/
Автор: Черных К.Ф. Новожилов В.В. Михайловский Е.И.
Теги: конструктивные элементы несущие конструкции монография строительная механика механика деформируемых тел теория оболочек
ISBN: 5-7325-0127-4
Год: 1991
Текст
В. В. Новожилов,
К. Ф. Черных,
Е. И. Михайловский
ЛИНЕЙНАЯ
ТЕОРИЯ
ТОНКИХ
ОБОЛОЧЕК
Ленинград
«Политехника»
1991
УДК 624.074.43.001.24 i 531.228
Линейная теория тонких оболочек/В. В. Новожилов,
К- Ф. Черных, Е: И. Михайловский. — Лл Политехника,
1991. — 656 c.s ил.
ISBN 5-7325-0127-4
Монография иаписаиа известными учеными — представителями
ленинградской школы теории оболочек во главе с академиком В. В. Но-
Новожиловым.
В первой части изложены основные зависимости линейной теории
оболочек, произведен их анализ, даны аналитические решения типовых
задач. Во второй части рассмотрены теории поверхностей и кривых, соот-
соотношения теории оболочек в координатах общего вида, дислокационные
смещения и многозначные функции напряжения и т. д. Приведены реше-
решения по оболочкам с иосыми краями, горообразными, кривыми трубами
и т. д."
Для научных работников, занимающихся расчетом конструкций на
прочность; может быть полезна для инженеров.
Библиогр. 291 назв. Ил. 138. Табл. 43.
2702000000-ОП
045 @1)—91
НАУЧНОЕ ИЗДАНИЕ
Новожилов Валентин Валентинович,
Черных Климеитий Феодосьевич,
Михайловский Евгений Ильич
ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК
Редактор Н. В. Сергеева
Художественный редактор А. Н. Волкогонова
Технический редактор А. И. Казаков
Переплет художника В. И. Коломейцева
Корректоры Н. Б. Старостина, А. И. Лавриненко, 3. С. Романова
ИБ № 6567
Сдано в набор 28.05.90. Подписано в печать 05.02.91. Формат 60X90l/it-
Бумага офсетная Na 2. Гарнитура литературная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 41,0. Усл. кр.-отт. 41,0. Уч.-изд. л. 36,85. Тираж 2200 экз.
Заказ 120. Цена 8 р. 50 к.
Издательство «Политехника». 191065, Ленинград, ул. Дзержинского, д. 10.
Типография JA 6 орденг . ;х:ого Красного Знамени
издательства «Машньострос. ¦-
при Государственном комитете СССР по печати.
193144, Ленинград, ул. Моисеенко, 10.
ISBN 5-7325-0127-4 © В. В. Новожилов, К- Ф. Черных,
Е. И. Михайловский, 1991
ШИВ № 33 \
НЕ БОЛЕЕ 1Й КНИГИ В j
ОДНИ ЛОТ И 2YB ДВЕ \
вивлиот^*
КОЛОХЗА
ПРЕДИСЛОВИЕ
При написании монографии были использованы книги авто-
авторов [128, 130, 207, 210, 149—150, 108], ставшие библиографиче-
библиографическими редкостями. Свидетельством тому, что изложенное ь них
не устарело, служит появление время от времени работ, в которых
вновь и вновь обсуждаются проблемы, давно уже решенные ав-
авторами. При отборе материала в монографию были включены раз-
разделы названных книг, выдержавшие испытание временем, и бо-
более поздние результаты, опубликованные в статьях. Во время
работы над книгой не стало первого из авторов — Валентина
Валентиновича Новожилова. При написании его разделов был,
по возможности, максимально сохранен присущий ему, неповто-
неповторимый стиль изложения. Остальные разделы были основательно
переработаны с учетом того, что «на дворе» 90-е годы. Так что чи-
читатель, по существу, имеет дело с новой книгой.
В монографин отдается предпочтение аналитическим реше-
решениям типичных задач теории оболочек, составляющим золотой
фонд этой науки. Авторы являются решительными противниками
подмены фундаментальной дисциплины — теории оболочек — од-
одним из разделов прикладной математики. Эта достойная сожале-
сожаления тенденция является побочным эффектом интенсивного вне-
внедрения универсальных численных методов (таких, как методы
конечных разностей и конечных элементов). На страницы жур-
журналов (да и монографий) лавиной хлынули работы с описанием
численных экспериментов, реализованных порой с применением
стандартных пакетов прикладных программ. Теория при этом ис-
используется лишь для того, чтобы выписать исходную систему
уравнений. Возможные вопросы по формированию последней уп-
упреждаются дежурной фразой типа: «Уравнения равновесия берем
в самом общем виде».
К сожалению (а может быть, и к счастью), таблицы на все слу-
случаи жизии не составишь. К тому же главное — не число, а пони-
понимание существа изучаемой проблемы. Что же касается численных
методов, то «при постановке больших сложных задач на машинах
предварительные аналитические решения проблемы могут ока-
оказать большую помощь, а иногда являются просто решающими для
успешной реализации численного алгоритма» *. Авторы ни в коей
1 Белоцерковскнй О. М. Математическое моделирование — отрасль инфор-
информатики.— В кн.: Кибернетика. Становление информатики.—М.: Наука,
1986. - 192 с.
мере не склонны преуменьшать роль вычислительной техники —
мощного инструментария в руках современного исследователя,
например, в области механики деформируемого тела. Не следует,
однако, забывать, что первичным здесь является!
принятие исходных гипотез и допущений, основанное на глубо-
глубоком понимании работы материала в конструкции (изделии),
оценка погрешности принятых гипотез и допущений,
формирование системы разрешающих уравнений, адекватно
описывающих работу конструкции в рамках погрешности при-
принятых гипотез.
Позиция авторов — в разумном сочетании аналитических и
численных методов с пониманием механической стороны рас-
рассматриваемой проблемы. Такой (полуаналитический) подход ил-
иллюстрируется в книге «в работе» на ряде трудных задач по расчету
и оптимизации тонкостенных конструкций.
Материал монографии позволяет, в известной мере, просле-
проследить полувековую историю развития в стране линейной теории
оболочек, смену поколений, подходов, методов исследований.
Авторы являются представителями трех поколений Ленинградской
школы теории оболочек (на подходе — четвертое!). Отметим, что
многие из изложенных результатов удалось распространить на
тонкие оболочки, работающие при больших деформациях и углах
поворота [215].
Монография может служить как для первоначального озна-
ознакомления с предметом (часть I), так и для более глубокого изуче-
изучения теории оболочек (часть II). Авторы надеются, что книга ока-
окажется полезной широкому кругу специалистов, занимающихся
расчетом и проектированием тонкостенных изделий, конструк-
конструкций и элементов машин.
Авторы выражают искреннюю признательность своим учени-
ученикам, сотрудникам Сыктывкарского университета Н. А. Коре-
лину, В. Л. Никитенкову и Д. В. Холмогорову, оказавшим боль-
большую техническую помощь в подготовке рукописи книги к печати.
К. Ф- Черных,
Е. И. Михайловский
ВВЕДЕНИЕ
Основные понятия и гипотезы. Оболочками называют тела,
один из размеров которых (толщина) мал по сравнению с двумя
другими. Геометрия оболочки определяется ограничивающими
ее лицевыми поверхностями и, если она не замкнута, боковыми
поверхностями. Поверхность, равноудаленную от лицевых, назы-
называют срединной. Длина отрезка перпендикулярна к срединной
поверхности, заключенного между лицевыми поверхностями, назы-
называется толщиной оболочки (К). В общем случае толщина оболочки—
величина переменная, мы ограничимся рассмотрением оболочек
постоянной толщины.
При незамкнутой оболочке предполагаем, что боковая поверх-
поверхность образована перемещением перпендикуляра к срединной
поверхности вдоль некоторого контура, ограничивающего отно-
относящуюся к оболочке область срединной поверхности. Таким об-
образом срединная поверхность, толщина и граничный контур в сово-
совокупности полностью определяют геометрию оболочки.
Первой основной задачей теории оболочек является анализ
напряженно-деформированного состояния, возникающего в обо-
оболочке при заданных внешних нагрузках и условиях закрепления
краев. Второй, более сложной, является задача синтеза оболочки—
создание теоретических основ рационального (оптимального) про-
проектирования тонкостенных конструкций и изделий требуемого
функционального назначения.
В дальнейшем будем считать, что: — деформации и углы пово-
поворота малы, — материал изотропен и подчиняется закону Гука.
Принятие этих ограиичений позволяет свести задачу расчета обо-
оболочки к решению линейной двумерной краевой задачи. Конечно,
принятые ограничения существенно сужают круг задач, для ре-
решения которых пригодна излагаемая теория. Вместе с тем подав-
подавляющее большинство тонкостенных конструкций в судо- и авиа-
авиастроении, химическом машиностроении, строительстве и других
отраслях удовлетворяют сформулированным условиям. Так что
круг задач, охватываемых этой теорией, достаточно широк.
При построении теории следует различать тонкие и толстые
оболочки. Тонкими будем называть оболочки, для которых отно-
отношение h/R0 (где Ro — минимальный радиус кривизны срединной
поверхности, либо ее характерный линейный размер) мало по
сравнению с единицей. Соответственно, для толстых оболочек
это отношение не мало. Указанное разделение оболочек на тонкие
и толстые довольно условно: рекомендуемое обычно условие тонко-
стенности h/R0 < 1/20 слишком осторожно. Практика показала,
что расчет по теории тонких оболочек и при h/R0 порядка единицы
может дать приемлемые результаты (см., например, [118]).
Тонкие оболочки обладают замечательным свойством выдер-
выдерживать значительные нагрузки при минимальной толщине. Это
свойство тонких оболочек позволяет создавать из них легкие кон-
конструкции с хорошими жесткостными и прочностными характери-
характеристиками, что способствует широкому применению оболочек в судо-
судостроении, самолетостроении, строительстве крупных сооруже-
сооружений — всюду, где малый вес является жизненно необходимым.
Краткая историческая справка. Теории пластин и оболочек
посвящены десятки тысяч публикаций. Ниже ограничимся упоми-
упоминанием лишь основных (этапных) работ, способствовавших форми-
формированию классической линейной теории оболочек как научной
дисциплины.
Теории оболочек исторически предшествовала теория плоских
пластин. При этом использовались два основных метода вывода
разрешающих уравнений. Первый из них был предложен Коши
B311 и Пуассоном [276], а второй — Кирхгофом [253]. Метод
Коши—Пуассона основывается на разложении всех перемещений
и напряжений пластины по степеням расстояний точек от средней
плоскости ? (либо по некоторой системе функций этой переменной).
При сохранении в названных рядах первых слагаемых можно
получить уравнение Софи Жермен-Лаграижа. Если же удержи-
удерживать большее число слагаемых, то, казалось бы, можно получать
все более точные уравнения теории пластин. Метод Коши—Пуас-
Коши—Пуассона является, следовательно, универсальным методом теории
пластин. Однако вокруг него возникла оживленная полемика.
Во-первых, Сен-Веиан [236] оспаривал законность метода,
утверждая, что соответствующие ряды должны, как правило,
расходиться. (Надо сказать, что область и характер сходимости
этих рядов до сих пор не выяснены.)
Во-вторых, возникли споры относительно числа граничных ус-
условий: сколько их должно быть в простейшем варианте теории —¦
четыре или пять? Метод Коши-Пуассона не вносил достаточной
ясности в этот вопрос.
Поэтому предложенный в конце прошлого века метод Кирхгофа
[253], вносивший в теорию пластин полную физическую ясность,
сразу завоевал общее признание и сохраняет его по настоящее
время.
Кирхгоф пошел по пути принятия некоторых гипотез, анало-
аналогичных тем, что лежат в основе теории балок. Его допущения сво-
сводятся к следующему:
к — прямолинейные волокна, перпендикулярные к средней
плоскости пластины, остаются после деформации перпендикуляр-
перпендикулярными к изогнутой средней плоскости, сохраняя при этом свою
длину;
б
fcfc — нормальными напряжениями на площадках, параллель-
параллельных изогнутой средней плоскости, можно пренебречь по сравне-
сравнению с прочими напряжениями.
Метод Кирхгофа имеет преимущество перед методом Коши—
Пуассона благодаря большей наглядности и физической ясности!
в основу теории положены упрощения, имеющие вполне опреде-
определенный физический смысл и очевидную преемственность от хб-
рошо проверенной опытами теории балок. Введение понятий о
внутренних усилиях и моментах еще более сблизило теорию пла-
пластин с теорией балок и привело к окончательному выяснению
вопроса о граничных условиях для пластин, который, как было
уже сказано, долгое время оставался предметом дискуссии.
В то же время нельзя не отметить существенный недостаток этого
метода, а именно — его ограниченность: теория Кирхгофа яв-
является приближенной и не может быть развита в точную теорию.
В этом отношении теория Коши—Пуассона была бы предпочтитель-
предпочтительней, если бы удалось, наконец, выяснить условия сходимости ее
рядов, поскольку она позволяет, в принципе, неограниченно
уточнять решение.
Описанные выше два метода использовались и для построения
теории оболочек. Теория оболочек, основанная на гипотезах Кирх-
Кирхгофа, была впервые разработана Ароном [226], допустившим, од-
однако, ряд существенных неточностей. Шследние были замечены
и исправлены Лявом, в работе [260 ] которого приведена в закон-
законченном виде теория оболочек, построенная по аналогии с кирх-
гофовской теорией пластин. Вариант теории оболочек, предложен-
предложенный Лявом, был затем изложен (в несколько иной редакции, не-
нежели в работе [260]), в одной из глав его известного курса [84].
Этот вариант сыграл значительную, можно сказать, фундамен-
фундаментальную роль в развитии теории оболочек, так как большинство
авторов в течение долгого времени основывалось именно на нем.
Несмотря на свою популярность вариант теории оболочек
Лява не свободен от недостатков, причем основным из них является
непоследовательное обращение с малыми слагаемыми: одни из
них сохраняются, другие, того же порядка малости, отбрасы-
отбрасываются. Этот недостаток теории Лява был известен давно. Некото-
Некоторые авторы, использующие эту теорию, стремились уточнить ее:
одни — путем пополнения пропущенными слагаемыми, другие,
наоборот, — за счет устранения малых слагаемых. Отсюда воз-
возникли различные варианты написания формул теории оболочек,
отличающиеся друг от друга и от своего прототипа — теории
Лява — лишь малыми слагаемыми.
Недочеты, допущенные Лявом при изложении теории оболо-
оболочек, а также отсутствие у него определенного взгляда на то, ка-
какими должны быть определяющие уравнения теории оболочек
(т. е. уравнения, связывающие усилия и моменты с деформациями
срединной поверхности), привели к тому, что каноническая форма
уравнений теории оболочек долгое время отсутствовала. Ука-
7
занные недостатки были устранены в работах советской школы
теории оболочек, возглавляемой Б. Г. Галеркиным. Хотя работы
самого Б. Г. Галеркина [24—26] относились к толстым оболоч-
оболочкам, его оригинальный метод получения всех формул теории
оболочек из уравнений теории упругости сыграл решающую
роль и при построении математически последовательной теории
тонких оболочек. Впервые уравнения теории тонких оболочек
названным путем были выведены А. И. Лурье [77, 78], еще не рас-
располагавшим, однако, надлежащим критерием упрощения полу-
получаемых формул. Такой критерий был дан в работах [122, 123],
где было выяснено, что гипотезы Кирхгофа не обеспечивают до-
достоверность слагаемых, вносящих в энергию деформации малые
слагаемые порядка h/R0. Тем самым был получен надежный спо-
способ упрощения уравнений теории оболочек, заключающийся в пре-
пренебрежении слагаемыми, имеющими по отношению к сохраняе-
сохраняемым порядок величины h/R0.
Наличие критерия упрощения уравнений теории оболочек
позволило получить в докторской диссертации В. В. Новожилова
A945 год) простейший непротиворечивый вариант соотношений,
связывающий усилия — моменты с компонентами деформации
срединной поверхности. Там же были введены симметричные уси-
усилия-моменты и отвечающие им симметричные компоненты дефор-
деформации. Несколько позже [127] было показано, что разрешающие
уравнения и статические граничные условия могут быть записаны
через введенные симметричные усилия и моменты. После этого
системе уравнений теории оболочек был придан канонический
вид.
Значительный вклад в теорию оболочек внес А. Л. Гольден-
Гольденвейзер. Им были введены уравнения неразрывности деформа-
деформаций [34], которые являются аналогом известных уравнений
Сен-Веиана в общей теории упругости. Тем самым открылась
возможность решения задач теории оболочек непосредственно
в усилиях и моментах, не прибегая к предварительному опреде-
определению смещений. При этом обнаружилось примечательное подо-
подобие вновь выведенных уравнений неразрывности и более полу-
полувека используемых уравнений равновесия оболочки, получившее
название статико-геометрической аналогии. Указанная аналогия
позволяет тождественно удовлетворить уравнениям равновесия
путем введения четырех функций напряжения (что было подме-
подмечено почти одновременно А. Л. Гольденвейзером [35] и
А. И. Лурье [78]).
Фактическим завершением статико-геометрической аналогии
явился предложенный в докторской диссертации В. В. Новожи-
Новожилова комплексный метод теории оболочек, позволивший получить
решение ряда практически важных классов задач линейной тео-
теории оболочек. В дальнейшем было показано [210], что комплекс-
комплексный метод является и ьесьма удобным инструментом для рас-
рассмотрения общих вопросов теории. Введение деформационных
8
граничных величин позволило рассмотреть новые варианты гра-
граничных условий. Особенно эффективно их преимущества прояви-
проявились при формулировке условий упругого сопряжения оболочек
как между собой [207], так и с упругими ребрами [108]. Введение
комплексных граничных величин и их использование [203, 210]
завершило, по существу, комплексный метод.
Следует отметить также предложенное в работах [213, 95, 96]
расчленение общей моментной краевой задачи на основную (обычно
безмоментную) со своими граничными условиями и простой крае-
краевой эффект. В дальнейшем этот результат был обобщен на динами-
динамические задачи [7, 188].
Необходимо, далее, указать на работы, направленные на упро-
упрощение уравнений теории оболочек применительно к тому или
иному кругу задач (например, расчет краевого эффекта, раз-
разработка и обоснование уравнений безмоментной и полубезмомент-
ной теорий, а также теории пологих оболочек). В это направление
развития теории оболочек особенно большой вклад внесли со-
советские ученые, такие как X. М. Муштари [113, 114],
С. Н. Файнберг [195], В. 3. Власов [15, 17], Ю. Н. Работнов
[153, 154], А. Л. Гольденвейзер [39], а также авторы данной
книги [127, 211, 213].
Качественным исследованием и классификацией решений задач
теории оболочек занимались А. Л. Гольденвейзер [37, 38],
X. М. Муштари [116] и авторы этой книги [210], в работах которых
нашли обоснование общие принципы упрощения уравнений тео-
теории оболочек.
Наряду с разработкой теории оболочек, построенной по ана-
аналогии с кирхгофовской теорией пластин, делались попытки по-
построения и более общих вариантов теории оболочек. Наиболее
ранний вариант был предложен Бэссетом [227], работа которого
хотя и менее известна, чем статья Лява [260], но во многих отно-
отношениях не менее интересна. В частности, именно Бэссет впервые
обратил внимание на то, что в теории оболочек погрешность ги-
гипотез Кирхгофа, вообще говоря, более существенна, чем в тео-
теории пластин. Упомянутая выше работа [123] является дальней-
дальнейшим развитием идей Бэссета.
В трудах Краусса [254] и Н. А. Кильчевского [621 излагается
теория оболочек, основанная на методе Коши—Пуассона. Наи-
Наиболее простой вариант теории оболочек, не связанный с исполь-
использованием гипотез Кирхгофа, предложен Э. Рейсснером [279].
Таков в общих чертах путь развития линейной теории оболо-
оболочек в той части, которая касается формирования систем разре-
разрешающих уравнений. При этом осталась в стороне не менее важ-
важная проблема интегрирования уравнений теории оболочек, в ко-
которую внесли весомый вклад многие представители советской
школы теории оболочек (см., например, краткий очерк развития
теории оболочек [133]). Заметим, однако, что формирование
системы уравнений, адекватно описывающих работу тонкостей-
ной конструкции, всегда должно осуществляться о учетом того,
что эти уравнения придется потом еще и решать. Как заметил
Н. Е. Жуковский, «задача ученого составлять такие уравнения,
которые можно интегрировать». И, действительно, существует
целый арсенал методов (аналитических, полуаналитических, чис-
численных) для решения краевых вадач линейной теории оболочек.
Задавшись целью написать книгу по механике оболочек, авторы
сочли, что в ее рамках даже рецептурное описание этих методов
невозможно, а их обзор неуместен. Вместе с тем, большое число
конкретных задач, рассмотренных в книге, дает представление
о традиционно используемых в теории оболочек так называемых
полуаналитических методах, включая и методы оптимального
проектирования конструкций.
Замечания по содержанию книги. Книга состоит из двух ча-
частей. В части I {Основы классической теории оболочек) излагается
классическая теория оболочек, основанная на гипотезах Кирх-
Кирхгофа (т. е. на приведенных выше допущениях k икк, если в них
ваменить термин «средняя плоскость» на термин «срединная по-
поверхность»).
При выводе разрешающей системы уравнений последовательно
используется единый способ упрощения соотношений, основан-
основанный на пренебрежении слагаемыми порядка h/R0 по сравнению
с единицей. Дан компактный вывод уравнений комплексного ва-
варианта теории оболочек. Наглядно вводятся деформационные
граничные величины как параметры деформации боковой поверх-
поверхности оболочки. Дается уточненная формулировка исходных до-
допущений (гипотез Кирхгофа). Все это читатель найдет уже в пер-
первой главе книги.
Выводятся упрощенные варианты разрешающих уравнений,
известных как безмоментная (гл. 2), полубезмоментная (гл. 3)
и пологих оболочек (гл. 1) теории. Поясняется механический смысл
допущений, лежащих в основе этих вариантов уравнений, и обос-
обосновываются области применимости последних.
На основе комплексного варианта развит метод расчета ци-
цилиндрических оболочек (гл. 3), дано (гл. 4) исчерпывающее ре-
решение осесимметричной и обратносимметричной задач для обо-
оболочек вращения (кроме оболочек в форме тонкостенного тора,
рассмотрение которых перенесено во вторую часть книги).
Первая часть книги построена в основном на прошедшем испы-
испытание временем материале монографии [130]. В гл. 4 включены
целый ряд задач из глав справочника [149, 150], принадле-
принадлежащих авторам данной книги, а также задачи из монографии
[108].
Первая часть книги может, служить как для первоначального
внакомства с линейной теорией оболочек, так и для практического
использования при расчете и проектировании оболочечиых кон-
конструкций. Ее можно рекомендовать также в качестве учебного
пособия для студентов технических вузов.
10
В части II (Дополнительные главы линейной теории оболочек}
книги излагаются некоторые вопросы теории и задачи, выходя-
выходящие за рамки традиционного (классического) курса теории обо-
оболочек. Эта часть книги начинается с изложения основных сведе-
сведений теории поверхностей и вывода соотношений теории оболочек
в координатах общего вида (заметим, что в первой части книги
использовались лишь координаты, связанные с линиями кри^
визны).
Основным нововведением по сравнению с традиционными кур-
курсами по теории оболочек являются деформационные граничные
величины, позволившие получить целый ряд новых результатов
в, казалось бы, завершенной еще в пятидесятых годах линейно^
теории оболочек.. Здесь вводятся также дислокационные смещен
ния (т. е. многозначные смещения, которым отвечают однознач-
однозначные деформации) и функции напряжения дислокационного типа
(гл. 7). Дислокационные смещения и функции напряжения могут
быть эффективно использованы при разработке методов расчета
оболочек со взаимно перемещаемыми краями (гл. 11, 13), а также
при расчете не включенных в данную книгу монтажных напряже-
напряжений [210] и сосредоточенных воздействий [131].
Во второй части книги анализируются уравнения безмомент-
ной теории (глава 9) с тем, чтобы выявить возможности использо-
использования их решения в качестве:
частного решения общей (моментной) задачи,
полного решения соответствующей задачи теории оболочек.
Далее (гл. 10) дается асимптотический анализ уравнений теории
оболочек, основанный на использовании комплексного варианта
этих уравнений.
При изложении теории оболочек, работающих в условиях тем-
температурных воздействий (глава 14), вводится операторная форма
записи уравнений и граничных условий линейной теории обо-
оболочек, наглядно иллюстрирующая их завершенность в отноше-
отношении статико-геометрической аналогии после введения деформа-
деформационных граничных величин.
Две последние главы A5, 16) посвящены деформационной
теории ребристых оболочек. Причем основное внимание уде-
уделяется (прямым, обратным и оптимальным) задачам для оболочек
о подкрепленным краем.
Часть II книги предназначена для углубленного изучения
теории оболочек. Ее цель — ознакомить читателя с современным
состоянием некоторых основных проблем линейной теории обо-
оболочек и помочь ему преодолеть рубеж, отделяющий инженера-
расчетчика от инженера-исследователя. Тем самым эта часть бу-
будет полезна специалистам в области расчета и проектирования обо-
лочечных конструкций, а также аспирантам и студентам старших
курсов вузов, предварительно ознакомившихся о содержанием
первой части книги.
11
В книге принята сквозная нумерация глав из первой части
во вторую. При нумерации параграфов число, стоящее перед точ-
точкой, означает номер главы, а число после точки — номер пара-
параграфа (например, запись 14.3 указывает на параграф 3 главы 14).
Нумерация формул, рисунков и таблиц по главам сквозная:
они нумеруются совокупностью двух чисел, разделенных точкой
и помещенных в случае формул в круглые скобки. При этом число,
стоящее перед точкой, означает номер главы, а число после точки—
номер формулы, рисунка или таблицы, например, A4.7) — обо-
обозначение формулы с порядковым номером 7 из гл. 14.
Список литературы, так или иначе использованной при изло-
изложении книги, приведен в ее конце. Ссылки выполнены в алфавит-
алфавитном порядке, причем список иностранных работ приведен вслед
за списком работ отечественных авторов и работ зарубежных
авторов, изданных на русском языке.
В связи с большим количеством формул, приведенных в книге,
авторам ничего не оставалось делать, как использовать одни и
те же символы для обозначения различных величин в разных ме-
местах книги. Однако обозначения для основных величин не изме-
изменяются на протяжении всей книги. Список этих обозначений при-
приведен сразу вслед за данным введением.
СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
1. Параметры оболочки
А — толщина оболочки;
Е, v, а0 — модуль Юнга, коэффициент Пуассона и коэффициент ли-
линейного температурного расширения материала оболочки;
Eh
Со ¦" .
— тангенциальная (при растяжении) и цилиндрическая (при
изгибе) жесткости оболочки;
— параметр.
с =
У12 A — v")
2. Обоаиачеввя велнчвн, вспользуемнх прв записи разрешающих
ураввеиий в коордвватах, свнзанвых с ливвямв главной крнввзвы
аЬ ««I С — криволинейные координаты точек оболочки;
ej, е,, п — единячные векторы, связанные с координатами aj, a,, ?;
#1, Л| — радиусы нормальной кривизны срединной поверхности вдоль
линий aj, a2;
At, At — параметры Ламе, связанные с координатами;
PU Pi> Рп — составляющяе удельной поверхностной нагрузки в пересчете
на срединную поверхность оболочки;
8J, и,, в> — смещения точки средяииой поверхности и ваправлеиви ортов
ej, e,, n (соответственно);
—д|# ^1<вп — углы поворота элемента Aidat X Л^сх, X d? вокруг ортов ех,
е,, п (соответственно);
8ti 6i» © — относительные удлинения и сдвиг волокон, связанных с ли-
линиями ctf, a3;
Bl» Bi> * — параметры изменения кривизны в скручивания элемента
Aidcti X A2da^;
71!, Tt, S — нормальные и симметричное сдвигающее усилия;
Mi, Mt, H — нзгибающяе и симметричный скручявающий моменты)
Tt, Tt, S — комплексные усилия;
«ft Я(, w — комплексные смещения;
Т = 7j + Tt — комплексная функция В, В, Новожилова.
S. Обоэвачевня величин, используемых при записи разрешающих
ураввевв! в ортогоиальвых координатах, ие связаввых с линиями
главной кривизны
а, р, С — криволинейные координаты;
еа, ер, п •— единичные векторы, связанные с координатами а, р, S;
Ra> Rfi, Rafi — радиусы нормальной кринизны и кручения срединной поверх-
поверхности вдоль линий а, р;
А, В — параметры Ламе, связанные с координатами a, pj
Ро> P0i Рп — составляющие удельной поверхности нагрузки}
13
«ai «0. W
или и, v, w — смещения точек срединной поверхности в направлении ортов;
й, б, й>— функции напряжения, соответствующие смещениям и, v, до;
—Фр. ^ai °>п — углы поворота элемента Ada x Bdp X d? вокруг ортов ea, ер, п;
ea, eg, ш — относительные удлинения и сдвиг волокон срединной поверх-
поверхности, связанных с линиями а, р;
х<х> ХЭ> т — параметры изменения кривизны и кручение элемента срединной
поверхности Ada X Bdp;
Та, Т^, S — нормальные и симметричное сдвигающее усилия;
Ма, М^, Н — изгибающие и симметричный скручивающий моменты.
4. Обозначения величин, используемых при формулировке граничных
условий для края
st — текущая координата, связанная с граничным контуром;
v, t, n — правая тройка ортов, связанная с граничным контуром: v — орт
тангенциальной нормали к контуру, t — орт касательной, п —
орт нормали к срединной поверхности на контуре;
у — угол между ортами вд и v;
ot, pj, tj — нормальная кривизна, геодезическая кривизна и геодезическое
кручение граничного контура;
ич, U{, w, dv — смещения точек края sv = const и угол поворота нормального
граничного элемента dst X h вокруг орта t;
Qw. Q«.
Qvn> M4V — обобщенные кирхгофовские усилия и изгибающий момент иа
краю sv = const;
—xtt, x,v, — параметры изменения кривизны нормального элемента dSt X h
—K(n» et( и относительное удлинение элемента dst (т. е. дефоршоноввыв
граничные величины);
Вч, Bt, — компоненты главного момента краевых усилий и моментов отно-
Вп, Ft сительно текущей точки контура и тангенциальная составляю-
составляющая главного вектора кирхгофовских усилий.
Часть I
ОСНОВЫ КЛАССИЧЕСКОЙ
ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК
Глава 1
УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК
В КООРДИНАТАХ, ОТНЕСЕННЫХ
К ЛИНИЯМ КРИВИЗНЫ
В главе последовательно выводятся все уравнения линейной
теории упругих тонких оболочек на основе единого подхода, свя-
связанного с пренебрежением слагаемыми порядка h/R0 по сравнению
с единицей, что соответствует (как было установлено в работах
[122,123]) погрешности исходных допущений — гипотез Кирх-
Кирхгофа (см. введение, допущения к и kk). При этом замечено, что гео-
геометрическое допущение (k) нуждается в некотором уточнении,
а именно: следует пренебрегать сдвигами е^, е,с ие вообще (что
в соответствии с законом Гука привело бы к пренебрежению пере-
перерезывающими силами Tln, Ttn), а лишь при вычислении дефор-
деформаций параллельной поверхности.
В трех последних разделах главы обсуждаются дополнитель-
дополнительные допущения, основанные на характерных свойствах срединной
поверхности, присущих некоторым классам оболочек (нулевая
гауссова "кривизна, пологость), или на свойствах напряженно-
деформированного состояния (малая изменяемость, большая из-
изменяемость в одном или двух направлениях). Эти (вторичные)
допущения используются для упрощения разрешающих уравне-
уравнений, выведенных с использованием гипотез Кирхгофа, или для
построения приближенных решений (безмоментное решение, крае-
краевой эффект).
I.I. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ
ИЗ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Криволинейные координаты, связанные с поверхностью. Вся-
Всякая поверхность плавной формы в декартовой системе координат
может быть задана тремя координатами:
* - х (а, р), у = у (а, р), г = г (а, р), A.1)
где х (а, р), у (а, р), г (ос, Р) — непрерывные, с нужным числом
производных, функции параметров аир.
Ограничим область изменения этих параметров так, чтобы
каждой точке поверхности отвечала одна, вполне определенная
15
'к/
пара значений (о, Р). Тогда пара-
параметры аир могут быть названы кри-
криволинейными координатами рассмат-
рассматриваемой поверхности.
Придавая в A.1) параметру р
ряд постоянных значений и меняя
при этом а, получим семейство кри-
кривых, которое назовем координатны-
координатными линиями а (или а-линиями). Ана-
Аналогично можно получить р-линии.
Следовательно, всякая точка поверх-
поверхности может рассматриваться как пересечение некоторых а-ли-
нии и р-линии (рис. 1.1).
Три скалярных уравнения A.1) можно заменить одним ве-
векторным
Рис. 1.1
г(а, р).
A-2)
Векторы dr/да, дг/д$ направлены вдоль касательных соответ-
соответственно к а- и р-линиям. Вводя обозначения
дг
да
А =
получим для единичных векторов, касательных к координатным
линиям, следующие формулы;
А да
В dp *
A.4)
В качестве третьего единичного вектора будем рассматривать
вектор п =еаХеэ/|еа X ер|, перпендикулярный к первым двум
(символом «X» здесь и ниже обозначаем векторное произведение).
Вектор, соединяющий точки (а, Р) и (а + da, p + dp) на по-
поверхности, определяется формулой
dr=-|-da+-|-dp. A.6)
Отсюда, обозначая через % угол между координатными ли-
линиями (см. рис. 1.1), находим
ds* = | dr ]• = Л» da1 + 2ЛВ cos % da dp + 5я dp». A.6)
Выражение, стоящее в правой части формулы A.6), называют
первой квадратичной формой поверхности. В курсах дифферен-
дифференциальной геометрии (см., например, [59]) доказывается, что пер-
первая квадратичная форма не изменяется при изгибании поверх-
поверхности без растяжения. В дальнейшем в данной книге рассматри-
рассматриваются исключительно ортогональные системы координат, для
которых cos % «= 0 (n = eaXep).
16
Полагая последовательно d$ = 0 и
da = 0, получим соотношения
A.7)
устанавливающие геометрический смысл
величин Л и В, называемых парамет-
параметрами Ламе. Параметры Ламе являются
масштабными коэффициентами, связываю-
связывающими приращения дуг координатных ли-
линий с приращениями соответствующих
криволинейных координат. Единичный
вектор касательной к некоторой кривой
Г П
рис.
р р р
Г, лежащей на поверхности, согласно П.5), A.6) определяется
формулой
дг
A.8)
Известная теорема Френе [59] связывает единичный вектор
главной нормали рассматриваемой на поверхности кривой (т),
пространственную кривизну этой кривой A/р) и единичный век-
вектор касательной к ней (t) следующим дифференциальным соотно-
соотношением:
d\ _ д*г /day 2 д*т da dP . д*г ( d$ \2 ,
ds ~ да* \ ds ) ' dadfi ds
. дг d*a , дг d*\
~т~~да
m
Т
ds*
A.9)
Умножая левую и правую части этого равенства скаляр но на п,
получим (рис. 1.2)
A.10)
cos<p
ds*
где
да'
~ л^Г*п.
до* др
•п,
д*т
(При выводе A.10) учтены очевидные условия ортогональности
? )
ж )
Величину 1/# = — (cos ф)/р называют нормальной кривизной
поверхности в данном направлении, определяемом величинами
(da, dp). Таким образом, нормальная кривизна (см. рис. 1.2)
является проекцией вектора пространственной кривизны т/р на
отрицательное направление нормали п. Величина же R является
радиусом кривизны плоской кривой, образованной пересечением
поверхности плоскостью, проходящей через нормаль к поверх-
поверхности в данном направлении t. Выражение, стоящее в числи-
17
теле правой части формула A.10), называют второй квадратич-
квадратичной формой поверхности. Она, в отличие от первой, существенно
меняется при изгибании поверхности. Отношение второй квадра-
квадратичной формы к первой определяет нормальную кривизну соответ-
соответствующей кривой на поверхности.
Обозначим через у угол между а-линией и кривой Г или, что
то же, —между векторами еа и t (см. рис. 1.1). В соответствии
с рис. 1.1 имеем
Используя эти соотношения, формуле A.10) можно придать
вид
nav. A.13)
Полагая здесь последовательно у = 0 и у = п/2, находим
Вводя далее обозначение
b*e = AB/Rae> A.15)
формулу A.13) можно записать в виде
1 _ cos' у 2 sin у cos у , sina-y n , fi.
Отсюда, в частности, видно, что величины l/Ra и 1/^в явля-
являются нормальными кривизнами поверхности в направлении ко-
координатных линий.
Используя очевидное тождество
а также ему аналогичные, формулы A.11) можно преобразовать
к виду!
°аа За "ЯГ да е«'
h ^r dn о ^п _ .
"и = ~ ар 'Ж ар "'
&ар = Ьра = -Л-|-.ев = -5-|=-.е3. A.18)
На основании формул A.14), A.15) и A.18) имеем
i i дп 1i an _ I an
в Tip"'601 T fla 'e"
18
Формула A.16) определяет нормальную кривизну любой кри-
кривой на поверхности, проходящей через рассматриваемую точку.
Найдем направления, для которых нормальная кривизна прини-
принимает экстремальные значения. Для этого, очевидно, нужно найти
экстремум функции
с , . _ cosa у 2 cos у sin у . sin* у
Из необходимого условия экстремума этой функции
itoL__sln2v(j__^.)_2cos2v^i_.o а.20)
находим
Уравнение A.21) определяет два взаимно ортогональных на-
направления (dalt daa). Покажем, что для экстремальных направле-
направлений \IRa.la, =0. Действительно, используя формулы A.11),
A.15) и заменяя дифференцирование по ах, otj дифференцирова-
дифференцированием по а, В, получим
1 д*г Г Ada Ada д*т
I >4i da. A» da. А даА да '
В d^ d*r Ada В d$ dh
В д$А да ' Ai dat At dat AdaBdfi +
. BdfL В dp d»r 1 д 1 Ada \ 1 dr
"•" Л, dOi At <tea В д$В ЭР """ Аг dat \ At dat ) А да '"
1 д f В(ф \ 1 dr
Г~?Г1 )T dp
Принимая теперь во внимание, что последние два слагаемых
после раскрытия скобок обращаются в нуль, и учитывая формулы
A.12), находим
Но это соотношение равно нулю на основании A.20). Таким
сбразом, показано, что для экстремальных направлений вели-
величина l/i?o,o, равна нулю. Найденные направления называются
главными, а величины R\ = #в1, #2 = #а, — главными радиу-
радиусами кривизны. Линии, касательные к которым в каждой точке
совпадают с главными направлениями, называются линиями
главной кривизны или просто линиями кривизны.
Правила дифференцирования координатных ортов. В дальней-
дальнейшем все векторы, являющиеся функциями точек поверхности, бу-
будем задавать их проекциями на направления касательных к ко-
координатным линиям н на нормаль к поверхности в рассматривае-
рассматриваемой точке. Эти направления будут изменяться при переходе от
19
одной точки поверхности к другой, что необходимо учитывать
при дифференцировании по а и Р векторов, к ним отнесенных.
Поскольку всякий вектор, отнесенный к названным направле-
направлениям, может быть представлен в виде
Т = Гвев + Грер + Тпп,
где Та (а, Р), Гв (а, Р), Тп (а, Р) — скалярные функции (проек-
(проекции), а {ев (а, Р), е0 (а, р), п (а, Р)} — подвижная правая тройка
единичных векторов (ортов), постольку правила дифференциро-
дифференцирования таких векторов определяются правилами дифференциро-
дифференцирования соответствующих ортов.
Выявим эти правила. Прежде всего заметим, что имеют место
очевидные соотношения
деа г _ * deq-eg I д\ _ п.
да а 2 да ~ 2 to ~и>
Далее, записывая тождество
в учетом формул A.4) в виде
и развертывая последнее равенство, получим
р дед . дВ . деа дА
Умножая это равенство скалярно на еа и ер, приходим к со-
соотношениям
1 ЗД д*„, _ I дВ
If '*Ъ~~А~ЫГ'
Отсюда следуют зависимости!
деа в cteg-ep дер ^ Эер 1 дА t
'СЬ """" " Л—» ОЬ "^ " d «%д у
ССХ О CD
dta I дВ
др Л д&
Наконец, соотношения A.19) можно записать в виде!
дп А дп В т дп А
Эп В
6
Таким образом, нами получены выражения для проекций про-
производных всех ортов по обеим координатам. Теперь уже нетрудно
восстановить сами производные и получить таблицу дифференци-
дифференцирования ортов:
деа _ 1 дА А д*а _ 1 дВ , В _.
"to B"W&~W^' ~W ~ ~A да еЧ + "Я^~
ав в
е
0-23)
В линиях кривизны правила дифференцирования ортов запи-
записываются несколько проще (е^ = еь еа, = ег):
R '
dat ~~ Ar да,. ^ Rt
С учетом третьего соотношения A.24) можно записать:
т. е. вектор п и близкий к нему на с^-линии вектор n + dn
являются компланарными.
Очевидно аналогичное утверждение и для а,-линии. Это свой-
свойство линий кривизны установлено в теории поверхностей извест-
известной теоремой Родрига.
Заметим, что в первой части книги будут рассматриваться ис-
исключительно ортогональные координаты, связанные с линиями
кривизны срединной поверхности.
Соотношения Кодацци—Гаусса. Правила дифференцирования
ортов A.24) для конкретной гладкой поверхности определяются
заданием функций Аг (аь а2), Л2 (аь а2), R1 (alt а2), R2 (alt <%).
Однако взятые наугад четыре функции от ах и а2, вообще говоря,
не могут быть приняты в качестве параметров Ламе и главных ра-
радиусов кривизны гладкой поверхности. Они должны удовлетво-
удовлетворять некоторым равенствам, именуемым в теории поверхностей
соотношениями Кодацци—Гаусса. Действительно, из очевидного
тождества
последовательно получаем:
Л.
(Л. е > •
Rt **) - да,
i.^h L./f_di_>P i Ai ^ •
, дог ~ даг \Rt )Cl'r Rt do, *
Г д (Js_\ __ J_idi.l P _ f-*- fJL\ - — idi_l e = 0
L в»! V Rt ) Л! toj61 L da, \ Rt ) «« 5a, J 1
21
или
. 1 дАг d ( Лу \ _
i
R*
Равенства A.25) называют условиями Кодацци.
Производя аналогичные преобразования над тождествами
3«! да3 да2 day ' дах daa dat дах '
получим кроме уже установленных условий A.25) еще одно новое
соотношение
именуемое в теории поверхностей условием Гаусса.
Заметим в заключение, что параметр К = URiRt называют
гауссовой кривизной поверхности. Прн этом точки поверхности
подразделяются на эллиптические (К > 0), параболические
(К = 0) и гиперболические (К <0). Поверхность, все точки ко-
которой эллиптические, называют поверхностью положительной
гауссовой кривизны. Если же все точки параболические, то гово-
говорят, что поверхность имеет нулевую гауссову кривизну. Если же
все точки гиперболические, то соответствующая поверхность имеет
отрицательную гауссову кривизну.
В теории поверхностей доказывается, что возможность изги-
изгибания поверхностей без растяжения тесно связана со знаком гаус-
гауссовой кривизны. Условия, при которых свобода изгибания исклю-
исключается, будут различными для поверхностей положительной, ну-
нулевой и отрицательной гауссовой кривизны.
Приведенных сведений из теории поверхностей достаточно для
изложения классической теории оболочек.
1.2. ЗАКОН ИЗМЕНЕНИЯ СМЕЩЕНИЙ
ПО ТОЛЩИНЕ ОБОЛОЧКИ
Предположим, что под влиянием каких-либо воздействий обо-
оболочка деформировалась, т. е. изменила свою первоначальную
форму. Пусть при этом вектор
и (ац at) = «iCi + uibt + шп A.27)
описывает перемещение произвольной точки т, лежащей на сре-
срединной поверхности. Компоненты ut и ы2 вектора перемещений и
будем называть тангенциальными смещениями, а компоненту w —
нормальным смещением или прогибом.
Через тх обозначим точку оболочки, расположенную до де-
деформации на перпендикуляре к срединной поверхности в точке т
и удаленную от последней на расстояние ?. Пусть перемещение
точки т^ описывается вектором
а1 = uhi + ubs + a»4i. A.28)
22
В соответствии с геометри-
геометрической гипотезой Кирхгофа век-
вектор m/rti после деформации пе-
переходит в вектор, перпендику-
перпендикулярный к деформированной сре-
срединной поверхности, не изменяя
своей длины ?. Если обозна-
обозначить вектор нормали к дефор-
деформированной поверхности в точ-
точке т' (рис. 1.3) через п*. то
смысл гипотезы Кирхгофа за-
заключается в том, что ?п пере-
переходит в ?п*. На основании
рис. 1.3 имеем
тал
Г
/та)
4х-
к и <С
у*
\ *
Щ
ь
/m'S
Рве. 1.3
или
а + I (п* - п).
A.29)
Уравнение деформированной срединной поверхности имеет
вид
г* (а1( а„) = г (аь
A.30)
Таким образом, в качестве криволинейных координат дефор-
деформированной поверхности можно рассматривать все те же Oi и сц,
однако соответствующие им координатные линии, вообще говоря,
уже не будут линиями кривизны и даже не будут ортогональными.
Используя соотношения предыдущего раздела, получим вы-
выражения для единичных векторов координатных линий аг и а,
на деформированной срединной поверхности. Имеем
dw
дп
Отсюда, используя правила дифференцирования ортов, на-
находим
дт*
A + «О
где
i аи,
1
да,
Аналогично получаем
A.31)
A.32)
A.33)
A.34)
23
a) n*\
Г
\
\
771
Рис. 1.4
где
в|
1 ди.
ЬА%
t*1
A.35)
Вычислим параметры Ламе для деформированной поверхности
г* = г* (alf a,). При этом и всюду впредь будем пренебрегать
произведениями перемещений и их производных, как величи-
величинами второго порядка малости, поскольку в данной книге рас-
рассматривается лишь линейный вариант теории оболочек.
Имеем
Л2 A + е2)
и, следовательно,
ef
Далее находим
A.37)
A.38)
A.39)
Для выяснения геометрического смысла параметров #i, #а, ©i и ю2 рассмотрим
последовательно три частных случая деформирования.
1. Пусть оболочка деформируется так, что вектор еа не меняет своего напра-
направления, а векторы е* н п* остаются в плоскости векторов ej, п, т, е. (рис. 1.4, а)
ej = е2,
П* =П —1
Тогда
Согласно определению векторного произведения величины | etx ef / н | пХп*|
являются синусами углов соответственно между векторами et и ef, n и п*. Учи-
24
тнвая при атом, что синуса малых углов
можно отождествлять с самими углами,
приходим к выводу, что рассматриваемая
деформация является поворотом окрест-
окрестности точки т вокруг касательной к лн-
ини а, как твердого тела на угол #j.
2. Предположим теперь, что оболочка
деформируется так, что вектор et не ме-
меняет своего направления, а векторы е$ и п*
остаются в плоскости векторов е,, п, т. е.
«1 — «1» *2* =¦ е2 — *2". п» =
Тогда
•а X ej =» —д2е1(
п х п* = —дав
и, следовательно, окрестность точки т
поворачивается как твердое тело во- Рис. 1.5
круг касательной к линии aj на угол #j
(рис. 1.4, б).
3. Пусть, наконец, оболочка деформируется так, что вектор л ке
своего направления, т. е. (си. A.39)) #j — д, =¦ 0. Тогда
ет
и, следовательно,
ei X ei
X ej =» — ш2п.
В этом случае окрестность точки т на срединной поверхности деформируется
так, что первоначально примой угол между координатными линиями ctj и а2
переходит в угол я/2 — (щ -J- <*>*) (рис. 1.4, в). Иными словами, величина со =
= Bj + Ci)j определяет деформацию срединной поверхности оболочкн, именуемую
в теории упругости сдвигом. По аналогии с тем, как это делается в теории упру-
упругости, можно вычислить срединный поворот окрестности точки т вокруг нормали
(d)n). Оказывается, что (см. гл. 6)
фп = (щ — u>i)/2. (L40)
Суммируя сказанное, можно ввести вектор углов поворота окрестности точ-
точки т следующим образом (рис. 1.5):
Вернемся к формуле A.29). Подставляя в нее вместо п* его
выражение A.39), получим
u5 = u + ? (dxex + djej) A.42)
или
и! = Ы1 + ?Фь t4 = M2 + ?^2, wl = w. A.43)
Формулы A.43) позволяют сделать следующий вывод: принятие
геометрической гипотезы Кирхгофа приводит к линейному за-
закону изменения смещений по толщине оболочки, причем нормаль-
нормальное смещение не зависит от ?.
В заключение заметим, что с учетом введенного выше вектора
углов поворота окрестности точки (ю) формулу A.42) можно за-
записать так:
tfi = и + с» х
A.44)
25
1.3. ДЕФОРМАЦИЯ ОБОЛОЧКИ
Удлинения и сдвиг. Рассмотрим иа линии аг две соседние
точки, расстояние между которыми до деформации и (в рамках
линейного приближения) после деформации определяется соответ-
соответственно формулами (см. A.37))
dsi = A\da.\\ dsj = А\ A + в|) da.\.
Вычисляя относительное удлинение элемента дуги между
рассматриваемыми точками, приходим к равенству
делающему очевидным смысл параметра вг (см. форм. A.32)).
Аналогичное соотношение имеет место и для линии а,. Таким
образом, параметры ег и &г определяют обусловленные деформацией
оболочки относительные удлинения волокон, расположенных
вдоль координатных линий срединной поверхности.
Деформацию срединной поверхности характеризует также
сдвиг, о котором уже говорилось в предыдущем разделе. Сдвиг
можно определить как косинус угла между линиями ^ и а,
после деформации, т. е. (см. рис. 1.5)
Изменения кривизны и кручение. Проведем внутри оболочки
поверхность, отстоящую от срединной на расстоянии ? (впредь
эту поверхность будем называть параллельной). Рассмотрим на
срединной поверхности произвольную точку и проходящие че-
через нее две координатные линии. Передвигая нормаль к средин-
срединной поверхности вдоль этих линий, получим на параллельной
поверхности линии аг и ал. В точке пересечения этих линий рас-
расположим тройку единичных векторов ej, ei, n', направив их со-
соответственно вдоль с^-линии, aj-линии и по нормали к параллель-
параллельной поверхности. По условиям построения параллельной поверх-
. ности векторы е{ и e? параллельны век-
векторам et и е,, а вектор п' направлен
по той же прямой, что и п. Отсюда
ясно, что сеть линий alt a, на парал-
параллельной поверхности ортогональна и
что нормаль к срединной поверхности
является нормалью и к параллельной
поверхности. Более того, линии alf a,
на параллельной поверхности будут ее
линиями кривизны, поскольку при бес-
бесконечно малом перемещении орта п'
вдоль любой из этих линий, он, сов-
совпадая по направлению с п, будет оста-
оставаться компланарным (см. п. 1.1).
26
Построим в двух смежных точках срединной поверхности,
лежащих на линии alt единичные нормальные векторы. На рис. 1.6
показано нормальное сечение срединной поверхности, определяе-
определяемое названными нормальными векторами, причем точки mlt ma
принадлежат срединной поверхности, а т{, mi — соответствую-
соответствующие им точки параллельной поверхности (г' = г + ?п, ? = const).
Пусть при этом 0г — центр кривизны срединной поверхности при
сечении ее нормальной плоскостью, проведенной, как указано
выше.
Если радиус кривизны рассматриваемого сечения срединной
поверхности равен Rlt то соответствующий радиус кривизны па-
параллельной поверхности равен /?i + ? (см. рис. 1.6) и с учетом
подобия фигур Oi/rti/ns, Oi/ni/пз имеем:
a,. . A.47)
Таким образом, параллельная поверхность определяется сле-
следующими параметрами:
А\ =Л1A+-^-); Л| = Л8A+-?-); R\ = Я, + ?;
Rl = R2+Z. A.48)
Если точки срединной поверхности получают смещения ult
ыг, w, то, согласно принятым допущениям, соответствующие точки
параллельной поверхности получат смещения и\, и\, vfi, опреде-
определяемые формулами A.43). Итак, известны радиусы кривизны,
параметры Ламе и перемещения параллельной поверхности. Сле-
Следовательно, можно вычислить для этой поверхности относитель-
относительные удлинения (г\, е&) и сдвиг («&). Подставляя параметры A.48)
в формулу A.45) и учитывая, что на основании второго соотно-
соотношения Кодацци A.25)
находим
' ди\ , 1 Mi .Л ,
ет =
U» аах + АгА2 dat U^+-r
Подставив сюда значения смещений и\, и\, iufi согласно фор-
формулам A.43), получим
? [ A.51)
где введено обозначение
Напомним, что параметр ej является относительным удлине-
удлинением параллельной поверхности в направлении ах. Путем анало-
27
гичиых рассуждений можно получить относительное удлинение
и в направлении сса:
где
х, =
Используя, далее, формулу A.46) с учетом соотношений Ко-
дацци, находим
С - 1 /1 Э"? 1 дЛг
или, после замены и[, и\ их выражениями согласно A.43),
W
...
Ь55)
где
1 dOi I 3i4t д . _ 1 дЬх \ дА% А -, __
Tl—JTИ^ ~ "ЦЛГ15Г *• т»'"'лГ15Г~'7й7'а^'^1" u>0';
В формуле A.56) содержится четыре различных функции
(©!, ©2, ть т2) координат срединной поверхности в отличие от
формул A.51) и A.53), в которые входят лишь по две функции в!,
хг или ва, ха. Однако, первую из названных формул также можно
привести к виду, содержащему две различные функции коорди-
координат срединной поверхности. Возможность такого преобразования
основана на тождестве •
•Ч + vhlRi = та + oh/fla, A.58)
которое легко проверяется подстановкой вместо %, cuj, xlt та
их выражений через щ, щ, w и выполнением преобразований
с использованием соотношений Кодацци.
Если, кроме ранее принятого обозначения © = щ + с^,
ввести новое
X = Тц + (Oj/T?! = Та + (Di//?,, A.59)
то после несложных алгебраических преобразований получим
Выведенные формулы A.51), A.53) и A.60) определяют удли-
удлинения и сдвиг параллельной поверхности, отстоящей от средин-
28
ной — на расстоянии ?. С помощью этих формул исследование де-
деформации оболочки сводится к исследованию деформации ее сре-
срединной поверхности. В формулы A.51), A.53) и A.60) входят
шесть различных функций смещений срединной поверхности,
а именно!
дЛ%
со
At _d_fjhj\ , _Л«. _?_ (Jh_\ .
— 1 a / 1 dw Uj \ I dAt /I am »a \.
j4j Л*1 \ Л1 doti Ri ) A\A, doc, \ A, da, R, /
i a / i dw u. \ i ал, /l аш «i \.
Л, da, \ Л, doc, /?, / A\A, da.\ \ A\ даг Ri / '
_ 1 / ааш 1 а^! da; 1 dA, dw \ ,
I dA-,
-LJh.
At да,
da,
Rt
A.61)
Геометрический смысл параметров е^ вг, ш был уже выяснен
ранее: они являются относительными удлинениями и сдвигом
срединной поверхности. Для выявления геометрического смысла
трех остальных параметров xls
х2, «с рассмотрим малый элемент
срединной поверхности, ограни-
ограниченный двумя близкими линиями
аги двумя близкими линиями сц
(рис. 1.7). Задание удлинений и
сдвига в точке т^ полностью ха-
характеризует изменение размеров
данного элемента после деформа-
деформации. Однако для определения его
формы этого недостаточно, ибо
при деформировании, кроме удли-
удлинений и сдвига, элемент может
искривиться, что названными тремя
параметрами не улавливается.
Искривление элемента поверхно-
поверхности можно характеризовать, во-
первых, изменением кривизны со-
соответственно в направлениях ах и
аг и, во-вторых, скручиванием.
Рассмотрим приращение еди-
единичного вектора ef при его пере- Рис. 1.7
29
мещении вдоль линий ах к ал иа бесконечно малые расстояния
dsi = A'da\, ds2 = Aldav (соответственно).
В первом случае проекция вектора def иа нормаль к деформи-
деформированной поверхности п* дает угол поворота орта е* при пере-
переходе от точки тх к бесконечно близкой точке пц, характеризующий
кривизну дуги тхщ. Согласно рис. 1.7 имеем
или
Во втором случае проекция def иа нормаль п* дает угол пово-
поворота орта е* при переходе от точки т\ к бесконечно близкой
на линии а2 точке т\ или, что то же, угол поворота линейного
элемента m'\in<i относительно элемента Ш\тч, т. е. скручивание
элемента деформированной поверхности mimf/n^. Обозначая
относительный угол закручивания элемента гп\п\!ч вокруг ли-
линии а2 через т?,, в соответствии с рис. 1.7 находим
if-faT'11- (L63)
Рассуждая аналогично, но рассматривая не вектор е', а век-
вектор ег, получим
тг—-хгт?."-- * —тг^---. <•¦«)
где /?2 — радиус кривизны нормального сечения деформирован-
деформированной поверхности, касательного к линии о^; tat — кручение дефор-
деформированной срединной поверхности вокруг линии ^.
Преобразуем формулы A.62)—A.64) с учетом соотношений
A.38), A.39). Прежде всего, имеем
1 1 де* # 1 / get |^ 5е, „ дп ,
~'П ~ Ш + Сй *
Следовательно, приращение в результате деформации кри-
кривизны срединной поверхности оболочки (х*) выражается формулой
хГ = l/Ri - l/Ri = x, - ei/ff,. A.66)
Путем совершенно аналогичных выкладок находим:
'* = ¦&-¦*? = *—?' (L67)
Ti1 = Ti, = T1+-|^ = T2 + -g- = T. A.68)
30
Из сказанного выше следует, во-первых, что параметры х1(
«2» « характеризуют изменения кривизны и кручение срединной
поверхности оболочки при деформации. Во-вторых, оказывается,
что два параметра кручения <г?, и <г?, (вокруг линий а\ и а% со-
соответственно) равны друг другу и совпадают с введенным ранее
параметром п.
Следует обратить внимание на то, что в выражении для изме-
изменений кривизны срединной поверхности х*, х$ помимо параме-
параметров хх, ха, зависящих от углов поворота касательных к линиям alt
а,, явным образом вошли и удлинения срединной поверхности е^
eg. Это свидетельствует о том, что тангенциальная деформация
криволинейной срединной поверхности вызывает изменение ее
кривизны. Однако этим дополнительным искривлением средин-
срединной поверхности можно пренебречь по сравнению с искривлением,
обусловленным углами поворота Фх, Ф2.
Действительно, переписывая формулы A.51), A.53) в виде:
*2'' <L69>
убеждаемся, что если пренебречь в них слагаемыми VRU &Rt
по сравнению о единицей, то получим
xf«xi; Х2«х2. A.70)
Соотношения A.70) позволяют в дальнейшем именовать вели-
величины Хц «а параметрами изменения кривизны срединной поверх-
поверхности оболочки, хотя, строго говоря, это и не совсем так.
Заметим, что, как видно из формул A.66), A.67), параметры к1г
щ будут положительными, если при деформировании оболочки
кривизна ее срединной поверхности увеличивается. Кручение же <с
положительно, если при взаимном повороте сторон /щтц и т\т2
элемента, изображенного на рис. 1.7, точка mi будет переме-
перемещаться в сторону, противоположную направлению нормали.
Итак, деформация оболочки полностью определяется шестью
параметрами е^ г^, и, ки х1( х, из которых три первых характе-
характеризуют изменения размеров элемента срединной поверхности,
а три остальных — его искривление. Указанные шесть параме-
параметров, выражающиеся через перемещения формулами A.61), бу-
будем называть деформациями срединной поверхности. Если все
они равны нулю, то поверхность не деформируется, т. е. либо
ее смещения равны нулю, либо им соответствует перемещение по-
поверхности как жесткого целого.
Заметим, что число параметров, характеризующих деформа-
деформацию срединной поверхности, не случайно оказалось равным ше-
шести. В соответствии с формулами A.6) и A.10) поверхность, за-
заданная в неортогональных координатах (а таковыми и являются
31
координаты а1( ос, на деформированной поверхности), полностью
определяются шестью коэффициентами первой и второй квадра-
квадратичных форм.
1.4. УРАВНЕНИЯ НЕРАЗРЫВНОСТИ ДЕФОРМАЦИЙ
СРЕДИННОЙ ПОВЕРХНОСТИ
Дифференцируя равенства A.31), A.34) соответственно по ос,
и ах с учетом формул A.24), получим:
<*¦* _ Г^р+е,)
да,
Для гладкой деформированной поверхности эти векторы равны
между собой, что приводит к следующим трем скалярным равен-
равенствам:
да.,. ~&i dat
да, Эах
Вычислим далее смешанные производные вектора п (см. A.39)).
В результате с учетом формул A.52), A.54), A.57) находим:
д*п*
v
da, г ^ da,
32
Приравнивая эти векторы и принимая во внимание формулы
A.25), A.59), получим:
д (Аъ\ ¦* dAl dAtX т дА* 4- ы дА% -
^1 А \ .
Правые части первых двух равенств систем A.72) и A.74)
совпадают с точностью до множителей. Поэтому имеют место за-
зависимости:
l/Лп ,
-¦яг OS?--¦*?¦—¦?¦)-* "-75ь
5Л, дЛЬт 5у4х , со 5ЛХ
— El
дА2
да, ч да!
)=0. A.75),
Что касается третьих равенств названных систем, то они, после
преобразований с учетом соотношений A.57), превращаются
в тождества.
Можно, далее, рассмотреть смешанные производные:
бая 5^ ' дах За, Зая flax
и получить тем самым еще шесть равенств, аналогичных A.72),
A.74).
Некоторые из этих равенств будут превращаться в тождества,
а некоторые — в полученные уже соотношения A.75). Однако
появится одно новое дифференциальное соотношение между пара-
параметрами деформации срединной поверхности, а именно:
2 В. В. НОВОЖИЛОВ К И). f ИКВ№33 J 33
\ НЕ БОЛЕЕ 1И КНИГИ В !
[ ОДЧИ РУКИ И 2ХВДВЕ '
Полученные три различных дифференциальных соотношения
A.75), связывающие шесть параметров деформации срединной
поверхности оболочки е^ е2, ©, х1( х, и т, были выведены анало-
аналогично тому, как выводились в п. 1.1 соотношения Кодацци—
Гаусса. Они и являются, в сущности, соотношениями Кодацци—
Гаусса для деформированной поверхности г* (oclF ос2) = г (аъ
а2) + U (olt а,), упрощенными с помощью аналогичных соотноше-
соотношений до деформации.
Соотношения A.75) выполняются тождественно при замене
в них параметров деформации нх выражениями через смещения
в соответствии с формулами A.61). Эти соотношения, впервые
полученные в работе [34], играют в теории оболочек ту же роль,
что и соотношения Сен-Венана в теории упругости: они являются,
во-первых, условиями неразрывности деформаций и, во-вторых, —
условиями совместимости, при соблюдении которых обеспечи-
обеспечивается возможность определения трех смещений ult uit w по шести
заданным компонентам деформации оболочки — < е„ ©, хь
х„ т.
1.5. УСИЛИЯ И МОМЕНТЫ
Выяснив геометрическую сторону деформирования оболочки,
перейдем к рассмотрению возникающих в ней напряжений. Вы-
Выделим из оболочки объемный элемент, ограниченный четырьмя
нормальными сечениями, касающимися линий аи аг + da1( a,,
а2 + da,, и двумя лицевыми поверхностями (рис. 1.8).
На гранях этого элемента, у которых нормали направлены
в сторону возрастания ко-
ординат alt a2, действуют
следующие векторы напря-
напряжений:
<*1 = сгцв! + а12е, -)- а1пп;
а, = аивх + а^ва + а,пп.
A.76)
Что же касается граней
элемента, у которых нормали
направлены в сторону умень-
уменьшения координат а1( сц, то
на них (как это принято в
теории упругости) действуют
напряжения:
а_1 = —о1; о_, = — ога. A.77)
Формулы A.76) и A.77)
определяют положительные
направления напряжений.
34
На гранях, где нормали направлены в одну сторону с век-
векторами соответственно ех и е^, напряжения положительны,
если проектируются на направления ex, e2, n положительно
(рис. 1.8). На двух других гранях, наоборот, напряжения положи-
положительны, если проектируются на направлении ех, е^, п отрицательно.
Поскольку использование геометрической гипотезы привело
к вполне определенному закону изменения деформаций по тол-
толщине оболочки, то н закон изменения напряжений аи, а22, alt,
x2i можно считать известным. Поэтому оказывается целесообраз-
целесообразным ввести вместо напряжений нх интегральные характери-
характеристики — усилия и моменты.
Рассмотрнм грань элемента, изображенного на рис. 1.8, пер-
перпендикулярную к линии аг. На заштрихованную площадку этой
грани действует сила
Mi (I + VRt) dMC A.78)
Введем вектор усилий как равнодействующую всех сил A.78),
приходящихся на рассматриваемую грань объемного элемента,
отнесенную к длине элементарной дуги линии а2 в рамках этой
грани dsj = A2da%. Имеем
-ft/2
A.79)
где
Ь/2 й/2
—ft/2 -h/2
Tln= ) oln(l +-?-)#. A.80)
-h/2 '
Рассуждая аналогично, но рассматривая грань, на которую
действует вектор напряжений аа, получим
/1/2
(-яг)dai dl =
A.81)
где
i/2 ft/2
f
-4/
(?)j
/2 -h/2
ft/2
7'.»= J o»n(l +-^-)^. A.82)
—*/2
35
Далее вычислим момент, создаваемый элементарной силой
A.78) относительно линии пересечения соответствующего нормаль-
нормального элемента (грани) со срединной поверхностью оболочки. Учи-
Учитывая правило, связывающее момент вектора с векторным произ-
произведением, получаем следующее выражение для искомого элемен-
элементарного момента:
?п х оИ,A + t/Rt)datdl. A.83)
Введем понятие вектора моментов для оболочки как отноше-
отношение равнодействующей всех моментов типа A.83), приходящихся
на рассматриваемую грань, к длине дуги срединной поверхности
в рамках этой грани.
Тогда для грани, на которой действует момент A.83), получим
ft/2
j
-ft/2
A.84)
где
ft/2 ft/2
—A/2
j ( ?
—ft/2 '
A.85)
Соответственно для грани, на которую действует вектор напря-
напряжений ог2, имеем
Ь/2
М<2> = -j-L- j ?„ X
-ft/2
A.86)
где
ft/2 ft/2
Af,= f a«(l+-ji.)Ed?; Л1S1 = j aai (i + ^) ld%.
—S/2 X —ft/2
A.87)
Компоненты введенных векторов усилий и моментов впредь
будем именовать так: 7\, Г2 — нормальные усилия, Г12, Г21 —
касательные усилия, 7\„, Т2П — перерезывающие силы, Ми
М2 — изгибающие моменты, Mlt, Mn — скручивающие моменты.
Положительные направления этих силовых величин опреде-
определяются векторными соотношениями A.76), A.77) и показаны на
рис. 1.9.
Замена напряжений статически им эквивалентными усилиями
и моментами позволяет в дальнейшем вместо объемного элемента,
выделенного из оболочки, рассматривать соответствующий ему
элемент срединной поверхности. Введение усилий и моментов,
36
Рис. 1.9
так же как и выражение деформаций оболочки через деформации
ее срединной поверхности, направлено на достижение одной цели,
а именно: перейти от исследования напряженно-деформирован-
напряженно-деформированного состояния оболочки как трехмерного тела к исследованию
условий деформирования ее двумерной модели — срединной по-
поверхности.
Существенно отметить, что при описании деформации оболочки
в п. 1.2 (в соответствии с геометрической гипотезой Кирхгофа)
не учитывались сдвиги, связанные с напряжениями ст1п, ст2п (см.
рис. 1.4, а и б). Поэтому, казалось бы, следует пренебречь и
перерезывающими силами Т1п, Т2п (см. форм. A.80), A.82)).
Однако это было бы ошибкой, так как названные усилия играют
существенную роль в уравнениях равновесия, вывод которых
будет дан в следующем разделе. С учетом сказанного геометриче-
геометрическую гипотезу следовало бы сформулировать так: при определе-
определении деформации волокон оболочки, параллельных ее срединной
поверхности, следует пренебрегать сдвигами, соответствующими
напряжениям а1п, ст2п, а также удлинениями волокон, перпендику-
перпендикулярных к срединной поверхности. Такая формулировка геометри-
геометрических допущений, разумеется, неравносильна изложенной во
введении.
Сделанное замечание полностью относится и к обычной форму-
формулировке гипотезы плоских сечений в теории балок, и к формули-
формулировке основополагающих гипотез теории пластин. Поскольку
эти классические формулировки гипотез вошли во все учебники
и не вызывают, видимо, недоразумений, то авторы сочли возмож-
возможным, начиная книгу, придерживаться традиционного изложения.
Только сейчас стало целесообразным уточнить смысл фактически
принимаемых допущений.
1.6. РАВНОВЕСИЕ ОБЪЕМНОГО
ЭЛЕМЕНТА ОБОЛОЧКИ
Выведем условия равновесия выделенного из оболочки объем-
объемного элемента, изображенного на рис. 1.8, под действием всех
приложенных к нему внешних и внутренних сил. Внешними си-
37
-M(Ods2
м%+
Рис. 1.10
лами будут, во-первых, объемные силы, приходящиеся на данный
элемент, и, во-вторых, поверхностные силы, приложенные к его
лицевым поверхностям. Внутренними силами являются напряже-
напряжения, действующие на боковые грани элемента.
В предыдущем параграфе все внутренние силы были перене-
перенесены на границы участка срединной поверхности, соответствую-
соответствующего рассматриваемому объемному элементу оболочки, и заме-
заменены статически эквивалентными усилиями и моментами. Произ-
Произведем аналогичные преобразования и над внешними силами, за-
заменив их статически эквивалентной нагрузкой, распределенной
по срединной поверхности. При этом срединная поверхность ока-
окажется загруженной как силами, так и моментами. Однако послед-
последними в практических задачах можно пренебречь.
Действительно, объемные силы (тяготения, инерции) ввиду
малости толщины оболочки можно считать равномерно распре-
распределенными по толщине, так что моментов относительно срединной
поверхности они давать не будут (во всяком случае с точностью
до слагаемых порядка h/R0 по сравнению с единицей). Что ка-
касается внешних сил, приложенных к лицевым поверхностям обо-
оболочки, то в практических задачах они обычно направлены пер-
перпендикулярно к срединной поверхности (давление жидкости или
газа), и, следовательно, опять-таки момента при переносе на нее
не дают. Итак, преследуя практические цели, можно считать, что
при переносе всех внешних сил на срединную поверхность по-
последняя будет загружена только распределенными по ней силами.
Внешнюю нагрузку, приходящуюся на единицу площади средин-
срединной поверхности, обозначим через р:
Р = РЛ + р& + р„п. A.88)
Теперь для составления условий равновесия можно вместо объ-
объемного элемента рассмотреть соответствующий ему элемент сре-
срединной поверхности. При этом, оставаясь в рамках линейной тео-
теории, все действующие силы и моменты следует относить к назван-
названному элементу до деформации, что равносильно пренебрежению
произведениями перемещений и их производных.
38
На основании рис. 1.10 формулируем:
условие равенства нулю главного вектора всех действующих
на элемент сил
Т<пdst + d(J[1)dSt) ds,. - T(')ds2 + T<2>dsx +
%) *¦ ~TB) ^+pd$idst=0> (L89)
условие равенства нулю главного момента всех моментов и
сил относительно точки т
\ds&^ х
°- С-90)
Выполняя в условиях равновесия A.89), A.90) последовательно
приведение подобных членов, сокращение на величину dd
и отбрасывание бесконечно малых слагаемых, получим:
= °- С-9')"
Используя теперь правила дифференцирования ортов A.24)
и учитывая формулы A.79), A.81), A.84), A.86), нетрудно полу-
получить эквивалентную этим векторным уравнениям систему скаляр-
скалярных уравнений:
Pl ~U'
Напомним, что уравнения A.92)! выражают условие равенства
нулю главного вектора, а уравнения A.92)а — условие равен-
равенства нулю главного момента. Шесть уравнений A.92)lt A.92)a
в совокупности являются условиями равновесия элемента средин-
срединной поверхности оболочки.
Нетрудно убедиться, что последнее уравнение системы A.92)
является тождеством. В самом деле, если ввести в это уравнение
вместо усилий и моментов их выражения согласно формулам
п. 1.5, то получим
7W.+*«—
-i/2
A.93)
Следовательно, каковыми бы ни были принимаемые при по-
построении теории оболочек гипотезы, равенство A.93) всегда бу-
будет выполнено, ибо это обеспечивается лишь симметрией тензора
напряжений.
В полученные шесть уравнений равновесия входят десять неиз-
неизвестных, т. е. вадача теории оболочек «внутренне» статически не-
неопределима (статически неопределима уже при рассмотрении бес-
бесконечно малого элемента оболочки). Ее решение, следовательно,
невозможно до того, пока неизвестные, входящие в уравнения
равновесия, не будут связаны с деформациями посредством ва-
кона упругости.
В заключение следует подчеркнуть, что сформулированные
в этом разделе уравнения статики оболочек содержат лишь по-
погрешность, связанную с допущением о малости смещений оболочки
по сравнению с ее толщиной. Погрешность исходных гипотез
на них не отражается, ибо при их выводе эти гипотезы не исполь-
использовались.
1.7. ФУНКЦИИ, ТОЖДЕСТВЕННО
УДОВЛЕТВОРЯЮЩИЕ УРАВНЕНИЯМ РАВНОВЕСИЯ
Одновременно и независимо друг от друга А. И. Лурье [78]
и А. Л. Гольденвейзер [35] показали, что при отсутствии поверх-
поверхностной нагрузки (р1 = Ръ — рп — 0). т. е. при нагружении
оболочки только по краям, все десять усилий и моментов можно
выразить через четыре произвольные функции координат о^, ocg
так, что уравнения равновесия будут удовлетворяться тождест-
тождественно.
Введем обозначения (см. тождество A.93)):
и исключим из уравнений A.92)! усилия 7\„, Т2п с помощью пер-
первых двух уравнений системы A.92)г.
40
Если при этом учесть введенные обозначения A.94) и восполь-
воспользоваться при дифференцировании соотношениями Кодацци, то
уравнения равновесия можно привести к следующему виду:
dAxS дАх „ дА% т . 1 Г dA^Mi дА2 .. .
дА1
J\_ , J\_ 1_ Г _д 1_ ГдА.М, ¦ дА? дА, „ дА2 ,. I
Введем три произвольные функции а (аь а2), Ь (а1( а2),
с'(с^, ocg) и свяжем с ними неизвестные уравнении A.95), по-
посредством формул:
7\ = х2 (а, Ь, с'); Т2 = хх (а, Ь, с');
S = —т (а, 6, О: Mi = —<Ч К Ь, с');
Mt = —в! (а, Ь, с'); Н = A/2) X
X а> (а, Ь,с'), A.96)
где под &i (а, Ь, с:), ..., х (а, Ь, с') подразумеваются выражения
для параметров деформации срединной поверхности A.61) при
замене в них перемещений щ_, и2, w2 функциями а, Ь, с'.
Подставив A.96) в однородные уравнения A.95), можно убе-
убедиться, что получающиеся при этом выражения оказываются
идентичными уравнениям неразрывности деформаций срединной
поверхности. Но последние тождественно удовлетворяются при
подстановке в них деформаций, выраженных через смещения.
Отсюда ясно, что уравнения A.95) при рх = р2 = рп — 0 тожде-
тождественно удовлетворяются выражениями A.96), каковы бы ни были
вспомогательные функции а, Ь, с'.
Выразим через те же функции усилия Г12, Г21 и моменты М1Я
М21. На основании соотношений A.94), A.96) имеем:
Mi2 + М21 — ш (°. Ь, с');
г» - -тг = г» - -тг = ~% (°- ь>с')- (Ь97)
Согласно первой из этих формул можно ваписать
M1S = A/2) и (а, Ь, с') +Ф, A.98)
М21 = A/2) со (а, Ь, с')-Ф,
41
где Ф — еще одна функция, которая в отношении удовлетворения
уравнениям статики, так же, как и функции а, Ь, с', произвольна.
Используя эти формулы, из A.97) находим:
7м = _т(а. Ь, с') + -^-а,(а, Ь, с') ^
Тп = -т (а, Ь, с') + -щ- а> (а, Ь, с1) + -?-. A.99)
Остается определить через те же четыре функции перерезы-
перерезывающие усилия Tln, Ttn. Их можно получить, если исключить
из первых двух уравнений системы A.92), моменты с помощью фор-
формул A.96) и A.98) Тогда (после преобразований с учетом соот-
соотношений Кодацци—Гаусса) придем к формулам:
A.100)
где 1*! (а, с'), да (b, с') — величины, получающиеся при подста-
подстановке в выражения для дг и Фа (см- форм. A.33), A.36)) вместо
перемещений ии Ug, w функций а, Ь, с'', а
I /
doit dat
Теперь все десять усилий и моментов, характеризующие на-
напряженное состояние в оболочке, выражены через четыре функ-
функции а, Ь, с', Ф, которые естественно называть функциями напря-
напряжения. Последние очевидным образом обобщаются на случай
неоднородной задачи (см. форм. F.177)).
1.8. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ
ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК
Все, что касается геометрии деформирования оболочки и ус-
условий равновесия выделенного из нее элемента, не зависит от
упругих свойств материала, из которого она изготовлена, в связи
с чем эти свойства до сих пор не рассматривались. Однако, по-
поскольку полученные в п. 1.6 уравнения равновесия элемента
оболочки статически неопределимы, задача по расчету напря-
напряженно-деформированного состояния не может быть решена, пока
не будут учтены упругие свойства материала оболочки, т. е.
пока не будут получены соотношения, связывающие между со-
собой усилия, моменты и параметры деформацин срединной поверх-
поверхности. Такие соотношения для тонкой оболочки, изготовленной
из однородного, изотропного материала, следующего закону
Гука, будут выведены в п. 1.9. Однако предварительно следует
получить формулу для энергии деформации оболочки.
42
Известно, что энергия деформации произвольного тела, сле-
следующего закону Гука, может быть вычислена по формуле (см.,
например, 1129])
V = 4" j I j (CTlieu + а»«ви + Оюеп + CTl*eisl + а^и + ст»>е»>)d0>
A.101)
где ап, аи, ам — нормальные напряжения на трех взаимно
перпендикулярных площадках элемента, выделенного из упругого
тела; еп, е22, е33 — соответствующие им относительные удлине-
удлинения; а12, а13, а23 — касательные напряжения на тех же площад-
площадках; е12, е13, е23 — соответствующие им деформации сдвига; dO —
объем выделенного элемента, причем интегрирование в A.101)
распространено на весь объем рассматриваемого тела.
Рассмотрим в качестве dO объем элемента, выделенного из
оболочки четырьмя близкими сечениями, перпендикулярными
к линиям alt a2 срединной поверхности, и двумя близкими парал-
параллельными поверхностями. Тогда получим
) A.102)
Принятие гипотез Кирхгофа равносильно пренебрежению на-
напряжениями азя по сравнению с другими напряжениями и сдви-
сдвигами е13> ем по сравнению с другими деформациями. Таким об-
образом, следуя этим гипотезам, можно записать
v = т ИI (a"eu + а**п + CTi*ei2) AiAt (l + ~ir)x
X (l +-±-)da1daidt, A.103)
где первое интегрирование выполняется в пределах толщины обо-
оболочки (т. е. от ?= —hli до ?= -\-HJ2), а два остальных — по всей
области срединной поверхности.
Но согласно закону Гука для однородных и изотропных тел
имеют место формулы:
Е I . v \ E
— 2A + v) "' *
где Е — модуль Юнга; v — коэффициент Пуассона; е = еп +
Пренебрежем в формулах A.104) напряжением а33 по сравне-
сравнению с другими напряжениями, что эквивалентно равенству
¦ > i
- v (eu + еиI = 0>
43
откуда следует
Исключая с помощью этой формулы е33 из первых двух соотно-
соотношений A.104), получим:
или (поскольку в теории оболочек деформациям ellt eit, е1г отве-
отвечают г\, е?, шс)
(ef + e?); °
Напомним, что параметры деформации параллельной поверх-
поверхности ер, е|, шЕ связаны с параметрами деформации срединной
поверхности ги е2, ш, хь х2) т и координатой С формулами A.51),
A.53), A.60). Подставляя е?, е|, а>С, определяемые этими форму-
формулами, в A.105) и в A.103), можно в левой части последней формулы
выполнить интегрирование по С- Для упрощения получающегося
при этом результата разложим подынтегральное выражение A.103)
в ряд по степеням ?, сохранив в нем степени ? до второй включи-
включительно. С этой целью воспользуемся приближенными формулами:
4 =
Выполнив указанные выше преобразования с учетом формул
A.106), получим следующие выражения для упругой энергии
деформации:
V= 2Alva) Щ j" (Qo + Qit + QiWdtJ^Midaidai, 0-107)
» - 2 A - v) (ba - -^-) ;
= (ti + x,)» - 2A - v) fax, - t») - 2 (-^- - ^
1 \/ el e?
AЛ08)
Здесь выражение для Qt не расписано, поскольку
Ь/2 й/2
j |
/
j
—6/2
j |
6/2 —h/2
Выполнив в формуле A.107) интегрирование по частям, получим
V= 2(i?v«
24 (f_
X Aj^Aida^Oi. A.109)
Поскольку принимаемые в теории оболочек допущения имеют
погрешность порядка h/R0 по сравнению с единицей, то замена
формулы A.101) формулой A.103), основанная на использова-
использовании гипотез Кирхгофа, вносит в потенциальную энергию погреш-
погрешность указанного порядка. Следовательно, в формуле A.109)
нет смысла удерживать слагаемые порядка h/R0 по сравнению
с единицей. Попытаемся выявить такие слагаемые и отбросить.
Выявление малых слагаемых несколько затрудняется тем, что
входящие в A.109) величины e^ e,, <o н к1г ха, т имеют разную
размерность (первые безразмерны, а размерность вторых — Щ'1).
Поэтому вместо nlt и2, т введем параметры:
ej =-х1; в2=-5-х2; ш* = hx,
которые имеют простой геометрический смысл, а именно: ef.
ег — удлинения, вызываемые изменениями кривизны х1( Xj в край-
крайнем слое оболочки, а ш* — сдвиг, вызываемый в крайнем слое
кручением т.
Сказанное следует из формул A.51), A.53) н A.56), если в них
пренебречь отношениями l/Rlt t/R3 по сравнению с единицей
и положить ? = Л/2.
Величины е*, е?, о>* подобно si, e2, to безразмерны. Введя их
в формулу A.109) вместо х1( ха, т, можно привести ее к виду
45
где
W = («i + ejJ — 2 A — v)
+ 4- [(ef + ejJ - 2 A - v) (ef ej - ¦?-)];
1 —v
( ) (e
А* \
2 Л
IT( яГ~"rt) («Гei ~"«Г
Сравнивая выражения для W, Wu W2, нетрудно видеть, что
W.-^-W; W2~^W (l.lll)
(знаком «~» здесь и ниже связываем величины одного порядка).
Соотношения A.111) можно установить, делая всевозможные
предположения о сравнительной величине параметров elt вг, ш и
ef, el, to*. Таким образом, чтобы быть последовательными в об-
обращении с малыми величинами, необходимо пренебречь группами
слагаемых №а и W9 по сравнению с W и потенциальную энергию
деформации принимать в следующем виде:
2 A - v) (^
f 1^-(и1-и2)»+2A-у)т»]Л1Л2^а1^оа. A.112)
Здесь оба интеграла вычисляются по всей области срединной
поверхности. Первое слагаемое A.112) является потенциальной
энергией тангенциальной деформации (удлинений и сдвигов),
а второе слагаемое — потенциальной энергией изгиба и скру-
скручивания.
1.9. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ
ТЕОРИИ УПРУГИХ ОБОЛОЧЕК
Рассмотрим теперь выражение для приращения потенциальной
энергии деформации
dV = I J J (audeu + aMde22 + aMdeM + a12de12 +
A.113)
46
Если учесть гипотезы Кирхгофа, то применительно к тонким
оболочкам эта формула может быть записана так:
(au deu + amden + anden) A + -^-^ x
X (l +-^-)A1Atda1datdl, A.114)
где интегрирование производится по всему объему оболочки.
Исключая отсюда приращения параметров деформации с по-
помощью формул
? (de + ? dv.x),
= de? == { + ^ (des
dexi = dcot = t +'c/y?i (da)! + ldxx) + l +lURi (da,, + t dt2) A.115)
и учитывая формулы A.80), A.82), A.85), A.87), получим
dV = | | (Г^е! + T2de2 + Tudo^ + 7» da>2 + M1dxl +
M12 dti + Mn dxt) AlAidaxdai, A.116)
где интегрирование распространено на всю область срединной
поверхности оболочки.
Используя теперь вытекающие из A.46), A.59) зависимости
dxx = d% =— d(o2, dxt = dx 5-d(ob da> = dax + dai
Hi Hi
и учитывая соотношения A.94), формулу A.116) можно привести
к виду
dV = } j(Tldzl + Tjdej + 5da> + Mt^ +
+ MidYb + Wdx)AlAidaldai. A-117)
Основываясь на формулах A.117), A.112), нетрудно устано-
установить связь между статическими величинами 7\, Тг, S, М1( Мг, Н
и геометрическими е^ е2, ш, xlt -лъ, х. Для этого следует определить
приращение потенциальной энергии, исходя из формулы A.112),
и затем сравнить коэффициенты при приращениях деформаций
в полученном выражении с соответствующими коэффициентами
формулы A.117). В итоге получатся следующие соотношения:
?/i3
12A -v2) (**
5 Eh
= ТAТ?' 12A+v) (
47
Две последние формулы из A.118) в развернутом виде пред-
представляют собой три уравнения1
A.119)
которые сами по себе недостаточны для однозначного выражения
величин Т1г, Ttl, Mn, Мг1 через со и т.
На основании уравнений A.119) можно записать:
Ф .- Eh3 . .
: м т+Ф:
A.120)
где с точки зрения предыдущих рассуждений функция Ф (olt аг)
может быть взята какой угодно.
Любопытно, что эта неопределенность не имеет для дальней-
дальнейшего изложения теории оболочек никакого значения. Оказывается,
что усилия Т1г, Tai и моменты Мм, Мг1 по отдельности в теории
оболочек вообще не нужны, ибо и в уравнения равновесия (по
исключении из них Т1п и Тгп), и в статические граничные условия
эти усилия и моменты входят лишь в комбинациях, обозначенных
ранее через 5 и Н. Первое было показано в п. 1.7, второе будет
показано в следующем параграфе.
Следовательно, для того, чтобы написать уравнения теории
оболочек и сформулировать для этих уравнений граничные усло-
условия, вовсе не нужно иметь выражения величин 7\а. Тг1, М12,
М21 через компоненты деформации срединной поверхности, а до-
достаточно иметь соответствующие выражения только для 5 и Я.
Если у кого-либо возникнет желание вычислить Ты, Ttl и
Мп, Мг1 по отдельности (например, для оценки величин Т1п,
Ttn), то функцию Ф можно определить так. Из формул A.85),
A.87) и A.120) вытекает соотношение
Ь/2
-ft/2
Подставляя сюда ап согласно последней формуле A.105) и
заменяя затем со? по формуле A.60), получим
ft/2
48
Пренебрегая в подынтегральном выражении слагаемыми по-
порядка h/Ri, h/R2 по сравнению с единицей, т. е. принимая
1 г — « 1 4-— « 1 ^—« 14- — (— I —^ t « 1
получим следующую формулу:
Вводя это выражение для Ф в формулы A.120), можно, после
некоторого анализа, прийти к заключению, что поправки, вно-
вносимые в них учетом Ф, всегда несущественны, так как не выходят
за пределы погрешности исходных допущений теории тонких
оболочек. На этом основании в формулах A.120) можно полагать
Ф = 0, отождествляя тем самым М12 и М21 с Я. Именно такой
точки зрения мы и будем впредь придерживаться. Получатся
следующие окончательные формулы, выражающие усилия и мо-
моменты через деформации срединной поверхности:
г Eh . „ Eh .
Ti = i _V2 (ei + ve2); 72 = _ (e2 -
Eh? Eh?
Ml = 12(l-v2) E<1 + ™*У' Мг = 12A — va) (*2 + VXl);
Eh I , ha \
7\, =
риз
v) т. A.122)
Изложенное выше исчерпывает вопрос о связи между усилиями,
моментами * и деформациями срединной поверхности в теории
оболочек. Эта связь дается формулами A.122), полученными из
выражения для потенциальной энергии A.112), упрощенного
в соответствии с погрешностью исходных допущений теории тон-
тонких оболочек.
Внимательный читатель, несомненно, заметит, что для полу-
получения соотношений между усилиями, моментами и деформациями
имеется еще один, и притом, казалось бы, более простой и прямой
путь, чем тот, который был избран выше. Действительно, на осно-
основании формул A.80)—A.87), A.105) и A.51), A.53), A.56) можно
написать:
49
ft/2
E f Г ' + VRt
—A/2
A/2
—ft/2
'['+*
(Г,, Ги, Mt. Mu) = (l**2)(Ti, Ta, Mlt Ml2). A.123)
(Последняя запись означает, что формулы для величин Тг, Тг1,
Мг, М21 получаются из соответствующих формул для 7\, Тп,
Мх, М1г путем замены индексов «1» на «2» и «2» на «Ь).
Интегралы в формулах A.123), разумеется, могут быть взяты.
Однако если при этом не делать никаких упрощений, то получатся
слишком громоздкие выражения, содержащие ряд малых членов,
учет которых выходит за пределы точности исходных допущений
теории оболочек.
Учитывая погрешность, вносимую этими допущениями, в фор-
формулах A.123) следует пренебречь величинами порядка h/R0 по
сравнению с единицей. Отсюда, на первый взгляд, в них надо
принять
1 + ?//?!» 1 + С/Я,« 1 - CVflitfi» 1.
В результате такого упрощения получаются следующие соот-
соотношения между усилиями, моментами и параметрами деформации
срединной поверхности:
7\з = Тп = 5 =
Eh3
Ml =
= -^_ (в,
;
+ v) <o;
Eh3 Eh3
(X + X); M
12A — va) (Xl + VXa); Mi = 12A — v») (^
^гт, A.124)
которые весьма близки к формулам A.122), отличаясь от них
лишь отсутствием двух слагаемых в выражениях для Т1а, Т21.
Формулы A.124) используются в теории оболочек наиболее
часто. Их как первое приближение рекомендует А. Ляв, ошибочно
утверждая при этом, что они соответствуют определению потен-
потенциальной энергии выражением A.112) (см. [84], стр. 557).
Достоинством формул A.124) является их простота и полная
аналогия с соответствующими формулами теории пластин. Однако
принятие формул A.124) вносит в теорию оболочек некоторые про-
противоречия. Так, при подстановке их в уравнения равновесия
A.92) с учетом соотношений A.61) получается система дифферен-
50
циальных уравнений для смещений ии и2> w, не являющаяся
самосопряженной. Тем самым задача о деформации оболочки
при использовании соотношений A.124) не может быть сформули-
сформулирована в виде вариационного принципа (начала минимума полной
потенциальной энергии или принципа Кастильяно). Принятие
соотношений A.124) не позволяет доказать и теорему взаимности
работ. Наконец, нетрудно убедиться, что эти соотношения не
обращают в тождество шестое уравнение системы A.92). Между
тем, как уже говорилось в п. 1.6, это уравнение должно выпол-
выполняться тождественно при любых допущениях, положенных в ос-
основу теории оболочек, поскольку оно вытекает всего лишь из
симметрии тензора напряжений.
Следовательно, переход от формул A.122) к более простым
формулам A.124) чреват рядом неприятных противоречий. Вместе
с тем члены, отличающие формулы A.122) от A.124), обычно не-
несущественны. Авторам неизвестно ни одного примера, когда
использование соотношений A.124) вместо A.122) привело бы
к ошибкам, превосходящим погрешность основных допущений тео-
теории оболочек. Именно поэтому вариант теории тонких оболочек,
основанный на соотношениях A.124), широко используется.
Однако вариант теории оболочек, опирающийся на использование
определяющих уравнений упругости в виде A.122), приводит
к разрешающим уравнениям, отнюдь не более сложным и, в то же
время, свободен от названных выше противоречий. Исходя из
этого, авторы рекомендуют принимать соотношения между уси-
усилиями, моментами и параметрами деформации срединной поверх-
поверхности в виде A.122).
Следует отметить, что долгое время по вопросу написания оп-
определяющих соотношений упругости теории оболочек существо-
существовали разногласия. Причем было предложено значительное число
вариантов этих соотношений, полученных путем удержания в вы-
выражениях A.123) тех или иных членов, иногда выбранных без
достаточных оснований. Не приводя всех этих вариантов, оста-
остановимся лишь на одном из них, наиболее логичном, предложенном
А. И. Лурье [78].
Не располагая критерием для выделения малых членов, ци-
цитируемый автор, чтобы застраховать себя от ошибок, пошел по
пути разложения подынтегральных функций формул вида A.123)
в ряды по степеням ?, удержав в них все степени ? до второй вклю-
включительно. В результате этих операций получены соотношения:
Eh Г , ft1 / 1 1 \/ е
Le+ve Ы ) (*
е1 VI
) J:
Eh Г А2
1
51
Ehs
12A +v) V~~2RT)> mn~ 12A +v) V 2«, /'
(TV 7-и, Л12) = A *±2) G\, Гц, МО. A.125)
Сравнивая эти соотношения с формулами A.122) и A.124),
видим, что они являются более громоздкими. Причем из сказан-
сказанного выше ясно, что входящие в A.125) дополнительные члены
вносят в теорию поправки порядка h/R0 по сравнению с единицей,
т.е. поправки, не превышающие погрешность исходных гипотез.
Поэтому формулы A.125) приходится считать непоследователь-
непоследовательными и для оболочки произвольной формы они будут вносить
в уравнения совершенно излишние усложнения. Однако для
частного случая сферической оболочки они существенно упро-
упрощаются благодаря наличию множителей l/R1—l/R2 и для этой,
весьма важной по своему практическому применению оболочки,
уравнения, основанные на формулах A.125), получаются проще
уравнений, следующих из формул A.122). Поэтому, рассматри-
рассматривая сферическую оболочку, целесообразно пользоваться именно
формулами A.125).
В заключение отметим, что формулы A.122) были получены
первым из авторов этой книги в 1944 году [124] и почти одно-
одновременно Л. И. Балабухом [3]. При этом Л. И. Балабух искал
такой простейший вариант связи между усилиями, моментами и
параметрами деформации срединной поверхности, который удо-
удовлетворял бы теореме взаимности, а также шестому уравнению
равновесия, и нашел его путем подбора. Первый из авторов этой
книги искал такой вариант той же связи, который, будучи наи-
наиболее простым, одновременно гарантировал бы при решении любой
задачи теории оболочек погрешность, не превышающую погреш-
погрешность исходных гипотез. Оказалось, что результаты этих двух
различно направленных поисков совпадают.
1.10. О ПУТЯХ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК
В общей теории упругости используются два пути решения
задач. Первый путь состоит в подстановке в уравнения равнове-
равновесия элемента упругого тела вместо напряжений их выражений
через смещения. Тогда для смещений однородного упругого тела
получается система из трех уравнений, именуемая уравнениями
Ламе. Второй путь заключается в выражении соотношений нераз-
неразрывности Сен-Венана через напряжения и упрощении полученных
равенств с помощью уравнений равновесия элемента тела. Полу-
Полученные шесть соотношений позволяют решать задачу непосред-
непосредственно в напряжениях и называются уравнениями Бельтрами—
Митчелла.
В теории оболочек также можно решать задачи двумя путями:
в смещениях срединной поверхности или в усилиях и моментах.
52
Первый путь состоит в замене в уравнениях равновесия A.95)
усилий и моментов их выражениями через деформации с помощью
определяющих уравнений A.118), а затем замене параметров де-
деформации их выражениями через смещения с помощью формул
A.61). При этом получится система трех уравнений в частных
производных относительно функций их (ах, а2), ы2 (ах, а2), w (ax,
а2). Эта система будет иметь восьмой порядок, т. е. она может быть
преобразована к одному разрешающему уравнению восьмого
порядка.
После определения смещений усилия вычисляются в порядке,
обратном получению уравнений в смещениях: по смещениям на
основании соотношений A.61) вычисляют параметры деформации,
а затем с помощью определяющих уравнений упругости A.118)
или A.122) получают усилия и моменты.
Второй путь состоит в дополнении уравнений равновесия
элемента оболочки A.95) соотношениями неразрывности A.75),
записанными с помощью определяющих уравнений A.118) в тер-
терминах усилий и моментов. В результате получится система шести
дифференциальных уравнений относительно неизвестных 7\, Т2,
S, Ми М2 и Я, также имеющая восьмой порядок. Определение
смещений в том случае, когда усилия (а, значит, и деформации)
известны, сводится к интегрированию системы из любых трех
заведомо совместных уравнений A.61).
Одной из наиболее важных в теории оболочек является задача
определения напряжений, по величине и характеру распределения
которых можно составить представление о «работоспособности»
оболочечной конструкции (расчет на прочность). На стадии фор-
формирования разрешающих уравнений теории оболочек, исходя из
концепции сведения последней как трехмерного тела к ее двух-
двухмерной модели — срединной поверхности—, были введены усилия
и моменты. Рассмотрим обратную задачу, т. е. определим основные
напряжения аи, а22, а12 по заданным усилиям и моментам.
Примем наиболее простое предположение о линейном распре-
распределении напряжений по толщине тонкой оболочки
Oil = (Гц Ч—~ "И °22 = °22 Ь ~Ш СТ22 °12 = °12 + ~
Подставляя первые из этих двух выражений в формулы A.80),
A.82), A.85), A.87) (упрощенные за счет пренебрежения в них
слагаемыми t/Rlt Z/R2 по сравнению с единицей), находим:
вц = -fi-Ti; O22 = -^Tq; (Гц =-p-Mi, о-п = -^-Мч.
Следовательно, для вычисления нормальных напряжений
можно использовать формулы:
_ _ Т\ I С Ш1 . „ Ti . ? &м% /1 infix
53
Далее, на основании соотношений A.94) и A.80)—A.87) на-
находим:
ft/2
—Л/2
-К/2
*/2
-ft/2
Отбрасывая здесь подчеркнутые малые слагаемые и проводя
выкладки, аналогичные выполненным выше, получим
а" = ~ '+" ~Щ ~ff ¦ A.12b)!
Слагаемые, постоянные по толщине оболочки:
0 * 1 0 *л 0 о /1 1 Л^\
011 = —-г- ; 022 = ~Г~\ 012 = ~~Г~ > A.12/)
называют тангенциальными (иногда цепными) напряжениями.
Соответственно, значения линейно меняющихся напряжений
в крайних волокнах:
I , &Mi 1 6Af а 1 . 6Я /( , по\
Он = ± —г»— I 022 = ± .о— , О\2 = ± .о 11. IZO)
Л Л Л
называют изгибными напряжениями.
1.11. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
В ЗАДАЧАХ СТАТИКИ ОБОЛОЧЕК
Для реализации намеченных выше в общих чертах путей реше-
решения задач теории оболочек должны быть сформулированы соот-
соответствующие краевые (граничные) условия, т. е. заданы на гра-
граничном контуре (или контурах) некоторые соотношения, связы-
связывающие усилия, моменты, перемещения или их функции. Необ-
Необходимое число граничных условий для выявления из общего ин-
интеграла разрешающих дифференциальных уравнений искомого
решения определяется порядком системы этих уравнений и равно
четырем на каждом крае оболочки. Покажем, что для описания
условий закрепления края оболочки (как в статическом, так
и в геометрическом отношении) достаточно задать на этом крае
четыре граничные величины.
Прежде чем переходить к рассмотрению граничных условий,
заметим, что оболочка может и ие иметь границ, т. е. быть замкну-
замкнутой. Координатные линии на срединной поверхности замкнутой
оболочки являются замкнутыми контурами. Приняв, например,
сс2 = const и изменяя непрерывно alt будем периодически воз-
возвращаться к одной и той же точке срединной поверхности. По-
Поскольку смещения этой точки будут вполне определенными вели-
величинами, на общий интеграл разрешающих уравнений следует
54
наложить условия перио-
периодичности по ссх и сса (с та-
такими периодами, чтобы
имела место отмеченная
выше однозначность сме-
смещений). Следовательно,
когда оболочка является
замкнутой, граничные ус-
условия заменяются усло-
условиями периодичности.
Может оказаться, что
оболочка замкнута в отно-
отношении одной координаты
н не замкнута в отноше-
отношении другой, примером чего
является тонкостенная ци-
цилиндрическая труба. Тог-
Тогда условие периодичности
будет иметь место только
для одной из координат.
Переходя к рассмотре-
рассмотрению оболочек, имеющих
боковую поверхность, бу-
будем считать, что послед-
последняя образована движением
перпендикуляра вдоль
граничного контура, сов-
совпадающего с линией кри-
кривизны. Формулировка граничных условий для общего случая
дана во второй части книги (см. гл. 6).
Пусть граничный контур срединной поверхности совпадает
с линией ссх (сс2 = const). Напряжения, действующие на соответ-
соответствующей боковой поверхности, будучи просуммированы по тол-
толщине оболочки, заменяются в излагаемой теории тремя усилиями
&ги Тг, Tin) и двумя моментами (М2, М21). Отсюда, казалось бы,
число граничных величин, определяющих равновесие края,
должно быть равным пяти. Однако в действительности напряжен-
напряженное состояние на краю оболочки полностью определяется заданием
не пяти, а всего лишь четырех обобщенных сил. Дело в том, что
крутящий момент может быть заменен на краю оболочки соответ-
соответствующим образом распределенными касательным и перерезываю-
перерезывающим усилиями. Покажем это.
Рассмотрим участок границы срединной поверхности вблизи
некоторой точки т1 (рис. 1.11). Заменим приближенно граничный
контур оса = const произвольной ломаной, образованной рядом
элементарных, равных друг другу отрезков. Длина каждого из
этих отрезков с точностью до малых высших порядков может быть
заменена длиной стягиваемой дуги, т. е. тту = tnlmt = dSj.
55
Рис.
Рассмотрим также отрезок п^щ, концы которого расположены
в серединах дуг ттх и т1пц. Очевидно, что пхщ « ds^.
Пусть в точке пх действует крутящий момент М21. Тогда кру-
крутящий момент в точке щ будет иметь значение
Заменим равнодействующую крутящего момента на участке
тт1 (MudSj) парой сил, приложенных к концам отрезка ттх
и направленных к нему перпендикулярно (т. е. параллельно Onlt
см. рис. 1.11). Так же представим равнодействующую крутящего
момента на смежном участке т^пц и т. д.
Тогда в каждой из вершин рассматриваемой ломаной будет
приложено по две силы. Проектируя силы, приложенные в точке т^
на нормаль (п) и касательную (ех) с учетом соотношений (см.
рис. 1.11)
sln<p = sln^-g^n-) я*'г^"> cos<p*l,
получим дополнительные силы:
перерезывающую
Мп + ^Ь-Мп-^Ь; (а)
касательную
Следовательно, вдоль края оболочки аг = const крутящий
момент может быть заменен перерезывающими (dM2l/ds^ и ка-
касательными (M2i/Ri) силами.
Заменяя крутящие моменты статически эквивалентными уси-
усилиями, мы допускаем некоторое перераспределение напряжений
с сохранением их равнодействующей. Согласно принципу Сен-
Венана такое перераспределение сказывается лишь в непосред-
непосредственной близости от боковой поверхности — на расстоянии по-
порядка толщины оболочки.
Итак, четыре величины
^^ A.129)»
полностью определяют напряженное состояние на краю оболочки
сс2 = const. Первые три из них будем именовать обобщенными
(кирхгофовскими) граничными усилиями. При этом заметим, что
согласно формулам A.94) и второму уравнению A.92), имеют
место соотношения:
56
Отсюда видно, что для формулировки граничных условий
в терминах обобщенных граничных усилий нет необходимости
использовать величины Тп, Т2п, М21, так как их можно заменить
комбинациями введенных ранее величин 5 и Я.
Обобщенным силам A.129)х в качестве обобщенных смещений
отвечают величины
«I. «1, о», «1- A.129),
Совершенно аналогично можно получить выражения для
обобщенных сил и смещений края, ограниченного линией аг =
= const:
ти Ги + т^-, 7'1»+х"^Г' Mi; AЛ31)х
u1( в., в». V A.131),
При этом имеют место соотношения, получающиеся из A.130)
при замене индексов «1» на «2», «2» на «1».
Приведем ряд возможных вариантов граничных условий для
края а2 = const:
а) свободный край
0;
б) шарнирно опертый скользящий край
w = 0; М2 = 0; Г2 = 0; щ = 0; A.132)
в) шарнирно опертый неподвижный край
ш = 0; М2 = 0; ы2 = 0; ых = 0;
г) абсолютно заделанный край
Ul = 0; ы2 = 0, ш = 0; д2 = 0. A.133)
Приведенные варианты граничных условий отнюдь не исчерпы-
исчерпывают возможных связей края оболочки т: опорой. Вместе с тем и
сами граничные величины A.129) или A.131) не являются един-
единственно возможными средствами для формулировки граничных
условий. Одна из модификаций граничных величин обсуждается
в следующем параграфе.
1.12. ДЕФОРМАЦИЯ НОРМАЛЬНОГО
ГРАНИЧНОГО ЭЛЕМЕНТА ОБОЛОЧКИ
Рассмотрим боковую поверхность оболочки, образованную
Движением перпендикуляра к срединной поверхности вдоль уча-
участка граничного контура сса = const (рис. 1.12). Условия закреп-
57
Рис. 1.12
ления этой линейчатой поверх-
поверхности определяют геометриче-
геометрические граничные условия крае-
краевой задачи теории оболочек.
Выясним, как связаны пара-
параметры деформации боковой по-
поверхности с параметрами де-
деформации срединной поверх-
поверхности оболочки.
В качестве криволинейных
координат боковой поверхности
принимаем а{ = ?, а? = а|. Свяжем с выбранными координат-
координатными линиями правую тройку ортов klf ks, kn такую, что (см.
рис. 1.12):
kx = n; ks = ti, kn = е,.
Тогда перемещения точек боковой поверхности можно выра-
выразить через перемещения и углы поворота срединной поверхности
так (см. рис. 1.5):
Учитывая, что координатные линии сс[, а'ъ совпадают с линиями
кривизны боковой поверхности и что им отвечают параметры
Ламе:
+ -j^), A-135)
нетрудно найти соответствующие кривизны:
A.136)
(Здесь (l/AiA2) dAJda2 — кривизна линии ах в тангенциальной
плоскости, так называемая геодезическая кривизна, см. гл. 5).
На основании соотношений A.134)—A.136) и A.61) вычислим
параметры деформации боковой поверхности:
^=0:
62 ~
а («ж
A't
58
13Г"аГ*1 ~ i+c/я, l~"
^ <1Л37>
Здесь учтено, что
и введены обозначения
Таким образом, деформацию элемента боковой поверхности
(или, другими словами, граничного нормального элемента) на
контуре а2 = const характеризуют четыре параметра:
«1 Ю; «х К); «и К); *т К). (М39)
Геометрический смысл первых двух параметров был выяснен
ранее: они являются соответственно относительным удлинением
и изменением нормальной кривизны граничного контура. На ос-
основании соотношений A.137) легко устанавливается и смысл
двух других параметров: хи характеризует скручивание гранич-
граничного нормального элемента, а х1П — его изгиб из своей плоскости
(или, что то же, изменение кривизны элемента граничного кон-
контура Axdctx в касательной к срединной поверхности плоскости).
Параметры изменения кривизны граничного нормального элемента в своей
плоскости (хх), из плоскости (х1п) и его скручивание (к18) можно получить фор-
формальным путем.
Рассмотрим вектор углов поворота граничного нормального элемента
в>1 = —Oge! + fyej + шхп. A.140)
Обращаем внимание на то, что здесь вместо компоненты шп (см. форм. A.41)),
выражающей средний поворот всей окрестности рассматриваемой точки пред-
представлена компонента cdj, описывающая поворот лишь части этой окрестности,
ограниченной линией ах (подробнее об этом см. в гл. 6).
Вычислим производную от нектора углов поворота, которую будем называть
вектором изменения кривизны граничного нормального элемента. Дифференцируя
A.140) с учетом формул A.24), получаем
i.-/' ' **1 |, ' дАг ft | «Me I ( ' ^ I
! ~A Al 0a, + ДИ* da, *+ tft ) 1+ V Al 0a, +
JL
Al
t M+( t+I) n -
Введенные в связи с рассмотрением деформации боковой по-
поверхности параметры хи, х1п можно выразить через параметры
59
деформации срединной поверхности оболочки. Действительно,
используя соотношения A.46), A.59) и A.72), находим:
*ln~ ЛИ* \ да, ~ да! ~8f да, )' \
Выясним, какие величины отвечают параметрам A.139) по
статико-геометрической аналогии. Заменяя в A.139) и A.142)
параметры elt е2, со, xlf т соответственно на —Mit —Мх, 2Н,
Тг, —S, получаем:
2//
(iM^|dV 0-143)
Таким образом, в рамках принятых допущений деформация
боковой поверхности (as = const) полностью определяется че-
четырьмя параметрами, выражающимися через параметры дефор-
деформации срединной поверхности (а значит, на основании определяю-
определяющих уравнений упругости, и через усилия — моменты) и отве-
отвечающими по статико-геометрической аналогии статическим гра-
граничным величинам Кирхгофа. Названные параметры деформа-
деформации боковой поверхности, введенные в линейную теорию оболочек
вторым автором этой книги [202], могут быть использованы в ка-
качестве обобщенных смещений при формулировке граничных усло-
условий. Обоснование сказанного и примеры практического примене-
применения деформационных граничных величин содержатся во второй
части книги. Здесь лишь отметим, что названные величины позво-
позволяют в значительной мере варьировать способы формулировки
граничных условий. Например, если в многосвязной оболочке
замкнутый край оболочки а2 = const подкреплен абсолютно
жестким кольцом, но может перемещаться как твердое тело, то
вместо неприемлемых в этом случае граничных условий абсо-
абсолютно заделанного края A.133) следует использовать условия
абсолютно жесткого края
8i = Хх = х„ = х1п = 0. A.144)
1.13. КОМПЛЕКСНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
УРАВНЕНИЙ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК
Уравнения в комплексных усилиях. Сформулируем разрешаю-
разрешающую систему уравнений метода сил. Для этого, как уже говори-
говорилось в разделе 1.10, следует выразить уравнения неразрывности
A.75) в терминах усилий и моментов с помощью определяющих
60
соотношений упругости A.118). Разрешая последние относительно
параметров деформации, получим:
xi = -^r (Afx - vM2); x, = ^ (Af, - vAf0. T - 12(] + v) H.
A.145)
Если исключить теперь параметры деформации из уравнений
A.75) и записать полученные таким образом уравнения неразрыв-
неразрывности в усилиях — моментах, чередуя их с уравнениями равно-
равновесия A.95), то разрешающей системе уравнений метода сил можно
придать следующий вид:
дАгТ1 dA.S дАх ~ дЛ, т I Г дАгМ1
, j dAtS dAt „ дАг т I Г ^i^a ^! M
" "^Г + "^Г * ~ "а5Гу х + ~Щ l~Wt д^Г Ml
A.146),
I2R,
^^] 0; A.146),
i / a i гад
Atj A1 L aax '
A-146),
Mt—vM1 M1—vMt /t8 1 f a 1 Г дАг (T2 —
Яг + Rt + 12 iMi { dotj Л1 L ao
+ ^ S) - % (Г.-vr,)]) _ 0.
A.146),
6!
Рассматривая последовательные пары уравнений этой системы,
видим, что они обладают явной симметрией. Используя это,
введем три вспомогательные функции:
'Г — Т ' Ма — vMi т — Т ' Mi — уМ, .
' 1 - ' 1 — — " 1—va ' 'г- 'г— е \ _ va .
где с = Л/]Л2A -v2).
Вспомогательные функции 7\, Гг, 5 условимся называть комплекс-
комплексными усилиями. Такое название оправдывается тем, что отыска-
отыскание этих функций практически равносильно определению всех
усилий и моментов в силу вытекающих из A.147) формул:
7\ = Re 7\; Г2 = Re Г2; S = Re S;
Mt = —с Ira (ft - v7\); M2 = —с Ira G\ - vfa);
Я = сA-v)IraS. A.148)
Умножая уравнения A.146),, A.146L и A.146)„ на (—i/c) и
складывая их соответственно с уравнениями A.146I, A.146K,
A.146M, получим с учетом формул A.148):
dAjTi I dA^S дА2 J, ic Г dAtft 1 dA\S
dctj ' Ax даг да.-^ г R\ ]_ дщ At да3
dA{S
_v / dA*Ti . ' dA{S dA* =. \-|_
\ даг ^ Ах да2 да^ 2/J
J_ dASS _ a>li z,. j_ Jc_ r a^t?1! 1_ dAlS _
-—— / о V I ——— -j- —— —-¦""¦ '¦-
d |_ r_dAJ\_ 1_ dAJS _ dA^ =, _
da.! Al {_ дсц Ах да2 д^ г
I dAtfx I dA\S дАг j, \l,_d 1 ГдА1Т1
II _ idL T - v /" idllL 4- _L Ш*. _ i^L
A.149)
62
(Здесь черта сверху означает операцию комплексного сопря-
сопряжения.)
Полученные соотношения точны в той мере, в какой точны
исходные соотношения — уравнения равновесия и неразрывности.
Недостатком соотношений A.149) является наличие слагаемых
с операцией комплексного сопряжения. Покажем, что эти слагае-
слагаемые малы и могут быть отброшены. Прежде всего ясно, что в пер-
первых двух уравнениях A.149) подчеркнутые пунктиром слагаемые
малы по сравнению с аналогичными, не содержащими малых для
тонких оболочек слагаемых порядка h/R. Введем далее обозна-
обозначения:
J дА2Т1 , 1 o/tjj олг j, i anil 2 1 i_ o/ijo 0Л1 ii,
ll~~da~1 """iriol! doT * a daT"i"A^~da1 doT'1-
A.150)
Нетрудно проверить справедливость следующих равенств:
Mi^i L M?s _ м» *г. — л ^L
даг
где
f = 7;1 + 7;s. A.152)
С учетом последних соотношений первые два уравнения могут
быть записаны в виде:
к + т?- (А, —¦ - k-vji) = -АИл;
hА) ААиъ A.153)
Очевидно, что подчеркнутые здесь слагаемые малы. Опуская
их, приходим к следующей упрощенной записи первых двух урав-
уравнений A.149):
дТ л . т . ic . дТ
лИл; h + -^ A, -ggj- = -
A.154)
Подставим в третье уравнение системы A.149) соотношения
A.151), предварительно исключив из них Xх и Га с помощью урав-
уравнений A.154). В результате получим
Т1 Т, ic | д Г А, дТ ic At I df df \
+ dol\_Al даг ~т~ /?1..лА.<Эоц V **»./.
63
\ я 1 i д Г Ai #Г . ic At
v) ЛгР1 J + 1_^_ + __^
_ v
+ A + v) ЛхРг] } = Рп. A.154).
Отбрасывая здесь малые (подчеркнутые) слагаемые, оконча-
окончательно приходим к следующей разрешающей системе уравнений
относительно комплексных усилий:
dAJ, I dA\S дАг%, Аг df _
^ ^ A.155)
Здесь
ii??l?) "•|561
(если тангенциальная нагрузка (ръ р2) на оболочку является плавной, то под-
подчеркнутым слагаемым в A.156) можно пренебрегать);
d A±.J
АХА2
(Д — оператор Лапласа в криволинейных ортогональных координатах.)
Уравнения в комплексных смещениях. Наряду с комплексными
усилиями, введем комплексные комбинации смещений и функций
напряжения
"i = "i + i«i. «i! = Mjs + t«2. w=w-\-iw. A.158)
Здесь Mj, Mjj, w —функции напряжения, совпадающие с точ-
точностью до постоянного множителя с введенными в п. 1.7 функ-
функциями Лурье—Гольденвейзера:
Ul==~EhT' U2=~MT; w = ~EhF' 0-159)
Условимся называть функции A.158) комплексными смеще-
смещениями.
Обозначим через в,, е2, й, х,, й2, т выражения, получающиеся
при замене в правых частях формул A.61) смещений ult u2, w
соответствующими функциями йх, йг, w. Очевидно, что комплексно
составленные величины ej, ..., т удовлетворяют уравнениям не-
неразрывности деформаций срединной поверхности A.75).
Введем величины 77, т\, S*, Mf, M\, H*, представляющие
в совокупности произвольное частное решение уравнений рав-
равновесия A.95). Поскольку введенные шесть функций должны
удовлетворять лишь трем уравнениям, имеется широкий произ-
64
вол в их выборе. Например, можно принять М* = Мг — Н* =
= О, тогда остальные величины Т*, Т%, S* будут подчиняться
системе трех уравнений безмоментной теории оболочек (см. гл. 2).
Вопрос о выборе частного решения Т{, .... Н* будет обсуждаться
также в п. 9.4.
Покажем, что введенные выше комплексные величины (в рам-
рамках погрешности линейной теории оболочек) связаны соотноше-
соотношениями:
S-S*). A.160)
Для того чтобы убедиться в этом, подставим выписанные
выражения в уравнения неразрывности деформаций A.75), ко-
которым (как уже было сказано выше) они должны удовлетворять
тождественно. С учетом того, что величины 77, .... Н* удовлетво-
удовлетворяют уравнениям равновесия A.95), приходим после несложных
преобразований к системе уравнений, которым должны удовлетво-
удовлетворять комплексные усилия, входящие в правые части соотношений
A.160):
1 / дАгТг dAtS дАг ё дАг ~ \
iA, \ да,! "Т" даг ^да^ да.-,1 г)
1 - i (I ±y)jlRX
d~S 2S 1 дЛ
Pi
АгА
1 / dA{Tt dA2S дА2 с дАг г \ ,ic
/ dA{Tt dA2S дА2 с дАг г \ ,
г \ даг "Т" дщ ^ даг ° аааУ V + ' ~'
Г 1 аГ /1 ^ 25 1 дАг
Ра
¦ С+У)са / д 1 LA.
АгА2 \даг 1 — I A + v) c/Rj, Rj, A}
A I v)( ' a5 I 2Sr J aMl I A+v)c2
.. 1 Ал от ,, . . / 1 oS , 2S 1 олЛ I
I ~™~ ^ "Т" ) ^/*\2 ^2 "-2 УСбо \ *\ й 0О*1 'Vl "-2 ^^1 / «J
3 В. В. Новожилов и др. 65
,.A+у)сГ д I М \ , д I AlPi
Но выше было установлено, что комплексные усилия в рамках
погрешности исходных допущений подчиняются уравнениям
A.155), и, следовательно, совместность уравнений A.160) оказы-
оказывается необеспеченной. Сопоставляя, однако, системы A.155)
и A.161), нетрудно убедиться, что они отличаются слагаемыми
(подчеркнуты в A.161) штриховой линией), имеющими по сравне-
сравнению с остальными в большинстве задач тот же порядок, что и ве-
величина h/R0 по сравнению с единицей. Отсюда заключаем, что и
совместность уравнений A.160) будет нарушаться членами ана-
аналогичного порядка, на что можно не обращать внимания, устра-
устраняя соответствующие слагаемые в процессе выкладок по мере того,
как они будут появляться.
Итак, уравнения A.160) являются приближенно совместными
в указанном выше смысле. Исключив из этих уравнений комплекс-
комплексные усилия, придем к следующей системе дифференциальных
(см. A.61)) уравнений относительно комплексных функций
й-i, й2, w, которую будем называть уравнениями в комплексных
смещениях
Замечания. Возможность комплексного преобразования урав-
уравнений теории .оболочек для частного случая осесимметричной де-
деформации оболочек вращения (аи. гл. 4) была установлена
Е. Мейснером [264]. Обобщение этого приема на общие уравнения
линейной теории оболочек выполнено в докторской диссертации
первого из авторов данной книги в 1940 году [125, 126]. Роль
и место комплексного преобразования уравнений теории оболо-
оболочек определяются, по нашему мнению, следующими обстоятель-
обстоятельствами.
1. Использование комплексных вспомогательных функций
(комплексных усилий и комплексных смещений) позволяет вдвое
понизить порядок разрешающей системы уравнений и значительно
уменьшить в них число членов. В результате уравнения стано-
становятся менее громоздкими и, значит, более обозримыми, что позво-
позволяет легче обнаруживать возможности их преобразования и упро-
упрощения. Всякие преобразования и выявление общих свойств ре-
решений гораздо удобнее выполнять, основываясь на уравнениях
в комплексной форме. Наглядными примерами этому являются
исследование уравнений теории оболочек вращения (см. гл. 4)
66
и асимптотический анализ общих уравнений теории оболочек
(см. гл. 10 и сравни с соответствующим анализом, впервые про-
проведенным в теории оболочек А. Л. Гольденвейзером [35]).
2. В тех случаях, когда решение задачи теории оболочек сво-
сводится к решению уравнений в обыкновенных производных (на-
(например, если решение строится в одинарных тригонометрических
рядах или если рассматриваются деформирования частного вида,
определенным образом зависящие от одной из криволинейных
координат), комплексное преобразование облегчает получение
общего решения задачи, поскольку при его использовании инте-
интегрируется система, как уже говорилось, вдвое более низкого
порядка, чем при решении тех же задач в вещественной форме.
3. При подчинении решения граничным условиям, как пра-
правило, приходится приводить решение, полученное в комплексной
форме, к вещественному виду, так как граничные условия форму-
формулируются в терминах вещественных или мнимых частей комплекс-
комплексных вспомогательных функций. Это рассматривается обычно
как основной недостаток комплексного преобразования, снижаю-
снижающий эффективность последнего как метода решения задач теории
оболочек. Следует, однако, отметить, что имеются и такие задачи,
для которых граничные условия формулируются в комплексном
виде. Сюда относятся, например, граничные условия шарнирно
опертого скользящего края A.132), а также условия упругого
сопряжения двух оболочек постоянной толщины (см. п. 10.7).
Для таких задач возможности комплексного преобразования
могут быть использованы наиболее полно (см. п. 14.7). Но даже
если граничные условия задачи таковы, что требуют отделения
вещественных и мнимых частей вспомогательных функций, при-
применение комплексного преобразования все же может оказаться
полезным, благодаря преимуществам, о которых сказано в пунк-
пунктах 1 и 2 (см. гл. 3, 4).
1.14. УПРОЩЕНИЕ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК
ПО СПОСОБУ МУШТАРИ—ДОНЕЛЛА—ВЛАСОВА
Как уже говорилось во введении, первая попытка построения
теории оболочек, основанной на гипотезе прямых нормалей, была
сделана Ароном B26]. Названный автор при формировании раз-
разрешающей системы уравнений теории оболочек пренебрег сла-
слагаемыми, содержащими тангенциальные смещения иг и ы2 в фор-
формулах для параметров кривизны и кручения, определяя послед-
последние выражениями:
1 д / 1 dw \ I dw
Xl ~~ ~~ Ах doj V Ai do, ' А,А\ ftxj '
1 dw \ 1 dw .
A~r~lkb ' ~ Щ^~да^'
67
1 / дги> I dA, dw 1 ЭЛ, dw \
AiA} \ дсс-y dcL% Ax 3cca dccj -Да dcc^ dota /
A.163)
В работе [260] Ляв исправил ряд неточностей Арона и в том
числе дал формулы для xlt xa, т, используемые и поныне. Однако
даже без специального исследования, а чисто интуитивно, пред-
представляется очевидным, что изменения кривизны и кручения,
обусловленные компонентами тангенциальных смещений, должны
быть несущественными. Гораздо большую роль в искривлении
оболочки должно играть нормальное перемещение w. Отсюда
возник вариант упрощенных уравнений, в котором указан-
указанная выше ошибка Арона трактовалась как сознательное допу-
допущение.
Обоснованное использование этого приема было введено в тео-
теорию оболочек почти одновременно с X. М. Муштари [113, 114]
и Л. Донеллом [242, 243], которые применили его к ряду задач
об устойчивости оболочек. Названные авторы установили, что
пренебрежение слагаемыми, содержащими смещения ии ы2 в Ф°Р"
мулах для изменения кривизны и кручения, будет тем более за-
законным, чем меньше напряжения, соответствующие моментам,
по сравнению с напряжениями, соответствующими усилиям.
Только в тех задачах, где искривление* и кручение являются
преобладающими деформациями (в том смысле, что максимальные
напряжения определяются именно ими), следует ожидать, что
пренебрежение перемещениями их и иа при вычислении параме-
параметров Hj, х, и т может привести к существенной погрешности.
Если пренебрегать слагаемыми, содержащими их и иа в фор-
формулах для х1( и2, т, то (чтобы быть последовательными) следует
внести в уравнения теории оболочек еще ряд упрощений. Это
можно обнаружить, подставив формулы A.163) в выражение
для потенциальной энергии оболочки A.112) и выведя затем из
него (воспользовавшись принципом минимума полной энергии)
уравнения равновесия элемента срединной поверхности в смеще-
смещениях. Если выполнить указанные действия, записать полученные
уравнения в терминах усилий и моментов, а затем сравнить их
о A.92), то можно установить, что пренебрежение тангенциаль-
тангенциальными смещениями в параметрах изменения кривизны и кручения
приводит к потере слагаемых, содержащих перерезывающие силы
Тщ, Tin, в первых двух уравнениях A.92)! и, кроме того, к сле-
следующим формулам:
т Eh3 I dAw . т — Eh* 1 ЗДа»
12A — v») At даг ' "ап~ 12A — v8) Л, da,
A.164)
(А — операция Лапласа, см. форм. A.157)).
68
С учетом изложенного, уравнения A.95) принимают вид:
дАгТ1 . ЗЛХ5 . ЬАХ » ЬА%
^Г~г"5Г~ь5Г 5Г
зла5 , ьа% о
р.. A.165)
Именно в таком виде уравнения теории оболочек использова-
использовались в работах X. М. Муштари.
Дальнейшим преобразованием уравнений A.165) занимались
С. М. Файнберг [194] и В. 3. Власов [15, 17]. Ниже будем при-
придерживаться изложения В. 3. Власова. Этот автор вводит в рас-
рассмотрение вспомогательную функцию Ф, связывая ее с усилиями
посредством равенств:
1 Л, За, )
Л, За, Ч At да, ) AxAt дах Ax дах
r= i <
1 - ^ fa
Ах дах ) AXA% За, Л2 да, '
с _ 1 I ЗгФ 1 дАх дФ 1 ЬАг дФ \
АхАг \ дах да, Ах да, дах Л, дах да, / '
A.166)
Подстановка соотношений A.166) в левые части первых двух
уравнений A.165) с учетом соотношений Кодацци—Гаусса при-
приводит к равенствам:
дАх о _ дА% ^ \ 1 1 ЗФ
5а! ' За, ' За2 дах V RiR3 Ax дах '
_J / дАхТ% . dAtS . дА% « дАх _, \ 1 1 ЗФ
гЛ, \ да, ' Зах "•" даг да, V ~* R^^ Л2 да,
A.167)
Если гауссова кривизна (К = l/#i#») срединной поверхности
равна нулю (как, например, у цилиндрических или конических
оболочек), то правые части формул A.167) обращаются в нуль.
Тем самым оказывается, что соотношения A.166) тождественно
удовлетворяют первым двум уравнениям A.165) при рг = р2 = О-
Третье же уравнение A.165) (после подстановки в него выражений
A.166) и проведения преобразований с учетом соотношений
Кодацци—Гаусса) принимает вид
Eh* D A-168)
где
Ах dOj ' da, #! Ла da,
69
Уравнение A.168) справедливо, строго говоря, лишь для
оболочек нулевой гауссовой кривизны, однако как приближен-
приближенным им можно пользоваться и в некоторых других случаях. Так,
если напряжения в оболочке являются быстроменяющимися
функциями координат ах или а2, то правые части формул A.167)
можно считать приближенно равными нулю и тогда, когда гаус-
гауссова кривизна отлична от нуля. В этом можно убедиться, если
в выражениях A.166) и в правых частях равенств A.167) оставить
лишь члены со старшими производными функции Ф (а1? а2),
имея в виду ее быструю изменяемость (хотя бы по одной коорди-
координате). Иными словами, при достаточно быстрой изменяемости
напряженного состояния выражения A.166) удовлетворяют пер-
первым двум уравнениям системы A.165) при рг = ра = 0 с точностью
до пренебрежения первыми производными функции Ф по сравне-
сравнению с ее вторыми и третьими производными.
Другим примером, когда использование уравнения A.168)
возможно, даже если гауссова кривизна срединной поверхности
отлична от нуля, является случай, когда оболочка достаточно
полога. При этом пологими будем называть такие оболочки, у ко-
которых срединная поверхность во всех точках достаточно близко
подходит к некоторой плоскости и является к тому же достаточно
гладкой.
Для пологих оболочек гауссова кривизна (I/R1R2) в любой
точке срединной поверхности мала по сравнению с \/12, где / —
характерный размер плоской фигуры, покрываемой пологой
оболочкой. Но если так, то для пологих оболочек членами, стоя-
стоящими в правых частях формул A.167), можно пренебречь на том
основании, что они содержат множителем гауссову кривизну —
малый параметр, которого нет в остальных слагаемых, получаю-
получающихся при подстановке выражений A.166) в первые два уравнения
A.165).
Второе дифференциальное уравнение, связывающее те же
функции w и Ф, В. 3. Власов получает из уравнения неразрыв-
неразрывности деформации A.75K, введя в него вместо xlt к2, т их выраже-
выражения через w согласно формулам A.163), а вместо &г, е2, со — их
выражения через Ф согласно формулам A.166) и
ei = -^-(n-vr2); ess = -^-(ra-vr1); ш = Hii^Jl S.
Окончательным результатом такой подстановки будет (после
некоторых преобразований с учетом соотношений Кодацци—
Гаусса) уравнение
EhDw -f А АФ +
¦ 1 + v Г д (_J_jU_ _дФ_\ ,_±_f_J dl дФ \~| _ а
"•" AtAt LJ^1_^i^_2__?i___aaJ_J_3__5a2__Ui_RL__^j__aaiJJ ~ U-
A.170)
70
Здесь подчеркнутые члены равны нулю для всех оболочек нуле-
нулевой гауссовой кривизны. Кроме того, даже если гауссова кривизна
отлична от нуля, подчеркнутые слагаемые могут быть отброшены,
когда изучаемое напряженное состояние в оболочке быстро изме-
изменяется хотя бы по одной координате или оболочка является до-
достаточно пологой. Основания для такого утверждения те же, что
и при выводе уравнения A.168).
Отбросив в уравнении A.170) подчеркнутые слагаемые и при-
присоединив к нему уравнение A.168), получим следующую систему
из двух линейных дифференциальных уравнений в частных про-
производных с двумя неизвестными — нормальным перемещением
(прогибом) w и вспомогательной функцией Ф:
A.171)
Уравнения теории оболочек, записанные в этой упрощенной
форме, весьма популярны и положены в основу многих работ,
посвященных решению конкретных задач теории оболочек.
Из приведенных выше рассуждений следует, что уравнения
A.171) помимо погрешности основных допущений теории обо-
оболочек (гипотез Кирхгофа) содержат дополнительную погрешность,
обусловленную, во-первых, пренебрежением тангенциальными
смещениями иг и щ в формулах для xlt иг, <в и, во-вторых, прене-
пренебрежением в уравнениях равновесия и уравнениях неразрывности
деформации членами, содержащими младшие производные иско-
искомых функций и имеют ми в качестве множителей гауссову кри-
кривизну срединной поверхности.
Особенно часто пользуются уравнениями A.171) при расчете
пологих оболочек, ввиду чего их нередко называют уравнениями
теории пологих оболочек. Однако следует помнить, что круг при-
применения уравнений A.171) этим не ограничивается. Они с успехом
могут быть использованы и при расчете оболочек нулевой гауссо-
гауссовой кривизны и при исследовании моментного краевого эффекта
(о нем речь пойдет ниже), поскольку в последнем случае переме-
перемещения и напряжения являются быстро изменяющимися функ-
функциями одной из координат срединной поверхности.
Между прочим, уравнения A.171) нетрудно получить из ком-
комплексных уравнений A.155), если в последних сделать некоторые
пренебрежения. А именно, следует принять рг = рг = 0 и от-
отбросить в первых двух уравнениях системы A.155) члены, имею-
имеющие множителями мнимую единицу, т. е. слагаемые
._? 1 df .__? 1 д?
71
после чего ввести вспомогательную комплексную функцию \Р,
связанную с комплексными усилиями посредством равенств:
j, _ _ 1 а ( 1 дЧ \ 1 дА2
J, 1 a i 1 С7Ч- \
даг
A.172)
Если при этом \Р является быстроизменяющейся функцией
хотя бы одной из криволинейных координат, или оболочка яв-
является достаточно пологой, можно считать, что выражения A.172)
приближенно удовлетворяют первым двум уравнениям системы
A.155), упрощенным, как указано выше.
Третье уравнение A.155) при подстановке туда выражений
A.172) после некоторых преобразований принимает вид
D\P - ic Д Д\Р = — рп, A.173)
где оператор D определяется формулой A.169).
Полагая в уравнении A.173)
Y = Ф - iEhcw; (с = hIV'12 A-v2)) A.174)
и отделяя затем в нем вещественные и мнимые части, придем
к системе A.171). Подставляя A-174) в соотношения A.172) и
опять отделяя вещественные и мнимые части, получим формулы
A.163) и A.166).
В заключение отметим, что хотя уравнения A.171) в общем
виде были выведены лишь в 1944 году [15], для частного случая
круговой цилиндрической оболочки они использовались значи-
значительно раньше [121, 194].
1.15. ТЕОРИЯ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК
Предположим, что уравнение срединной поверхности оболочки
в прямоугольной декартовой системе координат XYZ (рис. 1.13)
имеет вид
2=2 (*,#). A.175)
Тогда оболочка может быть названа пологой, если в каждой
точке ее срединной-поверхности выполнены условия:
(дфх? « 1| (dz/dy)s « 1. A.176)
72
Рис. 1.13
При построении теории пологих
оболочек естественно пренебрегать:
квадратами производных dz/дх,
dz/ду и их произведениями по сравне-
сравнению с единицей (это допущение со-
соответствует определяющим пологую
оболочку соотношениям A.176)),
тангенциальными перемещениями
а, и и, в формулах для х1( щ, <в,
а также перерезывающими силами
Тщ, Тгп в первых двух уравнениях
равновесия элемента оболочки (в
п. 1.14 показано, что второе пренеб-
пренебрежение следует из первого, а осно-
основанием для первого служит то, что
параметры хь х2, <в в теории изгиба плоских пластин вовсе не
зависят от ыъ и2).
Заметим, что при выводе уравнений A.171) использовалась
лишь вторая группа приведенных допущений. Иными словами,
в системе A.171) неполностью учтены возможности упрощений,
вытекающие из предположения о пологости оболочки. Именно
поэтому уравнения A.171) имеют, как уже говорилось, более ши-
широкую область применимости. Если же рассматривать только
пологие оболочки, то можно внести дополнительные упрощения
в систему разрешающих уравнений. Соответствующая теория
была дана А. А. Назаровым [117] и развита С. Г. Михлиным [111].
В этой теории, исходя из уравнения A.175), в качестве криволи-
криволинейных координат срединной поверхности принимаются декар-
декартовы координаты х, у.
Линиями х данной криволинейной системы координат являются
кривые, образующиеся при пересечении срединной поверхности
плоскостями, параллельными плоскости YOZ. Эта система коор-
координат, вообще говоря, неортогональна. Исключение составляет
случай, когда срединная поверхность является цилиндрической
с образующими параллельными одной из декартовых осей.
Рассмотрим элемент срединной поверхности mlm2mzmi, про-
проектирующийся на плоскость XOY в виде прямоугольника со
сторонами dx, dy (см. рис. 1.13). Сторонами этого элемента будут:
Но в силу пологости оболочки см. A.176) можно принять:
ds1 =dx\ йъ =dy, A.177)
т. е. отождествить приращения координатных дуг с приращениями
декартовых координат.
73
Тогда для единичных координатных векторов имеют место
формулы:
Отсюда находим
дх } +\ ду
т. е. введенную криволинейную систему координат приближенно
можно рассматривать как ортогональную.
Использование соотношений A.177), A.178), а также других
указанных выше пренебрежений значительно упрощает как вывод
уравнений теории пологих оболочек, так и их окончательный вид.
Отсылая читателя за подробностями к первоисточникам [117,
1111, приведем окончательный результат соответствующих вы-
выкладок в виде следующей системы уравнений относительно функ-
функций до и Ф:
Eh3 » / дЧ даФ „ дЧ д2Ф дЧ д*Ф \
12A—va) \дх2 ду2 дхдудхду * ду* дх2 ) нг
A.179)
Здесь w — проекция перемещения точки срединной поверхности
на ось г\
Px> Py> Pz — проекции поверхностной нагрузки на координат-
координатные оси.
Усилия в оболочке связаны g функцией напряжения Ф фор-
формулами:
Т =Т -J*L- S-T ~Т -??-• Т -Т -
11 — * хх — ду2 > «J — * *н ~ 1 ух — дхду' а = VB
A.180)
Параметры деформации срединной поверхности выражаются
через смещения по следующим формулам:
дих дЧ ди2 дЧ а«! . диг о дЧ
74
Усилия и моменты связаны g параметрами деформации соот-
соотношениями A.118).
Совокупность формул A.179)—A.181), A.118) (с учетом гра-
граничных условий) представляет полную систему уравнений теории
оболочек. По своей структуре уравнения A.179) аналогичны
уравнениям A.171), однако, они в отличие от последних не свя-
связаны с линиями кривизны срединной поверхности. Это облегчает
подход (при использовании уравнений A.179)) к решению задач
для пологих оболочек, края которых не совпадают с линиями
кривизны, что может встретиться, например, при расчете пере-
перекрытий.
Введя вспомогательную комплексную функцию
Ф =O — lEhcw, A.182)
можно (подобно тому, как это делалось в разделе 1.14) получить
из системы A.171) уравнение
= Pl(f A.183)
где
A.184)
Особенно простой вид система A.179) принимает для оболочки,
срединная поверхность которой является частью эллиптического
(гиперболического) параболоида или кругового цилиндра. В этом
случае
г = Н — сгх — с2у — kxlxa — kltxy — &2г«Д A.185)
где Я, Ci, са, kxl, k12, &2а — постоянные.
Подставив A.185) в уравнения A.179), получим следующую
систему уравнений с постоянными коэффициентами:
Eh* A . , . ааФ , д*Ф . . д*Ф I
24A
A.186)
для решения которой при некоторых вариантах граничных усло-
условий может быть использован метод разделения переменных.
Обычно считают, что срединную поверхность всякой доста-
достаточно пологой оболочки в первом приближении можно аппрокси-
аппроксимировать уравнением A.185), т. е. рассматривать как часть тон-
76
костенного эллиптического (гиперболического) параболоида или
кругового цилиндра. Тем самым уравнения A.186) распростра-
распространяются на случай произвольной пологой оболочки.
Погрешность уравнений A.179) (а также погрешность прибли-
приближенно их заменяющих уравнений A.186)) еще не вполне выяс-
выяснена, и, следовательно, не вполне ясны те пределы, в которых
названными уравнениями можно пользоваться. Принято, опи-
опираясь на имеющийся опыт, считать, что использование уравнений
A.179) или A.186) возможно для пологих оболочек со стрелой
подъема Я не более 1/5 ширины перекрываемого пролета. По-ви-
По-видимому, эта оценка соответствует истине.
В заключение раздела следует сказать о роли пологих оболо-
оболочек в строительной механике. Дело в том, что даже очень пологая
оболочка (со стрелой подъема, лишь немного превышающей ее
толщину) по характеру своей работы резко отличается от плоской
пластины. При прочих равных условиях оболочка оказывается
гораздо жестче пластины и работает не только на изгиб, но и (глав-
(главным образом) на равномерно распределенные по ее толщине на-
напряжения. Тем более этими свойствами обладают пологие оболочки
с относительно большими стрелами подъема, что и придает им
практическое значение. Особенно широкое распространение по-
пологие оболочки получили в качестве перекрытий.
Необходимо, однако, отметить, что должно быть определенное
соответствие между степенью пологости перекрытия и перекры-
перекрываемым пролетом. Чем больше пролет, тем (при прочих равных
условиях) больше в оболочке напряжения и меньше запас устой-
устойчивости. Увеличением толщины оболочки бороться с этим, по
существу, невозможно, так как вместе с толщиной растет и вес
перекрытия, являющийся основной нагрузкой. Единственной,
по-настоящему эффективной, мерой повышения прочности и устой-
устойчивости перекрытия (если не вводить дополнительные опоры или
ребра) является уменьшение его пологости. Даже небольшое
увеличение стрелы подъема перекрытия существенно изменяет
кривизну оболочки, что благоприятно сказывается как на на-
напряжениях, так и на устойчивости. Поэтому, признавая суще-
существующую практику использования пологих перекрытий в общем
правильной, все же нужно отметить, что выбор степени поло-
пологости оболочки надлежит увязывать о размерами перекрываемого
сооружения.
