/
Текст
МЕТОДЫ РАСЧЕТА
СТЕРЖНЕВЫХ
СИСТЕМ,
ПЛАСТИН
И ОБОЛОЧЕК
С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ
ЭВМ
часть
МЕТОДЫ РАСЧЕТА
СТЕРЖНЕВЫХ
СИСТЕМ,
ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК
С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ
ЭВМ
в двух частях
Под общей редакцией
засл, деятеля науки и техники,
проф., д-ра техн, наук
А. Ф. СМИРНОВА
ЧАСТЬ I
Сканировал и обрабатывал
Лукин А.О.
МОСКВА
СТРОЙИЗДАТ
19 7 6
УДК 624.074.04 : 681.3
Печатается по решению секции литературы по строительной фи-
зике и конструкциям редакционного совета Стройиздата.
Авторы: А. В. Александров, Б. Я. Лащеников, Н. Н. Ша-
пошников, В. А. Смирнов.
Методы расчета стержневых систем, пластин и оболочек с ис-
пользованием ЭВМ. В 2-х ч. Под ред. А. Ф. Смирнова. Ч. 1. М.,
Стройиздат, 1976. 248 с. Авт.: А. В. Александров, Б. Я. Лащеников,
Н. Н. Шапошников и др.
Книга, состоящая из двух частей, посвящена развитию и при-
менению численных методов строительной механики. В части I рас-
смотрены основные вопросы применения метода конечных элементов.
Приведен численный метод расчета пластин, являющийся дальней-
шим обобщением метода упругих грузов. Большое внимание уделено
расчету складчатых систем и пологих оболочек с учетом разрывных
параметров: ребер, переломов поверхности оболочек, сосредоточен-
ных нагрузок и т. п. Изложены основы континуально-дискретного
метода расчета регулярных систем.
Книга предназначена для научных работников научно-исследо-
вательских и проектных организаций.
Табл. 16, рис. 114, список лит..* 107 назв.
30205—412
047(01)—76
109—76
(g) Стройиздат, 1976
ПРЕДИСЛОВИЕ
В связи с непрерывным ростом, развитием и совершен-
ствованием строительства и машиностроения предъявляются
все более высокие требования к методам расчета сооружений,
конструкций и механизмов. Интенсивно внедряются в практику
расчетов современные электронные вычислительные машины,
благодаря которым широко используются в расчетах численные
методы анализа, например численные решения краевых задач.
Наряду с этим стремительно развиваются и прямые методы
решения задач строительной механики. Значительно расширя-
ется применение метода перемещений в различных формах.
Многие задачи расчета сложных систем, включающих стержни,
пластины и оболочки, решают этим классическим методом, ко-
торый может сочетаться с методами прикладной теории упру-
гости, например с решениями в рядах. Широко используется
и метод конечных элементов, который в настоящее время явля-
ется одним из основных методов расчета на прочность, динами-
ку и устойчивость конструкций.
В предлагаемой книге развиваются метод перемещений и не-
которые другие численные методы строительной механики при-
менительно к расчетам различных систем.
В связи с большим разнообразием вычислительных машин
различной мощности часто даже однотипные задачи решаются
по-разному в зависимости от того, какая ЭВМ применяется в
расчете. Поэтому и методы решения задач расчета сооружений
и их элементов неодинаковы. Например, континуальные системы
со сложными очертаниями, вырезами и т. п. необходимо рассчи-
тывать путем перехода к дискретной расчетной схеме, тогда как
для расчета дискретных регулярных систем, состоящих из боль-
шого числа элементов и имеющих простые очертания, на опре-
деленном этапе расчета рациональнее использовать континуаль-
ную модель. В предлагаемой работе авторы стремились изло-
жить достаточно широкий круг методов расчета, оговаривая в
каждом случае возможные области их применения и предпола-
гая, что читатель сможет сам выбрать из них необходимый ме-
тод в зависимости от особенностей решаемой задачи, вычисли-
тельных средств, математического обеспечения на ЭВМ и т. п.
В первой части этой книги излагаются основы применения
метода конечных элементов. При написании книги авторы осно-
вывались главным образом на своих исследованиях. Учитывая,
однако, что в отечественной литературе метод конечных эле-
ментов изложен недостаточно полно, в книгу включены и неко-
торые общие положения этого метода. Известно, что метод ко-
1* 3
печных элементов можно давать как вариационно-разностный
метод решения задач теории упругости. Здесь этот метод пред-
ставляется как дальнейшее развитие одного из канонических
методов строительной механики — метода перемещений, в то же
время показывается его связь с методом Ритца. Кроме того,
приводится численный метод расчета пластин, являющийся
дальнейшим развитием метода упругих грузов.
Большое внимание уделяется расчету складчатых систем и
пологих оболочек, широко распространенных в практике совре-
менного строительства. Каноническая форма метода перемеще-
ний в сочетании с использованием одинарных тригонометриче-
ских рядов позволяет легко учитывать разрывные параметры:
ребра, переломы поверхности оболочек, сосредоточенные на-
грузки и т.п. Даны основы континуально-дискретного метода
расчета регулярных систем.
Авторы выражают глубокую благодарность О. В. Лужину
за ценные советы и полезные замечания по работе, а также
В. П. Петрову, автору интерпретирующей программы ИП-70,
которая использовалась при решении приведенных в книге при-
меров.
Главы 1—2 написаны Н. Н. Шапошниковым, глава 3 —
В. А. Смирновым, глава 4 — А. В. Александровым, глава 5 —
Б. Я- Лащениковым, п. 4 главы 1 написан совместно Н. Н. Ша-
пошниковым и О. О. Андреевым, п. 7 главы 1 и п. 6 главы 2 на-
писан О. О. Андреевым, пп. 4 и 6 главы 4 — Е. И. Мелешонко-
вым, п. 5 главы 4 — А. В. Александровым и Е. И. Мелешонковым.
Глава 1
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ РАСЧЕТА
СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ
ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
1. МАТРИЦЫ ПОДАТЛИВОСТИ и жесткости
Для балки, изображенной на рис. 1, а, имеем:
У1
Уз
Уз
fill ^12 613 Р1
^21 ^22 62З р*
63I 6.32 633 р3
или у — АР ,
(1)
где 6Z/- — перемещение в точке i от единичной силы, прило-
женной в точке /.
Матрица А называется матрицей податливости. Элементы
этой матрицы — перемещения от единичных сил. Так, первым
столбцом являются перемещения в точках /, 2, 3 от единичной
силы, приложенной в точке 1 (рис. 1,6). Так как элементы мат-
рицы податливости представляют собой перемещения, то эту
матрицу называют также матрицей перемещений. Умножая обе
части равенства (1) на Д-1, получим:
Р = А"1 у = By,
(2)
где
В — матрица жесткости; ее элементы — реакции, возникаю-
щие в точках 1, 2, 3 от смещений этих же точек на единицу. Так,
первым столбцом являются реакции в точках 1, 2, 3 при смеще-
нии точки 1 на единицу и закрепленных остальных точках
(рис. 1,е). Так как элементами матрицы жесткости являются
реакции, то эту матрицу называют также матрицей реакций.
В дальнейшем матрицу жесткости (реакций) будем обозначать
либо буквой В, либо R. Матрицы податливости и жесткости
всегда симметричные.
Построим матрицу жесткости для стержня, изображенного
на рис. 2, а. На рис. 2, б показаны деформация стержня и поло-
жительные направления реакций, действующих на стержень.
5
Рис. 3
6
где матрица реакций;
Р—вектор обобщенных усилий;
Z—вектор обобщенных перемещений.
На рис. 3 показаны эпюры моментов, возникающие в балке
при единичных линейных и угловых смещениях ее концов.
Для построения матрицы жесткости воспользуемся матрич-
ной формой перемножения эпюр (эту же матрицу реакций мож-
но получить вырезанием узлов):
4EI 2EI
1 ~ 1
6EI 6Е!
Я I2 ~ I2 1 Г 2 II
2EI 4EI 6EI 1 1 2J
1 1
GE1 6Е/
I2 I2
4EI 6EI 2Е1 6EI
X 1 2EI I2 6EI 1 ~ 4EI I2 6EI
1 I2 1 I2
" 4Е! 6Е/ 1 I2 6EI \2Е1 I2 /з 2EI 6EI ’ 1 Z2 6£/ 12£/ Z2 Z3 Р12
2EI QEI 1 I2 6EI \2Е1 I2 Is 4EI 6EI 1 Z2 6£/ 12£/ ~ Z2 Z3 ^22
(4)
где 7?п, Т?22—блоки второго порядка, элементами которых яв-
ляются реакции, возникающие в сечениях 7, 2
(рис. 2) от единичных смещений тех же сече-
ний;
7
#2i, #12— блоки, элементами которых являются реакции,
возникающие вследствие взаимодействия сече-
ний / и 2.
Матрица реакций (4) не имеет обратной, так как ее ранг
равен 2 (вторая и четвертая строки отличаются только знаками
и вторая строка может быть получена сложением первой и
третьей строк). Ранг матрицы реакций равен разности между
ее порядком и числом перемещений стержня как жесткого це-
лого. Деформацию стержня, изображенную на рис. 2,6, можно
представить в виде жесткого смещения и деформации относи-
тельно этого смещения. На рис. 2, в в качестве жесткого смеще-
ния принято перемещение стержня, при котором точка 1 пере-
местилась на а точка 2 — на ш2. Деформация относительно
жесткого смещения определяется углами поворота Acpi и Дф2
(на рис. 2, в эта деформация показана штриховкой). В качестве
жесткого смещения можно принять поступательное смещение
Wi и угол поворота (рх (рис. 2, г). В этом случае деформация от-
носительно жесткого смещения будет определяться относи-
тельным прогибом Azo2 и относительным углом поворо-
та Лф2.
Подобных представлений можно предложить сколько угодно,
но при каждом из них деформация относительно жесткого сме-
щения будет характеризоваться двумя параметрами. Если в
каждой из точек 1 и 2 принять по три возможных" смещения
(ф, и, w, где и — смещение по горизонтали), то матрица жест-
кости будет иметь порядок 6X6 и ранг ее будет равен 3, так как
в этом случае возможны три смещения стержня как жесткого
целого (например, поворот и поступательные смещения по гори-
зонтали и вертикали).
Таким образом, матрица податливости не всегда может быть
найдена как матрица, обратная матрице жесткости, так как
последняя может оказаться вырожденной матрицей и не иметь
обратной. Матрица податливости всегда невырожденная, и по-
этому справедливо равенство В=Л”1.
2. СВОЙСТВА МАТРИЦ ЖЕСТКОСТИ
ДЛЯ ПЛОСКИХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Рассмотрим элемент в виде плоской прямоугольной
рамки, изображенной на рис. 4. Предположим, что рамка де-
формируется в своей плоскости и из плоскости. В качестве
обобщенных перемещений, характеризующих положение всех
точек оси рамки в пространстве, примем три линейных переме-
щения точек /, 2, 3, 4 (на рис. 4 обозначены вектором с одной
стрелкой) и три угловых (обозначены вектором с двойной стрел-
8
кой). Векторы перемещений угловых точек и сил, возникающих
в точках /, 2, 5, 4, имеют вид:
(5)
Таким образом, деформация рамки определяется 24 степе-
нями свободы. Используя обозначения (5), запишем полные
векторы перемещений и
узловых сил для всего
элемента:
23
-*4 -
Pi
р3
Операция перехода от
вектора Z к вектору Р за-
пишется в виде
Рис. 4
P = R Z,
где /? — матрица жесткости, имеющая порядок 24X24.
Матрица жесткости для элемента, изображенного на рис. 4,
в силу его симметрии имеет большое количество повторяющих-
ся элементов. Запишем матрицу реакций в блочной форме:
#11 #12
#21 #22
#31 #32
#41 #42
#13 #14
#23 #24
#33 #34
#43 #44
(6)
R =
где Ri}-—матрица шестого порядка, элементами которой явля-
ются реакции, возникающие в точке i от единичных
смещений в точке / (f, /=1, 2, 3, 4).
9
Блоки реакций Rij имеют вид:
Я*/ =
«.<p*
vluj vivi
D (р?
IS} w\ W CDX W Ч)У
i i i i i i
(7)
(рхШ . фХ(рХ Ц)Х (р^
<$Vw. cpVcp* <₽V<p^
«/«; U.-V
y I ?
^U. <fjv}
q>z
На основании теоремы о взаимности реакций имеем
В выражении (7) каждая из реакций снабжена буквенными ин-
дексами, которые в свою очередь имеют числовые индексы. По
теореме о взаимности реакций буквенные индексы можно ме-
нять местами, оставляя при этом прежние числовые индексы
(например, rv.u^ = rUjVi). С другой стороны, при замене чис-
ловых индексов (i на /; j на I) при прежних буквенных, по усло-
вию двоякой симметрии могут меняться только знаки, модули
элементов при этом остаются прежними. Таким образом, все
блоки Rij являются матрицами, симметричными по модулю, а
матрицы, расположенные на главной диагонали (i=j), полно-
стью симметричны.
К первому блочному столбцу матрицы реакций R (6) отно-
сятся реакции, возникающие в точках /, 2, 3, 4 от единичных
смещений точки /, ко второму — от единичных смещений точки
2 и т. д. По условию симметрии элемента (см. рис. 4), аналогич-
ные реакции от смещений точек 1 и 2 могут отличаться только
знаками. Следовательно, блоки первого столбца отличаются от
идентичных блоков второго столбца знаками. То же можно ска-
зать и относительно остальных столбцов.
Введем обозначения для блоков первого столбца: /?н = Лц;
j?2i — В2ь 7?31 = Сз1; 7?41=£>4ь Блоки реакций, отличающиеся
знаками, будем обозначать одинаковыми буквами. На основа-
нии сказанного выше, модули элементов всех блоков матрицы
реакций могут быть установлены по элементам блоков первого
столбца матрицы R. Таким образом, матрица реакций состоит
из блоков четырех типов: А, В, С, D. Блоки, стоящие на главной
диагонали матрицы 7?, выражают реакции, возникающие в точ-
ках /, 2, 5, 4 от единичных смещений тех же точек и могут отли-
10
чаться знаками элементов. Следовательно, ^22=^22’, /?33=А3з;
/?44—Л44 (индексы у буквы А указывают на разницу в знаках).
Установим соответствие между блоками, расположенными ниже
главной диагонали, и блоками первого блочного столбца. Тип
блока, расположенного выше главной диагонали, может быть
установлен по условию симметрии матрицы так как все бло-
ки матрицы R являются симметричными по модулю матрицами.
Блоки 7?з1 = С31 и Т?42 в силу симметрии точек 3, 4 и 1, 2 относи-
тельно оси у (см. рис. 4) отличаются знаками. Значит =
То же можно сказать и относительно блоков R^=D^ и
R32=D32 (точка 4 симметрична точке 3, а точка 1—точке 2).
Блоки Т?21 — #21 и Т?4з — В4з также отличаются только знаками в
силу симметрии относительно оси х. На основании сказанного
матрица реакций для элемента, изображенного на рис. 4, будет
иметь вид:
Лц В12 С13 D14:
^21 ^22 &23 6*24
С31 D32 ^33 З34
^41 6*42 £43 ^44
(8)
Предположим, что известны блоки Ли; В2Г, С31; £41 (а следо-
вательно, и модули всех элементов матрицы реакций). Для
установления знаков элементов остальных столбцов (второго,
третьего и четвертого) построим два оператора знаков. Разде-
лим перемещения углов рамки на две группы. Чтобы установить,
к какой группе относится то или иное перемещение, перегнем
рамку по оси у. В результате этого точка 1 наложится на точ-
ку 2, а точка 3 — на точку 4, Если положительные направления
одинаковых перемещений (см. рис. 4) для наложенных точек
совпадут, эти перемещения отнесем к группе 1, если не совпа-
дут— к группе 2. Аналогичную операцию можно провести и от-
носительно оси х. Итак, имеем:
Ось у
Группа 1 Группа 2
v (рУ и W срх <р~
Ось х
Группа 1 Группа 2
U V W СрХ фг
Построим операторы для получения знаков второго и третьего
блочных столбцов (соответственно, оператор 1 и оператор 2)
по знакам элементов первого блочного столбца. Для построения
оператора 1 используем левую из приведенных выше схем, а
для получения оператора 2 —правую.
11
Оператор 1
« 1 | W ф-* фУ фг
и + — + + — +
V — + — — + —
W + — + + — +
фх + — + + — +
ф’’ — + — — + —-
фг + — + + — +
Оператор 2
и W ФЛ' <$У
и + — + — —
V — + 1 + — + +
W — + + — + +
ФЛ + — — + — —
Ф-У — + + —- + +
ф’ — + + — + +
Знаки операторов устанавливались по следующему правилу:
на пересечении строки и столбца ставился знак плюс (+) в том
случае, если перемещения, указанные слева и сверху, принадле-
жат одной группе; в противном случае—ставился знак минус
(—•). Для получения знаков элементов второго блочного столб-
ца — Bi2; Аг; ^зг; С42 надо «наложить» оператор 1 на соответ-
ствующие блоки первого блочного столба, обозначенные теми
же буквами В2ь Аг, ZA; Сзь Причем если знаки элементов
первого блочного столбца и оператора совпали, то в соответст-
вующее место блока второго блочного столбца ставится знак
плюс; в противном случае — минус. Аналогично, с помощью опе-
ратора 2 устанавливаются знаки третьего блочного столбца по
знакам первого. Чтобы получить знаки четвертого блочного
столбца, необходимо наложить на элементы первого блочного
столбца сначала оператор 1, а потом оператор 2, или построить
12
оператор 3 (который получается наложением оператора 2 на
оператор 1). С помощью последнего можно сразу по знакам пер-
вого столбца получить знаки четвертого.
Остановимся далее на структуре блоков первого столбца
матрицы /?. Как указывалось выше, матрицы B2i; С31; Ан —
симметричные по модулю матрицы, а матрица Ли — полностью
симметрична. Чтобы установить знаки элементов, расположен-
ных выше главной диагонали внутри блока, надо части опера-
торов 1, 2, 3, расположенные ниже сплошной ступенчатой линии,
наложить на элементы, стоящие на главной диагонали и ниже.
Элементы, расположенные на главных диагоналях и ниже в
блоках Лц; B2i; С31; £41, будем в дальнейшем называть исходны-
ми, так как по этим элементам с помощью операторов может
быть построена вся матрица реакций.
Проиллюстрируем сказанное на примере стержня, изобра*
женного на рис. 2, а. Учитывая изложенное, матрица жесткости
для этого стержня будет иметь вид:
__ Г ^12 1 Г Лц В12
L ^21 R22 J L -^21 л22
Составим схему деления перемещений на группы: группа
1—ср; группа 2 — w.
Оператор знаков будет следующим:
ф W
ф + —
W — +
Если обозначить элементы блоков Лц, B2i малыми буквами:
(9)
то ai2=^2i; &i2=—&21. Исходные элементы матрицы реакций
для стержня могут быть получены вырезанием соответствующих
узлов при ф1= 1 и Wi— 1 (см. рис. 3):
ахг = Гц = 4£// /; Ьц = г31 = 2ЕЦ Z;
а21 = r21 = 6EZ/Z2; 621 - г41 = - 6£//Z2; (10)
а22 =г22 = 12£//Р; Ь22 - г42 - - 12£7/Z3,
13
Матрица реакций для стержня может быть получена по исход-
ным элементам (10) с помощью приведенного выше оператора.
Остановимся на некоторых свойствах исходных элементов
матрицы жесткости. Зададим элементу, изображенному на рис.
Рис. 5
4, шесть единичных жестких смещений — три линейных и три
угловых (рис. 5). Очевидно, что в первой точке реакции от этих
смещений должны быть равны нулю. Запишем это условие в
матричной форме (11):
14
15
Первыми столбцами в матрицах, стоящих множителями при
являются векторы перемещений точек /, 2, 3, 4 при tz= 1,
вторыми — при р=1, третьими — при ад=1, четвертыми — при
Фх==1 и т. д. По условию симметрии матрицы R имеем: T?i2—
= ^21 J #13=0^ ; /?i4=^4i . Выражение (11) дает ряд соотно-
шений между исходными элементами.
Проиллюстрируем получение этих соотношений на примере
стержня. Зададим стержню два жестких смещения ср= 1 и w = l
(рнс. 6):
ij+M
1
О
1 °]
I 1J
= 0.
Учитывая, что
и используя обозначения (9), получим:
аи 1
«21 «22J L о
о ] гГ ^211Г1 о 1 _ q
1J 1-^21 ML /11“
Г«11 + + ^21 I «21 + &211 __ Г 0 0 *1
1«21 — ^21 “F ^22 «22 ^22 J L О О J
Из равенства (12) имеем:
«22 j «22
«21 = -у; *21 = -—;
Исходные элементы матрицы реакций (4) удовлетворяют
всем соотношениям (13).
Таким образом, все элементы матрицы реакций для стержня
выражаются через ац и «22- Обратим внимание на то, что при по-
лучении соотношений (13) между исходными элементами ис-
пользовались только условия симметрии и условия равновесия,
следовательно, этим соотношениям должны удовлетворять эле-
менты матрицы реакций вне зависимости от того, какими физи-
ческими свойствами наделен элемент. В частности, если постро-
ить матрицу реакций для стержня с учетом сдвигов, то ее эле-
менты также будут зависеть только от Лц и а22.
3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МАТРИЦ ПОДАТЛИВОСТИ
И ЖЕСТКОСТИ ПРИ ИЗМЕНЕНИИ ВЕКТОРОВ
ОБОБЩЕННЫХ СИЛ И ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Вновь рассмотрим балку, изображенную на рис. 1,а. Вы-
числим работу сил Р\\ Р^ Рз- Она равна потенциальной энергии,
накопленной в балке
Q (pi^i +р*Уг + рзУз)> (14)
16
Выражение (14) можно записать в матричной форме:
(15)
Подставляя (1) в (15), получим
й = _1_рт/р (16)
Это и есть выражение для потенциальной энергии тела, запи-
санное через вектор сил. Подставляя (2) в (15), получим выра-
жение для потенциальной энергии тела, записанное через вектор
перемещений
q _ _L уч Ву (17)
Таким образом, для вычисления потенциальной энергии че-
рез вектор сил используется матрица податливости, а через век-
тор перемещений — матрица жесткости.
Рассмотрим упругое тело, загруженное силами, характеризу-
емыми вектором Р*. Матрицу податливости обозначим Л*. Тог-
да в соответствии с формулой (16) имеем
S2 =-~ (р* )т А*Р* . (18)
Предположим, что вектор сил Р* связан с вектором Р соот-
ношением
Р*=СР, (19)
где С — матрица преобразования.
Тогда, подставляя (19) в (18), получим
1 -
Q = — Рг АР,
2
где Л=СТ4*С. (20)
Матрица А представляет собой матрицу податливости при
измененном векторе обобщенных сил Р, который связан с векто-
ром Р* соотношением (19).
Получим далее формулу преобразования матрицы жесткости
при изменении вектора обобщенных перемещений. Рассмотрим
упругое тело, которому задана деформация, характеризуемая
вектором у. Матрицу жесткости обозначим В*. Тогда в соответ-
ствии с формулой (17) имеем
(21)
2—274
17
Предположим, что вектор у связан с вектором Z соотноше-
нием
y = CZ. (22)
Подставляя (22) в (21), получим
1 -»т -
Й =---ZT BZ,
2
где
В — СТВ*С. (23)
Приведем простейшие примеры использования формул (23)
и (20). На рис. 7, а изображена дважды статически неопредели-
мая рама. На рис. 7, б и 7, в показаны основные системы без уче-
та и с учетом группировки. Предположим, что матрица податли-
вости для системы, представленной на рис. 7,6, имеет вид
А* = Г611 б121 .
1^21 ^22 I
Очевидно, что по условию симметрии рамы 611 = 622. Постро-
им матрицу податливости А для системы, показанной на
рис. 7, в, с использованием формулы (20):
х* = Xi + х2-,
х2~~ Х\ — х2’
или х* = Сх, где С=
По формуле (20) получим
Г6Ц + 612 + 621 + ^22
+ $12 — ^21 — ^22
^11 — ^12 + ®21 — ^22
6ц — 612 — 621 -р ^22
18
По условию двоякой симметрии матрицы Л* имеем
А =
2(6и+612) О
О 2(<5и-612)
Трудоемкость построения матриц податливости и жесткости
зависит от того, какие нагрузки или перемещения взяты в каче-
стве единичных (базисных) нагрузок. Поэтому при построении
этих матриц используются
базисные нагрузки, в ко-
торых матрицы строятся
более просто; переход к
окончательному базису осу-
ществляется по формулам
(20) и (23). Предположим,
необходимо построить мат-
рицу податливости для бал-
ки, показанной на рис. 8;
где А — матрица податливости.
Для получения матрицы податливости можно сразу перемно-
жить эпюры, изображенные на рис, 9, а, или построить сначала
матрицу податливости от уравновешенных воздействий, а потом
уже перейти к окончательной матрице податливости. Сопрягая
Рис. 9
2*
19
эпюры, представленные на рис. 9, б, получим матрицу податли-
вости Л* от уравновешенных воздействий Р*:
4 10'
d
Л* =-----
Далее необходимо найти связь между единичными нагрузками
(см. рис. 9, а и 9, б). С одной стороны,
^12 ^13
^22 ^23
^32 ^33
Рис. 10
а с другой стороны,
М = Р* .
(25)
Приравнивая выражения (24) и (25), получим
Матрица LM является матрицей
с формулой (20) имеем:
перехода. В соответствии
А = Ljf Л* LM = (P/WEI
П
88
56
88 56
128 88
88 72
Построим для фермы, изображенной на рис. 10, а, матрицу
податливости от сил Pi; Р2; Рз> -,Рз- Будем считать, что площа-
ди поперечных сечений поясов и решетки одинаковы. Чтобы по-
строить матрицы податливости, можно определить усилия во
всех элементах фермы от Pi = 1,..., Р5= 1 и затем перемножить
эти эпюры. Это весьма трудоемкий процесс, особенно при боль-
20
шом количестве панелей. Поэтому для облегчения этого процес-
са построим первоначально матрицу податливости от уравнове-
шенных воздействий (при действии которых, в силу уравнове-
шенности, работает только часть фермы), а далее произведем
переход по формуле (20).
По аналогии с предыдущим выражением, матрицей перехода
будет LM, которая для нашего случая имеет вид [79]:
LM = d/6
4
8
6
4
1 2
3 2 1“
6 4 2
9 6 3
6 8 4
3 4 5 _
Затем перейдем к построению матрицы податливости А* от
уравновешенных воздействий. От первого единичного воздей-
ствия будет работать часть фермы, изображенная на рис. 10, б.
Проводя сечение и составляя уравнения равновесия, получим:
о = — ~; «==-“; D
4 8
5^5
— ; D2 — —
24 2 24
Перемножая эпюру нормальных сил от первого единичного воз-
действия саму на себя, будем иметь:
du = l/EF [6(V4)2+ 2-6 (i/8)2 + 4-5 (б/2*>2] = 1,4305-^-.
Е.Г
Эпюра нормальных сил от второго единичного воздействия
аналогична эпюре нормальных сил от первого единичного воз-
действия. Сопрягая эти эпюры, получим
61а = 621 = MEF [6 (Vs)2 - 2-5 (5/ 24)3] = - 0,3403~ .
Коэффициенты 63i = 641 = 651 = 0. Ввиду регулярности фермы
коэффициенты остальных столбцов аналогичны коэффициентам
первого столбца:
Л* = \/EF
1,4305 —0,3403
0,3403 1,4305
— 0,3403
— 0,3403
1,4305 — 0,3403
— 0,3403 1,4305 —0,3403
— 0,3403 1,4305
После перемножения матриц по
формуле (20) получим:
А = X/EF
“5,7913 2,9996 2,2497 1,4998 0,7499’
2,9996 8,0410 4,4994 2,9996 1,4998
2,2497 4,4994 8,7909 4,4994 2,2497
1,4998 2,9996 4,4994 8,0410 2,2996
„0,7499 1,4998 2,2497 2,9996 5,7913„
21
В п. 1 получена матрица жесткости для стержня, показан-
ного на рис. 2, а. Эту же матрицу можно найти по матрице по-
датливости, используя формулу (20), если учесть смещение
стержня как жесткого целого. Построим матрицу податливости
от воздействия М2 и Р2 (рис. И):
J______г2 "
El 2EI Г М2 1
/2___1з L г
2Е/ ЗЕ/
Рис. 11
Элементы матрицы получены
перемножением эпюр моментов,
изображенных на рис. 11,6, в.
Получим матрицу, обратную мат-
рице
Г 4£/ ЗЕ/ "1
I Р
ЗЕ/ \2Е/
Р I3
Чтобы построить окончательную матрицу жесткости, необхо-
димо учесть жесткое смещение стержня (рис. 12). Выразим
Ф* и ^2 через фь Wi; ф2; w2. В соответствии с рис. 12 имеем
ф2 — ф2 —- фр —— ф!
или в матричной форме
По формуле (23) получим матрицу реакций для стержня,
полностью совпадающую с выражением (4).
22
4. МЕТОД ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ДЛЯ РАСЧЕТА
СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ В МАТРИЧНОЙ ФОРМЕ
Рассмотрим применение метода перемещений на приме-
ре рамы (рис. 13, а). Узлы рамы обозначены арабскими цифра-
ми, а стержни римскими. При расчете рамы будем учитывать
влияние продольных сил. На рис. 13, б изображена основная сис-
тема, полученная из заданной наложением трех связей на каж-
дый из узлов. Рядом со связями показаны перемещения <р, Ах,
Рис. 13
Аг/. Чтобы основная и заданная системы работали одинаково,
необходимо связям сообщить такие перемещения, при которых
усилия в этих связях оказались бы равными нулю. Величины
этих перемещений отыскиваются из канонических уравнений.
Для системы, изображенной на рис. 13,6, таких уравнений дол-
жно быть 9. Обозначим:
А<Р1 = гь
Д%1 = г2;
At/i = z3;
Дф2 — г4;
Дх2 = z5;
Ду2 = г6.
Выпишем три канонических уравнения, относящиеся к точке
/ (рис. 13):
ги Zi + /*12 z2 + /"13 г3 + г14 + <!5 z5 + ге -)- Л1 = 0;
21 + /*22 Z2 + г23 ?3 + ^24 г4 + Г25 %5 + ^26 ?6 — Н ~ О',
Г31 + Г32 Z2 + /*зз Z3 + Г34 Z4 4“ Г35 -|- Гй6 Zq = 0.
(26)
Запишем уравнения (26) в матричной форме:
R11 + R12Z2 + R1P = °>
23
где
rll Г12 rl3
r21 Г22 r23
r31 f32 r33
r14 Л15 r16
r24 f25 ^26
r34 r35 >36
Ф1
Axx
&У1
z4
z5
ze
Ф2
Дх2
^2
Вся система канонических уравнений для рамы, показанной
на рис. 13,6 имеет вид:
Ян Zj + Я12^2 + Rip ~ О,
Я21 Zi “I- Я 22-^2 “F Я23 Zg 4~ R2P — 0, (27)
Я3222 Язз ^з + Язр ~ 0.
Систему (27) можно записать так:
BZ + #p = o,
где
Яи Я12
В — Я21 Я22 Я2з ;
Я32 Я33
г -> -1
Zi
za ;
Дз _
Rp =
R\p
R2P
R3P
Остановимся подробнее на построении матрицы реакций для
отдельного стержня. Рассмотрим общий случай стержневого
элемента, учтем в нем влияние поперечных сил и будем пола-
гать, что стержень находится на упругом основании. Если влия-
ние поперечных сил учитывать не требуется и стержень не нахо-
дится на упругом основании, то можно положить соответствую-
щие характеристики равными нулю. Учет упругого основания
можно проводить в континуальной или дискретной форме. При
учете основания в континуальной форме надо рассматривать
стержень как балку на упругом основании. При дискретной фор-
ме влияние основания моделируется пружинами, жесткость ко-
торых определяется по формуле
c = W2, (28)
где k— коэффициент постели;
b—ширина стержня;
s — длина стержня.
При дискретном способе эпюра отпора будет аппроксимиро-
ваться ступенчатой функцией, а точность зависит от длины
24
стержня (чем длина меньше, тем точность выше). Дискретный
способ легко позволяет учитывать одностороннюю связь между
основанием и стержнем, которая часто встречается в реальных
сооружениях; достаточно жесткость растянутых пружин поло-
жить равной нулю. На рис. 14 изображен стержень с пружинами
по концам. Начало стержня
обозначим буквой я, а ко-
нец — к. Систему коорди-
нат g, т} (см. рис. 14), свя-
занную со стержнем, будем
называть местной системой
координат; систему х, у —
общей. Связи, поставленные
по направлению местных
осей, назовем местными;
связи, поставленные по нап-
равлению общих осей, — об-
Рис. 14
щими. Первоначально пост-
роим матрицу реакций в местной системе координат, а потом
перейдем к общей системе по формуле (23).
На рис. 15 показан прямолинейный стержень постоянного се-
чения, прикрепленный к узлам н и к податливыми связями.
Рис. 15
Требуется определить реакции в связях основной системы, нало-
женных на узлы ники ориентированных по осям местной сис-
темы координат. Введение податливых соединений стержня с уз-
лами позволяет более точно учитывать работу элементов сбор-
ных конструкций. Меняя величины податливости связей, можно
учесть граничные условия типа шарнира или подвижной опоры,
не изменяя алгоритма формирования матриц единичных и гру-
зовых реакций.
Работа стержня на изгиб не зависит от нормальных усилий
в стержне, поэтому реакции в плавающих заделках и связях,
направленных вдоль оси т], определим независимо от реакций в
связях, направленных вдоль оси £. Первую задачу решаем мето-
дом начальных параметров. Дифференциальное уравнение упру-
гой линии с учетом сдвиговых деформаций имеет вид:
25
d2y
dl2
Q (g) \
GF J
(29)
d
где p — коэффициент формы поперечного сечения.
На рис. 16 изображены положительные прогибы и углы пово-
рота поперечного сечения стержня с абсциссой а также поло-
жительные направления внешних нагрузок. Обозначим податли-
вость соединений стержня с узлами ник при повороте plftrt и
plfe, податливость при смещении вдоль оси ц р3н и Рз*. Величина
податливости представляет смещение по направлению связи от
соответствующего единичного усилия в соединении.
Решение уравнения (29) получено в [8] в виде
и (g) = Аи (0) + Вр (0) + £ в (a.) + £ е (bf) Аир. + £ е (с ) х
i j k
X^Uqk + 2 6 №) &Uqk+ ^UV
k
p (I) - Ap (0) + £ e (a.) ApMi + £ e (*,) Дрр/ +
i i
+ S e (ck) A p'fe + £ e (dk) Ap"ft;
k k
(30)
В этих выражениях матрицы ы(£) и р(Е) представляют сме-
щения и внутренние усилия в текущем сечении стержня:
EI у(1) 1
EI Ф (?) ]’
26
Матрицы А и В, зависящие от абсциссы следующие:
л/tv Г1 И Г5а/2 + £7₽1Н5 53/6 + £/рзн-2х?1
[О 1J’ L 5 + Я/Р1Н IV2 ]•
Остальные слагаемые в формулах (30) учитывают влияние
внешних нагрузок, действующих на стержень. Функция е (х) —
= /— ПРИ А'<| называется единичной разрывной функцией.
ЛиМ1=М1а-а.)
ДиР/=-Р7.(5-б;.)
Ли'
^'qk = 4k (i-dk)2
1/2 (§ - а{) 1
1 J’
4sa-bjy-2%
V 2 (?-&/) .
' V24(5-^)2-x
v [1/2(5-q)'
L i
Vttt-dk) J’
El a —
= -----------
5-V
1
]; &p'9k=-qk(l-Ck) X
bpp,=-pj
У 2 a-dk)
1
h
Величина x характеризует влияние сдвиговых деформаций
p(l+v)/
F
где v—коэффициент Пуассона;
а и h—коэффициент линейного расширения материала
стержня и высота сечения.
Для решения задачи необходима связь между матрицами и*
и р* в сечении с абсциссой £ = sи матрицами u(s) и p(s).
Очевидно: p(s)=p*;
w(s) (31)
где матрица Bh определяется податливостями прикрепления
концевого сечения стержня к узлу k.
| 0 EI^k 1
k о ]•
Выражения (30) универсальны, что важно при решении за-
дачи на ЭВМ. Построение матриц единичных и грузовых реак-
ций легко реализуется при произвольных условиях прикрепле-
ния стержня к узлам. После решения системы канонических
уравнений и определения неизвестных узловых смещений выра-
27
жения (30) используются для нахождения перемещений и внут-
ренних усилий в различных сечениях по длине стержня.
Покажем технику вычисления единичных реакций в узловых
связях в местной системе координат на основе выражений (30).
Пусть необходимо найти реакции в связях узла н от единичных
смещений этого же узла н. С точностью до знака эти реакции
равны внутренним усилиям в сечении g=0
Рнн —
^Н,ун
^н.Ун
^.Фн
Матрицу усилий в узле k обозначим рдн* При заданном воздей-
ствии смещения левого узла определяются единичной матрицей
и(0) = В,
а правый узел неподвижен
и (s) = 0.
Внешняя нагрузка по длине стержня отсутствует, и выражения
(30) преобразуются к виду:
И* = Л ($) + -^ ($) Рнн» Ркн A (s) Рнн*
Из выражений (31) следует
и* =— ркн.
Решая полученную систему уравнений относительно рнн и рвн
найдем:
Рнн = (S) -В К. A (s)]"”1; Ркн = (S) Рнн* (32)
Аналогично определяются и матрицы усилий от единичных сме-
щений узла k
Ркк = (s) Рнн A (S)j Рнк = Рнн (S) • (33)
Матрицы усилий от внешней нагрузки в сечениях н и к разы-
скиваются по уравнениям (30) в предположении, что и0=
= u(s) = 0.
Остается получить реакции в связях, препятствующих смеще-
ниям вдоль оси | местной системы координат. Обозначим подат-
ливость связей в сечениях н и к на продольное смещение 02н и
р2к. С точностью до знака реакции в продольных связях от еди-
ничных смещений этих связей определяются формулой
ПР s/ EF + р2н + ₽2К
Матрица реакций для стержня в местной системе координат бу-
дет такой:
28
С учетом добавочных реакций вследствие упругого основания
блоки матрицы /?' можно представить в виде:
/?нн ~
/?нк
/?кк
Рнн,11
: О
Рнн,21
Рык,11
= о
Рнк,21
Ркк.И
О
Ркк,21
пр
О
Рнн.12
О
Рнн,
о
'пр
О
о
22 Jrkbs/2
Рнк,12
О ;
Рнк,22
Ркк,12
пр О
0 Ркк,22 +
(35)
О
где, например, рнн,12 означает элемент матрицы рнн, стоящий на
пересечении первой строки и второго столбца. Для случая, когда
податливость прикреплений крайних сечений стержня к узлам
равна нулю, а влияние сдвига пренебрежимо мало, получим:
4EI S 6g/ 0 2EI s 6g/ s2
0 EF 0 S 0 — EF 0 s
6Е/ 12g/ , Л kbs 6EI 0 12g/
R' - S2 _ V „ S3 s3 s3 (36)
2EI S 0 —- 6Е1 S2 4EI s 0 6g/ s2
0 EF 0 0 EF 0
S s
6EI 0 —- 12g/ 6g/ 0 12g/ kbs
- S2 s3 sa s3 + 2
Построим матрицу перехода от общей системы координат к
местной Выпишем зависимость между перемещениями. Предпо-
ложим, что точка после деформации перешла из положения k в
положение k\ (рис. 17). Составляющие этого перемещения в ме-
стной системе координат будут Д^, Дц, в глобальной — Дх, Ду.
Проектируя ломаную kaki на оси g и т], получим:
Д£ == Дх cos а + Лу sin а;
Дг) Дх sin а + Д«/ cos а.
Учитывая эти зависимости, запишем связь между векторами пе-
ремещений
Z' = cz,
29
где
' ф*
Z' — ;
Дп
'<р~
Ах
Лу
с =
' 1
О
О
О
cos а
—sin а
О
sin а
cos а
Элементы матрицы С удобно выразить через координаты то-
чек ник (см. рис. 14):
Хк Хн , ук Ун
cos а —---—---; sin а —-----—— ;
S - У(%к — Хн)2 + (f/к — t/н)2.
Окончательно, в соответствии с формулой (23), матрица реакций
в общей системе координат будет такой
Ст^н С; CrR^C
ст<нс; сХкС
Блоки со штрихами
относятся к местной сис-
теме координат и выра-
жения для элементов этих
блоков приведены в (35).
При расчете стержневых
систем иногда удобно
принимать разные общие
системы для начала и
конца стержня. Случай
такого выбора осей пока-
зан на рис. 18 (хн, //н —
общая система для нача-
ла стержня; хк, //к — то же, для конца стержня; g-q — местная
система координат). Предположим, что матрица перехода от
осей Хи, //н к осям g и ц — Сн, а от осей хк, к осям g, ц — Ск.
В этом случае блоки окончательной матрицы вычисляются по
формулам:
VcXcH;
R =
Rhh ^ни
Rkh Rka
^кк ^КК ’
(37)
Имея формулы матриц реакций для отдельных стержней
(37), можно построить матрицу системы канонических уравне-
ний (27). Чтобы отличать блоки реакций для различных стерж-
ней, снабдим эти блоки римскими индексами, значения которых
соответствуют номеру стержня, например блоки реакций для I и
II стержней будут иметь вид:
г pi п!
хнн хнк
pl р!
, КН хкк _
Вп —
"рП pH *1
7'нн ^нк
я” к.
кк _
30
При построении матрицы реакций для рамы, изображенной
на рис. 13, а, необходимо наметить у каждого из стержней нача-
ло и конец. Проще всего это сделать с помощью стрелки, направ-
ленной от начала стержня к его концу (рис. 19,а). Тогда можно
изобразить раму в виде ориентированного графа [121]. При этом
точки присоединения рамы к земле обозначены номерами 4, 5, 6.
Рис. 19
Схема рамы, матрицу реакц В = При формиров ветствующие и 4, 5, 6 не имею Для форми использована < изображенная на рис. 19,6, позволяет ий для рамы. pl I - рП : pH j ^КК Т" ХНН : ЛНК рП pH 1 pH! J- plv = P*v АКН ; АКК Т /ХНН 1 АНН ; ХНК : nlV • plV 1 pV _ : ХКН : ХКК > JXHH _ ании матрицы блоки 7?*н, а т; [м побочные блоки не применяются, так т перемещений. рования матрицы реакций всей рамы м< формула (23). Каждый из стержней иь построить акже соот- как точки ожет быть «еет мест-
Местная нумерация Общая нумерация
> 1 2 | 3
н > I [ II 111 IV V
к Е 1
н £ 1
к 1 1 Е 1
н в 1
к 1
н £ 1
к 1 1 Е
н 1 1 Е
к 1 1
31
ную нумерацию н и к и общую — /, 2, 3... Роль матрицы С в
этом случае играет матрица перенумерации от общей нумерации
к местной. Построим эту матрицу.
Здесь Е— единичная матрица третьего порядка.
Используя формулу (23), будем иметь
В = СТ В' С,
где В — матрица реакций при общей нумерации;
Рассмотрим симметричную систему (рис. 20, а). Предполо-
жим, что она загружена симметрично. В этом случае основная
система будет иметь вид, изображенный на рис. 20, б. Связи,
соответствующие фактическим связям системы, помечены на
рис. 20,6 штриховкой. В точках 4 и 5 имеется по две связи
(вследствие симметрии системы) и одна дополнительная связь.
Для этих точек надо составить по одному уравнению. Однако
при этом будет нарушаться блочная структура матрицы жестко-
сти для всей системы, что неудобно с точки зрения программиро-
вания. Чтобы не нарушать структуру матрицы, составим для то-
чек 4 и 5 по три уравнения, а потом вычеркнем строки и столб-
цы, соответствующие связям, по направлению которых переме-
щения равны нулю. При вычеркивании в строку и столбец,
соответствующие исключаемому неизвестному, ставим ноль, а на
место элемента, соответствующего главной диагонали, — едини-
цу. Если при этом в грузовом столбце в строке, соответствующей
вычеркиваемому неизвестному, поставить нуль, то автоматиче-
ски это неизвестное обратится в нуль. Аналогично надо посту-
пить и в точке 1, для которой Vi = 0.
32
При расчете на заданное смешение (например, Ui=A) необ-
ходимо вычеркнуть только строку (на месте главного элемента—
единица), а в соответствующее место грузового столбца поста-
вить значение этого смещения А. Причем указанное неизвестное
автоматически окажется равным заданному смещению. Следует
обратить внимание на то, что после такого вычеркивания матри-
ца жесткости станет не симметричной, но она может быть сим-
метризована, если вычесть из грузового столбца столбец, соот-
ветствующий известному перемещению, умноженный на величи-
ну этого перемещения. Для расчета на заданное смещение может
быть использован и другой прием: на место главной диагонали,
соответствующее известному перемещению, заносится большое
число (как бы ставится очень жесткая пружина), а в грузовой
столбец ставится это же число, увеличенное в А раз (А — задан-
ное смещение). Если смещение равно нулю, то в грузовой стол-
бец заносится нуль. Такой прием не нарушает симметрии матри-
цы системы канонических уравнений.
После решения системы уравнений находятся перемещения
(угловые и линейные) всех угловых точек. По этим перемещени-
ям могут быть найдены внутренние силы, действующие в по-
перечных сечениях стержней.
5. ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ БЛОЧНОГО ИСКЛЮЧЕНИЯ
ПО ГАУССУ
Физический смысл блочного исключения по Гауссу пояс-
ним на примере рамы, изображенной на рис. 13, а. Канонические
уравнения для основной системы, показанной на рис. 13, б, име-
ют вид
Ян
Яг! Я гг Ягз
Язг Язз
Z1
z2
Za _
Я1Д
+ ЯЙР
_Язр_
— О,
На первом шаге исключим блок /?2ь для этого умножим пер-
вую блочную строку на матрицу
3—274
33
Е
/?21
Al ^12
/?22 ^23
^32 ^33
г2
_z3 _
Ап
(38)
где Е — единичная матрица.
Столбцами матрицы /?ц являются реакции в точке 1 при еди-
ничных смещениях точки 1 (<р= 1; Дх=1; \у= 1) и закреплен-
ных точках 2 и 3. Столбцами матрицы Ап, как указывалось в
п. 1, являются перемещения точки 1 при приложении к ней еди-
ничных сил (Л1= 1; Я=1; V— 1) и закрепленных точках 2 и 3
(рис. 21, а). Элементы матрицы Л12— реакции в связях, наложен-
Рис. 21
ных на точку 1, при единичных смещениях связей точки 2. Эле-
ментами произведения АцЛ12 являются перемещения в точке 1
от единичных смещений точки 2. Аналогично координатами век-
тора Ац/?1Р являются перемещения в точке 1 от нагрузок, при-
ложенных в этой же точке в системе с освобожденными связями в
точке 1. Далее умножим первую строку выражения (38) на
и полученный результат вычтем из второй блочной строки:
0 Лц В12 ^22 ^32 Й5 ел ъэ со Со I : | '1 I >-<. М СО In tN tN = Лц Rip Rsp _
где
^22 ^22 ^21 А1 ^12* ^2р ^2р ^21
Выясним физический смысл блока Зададим точке 2 в
системе, изображенной на рис. 13,6, единичные смещения, тогда
в точке 2 возникнут реакции /?22’> одновременно с этим в связях,
наложенных на точку /, возникнут реакции, характеризуемые
блоком /?12. Приложим к сечению 1 силы, равные и противопо-
ложно направленные реакциям T?i2; тогда точка 1 будет сво-
бодна от сил, а в точке 2 возникнут дополнительные реакции
34
(—OiJW Складывая эти реакции с /?22, получим R22 =
= /?22-Я2И 11^12-
Таким образом, блок R*22 выражает реакции, возникающие в
точке 2, при отсутствии связей в точке 1 (см. рис. 21, a). R*2p —
грузовой столбец для точки 2 в системе, представленной на
рис. 21, а. Итак, для этой системы канонические уравнения будут
иметь вид:
*22 *23 Z2
*32 R33 ^3
R2p
_ Rap _
Следовательно, один шаг по Гауссу
связей в одной точке.
= 0.
эквивалентен
(39)
снятию
_> *
2^22 *2р
^2
= 0,
После исключения блока *з2 в системе (39) получим
Е А 22 *23
, 0 *зз
*33 ” *33 *32 ^22 *23* ^22 = (*22) J
где
*3р *32 ^22 *2р •
Аналогично предыдущему для системы, изображенной на
рис. 21,6, имеем
*33^3 ~ *3р>
где /?з3— блок реакций, возникающих в сечении 3 от единичных
смещений этого же сечения;
Rlp—вектор грузовых членов, возникающих в точке 3 (оба
эти фактора относятся к системе, изображенной на
рис. 21,6).
