) +
.+ (EEJft*-та/)( shji2x t C^cHJ^o<) +
+ muj )(C5shfl3x + Cs chji3xj\;
1
7ft-(c3shft2x + C2Ch ftzx) +
\ J32 /
\ J*3 '
Л / Z m
®~c T£JA-7
(c sinft^^^cosji^xji- >(62.11)
63. КОЛЕБАНИЯ КОНСОЛЬНОГО СТЕРЖНЯ
Рассмотрим собственные колебания составного консольного
стержня (рис. 100). Граничные условия для у такие же, как в мо-
нолитном стержне:
при л - 0 У — 0;
при А ~1 У= 0.
Для суммарных сдвигающих сил имеем:
при Л = 0 3 — 0;
при л —I в ~ 0
и, согласно (34.3) , поскольку Q(t) ~ 0:
(63.1)
(63.2)
при x=Z Е£7 У'" = св'.
(63.3)
Далее из условия отсутствия продольных напряжений в верхнем
торце стержня получим
216
при х = Z .г'^бл1Е-С /Е =о-
ъ 1 ' (63.4)
г'= т"=о-, в'-о,
где &в>&н~ краевые продольные напряжения в волок-
нах первого и второго стержня, примыкающих к раз-
деляющей плоскости шва.
И наконец, считая распределенную продоль-
ную нагрузку на стержне отсутствующей, бу-
дем иметь:
Рис. 100
при X.Z?; г"=б‘в/Е, ~б'н /Ег = 0; (63.5)
т>1'~о е"'= о,
так как производные /И) , М'г . Д'/ и Л/, в заделке стержня равны
нулю, ввиду равенства Т — 0.
Итого мы имеем восемь граничных условий в соответствии с по-
рядком системы дифференциальных уравнений (62.1). Впрочем,
вместо в можно ограничиться вначале определением функции &" и
тогда порядок системы (62.1) можно считать равным шести, и ус-
ловия (2) окажутся не нужными.
Подставляя в граничные условия (1), (3), (4) и (5) общее
решение (62.S), (62.9), получим однородную систему уравнений:
Сг + Сч + Св = 0 ; А С< * А 6з ’ А С5 " ° ~
-с1 fasin 1 - fa J32 cos fi11 1- fa sh fa I +
4 fa fa} eh fa1 + sh fa l <- fa ch far- 0 .
(EE J fa\ - mfa ) ( fa sinfal + fa cos Д zj + (ZE Byfa-
(C3shfat t fachftfa-t faEH/fafa ппГУ
* ( fa sh fa i + e$ Ch j53l) ^0;
(EEJfi? - mcs2)C1 + +
+fi3 та/)С5 = 0 ,
- Д3 COS L’z fi* sui fa I + fafa Chfiz I +
+ L\ J3? sh fa2 I + C5 ch fa I + Св /Ь32 shfa I =
217
= '(а"(с<cosfil1 ~ Czs,n^l) +
\А--Т^3УС*СЬ&1* cBshfi1l)-
Для нахождения собственных частот и форм колебаний следует
приравнять нулю определитель этой системы уравнений. При этом
надо помнить, что значения ,fl3 представляют собой функции
искомых частот, являясь корнями бикубического уравнения
(62.9), в коэффициенты которого входит и . Таким образом, по-
лучим хотя и сложную, но вполне разрешимую для современных
ЭВМ задачу.
64. УЧЕТ ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ ИНЕРЦИИ
Более точное решение задачи о колебаниях составного стержня
получим, учтя, кроме поперечных, также продольные силы инер-
ции. К этому решению можно прийти следующим образом. Сдвиг
по г-му шву представим в виде
С. = и - и . + с, у',
С с+1 L I
где — продольные перемещения вдоль оси Z-ro стержня,
или, выразив Д- через сдвигающие напряжения
/<• = “г.-Г “1 +сг У'-
Из условия равновесия вдоль оси д-го стержня имеем
Е . F. и " + Т. - Т. - mil. + р.-0,
*- t Z l L-1 i С
где т; — погонная плотность /-го стержня; р. — продольная нагрузка
/-го стержня. L
Наконец, условие равновесия в поперечном направлении дает
приведенное ранее второе уравнение (62.1).
Итак, мы имеем следующую систему уравнений:
и. - и.+ с. и' ~ Т /$ ~0 (i = 1 2 /г)',
Щ L J t. У 1'2
Е- F и."-т.й. + К - t ~ (с=1,2,...,Н<-1); V (64Л)
ZEJ^+ ту ~ £ г' с - й
к-! '
П^1
( т = Е т );
всего в ней 2м + 2 уравнений c2ft +2 неизвестными: (?.- 1,
2, ...,л), w£(i= 1,2,. . . ,h+ 1) и у. ‘
218
Для стержня из двух брусьев ( п — 1) система уравнений (1)
принимает вид:
иг~ и^ + су' = 0,
и1 ~ т1 ~ р 1 '
Ег Р2 и. £ - т2 й2~ l ~ р2 ;
2’£7ул?+ (rn1 + m2)ij + cZ'=ty.
Свободные колебания с частотой оз здесь описываются системой
обыкновенных уравнений
U2~ l^-cY'-(9/$) =^0;
ElFlu;' *> (64 2)
F2 и” + т иг -0=0;
ZEJY^-(rn,+-rn2)cJ-Y-ce'=0, ;
получаемых из условий:
и.^-UfSin (uii + W); и2 = U2sin/(^>t + V);
у= Ysin. (mt * V); t' = 9 sin (mt + Ч2),
где U,, U2 , Y, & - функции одной переменной Я.
Характеристическое уравнение системы (2) имеет вид:
~1 _ 2 1 г cX I
E.'F'X +m1 m 0 0 1
0 Е^^Х^т^ш2 0 -1 = 0.
0 0 EEJX^(mp - -cX
После раскрытия определителя получим
- (Е2Е2л\ т2тг )(£ЕЗАЧ-тгтг)-(EjF.,
* ( ЕЕ JA'-m тг)- X2 (F, 5
(E2F2,\ + m.La.>z) 1- (!/$)( X^+rn^ oj2)(E2fz > *+
+ mm2 )[ее и mz) oj2] = О
219
относительно «>г имеет три действительных положительных корня
(рис. 103). Таким образом, для каждого к существуют три собст-
венные частоты колебаний составного стержня, получаемые при
учете инерционных продольных сил.
Глава 11. СОСТАВНОЙ СТЕРЖЕНЬ С УПРУГОПОДАТЛИВЫМИ
ПОПЕРЕЧНЫМИ СВЯЗЯМИ И СВЯЗЯМИ СДВИГА
65. ВЫВОД ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ
Рассмотрим теперь более общую задачу о составном стержне на
упруго податливых связях сдвига и упругоподатливых поперечных
связях. При ее решении приходится вводить две системы функ-
циональных неизвестных — усилия в связях сдвига Z; и усилия
в поперечных связях , причем получается система 2п уравнений
с 2/Z. неизвестными, где п — число швов.
За основную систему выгодно принять составной стержень, ли-
шенный и связей сдвига и поперечных связей. Определим произ-
водные Г-' по длине стержня от сдвига вдоль /-го шва, вызыва-
емые действием различных факторов. Единичная суммарная сдви-
гающая сила — 1, действующая в /-ом шве, дает значение этой
производной
= Л65л>
Действительно, кроме осевых сил в z-ом и t + 1-ом стержнях,
равных единице, в этих же стержнях действуют моменты, равные
Д и Ъ-, от которых возникают краевые напряжения if./J- и b2/Jtl_^
производная rj представляет собой разность частных от деления
краевых напряжений на соответствующий модуль упругости.
Единичным суммарным сдвигающим силам Т. и Т. , дей-
ствующим в i-1-оми /+ 1-ом швах, cooibcicibviot производные
Г равные:
220
(65.2)
Сдвигающие силы, действующие в остальных швах,
на сдвиги Лго шва основной системы не влияют. Видим, что
Внешняя нагрузка дает производную от сдвигов в основной сис-
теме
M°i ас ____
"° ,
(65.3)
Через 7 и +1 обозначены моменты и осевые силы, прило-
женные непосредственно к 4-му и t+ 1-му стержням.
Действие усилий, возникающих в поперечных связях, на отдель-
ные стержни можно выразить через моменты, появляющиеся в
стержнях от этих усилий.
При непрерывном распределении поперечных связей по длине
стержней имеем
s.--dZM . /dz2 = MS /d
L It ' ё + 1,L I
Через s обозначены усилия в поперечных связях Г-го шва, отнесенные
к единице длины шва, а через Л/Д- и моменты, вызываемые этими
усилиями в Z-ом и i + 1-ом стержнях основной системы.
Поэтому за неизвестные можно принять моменты и-'1и равные
им - Msit1 i, которые в дальнейшем будем обозначать -5’, имея в
виду, что '
s.= -ciZ S-/ (65.4)
Приращения сдвигов в Лом шве от действия единичных момен-
тов 25-1, 5. ,= 1 и -5. =7 равны:
- - aL /(Ег . bL /(£i+1 j. ),
), /(е,^
Полная величина производной от сдвигов выражается форму-
лой
Г - = д.. т. + д. .т q. т. '+
< -’l,!,-] L-1 УL,l I lit
+ h S +h..S.+h.. S.
1,1-1 ‘-1 ‘Л ‘ ’ lO
и дифференциальное уравнение ;щя каждого шва имеет вид
221
„ли 1 l(E1F1^Z*rn1ui")-f 1/( Ег Ргл + mza>:l-)+ (64.3)
* сг-?/1ГЕ Jx'-fm^ тг)шг']^ 1/Ь.
В полученном алгебраическом уравнении четвертой степени для
Л все корни действительны. Для доказательства этого предста-
вим уравнение (3) в виде:
7 +___________I_______+
Е-^Х2 + t=zFzX2+mzcu2
+ °'5°2 ± _ 1 .
Е 5 А2+ iZEJ Хг-^ $
Каждый член в левой части в зависимости от Аг может быть
представлен гиперболой с вертикальной асимптотой (рис. 101).
Сумма этих членов А дает график, изображенный на рис. 102.
Кривая Я=Я(Лг) монотонно убывает, переходя через бесконечность
при Хг, равных:
222
_ 2
- т .си
2
т.< CU
с*/ л * ‘1 "'2 I 7 ~ f,,2.
Е, F, ’ EzF2 ’ ~ Г TEJ 14 / ZE3
При Л* 2= 0 (1/й/) (1/гп + 1/лп2)>0. Поэтому при 7/^(//а/9(7/
lt-n1+^lmz), т.е. 4 > mi п,г ^/{т^ +гг>г~) горизонталь R- 1/4
пересечет кривую Л¥ХЭ дважды в зоне отрицательных значений
(Л2< 0) и дважды - в зоне положительных значений (Л2>0). В этом
случае уравнение (3) имеет для два положительных или два от-
рицательных корня, что соответствует виду общего решения
Y = A sin А,х + В, cos А, х -* A, sin А2х + В 2 cos Аг х +
+А3 sh А3х + В3 chA3x + A.,sh А<, х + В^ ch А^ х .
В случае, если
$ <- mz и>г /(fr^f тг),
получим три отрицательных корня и один положительный и общее
решение вида
У = A,sin А-,х + В1 cosA-, х +Аг sin А2х t Вг cos А2 х +
+ АЭ sin А3 х + В3 cos А, л + 4^ sh А^х + В^ ch А^ х -
Сравнительно простое решение будет для случая шарнирного
опирания стержня со свободными торцами. Граничные условия
здесь:
при х — 0 и х = I Y- y"~ If = U£ -0'=0.
Этим граничным условиям и общему интегралу системы уравнений
удовлетворяют функции:
У Уи sin ( k?Tx ft)', Ц = U1kCOs (кЗГх/l)),
= uZk cos (кЯх/г); 9~0к cos (k?rx)I)
После подстановки в уравнения (2) и сокращений на тригономет-
рические функции получим однородную систему алгебраических
уравнений, определитель которой следует приравнять нулю. Полу-
чим снова уравнение (3), в котором А3 * надо заменить на кЗог2/г2.
_________±___________. ____________1__________+
кгЯ2/1г тг сог - Ez Fz k2XZ/t*
c2k2irz/t'_____________ = 1 . (64.4)
(+ m2 )ахг -EE t*1
2
Это уравнение надо решить относительно со . Тем же методом, что
и для случая уравнения (3), устанавливаем, что уравнение (4)
223
* S‘-< * t **,_./ si. , *9j> ,<’5-'1
Другая группа уравнений выражает зависимость между усилия-
ми и деформациями в поперечных связях. Распространяя на них
закон Гука и вводя коэффициент пропорциональности , анало-
гичный коэффициенту в связях сдвига, получим
<65-6)
где ^Ус — разность прогибов стержней, расположенных по обе стороны
i-го шва. Она будет положительной, если стержни удаляются одни or друг и-
Вычислим разность кривизн соседних стержней, являющуюся
второй производной от разности прогибов Ду^ , которая возникает
от различных факторов в основной системе. Единичные суммарные
сдвигающие усилия в /-1-ом, r-оми Г+ 1 -ом швах дают следую-
щие значения разности кривизн в / -ом шве:
L. .
L,L~1 L~ 1 ' I L '
I . = <2 . „ /(E. , Э. ).
l,C + 1 l + 1 ' Lt-1 '
Как видим,
l . - h к .
L k kc
Единичным моментом 5t- = 1, -S^., = 1 и St>,= 1 соответствуют
разности кривизн в Z-ом шве: k^ с, kt и * , равные:
kL,k=
Здесь имеют место равенства:
С А: <4
Наконец, внешняя нагрузка дает разность кривизн
к = М° / (Е У.)- М° !(Е. J. ).
Общая разность кривизн в z-ом шве будет
(65.7)
Дифференцируя два раза равенство (6), получим:
s. = )"
224
и, имея в виду равенство (4), пишем сразу дифференциальное
уравнение второй группы для Лго шва:
S1* =~f7 (i Т. ..Т + t. .
I 'i C,L-1 L-1 ZZ. < 1,41 41
+ k S' -к S + k S. ik. ). (65.8)
i,i-1 41 H i + 1 C°
Вся матрица системы уравнений (5) и (8) имеет вид (9), пока-
занный на стр....
Работа всех сил на перемещениях, вызванных податливостью
связей сдвига и поперечных связей, на единице длины стержня
равна
2
— +
П L11
Е Е
= 1 k-i-1
+ Е
/ & У ) 2 ki И
-Lf<— + 2Е Q..T + 2Е к S.).-
1=1 <* < 1-1 <
Отсюда отысканием минимального значения для А получим систе-
му (9), приведенную в табличной форме. Если положить все <?4-=о°,
то будем иметь уравнения для составного стержня с абсолютно
жесткими поперечными связями. Из числа этих уравнений п —
дифференциальные и п- — алгебраические. Выразив в последних
значение 5, через 7^ и подставив их в «дифференциальных уравне-
ний, получим найденную выше (5.18) систему уравнений для Т в
стержне с абсолютно жесткими поперечными связями. Вместе с тем
вторая группа уравнений вида
Т41 + Ti. + S;-i *
SL11
дает возможность по найденным значениям Т- определять усилия
в поперечных абсолютно жестких связях. Эти же уравнения можно
получить из системы уравнений (6.3), если в последней i-oe урав-
нение разделить на O'-, a i + 1-ое
их два раза и вычесть одно из другого.
-на £ ^^проинтегрировать
66. СТЕРЖЕНЬ ИЗ ДВУХ БРУСЬЕВ С УПРУГОПОДАТЛИВЫМИ
ПОПЕРЕЧНЫМИ СВЯЗЯМИ И СВЯЗЯМИ СДВИГА
В случае стержня из двух брусьев имеем систему двух диффе-
ренциальных уравнений. Найдем значения коэффициентов и сво-
бодных членов уравнений для этого случая:
g^1<^iFi^ 1!{Ez рг) * Ъ > + ЬЧ(Е2
8-
225
Связи
сдвига
Попереч-
ные
связи
№ урав- нений Т2 T3 Г4 - T"-1 T„
1 ^12
2. &2< 922 $23
3 932 9зз Узь
• • •
• • • •
* • • •
/г ^n,n-1 ^n,tl
1 hi l12
2 b21 *22 LZ3
3 l32 l33 l34
• • • •
• • • •
• • • •
л с
ft f^n-1 ntn
S2 S3. Sn-1 Sn Дифферен- циальные члены T"| Сво- бод- ные члены
^11 k12 -т”к, Я(а
k21 kZ2 kZ3 • 920
k32 k33 A?* S30
• •
• •
• •
^ftt,tt-l) ^ПП 'ГХ 9ПЙ <659)
к 11 ^12 k<a f
^2/ k22 k23 ^/Чг. к 20
k3Z k33 sfl^ к 30
• •
• • •
• • * •
P к n,n-1 *n,b \ !'kn ktu>
1/(Е131)+1/(Его2') = к,
д1о = -М'а-НЕМ-Мг Ъ/(Е^2 )-Л$7^ FJ ^021(е^2)=% '>
^/(£Л^ме2/(Ег^кд.
Индексы -для упрощения записи отбрасываем. Система уравнений
(65.9) будет:
T,,/^gT+is+gt), 1
-S^h ~ CT+kS + к0. ,
(66.1)
Исключив из уравнений 5*, получим:
Ta-$gT&tjkT+^(i2'gk)T^-^ik+5fikg0T-5g^. (66.2)
Если жесткость поперечных связей бесконечно велика, то д ~ °°
и уравнение (2) превращается в
кТ** $ (iz-gk)T- 5ско-> $кдо .
Сравнив полученное уравнение с найденным ранее для этого
случая уравнением (8.1)
т"~ $ XT + , (66.3)
придем к следующим тождественным соотношениям:
дк - z 2 = к X,
кЯо~ tkg = кД.
Приняв их во внимание, можем переписать уравнение (2):
TV- ^дТа+дкТ"-к7дкхт = ^дкД + $д^. (66.4)
Характеристическое уравнение дифференциального уравнения
(4), а также системы (1) будет
хв-^дЛ ?кхг-$дкх=о.
Это бикубическое уравнение имеет шесть корней. Можно дока-
зать, что два из них действительны, причем один положителен,
а другой,— отрицателен и равен по абсолютной величине первому.
Обозначим эту пару корней через ± X 7 . Остальные корни обяза-
тельно комплексные и имеют вид:
Общее решение уравнения (4) без правой части при этом вы-
разится:
T = ArshA1xi-A2ChA1x + b^sh/Ax sin Хх +
+ &2sh frx- cos х* + В3 ch /л* sin. зех -гв^ ch frxcosXx 3
где А^ , А? ,&1, Вг , , bt, — произвольные постоянные.
Найдя 'т, из первого уравнения (I) определяем и 5:
Усилия в поперечных связях получаются
* -- - -5- "= (дП )т"-11Ц$ i)}T д^' д.
В частном случае, когда i — 0, что может быть, например, в
стержне, составленном из двух брусьев, симметрично относитель-
но продольной оси, система уравнений (I) распадается на два неза-
висимых дифференциальных уравнения:
т"/^дт+д0\ (66.5)
-5ЮkS+ hc . (66.6)
Уравнение (5) совпадает с уравнением (3) для составных стерж-
ней из двух брусьев с абсолютно жесткими поперечными связями,
так как можно доказать, что при условии £,7 = > а~
до = Л. Это означает, что распределение усилий в связях сдвига
такого стержня не зависит от степени податливости поперечных
связей и остается тем же, что и при абсолютно жестких поперечных
связях.
Что касается уравнения (6), то оно является не чем иным, как
уравнением балки на упругом основании. Действительно, диффе-
ренцируя его два раза и заменяя вторую производную от<У через S,
получим
V EZJZ "
(66.7)
Если считать, что моменты и Мг вызываются только попереч-
ной и равномерно распределенной по длине стержня продольной
нагрузкой, то вторые производные от них, взятые с обратным зна-
ком, дают поперечную нагрузку, приложенную к первому и ко вто-
рому стержням а,# и CL . Уравнение (6) при этом можно перепи-
сать * 2
228
< F 7 F 7 J
' F^ t:z Jz /
Это уравнение имеет решение:
_£L__7L.b
^2 ^2 I
s = Ci sh x • sin/rfx t- C2 sh frfx cos ft x *
+ C3 Ch/U* SinjMx + ch/Их COS/Мx + f (cj.", (66-8)
где
= у f 7 ДЯ Ц(Е1 ) + 1/(Ег J2J]'.