Если стрела подъема перекрытия превосходит 1/5 пролета,
то расчет оболочки по уравнениям A.179) может оказаться недо-
недостаточно точным. Связано это в основном с принятием допущений
типа A.177), A.178). Что касается погрешности, связанной с пре-
пренебрежением тангенциальными смещениями в формулах для из-
изменения кривизны и кручения, то она менее существенна и на-
названные пренебрежения могут быть использованы в более широком
диапазоне пологости. Последнее дает основание рекомендовать
76
для расчета перекрытий со стрелой подъема, превосходящей 1/5,
не уравнения A.179), а уравнения A.171), при выводе которых
использовалась лишь вторая группа допущений.
1.16. ОБ ОСНОВНЫХ СВОЙСТВАХ
РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК
Радиусы кривизны срединной поверхности имеют размерность
длины. Что касается параметров Ляме Alt Аг, то они могут быть
как размерными, так и безразмерными (в зависимости от размер-
размерности криволинейных координат а1( а2). Будем считать их в даль-
дальнейшем имеющими размерность длины, а криволинейные коорди-
координаты а1( а2, в соответствии с этим, — безразмерными.
Введем далее обозначения:
th- Rt. С- Ro , Гх - Ri , — - -^-, (I.I»/)
где Re — характерная для срединной поверхности постоянная
величина, имеющая размерность длины. (В качестве Ro можно
взять, например, среднее значение одного из радиусов кривизны.
Безразмерные величины alt аг, ги г2 являются функциями аи а2.)
С учетом обозначении A.187) уравнения теории оболочек
в комплексной форме A.155) принимают вид:
-1%г д? - Г?п-
да,?, . Эаа5 да2 ъ 5fll =; \ Xs д?
где
л"
J/12 A —V2)
A.190)
Для тонких оболочек % <^ 1, тем самым в системе A.188)
имеются члены, умноженные на малый параметр, что открывает
возможности для построения ее приближенных решений.
Первой возникающей в связи с этим идеей является попытка
вообще пренебречь указанными членами. Тогда вместо A.188)
получается система:
77
ajft . da^S . doa ё dat j; \ _ _ R
даг ' дщ, ~ dat Заа V ow'
Данная система с учетом обозначений A.187) может быть по-
получена из уравнений равновесия элемента оболочки A.92), если
в последних принять
Т1п = Тгп = М х = М2 = Mu = М21 = О,
т. е. пренебречь всеми моментами и перерезывающими силами.
Соответственно систему A.191) называют уравнениями без-
моментной теории оболочек. Следует обратить внимание, что эта
система имеет вдвое более низкий порядок, чем исходная система
A.188), а именно второй вместо четвертого. Отсюда следует, что
ее общее решение содержит вдвое меньше произвола, чем тре-
требуется для удовлетворения четырем граничным условиям, кото-
которые, как это было показано в п. 1.11, должны быть заданы на
краю оболочки и, следовательно, лишь в частном случае (при
специальном выборе краевых условий) можно подменять решение
системы A.188) решением системы A.191).
К этому надо добавить, что если решение системы A.191)
удается подчинить всем граничным условиям рассматриваемой
задачи, то и тогда еще нельзя утверждать, что оно будет близко
к решению системы A.188) при тех же граничных условиях. Нужно
дополнительно убедиться, что полученному решению системы
A.191) не отвечают слагаемые, отброшенные при переходе от
A.188) к A.191), сравнимые по величине с общими членами обеих
систем.
Так может случиться, если в решение входят функции, быстро
изменяющиеся по одной или обеим координатам ах, а2, поскольку
при этом влияние малого параметра % может быть компенсировано
тем, что он умножается на члены уравнений со старшими про-
производными. Отсюда видно, что метод расчета оболочек путем
замены общих уравнений безмоментными является существенно
ограниченным. Обстоятельства, при которых этим приемом все же
можно пользоваться, будут подробно рассмотрены в следующей
главе. Из сказанного следует, что и построение решения системы
A.188) в форме рядов по степеням Хг также оказывается неприме-
неприменимым. Действительно, данный прием по существу идентичен
методу последовательных приближений, причем за первое при-
приближение принимается решение системы A.191), а эта система не
содержит достаточно произвола для подчинения ее решения че-
четырем граничным условиям. Тем самым невозможно подчинить
краевым условиям общего вида и решение системы A.191),
построенное в виде рядов по степеням №.
Выше было отмечено, что члены, отбрасываемые при переходе
от системы A.188) к системе A.191), могут оказаться существен-
78
нбши, если решение имеет быстро изменяющийся характер, т. е.
если в его состав входят функции, существенно возрастающие
(по модулю) при каждом дифференцировании по аг или сц (или
по той и другой координате), за исключением точек, принадлежа-
принадлежащих к окрестности нулей производных (если таковые имеются).
Примерами таких функций будут
2), COS
если хотя бы одна из постоянных kl7 k2 является величиной по-
порядка 1А> 1.
Отсюда можно сделать вывод, что утрачиваемые при переходе
от системы A.188) к системе A.191) части общего решения должны
обладать быстрой изменяемостью хотя бы по одной из криволиней-
криволинейных координат. Это действительно так, однако следует огово-
оговориться, что роль членов системы A.188), имеющих малый множи-
множитель X2, может быть иногда существенной и при достаточно глад-
гладких решениях (например, если напряжения от изгиба оболочки
значительно превосходят напряжения от усилий). Для выявления
и приближенного определения быстро изменяющихся решений
системы A.188) может быть использован метод асимптотического
интегрирования, суть которого продемонстрируем на простейшем
примере.
Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка
в обыкновенных производных
W W + Р(х)уг]- <?* (х) у = О, A.192)
где р (х), q (x) — достаточно гладкие функции по абсолютной
величине порядка единицы, а Я, — малый положительный пара-
параметр.
Будем искать решение уравнения A.192) в виде
д = <р(х)е^*{х\ A.193)
где ф (х), г|з (х) определим из условия, чтобы выражение A.193)
удовлетворяло уравнению A.192) с точностью до членов порядка X.
Подставив A.193) в A.192), получим
A.194)
Для достижения указанной выше степени точности нужно
принять:
ф'1 = q\ 23L ф' + 11?" + pf = 0. A.195)
79
Из первого уравнения имеем:
X
\dx, A.196)
где нижние пределы интегрирования Ь и с могут быть выбраны
произвольно.
Подставив A.196) в A.195), находим
X X
—LJ pdx „_LJ Pdx
A.197)
где Clt C2 — постоянные интегрирования, а нижний предел ин-
интегрирования а опять может быть выбран произвольно.
В итоге получаем приближенное решение уравнения A.192)
в виде
A.198)
Как видно из A.194), предыдущие рассуждения справедливы
лишь постольку, поскольку выражение
^ A.199)
где
( ) (L20°)
является величиной, порядок которой не превосходит единицу.
В противном случае последний член фигурной скобки A.194)
может оказаться сравнимым с предыдущими членами, входящими
в эту скобку, или даже их превосходить. При этом, разумеется,
A.198) утрачивает смысл приближенного решения уравнения
A.192). Из A.199) следует, что для справедливости изложенного
выше коэффициент уравнения A.192) q2, помимо тех ограничений,
которые на него были наложены ранее, не должен обращаться
в нуль (или достаточно близко к нему подходить) в представляю-
представляющем интерес для рассматриваемой задачи интервале изменения х.
Однако иногда удается успешно строить асимптотические ре-
решения и в тех случаях, когда приведенные выше рассуждения
оказываются несостоятельными. При этом пользуются идеей за-
замены уравнения A.192) другим, более простым, решение которого
известно, и в представляющем интерес для задачи интервале из-
80
менения х близко к решению уравнения A.192). Данный прием
будет применен в главе 11 к важной задаче расчета торообразной
оболочки.
Изложенные выше на простейшем примере соображения могут
быть распространены и на более сложные задачи: на уравнения
более высокого порядка, на системы уравнений, на уравнения
в частных производных. В последнем случае возможность их
использования будет зависеть не только от свойств самого урав-
уравнения, но и от свойств того контура, на котором ставятся краевые
условия.
В теории оболочек метод асимптотического интегрирования
применяется уже давно. На его основе удалось разработать
эффективные методы расчета осесимметричной деформации обо-
оболочек вращения [221, 249]. Далее он был перенесен на ограничен-
ограниченные одним или двумя параллельными кругами оболочки вращения,
испытывающие деформацию общего вида [84, 251]. Первая по-
попытка применить его к оболочкам произвольной формы была
сделана С. М. Фейнбергом. Детальная разработка соответствую-
соответствующей теории была дана А. Л. Гольденвейзером [38, 40, 41 ], кото-
который рассматривает метод асимптотического интегрирования как
универсальный прием, позволяющий, с одной стороны, строить
приближенные решения задач теории оболочек, а с другой —¦
классифицировать данные задачи с качественной стороны, обна-
обнаруживая при этом возможности упрощения общих уравнений
теории оболочек, допустимые в тех или иных конкретных случаях.
Недостатком такой теории является, однако, то, что, будучи
громоздкой, она в то же время недостаточно обща. Объясняется
это тем, что возможности асимптотического метода ограничены
и находятся (как видно из приведенного выше элементарного
примера) в существенной зависимости от свойств коэффициентов
дифференциальных уравнений (а для уравнений в частных произ-
производных и от свойств тех границ, на которых задаются краевые
условия). Надо добавить также, что принятие быстроизменяющейся
части решения в экспоненциальной форме (как это делает
А. Л. Гольденвейзер) не исчерпывает всех возможностей асимпто-
асимптотического метода. Иногда удается строить асимптотические ре-
решения на базе других быстроизменяющихся функций (например,
при расчете торообразных оболочек и решении некоторых задач
сферической оболочки для этой цели успешно можно применить
Бесселевы функции).
В связи со сказанным следует отметить, что те задачи теории
оболочек, для которых теория, изложенная в работе [401, позво-
позволяет наметить пути упрощения уравнений теории оболочек и по-
построения приближенных решений, были в большинстве рассмо-
рассмотрены ранее и являются пройденным этапом. Более же трудные,
не вполне исследованные задачи (например, расчет оболочек на
действие сосредоточенных сил, расчет напряжений в районах,
где коэффициенты дифференциальных уравнений теории оболо-
81
чек имеют особенности, расчет концентрации напряжений в ок-
окрестности отверстий в оболочке), этим способом решены быть
не могут.
Подводя итог изложенному, надо подчеркнуть, что асимпто-
асимптотический метод по идее весьма прост. Достаточно рассмотреть
несколько примеров его применения, чтобы научиться самостоя-
самостоятельно пользоваться им в конкретных задачах и различать те
случаи, когда это возможно. Возможности данного метода будут
показаны на примерах ниже.
В гл. 10 будут продемонстрированы некоторые возможности
асимптотического метода на основе уравнений теории оболочек
в комплексной форме.
Глава 2
РАСЧЕТ ОБОЛОЧЕК
ПО БЕЗМОМЕНТНОЙ ТЕОРИИ
Глава посвящена традиционным вопросам расчета и проекти-
проектирования оболочек, работающих в условиях безмоментного напря-
напряженного состояния. Обсуждаются требования, которым должны
удовлетворять форма оболочки, условия закрепления ее краев
и внешняя нагрузка, с тем, чтобы в ней реализовывалось без-
моментное напряженное состояние. Достаточно детально рассма-
рассматриваются вопросы расчета и проектирования сосудов давления,
куполов, перекрытий. К нетрадиционному материалу можно
отнести аналитическое описание метода аффинного преобразова-
преобразования и простой способ определения напряжений в углах полиго-
полигональных перекрытий. Изложенный в главе метод аффинного пре-
преобразования используется во второй части книги (гл. 15) для рас-
расчета напряженного состояния в эллипсоидальном куполе с опор-
опорным кольцом жесткости. Более сложные вопросы безмоментной
теории оболочек также вынесены во вторую часть книги (гл. 9).
2.1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
БЕЗМОМЕНТНОЙ ТЕОРИИ
Предварительные замечания. Изложенной в гл. 1 общей теории
оболочек исторически предшествовала так называемая безмомент-
ная теория, значительно более простая и в то же время в некото-
некоторых случаях дающая вполне правильное представление о работе
оболочки. Эта теория при рассмотрении равновесия элемента
оболочки пренебрегает всеми моментами.
82
Из формул
Eh3 Eh3
(X + ™> M
Ml =
12(l-v2) (Xl + ™*>' M* = 12A-
видно, что данное пренебрежение будет обоснованным либо когда
весьма мала жесткость оболочки на изгиб, либо когда весьма
малы изменения кривизны и кручение срединной поверхности.
В первом случае мы будем иметь равновесие абсолютно гибкой
оболочки (мембраны), а во втором — безмоментное напряженное
состояние оболочки, обладающей конечной жесткостью на изгиб.
Хотя обе эти задачи охватывает одна и та же теория, тем не менее
между ними следует делать различие, поскольку они имеют спе-
специфические особенности. Так, абсолютно гибкая оболочка (на-
(например, матерчатая) совершенно не в состоянии воспринимать
сжимающие усилия, ибо всякое сколь угодно малое сжатие будет
вызывать потерю устойчивости ее форм, т. е. образование на ней
складок. Поэтому расчет подобной оболочки будет соответство-
соответствовать истине лишь в том случае, если во всех сечениях усилия
получаются растягивающими. Данное условие является, напри-
например, основным требованием, которому должен удовлетворять
корпус мягкого (или полужесткого) дирижабля при проверке его
продольной прочности.
Оболочки с конечной жесткостью на изгиб, в отличие от абсо-
абсолютно гибких оболочек, могут находиться в безмоментном напря-
напряженном состоянии при наличии в них как растягивающих, так и
сжимающих усилий. Они будут терять устойчивость лишь после
того, когда сжимающие усилия в них превзойдут некоторое кри-
критическое значение. Если для абсолютно гибких (мягких) оболочек
безмоментное напряженное состояние является единственно воз-
возможным, поскольку они не обладают сопротивлением изгибу, то
для оболочек конечной жесткости такое напряженное состояние
является только одним из возможных напряженных состояний
и для его существования необходимо выполнение ряда условий,
касающихся формы оболочки, характера действующей на нее
нагрузки и закрепления ее краев.
Здесь уместно сопоставить свойства оболочек со свойствами
кривых брусьев. Как известно, арка произвольной формы, как
правило, работает не только на сжатие, но и на изгиб. Однако
можно согласовать ее форму и характер действующей нагрузки
так, что изгиба арка испытывать не будет, находясь, согласно
принятому выше термину, в безмоментном напряженном состоя-
состоянии. Так, для арки, очерченной по параболе, нагрузкой, не вы-
вызывающей изгиба, будет вертикальное давление, равномерно
распределенное по ее хорде, а для арки, очерченной по цепной
линии, — ее собственный вес. Способность арок воспринимать
83
некоторую поперечную нагрузку без изгиба определяет их тех-
технические преимущества перед балками.
Оболочки обладают аналогичным преимуществом перед пласти-
пластинами, с той, однако, существенной разницей, что если арка задан-
заданной формы способна нести без изгиба лишь вполне определенную
нагрузку, то оболочка заданной формы обладает тем же свойством
для широкого круга нагрузок, удовлетворяющих лишь весьма
общим требованиям, если ее края надлежащим образом закреп-
закреплены. Именно это свойство оболочек— работать, при соблюдении
некоторых условий, без изгиба или, точнее, при незначительных
изгибах — определяет то широкое практическое применение, ко-
которое они получили в различных областях техники. Следует
подчеркнуть, что понятие безмоментного напряженного состояния
отнюдь не обязательно связано с бесконечно большой гибкостью
оболочки (и тем самым — с бесконечной малостью ее толщины).
Даже толстая оболочка, при соблюдении надлежащих условий,
может работать в безмоментном напряженном состоянии (в том
смысле, что напряжения изгиба в ней будут в R0/h раз меньше на-
напряжений от усилий).
Условия существования безмоментного напряженного состоя-
состояния будут выяснены ниже. Эти условия, однако, не всегда могут
быть конструктивно выполнены, и тогда на безмоментное поле на-
напряжений будет накладываться поле смешанного типа, в котором,
наряду с напряжениями от усилий, будут иметь место сравнимые
с ними по величине изгибные напряжения. Возможен и третий
случай, когда напряжения от моментов существенно превосходят
напряжения от усилий. Однако такое напряженное состояние не-
невыгодно, так как оболочки, ввиду их малой толщины, обладают
малой прочностью прн чистом изгибе и весьма податливы данному
виду деформации. На практике всегда стремятся не допустить воз-
возникновения в оболочке поля напряжений, близкого к чистому
изгибу. Из всего сказанного следует, что безмоментное напряжен-
напряженное состояние занимает почетное место в расчете оболочек, являясь
тем (иногда, к сожалению, недостижимым) идеалом, к которому
надо стремиться, проектируя оболочки и их опоры.
Остановимся вкратце иа этапах развития безмоментной теории.
Истоки ее восходят еще к трудам Г. Ламе и Э. Клапейрона [256],
которые рассматривали симметрично нагруженные оболочки вра-
вращения. В общем виде уравнения безмоментной теории были уста-
установлены Э. Бельтрами [228] и Л. Лекорню [258].
Наибольшие успехи безмоментной теории связаны с работами
советских ученых. Из отечественных работ по общей безмоментной
теории надо указать на статью В. В. Соколовского [179], который
привел уравнения задачи к каноническому виду и выявил ряд
свойств их характеристик. Существенное значение для общей без-
безмоментной теории имеет также исследование Ю. Н. Работнова
[154], в котором проблема безмоментной теории была связана
с проблемой изгибания поверхностей, что позволило свести опреде-
84
ление усилий и перемещений в безмоментной оболочке к решению
двух независимых дифференциальных уравнений в частных про-
производных. В статье А. Л. Гольденвейзера [39 ] эти идеи получили
дальнейшее развитие и были подвергнуты подробному анализу
в условиях, при которых безмоментное напряженное состояние мо-
может быть реализовано.
Дифференциальные уравнения безмоментной теории легко ин-
интегрируются для оболочек нулевой гауссовой кривизны (в част-
частности, для цилиндрических оболочек). Не доставляют затруднений
также практически важные случаи осесимметричной и «ветровой»
нагрузок (для оболочек вращения). Оболочки вращения, нагру-
нагруженные произвольно, были исследованы В. 3. Власовым [12,
17], В. В. Соколовским [178] и другими авторами. Безмоментная
теория оболочек, срединные поверхности которых являются
поверхностями второго порядка, была разработана В. 3. Власо-
Власовым [12, 13 ], применившим к этой задаче аппарат теории функций
комплексного переменного.
Уравнения безмоментной теории. Уравнения безмоментной
теории могут быть получены непосредственно из уравнений общей
теории оболочек. Проводят соответствующие рассуждения, будем
считать, что хотя оболочка в принципе может сопротивляться
изгибу, но, ввиду малости изменений кривизны и кручения, мо-
моменты в уравнениях равновесия элемента оболочки являются
несущественными. Отбрасывая их в уравнениях A.92J, получим:
Тп =ТМ =5*. Т1п =Т2П =0. B.2)
Следовательно, пренебрежение моментами приводит к необхо-
необходимости пренебрегать и перерезывающими усилиями. Вводя этот
результат в уравнения A.92)х, придем к дифференциальной системе:
dAtTf. дА^* дА1 „. дАз
dAJt ¦ dAtS* , дА2 9. Ч
-?- + -?-=Рп. B.3)
которая, в совокупности с B.2), является условием равновесия
элемента оболочки, находящейся в безмоментном напряженном
состоянии (здесь и в дальнейшем усилия, соответствующие этому
состоянию, отмечаем звездочкой).
В системе B.3) число неизвестных соответствует числу урав-
уравнений, так что задача теории оболочек в указанной выше форму-
формулировке становится статически определимой (в отношении равно-
равновесия бесконечно малого элемента оболочки, но не всегда в от-
отношении равновесия оболочки в целом). Напомним читателю, что
аналогичным примером является задача об изгибе балки, в техни-
85
ческой ее постановке, где также число неизвестных в уравнениях
равновесия соответствует числу уравнений и тем не менее опреде-
определение реакций опор иногда требует предварительного определения
перемещений. Предположим, что систему B.3) удалось решить
(вопрос о граничных условиях, которые должны быть при этом
поставлены, пока оставляем в стороне). Тогда для определения
смещений оболочки, находящейся в безмоментном напряженном
состоянии, можно написать следующую систему из трех диффе-
дифференциальных уравнений в частных производных»
. I d«i ¦ I дАх , w 1 1Пу*
61 = ИГ"а5Г + лйП^Т + Ж = Ж(Tl
Г^Г + й71?ГИ1 +~7 = "e
<2'4'
правые части которых являются известными функциями аг и а2.
Общее решение этой системы может быть представлено в виде:
u\ = u\ -\-и\*\ щ = и\ + иг*\ w ==w* -\-w'*t B.5)
где под и*, uj, w4 подразумевается какое-либо частное решение
системы B.4), а под и\*, и", ш** —¦ общее решение однородной
системы!
Л Л. ~Г Л Л Л. -f D, — U»
а Зое, ^Лг>
5?1
л,
Как видно, смещения u?*, u5", ш'* обращают в нуль удлине-
удлинения и сдвиги срединной поверхности. Отсюда ясно, что данные сме-
смещения могут быть только либо смещениями чистого изгиба обо-
оболочки, либо смещениями оболочки как твердого целого.
Следовательно, в общем решении уравнений безмоментной тео-
теории всегда присутствуют смещения чистого изгиба на равных пра-
правах со смещениями оболочки как твердого тела. Физически это
означает, что абсолютно гибкая оболочка допускает появление
данных смещений, не оказывая им никакого сопротивления.
При постановке задач безмоментной теории смещения чистого
изгиба должны быть либо вовсе устранены, либо, по крайней мере,
надлежащим образом ограничены. Это замечание касается не
только абсолютно гибких оболочек (форма которых в противном слу-
случае будет неопределенной), но и оболочек, способных сопротивля-
86
ться изгибу, однако находя щихся в таком напряженном состоянии,
когда напряжениями от моментов по сравнению с напряжениями от
усилий можно пренебречь. Действительно, для подобных оболочек
наличие существенно больших смещений чистого изгиба будет
несовместимо с предположением о малости напряжений изгиба.
Принципиальная возможность неопределенности величины сме-
смещений в безмоментной теории и вытекающая отсюда необходимость
их ограничения, являющаяся одним из условий существования
безмоментного напряженного состояния, отражаются на форму-
формулировке граничных условий в безмоментной теории, что будет вы-
выяснено в следующем разделе.
2.2. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
Система дифференциальных уравнений B.3), определяющая
в безмоментной теории усилия, имеет второй порядок. Соответ-
Соответственно второй порядок имеет и система B.4), определяющая
смещения. Однако входящие в правые части уравнений этой
системы усилия сами являются решениями системы второго
порядка.
Отсюда смещения в безмоментной теории подчиняются системе
дифференциальных уравнений четвертого порядка, которая может
быть написана, если подставить в уравнения B.3) усилия 77,
Т5, S', выраженные через деформации, а тем, в свою очередь,
через смещения. Не будем, однако, этого делать, поскольку всегда
удобнее расчленять решение на два последовательных этапа —
определение усилий из системы B.3) и определение смещений из
системы B.4). Следовательно, для смещений в безмоментной теории
получаются дифференциальные уравнения вдвое более низкого
порядка, чем в общей (моментной) теории оболочек, откуда следует,
что и число краевых условий, которыми можно распоряжаться,
в первой теории будет вдвое меньше числа краевых условий во
второй теории. В безмоментной теории на каждом краю оболочки
может быть задано лишь два граничных условия.
Рассмотрим (для определенности) случай, когда границей обо-
оболочки является линия аг =const. В общей теории оболочек на этом
краю должны быть заданы величины:
(коль скоро граничные условия формулируются в напряжениях).
В безмоментной теории
Т1п = Т2П = Мг = М2 = М12 = Мп = О
во всех точках срединной поверхности, а следовательно, и на гра-
границах оболочки.
Отсюда следует, что края оболочки, находящейся в безмомент-
ном напряженном состоянии, должны быть свободны от внешней
87
краевой нагрузки в виде перерезывающих сил и изгибающих
моментов. Безмоментная оболочка может нести лишь тангенциаль-
тангенциальную краевую нагрузку, в соответствии с чем на ее рассматривае-
рассматриваемом краю могут действовать лишь усилия 7\ и S = Т12, в которых,
следовательно, и должно быть сформулировано краевое условие.
Рассмотрим далее случай, когда граничные условия задаются
в смещениях. Тогда, для определенности решения уравнений об-
общей теории оболочек, надо задать (на краю ос =, const) величины!
Л I dw , и.
В безмоментной теории распоряжаться краевыми смещением w
и углом поворота дг уже нельзя, так как задание их непосред-
непосредственно отражается на краевых значениях соответствующих обоб-
обобщенных сил Т1п и Mv Приняв, например, на границе оболочки
w = di = 0 (т. е. «заделав» край в отношении нормального сме-
смещения и угла поворота), разумеется, уже невозможно считать, что
на этом же краю Т1п = О, МХ = 0, так как последнее противоречит
первому. Из сказанного следует, что на краю безмоментной обо-
оболочки можно распоряжаться лишь компонентами вектора смеще-
смещений, касательными к срединной поверхности, т. е. иг и м2, в которых
и должны формулироваться граничные условия безмоментной
теории, если они задаются в смещениях. Необходимо далее учесть,
что дифференциальные уравнения безмоментной теории в усилиях
и в смещениях имеют разный порядок — соответственно второй и
четвертый. Следствием является, что краевые условия для без-
безмоментной оболочки не могут быть заданы полностью только в
усилиях. Половина их обязательно должна быть задана в смеще-
смещениях. Эта принудительность задания половины краевых условий
в смещениях имеет следующий физический смысл: как было ука-
указано в предыдущем параграфе, оболочка, не сопротивляющаяся
изгибу, является не жестким телом, а механизмом, свободно до-
допускающим смещения, соответствующие чистому изгибу. Надле-
Надлежащим тангенциальным закреплением краев такие смещения, как
правило, могут быть устранены, т. е. оболочка может быть пре-
превращена в жесткую систему. Для этой цели предназначены и дол-
должны быть использованы те «принудительные» граничные условия,
о которых шла речь выше.
Остающиеся краевые условия могут быть заданы как в усилиях,
так и в смещениях. В том случае, если все эти краевые условия за-
заданы в усилиях — задача безмоментной теории будет статически
определимой (напряжения в оболочке могут быть найдены неза-
независимо от смещений). Если же хотя бы одно из граничных усло-
условий задано в смещениях, то задача безмоментной теории будет
статически неопределимой.
В частном случае все граничные условия для безмоментной обо-
оболочки могут быть сформулированы в смещениях. Полной танген-
88
циальной заделке краев такой оболочки соответствуют равенства
иъ = м2 =0, имеющие место на каждом ее краю.
В заключение следует указать, что возможности использования
произвола, содержащегося в общем решении уравнений безмомент-
ной теории, зависят от формы оболочки. Объясняется это тем, что
дифференциальные уравнения в частных производных второго
порядка, к решению которых сводится определение усилий и сме-
смещений в безмоментных оболочках, принадлежат к разным клас-
классам для оболочек положительной, отрицательной и нулевой гаус-
гауссовой кривизны, а именно они являются эллиптическими для пер-
первых, гиперболическими для вторых и параболическими для третьих
оболочек. Это вносит специфику в постановку граничных условий
в каждом частном случае, что будет показано на примерах ниже.
2.3. УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ
БЕЗМОМЕНТНОГО НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ
В предыдущем разделе было установлено, что одним из источ-
источников противоречивости безмоментной теории является то, что
решения этой теории не могут быть подчинены общим граничным
условиям, обсуждавшимся в пп. 1.11, 1.12.
Безмоментная оболочка не может быть нагруженной по своему
краю ни перерезывающими усилиями, ни моментами. Углы по-
поворота и нормальные смещения на ее краях не должны быть стес-
стеснены. И, наконец, на ее краях необходимо задать такие граничные
условия (в касательных смещениях), которые обеспечили бы над-
надлежащее ограничение величины смещений чистого изгиба (что
иногда бывает невозможно, п. 9.2). Нарушение любого из пере-
перечисленных требований равносильно нарушению безмоментности
напряженного состояния — в большей или меньшей мере. Однако,
будучи необходимыми, эти требования не являются достаточными:
помимо них имеются дополнительные условия, при нарушении
которых безмоментное напряженное состояние не может существо-
вовать.
Еще одним источником противоречивости безмоментной тео-
теории является то, что ее уравнения определяют усилия в оболочке
вне зависимости от соотношений неразрывности срединной поверх-
поверхности A.75), которые при этом оказываются в большей или меньшей
мере нарушенными. Если форма оболочки и действующая на нее
поверхностная нагрузка имеют плавный характер, так что Rlt
^?2> h, pn, ръ р2 при дифференцировании по аъ а2 не возрастают
существенно, то для удовлетворения условиям неразрывности до-
достаточно предположить наличие малых изгибающих моментов и
перерезывающих усилий — таких, какими в уравнениях рав-
равновесия элемента оболочки допустимо пренебречь. Иначе будет,
если кривизна оболочки, ее толщина или нагрузка на нее в неко-
некоторых сечениях изменяются скачкообразно. Тогда в тех же сече-
сечениях скачкообразно будут изменяться (по безмоментной теории)
89
Рис. 2.1
11. и деформации, существенно нарушая сплошность
^—*^f} срединной поверхности. При этом для удовлетво-
удовлетворения условиям сплошности надо предположить
в районах указанных сечений наличие значитель-
значительных перерезывающих усилий и моментов, что рав-
равносильно отказу от использования (по крайней
мере в соответствующих районах оболочки) без-
моментной теории. Можно предвидеть, что это за-
замечание останется и в тех случаях, когда радиусы
кривизны, толщина или нагрузка на оболочку
хотя и не терпят разрыва, но тем не менее изме-
изменяются в некоторых сечениях достаточно резко.
Из сказанного, в частности, следует, что безмо-
ментная оболочка не может работать на сосредото-
сосредоточенные силы, перпендикулярные к ее срединной
поверхности. Напряженное состояние в оболочке,
нагруженной такими силами, будет моментным
(по крайней мере, в окрестностях точек приложе-
приложения этих сил).
Обратим внимание еще на одно обстоятельство, которое может
быть пояснено следующим примером. Пусть имеется длинная кру-
круговая цилиндрическая оболочка постоянной толщины с отверстием
произвольной формы, растягиваемая вдоль своей оси усилиями 7\,
равномерно распределенными по торцам (рис. 2.1). В этой задаче
все перечисленные ранее условия соблюдены, а именно:
а) границы оболочки свободны от перерезывающих сил и мо-
моментов;
б) нормальные смещения и повороты на краях оболочки не
стеснены;
в) геометрические параметры оболочки являются плавными
функциями координат;
г) компоненты поверхностной и краевой нагрузок достаточно
плавны.
Тем не менее, задача не может трактоваться как безмоментная,
поскольку на краю отверстия обе компоненты вектора усилий (и
нормальная, и тангенциальная) равны нулю, а общее решение
уравнений безмоментной теории не содержит в данном случае
произвола, достаточно для подчинения его обоим указанным
выше тангенциальным краевым условиям. В этом можно убе-
убедиться, применив к рассматриваемой задаче формулы пп. 1.14,
1.15.
Отсюда видно, что класс задач теории оболочек, в которых
граничные условия сформулированы тангенциально (т. е. в сме-
смещениях и усилиях, касательных к срединной поверхности),
существенно более широк, чем класс задач с такими тангенциаль-
тангенциальными краевыми условиями, которые могут быть удовлетворены
в рамках решений безмоментиой теории. Тем самым из факта, что
оболочка на краях нагружена и закреплена только тангенциально,
90
не следует, что она находится в безмоментном напряженном со-
состоянии.
В дальнейшем в ряде параграфов этой главы мы неоднократно
будем возвращаться к вопросу о том, при каких тангенциальных
краевых условиях безмоментное напряженное состояние оказы-
оказывается осуществимым.
Подводя итог сказанному, еще раз подчеркнем, что существо-
существование безмоментного напряженного состояния связано с необ-
необходимостью соблюдения ряда условий, касающихся формы обо-
оболочки, характера действующей на нее нагрузки и закрепления
ее краев. Поскольку эти условия достаточно многочисленны,
безмоментная теория должна отступить, казалось бы, на место
весьма частного случая (по отношению к общей теории оболочек).
Тем не менее, практическое значение безмоментной теории весьма
велико. Оно определяется, прежде всего, технической выгодно-
выгодностью безмоментного напряженного состояния (с точки зрения рав-
равномерности работы материала оболочек).
Ввиду этого при проектировании конструкций, состоящих из
оболочек, всегда уделяют много внимания удовлетворению требо-
требованиям безмоментной теории. Однако имеющиеся в этом направ-
направлении возможности ограничиваются рядом обстоятельств — в част-
частности, различными конструктивными и технологическим сообра-
соображениями. Так, наивыгоднейшей (с точки зрения удовлетворения
требованиям безмоментной теории) формой резервуара, работаю-
работающего на значительное внешнее или внутреннее давление, является
форма замкнутой поверхности достаточно плавной формы (сфера,
эллипсоид с небольшой разницей в размерах полуосей). Однако
никто не станет делать, скажем, жаротрубный паровой котел в виде
одной из вышеуказанных форм, так как они со всех остальных
точек зрения (кроме соображений прочности) непригодны для упо-
упомянутой конструкции.
В качестве другого примера укажем, что наиболее подходящим
(с точки зрения удовлетворения требованиям безмоментной тео-
теории) способом изготовления металлических оболочек является
отливка, поскольку при этом конструктор обладает наибольшими
возможностями плавно соединить оболочку со всеми примыкаю-
примыкающими к ней деталями. Литье позволяет также изменять толщину
оболочки по любому закону, увеличивая ее там, где ожидаются
большие усилия, и уменьшая там, где они невелики. Однако от-
отливка тонкостенных конструкций, имеющих значительные раз-
размеры, является весьма трудной, а в некоторых случаях и просто
невыполнимой технологической проблемой, ввиду чего литье
как способ изготовления оболочек применяется относительно
редко. Значительно чаще применяются штамповка, выколачива-
выколачивание по шаблону, загибание на вальцах, хотя эти способы дают кон-
конструктору меньше возможностей выбора формы оболочки и плав-
плавности сопряжения ее частей.
Оба приведенных примера достаточно подтверждают тот факт,
91
что выбор формы оболочки и ее конструктивного оформления не
может решаться в отрыве от многих обстоятельств, независимых
от расчета на прочность и диктуемых различными требованиями,
которым должна удовлетворять проектируемая конструкция
(включая сюда простоту и дешевизну ее изготовления).
Сказанное не умаляет того обстоятельства, что борьба с момент-
ными напряжениями является одной из важнейших задач кон-
конструктора, проектирующего оболочки. Если названные напряже-
напряжения не удается устранить полностью, конструктор должен стре-
стремиться их локализовать и в достаточной мере ограничить по вели-
величине. Он должен также уметь правильно учесть величину усилий
в тех областях оболочки, где имеется изгиб. В соответствии с этим
решение, даваемое безмоментной теорией, должно быть в ряде слу-
случаев дополнено решением уравнений моментной теории в тех участ-
участках оболочки, где изгиб имеет существенное значение. Такое ком-
комбинирование моментной и безмоментной теорий является одной
из основных идей, руководствуясь которой в настоящее время
решают большинство задач теории оболочек.
Поэтому представляют практический интерес исследования
по безмоментной теории даже таких задач, в которых заведомо
все требования данной теории не могут быть удовлетворены (на-
(например, расчет днищ, расчет тонкостенных цилиндрических пере-
перекрытий, расчет оболочек на действие сосредоточенных сил и др.).
В заключение следует отметить, что роль безмоментной теории
в общей теории оболочек может быть сравнена с ролью теории
потенциального течения идеальной жидкости в гидромеханике.
Потенциальный поток в точности неосуществим, однако, исходя
из этого понятия, в гидромеханике было сделано много важных
практических выводов. Комбинирование теории идеальной жид-
жидкости с теорией вязкой жидкости (путем использования представ-
представления о пограничном слое) имеет некоторое сходство как метод
исследования с упомянутым выше совместным использованием
безмоментной и моментной теорий.
2.4. УРАВНЕНИЯ БЕЗМОМЕНТНОЙ ТЕОРИИ
ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ
Рассмотрим оболочку, срединная поверхность которой явля-
является поверхностью вращения. У такой оболочки линиями главной
кривизны будут ее меридианы и параллели. В соответствии с этим,
в качестве главных криволинейных координат срединной поверх-
поверхности можно взять в данном случае угол 9 (образуемый нормалью
к срединной поверхности с осью оболочки) и угол ф, определяю-
определяющий положение точки на соответствующем параллельном круге
(рис. 2.2).
Пусть при этом Ry будет радиусом кривизны меридиана. Вто-
Второй радиус кривизны /?а будет тогда равен длине отрезка нормали
к срединной поверхности от этой поверхности до оси оболочки, так
92
как если мы рассмотрим две
смежные точки, лежащие на од-
одной и той же параллели, то
нормали, восстановленные в этих
точках, пересекутся на назван-
названной оси.
Для элемента дуги меридиа-
меридиана можно написать
откуда
At = Rt. B.7)
Соответственно элемент дуги
параллельного круга будет ра-
равен
ds% = R2 sin 9 dtp
и, следовательно,
Л2 = Rs sin 8. B.8)
Рис. 2.2
Таким образом, срединная поверхность оболочки вращения
полностью определяется заданием двух ее главных радиусов кри-
кривизны Rlt R2, причем они будут, очевидно, функциями только од-
одной из криволинейных координат, а именно 8. Уравнения Кодац-
ци—Гаусса сводятся к одному соотношению
dR2 sin 9/dG = Rj, cos 9.
B.9)
Необходимость существования этого дифференциального соот-
соотношения между радиусами кривизны оболочки вращения яв-
явствует из простых выкладок, приведенных на рис. 2.3.
Подставляя в уравнения равновесия безмоментной теории B.3)
вместо Ах, А% их значения согласно формулам B.7) и B.8) и
учитывая при дифференцировании соотношение B.9), получим
ct
1 55* „ ctg 9
55»
, sin 6
+ Pi = 0;
1
?2sin6 dtp
TJ . T
5ф
• + pa = 0;
B.10)
Рис. 2.3
где plt р2 и рп — проекции поверхно-
поверхностной нагрузки на касательную к мери-
меридиану, на касательную к параллели и
на нормаль к срединной поверхности
(рис. 2.2).
Решив третье из написанных урав-
уравнений относительно Т1 и подставив
93
получившийся при этом результат в два других уравнения,
находим:
J_i?l, octge о, 1 агг _ 1 дРп
Rj ае "т" /г, я^ье a<p Pa sine dq> •
B.11)
Если ввести сюда вместо Т{ и S* новые неизвестные
приводится к виду:
i?l sin Э dU* , dV*
^+
U* = TiR2sln2Q, V' = S'RUin2Q B.12)
-щ- + -^- = (Pit cos 9—рг sin 9) Rt sin 9;
. B.13)
Исключая далее неизвестную V*, приходим к следующему
дифференциальному уравнению второго порядка в частных про-
производных с одним неизвестным:
1 д / /?1 sin 9 dU*\ . 1 d*U* г ,а Ч/Л1/1Ч
RtRtsm е "Ж" [~Ж~ ~Ш~) + r, sin» e ~W = (9> Ф)>BЛ4)
где
F (9 ) '
n cos е ~ Рх sln
Следовательно, определение усилий в оболочке вращения по
безмоментной теории сводится к решению дифференциального
уравнения B.14).
Покажем, что к исследованию аналогичного уравнения сводится
в данном случае и определение смещений. Для оболочки вращения
систему B.4) записываем так (их = и, иг — v):
94
Исключая отсюда w и учитывая при этом третье из уравнений
B.10), получим
а« ...Х_Л i до r\ + i
Введем, далее, вместо и и v новые неизвестные
Тогда система B.17) приводится к виду
2 Г?
Л _
ае sine 5ф /г^шв ?А ?Asine
/?1 sin 9 ЭС , Э| 2(l + v)Ra c«.
на основании чего имеем
1 a /RjsinB ag
v.
dQ \ Ri dQ
где
, dR.S*
1^ v) ae jT^
i R* (Ri + v/?i) ^Pn 1 1 {0 on
"t iSTe aVJ ^a ' l '
Если теперь обозначить через В дифференциальный оператор
1 а / RismQ а \ , 1 а^ 2 2)
RRsind ае \ /?! ав ) ^ /?хsin2e аф2' ( '
ае
то уравнения B.14) и B.20) можно записать так:
BU* =F{Q, ф); ВС =/(в, ф). B.23)
Таким образом, и определение усилий, и определение смещений
в безмоментной теории оболочек вращения сводятся по существу
к исследованию одного и того же дифференциального уравнения,
так что решив первую часть задачи, всегда можно решить и вторую
ее часть.
2.5. МЕТОД РЕШЕНИЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
БЕЗМОМЕНТНОЙ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ
Рассмотрим оболочку вращения, ограниченную одним или
двумя параллельными кругами (рис. 2.4). В этом случае как ком-
компоненты поверхностной, так и компоненты краевой нагрузки бу-
95
дут периодическими функциями угла ср (с периодом 2я) в силу
замкнутости оболочки в отношении указанной криволинейной
координаты. Отсюда компоненты произвольной поверхностной
нагрузки можно представить в виде рядов:
оо
pi = 2 {р\, к cos fop + pi, k sin fop);
uu
P2 = 2 (pi fe cos fop + p2, fe sin fop);
fe0
2
fe=0
Pn = S (Pn, * COS fop + p'n, k Sin fop),
*0
B.24)
коэффициенты в которых (являющиеся функциями только угла 8)
определяются в каждом конкретном случае по известным формулам
рядов Фурье.
Для того, чтобы уметь рассчитать оболочку, нагруженную
произвольно, достаточно рассмотреть нагрузку вида:
Pi = Pi, h (9) cos fop; p2 = p2> л F) sin fop; pn = pn,ft (9) cos fop.
B.25)
Предположим, что найдено решение для нагрузки вида B.25). Рассмотрим
соответствующую той же гармонике нагрузку, помеченную в формулах B.24)
штрихами:
Р\ = Pi, * (Q) sin Й(Р' Р'г = P'l, k (9) cos k<?< P'n = Pn. k (e) sin k(f- B.26)
Решение, соответствующее этой нагрузке, можно получить из решения для
нагрузки B.25). Действительно, осуществляя замену переменной ф = ф'—n/2k,
нагрузку B.26) приводим к виду
Pi= — Pi,
p'2 — p'2t k (9) sin kq>', p;
¦pnk{Q)cosk<p'.
Таким образом, решение для нагрузки B.26) получается из соответствую-
соответствующего решения для нагрузки B.25) путем замены в последнем коэффициентов р1#ь
р2 ft, pn k на коэффициенты — Р\,к< Pi, k' —P'n.k- Используя этот прием,
можно найти решения для каждой гармоники, а затем, сложив их, найти решение
для произвольной нагрузки B.24).
Исключение составляет лишь случай k — 0, так как ограничиваясь соотно-
соотношением B.25), нельзя рассмотреть задачу осесимметричного кручения оболочек
вращения. Если же принимать во внимание только слагаемые, помеченные в
B.24) штрихами, то исключается возмож-
___| ность рассмотрения наиболее распростра-
^¦^" \ ~~~^~^ ненного напряженно-деформированного
состояния, так называемого осесимметрич-
иого изгиба (см. п. 4.3).
Впредь ограничимся рассмотрением
случая B.25). Что же касается упомяну-
упомянутой задачи осесимметричного кручения, то
она легко решается без использования
уравнений теории оболочек [149].
Подставим B.25) в B.15) и бу-
будем искать решение дифференци-
дифференциального уравнения B.14) в форме
Рис. 2.4
U- = UI (9) COS fop.
96
Тогда, по сокращении уравнения B.14) на тригонометрический
множитель cos fop, получим для определения U% следующее
дифференциальное уравнение второго порядка в обыкновенных
производных:
1 d \Rl sin 9 dU\ 1 k* ,,. _ p ,m ,„ 97.
;in9 dQ I R~T~ dQ B-«wn Uk — rk\P), К*.*')
в котором
1 w
^* (9) = R R sin 9 "SET KPn' * C0S 9 ~" Pt- k siQ €
-^(^Pn,u-p2,uSin9)/?2. B.28)
Проинтегрировав данное уравнение и воспользовавшись затем
формулами B.12), B.13) и B.10), придем к выражениям для усилий
следующего вида:
77 = 74, k cos fop, П = Tl, к cos fop, S* = S'k sin fop, B.29)
в которых 77, k, Tl, k, SI — известные функции 9 (включающие
две постоянные интегрирования, входящие в общее решение
уравнения B.27). Подставляя эти выражения, а также рп согласно
B.25) в B.21), получаем функцию / (9, ф) в виде
f (9, Ф) = fh (9) sin fop, B.30)
где
/2 чп
itoe
Введя B.30) в правую часть уравнения B.21), будем искать
его решение в виде
С = Сь (8) sin k(f. B.32)
Тогда для определения ?ь (9) будем иметь следующее дифферен-
дифференциальное уравнение второго порядка в обыкновенных производ-
производных:
1 d rR|sin9 dZ,k
dQ [_ Ri
B-33)
Последнее уравнение идентично уравнению B.27), отличаясь
от него только свободным членом.
Найдя ?ft (9) и воспользовавшись затем формулами B.18)
и B.16), можно получить выражения для смещений в виде:
и = uk (9) cos йф, v — vk (9) sin ?ф, w = wh @) cos /гср, B.34)
где uh, vh, wk — известные функции 9, включающие четыре
постоянные интегрирования (две — от общего решения уравне-
4 В. В. Новожилов и др. 97
ния B.27), входящего в правую часть уравнения B.33), две —
в результате интегрирования самого уравнения B.33)).
Отсюда, чтобы решение стало определенным, на каждом из
двух ограничивающих оболочку параллельных кругов должно
быть задано по два граничных условия. Из общего числа (четырех)
условий по крайней мере два должны быть заданы в смещениях,
чтобы устранить возможность чистого изгиба оболочки, а также
ее смещения как твердого целого. Остальные два условия могут
быть заданы как в усилиях, так и в смещениях.
Как будет показано ниже, в том частном случае, когда обо-
оболочка в вершине замкнута и, следовательно, имеет всего один
край (купол, днище), половина произвольных постоянных из
общих решений уравнений B.27) и B.33) выпадает (ввиду обра-
обращения в бесконечность в вершине оболочки функций, умноженных
на эти постоянные). При этом в формулах для усилий B.29) сох-
сохранится всего одна произвольная постоянная, а в формулах для
смещений B.34)— только две произвольные постоянные. В соот-
соответствии с этим на единственном краю оболочки, замкнутой в вер-
вершине, должно быть задано два условия, причем по крайней мере
одно из них должно быть сформулировано в смещениях.
2.6. ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ
Рассмотрим частный случай, когда краевая и поверхностная
нагрузки не зависят от угла ср. Тогда и деформация оболочки не
будет зависеть от этого угла, т. е. будет осесимметричной. Этот
случай получается из рядов B.24), если в них отбросить все члены,
кроме первых, соответствующих k = 0.
Тогда
pI = Pi,oF); р2 = Р2.оF); р„ = р„, о F). B.35)
Чтобы избежать пестроты индексов, мы будем в дальнейшем
употреблять в формулах не правые, а левые обозначения, подра-
подразумевая под plt p2, рп некоторые функции только угла 0.
Дифференциальные уравнения в частных производных B.13)
превращаются, применительно к рассматриваемому частному слу-
случаю, в следующие два независимых дифференциальных уравнения
в обыкновенных производных:
dU*
¦ dQ — (р„ cos 0 — pi sin 8) R\R% sin 0;
B.36)
интегрируя которые, получим:
в
* = C1 + \ (pn cos 0 — pi sin 0) RtRz sin 0 dQ;
в'
98
V* = С, - f p2RtRl sin2 9 dQ, B.37)
в*
где Cj и С, — постоянные интегрирования, а нижний предел
интегрирования 6' может быть выбран произвольно — сообразно
с удобствами расчета.
Мы будем отождествлять его обычно с углом, определяющим
один из краев оболочки (рис. 2.4).
Найдя вспомогательные функции U*, V*, можно сразу же
написать, на основании формул перехода B.12), выражения для
усилий S*, 77:
s* =
в'
B.38)
а также, на основании третьего из уравнений B.10), и выражение
для усилия Til
е
П = pnR2 - RiCs^tQ - ^ ^«е f 0».cos в - А sin 8) ЛхЛ, sin вd9.
в*
B.39)
Из рассмотрения полученных формул следует, что компоненты
осесимметричной поверхностной нагрузки рп, рх вызывают в обо-
оболочке только нормальные усилия 77, Тг, а компонента рч — лишь
касательные усилия.
Нетрудно сообразить, .что первая из формул B.38) соответ-
соответствует кручению оболочки вокруг ее оси. Если при этом рг будет
равно нулю, то оболочка будет закручиваться только краевыми
усилиями. Пусть на краю 8=8' действуют касательные усилия S'.
Тогда первая из формул B.38) при рг = 0 дает следующий закон
изменения касательных усилий по оболочке:
Заметим, что
2n(#2Sin8'JS' = 3K, B.41)
где ЗК — момент, закручивающий оболочку вокруг ее оси. Отсюда
касательные напряжения, возникающие в оболочке вращения при
кручении ее моментами, приложенными на ее краях, будут равны
а S* Ш Ш Г242)
Г242)
4* 99
рде Q — площадь того параллельного круга, на котором напря-
напряжение рассматривается.
Большой практический интерес представляет другой вариант
осесимметричной деформации оболочек вращения, а именно —
случай, когда оболочка деформируется осесимметричной нагрузкой
вида plt pn, вызывающей в ней только нормальные напряжения.
С этим случаем приходится встречаться при расчете куполов,
резервуаров и в дальнейшем, употребляя термин «осесимметричная
деформация оболочек вращения», будем подразумевать именно его.
Задавая на краю 8=8' усилие Т* = Т'и находим постоян-
постоянную Съ во второй из формул B.38)!
с, = г;/?2 sin2 e*. B.43)
Отсюда вторая из формул B.38) и формула B.39) могут быть
записаны таю
в
I &п cos 9 ~ Л sin 8) RiRt sin 8 dQ. B.44)
в*
Последние формулы полностью определяют напряженное со-
состояние в симметрично деформированной оболочке вращения (по
безмоментной теории). Заметим, что первая из них может быть
получена, если оболочку, изображенную на рис. 2.4, нагруженную
поверхностной нагрузкой рх (8), р„ (8) и усилиями Т[ по верхнему
краю, рассечь по произвольному параллельному кругу и прирав-
приравнять нулю сумму проекций на ось оболочки всех сил, действую-
действующих на ее отсеченную часть. Следовательно, эта формула является
условием равновесия элемента оболочки, имеющего конечные раз-
размеры. Необходимость соблюдения данного требования однозначно
определяет в рассматриваемой задаче все усилия в оболочке, вплоть
до граничного условия на нижнем ее крае, коль скоро нагрузка
на верхнем крае задана.
Укажем в заключение, что в том частном случае, когда обо-
оболочка имеет всего один край, являясь в вершине замкнутой 8' = О
(днище, купол без отверстия, рис. 2.5), формулы B.44) принимают
вид:
е
77 = rJwq J (Pn cos 8 - pi sin 8) RtRt sin 8 dQ;
о
T\ = pnR2 - j^J^tQ j (Pn cos 8 - p! sin 8) Ях#, sin 8 dQ. B.45)
100
2.7, БЕЗМОМЕНТНАЯ
ТЕОРИЯ КУПОЛОВ
В качестве примера на приме-
применение формул предыдущего парагра-
=qsine
i
I
lh
/
i
I
нение формул предыдущего парагра- \f__ fl
фа сравним с точки зрения безмомент- ™ -jcose
ной теории несколько различных
форм куполов, принимая за расчет-
расчетную нагрузку собственный вес обо-
оболочки. Компоненты этой нагрузки
для купола произвольной формы бу- V
дут равны (рис. 2.5):
Pi = q sin 9; рп - —q cos 9, B.46) Рис- 2-5
где q — вес купола, приходящийся на единицу площади его по-
поверхности.
Подставляя эти значения рх и рп в формулы B.45), находим!
е
в
П = - qR* cos 9 + RJtaiQ J #i#, sin 9 d6. B.47)
Применим полученные формулы к оболочкам, радиусы кри-
кривизны которых определяются соотношениями
п Во D Во
Данным радиусам кривизны соответствуют поверхности, обра-
образованные вращением кривых второго порядка вокруг их оси
симметрии, причем:
при 7 = 0 получим сферу;
при у = —1 — параболоид;
при у >—1 —эллипсоиды;
при у < —1 — гиперболоиды.
Параметр Ro равен значению радиусов кривизны при 9=0,
т. е. в вершине купола.
Подставив B.48) в B.47) и выполнив интегрирование, получим
для усилий TJ, Т\ следующие выражения:
сферический купол
B.49)
параболический купол
B.50)
101
0.8 R
У
'II
111
IV
qR
qR
Tt T2
Рис. 2.6
эллиптический купол
— eacos'B Г A—
1
_
sin* 9
Г A— cos 9)
1 1-е
(I + е'cos 9)
е2 cos2 9
qa cos 9
+ 8 -i /~ 1 — 8 COS 8 1] .
— 8 V 1 + 8 COS 9 \) '
1 — 8a COS3 9 -,,
У1 — в* cos2 9
l-ea
B.51)
В двух последних формулах а — горизонтальная полуось
эллипса (радиус основания купола), а е — его эксцентриситет!
Воспользуемся полученными результатами и сравним четыре
различных купола, показанных на рис. 2.6:
купол I —сферический (Ro = R = 1,25г);
купол II — параболический (Ro = г);
купол III — эллиптический (Ro =¦ 2г, е2 = 0,75);
купол IV — также эллиптический, но отличается от купола III
тем, что образован не из половины эллипсоида, а из меньшей его
части, так как касательные к меридиану купола вдоль его края
не являются вертикальными (Ro = l,625r, е2 = 0,6).
Все четыре купола имеют одинаковую высоту (Л=-^-г) и
перекрывают одинаковые площади (радиуса г). Погонный вес q
также будем считать одинаковым у всех четырех оболочек. На
рис. 2.6 приводятся кривые изменения усилий Т[, 71 по высоте
куполов, вычисленные по формулам B.49), B.50), B.51) и вы-
102
Рис. 2.7
черченные в одинаковом мас-
масштабе. Из этих кривых следу-
следует, что с точки зрения величи-
величины напряжений наиболее вы-
выгоден тот купол, который имеет
в вершине наименьший радиус
кривизны, т. е. купол парабо-
параболический. Наименее выгодным
с той же точки зрения являет-
является эллиптический купол III.
Однако не только этот фак-
фактор является существенным при выборе формы купола. По-
Последняя должна быть такова, чтобы можно было избежать воз-
возникновения в оболочке значительных изгибов. Для устранения
последних необходимо, чтобы опорный контур купола мог вос-
воспринимать на себя приходящуюся на него нагрузку и чтобы при
этом его деформация совпадала с кольцевым удлинением оболочки,
получающимся согласно безмоментной теории. Только при соблю-
соблюдении этих условий безмоментное напряженное состояние будет
иметь место и наш расчет будет соответствовать действительности
(п.2.1).
Разложим усилие, действующее вдоль края купола, на две со-
составляющие — вертикальную и горизонтальную (рис. 2.7). Вер-
Вертикальная компонента Qz будет передаваться на стены, на кото-
которых купол покоится, для воспринятия же горизонтальной компо-
компоненты Qx необходим конструктивный элемент, называемый рас-
распорным кольцом. Если мы сравним рассматриваемые купола с точ-
точки зрения требующегося для них распора, то получим следующую
картину: QXI = 0,375^; Qx и = 0,487</Я; Qx ш = 0; Qxw =
= Q,190qR, где R — рат,иус сферического купола.
Итак, наибольшую площадь распорного кольца требует ку-
купол II, который и будет с этой точки зрения наименее выгодным.
Купол III не требует распорного кольца вовсе, однако его форма
имеет тот существенный недостаток, что ей соответствуют значи-
значительные кольцевые растягивающие напряжения вблизи края обо-
оболочки. Между тем материалом для тонкостенных куполов является
железобетон, работающий на растяжение хуже, чем на сжатие,
ввиду чего форму III если и применяют, то при этом толщину
купола делают переменной, утолщая оболочку вблизи края.
Обратим далее внимание на то обстоятельство, что у оболочки II
кольцевые усилия Т\ сохраняют вдоль меридиана свой знак,
являясь всюду сжимающими усилиями. А так как распорное
кольцо, воспринимая нагрузку Qx, будет растянуто, то, как
очевидно, в данном случае не представляется возможным добиться,
чтобы деформация опорного контура и деформация края были
одинаковыми (поскольку они не совпадают по знаку). У куполов
I, II, IV кольцевые усилия меняют свой знак, превращаясь из
сжимающих (у вершины купола) в растягивающие (вблизи его
103
края). Тот параллельный круг, на котором происходит изменение
знака кольцевых усилий, принято называть швом перехода. На-
Наличие у оболочки шва перехода благоприятно в том отношении,
что у подобных куполов знак кольцевых напряжений будет сов-
совпадать со знаком напряжений в опорном кольце, откуда возникает
возможность так подобрать площадь сечения опорного кольца,
чтобы удлинение края оболочки было равно удлинению опорного
кольца.
Напряжения в опорном кольце могут быть вычислены по фор-
формуле
t3 B-52)
где Г? — значение усилия Т* на краю оболочки; г — радиус опор-
опорного кольца (приблизительно равный радиусу края оболочки);
Qft — площадь сечения опорного кольца; 0О — угол, соответству-
соответствующий краю оболочки.
Соответственно кольцевые напряжения на краю купола будут
равны
a = 7Ц/Л. B.53)
Пусть, далее, модуль Юнга материала опорного кольца равен
Eh, а модуль Юнга материала оболочки равен Е. Коэффициент
Пуассона для железобетона часто полагают равным нулю. Тогда
сравнение удлинений края оболочки и опорного кольца приводит
к формуле
S 3 B-54)
откуда необходимая площадь сечения опорного кольца получается
равной
^^ B.55)
Из этой формулы следует, что площадь сечения опорного
кольца, необходимая для того, чтобы купол находился в безмо-
ментном напряженном состоянии, пропорциональна — Т\1Т\, т. е.
отношению меридионального и кольцевого усилий на краю обо-
оболочки.
Как видно из рис. 2.6, у оболочки I данное отношение явля-
является весьма большим и для нее, следовательно, необходимо весьма
жесткое опорное кольцо. В этом смысле более выгодной оказы-
оказывается форма купола IV, поскольку он имеет достаточно крутой
край (cos 0О — относительно мал) и поскольку у него — Т\1Т\
меньше единицы.
В связи со всем вышеизложенным куполам, приведенным на
рис. 2.6, может быть дана следующая окончательная оценка:
104
купол I невыгоден, так как требует весьма жесткого опорного
кольца;
купол II неприемлем, так как у него нет шва перехода и, сле-
следовательно, кольцевые усилия на его краю будут одного знака.
Формула B.55) дает при этом отрицательное значение Qft, чему
физически соответствует невозможность заставить купол такой
формы работать по безмоментной теории;
купол III вовсе не требует распорного кольца, однако в нем
вблизи опоры действуют значительные кольцевые растягивающие
напряжения, что заставляет утолщать в указанном районе обо-
оболочки такой формы;
купол IV выгоден, так как его можно заставить работать по
безмоментной теории при относительно малой жесткости оперного
контура.
Итак, из рассмотренных четырех форм куполов наиболее прием-
приемлемой представляется форма IV. Возможны и другие столь же или
даже более выгодные формы, причем из вышеизложенного ясно,
какими критериями надлежит пользоваться, сравнивая между
собой формы куполов.
Иногда купол делают сферическим,но для того, чтобы получить
достаточно высокий шов перехода и достаточно крутую касатель-
касательную у края оболочки, прибегают вблизи опорного контура к пере-
переходной дуге, постепенно уменьшая радиус кривизны меридиана.
Подробно этот вопрос изложен в труде [52].
Ч_??/БЕЗМОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ
СОСУДОВ ДАВЛЕНИЯ
В качестве второго примера рассмотрим применение безмо-
безмоментной теории к расчету резервуаров и их днищ. В данном случае
нагрузкой будет равномерное нормальное давление
Рп — Р — COnst,
а прочие компоненты нагрузки равны нулю.
Подставляя эту нагрузку в формулы B.44), получим!
Я, sin» 9 '
105
где
С = (Т[ --LpR^j ^sin29'. B.57)
рис- 2-8 Рассмотрим сначала резервуар,
имеющий форму замкнутой сферы.
Тогда Rt — R2 = R = const и формулы B.56) дают:
1 2 + яsina е ' 12 ~ 2 я sina e • ^•W5'
Постоянную С в рассматриваемом случае необходимо принять
равной нулю, так как в противном случае решение обращалось
бы в бесконечность в точках 0=0, 0 = п (принадлежащих
замкнутой сфере). После этого получаем
= П = -тр = const. B.59)
П
Следовательно, замкнутая тонкостенная сфера, нагруженная
равномерным внутренним давлением, находится в состоянии рас-
растяжения, одинакового во всех сечениях (при внешнем давлении
усилия изменили бы знак и вместо равномерного растяжения полу-
получилось бы равномерное сжатие). Отсюда видно, что замкнутая
сфера является идеальной формой для оболочек, работающих на
равномерное нормальное давление (в смысле равномерности работы
материала). Однако резервуары такой формы применяются от-
относительно редко, что объясняется главным образом сложностью
изготовления замкнутой сферической оболочки (так как ни одна
часть сферы не развертывается на плоскость, замкнутую оболочку
приходится составлять из многочисленных кусков, каждый из
которых должен быть предварительно надлежащим образом изо-
изогнут).
Значительно более удобен как в производственном отношении,
так и по другим соображениям (например, габаритным размерам)
цилиндрический резервуар, закрытый по торцам днищами той или
иной формы (рис. 2.8). Большая часть поверхности такого резер-
резервуара развертывается на плоскость и в соответствии с этим может
быть согнута из плоских листов. Что касается днищ, то, представ-
представляя относительно малую часть поверхности резервуара и будучи
обычно достаточно пологими, они могут быть без затруднений
изготовлены штамповкой или выколачиванием по шаблону.
Применим безмоментную теорию к составной замкнутой обо-
оболочке, образованной из цилиндра и двух днищ. При этом придется
рассмотреть отдельно цилиндр и отдельно днища и затем выяснить
возможность соединения этих оболочек, по возможности, без на-
нарушения требований безмоментной теории. Применяя формулы
B.56) и цилиндрической части резервуара, т. е. полагая в них
Rt = оо; #2 = г = const; 9 = 9' = я/2,
106
находим
Tt = Т'и Ti = pr.
B.60)
Усилие Т\ определяется из условия
равенства осевой силы, растягивающей
резервуар, давлению, приходящемуся на
каждое из его днищ.
Отсюда
77 = П = р
яг»
1я7
— IL
~ 2 '
Г2*=рг. B.61)
Рис. 2.9
Следовательно, согласно безмомент-
ной теории, цилиндрическая часть резер-
резервуара будет растягиваться постоянными продольным G7) и коль-
кольцевыми (TJJ усилиями:
77 = рг/2; П = рг. B.62)
Что касается усилий, возникающих в днище, то их величина
и характер изменения будут зависеть от формы последнего. Наи-
Наиболее употребительными являются три типа днищ, показанных
на рис. 2.9, а именно — днища сферические, эллиптические и коро-
бовые. Последние образуются путем сопряжения оболочки, имею-
имеющей форму части тора, со сферической оболочкой.
Применяя формулы B.56) к сферическому днищу, получим
Tt = T$=pR/2. B.63)
Иначе говоря, согласно безмоментиой теории, в сферическом
днище возникает равномерное растяжение усилиями Т* = pR/2.
Рассмотрим теперь цилиндрическую оболочку совместно со сфе-
сферическим днищем. Из рис. 2.9 видно, что в сопряжении этих двух
оболочек оказывается нарушенным одно из основных условий су-
существования безмоментного напряженного состояния, а именно;
распор сферического днища
Qx = 77 cos е0 = (pR/2) cos 9Q B.64)
может быть воспринят цилиндрической оболочкой лишь через
посредство перерезывающих усилий (случай 0 = л/2, см. ниже).
Отсюда ясно, что фактически возникающие в резервуарах та-
такой конструкции напряжения будут отличаться от тех напряжений,
которые следуют из безмоментной теории, так как изгибами в ок-
окрестности сопряжения сферы с цилиндром, оказывается, пре-
пренебрегать нельзя.
Применим, далее, формулу B.56) к эллиптическому днищу,
для которого (см. предыдущий параграф) радиусы кривизны опре-
определяются выражениями;
d CO.+JV)!^—. D- г A + v)'/2 B.65)
A + v sin2
107
Тогда
т* - pR> - рг
1 2 2
Ra \ — pT 1 — У sin2 9
~ -^-j - — (l 2)I/
B-66)
где
7 = r /ho — 1; ho — высота днища; г — радиус резервуара.
Рассматривая затем цилиндрическую и эллиптическую обо-
оболочки совместно, видим, что в данном случае на краю днища (т. е.
при 0 = я/2) нет радиальной компоненты вектора усилий и,
следовательно, днище эллиптической формы не требует наличия
на краю цилиндрической оболочки перерезывающих усилий.
Таким образом, одно из условий безмоментного напряженного
состояния оказывается в этом случае выполненным. Однако коль-
кольцевые усилия в цилиндрической и эллиптической оболочках по
линии их сопряжения должны быть одинаковыми (для обеспечения
неразрывности кольцевых деформаций).
Сопоставляя усилие на краю цилиндра Г| = рг с усилием
на краю эллипсоида вращения Т% = рг/2 A — у), видим, что они
могут быть равны только при у = —1, т. е. при hiR -»- се, что
практического интереса не представляет. Следовательно, хотя
эллиптическая конструкция днища меньше противоречит требова-
требованиям безмоментной теории, чем сферическая, однако все условия
существования безмоментного напряженного состояния не могут
быть удовлетворены и в этом случае.
Наиболее часто применяют эллиптические днища, высота кото-
которых в два раза меньше радиуса резервуара. При этом у = 3,
кольцевое усилие на краю днища Т\ = —рг, т. е. равно по вели-
величине и обратно по знаку кольцевому усилию на краю цилиндриче-
цилиндрической части резервуара. Оказывается, что при таком выборе раз-
размеров днища изгибающие моменты хотя и возникают, но будут
невелики, так что суммарные напряжения от усилий и от моментов
в днище и цилиндрической части резервуара будут лишь незна-
г°\
г /
Рис. 2.10
108
Рис. 2.11
Таблица
0
5
10
15
20
25
30
35
40
2.1
Tf/pr
1,000
0,988
0,960
0,912
0,860
0,810
0,756
0,709
0,669
TS/pr
1,000
0,968
0,875
0,732
0,559
0,381
0,165
0,087
—0,161
ft о
45
50
55
60
65
70
75
80
85
ТЦрг
0,634
0,603
0,576
0,555
0,539
0,524
0,514
0,506
0,502
—0,317
—0,459
—0,581
—0,693
—0,787
—0,863
—0,925
—0,966
—0,977
чительно выходить за те пределы, какие дает безмоментная теория,
т. е. будут близки к а = prlh.
В табл. 2.1 приводятся вычисленные по формулам B.66)
Т[, Т\ в эллиптическом днище, у которого у = 3, а на рис. 2.10 —
графические результаты этой таблицы.
Коробовое днище характеризуется радиусом его основания г,
переходным радиусом (радиусом меридиана тора) г0, радиусом
сферы R и краевым углом сферы 0О. В силу плавного сопряжения
сферы с тором между этими величинами имеет место связь
(рис. 2.11)
г — г0 = (R — r0) sin Эо. B.67)
Обозначив через ц, отношение высоты днища к радиусу цилинд-
цилиндра г, находим
ц> = IR — (R — r0) cos 80]/г.
Отсюда, используя предыдущую формулу, можно написать
1 — cos 90 — ц sin 90
_?о_
R
ц A — sin90) —cos90 "
B.68)
Последняя формула дает отношение радиуса тора к радиусу
сферы в функции от краевого угла 0О и относительной высоты
днища.
Чаще всего принимают \\ = 0,5. При этом
г0 _ 2 — sin 90 — 2 cos 90
R ~ 1 — sin 90 — 2 cos 90 "
B.69)
На рис. 2.12 показаны четыре различных коробовых днища,
имеющих одинаковую высоту (ц = 0,5) и разные отношения ro/R.
Сферическое днище является, следовательно, частным случаем
коробового (при г0 = 0).
Первое из изображенных на рис. 2.12 днищ имеет такой же
радиус кривизны меридиана в вершине, а второе — такой же
радиус кривизны меридиана у края^ как эллиптическое днище
109
с тем же значением ц, которое, как выше указано, признается оп-
оптимальным.
Применяя формулы B.56) к тору и учитывая, что для него
R =r R — r~r° A~sine) B 70)
sin e "
и что усилие Т{ на верхнем краю тора должно быть (для соблю-
соблюдения статики) равно соответствующему усилию на краю сферы
(т. е. усилию 7\ = pRI2), будем иметь:
г — r0 (I— sin6) .
Т* — PR* _ Рт
' I О о
/-sine
—
2
2~
2/-0 sin2 6
B.71)
Что касается усилий в сферической части днища, то они (как
было получено ранее) определяются формулой
Г? = Г! = pR/2. B.72)
На рис. 2.13 показано типичное распределение усилий вдоль
меридиана коробового днища (по безмоментной теории).
Анализируя полученные формулы, можно убедиться, что усло-
условия существования безмоментного напряженного состояния не
могут быть полностью удовлетворены ни на линии сопряжения тора
с цилиндром, ни на линии сопряжения тора со сферой. Именно
оказывается, что ни при каких соотношениях размеров коробового
днища нельзя добиться неразрывности кольцевых деформаций
вдоль указанных линий сопряжения оболочек. Следовательно,
коробовые днища надо рассчитывать по теории, учитывающей
изгибающие моменты.
Подводя итог изложенному, можно констатировать, что все
рассмотренные типы днищ в большей или меньшей степени не удов-
удовлетворяют требованиям безмоментной
теории. Этот вывод имеет общее значе-
значение, и можно сказать, что цилиндриче-
цилиндрический резервуар, работающий в безмо-
ментном напряженном состоянии, спро-
спроектировать вообще нельзя (напомним,
что в предыдущем параграфе относи-
относительно куполов мы пришли к обрат-
обратному заключению). Расчет подобных
в
226°\
—-—J
~го=О,25г
во=3б,9°^
4,25г
Рис. 2.12
Рве. 2.13
ПО
резервуаров надлежит выполнить в учетом изгиба, что, однако
(как выяснится в дальнейшем), лишь отчасти обесценивает полу-
полученные выше результаты, поскольку они войдут в уточненную
теорию резервуаров как существенная часть общего решения.
Отметим в заключение, что полученные результаты можно рас-
рассматривать как пример, иллюстрирующий справедливость выска-
высказанного в п. 2.3 утверждения, что безмоментная теория не может
давать правильных результатов, если радиусы кривизны срединной
поверхности оболочки терпят разрывы. В самом деле, изображен-
изображенный на рис. 2.8 цилиндрический резервуар, закрытый днищами,
можно рассматривать как единую замкнутую оболочку вращения,
у которой на двух параллельных кругах (соответствующих со-
сопряжению цилиндра с днищами) имеются разрывы одного (элли-
(эллиптические днища) или обоих (сферические днища) радиусов кри-
кривизны. У коробовых днищ радиус кривизны меридиана имеет,
кроме того, еще разрыв на параллельных кругах, соответствующих
переходу от -горообразной вставки к сфере. Таким образом, на
всех этих параллельных кругах безмоментная теория приводит
к разрывам в кольцевых усилиях и, соответственно, к нарушению
сплошности деформации.
2,9. ОБОЛОЧКИ РАВНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ
Как видно из формул B.44), усилия в оболочке зависят как
от ее формы, так и от внешней нагрузки. Возникает вопрос, нельзя
ли подобрать форму оболочки так, чтобы усилия Т\, Т\ были
равны друг другу и одинаковы во всех сечениях. Такого рода
конструкция (которую можно назвать оболочкой равного сопро-
сопротивления) обладала бы перед другими преимуществом равномерной
работы материала, в силу чего, при прочих равных условиях, была
наиболее легкой. Ниже будут рассмотрены две основные задачи
теории оболочек равного сопротивления, а именно определение
наивыгоднейших форм купола и резервуара для хранения
жидкости.
Резервуар равного сопротивления. Спроектируем цистерну для
хранения нефти или иной жидкости, исходя из принципа равного
сопротивления. Нагрузкой в данном случае будет гидростатиче-
гидростатическое давление
Рп = Ро + zp, B.73)
где ре — сверхдавление в верхней точке резервуара; р — удельный
вес жидкости; ось г направлена вниз по оси резервуара с началом
отсчета в верхней его точке.
В силу симметрии нагрузки искомая форма резервуара будет,
несомненно, телом вращения. Полагая, что в уравнениях B.10)
рх = р2 = о, S* = 0, П = П = FD = const,
111
нетрудно убедиться, что первые два уравнения удовлетворяются
тождественно, а третье принимает вид
В силу соотношения B.9) можно записать
1 rf (Да sin 9) _ d (#„ sin 8) _ „
cos 9 dQ ~ d (sin 9) ~ Kl
или
Rt = dxldl, B.75)
где x = Ri sin 0,1 = sin 0.
Подставляя в уравнение B.74) значения Rt и Rit выраженные
через новые переменные х, |, находим
Остается установить зависимость между г, х и ?. Тангенс
угла, образуемого нормалью к оболочке с осью z (т. е. угла 0),
будет равен
tg 0 = dzldx.
Выразив tg 0 через sin 0 и введя обозначение |, получим!
* _ 6 x I l
при 0 < 0 < п/2;
при я/2-<0-<я.
Подставляя в эти формулы г согласно выражению B.76),
получим следующие два дифференциальных уравнения;
первое из которых определяет форму меридиана оболочки равного
сопротивления в интервале 0 -< 0 -< п/2 (т. е. определяет форму
верхней части резервуара), а второе — форму меридиана в интер-
интервале п/2 -^ 0 -^ л (т. е. форму нижней половины резервуара).
Уравнения B.77) нелинейны и могут быть проинтегрированы
лишь приближенно. Если ввести вместо абсолютных координат
меридиана оболочки х и г пропорциональные им безразмерные
величины
112
z\
Рис. 2.14
Рис. 2.15
то с помощью этих новых обозначений формулы B.76) и B.77)
приводятся к виду:
+ z1 = b + 21;
чФ = *
йх\
B.79)
откуда ясно, что искомая форма оболочки полностью определяется
всего одним безразмерным параметром
% = pjVT^. B.80)
Задание второго параметра р/Г0 эквивалентно также и оп-
определению размеров оболочки, поскольку при этом можно будет
вычислить не только относительные координаты xlt zlt но и аб-
абсолютные координаты х, г.
На рис. 2.14 показан типичный вид меридиана оболочки рав-
равного сопротивления. Как видно из этого рисунка, резервуар полу-
получается каплеобразным, имея плоское дно, на которое он опирается
и с которым плавно сопрягаются меридианы.
То, что искомая форма резервуара должна в точности совпадать
о формой покоящейся капли, можно было предвидеть,
если учесть, что поверхностное натяжение жидкости является
постоянным, а давление внутри капли изменяется по гидростати-
гидростатическому закону. Ввиду этого полученные выше уравнения по
существу являются уравнениями теории капиллярности, где они
достаточно хорошо исследованы. В частности, уравнение B.74)
было получено Лапласом и обычно связывается с его именем.
Не останавливаясь на методах аналитического решения урав-
уравнений B.79), сообщим здесь только простой графоаналитический
метод определения формы капли (или, что то же самое, формы ре-
резервуара равного сопротивления), предложенный Кельвиным.
Согласно этому методу меридиан капли составляется из ряда
малых дуг окружностей, причем радиус каждой последующей
окружности вычисляется по размерам, которые снимаются с чер-
113
тежа. Пусть R\ = pitn\ н й = р\П\ будут значения радиусов
кривизны поверхности капли в точке рх (рис. 2.15). Зная их, мо-
можно провести дугу окружности рхрг, весьма близкую к соответству-
соответствующей элементарной дуге меридиана капли. Напишем далее
уравнение B.74) для точек рх и рг\
Р ...
1 ¦ I _ Ро ¦
R[ "г R'i ~ Го "г"
р» ~Г п' — т 1 '
28.
B.81)
Здесь zt и Zg — значения z в точках р\ и рг, a Ru Rl — значения
радиусов кривизны в точке р„; проведя дугу pip2, мы получаем
возможность определить (по чертежу) разность высот точек рг
и р2, а также радиус R2 — р2п2.
Вычитая затем нз второго уравнения B.81) первое, находим
Ri = — \ ; г- • B-82)
"т—
¦«О
г
Вычислив по этой формуле радиус кривизны меридиана в точ-
точке ра, имеем возможность прове-
провести следующую дугу окружности
ргРз (с центром в т2 при ш2р2 —
- #1) и т. д.
Задавшись расстоянием Zt+t —
— Zt = Лг и начиная процесс
построения от верхней точки ре-
резервуара, в которой
D D О О
д\1 -~ *\2 — ~ ,
Рй
можно вычертить шаг за шагом
весь меридиан капли (рис. 2.16.)
На рис. 2.17 показаны мери-
меридианы оболочек равного сопро-
сопротивления, получающиеся при X =
= 0,5; % = 1,0; X = 2,0. Как
видим, понижение сверхдавления
в верхней точке резервуара ведет
и уменьшению его высоты по
сравнению в шириной. Отметим
Рис. 2.1в
Рис. 2.17
114
4*
у//////л
22,50
0 50 №
Рис. 2.18
два крайних случая: когда X ->¦ оо, форма резервуара приближа-
приближается к форме сферы, а когда X -*¦ 0, поперечный размер резервуара
становится бесконечно большим, так что в пределе жидкость ока-
оказывается ограниченной двумя параллельными плоскостями.
Сверхдавление в верхней точке резервуара рассматриваемой
формы должно поддерживаться постоянным и равным расчетному,
так как в противном случае оболочка не будет напряжена равно-
равномерно, и, кроме того, на ней могут появляться складки.
На рис. 2.18 показан резервуар равного сопротивления (спро-
(спроектированный исходя из значения X» 1,1), сверхдавление в верх-
верхней части которого равно нулю, вместо того, чтобы равняться
расчетному. Как видно из приведенных на рисунке графиков, рас-
распределение напряжений в такой оболочке оказывается далеко не
равномерным, причем вблизи опорной плоскости усилия стремятся
к бесконечности, что означает возникновение в данной области
значительных изгибов, которые безмоментная теория, разуме-
разумеется, учесть не в состоянии. Резервуары каплевидной формы иногда
применяются на практике.
Наивыгоднейшая форма купола. Как уже упоминалось, основ-
основной нагрузкой для купола обычно считается его собственный вес.
Попытаемся подобрать форму купола, исходя из равенства напря-
напряжений во всех его сечениях.
Компоненты нагрузки в данном случае будут равны
= q sin 0, pn = —q cos 9.
B.83)
Полагая в уравнениях B.10) Т* = Т1 = Т', считая, кроме
того, что деформация оболочки от угла ф не зависит и что S* = 0,
ps = 0, получим:
dT*/dQ = qRt sin 6;
os 6. B.84)
Существенное отличие рассматриваемой задачи от предыдущей
будет заключаться в том, что Т* нельзя считать постоянным,
так как при этом окажется несоблюденным первое из уравнений
B.84).
115
Решая второе из этих уравнений относительно Rlt получим
В то же время соотношение B.9) позволяет выразить Rx через
Ra иначе, а именно!
Сравнивая формулы B.85) и B.86), получим дифференциальное
уравнение
d(R2s\nQ) R2cos 9 -„ R7>
dB "~ 1 + (9/71*) Rt cos 9 ' ^-6/'
вид которого можно упростить, введя в него обозначения
х = Яа sin в, р - q\h, a = Г«/А. B.88)
(Очевидно, что р — удельный вес материала оболочки, а — на-
напряжение в ней под действием усилия Т*).
Тогда будем иметь
6.x я
tg е + (р/а) ж
B.89)
Так как напряжения во всех сечениях оболочки предполагаются
равными, то отношение р/а будет постоянным. При этом прихо-
приходится считать переменной толщину оболочки h в силу
второй из формул B.88) и первого из уравнений B.84).
Итак, в рассматриваемой задаче равное напряжение всех се-
сечений не может быть достигнуто только за счет формы купола.
Надлежащим образом должен быть подобран и закон изменения
толщины купола вдоль меридиана. Закон этот может быть уста-
установлен, если ввести в первое из уравнений B.84) значения q
и Т* из B.88). После чего получим
B.90)
откуда
е
In (-т~) — — -?- Г i?! sin в d6, B.91)
D
где h0 — толщина оболочки при 0 = 0, т. е. у вершины купола.
Стоящий в правой части формулы B.91) интеграл имеет про-
простой геометрический смысл, поскольку величина Ri sin 0d8 явля-
является проекцией элемента дуги меридиана на ось оболочки. Поэтому
можно записать
в
j #! sin 6 d6 = г, B.92)
Таблица
*l
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2.2
0,0100
0,0402
0,0910
0,1632
0,2580
0,3768
0,5216
0,6946
0,8988
1,1374
1,0101
1,0410
1,0953
1,1773
1,2943
1,4576
1,6847
2,0029
2,4567
3,1187
2,2
2,4
2,6
2,8
3,0
3,2
3,4
3,6
3,8
4,0
1,4138
1,6320
2,096
2,508
' 2,972
3,496
4,100
4,800
5,76
7,22
4,1116
5,6519
8,139
12,28
19,52
32,98
60,34
121,51
317,53
1365,5
где г — вертикальная координата рассматриваемой точки (при
начале отсчета г в вершине купола).
Следовательно, толщина оболочки должна измеияться по закону
Л =
Г S \
B.93)
Функциональная зависимость г от 8 (установление которой
равносильно определению формы меридиана купола) может быть
выяснена путем интегрирования уравнения B.89).
Если ввести вместо абсолютных координат меридиана х a z
безразмерные координаты
хх = -(Р/с) х, гх = -(р/ог) г, B.94)
то уравнение B.89) примет вид
dxJdQ = -^(tg 6 - xj. B.95)
Проинтегрировав его, исходя из условия, что при 0 = 0,
хх = 0, найдем хх = f (9), после чего вторая относительная коорди-
координата меридиана купола вычисляется по формуле
B.96)
получающейся, если учесть выражения B.9), B.88), B.92) и B.94).
Итак, определение относительных координат меридиана обо-
оболочки сводится к решению дифференциального уравнения B.95).
Последнее, по-видимому, можно проинтегрировать только при-
приближенно, что и было выполнено Г. Мегареусом [263], из работы
которого заимствована табл. 2.2.
Как ясно из вышеизложенного, данная таблица исчерпывает
рассматриваемую задачу, поскольку толщина оболочки h определя-
определяется формулой B.93) в зависимости от егк Форма купола равного
117
сопротивления, построенная на ос-
основании табл. 2.2, показана на
рис. 2.19.
Из рис 2.19, а также непосред-
ственно из табл. 2.2, видно, что
• толщина купола должна значитель-
значительно изменяться вдоль меридиана.
Так, если высоту купола принять равной половине радиуса
перекрываемой площади, то толщина у края оболочки должна
быть примерно в 2,5 раза больше толщины у вершины. Если
же принять высоту купола равной радиусу перекрываемой
площади, то это соотношение увеличивается до 20. Следовательно,
высоту купола нельзя делать слишком большой во нзбежание не-
необходимости значительного изменения толщины оболочки. При
малой же высоте купол оказывается чересчур пологим и дает
значительный распор. Кроме того, поскольку оболочка рассматри-
рассматриваемой формы во всех сечениях равномерно сжата, у нее, разу-
разумеется, нет шва перехода, следовательно, как было установлено
в п. 2.7, невозможно создать для нее условия, необходимые для
осуществления безмоментного напряженного состояния. Ввиду
этого называть исследованную выше форму купола «наивыгод-
«наивыгоднейшей» можно лишь условно. Она выгодна с точки зрения рас-
распределения напряжений вдали от опорного контура, но не является
выгодной с точки зрения возможности обеспечения надлежащих
опорных условий. Между тем, последнее условие весьма важно и
при проектировании куполов всегда учитывается. Поэтому купола
рассмотренного типа, насколько нам известно, на практике не
применялись.
2.10. ОБРАТНОСИЛШЕТРИЧНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ
При расчете оболочек вращения второе место по своему практи-
практическому значению (после осесимметричной нагрузки) занимают
так называемая обратносимметричная нагрузка, компоненты ко-
которой выражаются формулами;
Pi = Pi, I cos ф; ра = Р», i sin <р; р„ = pn, x cos <р, B.97)
получающимися из B.25) при k = I.
Эту нагрузку часто называют также нагрузкой «ветрового типа»,
поскольку давление ветра на купол в первом приближении может
быть имитировано компонентами вида B.97).
Покажем, что при такой нагрузке (как и при осесимметричной)
уравнения безмоментной теории интегрируются в квадратурах
для оболочки вращения произвольной формы.
Основное дифференциальное уравнение B.27] принимает- в
данном случае следующий видз
118
где
Fl (е> = R^sin е ~Ж Ир»- 1cos e ~ Pi. isin е) ^2 sin2 9] - .
- #2 (рп, 1 - р2. i sin 9). B.99)
Введем в него вместо U' новую вспомогательную функцию
Y = UtR2 sin 6. B.100)
Тогда, если учесть при дифференцировании соотношение B.9),
уравнение B.98) можно переписать так:
после чего Y определяется в результате двух последовательных
интегрирований.
Первое интегрирование дает
— pi.i sin 9) Rl sin2 9] dQ — f (pn,, — p2>! sin 9) R{R2 dQ. B.102)
Применяя далее в правой части интегрирование по частям,
находим
-^- = CtRt sin 9 + Ф^1 sin 9, B.103)
где Ct — произвольная постоянная, а
ф = (pn> I cos 9 — pi.i sin 9) R\ sin 9 —
e
— J (pn. i sin 9 + pi, i cos 9 — p2, i) R1R2 sin 9 dQ, B.104)
e'
причем нижний предел интегрирования 9' может быть выбран про-
произвольно.
В дальнейшем будем отождествлять его с углом, определяющим
верхний край оболочки (которая в общем случае может быть огра-
ограниченной двумя параллелями, рис. 2.4).
Выполняя второе интегрирование, получим
в
}
Y = С* + Сх } Rt sin 9 dQ + } ФЯх sin 6 dQ, B.105)
где Cs — еще одна произвольная постоянная.
Возвращаясь от У к U* и переходя с помощью формул B.26)
и B.12) от Щ к 77, находим:
(е е \
c2 + d J/?, вше <ю+[ф/?1 sine del см q>.
е' в* /
B.106)
119
Из третьего уравнения B.10) далее следует
п = \Рп.xRi- RxR^е \с2 + с, ]ъsinedo +
-f ]" <!>Ri sin 6 dQ J совф. B.107)
Наконец, из первого уравнения B.13) можно определить и
касательное усилие S*i
-^- - Rl sin» e -^ =
+ (Pn cos 0 — pi sin 8) R\ sin2 0 =
[/ в \
C2 ctg 9 — Cx \r2 sin 6 — ctg 6 f Ri sin 6 del —
— Ф#2 sin e + (pn. i cose —pi.i sine) ri sin2 e +
er 1
+ ctg в \ <l>Ri sin в dQ cos9. B.108)
e- J
Подставляя сюда
S* = St sin ф,
получим
Г / e ч
P. COS в л r> I r.
sin3 6
-J
6 8Шф =(rrt
B.109)
где
К (9)= я Jme J(p»,1slne + pllIcose-p8,1)/?1/?i!sinede.
B.110)
Входящие в полученное решение две постоянные С^ и Са
должны быть определены путем задания усилий Г" и S* на верх-
120
Рис. 2.20
нем краю оболочки. Полагая в формулах B.106) и B.109) 8 га
era 8', ПОЛуЧИМ
С2 = (Ri sin 6')8 Ti. |,
Ci = Ti. iR'2 sin 6' cos 8' - SiRi sin 6'. B.111)
Из этих формул следует, что если 8' = 0, т. е. если купол не
имеет в вершине отверстия, то
Cj =я С, ая 0.
Между прочим, все полученные в этом параграфе формулы
могут быть выведены также путем рассечения оболочки по произ-
произвольному параллельному кругу и рассмотрения условий равнове-
равновесия выделенной части оболочки под действием всех приходящихся
на нее сил.
В качестве примера на применение выведенных выше формул
определим усилия, возникающие в сферическом куполе под дав-
давлением ветра. Будем считать купол имеющим вид полусферы, а
давление ветра представим компонентами
Рл » р2 = 0, рп =я —q sin 8 cos ф. B.112)
Иными словами, будем полагать, что ветер создает только нор-
нормальную нагрузку, изменяющуюся так, что в вершине купола и
на меридианах, определяемых плоскостью, перпендикулярной к на-
направлению ветра, она равна нулю. Давление достигает максимума
со стороны ветра и минимума с подветренной стороны (подсос)
(рис. 2.20).
Формулы B.112) могут рассматриваться, разумеется, лишь
как самое первое приближение определения ветровой нагрузки,
однако ими нередко пользуются в практических расчетах. Для
определения 77, 72, S* могут быть непосредственно использованы
формулы B.106), B.107), B.109), в которых Сх и С2 надо считать
равными нулю, так как купол в вершине замкнут. Полагая в этих
формулах
= R, pui = P2,i = 0, pn>1 = — q sin 8, 8' = 0,
121
Рис. 2.21
получим
П. —
* >»-
6, = —г
7?,1 = —</i?fsin 0 —
B + cos 9) A — cos 9)a
sin» 9
B + cos 6) A - cos 6)«]. B.113)
На рис. 2.21 показан закон изменения коэффициентов 77, ь
Т$. iS{ по высоте купола.
2.11. АФФИННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
В БЕЗМОМЕНТНОЙ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК
Метод аффинного преобразования. Выше безмоментная теория
была применена к оболочкам вращения, причем был изложен об-
общий метод решения, основанный на разложении внешней нагрузки
и всех действующих в оболочке усилий в тригонометрические ряды
по углу ф. Как было замечено Ф. Дешингером [241], результаты,
полученные для оболочек вращения, иногда могут быть исполь-
использованы и для расчета по безмоментной теории овальных оболочек.
Рассмотрим оболочку произвольной формы, находящуюся в
безмоментном напряженном состоянии под действием поверхно-
поверхностной нагрузки р и соответствующих условий закрепления краев.
Пусть срединная поверхность оболочки задается радиусом-век-
радиусом-вектором
X*U, ifc'sl®, B.114)
где a, p — криволинейные, вообще говоря, не ортогональные
координаты; ф — знак транспонирования.
Получим из этой оболочки (которую будем называть исходной)
некоторую другую (вспомогательную) путем следующего линей-
линейного преобразования (ct — const):
Х\ = С\Х\, Х2 = С2*2, *3 =
122
или
f= О с, О riCr = fofih, cjctit> cax8i,l®. <2.115)
L о j
(Штрихом здесь и ниже в этом разделе помечены величины, отно-
относящиеся к вспомогательной оболочке.)
Векторное уравнение равновесия безмомеитиой теории для
исходной оболочки можно получить, повторив рассуждения, при-
приведшие к уравнению A.91)t, с учетом того, что координаты а, $
не являются ортогональными. Искомое уравнение имеет вид
-? (BTSfi* + BS*4) + JL (Л5«е„ + AT fa) = -pAB | е„ x eB |,
B.116)
рде ва, ер, А, В определяются формулами A.3), A.4).
Единичные векторы, связанные с координатными линиями о,
Р на срединной поверхности вспомогательной оболочки, определя-
определяются по формулам!
е
С учетом этих формул уравнение равновесия безмомеитной тео-
теории для вспомогательной оболочки можно записать в виде
|е„хер| С р
Сравнивая уравнения B.117) и B.116), приходим к выводу,
что при нагрузке на вспомогательную оболочку
усилия в исходной оболочке выражаются через соответствующие
усилия вспомогательной оболочки по формулам
Aft' A'R
Т* = Г Г«' ГР = -Ж" т»> S' = S"- Bл 19)
Вводя обозначения
[еа. еэ, еа х е„1® = [ltJ] |llf is, i,J® B.120)
и учитывая, что
123
получим
А'-УШ^Ж+Ж А, В' =
| Сеа х СЧ | = {сЖх + c\c\t\2 + сЖI/2. B.121)
Используя введенные обозначения, метод аффинного преобра-
преобразования безмоментной теории оболочек можно сформулировать
так: если на вспомогательную оболочку действует нагрузка
П; = k У Sl ^ 32 ^ ^3 О; k — 1 2 3
Pi /.2.2,2 , -2.2,2 , -2.2/2 \1/2 Р/> « — 1, А О,
k
-г
то усилия в исходной оболочке выражаются через усилия вспомо-
вспомогательной оболочки по формулам
Т1 = ПП'; Т1 = П-Щ'; S* = S", B.123)
где
Достоинством метода аффинного преобразования является то,
что определенному виду оболочек мбжно сопоставить при помощи
B.115) такие вспомогательные оболочки, для которых система без-
моментных уравнений равновесия легко разрешается. Значит,
не составляет особого труда найти безмоментное напряженное со-
состояние и в исходной оболочке, используя формулы B.123),
B.124).
Расчет эллипсоидального днища. Применим метод аффинного
преобразования к задаче о напряжениях в овальном днище, на-
нагруженном внешним нормальным давлением р = const. При этом
предполагаем, что срединная поверхность днища составляет поло-
половину трехосного эллипсоида с полуосями а, Ь, г0 (г0 — высота
днища, 2а и 26 — его длина и ширина).
Векторное уравнение срединной поверхности этого днища
имеет вид
г = a sin 9 cos (pii -f b sin 9 sin (pi2 -f- r0 cos 9i3,
@ < 9 < я/2, 0 < ф < 2л). B.125)
Параметры Ламе, соответствующие криволинейным коорди-
координатам 9 и ф, определяются формулами:
А = а У\ — ej cos2 9 sin2 ф — ei sin2 9; В = a sin 9 У 1 - e\ cos2 <p,
B.126)
где
m = V\ - P/cP ; e2 = У 1 - гЦа\
124
Проекции векторов е9, еф, е9Хеф на оси неподвижной системы
координат определяются матрицей
^ -^-cos 9 cos ф -j- cos 9 sin ф
Ы =
— -g- sin 9 sin ф
-Ink sin2 9 cos ф
-j- sin 9 cos ф
j- sin 9
О
AB
sin2 9 sin ф
cos 9 sin 9
B.127)
В качестве вспомогательной рассмотрим оболочку со средин-
срединной поверхностью в форме полусферы радиусом г0, уравнение
которой имеет вид
г* = г0 sin 9 cos ф^ -j- Л> sin 9 sin ф1а + r0 cos 9i8»
@ < 9 < я/2, 0 < ф < 2я). B.128)
Сравнивая формулы B.125) и B.128), видим, что координаты
полусферы могут быть получены из координат эллипсоида с по-
помощью линейного преобразования B.115), где следует приняты
Cf. s=s rja; Ca &= ro'/b; с, « 1. B.129)
Это позволяет заменить расчет эллипсоидального днища со-
соответствующим образом нагруженного полусферического днища.
Выясним, какая нагрузка на сферу отвечает действующей на
эллипсоид нагрузке рп =—р. Используя обозначения B.114),
B.120), можно написать
P—— fltt ssz - t
lZ J
B.130)
B.131)
Учитывая вытекающее из формул B.121), B.120) и B.126)
соотношение
| оса А ОСр | То"*1» "» (Z.I04)
I Ieo X ер |
Тогда в соответствии с формулой B.118) будем иметь
на основании формулы B.131) находим!
хСерТ^ Р-sin 9 COS-
^-fCif??e7T = -/'XSln9Sin^
| Се,» х Сер |
-р^-СО8 9.
B.133)
125
По аналогии с B.120) можно записать
[ее, е^, п']Ф = [Гц] [1Ь is, i3]®, B.134)
где для поверхности B.128) матрица Ц'{{] принимает вид
cos 8 cos ф cos 8 sin ф —sin 8
—sin ф cos ф 0
sin 8 cos ф sin 9 sin ф cos 8
Тогда нагрузка на вспомогательную оболочку будет иметь
B.135)
вид:
Ре = р[1'и
= ~Р (Г
Т"
~ ~^~) cos e sin
р„ = — р
sin 8 sin ф cos
р'п = — p(-?-sm29cos4 + -f-sin2 8 sin2 ф + J*-cos2 9) . B.136)
Эта нагрузка может быть представлена так:
Ре = Ре, о + ре. 2 cos 2ф; р'9 — р'9,0 + p'v, 2 sin 2ф;
р'п = рп.о + Рп.2 cos 2ф, B.137)
где
Ре.о = —р(-
cos 9 sin 8,
2 9 ^
= 0;
Рв.2 = з"
е\
Рп.2 = ^-
3s29); С
8 sin 8; р;,2 = — ~- . е^_ 2 sin 8;
sin2 9. B.139)
Задача свелась, таким образом, к расчету сферической обо-
оболочки на нагрузку типа B.24), при наличии в рядах лишь членов,
у которых k = 0 и k = 2. Рассмотрим эти два случая по отдель-
отдельности.
Случай k = 0. Для вычисления усилий, вызываемых нагруз-
нагрузкой B.138), можно воспользоваться непосредственно формулами
B.45). Окончательно получим:
--^.?-; B.140)
D
»' ' n Rz 71* Рг0 Г а^ I
ф. 0 — Pn. 0A2 jrj— i 8, 0 — 2— I 1" "*
126
Случай k z=2. Дифференциальное уравнение B.27) в данном
случае будет иметь вид
=г81п1в-BЛ41)
Непосредственной проверкой можно убедиться, что частным
решением уравнения B.141) будет выражение
а решение однородного уравнения имеет вид
Отсюда получаем общее решение (конечное при 8=0)
UV = В tg2 -§- + Jg. y_fL- sin2 9. B.142)
Теперь, пользуясь формулами раздела 2.4, отнесенными к рас-
рассматриваемому частному случаю, нетрудно получить следующие
выражения для усилий в сферической оболочке, вызываемые
нагрузкой B.139):
to1 т + * -yfbr)cos 2ф:
22 X + ^- "у^ cos2 9) cos 2Ф;
4 + •?¦ -yr=ircos 9)sln2ф' BЛ43)
Если предположить, что эллипсоидальное днище покоится
на совершенно гладкой опоре, которая не может воспринимать
касательных усилий S*, то в соответствии с формулами B.119)
и B.139) будем иметь
S* I О*'! Л
|е=я/2 = <j |е=я/2 —-Ui
откуда следует, что 5=0.
Объединяя формулы B.140) и B.143), получаем выражения
для усилий в полусферическом днище от действия суммарной на-
нагрузки B.137):
S" -^-^i^ cos в eta 2»;
cos2 9 eos 2ф|. B.144)
127
Теперь уже не составляет труда определить усилия в эллипсо-
эллипсоидальном днище с помощью формул B.123), где следует положить
П = У1 ~е! cos2 6sin'у-ej sin'6 ,2
Vl— efcos'q* " \ ¦
Таким образом, получено в замкнутой форме решение задачи
о напряжениях, вызываемых равномерным внешним давлением
рп = р в эллипсоидальном днище, опертом на гладкое основание.
Наибольший интерес представляют значения усилий в трех
точках, а именно — в вершине днища, на краю в конце большой
полуоси и на краю в конце малой полуоси. Используя формулы
B.123), B.144) и B.145), находим:
усилия в вершине днища (9=0, ф = 0)
усилия на краю днища в конце его большой полуоси (9 = я/2,
Ф=0)
т1~ — ^-(^--^-л\- т' - pr° ( w ab* i a A-
1 в~ 2 Uo *2 Ч' Уф~ 2 iV '8+'о V'
усилия на краю днища в конце его малой полуоси (9 = л/2,
Ф = я/2)
В заключение раздела отметим, что возможности метода аф-
аффинного преобразования весьма ограничены из-за дефицита в про-
произвольных постоянных (функциях) для удовлетворения гранич-
граничным условиям практических задач. Это связано с тем, что метод
применим лишь для определения безмоментных усилий. В гл. 15
метод аффинного преобразования распространяется на случай
оболочек с бортовыми элементами.
2.12. УРАВНЕНИЯ БЕЗМОМЕНТНОЙ ТЕОРИИ
В ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТАХ
Расчет по безмоментной теории перекрытия, граничный кон-
контур которого не совпадает с линией кривизны, как правило, удоб-
удобнее выполнять, пользуясь декартовой системой координат.
Пусть срединная поверхность оболочки задана уравнением
г = / (х, у) (см. рис. 1.13). Направление осей X и Y выбирают,
сообразуясь с удобством расчета (например, для перекрытия
с прямоугольным планом их направляют вдоль сторон основания
перекрытия).
128
Рассмотрим условия безмоментного равновесия элемента, выде-
выделенного из оболочки двумя близкими плоскостями, параллель-
параллельными XOZ, и двумя близкими плоскостями, параллельными YOZ
(см. 1.15).
Проекция этого элемента на плоскость XOY представляет
собой прямоугольник со сторонами dx, dy, Обозначим вектор
усилий, действующих на грани элемента /%/Па, через — Тж, а век-
вектор усилий, действующих на грани щт^ через — Т„. Тогда сила,
приходящаяся на всю грань щт2, будет равна
-Txds2 = -Тх У\ + (-|~)% = -T,v dg,
а сила, приходящаяся на всю грань
= -Т„ l/l + (-g-Jd* = -TVV dx.
На противоположных же гранях щш4 и /jvn3 будут действо-
действовать СИЛЫ!
Имея в виду, что перекрытия рассчитываются в основном на
собственный вес, будем считать, что поверхностная нагрузка,
действующая на оболочку, имеет только вертикальную компо-
компоненту pz. При этом поверхностная сила, приходящаяся на рас-
рассматриваемый элемент оболочки т^пцтзгп^ будет равна
На основании сказанного условие равенства нулю главного
вектора всех сил, приложенных к данному элементу, выражается
уравнением
dTv dTv
где iz — единичный вектор, направленный по оси Z.
Спроектировав его на координатные оси, получим:
дТух __ n. "' xg . "' yy _ n. "'хг _i "'уг v
5u U> дх "г Эг/ U> ад: "г «9u ~" Pz •
a* n ay ' йл ^ aj/ • a* ^ ay
B.147)
5 В. В. Новожилов и др. 129
Здесь
al/ 1+1 -ЗГ- J » 1 xy = i xg
- г
,
<2-148)
Рассмотрим далее условие равенства нулю главного момента
всех сил, действующих на выделенный элемент срединной поверх-
поверхности. Приняв за точку приведения центр тяжести элемента
mlmimzmi, проведя через него три прямые, параллельные коорди-
координатным осям, и приравняв нулю суммы моментов относительно
этих прямых всех сил, действующих на элемент, находима
rv _ TV J?! tv -^L — n-
1 хг l xx dx lVx gy — U,
rV rV dz ry дг __ _
* UM - I VV -gjj- - I xy -gj- - U,
ТЪ = ТЪ. B.149)
Первые два из этих равенств выражают условие, что в обо-
оболочке, находящейся в безмоментном состоянии, векторы усилий
не должны иметь компонент, нормальных к срединной поверх-
поверхности. Третье равенство выражает закон парности касательных
усилий (в принятой системе координат).
Введя выражения для усилий Т« и Т^г согласно B.149)
в третье уравнение B.147) и учитывая первые два уравнения этой
системы, получим!
*¦-¦?¦+2Т» -шг+г- ж - -*v- BЛ50)
Заметим далее, что первые два уравнения B.147) идентичны
по виду уравнениям плоской задачи теории упругости в напря-
напряжениях. Это позволит ввести функцию напряжения, связанную
с усилиями формулами
V_rV_ &<t> . „у д*Ф /о ten
'v-Ty* -Щ$-> Tyy^-gjr. B.151)
Первые два уравнения системы B.147) при подстановке в них
усилий, определяемых формулами B.151), удовлетворяются тож-
тождественно. При подстановке же выражений B.151) в уравнение
B.150) приходим к следующему уравнению относительно функции
напряжения!
дЧ <Э»Ф о д*г д*Ф , д*г д*Ф у /oico^
ду* дх* дхду дхду дхж ду* "* ' V • " /
130
,ds9
fdo
dy
dx
которое было выведено А. Пухером
ИЗО].
Остановимся на некоторых свой-
свойствах функции Ф. Рассмотрим с этой
целью на граничном контуре средин-
срединной поверхности оболочки (который
считаем произвольной замкнутой про-
пространственной кривой) линейный эле-
элемент da. Из концов этого элемента
проведем линию х и линию у и рас-
рассмотрим равновесие образующегося
элементарного треугольника тт^п^
(рис. 2.22).
На сторону rnj/n, будет действовать тангенциальная внешняя
fd
m
m,
T.y(-ds()
Pic. 2.22
ру j, у
сила fdo, на стороны тщ и ттх — внутренние силы
T^dsj = -T, ]/ + ifg Uy, ,()
B.153)
В последней формуле перед дифференциалом дуги dst постав-
поставлен знак «—», так как положительному приращению дуги контура
оболочки (в первом квадранте плоскости XOY) соответствует отри-
отрицательное приращение координаты х.
Требование, чтобы главный вектор всех сил, действующих на
рассматриваемый треугольный элемент оболочки, равнялся нулю,
приводит к формуле
B.154)
Последний член здесь должен быть отброшен как величина
второго порядка малости, после чего B.154) принимает вид:
f da = Tx dy — T^f dx. B.155)
Спроектировав это векторное равенство на оси X и Y, получим
fxda = T%cdy — T^xdx — -^-j-dy + дхд dx,
fy da = Tyxvdy - 7v, dx = — ^J- dy - -— dx. B.156)
Последние равенства могут быть проинтегрированы вдоль гра-
границы оболочки, в результате чего получим
дх
(на Г),
где
a Q и С,
б*
о о
произвольные постоянные.
О
= \fyda,
B.157)
B.158)
131
Под Г подразумевается замкнутая кривая на плоскости XOY,
являющаяся проекцией края срединной поверхности на эту
плоскость. Начало отсчета дуги а этого края может быть выбрано
произвольно.
Интегралы B.158) равны проекциям на оси X и Y главного
вектора всех сил, действующих на участок границы срединной
поверхности @, а).
Умножив первое уравнение B.157) на dx, а второе — на dy
и проинтегрировав полученное равенство вдоль а, будем иметь
ф = С + СгХ + Сгу + Зй (на Г), B.159)
где
0 О
-lx(a)-x(t)]fy(t)}dt. B.160)
BR — момент всех внешних сил, действующих на участок края
оболочки @, а) относительно вертикальной оси, проходящей че-
через точку а.)
В рассматриваемой задаче (как и в плоской задаче теории уп-
упругости) добавление к функции Ф членов, линейно зависящих от х
и у, не влияет на поле напряжений в оболочке. Поэтому (по край-
крайней мере в том случае, когда область, ограниченная контуром Г,
односвязна) в B.158), B.159) можно принять С — Сг = С2 =0,
после чего эти формулы принимают следующий окончательный
вид:
1г = -^ "f" = р*> ф = 2» (на Г)" (
Равенства B.161) аналогичны известным формулам плоской
задачи теории упругости, связывающим значение функции напря-
напряжения и ее частных производных на границе области с краевой
нагрузкой.
Дифференциальное уравнение B.152) принадлежит к эллипти-
эллиптическому типу, если гауссова кривизна оболочки положительна,
к гиперболическому типу, если она отрицательна, и к параболиче-
параболическому типу, если она равна нулю.
Наибольший интерес представляет первый случай, на котором
и сосредоточим свое внимание. При этом решение уравнения B.152)
становится вполне определенным при задании на контуре Г
функции Ф или ее нормальной производной.
Особого внимания заслуживает граничное условие
Ф =0 (на Г). B.162)
Ему соответствует ЗЛ = 0, т. е. нагрузка, действующая на
границе оболочки, такова, что не создает момента вокруг верти-
вертикальной оси, проведенной через произвольную точку (а) края
оболочки.
132
Отсюда следует, что для практической реализации граничного
условия B.162) опорный контур оболочки надо выполнить как
можно более гибким в горизонтальной плоскости. Вместе с тем,
он должен обладать как жесткостью на растяжение, так и жестко-
жесткостью на изгиб в вертикальной плоскости, чтобы иметь возможность
воспринять передаваемую на него оболочкой тангенциальную на-
нагрузку и, кроме того, чтобы оболочка была лишена свободы чисто
изгибного деформирования.
Оказывается, что такой вариант краевых условий не только
наиболее прост в математическом отношении, но и наиболее выго-
выгоден по чисто практическим соображениям. В самом деле, не пред-
представляет труда придать краю перекрытия достаточную жесткость
в вертикальной плоскости, т. е. в плоскости стен здания. Соответ-
Соответственно, нетрудно придать опорному контуру перекрытия и со-
соответствующую жесткость на растяжение.
Наоборот, весьма нелегко обеспечить ему жесткость на изгиб
в горизонтальной плоскости. Для этого пришлось бы усилить
край оболочки мощными подкреплениями, развитыми в направ-
направлении, перпендикулярном к стенам здания, что представило бы
ряд конструктивных неудобств независимо от того, были бы эти
подкрепления обращены внутрь перекрываемого помещения или
наружу.
Ввиду сказанного на практике обычно стремятся реализовать
вариант краевых условий, при котором опорный контур не рабо-
работает на изгиб в горизонтальной плоскости, т. е. вариант B.162).
Рассматриваемая задача может быть сформулирована и в виде
вариационного принципа. Оказывается, что из множества функ-
функций Ф, подчиняющихся на границе области Г условию B.162),
подчиняться, кроме того, и уравнению B.152) будет та, которая
придает стационарное значение функционалу
V — Г Г [~JL J^L (Л®Лг _ д*г дФ дФ ,
J J L 2 ду* \ дх ) дхду дх ду +
> B163)
где интегрирование распространено по площади области, ограни-
ограниченной контуром Г.
В сказанном нетрудно убедиться, взяв от V вариацию и затем
выполнив обычные для вариационного исчисления преобразова-
преобразования. При этом (с учетом того, что 6Ф = 0 на Г) придем к равен-
равенству
JJ L ду* дх* дхду дхду '
0' <2164>
из которого (ввиду произвольности 6Ф) и вытекает уравнение
B.152).
ИВ {
НЕ БОЛЕЕ f И КНИГИ В \ 133
ОДНИ РУКИ И 2Х В ДВЕ !
Соотношения B.163) и B.164) открывают возможности для
приближенного решения уравнения B.152) при граничном усло-
условии B.162).
Пусть контур Г определяется уравнениеи
L(x, у) =0. B.165)
Тогда функцию Ф можно искать в следующей виде!
Ф. = L (х, д) 2* 2 Atjx*gi-i, B.166)
10 10
l«=o 1=0
где At} — постоянные, которые могут быть определены по иетоду
Бубнова—Галеркииа, для чего B.166) надо подставить в B.164).
2.13. РАСЧЕТ ПЕРЕКРЫТИЯ, ИМЕЮЩЕГО ФОРМУ
ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ПАРАБОЛОИДА
Пусть срединная поверхность перекрытия очерчена во эллип-
эллиптическому параболоиду
*-*—г (-5-+-?¦)• <2Л67>
В этом случае уравнение B.152) принимает следующий наи-
наиболее простой вид:
А д*Ф , А
B.168)
Если считать, что нагрузка равномерно распределена по пло-
площади основания перекрытия и направлена вниз, то
, = const.
Подставив B.169) в B.168) и введя новые безразмерные ко-
координаты
I =х/а, т] =у/Ь
и новую вспомогательную функцию
получим уравнение
которое (если считать, что опорный контур перекрытия не сопро-
сопротивляется изгибу в горизонтальной плоскости) должно решаться
при краевом условии
Ф = ? « 0 (на Г), B.171)
134
где Г' — граничный контур плана перекрываемого помещения
на плоскости |, tj.
Следовательно, расчет перекрытия, имеющего форму эллипти-
эллиптического пераболоида, на нагрузку, равномерно распределенную
по его плану, оказывается в математическом отношении идентичен
вадаче о кручении призматического стержня с поперечным се-
сечением, имеющим форму Г'.
Данная аналогия была подмечена В. 3. Власовым [19]. Она
позволяет заимствовать для безмоментной теории оболочек неко-
некоторые результаты, полученные в теории кручения.
Расчет купола с эллиптическим планом. Пусть имеется обо-
оболочка в форме эллиптического параболоида B.167) со стрелой
подъема А, ограниченная плоской кривой (Г):
На плоскости ?. т) эта кривая преобразуется в окружность Г'
?а Н-л* = 1-
Как известно, функция кручения ? для стержня с круговым
поперечным сечением имеет вид [129]
Переходя теперь от ? к Ф и от ?, т) к х, у имеем
откуда получаем следующие выражения для усилий в перекры-
перекрытии:
ГУ _ Яоа% . ГУ _ Ч»Ь* . rv__rv_o /oi7<»
Перекрытие оказывается во всех сечениях сжатым, его опор-
опорное кольцо работает без изгиба. Оно, однако, должно создавать
куполу надлежащий распор, обеспечивая на его краю усилие, со-
соответствующее формулам B.172), при этом в опорном кольце воз-
возникает растяжение. Условие сопряжения деформаций кольца и
купола требует, чтобы в каждой точке границы удлинение пер-
первого было равно удлинению второго. Возникает противоречие,
аналогичное тому, какое имеется у купола вращения с параболи-
параболическим меридианом: опорное кольцо растянуто, а купол сжат.
Расчет купола вращения, имеющего в плане равносторонний
треугольник. Пусть перекрытие имеет форму параболоида вра-
вращения
а перекрываемое помещение имеет форму равностороннего тре-
треугольника с высотой За (рис. 2.23 ). При этом край оболочки яв-
135
B(a,V3a,0)
Рис.2.23
ляется пространственной кривой, имеющей три угловые точки и
состоящей из трех аркообразных участков, лежащих в вертикаль-
вертикальных плоскостях.
Эта задача (если считать, что опорный контур не работает на
изгиб в горизонтальной плоскости) сводится к задаче о кручении
стержня, имеющего в сечении равносторонний треугольник, сто-
сторона / которого равна
/ = 2/3"а= VW R.
Как известно из теории упругости [129], функция круче-
кручения ? в данном случае определяется формулой
Отсюда имеем
и, следовательно,
- ь~ V ~Т
. , х
д*Ф _ 1 <?„/?» g
~ 2 A T'
Отсюда видно, что поле напряжений в куполе с треугольным
планом оказывается достаточно плавным. Максимальные сжимаю-
сжимающие усилия действуют в углах и превосходят в три раза усилия
в вершине купола. Стоит отметить, что усилия в углах купола
остаются конечными (см. п. 2.15). Ниже, выполнив аналогичный
расчет для купола с прямоугольным планом, мы увидим, что там-
напряжения в угловых точках оболочки оказываются бесконечно
большими.
Обратим еще внимание на то, что нагрузка, действующая на
рассматриваемое перекрытие, передается на его три опорные арки
136
посредство усилий, касательных к контуру, тогда как у ку-
куполов вращения с круглым планом она передается через посред-
посредство нормальных усилий.
Прием создания распора оболочке не за счет нормальных, а за
счет касательных усилий часто применяется в настоящее время,
поскольку он имеет определенные конструктивные преимущества
в тех случаях, когда план оболочки отличен от кругового.
2,14. РАСЧЕТ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ПАРАБОЛОИДА
С ПРЯМОУГОЛЬНЫМ ПЛАНОМ
Если поверхность перекрытия вадана уравнением B.167),
а план перекрываемого помещения имеет форму прямоугольника
со сторонами 2а и 2р\ то край оболочки является пространствен-
пространственной кривой, имеющей четыре угловые точки и состоящей из че-
четырех симметрично расположенных аркообразных участков. Та-
Такого вида перекрытия (хотя и не обязательно образованные по
эллиптическому параболоиду), пожалуй, наиболее типичны для
нашего времени, что заставляет несколько остановиться на них.
Считая нагрузку на перекрытие равномерно распределенной
по ее плану, можно свести рассматриваемую задачу к задаче о кру-
кручении стержня, имеющего в сечении прямоугольник со сторонами
2Ео = 2о/а, 2% - 2р7& (Ео/по < 1).
Однако использование соответствующего решения в той форме,
в какой оно приводится в курсах теории упругости (см., напри-
например, [129]), в рассматриваемой задаче оказывается неудобным,
так как, если в задаче о кручении интерес представляют только
сама функция ? и ее первые частные производные, то при расчете
перекрытия основной целью является определение вторых част-
частных производных от этой функции, ряды для которых оказы-
оказываются медленно сходящимися вблизи края оболочки. Поэтому,
следуя ходу рассуждений, который применяется в задаче о кру-
кручении стержня прямоугольного профиля, мы затем подвергаем
полученное решение некоторым дополнительным преобразованиям,
с целью выделения из рядов особенностей, ухудшающих их сходи-
сходимость.
Представим правую часть уравнения B.170) в виде ряда
где
« _ 2n-f I я
^ 2 IT'
и будем искать ? в виде аналогичного ряда
п«=0
137
Тогда для коэффициентов ?n (tj) получатся следующие диф-
дифференциальные уравнения второго порядка:
п__^?п 8 (-1)"
я 2я +1
Отсюда
4*71 = An ch Xni] + Вп sh
8 (—1)" 1
я
Подчинив это выражение условию ?п = 0 при
получим:
ш _ 32И (-')" Л
Yn я» Bп + 1)» V
и, следовательно,
Заметим, что
JH1L
"IF"
Это позволит переписать формулу B.173) в виде
00
(-1)
"
Нас будут интересовать в дальнейшем, в основном, вторые
частные производные данной функции;
4г— »+
2
2л +
2^4Й—М-«-ТТ.
которые связаны о усилиями в оболочке формулами
ijal~ 24 dij8 ' iw~~2A~ ~W " 24
Ряды B.175) ва краю оболочки сходятся плохо (особенно
вблизи угловых точек границы). Поэтому есть смысл позаботиться
об улучшении ях сходимости. Отсылая читателя за подробностями
к работе [1301, сразу приведем окончательные формулы для пре-
преобразованных рядов, которые сходятся настолько быстро, что нет
необходимости удерживать в них более одного члена:
n=0
ачг
sinX*?
? 1 - arth Г staX*g I -
-ч) J arth L chX.D. + n) J
2 2
(-1)" r-:
2л+ 1
B.177)
Теперь, когда три вторые частные производные функции Y
определены достаточно удобными формулами, можно, подставив
их в B.176), найти усилия в оболочке. На рис. 2.24 иокаэаны
кривые изменения усилия Г« в среднем сечении оболочки (? =
— 0) и усилия Тх, вдоль одной из ее кромок. Как нцк, каса-
касательные усилия стремятся в углах ободочки к бесконечности.
Однако эта особенность функции-ж- является весьма слабой,
так как она имеет порядок arth х (при х -*• 1) или ±ln r (при
г -*¦ 0). Последнее выясняется сразу, если,
воспользовавшись формулой п ц
arth* =-Ь 1п
записать решение B.177J в виде
0 0.25
1,0
-1.0
. ch %t (т), + тр + sin Я,о? _
B.178)
Для расчета участков оболочки, далеких
от ее края, удобнее использовать формулу
N
"-¦>.
2"
\
1
Рве. 2.24
139
Рис. 2.25
7] B.177) как более компактную, при рас-
чете же угловых зон целесообразнее
пользоваться формулой B.178). Это объ-
объясняется тем, что функция th у = х
с точностью до пяти десятичных зна-
знаков равна единице для всех у >¦ 7. По-
Поэтому обратная функция у = arth х
окажется (в приближенном расчете)
неопределенной для всех значений х,
близких к единице. Использование же
формулы B.178) позволит более отчет-
отчетливо выявить характер возрастания ка-
касательного усилия при приближении
к углам оболочки (и в этом смысле уста-
установить те участки оболочки, в которых безмоментная теория
оказывается неприменимой).
На рис. 2.25 изображены траектории главных напряжений
в перекрытии с квадратным планом. Наибольшие главные напря-
напряжения действуют в углах оболочки и стремятся там к бесконеч-
бесконечности (по такому же закону, как и касательные усилия).
Тот факт, что при принятых краевых условиях безмоментная
теория дает быстро изменяющееся поле усилий, свидетельствует,
что в этих областях ею, по существу, пользоваться нельзя (см.
п. 2.3). Чтобы в рассматриваемой задаче получить правильное
представление о работе оболочки вблизи ее углов, необходимо
для данных зон учитывать моментные члены в уравнениях тео-
теории оболочек. Это в некоторой мере снижает ценность получен-
полученных выше результатов.
Значение приводимых формул состоит, однако, в том, что они
достаточно точно описывают напряженное состояние в оболочке
всюду, кроме четырех сравнительно малых областей около угло-
угловых точек. Кроме того, они совершенно правильно сигнализируют,
что вблизи углов перекрытия с прямоугольным планом может
возникать значительная концентрация напряжений, сопровож-
сопровождающаяся появлением там изгибающих моментов и перерезы-
перерезывающих сил. Часто разрушение перекрытий начинается именно
вблизи углов, что заставляет заботиться о соответствующем под-
подкреплении оболочки.
2.15. РАСЧЕТ НАПРЯЖЕНИЙ
В УГЛАХ ПОЛИГОНАЛЬНЫХ ПЕРЕКРЫТИЙ
В работе [208] было отмечено, что второй порядок уравнений
равновесия безмоментной теории позволяет определить точное
значение напряжений в углах полигональных перекрытий без
решения краевой задачи. Покажем это.
140
Рис. 2.26
Рассматривая условия равновесия элементарного треуголь-
треугольника срединной поверхности (рис. 2.26), нетрудно получить сле-
следующие выражения:
= cos2
sin2 уТ
уЯ\
х + 2 sin у cos уГ
(cos2 7 - sin2 у) 7% + sin у cos 7 (Г^ - 7\?). B.179)
Обозначая далее через
J_. d _
ду ' dsv
соответственно производные вдоль граничного контура и по нор-
нормали к нему, получаем с учетом соотношений B.179) и B.151)
Т —
ivv
ds\
a a •
B.180)
Для полигонального плана 7 == Ъ — const на каждой стороне
многоугольника. Поэтому dy/dst — 0 на контуре области. Отсюда
и из B.180) следует, что краевое условие B.162) влечет 7\,у =0.
Таким образом, при полигональном плане условие B.162) обес-
обеспечивает безраспорность граничного контура перекрытия.
Пусть сторонам, примыкающим к f-му углу безраспорного кон-
контура, отвечают углы yt и уг+i (Рис- 2.27). При этом согласно
соотношениям B.179) и B.150) в i-tt углу должна быть выполнена
система уравнений!
cos2
2 sin 7i cos цТ%1 + sin2 цТ?л = 0;
=0. B.181)
Ее решение имеет вид!
TV -V Д1 . OTV _ „V Д« .
у «I = —pzf -j-; 27 Xgi = pZf -д-,
14]
где
Ai = sin y( sin yt+i sin (v,+1 — yt); A2 = cos2 y{ — cos2ti+i;
Аз = cos yt cos yt+i sin (yt+i — yt), A =
Таким образом, в угловых точках напряженное состояние пол-
полностью определяется. Исключение могут представлять лишь угло-
угловые точки, в которых
(-8-),*+(¦&>¦+(¦{?¦). *•-•¦ <2-184>
В этих случаях система B.181) несовместна, т. е. в угловой точ-
точке граничные условия не согласованы с уравнением равновесия.
Последнее представляет собой условие равенства нулю верти-
вертикальной проекции главного вектора всех сил, действующих на
примыкающий к углу элемент срединной поверхности. .Поэтому
его невыполнение означает невозможность обеспечения равнове-
равновесия упомянутого элемента безмоментным образом. С этим связано
появление при расчете бесконечных значений для усилий. По
существу, равновесие обеспечивается в рассматриваемом случае
значительными перерезывающими усилиями.
Поясним сказанное на простом примере эллиптического пара-
параболоида с прямоугольным планом. В этом случае согласно B.167)
-р-; Л-О;*-^ B.185)
и из системы B.181) следует
Tit = Тыт = 0; 0 = -рЪ
Последнее нз полученных равенств несовместно прн отличной
от нуля вертикальной нагрузке. Другими словами, равные нулю
в силу граничных условий нормальные усилия T%,t, T^yt не могут
уравновесить вертикальную составляющую поверхностной на-
нагрузки.
Вернемся к условию B.184). Для эллиптического параболоида
оно согласно B.185) и рис. 2.27 после несложных преобразований
может быть приведено к виду
ctg»,—¦1 + A!™^ («' = !-?)> <2Л86>
где «( — величина l-то угла.
В только что рассмотренном примере yt = 0 и со, = л/2.
Если же 1-я сторона не параллельна координатной оси, то «за-
«запрещенный! угол (так назовем угол, для которого усилия не огра-
ограничены) может быть как больше л/2, так и меньше.
Для параболоидов вращения b = а, е = 0. Поэтому согласно
B.186) для них «запрещенными! являются перекрытия с прямыми
142
(в плане) углами. Рассмотрим для примера купол вращения, имею-
имеющий в плане равносторонний треугольник (рис. 2.23). Для него
Ь =Я, yt =0, Yj =120° и формулы B.182), B.183) дают значения
Tv _n. rv _ УЗ фда . tV _ #2<7о
I xxl — u> l xyl 2 jj—~' **' h—'
следующие и из решения задачи, приведенного в конце п. 2.13.
Расчет безмоментного перекрытия с полигональным планом
связан обычно с преодолением значительных вычислительных труд-
трудностей. Предложенный способ непосредственного определения уси-
усилий в угловых точках дает возможность до проведения расчета
обследовать эти наиболее неприятные в расчетном отношении уча-
участки перекрытия. Далее при помощи формул B.184)—B.186)
можно выявить «запрещенные» величины углов и при разбивке
плана постараться не допускать их. Представляет интерес рас-
рассмотреть задачу оптимального разбиения плана, приняв в каче-
качестве функции цели величину максимального усилия в угловых
точках. Знание напряженного состояния в угловых точках может
служить средством проверки точности применяемого для расчета
перекрытия метода и гарантирует от грубых ошибок в вычисле-
вычислениях. Вопрос об усилиях в углах полигональных перекрытий
рассматривался также В. Я. Павилайненом.
2.16. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ
РАВНОВЕСИЯ БЕЗМОМЕНТНОЙ ТЕОРИИ
ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК
Рассмотрим цилиндрическую оболочку произвольной формы.
Положение точки на ее срединной поверхности может быть задано
координатами ах = х и аа = s, где х — расстояние, отсчитывае-
отсчитываемое от некоторой определенной плоскости, перпендикулярной к оси
цилиндра, as — длина дуги направляющей цилиндра, отсчиты-
отсчитываемая от некоторой определенной образующей (рис. 2.28). Ко-
Координатными линиями данной системы являются образующие
(линии х) и направляющие (линии s). Оба параметра Ламе при
этом будут равны единице, а из двух главных радиусов кривизны Rt
будет равен бесконечности, a R2 = г будет функцией только дуги s.
Применив общие уравнения безмоментной теории к данному
случаю, получим следующие дифференциальные уравнения без-
безмоментной теории цилин-
цилиндрических оболочек (рис.
2.29)j
B.187) Рю. 2.28
143
Рис. 2.29
выражение в
лучим
B.187)» и
где pi, pit pn — компоненты
поверхностной нагрузки по
направлениям х, $ и по нор-
нормали к срединной поверхно-
поверхности (соответственно).
Как видно из B.187), уси-
усилие 7*2 в рассматриваемом
случае непосредственно вы-
выражается через поверхност-
поверхностную нагрузку. Подставив это
выполнив интегрирование по х, по-
B.188)
где S<0) (s) — произвольная функция дуги s; нижний предел
интегрирования х, также может быть выбран произвольно.
Введя, далее, B.188) в- B.187)! и выполнив еще одно интегри-
интегрирование по х, будем иметь
Т\ = 7V> (s) - (х - х.)
B.189)
где Т{1) (s) — еще одна произвольная функция дуги s, a xt —
произвольно выбранное значение координаты х.
Формулы B.187)s, B.188), B.189) являются общим решением
уравнений безмоментной теории цилиндрических оболочек. В это
решение входят две произвольные функции, зависящие только
от координаты s. Они имеют простой смысл, для выяснения ко-
которого примем в B.188) х = х0, а в B.189) х = хх. При этом ока-
оказывается, что
S* (x0, s) = S«» (s); 77 (*,, s) = 7?' (s). B.190)
Отсюда ясно, что имеющийся в общем решении уравнений без-
безмоментной теории цилиндрических оболочек произвол дает воз-
возможность задавать закон изменения усилия S* на произвольно
выбранной направляющей х = х0 и закон изменения усилия 77
на другой, также произвольно выбранной, направляющей х =
= хх. В частном случае х0 и хх могут совпадать, т. е. можно зада-
задавать одновременно S* и 77 на одной и той же направляющей.
Следовательно, если цилиндрическая оболочка является зам-
замкнутой и ограничена двумя перпендикулярными ее сечениями х =
= х0 и х == jtj, то полученное решение позволяет задавать либо
оба тангенциальных усилия на одном из двух краев оболочки,
144
либо усилие Т* на одном из них, а усилие S*—на другом. Вместо
усилия S* в сечении Хо можно задать и усилие Т* = Т\0) (s),
поскольку формула B.189), при соответствующем выборе произ-
произвольной функции S<°>, может быть подчинена этому условию.
Она должна быть выведена из уравнения
Л0' (s) +
определяющего ее с точностью до произвольной постоянной, ко-
которую следует задать дополнительно, чтобы решение стало вполне
определенным.
Как видим, при расчете по безмоментной теории труб произ-
произвольного поперечного сечения краевые условия для усилий фор-
формулируются так же, как в задаче о расчете оболочки вращения
положительной гауссовой кривизны, ограниченной двумя парал-
параллельными кругами.
Рассмотрим далее незамкнутую цилиндрическую оболочку,
ограниченную двумя образующими s = %, s = Sj, и двумя направ-
направляющими X = Хъ X — JC2.
Нетрудно видеть, что безмоментная теория не дает никакой
свободы выбора тангенциальных усилий на прямолинейных
отрезках границы s = Si и s = s2 (поскольку в общем решении
ее уравнений не содержится произвольных функций от коорди-
координаты х).
Что касается криволинейных участков границы х = хх и
х = х2, то здесь в отношении постановки граничных условий все
остается так же, как в задаче о трубе. Следовательно, оказывается,
что задание двух тангенциальных условий на криволиней-
криволинейных участках цилиндрической панели полностью определит
безмоментное напряженное состояние в ней, включая значение
обоих тангенциальных усилий на прямолиненйых участках гра-
границы.
Исключив из системы B.187) последовательно усилия Т*
и S*, придем к следующему уравнению для усилия Т\:
_|_ ^P2 OP\ /O 1Q1 \
3s2 ' as 3jc v '
Уравнение это принадлежит к параболическому типу, что и
определяет особенности формулировки краевых условий в зада-
задачах безмоментной теории цилиндрических оболочек.
145
2,17. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СМЕЩЕНИЯ
В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧКАХ
ПО БЕЗМОМЕНТНОЙ ТЕОРИИ
Применив общие формулы A.61) к цилиндрическим оболоч-
оболочкам, т. е. приняв в них Аъ = Аа =1, а4 =.х, а3 = s, ut = и,
«а = v, Rt =s oo, R2 =s r (s), получим:
«.-#. — -S- + T-- —K-
B.193)
Воспользовавшись далее формулами, связывающими дефор-
деформации с усилиями, можем написать
— — -L
дя * Eh
' IT*
» -
до
до
ds
1 w
' г
2A
+ v)
Подставив в правые части этих формул общие выражения для
безмоментных усилий в цилиндрической оболочке, полученные
в предыдущем разделе, будем иметь!
-|- + -|- = 2(l+v)i,(S)-bF8(x, s). B.195)
Здесь t (s), tj (s) — произвольные функции, связанные о Т\ (s)
и S@) (s) равенствами
««
и- [ri « + " т]. ч W " -тР. <2Л96>
а ^"i. Ft, Fa — известные функции координат, выражающиеся
через компоненты поверхностной нагрузки так!
*«
146
Проинтегрировав B.195)! по х, получаем:
я
и = и' (в) + (х - х') t (s) - 4-(*2 - х'*) -|L + Г Pl {Xt s) dx,
х'
B.198)
где и' (s) — произвольная функция дуги s, ax' — произвольно
выбранное значение координаты х.
Подставив B.198) в B.195)», придем к уравнению, содержа-
содержащему только одну неизвестную функцию v:
-?.--¦?-<«-*>-.+
B-199)
Будучи проинтегрировано по х, выражение B.199) приводит
к следующей формуле для о:
B.200)
В нее входят помимо t (s) и r\ (s) еще две произвольные функ -
ции дуги и' и v', имеющие простой смысл, для выяснения которого
примем в B.198) х —х', а в B.200) х =х". Тогда окажется, что
и (xr, s) = и' (s); v (x\ s) = о" (s). B.201)
Следовательно, и' ($) выражает закон изменения смещения
на направляющей цилиндра х = х', a v" (s) — закон изменения
смещения v на направляющей х — х".
Всего же в формулы для смещений B.198) и B.200) входят
четыре произвольные функции дуги («', v", t, r\), располагая ко-
которыми можно произвольно задать оба тангенциальных компо-
компонента смещения и и с на двух краях оболочки, совпадающих с ее
направляющими. Если же два граничных условия на данных краях
сформулированы в усилиях (см. предыдущий раздел), то наличие
произвольных функций и' (s), v' (s) позволяет поставить на этих же
краях еще два условия в смещениях. На границах иного вида без-
момеитная теория цилиндрических оболочек не дает возможности
ставить краевые условия ни в усилиях, ни в смещениях, поскольку
соответствующие ей общие выражения для усилий и смещений не
содержат произвольных функций, зависящих от координаты х.
147
2.18. РАСЧЕТ НЕКРУГОВЫХ
ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК
НА РАВНОМЕРНОЕ НОРМАЛЬНОЕ ДАВЛЕНИЕ
Рассмотрим, исходя из безмоментной теории, замкнутую ци-
цилиндрическую оболочку произвольного поперечного сечения, на-
нагруженную равномерным нормальным давлением р. Границы обо-
оболочки пусть определяются двумя поперечными сечениями, пер-
перпендикулярными к ее оси.
Начало отсчета координаты х (см. п. 2.16) примем на одном из
торцевых сечений. Тогда другое торцевое сечение трубы будет
определяться координатой L (L — длина трубы). Радиус кривизны
поперечного сечения оболочки будем считать непрерывной и,
по крайней мере, четырежды дифференцируемой функцией дуги
поперечного сечения $ (рис. 2.30).
Поставленную задачу будем решать при двух вариантах крае-
краевых условий}
1) Т% = 0, v = 0 при х = 0 и х = L;
2) и = 0, v = 0 при х = 0 и х = L.
Первый вариант статически определим, второй же, которому
соответствует полное закрепление обоих краев оболочки, стати-
статически неопределим.
Дифференциальные уравнения B.187) применительно к рас-
рассматриваемой задаче запишутся так:
т = 0; 4^ + -Щ- - 0; П - рг, B.202)
дх
дх
3s
т. е. третье из этих уравнеиий непосредствеино определяет кольце-
кольцевое усилие в трубе.
Подставляя это значение 7"? во второе уравнение B.202) н
интегрируя его по х, находим
+ hi*)' B-203)
где /j (s) — произвольная функция дуги s.
Эта функция может быть определена из усло-
условия, что в сечении трубы, равно удаленном от
,обеих опорных плоскостей, касательные усилия
должны быть равны нулю, что обеспечивается сим-
симметрией принятых выше граничных условий.
На этом основании получаем уравнение
откуда
Рас. 2.30
B.204)
148
Подставляя найденное значение S* в первое из уравнений
B.202) и опять выполняя интегрирование по х, получим:
B-205)
Начиная отсюда, задача разветвляется: ход дальнейших рас-
рассуждений будет зависеть от того, какой из двух указанных выше
вариантов граничных условий будет рассматриваться.
Статически определимый вариант граничных условий. В этом
случае усилие Т{ при х = 0 и х = L должно быть равно нулю.
Подчиняя формулу B.205) данным требованиям, находим, что
/а (s) = 0 и, следовательно,
Т\ = рх-±=±-%-. B.206)
Формулы B.202K, B.204), B.206) полностью определяют все
усилия, действующие в трубе.
Теперь для смещений и, v, w может быть написана следующая
дифференциальная система:
«-¦?—н-("-'П)-*
— + iPT'")
п_ да , до _ 2A+v) <,, _ 2(l+v)P
B.207)
Интегрируя первое из этих уравнений по х, находим
—-й- [»-т (х*-т*)?¦]+*«• B-208)
Входящую сюда произвольную функцию /3 ($) определим, ис-
исходя из того, что в силу симметрии краевых условий смещение и
в сечении х = L/2 должно быть равно нулю. На этом основании
и, следовательно,
B.209)
Подставляя B.209) в третье из уравнений B.207) и выполняя
в нем интегрирование по х, получим
B.210)
149
Для того чтобы подчинить эту формулу граничным условиям
0 = 0 при х = 0 и х = L,
достаточно принять в B.210) /4 (s) = 0.
Подставляя получающееся после этого выражение для о
во второе нз уравнений B.207), приходим к следующей формуле
для нормального прогиба (представляющего обычно наибольший
интерес) з
Ю==Ж [r + x(x~L)
Статически неопределимый вариант граничных условий. В этой
случае произвольная функция /а (s), входящая в B.205), может
быть определена только после получения формулы для смещения и.
Первое из уравнений B.207), с учетом, что /, (s)^=0, имеет вид
~дх~ ~ Ж L ~! 2 IF
Интегрируя его по х, находим
и - Ж [~vr + Т ("Г - х
Входящие сюда две произвольные функции /а (s), /s (s) определим
из условия
и = 0 при х = 0 и д; = L,
которое приводит к соотношениям!
Отсюда для и получается формула
Теперь, после того как функция ft (s) найдена, становится
вполне определенным и усилие Т* (формула B.205)), а именно!
B.215)
Подставляя B.214) в третье из уравнений B.207) и интегрируя
его по х, находим смещение В!
*?- L)? + h(s). B.216)
Здесь функцию f4 (s), исходя из граничных условий о = 0 при
х = 0, х = L, нужно принять равной нулю.
После этого по формуле
150
может быть получено и нормальное смещение в», для которого
при этом получается следующее развернутое выражение:
Все усилия и смещения теперь определены и для второго (ста-
(статически неопределимого) варианта рассматриваемой задачи.
Применим полученные результаты к конкретному частному случаю, избрав
трубу эллиптического поперечного сечения. Для эллипса (рис. 2.31)
1
__&3
~~ ° (l ¦
где а и b — большая и малая полуоси эллипса; 8 — его эксцентриситет (в* =
= 1 — Ь*/аг), а ф — угол, образуемый нормалью к эллипсу с его малой осью.
Этот угол связаи с дугой s дифференциальным соотношением
ds = /-Ар, B.219)
позволяющим свести дифференцирование по дуге к дифференцированию по ф,
что нам и нужно, так как формула B.218) дает г в виде функции от ф.
При использовании приведенных формул для усилий и смещений требуется
знать четыре первые производные от г по s. На основании B.218) н B.219) имеем:
dr I dr 3 , sin 2ф
~~е 1 — в3 cos» ф'
За . cos 2ф — в3 cos3 ф ,
d*r
~ds
1
d*r
г dip
d I dr
dtp \ ds
L JL
r dtp
4*
I d*r
\ ds3
6a3
' .a ,' 1 _ .
COS"
— e* cos' Ф
sin 2ф;
d
d<p
/ d»r \
2~e» (l 5Г8*) (cos*ф — 3sin»q>)см»фj. B.220)
Располагая этими выражениями, можно определить максимальные напря-
напряжении и смещения, вызываемые в эллиптической трубе равномерным нормаль-
нормальным давлением. Ограничимся при этом рассмотрением лишь статически определи-
определимого варианта задачи.