Покажем как построить матрицу смешанного метода по изве-
стной матрице реакций исходя из физического смысла блочного
исключения по Гауссу. Рассмотрим систему, изображенную на
рис. 22. Предположим, что для этой системы матрица реакции
35
Я известна и требуется построить матрицу смешанного метода
(см. рис. 22, б) ;
У1
Уъ
#э
#4
#5
^11 ^12 j &L3 ^14 \б
©21 °22i °23 *24 *25
^31 Г32 : Г33 Г34 /35
Г41 г42 : г43 Г44 Г45
-Гб1 ^52:гбЗ Г54 Г55 _
#2
Уз
У4
Уб
Соответственно матрице смешанного метода разобьем матри-
цу реакций на блоки:
#и i #12
[#21 j #22 J
где #и— блок реакций, возникающих в точках 1, 2 при еди-
ничных смещениях этих точек;
#а2 — то же, для точек 3, 4, 5;
#12, R21—блоки реакций, возникающих вследствие взаимодей-
ствия между точками 1, 2 и 3, 4, 5.
В соответствии с вышеизложенным матрица смешанного ме-
тода будет такой:
..।.................. /40)
#21 #11* : #22 — #21 #1/ #12
Действительно, — блок, элементами которого явля-
ются перемещения точек /, 2 от
единичных сил, приложенных в тех
же точках при закрепленных точ-
ках 3, 4, 5;
#22 — #21 Яц1 #12 — блок реакций, возникающих в
связях 3, 4, 5 при освобожденных
связях в точках 1, 2 (в соответст-
вии с физическим смыслом про-
цесса блочного исключения по
Гауссу);
#21 Яц1—‘реакции, возникающие в точках
3, 4, 5 от единичных сил, прило-
женных в точках 1, 2;
#12—перемещения, возникающие в
точках 1, 2 от единичных смещений
точек 3, 4, 5.
Из равенства
#21 #п! (#1? #1г)т
следует теорема Гвоздева
36
Проверим формулу (40) на примере рамы, изображенной на
рис. 23, а. Для основной системы метода перемещений (рис. 23, б)
имеем
R = RZ,
где R—вектор реакций, возникающих в связях 1, 2;
Z = [Zj, z2]T—вектор обобщенных перемещений;
R—матрица реакций.
Рис. 23
Для получения матрицы R построим единичные эпюры
(рис. 24, а). Вырезая узлы, найдем:
7?п=3£///з; Rli==^,3Ef/i2.
/?21 = -3£//Р; /?22 = 11£7/Z.
По формуле (40) для системы, изображенной на рис. 23, в,
будем иметь:
37
/3
ЗЕ1
(41)
Построим матрицу для
(эпюры моментов для этой
системы, изображенной на рис. 23, в
системы показаны на рис. 24, б):
(42)
где
е 1 1 2
ди =--------И —
11 EI 2 3
АЕ1 , ™
#21 — — к #22 ~ I I ~
1 1
EI 2
/8
i = —; 51а h
ЗЕ1 12
4EI
8EI
I ‘
Выражение (42) полностью совпадает с выражением (41).
6. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СЛОЖНОЙ ОСНОВНОЙ
СИСТЕМЫ ПРИ РАСЧЕТЕ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Использование сложной основной системы рассмотрим
находящихся в винклеровской упругой
среде. Работу упругой сре-
ды будем моделировать с
помощью двух пружин, по-
ставленных по концам стер-
жня (см. п. 4). В качестве
основного элемента будем
принимать не отдельный
стержень, как это показано
в п. 4, а систему таких стер-
жней, объединенных в ло-
маный стержень, лежащий
на упругих опорах. В даль-
нейшем изложении этот
стержень будем называть
сложным элементом. На рис.
25, а изображен сложный
элемент (пружины, имити-
рующие работу основания,
не показаны). Точку сле-
буквой к. Чтобы рассчитать
на примере расчета рам,
Рис. 25
н
и
справа
ва обозначим буквой
конструкцию, состоящую из таких элементов, необходимо опре-
делить реакции, возникающие в точках я и к от единичных сме-
щений и от нагрузки. Представим эти величины в виде блока
38
Я НН
Янк ЯНр
Якн Якк
Якр
Здесь /?нр — вектор реакций в точке н от нагрузки /?;
7?кр—вектор реакций в точке к от нагрузки р.
Обозначения матриц реакций аналогичны приведенным в
пункте 4\ отличие состоит в том, что блоки реакций относятся
к ломаному стержню. Накладывая на каждый из узлов по три
связи, получим основную систему метода перемещений
(рис. 25, б). Канонические уравнения для этой основной системы
будут иметь вид:
Язз^з 4~ Яаз^з
Яз2^2 4“ Я33/3 + Я34^4
+ Я2р - О
+ Я3р=0
Я^з + Я44^4 + R45Z5 4’ #4р — О
Яб4^4 4“ ЯвБ^б 4“ Ябр — 0.
Для удобства изложения рассмотрим полную матрицу реакций,
включая точки 1 и 6,
Я12
Я21 Я22 я23
Я32 Я33 Я34
Я<з Я44 Я45
Я54 1 Ябб Ябб
Ябб Яве
Получим матрицу {6fj}, обратную к части матрицы, находя-
щейся внутри области, очерченной пунктирной линией. Умножая
эту матрицу на вектор
получим вектор Z =
^2
23
39
где
ДХ£
&У1
(^2< 5),
^—реактивный момент, приложенный в точке i от нагруз-
ки р;
R*p—реактивная горизонтальная сила, приложенная в точк€
i от нагрузки р;
Ry{p— вертикальная сила, приложенная в точке i от нагрузки р\
Ф4-— угол поворота в точке i\
— горизонтальное перемещение точки i\
—вертикальное перемещение точки i.
Таким образом, координатами вектора Z2 являются переме-
щения, возникающие в точке 2 от внешней нагрузки. Имея пе-
ремещения в точке 2 (Z2), можно вычислить вектор реакций,
возникающих в точке н от внешней нагрузки:
/?Нр“^12^2> (43)
где/?12— матрица реакций, возникающих в точке 1 от единичных
смещений точки 2 для стержня 1—2.
Аналогично
*КР — #65^5.
Столбцами матрицы, обратной к матрице жесткости, являются
перемещения от единичных сил (см. п. 1). Учитывая сказанное
и обозначая перемещения буквами 6, будем иметь:
Rii #]2
#21 $22 $23 $24 $25
I $32 $33 $34 $35
: $42 $43 $44 $45
j $52 $53 $54 $55 #56
#65 #66
Sij — матрица перемещений, возникающих в точке i от еди-
ничных сил, приложенных в точке J.
Для построения матрицы /?нн (рис. 25, в) поставим связи
в точке 2 (рис. 25,г). Зададим точке н (точка 1) в системе, изо-
браженной на рис. 25, г, единичные смещения. При этом в точ-
40
ке н (точка 1) возникнут реакции, характеризуемые матрицей
а в точке 2 — Т?2ь Отбросим связи в точке 2 и заменим их
действие силами #2i, т. е. система, представленная на рис. 25, г,
отличается от системы, по-
казанной на рис. 25, в, си-
лами /?2ь Приложим в
точке 2 силы, противопо-
ложные силам #2ь Вычи-
слим реакции, возникаю-
щие в точке н от сил, ха-
рактеризуемых матрицей
(—#21). Произведение
(—622 #21) дает матрицу
смещений в точке 2 от
сил (--#21). Умножая ма-
трицу #12 на матрицу сме-
щений (—622 #21), полу-
чаем матрицу реакций,
возникающих в точке н
от сил (—#21).
Суммируя #ц с матри-
цей реакций, возникаю-
щих в точке 1 от (—#21),
получим Янп = #11 —
—#12622 #21.
Аналогично могут
быть построены и осталь-
ные матрицы реакций:
Рис. 26
Янн — Яц ^12622^21» Янк--------------Я12625Я56’,
Якн ~ ---Я65652Я21; ЯКК = Яве — Яв5б55/?5в .
(45)
Рассмотрим процесс формирования матрицы канонических
уравнений для систем, состоящих из сложных элементов. На
рис. 26, а изображена система, находящаяся в упругой среде, на
рис. 26, б показана основная система, причем в качестве основ-
ных элементов приняты ломаные стержни:
Яц^1 + Я12^2 + Я1р = О
Я21^1 Яаа^а “F Яаз^з + R$p — 0.
Яз2^2 + Я33И3 + Язр = О
(46)
[для построения матриц R^ и векторов Rip используются форму-
лы (45, 43)] или BZ=—Rp, откуда Z=—B-iRp. После решения
системы канонических уравнений получим перемещения концов
41
всех основных элементов (ломаных стержней). Имея перемеще-
ния концов, можно вычислить усилия в каждом из прямолиней-
ных стержней, из которых состоит ломаный стержень. Покажем,
как это сделать на примере стержня (см. рис. 25,а). Основная
система представлена на рис. 25, б. Сформируем матрицу для
всего стержня аналогично тому, как это делалось выше и найдем
обратную к части матрицы, находящейся внутри пунктирной ли-
нии. Предлагаемый алгоритм целесообразен для ЭВМ с малой
памятью [96]. При этом формирование и обращение матрицы
совершается дважды: первый раз для получения матрицы реак-
ций сложного элемента, второй раз для вычисления перемещений
концов прямых стержней, из которых состоит ломаный стержень.
В обоих случаях формирование матрицы производится на
одном и том же поле; на этом же поле формируется матрица ре-
акций для всей системы (см. рис. 26,6). В точках 2 и 5 в основ-
ной системе (см. рис. 25,5) помимо реакций от нагрузки будут
возникать реакции от смещения концов стержня, которые нахо-
дятся из системы канонических уравнений. Обозначим эти сме-
щения ZH и /к- Итак, окончательно грузовой столбец будет
иметь вид:
$2р Н”
$3р
— ^5Р “Ь ^Бб^К —
где /?2р, Rap, — реакции в связях основной системы от
нагрузки (см. рис. 25,6).
Умножая центральную часть матрицы на грузовой стол-
бец с обратным знаком, получим смещения в точках 2, 3, 4, 5
(Z2, Z3, Z4, Z5); смещения в точках 1 и 6 известны: Zi=ZH; Z6 =
=ZK. Таким образом, для ломаного стержня вычисляются пере-
мещения всех его угловых точек. По этим перемещениям нахо-
дятся усилия во всех его звеньях.
Описанный алгоритм широко использовался при расчете кру-
говых и подковообразных туннельных обделок, а также обделок
станций метрополитена. При расчете обделки ее контур заме-
няется многоугольником, а действующие на обделку распреде-
ленные силы (давление грунта) заменяются сосредоточенными,
приложенными в узлах этого многоугольника [96]. При работе
обделки нагрузку, действующую на нее, воспринимает не толь-
ко сама обделка, но и прилегающая к ней часть грунта, которая
включается при деформации обделки. Таким образом, туннель-
ная обделка работает как рама в упругой среде с односторон-
ними связями. Для обделок произвольного очертания работа
42
Рис. 27
Рис. 28
43
породы, окружающей обделку, имитируется с помощью системы
несвязанных между собой пружин (винклеровское основание).
В местах, где обделка смещается от породы, возникает так
называемая зона отлипания, в пределах которой нет отпора со
стороны грунта. Чтобы установить зону отлипания, используют
процесс последовательных приближений, при применении кото-
рого первоначально включаются все связи и далее на последую-
щих шагах производится отключение растянутых связей. Следу-
ет обратить внимание на то, что этот процесс не всегда сходя-
щийся и может привести к «зацикливанию» машины. В этих
случаях, как правило, включается и выключается одна связь, и
наибольшие значения усилий меняются мало. Поэтому практи-
чески надо получить значения усилий при включенной и выклю-
ченной связях и выбрать из них наибольшие. Можно отыскивать
зону отлипания последовательным догружением, тогда процесс
будет сходящимся, но потребуется несколько большее машинное
время.
На рис. 27 изображена схема станции метрополитена. На
рис. 28 показаны эпюры моментов, продольных сил и перемеще-
ний для обделки этой станции. Для расчета из обделки станции
выделялась регулярная (типовая) секция, длина которой равна
участку станции, заключенному между осями соседних колонн.
Типовая секция рассчитывалась как плоская система. Для отыс-
кания зоны отлипания использовался процесс последовательных
приближений. Далее все внутренние усилия приводились к
i пог. м делением внутренних усилий, действующих на типовую
секцию, на длину этой секции.
7. МАТРИЦА РЕАКЦИЙ ДЛЯ ПРОСТРАНСТВЕННОГО
СТЕРЖНЯ
На рис. 29 представлен пространственный стержень, при-
крепленный к узлам Н и К шестью податливыми соединениями,
которые соответствуют шести смещениям связей каждого узла
в локальной системе координат, связанной с главными ося-
ми инерции поперечного сечения стержня. Если пренебрегать
связью между изгибными, продольными и крутильными дефор-
мациями стержня, то построение матриц реакций в связях ло-
кальной системы распадается на четыре независимые задачи:
1) определение реакций в плавающих заделках, препятст-
вующих повороту вокруг оси £, и в линейных связях, препятст-
вующих смещениям вдоль оси т]. Эти реакции связаны с работой
стержня на изгиб в плоскости
2) нахождение реакций, вызываемых работой стержня на из-
гиб в плоскости
3) вычисление реакций в линейных связях, поставленных
вдоль оси g. Эти реакции связаны с деформациями сжатия-растя-
жения стержня;
44
4) определение реакций в плавающих заделках, препятствую-
щих повороту сечения вокруг оси Эти реакции связаны с ра-
ботой стержня на кручение.
Первые три задачи решаются так же, как и в случае плоского
стержня. При расчете стержня на кручение можно использовать
аналогию между поведением стержня при кручении и сжатии-
Рис. 29
растяжении. На основании этой аналогии с учетом равенства
(34) запишем выражения для реакций в заделках, препятствую-
щих вращению стержня вокруг оси g, в виде
1
гкр— S/GK 4-8 +3
' Р 1 НКрН 1 Ькрк
где /р —полярный момент инерции поперечного сечения;
Ркрн» Ркрк— податливости соединений крайних сечений стержня
с узлами Н и Л при кручении.
Таким образом, все элементы матрицы единичных реакций
R' в связях, ориентированных по осям местной системы коорди-
нат, найдены. Структуру матрицы R' можно представить в блоч-
ной форме:
~о'уу л'лу п'уу р'лу"
ххнн ххнн хнк 2Хнк
р'ул р'лл р'ул р'-ЛЛ
f Анн Анн Анк лнк
н ~ ,
р УУ р лу р'уу р'лу
1укн ххкн *хкк хкк
р'ул п'лл п'ул п'лл
_Акн ^кн Акк ^кк _
Индексы «у» и «л» означают соответственно угловые и линейные
45
реакции (смещения). Например, блок 7?^ представляет реак-
ции в линейных связях-стерженьках узла Н, вызванные единич-
ными угловыми смещениями плавающих заделок, которые нало-
жены на узел Д.
Блочная матрица реакций от внешних нагрузок имеет вид:
"р'у
Анр
р'л
—
Для перехода от реакций в связях местной системы коорди-
нат к реакциям в общей системе хух, как и в случае плоского
стержня, используется преобразование вращения:
Матрица направляющих косинусов С — квазидиагональная мат-
рица, содержащая четыре блока:
С1К-
где Сщ и С1к осуществляют преобразование вращения для узлов
Н и К и представляют собой матрицы третьего порядка.
В случае, когда общие системы координат для узлов Н и К
совпадают, т. е.
С1Н “ С1к =
элементами матрицы являются косинусы углов, образован-
ных системой осей координат:
COS (5Л х)
cos (5Л у)
cos (£л z)
COS (Т]л х)
COS (Т}л у)
cos (т)л г)
cos (£л х)
COS (£л у)
cos (£л г)
Что касается выбора местной системы координатных осей
то задание координат узлов Н и Д определяет положение
продольной оси £. Чтобы найти положение оси введем еще
одну точку т (этой точкой может служить, в частности, какой-
либо узел системы). Потребуем, чтобы точки н, к, т не лежали
на одной прямой. Тогда эти точки определят плоскость, в кото-
рой лежит одна из главных осей инерции поперечного сечения и
ось £, перпендикулярная к оси Автоматически определяется и
положение третьей оси локальной системы координат. Можно
также задать угол отклонения одной из главных осей стержня
относительно некоторой фиксированной линии, например гори-
зонтальной линии, перпендикулярной к оси § и параллельной
плоскости хОх.
46
Глава 2
РЕШЕНИЕ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ И ЗАДАЧИ
ИЗГИБА ПЛАСТИН МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ
ЭЛЕМЕНТОВ
1. СУЩНОСТЬ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Обзоры работ, в которых дана история развития метода
конечных элементов, можно найти в книге [31], а также в [16].
Из зарубежных источников, содержащих обзоры, следует ука-
зать на работы [30, 98, 99, 101 и др.]. Основы метода конечных
элементов даны в работах [31, 104, 102, 100, 105, 103]. Последо-
вательное изложение метода конечных элементов впервые в
Рис. 30
отечественной практике освещено в книге Л. А. Розина [75],
кроме этой работы следует отметить [66, 91].
Сущность метода конечных элементов йоясним на примере
расчета пластинки. Пластинка загружена в своей плоскости и
произвольно закреплена. Силы и связи могут быть на контуре
и внутри него (рис. 30, а). Для расчета заменим пластинку ее
дискретной моделью. Разделим пластинку вертикальными и го-
ризонтальными сечениями на отдельные прямоугольники разме-
рами а\Ь и будем считать, что эти прямоугольники соединены
только в угловых точках, которые назовем узлами (рис. 30,6).
Усилия взаимодействия между узлами — распределенные. Дей-
ствие этих распределенных сил будем условно заменять равно-
действующими, приложенными в узлах.
Дальнейшая задача состоит в изучении работы отдельного
прямоугольника размером аХЬ на различные воздействия. Пос-
ле того, как изучена работа отдельного прямоугольника для рас-
чета модели (представляющей собой набор прямоугольников),
может быть применен либо метод сил, либо метод перемещений
47
как для обычной стержневой системы. В данном случае наиболее
удобен метод перемещений. Накладывая на все узлы горизон-
тальные и вертикальные связи, получим основную систему. На
рис. 30,в изображена основная система метода перемещений,
где введенные связи показаны пунктиром. Связи, имеющиеся
первоначально, показаны на рис. 30, в сплошными линиями. Та-
ким образом, в каждой точке (узле) имеется по два неизвест-
ных и, следовательно, количество неизвестных равно удвоенно-
му количеству узлов. Итак, с принципиальной точки зрения рас-
Рис. 31
Рис. 32
чет модели ничем не отличается от расчета обычной стержневой
системы.
Остановимся на построении матрицы жесткости для прямо-
угольного элемента, изображенного на рис. 31. Перемещения
каждой угловой точки будем характеризовать вектором
и;
где i — 1,2, 3, 4.
(47)
Перемещения всех точек элемента — вектором
—> —.-г
Z — Zi, Z2, Z3, Z4),
где Zlt Z2, Z3, Z4 [см. (47)].
Силы, которые действуют в точках /, 2, 3, 4, связаны с реакция-
ми, действующими в этих же точках, соотношением
#2
#3
#11 #12 #13
#21 #22 #23
#31 #32 #33
#41 #42 #43
^14~1 Г^1
#24
#34
#44
= RZ,
(48)
%2
где Rij—блок реакций, возникающих в связях i от единичных
смещений связей /:
48
Fuiui r“ivj
rviui rviVf
Как указывалось в главе 1, п. 2, матрица реакций может быть
представлена в виде
Д12 С13 £>14
B2i Л22 ^23 6*24
Сз! А) 2 ^33 #34
С42 ^43 Л44
(49)
где одинаковыми буквами обозначены блоки, элементы которых
отличаются только знаками. Построим операторы, с помощью
которых устанавливаются знаки всех блочных столбцов по зна-
кам первого столбца (см. гл. 1, п. 2). Разделим перемещения на
группы. Операторы будут иметь вид:
Оператор 1 Оператор 2 Оператор 3
1ц 1 р 1 “ 1 ° | и V
ц | + |~ “ | + |~ а | + +
V 1-1 + v |-|+ " 1 + 1 +
Построим блоки первого блочного столбца матрицы реакций.
В этом столбце находятся реакции, возникающие при единичных
смещениях первой угловой точки. Вычислим реакции, которые
действуют на прямоугольник при смещении Ui=l. Будем счи-
тать, что по отношению к этому прямоугольнику справедлива
гипотеза плоских сечений. На рис. 32 показана деформация пря-
моугольника. До деформации прямоугольник занимал положе-
ние 1—3—4—2. После смещения точки 1 на единицу по горизон-
тали прямоугольник займет положение 1'"—3—4—2. Полную
деформацию можно представить как деформацию: сжатия — на
V2U'—3'—4—2); изгиба, при котором крайнее нижнее волокно
укорачивается на 1/2(^//—3"—4—2), а точка k смещается на А;
сдвига, при котором точка k" возвращается в положение k'. Рас-
смотрим каждую из деформаций (рис. 32).
Сжатие (рис. 33, а). Вычислим силы N и 5, при действии ко-
торых точки 1 и 3 перемещаются по горизонтали и не перемеща-
ются по вертикали. В соответствии с обобщенным законом Гука
для плосконапряженного состояния имеем:
Е Е
°и= (е« + №); = TTZjT2 +’
В нашем случае:
5= 1 / 2df 8р —— Oj
Е 1 . Е р.
°и 1 — р2 2а 1 — ра 2а ’
4—274
49
Учитывая, что
2N 23
°и~ Ь6 ’ =
где 6 — толщина пластинки, получим
S =-----(p=fe/a).
4(1—р2) ’
Изгиб (рис. 33, б):
Дф = 1/2 = 6/2 = 1/6;
1/р = M/EI, р = а/Дф,
РаЬ
Дф = MajEI =
£663/12 £6Р6 ’
Приравнивая выражения (50) и (51), получим
,,,, 12Р
£6Р6 ’
откуда Р = £5Р/12;
РагЬ 1
£бр
4(1-р*) ;
(50)
(51)
Д-"'2И—
2Е1Г
Сдвиг (рис. 33, в):
_ Е _ Е А _ Е
Т-2(1+И) V~ 2(1+ц) а — 4(1+ р)
Е 1
или т = 2Т/Ь§ — —— . —
4(1+р) ра
1
Ра ’
50
Отсюда
£6
откуда Q = Та/b= .
8 р (i +fi)
Чтобы определить реакции при единичном смещении точки 1
по горизонтали, необходимо сложить напряженные состояния
(см. рис. 33, а, б, в):
^и1 = ^ + -Р + <2 = Н(4-и2)Р + 3/2(1-н)Г1];
rVtUl = S + T=k42 (!+[!);
г„!И1 = -А'-Р + 3=*[-(4-|л2)р + 3/а(1-|1) Г1];
гЕ,гЫ1 = S — Г == — * з/2 (1 — 3И);
ru,u^N~p-Q = k [(2 + и2)₽-8/2(1-|х)₽-1]; ’ (52)
rVJl=- S + 7 = *3/2(1-3h);
= -W4-P-Q = fe[- (2+И*) ₽ - з/2 (1—И) р-1 ];
rViUi = — S — Т = — А 8/2 (1 + р),
, ЕЬ
где k =------—.
12(1-ра)
Реакции, возникающие при смещении точки 1 на единицу
в направлении оси и, могут быть получены заменой в выраже-
ниях (52) р на 1/р. Таким образом, получены элементы первого
блочного столбца, по которым можно построить всю матрицу
реакций для элемента.
Рассмотрим порядок формирования матрицы жесткости для
всей пластинки. При этом, аналогично тому, как это делалось
для стержневой системы (см. гл. 1, п. 4), может быть использо-
вана формула
где Вг— матрица жесткости при местной нумерации точек (эта
матрица имеет вид квазидиагональной матрицы, на
главной диагонали которой последовательно стоят
матрицы жесткости для отдельных элементов);
В — матрица жесткости в общей системе нумерации точек;
С—матрица перехода от общей нумерации к местной.
Можно использовать и другой прием. Для получения си-
стемы уравнений удобно рассматривать не каждое уравнение,
а выделять группы уравнений, относящиеся к одной точке (ана-
логично тому, как делалось в стержневых системах). В даль-
нейшем изложении эти группы будем называть блочными стро-
ками (количество уравнений, входящих в блочную строку, равно
количеству степеней свободы в угловой точке элемента). В ка-
честве неизвестных в эти строки входят векторы Zft, координа-
тами которых являются обобщенные перемещения точки k.
4* 51
В каждую блочную строку входят только те векторы перемеще-
ний, которые вызывают реакцию в точке, соответствующей этой
блочной строке. По матрицам реакций для отдельного прямо-
угольного элемента составим матрицу реакций, возникающих
в точке i от единичных смещений узлов, помеченных на рис. 34
жирными точками:
R{,i+n
Ri,i—n
Используя обозначения, приведенные в (49), эту матрицу
удобно представить в виде матричного оператора, изображенно-
l-1+П' i+1+п
1'1 I / /// w 1*1
м
i-1-п l-n i+1-П
1 2..............п-1 п
Рис. 34
Рис. 35
Рис. 36
го на рис. 35. Наклады-
вая указанный опера-
тор на узлы сетки,
аналогично тому, как
это делается при ис-
пользовании метода ко-
нечных разностей [18],
получим систему ли-
нейных уравнений. От-
личие получения урав-
нений от метода ко-
нечных разностей
состоит в том, что в кружочках стоят не числа, а матрицы и ис-
комыми являются не скаляры (значения функции в точке 0,
а векторы Z;. Например, накладывая оператор на точку i} по-
лучим
ад-1-п + (Сй + с42) zt_n 4- ад+1_» + (Ва + В43) 4-
+ 2 V/ + (В12 + 5М) ^+1 + Vf-1+n + (С!3 + C2^i+n +
/—1
+ D14^+H-n + #ip “ °’
где Rip — вектор реакций от нагрузки, приложенной в точке t.
52
После того, как построена система линейных уравнений, ко-
торая для пластинки имеет ленточную структуру, по специаль-
ной программе производится решение этой системы и вычисля-
ются векторы перемещений всех угловых точек Z<. По этим пере-
мещениям определяются напряжения в отдельных элементах.
На рис. 36, а показан прямоугольник до деформации и после
деформации. Имея смещения угловых точек, можно по формуле
(48) вычислить реакции, действующие в этих угловых точ-
ках (рис. 36,5). Для определения напряжений в точках эле-
мента можно использовать обычные формулы сопротивления
материалов. Например, для точки, расположенной в центре пря-
моугольника, будем иметь:
^«1 + ^U9 Н~
“ Ьд “ Ьд 1
4~ Ry2 — ^t)3 ~Ь RVi.
ад ад
Rui "Н 1
ад ад
“Ь
“ bd “ bd
2. СВЯЗЬ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
С МЕТОДОМ РИТЦА
При использовании метода конечных элементов в каче-
стве неизвестных, относительно которых составляется система
алгебраических уравнений, могут приниматься перемещения,
усилия или совокупность тех и других. Наиболее часто в качест-
ве неизвестных принимаются перемещения, поэтому остановимся
подробно на этом варианте. Рассмотрим сначала случай конти-
нуальной системы. Функционал потенциальной энергии системы
имеет вид [67]:
П — J tody — J (хи + yv + zw) dv — f (xv и + yv у + zv w)ds. (53)
V V Si
Первое слагаемое выражает потенциальную энергию дефор-
мации тела, а два вторых — потенциал внешних сил: работу
объемных и поверхностных сил на их перемещения.
= JJJ (охех + оуеу-}гаггг + гх1,ух1/ +
V
+ tyz Ууг + Ъх Уг х) dx dy dz,
где х, у, z— объемные силы;
53
xv, yv> zv— силы, действующие на единицу поверхно-
сти с нормалью v;
v— объем тела;
sx— часть поверхности s, на которой заданы
поверхностные силы xv, yv, zv;
<ух, аг, тху, хуг, т2х—компоненты тензора напряжений;
ег> Уху* Vyz> Угх—компоненты тензора деформаций;
u, v, w—возможные перемещения (возможные пе-
ремещения должны быть совместными со
связями системы, т. е. непрерывными
внутри объема v, что соответствует гипо-
тезе сплошности, и равны заданным на
части поверхности s2);
s = Si + s2 — полная поверхность.
Сформулируем принцип минимума потенциальной энергии:
из всех возможных перемещений и, и, принимающих задан-
ные значения на поверхности тела s2, только действительные пе-
ремещения сообщают минимум потенциальной энергии системе
(53). В соответствии с принципом минимума потенциальной
энергии имеем 6/7=0, где 6/7— вариация потенциальной энер-
гии системы.
Для простоты рассмотрим случай плоской задачи. Тогда
функционал (53) будет иметь вид:
77 = z (ах + (Уу + хху уху) dx dy — (хи + yv) dx dy —
— f (*v «+^v (54)
S1
где t — толщина пластинки.
Разберем случай плосконапряженного состояния:
Е
Е
= 7—
1 — р,
Е
Хху “ 2 (1 + |х) Ь
Чтобы найти 677, воспользуемся вариационным исчислением.
Рассмотрим семейство перемещений:
и + аби; v + аба, (55)
содержащее при а=0 искомое перемещение, а при а=1 —неко-
торое близкое. Подставляя выражение (55) в функционал (54),
54
получим функцию от а. При а=0 эта функция должна иметь
экстремум, следовательно:
д/71
да |а=о
После преобразования [17] получим
ГГ fr Е (д2“ , 1 — Н д2и'\
tLi — и2 U2
1 — ц d2v d2tA
ч 2 дх2 ду2/
677 =
2
___Е_
2 (1 — р) дхду
। Е d2v , 1 о г
2 (1—р) дх ду J
К 1 . .
Так как вариации би и Su произвольны, то по основной лемме
вариационного исчисления множители при Sa и Sv равны нулю:
Е [д2и , 1— , Е d2v ,
------- ----—I______— -L--------------------х — 0
1 —р2 \дх2 2 ду2/ 2(1 —р) дхду
Е /1 — рд2а , d2v\ , Е д2и t
-------| ------[— — I "4“-----------------4~ у = О
1 — ц2 \ 2 дх2 ду2) 2 (1 — р.) дхду
(56)
Выражения (56) представляют собой уравнения равновесия
для плосконапряженного состояния, выраженные через пере-
мещения.
Как уже упоминалось, при использовании метода конечных
элементов в качестве неизвестных удобнее принимать перемеще-
ния узлов элементов. Связано это с тем, что подобрать совмест-
ные функции перемещений, удовлетворяющие граничным усло-
виям в перемещениях, проще, чем подобрать уравновешенные
функции напряжений, которыми приходится задаваться в случае,
если за неизвестные принимаются усилия. Вариант метода ко-
нечных элементов, при котором в качестве неизвестных прини-
маются перемещения, эквивалентен нахождению экстремума
функционала потенциальной энергии системы методом Ритца.
При использовании метода Ритца в качестве функции, для
которой разыскивается экстремум функционала, принимается
функция
Ц7= 2 aiWi, (57)
<=1
где —заданные базисные функции, удовлетворяющие гра-
ничным условиям;
at— неизвестные постоянные коэффициенты.
Подставляя выражение (57) в функционал, получим функцию
от переменных аь а2, ..., ап. Чтобы отыскать экстремум этой
функции, вычисляем производные по alf а2, ап и приравни-
ваем их нулю. Такие условия дают систему уравнений для на-
хождения коэффициентов а2, ..., ап.
55
Рассмотрим пластинку, показанную на рис. 37. Разобьем по-
следнюю на конечные элементы и будем характеризовать пере-
мещения пластинки горизонтальными и вертикальными переме-
щениями ее узловых точек (например, для узла i — Ut, Vi).
Перемещения точки i удобно изображать в виде вектора Z:
Vi J '
Таким образом, континуальная задача сведена к дискретной.
Предположим далее, что перемещения между узлами меняются
Zi^
Рис. 37
Рис. 38
по линейному закону. Зададим поле_ перемещений, соответству-
ющее i-й точке в виде двух функций щ(х, у) и Vt(x, у) так, чтобы:
р; k = 0
ч fl; й = 0
vi (xi+k’ yt+k) - (0. k + 0 •
где Xi+h, yi+k — координаты точки i-}-k (рис. 37), т. e. переме-
щения в точке i равны единице, а во всех остальных точках
равны 0. На рис. 38 показана аксонометрия части пластинки
и построена поверхность, аппликатами которой являются гори-
зонтальные перемещения, соответствующие Ui (х; у). Поверх-
ность, соответствующая функции Vi (х; у), будет аналогичной.
Поле перемещений, соответствующее единичным перемещениям
точки i, удобно изображать в виде вектора:
Zi (х, у) =
Г(х, У)
U (*. soJ
(58)
56
Таким образом, вектор функций Z$(x, у) задан по подобласти
Di области D (см. рис. 37). Поле перемещений по всей области
может представляться в виде линейной комбинации выражений
(58). Так как ординаты функций mix, у) и сч(х, у) в точке i
равны единице,__то коэффициентами этой линейной комбинации
при функциях Ui(xt у)\ Vi(xt у) будут перемещения точки i. На
основании сказанного выше поле перемещений для всей об-
ласти можно представить в виде:
у)' у (*#) _ О
a (*.J/)J fZi L 0 ^(^)
(59)
где п, — все точки области.
Зная поле перемещений и используя формулы Коши, можно
получить поле деформаций
dut(x, у}
Ui дх
(60)
Для плоского напряженного состояния по закону Гука имеем:
I п
"1
Е и
0
и о
1 о
(61)
Подставляя значения компонентов векторов (60), (61) в
функционал (54), найдем квадратичную функцию относительно
щ; Vi. Взяв производные от этой функции дП1ди^ dflldvi и
приравняв их нулю, получим систему линейных алгебраических
уравнений относительно Коэффициенты этих уравнений
будут некоторыми интегралами от производных функций
щ(х, У), vi(x, у). Такова процедура решения задачи методом
Ритца.
Можно получить ту же систему, используя понятие матрицы
жесткости R. Деформацию пластинки будем характеризовать
вектором Z:
57
где п — число узлов пластинки; т = 2п.
Потенциальная энергия пластинки определяется по формуле
й = “-ZT Я Z,
где R — матрица жесткости.
Предположим, что пластинка загружена только узловыми
силами. Тогда полная энергия системы будет следующей:
/7 = — ZT RZ — ZTP.
z
В соответствии с принципом минимума потенциальной энер-
гии имеем dllldZi — Q, Zi — координаты вектора перемещений
Z. Развернем выражение для полной потенциальной энергии
системы:
Гц 21 + . . . + Гц' Zt*, ... , Г1т Zm
П — Va [г1, » • • • > 2/ , ... , ?т,]
. +гtni 2f+ • • • +rtnm zm_
~[2i,32.....Zi, ... ,^]P.
Взяв производную, получим:
дП/dzi = V2 [О, О,
, 1, ... , 0] RZ + z2, ... , zm]
— [0, 0, .... 1, ... , 0] P
или
дп/dzi = i/2
[0,0, ... , 1.....0] RZ +
58
+ Pi/ » r2i......rmi]
21
г2
— [О, О, ... , 1, ... , О]Р.
Придавая индексу i значения 1, 2, 3, ..., п, будем иметь
дП/dz =
^дП1дг1 ’
дП/дх^
= Va{/?Z+PT3}-P.
_дП!дгт
Учитывая симметрию матрицы R и используя принцип ми-
нимума потенциальной энергии системы, можно записать
7? Z —Р = 0.
(62)
Уравнение (62) может трактоваться как каноническое урав-
нение метода перемещений. Чтобы получить систему канониче-
ских уравнений, наложим связи на все узлы пластины. В дей-
ствительности эти связи распределенные, но для наглядности
изобразим их как некоторые дискретные связи, препятствующие
горизонтальным и вертикальным смещениям узлов (рис. 39).
Тогда, заменяя вектор внешней нагрузки вектором реакций,
возникающих в наложенных связях, получим систему канониче-
ских уравнений:
(63)
Каждое из уравнений системы (63) имеет физический
смысл — реакция во введенной связи от смещения всех нало-
женных связей и нагрузки в основной системе метода перемеще-
ний равна нулю. Такая трак-
товка весьма наглядна и при-
вычна инженеру. Поэтому в
дальнейшем будем составлять
систему линейных уравнений с
использованием основной сис-
темы метода перемещений, не
выписывая каждый раз функ-
ционал потенциальной энергии
системы, но подразумевая при
этом, что связи распределен-
ные, а система (63) представ-
ляет собой разрешающую сис-
тему метода Ритца. Уравнения
(63) можно трактовать как
уравнения равновесия.
Рис. 39
59
Таким образом, из условия принципа минимума потенциаль-
ной энергии для континуальной системы следует система диф-
ференциальных уравнений равновесия (56), а для дискретной
системы — алгебраическая система уравнений равновесия (62).
3. ФОРМУЛА ДЛЯ ПОЛУЧЕНИЯ МАТРИЦЫ
ЖЕСТКОСТИ
Покажем получение формулы матрицы жесткости для
элемента на примере
Z(xy) ==
изотропного прямоугольного треугольника
(рис. 40). В качестве степеней свободы,
определяющих деформацию треугольни-
ка, примем перемещения его угловых то-
чек. Таким образом, деформацию элемен-
та будем характеризовать шестью степе-
нями свободы. Зададимся полем переме-
щений
« = а1+а2х + а3у; 1
и = а4 + а5х + аву; )
или в матричной форме:
Z(xy)=tf(xy)a, (65)
где
1 х у 0 0 01
0 0 0 1 х £/]
Используя формулы Коши:
а2
«з
а4
«5
sx = ди!дх\ &у = dv/ду, уХу = ди/ду + dv/dxt (66)
получим вектор деформаций
8*
-Уху-
0 1 о
ООО
О О 1
0"
1
0.
а, или е = Ва,
(67)
о
о
о
о
о
1
Закон Гука для изотропной пластинки имеет вид o=De,
где
'1 |i о
р 1 О
8Х
Уху
(68)
Подставляя (67) в (68), найдем
a=DBa.
(69)
60
Составим выражение для потенциальной энергии элемента:
ат edxdy,
(70)
где б — толщина пластинки.
Подставляя (67) и (69) в (70) и вынося постоянные множи-
тели, получим
Q = а1 6 Br DB dxdy а = 1/2^ R* а,
(71)
где = DBdxdy;
R* — матрица жесткости, при построении которой в качестве
обобщенных перемещений использованы коэффициенты
полиномов (65).
Далее необходимо выразить коэффициенты полиномов полей
перемещений через обобщенные перемещения и\\ Ui; v%\ u3;
v3. Подставляя в формулу (65) координаты точек 1, 2, 3, будем
иметь
«1
и2
v2
«3
L^J
1 0 0 0 0 0П Г ах
0 0 0 1 0 0
1 а 0 0 0 0
0 0 0 1 а 0
1 0 b 0 0 0
0 0 0 1 0 6
а2
аз
а4
as
L_aeJ
или
Z = tfa; N~xZt
(72)
где
Подставляя выражение (72) в (71), получим Q=I/2ZT/?Z,
Я = (^1)т /V-1
(73)
Формула (73) выражает переход от матрицы жесткости /?*
к матрице жесткости R при замене вектора обобщенных пере-
мещений а на Z. Для случая треугольника матрица В не зави-
сит от х и у. поэтому имеем
Я* = 6 Br DB dx dy = V2 §ab BT DB.
(74)
61
Подставляя в формулу (74) матрицы В, D и используя фор-
мулу (73), получим
'г = 'щГ^?>х
б₽+3(1— 3 (1+и); 3(l+jx) бГ’+З (1-ц) 0 —6₽; —3(1—(1) —6р.; -3(1—ц)0 —3(1—|г)0“1; —3(1—И); 1 1 £ т
— 6₽; — 6а 60; 0 0 6jx
— 3(1—и>; —3(1—ц) 0 0; 3(1—jx) 0 3(1- н) 0
-3(1- и) г1; ; -3(1-И) 0 3(1—ц) 3(1—И) 0-1 0
—6ц; —601 6|1 0 0 60“' .
(7S)
При построении матрицы реакций для треугольного элемента
может быть использован другой прием. Первоначально строится
Рис. 41
Рис. 42
матрица реакций без учета жесткого смещения (рис. 41). По-
следнее можно учесть аналогично тому, как это делалось в слу-
чае стержня (см. гл. 1, п. 3). Итак, построим матрицу реакций
без учета жесткого смещения. Зададимся полем перемещений
(см. рис. 41):
и = at + а2 х + а3 у\ v = а4 + а5 х + осе у
(76)
при
х = 0и!/ = 0: и — 0 и v — 0;
» х — а и у = 0: и — к v = 0;
» х — 0 а у = bi и — «J и v = Уд
62
Подставляя эти значения в выражение (76), получим поле
перемещений. Запишем выражение для поля перемещений в
матричной форме:
*
“з
°3
Используя формулы Коши, будем иметь
Подставляя В в формулу (74), найдем
Я* =
Ед
12(1 — и2)
О
3(1-И) р-‘
о
6,11
о
6Р"1 _
О
Произведем учет жесткого смещения. На рис. 42 оно пред-
ставлено в виде поступательного смещения (положение Г —
2'—3') и поворота (положение Г—2"—3”}. Окончательное по-
ложение треугольника (после деформации) —Г—2'”—3"'. Пере-
мещение угловых точек относительно положения 1—2"—3" по-
мечено звездочками. Рассмотрев рис. 42, можно записать:
* * l>2 f *
U2^U2~UV U3 = U3^U1~~-------V3^V3~ Vl>
или в матричной форме:
о
о
-3
—1
о
О О
о
о
₽ 1
о о
«1
V1
и2
^2
«3
Л J
Окончательная матрица реакций с
ния получается по формуле
учетом жесткого смеще-
(77)
Производя перемножения по формуле (77), найдем матрицу
/?, полностью совпадающую с выражением (75).
63
4. ПОЛУЧЕНИЕ МАТРИЦЫ РЕАКЦИЙ
ДЛЯ ПРОИЗВОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНОГО ЭЛЕМЕНТА
При построении матрицы реакций для произвольного
треугольного элемента удобно применять две системы коорди-
нат: общую систему координат — х, у и местную (рис. 43). В ка-
честве местной системы использует-
ся однородная система координат
[ЮЗ]. Положение точки, находя-
щейся внутри треугольника (напри-
мер, точки Р на рис. 43), определя-
ется в этом случае тремя координа-
тами:
где Fz, F3— площади тре-
угольников;
F—общая площадь
треугольника (Р=771+7724-^з).
координатами существует очевидное
р ’ Р
Между однородными
соотношение:
Lf + £2 + £3 — 1 •
Однородные координаты не зависят от положения треуголь-
ника в общих осях %, у. Угловые точки имеют следующие коор-
динаты:
точка / £х = 1,
точка 2 £х = О,
точка 3 £х = 0,
£2 — 0, £3 — О; 1
£2 = 1, £3 = 0; >
£2 = 0, £3=1.)
(78)
Для точек, расположенных посередине сторон:
точка 4 £х = 0,5, £2 = 0,5, £3 = 0 ; ]
точка 5 £х = 0, £2 = 0,5, £3 = 0,5; I (79)
точка 5 £х = 0,5, £3 = 0, £3 = 0,5. J
Найдем формулы перехода от общей системы координат х,
у к местной LiL2L3t Из аналитической геометрии известно:
1 Уз 1 xt У1
/? = 1/2 1 Х2 у2 ; = V2 1 X у ;
1 *з Уз 1 х3 Уз
1 х у 1 Xi У1
л = v2 1 х2 у2 ; F3 = Чз 1 Хз Уз
1 х3 уз 1 х у
(80)
Площади, вычисленные по формуле (80), будут положительны-
ми, так как обход вершин в порядке нумерации происходит про-
тив часовой стрелки. Раскрывая определители, получим
64
k = 4aF
1 x у
1 xa ya
1 X3 Уз
xa Уз
x3 Уз
1 Уз
1 Уз
1 xa
1 X3
У =V»F (4 +
Аналогично:
+ j/23 *+*32 jO-
Ь2 = — (4 + уцх 4- Xis#);
2F
L3 = (4 + Уцх + х21У) >
(81)
где -4j = хцуз — Узх3; Аа = х3уг — узх^, А3 = ххуа — г/гг2;
#23 — #2 — #з!
#31 = Уз — #ь
#12 = #1 — #2>
*зг — х3 — х2;
*13 “ Xj— Х3
*21 =Х2~ *1-
Равенства (81) в матричной форме имеют вид:
ЬГ
^2
^3
Л1 #23 *32 1
==---- Л 2 #31 X13 X
2F л
Лз #12 *21 #
(82)
Равенство (82) позволяет переходить от общей системы ко-
ординат к местной. Для обратного преобразования используется
формула
’ 1
*1
#1
1
х2
#2
1 -
*3
#3
^1'
^2
’ 1 ’
х
У
Запишем выражения для производных по х и у от функции
однородных координат (f=f{LxL2L^)\
df____df dLx ] df dL2 t df dL^
dx dLr dx
#23 df #31 df
1 2F dL^
dL2 dx dL3 dx
, У1г
2F dLs ‘
2F дЦ
(83)
Аналогично
df
dy
*32 df х13 df
2F dLt + 2F dL2
При интегрировании функций однородных координат удобно
использовать формулу [103]:
*21 df
2F dL3 *
‘'/I*'
--------------------2p
(i + j + k + 2)\
(84)
Последняя формула позволяет весьма компактно интегриро-
вать по треугольной области. Однородная система координат
облегчает процесс построения матриц реакций для треугольника.
5—274
65
Рассмотрим случай, когда перемещения всех точек треуголь-
ника определяются шестью степенями свободы — перемещения-
ми его угловых точек. Запишем поле перемещений в виде линей-
ной функции от Li; L2; А3:
w = ajLj + a2L2 + «зЬ3; t» = a4Lx + a5La + aeL3. (85)
Зададим точке 1 перемещения гц; подставляя в (85) коор-
динаты точки 1 — bi = l; А2 —0; L3 = 0 [см. выражение (78)],
получим t'i = a4. Аналогично //2=с^е; ^2 — 0(5; w3~a3;
с’з—«6-
Подставляя эти значения в формулу (85), будем иметь:
j и 1 fL] 0 L2 0 L3 0 ~1^
1 = 1 п г л , л г Z; где Z = рц гц zz2 и2 w3 у3]т. (86)
L v J О О L2 0 LsJ
Таким образом, применение однородных координат позволя-
ет сразу выразить поле перемещений через перемещения угло-
вых точек, и формула для вычисления матрицы реакций упро-
щается:
= BTVBdF. (87)
F
При использовании поля перемещений (86) матрица В будет
такой:
Узз 0 Уз! 0 У12 0 ~
1 в = — 0 *32 0 *13 0 *21
2F *32 У23 *13 Уз1 *21 У12
(88)
Матрица В получена дифференцированием выражения (86)
с применением формул (83). В нашем случае элементы матри-
цы В не зависят от координат Д, Л2, А3, потому она является
числовой матрицей. Вынося постоянные из-под знака интеграла
(87), будем иметь
R = — 6BTDB. (89)
Закон Гука ортотропной
сывается так:
пластинки в матричной форме запи-
ог = Ds;
D
где Е'х=
Ех
1 -- Нлг/ Pt/X
Еу
В'х Е' 0
С, о
0 О G
Еу
1 * \^ху У-ух
Уух Вх
1 Уху У ух
(90)
£// „ ^ХУ By
1 P.T# Pr/.v
Для изотропной пластинки ЕХ=ЕУ\ Цху=|АУх=ц.
66
Подставляя выражения (88) и (90) в формулу (89), полу-
чим матрицу реакций для произвольного треугольника, приве-
денную в табл. 1. Чтобы построить из нее матрицу (75), необхо-
6
димо сделать подстановку с последующим умножением на ------;
Va3 = — у31 = Ь\
*32 = —- а; *13 0;
Ех= Е^Е/(1-р2);
У12 — 0;
*21 =
_ Е
= 2(1 + р) '
5. МАТРИЦА РЕАКЦИЙ ДЛЯ ПРЯМОУГОЛЬНОГО
ЭЛЕМЕНТА И ЕЕ СВОЙСТВА
Построим матрицу реакций для прямоугольника, изо-
браженного на рис. 44. Поле перемещений зададим в виде:
и = N1«1 + N£«2 + N3w3 + N4tz4; |
v = + N2y2 + N3v3 + N4u4 , J
5
67
где N< — линейчатые функции, принимающие в точке i значение*
равное 1, а во всех остальных точках — равные 0 (рис. 45).
Для построения N; рассмотрим функции:
ф2(’1) =
л
Графики функций Ф(§) показаны на рис. 46. Функции N,-
можно легко построить как произведения функций Ф:
N, = Фх (5)Фх (П) = (1 ~£) (1 — Л);
n2 = Ф2 (£) Ф, (п) = -У (I + В) (1 -п);
N3 = Ф, (|) Ф2 (n) = Y (1 -1) (I + П);
n4 = фа (5) ф2 (п) = -J- (1 + 5) (1 + Т)).