Условием применимости уравнений (5) и (6) и решения (8)
является равенство
г = 0 или a l(E13i)~h/(E2Uz').
Жесткость эквивалентной балки на упругом основании:
ЕЗ^ [1/(Е,^)+1/(Е2Зг)]~Л.
Коэффициент постели сэкв ~ , а нагрузка
' экв \ Е f -2, Зг )\ Ei Э1 Е? ^2 /
В случае Е1 '11= Е2^>2имеем:
С3*В=Г, %кв-Ч"-9Ог)/2-
67. СИММЕТРИЧНО СОСТАВЛЕННАЯ, РАВНОМЕРНО
ЗАГРУЖЕННАЯ БАЛКА
Определим усилия в поперечных связях балки, симметрично
составленной из двух стержней и нагруженной поперечной нагруз-
кой (рис. 104). На верхний брус действует нагрузка (рис. 104,а),
вызывающая моменты
На нижний брус действуют опорные реакции h = вызы-
вающие моменты 0
М2- Ах = qLx/2,
поэтому свободный член уравнения (66.5)
, q,x(L+x)
** Л 4* 7
£, 7, " 2Е, 7,
229
Частное решение уравнения (67.5)
5= 5*= (L+х)/^
и полное решение
S- ch fit* cosх +Czeh /л* -sin^x +
+ • COSjUx + C^shJMx-sinJvx*tyxfaXL +*), (67.1)
откуда
(67.2)
S '=/✓ (C3 + Cz )ch/*x COS/^xtJH(Cti-C1)ch/^xsin/^xr
^(C^C^sh^x-cosAix +/*(CZ-c3')5h/HxsinJUx + tyL/1) +9*12.
Граничные условия выражаются равенствами
5(C) =0, S '(0) = 0, 5 (Л) = 0, S'(L) ~ 0.
Первые два равенства дают:
Г,= 0, /чг3+гр =-^,/4,
а последние два равенства
C2ch^L sin/vtLi-C3Sh/vL'cosf*L+Ci'ShftL sin/HL--ql?l2,
(ch/HL sinML+shfiL-cos;*L) + (Cz-C3)/Hsh/4x
* sin^iL~(c),L/li')(ch/viL-cos/xL-3)- J
(67.3)
Из этих уравнений можно определить все произвольные постоян-
ные.
Ограничимся случаем, когда балка настолько длинна, что мож-
но пренебречь значениями е ~^L , т.е. когда имеем ’’бесконечно
длинную” балку. При этом:
С,— Сз>
230
и из уравнений (2) и (3) получим
С, ^С3=о: С2 = - = - (д
Общее решение (1) превратится в
г_ -А» <7*
°- е sin /«* + — (L + х),
откуда определятся усилия в поперечных связях
4LJ* -рх д
s=~s ---------—е' cos/их - -у- •
Если нагрузка д приложена к нижнему брусу (рис. 104, б),
то:
М°=О’, М°2= qLx/2 -дх^/2’,
частное решение
о*_ дх2 gLx 5*''(0)=
общее решение неоднородного уравнения
gt -мх дьх дх2
s=~~^e -------------------------
Окончательно получим
gL/x -/лх + д_
5^- £ с COS/ИХ £
В обоих случаях заметна значительная концентрация напряже-
ний над опорами балки.
Вместо рассмотренных двух случаев определениям можно было
бы решать задачу об определении давления на грунт балки на упру-
гом ’’винклеровском” основании той же длины, с коэффициентом
постели 7 , жесткостью 0,55,^= 0,5£2-^ и нагрузкой 0,5 (^—
(рис. 105,а, б).
Решим теперь ту же задачу в предположении, что верхний брус
над опорами связан с нижним брусом стойками (рис. 106). При
этом на опорах перемещение по направлению поперечных свя-
зей, а следовательно, и s — — S" равны нулю.
Таким образом, граничные условия будут:
5(0) = 0; 5"(0)=0;
5(2.) =0; 5"(Z)=0.
В случае ’’бесконечно длинной” балки получим, найдя произ-
вольные постоянные из этих граничных условий:
231
Рис. 106
1ИН1Н!!!!!ИИИИН!Н!!!!!ИИИИИ!|
3”
iiHiliiiiiWiniiiniiiiliiliiii
Рис. 107
?/2
1ННННП1ННВ1ШИНН]
5 = у/2 (е ^'соз/и* - 72-
Как и следовало ожидать, усилия б4 значительно меньше, чем
при отсутствии жестких опорных стоек.
Усилие в опорной стойке при этом
S'(0) = -q/(2^}-q,L / 9.
Данная задача эквивалентна решению равномерно загруженной
балки на упругом основании, опертой по концам на жесткие шар-
нирные опоры (рис. 107).
68. УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТАВНОГО СТЕРЖНЯ
НА УПРУГОПОДАТЛИВЫХ ПОПЕРЕЧНЫХ СВЯЗЯХ И СВЯЗЯХ СДВИГА
Ограничимся рассмотрением центрально сжатого стержня, т.е.
стержня, нагруженного лишь центрально приложенными к торцам
продольными силами N° , пропорциональными по своей величине
жесткостям на сжатие e-f^ брусьев, на которые они действуют.
Такая нагрузка вызывает во всех стержнях только постоянные
продольные силы N , равные:
N. = N°=E° E F ,
L I I с ’
232
-О ,
где с - одинаковое для всех брусьев относительное удлинение от продоль-
ных сил.
Как поперечные связи, так и связи сдвига при этом остаются
ненапряженными.
Предположим теперь, что центры тяжести сечений отдельных
брусьев как-то отклонились от линий действия продольных сил
на некоторую малую величину yL ~ У;(*), различную для каждого
бруса. Тогда в сечениях этих брусьев возникнут изгибающие мо-
менты , которые можно рассматривать как внешнюю нагруз-
ку. Определим для этой нагрузки значения свободных членов д-0
и кт уравнений (65.9).
Из формулы (65.3) находим
<4; к Л, .
где , Г + i — радиусы инерции поперечных сечений д-го и £ + 1-го
брусьев. 1
Свободный член к i0 уравнения (65.8) находим из формулы
(65.7):
Подставляя найденные значения свободных членов в уравнения
(65.9), получим:
Т +д.т.+д . Т. +h s +
I I ( J4,4-7 L-1 ^LC I L+ 1 4,4-7 4-7
+ + (68.1)
i i + 1
= т + i. r + i . T. +
4 '4 4,4- 7 4- 7 44 4 4,447 447
£°
+ k. s + к. .S.+ к. . S.-------5- у. +—5—у \ (68.2)
4,4-7 4-7 44 4 4,447 447 r2 -’i T2 i+1! v 7
4 i+1
В уравнения (1) и (2) введены еще/г + 1 неизвестные значения yL.
Поэтому необходимо написать дополнительно п + 1 уравнений для
определения всех неизвестных. Этими уравнениями могут явить-
ся уравнения изгиба каждого бруса, входящего в состав пакета:
Ес J,yh~Mi= SrSiki+Ta +r- /Ь. + N.y.. (68.3)
ILL t- C L L L + 1 L L -7L V 7
Систему уравнений (I) — (3) можно упростить, если заменить п
уравнений (2) уравнениями:
5/= (68.4)
233
которые выводятся непосредственно из формул (65.4) и (65.6).
Однако в случае их применения взамен уравнений (2) снижается
порядок системы и теряется алгебраическая часть общего интегра-
ла, что впрочем, не имеет значения при ряде простых граничных
условий, например, при:
у. (0) = (I) = Г (О) = Т- (Z) = Q.
69. УСТОЙЧИВОСТЬ ЦЕНТРАЛЬНО СЖАТОГО
СИММЕТРИЧНОГО СТЕРЖНЯ ИЗ ДВУХ БРУСЬЕВ
НА УПРУГОПОДАТЛИВЫХ ПОПЕРЕЧНЫХ СВЯЗЯХ
И СВЯЗЯХ СДВИГА
При рассмотрении задачи прочности такого бруса система урав-
нений распалась на два независимых уравнения, одно из которых
было уравнением для усилий в связях сдвига в стержне с абсолют-
но жесткими поперечными связями, а другое давало такое распре-
деление усилий $ в поперечных связях, какое получается для отпо-
ра грунта при решении задачи о балке на упругом основании. По-
кажем, что и система уравнений устойчивости такого стержня распа-
дается на две независимые группы. Одна из них дает такие значения
критической нагрузки и формы потери устойчивости, какие возни-
кают в стержне с абсолютно жесткими поперечными связями,
которые при этом остаются ненапряженными, другая же группа
уравнений приводит к решению, аналогичному решению задачи
устойчивости стержня в упругой среде.
Система уравнений (68.1) — (68.3) для данного случая имеет
вид (поскольку а. = Ъ - 0,5 с , А= 0)
8° с
Т“/$ = [2/(EF^c2/(2EJ)} 7+ ~~ (у, *yz) ,
S''/^У, -Уг
0,5 сТ + £° EFy1 ;
EJy'' = S + 0,5сТ + £° EFyz .
Заменив последние два уравнения их суммой и разностью,
получим две независимые системы:
Т"/< = [21(E-FCZ/+ NcKiEFXy+yJ; '
„ , Н69-0
Е^У+У^
и '
~-(уг~ у^;
„ Г (69.2)
EJ (Уг-У1 > ^ZS^N(y2-y1'). J
Здесь N заменяет € ЕЕ.
234
Систему (1) можно свести к частному случаю системы (44.3)
для симметричного стержня из двух брусьев, если ввести в послед-
нюю вместо у среднее значение прогибов обоих брусьев 0,5 (</,+
. Поэтому критические силы Nи формы потери устойчивости
здесь можно вычислять по формулам, приведенным в гл. 7, внеся
в них соответствующие упрощения. Определенные по этим форму-
лам критические величины дадут, после подстановки их в систему
(1) и учета соответствующих граничных условий, отличные от нуля
значения Т и уг + у2. Система (2), вообще говоря, при этом удов-
летворяется лишь нулевыми решениями: 5=0, уг— у~ 0. Отсюда
заключаем, что У^ — у2, т.е. прогиб обоих брусьев при этих формах
потери устойчивости одинаков, а поперечные связи не напряжены.
Посмотрим, какие формы и условия потери устойчивости дает
система (2). Возьмем случай простейших однотипных условий:
при л = 0 и л = Z,, -S’ = 0 и У2 — Уч = 0. Задаемся формой потери
устойчивости:
5 = Asin (пУГх/L); у^-у1 = В sin (п 7Гх /L), (69.3)
удовлетворяющей поставленным граничным условиям.
Подставляя уравнения (3) в систему (2) и сокращая на sin (njfr /
/4), получим однородную систему двух уравнений для определе-
ния постоянных А и В . Эта система имеет отличные от нуля реше-
ния только тогда, когда определитель ее равен нулю:
или
Nn2^2 / LZ + EJnWIV + Zy = 0.
Отсюда
N — N - - Fl-----------------------
Lz tizJTz ' (69.4)
*P 2.EO + n2jr2 (69.5)
Для определения наименьшего значения Р возьмем произ-
водную от правой части формулы (5) по*2и приравняем ее нулю-
LZ
235
отсюда
4/ = L У ^7 (69.6)
П=У гЕЗл-ь ~ яг / ej
Так как П. может принимать только целые значения , то полу-
ченный по формуле (6) результат следует округлить в большую и
меньшую стороны до целых чисел; из полученных таким образом
двух последовательных целых значений /г и нужно выбрать то, ко-
торое даст наименьшее ^Кр.
Подстановка значении N, определенных по формуле (4), в систе-
му (1) дает нулевое решение Т — 0 и + }>2~ О, откуда следует,
что связи сдвига остаются ненапряженными и оба бруса выпучива-
ются симметрично в разные стороны от оси симметрии. Как видим,
последнее решение принципиально не отличается от известного ре-
шения задачи устойчивости сжатого стержня, лежащего на упругом
основании.
70. ПЛАСТИНКА, ПОДКРЕПЛЕННАЯ РЕБРАМИ
Предположим сначала, что ребра, подкрепляющие пластинку,
обладают бесконечной жесткостью на кручение. Будем считать так-
же, что центры тяжести сечений ребер располагаются в срединной
плоскости пластинки (рис. 108). Тогда участки между ребрами
деформируются как жестко заделанные по двум сторонам
(рис. 109). Получим схему составного стержня, в которой сос-
тавляющими стержнями являются ребра, а податливыми поверен-
ными связями — панели пластинки.
Поскольку пластинка прикреплена к ребрам по линиям центров
тяжести сечений, то значения <2t- и bL в формулах (65.1), (65.2)
и последующих следует положить равными нулю. При этом:
д..= i/(E;F.) + i/(E. д. . г ~1/(е-е);
''ll cl 1 с + 1 l + 1 ' ' c l''
л 0
h.. = h. . h. . .~0 . i .. = c . . -
44 L,C-1 4,4+7 > CL LfL~1
= i.. =0; k..= l/(E.J.)+ I/IE.!.)’
k. = M° KE-3.)-M° l(E. J. )
»0 i 1 l I' i + 1 ’ ‘ 1+7 c+1 '
Благодаря равенству нулю коэффициентов h-k и l Lk , система
уравнений (65.5) — (65.8) распадается на две независимые сис-
темы:
236
>L -1 / 1 1
—i- -------7- + /------+--------- T. -
E-Fe \FiF E>iFi+< /
1 N°+1
---- ---- T. л----— + ~ — ,"), (70.1)
_L_S + (_l__+_'____________)s-
~~ E,3- Si-1 + \ +Ei+iJL+1^i
Таким образом, сдвигающие усилия Т"-= Т- , которые действу-
ют в срединной плоскости пластинки, и усилия s — — S ", яв-
ляющиеся для пластинки поперечными силами, находятся здесь
независимо одни от других из идентичных систем дифференциаль-
ных уравнений (1) и (2).
Коэффициенты yt- определяются из уравнения изгиба пластинки
между ребрами (рис. 107). Легко получить, что
tf.= 12D. Id5-
где d L — ширина плиты между ребрами; — цилиндрическая жесткость
t-ой панели плиты.
Запишем уравнение прогибов ребер
о
E.J.d-S -S--M. (1 = 1,2,...,п + 1) - (70.3)
Продифференцировав (3) два раза и использовав соотношения
(68.4)
получим систему уравнений для определения прогибов
237
EiJ^(t'= 1,2> • •,n+1)1
где поперечная внешняя нагрузка на i-oe ребро.
Для деформационного расчета ребер в это уравнение следует
добавить поперечную нагрузку, вызываемую сжимающими сила-
ми^-, равную-/} у-'- Получим:
(70-4)
Если все ребра и панели плиты, а также сжимающие силы А оди-
наковы, то вместо системы уравнений (4) получим одно диффе-
ренциально-разностное уравнение
£7 Ру; = 7 (У^у. + y.+ i ) + у°. (70.5)
Полагая
<1.=О у. = Y(x)r\
подставляя в (5) и сокращая на г1, получим:
ЕЗУ& + PY"= 7 (1/т -Z+r)Y- (70.6)
При шарнирном опирании концов ребер
Y(O)^ у"(О) = У(Г)= Y"(1)^0
(где I — ширина перекрываемого пространства), можно положить
для первого члена разложения нагрузки в тригонометрический
ряд по синусам
У= sin (JTx J i) .
Тогда, сократив на Y^in (jtx/1),Vl3 (6), получим:
*i 2
УТ Р 1
’ll* ytz ~ г ~2 + г>
или Г2- 2(1 +Д )л + 1 = 0, (70.7)
Л EVl(2‘/ll<)- Jr2p/l24tZ).
Корнями уравнения (7) будут
г = 11- А ± / Д2 + 2А '. (70.8)
Оба корня действительны и положительны, причем корень г, боль-
ше, а корень гг меньше единицы.
238
Рис. 110
Пусть загружено только одно ребро. Тогда при большом коли-
честве ребер прогибы их должны стремиться к нулю по мере уда-
ления от загруженного ребра (рис. 110). Следовательно, корень ,
больший единицы, следует отбросить и затухание прогибов при пе-
реходе к каждому следующему ребру будет происходить по гео-
метрической прогрессии со знаменателем
r2= 1 +А-^Аг +2А' < i.
Если пластинка соединена с ребрами не по линиям центров тя-
жести сечений, а,, например, по верху ребер на расстояниях e-L от
центра тяжести сечения £ -го ребра, то надо положить:
а. = ~е. , Ъ. ~ е .
I I ’ С с+1
При этом система уравнений (65.5) — (65.8) уже не распадается
на две независимые системы.
Упрощения здесь можно' достигнуть, если принять жесткость
пластинки на сдвиг в своей плоскости бесконечно большой. При
этом коэффициенты станут равны бесконечности и в уравнениях
(65.5) пропадут члены со вторыми производными, т.е. эти уравне-
ния превратятся в обыкновенные, что значительно снизит поря-
док всей системы уравнений.
71. УЧЕТ КРУЧЕНИЯ РЕБЕР
Напишем уравнения кручения ребер и изгиба их в вертикаль-
ной плоскости
GJ 8 " = tn. Е.д.иа^а.. (71.1)
Секториальную жесткость ребер считаем равной бесконечности, т.е.
рассмотрим сплошные ребра, а не тонкостенные открытого про-
филя.
В выражениях (71.1) 8^ — означает угол поворота ребер в плос-
кости их поперечных сечений; q — вертикальная нагрузка на реб-
ро, равная (рис. Ill):
С71-2)
О
Vi - внешняя вертикальная нагрузка на i -ое ребро, собираемая с соот-
ветствующей площади загружения; /п— крутящая нагрузка, которая равна:
(71-3)
239
где rt—расстояние между 4-ыми £+1-ым ребром.
Считая пластинку соединенной с ребрами по линиям центров
тяжести их сечений, можно не учитывать влияние сдвигающих уси-
лий на прогибы и углы поворота В-. Подставим (2)
и (3) в уравнения (1): 1
=Si'Si-r^ <71-4)
Усилия s пропорциональны разности вертикальных перемеще-
ний по линии разреза в основной системе между ребрами
(рис. 112).
(7L5)
После подстановки (5) уравнения (4) принимают вид:
240
j г j. i d A d- 1
Для пластинки с регулярно расположенными ребрами получим
уравнения:
" Цd , gd2
(71.6)
Далее поступаем как изложено в п. 70. Примем при шарнирном
опирании ребер и отсутствии поворотов их сечений на опорах
у-= У(.*)?' ’> в.- 9 (х)гс
1(71.7)
Y(x) = Y1 sinfJTx/l)} 9 (х) = в sin.(JTx/tJ у
После подстановки (7) в (6) и сокращений получим для одно-
родной задачи (0):
Jr^EJ
^JE2GJKp jt'la
^tzd2 r)bi
Приравняв нулю определитель этой системы уравнений, получим
характеристическое уравнение для определения л.
- (г-2-24+-±) (г+2-28+4- ) + (г-^-)2"0’ (71-8)
где введены обозначения:
JT* ЕЭ
А " ;
В> =
2
2JT GJKP
4t2dz
(71.9)
Преобразуя (8), имеем:
241
- (r+-^-)2- (r + -^-) (2-2В-2-2Д) +
+ (2 + 2Д) (2 - 2B) + (r- )2 = 0;
2(r+-^) (в+4) + 4(Л-В-М = 0;
(4+B)t2+ 2(A-B-AB)r + A+3=0,
отсюда
fi-4 + AB ± /(£ -4 +AB)2-(A+3)Z (71.10)
Г = A + В
При В —>oo предельным переходом из (10) легко получить фор-
мулу (70.8).