Нормальные напряжения, вызываемые условиями Г?, будут согласно B.202),
достигать максимума при наибольшем значении г, т. е. для эллипса в концах его
малой полуоси. На основании B.218) этот максимум
определяется формулой 5
Касательные напряжения в соответствии с форму-
формулой B.204) будут достигать наибольшего эиачевия на
опорах оболочки при эначеинях f, которым соответ-
соответствует максимальная величина dr/ds.
Приравнивая &т1&& нулю, находим для этого
угла уравнение cos 2ф — в1 cos* ф = 0, откуда,
cosq> L; sto9 У1~"а8
Рис. 2.31
161
Вводя эти эиачеиня sin <р и соз <р в первую та формул B.220) и подставляя
затем полученное выражение для drlds в формулу B.204), получим
maxS* 3 pL a
—й—=— /г —
8-
Нормальные напряжения, вызываемые усилиями Г*, будут в соответствии
с формулой B.206) достигать наибольшей величины в середине пролета (при х =
= L/2) и притом в концах малой (а{) и большой (oj) полуосей эллипса. Они опре-
определяются формулами
Следует при этом учесть, что к напряжениям B.222) нужно добавить (или
вычесть) напряжения, обусловленные торцевым растяжением (сжатием) оболочки
(если таковое имеется). Что касается смещений оболочки, то не них мы приведем
только значения нормального смещения в середине пролета (х = L/2) в конца*
большой и малой полуосей эллипса (<р = 0, <р =• я/2),
В конце малой полуоси
ра* Г, , 3 L» , , 5 L* / 8»
а в ковце большой полуось
В заключение обратим внимание читателя на то, что все полу-
полученные в этом параграфе формулы, определяющие смещения и
напряжения в трубе, подверженной равномерному нормальному
давлению, стремятся к бесконечности, коль скоро стремится к бес-
бесконечности длина трубы (исключением является лишь частный
случай, когда труба имеет круговое поперечное сечение). Отсюда
ясно, что к трубам достаточно большой длины выведенные фор-
формулы неприменимы (см. п. 9.2).
При расчете длинных труб необходимо учитывать их сопро-
сопротивление на изгиб в поперечном направлении, которым в основном
и определяется деформация трубы иа достаточном расстоянии от
ее торцов.
Этот полученный выше для частного вида нагрузки и частного
вида оболочки результат имеет общее значение для теории ци-
цилиндрических оболочек. Именно возможность применения к ним
безмоментной теории, как правило, зависит от длины оболочки.
Коль скоро цилиндрическая оболочка достаточно длинна — ника-
никакая формулировка граничных условий на ее торцах не оказывает
влияния на изгибное напряженное состояние, устанавливающееся
в средней части оболочки (если только форма поперечного сече-
сечения цилиндра не подобрана специально под заданный тип нагрузки
так, чтобы изгиб оболочки в поперечном направлении был исклю-
исключен вне зависимости от того, как велика ее длина; в частности,
для равномерного нормального давления такой специальной фор-
формой поперечного сечения является круг).
152
2.19. БЕЗМОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ
ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПЕРЕКРЫТИЙ
В эпоху кирпичного и каменного строительства для перекры-
перекрытия прямоугольных пространств часто применяли цилиндриче-
цилиндрический свод, который при расчете трактовался как арка. Чтобы обес-
обеспечить подобные условия работы перекрытия, необходимо было
дать ему надежные опоры вдоль прямолинейных кромок. Что ка-
касается криволинейных (торцевых) кроыок, то их закрепление было
необязательно.
Такой подход практически означал необходимость опоры прямо-
прямолинейных кромок свода на непрерывно идущие стены, которые
разбивали внутреннее пространство здания на ряд отдельных по-
помещений (в том случае, если перекрытий было несколько). Между
тем, во многих случаях загромождение внутреннего пространства
стенами нежелательно, а иногда и недопустимо. Так, фабричные
помещения, помещения больших магазинов или рынков, поме-
помещения ангаров и гаражей, как правило, тем удобнее, чем больше
в них простора. Каменный или кирпичный свод для их перекры-
перекрытия совершенно не подходит.
Прогресс в технике железобетона позволил по-иному поста-
поставить проблему цилиндрического перекрытия. Современное пере-
перекрытие делается тонкостенным и рассматривается как оболочка,
закрепленная главным образом на криволинейных кромках
(рис. 2.32).
Преимущество передачи нагрузки свода в основном на криво-
криволинейные кромки заключается в том, что опоры имеют в этом слу-
случае вид арок и могут быть сделаны достаточно прочными, даже не
являясь сплошными стенами. Кроме того, оказывается, что рас-
расстояния между такими опорами могут быть приняты весьма боль-
большими, в несколько раз превышая расстояние между прямолиней-
прямолинейными кромками свода. Все это способствует возможности пере-
перекрытия больших пространств рядом примыкающих друг к другу
цилиндрических оболочек,
при минимальной загромож-
денности помещения опорами.
Последние сводятся к колон-
колоннам, достаточно удаленным
друг от друга.
Рассмотрим работу тонко-
тонкостенного цилиндрического пе-
перекрытия по безмоментной
теории, принимая в качестве
нагрузки его собственный
вес. Будем при этом считать,
что поперечное сечение пере-
перекрытия имеет вертикальную
ось симметрии и является Рис. 2.32
153
гладкой кривой, так что его радиус кривизны г является непрерыв-
непрерывной и достаточное число раз дифференцируемой функцией дуги s
(см. рис. 2.31). Обозначив через q вес перекрытия, отнесенный
к единице площади его срединной поверхности, можем написать
уравнения безмоментной теории цилиндрических оболочек приме-
применительно к рассматриваемой задаче следующим образом:
dTt , dS* n dS* , dTS , „,
B.223)
где ф — угол между нормалью к перекрытию и вертикалью,
связанный с дугой зависимостью rdy = ds.
Подставив 74 согласно B.233K в B.223J и выполнив интегри-
интегрирование по х, получим
5* = h (s) + qx (-gg- cos ф - 2 sin
Если расположить начало отсчета х по середине между криво-
криволинейными кромками перекрытия и принять, что на этих кром-
кромках оболочка закреплена одинаково, то касательное усилие S*
должно быть (в силу симметрии задачи относительно среднего
поперечного сечения оболочки) нечетной функцией х. На этом
основании надо принять fx (s) = 0, после чего получим
S* = (xlt) So, B.224)
где
So = ql (-g- cos ф — 2 sin ф}
(So — функция только s, выражающая закон изменения касатель-
касательных усилий 5* на кромке х = /).
Подставив B.224) в B.223)х и выполнив еще одно интегриро-
интегрирование по х, получим
г? = —irV- ^-чг + т° Ф- <
где То (s) — произвольная функция дуги s, при задании которой
фиксируется закон изменения усилия 7\ на криволинейных
кромках перекрытия х = ±1.
Найдя усилия в перекрытии, можно приступить и к определе-
определению его смещений. Для этого имеем систему уравнений:
154
ди dv _ 2A +v) я
^r + -dT=—m r
Интегрируя первое из них, получаем
B.227)х
где ы0 (s) — произвольная функция дуги, ВБфажагощая закон из-
изменения смещения и в среднем сечении оболочки х = 0.
Ввиду предполагаемой симметрии задачи относительно этого
сечения надо принять щ = 0.
Подставив B.227)* в третье из уравнений B.226), получим
B.227)
где о0 (s) — еще одна произвольная функция дуги s, выражающая
закон изменения смещения v на криволинейных кромках пере-
перекрытия х — ±1.
Будем считать, что на криволинейных кромках перекрытия
обеспечивается граничное условие о — 0 (т. е. что кромки не до-
допускают скольжения перекрытия вдоль них). Тогда надо при-
принять v, (s) = 0.
Подставив B.227% в уравнение B.22бL, можно будет найти и
нормальное смещение срединной поверхности перекрытия w.
Формулы B.224)—B.227) яшыются решением рассматриваемой
задачи. В иих входит произвольная функция дуги То (s), для оп-
определения которой надо задать ка криволинейных кромках пере-
перекрытия либо закон изменения усилия Т{, либо закон изменения
смещения и.
Здесь возможны два варианта!
1) криволинейные кромкк допускают скольжение оболочки
в шквавлеиик ее образующих; данному случаю соответствует
гранично* условие Т\ = 0 при х = ±1; как видно из B.225),
при этом надо принять
Т, (s) = 0;
2) перекрытие жестко закреплено на криволинейных кром-
кромках, так что и = 0 при х = del; при этом формула B.227)х при-
155
водит к следующему значению произвольной функции T0(s):
Первый вариант граничных условий статически определим,
а второй — статически неопределим. В дальнейшем ограничимся
рассмотрением только первого варианта, которому соответствуют
следующие окончательные выражения для тангенциальных уси-
усилий и смещений перекрытия:
= -V
* = -j- So (s), Т\ = —^-(х2 -
2Г
l+v **-/'
Eh I
2/ L 12 (Jr ~" ' '
Из этих формул следует, что для осуществления в перекрытии
безмоментного напряженного состояния надо, чтобы на его прямо-
прямолинейных кромках усилия Т{, Т\, S* и смещения и, v принимали
вполне определенные значения, следующие из B.228) при s = Sq.
Для этого каждую кромку надо усилить конструктивным элемен-
элементом, который должен быть способен воспринять на себя действую-
действующие со стороны оболочки усилия, имея при этом смещения, соот-
соответствующие смещениям кромки оболочки. Кроме того, данный
элемент не должен стеснять свободу деформирования края обо-
оболочки в напряжении, нормальном к срединной поверхности.
Возьмем в качестве такого конструктивного элемента балку,
жестко соединенную с оболочкой вдоль ее прямолинейных кромок
и имеющую опоры в плоскостях торцов перекрытия х = ±1.
Плоскость наибольшей изгнбнои жесткости балки пусть совпадает
с плоскостью, касательной к срединной поверхности у прямолиней-
прямолинейного края оболочки. Вторую же главную жесткость балки на из-
изгиб будем считать пренебрежимо малой по сравнению с первой
жесткостью.
Распоряжаясь размерами этой балки, нельзя в точности выпол-
выполнить все сформулированные выше требования; можно, однако,
попытаться выполнить их хотя бы приближенно. Для этого необ-
необходимо потребовать, чтобы максимальный прогиб балки под дей-
действием распределенной нормальной нагрузки (интенсивность ко-
которой равна краевому значению усилия Т%) был равен максималь-
максимальному значению смещения v на краю оболочки. Далее, максималь-
максимальное значение удлинения крайнего волокна балки, прилегающего
к краю оболочки, должно быть равно максимальному удлинению
этого края. При этом следует учесть, что балка деформируется,
во-первых, за счет ее изгиба краевыми усилиями 71 и, во-вторых,
156
растягивается распределенными по ее длине силами, интенсив-
интенсивность которых равна краевому значению S*.
Хотя сформулированные условия и не обеспечивают соблюде-
соблюдения требований безмоментной теории по всей длине прямолинейных
кромок перекрытия, они гарантируют их выполнение в районе
максимальных напряжений и деформаций. Поэтому следует ожи-
ожидать, что при намеченном выше пути выбора размеров балки пере-
перекрытие будет работать в напряженном состоянии, близком к без-
моментному.
Чтобы получить об этом более полное представление, рассмо-
рассмотрим в качестве примера перекрытия, для которых
<2-229>
Направляющая цилиндра будет в данном случае кривой вто-
второго порядка, являясь при у = О окружностью, при у = —1 па-
параболой, при у > —1 эллипсом, при у < —1 гиперболой (см.
п. 2.7). Используя формулы B.229), мы получим, следовательно,
возможность исследовать перекрытия, весьма разнообразные по
форме.
Подставив B.229) в B.228) и учитывая при этом, что rdq> = ds,
получим:
т* „ C0S<P
cos* Ф) , * е> ,t \
slny = -rS0(/, ф);
,B230)
Воспользуемся этими формулами для сравнения четырех раз-
различных перекрытий, у которых высота, длина и ширина, а также
погонный вес одинаковы. Поперечными* сечениями перекрытий
будут те же самые кривые, которые в п. 2.7 были исследованы как
меридианы куполов, а именно: направляющей перекрытия I яв-
157
ляется дуга окружности радиусом R, перекрытия II — дуга пара-
параболы, перекрытия III — половина эллипса (у = 3, г0 = 1,6/?),
а перекрытия IV — часть эллипса (у.= 1,5, г0 = 1,3/?). На
рис. 2.33 изображены в одинаковом для всех четырех оболочек
масштабе эпюры изменения усилий Т%, Т\ и S* по высоте пере-
перекрытия, вычисленные по формулам B.230). Из рисунка следует,
что усилие Т\ на краю перекрытия III равно нулю, т. е. перекры-
перекрытие данного типа не передает на рантовую балку нормальных уси-
усилий, загружая ее лишь краевыми усилиями S*, действующими
вдоль оси. Идеальным рантовым элементом для такого пере-
перекрытия является, следовательно, абсолютно гибкий нерастяжи-
нерастяжимый шнур. Перекрытие III, однако, нельзя считать рациональ-
рациональным, ввиду того, что в нем возникают большие касательные и
растягивающие напряжения, что для железобетона противопока-
противопоказано.
Параболическое перекрытие II, наоборот, передает значитель-
значительное давление на рантовые балки (даже превышающее собственный
вес перекрытия). В соответствии с этим оно требует слишком мощ-
мощных краевых усилий и поэтому невыгодно.
158
В меньшей степени указанным недостатком обладает перекры-
перекрытие I, образованное по дуге окружности.
Оптимальным представляется перекрытие вида IV, поскольку
оно передает относительно малую нормальную нагрузку на ран-
рантовые балки и не требует значительной их высоты. Кроме того,
у перекрытия этого типа растягивающие напряжения имеют уме-
умеренные значения.
Глава 3
РАСЧЕТ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК
Показано, что предложенное в работе [125] комплексное раз-
разрешающее уравнение включает в себя все частные теории цилин-
цилиндрических оболочек, разработанные в разное время В. 3. Власо-
Власовым, Л. Доннелом, А. А. Уманским, X. М. Муштари, С. М. Файн-
бергом. В главе выведены комплексные уравнения конструктивно
анизотропных цилиндрических оболочек, т. е. уравнения, опи-
описывающие усредненное напряженно-деформированное состояние
в оболочках, регулярно подкрепленных ребрами жесткости.
Завершается глава обсуждением полубезмоментной теории обо-
оболочек Власова и выводом обобщенного комплексного уравнения
этой теории.
3.1. УРАВНЕНИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК
В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ
История вопроса. В теории цилиндрических оболочек основ-
основными задачами являются расчет замкнутых цилиндрических обо-
оболочек (расчет труб) и расчет незамкнутых цилиндрических обо-
оболочек, границами которых являются две образующие и две на-
направляющие (расчет цилиндрических пластин). Обычно эти за-
задачи решаются методом двойных либо одинарных тригонометриче-
тригонометрических рядов. Из них большую ценность представляет метод оди-
одинарных рядов, позволяющий подчинить решение на двух краях
оболочки произвольным граничным условиям. Использование
одного и другого методов существенно затрудняли громоздкие
дифференциальные уравнения задач и их высокий порядок, ввиду
чего много внимания было уделено упрощению исходных формул.
Оказалось, что выбор той или иной системы упрощений зависит
от соотношений размеров цилиндрической оболочки.
В связи с изложенным условимся о следующем подразделении
цилиндрических оболочек:
а) весьма длинные (тонкостенные стержни), у которых длина
во много раз превосходит среднее значение радиуса кривизны (или
максимальный размер поперечного сечения);
159
б) длинные, у которых длина в несколько раз превосходит
средний радиус кривизны;
в) средней длины, у которых длина сравнима со средним радиу-
радиусом кривизны;
г) короткие, у которых длина в несколько раз меньше среднего
радиуса кривизны.
Для оболочек длинных и весьма длинных В. 3. Власовым была
предложена специальная теория, которая может быть названа
«полубезмоментной». Эта теория основывается на пренебрежении
в уравнениях равновесия элемента оболочки моментами Ml7 H
и перерезывающим усилием Т1п (отсюда и предлагаемое название).
Используя кроме названных упрощений некоторые допол-
дополнительные допущения (в частности, пренебрежение удлинением ^
и сдвигом со), В. 3. Власов свел расчет круговой цилиндрической
оболочки к решению уравнения вида
фф^-лв.,*. C.!)
где 262 — постоянная, a Ft — заданная функция ? и т|.
Впоследствии это уравнение было распространено В. 3. Вла-
Власовым и на некруговые цилиндрические оболочки, для которых оно
принимает вид
w+*г \T~si)+t2bw = р* & ^ C-2)
где р (т)) — отношение радиуса кривизны поперечного сечения
оболочки к своему среднему значению.
Тем самым было заложено основание для общей теории тонко-
тонкостенных стержней. Будучи дополнена допущением о недеформи-
недеформируемости поперечного сечения оболочки, полубезмоментная теория
позволила разработать весьма эффективный метод расчета тонко-
тонкостенных стержней открытого профиля [14].
В связи с расчетом тонкостенных стержней необходимо также
упомянуть инженерную теорию стесненного кручения труб не-
некругового поперечного сечения, разработанную А. А. Уманским
[193]. Что касается длинных оболочек, то для них, как будет
показано ниже, можно получить уравнения еще более простые,
чем C.1) и C.2):
+ И6^-ЛF.П); C.3)
^) 9 ^(i- П). C.4)
Первое уравнение относится к круговым цилиндрическим обо-
оболочкам, а второе — к некруговым. Заметим, что для некруговых
оболочек переход от C.2) к C.4) упрощает задачу скорее по форме,
160
чем по существу, так как отбрасываемый член нужен для преобразо-
преобразований. Однако, если говорить о круговых цилиндрических обо-
оболочках, то для иих замена C.1) уравнением C.3) дает сущест-
существенное упрощение. Теория, приводящая к уравнению C.3), была
предложена С. Файнбергом [194] и подробно разработана пер-
первым автором данной книги [121].
Для оболочек короткой и средней длины необходима уже
принцпиально иная схема упрощения, которая основывается на
пренебрежениях касательными смещениями в формулах для изме-
изменений кривизны и кручения, а также перерезывающим усилием
во втором из уравнений равновесия. В итоге расчет круговой ци-
цилиндрической оболочки на произвольную нагрузку может быть
сведен к решению дифференциального уравнения вида
¦-^,F, Л). C-5)
где
<Э2
Последняя система упрощений была впервые рекомендована
X. М. Муштари (см. [114] и более ранние работы того же автора).
Однако окончательное уравнение (З.б) появилось впервые, по-
видимому, только в работе С. Файнберга [194].
Подробная методика расчета цилиндрических пластин, осно-
основанная на уравнении C.5), была разработана первым автором дан-
данной книги [121 ]. Позднее это уравнение использовалось А. И. Лу-
Лурье [81], В. 3. Власовым [16] и его учениками.
Исходя из уравнения C.1), А. И. Лурье удалось решить задачу
о концентрации напряжений в круговой цилиндрической обо-
оболочке, ослабленной малым круглым вырезом [80].
В связи с появлением комплексного преобразования диффе-
реницальных уравнений теории оболочек [124] обнаружилась
возможность получения достаточно простого общего уравнения,
охватывающего все перечисленные выше типы цилиндрических
оболочек [125]. Применительно к оболочке произвольного попе-
поперечного сечения данное уравнение имеет вид
Пренебрегая здесь вторым членом и полагая р = 1, получим
уравнение вида C.5). Пренебрегая dz77d?z по сравнению с д2Т/бг\*
(за исключением последнего члена левой части уравнения C.6),
поскольку он имеет весьма большой по модулю множитель i2ba),
получим уравнение вида C.2). Наконец, соединяя оба названных
упрощения, получим уравнение вида C.4). Итак, уравнение C.6)
6 В. В. воюжнло» и др. 161
действительно заключает в себе все указанные выше основные
варианты приближенной теории цилиндрических оболочек (как
круговых, так и некруговых). Основываясь на этом уравнении,
удалось разработать эффективный метод расчета труб некругового
поперечного сечения произвольной длины [125].
В заключение обзора остановимся коротко иа расчете цилин-
цилиндрических оболочек, подкрепленных равноотстоящими поперечными
ребрами (задача, имеющая большое практическое значение).
В том случае, когда ребра стоят достаточно часто, существенное
упрощение достигается, если трактовать оболочку как «конструк-
«конструктивно анизотропную». Этот прием основывается на замене обо-
оболочки с ребрами приближенно эквивалентной ей оболочкой без
ребер, которой приписаны разные упругие свойства на изгиб
в двух главных направлениях.
В такой постановке расчет круговой цилиндрической оболочки,
усиленной часто стоящими ребрами, сводится к решению уравне-
уравнения вида
^Af+w+i2aiw = F{1^' C-7)
где 2а2 — постоянная (см. п. 3.3).
Уравнения теории цилиндрических оболочек в комплексной
форме. Изложение общей теории цилиндрических оболочек будем
проводить в терминах комплексных усилий.
Определяя положение точек на цилиндрической поверхности
координатами х и s (т. е. расстоянием вдоль образующей и дли-
длиной дуги направляющей, рис. 2.28), введем вместо этих размер-
размерных координат другие, безразмерные, а именно:
I = х/г0; л = s/r0, C.8)
где г0 — характерная для оболочки постоянная величина, имею-
имеющая размерность длины. (В приводимых ниже примерах за г0
принимается максимальное значение радиуса кривизны попереч-
поперечного сечения цилиндра.)
Параметры Ламе в соответствии с C.8) имеют значения
Ах = Аа = г0, C.9)
поэтому уравнения теории оболочек в комплексных усилиях
A.155) применительно к рассматриваемой задаче принимают вид:
f 3S
dS дТ% . I 1 дТ _
If "+" 17 + 2б"аТ"дП
ft-^pAf^ppnr0, (ЗЛО)
162
где
C.11)
Исключая из первых двух уравнений C.10) неизвестную S,
получим
C.12)
Подставляя Т2 из второго уравнения C.12) в первое, придем
к следующему дифференциальному уравнению четвертого порядка
относительно вспомогательной функции Т:
д (Р^> + щ (т I) + ^ W - i2b*r° 1А^ +1 -1 ]'
C.13)
К решению уравнения C.13) и сводится расчет цилиндрической
оболочки произвольной формы, поскольку, зная Т, можно сразу
же найти все комплексные усилия, а затем и комплексные сме-
смещения. Покажем, как это выполняется.
Третье из уравнений системы C.10) непосредственно дает
^Р^оР, C.14)
отсюда, поскольку Тх = Т — Г2,
ft^f-i-^AT-pnpro. C.15)
Подставив теперь найденное значение Т% во второе из уравне-
уравнений C.10), получим
Далее на основании первого из уравнений C.10) и формулы
C.15) можно написать
Ъ f д Az, , / дрп \ ,„,»
Ar+r(p#P) (ЗЛ7)
6* • 163
Формулы C.16) и C.17) в совокупности определяют комплекс-
комплексное усилие S через Т. Тем самым все комплексные усилия выра-
выражены через эту вспомогательную функцию. Остается выразить
через нее же комплексные смещения.
Пользуясь формулами A.160), A.61) и применяя их к цилин-
цилиндрическим оболочкам (учитывая, что при этом Аг = Аг = г0,
Rx = оо, Rz = рг0), получим для определения комплексных сме-
смещений уравнения B = п1, б = йг):
C.18)
гт = г = + (E-5), C.1
в которых 71*, Гг, S* — любое решение безмоментных уравнений,
т е. в данном случае уравнений:
Но, как было установлено в гл. 2, система уравнений безмо-
ментиой теории применительно к - цилиндрическим оболочкам
всегда может быть проинтегрирована. Например, в частном слу-
случае, когда р1( р2, р„ от ? не зависят, решениями уравнений C.20)
будут выражения:
которые и следует ввести в правые части формул C.19).
Системы C.18) и C.19) в совокупности определяют комплекс-
комплексные смещения по заданным комплексным усилиям или, поскольку
комплексные усилия выражены через вспомогательную функцию Т,
можно сказать, что эти две системы определяют комплексные сме-
смещения через Т.
164
Следует подчеркнуть, что системы C.18) и C.19) будут сов-
совместны лишь приближенно — с точностью до малых членов по-
порядка h/r0 по сравнению с единицей, так как члены такого порядка
при выводе уравнений A.160) неоднократно отбрасывались. Поэ-
Поэтому в процессе преобразования и решения уравнений C.18)
н C.19) будут обнаруживаться противоречия в малых членах, ко-
которые нужно устранять путем соответствующих пренебрежений.
Найдя общее решение систем C.18) и C.19), т. е. определив й,
5,. w, можно будет сразу же найти и смещения и, v, w, поскольку
последние равны вещественным частям первых. На основании
системы C.18) и с учетом того, что комплексные усилия выра-
выражаются через вспомогательную функцию Т, которая подчиняется
уравнению C.13), из формул C.14), C.15), C.16) могут быть полу-
получены следующие выражения для производных от комплексных
смещений:
Ш
+ —ш—vir+лг)- C-22)
Эти выражения, непосредственно связывающие производные
от комплексных смещений по ? со вспомогательной функцией Т,
в дальнейшем будут неоднократно использованы.
3.2. ТЕОРИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК,
ПОДКРЕПЛЕННЫХ ПОПЕРЕЧНЫМИ РЕБРАМИ
Нередко для обеспечения жесткости и устойчивости цилиндри-
цилиндрических оболочек их подкрепляют достаточно часто стоящими по-
поперечными ребрами (рис. 3.1, а). Расчет подобных оболочек —
задача весьма громоздкая, если подходить к ней путем точного
удовлетворения условий, имеющих место вдоль линий соединения
ребер с обшивкой. Во многих случаях этим сложным путем не
пользуются, прибегая к упрощенному способу, суть которого
в том, что жесткости каждого ребра на изгиб и на растяжение
165
равномерно распределяются по всей ширине пролета, поддержи-
поддерживаемого ребром, и прибавляются к соответствующим жесткостям
оболочки в кольцевом направлении. Оболочка с ребрами в расчете
оказывается замененной приближенно эквивалентной ей оболоч-
оболочкой без ребер, причем последняя оказывается обладающей раз-
различными упругими свойствами в продольном и кольцевом направ-
направлениях, т. е. анизотропной (и притом «ортотропной»).
Если только ребра поставлены достаточно часто и число их до-
достаточно велико, то описанный прием связан с относительно не-
небольшой погрешностью и в то же время значительно упрощает
задачу. Указанные качества обеспечили широкое применение
данного способа. Анизотропию такого типа принято называть
«конструктивной», поскольку она проистекает не от качества ма-
материала, а от характера его распределения.
Установим соотношения между усилиями, моментами и дефор-
деформациями срединной поверхности для цилиндрической оболочки,
подкрепленной поперечными ребрами, отстоящими друг от друга
на расстоянии /, трактуя ее как конструктивно анизотропную.
При этом будем считать, что ребра обладают жесткостями только
в отношении растяжения и изгиба в своей плоскости, а жестко-
жесткостями при изгибе из плоскости и при кручении будем пренебре-
пренебрегать.
Тогда, очевидно, ребра не будут оказывать влияния ни на сдвиг,
ни на кручение оболочки, в силу чего для S и Н будем иметь
обычные формулы:
S = п„ , ..ч д>; Н = ,о„ , .Л т. C.23)
2A
12(l+v)
Остальные усилия и моменты требуют особого рассмотрения.
Формулы, их определяющие, могут быть выведены, если учесть,
что при изгибе в поперечном направлении оси поворота попереч-
поперечных сечений будут проходить через центр тяжести профиля, об-
образуемого ребром и при-
а) соединенным к нему
пояском обшивки. Обо-
значим расстояние этой
точки от срединной по-
поверхности через to
(рис. 3.1, б). Тогда для
деформации волокон
Рис. S.1
166
оболочки, параллельных срединной поверхности, могут быть
написаны формулы
en = ei + ?хь е22 = 1 + ^^г_^ (ег + ? хг) » е2 + ?'хг> C.24)
где g — расстояние, отсчитываемое от срединной поверхности
(в сторону ее выпуклости), а ?' = ? + Со — расстояние, отсчиты-
отсчитываемое от центра тяжести профиля в ту же сторону; ег и х? «
« ха — удлинение и параметр изменения кривизны нейтральной
оси профиля.
Отсюда для напряжений в оболочке могут быть приняты сле-
следующие формулы:
°и = i_v2 Ui + ?«> + v[г* + (С + Со)«а]},
при —Л/2 < I < А/2;
а22 = Е (ег" + t'xi) при - [л, - (;0 - 4")] < t' < Ь» - 4"»
C.25)
где Ад — высота профиля, см. рис. 3.1, б.
Проинтегрируем первую из формул C.25) по С в пределах
толщины оболочки. Тогда получим
Г, = J а,, <Ц = yl^j [в, + v (е; + toxj)]. C.26)
-4/2
Но вг -f C0X2 = ег, где 62 — удлинение срединной поверхности.
Отсюда для Тх имеем обычную формулу
ri = f^(ei + vea). C.27)
Аналогично, умножив первую из формул на С и проинтегри-
проинтегрировав в пределах толщины, приходим к обычной формуле для
продольного изгибающего момента:
Mi = I2(f-v») (*
Проинтегрируем далее напряжения ааг по всей области се-
сечения профиля, которая слагается из области сечения ребра (So)
и области сечения пояска
167
учитывая при этом как вторую, так и третью формулы C.25).
Тогда получим
ТУ = Е [E0 + т-^)е, +vTi^5e1] C.29)
ИЛИ
(So — площадь поперечного сечения ребра).
И, наконец, умножая сти на ?' и интегрируя вновь по всей
области профиля, находим
У1 ] C.31)
где / — момент инерции профиля с учетом присоединенного
пояска.
Заметим, что жесткость ребра при изгибе, отнесенная к еди-
единице длины пролета между ребрами, т. е. величина EI/1, обычно
значительно превосходит цилиндрическую жесткость обшивки
Eh3ll2 A—v2). Площадь же сечения ребра, отнесенная к еди-
единице длины пролета между ребрами, т. е. величина SJI, обычно
оказывается в несколько раз меньше толщины оболочки h.
Сказанное позволяет упростить формулы C.30) и C.31), при-
принимая их в следующем виде:
^ + vej; Ма«^-х,. C.32)
Формулы C.23), C.27), C.28) и C.32) выражают зависимости
между усилиями, моментами и деформациями срединной поверх-
поверхности для цилиндрических оболочек, подкрепленных попереч-
поперечными ребрами.
Установим уравнения равновесия элемента, выделенного из
конструктивно анизотропной цилиндрической оболочки. Приме-
Применяя общие уравнения гл. 1 к оболочкам рассматриваемой формы
и учитывая, что, пренебрегая жесткостью на изгиб обшивки по
сравнению с жесткостью на изгиб ребер, следует пренебречь
в уравнениях моментами Мг и Я по сравнению с М2, получим:
дТх . dS dS . дТ% , Tin
аГ+лГ = ~р1Г°; If+ ~лГ + ~р~ = ~раГ<>;
-Щ p- + Pn'o = О, rQT2n = -^jp. C.33)
При этом пятое уравнение равновесия, в силу пренебреже-
пренебрежения Ма и Я, из рассмотрения выпадает, а шестое сводится к ра-
равенствам
ia — 'ai — <J-
168
Система C.33) состоит из четырех уравнений, в которые вхо-
входят пять неизвестных. Недостающее уравнение может быть полу-
получено из соотношений неразрывности деформаций срединной по-
поверхности A.75). Последние, применительно к цилиндрическим
оболочкам, имеют следующий вид:
— дх/дг\ = 0;
<3-34»
"+" Гор \ dl дц ) ~
Исключая отсюда хх и т, получим
Теперь остается ввести в эту формулу вместо деформаций их
выражения через усилия и момент C.23), C.27), C.32), что при-
приводит к соотношению
Последняя формула может быть преобразована к более удоб-
удобному виду, если учесть, что согласно уравнениям C.33)
о d*S И1, ааГа 1 д / 1 дМг\ (дрх , dPi\.
~ д\г ~щ* г,, &ц \ р Л); e \ ее "•" «л /•
C.37)
т _ , as _ dTt \ dMt
Подставляя выражения C.37) в C.36), получим
r0ihd*M2 а» Л (т т,, д г 1
Последнее соотношение достаточно громоздко. Однако наибо-
наиболее громоздкие его члены (а именно, заключенные в квадратную
169
скобку, зависящие от момента Мг) являются несущественными
и могут быть отброшены. Чтобы показать это, достаточно рас-
рассмотреть шарнирно опертую по криволинейным кромкам ци-
цилиндрическую пластину, применить для ее расчета метод одинар-
одинарных тригонометрических рядов и оценить затем слагаемые ха-
характеристических уравнений, соответствующих получающимся
обыкновенным дифференциальным уравнениям (см. [130], гл. III,
п. 8).
Другое уравнение с теми же двумя неизвестными (Мг и Т =
= Т1 + Тг) может быть получено из уравнений C.33). Исключая
из них все неизвестные, кроме 7\ и Мг, находим:
dMt\ _j (д*Рпр , dPt dPl\
~дч)~ г°\~ьГ~*"Щ ~ If )•
C.39)
Складываем это равенство с равенством
вытекающим из двух последних уравнений системы C.33), полу-
получаем
Выпишем теперь уравнения C.38) и C.40) рядом, сделав в пер-
первом из них указанное выше упрощение:
д*IT, + Г.) 1 Г. / д3М.\ . д I 1 дМх\~\ с /f, ч ,о ...
4a*d*Mt д* Л ,т т . д Г 1 а (Гх + Га) _гР№ .
77 IF + ft?lp ( х + lI + лГ LT fti гЛ (?* л)>
где
'^ ^-^, C.42)
К решению системы C.41) и сводится расчет цилиндрической
оболочки, подкрепленной равноотстоящими поперечными реб-
ребрами жесткости одинакового профиля.
Наиболее общий вид уравнений конструктивно анизотропных
оболочек (для оболочки произвольной формы в условиях темпе-
170
ратурных воздействий с учетом всех жесткостей подкрепляющих
ребер) приведен в п. 15.2.
Комплексное преобразование уравнений C.41), к сожалению,
не проходит или, точнее говоря, проходит только тогда, когда
р = 1, т. е. когда цилиндр является круговым. В последнем
случае может быть введена комплексная вспомогательная функция
~ 9а*
У = 7\ + 7,-»^-Л1„ C.43)
подчиняющаяся следующему дифференциальному уравнению
[1301:
^ ^ ^ C.44)
3.3. РАСЧЕТ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПЛАСТИН
Применим сведения, изложенные в п. 3.1, к расчету криво-
криволинейной пластины, выделенной из круговой цилиндрической
оболочки двумя сечениями по образующим и двумя сечениями
по направляющим.
Для круговой цилиндрической оболочки р == г/гд — 1 и основ-
основное дифференциальное уравнение C.13) принимает вид
ДДТ + 0 + Ш f = i2b% ( Др„ + fu - !|) , C.45)
где
а вместо г\ принято более употребительное в данном частном слу-
случае обозначение ф, причем ф имеет простой геометрический смысл,
являясь углом, соответствующим дуге s; мы будем отсчитывать
этот угол всегда от плоскости симметрии цилиндрической пла-
пластины (см. рис. 2.31).
В практических задачах можно считать, что криволинейные
кромки цилиндрической пластины свободно покоятся на опорах,
абсолютно жестких в своих плоскостях. Граничные условия на
криволинейных кромках сводятся к равенствам
v = w = 7\ = Л*х = 0, C.46)
имеющим место при ? — 0, l0 = L/r0 (где L — длина пластины,
а начало отсчета ? принято на одной из криволинейных кромок).
Что касается граничных условий на прямолинейных кромках
(ф — Фо и Ф = —фо). то они бывают весьма разнообразными,
в силу чего, решая уравнение C.45), необходимо сохранить воз-
возможность считать их произвольными.
171
Решение, удовлетворяющее всем указанным требованиям,
может быть построено путем разложения компонент поверх-
поверхностной нагрузки в одинарные тригонометрические ряды по ко-
координате ?.
Пусть эти разложения имеют вид:
00 ОО
Pi = 2 Pi.m (ф) cos/пД; ра= 2 р». m (ф) sin т^\;
т—l т=Л
ОО
Рп = 2 Рп, т (ф) sin /пД, C.47)
где
т* = тя/|„ = mnro/L. C.48)
Подставим C.47) в правую часть уравнения C.45) и будем
искать его решение в свою очередь в виде ряда
f= if.nsinm.g. C.49)
1
Тогда уравнение в частных производных C.45) распадается
на следующую совокупность независимых дифференциальных
уравнений в обыкновенных производных:
= i2b\ ( Дтр„, m + Щ^- + m.p,. m), C.50)
где
причем таких уравнений будет столько, сколько членов удержи-
удерживается в рядах C.47).
Общее решение уравнения C.50), в силу того, что последнее
линейно, может быть получено путем сложения любого его част-
частного решения с общим решением однородного уравнения
, f.m = 0. C.51)
Если при этом поверхностная нагрузка является достаточно
плавной функцией угла ф, а оболочка не слишком длинной, в ка-
качестве приближенного частного решения можно взять выражение
C.52)
Допустимость использования формулы C.52) основывается
на том, что поскольку компоненты поверхностной нагрузки счи-
172
таются не возрастающими при дифференцировании по ц>, постольку
при подстановке C.52) в левую часть уравнения C.50) можно
пренебречь всеми получающимися при этом членами, кроме имею-
имеющего весьма большой множитель 2Ь2т\.
Нетрудно убедиться, что формула C.52) совпадает с решением,
какое дала бы для рассматриваемой задачи безмоментная теория.
Действительно, уравнения безмоментной теории в данном слу-
случае могут быть записаны так:
IT + if = ~ г° XL?1'm cos m*&;
оо
Tl = г0 2 р„, т sin m&. C.53)
Отсюда, если искать 77, Т%, S* в виде
Т{ = 2 К m sin m.l; Tl = 2 Tl. m sin m.?; S* = 2 S'Mcos m.?,
то для коэффициентов этих рядов получим систему
m,T*, m + -^ = — гори п,; — m.Sm -\—~! — — r0p2, m;
' 2, т = Горп. тг
из которой имеем:
/ 2, m - ГОР-I, mi «^m - — \—ЦГ + P2, m J ,
T1* — 7" 1 Г* го /л ^ 1 dpt.m | _ „
•
что совпадает с формулой C.52), так как при Мх — Ма = 0 7\ т=
— Т*
— * , т-
Мы приходим, следовательно, к важному заключению, что
(по крайней мере в рассматриваемой задаче) в качестве частного
решения дифференциальных уравнений теории упругих оболочек
можно брать решение безмоментной теории. Общее, вполне оче-
очевидное, правило здесь таково:
если для рассматриваемой оболочки при заданной на нее по-
поверхностной нагрузке могут быть указаны краевые условия, при
соблюдении которых напряженное состояние будет безмомент-
173
ным (или достаточно к нему близким), безмоментное решение мо-
может быть принято в качестве частного решения соответствующей
моментной задачи.
Руководствуясь этим правилом, а также сформулированными
в предыдущей главе условиями осуществимости безмоментного
состояния в оболочке, можно всегда установить, допустим ли
указанный выше прием приближенного определения частного
решения или нет. Так, для оболочек с прерывными (или хотя бы
быстро изменяющимися) радиусами кривизны или толщиной и для
оболочек, нагруженных поверхностными силами, изменяющимися
достаточно быстро, заимствовать частное решение из безмомент-
ной теории нельзя. Погрешность, обусловленная заменой част-
частного решения моментных уравнений безмоментным решением,
может быть всегда оценена путем непосредственной подстановки
этого решения в моментные уравнения, как это было показано
выше на примере цилиндрической пластины. Впоследствии мы
неоднократно убедимся, что этот прием допустим во многих слу-
случаях, так что определение частных решений уравнений теории
оболочек обычно не доставляет затруднений и сводится к кругу
вопросов, разобранных в предыдущей главе.
Сказанное выше позволяет рассматривать стоящую перед нами
проблему расчета цилиндрической пластины как однородную
задачу, полагая во всех формулах
Pi, m = Pi, m = Pn, m = О-
Получив такое решение, мы всегда сможем обобщить его и на
неоднородную задачу: достаточно добавить к найденным выра-
выражениям для усилий, моментов и смещений соответствующие реше-
решения безмоментной теории.
Итак, сосредоточим внимание на интегрировании однородного
уравнения C.51), подразумевая в дальнейшем под 7\, Т2, S,
й, v, w не общие выражения комплексных усилий и комплексных
смещений, а только их выражения, соответствующие однородной
задаче.
Решение уравнения C.51) следует искать в виде
T,m = Cew, C.54)
где С и 7 — постоянные.
Подставляя C.54) в C.51) и сокращая получающееся после
выполнения дифференцирований уравнение на Се?*, приходим
к следующему биквадратному уравнению для у:
-i2b2ml = 0, C.55)
откуда
у2 = ml - 4- ± V i2b2m\-m\+-±. C.56)
174
В последнем выражении под радикалом можно пренебречь
всеми членами, кроме первого. Пренебрежение оправдывается
тем, что в рассматриваемой задаче параметр 2Ь2 > т.2,. После
упрощения получим
Y2 = т\ - 4- ± О + 0 Ьт, = bm. [fm ± A + i)]f C.57)
где
Извлекая из выражения C.57) квадратный корень, находим
для у четыре значения:
Yi,» = ±(Ci + fcii); Ya,4 = ±(c,-id8), C.59)
в которых
-U8+1 + 1 - /J1/2- C-60)
Отсюда для вспомогательной функции Tt m может быть напи-
написано следующее выражение:
f, m = Cte™ + С^*"" + С^Л<Р + СУ'\ C.61)
где Сх, С2, С„ С4 — постоянные интегрирования, которые отме-
отмечены сверху волнистым знаком, чтобы указать, что они являются
комплексными.
Строго говоря, С] и yt следовало бы отметить еще индексом тп,
чего, во избежание пестроты формул, делать не будем, предла-
предлагая читателю держать данное обстоятельство в памяти.
Теперь, когда решение однородной задачи в форме ряда C.49)
построено, можно получить в аналогичной форме и выражения
для всех комплексных усилий. Подставляя C.49), с учетом фор-
формулы C.61), в равенства C.14), C.15), C.16), и полагая в них
при этом р = 1, а Рх = рг = рп = 0, получим:
2 ft, m sin тД; Г, - 2 7\ „ sin тД;
S=I,Smcosmml, C.62)
175
где
2
^г <3-63>
/=•
Вводя указанные выражения в формулы C.18) и C.19), по-
получим уравнения для определения комплексных смещений, при-
причем последние будем искать в виде рядов:
" = 2 umcosmml; 6=2 vmslnmml; w = ? wmslnmm%, C.64)
коэффициенты которых будут подчиняться соотношениям
- т.пт = ? (ft, m - vf% n); т',Лт = i2b2-^ fit m;
C.65)
первое и четвертое из которых непосредственно дают
После этого на основании третьего уравнения можно написать
Eh
Sm+rf-ETl$ (Tl'm ~ vTt' m)- C-67)
Подставив в формулы C.66) и C.67) вместо Ти „, 7*,, m, S
их выражения согласно C.63), получим
176
Eh
Теперь перед нами стоит задача перейти от комплексных уси-
усилий к усилиям и моментам и от комплексных смещений к вещест-
вещественным смещениям. Это может быть сделано путем разделения
вещественных и мнимых частей в полученных выражениях, при-
причем постоянные Си Ct, С,, С4 следует считать комплексными.
Не останавливаясь на этих чисто формальных подробностях,
суть которых в достаточной мере ясна, приведем лишь оконча-
окончательный результат описанных выше выкладок. Смещения, угол
поворота 0а, усилия и моменты окажутся представленными в виде
рядов
[v, w, Tlt 7„ 72n, Mlt Ма] =
оо
= 2 [fm. wm, Ti,m, Ta>m, Tan>m, M1>m, M2>m] sinm»g;
oo
[и, <h, S, Tln, Я]= 2 [um. «s>m> 5m, Tln,m, Hm]cosm?, C.69)
где коэффициенты будут выражаться формулами одного из сле-
следующих двух видов:
(I) = (аСх + РО Фх + («С, - РО Ф, + («С8 - рС4) Ф, +
+ (аС4 + РСз) Ф4 + {<*'С\ + Р'й) ^i + («'^2 - р'С[) W2 +
+ (а'С'з - P'ci) Y3 + (а^; + P'ci) Y4;
(II) = (аС4 + рСз) Ф1 + (аС4 - рС4) Ф2 + («С2 - рС,) Ф3 +
+ (аС, + РС2) Ф4 + (а'с; + Р'Сз) ^i + («'Сз -'p'Ci) Y2 +
+ (а С» - р'С,') Y3 + («'С! + Р'Й) Y4,
причем формулами вида (I) определяются коэффициенты ит,
wm, Tu m, Tit m, Т1Пг т, Мь т, Мв, т, а формулами вида (II) —
коэффициенты vm, Sm, Hm, Tin,m, «2,m.
В этих формулах С/, С) — восемь вещественных произволь-
произвольных постоянных, располагая которыми можно задать на каждой
из двух прямолинейных кромок цилиндрической пластины по
четыре краевых условия; а, р, а', Р' — параметры, имеющие для
каждого из коэффициентов свои значения; Ф^, Ту — следующие
комбинации тригонометрических и гиперболических функций:
Фх
ф,
ф»
== ch с,
= she.
= ch с.
= sh Cj
1Ф cos djxp; Y:
^sin^; Y,
;ф sin d^; Y,
Ф cos ^)ф; W4
i = ch с2ф
, = sh с2ф
, = ch с2ф
, = sh с'аф
cos
sin
sin
cos
4)ф;
^ф;
^ф.
C
.70)
177
Таблица 3.1
Параметр НДС
«т
"т
Wm
Wt, m
го Т
Eh ' *• m
Eh '*'m
Eh 6m
_?o_r
?jj ' in, m
?ft '*"• »
~Eh~ Mu m
Eh M*- m
Eh "m
Вид
формулы
(I)
(II)
(I)
(П)
(I)
(I)
(II)
(I)
(ID
(I)
(I)
(H)
a
1
26
dl Г. v t .
~6^;L1~"/m +
i -i
+ -2-Ki + (i+U8J
1,0
-ci+ «,,„,
m,
26
0
26* dl
-^(m^.-C?+d?)
-^-(mj-cf-f 3d?)
—S-lv-0-v)/»l
-^-[l + (l-v)/m]
A — v)c,m,
46*
В табл. 3.1 приводятся формулы, дающие возможность не-
непосредственно вычислить параметры а, р, а', р' для всех коэффи-
коэффициентов рядов C.69). При выводе этих формул было принято,
что для смещения и> а = а' = 1, р=р' = О.
В заключение раздела отметим, что расчет замкнутых состав-
составных оболочек, образованных сопряжением шарнирно опертых
цилиндрических пластин одинаковой толщины, может быть дове-
доведен до конца в терминах комплексных усилий. Дело в том, что
178
p
1 + A+ v) fm
26
ci Г v
6/я, [_ 2 m
- — yi + d+/m)8]
0
-4+Po*,
Ofc V i im)
-**
26*
m«
A —v) dxtn.
46*
-к
—tI
m*
o'
1
26
/l + (l-/m)8]
1,0
26
0
m«
«. c| + d\)
, + ,,-v,W
-(.-v,,nl
1 —v) cam.
4b*
<*
1
+ T
P'
1 - О + v) fm
26
Г v
¦yi + (l-/mJ]
0
26 A W
6^
264
«-И + -1
— v6*
-*
(l-v)d,m.
46*
кроме уже использованных выше граничных условий шарнир-
шарнирного опирания
в терминах комплексных усилий можно сформулировать и усло-
условия сопряжения пластин одинаковой толщины (см. п. 10.7).
179
Примером доведения до конца решения в рамках комплексной
теории оболочек является рассмотренная в п. 14.7 задача о рас-
расчете корпуса винтового компрессора.
3.4. О ПОЛУБЕЗМОМЕНТНОЙ ТЕОРИИ
ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК
Начиная с 1932 г., В. 3. Власовым был предложен ряд более
или менее отличающихся друг от друга вариантов теории ци-
цилиндрических оболочек [16, 17]. Из них наиболее ценным пред-
представляется вариант, который по причинам, ясным из дальнейшего,
будем называть «полубезмоментной теорией цилиндрических обо-
оболочек». Целесообразность такого варианта очевидна по следую-
следующим соображениям.
Как было показано ранее (гл. 2), точность решения, даваемого
безмоментной теорией, зависит от плавности формы оболочки,
плавности действующей на нее нагрузки и от способа закрепле-
закрепления ее краев Однако у цилиндрических оболочек к перечислен-
перечисленным трем факторам добавляется еще один, а именно — длина
оболочки (см. п. 2.18), причем с ее увеличением точность безмо-
безмоментного решения уменьшается вне зависимости от того, на-
насколько соблюдены прочие условия существования безмоментного
напряженного состояния. Физически это означает, что при доста-
достаточно большой длине закрепление торцов трубы мало влияет на
напряжения и деформацию в средней ее части и не может предо-
предотвратить появления там значительных напряжений изгиба (если
только внешняя нагрузка способна их вызывать).
Существенно при этом отметить, что деформация, о которой
идет речь, будет вызываться преимущественно изгибом попереч-
поперечных сечений трубы моментами М2. Что касается деформации
за счет изгиба образующей моментом Мг и кручения срединной
поверхности моментом Н, то она будет незначительной, если
только закрепление краев оболочки соответствует требованиям
безмоментной теории.
Поскольку для длинных и весьма длинных цилиндрических
оболочек безмоментная теория неприменима, возникает необхо-
необходимость построения такой теории этих оболочек, которая зани-
занимала бы промежуточное место между безмоментной и общей тео-
теорией, исходящей из уравнения C.13). Причем, как ясно из выше-
вышеизложенного, первым шагом при разработке подобной промежу-
промежуточной теории должно явиться пренебрежение моментами Мг, Н
(а следовательно, и усилием Т1п) в уравнениях равновесия эле-
элемента оболочки.
В итоге упрощения получим:
dtj, . dS
180
Написанная система совпадает с системой C.33), что есте-
естественно, поскольку для оболочек, подкрепленных ребрами, были
сделаны те же упрощения, что приняты в п. 3.2.
Связь между усилиями и деформациями будет выражаться
обычными формулами:
^-(x8 + vx1), C.72)
где
l ди
1 / dU J_ dV \ ¦ „ I 3 /*« О \ /О 7ОЧ
<o=t7U+if)> ^^-тг^гЫ^т-)- {3-73)
Причем из пренебрежения моментом
Ml = 12A-v») (Xl
следует приближенное равенство хх « —vx,, которое приводит
последнюю из формул C.72) к виду
Из системы C.71) путем исключения всех неизвестных, кроме
и Mt, может быть получено уравнение
Го
д_ / I dMj\ _
ал V р ал j ~
идентичное уравнению C.39).
Второе уравнение с теми же неизвестными В. 3. Власов полу-
получает из соотношения совместности деформаций C.35), которое он
предварительно упрощает, полагая, что (см. [17], стр. 482)
о, = е„ = 0. C.75)
181
После такого упрощения соотношение C.35) записывается
в виде
WiK9W) + '^\T'^)=0- C'76)
Заменив здесь деформации их выражениями через усилия и
момент, получим
!|E 0, C.77)
где W — оператор В. 3. Власова;
Далее в уравнении C.77) предлагается пренебречь еще чле-
членами, умноженными на коэффициент Пуассона v, после чего из
уравнений C.74) и C.77) получается следующая окончательная
дифференциальная система:
C.79,
Общим недостатком приведенных рассуждений является зна-
значительное количество произвольных допущений, сводящихся
к пяти равенствам:
Afj = Н = е4 = со = v = 0;
причем некоторые из них, с точки зрения основной идеи полу-
безмоментной теории (сформулированной в начале параграфа),
являются лишними. Так, равенство «в = 0 неприемлемо для реше-
решения задачи о кручении труб и, следовательно, данная важная
проблема теории длинных и весьма длинных тонкостенных стер-
стержней оказывается вне сферы возможностей изложенной теории.
Между тем, как нетрудно показать, отмеченные выше недочеты
свойственны отнюдь не уравнениям C.79), а лишь изложенному
способу их вывода. В действительности нет никакой необходи-
необходимости связывать переход от формулы C.35) к формуле C.76)
с равенствами C.75). Для обоснования такого перехода доста-
достаточно допустить возможность пренебрежения производными
ag* И д$
по сравнению с
182
соответственно, что, разумеется, отнюдь не эквивалентно равен-
равенствам C.75) и является значительно менее сильным ограниче-
ограничением. При этом, поскольку производные от деформаций связаны
друг с другом уравнениями C.71), C.72), становится ясно, что
вывод системы C.79) следует связывать не с рядом разрозненных
допущений, касающихся отдельных усилий, моментов и дефор-
деформаций, а с некоторым более глубоким и общим принципом. Можно
показать, что таким единственным принципом, достаточным для
обоснования уравнений вида C.79), является пренебрежение
д*//д|* по сравнению с д2}/дц* (где / — любая характерная для
рассматриваемой задачи функция: смещение, усилие, момент).
Действительно, обращаясь к общему уравнению C.13) и
выполняя в нем указанное упрощение (за исключением члена,
имеющего весьма большой по модулю множитель i2b2), получим:
Э2Г
WT + 12ЬШЦ- =
Отделяя вещественную часть от мнимой, получим систему из
двух уравнений, идентичную по структуре системе C.79). Неиз-
Неизвестными в данной системе будут 7\ + Г, вместо 7\ в системе
C.79), и Mt — как и в системе C.79). Последнее следует из того,
что в соответствии с принятым принципом упрощения М1 л*
ft! \Mt.
Определив из уравнения C.80) вспомогательную функцию Т,
можно, воспользовавшись формулами C.14)—C.17), найти все
комплексные усилия, при этом в указанных формулах, следуя
основной идее упрощения, надо полагать
Далее для получения комплексных смещений могут быть
использованы уравнения C.18), C.19).
Как видно, между обычной трактовкой полубезмоментной тео-
теории и трактовкой ее, изложенной выше, имеется принципиальная
разница, состоящая в том, что при обычной трактовке некоторые
деформации (е4, ш) произвольно приравниваются нулю, тогда
как в предлагаемой трактовке все деформации, усилия и моменты
входят как отличные от нуля величины, при определении кото-
которых, однако, последовательно проведено одно единственное упро-
упрощение. При таком подходе сохраняются все преимущества полу-
полубезмоментной теории (поскольку основные уравнения получаются
такими же!) и устраняется ряд существенных ее недостатков.
Не следует при этом думать, что предлагаемое обоснование
полубезмоментной теории менее «физично», чем обычное. Пре-
Пренебрежение д*/д%* по сравнению с дУдх\*, будучи переведено на
язык физических понятий, означает, что характер изменения
всех смещений и напряжений в направлении вдоль цилиндри-
183
ческой оболочки предполагается существенно более плавным,
чем характер их изменения в направлении дуги поперечного се-
сечения цилиндра. Если длина рассматриваемой оболочки доста-
достаточно велика, то напряженное состояние в ней обычно будет
удовлетворять данному требованию (коль скоро местные напряжен-
напряженные состояния типа краевого эффекта либо не принимаются во
внимание, либо считаются устраненными, путем формулировки
на концах трубы безмоментных граничных условий).
В заключение отметим, что из вышеизложенного следует про-
простой критерий для оценки погрешности решений полубезмомент-
полубезмоментной теории, заключающийся в сравнении д2//д?2 с d2f/drf (где f —
любое смещение или усилие). Это замечание, разумеется, отно-
относится лишь к полубезмоментной теории, обобщенной указанным
выше способом. Погрешность теории, допускающей равенство
«в = 0, может в отдельных задачах значительно превосходить
указанную оценку.
Глава 4
РАСЧЕТ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ
Глава посвящена рассмотрению двух наиболее интересных
случаев деформирования оболочки вращения — осесимметрич-
ному (k = 0) и обратносимметричному (k — 1) изгибам. Реше-
Решение однородной системы разрешающих уравнений определяется
методом асимптотического интегрирования и является точным
в рамках кирхгофовской теории оболочек. Однако для практи-
практических целей достаточной обычно является точность первого
(так называемого геккелеровского) приближения, соответствую-
соответствующая пренебрежению слагаемыми порядка Y^h/R0 по сравнению
с единицей. Частное решение также вычисляется приближенно
на основе предложения о его плавности и совпадает с безмомент-
ным решением. Главу заключают параграфы, посвященные от-
отдельно цилиндрическим, коническим и сферическим оболочкам.
Рассмотрен ряд задач, которые могут представлять самостоя-
самостоятельный интерес (например, аналог теоремы о трех моментах
в теории оболочек).
4.1. МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ УСИЛИЙ
История вопроса. Оболочки вращения, наряду с рассмотрен-
рассмотренными в предыдущей главе цилиндрическими оболочками, часто
применяются в технике. Этому классу оболочек посвещено много
исследований, причем наиболее далеко удалось продвинуться
в направлении расчета круговых цилиндрических и сферических
184
оболочек. О круговых цилиндрических оболочках достаточно
сказано в предыдущей главе и здесь мы на них останавливаться
ие будем. Что касается сферических оболочек, то первым зна-
значительным успехом в их расчете была работа Г. Рейсснера [278],
который привел к удобному виду дифференциальные уравнения,
описывающие осесимметричную деформацию этих оболочек, и
применил затем для их интегрирования асимптотический метод
[229]. Тогда же обнаружилась возможность понижения порядка
дифференциальных уравнений данной задачи путем их комплекс-
комплексного преобразования, так что расчет сферических оболочек иа
осесимметричную нагрузку оказался сведенным к интегрирова-
интегрированию одного дифференциального уравнения всего лишь второго
порядка.
Сразу же вслед за появлением статьи [278] Е. Мейсснеру
[264, 265 ] удалось обобщить указанные выше результаты иа
случай осесимметричной деформации оболочки вращения про-
произвольной формы (и даже переменной толщины). Тем самым труд-
трудности, связанные с расчетом оболочек вращения на осесимметрич-
ные нагрузки, были в значительной мере преодолены, тем более,
что асимптотический метод открывал простые и достаточно точ-
точные пути интегрирования соответствующих Дифференциальных
уравнений. Однако долгое время после появления цитированных
работ усилия были направлены в сторону не приближенного,
а математически точного решения данных уравнений ([244],
[230], [289] и др.). Сейчас эти результаты цюрихской школы
(такое название в истории теории оболочек получила группа
ученых, возглавлявшаяся Мейсснером и Рейсснером) представ-
представляются в значительной мере бесполезными, так как достаточную
точность с учетом погрешности исходных гипотез дает асимптоти-
асимптотический метод. Поэтому его и надо использовать, а не громоздкие
гипер геометрические ряды в погоне за математической точностью
решения уравнений, лишь приближенно описывающих напря-
напряженно-деформированное состояние в оболочке. Эта мысль впер-
впервые была отчетливо высказана, по-видимому, в докторской дис-
диссертации первого автора данной книги. Независимо к тому же
выводу пришел и А. И. Лурье, последовательно использовавший
асимптотический метод в монографии [81].
В разработке упрощенных методов расчета оболочек вращения
иа осесимметричную нагрузку особенно велики заслуги
И. Я. Штаермана [221], И. Геккелера [249] и П. Л. Пастер-
Пастернака [270]. При этом И. Я- Штаерман, кроме того, дал свой,
весьма наглядный, вывод уравнений этой задачи, установив ана-
аналогию между задачей об осесимметричной деформации оболочек
вращения и задачей изгиба арки на упругом основании [224, 225].
Наиболее простой и часто применяемый приближенный спо-
способ интегрирования уравнений осесимметричной деформации обо-
оболочек _вращения, основанный на пренебрежении членами порядка
до YhIRo (по сравнению с единицей) включительно, вошел в прак-
185
тику под названием «метод Геккелера», что нельзя признать
вполне справедливым, ибо фактически он является результатом
усилий ряда перечисленных выше авторов. Таким образом, рас-
расчет оболочек вращения на осесимметричную нагрузку в настоя-
настоящее время изучен достаточно хорошо, причем комплексное преоб-
преобразование, понизившее вдвое порядок дифференциальных урав-
уравнений задачи, сыграло большую роль.
Сложнее обстояло с расчетом оболочек вращения на неосе-
симметрнчные нагрузки. Наиболее важной из них является обрат-
носимметричная нагрузка, иногда называемая также «ветровой».
Для сферической оболочки соответствующая задача была решена
в диссертации Э. Шверииа [286], который (видимо, желая уго-
угодить своему учителю и оппоненту Г. Рейсснеру) преобразовывал
дифференциальные уравнения в духе, типичном для цюрихской
школы, стремясь получить решение в форме плохо сходящихся
в данном случае гипергеометрических рядов, что ему и удалось.
При этом были обнаружены две квадратуры, а также возмож-
возможность комплексного преобразования, так что расчет сферической
оболочки на «ветровую» нагрузку в итоге оказался сведенным
к интегрированию одного уравнения второго порядка. Послед-
Последний результат был обобщен затем в работе [126] для оболочек
вращения произвольной формы.
Что касается сферических оболочек, нагруженных произволь-
произвольным образом, то эта общая задача была решена впервые А. Хавер-
сом [251] (или, правильнее, А. Ван дер Неутом [288], ибо
А. Хаверс лишь перенес в задачу о напряжениях те преобразова-
преобразования, которые первый автор использовал при расчете сферических
оболочек на устойчивость). Другими способами данная проблема
была решена также В. В. Соколовским [177], Ю. Репманом [159],
А. Л. Гольденвейзером [36] и первым автором этой книги [120].
При этом следует отметить, что как А. Хаверс, так и
А. Л. Гольденвейзер дали преобразование только для однородной
задачи, ввиду чего их результаты не могут быть непосредственно
применены к расчету сферических оболочек на устойчивость и
вибрацию. Если это учесть, то предпочтения, быть может, заслу-
заслуживает преобразование, предложенное в работе [120], которое,
пожалуй, наиболее удобно для решения двух указанных выше
задач. Однако, если говорить только об однородной задаче, то
более интересным следует признать решение А. Л. Гольденвей-
Гольденвейзера [36].
Итак, расчет сферической оболочки на произвольную нагрузку,
в своей окончательной форме детально разработанный совет-
советскими учеными, является в настоящее время пройденным эта-
этапом, причем, если ориентироваться на асимптотическое интегри-
интегрирование получающихся при этом дифференциальных уравнений,
то эта задача в вычислительном отношении оказывается даже ме-
менее громоздкой, чем можно было бы ожидать.
Из результатов, относящихся к оболочкам вращения другой
186
формы, следует упомянуть решение для конических оболочек,
предложенное А. Лявом [84], справедливое для произвольных
нагрузок. Он же указал, что для оболочек вращения произволь-
произвольной формы, ограниченных параллельными кругами, можно в пер-
первом приближении получать общее решение путем суммирования
решений безмоментных уравнений и так называемых уравнений
«краевого эффекта», интегралы которых выражаются через быстро
изменяющиеся функции расстояния от края оболочки. Эту мысль
А. Ляв последовательно проводит в своей книге, не занимаясь,
однако, обоснованием ее справедливости, а также возможным
упрощением уравнений краевого эффекта.
Оба эти вопроса нашли подробное освещение в цикле работ
А. Л. Гольденвейзера [37, 38], а также в работах Ю. Н. Работ-
нова [153] и X. М. Муштари [116]. Перечисленные труды совет-
советских ученых существенно уточнили условия, при которых воз-
возможно выделение быстро затухающей части решения уравне-
уравнений теории оболочек, и исследовали ряд возможных здесь осо-
особенных случаев.
Задачу о расчете оболочек вращения на произвольную на-
нагрузку удобнее всего рассматривать в комплексной форме. Оказы-
Оказывается, что получающиеся при этом дифференциальные уравне-
уравнения допускают преобразования, аналогичные тем, какие воз-
возможны для уравнений безмоментной теории. В итоге расчет обо-
оболочки вращения приводится к решению дифференциальной си-
системы четвертого порядка, содержащей всего два уравнений. Из
этой системы, во-первых, сразу же может быть получен известный
результат для осесимметричной деформации оболочек вращения,
т. е. решение этой задачи может быть сведено к интегрированию
одного уравнения второго порядка. Кроме того, аналогичный
результат может быть получен и для так называемых «ветровых»
нагрузок.
Для семейства оболочек, радиусы кривизны которых подчи-
подчиняются соотношению
основная дифференциальная система оболочек вращения при лю-
любых нагрузках распадается, путем применения повторного ком-
комплексного преобразования, на два независимых уравнения вто-
второго порядка, причем одно близко к уравнению безмоментной тео-
теории, а другое — к уравнению типа осесимметричной деформации.
Данный результат приближенно может быть распространен и
на оболочки вращения произвольной формы.
Следовательно, комплексное преобразование дифференциаль-
дифференциальных уравнений теории оболочек, будучи применено к оболочкам
вращения, оказывается плодотворным и позволяет существенно
расширить сведения об этих оболочках.
6 приведенном выше обзоре не были затронуты ценные работы
187
Б. Г. Галеркина [261,
А.И.Лурье [791 и Г. С. Ша-
Шапиро [2191, поскольку они
относятся не к теории тон-
тонких, а к теории толстых обо-
оболочек.
Уравнения в комплексных
усилиях и их преобразование.
Так же, как и в п. 2.4, будем
определять положение точек
на срединной поверхности
оболочки вращения произ-
произвольной формы углами 6 и (р
(рис. 4.1). Параметры Ламе,
отвечающие этим криволи-
криволинейным координатам, опре-
определяются формулами:
Ах = #х; Л, = Rt sin Q JLr,
D.1)
где #! — радиус кривизны меридиана; Ra — радиус кривизны
параллельного круга в нормальной к срединной поверхности
плоскости (см. рис. 4.1).
Как уже говорилось, условия Кодацци—Гаусса в выбранных
направлениях сводятся к одному соотношению (см. B.9))
^ = tflCos9. D.2)
С учетом соотношений D.1), D.2) разрешающая система урав-
уравнений в комплексных усилиях A.155) для оболочек вращения
принимает вид:
Рис. 4.1
ctg е .=,
{1
i as
с д?
щж
D.3)
где plt pt, pn — компоненты поверхностной нагрузки соответ-
соответственно по направлениям 9, <р и по нормали к срединной поверх-
поверхности;
л = JLiL
Kjae»
ПГ* rp i Mm VAI
d!*i
1-V»
188
' с I —v '
7 = 7\ + 7,; c = h/У 12A -v2).
D.4)
Система D.3), если в ней положить
с = 0, переходит в систему уравнений
безмоментной теории оболочек враще-
вращения B.10). Следовательно, названные
две системы имеют много общего. Это
позволяет предположить, что преобра-
преобразование системы D.3) целесообразно
проводить по аналогии с тем, как это
делалось в п. 2.4.
Введем две новые вспомогательные
функции
U = 7\г sin 6 — ic -4- cos 6 -тяг; V = Sr2,
D.5)
которые при с =0 являются идентичными функциями U* и V*
безмоментной теории оболочек вращения (см. B.12)).
Заменяя во втором уравнении системы D.3) Tt на Т—7\ и
исключая затем из этого уравнения 7\ и S с помощью формул D.5),
приходим с учетом D.2) к уравнению
D.6)
Введем далее в первое и третье уравнение системы D.3) вместо
7\ функцию U. После некоторых преобразований с учетом фор-
формул D.2) и D.4) получим:
1 dU I cos 9 ~ ctg 9 z, . 1 dS
RtRt sin* 9 dQ R^t sin8 9 Rt * ~"~ r '^~'
и
D.7),
После умножения уравнения D.7L на ctg 0 и суммирования
полученного равенства с D.7)! находим
dU . ff, dV
где (рис. 4.2)
—рп cos 8 + рг sin 8.
D.8)
D.9)
Исключим из уравнений D.6) и D.8) функцию V, для чего
достаточно продифференцировать умноженное на Rtr/Ri урав-
уравнение D.8) по 8, а уравнение D.6) — по ф и вычесть из одного
полученного уравнения другое. В результате придем к следую-
следующему уравнению относительно двух неизвестных функций:
[(^^II^]|| D.10)
в котором
Между операторами G и Д существует легко устанавливаемая
связь
и поэтому уравнение D.7)а можно записать в виде
=pnR2. D.13)
Уравнения D.10) и D.13) образуют в совокупности разрешаю-
разрешающую систему уравнений относительно вспомогательных комплекс-
комплексных функций U и Т. Иными словами, расчет оболочки вращения
произвольной формы, нагруженной по любому закону, сведен
к решению следующей системы:
D.14)
Если в D.14) положить с = 0 и исключить 7\ то получим урав-
уравнение
совпадающее с уравнением B.14). Этого и следовало ожидать,
поскольку при с = 0 уравнения D.3) превращаются в уравне-
уравнения безмоментной теории.
Следовательно, как частный случай, в системе D.14) заклю-
заключается основное дифференциальное уравнение безмоментной тео-
190
рии оболочек вращения, что позволяет рассматривать эту систему
как обобщение названного уравнения на оболочки вращения, ра-
работающие не только на цепные напряжения, но и на изгиб.
4.2. МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ
Условия равновесия оболочки в целом. Если оболочка вращения
ограничена одной (см. рис. 2.2) или двумя (см. рис. 4.1) паралле-
параллелями, то она будет замкнута в отношении координаты ф, в соот-
соответствии с чем компоненты поверхностной и краевой нагрузок
будут периодическими функциями названной координаты с пе-
периодом 2я. Это позволяет разложить компоненты поверхностной
нагрузки в ряды Фурье и представить в виде аналогичных ря-
рядов все искомые функции. При этом, как уже говорилось (см.
п. 2.5), достаточно рассмотреть нагрузку
Pi = Pi, h COS fop, pt = pt, ft Sin fop, pn = pn, h COS fop. D.16)
Очевидно, что действующая на оболочку поверхностная и
краевая нагрузка должна удовлетворять условиям равновесия
этой оболочки как твердого тела. Выясним названные условия для
поверхностной нагрузки D.16).
Краевые усилия A.131)! можно записать в виде вектора
Q^r^ + Q^ + Qmn, D.17)
где
АЛ 1 Я АЛ
D.18)
Для оболочек вращения обычно используют вместо ортов
{e.lt е„ п[ правую тройку ортов, связанную с цилиндрическими
координатами \ег, еф, ег[, где еф = е,. На основании рис. 4.2
нетрудно установить следующие формулы:
ех = ez sin 9 + е,. cos 9; n = — е2 cos 9 + е, sin 9;
ег = eicos9 + п sin9; ez = exSinB — ncosB. D.19).
При вычислении интегралов и производных по <р полезными
являются также соотношения (см. рис. 4.2):
ег = ех sin ф + е„ cos ф; tv — ех cos ф — Су sin ф. D.20)
Равновесие края 9 = const определяют величины (если про-
противное не оговорено, то имеется в виду нижний край оболочки):
M^, D.21)
где
Qz = 7\ sin 9 - Qlft cos 9. D.22)
191
Вычислим главный вектор и главный момент относительно
центра окружности рассматриваемого края величин D.21). Имеем
2Л
g = г j Qt dq> - 2*rQz,oez +- nr (Qr, i - Q* 0 е„;
D-23)
» = r j (rer x Qt +A
Далее подсчитаем главный вектор и главный момент относи-
относительно начала координат О (см. рис. 4.1) поверхностной нагрузки
D.16). Используя соотношения D.19), D.20), после несложных
преобразований находим:
J J prRldBdv = 2nnp,.erRidBJeE + al)(pr.l-p,,JrRldB]ew.
D.24)
6а 2л /в, 1
(zez - r«g х рг^йЭ^ф = я J [г(рф#1—Pr.J + rp^rRtdQ е»,
где
в
J D.25)
6а 2л
J J
В соответствии с формулами D.23), D.24) условия равновесия
оболочки в целом принимают вид
-8, (8i) + & (в,) + 2я J рг, „г^х d0 = 0; D.26)!
в
J
в.
-ЪУ (9i) + ЪУ (в,) + я J (р„! - р„ 0 rRi dq> = 0;
6i
-»х (вО + »»(90 - г (в,) 8, (90 +
е.
+ я J [rp* х - г (рг,! - pVi 0] r^xd0 - 0, D.2б)а
в,
где
&, 0; й„ = яг (Qr, х - Q,, х); 9ЭХ - nr (MU1 + rQu,).
D.27)
Таким образом, условия равновесия оболочки в целом опре-
определяются осесимметричным (k = 0) и обратносимметричным
(k = 1) напряженными состояниями, а при k ^ 2 напряженное
состояние является самоуравновешенным.
192
Если, в частности, рассматривать условия равновесия не всей
оболочки (IQU 82]), а лишь ее части, ограниченной параллелью
8 = const ([8ц 8]), то уравнения D.26), D.27) принимают вид:
в,
Qz, о = -sir & ^ - Т J P" °r/?i d* D-28>i
е,
е
1 1 (*
Qr, 1 — Уф, 1 = -^г ov (8i) —— J (рг, 1 — Рф, 1
е,
Мг,! + rQz>1 = -^- [33Х (8i) - г% (801 + 7-
- 71 j [r^. 1 - г (Рг, 1 - Р*. 01 ^i dQ- D-28),
Полученные соотношения являются, очевидно, квадратурами
дифференциальных уравнений равновесия осесимметрично и
обратносимметрично деформируемых оболочек вращения.
Разрешающая система уравнений. В соответствии с рассма-
рассматриваемой нагрузкой D.16) искомое решение представим так:
О = Uk (8) cos top; f = fh (8) cos top-. D.29)
Подставляя соотношения D.16), D.29) в уравнения D.14), полу-
получим для &-й гармоники (cos top, sin top) следующую систему диффе-
дифференциальных уравнений в обыкновенных производных:
-icQhT, k + Г, ft + (^ - ^-J -jj^- l/k = /?2р„, k, D.30)
где
Проинтегрировать систему D.20) — значит определить вспо-
вспомогательные функции О и Т для нагрузки D.16). Так как, с одной
стороны, любая нагрузка может быть получена путем наложения
нагрузок вида D.16), а, с другой стороны, зная U и Т, уже не
составляет труда определить все комплексные усилия с помощью
формул D.5), D.4), то можно сказать, что расчет напряжений
в оболочке вращения сводится к интегрированию системы D.30).
7 В. В. Новожилов и др. 193
Определение смешений. Связь между комплексными смеще-
смещениями A.158) и комплексными усилиями D.4) в соответствии
с формулами A.61), A.160) выражается соотношениями (ux =
= и, й„ = б):
ж + • =-i№ -v7*
D.32b
й dc \ cos 9 / дв> ~\ _
1 д Г 1 / 1 д© _\-] 1 / дй _ „
*! жL"rT \^т 1ф~ ~ /J + "r7№ ocosd
5 <4-32)а
где Т\, Tl, S* — какое-либо решение уравнений безмоментной
теории оболочек B.10).
Если поверхностная нагрузка имеет вид D.16), то комплекс-
комплексные и безмоментные усилия зависят от ср следующим образом:
Т\ = Л, ft cos fccp, Га = f2, ft cos &cp, S = Sh sin ^ф;
T\ = T\, k cos kq>, T\ = 75, k cos fep, S* = S{ sin fop, D.33)
где 7i,*, ..., Si — функции лишь 9.
В соответствии с этим комплексные смещения следует искать
в виде
й = uh cos fop; б = 6ft sin fop; w = xbh cos ^ф. D.34)
Подставляя D.33) и D.34) в формулы D.32), получим:
^; D.85H
*/'*,7. in^ cose
l ш + v)
194
Таким образом, вычисление смещений с учетом D.34) сво-
сводится к совместному решению систем D.35)t и D.35)а. Напомним,
что формулы D.32)х и D.35)а согласуются друг с другом лишь
приближенно, с точностью до членов порядка h/R0 по сравнению
с единицей. Поэтому подобное расхождение следует ожидать и
при интегрировании систем D.35)lf D.35)a.
4.3. УРАВНЕНИЯ ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ
ДЕФОРМАЦИИ
Особенно важное практическое значение имеет частный слу-
случай, когда в формулах D.16) k = 0. Тогда
Pi = Pi, о (8); />а = 0; />„ = />„, о (8), D.36)
т. е. поверхностная нагрузка является осесимметричной (не за-
зависит от ф).
Из-за того, что в D.36) отсутствует компонента р2 F) (см.
форм. B.24)), которая вызвала бы закручивание оболочки вокруг
ее оси, соответствующую нагрузке D.36) осесимметричную дефор-
деформацию называют осесимметричным изгибом [149]. При этом сле-
следует заметить, что осесимметричность поверхностной нагрузки
отнюдь не обеспечивает реализацию одноименного напряженно-
деформированного состояния. Последнее будет иметь место лишь
в том случае, если и граничные условия не зависят от <р. Действи-
Действительно, если, например, купол, находящийся под действием своего
веса, оперт не на сплошное основание, а на ряд колонн, то его
деформация будет зависеть как от 9, так и от <р.
Предположим, что поверхностная нагрузка имеет вид D.36)
и, кроме того, краевые силы, закручивающие оболочку, отсут-
отсутствуют. Тогда в оболочке возникнут только усилия 7\, Тг и мо-
моменты Mi, Mt, а касательные усилия 5 и крутящие моменты Н
будут отсутствовать. В соответствии с этим напряженное состоя-
состояние при осесимметричном изгибе полностью характеризуется
двумя комплексными усилиями 7\ и Та (являющимися функ-
функциями 9). Уравнение D.8) в данном случае имеет вид
dU/dQ = —pzRir D.37)
(здесь и ниже индекс @) во избежание пестроты формул опускаем).
Интегрируя D.37), находим
е
0 =Ct = j ptR,rdQ, D.38)
в.
7* 195
где нижний предел интегрирования может быть выбран произ-
произвольно (например, соответствующим одному из краев оболочки
80 = 0! или 80 = 8а, см. рис. 4.1).
Несколько ниже будет показано, что входящая в формулу D.38)
произвольная постоянная С1 является вещественной, в связи
с чем вспомогательная функция U в рассматриваемой задаче
может быть отождествлена с соответствующей функцией U* без-
моментной теории (см. B.37)).
Подставляя найденное выражение для U во второе уравне-
уравнение системы D.14), получим
-icGT + f = PnRt - (-i- - -i-) -jj^- ( ? - f PzRir dQ ]. D.39)
Учитывая, что оператор G в данном случае определяется фор-
формулой
r,__J d_( RS d \
U "" Rtr dQ \ Rt d& )'
уравнение D.39) можно записать в следующем развернутом виде:
D.40)
F(B) = pnR*-(-?---i-
)
в. /
Уравнение D.40) является линейным, поэтому его общее ре-
решение можно представить так
7 = 7° + fp, D.42)
где Т° — общее решение однородного уравнения
+ <^r. = 0. «4.43,
а 7> — любое частное решение неоднородного уравнения D.40).
Как известно из курса дифференциальных уравнений, отыска-
отыскание частного решения линейного уравнения не представляет
принципиальных затруднений, коль скоро известно решение
однородного уравнения. Однако в рассматриваемой конкретной
задаче частное решение неоднородного уравнения D.40) во мно-
многих случаях может быть найдено путем следующих рассуждений.
Обратим внимание на то, что последний член левой части уравне-
уравнения D.40) имеет большой по модулю коэффициент iR\lR?c (по-
196
рядка RJh), тогда как коэффициенты при остальных членах
являются величинами порядка единицы. Это дает основание при
определении частного решения уравнения D.40) пренебречь всеми
слагаемыми его левой части, кроме последнего. Тогда получим
f»&F(Q). D.44)
Погрешность последней формулы может быть оценена путем
подстановки D.44) в D.43) и сравнения единственного оставлен-
оставленного слагаемого левой части с отброшенными слагаемыми, т. е.
путем сравнения величины
dQ I (q-qo>
Я? F ] <*0а +[Л Rt I g Ri dQ J dQ
с единицей.
В большинстве практических задач эта погрешность невелика.
В тех же случаях, когда она оказывается существенной, частное
решение уравнения D.40) приходится определять обычным мето-
методом вариации произвольных постоянных.
Если общее решение уравнения D.40) найдено, то определение
комплексных усилий и смещений уже не представляет затрудне-
затруднений. Так, из формул D.5), D.4) следует, что
D.46)
Подставляя эти выражения в уравнения D.32) и принимая
во внимание независимость решения от <р, получаем следующие
четыре уравнения для определения комплексных смещений:
Яг dQ ~ Rt dQ R! \ dQ ~ U) ~~~
Для того, чтобы два последних уравнения этой системы были
совместными, необходимо, чтобы операция d/R^Q над правой
частью четвертого уравнения приводила к выражению, стоящему
в правой части третьего уравнения. Приравнивая названные вы-
197
ражения, можно убедиться, что при этом получается уравнение
D.40), если
*? = ТШТ "• <4-48>
Формула D.48) и является условием совместности двух послед-
последних уравнений системы D.47). Сопоставляя соотношения D.48)
и D.38), видим, что
Сх = Си D.49)
т. е., как уже упоминалось, постоянная С1 является вещественной.
Далее из формул D.41), D.48), D.49) и B.38), B.39) следует,
что входящая в правую часть разрешающего уравнения D.40)
функция F (8) может быть записана в виде
/7(8) = 77 +П. D.50)
Сравнивая D.44) и D.50), убеждаемся, что определяя частное
решение уравнения D.40) приближенной формулой D.44), мы
заимствуем его из безмоментной теории.
На основании соотношения D.48) и последней формулы D.47) нмеем для ком-
комплексной функции О следующее выражение:
da Л I R» dT
Вещественной частью функции О, очевидно, является угол поворота каса-
касательной к меридиану
D-53)
Вычислим мнимую часть функции д. Имеем
ImAi «• 1 dj
Зе
Как показано в [128], два из трех уравнений неразрывности, записанных
в усилиях и моментах (см. (I.I46)), можно принять в следующем упрощенном
виде:
Г 1 I djMj + M,) . I I д [М1 + Mt)
. ln l+v ^ да, ' 'an~ 1+v A3 да3
Используя первое из этих уравнений, формулу D.53) можно записать так
ЫЬ°=-ШТ1П ¦ D>54)
и, следовательно, на основании соотношений D.51), D.52), D.54) имеем
- D-55)
Этой формулой устанавливается связь между используемым в даииой книге
преобразованием и преобразованием Мейссиера [272], который принимал Ъ
в качестве основной комплексной функции.
198
Для определения перемещений й, w составим выражение
й2 = — w cos 8 + й sin 8 D.56)
и продифференцируем его по 9.
Тогда получим
-^ = _ -^- cos 8 + п> sin 8 + -Ц- sin 8 + й cos 8 =
= Ri (Ф cos 0 + «l sin 0). D.57)
Входящие в правую часть этой формулы величины Ъ и ех уже
выражены через функцию 7* (см. D.47), D.48) и D.51)).
Таким образом, правую часть D.57) можно считать известной
функцией 0. Интегрируя ее, имеем
е
иг = Сг + J #! (Ъ cos 8 + 8! sin 8) dQ. D.58)
в.
Присоединяя к этой формуле второе из соотношений D.47),
получаем возможность определить порознь комплексные смеще-
смещения аи ш. Заметим при этом, что вещественные части функций йт
и йг имеют простой геометрический смысл, являясь горизонталь-
горизонтальным и вертикальным смещениями (см. рис. 4.2). Соответственно,
вещественная часть постоянной С2 является вертикальным (осе-
(осевым) смещением параллельного круга 0 = 80.
Введем, далее, еще две комплексные функции:
QT = 7\ cos 8 + i -^- -2jJ- sin 0; Qz = 7\ sin 8 - i -j- -^- cos 8,
D.59)
вещественными частями которых будут следующие горизонталь-
горизонтальное и вертикальное усилия (см. D.22)):
Qr = Ti cos 8 -+ Qln sin 8, Qz = Tt sin 8 - Qln cos 8. D.60)
Подставляя в D.59) вместо 7\ его значение согласно форму-
формулам D.46)i и D.48), находим
^ 1 Qz = Q, = nsin0. D.61)
На основании формул D.38), D.48) и D.61) имеем
в
D.62)
Сравнивая эту формулу с полученным выше соотношением D.28)lf
убеждаемся, что:
199
квадратура D.38) является условием равновесия части обо-
оболочки, ограниченной линиями 90 и 0, причем
Ci= 2H-&(9i). D.63)
откуда становится очевидным механический смысл константы Clt
условие равновесия оболочки в целом определяется безмомент-
ным напряженным состоянием (т. е. не зависит от Т°).
Последнее свойство носит общий характер и к нему мы вер-
вернемся еще не раз на страницах этой книги.
Остановимся в заключение раздела на физических предпосыл-
предпосылках приближенной замены частного решения уравнений момент-
ной теории решением безмоментной теории.
Рассмотрим сначала случай, когда
Pi = Рг = Рп = О, U = О,
который будем называть однородной задачей, вследствие того,
что для него основное уравнение D.40) однородно.
Тогда на основании формул D.48), D.61) Qz = 0 и, следова-
следовательно, однородной задаче отвечает нагрузка, показанная на
рис. 4.3, б (поверхностная нагрузка отсутствует, а на краях дей-
действуют усилия QT и моменты М^.
Рассмотрим теперь общий случай нагружения оболочки вра-
вращения, показанный на рис. 4.3, а. Пусть на краях этой оболочки
заданы условия:
Qz = Q'z, Qr = Q'r; Mi = Mi при в = в,;
Q.z = <&, Qr = Qr\ Afi = AfI при е = е2. D.64)
Данная система краевых сил не может быть выбрана произ-
произвольно, а должна отвечать условиям равновесия оболочки в це-
целом. Иначе говоря, вертикальные составляющие краевых сил
связаны условием (см. D.27I( D.62))
в,
Q'zr' - QY = J pzRirdQ. D.65)
в,
Предположим, что найдено решение поставленной задачи по
безмоментной теории. Этому решению будут соответствовать гра-
граничные условия, отличные от условий D.64), а именно:
Qz = QV; Qr = Qr'; Mt = 0 при 9 = 9,;
Qz = Q?\ Qr = Q?\ Mi = o при е = еа. D.66)
Причем, распоряжаясь постоянной Сг (см. D.38), D.48),
D.49), D.61)) и принимая во внимание, что QJ', QI" должны под-
подчиняться уравнению D.65), всегда можно добиться выполнения
условий
Ql = Q'z, Q1" = Q"z.
200
Рис. 4.3
Вычтем из общего (моментного) напряженного состояния —
найденное по безмоментной теории. Тогда в силу линейности
уравнений получим некоторое новое напряженное состояние,
отвечающее нулевой поверхностной нагрузке и следующим крае-
краевым условиям:
Qz = 0; Qr = Qr-Q'/; Мх = М\ при в = в,;
Qz = 0; Qr = Q"r-Qr'; МХ = М\ при в = 82.
Но это и есть краевая нагрузка, соответствующая однородной
задаче (см. рис. 4.3, б).
Приведенные рассуждения поясняют, на чем, в сущности,
основывается прием замены частного решения уравнения D.40)
решением, полученным по безмоментной теории. Следует подчерк-
подчеркнуть, что эти рассуждения справедливы лишь в том случае, когда
напряженное состояние, соответствующее заданной поверхност-
поверхностной нагрузке и граничным условиям D.66) действительно будет
безмоментным (что, как известно из гл. 2, не всегда имеет место).
201
Этим и ограничиваются возможности использования приближен-
приближенного приема, о котором идет речь.
На основании сказанного можно сформулировать следующее,
имеющее общее значение, положение. Если оболочка при задан-
заданной нагрузке и граничных условиях, отвечающих требованиям
безмоментной теории, может работать в безмоментном напряжен-
напряженном состоянии, то, расчитывая эту оболочку при других гранич-
граничных условиях (вообще говоря, не отвечающих требованиям безмо-
безмоментной теории), в качестве частного решения уравнений общей
теории оболочек можно принимать решение, найденное по безмо-
безмоментной теории.
На рис. 4.3, в показаны положительные направления смеще-
смещений ит и углов поворота § для обоих краев рассматриваемой
оболочки.
4.4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЗРЕШАЮЩЕГО
УРАВНЕНИЯ ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ ДЕФОРМАЦИИ
Асимптотическое интегрирование линейных уравнений второго
порядка. Асимптотический метод интегрирования дифференциаль-
дифференциальных уравнений второго порядка был рассмотрен в разделе 1.16.
Приведем несколько иной подход к асимптотическому интегриро-
интегрированию названных уравнений. Пусть имеется уравнение
Ч^- + Р(х)-Ж + Я(х)У = 0, D.67)
где, не умаляя общности, можно считать, что х — безразмерная
переменная.
Путем введения новой искомой функции
\ X,
(где х0 можно выбирать произвольно) уравнение D.67) приводится
к виду
= 0, D.68)
где
~~ Ч > 2 dx ~*~ 4 " '
Используя, далее, замену переменных
djCi = Л dx, Zi = Z УХ, D.69)
уравнение D.68) можно записать так
~- — AlZ{ = 0, D.70)
202
где
В общем случае переход от уравнения D.68) к уравнению
D.70) ничего не дает, так как коэффициент Л] остался перемен-
переменным. Однако, если наделить функцию Л тем свойством, что она
существенно не возрастает при дифференцировании и что ее ве-
величина значительно превосходит единицу, то переменное слагае-
слагаемое в формуле D.71) может быть отброшено по сравнению с еди-
единицей, как имеющее порядок величины 1/Ла. Тогда уравнение
D.70) примет вид
н будет иметь решение
Возвращаясь теперь с помощью формул D.69) к переменным Z,
х, будем иметь
(Cee+C<H>)> D>72)
где
к
р = j Mx. D.73)
X,
Итак, решение D.72) удовлетворяет уравнению D.68) с точ-
точностью до пренебрежения величинами порядка 1/Л* по сравне-
сравнению с единицей. В силу сделанных выше предположений, Л —
большая, но плавная функция. Поэтому при дифференцировании
формулы D.72) по х можно пренебречь изменяемостью множителя
1/УА. Выясним, к какой погрешности это приведет. Для этого
вычислим названную производную. Имеем
Ж = V* Ы1 - ^ ¦?)* - С,( 1 - ^ J-) е-*]. D.74)
Пренебрежение изменяемостью множителя 1/У~Л равно-
равносильно пренебрежению подчеркнутыми в D.74) слагаемыми по
сравнению с единицей. Так как эти слагаемые имеют порядок 1/Л,
то с точностью до пренебрежения величинами такого порядка
по сравнению с единицей можно включить множитель 1/У~А
в постоянные интегрирования, т. е. приближенное решение урав-
уравнения D.68) принимать в виде
Z = de» + C8e-e. D.75)
Асимптотическое интегрирование уравнения D.43). Применим
асимптотический метод, изложенный в предыдущем параграфе,
203
к интегрированию уравнения D.43), имеющего тот же вид, что и
уравнение D.67):
^№~ + р @) "Ж" +1 <0) ^° = °' <476)
где
D-77)
Уравнение D.76) с помощью замены
D.78)
приводится к виду
-38Г - A2Z = 0. D.79)
где
л J_j_ : J_
*-2der*p~q- l Ric 2RX <ю> + 4 r
ctge da, /?t i , 2 + cos'e ,4sm
2Rl dQ R3 sin26 "•" 4sinae * K ° '
Поставим себе целью найти решение, удовлетворяющее урав-
уравнению D.79) с точностью до слагаемых порядка 1/Л по сравне-
сравнению с единицей. При этом не будем требовать от приближенного
решения, чтобы оно сохраняло свою точность в окрестности осо-
особых точек уравнения D.76), каковыми являются точки 9=0
и 9 = я. Будем считать также, что радиусы кривизны i?x и R9
являются достаточно гладкими функциями 9. С этими оговорками
все члены правой части формулы D.80), за исключением первого,
можно считать величинами порядка единицы. Что касается пер-
первого члена, то он является (по модулю) величиной порядка RJh.
Поэтому при построении приближенного решения уравнения
D.79) можно принять
Л*»-*#?/#,с. D.81)
С учетом приближенного равенства D.81) непосредственно
по формулам D.72), D.73) находим
204
?Ш[CjeCOP + &e<> P], D.82)
v Ri
где
в. в.
причем под 0в будем подразумевать, как и выше, угол, опреде-
определяющий один из краев оболочки.
Возвращаясь теперь от Z к исходной неизвестной Т° и вводя
вместо С\, С'г новые произвольные постоянные, получим
f ^^e-"-'K + C^1-O3]. D.84)
Как было показано в предыдущем разделе, это выражение
удовлетворяет уравнению D.76) с точностью до пренебрежения
в коэффициентах уравнения величинами порядка h/R0 по сравне-
сравнению с единицей. Иными словами, выражение D.84), за исключе-
исключением окрестностей особых точек, эквивалентно точному решению
уравнения D.76). Последнее вытекает из того, что это уравне-
уравнение, будучи основанным на исходных допущениях линейной тео-
теории оболочек, уже содержит в себе погрешность порядка h/R0
по сравнению с единицей.
Однако использование решения в форме D.84) приводит к не-
несколько громоздким выкладкам. Для практических расчетов часто
достаточно иметь более простое решение, получающееся из D.84)
путем включения медленно меняющегося множителя 1 /(/?|/4 X
X У sin 6) в постоянные интегрирования. Получающееся при
этом решение
Т° = &!<:-<'-'> Р + С*е<'-') В D.85)
относится к решению D.84) так же, как выражение D.75) к D.72).
Отсюда следует, что упрощенная форма решения D.85) удовле-
удовлетворяет уравнению D.76) с точностью до пренебрежения вели-
величинами порядка 1/Л ~ Vh/R по сравнению с единицей.
Некоторые авторы полагают, что, пренебрегая в формуле
D.84) изменяемостью множителя 1/(rI^V sin 8), следует пре-
пренебрегать и изменяемостью величины RJV R2c в формуле D.83),
что привело бы к выражению
где Я? = Я, (во), R°2 = #2 (во).
Хотя на первый взгляд названные упрощения однотипны, на
самом деле это не совсем так. Существенным является то, что Р
входит в формулу как показатель степени, ввиду чего погреш-
погрешность, в нем допускаемая, отражается на окончательном решении
205
в увеличенном масштабе. Практика показывает, что поправки,
которые дает формула D.83) по сравнению с формулой D.86)
могут быть довольно значительными (например, при расчете
эллиптических или коробовых днищ). Поэтому использование
формулы D.83) является более обоснованным.
4.5. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ
ОСЕСИММЕТРИЧНОГО ИЗГИБА
Основные формулы первого приближения. В этом разделе
будем основываться на приближенном решении D.85), D.83).
Подставляя выражения D.85) в формулы для комплексных уси-
усилий D.46) и принимая при этом во внимание соотношения D.44),
D.50), получим:
Т Т'Л-i С
ж.
x
D.87)
В формулах D.87) согласно принятому выше принципу упро-
упрощения можно пренебречь подчеркнутыми слагаемыми. При этом
следует учесть, что Тг и 7\, являются однотипными величинами
и поэтому можно пренебрегать слагаемыми, содержащимися в вы-
выражении для одной из величин, по сравнению со слагаемыми,
входящими в формулу для другой комплексной величины. Впредь
такие упрощения будем делать без оговорок.
Итак, для комплексных усилий в первом приближении спра-
справедливы формулы
7\ = 7\ = 77, f8 = Т\ + Т°. D.88)
Используя далее зависимости D.47), D.51), находим:
Ж VW <«-<> P - Сае('-') »], D.89)
где
и; = -щ(П - v77), ef - 4ft
4ft
206
Ниже понадобятся также следующие формулы (см. D.61)):
Qz = Qz* = Ti sin в; Q; = T\ cos 9. D.91)
Отделяя теперь вещественные и мнимые части в формулах
D.87)—D.91), получим общие выражения для усилий, моментов,
угла поворота и смещений. Прежде всего, полагая
Сг = Аг + iBlt С2 = Л2 + »58>
из формул D.87) находим:
Т8 = Т'2 + (Лх cos р - Вг sin Р) е-Р + {A, cos Р + 58 sin P) еР;
- [(Л, + 58)cosp - (Л8 - 58)sinp]eP};
Aft + Af, = — A + v)c [E! cos p + ЛхЭШР) e-P +
+ Eacosp-Л8з1пр)еР), D.92)
где
--fj7T D.93)
Из формул D.92) следует, что с точностью до величин порядка
Y^h/Re по сравнению с единицей справедливо соотношение
М, = мМ1
и поэтому
Mi = —с fEi cos Р + ^i sin Р) е~р +
+ E8 cos p — Л2 sin P) еР]. D.94)
На основании последней формулы D.89) и соотношения D.55)
получаем выражения для угла поворота и перерезывающей силы
в виде
[(А, + 58) cos р - (А, - В,) sin 5] еР|;
t \[Al ~ Bl)COSP ~ (Лх + 5l) SinP1 ^ +
+ [(B, - AJcosp - (At + Bt)s\afi]efi). D.95)
207
Отделяя в формуле D.91)х вещественную часть, получим выра-
выражение для радиального усилия
Qr = q; - Y w* inre *l{Ai - Bi) cos P -{Ai + 5i>sin Pi e"p +
+ [(Яа - Aa) cos p - (Ла + Ba) sinp] eP}. D.96)
И, наконец, на основании формул D.58), D.55) и D.89) находим:
иг = и'г - ^^- [{А1 cos р - Вх sin р) е-Р + (Л2 cos р + 52 sin p) е»];
"г = "* + ~Ш [(Al cos Р ~ Bl sin Р) е~3 + ^2 cos Р + 5а sin Р)е3])
где
1 г (^coser d(T\ + TX)
"г-аг~ЖЛ~л7~ L as
в.
- sin 9 (Т\ - vT2')} Rt d9; и; = -^ (Г5 - vT?). D.98)
Могут оказаться полезными следующие вытекающие из D.97)
формулы (см. также D.47)а и D.56)):
и — ит cos 8 -f иг sin 8 = Ut cos 8 + «« sin 8,
w = ur sin 8 — u2 COS 8 = u' sin 8 — «j cos 8 +
+ J^ [(Лх cos p - 5i sin P) e-P + (Ла cos p + B2 sin P) eP]. D.99)
Коэффициенты податливости. Используя функции А. Н. Кры-
Крылова
(Р) = -J- Кер + е-Р) sin р + (еР - е-Р) cos
^з (Р) = 4" 1(ер + е-Р) sin р - (еР - е-Р) cos p], D.100)
находим
е±Р sin р = Кг (Р) ± 2К2 (Р) + 2К3 (Р);
е±Р cos р = /Со (р) ± Кг (Р) =F 2/C8 (P). D.101)
На основании последних формул соотношения D.97)а, D.95)!,
D.94) и D.96) без каких-либо дополнительных упрощений можно
записать так [94]:
f iff = с^о (Р) - С^ (Р) -
208
КвФ) + СгК0(
-4С,К,(Р) +
:i^i(P)-4C,.
Р) + C3ATi (P)
СаКо (Р) + С
Ка(Р)-4С8/
+ с4ка
4/Ci (P);
С(Р) + <
(Р);
D-
.(Р).
102)
где d0 = Ekc\ b = 1/K2^P; /?» = Я2 (в0).
Для новых произвольных постоянных Сх — С4 с учетом оче-
очевидных свойств функций А. Н. Крылова
Ко @) = 1; К, @) = /Сз @) = К, @) = 0
имеют место формулы
г _ М,. F0). r Qr F0) - Q/ F0)
Равенства D.102) для цилиндрической оболочки являются
точными. Для оболочек вращения другой формы они приближенны
в той же мере, что и формулы, приведенные в первой части данного
раздела.
Использование соотношений D.102) позволяет при определении
произвольных постоянных решать, по-существу, систему уравне-
уравнений второго порядка, а не четвертого, как это приходилось делать,
когда использовались формулы в том виде, как они представлены
в первой части раздела.
Поясним сказанное. Пусть Qx -< 8 -< 9а, дг Ф 0, 90 = вг.
При любом варианте граничных условий на краю 9 = 8X две из
граничных величин ит (8J, Ф (8^, Мх (8J, Qr (8J являются извест-
известными, а, значит, на основании D.103) можно считать известными
две из постоянных Сх — С4. Остальные две постоянные определя-
определяются из соответствующей граничным условиям на краю 8 = 8а
пары соотношений D.102).
Рассмотрим, например, оболочку вращения со следующими гра-
граничными условиями:
Ml(Bl) = M'; Qr(81)= Q';
Ml(Bt) = M-;Qr(Qt) = Q-. D.104)
Этим граничным условиям отвечает система
= А; D105)
— /а,
209
где
M"
1 n J7~
1 p, 7?
(/?i = /?.(ei), /?; = /?.(в,), к» = к,(е,)). D.Ю6)
Определяя из системы D.105), D.106) произвольные постоянные
С] и подставляя их в первые два соотношения D.102), после не-
некоторых преобразований получим:
и' = и; F0 - a
' = в* F0 -
- a2S (М'ф, - M'lh),
D.107)
где
Ф! = До (sh p ch p — sin p cos P); ф8 = До (shpchp -f- sin p cos P);
Hpi = До (ch p sin p — sh p cos P); o|)8 = Д<Г' (ch p sin p + sh p cos P);
™ —1 /9 2 \ —1 9 2
Ф2 — До (sh P ~|~ sin 6); ij? = 2Ao sh p sin p, Др = sh p — sin p.
D.109)
При больших значениях р функции D.109) принимают вид;
Ф1(Р)«Ф2(Р)«Фз(р)«1;
¦ф!« 2e~P(sinp — cosp), ij?a» 4е~Р sin P;
•ф8 я^ 2е—Р (sin p + cos P). D.110)
Оболочку естественно считать длинной, если напряжения в ней,
убывая от одного края к другому,.становятся величинами порядка
y~h/R2 по сравнению со своими исходными значениями, т. е. при
е~Р" ~ У h/R-i. Учитывая формулу D.86), длинной будем считать
оболочку, для которой выполнено условие
Я! Fа - 60 > УШ In У Ri/h. ¦ D.111)
210
Для длинной оболочки вращения формулы D.107), обобщенные
на случай края 8 = 60, принимают вид:
Uq = Uo + цоц (Qo — Qo) — &iuMo\
$ о = Щ — a12 (Qo — Qo) + ра.мМ0, D.112)
где
f — 1 при 80 == 8i",
f*= i i q a D.113)
1+1 при 80 = Эа. v
(Нуликами в формулах D.112) помечены значения соответствую-
соответствующих величин на краю в = 0О. Коэффициенты ап вычисляются по
формулам D.108), где следует заменить #2 на R° — R2 (9о))
Соотношения D.112) могут быть интерпретированы как условия
податливости края в = 0О при действии краевой нагрузки Qr,
Мг, а параметры atj — соответственно как коэффициенты подат-
податливости. При этом равенство а12 = а21 свидетельствует о выпол-
выполнении теоремы Бетти (см. п.8.1) для полученного асимптотического
решения.
Использование соотношений D.112) значительно упрощает
процедуру удовлетворения граничным условиям, особенно при
расчете составных оболочек, что будет многократно демонстри-
демонстрироваться как в этой, так и в последующих главах книги.
После определения из граничных условий величин Qo, Mo
напряжения и смещения в оболочке можно найти по следующим
вытекающим из соотношений D.102), D.110) формулам:
Ом, = -2- 4^
ат, = °П + **' ~Г
w = w*-{•-^ aMl, uT = u;^-~aMl, иг = ut — ^~-aMl,
J. D-114),
Здесь *
= бм.. DЛ,5)
функции t|)! (P) i|j2 (P), %fo (P) определяются по формулам D.110),
где следует полагать (см. D.113))
г» Jft
D.116)
211
4.6. ОБРАТНОСИММЕТРИЧНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ
Уравнения обратносимметричной деформации. Полагая в урав-
уравнениях D.30), D.31) k = 1, получим разрешающую систему
комплексных уравнений обратносимметричной деформации:
где _
Очевидно, что уравнения равновесия оболочки в целом D.28)а
могут быть получены путем квадратур из уравнений равновесия
бесконечно малого элемента, содержащихся в комплексной системе
D.117). Поэтому названная система должна иметь по крайней мере
две квадратуры (по числу уравнений равновесия оболочки в це-
целом, см. D.28J). Для того, чтобы их обнаружить, вычтем первое
уравнение D.117) из второго. Тогда придем к следующему диф-
дифференциальному уравнению второго порядка:
, D.119)
где W — новая вспомогательная функция,
W = U1 + icTtl. D.120)
Раскрывая оператор GlT уравнение D.119) можно записать так:
Это уравнение отличается от дифференциального уравнения
обратносимметричной деформации безмоментной теории оболочек
вращения B.98) правой частью, а также тем, что в нем вместо
искомой функции
L/,* = 77, irsine D.122)
содержится функция
^ = Л, !/¦ sin 9 - tc (^-sin 9 cos 9-^-- Тл}, D.123)
совпадающая с первой при с = 0.
212
В п. 2.10 уравнение B.98) было проинтегрировано в квадрату-
квадратурах. Соответствующие выкладки нет смысла повторять. При-
Приведем решение уравнения D.121) сразу в окончательном виде:
§ jD.124)
e,
где
e
Ф (9) = -Pz, iRs - f (pr,, - p2,0 rRt dQ; D.1
e.
Pz, i == Pi, i sin 9 — pn,! cos 9, pr, i = /?!,! cos 9 + /?n>! sin 9. D.125)8
Замечание 4.1. В данном разделе мы придерживаемся в основном того изло-
изложения, которое дано в работе [126], где впервые была решена обратносимметрич-
ная задача для оболочки вращения произвольной формы. Дальнейшее развитие
решение этой задачи получило в монографии [207]. В последней, в частности,
установлен механический смысл постоииных Сг, С2- Коротко воспроизведем ход
рассуждений, устанавливающих смысл этих постоянных.
Прежде всего показано, что
W = W = Mhl + rQttl. D.126)
Поэтому на основании соотношений D.126) и D.25), можно записать
с2 = 'о^ (%) = -о«, 1 + roQ°, i) = ir «?• D->27»
Далее из D.124) имеем
С другой стороны справедливо соотношение
1 drW
(QС 0
Сравнивая две последние формулы с учетом равенства D.125)!, получаем
С, ='о (<?.-<.)= ^ &"- D128)
На основании формул D.127), D.128) выраяеение D.124) можно
представить так:
/ е * \
j' O/?,sin9de , D.129)
e. '
В соответствии с формулами D.120), D.129) имеем
= w-i.x ,, + Ц I
\я в.
в
f D.130)
213
Исключая с помощью этого соотношения 11г из второго урав-
уравнения D.117), приходим к следующему разрешающему уравнению
обратносимметричиой деформации оболочки вращения:
которое в развернутом виде можно записать так;
^..{LzljtljhL1+' т§? ^ ¦=< т&f ¦(е)- <4132)
где
в
+ jo/?i sme del. D.133)
в.
Как и в осесимметричном случае, при плавных радиусах кри-
кривизны и поверхностной нагрузке, частное решение может быть
представлено в виде
Г?, « F F) = Г., = Т\,, + Т1, „ D.134)
а, значит, общее решение уравнения D.132) можно записать так:
f. l = T'l + T°<ll D.135)
где Т\°\ — общее решение однородного уравнения, соответствую-
соответствующего уравнению D.132):
D.136)
По найденному интегралу уравнения D.136) комплексные уси-
усилия с учетом равенств D.4), D.5), D.8), D.29) определяются соот-
соотношениями:
г sine
214
?! slrTe de ¦ ' "" \Rt sin в ~Ш ~T~ l•l,
С1?77ППГТ> D-137)
где
T*-' = TiET; T2*-' = R*Pn-' ~ j?t sin8 e '
Sl* = ~ r Le "Ж" ~ /?2/7г-' • D>-138)
По комплексным усилиям могут быть вычислены комплексные
смещения и угол поворота, которые в соответствии с D.134) можно
представить так:
й = («i -f й?) cos ф; v = (vi -f 6?) sin ф;
ю = (а»Г + ®i) cos ф; # = (ОГ + *i) cos ф. D.139)
В обратносимметричиом случае ту же роль, что ит и * в осе-
симметричном, играют упругое радиальное смещение (re) и упру-
упругий поворот (ш):
W4i = «r,iTBi; (nt) — rK.i = ^i--^, D.140)
где
хг = Kj cos 8 -f- Хап sin 8; х, = >«,,! cos ф,
причем параметр х2п вычисляется с помощью формулы A.142)
путем замены индексов 1 *± 2.
Для соответствующих деформационным параметрам (re), (rx)
комплексных величии (re), (rx) на основании зависимостей D.137)
имеют место приближенные формулы
(re) = гвф,, + гвф, Г, (гх) = гл'г, 1 + гх?, 1. D.141)
Интегрирование уравнения D.136). Вводя новую неизвестную
уравнение D.136) можно привести к виду
D.142)
D.143)
215
где
Л2 1 dp I . _ . R\ 1 ePRr 3 1 /«,\2
ctge dj?t Rt 2 / /?1 \
т 2i?! d9 Я, sine V #a / + 4sin»e
Ограничимся, как и в п. 4.4, построением решения, справедли-
справедливого только вдали от точек 0 = 0 и 9 = л, считая при этом, что
#i (9)> R% (Щ являются достаточно плавными функциями.
Тогда все слагаемые в правой части формулы D.144) являются ве-
величинами порядка единицы, за исключением первого,, которое
(по модулю) будет величиной порядка RJh.
Отсюда, придерживаясь точности первого приближения, можно
написать
D.145)
что приводит к буквально такому же приближеииому выражению
для вспомогательной функции Т, °, какое в п. 4.4 было получено
для Т°, а именно: \
где
И^^^З DЛ47)
во в.
Поскольку точность вывода формулы D.146) не обеспечивает
сохранение всех слагаемых порядка У h/R0, множитель
1//?2/4 V"sin 9 при дифференцировании выражения D.147) можно
считать неизменяющимся (см. п. 4.4). Вводя его иа этом основании
в константы интегрирования, получаем для 7\i следующее,
совпадающее с D.85), приближенное выражение
f», = C,e-(I-'>e + C2e(I-'>p, D.148)
которое и будем считать окончательным.
Расчетные формулы первого приближения. Придерживаясь
точности, с которой получена формула D.148), соотношения D.137)
следует принимать в виде
т,,, = гГ, i; f,.i=Tli+f°,i; s{=sl D.149)
Используя далее формулы A.160) при М\ = MJ = Н' = 0,
находим:
(п) = г~г2,« = (гг)' + -^- Г,; D.150)
216
где
1 _i_ v Ni
iJF. D.151)
Вывод формулы для комплексных смещений удобнее выполнить
отдельно для слагаемых, соответствующих частному решению
уравнения D.132) и определяемых по безмоментной теории, и для
слагаемых, отвечающих общему решению уравнения D.136).
Найдем сначала формулы для комплексных смещений однородной
задачи
Pi, 1 = Pi, 1 = Рп, 1 = О, W = 0.
Учитывая соотношения
??, = # sine-©? cose, 4; = _^
первое уравнение D.35)t при k = 1 можно записать так:
<4Л52>
С другой стороны, на основании D.150) имеем
йг. 1 Rj dT°l
Исключая из уравнений D.152), D.153) величину Ъ\, получаем
Придерживаясь точности асимптотической формулы D.148),
в уравнении D.154) следует опустить подчеркнутые слагаемые.
Кроме этого, при интегрировании оставшегося в правой части
уравнения D.154) слагаемого можно пренебрегать изменяемостью
217
множителя Ra cos в. Окончательно приходим к следующей при-
приближенной формуле:
«г, 1« ^—T.i. D.155)
Возвращаясь теперь к уравнению D.153), находим
Eft
после чего уже нетрудно получить из системы D.35) й\, v°, ©°.
Не останавливаясь на этих выкладках, поскольку они подобны
предыдущим, укажем лишь, что их окончательным результатом
будут приближенные формулы:
Полезными являются также следующие комплексные вели-
величины (см. D.59)):
D.158)
для которых на основании первого соотношения D.137) с принятой
выше точностью имеют место формулы:
«'¦'¦=«.' + 'ii-ir: Q... = «... D-159)
Q» , = П. i cose = -Ц2- W; Ql i = 77, i sine = -1 B7. D.160)
Подставляя в полученные выше формулы функцию Т, \, согла-
согласно асимптотическому равенству D.148) и отделяя в них вещест-
вещественные и мнимые части, приходим к следующим соотношениям
(С» = Ах + iBu С, = Л, + »В,):
Т'г, 1 = Т'г, 1 + 7^2, ь
71?, 1 = (А 1 cos р — 5i sin Р) е~р + (А2 cos Р + В2 sin P) ер;
Mul = —c [(Bi cosp + At sin p) e-» + (В, cos P - Л, sin P) е»],
М2. , = vMi. и Ти , = Г?, „ 5, = Sf;
+ [(В, - А2) cos р - (А, + В2) sin р] еР};
(rx) = (гх)' + (rx)°, (rx)° = -^1/ *s_ {((ах + Вх) cos p 4
+ (А! - fix) sin pi е-Р - [(А, + Вя) cos р - (At - Ва) sin р] е»};
(re) = (re)* + -gjf Г5. „ О, = О,* + (гк)в, «л,, = в* , + -gj- Г2. Г.
и., i = и,\ , - ^'g*.6 Г5.1, Oi = (re) -«,,, = (re)' - ur. ,;
О>1 = "г. 1 Sin в — Ыг> i COS в = И?, 1 Sin в — Ы|, 1 COS в -(- -ТЯГ ^2. Ь
«1 = «л, 1 cosе + ыг, 1 sine = ы;, i cose4- «S. i sme. D.161)
Формулы для «безмоментных» смещений. Уравнение B.33)
при k = 1 принимает вид
ь
где
При этом вспомогательная функция ?i связана с амплитудой
смещения v* — v\ sin ф формулой ?i = of/г. Переходя к искомой
функции оГ, уравнение D.162) можно записать так:
Ж ( «Jine -Ж") = ^ (в)-
Отсюда находим
4|-=(<о° + V)Ri sine;
е е
оГ = —ау + ю" J #i sin в de 4 J VRi sin6 de, D.164)
в. в.
где
е
V= J /?i4»(e)de; D.165)
в
J
в.
ау,-(й% — жесткое смещение оболочки вдоль оси 0Y и ее поворот
вокруг оси ОХ (см. рис. 4.1).
219
Используя D.164), из уравнения B.16)8 получаем:
9
«Г = аи cos Э -+-1 г sin Э — cos Э \ R\ sin Э dQ
о
+ Wr sin Э - cos Э f WRtsinQdQ- 2('^,V)r SJ. D.166)
И, наконец на основании уравнения B.16J с учетом формул
D.164) и D.166) имеем
а;* = ау sin в — I г cos Э + sin Э f Ri sin Э dQ I ©i| — Yr cos Э —
8
— sinB f ?^i sin0lie + ^|-G12. i — v77, i f 2A +v)J?rcos9].
D.167)
Полезными являются также следующие, вытекающие из ра-
равенств D.166), D.167), формулы:
и*. 1 = г©2 + ^ — "Ж КП. . - vTf. ,) cos в -f 2 A + v) 5Г],
и'г, i = а„ - ©j? f /?i sin 9d0 - f Ytf, sin 0d0 + —^ (Г2*. i - v77, i).
fi. e,
D.168)
Используя теперь соотношения D.151J и D.168)х, получаем
формулу для амплитудного значения угла поворота
г1** = (гх)* + -^ = to
= to»
D.169)
Коэффициенты податливости. Сравнивая формулы D.161)
с соответствующими формулами осесимметричной деформации,
убеждаемся, что они отличаются лишь безмоментными слагаемыми.
Поэтому но аналогии с D.102) можно записать:
4Ci*в(Р) + С2/(„(Р> + С^!(Р) + Ct
(Р) - 4С2/(, (Р) + CsKo (Р) + СЛХ (Р);
e (Р) - 4С8
D.170)
220
где
г _ ('е)о — ("О* . г _ (™)о —("<)о .
((геH = (re) (в.); (гхH = (гх) (в0);
¦ А1„ = Л11,1(вв); Q« = Qr,i(9«))- D-171)
Соотношения D.170) позволяют в общем виде выписать решения
задач обратносимметричного изгиба для коротких оболочек вра-
вращения при произвольных условиях закрепления их краев [149].
На основании соотношений D.170) по аналогии с тем, как это
сделано в п. 4.5, можно получить условия податливости края
длинной оболочки, т. е. такой, для которой выполняется критерий
D.111). Эти условия с учетом обозначений D.171) имеют вид:
(ге)о = (геM + цаи (Qo — Qo) — cti2M0;
(гх)о = (гх)о'- а12 (Qo - Qo) + (^«22^0. D.172)
После определения из граничных условий величин Qo, Mo
параметры обратносимметричного напряженного состояния опре-
определяются по формулам D.114)—D.116).
Замечание 4.2. В случае обратносимметричной деформации определению
подлежат три группы произвольных постоянных:
первая группа
30 тО.
#• ®*»
вторая группа
Ci, C4, С3, С«;
третья группа
Постоянные первой группы обычно либо задают, либо подсчитывают по фор-
формулам (см. D.127), D.128), D.133), D.134))
5В" = нг0 « , + r0Q% ,) = wfc;»,. D.173)
Во вторую группу входят две статические величины и две деформационные.
Примером использования последних могут служить условия жесткого края (гв)=
= 0, (лс) = 0. Если граничные условия задачи допускают формулировку в тер-
терминах деформационных величин, то для определения напряжений используются
постоянные лишь первой и второй групп. Константы третьей группы определяют
в том случае, когда кроме напряжений интересуются и смещениями. При этом
следует помнить, что их = и\, Vi = v*.
Замечание 4.3. Придерживаясь в первой части книги в основном термино-
терминологии, принятой в монография [130], авторы не использовали до сих пор ставший
сейчас общепринятым термин «простой краевой эффект» (ПК.Э) [40]. Выполненное
выше представление всех величин напряженно-деформированного состояния
в виде суммы безмоментных слагаемых и слагаемых, отвечающих асимптотиче-
221
ским решениям однородных уравнений D.43), D.136), называют методом расчле-
расчленения НДС на основное (здесь безмомеитное) и ПК.Э. Теоретическим и практиче-
практическим вопросам метода расчленения НДС уделяется значительное внимание во
второй части книги.
4.7. ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ
И ОБРАТНОСИММЕТРИЧНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ
Осесимметричный изгиб (k = 0). Для плавных нагрузок НДС
может быть разбито на безмоментное (*) и простой краевой эф-
эффект (*) (см. замечание 4.3 предыдущего параграфа) 1. Осесим-
Осесимметричный изгиб характеризуется следующими величинами:
7-1 = 7-1*; 7-2 = 7-^-4- 7*5; Мх = М\; М2 = Mk2; Qr = Qkr;
и = и*; ш = ш* + ш*; 0 = 0* + О*. D-174)
Учитывая, что для цилиндрической оболочки
/?,=-. г = const, -jJ- = O, RidQ^dz, 9 = у, D.175)
на основании формул D.61)—D.63) и D.93) находим
D.176)
Далее на основании соотношений D.90), D.98) получаем следу-
следующие формулы для смещений и угла поворота:
ПКЭ в цилиндрической оболочке определяется соотношениями
(см. D.102))i
ш* (г) = d/C, (Р) - С2*! (Р) - С8А:2 (Р) - CtK, (P);
-J- О* (г) = 4С^8 (Р) + С,Ко Ф) + С,^! (Р) + С4К2 (Р);
1 Здесь имеются в виду механические нагрузки. При наличии температур-
температурных воздействий основное НДС складывается из безмомеитиого и термоупругого,
см. гл. 14.
222
-fr Ml B) = iCA, (P) - 4C2*3 (P) + C9Ko (P) + C4/C1 (P);
ji-з Q* B) = 4d/Ci (P) - 4C2tf2 (P) - 4C8tf8 (P) + CtKo (P);
D.178)x
M% = vMu T2 = ^-wk, D.178)j
где
Ct = wk @) = ш @) - ш* @); C2 = -H-ll = i.[O @) - 0* @)J,
< @) _ ДуО) . c _ tf @) _ Qr@)
Если оболочка является длинной (//г >-]/Л/г In ]/"г/А, / —
длина оболочки), то имеют место следующие условия податливости
края (см. D.112), D.108)):
w0 = wo
O0 = do' - «i2Qo + ЦаггМо, D.180)
где
r \3/2 2/n2 /¦ 4/n3 ~T
) ; ^; a
(Если помеченные в D.180) нуликом величины вычисляются на
краю г = 0, то (i = —1, а если — на краю г = /, то р. == -f-1.)
После определения из граничных условий задачи параметров Qo,
Мо напряжения и смещения в цилиндрической оболочке вычисля-
вычисляются по формулам D.114), D.110), где следует положить
2 для края 2 = 0;
_z для края г=/. D.182)
Иногда в расчетной практике встречаются очень короткие обо-
оболочки («отбортовка» составных днищ, упруго податливые элементы
фланцев, байонетные кольца автоклавов и т. п.). При расчете
таких оболочек с использованием соотношений D.178) приходится,
как правило, иметь дело с малыми разностями близких величин.
Если принять в качестве критерия очень короткой оболочки усло-
условие
223
то для нее удобно вместо соотношений D.178)х использовать сле-
следующие:
w* = Сг - сар —i- с8р2 - -±- с4р8;
-J- ** = х ClP3 + са + с3р + 4- с4р2;
\ - -|- С2Р8 + Сь + С4р;
2С2р^ - -f- С8Р3 + С4. D.183)
Обратносимметричная деформация (k — 1). Для плавных
(по г) нагрузок обратносимметричное НДС может быть пред-
представлено в виде суммы безмоментного (*) и простого краевого
эффекта (*). При этом
Ti, 1 = 7*1, ь Гг, 1 = 7Y 1 + ^2, ь Si = Si;
(re) = (re)'+ (re)\ (rx) = (rx)' + (rx)*. D.184)
Безмоментное решение определяется формулами:
П, , = -Jr^; П , = грЯA; 5:=-^-rplfI. D.185)
Здесь
Ф(г) = J
о
Z
of = —а» + '•©2+1' ^ dz;
о
wj = ay - z©° - I Wdz + ^Ti i - vTl i);
о
(re)' = »f + of = ^;Ga'f ,-v7f. i);
«r = (nt). + !Lj_B.+ V + ^_^^i, D.186)
где
о о
Особый интерес представляет изгиб цилиндрических оболочек
под действием краевых сил и моментов. Формулы D.185), D.186)
для этого случая (р1Л = ргл = рпЛ = 0) принимают вид:
П. i = -^C3i + z&), П. 1 = 0, 5Г=—1-8;; D.187)
оГ =-о, + г»2 +-ян^ D-»^ +-г 8^):
о 1
W\ = flj, — ZtO, —
= w
DЛ88>
Обратносимметричный краевой эффект в цилиндрической обо-
оболочке определяется соотношениями D.178)—D.183), если в них
заменить величины w, ¦&, Ми Qr соответственно на (re), (rx),
Мы. Qr,i.
Пример 4.1. Рассмотрим две задачи осесимметричиого изгиба «бесконечно
длинной» цилиндрической оболочки, испытывающей действие равномерного вну-
внутреннего давления рп = р и подкрепленной:
одинм ребром жесткости (круговым кольцом),
регулярной системой ребер жесткости (т. е. системой одинаковых равномерно
распределенных по длине оболочки ребер, рис. 4.4).
Прежде всего выведем уравнения податливости для кругового кольца. В соот-
соответствии с рис. 4.5, а радиальное смещение ис и угол поворота Фс связаны с нор-
нормальными напряжениями поперечного сечения кольца формулами
'с 'с
Учитывая теперь, что точка С является центром тяжести поперечного сечения
кольца, получаем следующие формулы для главного вектора и главного момента
нормальных напряжений:
= Г
J
c
(S)
8 В. В. Новожилов в др. 225
°"W" У*0'
¦ l\ Tf ШЩ Tj//
*;
6)
Рис. 4.4
где E)— область поперечного сечения кольца; 5 — площадь этого сечения,
/ — момент янерции сечения относительно оси С&: / » Г |j{ dS.
E)
Далее на основании рис 4.5, б, в имеем:
Я/2 Я/2
^o = -2" J Qccos<p/-0dq> = rcQc; Bo = ^- j Mo
-Я/2 -Я/2
r0MB.
Рис. 4.5
226
Сравнивая последние формулы с предыдущими, приходим к следующим
условиям податливости кругового кольца:
г2 г2
"o==ifsQo> *0=*-EJ~M°- DЛ89)
Пусть бесконечно длинная оболочка (труба) подкреплена одним кольцом
(рнс. 4.4, а). Предполагая, что концы трубы воспринимают осевое давление
Eл = пг?р), на основании формул D.176), D.177) имеем:
D.190)
, T$=pr, d« = 0
1—2v ргг .2—
Будем считать, что конструкция симметрична относительа
содержащей в себе нейтральную ось кольца, т. е.
Тогда условия сопряжения кольца и правой оболочки принимают вид:
д
и0 = w' = и? = ш0; д0 = 0; Мо = 0;
и соотношения D.189) приводятся и следующей формуле:
Используя теперь условия податливости D.180) при р = —1, получаем
систему уравнений относительно Qo> Mo:
, = 0.
Определяй отсюда названные параметры и используя формулы D.182), нахо-
находим
_ _ 2B-у)дх_.. 3B-у)я .. ,
где
Т. % Erh
h ' EqS
Окончательно НДС в оболочке определяется по формулам D.114) с учетом
соотношений D.190) я D.191).
Рассмотрим теперь бесконечно длинную оболочку, регулярно подкрепленную
кольцами. Граничные условия при г = 0 остаются прежними, в связи с чем можно
записать:
Or* 9 v пг* 1 1
Сы f\ & » И1 . /-• л, /-• !¦#. л •л
1 = с с У» 5 Б5Г> l»| = U, Ь3 —
Так как конструкция обладает симметрией и относительно сечения г = I, то
* @ = 0, Qr @ = 0.
8» 227
Тогда яа основания второго я четвертого равенств D.178)j имееи;
r*Ki , /Co
E0S +468
Решая эту систему и используя формулы D.182), получаем;
п 2B — у)дя,.. _ _ 6B —у)хфао_.
где [149]
— KiRz .
™ m BЯ + ш«
/CoKi + 4/Ca/Cs .
D.192)
В случае редко поставленных ребер (l/r > ~VHfr In Т/г/й) с учетом легко
проверяемых предельных равенств
]
1-+ао 2 ' ;^.оо
формулы D.192) переходят в формулы D.191).
Пример 4.2. Рассмотрим консоль, выполненную в виде тонкостенной цилин-
цилиндрической оболочки, жестко заделанной на одном конце (г = 0) и снабженную
абсолютно жесткой диафрагмой на другом (г = /). Пусть к незакрепленному
концу консоли приложены сила (Р) и момент (М), действующие в вертикальной
плоскости (рис. 4.6). Зададимся целью определить вертикальное смещение (Д)
и угол поворота сечения г = I (Q). Если освободиться мысленно от опоры, на
которой закреплена консоль при г = 0, то для обеспечения равновесия оболочки
в целом к соответствующему краю следует прнложить силу Р и момент М + Pi,
направленные противоположно внешним силе (Р) и моменту (М). Отсюда с учетом
рис. 4.6 имеем:
?? = -Р; 38*= -М — Р1. D.193)
Как отмечалось выше (см. D.173)), параметры %'yt %'х ие зависят от решения
однородного уравнения D.136) (т. е. от ПКЭ), полностью определяясь безмомент-
ным НДС. Поэтому естественно предположить, что и параметры A, Q, являющиеся
обобщенными смещениями для обобщенных сил Р = — gf'у, М = — SBi + %'yl,
также определяются лишь безмоментнымн НДС. В работе [94], основываясь на
методе расчленения НДС на безмо-
ментное и ПКЭ, было показано, что
параметры Л и О можно вычислять
(для оболочки вращения произвольного
очертания) так, как если бы ПКЭ не
было. В частности, для цилиндриче-
цилиндрической и конической оболочек при этом
¦ р получаются те же формулы, что и в ра-
работе [207], где выполнялись довольно
громоздкие преобразования с исполь-
использованием слагаемых ПКЭ.
Итак, ставится задача определить
параметры
Рис. 4.6
Q
228
Прежде всего заметим, что первые два яз граничили условий жестко ваделан-
ного края
в, @) = 0; Vi @) = 0; wt @) = 0; fy @) = 0
яе вависят от ПКЭ, т. е.
«f@) = 0; t>;@) = 0.
Поэтому на основания первая двуи соотношений D.188) имеем
Рассмотрим теперь край г = I. Так как яа этом крае установлена абсолютно
жесткая диафрагма (или кольцо), то он может смещаться лишь как твердое тело.
Условии отсутствия упругих деформаций яа этом крае имеют вид:
(ге)@ = ('е)*@ + И)*@ = 0;
(«)</)-(«)•(/)+ («>*</)-<>.
откуда следует, что
(/•е)* @ - - (ге)* @; И)* (/) == - И)* (/).
Используя последние зависимости, находим:
Д = «;, 1 @ + < i @ - < i @ + И* @ = < i @ - (г*)' @ - -Ч @;
о = «Г @ + «1 @ = «Г @ + («)* @ = ¦,' @ -
соотношений с
м. [149], гл. 22,
А = УггР +
На основании этих соотношений с учетом формул D.193), D.194) я D.188)
окончательно находим (см. [149], гл. 22, пример 5):
где
?н "" ШК? (тJ' 7и = -Щ75 7 * D'196)
К рассмотреииому примеру мы еще вернемся в гл. 14 пря обсуждении дефор-
деформационных граничных величин, а также в гл. 15 при рассмотрении более общей
задачи об изгибе «оболочечиой> коисоли, подкрепленной упругим кольцом.
Пример 4.3. Рассмотрим длинную цилиндрическую оболочку
радиусом г, расположенную горизонтально на п опорах и испыты-
испытывающую действие поверхностной нагрузки
P = l4-\-Q(z)b(r4>)]tv, D.197)
где q — вес оболочки, приходящийся на единицу площади сре-
срединной поверхности (q = const); Q (z) — приведенная к про-
продольному центральному сечению поперечная нагрузка, б (.) —
дельта-функция.
229
1
h
, я
Гт
*'.
h
г
к
h\h\
3
R5
Рис. 4.7
Ставится задача определить реакции опор Rt, I ? lira
(рис. 4.7). В соответствии с формулами D.23) эта задача может
быть полностью исследована в рамках обратносимметричной де-
деформации, вызванной действием поверхностной нагрузки
D.198)
Вычислим коэффициенты p2ll, pn, x. На основании формулы
D.197) с учетом соотношений D.20) имеем:
р2 = [<7 + -^Q (г) б (Ф)] sin ф; pn - [<7 + -j-Q(zN(<p)]cos<p.
Раскладывая эти функции в ряд Фурье по <р, получим:
Ря.1 = — <7; Pn,i = q + 4rQ{z). D.199)
Уравнения равновесия безмоментной теории цилиндрической
оболочки (см. B.210))
dTl, 1 ¦ 1 О* _ A. dSl I Т« ==_„ - Т* =ГП
D.200)
о учетом соотношений (см. D.173))
Ъ„ = я/"(Qr. 1 - 5i) = — nrSf; 33„ = ш(Ми , + гТи О = яггГГ, i
D.201)
230
можно привести к виду
^а = —<7bJ Ob = "~^Г"» D.202)
где
<7в = "f (Р», 1 - Рм) = 2яг<7 + Q (z). D.203)
Вводя обозначение
г
S (г) = 4-Г (г-04 @*. D-204)
решение первого уравнения D.202) при граничных условиях
(см. рис. 4.7)
можно записать в виде
33Я (г) = -SU (г) + S,_, (/,_,) -ji- + 8W + (8, - 8W) -^.
D.205)
(Нижний индекс у функции 5 (г) и ее производных указывает
на номер пролета, для которого они вычисляются.)
По аналогии для 1-го пролета имеем
»»(гд = -Si (zi) + 51 (/,) -2l + Sj + (8|+1 - 8,) -Ь-. D.206)
Если моменты, действующие в опорных сечениях, известны,
то реакции опор вычисляются в соответствии с рис. 4.7 по фор-
формуле
-i- 51 (/«) -
D.207)
Таким образом реакция t-й опоры выражается через моменты,
действующие в трех соседних опорных сечениях.
Выведем теперь систему уравнений для определения моментов
93,, i ? 1 : я. В силу статической неопределимости задачи для
получения названной разрешающей системы алгебраических урав-
уравнений следует обратиться к геометрическим условиям сопряжения.
Уравнения для определения «безмоментных» смещений в рас-
рассматриваемом случае имеют вид:
dut dvt i
^ ef ; ^-i-af-iof; of + w\ = re2*. ,, D.208)
231
где (сн. D.200J,. D.201))
b <4-209>
Разрешая систему D.208) относительно окружного смещения
получим
??Ч* D-2Ю)
где / = nr*h — момент инерции поперечного сечения цилиндриче-
цилиндрической оболочки относительно центральной оси.
Вертикальные смещения точек поперечного сечения оболочки
определяются формулами:
ив = —о sin ф + w cos ф = —of + Г82,1 cos2 ф, D.211)
где учтено, что vi = о*.
Обычно многопролетная оболочка закрепляется так, что пере-
перемещения ее опорных сечений как жесткого целого (re2il = 0)
пренебрежимо малы. Разрешая уравнение D.210) при граничных
условиях
of @) = of (/,_,) = 0,
находим
l (z) = -Sw (г) + SU (M -g^- + 8м 4 +
+ (S3, - 8w) -ejj + Ч^ r2Sl'1 & + Cz'
С = SM (/,_,) -^ - S?_, (/,_,) %L _
- (8, + 28,_0 -%i - Ц^ -?- SI_, (/f_,). D.212)
По аналогии для ?-го пролета получаем
Elv\ (гО = -5, (г,) + SJ (/4) -^ + S, 4 + (8Ж - »*) -|" +
i) D213)
d - S, (/0 -i— S7 (/,) А - (вм + 280 4 " Ч^ 17 5' (/')'
Далее на основании формул D.207) и D.201) имеем
S'l^h-i-Slk-u^-zrRi. D.214)
232
Используя соотношение упругости и уравнение D.208)а, находим
„, _ Eh . _ Eh i dvj «f \
Sl ~ 2A+v) Ю1 - 2A+v) l"dT ~ T j '
Учитывая теперь геометрическое условие сопряжения
и принимая во внимание, что щ = и*, из соотношений D.214),
D.125) приходим к следующему равенству;
Выражая члены этого равенства через изгибающие моменты с по-
помощью формул D.212), D.213) и D.207), получаем формулу, со-
составляющую содержание теоремы о трех моментах для много-
многоопорной цилиндрической оболочки
A - 2о, ^) SWw + 253, [/,_! A + «,_,) + lt
= S,(/,) -^ - 5,_х (/,_х
рде
D.217)
«-l. D.218)
Формула D.217) является точной в рамках геккелеровского
приближения. При относительно больших пролетах (г2//? С 0
поперечный изгиб оболочки подчиняется гипотезе плоских сече-
сечений Бернулли и D.217) переходит в формулу, соответствующую
теореме о трех моментах для балок.
Замечание. Аналитический вариант теоремы о орех моментах для балон
легко получается последовательным решением краевых задач
tPM:
HE БОЛЕЕ 1Й КИНГИ В
ОДНИ РУКИ И 2ХВДВЕ
5У
iEI^- = -Mx(z).
El
tPw
КОЯОХЗА
-л*»0О.
<= О
233
я подстановкой полученных решений в условие непрерывности угла поворота оси
балки при переходе через опору
<fa> I dm
\
Содержание теоремы составляет формула
+ MUllt
-Vt-rf-i (**-i) • D-219>
После вычисления изгибающих моментов реакции опор определятся по формуле
D.207), если заменить там 58j_1( 8Sj, 58j+1 соответственно на Mt_lt Mt, A*j+1 О.
Выполним расчет реакций опор автоклава строительной индустрии
АП12—3,6X27 (автоклав проходной, рабочее давление— 1,2 МПа, диаметр —
3,6 м, длина корпуса — 27 м). В принятых выше обозначениях параметры авто-
автоклава запишутся так:
R = 1,8 м, L = 27 м, к = 2,8-10-8 м, /, = lit — 0,9 м,
/| = 2,8к(К1: 9); 0 = 160 кН, GM = 50 кН,
q •= 156 кН/м (G — суммарный вес крышки, байонетного кольца и фланца кор-
корпуса автоклава; GM — вес механизма подъема крышки, Я = Чу — приведенная
поперечная нагрузка); Ст. 15К: Е = 2,11 -106 МПа, v = 0,27.
На основании соотношений D.217) с учетом симметрии конструкции относи-
относительно центрального поперечного сечения и условии равновесия в целом левого
консольного участка, получаем систему уравнений:
- 2at-i) + 2S5| [/|_i A + at_x) + lt(l+ ct,)] + 83f+1/f A - 2ccf)
»!= -Olo \-qtl, 8e = 8e, i?2:5. D.220)
После вычисления моментов SB; реакции опор определяются по формулам
Rl = Rio-Ui ="yQ (П-i + h) - (»< - j^ ^
('€2:5).
Результаты расчетов приведены в табл. 4.1. В верхней части таблицы пока-
ааны реакции опор, подсчитанные по формулам D.220), D.221). Для сравнении
даны соответствующие реакции опор, вычисленные по «балочной теории» (?{).
Как видно из таблицы, в обоих случаях имеется значительное откловение реак-
реакций двух первых опор от их среднего значения (#JP = 471,47 кН). Устранение
эффекта локальной перегрузки корпуса автоклава вблизи первой опоры можно
достичь или за счет увеличения площади контакта опоры и корпуса, или путем
соответствующей (неравномерной) расстановки опор. Реализацию второго под-
кода можно осуществить, решая следующую (минимаксную) задачу оптимизации:
max Rt (z) -*- min, D.222)
l?l»5 «g?/
234
Т а бя яца
г
Rf°\ кН
#?ал, кН
-ОПТ „
г, , м
#?бол, кН
Я?ал, кН
4.1
I
0,9
616,6
624,4
0,19
471,50
439,01
2
3.7
419,6
384,6
3,12
471,47
513,95
3
6,5
435,9
461,4
6,10
471,48
459,35
4
9,3
441,7
440,9
9,04
471,44
474,29
5
12,1
443,6
446,1
12,03
471,46
470,73
nmax nmln
0,01#ср ' '"
41,8
50,9
0,01
15,9
где
U = {z = (z1, z8, z,, z4, z6) : zJ+1 — Zj > 0, гг > 0, z5 < L/2}.
В нижней части табл. 4.1 приведено оптимальное распределение опор, соот-
соответствующее решению задачи D.220)—D.222). Для сравненяя показаны реакция
опор, подсчитанные дли найденного гопт по балочной теории.
4.8. ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ
И ОБРАТНОСИММЕТРИЧНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
КОНИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ
Геометрия срединной поверхности конической оболочки в соот-
соответствии с рис. 4.8 определяется соотношениями
е--5—
г = s sin a,
?ide = ds.
D.223)
Отсюда видно, что вблизи вершины конуса Ru может быть сколь
угодно малым и поэтому теория обо-
оболочек здесь неприменима. Кроме
этого, при ос приближающемся к я/2,
радиус R2 становится сколь угодно
большим, что делает невозможным
применение асимптотического метода
(см. D.76) —D.83)). Поэтому ниже
ограничимся рассмотрением усечен-
усеченных конусов для которых s не слиш-
ком мало (т. е. такое, что Vh[s sin ос <^
<^ 1). Кроме того, будем считатать,
что угол конусности (ос) существенно
меньше я/2, исключая тем самым из
рассмотрения пологие конусы близ-
близкие к пластинам. Читателю, кото-
которому эти ограничения неприемлемы,
рекомендуем работы [6, 661.
Предполагаем, что коническая
оболочка находится под действием
235
плавной по s осесимметричной или обратносимметричной ме-
механической нагрузки. Расчет конических оболочек с учетом осе-
симмегричных и обратносимметричных температурных воздейст-
воздействий приведен в гл. 23 справочника [149]. Вопросы расчета оболо-
оболочек произвольного очертания на температурные воздействия рас-
рассматриваются также в гл. 14 данной книги.
Осесимметричный изгиб. С учетом принятых допущений осе-
симметричный изгиб конической оболочки характеризуется соот-
соотношениями;
ТХ = Т\, 7. = 71+ 71. Ali = Alt. M2 = Mk2,
Qr = 7irslna + Q*, и = и*. да = да'+да*. fl = fl* + fl*,
D.224)
где (см. D.61)—D.63), D.93), D.90), D.98))
sslncLc (^r^
= pi cos a — pn sin а, %'г = 2n&i sin a cos a 71?
-cosaGir-v712*)}ds, «; = i^-G12* - vTf). D.225)
ПКЭ в конической оболочке определяется соотношениями (см.
D.102))
i ш* (s) = СД0 (Р) - СЛ (Р) - С8^Са (Р) -
Alf (в) =
(Р).