4
(92)
Запишем выражение (91) в матричной форме:
[«1Г N, О N2 О N3 О N4 0 1-
1_________________2 [о] L 0 N, 0 N2 0 N3 0 N4 П
г-7? Г/) ~ r
Рис. 46
По формулам Коши имеем:
ev
V
о dNa о dN3 о dN4
дх дх дх дх
ду
dN± дМд
ду дх
0 dN2 ду 0 dNa ду 0 dN4 ду Z^BZ.
dN2 dNz c*N3 dN, dN4 dN4
ду дх ду дх ду дх
68
Таблица 1
&х #23 + G *32 Е" *32 #23 + 6*32 #23 £jc#23#3 1+6*32*13 £/Л*13#2з+6*32#31 £ х#12#2з+6*21*32 *21#2з+6*32#12
Е" *32 Уаз + 6*32 Уъз ^уХ32 + 6Г/23 ^ff*32#31+6*i3#23 £{/*13*32+ 6#23#31 £Л/*32#12+6*21У23 £у*21*32+6#12#23
Ех #23 #31 + 6*32 *13 Е" *32 #31 + 6*13 Уж %х #31 + 6*13 £/*13#31+6*13^31 £^12У31+О*21*13 ^/*21#81+ 6*13#12
Е" *13 #23 + 6*32 */з1 Еу *32 *13 + 6#23 #31 ^//*13#31+6*13#31 £р*1з+6#з1 £Z/*13#12+6*21#31 £у*21*1з+6#12#31
Е* #23 #12 + 6*32 *21 *32 #12 + 6*21 #23 ^х#31#12+6*13*21 •£z/*i3#ia+6*2i#3i £х#12+6*21 Е" *21#ia+6*2!#12
Е" *21 У 23 + 6*32 #12 Еу *32 *21 ”Ь 6#23 #12 ^"*21УЭ1+<3*13Й2 £{/*13*21+6#31#12 *21#12+6*21#12 £^*21 +6#12
Множитель к таблице --
4F
4,4 i ?^Р+з°Г Е" + G Е” —G
Е" + G 4 , 1 4 з^-Ч^р — Е" + G 9 4 -Е'РГ1——Gp 3 у 3
4,2 , - - 3 * 3 — Е!/ + G 4 4 -Z4+-GP-1 О о — Е” — G
Е'! — G —Е'3~‘——G₽ 3 3 — Е" + G 4 4 -^р-Ч-ор О о
7^-^r1 Е" — G 2,2 —£.8——G Р 3 *н 3 Е" + G
—Е" + G Е" + G 2 , . 2 -?ЧГ‘-з^
-j^P-j^P"1 — Е" — G l^P-^Gfr1 — Е” + G
— £" — G 2 , .2 -зМ-'-з^ Е" — G -^<р-'+-|ор
70
Таблица 2
~ Е" + G ——Eft——G р-‘ 3 * 3 1 ~Е" — G
Е" — Q 4 9 —Е"—G 2 , 1 2
2,2 1 □ о Е" + G 2 4 -2-;р-- ор-1 О О Е” — G
Е" + G —— Gp 3 у 3 —Е" + G -^;r>+|Gp
4 4 -AM-GfT1 и о —Е” — G -|<P+^Gr* —Е” + G
—— G 4<i4 ^-+?GP Е" — G |^р-1-|ср
Е” — G 4 4 -£;р+-ор-‘ О о Е” + G
—Е" + G 2 , t 4 E,f + G 4 4 ^ГЧ-GP
Общий множитель к таблице — •
71
В нашем случае матрица В следующая:
0 0
0 0
0 0
0 0 i(1 + g)
-iu + ’i) i<‘ + B ^0+л)
Матрица D имеет вид (90). Для вычисления матрицы реак-
ций воспользуемся формулой
Ь а
2 2 11
R= f J BrDBdxdy=-^- у у Вт DBdgrfr|. (93)
_ А - Л “1
2 2
Используя формулу (93), получим матрицу реакций для пря-
моугольного элемента (см. табл. 2). Для изотропного прямо-
угольника необходимо произвести замену:
р
£>£;=£/(!-Н2); Е" = И£/(1-И2); 0 = 2-77-—.
z U ”Г И/
Как было показано в главе 1, п. 2, все элементы матрицы
реакций для прямоугольного элемента могут быть построены
через элементы первого блочного столбца с использованием
приведенных выше операторов. Остановимся на зависимостях
между элементами первого блочного столбца матрицы реакций.
Итак:
Ян — Лц
7^21 — ВЙ1 —
ап i fhs
а21 а22
:^11 ^12
^21 ^22
(94)
(в рамках показаны исходные элементы).
Получим зависимости между исходными элементами, выте-
кающие из условия отсутствия реакций в точке / при смещении
72
элемента как жесткого целого. Перемещение элемента как жест-
кого целого может быть представлено в виде поступательного
смещения вдоль осей х, у и поворота относительно начала коор-
динат. На рис. 47 показаны смещения элемента. Запишем усло-
вие отсутствия реакции в точке 1 при смещениях, показанных на
рис. 47 в матричной форме:
= о.
(95)
По условию симметрии матрицы R имеем:
*12 = ^; £13 = Q1; Ri4 = D}{.
Подставляя (94) в (95) и переходя от матричной формы
к скалярной, получим:
аи + = 0; «21 + ^2i + ^21 + ^21 = 0;
(Сц + Ju) р — &21 + ^2Ь «21 — &21 — С21 + ^21 = 0;
«22 + ^22 + с22 + ^22 ~ 01 (— С21 + rf21) Р = #22 + ^22’
(96)
Рассмотрим случай, когда материал элемента ортотропен.
Зададим кромкам элемента 1—3 и 1—2 единичные смещения
(рис. 48). При деформации, изображенной на левой части
рис. 48 — «1 = 1 и «3=1, имеем: ех=1/а; еу=0.
В соответствии с законом Гука (90):
, 1 ^'х $
При Vi = l и v2—l (правая часть рис. 48) еж=0; еу=1/&,
аналогично:
Г1 ’ <’»
73
Приравнивая реакции в точке 1 реакциям, полученным с ис-
пользованием выражений (94), (97), (98), будем иметь:
Реакции, не используемые в дальнейших выкладках, обозна-
чены крестиками. Раскрывая выражение (99), получим:
Е' 6 5
+ = Р; «22 + ^22 = —(Ю0>
С помощью методики получения дифференциальных уравне-
ний, изложенной в п. 2 главы 5, получим систему дифференци-
альных уравнений в перемещениях, записанную через исходные
элементы матрицы реакций. На рис. 49 изображены четыре эле-
мента, примыкающие к точке k. Предположим, что перемещения
в пределах элементов, показанных на рис. 49, меняются плавно.
Тогда, применяя формулу Тейлора, можно выразить перемеще-
ния в точках 1—8 через вектор Z и его производные, например:
= Z — Zxa-\- Zyb + Zxx — Zxy ab + Zyy — .
Матричный оператор (см. гл. 1, п. 1) имеет вид, представлен-
ный на рис. 50. Накладывая этот оператор на точку k и приводя
подобные члены, будем иметь:
4 (gjj + + gji + ^н) |________0_________
0 j 4 (а22 + Ь22 + с22 + ^22)
74
а2 Г4(&ц + й11)| 0 ] и
2 [ О | 4 (*224-rf22) J v'
[4(C11+rfn)| О
2 О | 4 (С22 _l_ ^22)
Uyy + ab
vyy
о |4d2J '
4rf2i| 0 ]
uxy
vxy-
= 0
Учитывая равенства (96), получим:
32U , С11 + R2 d2l/ _L 2d21 В —
дх2 bir + d1± dy2 blt + d±1 дхду
d2v b22 + d22 p_2 d2v + 2dai p„! d2u
dy2 c22 “I- d22 дх2 c22 H- d22 дхду
(101)
Уравнения равновесия пло-
ской задачи для ортотропной
пластинки следующие:
d2u G д2и £"+G d2v = 0;
дх2 сх ду2 ' Е'х дхду
d2v G ду2 Е’у , E-' + G д2и — 0.
дх2 дхду
(102)
Приравнивая коэффициен-
ты дифференциальных уравне-
ний (101) и (102) получим че-
тыре зависимости между исхо-
дными элементами матрицы
реакций:
Рис. 50
си + р2 _ G ,
Ех
^22 Ч~ d22 р —2 _ О
с22 4“ d22 g
М21 $_E" + G
^11 4“ ^11 Ех
2^21 р + G .
С22 “Ь d22 Еу
(103)
Таким образом, коэффициенты матрицы реакций должны
удовлетворять соотношениям (96), (100), (103). Эти соотноше-
ния позволяют выразить все коэффициенты матрицы реакции че-
рез и 6f22:
Eff + G X. А Е" “ G X
«21 — о, «21 — . о;
4 4
, Е" + G с Е" — G с
d21 = ___—6. С21 = ___—6; (104)
75
&u = ~ P~1 — Яц! *22 = 2 0 1 — °22;
E'x6 „ . _G6„
cn — p — Ojj, c22 — 2 P — a22>
. 08 R-l _^R J B~1
^11 —all— "^"P — 2 ₽> da2 “<*22--- g 2 P
Для изотропного материала:
а21 = k (1 + р); b21 — k (Зр l)l
</и = -уМИ-н); с21=--у *(Зи-1);
btl = 3k (1 — р.)0—1 — au; b2i = 6*0“1 — а22; (105)
Cjj === 6*0 ^11> ^22 3* (1 10 0 ^22i
du = «и-Зй [(1 - Н) 0-1 +20]; d12 = а22-3k 1(1 -р) 0 + 20”1].
Е6
™ ‘= 12(1-^)-
Приведенным выше зависимостям удовлетворяют обе матри-
цы, представленные в пп. 1 и 5 этой главы. Матрицу реакций,
при построении которой предполагалось, что перемещения меня-
ются по линейчатой поверхности, назовем матрицей реакций для
модели 1 (см. п. 5). Матрицу реакций, соответствующую линей-
ным изменениям напряжений — матрицей реакций для модели 2.
Элементы обеих матриц удовлетворяют соотношениям (104)
или (105). Таким образом, чтобы задать эти матрицы, необхо-
димо иметь формулы только для элементов ап и а22- Выпишем
выражения для этих элементов по моделям 1 и 2 в случае когда
материал элемента изотропен.
Модель 1:
(Ю6)
Модель 2:
а“ = 12 (1£-^) [(4 - н2) ₽ + у (1 - н) 0-1 ’
[(4 - ₽_I+т(1 - 4
(Ю7)
76
Так как перемещения между угловыми точками при модели 1
меняются по линейному закону, то очевидно, что соседние эле-
менты, на которые разбита пластинка, будут деформироваться
совместно. Поля для горизонтальных и вертикальных переме-
щений независимы и не удовлетворяют уравнениям равновесия
внутри каждого элемента. При построении матрицы реакций для
модели 2 предполагалось, что напряжения внутри каждого эле-
мента меняются по линейному закону. Тогда внутри каждого
элемента выполнится условие равновесия; однако вследствие
изгиба отдельных элементов в поле перемещений будут разрывы
Рис. 51
между соседними элементами. Естественно попытаться по-
строить такую матрицу, которая обеспечивала бы совместность
перемещений между соседними элементами, а поле напряжений
удовлетворяло бы уравнениям равновесия. Задать поле, удовле-
творяющее обоим поставленным условиям в виде функции, за-
труднительно, поэтому получим такое поле численно. Как пока-
зано выше, матрицу реакций можно построить по двум элемен-
там— ап и a22i остальные исходные элементы могут быть полу-
чены по формуле (104) или (105). Чтобы вычислить элементы
«п и а22, построим поле перемещений, которое по кромкам ли-
нейно, а внутри удовлетворяет уравнениям равновесия. Ра-
зобьем элемент на более мелкие подэлементы и решим задачу
об определении перемещений внутри элемента по заданным пе-
ремещениям его кромок. При этом для подэлементов использу-
ются матрицы реакций для моделей 1 и 2. На рис. 51 изображен
элемент в двух состояниях: Ui = l и Vj = l. Для примера взята
сетка 4X4. На рис. 52 представлена основная система метода
перемещений. По кромкам в узловых точках записаны матрицы
перемещений:
ч ui ut
. vl vl
Перемещения без штрихов относятся к состоянию и=1, а со
штрихами — к состоянию и—1. Наложим центр оператора на
точку 1. Умножая матрицы оператора на соответствующие мат-
рицы, характеризующие поля перемещений, и складывая, будем
иметь:
4
(821 + В43) Q 0 J + S Aiizi + (512 + fi34) ^4 +
Г0.50 0 1
+ ^41 П П КЛ Н" + С"42) %2 + ^32^5 = °,
L и и,ouj
где Zi — матрица перемещений в точке L
Полученное выражение представляет собой матричное урав-
нение, относящееся к точке 1. Аналогично составляются и
остальные блочные строки системы канонических уравнений.
В результате решения системы канонических уравнений получа-
ем поля перемещений при м=1 и о=1. Затем вычисляется блок
матрицы реакций Ли:
где п— число элементов (для случая,
рис. 51, п= 16);
7?— матрица реакций для элемента;
изображенного на
Wj v4 и2 v2 и3 и4 v4
«j w2 v2 u3 v3 u4 v4
(нумерацию точек см. на рис. 52; значения и, v без штрихов со-
ответствуют полю перемещений при и=\, со штрихами — у=1).
В табл. 3 приведены значения ац, а22, ai2 при различных зна-
чениях [3 и ц —0,25. Для получения реакций Иц, aj2, п22 исполь-
Таблица 3
«и «12 «22
1,0 0,46763 £6 0,16657 £6 0,46763 £6
1,5 0,59863 £6 0,16667 £6 0,42031 £б
2,0 0,75463 £б 0,16667 £6 0,43100 £6
2,5 0,92064 £6 0,16667 £6 0,46444 £6
3,0 1,09113 £6 0,16667 £6 0,50907 £6
78
зовался процесс последовательных приближений. При этом пер-
воначально в расчет закладывались значения a\v a'l2, а22 для
модели 1 [см. выражение (106)]; далее по приведенному выше
алгоритму были получены новые значения й"2, а'22, с помо-
щью которых вновь проводилось решение [для получения исход-
ных элементов использовались формулы (105)] и так далее до
тех пор, пока величины ап, Л12, «22 для подэлементов не совпали
с этими же величинами, полученными после решения системы
канонических уравнений. Следует обратить внимание на то, что
при использовании модели 2 [см. (107)] получились те же зна-
чения an, ai2, Й22, которые приведены в табл. 3. По известным
элементам ац, tzi2, «22, используя формулы (105), можно найти
все исходные элементы, по которым строится матрица реакций.
6. УЧЕТ ПОДАТЛИВОСТИ СОЕДИНЕНИИ
КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Соединение конечных элементов в структуры может
быть податливым. Податливость соединений определяется кон-
струкцией швов между частями сооружения, замененного в рас-
чете системой конечных элементов, и может значительно изме-
нить напряженно-деформированное состояние, найденное без
учета податливости соединений.
Рассмотрим способ учета податливости соединений конечных
элементов, основанный на механической трактовке отдельного
элемента как упругого объекта, прикрепленного к узловым точ-
кам упругоподатливыми дискретными связями. Податливость
связей характеризуется коэффициентами податливости рг-, пред-
ставляющими деформацию i-й связи от единичной силы в этой
связи. Будем считать известными матрицы единичных и грузо-
вых реакций для отдельного элемента, найденные в предположе-
нии ₽i = 0 (i=l, 2, ..., и), т. е. для случая абсолютно жесткого
соединения элемента с узловыми точками, обеспечивающего
совместность деформаций. Назовем эти матрицы /?0 и RoP.
Задача состоит в отыскании матриц и Лп,р, представля-
ющих усилия в податливых связях от единичных смещений уз-
ловых точек и внешней нагрузки, которая действует в пределах
элемента. При определении матрицы единичных реакций еди-
ничным смещениям узловых точек не будут соответствовать
единичные смещения связанных с ними точек конечного эле-
мента. Для отыскания /?п воспользуемся смешанным методом.
Внешними воздействиями являются п единичных смещений
узловых точек, с которыми связан элемент. За неизвестные при-
мем т перемещений точек элемента и п—т усилий в податли-
вых соединениях. Основная система получается наложением
т связей метода перемещений и разрезом п—т податливых
связей с заменой их неизвестными усилиями. Количество накла-
79
дываемых связей т представляет необходимое и достаточное
число связей, препятствующих смещению элемента как жестко-
го целого. Перемещения по направлению этих связей образуют
матрицу перемещений Z размером т)(п. Усилия в разрезанных
податливых связях представляют матрицу неизвестных метода
сил X размером (п—т)п. Основная система для плоского че-
тырехугольного конечного элемента с восемью податливыми
связями показана на рис. 53, где размерность матрицы Z 3X8»
а матрицы X — 5X8.
Система канонических уравнений имеет вид:
^X + rZ + ^д -О, /
(Ю8)
где б—матрица перемещений по направлению неизвестных
X от единичных усилий в податливых связях.
Эти перемещения получаются суммированием перемещений,
вызванных податливостью самого элемента б*, и перемещений
вследствие деформации податливых связей б**. Матрица б*
может быть получена обращением блока размером (и—т)Х
Х(я—/я) матрицы реакций Ло (построенной без учета податли-
вости связей), который соответствует податливым связям конеч-
ного элемента, разрезанным в основной системе смешанного ме-
тода. Матрица перемещений б** является диагональной матри-
цей, элементы которой равны податливостям разрезанных свя-
зей
6** = diag{0/} (f — 1, 2,..., п — tn).
Матрица 6i=—в уравнениях (108) представляет матрицу
смещений по направлению неизвестных X от единичных значе-
ний Z и определяется только размерами конечного элемента.
Например, для элемента, представленного на рис. 53, можно
записать
где т ^а!Ь.
Матрица реакций г в связях основной системы от единичных
неизвестных Z представляет собой диагональную матрицу с эле-
ментами, обратными величинам податливостей тех податливых
соединений, по направлению которых наложены связи метода
перемещений в основной системе
г = diag {!/₽/} (/ = п —.тг+ 1...., п).
80
Матрица перемещений по направлению п—tn неизвестных
усилий X от единичных смещений узловых точек:
Эта матрица состоит из п—tn строк и п столбцов. Те же п
единичных смещений узловых точек определяют матрицу реак-
ций в связях основной системы
Размер этой матрицы т%п.
Рис. 53
трещина
777/^7777777777777'^
Рис. 54
ось симметрии
Решая систему канонических уравнений (108), найдем п—т
усилий X в разрезанных податливых связях, а затем и усилия
в остальных связях от единичных смещений узловых точек. По-
лучим матрицу единичных реакций в податливых связях:
р-1 j __ р-1 1} Л — tn строк
...............;...
— 6J D 1: б[ D 1 } т строк
Здесь D - 6* + б** + 6j r~l б}.
В последнем выражении нет величин, обратных величинам
податливостей соединений, что позволяет использовать его и
в случае, когда часть соединений абсолютно жесткая. Подобным
образом определяется и матрица реакций в податливых связях
прикрепления элементов от температурного воздействия и мас-
совых сил в пределах элемента. Система канонических уравне-
ний смешанного метода выглядит так:
6Х + 61Z -J- Дур = 0; )
} (109)
rrX + rZ + Rzp^ 0, / * 7
6—274
81
где Ахр и Rzp— представляют соответственно перемещения
по направлению неизвестных усилий и реак-
ции в связях основной системы внешнего
воздействия.
Для случая равномерного нагрева конечного элемента, по-
казанного на рис. 53, матрица температурных перемещений
1"
tn
О
tn
—1
где а и t— коэффициент линейного расширения материала и
изменение температуры.
Матрица реакций в связях основной системы от температур-
ного воздействия нулевая. Таким образом, матрица реакций
в податливых связях от температурного воздействия примет вид:
— D 1 } п—т СТРОК>
t
D 1 } т строк.
Аналогично получается матрица реакций от действия собст-
венного веса элемента.
Учет податливости прикрепления конечных элементов к узлам
позволяет полнее описать работу сборных конструкций. Подат-
ливость соединений должна определяться из результатов экспе-
риментальных исследований конкретных видов соединений.
Полагая податливость связей между элементами по некото-
рой линии, достаточно большой по сравнению с податливостью
самого конечного элемента, можно рассчитать конструкции с тре-
щинами. На рис. 54 приведены результаты расчета плоской
прямоугольной полосы, защемленной в нижнем сечении. Пла-
стина нагружена в своей плоскости распределенной нагрузкой
единичной интенсивности и заменена системой квадратных ко-
нечных элементов с сеткой 10X12. В сечении с трещиной сред-
ние элементы соединены с большими величинами податливостей.
На том же рис. 54 показана эпюра нормальных напряжений
вычисленных в центрах конечных элементов слоя, примыкающе-
го к трещине.
7. ПОЛУЧЕНИЕ МАТРИЦЫ ЖЕСТКОСТИ
ДЛЯ ЭЛЕМЕНТА, РАБОТАЮЩЕГО НА ИЗГИБ
Получение формулы матрицы жесткости рассмотрим на
примере прямоугольника, изображенного на рис. 55. Вектор
обобщенных перемещений, принятых в качестве степеней сво-
82
боды, которые определяют положение всех точек элемента, име-
ei вид Zi
z = £ * tN 1 , где Zt = Ф? dwi dy (/ = 1,2, 3, 4)
1 N i N 1 1 1
Как и в случае плоской задачи зададимся полем перемеще-
ний в виде полинома
сг> — Л' (1, 1]) а, (110)
где w — прогиб элемента в произвольной точке;
(L л) = [1; л; £а; £л; л2; ?3; £4 £л2; л3; §3л; £л3]:
(а) = [он а2 а3 а4 а5 «а «7 а8 <хэ а10 au ai2lT.
Полином (ПО) содержит 12 коэффициентов, что соответст-
вует 12 степеням свободы и удовлетворяет бигармоническому
уравнению. Составим вектор:
w
2 dw
b дц
2 dw
б? dg
n ал)
2 avgn)
b dr]
2 ВД1)
a <
где
I2
Ж)
2 GW(gn)
b Эд
2 djvgn)
n
2
b
о
0
0
gn
2
-Tg
2
0
0
a
a
2
— Л
a
4
— g
a
T|3 g3 l2n sn2 Г]3 g3t] ^l3
4 0 01 JAP 4 Z122 6 o — —_ <q2 b — — S3 b b 6 s»
0 — S2 a 4 — gn a a 0 » | о (Ггр to 2 a
(111)
6*
83
Подставляя в выражение (111) относительные координаты
точки /, будем иметь Zi=^a. Аналогично, подставляя коорди-
наты всех остальных точек, получим матрицу N порядка 12X12:
Na Ni (£n) 2 dAUfr))
N3 , где ЛГ/ = b 5t] 2 dNj&d
_Nt_ _ a _
при g = h n = Hi»
где gi, т]г — координаты точки i.
Далее Z=Nu, откуда al=N~1Z. Вычислим вектор дефор-
маций:
"_4_ <№ (frl)
a3
8 v 4 &N_ (grp -> 4z 4z _
e — ъу = z &2 <fr]2 a = — Ba= — BN^Z, (112) ab ab
8 W (H
ab
где z—расстояние от нейтральной плоскости до рассмат-
риваемого волокна;
0 0 0 2P 0 0 6pg 2Pn 0 0 6PBn 0
0 0 0 0 0 2P"1 0 0 2Р-Ц 6P"1 T] 0 6P"1 gT]
0_ 0 0 0 2 0 0 4s 4rj 0 6^ 6n3
Используя закон Гука [см, формулу (90)], получим
a = De>=-^-DB№1Z. (113)
Подставляя (112) и (113) в выражение для потенциальной
энергии пластинки, будем иметь:
Q =
aT zdxdydz ~
6/2
M
-6/2
1 1
z2dzZ‘ (N-1? -Д- f ( =
ab J J 2
-1 -1
где Д =
—1 —1
BT DBd^d^N-1,
(П4)
84
Подставляя в выражение (114) матрицы ЛГ, В, и и интегри-
руя, получим матрицу реакций для прямоугольника, изображен-
ного на рис. 55.
Поле перемещений непрерывно по линии контакта между со-
седними элементами по прогибам. Углы наклона (производные
от прогибов по перпендикуляру к границе между соседними эле-
ментами) непрерывны
только в угловых точ-
ках, а в промежутках
между ними эти углы
будут претерпевать
разрывы.
Построим далее по-
ле перемещений, неп-
рерывное по прогибам
и углам поворота меж-
ду соседними элемен-
тами. Для этого рас-
смотрим прямоуголь-
ник с 16 степенями сво-
боды. В качестве век-
тора обобщенных пере-
мещений примем вектор
wi
dwi
ду
dwi
дх
дхду
В этом случае вектор обобщенных сил
Qi
Al*
М?
Hi
где Rt —
_ #4-
где Mxt, — соответственно обобщенная поперечная
сила, обобщенные моменты относитель-
но осей х, у и крутящий момент.
Поле перемещений представим в виде
ш = Н (g, i])Z — [Л1П2, .nk, ..., л1в] Z,
где пк — единичная функция прогиба.
85
Чтобы получить функции пк, построим четыре вспомогатель-
ные функции (рис. 56):
Ф1 (?) = г/4 (2 - 3g + g3); Ф3 (g) =- V4 (~ 1 + g + ga - V); (115)
Ф2 (?) = V4 (2 + 3g - g3); Ф4 (g) - V4 (- 1 - g + g2 + g3).
Если в функциях (115) заменить g на т], то получим четыре
аналогичные функции от ц: Ф1(ц); ЗМц); Фз(л); ФДл)- Любая
из функций пк может быть построена как произведение Ф(£)
на Ф(л)- На рис. 57 показано получение функции п2, соответ-
ствующей обобщенному перемещению Z2=l (<pf = l). Анало-
гично можно построить и остальные функции:
«1 Ф; (?) Ф1 (л);
П2 —Ф1 (g) Фз (Ф;
«3 = Ф3 (g) Ф£ (Г,);
«4 = Ф3 (g) ф3 (Ф;
«5 - ф2 (?) Ф1 (Ф;
па — Ф2 (?) Фз (Ф»
п7 = Ф4 (g) Ф£ (ф;
«й = ф4 (?) ф3 (Ф;
«э ф> (?) ф2 (ч);
«ю = — Фх (g) Ф3 (ф:
«и = Фз (?) ф2 (Ф;
п12 = Фз (g) Ф4 (л);
«1з = Ф2 (g) Ф2 (ф;
«14 - ф2 (?) ф4 (Ф;
«is = ф4 (?) ф2 (Ф;
«16 = Ф4 (?) ф4 (н).
В рассматриваемом случае матрица В будет
д2пк д2пк Э2«1б
дх2 дх2 дх2
д2п± д2пк d2n1(i
ду2 ду2 ду2
d2«i 2 д2«к _ 2 ^2«ю
дх ду дх ду дх ду
~ 4lab
д2п,± Э2«к 6^16
р dga ''* 1 3g2 ’*’ р ag3
г-1 . R -1 о-1 д2«1б
аф ан2 ац2
2 da«i _ 2 д2«к 2 а2п16
agar] ag aq agaii
Поле перемещений выражено сразу через вектор обобщен-
ных перемещений, поэтому формула для матрицы реакций
J J
86
При расчете пластины удобно использовать смешанный ме-
тод, принимая в качестве вектора неизвестных, отыскиваемых
из решения системы канонических уравнений, вектор
Y
В этом случае после решения системы уравнений получают-
ся значения прогибов, изгибающих и крутящих моментов. Соот-
Рис. 57
ветствующая этому вектору матрица может быть построена по
формуле (40)*.
8. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПОЛИНОМОВ ЛЕЖАНДРА
ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ МАТРИЦЫ ЖЕСТКОСТИ
При вычислении матрицы жесткости по формуле (114)
необходимо производить интегрирование по площади прямо-
угольника. Чтобы упростить этот процесс, выражение (НО)
можно представить в виде полинома, разложенного по полино-
мам Лежандра. Полиномы Лежандра, ортоиормированные на
квадрате так, что
1 1 ( 01 i д
I ll (&П) d&h] =
-1Л U; i = /.
приведены на рис. 58.
Выражение (110) представим в виде
w = L(gn)
где
£ (£тр = [/х /2 13 /4 /5 /е 17 18 /9 /1(> /п /j2];
а = [«1<х2 аз «4 «5 «8 а7 а8 а9 а10 а1Х а12]т.
* Построение матрицы жесткости для треугольного элемента, работающе-
го на изгиб, приведено в [103]. Получение матрицы реакций для элемента с
учетом сдвига см. в [103].
87
Рис. 58
/з -/т
-/15
/з -Уi
/з5
—/15
/з
/з5
/з
1 1
1
/з -У1
/з -У7
-•/15
/ 3
— /15
У 35
Уз
Уз5
1 1
1 1 1 1 1
89
Для определения производных от полиномов Лежандра по
сиг] необходимо записать эти полиномы через £ и г], продиффе-
ренцировать по £ и т], а затем полученные выражения вновь за-
писать через полиномы Лежандра. Уравнения для производных
можно представить так:
dL (Ет]) 2 dL (ёч) 2
_= —; * = — L(^)D
дх a s ду b п ’
Операторы
Составим вектор
W
ф*
ф^
приведены на стр. 89.
2 дЦ^)
b дг]
2 ал (gn)
а д1
— L (£n) D.
а 6
а ~
(Н6)
Подставляя координаты точек 7, 2, 3, 4 в матрицу, стоящую
множителем при векторе а в выражении (116), получим матри-
цу L порядка 12X12:
Li an)
L = , где L[ =
2
— Li&t) % a L 5
где ^т]г — координаты точки i.
Далее
—> —> —> _1 —*
Z^La, откуда a = L Z.
Матрица L~x приведена в табл. 4.
Вычислим вектор деформаций:
’ 4 d2L (gvi) ~
(117)
в —
= z
а3
4 &2L (gn)
-> 4г
а = —
ab
b2 dr|-
8 d2L (gn)
ab dg di]
=4rBiZ-“lz-
' № ап)
r1^) D\
2L ап)ОЛ)
90
Таблица 4
1 2 ь_ 12 а 12 1 2 ь_ 12 а 12 1 2 ъ 12 а 12 1 2 b 12 а 12
_ Уз 5 ь 12 к 3 а Уз 5 ь а _ Уз __ь__ 12УЗ а Уз Ь а
201/ 3 12УЗ 20 V3 5 20Уз 5 12У? 20V 3
Уз 5 ь 2оУз а Из ь а Уз ъ а Уз ь а
12 Из 5 2оУ 3 12УЗ 5 20Уз 12 V 3 5 20Уз 12УЗ
7 30 Ь ~~ 60 а "бо” 7 ” 30 ь 60 а ”б0 7 30 ь ~ 1яГ а ~ 60 7 30 ь 60 а
а 12/5 а 12I/5 а 12У5 а
12У5
_ ь _ ъ ь 12У5 ь 12/5
12 Vх 5 12/5
Продолжение табл. 4
1 а 1 а 1 а 1 а
ю/F 20/7 10/7 20/7 10/7 20/7 10/7 20/7
а а а а
12/15 12/15 12/15 12/15
ь 12 /15 ь ь ь 12/15
12/15 12/15
1 ь 1 ь 20/7 1 ю/7 ь 20/Г 1 10/7 ь 20/7
ю/7 2о/7 10/7
1 ю/21 а 20/21 1 а 1 а 1 а
10/21 20/21 10/21 20/2Г 10/2Т 20/2I
1 10/21 _ ь 1 ь 1 _ ь 1 10/21 ь 20/21
20/21 10/21 20/21 10/21 20/21
Таблица 5
4(Ва+0-а) + -£-(И-4ц)
1 —1 1 to т» 1 ьз сл I — i ст 1 СО | со 1 ЬЭ + 5» | * А U2
[2₽2 + -^(1+4м)]а —р, ab Г4 4 ^Р2 + 77(1”Н) L о io 1 а2
—2(2₽2— Р-2) — j X Х(14—4ц)
Г-Р-2+ -7(1+4ц)1 Ь L Ь J 'S. 1 *|2 1 CJ ( СО. сч | со 62
[гр2 + 4 (1-ц)1 а L ь j 0 со | ьэ I а2
2(Р2-2Р-2) -4(14-4Н) □
|-2р-2-|(1-ц)] b -р2 « <к сч | со р.
[Р2-|(1+4Н)]« 0 Г2 4 ЬР2—77(1-Н) L о 10 г3
- 2(Р2+р-2)+|(14-4ц) b
[-р-2+4(1-н)Ь L о J L о Io J ь2
Гр2—4g—Н)]а Lb j 0 а2
Примечание. Множитель I>!ab\ fi=b/a; D — цилиндрическая жесткость.
93
Формула для матрицы реакций
63 1 1
R = ~^b J', J, B> DS‘ d^L~'
(118)
Вычисление интеграла в выражении (118) сведется к пере-
множению матриц, после чего будут получаться интегралы от
произведений Ц на 1$ с некоторыми коэффициентами. Если i^=j,
то эти произведения равны нулю, а если t=/, то они равны
единице.
В табл. 5 приведены 24 исходных элемента матрицы жестко-
сти. Чтобы получить остальные элементы, можно использовать
операторы знаков.
Остановимся на зависимостях между исходными элемента-
ми, приведенными в табл. 5. В соответствии с обозначениями,
принятыми в главе 1, п. 2, и операторами знаков блоки первого
столбца матрицы жесткости имеют вид:
— -4ц — аи ; «21 а31 #31 — ^31 — С11 :: '—С21 Г31
«21 «22 «32 «21 С22 ’• —«32 >
«31 «32 «зз ; «31 «32 «33 j
— —
#21 — ^21 ~ ^11 : ^21 ^31 ; /?41 — D4i — du i —d21 —d:n
^21 ^22 : ^32 ^2i d22 : d32
^31 ^зг ^зз = ^31 ^32 ^33 :
В случае задачи изгиба матрица реакций R имеет 24 исход-
ных элемента. На рис. 59 показаны три линейно-независимых
94
смещения. Запишем в матричной форме условия отсутствия ре-
акций в точке Г.
Используя равенства
*12 = ^21 “ ^21» ^13 ~ *31 “ ^ЗР *14 = *41 = ^41
и произведя перемножения, получим:
«и + + «и + dn = °;
«21 + ^21 — «21-- ^21 “
«31 — ^31 “Ь «31 — ~
«21 + &21 + «21 + ^21 - Ь («11 + + 1) = 0;
«22 + ^22 4* «22 + ^22 — (— «21 — ^21) = Ф j
«32 — +2 — «32 + +2 — b («31 — d3i) = 0;
«31 + ^3i + «31 + ^3i + «(^ii + ^ii) — °;
«32 + ^32 + «32 + ^32 + « (^21 — ^21) = 0j
«33 4“ ^33 + «33 + ^33 + « (— ^31 — ^3l) “ 0.
Рассмотрим случай деформаций элемента, при которых его
кромки имеют одинаковые вертикальные и угловые перемеще-
ния. На рис. 60 изображены восемь таких смещений. Вычислим
реакции в точке 1 при этих смещениях и приравняем их полови-
нам балочных реакций:
Г1 0 0 0 1 о
о
о
о
0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1
*11
0“
о
о
Г 1 0 0 0 0 0 1 о
“И *12
0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1
О 0 1 0 1 О О 01
ГО 0 1 О О О 1
+ *13
0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 10 0
+ 0 0 0 1 0 0 0
о-
о
1
0 0 0 0 0 0 0
95
= D/ab
' 6p-2 — Зар-1— 6P~2— 3aP-16P236P — 6р236р
—ЗаР-1 2а2 Зар-1 а2 X X X X
X* X X X 36р262 — ЗйР Ь2 _
(120)
Столбцами матриц, стоящих множителями при блоках R\j,
являются векторы перемещений, которые соответствуют дефор-
мациям, изображенным на рис. 60. Производя перемножения в
равенстве (120), будем иметь:
°?" 1 1 ох “ со, сз со. со со со со. Q|-§ Qj-§ « Q|-§ 7 Ь I I I ^1 § Ol’S II II II II II II <-( гЧ СЧ r-l —1 co iT if •«" чз чз чз + + + + + + 1-» гЧ СЧ гЧ i-Ч ТО гЧ СЧ СЧ гЧ 05 ТО «О «Ci *Ci о т сч * °g- 1- С? еч” еч~ <££ еч~ S9- 1 <з ао. .хь .о Q р§ 04 ° ° 04 Q|-§ | С)|-§ q|-§ q|-§ q|-§ И ll II 11 ll II «о4 -сТ «с? С4 с? + + + + + + <зя <г е f (121)
Из соотношений (119) и (121) получим:
Си = ~т 6Р2 — аи; &ц = ~r 6Р Оц; ab do D _1 с31 = — З&Р — а31; &2! =— — Згф — aai; ab ob D О с9з ~ ~ 2Ь2 — а33; 622 — ~ 2аа — аа2; du =—~б(Р2 + Р 2) + fliiJ ab d31 = —“ 36р—&3ii d2i =—~ Зар 1 — с21; ab ctb D D d33 = — Ь2 — &33; d22 = ~Т а — ^22; ab ао а 6 ds2 —— а32 + (fl21 — С21) (а31 "31) > а b с32 ==— ^32 + (а21 — с21) + (а31 “ ^31) • ) (122)
* Реакции, не используемые в дальнейших выкладках.
96
Все соотношения, кроме двух последних, найдены из усло-
вий (121). При подстановке этих соотношений в равенства
(119) получаются тождества. Последние два соотношения вы-
числены из уравнений (119). Можно получить еще ряд соотно-
Рис. 60
шений из условий равенства коэффициентов бигармонттческога
уравнения и уравнения, записанного через элементы матрицы
реакций (аналогично тому, как это делалось для случая пло-
ской задачи).
9. РАСЧЕТ ТОНКИХ ПЛИТ
НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ
Для расчета тонких плит на винклеровском упругом;
основании может быть использован прямоугольный элемент с
четырьмя пружинами по углам, имитирующими работу основа-
ния (рис. 61). При этом же-
сткость каждой пружины
определяется по формуле
c=k(ab/4), где k — коэф-
фициент постели.
Чтобы получить матри-
цы жесткости для описанно-
го элемента, необходимо к
соответствующим членам
матрицы жесткости элемен-
та добавить жесткость пру-
жин с. Этот способ позволя-
ет учитывать односторон-
нюю связь между пластин-
кой и основанием. При этом
может быть использован
Рис. 61
метод последователь-
ных приближений. Далее замену работы основания системой
пружин будем называть дискретным способом учета упругого
основания.
7—274
97
Наряду с дискретным способом учета упругого основания
применяется и континуальный. Рассмотрим сначала случай вин-
клеровского основания. Чтобы получить матрицы реакций, вос-
пользуемся приближенным методом, широко используемым при
расчете рам на устойчивость и колебания [10, 71]. При исполь-
зовании этого метода предполагается, что форма колебаний и по-
тери устойчивости приближенно совпадают с формой изгиба
стержня с теми же граничными условиями, но при отсутствии
сил инерции и продольных сил. Применим этот метод для рас-
чета плит на упругом основании. Допустим, что форма изгиба
элемента, находящегося на упругом основании, будет той же,
что и при отсутствии этого основания. Очевидно, результат бу-
дет тем точнее, чем меньше размеры элементов, на которые раз-
бита вся плита.
При построении матрицы жесткости воспользуемся полино-
мами Лежандра. Рассмотрим прямоугольный элемент с 12 сте-
пенями свободы.
Подставляя в выражение для поля перемещений (ПО) зна-
чение вектора а, по формуле (117) получим
w^L^L^Z,
(123)
Нагрузка, действующая со стороны основания:
Р = kw = kL (£ч) 1Z.
(124)
Вычислим потенциальную энергию основания
q = -i- f ГрТ wdxdy = у k Т" f J £Т L d^L~l
В силу же ортогональности полиномов Лежандра имеем
где Е — единичная матрица 12-го порядка, следовательно:
где
7?! — матрица добавочных реакций вследствие упругого осно-
вания (исходные элементы этой матрицы приведены в
табл. 6).
98
Таблица 6
0,137063
—0,018293 Ь 0,003174 Ь2
0,018293 а —0,002500 ab 0,003174 а2 |
0,048650
—0,007896 b 0,001587 Ъ2
—0,010873 а 0,001666 ab —0,002380 а2
0,048650
0,010873 b —0,002380 Ь2
0,007896 а —0,001666 ab 0,001587 а2
0,015634
0,004603 b —0,001190 1г
—0,004603 а 0,001111 ab —0,001190 а2
Примечание, kab — множитель к таблице.
Построим матрицу добавочных реакций для модели основа-
ния с двумя коэффициентами постели [23, 64, 95]:
Р (xt/) = k± w — k2 V2^’,
(125)
где P.(xy)—реакция основания;
w— прогиб;
k19 —коэффициенты постели;
у?2 — д2/дх2-\-д2/ду2 —оператор Лапласа.
Эту модель можно трактовать как нерастяжимую мембра-
ну, находящуюся на упругих пружинах. Подставляя выражение
(123) в уравнение (125) и используя операторы дифференциро-'
вания полиномов Лежандра, получим
( 14 4 “о
Р (ху) = й, L (Вл) - й2 — L (sn) D\ + — L (feTj)C% Ю Z.
I [ (Г * Ч JJ
Вычислим потенциальную энергию основания:
w* wd^dr\ —
J J ~
Первое слагаемое учитывает эффект винклеровского основа-
ния, второе и третье — мембранный эффект. Рассмотрим каж-
дый из интегралов:
1 I
kr~~ j = Zt7?!Z,
—1 —1
где
1 1
&2 J J V2 wdtdr\ ~
где
+ D2,
(f>— wds = ~Z‘ RsZ,
j dn
s
здесь R3 == K2 (L"1 )t ф L (£t]) dsL~{ .
В табл. 7 приведены суммы исходных элементов матриц Т?2
и /?3 (исходные элементы матрицы /?1 даны в табл. 6). При рас-
чете плит на упругом основании с двумя коэффициентами посте-
ли, чтобы учесть работу основания, находящегося вне плиты,
приходится составлять уравнения не только для точек плиты, но
и для одного-двух рядов законтурных точек. Можно не вводить
законтурные точки, но при этом для контурных точек надо ис-
пользовать специальные матрицы, учитывающие работу основа-
ния вне контура плиты. Введение большого количества разно-
типных матриц нарушает стройность алгоритма и поэтому ра-
циональнее использовать одну и ту же матрицу, несмотря на то,
что это приводит к более высокому порядку системы линейных
уравнений.
100
Таблица 7
k, 1 -^-0 + — P”1) 105 105 /
м| “210^—*30^ ) й262[ 105 Р + — р-1) 45 Н /
Gsf+isr‘) 0 М2( -₽+-Н 45 Р 105Р )
k2 _<6 И \ 105 105 /
k2b (11 о 1 о Л \210 60 / k2b2 (- _ — р -|- — p-i'l 105 45 Р )
k2 Cl к 30 Г 420 Н / 0 k2a2 _-Lp_._L.p-1') 90 140 )
^2 ( 105 105 /
k2b Лр Л \420 30 / k2b2 ( - — р 140 _ —p-l'j 90 I
jfeg a (— р _ — р-1) \ 60 К 210 ) 0 k2a2 (±р_±р^} \45 Ю5 !
^2 (’ 105 105 )
m| <420 60 1 / k2b* - — р-1') 180 /
k2a (±р + _>з х \ 60 420 г / 0 k2a2 _ — р + _L р_Л 180 140 )
101
Глава 3
РАСЧЕТ ОРТОТРОПНЫХ ПЛАСТИН
МЕТОДОМ ФИКТИВНЫХ СИЛ
1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
При расчете арок, балок, ферм и других стержневых си-
стем широко используется так называемый метод «упругих»
грузов. По этому методу перемещения отдельных точек системы
определяются вычислением моментов от фиктивных грузов в
фиктивных системах. Он построен на сходстве дифференциаль-
ных уравнений, устанавливающих связь изгибающего момента
с нагрузкой, с одной стороны, и момента с прогибом — с другой.
Аналогичную методику можно применять также при расчете
различных пластин, в том числе и ортотропных. Предлагаемый
метод позволяет рассчитывать разнообразные системы, которые
не всегда удается решить другими методами. Особое внимание
должно уделяться выбору расчетных моделей. Эта задача во
многом схожа с той, которая решается в строительной механике
при выборе «фиктивной» системы.
2. О РАЗДЕЛЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
ОПЕРАТОРОВ НА СОСТАВЛЯЮЩИЕ ЧАСТИ
При решении сложных задач технической теории упру-
гости все чаще стали применяться методы разделения диффе-
ренциальных операторов на составные части. В связи с этим за-
дача распадается на несколько менее сложных задач. Успешно
применен и обоснован метод разделения в [76].
Представим дифференциальный оператор в виде произведе-
ния более простых операторов, вследствие чего решение задачи
разделится на последовательные этапы, каждый из которых ре-
шается численным методом с помощью ЭВМ.
Рассмотрим дифференциальное уравнение в частных произ-
водных
у), (126)
где
= Ар Ар Ар + aQ Ар Ар + а± Ар + а2. (127)
Здесь
1 д2 д2
= + ’ (128)
р р дх2 ду2,
а0, аь а2 — постоянные числа.
102
Выясним, при каких условиях оператор L\ (Ф) можно предста-
вить в виде произведения трех операторов
Л2 __ (^Др + рг) 02 Др + р2) (k3 Др + р3). (129)
Запишем три уравнения:
(^1Др + р1)ф = /(х, у)\'
(Ъ аз + р2)Ф = ф;
(Мз + р3)ф = ^
(130)
Равенства (130) составлены так, что последовательная под-
становка функции ф во второе, а затем <р в первое уравнение
приводит к дифференциальному уравнению типа (126) с опера-
тором L2.
Раскрыв скобки в операторе (129), получим
Л2 = k± k2 k3 Др Др Др + (рг &2 k3 4- kt р2 k3 +
+ ki P3) A₽ A3 + (Pi P2 *3+ Pi k2 P3 + ki P2 P3) A₽ + Pi P2 P3- <131>
Разделив все слагаемые на произведение kxk2k3 и обозначив
ki k$
найдем
L3= А3 А₽ АР + (\ + Ч + Ч) АР АР +
+ (Л, Л2 + \ Л3 + ЛД) Др + Х2 Л3, (132)
где
Л£ = р£/^- (i==l,2, 3). (133)
Операторы L$ (132) и L2 (129) будут одинаковыми, если
соблюдаются равенства:
Xj + + Х3 = я0;
Л2 + Л1Л3 + Л2 Л3 =
Л2 Л3 = о2 •
(134)
Системе уравнений (134) соответствует одно характеристи-
ческое уравнение
Л® 4- а0 V 4~ a J Л 4~ ^2 ~ 0 •
(135)
Известно, что связь между корнями уравнения (135) и коэф-
фициентами си совпадает с равенствами (134). Уравнение (135)
имеет действительные корни при условии, если дискриминант
многочлена (135) равен или больше нуля. Для рассматриваемо-
го случая
D — — (4р3 + 21q) > 0,
(136)
103
где
2
а0 2 2 ApCt
P = fli — Ч = — %— “7“ + "2-
О Ж о
Вычислив корни уравнения (135), найдем рг=£Дг. Следова-
тельно, при заданных kt легко определяются все pi. Таким обра-
зом, оператор L\ можно преобразовать к произведению трех
операторов одного и того же типа (130) с точностью до посто-
янного множителя. Для такого преобразования необходимо
найти корни A$(i—1, 2, 3) характеристического уравнения
(135). Как уже отмечалось, решение задачи возможно только
при положительном или нулевом дискриминанте (136).
Рассмотрим частный случай, когда
Li ~ рА3 А₽ А₽ “ Аз А3 + а G “ ^А3) •
Сравнивая этот оператор с Л3, получим:
Ах + А2 Аз = — 1 /р; А2 А2 + Ах А3 + А2 А3 = — ар/р;
Ai А2 А3 = а/Р,
Характеристическое уравнение (135) примет вид
А3 — А2/р — apA/р + а/р = 0.
Обратимся теперь к оператору, который входит в произведе-
ние (129). Для этого рассмотрим дифференциальное уравнение
(М3 + р) л - f (х, у). (137)
С учетом выражения (128) его можно заменить двумя урав-
нениями:
k d3ri Р
7- T7+-7W(M)-Z(x,y)
Р дх2 2
Л Р
(138)
Каждое из этих уравнений по внешнему виду совпадает
с уравнением изгиба сжатой балки и, как известно, легко ре-
шается. Решение уравнений (138), а следовательно и (137),
можно применить к системе (130).
3. ОСНОВЫ МЕТОДА ФИКТИВНЫХ сил
Рассмотрим задачу изгиба ортотропной пластины. Диф-
ференциальное уравнение запишем в виде
di w w
----4- 2D ~
дх4 Удх2ду2
Dy
(139)
д4ш
где Dx и Dy— цилиндрические жесткости пластины в направ-
лении осей х и у.
Введем обобщенную жесткость
D = VD^Dy (140)
104
и обозначим:
Dxy = kD‘, Р = кDyIDx. (141)
Тогда уравнение (139) можно представить в виде
р дх* dxW ду* D *
Сначала рассмотрим случай, когда К= 1, последнее уравне-
ние запишется так:
РДрДрПУ = q, (142)
где Др — дифференциальный оператор, определяемый равен-
ством (128).
Легко проверить, что для жесткости D существуют зависимости:
о = № = Д-Dj,. (143)
Изгибающие моменты:
/ д2 w д2 w \
/ д2 w д2 w \
My = — Dy\~^i +и» )
Введем понятие обобщенного момента
\ р
(1 + н).