Полученные здесь и ранее результаты можно обобщить на слу-
чай тонкостенных ребер открытого профиля с секториальной
жесткостью и на случай действия продольных сил в ребрах
р. При этом надо только уравнения (4) записать в виде
ту б „ и IS
Е^Уг+Р1^ G^P.e'Ei\e ^~г5с+~Г%
а значения А и В (9) положить равными:
tn^EJ STZP о _ 2JTZGJKp _
Л= 2fZ'' " 2->?1г ' ~
72. УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СЛОИСТЫХ СТРУКТУР
В технике широко применяются слоистые материалы с про-
дольными элементами повышенной жесткости и со связующим
материалом, который воспринимает поперечные и сдвигающие
напряжения. При небольшом числе продольных элементов расчет
такой структуры на сжатие в продольном направлении с учетом
возможности потери устойчивости может быть произведен по
уравнениям, приведенным в п. 68. Однако, когда число продоль-
ных элементов велико, этот расчет оказывается громоздким и тре-
бует решения системы дифференциальных уравнений общего по-
рядка, равного ушестеренному числу швов составной структуры.
При регулярной структуре расчет может быть упрощен за счет пере-
хода к конечно разностным уравнениям или в пределе — к диффе-
ренциальным уравнениям в частных производных. Для простых
242
граничных условий задача может быть доведена до конца в анали-
тическом виде.
Положим в уравнениях (68.1) й (68.2)
Г,-£,8/*,.
где G — модуль сдвига материала швов; — модуль его упругости в попе-
речном направлении; hk = С — расстояние между соседними стержнями Х-го
шва; & — ширина составного стержня, которую в дальнейшем будем прини-
мать равной единице.
Переходя к регулярной системе, все значения 4^, и ик=Ьк —
~ с/2 полагаем одинаковыми для всех швов и будем писать их без
индекса. При этом система уравнений (68.1) — (68.2) будет:
EFT” (_c^_ \т J_£L+2\T + (-eL +
\ 2rz J к ' Ут2 ' кп
+ (Sk1 sk+i) 2rz (Ук+ Ук+1^ 3 (72.1)
-EPS? с (_т + Т }+-^(SL ~2S+S > [
------= £г2 к-1 к + 1' Г2' к-1 к М1
+ pZ У к У кц) ’
Здесь r2= EJ/(EF) .
Второе уравнение системы (1) можно заменить более простым
уравнением
(72.2)
соответствующим уравнению (65.6).
Уравнения (1) и (2) являются дифференциальными уравнения-
ми вдоль длины стержня и конечно-разностными уравнениями
относительно порядковых номеров составляющих стержней. Бу-
дем искать решение этих уравнений в виде:
Т - Т cos km sin Ах ; S . = Seos кт sinAx,
К tn ' к т '
и = и cos кт sin Хх ,
4 J гп
(72.3)
где
Х = пЛ/1.
Здесь I — длина стержней; п— число полуволн выпучивания на протяжении
длины I.
Подставив (3) в уравнение (2), получим:
Sm cos кт = - (q/Хг)у [cos кт - cos(k-n)mA, (72.4)
а вместо первого и третьего уравнений системы (1) с учетом
(4):
243
г/ />2 \ £F г) >
Trn[\^~1)cos ^“^Пг + ^ + 77?^ "Т- Ajcoskmt
+ [—r—r~l)cos (к + 1)т\- ~.2 -у y\cos(k-i)m-coskm-
( 4гг ' J 2Хгг2 Угп
-COs(k+-t)m + cos (k +2)m]--~^ ут[созкт+соз(/и-1)>п]-0^
~уг~г Ут [c°s (к-1)т -Zcoskm + cos (к+1)т\ +
+ —£— Tm [cos (k-1)m + cos kmj + (eFX 2-*
* u cos km- 0.
~m
(72.5)
(72.6)
К уравнению (6) прибавим другое уравнение, полученное из
(6) заменой / на А + 1:
7
~ Л Ут [COs (к- 1)т - cos кт - cos[k + i)m +
+ cos (к+2)т] + ~г'г2 tcos (к-1)т + Zcoskm t
+ cos (к+1)т] + (efA2- ~^ym [cos km + cos (k+1)myo (Т2Л)
и заметив, что
cos !к- i)m+cos(k+i)m-2coskmcosm; coskm+cos
=2cos — cos ; cos(k--i)m + cos(k+2)m^2cos^~cos~
перепишем уравнения (5) и (7) в виде:
Г / сг \ cz EF z] 7е
[2 (^7 ~ ^osm Л ] Г cosmk-,
х (2 cos^~-- Zeas -y) у cos
x cosJTymcos = 0;
-^r(cos^Y-cos -^-)ym cos ^2L+2(£Fk-^
m
^COS-^U^CQS
Z. tn
[k+i)m +_c^cosm + 1^j- cosmk=0.
2 r2 m
244
В однородной системе двух алгебраических уравнений (8) не-
известными являются Tmcosml< и У^соз + . Эти неиз-
вестные отличны от нуля при равенстве нулю определителя
EF 2 ( С \ С ,
+(-^-yeOsni ~^2^^osm),
гУт2
-cos
? / m Згп
_£_^„S__OTS—
р
I m
'cos —
Разлагая определитель по элементам второй строки, получим:
--4-cos -у- * -77 + -77- / + -7-7 cosm-cosm\+
г2 2 \ 2 s Vr2 /
Рс me ч 2 m /, сг E.F 2
+ 77^CPS Т7^ (,+cffsm)+EFAcos^V^*~^A*
2
+ cosm - cosm)+ (cos -cos +
+ ~ZT \ cosm -c°sn-~^cosm^-^^
*cos~-(l + Й2-cosm) + efacos (1 + az -
- cos m) -i- (j + cos zrzjl- (cos ~ - cos )„
J. , EF 2 I
+ 2^ Л ~COSrn/0’
откуда 2
h C0S(tnl2)-C0S(5m/2)^2 \ c EF(l^cosm)
P - -----------------г Д fc J •+ -z—----------
A2 C0S(rn/2) + '
Замечая, что:
cos(m/2)~ cos(3m/2) ,2 . 2 , .
-----------7—;--- =^ш (m 2); cosm = /-2sm (m/2),
cos (m/2)
1 + cosm = 2cos2(m/2), 1-cosm ^Zsin2(m/2),
находим
245
+ С cosz (.гп/2) (72.9)
1 4 sin2 (т 1'2)
$ A2 EF
Форма потери устойчивости (3) показана на рис. 113. Она соот-
ветствует граничным условиям:
при z - 0 w z - Н Т-0, у — 0-,
при X = о И X = I Т - S = у - 0. г 2
На плоскостях z — 0 hz=W поперечные усилия s = ~ (д 3/дх )
должны восприниматься стерженьками, как показано на рис. ИЗ.
На плоскостях х — 0 и х — I должны восприниматься сдвигаю-
щие напряжения t-dT/дх. При этом следует положить:
к - Н/с , km = JT, т - JTc/Н.
Значения п и т следует подобрать из условия минимума рКр,
причем ширина с должна укладываться целое число раз на ширине
структуры. Если поперечный размер структуры не ограничен, то
минимум р можно получить аналитически из условий:
дрКР г т EJ с COS2
к2с 2- с [^sin^^EF)]2 ’
d(sinf) А2с
[4 ‘isin’^- /(^EF^CtccoS^-Y^^EF)
[ -f-ksin2 /(A2 EF)] 2
(72.10)
Умножим первое из уравнений (10) на , а второе на sin*(ml!)
и результаты сложим. Получим
ЕдХ2 _ о sin 1 ( т/ 2} _
с 1 *1 sin2 (т/2)
4
a2ef
246
Отсюда определим:
s,n sin2(m/2)/Д2] sin2^-
Az = T>~~ ’ = ^(c^r.2) ' (72.11)
1 4 Sitz’(m/2) c2
—+ ’ <72'12)
где Г2 - JIF.
Подставляя выражения (И) и (12) во второе уравнение (10),
находим:
47 _ с^(сг-Чгг) _ 2(_е1-6Ё)2 ^сК(сг-^rtEJ
A'c cZ ~ t^EFc* + EFc* (с2-"°’
г ^-^z(c2-4r-2)2/fc2EF) 4^2.
5(с2-4г2)-^г2(еЧг2)/сг ~ ^(с2-^2)2'^ (7213)
низ (11)
гт ‘iEWc2______________
S,n ~ ~ ^(с2-^2) ~ ^(с^т2^ с2-^2 ( }
После подстановки значений (13) и (14) в выражение (9) и не-
сложных преобразований получим
^(f2-4r2;
— Р.р- -\С(С--ТГЧ~+-------с----
(72.15)
Поскольку значение sin2 (т/г) должно находиться в преде-
лах от нуля до единицы, то из выражения (14) находим:
ЕЭПе2 2 ГЁ^' г г 2
^(с2-^2)2 >г> К у~(с-^);
____ > (yZ.lo}
Е77? , с2 . ^-4гг
42(с2-4г2У 4 ’ ?
При соотношениях жесткостей и Е 2, не удовлетворяю-
щих неравенствам (16), формула (15) не действительна, и мини-
мум критической нагрузки достигается при значениях sin г(т/2)— 0
и sin г(гг>/2) - 1. Именно, при
247
sinZ (т/Z)~ 1 ; гп = 7Г, С ~ 2 h
из формулы (9) имеем:
nZ7rZEJ
кр h.zJT2c ct2
что соответствует форме потери устойчивости, показанной на
рис. 114. Усилия 7 здесь везде равны нулю и каждый стержень ра-
ботает в упругой винклеровской среде. Минимальное значение р
при варьировании tin получается
тт Ркр ~ J
и соответствует
Другой предельный случай
т =- О ;
дает форму потери устойчивости, показанную на рис. 115. Здесь
S— 0 и прогибы всех стержней одинаковы. На боковых гранях
должно быть обеспечено восприятие сдвигающих напряжений т .
Критическая нагрузка
и создает одну полуволну выпучивания по длине стержней.
248
Глава 12. РАСЧЕТ СОСТАВНЫХ ПЛАСТИНОК
73. ВЫВОД ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ СОСТАВНОЙ ПЛАСТИНКИ
С АБСОЛЮТНО ЖЕСТКИМИ ПОПЕРЕЧНЫМИ СВЯЗЯМИ
Возьмем многослойную плиту, представляющую собой ряд тон-
ких упругих пластинок, соединенных между собой упруго податли-
выми связями сдвига. Для каждой составляющей пластинки будем
считать справедливой гипотезу прямых нормалей. Кроме связей
сдвига пластинки должны быть соединены поперечными связями,
препятствующими удалению или сближению пластинок относитель-
но одна другой по толщине. Эти поперечные связи можно считать
абсолютно жесткими, что не приведет к заметной погрешности
нигде, за исключением узких зон у краев пластинки, где работа
поперечных связей имеет характер краевого эффекта. Общее чис-
ло пластинок, которые будем называть слоями, равно /г+ 1, а число
промежутков между ними, которые будем называть швами, равно
п. Порядок нумерации слоев и швов устанавливаем сверху же,
как для составного стержня (см. рис. 24).
Абсолютная жесткость поперечных связей приводит к тому, что
все слои имеют один и тот же прогиб v^(x, у). Продольные переме-
щения (хLy) и v- ( х, у) для срединных плоскостей швов в
общем случае различны, что будет обозначаться индексами, указы-
вающими на номер слоя.
В каждом шве выделим разделяющую плоскость, по обе сторо-
ны которой различаются продольные смещения смежных слоев.
Продольные перемещения и деформации каждого слоя будем экст-
раполировать за пределы фактической его толщины вплоть до раз-
деляющей плоскости. Разности продольных перемещений ZJzzh dr
по обе стороны разделяющей плоскости 4-го шва:
дш д w
Ди=—-—С. + 44 -и. : Да. = —5--c.i- v - и. . (73.1)
i ах L i-t1 С 4 о у L с
Здесь С4- — расстояние между серединами толщины слоев, лежащих по обе
стороны I -го шва.
Дифференцированием (I) получим:
dAU; L+1 I д2 4V с
—3---= ~д ~ 2~ С +£ ~ 8 - С---— + А 8 '
ох ихг i х Xi д* 2 >
d2w i+t i с х
ду дуг i у у L yjyZ ’
3Aul дД v д2хх 4+1 i
—, + —5---= 2 -т а - С . + 1Г ~ ЗГ ~
ду ах дх ду с ху ху
дг й/ i
= 2сГ~д7дГ+АГ*У’ J
(73.2)
249
где £Л \ £и - удлинения осевой плоскости Z-го слоя в направлениях
4 и У > $лу~ сДвиг в той же плоскости.
Примем, что между разностями смещений и касательными на-
пряжениями в связях сдвига t-го шва существует линейная зави-
симость:
(73.3)
где •- коэффициент жесткости связей сдвига z-го шва.
Подставляя (3) в (2), получим:
1 Ж д2 W . .
дх ~ с<- дх 2 1 А'-* ’
1 d2w t - — с .. и- лг ” (73.4)
ду 4 ду2 '
( dtj I ду . )- 2с д-^—^Л?Гс
Составим теперь условия равновесия для внутренних усилий в
пластинке t-го слоя. Для осевых усилий будем- иметь дифферен-
циальные условия равновесия:
(73.5)
Здесь Гэ* , - осевые нормальные и касательные напряжения
в С -ом слое; Z"1'* — разности сдвигающих напряжений,
передаваемых со^стороны i -го и i— I-го швов; Рх и Ру — составляющие
осевой нагрузки, которая действует в срединной плоскости <-го слоя; —
рабочая толщина i-го слоя. . 4-
Для изгибающих и крутящих моментов в г'-ом слое: Л/х, Му и
у- можно составить уравнения:
дМх . < ,_т . + ду Qx + л ' > (73.6)
дх
dMLy
ду дх У У У J
где — поперечные силы в /.-ом слое; , ^у +
моментные нагрузки, передаваемые со стороны г-го и L + 1-го шва.
Кроме того, имеет место равенство
250
+ (73-7) дх ду
Здесь — часть внешней поперечной нагрузки, приходящаяся на т’-ый
слой составной пластинки.
Подставляя в (7) уравнения (6), получим
дх2 д2 д2Му д(т+т1) d(niy+rn~1) 2 Ыу ' •(718>
Заметим теперь, что:
mt = ;
А * 4
1-1
тх =~^х
(73.9)
где Q. , bL — расстояния от разделяющей плоскости i -го шва до середин
выше- и нижерасподоженных слоев (рис. 24).
Подставим выражения (9) в уравнения (8) и просуммируем
последние по всем слоям от i — 1 до i = п + 1. Учитывая при
этом, что:
л+7 t- п+1 z п+1 i п+1
ZM=Mx ; ZM ЕМ =М .^=(1, (73.10)
l=i х х i=i У у i=i ХЧ ХУ i=i L г
где Мх , Му и — суммарные изгибающие и крутящие моменты,
действующие в составной пластинке, лишенной связей сдвига: —
суммарная поперечная нагрузка, и что:
Z(mx = - Z ( . * ЧЧ ;
i=i х * i=i х + * +-1 * +
П+1 L L-1 П У,
z (rr/+rnL c
4—7 У * i=1 У 1
так как
П+1 о п+1 о
получим при этом:
д2Мх д2Мху дгМу
дх2 дхду ду2
п / д'Ру )
= -q-Zc. —г
' i=i 1 \ дх оу /
(73.11)
Выражение, стоящее в левой части равенства (11), как известно,
может быть выражено через бигармонический оператор от проги-
ба, поэтому можно написать:
251
„ 2 2 n (dTL
D0V V iv = a + ZJ с I—-— +
7 ;=y i ' dx
dy )
(73.12)
где
D = ---------- 23 /z -'
цилиндрическая
yW— коэффициент Пуассона.
Запишем i
слоя
жесткость составной пластинки, лишенной связей сдвига;
теперь закон Гука для осевых деформаций Z-ro
£ £* = бх ~J*6y , Е £у = бу -/И б* ;
^^-2(1^)^ ,
откуда
ЕЛ£Х = Дб^-^Дбу ;
ЕЛ£у ^Дбу-уиДб^
ЕЛ 2(1+Л*)
(73.13)
где
дб^-б;- дг^
Уравнения (4) с учетом (13) представим в виде:
1 dt^ d2w a i i
-!Г—^-=С.-т-Т + — (Д^-^Лб),
$ dx ' dx2 E x > у
1 dtd d2w 1 . . z'
-f- —(дб-уиДб* ),
dy <- dy2 E ' у ' * '
у !dti 2(^Д1) i
\ dy dx ) L g*dq e '
'У
(73.14)
Уравнения (5) преобразуем следующим образом:
дДбх дДТ‘ TL^ ( 1 у \ z р‘" <
дх + ду + hL^ [h-+i \r* + fy\+1 ht^0’
с , i-t >(73.15)
дДбу дДЪХу Ту / у У > ^Ру -п
ду дх htt1 [h.fi hc J 4 hL +h^ hc
z,^Ta?’ имеется нужное количество уравнений: одно уравнение
(12), 2/г уравнений (15) и Зл уравнений (14). Всего 5 + 1 урав-
нений с неизвестными tx , Т<- Дбх , ДБл 2-‘ и>у:(г=1 2
д+1), всего с 5/г+1 неизвестными.
252
Решим уравнения (14) относительно значений 4^:
46 = Е Г 1 4?/ дх ci d\v ( -1 д2^\
L к дх2^ к ду ду2д\
£ 1 дг& V
1-/х 2 ду ду2 ( дх дх 2 7]
дт^ £ г
\ ду дх / дх ду J
и подставим полученные выражения в (15). Будем иметь
Продифференцируем уравнение (16) по х , а уравнение (17) но у
и, сложив результаты дифференцирования, получим:
253
г-/иг1 [ /?л3 + 2 дугдх 2 дх2-ду ду3
1 1 д3,д* ( i d3dxv 1 д3 dx
+ 2 дхгду 2 дхду2- \ 2 дх2 ду 2 ду2дх
. / fi3di 1 d3ti Y1 [д^ . <?М.
2 дхду2 2 дх2 ду )] 1 к дх ♦ дх2дуг О У4/]
или
Е / 1 Z 2 г ) A, fi / 1 1
— ~ г~| Т~ А.-с- 7 V w)+-t----------1~т----+ —
1-/^2 ( <- г / hi+1 I ь- а .
Ai-i Рг п
+ —ТГ-+ - = 0,
Ь / ,‘л-4 А/
(73.19)
где
дгх дТху дрх д Ру
р.= -~=-+-—Х_
L ах ду 1 дх ду
Наконец, определяя из уравнения (] 2)
2 2 л
(73.20)
значение
z г
V v w подставляя в (19), будем иметь:
2
Д> Л/-7 7 Е L At>/ ' -Ч.
А-Г Рг+1 Р( I <7? . .
с£?
(73.21)
Системе уравнений (21) можно придать вид
2
v Аг л п
< (^1,2,...^), (73.22)
254
где о 1 - А2 / * 1 ]
+ £ \ ’
S - С‘ С‘- + '1 1"^2 (У /-А2 .
‘>’w~ Do Ehit1 ’ c',i-t~ Ъа Ehi
(73.23)
S =
l>e
1-,M2 / Pt c{^
(Ik-il> 1); 6.g= ( h. ~ hi+J* do
Полученное решение легко обобщается на случай пластинки,
составленной из слоев с разными модулями упругости и коэффи-
циентами Пуассона. При этом коэффициенты (23) становятся рав-
ными
2-^2 >
Т)о
s Cicn-1 _ - Cici-1 _ 7-Л/ .