(P) - 4Ca/Ca (P) - 4C,/C8 (P) + CtK0 (P),
D.226H
*, ы*- == да* cos a, u* = —да* sin a,
D.226)a
236
где
6 = 2m
Vfttga '
Ci = ш* (S L
_ Qf (si)cosa , cos«
& ~
Если оболочка является длинной Sg/si — 1 !> ]/ Л tg a/si X
X In Y^Sy tg a/Л, то имеют место следующие условия податливости
края s = s0 (см. D.112))j
Щ = «о + цац (Qa — Qo) — а.12Ма,
Qq = ^o — «12 (Qa - Qo) + цаиМа, D.228)
где
Bfl = ar(SD)f «5 = u;(sob Qa = Qr(so), Qo = 7T (*) sin a;
2/и У cos a /sosina\3/2 2/nas0sina
infi
i/"sosina. f—1 при S = S!,
Eh" у cos a ' h ' р = {-|-1 при s = Sa.
После определения из граничных условий задачи параметров
Qo, Mо напряжения и смещения в конической оболочке вычисляются
по формулам D.114), D.110), где следует положить
Обратносимметричная деформация. С учетом принятых в на-
начале раздела предположений обратносимметричное НДС может
быть представлено в виде суммы безмоментного и простого крае-
краевого эффекта. При этом
Т\, 1 = Т\, 1, Тг, 1 = Тч, 1 + Тъ, 1» S\ = S\f
Afi.i = Aff.,, Af2l, = AfJlb Я, = 0; Qr. i = ГГ. i slna + Q*. ,;
Щ = u*, v i = «Г» Ш1 = шГ + ш?» Oi = ОГ + Of;
(re) = (re)* + (re)*, (rx) = (rx)' + (/*)*. D.230)
23?
Безмоментное решение определяется формулами
где
L i, J
<
sin a j (pr>1 - p^sds;
Ф (e) = -
8; = nsi sin a [Г?. i (si) sin a - Sf (s,)],
S3; = jts! sin2 a cos аГГ. i (si).
«г. i = s sin a
«Г - (re)'- «?. u ^-(mr + .-ii-;
и* = «?. i sin a -f «;, i cos a, w* = u*, i cos a — ul, i sin a.
D.232)
238
Для наиболее часто встречающегося случая изгиба оболочки
краевыми усилиями и моментами (р1Л = p2ll = рп>1 = 0) при-
приведенные соотношения значительно упрощаются, принимая вид!
» + S»(s — ^cos a];
a?, , = flB - to, (s - s.) cos a
D.233)
Простой краевой эффект для случая k — 1 определяется со-
соотношениями D.226)—D.229), если в них заменить величины и„
^i Л^1. Qr соответственно на (re), (rx), Mltl, Qr,i-
Пример 4.4. Рассмотрим длинную (в отношении ПКЭ) коническую оболочку,
закрытую по торцам абсолютно жесткнми крышкамн, смещающимися одна отно-
относительно другой на заданное расстояние б под действием равномерного внутрен-
внутреннего давления рп = р и дополнительной осевой силы Р (рис. 4.9).
На основании соотношений D.225) заданной внешней нагрузке отвечает
следующее решение безмоментной задачи:
Р
1
~
2я sin a cos a'
¦¦ ps tg a,
ps sin' a
2?Acosa
2nEhcosa '
>=_ Р
* ez"t*2n?ftsinacos*a
Р sin a
- /я? In
«1
s=st
2?А cos2
Si
D.234)
— A —2v) cos2 a] —2—f-
Граничные условии можно записать в виде
вг (s,) = О* Ut(sJ = 6, Ф(s.) = 0. D.35)
srs2
239
Учитывая, что
в (s) = и* (s), в (s) = ur (s) sin a + uz (s) cos а,
на основании граничных условий D.235) имеем
в* (s,) sin a + в* (s,) cos a = О,
в* (sg) sin а + и* (s2) cos а = 6 cos а.
D.236)
Если преобразовать равенство D.236) с помощью двух последних формул D.208),
получим систему двух уравнений относительно параметров Р и аг. Разрешая эту
систему, будем иметь
„ 2n?Asinacosaa . , . „ / , 1 —2vs| — s?N
Р =- S + « sin2 a.\s\ = l
Разрешая систему D.228) с учетом граничных условий D.235) и используя
формулы D.229), находим
ЗуР
3 Г/о I s? I
~ l^5" L( ' S°+ V17 J
аг. = ¦
Определив параметры Oq, ам, напряжения и смещения в конической оболочке
можно вычислять по формулам D.114), D.110), принимая во внимание, что
s*— s^pstga P _pstg«
2s2 h +пАз51п2а' т$ ~ /, •
Пример 4.S. Рассмотрим консоль, выполненную в виде длинной конической
оболочки, жестко заделанной на одном конце (s = s^ и закрытую ва другом (s =
= st) абсолютно жесткой диафрагмой
(рис. 4.10). Пусть к диафрагме прило-
приложены сила Р и момент М, действую-
действующие в плоскости YOZ. Согласно рис
4.10 имеем
5ВЯ = — М, gy = —Р. D.237)
Остальные граничные условия имеют
вид
(re) (si) = 0, (гх) (sj) = 0 D.238)
(жесткий край);
*i (%) = 0 D.239)
' (жестко заделанный край).
Учитывая, что в силу граничных усло-
условий D.238)
Рис. 4.10
(Г8)* (Sj)
И)* (si)
- («)* (Sl),
- (mf (sj,
240
находив
<, Ы+(-)* w -«;,, ы - и"
- К»W + е*>* A) - К i Ы - (-)* A) = %#=•«•
D.240)
Определяя постоянные ау, шя из системы уравнений
I «Г Ы s ur. 1Ыsin«+< 1 (^Jcos« = о.
формулы D.240) можно представить так:
А = ЩР Ч- 71^И. О = 71^ + Y«A1, D.241)
где
118 2nEh sin2 a cos a s^ L sa —st
Таа= 2n?Asm»acos2a '"ipT* Dl242)
(Если заменить в коэффициентах уц, Via. Тг> параметры s1( s2 соответственно на
rjsin a, rjsin а и исключить затем с помощью равенства гг = ^-^ I tg а, то
при а->-0 получим формулы D.196).)
На основании формул D.233) с учетом равенств D.237) имеем
'• ' ns2 sin2 a cos а ' 2> ' '
s. -M + Pbdna. .e_ vs .
1 ns'smacosa ' * ' ?Л '• i v '
Отсюда находим:
иа краю s = si
,. I
на краю s = ss
ns'sinacosa
На основании этих соотношений с учетом граничных условий
И W = ("<) (so) = 0
уравнения податливости краев можно записать в виде
241
(«О — Qo) — «12^0 = Ж
Ж QЭ
-«
12
(fid - Qq
Отсюда получаем
после чего напряжения в конической оболочке определятся по формулам D.243),
D.114), D.110).
4.9. ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ
И ОБРАТНОСИММЕТРИЧНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ
Срединная поверхность сферической оболочки характеризу-
характеризуется соотношениями
/?х = /?2 = /? = const, г = R sin 6. D.244)
Ниже приводится решение, основанное на методе расчленения
общего НДС на безмоментное и ПКЭ. Тем самым исключаются
из рассмотрения пологие оболочки, для которых неприменим
используемый в этой главе асимптотический метод интегрирования
однородного разрешающего уравнения, основанный на гекке-
леровской асимптотике. Если угол мал (примерно 10—15°), то
следует переходить к более сложной, так называемой бесселевой
асимптотике [149]. То же самое касается пологих односрезных
сферических оболочек.
Осесимметричный случай. С учетом принятых допущений осе-
симметричный изгиб сферической оболочки характеризуется соот-
соотношениями:
Тх = Т*и Г» = 7
Qr = T[ cos 9 + C& и = и\ w = w' + w\ Ф = д* + д*,
D.245)
где (рис. 4.1]
в,
(рг = Р\ sin 9 — рп cos в,
D.247)
242
В случае сферы, замкнутой сверху (8i = 0), следует поло-
положить fji = 0. Если же оболочка замкнута сннзу (82 = я), первое
из соотношений D.246) необходимо заменить следующим!
ПКЭ в сферической оболочке определяется соотношениями
W* (9) - СхКо (Р) - СщКг (Р) - СгКг (Р) - С4/С8 (Р),
** (8) _ л,
. (Р) + С2/Со (Р) + CBKi (Р) + С<Кг Ф),
, (Р) - 4С2/С8 (Р) + СВКО (Р) + СЛх (Р).
Кг (Р) - 4Са/B (Р) - 4С8*8 (Р) + CtK0 (P);
Г^^ш*, и? = wk sin в, и^ = — о»* cose,
D.248J
где
Сх - а^* F0 = ^ [иг F0 - и! F01,
С, «^«
С4 = Q(y9' = ^i-1 [Qr F0 - Tt F0 sin в,]. D.249)
Если оболочка является длинной (ва — вг >• УТгЩ In J/)
то имеют место следующие условия податливости края в = в0:
«о = «а + Маи (Qa — QS) — апМа,
do =jdp — ai2 (Qo — Q5) + цаггМо, D.250)
где
ио = аг(во), «5 = и? (в0), Qa = Qr(e0), Q5 = Т\ (в0) cos ва,
2mslna80 / R \»/2 2masin80 Я „ 4/я» Т
«и = g(xj . ?& Т ^Fl
D.251)
243
После определения из граничных условий задачи параметров
Qo, Mo напряжения и смещения в конической оболочке вычисля-
вычисляются по формулам D.114), D.110), где следует положить
р = p.m j/4"(e° - в). D.252)
Обратносимметрнчная деформация. С учетом принятых в на-
начале раздела допущений обратносимметричиое НДС может быть
представлено в виде суммы безмоментного и простого краевого
эффекта. При этом
Т\, 1 = Г*, и Тг, 1 = Га, i + Га, и Si = SU
Mi. i^ Mi. и Af2. , = Af2\,, Qr, i = rr.icos6 + Q*, ,;
ы, = u'f vi — v'u wl=w\ + wku Ъ\ = ФГ + **;
* .)к. D.253)
Безмоментное напряженное состояние определяется форму-
формулами
R sina 8 ' Т*> 1 = ^Рл-' "" R sina 8
где
[в -j
Si + S^ (cos 6i - cos в) + nR f Ф (9) sin 9d9 ,
в, J
Ф (в) = -R* L 1 sin 9 + J (pr, t - рф,x) sin в d6 ; D.255)
(s; = ^ [7f., (e,) cos в, - s? (в,и, зз; = лга sm e,rr, i (во).
Ту же роль, что и Ф в осесимметричном случае, играет упругий
поворот
представляющий собой полный поворот (в меридиональной пло-
плоскости ф = 0) $!, за вычетом поворота параллельного круга как
жесткого целого на угол иг1]г. Аналогично, ту же роль, что ит
в осесимметричном случае, играет при k — 1 деформационная
величина
(«1 = °г -f-Br,i-
244
Величины (re), (rx.) являются деформационными, т. е. они не за-
зависят от перемещений оболочки как твердого тела и могут быть
выражены через усилия и моменты. В рамках безмоментной теории
эти величины определяются по формулам
--•?•{'тяг (
ctge- ]}
D.256)
Для безмоментных смещений и угла поворота имеют место сле-
следующие формулы (см. D.168), D.169)):
в
{? 0 +v) x
of = («)•-«?.,, dr =
U* = И?, I COS б + И?. i Sin 6, W* = U*. I Sin б — «;, I COS 6.
В формулах D.254)—D.257) в случае оболочки, замкнутой
сверху (9Х = 0), следует положить %'у = 0, S3i = 0. Для оболочки,
замкнутой снизу (ба = я), вместо выражения D.255)! нужно
использовать следующее1
в
^ = ij^J0F)slnede. D.258)
я
В случае изгиба сферической оболочки краевыми воздейст-
воздействиями (р1г1 — pa.i == Pn,i = 0) приведенные выше формулы зна-
значительно упрощаются и принимают вид-
Л, i = —П, i = „^^Q [»; + д'уЙ (cos вг - cos в)],
St = nR*lsin*Q №i cos e - &# A - cos в, cos в)];
245
I+v
9
Eh
cos 9
cos9i
2 sin» I
i, tg9/2\ , 1 -./_I 1
m tgV2j "I" "SF"" VSS^Ti "~1БП
и*, i = Яв — #©* (cos 81 — cos 8) +
D.259)
зрмулами D.248)—
Mlt Qr соответст-
Простой краевой эффект определяется
D.252), если в них заменить величины иг,
венно на (re), (nc), М1г1, QM.
Пример 4.6. Рассмотрим сферический резервуар для хранении жидкости
(с удельным весом уж), установленный иа опоре в виде цилиндрической оболочки
радиуса г0 (рнс. 4.11, а). Последнюю считаем длинной в отношении ПКЭ, но
ие столь длинной, чтобы опасаться потери устойчивости. Расчетной нагрузкой для
сферической оболочки является гидростатическое давление жидкости
Рп =
0 ~ со5 е)-
D-260)
Дли удобства расчета расчленим исходную составную оболочку на три части и
рассмотрим каждую нз этих частей как самостоятельную оболочку (рис. 4.11,6).
Используя формулы D.246)—D.248) и D.176), D.177) с учетом D.260), находим;
для оболочки I
R*ym 1— 3 cos'9 + 2 cos» 8
i?!
<T* <" (8)
6
sin»9 '
1— 3cos28+2cos» 8
sin» 8
cos eD
со
со
_< со
Рис. 4.11
246
для оболочки 2
т* <2> № ?*Тж 5 — 3 cos2 9 + 2 cos8 8
1 1 '= 6 shi26 '
1 5 — 3 cos2 6 + 2 cos' I
q; v = т\ <2> (e0) cos e0, < B) = -g- [r- («(e0) -< («(eo)];
ддя оболочки 8
г«C> —1^7' r*C> = o, q'<3>~o,
Здесь Р = Рж + Рр — вес резервуара, иаполиеииого жидкостью:
Принимая во внимаиие положительные иаправления граничных величии иа
краях рассматриваемых оболочек, условия упругого сопряжения можио записать
в виде:
^ 1 Ъа; D.262)
-О. D.263)
Условия податливости сопрягаемых краев оболочек с учетом геометрических усло-
условий сопряжения D.262) можио записать так:
D.264)
Совокупность равенств D.263), D.264) представляет собой систему восьми
уравневий относительно неизвестных в0> Фо, Mtf\ Q$\ i = 1, 2, 3.
Выполним численный расчет резервуара, для которого
? = 2-10* МПа, Тж = Ю,3-^-, Тр==78 -^, R = 5,25 м,
го = 4,325 м, ftj = Л, = 2,5-10"» м, А, = 2,0-10-" м.
Отсюда находим
Рж = 6230кН, Яр = 676кН, eo = arcsln-^-=125°.
247
Далее с учетом формул D.181), D.251) получаем
а\\> = 2,63- КН м»/кН, а<"> = 1,14-10-* м/кН,
а$ = о,99-10"» 1/кНз а<3> = 4,08-10"» мя/кН,
а<3> = 1,78-10-« м/кН, а<3) = 1,56-10~» 1/кНз
Q* <» = Н.7 кН/м, Ид A) = 4,13-10-* м,
Q* <2> = —147 кН/м, «Q B) = 0,96- Ю-« м,
qM3)=0, в*<3)=0,73.10-«м.
Система уравнений D.263), D.264), преобразованная путем исключения
параметров и0, $0, принимает вид
26,3 (Q("> + Q<2>) - 114 (М^-МЮ) + 3800 = 0,
-11,4 (Q(') + Q<2>) -98,5 «> + <>) + 1840 = 0,
—26,3Qf > + 40,8Q<3) — 114Mf > + 178iW^3> - 3840 = 0,
—11,4Q<2> + 17,8Q?» — 98,5M<2> + 156Л*?»> — 1675 =0,
Решая эту систему, получим
QW = —64,1 кН/м, М?> 9,26 кН,
Q<2> = —96,0 кН/м, М^ = —5,73 кН,
Qf > = 31,9 кН/м, Л*<3) = —3,53 кН.
Теперь нетрудно для каждой части оболочки подсчитать сг^, ам (см. D.182)
D.252)). Характерные для данной задачи напряжения в наружных волокнах рас-
рассматриваемой тонкостенной конструкции показаны на рис. 4.11, в.
Часть II
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ
ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК
Глава 5
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ.
ГЕОМЕТРИЯ ОБОЛОЧКИ
В этой главе в координатах общего вида дается минимум све-
сведений из теории поверхностей, необходимый для чтения специаль-
специальной литературы по теории оболочек. Читателю, желающему более
основательно ознакомиться с тензорным анализом и теорией
поверхностей, рекомендуем книги [59, 70, 156]. Отметим, что для
понимания основного содержания книги знакомство с настоящей
и следующей главами необязательно. Их можно опустить при чте-
чтении, приняв на веру зависимости в ортогональных координатах,
приведенные в п. 6.8.
5.1. ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ
Будем описывать поверхность векторным уравнением
г-г (а1, а?),
где а1, а2 — криволинейные координаты (рис 5.1).
Введем
- * - - * - - **'• E.1)
— координатные векторы и вектор единичной нормали к поверх-
поверхности.
Выписанную тройку векторов называют нормально связанным
с поверхностью основным координатным базисом. Используется
также и другая тройка векторов
(riXr2).n' ^~(Г1Хг2).п' п» 1°-?>
связанная с первой легко проверяемыми (с использованием из-
известных свойств скалярно-векторного произведения) соотноше-
соотношениями взаимности
1 при i = /;
0 при хф\,
= г'-п = 0, п-п = 1. E.3)
249
В силу установленного
свойства взаимности векторы
E.2) называют взаимным ко-
координатным базисом.
Введем в рассмотрение
симметричные величины!
fit.
= 6/;
a") E.4)
и примем правило суммирования, согласно которому в выписывае-
выписываемых ниже соотношениях по повторяющимся греческим индексам
производится суммирование от 1 до 2 (по повторяющимся латин-
латинским индексам суммирование не ведется).
С учетом сказанного имеют место соотношения
г} = а}аг«; г' = а'Ргв. E.5I4
Проверим, например, соотношение первое. Скалярно умножая
его на rfc, получаем с учетом соотношений взаимности E.3) ра-
равенство
Г/«Ч = a}a(ra.rh) = ala6k,
справедливое в силу определения величины at} (см. E.4)). Ска-
Скалярно перемножая выражения E.5), получаем
или с учетом E.3) —
= 61, (i, /, а=1, 2).
E.5),
Полученные зависимости можно рассматривать как систему
уравнений для определения a'l = (a'l). Обычным путем находим
из нее
а11 = a^Ja; с1* = ая = -aja; aM = <Qa. E.6)
Рассмотрим два бесконечно малых касательных к поверхности
вектора (рис. 5.2)
да
--
да?
6avr,
Квадраты длин векторов и ко-
косинус угла между ними опреде-
определяются очевидными равенствами
250
Рис. 6.2
(dsI = da* da*rp • г„ = ар„ dafi da*;
{6sJ = 6a* 8avr/v = а„у 8a* 6а»,
dr.tr
{ '
Отсюда усматривается, что знание величин ai} позволяет про-
производить метрические операции на поверхности: подсчитывать
длины кривых и углы между ними. Поэтому тензор
аарг«гР = г«. га = гаг«
E.8)
называют метрическая тензором поверхности, а величины ati
его ковариантными (с нижними индексами), а'1, — контравари-
антными (с верхними индексами), а\ = b\ —¦ смешанными ком-
компонентами.
В теории поверхностей рассматривают и так называемый
дискриминантный тензор, ковариантные и контравариантные
компоненты которого определяются соотношениями
с„ = (г, X г;) • п, с« = (г« X г*) • п.
Из курсов алгебры известно, что
E.9)
Г,-Г, Га-П
П'Г, П-П
аи О
1
= о.
Отсюда и из кососимметричности сц и с%1 получаем зависимости
первой строки
си = — Сп = У~а, Си = Си = 0;
с" =—с» = 1/Уа, ^ = ^ = 0. E.10)
Соотношения второй строки выводятся аналогично. Нетрудно
проверить справедливость зависимостей
cJhcu = 6$ - eiej, Л" = a V - a* V;
С)ксц = а,}ак1-а,кап, с}^ = 6/, «.^=-2. E.11)
С помощью определяющих соотношений E.9) проверяется
правильность следующих соотношений:
E.12)
251
Перейдем к дифференцированию координатных векторов. Пре-
Прежде всего представим их производные разложениями в коорди-
координатных базисах
E.13)
(
Скалярно умножая первое из них на г*, получаем с учетом E.3)
Г*, = -^-.г* (Г*/=Г*,; l,j, k = 1,2). E.14)
Полученные трехиндексные величины называют символами
Кристофеля второго рода. Выразим их через компоненты метри-
метрического тензора. Для подсчета более удобны символы Кристофеля
первого рода
связанные согласно E.5) с символами Кристофеля второго рода
соотношениями
Г*, = а*аГа>//. E.16)
Дифференцируя первое из соотношений E.4) по а* и произ-
производя циклическую перестановку индексов, получаем
drt , to] _ oats
da* dak da*
da' "* ' da1 J~ da' '
Дгц . Дг^ дам
da' 5a' da'
Вычитая первое соотношение из суммы второго и третьего,
получаем с учетом отмеченной симметричности символов Кри-
Кристофеля
Г — ' ( dath I дп}Н д°0 \ (Г =
и (см. E.16))
ря. E.18)
— \ <лл- ии, ии,г I
252
Получим два необходимых в дальнейшем соотношения. Так,
из E.17) имеем
-r-г Z=lt,ib + L},tb- E.1У)
да
Далее согласно E.4) и E.6), E.16) можно записать
да
д
до*
021
022
дап
to*
ая
дам
"л?
аи
5а*
«18
да*
аа
= а
Таким образом» имеет место соотношение
„о _ J__да_ 1_ дУа
ак ~ 2а эа* ~ Уа да* '
Из третьего равенства в E.13) и E.3) находим
да? dot
E.20)
E.21)
Эти величины являются ковариантными и смешанными компо-
компонентами симметричного тензора
В = baPiV =
= Ьаргагр,
E.22)
называемого тензором кривизны поверхности, о нем речь ниже.
Тензоры А и В имеют два совместных инварианта
V _ _*_ __
а
2Я = flaBbap =
ap
E.23)
называемых соответственно гауссовой и средней кривизнами поверх-
поверхности (первый из них, как выяснится ниже, фундаментален для
теории поверхностей).
Компоненты введенных тензоров нетрудно подсчитать, зная
параметрическое уравнение поверхности в пространственной пря-
прямоугольной декартовой системе координат с ортами gt:
г (а1, аа)=дг1(а1, a2) gx + х2 (а1, аа) ga + xs (а1, aa)g8.
Используя последовательно соотношения E.1), E.4) и E.21),
находим
_ дху дху , дь
utl ~~dV да! +17
дх, дх3
253
sin %n =
Sinxb» = |*;
' u aa"ls Зв1 da8 da1 da8
dx3 d% d*i дде,
-35т
. + |*1з 4- И-1з- E.24)
Рассмотрим очевидные тождества
"Эа2^1' А»1*»8""*»2*»1' А»1*»2"
Используя дважды соотношения E.13), приходим к соотноше-
соотношениям Кодацци
да3
ли . _ . _ ,
= 0
За1 За2
и двум следующим:
дТП дГ21 . р k р k . ,, f fc , , fc.
~^i far + U ill p2 — M2I pij + (,°n'2 — oi2°ij = 0;
-3^" az?- + (ГггГр! — Г^Грг) + (^22^i — ^21^2) = 0.
Суммирование первого из иих с as,, а второго с а^ по индексу
k = а приводит с учетом того, что по E.23) Ь = bubM — bli Ьл =
= аК, к соотношению Гаусса
- -^ + Г&Г?! - ГЬГЬ]. E.25),
Соотношения Кодацци—Гаусса играют большую роль в теории
оболочек, обеспечивая неразрывность срединной поверхности
(см. п. 6.1).
Рассмотрим вектор
U = «„г0 + шп = «ага + wn- E.26)
254
Дифференцируя его по координате а*, получаеи о учетом ра-
равенств E.13)
- blw) та + (-^г + Ь^ п, E.27)
где
7Л - ¦§¦- Г?/Ва, VjB1—g-4-Г^" E-28)
— величины, называемые ковариантными производными, соот-
соответственно ковариантной и контравариантной компонент вектора.
Понятие ковариантной производной естественным образом
распространяется на компоненты тензоров произвольного типа.
Так,
ст 4.Л... Щ).... nai..l... raj..l... I p/ ;..a... ,
VhUl-.- = —T~k ifcf'o/.... — Ifejf'fa.... + ikaHt:.- ± . . • •
В частности, для компонент тензора второго ранга (два индекса)
Т = ^егагв = f^V = /iprarp = faprare E.29)
имеем
J
oa,
E.30)
Введение ковариантной производной имеет смысл лишь для
компонент векторов и тензоров. Для самих же векторов и тензоров
(так же как и для скаляра) ковариантные производные совпадают
о соответствующими частными производными:
S S VftTS-S-. E.31)
Из соотношений же E.28) и E.13) имеем!
г* = b)n; у,п = -^- = -ftJT. = -b}ara. E.32)
Отсюда из справедливого для ковариантного дифференцирова-
дифференцирования общего правила дифференцирования произведения и из E.4),
E.9) следует;
Vftfl« = 0; Vhan = 0; Vftc,, = 0; - Vftc*' = 0; Vft V^ = 0.
E.33)
255
Можно ввести и вектор — поверхностный градиент
V = r«Va. E.34)
Приведем несколько необходимых в дальнейшем соотношений.
Так, из формул E.5), E.26) и E.29) следует правило поднятия и
опускания индексов
щ = а1аиа, и!
ии = ataa№ua(i = aJauia =
«ар«а0 = «"pt»;p = u*v% = «аВ0ар. .... E.35)
Далее, пусть
ы'/ = «/', о„ = — vn - E.36)
— компоненты соответственно симметричного и кососимметричного
тензоров, тогда
«аЧр = иа^ = «>;" = ы;еУ?р = 0. E.37)
Действительно, левую часть, например, первого выражения
можно представить в виде сумм слагаемых
(u4vtJ + ui'vjt) = u'l (vt, + о„) = 0,
равных нулю в силу E.36).
Образования вида ггг^ r'r^, rtr', r'r' называют диадами.
Скалярное произведение вектора на них подсчитывается по фор-
формулам вида
rft.r'r;=(rft-r0r; = aft'r;. E.38)
Например
Наконец, пользуясь соотношениями E.10) и E.12), подсчиты-
подсчитываем площадь элемента поверхности
dS = |rjda1 X r2da?| = Сц|nIda1 da2.
Таким образом,
dS = Vadalda\ E.39)
5.2. КРИВЫЕ НА ПОВЕРХНОСТИ
Пространственную кривую зададим векторным уравнением
r = r(s),
где s — дуга кривой, отсчитываемая от некоторой ее точки.
Пусть '¦
ei(s), e,(s), e*(s)- E.40)
256
некоторый связанный о кривой ортонормированннй векторный
базис, так что
( 1 при / = /;
"¦е<-в"={о при I*., <641>
Дифференцируя орты по дуге кривой и учитывая, что в силу
E.41) (t Ф /)
е*'-Ж+ег-зг- s 0. ei-dT~T ds
приходим к формулам
rfex
-35- - Pute — ^sies; Pu = e»—57-
de, de»
Р V e^
E.42)
Примем в качестве третьего орта (es = t) единичный вектор
касательной к кривой
а в качестве первого (ех = т) — единичный вектор главной нор-
нормали, лежащий в соприкасающейся к кривой плоскости и орто-
ортогональный к t (рис. 5.3), тогда второй орт (ej = b) — так назы-
называемый орт бинормали определяется равенством b = t X m.
Для выбранной системы ортов зависимости E.42) переходят
в известные формулы Серре—Френе
Здесь av = orv (s) — пространственная кривизна кривой. Посколь-
Поскольку орт главной нормали всегда направлен в сторону вогнутости
кривой, orv ^ 0. Точки кривой, в которых orv = 0 называют точ-
точками распрямления, поскольку для прямой t = const и по E.44)
orv = 0. В точках распрямления направление главной нормали не
определено. Величину tv называют пространственным кручением
кривой, поскольку она описывает кручение соприкасающейся
плоскости вокруг касательной к кривой, при движении вдоль
кривой. Для плоской кривой b = const и по E.44) <jv = 0, т. е.
кручение отсутствует.
8 дальнейшем нас будут интересовать кривые на поверхности.
С рассматриваемой кривой Г свяжем (рис. 5.4) тройку ортов:
t — касательной, п — нормали к поверхности, v — тангенциаль-
9 В. В. Новожилов и др. 257
Рис. 5.3
Рис. 5.4
ной нормали (нормали к кривой, лежащей в касательной площади).
Очевидно, что
txn = v, nxv = t, vxt = n;
t-t = n«n = v»v = 1, t>n = n«v = v«t = 0.
Далее, о учетом E.1) имеем
dx дг Ахр Ахр
t =
dH
т. e.
,1
da1
E.45)
E.46)
E.47)
Согласно же соотношениям E.45) и E.12J
v = t X n = f ra x n = /%arp-
Отсюда и находится первое из следующих, выводимых аналогично,
соотношений
v! = c% tl = ca'vai tt = caiva. E.48)
Из представлений
t = /eret v-Лр E.49)
и E.34) следуют выражения для производных вдоль касательной
и тангенциальной нормали
По аналогии с E.42) представим правило дифференцирования
введенных ортов в виде
Л
dn
= ptt - <Ctn, pt = —
rfn
dt
М
E.51)
258
Ряс. 5.5
Отсюда находим с учетом равенств E.46), E.47), E.50), E.4) и E.35)
. дп daft
dafi dst
Получено первое из следующих, выводимых аналогично, соотно-
соотношений:
1 (О =
(О
Pt = -
E.52)
Для выяснения геометрического смысла последних величин
сравним E.51) с формулами Серре—Френе E.44). При ds = dst
(Tvm = atn — ptv. E.53)
Отсюда и из рис. 5.5 устанавливается связь между введенными
ортами
m = псовф + vsin^, b = —n sin ф-}-v cos ф E.54)
и согласно E.53) находим
(Tf = (tv coscp, —р{ = (туз1пф, ctv = У с] -\- pt- E.55)
Из E.53) следует, что называемая геодезической кривизной
величина pt характеризует отклонение главной нормали кривой
на поверхности от нормали к поверхности. Точки кривой, в ко-
которых р( = 0, называют геодезическими, а кривые на поверхно-
поверхности, точки которых являются геодезическими — геодезическими
линиями. Как следует из E.53), в геодезических точках кривой
ot = ±ctv. E.56)
9* 259
Геодезическими являются и точки распрямления, так как согласно
E.53) из равенства av = 0 следует at = pt = 0. Отсюда и усма-
усматривается, что прямая является геодезической линией на любой
поверхности, которой она принадлежит. Более подробно вопрос
о геодезических линиях будет рассмотрен в п. 5.4.
Нормальным сечением в рассматриваемой точке поверхности
называют кривую пересечения поверхности с плоскостью, прохо-
проходящей через нормаль к поверхности. Поскольку нормальное се-
сечение является плоской кривой, ее главная нормаль совпадает
о нормалью к поверхности. Поэтому точка является геодезической
для любого проведенного через нее нормального сечения, и в ней
выполняется равенство E.56). Этим собственно и объясняется при-
принятый для at термин — нормальная кривизна.
Наконец, величину щ называют геодезическим кручением.
Как видно из первых двух выражений в E.52), величины at и tt
зависят собственно не от конкретного вида кривой, проведенной
через рассматриваемую точку, а лишь от направления кривой
(t1, t2). Поэтому правильней говорить о нормальной кривизне и гео-
геодезическом кручении не кривой, а поверхности в данном направ-
направлении.
Найдем главные направления поверхности, т. е. направления,
в которых нормальная кривизна получает экстремальные значе-
значения. Для этого следует найти экстремальное значение E.52)i при
условии, что (см. E.7)!)
^isgL-L E.57)
Как известно, такая задача эквивалентна отысканию экстремаль-
экстремальных значений функции
где Я, — подлежащий определению множитель Лагранжа. Прирав-
Приравнивая нулю частные производные этой функции, получаем одно-
однородную систему уравнений
E.58)
Условие существования ее нулевого решения
записывается согласно E.23) в виде
Я,2 — 2НХ + К = 0. E.59)
260
Выясним геометрический смысл множителя
Лагранжа. Для этого умножим первое из
уравнений E.58) на t1, второе — на Р и
сложим полученное. В результате с учетом
равенства E.57) получаем
Итак, полученные при решении уравнения
E.59) значения Я, равны искомым экстре-
экстремальным значениям.
Из E.59) находим
o1,i = H±VH*-K. E.60)
Для того чтобы аг и а2 были веществен-
вещественными, необходимо выполнение неравенства
Я2 — К > 0. Покажем, что оно действи-
действительно выполняется. В смешанных ком-
компонентах имеем согласно E.23), E.35) и
E.6)
Ряс. 5.6
4 (Я* - K) = (b\- blf
При этом знак равенства имеет место лишь при
Ь\ = 62, bi = Ьъ = 0.
E.61)
E.62I
В ковариантных компонентах эти равенства записываются сог-
согласно E.35) в виде
'a. E.62J
Оц fll2
Точки, в которых выполняются условия E.62), называют сфериче-
сферическими (омбилическими). В них согласно E.52), E.35), E.62)! и
E.61)
%t% = ± (b\ + Ы) (t^
= Я,
= о
(поскольку ^^ + f*4 = t-t = 1, v1^ + v*4 = vt =0). Итак, в
сферических точках нормальная кривизна постоянна во всех на-
направлениях, являющихся к тому же и главными.
Отметим, что сфера является поверхностью, все точки которой
являются сферическими. Действительно, для сферы (рис. 5.6)
согласно E.4)ь E.21) и E.23) —
r = a + #n, au = iyr, = #rrn, = — Rbi]t
К = 1/R\ И = - 1/#.
261
Рис. 5.7
Отсюда видно, что для всех точек сферы выполняется условие
E.62) и все точки — сферические. Этим и оправдывается термин
«сферическая точка». Из сферических точек состоит и вырожде-
вырождение сферы — плоскость. В самом деле, для нее n = const, а от-
отсюда следует К = О, Я = 0.
Вернемся к уравнению E.60). Мы установили, что экстремаль-
экстремальные значения нормальной кривизны ах, сг2 — главные кривизны —
всегда вещественны и, если точка не сферическая, различны. Из
E.60) следуют также равенства
устанавливающие геометрический смысл формально введенных
величин К и Я. В зависимости от знака гауссовой кривизны точки
поверхности относят к трем типам: эллиптическому (К > 0), пара-
параболическому (К = 0) и гиперболическому (К <. 0). Вид этих типов
поверхности в окрестности рассматриваемой точки показан на
рис. 5.7. Поверхность, имеющую только эллиптические точки,
называют поверхностью положительной кривизны, параболиче-
параболические — нулевой и гиперболические — отрицательной кривизны.
Равенство E.62)а показывает, что гауссова кривизна поверх-
поверхности не зависит, по существу, от кривизны поверхности (вели-
(величин Ьц) и целиком определяется заданием метрики поверхности
(величин atj). Поэтому все поверхности, переводимые друг в друга
изгибанием (без растяжения), имеют одинаковую гауссову кри-
кривизну. Так, нулевую гауссову кривизну имеют все поверхности,
развертываемые на плоскость.
Покажем, что главные направления ортогональны между
собой. Пусть
_ л а „ „ л л
<*Ь *<1)* 1A) И G2, 1B), 1B)
— главные кривизны и компоненты единичных векторов, отвечаю-
отвечающих главным направлениям. Подставим в систему E.58) первую
группу величин (Я -* аг). Умножая затем первое из полученных
262
тождеств на <'2), а второе — на tf2) и складывая их, получаем
в результате
оВМ2)ГA) —
Аналогично находим
&ав'?1)*?2) — <72Оар*A)*<2) = 0.
Вычитая из первого второе, получаем, учитывая симметричность
тензоров А и В,
(о2 — а{) flbpf B)f?i) = (<т2 — (Ti) tB) • t(i) = 0.
Поскольку ((Та — а,) Ф 0 (сферические точки уже были рассмот-
рассмотрены отдельно), получаем t<2> • t<i) = 0, что и требовалось уста-
установить.
Аналогично, умножая уравнения E.58) соответственно на v1
и Vs и складывая полученное, находим
Ьа^е = % (aoBvpr) = Xv t = 0.
Сравнивая полученное равенство о E.52J, обнаруживаем, что
в главных направлениях отсутствует геодезическое кручение:
<rt = 0. А тогда из E.51) следует обычно легко проверяемый на
практике критерий, позволяющий установить, является ли рас-
рассматриваемое направление главным:
¦аг--*t. E-64)
Полученное равенство является математической записью теореми
Родрига: если вектор касательной следует главному направлению,
то производная вектора нормали к поверхности вдоль этого на-
направления коллинеарна ему.
Если за координатные направления выбрать главные, то t% =
=¦^=0 и из E.52J и %% = 0 следует ЬХ2 =0. Присоединяя к по-
последнему равенству ранее полученное условие ортогональности,
получаем для координат, связанных с главными направлениями
Ь12 = 0, оц = 0. E.65)
Координатные направления, в которых Ьп = 0, называют обычно
сопряженными. Таким образом, главные направления являются
одновременно и ортогональными и сопряженными. Линии на
поверхности, в каждой точке следующие главным направлениям,
называют линиями главных кривизн, или короче, линиями кри-
кривизн.
Аналогично соотношениям E.51) E.52) устанавливаются пра-
правила дифференцирования ортов вдоль тангенциальной нормали:
di dn
dv , . dn
0npvt( <cv = 1.-5-
-—¦ = Tvt — ffvv, pv = — t • ~. E.66)
263
При этом
^ E.67)
При рассмотрении края поверхности бывает удобнее исполь-
использовать базио v, t, n. При этом, например, подсчитывая компо-
компонент вектора и щ, имеем согласно E.49) ut = u- t= t? (u-ra) =
= taua. Таким образом, получено первое из следующих, устанав-
устанавливаемых аналогично, соотношений:
я* = fua, ov = vaBo,
Y . E.68)
С помощью полученных соотношений нетрудно проверить справед-
справедливость им обратных —
г, = Vjv + ttt, r1 = v7v + th\ щ = vj«v + ttut;
utj = UtjUu + ttv}utv + vttjUyt + vjvyuvv. E.69)
5.3. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ.
ФИЗИЧЕСКИЕ КОМПОНЕНТЫ
Большинство проблем теории оболочек рассматривается в ор-
ортогональных координатах. Для них х = я/2 и удобно ввести па-
параметры Ламе Alt заменив обозначения координат а{ на at:
A2. E.70)
При этом согласно соотношениям E.4), E.6) имеем
an = At, а22 = А\, аи = 0; а = (А1А2J;
а" = АТ\ а22 = А?\ а12 = 0. E.71)
Удобно ввести координатные орты
«1 = rJA» «ц, = Га/Ла, п.
При этом согласно E.2) имеем
г, = Лге„ r^Aftj. E.72)
Из выражений E.18) видно, что отличны от нуля следующие
символы Кристофеля второго рода:
дАг r2 ^j 5^! „2 I дА2 .г. -оч
Г rtor- E73)
264
С учетом выражений E.72)
вектор E.26) запишем так
u = (uJAa) е„ + шп = (и?Аа) ео +
+ шп = uia)ta + wn, E.74)
где
«Ш = Щ/Ai = и! At E.75)
величины, называемые физиче-
физическими компонентами вектора.
Физическими их называют по-
потому, что они, являясь компо-
компонентами в разложении вектора
по единичным векторам, имеют ту же физическую размерность,
что и сам вектор. Аналогично вводятся и физические компо-
компоненты тензоров:
Ряс. 5. 8
tm) =
Wit:;.
v(i) = cos7,
= At cos 7, v2 = Л2 sin 7,
E.76)
Компоненты, отвечающие единичному вектору нормали п, на-
например в разложении E.74), сами по себе физические.
Согласно рис. 5.8 и соотношениям E.75) и E.50)
= sin 7, t(\) = —sin 7. tB) = cos 7,
.1 ,, 1 ,2
t — —A\ sin 7, t
E.77)
d cos y д , I siny Ь
E.78)
В ортогональных координатах более употребительны обозначения
1 л ^~" 1
ЛГ1 cos y;
d sin y
~&t ЯГ"
cos y д
~Аг"да[9
ьм «,2 и ! »
JT = —O2 = —0B2)»' -p- = —CTj,
A2)»
E.79)
где Rlt Rit Rv, Rt — радиусы кривизны соответствующих нор-
нормальных сечений поверхности. Теперь из соотношений E.52),
E.67), E.75) и E.77) следует
. _. I cos2 y I s'n2 Y 2 sin v cos y
*\V *^1 ^2 *^li
265
1 sin* у i cos' 7 , 2 sin у cos у
__ + _ + ?-
E.80)
Как и всякий симметричный тензор второго ранга, тензор кри-
кривизны поверхности имеет взаимно ортогональные главные направ-
направления, в которых
Отсюда следует, что в заданной ортогональной системе координат
главные направления кривизны определяются соотношением
Как уже говорилось выше, линией кривизны называют кривую
поверхности, следующую в каждой своей точке главному направ-
направлению кривизны. Если в качестве координатных принять линии
кривизны, то согласно E.81)
Rn1 = 0, E.82)
а величину Rlf R2 при этом называют главными радиусами кри-
кривизны. Выражения E.80) позволяют проверить наличие у тензора
кривизны двух введенных выше инвариантов: средней кривизны
E.8o)
" - 2 \RV + Rt) - 2 Ui + Я,
и гауссовой кривизны
В безмоментной теории оболочек и при рассмотрении асимпто-
асимптотических методов весьма важны асимптотические направления,
определяемые равенством
ff, = babftb = 0 F«p daa do? = 0). E.84)
Согласно E.79) и E.83) в асимптотических направлениях
(г, = --^- = 0, E.85)
т. е. равна нулю нормальная кривизна поверхности. Линию,
следующую в каждой своей точке асимптотическому направлению,
называют асимптотической. Второе из соотношений E.83) можно
рассматривать как дифференциальное уравнение асимптотических
линий.
266
Полагая, что at — линия следует асимптотическому направле-
направлению, получаем из E.80) при E.82)
tga 7 = —RJR^ E.86)
Отсюда прежде всего следует, что асимптотические направления
существуют, когда Rx и R2 имеют разные знаки, т. е. в гиперболиче-
гиперболических точках поверхности. При этом двум асимптотическим направ-
направлениям отвечают
' = —V—Я|/Яг E.87)
Из этих соотношений, определяющих положение асимптотических
направлений относительно главных, следует, что последние делят
пополам углы между асимптотическими направлениями. В пара-
параболических точках одна из главных кривизн обращается в нуль.
Пусть для определенности R\~l = 0. Тогда из E.87) следует, что
<у(О = yB) = 0, т. е. оба асимптотических направления совпадают
с главным, имеющим нулевую кривизну.
Из равенств E.85) и E.55) вытекает еще одно полезное след-
следствие: прямая является асимптотической линией на любой по-
поверхности, коей она принадлежит. Получим, далее, условие того,
что координатная линия а1 = const является асимптотической.
Полагая для этого в E.84) da1 = 0, получаем с учетом E.79)
Ь22 = 0 ->- RT1 — 0. E.88)
Аналогично, условие асимптотичности линии а? = const имеет вид
611 = 0->^Г1 = 0. E.89)
Приведем в физических компонентах соотношения Кодацци—'
Гаусса E.25)
д / А\ \ . 1 д / А\ \ 1 дАх
даг \ Ri J Аг dat \ Rxi J Rx 5at '
E.90)
Отметим, в заключение, что физические компоненты можно
ввести и при неортогональных координатах [210]. Так, для век-
вектора и
"(О = ui Vau = "г V~<ki- E.91)
267
5.4. ПОЛЯРНЫЕ (ПОЛУГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ),
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ И ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ
НА ПОВЕРХНОСТИ
Как и в плоскости, на произвольной поверхности можно ввести
полярные координаты. При этом роль прямых на поверхности
играют геодезические линии, проходящие через начальную точку
(полюс), а окружности заменяют линии, ортогональные к геоде-
геодезическим линиям (так называемые геодезические- окружности).
Рассмотрим поподробнее вопрос о геодезических линиях на по-
поверхности. Согласно соотношениям E.27) и E.47) для касательного
к поверхности вектора и = ыаг^= иага производная в направ-
направлении, определяемом единичным вектором t = t°ra = ^г», равна
;«an. E.92)
Величину
-§J- - t%uara = t%uara E.93)
принято называть абсолютной производной поверхностного вектора,
взятой по поверхности. Из равенства E.92) видно, что абсолютная
производная по поверхности равна проекции на поверхность обыч-
обычной пространственной производной вектора, принадлежащего
поверхности.
Применяя формулу E.92) к единичному вектору касательной
к линии, получаем
-?- = -^- + baRta?n, E.94)
где
Dt • .[L-, .a
dsT ~ >VV E-95)
Сравнивая последнее соотношение с E.52), видим, что вектор
геодезической кривизны Г (t) является абсолютной производной
по поверхности орта касательной
dta г„ ,p,v\ ( d2a
d2aa
„ da» da? \ „
vp "diT ГУ r«- E>
Кроме того, сравнение равенства E.94) о E.51)i дает
—Plv = Г@. E.97)
Теперь выражение E.53), связывающее кривизны поверхности и
расположенной на ней кривой, может быть записано в виде
am = atn + Г(<). E.98J
268
В частном случае, когда поверхность является плоскостью,
любая кривая на ней является плоской и вектор ее пространствен-
пространственной кривизны совпадает с вектором геодезической кривизны. Если
при этом ввести декартовы координаты а1 = х, а2 = у, то Г?/ = О
Отсюда следует хорошо известное выражение для кривизны пло-
плоской кривой
,// сРх у / d*y
=1/ (да; + (да
В п. 5.2 геодезические линии поверхности характеризовались
равенством pt = 0. В соответствии с E.97) это равенство можно
заменить следующим: Г(^ = 0. Отметим, что из равенства E.51)i
для геодезической линии
¦^- = а,п E.99)
— аналог теоремы Родрига E.64).
Выявим, при каких условиях координатная линия а1 является
геодезической. Прежде всего вдоль нее t1 = da^ldst, P = 0. Далее,
согласно E.52), E.10) рA) = У^ЗД)- Но Г?„ = f^
) - г?, (t1J.
Поэтому условие геодезичноспги рассматриваемой координатной
линии записывается в виде рщ = Y~aV\i (t{K или
Гп = 0. E.100)
Аналогично условием геодезичности координатной линии а3 яв-
является:
Г22 = 0. E.101)
В дальнейшем, в этом параграфе мы будем рассматривать орто-
ортогональные координаты. Для них более удобны обозначения
об! = а, а2 = р\ Аг = А, А2 = В E.102)
и условия геодезичности E.100) и E.101) принимают согласно
E.73) следующий вид
^- = 0; -gUo. E.103b..
Заметим, что одновременное выполнение последних условий вле-
влечет согласно E.90K равенство К = 0. Отсюда следует, что орто-
ортогональная геодезическая сеть может быть установлена только на
269
поверхности нулевой кривизны (развертывающейся на плоскость).
Покажем, как можно привести квадратичную форму поверхности
(dsJ = АЧа? + ВЧр E.104)
к каноническому виду
(ds)a = (dry + W (г, ф) Щ)*. E.105)
Определим преобразование координат
г =г(а, Р), Ц> =г|з(а, Р), E.106)
реализующее переход от E.104) к E.105) и отвечающее, как будет
показано ниже, переходу от исходной ортогональной системы
к полярной (полугеодезической). Для этого заменим в формулах
E.105) г и г|з их выражениями E.106). Приравнивая затем полу-
полученное выражение к E.104), приходим к равенству, определяющему
искомые функции
<6Л07>
Правая часть является полным квадратом линейного двучлена
относительно da и df>. Необходимым же и достаточным условием,
чтобы таковой являлась и левая часть, является равенство
Ему можно удовлетворить, положив
-^- = A cos7, -|- = 5sln7. E.109)
Исключение из этой системы г приводит к уравнению, определя-
определяющему у (а, Р):
^| E.110)
— и -^ выражениями (
Заменив теперь в E.107) — и -^ выражениями E.109),
получаем
Л2 sin2 7 (daf + Я2 cos2 7 №)* -
-2ABsinycosydad$ = 4*^da + -^d$y E.111)
или
Bcosydfr - A slnyda =
Отсюда следует
270
Рис. 5.9
Рис. 5.10
Исключая теперь i|>, приходим к уравнению, определяющему
Т (a, ft
^D)^D) °- F.113)
Найденное при решении выписанной системы преобразование
приводит квадратичную форму поверхности к каноническому
виду E.105). Поскольку при этом выполняется условие E.103)lt
можно утверждать, что линии г являются геодезическими, линии
же -ф, будучи ортогональными к геодезическим, являются геодези-
геодезическими окружностями. Таким образом, построенная система
координат действительно является полярной.
Так как в новой координации dr=dSr уравнения E.109)
могут быть записаны в виде:
dsa
E.114)
А тогда из рис. 5.9 усматривается, что 7 является углом между
исходной первой координатной линией и искомой геодезической.
Поскольку W dip —dsy, уравнения E.112) записываются следую-
следующим образом
Дg л. USdK
Из рис. 5.9 следует теперь, что из уравнений E.114) и E.115) вы-
вытекает ортогональность линий г к линиям -ф. Кроме того, усматри-
усматривается и справедливость обратных соотношений
да 1 да ?
В
= -g-cos<p.
E.116)
Полярная система координат на поверхности общего вида вво-
вводится следующим образом: из полюса О (рис. 5.10) проводится
семейство геодезических линий. В качестве координаты удобно
принять угол, отсчитываемый в полюсе в положительном направ-
271
лении от первой координатной линии исходной системы. При
таком выборе второй координаты
j = i|>. E.117)
Поскольку при приближении к полюсу одному и тому же прира-
приращению угла dty отвечает все меньшее приращение дуги ds$ = Wif>,
на решение уравнения E.113) необходимо наложить следующее
ограничение:
W0 = limW(r, -ф) = 0. E.118)
F-+U,
Выясним подробнее структуру функции W (г, -ф) в окрестности
полюса. Соотношения Кодацци—Гаусса E.90) в полярных коор-
координатах записываются следующим образом
±(J+J_(-L.\(J L\i3
д ( 1 \ I д ( Х \ - 2 dW
дг \Rn ) "Г дф Ч «г / «щ, дг
a21F/(drJ = —WK.
¦ E.119)
Устремляя в первых двух уравнениях г к нулю, получаем с учетом
E.118)
[
где
-\ J-(-L.\- __
E.120)
г-й)
Устремляя в соотношениях E.80) г к нулю, получаем о учетом
E.117)
_1 cos*^ 2 sin ф cos ф . sin* ф
пО рО рО /?° '
cos* ф — sin* ф
?о »
1 sin1 ¦Чр . 2 sin ф cos ¦Чр . co6*t|i .,
Дифференцированием устанавливаются равенства
д i 1 \ 2 а / 1 \ / 1
272
Подставляя их в E.120), находим
Отсюда (если отвлечься от рассмотрения сферических точек,
рассмотрение которых подтверждает сказанное ниже) следует
первое из равенств
(¦?).-'• (w).-0' <5-122>-
второе — вытекает из соотношений E.119K и E.118). Продифферен-
Продифференцировав же E.119K по г и устремляя г к нулю, находим, используя
уже полученные зависимости,
Наконец,
у у \ дг
Аналогично показывается:
дг)а ~ \9*
С помощью полученных соотношений W (г, г|з) представляется в
виде
Т (г, г|>) = г - 1/6/СоГ3 + r*g (r, г|>), E.125)
где, напомним, Кй — значение гауссовой кривизны в полюсе
координат.
Для поверхностей общего вида фактическое интегрирование
уравнений E.109), E.110), E.112) и E.113) является довольно
сложной математической задачей. Мы ограничимся кратким рас-
рассмотрением двух наиболее интересных в приложениях случаев.
I. Рассмотрим цилиндрическую оболочку, для которой (см.
рис. 3.1)
А = В==гй, а = ?=—, р=т] = -?-. E.126)
С помощью соотношений E.116) уравнение E.110) преобразуется
так:
ду ар , ду да
т. е.
Т = Т Н^-
Предельное равенство E.117) определяет вид этой функции
Т (*) = ¦• E.127)
273
Отсюда следует, что геодезические линии на цилиндрической по-
поверхности пересекают все образующие цилиндра под одним и тем
же углом, являясь, таким образом, винтовыми линиями.
Так же преобразуется и уравнение E.113) (у = г|з)
LjeZ
?a L да dip ' dp 5i|> J ' dr \ ? / Ya ?a dr
ИЛИ
9?=1.
dr
Отсюда следует
T = r + Ф (г|>).
В силу предельного равенства E.118) Ф 0ф) =0 и
Т(г,ф)=г. E.128)
Теперь равенства E.116) записываются в виде
4r i lr i EЛ29)
Отсюда
r0 E — Ы = г cos г|з, r0 (ti — %) == r sin -ф, E.130)
т. е. на развертке цилиндра введенная система координат пре-
превращается в обычную полярную с полюсом в точке (?0, т]0).
II. Рассмотрим кратко вопрос о полярной системе координат
на поверхности вращения. Для нее (см. рис. 4.1)
а = 9, р = ф, А = i?x (9), В = #2 (9) sin 9. E.131);
Существенным здесь является то обстоятельство, что параметры
Ламе и главные радиусы кривизны не зависят от координаты <р.
Преобразуем уравнение E.110). Умножая его на (—cos y{A) и
пользуясь равенствами E.116), получаем
, sin у г, ду cos у дВ sin у . sin у дВ sin у дВ sin у
+ -в~^С0^-др~~А а5 г-s щ - о?
или
В sin 7 = С (г|з). E.132)
Здесь 5 = i?2 sin 9 — расстояние точки поверхности от оси вра-
вращения. Устремляя г -* 0, определяем с помощью E.117) вид про-
произвольной функции С (г|з):
С(г|з) ==fiosini|j, E.133)
274
где Во — расстояние полюса от оси вращения. Равенства E.132)—
E.133) выражают собой теорему Клеро: на поверхности вращения
геодезическая линия, пересекая меридианы, с уменьшением ра-
радиуса параллели все более отклоняется от меридиана. Полагая
в E.133) г|з = 0, получаем из E.132) 7=0- Таким образом, на
поверхности вращения меридианы являются геодезическими ли-
линиями.
Далее из E.116) и E.132) следует
<*Р __ А __ ACW
da В * Y
Интегрируя это уравнение и заменяя параметры Ламе их значе-
значениями из E.131), получаем уравнение геодезической линии с по-
полюсом в @О, ф0)
е
Ф = С(*) [ / Rld& — + Фо. E.134)
Вернемся к общей теории. При рассмотрении геодезических
линий возникает вопрос, всегда ли можно соединить две точки
поверхности геодезической линией и притом единственным обра-
образом. На него в общем случае следует отрицательный ответ. В част-
частности, хорошо известно, что две точки на цилиндрической по-
ве.рхности можно соединить бесчисленным числом геодезических
(винтовых) линий, охватывающих цилиндр. Чтобы исключить
подобные случаи, вводят понятие геодезической окрестности
точки, понимая под ней примыкающую к полюсу часть поверх-
поверхности, заключенную внутри кривой г = г* (геодезический окруж-
окружности), радиус которой выбран с таким расчетом, что через любую
точку внутри нее проходит одна и только одна геодезическая
линия, соединяющая ее с полюсом. Эту единственную геодезиче-
геодезическую линию часто называют нормальной геодезической. Для сферы,
например, геодезическая окрестность точки М охватывает всю
сферу, за исключением точки, противоположной М.
Пусть две точки М и N, одна из которых лежит в геодезиче-
геодезической окрестности другой, соединены какой-либо линией. Длина
этой линии в полярных координатах о полюсом в М подсчиты-
вается по формуле
Г1Т Г1Т
[
= \ dr l/l + ^-g-J. E.135)
Если линия геодезическая, то вдоль нее di|>/dr =0 и ее длина
равна гя. В противном случае согласно E.135) длина превы-
превышает rN. Отсюда следует замечательное свойство геодезических
кривых: если точка N лежит в геодезической окрестности другой
275
точки М, то соединяющая
их нормальная геодезическая
линия короче всякой другой
линии, соединяющей эти же
точки.
Таким образом, нормаль-
нормальные геодезические линии,
Рис. б.П являясь линиями кратчай-
кратчайших расстояний, играют на
поверхности ту же роль, что и прямые на плоскости. При этом
длину нормальной геодезической линии, соединяющей две точки
на поверхности, и принимают за геодезическое расстояние между
этими точками.
При рассмотрении некоторых вопросов, связанных с краем
оболочки, бывает полезно ввести так называемую систему парал-
параллельных координат. Строится она следующим образом. Пусть LM
(рис. 5.11) — опорная кривая, которую мы будем называть осью
абсцисс. Выберем на ней некоторую точку О {начало координат).
Через каждую точку опорной кривой проведем ортогональную
к ней геодезическую линию {геодезическую нормаль). В качестве
координат, фиксирующих положение точки на поверхности, при-
примем расстояние по оси абсцисс от начала координат до геодезиче-
геодезической нормали {х = st) и расстояние по последней от точки до
опорной кривой {у = sv).
Поскольку линии {х = const) являются геодезическими, ква-
квадратичная форма поверхности записывается следующим образом:
(ds)* «= ап dx* + 2а12 dx dy + (dyf. E.136)
Кроме того, согласно E.101) и E.18) (а22 — 1)
да2а , даа2 да22 \ ai _ И да13
-+- r)" a -j~-
Таким образом, величина а^ не зависит от у. Но при у = 0 она
равна нулю, поскольку все геодезические нормали ортогональны
оси абсцисс. Отсюда следует, что
а12=0, E.137)
т. е. построенная система координат является ортогональной.
Все координатные линии у = const пересекают под прямым углом
геодезические нормали и, тем самым, параллельны между собой.
Этим, собственно, и оправдывается термин «параллельные коор-
координаты». Отметим, что все точки параллельной кривой по построе-
построению равноудалены от опорной.
Условие ортогональности E.137) дает возможность записать
квадратичную форму поверхности в виде
{dsr - X» {х, у) (dx)' + (dyJ. E.138)
276
При этом, поскольку на опорной кривой координата х совпадает
с длиной дуги st, параметр Ламе удовлетворяет условию
X 1^=0=1. E.139)
Рассмотрим структуру параметра Ламе X (х, у). Для этого
подсчитаем прежде всего геодезическую кривизну параллельных
линий. Поскольку для них
<5Л40>
из E.52) и E.10) находим
Поскольку параллельная система координат является ортогональ-
ортогональной, из E.71) и E.73) имеем (А = X, В = 1)
Va=X, П, = -Х-^-, Pl = -4--fjL. E.141)
Далее из E.90)s находим
** <5-142>
Обозначая через pt0 и Ко значения этих величин на опорной кри-
кривой, т. е. при у = 0, получаем
Х = 1-Ри)д--ъ-Коу*+... E.143)
Если выбрать в качестве опорной кривой геодезическую линию,
для которой р*, = 0, то для принятой координации
Г = 1, Х(х, у) = 1 ~К{х, 0)^+... E.144)
Построенная система координат локально (в окрестности опор-
опорной линии) может рассматриваться как декартова и является
аналогом последней на поверхности общего вида. Для оболочек
нулевой гауссовой кривизны (К = 0) она является декартовой
в обычном понимании этого термина.
Примем более удобные в дальнейшем обозначения
X =В, у =.-«., х =*. E.145)
Тогда соотношения, характеризующие параллельную систему коор-
координат, можно записать так:
= 1, Pl =-J--g-f В(ь, st) = l
E.146)
277
Читателю предлагается самостоятельно с помощью формул
E.52) и E.77) получить следующее выражение для геодезической
кривизны кривой, заданной соотношением y = Y (st («» Р)) в про-
произвольной ортогональной системе координат (а, §);
dy j_ cosy дВ . sin у дА
Г" ав "ар"-
E.147)
« &, ^ АВ да ^ ,
Легко видеть, что формула E.146J является ее частным случаем
(при y = О» Л — 1).
Отметим, что в [210] за изложенным параграфом следовал
другой, посвященный изотермическим координатам, полезным
при определении концентрации напряжений возле отверстий
в оболочках.
5.5. ВИНТОВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ. ГЕЛИКОИД
В этом параграфе мы рассмотрим винтовые поверхности. Так
называют поверхности, образованные путем вращения дуги не-
некоторой кривой вокруг прямой (оси вращения) и одновременного
равномерного переноса этой дуги вдоль оси вращения. Радиус-
вектор точки винтовой поверхности может быть представлен
в виде (рис. 5.12 и 5.13)
г = р (и) ер + [2 (и) + /ф] ег. E.148)
Здесь и — параметр образующей кривой R (и) = р (и) ер -f-
4- z (и) ez; / — постоянная, связанная с шагом винтовой поверх-
поверхности L соотношением
/2п^1. E.149)
Из рис. 5.12 усматриваются равенства
ер = еж cos ф 4- Cj, sin ф, е,, = —ея sin ф 4- ?у cos ф, E.150)
с помощью которых находим
: еф»
E.151)
/
ер
Рис. 5.12
Рис. 5.13
278
Дифференцируя г, приходим в учетом последних соотношений
к равенствам:
Гх = р'ер + z4. г, = реф + /ег,
Гц = Р% -f Z4, г„ = р'еф, гм = — рер E.152)
(' — обозначает дифференцирование по параметру и). С их по-
помощью находим из E.4), E.21), E.23), E.1)8
. г'рр'-г'рр" . _ /р" . _ г'р»
[Р'а (Ра + ^) + «'V]2
В полученных соотношениях часто удобно бывает принять
в качестве параыг;ра и угол 0 (рис. 5.12). Тогда
р' = R cos 9, / = — R sin 9, E.154)
где положительная величина R = R (9) является радиусом кри-
кривизны образующей (плоской) кривой. Предыдущие соотношения
принимают более простой вид
Оц. = R\ Оц = — Rl sin 9, аи = р" + 1\
а = tfa (pa + P cos» 9) > 0;
ps sin 6 — PR cos« 6 ,_ .--.
• <5-155)
Винтовая поверхность является обобщением подробно рас-
рассмотренной в гл. 4 поверхности вращения. Соответствующие вы-
выражения для последней получаем, положив в полученных соот-
соотношениях 1=0.
Согласно E.155), E.6) и E.18) находим
г, _ R' /a sin 6 cos 6 р2 IR cos в
1 11 5 А
r pa + /acosae> in~ pa
/р sin 8 cos 8 „а _ flpcosB
— pcos8(pa + /a) ra _ /p sin 8 cos 8
Наиболее часто используется простейшая из винтовых по-
поверхностей — геликоид. Так называют винтовую поверхность,
для которой образующей служит прямая, пересекающая ось
вращения под прямым углом. Для нее
г = гер + /фе,. E.157)
279
Геометрические параметры геликоида получаем, полагая в E.153)
р(и) = г, г (и) = О, ' = -^-5
1
А =а
та •
E.158)
Этим выражениям можно придать более удобный вид, вводя
новую независимую переменную
E.159)
E.160)
C0S
д- = -
Из приведенных соотношений видно, что координатные линии
на геликоиде ортогональны между собой и являются асимптоти-
асимптотическими. Сам же геликоид является поверхностью отрицательной
гауссовой кривизны.
5,6. ГЕОМЕТРИЯ ОБОЛОЧКИ
В теории оболочек обычно используют специальную систему
координат, связанную со срединной поверхностью оболочки.
В ней радиус — вектор произвольной точки оболочки равен
(рис. 5.14)
E.161)
где г — радиус—вектор ортогональной проекции рассматривае-
рассматриваемой точки на срединную поверхность; ? — расстояние точки от
срединной поверхности; п — еди-
единичный вектор нормали к ней;
а1, аа — криволинейные коорди-
координаты срединной поверхности.
Дифференцирование радиуса
вектора по координатам дает с уче-
учетом выражений E.3), E.5), E.13)
и E.35)
да1
Рис. В. 14
E.162)
280
Подсчитаем с учетом E.162) дифференциал дуги между двумя
смежными точками оболочки
- MS - Ibl) (eg - С&Й V^da'da" +
или с учетом E.4) и E.35)
(dsf = (aaf) - ^2&аЭ + ?а_уЛ_Ь]) daa dap + (dtJ. E.163)
В нашей книге рассматриваются только тонкие оболочки.
Для них в координатах общего вида
I V-bii/- «1- E-164)!
Этим и оправдывается, что все рассматриваемые ниже величины
приближенно представимы в виде
Т (а», а2; С) ^ ^<°) (о«, а2) + ^<!> (а«, а2). E.164),
В соответствии с этим можно, прежде всего, опустить в E.163)
подчеркнутые члены.
Введем взаимные к координатным векторам E.162) векторы
(ср. E.2))
pi Нг X П рЯ __ "X Ri р3 Ri X Ra
* (RiXRi)-n* ^ (RiXRi)-n' R (Rx X Ra)n ~ п>
E.165)
удовлетворяющие (в силу хорошо известных свойств скалярно-
векторного произведения векторов) условиям взаимности (I, j =
-1.2)
Rl.Rz =8{, R'.n=Rrn = 0. E.166)
Подстановка выражений E.162) в E.165) дает с учетом E.12)
и (Б. 164),
(RiX Я8)«п=
l(J ^)r\ Ra = n. E.167)
Подсчитывая компоненты метрического тензора оболочки gy =
= Re R/, g11 = Rl- R{, находим с учетом соотношений E.4),
E.167), E.164), и E.162)
= atj - I2bih gta = 0, ?Ts3 = 1;
g» = 0, в88 = 1. E.168)
Рассмотрим нормальное сечение оболочки, проходящее через
1-ю координатную линию (рис. 5.15) и подсчитаем площадь эле-
281
ментарной площадки этого сечения dS(i).
Используя соотношения E.165) и
E.167)!, находим Цфк)
x nd?| =
= |R4(Ri X R2
В силу первого из выражений E.167)
и E.164)! можно принять для тонкой
оболочки (Rt X Ra). n ~ У~а. А тогда
l\. E.169)
Р.с. 5.15 dSa)
Для площади элемента параллельной (? = const) поверхности
имеем согласно E.165), E.167I( E.164)
dSl = | R, da1 x R2da2 | = (l - #?) УИdax da2 a /a"da1 da2.
E.170)
Сопоставление полученного выражения, с E.39) показывает, что
для тонкой оболочки с принятой точностью можно не делать раз-
различия между площадью элемента на срединной и параллельной
поверхностях. С этой же точностью имеем для элементарного
объема _
dQ^VcTdrJdafdZ. E.171)
По аналогии с соотношениями E.38) имеем при скалярном
умножении вектора на диады R'R/.R* = Rf (R/. R*) =g/*R',
Rh.R/R' = (Rft.R>)R' = 6{R', RjRrn=R, (R7.n) = 0,... E.172)
Глава 6
СООТНОШЕНИЯ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК
В КООРДИНАТАХ ОБЩЕГО ВИДА
В этой главе дается краткое изложение теории оболочек в коор-
координатах общего вида. Полученные соотношения используются
в последующих главах при рассмотрении оболочек более сложного,
чем в первой части, вида, а также при рассмотрении различных
вопросов теории. Для понимания основного содержания после-
последующих глав достаточно знакомства с п. 6.8, представляющим
собой сводку результатов в прямоугольных координатах.
6.1. ДЕФОРМАЦИЯ ОБОЛОЧКИ
Для анализа деформации тонкой оболочки примем детально
рассмотренную в гл. 1 геометрическую гипотезу Кирхгофа, со-
согласно которой (напомним) материальное волокно, нормальное
282
Рнс. 6.1
к срединной поверхности до
деформации, остается нор-
нормальным к деформированной
срединной поверхности, не
меняя при этом своей длины.
Математически это записы-
записывается следующим образом
(рис. 6.1);
R (а», а2; 0 =
= г (а1, а2) + ?п (а1, а2),
+ Сп«(а», а2). F.1)
Здесь значком * помечены величины, отнесенные к деформирован-
деформированной конфигурации оболочки, без него — к недеформированной.
Введем величины
и1 (а\ а2; 0 = R* - R = u\va + wln,
и (ое1, а2) = г* — г = иаг« + вуп, F.2)
являющиеся векторами смещений, соответственно, точек оболочки
и ее срединной поверхности. Согласно соотношениям F.1) и F.2)
и5 = и + С(п'-п), F.3)
г" = г + UprP + am. F.4)
Дифференцируя с учетом формул E.27) последние выражения
и вводя обозначения
F.5)
F.6)
•.--(¦5-+*.).
находим
Т{ = Т{ -(- <й<рГ — W/П. (о-')
Отсюда и из соотношений E.4), E.10) и E.12) находим, считая,
что физические компоненты величин F.5) и F.6) малы по сравне-
сравнению с 1,
F.8)
Подстановка полученного выражения в F.3) приводит к отве-
отвечающему геометрической гипотезе Кирхгофа закону распределе-
распределения смещений по толщине оболочки
= u
=
? = +
= W.
F.9)
283
Далее дифференцирование выражения F.8) дает с учетом ра-
равенств E.27) и E.13)
tit = tii -f- у^з1" ¦+• Ь^&рП = (—bt$ -f- у*Фр) г + &5ФрП. F.10)
Теперь из соотношений F.1)я, F.7) и F.9) находим
Введем тензор второго ранга
F = RiRe + iTn, F.12)
обладающий согласно правилу скалярного умножения диады на
вектор E.172) следующим свойством:
FR, = R;, F-n = n\ F.13)
Таким образом, тензор F , называемый градиентом движения\2\5],
характеризует деформацию и поворот материальной частицы обо-
оболочки. Подстановка выражений F.10), F.11), E.161) и E.167)
в F.12) приводит с учетом E.164), E.161) и E.167) к:
F = l + E + Q, F.14)
где
1 = RoRaH-nn, F.15)
Е = Кр - I (Ртр - Ь?ер« -. Ь%гуа)] rV, F.16)
+ dp [rPn - nrP]. F.17)
Здесь
gj. = (©{/[ -|- (Oj()/2 =1/2 (V^M/ -(- V/Ut) — bt/w = Bji,
P^/ = —1/2 IV/ftf -\~ V$l — bjtilta — bf OO/aJ == P/t# F.18)
Разбиение F.14) градиента движения на единичный тензор A),
симметричную часть (Е) и кососимметричную (Q) имеет в теории
деформации фундаментальное значение. Единичный тензор обла-
обладает очевидным в силу E.172) свойством
и отвечает отсутствию деформации. Симметричный тензор Е ха-
характеризует деформацию оболочки — о нем несколько позже.
Наконец, кососимметричный тензор Q описывает поворот окрест-
окрестности точки оболочки. Тензор же
О |г=о = 1/2 (Vvup - Vp«v) rPrv + dp [rPn - nrO]
описывает, очевидно, поворот окрестности точки срединной по-
поверхности. Ему отвечает кососимметричная матрица
0 —1/2 (УхИа — VgMi) ¦&!
- Va«i) 0 Фа
а -«¦ 0
284
Как известно, каждой кососимметричной матрице такого типа
отвечает вектор. В данном случае это вектор поворота окрестности
точки срединной поверхности
о» = с*ЧаГь + свпп, F.19)
где согласно E.28), E.10)
F.20)
— угол поворота вокруг нормали к срединной поверхности. Имеем
также с учетом E.10) и E.12)
© X П = (С^ФаГр -j- ИПП) ХП =
Полученное выражение позволяет записать закон распределения
смещений по толщине оболочки F.9) в векторном виде
a? = u-f <» X Сп- F.21)
Вернемся к тензору деформации F.16) с компонентами (см.
E.164))
ец = в« - С (§« - b?st* - bfe(a) ~ в;/ - ?§,/. F.22)
Отсюда усматривается, что е^ — компоненты тангенциальной,
а Pij — изгибной деформации. Покажем, что они связаны с дефор-
деформационным изменением метрики и кривизны срединной поверх-
поверхности. Так согласно соотношениям F.6) и F.10)
= —n,* -r; = Ьц - (v/^ - bja>iy).
Отсюда и из соотношений F.18) следует
гп = 1/2 (а'а - ап), §« = Ъ*и ~ Ьц. F.23)
Таким образом, действительно, величины е^, $1} характеризуют
деформационное изменение метрики и кривизны срединной по-
поверхности.
Получим уравнения неразрывности срединной поверхности.
Наиболее естественным путем было бы варьирование соотношений
Кодацци—Гаусса E.25). Изберем, однако, несколько иной путь,
приводящий к некоторым полезным соотношениям. Для этого
развернем очевидные тождества
да,1 За2 ~~ да3 да1 ' да1 да2
285
Прежде всего с помощью равенств F.19), E.26), E.27), E.33) и
E.Ю)
-^ = ^агв + ?уп, F.25)
где
F-26)
Далее согласно F.2J и F.7)
1/2 (VyUp - VfjM,) Г» -
Но согласно F.19), F.20), E.10) и E.12)
© x г, = [са4агь + 1/2с™У,Мцп] х г/ =
гр = -в^вп + 1/2
Отсюда и из предыдущего выражения получаем
g xry. F.27)
Имея выражения для производных от векторов смещений и
углов поворота, уже нетрудно получить уравнения неразрыв-
неразрывности. Так, из F.25) находим с учетом E.26), E.27)
П.
Приравнивая полученные выражения, получаем
[(V, (^Vb) - V, (C°Va)) + (ftfb - ftfCl)! ГЗ +
n = 0. F.28)
Несколько преобразуем полученное равенство. Так с учетом со-
соотношений E.10) и E.33) имеем
Производя аналогичные преобразования над остальными парами
величин, получаем из F.28) три скалярных уравнения
Ve (c°VVv« + Ы, (c*U) = 0, (i = 1, 2),
Vv (сЧь) - Ьвр (cPacvVv«) = 0. F.29)
286
Далее из F.27) находим
(И) Ъг^ + bBn +
их Ь12п.
Приравнивая эти величины, получаем после преобразований,
аналогичных проведенным выше, еще три скалярных уравнения
сУ& (Иа7 ~ Ь"е7а) = О,
C'Vee,, + Ci ~ 0 (/ = 1, 2). F.30)
Первое из них удовлетворяется тождественно, в чем нетрудно
убедиться с помощью соотношений F.26)х. Последним можно
придать несколько иной вид. Для этого умножим левые части
на с''. Суммируя затем по i = р, получаем два уравнения
Ve (с?Ve6vP) + d*U = 0 (/ = Д, 2). F.31)
Сведем воедино пять уравнений F.29) и F.31), меняя кое-где
индексы,
Ьай (c«vcePnvp) = 0,
—Ve (cevC/08vP) 4- сЩь = 0. F.32)
Если с помощью двух последних уравнений исключить
из первых, то получим три уравнения, которым должны удовлетво-
удовлетворять семь величин
^i. ^1» ¦= eai> еая: f*u» l*iat Ця1» Цяя- F.33)
Исключая с помощью равенств F.26)]. \ifj, получаем три уравнения
для введенных нами ранее шести компонент деформации:
еп. е1я = 82i, еаа, рп, р1Я = р21, р2а. F.34)
Последние согласно F.23) имеют ясный геометрический смысл
и при рассмотрении теоретических вопросов более предпочти-
предпочтительны. Их недостатком является то, что величины |3U и C22 До-
Довольно сложно выражаются через смещения. Поэтому часто удоб-
удобнее принять в качестве компонент деформации смешанные ве-
величины
Ец, 81Я = 8„, 8И, |iu, (—Р1Я) = (—Ра1), |Д,2Я, F.35)i
заменяя в полученных выше соотношениях ц12 и ца1 их выраже-
выражениями
М>12 = (—М 4- Ъ\г<*„ fA2i = (— М 4- bhir F.35)а
287
6.2. ДЕФОРМАЦИЯ НОРМАЛЬНОГО
ГРАНИЧНОГО ЭЛЕМЕНТА
При рассмотрении деформации края оболочки удобно исполь-
использовать систему координат, связанную (см. п. 5.2) с контуром об-
области срединной поверхности. Сказанное ниже справедливо не
только для граничного элемента оболочки, но и для любого нор-
нормального сечения. В принятой системе координат для вектора
смещений имеет место представление
и == «vv -f «tt -f wn, F.36)
при этом согласно E.68)
Uv = va"cc. «t = taUa, Ut = VjUv -f tiUf F.37)
Аналогично представляется вектор поворота окрестности рас-
рассматриваемой точки срединной поверхности
«> = @vV + <М -\- ЮПП.
При этом согласно E.68), F.19) и E.48)
щ = v^4a = —РЪа = —Qt,
<ot = tec&ea = v«da = dv, F.38)
так что
F 39)
Положительные направления введенных величин показаны на
рис. 6.2.
Найдем вектор, поворота нормального элемента, связанного
с линией Г на срединной поверхности (которая, в частности,
может быть граничным контуром области срединной поверхности).
Для этого подсчитываем с помощью соотношений E.46), F.8),
F.36) и E.51)
** = Т5Г = A + е"} * ~~ ЩгУ ~ °'П> F'40)
где
~~pt"'
T*"v F-41)
— величины, геометрический смысл которых будет выясняться
ниже. Так из равенства (| t* | — 111)/| 11 си ги следует, что ett —
относительное удлинение материального волокна, направленного
вдоль линии Г. Нетрудно также проверить, что третье выражение
совпадает с первым в F.38) в силу выражения F.6).
288
Рис. 6.2
Далее запишем равенство F.8) с уче-
учетом F.38), E.69) в виде
п* = п + #vV + fttt. F.42)
Наконец, с учетом равенств F.40), F.42)
и E.45) находим
v* = t* X п* = A -\~ ги) v + fi)«t — flvn.
F.43)
Введем тензор
Q = v*v + t*t + n*n, F.44)
обладающий в силу правила скалярного умножения тензора на
вектор E.38) следующим свойством:
Qv = v*, Q-t = t*. Qn = n*. F.45)
Подстановка в F.44) выражений F.40), F.42) и F.43) приводит
к тензору
Q = A + е„) (w + tt) + пп + wtt (tv - vt) +
+ flv (vn — nv) + ¦dt (tn — nt).
Как и в предыдущем параграфе, его кососимметричная часть
с кососимметричной матрицей
(Oft 0 Of
отвечает вектору поворота (на этот раз) нормального элемента,
связанного с кривой Г:
Отсюда и из F.40) следует
А..
= t* — t = Efft — (O«V —
dst
или с учетом F.46) и E.45)
F.47)
F.48)
Введенные векторы поворота F.39) и F.46) отличаются лишь
третьими компонентами. Согласно F.41), F.20) и E.48)
F.49)
= etv,
где etv — сдвиг в осях нормали и касательной к кривой Г. Отсюда
и следует связь
©1 = © — etvn. F.50)
10 В. В. Новожилов и др. 289
Рис. 6.3
Вернемся к вектору поворота нормального элемента F.46).
Дифференцируя его по дуге Г, приходим с учетом равенств E.51)
к вектору изменения кривизны нормального элемента
где
**"
gj- = —
= ~3
F.51)
dst
da>tt
F.52)
Из рис. 6.3 и выражения F.51) усматривается, что е.и — растяже-
растяжение нормального элемента, xtt — его искривление в собственной
плоскости, ntn — из плоскости, xtv — скручивание.
Свяжем компоненты деформации нормального элемента с ком-
компонентами деформации срединной поверхности. Прежде всего
с учетом равенств F.48) получаем
е *!tVrta
Подчеркнутым членам отвечает свертка симметричного и косо-
симметричного тензоров, равная, согласно E.37), нулю. Опуская
подчеркнутые члены и используя F.18), находим
&tt = WeoB. F.53)
Далее, используя соотношения F.50) и E.51), имеем
F.54)
Но согласно F.25), E.69) и E.48)
290
С«п,F.55)
где
Vat = «»щ*, in, = ^v^aB, С< = <"?«• F-56)
Подставляя теперь выражения F.55) в F.54) и сопоставляя полу-
полученное с F.51), получаем
к« = Vtt + т«е<„, x,v = (itv + CTtetv, xtn = —?, + -^. F.57)
Иногда удобнее относить деформацию края к направлениям
главной нормали и бинормали граничного контура (см. E.2)).
При этом
и = т + b + *. < m
^ xtvt. F.58)
Заменяя в F.36), F.46) и F.51) орты v и п их выражениями E.54),
получаем
ит — ич sin Ф + w cos Ф> иь — Mv cos Ф — w sin ф;
ftm = —0t sin ф + ю« cos ф, Фь = —¦&< cos ф — a>u sin ф;
= —xtt sin ф — щп cos ф, щъ = —xtt cos ф -f- «tn sin ф. F.59)
Используя, далее, соотношения F.58) и F.48), E.44) получаем
следующие связи между введенными величинами:
a dtlf, "* dbv v а
6.3. УСИЛИЯ И МОМЕНТЫ.
УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ
Рассмотрим нормальное сечение оболочки, проходящее через
координатную линию а' = const. Ha единицу площади рассма-
рассматриваемого сечения действует ([210, 215]) вектор напряжения
O(t) = ti({)*2. F.61)
Здесь
Б = O^PRaRp + O^Ro" + O^nRa + О33»"! — F.62)
— тензор напряжений, а (см. E.165))
n(i) = R'/l R' | - F.63)
10* 291
— вектор единичной нормали к рассмат-
рассматриваемому сечению. Подставляя выра-
выражения F.62), F.63) в F.61) и исполь-
используя правило скалярного произведения
вектора на тензор E.38), получаем
Обозначим через Т(<) силу, приходящуюся на единицу длины
срединной линии элемента рассматриваемого сечения:
*/2
Т(')=="^Г 1 a«>d5<0> (k?=i)- F-65)
-Ь/2
Подставляя сюда выражения F.64), E.169), E.162), получаем
с учетом того, что dsk = У ahk dak и выражений E.6)
Ytfi т(|) = 7% + 7<»п, F.66)
где
6/2 ft/2
Г"= J (a"-^a'4dC, T<"=f ЛС F.67)
-ft/2 -ft/2
Величины ТЧ называют тангенциальными, а 71'" — перерезы-
перерезывающими усилиями. Согласно E.91) левую часть выражения F.66)
можно рассматривать как физическую компоненту t-ro вектора
усилий
Т' = 7%э + Т1пп, F.68)
связанного согласно E.38) с заданным на срединной поверхности
тензором усилий
Т = 7«*гогэ +TTon F.69)i
соотношением
Т' = г'-Т. F.69),
Соответственно, на косом сечении (рис. 6.4), определяемом
вектором тангенциальной нормали v, имеем вектор напряжений
= VaTaI, T% = VaT0. F.70)
Создаваемый действующими на рассматриваемое сечение на-
напряжениями момент относительно срединной линии равен (в рас-
расчете на единицу ее длины)
ft/2 */2
J ^П х °1'^Л(|) = n x i 1
292
Рве. 6.Б
Также, как и выше, показывается, что (см. E.12))
= Mian х го = соР
F.71)
где, при сохранении в подынтегральном выражении лишь слагае-
слагаемых, линейных по ?,
*/2
мч
= f
-4/2
F.72)
Как и выше, левая часть выражения F.71) является физической
составляющей 1-го вектора моментов
W = соЭЛ1'«гР, F.73)
связанного с заданным на срединной поверхности тензором мо-
моментов
М = соЭЛ1^гтгР F.74)
соотношением
М' = г'-М. . F.75)
Наконец, для момента на косом сечении имеем
Mv = vM = voM°; Мч] = ХуСа}МУ". F.76)
Получим условия равновесия элемента срединной поверхности,
ограниченного линиями a1, a1 + da1; a2, a2 -f- da2. На сторону ai
длиной ifctn da' действует согласно F.66), F.68), E.6) и рис. 6.5
сила
da' = —
-1^=-
da* = — "j/TT1 da*-
Знак (—) показывает, что нормаль к рассматриваемой площадке
направлена в сторону убывания координаты а*. На сторону а1 ¦+
-f da1 действует сила
293
Складывая их, получаем первое слагаемое следующей суммы:
Второе получается аналогично при рассмотрении другой пары
сторон элемента. Кроме того на рассматриваемый элемент дей-
действуют внешние силы (см. E.39))
а da1dd*,
где q — приведенная к срединной поверхности внешняя нагрузка,
отнесенная к единице площади. Собирая вместе полученные вы-
выражения, и приравнивая нулю их сумму, получаем условие ра-
равенства нулю всех сил, приложенных к рассматриваемому эле-
элементу срединной поверхности:
0. F.77)
Подсчитаем главный момент. Так же, как и выше, устанавли-
устанавливается, что моменты, приложенные к краям элемента, дают глав-
главный момент
, дУа№ \,/—. ,j 2
+ да* j V*** daK
Необходимо, кроме того, учесть моменты, создаваемые силами.
Так силы, приложенные к паре сторон а1 и а1 -{-da1, дают момент
(рис. 6.5)
г+х (уТ Т1 + д ^ T1 da1} da? + Г х (—
~(t*-r) х T1Va'da2.
Поскольку г+— r~ = Tida1, его можно записать в виде первого
слагаемого в сумме
[Гх х Т1 + г„ х Т1] Y~ada1dai.
Второе слагаемое получается аналогично. Вообще говоря, не-
необходимо учитывать и момент, создаваемый внешними силами и
моментами тУ~а da1 da*. Но (см. [207], гл. 111, п. 2) для боль-
большинства практически интересных задач роль поверхностных
моментов невелика, и мы их учитывать не будем (хотя и не пред-
представляло бы особого труда сохранить их). Собирая теперь полу-
полученные выражения и приравнивая нулю их сумму, получаем
условие равенства нулю главного момента всех сил и моментов,
приложенных к рассматриваемому элементу срединной поверх-
поверхности:
дУ1*° + го х Т« УК - 0. F.78)
294
Приведем уравнения F.77)—F.78) к более удобному виду.
Так с помощью тождества E.20) находим
v
даа У даа ¦ даа
^J V-T" F79)
Подстановка этого равенства в F.77) дает
VOT" + q = 0. F.80)
Подставляя сюда выражения F.68) и производя ковариантное
дифференцирование, получаем с учетом E.32) три уравнения
равновесия
. F.81Iр.
Производя аналогичное преобразование над уравнением F.78),
получаем с учетом E.12)
- TI» = 0, F.81)
+ b?Mv°) = 0. F.82)
Покажем, что последнее выполняется тождественно. Для этого
составим выражение (см. F.67), F.72))
\ o"dZ. F.83)
i/2
Таким образом равенство F.82) является сверткой компонент ко-
сосимметричного (с^) и симметричного (S{') тензоров и в соответ-
соответствии с E.37) тождественно удовлетворяется.
Таким образом равенство нулю главного вектора и главного
момента свелось к системе пяти уравнений F.81)!.,, F.82), F.83).
Исключая с помощью последних двух уравнений перерезывающие
усилия Т>п из первых трех, приходим к системе трех уравнений
равновесия (/ = 1,2)
Ь/2
VoVeMe° + ЬайТа6 + Яп = 0 F.84)
относительно семи величин х
Г11, Т1Л, 7*. 7м; Мп, М1% = Ми, Мп. F.85)
В полученной системе число существенно различных величин
можно уменьшить до шести, если использовать симметричные
усилия F.83)
511, 5" = 521, 5м; М11, Ми = М*, Мп. F.86)
1 В отличие от изложенного в гл. 1, принимая сразу для моментов упрощен-
упрощенные выражения F.72), имеем М12 = М**.
295
Последняя система величин очень удобна при рассмотрении теоре-
теоретических вопросов, ио несколько громоздка. Поэтому вместо нее
используют смешанную систему величин F.85), полагая в ней
Г12 = 512 - Ь'уМ*1, Т21 = 512 - Ь\М*2. F.87)
6.4. ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧКИ.
СТАТИЧЕСКИЕ ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
Подсчитаем вариацию энергии деформации оболочки. Для
оболочки, рассматриваемой как трехмерное тело, имеем
dQ F.88)
о
или с учетом выражений F.22), F.83), F.72) и E.171)
8V = J [5«Р 6ео„ + Ма*6 (—роР)] Vada> da?- F.89)
Полученное равенство позволяет считать компоненты е^ и (—
энергетическими по отношению к симметричным усилиям и" момен-
моментам (т. е. отвечающими им в выражении для энергии деформации).
С помощью соотношений F.83) и F.26) выражение F.89) пре-
преобразуется к виду
бV = [ [ðР6еор + М«в 6цоР] Уа~ da' da*, F.90)
показывающему, что величины &1} и ц^ являются энергетическими
для усилий и моментов Т1>, МЧ.
Преобразуем F.90) интегрированием по частям при использо-
использовании формул Грина
Ц}- da4a* = ф Ф da», С ,Ц. da1 da» = - (& <Dda\ F.91)
da a da
da
гдеЗЙ—ограничивающий область Q контур, проходимый в положи-
положительном направлении (так, чтобы область оставалась слева по
ходу). Поскольку согласно E.47) и E.48)
da1 =
da? = t*dst = с**! dst = -^ dst, F.92)
У°
интегралы можно преобразовать к виду
Г _^_ da1 da? = ? v,<D -^r • F.93)
J до, j у а
a da
296
Эта формула, как видно из ее вывода, не предполагает, что Ф обя-
обязательно скаляр. Применяя ее к величине У~аФ1, где Ф' — кон-
травариантная компонента вектора, и суммируя по i = а, при-
приходим к формуле Грина
Но согласно F.79) и E.33>
a (VT % F.95)
С помощью этого равенства получаем из F.94) еще одну форму
записи формулы Грина
j Vo (Va~ Фа) da1 da2 = § voФadsf. F.96)
о да
Используя полученные зависимости, выражения F.26) и сле-
следующие из F.18), F.20) равенства
%ii = Vlu) — bl}w — clj<un, F.97)
проведем требуемые преобразования. Так, интегрируя по частям
и меняя, где надо, индексы суммирования, получаем с учетом
F.96)
J Г°е 6eoft V~adal dot? = f J/ТГ ТаЩ^аи^ - bafiw - cafl<i>n]da}da?=
= f [—Va (V~a T"*) 6mb - Va'
- V~a сайТ<* ban] da1 da? + ф vo
J Mp° 6цЭо Va dax da2 = f V~a M**6 (Ve«o - caybj 6ю„) da1 da2 +
da1 da2
da
В силу равенства F.82) сумма членов, подчеркнутых в обоих
интегралах одной штриховой линией, выпадает. Производя даль-
297
нейшие преобразования над членами, подчеркнутыми двойной
штриховой линией, находим (см. E.33) и E.6))
f [_ yj VBM ^б (- -^ - bitty) da1 da2 =
J [ \ da I
dQ
+ f f V G^ уРмРв) «» 4- yT ЬХУрМ^быJ da1 da2.
Собирая вместе преобразованные выражения, получаем
8V = bVi + &Vit F.98)
где
«Vi = - f [(varp - 6SveMeo) 6«p + (vaveMta +
4- baBTafi) bw) VT da1 da2 F.99)x
и (см. E.69), F.81),)
6uv + Tvt 8ut + Tvn 6a» + М^ 6fl>v + Mv, 6dj] dst F.99)
Считая для простоты, что скручивающий момент не терпит на
гладком контуре разрывов, преобразуем с учетом выражения
F.41K подчеркнутое слагаемое
Mvl 6ft, dst = <y Mv, (—
= ф [mv1 (t, 6uv - о, бы,) 4- -^- бш] ds,.
Подстановка полученного выражения в предыдущее дает
б Vi = w [(Tvv 4" ^t^vt) 6uv 4" (Tit ~~ °t^vt) $ut 4"
+ (Tvn 4"^) to + Mvv 60,1 A*. F.100)
298
Отсюда видно, что в рамках теории, использующей гипотезы
Кирхгофа, обобщенным смещениям края ич, ut, w, ¦&„ отвечают
обобщенные силы:
Qvv = Tvv + rtMvt, Qvn = Tvn +
Qvt = Tvt — otMvt, Mvv;
Qv = Qvvv + Qvtt + Qvnii. F.101)
Вариационное уравнение Лагранжа [210] при заданных на
контуре усилиях — моментах (величины с ноликами) записы-
записывается в виде
й V - } (<7° 8иа + qn Щ Va &a> da2 -
st = 0. F.102)
Подставляя сюда выражения F.98)—F.100) и принимая во внима-
внимание произвольность вариаций смещений и угла поворота, усматри-
усматриваем, что из вариационного уравнения следуют уравнения рав-
равновесия F.84) и статические граничные условия
Qvn = VaVeM30 + ^- = Q°vn, Mw = M°W,
Qv = Qwv + Q«t + Qv«n = Q?. F.103)
Иногда более удобно использование направлений, связанных
с граничным контуром (см. п. 5.2). В этой системе
m = Qw sin ф + Qvn cos ф, Qvb = Qvv cos ф - Qvn sin ф. F.104)
6.5. ЗАКОН УПРУГОСТИ
В криволинейных координатах закон Гука зап исывается в вид
(k, n, y, |* = 1, 2, 3).
Поскольку в рамках геометрической гипотезы Кирхгофа et8 = 0,
имеем отсюда с учетом E.168)
F.105)
299
Согласно статической гипотезе Кирхгофа, о которой подробно
говорилось в гл. 1, имеем
Отсюда и из F.105) находим
аи = (Г^р №&ес#ёи + 0 - v)
или, поднимая с помощью соотношений E.35) индексы i, j,
i F.106)а
Теперь, подставляя сюда выражения F.22),
еи = в„ - СР«. е'/ = в« - #</. F.107)
а также E.168), получаем с учетом соотношений E.164)lt a, E.35)
eae>
- v) а'аа/р] (-рвр). F.108)
Подставляя полученные выражения в F.83) и F.72), получаем
S*i = jf*^ [va'/a«P + A - v) ataa/P) еаЭ, F.109)
12 *-v») M/rf* + (l-v)a'»a/4(-pep), F.110)
^ ^ F.111)
Подстановка сюда вместо S'' его выражения F.83) дает
Отсюда видно, что для тонких оболочек (см. E.164)х) подчеркнутый
член мал. Опуская его, имеем
«"-¦Х-+С-ТГ-. FЛ12)
а для T'l можно принять упругий закон
ТЧ = у—- [va'/fl"* + A - v) а*«й/«»1 еоЭ. F.113)
Далее подстановка выражений F.109), F.110) в F.111) дает
при замене pw на выражение F.26)
Т^ - v) ataa«] [еаЭ
300
Опять же в силу E.164)г подчеркнутые члены малы и могут быть
опущены, что эквивалентно принятию для моментов вместо F.110)
выражения
М" = i2(f-v') tva'/a°P + 0 - v) a'°a/Pl I*«P- (QAl4>
Обратим полученные выражения относительно компонент де-
деформации. Так, умножая левую и правую части F.109) на ai}
и суммируя по i = Yr / = б, получаем с учетом того, что по E.5K
av6av6 = 8* = 2; агвЛвр = 6^aep = a0*, F.115)
равенство
Подставляя полученное выражение в F.109) и разрешая послед-
последнее относительно е'/ = a'°a'BeoB, получаем
е" = Jj- Ц1 + v) S'l - va'/aopS°P].
Опуская теперь в левой и правой частях этого равенства индексы i,
j, получаем первое из следующих, выводимых аналогично, соот-
соотношений:
8" = "Ж К1 +
-Pw = -gjjr 1A + v) aiaaiB - vai;aaP] M«P; F.116)
"Ж
FЛ
Из сказанного выше следует, что для тонких оболочек (в рамках
погрешности, связанной с принятием гипотез Кирхгофа) все
приведенные выше однотипные соотношения равносильны между
собой. При использовании смешанной системы величин F.34)
и F.85) следует пользоваться законом упругости F.113), F.114),
заменяя в нем величины
Г», Т», (*„, ца1 F.118)
соответственно, на
5" =S81, (-р1а) =(-ра1). F.119)
6.6. СТАТИКО-ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ
И КОМПЛЕКСНАЯ АНАЛОГИИ.
КОМПЛЕКСНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ
Сопоставление однородных уравнений F.81 )х_8 с F.32) пока-
показывает, что они однотипны и переходят одни в другие при заменах:
ТЧ -
301
Подмеченное свойство, обычно называемое статико-геометриче-
ской аналогией, позволяет ввести функции напряжения соотно-
соотношениями:
Тт = Ttn __ Ehccl%, (c = h/yi2(l-•*)). F.120)
Здесь TlJ, MfJ, Т{п — некоторое решение неоднородной системы
уравнений равновесия (которое в дальнейшем будем называть
системой статических функций), а Ди, ги, lt — полученные выше
выражения, построенные, однако, не по смещениям, а по произ-
произвольным функциям йг, ыа, ш. Подставляя выражения F.120)
в уравнения F.81), убеждаемся, что они удовлетворяют им в силу
уравнений F.32) при любых Ult й2, да. Это позволяет именовать
последние функциями напряжения.
Введем комплексные усилия и моменты, понимая под ними сле-
следующие комплексные комбинации
f'l = Т" - \Г=Т Ehcc1 VVvP,
м ч = + К
j,tn = Ttn j^y-Zi Ehcc'%. F.121)
Заменяя здесь усилия и моменты их выражениями F.120), по-
получаем
ftn - Т{" 4- V^^T Ehcc'%. F.122)
Здесь \xi}, li}, lt — соответствующие выражения, построенные
по комплексным комбинациям смещений и функций напряжений
w, F.123)
называемым комплексными смещениями.
Полученные соотношения устанавливают соответствие между
геометрическими, статическими и комплексными величинами (со-
(соотношениями). Это соответствие уместно называть комплексной
аналогией.
Для нахождения уравнений, которым удовлетворяют введен-
введенные комплексные усилия и моменты, умножим уравнения F.32)
на —У—\Ehc и сложим с соответствующими уравнениями F.81).
302
Полученная система уравнений записывается с учетом обозначе-
обозначений F.121) в виде
VeAfe/ - f'n = 0. F.124)
Из уравнений же F.30)! и F.82) получаем недифференциальное
соотношение
Сар G** + bffi") = 0. F.125)
Введенные комплексные моменты М.Ч не являются, по су-
существу, самостоятельными величинами и могут быть с учетом за-
закона упругости выражены через комплексные усилия. Действи-
Действительно, согласно F.114), F.117)! и F.121)
М" = Ehc2 Ы«аа* + A - v) a'Vp] цар +
+ У^Тсс'У* [(I + v) авлауа - vaBvaaffl] Re fO<B.
Несложные, хотя и довольно громоздкие, преобразования с уче-
учетом формул F.122), E.10), E.35) приводят к искомой зависи-
зависимости *
f'/)]» F-126)
где
f = aVfflfv<B- F.127)
— основная комплексная функция.
Соотношение F.126) дает возможность исключить из комплекс-
комплексных зависимостей комплексные моменты. Так вместо третьего
из уравнений F.124) имеем
- ДаГа/ - уУаГа/] - Т'п = 0.
Заменяя здесь подчеркнутые слагаемые их выражениями из пер-
первого уравнения в F.124), получаем
=Т с [Veae/f - bUf^_±_vf* + и + v)ql) - f = 0.
В силу E.164)i для тонких оболочек \cb\\ С 1- Поэтому под-
подчеркнутые члены можно опустить. В результате проделанного
получаем упрощенные выражения для комплексных перерезы-
перерезывающих усилий (см. E.33))
Т1п = У=\с [al6V6T + A + v) </']. F.128)
1 Черта над тильдой означает операцию комплексного сопряжения.
303
Исключая с их помощью Т1п из остальных уравнений в F.124)
и производя очевидные (для плавной нагрузки) упрощения
-q' + К=ГA + v) cbL <f ^-q', -qn -/=Г A + v) cVaqa ^-qn,
приходим к упрощенной системе уравнений в комплексных усилиях
Wafal - V^T cb'aaa\6f + q> = О,
у— caabVaS/bf + bji"* + <7n = 0, F.129)
r , *
Vl2(l-v2)
Подставляя выражения F.126) в недифференциальное урав-
уравнение F.125), убеждаемся, что с той же степенью точности можно
принять
са»Та* = 0 или Т12 - Т21 = 0.
Таким образом, в упрощенной системе можно принять
fw = fM = g. F.130)
Вернемся к соотношению F.126). Входящий в него член, со-
содержащий множителем коэффициент Пуассона v, не вошел в си-
систему уравнений в комплексных усилиях F.129), являющуюся
разрешающей системой уравнений теории оболочек. Это дает осно-
основание считать данный член малым, несущественным. Его можно
опустить, но мы его сохраним, сняв операцию комплексного
сопряжения:
М" = ]/^Гс[а11Т -(l+vjf]. F.131)
С помощью этого выражения и F.122) имеем
К=Тс [allf - A + v) ftl] = M'J + I^TfteV^»,,,
f'1 = T? - V^-\ EhccVpilvp. F.132)
Исключение отсюда комплексных усилий приводит, с учетом соот-
соотношений F.127) и E.10), к системе уравнений в комплексных
смещениях
+ ]/—1 с(a'Va/P — vc'VP) ДуР =
[ачРгГ-A+^гУ + ^м1ф F.133)
С принятой точностью в них можно считать
йи = Дп = —Pit F.134)
так, что существенно различными в F.133) являются лишь три
уравнения.1
1 Уравнения в комплексных смещениях подробио рассматриваются в гл. 10.
Там, в частности, показано, что их можно рассматривать как уточнения уравне-
уравнений Власова.
304
Перейдем к граничным величинам F.101), F.41)х и F.57). Им
отвечают следующие комплексные:
, Qvt = va^f «P - a,Mvt,
+ -^-, Mvv; F.135)
Для выяснения их статико-геометрического смысла разделим ве-
вещественные и мнимые части. Например, с учетом F.121) и E.48)
После аналогичных преобразований над другими слагаемыми
находим
Qw = Qw - V^T Ehcxu, Qvt = Qvt + V~ Ehmtv,
Qvn = Qvn - l/^T ?/icxtn, Mvv = Mvv + K=T ?Лсе„;
Qv = Q;-?/icx<. F.136)
Отсюда видно, что
Qw = Qw + Ehcktt, Qvt =¦ QC< — Ehcxtv,
Qvn = Qvn + Ekcxtn, Mw = Mw - Ehcltt; F.137)
Qv = QC k
и
= QC« - V^T Ehcxin, Mvv = ЛС + К^
Qv = Qv + К=Г ?Асх,. F.138)
Упростим выражения F.135). Прежде всего согласно F.131)
Mw = К=Гс [vavpaapf - A + v) vavpfap],
Mv, = 1/=Г с [va*pa*ef - A + v) vjpf1*].
Поскольку
fl^vnvp = v-v = 1, aaf>va*p = v-t = 0,
имеем
Mvv ^V^\C[t - A + V) f vvl, Mvt = K=T С [- A +V) fvt].
F.139)
305
Подставляя эти равенства в первые два из выражений F.135),
получаем
Qw = 7\v - К=Т A + v) (cxt) f vt ~ rvv,
Qvi = fvt + J/=TA + v) (ea«) Tvt ~ Tvi, F.140)
так как для тонкой оболочки
Для третьей величины имеем, в силу F.128) и F.139),
+ A + v) va<7« - A + v) ^2L].
Собирая все вместе, приходим к упрощенным выражениям для
комплексных граничных величин
Vvv == •* vvi Vvi == •* vt>
F.141)
= vAe' ?v = va<)
6.7. НАХОЖДЕНИЕ СМЕЩЕНИЙ
И ФУНКЦИЙ НАПРЯЖЕНИЯ
Рассмотрим вопрос об определении смещений и углов поворота
по известным компонентам деформации. Прежде всего, при из-
известных компонентах деформации срединной поверхности можно,
согласно соотношениям F.53), F.56) и F.57), считать известными
и компоненты деформации нормального элемента, связанного
с произвольной кривой Г на срединной поверхности.
Итак, интегрируя соотношение F.51) вдоль кривой Г от не-
некоторой ее начальной точки s0 до текущей St, получаем выражение
для вектора углов поворота
Н
©, = (»?+ J xtds't F.142)
s.
(значком ° здесь и ниже будут помечаться величины, подсчиты-
подсчитываемые при st = Sq). Для определения вектора «в следует восполь-
воспользоваться равенствами F.49) и F.50).
306
Далее, из F.48) находим
и = и0 + }
t'] ds't.
F.143)
Пусть г0 и г — радиусы-векторы соответственно начальной и
текущей точек кривой. Тогда имеет место очевидное соотношение
t= й(Г^**) • F.144)
С помощью его, а также соотношения F.142) получаем
= щ х (г — rD) — j \xt x (r' — ro)]dsi.
«о
Подставляя сюда вместо ©t его выражение F.142), внесем полу-
полученное в F.143). В результате проделанного получаем искомое
выражение для вектора смещений через компоненты деформации
и = и0 + <»? X (г — г0) + J У-tdst X (г — го)
'с
J
+
} [(г' -
го) X х, + е„П ds't.
F.145)
В силу очевидного тождества
i х (г — г0) — j [xtx (г — ro)\dSf
d
dst
соотношение F.145) можно записать
и так
и = и0 + <»? X (г - г0) +
1
dsi.
F.146)
В двух последних выражениях пер-
первые два члена описывают перемеще-
перемещение оболочки как жесткого целого.
В ([207] стр. 38) было показано, что
в соотношениях F.142) и F.143) зна-
значения смещений и углов поворота
Рис. в.в
307
в односвязной области не зависят от вида кривой, соединяющей
начальную и текущую точки срединной поверхности.
Рассмотрим участок SqSj контура Г (рис. 6.6). Главный вектор
усилий, приложенных к рассматриваемой дуге, равен согласно
F.137)
U Ч t
F = JQV ds't= Jq; ds't —Ehc \ xtds't. F.147)
Используя равенство, аналогичное F.51)
=.=-§-. F.H8)
получаем из F.147)
F = F* - Ehc (ю, - ю?). F.149)
Ч
Здесь F* = J Q$ ds't — главный вектор, отвечающий выбран-
ной системе статических функций.
Далее из рис. 6.6 усматривается, что главный момент равен
В(о, = J Mvvt' ds't + J [г' х Qv] ds't = j M *vt' ds't +
s< Г s<_ s< _ 1
+ J [r' X QC]ds; - Ehc M e^t'dsj + { [r' X x<] ds't . F.150)
Заменим здесь х« его выражением F.148) и проинтегрируем
последний интеграл по частям. Учитывая при этом соотношения
F.143) и F.144), находим
В@) = { MM'ds't + j [r' X QC] ds; —
— ?Лс [г х ©< — r0 X ю? +п — uo]- F.151)
При подсчете В(о) в качестве центра приведения было выбрано
начало координат. Если же привести главный момент к текущей
точке рассматриваемой кривой (st), то место В@) займет
В = В@) — г х F.
При этом согласно равенствам F.149) и F.151)
В = В' - Ehc [п - п0 + (г - го) х ©?], F.152)
308
где
U *t
В' = J MUt'ds't + f [(г' - r) x QJ] ds't-
— главный момент функций статической системы.
Разрешая равенства F.149) и F.152) относительно функций
напряжения, находим
F —F*
= *>' ты
u = и°+ а>? х (г - го) - -^gjf-. F.153)
В случае односвязной области можно положить и0 = ю? = 0.
В самом деле, как видно из F.153), это равносильно изменению
вектора функций напряжения на слагаемое типа «жесткого сме-
смещения»
п = по + ю*° X (г —г0),
не влияющее на напряженно-деформируемое состояние оболочки.
Вопрос об однозначности (многозначности) смещений и функ-
функций напряжения в многосвязной области подробно рассмотрен
в гл. 7.
6.8. СООТНОШЕНИЯ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК
В ОРТОГОНАЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ
Наиболее часто в теории оболочек используются ортогональные
координаты и физические компоненты векторов и тензоров. Выпи-
Выпишем основные из полученных выше соотношений. Прежде всего
введем обозначения (см. E.71), E.79), E.72))
А = У^Г, В = V^i (аи = 0); а = (ABf; F.154)
е = Х e=J <
единичные координатные векторы.
Величины F.154) и F.155) связаны соотношениями Кодацци—
Гаусса (см. E.90))
_1 д i В*
В да V R
_j д I
А ЭР V
да \ Rs ) ^ A 50 \ RaB ) Ra да
д /1 дВ \ д / I дА\ ло ( 1 1\ /К,г7\
Ж [т ~да-) + ж [т -w) = ~АВ (тпъ ~ -щг) • FЛ57>
309
Обозначим
ИA, = И, UB) = V, #(i) = 0в, 0B) = Ор,
e(ii) = ев, еB2) = Вр, вA2) = ю/2, F.158)
= т —
Векторы смещений и углов поворота записываются в виде
и = ие,, + «5р + am, F.159)
ю = —03ев + #ве3 + ю„п. F.160)
При этом согласно соотношениям E.75), E.76), F.5), F.6), F.18),
F.26) имеем
„ dw ji о_ „ dw j v и
а А да Ra Ra& * fl Э6
1 / dBv дАи \ ,„.,..
(); FЛ61)
1 ди 1 ЭЛ а» _ 1 " Эо . 1
В д / v \ А д ( и \ 2ал
+
v \ А д ( и \
ЗА „ 0)n _ 1 dftp
д$ V»~ ~Щ?' *» ~ В If
где
_ 1 до 1 дА да _ 1 Щ 1 дА „
_ I ди 1 ав да _ 1 dftB 1 дВ „
F.163)
Рассмотрим деформацию нормального элемента, связанного
с линией на срединной поверхности. Из соотношений F.36)—
F.39) и F.41)
u = «vv — utt + am,
ич — и cos у + v sin у, щ — —и sin у -f ° cos т;
(v = в! cos у -f e2 sin y, t = —в! sin y + ej cos y) F.164)
dv = О cos у + *p sin y, *« = — #o sin Y + ^p cos y,
«»« = (ee — ep) sin y cos y + ©o sin1 y — »p cos* y- F-165)
310
Имеет место формула (F.48), F.53))
J*L = e«t + щ х t, F.166)
где
е« = е3 cos* у — <о sin у cos Y + ee sin* у. F.167)
Вектор изменения кривизны определяется равенством (см. F.51))
где согласно F.57) и F.56)
Щх — *вCos* Y — 2тsinуоаьу +
= (><в — xe) sin y cos 1» + т (cos2 y — sin* у) +
slna7 cosa 7 \ a> евсова7 — eecoe*7
COS"
Здесь
1 coea7 . sin* 7 2 sin у сов у
Rr Ra R& Rafi
_1 sina7 cos'7
"Г "¦ ~RV+ /? +
cos*v —
siiiY д . cos
e«v = (ep — ee) sin у cos y + -у- (cos*v — sin*y). F.171)
Обозначим
T"(ll) = ^o» ^B2) = Tf, SA2) = SB1) = S,
Af(n, = Me, Af,e> = Л^в. A*d») = ^B1) = H. F.172)
При этом (F.87), F.155))
311
Система уравнений равновесия F.84) в физических компонентах
принимает вид
дВТа 1 dA*S дВ гр . 1 / дВМа 1 дА'Н дВ .. \_
1 / дАМя , 1 дВ*Н дА .. \ .
С—ар- + T-1S -эТМа) +¦
А „ \ , ЭЛ / Я Л*а ^+Л5/,в = й1
«ов
1 ЭДа5 ЭЛ г | 1 / дАМл .
Оа op Kr \ op
1 д&Н дА АЛ \ 1 ( дВМа
- I —
Эа
^а) +
Га 25 Гв 1 Г Э 1 / ЭВМа
«о Яав "^ «р >4S L да А \ да
1 ЭЛ2Я ЭВ ., \ , д 1
M)+
В да ~ ЭР УИ« Л + Я„р L V «а ^ R» I +
3 ] = Рп- F-174)
Для статических граничных величин имеем согласно F.101),
(см. п. 5.3)
Qvv = cos* yTa + 2 sin y cos yS + sin* уТй +
Qvl = sin y cos y (TR - Ta) + (cos2 у - sin* y) S +
cosy / дВМа , 1 Э/1»Я
= ~аГ\ da +~A Щ
dAMB . 1 дВ*Н дА .. \ . dMyi
Mvt = cos* yMa + 2 sin y cos y# + sin*
(Afw = (cos* y - sin* y) H + sin y cos y (MP - M«))- F-175)
Закон Гука принимает вид
312
=V (ев + *"•)• м в =
Я т; F.176)!
ез = ж (^" vT*>> ** = -Щ-
« .. l+v о . _ 12A+v) „ /К17КЧ
-2-=-^-5,T gp H. F.176),
Функции напряжения б, б, ш вводятся соотношениями (см. п. 6.6)
Ма = MS - ?ЛС8В, Мв = Л15 - ?Лс8„, Я = Я' ^
G\ав) = ^('ар, - ?Лсц(Эа)> 7\3в) = Г?Ра) - ?Лсц(аР)) F.177)
При этом
Qw = Qw + ?Лсй«, Qvn = Qw + Ehciitn,
Qv« = Qv< — Ehciitv, Mvv = MU — Ehclu. F.178)
Комплексные усилия (/ = У*—О
fa = Та - iEhcxt = Та - iEhcx^,
Гр = Гв - tfAcx,» = Tl ¦- iEhcxa,
S = S+ iEhcr = S* + *?Лст F.179)
определяются из упрощенной системы уравненнй в комплексных
усилиях
дВТа , 1 dA*S _ dB_Z, (_В_ ffT_ А дТ \
да ~г Л ар А»
= О,
дА =,
\~ЩГ~д$~^Г да"/"
+ ЛВ/?р = О,
Комплексные смещения
й = u + iu, v = v + iv, it = w + iw F.181)
313
(*„-
(дальнейшие упрощения даны в [210], гл. XI).
Для комплексных граничных величин
находятся из упрощенной системы уравнений в комплексных
смещениях
F.182)
= Qvv -
= Qw -
Afvv = Af vv + iEhtxtt = Af Jv + iEhctu
справедливы приближенные выражения
Qw = 7*vv. Qvt =
F.183)
+ i A + v) c7\,v =
F.184)
rf cos7 д , stay д d _ stay д cosy 3 I'
<is? ~ Л Эа "• fi~ dp ' dst А да + В д$'
Приведем в заключение выражеиия для энергии деформации
V =
\
Q
F.185)
w =
(х. - х3)* + 2 A - v) т»] =
2 0 + v>
F.186)
314
Глава 7
ДИСЛОКАЦИОННЫЕ СМЕШЕНИЯ.
МНОГОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ НАПРЯЖЕНИЯ
ДИСЛОКАЦИОННОГО ТИПА
В настоящей главе рассматриваются дислокационные смещения.
Так называют многозначные смещения, которым отвечают одно-
однозначные деформации. Кроме того кратко рассматриваются много-
значные функции напряжения дислокационного типа.
7.1. ВЫДЕЛЕНИЕ МНОГОЗНАЧНОЙ ЧАСТИ
ВЕКТОРА СМЕЩЕНИЙ
Выявим вид возможной неоднозначности смещений при одно-
однозначности компонент деформации. Для этого рассмотрим кон-
контур Г/, имеющий начало и конец в точке Mj (рис. 7.1) и охваты-
охватывающий один из внутренних контуров Г] многосвязной области.
Из выражения F.145) следует, что при обходе Г/ вектор смещений
может приобрести приращение
где
-f о»/ X (г - г'),
= ф 1(г — г') х х« + e«t] dst, ©/ =
G.1)
Прн этом ([210], стр. 146) величины и', в' не зависят (в силу урав-
уравнений неразрывности деформацин) от вида контура. Будем назы-
называть их параметрами дислокации.
Сказанное позволяет предложить простой способ построения
дислокационной части вектора смещений.
Для этого рассмотрим выражение
{и/ + &> X (г - г/)} Ф/ (а1, а2). G.2)
Относительно величины ф/ (а1, а2), кото-
которую в дальнейшем будем называть дисло-
дислокационной функцией, предположим, что:
а) она дает при обходе Г/ приращение
1, а при обходе остальных контуров — 0,
б) производные от нее по обеим коор-
координатам — однозначные функции.
Легко убедиться в том, что построен- /
ному вектору отвечают однозначные ком-
поненты деформации. Действительно, под- Рис. 7.1
315
считывая последние по G.2), получаем слагаемые двух типов. К пер-
первому относятся члены, в которых дислокационная функция не диф-
дифференцировалась. В них множителями перед ф/ являются компо-
компоненты деформации, построенные по выражению, заключенному
в фигурные скобки. Поскольку последнее представляет собой
вектор жесткого смещения, эти множители равны нулю и все
члены первого типа выпадают. Ко второму отнесем слагаемые,
содержащие производные отФ/ по координатам. В силу свойства б)
все они — однозначные функции.
Будем считать параметры дислокации известными величинами.
Тогда вектору смещений можно придать следующий вид:
и = 2 {и' X ©/ х (г — г/)} ф/ -f u°. G.3)
Здесь и0 — однозначная часть вектора смещений. Если по обыч-
обычным формулам подсчитать отвечающие дислокационным слагае-
слагаемым поверхностную нагрузку и граничные величины, то, как
правило, они не будут равны требуемым по условиям задачи.
Роль однозначной части и0 и сводится (как будет показано ниже)
к обеспечению выполнения граничных условий и удовлетворению
поверхностной нагрузке.
Как видно из G.3), /-е слагаемое дислокационной части век-
вектора смещений дает на линии разреза L скачок смещений
и к = {и' + «' х (г - г/)}. G.4)
Отсюда видно, что отвечающие дислокационным смещениям бе-
берега разреза должны совмещаться друг с другом путем жесткого
смещения и' и поворота (вокруг точки г/) на угол а', т. е. (как
говорят геометры) быть конгруентными. При этом, как усматри-
усматривается из приведенных соотношений, сам разрез не локализован
и может быть проведен произвольно.
В ([210], стр. 150) дислокационные смещения были исполь-
использованы при рассмотрении монтажных напряжений. В гл. 13 они
будут использованы при рассмотрении тонкостенных труб с кри-
криволинейной осью.
7.2. ДИСЛОКАЦИОННЫЕ СМЕЩЕНИЯ
В ОБОЛОЧКЕ ВРАЩЕНИЯ
Для оболочки вращения (рис. 7.2, см. также рис. 4.1)
а, = 6, а2 = ф, Ах = #! F), Л8 = Rt F) sin 6 = г (в),
е
г = J" #! sin 0, -^j- = z' = — #! sinG, -^ = r' cos9. G.5)
во
Пояс Эх ¦< Э ¦< ea представляет собой двухсвязную область, и
сумма в G.3) сводится к одному члену. В качестве дислокацион-
дислокационной функции выберем выражение
Ф1 = ф/2я, G.6)
316
Рис. 7.3
Эо
а за полюс примем некоторую точку оси Э
Зададим параметры дислокации в виде
u1 = u]fix + ujpy + их#г, со1 = coie* + co^ej, + coje*. G.7)
Из рис. 7.3 устанавливаются равенства
ея = (cos Эе! -\- sin Эп) cos ф — sin фе2,
Су = (cos Эе! + sin Эп) sin ф + cos фва,
ег = —sin Эв! -f cos Эп; G.8)
г _ г1 = (г cos 6 — г sin 9) ех + (г sin Э + г cos Э) п. G.9)
Подставляя полученные выражения в дислокационную часть
вектора смещений
иа = {и1 X «а1 х (г — г1)} ф/2я,
и учитывая, что
в! X ei = п, е, х п = еь п х et = е2,
получаем для компонент дислокационной части
2ява = {cos Э (cos q>«i + sin yuy) — sin 8«i +
sin 8 + 2 cos 8) (—sin фс^ + cos фЦ)} ф.
= {sin Э (cos tpujc -f sin yu},) -f cos 9uJ —
— (r cos 8 — 2 sin 8) (—sin фсо? + cos Фй^)} ф.
2na»d = {—sin q>u? + cos (pu? — (cos ц>ы], -f вШфсо^) г — rcoj} ф.
G.10)
317
Им отвечают горизонтальное и вертикальное смещения
2п«р = {cos ф«1 + sin ф«4 4-z (—sin ф©^ 4- cos ц>в>1)} ф, :
2пи? = {и\ -\- г (sin ф©1 — cos ф©»)} ф. G. li)i
По перемещениям G.10)'и равенствам п.'6.8 получаем выражения
для углов поворота (Ьа -*¦ Ъ, dp ¦*** ф)
2п№ = {—sin ^©i Ч-cos ф®?} ф, \
.. 2Я1|?а = {—COS Э (COSф«>? + 8П1 ф(Вр)!4-,81П 9©J} ф —
¦- —— {sin Э (cos ф«? + sin уив) 4- cos 9u« — ¦ ¦¦¦¦] .-
— (r cos Э — z sin 6) (—sin ф©Л 4- cos фго?)}, 1^7.12)
и компонент деформации
2nef = — {—sta ф«^ -{- cos q>uB — z (cos ф©* -{- sin ф©,) 4- ''«>J},
2n<a° = — {cos Э (cos ф«? 4- sin ф«4)*— sio 8a« 4-
(л sin e 4-г cos e)(—sin'
2nxf = -jj- {sin 9 (sin i
—2л cos 9 4- z sin 9) (cos tpatl 4- sin ф©?) 4- /" sin 9©i),
= -pr {sin 9 cos Э (cos ф«4 4- sin ф«,) 4- cos* ви\ 4-
4: sin 9 (r sin 0 4- z cos 9) (—sin фв»? 4- cos ф©„). G.13)
I
7.3. ФУНКЦИИ НАПРЯЖЕНИЯ ' ni >
ДИСЛОКАЦИОННОГО ТИПА . *
Пользуясь статико-геометрической аналогией, введем дисло- -|
кационные функции напряжения
п = 2 {п7 + а7 X (г - г7)} Ф7 (а1, а2) -f ?. G.14)
Здесь Ф'_(а!, а2) —те же, что и в п. 7.1 дислокационные функ-"*
ции, аи0 — однозначная часть вектора функций напряжения. Jt
Параметры ul, ©Л определяются через составляющие главного :;•
вектора и главного момента усилий и моментов, приложенных ;
к Г/. Действительно, при обходе /-го контура вектор G.14) полу-
получает приращение V. , .-¦,:•¦? -..:. 1
^Г[Г/ = i'+^ х (г — г7). G.16) j
318 =
Рассмотрим соотношение F.153),. Опуская в нем несуществен-
несущественную в рассматриваемом вопросе величину В*, получаем прира-
приращение вектора функций напряжения
«k GЛ6)
Обычно бывает удобнее иметь дело с моментом в{/), подсчитанным
относительно фиксированной точки г1. При этом, как нетрудно
видеть, и G.16) принимает Вид
"h = --gkr[Bb>-rxF'J- G-17)
Сравнение G.15) с G.17) дает
= —F', Ehcu' = —В{„ + г' х F1. G.18)
Обычно в задачах теории оболочек известны значения главных
векторов и главных моментов на каждом из их части чных_конту-
ров. Поэтому можно считать известными и параметры и/, а'.
Это дает возможность при использований функций напряжения
довольно просто выделять из искомого вектора функций напря-
напряжения и многозначную часть и формулировать краевые задачи
для однозначной части смещения и0.
При использовании же метода комплексных смещений ука-
указанный прием дает возможность в явном виде выписывать систему
функций Г*, Тг, ..., Н*, статически эквивалентную на каждом
контуре искомому решению. В результате этого искомые комплекс-
комплексные смещения отвечают самоуравновешёиной нагрузке на каждом
контуре. Сказанное было использовано при рассмотрении сосре-
сосредоточенных воздействий на оболочку [131].
Г л а в а 8
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
В этой главе показано, что общие теоремы теории упругости
остаются справедливыми и для теории оболочек, основанной на
гипотезах Кирхгофа. Рассматривается вопрос о единственности
решения и выводятся обеспечивающие последнюю варианты гра-
граничных величин. При этом делается предположение, что гранич-
граничный контур срединной поверхности 6Q является плавной замкну-
замкнутой кривой, а действующая на него внешняя нагрузка — само-
уравновешеина. При .нарушении этих условий отправляем чи-
читателя к гл. 14.
319
8.1. ТЕОРЕМА КЛАПЕЙРОНА.
ТЕОРЕМА ВЗАИМНОСТИ БЕТТИ
Пусть оболочка находится в равновесии под действием задан-
заданных поверхностных и краевых нагрузок. Подсчитаем работу этих
внешних сил на упругих перемещениях оболочки (последние
называют статически соответствующими дайной внешней на-
нагрузке)
J w + Mvv$v) dst. (8.1)
da
Заменим здесь ABpa, АВр^, рп, Qvv, QvU Qvn. Mvv их выра-
выражениями из равенств F.174) и F.175). Производя затем в обратном
порядке операции, 'аналогичные выполненным в разделе 6.4,
получаем
f G>о
о + Г„8р + Sa + Маха+МрХр+2Ят) АВdadp. (8.2)
Заменяя здесь усилия и моменты их выражениями F.176), полу-
получаем с учетом F.185) L = 2V. Отсюда следует равенство
составляющее теорему Клапейрона: накопленная оболочкой упру-
упругая энергия в процессе деформации равна половине работы внешних
сил на статически соответствующих им смещениях.
Наличие множителя 1/2 объясняется тем, что при квазистати-
ческом нагружении упругой оболочки (при котором в каждый
момент внешние силы можно считать уравновешенными упру-
гими внутренними) внешние силы изменяются постепенно — от
нуля до своего конечного значения. Поэтому действительная
работа внешних сил, перешедшая в энергию упругой деформации
оболочки, равна работе средних значений внешних сил (отсюда
и 1/2) на окончательных значениях смещений.
С теоремой Клапейрона тесно связана и теорема взаимности
Бетти. Пусть оболочка находится в равновесии под действием
некоторой системы внешних сил. Эти силы, а также отвечающие им
усилия и моменты, снабдим значком A). Введем другую аналогич-
аналогичную систему величин, снабжая ее значком B). Подсчитаем работу
внешних сил первой системы на перемещениях второй
L,, = J ДО V2) + PpV2> + р'1 W2>) АВdadp +
а
J ^ + QlM2) + QlV2) + JHJW) *,. (8.4)
da
320
Преобразования, аналогичные упомянутым выше, дают
¦ V 18™ 8й + 8™ 8й I + 8Ь 8й
А»] ЛЯ da dp +
+ v (xjW + кЬМ°) + «У Ч2) + 2 A - v) *(I V2)] ЛВ da dp. (8.5)
Полученное выражение симметрично относительно значков О
и <2). Отсюда следует, что для работы внешних сил второй системы
на смещениях первой L^ справедливо равенство
U = Z«, (8.6)
являющееся математической записью теоремы взаим-
взаимности Бетти: работа действующей на оболочку системы
внешних сил на упругих смещениях, статически отвечающих дру-
другой системе внешних сил, равна работе этих других сил на пере-
перемещениях, статически отвечающих первой системе.
8.2. ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ.
ОСНОВНЫЕ ВАРИАНТЫ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ
Пусть имеются два решения задачи теории оболочек, отвечаю-
отвечающие одним и тем же граничным условиям и поверхностной на-
нагрузке. Составим их разности
U = U — U ,. . ., / в = 1 а — 1 а ,• . ., Uw =
— м<2) — ы(|) f — ТB) — Т(|) (Я 7\
— l*V MV , • • • , ' VV — * VV 'VV'" \O.I /
Разность решений удовлетворяет нулевой поверхностной нагрузке
и однородным граничным условиям. Поэтому, используя теорему
Клапейрона, находим из (8.1), (8.3) и F.185)
) +
Eh с
f
12(f-v») I
Q
= f [Qvv«v + Qv«"* + QvnW + Mvv{fv] dst. (8.8)
&
Пусть однородные граничные условия таковы, что контурный
интеграл обращается в нуль. Тогда равна нулю и левая часть
И В. В. Новожилов и др. 321
равенства. Последнее в силу неотрицательности подынтегрального
выражения возможно лишь, если й, i>, d> — перемещения средин-
срединной поверхности, как жесткого целого. Таким образом, равенство
нулю контурного интеграла обеспечивает единственность (с точ-
точностью до возможного жесткого смещения) решения рассматривае-
рассматриваемой задачи. И наоборот, пусть два решения различаются не более
чем на жесткое смещение. Тогда ёв = ёа=...=т = 0и левая
и правая части равенства равны нулю, таким образом необходи-
необходимым и достаточным условием единственности решения рассма-
рассматриваемой задачи является обращение однородными граничными
условиями задачи в нуль контурного интеграла
J [Qvv"v + Qv*"* + QvnW + MVV6V] dSt = 0. (8.9)
a
a
Запишем условие (8.9) в виде
в
Согласно F.147) и F.143)
( (Uv. u + Mvvbv) dst = 0. (8.10)
о
да да да
= I (a>ttFv — &uPt ~\~ fttfin) d^u (8.11)
ei
и условие (8.10) принимает вид
'„ + 6VMVV) dst = 0. (8.12)
ей
Далее из выражения, предшествующего F.152), F.150), F.46)
и F.147) следует
~ = Afvvt - t X F, a, = -O,v + ^vt + и«п,
-^ •«« = Mvvbv + Каи + КК (8ЛЗ)
С помощью последнего выражения условие (8.12) записывается
в виде
да
Интегрирование по частям с учетом следующего из F.51) равенства
^L = щ = -w + *i,vt - >Ч»п (8.14)
322
дает
f (В-к*
вЬ
ас
или в развернутом виде
f
= 0,
- Ft г») dst = 0. (8.15)
Рассматривая подынтегральные выражения в трех формах
условия единственности (8.9), (8.12) и (8.15), приходим к трем
группам энергетических пар величин:
j Qvv П П ЛА
Uv ' lUt ' W uv
„ F-» Ft Fn Alv,
».,.» ...» a ; (8-16)
Ш *\ B' , *» , f< . (8.18)
На каждую пару можно смотреть как на обобщенную силу и от-
отвечающее ей обобщенное смещение.
Первая группа величин хорошо известна и широко исполь-
используется в теории оболочек. Величины, входящие во вторую группу,
используются при решении задач о деформации пластин методами
теории функции комплексной переменной. Особенно интересным
является использование деформационных граничных условий, фор-
формулируемых в терминах величин х«, xJv, x<n, е«. Примером здесь
может служить условие ясесткого края
*tt = *tv = *t» = 0, е„ = 0. (8.19)
Деформационные величины естественным образом используются
при упругом сопряжении оболочек между собой и с подкрепляю-
подкрепляющими элементами (см. [108, 175]).
В случае многосвязной области на каждом из частичных кон-
контуров следует дополнительно задавать: при использовании вели-
величин (8.17) — жесткое смещение контура либо главный вектор
краевых усилий; при использовании величин (8.18) — жесткие
смещения и повороты или главные вектор и момент сил и моментов,
приложенных к частичному контуру (см. гл. 14).
Обычно из каждой энергетической пары граничных величин
задается одна и только одна. Такие граничные условия будем
называть обычными. Примером их может служить условие жест-
жесткого края (8.19), отличающееся от условия заделки возможностью
смещения частичного контура как жесткого целого.
Обычные граничные условия не исчерпывают все варианты
граничных условий. Так, например, в теории оболочек часто
11« 323
используются условия упругой заделки. Переходя к ним, ограни-
ограничимся рассмотрением лишь таких упругих опор, для которых
(8.20)
и потенциал обобщенных краевых сил представим в виде!
R = -j- [аи"?,1 + 2al2uvut + 2ai3uvw + 2a14uv^v + a22«? +
(8.21)
так что, по (8.20),
—Afvv = altuv + ^«j + auW + а44^. (8.22)
Будем также считать, что эта система всегда однозначно разрешима
относительно обобщенных смещений, так что
—Щ —
—w = 1SQVV + asQvj + jisQvn + S4vv,
—Ov = b14Qvv + buQvi + ibQn + 644^vv (8.23)
и, наконец,
*—тег- "—тег-
(8.25)
Однозначное обращение (8.22) гарантировано, если R (и /?)
положительно-определенные квадратичные формы. При этом ра-
равенство R = 0 (R == 0) влечет за собой «v = щ = га» = 0, dv ==
= 0 (Qvv = Qvj = Qvn = 0, Mvv = 0). Наложенные на упругие
свойства опор ограничения обычно выполняются. С помощью
выписанных соотношений непосредственно проверяется, что
Qw«v + Qvtut + Qvnw + М VVOV = —2R = —2^. (8.26)
Полученное равенство позволяет доказать единственность ре-
решения при условии упругой заделки рассмотренного типа. В са-
самом деле, для разности решений
В v — Uv tlv ,••¦, Qw — w Qvv 1 •
справедливо соотношение
Qvv«v + Qvtk + Qv> + Mvv0v = -2R (uv, Ut, W, 0v).
При этом необходимое и достаточное условие единственности
решения (8.9) принимает вид
f R (uv, щ, w, bv) dst = 0. (8.27)
да
В силу предположенной положительной определенности квадра-
квадратичной формы R отсюда следует
uv = щ = w = 0, Ov = 0,
и единственность доказана.
Некоторые дополнительные соображения по рассмотренному
вопросу изложены в ([210], стр. 123). Там же рассмотрены экстре-
экстремальные принципы, двусторонние оценки, различные вариацион-
вариационные уравнения (в том числе вариационное начало комплексного
варианта теории оболочек).
Глава 9
БЕЗМОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ
Ниже мы рассмотрим с более общих, чем в гл. 2, позиций неко-
некоторые основные вопросы применения безмоментной теории оболо-
оболочек. Безмоментная теории значительно проще моментной. Кроме
того, для достаточно широкого класса оболочек и нагрузок она дает
правильное представление о работе тонкостенной конструкции.
Наконец, близость напряженно-деформированного состояния к
безмоментному свидетельствует об удачном конструировании и
рациональном использовании материала оболочки. Этим, соб-
собственно, и объясняется то большое внимание, которое уделялось
и уделяется безмоментной теории. Исторически безмоментная
теория предшествовала моментной. Поэтому долгое время она раз-
развивалась вне связи с последней. В настоящее время, когда момент-
ная теория получила достаточное развитие, более или менее обще-
общепринятым является взгляд на безмоментную теорию, как на при-
приближенный прием нахождения решения общей (моментной) теории.
Наиболее трудным и до настоящего времени полностью не
выясненным является вопрос об условиях применимости и оценке
погрешности безмоментного решения. Здесь, как представляется,
следует четко разграничивать два вопроса.
1. Когда можно использовать безмоментное решение в качестве
частного решения моментной задачи?
2. При каких условиях (в случае, если на первый вопрос следует
положительный ответ) его можно рассматривать как полное
325
(общее) решение моментной задачи?
Другими словами, можно ли, распоряжаясь присущим без-
моментному решению ограниченным произволом, удовлетворить
граничным условиям рассматриваемой задачи? Ко второму вопросу
примыкают и обратные задачи безмоментной теории (подбор формы
срединной поверхности, закона изменения толщины, бортовых
элементов).
Предполагаемое расчленение вопроса об условиях примени-
применимости безмоментной теории позволяет глубже вникнуть в природу
этих двух по своему содержанию совершенно различных вопросов
и сформулировать более полные, чем существующие, критерии
применимости безмоментной теории.
Во избежание путаницы уточним прежде всего терминологию.
а) Будем говорить, что в оболочке имеет место безмоментное
напряженное состояние, если напряжения от усилий значительно
превосходят напряжения от моментов, т. е. если
h
ст. =
h»
6MP
6Я
Таким образом, в безмоментном напряженном состоянии мы
допускаем существование малых моментов.
б) Особо выделим безызгибное состояние, понимая под ним слу-
случай, когда
хо = хр = ч? = 0, (9.2)
и, стало быть,
Ма = М3 = Н = 0. (9.3)
в) Смешанным (его иногда называют моментным) будем назы-
называть напряженное состояние, при котором напряжения от усилий
и моментов являются величинами одного порядка!
{<Ута, oVp. ors}~{orKe, Ощ, он). (9.4)
г) Сильномоментным назовем напряженное состояние, харак-
характеризуемое сильными неравенствами:
\оТа, %, cts} С [аМа, огМр, огн}. (9.5)
д) Важным частным случаем последнего является чистоизгиб-
ное напряженное состояние, для которого
га = ев = © = 0, (9.6)
и, стало быть,
Та = 7„ = S = 0. (9.7)
326
9.1. БЕЗМОМЕНТНОЕ РЕШЕНИЕ КАК ПРИЕМ
НАХОЖДЕНИЯ ЧАСТНОГО РЕШЕНИЯ
ОБЩЕЙ (МОМЕНТНОЙ) ТЕОРИИ
Исходной для безмоментной теории является система уравне-
уравнений (см. п. 6.8)
дАЧ , 1 ад*д* за т
pa - 2kafiS' + keT'e = pn, (9.8)
полученная путем отбрасывания моментов в уравнениях рав-
равновесия:
дВТа . 1 dA*S дВ т . . /дВМа 1 дА*Н дВ .. \
(9.9)
По найденным из уравнений (9.8) безмоментным усилиям
Та, Т$, S* отвечающие им смещения определяются из соотноше-
соотношений закона Гука
о д
~Г~да
Перемещениям и*, v*, w* отвечают компоненты изгибной дефор-
деформации
..• _ д Jto* 1 дА dw* , д
ав ар
327
- 1 / Э'а>* 1 дА dw* l_IE-
ЧГ~ АВ \ да 30 Л dp da В 5а
ди* \ дА ,л\ . . ( dv* \ дВ
Последним же соответствуют моменты
12(f-v»)
Покажем, что построенные таким путем решения дают, вообще
говоря, возможность положительно ответить на первый вопроо
(т. е. могут быть приняты в качестве частных решений моментной
теории), если выполняются следующие условия!
а) кривизны ka, k$, ka$ и толщина h (a, P) — плавные, сущест-
существенно не возрастающие при дифференцировании функции;
б) поверхностная нагрузка плавная;
в) оболочка не слишком полога и ее линейные размеры являются
величинами одного порядка о радиусами кривизны (по крайней
мере, с одним из них).
Действительно, пусть
{А, В, k*\ Щ\ k$\~Ra, {pai рэ, рп\~р, (9.13)
где Ro — некоторый характерный размер срединной поверхности.
Из соотношений (9.8) и (9.10) видно, что
{П, П, S'\~Rop, К, eg, в>'\ ~ Rop/Eh. (9.14)
Решение системы (9.10) можно представить в виде
и* = и» + иь, и* = vp + vb, w* = wp + wb, (9.15)
где ир, v", w" — некоторое частное решение, а иь, и6, tsfi — реше-
решение соответствующей однородной системы.
Решение однородной системы дает чисто изгибные смещения обо-
оболочки и ее перемещение как жесткого целого. Реальные гранич-
граничные условия обычно ограничивают величины перемещений чистого
изгиба так, что их порядок не превосходит порядка величин и",
V, w". Во всяком случае при рассмотрении интересующего нас
вопроса (частное решение) всегда можно ограничить иь, о6, до*
и считать (как следует из (9.10))
{и*, У», &\~R\plEh. (9.16)
Далее из (9.11), (9.12) находим
К, «р, *\~р№, {М'а, Ml Н'\~пгр. (9.17)
328
Из полученных выше соотношений прежде всего следует]
\-р. (9.18)
Поскольку для тонких оболочек (Rolh)^>\, последние равенства
показывают, что при использовании указанного пути мы приходим
к безмоментному напряженному состоянию (см. критерий (9.1)).
Остается проверить, в какой степени построенное решение
удовлетворяет уравнениям общей (моментной) теории. Прежде
всего уравнения неразрывности выполнены точно, поскольку нами
фактически найдены перемещения и = и*, v — v*, w = w*. Про-
Проверим выполнение уравнений равновесия (9.9). Для этого подста-
подставим в них подсчитанные усилия и моменты. Уравнения равновесия
при этом принимают следующий вид:
Согласно полученным оценкам (9.13), (9.14) и (9.17) члены, входя-
входящие в левые части, как и первые слагаемые правых частей, имеют
порядок ~Rop- Подчеркнутые же поправочные члены, обусловлен-
обусловленные «безмоментными» моментами, имеют порядок h2p. Таким обра-
образом, равенства (9.19) показывают, что уравнения равновесия
общей (моментной) теории удовлетворяются ценой мизерного
(на величину порядка (h/R0J по сравнению с 1) изменения поверх-
поверхностной нагрузки.
Поскольку речь идет о частном решении, требование плавности
геометрии оболочки и поверхностной нагрузки не исключает воз-
возможности их скачков на отдельных линиях. В этих случаях необ-
необходимо разбить оболочку на части, где эти величины непрерывны,
и рассматривать каждый такой кусок отдельно.
9,2. ОСОБЕННЫЕ СЛУЧАИ
Рассуждения предыдущего параграфа показали, что сформули-
сформулированные там требования к геометрии оболочки и поверхностной
нагрузке а), б) и в) обеспечивают, вообще говоря, возможность за-
заимствования частного решения из безмоментной теории. Как видно
из проделанного выше анализа, исключение могут представлять
случаи, когда построенные смещения и отвечающие им компоненты
изгибной деформации и моменты принимают неограниченные значе-
значения при некоторых значениях а, {$. Последнее же при выполнении
условий а), б) и в) может быть связанным лишь с особенностями
геометрии оболочки.