(145)
Подставляя в выражение (145) значения (144) и учитывая
(141), после всех преобразований получим
D ( 1 d2w / 1
м—ТТ71т(1 + ₽,ц»’1^+₽(1+1Н1Л <146)
На основе равенств (143) устанавливается тождественность
двух величин
РаРу = Рх/Р2 = Р, (147)
откуда
Р2 “ (Р*/Р2)(Ру Р2) = Их Ру*
Следовательно, условный коэффициент Пуассона
Р — l^Px •
Таким образом, вместо (146) имеем
=— D
1 d2w
д2 w \
=~D^W-
(148)
(149)
ртих + м^/р
1 "Г V Их Ру
105
Подставляя значение Лрш, найденное из (149), в (142), полу-
чим равенство, которое вместе с (144) даст два уравнения:
Др ш M/D.)
При Р—1 получим выражения:
ДМ — — q\ 1
Дьи = — M/D. J
(150)
(151)
В этих уравнениях искомыми являются обобщенные изгиба-
ющие моменты М и прогибы ш.
Таким образом, задача расчета ортотропной пластины све-
лась к двум отдельным задачам. В первой — от заданной на-
грузки определяются моменты Л4, а во второй — прогибы
Если отношение М/D рассматривать как интенсивность не-
которой фиктивной нагрузки <?ф, то прогибы w можно подсчиты-
вать как фиктивные моменты. Впервые такая постановка была
применена Г. Маркусом, который указал на сходство уравнений
(151) с уравнениями равномерно растянутой мембраны. Метод
двукратного расчета мембраны успешно применен им к расчету
шарнирно-опертых пластин. При изменении граничных условий
метод Маркуса усложняется, поэтому он не получил широкого
распространения. Если уравнениям (150) придать другой смысл,
то задача значительно упрощается.
Каждое из выражений (150) или (151) можно трактовать
как уравнение равновесия некоторой системы перекрещиваю-
щихся балок полосок, вследствие чего задача сведется к дву-
кратному расчету систем перекрестных балок. Естественно, что
в этих двух задачах каждая из систем балок должна удовлетво-
рять своим граничным условиям, поэтому расчетные модели
у них могут быть разными. Отметим, что в обоих случаях рас-
четная модель не является обычной системой перекрестных ба-
лок, так как распределение усилий в них находится не из сов-
местности прогибов, а из другого условия (см. п. 3). В более
общем случае задачу можно свести к трехкратному расчету
перекрестных систем.
Обратимся к некоторым деталям. Рассмотрим подробно пер-
вое из уравнений (150), которое перепишем в виде
d2 d2m2
ch2 + ду2
(152)
где
т1 ~ "7“ М; т2 — (153)
Р
Представим пластину в виде двух систем бесконечно боль-
шого числа полосок, уложенных в направлениях 1 и 2, парал-
лельных осям х и у. Взаимодействие между этими системами
в виде непрерывно распределенной нагрузки обозначим через
106
r=r(x, у). Если mi и т2 считать как изгибающие моменты
в двух системах бесконечно большого числа полосок 1-го и 2-го
направлений, то будем иметь две системы уравнений:
д2 т-а
дх2
д2 m2t
ду2
(154)
Здесь — часть нагрузки, приходящейся на балки-полоски,
параллельные оси у. Подставляя в эти формулы значения (153),
получим:
(155)
р дх2
о
Р ~д~2 " ri-
ду2
Рис. 62
==— (qt — М;
1
------------------=
Перейдем от бесконечно большого числа полосок к конечно-
му числу балок (рис. 62), расположенных по осям некоторой
сетки, нанесенной на пластину, как показано, например, на
рис. 63. Предположим, что эпюра изгибающих моментов тх
в полосках, параллельных оси х, в некотором произвольном по-
перечном сечении, проведенном параллельно оси у, изменяется
между узлами; сетки по линейному закону (см. рис. 62). Рас-
стояния между балками обозначим Syk и S^+i). Будем считать,
что каждый элемент площади mxdy, подобно тому как сила,
распределяется между соседними балками (см. рис. 62) по пра-
вилу рычага.
Изгибающий момент в балке с номером k будет
с о
Mlk = + 2ntife) + (2mik + mi(fe+l)) •
Матрица изгибающих моментов в узлах сетки для балок,
уложенных по 1-му направлению, связывается с матрицей мо-
ментов тх равенством
(156)
107
При S2/fe=Sy(fe4.i)=Sy матрица Ву определяется выражением
1
4 1
1 4 1
1
Ру ~~ ^1*
(157)
1*
Элемент, помеченный звездочкой, равен или 2 или 4. Это вы-
ясняется в каждом случае в зависимости от граничных условий.
Если распределенную нагрузку q—г заменить сосредоточенными
силами в узлах сетки Р—R, то, пользуясь матрицей влияния мо-
ментов Lmx для каждой балки, направленной параллельно оси
л, получим вектор моментов в соответствующей k-и балке 1.
^lk — Lfnxk (Р ‘ Р)*
Так как для прямоугольной пластины все балки направле-
ния х одинаковы, то Lmxk=Lmx, поэтому можно написать не
векторное, а матричное равенство
[AfJ - Lmx ([/>]) — [/?]), (158)
где [Afj], [Р] и [Р] — матрицы, составленные из соответствую-
щих величин для узловых точек сетки. Таким образом, вместо
первой системы дифференциальных уравнений (154) имеем од-
но матричное уравнение (158). Аналогично равенству (156)
[7И2]=ВЛ[т2]. (159)
Если теперь повторить все рассуждения для балок, уложен-
ных по 2-му направлению, то получим:
= (»60>
Здесь матрицы моментов и сил 7?т имеют другое расположе-
ние элементов, так как каждый столбец этих матриц представ-
ляет собой вектор, составленный из элементов для балок, па-
раллельных оси у, т. е. для элементов узловых точек сетки, чи-
таемых не по столбцам, а по строкам. Для сравнения уравнений
(158) и (160) обе части последнего необходимо транспониро-
вать. Тогда
М = И ^ту. (161)
Итак, мы получили два уравнения—(158) и (161). Теперь
необходимо выяснить условие их совместности. Согласно ра-
венствам (153), можно записать матричные равенства:
Ы=у[Д [т3] = ₽[Л4].
1 Матрица влияния моментов Lm позволяет осуществить преобразование
вектора сосредоточенных сил в вектор моментов. Метод ее построения обще-
известен [79].
108
Подставляя эти значения в (156) и (159), найдем:
[^]-(1/Р) [АГ]
[ЛГ2] = ₽ВЛЛ1]. J
Заменяя в равенствах (158) и (161) матрицы [Mi] и [М2]
на их значения (162), получим два совместных матричных урав-
нения:
(162)
(1/Р) [M]By^Lmx ([Р]) -[/?]);
(Ч [Ж] [Я] 1?ту
Решить эти равенства можно двумя вариантами: исключить
из них матрицу [М] или матрицу [/?]. Так как нас интересует
первая матрица, то запишем полученные уравнения в виде:
(1/Р)1-^[Л1] Ву — [/>]- [/?]; 1
=[*]. J
Складывая эти выражения по частям, найдем:
-Т-L-1 [AfjВУ + [Л4] (Д^)-1 = И.
Умножив все слагаемые слева на Вух и справа на В~х, окон-
чательно получим
(163)
(164)
-j-Ax [М1 + Р1Л1] Ау — С,
где
(165)
(166)
Методика решения уравне-
ния (165) изложена в п. 4 этой
главы. Выясним физический
смысл расчетной модели систе-
мы перекрещивающихся ба-
лок. Эта модель состоит из
двух взаимно ортогональных
слоев балок-полосок, между
которыми расположена абсолютно
давление г(х, у) с одной системы на другую (рис. 64). При за-
мене непрерывно распределенных полосок дискретно располо-
женными балками, передача реакции 7? от упругого слоя на бал-
ки осуществляется через упругие элементы (пружины), постав-
упругая среда, передающая
109
ленные в узлах сетки, как показано на рис. 64,6. Реакции г(х,
у) или Rik разыскиваются не из условия равенства приборов, а
из условия равенства интенсивностей приведенных моментов М
в полосках первого и второго направлений. Обратимся к реше-
нию второго уравнения системы (150):
1 d2w , о d2w М
Т дх2 ду* =~Ъ' = —9ф' (167)
Ввиду его полного сходства с первым уравнением системы
(150) для него справедливы также приведенные выше выводы
и полученные формулы. Отличие заключается только в том, что
вместо матриц Lmx и Lmy необходимо взять матрицы и L*myt
которые надо составить для фиктивной системы балок. Вместо
нагрузок q и г теперь будем брать фиктивные нагрузки q$ и Гф
Эти нагрузки заменятся фиктивными грузами Рф. Например,
вместо уравнений (155) следует записать:
1 о д2ы;
-р--^г=-(?Ф£-^);Р-^г-=-Гф/0'. / = 1, 2,...,00). (168)
Соответственно вместо (164) получим:
Р [Lmx) 1 By [Рф] [Рф]>
Окончательное уравнение будет
уд;м+₽мл;=сф,
где
ХШ4)"1;
сф = ^)-‘[рф]в-',
(169)
(170)
где L*mx и L*my — матрицы влияния моментов в фиктивных
балках (техника вычисления грузов Рф рас-
сматривается в п. 7 этой главы).
Вернемся к случаю, когда /С=#= 1. Видим, что для шарнирно-
опертой пластины
[Рф1 = Вх [9ф] Ву = ~ Вх [М] By.
Подставляя это выражение в С$, найдем Сф=(1/П) [Л1], по-
этому вместо (170), с учетом того, что А* =АХ и А" — Ау, по-
лучим
-у Ах [ш] + р [ш] Ау
ПО
Определив отсюда матрицу [7И] и подставив ее в равенство
(165), будем иметь одно уравнение
±A2[W] + 2Ax[W]Ay+fi2[W]A2=^C. (а)
Сравнивая его с уравнением (139) при &=1, найдем:
Гд4и»/дх41 = Л[ш];
_ А А1 _ [d*w/dx2 ду2] ~ Av[w] Ау.
Эти равенства верны и при /С=И=1, поэтому окончательно по-
лучим
А2 («, 1 + 2КАХ [№] Ау + ₽2 [«,] А2 = С. (б>
Итак, при К“1 задача об изгибе ортотропной пластины
сводится к решению либо двух уравнений— (165) и (170), либо
одного уравнения (а). Когда К=#1 задача сводится к решению
только одного уравнения (б) [метод решения равенств (а) или
(б) изложен в п. 4 настоящей главы]. Мы исходили из случая,
когда пластина шарнирно оперта. Однако, как увидим далее,
для всех случаев закрепления краев пластины основным эле-
ментом расчетной модели будет шарнирно-опертая пластина,
поэтому принятое ограничение не сужает задачу.
4. РЕШЕНИЕ МАТРИЧНЫХ УРАВНЕНИЙ
ОСОБОГО ВИДА
Рассмотрим матричное уравнение
Л[иу] + [ьу]В = С. (171)
В этом уравнении А и В — заданные квадратные неосо-
бенные числовые матрицы порядка п. Числовая матрица С
может быть произвольной, в том числе и особенной матрицей.
В ней могут встречаться нулевые столбцы или строки и она
может иметь всего лишь один ненулевой элемент. Задача состо-
ит в том, чтобы отыскать неизвестную, квадратную матрицу [^]
порядка п. Однозначность решения такой задачи не вызывает
сомнения. Основная особенность уравнения (171) состоит в том,
что искомая матрица [w] в двух слагаемых расположена
по-разному относительно матриц Л и В. В первом слагаемом
она находится справа от Л, а во втором —слева от В. Уравне-
нию (171) в какой-то степени родственно уравнение
Д2 [&у] + А [ш] В + [ш] В2 = С. (172)
Во втором слагаемом искомая матрица [о>] оказалась в се-
редине между заданными матрицами А и В. Рассмотрим методы
решения уравнений типа (171) и (172) на ЭВМ.
Ill
В работе [107] Я. Сабо применил для решения уравнений
типа (171) спектральный метод. Техника решения состоит в од-
новременном приведении матриц А и В преобразованием подо-
бия к диагональному виду. Рассмотрим эту методику в несколь-
ко ином изложении для уравнения
Л [ау] + [оу]В = С. (173)
Поскольку матрицы А и В — положительно определенные
квадратные матрицы, нетрудно определить их характеристиче-
ские числа и собственные векторы. Обозначим через U матрицу,
состоящую из собственных векторов матрицы Л, а через V — то
же, матрицы В. Характеристические числа матриц А и В обозна-
чим соответственно через X и р. С помощью матриц U и V мат-
рицы А и В преобразуются к диагональному виду:
Аи =
Р1
Рг
Рп
(174)
V”1 BV =
(175)
Условимся нумеровать характеристические числа с соблюде-
нием соотношения их значений по модулю:
I Xj | > | Х21 > I I * • •
I Pi I > I Ра I > |Рз1* ••
Столбцы в матрице U(V) (собственные векторы) должны
быть расставлены так, чтобы столбец Ui(Vi) соответствовал
числу ХДрг). При использовании ЭВМ эта задача решается авто-
матически. Вместо матрицы [о>] введем другую матрицу [X],
связанную с первой преобразованием
[ау] = £/[Х] V’1. (176)
Подставляя это выражение в уравнение (173), получим
AU [X] V"1 + U [XJV-1 В=С.
Умножим последнее уравнение слева на U~lt а справа на К
Учитывая (174) и (175), будем иметь:
[М[Х] + 1Х][р]-С*. (177)
Здесь
С* = CV.
(178)
112
Так как матрицы [X] и [р] —диагональные, то каждый эле-
мент суммарной матрицы, стоящей в левой части уравне-
ния (177), будет определяться выражением (ta+pj)Хц. Каж-
дый из этих элементов должен тождественно равняться соот-
ветствующему элементу матрицы С*. На этом основании по-
лучим
Вычислив по этой формуле все элементы матрицы [X] й
образовав из них матрицу, найдем далее искомую матрицу [ш],
для чего используем равенство (176).
Применение рассмотренного метода требует вычисления всех
собственных значений для двух матриц Л и В. Рассмотрим эле-
ментарный пример приложения этого метода. Пусть:
А =
-П. л [2 И. Г_Г12 51
4_Г Ll 2J ’ [б 12J
Необходимо отыскать матрицу [w], удовлетворяющую урав-
нению
Вначале найдем нормированные матрицы собственных векто-
ров для матриц Л и В:
— 1 1 (1 +/2)
I/2(2 + K2)L— (l + KT) 1
Г1 —II
[1 1]
и их обратные матрицы
и-1 =—- 1 р -(1+/2)
; Г 1 П
У~2 L—1 1]
Характеристические числа
будут:
матриц А и В соответственно
Х1 = 3+/2; 12 = 3 — У~2;
Pi = 3; рз = 1 •
Находим матрицу
C*=y-1CF =-- 1 р -(1+К2П Г12 5‘
2V 2 + У~2 L1+K2 1 J L 5 12.
1 —1
1 1
--------- 1 . Г—17 V 2 —7 (2+]/ 2 )
2 Кг + 1^2 L 17(24-КТ)—7]/’?.
8—274
113
Составляем матрицу из характеристических чисел
1\4-Р/] =
6+К 2
.б — /?
44-/2
4 — У~2
Разделив каждый элемент матрицы С* на соответствующий
элемент полученной матрицы [%i+pi], найдем
1— з/Т —(з + 'ИТ)
7+4/Т — (1+2/1Г)
По формуле (176) окончательно имеем
|ц>] = Lf IX] У—1 = 1 1 ’+/2
4 (2 4-/7) ,-(1+/Т) 1
1—31/2 —(3-|-F^2) 1Г 111 Гз 1
,7 + 4/Т — (1 +2/2’)J L—1 1J 112
Правильность решения проверяется обратной подстановкой
в исходное уравнение
2 —пгз Ч Р ЧГ2 Ч - Г12 5li
—1 4] [1 2] ”1” [1 2j Ll 2J — L 5 12j
При решении инженерных задач наряду с уравнением (126)
часто будет получаться уравнение вида
рА [су] + V [ш] В = С.
Числовые множители р и у не затрудняют решение. Вся ме-
тодика последнего сохраняется и только формула (179) заменя-
ется формулой
X __
P^i + TP;
Рассмотрим другой тип матричного уравнения
А2 [ш] + 2А [ву] В + [оу] В2 = С. (180)
Это выражение заменяет собой бигармоническое дифферен-
циальное уравнение
ДА w ~ f (х, у).
Изложенную выше методику решения уравнения типа Пуас-
сона можно применить также к уравнению (180). Единственным
условием разрешимости этой задачи является то, что числовые
матрицы А и В должны быть положительно определенными.
Подставим выражение (176) в уравнение (180). Умножив все
114
члены этого уравнения слева на (7™1, а справа на V и учтя равен-
ства (174) и (175), получим
[X®] [X] 4- 2 [X] [X] [р] + [XI [р2] = С*.
Дальнейшее решение проводится так же, как для уравнения
(173). Отличие будет только в формуле (179), которая заменит-
ся выражением
сг/ /‘ = 1,2, ... , п\
*7 (\ + Р;)2 '/ = 1,2, .... nJ'
(181)
Постоянные множители при каждом слагаемом в уравнении
(189) также не затрудняют решения. Так, если надо решить
уравнение
cU2 [оу] + 2М [ш] В + у [оу] В2 = С, (182)
то вместо (179) надо взять
Л . V00/
1 аХ? + 2₽Xf ру4-тру
Составив из найденных значений Х^- матрицу [X] и приме-
нив преобразование (176), получим окончательный результат.
Перейдем к задаче, в которой искомая матрица будет прямо-
угольной, порядка тп. Иначе говоря, в ней содержатся т строк
и п столбцов. Рассмотрим уравнение
Миш “Ь [ф]/шг + V &п = Стп*
где а, р и у— положительные числа;
Ат—квадратная, числовая, положительно определен-
ная матрица порядка т\
Вп— то же, порядка п;
С— числовая матрица порядка тп, на которую не
накладывается каких-либо ограничений.
Производим замену:
Wmn^Um[X]mnV~l. (184)
Здесь Um—квадратная матрица порядка т, составленная из
собственных векторов матрицы Ат;
Уп— то же> для матрицы Вп.
Поступая подобно тому, как делалось ранее, получим
« Инг [XU + 2 ₽ [X]m [Х]яи[р]„ + 7[%.!р% = с;„. (185)
Для удобства дальнейших вычислений введем дополнитель-
ные матрицы:
8* 115
Все четыре матрицы будут прямоугольными, порядка тп,
т. е. они будут иметь тот же порядок, что и матрицы [X] и С*.
Из приведенных матриц составим прямоугольную матрицу
Ттп = аВ^ + ЦВк + Вр) + УВр2. (187)
Для получения элементов матрицы [X] необходимо каждый
элемент матрицы С* поделить на соответствующий элемент ма-
трицы Ттп:
~ \pik'Tik\mn
(188)
Окончательный результат получим по формуле (184).
5. МАТРИЦЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВНЕШНИХ НАГРУЗОК
В случаях, когда на пластинку будет действовать сплош-
ная непрерывная нагрузка, изменяющаяся по сложному закону,
ее целесообразно заменить системой сосредоточенных сил. Для
вычисления этих сил необходимо составить специальные матри-
цы преобразования. Рассмотрим вначале простую балку, на ко-
торую действует нагрузка, непрерывно распределенная по ли-
нейному закону, характеризуемая вектором q. Эту нагрузку
можно заменить системой сосредоточенных сил согласно ра-
венству
P = Bq,
(189)
где Р—вектор сил, приложенных в п точках, в которых опре-
делены координаты вектора q\
В — матрица преобразования.
116
Для системы равноотстоящих точек
В=Ву для общего случая имеет вид:
'2
1
интервалом 5 матрица
с
1
4
*4
(190)
4
1
1
2_
Рис. 65
Изгибающие моменты в фиксированных точках будут одина-
ковыми от заданной нагрузки q и сосредоточенных сил Р, опре-
деляемых равенством (189).
В этом случае можно сказать,
что обе системы нагрузок эквива-
лентны одна другой в смысле
подсчета изгибающих моментов.
При определении прогибов две
системы нагрузок почти эквива-
лентны, так как прогибы от сил Р
и прогибы от нагрузки q отлича-
ются мало, поэтому они квазиэк-
вивалентны.
Если нагрузка q изменяется
по криволинейному закону, то,
заменяя приближенно кривую нагрузок системой квадратных
парабол, проведенных через три соседние точки, вместо матрицы
Bi необходимо взять другую матрицу:
Г3,5
1
3 —0,5
10 1
в2=-^
2 12
(191)
1 10 1
—0,5 3 3,5_
случай. Предположим, что пластина
Рассмотрим другой
разрезана линиями, параллельными какой-либо оси, на п поло-
сок одинаковой ширины и необходимо определить нагрузку, дей-
ствующую на каждую из полосок (как бы по правилу дождя).
На рис. 65 показан поперечный разрез, рассекающий все поло-
ски. Предполагая, что между центрами полосок нагрузка изме-
няется по линейному закону и определяя заштрихованную пло-
щадь (см. рис. 65), найдем интенсивность нагрузки на полоску:
= — (?ft_1-b69.+9s+1). (192)
Вектор нагрузок для всех полосок по-прежнему определяет-
ся равенством (189). Матрица преобразования В=В$ теперь
будет такой:
ГЗ 1 “I
1 3.
(193)
117
Если при том же правиле «дождя» предположить, что между
тремя ординатами — Як и qh+\ — нагрузка изменяется по
квадратной параболе, то вместо формулы (192) нужно вывести
другую формулу. К площади, заштрихованной на рис. 65, при-
бавляется площадь 2(о полупарабол, заштрихованных на рис. 66
более часто. Согласно рис. 66, б, находим
2S f S *
*»--г-т-т'-
Подставляя вместо f величину f=qk— — (<7л-1+?л-н)» полу-
чим 2(0= (S/12) (—?A-i+2(7fe—Ф1-1). Прибавляя это значение к
выражению (192), найдем
(194)
Таким образом, в формулу (189) теперь должна входить но-
вая матрица:
гп
1
1
22 1
(195)
1 22 1
1 11J
Приведенные выше матрицы В для подсчета нагрузок можно
использовать и в других целях. Пусть, например, требуется
определить суммарные изгибающие моменты в каждой из поло-
сок пластины. Предполагая, что изгибающий момент в попереч-
ном сечении пластины изменяется по одному из рассмотренных
законов, можно найти суммарные изгибающие моменты в по-
лосках
М = Вт, (196)
где т— изгибающий момент в точке, приходящейся на едини-
цу ширины полоски;
М— суммарный изгибающий момент в полоске;
В—матрица, определяемая равенством (190), (191), (193)
или (195).
118
Естественно, что используя те или иные приемы интерполя-
ции, будем достигать ту или иную точность.
Возможен и обратный переход во всех указанных случаях.
Если известны, например, силы Р, то из равенства (189) легко
определить интенсивности нагрузок д=В~гР. Точно так же из
равенства (196) найдем т=В~1М.
6. СЛУЧАЙ ЛОКАЛЬНЫХ НАГРУЗОК
Рассмотрим случай, когда нагрузка q приложена на не-
которой части площади пластины. Нанесем на пластину сетку
так, чтобы края загруженного участка совпадали с линиями сет-
Рис. 67
ки (рис. 67). Матрицу сосредоточенных сил
равенством
можно определить
(197)
где [б?] — матрица, составленная из величин интенсивности на-
грузки в узлах сетки.
На рис. 68 показана схема составления матриц В'х и В',
когда каждая из сторон пластины разбита на одинаковое число
частей. В центре дана матрица [<?] и в ней точками обозначены
узлы сетки, в которых 7=#0. Слева матрица В'х, а справа В'у.
Крестиками в обеих матрицах показаны элементы, не равные
нулю. Таким образом, внутри большой матрицы Вх расположе-
на матрица В*, точно так же внутри В' находится матрица В*.
Размеры квадратных матриц В* и В* соответствуют размерам
загруженного поля и &i, а их расположение на главной диаго-
нали определяется значениями аир, как показано на рис. 68.
Матрицы В* и В* имеют вид:
г2 1
£14 1
6
1 2J
119
причем у каждой из них свой порядок. Например, для случая,
изображенного на рис. 68, матрицы В* и В* будут соответствен-
но иметь порядок 4 и 3. Когда пластина имеет несколько локаль-
но загруженных участков, матрица [Р] будет определяться как
сумма
[р] = s в*х1
7. ВЫЧИСЛЕНИЕ ФИКТИВНЫХ СИЛ
После того, как решено уравнение (149) и найдена мат-
рица [Л1], можно построить пространственную эпюру Л4. При-
мерный вид этой эпюры для свободно опертой пластины изобра-
жен на рис. 69. Приближенно можно
спрямить линии функции М(х, у) ме-
жду узлами, и тогда для случая пря-
моугольных пластин значение Рф мож-
но определить равенством
Рис. 69
[Рф] = — ВХ[М\ Ву.
(198)
Смысл этого равенства понять просто. Первая операция
умножения [Л4]ВУ приведет распределенную нагрузку q*^=MID
к нагрузке, распределенной по линиям, параллельным оси х,
а второе умножение на Вх слева приведет к сосредоточенным си-
лам, приложенным в узлах сетки. Однако более общее решение,
пригодное для всех возможных очертаний пластины, получим,
применяя интегрирование
Эта формула по внешнему виду совпадает с формулой упру-
гого груза для обычного стержня. Здесь
^ik ^ik{x,y) fi (^)
представляет собой произведение двух функций, каждая из ко-
торых показана на рис. 70, б, в.
Общий вид эпюры представлен на рис. 71. Интегрирова-
ние распространяется на площадь Ль, примыкающую к точке ik
в виде четырех прямоугольников, как показано на рис. 70, а.
Если функцию Mik изобразить поверхностью с прямолинейными
120
очертаниями между узлами, то для P$ik получим приближенную
формулу
Рф ik Sx Sy^D + M(i-1 )(*+!) +
+ + 16Mik + ^(*+D +
+ + }. (200)
По этой формуле легко построить специальную матрицу, оп-
ределяющую вектор Рф с числом элементов и2. В векторе Рф
Рис. 70
Рис. 71
элементы расположены так, как если бы все столбцы матрицы
[Рф] были поставлены один под другим. Зная Рф, нетрудно со-
ставить матрицу [Рф].
8. О СПОСОБАХ ЗАКРЕПЛЕНИЯ ФИКТИВНОЙ СИСТЕМЫ
Как указывалось ранее, определение прогибов с помо-
щью фиктивных сил производится построением фиктивных мо-
ментов Л1ф от фиктивной нагрузки дф—MID. Для этого вначале
необходимо создать расчетную фиктивную модель. Последняя
должна быть согласована с граничными условиями заданной си-
стемы. Для шарнирно-опертой пластины обе расчетные модели
(действительная и фиктивная) совпадают. Более сложной яв-
ляется модель для пластины, стороны которой закреплены дру-
гими способами. Способы построения расчетных моделей будут
выясняться при решении конкретных задач. В первую очередь
рассмотрим шарнирное опирание сторон пластины и поэтому
звездочки у матриц А и L опустим.
Матрицы изгибающих моментов. Для вычисления матриц из-
гибающих моментов:
[МД - - Dx ([d2w/dx2] + [d2w!dy2}};)
[Му] ~—Dy{ [d2w/dy2] + [dWdx2]) J ( J
121
необходимо найти матрицы вторых производных. В соответствии
с уравнениями (168) можно записать:
[dWdx2] - - - [гф]); .
[дМ<й2]=-у [гф], ) (202)
Матрица [<7ф] известна:
[9ф1=-^[Л«1. (203)
Чтобы отыскать другую матрицу [гф], следует сделать пе-
реход от сосредоточенных сил 7?ф к распределенной нагрузке
Гф. Эта задача для шарнирно-опертой пластины решается про-
сто. В самом деле:
[^?ф] = ['ф] Byi 1 <204}
[^ф] 1^?ф] = Вх [?ф гф] By. )
Из равенств (204) найдем:
[rd = В~1 [Я.] В~1; 1
ф1 ф у (205)
в-{\ j
Матрицы [/?ф], [Рф] — [Р] могут быть выражены через
матрицу прогибов согласно формулам (169). Подставив выра-
жения (169) в формулы (205), а затем подставив полученные
выражения в формулы (202), найдем матрицы вторых произ-
водных:
(ЭМЗх2] = |
[ад = Ч^СгЧ~'- I
Сравнивая полученные выражения с формулами (170) для
матриц Ах и Ау, видим, что.
[дЪ/дх2] - - Ах [оу]; 1
[д^/ду2] — — [of] Ay. J
Согласно выражению (201), для матриц изгибающих мо-
ментов окончательно получим
[MJ = Dx {Ах [оу] + [ау]
[Л!,,] = Dy k] + М Л^}. / ( '
При решении конкретных задач необходимо подготовить
матричные уравнения и формулы к виду, удобному для про-
граммирования. Задача состоит в том, чтобы выделить пара-
метры, которые сохранятся в буквенном виде до конца решения,
а элементы всех матриц сделать безразмерными. Такая подго-
товительная работа должна проводиться для каждого случая.
* Решение задачи для других случаев закрепления сторон пластины см.
в соответствующих пунктах.
122
9. СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЯ В ФОРМЕ»
УДОБНОЙ ДЛЯ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ЭВМ
Разобьем каждую из сторон пластины на п равных час-
тей и нанесем на нее сетку. Такая сетка для п=8 показана на
рис. 72. Размеры элементарной ячейки соответственно будут:
Sx=a/n\ Sy=b/n. Предположим, что пластина загружена про-
извольной нагрузкой. Учитывая, что в точках, лежащих на кон-
туре, прогибы равны нулю,
рассмотрим только внутрен-
ние узлы сетки; поэтому все
матрицы будут иметь поря-
док п—1. Поскольку для
свободно-опертой пластины
действительная и фиктивная
системы одинаковые, то
Г* _ Г . Г* __ Т . D*___
mx my ~ Чпу ’ °х “
Рис. 72
^У~^У'
Так как в расчетные формулы входят матрицы Lj^to целе-
сообразно сразу формировать не матрицу Lm, а обратную ей
матрицу. Известно, что при S=const обратные матрицы момен-
тов имеют простой вид:
Lmx — (Lmx) 1 — а Ч’ Lmy~[Lmy} 1 “ & Lq>
(208)
где
г 2 —1
—1 2 —1
(209)
—1 2J
Матрицы В для нашего случая будут:
~ &х ~ а ^0’ &у~ &у~
где
Учитывая, что ВТ=В^ и
(2Ю)
(211)
1 1
4 1
...........1’ 4_
L}=Lm. находим:
L — А* — Д- А; А ~ А* — Д- Ап.
х X а2 о1 у у ^2 0’
(212)
123
где
ло “ 1 ^о*
Матрицу сосредоточенных сил можно представить в безраз-
мерном виде, например при равномерной нагрузке на всей пло-
щади:
1 Г1 1 I 1 И=<7оа&[Ро]; [Pol=-J L 1 1 С (213)
Здесь [Ро] определяется при <7=1, а=1, 6 = 1.
По (166) найдем матрицу
С = <70С0, ।
где iif
со=Во1 [Ро] в01. J
(214)
Матрицы моментов и прогибов также приведем к безразмер-
ному виду, положив:
[M]=qoab[MQ];
а2Ь2
[^1 = <7о — [^о] •
(215)
Матрица фиктивных сил определяется равенством
гр 1 = —В* [ATJ В <• ф1 Г) х *• » у (216)
Учитывая выражение (210) и первое из уравнений (215),
получим [Рф] =qoaV [Рф0], (217)
где [Вфо! “ [ 7И0 ] Во . (218)
Следовательно, СФ ~ р сФо>
где О в* о !1 Со °L е о to (219)
Заметим, что после подстановки в (219) выражения (218)
матрицы Bq и /^сократятся и поэтому Сф0=[М0]. Подставляя
все матрицы в уравнения (165) и (170), получим два идентич-
ных уравнения:
— Ло [Мо] +е [2Ио] Ао = Со;
е
—- [£У0] + £ [ШО| Ло = Сф0,
е
(220)
124
где
(221)
а « а л/ Dу
е" 6 Р b V Dx
Матрицы вторых производных также приведем к безразмер-
ному виду:
|dy2 J D L ду2 J ‘
Подстановка полученных матриц в формулы (206), с учетом
соотношений (193) и (196), дает:
Гд2ш1 ь л г ,
(222)
а г т л
Ы-Т["<1Л"
Матрицы изгибающих моментов:
[44J = q9a? [7ИЛ0];
{My]=qQb* [Л^о].
Тогда, согласно уравнениям (207), после всех преобразова-
ний получим:
(223)
[Mv0] = 4 Ло И1 Ло;
е2
(224)
[М^о] = Mo fa'ol + е2 [ау0] ло- -
Напомним, что здесь
Iх = = pf =^Р2-
Чтобы последовательно решить уравнения (220) на ЭВМ,
целесообразно дважды использовать стандартную часть про-
граммы для первого уравнения.
10. ПРИМЕР РАСЧЕТА ОРТОТРОПНОЙ ПЛАСТИНЫ
НА ПРОИЗВОЛЬНУЮ НАГРУЗКУ
Рассмотрим вначале расчет прямоугольной ортотропной
пластины на действие произвольной нагрузки. Методический ха-
рактер этого примера позволяет выяснить детали предлагаемой
методики.
Разобьем стороны пластины на восемь равных частей, как
показано на рис. 72. Рассмотрим неравномерную нагрузку, дей-
ствующую на площади прямоугольника между узлами сетки
34—36—64—66. Интенсивность нагрузки в узлах 34 и 36 равна
125
qQ, а в узлах 64 и 66 — 0,1 qQ. Приложим две сосредоточенные
силы, которые для удобства расчета зададим в долях от qQ.
Пусть Рз2=0,8 SxSyqo и Р73=0,6 SxSyqQ, Приведем всю нагруз-
ку к системе сосредоточенных сил, приложенных в узлах сетки.
Для этого сначала найдем систему сил, заменяющую распреде-
ленную нагрузку. По методике, изложенной в п. 6, получим
матрицу [Р] от нагрузки q. Построим вначале матрицу [7]:
[<?] = Ча Матрицы В'х и В'у; ву= le" "0 0 0 0 0 0 0" 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0,7 0,7 0,7 0 0 0 0 0,4 0,4 0,4 0 0 0 0 0,1 0,1 0,1 0 .0 0 0 0 0 0 0_ “0 0 0 0 0 0 0" 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 0 14 10 0 0 0 0 1 4 1 0 0 0 0 0 1 2 0 _0 0 0 0 0 0 0_ "0 0 0 0 ООО- ООО 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 0 1 4 1 0 0 0 0 0 1 2 0 _0 0 0 0 0 0 0„
Перемножая три матрицы (197) и добавляя два элемента»
благодаря сосредоточенным силам, приложенным в узлах 32 и
73 [Р32=0,8 (а6/64)<?о; Р7з = 0,6 (nb/64) /?0] и сократив на мно-
житель qQab, получим матрицу [Ро] •
"0 0 0 0 0 0 0”
0 0 0 0 0 0 0
1 0 0,8 0 0,225 0,45 0,225 0
1Л>] = 7Г 0 0 0 0,35 0,70 0,35 0
СИ 0 0 0 0,20 0,40 0,20 0
0 0 0 0,05 0,1 0,05 0
_0 0 0,6 0 0 0 0-
126
На этом заканчивается подготовительная часть решения за-
дачи. В качестве исходного материала в машину вводились мат-
рица [Ро] > а также величины 8 и ц. Все остальные матрицы бу-
дут формироваться в машине по соответствующей программе.
Приведем полученные на машине результаты для случая ц=
= 0,3 и 8=1,2. Для удобства записи элементы матриц округле-
ны, при этом общие множители вынесены за пределы матриц:
матрица приведенных моментов
"0,110 0,205 0,265 0,291 0,271 0,210 0,115"
0,266 0,439 0,599 0,638 0,609 0,479 0,259
0,365 1,027 0,870 1,093 1,198 0,884 0,408
0,348 0,619 0,928 1,297 1,492 1,085 0,478
1ии 0,262 0,518 0,778 1,077 1,193 0,890 0,418
0,202 0,432 0,587 0,732 0,716 0,543 0,278
„0,117 0,271 0,652 0,393 0,323 0,243 0,131„
матрица прогибов
"0,740 1,368
1,422 2,633
1,896 3,566
, , да а? & 100=D 1,995 3,749
1,787 3,379
1,360 2,585
0,744 1,434
1,799 1,964 1,834 1,417 0,772“
3,457 3,792 3,567 2,764 1,502
4,668 5,195 4,959 3,847 2,075
5,052 5,729 5,523 4,291 2,308
4,589 5,215 5,014 3,899 2,105
3,494 3,905 3,695 2,862 1,552
1,959 2,104 1,940 1,942 0,810
матрицы изгибающих моментов:
,м ~0,039 0,081 0,099 0,107 0,094 0,069 0,038~ 0,126 0,184 0,280 0,278 0,236 0,186 0,108 0,229 0,550 0,503 0,560 0,573 0,431 0,213
Л 1 ЯП Л ОЛ7 A СЛА Л АЯЛ Л 7Л1 А ККЯ Л 9А7
|МХ]_ U, loU v ,ои/ U,OvO и, оои и,/<н U , ODO U , ZO /
0,129 0,262 0,393 0,517 0,553 0,428 0,218
0,112 0,212 0,260 0,323 0,305 0,232 0,125
„0,074 0,173 0,332 0,205 0,136 0,093 0,050_
"0,114 0,206 0,270 0,300 0,288 0,229 0,126"
0,234 0,419 0,533 0,595 0,610 0,480 0,249
0,241 0,811 0,634 0,898 1,043 0,758 0,330
0,284 0,523 0,719 1,045 1,261 0,890 0,361
0,223 0,431 0,648 0,936 1,065 0,771 0,339
0,154 0,354 0,541 0,677 0,678 0,514 0,254
„0,076 0,173 0,539 0,317 0,308 0,244 0,131_
127
В этом примере матрица Во определялась по (211). Установ-
лено (см. п. 4 этой главы), что вместо этой матрицы можно
брать другую, а именно:
Г10 1 1
1 10 1
которая дает более высокую точность.
Результаты, полученные на ЭВМ с применением этой мат-
рицы, следующие:
матрица приведенных моментов
“0,110 0,202 0,262 0,287 0,272 0,211 0,114“
0,246 0,458 0,371 0,632 0,616 0,477 0,251
[Л4]=^- 1 100 0,382 0,959 0,885 1,084 1,179 0,871 0,405
0,332 0,646 0,911 1,276 1,455 1,066 0,477
0,262 0,519 0,774 1,061 1,172 0,875 0,412
0,199 0,407 0,597 0,713 0,713 0,539 0,272
_0,121 0,281 0,594 0,405 0,332 0,245 0,129_
матрица прогибов
“0,733 1,358 1,784 1,952 1,828 1,413 0,767“
1,410 2,622 3,436 3,778 3,562 2,757 1,494
70 а2Ь2 1,900 3,582 4,672 5,207 4,979 3,857 2,074
[ш] — J 1М2П 1,990 3,751 5,049 5,742 5,550 4,307 2,310
1 ии м 1,782 3,372 4,580 5,212 5,022 5,902 2,101
1,353 2,570 3,482 3,893 3,692 2,858 1,545
-0,746 1,434 1,966 2,106 1,944 1,492 0,806-
матрицы изгибающих моментов:
“0,043 0,078 0,117 0,198 0,230 0,509 0,102 0,266 0,503 0,107 0,094 0,071 0,274 0,243 0,188 0,039“ 0,105 0,211
0,559 0,566 0,425
[ЛМ = 0,174 0,326 0,496 0,663 0,722 0,545 0,263
1UU 0,133 0,261 0,389 0,511 0,544 0,419 0,212
0,106 0,203 0t270 0,318 0,303 0,231 0,123
-0,076 0,171 0,304 0,207 0,144 0,098 0,522_
"0,110 0,204 0,261 0,294 0,289 0,227 0,121“
0,216 0,430 0,507 0,591 0,611 0,472 0,239
п А2 0,265 0,756 0,657 0,887 1,024 0,747 0,328
[МУ] = £о_£_ 1 ПЛ 0,267 0,539 0,708 1,036 1,231 0,877 0,365
1 ии 0,218 0,434 0,646 0,919 1,045 0,760 0,338
0,158 0,341 0,543 0,656 0,676 0,508 0,247
-0,079 0,191 0,488 0,334 0,310 0,241 0,126-
128
Зная матрицы [Afx] и [A1J и пользуясь формулой (145),
можно установить соответствие этих матриц матрице [Af]. Про-
верим центральный элемент матрицы М (с. 127) и составим для
него выражение (145):
P<70as [MJ + у чл & [Му]
______________________________= qoab
1 + V Ь И»
в[А4Д+ — [Ми]
в
1+н
Отсюда видим, что
[Ml = -3— (е[Л1Л] + ^-[Л1Л.
(225)
Здесь е=(а/Ь)р, [Л4Ж], [Л4„] и [Л4] — соответствующие мат-
рицы моментов при q=l и а=Ь — \. Для среднего элемента
(цифры Мк и Му взяты без округления) по (225) имеем
+ ~ Mj,44^ =
Мц —
7“ (еЛ1д.44
1 + 1*\
— fl, 2-0,006799965 4- — 0,01044677
1,3 \ ~ 1,2
= 0,012974120.
Первые восемь цифр этого числа совпадают с таковыми для
центрального элемента матрицы [Л4]. Этой проверкой выявля-
ется только ошибка в программировании. Проведем другую, бо-
лее эффективную проверку метода. Та же пластина была рас-
считана на действие равномерной нагрузки q с применением
матрицы Во по формуле (211). Для центра пластины получены
следующие результаты: Мх=0,03517 qa2; Л4й=0,0635 qb2; w=
=0,003931 q(a2b2/D).
Если принять р=1, то е=а/Ь=1,2. Иначе говоря, получен-
ные значения Мх, Му и w будут относиться к изотропной пла-
стине с соотношением сторон, равным 1—1,2. В табл. 8 [89] да-
ны те же значения и при том же отношении сторон, но только
с отношением сторон не а/b, а b/а. Следовательно, наше значе-
ние Afx надо сравнивать с Му, и наоборот. Надо обратить вни-
мание на то, что множители, применяемые к табличным элемен-
там, будут отличаться от множителей, приведенных в [89]. Ина-
че говоря, необходимо сделать пересчет. Для приведения
полученных значений к значениям [89] необходимо всюду а за-
менить на Ь. Итак находим: Л4Я=0,03517 qa2— (0,03517e?)b2q=
=0,0506 qa2, что отличается от Му по [89] (0,0501) на 1%. Ве-
личину Му можно сравнивать с табличными (0,0627) без пере-
счета. Расхождение составляет 1,2%. Прогибы: w=0,00393
(qa2b2ID) = (0,00393 &2)qb*)D=0,00566 qb^fD. Расхождение с таб-
личными значениями [89] (0,00564) составляет 0,4%.
9-274
129
11. ЗАВИСИМОСТЬ ТОЧНОСТИ РЕШЕНИЯ
ОТ ГУСТОТЫ СЕТКИ
Решение задачи о том, на сколько частей необходимо
делить каждую из сторон пластины, чтобы точность решения
была высокой, имеет большое практическое значение. Точность
решения зависит от многих причин, в частности от того, какая
из матриц Во применяется в расчете. Специально составленной
программой для расчета изотропной пластины было предусмот-
рено проведение ряда расчетов с автоматическим изменением
числа делений п каждой стороны пластины и применением
разных матриц Во. Использовались четыре матрицы Во, кото-
рые обозначены В04, В0б, ВОю и В022- Индекс у этих матриц сов-
падает с числом, стоящим на главной диагонали этих матриц.
Чтобы проверить точность решения по предлагаемому методу,
проводилось сравнение с известным решением для центра пла-
стины при равномерной нагрузке по прогибу и величине М =
== (Мх+Му)/(1 + ц), по которой проверялись сразу два изгиба-
ющих момента.
В табл. 8 и 9 приведены значения коэффициентов aw —
= 103В^/7а4 и ам=Ю Mlqa2 для максимальных прогибов и мо-
ментов при различных значениях числа делений п и использо-
вании разных матриц Во. Под каждым значением соответству-
ющей величины в скобках указан процент расхождения с точ-
ным решением.
Таблица 8
Ва
п 7 в 1 4 1 1 4 1 Vs 1 6 1 1 6 1 712 1 10 1 1 10 1 724 1 22 1 1 22 1
4 0,4082(0,53%) 0,4067(0,10%) 0,4051(—0,30%) 0,4039(0,59%)
6 0,4074(0,27%) 0,4066(0,07%) 0,4060(—0,08%) 0,4054(0,22%)
8 0,4069(0,15%) 0,4065(0,05%) 0,4062 (—0,02%) 0,4063(0%)
10 0,4067(0,10%) 0,4064(0,02%) — —
12 0,4066(0,07%) 0,4063(0%) — —
14 0,4065(0,05%) — — —
16 0,4064(0,02%) — — —
Точное решение —4063 • 10“3
130
Таблица 9
В9
п 1 4 1 1 4 1 1 6 1 1 6 1 1 10 1 1 10 1 1 22 1 1 22 1
4 0,7768(5,4%) 0,7563(2,6%) 0,7375(0,07%) 0,7198(—2,3%)
6 0,7535(2,2%) 0,7450(1,1%) 0,7369(—0,01%) 0,7289(—1,1%)
8 0,7460(1,2%) 0,7413(0,58%) 0,7368(—0,03%) 0,7322(—0,65%)
10 0,7426(0,76%) 0,7396(0,35%) — —
12 0,7408(0,52%) 0,7388(0,24%) — —
14 0,7397(0,37%) 0,7382(0,16%) — —
16 0,7390(0,027%) — —
Точное решение 10 Mjqa2 — 0,737
Из табл. 8 и 9 видно, что при всех четырех вариантах мат-
риц достигается высокая точность решения даже при весьма ма-
лом числе п. Каждая из матриц Во отвечает своим условиям
аппроксимации функций. Если функции М и w не имеют всплес-
ков, то очень хорошие результаты дает матрица ВОю. В осталь-
ных случаях можно рекомендовать применение матриц В04 и
Вое, но при этом число делений п надо увеличивать. Обе эти
матрицы предусматривают линейную интерполяцию функции,
поэтому гладкость функции не является обязательным требова-
нием.
12. ИЗГИБ ОРТОТРОПНОЙ ПЛАСТИНЫ
ПРИ ЛОКАЛЬНОМ ЗАГРУЖЕНИИ
ОПОРНЫМИ МОМЕНТАМИ
При определении усилий и деформаций в ортотропных
пластинах, если действуют моменты, распределенные на огра-
ниченном участке одного из краев, могут встречаться случаи,
когда на части края моменты распределены по линейному за-
кону. На рис. 73, а показано, что по линии х=0 на длине SXi+
4-SX(i+i) приложены моменты, распределенные по закону тре-
угольника с максимальной ординатой На рис. 73, б приве-
ден аналогичный случай действия моментов на части края у=
—0. Эти задачи значительно отличаются от предыдущих, в ко-
9*
131
торых на контуре моменты были равны нулю. Естественно, что
и решение будет несколько отличаться, поэтому необходимо
вернуться к исходным уравнениям и частично повторить вы-
воды.
В этой задаче внешняя поперечная нагрузка отсутствует, по-
этому основные дифференциальные уравнения будут
Др М — 0; Др w — — M/D t
Здесь Др — по-прежнему определяется равенством (128), а 0 —
формулой (141).
Рассмотрим случай, когда сосредоточенные моменты прило-
жены только к одному краю х=0, при этом будем считать, что
каждая из сторон пластины разбита на одинаковое число рав-
ных частей: Sx=a/n; Sy=bln. Воспользуемся уравнениями
w (163). Первым равенством из
оо УТ\ них определяются значения мо-
у——-т-у-ц ментов в балках, параллель-
/ // ных оси от внешней нагруз-
/ /у ки. Теперь к этому необходимо
/ /2^/ / добавить еще изгибающие мо-
/ /// // менты от внешних опорныхмо-
/ _/ ментов:
4 Z 1
— [Л4] Ву = Lmx ([Р] _ [jR]) +
Рис. 74 Р
+ (226)
Так как внешняя нагрузка отсутствует [Р]=0, то уравне-
ние (226) совместно со вторым уравнением (163) дадут:
(I/р) [М] ву = Lmx (- [/?]) + [Мох]Ву; |
Здесь Afox — матрица моментов, элементы которой равны
ординатам поверхности, изображенной на рис. 74. В эту матри-
цу не входят только ординаты, принадлежащие краю х=0.
132
При числе деления, равном д, MOx имеет порядок п—1 и оп-
ределяется равенством
(228)
где
о 0 п—1 0 01
п
0 0 3 0 0
0 0 2 0 0
0 0 1 0 0
(229)
(230)
В этой матрице только один столбец отличен от нуля. Пер-
вый значок у матрицы [т*;] соответствует балкам-полоскам, па-
раллельным оси х, а второй определяется номером точки по ли-
нии х=0. В дальнейшем изложении будет рассматриваться слу-
чай, когда rnOi=l, поэтому основные уравнения (227) можно
переписать так:
у [Л4] By = Lmx(- [Я]) - [Т xi]-ВУ\
Lmy.