тза Eit1ht 'V' По Е-Ьг ’
^k=-ELTT— (ik~ii>i);
CK о 2
_ d'^l)P^ff ^<1. 7>-У
id hi £<.+1 i+1 ° j=^ 12 (1~^j)>
Для такого обобщения нет необходимости заново выводить все
уравнения. Достаточно ввести в (24) приведенные рабочие толщи-
ны слоев -
,пр , Е-(1-^2)
П. = h ---------ут—
и их фактические цилиндрические жесткости:
D -—-—--------
i 12(1-/ч2)
(73.25)
Уравнения (22) и (20) являются непосредственным обобще-
нием уравнений теории составных стержней с абсолютно жесткими
поперечными связями. Для перехода к составному стержню из
брусьев прямоугольного сечения единичной ширины достаточно
положить /И=0, 4t- = Т", где Т- -сдвигающие усилия
в <-ом шве составного стержня. КрсГме того, выражение 27,vzv w
переходит в £t J- у13 , где у - прогиб составного стержня, £ - • -
жесткость на‘йзгиб сечения Z-ro стержня.
Заметим, что значения Л4- в уравнениях (22) представляют собой
дивиргенции векторов , составляющие которых в координатах л,
у равны и _
А= div Г..
* 4.
255
Точно так же значения Р; являются дивиргенциями векторов р.
осевой внешней нагрузки в t-ом слое. *
74. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СДВИГАЮЩИХ НАПРЯЖЕНИЙ
В ШВАХ ПЛАСТИНКИ
Уравнение (73.20) дает возможность определять прогибы сос-
тавной пластинки iv после предварительного отыскания функций
из системы уравнений (73.21). Для нахождения сдвигающих
напряжений в связях сдвига необходимо получить еще некоторые
уравнения, так как каждой функции Ас- соответствуют две неиз-
вестные функции tу . Эти уравнения получим следующим
образом. Продифференцируем уравнение (73.16) по у , а уравне-
ние (73.17) - по л и вычтем одно из другого. Получим
£. f 1 7 t?3^ _ 7
‘-уи2 I дхг ду + 2 ду3 * 2 дхду2" дхду2
1 d2^ j /у 7
2 дх2ду 2 дх3 2 дхду2~ 2 ду3
___1_ д'г; _ с / дч д^уу д^уу _
2 дхгду + дх3 В М дх3ду + дхду3 дхду3
Я, V { Л I 1 У-
дх3ду'\ \ ду дх /J \ hi+< hi )
<dTj дЦ \ У / dtj'1 } 1 f др^
{ ду дх / 6; \ ду дх / h^ ду
др1^ \ / ( dpi \ е
дл f \ ду д* )
или
f ^-/7
/ 1 . 7 ) 3i-! Qi+1_
ht /
Qi
~^0, (74.1)
где . . ; •
as^2=roiS 0 = 2^2^ wt p..
L dy dx > L dy dx
Систему уравнений (1) можно представить в виде
2 "
V В. /$.= Z2 г.. В. + г (Г ^1,2
L ' L J=1 Ч 2 ‘°
(74.2)
256
где Г.. = [2 (1^)/Е J (1/hi+1 + llhcy,
гг^= -2(и/Ю/(ЕЬг^; r. ._f= -2(1^)/(£h.);
rik = 0
ria=(2d^)lE)(-QL+1 /h.±1 + Qt th- ).
При разных коэффициентах упругости отдельных слоев эти
выражения получат вид:
.ik-o
Ес ’
(1+Pit.d QLCt+r;)
Elbc
Л
Найдя из уравнения (2) значения
дту dtj
~ ду дх
и из уравнения (74.21) значения
dtj дТУ
А • х " + >
4 д* ду
можно определить компоненты сдвигающих усилий в швах, решая
уравнения:
4_ dBi . dAi • v2rг- дА‘ дВ .
* ду д* ’ и ду дх
Если силы имеют потенциал, то вихри их Qi равны нулю,
значения при этом тоже будут равны нулю и поля сдвигающих
усилий в швах будут потенциальными. В этом случае можно ввести
потенциальные функции , удовлетворяющие соотношениям:
При Q--0 существуют потенциальные функции осевых нагрузок
Nc, определяемые формулами
dN;
дх
dNc с
~дГ = Ру'
(74.3)
257
Тогда получим:
2 „2
А. = V Г , P.= V
и уравнения (73.21) можно переписать в виде:
(74.4)
Введем функцию М по формуле
(74.6)
Очевидно, что
2 2 2
V M=-T>vcnVV w, (74.7)
где Нусд — цилиндрическая жесткость некоторой условной сплошной плас-
тинки.
Интегрируя (7), можем положить:
(74.8)
и, так как по известным формулам расчета пластинок
_2 Мх + Му
V w = - ————
^УСЛ
(74.9)
то из (8) и (9) следует
Мх + Му
1 + /^Усл
(74.10)
Здесь — коэффициент Пуассона условной сплошной пластинки.
При /Л. = р
Учитывая (6), можно понизить порядок уравнений (5), изба-
вившись от оператора V2 во всех членах. Получим
258
Мх и МуЪ формуле (10) следует считать равными суммарным из-
гибающим моментам в составной пластинке, лишенной связей
сдвига, определяемым формулами (73.10).
В уравнении (73.20) также можно понизить порядок, получив
D w--М + £. с Т. . (74.12)
в j=i J J
Уравнения (И) и (12) аналогичны уравнениям теории упругих
составных стержней с абсолютно жесткими поперечными связями с
той разницей, что место вторых производных drldx2 в них занимает
оператор Лапласа V2h введены коэффициенты Пуассона. В состав-
ном стержне значения Тг представляют собой суммарные сдвигаю-
щие силы в г’-м шве, равные J значения/^ — продольные силы
в t-м слое, Л/= суммарный изгибающий момент, действую-
щий в сечении составного стержня, лишенного связей сдвига, Do —
суммарная жесткость на изгиб этого стержня х: ЭД,,/♦=().
Для определения Jdyc/t напишем выражения приведенной жест-
кости пластинки при одноосном напряженном состоянии
Л - - ЕуСА£ , Е-усл~ / Z- h-
и при одноосной деформации •
Ei hi _ ЕуслЕЬ- £ уел_____1 Ej hi
Z ~ 1-/*усл ~ EhL 1-^
Отсюда получим
или, обозначив:
U — I/ 4 I ' I
Для двухслойной пластинки
Л’усл
75. УЧЕТ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ
Основные трудности интегрирования уравнений составной плас-
тинки, как и вообще в двухмерных задачах, заключаются в удов-
летворении решения краевым условиям. Отметим, что высокий
порядок дифференциальных уравнений составной пластинки дает
возможность учитывать сложные и разнообразные условия закреп-
ления слоев пластинки против сдвигов и вертикальных смещений.
Простые граничные условия получаются, если на контуре ойи-
рания пластинки отсутствуют дополнительные связи против сдви-
гов слоев в направлениях, нормальных к контуру, и имеются аб-
солютно жесткие препятствия сдвигам в направлении касательной
к контуру.
Такие условия можно осуществить, обвязав края пластинки
абсолютно гибкой на изгиб и абсолютно жесткой на сдвиг в своей
плоскости лентой (рис. 116). При этом градиент функций на
контуре пластинки направляется по нормали к контуру, и, следо-
вательно, контур представляет собой эквипотенциальную линию
7[. = const . Ввиду произвольности начала отсчета потенциальной
функции можно положить при этом на контуре
Г =0.
I
(75.1)
Другой простой случай имеем, когда на контуре опирания созда-
ются жесткие закрепления против сдвигов слоев в любом направ-
лении (рис. 117). Тут уже следует положить на контуре равными
нулю производные от Тг по всем направлениям и, в частности, по
нормали к контуру
4^=0. . (75.2)
ап .
Что касается прогибов , то для них ставятся обычные контур-
ные условия, как в сплошных пластинках. Условия (1) и (2) мо-
гут ставиться в каждом шве независимо от краевых условий в дру-
гих швах.
В более общих случаях для сдвигающих усилий следует ставить
исходя из уравнений (73.4). Известные соотношения между де-
формациями или перемещениями на контуре пластинки, получа-
емые, как следствие статических или геометрических контурных
условий, после подстановки в эти уравнения дают необходимые
соотношения между сдвигающими усилиями в швах Ъ* и tjи их
производными пох и у на границе пластинки.
В частично проинтегрированной системе уравнений (74.11) —
(74.12) постановка граничных условий для и М может вызвать
трудности. В этих случаях рекомендуется решать задачу с помощью
уравнений (74.5) и уравнения (73.20), которое можно записать
ввиде; „ 2 2 г
v w-с.? т.+а.
J — 1 J J
260
Рис. 117
Рис. 116
76. ДВУХСЛОЙНАЯ СОСТАВНАЯ ПЛАСТИНКА
Для пластинки, составленной из двух рабочих слоев с заполне-
нием, работающим на сдвиг, надо во всех уравнениях положить п =
— 1 (такая пластинка иногда называется трехслойной, но нам
представляется правильнее называть ее двухслойной составной
пластинкой). При этом из системы уравнений (74.11), (74.12)
остаются два уравнения:
vV ~ Nt. сМ j
< ~°Т+E,*h„ Do ' I (76.1)
- М + сТ, J
Индексы, указывающие номер шва, опускаем, так как здесь име-
ется только один шов.
Исключая из уравнения (1) Г, получим:
т J + м
Т= + —
в о 2 2 У 2
— W w + —т— V М -
с $
> (76.2)
или
вР0 2
- 7 *
6
1— м +
с
Nz сМ
Е 2 Е2 О
, , „ > V2 М ёб
V -----М +
“о
+ ( Е * h. Е} h2 ) Р2
(76.3)
261
При отсутствии осевых нагрузок Л, и равны нулю и уравнение
(3) упрощается:
v2v2pvv2w = - ~ —^~2 ~• <76-4)
Если жесткость шва на сдвиг $ исчезающе мала, то пластинку
надо считать лишенной связей сдвига. При этом уравнение проги-
бов (4) получит вид
7 Vw = - VZMrDo -cj./Vo> (74.5)
т.е. обращается в обычное уравнение Софи Жермен с цилиндри-
ческой жесткостью , равной сумме цилиндрических жесткостей
обоих слоев.
При 4 "*°° получим монолитную пластинку, подчиняющуюся
закону прямых нормалей, с уравнением для прогибов
М. (76.6)
оРв
В то же время для такой пластинки (74.9), (74.10):
Vw = - , (76-7)
где Dм — цилиндрическая жесткость монолитной пластинки с продольным
модулем упругости в зоне шва, равным нулю.
Сопоставляя (6) и (7), находим:
= (76.8)
Это тождество может быть доказано непосредственно, с одной
стороны:
К- 1Z * 12 e^hi+E^hz j
E2h2^ E*hs-e*hJ 12 + 12
2 E*h1 E^h2(E*h^+E^E* + Eg
C (E*h1 +E^hz)2- = ~2 +
E ег e*h‘' E* ,
с другой стороны:
(76.9)
262
'2 ; 1 ( 1
* е; л, + е* h2
1 1 г г
$1) ~с2= D
О о
Р = Ш...- =
м #1)В-Сг
с 1 П-t с2. п2 .
E^h-!E2h2
Сг Efh< E*ht Т),
C2E*h.,E*hz ,
"в~ E*h + E*h /2
2 П2
(76. Ю)
Выражение (10) идентично (9), что подтверждает тождество
(8). На основании этого тождества уравнение (4) можно написать:
2 2 L „ 2 V2M 6Л М
V V w-h&v W =-----jj— + № —р~
Взяв оператор Лапласа от обеих частей этого равенства, получим
окончательно с учетом (6)
(76.11)
° м
Немного сложнее обстоит дело при наличии осевой нагрузки
в слоях составной пластинки. Если эта нагрузка имеет потенциал,
то уравнение составной пластинки имеет вид (3). При £'-’0 полу-
чим, как и прежде, уравнение (5), а при $ ->-оо — уравнение
,4=-^—М-^_________________&—).
in, I г,« *, г/ л2 /
Возьмем оператор Лапласа от этого уравнения с учетом (74.4)
? 2 с ( Р Р, \
VVw= —---— / —1-------)
К Ц*, ^*2 /
(76.12)
и сопоставим с уравнением монолитной пластинки, нагруженной,
кроме поперечной нагрузки q , распределенными моментами и
m'V(i = 1, 2). Из уравнения (73.8), положив
(1) <Z) <1) <2>
пгх=:гпх тх ; ту~ ту +гп2 >
легко получить для монолитной пластинки
г г дтх dm#
Заметим, что относительно центра тяжести монолитной плас-
тинки:
263
(D
тх~Рк С
EZ h2 _ Е* 6,
Рк Ef^i-E*^
_ с E*hz р?-Е* Л, р'У
£ у 1* £g %
т _r Ezh2py’-Ei h1 ру
* E'h^E^
dtnx дту _ E*hz pf ~E^h1 Pz
~дх'+~ду'~С E^h,+E*hz
тогда получим
2 2
-_DM7 V iv - -Г
£/Ч ЕЕ/Ьг
(76.13)
Сопоставляя (13) и (12), придем к тождеству:
E^h^P.-E*^ Рг _ 1 / Р, Р2 \
VjE^+Efh;) ~ вТ>„ (, E*h, Ezhz )
ИЛИ
E*^E*h2 _ 1 . =^h3L^ST)
^(Е'Н^Е'Ьг) &D,’ м Е^+Е^г
~~ ( 2 Г) ^-1 ^2 ^2 \ _
" в;ь^Е1ьг + • Е*Ь,Е*ь2 )
= сг B*hi.EL^^ +1),
E*h.+E^hz °'
что совпадает с равенством (9). Таким образом, при | •*00 уравне-
ние (3) будет
'7zVZw=(^-L')/T)M ,
Ртх дту Pj Ez hz ~ Pz E* 4,
где L ~ dx + dy ~ C Ё* + £* h2 ’
а при любом — вид
i. 2 $ AC M + P
V V iv- iv= ——-i- ^0—-—’ (76.14)
264
где R = с
N,E*hz - Nz E*
+ ^2.
(76.15)
77. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ СОСТАВНОЙ ДВУХСЛОЙНОЙ ПЛАСТИНКИ
I. Прямоугольная двухслойная шарнирно опертая по четырем
сторонам пластинка, нагруженная по краям моментной нагрузкой
(рис. U8). При наличии препятствий сдвигам по контуру пластин-
ки во всех направлениях имеем тривиальный случай двусторонне-
го изгиба пластинки, как монолитной, с отсутствием сдвигов по
плоскости шва. Если в направлениях, нормальных к контуру, нет
препятствий сдвигам, то будем иметь на контуре условия Т —
= 0 (76.1). Кроме того, полагаем прогибы по контуру опирания
равными нулю. С учетом (76.2) получим контурные условия:
прих = 0их=а1 п _,2 .
при у-0 и <2-И w = 0’
где, согласно (73.10):
Для расчета такой пластинки можно воспользоваться уравне-
нием (76.11), которое здесь принимает вид:
V V w= $5М/т>м~ const. (77.1)
Частное решение можно получить, положив:
-- - М/1)м = const.
Далее надо прибавить решение однородного уравнения
г -г „ 2
V Vw-^ovw-O (77.3)
с контурными условиями:
при х = о ИХ=Д1 =Z7
при у — 0 иу=?_Г { ие /
Решение этой краевой задачи может быть проведено, напри-
мер методом Бубнова—Галеркина.
Сложив решения уравнений (2) и (3) и подставив полученное
выражение w в формулу (76.2), найдем функцию Т и значение
Т=дТ((дк) и Т^-дТКву). Однако их можно получить и более просто из
первого уравнения (76.1) в котором в данном случае следует по-
ложить 0 и взять И по формуле (1):
$
- 8Ti-
с(Мх+Му)
265
Рис. 118
Граничным условием на контуре по-прежнему здесь является
Т=0?
2. Прямоугольная двухслойная пластинка, нагруженная равно-
мерно распределенной нагрузкой при шарнирном опирании по кон-
туру (рис. 119). Функциям здесь определяется из уравнения
2
V м= -у
с контурными условиями М — 0. Она равна численно прогибу
мембраны под нагрузкой q с растягивающими силами NK— N4= 1.
Затем эта функция подставляется в уравнение (76.11), принимаю-
щее вид
Условия на контуре принимаются при свободном сдвиге по
нормали к контуру:
прил=0 и х = (77.5)
при у — 0 иу= Ъ £
так как М взято равным нулю на контуре. Дальнейшее решение
не вызывает принципиальных затруднений.
При наличии жестких препятствий сдвигам по краям пластинки
во всех направлениях вместо второго условия (5) берется, соглас-
но (75.2): ,
прих = 0 и х-а _2L,g п \ дМ_.
дх и Ц>\ длз д*дуз) дх °’
приу=0и{/—5 -4^=0 или =
ду аУдх ду ду* / ду
причем значения дМ[дх и <?М/ду находятся из решения уравнения
(4). Как видим, при жестких препятствиях сдвигам на контуре
по всем направлениям решение становится более сложным.
Если требуется определить только сдвигающие усилия Г и ? то
следует воспользоваться уравнением (76.1) у’
266
Рис. 119
у2г сМ
$ 8т + °’
в котором М подставляется из решения уравнения (4).
3. Прямоугольная двухслойная пластинка, нагруженная по
краям равномерными осевыми усилиями N*’, Ny\ /у™ и
(рис. 120). В этом случае можно исходить из уравнения (76.14)
или из первого уравнения (76.1), положив в них tA— 0. Входящие
в эти уравнения значения и /^определяем по формулам:
(2) ,<г)
Ч = *х , Nz= Nx + Ny , (77.6)
которые справедливы и для более общего случая:
Р^РХ(*>', Py = PVW-
Действительно, при этом из (74.3) следует
X У
Pxd* +
О О
26
X У
О О
Подставляя (6) в (76J5), получим значение /? и уравнение
(76.14) для прогибов
2 2 -2 2 $3
V V w- $ о Viv-----—— R-О.
Дальнейшее решение аналогично решению для случая изгиба
составной пластинки моментами М и М , приложенными по краям
(рис. 118). ’
78. СОСТАВНАЯ ПЛАСТИНКА С УПРУГОПОДАТЛИВЫМИ
ПОПЕРЕЧНЫМИ СВЯЗЯМИ И АБСОЛЮТНО ПОДАТЛИВЫМИ
СВЯЗЯМИ СДВИГА
Рассмотренный выше расчет составных пластинок с абсолютно
жесткими поперечными связями применим для пролетов, которые
значительно превышают общую толщину пластинки, и при сравни-
тельно малой толщине швов. При толстых прослойках мевду уп-
ругими слоями пластинки, выполненных из податливого мате-
риала, следует учитывать поперечную податливость прослоек. В
ряде случаев при этом целесообразно использовать схему составной
пластинки с упругоподатливыми поперечными связями и абсолют-
но податливыми связями сдвига, поскольку учет сдвигающих уси-
лий в швах сильно усложнил бы задачу расчета. Таким образом
получаем часто применяемую схему расчета составной пластинки,
в которой каждый упругий слой соединен с соседними слоями
с помощью среды типа винклеровского упругого основания
(рис. 121).
Нетрудно написать уравнения для прогибов слоев системы, пока-
занной на рис. 121. Эти уравнения имеют вид:
Л
I>2 VZV2W2 = -S, +зг +
D3 V2v2>v3^-s+s3+<}°~;
^n + -t V *%7 + -Г_ Stl+el П. + 1 ’
Рис. 121
268
(78.2)
Здесь D£ — цилиндрическая жесткость Z-ro слоя; — напряжения в
поперечных связях « -го шва; — внешняя поперечная нагрузка в Z-om
слое; v2 V2- бигармоиический оператор; п — число прослоек между упру-
гими слоями.
Кроме того, полагаем:
.s2= 7? (^-и^);
Подставив (2) в (1), получим:
Л / =- /v2 + cfi-,
J?2 Р2Кги/ =/?,
D3 VZVZ^= ^zvv'z-('7z^^3)^^lvli +^°э ;
2 -2 . ff
D VVw = t7 W-(f7+*7 i-n АУ +CL
n+1 ^tl+1 (n n K <fi ln+l' n + 1 (n + 1 fi-tl *^+1
ИЛИ
ZX v2/и/. -> n^)-
И78.3)
Систему уравнений (3) можно путем некоторого линейного
преобразования прогибов
Ч = *<*«> Ч
свести к независимым дифференциальным уравнениям, используя
методику, описанную в п. 11, где она была применена к расчету
составного стержня на абсолютно жестких поперечных связях:
9 9 2
V = (78-4)
Уравнения (4) совпадают по виду с уравнением упругой плас-
тинки, лежащей на сплошном винкелеровском основании. Их мож-
но решать независимо одно от другого, если контурные условия
у всех слоев одинаковые (однотипные контурные условия).