Просматривая соотношения предыдущего параграфа, видим,
что в них входят кривизны ka, kfl, fcap. Обращаться в бесконечность
они не могут, поскольку при построении теории тонких оболочек
предполагалось {hka, hkf, hkafi} <^ 1. Поэтому из рассмотрения
329
должны быть прежде всего исключены особенные точки типа вер-
вершины конической оболочки и им подобные. В окрестности таких
точек, по существу, имеет место объемное напряженное состояние,
не описываемое уравнениями теории тонких оболочек.
Поэтому рассмотрению подлежат лишь окрестности точек, в
которых нормальные кривизны оболочки равны нулю (окрестности
асимптотических линий). В таких точках в уравнениях выпадают
некоторые члены, что (как увидим ниже) может привести к беско-
бесконечным значениям для смещений. К особенным следует отнести
и бесконечно удаленные точки, если таковые имеются.
Учитывая сказанное, отнесем предварительно к
особенным точкам срединной поверхности 1:
1) точки, в которых обращается в нуль какая-либо из нормаль-
нормальных кривизн срединной поверхности;
2) бесконечно удаленные точки области.
К окрестностям особенных точек будем относить точки средин-
срединной поверхности, в которых какая-либо из нормальных кривизн
принимает малое значение, а также точки, достаточно далеко
удаленные.
Рассмотрим вначале несколько простых, но поучительных
примеров.
Пример 1. Рассмотрим пластину. Поскольку для нее ka =
= fcp = kap = 0, третье из уравнений (9.8) показывает, что для
пластины поперечная нагрузка (с„ Ф 0) не может быть уравнове-
уравновешена безмоментным образом. Этот хорошо известный факт иллю-
иллюстрирует особенную точку типа 1). Очевидно, что утверждение
справедливо и для очень пологих оболочек, все точки которых можно
считать окрестностью особенной (ее уместно называть плоскост-
плоскостной).
Пример 2. Рассмотрим замкнутую цилиндрическую оболочку
произвольного очертания а = \, р* = r\, Re = г (ri), А — В = г0,
R^1 = 0. В случае, если поверхностной нагрузкой является равно-
равномерное нормальное давление, соотношения безмоментной теории
принимают вид:
M --^-.^.G7-vn),
-'u»« - Eh
ди*
* В п. 9.3 определение особенных точен будет уточнено.
330
4 ¦—*?-+-?•(¦=•), #•-
Здесь р (т]) = r (r\)/r0, где /¦„ — средний радиус обечайки.
При обычном варианте граничных условий
Г, = 0, v = 0, при g = 0, g = g0 = L/r0 (9.23)
(L — длина оболочки) находим из (9.20) — (9.22) следующие
выражения для усилий и смещений!
(9-24)
(9.25)
Из выписанных соотношений видно, что для некруговых сече-
сечений построенное решение становится непригодным для очень длин-
длинных оболочек. Чтобы разобраться, в чем тут дело, подсчитаем по
(9.25) компоненты тангенциальной и изгибной деформации:
J?-a>* = 2(l+v)p*(-!^-l); (9.26)
-f- rQxf = - 2рр" - 4-1 (I ~ lo) PP<IV>,
1
- 4- g (Is - 2?0?« + ID [(PPAVT + (-f-У] ,
- D- s8 - 4- So^2+-w в:) [(pp(IV))'+-t
Сравнивая между собой выражения (9.26) и (9.27), видим, что по
мере удлинения оболочки (роста g0) деформация принимает все
331
более и более выраженный изгибный характер, несмотря на то,
что чистоизгибные компоненты деформации ограничены граничным
условием (9.23).
Если подсчитать по формулам (9.12) моменты и подставить их в
уравнения равновесия
? + ^ = 0' (9-28)
dS | дГ» | l (дМ* Л9 дН
то нетрудно убедиться, что при удлинении оболочки роль момент-
ных членов все более возрастает. При этом, поскольку подчеркну-
подчеркнутые в (9.27) члены становятся доминирующими, определяющими
моментами будут Мш и
Мх ~ vMa. (9.30)
Последнее равенство характерно для полубезмоментной теории
цилиндрических оболочек (см. [130]).
Таким образом, безмоментная теория, приводя в рассматривае-
рассматриваемом случае к неправильным соотношениям, дает, вместе с тем, и
качественно верное указание на то, что в оболочке имеет место
полубезмоментное напряженное состояние. Последнее полностью
согласуется с нашими представлениями о работе длинной цилин-
цилиндрической оболочки. Действительно, никакие граничные условия
(в том числе и нетангенциальные) не могут серьезно повлиять на
напряженное состояние вдали от краев. Поэтому в достаточном
удалении от краев устанавливается напряженно-деформированное
состояние (полностью определяемое нагрузкой и видом срединной
поверхности), сходное с тем, какое имеет место в кольце под дей-
действием равномерной нормальной к оси нагрузки. Если ось кольца
отлична от дуги окружности, нагрузка (поскольку жесткость коль-
кольца на изгиб значительно меньше его жесткости на растяжение)
будет разгибать кольцо, и в нем возникнет сильномоментное
напряженное состояние (см. критерий (9.5)).
Из сказанного следует, что причиной неправильного результата
явилось игнорирование действительно имеющегося в оболочке
полубезмоментного напряженного состояния, выразившееся в
необоснованном отбрасывании в уравнениях равновесия некоторых
существенных моментных членов.
Пример 3. Рассмотрим, наконец, симметрично нагруженную
круговую торообразную оболочку (рис. ИЛ), безмоментные урав-
уравнения для которой (см. [210])
Т'+ 1+?,!!, в7?-** <9-31>
332
имеют легко проверяемое следующее решение]
е
С + аЬ [ (р„ cos 9 — Pi sin 9) A + a sin 9) dQ
ГУ— °
1 а A+a sin 9) sin 9 '
6
C+ab |(pncos9 —
r. _ I + astn9 о
af)n Ш?Ъ
(9.32)
При поверхностной нагрузке — равномерном нормальном давле-
давлении —
Pi —0, рп = Р = const, (9.33)
и согласно (9.32)
г. _ bp 2 + asin9 С т, __ Ьр С
1 ~~ 2 l+asing" a A+a sin 9) (sin 9) ' i2 2 usin'O'
(9.34)
Из полученных соотношений прежде всего усматривается оче-
очевидное необходимое условие применимости безмоментной теории
С = 0, (9.35)
обеспечивающее конечность усилий. Оно имеет простой статиче-
статический смысл. Действительно,
С = —Е-**»
где F\ — суммарная осевая сила, действующая на параллельном
круге 6 = 0. Из рис. 11.1 видно, что в этом сечении вертикальная
нагрузка не может быть воспринята усилием 7\. Она может быть
уравновешена только лишь перерезывающим усилием Qln. Дру-
Другими словами, при наличии осевой силы тангенциальные безмо-
ментные усилия не могут обеспечить равновесие оболочки в целом.
Отражением этого обстоятельства и является появление бесконеч-
бесконечных усилий. Отсюда вытекает необходимость выполнения условия
(9.35) — условия отсутствия в сечении 6 = 0 (9 = л) осевой силы.
Однако выполнение этого условия далеко еще не обеспечивает
существование безмоментного решения. В этом мы убеждаемся,
подсчитывая компоненты изгибной деформации. Действительно,
для симметрично нагруженной торообразной оболочки (см. [210])
Ж <?* - *™ (9-36)
cosO д, ,q o7\
* (Э37)
д q 7
a(l+asin9) * * (Э'37)
333
Здесь Up — горизонтальное смещение, а
угол поворота касательной к меридиану.
Из соотношений (9.36) находим, используя первое из уравне-
уравнений (9.31),
В рассматриваемом случае равномерного нормального давления
ctge
1+aslnG *
Отсюда и из (9.37) видно, что при 6 -*¦ О F ->¦ я) угол поворота,
подсчитанный по безмоментной теории, а с ним и компоненты
изгибной деформации бесконечно возрастают.
Таким образом, в окрестности особенных точек тора изгибная
деформация играет значительную (при рассмотренной поверх-
поверхностной нагрузке) роль. Поэтому заимствование частного решения
из безмоментной теории становится незаконным. Отметим, что это
заключение остается в силе и для другого практически важного
вида поверхностной нагрузки — центробежной силы
рр = Ва A + « sin 9), pt = 0. (9.41)
В этом нетрудно убедиться, подсчитав с помощью соотношений
(9.39) угол поворота по соответствующим безмоментным усилиям:
Т\ = 0, Т\ = Ва1 A + a sin 9)J. (9.42)
Может создаться впечатление, что в торообразной оболочке не
может существовать безмоментное напряженное состояние. Это не
так. Нетрудно указать целый класс поверхностных нагрузок, для
которых изгиб оболочки осутствует. Действительно, для этого
согласно (9.37) и (9.38) достаточно потребовать, например, выпол-
выполнения равенства
**-0, т.е. и* = ~. (9.43)
В частности, полагая
ы; = с, ы; = о, (9.44)
т. е. считая, что при деформации меридиональное сечение, не иска-
искажаясь, испытывает радиальное смещение, находим
Используя теперь закон Гука и уравнения равновесия, убеждаем-
убеждаемся, что данная деформация возникает под действием следующей
несколько «экзотической» нагрузки)
_ Eh с а cos 6 Eh с v+(l+v)asln6
Л — i_v» аь (l+aslnGI' Рп ~ T^v1 ab (l+
334
Эта поверхностная нагрузка обеспечивает не только безмомент-
ность оболочки, но и несколько большее — безызгибность напря-
напряженного состояния (см. (9.2)).
Рассмотренные примеры подтверждают высказанное ранее
предположение о том, что появление особенных точек может быть
обусловлено как локальными свойствами геометрии срединной
поверхности, так и бесконечностью области.
9.3. КРИТЕРИИ БЕЗМОМЕНТНОСТИ
ЧАСТНОГО РЕШЕНИЯ
Помимо только что рассмотренных примеров в [210]
(стр. 197—209) было проведено более обстоятельное обследование
особенных точек. Его результаты (не претендующие, конечно,
на какую-либо математическую строгость) позволяют уточнить
данные в п. 9.1 условия применимости безмо-
ментного решения в качестве частного ре-
решения общей моментной задачи:
а) геометрия оболочки плавная (кривизна срединной поверх-
поверхности и толщина оболочки плавные, существенно не возрастающие
при дифференцировании функции);
б) поверхностная нагрузка плавная;
в) срединная поверхность не содержит окрестностей особенных
точек.
При этом к особенным точкам срединной поверх-
поверхности следует относить.
1. Плоскостные точки, т. е. точки, в которых обращаются в
нуль все нормальные кривизны (ka0 = &ро = ^оэо = 0). В окрест-
окрестности плоскостной точки нормальная составляющая поверх-
поверхностной нагрузки не может быть уравновешена безмоментным обра-
образом. Как окрестность плоскостной точки могут рассматриваться
очень пологие оболочки.
2. Переходные точки, т. е. точки на асимптотической линии,
при переходе которой гауссова кривизна меняет энак, имея на
самой линии нуль первого порядка.
3. Бесконечно удаленные точки. При этом наличие таких точек
не связано со знаком гауссовой кривизны срединной поверхности.
Важно только, чтобы она имела бесконечное протяжение в каком-
либо направлении.
Поскольку четко оговорено, что следует понимать под особен-
особенными точками, сформулированные условия могут рассматриваться
как достаточные. Их, конечно, нельзя считать (в том смысле, как
это делается в математическом анализе) необходимыми. Так, напри-
например, оболочка в окрестности плоскостной точки может при отсут-
отсутствии нормальной поверхностной нагрузки работать в безмомент-
ном напряженном состоянии. Для переходных точек заимствование
частного решения из безмоментной теории возможно при выполне-
выполнении некоторого условия ([210], стр. 199). В примере 2 бесконечно
335
длинная цилиндрическая оболочка может быть рассчитана на рав-
равномерное нормальное давление, коль скоро она имеет круговое
очертание. Точно так же очень длинные оболочки других типов
могут работать в безмоментном напряженном состоянии при спе-
специально подобранных для них видах поверхностной нагрузки.
9.4. О ВОЗМОЖНОСТИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ
БЕЗМОМЕНТНОГО РЕШЕНИЯ В КАЧЕСТВЕ
ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ МОМЕНТНОЙ ТЕОРИИ
Пусть для рассматриваемой задачи выполняются критерии
предыдущего параграфа. Другими словами, частное решение
рассматриваемой задачи может быть заимствовано из безмоментной
теории. Сразу же напрашивается вопрос, можно ли, распоряжаясь
довольно ограниченным произволом безмоментного решения,
удовлетворить граничным условиям моментной задачи?
Для того чтобы прояснить этот в общей постановке непростой
вопрос, посмотрим прежде всего, каким граничным условиям
нельзя удовлетворить безмоментным образом.
1. Ограничиваясь рассмотрением обычных граничных усло-
условий, при которых, напомним, из каждой пары величин обобщен-
обобщенная сила — обобщенное смещение
vv — ¦» vv R t ' v*
(9.47)
задается одна величина.
В п. 9.1 мы убедились, что безмоментному решению отвечают
пренебрежимо малые моменты и перерезывающие усилия. Отсюда
следует, что безмоментное решение приближенно удовлетворяет
следующим принудительным статическим граничным условиям:
Qvn = 0, М tv = 0. (9.48)
Тем самым для обычных граничных условий мы лишены возмож-
возможности задавать на краю оболочки отвечающие этим величинам
обобщенные смещения w*, dj.
Таким образом, в рамках безмоментной теории мы можем удов-
удовлетворить лишь статическим и геометрическим граничным усло-
условиям, задавая по одной величине из каждой пары
Q» Т1* • /")*. • Т1*. /О ЛОЛ
«v «?
Но даже и этим граничным условиям (как выяснится ниже) мы
зачастую не можем удовлетворить.
2. Как уже говорилось в п. 9.1, две произвольные функции в
безмоментном решении появляются при интегрировании системы
336
(9.8), а две — (9.10). Последние являются решением однородной
системы
еа = е9 = ш = 0 (9.50)
и являются, тем самым, чисто изгибными смещениями. В част-
частности, они могут быть перемещениями оболочки как жесткого
целого. Из сказанного следует, что, распоряжаясь произвольными
функциями безмоментного решения, мы можем удовлетворить
четырем геометрическим граничным условиям и только двум
статическим.
Напомним сказанное на стр. 88: «Принудительность задания
половины краевых условий в перемещениях имеет следующий
физический смысл: ... оболочка, не сопротивляющаяся изгибу,
является не жестким телом, а механизмом, свободно допускающим
смещения, соответствующие чистому изгибу. Надлежащим тан-
тангенциальным закреплением краев такие смещения, как правило,
могут быть устранены, т. е. оболочка может быть превращена в
жесткую систему. Для этой цели предназначены и должны быть
использованы ... «принудительные» граничные условия ...».
3. Только что рассмотренный вопрос тесно связан с единствен-
единственностью решения безмоментной задачи. Действительно, пренебрегая
в соотношениях (8.8) моментами и перерезывающими силами,
приходим к интегральному равенству
+ Qw«J) dst. (9.51)
Здесь, как и в п. 8.2, значок (•) обозначает, что помеченные им
величины отвечают разности двух решений безмоментной задачи,
например,
Пусть граничные условия обычные. Тогда, очевидно, равны
нулю контурный интеграл и интеграл по области. В силу неотри-
неотрицательности подыинтегрального выражения отсюда следует:
•* •• •* п * A) • B) • A) • B) * A) • B)
вв = ер = © = 0, т. е. еа 1 ' = ва1 ', ер 1 ' = ер 1 ', а> 1 ' = <» 1 '
r;(t) = r;B>, r;(t> = r;B>, 5*(i> = 5*B>. (9.52)
Что касается смещений, то согласно (9.52) они могут отличаться
друг от друга лишь на смещении чистого изгиба. Если геометри-
геометрические условия таковы, что устраняют чистый изгиб, то совпадают
и смещения. А тогда решение единственно.
337
4. Рассмотренный выше вариант граничных условий, конечно,
не единственный. Если ввести векторы
то контурный интеграл в (9.51) может быть записан следующим
образом!
JU-i'ds,. (9.53)
Отсюда следует, что единственность решения (со сделанными выше
оговорками) гарантируют граничные условия!
где ? и i\ — взаимно ортогональные направления.
Можно получить и другие варианты граничных условий. Так,
записывая (9.53) в виде
/*= f(&vV + &/t).ih&, (9.54)
га
и заменяя v вытекающим из E.51) его выражением
__ _
V ~ Pt dst ptRt П'
получаем, интегрируя по частям,
С помощью равенств F.47) и F.41)
.dii . dii* , . , *
и /* можно придать следующую окончательную форму:
из которой видно, что величины
и? иГ = ы:+^.^1 (9.55)
могут рассматриваться как отвечающие друг другу обобщенные
силы и смещения.
Совершенно аналогично, заменяя в (9.54) / его выражением из
E.61)
t LJl !_n
1 Pi dH PtRvt П>
338
получаем еще один вариант обобщенных сил и смещений:
Из полученных выражений видно, что они применимы лишь в
случае, когда pt Ф 0, т. е. граничный контур не совпадает с геоде-
геодезической линией. Для случаев, когда контур совпадает с р-ли-
нией, согласно E.80), E.147) (у =0)
1 дВ n n d 1 д
В частности, для оболочек вращения, ограниченных параллель-
параллельными кругами (см. [207]),
COS в
ди' (q ,
Для пологой сферической оболочки (cos 0 « 1) величины
(9.58)
были получены в интересной работе Э. Рейсснера [280] (см. также
и [157]).
5. Между безмоментным (точнее, безызгибным) и чисто-изгиб-
ным состояниями * существует тесная связь. С помощью статико-
геометрической аналогии можно показать, что каждому бесконечно
малому изгибанию поверхности отвечает некоторое безмоментное
напряженное состояние, и наоборот. Подробно об этом сказано в
работах [9, 42, 152]. Ниже мы ограничимся рассмотрением лишь
одного необходимого здесь проявления этой связи.
Пусть в соотношениях п. 8.1 величины со значком <2> отвечают
чистоизгибным смещениям, а с <•> — безызгибному напряженному
состоянию, т. е.
(9.59)
1 Геометры называют его бесконечно малым изгибанием поверхности.
339
Приравнивая выражения
(8.4) к (8.5), получаем,
меняя значки и учитывая
равенства (9.59),
4- jQv'UBds/ = O, (9.60)
где теперь
Рнс. 9.1 Q» =
Из равенства (9.60) следует необходимое условие раз-
разрешимости уравнений безмоментной теории: действующая на
оболочку внешняя нагрузка не должна совершать работу на лю-
любых чистоизгибных (конечно, геометрически допустимых) пере-
мещениях оболочки.
В частности, если принять в качестве ив вектор жесткого сме-
смещения (так называемое тривиальное изгибание)
то в силу произвольности (постоянных) векторов и0 и ш° из (9.60)
следуют хорошо известные условия равновесия срединной поверх-
поверхности как жесткого целого;
Q
f CUds, = O,
f (г - r0) x qAB da dp -f f (r - rD) x Qv dst = 0.
а во
(9.61)
Вернемся к условию (9.60). Как уже было сказано, для каждой
конкретной оболочки оно выделяет классы внешних нагрузок, не
производящих работы на геометрически допустимых перемеще-
перемещениях чистого изгиба. Если внешняя нагрузка удовлетворяет этому
условию при некоторой форме чистого изгиба, то, казалось бы,
можно и не налагать на края оболочки дополнительных связей,
устраняющих данную форму чистого изгиба. Однако это не так,
поскольку такое «безмоментное равновесие» не является устой-
устойчивым. Достаточно появиться незначительной по величине слу-
случайной нагрузке, производящей работу на данной форме чистого
изгиба, как оболочка теряет возможность безмоментным образом
уравновесить эту нагрузку. Это тем более важно, что обычно мы
лишь приближенно знаем действительно действующую иа оболочку
нагрузку.
Поясним сказанное на простом примере. Для этого рассмотрим
замкнутую круговую цилиндрическую оболочку (рис. 9.1), свобод-
свободную от поверхностной нагрузки. Решая систему уравнений
ди п dv . п ди , до
0 ге + ю О ''Co +
340
получаем выражения для перемещений чистого изгиба
и = щ (ф), v = — ?и6 (ф) + »о (ф), w = \и"й (ф) — об (ф),
где, если не ставить геометрических граничных условий, ы0 (ф) и
°о (ф) — произвольные периодические функции. Для рассматри-
рассматриваемого случая условие (9.60) принимает вид:
2Я
J \ Т\ (Ф) и* (Ф) + 5+ (Ф) [- ?о«6 (Ф)] \ dp -
- f
2Л
| П (Ф) "о (Ф) + 5" (ф) vo (Ф)} dp = 0, (9.62)
/ П (ф) = П (О, Ф), П (Ф) = П (go, Ф) \
\ 5" (ф) = 5* @, ф), 5+ (Ф) = S* (Ее. Ф);
Примем статические граничные условия
5+ = 5" = 0. (9.63)
Тогда равенство (9.62) упрощается
2л
= 0 (9.64)
и из него в силу произвольности ы0 (ф) следует
П(Ф) = П(Ф).
(В рассматриваемом простом случае это равенство можно получить
и непосредственно, интегрируя систему
решением которой служат выражения:
П = 0, 5' = 50 (ф), Т\ = - 15о (ф) + Го (Ф). (9.65)
В самом деле, подчиняя последние условиям (9.63), получаем
П(Ф) = П(Ф) = ГО(Ф)). (9.66)
Рассмотрим подробнее случай, когда
0. (9.67)
Нетрудно видеть, что для такой нагрузки условие (9.60) или, что
то же, (9.64) нарушается, например, для следующей формы чис-
чистого изгиба;
и F, Ф) = /С[П(Ф)-П(ФI, (К = const). (9.68)
В соответствий со сказанным выше неравенство нулю рассмат-
рассматриваемого интеграла означает, что внешняя краевая нагрузка
(9.67) совершает работу на чистоизгибном смещении (9.68). Дру-
341
гими словами, оболочка не может сопротивляться этому изгибу
безмоментным образом. Нарушается сформулированное необхо-
необходимое условие разрешимости безмоментной теории, и равновесие
оболочки не может быть осуществлено «без введения в игру»
моментов и перерезывающих усилий. К этому же выводу приводит
и вид решения (9.66), сигнализирующий о невозможности без-
моментного решения рассматриваемой задачи. Читателю рекомен-
рекомендуется рассмотреть эту поучительную задачу в моментной поста-
постановке, например, при следующих граничных условиях!
S+(ф) = S" (ф) = О,
w (О, Ф) « w A0, Ф) « О, О, (О, Ф) « fli (Ео, Ф) « О,
удовлетворяющих условиям равновесия оболочки в целом.
Совершенно иная картина будет в случае, если геометрические
граничные условия устраняют перемещения чистого изгиба. Как
уже говорилось выше, в этом случае условие (9.60) сводится к ес-
естественному требованию самоуравновешенности внешней нагрузки.
Если же граничные.условия устраняют и перемещения оболочки
как жесткого целого (тривиальное изгибание), то на внешнюю
нагрузку вообще не накладываются никакие условия. Она автома-
автоматически уравновешивается реализующими закрепление опорными
реакциями. На практике всегда стараются надлежащим закреп-
закреплением краев устранить перемещения чистого изгиба.
В заключение еще раз подчеркнем, что условие (9.60) необхо-
необходимо, но недостаточно даже для формальной разрешимости урав-
уравнений равновесия при заданных граничных условиях. В этом,
в частности, можно убедиться и с помощью рассмотренного при-
примера. Действительно, нетрудно непосредственно убедиться, что
внешняя нагрузка
и S* = 5" = 0, ?, - <72 - Яп = 0 (9.69)
при геометрических граничных условиях
= 0 (9.70)
удовлетворяет уравнению (9.62). Но такое безмоментное состояние
согласно (9.65) не может быть реализовано ни при каком выборе
функций 50 (ф) и То (ф).
6. Рассмотрим оболочки, у которых граничные контуры сре-
срединной поверхности совпадают с асимптотическими линиями.
Известно (см., например, [210], стр. 203, 217), что для оболочек
нулевой гауссовой кривизны все произвольные
функции в безмоментном решении зависят от координаты а2.
Таким образом, при совпадении границы с асимптотической линией
(вдоль которой меняется координата а1) нельзя удовлетворить ни
одному граничному условию.
Для оболочки отрицательной гауссовой кри-
кривизны только две из произвольных функций зависят от а1.
S42
Поэтому на асимптотах можно удовлетворить лишь двум граничным
условиям. Там же установлено, что на переходной асим-
асимптотической линии (имеющей, например, место на
торообразной оболочке при 8 = 0, я) можно удовлетворить лишь
одному граничному условию.
Что же касается очень длинных оболочек, то
для них решения однородных безмоментных уравнений непосред-
непосредственно не применимы. Дело в том, что эти решения не обладают
таким важным атрибутом моментных решений, как затухание при
удалении от границы. Однако, как будет показано в п. 10.10,
безмоментные уравнения могут быть использованы и в этом случае.
7. Недостаток произвола в решении и многочисленные оговорки
(часть из которых рассмотрена в этом параграфе) заставляют отве-
ответить отрицательно на второй из поставленных вопросов: как
правило, безмоментное решение не удовлетворяет всем гра-
граничным условиям и не может поэтому рассматриваться как полное
решение моментной задачи.
Это обстоятельство только отчасти снижает ценность безмомент-
ной теории. В самом деле, обычно оболочку можно разбить на
несколько частей, на каждой из которых внешняя нагрузка и
геометрия являются плавными. Как было установлено в п. 9.1,
на каждой из таких частей в качестве частного решения может быть
принято безмоментное. Таким образом безмоментная теория дает
добротное частное решение.
Далее при проектировании оболочки, работающей в заданных
условиях, конструктор-расчетчик обычно имеет возможность (в из-
известных пределах) назначать по своему усмотрению форму средин-
срединной поверхности, закон изменения толщины и подкрепляющие
края бортовые элементы. Это дает возможность в целом ряде прак-
практически интересных случаев создавать оболочки, работающие
в весьма близком к безмоментному напряженном состоянии купола,
сосуды и т. п. Для таких оболочек безмоментное решение пол-
полностью решает задачу расчета на прочность.
Обычно же спроектировать оболочку, полностью работающую
в безмоментном состоянии, не удается. При этом задача конструк-
конструктора осложняется целым рядом побочных (с прочностных позиций)
требований, таких как технологичность изготовления, экономич-
экономичность, габариты и т. п. Поэтому задачу рационального проектиро-
проектирования данной конкретной оболочки можно считать решенной,
если большая часть оболочки работает в состоянии, близком к
безмоментному, а смешанное напряженное состояние локализо-
локализовано в узких зонах, примыкающих к местам резкого изменения
геометрии оболочки и внешней нагрузки либо к краям оболочки.
При этом расчет сводится к комбинированию безмоментного реше-
решения с решением типа краевого эффекта (см. п. 10.6).
Равномерная (по толщине оболочки) работа материала в направ-
направлении максимальной жесткости конструкции позволяет делать
беэмоментные оболочки более легкими и экономичными по сравне-
343
нию с оболочками, в которых имеет место смешанное (тем более
сильномоментное) состояние. Этим и определяется практическая
ценность безмоментных оболочек и практическая важность без-
моментной теории — расчетной основы теории оболочек.
Следует, однако, оговорить, что существуют целые классы,
оболочек, которые в силу своего назначения работают в напряжен-
напряженном состоянии, далеком от безмоментного: тепловые компенсаторы,
кривые трубы, упругие элементы некоторых приборов, музыкаль-
музыкальные инструменты и т. п. Для таких оболочек приходится создавать
специальные методы расчета, учитывающие особенности их работы.
9.5. О КРИТЕРИЯХ БЕЗМОМЕНТНОСТИ.
КРАТКАЯ ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА
Основополагающей по безмоментной теории можно считать
работу Ламе и Клапейрона [256], рассмотревших в 1828 году
осесимметричную деформацию оболочек вращения. В общей поста-
постановке соотношения безмоментной теории рассматривались Бель-
трами [228] и Лекорню [258], по-видимому впервые связавшими
безмоментную теорию с вопросом о бесконечно малом изгибании
поверхностей. Выяснению структуры и свойств основных соотно-
соотношений способствовали более поздние работы В; В. Соколовского
[178, 179] и Ю. Н. Работнова [154].
Широкое использование в строительстве тонкостенных кон-
конструкций в начале нашего века оживило интерес к безмоментной
теории. Естественно, что при расчете по безмоментной теории кон-
конкретных оболочек постоянно возникал вопрос о законности пре-
пренебрежения моментами и перерезывающими силами (и других
упрощений). Кроме того, зачастую инженеры сталкивались со
случаями, когда расчет по безмоментной теории давал явно невер-
неверные результаты. Назрела необходимость в формулировке условий,
выполнение которых гарантировало бы законность применения
к рассматриваемой оболочке безмоментной теории.
Работы Лаггали [257], Лебеля [259], Дишингера [52], Пешля
[277], дискуссия А. А. Гвоздева с В. Э. Новодворским [30, 119, 31 ]
и множество других работ помогли глубже понять характер работы
тонких оболочек и сформулировать классические кри-
критерии безмоментности.
В отчетливой.форме они были приведены в [128], [130]:
а) границы оболочки свободны от перерезывающих сил и момен-
моментов, а нормальные перемещения и повороты краев оболочки не
стеснены;
б) геометрические параметры ¦ оболочки, компоненты поверх-
поверхностной и краевой нагрузок плавные, существенно не увеличиваю-
увеличивающиеся при дифференцировании, функции;
в) тангенциальные геометрические граничные условия ограни-
ограничивают перемещения чистого изеиба.
Существенным при этом является четкое понимание недостаточ-
344
ности приведенных критериев — возможности исключений (осо-
(особенных случаев).
Большое внимание критериям безмоментности уделял
А. Л. Гольденвейзер [40]. В монографии ([210], стр. 220) дается
подробное изложение и критика концепции А. Л. Гольденвейзера.
Отметим, что еще большее значение имеет безмоментная теория
в нелинейной теории оболочек (оболочки из эластомеров, мягкие,
пневматические, биологические мембраны и т. п.). О возникающих
здесь проблемах сказано в [215]. Там же приведен список литера-
литературы по этому вопросу.
Глава 10
АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ УРАВНЕНИЙ
ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК. ОСНОВНЫЕ ТИПЫ
НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ.
КРАЕВОЙ ЭФФЕКТ
Применительно к конкретным классам оболочек асимптотиче-
асимптотический метод использовался уже давно [223, 32, 84]. В опередившей
свое время работе С. М. Файнберга [195] была предпринята успеш-
успешная попытка применить его к оболочкам общею вида. Значитель-
Значительное развитие и детализация метода были даны в работах
А. Л. Гольденвейзера [40, 42].
В этой главе при проведении асимптотического анализа исполь-
используются соотношения комплексного варианта теории оболочек.
Такой подход значительно упрощает анализ, делает его более
наглядным. Производится асимптотическое рассмотрение основных
типов напряженного состояния.
Основным результатом главы является расчленение напряжен-
напряженно-деформированного состояния на основе (обычно безмоментное) и
простой краевой эффект. В случае, если граничный контур средин-
срединной поверхности не совпадает с асимптотическими направлениями,
из общей моментной задачи вычленяется основная краевая задача
со своими граничными условиями, дополняемая элементарно рас-
рассматриваемым простым краевым эффектом.
В качестве приложения полученных теоретических результатов
рассматривается цилиндрическая оболочка с косым срезом.
ЮЛ. УТОЧНЕННОЕ УРАВНЕНИЕ ВЛАСОВА
Обобщая результаты, изложенные в п. б.б, введем (в произволь-
произвольной ортогональной системе координат) комплексные смещения
следующими соотношениями:
345
4—тв-^-т- <10Л>
Здесь (е?, eg, ..., т"} — геометрическая система функций, удовлет-
удовлетворяющая единственному требованию: они являются решением
уравнений неразрывности срединной поверхности.
Подставляя выписанные выражения в уравнения неразрыв-
неразрывности F.186), убеждаемся, что с учетом уравнений равновесия
F.174) система уравнений относительно й, б, w A0.1) приближенно
совместна и равносильна уравнениям в комплексных усилиях
F.180).
Исключая из системы A0.1) комплексные усилия и устраняя в
полученных уравнениях заведомо малые члены, приходим к
упрощенной системе уравнений в комплексных смещениях
8а + ic ^
2Я* - ю». A0.2)
Подстановка сюда выражений F.161) — F.163) дает
I дб . I дВ - \ дй
1 дб 1 di5 - . 1 32 1 дА
°
ав W ^
г»-, A0.3)
где
Aа4)
(Ю.5)
_0_ 1 d 1 дЛ I дА I дЛ
"° Т1оГ^Г"аоГ~ ав ар ~ГЖ'
_. _ 1 д 1 д* 1 дВ 1 дЛ
Р~ TfTJ~ ЛВ да ~А"да~*
346
_ 1 /ЗЛЙ _ дВИ \
2ABRafl \ ap da J'
Проделаем теперь над первым, вторым и третьим из уравнений
A0.3) (соответственно) следующие операции:
1 ( д В д . д А д Л
~АВ~\да А да• "+" dp В ар/»
да Л da "•" 3a L Л да \ JJ д$ \_ В ЗР
ЛВ \ ЗаЗР "^ За L ^ Зр V, / J "^ ЗР L В да \
Складывая затем левые и правые части полученных равенств и
используя соотношения Кодацци—Гаусса F.157), получаем после
несложных, но довольно громоздких преобразований первое из
следующих уравнений:
_L_3jL_, L_^La_±.^ LAif!_/'J \\
В ЗР "г" ЛВ За Л За ЛВ Зр V «a Rfi J
1 36 1 ЗВ - , *1 Зй 1 ЗЛ
~А ~да~ ~ IF la" V + "В" "Зр~ ~ 5" Ж
= —
(Последние два просто переписаны из A0.3)). Здесь
1(
АВ \
3 В 3 3^ 1 ?_,_д 1 д_,
"+" да Кор ЗР "•" ЗР «3 да *+"
да ARafi да "+" да Кор ЗР • ЗР «о3 да
+
347
, д 1 I dAMl •, 1 дВ*Н* дА М<Х\
+ "Ж""б"\~^Р в *« Ж а/Г
пИ _ 1 ( д 1 ( aseg _ 1
При этом согласно A0.1), A0.5) и A0.6)
\ д I д& I дВ l дЛ
Опустим в полученных соотношениях подчеркнутые члены.
Тогда
L ^ 17рип; A0.13)
Если принять в качестве статической системы безмоментное
решение (Af? = Afg = H' — 0), а в качестве геометрической —
величины чистого изгиба (е„ = ер = о" = 0), то уравнение A0.13)
будет отличаться от комплексного аналога уравнений В. 3. Власова
(см. A.73)) отсутствием члена pJEhc*. Последнее объясняется
тем, что у нас по найденной комплексной функции напряжения w
усилия и моменты определяются соотношениями A0.14). В них
«носителями неоднородности» являются отсутствующие у Власова
первые слагаемые Го, Гр, S*; хо, Хр, т".
348
Уравнение (Ю.8)\ можно рассматривать как уравнение относи-
относительно искомой функции w. При этом входящие в уравнение и за-
зависящие от й и v слагаемые необходимо считать неявно выражен-
выраженными через w с помощью второго и третьего из уравнений A0.8).
Так понимаемое уравнение A0.8)! можно считать уточненным
уравнением Власова. В [210] (стр. 183) показано, что для круговой
цилиндрической и сферической оболочек указанная процедура
легко реализуется и приводит к хорошо известным комплексным
уравнениям цилиндрической и сферической оболочек. Там же
произведен дальнейший анализ уточненного уравнения Власова,
результатом которого явился вывод: удачный выбор статической
и геометрической систем функций позволяет «обслужить» уточнен-
уточненным уравнением Власова все практически интересные случаи
деформирования оболочек.
10.2. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
В КОМПЛЕКСНЫХ СМЕЩЕНИЯХ
В качестве исходной примем однородную систему уравнений в
комплексных смещениях F.182)
— vxp) = 0,
+v)t = 0. A0.15)
Здесь а = -н— = У 12A — v2) к-, a Ro — некоторый характерный
линейный размер срединной поверхности.
Следуя [40], введем большой параметр
&=fl-<(*>0) A0.16)
и представим комплексные смещения в виде следующих асимптоти-
асимптотических разложений:
й = A* {Uo (а, р) + \ *ЛК р) + •
б = АД {Уо (а, р) + 4" Уг («, Р) + • • •} «*'(а> е),
<•.»>. A0.17)
Если подсчитать по этим величинам компоненты комплексной
деформации и подставить их в A0.15), то получим систему уравне-
уравнений, для которой прежде всего надо найти непротиворечивые
тройки параметров t; k, ц. После того как это проделано, груп-
группируя члены с одинаковыми степенями k, получаем ряд рекур-
рекуррентных систем, нз которых можно последовательно определить
349
/ (a, P), U„(a, P) Отметим, что фактическое прохождение
намеченного пути встречает весьма большие трудности [401. Для
наших целей достаточно рассмотреть лишь вопрос о непротиворе-
непротиворечивых значениях троек параметров t; Я,, ц.
Подсчитаем по формулам F.161)—F.163) компоненты ком-
комплексной деформации:
(Здесь мы выписали только члены со старшими производными,
влияющие на значения параметров t; X, |х)
Подставляя полученные разложения в A0.15) и сохраняя члены
со старшими степенями k, приходим к так называемой головной
(определяющей)) системе уравнений:
A0.19)
A0.20)
350
Рассмотрим три основных случая.
I. Пусть
Поскольку при этом 2 — 1// < 0, в уравнениях A0.19) можно
опустить члены, заключенные в квадратные скобки, приведя тем
самым систему к виду:
да и° + Ra
*+¦
<>.
2W0
Ra»
A0.21)
(Напомним, что при проведении асимптотического анализа отно-
относительная толщина оболочки hfR0 предполагается сколь угодно
малой. Поэтому при анализе и сохраняют только члены с макси-
максимальным показателем степени у k.)
Считая, что все слагаемые в A0.21) имеют множителями одина-
одинаковые степени k, получаем
Я,=р=—1. A0.22)
А тогда условия существования нетривиального решения этой
системы записываются следующим образом:
ИЛИ
1 / df ч
Rp A*\ да ,
II. Пусть
Полагая опять
1 df
А да
0
1 df
в ар
\2 4- 2
I
т
1
i4
В
4-
=
0
JL
Of
~да~~
df df
dec dp
(*-
a = _
I
Ro
I
2
Ra0
= o,
e- Di J
•
.... n лп 9Ч\
A0.24)
A0.25)
приходим к определяющей системе
г. - о.
A0.26)
351
условие разрешимости которой имеет вид
1 ( У \4 . 2 / 5/ у/ а/ у 1 / df
III. Пусть, наконец,
Поскольку при этом 2 — 1/f >¦ 0, в системе A0.19) можно опустить
члены
Wo Wo W
Полагая теперь
Я, = и = 1 Lf A0.28)
приходим к системе
A0.29)
для которой условием существования нетривиального решения
служит уравнение
1 ( 5M4j 2 ( df У ( д? У л 1 ( df У /шчп\
(j +(; 1 +1ж/ • A0>30)
С помощью последнего из выражений A0.17) нетрудно устано-
установить, что полученные характеристические уравнения являются
головными для следующих дифференциальных уравнений:
0; A0.31)
^ 0; A0.32)
III ДДгё> = 0. A0.33)
Отсюда и из A0.13) видно, что дифференциальным уравнением,
отвечающим второму случаю, является уравнение Власова.
Уравнение первого случая получается при сохранении в по-
последнем «безмоментной» части уравнения, уравнение треть-
третьего — «моментной».
352
Отметим следующее любопытное обстоятельство: хотя ны и
исходили из системы уравнений в комплексных смещениях, содер-
содержащих члены, умноженные на коэффициент Пуассона v, разре-
разрешающие уравнения A0.31)—A0.33) не содержат таких членов.
Это еще раз подтверждает отмечавшееся выше обстоятельство:
входящие в комплексные соотношения члены, имеющие множите-
множителем v, малы.
Проведем асимптотическую оценку точности уравнения Власо-
Власова. Для этого рассмотрим однородное уравнение A0.8)!, которое,
если проследить его вывод, является асимптотически точным,
т. е. его асимптотическая погрешность (см. ниже) а. п. -<! с1. Во
всех трех случаях величины 2, 5 значительно меньше й>. Точнее,
если считать, что
й» ~ Wo A0.34)
(знак ~ указывает на то, что связанные им величины имеют одина-
одинаковый порядок), то согласно A0.16), A0.17), A0.22), A0.25) и
A0.28)
\й, v\~a?W0 при *<1/2, A0.35)
\й, б}~а'-'1Ро при t> 1/2. A0.36)
Учитывая, что определяющие напряженное состояние функции
при каждом дифференцировании увеличиваются в а~* раз, т. е. что
Ы> ж/' IW "IF' ¦Шр)~а~ ф A0-37)
получаем, анализируя формулы A0.4)—A0.7):
{*?, Ч, *°}~о-2'^-, AAu-a-**Zfc, Dw~a-»^l-; A0.38)
при 0
{Ya, Ye, ^ ^
A0.39)
при t > 1/2
{Ya, Y3. Y«tf}~fl'-2'-ff-. Г(в. 0)-о'-«-^-,
a'-4'-&. A0.40)
Отсюда следует, что асимптотическая погрешность отбрасыва-
отбрасывания величин й, б и их производных в уравнении A0.8)! равна:
при 0 < t < 1/2
а. п. = -^- = а2' ; A0.41)
12 В. В. Новожилов в др. 353
при t^ l?2
а. п. - ??. = a\ A0.42)
(Напомним, что асимптотической погрешностью называют [40]
порядок отношения максимального из отброшенных слагаемых
к максимальному из оставленных).
Последнее из соотношений показывает, что при t !> 1/2 уравне-
уравнение Власова можно считать асимптотически точным. Из соотно-
соотношений же A0.37)—A0.39) видно также, что полученные оценки
справедливы и при отбрасывании слагаемых, зависящих от й, д,
в выражениях A0.5) для йо, йр, т.
10.3. КЛАССИФИКАЦИЯ
НАПРЯЖЕННЫХ СОСТОЯНИЙ
1. Рассмотрим несколько подробнее первый из выделенных в
предыдущем параграфе случаев. Основной его характеристикой
является неравенство t < 1/2 (k < У~а).
Определяющее уравнение A0.31) можно получить из более
общего A0.32), отбросив в нем «моментную» часть ДДй>. Нетрудно
оценить асимптотическую погрешность такого отбрасывания.
Действительно, согласно A0.38)
¦vr • mr
A0.43)
Отсюда следует, что асимптотическая погрешность отбрасывания
«моментной» части равна:
а. п. - ^' = а1-2'. A0.44)
Если вспомнить, что погрешность отбрасывания в «безмоментной»
части членов, зависящих от й и б, определялась равенством A0.41),
то величина асимптотической погрешности A0.31) определяется
максимальной из величин:
а. п. = шах {а«, а1-»}. A0.45)
Равенство A0.45) иакладывает довольно жесткие ограничения
на величину показателя изменяемости /. Чтобы иметь возможность
рассматривать напряженные состояния с малыми показателями
изменяемости (основные напряженные состояния по терминологии
А. Л. Гольденвейзера), необходимо отказаться от отбрасывания
членов, входящих в ТB, 0). При этом разрешающую систему
можно принять в следующем виде (см. A0.8)):
Яш+ГB, 5) = ia i- ДДй,
Ко
354
1 дв , 1 дВ - 1 дй I дА я /I 1
+ггв~"ттйг-"жт|гв"а1«г--«
1 дВ- , 1 дй 1 М. 2 -
е+й *
Теперь асимптотическая погрешность определяется лишь равен-
равенством A0.44). Выписанная система может быть использована для
построения приближенных методов отыскания основного напря-
напряженного состояния.
2. Рассмотрим быстроменяющееся напряженное состояние,
характеризуемое неравенством t > 1/2. Определяющее его урав-
уравнение
ДД0 - 0 A0.47)
получается из более общего A0.32) при отбрасывании в последнем
«безмоментных» членов —Dw. С помощью равенства A0.43) опре-
определяем асимптотическую погрешность такого отбрасывания:
а. п. = * = о"-1. A0.48)
а
При t >- 1 определяющее уравнеиие A0.47) становится асимптоти-
асимптотически точным. Следует отметить, что в уравнение A0.47) совсем не
входят кривизны поверхности, так что характер решения совер-
совершенно не зависит от степени искривленности срединной поверх-
поверхности. Это объясняется тем, что определяющие напряженное сос-
состояние величины меняются настолько быстро, что искривление
поверхности не оказывает на них заметного влияния. Более того,
уравнение распадается на два независимых:
ДЛго = 0 и ЛЛда = 0, A0.49)
первое из которых определяет изгибную деформацию, а второе —
тангенциальную (w—функция напряжения). Таким образом, при
f >- 1 напряженное состояние распадается на два независимых:
безызгибное и чистоизгибное.
С большой быстротой изменяемости напряженного состояния в
окрестности точки приложения сосредоточенных воздействий
связан следующий интересный факт [131 ]: главная особенность
решения, отвечающего сосредоточенному воздействию, не зависит
от кривизны срединной поверхности оболочки.
Отметим еще одно характерное свойство напряженного состоя-
состояния с большим показателем изменяемости. Вводя для этого dsa =
— Ada, dsQ =Bd$, можно записать характеристическое уравне-
уравнение A0.30) в виде:
12* 355
Как видно нз выражений A0.17), характер решения определяется
сомножителем е*'(о> Р), а следовательно, свойствами так назы-
называемой фазовой функции / (a, 0). Из A0.50) следует равенство
df || df
\ |
I f
\ dsa
A0.51)
показывающее, что скорость изменения фазовой функции одина-
одинакова во всех направлениях. Отсюда следует, что для напряженных
состояний с большим показателем изменяемости принципиально
невозможно существование решений типа краевого эффекта, в кото-
которых определяющие функции быстро меняются в одном направле-
направлении и медленно — в перпендикулярном ему.
3. Третий основной случай (t = 1/2) включает в себя решение
типа краевого эффекта. Пусть, например, край совпадает с линией
а = а0 = const. Положим, что фазовая функция совсем не ме-
меняется вдоль края, в. е. Ща\ = 0. Тогда из A0.27) получаем
уравнение
дающее нетривиальное значение для df}dsa.
Проведенный в предположении, что величина а = cfR0 как
угодно мала, асимптотический анализ дает, конечно, лишь качест-
качественное представление о напряженно-деформированном состоянии.
Однако эти наводящие сведения дают возможность построить
сравнительно простые соотношения для практически наиболее
интересных напряженных состояний. Этим построениям и посвя-
посвящены последующие разделы.
10.4. ПРОСТОЙ КРАЕВОЙ ЭФФЕКТ
Пусть рассматриваемый край оболочки совпадает с координат-
координатной линией а = а0 = const. Как было выяснено в двух предыду-
предыдущих параграфах, простой (по терминологии А. Л. Гольденвейзера)
краевой эффект характеризуется следующими свойствами:
где
д = а-1/2 = (-?lI/2 A0.54)
и
{2, g}~ J-ф. (Ю.55)
Если ввести новую независимую переменную
х = q (a — а0), A0.56)
366
то уравнение A0.32) после сокращения на ф может бвть запвсано
в виде
_1 д__В Э__1 д В_дЛ_.._\ д В дв> .
ЛВ дх А дх АВ дх А дх "•"' R0AB дх /?ЭЛ дх +
, 1 / i I д \ дЛ . д I Э# \\ , I Г \, _п
+ T\RoAB \~ьГ Rae ар ~*~ а0 /?«э *>* n'tlrV")^""~
A0.57)
Ограничиваясь ниже рассмотрением первого и второго приближе-
приближений, не будем, здесь и ниже, выписывать «левы, не влияющие на
искомые приближения.
Следуя [11, 42], заменим коэффициенты этого уравнения выпи-
выписанными членами разложений
*1
а искомую функцию представим асимптотическим разложением
w = 0° 4- — w1 -\ . A0.59)
Подставляя теперь выписанные выраження в умноженное на А*
уравнение A0.57) и собирая члены с одинаковыми степенями q,
приходим к рекуррентной системе уравнений:
, o A* . kk \ d»*° / B1 , ki A1
В*
(' обозначает производную по Р).
Разыскивая решение уравнения A0.60) в виде
*, A0.62)
получаем характеристическое уравнение
=0' A0-63)
357
из которого находим
т .1 —~ I 516П KB •¦ / (л / I кр I /1Л fiil
f ^ ± yZs—^ I/ -1—-гг—г-—. AU.O4)
Здесь
A0.65)
Поскольку нао интересует решение, затухающее по мере удаления
от края, в решении A0.62)—A0.64) следует брать верхний знак при
а < а? и нижний — при а >¦ а0.
Далее, подставляя найденное w° в уравнение A0.61) и интегри-
интегрируя его, находим
•&1 = {ЗЬ (Р) № + (Х, (Р) Ф. + Хз (Р) &) х + й (Р)} в» <*> *, A0.66)
где
]
J'
В»
"f- (Ю.67)
Таким образом, во втором приближении основная комплексная
функция имеет вид
]}*- A0-68)
Без умаления общности здесь может быть опущена слишняя» про-
произвольная функция $! (Р). Ее сохранение, однако, может иногда
упростить процедуру подчинения решения граничным условиям.
Выразим через пр основные геометрические и статические вели-
величины. Прежде всего преобразуем к новой переменной выражения
для комплексных усилий F.179)
(Ю.Ю)
358
Подставляя сюда выражение A0.68) н пользуясь опять разложе-
разложениями типа A0.58), приходим к следующим выражениям для
комплексных усилий:
S -
Тэ = iEhaf {pip-Z^o + jffi? [bbP*я + Ъ?* + Х«Л to +
A0.70)
где
4 fejj 2 B° "r 2 B° kl
^Х + 2-ЙГ-^-. A0.71)
Разделяя в полученных соотношениях вещественные и мнимые
части, получаем усилия и моменты:
Та = Re Г», Ма = — clmf f
7ip = Refp, Afp elm
5 = Re S, H = c(l—v)lmS.
Для получения же комплексных смещений можно использовать
уравнения (см. [207], гл. IV, (9.4), (9.5))
А да т АВ ар ° ~ Eh
¦i-iL
В ар
АВ аа И ~ ?A ^ p VI a)
В соответствии с равенствами A0.55) ищем тангенциальные ком-
комплексные смещения в виде:
i/(p)ef а уф)&. A0.73)
ГЬдставляя эти выражения, а также A0.70) и A0.68), в систему
уравнений A0.72), получаем, сокращая общин множитель &*
A0.74)
350
[здесь точками показаны малые члены порядка — J.
Подставляя теперь в правую часть этой системы вместо f1 его
значение из A0.63), убеждаемся, что второе уравнение удовлетво-
удовлетворяется тождественно, а из первого и третьего следует!
и = -^-№ + Щ)Ъ>, V = -f-2ktib- (Ю.75)
Таким образом, комплекснне смещения могут быть принята в сле-
следующем виде;
. e-J-faMi/1, (Ю.76)
A0.77)
Заметим, что тангенциальные комплексные смещения определены
нами, по существу, в первом приближении. Нет надобности в их
более точном определении, поскольку сами они согласно A0.55)
являются малыми величинами порядка q't-w. С той же точностью
нз A0.76) вытекает следующее полезное соотношение!
4Й#
Получим выражения для комплексных граничных величин
на границе а = а°. Полагая для этого в равенствах F.183), F.167),
F.169), F.162) и F.163) у = 0, QJv = Q& = Qin = 0, Mb = 0
и учитывая равенства A0.78) и соотношения Кодацци—Гаусса
6.157), получаем;
' дВ ' д* I ' д 1 д&
I dm , l дВ I dw
)
' <10-79>
10.5. УПРОЩЕННЫЙ ВАРИАНТ
(ПЕРВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ)
В предыдущем параграфе было получено решенне типа краевого
эффекта, сточное» в том смысле, что при выводе отвечающих ему
соотношений отбрасывались величины порядка q~2 = c/R0 по срав-
сравнению с 1. В практических расчетах обычно оказывается достаточ-
достаточным использование более грубого приближения, основанного на
отбрасывании величин порядка q'1 = YdR0. Эти упрощенные
соотношения непосредственно получаются из приведенных в пре-
360
дыдущем параграфе путем отбрасывания в них величин порядка
У'cIRq по сравнению с 1.
Прежде всего, возвращаясь к переменной а, имеем
A0.80)
где
ti , Л° (т т") A0.81)
Напомним, что здесь верхний знак относится к случаю, когда
а •< а0, а нижний — для а :> а0. Нулик обозначает, что помечен-
помеченная им величина подсчитана на краю оболочки. Нетрудно видеть,
что с принятой теперь точностью все соотношения могут быть
получены, если считать да решением уравнения
-g-M -^0 = 0. A0.82)
С его помощью получаем, опуская в соотношениях A0.69)
малые члены и вспоминая, что х = q (а — а0):
A0.83)
Отсюда следует, что основными в рассматриваемом приближении
будут следующие статические величины;
Гэ = Re fр, Ма = — с Im Гэ, Л1Э = vMe. A0.84)
При этом согласно A0.80)
Гр = -|J- (Ф cos p ± sign 5gi|J sin P) е±<»,
Л1а = — ^-(=F sign #&ф stop + i|j cos P)e±P. A0.85)
Сравнивая же выражения A0.76), A0.77) с A0.68), видим, что о
принятой точностью можно считать
да = (Ф cos p ± sign Щу sin Р) е±Р, и = 0, v = 0. A0.86)
Наконец, упрощая соотношения A0.79), получаем для комплекс-
комплексных граничных величин следующие упрощенные выражения;
Заметим, что с принятой в этом параграфе точностью во всех
приведенных соотношениях радиусы кривизны и параметры Ляме
могут быть заменены их граничными значениями.
361
10.6. РАСЧЛЕНЕНИЕ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ
И ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ
В тех случаях, когда граничный контур не совпадает с асимпто-
асимптотическими линиями срединной поверхности, искомое напряжен-
напряженно-деформированное состояние обычно разбивают на основное
(медленно меняющееся) и краевой эффект. Чаще всего основным
служит беэмоментное состояние. Иногда в качестве его используют
и другие: сильномоментное или полубезмоментное (подробно рас-
рассмотренные в [210], стр. 261).
Для того чтобы выделить основную краевую задачу со своими
граничными условиями, необходимо еще расчленить граничные
величины на две части: основные и типа краевого эффекта. Для этого
прежде всего введем параллельную систему координат (см. п. 5.4),
принимая в качестве опорной кривой граничный контур dU.
Для нее
a=svs p-=s,, Л = 1, В|аа=1> p, = -?-.|L. (Ю.88)
Будем обозначать величины, относящиеся к основному напря-
напряженному состоянию, значком @), а к краевому эффекту — <*>.
Тогда с учетом установленных для простого краевого эффекта
выражений A0.79) имеем
Qv,
dstdsv + P* dst
eh + iEhc [^-}. A0.89)
Составим следующие комплексные комбинации!
Qw - Qw - PtRtQvn
363
Подставляя сюда выражения A0.89), получаем
{-^- ®*1. A0.91)
Здесь
(Ю.92)
00.93)
-^« 00.94)
Сопоставление комплексных граничных величин A0.89) о A0.91)
показывает явное пренмущество последних. В самом деле, согласно
A0.91)
Qvvv - <&°, <$ = Q», иХ = иГЛ кХ - иХ°, (Ю.96)
т. е. первые две величины в A0.91) являются основными. Далее
зависимости последних двух от й>* проще, чем в A0.89).
Рассмотрим подробнее величины A0.94). Первая из них с по-
помощью соотношений F.41) и F.52) может быть записана в виде
363
Сравнивая между собой слагаемые, подчеркнутые одной и двумя
чертами, видим, что на величину х» можно смотреть, как на компо-
компоненту х« (она заключена в фигурные скобки), в которой вешчвны
81ий, заменены на
Г—^ + -Й--Й-). 00.98)
удовлетворяющие соотношениям
A0.99)
К такому же выводу приводит рассмотрение хХ-
Отнесем прежде всего, как это обычно делается при использо-
использовании решения типа краевого эффекта, тангенциальные смещения
к основному состоянию. Тогда *
uv = ы°, щ = и<} A0.100)
и по A0.98)
*" —Я.C- + й4 «8 =-^
Вспоминая, чтох^ и х*Х являются величинами х» и x*v, для кото-
которых tw и Ov заменены на до00 и 05°, находим из F.52) и E.79)
0Q *>?° , пА00
^^|. (Ю.102)
Далее из соотношений F.41), F.52), E.79) и A0.95), записан-
записанных для основного состояния i
vo
dR*eb
i Существуют варианты граничных условий, для которых решение типа
краевого эффекта дает заметные поправки для тангенциальных смещений uv, ut.
Мы их не рассматриваем, поскольку эти варианты весьма искусственны и прак-
практически малоинтересны 142].
364
последовательно получаем с учетом равенств A0.100), A0.101)
(Ю.ЮЗ)
Далее, поскольку краевой эффект характеризуется лишь одной
составляющей вектора смещений — нормальным прогибом а»*,
имеем
dw" Ak
Собирая все вместе, получаем
ov = < о, = в?;
A0Л°4)
-^г^1. A0.105)
Требуемое расчленение граничных геометрических величин произ-
произведено.
10.7. ПРОДОЛЖЕНИЕ.
УСЛОВИЯ УПРУГОГО СОПРЯЖЕНИЯ
1. Заменим в соотношениях п. 10.6 перемещения uv, ut, w
соответствующими функциями напряжения uv, ut, w. По статико-
геометрической аналогии, освобождающей нас от необходимости
повторять рассуждения п. 10.6, имеем:
й
(Ю.106)
365
где
Напомним, что векторы
а = avv -}- utt + я*1» •« =
связаны с главными вектором и моментом
F = J Qvds;, В = { [Afwf + (г' - г)
следующими (однородными) соотношениями (см. F.153)):
••- —т> «-—иг- A0
Далее из соотношений F.178)
Afw = — ?Ac8t«, A0.109)
следуют новые
A0.110)
Отсюда и из A0.106) следует вывод, уже сделанный в п. 10.5:
Qvv, Qvt — величины, не зависящие от краевого эффекта. Кроме
того, из A0.108) и A0.106) вытекает и новое интересное следствие:
тангенциальные компоненты главного момента Вч и Bt целиком
определяются основным состоянием.
Обозначая символом {...}да приращение заключенной в скобку
величины при обходе контура дп, получаем из A0.108)
foU F {й} B A0.111)
где FdQ и Baa — главные вектор и момент краевых статических
величин, приложенных к контуру dQ. Отсюда следует, что при
действии на контур dQ несамоуравновешенной нагрузки векторы
функций напряжения не являются однозначными. Поскольку
€ik (см. A0.80)) однозначна, можно утверждать, что краевому
эффекту отвечает самоуравновешенная на каждом замкнутом
контуре нагрузка. Иными словами, за несамоуравновешенность
краевой нагрузки внесет ответственность* основное состояние.
По статико-геометрической аналогии можно утверждать, что
за дислокационную многозначность смещений также «ответст-
«ответственно» основное состояние.
2. Остановимся вкратце на граничных условиях, отвечающих
проведенному расчленению, ограничиваясь рассмотрением основ-
основного варианта, непосредственно следующего из вариационного
уравнения Лагранжа (гл. 8):
6V —f (qabu + <736» + qn6w) ABdadfi —
- J (Qwo6«v + Qvto6"t + Qvne6«» + Mvv,6*v) dst = 0 A0.112)
(нижним ноликом снабжены величины, заданные на граничном
контуре области). Преобразования, аналогичные проведенным
в гл. 8, приводят к интегральному равенству
{ KQw - Qwo) 6«v + (Qvi - Qvto) but + (Qm - QVB0) 6a» +
+ (Аи-М^оN<М-<&, = 0, A0.113)
из которого, в силу произвольности вариаций, следуют естествен-
естественные статические граничные условия (первая строка)
<2VV = Qvv0^ Qvt = Qvto^ Qvn = Qvno_ М.чч == Mvv0 f,n,,A\
ич = ич0 ' ut = uto ' w = w0 ' dv = dv0 ' * '
Во второй строке приведены геометрические граничные условия.
С помощью соотношений п. 10.6 равенство A0.113) можно
привести к виду
J {(<& - Quo) 6uv + (QvV< - QvV/o) but + (Qvvn - Qvvn0) 6
+ (Afw - Afwo) б A?/хй)) ds/ = 0.
Отсюда следуют помещенные в первую строку естественные гра-
граничные условия
<& = <&> QvV/ = QUa QvVn = QvV*a Mvv = Mvv0
r> r> v, v/ A0.115)
ut == uto ^te« = ^tett0 #Xv ^x^
Подставляя сюда выражения A0.105)—A0.107), получаем
vv — Vwq. 4?v/ — Vv/Q . 4?vn — 4?vna — Vvn
= »va u? = uta wk = Rt (e«D —
Полученные граничные условия, будучи равносильными усло-
условиям A0.114), выгодно от них отличаются. Действительно, в выра-
367
жени я для Q.X и Qvt не входят решения типа краевого эффекта.
Поэтому задача распадается на две: определение основного состоя-
состояния со своими граничными условиями:
w = VwO Vw = Vv«J .
/in 117\
и последующее определение произвольных элементов в решении
краевого эффекта из граничных условий
т Mw = MyyQ — /Ww
Rt (e«o — |
При этом геометрическая часть последних условий формулируется
в терминах компонент тангенциальной деформации, вызывающих
(см. п. 10.9) краевой эффект. Причем, в отличие от традиционного
подхода, в этих граничных условиях совершенно не фигурируют
(несущественные для краевого эффекта) перемещения чистого
изгиба и жесткого смещения.
Рассматривая интеграл
¦-1
. 119)
можно, как и в п. 8.2, доказать единственность решения уравнений
теории оболочек при граничных условиях A0.116).
Приведенные выше соотношения дают возможность расчленить
и другие варианты граничных условий: деформационные, упругая
заделка и т. п.
3. Пусть упруго сопрягаются две оболочки, причем
а) они сопрягаются плавно, без изломаз
б) \Ehc\l = \Ehc\» A0.120)
(значками ! и п помечены величины, относящиеся, соответственно,
к первой и второй оболочкам).
Из приведенных выше соотношений видно, что иа общей линии
сопряжения срединных поверхностей должны быть непрерывными
как статические величины (Q^,, Q%, QX, М„), так и деформаци-
деформационные (х«, чХ, х?т 8«)- Если к тому же выполнено и условие б),
то непрерывны и комплексные величины (QX, Qyt, Qvn, M^).
Условия же их непрерывности — условия комплексного сопряже-
сопряжения — описываются согласно A0.91) в виде:
lEhc ¦^7-^} = {• • • I»,
—^w11}1 = {•..}». A0.121)
368
Если же не выполнено условие б), следует приравнивать порознь
вещественные и мнимые части этих соотношений.
10.8. УПРОЩЕННЫЕ ВАРИАНТЫ.
КОЭФФИЦИЕНТЫ ПОДАТЛИВОСТИ
1. Полученные в двух предыдущих параграфах соотношения
являются «точными» в том смысле, что при их выводе мы пренебре-
пренебрегали только величинами порядка c/R0 по сравнению с 1. Для прак-
практических расчетов обычно достаточно рассматривать краевой
эффект в более грубом (первом) приближении, основанном на
пренебрежении величинами порядка У c/R0 по сравнению с 1
(см. п. 10.5).
При этом выражения A0.91IJ сохраняют свой вид, но входящие
в них величины значительно упрощаются:
Что касается упрощенного выражения для ш* A0.80), то в па-
параллельной системе координат оно записывается так:
* (st)\ eA-'slen *t°)e, A0.-123)
где
+ 1
при ; р = л/о/;„ , . A0.124)
sign Rt0 =
Напомним, что величина sv представляет собой расстояние по
геодезической нормали от рассматриваемой точки области до гра-
граничного контура. Существенно, что Sy, обращающаяся в нуль на
контуре,—отрицательная величина, так что решение A0.123) быстро
затухает при удалении от контура. Входящие в решение произ-
произвольные функции ф (st) и ф (st) определяются из граничных ус-
условий. Забегая вперед, отметим, что в конкретных задачах необ-
необходимости в фактическом построении геодезических нормалей не
возникает. С помощью выражений A0.91K>4 можно ввести коэф-
коэффициенты податливости (жесткости) края, аналогично тому, как
это делалось при рассмотрении осесимметричной деформации
оболочки вращения (см. гл. 4). Действительно, отделяя в них ве-
вещественные части и вводя обозначения
Qa = Qv» UQa = <&п\>аМп = М„|аоЛ*2 = ЛС|ао, (Ю.125)
получаея
или
i Ф == sign i?«^- {V2cj /?,ol (Qa- Qg) -
-AfS)}. A0.126)
Отделяя затем в тех же соотношениях мнимые части и вноса
в них выражения A0.126), получаем:
+ Р„ (Qa - Qg) + р„ (Af0 - Afg),
d + Pu (Qa - Qq) + Ри (Afa - Afp),
A0.127)
где
Pu
ft _ 2УЗA-у») /|^0|N
Pu gi (/Г)'
2- (Ю.128)
Определяя отсюда величины (Qo — Qo) н (Af0 — Afo) (в тех слу-
случаях, когда они не заданы непосредственно) и подставляя выра-
выражения A0.126) в A0.85), приходим к следующим выражениям для
напряжений:
°Ч ~ 0м» + ffAf0 ^cos P — sin P) eP + sign Rm ^g ^_ ak sin Pe»,
fO "I
orM|) (cos P - sin Р) е<» + sign Rm yg or* sin P^ I,
от, = orj + or* cos Pe» — sign Ra 3~ ^ огд|о (cos p + sin P) eP,
as = as.» orH = они (p = yjj'^j J A0.129)
здесь
a»
A0.130)
Нетрудно получить и соотношения, обратные A0.127)':
Qa = Q§ + Вп [Rt (е„ - eS^L + Вп [Rt (xtn - ч?„)]а,
Ma = AlS + B,,[^ (e«- &)]a + Bn[Rt {**-&)}: A0.131)
370
Здесь
CM / I. ч 1/9
A0.
Обычно величины (e« — e«) и Я< (х<„ — х?„) имеют один и
тот же порядок. Отсюда и из A0.131), A0.132) видно, что с точ-
точностью до пренебрежения величинами порядка У c/R0 по сравне-
сравнению с 1 можно упрощенно принять:
Qo — 08 == Вц [Rt (е« — е«)]о, Мо — Ма = 5i2 IRt (e« — е«)]о.
A0.133)
Поэтому можно считать, что появление краевого эффекта вызывается
тем, что относительное удлинение контура, отвечающее основному
напряженному состоянию, не совпадает с требуемым по граничным
условиям задачи.
2. Для того чтобы иметь возможность получить условия упру-
упругого сопряжения, пригодные и для случая стыковки оболочек под
углом, используем «естественны» для оболочки направления, свя-
связанные с касательной, главной нормалью и бинормалью к гранич-
граничному контуру. Напомним при этом, что:
Qvm == Qw sin ф + Qvn cos ф, Qvb = Qvv cos ф - Qva sin ф;
совф = Б^-, sln<p = 5f-,
где
пространственная кривизна граничного контура.
С принятой в этом параграфе точностью соотношения A0.89)
могут быть записаны в виде
ял*
b - iEhc
Qv» - Qv» - lEhcKt* = Qvn -
iEhcB°tt + ШЛс -^- Ф*. A0.134>
371
Отсюда о помощью выписанных ваше равенств получаем прежде
всего:
Qvi вт Qvj + lEfuattt = Qlb + iEhcx%,
- iEhcd -^-. A0.135)
Исключая из A0.135)a и A0.134)a гё)*, приходим к комплексной
комбинации
Присоединяя затем к трем полученным выражениям равенство
A0.134L, получаем
yt
Qv» = Qv» + tEhoitm = Q?m + lEhoQm - tEhcQ -^-,
/Wvv = Afw + lEhcBt, = МЪ+ ШЬсе}, + iEhc—-Hbk, A0.136)
где теперь
^-^--^(¦Sf-). ^-^-¦4r(=f). A0.137)
Как и в равенствах A0.91), здесь из четырех комплексных комби-
комбинаций две ие зависят от краевого эффекта, являясь тем самым
основными (обычно безмоментными).
Если сопрягаются две оболочки одинаковой толщины и из од-
одного материала (хотя бы и под углом), условия комплексного соп-
сопряжения расписываются согласно A0.136) следующим образом:
.}", {Qtf + lEhcKZ'I ={-..}".
- iEhcd ^J
(С + 1ЕЪс& + lEhc— wkf = | •..}». A0.138)
В случае же, если условие A0.120) не выполняется, необходимо
приравнять порознь вещественные и мнимые части этих комби-
комбинаций.
С помощью полученных равенств можно привести соотношения
A0.127), A0.128) к форме, зачастую более удобной. Прежде
всего из F.59) следует:
Х/„ = — Щт COS ф + Х« Sin ф, К?„ = — К?ш COS ф + Х°ь Sin ф.
372
Вычитая почленно из первого равенства второе и принимая во
внимание следующее из A0.136)x равенство щь = *?s» получаем
(%(„ — Х?„) = — COS ф (%tm — K?m) = ~ (xtm ~ »^m).
Аналогично находим
Qvn Qvn — _ . wvm Sewn/-
RtO
Подставляя теперь найденные выражения в A0.127), приводим
последние к виду:
"о = "о + «п (Qo — Qo) — ai2 (Мо — Mo),
da = OS - «12 (Qa - Qo) + сей (Mo - Ml), A0.139)
где теперь
= (-Qv«)o,
2V3A-v')
оц, =
4[3(l-v')]3/4
Eh*
A0.141)
Соотношения, обратные A0.139), записываются в виде
О ГH _1 А (и ц0\ __ А (А А0\
W.o — Vo i 1 \ио ио/ 2 v"o "о/>
Мо = Ml - Ап (и0 - и") + Л22 (*0 - в"),
где
A0.142)
A0.143)
Так же, как и в предыдущем пункте, их можно принять в упрощен-
упрощенном виде:
Qa-Ql = An (а„ - iig), Ма-М°а = —Аа («о - "о). A0.144)
373
Для определеяяя же напряжений можно по-прежнему использо-
использовать выражения A0.129); понимая теперь, однако, под ah следую-
следующее выражение (см. A0.140I>а):
QaTQS-00.145)
3. Проиллюстрируем полученные выше зависимости на при-
примере оболочки вращения о границей, совпадающей о параллель-
параллельным кругом. Для такого края (см. гл. 4, рис. 4.1]
1 д ! д д
bv = в, s( = o, w = w
Наиболее интересны случаи осесимметричной и обратносим-
метричной деформаций. В обоих случаях
Это ие случайно, ибо можно показать, что это условие обеспечивает
периодичность (по <р) смещений (см. [207], гл. V). Пользуясь при-
приведенными там соотношениями, устанавливаем, что введенные ста-
статические величины особенно просто связаны с составляющими
главного вектора и главного момента (Qp° = cos 9 Q^°, QYa
- sin 9 $)
p. 2nrQr B. - «r^, P. - nr (- Qii» , + Qp^
B. - ; ;
374
Дым, tptioflu к упрощенным вархавтам, обнаруживаем, что
Здесь и ниже наиболее интересными являются осеснмметричный
н обратносимметричный случаи. В осескмметричном случае
-*. =¦¦-¦
и соотношения A0.139)—A0.141) совпадают (при Qg = Qe» Ml
= 0) с приведенными в гл. 4 выражениями для
податливости. В обратносимметричном случае
где (гх)— так называемый упругий поворот. Система соотношений
A0.139)—A0.141) опять-таки совпадает с полученной в гл. 4.
Как уже упоминалось в и. 9.4, граничная величина A0.146),
в случае сферической оболочки совпадает с предложенной
Э. Рейсиером.
Принято считать, что к обобщенным граничным силам основ-
основного напряженного состояния следует относить Qvv и Qvl. При
этом обычно полагают Qw = (&» = ^v» Qvt = Qw =S*, т. е.
заимствуют эти величины из безмоментного решения. С помощью
приведенных выше зависимостей покажем, что такой подход не
вполне корректен. Прежде всего, когда основное состояние яв-
является полубеамоментиым либо сильномоментным ([210],
стр. 261), в выражениях для Qvv и Qvt нельзя пренебрегать мо-
мектными членами. Более того, пусть основное состояние является
безмомевтным. Тогда, например, в осесимметричиом случае
т. е. с точностью до множителя, величина QX соицвд—i с верти-
вертикальным усилием, про которое доподлинно иввестно, чте оно не
мвисит от краевого эффекта (см. [207, гл. 5, п. &). С друге* стороны,
в выражение для Qw = Тг входит (см. D.87*I) решение краевого
эффекта. Сказанное в настоящем пункте яожавывает, что в рас-
рассматриваемом, детально изученном частном случае введенные крае-
краевые величины весьма удобны, так как органически свяжаиы с де-
деформацией и равновесием оболочки. Ранее они были получены
путем использования специфических особенностей напряженно-
деформированного состояння осесимметрично деформируемой обо-
*7S
лочки вращения (наличие преимущественного пространственного
направления — оси вращения, несамоуравновешенность краевой
нагрузки, возможности реализации (в рамках принятой зависи-
зависимости от угла ф) жесткого смещения оболочки).
Проделанные в настоящей главе преобразования естественным
образом обобщают эти величины на случай оболочек и нагрузок
общего вида, когда используемые при рассмотрении упомянутого
частного случая соображения теряют силу.
10.9. МЕХАНИЧЕСКОЕ ИСТОЛКОВАНИЕ
КРАЕВОГО ЭФФЕКТА
Полученная выше связь краевого эффекта с тангенциальной
деформацией края оболочки позволяет предложить простое ме-
механическое истолкование этого любопытного, присущего оболочкам
явления.
Пусть, для простоты, граничные условия рассматриваемой
задачи являются чисто геометрическими (деформационными), а
основное состояние слагается из безмоментного и чистоизгибного.
Частное решение (снимающее поверхностную нагрузку), как пра-
правило, не удовлетворяет граничным условиям задачи. Полученную
невязку в граничных условиях ич0, ut0, w0, dv0 (eno, xtn0) можно
устранить, прикладывая к краю оболочки соответствующие крае-
краевые усилия и моменты Q^», Qv/, Qwt Mw- При этом могут иметь
место два случая:
а) 8?« = е„п» х?п = х/по, A0.147)
т. е. отвечающие основному состоянию тангенциальные компо-
компоненты деформации края равны искомым. Тогда краевой эффект
не возникает и Q^» = Qtv, QZt = Qltt Qvn = Qwt Af?» = Mvvr«
т. е. полное решение слагается из трех частей: частного решения,
безмоментного и чистого изгиба;
б) обычно же условие A0.147) не выполняется и, в частности,
е« = &tto — е« Ф 0. Растяжение контура вызывает появление
дополнительного растягивающего усилия
Eh e,V A0.148)
j _
Вследствие кривизны контура A/#« ф 0) это усилие дает состав-
составляющую на нормаль к срединной поверхности RTl1*t- Составляя
условия равенства нулю нормальной составляющей главного
вектора сил, действующих на примыкающий к краю элемент сре-
срединной поверхности, получаем уравнение
2(?&Н
376
(Ш50>
A0.151)
A0.152)
Таким образом, нормальная составляющая дополнительного
тангенциального усилия должна уравновешиваться перерезыва-
перерезывающими усилиями или, что то же, соответствующими производными
от моментов. Сравнивая между собой выражения A0.148) и A0.151),
нетрудно видеть, что последние в уравнении A0.149) имеют малый
множитель порядка (Л//?0)а. Поэтому уравнение A0.149) может
удовлетвориться лишь при условии, что очень велико деформаци-
деформационное изменение кривизны части срединной поверхности, при-
примыкающей к граничному контуру. Более того, поскольку изме-
изменение кривизны вдоль контура не может быть большим (в силу
предполагаемой плавности Rt и граничных условий), велико
изменение кривизны по нормали к контуру (х?). Из A0.152)
следует при этом, что нормальный прогиб является функцией»
очень быстро меняющейся по нормали к контуру.
С учетом сказанного уравнение A0.149) может быть записано
в упрощенном виде:
Tk 92x*
_L_?/lc.__v=0. A0.153)
Сохраняя соответствующие компоненты деформации в третьем
уравнении неразрывности ([207] стр. 32), получаем о помощью
A0.148) второе уравнение:
Решение выписанной системы двух уравнений приводит к уже
известному нам выводу, что величины, характеризующие краевой
эффект, в том числе и и>к, быстро меняются по нормали к контуру,
«выбрасывая» при каждом дифференцировании по Sy большой
множитель порядка У R0/c.
Приведенные рассуждения (никак не претендующие на мате-
математическую строгость) дают возможность коротко объяснить по-
появление простого краевого эффекта следующим образом.
а) При удовлетворении граничным условиям задачи возникает
растяжение края оболочки (деформация в направлении наиболь-
377
шей жесткости оболочки), вывевающее появлюиа иииительного
растягивающего усилий.
б) Вследствие нормальной кртввтт крае это усилие дает со-
составляющую на нормаль к поверхвоста.
в) Поскольку нзгибвая жесткость тттой оболочка эиачн-
телыю меньше ее жесткости иа растяжение, уяомяяутая нормаль-
нормальная составляющая может быть уравновешена лишь за счет рез-
резвого ипмткимя крввмаоы (и прогиба) в направлении нормали
ж «рдауру.
A awo, по существу, и означает, что в оболочке возникает
тростой краевой эффект, являющийся порождением малой тол-
толщины и кривизны оболочки.
10.10. ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ОБОЛОЧКА
С КОСЫМ СРЕЗОМ
Рассмотрим круговую цилиндрическую оболочку, ограничен-
ограниченную с одной стороны сечением, нормальным к оси, а с другой —
косым, образующим с осью угол о. Из рис. 10.1 усматривается
уравнение косого среза
• /—v + I COS ф /1 л * сс\
6 (ф) = to H—?—я~~' ' '
где S = х/г0, ^0 = L/r0, a L — длина цилиндра по оси. Здесь и
ниже величинами |, ф будем обозначать координаты граничного
контура, сохраняя обозначения I, q> для внутренних точек об-
области.
Помимо декартовых введем в окрестности граничного контура
параллельные координаты sv, st (ф) (см. 5.4). В данном случае
геодезические нормали являются на развертке срединной поверх-
поверхности (рис. 10.2) прямыми, нормальными к контуру. Из того же
рисунка усматривается следующая связь между параллельными
и декартовыми координатами:
Из рис. 10.1 следует зависимость величин sin у и cos у от ф:
^g-=-sinT. A0.156)
Отсюда и из A0.155) иа-
ходим:
Рк. ММ
A0.157)
878
Нормальная я геодези-
геодезическая кривизны контура
д соответвенно равны
(E.147) и E.80))
_L-
При этом, дифференцируя
выражение A0.157), по ь
я яспользуя A0.156)i, по-
получаем
fry _ cos»7 совф
dst ~~ r0 tgS '
Будем искать решение
в виде суммы безмомеит-
яого я краевого эффекта. Принимая в качестве расчетной на-
нагрузки равномерное давление, получаем, интегярируя уравнения
" ""). (9-21),
77
Р*с- 10.2
?А
Что касается краевого эффекта, то для его определения можно вос-
воспользоваться соотношениями, приведенными в п. 10.8.
Рассмотрим для определенности случай заделки обоих краев.
Согласно A0.115) я A0.116) ему отвечают граничные условия:
; = и/ = 0, е« = 0, х<„
и* — Vй — 0, е2 = 0,
0 при | = 1
n = 0 при 6
Ф = ф»
= 0, A0.158)
где
= a' cos f + v* sin <pi uj = —и* sin 7 + о* cos <p;
e« = cosa<pe, — sin <p cos «ре» + sl'
Нетрудно видеть, что геометрические граничные условия удов-
удовлетворяются при
h (ф) = /а (ф) = А (ф) = 0, & (ф) = — ! 22v pr0,
а тогда
Ef = <»• = 0, e5 = A~?t)Pr° • (Ю. 159)
С помощью приведенных соотношений подсчитываем:
RiBh = <'-y^, Rt*U = A-^)РГв (cos*7 - sin'T) cost
Учитывая теперь два последних граничных условия A0.158)8,4,
получаем из A0.129)—A0.132)
ак = -2 A - v8) -2s. cos't, ал. = -
3 A - v2) -^-cos'v.
Здесь мы пренебрегли (см. п. 10.8) влиянием величины /?/Х*„.
Читателю предлагается проверить, что ее учет приведет к незна-
незначительному (на величины порядка ]/^с//?0 по сравнению с 1) из-
изменению ak и ам<)-
Определяющими в рассматриваемой задаче будут напряжеиия:
= ам, (cos р - sin Р) еР + _ crft sin fce, аМ(
A0.160)
где
ft _ sv cos у .
P
ar. = (v sin*7 + cos*t) ¦&?-, ar. = (v cos*у + sin*у)
Полученные выражения дают возможность построить эпюры
напряжений. Для этого, конечно, необходимо построить коорди-
координатную сетку, отвечающую параллельной системе координат.
В данном случае ее построение не связано со сколько-нибудь
существенными трудностями, поскольку тангенциальные нор-
нормали на развертке являются прямыми, нормальными к граничному
контуру. К тому же, вследствие быстрого затухания краевого
эффекта, координатная сетка необходима лишь в окрестности
380
граничного контура. Вдали от него следует использовать безмо-
ментное решение A0.159) в обычной для цилиндрической оболочки
декартовой системе координат.
Обычно же нас интересуют максимальные напряжения на
контуре. Их значения получаем, полагая в A0.160) 6 = 0 (sv = 0):
-КЗ 0-va) cos*
t v v -^-. A0.161)
Составляя затем выражения для полных напряжений
= <Jrv ±
обнаруживаем прежде всего, что
af =
Это равенство, конечно, не случайно и связано g тем обстоятель-
обстоятельством, что в силу граничных условий отсутствуют удлинения про-
продольных волокон граничного элемента (&% = 0). На рис. 10.3
показаны (для разных значений б и v = 0.3) отношения напря-
напряжения на крайнем внутреннем волокне сг^ = crrv — <*mv к мак-
максимальному безмоментному напряжению От* = рЫ^ = о0.
Как видно из этого рисунка, для всех б (в том числе и для дру-
другого края оболочки, отвечающего б = 90°) концентрация напря-
напряжений определяется величиной
к =
а0
=1-95.
Что касается тангенциальных напряжений, то согласно A0.161L
они ниже расчетного безмоментного От* = pro/h.
Полученные зависимости дают возможность сделать два вы-
вывода общего характера.
1. При не слишком малнх углах б максимальные напряжения
в месте заделки косого среза не зависят от угла наклона и равны
соответствующему значе-
значению для прямого среза 4.
70°\
60
2. Львиную долю состав-
составляют изгибные напряже-
напряжения.
Содержание этого раз-
раздела составила статья
1,2
¦ v
=^—
к ^~
II ¦
¦ —
¦
30'
Рис. 10.3
381
В. М. Малькова (см. [210]). Рассмотрению цилиндрических
оболочек о косым срезом посвящены также работы [86, 87, 89,
169, 170].
Глава 11
КРУГОВЫЕ "ГОРООБРАЗНЫЕ ОБОЛОЧКИ
В этой и двух последующих главах будут рассмотрены -горо-
-горообразные оболочки, находящие широкое применение при проекти-
проектировании различных изделий и сооружений (тепловые компенса-
компенсаторы, переходные участки, кривые трубы и т. п.).
Получение аналитических решений для торообразных оболо-
оболочек связано с преодолением значительных математических труд-
трудностей. Это объясняется возникновением в окрестностях переход-
переходных точек меридиана (8 = 0, л на рис. 11.1) сложного напря-
напряженно-деформированного состояния, не описываемого обычным
разбиением на безмоментное и простой краевой эффект. В теоре-
теоретическом плане здесь особенно интересным является построение
асимптотического решения, отличного от стандартной экспонен-
экспоненциальной асимптотики. Кроме того, здесь самым естественным
образом используются дислокационные смещения и статические
функции (гл. 7).
В этих главах мы ограничиваемся рассмотрением наиболее
употребительных круговых торообразных оболочек. Рассмотрение
торообразных оболочек с меридианом более общего вида приводит
к более громоздким выкладкам, хотя и не вносит дополнительных
принципиальных трудностей [233—235].
Для круговых торообразных оболочек (рис. 11.1)
__ а + Ь sin6 _ l+«sin8
Рис. 11.1
sine
где
sine "'
а = bja.
Отсюда следует
г = Rt sin
в
.—J я
—я/2
6 =аA + (
!iSln6d8 = 6
= аа sin 6.
A1.1)
A1.2)
к sin 6),
(П.З)
cos 8 =
382
11.1. ПОСТРОЕНИЕ ДИСЛОКАЦИОННЫХ
КОМПОНЕНТ ДЕФОРМАЦИИ
Рассмотрим часть "круговой цилиндрической оболочки, ограни-
ограниченной двумя меридиональными плоскостями ф = —ф0 и ф = О
(рис. 11.2). В случае оболочки, замкнутой по ф, следует положить
ф0 = 2л. В качестве дислокационной функции примем выражение
A1.4)
ф1 __ <Р+ <Ро
Фо
Тогда, заменяя в соотношениях G.10)—G.13) использованную
там дислокационную функцию только что принятой, получаем:
о" = {—sin фС/i + cos фС/р — a cos 6 (cos <paQl + sin фай),) -\-
<Po
„д.
Ир
{cos фС/i + sin фС/р — a cos 6 (sin yaQ), — c
н§ = {?/» -f A + а sin 6) (sin фай! - cos <ра®1))
0я = {-sin <pQi
-ф + фо
= {—cos 6 (cos ф! + sin фй') + sin 0Й^}, ф + (р° -
^sln e (cos № +sln Ф17» + cos ef/^
вфоA
cos 8 (sin <paQlx — cos
ef = »*} = 0,
{—sin фС/i
— a cos 6 (cos фай* + sin <paQl) -f A -|- a sin
<ад =
афоA +asin0)
— (a-f Sln6)(sl!
{cos 8 (cos q>Ulx + sin <pUl) — sin QU\ —
4)b
a sin 0) cos 6 (cos yaSil
+ (l+asln6)sUieaQi},
Рис. 11.2
383
X" = a>(l+«sine)» {Sln 6C0S9
4- cos2 9C/L — (a 4- sin 9) sin 9 (sin yaQx — cos <paQly)}. A1.5)
Полагая в выражениях для дислокационных смещений ф«=0 и
Ф = —ф0, получаем
Vя @) = U\ — a cos 9aQi + A + a sin 9) aQ*. v* (—ф0) = О,
«J @) = U\ 4- a cos 9aQj, u? (—фо) == О,
и* @) = f/i - A 4- a sin 9) ап\, u\ (—ф0) = 0.
A1.6)
Из найденных соотношений видно, что введенные дислокацион-
дислокационные смещения характеризуют перемещение как жесткого целого
сечения ф = 0 относительно закрепленного сечения ф = —ф0.
Это перемещение описывается шестью параметрами Ulx, Ul,
Ul, Ql Qi, Qi-
11.2. ПОСТРОЕНИЕ СИСТЕМЫ
СТАТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Пользуясь статико-геометрической аналогией, нетрудно вы-
выписать статическую систему функций, удовлетворяющую однород-
однородным уравнениям равновесия:
Ti = 0, Mi = 0,
— B 4- a sin 9) cos 9 (cos фой? 4- sin<paQj) +
4- A 4- « sin 9) sin 0aQj},
— cos2 9t7i 4- (a 4- sin 9) sin 9 (sin фа!?* — cos <paQj)},
sin ф^* ~ cosф^ + « cos 9 (cos
4- sin фаО^) - A 4- a sin 9) аЩ}, A1.7)
— sin BUi — (a 4- sin 9) (sin фай1 — cos
Как будет показано в следующей главе, шесть параметров
Ul, Ul, Ul, Ql, Qp, ??г для замкнутой по ф торообразной обо-
оболочки непосредственно выражаются через компоненты главного
вектора и главного момента усилий и момента, приложенных к
384
параллельному кругу 0 = 0О. Для оболочек же, замкнутых по 8
(труб), надлежащий выбор этих параметров обеспечивает периодич-
периодичность (по 0) перемещений и углов поворота.
При наличии поверхностной нагрузки выписанную статиче-
статическую систему необходимо пополнить частным решением системы
уравнений равновесия. В симметричном случае последняя имеет
вид:
oshi6)T« .n = _ъA +
_asine_r. i 4A+a sin 6) Qf,,
где
n* l Г d A + a sin в)/Иf
~ * C0S
Q» = &(l+«sin6) [ d6
Рассмотрим два наиболее интересных для практики случая.
Равномерное давление
qn =р = const, ft = 0.
В качестве частного решения в этом случае удобно принять без-
моментное решение Фёпля
т, _ рЬ 2 +«sin 9 т. _ рЬ
(А1Г = Mi = 0, QU = 0). A1.9)
Центробежная сила:
qp = Ba A + a sin 0), q, = 0;
^i = Ba A + a sin 0) cos 8, qn = Ba A + a sin 0) sin 0.
Непосредственной подстановкой нетрудно проверить, что
Г,* = 0, Ti = Ваг A + a sin 0)8;
(AfГ = AfI =- 0. Qfn = O). A1.10)
При этом В = тшоА, ©о — угловая скорость вращения оболочки
вокруг оси, т — плотность материала оболочки.
Если ввести в рассмотрение горизонтальное и вертикальное
усилия
QJ = cos 077 + sin 8Qin> Ql = sin QT\ - cos 0Q,*n>
то систему уравнений равновесия A1.8) удобнее записать так:
d(I+adnQ)Mi _ a CQS QM. = b A +
A1.11)
13 В. В. Новожилов и др. 385
где
<7Р = qn sin 9 + ft cos 8, qz = qn cos 8 — ft sin 8;
ге
)• - Le.
11.3. ОБОБЩЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ МЕЙССНЕРА
Имея в виду дальнейшие приложения, представим комплексные
смещения в следующем виде:
2 = и* + йп; б = v*-\- ёп; й» = да» + шп, A1.13)
где первые слагаемые являются дислокационными смещениями,
а вторые — поправочными (корректирующими) слагаемыми.
Отвечающую этому разбиению систему уравнений в комплексных
смещениях получим, заменяя в A0.2) величины
ёо, ёр, S, йо, йэ; е„, eg, to"; Л-С Мр (П -14^
соответственно на
Щ, Щ, ©п, xf, х2п; ef, ef, ©Д; Af;, M'; A1.14),
ё? + ic («у + й?) = _^_ м. _ е„.
©п = —-g^-2Я* - ©Д. A1.15)
При этом для оболочки вращения (см. [207])
ae 8
, ae •
Разбиению A1.13) отвечают: комплексные усилия
Ь - }; Тш = 71; - iEhc {x"
A1.17)
386
и комплексные граничные величины
/И, -
В приведенных соотношениях
Йр = COS 6ЙП + Sin 6ШП, йг = —Sin 6ЙП + COS Qw"',
Q'p = cos 6ГГ + sin QQln, Qi = sin 8ГГ - cos 6Q'n;
2sin9 „. n. 1 / drMj , а2Я* flJM.
= cos 0xf + sin Q^n, x5 = —sin 0xf + cos
sine д д 1 (drei дсол
(o» «§ (^cos
A1.19)
В работе [210] (гл. XI) уравнения в комплексных смещениях
рассмотрены подробно. Нам в дальнейшем понадобятся лишь
соотношения для осесимметричного и обратносимметричного слу-
случаев оболочки вращения. Получим относящиеся к ним зависи-
зависимости.
Осесимметричное кручение (второй симметричный случай). Для
него ef = в" = ef = ед = 0, х{" ¦= х? = Xя = xf = 0, Mi = M\ = 0.
Из третьего и шестого выражений в A1.16), а также A1.15K
находим
-„ sine _п sine / 2Я* . „\
г г \ Eke ~ )
Отсюда и из A1.17)8 следует
Отсюда, из A1.16)з и закона Гука находим
_ 2A+у) „ _ 2A+у) / „ , 2 sine
-—ш—Л ш— 1Л +~—н
13* 387
A1.21)
Осесимметричный изгиб (первый осесимметричный случай).
Для него vn — О, се» = О, S* = О, Я* = 0 и с учетом тождеств
находим из A1.16)
5Г = *
Ч—ЯГТ' Ч—?т1*"(*'-0. тп = 0). A1.23)
С учетом полученных соотношений из A1.15) следует:
A1.24)
Дифференцируя первое уравнение и прибавляя к полученному
второе, умноженное на Ях cos 0/r, приходим с учетом A1.19)
к разрешающему (первому) обобщенному уравнению Мейсснера
d?&n . \ Rt cos 8 1 dRt ] d»n Г / Rt cos 6
_^F(* + ^_tt)]. („.
Из первого же уравнения в A1.24) находим
-п . cr /dS" , Rjcose sп\ ,[
Далее из соотношений A1.17) и A1.23) следует:
^ } A1.27)
Из соотношений же закона Гука
W -ИГ
388
находим
п _ _| • _д , .»_ / 1 Л>п
в
в.
-—Eh ' е2 Ш—) ALZ9^
(подчеркнутые члены обычно малы и могут быть отброшены).
Наконец, из формул A1.18), A1.19) и A1.26) получаем выра-
выражения для комплексных граничных величин:
Qp = Ql - i ^
?Лс» dr§n
Обратносимметричные случаи. Для них величины
7ь 7», 7,, Тг, Мх, М2, Т{, П, MJ, М$,
ef, e§, xf, х§, ы^, н?, 0п, Qp, Qt, Mx
имеют первую из следующих зависимостей от угла <р:
а величины S, S, Я, S*. Я*, о", Ql2 — вторую. При этом верхние
функции отвечают первому обратносимметричному случаю, а
нижние — второму. То же относится и к двойным знакам (±, =F).
Обратносимметричные случаи рассматриваются аналогично
симметричным. При этом ([210], стр. 170)
A1.31)
389
A1.32)
*,-{[{-
cos 9
Re(rx)
sin 9
sin9
sin9
e&j
н°,, = j [—sin 0*"i + cos Э (e,., - ef.,
e.
A1.33)
(П.34)
Разрешающая функция (гх) удовлетворяет (второму) обобщен-
обобщенному уравнению Мейсснера
d* (nc) I Rx cos 9 1 d/?t \ d (rx)
dQ1 "+¦ \ /¦ #, d9 j d9
A1.35)
где
sin 9
390
11.4. ОСЕСИММЕТРИЧНОЕ КРУЧЕНИЕ
(ВТОРОЙ СИММЕТРИЧНЫЙ СЛУЧАЙ)
Согласно соотношениям пп. 11.1 и 11.2 при симметричном
кручении
'I ujj = o* = 0;
1 Ul
l+asine аф0 ' г (I + оь sin 9)a
с» . 2 sine ыл 1 EhcUl
Отсюда и из A1.3) следует
„ _
(l+asineJ ааф0 ' (l+asin9)a ааф0
Г . в
sinerfe
A + a sin вI
в.
_. в п
t/J f d8
^ J (i+«sine)'
,. A1.37)
11.5. ОСЕСИММЕТРИЧНЫЙ ИЗГИБ
(ПЕРВЫЙ СИММЕТРИЧНЫЙ СЛУЧАЙ)
Принимая, для определенности, в качестве поверхностной
нагрузки равномерное давление, имеем согласно пп. 11.1 и 11.2
p" = aQl(lH- л sin 9) ф~фо , ы2 = ид = 0;
fii Qz cssine . »лл ял
„. _ pb 2 + a sin e , Ehciiz а sin 8 .
1 ~" 2 1 + а sin в ' 6% 1 + а sin в '
MS = H'=0; S' = 0;
Фо
etcos8 д _ Qz «cos8
' *2n
yin~ i^; i+ «sine
Основное уравнение (A1.25) после опускания в нем малого
подчеркнутого члена принимает вид
a cos 8 dfr . a sine яп _
"Г i+asine dQ ^~l 14-asin8
l + lQl cose | /2й. = _«*_). (Ц.39)
Ф„ 1+asinejv c/ v '
391
Далее согласно A1.17) и A1.38)
Т — JEL 2 +«sin 8 _ . Ehc f Ог 4- Шг asin8 acos8 «„1 .
il~ 2 1+asine 6 I <Po 1+asine "*" 1+asine J '
pb , Ehc dbn .
Из соотношений A1.29) находим, отбрасывая малые члены,
]
A1.41)
Наконец, для комплексных граничных величин A1.30) получаем
следующие упрощенные выражения:
q _ Pb 2+asine . Ehc fr1
^Р" 2 1+asine cos°- * д 1+asiiie '
_ pb 2 + asin8
г ~ ~ 1+asine SU1 B ~ *
+asine SU1 B ~ * ^7 1+asine '
dbn acos9 s
~dT+ l+asin8 ^
11.6. ОБРАТНОСИММЕТРИЧНЫЕ СЛУЧАИ
Из соотношений пп. 11.1 и 11.2 следует
Г sttupl/J sln<paQn
"р = ¦) 1 ,„ -a cos 8 _,, >
м (. cos (pt/i —cos <paQJ )
u5 = i A + a sin 8)
(.v • ; —cos
{cos <fUh cos opaQi 1 m i m
1 , m ~ас08Ф . n, ; (П.43)
—sin <pt/i Y sin <paQ? J Фо v
1 Г cos<pt/j, cosq>aQn
= аФоA+asine) \ ! -sin <pt/i~ acos6 sla (paQi )•
ef = 0; xf - 0;
1 f sin <pt/J —sin <paQi )
a9.(l+«sine) \ cos 9 cos ЦП +(a + Sla 6> cos <paQi j:
—cos<pt/j л ^cos<paQi)
sin <paQJJ'
392
sln<p?/h
—sin<
+ (a + sin 8) sin 8
T. _ Ehc \ ft CP8i>f7i
1 ~ a'<po(l+astae)» | S™ 5llfj ~
cos
— B + a sin 8) cos 8
sin py j
Ehc \ sln<pt/i
Г —sla e cos e f
a»<po(l+asin9) [
sin
+ (a+sln8)sln8
—cos
Ehc f — cosq>FJ cos<paQi|
( * sln +C0S9 )
( cos Э Sl° Ф5 + (a + sin 8)
| c0S9(/, V ^ ' cOS9
TS = O\ M} = 0. A1.44)
Производя упрощения, аналогичные проделанным в предыду-
предыдущем параграфе, и нспользуя соотношения A1.44), приводим раз-
разрешающее уравнение A1.35) к следующему виду:
*И) . acose djrHj , .g,. sin8 ,^
i+osine
¦ tf | cose -M + ffi) a + sln8 a(Qi + fQi)
* аФо ( A+asta 9)» (j/i + t-{Jl) ¦+¦ A + a sin 9)» a (Ql + Д')
A1.45)
Через разрешающую функцию (гх) комплексные усилия выража-
выражаются соотношениями (см. A1.31))
т t 2Ehc I sln9 -^
lfl «2Фо |(l+asta9)» (i/
cos 9 a (Qi + tfii) 1 _ .?*c Г acosB
* 1 1+aslne ^
393
. Ehc ) d (rv) . a cos 9
(и-46>.
Далее после небольших преобразований и опускания малых
членов находим из A1.32), A1.33)
«Z., = -*(! +«sine) jV+«tffid9' + flA + ctslo9> «I .
в
.
ып ,-ft Facosfl f ^B'ReM , , f (sin8'+a) Re(^T) , Л
«p.i-0 acoso j 1+asine, c(H j i+asine' dO
L в, в, J
_ ft cose ? + J A1.47)
Наконец, для комплексных граничных величин A1.34) имеют
место следующие упрощенные выражения:
A+asine) (
^ 2
A+asine)» [* _ (у|
й _9
«cose
1+asine
n a cos6
2 i+asme
11.7. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ
ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ
Получим некоторые необходимые нам в дальнейшем соотно-
соотношения. Для этого обозначим через X, Y, Z, W периодические
решения следующих уравнений:
L \Х\ + i2& sin QX = — & cos Э;
394
L{Z) + Й*- sin 6Z У
L {IF} + й** sin 8IF = — jp. A1.49)
Здесь использовано обозначение
Отметим прежде всего легко проверяемые свойства введенных
функций:
X (я - Э) = -X (Э), 4г (я - Э) = -§-(9);
У (я-9) =-У F), -^-(„_е) = -§-(Э);
W (я -9) = 117(9), ijjl(«-9) = -4r(9)- A1.50)
Покажем, что с обычной для теории тонких оболочек точностью
функции У и Z просто выражаются через X и W. Для этого
воспользуемся очевидными равенствами
d I cos 8 Л sin 8 -f- a
~Ж\ 1+asinG ) A + a sin 8)»'
d I sin8 \ cos8
dQ V 1+asinG / ~~ A + asin6)s'
d / sin e + a \ _ A —a)cose
~W \ 1 + a sine J ~~ A + a sin 6)
I
\ 1
J
1 ~\ a cos 8
)
+asine ) ~~ (l+asin8J' (n.oi)
из которых следует
г I cos8 | _ A -—a»)cos8
{ l+asinO j (l+asinOJ '
I / siaQ | sin 8 +a .
(l+asine ]"" (l+asin8J'
sine+a 1 _ _ /i _ a» sin 8 + a
1+asine ]~ ( a;(l+osin8J'
' 1-я sin9 + «
l+asine j A+asine)*'
Положим У = X + У<» и подставим У в уравнение A1.49)а.
Поскольку функция X удовлетворяет уравнению (II -49)х, для
второго слагаемого получаем уравнение
L {У")} + t2^yo = » ° + а,С"е'• AL52)
395
Пусть далее
1+asine
где первый член является «безмоментным> решением уравнения
A1.52), а К<2>—поправкой к нему. Подставляя У1) в A1.52) и
используя A1.49J, получаем для поправки К<2> следующее опре-
определяющее уравнение:
- — i gA~g>) / cos0 _ «sinOcosO
Применяя далее указанный прием комбинирования «безмомент-
ного> решения и поправки к нему, находим
ут = I О6A-°б2) у i «"A-«2)
1 2й2 z "г 4й2
cos 9
4й2 A + a sin 9J ~ " ' ' '
где точками обозначены совсем малые члены. Опуская их и соби-
собирая вместе подсчитанные части Y, получаем
. а A — а2) N у у .а cos 9 ,
2й2 / 2 1 -)- а sin 9 "~
. а2 A — а2) cos 9
~г 4й2 A+с
Опуская здесь подчеркнутые малые члены, приходим к искомому
приближенному выражению:
Совершенно аналогично для периодического решения A1.49)8
находим
Z = aW + i^.-TTl^T. A1.54)
При определении жесткости кривых труб нам придется иметь
дело с интегралами (от 0 до 2я)
h~ 2я У A+ « sin 6)ft'
Интегралы такого рода легко определяются. Действительно, ин-
интегрируя тождество
1 1 a sin 9
(l+asin9)*+1 ~" A+a sin 9)* A + a sin 6)fc+I '
получаем рекуррентные соотношения
/fc+I(a)=^-/i(a) + .Ma), A1.55)
принимающие при k = 1 вид
J2 (a) = a/j (a) + /, (a). A1.56)
396
Из тождества A1.51)! следует
/;<«) = «У, <«) (-Jrfgtf^-O). A1.67)
Исключая теперь из A1.56) и A1.57) J[ (а), получаем
Л (а) = A - а») Л (а).
Сравнение полученного равенства с A1.56) приводит к дифферен-
дифференциальному уравнению
из которого получаем с учетом того, что Jx @) =1:
^а>=угЬг- <п-58>
Последующие интегралы находятся из рекуррентных соотноше-
шений A1.55)
Jt (а) = A - а2)-3'2, У8 (а) = A + 1/2С*2) A - а2)-5/2. A1.59)
Далее из легко проверяемого тождества
cos2 9 1—а» 1
A+а sin9)a ~~ а2 (l+asin9J +
, 2 11
'а2
_
а2 1 + a sin 9 а2
получаем с помощью равенств A1.58) и A1.59)
1 ? cos29d9 7l(«)-l
2я У (l+asin9)a a2 ' (П.ОМ)
Аналогично находим
1 ^ cos29d9 _ 1—A—и
2я J 1 + a sin 9 ~~ а2
Sin9d9 1-Л
1 + a sin в = а '
В главе 13 будут использованы величины
1+asin9 .
/g)» ^ (Пб2)
Покажем, что при достаточно больших значениях 2k* все они
могут быть выражены через /.
397
Из A1.53) следует
. _ 1 ? cosaXrfe . а 1 ?. cos»9d9
Уа ~~ 2я J 1+asine ' 2 2я J (l+asin9)*'
Прежде всего
cos 9X rf8 1 ? I" Q a sin 8 cos 9
14-asinB =^Г9 [cos8 1+asine
sine cos ex ._
Если умножить уравнение A1.49)t Ha'.j . ,cos . o и проинтегри-
ровать по Э от 0 до 2я, то в результате приходим к равенству
м
A
sine cos 6Х d6 ,2 1 ? cosaede
2я J 1 + a sin 6 2я J 1 + а sin 9 '
Интегрируя первый интеграл по частям, получаем с учетом ра-
равенств A1.51) и свойств периодичности функции X:
2я ii! +asin?? 2я
-- Jfc» ' 6 cosa9de
6
2я J 1 + a sin в '
Опуская малый, по сравнению с остальными, подчеркнутый член,
находим
1 х, sine cos ехле « \_? cos2 e ле
2я J 1+asine ~" 2 2я J l+asin9 '
Теперь с учетом A1.58), A1.60) и A1.61) можно написать
С помощью равенств A1.54) и A1.62) выразим /, через /:
, 1 С ZdQ
1 ?
(l+asine)a
Как уже делалось выше, используя «безмоментное» решение урав-
уравнения A1.49L, приходим к равенству
1 ? slnQWdQ _ i 1 J rfe _ i j , >
2я J 1+asine ~ 2 2л l 1+osinG ~ 2 l ^a''
Подставляя теперь полученное выражение в предыдущее, полу-
получаем
/г i • 1 — а г / \ г i . )/1 — а2
8 = а/ + i —g— Jt (a) = a/ -f-1 v 2 .
398
Далее, используя «безмоментное» решение уравнений A1.49I>4,
приходим к равенству
Н" Ф cos9Xde ~ Й"Ф w dQ } =
из которого следует приближенное равенство
h =/.
Таким образом, для больших значений 2tr имеют место прибли-
приближенные равенства:
2
A1.63)
дающие возможность определить введенные интегральные вели-
величины, коль скоро, например, подсчитана величина
Приведем еще одно приближенное равенство
l+aSin9 ^°' AL64>
устанавливаемое интегрированием уравнения A1.49), с учетом
A1.51)!.
11.8. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ.
МЕТОД ЭТАЛОННЫХ УРАВНЕНИЙ
Как уже говорилось выше, для -горообразных оболочек с мери-
меридианами, содержащими окрестности переходных точек (Э = 0, я),
использование стандартной экспоненциальной асимптотики не-
неправомочно. Применим, однако, более общий метод «эталонных
уравнений» [54, 192], состоящий в том, что при построении при-
приближенного решения используется решение более простого эта-
эталонного уравнения, имеющего те же особенности в коэффициентах
(полюсы и нули).
В рассматриваемом вопросе удобно принять в качестве эталон-
эталонного уравнение Стокса
¦7$-+Ч*/ = 0, A1.65)
имеющее простой нуль в коэффициенте при искомой функции.
Решения этого уравнения называют функциями Эри.
Запишем основные уравнения A1.49)Ь4 в виде
A1.66)
399
где
/д\ «COS6 . ,д> Sin в
1 + asine '
-т i+Lne- ("-67)
В упрощенных уравнениях A1.49) г (Э) = 0, так как в преобразо-
преобразованиях, проведенных в пп. 11.5 и 11.6, подобные члены были опу-
опущены. Мы снова ввели их, чтобы показать, что при асимптотиче-
асимптотическом интегрировании их величина не оказывает влияния на полу-
полученные приближенные решения. Это будет служить еще одним
доводом в пользу принятия основных уравнений в упрощенной
форме A1.49)!, 4.
Ищем частное решение выписанных уравнений в виде
Xh = Ф (9) Я ft» (9)}. A1.68)
Отсюда
?±
Bфу
Подставляя полученные выражения в A1.66), приходим к ра-
равенству
Ф W*H" + (-/Я)8 qH) + {BФ' +
+ 1<Р" + W' + гФ} Я = {-l\f fh (Э). A1.69)
Рассмотрим прежде всего однородное уравнение, положив при
этом Н — U (\|)). С помощью эталонного уравнения A1.65), кото-
которому удовлетворяет функция Эри, первую скобку запишем в виде
Приравнивание ее нулю дает
' = ± (—i\K/2 VUgn^УТя1: A1 -70)
при /<0
Интегрируя это уравнение по 9 от 0 до 9, находим
в
| (Ф) ± (-т VZ
откуда
400
/ 191 \2/3
©@) = sign 4 j V\q\dQ\ =
\ о '
\2/3
Значения функций © @) и ©' @) приведены в табл. 11.1 и 11.2.
Приравнивая затем в A1.69) вторую скобку нулю, приходим
с учетом соотношений A1.67) к следующему выражению:
~ У
(8)
Ф^~ Vco'(9)(l+asin9) ~ У sin9(l+«sin9) • l
Здесь мы использовали вытекающее из A1.70) равенство
= Y -
sin 9
со (9) A + a s«n 9) '
При малых значениях 6 справедливы приближенные формулы
со (Э) = Э A — 0,2ае), ф (9) =1 — О.ЗаЭ. A1.72J
Теперь общее решение однородного уравнения может быть за-
записано в виде
Xk (в) = Ф (в) [Cxf/x (~i% со) + C%U% (—Лю)].
В качестве функций ?/х и U2 может быть выбрана любая
пара линейно независимых решений уравнения Стокса A1.65).
Наиболее удобными являются модифицированные функции Хан-
келя 1ц (г) и /ц (г), имеющие при больших по модулю чисто мнимых
значениях аргумента следующие асимптотические представления
(>0)
_ Г 2 '+' „3/2 . , 5" I
- Y Иу)-1/4е i3 У*' 12 J.
*х НУ) - Y Иу)-1/4е
(Y = 2'/3 З'/вя-'/2 = 0,8537). A1.73)
Отметим, что последние выражения можно было получить и
непосредственно, разыскивая асимптотическое решение A1.66)
в виде Хк @) = ф (Э) е*(8). Кстати, эта форма решения отвечает
принятию в качестве эталонного следующего уравнения:
Соответствующие функциям Ханкеля ряды (сходящиеся на всей
комплексной плоскости) для чисто мнимого аргумента имеют вид:
g-2f)t A1.74)
401
Таблица 11.1. Значения функции w (а; в)
е, °
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
—10
—20
—30
—40
—50
—60
—70
—80
—90
а
0
1,4780
1,3310
1,1780
1,0200
0,8568
0,6900
0,5202
0,3481
0,1744
0,0000
—0,1744
—0,3481
—0,5202
—0,6900
—0,8568
—1,0200
—1,1780
—1,3310
— 1,4780
0,1
1,4440
1,3020
1,1550
1,0020
0,8136
0,6812
0,5150
0,3457
0,1738
0,0000
—0,1750
—0,3505
—0,5257
—0,6997
—0,8714
—1,0400
—1,2050
—1,3640
—1,5170
0,2
1,4130
1,2760
1,1330
0,9847
0,8311
0,6728
0,5101
0,3434
0,1732
0,0000
—0,1756
—0,3531
—0,5317
—0,7100
—0,8873
—1,0620
—1,2340
—1,4020
— 1,5600
0,3
1,3850
1,2520
1,1140
0,9691
0,8196
0,6649
0,5054
0,3411
0,1726
0,0000
—0,1763
—0,3558
—0,5375
—0,7208
—0,9042
—1,0870
—1,2660
— 1,4410
—1,6100
0,4
1,3600
1,2300
1,0950
0,9546
0,8087
0,6575
0,5009
0,3390
0,1721
0,0000
—0,1769
—0,3585
—0,5437
—0,7323
—0,9230
—1,1140
—1,3030
—1,4880
—1,6670
0,5
1,3360
1,2100
1,0780
0,9411
0,7984
0,6503
0,4965
0,3369
0,1715
0,0000
—0,1776
—0,3613
—0,5507
—0,7454
—0,9440
—1,1450
—1,3460
— 1,5450
— 1,7390
Таблица 11.2. Значения функции to' (а, в)
е, °
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
—10
—20
—30
—40
—50
—60
—70
—80
—90
а
0
0,8226
0,8602
0,8932
0,9214
0,9456
0,9652
0,9804
0,9912
0,9975
1,0000
0,9975
0,9912
0,9804
0,9652
0,9456
0,9214
0,8932
0,8602
0,8226
0,1
0,7934
0,8332
0,8624
0,8918
0,9184
0,9416
0,9616
0,9781
0,9909
1,0000
1,0047
1,0051
1,0006
0,9909
0,9758
0,9548
0,9276
0,8949
0,8558
0,2
0,7680
0,8030
0,8356
0,8658
0,8940
0,9201
0,9440
0,9655
0,9843
1,0000
1,0120
1,0200
1,0200
1,0190
1,0096
0,9931
0,9684
0,9352
0,8951
0,3
0,7453
0,7792
0,8112
0,8422
0,8718
0,9003
0,9275
0,9536
0,9779
1,0000
1,0190
1,0350
1,0460
1,0510
1,0490
1,0380
1,0170
0,9849
0,9420
0,4
0,7247
0,7579
0,7898
0,8208
0,8515
0,8819
0,9120
0,9421
0,9713
1,0000
1,0270
1,0514
1,0720
1,0870
1,0940
1,0910
1,0750
1,0449
0,9999
0,5
0,7064
0,7385
0,7701
0,8014
0,8329
0,8649
0,8976
0,9311
0,9652
1,0000
1,0346
1,0686
1,1000
1,1270
1,1470
1,1550
1,1480
1,1210
1,0720
402
где
т~ тгк[¦+ 2
1 VTJ L m=1
91/3 \
0,9304, *_- = 0,6783.
з2/3г D) )
Функции ht (z) и Л2 (z) затабулированы для значений комплексного
аргумента \г\ = ]/х2 + у* < 6,0 [210]. Выборка из этих таб-
таблиц для чисто мнимых значений аргумента при 0 <; у <; 6,0
приведена в табл. 11.3. При отрицательных значениях аргумента
следует использовать усматриваемые из соотношений A1.74)
свойства четности и нечетности:
(—iy) = Л2 (iy), hi (—iy) = Л2 (iy);
Ы (-iy) = МДО, Л2 (-^) = Щу). A1.75)
Для у > 6,0 значения функций определяются из выражений
A1.73). При у <С—6,0 следует также использовать равенства
A1.75).
Как видно из выражений A1.72J, при 9, близких к нулю,
функция ф (Э) маломеняющаяся, гладкая. Заметно отличается от
1 она лишь при 0, близких к ±я/2. Но в точках меридиана, удален-
удаленных от вершин тора, как видно из A1.73), решение переходит
в стандартное экспоненциальное. Напомним, что для последнего
было установлено, что с точностью до пренебрежения величинами
порядка l/y^A' по сравнению с 1 в решении можно пренебречь
изменяемостью амплитудного множителя, по сравнению с изменя-
изменяемостью экспоненциального.
В силу сказанного с небольшой натяжкой можно использовать
решение в следующей более грубой, но зато и более простой форме:
Хк (9) = 2Л (—а©) + сф* (—а©). A1.76)
Поскольку Фп и х получаются из X и W умножением на посто-
постоянные, включая последние в произвольные постоянные Сх и Са,
получаем для Ъп и (гх) то же выражение A1.75).
Перейдем к нахождению частного решения неоднородного урав-
уравнения. Для этого положим в A1.69)
F) = ш F), ф (9) - у sln9(r^sin9) ¦
403
Таб
лица
У
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
,2
,3
1,4
1,5
,6
,7
,8
,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
4,0
4,1
4,2
4,3
4,4
4,5
4,6
4,7
4,8
4,9
5,0
5,1
5,2
11.3. Значения
Re fci
—0,000000
—0,039000
—0,077000
—0,113100
—0,146600
—0,177000
—0,203600
—0,226200
—0,244600
—0,258700
—0,268400
—0,273800
—0,275300
—0,272900
—0,267200
—0,258300
—0,246800
—0,233100
—0,217800
—0,200800
—0,183200
—0,165100
—0,146800
—0,128900
—0,111500
—0,094930
—0,079380
—0,065020
—0,051950
—0,040250
—0,029950
—0,021030
—0,013470
—0,007192
—0,002114
0,001867
0,004865
0,006999
0,008389
0,009155
0,009412
0,009265
0,008813
0,008143
0,007329
0,006436
0,005517
0,004613
0,003755
0,002967
0,002261
0,001649
0,001129
функций Эйря i
Im /h
—1,074000
—1,007000
—0,938800
—0,871100
—0,803900 "
—0,737200
—0,671400
—0,606800
—0,543800
—0,482800
—0,424100
—0,368100
—0,315000
—0,265300
—0,219200
—0,176700
—0,138100
—0,103500
—0,072850
—0,046100
—0,023160
—0,003880
0,011940
0,024530
0,034160
0,041110
0,045690
0,048210
0,048970
0,048280
0,046410
0,043650
0,040230
0,036380
0,032280
0,028120
0,024010
0,020080
0,016410
0,013050
0,010050
0,007429
0,005182
0,003305
0,001776
0,000571
—0,000346
—0,001009
—0,001454
—0,001720
—0,001840
—0,001847
—0,001769
i их производных
Reft;
0,678300
0,678200
0,677300
0,674900
0,670300
0,663000
0,652400
0,638400
0,620700
0,599300
0,574200
0,545700
0,514100
0,479800
0,443300
0,405200
0,366000
0,326400
0,287000
0,248300
0,210800
0,175100
. 0,141600
0,110600
0,082410
0,057160
0,034970
0,015870
—0,000170
—0,013260
—0,023580
—0,031310
—0,036700
—0,040020
—0,041540
—0,041550
—0,040330
—0,038140
—0,035230
—0,031830
—0,028150
—0,024360
—0,020600
—0,016990
—0,013620
—0,010550
—0,007836
—0,005482
—0,003498
—0,001872
—0,000582
0,000401
0,001112
Imft,'
0,391600
0,386500
0,371900
0,349400
0,320100
0,285500
0,246800
0,205300
0,162300
0,118700
0,075700
0,034200
—0,005000
—0,041200
—0,073900
—0,102500
—0,126800
—0,146600
—0,162000
—0,172900
—0,179600
—0,182300
—0,181300
—0,177200
—0,170200
—0,160900
—0,149800
—0,137300
—0,123900
—0,110000
—0,096050
—0,082290
—0,069070
—0,056620
—0,045120
—0,034700
—0,025460
—0,017420
—0,010590
—0,004929
—0,000379
0,003146
0,005748
0,007537
0,008629
0,009139
0,009179
0,008854
0,008261
0,007484
0,006597
0,005663
0,004729
404
Продолжение таблицы 11.3
В
5,3
5,4
5,5
5,6
5,7
5,8
5,9
6,0
В
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
•
,0
,1
,2
,3
,4
,5
,6
,7
,8
.9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
4,0
Reht
0,000702
0,000360
0,000098
—0,000096
—0,000229
—0,000313
—0,000358
—0,000371
Reftj
0,0000
0,0390
0,0768
0,1122
0,1437
0,1699
0,1889
0,1991
0,1983
0,1845
0,1553
0,1084
0,0410
—0,0495
—0,1663
—0,3123
—0,4908
—0,7051
—0,9585
—1,2540
—1,5950
—1,9840
—2,4220
—2,9110
-3,4510
—4,0380
—4,6680
—5,3340
—6,0220
—6,7170
—7,3950
—8,0260
—8,5690
—8,9760
—9,1830
—9,1170
—8,6850
—7,7830
—6,2860
—4,0540
—0,9330
lmht
—0,001632
—0,001453
—0,001263
—0,001064
—0,000870
—0,000688
—0,000524
—0,000381
Im ht
1,0740
1,1420
1,2100
1,2780
1,3470
1,4150
1,4850
1,5560
1,6290
1,7020
1,7780
1,8550
1,9330
2,0120
2,0900
2,1660
2,2370
2,2990
2,3500
2,3840
2,3930
2,3710
2,3070
2,1890
2,0040
1,7360
1,3670
0,8764
0,2416
—0,5619
—1,5600
—2,7810
—4,2500
—5,9920
—8,0310
—10,3800
—13,0500
—16,0300
—19,2900
—22,7900
—26,4500
Re h(
0,001588
0,001868
0,001989
0,001987
0,001892
0,001734
0,001536
0,001318
Reft;
0,6783
0,6784
0,6793
0,6817
0,6862
0,6933
0,7033
0,7159
0,7309
0,7473
0,7635
0,7775
0,7862
0,7859
0,7715
0,7371
0,6752
0,5768
0,4317
0,2274
—0,0499
—0,4162
—0,8893
—1,4890
—2,2360
—3,1530
—4,2620
—5,5870
—7,1490
—8,9650
—11,0500
—13,4000
—16,0200
—18,8700
—21,9200
—25,0900
—28,2600
—31,2800
—33,9400
—35,9500
—36,9700
Imft;
0,003834
0,003006
0,002264
0,001618
0,001072
0,000625
0,000272
0,000004
Imftg
—0,3916
—0,3860
—0,3683
—0,3372
—0,2912
—0,2290
—0,1492
—0,0503
0,0692
0,2108
0,3762
0,5670
0,7849
1,0320
1,3090
1,6170
1,9580
2,3330
2,7400
3,1780
3,6440
4,1330
4,6370
5,1440
5,6380
6,0980
6,4950
6,7950
6,9520
6,9100
6,6010
5,9440
4,8420
3,1840
0,8420
—2,3270
—6,4780
—11,7800
—18,4000
—26,4900
—36,2200
405
Продолжение таблицы 11.8
У
4,1
4.2
4,3
4,4
4,5
4,6
4,7
4,8
4,9
5,0
5,1
5,2
5,3
5,4
5,5
5,6
5.7
5.8
5,9
6,0
Reft,
3,2480
8,6640
15,4900
23,9100
34,0500
46,0300
59,8700
75,5100
92,7400
111,1600
130,1000
148,7000
165,6000
178,9000
186,3000
184,9000
171,1000
140,5000
88,2000
8,3000
Imft,
—30,1400
—33,6900
—36,8700
—39,3800
—40.8300
—40,7400
—38,5200
—33,4700
—24,8000
—11,5700
7,2200
32,6500
65,8100
107,7000
159,3000
221,0000
293,1000
374,8000
464,6000
559,4000
Reft;
—36,5300
—34,1000
—29,0200
—20,5000
—7.6600
10,4900
35,0500
67,1500
107,9000
158,3000
219,3000
291,1000
373,8000
466,1000
566,0000
669,5000
770,7000
861,2000
929,2000
959,4000
—47,6800
—60,9400
—75,9600
—92,5700
—110,5000
—129,1000
—147,6000
—164,8000
—179,1000
—188,3000
—189,7000
—179,7000
—154,2000
—108,1000
—35,8000
69,4000
214,2000
405,9000
651,1000
955,7000
Поскольку выражение для функции г|э (9) отличается от старого
лишь постоянным множителем, а ф (9) — та же, вторая скобка
в равенстве A1.69) выпадает. Слагаемые, заключенные в третью
скобку, малы вследствие плавности входящих туда величин.
Опуская их, приходим к уравнению
tPH
где
8 к >
+ й?<йН = ik3g (со),
A1.77)
fk (9) = ][-
а3 (в) A+a sin 6)"
•Мб).
В выражении для g (со) надо считать 9 функцией от со, неявно
заданной соотношением A1.72),. Как выяснится ниже, нет не-
необходимости определять явный вид этой зависимости.
Запишем последнее уравнение несколько иначе:
- g @I + №g @).
В качестве решения, соответствующего первому слагаемому правой
части, примем €безмоментное> решение
A1.78)
406
Законность этого приема свдали> от сточки» © = 0 ие вызывает
сомнения. Покажем, что и в окрестности © = 0 погрешность не-
невелика. Для этого разложим g (со) в ряд:
Тогда
Подставляя это выражение в левую часть уравнения, получаем
Члены, определяющие погрешность (невязку) решения A1.78),
заключены в квадратную скобку. Прежде всего, в силу плавно-
плавности g (со), коэффициенты этих членов невелики. Поэтому вторым
и невыписанными последующими слагаемыми, ведущими себя
в окрестности © = О так же, как и большие основные члены
(в фигурной скобке), можно пренебречь. Остается первый член,
не обращающийся в отличие от основных в нуль при © = 0.
Но и он несущественен. Действительно, сохраняя его и перенося
в правую часть, получаем там измененную постоянную tA.8 \g @) +
+ -гт- о » в СИЛУ плавности g (ее) лишь незначительно отлича-
отличающуюся от старой. Таким образом решение в форме A1.78) можно
считать приемлемым.
Перейдем к определению частного решения, отвечающего вто-
второму слагаемому правой части. Вводя снова переменную if =
= —йю, запишем уравнение для второго частного решения #<2>
в виде
?Л— + унт = -ikg @). A1.79)
Используем метод вариации произвольных постоянных. В приме-
применении к рассматриваемому уравнению он заключается в том,
что частное решение разыскивается в виде
Нт = Сг ft) Ut (^ + С8 to) U, to).
где Ux to)* Уш (^) — упомянутые решения однородного уравнения
(функции Эри). Продифференцируем последнее выражение по ip:
= CXU\ + C2U2 + [C\Ui + C2U2]
и приравняем нулю содержимое квадратной скобки:
C\Ui + СЩа = 0.
407
С учетом последнего равенства продифференцируем Я<2' еще раз:
Подставляя полученные выражения в уравнение A1.79), при-
приходим к равенству
[С, (Щ + $Ui) + С2 (Я + W) + C't/i + Cit/i = -iXg @).
В силу уравнения A1.65) члены, входящие в квадратную скобку,
обращаются в нуль. Поэтому для определения варьируемых
постоянных получаем систему уравнении
Ui W С[ fl>) + U2 (ф) С2 (ф) = 0,
U\ ft) С\ СФ) + U2 W) С'2 №) = -ftg @),
решением которой являются выражения
A1.80)
Величину
называют в теории дифференциальных уравнений вронскианом.
Равенство его нулю означает линейную зависимость функций.
Поскольку они у нас линейно независимы, вронскиан отличен от
нуля. Более того, можно показать, что он является постоянной
величиной. В самом деле, выпишем два тождественных для функ-
функций Эри соотношения:
Умножая первое из иих иа (—?/,), а второе на Ux и складывая,
получаем
0 =
= (UiUi - U\U2)' =
откуда
где i|j0 — любая точка из интервала изменения переменной •*]?.
Теперь из A1.80) следует
и.Ш [ L/, (т) dx
¦t '
408
Полагая здесь
гЬ = —too, i|j, = ioo, U1 = hi, U, = ht,
получаем
Я<8> (i|>) =-И* @) * (i|>), A1.81)
где
h, to) J ^ {x)dx + hl (to) I h, (т) dx\ -
функция, подробно рассмотренная С. А. Тумаркииым [192].
Подставляя выражение A1.81) в уравнение A1.79), обнаружи-
обнаруживаем, что во (ф) удовлетворяет уравнению
^^0=1. A1.82)
Функция е0 представима сходящимся иа всей комплексной пло-
плоскости рядом, принимающим для чисто мнимых значений аргу-
аргумента вид:
во W = ео @) [ 1 - ТГ (W + ТГ № ~
eb(O)iy[l—±-(iy)*+±L{iy)>-2±*-
^)в
где
е0 @) = 3-2'3Г (-^-) = 1,288, еб @) = — 3~1'3Т (-|-) = —0,9389.
В табл. 11.4, заимствованной из [232], приводятся значения
функции
A1-83)
при 0 < у < 6,0. Для отрицательных значений у следует исполь-
использовать следующие свойства четности и нечетности введенной
функции:
Re Е (—у) « Re Е (у), Im Е (—у) = —Im E (у),
Re Е' {-у) - -Re Е' (у), Im Е' (-у) = Im E (у), .
(Е (-у)) =Ё~(у), Е' (-у) = -Ёпу).
409
IO IO IO IO IO IO ЬО IO IO IO IO >- >-
ь
в
J3
я
п
СЛ оЬ 00 ^^ f^ Cji "^J <^p ^|5 ^^ ^
i ""^ CO 00 00 ^d &5 00 i^ Ю >~шк С
^ fQ 00 "^J ^^ *^^ 00 ^O ^Л CO CO O) ^5 00 O^ ^p ^^
СО О) СО •—' СО О5 СО СЭ О) h—* ОТ 00 СО '—' СЭ 00
00
я
п
en
Q
Э
00 Oo
Продолжение таблицы 11.4
У
2,55
2,60
2,65
2,70
2,75
2,80
2,85
2,90
2,95
3,00
3,05
3,10
3,15
3,20
3,25
3,30
3,35
3,40
3,45
3,50
3,55
3,60
3,65
3,70
3,75
3,80
3,85
3,90
3,95
4,00
4,05
4,10
4,15
4,20
4,25
4,30
4.35
4,40
4,45
4,50
4,55
4,60
4,65
4,70
4,75
4,80
4,85
4,90
4,95
5,00
Re E {у)
0,017
0,027
0,036
0,044
0,050
0,056
0,061
0,065
0,068
0,070
0,071
0,072
0,073
0,073
0,072
0,071
0,069
0,067
0,065
0,063
0,060
0,058
0,056
0,053
0,050
0,047
0,044
0,041
0,038
0,035
0,032
0,029
0,027
0,024
0,022
0,020
0,018
0,016
0,014
0,012
0,011
0,009
0,008
0,007
0,006
0,005
0,004
0,003
0,003
0,002
Re E' {у)
0,211
0,188
0,165
0,144
0,123
0,104
0,086
0,069
0.053
0,038
0,024
0,011
0,000
—0,010
—0.019
—0,027
—0,034
—0,040
—0,015
—0,050
—0.053
—0,056
—0,058
—0,059
—0,059
—0,059
—0,059
—0,058
—0,057
—0,056
—0,054
—0,052
—0,050
—0,048
—0,046
—0,043
—0,040
—0,038
—0,035
—0,032
—0,030
—0,027
—0,025
—0,022
—0,020
—0,018
—0,016
—0,014
—0,012
—0,010
1т?(у)
0,579
0,561
0,543
0,525
0,508
0,491
0,475
0,459
0,443
0,428
0,413
0,399
0,386
0,373
0,360
0,348
0,337
0,327
0,317
0,307
0,298
0,290
0,282
0,275
0,268
0,261
0,255
0,250
0,246
0,242
0,238
0,234
0,230
0,226
0,223
0,220
0,218
0,215
0,213-
0,210
0,208
0,206
0,205
0,203
0,201
0,200
0,198
0,197
0,195
0,191
Im E' (у)
—0,361
—0,358
—0,354
—0,349
—0,342
—0,335
—0,327
—0,318
—0.308
—0,298
—0,287
—0,276
—0,264
—0,253
—0,241
—0,230
—0,218
—0,206
—0,195
—0,184
—0,173
—0,163
—0,152
—0,142
—0.132
—0.123
—0,114
—0,106
—0,098
—0,090
—0,083
—0,077
—0,071
—0,066
—0,061
—0,057
—0,053
—0,049
—0,046
—0,043
—0,040
—0,038
—0,036
—0,034
—0,033
—0,031
—0,030
—0,029
—0,029
—0,028
411
Для | у | > 6,0 значения функции подсчитываются при помощи
ее асимптотического представления
С помощью соотношений A1.82), A1.83) нетрудно убедиться, что
функция Е (у) является решением уравнения
^--iyE(y)=l. A1.85)
Замечая, что согласно A1.77), и A1.67) g @) =/ft @) = i/2,
запишем частное решение Н = #<¦> + #<2> в окончательном виде:
A1.86)
совпадающем, по существу, с первым приближением С. А. Ту-
маркина [192].
При больших значениях | к со (9) | функцию Е (—Я.© (9)) мо-
можно заменить первым членом ее разложения A1.84)
^ • A1.87)
При этом частное решение принимает вид
что, как нетрудно видеть, соответствует принятию сбезмоментного
решения уравнения A1.77). Таким образом, построенное решение,
совпадая при больших значениях аргумента с сбезмоментным>,
в отличие от последнего справедливо и в окрестности 9 = 0. В ра-
работе [192] даются более точные выражения для частного решения.
Однако для практических целей вполне достаточно приведенного
выше приближенного решения.
В несколько иной форме дано частное решение в работах Клар-
Кларка и Рейсснера [232, 234]. Применительно к рассматриваемому
уравнению оно выглядит так:
Я (9) = ikg (•) Е (-От) = А ^'^О+^в)8 /ft (9) E <_
В силу соотношения A1.87) это выражение асимптотически стре-
стремится к «безмоментному», а при 9 -*¦ 0 (поскольку g (со) -*¦ g @)
при <о-»-0) сближаются с решением A1.81), соответствующим
уравнению A1.77), если правую часть последнего заменить ее зна-
значением при 9 = 0 (со = 0). Это решение несколько менее точно, чем
A1.86). В работе Кларка [235] дано его уточнение.
412
Таблица 11.5. Значения функции
е, •
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
—10
—20
-30
—40
—50
-60
—70
—80
—90
а
0
—0,3730
—0,3170
—0,2671
—0,2219
—0,1805
—0,1421
—0,1046
—0,0694
—0,0340
0,0000
0,0340
0,0694
0,1046
0,1421
0,1805
0,2219
0,2671
0,3170
0,3730
0,1
—0,3707
—0,3144
—0,2636
—0,2182
—0,1765
—0,1374
—0,1001
—0,0643
—0,0289
0,0050
0,0392
0,0740
0,1096
0,1463
0,1849
0,2262
0,2706
0,3200
0,3756
0,2
—0,3686
—0,3115
—0,2611
—0,2151
—0,1729
—0,1338
—0,0959
—0,0598
—0,0243
0,0100
0,0452
0,0790
0,1144
0,1514
0,1899
0,2310
0,2751
0,3233
0,3788
0,3
—0,3668
—0,3093
—0,2581
—0,2121
—0,1696
—0,1297
—0,0919
—0,0557
—0,0209
0,0150
0,0491
0,0844
0,1203
0,1572
0,1956
0,2362
0,2803
0,3284
0,3825
0,4
—0,3650
—0,3074
—0,2560
—0,2095
—0,1669
—0,1264
—0,0882
—0,0515
—0,0144
0,0200
0,0550
0,0902
0,1270
0,1638
0,2022
0,2429
0,2864
0,3342
0,3873
0,5
—0,3635
—0,3055
—0,2539
—0,2073
—0,1640
—0,1236
—0,0848
—0,0475
—0,0105
0,0250
0,0600
0,0966
0,1336
0,1713
0,2099
0,2510
0,2943
0,3408
0,3927
Вернемся к выражению A1.86). Ему согласно A1.68) отвечают
следующие решения уравнений A1.49IL:
W (9) - iL2 (9)
¦ Ф (9) Е (—к(о (9)),
A1.89)
A1.90)
где
1
^sin9(l+asin9)<os(G)'
1
i9(l + а sin 0) <os (9)
Значения функций Lx (9), La (9) и их первых производных приве-
приведены в табл. 11.5 и 11.6. Из A1.89) и A1.90) следует:
J" = Щ (9) + -?- Ф (9) со' (9) Е- (-йсо (9)) - \ <р' (9) Е (-Ы (9)),
A1.91)
щ- = Щ (9) + -?- Ф (9) to' (9) Е- (-йсо (9)) - А Ф' (9) Е (-Я-со (9)).
A1.92)
413
dW
I I I I I I I I
SSSSSSS
I
S
.o_p_opp o_oop
MOOoSoi
jtococntoototo
o^osoiuuu
ototoco
uuuio
ooooooooo
*-Eююоо<
*--л сло> we
p
^Э ^Э ^Э ^Э
¦ fe 00
>оо
ooooooooo
583888288
ооооооо<
I I I I I I I
ooooooooo
^^ ^^ ^^ ^^ f^ f^ f^s ^^ ^^
ЮС O) Ot Q 00 J Ю
ррррррррр
cno»--iooiO
ooooo
ЮООООО'— ¦—
o»
J--1
со о>--1 o--i о
ooooooooo
^^ W O5 ^? Q) ^J 00 ^^ O)
(O 00 00 ^J ^Ь CO 00 00 ^—
>OOQ — —
•>S-j en<
00 ¦—-J<
» об ^5 ^^ O5
W
a
JSSSggo
ooooooooo
WWtOtOtOtOtOtO'—
*ОЧ*ИООО
UooUo
wtototototototo —
^^ 00 00 *^^ 00 O5 ^*J 17^ ^^
hOO>OtOOW0№
ooooooooo
0U0U0U
>рр
So —jo —слспооЭГ1
oUoUUo
—¦& —SS — оосо
ooooooooo
cotototototototoi
—¦ 00 ел w to — — о <
о
о
о
II II II II I
оооооооос
II II II II I
ooooooooo
оо
ooooUo
— ьоьоьоьоюьососо
tOOCOOJO^
oUooUU
о
Vs
о
CO
H
s
J3
Ю
w
a
I
a
a
wjoo(
-ь— OCnt
**^ ^P СД *^" " СД 00 iO н&"
ЮООСО»—'ОСЛСЛКЭ
ooooooooo
э to to to t
p
ел
OMOlfrBOOO
(O0000— 00--1CO"? —
СЛИ" 00 СЛ CO CO *¦ W
5=83?йро«
— ^oc
>00 >
JS!
SUi>—*СпОООЭ>—WOO
^J "^ 00 00 СЛ О СЛ 00
5SSSSSS8S
oooooooo—
OOOMSoi^O
oooo*
OOOOOO-— —
3 CO CO CO с
58
!0>^i^QOK404
oooooooo—
JJOHH>JOoS^
SSSSSSSSSg
ooooooooo
ooooooooo
H
Ю
о
S3
s
и
r
s
-e
i
>— >— >— о ooo <
1
о о op о о op о
p p
—^-— ооооо
ooooooooo
O) O5 ^^ f f|i ^j ^^ ^^ ^j^
OOKUOOtOCn
ooooooooo
oooptsoooo
^О525^О5СЛС
ppppoppop
PPP
о орр о op о о
oooooo—"—"—
зслсЬ^|<>>^(
10>ШИ00О(
>(O I
>--ic
SSi
. J — (o -=i со i
о
"(О
о
s»
s
я
ю
I
s
a
pppppppop
y i"~* oo '"^ ^л **»i oo
ОЗ@09фОH
OOOOQ——
5^—О5СО
о
ел
Т аб л и
в, °
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
—10
—20
—30
—40
—50
—60
—70
—80
—90
ца 11.10
Значения функции
Ф'(в)
ос
0
0,1534
0,1268
0,1043
0,0849
0,0680
0,0527
0,0386
0,0252
0,0125
0,0000
—0,0125
—0,0252
—0,0386
—0,0527
—0,0680
—0,0849
—0,1043
—0,1268
—0,1534
0,1
0,1471
0,1180
0,0905
0,0676
0,0477
0,0296
0,0131
—0,0020
—0,0166
—0,0300
—0,0428
—0,0553
—0,0671
—0,0796
—0,0923
—0,1059
—0,1209
—0,1389
,-0,1607
0,2
0,1415
0,1081
0,0793
0,0537
0,0308
0,0098
—0,0095
—0,0275
—0,0437
—0,0600
—0,0750
—0,0881
—0,0998
—0,1112
—0,1218
—0,1320
—0,1423
—0,1540
—0,1695
0,3
0,1366
0,1010
0,0697
0,0419
0,0164
—0,0073
—0,0297
—0,0505
—0,0706
—0,0900
—0,1070
—0,1235
—0,1377
—0,1496
—0,1589
—0,1656
—0,1704
—0,1745
—0,1801
0,4
0,1323
0,0949
0,0618
0,0318
0,0041
—0,0224
—0,0478
—0,0721
—0,0972
—0,1200
—0,1432
—0,1630
—0,1815
—0,1962
—0,2058
—0,2098
—0,2077
—0,1993
—0,1936
0,5
0,1284
0,0895
0,0550
0,0233
—0,0066
—0,0355
—0,0638
—0,0920
—0,1212
—0,1500
—0,1781
—0,2064
—0,2318
—0,2528
—0,2666
—0,2694
—0,2603
—0,2388
—0,2103
Т а б л и
в, °
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
—10
—20
—30
—40
—50
—60
—70
—80
—90
ца 11.11
Значения функции
V (в) ш' (в)
а
0
0,9069
0,9275
0,9451
0,9599
0,9725
0,9825
0,9901
9,9956
0,9988
1,0000
0,9988
0,9956
0,9901
0,9825
0,9725
0,9599
0,9451
0,9275
0,9069
1
0,1 | 0,2
0,8492
0,8709
0,8878
0,9059
0,9236
0,9406
0,9570
0,9724
0,9869
1,0000
1,0111
,0202
,0272
,0290
,0279
,0224
,0119
0,9963
0,9752
0,8000
0,8191
0,8387
0,8590
0,8804
0,9030
0,9264
0,9506
0,9754
1,0000
1,0240
1,0463
1,0655
1,0814
1,0919
1,0960
1,0922
1,0791
1,0578
0,3
0,7572
0,7755
0,7955
0,8177
0,8420
0,8688
0,8980
0,9300
0,9641
1,0000
1,0368
1,0740
1,1094
1,1410
1,1671
1,1842
1,1902
1,1822
1,1601
0,4
0,7195
0,7374
0,7576
0,7808
0,8073
0,8376
0,8718
0,9104
0,9530
1,0000
,0505
,1035
,1575
,2096
,2560
,2921
,3124
,3132
,2911
0,5
0,6862
0,7035
0,7238
0,7479
0,7760
0,8090
0,8474
0,8917
0,9424
1,0000
1,0644
1,1354
,2111
1,2887
,3636
,4273
,4714
,4861
,4642
416
Для ускорения расчетов в табл. 11.7—11.9 приведены значения
функций ф (9), ф (9), ф (9) ш' (9). Отметим, что уже при не слиш-
слишком больших значениях X достаточную для практики точность
дают следующие упрощенные выражения:
X = W = - 4~ Ф (9) Е (-Ью (в)),
A1.93)
Глава 12
ТОРООБРАЗНЫЕ КОМПЕНСАТОРЫ
В этой главе будут рассмотрены круговые торообразные обо-
оболочки, замкнутые по ф. Такие оболочки широко используются
в машиностроении в тонкостенных конструкциях, выполненных
в виде оболочек вращения. Так, например, тепловые компенсаторы
обычно содержат торообразные участки. Плавные переходы с
одного диаметра на другой также обычно выполняются в виде
части торообразной поверхности. Широкое использование торо-
образных оболочек и специфические трудности их расчета (о них
было сказано в предыдущей главе) привлекали к ним внимание
многочисленных исследователей. Подробный список литературы
и критический обзор основных работ (до 1962 года) даны в [214].