Последующие преобразования уравнений (230) отличаются
от тех, которые проводились в п. 2 этой главы, где первое урав-
нение слева умножалось на В данном случае этого делать
нельзя, так как произведение равно нулю, что приве-
дет к тривиальному решению. Поступим иначе. Умножив пер-
вое из равенств (230) справа на Lmyy а второе — слева на Lmx и
сложив полученные уравнения, будем иметь
Р^тпл- Вх [М] + у [М] By Lmy — By Lmy,
В соответствии с формулами (166) легко установить зави-
симость:
LmxBx “ Ах 1; |
ВуЬту = Ау'> )
поэтому получим
Mr1 (MJ + у [Af] А~' = А-'.
(231)
(232)
После решения последнего уравнения найдем матрицу [Л1]
порядка п—1, которая содержит значения обобщенных момен-
тов (165) для всех узловых точек сетки, кроме тех, которые
расположены на линиях опорного контура.
Так как пластина шарнирно оперта по четырем сторонам, то
на краях моменты М равны нулю. Однако в нашем случае в уз-
ловой точке, лежащей на контуре х=0, момент Л4г- отличен от
133
нуля. В этой точке интенсивность внешних моментов равна еди-
нице. Так как на линии х==0 d2w!dy2—Q, то, согласно формуле
(201):
f(^/^2)Jx=o = I >
откуда
{(d2^/dx2)Jfe0 = -l/Px. (233)
Вместе с тем из уравнения (150) при (d2wldy2)i = Q имеем
(d2w!d^)i = (234)
Сравнивая (233) и (234), находим
Mi=D/$Dx. (235)
Подставив вместо D его значение по (140) и учтя выраже-
ние (141), определим
Мг = ₽. (236)
Таким образом, для получения полной матрицы изгибающих
моментов необходимо к матрице [7И] добавить сверху строку,
в которой все элементы, кроме одного, равны нулю, а на месте
столбца с номером i должна стоять величина р. Второе уравне-
ние для определения прогибов будет иметь такой же вид, как
и уравнение (232), Отличие будет только в правой части:
[до] + "р“ [&у] — Lmx рф] (237)
В уравнениях (232) и (237) обратные матрицы Аи /Н1 вы-
числяются по формулам (231). Правая часть уравнения (237)
должна находиться с учетом моментов на грани х=0. На зна-
чение фиктивных грузов Рф, которые определяются для внут-
ренних узловых точек сетки (без точек, лежащих на контуре),
будут влиять также и опорные моменты. Поэтому целесообраз-
но вначале найти полную матрицу грузов [Р^], в которую бу-
дут входить и все контурные точки, а затем из этой матрицы
вычеркиванием соответствующих строк и столбцов получить
матрицу [Рф]. Матрица [Рф] будет иметь порядок п— 1, а мат-
рица [Р^] — п+1. Матрица [PJ] вычисляется по формуле
[р;]=вцлг] в;. (238)
Вид матриц В* и В* будет несколько другим. Первый и по-
следний элементы, стоящие на главной диагонали, в 2 раза
меньше остальных. Иначе говоря:
B*X = SXB'O; В;=8„В-0,
* Звездочка указывает на то, что матрицы построены для всех точек сет-
ки, включая точки опорного контура.
134
где
1
1' 4 f
1 2
(239)
Как уже говорилось, уравнение (232) справедливо для слу-
чая, когда внешние моменты приложены только на одном
Рис. 75
1 №. 1
I I
Рис. 76
краю —х=0. При действии моментов на краю у=0 меняется
только правая часть:
0Д71 [Л1] + у [Л4] А = А~х = А-1 [т^] . (240)
В случае загружения двух кромок первая часть основного
уравнения должна состоять из суммы правых частей выраже-
ний (232) и (240). Все указанные особенности проследим далее
на числовом примере.
Для вычисления матриц изгибающих моментов [ЛТх] и [Л4У]
необходимо определить матрицы вторых производных (кривизн)
\d2wjdx2} = [хж] и [д2ш/дг/2] = [ху]. Эта задача также имеет
свою особенность, которая обусловливается наличием опорных
моментов. Выделим только балки полоски, параллельные оси,
и изобразим для каждой из них свою линию прогибов (рис.
75,6). В каждой точке фиктивная нагрузка qx$ равняется кри-
визне хж (рис. 75,а). Эпюра хх характерна тем, что одна ее ор-
дината, а именно опорная и принадлежащая только одной по-
лоске, в которой приложен внешний момент, заранее известна
и равна единице. Для остальных полосок кривизна равна нулю.
Вообще для точек, лежащих на линии х=0.
(М V п = — D х _ = 1,
откуда
zvo = -1/Da. = -02/D.
(241)
135
Выделяя элементарную полоску единичной ширины, найдем
прогибы как фиктивные моменты от фиктивной нагрузки их (см.
рис. 75,а). Для этого разделим нагрузку на две части: извест-
ную xix (рис. 76, а) и искомую х2х (рис. 76,6). Согласно рис. 76,
общая кривизна разделилась на две составляющие: их=xix+
+%2х. Через соответствующие им прогибы Wi и w2 определится
общий прогиб: w = w\+w2. Эпюра кривизн Х2х на концах имеет
нулевые значения, поэтому между векторами х2зс и w2, соглас-
но уравнению (206), зависимость х2ж=—Axw2=—Axw—Axw^
Вместе с тем, вектор Wi легко вычислить как момент от тре-
угольной нагрузки. Например, при делении балки на восемь
равных частей г^1==—хо0ж,
"35"
56
65
1 64
1024 55
40
21
(242)
Подстановка дает
Хдд- — — СИ ,
но
Х2Х — --К1Х •
(244)
Вектор х1х легко найти как совокупность ординат треуголь-
ника
XiX — Х0 ТОАГ >
где
(245)
Подставляя в выражение (244) вместо и\х полученное зна-
чение и затем х2ж в (243), после всех преобразований получим
— хо (246)
где
Фох “ Ах 0.г то* • (247)
136
Учтя, что:
At — 2 А — я2 % ’
а
и заменяя
ab
w ’
найдем
-> 6
хл------Ло ш0 xo®o.t.
а
Рассматривая совокупность всех полосок, лежащих на ли-
ниях сетки, параллельных оси %, и, учитывая, что хОх =—Р2/Д
получим матрицу кривизн
[Хх] = [д’и/ах®] = _ -Ь J А ло [Юо] _ фОж [.р2_] |. (248)
В этой формуле [•₽£-] —матрица строка с нулевыми элемен-
тами, кроме одного, равного р2. Этот элемент расположен на
месте с номером I, соответствующим номеру линии сетки, на
которой расположена вершина треугольника, определяющего
эпюру внешних локально приложенных моментов (рис. 74).
Для матрицы вторых производных по у имеем
[х^] = \д2ю1ду*] = — [оу] Ау == — [ау0] Ло. (249)
Отметим, что при загружении стороны у=0 соответственно:
1 ь
[Хд] = — — • — ло [ш0];
и а
bU = -4r • уКМо- 1Z₽/ ®о •
(250)
элементы равны нулю, кроме одного,
все
соответствующем линии сетки /, где
В столбце 1/р?
который стоит на месте,
расположена вершина треугольника эпюры локально прило-
женных моментов. В этих формулах, как известно, Я0=В^1Ь-1.
Равенством (248) определяются производные в узловых точках
сетки, кроме точек, лежащих на контуре. Но так как на линии
х=0 в одной из точек i вторая производная иг не равна нулю,
то необходимо к матрице [d2w/dx2] добавить еще одну строку
сверху, в которой один из элементов равен х0=—1/Ох. Таким
образом,
[Э2ВУ/5х2]полн =
Г «О- 1
Ld^w/dx2J
(251)
137
Полная матрица вторых производных по у\
[dWp2]n0J1H = L . (252)
\д*ю1ду*]
В матрицах (251) и (252) отсутствуют производные для то-
чек, расположенных на краях х=а, у=0, у=Ь, так как они
равны нулю. Запишем формулы в виде, удобном для програм-
мирования. Поступим так же, как в предыдущем пункте — пе-
рейдем к безразмерным величинам. При рассматриваемом за-
гружении (единичным моментом т=1) матрицы прогибов и
вторых производных:
[12/] = (ab/D) [tei0]; [d2w/dx2} = (1 ID) [д2ш0/дх2],
где [ш0] — матрица с безразмерными элементами.
Матрицы изгибающих моментов сами являются безразмер-
ными:
[МЛ] = [М0]; [Л^] = [Л^0].
Примем также соотношения (208), (210), (212), (215) и уч-
тем обозначение (221). Произведя все преобразования, полу-
чим:
«№ W + V [Л»о] Л71 = -у [rxi] Л71; (253)
еЛу1 [w0] + [®0] Л71 = Lmx [ Lmy,
где
а
8 = ТР.
Чтобы определить матрицы изгибающих моментов, лучше
всего воспользоваться формулами (201), по которым
[Мх] = — Dx {[д2о>/дх2] + [д2ш/ду2]) = — (aZ>/P2) {[d2m0/di/2] + [Э2ау/дх2]}
и соответственно
[ЛУ = - ab$2 {[д^/ду2] + [d2w/dx2\}.
Заметим, что из уравнения (255) находятся моменты Л40
только для узловых точек сетки, кроме тех, которые расположе-
ны на опорных линиях. Для получения полных матриц надо по-
ступить так же, как это было сделано для матриц вторых про-
изводных. В матрице Мх в верхней строке на соответствующем
месте i элемент равен единице. Проследим технику решения на
числовом примере.
Рассмотрим ортотропную пластину при следующих данных: а/& = 1,2;
Dy/Dx — 0,8; Цх —0,2; ]iv = 0,25. Принятые постоянные удовлетворяют соот-
ношению
Ву№х —
138
Величины Dx, Dyt цж и Цу нельзя назначать произвольно, они всегда дол-
жны удовлетворять последним соотношениям. Разобьем каждую из сторон
пластины на восемь равных частей и загрузим пластину в середине стороны
х = 0 моментами, распределенными по треугольнику, как показано на рис. 77.
Все матрицы, входящие в основные уравнения, будут седьмого порядка.
Исключения составят дополненные матрицы (см. ниже). Для решения зада-
чи была составлена программа, по которой в оперативной памяти машины
формировались матрицы. Приведем некоторые промежуточные данные и окон-
чательный результат (элементы всех матриц округлены). По исходным дан-
рис 77 Матрица Ло X — LmB, выданная
машиной:
"1,107 1,172 0,977 0,781 0,586 0,391 0,195 "
1,172 2,083 1,953 1,563 1,172 0,781 0,391
0,977 1,953 2,669 2,344 1,758 1,172 0,586
л-1= 1 . 0,781 1,563 2,344 2,865 2,344 1,563 0,781
100 0,586 1,172 1,758 2,344 2,669 1,953 0,977
0,391 0,781 1,172 1,563 1,953 2,083 1,172
0,195 0,391 0,586 0,781 0,977 1,172 1,107
Характеристические числа и матрица собственных ортонормированных
векторов матрицы Лу1 будут:
^2 Ад ^4 Лб Л?
0,1003 0,02407 0,01005 0,00521 0,00305 0,00197 0,00146
"0,1913 —0,3536 —0,4619 0,5 0,4619 0,3536 —0,1913
0,3536 —0,5 —0,3536 0 —0,3536 —0,5 0,3536
0,4619 —0,3536 0,1913 —0,5 —0,1913 0,3536 —0,4619
0,5 0 0,5 0 0,5 0 0,5
0,4619 0,3536 0,1913 0,5 —0,1913 —0,3536 —0,4619
0,3536 0,5 —0,3536 0 —0,3536 0,5 0,3536
0,1913 0,3536 —0,4619 —0,5 0,4619 -0,3536 —0,1913
На следующем этапе уравнения (253) решаются по методу, изложенному
в п. 4 с применением ЭВМ. В итоге решения получены матрицы приведенных
моментов [М], прогибов [ш], а также изгибающих моментов [Л1Х] и
139
[Л4У], которые приводятся ниже. Матрицы [Л1], [Мх] и [Л4У] порядка 8X7
содержат первую строчку, относящуюся к точкам линии х=0. Остальные эле-
менты относятся только к промежуточным узловым точкам сетки. В матрицу
[пу] размером 7X7 не включены элементы, относящиеся к остальным контур-
ным точкам, так как для них прогибы равны нулю.
матрица приведенных моментов
- 0 0 0 9,457 0 0 0 "
0,182 0,492 1,272 2,966 1,272 0,492 0,182
0,235 0,539 0,950 1,230 0,950 0,539 0,235
г .4, т04 0,197 0,404 0,594 0,680 0,594 0,404 0,197
m - 10 0,139 0,268 0,368 0,407 0,368 0,268 0,139
0,089 0,168 0,224 0,245 0,224 0,168 0,089
0,052 0,097 0,128 0,139 0,128 0,097 0,052
0,024 0,044 0,058 0,063 0,058 0,044 0,024
матрица прогибов
"0,083 0,174 0,281 0,376 0,281 0,174 0,083 "
0,126 0,250 0,360 0,413 0,360 0,250 0,126
0,129 0,247 0,336 0,371 0,336 0,247 0,129
m^ab [w] 1 ооо 0,110 0,207 0,275 0,299 0,275 0,207 0,110
0,083 0,154 0,203 0,220 0,203 0,154 0,083
0,054 0,101 0,132 0,143 0,132 0,101 0,054
0,027 0,050 0,065 0,070 0,065 0,050 0,027
матрицы изгибающих моментов:
“ 0 0 0 10,000 0 0 0 "
0,245 0,624 1,381 1,775 1,381 0,624 0,245
0,246 0,500 0,672 0,611 0,672 0,500 0,246
[ЛЫ = ^04 10 0,147 0,068 0,259 0,113 0,299 0,128 0,287 0,127 0,299 0,128 0,259 0,113 0,147 0,068
0,026 0,042 0,047 0,047 0,047 0,042 0,026
0,007 0,012 0,013 0,012 0,013 0,012 0,007
0,001 " 0 0,002 0 0,001 0 0,001 2,000 0,001 0 0,002 0 0,001 0 —
—0,008 0,011 0,237 1,845 0,237 0,011 —0,008
0,051 0,177 0,498 0,877 0,498 0,177 0,051
[ЛЫ = 10 0,096 0,100 0,235 0,209 0,420 0,312 0,530 0,357 0,420 0,312 0,235 0,209 0,096 0,100
0,080 0,157 0,217 0,241 0,217 0,157 0,080
0,054 0,102 0,137 0,150 0,137 0,102 0,054
0,026 0,050 0,066 0,072 0,066 0,050 0,026
140
Характерная особенность полученных результатов — всплеск в эпюрах
моментов в месте приложения внешних локальных моментов. Это легко про-
следить по матрице [Л4Ж]. В точке 04 интенсивность моментов Af* равна 1,
а в соседней точке 14 она упала до 0,18 /п04.
13. СВОБОДНЫЙ ОПОРНЫЙ КРАЙ
Рис. 78
♦
НН
♦ I м
У
Свободный край пластины изменяет расчетную модель
и несколько усложняет расчет. Рассмотрим методику решения
таких задач на конкретном примере. На рис. 78 показана пла-
стина, три стороны которой шарнирно оперты, а четвертая при
у = b свободна от закреплений.
Расчетные модели для заданного и
фиктивного состояний изображены
на рис. 79. На этих моделях каждая
сторона пластины разделена на во-
семь частей. Как было установлено,
приведенные моменты М в узловых
точках двух систем балок должны
быть одинаковыми. На свобод-
ном крае, т. е. в полоске № 8
Рис. 79
(см. рис. 78), параллельной оси х (см. рис. 79,а), моменты не
равны нулю, поэтому на правых концах балок полосок, парал-
лельных оси у, необходимо приложить внешние моменты.
Учитывая, что в расчетной модели две системы балок поло-
сок имеют конечную ширину соответственно а/8 и 6/8, то сосре-
доточенные моменты надо определить суммированием элемен-
тарных моментов Mdy (для ортотропной пластины $Mdy). Это
достигается умножением на матрицу Вх, Векторы внешних мо-
ментов для действительной и фиктивной систем соответственно:
/72g = V AfgJ
= w8.
(254)
(255)
141
Таким образом, расчетные модели для двух систем одинако-
вые, однако структура уравнений будет разная из-за различных
граничных условий. Для первой системы используем условие
равенства нулю реакций на свободном крае:
Qy8 + dMxy/dx = Q. (256)
Согласно (205), для ортотропной пластины и края у = Ь
Qy8 + D (1 - р) (д*ы/дх*ду)8 = 0. (257)
Вначале найдем матрицу
[д%>/дх*ду] = д*/дх* [dw/dy] = д2/дх2 [Фу].
Учитывая теперь (206), получим
[д3ю/дх2ду] = — Ах [фу], (258)
где [cpj — матрица углов наклона касательных к поверхности
изгиба срединной плоскости по направлению оси у
Чтобы определить вектор (d3w/dx2d#)8 для точек, лежащих
на свободном крае, надо в формуле (258) взять вместо матри-
цы [фу] вектор фу8* Подстановка в (257) дает
Qya = - D (1 - (Л) Ах ф?8 = 0. (259)
Здесь ц — коэффициент Пуассона, определяемый по (148).
Рассмотрим второе граничное условие — равенство нулю мо-
мента Му на свободном крае. Из формулы (144) после сокра-
щения на Dy получим
Худ = Lly Хд-д = 0 .
Подставляя вместо его значение, найденное из (147), и
сокращая на 1/р, будем иметь
^А'8 = й. (260)
Если к этому уравнению присоединить выражение (149) и
написать его для свободного края в виде
₽Ху8 + у *Х8 = — ^8, (261)
то из совместного решения уравнений (260) и (261) вычислим
р ->
хгд — — --------Л18.
А8 D (1 — р)
Учитывая (206), получим
142
Выведем основные уравнения. Вместо выражений (163) для
первой и второй систем получим две пары уравнений:
для действительной системы
4~[Л1] By = Lmx <[/>] — [/?]),
р
[7И] - [/?] 1%у + РВЛ м8 Тт;
для фиктивной системы
Р [^1 Ву — ^тх ([^ф] ‘ 1Рф]) >
1Ч>] = [Яф]^+₽5Л< -
где тт — матрица строка,
тт=у[1,2,3,..,,8].
(263)
(265)
Дополнительные слагаемые во вторых уравнениях обеих си-
стем определяют изгибающие моменты в балках-полосках, па-
раллельных оси у, от внешних сосредоточенных моментов (см.
рис. 79). Необходимо подчеркнуть, что в уравнениях (263) и
(264) матрицы [Л4], [Р], [Р], [w], [Рф] и [Рф] прямоугольные,
порядка 7X8. Матрицы Вх и Lmx квадратные, 7-го порядка, Ву
и Lmy— квадратные, 8-го порядка. Это объясняется тем, что к
узловым точкам сетки прибавился еще один столбец на свобод-
ном крае.
Найдем М8, Для этого напишем выражение поперечных сил
на правом конце (равных правым опорным реакциям с обрат-
ным знаком) в балках, параллельных оси у.
Вх Qys = - [Л] Г+ -j- вх Ms. (266)
Вычислив из равенства (259) Qy8, подставив его в (266) и
решив относительно ВХМ8, получим
ВХМ8 = МР] т + &D (1 — р) BxAxqys.
После подстановки ВХМ8 в (263) получим:
[М] - [/?] L'my+ BD (1 - р) Вх 4 Ф8 тт, j ( 7}
где
^ту — Вту ^ТТ '
(268)
143
Умножив первое уравнение системы (267) на L*my справа, а
второе на Lmx слева, затем сложив два полученных уравнения,
а также учтя, что LmxBx=A~} и обозначая
(269)
после преобразований получим
РЛ71 [Л4] + у [М] л;-1 = Lmx [Р] L*my + bD (1 - И) ф8 тт. (270)
Более просто выводится уравнение для второй системы. Под-
ставив вместо w8 его значение (262) во второе уравнение си-
стемы (264), а затем умножив первое уравнение на Lmy справа,
а второе на Lmx слева и сложив их, найдем
М?1 [ш] + у [W] Л-1 = Lmx [Рф] Lm„ + р2/£> (I - н) (ЛГ1)2 т*. (271)
Здесь
Ау &у ^ту
(272)
Матрица А~х особенная, так как матрица Lmy имеет нулевой
последний столбец и нулевую нижнюю строку. Схематически
эта матрица выглядит так:
Lmx
Liny —
о
о
О 0 • • -0
Итак, получены два уравнения (270) и (271). Вектор ТИ8,
входящий в уравнение (271), будет известен после решения
уравнения (270). Он представляет собой последний (восьмой)
столбец матрицы [Л4]. Теперь необходимо определить вектор
Ф8, входящий в уравнение (270). Для этого рассмотрим балки-
полоски, параллельные оси у, в фиктивной системе. Углы по-
ворота найдутся как фиктивные опорные реакции. Для изотроп-
ной системы имеем следующую связь между фф8 и ф8:
₽<Р8 = Зф8.
(273)
Для реакций BXQ$ найдем выражение
В Лф = ~ [Яф] ? + у Bxwa.
144
Матрицу [/?ф] определим из первого уравнения системы
(264):
[Лф] = [Рф1 - у L-' к] Ву.
Подставляя это выражение в предыдущие и учтя зависи-
мость (265), после всех преобразований получим
ф8 = - 7 [Рф] * + у Ах [ш] Ву V + . (274)
Для подсчета изгибающих моментов необходимо определить
матрицы [хж] и [ху]. Первую из них найдем по (206), а для
второй используем равенство (149), записав его р матричном
виде. Таким образом, получим:
[и г] == _ ах И,
[*г]. • (275)
Изгибающие моменты вычислим по (201).
Перейдем к безразмерным величинам. Приняв обозначения
(208), (210), (212), (215) и подставив их в уравнения (270) и
(271), получим:
ВЛ71 [Л4] + у [ЛГ] А*-1 = Lmx [Р] L*my + (1 - и) ф8 тт;
_ __ 1 _ _ _ _ _ е2 _ ->
еЛ/ I®] + — [®] А'-1 = Lmx [Рф] Lmy+ (Л* Т Mi тТ-
Здесь матрицы:
A?=LmxBx->
А^=~ВуТту,
^ту ~ ^ту ТТТ’
(276)
(277)
Черточки у матриц L, ф и В означают, что они найдены при
а = Ь=1, т. е. в безразмерном виде. Вектор углов поворота
Фе = -4" вх 1 [рф] *+ 4"м Виъ + а>8.
О т о
Для кривизн имеем:
да2 — —
[хЛ] = — — Лж[су];
qb2 ( 1 — 1 - _ )
ад—VIt [М]-
(278)
(279)
10—274
145
Для изгибающих моментов после приведения их к виду (201)
с добавлением множителей qa2 и q№ получим:
[MJ = qa2 f-y Ах [оу] + ц [— [Л1] — Ах [ау]
I, 8 4 \ 8 8 / I
IM J = qb2 [е2 (y [М] + -Ь Ал. [№j 4- И Ах М ] ;
(280)
Уравнения (276) лучше всего решать методом последова-
тельных приближений. Положив в первом приближении фз=0,
найдем матрицы [Л1] и [w]. Определив по (278) вектор и под-
ставив его в правую часть первого из уравнений (276), получим
новое решение. Процесс приближений длится несколько секунд.
В программе предусмотрено заканчивать процесс приближения
тогда, когда разница между двумя соседними приближениями
будет меньше Vwoo- При решении уравнений (276) применена
методика, описанная в п. 4 этой главы.
Метод последовательных приближений можно не использо-
вать, если заменить матричные уравнения векторными, но в этом
случае сильно возрастает количество совместных уравнений.
Исходя из этого более предпочтителен изложенный выше метод.
Рассмотрим пример расчета изотропной пластины при равномерной на-
грузке и р = 0,3. Три ее стороны шарнирно-опертые, а четвертая, при у~Ь—
свободна1. В результате решения проведенного на ЭВМ, получено:
“о,093 0,169 0,217 0,181 0,330 0,426 0,255 0,466 0,602 0,308 0,564 0,731 0,357 0,654 0,848 0,406 0,743 0,964 0,445 0,815 1,058 0,499” 0,915 1 J88
[а,]- 100D 0,234 0,459 0,649 0,788 0,915 1,041 |1,143|| 1,283 |
0,217 0,426 0,602 0,731 0,848 0,964 1,058 1,188
0,169 0,330 0,466 0,564 0,654 0,743 0,815 0,915
_0,093 0,181 0,255 0,308 0,357 0,406 0,445 0,499_
"0,140 0,245 0,324 0,368 0,413 0,466 0,469 0,498“
0,214 0,390 0,523 0,614 0,687 0,752 0,793 0,846
0,253 0,466 0,633 0,752 0,846 0,928 0,984 1,049
1*1 0,265 0,490 0,668 |0,7961 0,898 0,986 1,047 |ТДТ6|
0,253 0,466 0,633 0,752 0,846 0,928 0,984 1,049
0,214 0,390 0,523 0,614 0,687 0,752 0,793 0,846
_0,140 0,245 0,324 0,368 0,413 0,446 0,469 0,498_
1 Этот пример выбран для сравнения результатов с имеющимся решением.
146
“0,113 0,155 0,166 0,175 0,156 0,127 0,083 0,004'
0,181 0,261 0,290 0,295 0,271 0,211 0,137 0,002
0,218 0,323 0,362 0,368 0,336 0,263 0,166 0,002
qa2 0,230 0,343 0,386 10,393 | 0,358 0,280 0,175 |0~бб2|
0,218 0,323 0,362 0,368 0,336 0,263 0,166 0,002
0,181 0,261 0,290 0,295 0,271 0,211 0,137 0,002
_о,пз 0,155 0,166 0,175 0,156 0,127 0,083 0,004.
В этих матрицах в квадрат взяты те элементы, для которых имеется точ-
ное решение. В табл. 10 для сравнения приведены эти же элементы по пред-
лагаемому и точному решениям.
Таблица 10
Решение Dw.qa* Му: qa2
СЧ II II СЧсЧ «л II II * х=а/2 у~Ъ х=а/2 У=Ъ/2 * II II о-а ю
Точное (см. [38]) Полученное 0,01286 0,01283 0,080 0,0796 0,112 0,1116 0,039 0,0393 0 0,0002
Из этой таблицы видно, что оба решения практически совпали. Если по-
лученные значения для моментов округлить до трех знаков после запятой, то
они совпадут полностью. Расхождение же в максимальном прогибе состав-
ляет 0,2%. Таким образом, и в этой, более трудной задаче точность предло-
женного метода оказалась весьма высокой.
14. О РАСЧЕТЕ ПЛАСТИН ПРИ СМЕШАННЫХ
ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ
Рассмотрим пластины при смешанных граничных усло-
виях, например такую, у которой какой-либо край на одной ча-
сти длины задела, а на другой — шарнирно оперт, или пластина
с краями, приваренными прерывистыми швами. В местах швов
такая пластина считается жестко заделанной, а между ними —
шарнирно-опертой. Указанные случаи широко распространены
в практике строительства.
Одним из первых исследований по расчету пластин со сме-
шанными граничными условиями была работа П. М. Варвака и
А. М. Дублинского [19], в которой применен метод конечных
разностей. В статье Н. Г. Склепуса и В. Л. Рвачева [78]. Изло-
жен случай, когда одна из сторон прямоугольной пластины на
части длины заделана, а на другой части свободна. О. А. Жу-
равской [29] рассмотрена прямоугольная пластина, у которой
одна сторона заделана, две стороны свободно оперты, часть
четвертой стороны заделана, а вторая часть свободно оперта.
Аналогичная задача решалась Ю. И. Травкиным [90]. А. А. Ро-
манов [77] применил операторный метод, сочетающийся с ин-
10*
147
тегральными уравнениями. Им рассмотрены случаи смешанных
граничных условий. Подобные задачи решаются также в рабо-
тах зарубежных авторов. Тем не менее универсальной методи-
ки, позволяющей решать сложные задачи при действии произ-
вольной нагрузки, пока еще нет.
Отличительная особенность задач по изгибу пластин со сме-
шанными граничными условиями — так называемые особые точ-
ки, в которых не удается точно выяснить напряженное состоя-
ние. 80
Рис. 81
ние. В связи с этим необходимо сформулировать допущения,
которые упрощают решение.
Для расчета пластин при сложных граничных условиях при-
меним метод сил. В качестве основной системы возьмем сво-
бодно опертую пластину.
Этим методом сил с незначительными отклонениями от его
классической формы, применяемой при расчете стержневых си-
стем, можно сравнительно легко решать разнообразные слож-
ные задачи.
На практике весьма трудно осуществить условия работы си-
стемы, в точности отвечающей идеализированным предпосыл-
кам. Поэтому необходимо создать расчетную модель, позволя-
ющую, с одной стороны, по возможности более полно учесть ре-
альные условия работы системы, а с другой — упростить
решение, расширив тем самым класс рассматриваемых задач.
Пусть, например, край пластины на части длины жестко за-
делан, а на другой части шарнирно закреплен. В месте сопря-
жения двух участков имеется особая точка, усложняющая ре-
шение. К тому же практически трудно осуществить заделку
так, чтобы в месте соединения двух участков угол поворота мог
в точности равняться нулю, а на бесконечно близком от него
расстоянии сечение могло бы свободно поворачиваться.
Предположим, что сторона пластины х=0 на участке 0^
^У^Ук приварена к жесткой опоре. На малом участке у края
148
сварного шва угол поворота пластины изменяется от нуля до
некоторой конечной величины. Для устранения неопределенно-
сти задачи будем считать, что на некотором расстоянии S око-
ло особой точки изгибающие моменты в заделке изменяются по
линейному закону от конечной величины до нуля. На рис. 80, а
изображена предполагаемая эпюра изгибающих моментов на
опорной линии пластины в случае идеализированной схемы, ког-
да имеется заделка на отрезке и шарнирное опирание на
отрезке 62. На рис. 80, б представлена расчетная модель. Эпюра
моментов на участке S вблизи особой точки, изменяется по ли-
нейному закону. Чем меньше отрезок S, тем ближе расчетная
модель приближается к идеализированной схеме. На рис. 81
показан другой случай смешанных граничных условий, когда
заделка расположена в средней части стороны пластины.
В обоих случаях в идеализированной схеме заделка на всем
протяжении, включая граничные (особые) точки, не допускает
поворота сечения. В пределах переходных участков расчетной
модели свойства заделки изменяются. Угол поворота меняется
от нуля до фо, а моменты — от Л4зад до нуля. Здесь ф0 означает
угол поворота сечения при условии шарнирного опирания, а
Л4зад — момент, возникающий в абсолютно жесткой заделке.
15. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА СИЛ К РАСЧЕТУ
ПЛАСТИН СО СМЕШАННЫМИ
ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ
Расчет пластин со сложными граничными условиями
проводится методом сил, который широко используется в стро-
ительной механике стержневых систем. Основы этого метода
рассмотрим на частном примере изгиба пластины (рис. 82) с
заделанными краями. Разобьем каждую из сторон пластины на
восемь равных частей. За лишние неизвестные примем группо-
вые воздействия моментов, представляющие собой локальные
загружения моментами, приложенными на краях пластины, как
показано на рис. 83. Например, для края х=0 эпюра опорных
моментов (рис. 83, а) может быть представлена в виде суммы
семи эпюр (см. рис. 83,6).
Изложенную в главе 5, п. 13, методику расчета на воздей-
ствие моментов, распределенных по треугольнику, используем
для расчета на единичные воздействия лишних неизвестных. За
лишние неизвестные принимаем ординаты хи х2 ... треугольных
эпюр (см. рис. 83,6). Всего неизвестных при выбранной сетке
(для четырех сторон пластины) будет 4X7=28. Если стороны,
параллельные осям х и у, делятся на разное число делений —
т и /г, то неизвестных будет 2(/п+п—2). В отличие от приня-
той нумерации узловых точек сетки, неизвестные будем нуме-
ровать подряд так, как показано на рис. 84. Естественно, что в
углах пластины моменты равны нулю.
149
Канонические уравнения имеют обычный вид (m = n):
= о
или иначе
i = 1,2,..(2п —2))
/ = 1,2.. ,(2п — 2)| *
[6]Х + <Гр = О,
(281)
где [6]—матрица коэффициентов канонических уравнений;
бр и X — векторы грузовых коэффициентов и лишних не-
известных.
Рис. 82
х ^hWfg^zo^f
Рис. 84
Заметим, что грузовые члены 6ip обозначаются не так, как
в строительной механике стержневых систем. От обозначения
Агр мы отказались потому, что обозначение А использовано для
оператора Лапласа.
Коэффициенты канонических уравнений б^ представляют
собой работу моментов, распределенных по закону треугольни-
ка при Хг=1 на углах поворота, вызванных неизвестным с но-
мером / при Х^=1. Если точка k принадлежит^линии х=0, или
х=а (рис. 85,а), то протяженность эпюры Mi равна 2Sy. На
рис. 85, б показана эпюра углов поворота от неизвестного с
номером j при Xj=l. Допустим, что эпюра (pj в пределах меж-
ду узлами изменяется по линейному закону. В этом случае
= + 4(Pa/ + <₽(h-i)/ ) • <282)
2 5.у
150
Если точка k принадлежит линии у=0 (или у=Ь), то Sy за-
менится на Этой формулой можно пользоваться также для
определения 6гР, заменив в ней cpj на ф$ и Mi на МР. Все коэф-
фициенты можно определять в матричной форме.
Для первых семи строк матрицы [6], согласно формуле
(282), получим
[ б( = Ву [ф(1_7)£ ], (283)
где [6(1-7)г]и [ф(1~7)г]—символически обозначенные части мат-
риц [6] и [ф] (порядка 7X28), определяющие первые семь
строк этих матриц; Ву— квадратная матрица порядка 7X7.
Для вторых семи строк (с 8-го по 14-й номер) будет такая же
формула, как (283), но с заменой Ву на Вж. Последняя матрица
такая же, как Ву (284), но с заменой Sy на Sx, Следовательно,
[^(8— 14)f 1 = &х [*Р(8—14)/] • (285)
Для третьих семи строк вновь применяется формула (284),
а для последних — формула (285). На основании сказанного
окончательно найдем матрицу [6] через матрицу [ср],
[6] = В28[Ф], (286)
где В28 — прямоугольная матрица 28-го порядка, имеющая
квазидиагональную структуру:
В28 —
увх
ув
(287)
Столбец грузовых коэффициентов 6Р также определяется че-
рез фр с помощью матрицы B2s
~~ ^28 ^Р *
(288)
Заметим, что матрица В28 является неособенной матрицей,
т. е. ее определитель не равен нулю, поэтому, если значения
(286) и (288) подставить в канонические уравнения (281), то
окажется, что обе части уравнения можно сократить на матри-
цу В28. Таким образом, вместо канонических уравнений (281)
можно записать систему уравнений
[ф]Х + фр = О. (289)
Чтобы определить углы поворота ф^- и ф;р, необходимо сна-
чала рассчитать основную систему на действие внешней нагруз-
151
ки и единичных значений лишних неизвестных. Следуя класси-
ческому методу сил, будем снабжать обозначения всех величин
от единичных неизвестных черточкой вверху, а от нагрузки —
значком Р.
По методу, изложенному в п. 13, от действия лишнего неиз-
вестного Xif приложенного в точке i на краю х=0, необходимо
решить уравнения (253), а именно:
8Л0 1 [Л40] + рИ0] Ло 1 — [ToxJ Ло
еЛ^1 [да0] + у [йу0] Лу1 = Lm Lm .
(290)
Матрица [Р^] должна определяться по методике, описан-
ной в этой главе, п. 12. Если неизвестное Х$ приложено в точ-
ке j на краю у=0, то уравнения (290) сохраняют тот же вид.
Изменяется только свободный член первого уравнения. Иначе
говоря, первое уравнение для этого случая
w . (291)
когда
Уравнения (290) и (291) предусматривают случаи,
единичные неизвестные приложены на гранях х=0 и у=0. Ес-
ли неизвестные приложены на двух других гранях — х=а и
у=Ъ, то можно соответственно пользоваться уравнениями (290)
и (291), заменив в них Тох/ на тПхъ а также тОуг на %Пуь
Матрицы тоуь Tnyi и toyj, Tnyj, согласно выводам, сделанным
в п. 12, будут:
ГО • • • п
О
—1 ... 0"|
О
о
_о
О ... о
... 2
0
oj
о"
1
1
> ^nxi —
П
ГО . .
о
i ... oq
; (292)
0
Lo
л—2
п —1
0 0 ...0
1 2 ...n—1
0
0~
0'
. (293)
1
п
^oyl~ п
о
п —1
2
0
2
1
________________________1_
; - п
0 0 ... 0
0 0
0
0
Столбец Тох
_0
и строка Toy расположены в матрицах (292) и
(293) соответственно в столбце i и строке /, все остальные эле-
менты равны нулю.
При действии внешней нагрузки основная система рассчи-
тывается по уравнениям:
еЛ0 1 [^ор] 8 [^ор] ло 1 — [Ро]
[№ор] + ~ Ьор] ^o"1 = Лу1 [Мор] Л^1.
(294)
152
Здесь
^11 ^12 • • • ?1П
РП1 • * • • Рпп _
Иначе говоря, силы PQ определяются при a—b=q=l. Мето-
дика вычисления матрицы [Ро] при любом загружении установ-
лена в пп. 5 и 6 этой главы. В дальнейшем нам понадобятся
формулы для нахождения матриц кривизн при действии единич-
ных неизвестных и нагрузки в основной систе-
ме, а также от нагрузки в заданной системе.
Предположим, что для произвольной полоски,
вырезанной из пластинки линиями, парал-
лельными той или иной оси, известна линия
прогибов, заданная вектором w (рис. 86). Не-
обходимо определить вектор кривизн. Пусть
на концах полоски заданы кривизны хо и хп.
Если повторить выводы, приведенные в п. 13,
то вместо формул (248), (249) и (250) полу-
чим новые формулы. Ограничимся приведени-
Рис. 86
ем окончательных результатов:
b -> ->
[хЛ] = — — Ло |>0] + ф0 [ -Хо-] + [-хЛ.];
L)a
[*»1 = - |Ч] Л0 + [«»] Фо + [й п ]'Ф? •
В этих формулах:
'Фо — -^0^0----Т0» Фл — ^Л — ТЛ*
(295)
(296)
В свою очередь:
1024
“35“
56
65
64 ,
55 ’
40
21
1024
“21"
40
55
64
65
56
35
(297)
(298)
1
2
3
2
1
Формулы (295) являются более общими по сравнению с фор-
мулами (248) — (250). Предполагается, что в матрицах стро-
153
ках [*%•] [’Xn-] и столбцах [х0]; [хп] могут быть все элемен-
ты, отличные от нуля. При действии единичных неизвестных,
когда, например,
[ ^0-1 = — ^5“ [0-..1 [0,0...р..-0,0]
или
О
(299)
Формулы (295) совпадают с формулами (248) — (250). Пос-
ле того, как найдены лишние неизвестные, легко определить
кривизны на контурных линиях пластины:
[•V] = Р2 [Хг .х7]; [.хЛ.] = Р2 [Х15. >Х21],
^22
Л2
(300)
Следует отметить, что матрицы [хж] и [ху], вычисленные по
(295), будут седьмого порядка. В них не вошли пока производ-
ные на опорных линиях пластины. Полные матрицы кривизн:
[ХгР
[•V]
[^ох]
[]
(301)
0 [-0] о ~
[х0 j [Kq^] хп j
0 [.0.] о
(302)
Для вычисления коэффициентов канонических уравнений
(289) необходимо отыскать углы поворота <р краев пластины от
единичных неизвестных и нагрузки в основной системе, для че-
го рассмотрим общий случай, когда хо=5^О и хп=И=0. Чтобы опре-
делить значения ср на контурных линиях пластины за нагрузку
принимаем эпюру х и находим реакции на левой и правой опо-
рах. Заменим распределенную нагрузку сосредоточенными си-
лами. Для балок-полосок, параллельных оси х, сосредоточенные
силы, включая и стоящие на опорах, будут Вуих. Загружая эти-
ми силами линию влияния опорных реакций, получим
где иХг — вектор кривизн по линии I.
154
Для совокупности углов поворота на линиях х=0 и х—а по-
лучим матрицы строки:
[. го . ] = т* Ва [% 1.
1Г Л J п 9 L дс J -
(ЗОЗ>
Для линий контура у=0 и у—Ь матрицы столбцы соответ-
ственно:
[<Ро ] = 1^] ^9 С^о)’;
(304)
[ ] = W В9
Здесь [xj] и [х*] уже не векторы, а матрицы кривизн. За-
метим, что Tq и т*
будут не седьмого,
отличаются от т0 и тп только тем, что они
а девятого порядка:
Формулы (303) и (304) справедливы для подсчета коэффи-
циентов 6ik и бгг. Столбцы матрицы [б] формируются из векто-
ров (303) и (304) по правилу:
[ Ф/] =
(306)
После транспонирования строк, относящихся к линиям х=
=0 и х=а, получим столбцы. Четыре столбца, входящие в
(303), образуют столбцы матрицы [<р]. Столбец углов поворота
от нагрузки фр:
(307)
155
Вычислив все векторы (306) и вектор (307), получим систе-
му канонических уравнений (289), откуда найдется вектор не-
известных X. После этого определяем матрицы [Л4], [w], [Мж]
и [AfB] уже для заданной системы. Это можно сделать тем же
способом, который применяется в классическом методе сил, ис-
пользуя формулы:
[Af] = [Мр ] + SX. [Л4J;
[®] = [®p] + sxi kJ.
(308)
Однако с точки зрения механизации вычислений такой при-
ем нерационален по двум причинам: 1) требует хранения в па-
мяти машины всех матриц М и w, 2) несколько удлиняет про-
грамму. Более выгоден другой прием. Приложив к основной си-
стеме нагрузку, а также найденные неизвестные, необходимо
вновь решить основные уравнения и получить заново все необ-
ходимые матрицы: [Л4], [о»] и т.д.
Основные уравнения будут следующими:
еЛу1 [Af0] + -±- [Л10] V = Lm [Ро] Lm+± [rj +
(309)
еЛ0 1 [ю0] +-i- [»0] Ло 1 = Lm [Рф] Lm,
[Т’х] =1Л»]
(ЗЮ)
N = И [М] И •
156
Уравнения (309) и введенные обозначения требуют некото-
рых пояснений. В первом уравнении системы (309) в правой
части учитываются моменты X на гранях, параллельных оси х,
и на гранях, параллельных оси у. Значения матриц [То] и [Гп]
будут ясны, если вернуться к уравнениям (290) и (291). В них
учитывались влияния только единичных моментов, а теперь учи-
тываются все моменты сразу. Поэтому, складывая все матрицы
т и умножая их на значения неизвестных X, получим матрицы
[Т], приведенные равенствами (310).
Рассмотрим матрицу [Рф]. Так как в эпюре [Л4] на опорных
линиях моменты теперь не равны нулю и их значения окажут
влияние на фиктивные силы, расположенные на линиях, отстоя-
щих от края на одну панель Sx или Sy> то вначале необходимо
найти [Рф], которая больше на две строки и два столбца по
сравнению с матрицей [Рф]. После получения полной матрицы
грузов [Рф] из нее надо найти усеченную матрицу, вновь вы-
черкнув первую и последнюю строчки, а также первый и послед-
ний столбцы. Следует пояснить матрицу [Л4”]. Последняя отли-
чается от [Л4о], которая вычисляется из первого уравнения
(309) тем, что к ней присоединяются строчки и столбцы, опре-
деляющие опорные моменты, т.е. найденные лишние неизвестные.
Именно поэтому она и имеет значок П, что означает «полная».
Осталось пояснить, как найти матрицы моментов [Л1Х] и [Afy].
Для этого воспользуемся обычными формулами:
1ДГО] - - dx {[d^w0/dx^ + 1 {3In
l^o] = " Dy ([a2 u>0/dpa] + Py [d* wQ/dx*]} J
Матрицы (311) не содержат строк и столбцов, относящихся
к точкам опорного контура, поэтому их надо дополнить. Напри-
мер, матрицу [Мхо] надо дополнить сверху и снизу строками
лишних неизвестных р2[-Х-], принадлежащих линиям х=0,
х=а, а матрицу [Afy0] дополнить слева и справа столбцами
1/Р2[Х], определяющими неизвестные на линиях у=0, у—Ь.
Указанные строки и столбцы определяются в первой части за-
дачи после решения канонических уравнений.
16. КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
Рассмотрим задачи об изгибе пластин с различными
способами закрепления сторон, которые доводятся до числовых
результатов с помощью ЭВМ. Выбор этих задач не случаен, так
как для случая изотропной пластины получаемые результаты
можно сравнить с имеющимися в литературе данными, что
позволяет судить о точности предлагаемого метода. Поэтому
первые пять примеров решены для изотропной прямоугольной
157
пластины, но по программе, составленной для ортотропной пла-
стины при р=1 и &=а!Ь. Проведен также расчет ортотропной
пластины при произвольной нагрузке. Стороны пластины разби-
вались на восемь равных частей. Количество лишних неизвест-
ных в общем случае равно 28 (см. рис. 84).
Рассмотрим изотропную пластину, для которой Dx—Dy=
=Dxy=D\ р=1 &=alb. При решении этой и последующих
задач применялась матрица В, определяемая равенством (191).
По стандартной части программы 28 раз была решена задача
на действие единичных значений неизвестных и составлена
матрица [ср]. Затем решалась задача на действие распределен-
ной нагрузки на основную систему и найден столбец фР.
Если из матрицы [ср] вычеркнуть строчки, относящиеся к
одной из групп неизвестных, а по главной диагонали поставить
единицы, затем вычеркнуть соответствующие элементы из век-
тора то та или другая сторона (или несколько сторон) будет
шарнирно оперта. Благодаря этому приему сразу решаются не-
сколько задач. Ниже приводятся результаты решения для пяти
случаев при е = 1. Элементы всех приведенных матриц округ-
лены. Учитывая, что эти задачи уже решены, приводим для
каждой из них только по две или три матрицы: [ад], [Л4Х],
[Му]. Вначале дадим решение для квадратной изотропной пла-
стины от действия Х4=1. Отметим при этом, что матрицы мо-
ментов не зависят от размеров сторон пластины. Только матри-
ца прогибов зависит от а и Ь. Матрицы [М], [ад] и [Мх], [Л4У]
при р = 1,2 будут:
‘О 0 0 1 О О О'
0,0178 0,0495 0,1368 0,3461 0,1368 0,0495 0,0178
0,0247 0,0590 0,1106 0,1517 0,1106 0,0590 0,0247
0,0226 0,0477 0,0733 0,0861 0,0733 0,0477 0,0226
0,0171 0,0338 0,0475 0,0532 0,0475 0,0338 0,0171
0,0116 0,0222 0,0301 0,0330 0,0301 0,0222 0,01 Гб
0,0071 0,0133 0,0177 0,0193 0,0177 0,0133 0,0071
0,0033 0,0062 0,0082 0,0089 0,0082 0,0062 0,0033
г п аЬ
W 100D
"0,088 0,186 0,307 0,421 0,307 0,186 0,088"
0,140 0,282 0,414 0,483 0,414 0,282 0,140
0,151 0,292 0,404 0,449 0,404 0,292 0,151
0,135 0,255 0,343 0,376 0,343 0,255 0,135
0,106 0,198 0,262 0,285 0,262 0,198 0,106
0,071 0,133 0,175 0,190 0,175 0,133 0,071
0,036 0,066 0,087 0,094 0,087 0,066 0,036
158
'О О О 1,0000 О О О'
0,0234 0,0617 0,1450 0,2053 0,1450 0,0617 0,0234
0,0266 0,0561 0,0797 0,0734 0,0797 0,0561 0,0266
0,0183 0,0332 0,0391 0,0369 0,0391 0,0332 0,0183
0,0100 0,0169 0,0191 0,0187 0,0191 0,0169 0,0100
0,0047 0,0078 0,0088 0,0088 0,0088 0,0078 0,0047
0,0020 0,0033 0,0037 0,0037 0,0037 0,0033 0,0020
0,0007 0,0011 0,0012 0,0013 0,0012 0,0011 0,0007
0 0 0 0,2000 0 0 0
—0,0021 —0,0023 0,0192 0,2101 0,0192 —0,0023 -0,0021
0,0031 0,0148 0,0531 0,1087 0,0531 0,0148 0,0031
[мД = 0,0088 0,0105 0,0241 0,0236 0,0488 0,0664 0,0379 0,0451 0,0488 0,0379 0,0241 0,0236 0,0088 0,0105
0,0092 0,0188 0,0273 0,0309 0,0273 0,0188 0,0092
0,0065 0,0127 0,0176 0,0195 0,0176 0,0127 0,0065
0,0033 0,0063 0,0086 0,0094 0,0086 0,0063 0,0033
Полученное решение не совпадает с решением, приведенным
в п. 13, так как там рассматривалась ортотропная пластина.
Приведем результаты решения для шести случаев. Матрицы
[ш] будут седьмого порядка, а [Л4Х] — девятого порядка. Это
объясняется наличием моментов Л1Х в точках, лежащих на кон-
турных линиях.