Одно из уравнений (4) имеет нулевой коэффициент А2. Это
следует из того, что сумма всех уравнений (1)
VZV2!ZD. пг) = Zq°. ,
т.е. линейная комбинация прогибов
v - ZD. и-.
С L L
подчиняется уравнению изгиба свободной пластинки (с коэффици-
ентом постели, равным нулю).
269
В случае двухслойной пластинки (п~ 2) имеем два уравнения:
Z>2 VZVZw2 = 7 7и/2 * .
(78.5)
Сумма этих уравнений дает
2 2 0 0
V V Щ w1+J)2
Если же умножить первое уравнение (5) на Z>2 и вычесть из него
второе, умноженное на 7^ , то получим:
Dz V* V*( и', - ) = 7(-(.О2/-2ри^*
или
2 2
V V ~ w2) =
'-' (И/ - PV ) + " •
-Р, Яг
Отсюда видно, что разность прогибов слоев и; - w2 подчиняется
уравнению плиты на упругом основании с цилиндрической жест-
костью, равной единице и коэффициентом постели
F л а в а 13. РАБОТА СВЯЗЕЙ СДВИГА
В СОСТАВНЫХ СТЕРЖНЯХ
ЗА ПРЕДЕЛОМ УПРУГОСТИ
79. ПРОИЗВОЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ СДВИГАМИ
И НАПРЯЖЕНИЯМИ СДВИГА
Ранее всюду подразумевалось, что как материал стержня, так и
сами связи подчиняются закону Гука. Разберем теперь случай,
когда связи сдвига работают за пределом пропорциональности,
причем ограничимся рассмотрением стержней с абсолютно жестки-
ми поперечными связями. Будем считать, что материал стержней
в работе на продольные усилия подчиняется закону Гука. Зада-
димся зависимостью между сдвигами и напряжениями связей
сдвига в виде функции
Г=Ч’('ПЛ
(79.1)
270
полученной, например, экспериментально в виде графика или таб-
лицы.
Приращение сдвига по длине шва составного стержня выражает-
ся разностью относительных удлинений краевых волокон, сопри-
касающихся в шве. Оно может быть получено в виде суммы влия-
ний внешней нагрузки и суммарных сдвигающих усилий в каждом
шве Тг= тс(х) основной системы, лишенной связей сдвига.
Написав выражения для приращения сдвига для каждого шва,
получим следующую систему равенств:
г'.= Е ДМ(с= 12 п). (79.2)
Коэффициенты влияния суммарных сдвигающих усилий Т- Д-к
и внешней нагрузки те же самые, что и при упругой работе
связей (5.14).
Дифференцируя равенства (2) по х и заменяя напряжения % =
= Т£' по формуле (1), получим систему дифференциальных урав-
нений для определения неизвестных Г-:
Функции ( Г.) зависят от интенсивности распределения и ви-
да связей в различных швах.
Для частного случая стержня из двух брусьев, а также для
симметрично составленного из трех брусьев при симметричной или
обратно симметричной нагрузке имеет место только одно урав-
нение
Г"- Л у ( Г )+ Д'
‘ 1 а 11 Ч ' ' 1' 10
или в других обозначениях:
/*"= ггЧЦН+Д'. (79.3)
При Д = const решение этого уравнения представляет собой ин-
теграл1
1 Вводя новую переменную р~ Г и заменяя
» dp dp dr dp d /р2\
Г~ dx ~ dr dx ~P dr ~ dr ( 2 )
получим г
pZ/2 = 2ГJwDdr id '(Г)1-е1,
rt,
откуда
p - /ztrf ч(г>аг+ гд'г+гс, = dr/dx
или G
dx^dr/^27 jv(P)dr+ 2Д'ГЧ- 2^ ’,
4
271
г
? dP
!----r------------;-----’ (79.4)
rB / 2Т^Ч’(Г)с1Г+2ГЛ+Ci
который, вообще говоря, не может быть выражен через, элементар-
ные функции. Поэтому здесь приходится прибегать к численным
методам решения.
Интегрируя, получим выражение (4). Коэффициент 2 при С] можно
отбросить, ввиду произвольности постоянной Cj.
Заменим дифференциальное уравнение (3) уравнением в конеч-
ных разностях
(79.5)
/2 A k ’
Здесь к — переменный индекс точек, расположенных на расстоянии одни
от других по длине шва.
Из уравнения (5) получим
г ~ ~ (79.6)
к+1 к к-1 1 * к I
рекурентную формулу для последовательного определения
сдвига в намеченных точках. Сдвиг каких-либо двух точек, напри-
мер к = 0 и к — 1, остается неопределенным и может быть полу-
чен из граничных условий. В начале и конце шва суммарная сдви-
гающая сила равна нулю.
Если Тс — 0, то о - =&i0 , поэтому в начале и в конце составного
стержня приращение сдвига равно разности относительных удлине-
ний краевых волокон по обе стороны шва в основной системе.
Этим обстоятельством можно воспользоваться для нахождения од-
ного из неопределенных сдвигов двух первых точек. Заменяя пер-
вую производную выражением ( Г )/(2 , получим
а из формулы (6):
7 7 ।
г-1 =2Г0~Г1 + 11 До.
Исключая из этих двух уравнений С1, получим, что:
t+ 1 12
Г1 = Го^11ЛО+ТЛо+-211 (79.7)
Если в начале стержня значение сдвига известно, то запячу
можно считать решенной: G определится из формулы (7), а даль-
нейшие сдвиги — по формуле (6). Однако в большинстве задач
значение сдвига в начале стержня является неизвестным. Поэтому
272
приходится задаваться различными начальными значениями сдвига
и выбирать из полученных решений то, которое удовлетворяет
полностью граничным условиям.
Рассмотрим для примера составной стержень из двух брусьев
на пластинчатых нагелях, загруженный, как показано на рис. 122.
Зададимся значением сдвига на одном конце стержня и определим,
какая сила Р соответствует этому сдвигу. Зависимость между уси-
лиями в пластинчатых нагелях и их сдвигами определялась экспе-
риментально и приведена на рис. 123, причем напряжение Т отнесе-
>0-2 I& 273
но к погонной единице длины шва применительно к нашему слу-
чаю.
Расстояние между точками, в которых будем находить сдвиги,
принимаем равным расстоянию между нагелями — 11 см. Зададим-
ся значением сдвига в точке к — 0, соответствующей последнему
нагелю, Гв — 0,01 см. Сдвиг предпоследнего нагеля вычислим по
формуле (7), а всех остальных последовательно по формуле (6).
Значения ч>( <7? берем каждый раз из графика (рис. 121). Д, и Д'
равны нулю, поскольку правый конец стержня не нагружен.
Полученная таким образом эпюра сдвигов, изображенная на
рис. 120 сплошной линией, мало отличается от эпюры сдвигов,
определенной в предположении, что связи сдвига подчиняют-
ся закону Гука (пунктирная линия). В эпюрах напряжений за-
метны значительные расхождения при учете пластических дефор-
маций (сплошная линия). Впрочем, количественная оценка явле-
ния зависит здесь от коэффициента жесткости связей сдвига $ ,
которая будет принята в приближенном ’’упругом” методе.
Суммируя усилия в отдельных связях, получим и общее значе-
ние силы Р, которое должно уравновесить заданный нами сдвиг Го=-
=0,01 см на противоположном конце стержня.
80. ИДЕАЛЬНАЯ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКАЯ РАБОТА
СВЯЗЕЙ СДВИГА
К вопросу о работе составных стержней за пределом упругости
связей можно подойти и несколько иначе. Можно принять для
связей сдвига вместо фактической диаграммы зависимости между
деформациями и напряжениями условную диаграмму в виде лома-
ной линии (рис. 124). Такая диаграмма показывает, что до опре-
деленного предела связи работают как упругие, а по достижении
этого предела, который будем называть пределом текучести связей,
деформации их могут беспредельно возрастать без увеличения
достигнутого напряжения (так называемая идеальная диаграмма
работы упругопластического тела).
Рассмотрим конкретную задачу о стержне из двух брусьев с аб-
солютно жесткими поперечными связями и упругопластическими
связями сдвига. Нагрузку примем в виде продольных сил и изги-
бающих моментов, приложенных по торцам брусьев. Другими сло-
вами, рассмотрим задачу о внецентренном сжатии-растяжении
и чистом изгибе стержня из двух брусьев, рассмотренную нами
ранее для случая упругих связей (п. 18).
Так как наиболее напряженными при упругой работе связей
оказываются в данном случае связи, расположенные вблизи тор-
цов, то можно ожидать, что при увеличении интенсивности нагруз-
ки у торцов стержня образуются зоны текучести связей, которые
постепенно расширяются к середине бруса. Напряжения связей
сдвига в зонах текучести постоянны и равны пределу текучести Тг.
Обозначим длины зон текучести связей через Ъ и длину остав-
шейся зоны упругой работы связей через а (рис. 125). Для упру-
гой зоны справедливо выведенное ранее уравнение
274
В значение 4 должны входить как заданная внешняя нагрузка,
так и нагрузка сдвигающими силами, передающимися с участков
текучести связей сдвига. Эти сдвигающие силы будут равны - ЬТт и
их влияние выразится в виде добавочного члена
2J = -Ъг ?г=-ъг.)-
1 r т\ EfFj ЕгРг EEJ /
Общий нагрузочный член будет
= (80.2)
где Ло — нагрузочный член, определенный обычным способом как для
упругого стержня.
Подставив (2) в уравнение (I), получим:
т"=$ (FT+ ТГ), (80.3)
где й '£'т , Дд — постоянные величины.
Интегрируя уравнение (3), получим:
T=CgSh Хх ^СгсЬАх-Дв/уч- ЪТГ , (80.4)
где X , как и ранее, равно
Выражение для напряжений в упругом участке связей сдвига
получим, дифференцируя (4)
XC1chXx+XC2 shXx. (80.5)
Примем теперь начало координат на границе между левой зоной
текучести и зоной упругой работы связей. Тогда при х= -Ъ:
Г= -Гт Т= о, (80.6)
так как сдвигающие усилия, которые передаются с левого участка
шва, включены по внешнюю нагрузку. Подставив граничные усло-
вия (6) в выражения (4) и (5), получим:
10-2 9 275
Таким образом, для участка упругой работы связей:
~7^Tch Лл + ~ sh Л* .
г л
(80.7)
В середине участка связи по условиям симметрии должны
оставаться ненапряженными. На концах участка напряжения в
связях сдвига равны ± Тг . Отсюда можно определить длину упру-
гого участка. Подставляя в равенство (7) л —о, получим:
Г = ch Л а- + sh А а.
т ' а
Отсюда
(80.8)
т <Г 1 + chAa 2Г 2
или, заменяя А по формуле (2):
cth ~ =. --?g. _ Ad, Ad.
2 ГГг 2 2’
а-А ,, ah _ Al ЛАо (80.9)
2 C 2 2
График функции у = x~ cth x приведен на рис. 126. При а = L
нагрузочный член может быть определен из уравнения
276
х
cth
А4
2
При меньших (по абсолютной величине) значениях Да формула
(9) уже не действительна, при больших значениях величину аХ не-
трудно найти из графика, находя пересечение нанесенной на нем
кривой Ал /2 — cth (А*/2) с горизонталью А /,/2 —XAff/if). По
мере увеличения До эта горизонталь опускается вниз, переходит
через нуль и стремится к минус бесконечности; длина участка
упругой работы связей а. при этом стремится к нулю.
Из графика (рис. 126) наглядно следует, что при л >2 кривую
у~ х ~ dh х можно с достаточной точностью считать совпадающей
с прямой у— х— 1 (так как при этом cth х~ I). Тогда:
At А До А4 X До
Кроме того,
отсюда:
XL 12 2 XL у.
Таким образом, приАА>4и А£/2—АДДг;^-) >1 расчет упроща-
ется и длину упругого участка а можно определить по формуле
аХ/2 = XL/2 -.'До !(Тту) +1
или
а = L-2AJ СС-гЪ) + 2/Х
При этом
Ъ= ДО[(ТГ^)- 1/Х.
Этот случай отвечает ’’бесконечно длинному” участку упругой
работы связей, остающемуся, однако, менее общей длины стержня
L В частности, к нему может быть сведена задача о передаче уси-
лия в бесконечном составном стержне с упругопластичеекими
связями по схеме, показанной на рис. 127.
Суммарные сдвигающие усилия, накопляющиеся к середине
стержня при упругопластической работе связей сдвига, будут
а./2
Т = ТГЪ + \ tdx .
max r и
О
Для вычисления интеграла, стоящего в правой части, заметим,
что закон распределения сдвигающих напряжений Т по длине
участка оказывается тот же, что и при целиком упругих связях,
т.е. эпюра Т представляет собой гиперболическую синусоиду с ну-
левой точкой в середине участка а. Тогда получим:
277
max
sh(Aa./2)
Ch ~2--7
A sh (Aa/2)
= гr»>—S_(cth/с*л2Д^-,)=
r// J. )" . A
гЪ A ( rT? / 7 2 1 / V> p
A
r
(Дв~ТтЪГ)2 Г*
r2 A2
При больших значениях Аа.: ch (Aa/2)~sh (Аа. 12) ъ 1 и
Tma^rr(^i)’
при малых Ла;
ch (Аа/2)-1^Агаг/8 sh (Аа/2)^ Аа/2;
Тт^гЛЪ + %)'
Зная Ттл;с, можно найти напряжения в обоих составляющих
стержнях, которые определяются лишь нормальной силой и изги-
бающим моментом, возникающим в сечении, каждого отдельного
бруса. Для среднего сечения верхнего и нижнего брусьев:
Л* ~ ~ Ъпах '> ^2= ^г + Т/пах ’’
М2 = (Ma-rma)(C)EzJj^ED.
В начале упругого участка:
NrN^trb)
М,= (M°+rrbc) /ZEJ-,
Мг- (М°+Ст Ъс) Е 2 32 /ЕЕЭ.
По направлению к торцам брусьев нормальные силы и моменты
изменяются по линейному закону до величин:
Нетрудно построить также эпюру сдвигов по длине шва. На уп-
ругом участке она, подобно эпюре Т , изображается гиперболи-
ческой косинусоидой и отличается от этой эпюры лишь множи-
телем 4 • На пластических участках работы связей производная
от сдвигов Л'меняется, согласно формуле (5.12), линейно, так как
на данных участках стержня меняются линейно нормальные силы
и моменты. Значение сдвига Г меняется здесь вдоль шва по пара-
278
болическому закону. Максимальное значение сдвига у торца стерж-
ня может быть определено таким образом:
Л = Да-Тт Хх, Г = Дох-f2)xZ+C}
при л- Ъ , Г=
доъ С=-Тт^ + ^-ЪХ-лгЪ,
Г = Тт^~ (Ь2-хг)-Др(Ъ-х)-Тт1-.
Максимальное по абсолютной величине значение сдвига при х= 0:
гтах=Доъ-^ъг^-
81. СТЫК НА УПРУГОПЛАСГИЧЕСКИХ СВЯЗЯХ СДВИГА
При передаче усилия с одного бруса на другой через упругоплас-
тические связи сдвига по схеме, показанной на рис. 128, зоны те-
кучести связей также будут находиться у торцов стержня. Обозна-
чим длину зоны текучести у левого торца через , а у правого
конца через Ъ2 : зона упругой работы связей имеет длину
1-Ь1-Ъ2 .
Для упругого участка справедливо уравнение
7-"= Ы(Т-ТтЪ)Т + До], (81.1)
где До — свободный член, определенный по формуле (8.2) с учетом внеш-
них сил, приложенных на левом торце.
Интеграл уравнения (1)
Т = С1 shAx + CzchAx + VTb- Дв/д'-
Учтя граничные условия в месте перехода от пластического
участка к упругому
Т=-Ът , Т-0
и, считая это место за начало координат, получим как и в предыду-
щем случае (79.7):
T=-TTchAx + -^-shAx (Д^До-Тт^т)-
г (J
В конце упругого участка напряжения в связях сдвига должны
равняться и иметь в противоположность случаю внецентренно-
го сжатия не обратный знак, а тот же, что и в начале упругого участ-
ка, т.е. минус. Отсюда получим:
АД
— ТТ ~—Т_ ch Аа.-t—sh Аа,
т т о
279
У
Ха ХД ХЛе
2 ~ 7Тт~
-Ъ1Х.
(81.2)
В случае стержня, симметричного относительно продольной оси,
для определения а достаточно одного лишь уравнения (2), так как
из условия симметрии
Ьг = (1-а-)/2.
Учитывая, что в этом случае:
zig Jg _ jz ХД0 М *N° .
2 2 2 ~ ~ 2. 2Тт ’
(81.3)
можно определить длину д,зная и пользуясь
графиком функции у=х- th х (рис. 129) при условии, что 0<аЧ,
т.е., что:
XI/2 > NX/(2TT)xth (М /2Тт).
(81-4)
Для решения задачи в случае неодинаковых верхнего и нижнего
брусьев найдем суммарную сдвигающую силу Г, накапливаю-
щуюся на длине упругого участка. Принимая во внимание, что отно-
сительно середины упругого участка эпюра Г выражается гипербо-
лической косинусоидой, получим
а/2
ch -а/2
-2rTshMalz) 2Тт _г Ха.
Xch(X<L/2) ~ X th 2
280
Общее сдвигающее усилие, накапливающееся по всей длине
стержня
-+ ъ,- г а,- тг ъ2 = тг (ь2)-^- = -Ч
откуда
В то же время
5, i- Ь2 = 1-а.
Отсюда
t-а До N l-а До f N
ЪГ 2 * 2ГТт 2Тт ’ г~ 2 ЗГТг 2Тт
Подставив найденное выражение для Ъл в формулу (2), получим:
,, Ха _ ХДо X(t~Q-X ДоХ MX
h 2 ~ гггт 2 ХТГ + 2VT ’
= Xt/2 -Nx/f2tT),
т.е. и в случае несимметричного относительно продольной оси
стержня длина участка упругой работы связей может быть опре-
делена по формуле (3) и графику, приведенному на рис. 129.
При N /Гт = I связи по всей длине шва текут, и соединение двух
брусьев нужно считать исчерпавшим свою несущую способность.
Применимость данного метода расчета ограничивается, кроме
условия I , также условиями Ъ,70 и £,>0, т.е. наличием
двух участков текучести связей. Из равенств (4) последние усло-
вия получим в виде
(l-a.X/2 +До1(ТТт')-Ы/(2Ту)70,
(1-а)12-Д1> /(7Тт)+ N/(2fT)yO.
Отсюда
/(тгтг}~n/(ztt'i7~(t-ax/z; до/(ггт)-ыКгтту
или
(81.5)
До N l-a
ТТт 2Тт 2~ ’
„ 2tT XI
При невыполнении неравенства (5) и при N>—— ±h -j-
текучести связей сдвига возникает лишь около одного
стержня. При N< -th , как уже отмечалось (4), зоны теку-
281
зона
конца
чести отсутствуют. Для симметричного составного стержня левая
часть неравенства (5) обращается в нуль.
Формулы для случая только одной зоны текучести не приво-
дим, ввиду их сравнительной сложности.
82. БАЛКА НА УПРУГОПЛАСГИЧЕСКИХ СВЯЗЯХ СДВИГА
Рассмотрим теперь задачу об упругопластическом изгибе состав-
ной балки из двух брусьев, лежащей на двух опорах при свободных
торцах. Нагрузку, действующую на балку, будем считать сим-
метричной относительно середины пролета и вызывающей моно-
тонно возрастающие по абсолютной величине от середины балки к
ее торцам сдвиги по шву. При этих ограничениях после возраста-
ния интенсивности нагрузки до некоторой величины у торцов
балки появляются зоны текучести связей, длину которых обозна-
чим через Ъ, в средней же части балки длиной а. = L — 2Ъ связи
будут работать в пределах упругости (рис. 130).