Используя развитый в предыдущей главе асимптотический под-
подход, рассмотрим некоторые наиболее интересные задачи, стараясь
получить для них простые аналитические решения.
12.1. ОСЕВОЕ РАСТЯЖЕНИЕ
ТРУБЧАТОГО КОМПЕНСАТОРА
Рассмотрим полную цилиндрическую оболочку, разрезанную
по параллельному кругу 0 = —я/2, края которой соединены с ци-
цилиндрическими трубами (рис. 12.1). Расчетной нагрузкой является
осевая сила р°.
Прежде всего в этой главе мы не рассматриваем дислокацион-
дислокационных смещений. Кроме того, в настоящем параграфе р = О, так
что согласно A1.42J имеем (ф0 = 2я)
Vz 2na(l+asm9) *
Подсчитывая по этому выражению осевую силу, находим
2я
Р° = j" Qza (I +a sin 9) dq> = Etu®l; Щ = —. A2.1)
о
14 В. В. Новожилов и др. 417
По причинам, о которых будет
сказано ниже, ограничимся рас-
рассмотрением лишь частного реше-
решения, полагая тем самым (сравни
A1.39) с A1.49)х)
2я
Внося полученные выражения в
соотношения (см. п. 11.5), получаем
cos 6
z—: :—л
1 -\- asm 9
•ImX,
ay a
«cos 9
+ a sin 9
д8
x).
av
•¦/ 12 1
P°
Здесь av =~2^ напряжение, возникающее в цилиндриче-
цилиндрической трубе радиуса а и толщины h, растягиваемой той же силой Р°.
Далее для комплексных граничных величин
. Ehc *
Qp = QP -
a 1 + a sin 9
-, M1 = M1 + i-
a 1 + a sin 9
A2.4)
имеют место следующие упрощенные выражеиия:
q = __._Р» 1 у М = — (— -+- acos9 у}
^р па 1 + a sin 9 ' 1 nb \ dQ 'I -\- a sin 9 / *
A2.5)
Вертикальное взаимное расхождение кромок определяется по
формуле
Я/2
[eXdQ. A2.6)
= 2 [и,(—?-)_ и, (-«-)] =Jjgl j
-Й/2
Последнюю можно записать и несколько иначе
я/2
TbT5fI coseReXde,
j
—Я/2
обозначая через
A2.7)
A2.8)
расхождение кромок разрезанной цилиндрической трубы ради-
радиуса а, толщины Л и длины 2яа (т. е. трубы, как бы полученной
418
при разрезании рассматриваемого тора по меридиану и последую-
последующего его распрямления) под действием той же растягивающей
силы Р°. При этом полагается, что края трубы при расхождении
не поворачиваются.
Из симметрии рассматриваемой задачи следуют граничные
условия:
ф = О, Qp = 0 при 9 = я/2. A2.9)
На краю оболочки поставим те же граничные условия
ф =0, Qp =0 при 9 =—я/2. A2.10)
Первое из них оправдывается тем, что труба, к которой примыкает
край тора, обычно обладает значительно большей жесткостью
на изгиб. Второе условие обычно не выполняется. Но, как по-
показывают расчеты, для немалых значений 2ks это несоответствие
незначительно влияет на величину максимальных напряжений и
жесткость оболочки. Первые из соотношений в A2.4) и A2.5)
показывают, что условия A2.9) и A2.10) равносильны следующим:
= 0. A2.11)
При принятых граничных условиях можно ограничиться рас-
рассмотрением частного решения. Действительно, соотношения
A1.88) и A1.67) показывают, что при больших 2/fe2 H (9) удовлет-
удовлетворяет условиям A2.11), и нет необходимости привлекать решение
однородного уравнения. Таким образом можно принять:
X = Ф (9) Н (9) = iU (9) - \ Ф (9) Е (-Я.Ш (9));
?- = Щ (9) + Ц- Ф (9) со' (9) Е- (-Я.Ш (9)) * Ф' (9) Е (-Я.* (9))
1/3
0 30
A2.12)
И V
Подставляя Хи-^в выраже-
выражения A2.3), определяем значения
5000
0 30
¦•л1
-5000
•
1
\\
/
//
\
\
\
J
rv
Г
\
9,'
Рис. 12.2
14»
Рис. 12.3
419
напряжений в оболочке. На рис. 12.2 и 12.3 представлены наи-
наиболее интересные напряжения: кольцевые тангенциальные ат,
и меридиональные изгибные <Xjm,, подсчитанные для оболочки с па-
параметрами:
а =8,49" (дюймов); Е = 29,0- W'pst (фунт/дюйм2);
Л =0,666"; Ъ =2,16"; v =0,3
A дюйм = 2,54 см; 1 фунт = 0,454 кг; Ipsi = 0,0703 кг/сма);
2k2 =27,5; а =0,254; Р = —1000/bs (фунтов). A2.13)
Сплошной чертой показаны значения, подсчитанные по полным
формулам, а пунктиром — по упрощенным (когда в соотношениях
A2.3) и A2.12) сохраняются лишь главные — подчеркнутые —
члены). Кружками показаны экспериментальные значения на-
напряжений [238]. Как видно из приведенных рисунков, для имею-
имеющего место значения главного параметра Bk2 = 27,5) упрощен-
упрощенные формулы дают хорошее приближение.
Подсчитывая входящий в A2.6) интеграл, получаем
бк/в0 == 0,0726. A2.14)
Соответствующее экспериментальное значение — -J^- = 0,0825.
о0
Асимптотический метод дает возможность получить простые
формулы для наиболее интересных величин. Следуя Кларку
[232], получим эти формулы. Прежде всего из A2.3)г и табл. 11.4
следует, что aTl принимает максимальное значение при 9. = 0.
Согласно A2.12) и A2.3)а имеем
4
.
Отсюда следует первая формула К,ларка
(q^max = 2.15 A - v2)'/3 а-1/зр2/з (а e bjat p = bjK)
Далее, принимая во внимание, что -jg- > X, для ом, следует
принять упрощенное выражение
Максимального значения эта величина достигает там, где
Re Е' (у) = max, т. е. Re E" (у) =0.
Согласно A1.85) такие точки отвечают корням уравнения
у \гаЕ (у) =1.
Первый корень равен
у. = (-Лад = ±1,225, ш, = =f -^-.
420
С помощью табл. 11.1 легко находится 9, = 9 (со.). При больших
к можно (см. A1.72)) приближенно считать
Поскольку
Re E' (—Хсо.) = 0,753,
из A2.16) и A2.12) находим
Таким образом нами получена (с несущественным уточнением)
вторая формула К,ларка
(Ом')тах = ±2,99 A - v2)-1^ «-
A2.17)
Рассмотрим, наконец, формулу A2.7). При больших 2&а можно
считать
Re X = — А. ф (9) Re ? (—Хсо),
а тогда
П/2 Я/2
/= j cos9ReA:d9 = 4- j -^-Ф(9) Re (-^co)d (-М-
—Я/2 —П/2
Поскольку Я, ^> 1, из табл. 11.4 видно, что величина Re Е (—А,со)
существенна лишь при малых значениях | 9 |. Поэтому в подынте-
подынтегральном выражении можно положить (cos 9/со'(9)) ф (9) « 1.
Перейдем теперь к интегрированию по у = —А,со. Поскольку пре-
пределам интегрирования —л/2, л/2 отвечают большие величины
| | Я. | |
(| ( | (| -5-) |, при-
ближенно можно считать интеграл взятым в бесконечных пределах.
А тогда, учитывая свойства четности A1.84), получаем
—00 ОО
J =4" j Re?@)dy = —
оо 0
Из интегрального представления функции Е (у) [192] следует
равенство
= — л/2.
о
Учитывая это, получаем третью формулу Кларка
4f
C2..8,
421
Подсчитанное по этой формуле расхождение кромок для парамет-
параметров A2.13) дает &V = 0,0727б0 — величину, очень близкую к
A2.14). Асимптотические значения максимальных напряжений,
подсчитанные по первой и второй формулам Кларка, помечены
на рис. 12.2 и 12.3 крестиками.
12.2. ТРУБЧАТЫЙ КОМПЕНСАТОР
ПОД ДЕЙСТВИЕМ ОСЕВОЙ СИЛЫ
И НОРМАЛЬНОГО ДАВЛЕНИЯ. ЗАМКНУТЫЙ ТОР
Пусть рассмотренная в предыдущем параграфе оболочка на-
нагружена помимо осевой силы еще и нормальным давлением. Пре-
Пренебрегая в п. 11.5 заведомо малыми членами, получаем выраже-
выражения для напряжений:
1 + 0.5а sin в ) , Г sin 9 . 2 cos в
) + ° { +
«sin 6 ) + °" { 1+asine + l+asin9
v
Х
12 n /I dX . vcosB v\ 1
—г Re (— -25- + 1+asin9 X) \,
Здесь помимо av = P°/2nah введена величина <хр = —-, пред-
представляющая собой кольцевое напряжение в отвечающей тору
цилиндрической трубе. Входящая в av величина Р° легко связы-
связывается с осевой растягивающей силой в трубе
Fz = {2па A + a sin 9) Qz) |в=-я/2.
Действительно, подставляя сюда согласно A1.42)а и A2.1) вы-
выражение
П -Г)«- рЬ 2 +«sin 8 ^Q , Р° 1
Q.-Q.--2- 1 + gsine Sin9 + -2H7 i + «s
получаем
Ft = P° — B — a) nabp.
Из A2.20) видно также, что Р° — осевая сила на параллельном
круге 9=0.
Далее с помощью равенств A1.41) и A2.2) получаем
6у = 2 [и, (-я/2) - иг (я/2)] -
Я/2
1
—Я/2
422
Но согласно A1.61) и A1.58)
Я/2
2ЬрЬ
-Я/2
2л I ? sin 8 rf8 _ лрУ I — Уг («)
2п J
Eh 2 2л J 1 + a sin 8 Eh a
_ npb* I ~S/\— a? — 1
"" Eh
—Я/2
Нетрудно получить асимптотические формулы, аналогичные
приведенным в предыдущем параграфе. Так же, как и там, при
больших значениях 2k*
Я/2
a/2
Теперь равенству A2.21) можно придать следующий вид:
Л — / У1 —«' — 1 \ "Рб" , ЬРО
v ~ \ ауТ^Г» ¦] —ЩГ + ~Ш
или
В случае совместного действия осевой силы и нормального дав-
давления необходимо, вообще говоря, сохранить в приведенных выше
соотношениях как члены, содержащие р, так и члены с Р°. Но
в зависимости от их относительной значимости можно идти на те
или иные упрощения. Рассмотрим три основных случая.
а) ov > dp.
В этом случае можно пренебречь всеми зависящими от р членами
и пользоваться соотношениями предыдущего параграфа.
б) Ov ~ СГр,
т. е. случай, когда оба напряжения являются величинами одного
порядка. При этом, как нетрудно видеть, формулы для напряжений
A2.19) сохраняются, а A2.22) переходят в A2.18)
в) оу < <Хр.
423
0,6
п а
¦
/
У
/
/
/
При этом напряжения опреде-
определяются из упрощенных формул:
рг, _ 1+0.5а sin 8 °т, _ 1
1+asinB ' о,
Ом, =
а соотношения A2.22) сохра-
осГ няются.
Примером последнего может
служить замкнутая торообраз-
ная оболочка, нагруженная нормальным давлением. Поскольку
расхождение кромок при этом отсутствует,
0 0,1
Рис. 12.4
1 — «а— 1
т. е.
А тогда
a Vl— a2 / 4/3A—v2) о
l_yi_aa \ j h r) dX
а Т/1—аа
2A—
A2.23)
Из полученного выражения видно, что в рассматриваемой задаче
роль изгибающих моментов невелика. Нетрудно провести и их
асимптотическую оценку. Так, из A2.23) и A2.12) находим, ис-
используя табл. 11.4:
а /1 — а2
!4йГ<Р)|; A2-24)
@) = ? (-1.288) = - if® (V
= —1.472 A - v2)^ a2/3 p3 U=-L\
Подставляя полученное выражение в A2.24), получаем
=0.736
-i/e. A2.25)
424
Значения величины
приведены на рис. 12.4.
Рассмотрим два примера.
1. а =0,1, Р =20, v =0,3 {2k% =6,61);
„nr (aMt) щ,х 0,736-0,5-0,1-0,25
V05 = O=
V o09Oji
Малость Ом1 объясняется, в основном, малостью параметра ос.
2. а = 0,254, Р = 32,8, v = 0,3 B?2 = 27,5);
»x _ 0,736-0,517-0,254-0,402 „-,
5 0,94-3,2 = 0,013.
Рассмотренные примеры показывают, что при умеренных зна-
значениях а для замкнутой торообразной оболочки можно пользо-
пользоваться обычно приводимым в справочниках безмоментным реше-
решением Фёпля:
1 + 0,5д sin 8 1 pb
12.3. ИЗГИБ ЧЕТВЕРТИ ТОРА
РАСПРЕДЕЛЕННЫМ КРАЕВЫМ МОМЕНТОМ
Рассмотрим задачу об изгибе четверти тора краевым распреде-
распределенным моментом (рис. 12.5), приложенным в сечении 9=0.
Поскольку поверхностная нагрузка отсутствует, а краевая само-
самоуравновешена, рассмотрению подлежит лишь однородная задача.
Соотношения (см. п. 11.5) записывается следующим образом:
„ Ehc a cos в . гп ., Eht? D
5=0 f
E№ p | dbn a cos 8 г,
A2.27)
e
-, uz = uz@) — bJcos9Re*nd9,
о
A2.28)
» . Ehc Ьп
j
0 imagine a l+asin6'
Ehc "P
-s- 1+aPsin9 =
A2.29)
425
Примем для X упрощенное выражение A1.76)
(Сх = Аг + 1ВЪ С2 = А2 + /Яг),
fln = (/4i + iBj hi (—jA,co) + (At +152) Л„ (—
откуда
-g- = —Л©' (9) {(Л, + iB,) ft (—/А,©) + (Л2 + iB2) hi (-Л©)}.
Для того чтобы можно было пользоваться табл. 11.3, составленной
для положительных значений аргумента, перепишем последние
выражения с помощью A1.75) несколько иначе:
~ = —iA,©' (8) {(Л, + 1В$ЩЩ + (Л2 + iBi) hi (iA,©)}. A2.30)
dQ
Граничные условия рассматриваемой задачи:
Мг = Ма, Qp = 0 при 9 = О,
Л^1 == О, QP = О при 9 = -я-,
если опустить в A2.29) подчеркнутый малый член, записываются
в виде
—г- Re ~35~ = Mo, Im ип = 0 при 9 = 0,
о аи Г
Re-|^-= 0, Im *п = 0 при 9 =-|-.
Подставляя сюда выражения A2.30) и пользуясь табл. 11.3,
получаем систему уравнений для определения произвольных по-
постоянных:
1_
0.67J
Im {(At + i5i) Ла (iA,© (л/2) + (Л, + iBg) Лг (Д© (я/2))} = 0,
1ш {(А, + i5i) Л2 (а© (я/2) + (Л2 + iB2) /ij (tA,© (я/2))} = 0.
Подставляя найденные из нее значения постоянных в приведенные
выше выражения, приходим к формулам для интересующих нас
величин.
Если 2№ достаточно велико, можно использовать прием раз-
раздельного удовлетворения граничным условиям, удовлетворяя
с помощью h\ граничным условиям на краю 9 = 0 и с помощью
Ла — на краю 9 = л/2. Такое расчленение задачи основывается
на экспоненциальном характере затухания функций Ханкеля при
удалении от соответствующего края.
Поскольку край 9 = я/2 свободен, прежде всего получаем
Аг = Вх = 0.
426
А тогда
At = О, Я, =
Теперь
Re
= ЬМ0 1
Е№% 0.6783 *
Щ
~
I __„ __„ J
Рис. 12.5
' Re/ti (tt,©), Im ^- = —В2Я©' Im /if (&©).
Подставляя эти выражения в формулы A2.27) и A2.28), получаем
= 1,474 { ©' Re « (/Я©) + -у- 1
1в
ам,
- = 1,474 Jv©' Re Л,' AЫ) + -g- ygg^ Iш ft, (
-Jb. = о,852 j/"l - v2 {—©' Im /if (&©)},
Л1
Подчеркнутые члены малы и могут быть опущены. Входящая сюда
величина ©' (9) определяется из табл. 11.2. Величина же аи, =
= ,2* представляет собой изгибное напряжение на краю 9=0.
Далее
ыр = — 5,11 VT=
= иг @) - »z (-%-) =
©' (9) A + a sin 9) Im h\ (tA,©), A2.32)
Я/2
\ cos9 Im hi (t'A.©) d9. A2.33)
о
Из приведенных соотношений видно, что (aTt)mas = ат, @). При
этом согласно табл. 11.2, 11.3
-fit- = —0,333 ]Л -v2.
Из A2.32) после небольших преобразований следует
(«pW = «р @) = — 0,333 УТ^ё
Наконец,
Я/2
/ = Г cos 9 Im hx (I
о
Я/2
427
a)
5)
0.1
О
'ч
«ч/Ч
4
/у
\
1
/
V
|\
г-
\
s
г-*
О 10
\
/
\
/
\
к
.
л
<ч/ч
\
¦
<V4
I
\
г
«
/
\
\
\
\
/ 11
*=21,5\
=0.254]
A
у
\
/
}
\
2
\
\
$
2k=№
a
/
1
s
,=0.1
\
010
e,c
0,1
0
010
Рис. 12.7
a.'
где hx (&ю (9)) — быстро убывающая функция, так что основную
часть интеграла дает участок, примыкающий к 9=0. На нем
1. Поэтому
я/2
Ха (я/2)
-J- \ Im Л1 (t
о
—
Подставляя это выражение в A2.33), получаем
GO
-^- J 1ш Лх (i
6„ - 0,852 ]Л -v2
Подсчет с учетом табл. 3 дает
= — 0,873.
Теперь для величины расхождения кромок имеем простую фор-
формулу
A2.34)
С помощью приведенных выше формул были проведены расчеты
для оболочек с теми же параметрами, что и в предыдущем парагра-
параграфе. На рис. 12.6, а линией с точками показаны напряжения, под-
подсчитанные с учетом взаимного влияния краев для 2k? = 6,61
и а =0,1. Линией с крестиками показаны те же величины, под-
428
считанные по формулам A2.31), отвечающим раздельному удов-
удовлетворению граничным условиям. На рис. 12.6 значения напря-
напряжений (с учетом взаимного влияния краев) те же, что и на преды-
предыдущем рисунке, сравниваются с подсчитанными по формулам
Кларка [232] (крестики). Как и следовало ожидать, решения
практически совпадают. Кружком показано асимптотическое зна-
значение величины (ат,)тах./вм<,- Характер затухания напряжений
по мере удаления от края, в зависимости от значения основного
параметра 2?*, виден из рис. 12.7.
12.4. ЛИНЗОВЫЙ КОМПЕНСАТОР БЕЗ КОЛЬЦЕВОЙ
ПЛАСТИНЫ. ГОФРИРОВАННАЯ ТРУБА
Линзовый компенсатор без кольцевой пластины (рис. 12.8, а) и
гофрированная труба (рис. 12.8, б) представляют собой круговые
торообразные оболочки, составленные из участков двух видов:
I — для которых 0-^9^ л/2;
II — для которых — л/2 <: 9 <: 0.
Участки первого типа были рассмотрены выше. Участки же
второго типа отличаются от них только тем, что оии перевернуты
относительно горизонтали. Поэтому, в соответствии с ранее при-
принятыми обозначениями, сле-
следует принять положительные
направления статических и
геометрических величин в со-
соответствии с рис. 12.9. Со-
Согласно этому рисунку усло-
условия упругого сопряжения
обоих участков записываются
в виде:
Qp = Q". М\ = —М\\
и\ = ulp\ d1 = —дп; A2.35)
при 91 = 9» =
A2.36)
Рис. 12.8
Рис. 12.9
429
Соотношения A2.29) показывают, что вещественные условия со-
сопряжения A2.35) можно заменить двумя комплексными
QP = Q", М\ = -М\\ A2.37)
Здесь черта над волной обозначает операцию комплексного со-
сопряжения.
Учитывая равенство A2.36) и то, что
р\ = _рп = р>
можно с помощью соотношений A2.2), A1.89), A1.91), A1.76),
A1.84) и A1.75) получить
^ [ (9) - -j
Ж = lffii[iL'*W-T4(Q)n' ЩЕ' (Хм (в))- -|-ф'
— а©' () [
S [lLi (9) + "Г
— -J- Ф' (9) ? (—Хш (9))] - tX,©' (9) [СТЛ! (—iX,©) + C2A2 (—Л©)].
A2.38)
Теперь с помощью равенств A1.48) (опуская в последнем из них
подчеркнутый малый член) выпишем условия сопряжения A2.37)
в развернутом виде (значения функций Е {у), Ах (it/), /ц (it/) заим-
заимствуем из табл. 11.3 и 11.4):
+ П,О74(СГ-С5)}>
[»X;@)--j- (-Я),939)+ -у 0,3а (-1,288)] -
nEhc
- i%[C{ @,6783 + Ю.3916) +Cz @,6783 - Ю.3916)] =
[-1Ц @) + -^ (-10,939) +-|- 0,3a (-1,288)] -
@,6-783 - Ю.3916) + C5 @,6783 -f- tO,3916)J. A1.39)
Р°
430
Отбрасывая подчеркнутые малые члены, получаем два уравнения
для четырех произвольных постоянных:
-с; + с; + сг - & = -|?- (-1,86),
@,6783 + Ю.3916) (С| - Й) + @,6783 - Ю.3916) (С'2-СТ) =
Остальные два уравнения находим из граничных условий при
0 = —я/2 и 0 = л/2. В рассматриваемой нами задаче о расчете
гофрированной трубы из соображений симметрии следуют гра-
граничные условия:
Qp = 0, d = 0 при 0 = ±-^-,
представимые согласно A2.4) в комплексной форме
Qp = 0 при 8 = ±-у.
С помощью соотношений A1.42)х им можно придать более удобный
вид:
*(.f)=0, *"(--?-)-0.
Подставляя сюда выражения A2.38) и разрешая полученные урав-
уравнения относительно С\ и С<>, получаем
1
(я/2))
*•('»• (т))
(Табл. 11.3 показывает, что уже при не очень больших значениях %
можно считать
С\=С2 = 0, A2.42)
пренебрегая, тем самым, взаимным влиянием краев.)
Таким образом, расчет гофрированной трубы сводится к реше-
решению системы уравнений A2.40), A2.41). После определения по-
постоянных смещения и напряжения определяются по формулам
A1.40) и A1.41).
431
Следуя Кларку [2321, получим простые прикидочные формулы
для максимальных значений напряжений и расхождения кромок
гофра. Начнем с рассмотрения случая осевой силы.
Осевая сила. Предположим, что взаимным влиянием краев
можно пренебречь, т. е. примем равенства A2.42). Разрешая
систему A2.40) относительно оставшихся постоянных, получаем:
U = @,517 + 1-0,298)^, С\ = (-0,517 + 1-0,298)^.
Желая получить предельно простые формулы, сохраним в вы-
выражениях A2.38), A2.39) лишь основные члены. Тогда:
[-f (9) ^И +1 >04 <! + ю'578>
PZaf] 'Ф <9> ^~^> - П >04 <* + Ю>578>
Sk Е (-*и) — 1.04 A — Ю.578) К (-
il,04 A — iO,l
A2.43)
Отсюда и из A1.40) видно, что определяющими в рассматривае-
рассматриваемом случае также являются напряжения ат, и ам,- При этом для
них имеют место следующие упрощенные выражения:
— 1,04 [ReЛ| (iX,| ©|) +0,578 Im/t[(&|©|)]},
Ом, = -F:
—va)
+ 1,04 [Im Л{ (Л| © I) - 0,578Reh\ (ik\n |)]}. A2.44)
Здесь верхние знаки следует брать для первого участка 0 <: 9 <
<; л/2, а нижний — для второго —л/2 < в << 0. Отметим, что
формула A2.44)г написана с учетом того обстоятельства, что на-
наружная стенка второго участка отвечает отрицательному направ-
направлению нормали, так что, удерживая на первом участке знак минус,
а на втором — знак плюс, мы получаем значения изгибных напря-
напряжений на внешней стенке компенсатора.
Определим вначале (аТг)тя%. Как показал анализ, проведенный
Кларком [232], выражение, заключенное в фигурную скобку
в A2.44)i, достигает максимального значения при
А.©, = 1,89, (о,(9,) = -^.
С помощью табл. 3 и 4 находим (ф (%) « 1)
1ш?'A,89) = — 0,240, Re h[( 1,89) = 0,252, Im/ti A,89) = —0,171.
432
Подставляя эти значения в A2.44)! и вспоминая, что
к = {(Vl2(l-v)*) сф}1/3 ф = b/h),
получаем
_^М = —0,91 A - v»)'/»a-'/»p»/»<D' (9») (<rv = -g^jj-). A2.45)
Выражение, заключенное в A2.44J в фигурную скобку, достигает
1 35
максимума при ©„ (9„) = -^—. Аналогично предыдущему по-
лучаем
~±
~±- = —1,615 A - v2)-1/6a~I/3P2/3a)' (9*). A2.46)
Приближенные выражения для максимальных значений на
втором участке подсчитываются по формуле A2.46), а для коль-
кольцевых тангенциальных — по формуле, отличающейся от A2.45J
лишь знаком. Это нетрудно установить из второго равенства
" " ' dQ - dQ '
следующего, как и первое, из соотношений A2.43).
Далее из A1.41 )а получаем для расхождения одной волны гофра
следующее выражение:
-тР-[*т-*(т)]-Ь(-т)-«.
Гя/2 О "I
= 6 f cos9Re«id9- f Cos9Re*>"d9 =
L 0 —Я/2 -I
—Я/2
A2.47)
где
я/2
Ух = —X J cos 9 (ф (9) Re Е (Кои) -
о
— 1,04 [Re/h (Ли) + 0,578 Im hx (iho)]}dQ,
Я/2
/а = A, J cos9 (ф (9) Re E (—km) —
о
- 1,04 [ReAi (—a©) + 0,578 Im ftx (—iX©)]} did.
Кроме того, имеем
Я/2
/l=~ J -^gj-(Ф (в) Re ?(X«d)-1,04^/^(^@) +
о
+ 0.5781П1Л! (a©)]) d(Xee).
433
Как и в п. 12.1, можно заменить плав-
плавные подчеркнутые сомножители их зна-
значениями прн 9 = 0. А тогда, переходя
к интегрированию по у — ка> и заме-
заменяя ка> (л/2) на оо, находим
оо
Л = - J {ReE (у) - 1,04 [Re/t!(iy) +
о
+ 0,578 lmhi(iy)]\ dy.
С помощью подстановки у = —А,со по-
получаем для У2 точно такое же выраже-
выражение. Теперь формула A2.47) может
быть представлена в виде
С помощью обозначения A2.8) ее можно записать и так:
бу _ 2 1 .
/
ч
/
г
1
J
\
\
г
\1
VT
А
\\
N
I
\
v
L
\
J
</
/
/
t
-
k* n
Численное интегрирование дает Ух = 0,526. А тогда
A2.48)
Внутреннее давление. Пусть теперь Р° = 0, р Ф 0. «Точное»
решение следует искать тем же путем, что и в случае осевой силы.
Желая получить приближенные (прикидочные) формулы, пре-
пренебрежем взаимным влиянием краев (опуская в A2.40) постоянные
С'\ и C'i)- В результате приходим к уравнениям, определяющим *
постоянные С'ъ, С[. Решая его, получаем:
P = -Jj?-|iO,93OXe'(e)Ai'
dQ ~~ Ehc
db" pba
Проделывая преобразования, аналогичные проведенным выше,
приходим к формулам Кларка
(<Тг'>шах = 0,955 A - v2)'/6 а-2
= 0,955 A - ^)-иза-
-^- = 2,13A -
A2.49)
A2.50)
434
где
J = — j Re hx (iy)dy = 0,504.
A2.51)
С помощью формул A2.44) были построены эпюры, показанные
на рис. 12.10. Крестиками на них показаны максимальные на-
напряжения, подсчитанные по асимптотическим формулам A2.45),
A2.46). Параметры оболочки 2k3 = 27,5, а = 0,254.
12.5. СЛУЧАИ ОБРАТНОСИММЕТРИЧНОГО
НАГРУЖЕНИЯ
Рассмотрим вкратце обратносимметричное нагружение торооб-
разной компенсаторов, обратив основное внимание на получение
простых асимптотических зависимостей. Прежде всего, отделяя
в соотношениях A1.48) вещественные части и подсчитывая по
выражениям
С08Ф n_D»n СО8Ф
составляющие главного момента и главного вектора, получаем,
например, (рис. 12.11)
2Я
&х = \ И—sin<p) Mi — [а A + « sin 0) sinq>Qz]} a A + а sin 0)Лф =
о
= Ehc{—Ul-bcosQQl].
Аналогично подсчитываются и другие составляющие, так что
Вх = Ehc {—ТРХ — b cos eSJ,}, Fx
By = Eke \—Uy + b cos 0Q1*}, Fy
Введем обозначения
F°x = — EhcQx, Fl = — Ehc&L
x = —11пиъйх>
fx = -EhcUx,
B°g = —EhcU\,
с помощью которых предыду-
предыдущие равенства записываются
так:
Fy = FJ, В„ = Bl — b cos 6FJ.
A2.52)
Отсюда видно, что F°x и FJ ото-
отождествляются с постоянными
(поверхностная нагрузка отсут-
Рис. 12.11
435
ствует) вдоль оси оболочки сдвигающими силами. Смысл В° и
В°у усматривается из следующих по A2.52) равенств:
Вх = Вх (-я/2) = Вх (я/2), В* = Ву (-л/2) = Ву (я/2).
Сравнивая теперь уравнения A1.45) с A1.49)а,3, получаем,
рассматривая пока только частное решение и опуская дислокаци-
дислокационные смещения,
—U у «# 1 2 I —"и г *
Ux •r+Qi-aZ) = -li^( 50 'K+F0-^J.
Напомним, что согласно A1.53) и A1.54)
а cos9 7
v v
2 l+asine- -«-г. 2 1+asin9-
С помощью выписанных выражений приводим соотношения
A1.46) к виду:
™ _ —В<и ( . 2 cos 9 • у1 sin 9 — a cos2 9
1I ~~ { 1
В°х { 1 яа2 l+asine яа2 (l+asin9J
ж f . _2а_ cos 9 ™ , с^ cos 9
F°y 1' "яа" 1 + a sin 9 ¦" "яа" A + a sin 9J
i { 1 -f- a cos 0 v
х, _~~В°У{- 2 ( dX «cos 9 у\ 1 sin 9
г> х ~~ 5J 1 яа* W9 + 1 + a sin 9 / яа2 1 + a sin 9
Ehc (d^° I acos9
1 hl
F°u\ ла \dQ ^ l+asine W) b
•^ 5» f _. _2 1 „ 1_ «cos 9 ]
>x 5»! яа8 l+asin9 яа2 (l+asin9J I"
I
яа l+asin9 ^ яа (l+asin9J
где согласно A1.76) общее решение однородного уравнения (пс)°
может быть принято в виде
436
Далее из A1.47) находим
Г 8
2а N acosQ Г cos 9' Re X ^Q,
L 8.
9 If0
"" J l+asin9' d9' + po \~~ ~Шс) Х
8, J CV
Lcos9 f cos9-Rerrfe,_ f (aine-+a)Rer Л
I J 1 -f- a sin 9 J 1 -f- a sin 9 '
L 8. 8o J
fl Г cos 9' Re (nt)° ,„, _ Г (sin 9' + a) ] *~
J 1 + a sin 9' J 1 + a sir
80 во
+ M«COS9 \ ТГ^ГаТ ^- \ ^'"Г ZZnl'rX)° dQ'\-
+1-
2a \ L w Г cos 9' Re W . ,1
--H?ATJ Reir+aj 1+asin6/ d0
L 8. -1
A2.54)
И, наконец, из A1.48) следует
2 X , a cos 9
l+asin9^naa (l+asin9)!
F\
Л
i*| • 2a W a a -f sin 9 ]_•_?/
"'"Р»!1 яа l+asin9 + na A -f-asin9J J ~~ l a
B
»[ , 2 Xa. cos9
l-f-asin9
1
J "^
l+asin9 na2 A+asin 9)
, ~F*f ,¦ 2« Г 1 (l-«2) 1
~ F% 1 яа 1 + a sin в ' na A+a sin 9)" j "*"
=Ft
a 1 1 +
a sin 9 j'
~By S _2c 1 / dX ? a cos 9 y\ _
5» 1 na26 A+a sin 9) W9 ^ l 1 + a sin 9 /
437
1
1
2с
па2 (l-f-asin9J
W , n a cos 9 ,
F°u { яа2 1 + a sin 6
ЕЫ*
1
а cos в
ab A -f- a sin 9) { dQ
2c / d (rx
**„= „|-
l+asin9 / яа A+a sin вJ
t, a cos 8 ,'—',
1 + a sin в ' "*J
„ a cos в .*-~
1 + a sin 9
a cos в
1 + а sin 9
W
+ а sin в
A2.55)
12.6. ТРУБЧАТЫЙ КОМПЕНСАТОР
В УСЛОВИЯХ ИЗГИБА И СДВИГА
Изгиб трубчатого компенсатора моментом. Пусть полный
трубчатый компенсатор изгибается моментом В% (рис. 12.12).
В приведенных выше соотношениях будем считать отличной
от нуля лишь постоянную В°и. Примем следующие граничные
условия:
Qp, 1 ("/2) = 0, (пс) (я/2) = 0; Qp, х (- я/2) = 0, (гх) (- я/2) = 0.
A2.56)
Граничные условия в сечении Э = я/2 выполняются, поскольку
там по симметрии задачи отсутствуют перерезывающее усилие QP) x
и упругий поворот (rv). Четвертое условие в A2.56) также прибли-
приближенно выполняется, поскольку край более толстой трубы обла-
обладает значительно большей изгибной жест-
жесткостью, нежели край компенсатора. В за-
защиту остающегося условия можно привести
лишь следующий довод: край цилиндри-
цилиндрической трубы, работая на изгиб, не мо-
может создать значительного распора. По-
Поэтому нарушение третьего условия, по-
видимому, не очень значительно и(для не
слишком малых 2k2) не вносит в решение
существенной погрешности.
Согласно A1.48) условия A2.56) рав-
равносильны двум комплексным:
Рис. 12.12
QPA(n/2)=0.
438
С учетом сказанного выше (ц = ]/12A — v2))
i _ Re fb t _ „ cos 9 fm у I sin 9 — a cos2 9
~ ~ z +asin9 *m л i~ (l-f-asin9J
acos9 v"l . sin 9
1 + a sin 9 j ' 1 + a sin 9 '
2 im у _ «cos 9
im л (l+asin9J'
l2p / <Of . «cos9 y|
12 n f dX . ., , . a cos 9
Re v + A +v)
|jkx I dd v ' ' 1 -f- a sin 9
_ 12A-v) 1
~" ц l+asin9
oe ~ OoA2 ~" ц l+asin9
B°
Здесь a0 = —c-\— максимальное растягивающее напряжение
в цилиндрической трубе (радиуса а, толщины Л), изгибаемой
тем же самым моментом В\.
Далее из равенств A2.54) следует:
naEhc 1 *
2aB?.
f cos 9'Re X .o,l
] |+ttsme, ^ -as,
A2.58)
в,
В полученных формулах под X (9) и X' (9) следует понимать
выражения A1.89) и A1.91). Хорошее приближение обычно
дают, и упрощенные выражения A1.93). Приняв их, получаем,
сохраняя в A2.57) только главные члены:
^¦ = 1у?(в)»'.(9I1п?({-к(в)||
-^- = — %\ (9) со' (в)Re Е' {—Ха> (9)}. A2.59)
Нетрудно получить и асимптотические формулы для максималь-
максимальных значений напряжений, аналогичные формулам Кларка
(см. п. 12.1).
439
Так, поскольку (табл. 11.4)
max [Im Е' {—Ь> @)}] = Im E' @) = 0,939
X, = f 12A -vJ
имеем
—^J. = 2,15 A - v2I/3 а
Сравнивая полученное выражение с A2.15), видим, что они совпа-
совпадают с точностью до замены величины av на <т0 из A2.57).
Совершенно аналогично тому, как это было сделано в п. 12.1,
получаем аналог второй формулы Кларка:
blV *' = ±2,99 A - vV/e«-I/8P2/84> Ф*) ®" Ф*) A2.60)
Определим жесткость компенсатора. Из рис. 12.12 и формул
A2.58)!, A1.50)
. „„ Я/2
1+ttsin9
-Я/2
naEhc
Последний интеграл может быть записан в виде
Я/2
-Я/2
Поступая совершенно так же, как и в конце п. 12.1, находим J
« л. А тогда
или, поскольку
"п с ' ~ —*"" - 12A-v2) '
имеем
_ 2 / _ п? \
С1 — Ci I Cj — R® 1 /10 ft 1 \
С помощью выражения A2.58J и установленного в начале гл. 11
свойства нечетности функции X (9) нетрудно разглядеть, что
взаимного горизонтального сдвига краев компенсатора не про-
происходит.
440
Рис. 12.*13
Сдвиг трубчатого компенсатора си-
силой. Пусть тот же компенсатор сре-
срезается силой FI (рис. 12.13). Примем
следующие граничные условия:
Л!...(я/2)-0, еа,1(я/2) = 0;
Mlt 1 (-я/2) = 0, ва,, (—я/2) = 0.
A2.62)
Первые два условия следуют нз анти-
антисимметричности напряженного состоя-
состояния относительно плоскости 0 = —я/2«-»
¦«->б —-?г. Четвертое условие оправ-
оправдывается тем, что толщина трубы зна-
значительно больше толщины края компенсатора. Оправдать третье
условие затруднительно. Представляется, однако, что его невыпол-
невыполнение при не слишком малых 2k2 не может существенно повлиять
на величину напряжений (нх максимальных значений).
Согласно A1.48) условия A2.62) равносильны комплексным:
М.\ 1 (я/2) = Afi ( я/2) = 0 A2 63)
Рассматривая выражение A2.55L н вспоминая, что согласно
A1.50) —jg- (—y) = ~4в~ (тг)^^1 Устанавлнваем справед-
справедливость следующего утверждения: граничным условиям A2.63)
удовлетворяет частное решение W (в). Поэтому в приведенных
выше соотношениях может быть опущено (гх)°. А тогда нз A2.53)
получаем следующие выражения для напряжений:
= 9
a cos 9
1 + а sin 9
1т W — ¦
a? cos 9
+asin9)s
а0
a cos 9
1 + а sin 9
1—а1
w),
1 + a sin 9
+ ¦
+ a sin 9)s
а cos 9 „
«О
12A—v)
dW
dQ
а
l+«sin9
1 -f a sin 9
A-fv).
ReW
«cos 9
-f- a sin 9
w).
441
Здесь а0 = ^г— максимальное сдвиговое напряжение для
цилиндрической оболочки (радиуса а, толщины Л), срезаемой
силой F°x.
Если принять для W упрощенное выражение A1.93), то для
основных напряжений получаем следующие выражения:
-Ijii. = Х\ (в) со' (в) 1ш Е' (—Х,со (в)),
-^ = ~ Ф (9) «' (9) Re E' (-X© (в)). A2.64)
Отсюда, полностью повторяя проделанные выше выкладки, полу-
получаем асимптотические формулы для максимальных значений
напряжений:
= 2,15 A -
°Ml'^ f) = ±2,99 A - v2)-1'6 «2/3Р3ф @*) со' (ej A2.65)
~ (Q ) = =p 1.225
Определим жесткость компенсатора на сдвиг. Прежде всего
из A2.54К
2abF% г в
Г ft
I с
-aCOS9I
L в„
L во J
Введем характеризующую податливость компенсатора на сдвиг
(срез) величину:
^ = "p.i(-T-)-«p.i(—у)"
Согласно выражениям A2.66)x и A1.50)
J
—
^g- T
1+asine
—Я/2
T
-Я/2
442
Совершенно аналогично проделанному в 12.1 получаем отсюда
A2.67)
Принимая во внимание свойства A1.50), убеждаемся с помощью
A2.66)а, что в рассматриваемом случае взаимного поворота краев
компенсатора не происходит.
В работе [210] в качестве примера рассмотрен изгиб полной
торообразой оболочки (рис. 12.12) моментом В% (F°x = 0). Параметры
оболочки и нагрузки:
а = 233,5 мм, Л = 2,0 мм, 2k2 = 4,75, v = 0,3,
a = 0,111,
В°у = —14,4-102 кг-см.
Приведенные там на стр. 357 графики показали, что упрощен-
упрощенные формулы A2.59) дают хорошее приближение и при сравни-
сравнительно небольших значениях основного параметра BДга = 4,75).
Использование современных ЭВМ дает возможность сравни-
сравнительно просто расчитать конкретную оболочку вращения произ-
произвольного профиля. Тем не менее полученные простые асимптоти-
асимптотические формулы не потеряли своего значения. Действительно, они
позволяют понять «игру параметров» и произвести прикидочный
расчет на стадии эскизного проектирования. Сказанное справед-
справедливо и применительно к рассматриваемым в следующей главе
трубам с криволинейной осью.
Глава 13
ЗАДАЧА СЕН-ВЕНАНА
ДЛЯ ТРУБ С КРУГОВОЙ ОСЬЮ
Другим важным приложением теории торообразных оболочек
является расчет тонкостенных труб с круговой осью. Еще в 1910 г.
Батлин экспериментальным путем установил, что тонкостенные
трубы с криволинейной осью обладают значительно меньшей
жесткостью на изгиб, чем трубы того же поперечного сечения,
но с прямолинейной осью. Через год Карман [252] объяснил
это явление сплющиванием поперечного сечения. При этом выяс-
выяснилось, что сплющивание поперечного сечения вызывает большие
поперечные изгибные напряжения, по своей величине зачастую
превосходящие основные тангенциальные. Закон же изменения
последних по поперечному сечению значительно отличается от
линейного, характерного для труб с прямолинейной осью.
Отмеченные особенности работы тонкостенных труб с криво-
криволинейной осью привлекли к ним большое внимание механиков.
Последовавшие за [2521 многочисленные работы (критический
обзор их дан в [287]) были посвящены либо уточнению результатов
443
Кармана, применительно к более широкому интервалу изменения
параметров, либо рассмотрению иных частных видов нагруже-
ния. Общим для них является использование вариационных
начал, при задании приближенных выражений для смещений и на-
напряжений. Особняком стоит работа Кларка и Рейснера [65],
в которой задача изгиба трубы моментом в плоскости гиба (пер-
(первый осесимметричный случай) сведена к уравнению, схожему
с уравнением Мейсснера—Кларка.
В этой главе с помощью полученных в гл. 11 соотношений дано
решение задачи о деформации трубы кругового сечения с круговой
осью при действии краевой нагрузки общего вида. Граничные
условия на краях трубы выполняются по Сен-Венану, т. е. по-
построенное решение дает на краях трубы требуемые главный век-
вектор и главный момент.
Характерным для нашего подхода является естественное ис-
использование дислокационных смещений и функций статической
системы, позволяющее распространить на изгиб труб с круговой
осью аппарат теории оболочек вращения. Изложенное может быть
распространено на более общий класс каналовых оболочек.
13.1. ОСЕСИММЕТРИЧНОЕ КРУЧЕНИЕ
(ВТОРОЙ СИММЕТРИЧНЫЙ СЛУЧАЙ)
Рассмотрим два существенно различных по характеру работы
типа труб.
Труба замкнутого поперечного сечения. Согласно форму- ¦
лам A1.4) условие периодичности vn имеет вид
sinOdd г,,, , _.ч с иг Л\ d% „
I2 v ' ' а ф0 7 A+«sin0)s
Отсюда с помощью равенства A1.51J находим
Теперь
c_ Eh
2A+^) /8(а) A + a sin вJ aq;
= 12A +v) A+ a sin вJ ~а*щ'
444
Из полученных соотношений следует, что в трубе замкнутого
профиля скручивающим моментом можно пренебречь по сравне-
сравнению со сдвигающим усилием. В этом нетрудно убедиться, подсчи-
подсчитав отвечающие им напряжения
__5_ _ Е aJ2 (а) 1 ^*_
°3 ~ А ~ 2A+v) /3(а) A+«sin9J аф„ '
6# Е I h
°в = ~пГ =
A)
Л2 ~ 2A-fv) V а) A + asin9J аф„ '
Определяя по сдвигающему усилию составляющие главного
вектора и главного момента в поперечном сечении трубы, полу-
получаем A1.57):
Fp = j> S cos Qb d0 = 0.
Здесь J — nb3h — момент инерции трубы относительно ее диа-
диаметра. Заметим, что при подсчете главного вектора и главного
момента нет необходимости учитывать скручивающий момент.
Можно сказать, что в трубе замкнутого профиля устанавливается
безмоментное напряженное состояние (см. введение к гл. 9).
Труба с разрезом (лоток). Пусть теперь труба имеет разрез
в сечении 0= 0О. Из равенств A1.37) находим
п - 9 i w - Ehc l
Vl2 a "г Я2 ~~ а2ф0 A+a sin вJ Л
Потребуем, чтобы берега разреза были свободны от усилий. Это
приводит к условию
Г, = 2A-v)-g-
v ' а
а 1 + а sin 60
При этом
с _ Eh3 sin60 I
6A+v) l+asinOo A+asin9J а3ф0 '
„_ Eh3 1 VJ_
" 12A-fv) A+a sin в)» а2ф„ '
Отсюда видно, что для трубы открытого профиля определяющим
будет скручивающее напряжение
6Я
Он =
Л2 2(l+v) (l+asin6)» \a /\aq>0/'
445
и в оболочке имеет место (см. введение в гл. 9) сильномоментное
напряженное состояние.
Подставляя далее U\ в соотношение A1.37), получаем
\
2
90-2я
8,—2я
Подчеркнутый член очень мал. Опуская его, получаем
о
Vй — аA -)-asin0) Г -
9,-2я
Определяя затем компоненты главных вектора и момента, по-
получаем:
\2 1 J,(a) иш
3A + v) 1 +asin90 ф0
Fp = ф (S + ^-) cos 0 Ь d0 =
0.
Сравнение найденных выражений с аналогичными для трубы
замкнутого профиля показывает, что замкнутая оболочка яв-
является более жесткой. Так, для получения одного и того же дисло-
дислокационного вертикального смещения в трубе с разрезом требуется
приложить крутящий момент и изгибающую силу примерно
в (h/bJ раз меньшие, чем в замкнутой. При этом возникающие
в трубе с разрезом напряжения в (h/b) меньше. Подмеченное
на частном примере принципиальное различие труб замкнутого
и открытого профилей носит общий характер. Отметим в заключе-
заключение, что при деформации рассмотренного типа поперечное сече-
сечение остается круговым, поскольку
и° = и? = 0.
13.2. ПЕРВЫЙ СИММЕТРИЧНЫЙ СЛУЧАЙ
(ИЗГИБ МОМЕНТОМ В ПЛОСКОСТИ ГИБА)
Пусть труба замкнута в поперечном направлении. Тогда все
величины должны быть периодическими по 0. Сравнивая уравне-
уравнения A1.39) и A1.49)! получаем
фо
446
С помощью этого выражения условие периодичности вертикаль-
вертикального перемещения A1.41)8 записывается в виде (р = 0)
Qi (j) cos 0 Re X dQ + Qlz ф cos 0 Im X dQ = 0.
Отсюда
*—??-*
Теперь из соотношений A1.40) следует
~ 2Ehc Oi / . /. . Im /t ^\ l a cos 9X , ,. a sin 9 }
i / . /. . Im /t ^\ l a cos 9X , ,.
21 '\ Re/i Hl+aslne ^ l
2(l+asin9)
Разделяя здесь вещественные и мнимые части, получаем
2EhcQl ( a cos 9
Т l I a cos и р у
l
l
1 —
1
7 < — z—; :—FT *\e j\ —
6ф0 } 1 + a sm 9
Im /j / a cos 9 . у i a sin 9 N |
~ Re/! V 1 +« sine + 2(l+tts?er/ ['
2?/u;a f dX , acos9 v\ . v «sin 9
Ml = 6Ф ( Im [-Ж + V 1+asine X) + T l+«sin9
p (_ v
Re /х Ke V dQ ~T~ 1 + a sin 9 '
dX aCos,9 v\ . «sine
1+asine Л
( . acosQ
+
Подчеркнутые члены представляют непосредственный вклад дис-
дислокационных смещений и функций статической системы в выра-
выражения для усилий и моментов. Как видно из выписанных выраже-
выражений, их роль невелика.
Определим компоненты главного вектора и главного момента,
приложенных к поперечному сечению трубы. Имеем:
Вг = (j) 72 sin 0 b* dQ = 2Ef^*Q* { - Re (j) sin 0 —¦ dQ -
447
-cos8) b2dQ =
lm/t
2Ehciil
Применяя к первому выражению операцию интегрирования по
частям, получаем с учетом обозначений A1.62)
Фо Re/i а2 I. й2фо I
В силу периодичности и четности функции dX/dQ (см. A1.50))
Яр = 0, F, = 0.
При подсчете главного момента мы сознательно не учитывали
момент М2. Нетрудно убедиться в том, что его учет дал бы малые
поправки порядка h/a.
Максимальное напряжение, отвечающее (согласно элементар-
элементарной «сопроматовской» теории) изгибающему моменту Вг, равно:
Если ввести тангенциальные и изгибающие напряжения, то со- ,
гласно A3.1) и A3.2)
°Т, If oc cos 9 Re X lm /t /oc cos 9 lm X . ocsin9 \| . -
~Oo~ ~" "AT ] 1 + oc sin 9 ~" Re /t \ 1 -f oc sin 9 + 2A -foe sin 9) / /'
dX lm/!
o0 ~
6 f,_ dX
J lmL. v
^ 1 + ос sin
2L L a cos QX
t f,_ dX . occos9X \ .
—1 = J lm L. v 1 -4- —
a0 цЛ! [ d9 ^ 1 + ос sin 9 / ^ 2 1 -f oc sin 9
Re/t KeVe~"+'V 1-(-a sin 9 /j'
6 f . / dX occos 9X \ . ocsin9
lm /t D / dX . oc cos QX
'Далее, в силу A1.41) имеем после отбрасывания малых членов:
Фо
я/2
Uz = fll_i^?_ f cos8(lmX-^-^-ReX)d8. A3.4)
Фо J V Ке /х /
•448
Из первого выражения находится величина сплющивания
диаметра
Таким образом, для тонкостенной трубы величину сплющивания
можно считать не зависящей от радиуса гиба а [65]. Из соотно-
соотношения A3.4J можно получить выражение для величины раздачи
диаметра в вертикальном направлении
6, = и,@) - и,(я) = (йбр,
я/2
(g)e. A3.5)
13.3. ОБРАТНОСИММЕТРИЧНЫЕ СЛУЧАИ
Сравнивая уравнения A1.49J3 с A1.45), получаем
*— 4 ( (Ug + iU,) (Qi + iQi))
— i —\y- Д* _*' + z ; , *: . A3.6)
Определим прежде всего величины Ui, U\, Ql, Qj. Поскольку
рассматриваются трубы без разреза, искомые перемещения должны
быть периодическими функциями по 0. Условия же периодичности
согласно A1.47) записываются в виде
cos 6 Re (rx) .fl _ ? (sin 6 + ос) Re (Гц) .» fi
что с учетом предыдущего равенства дает с учетом отмеченной
в A1.7) четности Z и нечетности Y:
cos 6 Im Y ,п . Uу 1 ^С, cos 6 Re К ,п л
/J T 1+asine d9+ ^ IS"? l+«sin9
l+«sin9
Используя обозначения A1.62), получаем отсюда
"г~Л 1 —] 1
9 Im /2 ^У х Im /s **x
Dl "WIT и1/ 5i = ~"Rr7TQi"
Теперь с помощью равенств A1.46) и A3.6) находим:
j, 4?Ас I / ос cos 8K . . a sin 6 \ /. . Im /2 \ иУ ,
'Ы— "te^"! \ l+asin9 "•" ' 2 A + a sin 9)* / \ ТПТ/ — U\ +
/ a cos 8Z oc cos 8 \ /. . Im /,
+ \ 1 +ocsin 6 +' 2(l+ocsine)» )\ Re/S
15 В. В. Новошвлов ¦ др. ' 449
4?Ас \ ( dY , «созбК N. /, . Im/,
Ц <*9 "•" l+asin9 У I1 * Re/,
acos9Z aQ
l+.«sin9 У V1 * Re/, У
+ asinG
Подсчитаем, используя вещественные части выписанных вы-
выражений, главный вектор и главный момент усилий, приложенных
к поперечному сечению трубы. При этом, как и в симметричном
случае, не учитываем влияние момента МйЛ, вносящего незначи-
незначительные поправки]
Im/a - / dZ a cos 9Z
)\dQj>
Re (cos6-g-
acos»9K \ Im/, T / <JK , асоб»9У
j+Im(COS9+
T
l+«sin9 j+-RT7rIm(COS9-d9-+ l+«stn9
acos»9Z
l+asi
acos»9Z
l+asln9
450
l+asin9
Im /3 cos 9 Im Z
Im /, sta8ImK
Re/, l+asin9
Im/„ sin 9 Im Z 1 ,„ )
1 + a sin 9 "+¦ "RHT 1 + a sin 6 J ab J '
Интегрируя по частям подчеркнутые члены и используя обозна-
обозначения п. 11.7, получаем, учитывая установленные там свойства
четности и нечетности основных функций (ем. также A1.64)):
/"cos ф ~ ^S1Q ф)>
{} {~ul cos ф + и*sin ф)'
= ir {-щг} (~aQi sin ф + аа"cos
Введем далее максимальные напряжения, отвечающие по
элементарной теории изгибающим моментам В^ х и ВРг t:
Еа
ЛЬ ~ а *»ф0 t/i - 6a«p0 —Щ'
- ^Р'1 - Еа 2Л» aQ* aQ
"Т/Г Т"'PS"
0°р ~ "Т/Г - ТJ i
15* 451
Разделяя в выражениях A3.7) вещественные и мнимые части,
заменяя Y и Z их выражениями через X и W из раздела 11.7,
получаем с помощью введенных выше обозначений:
{1 racoseRe.X i Im/a /acoseimX
ЛГ1_ l+«sin9 +~ШГЧ l+«sin9
a(sin9 — a cos» 9) П СОЭф | | 1 f a*cosQRtW
2(l+asin6)« J sin <p J ~*~ ^ I A, L l+«sin9
Im/a /a'coseim^ aacos9 \"l СоЭф)
Re/8 V l+asin9 2(l+asin9J/J
/Й . acos9X
e(-*r+ l+«stn9
Im/2 D~(dX ¦ «cos9X \ , «sin9 -]
Re/, И V. dQ T" l+asin9 / "•" 2(l+asin6) J
a cos
l+asine)
Im ;s „ t_ / dW , «cos9r \-|C0S(p
Re/8 aimiT+ 1+asme
/J
a Sin
I Im/g /'aim IF I '-"' )] a 31ПФ1
"•" Re/, ^а1ШИ'-Г 2(l+asin9)^J l + asinG COS <p Г
acosQX \ , a sin 9
2(l+«sin9)
va sin 9 —a cos» 9 Im/a D / dX .... . «cos9X
— A+asine)» ~T^K4r + <1+v)
vas cos 9
~T~ (l+asin9J
Im/8 D / <fr . ,. . ч acoser ЧтСоЭф)
- жтга Re (if+0+v> т+тапг)J sin ф J'
v «sin 9 .
2 1 + о sin 6 *
¦ « sin 8 — «cos2 9
' A+a sin9J
452
acos9W \ a8 cos 9
A4-asin9J
^ 2 l+asin9 Re/, a^eiyJ l+asin9
(ц = Vl2(l-v2)). A3.9)
Наконец, из соотношений A1.47) находим следующие выраже-
выражения для смещений:
(Г 9
. m I f cos т Im К <fx Im /.
asln8) \ 1+ttSinT rT^
I I—я/2
1
cos т Re К йт I
j 1+asinT X
—я/2 J
r/l Г в в П
4a uv I f" cosTlmZctT Im /, f" cost Re Zdx I
X Фо _m~ J I+astaT ~ Re/, J 1+asint
i—я/2 •-я/г J
""¦¦ = [(]
4a аФП а3
X— m +a(l+asin8) ,
Фо ащ) ' v ' ' a5'
в
icos t Im Y , I
J + J l+asin9
я/2 —я/2
) f cost Re К Л1 4a
dTJJ
(sinx + oc)Rer f
1+(ZSinT 3 1
'„ ¦ ¦ ¦ фо —I
—я/2
_[( f (sinT + a)In1Zdi;_a Г cost In, Z Л _
I J 1 + a sin t J 1 -)- a sin t I
L >—я/2 —Я/2 /
шг( i и^зй1*—«-• 1 -)]
\—я/2 —я/2
4~ aQi аз U4
XJEL '-bcosQ +1. ,
Фо ай^ as oe
A3Л0)
453
Как и в симметричной случае, иожно ввести величины, опреде-
определяющие, соответственно, горизонтальное сплющивание и верти-
вертикальную раздачу диаметра
бР - "р. 1 (~«/2) - иР, 1 ("/2), в, <- в,,! @) - с t (я).
С помощью выражений A3.8) получаем следующие выражения:
|«/» «/а 1
Г сое т Im Y . lm It f cos т Re Y
1 di>-Ttnr j
I It/2
P
J
я/а
1+ostaT
1+aslnT
| p y
П/» я/3
J(sinT-f-a) ImZ . . Im/, P (sin т -f- a) Re 2? .
1-f-astoT •" Re/, J l+astat
J
—И/8
J
—Я/3
13.4. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ.
ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА
A3.11)
Получим простые асимптотические выражения для макси-
максимальных значений, аналогичные найденным в предыдущей главе.
Прежде всего, учитывая свойство функции X (8) существенно
возрастать при дифференцировании, заменим соотношения A3.3)
и A3.9) следующими, более простыми:
cos
8ШФ
A3.12)
454
Согласно A1.62)
я/з
—Я/2
Проводя преобразования, вполне аналогичные проделанным
в п. 12.1, получаем
Re Л = 1/2, Im Гх = 0.
Отсюда при помощи равенств A1.62) и A1.63) находим
Im/, _
0,
Имея теперь под рукой эти выражения, нетрудно получить
(см. п. 12.1) следующие формулы для максимальных значений
напряжений:
а
УГ^о3 '
1
Im/,
Re/,
Л3=1.
Vi-
Vice
-а*
му = 1,86 A - v2)-1/6 а2
= =F0,86 A - v2I'3 a2's$v\ (9J ©' (8J; A3.13)
(а-6/а.
Что касается обратносимметр ичных случаев, то, вводя обо-
обозначения
._ dX , а „ dX
можно придать выражениям A3.12Ki4 следующий вид:
СОвф
от, = [- A + а8) {1} во. - VT^tf {11}
sin
Согласно же A1.93)
{1} = --
A3.14)
{11} = -у- Ф (8) со' (8)f Im Е' (у) - ,JL_ Re?' (j/)). A3.15)
Значения 8, при которых выписанные выражения получают экс-
экстремальные значения, определяются заключенными в фигурные
455
ос
A2(«)
cc
Рис. 13.1
скобки быстро меняющимися членами. Экстремальные значения
скобок (при у =
A3.16)
Ла (a) = extrflm
приведены на рис. 13.1.
Из последних, в частности, видна зависимость экстремальных
значений напряжений от а. Усматривается также несимметрич-
несимметричность эпюр напряжений, обусловленная отличием а от нуля.
Подставляя теперь выражения A3.15), A3.16) в A3.14), полу-
получаем следующие асимптотические формулы:
- = 1,145 A - V2)'/3 A - а2J/3 а
= 1,99 A - v2)-1/6 A - а2J/3 а
oz
©' FJ Ах (а),
©' FJ Ла (а);
^ = —1,145A — V2)'/3A - а2I/2а2/*р2/3<р @J ш' (8J Ла (а),
Сор
k- = 1,99 A - V2)-1/6 A - а
©' FJ Лх (а),
где
а =
а значения
е?« ©;
nb*h
4
определяются из рис. 13.1.
Приведенные асимптотические формулы дают возможность
понять «игру параметров» в рассматриваемом случае, а также
456
\2*г=Ь2.8;*=3.5;к={/3
Рис. 13.2
позволяют быстро прикинуть значения напряжений и назначить
параметры (толщину) трубы.
Определение возникающих в трубе напряжений по формулам,
приведенным в этой главе, не отличается от соответствующей
процедуры предыдущей главы. Она даже проще, поскольку при-
приходится иметь дело лишь с частным решением (определяемым
функцией X (9)). Поэтому ниже мы ограничимся приведением
результатов расчета тонкостенного полукольца (q>0 = л), скру-
скручиваемого по концам моментами (рис. 13.2) Вф = Ву = В.
Параметры трубы к = 3,5, а = 1/3. На рис. 13.2 показаны про-
продольные a?, t/crop и поперечные of, i/or<>p напряжения во внешних
волокнах трубы (в сечении tp = 0). Кружками и квадратиками обо-
обозначены соответствующие экспериментальные значения из [269].
Изложенное единообразное решение общей задачи Сен-Венана
уточняет имеющиеся частные аналитические решения и расши-
расширяет область их применимости. В частности, оно справедливо при
любых значениях а < 1. Кроме того, с его помощью можно вы-
выяснить влияние на напряженное состояние параметра а при фикси-
фиксированном 2k2 = У 12 A — va) ар. Использование же упрощенных
формул A3.12), не говоря уже о еще более простых асимптотиче-
асимптотических формулах, делает предложенный метод не более громоздким,
чем существующие (аналитические) приближенные.
Читатель, по-видимому, обратил внимание на то, что мы в на-
настоящей главе ограничились определением напряжений и ничего
не говорили об определении жесткости трубы. Это не случайно.
Имеющийся экспериментальный материал (см., например, [269])
показывает, что в то время как расчетные напряжения близки
к их экспериментальным значениям (рис. 13.2), жесткость трубы
существенно зависит от реальных граничных условий на ее кон-
концах. Изложенное в настоящей главе решение является также
добротной основой для построения решений, учитывающих как
влияние характера закрепления концов, так и нелинейные эф-
эффекты, связанные с действием поверхностной нагрузки (давле-
(давления). Дальнейшие шаги в указанных направлениях были сделаны
в работах [72—76, 90].
457
Глава 14
ТЕРМОУПРУГИЕ НАПРЯЖЕНИЯ
В главе вводится операторная форма записи уравнений теории
оболочек, оптимально сочетающая, по мнению авторов, компакт-
компактность, наглядность и конструктивность. Разъясняется особен-
особенность деформационных граничных величин, которая заключается
в том, что при формулировке граничных условий в терминах
названных величин следует дополнительно задавать значения
главного вектора и главного момента краевых статических вели-
величин. Переопределенность в граничных условиях (десять вместо
четырех) является кажущейся, так как деформационные гранич-
граничные величины связаны между собой шестью условиями однознач-
однозначности смещений и углов поворота.
Операторная форма записи разрешающих уравнений и гра-
граничных величин эффективно используется при формировании
различных вариантов уравнений термостатики, основанных на
гипотезе Дюамеля—Неймана. Это уравнения метода сил, метода
перемещений, в комплексных усилиях. Последние используются
для выявления температурных полей, не вызывающих напряже-
напряжений, а также для расчета НДС в корпусе винтового компрессора.
Рассматривается также температурная задача для оболочки
вращения при использовании метода разделения переменных.
Показано, что разрешающая функция обратносимметричной де-
деформации может быть получена непосредственно из условий от-
отсутствия дислокационных смещений, что лишний раз подтвер-
подтверждает их связь с температурной задачей.
Более полное представление о задачах термоупругости можно
получить, ознакомившись с монографиями [49, 67, 143].
14.1. ОПЕРАТОРНАЯ ФОРМА ЗАПИСИ
УРАВНЕНИЙ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК
Введем обозначения
¦ #0Li =
- дВ()
да
АВаа
дА
L ар
-CTe~lr
*"ctp
i
A
ел» ()
dp
—2ЛВтаЭ
1
ЗВ2()
да
ZBi 2
г^ -а,
дв -
да
ЛВстр
дА( )
C) ^
СС0
@)
Ра
—яд
A4.1)
A4.2)
458
Здесь
A4.3)
A4.4)
A4.5)
где
1
AB da dp
1 дА ЭР
A*B ЭР да
I ЭД 3( ) .
ЛВ1 Эа Зр *
ifO;3.
A4.6)
Замечание 14.1. Обращаем ввимавие на то, что введенные матричные опе-
операторы обладают одинаковой структурой со своеобразной антисимметрией отно-
относительно центрального элемента. Наиболее наглядное представление о структуре
операторов дает формула A4.5). Это свойство операторов может быть нсполь-
вовано для проверки правильности записи соответствующих уравнений.
Замечание 14.2. Характерный радиус кривизны срединной поверхности обо-
оболочки #о ¦= const здесь введен с целью обеспечении одинаковой нормировки
матричных операторов. Иными словами, если о == fa, о», vt ]© — столбец плав-
плавных функций, то имеют место оценки
|D,d[|
459
С помощью введенных операторов уравнения F.174) записы-
записываются в виде
ЯоМ + Um = — АВр, A4.7)
где
t = [Га, S, Г„]®, т = [Ма, Н, Л*„1®; р = [ра, рп, ре]®. A4.8)
Соотношения F.161)—F.163) можно записать так:
iftf'DiH = в; #<Г ЭгИ = х, A4.9)
где
[ю "|®
вр« g"» ва| ; х = [хр, —<с, xj®.
A4.10)
Столбцы параметров деформации в и х совместны, если выпол-
выполняется условие
RoLjK — LS8 = 0. A4.11)
(Напомним, что соотношение A4.11) является также условием
сплошности (неразрывности) деформированной срединной по-
поверхности R* = R + u (a, P)).
Статико-геометрическая аналогия, выражающаяся, в част-
частности, в том, что уравнения равновесия A4.7) и уравнения со-
совместности деформаций A4.11) записываются с помощью одних
н тех же операторов Llf La, позволяет ввести функции напряжения
следующим образом:
t = t* + Ehcii; m = m* — Ehcl, A4.12)
где в = R^lDiu, x = R^2D2u; й = [йа, w, %]®— столбец функ-
функций напряжения Лурье—Гольденвейзера, обобщенных на слу-
случай неоднородной задачи; t*, m* —статическая система функций.
Соотношения закона Гука F.176) можно записать в виде
/ = с0Сг, т = 4>Сх A4.13)
или
в = -j-C-H\ х = -j-C-1*!, A4.14)
где
[v 0 1"| Г—v 0 1 I
0 —1 + v 0 ; С~1 = т^- 0 —1-v 0 ;
1 0 v J L 1 0 —vJ
A4.15)
с0, do — соответственно тангенциальная и изгибная (цилиндриче-
(цилиндрическая) жесткости оболочки;
Eh , Eh9 .. t ,,,.
460
14.2, О ФОРМУЛИРОВКЕ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ
В ТЕРМИНАХ ДЕФОРМАЦИОННЫХ ВЕЛИЧИН
Особенности в преимущества деформационных величин. Тео-
Теорему Клапейрона (см. п. 8.1) можно записать в виде формулы
^ ^ A4.17)
Здесь V — упругая анергия деформации!
V - -|- Г еФ^е dQ +
Q
+1371
рде Q — область срединной поверхности оболочки;
1 О
[1 0 v"
О 2A-v) О
v 0 1 .
A4.19)
Lq — работа внешних поверхностных сил, Leo — работа внеш-
внешних краевых сил, вычисляемые как
\p, A4.20)
о
(Qv'a + Afwdvjds,; A4.21)
dQ — граница области Q.
Допустим, что одним и тем же граничным условиям и поверх-
поверхностной нагрузке отвечают два решения некоторой краевой за-
задачи линейной теории оболочек (иA), иB)). Применив к разности
этих решений й = иB> — иA) (см. (8.7)) теорему Клапейрона,
получим
са f ё^е dQ + da J к®Схк dQ = Lda. A4.22)
Предположим, что Lgo — 0. Тогда в силу неотрицательности
подынтегральных выражений в левой части равенства A4.22)
в = 0, х = 0, что возможно лишь в случае перемещения оболочки
как твердого тела. Таким образом, единственность решения за-
задачи статики обеспечивается при Lao = 0. Последнее условие
всегда выполняется, если из каждой пары собобщенное усилие —
обобщенное смещение» на контуре dQ задана одна величина.
461
Рис. 14.1
Сказанное позволяет видоизменить формулировку граничных
условий путем преобразования подынтегрального выражения
A4.21). Критерием возможности использовать один вариант гра-
граничных величин вместо другого является обеспечение равенства
too = 0 при задании четырех граничных условий. На основе
таких рассуждений в п. 8.2 получены три варианта граничных
величин (8.16)—(8.18), из которых наибольший интерес представ-
представляют деформационные граничные величины (8.18). Однако в гл. 8
было сделано предположение о том, что контур dQ является глад-
гладким, а действующая на него нагрузка—самоуравновешенной.
Коротко повторим преобразования п. 8.2, отказавшись от пред-
предположения о самоуравновешенности краевой нагрузки. В соот-
соответствии с рис. 14.1 главный вектор и главный момент краевых
усилий и моментов относительно текущей точки можно выразить
формулами (сравни с F.147), F.150));
•?
Qydst;
F = FyV + Ftt + Fnn = I
В = Bvv + Bft + В„п = Bg + (rQ — r) x FD +
¦f J [Myyf + (r — r) X Qy]ds't = BQ + j (M^t" + F X
A4.23)
Выполняя интегрирование по частям с учетом формул A4.23)
и F.142), F.143), получаем (рис. 14.2):
*rt
да *
• ©t ckj = В •
udst = F-u
В
— Ф^е» — (F X t)'<mt]dst,
S
= ф [A1VVOV + (F x t) • ©t] dst.
Рис. 14.2
На основании этих соотношений имеем
LdQ= ф (AfviA, + Qv*u)ds< = (F-u + В.
Если ввести обозначения
dq = [Qw, Q«, Qvn» A1VV
ах = [—*и, x,v, —х,п, ей]©; db = [Bv, 54,
то соотношение A4.24) можно записать так!
= <bdq®duds(
dQ
A4.24)
= [и„, ut, w, OVJ® A4.25)
, Ft]®, A4.26)
A4.27)
В случае однозначных смещений, формуле A4.24) можно при-
придать вид
Lea = 8 • a (So) + S3 (Sq) • <at (Sa) — 6 дЬ® дх dst, A4.28)
5а
где 5 — приращение главного вектора краевых усилий F (st)
при обходе контура dQ, равное главному вектору всех сил, при-
приложенных к атому контуру,
g = (jJQvds,; A4.29)
S3 (s0) — приращение главного момента краевых усилий и мо-
моментов В (st) при обходе контура dQ из начальной точки s0, рав-
463
ное главному моменту всех сил и моментов, приложенных к кон- |
туру 3Q, относительно точки Sp, ц
7 S
х 7
33 (so) = Ф Мvvt dst + I F x t dst. A4.30)
На основании соотношения A4.28) приходим к выводу, что за-
задание четырех деформационных граничных величин, вообще
говоря, не обеспечивает единственность решения краевых задач
теории оболочек. Для подтверждения сказанного достаточно рас-
рассмотреть консольную оболочку вращения, закрытую на неза-
незакрепленном конце абсолютно жесткой диафрагмой, к которой
приложена внешняя сила Р (см. рис. 4.6 или 4.10). Если не учи-
учитывать в формуле A4.28) внеинтегральные слагаемые, то при
отсутствии поверхностной нагрузки из условия
OX \dQt = "i * = 1, Z
(dQx — контур заделанного края, dQt — контур жесткого края)
и теоремы Клапейрона A4.17) следует, что в консольной оболочке
независимо от величины силы Р отсутствует напряженное со-
состояние.
Очевидная абсурдность такого вывода связана с неучетом
в A4.28) внеинтегральных слагаемых. Принимая во внимание
условия
о |ао, = 0; ©< | аи, = 0,
теорему Клапейрона в рассматриваемом случае следует записы-
записывать в виде
Таким образом, граничные величины дх, определяющие де-
деформацию края с точностью до его перемещения как твердого
тела, сами по себе не обеспечивают единственность решения
краевой задачи [107]. Например, граничные условия абсолютно
жесткого края оболочки с многосвязной областью срединной
поверхности при использовании деформационных величин сле-
следует записывать в виде
3x^ = 0; 3 = 8«; 93 = 93* A4.31)
(§е, 93е — равнодействующие внешних сил и моментов, прило-
приложенных к контуру dQt).
Переопределенность в граничных условиях A4.31) (десять
скалярных уравнений вместо четырех) является кажущейся,
так как в системе A4.31) имеются зависимые уравнения, выте-
вытекающие из условий однозначности смещений и углов поворота.
464
<
В терминах компонент столбца дх эти условия записываются так
(см. F.142), F.143)):
{и}ао, (So) = J (e,«t + J x, d* x t ds, = О,
4
A4.32)
где {}dQt — приращение заключенной в скобки величины при
обходе контура dQt. (Сказанное наглядно иллюстрируется на
примере консольной оболочки в п. 15.5).
Замечание 14.3. Очевидно, что работа внешних сил при перемещении кон-
контура dii как твердого тела (см. форм. A4.28) прн дк = 0) не должна зависеть
от выбора точки Sq. Действительно, на основания формул (см. рис. 14.2)
и (st) = и (s0) + (г0 — гх) X Щ (stt);
и свойств смешанного произведения векторов имеем
g-u (Sl) + 8 (Sl) щ (Sl) = g и (s0)
>t (So)-
С учетом обозначений A4.25), A4.26) формулам F.169) и
F.175) можно придать следующий вид:
дх = —Г1Х + Я^'Гге; A4.33)
A4.34)
где
cos2 7 sin 27 sin* 7
— A/2) sin 27 cos 27 A/2) sin 27
0 0 0
0 0 0
Y11 Yit Yw
Ym Ym Ys»
Ysi Yw Yw
_ cos2 7 sin 27 sln* t _
A4.35)
Тп
4" (*<*» - ««) sln
Yi» = -у
Yit = — -2 (oa + oB) sln 27 + *, cos 27, 7И = toB cos2 7 + -y a, sin 27,
Ym = aa sln* Y—Op cos* 7 — ot cos 27, 7М = —TaB sln8 7 2" a< sin 27,
T» = -IB [^~ cosT - Ц-sln YJ - t-ц К ) sin 27],
465
1
щ — ~2~ (ffo — °p) s!n 27 -f- <*op cos 27; формулы для вычисления
кривизн оа, ав, таЭ см. в п. 5.3. V
На основании соотношений A4.14) формулу A4.33) можно
записать так:
dx = ~-j- iyrVn + -j— TzC-Ч, A4.37)
т. е. компоненты столбца обобщенных смещений дм выражаются
через усилия и моменты, что позволяет миновать процедуру опре-
определения смещений при решении многих задач по расчету оболо-
чечных конструкций на прочность. В этом заключается основное
преимущество деформационных величин дк перед традицион-
традиционными ди.
Обычно в линейной теории оболочек в соответствии с характе-
характером граничных условий используется либо метод сил
щ
либо метод перемещений
с0 (LiCD, + A,2L2CD2) и = —АВр, (А,2 = h2/l2Rl). A4.39)
С введением в теорию оболочек деформационных граничных
величин иногда предпочтительней метода сил может оказаться
метод деформаций
x = — АВр;
L,e —
= 0.
A4.40)
г,
Pt-^-ot
—Pt~
U \ §
(*$¦?
0
; го =
tn
721
_—7i3
а
0
&
?13
723
?и_
Связь между кирхгофовскими и деформационными граничными
величинами. Приведем ряд полезных соотношений, развивающих
статико-геометрическую аналогию. На основании формул F.169),
F.161)—F.163) можно записать
дх = Тди, A4.41)
где
466
0 dit() dt)
A4.42)
Используя соотношения A4.12) и A4.34), находим
dq = dq*- Ehc (—Г,х + Я^'Гдв) = dq* - Ehc dv. A4.43)
или
Qv = QC - ?А<ж„ Afvv = AC - ?Ле8ц. A4.44)
Далее, основываясь на формулах F.149), F.152), можно за-
записать
В -В0 = В*-
или
дЬ - дЬ0 = db*-Ehc (дй - дп°).
Применяя к обеим частям этого равенства оператор Г и учи-
учитывая формулы A4.43), получаем
ТдЪ = ГдЬ* — EhcTdu = ГдЬ* - Ehcdx = ГдЬ* + dq - dq* = a^.
Для наглядности выпишем рядом формулы, демонстрирующие
статико-геометрическую аналогию между граничными величинами
Кирхгофа ( ) и интегрально-деформационными величи-
величинами ( •), впервые введенными в работе [202]:
Зх = —rix 4- ЯГ'Гге = Г ди. A4.45)
14.3. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ НА КОНТУРЕ
С УГЛОВЫМИ ТОЧКАМИ
Переход от пяти граничных величин к четырем, связанный
с отождествлением правых частей формул F.99)а и F.100), спра-
справедлив, если контур 6Q является гладким, и действующий на
нем скручивающий момент не терпит разрывов, что и предпола-
предполагалось в п. 6.4 (см. также п. 1.11). Коротко рассмотрим случай,
когда дй является границей пространственного т-угольника
(рис. 14.3). Иными словами, пусть контур dQ представляет собой
совокупность т гладких пространственных кривых, соединен-
соединенных так, что конец предыдущей кривой (dSit) является нача-
467
лом последующей (дп1+1).
При этом считаем, что
6Q'~- замкнутый контур,
т. е. конец т-й кривой сов-
совпадает о началом первой
кривой. (Сказанное ко-
ротко можно записать в
виде дй = dQt \j дй3 U • • •
+)
Переход от F.99)а к
F.100) связан с преобра-
преобразованием (с помощью ин-
интегрирования по частям)
слагаемого
Рис. 14.3
да
(Здесь вместо bw используем w, так как в основу рассуждений
положен не принцип возможных перемещений, а теорема Клапей-
Клапейрона и вытекающая из нее теорема единственности.)
Интеграл J может быть преобразован к виду
'-
где w (sj — О) = w {s\ + О) = wt — условие неразрывности гра"
ничного контура;
Qn ± Mvt (sj + о) - Mvt [s] - 0) -
A4.46)
(Здесь использована формула F.175N.)
Итак, при наличии на контуре 6Q
угловых точек выражение для работы
краевых сил A4.21) (при использова-
использовании интеграла в смысле Римана) можно
записать в виде
Lau=
или
468
м;
где
dq' = [Qw. Qvt. Qvn + Q»S ist - 4), MVJ®. A4.47)
В качестве иллюстрации сказанного приведем два простых
примера, связанных с рассмотрением контуров, имеющих угловые
точки.
Пример 14.1. Пусть консольная пластина в виде правильного треугольника
изгибается вертикальной силой Р, приложенной к незакрепленной вершине
(рис. 14.4). Используя формулу A4.46), нетрудно получить соотношения:
2 ' ""» 2 ' ^п 2
Таким образом, рассматриваемая задача может быть сформулирована в сле-
следующем виде:
(«i» eta) ? Q : ДДш — 0;
(Oi> oa) gdQi : 9<7 = [0, 0, Qvn, Afvv]® = 0;
: du ='[0, 0, w,
?=t0, 0, Qvn,
0;
Пример 14.2. Пусть пластина ослаблена отверстием в форме правильного
треугольника (рис. 14.5). Тогда граничные условии иа краю отверстия можно
записать в виде системы равенств:
14.4. РАЗРЕШАЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ
ТЕРМОСТАТИКИ ОБОЛОЧЕК
Методы сил и деформаций. Пусть температура в оболочке
изменилась (по сравнению с условиями изготовления) на Т (а, Р,
С) градусов. При этом предполагаем, что изменение температуры
t , 469
несущественно сказывается на значениях упругих постоянных
Е, v и что оболочка является термически изотропной. Тогда ее
полная деформация может быть представлена как результат на-
наложения всестороннего температурного расширения на деформи-
деформированное состояние, вызванное внешними механическими воздей-
воздействиями. В этом и состоит известная гипотеза Дюамеля—Ней-
Дюамеля—Неймана [182].
Предположим сначала, что механические воздействия отсут-
отсутствуют. Тогда гипотезу Дюамеля—Неймана применительно к трех-
трехмерному телу можно записать так1
е\Г = еп + ссоГб,,, I, \ = 1, 2, 3. A4.48)
Здесь компоненты e't/ определяют некоторое дополнительное
состояние, обеспечивающее выполнение соотношений неразрыв-
неразрывности и граничных условий.
Ясно, что деформации е'{/ сопровождаются появлением напря-
напряжений, о которыми они связаны зависимостями
e'tl = l-±lo'H—1-(аЬ + а22 + азз)б«у. A4.49)
В этих соотношениях в соответствии со статической гипотезой
Кирхгофа можно пренебречь подчеркнутым слагаемым (а88 =
= ак). Объединяя после этого формулы A4.48) и A4.49), находим
Переходя теперь обычным способом к усилиям и моментам,
получаем;
f = СОС (8<г' - [гт, 0,
п? = d0C (к(Г> - [к,, 0,
A4.50)
где е<г>, к(Г) — столбцы параметров полной деформации',
ft/2 ft/2
8Г = 4" f «oT-dC, *, = ¦? j 0,7-Crft. A4.51)
r-S/2 — h/2
Если ограничиться рассмотрением линейного закона измене-
изменения температуры по толщине оболочки
Т (о, р\ С) *= t0 (а, р) + V* (а, Р) (Н.52)
и пренебречь изменением коэффициента линейного расширения
(осо) по координате ?, то из A4.51) получим
ет е= «о^о» кт еа ao^i- A4.53)
470
Нетрудно проверить, что коэффициенты в формуле A4.52)
связаны со значениями температуры на внешней (t+) и внутренней
(t~) поверхностях оболочки формулами
to = (<+ + П/2; к = (<+ - П/h. A4.54)
Вернемся к соотношениям A4.50). Так как величинам t', m'
отвечает нулевая внешняя нагрузка, то уравнение равновесия
A4.7) принимает вид
RoUf + Lam' = 0.
Исключая отсюда величины ?, т' с
A4.50) и вводя обозначения
A4.55)
помощью соотношений
получаем
где
A4.56)
A4.57)
РТп
LPJJ
АВ
Г «Л М\
1 0 +d0L, О
|_erj [хтУ
или
te
(
ар
Т ар
п = — A + v) с0 [(ао
A4.58)
Учитывая теперь, что параметры полной деформации е<г>
и и'7") должны удовлетворять уравнениям неразрывности A4.11),
приходим к следующей разрешающей системе уравнении:
- L^ =0:
При использовании системы A4.59) следует обращать внима-
внимание на формулировку граничных условий и на вычисление напря-
напряжений по найденным фиктивным усилиям НГ) и моментам т<ТК
Столбец деформационных граничных величин определяется
через параметры полной деформации е<г), х<г> обычным образом
(см. A4.33))*
(Т — Г^т> + /?5"!Г,е(Г). A4.60)
471
Что же касается столбца краевых усилий, то он вычисляется
по истинным усилиям f и моментам т' с помощыо формул A4.50),
A4.34):
дц' = дц -\- дцТ, A4.61)
где
= — A 4- v) с0 [ет + -^
A4.62)
По найденным фиктивным усилиям /<г> и моментам т<г> цеп-
цепные (*) и изгибные (*) напряжения в оболочке определяются
с помощью формул
' " ' "П Е [вг, 0,
[оаа,
_ v)
1хг, 0,
Если кроме температурных воздействий оболочка испытывает
механические воздействия от нагрузки р, то метод сил (деформа-
(деформаций) сводится к решению системы уравнений:
^ + ит = -АВ(р + рТ); Я0М - Lae - 0;
t - cfiE = 0; m - d0Cx = 0 ( 6 }
с использованием граничных величин
ах = —TXY. + tfiT'rze, dtflV + R7lT2m + d<7T A4.64)
и с последующим определением напряжений по формулам
= ~ t -
[ет, 0, ет]®;
[oL, а*р, а|3]® = -р- m - 1?]^- [хТ) 0, хг1®. A4.65)
Метод перемещений. На основании соотношений A4.63) и
A4.9) справедливы зависимости
t = c0R7lCDiu; m^doR^Clhu, A4.66)
где и — столбец полных смещений.
С учетом этих формул первое уравнение A4.63) можно запи-
записать так (см. A4.39)):
с0 (LiCDi -(- X2LaCDa) u = —AB(p + pT). A4.67)
472
Соответствующие этому уравнению граничные величины опре-
определяются соотношениями (см. 14.61))
A4.68)
Здесь
D =
cos 7
—sin 7
0
1 dn
A da 'V
0
0
1
d
dsy
sin 7
cos 7
0
1 dn
~B~ dp
A4.69)
dn
1 dn
jj -|-тор sin7; -g--^--v = — ap sin7 + r0pcos7.
И, наконец, напряжения вычисляются по формулам:
p]® = -J-(/?5"'CDlU-[eT) 0, ет]ф);
]® = -^{Ro2CD2u - [xr, 0, xT]®). A4.70)
Уравнения термостатики в комплексных усилиях. Разрешая
уравнения A4.50) относительно полных деформаций, получим
е(Г) = е' + [вт, 0, ет]® х(Г) = х' + [«г, 0, хт]®, A4.71)
где
в'=—С-Н'\ x'=-J-C-1m'.
Со Да
A4.72)
Если из второго уравнения A4.59) исключить е<г>, х(Г> с по-
помощью соотношений A4.71), то придем к следующему уравнению
относительно параметров упругой деформации е', к':
/ . / AB T
A4.73)
где
0
xT
-L,
или
ят
Г0о deT
^ = ?Лс|
1 ^т
[Дет — (ae -
1 L дАгт
+¦ Стр) хт — 2тарет
]; ' ^
A4.74)
473
Уравнения A4.72), A4.73) и A4.55) составляют разрешающую
систему. Обобщая ее очевидным образом на случай, когда кроме
температурных воздействий оболочка испытывает н механические
нагрузки р Ф О, получим следующую разрешающую систему
(метод сил или метод деформаций):
R0Ltt + L^n - — АВр; RJL& - L,e = ~- qT\
Ehc A4.75)
t — СоСе = О; m —dCj« O
которой соответствуют граничные величины
дЪ = [Ву, Ви Вп, Ftf, дх - дх1р+Т) - дхт, A4.76)
где
= —Г| [к,., 0, хг]® + Я^Гл [ег, 0, ег]® =
—
, erTapcos2v, -gj-. 8rJ . A4.77)
Замечание 14.4. Обращаем внимание на то, что t и /и в системе A4.75)
являются столбцами истинных усилий и моментов,, по которым напряжения
определяются с помощью обычных для теории оболочек формул. Следовательно,
8 и н являются столбцами упругах (а не полных) деформаций. Соответствующие
им деформационные граничные величины д*. связаны с полными значениями пара-
параметров деформации бокового элемента оболочки дх(р+Г) формулой A4.76).
Например, в случае абсолютно жесткого края граничные условия имеют вид
0x<p+r), = о или дх = —дхт.
Преобразуем систему A4.75). Умножая второе уравнение си-
системы на —iEhc и складывая с первым уравнением, получим
tfoLi? + tcLa (СИ - 2vf) = — АВр, A4.78)
где (см. F.179))
? = t-iEhcx, p = p + iq*. A4.79)
Произведя над уравнениями, объединенными в матричное
соотношение A4.78), преобразования, аналогичные тем, что вы-
выполнялись в п. 1.13, придем к следующему приближенному раз-
разрешающему уравнению термостатики в комплексных усилиях:
(R0L1 + icUI = —ABp'f A4.80)
где
Р* - Ра = Ра 4- iql* Pi = pp = рр 4- *<7р ;
Рп - Рп+тв [ а? + ар
АВ1±( ) 0 ЛВД( )
/р« 0 /pa J
A4.81)
474
Комплексные граничные величины вводятся равенствами
(см. F.183))
dq = dq + iEhc (дх(р+Г) - дхт) =
- dq* + IEhc (<3й - <3хг), A4.82)
где
dx = rDS, 2 = и + Ш. A4.83)
U.5. ТЕМПЕРАТУРНЫЕ ПОЛЯ,
НЕ ВЫЗЫВАЮЩИЕ НАПРЯЖЕНИЙ
Выясним условия, при которых в помещенной в температурное
поле незакрепленной и свободной от механических воздействий
оболочке не возникают напряжения. Ограничимся рассмотрением
случая, когда (см. A4.53))
8Г aOgfol JtT аОд/?; d6 гая COHst. A4.84)
Отсутствие напряженного состояния (в силу теоремы единствен-
единственности) обеспечивается при выполнении условия qT » 0 или
(см.A4.74))
da, "r 7?! Лх aa, ~ u> Л, 5a, "r Rt At da,
, J_\, , 1 / д A, dt0 д At dt0 \ n
1"*!/11" AiAt V^ai ^i 5ах "r 5a, Л, da, / u<
A4.85)
(Здесь используются координаты (аъ а,), связанные с линиями
кривизны, так как наличие или отсутствие НДС не зависит от
выбора системы координат.)
В общей теории упругости доказывается, что в упругом теле
со свободной границей при температуре, распределенной по
закону
Т <=а0 + a-iXi + ал + а3ха A4.86)
(где xlt xit хг — декартовы координаты), напряжения отсут-
отсутствуют.
Классическая теория оболочек основана на принятии до-
дополнительных по отношению к линейной теории упругости допу-
допущений (гипотезы Кирхгофа). Поэтому, вообще говоря, нет гаран-
гарантии, что свойство температурного поля A4.86) сохраняется и при
использовании уравнений линейной теории оболочек. Покажем,
что принятие гипотез Кирхгофа не нарушает названное свойство
линейного температурного поля.
Температуру в оболочке будем рассматривать одновременно
как функцию координат (alt a2, С) и (xlt xt, x3), т. е.
eg = T(xlt xif xt). A4.87)
475
Отсюда получаем:
4j eaj ^| d*y Ax дах А1даа~^~ ^ At dat'
У=1
з
дТ дх} dt,, . д<!
| вд;^ Л, 5а, ~ Л, 5а, ' » At За,'
>Г« дТ дх}
= 2-а57-"аГ = ^ A4-88)
С помощью первого и третьего соотношений A4.88) первое
уравнение A4.85) преобразуется к виду
Радиус-вектор произвольной точки оболочки представим
двояко:
R=*xi» + *A + *A = r + Cn. A4.90)
Отсюда получим
Подставляя эти соотношения в условия A4.89), получим
Совершенно аналогично преобразуются остальные два усло-
условия A4.85)
3 . • т
У=1
ЯЯТ -I
= 0. A4.92),
Очевидно, что уравнениям A4.92) можно удовлетворить, пола-
полагая dT/dxt = аи т. е. задаваясь линейным законом распределения
температуры A4.86).
476
Таким образом, в оболочке произ-
произвольного очертания, т. е. при любых
Л1( Ag, jRj., Rit температурное поле
A4.86) не вызывает напряжений. Однако
естественно возникает вопрос: суще-
существуют ли отличные от A4.86) стати-
статически нейтральные (не вызывающие
напряжений) температурные поля для
оболочек конкретной формы? В общем
случае ответ на этот вопрос положи-
положительный. Проиллюстрируем сказанное
на трех простых примерах.
Пример 14.3. Рассмотрим сфериче-
сферическую оболочку, для которой:
R1 = Rt = A1^R; Л, = Я sin 9;
Рис. 14.6
Полагая распределение температуры осесимметричиым (не
зависящим от ф), из A4.85) получаем!
Это уравнение имеет два решения
*{n = a cos 9, d2) = aR (cos 8 In tg ~- -f 1V A4.93)
Отвечающая первому решению температура изменяется (в рам-
рамках погрешности теории оболочек) линейно вдоль пространствен-
пространственной оси xs, совпадающей с осью вращения оболочки (рис. 14.6).
Действительно, имеем
Т = *„ + Ък = a(R -f ?)cos9 = a (l +JL) (х3 - 4).
Это распределение температуры найдено в работе [78] путем
прямого интегрирования системы дифференциальных уравнений:
в,.. s= е, s= aQt0; Xj^x, = а0^ A4.94)
для случая осесимметричной деформации.
Второму же из найденных решений A4.93) отвечают неосесим-
метричные и даже непериодические по 6 смещения.
Пример 14.4. Рассмотрим круговую цилиндрическую оболочку.
Для нее
А = А = Я == г ¦ 1 //? =0" ? === tt. m ^ а»
и система A4.85) принимает вид
A4.95)
477
Иа первых двух уравнений A4.95) следует
Подставляя эти выражения в третье уравнение A4.95), по-
получаем
[Ф* (Ф) + Ф(Ф)]+ ¦?¦¦'F) = 0.
Отсюда находим!
Нетрудно убедиться, что слагаемые с постоянными Ьх—bt
приводят к линейному распределению температуры. Опуская их,
подробно рассмотрим распределение температуры, отвечающее
т. е.
Ь = а, fo = aro(l --?-). A4.96)
Определим смещения, вызываемые температурным полем
A4.96). Для этого необходимо решить систему уравнений A4.94),
которая в данном случае принимает вид:
^ = ^ + ж = 0:
\ 22 д [ dw \
д [ dw
Щ Ы
Решив ее, получаем, отбрасывая несущественные в рассматри-
рассматриваемом вопросе жесткие смещения
и —
Задача решена до конца: получено отличное от A4.86) стати-
статически нейтральное распределение температуры и построены отве-
отвечающие ему смещения. Наличие в решении подчеркнутого дисло-
дислокационного слагаемого (см. п. 7.2) лишний раз подтверждает
связь между температурными и дислокационными смещениями.
Пример 14.5. Рассмотрим плоскую пластину постоянной тол-
толщины. Начало пространственной декартовой системы координат
помещаем на срединной поверхности пластины, а ось Ха направ-
направляем перпендикулярно к этой поверхности. Тогда
478
и система A4.85) принимает вид
iL-^L.o- дЧ° I дЧ° - О
а*, "" dxt и' дх\ ^ дх\ ~~v'
Отсюда следует, что 11 ss ft s= const; fo (*ь *г)—произволь-
*г)—произвольная гармоническая функция, сколь угодно отличающаяся от
линейной t0 в= а0 -j- a^ -J-
14.6. РАСЧЛЕНЕНИЕ ТЕРМОУПРУГОГО
НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ,
Построение основного НДС. Пусть геометрия оболочки, меха-
механические и температурные воздействия таковы, что полное НДС
может быть представлено суммой основного (°), плавно изменяю-
изменяющегося напряженного состояния и ПКЭ (*), локализующегося
вблизи неасимптотических линий искажения (краев оболочки,
линий скачкообразного изменения нагрузки, кривизны или тол-
толщины и т. п. [40]). Выскажем некоторые замечания о построении
основного НДС.
Рассмотрим сначала случай, когда в качестве основного НДС
можно принимать безмрментное (*). Традиционный способ по-
построения безмоментного НДС заключается в последовательном
интегрировании системы дифференциальных уравнений четвер-
четвертого порядка (см. A4.9)х* A
#„1^* = — АВр; tfJ-W^-j-rt*. A4.97)
В тех задачах, где граничные условия допускают формули-
формулировку в терминах деформационных величин (дм), предпочтительней
оказывается использование следующих уравнений (см. A4.11),
0
=-АВр; RoL^^-^-UC-1^ A4.98)
так как при этом необходимо фактически решать одно уравнение
при разных правых частях.
В тех случаях, когда слагаемые чистого изгиба в недостаточной
мере ограничены, для построения основного НДС могут быть ис-
использованы итерационные процессы, обобщающие соответственно
способы A4.97) и A4.98):
-щL?f>2U°k-n; Ro%u°lk) = ±.C~lt°(k);
A4.99)
— АВр - d0LaCjt?ft_,);
i%). A4.100)
479
Сходимость итерационного построения основного НДС в виде
A4.99) или A4.100) зависит от многих данных задачи (формы сре-
срединной поверхности, характера действующих нагрузок, условий
закрепления краев, протяженности оболочки). Поэтому исследо-
исследование сходимости итерационных процессов целесообразно прово-
проводить, привязываясь к конкретной задаче. Следует лишь помнить
о том, что скорость сходимости (если, конечно, процесс вообще
сходится) связана со степенью ограничения деформаций чистого
изгиба, т. е. таких, которым отвечают нулевые усилия. Впредь
будем рассматривать лишь такие задачи, для построения НДС
которых достаточно первого приближения, соответствующего си-
системам A4.97) или A4.98). Для этих задач слагаемые чистого из-
изгиба ограничены в такой мере, что их можно не принимать во
внимание при расчете усилий.
Подробно вопросы построения решений на основе итерацион-
итерационных процессов рассматриваются в работе [42].
Пусть основное напряженное состояние складывается из безмо-
ментного (*) и термоупругого (г). Для построения такого НДС
удобно воспользоваться уравнением A4.78), в котором в силу
плавности функции ?° (а, Р) можно пренебречь слагаемыми,
имеющими множитель ic. Тогда получим
RJuf = — ABp A4.101)
или
#0L/ = — ABp; R0L1x° = ~q^. A4.102)
Отсюда, в частности, имеем:
при qT = 0
R0L1t*= —ABp; /?0LiX* = 0; A4.103)
при р = 0 (см. A4.71))
RJL&' =4г-Ят, До W = 0. A4.104)
Следовательно, уравнения первого приближения для безмо-
ментного НДС D.103), соответствующие уравнению D.101), от-
отличаются от рассмотренных ранее уравнений A4.98) тем, что
в уравнении A4.103), отсутствует правая часть.
Оценим напряжения, отвечающие частному решению уравне-
уравнения A4.98)а, и сравним их с напряжениями от усилий t*. Пусть
А ~ В ~ Ro. Тогда в силу плавности безмоментного НДС с уче-
учетом нормированности операторов Ц1( Ls получаем оценки:
#„1^* = — ABp=*-t*~
m* =
480
на основании которых заключаем, что
at. =-?¦ Р~-Zf-р; о„ = -^т*~р. A4.105)
(Обращаем внимание на то, что оценка A4.105), получена на основе
лишь частного решения уравнения A4.98J.)
Таким образом, при построении основного НДС по безмомент-
ной теории можно пренебрегать частным решением уравнения
A4.98J, так как вносимые им поправки в напряжения имеют по-
порядок h/R0, в то время как геккелеровское приближение для
ПКЭ основано на пренебрежении величинами порядка Уh/R0
(по сравнению с единицей).
Разрешающие уравнения термоупругой деформации оболочки
вращения. В гл. 2, 4 уделено достаточно внимания вопросу опре-
ления безмоментного НДС в оболочках вращения. Поэтому ко-
коротко рассмотрим лишь термоупругое состояние, соответствую-
соответствующее уравнениям A4.104). В силу очевидной аналогии между пер-
первым и вторым уравнениями A4.102), часть результатов, получен-
полученных в гл. 2 по расчету безмоментного НДС в оболочках вращения,
можно перенести на случай температурной деформации этой обо-
оболочки. Так, разрешающее уравнение для термоупругого НДС
можно записать в виде
1.106)
где
d
ж fa«. kR**> + *** to». * - &k sin 0)];
(eT, xT) = 2 (RTik, xT,ft)cos^tp. A4.107)
После определения функции V% параметры термоупругого
НДС определяются по формулам:
Ehc vn> * ^i sina 6 '
il.k\ ei, k = г'2, k = (Bfe = 0. A4.108)
Условия однозначности смещений и поворотов. Так как за-
задача решается в терминах параметров деформации, нужно следить
за тем, чтобы отвечающие им смещения были однозначными функ-
16 в. В. Новожилов в др. 481
циями, т. е. чтобы выполнялись условия A4.32) для всякого кои-
тура 0 = const. Используя соотношения F.168)—F.171) при
7 = 0 и принимая обычные для оболочек вращения иаправления
(см. рис. 4.1), получаем
*« lv=o = >4Г) = -4Г)е, + 4ГЧ - "^Ч. «* |^о = 4Т),
A4.109)
где
оо
х<Г) = 4Г) sin 6 - х?> cos в = 2 x?\ cos Jfecp;
fc=0
и?Г) = xjr) cos в + хЦ} sin 6 = 2 х^.Г)а cos ^ф;
^ ao ao
k'v = t' — -?- = 2 »<p, ft sin &<p; ejr) = 2 e?\ cos ^ф.
A4.110)
Подставив эти величины в соотношения A4.32) и выполнив
интегрирование с учетом формул
ег = ея sin ф + ty cos ф, еф = ея совф — tv sin ф,
получим
2л
|Щ\ ва = г j У.Рdy = -2лгх<^ + лг (х<П + jcif'i)е„ = 0;
о
2л
|1фи = г j (е2Г)еф + ©2 X еф) с(ф = nr (eifj - rxi.rl) ея = 0.
A4.111)
Таким образом, условия однозначности смещений имеют вид
при k = 0
xifi = 0; A4.112)
при k = 1
»?Г1 + njft = 0; eiri-n4.rl = 0. A4.113)
Самоуравновешенное нагружение (& >¦ 2) оболочки вращения
ие вызывает дислокапионных (неоднозначных) смещении.
Осесимметричное НДС. Интеграл уравнения D.106) при k =0
определяется формулой
( ^^) A4.114)
Учитывая вытекающую из F.169L формулу
482
и соотношения A4.71), A4.109), A4.110), на основании A4.114)
имеем
»4Го = >4Го sin 9 — v$n) о cos 8 = (х^. о + хт, о) sin8 +
7C'- <14Л15)
Следовательно, для обеспечения условия однозначности углов
поворота необходимо положить С\ =0.
Используя теперь формулы A4.108), A4.114), A4.104J, на-
находим:
1 d ( R2 deT, о\ ' ctg 6 deT, о
[); *><> = —хт.о-—j^--;
М'\, 0 = do (xi, 0 4- VX2. о) =
i, о = do (иг, о + vxi, о) =
Q;. о = Q'm, о sin 8 + Т\ cos 9 = -^- (^^-° - i?i cos 8Л12. о) =
_ (l+v)c?osin6 dxTi0
R! db
d0 Г d т d R% deT< 0 /cos'S . г \de-r,ol.
RiR2 [ dQ Rt dQ Rt dQ \ sin 6 "•" Rt ) dQ \'
tfl = riTl = —^^, 4Tl = rtfl = rsT,0. A4.116)
Обратносимметричное НДС. Как известно, уравнение A4.106)
при k = 1 интегрируется в квадратурах (см. п. 2.10). Причем
из-за громоздкости выражения для ^г (8) вычисление соответ-
соответствующих интегралов в общем виде представляется (даже не на
первый взгляд) невыполнимым. Своеобразие температурной за-
задачи заключается в том, что для вычисления функции Vf F)
вообще нет необходимости в решении уравнения A4.106), так как
эта функция может быть получена из условий отсутствия дисло-
дислокационных смещений A4.113).
Действительно, на основании формул (см. A4.108))
*гП = (х?. 1 + хг. i) cos 8 --i-J^-1
sin 8 =
7 xr. i cose--l—^isin8;
16* 483
xi*\ = (x?, i + «г. О sin 8 + -щ- -?1 cos 8 =
= 4" W + xr. . sin 8 + -jfr %^ cos 8;
условие A4.113)a записывается в виде
в1П - ncjfl = er. ¦ - V,r - r*,., sine - ^%i = 0,
откуда находим
'2p%l. A4.118)
Можно убедиться, что соотношение A4.118) обеспечивает вы-
выполнение и второго условия однозначности смещений A4.113)!.
Подставляя теперь V\ согласно формуле A4.118) в соотно-
соотношения A4.108) и учитывая зависимости, приведенные в первых
двух разделах данной главы, приходим к следующим формулам
обратносимметричной термоупругой деформации оболочки вра-
вращения:
«г. i ^t -r7
т| = — x^l = — (x5. i + xr. i) cos 8 + -j^- -^ sin 8
= -TeT,ictg8+ ^slne jjb
do (xi, i + wi. i), УИ2,1 = do (кг. 1 + vxi. 1). Я1 = A
1 = Q\n,i sin 9=-^- {^1 + 2RlH'1-RlM2,. cos
^rx^fi = —g-%* +er. ,ctg8, (re)r±ng\ =
484
(Г)
)
в,
о1Г)±|4П =
AT)
В заключение параграфа приведем условия податливости края
8 = 80 оболочки вращения для случая, когда основным НДС
является термоупругое состояние (k < Yhlroi параметры НДС
вычисляются при 8 = 80):
r0e2, k = г0Ет. k + цап (Qr. к — Q'r. к) — ai2 (М\, к — М{, к);
ГОХГ, k = Г0Н{гТ,\—«12 (Qr. к —Q'r. fc)+f*a22(VWl, k—М'\, к).
A4.120)
14.7. РАСЧЕТ ТЕРМОУПРУГОГО
НАПРЯ ЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ
В СОСТАВНОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКЕ
Применение комплексного уравнения A4.80) и комплексных
граничных величин A4.82) проиллюстрируем на задаче расчета
корпуса винтового компрессора, представляющего в расчетном
отношении составную оболочку в виде двух сопряженных по об-
образующим круговых цилиндрических пластин одинаковой тол-
толщины (рис. 14.7). В соответствии с условиями работы винтового
компрессора составная оболочка находится под действием ли-
линейно изменяющихся по области срединной поверхности нормаль-
нормального давления и температуры, причем последняя предполагается
постоянной по толщине. Делается предположение также, что
параметры Е, v, a0 являются одинаковыми для всей конструкции,
т. е. практически не изменяются в рамках реализующихся пере-
перепадов температур.
В силу того, что граничные условия (шарнирного опирания и
упругого сопряжения) допускают комплексную формулировку,
решение задачи вплоть до определения произвольных постоянных
z
Рис. 14.7
485
осуществляется в комплексной области. Используется метод
одинарных тригонометрических рядов и метод расчленения об-
общего НДС на основное, соответствующее уравнению A4.101),
и на НДС обобщенного краевого эффекта (см. работу [210],
гл. XIII, п. 5).
Вводя безразмерные координаты
«1-6 = -Г. «* = Ф = Т <14Л21>
(L, г — длина и радиус кривизны цилиндрической оболочки),
нормальное давление рп и температуру Т, как функции коорди-
координат | и ф, можно выразить формулами:
рп F, ф) = 7s + ht + (ti — ti) 61 ф (ф);
Т F, Ф) = Иг + (i3 - h) 61 Ф (Ф). A4.122)
Здесь (рис. 14.7)
Фф при ф = фЬ 0 < ф! < ф1;
При ф = ф2, ф1 < ф2 < ф2;
Ф =
при ф = фз, 0 < фз < фз;
При ф = ф4, фз < ф4 < ф4,
Ф4
( ф;
ф!
0
0
— Фз
— Фя
a\ A4.123)
Используя вытекающие из A4.121) и рис. 14.7 соотношения
AX = L; -^- = 0; Ла = R, = г„; k = 1,2, A4.124)
на основании формул A4.122), A4.123) и A4.74), имеем
хГ = 0, ег = а07\ д{ = ql = 0, ^ = ЕЪс^Щ- A4.125)
или
Pi = 0; р2 = lEhc -^ [t,. + D - h) l\ Ф' (ф);
Рп = Pn = Ts + [Ti + (T* - Ti) 61 Ф (Ф). A4.126)
Для нагрузки вида A4.126) соответствующее матричному урав-
уравнению A4.80) разрешающее уравнение C.45) с учетом формул
A4.124) имеет вид
= 0' A4.127)
486
где
Р> = ^. 2b2fc=^-, Д = .? + ??. A4.128)
Комплексные усилия, моменты и смещения выражаются через
вспомогательную функцию Т = 7\ + Т% по формулам 1207] г
= Us (ft - v7\), M% = ic (Тг - v7\);
Поскольку внешняя «нагрузка» р определяется плавными (ли-
(линейными) функциями, частное решение (основное НДС) можно
определить из системы A4.101), которая в рассматриваемом слу-
случае приводится к виду:
В соответствии с индексом переменной ср в формуле A4.123),
составную оболочку разбиваем на четыре цилиндрических пла-
пластины. При этом в пределах каждой из четырех пластин темпе-
температурная «нагрузка» будет постоянной, а механическая — либо
отсутствует, либо меняется по линейному закону. Напряженно-
деформированное состояние в пластинах определяется решением
однородного уравнения A4.127) и следующими граничными усло-
условиями.
1. Условия шарнирного опирания
Г = ^р- = 0 при | = 0,|=1. A4.131)
(Из выполнения условий A4.131) на основании формул A4.129)
вытекает выполнение равенств
ч =0, ха = 0, 7Х =0, Мх = 0,
которые и являются условиями шарнирного опирания, записан-
записанными в терминах деформационных величин.)
487
a
2. Условия упругого со-
сопряжения краев ф = const
A4.132)
где (см. F.164), F.175),
F.184) при v =я/2)
Рис. 14.8
Qv =
+ Qvnn;
t=-5; Qvn = Jj- (-§L + Eh^) ;
Mvv = ic (f x - vfa) + iEhcbT. A4.133)
Единичные векторы сопрягаемых краев связаны формулами
(рис. 14.8)
е{ = е{\ t\ — —е" cos a
n11 sin a;
n' = — e" sin а-п11 cos а,
A4.134)
где при сопряжении пластин 1 и 4, 3 а 2 следует принимать а =
= фо -)- фо', а при сопряжении пластин 2 я 1, 4 и 3 — а=п.
Представим нагрузку A4.126) в виде рядов Фурье
(Ра, Р„)= 2 (Л, m. pn>m)slnmn?,
m=l
A4.135)
где (в соответствии с формулами A4.122), A4.123))
Рг, т =
i (ф* — Фз)
0<ф!<ф!;
Pa, m = Pn, m = 0 При ф1<ф2<ф2. О < фз < фз- A4.136)
Тогда разрешающая функция, обеспечивающая выполнение
граничных условий шарнирного опирания A4.131), имеет вид
, Ф)=
m=!
A4.137)
488
где
Т, m Ш = Ahl ch ^фь + ^м sh ^фь + Л
T, m (фО = Л и ch Я,|фг + AJ2sh Я,|ф, -f Л й ch А-зФг + Л D sh Хзфь
(ft= 1, 2; / = 3, 4); A4.138)
Хь к3 и Я,!, Хз — существенно различные корни характеристиче-
характеристических уравнений (соответственно при k — 1 и при k = 2)
(X2 - л VplJ + X2 - i2nWblpl = 0. A4.139)
Для оболочки не очень длинной (каковой и является корпус
винтового компрессора) можно использовать следующие прибли-
приближенные формулы для вычисления корней уравнения A4.139):
= ±
A4.140)
где
Постоянные Лй„, Л1п (л ? 1 : 4) определяются из 16 условий
упругого сопряжения. Если (как это обычно и имеет место) угло-
угловой диапазон пластин 1—4 достаточно велик, то вместо соотноше-
соотношений A4.138) удобнее использовать следующие приближенные
выражения, полученные с учетом затухания экспоненциальных
функций при удалении от соответствующих краев пластин (так
называемый обобщенный краевой эффект [210]):
Т, m Ы = Вп
^~^. A4.141)
Критерием применимости соотношений A4.141) вместо A4.138)
является выполнение неравенства
minv;>D,6-lne)/min{|ReX,»|}, A4.142)
где е — допускаемая погрешность в процентах.
489
Из условий плавного сопряжения (а = л) пластин при ф, = <р2 = <р; и
фч = Ч>4 = Фя нетрудно получить следующие формулы для восьми из двенад-
двенадцати произвольных постоянных В if
Anm bjX_
Bti = Bu =
Antn bi
4ят 6.Д;
"I.
A4.143)
где
Остальные четыре комплексных постоянных определяются из следующих
уравнений, представляющих условия соприжении первой и четвертой пластин,
т. е. краев ф, = 0 и ф4 = ф|:
где Ощбц + anaSi2 + OnsS4s + «714^44 = «т.. п?\:\, A4.144)
ап = PjAx sin a -| cos а; а12 =• PiA2 sin а Н cos а;
Pi Pi
X X
а21 = —pxAx cos а -\ sin а; а22 = —рхЛ8 cos а -|—- sin а;
Pi Pi
X' X'
аы = — ~, аи = -^-; о„ = —PjA,, о^ = —р2Л4;
«si = 1 - < -щ- Р?Л,; ам = 1 — I -щ- р?Л2;
= Я, (Л,
- "т1 h^. m @) cos а + /-2J32, m (Ф4> — 'i ^n, m @) sin а];
С
ЬЛ? @) sin а - — [г^2, т @) sin а + rjln, т @) cos а + гфп, т (ф4)];
"Ф1 с
а» = v [/-!/(„, m @) — rJn, m ((pi)];
.m@)-^2.m(?;)+^f@)-^f(?i)]; A4.145)
490
w-10 м
3>V
-2.0
-1.5
-1.0
\0.5
16
Рис. 14.9
После определения произвольных постоянных Bij и комплексных величии
A4.129), смещения и напряжения вычисляются по формулам:
ы, =
of = -
i-^-Im^ + vT,);
a±=-
6c
ReS 6A—v) . -
A4.146)
Рассмотрим конкретную конструкцию винтового компрессора, имеющего
геометрические размеры
/-1 = /-2 = 8-10-2 м; Z. = 24-10-2m; а = 12,8-КГ* м, h = 1,2- Ю"» м;
«Pj = 2,85; q>2 = ф* = 5,00; Фз = 2,15;
характеристики материала
Е = 0,8-10» МПа; v = 0,17; а0 = 11 -Ю"' 1/°С;
параметры температурного поля и нагрузки
<, = 50°С, t2 = 210°С; vi = 0,35 МПа; ?а = 1,88 МПа, ?» = 0.
Наибольший интерес представляет расчет нормального перемещения (про-
(прогиба) w, так как с его ростом возникает зазор между корпусом и ротором, который
может существенно отразиться на КПД компрессора. Расчеты показали, что мак-
максимального значения w достигает в следующих точках (см. рис. 14.9, а)
внутреннее давление
г = 15-Ю-2 м; <рх = 0,7; max w = 0,019-Ю-2 м;
температурное воздействие
г = 21-10-2 м, ф!=0; max w = 0,017-Ю м.
(При расчете прогиба w от действия вормального давления достаточно взять два
члена ряда, а при расчете w от действия температуры сходимость достигается при
пяти членах ряда. На рис. 14.9, б сплошной линией показано изменение прогиба
по длине корпуса в сечении <Pi = 0 прн расчете с пятью членами ряда, а штрихо-
штриховой линией — с тремя.)
Как видно из рис. 14.9, а, в окрестности ф! = ф{ прогиб имеет отряцатель-
ный знак, а величина его в данном примере составляет
@,2-4-0,3) -10-* м.
491
Это обстоятельство следует учитывать при выборе начальных зазоров, чтобы
избежать трения зубьев ротора о поверхность корпуса.
Максимальные напряжения реализуются в сечении фх = 0 у внешней по-
поверхности корпуса и составляют в случае внешнего давления а\ = —87 МПа
при г — 0,14 м, а в случае температурных воздействий — crj = —35 МПа при
г = 0,15 м.
Глава 15
ОБОЛОЧКИ, ПОДКРЕПЛЕННЫЕ РЕБРАМИ
В главе выводятся деформационные граничные условия под-
подкрепленного края оболочки, основанные на формулировке гео-
геометрических условий сопряжения оболочки и тонкого стержня
в терминах деформационных граничных величин. На этой же ос-
основе выводятся деформационные уравнения термостатики реб-
ребристых оболочек, из которых предельным переходом получены
деформационные уравнения для конструктивно анизотропных
оболочек, а из последних, в свою очередь, — континуальцые
уравнения термостатики регулярных стержневых решеток.
Изложен новый метод решения контактных задач с неизвест-
неизвестной областью активного взаимодействия (метод обобщенной реак-
реакции), не требующий предварительного разбиения области воз-
возможного контакта на активную и неактивную зоны. Выписана
разрешающая система уравнений. для оболочки, подкрепленной
ребрами одностороннего действия. Метод проиллюстрирован на
примерах расчета оболочки, подкрепленной свободно надетым
шпангоутом, и оболочки, свободно лежащей на опоре в виде
части кругового кольца.
Выполнено расчленение граничных условий подкрепленного
края и условий упругого сопряжения оболочек (уточненный
вариант). Рассмотренные в главе примеры могут представлять
самостоятельный интерес.
15.1. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
ПОДКРЕПЛЕННОГО КРАЯ ОБОЛОЧКИ
Линейный закон упругости для стержня, связанного с краем
оболочки. Пусть край оболочки, ограниченный на срединной по-
поверхности замкнутым контуром 3Q, подкреплен тонким стержнем
(с), т. е. таким, что
Л/Яо«1, A5.1)
где т|, /?0 — характерные размер поперечного сечения стержня
и радиус кривизны его оси.
В общем случае деформация стержня является результатом его
растяжения, изгиба и скручивания. В рамках линейной теории
492
упругости первые два вида де-
деформации тонких стержней аде-
адекватно описываются с помощью
известной гипотезы плоских се-
сечений. При кручении существен-
существенную роль играет депланация,
т. е. искривление плоских по-
поперечных сечений в процессе де-
деформирования. Различают два
вида кручения: свободное (или
кручение Сен-Венана), имеющее
место, когда депланация не стес-
стеснена, и стесненное. Эффект от стесненного кручения различен для
тонкостенных стержней и стержней сплошного (монолитного)
сечения. Для рассматриваемых ниже нетонкостенных стержней
роль стесненного кручения несущественна. Учитывая сказанное,
для описания деформации тонкого криволинейного стержня,
подкрепляющего оболочку, принимаем объединенную геометри-
геометрическую гипотезу (так называемую гипотезу жесткого контура
[45]): полная деформация стержня складывается из движения
каждого поперечного сечения как жесткого целого и смещения
точек сечения в осевом направлении за счет депланации Сен-
Венана. Аналитически гипотезу жесткого контура можно запи-
записать в виде (рис. 15.1)
uc(s, S) =
A5.2)
ucnti — вектор смещений точки стержня; njj (s)=uc (s,0);
поперечного сечення
Здесь nc = «$v+«J
шс = <o?v + G?t + <ojjn — вектор углов поворота
стержня; x?v (s) — относительный угол закручивания поперечного сечення
стержня вокруг оси 0\t\ Ф (I) — функция кручения Сен-Венана, определяемая
формулой A29)
(I) — функция напряжения Прандтля, являющаяся решением краевой задачи
ЭЦ ^ дЦ ~ - ь^~' A5.4)
I ф = о. ied(S),
где (S) — область поперечного сечения стержня, д (S) — граница области (S).
Основываясь на гипотезе A5.2) и принимая во внимание до-
допущение A5.1), приходим к следующим приближенным формулам
для компонент деформации стержня в локальной декартовой си-
системе координат {lv, It, ln} [108]:
¦ ф •
dst
493
= О
Иг)
e$v = ecnn = 4„ = 0. A5.5)
Здесь использованы соотношения
^ + t Xшс) ; х? = - x?,v + x?vt - х?„п = -§1. A5.6)
Подчеркнутым в A5.5) слагаемым ниже пренебрегаем. Оче-
Очевидно, что так можно поступать, если х« (s), x?v (s),x?n (s) суть
величины одинакового порядка малости, а функция x?v (s) яв-
является плавной. Для большинства реальных оболочечных кон-
конструкций эти условия выполняются. В сомнительных случаях
можно рекомендовать апостериорную оценку отбрасываемого сла-
слагаемого. И, наконец, для расчета оболочек, подкрепленных стерж-
стержневыми элементами, с учетом названного слагаемого можно
воспользоваться результатами, полученными в работе [69].
Кроме геометрической гипотезы A5.2) примем статическую
гипотезу Кирхгофа: нормальные напряжения на площадках, па-
параллельных оси стержня, пренебрежимо малы по сравнению с на-
напряжениями на площадках, к ней перпендикулярных. На осно-
основании этой гипотезы имеем
ЕсгЬ = о?, - vc (о}у_±_аспп) « о&. A5.7)
Заметим, что при использовании соотношений A5.5) формально нет надоб-
надобности в принятии статической гипотезы. Действительно, на основании соотноше-
соотношений трехмерного закона Гука и последних равенств A5.5), находим
С ^^ Р I С ^О /С а С I С \ I
[ ги + ] _2V \ w + ъа + ъпп) J =
l+vc
. — Vr.)?p
A5.8)
Однако это соотношение не согласуется с решением задач Сен-Венан а о рас-
растяжении и изгибе бруса, для которых точной является формула A5.7). Следова-
Следовательно, использование статической гипотезы Кирхгофа необходимо для устра-
устранения невязок, вносимых в решение принятием геометрической гипотезы A5.2).
Таким образом, напряженное состояние в тонком упругом
стержне приближенно описывается вектором
аЧ = Ес (гст + 6*х?/ - 6„х?„) t -
- Gc -Щ- x%v + Gc -g- x?vn. A5.9)
(Gc = ?c/2 A -f-vc) — модуль сдвига.)
Подсчитывая значения главного вектора и главного момента
напряжений относительно центра тяжести сечения стержня пло-
плоскостью lv0ln, приходим к следующим определяющим уравне-
494
Таблица 15.1
«a1
i
Vu
E
E'
Y/////A
2,5
0,412
0,434
5
мл
3
0,316
0,328
1
0,846
0,912
4
0,198
0,202
1,5
0,724
0,777
6
0,097
0,096
1,75
0,632
0,677
8
0,057
0,055
2
0,550
0,584
10
0,037
0,036
ниям упругости для тонкого криволинейного стержня нетонко-
нетонкостенного профиля (одномерный закон Гука):
f?=-t- f a?d5 = ?05ee«0;
(S)
5VC = v• f | x <ft dS = — EaIvx°tt + EJ^n;
(S)
ЯЛ = n. J I x or? dS = - ?0/„х?„ + ?
(S)
# = t- f ixa'dS =0e/,x?v.
(S)
Здесь 5 — площадь поперечного сечения стержня,
/v = f UdS, In =- J 15d5, /vn = f |v|nd5,
(S) (S) (S)
/t = —2 J OdS. A5.11)
(S)
При решении обратных и оптимальных задач удобно использо-
использовать следующую приближенную формулу Сен-Венана [172]:
A5.10)
которая является точной для эллиптической области E).
В табл. 15.1 приведены значения относительных жесткостей
| = /4//р и |' = Ii/Ip для прямоугольной области (S) в зависи-
зависимости от значений параметра Tia/th (Ip = /v -f /„ — полярный
момент инерции, связанный с геометрической жесткостью при
кручении /4 формулой /р = /лФ=о)-
495
Условия сопряжения стержня с краем оболочки. Пусть непо-
непосредственно к подкрепляющему оболочку стержню в пересчете
на его центральную ось приложена внешняя (е) нагрузка
qe = <7«v + qt\ -f qenn, me = mvv + mett + menn. A5.13)
Заменяя статическое действие края оболочки на стержень
реактивными силой (—Qv) и моментом (—Mvvt), теорему Клапей-
Клапейрона для замкнутого стержня можно записать в виде
2Ve = § [(qe-Qv)-uS + (me-Mwt-8xQv)-wc]ds. A5.14)
Отсюда после интегрирования по частям с учетом формул
> ? + а" T" m =^ + Р« T«S A5.15)
и в предположении о непрерывности подынтегральных функций
находим
ds, A5.16)
где
$ = Qv/ - Qv/ - MfixQv)_:V_- Pi_(S.x_Qv):n;
-x,FxQv)-n;
8xQv)-t; A5.17)
w = <7v — itm% -f -^, Qv/ =
A5.18)
Пренебрегая в формулах A5.17) подчеркнутыми малыми сла-
слагаемыми, статические условия сопряжения стержня и оболочки
можно записать в виде
qc = Qv_Qv, m? = MVv-AIvv-FxQv)-t. A5.19)
Подставляя эти соотношения в уравнения равновесия элемента
центральной оси стержня [108]
^ g O A5.20)
496
и интегрируя последние с учетом формул A4.23), получим
В« = В-В«+J[(8xQv)-t]tds<; Fc = F - F«, A5.21)
где
A5.22)
So
(При переходе от условий сопряжения A5.19) к условиям A5.21)
учтено, что на основании A5.1) можно принять ds ж dst.)
Далее согласно рис. 15.1 условия совместности деформаций
центральной оси стержня и края срединной поверхности оболочки
записываются в виде
юс = &t; Uo = u -f- 8 X (о,
или (с учетом уравнений Клебша A5.6))
A5.23)
x?=.
ds
ds.
A5.24)
Граничные условия подкрепленного края. Исключая из соот-
соотношений A5.10) величины напряженно-деформированного со-
состояния стержня с помощью статических и геометрических усло-
условий сопряжения A5.21), A5.24), получаем
db + dq - К (дх + d*) = dbe,
A5.25)
где
, t-Vt, п-Ш, 01®; 3R = J [FxQv)-t]
==[0, 0, 0,
о —
0
0
0
/Cn
0
B\,
о -
0
0
A v ==
An ==
С, = ?CS.
A5.26)
497
В соотношениях A5.25) подкрепляющий оболочку стержень
представлен матрицей жесткостей К, действующей на него на-
нагрузкой db' и вектором б, связывающим его ось dQc с граничным
контуром оболочки dQ, т. е. величинами, задаваемыми при по-
постановке задач расчета НДС в оболочках, края которых упруго
сопряжены с ребрами жесткости. Поэтому четыре скалярных
равенства, эквивалентные матричному равенству A5.25) и свя-
связывающие величины НДС края, подкрепленного ребром (стерж-
(стержнем), естественно называть граничными условиями подкреплен-
подкрепленного края оболочки.
В предельных случаях при ||/С||->- 0 или \К\ -*¦ °о граничные
условия A5.25) переходят в условия незакрепленного края дЬ =
= dbe или в граничные условия абсолютно жесткого края
дх =0.
Если эффекты от несовпадения оси стержня и граничного кон-
контура оболочки несущественны, то граничные условия подкреплен-
подкрепленного края можно принимать в следующем упрощенном виде:
дЬ-Кдх = дЬе A5.27)
или в скалярной записи:
""" e A5.28)
Bn -f- KnV-tn — KvnXtt = Bn\
Ft - С(ви = Ft-
С тем, чтобы обойти процедуру, связанную с вычислением ин-
интегральных величин F, В, Ш, можно использовать вместо A5.25)
следующую форму записи граничных условий подкрепленного
края:
dq + d'q - Г/С (дх +(Ц = dqe, A5.29)
где
d'q = [0, 0, 0, (8xQv)-t]e. A5.30)
(Равенство A5.29) следует из A5.25), если к обеим частям послед-
последнего применить оператор Г.)
Например, при выполнении условий
6 = 0, -^- = 0, /Cvn = 0 A5.31)
соотношения A5.29) можно записать в следующем развернутом
виде:
~ "^ Xt ds* ) ~^~ К '(—ds^~ ^~ P<T<x<v) —
498
v< - Qv< = - -Kv I at -j?- - ptatxu - Kn I p< -%
Kt
Mvv - Mtv = — tfvP^< + A:< -g^- + Knatxtn- A5.32)
Если в соотношениях A5.29) пренебречь слагаемым, имеющим
множитель б, и выразить деформационные величины дк через
смещения и угол поворота граничного нормального элемента (ди),
то при Т( = 0 придем к известному варианту граничных условий
подкрепленного края в смещениях [1961. При использовании
введенного в главе 14 оператора Г эти граничные условия запи-
записываются в следующем компактном виде:
= dqe. A5.33)
Может представлять интерес также формулировка граничных
условий подкрепленного края в усилиях и моментах F = 0)
dq + TK (d^T^m - Я^^ГДГЧ) = dqe.
Граничные условия подкрепленного края в задаче термостатики.
Предположим, что на деформированное состояние стержня,
обусловленное механическими воздействиями, накладываются де-
деформации, вызванные изменением температуры на Тс = Тс (|v,
s. In) градусов. Считаем также, что нагрев (охлаждение) несу-
несущественно сказывается на значениях упругих постоянных (Ес,\с)
и что стержень термически изотропен. Тогда в соответствии с ги-
гипотезой Дюамеля — Неймана и гипотезой жесткого контура
напряженное состояние в тонком упругом стержне приближенно
описывается вектором (см. форм. A5.9))
оЧ = Ес (е^о + \п*и - б,*"» - «с^с) t +
c-ir-ffvV + Gc-3T-XfVn. A5.34)
°6n Cfev
(ac — коэффициент линейного температурного расширения ма-
материала стержня.)
Вычисляя главный вектор (Fc) и главный момент (Вс) напря-
напряжений, действующих в сечении ?vO?n, приходим к следующим
499
определяющим уравнениям термоупругости для тонкого криво-
криволинейного стержня:
dbc = Кдхс - Кдхт, A5.35)
где
dbc = [Bl, ВЧ, Всп, F?]®, сЭхс = [-х?„ x$v, -х?„, е?,]®,
/Сахсг = ас?с f [-U, О, |V, 1]вГс(Е, s)dS. A5.35')
(S)
Геометрические условия сопряжения стержня и оболочки с уче-
учетом температурного расширения можно записать в виде
дхс = дх + 4<- A5.36)
Здесь дх — столбец параметров полной деформации края обо-
оболочки, связанный:
со смещениями формулой
дх = Гди
с усилиями и моментами формулой (см. A4.77))
дх - дхт = — Г,х' + ЯЛе' = — 4- Г,С~'т + -V Г2С~'<.
"О Ч>Ао
Столбец параметров дополнительной деформации, обусловленной
несовпадением осей dQ и дйс, соответственно можно представить
так:
4, = «С + *г. A5.37)
где
dT = [о, 0, 0, - 6у-^7 - 6п (хг - егтар sin 2y)]®.
Исключая теперь из уравнения A5.35) величины, характери-
характеризующие НДС стержня (Зхс, 56°) с помощью геометрических A5.36)
и статических
dbc = db - db°-\-dq A5.38)
условий сопряжения, получим граничные условия подкреплен-
подкрепленного края для линейной задачи термоупругости
db + dq - К (дх + dx - дхт) = dbe. A5.39)
Для тонкого стержня адекватным обычно является линейный
закон изменения температуры по сечению. Записывая температур-
температурную функцию в виде
Тс F, s) = tt (s) + IX (s) + Infn (s) A5.40)
и вычисляя интеграл A5.35'), получим
dxcT = [-acfn, 0, acfv, асЙ]в- A5.41)
500
С учетом этого соотношения граничным условиям подкреплен-
подкрепленного края можно придать следующий вид:
Bt
_ Ft _
-К
B'n
Fe,
A5.42)
Замечание по поводу единственности решения. Докажем коротко теорему
единственности решения краевой задачи при использовании граничных условий
в виде A5.27). На основании этих граничных условий с учетом вытекающих из
A5.20) соотношений
<1ВС„
n = -
имеем
ЯЗ = 58е, g = ge.
При этом теорема Клапейрона может быть выражена равенством
с0
A5.43)
A5.44)
[ е®С,8 du + do f x®C,x dQ = LQ +
Q Q
e• u (s0) + Я5е-щ (s0) -
dQ
A5.45)
Пусть одним и тем же граничным условиям A5.27) и внешней нагрузке отвечают
два решении. Тогда разность этих решений (•) должна удовлетворять однородным
граничным условиям
и, следовательно, теорема Клапейрона может быть записана так:
да
Покажем, что матрица жесткостей подкрепляющего стержня явлиется неотри-
неотрицательной. Для этого в соответствии с критерием Сильвестра достаточно устано-
установить справедливость неравенства
det
/Су 0 —К vn
0 Kt 0
-tfvn 0 Кп
или (см. A5.11))
El
(S)
\(S)
/ J
501
Последнее всегда выполняется на основании неравенства Кошн—Буияковского.
Таким образом, доказано, что
— & dx
да
A5.46)
С другой стороны, имеем
с0 | ё®С,ё <*Й + d» Гх®С.Лс(й>0. A5.47)
Q Q
Очевидно, что неравенства A5.46), A5.47) совместны, если ё = О, Л = 0. Тео-
Теорема единственности для граничных условий A5.27) доказана.
Изложенный здесь прием доказательства теоремы единственности может
быть использован и при рассмотрении уточненного варианта граничных условий
подкрепленного края A5.25). Однако доказательство единственности прн этом
сопряжено с более сложными оценками н здесь не приводится.
Сопряжение со стержнем нескольких оболочек. Рассмотрим
составную оболочку, образованную сопряжением нескольких (Л/)
оболочек со стержнем так, что их граничные контуры dQit i ? 1 : Л/
и центральная ось стержня дО.с являются параллельными, оди-
одинаково направленными осями. Для упрощения выписываемых
формул предполагаем, что температурные воздействия отсут-
отсутствуют (Т —Тс = 0). Статические условия сопряжения A5.21)
допускают следующее очевидное обобщение на рассматриваемый
случай:
N N
Вс = S (В</> + ЭК(/)) — В«, F0 = 2 F<" - F', A5.48)
где
Далее деформационные условия сопряжения на основании A5^24)
принимают вид
с «.(О ос {() j /д(О \/ ^)\ f * г 1 • \7 /1 е AQ\
При сопряжении со стержнем одной оболочки векторные гра-
граничные величины обычно предпочтительней проектировать на
направления связанного с краем оболочки триэдра {v, t, n}.
В случае же сопряжения нескольких оболочек с одним стержнем
общий вид граничных условий наиболее просто записывается,
если векторные величины раскладывать по направлениям есте-
естественного для оси стержня триэдра {b, t, m}.
Введем обозначения
502
= [Вь,Ви Bm, Ft\*
= [Х|Ь, xfvt xfmi е„]Ф = Рдх, A5.50)
где (см. E.54), E.55))
п _ '
V
(Т( 0 pt О
О аХ О О
— р( О at О
О О О стХ
A5.51)
Тогда граничные условия подкрепленного края A5.27) можно
записать в виде
РдЬ- РКР® (Р дх) = Р dbe
или
A5.52)
Здесь
Кх = РКР® =
Кь 0 -КЪт О
О Kt 0 0
Кт О
О С(_
-Къш О
Ль = Лу | —^г I -
а(ч2
0 0
Л- р'ст'
Ptat
= (A'v — Kn)
PtCTt
Wn У2
A5.53)
Сравнивая соотношения A5.21), A5.24), A5.25) и A5.48), A5.49),
A5.52), нетрудно получить следующую систему граничных усло-
условий для пакета оболочек, сопряженных со стержнем:
A5.54)
или
2 (дЬ
где
-|_ dx "' = 5хх'" -(- dx , j?2:N, A5.55)
, 2R^°, 0]®, dX(O = [0. О, О, (8(Oxx}°).t]e
503
15.2. УРАВНЕНИЯ ТЕРМОСТАТИКИ
РЕБРИСТЫХ ОБОЛОЧЕК
Дискретный учет ребер. В литературе, посвященной теории
оболочек, известен целый ряд вариантов уравнений статики и
динамики ребристых оболочек (см., например, [47, 58, 931).
Классификацию большинства из этих вариантов производят
по способам А. И. Лурье г A948 г.) и В. 3. Власова [18] A949 г.).
Названные способы вывода уравнений ребристых оболочек (при-
(применительно к задачам статики) заключаются в следующем:
Метод А. И. Лурье
1°. Формулируют геометрические условия сопряжения стерж-
стержней и оболочки.
2°. Записывают выражение для полной потенциальной энер-
энергии ребристой оболочки в виде суммы потенциальных энергий
оболочки и стержней.
3°. Обобщенные силы в выражении для потенциальной энер-
энергии стержней выражают через обобщенные смещения с помощью
одномерного закона Гука.
4°. Обобщенные смещения стержней выражают через соот-
соответствующие смещения оболочки с помощью геометрических
условий сопряжения 1°.
5°. Из выражения для полной потенциальной энергии на
основе принципа возможных перемещений получают уравнения
равновесия ребристой оболочки в смещениях.
Метод В. 3. Власова
1°. Формулируют геометрические условия сопряжения стерж-
стержней и оболочки.
2°. Стержни мысленно отделяют от оболочки, относя их реак-
реакции к внешним поверхностным силам.
3°. Соответствующие названным реакциям силы, действующие
на стержень, выражают с помощью уравнений Кирхгофа через
усилия и моменты в стержнях.
4°. Усилия и моменты в стержнях выражают через параметры
деформации с помощью одномерного закона Гука для стержней.
5°. Параметры деформации стержня выражают через смещения
точек его оси с помощью уравнений Клебша и далее с использова-
использованием условий сопряжения 1° — через смещения оболочки.
Таким образом, реакции стержней оказываются выражен-
выраженными через смещения оболочки.
Очевидно, что принципиальным в обоих методах, а вернее
путях вывода уравнений статики ребристых оболочек, является
1 Доклад «Уравнения равновесия оболочки, подкрепленной ребрами вдоль
линий главных кривизн», прочитанный в Ленинградском политехническом инсти-
институте 28 октября 1948 г.
504
лишь выбор соотношений, связывающих усилия и моменты в стер-
стержне с деформациями его оси (закон Гука). При одном и том же
законе Гука оба пути приводят к одинаковым уравнениям ребри-
ребристых оболочек.
Подходы А. И. Лурье и В. 3. Власова основываются на объеди-
объединении уравнений, описывающих деформацию оболочки (в соот-
соответствии с гипотезами Кирхгофа) и деформацию стержней (в со-
соответствии с гипотезой жесткого контура). Построенная таким
образом теория ребристых оболочек, как конгломерат теории
оболочек и теории стержней, имеет ряд противоречий, заключа-
заключающихся, в частности, в том, что [58]:
деформация ребристых оболочек описывается системой урав-
уравнений двенадцатого порядка, содержащей ряд слагаемых, не име-
имеющих механического смысла в теории оболочек, например, че-
четвертые производные от тангенциальных смещений;
уравнения теории ребристых оболочек являются, вообще го-
говоря, несопряженными и имеют неэллиптический тип.
Тем не менее все эффективно используемые уравнения ребри-
ребристых оболочек (см., например, [50, 61, 93, 147, 164, 165]) по-
построены именно на объединении уравнений теории оболочек и
теории стержней.
Попытки построить теорию ребристых оболочек на основе еди-
единой для оболочки и ребер гипотезы предпринимались в работах
Дехусса [239] и П. А. Жилина [58].
В работе П. А. Жилина рассматривалась оболочка, подкреп-
подкрепленная по координатным линиям ребрами прямоугольного по-
поперечного сечения, так что лицевые поверхности описывались
разрывными функциями гауссовых координат срединной поверх-
поверхности оболочки без ребер (т. н. базисной поверхности). Общие
соотношения этой теории ребристых оболочек получены как с при-
привлечением гипотез Кирхгофа, так и без них. Вариант уравнений,
построенных с привлечением гипотез Кирхгофа, имеет ряд про-
противоречий [58]. При этом соотношения обобщенного закона Гука
для ребристой оболочки в целом имеют обозримый вид лишь
в случае ребер, расположенных по линиям кривизны. Однако
и для этого случая нет расчетных данных (а тем более эксперимен-
экспериментальных), позволяющих судить о различии в описанных выше
подходах к построению уравнений ребристых оболочек.