1. Все стороны пластины заделаны (|л=0,3):
да2 Ь2
100D
"0,007 0,017 0,025 0,028 0,025 0,017 0,007
0,017 0,046 0,068 0,076 0,068 0,046 0,017
0,025 0,068 0,101 0,113 0,101 0,068 0,025
0,028 0,076 0,113 0,127 0,113 0,076 0,028
0,025 0,068 0,101 0,113 0,101 0,068 0,025
0,017 0,046 0,068 0,076 0,068 0,046 0,017
0,007 0,017 0,025 0,028 0,025 0,017 0,007
[М r] = gab/10 X
0 —0,123 —0,318 —0,457 —0,506 —0,457 —0,318 —0,123 0
—0,037 —0,028 —0,056 —0,088 —0,101 —0,088 —0,056 —0,028 —0,037
-0,095 0,002 0,066 0,099 0,109 0,099 0,066 0,002—0,095
—0,137 0,004 0,114 0,181 0,203 0,181 0,114 0,004—0,137
—0,152 0,003 0,126 0,203 0,229 0,203 0,126 0,003—0,152
—0,137 0,004 0,114 0,181 0,203 0,181 0,114 0,004—0,137
—0,095 0,002 0,066 0,099 0,109 0,099 0,066 0,002—0,095
—0,037 —0,028 —0,056 —0,088 —0,101 —0,088 —0,056 —0,028 —0,037
0 —0,123—0,318—0,457 —0,506 —0,457—0,318—0,123 0
159
2. Три стороны заделаны, одна шарнирно оперта (ц=0,3):
“ 0,007 0,017 0,028 0,034 0,033 0,028 0,017“ 0,018 0,051 0,078 0,095 0,093 0,077 0,045
1 J 100Р 0,027 0,076 0,117 0,142 0,140 0,115 0,066 0,030 0,085 0,131 0,159 0,157 0,129 0,074 0,027 0,076 0,117 0,142 0,140 0,115 0,066 0,018 0,051 0,078 0,095 0,093 0,077 0,045 0,007 0,019 0,028 0,034 0,033 0,028 0,017 [Л4Л] =ga&/10 X
“ 0 —0,126 —0,337 —0,504 —0,593 —0,596 —0,506 —0,309 0
—0,038 —0,033 —0,070 —0,113 —0,138 —0,136 —0,104 —0,049 0
—0,100 —0,002 0,063 0,100 0,117 0,120 0,108 0,072 0
—0,146 0,001 0,121 0,201 0,241 0,244 0,206 0,126 0
—0,162 0,000 0,136 0,229 0,276 0,280 0,235 0,142 0
—0,146 0,001 0,121 0,201 0,241 0,244 0,206 0,126 0
—0,100 —0,002 0,063 0,100 0,117 0,120 0,108 0,072 0
—0,038—0,033—0,070—0,113—0,138—0,136—0,104—0,049 0
0 —0,126 —0,337 —0,504 0,593 —0,596 —0,506 —0,309 0
[Му] = даЫУйХ
- о —0,038—0,101 —0,151 —0,178—0,179—0,152 —О.,093 0
—0,126—0,034—0,007 —0,007—0,012—0,009 —0,004—0,019 0
—0,334—0,070 0,054 0,104 0,122 0,129 0,128 0,100 0
—0,487—0,108 0,084 0,172 0,207 0,217 0,204 0,147 0
—0,541 —0,123 0,094 0,194 0,236 0,247 0,229 0,162 0
—0,487—0,108 0,084 0,172 0,207 0,217 0,204 0,147 0
—0,334 — 0,070 0,054 0,104 0,122 0,129 0,128 0,100 0
—0,126 —0,034 —0,007 —0,007 —0,012 —0,009 —0,004 0,019 0
0 —0,038 —0,101 —0,151 —0,178 0,179 —0,152 —0,093 0
3. Две стороны ( 'х=0, у=0) заделаны, две другие шарнир-
но оперты (ц = 0,2): “0,007 0,021 0,032 0,038 0,039 0,032 0,019" 0,021 0,058 0,091 0,110 0,111 0,091 0,053 0,032 0,091 0,144 0,174 0,174 0,143 0,082
да?Ь2 Гш1 = 0,038 0,110 0,174 0,210 0,211 0,172 0,098 .
L J 100D 0,039 0,111 0,174 0,211 0,211 0,172 0,098 0,032 0,091 0,143 0,172 0,172 0,141 0,081 0,019 0,053 0,082 0,098 0,098 0,081 0,046
160
[Л/J = qab/10x
“ 0 —0,132—0,365 —0,561 —0,669 —0,676 —0,572—0,346“
—0,026 —0,040 —0,094 —0,151 —0,186 —0,184 —0,143 —0,073
—0,073 —0,005 —0,043—0,070 0,084 0,087 0,079 0,053
—0,112 0,001 0,105 0,180 0,220 0,223 0,188 0,113
—0,134 0,000 0,130 0,228 0,281 0,284 0,237 0,140
—0,135 0,004 0,139 0,241 0,297 0,299 0,249 0,146
—0,114 0,014 0,136 0,224 0,271 0,273 0,228 0,136
.—0,069 0,025 0,105 0,159 0,186 0,186 0,158 0,098_
4. Две противоположные стороны
две другие шарнирно оперты (ц=0,3):
(х=0, х=а) заделаны
"0,018 0,030 0,037 0,040 0,030 0,030 0,018“
0,048 0,084 0,105 0,112 0,105 0,084 0,048
0,071 0,126 0,159 0,170 0,159 0,126 0,071
да2 fe2 Ы = 0,080 0,142 0,179 0,192 0,179 0,142 0,080
L J 100D 0,071 0,126 0,159 0,170 0,159 0,126 0,071
0,048 0,084 0,105 0,112 0,105 0,084 0,048
0,018 0,030 0,037 0,040 0,037 0,030 0,018
qab/10Х
“0 —0,323 —0,539 —0,656 —0,693 —0,656 —0,539 —0,323 0
0 —0,057—0,121 —0,166—0,181 —0,166 —0,121 —0,057 0
0 0,071 0,108 0,123 0,126 0,123 0,108 0,071 0
0 0,132 0,220 0,269 0,284 0,269 0,220 0,132 0
0 0,150 0,254 0,313 0,333 0,313 0,254 0,150 0
0 0,132 0,220 0,269 0,284 0,269 0,220 0,132 0
0 0,071 0,108 0,123 0,126 0,123 0,108 0,071 0
0 —0,057 —0,121 —0,166 —0,181 —0,166 —0,121 —0,057 0
0 —0,323 —0,539 —0,656 —0,693 —0,656 —0,539 —0,323 0
[Лу = qab/lQ X
" 0 —0,097 —0,162 —0,197 —0,208 —0,197 —0,162 —0,097 0
0 0,015 —0,005 -0,022 —0,028 —0,022 —0,005 0,015 0
0 0,096 0,119 0,120 0,118 0,120 0,119 0,096 0
0 0,142 0,195 0,210 0,212 0,210 0,195 0,142 0
X 0 0,157 0,221 0,240 0,244 0,240 0,221 0,157 0
0 0,142 0,195 0,210 0,212 0,210 0,195 0,142 0
0 0,096 0,119 0,120 0,118 0,120 0,119 0,096 0
0 0,015 -0,005 —0,022 -0,028- —0,022 -0,005 0,015 0
0 —0,097 —0,162 —0,197 —0,208 -0,197 —0,162 —0,097 0
11—274
161
5. Одна сторона заделана, три шарнирно оперты (ц=0,3):
“ 0,021 0,037 0,046 0,049 0,046 0,037 0,021“
0,059 0,105 0,133 0,142 0,133 0,105 0,059
0,094 0,167 0,213 0,228 0,213 0,167 0,094
</a2Z>2 [Ы — 0,113 0,203 0,260 0,278 0,260 0,203 0,113
100D 0,114 0,204 0,261 0,280 0,261 0,204 0,114
0,093 0,167 0,213 0,228 0,213 0,167 0,093
0,053 0,095 0,121 0,130 0,121 0,095 0,053
[Мх\ = qab/lQ X
- 0 -0,376- —0,637 -0,784- -0,832 —0,784 -0,637- -0,376 0 “
0 —0,086- -0,175- -0,235- —0,256 —0,235 —0,175 —0,086 0
0 0,060 0,087 0,095 0,097 0,095 0,087 0,060 0
0 0,136 0,228 0,279 0,296 0,279 0,228 0,136 0
X 0 0,172 0,295 0,368 0,392 0,368 0,295 0,172 0
0 0,181 0,311 0,388 0,414 0,388 0,311 0,181 0
0 0,165 0,280 0,346 0,368 0,346 0,280 0,165 0
0 0,115 0,188 0,228 0,241 0,228 0,188 0,115 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
[My]=qab/10 X
“ 0 —0,113 —0,191 —0,235 —0,250 —0,235 -0,191 —0,113 0 “
0 —0,010 -0,015 —0,035 —0,042 —0,035 —0,015 -0,010 0
0 0,103 0,133 0,137 0,139 0,137 0,133 0,103 0
0 0,163 0,235 0,261 0,267 0,261 0,235 0,163 0
0 0,194 0,289 0,329 0,339 0,329 0,289 0,194 0
0 0,196 0,294 0,336 0,347 0,336 0,294 0,196 0
0 0,169 0,248 0,282 0,291 0,282 0,248 0,169 0
0 0,106 0,150 0,169 0,174 0,169 0,150 0,106 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
Сравнение полученных результатов с точным решением
приведено в табл. 11.
Из этой таблицы видно, что точность предлагаемого метода
весьма высокая.
6. Рассмотрим случай, когда пластина будет не квадратной,
а прямоугольной и ортотропной. Пусть a/fe=l,2; Dy/Dx=0f8;
162
Таблица 11*
Схема закреп- ления Момент М, прочность W Решение при р,=0,2 Решение при ц=0,3
точное прибли- женное расхож- дение, % точное прибли- женное расхож- дение, %
—0,0513 —0,0506 1,3 —0,0513 0,0506 1,3
Л42 —0,0513 —0,0506 1,3 —0,0513 —0,0506 1,3
'12 ' V Мх 0,0213 0,0212 0,5 0,0231 0,0229 0,9
^/т71 Ми 0,0213 0,0212 0,5 0,0231 0,0229 0,9
'Уш/гЛ — 0,0127 0,00126 0,00127 0,8
Мг —0,0547 —0,0541 1,1 — —0,0541
% i Z 9 м2 —0,0600 —0,0596 0,7 — —0,0596 —
$2 $ мх 0,0261 0,0261 0 — 0,0278 —
ми 0,0213 0,0213 0 — 0,0236 —
X а ш 0,00157 0,00157 0 — 0,00157 —
'///////// ь Мх —0,678 —0,0669 1,3 —0,0669
'1 1 м2 —0,678 -0,0669 1,3 — —0,0669 —
?2 Мх 0,0281 0,0281 0 — 0,0304 —
м„ 0,0281 0 0281 0 , 0,0304
X у W 0,00210 -— —
////////// ц Мл —0,0697 —0,0693 0,6 —0,0697 —0,0693 0,6
1 £ГЛ1 м2 — — — —
2 мх 0,0316 0,0317 0,5 0,0332 0,0332 0
77777//J Му 0,0216 0,0215 0,3 0,0244 0,0244 0
X W. 0,00192 0,00192 0 0,00192 0,00192 0
////////// п М± —0,084 —0,0832 1 —0,084 —0,0832 1
i М2 — — — — —
2 • Мх 0,0367 0,0368 0,3 0,039 0,0392 0
Mt, 0,0307 0,0307 0 0,034 0,0339 0
X W 0,0028 0,0028 0 0,0028 0,0028 0
цж=0,2; цу=0,25. Приведем результаты для одного из случаев,
когда две стороны заделаны, а две шарнирно оперты:
0 = 4/D^fDx = 0,94574; е - -у- 0 = 1,13489;
И — Т"Цх М// — 0,22361.
* Данные о точном решении взяты из [89]: при ц = 0,2— табл. 56, 55, 54
53, 52; при ц —0,3— табл. 36, 29, 32.
П* 163
Матрицы [ш], [ЛЦ и [ЛЦ имеют вид:
г 1 100D “0,007 0,021 0,033 0,040 0,040 0,034 0,020“ 0,020 0,057 0,091 0,111 0,112 0,092 0,053 0,030 0,088 0,141 0,172 0,173 0,142 0,081 0,036 0,105 0,169 0,206 0,207 0,169 0,096 0,036 0,105 0,168 0,205 0,206 0,169 0,096 0,030 0,087 0,138 0,168 0,169 0,138 0,079 0,018 0,051 0,080 0,096 0,097 0,079 0,046
[MJ =9а6/10 X
“ 0 —0,125—0,352—0,549—0,663—0,672—0,567—0,340 0 “
—0,034 —0,037 -0,077- —0,125 —0,154 —0,153 -0,117 —0,057 0
—0,093—0,012 0,048 0,085 0,104 0,109 0,097 0,063 0
—0,140 —0,014 0,096 0,177 0,222 0,227 0,192 0,115 0
X —0,164 —0,020 0,113 0,213 0,269 0,275 0,230 0,136 0
—0,165 —0,017 0,120 0,224 0,281 0,287 0,239 0,141 0
—0,140 —0,004 0,121 0,213 0,262 0,265 0,222 0,132 0
—0,086 0,015 0,100 0,157 0,186 0,188 0,160 0,099 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
[Af^] — qab/lQ X
“ 0 —0,025 —0,070 —0,110 -0,133- —0,134 —0,113 -0,068 0 “
—0,138—0,044 -0,003 0,009 0,012 0,016 0,024 0,030 0
—0;372 — 0,107 0,038 0,112 0,146 0,157 0,149 0,109 0
—0,558—0,169 0,059 0,183 0,243 0,259 0,237 0,161 0
X —0,658 —0,205 0,068 0,220 0,293 0,312 0,281 0,186 0
0,661 —0,203 0,071 0,222 0,295 0,313 0,281 0,186 0
—0,561 —0,160 0,067 0,188 0,246 0,260 0,235 0,159 0
—0,343 —0,082 0,048 0,115 0,146 0,154 0,141 0,100 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
17. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА ПЛАСТИН СО СМЕШАННЫМИ
ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ
Допустим, на протяжении какой-либо опорной стороны
условия опирания изменяются. Например, на части стороны
имеется жесткая заделка, а на другой части свободное опира-
ние. Рассмотрим предлагаемую методику расчета на примере
пластины, изображенной на рис. 87. Каждая сторона пластины
разбита на восемь равных частей. По краю х=0 пластина заде-
164
лана на протяжении 7/16 Ь, а остальная часть 9/16 & шарнирно
оперта. По краю у=0, наоборот, на протяжении 9/16а пластина
шарнирно оперта, а на длине 7/16а — заделана. Расчетная мо-
дель показана на рис. 88.
Основная система в виде шарнирно-опертой пластины пока-
зана на рис. 89. Всего неизвестных будет шесть. Лишние неиз-
вестные пронумерованы не подряд. Объясняется это тем, что за
основу расчета принимается задача, изложенная в п. 16 этой
Рис. 88
Рис. 89
главы, и используется программа, составленная для пластины,
заделанной по контуру. В этой задаче имеем 28 неизвестных,
для которых в общем виде составлены канонические уравнения:
СХ+фр = 0, (312)
где С— [ф] — матрица коэффициентов канонических уравне-
ний имеет 28-й порядок.
Чтобы приспособить к рассматриваемой задаче общую про-
грамму для пластины с четырьмя заделанными краями, необ-
ходимо внести в матрицу С и вектор фР соответствующие изме-
нения, при которых машина выдаст для отсутствующих неиз-
вестных нулевые значения. В матрице С и грузовом столбце фР
машина должна очистить строчки, соответствующие нулевым
неизвестным, а в ячейки, принадлежащие главной диагонали,
поставить единицы. Например, для предлагаемой задачи кано-
нические уравнения приобретут вид, показанный на схеме:
(313)
165
Слева по вертикали матрица С разбита на части. Заштри-
хованные прямоугольники (три первые строки с неизвестными
Хь Х2 и Х3 и три строки с неизвестными Xi2, Х13 и Xi4) измене-
ниям не подвергаются. Единичные матрицы 8-го и 14-го поряд-
ков (Е8 и Вп) расположены около главной диагонали в местах
«затертых» уравнений, с нулевыми неизвестными, имеющими
номера от 4 до 11 и от 15 до 28. Вверху схемы обозначены мат-
рица С, вектор неизвестных X и вектор фр. После решения урав-
нений (313) машина выдаст вектор лишних неизвестных, в ко-
тором шесть элементов имеют численные значения, а остальные
22 элемента равняются нулю. Все остальные вычисления прово-
дятся по стандартной программе.
Рассмотрим случай равномерной нагрузки на всей площади
пластины и примем ц=0,3. Приведем результаты, выданные
машиной.
Лишние неизвестные:
[Х^Хз] = [—0,036103 — 0,069379 — 0,118925];
-х12- ' —0,113696 "
•Х13 —0,072790
х14 —0,039821
Матрицы обобщенных моментов [А4], прогибов [?£>] и изги-
бающих моментов [Л4Х] и [Л4У]:
X - 0 —0,361 0 —0,066 0 0,106 0 0,173 0 0,103 —1,137 —0,199 —0,728 —0,174 —0,398 —0,072 0 0 [M]=qab/l0 X —0,694 —1,189 0 0 0 0 0 —0,172 —0,206 0,126 0,239 0,237 0,163 0 0,156 0,2290,3500,4130,3820,250 0 0,305 0,419 0,504 0,529 0,466 0,297 0 0,312 0,475 0,565 0,577 0,499 0,314 0 0,234 0,448 0,547 0,558 0,481 0,303 0 0,178 0,370 0,458 0,468 0,406 0,260 0 0,125 0,235 0,286 0,292 0,257 0,171 0 0 0 0 0 0 0 0
100D “0,020 0,038 0,060 0,091 0,101 0,086 0,050“ 0,055 0,104 0,149 0,183 0,189 0,157 0,091 0,079 0,153 0,214 0,251 0,251 0,205 0,117 О 08(1 О 167 О 240 О 980 О 976 0 994 0 197
0,058 0,150 0,225 0,265 0,261 0,215 0,120 0,041 0,114 0,175 0,208 0,206 0,167 0,095 0,022 0,063 0,097 0,116 0,116 0,094 0,053 *
166
" 0 -0,361 -0,694- —1,189 0 0 0 0 0 "
0 —0,077 —0,159 -0,146 0,018 0,127 0,140 0,096 0
0 0,083 0,136 0,187 0,219 0,243 0,220 0,138 0
0 0,156 0,249 0,309 0,333 0,324 0,270 0,162 0
0 0,148 0,243 0,327 0,3680,357 0,294 0,173 0
—0,341 —0,093 0,150 0,2880,351 0,349 0,288 0,171 0
—0,218—0,047 0,118 0,239 0,299 0,303 0,254 0,153 0
-0,119-0,001 0,094 0,1620,1970,2000,1720,108 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
[Л4^]=^&/10Х
“ 0 —0,108 —0,208 —0,357 0 0 0 0 0 “
0 —0,009 —0,064 —0,121 0,145 0,183 0,167 0,117 0
0 0,055 0,068 0,111 0,237 0,294 0,276 0,187 0
0 0,069 0,147 0,235 0,322 0,363 0,336 0,224 0
X 0 —0,015 0,163 0,290 0,367 0,393 0,356 0,235 0
—1,137 —0,165 0,154 0,294 0,361 0,376 0,337 0,223 0
—0,728 —0,179 0,114 0,243 0,296 0,306 0,274 0,185 0
—0,398 —0,093 0,068 0,144 0,175 0,180 0,163 0,114 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
На первый взгляд может показаться, что моменты в трех
нижних точках, лежащих на линии y=Q, должны быть такими
же, как в трех первых точках, лежащих на линии х=0. Однако
Рис. 90
это не так, ибо линии, параллельные оси х, не равнозначны
линиям, параллельным оси у. На рис. 90 показаны эпюры мо-
ментов Мх и Му, Для сечений в окрестности особых точек изги-
бающие моменты определены неточно, что объясняется сформу-
лированными выше допущениями. Приведем решение еще для
167
двух случаев закрепления контурных линий, показанных на
рис. 91. В обоих случаях решалась квадратная изотропная
пластина при ц=0,3. Нетрудно решить и ортотропную пласти-
ну, тем более, что программа была одной и той же.
Матрицы
ниже.
(Ъ], [Мх] и [Му] для обеих
задач приведены
Случай 1:
“0,009 0,027 0,048 0,074 0,082 0,070 0,040“ 0,027 0,075 0,118 0,148 0,150 0,123 0,070
<?а262 щ 100D 0.048 0,118 0,173 0,199 0,192 0,150 0,082 0,074 0,148 0,199 0,218 0,199 0,148 0,074 0,082 0,150 0,192 0,199 0,173 0,118 0,048 0,070 0,123 0,150 0,148 0,118 0,075 0,027 0,040 0,070 0,082 0,074 0,048 0,027 0,009
[Af_v] =даЬПЬ X
0 —153 —0,480 —0,955 0 0 0 0 0
—0,046—0,067 —0,123 —0,106 0,035 0,131 0,142 0,098 0
—0,144 —0,050 0,047 0,139 0,196 0,231 0,217 0,140 0
—0,287 —0,082 0,122 0,236 0,285 0,288 0,248 0,159 0
0 0,135 0,219 0,288 0,312 0,288 0,219 0,135 0
0 0,159 0,248 0,288 0,285 0,236 0,122 —0,082 —0,287
0 0,140 0,217 0,231 0,196 0,139 0,047 0,050 -0,144
0 0,098 0,142 0,131 0,035- —0,106 -0,123- —0,067 -0,046
0 0 0 0 0 - —0,955 -0,480- -0,153 0
168
\My\^qabl\b X
• 0 —0,046—0,144—0,287 0 0 0 0 0
—0,153—0,067 —0,050 —0,082 0,135 0,159 0,140 0,098 0
—0,480—0,123 0,047 0,122 0,219 0,248 0,217 0,142 0
—0,955—0,106 0,139 0,236 0,288 0,288 0,231 0,131 0
0 0,035 0,196 0,285 0,312 0,285 0,196 0,035 0
0 0,131 0,231 0,288 0,288 0,236 0,139- —0,106 -0,955
0 0,142 0,217 0,248 0,219 0,122 0,047- -0,123- -0,480
0 0,098 0,140 0,159 0,135- -0,082- -0,050- -0,067- -0,153
0 0 0 0 0 -0,287- -0,144- -0,046 0
Случай 2:
•"0,019 0,031 0,032 0,033 0,032 0,031 0,019
0,031 0,062 0,081 0,088 0,081 0,062 0,031
0,032 0,081 0,116 0,128 0,116 0,081 0,032
0,033 0,088 0,128 0,142 0,128 0,088 0,033
0,032 0,081 0,116 0,128 0,116 0,081 0,032
0,031 0,062 0,081 0,088 0,081 0,062 0,031
0,019 0,031 0,032 0,033 0,032 0,031 0,019
[MJ = [My]T = ^/10 X
• 0 0 0 —0,632 -0,603 -0,632 0 0 0
0 0,056 0,021 —0,075- —0,117 -0,075 0,021 0,056 0
0 0,081 0,106 0,127 0,129 0,127 0,106 0,081 0
—0,190 —0,027 0,113 0,193 0,219 0,193 0,113 —0,027 -0,190
—0,181—0,028 0,112 0,207 0,239 0,207 0,112 —0,028- —0,181
—0,190 —0,027 0,113 0,193 0,219 0,193 0,113 —0,027- —0,190
0 0,081 0,106 0,127 0,129 0,127 0,106 0,081 0
0 0,056 0,021 —0,075 —0,117 —0,075 0,021 0,056 0
0 0 0 —0,632 —0,603 —0,632 0 0 0
Эпюры моментов Мх и Му показаны на рис. 92.
Расчеты не усложнятся, если пластина будет не квадратная,
а прямоугольная и ортотропная. Это же замечание относится к
типу загружения. Подтвердим сказанное примером. Рассмотрим
ортотропную пластину со следующими данными: а/&=1,2;
Оу/Ох=0,8; цх=0,2; р,у=0,25. Нагрузка и способы закрепления
показаны на рис. 93. Каждая из сторон пластины разбита на
восемь равных частей. Равномерная нагрузка расположена на
части площади. Сосредоточенные силы заданы в долях от на-
грузки q:
Pi = qab!^yt Ра = ?а6/32.
169
Матрица узловых сосредоточенных сил:
О
О
О
О
О
[Р] =
gab
64
О
О
0 0 0 0 0 0
О 1,6 0,25 0,5 0,25 О
О 0 0,5 1,0 0,5 О
О 0 0,5 1,0 0,5 О
2,0 0 0,5 1,0 0,5 О
О 0 0,25 0,5 0,25 О
0 0 0 0 0 0
Рис. 92
Рис. 93
Эта матрица и данные о размерах и жесткостях были вве-
дены в машину. Приводим результаты расчета в виде матриц
прогибов и изгибающих моментов, выданные машиной:
да2Ь2
Q4D
М =
" 0,0046 0,0095 0,0133 0,0135 0,0101 0,0066 0,0032
0,0074 0,0170 0,0258 0,0283 0,0253 0,0179 0,0087
0,0069 0,0197 0,0314 0,0374 0,0353 0,0251 0,0115
0,0068 0,0203 0,0322 0,0388 0,0268 0,0251 0,0092
0,0068 0,0192 0,0280 0,0329 0,0307 0,0204 0,0070
0,0052 0,0120 0,0175 0,0205 0,0191 0,0126 0,0042
0,0018 0,0039 0,0058 0,0068 0,0065 0,0047 0,0016
170
[44J = qab/M X
“0 0 0 0 0 — 1,792—1,064—0,501 0 ~
0 0,098 0,136 0,082 —0,054 —0,226 —0,259 —0,140 0
0 0,170 0,329 0,621 0,489 0,430 0,305 0,161 0
—0,393 —0,167 0,131 0,374 0,632 0,710 0,529 0,288 0
—0,369 —0,140 0,106 0,399 0,623 0,655 0,357—0,158 -0,546
—0,378 —0,011 0,528 0,484 0,550 0,534 0,265 —0,098 -0,374
0 0,080 0,060 0,127 0,177 0,172 0,053—0,092 —0,223
0 —0,099- -0,225- -0,316- -0,354- -0,302 —0,187—0,097 -0,086
0 -0,274- -0,595- -0,876- -1,038- -1,019 0 0 0
\My] = qab/Ы X
“0 0 0 0 0 —0,376 —0,223—0,106 0
0 —0,010 0,988 0,263 0,247 —0,063—0,061 —0,044 0
0 —0,141 0,101 0,590 0,458 0,387 0,174 0,008 0
— 1,310—0,388 0,110 0,458 0,673 0,713 0,333—0,119 0
— 1,230 —0,446 0,151 0,426 0,710 0,806 0,367—0,407 — 1,819
— 1,259 —0,354 0,410 0,332 0,580 0,688 0,281 —0,434’ -1,247
0 —0,115 0,105 0,190 0,327 0,388 0,153 —0,288- -0,743
0 —0,044- -0,031 - -0,011 0,017 0,029 0,066-0,118- —0,287
0 —0,058- —0,125- -0,184- -0,218- -0,214 0 0 0
Эпюры Mx и Му показаны на рис. 94.
Рис. 94
171
Глава 4
РАСЧЕТ СКЛАДЧАТЫХ СИСТЕМ
И ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК
ДВОЯКОЙ КРИВИЗНЫ
1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Рассмотрим метод расчета упругих цилиндрических
складок и оболочек, а также оболочек двоякой кривизны с при-
менением одинарных тригонометрических рядов (рис. 95). Раз-
ложение неизвестных функций, выражающих усилия или пере-
мещения, производится в одинарные ряды синусов или косину-
сов по координате х, измеряемой в направлении образующей
системы. Это направление назовем условно продольным направ-
лением конструкции. При таком подходе необходимо решить
одномерную краевую задачу в общем случае для системы обык-
новенных дифференциальных уравнений по координате у, ори-
ентированной в поперечном направлении (или yi для панели,
показанной на рис. 95, а). Для решения последней задачи
используется метод перемещений, аналогично тому, как это сде-
лано в [82]. Этим методом можно в наиболее простой и стан-
дартной форме провести расчет системы на каждую гармонику
внешнего воздействия. В указанных системах с параметрами,
постоянными вдоль координаты разложения х, отдельные гар-
моники разделяются, и окончательное состояние системы полу-
чается суммированием результатов расчета на отдельные гар-
моники. Таким образом, здесь излагается метод М. Леви и
Файлона — Рибьера, но в канонической форме метода переме-
щений, позволяющей в удобном виде формулировать условия
сопряжения элементов системы (пластин или оболочек) в попе-
речном направлении. Предлагаемый подход, а также подход,
основанный на использовании канонической формы метода сил
и смешанного метода, в настоящее время широко применяется
[47, 37, 25, 9, 90]. Кроме того, он с успехом может быть исполь-
зован и в системах, состоящих из осесимметричных пластин и
оболочек, в которых разложение в тригонометрические ряды
удобно делать в окружном направлении, а краевую задачу ре-
шать в направлении меридиана [40].
Обратим внимание на граничные условия на торцовых попе-
речных сечениях системы. Строго говоря, предлагаемому пути
решения соответствуют два типа опирания: шарнирный, т. е.
опирание конструкции на идеальные торцовые диафрагмы (см.
172
рис. 95, а), и условия закрепления бесконечно протяженной ре-
гулярной и регулярно загруженной системы из чередующихся
пролетов (см. рис. 95, б). Оба типа граничных условий соответ-
ствуют одинаковым краевым задачам в направлении координа-
ты у, а окончательное решение для второго типа может быть
получено из решения для первого типа простой заменой всех
синусов на косинусы, и наоборот — косинусов на синусы в со-
ответствующих тригонометрических рядах [4]. В дальнейшем
изложении будем иметь в
виду первый тип опирания
на торцах на идеальные ди-
афрагмы.
Рассматривая складку
или оболочку, опертую на
идеальные диафрагмы, как
основную систему, можно
получить решение и для бо-
лее сложных случаев закре-
пления или конфигурации
конструкции. Применение
смешанного метода в таких
задачах изложено в [82]. В
работе [5] показано, что, ис-
пользуя прием компенсиру-
ющих нагрузок, можно рас-
считать складчатую систему,
непрямоугольную в плане.
Основное внимание уделяется обработке элемента основной
системы метода перемещений — панели в виде пластинки или
оболочки, у которой два параллельных края жестко закреплены,
а два другие — оперты на идеальные диафрагмы (жесткие в
своей плоскости и идеально гибкие из плоскости диафрагмы).
Для пластинчатой ортотропной панели решение доводится
до замкнутых формул относительно постоянных интегрирования
соответствующих краевых задач. Решение для панели в виде
изотропной оболочки также основывается на точном интегриро-
вании уравнений технической теории оболочек, хотя довести
это решение до получения замкнутых формул для постоянных
интегрирования не удалось. Однако разработан удобный алго-
ритм, реализованный на ЭВМ БЭСМ-4. Из-за громоздкости по-
лучения точного решения для ортотропной оболочки разработа-
но численное решение соответствующих краевых задач с по-
мощью матрицы дифференцирования. Этот алгоритм также
реализован на ЭВМ. Его анализ показал достаточную точность
и универсальность, поскольку в едином алгоритме и программе
охватываются изотропные и ортотропные складки, а также обо-
лочки рассматриваемого типа.
173
2. ОСНОВНАЯ СИСТЕМА МЕТОДА ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
И ОБЩАЯ МЕТОДИКА РАСЧЕТА
Каноническая система уравнений. Рассматриваемую
оболочку или складку с помощью ряда узловых линий 0—О,
1—/, ..., т—т разобьем на отдельные панели (рис. 96). Узло-
вые линии располагаются на уровне срединной поверхности в
местах примыкания ребер, перелома поверхности оболочки или
складки, местах приложения сосредоточенной или линейно-рас-
пределенной нагрузки или просто в некоторых промежуточных
точках поперечного сечения системы. На точки узловых линий
накладываем непрерывно распределенные линейные и угловые
связи, полностью устраняющие перемещения продольных сече-
ний оболочки, которые соответствуют узловым линиям. Линей-
ные связи, обозначенные на рис. 96 индексом /, соответствуют
продольным тангенциальным перемещениям и точек узловой
линии. Две другие поперечные линейные связи и угловая связь
располагаются в плоскости, содержащей нормаль к поверхности.
На рис. 96 они отмечены индексом «г». Для каждой узловой
линии неизвестные перемещения, продольные Zj=Zj(x) и попе-
речные линейные или угловые Zi=Zi(x) представляем в виде
рядов:
zi W = У sin —7~•
"=‘ (314)
оо
Z/W = ^zr>Cos-^-,
где Z^) и Zp> — амплитуды соответствующих угловых или
линейных перемещений.
От смещений (314), соответствующих некоторой я-й гармо-
нике этих рядов, реакции в связях будут изменяться также по
74
закону синуса или косинуса. Так, в некоторой системе связей
номера k реакции от смещений (314) будут
оо сю
w=Xsin -Т+X zin) sin -Т (3,5)
П=1 п=1
при связях k, принадлежащих к поперечным линейным или уг-
ловым связям. Если же они продольные, то
оо оо
Rk W = X ’ z‘n} cos + X № z(i} cos • (316)
п— 1 /1=1
Если теперь приравнять нулю суммарную обобщенную реак-
цию, соответствующую каждой k-й системе связей, то в силу
ортогональности гармоник синуса и косинуса различных номе-
ров придем к следующей канонической системе уравнений:
S r$Z}n> + R$ =0, (fe= 1,2,..., q). (317)
i=l
Здесь —амплитуда реакции в k-й системе связей от
нагрузки, которая также разлагается в одинарные тригономет-
рические ряды. От нагрузок, приложенных к точкам узловых
линий, эти реакции находятся по формулам, приведенным в
[82]. Определение этих реакций от внеузловых нагрузок далее
будет рассмотрено для соответствующих типов панелей основ-
ной системы. Обозначим матрицу амплитуд реакций (матрицу
жесткостей) системы, соответствующих п-й гармонике через
Тогда уравнения (317) в матричной форме запишутся такт
+ = 0. (318)
Таким образом, уравнения (317) или (318) составляются и ре-
шаются независимо для каждой п-й гармоники грузового или
кинематического воздействия на систему. Эти уравнения опре-
деляют амплитуды перемещений всех наложенных связей си-
стемы п-й гармоники.
Матрица жесткостей в общей и локальной системах коорди-
нат. Рассмотрим некоторые особенности построения матрицы
жесткостей
Дп) Дп) .. ,Дп)
Г11 r12 rlq
r(n) г(л) . .
Г21 '22 r2q
(319)
Ап) Дп) Дп)
ql 1 q2 1 qq
175
Элементы матрицы — это амплитуды упругих реакций,
которые для краткости будем называть реакциями в связях i
от смещения связей k в виде п~й гармоники с амплитудой, рав-
ной единице. Здесь и далее индексы i и k могут относиться к
продольным и поперечным связям. Эти упругие реакции опреде-
ляются как сумма реакций всех панелей или других упругих
элементов, например ребер, примыкающих к соответствующей
Рис. 97
узловой линии. Таким образом, если решена задача об опреде-
лении упругих реакций на продольных кромках панели от еди-
ничных амплитуд смещений этих кромок, то суммарная матри-
ца жесткостей (319) может быть построена соответствующим
суммированием матриц реакций отдельных панелей с учетом
топологии образования рассматриваемой конструкции.
Как правило, для каждой панели матрица реакций строится
вначале в своей локальной системе координат относительно
локальных наложенных связей. Затем от реакций в локальных
связях требуется перейти к реакциям в общих глобальных свя-
зях, наложенных на узловые линии системы, которые в общем
случае не совпадают с локальными. Рассмотрим этот вопрос
более подробно применительно к панели в виде пологой оболоч-
ки. Как частный случай отсюда получаются результаты и для
пластинчатой панели.
На рис. 97, а изображен элемент основной системы в виде
панели пологой оболочки. На рис. 97, б показано его попереч-
ное сечение. Введем следующую нумерацию неизвестных пере-
мещений, соответствующих локальным связям элемента:
на левой кромке при z/=0— ZU(O)=Z1; Zw(0)=Z2;
Zq (0)=Z3;Zw (0) = Z4,
то же, на правой кромке при y=b — Zv(b)
zu ^ = zr (b)-zr
Zw (6)= z8
176
(индексы п для простоты опущены). Задача построения локаль-
ной матрицы реакций обычно решается так, что вначале опре-
деляются выражения амплитуд усилий в продольном сечении
S(n>, и
где V(2n)— амплитуда приведенной поперечной силы, вычислен-
ная, как обычно, с учетом поперечной силы Q2 и крутящего
момента Н. Давая в этих выражениях координате у значения О
и &, строят матрицу S усилий на левой и правой продольных
кромках. Элементами каждого столбца этой матрицы будут
усилия от перемещений Zh=\ (£=1, 2, ..., 8). Пусть матрица S
построена:
FS11 s12’ ' • *s18
s8i $82"'* ’s88
Чтобы получить локальную матрицу жесткости элемента /?,
надо у части элементов матрицы S изменить знаки, так как на-
правления положительных усилий и направления Zh (fe=l,
2, ..., 8) совпадают не везде (см. рис. 96). Применительно к ука-
занным на этом рисунке направлениям перемещений Z& и внут-
ренних усилий замена знаков может быть проведена умножени-
ем матрицы S на следующую диагональную матрицу G, отме-
ченную знаками Г • • • J :
R = GS = г — 1 —1 1 1 1 1 — 1 — 1 J S. (321)
До сих пор панель рассматривалась в местной (локальной)
системе координат, и матрица реакций (321) получена для
местных связей, направления Zw и Zv которых на обеих кром-
ках панели совпадают с нормалью к поверхности и с тангенци-
альным направлением в поперечном сечении. На рис. 98 пока-
заны направления местных и общих связей, причем левая
начальная кромка элемента отмечена индексом н, а правая ко-
нечная — индексом к. Направления глобальных связей отмече-
ны штрихом. Перейдем от локальной матрицы R к глобальной
R'. Разобьем матрицу R на четыре блока:
RhH :
^КН : ЯКК
Если теперь провести рассуждения, связанные с переходом
от одной системы координат к другой, аналогичные изложенным
в главе 2 для стержня, то придем к формуле перехода:
R' =
СТ 0 1 Г Ct О
R
О С£_| [ о с2
(322)
12—274
177
или
R' =
СТ *нн
^2 ^кн
cT^HKc2
(323)
где
cos а/
О
О
—sin oct-
О
1
О
о
о
о
1
о
Вектор грузовых реакций
выражается через аналогичный
формуле
Ярн
sin аг
О
О
cos а/
глобальной системе связей Rp
вектор в локальной системе по
, О’- 1, 2).
(324)
R'P-
С1^рн
Ci =
'2*рк
в
Зависимость между вектором амплитуд перемещений Z и Zz
в локальной и глобальной системах выражается
Z = сД' , (326)
где индекс t принимает значение 1 или 2 в зависимости от того,
у левой или правой кромки панели устанавливается связь меж-
ду перемещениями, т. е. при Z=ZH f=l и при Z=ZK 1=2.
Из найденных таким образом матриц R' и векторов Rp от-
дельных панелей системы формируется общая матрица Rc и
грузовой вектор всей системы (318).
Общий порядок расчета. Как указывалось для системы, у
которой все жесткостные параметры конструкции постоянны
вдоль оси х, гармоники тригонометрических рядов
разделяются. Поэтому расчет проводится отдельно на каждую
гармонику п. Из решения системы (318) находятся амплитуды
перемещений в глобальной системе, которые мы обозначали
штрихом Z'. Чтобы вычислить внутренние усилия в какой-либо
точке некоторой панели, необходимо по формуле (326) перейти
к перемещениям продольных кромок этой панели в локальной
системе. Затем с помощью выражений, по которым строилась
матрица усилий S (320) и им аналогичных (для поперечных
сечений), определяются амплитуды усилий для образующей
с координатой у. Пусть для некоторого усилия Q получен ряд
178
значений амплитуд Qln), n=l, 2, 3, t. Тогда само усилие
Q{x,y) в точке с координатами х, у находится по формуле
n—t
^.^) = 2j(2 sin~r- (327)
п=1
ИЛИ
n—t
X Q(n) C°s-^ (328)
n—1
в зависимости от характера усилий Q, Вычислениям по форму-
лам (327) или (328) можно придать матричную форму [82],
удобную для получения эпюр внутренних усилий в результате
расчетов на ЭВМ.
3. ЭЛЕМЕНТ ОСНОВНОЙ СИСТЕМЫ
В ВИДЕ ОРТОТРОПНОЙ ПЛАСТИНЫ
Изгиб пластины. На рис. 99 показана панель основной
системы в виде ортотропной прямоугольной пластины. Предпо-
ложим, что панель находится на упругом винклеровском осно-
Рис. 99
вании с двумя коэффициентами постели Ci и с2. Кроме того, она
может испытывать действие нормальных сжимающих сил
Nx=hax и Ny=hay в срединной плоскости. Силы эти считают-
ся заданными и принимаются равномерно распределенными
вдоль краев пластины. Дифференциальное уравнение изгиба та-
кой пластинки будет
_ d*w , _ d*w
Д Г 27^3 _ 2 _ 2
дх* дх2 ду2
d*w
д2ш
"ду*
d2w (d2w d2w \
+^+^ - . (329)
12*
179
где для жесткостей введены обычные обозначения [43]:
EJi* E2h3
D. =------1; D2 =----------------;
1 12(1— vxv2)’ 12 (1 — v1v2) *
6Л3
£)3 — D]V2 2DK ~ D2Vi 4* 2DK> /\- ~ •
Константы Ei, Е2, Vi, v2, а также G связывают изгибающие мо-
менты МХ} Му и крутящий момент Н с деформацией пластинки:
I д2ш , 32оу \
X =— -Di + V2 — );
(d2w d2w \
——. d2 + Vj ;
“ \ ду2 дх2 J
d2w
Я —2DK—— .
дх ду
(330)
Для построения матрицы реакций необходимо рассмотреть
случай q(x, у) =0. Принимаем
К» = У] Уп (у)
Л=1
ПЛХ
sin ——
(331)
где функция Yn(y) находится из однородного обыкновенного
дифференциального уравнения
Г1у + 2а₽Г” + а2Г„==0.
(332)
Здесь:
п4л4 п2ла
Нг = — D, - — (Nx - с2) + Ср
П2Л2 1
Н2 = D3 — — (Яу — с2).
(333)
Решение для функции Yn:
Yn = + C2Y2 + С3У3 +
(334)
Выражения функций Yt(i=\. 2, 3, 4) даны в табл. 12 в зави-
симости от величины коэффициента 1/₽2, от которого зависят
корни характеристического уравнения для (332). Внутренние
усилия в пластине Мх, Му и приведенная поперечная сила Vy
представляются выражениями типа (327), а крутящий момент/?
180
Таблица 12
1/3’ Yi Yt У, Л Множители аргумента
1/р2> 1 ch 6 уХ Xcos у у ch 6 уХ Xsin у у sh S уХ Xcos у у shfir/X Xsin у у d| __ д [ ap i V/ V 2 ( . P2 /
1/Р2 = 1 ch Уау Уау X Xch}/^а у sh У ay V ay X Xshl/Z ay —
1/р2<1 ch^y ch 62 у sh 6Х у sh 62 у si=y «₽(1±
и поперечная сила Vx — выражениями типа (328). Амплитуды
этих усилий через функцию Уп выражаются следующими фор-
мулами:
A«ln)=-^l(-V^ + vaF;);
^ = -Т[-^^Гд+В + 2РЛ)Г;];
=- У'п - (D3 + 2Dk^ Y'n ] ;
*<">=-2-74^.
(335)
Для соответствующих значений 1/р2 эти величины могут быть
представлены через функции Уг(г=1, 2, 3, 4) (см. табл. 12)
выражениями, полученными в [95] и приведенными здесь в пре-
образованном виде. Выразим вектор амплитуд характерных уси-
лий через вектор, составленный из функций Уг(г’=1, 2, 3, 4) по
формуле
V,
181
Матрицы К будут иметь следующие выражения для соответ-
ствующих коэффициентов 1/р2:
+ (*1Сз + £2с2) +
(/?gC3 — (А3С4 4“ ^4^1) — k^C^) (^gC2 -p A4C3)
(^5^1 — ^6^4) (k9C2 + ^6^3) (^563 — ^6^2) (^5^4 4“ ^6^1)
(kiC9 4” AgC2) (kyC^ k8Cj) (A^Cj 4* ^8^4) (^7^2 — ^8^3^ _
при 1/p2 > 1 ,
где
^=-D2(62-v2_Vn). ^2 = 26yL»2;
k9 =- Da6 (6a - 3f - v*); = P2? (352 - у2 + v*);
Г плпй I
kb =— Dj I v2 (S2 — V2) — — I; kQ = 2v26yD1;
ki 2 — 6Dk; k8 =— 2 — yDk.
(AjCi + k2C2) kiC2 (&1C3 ~h k2C^ klC<
___ (k9C$ + Л4С4) k3C2 (&3C3 + k^C2) A3C4
(k^Ci + kQC2) k$C2 (k&C3 + kQC4) k9C^
k. (C3 + C4) k?Ci A7 (Cj + C2) k,C2_
при l/pa = 1,
где ky =— D2 (a — vj; k2^-~ 2aD2;
ka =— D2 (a — v*); —— D2 У~а (3a — v*);
/ п2л21
k5 =— Di I av2 — —^“1; k6 SavA;
Aj7 =-2 — Va Dk.
AjCj k2C2 kjC9 k2C^
k9C9 Й4С4 k2Ci k^C2
k&^i k$C2 &5C3 k9C^
Л7С3 k8C& kyC^ k8C2
при 1/p2 < 1,
где kx =-D2 (S? - v„); k2 =-D2 v„);
k3 =-D2(6f- v‘); k4 =-D2 62 ( 6| - v’) ;
, _ / _2 ft2jt2 \ r / «9 П2Л2 \
^5 =’“ ~ ^6 ~ jr~];
ПЛ ПЛ
^7 =— 2 k8 =— 2 ~
182
Таблица 13
1/Р2 и Д Вид смещения
Yn (0)=1 y'n (0)=l
1/р2> 1 Ci 1 0
с2а — б (6 sin 2р0 + у sh 2 ос0) —2y sh2 a0
с3д у (б siп2р0 + у sh 2ос0) 26 sin2 Po
С4А 2бу (ch2 а0 — cos2 р0) у sh2 oc0 — 6sin2 p0
А 2 (б2 sin2 Ро — у2 sh2 а0)
1/р2=1 Сх 1 0
с2а ос sh2 ос0 — (sh a0 ch oco — a0)
С3А —a (sh осо ch а0 + осо) - ao
С4А V а (sh а0 ch а0 + а0) sh2 a0
А Va (sh2a0 — а2)
1/P2< 1 Ci А бхб2 — б4б2 ch а0 ch bQ + + б2 sh а0 sh bG 62 sh cz0 ch b0 — 6i sh bQ ch a0
с2а 6^ sh a0 sh bQ + 6j62 — — 6462 ch aQ ch bQ 64 sh b$ ch a0 — 62 sh a0 ch b0
С3 А 6^ sh aQ ch bQ — — 62 sh bQ ch iz0 62 — 62 ch tzochf?o + + 6X sh a0 sh bQ
С4А 6462 sh b0 ch a0 — — 6j sh cz0 ch b$ 6-l — 6-l ch a0 ch bQ + 62 sh Qq sh
А 26j62 (1—ch aoch + ao ^0
Обозначения: осо = 6 6; До — у Ь\ а0 “ = 62 b
183
Здесь везде введены обозначения vn=vin2n2/Z2 и
v* == + 4 пал2//а.
\ -^2 /
Чтобы воспользоваться указанными выражениями, необходи-
мы величины постоянных Ci(i=l, 2, 3, 4) от смещений, соответ-
ствующих единичным значениям функций Yn и Y п при г/=0.
Значения этих постоянных, полученные Л. М. Хазовой [95], при-
ведены в табл. 13. По представленным данным можно построить
Рис. 100
матрицу упругих реакций от изгиба пластин для каждой
п-й гармоники складчатой системы.
Для построения вектора грузовых реакций системы (318) от
действия внеузловой нагрузки удобно воспользоваться теоремой
о взаимности перемещений и реакций, как это изложено в [82].
Требуемые в этом случае выражения прогибов пластинки от
смещения Уп=1 или У^=1 (#=0, b) могут быть составлены
по методу начальных параметров. Подробные сведения об осо-
бенностях применения этого метода к ортотропным пластинам
рассматриваемого типа можно найти в книге [36].
Плоское напряженное состояние пластинки. Решение задач об
определении упругих реакций ортотропной пластинки (рис. 100)
от смещений ее продольных краев вида:
v (х, 0) = 1 -sin^-— ; (336)
ППХ
и (х, 0) = Ьcos — (337)
сводится к интегрированию уравнения в частных производных
относительно функции напряжений cp=qp(x, у) [43]:
^2 “ГТ + 2йз " 2-л 2 + “1 “ГТ “ 0,
дх* дх*ду2 ду*
184
где 4, = 1/Е1; rf2=l/^2; rf3=72И-2^-) .