Рассматривая один упругий участок работы связей и учитывая
сдвигающие силы, передающиеся с боковых участков как внеш-
няя нагрузка, можно написать для этого участка
Т"= $ агт+д), (82.1)
где
Дв- ТтЫГ. (82.2)
Общее решение уравнения (1), как мы видели ранее (8.3), име-
ет вид х
Т- CjShAx + л/гг/л (±)-sh Л (x--t)dt.
О
В нашем случае нагрузка симметрична относительно среднего
сечения балки. Взяв начало координат в середине пролета, из усло-
вия симметрии получим Сг = 0 и
282
т- сг chAx + U/flj’ A(t)-sh A (fi-t)dt,
О к
T-AC2shAx + (fl7^A(±)chA(x-t)dt.
О
На концах упругого участка, т.е. при л = 0,5а, сдвигающие
напряжения V равны пределу текучести Гт, а суммарную сдвигаю-
щую силу Т можем принять равной нулю. Из этих условий полу-
чим:
а/г
Cich^T+-j- ! A(t> ShA(~t)(lt= Оу
* У2
AC sh + f AW -ch A
£ £. в -V '
0
Отсюда
, z а'г
I^4-7-^Т й <*"
О 012 °
tt.
о
Подставляя вместо Л его выражение (2), получим:
а/г л/г
2 Г Аг Г
Г=---------- Л WchAtdt------------ггг 21Ъ<Г*
т jrch(Aa./2)J ° ffch(Aa/2) J
г а12
>xchAtcLt =--------[ Л (t ) Ch A tdt -A T Ъ th ~ •
Tch (Aa/2) J ° r 2
0
Отсюда 4 af2
TT=(ch ~ Ab sh A2 J Ao (H-chAldt. (82.3)
о
Решив это трансцендентное уравнении, найдем а — единственное
неизвестное здесь значение.
Рассмотрим, например, случай нагрузки балки, сосредоточенной
силой Р, приложенной в середине пролета (рис. 131).
При этом:
м’ ₽/‘.Д; д=2»к = ^с_/_!_-Л);
г I г г ’ гсэ zza I 1 )’
283
Рис. 131
Рис. 132
<z/2
Г Л. (t)chMdt =—— f/A_t)cA4i^ =
J 2EEJ J I 2 /
° ° Ха
= Рс ( b"a vh )а + ch~~1 )
2ZE3 \ 2\ 2 хг /
Подставив этот интеграл в правую часть уравнения (3), будер
иметь:
/ L Ла t, Ла} Pc L , Ла .Ла . ।
Гт Г (ch — + ЬЛ sh ~2£Ej sh ~2~ *ch T " 7’
Pc
T^TfEEJ
U sh^+ ch
bX-sh~^+ ch-^—1
X(L-a) Ха , „и Ла
— г sh сп —г~
X(L-a-) Ла . Ла
~Т~ Sh-2~+Ch—-
(82.4)
284
В левой части стоит известная величина, представляющая собой
отношение сдвигающего напряжения Гм , определенного по фор-
муле (22.5), как для монолитной балки, к пределу текучести
связей сдвига Тт. В правой части — некоторая функция от а и Z ,
которую можно изобразить в виде графика (рис. 132). С его по-
мощью можно определить а, зная остальные данные. При РсЦ2Т^
* /Гт < 1 уравнение (4) недействительно, так как тогда
напряжения в связях сдвига нигде не могут достигнуть значения Гт.
Но мы получим для применимости (4) более сильное неравенство,
положив:
Л с Д.
При Л — L имеем:
ch (AL/2) '
Гт ~ ch (AL /21-1 ’
при меньших значениях уравнение (4) неприменимо, и все свя-
зи работают упруго.
Длина упругого участка а. может обратиться в нуль только
при бесконечно большом значении . Это значит, что ни при ка-
ком конечном значении нагрузки Р зоны текучести не распростра-
няются до середины балки.
Зная длину упругого участка а и напряжения по его концам
в связях сдвига Гт , можно найти любое значение, относящееся
к напряженному состоянию составного стержня.
Глава 14. ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ
СОСТАВНЫХ СТЕРЖНЕЙ И ПЛАСТИНОК
83. ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВЕНСТВО ДВУХСЛОЙНОЙ ОДНОПРОЛЕТНОЙ
БАЛКИ
Будем теперь считать, что как связи сдвига, так и материал
составляющих стержней подчиняются закону деформирования
жесткопластического тела, при котором упругие деформации
пренебрежимо малы, а при равенстве напряжений пределу текучес-
ти Тт или 0Т Деформации могут расти безгранично. Поперечные
связи считаем по-прежнему абсолютно жесткими и прочными.
Рассмотрим при этих предпосылках задачу о предельном равно-
весии однопролетной составной балки из двух одинаковых брусьев
прямоугольного сечения размером 1хА с расстоянием между цент-
рами тяжести сечений (рис. 133). Торцевые сечения не имеют до-
полнительных связей, препятствующих составляющим стержням.
II-
285
Рис. 134
Рис. 133
Балка шарнирно оперта по концам и нагружена равномерной попе-
речной нагрузкой у.
Одной из возможных форм разрушения такой балки будет сдвиг
по шву в пределах крайних участков длиной а (рис. 134). Погон-
ные усилия в связях сдвига на этих участках равны предельному
значению Гт. Сечения брусьев на концах крайних участков нахо-
дятся в предельном состоянии с напряжениями, показанными на
рис. 134. Нормальные силы и изгибающий момент в этих сечениях
соответственно равны:
N1=-atT; <^а.(1-а)/^-а.Тгс/2.
Условие предельного состояния равновесия прямоугольного
сечения для идеального жесткопластического тела, как известно,
имеет вид:
п + = (8з,1)
где
(83.2)
tl = Ni/(dTh)-, tn = /(бТ hZ) .
Введем безразмерные величины:
ЦбтЬг); tf=TTt/(6rh);o(.= a.lt<0/5;j}=clh->1. (83.3)
Тогда:
qa.(i-a.)-2a.Trc < a.(l-a.) 2а.Ч-с
бт h2 I* hl
(83.4)
= q*oc(1-ac)- ZoiLPfl.
Подставляя (4) в (1), находим:
2 2 *
Ч* ос + q oc(i-oc)-2ocvjs= 1;
д*- 1+2ос.Чр-Ч>\с
' ас ( ! -ос)
(83.5)
286
Для вычисления минимума Ц найдем производную:
def ос (1-ос)( Z4>J3 - Z4>*ос)~(H-Zoc Ч/J- Vac) (1-2сс)
дос ос.2 (1-°C-2)
Приравнивая нулю числитель этой производной и приводя по-
добные члены, получим:
ZVfioc2- V1'of + 2ос - 1 - О , (83.6)
-7*/ 1+ 24J3- У2 (83.7)
** " Z^fi - ч>2
По формулам (5) и (7), можно определить разрушающую на-
грузку, соответствующую рассмотренной форме разрушения и за-
данной относительной прочности шва Для сравнения рассмотрим
форму разрушения стержня как монолитного с образованием
шарнира текучести в середине пролета. При этом:
M—6^hc=<^tzl8\ cf=8fi- (83.8)
Очевидно, что при больших значениях Ч> стержень разрушается
как монолитный. Определим минимальную прочность шва 4>м,
обеспечивающую его неразрушение и работу стержня как моно-
литного. Для этого подставим из (8) в формулу (5) и из полу-
ченного уравнения найдем:
BftoC (1-ос) = 1'+ 2oc.fi чм -ос2 Чгм;
(83.9)
ср - j, — У / +рг — 6fioc +8J3<* 2 '/тс
Задаваясь различными значениями се , получим различные .
Истинному ос соответствует максимальное значение %, обеспечи-
вающее неразрушение по формам с любой длиной участка сдвигов
по шву, кроме истинной. Поэтому ос в формуле (9) следует брать
из условия dV^ldac- 0, которое после ряда преобразований дает
2- fZft
8fi2- ‘Ift2
(83.10)
Подставляя (10) в (9), получим предельную прочность связей
сдвига
min Т = 4>и h/l,
превышение которой уже не увеличит несущую способность балки.
287
Значения в функции р приведены на рис. 135 в виде графика.
При fl — \ (сплошной составной стержень) формула (9) дает ос —
— 0,5 и, согласно (8), = 2. ПриуЭЧ получим ос*0,5, т.е. разруше-
ние происходит по сдвиговой форме с образованием шарниров
текучести в двух сечениях. При /)-»<» ос стремится к нулю, a к
четырем.
Рассмотрим теперь загружение той же балки сосредоточенной
силой Р, приложенной в середине пролета. При этом:
ЛГ=аГ; Ра /^-afrcf2. (83.11)
Подставив эти выражения в (1), (2), получим:
( а-Ут )2 Pg. 2.atTc
\ бт h J* (эт h2 бт h
откуда
Р = 2ТГС -at2r/dT+dThz/a.
или в обозначениях (3)
Р*=Р1/(бг h2)= 1рс+2Ч>р-ос Ч>2 (83.12)
Так как правая часть (12) — монотонно убывающая функция ос,
то минимум Р* достигается при наибольшем возможном значении
ос= 0,5, т.е. при О-— 0,51.
РпР= min /7*= 2 + 2.рч>-0'5Ч>2. (83.13)
Зависимость (13) показана на рис. 136. Для монолитной балки
Л/= Pl/Р =6Thc-, Р*р = ЧР- (83.14)
Приравнивая Р*р из (14) и (13), найдем необходимую для обеспе-
чения прочности шва прочность связей сдвига ^=2.
Пусть теперь сосредоточенная сила приложена не в середине
пролета, а на расстоянии Ъ от опоры. Тогда, обозначив через R
реакцию этой опоры, получим:
Ы^аТт- Л4,=(Pa-atrc)/2 (а<Ь).
288
Эти формулы совпадают с формулами (11), если заменить в них Р
на 2 Л Далее,вводя обозначения:
R*=Rt/(dTh2) и
получим, аналогично (12), и учитывая, что шах ос
*4 осЧ> * 1 АЧ>
R=^—+4P------ъ--5 Rnf^-+
2 ос 7 2 1 пр 2 fl 2
(83.15)
Для монолитной балки:
Rnp = Лс /Ъ R*p = S/fl. (83.16)
Приравняв /?*из (16) и (15), получим:
1К2А)^мр-/,Ч>1/2=р/Л.
84. ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ КОНСОЛЬНОГО СТЕРЖНЯ,
СОСТАВЛЕННОГО ИЗ ДВУХ БРУСЬЕВ
Сечение стержня возьмем таким, как в п. 83 (рис. 133). На ниж-
нем конце считаем стержень полностью заделанным в основание,
верхний конец — свободным от дополнительных закреплений
против сдвига. Нагрузку примем равномерно распределенной.
Здесь кроме разрушения стержня как монолитного возможны фор-
мы разрушения со сдвигом по всей длине шва (рис. 137) и со сдви-
гом по части длины I -а-, примыкающей к заделке (рис. 138).
При разрушении стержня как монолитного имеем:
0,56Thc, $1г/(6Th) = 2c/h~ 2р. (84.1)
При разрушении со сдвигом по всему шву получим:
ifrl2/2=2M1+N1c , N^TTt , M^-tTt£/2-qtz/5
Из условий (82.1) и (82.2) находим:
/ ГТ1 V п TTtc _ d>Th2(. . „ Trie T?t2 \
( h6TJ бтЬг~2 6rh2 =1’ Z2 V 6Th2 )
или, в обозначениях (82.3):
ц*-1 + 2‘4,р-Ч>2. (84.2)
Наконец, при разрушении со сдвигом на части длины, исходя
из условий предельного равновесия сечения на расстоянии а от
свободного торца и сечения в заделке, соответственно:
289
0,5t}az= N9c-2Mt-> 0,5 Nec-0,25$ az >0,
0,5<j,l2 = NHc ~2MH; MH= 0,5N„c - 0,25qt2 <0.
Индекс "^"относится к верхнему, а индекс ”н” — к нижнему сече-
нию.
Между нормальными усилиями в верхнем и нижнем сечениях
существует зависимость,
N^N^^d-a).
Условие текучести в верхнем сечении будет
/ /Ув у*, гн,с 4°?
\ £>rh ) C>Thz 7 \ (эт h / бт hz бт h2
или
п2 + 2п/Э-1 ^(foc2 (п,= Nj6Th). (84.3)
Условие текучести в нижнем сечении с учетом изменения знака
изгибающего момента
Г Ут (г-д.) 7 2 2[NS (t-a)]c
L tir h J (зг h2 <5^ h2
ИЛИ
[n +4>(1-ocj\2- 2ft[ti+4>(1-oc)\=1-(],*-
290
(84.4)
Для того чтобы исключить из уравнений (3) и (4) неизвестное
значение п, решаем эти уравнения порознь:
п. = -J3 * ’i/fl3-* а2 + ?1;
П + 4>(1-ос)-J3 -У/72- + Т-7
и, вьиитая первое решение из второго, получим:
F- 2fl + /pz-q,*-1 +1^7г + 9*<хг+ /'“О
Значение « должно быть определено из условия минимума q, .
Заметив, что
zZ#* dF/doc
doc ~ dF /ду*
для нахождения минимума ^'приравниваем нулю выражение
dF О*сс
= - Ч> + * . '> (84.5)
откуда
0Сг = V2(pz+1)/(^2- У^*). (84.6)
Подставив (6) в (5), получим после упрощений:
V ~ 2Р + iu+jfKf-vb/q* + 0.
Это уравнение можно решить относительно У. Корни его равны:
q (2р~/l+p^-cf)± hq*(1+p')(q-2p^2p^Up^(f'
If----------------------3------------------—-------- (°4-' )
1+jdzi-q,*
Из формулы (I) следует, что нагрузка qP-2p вызывает разру-
шение консольного стержня без сдвигов по шву. Поэтому, подста-
вив значение ty* -2JJ в (7), получим предельное У= Ум .соответ-
ствующее максимальной прочности связей сдвига, выше которой
несущая способность стержня уже не увеличивается. После ряда
упрощений находим, что
4>м= 2.р/(11-р)- (84.8)
Если подставить в формулу (7) значение </', определенное по
формуле (2) для сдвига по всей длине шва, то придем к уравне-
нию, из которого можно найти минимальные значения V, ниже ко-
торых стержень разрушается без перелома в верхнем сечении. Пос-
ле довольно сложных преобразований это уравнение получается
в виде
29 I
Рис. 139
V
1,8г
(1 + z чр - ч2)(р+v) ± +
2+рг +2ч>р-ч>2 ’
а решение его имеет вид:
/хг+ *!- X ^(50-1-ЗР3Л (ft - 1)(2t02)Sp-30
----г---;z=--------------------------------(84.9)
На рис. 139 в координатах р, V разграничены области различных
форм разрушения: I — как монолитного стержня; II — как состав-
ного с двумя шарнирами текучести и Ш — как составного со сдви-
гом по всей длине шва. Разграничивающие кривые построены по
формулам (8) и (9).
85. СОСТАВНАЯ БАЛКА С ДВУМЯ СЛОЯМИ НЕОДИНАКОВОЙ ТОЛЩИНЫ
В такой балке (рис. 140) на концах участков со сдвигами по
шву в сечениях стержней возникают усилия:
Л; = аГт,/Ит и '% = -аГг,Л4^, (85.1)
292
причем
1- М2 + а. Ът с = М,
(85.2)
где Л/ — изгибающий момент в сечении балки а от внешней нагрузки.
Усилия (1) подчиняются условиям текучести
а2 г/ 4/И,
„ z~z
а. Т' 2
у- - + ttM1 = бт h .
бт у
(85.3)
и аналогично
а.гГ2т !бт + 4Мг = бTh2.
(85.4)
Складывая равенства (3) и (4) с учетом (2), получим:
2clT2t /бт + ^М - 4аТтс = ->-h2). (85.5)
При равномерно распределенной нагрузке
М = 0t5ija. (l -d)
и формула (5) будет
2агТ^/^г " ^а.Ттс ~бт (h2 * hz2 ) = ~ 2qa. (I-а),
откуда
a(l-z)
в^т'пТг+г' hZ< + hz
— + 2.0. Тс + б
От т т 2.
Введем безразмерные величины
у п 2,
q = ql /(drh*); 0C=a/l, 4> = TTl/6Th* (85.6)
Обозначения (6) отличаются от обозначений (83.3) лишь тем,
что вместо толщины h стоит
Л#= ^05lh^hz),
(85.7)
т.е. среднеквадратичное из толщин обоих слоев.
Подставив (7) в (6), находим, что
# / 9 О
= ocfi-oc) ч>),
что полностью совпадает с выражением (83.5). Поэтому дальней-
шие формулы, приведенные в п. 83 (83.6) и (83.7) применимы и
к данному случаю при условии иной расшифровки обозначений,
соответствующей формулам (6).
293
Однако р теперь может принимать значения, меньшие единицы.
В частности, при нулевой толщине верхнего слоя балки и нулевой
толщине шва:
Л, = 0; С =^/2; /(2/0^Л/) = 0,7071.
Во всех остальных случаях 7 0,7071. *
Задаваясь значениями ос и V, можно определить нагрузку q . Ис-
тинное ос соответствует минимуму ср, который определяется по
формулам (83.7) и (83.5). Так как ос не может быть больше
0,5, то для крайнего случая (х~ 0,5) получим из (83.6):
Больше этого значения увеличивать У не имеет смысла.
Если балка нагружена в середине пролета сосредоточенной силой
Р, то внешний изгибающий момент М— 0,5Ра. Подставляя это
значение^в формулу (5), получим:
2aztz/6T-‘ia 'Стс-бт (5* + h\)= ~2Ра
и, используя безразмерные величины (6), а также:
Р*= Р1/(бтЬ*),
приходим к уравнению
Р^- 24>р-<х//а>
полностью совпадающему с уравнением (83.13), выведенным, для
балки со слоями одинаковой толщины. Таким образом,и для этого
загружения формулы, полученные ранее для расчета балки с оди-
наковыми слоями введением приведенной толщины h* / можно
распространить на балки с разной толщиной слоев.
Такой же вывод можно сделать относительно загружения сосре-
доточенной силой, приложенной в любой точке пролета.
Если балка работает как монолитная, то предельный момент
в ее сечении равен (берем его относительно середины сечения
нижнего стержня) (рис. 141):
ГГ 2'2 2
h^C +-^-7-
' 4 z
М=б hiC +-~2
МТ *
м
Сравнивая несущую способность монолитной балки с несущей
способностью, определяемой состоянием предельного равновесия
со сдвигами по шву в крайних участках пролета, можно получить
максимально необходимую прочность шва для обеспечения работы
балки как монолитной. Это целесообразно производить численным
способом, так как вывод аналитических формул очень громоздок.
294
Рис. 141
86. МНОГОСЛОЙНЫЕ БАЛКИ
Рассмотрим сначала составную балку в виде трехслойного
сплошного пакета (рис. 142). Обозначим толщины крайних слоев,
которые будем считать одинаковыми, через h, а толщину среднего
слоя Vh . Тогда, следуя примененной выше методике, получим для
случая равномерной нагрузки на шарнирно опертую балку:
Л<=-4ГТ, (86.1)
Здесь — изгибающий момент в крайнем слое; Мс — изгибающий момент
в среднем слое; Л< — нормальная сила в крайнем слое.