Среди вариантов, основанных на методе А. И. Лурье, особо
следует упомянуть техническую теорию ребристых оболочек
Е. С. Гребня [47], построенную в предположении, что ребра
являются тонкостенными (таковые рассматривал и В. 3. Вла-
Власов [18]) и расположены вдоль координатных линий, не обяза-
обязательно совпадающих с линиями кривизны срединной поверхности.
Уравнения равновесия в этом варианте выводятся на основе при-
принятого из физических соображений обобщенного закона Гука,
в котором влияние ребер учитывается с помощью дельта-функций.
В случае ребер, расположенных вдоль линий кривизны, обоб-
505
Ю
ш-
\^
mi
%
Рис. 15
)
1
.2
1(i> г,-
II1
1
К'
2а}
S,
¦s,
щенный закон Гука, предложенный Е. С. Гребнем [47], отли-
отличается от соответствующих соотношений П. А. Жилина [58]
лишь слагаемыми (порожденными наличием стержней) в выраже-
выражениях для касательных усилий и скручивающих моментов. (Заме-
(Заметим, что в более ранней работе [43] Е. С. Гребень вообще прене-
пренебрегал названными слагаемыми.)
Ниже реализуется подход В. 3. Власова к выводу уравнений
термостатики ребристых оболочек, основанный на использовании
деформационных условий сопряжения стержня и края оболочки
A5.36). Учитывая названную особенность геометрических усло-
условий сопряжения ребер и оболочки, соответствующий вариант
уравнений ребристых оболочек будем называть деформационным.
Пусть область контакта ребра и оболочки представляет собой
полосу со средней линией st (sv = const), параллельной оси
стержня. Если на ось стержня действует погонная сила qc (s)
и момент т?, то на оболочку вдоль линии S/ передается соответ-
соответственно сила р' = — qc и момент т/ = т? +(б х qc)* (рис. 15.2, а).
Выразим параметры р' и mt через составляющие столбца да.
Принимая во внимание соотношения A5.20), A5.43), находим
(ds » dst)
р = 4г = Iv> *>
ast
Q db* = Iv> *• QK(dxc-dxar)
= [v, t,
mt =
dBat
A5.56)
506
Здесь введено обозначение (см.
A4.42))
>\d( )/dst\
i ot J
A5.57)
Пусть sv = st° = const. За-
Заменим действие скручиваю-
скручивающего момента mt от г-го стерж- Рис. 15.3
ня действием некоторой на-
нагрузки q, распределенной по ширине полосы s^l) —
-< sf 4- at- В соответствии с рис. 15.3 имеем
(г — г,) х
A5.58)
где
г, = гD'\ st), t< = tD°, st).
Покажем, что условию A5.58) удовлетворяет нагрузка
q -
A5.59)
(б (.) — дельта-функция).
Действительно, подставляя нагрузку q, определяемую выраже-
выражением A5.59), под знак интеграла A5.58) и выполняя интегриро-
интегрирование по частям, получим
щ
\ (г — г,) х n6'(sv
= —mt \ [(г - г,) x n' - t] S (sv - 4"
Условию A5.58) приближенно удовлетворяет также нагрузка
следующего вида (рис. 15.2, б):
q = -3
A D°, at;
A5.60)
где
A (So, а; 5) =
507
Я (•) — функция Хевисайда : ff (s — So) =
lim A (So, a; s) = б (s — So).
a->-0
0 при s<So;
-g- при s = So;
1 при
A5.61)
Действительно, подставляя нагрузку q, определяемую форму-
формулой A5.60), в выражение A5.58) и учитывая приближенное равен-
равенство
dr
rZ
после интегрирования по частям получим
Вернемся к рассмотрению уравнений равновесия ребристой
оболочки. Предполагая, что нагрузка р' распределена равно-
равномерно по ширине зоны контакта, и заменяя действие момента mt
на оболочку нагрузкой A5.60), уравнения равновесия оболочки,
подкрепленной системой ребер, можно записать в виде
+
= - АВ |р + Jj (р (sj°) + р
А,|.
A5.62)
Здесь
р' = [еа • р', п • р', ер • р']Ф, р" = [еа • р\ п• р", ер• р']Ф;
р = IIQ/C (дх + ду, — &лт)> Ai = A(Sy\ щ\ Sy),
3
Р = з
[О 0 0 01 Г
Pt d/dsj — at 0 , П (y) = I
о о о oj L
!v-st")M/C(dx + dH-ft€r); A5.63)l
cos y — sin y 0~
= 1 0
sin1
. A5.63),
0 1
cos y 0_
Если правые части формул для р', р" преобразовать с помощью
зависимостей (dx = 0)
нетрудно получить уравнения ребристых оболочек соответственно
в смещениях или усилиях.
508
Распишем формулы (I5.63)t для случая, когда оболочка под-
подкреплена системой перекрестных ребер, расположенных вдоль
линий кривизны. Опуская индексы, указывающие на порядковый
номер соответствующего ребра, получаем:
у = о: Pv' = [РГ, рГ, рП®, pv" = [о, рТ, о]®;
v' ! а / 1 d*vflx2v\ 1 а / KtXtl \ _
Pl - Л, да, \ Л, dat J И, *«, Ui i
дАг
pv' = - д ' дК^ \ i i д , 1 ал,
Л, da, \ Л, da,
2
dAt дКях&
5a, "•" Л, da, '
vt> ал,
2 = x2 —
1Л ,
x ' А\
л' 1
Pl ЛИх dax '
1
Л^Л., da,
л-_ i э / i
Рп - А1 да
da, 5
кпх*п
daj '
1 а / 1 "^y/i^in \ Cj д
~ ~АГ!*Ъ\~А~1 daT~/ ~" ~Щ~ '
A5.64)!
у = я/2 : рА' = [piA', р^', р2л']®, РА" = [0, рп", О]®;
509
л- . i
2
f
Ax dax \ Ai dax
A5.64J
Формулы A5.64) позволяют записать уравнения термостатики
ребристых оболочек, подкрепленных по линиям кривизны, в са-
самом общем виде, т. е. с учетом всех компонент матрицы жестко-
стей К и обеих компонент вектора 6.
Как уже говорилось, известен целый ряд вариантов уравнений
ребристых оболочек в смещениях, которые отличаются лишь сла-
слагаемыми, связанными с изгибом стержня в тангенциальной для
оболочки плоскости и с их скручиванием. Покажем на примере
цилиндрической (некруговой) оболочки, что пренебрежение на-
названными слагаемыми в общем случае не является обоснован-
обоснованным. В качестве аналога рассматриваем вариант уравнений ре-
ребристых цилиндрических оболочек Е. С. Гребня как выведенный
«в более общей и строгой постановке» [47], нежели другие извест-
известные варианты этих уравнений.
С целью упрощения выписываемых ниже соотношений пред-
предполагаем, что температурные воздействия отсутствуют, ребра
имеют постоянные жесткости и симметричную форму поперечного
сечения относительно нормальной плоскости, проходящей через
центр тяжести (Kvn =0, Sv = 0).
Вводя обозначения Аг = А2 = Ro = const и учитывая, что
!/#! = 0, уравнениям равновесия ребристой цилиндрической
оболочки можно придать вид
« = — Rip. A5.65)
Здесь L = [/v(l ] — оператор уравнений равновесия неподкреп-
ленной цилиндрической оболочки:
11 dST 2 Щ~' *i2 — ~ 2i ^7 аГ'
/¦to ^= /о-» ^— i ' ' '- too ^— — ¦ д ¦ — ¦ /\
1 Ко С i Л
510
T ~Ж~~ ffi
~ v)
+
/? = [/\,ц! —оператор, определяющий влияние ребер:
ГЦ =
Й
_?_
» во,
I—'
1=1
511
-р~ w п^р~ I ~лгг? — /л а/ ~Р~Р д-гд^т » 31 ~ и*
*\q *VQ^2 / ^"*2 лив •V0'\2 ОСЬj t/tb2
Выражения для операторов rtJ, соответствующих уравнениям
деформационной теории ребристых оболочек A5.62), получаются
из соотношений A5.66)а, если в последних отбросить слагаемые,
подчеркнутые штриховыми линиями. Выражения же для опера-
операторов r-tj в уравнениях Е. С. Гребня [47] получаются из соотно-
соотношений A5.66)а, если отбросить слагаемые, подчеркнутые сплош-
сплошной линией, и заменить A,-, Ah —3 (ai—a{l)) Ai/a], —3 (a2 —
— агл) Aj/b) соответственно на S (ai — a{''), S (a2 — a^')»
6' (a, — oi°)//?o, 6' (a2 — ain)/Rl (см. A5.59), A5.60)).
Можно убедиться, что слагаемые, подчеркнутые одной штри-
штриховой линией, в точности соответствуют подчеркнутым и затем
отброшенным слагаемым в формулах A5.17). Нетрудно убедиться
также, что в соотношениях A5.66J имеются неподчеркнутые сла-
слагаемые того же порядка малости, что и подчеркнутые одной штри-
штриховой линией. Эти (неподчеркнутые) члены соотношений A5.66)а
являются следствием учета второго (связанного с вектором 6)
слагаемого в деформационном условии сопряжения A5.24). Эле-
Элементарный анализ показывает, что для цилиндрической оболочки,
подкрепленной тонкими ребрами (см. допущение A5.1)), слагае-
слагаемые с множителем 6П можно отбросить. Что же касается урав-
уравнений Е. С. Гребня, то они выведены для цилиндрической оболочки,
подкрепленной тонкостенными ребрами, для которых соотно-
соотношение A5.1) в смысле очень сильного неравенства может и не
выполняться. Поэтому учет в уравнениях Е. С. Гребня слагае-
слагаемых, подчеркнутых в A5.66J одной штриховой линией, может
способствовать повышению точности решения.
Далее, в уравнениях Е. С. Гребня опущены слагаемые, под-
подчеркнутые сплошной чертой. Анализируя соотношения A5.66)а,
нетрудно убедиться, что предположение о малости этих слагае-
слагаемых (основанное на интуитивном представлении о том, что жест-
жесткость стержня Кп пренебрежимо мала по сравнению с изгибной
жесткостью оболочки в тангенциальной плоскости) в общем слу-
случае не подтверждается.
512
Рис. 15.4
допущения в отношении жестко-
И наконец заметим, что
аналога слагаемому, под-
подчеркнутому двумя штрихо-
штриховыми линиями, в деформа-
деформационной теории ребристых
оболочек установить не уда-
удалось.
Рассмотренный пример
свидетельствует о том, что
уравнения деформационной
теории ребристых оболочек,
вообще говоря, согласуются
с уравнениями Е. С. Гребня,
если учесть сознательно при-
принятые при выводе последних
стей Кп и Kt-
Основное преимущество деформационной теории авторы видят
в том, что она позволяет:
рассматривать оболочки, подкрепленные произвольно распо-
расположенными тонкими ребрами;
применять для решения задач статики как метод перемещений,
так и методы сил и деформаций;
учитывать при необходимости температурные воздействия.
Кроме этого деформационная теория позволяет компактно
записывать разрешающие уравнения. Используемый при выводе
этих уравнений прием В. 3. Власова имеет простую механическую
интерпретацию и позволяет легко обобщить деформационную
теорию ребристых оболочек на нелинейный случай.
Уравнения конструктивно анизотропных оболочек. Введем
на срединной поверхности оболочки систему параллельных коор-
координат (см. п. 5.4). Примем в качестве опорной линии некоторую
гладкую кривую Г и выберем на ней начало координат. Тогда
любую точку на срединной поверхности оболочки можно задать
парой чисел (sv, st), где s, — расстояние по геодезической нормали
до кривой Г, st — расстояние по кривой Г от основания геодези-
геодезической нормали до начала координат (рис. 15.4).
Пусть по линиям ^ = const оболочка регулярно (равномерно)
подкреплена системой ребер. Уравнения термостатики в смещениях
для такой ребристой оболочки можно записать в виде (см. A4.39),
A5.59)—A5.62)) I
со (LiCDi + A,2L2CD2) Jlc0L« =
с *
* -АВ \р + У [б (sv - it) ПО/С (ГЭы - дхст) +
+ б' (sv - il) М/С (TDu - дхст)\ (
A5.67)
17 В. В. Новожилов ¦ др.
513
(/ = &J'' — sif 1} — расстояние между ребрами, d* = О)
Учитывая приближенные соотношения
* kl+l/2
1 С 1
— il) f (sv, st) « -г- \ б (sv — jc) f (jc, st) dx = —
i=l //2
i/2
1
'/2
приходим к следующему уравнению (системе) термостатики
конструктивно анизотропной оболочки:
colu = —АВ [р + -{- (nQ + 1S7 М) ^ (ГОы ~ д*т)}'
Это уравнение легко обобщается иа случай подкрепления оболочки
несколькими (JV) перекрестными системами ребер
CqLu = —АВр —
Щ A5.69)
Континуальные уравнения стержневых решеток. Переходя
в A5.69) к пределу при с0 -*¦ 0, получим континуальную систему
уравнений термостатики регулярной стержневой решетки
- -Р + 2 [т (nQ + -57м) К- **] ¦ A5.70)
/1=1
Распишем подробно уравнение A5.70) для случая решетки
в виде кругового цилиндра, состоящей из двух (N = 2) семейств
взаимно ортогональных ребер, расположенных соответственно по
направляющим (у1 == 0) и образующим (у2 = я/2) цилиндрической
поверхности. Используя соотношения A4.42), A4.69), A5.57),
A5.63)а, находим (ах — I, а2 = <р, Аг = At == R)
Л/ д 1 д д 1 a 1
514
г =
м =
Q =
—
" 0
0
0
—
0
1
я2
1
R*
0
э
р
Эф*
D =
—
0
1
""я5"
1
я4
-
_
0
1 Э
R Эф
0
Э
&
'Эф*
1
0
0
1
X"
1
0
0
0
0
1
R
0
1
Я'
0
0
э
Эф
Э
Эф
0
0
1
1
R
0"
- 0
0
Э
Эф
1 Э
1
Я2 Эф2
• 4
0
1
X
0"
1
0
Г 1
, п =
1 с»
Я* Эф*
1
0
.0
• 4
0
0
Э
Эф
1
R
0
и
0
1
0
Э
Эф
1
Я
_
и
1
0.
-
о
О
о
о
о
1 Э
1
я2
О
О
о
о
J Э_
R д\
О
О
D
О
-1
О
О —
О
О
1
J Э_
Я Эф
1
О
О
1
R _
17»
515
м =
- о
0
_ 0
— -
0
0
1
0
1
w
0
Э2
dl
а
0
0
0
т 0
0
0
0
0
0
0
_
R2 с
0
0
п =
д2
0
1
J
0
1
R
0
0
0
д
0"
1
°-
•
С помощью выписанных операторов нетрудно получить следую-
следующую систему континуальных уравнений рассматриваемой решетки:
R °и = -R2p, A5.71)
где (штрихами и двумя штрихами помечены параметры, связан-
связанные соответственно со шпангаутами и стрингерами)
о _ _?L d2 К'п д* | K't д2
Г" ~ Г 5g2 VR2 d(fl ' I'R2 дф2 '
I'R2 Эф4
~ TW 1
_Kj
I" J д|2Эф2
; д2
Kn
/f-i
Эф2 J"_R
K't + К'п
J'R*
Ct
-, г?з = ^1=0,
,0 ,0 °l
'23 = ^32 = 77-
I'R*
A5.72)
(Уравнения A5.T1)—A5.72) можно получить непосредственно из
системы A5.65)—-A5.66), если положить с0 = 0, отбросить сла-
слагаемые, имеющие множители б^,1), а также слагаемые, подчеркну-
подчеркнутые штриховой линией, и учесть соотношения A5.68).)
Проанализируем кратко систему A5.71)—A5.72). Как уже
говорилось, при формировании уравнений, описывающих дефор-
деформацию ребристых оболочек, обычно пренебрегают теми или иными
жесткостями стержней. Применительно к системе A5.71)—A5.72)
названные допущения носят принципиальный характер, ибо свя-
связаны не просто с обеспечением большей или меньшей адекватности
соответствующих уравнений реальному деформированному со-
состоянию решетки, а с проблемой формулировки граничных усло-
условий. Поясним сказанное. Если в системе A5.71)—A5.72) сохра-
516
нить все слагаемые, то она будет иметь 12-й порядок. Если опу-
опустить слагаемые с множителем Кп в выражении r?i, порядок си-
системы понижается на два. Если же отбросить и слагаемые с мно-
множителем Кп, то система A5.71)—A5.72) будет иметь привычный
для теории оболочек 8-й порядок.
Рассмотрим два частных случая деформирования цилиндриче-
цилиндрической решетки.
1. Аналог безмоментного НДС. Принимая во внимание, что
для тонкого стержня справедливы оценки (см. A5.11), A5.12))
Кп Kt Ky I 1) \2
в случае плавно изменяющегося НДС в выражениях A5.72)
можно пренебречь слагаемыми, связанными с изгибом и круче-
кручением стержней. Тогда придем к следующим независимым урав-
уравнениям:
C'i д2и n2 &V , Щг . . .,_ _о.
— -а|г = -Я'л, i^r + v = -сГ^Рп - Л)- A5-73)
После вычисления смещения и прогиб решетки определяется по
формуле
I'R2
w = —т- рп - v.
Решение уравнений A5.73) имеет вид
и (I, ф) = - ^- [ (I - 0 Pi (t, ф) dt + щ + ujoS,
о
/ Ф \
и (J, ф) = \vo + -^r- (P2 - рп) sin / Л cos ф +
4 о '
где
»io — -^b- (P2 - pn) cos t dt I sin ф,
щ = u @, ф), U|0 = «i @, ф), v0 = и (|, 0), »ф0 = «Ф (S. 0).
2. Аналог простого краевого эффекта. Если решетка дефор-
деформируется так, что основным ее смещением является прогиб w,
то всеми подчеркнутыми пунктиром в A5.72) слагаемыми можно
пренебречь. Тогда получим систему уравнений восьмого порядка,
отличающуюся от уравнений, выведенных Г. И. Пшеничновым
[151], наличием в выражении r%i подчеркнутого слагаемого,
которое следует учитывать лишь для НДС, умеренно изменя-
изменяющегося по |:
d*w d*w d*w ( R
517
Во всех прочих случаях это слагаемое можно отбрасывать (при
медленно изменяющемся НДС по сравнению с предыдущим, а
при быстро изменяющемся — по сравнению с третьим слагаемым).
Если НДС быстро изменяется по ? и медленно — по <р, то
из A5.72) приходим к следующему уравнению типа простого
краевого эффекта:
Для квадратной решетки (/' = V) со стержнями одинаковой
жесткости НДС, определяемое этим уравнением, имеет по \ пока-
показатель изменяемости У Rj\\ (где г\ — характерный размер попереч-
поперечного сечения стержня). Напомним, что 'ТЖЭ в цилиндрической
оболочке имеет показатель изменяемости У R/h.
В заключение заметим, что Г. И. Пшеничное выводил конти-
континуальные уравнения, описывающие деформирование решеток,
основываясь на принятии некоторых соотношений, связывающих
усилия и моменты с соответствующими деформациями (уравнения
состояния). В данной же работе ребра учитывались естественным
образом путем подсчета их реакций на деформацию оболочки
и включения этих реакций в число действующих сил. Таким
образом, уравнения A5.71)—A5.72) порождены операторами урав-
уравнений равновесия теории тонких стержней, а соответствующие
уравнения в работе 1151 ] — операторами уравнений равновесия
теории оболочек и уравнениями состояния. Приведенные примеры
показали, что эти два подхода согласуются.
Пример 15.1. Рассмотрим две плоские прямоугольные решетки со взаимно
ортогональными стержнями, расположенными в одном случае параллельно гра-
граничным кромкам (Yi = О, Y2 = я/2, рис. 15.5, а), а в другом — под углами V, =
= я/4, y» = Зя/4 (рис. 15.5, б).
Вводя обозначения
xA*alt yA,at b.=-iL + — raj <L
дх ду ' дх ду
о)
У-
м ггк
1
\
i/
1.0
-* /
1,0 2,0 3,0
518
Рас. IS.S
и учитывая, что
получаем (Лу„ = 0)
д d _ д
~ду~5ШЬ Ч^'-~~дГа'"г'т"дГ
2.
-Knu"uu, Ctv'yf,
кгзи\
_
О О
О
О
о
о о
о о
дхду
л»
О
О
д
д ~
О
(и — v)
зя — 2
V2
Cfli (и + ») _
О О -5=?
V2 ^
О О
о о
519
V —¦
0
0
0
0
1
V2
0
W
о
Окончательно приходим ¦ следующим уравнении»» в смещениях AХ — lt =0:
= 0, y» = \
lpt'
A574)
= 4Z (р, + Р,),
(«-о)- 2С«Е (« - v) = 4/ (р, - р,).
A5.75)
Последнее уравнение системы A5.75) можно записать так \q = Kt/Kv):
^ ^ ^-^Р„. 05.75')
(Уравнение A5.75') идентично уравнению A4.3) [151].)
Воспользуемся уравнениями A5.74), и A5.75') дли исследовании продольной
устойчивости решеток, изображенных на рис. 15.5. Уравнении продольного
изгиба решеток имеют соответственно вид
Предполагай, что решетки шариирио оперты по всем кромкам, частное реше-
решение уравнений A5.76) ищем в виде
. . тпх . тли
w = A sin sin ¦
а Ь '
Окончательно получаем следующие формулы для критических сил:
Рх (т, я) = ——- (т* + 2qmln% + n*)/ml,
Рг (т, я) = -^2- [A + Ч) т\ + 2 C - я) т\п\ + A + я) я4.]/"»2.
(та = пт/а, пф = пп/Ь).
520
Наибольший интерес представляют минимальные значения критических сил,
соответствующие изгибу в форме одной продольной и одной поперечной полуволн.
Формулы для этого случая потери устойчивости можно представить в виде
). Е—f,
На рис. 15.5, в показаны графики функции
15.3. ОБОЛОЧКИ, ПОДКРЕПЛЕННЫЕ
РЕБРАМИ ОДНОСТОРОННЕГО ДЕЙСТВИЯ
Предварительные примечания. Из практики эксплуатации обо-
лочечных конструкций известно, что ребра жесткости, нераз-
неразрывно связанные с оболочкой, являются концентраторами напря-
напряжений. Поэтому представляют интерес тонкостенные конструк-
конструкции в виде оболочек, подкрепленных ребрами одностороннего
действия. Так как ребра и оболочка в таких конструкциях жестко
между собой не связаны, то соответствующая краевая задача
может трактоваться как контактная с неизвестной областью
активного взаимодействия.
Обстоятельный обзор контактных задач с неизвестной областью
взаимодействия (механическая сторона вопроса) дан в моногра-
монографии [50], где обсуждаются, в частности, формальные противоре-
противоречия, возникающие при использовании для постановки и решения
названных задач классических теорий стержней, пластин и обо-
оболочек. Противоречия в основном связаны с появлением на гра-
границе зоны контакта (например, пластины и плавно очерченного
штампа) сосредоточенных сил взаимодействия, что не согла-
согласуется с теорией Герца, по которой эти силы на границе зоны кон-
контакта должны быть равны нулю. Использование теории пластин
и оболочек типа С. П. Тимошенко [183], учитывающей эффект
поперечного сдвига без поперечного обжатия, позволяет частично
снять противоречия, возникающие при использовании теории
Кирхгофа. Если же учесть деформацию поперечного обжатия, то
удается устранить все противоречия, даже оставаясь в рамках
теории Кирхгофа (т. е. не учитывая деформации сдвига). И еще
одно замечание. Названная несогласованность в распределении
сил взаимодействия обычно мало сказывается на величине напря-
напряжений (а тем более смещений) в контактирующих элементах
конструкций [50]. Сказанное дает авторам основание при рас-
рассмотрении контактной задачи для оболочки, подкрепленной реб-
ребрами одностороннего действия, ограничиться рамками излагаемой
в этой книге кирхгофовской теории оболочек.
Решение контактной задачи для оболочки с ребрами односто-
одностороннего действия основывается иа методе обобщенной реакции,
521
предложенном в работе [1101. Сначала дается пояснение сущ-
сущности названного метода, доказывается (при определенных пред-
предположениях) сходимость итерационного процесса для построения
искомых перемещений, а затем уже рассматривается задача об
оболочке с ребрами одностороннего действия. Вывод системы
нелинейных разрешающих уравнений базируется на использова-
использовании матриц Грина, соответствующих краевым задачам для обо-
оболочки и ребер жесткости.
Метод иллюстрируется на примерах расчета шарнирно опер-
опертой оболочки, подкрепленной свободно надетым замкнутым коль-
кольцом жесткости (пример 15.2) и опирающейся на седловую опору
в виде части кругового кольца (пример 15.3).
Метод обобщенной реакция. Рассмотрим контактную задачу статики для
днух упругих тел (мембран, стержней, пластин, оболочек) с неизвестной областью
взаимодействия. Пусть уравнения равновесия в смещениях для названных тел
имеют вид
Atut^ft, » = 1, 2, A5.77)
и зазор до деформации между ними в области предполагаемого коитакта задается
величиной Д > 0. Тогда контактная задача допускает следующую формули-
формулировку:
Af (I5.78)!
+r, A5.78),
0, A5.78),
, A5.78)«
M«i—и,-Д)=0, A5.78M
где A5.78)!, A5.78),— уравнения равновесия соответственно первого я второго
тел; A5.78)s — условие односторонности связи; A5.78L— условие иепроиикно-
веяия; A5.78N — так называемое условие дополняющей нежесткости: если г > 0,
то «1—и»—Д = 0, а есля ut—ц,—д < 0, то г = 0.
Ниже считаем, что Аи А% — положительно определенные самосопряженные
операторы на едином для иих вещественном гильбертовом пространстве, т. е.
(Atu, «>>v?l!«ll2. ' = 1. 2. A5.79)
Напомним, что названные условия гарантируют существование самосопряженных
обратных операторов Л^1, А^1, прячем
. A5.80)
На основании уравнений A5.78)j, A5.78), имеем
^ -f%). A5.81)
Однако при использовании формулы A5.81) необходимо было бы следить за выпол-
выполнением условяй A5.78),—A5.78)Б. Покажем, что эти условия выполняются авто-
автоматически, если т удовлетворяет следующему равенству:
r=[r — 9(ut — «1 + Д)]+, Р>0. A5.82)
(Здесь и ниже индексом «+» помечена положительная часть соответствующей
функции: [/]+ = A/2) (/ (х) + |/ (х) |).)
Действительно, непосредственно из A5.82) видно, что г > 0, т. е. условие
A5.78J выполняется. Предположим, что выражение в квадратных скобках A5.82)
522
неотрицательно. Тогда индекс «+» можно убрать и после раскрытия скобок при-
придем к условию иг—и% — Л = 0. Если же выражение в квадратных скобках отри-
отрицательно, то г = 0 и из A5.82) следует условие их—us — Л < 0.
Исключая из соотношения A5.82) ult u% с помощью уравнений A5.78)i,
A5.78),, приходим к следующему разрешающему нелинейному уравнению:
г = [г - р (А? (/г + г)- ЛГ (Л - г) + Д)]+. A5.83)
Метод решения контактных задач с неизвестной областью взаимодействия,
оснонанный на использовании функционального уравнения A5.83), предложен
в работе [ПО] и назван авторами методом обобщенной реакции.
Численные эксперименты на достаточно большом количестве задач (контакт-
(контактные задачи для балок, мембран, круговых пластин в линейной и нелинейной
постановках [ПО], а также пластин и оболочек, подкрепленных ребрами одно-
одностороннего действия) показали, что путем соответствующего выбора параметра
р > 0 можно добиться сходимости последовательностей {«|*'Ь {"г*')» определяе-
определяемых итерационными процессами:
'*+! - К - Р (*Г' (h + rk) ~ V (h ~ rh) + Д)]+, A5-84)
«}*) = AT> (/, -rh), 4» = A? (f2 + rj. A5.85)
Ниже дается обоснонание сходимости назнанных последовательностей функций.
Определение смещений из соотношений A5.78) можно заменить решением
следующей задачи минимизации:
/(« «) <Л« %> +
<i. fi><«. W • A5.86)
u,—и,—Д<0
Вводя лагранжиан
Л («J, «„ X) =• / («!, «8) + <^. «i-«, - Д>, % > 0, A5.87)
задачу A5.86) можно переформулировать так:
8ирЛ(«!, «,, X.)-» min . A5.88)
Х>0 и,, и,
Учитывая, что функционал Л (ulf иг, А.) является выпуклым по иу, и,, — линей-
линейным по X и что области задания ии и,, X являются ныпуклыми, можно переставить
в A5.88) местами sup и min, т. е. вместо A5.88) рассматривать задачу
min A(«lF «„ X)-* sup. A5.89)
Ui, и, Х>0
Очевидно, что задача
Л (%, ult %) -» min
«1. U,
эквивалентна решению ураннений (сравни с A5.78)lf A5.78),)
AlUl = h — X, A^t = ft + V A5.90)
Разрешая уравнения A5.90) относительно смещений, исключая затем смещения
из функционала A5.87) и меняя знак у полученного таким образом функционала,
на основании A5.89) приходим к следующей задаче минимизации:
Ф(к) = ¦— (А? (Л - %), h - %) + -g- C^F1 (h + X), /, + *> +
+ (X, Д> -* Inf. A5.91)
523
Функционал Ф (к) является строго выпуклым. Действительно, произведя элемен-
элементарные выкладки, получаем
1 1 1
7ГФ{к') — ф (X") = =- (Л, [и" — и[), ii\ — и\) —
Z Z, о
— -|- (Л2 (и| — Ц), >4 — «2> <О при X' Ф к". A5.92)
Здесь и'{, и\ — решения уравнений A5.90) соответственно при X = к' н к = X"
(u'f Ф и"{, если к' Ф V)
Учитывая далее, что функционал Ф (к) является непрерывно дифференцируе-
дифференцируемым, необходимое и достаточное условие его минимума на элементе X,. замкнутого
множества М = {к > 0} можно записать в виде вариационного неравенства
(Ф' (Я,*), к — к*) > 0, A5.93)
где
Ф' (к) = А;\ (/„ + X) - A? (/i - *-) + А. A5.94)
Рассмотрим вспомогательный функционал
ф1 ((*) = — III* — (*ч> — РФ' (Ю) II2. (*€**, р > 0. A5.95)
Пусть \i (ко) — решение задачи
Ф! ((х) -> min . A5.96)
(Элемент (х (Х„) называется проекцией элемента Х„ — рФ' (Х„) на множество М.
По аналогии с A5.93) для Ф1 (|х) имеем
(|х (К) - (кй - рФ' (Я,)), A - (х (Х,)> > О V (х € М. A5.97)
Полагая здесь X = kt, получаем
((х (Х„) -К, fi-fi (Х.)> + р (Ф' (X,), ц - (х (Х,)> > 0. A5.98)
Нетрудно видеть, что на основании A5.93) условие A5.98) выполняется при
ц (к^) = X,.. Справедливо и обратное утверждение: при (х(Х*) = Я,:„ из A5.98) сле-
следует условие A5.93).
Если положить в A5.97) (х = к0, придем к следующему ключеиому неравен-
неравенству:
1
/tt\' 1\ \ ¦¦ I \ \ \ \ <"* II ¦¦ t\ \ Пь 112 /1 К QQ4
\4f ^0^* fX \*) "^ л0/ ^; ~~^ II г1 \**0) 0 N * \iv.wj
(Из A5.99) видно, что функционал Ф (к) убывает на направлении (х (к0)—А,.)
Найдем решение задачи A5.96). Из вида функционала Ф! (|х) сразу имеем
0 — рФ' (ко) при Хо — рФ' (Хо) > 0
0 при Я,о — рФ' (к0) < 0
или
(i(Xo)= [ко—рФ'(Я,0)]+.
Уравнение (х (X») = Хф, таким образом, обретает вид (сравни с A5.83))
К = \.К—рФ' (К)]+- A5.100)
Применим для решения этого уравнения схему простых итераций
k/i+i = [4 - р (V (^2+К) - Ат1 (/i - Ч) + А)]+- с5-i°i)
524
(По отношению к задаче о минимуме функционала Ф (X) на множестве неотрица-
неотрицательных функций М итерационная схема A5.101) реализует метод проекции гра-
градиента
Применяя к функционалу Ф (Я,) формулу конечных приращений Лагранжа,
получаем
Ф (**+1) = Ф (**) + (Ф' (Я*), Xk+l - %k) +
+ <Ф' (Я-к)-Ф' (A*), Wi-A.ft>, A5.102)
где
Я* = Ак + 8(Я*+1-**). е€@, 1).
Преобразуем последнее слагаемое в правой части формулы A5.102) с учетом оце-
оценок A5.80). Имеем (см. форм. A5.94))
<Ф' (кк) -Ф' (Я*), Яь+1 - %k) < || Ф' (^)-Ф' (A*) H-II W - А* || =
| V
Принимая во внимание эту оценку и неравенство A5.99), на осноиании A5.102)
получаем
A5-103)
Так как при достаточно малых р множитель перед || Xfe+1 — Xk f становится
отрицательным, то значения функционала Ф (К) на последовательности {Х&} моно-
монотонно убывают. Точно так же как н в работе [51 ], можно показать, что
inf Ф(Х,)=Ф».
Далее рассмотрим последовательности {«j*'}, {«о*'}, генерируемые уравне-
уравнениями
Vi*' = /l - Ч- ЛАк) = h + Ч. A5-104)
Полагай в A5.92) V = Х^, V = "к^+т и учитывая уравнения A5.104), находим
~ 4 Ф (>*) —Т Ф
откуда с очевидностью следует, что последовательности {и1/8'}.' = 1.2 сходятся.
Таким образом, контактная реакция (г ^ 0) может быть интерпретирована
как множитель Лагранжа (X ^ 0) соответствующей энергетической постановки
задачи, а схема простых итераций A5.84) метода обобщенной реакции—как
метод проекции градиента в задаче о минимуме соответствующего функционала.
Заметим, что при обосновании сходимости итерационной схемы A5.84),
A5.85) с целью достижения большей компактности изложении были приняты
весьма жесткие ограничения (линейность, самосопряженность, положительная
определенность операторов). Часть из этих ограничений может быть снята. Однако
выявленные практикой возможности метода обобщенной реакции значительно
525
шире возможностей его математического обоснования иа данном этапе развития
соответствующей теории. Такая ситуация является довольно распространенной.
Достаточно напомнить, что метод Ритца, обоснованный при требованиях, идентич-
идентичных принятым выше, успешно применяется для решения задач, где эти требования
не выполняются (например, для решения краевых задач нелинейной теории обо-
оболочек).
Уравнения изгиба оболочек, подкрепленных ребрами односто-
одностороннего действия. Рассмотрим оболочку, прогиб которой в поло-
положительном направлении ограничен системой тонких ребер, рас-
расположенных вдоль линий а = at = const, i ? 1 : т. Предпола-
Предполагая, что до деформации системы «оболочка — ребра жесткости»
зазор между оболочкой и ребрами отсутствует, и учитывая, что
деформация оболочки вызывает лишь нормальную (по отношению
к внешней поверхности оболочки) реакцию ребер, контактную
задачу можно сформулировать в виде системы уравнений
= ~АВ \
c0Lu = ~АВ \р (а, р) -
Г/СГ ди) = -dq) ф) + е4.зпф), A5.105),
П = In - Р/ (ю/ - »/)]+, /61: т. A5.105),
Здесь
А (а,, е; а) = -^- [Н (а — аг + е) — Н (а — at — г)],
е = ^-, At = А (аь р)
а — ширина зоны возможного контакта оболочки н ребра, а =
= 4" Р' * A daw A{e{, w{ = w (a(, P), uf{ — прогиб
<-го стержня, е3,г = Ю, 1, 0]®, eit8 = [0, 0, 1, 0]®.
Относительно граничных условий для функций и, ди), j ?l : m
предполагаем, что они являются однородными. Введем матрицы
Грина
G - [Gtrft. г=ь G' = [Gl,K. ,_„ / 6 1 : т
как решения уравнений
^ = ?86(a-S, Р-Л), ^8 = diag[l, 1, 1],
= ?46 ф - Ti), Е4 = diag [1, 1, 1, 1]
при соответствующих рассматриваемым краевым задачам однород-
однородных граничных условиях.
526
Тогда можно использовать формулы
w (а, р) = j G2 (a, p; ?, Т]) /7 (?, Т]) dQ(S. „, -
2 1 л/м Ga2 (а> Р; ?• ч) г< (л) А («1. »;
(=1 Q
Р/ В/
»/ (Р) = - j G' (Р; Л) ^ (т,) di\ + J GL (р; Л) г/ (Л) dr,, / € 1 : m
В/ В/
A5.106)
где
Gi = [G2i, G22, G23], Gi = [GL, G^j, G23, G24].
Ha основании соотношений A5.105)s, A5.106) приходим к следу-
следующей системе разрешающих уравнений рассматриваемой кон-
контактной задачи:
+ Г G2(a/) Р; |, т]) /7 (|, т]) dQ(,. „,
гт?;г°22(ct/) P; а
'=' »; / J+
/ ? 1 : /га Fjj — символ Кронекера). A5.107)
Решение системы A5.107) может быть найдено методом про-
простых итераций (см. A5.83), A5.84)) при соответствующем выборе
управляющих параметров р}, / ? 1 : т. После чего уже не со-
составляет труда найти смещения в оболочке и стержнях, так как
соответствующие функции Грина предполагаются известными.
Пример 15.2. Рассмотрим задачу об изгибе шарнирно опертой
круговой цилиндрической оболочки, подкрепленной в централь-
центральной части свободно надетым кольцом постоянной жесткости.
Предполагая, что оболочка имеет среднюю длину (см. п. 3.1)
527
и находится под действием
нормальной внешней на-
нагрузки, краевую задачу
для нее можно сформули-
сформулировать так (см. A5.105)г):
-^1г|> = />„(!, Ф)-
--i-r(<p)A(i0, e; ?),
при 1-0, |=2|о- A5.108)
Здесь (рис. 15.6, а)
Х\1,56-10~3м
Рис. 15.6
do = ?Л8/12 A — v8), h —
толщина оболочки, R —
радиус оболочки; ?„ =
= l/2R, I — длина обо-
оболочки; w = у*1!1-
Соответствующая краевая задача для кругового кольца, испы-
испытывающего действие нормальной нагрузки, имеет вид
A5.109)
ф+Я
где /Cv — жесткость кольца при изгибе в своей плоскости, Ао =
-¦?+••
(Уравнение A5.109) при г (ф) = 0 следует из матричного урав-
уравнения A5.33)^ если учесть очевидные для кругового кольца соот-
соотношения
at = —l/R, dst = Rdy, pt = xt = 0
и положить /CV7l = 0. При этом получается уравнение
?¦ AoV = й + ( J «8ЛР + С)
528
где подчеркнутое слагаемое следует опускать в рамках теории
тонких стержней (Kv/CtRa ~ ff/Я2), а предшествующее ему
слагаемое, заключенное в скобки, исчезает, если кольцо испы-
испытывает действие лишь нормальной нагрузки.)
С учетом того, что действующая на кольцо нагрузка является
самоуравновешенной, т. е.
2Я
функцию Грина для краевой задачи A5.109) можно определить из
уравнения
| = 6 (ф - Р) - ^cos p cos ф.
Используя формальный ряд
находим
cos kq> cos fep
06 (Ч*' P> = "НЕТ 2
Таким образом, радиальные смещения точек кольца можно опре-
определить по формуле
2Л
wc (ф) = ay cos ф + | <Т (Ф; Р) (qcn (Р) + г ф)) dp, A5.111)
о
где Оу — вертикальное перемещение кольца как твердого тела.
Соответствующая краевой задаче A5.108) функция Грина
может быть вычислена по формуле
. Ф. «• Р)--Н1Л 2 2
sin тЛ cos fop sin m*a cos
2 2
ft=0 m=l
где
A5.112')
Очевидно, что функции Грина A5.112) соответствует следующая
общая формула для прогиба оболочки:
оо оо
w(l, ф) = 2 2 ayftm cos йф sin m^g. A5.113)
529
Учитывая, что жесткие вертикальные перемещения кольца и
сечения ? = |0 оболочки совпадают, из сравнения формул A5.111)
и A5.113) находим
Уравнение A5.107) в рассматриваемом случае имеет вид
( Г 21« 2?
' (ф) = г(Ф) + p. J J (V*G) (|0, Ф; а, 0) />п (а, p)dadp -
I L
2л
2Я
"I j
Ф; 6о, Р) + №(ф; P))r(P)dp .
о
На рис. 15.6, б приведены графики погонных реакций кольца,
а также прогибов кольца ( ) и оболочки ( )
при следующих значениях параметров конструкции и нагрузки
(см. рис. 15.6, а):
h = 0,01 м, R = 1,8 м, I = 2?о# = 6 м,
а =0,025 м, Н =0,1 м
— 3-10'Н/м при ф 6 [—я/4, я/4].
0 при ф 9? (—я/4, я/4].
Приведенные в виде графиков результаты получены после
3000 итераций при р = 0,25. Как видно из графиков, отход кольца
от оболочки имеет место при \ц>\ ? E4°, 104°). Из графиков на-
наблюдается также появление локального изгибающего момента,
действующего на кольцо вблизи границы зоны его контакта с обо-
оболочкой.
Усматриваемое из графиков нарушение условия непроникно-
непроникновения (см. A5.78L), которое (нарушение) выражается в том, что
на некоторых участках прогиб оболочки превышает прогиб
кольца, является следствием погрешности вычисления прогибов
кольца по найденным итерационным путем реакциям.
Пример 15.3. Рассмотрим замкнутую круговую цилиндриче-
цилиндрическую оболочку, свободно лежащую в своей средней части на опоре
в виде подкладной плиты переменной толщины Н (ф) = Н (—ф),
опирающейся, в свою очередь, при ф == 0 на упругоподатливую
опору (рис. 15.7, а)». В силу симметрии конструкции относительно
сечения % = |0 = 1/2R и малой ширины подкладной плиты
Bа// <^ 1) последняя испытывает цилиндрический изгиб, аде-
адекватно описываемый гипотезой плоских сечений.
530
Рис. 15.7
Радиальные смещения точек подкладной плиты можно пред-
представить в виде
и? (<р) = и (<р) -f- ay cos <p, av = const. A5.114)
Вычисляя равнодействующую всех сил, приложенных к плите,
и принимая жесткость опоры на просадку равной с = const,
находим
ф'
Оу =?§- j (<7« (Ф) + г (ф)) cos Ф <Ьр. A5.115)
о
С учетом A5.114) краевую задачу для подкладной плиты пере-
переменной толщины можно сформулировать так (см. A5.109)):
[0,
s Ao/tvAo" (q>) = qcn (ф) + г (ф),
« @) = и' @) = 0, (/Cv Дои) (ф1) = (/Су До«)' (Ф1> = 0- A5.116)
Соответствующая этой краевой задаче функция Грина Go (ф; Р)
может быть найдена путем последовательного решения следу-
следующих начальных задач:
= R*b (Ф - Р), и (ф1) = ji' (ф1) = 0;
= Ц (ф; P)//Cv (Ф). Go @) = G6 @) = 0.
Используя решение эталонной начальной задачи
V = / (Ф). « Ы = о' (Фо) = 0
531
в виде
ф
о(ф)= J/C) sin (ф
Фо
нетрудно получить следующую окончательную формулу для
искомой функции Грина:
г , «ч Г 5 (ф) при ф < р
G. (ф: Р) = ( s №) при р<ф1
X
S (х) = j ? sin (/ - Р) sin (/ - y)dt. A5.117)
о
Таким образом, решение краевой задачи A5.116) можно выразить
формулой
Ф1
и (Ф) = J Go (Ф; Р) {qcn (P) ¦}- г (Р)) dp. A5.118)
о
Если предположить, что в оболочке на краях \ = 0 и \ =
= 2?„ = '//? выполняются условия шарнирного опирания, то
краевая задача для нее принимает вид (см. A5.108))
А- 1д|> = рп (I, Ф) - ±т (Ф) А (!0, е; |) А @, Ф1; Ф),
, Ф) = ]" J (V*G) (|, Ф; а, Р) рп (ос,
?- = О, I е 0 : 3 при I = О, I = 2!0.
При использовании функции Грина A5.112) решение этой краевой
задачи можно выразить формулой
25. 2Л
w Г_ . , ]
о о
Ф1
— 2^ -^-(V4G)(|, ф; |о, Р)г(Р)о!р. A5.119)
о
Окончательно уравнение относительно г (ф) принимает вид
Г (ф) = {Г (ф) + р [W (|„, ф) - Шс (ф)]}+ =
Г21о 2Л
г (Ф) + Р И j (V4G) (|0, Ф; ос, Р) рп (а,
Lo о
532
- | (g0 (ф; P) + -?-cos ч>cos P
0
-J (JL(V*G)(E0, Ф; ?Of Р) + О„(Ф; P) + -^-cos9COsP)r(P)dp I.
о -" +
A5.120)
В численном эксперименте рассматривалась шаринрно опертая цилиндриче-
цилиндрическая оболочка, испытывающая действие равномерного внутреннего давления (р).
Предусмотрена возможность учитывать равномерно распределенную массу обе-
обечайки ((/у). Толщина подкладной плнты принималась постоянной, а внешняя по-
погонная нагрузка на нее — кусочно постоянной (см. рнс. 15.7, о):
1п = —2</оаЧ>оД(°> Фо"> Ф).
Вычисления выполнялись прн следующих значениях параметров конструкции
н нагрузки:
R = 1,8 м, Н = 0,1 м, / = 5 м, о = 0,05 м,
h = B,3-r-3,5)-10-2 м, ф0 = 15°, q>! = 30°-=-50°,
<7о = 382 кН/м, с = 5-10* кН/м, р = 1,2 МПа, </у = 0.
Численный эксперимент установил, что в рассматриваемом диапазоне параметров
итерационный процесс A5.84) для уравнения A5.120) является малочувствитель-
малочувствительным к изменению велнчнны шага граднеитиого спуска р (время счета практически
ие нзмеиялось прн 0,4 ^ р ^ 0,6 и составляло примерно 2,5 часа общего времени
ЭВМ ЕС-1050 прн числе итераций порядка 5-10*).
Во всех случаях наблюдается появление локального изгибающего момента,
действующего на опору вблизи границы ее контакта (отмеченной пунктирным
лучом) с корпусом сосуда давления. Этот эффект впервые, видимо, подмечен в ра-
работе [1 ] прн рассмотрении контактной задачи для двух круговых пластин и связан
с невозможностью удовлетворения граничным условиям по моментам на стыке
контактирующей н свободной от нагрузки частей гибкого элемента.
На рнс. 15.7, б показаны прогибы кольцевой опоры (дас (qp)) н оболочки
{w (io> Ф))> а также погоииая нагрузка на опору (?? (ф) -)- г (ф)) и удельная
нагрузка на оболочку в сечении 5 = 1о (Р (?о> Ф) — г (ф)^а) ПРН ^ = 2,8-10~8 м
и ф! = 50°.
15.4. РАСЧЛЕНЕНИЕ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ
ПОДКРЕПЛЕННОГО КРАЯ
Дополнение к вопросу о расчленении граничных величин.
В п. 10.5, основываясь на асимптотическом анализе уравнений
комплексной теории оболочек, произведено расчленение гранич-
граничных величин так, что половина из них не зависит от ПКЭ. Коротко
рассмотрим несколько иной подход к выводу основных (не зави-
зависящих от ПКЭ) граничных величин без использования соотноше-
соотношений комплексной теории оболочек.
Пусть дЯ — гладкий замкнутый неасимптотический контур.
Тогда с помощью соотношений (см. F.41), F.52))
= ** (е« - 5" - P<"v), »v = Rt (x* 4- ^ )
533
в результате интегрирования по частям получим
LdQ = <§> (Qvu + Mvvflv) dst =
= <$
A5.121)
где величины Q^,, Q%t, Qvn определяются формулами A0.92),
A0.93).
Таким образом, совокупность статических величин {Q^,,
Qvt, Qvn, Mw] можно рассматривать как систему обобщенных
сил, которой отвечает система обобщенных смещений {uv, щ,
Rt^tt, RtXtn}- На основании статико-геометрической аналогии
(СГА) обобщенным усилиям {Вч, Bt, RtMwv, —RtQvn) отвечает
система обобщенных смещений (х«, —х<,, к?п, —«</} (см. A0.94)
A0.95)).
Используя формулу A4.41), можно убедиться в том, что
, Ut, W, 0v), Ztt = Btt(Uv, Ut, W),
т. е. при составлении комбинаций х«, xYv в них упразднились
величины w, 0v. Учитывая оценки (см. ^п. 10.4)
A^-
™> 05-122)
(где Ф* — параметр ПКЭ, А — параметр срединной поверхности
оболочки) можно утверждать, что с точностью, присущей линей-
линейной - теории оболочек (допустимо пренебрежение величинами
порядка h/R0 по сравнению с единицей), величины х^, иХ являются
основными, т. е. не зависят от ПКЭ, определяясь полностью
основным НДС. На основании СГА заключаем также, что явля-
являются основными краевые усилия QX, Qvt-
Найдем теперь систему обобщенных усилий {Q4. Qw» Qw
Mvv\, связанных с естественными для контура dQ направлениями
и отвечающих системе обобщенных смещений {иь, щ, R
R}
}
Заменяя в подынтегральном выражении A5.121) смещение uv
с помощью вытекающей из соотношений E.55), F.59) зависимости
dut , pt , а,
-Ц- + -$v e« + -^Г "ft
534
и выполняя интегрирование по частям, получим
Lao = Ф [QvbUb + Qv/«< + Qvm(Rt&tt) + Mvv (Rt^tn)] dSf,
да
где
A5.123)
На основании СГА системе обобщенных сил {Вь, Bt, RtMVVt
отвечает система обобщенных смещений {х&, —х^,,
—Btt}, где
мл 1 v л _ xv ^ / Р« ^Л
х '' 'v 'v dst \аХ2 *у
хй- A5.124)
Непосредственно из формул A5.123), A5.124) видно, что вели-
величины Qvs. Qw и Xfi,, xfc, являются основными, т. е. не зависящими
от ПКЭ.
Основные граничные условия упругого сопряжения оболочек.
Варианты граничных величин
dqv = [QX. Qv<. Q^, Mvv]®, duv = [uv> u<
d&v = [Bv, Bt> RtMvv, -RtQvnf, dxv = [-x#
a?A = [Q^( <&, QAm, Alvv]®, дыЛ = [ыь> щ,
дЬл = [Bb, Bt, RtMyy, —RtQvnf, дхл = (—x&, x<Av, — xft,, e«J®
A5.125)
позволяют сформулировать половину граничных условий в тер-
терминах величин основного НДС и тем самым разбить ре-
решение общей (моментной) задачи на два этапа. На первом этапе
535
решается основная (обычно безмоментная) задача со своими гра-
граничными условиями, на втором — найденное решение основной
задачи «подправляется» (если в этом есть необходимость) краевым
эффектом.
Проиллюстрируем сказанное на примере граничных условий
упругого сопряжения двух оболочек (вообще говоря,под углом
и разной толщины). Названные граничные условия можно при-
принять в следующем виде:
а?л (О = dq* <2>, die* <«> = дхл B). A5.126)
Произвольные функции в интегралах уравнений, описывающих
основное НДС, определяются из условий
40|1)=Х(А;B), xft,e<l)=xfce(8>. A5.127)
Учитывая далее приближенные соотношения (см. A5.123), A5.124),
A0.90), A0.94), A0.95))
оставшиеся условия сопряжения A5.126) можно представить
так:
пк A) л*B)_пЛоB) пЛоA)
Vvn — 4vn — Vvm — Vvm >
rf/" - ef/f) = А» - в?Л A5.128),
Присоединяя к этим соотношениям условия податливости сопря-
сопрягаемых краев оболочек
пA)„*A) оA)л* (О | ftd)yif* (I) л
А/ 8|/ — ри Qvn + Pl2 Alvv = О,
рA) ft(l) i o(Dn*(l) ftO/M**1* —П
Kt Kfn -\- Pl2 Wvn — P22 Л1уу — U»
RW> + Pil'Qt.'2' + PJSW» = 0, A5.128),
в совокупности получим систему восьми уравнений относительно
параметров ПКЭ. Разрешая систему A5.128) (что без труда можно
сделать в общем виде) и вычисляя параметры сг^0, о$ по форму-
формулам A0.130), напряжения в сопрягаемых оболочках определяют
с помощью соотношений A0.129).
Замечание 15.1. Внимательный читатель обратил внимание на то, что условия
упругого сопряжения A5.127), A5.128), основанные на выведенных в работе [95]
граничных величинах A5.123), A5.124), не идентичны предшествующим им по
времени получения приближенным условиям A0.138). Определение основного
536
НДС при использовании граничных условий A5.127) гарантирует точность обыч-
обычную для линейной теории оболочек. Если на втором этапе основное НДС подпра-
подправляется ПКЭ с нспользованием алгебраических уравнений A5.128), то точность
снижается до геккелеровской. В соотношениях же A0.138) сразу допускается
погрешность, соответствующая первому (геккелеровскому) ¦ приближению.
Еще один вариант расчленения условий упругого сопряжения оболочек пред-
предложен в работе [88].
Три важные свойства ПКЭ. Если ввести обозначение
A5.129)
и выполнить интегрирование по частям с использованием формул
E.51), то нетрудно убедиться в справедливости равенства
(xt - xY) dst = ©? + ^i v - Rtx?nt - xtRtBUn, A5.130)
при использовании которого формулам F.142), F.143) можно
придать вид
nt - xtRtznn + J хУ dsi,
A5.131)
На основании этих соотношений и СГА имеют место формулы
F = Fo + ***?" v - RtQlt - xtRtMy4n + j Qvv dsi,
/
A5.132)
где
QV = QUv + QUt. A5.133)
Из формул A5.131), A5.132) усматриваются важные свойства
ПКЭ. Вычисляя приращение величин F и В на гладком замкнутом
контуре 3Q, получим
~(%* \
У&„ 93= ф \\ (tfds'txt \dst. A5.134)
ей \Z J
537
Поскольку вектор Q^f не зависит от ПКЭ, полностью определяясь
основным напряженным состоянием, из соотношений A5.134)
следует справедливость утверждения:
а) ПКЭ отвечает самоуравновешенная на всяком замкнутом
контуре краевая нагрузка.
Иными словами, за несамоуравновешенность краевой нагрузки
«несет ответственности основное напряженное состояние.
Вычисляя далее приращение векторов <at, и при обходе кон-
контура дй
t, A5.135)
_ J I ml I
da
приходим к выводу, что (с точностью, присущей кирхгофовскому
варианту линейной теории оболочек):
б) ПКЭ не вызывает дислокационных смещений.
Наконец, используя формулу A4.41), можно записать (для
упрощения выражений принято xt = 0)
«о + «у Х(г _ го) = UVV + М -Rt(*jjL + Ptuv) П -
'tf't \
- П jx/vds;xt' Ш, A5.136)
т. е. векторы ©?, u°, характеризующие перемещение контура dQ
как твердого тела, не зависят от до, полностью определясь танген-
тангенциальными смещениями. Отсюда заключаем, что:
в) окесткие смещения контура оболочки с многосвязной областью
срединной поверхности не зависят от ПКЭ.
Напомним, что это свойство ПКЭ было подмечено на примерах
с изгибом консольных оболочек (см. примеры 4.2, 4.4). Оно соот-
соответствует свойству а), так как жесткие смещения контура много-
связной^ области являются обобщенными смещениями, если в ка-
качестве обобщенных сил рассматривать векторы g и S3, а послед-
последние не зависят от ПКЭ.
Основные граничные условия для подкрепленного края обо-
оболочки. Если напряженное состояние у края sv = 0 представимо
538
в виде суммы основного НДС и ПКЭ, то на основании оценок
A5.122) можно получить приближенные формулы
A5.137)
Используя далее формулы A5.132), получаем
5, = BS, Ft = F°t-RtQ*n- A5.138)
С учетом соотношений A5.137), A5.138) граничным условиям
подкрепленного края A5.27) можно придать следующий вид:
" - дЬ" = [К, Ь°и К, /Я®,
A5.139)
где
= [о, о, ^,л^^, -/?,QtJ®.
В0 = Во + ]' I ЛО' + V х J Q°vds"t \ds't =
Si = F9t - Rtf&n + t- j Q^ds;. A5.140)
Добавляя к системе четырех уравнений, соответствующей
матричному равенству A5.139), условия податливости края
sv = 0 A0.127), приходим к следующей системе шести уравнений
относительно четырех параметров ПКЭ (е«, х?„, М^,, (&,):
(—^
tt + ^«Qjr, = /?,
dst
« +
A5.141)
Rfitin
= 0.
Два условия совместности этих алгебро-дифференциальных
уравнений, не зависящие от ПКЭ, можно рассматривать как гра-
539
ничные условия подкрепленного края оболочки для основного
напряженного состояния. Выведем эти (основные) граничные
условия. Разрешая последние четыре уравнения системы A5.141)
относительно параметров ПКЭ, получим
„* _ Pii со , Pis /,o „fe _ Pi» № P22 uo
Mb = --±- \ь°п - Щ
Qkvn = -щ \ft - -^ (Pli/? + f>\K) J • A5.142)
Здесь
P22 = Р22Л-1 (l + m%
A = 1 + 2ml
Исключая теперь параметр х*„ из первых двух уравне-
уравнений A5.141), получим основные граничные условия подкреплен-
подкрепленного края оболочки
1|>? = (PfRtKv - К,п) (PlV? + P22^) - RX = О,
= 0. A5.144)
Соотношения A5.144), а также приведенные ранее A5.125),
позволяют определить основное НДС в оболочке с подкреплен-
подкрепленным краем, не принимая во внимание ПКЭ. Полное НДС у под-
подкрепленного края определяется по формулам A0.129), где сле-
следует положить
oQ = 2т ]/ -Li! (ли(Ху — Л12аь),
^ A5.145)
Здесь
П К
540
(Л(ЛИЛ22-Л12Л21)=1).
Замечание 15.2. Если подкрепляющий стержень отсутствует (А, = (i=0),
то соотношения A5.142)ti 2, A5.144) и A5.145) принимают соответственно вид
h h ' м~ h? '
что указывает на допустимость предельного перехода во всех полученных выше
формулах к оболочке с неподкрепленным краем.
В соотношениях A5.145) можно перейти к пределу н при А,, ц ->¦ оо. Действи-
Действительно, при достаточно большой жесткости стержня имеют место приближенные
формулы (в общем случае можно считать Куп = 0)
af &—\Ее°(, аь да -^ ц ~fRtJ Ehx°tn'
Подставляя эти параметры в формулы A5.145) и переходя к пределу при А,, ц->-оо,
получим
lim aQ = —2 (Ee°t) — -i- ]/ -Ц^- (Ehx°n),
lim п = 3 / „ v 3 Rt л/UkL (Ehi°tn).
Учитывая, что x°n ~ Ло^1е?/. окончательно имеем (см. [150], стр. 15)
limao = -v- Wvao =—1Еъ"и.
Таким образом, допустим предельиый переход к абсолютно жесткому краю.
Вместе с тем, полученные в общем виде соотношения A5.141) в ряде случаев
не имеют смысла, так как оказываются нарушенными зависимости, иа которых
они основаны. Например, если НДС не меняется вдоль края, то формальное ис-
использование полученных интегрированием по частям формул A5.132) недопустимо.
Поэтому прежде, чем использовать соотношения A5.144), следует убедиться в
справедливости породивших их уравнений A5.141). Подробнее об этом см. в сле-
следующем разделе.
15.5. ОБОЛОЧКА ВРАЩЕНИЯ
С ПОДКРЕПЛЕННЫМ КРАЕМ
Исходные соотношения и обозначения. Край б = const обо-
оболочки вращения характеризуется соотношениями
1 sin 6 cos 6 „
°t — дГ = —, Pt — ——> Xt = U,
541
В традиционных для оболочки вращения направлениях (см.
рис. 4.1)
ег = —ш, е,, = t, ez = —b A5.147)
граничные условия на контуре 6 = const можно формулировать
в терминах:
кирхгофовских усилий и момента
Qi = Qz^z + Q,e, + Qrer, Mx; A5.148)!
смещений и угла поворота
и = uztz + ифеф + urer, Фх; A5.148)s
компонент главного момента и главного вектора краевых
усилий и момента
В = Ва + В,е, + Дл,, Д* A5.148),
деформационных величин
щ = — х^ + Хфв,, — -л^г, гч. A5.148L
Переход в граничных величинах от тангенциального базиса
{ех, es, n} к естественным для контура б = const направлениям
{ег, еф, ег} осуществляется с помощью матрицы поворота (см.
A5.51))
~stn6 0 —cosG О"
0 10 0
р =
cosG 0 stnG 0
A5.149)
0 0 0 1.
Таким образом, имеют место формулы перехода (« = ult о = и,)
dux = [uz, и,, ur, «J® = />[«, v, w, Щф=Рди,
dqx = [Qz, Qv, Qr, M1f = P[T1, Qu, Qln, M^=Pdq,
днх = [—x,, x,, —Xr, еф]® = P [—x,, хц, —Xan, Ba]® = P dx,
dbx = [В„ Bv, Br, Fvf = P [Blt Bit Bn, Ftf = Pdb.
A5.150)
Разрешающие уравнения статики оболочки вращения допу-
допускают разделение переменных в следующих комбинациях иско-
искомых величин:
(и, w, e1( e,, Xi, к,, Tlt Tit Mlt MJ =
f cos Jfeq>
«ft, Wk, 8bfc, es,fc, ^ft, x^fc, r1>fc, Tt,k, Mlth, Mt,h)-\siuk
542
(v, со, хц, S, Н) =
h, Hh)-
k=0
sin k(f
cos Лф'
A5.151)
(Напоминаем, что в данной книге авторы ограничиваются рас-
рассмотрением наиболее интересного при k = 0 т. н. первого случая
разделения переменных, которому соответствуют верхние триго-
тригонометрические функции в рядах A5.151)).
Соотношения A4.41) для k-Pi гармоники принимают вид
dxk = Thduk, A5.152)
где
О —
fesine
fesin 6
о —
k cos 6
Т2"
cos 6
k cos 6
~7*~ ~
0 —
sin6
cos6~
г
k
г
sine
о
A5.153)
r r r
Отсюда на основании формул A5.149) и A5.150) имеем
A5.154)
где
0 —-
k
Т2"
0 -*
0 1-
о — -L
-т °
A5.155)
Непосредственно из этих соотношений следуют обсуждавшиеся
ранее условия однозначности смещений и углов поворота (см.
A4.112), A4.113)), а именно
иг>0 =0; A5.156)!
Хг.1 + Кф.1 = 0, еф,! - гхг,! = 0. A5.156),
По аналогии с A5.154) можно записать
dq? = Y?db?, A5.157)
откуда вытекают условия, которые дополнительно следует нало-
наложить на НДС для обеспечения его самоуравновешенности при
543
отсутствии на контуре 0 = const внешней неуравновешенной
нагрузки (см. D.23)):
Qz,o=O\ A5.158K
Qr.i-Qq,I = 0, Mlfl + rQZil = O. A5.158),
Далее вычислим главный вектор и главный момент краевых
усилий по формулам
ф ф
F= Fo + rfCMq/, B = B0 + rf(M1e;+Fxe;)d9' A5.159)
при использовании метода разделения переменных A5.151).
С учетом правила дифференцирования ортов (см. D.20))
dtr de<p
~д? = **> -д^ = -*г' A5.160)
получаем (при k^> 2)
Г 1 k
\ cos &ср ег dy = . а _ t cos ky e,, -f ;а _ t sin ^ф ег,
\ sin ^ф e,, d<p = — fea __ t cos ^ф e,, — ^nrf sln ^Ф er.
Г 1
\ cos ^ф ezd<f — -г- sin &ф ег,
I sin ^ф er dq> = ^ _ . sin ^ф еф — ,8 _ . cos ^ф ег,
\ cos ^ф e,, <^ф = fea _ t sin fop e,, — WZT[cos ^Ф е'->
sin^ez<i9 = r-cos&pej. A5.161)
На основании этих соотношений по формулам A5.159) находим
k=a
„ "^ n sin ?ф
A5.162)
544
Граничные условия подкрепленного края (к^-2), Рассмотрим
граничные условия A5.54) применительно к оболочкам вращения.
Учитывая следующее (легко устанавливаемое с помощью фор-
формул A5.161)) равенство:
Ш =
j [F
х
cos
ft=0
A5.163)
условиям A5.54) можно придать вид
-Kr*lr'\
8ф, * + 6гХг, * -
—km*, k —y & k
"*1, ft ~T~ '4z, ft
. — я'. k + kq%,k _
A5.164)
Здесь использованы обозначения (см. A5.17))
N
г, ft = V«, ft — 2j Цг. ft» 9q>. ft = Qq>, ft
Af
S
S
A5.165)
Так как в соотношении A5.164) имеются неопределенности при
k = 0 и k = 1, эти случаи следует рассмотреть отдельно, что
и будет сделано ниже.
Граничные условия подкрепленного края (к = 0). На основа-
основании формул A5.159), A5.160) и A5.163) для осесимметричного
НДС находим
F =
В - гМи „ег -
qq = [0, 0, г Fr(k о - б^, о), 0]®. A5.166)
Соотношения A5.54) с учетом этих формул можно записать в виде
Кшг< 0 = 0; A5.167)!
/СгХ*. о = rm?, о» Cvb%, o = rq*.o- A5.167J
18 В. В. Новожилов ¦
др.
545
Здесь кроме A5.165) использованы следующие обозначения:
A5.168)
Условие A5.167)х указывает на то, что гипотезы плоских
сечений (для кольца) и прямых нормалей (для оболочки) в слу-
случае k = 0 согласуются между собой лишь при Kw = 0 (с**-
пример 4.1).
Соотношения A5.167), совпадают с выведенными ранее усло-
условиями податливости кольца D.189), если учесть, что
ГЪ%, 0 = «о, ГН*. О = #0. Яг, 0 = Qo. /Я?, О = Ме-
Принимая в соотношениях A5.167), условия сопряжения
кольца и оболочки в виде
е.%. о = («.р. о + Ьгкг, о)(/) — <**&, о.
¦4. о = «Яо + «о^, о»
«?. о = A1J.о - S (Л*,, о + brQz. о - б^г. o)W, A5.169)
получим наиболее общую форму граничных условий на краях
каждой из N осесимметрично деформируемых оболочек, сопря-
сопряженных с кольцом в условиях линейного (по |г, |г) температур-
температурного поля
Т (I, s) = S К k + fc.fi. 4 + lrfr. k) cos ibp. A5.170)
Граничные условия подкрепленного края (Л == 1). Если по-
подействовать на обе части равенства A5.54) оператором Г, то
соответствующие скалярные равенства при к = 1 с учетом усло-
условий однозначности смещений и поворотов можно записать так:
-ГЧ. 1 = (Кг + К9) Хг. 1 - 7- КгА. U
(К
4.
7 (К1+ ГС,р) 4. 1 + Кггнг. U
у-Кгт*%. и A5.171)
Здесь кроме A5.165) использованы обозначения (см. форм. A5.24))
г. 1 - Mz._i)(/), / С 1 : N. A5.172)
546
Из условий A5.171) следуют условия равновесия кольца в
целом
Я11 - q%, \ = 0, mf,, + rq\,, - 0 A5.173)
или (в терминах статических величин на краю оболочки и внешней
нагрузки иа кольцо)
2 8*° - 85> 2 [33* + яг №г. » - 6*Qr, ,)]@ = 93ж» A5.174)
i=\ i=\
где (см. D.23))
"Й0 = «г (<#>, - <#?i), 23<<> - яг (AfL'>, + rQft).
а также уравнения податливости обратносимметрично деформи-
деформируемого кольца
в Г» в , /Ля- „с
"*'¦» = г fi^Xjr ^ Л » + у 1'у «". »• A5.175)
При выводе формул A5.175)' отброшены малые слагаемые по-
порядка (tj/г)* по сравнению с единицей.
Далее на основании формул A5.9) и A5.156), имеем
ol» = Ел D.» + 6*?.» - Ь< х) = Е
Отсюда с учетом того, что максимальные напряжения возникают
при ?г = lz Ф 0, получаем
A5.176)
Подчеркнутые в A5.176) слагаемые имеют порядок т|/г и в соот-
соответствии с условием A5.1) должны быть отброшены. Таким обра-
образом, уравнения податливости кольца можно принять в следую-
следующем виде:
% ?- (,б.177)
Замечание 15.3. Формулы A5.1б7)а переходят в формулы A5.177), если вместо
индекса k = 0 поставить индекс ? = 1 и заменить Хг на КГ + ^<р. Если кроме
этого учесть идентичность коэффициентов податливости при * = 0 и k = 1 (см.
гл. 4), то нетрудно сообразить, что решение задач обратносимметричной деформа-
деформации подкрепленных кольцами длинных оболочек вращения можно получать иа
соответствующих решений задач осесимметричной деформации (и иаоборот). Это
обстоятельство широко использовалось нри составлении справочника [149, 150].
18» 547
Формулы A5.177) впервые получены в работе [136] непосредственным инте-
интегрированием уравнений Кирхгофа—Клебша. Несколько иной способ вывода этих
уравнений дан в работе [108].
Используя условия сопряжения кольца с краем /й оболочки
в следующем виде (см. A5.169), A5.170))
mf. i = Ml. i - S (Mi. i + 6rQz., - 6zQr. i)(l), A5.178)
получим на основании A5.177) наиболее обшую форму граничных
условий подкрепленного края для этой оболочки, испытывающей
(как и весь пакет в целом) обратносимметричную деформацию
под влиянием соответствующих механических и температурных
воздействий.
Расчленеиие граничных условий подкреплениого края. Соотно-
Соотношения A0.92) для оболочки вращения имеют вид
ctg6 dMt . 1 dQt
Отсюда принимая во внимание зависимости (при Т @, ф) = 0)
0$ = Qtf = 0, Mi = Ml Qm = QL A5.179)
получаем
A5.180)
На основании этих формул, а также очевидных соотношений
Qz, k = T'ut sin 0 + 7* * sin 0 - Qm, к cos0, QV, k = 5* + Q*, k,
Qr. * = Tl к cos 6 + 7t * cos 0 + (?,„. * sin 0, A5.181)
условиям A5.158) можно придать следующий вид (см. D.173)):
Q>. i -Q9. i s 77.,cos0- Si = 0,
Mi. j+rQi, » = rTl! sin 6 = 0. A5.182)
548 . ' '
Проектируя далее векторы F, В на направления е1( е2, п
и преобразуя полученные компоненты с помощью формул A5.180),
A5.181), получим (k > 2)
Вп = RiMi + г2^ (S2 cos 0 - kTi, *) кр^1} н^, + В-п,
F2 = -R2Qm + r^(Ti, ftcose - kSl)^^- = -R2Qln + Ft.
к
A5.183)
Таким образом, для самоуравновешенных нагрузок соотно-
соотношения A5.183) полностью соответствуют принимаемым в качестве
исходных при расчленении граничных условий подкрепленного
края соотношениям A5.138).
Обратимся теперь к рассмотрению деформации края 0 = const.
На основании формул A4.41), A4.42) с учетом соотношений
A5.146) имеем
. A5.184)
Расчленение граничных условий упругого сопряжения. Конкре-
Конкретизируем общий подход к расчету упруго сопряженных оболочек
с помощью метода расчленения общего НДС на основное и ПКЭ,
изложенный в п. 15.4, рассмотрением задачи о сопряжении двух
оболочек вращения по параллельному кругу, При этом предпо-
предполагаем, что в качестве основного НДС можно использовать без-
моментное.
Формулы A5.123) для оболочек вращения принимают вид
r sin e-.i^-|^-. A5.185)
549
Так как статические величины Q§, и Q& не зависят от ПКЭ,
то имеют место соотношения
?Lcose, -^L. = rQkz, A5.186)
на основании которых можно записать
Qvm = Qin + Ti cos 8 sin 8. A5.187)
Статическим величинам A5.185) по СГА отвечают следующие
деформационные величины:
к» = — xYt sin 8 = — %г - ~
<v = *<v — COS 8 -^- = Х„ ^ — -щ- {^цт
х,Лот == х/„ + х% cos 0 sin 8 = xr sin 8 + -^- —-. A5.188)
Выражая здесь параметры деформации через смещения, получим
формулы
-Ч^ (¦?¦+')¦
COS 9 <ftt> 1 (Рц
~75-?' + 75""^' A5.189)
лишний раз подтверждающие, что деформационные величины х^,
кД в точностью, присущей линейной теории оболочек, не зави-
зависят от ПКЭ (см. оценки A5.122)).
Применяя метод разделения переменных, граничные условия
упругого бопряжения A5.127) для /-й гармоники можно записать
так: .
; »> _ piy cos eA) = s;B) - /rr.f > cos eB\
?) - /О- Oe^fctge'2». A5.190)
Для осесимметричного и обратносимметричного случаев на-
гружения эти условия сопряжения принимают вид (см. D.23))
A = 0igil) = si2);
А = 1 : g<«) = g«2>, »») = »«2>. A5.191)
550
Остальные четыре условия сопряжения можно записать в сле-
следующем виде:
Oii>, - Qffi, = tVP sineB> (cos e<2> - cos e">);
Mil) - Mi2»/ - o, 8*.<y - e*.<2/ = e;/2/ - ъ;!)\
, sin 0 - 1=1 /Ч. ,)B) - (.. .)A). A5.192)
Добавляя к этим уравнениям четыре условия податливости со-
сопрягаемых краев оболочек вращения, получим (легко разрешае-
разрешаемую в общем виде) систему восьми уравнений относительно пара-
параметров
Замечание 15.4. Основные условия сопряжения A5.190) можно выразить
как через усилия, так и через смещения. Практический интерес представляют сле-
следующие смешанные условия сопряжения:
s; <» - /г'</>cose'»> = s; <2> -p-if cos e<2>,
TisW (M1} cos eA) + «}1}) - insV (^2) cos eB)+иП ^ - •Г-
A5.193)
В частности, при плавном сопряжении оболочек (8<1) = 9B))эти условия сопря-
сопряжения имеют вид
Расчет составной оболочки вращения. Рассмотрим осесимме-
тричную деформацию составной оболочки вращения, образованной
сопряжением двух оболочек вращения с кольцом постоянного
поперечного сечения (рис. 15.8). На основании рис. 15.8 и фор-
формул D.180), A5.167) получаем:
условия сопряжения оболочек с кольцом
и. = ai" _ б^4'_> = 42) - S<2>42),
Oe = <#> = ef>; A5.194)!
условия податливости краев оболочек
4'> = «о*A) + ой» (Qo1J - Qo A)) -
= «o*B) - ai2) (Q^2) - Qo*B)) -
551
Рис. 15.8
условия податливости кольца
и» =
A5.194),
Кроме показанных на рис. 15.8 здесь использованы следующие
обозначения:
\ Q*° (во) - <Й°
„<<> @О) = 41), О(О (во) = в*», М[» (во) =
0 = 1,2; 60 = 0^ при t=l, во = в{2) при t = 2).
Уравнения A5.194) представляют в совокупности систему
12 уравнений относительно неизвестных
«4°, "с,
о°, Мс, Q4°,
i= 1. 2.
Что касается усилий Qi'*, то в незакрепленной (на внешней опоре)
относительно смещения uz оболочке соответствующее усилие
определяется из условий равновесия этой оболочки в целом
D.26)!. В той же оболочке, которая закреплена относительно
названного смещения (прикреплена к внешней опоре), усилие
определяется из условия
Qi.o-QJI'0
552
A5.195)
Система A5.194) имеет сильно разреженную положительно
определенную матрицу, что делает ее легко разрешимой. Найдем
решение этой системы в общем виде, пренебрегая подчеркнутыми
слагаемыми. В большинстве случаев поправки, вносимые в общее
НДС за счет этих слагаемых малы. Вместе с тем, встречаются
задачи, где пренебрежение подчеркнутыми в A5.194)х слагаемыми
приводит к существенной погрешности. Поэтому рекомендуется
после расчета составной оболочки при помощи упрощенных
условии сопряжения A5.194)! проверить, с какой точностью
найденные значения граничных величин удовлетворяют полным
условиям сопряжения. В случае отрицательного результата сле-
следует решать неупрощенную систему A5.194).
Если же все элементы составной конструкции изготовлены из
одного и того же материала, то разрешающую систему уравне-
уравнений A5.194) (без подчеркнутых слагаемых) можно привести
к виду
G* g', A5.196)
где
g* = ["o, Фо,
¦i о _«й>
0 1 a,B>
1 О О
О
О
Л*о'\
О
О
g"
0 1
1 О
О 1
О, щ
'А
ct
о
'. о,
afiV
-А
ct
о
о
о
A
- Q; A> + Q% A M°f
Разрешая
получим
систему A5.196) и используя формулы D.115),
m*i
S53
aO> = _ ^_ { J?_ (Л,вИо- <¦> _ Л16«о <2
?(QoA) - QoB) - <D Л,7 --^
Au= 1 -
A18 = — t8 [mx (тЛх + *) + 4
4"
Л14 = 1 + x* + 2т А-
- х* - ! §
Л») = —т7 ^тх(тЛх + *а) + 4"
Л24 = г4 A + х* + 2т8 -^-
+ -^ (Qo A) - Qo B) - QO Л27 - ^f- Ли,}. A5.197)
Здесь
Л = A - т*)»+ 2т8
1+ т» А. + /пХхт8 B^ + ^х) + -*g? + 4"
554
-v2). A5.198)
Формулы A5.197), A5.198) допускают ряд предельных пере-
переходов. Например, при %, ц -* оо приходим к случаю двух неза-
независимых оболочек, защемленных соответственно по нижнему
(% — 62) или по верхнему (в0 = 6Х) краю. При этом (см. [1501,
стр. 15) .
3? ,.* A) A) IE « A)
о, «о > On = ;—"о »
ЗЕ ,.' B) „B) _ 2? .,2)
Формулы A5.198) сохраняют силу и для обратносимметрич-
ного случая, если считать, что
.,' О л-.л' О сд \ л* (О п* (О /о ч
Ио == ^< oj ^Oji V0 == Wr, 1 V/> t* ==
"• O"l
A5.199)
При этом входящие в формулы для величин (re)* и Q;, | постоян-
постоянные %°у, 2SS (см. D.129), D.151), D.159)) для одной из оболочек
задаются непосредственно или подсчитываются по форму-
формулам D.173). Для другой оболочки эти постоянные определяются
из условии равновесия конструкции в целом
Жесткие смещения Оу, &х не содержатся в выражениях для ком-
компонент деформации, поэтому для их определения (в случае необ-
необходимости) следует воспользоваться условиями сопряжения в сме- ¦
щениях
Расчет фланцевого края автоклава. Рассмотрим длинный гори-
горизонтальный сосуд под давлением (автоклав), выполненный в виде
круговой цилиндрической оболочки радиуса R. Пусть край
корпуса автоклава снабжен фланцем, воспринимающим осевую
силу Щг = nR2p (p — равномерное внутреннее или внешнее
давление), передаваемую через крышку, а также вес последней
вместе с другими элементами байонетного затвора. Предполагаем,
что кроме внешних сил корпус автоклава испытывает температур-
температурное воздействие, распределенное следующим образом:
оболочка автоклава
т а, ф, о = и а) + и а) + и01 о + с«ц ш] «* Ф, A5.200)
фланец корпуса
Т (gv, Ф. in) = to + Ulz + <nin + Ki + tiiS. + ^i5n)cos?. A5.201)
555
Если ограничиться рассмотрением автоклавов, для которых
расстояние от фланца (| = 0) до первой опоры (? = LJR) удов-
удовлетворяет условию
L0>VMlnVWi A5.202)
(таковыми являются, например, все действующие автоклавы
строительной индустрии), и предположить, что распределение
удельных реакций названной опоры допускает применение метода
расчленения, то для описания напряженного состояния фланце-
фланцевого края достаточно рассмотреть лишь его осесимметричную
и обратносимметричную деформации.
Сначала рассмотрим осесимметричную деформацию фланце-
фланцевого края. На основании соотношений A5.167J, A5.169) и A5.152),
A5.153) имеем (индексы, соответствующие осесимметричиой де-
деформации, опускаем)
J Q'r- Qo,
-fr (Ob + OcfcR) = M\ - Mo + SZQO, A5.203)!
где (рис. 15.9)
ш0 = w @), % = О @), M, = Мх @), Qo = Qr @);
Me^M\,o-6nQz,o = -Efl, /Ad + |eB|.
Условия податливости края цилиндрической оболочки имеют
вид
Шо = Шо + W + аи (Qo — Qo) — ai2 (Mo — Mo),
Оо = Off - ou (Qo - Qo) -f О22 (Mo - Afi), A5.203J
где (см. A4.120), A4.116))
wl = wT@), Of = Or@), Afi = Af I @), Qo = Qr(O);
Разрешая систему A5.203) и вводя обозначения
{ом, ам) = -р- (ЛГо, Afo); (aQ, ag) = -^- (Qo, Qo).
приходим к следующим формулам:
556
L99
« 1» I Я* I 1» I
• 3P - #o
e si эиа
°M °o
*~" '*~' '*"""¦* A5.205)
(Следует обратить внимание на то, что параметры Я, и ц в форму-
формулах A5.205) суть величины обратные одноименным параметрам,
используемым в формулах A5.198).)
В формулах A5.204) а A5.205) (в отличие от формул A5.197)
и A5.198)) сохранены все слагаемые и поэтому их погрешность
эквивалентна погрешности приближенного равенства 1 ± i\/R f& I,
где ц — характерный размер поперечного сечения фланца.
Коэффициенты 6дг-< 1, kQ •< 1 определяют соответственно
ту часть изгибающего момента или перерезывающей силы, кото-
которую «берет на себя» фланец.
После вычисления параметров aQ, ам осесимметричное НДС
определяется по формулам A0.129), где следует положить
а го = 2аго =-Е?~- A5.206)
Нормальные напряжения во фланце определяются по формуле
(см. A5.33))
<& = Ес (га tf ^ )
которая с учетом условий сопряжения A5.24) и соотношений
(^5.152) приводится к виду
oh = 4f- l»b + Fv - lv) «о -
Используя соотношения A0.127), A0,130), эту формулу можно
представить в терминах параметров. аМ} aQ:
A5.207)
Рассмотрим теперь коротко обратносимметричную деформа-
деформацию фланцевого края автоклава, вызванную весом крышки
(Скр), вертикальным сдвигом ее относительно оси корпуса и об-
558
ратносимметричным законом распределения температуры (см.
A5.200), A5.201)).
Используя условия сопряжения A5.178), соотношения A5.177)
можно записать так:
-?- [(геH + 6,(гх)о - а<А#] = (#., - Qlo,
¦и»— [(f*)o ~Ь ttc^i-R] = Л1|, 1 — Мю -\- 6iQio, A5.208)x
где
> = #ефI@), (rx)oi
Q', i = -2^Б", Л1*. 1 ="^~8, 6— расстояние между центром ок-
ружности приложения внешних сил Qtv и осью оболочки авто-
автоклава.
Условия податливости края цилиндрической оболочки в об-
ратносимметричном случае имеют вид
(ге)о = (ге)о + (ге)о -+- ац (Ql0 — Q[o) — а!2 (Ml0 — М'1О),
(гх)о = (rxjo7" - а12 (Qio - Q[o) + а22 (Л110 - Л!^), A5.208),
где
(re)o = /?ej., = atoiR, (nijS = /?кгг., = — с*,
В силу полной аналогии между уравнениями A5.203) (относи-
(относительно величин а>о» ^о. Л10, Qo) и A5.208) (относительно величин
(геH, (гхH, Л110, Qlo) формулы A5.204) для aQ, oM остаются спра-
справедливыми и в случае обратносимметричной деформации, если
в них положить
е 6 pR - в о °кр Т 6M'
$ = 2тх
559
л
*"
Рис. 15.10
(Нетрудно получить и аналог формулы A5.207), что предостав-
предоставляется сделать читателю.)
Консольная оболочка вращения с подкрепленным краем. Рас-
Рассмотрим длинную в отношении ПКЭ оболочку вращения, заделан-
заделанную по одному краю (в = 0j) и подкрепленную на другом (в =
= в2) тонким упругим кольцом постоянного поперечного сече-
сечения (рис. 15.10). Пусть деформация этой оболочки является след-
следствием действия приложенной к кольцу внешней нагрузки
Qi = Qi cos ф ez -f- Ql sin феф -f- Q' cos фег, M* = M\ cos феф.
A5.210)
Нагрузка A5.210) создает результирующие перерезывающую
силу и изгибающий момент (см. рис. 15.10)
(rt = г (в2))
Предполагая, что внешняя поверхностная нагрузка отсутствует,
из условий равновесия оболочки в целом D.26)а находим
где ,
z = j к, sin i
Si
Тогда на основании формулы D.129) с учетом того, что Ф = 0,
имеем
ТТ77 *
560
i Подставляя эту функцию в формулы D.138), получаем
. A5.213)
На основании этих соотношений функцию if (9) (см. D.163)),
можно записать в виде
*® = -Ш1Ъ®Р + Ъ®М]' A5.214)
где
-TST + 'C+
Безмоментные смещения через функцию i|j (в) выражаются так
(см. D.164)—D.167)):
в
J
в
of = — ау + x + J
в,
uf = a^ cos в + (r sin в — z cos в) <вЛ + Tr sin в—
e
— cos6 \WRisiaQdQ- no';
в,
a;* = Oy sine — (rcos6 + z sin в) <вж -f- Trcos 9 —
e
— sin в J WRi sin 6d6 + R2 K, i + ©i cos 6);
и* , = no* + Tr - i?2 (e;,, cos в + ©Г); A5.216)
в в
u'r, i = ay — (ox J Ri sin 6d9 — J VRi sin 8d8 + rej, ь
в, в,
Здесь
в
W = jф (9) /?,d9, е$. i =-^Г (Гг*- ' ~ vrr- ')• юГ = 2(gtV) S*'
в,
A5.217)
Постоянные Од, «в^ определяются из граничных условий
жесткой заделки
Oi (9i) = of (9,) = 0, щ (В») = и,' (9,) = О
561
и имеют значения
A5.218)
Вертикальное смещение круга в = const определяется сле-
следующими равенствами:
ы„ = a>cos<p — t» вШф = a>xcosa<p — oxsin^ =
= —о 1 + ''вф, 1 cos2 ф = —v* + ™<t, I cos2 ф. A5.219)
Далее в соответствии с рис. 15.10 имеем
2 ^ A5.220)
Принимая во внимание зависимости
4-1 = со, + Т - ^ - е;., ctg 6, A5.221)
функцию Ьх F) можно представить так:
&я = <йя + Т - ^g- - 8ф)! ctg 6+ rx,, x cos2 Ф. A5.222)
Вертикальное смещение (Д) и поворот вокруг оси OX (Q)
сечения 6 = 62 как твердого тела определяются формулами
A5.219) и A5.222) при еф1 =0, хГI =0, т. е.
Д = ы* = (oxzQ + J ?#1 sin 6d8,
е,
Q = _O; = _ffl,jr_ir(e2) + JgJ^.. A5.223)
Выразим эти параметры через силу Р и момент М. Вводя
обозначения
в е
Л= jYi(e)/?ide. Л= J Та(в)^1^в,
в, в,
е е
Л= J/^iSinede, /4= Jy^iSinedS, A5.224)
е> в,
соотношениям A5.223) можно придать вид
Q = УаР + y2iM, A5.225)
562
где
/оч . 2(I+v)Zp
- ltf/Г L *( 2' н FpIH^ J'
A5.226)
В качестве примера вычислим коэффициенты уц для цилиндриче-
цилиндрической и конической оболочек.
Цилиндрическая оболочка. Полагая в формулах A5.215),
A5.224), A5.226)
#! d8 = dz, I/#! =0, 6 . я/2, г, =1, Rt = r
получаем (см. D.195), D.196))
Л W = -^, У, (в2)
Коническая оболочка. Полагая в формулах A5.215) (см.
рис. 4.10)
1/Ях = 0, в = -j- + а, г = s sin a,
R2 =s tga, 2q — z = (s — Sj) cos a,
находим
где
1 —2 A -f-v)sin»ex „ I
Л sin8 a cos a ' sin8 а cos о
Используя теперь формулы A5.224) с учетом того, что Rt
= —ds, получаем
Л F2) = -/С cos a (Sa ~gSl)' - ЛГ cos а (-^Ь, + In -&-) .
Подставляя эти соотношения в формулы A5.226), после несложная
преобразований получаем коэффициенты yt], в точности совпадаю-
совпадающие с выведенными в главе 4 (см. D.242)).
563
/
Замечание 15.5. Вернемся еще раз к вопросу об особеннбстях /
деформационных граничных величин <Эх. Потребовав при вычисле-
вычислении А и Q выполнения условий еф) t = гхг, х == 0, мы, по-существу,
задали при 6 = 6а граничные условия абсолютно жесткого края
дхх = I—х2, !, хф, х,—хг, 1( вф, J® =0, так как в силу одно-
однозначности смещений имеют место равенства
I
Итак, при k = 1 вместо четырех условий из равенства dx =
= 0 вытекают лишь два, а два других имеют вид
S, (fc) = $? F2) = Р, 93Ж F2) = 93* F2) = —Л*
и также использовались при вычислении параметров А, й.
На краю 6=0! граничные условия имеют вид
ди = [«]., Оц K)lt ^ ]® = 0,
из которых при вычислении A, Q использовались два (иг = ьг =
= 0). Что касается двух других условий, то их можно использо-
использовать при-вычислении напряжений. Причем из-за того, что напря-
напряжения на краю оболочки не зависят от его перемещения как твер-
твердого тела для их вычисления на обоих краях можно использовать
деформационные граничные условия
(re) = 0, (гх) = 0. Э
Выведем формулы для напряжений на подкрепленном крае
рассматриваемой оболочки. Пренебрегая эффектами, связанными
с несовпадением контуров dQc и dQ, на основании A5.34) имеем
v. 1 — (ге) Фг) = ыо>
<.1=(гх)(е2)^#0,
mf., = Ml - Mi.i F2) A Ml - Mo,
Используя уравнения податливости кольца A5.177) и оболочки
D.173), приходим к системе уравнений
«о = «п (Qo — Qr, i F2)) — aj2Alo -f гге;, i F2),
Ф), A5.227)
откуда, в частности, находим
+ P0F
564
0fM = P210TQ + р220М- A5.228)
Здесь
°M = -г?2- , <Tq =
Аа '
(Po
=0;
Л
= f 3 (l _ v2). A5.229)
(Ниже ограничимся рассмотрением такой внешней нагрузки, для
которой подчеркнутое в A5.229) слагаемое может быть отброшено.
Более общий случай см. в [150], стр. 40.)
Редукционные коэффициенты р^ характеризуют снижение воз-
воздействий на край оболочки за счет того, что кольцо часть нагрузки
«принимает на себя».
Из системы уравнений A5.227) следуют также условия локаль-
локальной податливости края консольной оболочки, подкрепленной
тонким кольцом
"о =
A5.230)
где (см. A5.143))
«22 =
На основании соотношений A5.219), A5.220), A5.225) и A5.230)
полные вертикальное смещение и угол поворота вокруг оси ОХ
сечения 9 = 92 определяются формулами
tiy = А + tio cos2 ф = упР + УиМ + (a'uQ' - а\2М\) cos2 ф, A5.231)
0к = — Q + 00 cos2 ф = — y2iP — у22М + (—chiQ'r + a22Mi) cos2 ф.
565
15.6. НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
В ЭЛЛИПСОИДАЛЬНОМ КУПОЛЕ
С ОПОРНЫМ КОЛЬЦОМ
Замечания по поводу основного напряженного состояния.
В п. 14.6 отмечалось, что при отыскании основного НДС по без-
моментной теории частное решение уравнения A4.97J можно не
учитывать, так как соответствующие ему напряжения пренебре-
пренебрежимо малы по сравнению с напряжениями от частного решения
уравнения A4.97)х. Это обстоятельство значительно упрощает
процедуру построения основного НДС в задачах, где геометриче-
геометрические граничные условия допускают формулировку в терминах
деформационных величин.
Оценим порядок слагаемых, представляющих частное решение
уравнения A4.97J в основных граничных условиях подкреплен-
подкрепленного края оболочки A5.144). При этом будем использовать следую-
следующие очевидные оценки (см. п. 9.1):
*и, ъ5, *tk) ~-§?, е« —щ- •
(By, Bh В'„) ~ RZp, Fi ~ Rip;
(К*, Kn> Кчп, Kt) ~ Ecr\*, Ct ~ Ecrf.
Предполагая для упрощения рассуждений, что температурные
воздействия отсутствуют и что при формулировке граничных
условий подкрепленного край допускается отождествление оси
стержня с краем оболочки, правые части первых четырех уравне-
уравнений A5.141) можно представить так:
Ь°у — Bv — By
bt = Bf — Bt — KtXty — Ktv-ty»
= Bn — Bn — KynKtt + Кп^п—Куп^и >
; A5.232)
На основании приведенных выше оценок нетрудно убедиться,
что подчеркнутые в A5.232) слагаемые имеют порядок (tj//?0K (ц/h)
по сравнению с величинами ВуР, В)р, В*пр и поэтому всегда
могут быть опущены. Что же касается слагаемого Ct&tt в последнем
равенстве A5.232), то оно соотносится с F*' как величина (т]/^о) х
X (ц/h) с единицей и во многих задачах должно учитываться.
Окончательно граничные условия подкрепленного края для
безмоментного НДС принимают вид
566
- Куп) [pi2 (F't - Fi -
n -В'п- Куп*»)) - R2t {By -В'у + Кука") = О,
Рис. 15.11
Ч?2 = Kt ~fa~ [o>Pl2 (Ft — Ft —
+ B't -B't- Kt*Z = 0. A5.233)
Применение метода аффинного преобразования для нахожде-
нахождения основного НДС в эллипсоидальном куполе. Рассмотрим ку-
купол, срединная поверхность которого описывается уравнением
(рис. 15.11)
г = Ь sin 6 cos фч + a sin 0 sin ф18 + b cos 6's)- A5.234)
90<-|-, 0<ф<2я)
Параметры Ламе, связанные с координатами 0 и ф определяются
формулами
А = а A - в2 + в2 cos26 sin2Ф)'/2, В = asinO A - e2sin4)I/2.
A5.235)
где е = У 1 — 62/аа — эксцентриситет большого эллипса средин-
срединной поверхности купола.
Проекции векторов е9, е,, е9 X е, на оси неподвижной си-
системы координат определяются матрицей (см. B.134))
Ы =
aVI—в8 о о. - - aVl — e
— cosGcos^p —
sin6cos0
0
— sin 29
A5.236)
567
Пусть купол является оболочкой постоянной толщины и нахо-
находится под действием собственного веса. Тогда
р = — qi9, q = const.
Аффинное преобразование сг — cs = 1, с2 = b/a = J^l — e2 при-
приводит к сферической вспомогательной оболочке (см. п. 2.11) со сле-
следующим уравнением срединной поверхности:
г' = Сг = &sin0cosq>i1 + &sin0slnq>i2 + &cos9ij. A5.237)
(О < 9 < 90, 0 < ф < 2я)
На основании соотношений B.122) и A5.236) имеем
A5.238)
где
/ l-e«sin«esln»q>
Yo + У* cos 2ф + Y4 cos 4ф + ...;
у, = -j- e2 sin2в + О { -J- в* sin*91,
Y4 = о {- -g-г* sin49 }.
A5.239)
Ограничиваясь рассмотрением купола с эллипсом сравнительно
малого эксцентриситета, пренебрегаем в соотношениях A5.239)
подчеркнутыми слагаемыми, имеющими к тому же малые числовые
множители. Таким образом, определение основного НДС во вспо-
вспомогательной оболочке сводится к интегрированию уравнения
B.27) при k = 0 и k =2.
Случай к = О
^
= Ьг sin 9рз. о = -b2qyo (9) sin 9,
= - !&? [l - cos9 + -i- е» D - 3cos9 - cos»9)],
o^—bqyoCOsB-Tllo^-^- [l - 2cos9 + cos39-f
+ -jL. 8» D _ б cos 9 - cos8 9 + 3 cos» 6)],
So'' = 0, ©о" = 0, x;% = x;% = t*06' = 0. A5.240)
568
Случай k = 2
Разрешающее уравнение имеет вид
bF2F), A5.241)
где
Учитывая, что
р'п, 2 = р'з, 2 cos 0 = ?- е2^ sin2 0 cos 9,
находим
F2(9) = 0.
Общий интеграл уравнения A5.241) имеет вид
где в силу конечности напряжений в вершине купола следует
положить D' = 0. Таким образом, имеем
Далее на основании формул B.10)s, B.12J, B.13), находим
П'.2 = -bq\2 F) cos в - Ti:2 = -D-^01 - i-e2b<? sin2 6cos9,
2ПЙПГ T + T *^« " ~D "ИИ " T
A5.243)
Коэффициенты пересчета усилий от вспомогательной оболочки
к исходной определяются формулами (см. B.124))
п Л sine / 1 — е* + е* cos8 6 sin2 q> \l/2
П„ = 1 - -^ е2 sin2 0, П2 = — 4" е2 A + cos2 9); A5.244)
IT1 = (П), + (П-% со8 2Ф, (П-1), = 1 + -J- е* sin2 6, (IT1), = -П2.
Используя теперь соотношения A5.240), A5.242) —A5.244),
приходим к следующим приближенным формулам для искомых
величин основного НДС в исходной оболочке:
т& = т%. о + Ti 2 cos 2ф, т; = г;, о + г;, 2 cos 2ф,
5* = 52* sin 2ф, х;* = »4*8 cos 2ф, т** = т2** sin 2Ф> A5.245)
где
П. о •= ПоГ5.'о = —дг!" [l - cos 0 + 4-е2A + 3cos20 - 4со8»0)],
П. 2 =
+ -i(l-cos6)(l-f-cos*6)],
r;.o = (Ц'^К.о^-^ [l - 2cose + cos3e +
4- -д- 8s G - 12 cos в - 3 cos2 9 + 8 cos" 9)],
+ -j- A - 3 cos 9 + cos8 9 + cos8 6)],
S* = S}' = -e* -J^ (D, tg2 4" + -T siQ4 в), (D,e«W? A D);
«2 = —
A5.246)
Определение произвольных постоянных. Свяжем с контуром
9 = 0О = const срединной поверхности оболочки правую тройку
ортов {v, t, n}, которую строим следующим образом:
t = е„, п = ее X вф/| ее X вф |, v = t X п.
A5.247)
После проведения соответствующих выкладок с учетом соотно-
соотношений B.134), A5.246) получим
(v, t, n)® = {гпц] (ii, ig, is)®»
— ea cos 80 stay
cos 80 cos <p
Mj,Mi
У1 — e* sin ф
My.
sin 60 cos <p
= A -
COS ф
~MT
'l —г* sin80sin9
0
cosBp
At.
Л18 = A - в>8Ш>вв81п>фI^. A5.248)
Используя формулы E.51) и A5.248), находим кривизны края
Л п dt 1 У1—е8
_ dn _ j»_ dn
*— dst ~ В ' d<p
e2 cos 80 sin 2<p
A5.249)
570
Для вычисления главного вектора и главного момента краевых
усилий раскроем интегралы (с точностью, соответствующей форму-
формулам A5.246))
Jx = J sin 2q>v dq>, J, = J COS 2q>v dq>,
J, = j sin 2ф1 dq>, J* = J cos 2q>t dq>,
J6 = j sin 2фП dq>, i, = j cos 2<pn dq>.
Выполняя здесь интегрирование по частям с учетом правил диф-
дифференцирования ортов E.51), получим систему уравнений
[fl.il (Ji. h, J8. J*. h,
где
[ati) =
2ф,
1
0
0
—а0
0
0
—1сов2ф,
0
1
а„
0
0
0
0
по
1
0
0
Ьо
t sln2(p, —n
-a0
0
0
1
-bo
0
0
0
0
-b0
1
0
cos2(f
о -
0
bo
0
0
1
A5.250)
= -j- cos Go, b0 = -g- sln90.
Разрешая систему A5.250), находим (выписываем лишь те интегра-
интегралы, которые будут использоваться ниже)
J, =
¦f -у cos 0О sin 29t j2~ sin 2^ocos 2фП,
Ja = -|- ^ 1 \- slna90) sin 2фу -f
-)- -|- cos 0O cos 2ф1
1 2
g- cos 0O sin 2фу —д-
J6 = jg- sin 20O
sin 280 sin 2фп,
1
—j- sin 80 sin 2фП, A5.251)
j- sin 0e sin 2ф1 —
571
Пусть опорное кольцо покоится на гладком основании. Тогда
в качестве внешней нагрузки на него действует лишь нормальная
реакция опоры (Qe = Q3 (ц>) h), которую в соответствии с принятой
точностью (см. A5.246)) представим так:
п (я + Ь) sin e0 '
(Р — вес купола).
Отсюда получаем следующее выражение для меридиональной
составляющей внешних воздействий на опорное кольцо (см.
рис. 2.7):
Qv,2 = —eQ3.o—j^-Qa.2 ^
Вычислим главный вектор безмоментных усилий, действующих
на краю купола. Прежде всего имеем
где
+ S*e,)-v = П, 0 + П. 2 соз2Ф,
S*e,)-t = (-i-e2/cos90Te, о +55) sln2v,
/ = 1 + -J-e1 B + siu»60) + -jig-e4 G9 - 58cos260 + 15cos*90).
Используя эти формулы и учитывая соотношения A5.240), находим
Fv = F* - Fe = { [(QCv - (Kv) v + Q^t) Befcp =
= Tl oBo \ v dq> + Gtf, 0B2 + ГУ. 25о) J2 +
+ D" e8/ cos2 0dT5, о - 55 ) BoJ3, A5.252)
где (см. A5.235))
7eV, t = Tlt- Q%. t; B = Ba + B2 cos 2Ф,
Bo = a sin 0o A j- ea), 5a = -|" eaa sin80.
Для обеспечения периодичности главного вектора Fv =5 Fv (ф)
следует положить равным нулю множитель перед непериодической
572
функцией I vdq>. В результате получим следующее условие равно-
равновесия оболочки в целом:
О +^-e2cos*e0). A5.253)
(Нетрудно убедиться, что, в рамках принятой здесь точности,
формулы A5.253) и A5.246)х совпадают.)
Вычисляя далее главный момент Bv = j Fvx tBd<p с исполь-
использованием формул A5.251), A5.252), получим
FY. 2 = 4"So (T*- 2COs9° ~" **1Т*- о cos90 - 252*),
У. 2 = У Во sin 90 (-J- е2/Гв. о cos во + Si) ,
ВY, 2 = 4" Во sin е0Г^. 2, A5.254)
Sa*)].
2- т
После подстановки величии A5.246), A5.254) в уравнения
A5.233) придем к системе двух алгебраических уравнений с тремя
неизвестными: Di, Dz, Qt, 2- Для раскрытия неопределенности в
распределении реакций основания по периметру опорного кольца,
предположим, что последнее при деформировании не скручивается,
т. е. k4v = 0. Тогда на основании граничного условия A5.28)а
с учетом соотношения A5.138K имеем Т%, 2 =0 и, "следова-
"следовательно, —
Qv.2=r;i2- A5.255)
Основные граничные условия подкрепленного края A5.233) с
учетом сделанных в начале раздела замечаний по поводу основного
напряженного состояния принимают вид ^
и {FY - С,4) + рйВУ] - Rt (ВУ + К#?) = 0,
2 т*6=°- A5-256)
Используя приближенные представления
/?f = Rt, о + ^t,» cos 2ф, /?«, о = а A — -J- У sin» 8о),
= р(, 0 + Р*. a cos2q>,
573
P22 = P22, о + Рг
4/n»
P22.
0 +
Л, =
граничные условия A5.256) можно привести к виду
Р22, оВп, 2 + -у 5o/?i, цт2 = О,
J 12.D
BR ^
, о -
=0.
На основании полученных соотношений с учетом A5.246),
A5.251), A5.252), A5.254) приходим к следующей системе уравне-
уравнений:
**•
A5.257)
где
P».o - "Г
T
P12. oc< Г.. -. Aa ,,. ,. .]
A5.258)
574
«. о = -^- A + cos9o) = -1 - -j^-e2 A + cos во + 4cos29o),
tl о = Iff- A + cos во) = 1 - cos80 - cos2 во +
. 2 =
-72-ea G - 5cos9o - 8cosaeo),
l A + cos9o) = -i- A + cos2 во),
+ cos9o) = 4" О - 2 cos 9o -
A + cos во) = - 4- sm2 во A + cos во);
r __Sl_ r
Ul~ 1+СО8вв ' Ui "" *<7A+СО8в0) '
Анализ формул A5.258) показывает, что подчеркнутыми в них
слагаемыми можно пренебречь. Разрешая упрощенную таким обра-
образом систему A5.257), получим
Di « - -?-A + cose0) | cose0[l + -^-8*A0 + cosв0 - cos2в0) +
1 +cos90)|.
A5.259)
Суммарные напряжения в куполе подсчитываются по формулам
A0.129), которые в данном случае принимают вид (ограничи-
(ограничиваемся рассмотрением сечений ф = 0 и ф = я/2, где dsv = ds^ =
= AdQ)
of = oe ± omv, o* = oTf ±
Здесь
omv = [-|r oQ sin p + aM (cos P — sin P) J e*>,
cxrt = aj + ^0<j cos P — -^- ov (cos P + sin P) J e^,
+ e2 [4-0 +cos*8) + 1+Pc1ose.
- 8 cos28) + 8X [4-A - 2 cos6 - cos» 9) - y^i^g] cos 2Ф | A
575
X
A - е2K" (в - во), Ф = О
\- ъА (9 — 90) + 4- еа (sin 29 — sin 29O)
_ e2 A + sin2 90) + e4 sin2 90F4
Параметры oq, ам вычисляются по формулам A5.145), принимаю-
принимающим вид
2m
1
Расчет опорного кольца. Нормальные напряжения в опорном
кольце прямоугольного поперечного сечения (см. рис. 15.11)
с учетом приближенного равенства Вп ж В'п [95 J могут быть
вычислены по формуле (см. A5.9), A5.28)8)
а?,-?в(е«+*»*«). A5.260)
Принимая во внимание соотношения
"Ли = jr- Bv, Ft, о = 0, Bv, o = O,
A»
приходим к следующей формуле для подсчета напряжений в край-
крайних волокнах (max ln = 0,5tia sin 0О) опорного кольца:
где
aQ.o, tt,2 = — — 2т
Учтено, что fiy7,2 = -j- BoFY, 2 sin 0o. )
Численный пример. Приведем результаты численного расчета
купола с опорным кольцом при следующих исходных данных:
а = 40 м, Ь = 27,3 м, Л = 0,1 м, в0 = 60°,
Ё = Ес = 2,7.104 МПа, v = 0,167 (железобетон).
С целью иллюстрации зависимости НДС на краю купола от жест-
жесткости опорного кольца приведем результаты расчетов для двух
вариантов подкрепления.
576
7= 40см
-269
-216
-200
-1ТЗ\
-146
-100
-13
86
100
\~р\б°/ч
\1 JW
\^~^>
Ml
У/ /
У*
/
/
/
/^^201
^*^-1бО
60
50
40
Ряс. 15.12
20
Вариант 1 (% = тJ = 0,4 м):
Dx = —0,919; aQ/q == —75,3 — 36,7 cos 2cp,
ajq = —1,8 — 2,0cos 2q>; aiflq = 34,2 + 40,5 cos 2<p,
oc-/q = 34,2 + 6,4 cos 2ф.
Графики изменения напряжений вдоль меридианов ф = 0
(сплошная линия) иф= я/2 (пунктирная линия) приведены на
рис. 15.12, где пояснены все кривые кроме графиков безмомент-
ных напряжений, которые в пояснениях не нуждаются.
Вариант 2 (т^ == г\а = 0,8 м):
Dt = —0,922; aQ/q => —113,0 — 66,8 cos 2<p,
19 В. В. Новокилов в др.
577
= 80 см
-273
-100
ojq = —30,6 - 29,6 cos 2qr, ofr/q = 12,8 + 43,3 cos 2cp,
o*y/q = 12,8 — 24,5 cos 2ф.
Графики напряжений показаны на рис. 15.13.
Постоянная Dx имеет различные значения в рассмотренных
вариантах, так как она вычислялась не по формуле A5.259), а
путем решения системы A5.257). Формула A5.259) дает следую-
следующее значение этой постоянной: Dx = —0,920. Если же размеры
кольца менять от г\г = г\г = 0,2 м до % = г\2 == 3,0 м (практи-
(практически абсолютно жесткое кольцо для данного купола), то постоян-
постоянная Dt изменится соответственно от —0,918 до —0,937. Отсюда
делаем вывод, что:
578
формула A5.259) является практически точной;
безмоментное напряженное состояние в куполе не зависит от
жесткости опорного кольца.
15.7. КВАЗИСИММЕТРИЧНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
ГЕЛИКОИДАЛЬНОЙ ОБОЛОЧКИ
С ПОДКРЕПЛЕННЫМ КРАЕМ
Винтовые оболочки. Рассматривавшиеся неоднократно выше
оболочки вращения являются частным случаем винтовой оболочки,
срединная поверхность которой описывается уравнением (см.
E.148))
г (а, р) = р (а) ег + [г (а) + ар] ег =
= р (а) cos pii + Р (а) sin pia + [z (а) + Ф] it. A5.261)
Винтовая поверхность A5.261) образуется вращением кривой
(образующей)
Го (а) = р (а) ег + г (а) ег
вокруг оси 0Z с одновременным перемещением вдоль этой оси со
скоростью а = const. Координатные линии аир1 представляют
собой заданный профиль и винтовые линии соответственно. Урав-
Уравнение поверхности вращения следует, таким образом, из A5.261)
при а = 0. Чтобы получить при этом традиционные для оболочек
вращения обозначения D.1), D.2), необходимо принять
в
в.
в
z KQ) = J Ях (Э) sin Э de. A5.262)
в.
При г (а) = const A5.261) является уравнением прямого
геликоида. Уравнение косого геликоида (образующие не перпенди-
перпендикулярны оси вращения) следует из A5.261), если принять г (а) =
= /р (а), где / = const определяет угол наклона образующей
Из уравнения A5.261) получаем формулы для:
параметров Ламе
((••¦)'=d(--.)/da); A5.263)
координатных ортов
е А
w <р cos РЬ + р' sin
4" ПЯТ = в~г (
= 4" ПЯТ = в~г (-Рsin Р'1 + Р cos Pia
n = (еа х еэ)/| еа х ер |; A5.264)
19* 579
нормальных кривизн и кручения срединной поверхности
A5.265)
а также формулу для угла между координатными линиями
cosx = ee-e3 = a//i4B. A5.266)
Из последнего соотношения следует, что координатная сетка
является ортогональной при а = О (поверхность вращения) и при
z (a) = const (прямой геликоид). При этом, как видно из формул
A5.265), координатные направления совпадают с линиями кри-
кривизны для оболочки вращения (тор = 0) и являются асимптоти-
асимптотическими линиями в случае прямого геликоида (о0 = стр = 0).
Отметим важное свойство винтовой оболочки: геометрические
параметры ее срединной поверхности не зависят от координаты р.
Это позволяет использовать метод разделения переменных для
расчета оболочек вращения и оболочек в виде прямого геликоида.
Геликоидальная оболочка. Рассмотрим бесконечно протяжен-
протяженную тонкую геликоидальную оболочку, срединная поверхность
которой задается уравнением
г (а, р) = р (а) е, + аре, A5.267)
(а € [аь otj], P ? (—оо, оо)).
Вид зависимости р (а) можно подобрать так, чтобы упрощались
те или иные соотношения (преобразования). Наиболее простой
вид разрешающая система уравнений статики геликоидальной
оболочки принимает при использовании изотермических коорди-
координат (Л = В). Интегрируя уравнение (см. форм. A5.263))
находим
р (a) =asha A5.268)
и, следовательно,
A5.269)
Замечание 15.6. Недостатком изотермических координат A5.267), A5.268)
является невозможность осуществления предельного перехода к крайним конфи-
конфигурациям геликоидальной оболочки — кольцевой пластине и прямоугольной
полосе. Такой переход выполним, если уравнение срединной поверхности гели-
геликоидальной оболочки использовать в виде
г (а, Р) = р (a) cos pit + p (a) sin fii, + ap"ia
(«€[«1. а,], Ж-°°. °°)). A5.270)
где, например, можво положить
ё = тЬ- A5.27.)
580
Очевидно, что уравнение A5.270) — A5.271) при а=0
переходит в уравнение кольцевой пластины (рис. 15.14, а)
г (а, Р) = р (а) cos pi, -)- р (а) sin Pi2,
а при а -> с» — в уравнение прямоугольной полосы
(рис. 15.14, б))
г (а, р) = р (а) 1, + pi8.
Уравнению A5.270) — A5.271) отвечают параметра Ламе
Р',В:
A5.272)
допускающие предельный переход соответственно к коль-
кольцевой пластине н прямоугольной полосе:
а = 0 : А = р\ В = р; а -+ оо : А = р', В = 1.
Если же воспользоваться условием А = В как урав-
уравнением для определения р (а) (см. A5.272)), то придем
к изотермическим координатам уже не допускающим на-
названный предельный переход.
Учитывая сказанное и имея в виду, прежде
всего, удобство получения квадратурного ре-
решения рассматриваемой задачи, уравнение ге-
геликоидальной оболочки будем принимать в виде
A5.267), A5.268).
Приближенное интегрирование уравнений квазисимметричной
деформации геликоидальной оболочки. Напряженно-деформиро-
Напряженно-деформированное состояние, реализующееся в бесконечно протяженной
геликоидальной оболочке при независящих от винтовой коорди-
координаты р граничных условиях и поверхностной нагрузке, будем
называть квазисимметричным НДС [210]. Опуская в соотноше-
соотношениях A4.1) — (Н.З) слагаемые, имеющие производные по р и
учитывая формулы A5.269), уравнения A4.7) и A4.11) можно
записать в виде
Рис. 15.14
1г{Та, Гэ, Я} = — achapa,
l2 {S, Ма} = —a ch а р&,
ts{S, Ma
A5.273)
где
Ч
2, Фз} = Ф1 + th a (Ф, - Ф2) +
к {Фз, Ф4> = Фз + 2 th a Фз +
A5.274)
б + 2^аФ6),
A5.275)
/з{Фз, Ф4, Фб} = 2аФ3-Ф4-№(Ф4-Ф5) + -д^Гф5-
581
Нетрудно видеть, что система уравнений A5.273) — A5.274) рас-
распадается на две самостоятельные подсистемы {A5.274)lt A5.273)а,
A5.273),} и {A5.273)!, A5.274)а, A5.274),}. Для удобства даль-
дальнейших преобразований первую из этих подсистем записываем
в терминах усилий и моментов, а вторую — в терминах параметров
деформации срединной поверхности. Имеем
к { -%- (Мз - vAfe), -g- (M« - vAf„), A + v) S j = О,
/a {5, Ma) = -ochope,
k {S, Ma, Me} = a2 ch2 a pn; A5.276)
K\) (e + e) (l)
I, {V, e3, ea} = 0. A5.277)
Вводя функцию M = Mа -\- Мg [181], после несложных пре-
преобразований с пренебрежением слагаемыми порядка (h/Ra^J =
= (h/a ch2 aJ no сравнению с единицей систему A5.276) можно
привести к следующему разрешающему уравнению:
М" + 2 th аМ' + 2 ch^a М = ср (Clt pB, р„), A5.278)
где
Ф = 2 A — v) a2 ch a (d — } ch8 ap6 da) —
- A + v) Л2 (р9 ch a)'/12 - A - v) (a ch a)8 pn.
Решение уравнения A5.278) в квадратурах имеет вид
М = a2 cha/ (I - v) Cx ch2 a + -i-C2 (a + -i-sh 2a) +
+ C,-2A -v)
+ A - v) j ch2 a (J pn ch2 a da) da j. A5.279)
Искомые статические величины, подчиняющиеся системе A5.276),
выражаются через вспомогательную функцию М по следующим
приближенным формулам:
M, Mf> = Ma-M,
h»ada). A5.280)
Аналогично для системы A5.277) можно записать
г" + 2 th а г' + 2ch~2 а г = г|> (С6, ра). A5.281)
582
Здесь
е = 8„-еа) i|> = 2(l + v)аСБch~aа+ ii^^-(pachа)'.
Решение системы A5.277) определяется формулами
A + v) е? = —Сб + 2 A + v) аСь th a - A + v) е th a,
8a « 8в _ .. T = _ _!_ (Ja+a_ - aC6) , A5.282)
где
e = [(l + v) aC5 cha a--i-Ce (a+ -l-sh 2a) -
- C7 + A^')a j pa ch8 a da] ch a. A5.283)
Граничные условия подкрепленного края a — const. Рассмо-
Рассмотрим конкретную задачу определения НДС в лопасти бесконечно
длинного шнека, подкрепленной по краю тонким стержнем
(рис. 15.15). Граничными условиями в этой задаче являются усло-
условия жесткой заделки (а = аг = const) и граничные условия под-
подкрепленного края (а = а2 = const). Так как разрешающие урав-
уравнения записываются не в терминах смещений, то вместо условий
жесткой заделки можно использовать условия жесткого края
дУ. |a=a, = О
или
Мр - vAfa + i±l -jj^T 5 = °' <15'284>
т = 0, ер — thaea = 0, еэ = 0. A5.285)
Предполагая, что выполнены соотношения A5.31) и что внеш-
внешняя нагрузка на подкрепляющий стержень отсутствует, гранич-
граничные условия для края a == a2 удобно использовать в виде A5.32).
Вводя обозначения
EhJ
эти граничные условия можно записать так:
•** = EhJ ' **" = ?йа» ' A5-286)
+ М'а ch a + A + v) ацу5 ch a = 0,
Ma - th2 a Af p + th a Af. + aS = 0,
A - sh2 a) Af a - sh a ch a Ma + sh2 a Me = 0. A5.288)
583
60 г~
(Соотношения A5.284) — A5.288) получены с учетом следующих
формул для кривизн края а = const:
_ 1 _ 1 dB _ sha \
at = 0, %t — ach2a , P* — ab da ~ a ch2 a ' /
Таким образом, полная система граничных условий A5.284) —
A5.288) распадается на две подсистемы: {A5.284), A5.288)} и
{A5.285), A5.287)}, первая из которых соответствует уравнениям
A5.276), а вторая — уравнениям A5.277). Иными словами, квази-
квазисимметричная деформация рассматриваемой геликоидальной обо-
оболочки определяется совокупностью решений двух самостоятельных
краевых задач.
Осесимметричная деформации кольцевой пластины. Рассмотрим предельный
случай геликоидальной оболочки при а -»• 0. Очевидно, что бесконечно протяжен-
протяженная геликоидальная оболочка переходит при этом в кольцевую пластину
(рис. 15.15). При проектировании шнековых прессов напряженное состояние в
лопасти шнека оценивают, принимая в качестве расчетной схемы кольцевую
пластину, жестко заделанную по внутреннему краю и свободную на внешнем крае.
Так как использованные выше изотермические координаты не допускают предель-
предельный переход к пластине, приведем решение осесимметричной задачи для нее
отдельно.
Отнесем срединную поверкность пластины и полярным координатам
г (р, Р) = р cos РЧ + р sin Pia. A5.289)
Подставляя параметры
А => 1, В ¦= р, аа = <тэ = т„э = 0
в уравнения A4.7), A4.11), получим для случая полной осесимметричной дефор-
деформации пластины:
уравнения равновесия
= 0,
+ РаР3=О'
- %) + Рп
¦О;
A5.290)
584
уравнения неразрывности
dp
О,
Найденное с использованием соотношений A5.290), A5.291) решение системы
A4.13) и A4.14) имеет вид
ер = (-Цр 1пр - 1±1) С, - СаР-» + С, +
= -щ- (lnp + 4") С4 - СБр-а +
Л<(р = d0 (xp + vk3), Мэ = d0 (кр + vxp);
S = -p-« J papp dp + C7p-a, г = С8р-а. A5.292)
(Здесь dg = Eh?/12 A — va) — цилиндрическая жесткость пластины.)
Пусть край р = pi жестко заделан, а край р = ра подкреплен тонким стерж-
стержнем постоянного поперечного сечения. Граничные условия жесткого края имеют
вид
дк (Pl) = 0
или (с учетом того, что pt = р)
»9 (Pi) = °"' A5.293)
t (Pi) = 0, 83 (р,) = 0, р,8? (р,) - ер (р,) = 0. A5.294)
Из условия A5.294)j следует, что С8 = 0. Далее из условия A5.294)а с учетом
уравнения иеразрывности A5.291)я иаходим
Сх = 0, Щп (р) = 0. AБ.295>
Если преиебрегать эффектами иесовпадения оси кольца с контуром р = р2,
то при отсутствии виешией нагрузки на кольцо граничкые условия подкрепленного
края с учетом A5.294) принимают вид (см. A5.52))
|р=р,
Мо (Ра) = -*vP/*« 1р=р.
585
S (ра) = 0, Qvn (ра) =
dpM0
A5.297)
Из последних двух условий на осно-
основании соотношений A5.292) находим
С* =
1
1+v
I.
1р=Р,'
c7.
0.2
0,4 0.6
Рис. 15.16
1,0
Таким образом, вычислительная
процедура решения задачи сведена
к определению постоянных С», С8, С„
Св из системы уравнений, отвечающих
условиим A5.293), A5.297) и A5.294),
A5.296).
На рис. 15.15 приведены графяки изменения параметров
- ,Гу Ш* (Р) =. ,7, 6Afp (р)
"м„ w -
(где р = (р — р!)/(р, — pi))
при следующих исходных данных:
Е = Ее = 2-105 МПа; v = vc = 0,3; а = 3,18- 10~а м;
Р! = achaj = 3-10~а м; ра = acha9 = 13- 10~а м;
й = 0,3-10-ам; т)! = 0,9.10-' м; т]а = 1,6-10"» м
A5.298)
(/, 3 — графики ом соответственно для случаев свободного и подкрепленного
Р _
краев пластины; 2,4 — графики ам для геликоидальной оболочки со свободным
a
и подкрепленным краями р = ра).
Замечание 15.7. Для оценки точности полученного выше квадратурного реше-
решения параметры НДС в геликоидальной оболочке, рассчитанные по формулам
A5.279) — A5.283), сравнивались с численным решением уравнений A5.273),
A5.274) при граничных условиях
дк (Pl) = 0, dq (p2) = 0.
На рис. 15.16 приведены графики параметров НДС (в зависимости от р) в пластине
(пунктирные линии) и в геликоидальной оболочке, рассчитанные по квадратурным
формулам (штрихпунктирные линии) и путем численного интегрирования разре-
разрешающих уравнений (сплошные линии). Кроме принятых выше используются
обозначения
Из рис. 15.16 видно, что результаты, отвечающие приближенному (квадратур-
(квадратурному) решению, лежат между точным решением и решением для кольцевой плас-
пластины. Причем при иекотором удалении от заделанного края квадратурное и точное
решения совпадают. Наибольшая погрешность квадратурного решения связана
с касательным усилием S. Учитывая, однако, что вклад этого усилия в общее
НДС (при действии нормальной нагрузки) мал (а$/аМ ^ 0,02), его E) уточнение
практического интереса не представляет. Таким образом, будь шнек «бесконечно
протяженным» и регулярным по г, вопрос можно было бы считать исчерпанным.
586
На практике шиековые прессы имеют порядка 5—10 витков перемеккого шага.
Что касается влияния прямолинейного края ка искажение «квазискмметрии»,
то, как показано в работе [69], око сказывается лкшь в пределах одного витка.
И, наконец, НДС в шкеке с переменным шагом можно оцеикть сверху, приняв
в расчетвой схеме шаг постоянным, равным минимальному.
Глава 16
ОБРАТНЫЕ И ОПТИМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
ДЛЯ ОБОЛОЧЕК С ПОДКРЕПЛЕННЫМ КРАЕМ
Деформационные граничные условия подкрепленного края
(УПК) в силу своей компактности являются удобным аппаратом
для решения обратных и оптимальных задач подкрепления отвер-
отверстий и вырезов в оболочках. В главе рассматриваются задачи пол-
полного устранения дополнительного, вызванного наличием отвер-
отверстия, напряженного состояния (обратные задачи) или, если послед-
последнее недостижимо, — максимально возможного понижения интен-
интенсивности названного НДС (оптимальные задачи). Эффективность
использования деформационных УПК наглядно иллюстрируется
на задаче эквивалентного (полностью снимающего дополнительное
НДС) подкрепления отверстия в плоской пластине, загруженной
«на бесконечности» силами и моментами. Эту задачу удалось ре-
решить в общем виде для произвольного гладко очерченного отвер-
отверстия.
Кроме традиционно используемого минимаксного критерия
(приводящего к задаче минимизации максимального эквивалент-
эквивалентного напряжения) обсуждается энергетический критерий опти-
оптимальности, использование которого связано с минимизацией за
счет жесткостей подкрепляющего стержня энергии дополнитель-
дополнительного НДС. Оба критерия используются при рассмотрении задачи
оптимального подкрепления растягиваемой «на бесконечности»
пластины в месте ее сопряжения с цилиндрической оболочкой
средней длины (патрубком). Предварительно получено простое
аналитическое решение обратной задачи для случая осесимметрич-
ного растяжения, обобщающее известную формулу Е. Мэнс-
филда для жесткости эквивалентного подкрепления отверстия
в пластине без патрубка.
Исходя из минимаксного критерия рассматривается задача
оптимального подкрепления кругового отверстия в цилиндриче-
цилиндрической оболочке, испытывающей действие равномерного внутрен-
внутреннего давления или осевого растяжения. И, наконец, решается
более общая задача оптимального подкрепления узлового сое-
соединения «цилиндрическая оболочка — патрубок».
587
16.1. ДВЕ ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ
ДЛЯ ОБОЛОЧЕК С ПОДКРЕПЛЕННЫМ КРАЕМ
Рассмотрим оболочку, имеющую замкнутый край в виде отвер-
отверстия или среза (пример среза — край 9 = 60 оболочки вращения).
Пусть при этом полное НДС в оболочке складывается из основного
напряженного состояния (относительно медленно меняющегося
и охватывающего, как правило, всю оболочку) и дополнительного,
локализующегося вблизи края (краевой эффект, концентрация
напряжений). Тогда уравнение A4.67) можно расчленить на сле-
следующие два:
c0Lh° = — AB(p + pT), c0Lm+==0, A6.0)
где и0, и+ = и — и0—столбцы смещений, соответствующих основ-
основному (°) и дополнительному (+) напряженным состояниям, L =
Напомним, что в тех случаях, когда отождествление контуров
dQ и dQ° несущественно сказывается на НДС оболочки, условия
подкрепленного края можно принимать в следующем виде (см.
A5.27)):
дЬ-Кдх = дЬ', A6.1)
где
By
Bt
Вп
К =
дЬ* =
Г Ку
0
Avn
0
"fiv
в\
Вп
0
Kt
0
0
.
—Куп
0
Кп
0
ox =
0 ~
0
0
с*
—Y.U
Щу
—У-tn
A6.Г)
Деформационные граничные величины, связанные соотношениями
A6.1), должны удовлетворять условиям однозначности смещений
(см. A4.32))
= e«t — \щ ds't x t \dst = 0,
A6.2)
Задачи для оболочек, имеющих замкнутый край, подкреплен-
подкрепленный тонким стержнем, можно условно разделить на два класса:
588
a) граничные условия A6.1) имеют локальное влияние, т. е.
варьирование жесткостей подкрепляющего элемента сказывается
лишь на дополнительном НДС;
b) основное НДС в оболочке существенно зависит от гранич-
граничных условий A6.1), т. е. меняется с изменением жесткостей под-
подкрепляющего стержня.
К классу а относятся, например, задачи расчета НДС в консоль-
консольной оболочке вращения, находящейся под действием нагрузки
вида A5.210), расчета концентрации напряжений вблизи отверстия
в сосуде давления или в нагруженной «на бесконечности» плоской
пластине. Примером задачи класса b является задача определения
НДС в эллипсоидальном куполе (п. 15.6).
Прямой задачей прочности называют задачу определения на-
напряженного состояния в некоторой фиксированной конструкции.
Соответственно обратной задачей является задача определения
параметров конструкции, в которой НДС обладает определенными
свойствами при заданной внешней нагрузке.
В соответствии с названными выше классами задач можно сфор-
сформулировать следующие обратные задачи для оболочек с подкреп-
подкрепленным краем.
A. Найти матрицу жесткостей /Cv (st) такую, что
dtP-KwdvP = db'. A6.3)
B. Найти произвольные функции основного НДС ft (&t), ft (&t)
и матрицу жесткостей КА (St) такие, что
db° (ft, ft) - КА дх° (ft, ft) = db'. A6.4)
Выполнение равенства A6.3) или A6.4) является необходимым
условием отсутствия дополнительного НДС. Покажем, что каждое
из этих условий является и достаточным.
Теорема Клапейрона, примененная к дополнительному НДС,
выражается формулой
V+ = 4- Lto, A6.5)
где
V+ = Т с° $ (8+)® Ci8+dQ + Т * 1 (*+)®
Q Q
ta = — <f> (дк+увдЬ+dat.
да
Если условие A6.3) (или A6.4)) выполнено, то справедливо
соотношение
дЬ+ - Kv дх+ == 0
и, следовательно, можно записать (при §° = §", 33° = 93")
L& = — 4" J (dx+)® *V дк+dst. A6.5')
dQ
J
dQ
589
Неотрицательность матрицы жесткостей подкрепляющего эле-
элемента вытекает из тензорного характера моментов инерции попе-
поперечного сечения стержня. В этом свойстве матрицы К можно убе-
убедиться и непосредственно с помощью формул A5.11). Действи-
Действительно, в силу неотрицательности величин Kv, Kt, Kn> Ct необхо-
необходимые и достаточные условия неотрицательности матрицы К (усло-
(условия Сильвестра) будут выполнены, если справедливо неравенство
det K> О
или
- \VndS-( J
(S) \(S)
Последнее же условие, являясь неравенством Коши—Буняков-
ского, всегда выполнено.
Следовательно, имеют место оценки
V+>0, Lta<0.
Отсюда на основании соотношений A6.5), A6.5') получаем
V+IKV1 = 0 (точно так же V+ 1КА 1=0) и, значит, е+ = 0,
х+ = 0.
Таким образом, выполнение равенства A6.3) или A6.4) является
необходимым и достаточным условием отсутствия дополнитель-
дополнительного НДС (при соответствующих предположениях относительно
8 и 93).
Подкрепление /<"v, при котором всюду за пределами отверстия
реализуется НДС, то же что и в соответствующей оболочке (плас-
(пластине) без отверстия, называют эквивалентным подкреплением.
Соответственно подкрепление КА, обеспечивающее отсутствие до-
дополнительного НДС, будем называть нейтральным подкреплением.
16.2. ЭКВИВАЛЕНТНОЕ ПОДКРЕПЛЕНИЕ
ОТВЕРСТИЙ В ПЛОСКИХ ПЛАСТИНАХ
Основное НДС в загруженной «на бесконечности» пластине.
Рассмотрим плоскую пластину, испытывающую действие равно-
равномерно распределенной «на бесконечности» нагрузки (рис. 16.1)
МП) = MTU - Muh, МГ2) = M~h - MTiU A6.6)
и ослабленную произвольным гладко очерченным отверстием, край
которого подкреплен тонким стержнем с плавно изменяющимся
вдоль оси поперечным сечением. Пусть контур отверстия d?i
описывается уравнением
r = Ar1(s)i1 + xa(s)i2. A6.7)
690
Свяжем с этим контуром
правую тройку ортов, кото-
которую строим следующим об-
образом:
*•
IT
ds
A6.8)
Полагая в формуле A4.34)
t = [7Г. rs. 77]®,
Рис. 16.1
и принимая во внимание равенства
„ д
S =s= sin у = —
ds
A6.9)
приходим к следующим соотношениям для кирхгофовских усилий
на контуре йп в сплошной пластине:
Qlt = cs {T? - TV) + cos 2V
Qv« = -зг t« (^2°° - МГ)+ cos
M?v = с2МГ + 2csMS + s2M2°°. A6.10)
Далее, используя соотношения A4.14) и A4.33), получаем
формулы для деформационных граничных величин на контуре
сплошной пластины
Ж
12
Eh*
2 A + v
s2 (ГГ -
]
- 2 A + v) csMn + s2 {МТ - vM?)},
A6.11)
Если кольцо является симметричным относительно срединной
плоскости пластины (/CVn = 0), то краевая задача распадается на
две самостоятельные: а) растяжение и сдвиг пластины (обобщенное
плоское напряженное состояние); б) изгиб пластины со скручива-
скручиванием. Соответственно независимо могут быть рассмотрены и обрат-
обратные задачи по отысканию эквивалентного подкрепления.
591
Эквивалентное подкрепление отверстия при растяжении и
сдвиге пластины «иа бесконечности». Жесткости эквивалентного
подкрепления отверстия в пластине, находящейся в обобщенном
плоском напряженном состоянии, определяются из уравнений
(см. уравнение A6.1) при дЬв = 0)
= -В°п, A6.12)
где
A6.12')
Оказывается, что квадратуры в формулах A6.12') вычисляются
в общем виде для произвольного отверстия, и в результате прихо-
приходим к следующим простым формулам:
Fa = С, + (Т~х2 - Tnxi) h - (T?Xl - ТТ2Х2) 12,
Ba = C2 + Ci x г + [-i- (T?xl + T?x\) - TfoixA is. A6.13)
Отсюда получаем
Fi^a^ + a^ + FT, B°n = a, + a,*2 - a2x, - B°n\ A6.14)
где
х-Цг. A6.14')
На основании соотношений A6.11) — A6.14) имеют место формулы
-г рГт
1_vt-A+v)A-t)c2-2A+v)Cs-H- 77
L '1 J
Эквивалентное подкрепление отверстия при изгибе и скручи-
скручивании пластины «на бесконечности» . Жесткости эквивалентного
подкрепления отверстия в пластине, подверженной «на бесконеч-
бесконечности» изгибу и скручиванию, определяются из уравнений
КУхп = -В°, KWv = B°t. A6.16)
592
Так же, как и в случае плоского напряженного состояния, при
изгибе пластины со скручиванием квадратуры в выражениях для
главного вектора и главного момента вычисляются в общем виде
для произвольного гладкого контура. В результате имеем
F0 = С! + J Q°Vfrn da = С\ + [cs (м~ - МТ) -fcos 2уМЪ] I,,
В0 = cj + J (ЛО + F0 X t)ds = cj-f Cl X г -f
+ (Mfxi - MTiX,) li +\МТх2 - MuX\) i2. A6.17)
Отсюда следуют равенства
^^ A6.18)
где
Ь\ == Сз • ji, &2 = Сг • 12, &.ч = Ci • h;
[Щ^Щ}Т, A6.18)
На основании формул A6.11), A6.16) и последних соотношений
получаем следующие выражения для жесткостей эквивалентного
подкрепления отверстия в изгибаемой и скручиваемой «на беско-
бесконечности» пластине:
-(I -v
Av
Г ¦i MVl I со '
L м™ J
^'V=r r ^-^—'со ..Л.. i '—- A61
Об устранении неопределенности в формулах для жесткостей
эквивалентного подкрепления отверстий. Пусть край отверстия
в плоской Пластине подкреплен стержнем так, что выполняются
условия A6.1) при Куп 0. Разрешая систему A6.1) относительно
деформационных граничных величин, получим (при det К ф 0)
««»-§-, *«•-—?Ч *»*-!7' x<v = -f|-, 06.20)
20 В, В. Новожилов и др, 593
где
Вп =
^ ^ A6.20')
Деформационные граничные величины должны удовлетворять
условиям однозначности отвечающих им смещений и углов пово-
поворота на контуре dQ, а именно (см. A6.2))
{u}Sq = 0, {%}<ш = 0
или
$ § 0. A6.21)
da
Используя соотношения A6.8) запишем эти равенства в проекциях
на оси неподвижной декартовой системы координат. После неслож-
несложных преобразований находим
Ле Xtn-*2 ] "* «»
ea
да
да
[(г-1) -ли + (г• v) щу\ ds = 0; A6.22)
Vя*1
ea
ea
<6xtnds = 0. A6.23)
ea
Очевидно, что условия однозначности смещений и углов пово-
поворота A6.22), A6.23) распадаются на две независимые группы
равенств {A6.22)х, A6.22),, A6.23K} и {A6.22),, A6.23)^ A6.23J),
первая из которых соответствует задаче растяжения — сдвига,
а вторая — вадаче изгиба — скручивания.
594
Записывая формулы A6.20)!, A6.20J в виде
1 F'
1 X. . Xt В'п
Л» Лп Лц Лп
и подставляя определяемые этими формулами е«, xtn в первую
группу равенств, приходим к следующей системе уравнений отно-
относительно постоянных аъ а^, ай\
[ЩА la» 02, flsl® = [oi, «2, «si®, A6.24)
где
dQ dQ
ds
во ва
да да
да
ёЬ —^Л- <16-24'>
да
Записывая далее формулы A6.20)8, A6.20L в виде
да г— да
? Т7 ТГ 7 7
и подставляя и«, xtv во вторую группу равенств A6.22) — A6.23),
получаем систему уравнений для определения постоянных blt b2, bb:
\Ы [К Ь2< Ь8]® = [Pi, Pi, Psl®, A6.25)
где
дО
20* . 595
Напомним, что условия A6.24) и A6.25) должны быть выпол-
выполнены для любого подкрепляющего стержня. Вернемся к эквива-
эквивалентным подкреплениям, для которых выше получены соответ-
соответственно формулы A6.15) и A6.19). Жесткости этих подкреплений
сами зависят от постоянных ait Ь8, i ? 1 : 3, т. е., вообще говоря,
являются неопределенными. Можно предложить следующий (об-
(обратный) способ определения названных постоянных. Сначала из
физических и интуитивных соображений выбираются некоторые
значения постоянных такие, чтобы значения жесткостей стали
определенными, а затем при этих значениях жесткостей решается
система A6.24) или A6.25). Если решение соответствующей системы
совпадает с выбранными значениями постоянных, то все условия
выполнены и задача эквивалентного подкрепления решена. В про-
противном случае исходные значения корректируются. Обычно уда-
удается удовлетворить уравнениям A6.24) и A6.25) при нулевых зна-
значениях констант at, bit т. е. искомыми являются жесткости, опре-
определяемые формулами
ГУ — rv' д * ft'V — ^V" д п Hfi Ofrt
8« Ktn
КУ = кУ^-^~, КК-КГ *-¦%-. A6.27)
Пример 16.1. Рассмотрим плоскую пластину с круговым от-
отверстием радиуса г0, нагруженную «на бесконечности» усилиями
7Т = ТТ, ТХъ = 0.
596
Испольвуя параметры
- Xj. — r0 sin ф, j:, = r0 cos ф, ds
S = —-^- = —ССКф,
получаем
d"' 1 „2/pco О 1—V ~,eo
Отсюда в соответствии с формулой A6.26) t находим
СГ-t^V". 06.28)
Что же касается/Ci'", то этот параметр по формуле A6.26J опреде-
определен быть не может, так как внаменатель обращается в нуль.
Предположим, что К.У = const и обратимся к системе A6.24),
A6.24'); С учетом принятых допущений коэффициенты системы
имеют значения
= «81 = 0, ais = Ctj! = 0,
w^ — 1*2 — "» ^S ^p
П
и, следовательно, приходим к следующему решению!
Рассмотрим теперь формулы A6.15) непосредственно, не обра-
обращаясь к условиям однозначности A6.24). Имеем
/"•V ?
О-/Сл == ЯА (а3 + а^осозф — a2r0sin ф + -^-г1тТ). A6.30)
Известно, что НДС в равномерно растягиваемой «на бесконечности»
пластине является осесимметричным. Поэтому в формуле A6.30)!
естественно положить ах = Oj = 0, т. е. принять ее в виде A6.28).
Формула же A6.30J будет выполнена при любой жесткости Кп>
если дополнительно принять а3 — —A/2) т\ТХ- Таким образом,
мы пришли к решению A6.29).
Окончательно заключаем, что в случае равномерного растяже-
растяжения пластины с круговым отверстием «на бесконечности» имеет
место единственное условие эквивалентности подкрепления A6.28)
впервые установленное Е. Мэнсфилдом [2611.
597
Пример 16.2. Рассмотрим пластину, ослабленную эллипти-
эллиптическим отверстием и изгибаемую «на бесконечности» моментами
МX и Mf(Mi2 = О). Пусть отверстие расположено так, что его
контур задается уравнением
Г (ф) = r0 sin ф 1Х + Го V"l — В2 COS ф!а,
где е — эксцентрисистет эллипса.