\ G £j /
Величины 5i, Vi, V2 и G входят в выражения закона Гука:
<?х = &х + va гу) ^/(1 — Vi v2);
= (Ру + Vj еЛ) 52/(l — Vf v2);
Xxy = (tyxy*
(339)
Заметим, что обозначения постоянных упругости в (339) и
(330) одинаковы. Но вообще говоря, они могут иметь различное
значение для деформации изгиба пластинки и деформации в пло-
скости пластинки, что может быть вызвано конструктивной
ортотропией системы. Поэтому при программировании задачи
расчета ортотропных складок или оболочек постоянные упруго-
сти для указанных видов деформации надо считать независи-
мыми. Обозначения для них сохраняем одинаковыми, так как
это не может привести к недоразумениям. Если функцию <р пред-
ставить в виде
оа
Snnx
Yn(y)sm—, (340)
n—1
то для функции Уп придем по форме к такому же уравнению,
как (332), в котором аир будут иметь значения:
а = (п2л2//2) Vdt/di, Р = da/Vd^ . (341)
Решение для Yn запишется в виде (334), а функции (4= 1,
2, 3, 4) будут иметь выражения, указанные в табл. 12 для трех
величин 1/р2. Параметры аргументов этих функций 6, у, 61 и 62
вычисляются по формулам, приведенным в табл. 12, но а и р
берутся по (341), а не по (333), как это было при изгибе пла-
стинки.
От смещений (336) и (337) напряжения и перемещения
в пластине выражаются:
(ПУ . ПКХ
Оу = } Sin——
JC X /
(п\ • ппх
v = v{) sin ——;
= aln> sin
(ПУ ППХ
и = иУ4 COS“j—
т == cos » (342)
185
где амплитуды напряжений и перемещений через Yn представ-
ляются формулами:
«<> = г;; -(1/Щг; + г; ]:
а(п) =_ у
У р п
(fj2/rv2 \
rn + vi—у„);
Т<п> =—
пл
(343)
п
Запишем выражения (343) в матричном виде, аналогично
тому, как это было сделано при изгибе пластинки:
"а(п) ”
У ГУ
т(«)
0<п) = [К] у[
У4
Матрицы [Л], составленные
иметь следующие выражения для
по материалам [95], будут
различных величин 1/р2:
“ п2л2 Л 1 n2n2 _ --^ГС2 — p bs n2n2 “ —
— — (6С3 + уС2) (&зС3 4“ (k^Cy — (SCa-yC, (A^Cg — ^2^3) (&3C4 — k4Ci) 4“ ^qCq) ПЛ )-—(8C1+yCi)- (^1^3 4“ ^2^2) (^gCj — k4C4) (k^Cs — ^3^2) ПЛ — -p(6C2—Y^s) (&1C4 — ^2^) (&3C2 — ^4рз) (k&C& 4“ AeCx)
где при i/p2 : ^ = 62- > 1. Y2;
I2, / 62-3v2 п2л2Е± \ , п2л2 £A + vn — — j;
h =— —~~ (б2 — у2 + v„);
п лЕ±
k2 = 26?;
n2na Et \
~~ /2
I2 I
k* = a'Vp'V i362 —Ta + v«
n2n2E1 \
k0 = ~~1T 2Й?,
ПЛе> i
186
~ П2Л2 П2Л2 П2Л2 п2л3
С. р
1г С1 Z2 2 /а t-3
к- -у-Уа(С3+Сл) ПЛ ./— — — И а — — VaiPi+c,)- ]/ а С2
a (Ci + 2С2) QlCg a (С3 + 2С4) ссС,
^С3 + k^C, КС, ^iCj -р KCz ^1Cq
+ KC2 КРъ КСз + k,C, k3C,
при 1/Р2 = I,
где
ъ. - г п2л2£’1 \ (За 1 v nPwPE, \
Д1 n2n2£j Г 1 >л Z2G Г n2n2£! V 1 " Z2G ,/
I I
k3=~----— (a + vn); ki =—--—
nn£i плЕ,
П2Л2 П2Л3 П2Л2 П2Л2 _
—-------Ci —---------Со —--------Cq —---------Сл
/2 1 [2 2 р 3 J2 4
пл „ л ~ К.Сз пл о л — Т" - z пл л _ — "У 626*2
62 с1 ^2С2 6j с3 62 С4
КСз ^2^2 KCi
— КС\ Л4С2 k3C3 k,C, _
при 1/р2 < < 1.
где
I2 5 /а2_, ”2ГС2 £1У /2 с /с2 , П2Л2 Ej\
1 nWE, б1\ 1 +Vft Z2 G)lk2 п2л% Z2 G/’
=—-----"77“ (^1 + vn)j ^4 (^2 + vn) •
3 пл^ \ 1 * 4 nn£i V 2 * "/
В приведенных выражениях vn=vin2n2//2. Чтобы получить
произвольные постоянные, соответствующие смещениям (336)
или (337), надо составить четыре граничных условия. Например,
для перемещения (336) эти условия будут: (0) = 1; u<n>(0) =
= 0; у(п)(Ь)=0; и(п'>(Ь)=0. Такие условия легко составляются
по вышеприведенным формулам и дают возможность получить
значения постоянных Cj(i=l, 2, 3, 4). Из-за громоздкости этих
последних выражений в табл. 14 даны формулы для Ci от каж-
дого из смещений (336) и (337) лишь для наиболее распростра-
ненного коэффициента ортотропии 1/р2< 1. В эти формулы вхо-
дят величины Уi (i=l, 2, 3, 4), которые вычисляются при у=Ь.
Приведенные сведения дают возможность построить матрицу
187
Таблица 14
II Ci A «1 /1 (si+v„)2 У ^4 - s2 A (s?+v„) (62+ v„) y2y3
CaA «2 /2 («1 + v„)2 r2y3 - Sj A (8? + v„) (62 + v„) YlY4
с3д S2 /2(6? + v„) (82 + v„) (Y^ - 1) _ 61 fj (62 + v„)2 Г3 Y4
Ci A 61 A (S? + v„) (62 + v„) (Г,У2 - 1) - 62 f2 (62 + v„)2 Y3 Y4
utra) (0) = 1 A «2 /2 [62 /2 (+ v„) У3Г4 + 8! A (62 + v„) (1 - Г^)]
c2a Si A [62 f2 (82 + v„) (1 - Г,У2) + 6t (62 + v„) y3Z4]
C3A s2 /2 [Si /1 (si+v„) r2r3 - 62 f2 (62+v„) Г,Г4]
Ci A S. /1 [S2 /2 (6? + v„) У,У4 - 8t f, (82 + v„) r2V3]
д - 2 «А АА («1 + ^у2 -1) - 6* fl (б2 + vny X xy3r4-62f2(62 + v„)2r3y4
. *2 . E1 t l * * *j .,2 , E1 /i-“2V6i + V*’ " G 1 V* ~ G ’
жесткостей складчатой системы, образованной из прямоуголь-
ных ортотропных пластин.
4. ЭЛЕМЕНТ ОСНОВНОЙ СИСТЕМЫ В ВИДЕ
ИЗОТРОПНОЙ ОБОЛОЧКИ
Разрешающее уравнение пологой оболочки и его реше-
ние в одинарных рядах. Чтобы построить матрицы реакций ука-
занного элемента основной системы, воспользуемся разрешаю-
щим уравнением В. 3. Власова для пологой изотропной обо-
лочки [24]:
V2 V2 V2 V2 + 12(16д V * V* VkF “ = 0» (344)
где F — разрешающая функция, через которую выражаются
перемещения и усилия в оболочке;
188
V3 — оператор Лапласа;
Vf — дифференциальный оператор вида
2 и д* .А
й z дх2 1 ду2
Ап ^2 — главные кривизны оболочки в направлениях х, у\
8 —толщина оболочки;
Е — модуль упругости материала;
v — коэффициент Пуассона;
qz — интенсивность внешней нагрузки.
Выражения усилий через функцию F содержатся в [24].
В дальнейшем изложении кроме указанных выражений потре-
буются и формулы для перемещений, которые в литературе
обычно приводятся при коэффициенте Пуассона v, равном нулю.
При v=H^0 эти выражения могут быть получены в виде:
d*F d3F
v = lkl-kA2 + v)]^-(k2+vk1)—-
d3F d3F
« = ^-^(24-^]-^-^+^)—;
w = v2v2^;
dw d
ду dy
(345)
Правило знаков для перемещений и внутренних усилий при-
мем как в работе [24]. Если внешним воздействием на оболочку
является только смещение ее кромок, то в дифференциальном
уравнении (344) ^г==0 и оно примет вид
V2 V2 v2 v2F + 12 (1ба V ) Vfe VkF = °- (346>
Уравнение (344) в одинарных тригонометрических рядах
впервые решено И. Е. Милейковским и Б. С. Васильковым [58].
Используем результаты, полученные этими авторами, но учтем
коэффициент Пуассона, который в [58] принимался равным
нулю. При граничных условиях на краях, параллельных оси 0у\
JVi = O, 7lli = 0, v = 0 и w=0, разрешающую функцию F(x, у),
можно представить в форме тригонометрического ряда:
Snztx
r„(j/)sin— , (347)
Л=1
где Yn(y) — неизвестная функция аргумента у, соответствую-
щая п-у члену разложения.
Подставляя выражение (347) в уравнение (346), получим
189
для каждого члена разложения обыкновенное дифференциаль-
ное уравнение восьмого порядка:
/ я2 \4 / Я2 \2
Y-+ci\k^~k^] r"=0’ <348)
где (d2/dy2— А^)4— четырехкратный оператор над функцией Уп;
Ik^ldy2'——двукратный оператор над функцией Уп;
А„ = пл//; с2 = 12(1— v2)/62.
Решение уравнения (348) представляется в виде суммы вось-
ми линейно-независимых частных решений:
У у = + С2Ф2 + С3Ф3 + С4Ф4 + С5Ф5 + С0Фе + С7Ф7 + С8Ф8, (349)
где функции Фь Ф2, Ф§ имеют вид:
ф1 = ch ру sin qy\ Ф5 = ch pry sin q±y\
Ф2 = ch py cos qy\ Ф6 = ch p±y cos
Фз = sh py cos qy\ Ф7 = sh pry cos q^ ' <350>
Ф4 = sh py sin qy\ Ф8 = sh pty sin qTy.
Коэффициенты Clf C2, ...» C8— произвольные постоянные и
должны определяться из граничных условий по продольным
краям оболочки. Множители, стоящие перед аргументами у,
Р, 7, Р\ и являются корнями характеристического уравнения,
соответствующего дифференциальному уравнению (348) и вы-
числяются по формулам, приведенным в [58].
Подставляя значения функций F(x, у) в (345), а также в со-
ответствующие выражения для усилий [24], получим выраже-
ния перемещений и усилий для каждого члена ряда (индекс «п»
при Уп и Ап в дальнейшем опускается):
v = {Р2 (2 + v) — Л2У#(г/) —(^2 + т^)У'"(у)} sin Ах;
и = {(^ + vAQ X3 Y(y) 4- р2 - \ (2 + V)] АУ (у)} cos Ах;
= |“-А4У"(г/) + ^2y'"(y)^ylv(y)J sin Ах;
и = [X4K(r/) — 2A2y"(t/) + rv(t/)] sin Ах;
= £6 [—й2 А2 Y"(y) + kx ZIV(f/)] sin Ах;
N2 = £6 [k2 A4 Y(y) - kx A2 Yn((r/)] sin Ax; I
S = E6 [—k2 Л.3 Y" (y) 4- hy XY'" (y)] cos Ax;
= D [-^Y(y) + A4(2 + v) Y\y) - A2 (1 + 2v) Y™(y)+
+ vKVI (t/)] sin Ax;
M2 - D [-vA6 Y(y) + A4(1+2v) Y\y) - A2(2 + v) У 1V(t/)+
190
+ yIV(t/)] sin lx;
H = D (1 — v) [—I5 Y'(y) + 213 Y'\y) — KYv(i/)] cos lx;
Vi = D [ I7 Y(y) — X5 (4 — v) Y\y) + 13(5 - 2v) Y™(y)-
— 1 (2 — v) yVI(r/)] cos lx;
V2 = D [l6 (2 - v) Y(y) -14 (5 - 2v) Y (y) +
+12 (4 — v) Yv(y) — FVIJ(y)] sin lx.
Здесь Vi и ^2-—обобщенные поперечные силы.
Построение матриц постоянных интегрирования от смещения
продольных кромок. Для определения постоянных интегрирова-
ния, входящих в выражение (350), приходится решать краевую
задачу исходя из граничных условий по продольным краям обо-
лочки. Придадим решению задачи матричную форму, позволя-
ющую наиболее полно и просто использовать электронные вы-
числительные машины. Если перемещения кромок считать за-
данными, то их амплитудные значения для каждого члена
разложения можно представить в матричной форме следующим
образом. Для левой кромки (в начале координат) при у=0
А(0) = [Хд ][К<«’(0)] С, (352)
где Ут(0) = [у (0)и (0)0 (0)^(0)]—вектор-столбец А(0) одно-
значно определяет перемещение левой кромки.
Элементы матрицы [1д] представляют собой множители,
стоящие перед функцией Y(у) и ее производными в выражени-
ях (351). Запишем эту матрицу, имеющую размер 4X8:
0 (2+v)-^] 0
(^i—v^2) 0 [k2-*i(2+v)]
[*д] = 0 —1« 0
1* 0 —2л=
Матрица [У<п)(0)] состоит из значений
ее производных в начале координат:
ГФ^О) Ф2(0) Ф3(0) Ф4(0) Ф5(0) Фб(0) Ф7(0) Ф8(0)~]
-~(k2+vk1)0 0' 0 0 0 212 0 —1 0 1 0 . (353)
функции Y (у) и пяти
[у(о)(0)] = Ф1 (°) Ф2 ‘ ‘ ........................- • Ф8 (°)
(0) ФУ (0)........................................Ф8У (0)
(354)
где С — вектор-столбец постоянных интегрирования.
Для правой кромки (при у=Ь):
Д(5) = рд ] [У(п)(&)] С, (355)
191
где ДТ(Ь) =[v(fc) u(b) 0(Ь)ш(Ь)1— вектор перемещений правой
кромки;
[У(п>(6)]— матрица значений фунции Y(у)
и ее пяти производных на пра-
вом конце элемента.
Эта матрица по структуре аналогична (354), но значения
функции и ее производных подсчитаны при у=Ъ. Для формиро-
вания матриц [У<п>(0)] и [У<п>(6)] необходимо определение про-
изводных от функций, составляющих решение (349). В литерату-
ре имеются формулы для вычисления этих производных, которые
сами по себе просты, но их программирование затруднительно,
так как нарушается однообразие вычислительного процесса.
Процедура программирования резко упрощается, если произ-
водные от функции У (у) получить в матричной форме:
у- (FT(z/)) = rT(j/) [Д];
=ГТ(</)[Д]2;
dn
— (И(у))=Иу)[ДГ,
где YT(y) — матрица-строка;
Ут(*/) - [Ф1Ф2 Ф3 Ф4 Ф5 Ф6 Ф7 Ф8];
Д—матрица дифференцирования, состоящая из коэф-
фициентов при аргументе у в гиперболотригоно-
метрических функциях, определяемых по форму-
лам [58];
~0 —q Op ~
q 0 р О
О р 0 q
П= ? 0 —q О
Д O—q10p1'
О Р1 О
О Р! О <h
- Pl 0 —41 0 _
Например, при перемножении матрицы-строки Ут(у) на пер-
вый столбец матрицы Д получаем первую производную от функ-
ции Фь что видно из следующего:
Oj = ch ру sin qy\
Ф1 = р sh ру sin qy + q ch py cos qy = ?Ф2 + рФ4.
192
Умножив YT(y) на остальные семь столбцов, найдем матрицу-
строку производных от Ут (у). Для вычисления вторых производ-
ных можно представить, что
А (?т(г/)у = ({/)у [Д] = [Д][Д] = р(у) [Д]2
И т. д.
Выражения (352), (355) можно объединить и получить век-
тор-столбец перемещений левой и правой кромок
Д(0)
Д (6)
у(«)(0)
кЦь)
С — АС.
(356)
О Рд
Обозначив через А произведение двух матриц, стоящих
в правой части выражения (356), и найдя обратную к ней мат-
рицу Л-1™ С, построим матрицу коэффициентов постоянных ин-
тегрирования С, Размер матрицы 8X8 и она имеет следую-
щий вид:
м0 0О vb иь 0* wb
£ц £12 £13 £14 ^15 £16 £17 £18
£21 £22....................................£28
£fll £sa.........................* • * * £fi8
(357)
Над столбцами указаны амплитудные смещения кромок.
Каждый столбец матрицы С представляет собой значения про-
извольных постоянных Ci, С2, С8 от соответствующего еди-
ничного смещения.
Построение матрицы жесткости элемента. Чтобы опре-
делить реакции, возникающие в наложенных связях от сме-
щения кромок, необходимо вычислить усилия вблизи кромок
от этих же смещений. На этом этапе нас интересуют усилия
вблизи кромок, соответствующие наложенным связям, т. е.
AMO), S(0), М2(0), V2(0), N2(b), S(b), M2(b) и V2(b).
Рассмотрим для примера порядок определения усилий вбли-
зи кромок от смещения левой кромки по закону У(0) =
= lsinXx. Решение обыкновенного дифференциального уравне-
ния (349) примет вид
У (у) — £1 Ф1+£2 ф2+£3 ФзН-^ Ф4~Ь£б Фб+£в Фв4~£7 Ф7"Т£8 Фе»
Коэффициенты Ci, С2, ..., С8 известны — это первый столбец
матрицы С (357). Таким образом, можно получить значения
функции У (у) при любом аргументе у и при условии, что
13—274
193
Выражения усилий на левой кромке представляются в мат-
ричной форме следующим образом:
Г ^2 (0) 1
Af(O) =
5 (0)
М2 (0)
(358)
L v2 (0) J
где С — вектор-столбец значений Ci, C2i С8, соответствую-
щий единичному смещению по направлению и;
JY(rt>(3)] — матрица, которая использовалась в (352), но имеет
не пять, а семь производных от функции У (у)\
[Лус]—матрица коэффициентов, аналогичная (353) и име-
ющая вид
" k2 м 0 —ki V 0 0
[Хус]=£б 0 k2 Л3 0 —kil 0
—руЛ6 0 nX3(l+2v) 0 -pV(2+v)
0 |х%’ (2—V) 0 —рЛ4 (5—2v) 0
о о 0~
О 0 0
0 р о
pZ2(4—v) 0 ll
Где ц=Df (£6) = S2/ [ 12 (1 — v2) ].
Усилия вблизи правой кромки (у = Ь) равны
М*) = l\cI [^(n)(*)J С. (359)
В результате изложенной процедуры получаем вектор-стол-
бец усилий вблизи левой и правой кромок от единичного смеще-
ния ^(0) —IsinZx. Если аналогичные преобразования провести
с остальными единичными смещениями и объединить (358) и
(359), то найдем матрицу усилий, возникающих у кромок поло-
сы, от всех видов единичных смещений. В матричной форме
это можно представить в виде перемножения трех матриц:
[ЛЦ0,6)] =
Sc.L0..
0 : Л>ус
У("’(0)
yW(7) 1С]’
(360)
Матрица [Af(O, 6)] имеет размер 8X8. Каждый столбец этой
матрицы состоит из амплитудных значений усилий вблизи левой
и правой кромок от соответствующего единичного смещения.
От матрицы усилий по формуле (321)
[/?] = [О][У(0,6)] = г—1—1 1—111—1 U [У (0,6)] (361)
перейдем к матрице реакций. Таким образом, построена матри-
ца реакций (жесткости) панели двоякой кривизны. Матрица R
имеет симметричную структуру и определяет амплитудные зна-
чения реакций от вектора перемещений
Z =[» (0) и (0) 0 (0) w (0) v (6) и (6)0 (6) w (6)]т.
194
Определение грузовых реакций от действия распределенной
нагрузки. Для решения используем основное уравнение (344).
Если разрешающую функцию представить в виде тригонометри-
ческого ряда (347) и разложить внешнюю нагрузку q=q(x, у)
в ряд синусов вдоль оси х
q (х) = Е Яп. (У) sinXx, (362)
п=1
то получим обыкновенное дифференциальное уравнение
(12|4у 4- г2 & k X2i Y _______ f363)
Решение однородного уравнения (363) уже найдено при
построении матрицы жесткости элемента. Теперь надо отыскать
частное решение уравнения (363). Предположим, что коэффици-
ент qn(y) разложения нагрузки (362) задан в виде линейной
функции
Яп(у)=Ау + В. (364)
Если нагрузка по ширине оболочки изменяется гладко, то
на небольшой ширине элемента с достаточной для практиче-
ских расчетов точностью ее можно аппроксимировать трапеци-
ей. Решение для каждого члена разложения (индекс п в даль-
нейшем опустим) ищем в виде
Y^ay + b. (365)
Подставляя (364) и (365) в (363), получим частное решение
уравнения (363):
А В
ЧаСТ " РА4 (А4 + ? 4) V + РА4 (А4 + ? • (366)
Окончательное решение уравнения (363) состоит из суммы
частного и общего решений однородного уравнения. В соответ-
ствии с этим усилия в любом сечении полосы, расположенном
на расстоянии у от левого края, с учетом (358) определяются
по формуле
7V = [\J(MC + ?<2>T} , (367)
где вектор-столбец У размером 8X1 находится по (366)
и имеет вид
Яа’т = [</ </' 0 0 0 0 0 О]1.
Принимая в (367) у~0 для левой кромки, у=Ь—для пра-
вой кромки и записывая эти выражения совместно, получим
13* 195
выражения усилий, соответствующих наложенным связям, для
левой и правой кромок:
W(0)l pyJ О
N(b) ~ 0 кус
Г<Л>(О)Ъ Г?(П>(0)част
........ С “j-
?(n)(6)J [Г<Л)(&)Част
Для того чтобы можно было воспользоваться выражением
(367), необходимо из граничных условий по продольным краям
элемента определить вектор постоянных интегрирования С.
Выразим в матричной форме смещения левой и правой кромок
элемента при действии на него нагрузки (364):
Д(0)
Д(6)
Ад | О
О |хд
у<«)(0)
част
част_
(368)
Так как рассматривается элемент, кромки которого пол-
ностью защемлены, то правую часть выражения (368) прирав-
няем нулю и, учитывая (356), будем иметь
Счаст —
У(п)(0)
.......част,
У(п>(6)
част _
(369)
Подставляя (356) в (367), получим амплитудные значения
усилий, действующих вблизи левой и правой кромок от нагруз-
ки. Согласно (361), от вектора усилий переходим к вектору гру-
зовых реакций:
у(«)(0)
у(«)(6)
Счаст +
У(л>(0)
част
част „
5. ЭЛЕМЕНТ ОСНОВНОЙ СИСТЕМЫ В ВИДЕ
ОРТОТРОПНОЙ ОБОЛОЧКИ
Основные уравнения для пологих ортотропных оболочек.
Примем за исходный элемент метода перемещений ортотроп-
ную полосу двоякой кривизны и построим матрицу жесткости
такого элемента. Краевую задачу теории оболочек ввиду гро-
моздкости получения точного решения выполним численным ме-
тодом с использованием матрицы дифференцирования, предло-
женной в [6]. Для решения выбрана смешанная форма записи
уравнений теории ортотропных оболочек. Попытка использо-
вать компактную систему уравнений в перемещениях не дала
желаемой точности при численной реализации.
196
(370)
При построении матрицы реакций будем учитывать инерци-
онные силы в предположении, что рассматриваемая полоса обо-
лочки испытывает гармонические колебания с круговой часто-
той со. Уравнения равновесия и геометрические уравнения для
ортотропной оболочки двоякой кривизны совпадают с уравне-
ниями для изотропной оболочки:
а) уравнения равновесия:
dtfx dS д2и п
Д “Ь Л — т ---------Л’
дх ду dt2
dS алг2 d2v
дх + ду ~mdt* ~~Ру'
-^1+'F-Qi=o:
дх ду
дМ2 , дН
—1 + — -<22 = 0;
ду дх
। , dQi ао2 d2w
+ + + — = -PZt
дх ду dt2
где Px=POxCos со/; Py=PQy cos со/; Pz=P0zCosco/;
б) геометрические уравнения:
ди dv ди dv
61 =-----р ki w; е2 = w. Т1-2 =--р — ;
дх ду ду дх
d2w d2w d2w
X1 dx2 X2 dz/3 X12 dxdy
Зависимости Гука для ортотропных оболочек:
^i = a(ei+v^); y2 = *(e2 + v28i); S =с-у12; )
= — А (хх -|— V! x2)j Af2 — В (x2 —p v2 xx); H == 20xx2, J
где a = E± 6/(1 — vx v2); b = E2 6/(1 — vxv2); c = G12 6;
Л — £г63/[12 (1 — vx v2)]; В = B263/[12 (1 - vx v2)]; C = G1263/12.
При формулировке граничных условий введем обобщенные
поперечные силы, учитывающие влияние крутящих моментов:
дН д
Vi = Qi +— = — [ЛХ1 + (D + 2С) х2];
ду дх
V2 = Q2 + -^-=-~ [Ви2 + (D + 2С) хт],
дх ду
Х12 —
(371)
(372)
где
D = + 2С = Bv2 + 20.
Выражая в последнем уравнении равновесия системы (370)
неизвестные Qi, Q2 через прогибы и учитывая уравнение сов-
местности деформаций в виде
а281 д2 82 a2Yi2 _ d^w d^w
ду2 дх2 дхду 1 ду2 2 д2х ’
получим разрешающую систему уравнений для ортотропной
197
пологой оболочки в смешанной форме:
dNi , dS д2и
~~Т~ + = ~р*>
дх ду д?2
dS ЭУ2 d2v
~~ т Т72 “ ру>
дх ду Л у2
, d4w „ d^w
k1N1 + k2l\l2 + А — + 2D ( ~
дх4 дх2 ду2 dtp
Л । h
) + 61 \ дхг Vl ду* ,
d2w d2w
~ kl Т~2 + k2 — ,
ду2 дх2
d2N1
“TT~V2
. ду2
dt2
, d*w d2w
-р В— 4-/и—Р •
dtf dt2 х
d2S
дхду
(373)
где
а± = 1/(Ех6); = 1/(/?26); с± = 1/(<?126).
Последнее уравнение системы (373) представляет собой
уравнение сплошности.
В дальнейшем будем рассматривать ортотропную полосу,
поперечные края которой опираются на идеальные диафрагмы,
а на продольные края наложены системы распределенных свя-
зей, препятствующие смещению этих краев в направлении и,
v, w и повороту относительно оси Ох, Разлагая нагрузку, внут-
ренние силовые факторы и перемещения точек срединной по-
верхности в тригонометрические ряды вдоль координат х:
со
Р — S Р%*> cos Ах cos со/;
X "
П=1
со
Р = S P^rt)sin Axcosco/;
У п=1
со
Р = У Р?п) sin %х cos со/;
2 *
П=1
со
— 2 sin Лх cos со/;
П=1
со
N2 = J Sin cos со/;
n=i
S ~ 2 S(rt) cos Лх cos co/;
n=l
и = X cos Xx cos co/;
n—1
(374)
oo
S v(rt) sinAxcos co/;
n=l
co
w. = 2 sin Ax cos co/,
n=l
где А==пл//, и подставляя решения (374) в (373), получим для
каждого члена разложения систему обыкновенных дифферен-
циальных уравнений относительно неизвестных усилий, дейст-
вующих в срединной поверхности оболочки, и прогиба:
198
ЛЛ\ _l fna^u =— Px\
1 dy
XS + + mo2 v = —P„;
dy *
d2w dJ,w
A^i + k2 N2 + V Aw — 2DZ2 — + В — — marw = Рг;
dy2 dyt
al + Va VN1) ~bl (V Ni+V1 d^)+C1K ~
(pW
— — 4-^2л2о,=о.
dy-
(375)
Внешним воздействием на полосу являются единичные ам-
плитудные смещения продольных кромок, изменяющиеся по
длине и во времени по гармоническому закону. Чтобы сформули-
ровать граничные условия для системы (375) по продольным
краям оболочки, необходимо получить выражения смещений V,
и через усилия. Выразим деформацию точек срединной поверх-
ности через перемещения и усилия:
ди
et = — + k±w = at N±— Vi Nt;
dv
e2 = -----r k2w = —
dy
du . dv
V12 = “z I z — ZiS.
dy dx
(376)
Делая подстановку согласно (374) и (376), найдем зависи-
мости в обыкновенных производных между усилиями и смеще-
ниями:
— Хи + kjW = — vx Л^а»
dv
—-----1- k2w = — v3 ar
dy
Решая систему (377) относительно и и и, получим:
и = 1 /X (vx b± N2 — а± + k± о,);
* du\ .Г Л , dN2 dNi , t dw\]
v—l/X\ciS j — 1/X — 1/Xlv1b1 —ax + j .
\ dy / L \ dy dy dy/j
(377)
(387)
Подставляя v и и в (375) и группируя подобные члены,
окончательно получим систему обыкновенных дифференциальных
уравнений относительно неизвестных функций Sb ^2>
ЛГХ + S' + mco2 + mco2 w =— Px;
X X
a-, ,
Л2
2 C1
-/no2 —
S + (l-/mo2^'
N’z- =-Py,
. (379)
— mco2 -~-
Л/i + *2 N2 + 5a>IV — 2DX2 w + (X4 A — m co2) w = P2;
ai (A^ + v-jX2^)—(X2^+vX)+4 S'+*2X2t«—
199
Численное решение краевой задачи. Некоторую функцию
У(х) будем характеризовать вектором, составленным из ряда
ее ординат У==[У0, Уь •••> ^]т, а вектор ее производной — орди-
натами УЛ=[Уд, у;, У^]т (рис. 101). В работе [6] построена
матрица дифференцирования Д, переводящая вектор У в вектор
ее производной по формуле
0 12 к
Рис. 101
где /г —числовой вектор-столбец, зависящий от выбора базис-
ных функций при интерполировании;
Д—матрица дифференцирования, которая может быть
построена на любых базисных полиномах, аппрокси-
мирующих неизвестную функцию.
Для n-й производной формула дифференцирования:
г(0)
= [л, M.JFh,
у(п)__д(п)
(381)
у(п~ 1)
У(0)
Используя зависимость (380) между векторами функций
и векторами ее производных, выражаемую матрицей дифферен-
цирования, перейдем от системы обыкновенных дифференци-
альных уравнений (379) к системе алгебраических линейных
уравнений. Для этого каждую из неизвестных функций Afb S,
N2 и w и их производных, входящих в систему (379), заменяем
соответствующими векторами. Причем векторы производных
выражаются через векторы самих функций с помощью (381).
Полученные таким образом векторы N^\ N\\ S; S'; N2, Af' ;
N”2; w; w" и wTV подставляем в уравнения (380), которые ока-
жутся выраженными только через векторы W], S, w и значе-
ния их начальных производных. К полученной системе уравне-
ний присоединим граничные условия. Следует учесть, что в на-
200
чальной точке (у=0) значения 5('0) и N'2{Q} являются зависимы-
ми величинами. Эту зависимость получим, дифференцируя один
раз по у второе уравнение системы (379) и полагая г/=0. Это
дает
т<£>2 К2 т<з!)2 л ) (/ к2 ) ^2<°)~
— тсо2-^ О1(о)= — ^у(О) * (382)
Зависимость (382) также необходимо присоединить к систе-
ме алгебраических уравнений (383). Таким образом, будет по-
лучена полная система линейных алгебраических уравнений для
определения координат всех векторов АГь S, w и их началь-
ных производных. В векторной форме записи эта система урав-
нений и граничные условия следующие:
л) у1+ м bh [£jvj J1+
k, -*
+ ma2 -г- [£te>] w = —Px;
Kd т) Ы * + CM*2
- m<sP [£„,] w =—Py\
*1 Ы + ki N2 +B w-ZD# [a"w]w +
+ (X4 A — ma>2) [Ew] w = Pz;
al (. + V2 ~ (^2 [^Wj] + V1 [^.] ) N2 "b
+ Xq [д;] S + k2 X2 [£„,] w - k, [ду № = 0;
m<°2 Z2” AZK0)-(X-m<°2i’)S(O)+(1-"l‘o2^r1)Af2(0) ~
-ma2-^-y0) = -P;(0).
Граничные условия
u(0) — 1; W(0) = 1; 0(O) = — 1; = 1; 1
v(b) = \\ u(b) = l; 0(d) = -l; t0(ft) = l. J
(383)
(384)
Углы поворота касательной по часовой стрелке к изогнутой
поверхности оболочки считаются положительными, этим объяс-
няется знак минус в граничных условиях (384). В состав векто-
201
ров функции введены и значения их начальных производ-
ных, т. е.
Л\ =
^1(0)
jVl(0)
^1(0)
5(0)
5(0)
s(l)
^2(0)
N2(O)
^2(0)
^2(1)
“’(0)
“'(О)
“'(О)
“’(О)
“’(О)
(385)
; w —
Лк*)_
•S(A)_
Л2(й) _
В соответствии с (385) некоторые матрицы дифференциро-
вания и единичные матрицы £, отмеченные в уравнениях (383)
нижними индексами, дополнены нулевыми столбцами, напри-
мер:
Дх=[0Д']; дт=[5од"] и т. д.
[fl 0£J; Ew — \p'd'0~0E}t
где Д' и Д" и т. д. строятся по (380) и (381);
Е — единичная матрица.
Для формулировки граничных условий перемещения (378)
представим также в векторной форме:
V
и =
w(0)
“(1)
D(0) ’
y(l) = _
v(k) _
= г (V1Й1 [en.] К - а1 iE +k! [£>);
f(Vl&lHAr2p2-«i
(386)
Формулируя граничные условия (384) в (383), следует вос-
пользоваться первой (для z/=0) или последней (для у=Ь) стро-
ками равенств (386). В развернутой форме структура матрицы
уравнений (383) для &=3 приведена в (387). Порядок систе-
мы (387) зависит от принятого числа узлов интерполирования
(&+1). Последние восемь строк системы (387), как указыва-
лось, определяют граничные условия по продольным краям
элемента. Получив обратную матрицу к матрице коэффициен-
тов при неизвестных (387), найдем значения усилий, действую-
202
д; „ Vi&i m® ~x~ „ k, ШШ2 -/-Ew Л -рх
[ —Л+/72Ш2 ““ ) Es f 1 — /исо2 Д' \ A2 , kl . Д1 -Ру
kl k2 EN, BM^-2D%2ff’w + + (AM — /neo2) Ew S Рг 0
al al ^Nt мд; “Л Vj Ды~bx A2 ENz -кхДт+к^Еш Nt 0
mf,,2 2l rf первая j^2 ^Л\ строка — (x-«®2 у j д' (1-т^^\д" пеРвая \ A2 y ^2 строка Д’ пеРвая A2 w строка -^(.0).
первая строка
al /1 Ml &i X (387)
A2 г X2 Л2
01 Ml &1
X X А 0 р
—1 ^8X8
1
ai rf последняя X2 /^jVl строка Cl к vi rjf последняя A2 ^Ni строка д' последняя A2 строка
01 vibi
X A А
— Д& последняя строка
1 1
щих в срединной поверхности, и прогибов в узлах интерполиро-
вания от смещения кромок. При формулировании граничных
условий в порядке, использованном в (387), последние восемь
столбцов обратной матрицы будут представлять собой неиз-
вестные от единичных смещений продольных кромок. Усилия,
возникающие в срединной поверхности, находятся непосредст-
венно из решения системы (387), а усилия, соответствующие
изгибу, могут быть определены для М2 и V2 из (371) и (372).
Выражая в этих формулах кривизны через прогибы и придавая
им матричную форму получим
~w"'~
rAf2“l _ Г О В 0 — Bv2X21 w"
[vj L—я 0 (D+2C) X2 О J w'
w
Далее, формируя матрицу усилий, возникающих в единич-
ных смещениях кромок, в соответствии с обозначениями неиз-
вестных, показанными на рис. 102, построим матрицу жесткости
для ортотропной полосы двоякой кривизны:
ГП г12 • • • Г18
Г21 Г22 • • • г28
_Г81 Г82 • • • Г88*.
По этой матрице жесткости можно составить матрицу реак-
ций для оболочки в целом и рассчитать ее методом перемеще-
ний. При сй=О получаем матрицу реакций от статических сме-
щений кромок. Изложенным методом учитываются также нали-
чие упругого основания и другие факторы.
Матрица жесткости ортотропного элемента двоякой кривиз-
ны исследовалась численно для частного случая (£1=Е2;
204
Таблица 15
Реакция r(.£/Ed Отношение b/l при номере гармоники n=l
ОД 0,5 1
точное численное точное численное точное численное
rll 0,1022X10 0,1022X10 0,1397X10° 0,1398X10° 0,1272X10’ 0,1274X10»
Т12 0,4641X10-1 0,4655X10-1 0,1071X10° 0,1072X10’ 0,1106X10» 0,1107X10’
Г13 0,3596 XI О-2 0,3592 XI О-2 0,3379X10—2 0,3382 XI О-2 0,2802X10—2 0,2804 XI О-2
Т14 0,2172X10—1 0,2172X10-1 0,6522 XI О-2 0,6527X10-2 0,5643 ХЮ-2 0,5648X10—2
f15 0,1001X10 0,1001X10 0,4371 X10—1 0,4361X10-1 0,2876X10—2 0,2837X10—2
f16 0,8953X10—1 0,8967X10-1 0,1647X10-! 0,1656X10-1 0.2388Х 10—2 0,2401X10—2
>T7 0,3581X10—2 0,3577X10—2 0,1987X10—2 0,1989X10—2 0,1013X10-’ 0,9945X10—4
Г18 0,2154X10—1 0,2154X10-1 0,2878 XI О-2 0,2876 XI О-2 0,1542X10-’ 0,1525X10-’
Л22 0,4651X10° 0,4659X10’ 0,1860X10° 0,1861X10° 0,1784X10° 0,1785X10’
r 33 0,1252X10—2 0,1253X10—2 0,6004X10—3 0,6007X10-’ 0,5736X10-’ 0,5737X10-’
r44 0,4370X10—2 0,4374X10—2 0,9157X10—3 0,9162Х10-’ 0,8534X10-’ 0,8537X10-’
Таблица 16
Реакция Ги/Е6 Отношение Ь//=0Д при номере гармоники п
5 11 17
точное численное точное численное точное численное
Г11 0,1249X10 0,1249X10 0,2139X10 0,2140X10 0,3260X10 0,3263X10
'12 0,3308X10° 0,3314X10» 0,8809X10° 0,8821X10° 0,1384X10 0,1386X10
'13 0.3084Х10-2 0,3082X10—2 0,2195X10—2 0,2194X10—2 0,1540Х 10-2 0,1541 ХЮ-2
'14 0.2141Х10-1 0,2141X10-1 0,2254X10-1 0,2255X10-1 0,2310X10-1 0,2311X10-1
'16 0,7564X10» 0,7559X10° 0,3199X10» 0,3183X10» 0,9807X10-1 0,9658X10-1
'16 0,2835X10° 0,2842X10» 0,1862X10» 0,1863X10° 0,6705X10-1 0,6657X10-1
'17 0,2753 XI О-2 0,2751 ХЮ-2 0,1230X10—2 0.1230Х10-2 0,3828X10-» 0,3822X10-»
'18 0,1728X10-! 0,1728X10-1 0.8898Х 10—2 0.8892Х 10—2 0,3329 XI О-2 0,3317X10-»
'22 0,1006X10 0,1007X10 0,2117X10 0,2118X10 0.3259Х 10 0,3262X10
'зз 0,1446X10—2 0,1447X10—2 0,2207X10—2 0,2208 XI О-2 0,3288X10-2 0,3289X10-»
' 44 0,6754 XI О-2 0,6760 XI О-2 0,2750X10-1 0,2751X10-1 0,9415X10-1 0,9419X10-1
V1 = v2) и сравнивалась с точным решением, представленным
в п. 4. В качестве базисной функции были использованы линии
влияния реакции неразрезной восьмипролетной балки на
жестких опорах (девять узлов интерполирования) [82].
В табл. 15 приведены сравнения некоторых элементов матрицы
для полос, имеющих отношения ширины к длине &/Z, равные
0,1; 0,5; 1, и следующие абсолютные размеры: длина 1—10 м;
Рис. 105
Рис. 104
радиусы кривизн =40 м и /?2 = 20 м; толщина 6 = 0,06 м. Ре-
зультаты сравнения в зависимости от номера гармоники п для
ширины полосы &=1 м даны в табл. 16.
Использование предлагаемой численной методики при тех
же базисных функциях для решения краевой задачи в переме-
щениях, а не в смешанной форме, неприемлемо. На рис. 103
показано изменение реакции г33 в зависимости от ширины пане-
ли. В качестве базисных функций взяты полиномы Лагранжа
(гл), линии влияния реакций неразрезной балки на жестких
опорах (гу) и интерполяционный полином по системе узлов
А. А. Маркова (гм). Символом гт обозначено точное решение.
Приведем несколько примеров применения изложенного метода для рас-
чета пологих оболочек1. Квадратная в плане оболочка двоякой кривизны с
параметрами: длина /=12 м; ширина 6=12 м; кривизна вдоль оси х kx —
= 0,025 1/м; кривизна вдоль оси у k2 — 0,0255 1/м; толщина 6 = 0,06 м; коэф-
фициент Пуассона v=0,15; модуль упругости Е—\ рассчитывалась на дейст-
1 В этих примерах расчет заканчивался для гармоники с номером 15,
что соответствовало удержанию восьми нечетных членов ряда.
207
вне равномерно распределенной полосовой и распределенной вдоль узловой
линии нагрузок (рис. 104, а). По трем сторонам оболочка опирается шарнир-
но, а четвертая — защемлена. Результаты расчета приведены на рис. 104,6,
где изображены эпюры прогибов ш, из-
гибающих моментов М2 и нормальных
сил AG и TVa по среднему сечению обо-
лочки (при х—1)2).
Двухволновая однопролетная обо-
лочка, имеющая основные параметры та-
кие, как и предыдущая (кроме кривизн,
которые в данном случае равны: ki =
= 0,025 1/м; ^2=0,05 1/м), подкрепле-
на бортовыми элементами размерами
поперечного сечения 0,2X0,4 м. Левая
волна оболочки загружена двумя рас-
пределенными вдоль линий нагрузками,
расположенными в четвертях, правая —
одной аналогичной нагрузкой, находя-
щейся в середине волны (рис. 105, а).
Особенность этой конструкции состоите
том, что в месте сопряжения двух волн
терпят разрывы кривизна и параметры,
характеризующие жесткость. Эпюры
прогибов и изгибающих моментов при
х=1/2 показаны на рис. 105,6. Скачок
в эпюре моментов М2 в месте сопряже-
ния волн обусловливается жесткостью
бруса на кручение.
На рис. 106, а изображена оболочка,
подкрепленная ребром жесткости и на-
груженная сосредоточенной силой. Раз-
меры оболочки: Z=6 м; 6 = 6 м; ki —
= 0,092 1/м; ^2 —0,0926 1/м; 6 = 0,02 м.
Коэффициент Пуассона v = V6; модуль
Рис. 106
упругости оболочки Е—0,19 ГПа; ребра
£р = 0,26 ГПа. Поперечное сечение ребра 0,05X0,09 м. Результаты расчета
совпадают с результатами, полученными по другим методикам. На рис. 106, б
пунктиром показаны эпюры при отсутствии ребра жесткости. В этом случае
прогиб под силой увеличивается примерно в 2 раза. Помимо встречающихся
в предыдущих примерах эпюр, на рис. 106, б приведены эпюры сдвигающих
усилий S при х=0.
6. ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
УПРУГИХ ПОЛОГИХ ОРТОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК
ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ
Исходные уравнения. Рассмотрим получение разрешаю-
щих уравнений технической теории пологих оболочек с учетом
некоторых обобщающих предположений. Для решения уравнений
в основном предполагается использование численных методов.
Это дает возможность рассмотреть оболочки переменного сече-
ния, учесть начальные неправильности формы оболочки, а так-
же геометрически нелинейные зависимости, важные для анали-
за тонкостенных систем. Однако чтобы решить конкретные за-
дачи с учетом указанных особенностей, необходимо получить
208
соответствующие дифференциальные уравнения. Несмотря на
то, что общий путь вывода таких уравнений принципиально
достаточно ясен, тем не менее он сопряжен с довольно громозд-
кими преобразованиями.
Рассмотрим пологую ортотропную оболочку двоякой кривиз-
ны с переменными жесткостями, являющимися функциями ко-
ординат х, у. Она имеет начальные искривления т]='П (х, У)*
Рис. 107
При записи соотношений, связывающих деформации и переме-
щения, будем удерживать нелинейные квадратные члены. Все
уравнения записываются в декартовой системе координат, при-
чем будем считать, что сечения оболочки плоскостями, парал-
лельными zOy и zOx, не являются линиями главных кривизн
(рис. 107).
Чтобы сократить записи уравнений, обозначим частные про-
изводные нижним индексом. Например:
dw d2w d3w
dx dx2 dx3 y
Оси координат, положительные направления перемещений и
усилий показаны на рис. 107. Будем считать, что уравнение
оболочки задано в форме
2=2 (Ху) .
Обозначим естественные кривизны оболочки (в дальнейшем
они считаются постоянными величинами):
d2z d2z d2z
dx2 Z*2> ^2 ду2 Zy2' ^12 дхду
а также сумму упругого прогиба w и начального прогиба т]
через ш, т. е.
w = w + п. (388)
Общеизвестные соотношения, из которых будут получены
необходимые разрешающие уравнения, приведем без вывода.
Уравнения равновесия:
+ + Tx + N2y + p2 = &,
^ix + ^-Qi=0; М2у + Нх - Q2 = 0;
Qlx + Q2y + N1 “ M + ^2 ““ M + 2Г ~ *12) + ?3 = °*
(389)
209
Уравнения, связывающие деформации и перемещения:
деформации в срединной поверхности:
61 ~ wx + te/+ 0,5 — 0,5 т)2;
е2==г’г/+*2гг, + 0>5^ — •
Vl2=My+t'x+2*I2 w+wx ™у- ЧЛ’ ,
изгибные деформации:
%2 = _^2; Xj2 = _2^.
Закон Гука для усилий:
(390}
(391)
ц = — pi b N2\
e2 = b N2—р2 a
y12 = sT. (392)
^i = a (Si + Pi62);
N2 = b (e2 + p2 ej;
71 — s y12;
+ vx x2);
Mz~ В (x2 + v2 Xi);
H — C x12.
(393)
В соотношениях закона Гука использованы обозначения ко-
эффициентов Пуассона ц— для деформации в срединной по-
верхности и v — для изгибных деформаций, имея в виду, что в
общем случае для конструктивно ортотропной оболочки эти
величины могут быть различны. Если переменную толщину обо-
лочки обозначим через h=h (х, у), то соответствующие коэф-
фициенты в равенствах (392) [податливости] и в равенствах
(393) [жесткости] будут иметь следующие значения:
а = 1/hE-^ а = hEJ(l — р2); А = WEJ 12 (1 — vx v2);
b=l/hE2; b = A£-2/(I — И! Н2); = A3 jE2/I2 (I — vx v2);
s = 1/й<?12; s = Л612; С = /г3б12/12.
Для упрощения записи частных производных от цилиндриче-
ских жесткостей Dh D2 и Dh введены обозначения Л, В и С.
Обозначим деформации, вызываемые перемещениями и и v,
через ер е' и у'2. В пологой оболочке, как и в случае плоской
задачи деформации:
е1'=их; =
связаны уравнением неразрывности
(е1 )у2 + (М*2 ~ (Т12)^ — °*
(394)
(395)
Подставляя сюда значения (394) и заменяя мх, vy и (wy+vx)
величинами, найденными из равенств (390) с учетом (388), по-
210
лучим уравнение совместности деформаций для оболочки в
виде
(е1)^ + (е2)х° - = kl wy> + k2 wx* - 2*12 wxy +
+ wxy-wx*wy'+2wxy%/-wx‘)] <396)
Подставляя значения M2 и //, выраженные через w
(393), в равенства для Qi и Q2 (389), получим:
<4 = ~ М (wx2 + V1 а^)]ж - 2 (Cwxy)y,
Q2 = ~[B (wy2 + v, wx,)]y- 2 (Cwxy)x.
Подстановкой этих значений в последнее уравнение (389)
и после преобразований уравнение равновесия при изгибе обо-
лочки запишется:
Awxt + 2Dwxlyl + Bwyt + 2 [Ах wx, + (С* + v* AJ wylJ[ + (Cy + v2 By) wyx, +
+ By wy’l + (Ax‘ + v2 By‘ - wx* + (,By* + vi Ax> ~ Nz) wy‘ +
+ (Cxy -27) wxy- (pi2 - Й,) - (V - Л2) N2 - 2 ^xy - k^) T=ps. (397)
Здесь через D обозначено
D = 2C + vx4 = 2C 4- v2 B. (398)
Разрешающие уравнения в смешанной форме. За основные
неизвестные функции принимаются прогибы w=w (х, у) и
функция напряжений ф = ср (х, у), с которой усилия ЛГЬ N2 и Т
связаны зависимостями:
= V ^2 = (Р^ г = <3")
Тангенциальные нагрузки pi и р2 приняты равными нулю.