В предельном состоянии (рис. 142) имеем
(86.2)
С учетом (1) в обозначениях (83.3) получим
2 2 2
1+0,5Ч> + 2а.Ч’(1 + ч>) + ос V
* “--------------------------------<86-3)
М инимальное значение будет при
295
V1 + 0,5Ч>2 г + +
Ч> (2 +2 Ф-Ч>) L '
По формулам (3) и (4) можно определить нагрузку, вызываю-
щую сдвиговую форму разрушения. В монолитном стержне:
/W = 0,25^тЛ2(2+ V')2 = 0,125а42;
^*=2.(2+ ¥*) 2. (86.5)
Приравняв из (3) и (5) и решив полученное уравнение относи-
тельно ¥*, находим:
= + h-i-Z4Ji-1,5 4'2-2(2i-V)2oc(1-«J
Значение имеет минимум при
2 +^+ (1 + V) /(1 + 0,5v)(7 + 8Y'+ 6*3)
3 + 8V+4V2
Если средний брус имеет ширину или прочность иную, чем
крайние (рис. 143), то в формуле (2) следует положить
Мс = 0t25(3.rh2fo; fo=4>3(5lT'b'/ (6ТЬ),
где б’ — предел текучести материала среднего бруса; — его шири-
на; Ъ — ширина крайних брусьев.
Выражения для £*и ос получаются из (3) и (4) заменой т на >3
(члены с V остаются без изменения). Положив Л = 0, получим
рассмотренный ранее случай балки, составленной из двух брусьев,
разделенных промежутком, причем
V = (c-h)/h = f> -1.
Формулы для ^*и х превращаются в (83.5) и (83.7).
В общем случае расчет многослойных составных балок по ста-
дии предельного равновесия значительно усложняется по сравне-
296
нию с расчетом двухслойных балок. Это вызывается тем, что в
многослойных балках возможны различные состояния предель-
ного равновесия и число их быстро увеличивается с возрастанием
числа слоев. Например, для четырехслойной балки надо исследо-
вать восемь предельных состояний, показанных на рис. 144, и вы-
брать из них то, которое дает наименьшее значение внешней нагруз-
ки. Правда, часто удается заранее угадать наиболее опасную форму
разрушения и тогда расчет становится эквивалентным по слож-
ности расчету двухслойной балки. Однако представляется необ-
ходимым иметь и общий подход к расчету многослойных балок,
имея в виду, в частности, машинизацию расчета на ЭВМ.
Для каждой из возможных схем разрушения можно найти за-
висимость несущей способности сечения балки от протяженности
а. участка сдвигов по швам. Так, в случае сдвига по одному шву
можно получить эту зависимость из формулы (85.5), положив /?,=
= he и hz — hH, т.е. равными суммарным высотам сечений, располо-
женных выше и ниже сдвигаемого шва, и соответственно опреде-
лив расстояние с - с* между центрами тяжести выше- и нижеле-
жащих частей сечения. При этом
2 2 2 2
° 4 т * (5Г
При сдвиге по нескольким швам зта зависимость определяется
более сложным методом. Например при сдвиге по двум швам
(рис. 145), имеем:
ч = Ч. -^г, (tr1 <+гт2 с* )-
~ ^30 ~ °- ^т2. С г ‘
и Отсюда находим условия текучести сечений составляющих стерж-
б? h2 (3 h2 ~ ' £2 h2 +
• 7 11 т ’2
или
297
Рис. 144
298
Рис. 145
2
-а c"r c'>tslr-
Суммируя эти выражения, получим:
= м10 + мго + Мзо
= (<\ + h2)>гтгсг)-(а/бт)[гт1 *
2 2 П
+ <^-Гг7^+ГтЯ
Во всех случаях получаем квадратичную зависимость Мд от а..
Изобразив графически эти зависимости и построив снизу их оги-
бающую, получим эпюру несущей способности сечений балки. Впи-
сав в нее эпюру моментов от внешней нагрузки, получим опасные
сечения, находящиеся в стадии предельного равновесия, и по опи-
санной эпюре моментов — предельную нагрузку.
87. ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ ДВУХСЛОЙНОЙ ПЛАСТИНКИ
Для составной пластинки из идеального жесткопластического
материала с жесткопластическими связями сдвига, шарнирно опер-
той по прямоугольному контуру и загруженной равномерно
299
распределенной нагрузкой, можно представить себе форму разру-
шения в виде пологого многогранника, изображенного на рис. 146.
Средняя часть пластинки остается горизонтальной, а крайние час-
ти, имеющие форму трапеций, наклонны под углами:
% - 2-F/(CL-ai)^f/(lsin<x.)' f/(lcosoc), (87.1)
где f — прогиб средней части пластинки, остальные обозначения
показаны на рис. 144; % — представляет собой угол перелома
пластинки по линиям £А и GH, а V — угол перелома по линиям FB и
НЕ.
Из выражений (1) видно, что:
(87-2)
Угол перелома по косым линиям АЕ, BE, CG неопределим из
рис. 147, где показано сечение пластинки вертикальной плос-
костью, перпендикулярной линии АЕ‘-
/ I t \ r t 51ГгХ\ %
Cp = fl —---b —----- h=-f------ICOSaC -I-------/=------
3 ' \ it} <X cigoc / Since COS ОС. / C0SOC
(87.3)
Кроме прогибов с переломами по указанным выше линиям в
составной пластинке возникают смещения дисков, разграниченных
линиями переломов, в первоначальной их плоскости, навстречу
друг другу в верхнем слое и друг от друга в нижнем.
Будем считать, что по косым линиям отсутствует сосредоточен-
ный сдвиг и возникают только сосредоточенные деформации
сжатия или растяжения. Тогда (рис. 148):
300
sin ос = 6 sin <х ; S'- 6 -tg ос . (87.4)
7 2- ' '
sin ос ) о^
созос/ cos ос
Сосредоточенная деформация сжатия по косой линии в верхнем
слое пластинки
63 = 6^ cosoc + &2sin oc = S^ {cos ос +
Соотношения между сосредоточенными деформациями сжатия
: <?2: 63 получаются такие же, как между углами перелома %: 4>z:
•v3. Следовательно, нейтральная плоскость в каждом слое на всех
линиях перелома находится на одной высоте
(С= 1'2,3)
над срединной плоскостью слоя (рис. 149, а).
Эпюра нормальных напряжений б= dr по высоте каждого слоя
имеет вид двух прямоугольников с уступом на высоте нейтраль-
ной плоскости (рис. 149, б), Эпюра же деформаций линейная' и
выражается формулой
£г = 4>с (z+ с] (t- 1,2,3).
Работа внутренних сил по линиям перелома одного слоя
ыг
Т = -Е1. Г I£.l6dz =
п С V * •
-Л/г
(с + г)г
2
-h/2 h/2
, , >2 I
-h/2
Л/Z
= -6TZ4>.l. *
2
301
Подставляя сюда значения углов Vt- (2) и (3) и учитывая, что углы
Ч>! и Фг встречаются по два раза, а угол Ч>3 четыре раза, получим:
Т=-%б
Сизое
Нормальная сила на срезе слоя по линии перелома, как видно из
рис.149, б, равна 2сбт . Приложенная по внутренней части пери-
метра трапециедального диска, она дает равнодействующую 2 сбтЬ
или 2 сбт а (рис. 150). Эти равнодействующие уравновешиваются
усилиями, которые возникают в связях сдвига где Л — пло-
щадь трапециедального диска. Отсюда следует:
2бтсЬ = Гт Й, ; 2бгса. = ГгЙг . (87.6)
Здесь Й 1 — площадь трапеции А в Е F; й , — площадь трапеции
BCGF(phc. 146). i
Поскольку
(&*^)(а-а,)Л; Яг= (а* а,)(Ь-1>,)/4, (87.7)
то из (6) получим:
Гт (bi- tT (а. + а1)(Ъ-Ь1)
8бт Ъ 8бг а.
Поскольку же значение с должно быть одинаковым для всех
дисков, то сетка линий перелома должна удовлетворять условию
(Ь + ь^ос-а^Цъ (a+a^Hb-bJ/a.
или
ЫЪ-Ь^/съ + ъ^^ а(а.-и1)/(а.-а.1), (87.8)
Обозначив величину правой и левой части равенства (8) через ,
получим
Ъг-ЬЪ, - Ir'b-l’b.^O,
Ъ1 = (Ъг~1>Ъ)1 (Ь + t,) и аналогично 4). (87.9)
Можно найти координаты точки Е в осях, совпадающих с на-
ружными сторонами пластинки АВ и AD'.
- а~аг _ а а.2 _ а.1, _ Ъ-Ъ1 _ Ы,
2 ~ 2~ 2(а. + 1,)~ а+1, ’ 2 ~ Ъ + 1,
302
Отсюда, исключив параметр 4 , получим уравнение кривой, на ко-
торой должна располагаться точка £:
ах+4х = а4; 4 = ах/са~ж);
Ъах Ъах_
Это — уравнение гиперболы, проходящей через точку Л с асимпто-
той z/- 5а/(а.—6) (рис. 151).
Работа связей сдвига
Т2 = -2Тт(51^Г^ ^1гГг), (87.10)
где и — сдвиги по плоскостям сопряжения верхнего и ниж-
него слоев пластинки, равные
r.= ^h, Гг=ч>гь,
и, согласно (2) получаем:
Т2=-2^/7Гг(Я^^<ха2). (87.11)
Работа внешних сил V равна произведению интенсивности
нагрузки (f- на объем эпюры прогибов:
И= (fy-F/6) (аЪ + а.Ъ, J- 4 & =
= (qf/6)(2ab + 2а7Ъ1 + аЪ7 + а7Ъ).
Преобразуем теперь выражения работ, выразив и Ъ7 через 4 по
формулам (9) для удовлетворения условию (8) равенства с на
всех линиях перелома. Для этого находим:
2-Р а + Sa-a+^a- 2Z,a -Р(а+1)
ip ~; а.-а =-----------------—----—- ; <£=--->
1 a-a. i 1 а + г, а+г, 1 al,
зоз
(L-a^ а(Ъ + $) 1 +
^ос~' h-ъ^ ~ Ъ(а.+ 1,) ’ cos ос Ъ(а + 1>)
'(Ь-ЪЛг (а--а. ]2 ,// 4» )2 / 4а )2' /б7а*422*аг(6 + 4)2
Нг9 * \~~2~/ + ^) ' (a+VCb + i)-----------’
2а? * г; 2а? 21,Ъ _ Т- a/bb
а+а^ сс+г, ' С= вбта a+i, ъ+t, 2бт (МНЩ)'
Подставляя все эти выражения в (5), после ряда преобразований
получим
бг f
Т^~ 21
г
б2 (a.tt,)2(b + l,)2
bf? ~ (а-+%)+~~ (б+^Л’
Л и J
Далее преобразуем аналогичным образом (7):
р JI&L = _££1£_ . Q <?Ь1,
V4 й + 4 а + ; (a + Wb + l,) ’ 2 «i+Wb+t,)'
Тогда формула (10) преобразуется в следующую:
г_ _ 2Тта.Ц -f Л ат? * д 6*4 ) 2-PTThb\a+t,)ta(b^
z~ (a+^fb+h) ? ( а +а 6 ' (oL+^)(b + t,)
Наконец, работа внешних сил выражается так:
„ L < . (a.-l)(b-t,)ab а(Ъ-^)Ъ Ь(аь-г,)а\
^ — \2о.Ъ,1
или после упрощений:
ЦГ аЬ(ЗаЪ + г,2)
V= 3 (a. + l,)(bi-t,)
Приравнивая нулю сумму всех работ
Т1 + Тг+ {/= ° >
получим разрушающую нагрузку
= 5Га*^б*4; f dT Г Тг ^а2ъ2 2]
аЪ(ЗаЪ^^)\2^ [ б2 (а*4Дб*?/+ЛJ%
b\a.+l,)+a(b^) 2tThb2(a. + l,)+OL2 (Ъ >!,) ] (87.12)
аб Га*4?(6*47 J
304
Теперь надо отыскать такое значение 1> , при котором нагруз-
ка 9 разр имеет минимум, а потом подставить это 4 в формулу
(12). Аналитически это сделать чрезвычайно трудно, но численно
с помощью ЭВМ не представляет особых затруднений.
Для квадратной пластинки формула (12) принимает вид
_ 3 Г 6Th2(a.+i,)} f 4ГГ fra2!
Т'ра.зр- laf + t,2- [ бт (a-+1j) + a2 t, + ai-t, ]'
88. ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ СОСТАВНОГО СТЕРЖНЯ
ИЗ НЕУПРУГОГО МАТЕРИАЛА С НЕУПРУГИМИ СВЯЗЯМИ СДВИГА
Примем теперь зависимости сдвигающих напряжений tc в Лом
шве от сдвигов по этому шву и продольных напряжений бк от
продольных удлинений £к в к -ом стержне в виде произвольно
заданных функций:
Т = Т.(Г.). б-б(Е.).
L I I > к к к
Продольное усилие и изгибающий момент в к -ом стержне:
/V = Iti.dF; М. = $6,zcLF,
к * .. * F* к ’
где z — расстояние от центральной плоскости стержня.
Интегрирование ведется по площади сечения Fk . Выпишем эле-
менты матрицы мгновенной жесткости сечения
_ f d6k у дмк г d6k
’ дХ ~ д£к Ц ; 1(88.1)
дмк Г d. б 2 ,г-
где на основании закона плоских сечений кривизна
о / ^Е к
st-*-
Приращение сдвига на длине dx l-то шва
oLr.= (£°-E° + Xc.)dx.
I L с + 7 с
Заменяя
d-Vt _ /dx
dx ~ dlJdF ’
получим
f £°i~ £i^Xc}~^~ (t= 1’2'- ’ (88-2)
305
где п— число швов.
Из условия равновесия элемента длины стержня имеем
Д'/У,
dx
= Т.-Т. - р-
с с-1 'с
где — продольная нагрузка Z-го стержня.
Раскрывая выражение производной dN)dx, получим:
д*г d£ff
ЭЕ- dx дх
dx
dx
« Г.-Г -р. =
С с-1 Гс ’ ’
п.1-1). (88.3)
Второе уравнение равновесия элемента длины стержня имеет вид
dML
dx
= Q.-p.e. < Т.е.
с гс l CL
(Се — эксцентриситет приложения продольной нагрузки к /-му
стержню).
Составим такие уравнения для всех П’+ 1 стержней и сложим их:
имея в виду, что То = Тп+1 =0, получим:
0+1 d£l dX
д£° dx +i~i dX dx
= Q-Ep.e+^r.c. (£?=^.).(88.4)
i-i 1 i=i t L
Уравнение (4) совместно с n уравнениями (2) и п+1 уравне-
ниями (3) образует систему 2 п + 2 дифференциальных уравнений
с 2м+ 2 неизвестными: E°(i= 1, 2,...,« + 1), z<(z = 1, 2,... ,л)
и х. Коэффициенты dMjdE^, dMjdX, dN./dE°£ и опре-
деляются по формулам (1) и зависят от£* их. 1
Эта система уравнений была составлена В.М. Захаровым и реша-
лась им патовым методом в сочетании с методом конечных разнос-
тей. Для двухветвенной симметричной диафрагмы 16-этажисго зда-
ния, нагруженной равномерно распределенной поперечной и про-
дольной нагрузками, была получена эпюра сдвигающих напряже-
ний, показанная на рис. 152 сплошной линией. Пунктирной линией
показана та же эпюра в упругом стержне. Как видим, учет пласти-
ческих свойств материала стержня и связей сдвига приводит к за-
метному выравниванию эпюры сдвигающих напряжений.
Предельное равновесие полного сечения составного стержня
при произвольной диаграмме работы продольных напряжений б(£)
находится из общих зависимостей между внутренними усилиями
Nt.Nz, .. ., , М и деформациями £°, Е°,..., Е° , X. Эти
уравнения имеют вид +
(£=1,2,...,п + 1)- М=ХМс=П£н.(е°. , X).
В общем случае они имеют единственное решение"для деформаций
но в особом случае равенства нулю якобиана:
306
dNjd^ 0
0 дыг1д£1г
3= • •
0 0
дм/де? Зм/дЕ^
О д^ !дх ->
0 дн2 /дх;
о =0 (88.5)
dN^/dx-,
дм/дх,
эта единственность нарушается, что означает изменяемость систе-
мы, Обозначая:
дыг dN- дМ _а , дм n+J дм г
де° ~ех^ дх ~ де? дх ~ i=i дх
t *
можно записать условие (5) в виде
0 о «2 ... о ... 0 А А;
3 = • . . • • = 0
0 0 <х П±1
А 4 = 1 ‘
В частности, для стержня из двух брусьев
Ц+) - X а2 ’ X = 0 ’
т.е.
dNi дыг ( &М1 дмг ) / д#< V dNz / dN2 \2 dN1
d£i д£2 \ дх* дх / \ дх / д£° к дх / д£° ~ °-
307
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бирюлев В.В., Клячин А.З. О работе составных балок с упругоподат-
ливыми связями. - Строительная механика и расчет сооружений, 1968, №4.
с. 17-19.
2. Быховский Ю.В. К вопросу о применении, расчете и исследовании состав-
ных стержней. - В кн.:'Труды преподавателей и слушателей Тульского го-
родского университета научно-технических знаний. Вып. 27. - Тула, Туль-
ский политехнический институт, 1974, с. 78-84.
3. Быховский Ю.В. Сдвигающие усилия от внешних осевых сил в кон-
сольных составных стержнях грузоподъемных машин. - В кн.: Подъемно-
транспортные машины. Вып. 4. - Тула, Тульский политехнический институт,
1975, с. 62-65.
4. Быховский Ю.В., Сапожников Б.Л. Сдвигающие усилия в крановых и
экскаваторных стрелах. - В кн.: Подъемно-транспортные машины. Вые. 3. -
Тула, Тульский политехнический институт, 1974, с. 39-44.
5. Гоши Б. Статика и динамика зданий с листовым каркасом. Пер. с
венг. - М.: Стройиздат, 1984. - 124 с.
6. Дергачев А.А. Некоторые уточнения теории составных стержней приме-
нительно к алгоритмизацию! пространственного расчета зданий. - В кн.:
ЭВМ в исследованиях и проектировании объектов строительства. —
КиевЗНИЭП, 1979.
7. Давыдова Э.Г. Устойчивость двухветвенного стержня из нелинейно уп-
ругого материала. - Строительная механика и расчет сооружений, 1970,
№3, с. 10-12.
8. Давыдова Э.Г., Ржаницын А.Р. Расчет сжатоизогнутого консольного
составного стержня. - Строительная механика и расчет сооружений, 1968,
№6, с. 7-10.
9. Дроздов П.Ф. Расчет крупнопанельных зданий на вертикальные и го-
ризонтальные нагрузки. - Строительная механика и расчет сооружений,
1966, №6, с. 1-6.
10. Дроздов П.Ф. Расчет пространственных несущих систем полносбор-
ных многоэтажных зданий. - Строительная механика и расчет сооружений,
1968, №1, с. 1-5.
11. Дроздов П.Ф. Конструирование и расчет несущих систем многоэтаж-
ных зданий и их элементов. - М.: Стройиздат, 1977. - 222 с.
12. Дроздов П.Ф. Аналогия между кручением тонкостенных н изгибом
составных стержней и систем. - Строительная механика и расчет сооружений,
1978, №1, с. 19-23.
13. Дроздов П.Ф., Себекин И.М. Проектирование крупнопанельных зда-
ний. - М.: Стройиздат, 1967. - 416 с.
14. Дроздов П.Ф., Швехман М.Н... Устойчивость многоэтажных каркасных
зданий. - В кн.: Исследования по теории сооружений. Вып. XX. - М.: Строй-
издат, 1974, с. 159-165.
15. Дятлов А.В. Устойчивость сплошных составных стержней. - Приклад-
ная математика и механика, 1938, т. 1, вып. 4.
16. Енделе М., Шейиога И. Высотные здания с диафрагмами и стволами
жесткости. Пер. с чешек. - М.: Стройиздат, 1980. - 336 с.
17. Жуковский Н.Е. Распределение давлений на нарезках винта и гайки. -
Поли. собр. соч., т. УШ, 1937.
308
18. Заборов В.И. Прочность и ,^тоичивость составных арок. Научное
сообщение ЦНИИС, вып. 12. - М.: Стройиздат, 1954. - 70 с.