Используя параметры
VI—8я sin2 ф ' 1/1 — еа sin11 ф '
ds = ГОУ 1-е2sin2ф ^ф,
на основании формул A6.18'), A6.19) и A6.27) находим
—n)cos2<p]
Нетрудно установить, что формула A6.31)! имеет смысл @ <
< Кч <°°) при
Обращаясь далее к формулам A6.25'), убеждаемся после элемен-
элементарного анализа (с использованием обобщенной теоремы о среднем
вначении интеграла), что все коэффициенты системы A6.25),
кроме ри, р*а2> р33, обращаются в нуль. Последние же не равны
нулю, являясь интегралами от положительных функций. Таким
образом b-i = Ьа = Ь3 = 0, т. е. формулы A6.31) обеспечивают
однозначность смещений и углов поворота.
Если рассматриваемая пластина подвержена «на бесконеч-
бесконечности» лишь действию скручивающих моментов М^ (МТ =
= М? = 0), то формулы для эквивалентного подкрепления
принимают вид
»-V _ /, vw r B-е») У 1-е»sin»q>
Л, - A - V) dofa 2УТ=7*
b-V /1 ь,\а r 2 У1 —8я yi —8я sinaq> соз2ф
Kt = A - V)doro e*+B-e*)cos2<p ~'
Очевидно, что формула A6.32)а имеет смысл лишь в случае круго-
кругового отверстия (в =0). Так как при .в =f= 0 всегда найдется значе-
значение ф, при котором внаменатель обращается в нуль (cos 2ф =
= -е2/B - е2)).
В случае кругового отверстия формулы A6.31) и A6.32) совпа-
совпадают с приведенными в работе [220].
598
16.3. КРИТЕРИИ ОПТИМАЛЬНОСТИ
ПОДКРЕПЛЕНИЙ
Энергетический критерий оптимальности. Приведенных выше
примеров достаточно, чтобы убедиться, что решение сформулиро-
сформулированных в п. 16.1 обратных задач не всегда существует. Однако во
многих случаях, когда нейтральное (а тем более эквивалентное)
подкрепление в виде тонкого стержня не может быть выполнено,
подкреплять отверстие все же целесообразно. При этом сущест-
существует, естественно, оптимальный вариант подкрепления, отвечаю-
отвечающий тому или иному критерию оптимальности. В качестве одного
из таких критериев можно рассматривать энергию дополнитель-
дополнительного НДС (У+), вызванного наличием подкрепленного отверстия
(выреза, среза).
Пусть \К 1 — множество допустимых вначений жесткостей
подкрепляющего стержня (область проектирования). Если на
подкрепляющий элемент не накладываются специальные ограниче-
ограничения, связанные с назначением конструкции, то [/С1 является
областью, в которой, прежде всего, выполняются соотношения
A6.1) (см. условие A5.1)).
Исходя из энергетического критерия, оптимальным естественно
считать подкрепление, определяемое матрицей жесткостей
min Lfo(K). A6.33)
В соответствии со сформулированными в п. 16.1 обратными вада-
чами будем различать А- и В-оптимальные подкрепления отвер-
отверстий (вырезов), обеспечивающие решение следующих вадач.
Задача А. Найти
min
— <J> (db - дЬ0)® (дх - дх°) dsA
да J
где db°, d%° — столбцы граничных величин в оболочке без отвер-
отверстия.
Задача В. Найти произвольные функции основного напря-
напряженного состояния fA fo), fA (ь) и матрицу жесткостей КА (st) €
? IK] такие, что
Lta{ft ft KA) = minl§
I dQ
Отметим два основных свойства сформулированных вадач
оптимизации.
1. Задачи оптимизации А я В всегда имеют решение.
Непосредственно из соотношений A6.1) и A6.5') видно, что функ-
функционал Lta (К) непрерывен на замкнутом ограниченном множестве
[/f J. Поэтому существует
inf Lta(K)= min Ua(K).
599
2. Если решение обратной задачи А или В существует, то оно
совпадает с решением соответствующей задачи оптимизации.
Пусть, например, найдена матрица жесткостей Kv ? 1К\ такая,
что условие A6.3) выполняется. Тогда (см. п. 16.1) LfQ (Kv)= О
и, следовательно, Kv является «точкой» глобального минимума
функционала.
Выше предполагалось, что эффектами, связанными с несовпаде-
несовпадением оси стержня и края оболочки, можно пренебрегать (т. е.
принимать 6 = 0). В противном случае задачи оптимизации явля-
являются, как правило, многоэкстремальными. Примером этому может
служить обратная задача, рассмотренная в п. 16.4.
Минимаксный критерий оптимизации. Одним из наиболее
часто используемых критериев оптимальности является макси-
максимальное эквивалентное (например, по гипотезе формоизменения
11491) напряжение. Использование этого критерия приводит к
следующей минимаксной задаче.
Найти
min max a3KJI \K, (a, p)J. A6.34)
КбГК] (a, Р)€й
(Обычно ограничиваются минимизацией максимального эквива-
эквивалентного напряжения лишь на подкрепляемом крае оболочки,
т. е. при (a, P) ?d?2.)
К решению задачи A6.34) приходят при использовании распро-
распространенного в машиностроении метода расчета на прочность по
допускаемым напряжениям. С позиций такого (традиционного)
подхода к выбору наилучшего подкрепляющего элемента легко
усматривается основной недостаток энергетического критерия —
он «не улавливает» резких изменений напряжений на краю отвер-
отверстия. Однако очевидно, что при быстроменяющемся вдоль контура
dQ НДС возникновение пластических деформаций в одной, наибо-
наиболее нагруженной точке границы, отнюдь не означает достижение
предельного состояния подкрепленного края в целом. Энергети-
Энергетический критерий характеризует как раз средний уровень напря-
напряжений вблизи отверстия и является, на наш взгляд, более достовер-
достоверной мерой напряженности этой части конструкции.
Вместе с тем, использование минимаксного критерия позволяет
более естественно сформулировать задачи оптимального подкрепле-
подкрепления узловых соединений из нескольких оболочек. Это достигается
включением в число функций максимума E1 ] значений эквива-
эквивалентных напряжений на сетке, содержащей точки, характерные
для всех сопрягаемых элементов, в том числе и самого подкрепляю-
подкрепляющего стержня (см. п. 16.6).
Сравнительный анализ энергетического и минимаксного крите-
критериев дан в п. 16.4 на примере растягиваемой «на бесконечности»
пластины.
ПКЭ и оптимизация подкреплений. Предположим, что инте-
600
грал уравнения A6.0J найден. Тогда можно считать известной
зависимость
дк+ = \дЬ\ A6.35)
где А — «оператор податливости» края du.
(В общем случае на основании соотношений A4.9), A4.13) и
A4.45) имеет место следующее формальное представление опера-
оператора А:
А = -^(ГА - ГА) (TiCDi + ?Л7Л>2ГЧ\)
С учетом соотношения A6.35) отыскание оптимального под-
подкрепления сводится к минимизации в области проектирования
функционала
§\db+dst, A6.36)
да
где
db+ = (/СА - /)-' {db° - дЬ' - К дур) A6.37)
(/ = diag(l, 1, 1, 1)).
Рассмотрим случай, когда в качестве дополнительного НДС
можно принимать ПКЭ. При этом имеет место соотношение
dbk = [O, 0, Bl FT A6.38)
и, следовательно, в эквивалентной матричному равенству A6.37)
системе скалярных равенств первые два — не зависят от ПКЭ,
являясь основными граничными условиями для подкрепленного
края оболочки. Эти (основные) граничные условия получены в
п. 15.4 и имеют вид
tf = (p,/?,/Cv - /Cvi.) (PiV? + Piaft,0,) - R'X = 0,
i|'2 = Kt -щ- (o/Pi,/? + о/Ри«) - b°t = 0. A6.39)
Два оставшихся уравнения приводят к следующим формулам
для определяющих параметров ПКЭ (см. A5.145)):
-2m
г п *- * — •
A6.40)
где
Рассматривая формулы A6.40) как систему уравнений относи-
относительно параметров а/, а;, и учитывая, что определитель этой системы
601
не равен нулю, из условий ом = aQ = О получаем af = оь = 0
или /? = 0, &? = 0. Далее из соотношений A6.39) с учетом послед-
последних равенств имеем 6, = bt = 0. Следовательно, выполнение
условий
Ъ°п = В°п - В'п + КпУЧп - КупХ« = 0,
tf = #_F?-C,e?, = 0. A6.41)
гарантирует отсутствие дополнительного НДС вблизи подкреплен-
подкрепленного края оболочки.
Рассмотрим оболочку вращения, подкрепленную по краю 0 = 00 кольцом
плавного поперечного сечения. Зададимся целью найти жесткости эквивалентного
подкрепления отверстия в предположении, что основным НДС является безмо-
ментное. С учетом оценок, выполненных в п. 15.6, эти условия имеют вид
В, = В\, В2 = В2, Вп = Веп,
F|. A6.42)
На основании соотношений A5.22), A5.150) и A5.183) первые три уравнения
A6.42) можно записать так:
гГик sin 0 = rQl
rT'Uk sin 0 = rQ
S'k-kTlkcosQ=Qlk-kQ'r>k. A6.43)
При k = 0 условия A6.43) принимают вид
Первое из этих равенств является условием равновесия кольца в целом, а второе
представляет собой ограничение иа внешнюю нагрузку.
Далее при k = 1 соотношения A6.43) переходит в условии равновесия кольца
в целом (см. D.173))
,* - Г,*, , cos 0 = <4 ,-<?.!•
И, наконец, при fe > 2 приходим к следующим условиям, накладываемым
на внешнюю нагрузку, практически сводящим иа нет возможность эквивалентного
подкрепления для этих случаев нагружении:
;,< 06.44)
Из последнего условия A6.42) находим
2 к.. - к. ~е+* к -«;. .и t^w
Ct {<рIЕЬг0).
602
В случав осесимметричиой нагрузки формула A6.45) принимает вид (см. B.55))
Ь—^S Цр
У2, 0 — vy 1, О
или (с учетом того, что T*t 0 = Q^ D/
A6.46)
В случае обратносимметричнои нагрузки формула A6.45) не имеет смысла, что
неудивительно, ибо при ее выводе были использованы соотношения A5.162) и
A5.183), справедливые при кф\. Однако, если рассмотреть непосредственно
задачу обратносимметричиого деформирования, основываясь на формулах
A5.177) и условиях податливости D.172), то придем и формуле (сравни с A6.46))
Qf .— Т\ ,cos9
*—^ ^ • 06-47)
7 2, I""V/I, I
Формулы A6.46), A6.47) следуют из соотношений, приведенных в справочнике
[150] (см. стр. 20, форм E0)), при аМл — а^ 0, Мва = 0, если учесть, что там
использовано обозначение Я, = ErJilCt.
Функционал A6.36) на основании соотношений A6.38), A5.138),
A0.130) можно записать в виде
(В*J] dst =
A6.48)
При рассмотрении конкретных вадач часто используют метод
разделения переменных. При этом интеграл A6.48) легко вычис-
вычисляется. Например, для оболочки вращения, ограниченной парал-
параллелью 0 = 60, имеем
j m*
а
V , l-v* л l\
>") "I з— <T*f-*J J
A6.49)
16.4. ПРЯМАЯ, ОБРАТНАЯ И ОПТИМАЛЬНАЯ
ЗАДАЧИ ДЛЯ СОСТАВНОЙ КОНСТРУКЦИИ
«ПЛАСТИНА—КОЛЬЦО—ПАТРУБОК»
В монографии [207] приведен расчет тонкостенной конструк-
конструкции, образованной сопряжением плоской растягиваемой «на бес-
бесконечности» пластины о расположенной к ней перпендикулярно
603
*)
Рве. 16.2
круговой цилиндрической оболочкой. На основании численных
расчетов установлено, что цилиндрическая оболочка мало снижает
концентрацию напряжений в пластине, в то время как в ней самой
появляются значительные напряжения. Поэтому ниже исследуется
названная конструкция при условии ее подкрепления в месте
стыка оболочки и пластины тонким кольцом прямоугольного
поперечного сечения (рис. 16.2). В отличие от рассмотренной
в работе [207] полубесконечной оболочки исследуется оболочка
конечной длины (патрубок) с произвольными граничными усло-
условиями на краю ? = |0 (Рис- 16.3).
Прямая задача для узлового соедииения «пластина—кольцо—
патрубок». Пусть пластина, растягиваемая «на бесконечности»
усилиями ТТ, 7Т (см. рис. 16.3), ослаблена круговым отверстием
радиуса г0. Введем безраз-
безразмерные полярные коорди-
^ef-^^ наты с полюсом в центре
/_^a_S^—r отверстия
¦--^
Лх = р, Л8 = г0р. A6.50)
В этих координатах'усло-
координатах'условия на бесконечности запи-
записываются в виде
Го — rAcos2<p,
= — rAsin2<p,
A6.51)
где
////// А;
Рве. 16.3
A6.52)
604
Для определения общего вида НДС в растягиваемой «иа беско-
бесконечности» пластине воспользуемся комплексным уравнениемA.173),
положив в нем D- = 0, рп = 0. Тогда придем к следующему бигар-
моническому уравнению:
относительно разрешающей комплексной функции Y, которую в
соответствии с формулами A6.51) будем искать в виде
Для отыскання функций ?ь (р) получаем следующие уравнения:
ДйАЛ?Л = 0, A6.53)
л _J!_j__LJ ?.
а* "" dp2 "г р dp р» '
Принимая во внимание, что
решение уравнения A6.53) ищем в виде ряда
Подставляя это выражение для Yfe в уравнение A6.53), получим
Л*Д*** - S [а?Ф* (!) + &?¦* (/K PZ-* = 0.
где
Фа(/) -(f-fe2) l(/-2)«-*«l,
фп (/) * l(/ - 2)» - &»] [2/ + (f - &2) In р ] + 2 (/ - 2 X
X (/• - &»).
Целочисленными корнями уравнений ср0 (]) =% (!) — 0 являются
/ = 0 и / = 2. Уравнение apft (/) = 0 при k Ф 0 целочисленных
решений не имеет, т. е. при k Ф 0 следует принимать &Jft) = 0.
Уравнение же apft (/) = 0 имеет корни
/ , } + 2.
Окончательно получаем формулы
+ С In p + 6iV In p,
605
на основании которых о учетом соотношений A.172), A.147) и
условий на бесконечности приходим к следующим выражениям
для усилий и моментов в растягиваемой пластине:
Гр = То + С2р-а + (Гд + Dsp + ?>4р-*) cos 2<p,
-а - (Гд + Dtf-*) cos 2<p,
~ Д«р-а + ?>4р-4) sin 2Ф,
Af р = A - v) с [dp + ( i^ ?>lP-a + Д,р-*) cos 2Ф],
Af, = _ (i - V) с [C1P-* + (T^T ?>lP-« + ?>2p-*) cos 2Ф],
Afp, = A _ V) с [4- Ар"* + Asp] sin 2Ф. A6.54)
Здесь Clt C2, Dt — Dt — произвольные вещественные постоянные.
Свяжем с контуром отверстия в пластине правую тройку ортов
{v, t, n} (см. рис. 16.3). Равновесие края пластины р = 1 опре-
определяется столбцом статических величин
где (с учетом того, что
Qvv = Тр |p=i,
(ер, v) = я)
ИЛИ
где
~- ''Т.*" (t^
Ft = г0 (То + Са) - -g" гп
-г0 A - v) с
A6.65),
A6.56K
- DJ COS 2ф,
-f ft) cos
2ф],
A6-56)а
(При получении последних соотношений учтено, что dst = —
и использованы формулы
В = —го J (Mvvt + Р х t) dip.)
606
Деформация края отверстия характеризуется столбцом величин
где
к« = *<р |p-i = — -g^- [С, + (D, + D2) cos 2Ф],
- 4$fD» ~ 2D«)
1±L
, I +v Г 1 —v
= е|1 =^т—
д + ТТ7 D* + D*) cos2ф]'
Нетрудно получить, наконец, следующие выражения для сла-
слагаемых, необходимых для учета в граничных условиях подкреп-
подкрепленного края эффектов от несовпадения граничного контура
отверстия р = 1 и оси кольца i
-1Ш-^^
F х xO-t = 6vXin - бпх„ = -^Q +
(^+^)--t?JlB7'a-tttd»-2D0]cos2(P-
A6.59)
Здесь использованы обозначения (см. рис. 16.2, б)
6 = 6vv +
В соответствии с формулами A6.51) в патрубке (который счи-
считаем свободным от поверхностной нагрузки) реализуется НДС
вида
(cos2ro
8Ш2ф> A6'60)
где § =—г[гд (см. рис. 16.3).
607
Для расчета патрубка воспользуемся методом расчленения
НДС на безмоментное и ПКЭ.При этом предполагаем, что оболочка
является достаточно длинной, чтобы не учитывать взаимное влия-
влияние ее краев. С другой стороны, известно, что погрешность без-
моментного решения, соответствующего по виду второму слагае-
слагаемому в A6.60), растет с увеличением длины оболочки. Ограничить
длину патрубка (/) снизу и сверху можно на основе следующих
рассуждений.
Взаимным влиянием краев патрубка в отношении ПКЭ можно
пренебречь, если выполнено условие (см. D.111))
Далее, между изгибными и тангенциальными напряжениями
безмоментного решения, зависящего от ф, имеет место зависимость
Так как погрешность ПКЭхарактеризуется пренебрежением вели-
величинами порядка Vhjra по сравнению с единицей, то НДС можно
считать безмоментным, если о*м ~ ]/7io/ro of,. На основании при-
приведенных оценок приходим к следующему ограничению на макси-
максимально допускаемую длину патрубка:
При этом погрешность безмоментного решения будет иметь тот же
порядок малости, что и величина (hjr(}K/2 по сравнению с единицей.
Итак, излагаемое ниже решение строится в предположении, что
длина патрубка удовлетворяет двустороннему неравенству
'-. 06.61)
Безмоментное НДС в цилиндрической оболочке при действии
краевой нагрузки вида A6.60) описывается соотношениями
77 = -у- яго& + (В[ - 2В2|) cos 2ф, S' = В2 sin 2q>, П = 0;
и* = -?- (В, + Вх? - Вг|2) cos 2Ф,
у* = -^-1 В4 + 2 [A + v0) В2 4- В3] 6 + В&2 - -|- В3|3 } sin 2ф,
шд*1|с и о д^ о I су MJ I a a ?j I су f л 1э I / о I til /^ 1 >• I
A6.62)
608
где ?„. v0 — модуль Юнга и коэффициент Пуассона материала
оболочки. (Для рассматриваемой внешней нагрузки на пластину
в формулах A6.62) следует положить jg2 г 0.)
Равновесие края | — 0 определяется совокупностью величин
(см. рис. 16.3)
Ми Q; » 7iei + Se2 -f- QUlen -^ — 7\n ~St - Qu,v.
Вычисляя с помощью формул A5.161) главный вектор
и главный момент
получим
t• F' = /¦„<?„ - y г„ \Qt - 2St @)] cos 2<p,
v B' = —r0M0 + 3- r0 [Мг + r0Tu 2 @)| cos 2ф,
t • В' • - 4"r» [2Mi + T r»Tu2@)] sin 2Ф,
где nB=g^|2QoSa@)|cos2(f. A6.63)
С учетом соотношений (см. A0.90))
Qvv Tl ~ ~ ~W = Г" Qvt " 5 + ~di~ = S
и вытекающих из них зависимостей
Г,, 2 @) = Г Г. 2 - -?- М2, 52 - S2* @) + 2Q2
формулы A6.63) принимают вид
t- F' = /¦„<?„ + -1 г„ C0, + 2В2) cos 2(P>
V- В' - — г„/И„ -f 4" г» (—ЗМ, + rufi.) cos 2ф,
. A6.64)
Деформация нормального элемента края | = 0 с учетом соот-
соотношений
и = и\ v = v*, w = w*-\-wk, $ = $*-{-№
609
определяется величинами
X't = Н2 = —Х2в1 -f- X2ie2 — И2„П, Е« =^= 825
¦*—¦
г 1358 + 2 B + v0) B2]} sin 2Ф,
L
где введены обозначения (при 6 « 0)
Эффекты, связанные с несовпадением оси стержня и граничного
контура цилиндрической оболочки I == 0, учитываются в гранич-
граничных условиях подкрепленного края путем сохранения в них сла-
слагаемого, связанного с вектором
т' = — -у-Vo [(& — 4-&cos2<p) v +-|-& sin2«pt].
(Здесь учтено, что 6' йй-^
Условия сопряжения пластины и патрубка можно записать в
виде (см. A5.55))
—х, = xt, е„ + [F - 6') X t) • t =
—/Cvx« = 5V - В'-v
= Bt - BM + ( И,
A6.66)
Рассмотрим последовательно осесимметричное (k = 0) и само-
самоуравновешенное (& == 2) НДС в сопрягаемых пластине и оболочке.
Подставляя в граничные условия A6.66) не зависящие от <р
слагаемые соответствующих величин из формул A6.56) — A6.65)
и принимая во внимание, что векторное равенство щ = X/ экви-
эквивалентно следующим трем скалярнымг
Х« = — «an» *tv = —*»» Х*п = — >«а, A6.67)
610
получим
»« = -Eh К1 - v) Г. - A + v) CJ - w' (\~ 2т>о)r» Clt
0 ЯЛ5" 1г
A6.68)
где использованы обозначения
Стоящие в левых частях формул A6.68) параметры ПКЭ связаны
условиями податливости (см. D.112))
ш0 = auQ0 — аиЛГ0,
«0 = —a12Q0 + амМ0. A6.69)
Замечание 16.1. Если пренебречь эффектами от несовпадения оси стержня с гра-
граничными контурами оболочки и пластины (т. е. отбросить подчеркнутые в A6.68)
слагаемые), то после несложных, но достаточно громоздких преобразований из
системы A6.68) н A6.69) получим
г. _ С± -2/т»б«
. - С, __ А [A -у) % - 1] - A -у)/т»б«
2~ Т,
— v 2
Коэффициент концентрации напряжений в срединной плоскости пластины
можно определить формулой
^± 1-СИХ, Ц. б).
Отсюда на основании формул A6.70) получаем, что:
при отсутствии оболочки (о ->- оо)
в случае абсолютно жесткой оболочки (б -»- 0) илн кольца (X, ц -*¦ оо)
2v
*o = j-^ (»0,46 при v = 0,3),
при непосредственном сопряжении пластины с оболочкой
ka = 2 [l - (l + v + A - v) m*& + 2тб |/"^
611
Из последней формулы при б ~ 1 следует, что ka « 2, т. е. патрубок практи-
практически не ослабляет концентрацию напряжений в пластине. Это объясняется тем,
что при осесимметричной деформации рассматриваемой составной конструкции
¦«работает» лишь небольшая часть дли ны патрубка в зоне действия ПКЭ, протя-
протяженность которой имеет порядок величины V^o/to In /
Исключая из соотношений A6.69) параметры ПКЭ с помощью
формул A6.68) и вводя обозначения
*i- —, *2-—, х8- — , Ci- —> °Ь-7Г' A6'71)
получим следующую разрешающую систему алгебраических урав-
уравнений осесимметричной деформации рассматриваемой составной
конструкцию
!=Cl»
= c2, A6.72)
где
о, . 2ma / I
A6.73)
Так как ПКЭ у края патрубка 5 — Ёо — —^/го рассматривать
нет необходимости, то для определения зависящей от ф части
НДС в составной конструкции достаточно иметь на этом крае два
граничных условия в терминах безмоментных величин. Также гра-
граничные условия всегда могут быть сформулированы вследствие
выполненного в главах 10 и 11 расчленения граничных условий,
в том числе условий упругого сопряжения с оболочкой и с кольцом
жесткости. Ниже для определенности рассмотрен простейший вид
612
граничных условий на краю | = ?0 — граничные условия свобод-
свободного края
откуда следует, что Вх = В2 = 0.
Подставляя в условия A6.66) граничные величины, соответст-
соответствующие зависящей от ф части НДС, и присоединяя к полученным
таким образом уравнениям условия податливости края патрубка
I = 0»
получим систему десяти алгебраических уравнений относительно
неизвестных ш2, Оа, Ма, Q2, Bs, Btr Dx — Dt. Путем исключения
первых шести из этих неизвестных названная система может
быть приведена к следующей разрешающей системе относительно
четырех неизвестных:
ldu(x, v)][Du D2, Di, D'tf = ldu da, d», (kf, A6.74)
где
D'{ = ?r-, x = [xu xt, xs], v = [vu w2];
, 2m*
1 \
y- x2 - хг) - ©л,
4 —J- «l
2ma 2m 2ma
1—v/j 2m \ j v«iX. . 4 m3
o, /1 + v . 3 — v
~ ^ ("Г" + ~6~ Xl
= ^42 = 0, d43 = -g- f
= —d14 - 2A + v) ©л - -g- «!,
613
Обратная задача осесимметричной деформации узла «пла-
«пластина—кольцо—патрубок» . При сопряжении нескольких (N) обо-
оболочек через кольцо жесткости, последнее, как правило, не может
быть нейтральным для всего узла в целом из-за переопределенности
системы уравнений (см. A5.55), значок (X) опускаем)
2 (дь™ •+4° °) - *
# A6.76)
относительно искомых независимых параметров матрицы /Cv и
компонент векторов 8<f>, i ? 1 з АЛ Поэтому для такого типа
конструкций рациональным может оказаться подкрепление, ней-
нейтральное (эквивалентное) для какой-либо одной оболочки (пласти-
(пластины), «ответственной» за несущую способность узла в целом. Так
как рассматриваются лишь тонкие кольца, то для конструкций,
изготовленных из материалов с близкими механическими свой-
свойствами, выборочное нейтральное подкрепление, как правило, не
приводит к значительному увеличению напряжений и в остальных
сопрягаемых элементах. Сказанное проиллюстрируем на примере
обратной задачи осесимметричной деформации узла «пластина—
кольцо—патрубок».
Найдем размеры и расположение кольца, обеспечивающие
отсутствие концентрации напряжений в пластине, изображенной
на рис. 16.3, при 7Т — ТТ ~ Та. Концентрация напряжений
в пластине при k =» 0 связана с постоянными Clt C2 (см. A6.54))-
Полагая в формулах A6.68) С» = Са = 0 и учитывая соотношения
A6.69), получим следующую систему уравнений, связывающую
параметры w0, Mo, Qo> К "Чъ, По1
w ljj^T Mo = ЦоГо - -g-IbQo, Qo = 11 - A - v)b] Го,
^ ^ A6.77)
614
Исключая из этой системы параметры ПКЭ цилиндрической обо-
оболочки, получим условия эквивалентности подкрепления кругового
отверстия в пластине кольцом с присоединенным к нему патрубком!
A6-78)
При отсутствии патрубка (Ло= 0) из условий A6.78) следует
формула Мэнсфилда A6.28) для жесткости эквивалентного под-
подкрепления кругового отверстия в пластине при ее всестороннем
равномерном растяжении. При этом из соотношения A6.%78)!
видно, что наличие патрубка с толщиной h0 ~ h вносит в формулу
Мэнсфилда незначительные изменения.
Формулы A6.78) однозначно определяют лишь жесткость
кольца при растяжении. Расположение же кольца относительно
срединной плоскости пластины (ц0) зависит от принятых при этом
размеров поперечного сечения (ЛгЛа = const). Если условия экви-
эквивалентности выполнены, то всюду в пластине имеют место напря-
напряжения
а°р = а% = 1±.Аа°. A6.79)
НДС в цилиндрической оболочке определяется первым и двумя
последними равенствами системы A6.77) и, следовательно, никак
не связано с неоднозначностью выбора параметров хг, х3, обеспе-
обеспечивающих выполнение условий эквивалентности подкрепления
пластины A6.78). На основании названных уравнений системы
A6.77) имеем
A6.80)
Полные напряжения подсчитываются по формулам (см. A0.129))
Омх = ам (cos b\ — sin Щ) ebl + -j^-aQ sin b%eblt
ат, = -^г OqCOS b\ebl — -j^aM(cosft? — sinft?) e%
ом, = voMt, aTl = 0, ft = mYro/hr A6.81)
Из соотношений A6.80), A6.81) получаем следующие значения
главных напряжений на краю патрубка I = 0:
at = (ат, ± vaMl |g-o = l*+f a .
615
В частности, при v = 0,3 отсюда следует
а?1 = d=l,27a", at = 1,15а°, аТ ¦= 0,39а".
Растягивающие напряжения в кольце определяются соотноше-
соотношением
о? = Е (ги + M«n
или согласно формулам A6.58) при Ci = С2 = 0:
С г» О /1 \ О
а, = ?е„ = A - v)o .
Таким образом, эквивалентное подкрепление пластины приво-
приводит 'к практически равнонапряженному состоянию всего узла
в целом.
Оптимальное подкрепление узлового соединения «пластина—
патрубок». Необходимым условием отсутствия концентрации
напряжений в пластине в условиях неосесимметричной деформа-
деформации является равенство нулю правых частей уравнений A6.72)
и A6.74). Таким образом, эквивалентное подкрепление пластины
кольцом, сопряженным с цилиндрическим патрубком, сводится
к обеспечению совместности шести нелинейных алгебраических
уравнений за счет трех параметров *,, х.2, х<л @ ^ xt <? 1), что вряд
ли возможно. Принимая во внимание громоздкость названных
уравнений, естественно пойти по пути численного определения
наилучшего для пластины подкрепляющего кольца.
Рассмотрим задачу об отыскании наилучшего в смысле энергети-
энергетического критерия оптимальности (см. A6.33)) кольца постоянного
прямоугольного сечения. В соответствии с формулами A6.5б)а
и A6.58) названный критерий определяется соотношениями
2я
= -r, f
Лр = -^ A/, + (/,), AS.82),
где Ch Dj вычисляются соответственно из систем A6.72), A6.74).
Область проектирования IX 1 следует ограничить прежде всего
условиями применимости для стержня гипотезы жесткого контура
и в простейшем случае для рассматриваемой задачи можно принять
в виде
<*я«1, A6.82)я
1/2(^,-0,).
616
0,25
0,5 0,5
\y
/
Рис. 16.4
Таким образом, выбор оптимального подкрепления сводится к
решению следующей задачи нелинейного программирования:
Найти xv = arg min Ub (x). A6.83)
В качестве примера рассмотрим конкретную задачу оптимального подкрепле-
подкрепления при таких исходных данных:
т = 77/77 = 0,5.
= 0,7571°. Г д = 0.2577°); у =A/30; 1/30);
[XI =
A6.84)
0<*.,<0.3,
—О.Ъхг <
Для решения задачи A6.83) использовался метод (е. ц) — наискорейшего спуска
[5t ]. Процесс поиска локального минимума прерывался, как только разность
между значениями функции L<ie (х) в предыдущей и последующей наилучшим
(по соответствующим направлениям спуска) точках становилась меньше наперед
заданного числа, а именно
В качестве глобального минимума принималась повторяющаяся точка локального
минимума (**) при разных начальных точках поиска (х°). Результаты вычислений
приведены в табл. 16.1. На рис. 16.4 и 16.5 показаны эпюры главных напряжений
Табл
/
1
2
3
4
5
и ца 16.1
@,15; 0,20; 0,01)
@,16; 0,25; 0,03)
@,10; 0,20; 0,01)
@,12; 0,25; 0,01)
@,20: 0,15: 0,01)
@,125; 0,30; 0,0192)
@,126; 0,30: 0,0194)
@,125;'0,30; 0,0192)
@,125; 0,30; 0,0193)
@,126; 0.30. 0,0191)
0,11056
0,11057
0,11056
0,11057
0,11058
617
\
\
\
\
\ \
1 ^*--.
2 с
Г ,
?
1,5
1,0
0.5
Рис. 16. б
у внешней поверхности пластины (ар/а°, аф/сг°, а°= 7"J°/ft) и оболочки (а,/сг°
о/а°) при ф=я/2. Для сравнения рассмотрены подкрепления х=х°3)( ),
*=*C)( )• а также случай непосредственного сопряжения пластины с
оболочкой х = 0 ( ).
Прежде, чем перейти к рассмотрению оптимального подкрепле-
подкрепления узлового соединения с позицией минимаксного критерия
(см. A6.34)), проведем сравнительный анализ энергетического и
минимаксного критериев на примере растягиваемой «на бесконеч-
бесконечности» пластины с круговым отверстием, подкрепленным тонким
стержнем [102].
Предположим, что ось кольца, расположенного симметрично
относительно срединной плоскости пластины, совпадает с контуром
отверстия. Тогда, полагая в формулах A6.73), A6.75) х3 = v2 =
— 0 и отбрасывая слагаемые, содержащие лишь один варьируемый
параметр хг или х2, приходим к следующему решению системы
A6.72), A6.74):
_
C + v) X + 1 Л
;х = dx = Da = о.
A6.85)
(Формулы A6.85) получены упрощением несколько более гро-
громоздких соотношений [102]. Названное упрощение эквивалентно
замене граничного условия Вп -f- KnKtn = 0 на условие Вп «
« 0, что связано с простым фактом: изгибная жесткость тонкого
кольца пренебрежимо мала по сравнению с жесткостью пластины
при ее изгибе в своей плоскости.)
618
Пренебрегая слагаемыми порядка r\fr0 по сравнению с единицей,
получаем следующую формулу для напряжений в кольце;
\ Т Т
at = Е (е« ± Б™"***!») « ^
т. е. максимальные напряжения в рассматриваемой конструкции
реализуются в пластине (а не в кольце).
Рассмотрим функции
Стэкв (Х'т'ф) \
= max
1^-{ТТ)\ A6.86)
где
Используя соотношения A6.54), A6.82)t и A6.85), находим
ЫК ч?)= max
П —(i—у)Х]»A+т)» , 12X41—
' ; [l + (I+v)X]« "" [l
Далее предполагаем, что Я. удовлетворяет неравенствам
я-?, A6.88)
т. е. выполнено усредненное условие того, что стержень является
тонким (а — допускаемая погрешность). Согласно рассматривае-
рассматриваемым критериям подкрепление %t оптимально, если
= arg min kt(h, <e). A6.89)
Из соотношений A6.87) следует, что
?эЮ.(А., •, ф) = 4^,0, (Я,, **, ф + Я/2),
Поэтому A,j (т) = Xt (тг1), и критерии й4 (Я,, <г) достаточно исследо-
исследовать при —1 < <в < 1. Результаты вычислений представлены на
619
рис. 16.6 и 16.7. При этом на рис. 16.7 показана зависимость опти-
оптимальных жесткостей Я,< от параметра «в = Т?/Т?, а на рис. 16.6 —
коэффициента концентрации эквивалентных напряжений kx —
— max cr8KB от «о при 31 = Я,о (сплошная пластина), Я, = 0 (непод-
ф
крепленная пластина), Я, = Я^,, Я, = Я,я (оптимальные подкрепле-
подкрепления).
Элементарный анализ графиков, изображенных на рис. 16.6
и рис. 16.7, показывает, что:
для быстроменяющегося вдоль контура отверстия НДС (и <
< 0,8) предпочтительней подкрепление Я,г, требующее при большем
снижении концентрации напряжений меньших затрат материала;
для медленно меняющегося вдоль контура напряженного сос-
состояния (т « 1) несколько предпочтительней использовать подкреп-
подкрепление Я^.
Замечание 16.2. На практике часто используют равнообъемное
подкрепление, которому соответствует кольцо, изготовленное из
такого же объема материала, какой изъят из пластины (оболочки)
в месте выреза. Равнообъемному подкреплению отвечает относи-
относительная жесткость Я,* = 0,5. Из рис. 16.6, 16.7 видно, что при
любых значениях % такое подкрепление в рассмотренной задаче
является оправданным С.
И, наконец, отметим, что проведенный выше на частном примере
сравнительный анализ энергетического (интегрального) и мини-
минимаксного критериев не является исчерпывающим даже для рас-
рассмотренной конструкции. Достаточно сказать об упругопласти-
ческой деформации, исследование которой полностью осталось
за рамками этой книги.
Перейдем теперь к обсуждению оптимального подкрепления
узла «пластина—патрубок» на
основе минимаксного критерия.
Как и выше варьируется жест-
жесткость кольца прямоугольного попе-
1,0
0.5
-1
ft
/л,
/ ?
Рис. 16.6
-1 0
Рис. 16.7
620
речного сечения, однако
используются иные, бо-
более удобные в этой зада-
задаче параметры оптимиза-
оптимизации [201] (сравни с
A6.71))
Ло —
hr0
\V
\
^—¦
0 0,5
1.5 0.5
\
\
x,=0,3
7
A6.90) 1
На рис. 16.8 приве- 1
дены графики, иллю-
иллюстрирующие зависи- Рис. 16.8
мость максимального
эквивалентного (по энергетической теории прочности) напря-
напряжения
тах
ф)
max
Ф) Л
A6.91)
при одноосном растяжении (т = 0) в пластине (сплошная линия)
и в патрубке (пунктирная линия) от каждого из параметров ?t
при фиксированных значениях двух других параметров и следую-
следующих значениях управляющих параметров: 0, = 1/30, й2 = 1
(v = 0,3).
Из этих графиков видно, что напряжения в пластине и оболочке
зависят в основном от площади сечения кольца (jfx) и от его распо-
расположения относительно срединной плоскости пластины (?а). Как
и следовало ожидать, для снижения концентрации напряжений
в пластине кольцо необходимо несколько сместить в сторону,
противоположную расположению патрубка. Соотношение размеров
сечения (?2) при фиксированной площади мало влияет на напряже-
напряжения в пластине и оболочке.
Рассмотрим множество
[X] = {* =
0,
где
:6}, A6.92)
(*) = *, - б2; hb (&) = —ta - 0,5; h, (X) = *,
0,5. A6.93)
621
Если в качестве а в A6.93) принять асимптотическую погреш-
погрешность ПКЭ (а = Vhjr<), то получим Л2 (Л) = ?г — й2.
Границы (бг, б2) области изменения параметра ?2 (бг <; ?2 -<
¦^ б2) следует принимать такими, чтобы соответствующий стержень
не вырождался в кольцевую пластину или в очень короткую цилин-
цилиндрическую оболочку. Первые четыре ограничения в A6.92) обеспе-
обеспечивают выполнение усредненного условия о том, что стержень
является тонким. Пятое и шестое неравенства естественным обра-
образом ограничивают область изменения параметра ?3.
Считая, что пластина является основным несущим элементом
рассматриваемой конструкции, примем в качестве целевой функции
максимальное эквивалентное напряжение на контуре отверстия.
Приближенно в качестве максимального напряжения на контуре
можно принять максимальное напряжение на достаточно густой
сетке точек этого контура. Тогда задача оптимального подкрепле-
подкрепления узла «пластина — патрубок» может быть сформулирована
следующим образом:
Найти je* = arg min max kf (Л). A6.94)
'»*
Здесь
(Верхний знак (±) соответствует напряжениям на внешней по-
поверхности пластины, нижний — на внутренней по отношению
к нормали п).
Задача оптимального подкрепления A6.94) является обобщенной задачей
нелинейного программирования [51 ] с линейными ограничениями на параметры
оптимизации (см. A6.92), A6.93)). Функция максимума max kj- (&), i ? 0 : N
суть непрерывная, дифференцируемая по любому направлению, вообще говоря,
невыпуклая функция. Ее стационарные то чки, т. е. точки, в которых выполняются
необходимые условия минимакса, могут быть найдены, например, при помощи
метода (е, ц,)-наискорейшего спуска [51 ].
В табл. 16.2 и 16.3 приведены результаты вычислений для
разных значений управляющего параметра wa = hjh:
оптимальных значений параметров подкрепления ?*;
максимальных эквивалентных напряжений на контуре отвер-
отверстия в пластине и на краю патрубка | =0 при St = Л*;
максимальных эквивалентных напряжений на краях пластины
и патрубка при их непосредственном сопряжении (ix = 0).
При этом использовались следующие исходные данные: v = 0,3;
0Х = 1/30; 8Х = 0,3; б2 = 2,0; W = 30.
622
Таблица 16.2. t = О
ь
0,25
0,5
0,75
1,0
1,25
1,5
1,75
2,0
Ч
0,36468
0,34844
0,33366
0,31871
0,30071
0,27901
0,25338
0,22393
Ч
0,3
0,3
0,3
0,3
0,3
0,3
0,3
0,3
ч
0,01998
0,04667
0,06917
0,08903
0,11078
0,13661
0,16769
0,20457
max fe± B
пластина
*= je*
1,51241
1,51457
1,51897
1,52179
1,52344
1,52394
1,52370
1,52298
Жх=О
3,24306
3,19995
3,00844
2,80437
2,60959
2,42863
2,26256
2,11135
патрубок
ж=ж*
2,69269
2,04087
1,36953
0,94469
0,86792
1,21614
1,12855
1,07649
Ж1=0
4,23321
3,05733
2,74636
2,55923
2,40208
2,25761
2,12264
1,99556
Замечание 16.3. Свизь между параметрами A6.90) и A6.71) определиется форму
лами
-^-. A6.95)
Сравним значении параметров оптимальных подкреплений, найденных для слу-
случая т= 0,5 по энергетическому (*?,]„) и минимаксному (х^,п тах) критериям.
В соответствии с табл. 16.1 и 16.3 для Йа = hjb = 1 с учетом формул A6.95)
имеем
@.082; 0,273; 0,016).
Отсюда следует
С,„= 1.125,
"mln max :
= 0,672,
что качественно согласуется с результатами сравнительного анализа интеграль-
интегрального и минимаксного критериев, проведенного иа примере растягиваемой пластины
с круговым отверстием.
Таблиц
~~b
0,25
0,5
0,75
1,0
1,25
1,5
1,75
2,0
a 16.3. t
= 0,6
>
0,75946
0,72928
0,7001
0,67235
0,6464
0,62268
0,6
0,57806
3f
0,3
0,3
0,3
0,3
0,3
0,3
0,3
0,3
A
0,01080
0,02795
0,04527
0,06033
0,0733
0,08540
0,09787
0,11142
шах
пластина
1,18383
1,18333
1,18291
1,18264
1,18246
1,18224
1,18196
1,18142
*=0
2,70355
2,70096
2,56696
2,41804
2,27379
2,1381
2,01198
1,89565
"экв
патрубок
X = X*
1,86540
1,69660
1,43353
1,14258
0,94438
0,66019
0,49429
0,3812
*,= 0
3,65629
2,61576
2,35255
2,20957
2,09347
1,98743
1,88717
1,79148
623
16.5. ОПТИМАЛЬНОЕ ПОДКРЕПЛЕНИЕ
КРУГОВОГО ОТВЕРСТИЯ
В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКЕ
Расчет дополнительного НДС вблизи произвольного отверстия
в цилиндрической оболочке. Рассмотрим круговую цилиндриче-
цилиндрическую оболочку с отверстием произвольной формы, но таким, чтобы
О < ro/V~2cR < 3,5 -г- 4,5. A6.96)
Здесь г0 — характерный размер отверстия, R ~ радиус оболочки,
с = hlV\2(\—v2). В этом случае дополнительное НДС может
быть описано однородным уравнением A0.13), которому, вводя
обычные для цилиндрических оболочек координаты (см. рис. 16.3)
можно придать вид.
+ 4Й A6.97)
где
д*
a-i^ifr, b**m]/^f, т = т/3"(Г=^).
A6.98)
Следуя А. И. Лурье |80|, построим решение уравнения A6.97)
в безразмерных (полугеодезических) координатах р = r/R, 9,
связанных с координатами срединной поверхности оболочки соот-
соотношениями
5 = р cos в, ф =. р sin в. A6.99)
Рассмотрим уравнения
Att», -)- 2t'a -тяг- = 0. Awz~ 2ia-rc-— 0. A6.100)
Очевидно, что функция о» » а», л- w% является решением уравне-
уравнения A6.97). Подстановками
оба уравнения A6.100) приводятся к уравнению Гельмгольца
)_.О. A6.101)
Переходя теперь от координат (!, <р) к полярным координатам
(р, в) и разделяя переменные в уравнении A6.101), получаем
уравнение Бесселя
624
общее решение которого можно представить в виде следующей
линейной комбинации функций Бесселя (/„) и функций Ханкеля
1-го рода (Н™);
Ф& = сцН{? («р) + a2Jn (ар).
Окончательно общий интеграл уравнения A6.97) можно записать
так:
(ар)],
A6.102)
где cJ/\ dJ/} — комплексные произвольные постоянные.
При больших значениях аргумента ар имеют место следующие
асимптотические формулы для цилиндрических функций /п и
(ар) =
Учитывая, что функции Бесселя с ростом ар неограниченно воз-
возрастают, для выполнения условий затухания дополнительного
НДС следует в A6.102) положить dj,° =0, i = 1, 2.
Используя далее формулу [176]
оо
屫6 = е±ор cos e = 2 »±"е|пвУп (ар),
решение A6.102) (при di° = 0) можно представить в следующем
удобном в вычислительном отношении виде:
00
да = % + w, = 2 [afc (p) cos Afl + 6fc (p) sin Щ, A6.103)
где
ак (р) = ehf* 2 [Мi1» + (-1)* Afi2)] Я»,4 (ap) [/„+* (ap) +
п=0
21 В. В. Новожилов i др. 625
(P) = ehi*+1 2
n=0
1 при
A6.104)
Усилия и моменты дополнительного НДС выражаются через
функцию w по формулам (см. A0.14))
с Ehc
Ehc д*
A6.105)
Предположим, что главный вектор и главный момент приложен-
приложенных к контуру отверстия внешних сил равен нулю, т. е.
{F}aB = 0, {В}ав = 0, A6.106К
и что отсутствуют дислокационные (по Ляву) смещения, т. е.
= 0, {и}ао = 0. A6.106),
В терминах комплексных граничных величин F.183) условия
A6.106) можно записать так:
с (~ 7 ~
ivds< = 0, Ф I AfVvt+ J Qvds't X tj = O. A6.107)
да \ s. '
Можно показать [93, 201 ], что равенства A6.107) выполняются,
если на произвольные постоянные наложить условия
2 (М'пи-М^) = 0. A6.108)
Дополнительное НДС вблизи кругового отверстия. Пусть ци-
цилиндрическая оболочка ослаблена круговым отверстием, край
которого в полярной системе координат (р, 9) задается уравнением
р = р0 = const. В этом случае, как известно, для определения
произвольных постоянных может быть использован метод рядов
Фурье. Представляя параметры дополнительного НДС и гранич-
граничные величины в виде рядов A6.103) и сравнивая коэффициенты
при одинаковых тригонометрических функциях, придем к беско-
бесконечной системе алгебраических уравнений относительно постоян-
постоянных M\l\ Nn\ / = 1,2. Важная особенность полученной таким
626
образом системы уравнений состоит в том, что она, как правило,
является вырожденной. В работе [201 ] приведены соотношения,
позволяющие исключить из названной системы зависимые уравне-
уравнения для граничных условий, формулируемых в усилиях dq.
Рассмотрим этот вопрос подробнее. Введем обозначения
si2)>
fe=0
smkQ};
cos fee +
i«. /f >) sin
A6.109)
Пусть на краю р — Po заданы значения кирхгофовских граничных величин
dq = dqe — dq° = 5^. Раскладывая <f<? в ряд Фурье по cos k% (sin fe9) и учитывая
соотношения A6.108), A6.109), получим для определения произвольных постоян-
постоянных систему следующего вида:
2,...;
2);
n=0
-M^2)) = 0. A6.110)
Для выявления линейно зависимых уравнений в системе A6.110) запишем
условия A6.107) с учетом соотношений A6.109)!,,. Проектируя векторные равен-
равенства A6.107) иа оси неподвижной декартовой системы координат {ех, еу, ег)
с помощью следующих формул пере-
перехода (рис. 16.9): Z
v = ex cos у + еу sin у cos q> —
— е^ sin у sin ф,
t = —ех sin у + еу cos у cos ф —
— е^ cos у sin ф,
п = еу sin ф -f *г cos ф, A6.111)
и отделяя в соответствующих скаляр-
скалярных равенствах вещественные н мни-
мнимые части, получим
Рк. 18.8
21
627
) = O; A6.112)
-f q» = 0, si" - <i« + prfi» - 0,
«ia) - Po«ia) + 4" Po № - «i11 + 'i*' - »i2') = °«
«in -Р<МП + 4" P» (M1' -3<i1J + 4" + 4") - 0. A6.113)
На основании A6.112) ваключаем, что система A6.110) содержит пять линейно
вависимых уравнений.
Пусть край отверстия р = р0 подкреплен тонким упругим стержнем. Гранич-
Граничные условия подкрепленного края для дополнительного НДС можно записать
так:
db + dq-К(дх + dK) = дЬ' — дЬ°+К (дх° + <%)-<%. A6.114)
Используя обозначения A6.109) бесконечную систему уравнений, соответствую-
соответствующую граничным условиям A6.114), записываем в виде
2 (M^-AfWj-O, fe = 0, 1, 2,...; /=1, 2. A6.115)
=—oo
Здесь u\l\v\l\ w^ — коэффициенты Фурье компонент вектора
SDl=. J [(в х Qv)'t]tdst:
(9RV, «,, алп)= s {D", ,''>. 41>)cosfe9 + D2), ^>, ^))sinfe9}.
4=0
Граничные условия A6.114) допускают предельные переходы н граничным
условиям неподкреплениого края
эквивалентным условиям A6.110), и к граничным условиям абсолютно жесткого
края
Э>е = —дк°.
628
Соответствующие этим предельным случаям подкрепления бесконечные системы
уравнений имеют вид
0, (fe = 0, 1. 2,...; /=1, 2).
A6.117)
Линейно зависимые уравнения системы A6.117) можно исключить, используя
равенства A6.113), представляющие собой условия отсутствия дислокационных
смещений.
Для выявления линейно зависимых уравнений в системе A6.116) потребуем
равенства нулю в формулах A4.23) для дополнительного НДС слагаемых типа
жестких смещений Fo, Во. Тогда придем к следующим соотношениям f201 ],
позволяющим исключить линейно зависимые уравнения из системы A6.116):
Вх @) = С|'> - В,A) = 0, Bz @) = Z)<» - 0,
Fx @) a D™ + pofB) = о, Fy @) ее D'1» + POF<'> = 0,
Fz @) = C™ —|-Po^2) + 4 pof22> = °- A6Л 18>
Аналогично устанавливается связь между коэффициентами и^\ v^\ w%\
Соответствующие уравнения следуют из первых трех равенств A6.118) путем
ваивнш
Линейно вавнснмые уравнения в системе A6.115), соответствующей общему
случаю граничных условии подкрепленного края A6.114), вытекают из системы
A6.118) при замене
4" - *1". Ф - М». W - ^». Пл - il". 06.119)
(В справедливости последнего утверждения можно убедиться непосредственной
проверкой. Возникающие невязки не превосходят погрешность используемых
уравнений.)
Оптимальное подкрепление кругового отверстия. После выде-
выделения зависимых уравнений A6.112), A6.113), A6.115) — A6.118),
A6.119) уже нет препятствий для получения усеченной системы
алгебраических уравнений на базе соотношений A6.103), A6.105),
A6.115). Эти уравнения являются громоздкими, малообозримыми
и поэтому здесь не выписываются. Остановимся лишь на некоторых
деталях, имеющих непосредственное отношение к задачам оптими-
оптимизации подкреплений, а затем перейдем к изложению наиболее
интересных результатов, полученных в работе [201 ].
Предположим, что край отверстия подкреплен тонким прост-
пространственным кольцом, ось которого параллельна контуру dSl.
Для определенности считаем, что кольцо вырезано из цилиндриче-
629
с кой трубы толщиной % и имеет
следующее уравнение внешней по-
поверхности в декартовой системе
координат:
X = Р.% = Го COS 0,
у = R sin ф » Го sin 0,A6.120)
где |, ф — значения координат |,
Ф на контуре dSi (см. рис. 16.9,
16.10).
Кроме этого, полагаем, что
кольцо имеет постоянную площадь
сечения плоскостью 0 = const.
Тогда справедливы соотношения
t = —t', в = 8VV + 8„,п' =
4 A6.121)
Рис. 16.10
Здесь {v', t', n'} — правая тройка ортов, связанных с краем.
цилиндрической оболочки, из которой «вырезается» кольцо, 8 —
вектор, соединяющий центр тяжести сечения кольца со средней
линией полосы его контакта с оболочкой. В соответствии с
рис. 16.10 положительному значению ц0 соответствует смещение
кольца в сторону внешней поверхности оболочки.
На основании рис. 16.9 и формул A6.99) имеют место соотно-
соотношения
Y = я + 0, cos 7 — —cos 8, sin у = —sin 8,
д 1 д д 1 д dy 1
dst ~t W' d&y W dp ' P' dsj r7'
A6.122)
Добавляя к ним используемые в теории пологих оболочек упроще-
упрощения (см. A6.120))
cos ф я* 1, sin ф « ф = р0 sin 0,
иа основании формул A6.111), A6.122) имеем
t' = —t « — sin 8 ея + cos 8 еу — р0 sin 0 cos 0 е,,
n' = cos 0 ея + sin 0 е„, A6.123)
v' = t'xn' = po sin*0cos8e,—p0cos*0sin0ey — e».
Введем безразмерные параметры подкрепляющего элемента
(см. A6.90))
"Па
A6.124)
630
Тогда с учетом формул A5.11) находим
'" [2
Отсюда с помощью формул преобразования компонент тензора
моментов инерции
/« = -?- G«-+м+4- (/л" -7 v)cos 2e-
/»= 4- (/л-+7*-) - -г(/л' -/v/) cos 20>
/vn=4" G"" - мsin 2e
получаем следующие значения жесткостиых параметров в системе
координат, связанной с ортами {v, t, n}:
Av == Ec'v == To" ~J « An == Ea'n == Г2"
A'vn = ?c/vr. = Po Sina0 (/Cv - Kn), Ct = ?0^0X1,
Граничные условия подкрепленного края для случая, когда
основным является безмоментное НДС, с учетом формул A6.121),
A6.125) можно записать так:
Ft — Ct [е« + тH fat — poxtn sin2 8) — -^- % (xtn + рох« sin2 9)] =
= F? - f; + ^ [e« + Ло (x« - Рои<п sln'e) -
Bv + 3№v + Л', (и« — poKtn sin2 0) + po/Cn^n sin2 0 =
= B'v - Bt - НДС - Л% (х» - рак?, sin2 0) - р0Л>;п sin2 0,
= в* - 5; - ^;+a>;v>
В„ + Эй„ + Kn {*tn + Pox<f sin2 0) - роЛ>« sin2 0 =
= B'n - B* - 3Kn - Д'п (х?я + pox» sin2 0) - poA>» sin2 0-
A6.126)
Рассмотрим два вида внешней нагрузки на цилиндрическую
оболочку.
631
Равномерное внутреннее давление (отверстие закрыто крышкой,
передающей на кольцо силу Q'vn = 2ргау.
T{=-ypR, Tl=pR, S'=0;
Qw = -j-pR C — cos 29), Qb = -\-pR sin 26;
ВС- Bi = -^-pro C + 14 cos 26 — cos46),
B; _ bJ = JL Pr\ (_4 sin 20 + sin 46),
B^ - B'n = 4" /*ЗД cos 20, Fl - F*t = -j- Ptfro C + cos 20);
x?v = - A^P B sin 20 + sin 40),
e" = -Щ- [3 A - v) + A + v) cos 20]. A6.127)
Одноосное растяжение
П = -^- = q, П = S* = 0; QJv = -J"<70 +cos20),
Qw = ^-^sin20; fl; = -^-<7/opo (—3 + 2cos20 + cos40),
В? = -^-qdpa D sin 20 + sin40), B*n = ^«piScos20,
/="; = 4" ЯГо A - cos20); x?< = — -^g-q A - cos40),
A6.128)
(Непосредственно путем подстановки, а также на основании эле-
элементарных оценок с помощью формул A5.26), нетрудно убедиться,
что подчеркнутые в A6.126) слагаемые учитывать не следует
(см. п. 15.4).)
Удерживая в разложении A6.103) члены до 2N-& гармоники
включительно, получим систему уравнений порядка 4N + 2.
Предварительные расчеты для значений параметров, определяемых
неравенствами
0 < го/УШ < 4,0; 0,25 < Л«/Л < 2,
0 < х1 < 2; 0,3 < х% < 2, | х, |< 0,5, A6.129)
632
max Нэкв
max hJ
2(ho/h=0,5)
3(h0/Ti<0)
M(ho/h=2,0)
Абсолютная жесткость
Сплошная оВолочка
0,5 1,0 -
max h3ng
12
I
X2=0,5
1,5 -0,5 0 —— 0.5
х..
Xi-O.h
X3=0,0
if
0 0,5
Pic. 16.11
1.0
1,5
2,0
показали [201], что результаты при N = 4 и N =5отличаются
не более, чем на 1%. Это позволило ограничиться при расчетах
усеченной системой уравнений 18-го порядка.
Численный эксперимент по изучению поведения функции
max
в
, (х, 0) = max
выявил, что (рис. 16.11, 16.12):
— величина максимального эквивалентного напряжения суще-
существенно зависит от площади поперечного сечения кольца (х±), его
расположения относительно срединной поверхности оболочки (xt)
и мало зависит от отношения размеров поперечного сечения (xt);
633
max h3Kt
max fi*nt
I
i
V
\
x^OA
X2=0,5
0.5 1.0-jr—W -0.5
0,5 1,0 1,5 ¦
Рис. 16.12
— характер зависимости max &экв от параметра хг различен
для случаев нагружения A6.127) и A6.128): в случае внутреннего
давления max kaKB монотонно убывает с ростом хи а в случае
одноосного растяжения имеет место явно выраженное экстремаль-
экстремальное значение.
Полученная информация о поведении функции max k9KB (х, Э)
в
позволяет придти к выводу о существовании оптимального подкреп-
подкрепления. Вычисление оптимального подкрепления проводилось на
основе минимаксного критерия в области проектирования
О < хг < 1/30о8; 0,3 < ж, < 2; | хь |< 0,5,
при следующих значениях управляющих параметров!
vx = h/R = 0,01; 0,0935 < t>8 < 0,342, va = h/rQ
(здесь область изменения параметра vs соответствует условию
0,5 ^ rj]/ Rh •<[ 3,5). В табл. 16.4, 16.5 приведены значения пара-
параметров оптимального подкрепления (х*), а также значения крите-
критерия
634
max
(х, Э) для оптимального подкрепления, при отсут-
Таблиц
'0
VRh
1.0
1.5
2,0
2,5
3,0
3,5
а 16.4. Внутреннее
давление
*?
0,33333
0.5
0,66666
0,83333
1,0
1,16666
*2
0,3
0,3
0,411
0,37627
0,78603
1,093
х*
0,01541
0,0694
0,12438
0,12824
0,17957
0,25635
max fe±KB
х = х'
1,92854
1,83061
,79367
,82025
,9392
1,97709
х± = 0
5,13846
7,69586
10,2415
12,5262
14,8368
17,2575
абсо-
абсолютно
жесткое
кольцо
1,43281
1,51453
1,57042
1,60841
,63554
1,65267
сплош-
сплошная
обо-
оболочка
/3/2
УЗ/2
КЗ/2
УЗ/2
УЗ/2
УЗ/2
Таблиц
'о
VM
1.0
1.5
2,0
2,5
3,0
3,5
а 16.5. Одноосное
растяжение
X*
0,33333
0,47213
0,52042
0,52167
0,52398
0,52850
2,0
0,3
0,32925
0,58500
0,76909
0,84995
0,16492
0,15403
0,16909
0,25907
0,34008
0,39356
max fe±KB
-*•
1,82175
1,85293
1,97865
2,11861
2,24536
2,36522
4,02999
4,91583
5,79769
6,61120
7,34667
8,01516
абсо-
абсолютно
жесткое
кольцо
1,46804
1,43528
1,41098
1,42428
1,44407
1,46651
сплош-
сплошная
обо-
оболочка
1,0
1,0
1,0
1,0
1.0
1.0
ствии подкрепления, при абсолютно жестком подкреплении и для
оболочек без отверстия.
Из приведенных результатов видно, что с увеличением диаметра
отверстия возрастает концентрация напряжений в неподкреплен-
ной оболочке, соответственно увеличивается оптимальное в задан-
заданной области значение площади поперечного сечения (я?). При
этом для внутреннего давления оптимальным значением площади
всегда является наибольшее из допускаемых ограничениями (х{ =
= 1/30»,), а для одноосного растяжения при и, < 0,215 (или
го/У Rh > 1,0) оптимальное значение хг находится внутри допус-
допускаемого интервала @ •< х* < 1/30из).
16.6. ОПТИМАЛЬНОЕ ПОДКРЕПЛЕНИЕ УЗЛА
«ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ОБОЛОЧКА —
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЙ ПАТРУБОК»
Рассмотрим тонкостенную конструкцию, образованную сопря-
сопряжением цилиндрической оболочки радиуса R через кольцо жест-
жесткости с расположенным к ней перпендикулярно патрубком радиуса
635
г0 (рис. 16.10). Будем помечать величины, относящиеся к патрубку,
штрихами. Свяжем с контуром отверстия в оболочке йп правую
тройку ортов {v, t, n,} а с краем патрубка dQ' — тройку ортов
{v\ t', n'} (см. рис. 16.9). Введем следующие системы координат
(см. рис. 16.9):
а) внешнюю декартову систему X Y Z с ортами {ея, е^, ez}
и началом в точке пересечения осей оболочек,
б) безразмерные координаты (?, ф), (?', ф'), связанные с лини-
линиями кривизны каждой из оболочек, с ортами (еь ег), (el, е^);
в) полярные (полугеодезические) координаты р = r/R, 9 на
срединной поверхности оболочки большого радиуса с полюсом
в центре отверстия:
\ = р cos 6, ф = р sin 0;
г) систему параллельных координат (sv, st) на срединной по-
поверхности патрубка с опорным контуром йп'.
С точностью, принятой при выводе граничных условий подкреп-
подкрепленного края (см. A5.1)), можно считать радиус патрубка равным
радиусу отверстия в оболочке. Из рис. 16.9 усматриваются соот-
соотношения
х = RI = r0 cos ф', у = R sin ф = —Го sin ф', z — R cos ф»
где чертой сверху помечены значения соответствующих величин
на контуре dQ. Отсюда с названной выше точностью имеем
т. е. уравнение края отверстия dQ в полярной системе координат
@ = —ф') имеет вид р = р0 = ro/R. Таким образом, для величин
НДС оболочки большего радиуса остаются в силе все соотношения
предыдущего раздела.
Нетрудно убедиться в справедливости следующих геометри-
геометрических соотношений для патрубка (см. рис. 16.9):
cosy' = ej-v' = —1, sin?' = ез-v' = pasln0cos0,
1 cos2у' 1 , dy' 1 dy' 1 „. ....on.
-rr-= x =—- Pt = -h- « — 4- = p- cos 20. A6.130
Rt ro ro dst ro "° *<
Условия сопряжения A5.55) для узла «оболочка—кольцо—патру-
«оболочка—кольцо—патрубок» имеют вид
в« + [(8 - 6') х xt] • t = e«, xt = х'л
(F-F')-t = Ci[e« + (Sxxi).tl,
(В _ В' + ЗК - aH');v = -К^и + /CvnxiO)
(B-B' + 3K-3K')-t = ^«*v.
(В - В' + ЗЯ - 2Г)-п = -КпЩп + KvnXtt, A6.131)
636
где
ШГ = j [F' xO;)-t]tds,,
«о
6' — вектор, связывающий ось стержня с краем патрубка.
В качестве внешней нагрузки на оболочку рассмотрим равно-
равномерное внутреннее давление и одноосное растяжение. Соотноше-
Соотношения, описывающие НДС в оболочке с отверстием, приведены в
предыдущем разделе. НДС патрубка будем представлять в виде
суммы безмоментного напряженного состояния и ПКЭ. При этом
патрубок будем считать достаточно длинным, чтобы не учитывать
взаимное влияние его краев в отношении ПКЭ, и одновременно
достаточно коротким, чтобы можно было воспользоваться назван-
названным методом расчленения НДС (см. п. 16.4). Для определенности
полагаем, что в случае внутреннего давления верхний край пат-
патрубка закрыт крышкой, а в случае одноосного растяжения —
свободен от нагрузки.
Безмоментное решение характеризуется следующими соотно-
соотношениями:
внутреннее давление (pi = pi = 0, р'п — р)
Т'х' = -Ypro, Т? = pro, S" = 0; Q;*v = -у- рг0,
1 1 + v
QvJ = —г- ргоро sin 20; х'н = .„р .° рро A — cos 40),
- рро Sifl 20, -Л'п = оТГТГ" РРО COS 20,
в,'? = B - vQ) pro/2Eoho, A6.132)
где Eo, v0, h0 — соответственно модуль упругости, коэффициент
Пуассона и толщина патрубка;
одноосное растяжение (р{ — pi = р'п = 0)
Т? = S- = 0; dq" = 0; х[* = 0,
ъ dtp' ' SiJ'
где gi (ф'). gt (ф') — произвольные функции основного НДС.
Для комплексных граничных величин ПКЭ справедливы в
первом приближении формулы (см. A0.134))
dqk = iEahoCa pt-r-r-, ~ .,.,, —о( ——, —atwk ,
[ dsv dsvdst dsy, j
w" - [ф, @) + ftp, @)] exp [A - v) sC/V^^], A6.134)
где «ft., фэ — произвольные функции ПКЭ.
637
Учитывая соотношения A6.130), A6.134), граничные величины
на контуре d?i' можно представить так:
(К. -
- fi). Mi,— ^
~l "fr -pogl sin 29)
gl+poSln0COS0 (g2 — ^'-Ж")] —
A6.135)
= 8"*
Из деформационных условий сопряжения A6.131)! находим
Ф1 = г0 {—г'й + вц + [(в - в-) X х,] • t},
Ф2 = — ф1 + Го У%Ш («2п - 'Ли + роХМ Sitf 0). A6.136)
Оставшиеся два условия сопряжения можно использовать для
определения функций gt и ga.
Подставляя в условия сопряжения A6.131) соответствующие
граничные величины оболочки и патрубка с учетом A6.136), полу-
получим соотношения, содержащие лишь компоненты возмущенного
состояния в оболочке с отверстием, выражающиеся через функцию
w, и известные величины безмоментных НДС оболочки и патрубка.
Подставляя далее в эти соотношения w в виде ряда A6.103), придем
к бесконечной системе алгебраических уравнений (аналогичной по
структуре системе уравнений предыдущей задачи, раздел 16.5), для
решения которой можно использовать метод редукции.
В проведенных численных экспериментах форма подкрепляю-
подкрепляющего кольца принималась такой, как и в предыдущем разделе.
При этом делалось предположение, что вся составная конструкция
изготовлена из одного материала и определяется следующими
управляющими параметрами:
oi =0,01; о, = Ао/го = 1/20; 1/30; 1/40; 1/60;
0,0935 < va < 0,215 (Ol = h/R, va = h/rQ) A6.137)
и параметрами оптимизации (область проектирования):
0 < Xl < 1/2D; 0,3 < ж, < 2, | хг |< 0,5. A6.138)
638
Решалась усеченная система 22-х уравнений. Анализ получен-
полученных результатов показал, что:
влияние толщины патрубка (п0) становится существенным при
больших значениях параметра ro/}^Rh = р0У R/h = Yvjyzfy c Уве"
личением толщины патрубка уменьшаются кольцевые напряжения
на краю отверстия ав; изгибные напряжения ам возрастают как
с увеличением толщины патрубка, так и с увеличением радиуса
отверстия;
при отсутствии подкрепляющего кольца патрубок в значитель-
значительной мере снижает концентрацию напряжений в оболочке за счет
толщины п0; при увеличении площади поперечного сечения стержня
влияние патрубка резко снижается и практически исчезает при
хг =0,5 (см. рис. 16.11, 16.12);
величина максимального эквивалентного напряжения на краю
патрубка, как и на краю отверстия, сильно зависит от параметра
х9, определяющего расположение кольца по отношению к контуру
dQ; для тонкостенных патрубков (ho/h < 1) существенным может
оказаться влияние параметра х±.
Как и в предыдущем разделе, рассматривались задачи оптими-
оптимизации
1X1 9 л /?зкв ПИП
в *
для параметров, определяемых соотношениями A6.137), A6.138).
В табл. 16.6 и 16.7 приведены значения параметров оптимального
подкрепления (х*), а также значения max kf (x, 0) для оптималь-
е
ного подкрепления и при непосредственном сопряжении оболочек
(без кольца).
Анализ результатов позволяет сделать вывод, что подкрепление
отверстия в оболочке кольцом с присоединенным к нему патрубком,
как и в рассмотренном ранее случае подкрепления только кольцом,
снижая кольцевые напряжения ст9. вызывает значительные изгиб-
изгибные напряжения ам , возрастающие с увеличением радиуса отвер-
отверстия. Смещением кольца относительно срединной поверхности
оболочки в сторону расположения патрубка значения последних
можно уменьшить.
В случае внутреннего давления оптимальным значением пло-
площади поперечного сечения подкрепляющего кольца (л^) является
наибольшее из допустимых (х* = 1/20 v3). При одноосном растя-
растяжении оптимальное значение параметра хг лежит внутри допусти-
допустимой области @ < д%. < 1/20 vs), возрастая с увеличением радиуса
отверстия и с уменьшением толщины стенки патрубка. Напряже-
Напряжения на краю отверстия, подкрепленного кольцом с патрубком,
мало зависят от толщины последнего.
Выше рассматривалась задача определения подкрепления из
условия максимального снижения напряжений в основной обо-
639
лочке. Найденное оптимальное подкрепление существенно снижает
напряжения и на краю патрубка, рассмотриваемого как тонкое
кольцо. И все же из табл. 16.6 видно, что в случае внутреннего
давления максимальное эквивалентное напряжение в патрубке
в некоторых случаях значительно превосходит соответствующее
напряжение основной оболочки. В связи с этим была рассмотрена
задача минимизации максимального из эквивалентных напряже-
напряжений как на краю отверстия в оболочке, так и на краю сопря-
сопрягаемого с ней патрубка. Благодаря используемому минимаксному
критерию при наличии надежного алгоритма оптимизации эта за-
задача не намного сложнее ранее рассмотренной, так как усложне-
усложнение задачи происходит лишь за счет увеличения числа функций
максимума [51 ]. В этом плане очевидным является преимуще-
преимущество минимаксного критерия перед энергетическим. Последний не
позволяет так естественно перейти от рассмотрения задачи «изби-
«избирательной» оптимизации к общей многоэлементной задаче опти-
оптимизации. Результаты оптимизации максимального напряжения
на общем краю оболочек приведены в табл. 16.8.
Таблица 16.6. Внутреннее давление
тг
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
'о
Ло
20
40
60
20
40
60
20
40
60
20
40
60
20
40
60
20
40
60
X*
«Г
0,5
0,5
0,5
0,75
0,75
0,75
1,0
1,0
1,0
,25
,25
.25
1,5
1,5
1,5
,75
,75
.75
Ч
1,28925
0,83494
0,72984
0,87826
0,65635
0,61671
0,42123
0,3
0,3
2,0
2,0
2,0
2,0
2,0
2,0
2,0
2,0
2.0
-*з'
0,01095
0,00185
0,01328
0,11389
0,0899
0,08471
0,05841
0,0639
0,06324
0,17619
0,19932
0,20317
0,26839
0,26909
0,25602
0,35018
0,33074
0,3118
max fe*KB
оболочка
*= X*
,52449
1,54016
1,54423
1,54686
,54120
1,54079
1,58474
1,58862
1,58935
,57448
1,58736
1,60134
1,55768
1,54453
1,55342
,53333
.49374
,49595
*=0
4,16761
4,77829
4,96939
4,67564
6,01128
6,72401
5,0634
6,84096
7,94246
5,55461
7,59855
8,90418
6,35201
8,44553
9,8688
7,82473
9,46831
10.9570
патрубок
Х= X*
2,48403
2,87388
2,74018
i
2,02968
1,62448
1,6362
1,55033
1,1866
1,44222
3,02564
4,58130
5,26132
3,48527
5,44361
6,09651
3,81201
5,94878
6,66589
х= 0
7,15665
9,46407
10,3567
7,12293
9,96725
12,1087
7,54738
10,4215
14,5681
8,09069
10,6653
15,6594
8,59952
11,1075
15,8634
9,00914
11,8174
15,7906
640
Таблица 16.7. Одноосное растяжение
Го
к
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
'о
К
20
40
60
20
40
60
20
40
60
20
40
60
20
40
60
20
40
60
**
*?
0,33982
0,38753
0,40319
0,39333
0,43514
0,44931
0,4286
0,47404
0,49347
0,43843
0,48766
0,4992
0,43566
0,49327
0,51208
0,38993
0,49224
0,51428
0,36061
0,3
0,3
0,3
0,3
0,3
0,3019
0,3
0,3
0,60534
0,58904
0,58022
0,82736
0,84319
0,77085
0,95802
1,11225
0,93357
0,00642
0,07207
0,09594
0,07711
0,11107
0,12796
0,11713
0,1365
0,1439
0,22464
0,24963
0,25073
0,30603
0,35864
0,3365
0,3734
0,48455
0,42455
max k*Kt
оболочка
* = X*
1,79021
1,74856
1,74285
1,88296
1,8648
1,8589
1,98452
1,97842
1,97808
2,12127
2,11561
2,11632
2,26415
2,24328
2,24455
2,40803
2,36354
2,36229
*= 0
3,81546
4,0635
4,06211
3,84307
4,57124
4,73382
3,80295
4,83583
5,28501
3,74569
4,98933
5,59481
3,6824
5,09081
5,80915
3,61984
5,16129
5,97284
патрубок
X = X*
2,43558
3,2997
3,5846
1,46809
1,80466
2,10819
1,56802
1,42918
1,59322
1,82857
1,94764
1,85302
1,84765
2,32747
2,2855
1,83085
2,51817
2,63472
х= 0
5,94153
7,98522
8,98777
5,65010
7,4301
8,5006
5,64527
7,42747
8,3450
5.65697
7,63879
8,51285
5,63657
7,88966
8,83103
5,58157
8,12031
9,19105
Таблица 16.8. Внутреннее давление
'0
к
0,10
0,20
0,30
'о
а
20
40
60
20
40
60
20
40
60
X*
«Г
0,5
0,5
0,5
1,0
,0
1,0
1,5
1,5
1,5
*i
0,42873
0,40151
0,47740
0,42123
0,3
0,3
0,3
0,3
0,3
0,03647
0,05857
0,06734
0,05841
0,0639
0,06324
0,10546
0,07724
0,06045
max fe*KB
оболочка
X= X*
1,56509
1,57322
1,57410
,58474
,58862
,58935
2,03951
2,12178
2,20075
x= 0
4,16761
4,77829
4,96939
5,0634
6,84096
7,94246
6,35201
8,44553
9,8688
патрубок
X= X*
1,56509
1,57322
1,57410
,55033
,1866
,44222
2,03950
2,12178
2,20075
x=0
7,15665
9,46407
10,3567
7,54738
10,4215
14,5681
8,59952
11,1075
15,8634
641
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Артюхии Ю. П., Карасев С. Н.
Некоторые контактные задачи теории
тонких пластин//Исследовання по тео-
теории пластян и оболочек. Казань: Изд-
во Казан, ун-та, 1973. — Вып. 10. —
С. 159—166.
2. Алексеев С. А. Основы общей
теория мягких оболочек//Расчет про-
пространственных конструкций. М.:
Стройиздат, 1967. — Вып. 2. — С. 31—
52.
3. Б а лабух Л. И. Изгиб и кручение
конической оболочки//Тр. ЦАГИ. —
1946. — № 577. — 63 с.
¦А.< Баничук Н. В. Оптимизация
форм упругих тел. М.: Наука, 1980. —
255 с.
5. Баничук Н. В. Введение в опти-
оптимизацию конструкций. М.: Наука,
1986. — 299 с.
6. Биргер И. А. Круглые пластинки
и оболочки вращения. М.: Оборонгиз,
1961. — 368 с.
7. Болотии В. В. Краевой эффект
при колебаниях упругих оболочек//
ПММ. — 1960. — Т. 24. — Вып. 5 —
С. 831—842.
8. Бондарь В. Д. Об одном пред-
представлении тензорной функции//Докл.
АН СССР. — 1961. — Т. 141. — №. 1.
9. Векуа Н. И. Обобщенные ана-
аналитические функции. М.: Физматгнз,
1959.
10; Векуа Н. И. Некоторые общие
методы построения различных вариан-
вариантов теории оболочек. М.: Наука,
1982. — 288 с.
11. Вишик М. И., Люстериик Л. А.
Регулярное вырождение и погранич-
пограничный слой для линейных дифферен-
дифференциальных уравнений с малым пара-
метром//УМН. — 1957. — Т. 12. —
Вып. 5.
12. Власов В. 3. Расчет оболочек
вращения на призвольную несимме-
несимметричную нагрузку//Проект и стан-
стандарт. — 1937. — № 3—4.
13. Власов В. 3. Расчет оболочек,
очерченных по центральным поверх-
642
ностям второго порядка/Шластянки
и оболочки. М.: Госстройиздат, 1939. —
С. 27—40.
14. Власов В. 3. Тонкостенные уп-
упругие стержни. М.: Стройиздат,
1940. — 568 с.
15. Власов В. 3. Основные диффе-
дифференциальные уравнения общей теории
упругих оболочек//ПММ. — 1944. —
Т. 8. — Вып. 2. — С. 109—140.
16. Власов В. 3. Некоторые новые
задачи строительной механики обо-
оболочек и тонкостенных конструкций//
Изв. АН СССР. ОТН. — 1947. — № 1.
17. Власов В. 3. Общая теория обо-
'лочек и ее приложения в технике. М.,
Л.: Гостехяздат, 1949. — 784 с.
18. Власов В. 3. Тонкостенные про-
пространственные системы. М-: Госстрой-
нздат, 1958. — 502 с.
19. Власов В. 3. Принципы построе-
построения общей технической теории оболо-
оболочек н новые конструктивные формы
пространственных систем//Тр. Вто-
Второго междунар. конгресса по теории
оболочек. М.: Госстройнздат, 1960.
20. Вольмир А. С. Гибкие пластинки
и оболочки. М.: ГИТТЛ, 1956. —
419 с.
21. Вольмир А. С. Устойчивость
упругих систем. М.: Физматгиз,
1963. — 879 с.
22. Вопросы теории и элементы про-
программного обеспечения минимаксных
задач/Под ред. В. Ф. Демья-
Демьянова н В. Н. Малоземова.
Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1977. —
192 с.
23. Гаганова А. И. О концентрации
напряжений при совместной работе
пластины и оболочки//Инж. журн.
МТТ. — 1966. — № 4. — С. 154—157.
24. Галеркин Б. Г. Равновесие упру-
упругой цилиндрической оболочки//Докл.
АН СССР. — 1934. — Т4. — № 5—
6. — С. 270—275.
25. Галеркин Б. Г., Перельмаи Я. И.
Напряжения и перемещения в круго-
круговом цилиндрическом трубопроводе//
Изв. научно-исслед. нн-та гндротек-
никн. — 1940. — Т. 27. — С. 160—
191.
26. Галеркин Б. Г. Равновесие упру-
упругой сферической оболочки//ПММ. —
1944. — Т. 8. — Вып. 6.
27. Галнмов К- 3. О формулировке
геометрических граничных условий не-
нелинейной теории оболочек в уснлнях-
моментах//Изв. Казан. филиала
АН СССР. Сер. физ.-мат. наук. —
1958. — Т. 12.— С. 17—27.
28. Галимов К- 3. О некоторых на-
направлениях развития механики дефор-
деформируемого тела в Казани//Исследова-
ния по теории пластин и оболочек.
Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1976. —
Вып. 12. — С. 3—26.
29. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц.
М.: Наука, 1967. — 576 с.
30. Гвоздев А. А. К вопросу о рас-
расчете цилиндрических сводов оболо-
чек//Строительная промышленность.—
1932. - № 2.
31. Гвоздев А. А. Еще о безмомеит-
ной теории оболочек (Ответ проф.
B, Э. Новодворскому)//Строительная
промышленность. — 1933. — № 2.
32. Геккелер И. Статика упругого
тела. Л., М.: Гостехтеориздат, 1934. —
287 с.
33. Голубев О. Б. Обобщение теории
тонкие стержней//Тр. Ленингр. поли-
политехи, ин-та. — 1963. — № 226. —
C. 83—92.
34. Гольденвейзер А. Л. Дополне-
Дополнения и поправки к теории тонких обо-
оболочек Love/УПластинки и оболочки.
М.: Госстройиздат, 1939. — С. 85—
105.
35. Гольденвейзер А. Л. Уравнения
теории тонких оболочек//ПММ. —
1940. — Т. 4. — Вып. 2. — С. 35—42.
36. Гольденвейзер А. Л. Исследо-
Исследование напряженного состояния сфери-
сферической оболочки//ПММ. — 1944. —
Т. 8. — Выл. 6 — С. 441—467.
37. Гольденвейзер А. Л. Качествен-
Качественное исследование напряженного со-
состояния тонкой оболочки//ПММ. —
1946. — Т. 9. — Вып. 6.
38. Гольденвейзер А. Л. Некото-
Некоторые приемы интегрирования уравне-
уравнений теории тонких оболочек//ПММ. —
1946. — Т. 10. — Вып. 3.
39. Гольденвейзер А. Л. О приме-
применении решений задачи Римаиа—Гиль-
Римаиа—Гильберта к расчету безмоментиых оболо-
чек//ПММ. — 1951. — Т. 15. —
Вып. 2.
40. Гольденвейзер А. Л. Теория
упругих тонких оболочек. — М.:
ГИТТЛ, 1953. — 544 с.
41. Гольденвейзер А. Л. Уточнение
теории простого краевого эффекта//
ПММ. — 1956. — Т. 20.—Вып. 3.
42. Гольденвейзер А. Л. Некоторые
математические проблемы линейной
теории упругих тонких оболочек//
УМН. — 1960. — Т. 15. — Вып. 5.
43. Гребень Е. С. Основные соот-
соотношения технической теории ребристых
оболочея//Изв. АН СССР. Сер. Меха-
Механика. — 1965. — № 3. — С. 124—135.
44. Гребеиь Е. С. Методы расчета
ируговых цилиндрических оболочек,
подкрепленных шпаигоутами//Расчет
пространств, конструкций. — 1967. —
Вып. П. —С. 89—99.
45. Гребеиь Е. С. К теории тонких
стержней//Изв. АН СССР. МТТ. —
1967. — № 5. — С. 67—72.
46. Гребеиь Е. С. О деформациях и
равновесии подкрепленных ребрами
«онких оболочек//Изв. АН СССР.
МТТ. — 1969. — № 5. — С. 106—114.
47. Гребень Е. С. Техническая тео-
теория подкрепленных оболочек и ее
приложения: Автореф. дис. ... докт.
техн. иаук/ВВИТКУ. Л., 1970. —
37 с.
48- Гршчмпок Э. И., Чулков П. П.
Устойчивость н колебания трехслой-
трехслойных оболочек. М.: Машиностроение,
1973. — 170 с.
49. Григолюк Э. И., Подстри-
гач Я. С, Бурак Я- И. Оптимизация
нагрева оболочек и пластин. Киев:
Наукова думка, 1979. — 364 с.
Б0-. Григолюк Э. И., Толкачев В. М.
Контактные задачи теории пластин н
оболочек. М.: Машиностроение, 1980.—
416 с.
51. Демьянов В. Ф., Малоземов В. Н.
Введение в минимакс. М.: Наука,
1972. — 358 с.
52. Дишнигер Ф. Оболочки. Тонко-
Тонкостенные железобетонные купола и сво-
своды. М., Л.: Госстройиздат, 1932. —
270 с.
53. Доииелл Л. Г. Балки, пластины
и оболочки/Под ред. Э. И. Григолюка.
М.: Наука, 1982. — 567 с.
54. Дородницын А. А. Асимптотиче-
сиие законы распределения собствен-
собственных значений для некоторых особых
видов дифференциальный уравнений
второго порядка //УМН. — 1952. —
Т. 7. — Вып. 6.
643
55. Жилии П. А. Осесимметрич-
ная деформация цилиндрической обо-
оболочки, подкрепленной шпангоутами//
Изв. АН СССР. МТТ. — 1966. —
№ 5. — С. 139—142.
56. Жилин П. А., Кизнма Г. А.
Оболочки нулевой гауссовой кривизны
с меридиональными ребрами//Инж.
журн. МТТ. — 1967. — № 3. —
С. 102—105.
57. Жилнн П. А., Кнзима Г. А.
Сферический пояс с меридиональными
ребрами//Изв. АН СССР. МТТ.—
1969. — № 5. — С. 97—105.
58. Жилнн П. А. Линейная теория
ребристых оболочек//Изв. АН СССР.
МТТ. — 1970. — № 4. — С. 150—162.
59. Каган В. Ф. Основы теории по-
поверхностей. Т.1. М., Л.: ГИТТЛ,
1947. — 512 с.
60. Каплун Д. А., Михайлов-
Михайловский Е. И., Черных К. Ф. Определение
термоупругих напряжений и переме-
перемещений в корпусе винтового компрес-
сора//Винтовые компрессоры в энер-
энергомашиностроении: Тр. ЦК.ТИ. Л.,
1975. — Вып. 127. — С. 74—81.
61. Карпов М. И. Об одной задаче
прочности оболочки, подкрепленной
ребрами жесткости//Прикл. механи-
механика. — 1962. — Т. 8. — № 6. — С.
619—626.
62. Кильчевский Н. А. Обобщение
современной теории оболочек//ПММ. —
1939. — Т. 2. — Вып. 4 — С. 427—438.
63. Кнльчевский Н. А. Анализ раз-
различных методов приведения трехмер-
трехмерных задач теории упругости к дву-
двумерным и исследование постановки
краевых задач теории оболочек//Тео-
рия пластин и оболочек. Киев: Изд-во
АН УССР, 1962. — С. 58—69.
64. Кильчевскнй Н. А. Основы ана-
аналитической механики оболочек. Киев:
Наукова думка, 1963. — 353 с.
65. Кларк Р., Рейснер Э. Изгиб труб
с криволинейной осью//Проблемы ме-
механики. М.: Изд-во ниостр. лнт.,
1955.—С. 155—168.
66. Коваленко А. Д., Грнгорен-
ко Я- М., Ильин Л. А. Теория тон-
тонких конических оболочек н ее прило-
приложения в машиностроении. Киев: Изд-во
АН УССР, 1963. — 287 с.
67. Коваленко А. Д. Основы термо-
термоупругости. Киев: Наукова думка,
1970. — 307 с.
68. Колтунов С. Я., Михайлов-
Михайловский Е. И. Квазисимметричная дефор-
деформация подкрепленной геликоидальной
644
оболочки//Теория оболочек и пластин:
Тр. IX Всесоюзной конференции по
теории оболочек и пластин. Л.: Судо-
Судостроение, 1975. — С. 73—76.
69. Колтунов С. Я. К расчету на-
напряженного состояния в конечных
геликоидальных оболочках//Изв.
АН СССР. МТТ. — 1980. — № 6. —
С. 149—152.
70. Кочнн Н. Е. Векторное исчи-
исчисление и начала тензорного исчисле-
исчисления. М.: Наука, 1965. — 456 с.
71. Круглякова В. И. Оболочки вра-
вращения с малым центральным отвер-
отверстием под действием симметричной н
обрати осимметричной нагрузка/Иссле-
нагрузка/Исследования по упругости н пластичности.
Л.: Изд-во Лениигр. ун-та, 1965. —
Сб. 4. —С. 123—158.
72. Круглякова В. И. Об обобщен-
обобщенном законе Гука в теории криволиней-
криволинейных стержней замкнутого профиля//
Исследования по упругости и пластич-
пластичности. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та,
1970.— Сб. 8.— С. 194—201.
73. Круглякова В. И. О связи тео-
теории криволинейных тонкостенных
стержней закрытого профиля с тео-
теорией тонких оболочек (статикогео-
метрическаи сторона вопроса)//Изв.
АН СССР. МТТ. — 1970. — № 6. —
С. 138—142.
74. Круглякова В. И. К расчету
тонкостенных труб с криволинейной
осью//Изв. АН СССР. МТТ. — 1972. —
№ 6.— С. 160—170. .
75. Круглякова В. И., Мальков В. М.
Исследование влияния граничных ус-
условий на деформацию труб с криво-
криволинейной осью//Теория оболочек н
пластин: Тр. IX Всесоюзной конфе-
конференции по теории оболочек и пластин.
Л.: Судостроение, 1975. — С. 70—72.
76. Круглякова В. И. О жесткости
пространственных конструкций с пло-
плоской круговой осью//Расчет простран-
пространственных конструкций. М.: Стройнз-
дат, 1977. — Вып. 17. — С. 64—78.
77. Лурье А. И. Исследования по
теории упругих оболочек//Тр. Ле-
Ленингр. Индустриальн. ии-та, 1937. —
№ 6. — Вып. 3. — С. 37—52.
78. Лурье А. И. Общая теория
упругих тонких оболочек//ПММ. —
1940. — Т. 4. — Вып. 2. — С. 7—34.
79. Лурье А. И. Равновесие упругой
симметрично нагруженной сфериче-
сферической оболочки//ПММ. — 1943. —
Т. 7. — Вып. 6. — С. 393—404.
80. Лурье А. И. Концентрация на-
напряжений в области отверстия на по-
поверхности кругового цилиндра//
ПММ. — 1946. — Т. 10. — № 3. —
С. 307—406.
81. Лурье А. И. Статика тонко-
тонкостенных упругих оболочек. М.: Гос-
технздат, 1947. — 252 с.
82. Лурье А. И. Об уравненняк
общей теорнн упругих оболочек//
ПММ. — 1950. — Т. 14. — Вып. 5.
83. Лурье А. И. О статнко-геометрн-
ческой аналогии в теории оболочек//
Проблемы механики сплошных сред.
М.: Наука, 1961. —С. 233—240.
84. Ляв А. Математическая теория
упругости. М., Л.: ОНТИ, 1935. —
674 с.
85.' Малков В. П., Угодчнков А. Г.
Оптимизация упругих систем. М.:
Наука, 1981. —286 с.
86. Мальков В. М. Изгиб цилиндри-
цилиндрической консолн со скошенным краем//
Исследования по упругости н пластич-
пластичности. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та,
1968. — Сб. 7. — С. 40—53.
87. Мальков В. М., Краснов В. М.
Теоретическое и экспериментальное ис-
исследование изгиба тонкостенного ко-
лена//Расчет пространственных кон-
конструкций. М.: Стройиздат, 1970. —
Вып. 14. — С. 4—22.
88. Мальков В. М. О расчленении
условий упругого сопряжения в ли-
линейной теории тонких оболочек/Про-
оболочек/Проблемы меианнкн твердого деформируе-
деформируемого тела. Л.: Судостроение, 1970. —
С. 257—263.
89. Мальков В. М. К расчету упруго
подкрепленных колен и составных
колен//Исследоваини по упругости н
пластичности. Л.: Изд-во Ленннгр,
ун-та, 1970. — Сб. 8. — С. 173—188.
90. Мальков В. М. Криволинейные
трубы с пространственной осевой лн-
нней//Тр. X Всесоюзной конф. по
теорнн оболочек и пластин. Кутаиси,
1975. Тбилиси: Мецннереба, 1975. —
С. 196—205.
91. Мальков В. М. Построение реше-
решения краевого эффекта в окрестности
асимптотического контура оболочки
нулевой гауссовой крнвнзны//Ивв.
АН СССР. МТТ. — 1978. — № з. —
С. 187—202.
92. Мальков В. М. Краевой эффект
в оболочке нулевой гауссовой крн-
внзны с большим отверстием /Иссле-
/Исследования по упругости н пластичности.
Л.: Изд-во Ленннгр. ун-та, 1980. —
Сб. 13. — С. 26—32.
93. Методы расчета оболочек: В 5 т.
Киев: Наукова думка, 1980—1982.
Т. 1. Теория тонких оболочек, ослаб-
ослабленных отверстиями/А. Н. Г у вь,
И. С. Чернышенко, Вал. Н. Ч е-
х о в, Вик. Н. Ч е х о в, К. И. Ш н е-
р е и к о. — 1980. — 635 с; Т. 2. Тео-
Теория ребристых оболочек/И. Я- А м н-
р о, В. А. 3 а р у ц к и й. — 1980. —
367 с; Т. 3. Теория упруго-пласти-
упруго-пластических оболочек при неизотермиче-
скнк процессах//Ю. Н. Шевченко,
И. В. П р о х о р е н к о. — 1981.—
285 с; Т. 4. Теория оболочек пере-
переменной жесткости/Я- М. Г р и г о-
ренко, А. Т. Василенко. —
1981. — 543 с; Т. 5. Теория неста-
нестационарной аэрогидроупругости оболо-
оболочек/А. Н. Г у з ь, В. Д. К у б е н-
ко. — 1982.— 399 с.
94. Михайловский Е. И. К расчету
коротких оболочек вращення//Иссле-
довання по упругости и пластичности.
Л.: Изд-во Ленннгр. уи-та, 1967. —
Сб. 6.— С. 117—130.
95. Михайловский Е. И. Расчленение
граничных условий на подкрепленном
краю оболочки//Исследования по упру-
упругости и пластичности. Л.: Изд-во
Ленингр. ун-та, 1968. — Сб. 7. —
С. 13—27.
96. Михайловский Е. И., Чер-
Черных К. Ф- Расчленение граничный
условий в линейной теории оболочек
(случай подкрепленного неасимптоти-
неасимптотического края)//Проблемы гидродина-
гидродинамики и механики сплошной среды. М.:
Наука, 1969.— С. 321—326.
97. Михайловский Е. И., Чеба-
нов В. В. Применение метода аффин-
аффинного преобразования к расчету обо-
оболочки с бортовым элементом//Изв.
АН СССР. МТТ.— 1971. —№ 6. —
С. 124—132.
98. Михайловский Е. И. О прямой
к обратной задачах линейной теории
оболочек с подкрепленным краем//
Проблемы механики твердого дефор-
деформируемого тела. М.; 1975. — С. 298—
99. Михайловский Е. И. Эквива-
Эквивалентное подкрепление отверстнй в пло-
плоских пластннах//Прнкл. механика. —
1975. — Т. 11. — № 8. — С. 74—80.
100. Михайловский Е. И. К задаче
о сопряжении пластины с патрубком
посредством кольца жесткости//Изв.
вузов. Прикладные проблемы проч-
645
иости и пластичности. Горький, 1975.—
Вып. 2. — С. 88—89.
101. Михайловский Е. И. Об опти-
оптимальном подкреплении края оболочки//
Изв. АН ОХР. МТТ. — 1975. —
№ 1.—С. 42—51.
102. Михайловский Е. И., Чау-
инн М. П. Рациональное подкрепле-
подкрепление кругового отверстия в растягивае-
растягиваемой пластине//Проблемы прочности. —
1978. — № 1. —С. 37—39.
103. Михайловский Е. И. О фор-
формулировках граничных условий под-
подкрепленного края в линейной теории
оболочек//Тр. X Всесоюзной конф. по
теории оболочек и пластин. Кутаиси,
1975. Тбилиси: Мецннереба, 1975. —
Т. 1. —С. 221—229.
104. Михайловский Е. И. Линейные
уравнения термостатики ребристых обо-
лочек//Изв. АН СССР. МТТ. — 1984. —
№ 2. — С. 152—159.
105. Михайловский Е. И., Ннкн-
теиков В. Л. Аналог теоремы о трех
моментах в теории оболочек//Прнкл.
механика. — 1984. — Т. 20. — № 7.—
С. 65—70.
106. Михайловский Е. И., Ннкитеи-
ков В. Л. К расчету и оптимальному
проектированию опор для тяжелых
цилиндрических оболочек//Прнклад-
ные проблемы прочности и пластич-
пластичности. Алгоритмизация и автомати-
автоматизация решения задач упругости и пла-
пластичности. Горький, 1985. — С. 120—
125.
107. Михайловский Е. И., Чер-
иых К. Ф. О некоторых особенностях
деформационного варианта граничных
велнчин//Изв. АН СССР. МТТ.—
1985. — № 2. — С. 155—162.
108. Михайловский Е. И. Прямые,
обратные и оптимальные задачи дли
оболочек с подкрепленным краем. Л.:
Изд-во Ленннгр. ун-та, 1986. — 220 с.
199. Михайловский Е. И., Чау-
иии М. П. Обратные и оптимальная
задачи подкрепления узла «пластина—
патрубок»//Прнкладные проблемы
прочности и пластичности. Горький,
1979.— Вып. 13.— С. 112—121.
ПО. Михайловский Е. И., Тара-
Тарасов В. Н. Контактные задачи дли гиб-
гибких элементов коиструкцнй//Проблемы
нелинейной теории упругости. Кали-
Калинин: Изд-во Калинин, политехи, ин-та,
1989.— С. 100—108.
111. Михлии С. Г. Оценка погреш-
погрешности расчета упругой оболочки каи
плоской пластины//ПММ. — 1952. —
646
Т. 16.— Вып. 4.— С. 399—418.
112. Мнев Е. Н., Перцев А. К. Гнд-
роупругость оболочек. Л.: Судострое-
Судостроение, 1978.— 368 с.
113. Муштари X. М. Об устойчи-
устойчивости круглой тонкой цилиндрической
оболочки при кручении//Тр. Казан,
аинац. нн-та, 1934. — № 2.
114. Муштарн X. М. Некоторые
обобщения теории тонких оболочек
с приложениями к задаче устойчи-
устойчивости упругого равновесня//Изв. фнз.-
мат. об-ва при Казан, ун-те. Сер. 3. —
1938.— Т. 9.—С. 71—150.
115. Муштари X. М. Инвариантные
уравнения равновесия пограничной зо-
зоны упругой оболочки в комплексной
форме//ПММ. — 1948. — Т. 12.—
Вып. 2.
116. Муштари X. М. Качественное
исследование напряженного состояния
упругой оболочки при малых деформа-
деформациях и произвольных смещениях//
ПММ. — 1949. — Т. 13. — Вып. 2.
117. Назаров А. А. Уравнения рав-
равновесия пологих оболочек и их при-
применение (укр.)//Прнкладна мехашка.
1956. Т. 2. № 3.
118. Наумов В. К. Графики для
расчета торообразных элементов//Тр.
Ленннгр. металлнческ. завода. М., Л.:
Машгиз, 1960.
119. Наводворский В. Э. О так назы-
называемой сбезмоментной» теории оболо-
оболочек/Строительная промышленность. —
1933. — № 1.
120. Новожилов В. В. Расчет нв-
пряженнй в тонкой сферической обо-
оболочке при произвольной нагрузке//
Докл. АН СССР. Новая серия. —
1940. — Т. 27. — № 6. — С. 537—
540.
121. Новожилов В. В. Теория тон-
тонких оболочек. Киев: Оборонгнз,
1941.—304 с.
122. Новожилов В. В. О погреш-
погрешности одной из гипотез теории оболо-
чек//Докл. АН СССР. — 1943. —
Т. 38. — № 5—6. — С. 174—179.
123. Новожилов В. В., Финкель-
штейн Р. М. О погрешности гипотез
Кирхгофа в теории оболочек//ПММ.—
1943. — Т. 7. — Вып. 5. — С. 331—
340.
124. Новожилов В. В. Новый метод
расчета тонких оболочек//Изв.
АН СССР. ОТН — 1946. — № 1. —
С. 35—48.
125. Новожилов В. В. Расчет цилин-
цилиндрических оболочек//Иав. АН СССР.
OTH. — 1946. — № 6. — С. 803—816.
126. Новожилов В. В. Расчет обо-
оболочек тел вращення//Изв. АН СССР,
ОТН. — 1946. — № 7. — С. 949—
962.
127. Новожилов В. В. Теория тон-
ння оболочек. Л.: Воеино-Морсиая
акад. им. А. Н. Крылова, 1947. —
304 с.
128. Новожилов В. В. Теория тон-
тонких оболочек. Л.: Судпромгнз, 1951. —
344 с.
129. Новожилов В. В. Теория упру-
упругости. Л.: Судпромгнз, 1956. — 372 с.
130. Новожилов В. В. Теория тон-
тонких оболочек. 2-е изд., нспр. н доп.
Л.: Судостроение, 1962. — 431 с.
131. Новожилов В. В., Черных К. Ф.
К расчету оболочек на сосредоточен-
ные воздействня//Исследовання по уп-
упругости и пластичности. Л.: Изд-во
Ленннгр. ун-та, 1963. — Сб. 2.—
С. 48—58.
132. Новожилов В. В. Развитие ме-
метода комплексного преобразования
в линейной теории оболочек за 50 лет//
Теория оболочек н пластин. Ереван-
Изд-во АН АрмССР, 1964. — С. 107—
115.
133. Новожилов В. В. Краткий очерк
развития теории оболочек в СССР//
Исследования по теории оболочек и
пластин. Казань: Изд-во Казан, ун-та,
1970. Вып. 6—7. С. 5—22.
134. Огибалов П. М., КолтуновМ. А.
Оболочки н пластины. М.: Изд-во
МГУ, 1969. — 695 с.
135. Образцов И. Ф. Вариационные
методы расчета тонкостенных авиа-
авиационных конструкций. М.: Машино-
Машиностроение, 1966. — 391 с.
136. Павилайвеи В. Я. Расчетнеэам-
инутого сферического купола с подкре-
подкрепленным краем на обратносимметряч-
ную нагрузку//Расчет пространствен-
пространственных конструкций. М.: Стройнадагг,
1962.—Вып. 8. — С. 23—27.
137. Павилайвеи В. Я. Расчет обо-
лочеи в многоволновых системах. Л.
Стройнздат, 1975. — 134 с.
138. Пелек Б. Л., Сяський А. А,
Распределение напряжений возле от-
отверстий в податливых на сдвиг анн-
зотропныя оболочках. Киев: Наук,
думка, 1975. — 198 с.
139. Перцев А. К., Курочми В. А.
О поведении пологой сферической обо-
оболочки под действием акустической
волны давлення//Изв. АН СССР.
МТТ. — 1977. — № 2. — С. 190.
140. Перцев А. Км Слишева Л. В.
Воздействие ударной вопия на круго-
круговую цилиндрическую оболочку, под-
подкрепленную ребрами жесткости//Ак-
туальные проблемы механики сплош-
сплошных сред: Исследов. по упругости и
пластичности. Л.: Изд-во Леиингр.
ун-та, 1980.— С. 191—199.
141. Пирогов И. М. Концентрация
напряжений в области подкрепленного
отверстия иа повериностн цилиндри-
цилиндрической оболочки//Изв. АН СССР. ОТН.
Механика н машиностроение. —
1960. — № 3. — С. 190—192.
142. Пирогов И. М. Напряженное
состояние в цилиндрической оболочие
с подкрепленным отверстием//Изв.
АН СССР. ОТН. Механика и машино-
машиностроение. — 1960. — № 6. — С. 166—
168.
143. Подстрягач Я. С, Швец Р. Н.
Термоупругость тонких оболочек. Ки-
Киев: Наук, думка, 1978. — 343 с.
144. Пояятовскнй В. В. Асимптоти-
Асимптотические разложения в линейной теории
плоских' стержней//Проблемы меха-
механики деформированного тела. Л.: Судо-
Судостроение, 1970. — С. 341—351.
145. Поиятовский В. В. Вывод урав-
уравнений тонкостенных стержней—оболо-
чеи открытого профиля нз уравнений
теории упругости методом асимпто-
асимптотического интегрирования//Актуаль-
интегрирования//Актуальные проблемы механики сплошных
сред: Исследования по упругости и
пластичности. Л.: Изд-во Ленннгр.
ун-та, 1980. — С. 40—48.
146. Постиов В. А. Устойчивость
нруговой цилиндрической оболочки,
подкрепленной упругими кольцевыми
ребрами жесткости, при действии по-
поперечной н продольной иагрузкн//Тр.
Ленмгр. кораблестр. ин-та, 1964. —
М 46. — С. 49—58.
147. Постиов В. А., Коряеев В. С.
Использование метода коиечиых ме-
маятов в расчетах устойчивости под-
подкрепленных оболочек//Прикл. меха-
мехами. — 1976. — Т. 12. — N> 5. —
С. 44—49.
148. Постиов В. А. Численные ме-
методы расчета судовых конструкций.
Л.: Судостроение, 1977. — 280 с.
149. Прочность, устойчивость, ко-
колебания: Справочник/П од общ.
р е д. И. А. Б и р г е р а, Я- Г. П а-
к о в и о. М.: Машиностроение,
1968.— Т. 1. —832 с.
150. Прочность, устойчивость, коле-
колебании: Справочннк/П од об щ. р е д.
647
И. А. Б к р г е р а, Я. Г. П а и о в-
к о. М.: Машиностроение, 1968. —
Т. 2. — 463 с.
151. Пшеиичиов Г. И. Теории тои-
кнх упругих сетчатых оболочек и пла-
пластинок. М.: Наука, 1982. — 352 с.
152. Работиов Ю. Н. Основные урав-
уравнения теории оболочек//Докл.
АН СССР.— 1945. — Т. 47. — №2.—
С. 90—93.
153. Работиов Ю. Н. Уравнения
пограничной зоиы в теории оболочек//
Докл. АН СССР. — 1945. — Т. 47. —
№ 5. — С. 334—336.
154. Работиов Ю. Н. Некоторые
решения безмоментной теории оболо-
чек//ПММ. — 1946. — Т. 10. —
Вып. 5, 6. — С. 639—646.
155. Работиов Ю. Н. Пластинки и
оболочки//Механика в СССР за 30 лет.
М., Л.: Гостехтеориздат, 1950. —
С. 226-239.
156. Рашевскнй П. К. Риманова
геометрия и тензорный анализ. М.:
ГИТТЛ, 1953.
157. Рейссиер Э. Некоторые про-
проблемы теории оболочек//Упругие обо-
оболочки. М.: Изд-во иностр. лит., 1962.—
С. 7—65.
158. Рейтмаи М. И., Шапиро П. С.
Методы оптимального проектирования
деформируемых тел. М.: Наука,
1976. - 265 с.
159. Репман Ю. В. Расчет сфериче-
сферических оболочек по моментной теории
иа несимметричную иагрузку//Пла-
стннкн и оболочки. М.: Госстройивдат,
1939.—С. 106—148.
160. Родионова В. А. Расчет цилин-
цилиндрической оболочки, защемленной по
торцам, на сосредоточенные радиаль-
радиальные нагрузки//Вести. ЛГУ. — 1968. —
№ 13.—С. 121—126.
161. Родионова В. А. Влияние усло-
условий закрепления торцов иа напряжен-
напряженное состояние круговой цилиндриче-
цилиндрической оболочки при Действии радиаль-
радиальных сосредоточенный сил//Вести.
ЛГУ. — 1969. — № 1. — Вып. 1. —
С. 119—124.
162. Розни Л. А. Метод расчленении
в теории оболочек//ПММ. — 1961. —
Вып. 5. — С. 921—926.
163. Розии Л. А. Вариационные
постановки задач дли упругих систем.
Л.: Изд-во Лениигр. уи-та, 1978. —
224 с.
164. Рябов В. М. Применеине метода
последовательных приближений при
расчете ребристых оболочек//Изв.
648
АН СССР. Механика и машинострое-
машиностроение. — 1963. — № 6. — С. 150—154.
165. Рябов В. М. Устойчивость под-
подкрепленной поперечным набором ци-
цилиндрической оболочки при внешнем
давлении и осевом сжатии//Расчет
пространств, конструкций — 1969. —
№ 12.—С. 150—167.
166. Рябов В. М. Использование
интегральных уравнений для оценки
устойчивости подкрепленных цилин-
цилиндрических оболочек при различных
граничных условиях//Проблемы меха-
механики твердого деформированного тела.
Л.: Судпромгнз, 1970. — С. 381—390.
167. Савии Г. Н. Концентрация на-
напряжений около отверстий. Киев: Гос-
техиздат, 1951. — 281 с.
168. Савии Г. Н., Флейшмаи Н. П.
Пластинки и оболочки с ребрами жест-
жесткости. Киев: Наук, думка, 1964. —
383 с.
169. Свойский Ф. М. Уточнение
расчета составного колеиа//Исследо-
вания по упругости и пластичности.
Л.: Изд-во Леиннгр. ун-та, 1968. —
Сб. 7. — С. 62—75.
170. Свойский Ф. М. О расчете
составного колена//Расчет простран-
пространственных конструкций. М.: Строй-
нздат, 1969.— Вып. 12. — С. 119—
131; Вып. 13.— С. 99—117.
171. Седов Л. И. Введение в меха-
механику сплошных сред. М.: Физматгиз,
1962. — 284 с.
172. Сеи-Веиан Б. Мемуар о кру-
кручении призм. Мемуар об изгибе призм.
М.: Физматгнз, 1961. — 518 с.
173. Слепяева Л. В. Влияние гра-
граничных условий иа распределение на-
напряжений в окрестности эллиптиче-
эллиптического отверстия в сферической обо-
лочке//Прикл. механика. — 1968. —
Т. 4. — № 7. — С. 40—48.
174. Слеииева Л. В. О взаимодей-
взаимодействии цилиндрической оболочки, под-
подкрепленной жесткими шпангоутами,
с акустической ударной волной//Тр.
X Всесоюзной конф. по теории оболо-
оболочек и пластин. Кутаиси, 1975. Тби-
Тбилиси: Мецниереба, 1975. — Т. 2. —
С. 332—339.
175. Слепяи Л. И., Черных К. Ф.
Механика сплошных сред и конструк-
конструкций в трудах академика В. В. Ново-
Новожилова. Препринт, № 247. М.: ИПМ
АН СССР, 1985. — 58 с.
176. Смирнов В. И. Курс высшей
математики. М.: Наука, 1969. —
Т. 3 — Ч. 2. — 672 с.
177. Соколовский В. В. О расчете
сферической обол очки//Докл.
АН СССР. Новая серия. — 1937. —
Т. 16 —№ 1. —С. 19—24.
178. Соколовский В. В. О безмо-
ментных оболочках вращення//ПММ.—
1938. — Т. 1. — Вып. 3.
179. Соколовский В. В. Уравнения
равновесия безмоментныи оболочек//
ПММ. — 1943. — Т. 7. — Вып. 1.
180. Соломенно Н. С, Абраняи К. Г.,
Сорокин В. В. Прочность и устойчи-
устойчивость пластин и оболочек судового
корпуса. Л.: Судостроение, 1967. —
488 с.
181. Соломой Л. Одномерная задача
для геликоидальной оболочки//ПММ.—
1954. — Т. 18. — № 1. — С. 43—44.
182. Тимошенко С. П. История нау-
науки о сопротивлении материалов с крат-
краткими сведениями из истории теории
упругости и теории сооружения. М.:
Гостехиздат, 1957. — 536 с.
183. Тимошенко С. П., Войновский-
Кригер С. Пластинки и оболочки. М.:
Физматгиз, 1963. 636 с.
184. Тимошенко С. П. Устойчивость
стержней, пластин и оболочек. М.
Наука, 1971. — 808 с.
185. Титареико И. Г. О концентра-
концентрации напряжений около эллиптиче-
эллиптического отверстия в сферической обо-
лочкеУ/Прнкл. механика. — 1968. —
Т. 4. — № 9.— С. 124—128.
186. Титареико И. Г. О коэффи-
коэффициенте концентрации напряжений
около эллиптического отверстия в сфе-
сферической оболочке//Прнкл. механи-
механика.—1971.—Т. 7. — № 6.— С.
114—115.
187. Товстик П. Е. Свободные коле-
колебания длинных цилиндрических обо-
лочек//Актуальные проблемы меха-
инки сплошных сред: Исследования
по упр. и пластнчн. Л.: Изд-во Ле-
ннигр. ун-та, 1980. — С. 207—216.
188. Товстик П. Е. Двумерные за-
задачи устойчивости колебаний оболо-
оболочек нулевой гауссовой кривизны//
Докл. АН СССР. — 1983. — Т. 271. —
№ 1. —С. 69—71.
189. Тонкостенные оболочечные кон-
конструкции: теория, эксперимент и про-
проектирование/И. А р б о ш, Г. В. Ба-
Бабель, С. Ч. Баттермаи,
Ч. Д. Б е б к о к и др.: Под ред.
Э. И. Григолюка . М.: Машинострое-
Машиностроение, 1980. — 607 с.
190. Троицкий В. А., Петухов Л. В.
Оптимизации формы упругих тел. М.:
Наука, 1982. — 432 с.
191. Тумаркии С. А. Расчет сим-
симметрично нагруженных горообразных
оболочек при помощи тригонометри-
тригонометрических рядов//ПММ. — 1952. —Т. 16.
— № 5. — С. 569—574.
192. Тумаркии С. А. Асимптотиче-
Асимптотическое решение линейного неоднородного
дифференциального уравнения вто-
второго порядка с переходной точкой и
его приложения к расчетам горооб-
горообразных оболочек и лопастей//ПММ. —
1959. — Т. 23. — Вып. 6.
193. Умаиский А. А. Кручение и
изгиб авнаконструкций. М.: Оборон-
гиз, 1939.
194. Файяберг С. М. К вопросу о
построении момеитной теории цилин-
цилиндрических оболочек//Проект и стан-
стандарт. — 1936. — № 12.
195. Файяберг С. М. К вопросу о по-
построении приближенной теории тонко-
тонкостенных оболочек произвольного очер-
тання//Исследовання по теории соору-
сооружений. М.: Стройиздат, 1939.
196. Флейшмаи Н. П. Граничные
условия для оболочки, край которой
подкреплен тонким упругим кольцом//
Прнкл. механика. — 1961. — Т. 7. —
Л6 1.—С. 34—42.
197. Хазанов X. С. К расчету круго-
круговых оболочек с круговыми отверстня-
ми//Тр. Куйбышев, авнац. ни-та. —
1967. — Вып. 29. — С. 3—17.
198. Хазанов X. С. Напряженное
состояние цилиндрической оболочки
с подкрепленным круговым отвер-
стнем//Тр. Куйбышев, авнац. ии-та. —
1968. — Вып. 39. — С. 3—25.
199. Хитров В. Н. Определенна де-
деформаций и усилий в оболочке, под-
подкрепленной ребрами в двух направле-
ннях//Прнкл. механика. — 1971. —
Т. 7. — № 1. С 49—54.
200. Хог Э., Арора Я. Прикладное
оптимальное проектирование. М.: Мир,
1983. — 479 с.
201. Чаунии М. П. Оптимальное
подкрепление отверстий в пластинах
и оболочках: Автореф. дне. ... канд.
фнз.-мат. иаук/ЛГУ. Л., 1982. —
14 с.
202. Черных К. Ф. О сопряженных
задачах теории тонких оболочек//Докл.
АН СССР. — 1957. — Т. 117.—
№ 6.— С. 949—951.
203. Черных К. Ф. О вариациоииом
принципе комплексной теории оболо-
чек//ПММ. — 1958. — Т. 22. — Вып.
2 — С. 238—244.
649
204. Черных К- Ф. Связь между
дислокациями и сосредоточенными воз-
воздействиями в теории оболочек//ПММ.—
1959. — Т. 23. — Вып. 2. — С. 249—
257.
205 Черных К- Ф. Уравнение Мей-
снера на случай обратноснмметрнч-
ной нагрузки//Изв. АН СССР. Механ.
н маШнностр. — 1959. -J4 6.-
С 68—75.
206. Черных К- Ф. Сопряженные
задачи теории тонких оболоче^/Про-
оболоче^/Проблемы механики сплошной среды. М.:
Наука, 1961. —С. 499—503.
207. Чериых К. Ф. Линейная тео-
теория оболочек. Ч. 1. Л.: Изд-во Ленин-
Ленинград, ун-та, 1962. — 274 с.
208. Чериых К- Ф. К расчету без-
моментных перекрытий с полигональ-
полигональным планом//Изв. АН СССР. Механ. и
машнностр. — 1963. — № 4. —
С 147—149.
209. Чериых К- Ф., Шамниа В. А.
Расчет торообразных оболочек//Иссле-
довання по упругости и пластичности.
Л.: Изд-во Ленннгр. ун-та, 1963. —
Сб. 2. — С 247—346.
210. Черных К- Ф. Линейная тео-
теория оболочек. Ч. 2. Л.: Изд-во Ле-
нингр. ун-та, 1964. — 395 с.
211. Чериых К. Ф. О безмоментной
теорнн оболочек/УИсследовання по уп-
упругости и пластичности. Л.: Изд-во
Ленннгр. ун-та, 1964. Сб. 3. С 3—23.
212. Черных К. Ф. Задача Сен-Ве-
нана для тонкостенных труб с круго-
круговой осью/ПММ. — 1960. Т. 24. —
Вып. 3. — С. 423—432.
213. Черных К- Ф. Простой крае-
краевой эффект и расчленение граничных
условий в линейной теорнн тонких
оболочек//Изв. АН СССР. Механи-
Механика. — 1965. — № 1. — С. 89—98.
214. Черных К- Ф., Шамнна В. А.
Деформация края оболочки, подкреп-
подкрепленного тонким упругим стержнем
(геометрическая сторона вопроса)//Ис-
следовання по теорнн пластин и обо-
оболочек. Казань: Изд-во Казан, уи-та
1970. — Вып. 6—7. — С. 39—130.
215. Черных К. Ф. Нелинейная
теория упругости в машиностроитель-
машиностроительных расчетах. Л.: Машиностроение,
Леиннгр. отд-нне, 1986. — 336 с.
216. Черннна В. С. Статика тонко-
тонкостенных оболочек вращения. М.: Нау-
Наука, 1968. — 455 с.
217. Чехов В. Н., Закора С. В.
Численное определение концентрации
напряжений около отверстия в круго-
650
вой цилиндрической оболочке//Прнкл.
механика — 1972. -Т.8.-14 7.-
С. 108—112.
218. Шамниа В. А. Обратноснм-
метрнчный изгиб почти цилиндриче-
цилиндрических оболочек вращення//Ивв.
АН СССР. ОТН. Механика и машино-
стр. — 1963. — № 3. — С. 128—133.
219. Шапиро Г. С. О равновесии
конуса и ионической оболочки//
ПММ. — 1944. — Т. 8. — Вып. 4.
220. Шереметьев М. П. Пластинки
с подкрепленным краем. Львов: Ивд-во
Львов, ун-та, 1960. — 258 с.
221. Штаерман И. Я. К теории
симметричных деформаций анизотроп-
анизотропных упругих оболочек//Изв. Киев, по-
литекн. и сельяоз. нн-та. — 1924. —
Кн. 1. —Вып. 1. —С. 54—72.
222. Штаерман И. Я. О применении
метода асимптотического интегриро-
интегрирования к расчету упругих оболочек//
Изв. Киев, политехи, и сельхоз. ин-
института. — 1924. — Т. 19. — Кн. 1. —
Вып. 2 — С. 75—99.
223. Штаерман И. Я. Об интегри-
интегрировании дифференциальных уравне-
уравнений равновесия упругий оболочек//
Изв. Киев, полнтекн. нн-та. — 1972. —
Кн. 2.
224. Штаерман И. Я. Основные
идеи современной теорнн куполов и
сводов//Тр. Всесоюзн. конф. по бетону
и железобетону. Оболочки и стержне-
стержневые железобетонные конструкции. М.,
Л.: ГНТИ, 1932. — С. 3—16.
225. Штаерман И. Я- Расчет купола
как арки на упругом основании//
Проект и стандарт. — 1933. — № 9. —
С. 21—25.
226. Агоп Н. Das Gleichgewlcht und
die Bewegund einer unendlich dunnen
beliebig gekrflmmten elastischen Scha-
le//J. fur reine und angew. Math. —
Bd. 78. — 1874. — S. 136—174.
227. Basset A. On the extention and
flexure of thin elastic shells//Phil.
trans. Roy. Soc.. 1890. Vol. 179 (A).
228. Beltrami E. Still equilibrio delle
supperficie flessibili//Mem. R. A cad.
sci di Bologna, 1881.
229. Blumenthal 0. Ober assympto-
tische Integration von Differential-
gleichungen mit Anwendung auf Bere-
chnung von Spunnungen in Kugelscha-
len//Zeitschr. fur Math, und Phys. —
Bd. 62. — 1914. — S. 343—358.
230. Bolle L. Festigkeitsberechnung
von Kugelschalen//Scheiz. Bauzei-
tung. —Bd. 66.— 1916.— S. 105—122.
231. Canchy A. Sur l'equilibre et le
mouvement d'une plaque solide. Exer-
cice de mathematique. — Vol. 3. —
1828.
232. Clark R. A. On the theory of
thin elastic toroidal shells//J. math,
and phys. — I960. — Vol. 29.
233. Clark R. A., Girioy T. I.,
Reissner E. Stresses and deformations
of toroidal schells of elliptical cross
section//J. appl. mech.— 1953. —
Vol. 20. — No 4.
234. Clark R. A. and Reis-
Reissner E. A problem of finite bending
of toroidal shells//Quart. appl. math. —
1953. — Vol. 10. — No 4. — P. 321—
324.
235. Clark R. A. Asymptotic solu-
solutions of toroidal shell problems//Quart.
appl. math. — 1958. — Vol. 16. —
No 1.
236. Ciebsch A. Theorie de l'elasti-
cite des corps solides. Paris, 1883 (пере-
(перевод с нем. н коммент. Б. деСен-Венана).
237. Cohen J. W. On stress calcula-
calculations in helicoidal shells and propeller
blades. Delft, Holland, Walman,
1955. — 100 p.
238. Dahl N. C. Toroidal-shell expan-
tion joints//J. appl. mech.— 1953. —
Vol. 20. — No 4.
239. Dehousse N. M. Nouvelle met-
hode de calcul des coques cylindriques
raidies par deux conrs de nervures
orthogonales//Bull. clas. Sci. Acad.
Roy. Belg. — 1961. — 47. — N 5. —
P. 432—451.
240. Dikman M. Theory of thin elas-
elastic shells. Boston: Pitman advanced
publ. progr., 1982. XII. — 364 p.
241. Dischinger F. Der Spannungs-
znstand in affinen Schalen und Raum-
fachwerken unter Anwendung des sta-
tischen Massenausgleichs//Bauing. —
136. — Bd. 17.
242. Donnell L. H. Stability of thin-
walled tubes under torsion. US NACA,
Technical Report. — 479. — 1933. —
24 p.; руссх. перевод: Доннелл Л. Г.
Устойчивость тонкостенных труб при
крученни//Прочность н устойчивость
конструкций в самолетостроении. М.:
ЦАГИ, 1937. — С. 29—57.
243. Donnell L. H. A discussion of
thin shell thery//Proc. 5th Internet.
Congr. Appl. Mech. Cambridge, Mass.
1938. New York: J. Wiley and Son,
1939. — P. 66—70.
244. Dubois F. Ober die Festigkeit
der Kegelschale, Zurich, Promotion-
sarbeit, 1917.
245. Flfigge W. Stresses in shells.
2-nd ed. Springer-Verlag, Berlin, Hei-
Heidelberg, New York, 1973.
246. Galletly G. D. On particnlar
integrals for toroidal shells subjected
to uniform internal pressure//J. appl.
mech. — 1958. — Vol. 25. — No 3.
247. Galletly G. D. A comparison of
methods for analising bending effect
in toroidal shells//J. appl. mech. —
1958.— Vol. 25.— No 1.
248. Galletly G. D. Torispherical
hells — a caution to designers. Trans.
ASME, 81B(J. engng. industry),
1959.— No 1.
249. GeckelerJ. Die Festigkeit achsen-
symmetrischer Schallen. Ing.-Arch. —
1930. — T. 1. — N 4. — S. 255—276.
250. Gibson J. E. Thin shells: Com-
pnting and theory. Pergamon press,
1980. X. — 289 p.
251. Havers A. Assymptotische Bie-
getheorie der unbelasteten Kngelschale.
Ing.-Arch. — 1935. — Bd. 6. — N 4. —
S. 281—312.
252. KSrman Th. Ober die Formal
derung dflnnwandiger Rohre, inbeson"
dere federnder Ausgleichsrohre//Zs. Ver>
deut. jng. — 1911. —Bd. 55.
253. Kirchhoff G. Vorlesungen fiber
mathematische Physik. Bd. 1, Mecha-
nik, 1876.
254. Krauss F. Ober die Grundglei-
chunden der Elastizitatstheorieschwach-
deformierter Schalen//Math. Anna-
len. — 1929. — Bd. 101. —H. 1.
255. Krupka V. The Contact between
rigit or flexible stddlesupport and
thin elastic shell/Arthiwum budowy
Maszyn. — 1977. — Tom XXIV. —
С 177—185.
256. Lame G et Glapeyron В. Р. Е.
Memoire sur l'equilibre interieur des
corps solides//Mem. ores, par div.
savants. — 1833. — Vol. 4.
257. Legally M. Ober Spannungen
und elastische Deformation von une-
benen Membranen//ZAMM. — 1924. —
Bd. 4.
258. Lecornu L. Sur l'equilibre des
surfases lexibles et inextendibles//J.
de l'ecole Pol у technique. — С 47.
259. Lobeii F. Ein beitrag zur Bes-
timmnng der Deformationen einer elas-
tischen Membran//ZAMM. — 1927. —
B. 7.
260. Love A. On the small free vib-
vibrations and deformation of thin elastic
651
schell//Phil. Trans. Roy. Soc. —
1888. - Vol. 179 (A). - P. 491—546.
261. Mansfild E. H. Neutral holes
in plane sheet-reinforced holes which
are elastically equivalent to uncut
sheet//Quart. J. Mech. and Appl.
Math. — 1953. — Vol. 6. — N 3. —
P. 370—378.
262. Mansfild E. H. Stress concentra.
tions in the desing of pressurized hellsjf
Aeronaut. Res. Council. Current Pa-
Papers. — 1955. — N 217. — P. 50—57.
263. Megares G. Die Kuppel gleicher
Festigkeit//Bauing. — 1939. — Bd. 20.
264. Meissner E. Das Elastizitat fur
diinne Schalen von Ringsflachen, Kugel
und K.egelfrom//Phys. Zeitschr. —
1913.— Bd. 14.
265. Meissner E. Ober Elastizitat
und Festigkeit dunner Shalen//Vierteel-
jahrschrift der Naturforsahenden Gesell-
schaft in Zurich. — 1915. — Bd. 60. —
S. 23—47.
266. Naghdi A. K., Eringen A. C.
Stress distribution in a circular cylin-
cylindrical shell with a circular' cutout//
Ing.-Arch. — 1965. Vol. 34. — N 3. —
P. 161—172.
267. Naghdi A. K- An approximate
solution to the problem of a circular
cylindric lashell with a circular holl
subjected to an arbitrary self-equilibra-
self-equilibrated adge loading//Ing.-Arch. — 1969. —
Vol. 38. — N 6. — P. 380—388.
268. Niordson F. I., Pedersen P. A.
A review of optimal structural design//
Proc. 13th Internat. Congr. Theoret.
and Appl. Mech. Moscow University,
1972. Berlin: Springer, 1973. — P. 264—
278.
269. Pardue Т. Е., Vigness I. Pro-
Properties of thin-wallad curvad tubes of
short-bend radius//Trans. ASME. —
1951. —Vol. 73. — No 1.
270. Pasternak P. Die praktische Be-
rechnung biegefester Kugelschalen krei-
runder Fundamentsplatten auf mono-
lither Verbindung//ZAMM. — 1926. —
Bd. 6. — N 1. —S. 1—29.
271. Pierson B. L. A survey of op-
optimal structural design under dinamic
constraints//Int. J. Numer. Meth.
Eng. — 1972. — T. 4. — P. 491—499.
272. Pietraszkiewicz W. On solving
equation for shallow shells/Bull. Acad.
polcn. sci. Ser. sci. techn. — 1967. —
V. 15. — N 5. — P. 357—361.
273. Pietraskiewicz W. Multivalued
solutions for shallow shells//Arch. Mech.
Stosowaney. — 1968. — V. 20. —
652
N 1. —P. 3—10.
274. Pietraszkiewicz W. Multivalued
stress functions in the linear theory of
shells/Arch. Mech. Stosowaney. —
1968. — V. 20. — N 1. — P. 37—45.
275. Pietraszkiewicz W. Finite rata-
tions and lagrangian discription in
the non-linear theory of shells. Warsza-
wa, Poznan: Panstw. wyd-wo naukowe,
1979. — 103 p.
276. Poisson S. Memoire sur l'equi-
libre et le mouvement des corps sol ides.
Paris, Mem. de Г Acad. Sci., 1829. —
Vol. 8.
277. Poschl Th. Berechnung von Be-
haltern nach neueren analytischen und
grafischen Methoden. Berlin, 1927.
278. Reissner H. Spannungen in Ku-
Kugelschalen (Kuppeln). Muller, Breslau—
Festschr., Leipzig, 1912. — S. 181—193.
279. Reissner E. Stress-strain rela-
relations in the theory of thin elastic
shells//J. Math. Phys. — 1952. —
Vol. 31 — No 1.
280. Reissner E. A note on membrane
and bending stresses in spherical
shells//J. soc. industr. appl. math.—
1956. — Vol. 4. — No 4.
281. Reissner E., Wan F. Y. M.
A note on stress-strain relations of
the linear theory of shells//J. Appl.
Math. Phys. (ZAMP). — 1966. —
T. 17— N 6.— P. 676—681.
282. Reissner E. A note on generating
generalized two-dimensional plate and
shell theories//ZAMP. — 1977. —
28. — P. 633—642.
283. Reissner E. Reflections on the
theory of elastic plates//Appl. Mech.
Rev.— 1985.—Vol. 38. — N 11. —
P. 1453—1456.
284. Rutten H. S. Asymptotic appro-
approximations in the three-dimensional theo-
theory of thin and thick elastik shells. The
practical classification of shell prob-
problems. Systematic systems of linear
equations and conditions. Nederlands
bockdruk industrie, 1977. — XVIII. —
625 p.
285. Seide P. Small elastic deforma-
deformations of thin shells. Leyden. Noordhoff,
1975.— XVI. —654 p.
286. Schwerin E. Ober die Spannun-
Spannungen in symmetrisch und unsummetrisch
belasteten Kugelschalen (Kuppeln) ins-
besoudere bei Belastung durch indd-
ruck//Armierten Beton. — 1919. —
Bd. 12. — S. 25—46.
287. Utecht E. A. Stresses in curved,
circular thin-walled tubes//J. appl.
mech. — 1963. — Vol. 30 — No 1.
288. Van der Nent A. De elastische
stabiliteit van den dunwandigen//
Diss., Delft, 1932.
289. Wissler H. Festigkeitsberech-
nung von Ringflachenschalen//Zurich:
Promotionarbeit, 1916.
290. Wmiderlich W. Vergleich ver-
schidener Approximationen der Theorie
dunner Shalen (mit numerischen Bei-
spielen)//Techn. Wiss. Mitteilungen des
Institute fur Konstruktiven lngenieur-
bau der Ruhr. Universitat. Bochum,
1973. H. 73—1.
291. Zerna W. Mathematisch strenge
Theorie elastischer Schalen//ZAMM. —
1962. — 42. — s. 333—341.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Введение 5
Список основных обозначений 13
Часть 1. ОСНОВЫ КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК
Глава 1. Уравнения теории оболочек в координатах, отнесеииых
к линиям кривизны
.1. Некоторые сведения из теории поверхностей
.2. Закон изменения смещений по толщине оболочки
.3. Деформация оболочки
.4. Уравнения неразрывности деформаций срединной поверхности
.5. Усилия и моменты
.6. Равновесие объемного элемента оболочки
.7. Функции, тождественно удовлетворяющие уравнениям равно-
равновесия
.8. Потенциальная энергия деформации оболочек
.9. Определяющие уравнения линейной теории упругих оболочек . .
.10. О путях решения задач теории оболочек
.11. Граничные условия в задачах статики оболочек
.12. Деформация нормального граничного элемента оболочки . . .
.13. Комплексное преобразование уравнений линейной теории обо-
оболочек ,
.14. Упрощение теории оболочек по способу Муштари—Донелла—
Власова
.15. Теории пологих оболочек
.16. Об основных свойствах решений уравнений теории оболочек
Глава 2. Расчет оболочек по безмоментной
безмоментной
теории
Основные уравнения безмоментной теории
Граничные условия
2.3. Условия существования безмоментиого напряженного состояния
2.4. Уравнения безмоментной теории оболочек вращения ....
Метод решения дифференциальных уравнений безмоментной
теории оболочек вращения
Осесимметричная деформация оболочек вращения
Беэмомеитная теория куполов . v
2.1.
2.2.
2.5.
2.6.
2.7.
15
22
26
32
34
37
40
42
46
52
54
57
60
67
72
77
82
87
89
92
95
98
101
653
2.8. Безмоментная теория сосудев давления 105
2.9. Оболочки равного сопротивления 111
2.10. Обратносимметричная дефорнация оболочек вращения. . . 112
2.11. Аффинное преобразование в безмоментной теории оболочек . . . 122
2.12. Уравнения безмоментно& теории в декартовых координатах . . 128
2.13. Расчет перекрытия, имеющего форму эллиптического парабо-
параболоида , 134
2.14. Расчет эллиптическое ^артботгоида с прямоугольным планом 137
2.15. Расчет напряжений в углах полигональных перекрытий . . . 140
2.16. Интегрирование уравнений равновесия безмоментной теории
цилиндрических оболочек 143
2.17. Определение смещений в цилиндрических оболочках по беа-
моментной теории 146
2.18. Расчет некруговых цилиндрических оболочек на равномерное
нормальное давление 148
2.19. Безмоментная теории цилиндрических перекрытие 153
Глава 3. Расчет цилиндрических оболочек 159
3.1. Уравнения цилиндрических оболочек в комплексной форме . . . —
3.2. Теория цилиндрических оболочек, подкрепленных поперечными
ребрами 165
3.3. Расчет цилиндрических пластин 171
3.4. О полубезмомеитной теории цилиндрических оболочек .... 180
Глава 4. Расчет оболочек вращении 184
4.1. Метод комплексных усилий —
4.2. Метод разделения переменных 191
4.3. Уравнения осеснмметричной деформации 195
4.4. Интегрирование разрешающего уравнения осесимметрнчной
деформации 202
4.5. Приближенное решение задачи осесимметричного изгиба . . . 206
4.6. Обратносимметричная деформация оболочек вращения .... 212
4.7. Осесимметричиаи и обратноснмметричнаи деформация цилин-
цилиндрической оболочки 222
4.8. Осесимметрнчиая н обратносимметричная деформация кониче-
конической оболочки 235
4.9: Осесимметричная и обратносимметричная деформация сфери-
сферической оболочки 242
Часть II. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ
ОБОЛОЧЕК
Глава 5. Основы теории поверхностей. Геометрия оболочка. . . 249
5.1. Геометрия поверхности —
5.2. Кривые на поверхности 256
5.3. Ортогональные координаты. Физические компоненты . . . 264
5.4. Полярные (полугеодезическне), параллельные н декартовы
координаты на поверхности 268
5.5. Винтовые поверхности. Геликоид 278
5.6. Геометрия оболочки 280
Глава 6. Соотношения теории оболочек в координатах общего вида 282
6.1. Деформация оболочки —
6.2. Деформация нормального граничного элемента 288
6.3. Усилия и моменты. Уравнения равновесия 291
6.4. Энергия деформации оболочки. Статические граничные условия 296
6.5. Закон упругости 299
654
6.6. Статико-геометрическая и комплексная аналогии. Комплексные
зависимости 301
6.7. Нахождение смещений и функций напряжения 306
6.8. Соотношения теории оболочек в ортогональных координатах 309
Глава 7. Дислокационные смещения. Многозначные функции иа-
ирижеиия дислокационного типа 315
7.1. Выделение многозначной части вектора смещений —
7.2. Дислокационные смещении в оболочке вращении 316
7.3. Функции напряжения дислокационного вида 318
Глава 8. Общие теоремы. Граничные условии 319
8.1. Теорема Клапейрона. Теорема взаимности Бетти 320
8.2. Теорема единственности. Основные варианты граничных условий 321
Глава 9. Безмоиеитиая теории 325
9.1. Безмоментное решение как прием иахождеиия частного решения
общей (момеитной) теории 327
9.2. Особенные случаи 329
9.3. Критерии безмоментности частного решения 335
9.4. О возможности использовании безмоментного решения в ка-
качестве общего решения моментиой теории 336
9.5. О критериях безмоментности. Краткая историческая справка 344
Глава 10. Асимнтотический анализ уравнений теории оболочек.
Основные типы напряженного состояния. Краевой эффект 345
10.1. Уточненное уравнение Власова
10.2. Асимптотическое исследование системы уравнений в комплекс-
комплексных смещениях 349
10.3. Классификация иаприжениых состояиий 354
10.4. Простой краевой эффект 356
10.5. Упрощенный вариант (первое приближение) 360
10.6. Расчленение напряженного состояния и граничных условий 362
10.7. Продолжение. Условия упругого соприження 365
10.8. Упрощенные варианты. Коэффициенты податливости.... 369
10.9. Механическое истолкование краевого эффекта 376
10.10. Цилиндрическая оболочка с косым срезом 378
Глава 11. Круговые торообразиые оболочки 382
11.1. Построение дислокационных компонент деформации. . . . 383
11.2. Построение системы статических функций 384
11.3. Обобщенные уравнении Мейсснера 386
11.4. Осесимметричиое кручение (второй симметричный случай) . . 391
11.5. Осесимметричный изгиб (первый симметричный случай) .... —
11.6. Обратносимметричные случаи 392
11.7. Периодические решения основных уравнений 394
11.8. Асимптотическое интегрирование. Метод эталонных уравнений 399
Глава 12. Торообразные компенсаторы 417
12.1. Осевое растяжение трубчатого компенсатора —
12.2. Трубчатый компенсатор под действием осевой силы и нормаль-
нормального давления. Замкнутый тор . . . 422
12.3. Изгиб четверти тора распределенным краевым моментом . . . 425
12.4. Линзовый компенсатор без кольцевой пластины. Гофрирован-
Гофрированная труба 429
655
12.5. Случаи обратносимметричного нагружения
12.6. Трубчатый компенсатор в условиях изгиба и сдвига,
435
438
Г л aeav 13. Задача Сен-Веиаиа для труб с круговой осью 443
13.1. Осесимметричное кручение (второй симметричный случай) . . 444
13.2. Первый симметричный случай (изгиб моментом в плоскости гиба) 446
13.3. Обратносимметричные случаи 449
13.4. Асимптотические формулы. Примеры расчета 454
Глава 14. Термоупругне иапряженвн 458
14.1. Операторная форма записи уравнений линейной теории оболочек —
14.2. О формулировке граничных условий в терминах деформацион-
деформационных величин 461
14.3. Граничные условия на контуре с угловыми точками .... 467
14.4. Разрешающие уравнения термостатики оболочек 469
14.5. Температурные поля, не вызывающие напряжений 475
14.6. Расчленение термоупругого напряженного состояния .... 479
14.7. Расчет термоупругого напряженно-деформированного состояния
в составной цилиндрической оболочка 485
Глава 15. Оболочки, подкрепленные ребраив 493
15.1. Граничные условия подкрепленного кран оболочки —
15.2. Уравнении термостатики ребристых оболочек 504
15.3. Оболочки, подкрепленные ребрами одностороннего действии 521
15.4. Расчленение граничных условий подкрепленного края .... 533
15.5. Оболочка вращения с подкрепленным краем 541
15.6. Напряженное состояние в эллипсоидальном куполе с опорным
кольцом 566
15.7. Кваэиснмметрнчная деформация геликоидальной оболочки
с подкрепленным краем 579
Глава 16. Обратные и оптимальные задачи для оболочек с подкреплен-
подкрепленным краем 587
16.1. Две обратные задачи для оболочек с подкрепленным краем 588
16.2. Эквивалентное подкрепление отверстий в плоских пластинах 590
16.3. Критерии оптимальности подкреплений 599
16.4. Прямая, обратная и оптимальная задачи для составной кон-
конструкции «пластина—кольцо—патрубок» 603
16.5. Оптимальное подкрепление кругового отверстия в цилиндри-
цилиндрической оболочке 624
16.6. Оптимальное подкрепление узла «цилиндрическая оболочка —
цилиндрический патрубок» 635
Список литературы 642
Убедительная просьба Л
Нп ccfcm. члйющинъ и рассматриваю
щииь ин«™, эстампы фоиг|лф|н и т д.
1) НикакМхъ гОАрисовот,. раскраши-
ван1й и отЛ"етОкъ не давать;
ZJ при перелистывали страницу Паль-
Пальцы отнюдь не мочить;
3) перелистывать медленно и аккуратно,
4Ta6bj неч?Яг,по углы сгрэннцъ и пакпе-
ешыхъ рисунков ь пе Загнуть и не снять,
а такте проклавку и?ъ папиросной бума-
бумаги мещду рисунками не испортить,
4) при раЗс^зтривнши зстаглпОБЪ, фо-
И табачнымъ дымолть ихъ не сСддвать,-
5) передо начипомъ рассматривай!» и
чтениг руки тщательно мьлъ: ротными
рунами такке огчюдь не брать:
б] къ серому рлсунку па эстэ^ла^ъ фо
таграфаямъ и т. Д. пальцами не лрикосатьсв;
7} ОСвожку иви лереглетг книги пе-
В) листы нниги Шй яамнти незагибвть,
Э) въ карманахъ ннигъ п« носигь иви
же употребляв при атомъ особою гредосто-
ромнисть^ чтобы лниги не испачкались и