19. Кушелев Н.Ю. Работа составной дощато-гвоздевой балки. - В кн.:
Труды Ленинградского индустриального института, № 3. - Л., 1937,
с. 80-102.
20. Кушелев Н.Ю. О расчете составных балок с учетом пластической
деформации связей. - В кн.: Труды Ленинградского индустриального инсти-
тута, № 3. - Л., 1938, с. 29-46.
21. Лабозии Л.Е. Расчет многопустотных и ребристых плит с учетом де-
формаций сдвига. Строительная механика и расчет сооружений, 1962, № 2,
с. 5-10.
22. Лабозин Л.Е. Расчет составных пластин из неоднородных материа-
лов. - Строительная механика и расчет сооружений, 1981, № 6, с. 35-38.
23. Линович Л.Е. Расчет ослабленных проемами стен на ветровую нагруз-
ку. - Строительная механика и расчет сооружений, 1965, № 3, с. 43—48.
24. Милейковский И.Е. Расчет составных стержней методами строитель-
ной механики оболочек. - В кн.: Экспериментальные и теоретические иссле-
дования тонкостенных пространственных конструкций. - М.: ЦНИПС, 1952,
с. 131-167.
25. Паиьшин Л.Л. Продольный изгиб несущих конструкций многоэтаж-
ных зданий. - Строительная механика и расчет сооружений, 1973, № 1,
с. 30-34.
26. Писчиков В.Г. Продольный изгиб деревянных составных стержней. -
Проект и стандарт,1935, № 2.
27. Писчиков В.Г. Поперечный и продольный изгибы составных деревян-
ных стержней. - Проект и стандарт, 1936, № 6.
28. Плешков П.Ф. Теория расчета деревянных составных стержней. -
Л.: Стройиздат, 1952. - 193 с.
29. Подольский Д.М. Метод расчета пространственных стержневых систем,
податливыми связями. - Прикладная механика, т. Ill, вып. 12,1967.
30. Подольский ДМ. Расчет объемных элементов жесткости зданий по-
вышенной этажности. - Строительная механика и расчет сооружений,
1968, №1, с. 5-8.
31. Подольский ДМ. О пространственной устойчивости высотных зда-
ний. - Строительная механика и расчет сооружений, 1970, № 2, с. 63—69.
32. Подольский ДМ. Некоторые пространственные задачи расчета несу-
щих систем многоэтажных зданий. — Строительная механика и расчет соору-
жений, 1971, №5, с. 57-62.
33. Подольский Д.М. Расчет составных тонкостенных стержней с ортого-
нальными связями. - В кн.: Исследования по теории сооружений,
вып. XIX. - М.: Стройиздат, 1972, с. 84-94.
34. Подольский ДМ. Пространственный расчет зданий повышенной этаж-
ности. - М.: Стройиздат, 1975. - 158 с.
35. Пшеиичкин А.П., Гарагаш Б.А. К расчету крупнопанельных зданий
как составных стержней с учетом фактора времени. - В кн.: Надежность
и долговечность строительных конструкций. - Волгоград, Волгоградский
политехи, ин-т, 1976, с. 43-53.
36. Ржаницьщ А.Р. Работа связей в составных стержнях. - Проект и стан-
дарт, 1938, №2, с. 29-32.
37. Ржаницьщ А.Р. Работа связей в составных стержнях. - Науч, тр./
/МИСИ им. В.В. Куйбышева, № 2. Строительная механика. - М.: Стройиздат,
1939, с. 150-194.
38. Ржаницын А.Р. Устойчивость составных стержней на упругоподатли-
вых связях. - В кн.: Исследование прочности и устойчивости деревянных
стержней. - М.: Стройиздат, 1940, с. 140-179.
39. Ржаницын А.Р. Составные стержни на упругоподатливых связях. -
Прикладная математика и механика, 1940, т. 1У, вЫп. 3, с. 99-107.
40. Ржаницын А.Р. Теория составных стержней строительных конструк-
ций. - М.: Стройиздат, 1948. - 192 с.
41. Ржаницын А.Р. Устойчивость равновесия упругих систем. - М.: Гос-
техиздат, 1955. - 475 с.
309
42. Ржаницын А.Р. Расчет составных стержней в состоянии предельного
равновесия. - Строительная механика и расчет сооружений, 1967, № 5,
с. 27-30.
43. Ржаницын А.Р. Колебания составных стержней. - В кн.: Надежность
и долговечность строительных конструкций, вып. II. - Волгоград, Волго-
градский политехи, ии-т, 1976, с. 73-79.
44. Ржаницын А.Р. Расчет составных пластинок с абсолютно жесткими
поперечными связями. — В кн.: Исследования по теории сооружений,
вып. XXII. - М.: Стройиздат, 1976, с. 120-133.
45. Ржаницын А.Р. Устойчивость сжатых слоистых структур. - Изв.
АН СССР. Сер. Механика твердого тела, 1978, № 3, с. 173—177.
46. Ржаницын А.Р. Строительная механика. - М.: Высшая школа, 1982. —
400 с.
47. Ржаницын А.Р. Предельное равновесие составной двухслойной плас-
тинки. - Строительная механика и расчет сооружений, 1984, № 44, с. 17—19.
48. Ржаницын А.Р., Давыдова Э.Г. Устойчивость составного стержня
при действии переменной по длине продольной силы. - Прикладная механи-
ка, т. 1У, 1968, №1.
49. Ржаницын А.Р., Захаров В.М. Расчет составных стержней из неупруго-
го материала с неупругими связями сдвига. - Строительная механика и рас-
чет сооружений, № 1, с. 16-18.
50. Лканицыи А.Р., Милейковский И.Е. Расчет оболочки каркаса высот-
ной части дворца культуры и науки в Варшаве на ветровую нагрузку. —
Строительная промышленность, 1954, № 2, с. 24—28.
51. Тимошенко СП. Об устойчивости упругих систем. - Изв. Киевск.
политехи, ин-та, 1910 , кн. 4, с. 375-560.
52, Филин А.П. Об одноразовой работоспособности трехслойной прямо-
угольной пластинки при сосредоточенном нормальном центральном ударе
тела малых размеров. — В кн.: Исследования по механике строительных
конструкций и материалов. - Л.: ЛИСИ, 1982, с. 81-92.
53. Хечумов А.Р. Свободные колебания многослойных пластинок с абсо-
лютно жесткими поперечными связями. - В кн.: Сб. трудов МИСИ
им. В.В. Куйбышева и БТИСМ им. ИА. Гришманова, вып. 28. - М.: ВТИСМ,
1978, с. 94-98.
54. Хечумов А.Р. Собственные колебания прямоугольных двухслойных
пластин со смешанными краевыми условиями. - В кн.: Сб. тр. МИСИ
им. В.В. Куйбышева и БТИСМ им. И.А. Гришман,.ла, т. 8. - М.: БТИСМ,
1979, с. 51-55.
55. Хечумов А.Р. Собственные колебания двухсг эйных пластин со слож-
ными очертаниями в плане. - В кн.: Сб. тр. МИСИ им. В.В. Куйбышева и
БТИСМ им. И.А. Гришманова, т. 8. - М.: БТИСМ, 1979, с. 56-58.
56. Хечумов А.Р. Собственные колебания прямоугольных двухслойных
пластин с ортотропным заполнителем. - В кн.: Сб. тр. МИСИ им. В.В. Куй-
бышева и БТИСМ им. ИА. Гришманова. - М.: БТИСМ, 1980, с. 124-130.
57. Хечумов Р.А. Вариационный метод расчета составных стержней пере-
менного сечения. - М.: МИСИ, 1962. - 28 с.
57. Хечумов Р.А. Устойчивость составных стержней переменного сече-
ния. - В кн.: Исследования по теории стержней, пластинок и оболочек. -
М.: МИСИ, 1965, с. 106-113.
59. Холопцев В.В. Применение метода начальных параметров к расчету
жесткости составных балок с упругоподатливыми связями сдвига. - Изв. ву-
зов. Сер. Строительство и архитектура, 1964, № 11.
60. Холопцев В.В. Расчет составных многопролетных неразрезных ба-
лок. - Строительная механика и расчет сооружений, 1966, № 3, с. 26-29.
61. Шапиро Г.И. Расчет составных стержней.со случайными связями сдви-
га. - Строительная механика и расчет сооружений, 1975, № 5, с. 33-36.
.. 62. Arnovlievic J. Zur Kraftverteilung in genieten Staben. —
Osterr. Wochenschrift f.d. bffentlich Baudienst. - Wien, 1908.
63. Arnovlievic J. Beitraj» zur Theorie der Verbundbalken, uns-
besondere der genieteten Trager. - Zeitschr. f. Arch. u. Ingenieur-
wesen. - Hanover, 1910.
310
64. Engesser F, Zentralblatt der Bauverwaltung, 1891, S. 487,
1907, s. 609.
65. Gruning L. Die Statik des eben Tragwerkes. - Berlin, 1925.
66. Lewicki B, Budynki mieszkalne z prefabrikatow wielkowy
miarowych. — Warszawa, 1964. — 602 s.
67. Mises R.V. Ratzerdorfer J. — Zeitschr. f. angewandte Mathem
und Mechanik, 1925, s. 218-235.
68. Muller—Breslau H, Neuere Methoden des Festigkeitslehre. —
Leipzig, 1913, s. 388,u. 415.
69. Rosman R. Die statische Berechnung von Hochhauswandet mit
Offnungsreihen. — Bauingenieur—Praxis, H. 65, Wilh Ersnst und
Sohn, Berlin—Munchen, 1965. — 64 S.
70. Rosman R. Statics of Non—symmetric Shearwall Structures. —
Proc. Inst, of Civil Eng., 1971, p.p. 211—244.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие................................................. 4
ГЛАВА 1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ.................................... 5
1. Составные стержни в строительных конструкциях и краткий истори-
ческий обзор исследований.......................'........... 5
2. Постановка задачи и основные определения............... 11
ГЛАВА 2. ТИПЫ СВЯЗЕЙ СОСТАВНЫХ СТЕРЖНЕЙ И КОЭФФИЦИ-
ЕНТЫ ЖЕСТКОСТИ ШВА......................................... 12
3. Связи, применяющиеся в металлических конструкциях....... 12
4. Связи в конструкциях других видов...................... 22
ГЛАВА 3. СОСТАВНЫЕ СТЕРЖНИ С ЖЕСТКИМИ ПОПЕРЕЧНЫМИ
СВЯЗЯМИ.................................................... 25
5. Уравнения для сдвигающих усилий........................ 25
6. Определение усилий в поперечных связях.................. 30
7. Определение напряжений.................................. 32
8. Стержень, составленный из двух брусьев.................. 33
9. Стержень из трех брусьев, симметричный относительно продольной
оси........................................................ 34
10. Работа внутренних сил................................... 36
11. Собственные решения системы уравнений составного стержня. ... 38
12. Интегрирование дифференциальных уравнений составного стержня. 44
13. Рамный стержень со многими стойками..................... 46
14. Решение основной системы уравнений разложением внешней на-
грузки в ряды по тригонометрическим функциям................ 49
ГЛАВА 4. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ СОСТАВНЫХ СТЕРЖНЕЙ С АБСО-
ЛЮТНО ЖЕСТКИМИ ПОПЕРЕЧНЫМИ СВЯЗЯМИ 52
15. Несимметричный стержень из трех брусьев ..-........... 52
16. Стержень, составленный из одинаковых брусьев.......... 57
17. Бесконечное число составляющих стержней.............. °1
18. Внецентренное сжатие-растяжение и чистый изгиб стержней из двух
брусьев............-.......................................... °3
19. Передача продольных усилий с одного стержня на другой... °9
20. Ступенчатый стык трехлистового пакета.................... '4
ГЛАВА 5. СОСТАВНЫЕ БАЛКИ...................................... 80
21. Определение составной балки.............................. 80
22. Переход от составной балки к монолитной................. 81
23. Составные балки из двух брусьев.......................... 85
24. Сведение составной балки из нескольких брусьев к составной
балке из двух брусьев......................................... 88
25. Балка на двух опорах со свободными торцами, нагруженная равно-
мерно распределенной нагрузкой................................ 90
26. Балка на двух опорах, нагруженная сосредоточенной силой. 92
27. Балка, нагруженная синусоидальной нагрузкой.............. 96
28. Балка с несдвигающимися торцами.......................... 99
29. Учет сил трения в шве составной балки................... 103
30. Консольная балка, составленная из двух брусьев и нагруженная
равномерно распределенной нагрузкой.......................... 1°°
31. Консольная балка из двух брусьев, нагруженная на конце сосредо-
точенной силой............................................... 111
32. Некоторые замечания..................................... 112
33. Оптимизация составной балки по ее несущей способности... 114
ГЛАВА 6. ПРОГИБЫ СОСТАВНОГО СТЕРЖНЯ.......................... 118
34. Общий метод определения прогибов составного стержня.....
35. Прогибы составной балки из двух брусьев................. 120
36. Определение упругой оси составной балки................. 123
37. Балка на двух опорах с жесткими связями, сопротивляющимися
сдвигу на торцах............................ .'.............. 126
38. Прогиб консольной балки................................. 129
312
39. Прогиб балки, заданной двумя концами................... 130
40. Общее решение дифференциального уравнения прогибов состав-
ного стержня............................................... 132
41. Расчет рам из составных стержней методом перемещений... 135
42. Пакет прямоугольных брусьев, изогнутый до постановки связей . . 144
43. Составной стержень с гибкими поясами................... 149
ГЛАВА 7. УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТАВНЫХ СТЕРЖНЕЙ С АБСОЛЮТНО
ЖЕСТКИМИ ПОПЕРЕЧНЫМИ СВЯЗЯМИ................................ 152
44. Сжато-изогнутые стержни, составленные из любого числа брусьев. . 152
45. Устойчивость сжатого стержня, составленного из двух брусьев. . . . 156
46. Граничные условия других видов.......................... 160
47. Внецентренно сжатые составные стержни................... 162
48. Сжато-изогнутые стержни при любой поперечной нагрузке.. 166
49. Продольный изгиб составных колонн....................... 168
50. Устойчивость составного стержня, нагруженного равномерно
распределенной продольной нагрузкой......................... 174
ГЛАВА 8. НЕКОТОРЫЕ ИНЫЕ ВИДЫ СОСТАВНЫХ СТЕРЖНЕЙ. .... 178
51. Стержни с абсолютно податливыми связями сдвига. Общее ре-
шение ..................................................... 178
52. Устойчивость составного стержня с абсолютно податливыми связя-
ми сдвига......................................•........... 182
53. Приближенный расчет многослойных балок................. 185
54. Упрощение уравнения поперечного и продольного изгиба состав-
ных балок.................................................. 191
55. Составные стержни переменного сечения.................. 192
ГЛАВА 9. ПРОСТРАНСТВЕННО РАБОТАЮЩИЕ СОСТАВНЫЕ
СТЕРЖНИ С АБСОЛЮТНО ЖЕСТКИМИ ПОПЕРЕЧНЫМИ СВЯЗЯМИ 197
56. Стержень, составленный из отдельных тонкостенных стержней
открытого профиля............................................... 197
57. Одиночный тонкостенный стержень открытого профиля со связя-
ми сдвига*................................................... 204
58. Случай двух составляющих стержней....................... 206
59. Незакручивающиеся и симметричные составные стержни....... 207
60. Пример плоско деформируемого пространственного составного
стержня...................................................... 208
61. Пространственная устойчивость центрально сжатого составного
стержня..................................................... 211
ГЛАВА 10. КОЛЕБАНИЯ СОСТАВНЫХ СТЕРЖНЕЙ....................... 213
62. Поперечные колебания балки......................... 213
63. Колебания консольного стержня....................... 216
64. Учет продольных сил инерции........................ 218
ГЛАВА 11. СОСТАВНОЙ СТЕРЖЕНЬ С УПРУГОПОДАТЛИВЫМИ
ПОПЕРЕЧНЫМИ СВЯЗЯМИ И СВЯЗЯМИ СДВИГА........................ 220
65. Вывод основных уравнений................................ 220
66. Стержень из двух брусьев с упруго податливыми поперечными свя-
зями и связями сдвига....................................... 225
67. Симметрично составленная, равномерно загруженная балка.. 229
68. Устойчивость составного стержня на упругоподатливых попереч-
ных связях и связях сдвига.................................. 232
69. Устойчивость центрально сжатого симметричного стержня из двух
брусьев на упругоподатливых поперечных связях и связях сдвига. . . . 234
70. Пластинка, подкрепленная ребрами........................ 236
71. Учет кручения ребер..................................... 239
72. Устойчивость сжатых слоистых структур................... 242
ГЛАВА 12. РАСЧЕТ СОСТАВНЫХ ПЛАСТИНОК........................ 249
73. Вывод основных уравнений составной пластинки с абсолютно
жесткими поперечными связями................................ 249
74. Определение сдвигающих напряжений в швах пластинки...... 256
75. Учет граничных условий.................................. 260
76. Двухслойная составная пластинка......................... 261
77. Частные случаи составной двухслойной пластинки.......... 265
313
78. Составная пластинка с упругоподатливыми поперечными связя-
ми и абсолютно податливыми связями сдвига.................... 268
ГЛАВА 13. РАБОТА СВЯЗЕЙ СДВИГА В СОСТАВНЫХ СТЕРЖНЯХ
ЗА ПРЕДЕЛОМ УПРУГОСТИ........................................ 270
79. Произвольная зависимость между сдвигами и напряжениями
сдвига....................................................... 270
80. Идеальная упругопластическая работа связей сдвига....... 274
81. Стык на упругопластических связях сдвига................ 279
82. Балка на упругопластических связях сдвига............... 282
ГЛАВА 14. ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ СОСТАВНЫХ СТЕРЖНЕЙ
И ПЛАСТИНОК.................................................. 285
8 3. Предельное равновесие двухслойной однопролетной балки. 285
84. Предельное равновесие консольного стержня, составленного из
двух брусьев................................................. 289
85. Составная балка с двумя слоями неодинаковой толщины..... 292
86. Многослойные балки...................................... 295
87. Предельное равновесие двухслойной пластинки............. 299
88. Предельное равновесие составного стержня из неупругого мате-
риала с неупругими связями сдвига............................ 305
Список литературы............................................ 308
314
Научное издание
Алексей Руфович Ржаницын
СОСТАВНЫЕ СТЕРЖНИ И ПЛАСТИНКИ
Редакция литературы по строительным материалам и конструкциям
Зав. редакцией Я.Я Филимонов
Редактор Л. И. Круглова
Внешнее оформление художника А.А. Олендского
Технический редактор И.В. Берина
Корректор Н.С. Сафронова
Оператор О.И. Томозова
ИБ № 3899
Подписано в печать 24.05.85 формат 84x108/32 Бумага офсетная №1
Печать офсетная Уел.прч.л.16,59 Усл.кр отт. 16,59 Уч.изд.л. 19,19
Тираж 3800 экз Изд.№ АУШ-1183 Заказ 2I& Цена 3 руб. 20 коп.
Стройиздат, 101442, Москва, Каляевская, 23а
Тульская типография Союзполиграфпрома при Государственном комите-
те СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
г.Тула, пр.Ленина,109
315
В СТРОЙИЗДАТЕ ГОТОВИТСЯ К ВЫПУСКУ В 1986 Г.
Райзер В.Д Методы теории надежности в задачах нормиро-
вания расчетных параметров строительных конструкций. — М.:
Стройиздат, 1986 (1У кв.). — 12 л., ил. — (Надежность и ка-
чество) .
Изложена теория надежности, показано ее применение в
обосновании процедур нормирования расчетных параметров
несущих конструкций на основе вероятностного подхода. Рас-
смотрены принципы обеспечения надежности строительных
конструкций при разработке норм проектирования с учетом
изменчивости прочностных характеристик. Приведена веро-
ятностно-оптимизационная методология нормирования.
А.^Ржанмцыи
составные
СТЕРЖНИ
И ПЛАСТИНКИ