Уравнениями для определения функций ср и w служат уравне-
ние совместности деформаций (396) и уравнение равновесия
(397). В (396) необходимо предварительно деформации 81, 82
и у12 выразить через усилия по закону Гука в форме (392),
после чего производные от деформаций, входящие в левую
часть (396), приобретут следующий вид:
(81V = ” И * К2у2 + 2 (ayNly — Р1 Ьу ы2у) + ay2 — pj by2 У2;
(es)x2 = М2 \х2 +2 (^х ^2х ^2 ^\х) 4" ^х2 ^2 М2 ах2 ^1»
(712^ ~ S Тху 4~ Sy + sx Гу + sxy? •
Заменяя в этих равенствах усилия Afi, N2 и Т через функцию
напряжений (399) и подставляя их в (396) , а также заменив в
211
(397) усилия через функцию напряжений (399), получим разре
шающие уравнения в окончательном виде:
b<Px< + 2d<px2^2 + а wy2 + 2*13 Wxy - k2 w*z +
+ 2 («, V + dy + dx %‘x + b* +
+ (bx2 — 6^2) ФЖ2 +(ay2 ^2 ax2) ’Py2 sxy 4>xy +
+ Vy* - 2^.ry Wxy + Wx2 +
+ ^^2-^=0;
Awxi + 2Dwxly, + Bwyl -b kx q>y2 — 2k12 <Pxy + k2 <pxl +
+ 2 [\ wx, + (Cx + V1XJ wy,x + (Cy + v2 By) Wyx2 + By WyJ +
+ (Ax2 + v2 M wx2 + (By2 + V1 Ax2) wy2 + cxy Wxy -
- ф^ + ^xy <pxy - ^.ф^ _
- Ф,. wx, - ФЖ2 Wy, + 2фх9 wxy = p3.
(400)
)
Величина D здесь имеет значение (398), a
d = V2 (7~2p2 a) = x/a (s— 2^i £).
Левая часть каждого из уравнений (400) записана в виде
пяти строк: в первой собраны основные линейные члены, во
второй и третьей — члены, содержащие соответственно первые
и вторые производные от жесткостей (податливостей) оболочки,
в четвертой — слагаемые, выражающие влияние начальной по-
гиби, и в пятой — нелинейные члены уравнений. В зависимости
от характера задачи соответствующая строка может быть от-
брошена. Для частного случая линейно деформируемой орто-
тропной оболочки постоянной жесткости без начальной погиби
уравнения (400) записываются в виде известных симметричных
дифференциальных операторов:
где
^и Ф — T-J2 № — 0;
^21 Ф “Ь ^22 ~ Рз» I
- д4 д* - д*
Li-, — b--И 2d-----4- а — ;
дх4 дх2 ду2 ду1
д4 д* д4
Lii=A м + 2Dd^ + в^’
д2 д2 д2
L12 = L21==kl—_2kl2-— + k2 — i
(401)
Разрешающими уравнениями в перемещениях являются три
уравнения равновесия: первые два из (389) и уравнение (397).
212
В каждом из них необходимо усилия (Уь N2 и Т выразить через
перемещения u, v и w. По уравнениям закона Гука в форме
(393) с учетом (390) выражения усилий через перемещения
будут:
Л', = а [их 4- р, Vy + (*! + Pi Л2) и>4'0,5 (w2 +w2) — 0,5 (tj® + Pj П^)];
N2 = b [vy + p2ux + (k2 + p2ad-0,5 {wy, + p2w2) -0,5 (t)* + P2 П*)];
T = s [uy + vx + 2fe12 w + u>x Wy — T)rJ •
(402)
Подставляя значения (402) в три упомянутых уравнения
равновесия, запишем эти уравнения в следующей форме:
аих‘ + suy2 + cvxy + а + р, kJ wx + 2s&12 w y 4- a wx wx2 +
+ ™Xy ™y + ™x - arlx Vx* - ст\Ху T)F - ST], V + ах^ 4- Sy T 4- Pl = 0;
bVy, 4- svx2 4- cuxy 4* b (k2 4- p2 wy 4- 2sk12 wx + bwy wy2 4-
4- ™xy wx 4- s йу wx2 - briy v - ct]xy t)x - st)^ т]л1 + by N2 4-
4* sx T 4- Pi = 0;
(403)
Awx‘ 4- 1Dwx2y2 4- Bwyt 4- 2 [Ax wx, 4- (Cx 4- AJ wlj2x -f-
+ (cy + v2 Bv) wyx* + By + (A^‘ + va вуг — Ni) WX‘ +
4- (By* 4- Vi Ax2 - NJ Wy2 4- (Cxy - 2T) wxy - (i)x2 - -
N2-2(\y-ki2>T-P3=Q-
Здесь c=s+|iiia=s+g26-
В этих уравнениях для сокращения записи в ряде слагаемых
сохранены множители N2, Т, имеющие значения (402). При
решении конкретных задач, содержащих те или иные упроще-
ния, благодаря этой подстановки можно записать уравнения
(403) так, что они будут выражены через перемещения и, v и w.
В частности, для оболочки постоянного сечения уравнения полу-
чат вид:
Ац и + Л12 v + L13 w + + pi = 0;
^21 U 4“ ^22 у + ^-23 W Г2 + р2 = 0;
L31 и + L32 v + L33 w + Г3 — pi = 0.
(404)
213
д
Через L обозначены линейные операторы:
т 32 ,
41—а д 2 "Т 5 д 2 *
дх2 ду2
г h д* л_ д*
ду2 дх2
L = А ГТ + 2D ГТТг + В ГТ + ak^ + 2Н aki й2 + bk2 + 4skl2-
33 дх* дх2 дх2 ду* 1 2
_ _ Э2
Ll2-Ln-cdxdy ;
Q
Lj3 — = a (k^ Ч" Pi ^2) ~b 2s^12 t
^23 ~ ^32 ~ (^2 4~ P2 ^1) ~Z Г 2sAj2 “7 •
оу dx
Через Г в (404) обозначены операторы, выражающие влия-
ние начальной погиби и геометрической нелинейности оболочки:
Г, = a wx Wxi + с wxy wy + s Wx wyl — ax)x v — c^y r]yl-
r2 = bwywy2 + cwxywx+ swywxt — br]y r]yt — cr)xy r),r.
гз = -^ Wi-“'i/«y2-2^7’
(405)
(406)
Г л а в a 5
КОНТИНУАЛЬНО-ДИСКРЕТНЫЙ МЕТОД
РАСЧЕТА ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИСТЕМ
1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
В современной технике часто используются конструкции,
представляющие собой соединения большого количества одно-
образных или периодически повторяющихся элементов. К та-
ким системам относятся многие каркасы, сетчатые перекрытия,
сборные купола, регулярные упругие заполнители трехслойных
оболочек и т. п. Подобные системы можно рассматривать как
некоторые сложные упругие среды—дискретные среды. Чаще
всего последние работают совместно со сплошными (контину-
альными) средами. Например, пространственные каркасы де-
формируются совместно со сплошными вертикальными диафраг-
мами и перекрытиями.
Задачи расчета систем, состоящих из континуальных и диск-
ретных сред, решаются дискретизацией континуальных, или
континуализацией дискретных сред. Если количество элемен-
тов, из которых состоят дискретные среды, велико и отсутствуют
существенные нарушения регулярности системы при гладком
очертании ее границы, то для расчета таких сложных систем
удобнее использовать континуализацию дискретных сред. Бла-
годаря этому приему упрощаются и расчеты на ЭВМ отдельных
дискретных сред, сокращается количество неизвестных, что
позволяет применять при их вычислении стандартные програм-
мы решения краевых задач для дифференциальных уравнений.
Континуализация может быть условной, временной и произво-
диться лишь на этапе вычисления основных неизвестных. После
этого дальнейший расчет выполняется по дискретной схеме.
Существуют различные способы континуализации, связан-
ные с решением различных частных задач расчета сооружений.
Известны, например, труды Ф. Энгессера и С. П. Тимошенко—
по устойчивости составных стержней; А. Н. Крылова, И. Г. Буб-
нова, П. Ф. Папковича, А. И. Сегаля, А. С. Калманка, А. X. Хо-
харина, П. М. Сосиса, М. Д. Гурари — по расчету перекрестных
систем; Г. И. Пшеничного — по расчетам сетчатых систем;
А. Р. Ржаницына и др. — по теории составных стержней и при-
менению этой теории к расчету ряда конструкций; И. Е. Милей-
ковского — по использованию вариационных методов в задачах
континуализации; работы А. Я. Александрова, Л. М. Куршина
и др. — по определению приведенных модулей упругих дискрет-
215
ных заполнителей трехслойных оболочек; исследования
А. Р. Ржаницына, Л. П. Винокурова, А. С. Калманка, М. А. Ле-
вина, Л. Н. Лубо и других советских и зарубежных ученых,
устанавливающих связь между разностными уравнениями строи-
тельной механики и дифференциальными уравнениями того же
порядка через уравнения в конечных разностях, и т. д. [1—3,
21, 22, 27, 34, 50, 53, 59, 60, 72, 73, 74, 88].
В разработанной М. Борном динамической теории кристал-
лических решеток [13] для получения дифференциальных урав-
нений движения используется, в частности, допущение о плав-
ности изменения функций перемещений [51]. Оно было принято
еще Навье при получении им первых уравнений теории упру-
гости. В настоящее время имеется много работ, в которых ана-
логично устанавливаются связи между теорией борновской мо-
дели кристаллической решетки и моментными теориями упру-
гости в современной трактовке [41, 42, 38, 39, 52, 32].
На основе достаточно общего допущения о плавности дефор-
мации системы в этой работе предлагается методика получения
дифференциальных уравнений равновесия (движения) в пере-
мещениях для дискретных сред общего вида, состоящих из
упругих элементов, которые соединены конечным числом дис-
кретных или распределенных связей [47, 48]. Эта методика из-
лагается на примерах систем, протяженных в одном направле-
нии (применение этой методики в двухмерных и трехмерных
задачах рассмотрено во 2-й части книги).
2. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ МЕТОДИКИ
Рассмотрим системы, протяженные в направлении одной
координаты s. Деформации системы будем характеризовать в
поперечных сечениях несколькими обобщенными перемещения-
ми Zi (i= 1, 2, 3, ..., m) — элементами вектора Z. В направлении 5
система может быть континуальна или дискретна, т. е. переме-
щения Zi являются непрерывными функциями s, или функция-
ми дискретно изменяющегося аргумента. Например, перемеще-
ния каждого сечения сплошного стержня (рис. 108, а) харак-
теризуются шестью величинами: u; v; ш; 0г, 0г; 0з — непрерыв-
ными функциями координаты 5.
Деформацию плоского составного стержня (рис. 108, б)
можно характеризовать в каждом сечении с координатой ka
k=l, 2, 3, ...) пятью перемещениями: «и; uzr; <рь; ф/t, которые
представляют собой функции дискретного переменного k. Ана-
логично, деформации многих протяженных зданий (см.
рис. 108, г) можно характеризовать в й-м сечении на стыке па-
нелей (или сечении kf) несколькими обобщенными перемеще-
ниями, которые также являются функциями дискретного пере-
216
менного. Подобное будет и в высотных зданиях, где вектор
Z/t характеризует перемещения А-го этажа.
В качестве общей расчетной схемы таких конструкций рас-
смотрим систему (рис. 109, а), состоящую из упругих слоев
(элементов), которые связаны т обобщенными связями. Эти
связи показаны на рис. 109, а в виде нескольких жестких узлов.
Взаимодействия между элементами могут быть и распределен-
Рис. 109
ними. Например, производя расчет на растяжение пластины,
усиленной поперечными и продольными ребрами (см. рис. 108, д),
представим перемещения в £-м сечении в виде конечной суммы
л 3 л пл
Uk {у) = «о + «1 sin — у + «з sm —— г/Н-h «П sin — у.
h h h
Используя метод перемещений, вычислим обобщенные силы
взаимодействия между элементами с помощью специальных
функций А. В. Александрова [82]. Тогда применение излагае-
мой методики будет таким же, как и в задачах с дискретно-
узловыми соединениями. В дальнейшем для простоты будем
пользоваться схемой, представленной на рис. 109, имея в виду
и случай распределенных взаимодействий элементов. Во многих
217
задачах рассматриваемая схема буквально соответствует связям
рассчитываемой конструкции, или последняя легко приводится
к ней. Например, составной стержень (см. рис. 108, б) можно
представить в виде системы, показанной на рис. 108, в, где
жесткости поперечных стержней (планок) в каждом элементе
необходимо принять в 2 раза меньшими, чем в исходной систе-
ме. Если между элементами имеются упругие связи, то послед-
ние могут быть включены в состав элемента и расчетная схема
принята в таком же стандартном виде.
Рассмотрим сначала системы постоянной жесткости, где
элементы физически и геометрически одинаковы и расположены
в пространстве вдоль дуги окружности постоянного радиуса
p=const, по которой отсчитывается координата s. При р=оо s
совпадает с одной из декартовых координат (см. рис. 109, б).
Такие системы, обладающие простейшей симметрией [20] —
поворотной на угол Да, или переносной на \s=a — являются
частным случаем систем периодической структуры.
Перемещения узлов каждого Л-го сечения свяжем соответст-
венно с цилиндрической, или декартовой системой координат.
Направления этих перемещений будем выбирать так, чтобы
соблюдалась их симметрия по отношению к повороту на Да,
или сдвигу на Дз=а (на рис. 109 показаны только перемеще-
ния в плоскости кривой).
Предположим, что каждый элемент системы (см.
рис. 109, в, г) обработан для применения метода перемещений,
т. е. вычислены матрицы жесткостей (матрицы реакций) эле-
мента и реакции от внешних нагрузок в основной системе мето-
да перемещений (грузовые реакции). Обозначим через T?2i и 7?п
матрицы реакций соответственно в левых и правых связях эле-
мента от перемещений правых связей в основной системе. Ана-
логично R22 и /?12 будут матрицами реакций элемента от пере-
мещений левых связей. Через 7?в обозначим матрицу жесткос-
тей (реакций) внешних упругих связей, присоединенных к узлам
каждого сечения. С помощью матриц Лв, /?п, Я21, Я12, R22 обыч-
но составляется система канонических уравнений метода пере-
мещений. Ее решение дает векторы перемещений Zk всех узло-
вых сечений.
В ряде задач удобнее освободиться от решения обширной
системы канонических уравнений и заменить его решением не-
большого количества дифференциальных уравнений. Будем
считать, что каждое из перемещений Zi достаточно плавно изме-
няется от узла к узлу и существуют непрерывные и несколько
раз дифференцируемые функции Zi(s), которые в узловых точ-
ках численно равны перемещениям z^ Чтобы определить векто-
ры Z=Z(s), состоящие из перемещений Zi(s) (f=l, 2, ..., m),
получим и решим соответствующие дифференциальные урав-
нения.
218
Выразим по формуле Тейлора перемещения Zk-i и Zk+\
через перемещения Z^ и их производные по s: Z'k; Z’k \ ..., взятые
в А-м сечении:
^-1 = V aZ'k + % - • • • + Z<">+ О ( ^+9;
1А+1 = Zk + ai'k+ К + • + V + О ( 0"+*),
где через 0(ап+1) обозначен вектор, состоящий из величин по-
рядка ап+1.
Допустим, что в основной системе связи полностью закреп-
ляют крайние узлы элемента, т. е. реакции в узлах &-го сече-
ния возникают только от перемещений k—1-го, k-ro и &+1-го
сечений и нагрузки Р. Уравнения равновесия узлов fe-ro сечения
запишутся в виде системы разностных уравнений:
*12 ^-1 + (*в + *ц + М С + (408)
где Rk,p —* вектор грузовых реакций в k-м узловом сечении.
Реакции R^p также предполагаются достаточно гладкими
функциями координаты s. Эти функции легко записать в случае
нагрузок Рь, действующих непосредственно на узлы системы:
^^(5) =—Если нагрузки приложены к упругим элемен-
там, то будем предполагать, что произведен расчет элементов в
основной системе и соответствующая функция P(s) известна.
Подставляя выражения (407) в уравнения (408), получим урав-
нения, в которые будут входить лишь функции перемещений
Z(s) и их производных по 5, взятых в том же произвольном
сечении:
AZ+ В (aZ' + -J Z "+ • + С Z’+ ZIV+- • •) = ₽, (409)
где
Л = 7?в+ + /?21 “Ь ^12 4“ ^22I & — R%1 — R12i
С = + ^12*
Для краткости векторы an/n!*Z(n)~|-O(an+1) в формуле (409)
не записаны. Аналогично опустим эти векторы и далее. Но при
этом всегда будет использоваться формула Тейлора, а не ряд
Тейлора. Необходимость в представлении вектора Z бесконеч-
ным рядом здесь не возникает.
219
Матричное уравнение (409) представляет собой специфи-
ческую форму канонических уравнений метода перемещений.
В него входят матрицы реакций дискретного элемента, имею-
щего вдоль s размер &s=a, тогда как неизвестные перемещения
Z(s) и узловые нагрузки P(s) предполагаются непрерывными
функциями s. Уравнение (409) еще не является искомым диф-
ференциальным уравнением.
В случае, когда система континуальна в направлении s и
матрицы Яц составлены для произвольного As=a, величина а
будет входить в знаменатели элементов матриц реакций. Для
перехода к дифференциальным уравнениям необходимо осво-
бодиться от этой особенности уравнений (409). Если система
дискретна в направлении $, то элементы матриц R^ составляют-
ся для конкретного As=a, а уравнения (409) приближенно
описывают деформации заданной системы. Точность решения
задачи будет тем выше, чем больше удержано членов в форму-
лах (407) и чем соответственно лучше приближенно искомое
решение в окрестности точки степенным полиномом Тейлора.
Однако возрастание порядка дифференциальных уравнений
затрудняет их решение и усложняет граничные условия. Осо-
бенности получения дифференциальных уравнений в контину-
альных и дискретных системах изложены ниже.
Для решения рассматриваемых задач необходимы, кроме
дифференциальных уравнений, формулы граничных условий.
Их можно получить из условий равновесия крайних узлов кон-
струкции. Количество граничных условий будет зависеть от
принятого порядка уравнений (409). Например, для дифферен-
циальных уравнений второго порядка на краях отрезка инте-
грирования (в граничных узлах системы) должны быть заданы
перемещения, либо нагрузки. Случай заданных перемещений
прост, поэтому рассмотрим случай заданных нагрузок. Запишем
выражения для граничных условий в нулевом (левом) сечении
конструкции при упругом закреплении узлов этого сечения.
Возьмем уравнения равновесия левых узлов
(/?во+«22)^ + ^2121 = Р0> (410)
где 7?во — матрица жесткостей (реакций) дополнительных упру-
гих связей в левом сечении, не совпадающая с /?в.
Подставив в уравнение (410) вектор Zb выраженный соглас-
но (407) через ZQt Z', ZJ, ..., преобразуем (410) к виду, удоб-
ному при использовании (409)
(*в0 + *22 + *21) Z0 + *21 (OZ0 + у 4+- • J = *0- (411>
220
Аналогично записываем граничные условия в правом и-м
сечении конструкции
+(т?и=р;
(412)
ИЛИ
/ а2 \ _>_>
«И (~aZn + -^---) + (Rh + + RBn) zn = Pn. (413)
Формулы (410) — (413) будут использоваться различно в
зависимости от континуальности или дискретности исходной
системы.
После решения краевых задач для систем дифференциальных
уравнений и вычисления перемещений Zh во всех узлах конст-
рукции вернемся к дискретной схеме
расчета и определим напряжения и
усилия внутри каждого элемента по
обычному алгоритму метода переме-
щений. Для этого необходимо при «об-
работке» элемента наряду с матрицами
реакций Rij вычислять матрицы влия-
ния усилий (напряжений) внутри эле-
мента от перемещений и Zk. По-
Рис. ПО
строение этих матриц самостоя-
тельная задача, решение которой зависит от конструкции эле-
мента системы. Аналогичная стандартная методика может быть
применена и для получения дифференциальных уравнений сов-
местности деформаций при расчете методом сил. Например,
рассматривая расчет рамы, протяженной вдоль s, имеющей пе-
риодическую (рис. 110) структуру и загруженной плавно изме-
няющейся вдоль s нагрузкой, можно использовать метод сил,
приняв за неизвестные Xk векторы внутренних сил в Л-м сече-
нии рамы. Введя допущение о плавном изменении каждого не-
известного Xi вдоль s, аналогично формулам (407) запишем
выражения для Xk-i и A\+i через:
~XknXi xk, ...
-* / а2
Xk_x=Xk-aXk+— Xk-
а2 -*гг
^_|_1= Xk + aXk+ — Xk J----------
Подставляя эти формулы в уравнения совместности дефор-
маций — канонические уравнения метода сил, получим
-* / -> а3 \
( ДЛЛ-1 + ДМ + Дй,й+1) Х + (ДО+1 — ДМ-1) [аХ' Т ~зГХ" "I ) +
+ [am+i+4w)(t? + -£*1У+--) + др = 0’ (414)
221
где
Дп-—матрица перемещений в основной системе по
направлению неизвестных i-ro сечения от неиз-
вестных /-го сечения;
X=X(s)—вектор-функция неизвестных метода сил;
Ap = Ap(s)—вектор-функция перемещений в основной систе-
ме от нагрузки Р.
Граничные условия для уравнений (414) найдем, как и выше,
из уравнений совместности деформаций в крайних сечениях.
Дифференциальные уравнения второго порядка, являющиеся,
аналогично (414), уравнениями метода сил, используются, на-
пример, в [21], [35], [73], где они получаются другими способа-
ми. В предлагаемой работе применяется метод перемещений и
используются уравнения (409), а также аналогичные уравнения
для двухмерных и трехмерных задач.
Рассмотрим свойства симметрии матриц уравнения (409).
Докажем, что коэффициенты уравнения (409) являются симмет-
ричными и антисимметричными матрицами. Введем полную мат-
рицу реакций элемента R (см. рис. 109, в, г):
— Г ^121
L#21 #22 1
По теореме о взаимности реакций матрица R симметрична,
т. е. симметричны #ц и #22, а матрицы #2i и #i2 взаимно транс-
понированы
(415)
#21 “ #12-
Из равенства (416) следует, что матрица C=#2i+#i2 сим-
метрична, а матрица B=#2i— R\2—антисимметрична. Симмет-
рична и матрица реакций внешних упругих связей R3, поэтому
А=#B+#i1 +#21 +#12+#22—также симметричная матрица. Та-
ким образом, в уравнениях (409), описывающих деформации сис-
тем постоянной жесткости, коэффициенты, которые стоят пе-
ред Z и четными производными Z"; ZIV;..., являются симметрич-
ными матрицами. Коэффициенты перед нечетными производны-
ми Zz; Zz//; ... — антисимметричные матрицы. Диагональные эле-
менты матрицы #2i— #12 равны нулю, поэтому в каждое i-е урав-
нение системы (409) входят лишь четные производные от неиз-
вестного Z2.
Эти свойства матриц вытекают из тога, что система следует
закону Гука и матрицы #2i и #j2 одинаковы для всех элементов.
Поэтому такие же свойства имеет и система, где элементы рас-
положены на пространственной кривой с постоянной кривизной
и кручением, лишь бы существовало собственное движение [20],
переводящее k-й элемент в А+1-й, постоянное вдоль системы.
Среди систем постоянной жесткости с элементами, лежащи-
(416)
222
ми на плоской кривой р=const, часто встречаются системы с
зеркально симметричными элементами. В этом случае уравне-
ния (409) несколько упрощаются. Допустим, что у каждого эле-
мента системы (рис. Г11,л) имеется плоскость симметрии 0—0
(см. рис. 111, б). Тогда система из двух элементов, выделенных
на рис. 111, а, также имеет плоскость симметрии 0'—О',
Разобьем неизвестные Z на две группы, два вектора: вектор
ZG — неизвестных, симметричных
и вектор Zac — антисиммет-
ричных неизвестных. Напри-
мер, для плоской системы при
р = оо (рис. 111, в) вектор Zc
состоит из вертикальных пере-
мещений Wj, w2l ..., wr, вектор
Zac — из горизонтальных пере-
мещений Hi, и2, ..., Ill и углов
поворота 01, 02, 0z. Таким
образом:
относительно этой плоскости,
Рис. 111
Представим соответственно и
матрицы реакций в блочной
форме. Обозначим в данном случае через R и R матрицы реак-
ций соответственно в правых и левых связях симметричного
элемента (см. рис. 111,6) от перемещений правых связей, т. е.
/?=/?2ь
Запишем эти матрицы в блочной форме:
*с,с ^с,ас
_^ас,с ^ас.ас
^с,с ^с,ас
/^ас,с ^ас.ас
(418)
Из условий симметрии системы двух элементов (см.
рис. 111, а) матрицы реакций от перемещений левых связей за-
пишутся через матрицы (418) так:
/?22 — QR —
^с,с ^с,ас
^ас,с ^ас,ас
. (419)
В этих формулах и далее знак минус в кружочке означает,
что умножаются на •—1 лишь некоторые элементы матрицы 7? или
/?. Из (416) следует, что
Я12 = ЯТ.
(420)
223
Сравнивая выражения (419) и (420), получаем
R'~=QR, (421)
т. е. транспонирование внедиагональной матрицы реакций изме-
няет лишь знаки некоторых ее элементов. Значит, матрицасим-
метрична в смысле модулей ее элементов; отличаются лишь зна-
ки некоторых ее элементов, расположенных симметрично, отно-
сительно главной диагонали. Матрица R может быть представ-
лена в виде:
где первое слагаемое является симметричной матрицей, второе —
антисимметричной.
Это утверждение можно назвать теоремой о неполной сим-
метрии внедиагональной матрицы реакций симметричного эле-
мента. В дальнейшем изложении будем использовать равенство
(421) и аналогичные соотношения в двухмерных и трехмерных
задачах для анализа структуры уравнений (409), а также для
контроля составления программ обработки элемента и контроля
работы ЭВМ.
Вернемся к составлению дифференциальных уравнений по
формуле (409). Допустим, что внешние упругие связи в каждом
k-м сечении симметричны. Матрица реакции будет квазидиа-
гональной:
Матрицы /?п+/?22 и Т?21+^12, входящие в (409), согласно
(416) и (421), также будут квазидиагональными:
R11 + ^22 —
адс,с
о
о
ас, ас
(423)
0
2-^ас,ас
С — Ri2 + ^21 —
Аналогично упрощается матрица В:
В — Я 21 — Я12 —
0 2^с,ас
2^ас,с 0
(424)
Вектор нагрузок Р (s) также разобьем на два вектора:
<425)
224
Подставляя (417), (422) — (425) в (409), получим две груп-
пы уравнений, или два матричных уравнения:
-* — / а2 а4 -“тт? \
к,с + 2 (/?С1С + /?с>с)] Zc + 2/?CtC (— Zc + — ZC1V+...) +
+ 2^c,ac + V *ac+ ’ • •) = Рё <426>
1^в,ас "b 2 (^ac.ac 4“ ^ac»ac)] 2^ac,ac ^ac4~ “JT ^ac 4 ' j +
+ 2*ac,c К + — Zc +•.. = Pac. (427)
\ O! /
Как видно, уравнение (426), составленное для вектора Zc,
содержит только четные производные этого вектора, которые вхо-
дят с множителем, являющимся симметричной матрицей. В (426)
также входят только нечетные производные вектора Zac; мно-
жителем перед ними будет прямоугольная матрица 2/?с,ас. Ана-
логичная структура у уравнения (427), причем, как показано
выше, между матрицами /?с,ас и /?ас,с имеется связь
*c,aC=-*L,c. (428>
В частном случае, когда неизвестные только симметричны
(антисимметричны) уравнения будут содержать только четные
производные
~ -* ~ / а2, -* a4
[Яв + 2 (/?+/?)] z + 2R Z" + — Z1V+-- -} = р. (429)
3. ОСОБЕННОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ
МЕТОДИКИ ДЛЯ КОНТИНУАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ
Если система континуальна в направлении s, то диффе-
ренциальные уравнения равновесия в перемещениях получают-
ся из уравнений (409) предельным переходом при п->0. Ослож-
нения могут быть в тех задачах, где некоторые жесткости си-
стемы считаются равными бесконечности. Тогда в знаменатели
элементов матриц реакций может входить а в высокой степени,
и предельный переход дает на первом этапе вывода лишь фор-
мулу линейной связи между искомыми перемещениями и их про-
изводными. Удерживая в формуле Тейлора большее количество
членов и учитывая найденные формулы связи, получим искомые
уравнения.
Для иллюстрации сказанного приведем пример такой задачи.
Получим дифференциальное уравнение изгиба балки постоян-
ной жесткости EI под нагрузкой q = q (s) исходя из основной
15—274
225
системы метода перемещений (рис. 112). Вектор Z состоит из
перемещения w (симметричного неизвестного) и угла поворота
(антисимметричного неизвестного). Обозначим через R и R
матрицы реакций стержня, вычисленные с учетом сдвигов по-
перечных сечений:
12а£7 6а EI
а3 а2
—6аЕ1 (За—1)£/
а2 а
(430)
“ 12а£7 -6аЕ1
а3 аа
—6а£/ (За + 1) Е1
а2 а
Рис. 112
где
1
а= 1 + \2Е1/Са2
где С — жесткость при сдвиге.
Для стержня сплошного сечения
C — GF}kt
В случае С==оо; а = 1 для w имеем, согласно (426), при от-
сутствии внешних упругих связей (RB=0) уравнение
2
\2Е1
а3
12EI \
а3 /
\2El (a2 , a4 lV .
RF7 /а3 \
+2 —— I4----------------------- aq + О (а2).
ал \ 6 /
(432)
Умножая (432) на а, получим при а->0: Аналогич-
но из (427) найдем -ф = о/. Подставляя это равенство в урав-
нение (432), делим последнее на а и в пределе при а-^0 имеем
EIwlx=q. Более просто — одним предельным переходом полу-
чаются уравнения в случае, когда учитываются и деформации
сдвига. Подставляя значения а в матрицы (430), запишем их
элементы в виде разложений по степеням малого размера а:
/? = 1 1 «|q ° 1° 1— с а2 Ч а2-| \ —С f С | . I | — а2 1 , , . ) 2 \ 12£7 \ EI / С в \ / а \ 4EI / ; (433)
^1- 12EI ‘ С
12EI
"—С 11 С а2 + • • _ п2 1 с / с в 1 „2 1 . . .
R = а —С । 1 12EI С 1 _ U —Н • • • 2 \ 12£/ —Elf С , [ 1 — а2 4- . * • а \ 4Е/ . (434)
2 \2Е1 а + •
226
Загрузив дополнительно балку (см. рис. 112) распределен-
ным моментом интенсивностью m(s), запишем уравнение (409)
при /?в=0. Подставив в уравнение (409) матрицы (433) и (434),
найдем при а->0 систему двух дифференциальных уравнений
для w(s) и ф($):
Cw" — Ci|>' — — q‘,
Elty" — Ci|) + Cw' =— m.
(435)
Формулы (411) и (413) дают при /?в,о=^?в,п=О обычные
выражения:
С (wr—4') —— Q; Elty’—M.
в [47] таким же способом получены обыкновенные диффе-
ренциальные уравнения для амплитудных функций перемеще-
ний цилиндрической ортотропной оболочки с учетом сдвигов при
изгибе, необходимые для решений в одинарных тригонометри-
ческих рядах. За основную систему взята складка, состоящая
из узких полосок. Матрицы амплитудных реакций узких поло-
сок с учетом их растяжения (сжатия) даны для более общего
случая гармонических колебаний в [46].
4. РАСЧЕТ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ
ПОСТОЯННОЙ ЖЕСТКОСТИ.
РАЗДЕЛЕНИЕ НЕИЗВЕСТНЫХ НА ОСНОВНЫЕ
И МЕСТНЫЕ (ЗАВИСИМЫЕ)
Дифференциальные уравнения равновесия в перемеще-
ниях сплошного упругого тела (уравнения Ламе), а также ана-
логичные уравнения для стержней и оболочек с учетом сдвигов
при изгибе [см., например, (435)] являются уравнениями вто-
рого порядка. Во многих задачах расчета дискретных систем
постоянной жесткости для получения дифференциальных урав-
нений достаточно удержать в выражениях (409) слагаемые, со-
держащие производные не выше второго порядка. Тогда диффе-
ренциальное уравнение для вектора Z будет следующим:
а2
AZ + aBZ' + — CZ" = Р. (436)
Соответственно в качестве граничных условий в этом случае
используются перемещения, заданные в крайних сечениях, либо
формулы:
AoZo + aBoZ'=?o-, |
- - - ( (437)
A Z — аВ Z' = Р ,
п п п п п' )
получающиеся из (411) и (413) отбрасыванием производных
второго и более высокого порядка.
15*
227
Однако уравнение (436) нельзя использовать во всех зада-
чах без соответствующих преобразований, которые уменьшают
порядок системы уравнений и упрощают решение. Чтобы пояс-
нить сказанное, рассмотрим задачу определения углов поворо-
та фг опорных сечений неразрезной балки от внешних момен-
тов Mi, приложенных над опорами (рис. 113, а), или от смеще-
ния опор Wi (рис. 113,6). Балка моделирует один стержень из
более сложной системы, узлы которой могут поворачиваться и
перемещаться поступательно. Каждая опора имеет дополни-
тельное упругое закрепление на поворот, жесткость которого
равна гв. Уравнение (436) для г($)=ф(£) будет
(12Е1/а + rB) z + 2EIaz" = M(s). (438)
113) не может иметь перемещений
Здесь коэффициенты
при z и г" имеют одина-
ковый знак — оба поло-
жительны, поэтому общее
решение уравнения (438)
будет содержать гармони-
ческие незатухающие ре-
шения вида Ci sin k х+с2Х
Xcos k x, которые не соот-
ветствуют физическому
содержанию задачи. На-
пример, при Af(s)=O и
заданных поворотах край-
них сечений система (рис.
такого вида. Для решения
этих и аналогичных задач с помощью дифференциальных урав-
нений нужно удерживать в уравнении (409) производные более
высокого — четвертого порядка, что усложнит граничные усло-
вия. Потребуется дополнительное использование уравнения рав-
новесия узлов, смежных с крайними. Но затруднения эти кажу-
щиеся. Фактически, быстрое затухание в системе (см. рис.
113, а) местных возмущений облегчает решение задачи.
Допустим, что внешние моменты Л4(5) изменяются по ли-
нейному закону, или функция перемещений ^(s) (см. рис.
113,6)—по закону квадратной параболы. Тогда функцию z=
= z(s) можно также считать линейной. Функция
2(s)=_^l_
' 12E/M + rB
(439)
является частным решением уравнения (438), так как в этом
случае z"=0. Аналогично при произвольных, плавно изменяю-
щихся от узла к узлу М (s), или ay(s), решение принимается в
виде (439). Заметное расхождение с точным решением может
быть лишь на границах системы (краевой эффект), где его мож-
но легко поправить.
228
Данная методика позволяет контролировать точность реше-
ния так, как это обычно делается при расчете дискретных си-
стем методом перемещений. Уравнения (409) составляются с
помощью тех же матриц, которые входят в канонические урав-
нения (408). Подставляя в (408) перемещения найденные
решением дифференциальных уравнений, получим узловую на-
грузку, вызывающую эти пере-
мещения. Сравнивая ее с за-
данной нагрузкой Р, судим о
точности расчета.
Неизвестные перемещения
Zi типа углов поворота узлов
epi являются местными неизве-
стными. Они определяются при
плавном изменении нагрузок,
в основном величиной сил, при-
ложенных непосредственно по рис
направлению гг-, или производ-
ной о/($) от поступательных
перемещений узлов системы.
Местными неизвестными будут также поперечные обжатия про-
тяженной системы и т. п. Такие неизвестные необходимо исклю-
чить из системы (436), воспользовавшись для их вычисления
формулами типа (439), которые получим ниже.
Для поступательных перемещений zh наоборот, дифферен-
циальные уравнения второго порядка дают при плавном изме-
нении нагрузок практически точные решения даже при неболь-
шом количестве (6—8) участков. В этом случае соответствую-
щие диагональные элементы матриц /?ц и /?21 равны (или близки)
по модулю и обратны по знаку. В уравнении (436) соот-
ветствующие диагональные элементы матрицы Л равны нулю,
или малы по сравнению с диагональными элементами матрицы
С. Например, для системы, показанной на рис. 114, а, с одним
неизвестным перемещением Zi(s)=u(s) реакции Гц и Гц равны
и обратны по знаку (см. рис. 114,6). Уравнение (436) имеет вид
а2 ~ »
— 2rnz1 -P(s). (440)
При постоянной нагрузке P(s)=const и произвольных по-
ступательных перемещениях Uo=zo; un=zn решение краевой
задачи для уравнения (440) является точным решением для
дискретной системы. При переменной нагрузке Р=Р($) реше-
ние краевой задачи даст при 6—8 элементах достаточную точ-
ность даже для быстро изменяющейся нагрузки. Например, для
PK=k2 и п=6 погрешностью 1 %.
Вернемся к уравнениям (436). Выделим из вектора Z век-
229
тор местных (зависимых) неизвестных Z3. Основные перемеще-
ния, определяющие деформированное состояние системы, назо-
вем свободными перемещениями. Вектор этих неизвестных обо-
значим через Zcb. Как говорилось, в каждой конкретной задаче
такие неизвестные можно указать по физическому смыслу зада-
чи. В случаях сложных систем для разделения неизвестных ис-
пользуются собственные векторы марицы А, входящей в урав-
нениях (409) и (436):
А — #В + Яц + #21 4“ #12 + #22-
(441)
По смыслу выражения (441), элементы этой матрицы являются
реакциями в &-м узле от одинаковых перемещений k—1-го, &-го
и 64-1-го узлов. При #в = 0 поступательным перемещениям соот-
ветствуют нулевые реакции, т. е. эти перемещения — собствен-
ные векторы матрицы А с нулевыми собственными числами.
Остальным собственным векторам соответствуют ненулевые
собственные числа. В случае сложной системы все эти векторы
можно принять за искомые обобщенные перемещения и соот-
ветственно преобразовать уравнения (436).
Перенумеруем временно все известные так, чтобы вектор Z
записался в блочной форме:
X’
Lz3 J
(442)
Матрицы, входящие в уравнение
блочной форме:
(436), также запишем в
^11 ^12
^21 ^22
511512
_^21 &22
С11 С12
^21^22 „
, (443)
где и Р2 — векторы нагрузок, действующих соответственно
по направлению свободных и зависимых неизвестных.
Поскольку матрицы А и С симметричны, а матрица В анти-
симметрична, то выполняются равенства:
<444>
Запишем нижнюю строчку уравнения (443) в следующем
виде:
а2 , a2
Z3 + аВп z3 + у с22 2з = - Лг12СВ - 2СВ - — Cn ZCB+ Р2. (445)
Правую часть этого равенства будем рассматривать пока
как некоторую заданную нагрузку — плавно изменяющуюся
функцию s. При симметричных зависимых неизвестных Z3, или
230
при антисимметричных Z3 матрица В22 будет нулевой. Если сре-
ди Z3 есть симметричные и антисимметричные, то В22 имеет ну-
левые диагональные квазиэлементы. Остается лишь влияние
симметричных Z3 на антисимметричные Z3, или обратное влия-
ние, малое по сравнению с X22Z3.
Пренебрегая в левой части равенства (445) вторым и треть-
им слагаемыми, получим для Z3:
__ А22 А21 Zqb aZ?21 ZCB % С21 ZCBj . (446)
Уточнение этой формулы с учетом слагаемых, содержащих В22,
С22, приводит к более громоздким выражениям.
Подставляя выражение (446) в первую строчку равенства
(443) и пренебрегая, как и в исходном равенстве (443), произ-
водными выше второго порядка, получаем для вектора основ-
ных, свободных перемещений ZCB дифференциальное уравнение
второго порядка:
-* а2 -%
^св ZCB + а&св ^св + ^св ^СВ “ Лзв’
(447)
где
Лсв = Л11 ~А1гА22 Ли (448)
В св ~ &11 &12 А22 ^21 "412 "422 ^21 ’ (449)
^св = ^11 ^12 "422 ^21 "412 -422 ^21 2^12 А22 В21; (4 50)
^св " Ла "4221 ~ а^12 А22 ^2 “ ^12 "422* ^2- (451)
Матрицы Лов, ВСв, Сев имеют те же свойства симметрии, что
и матрицы исходного уравнения (409). Докажем, например, что
Всп антисимметрична, т. е. равенство
Всв=-«в-
(452)
Действительно:
- (*12 А22 4г)Т - ( Л12 А22 *21 )Т =
= ^Т,—^21 (д22 )Т в{2 ~ fi21 (^22'jT^12>
откуда, согласно равенствам (444), имеем
^св ~ ^11 "Ь -413 А22 B2i + В12 А22 Л21 = ^св-
Аналогично доказывается симметрия матриц Лсв и Ссв.
231
Таким образом, уравнение (447) описывает деформации не-
которой преобразованной системы, близкой к заданной. Как
видно из формул (448) — (450), при вычислении жесткостей
этой системы —элементов матриц Лсв, Всв, Ссв —как бы от-
брасываются некоторые обобщенные связи. Нагрузкой на рас-
считываемую систему являются некоторые новые обобщенные
силы Рсв($) (451). Поскольку заданная нагрузка — медленно
меняющаяся функция, то последни-
ми слагаемыми в формуле (451) мо-
жно во многих задачах пренебречь.
Для вычисления на ЭВМ пере-
мещений Zi с помощью уравнений
(447) необходимо предварительно
У х разрешить эти уравнения относи-
w тельно старших производных:
*** / 2
Рис. 115 ZCB =-с« (у Всв 2св +
св
(453)
откуда очевидно, что матрица Ссв должна быть невырожденной.
Если формула (450) дает матрицу, определитель которой равен
нулю, необходимо переходить к решению уравнений четвертого
порядка. Физический смысл вырождения матрицы Ссв состоит
в том, что отбрасывание некоторых связей исходной системы
может привести к геометрически изменяемым расчетным схе-
мам.
Действительно, если матрица C=/?2i+^i2, входящая в ис-
ходное уравнение (409), имеет определитель, равный нулю, то
существует ненулевой вектор Z, удовлетворяющий уравнению
(Т?12 + #21) 2=0.
Это означает, что одинаковые перемещения Z k—1-го и #+1-го
сечений при закрепленных й-ых узлах не вызывают реакций в
узлах среднего #-го сечения. Подобная ситуация может склады-
ваться в задачах, когда система геометрически изменяемая, ли-
бо конструкция элемента такова, что он не передает некоторые
местные воздействия (например, такой будет система, показан-
ная на рис. 115, при EI\llEIlx=ty. При вычислении жесткостей
преобразованной системы, деформации которой описываются
уравнением (447), некоторые связи по направлению местных
(зависимых) перемещений отбрасываются и обращение в нуль
определителя матрицы Ссв указывает на изменяемость преоб-
разованной системы. Вычисляя матрицу (450) в ЭВМ, следует
232
при отладке программы выдавать обратную матрицу С”1 на пе-
чать и исследовать ее симметрию. Нарушение симметрии этой
матрицы свидетельствует о близости Ссв к вырожденной, т. е.
о близости преобразованной системы к изменяемой. Пример та-
кой системы дан ниже.
При упругом закреплении крайних узлов системы необходи-
мы формулы граничных условий, в которые, как и в уравнение
(447), входили бы только свободные неизвестные ZCB. Найдем
их из формул (437), аналогично тому, как получены уравнения
(447). Запишем (437) в виде:
^11,Z ^12/
_^21,/ ^22,/
где индекс «/» может принимать два значения: 1=0, 1=п соот-
ветственно для левого и правого концов системы. Знак минус,
как и в дальнейшем второй нижний знак, соответствует /=л.
Из (446) с точностью до первой производной имеем
% св, I
±а
Z3,l
S11,Z ^12,Z
.^21,/ &22Л,
%св, I
(454)
Z3,l
?2,1
Р
^3,/ —— ^22 ^21 ^cb.Z — а^22 ^21 ^cb,Z + ^22 ?2,1. (^55)
Подставляя (455) в (454), получаем
^св,/^cb,Z + а^св,/^св,/= ^св,/’ (456)
где
^св,/ “ ^11 J — А12,1^22 ^21*
^св,/ & 11,1 ~^12,1^22Г &21 S12,l ^22,1 ^21* ^8)
^св,/"^!,/ — ^12Д^22 Р2,1 ~ а&12,1 ^22 ?2,1 • (459)
Для каждой конкретной задачи по формулам (446) — (451),
(457) — (459) можно сформировать в ЭВМ матрицы системы
(447) и граничных условий (456). Для этого необходимо в ра-
бочей программе решения задачи вычислить матрицы жестко-
стей элемента и воспользоваться далее стандартными програм-
мами выполнения матричных операций.
Решая краевую задачу для системы (447) при граничных усло-
виях (456) или заданных перемещениях ZCBt0 и ZCB,n, получим
неизвестные ZCB(s) и производные Z/CB(s); Z/zCb(s). По форму-
ле (446) находим зависимые неизвестные Z3(s). Проверяя по
формулам (408), (410), (412) равновесие узлов, судим о точно-
сти вычисления неизвестных перемещений. Если по направле-
нию Z3 в крайних узлах возникают достаточно большие неурав-
16—274
233
повешенные силы, или вектор Z3,z не удовлетворяет кинематиче-
ским граничным условия, то для Z3 определяем дополнительное
решение, учитывающее краевой эффект. Находим, например, ре-
шение однородного уравнения четвертого порядка, соответству-
ющего уравнению (445):
-* / а3 -> \ / а2 -* a4 -^TV\
A22Z+B22[aZ' + — Z'" )-|-С22 — Z" +— ZIV) =0. (460)
\ О / \ At у
Слагаемые, содержащие ZCB, ZZCB, ... и входящие в правую
часть равенства (445), по-прежнему считаем заданными нагруз-
ками. Во многих задачах система
(460) распадается на независимые
уравнения, не содержащие нечетных
производных. Для этих уравнений
можно написать простое решение.
Решение краевой задачи для
уравнения (460) соответствует рас-
чету на краевое воздействие систе-
мы, в которой связи по направле-
нию свободных неизвестных Z св за-
креплены. В некоторых задачах
этот расчет удобнее производить ре-
шением дискретной полубесконеч-
ной системы, составленной для Z3.
Вычисление дополнительных реше-
ний бывает необходимо в редких,
самых неблагоприятных случаях. В
большинстве задач можно пренеб-
регать краевыми эффектами, как это
делается, например, в теории соста-
вных стержней [73]. Кроме того,
при применении предлагаемой ме-
тодики имеется возможность «смяг-
Рис* 116 чения» граничных условий перено-
сом границ отрезка интегрирования
и включением жесткостей крайних элементов в упругие опоры.
После вычисления перемещений всех узлов определяем на-
пряженное состояние внутри каждого элемента. Это делается
обычным способом, как при расчете методом перемещений в
дискретной форме.
Пример. Получим дифференциальные уравнения равновесия
системы, состоящей из двоякосимметричных элементов, соеди-
ненных в каждом k-м сечении двумя жесткими узлами (см.
рис. 116,а). В этой задаче имеем шесть неизвестных функций
Zi(s), за которые примем обобщенные симметричные и антисим-
метричные линейные перемещения и углы поворота (см. рис.
116,6).
234
Рассмотрим антисимметричную деформацию, характеризую-
щуюся вектором
?1 (s) "
?2 («)
23 (S)
&У (s)
ip(s)
9 (s)
Соответствующие нагрузки даются вектором
рис. 116, е):
(*Г
Р (s) = М .
m0 (s)
Р(5)
(см.
Для неизвестного w=Z\ уравнение второго порядка получа-
ется, согласно (426), в виде
cPr^w” + 2а712гр' + 2а г^39' = Pt (s). (461)
В этом уравнении нет слагаемого, содержащего нулевую
производную w, поскольку отсутствуют внешние упругие связи
и равна нулю суммарная реакция гп+гц (см. рис. 116, г).
Согласно (427), уравнения второго порядка для ф и 0 за-
пишутся:
<22 а2гр" 4- r23 а20" + 2?21 w' + 2 (г22 + г22) гр 2 (г2з + <2з) 9 = Л4; (462)
^2°V+^3a20"+2cn^' +2(г32 + Г32)1|3 + 2(гза + Г33)е = /и9 . (463)
В большинстве случаев реакции г22 и г22 имеют обратные
знаки и величина 2^22+^22) не превосходит г22. Коэффициент
же 2(г3з+г33) в уравнении (463), как правило, значительно пре-
восходит Гзз- Углы поворота 0 будут в этих задачах местными,
зависимыми перемещениями, для которых’, согласно (446), по-
лучим формулу
<33 + <33
(<з2 + <зг) + <31 aw' 4-------------гр" — —
(464)
Подставляя (464) в уравнения (461) и (462) и поделив по-
лученные равенства на —а, для w и ф будем иметь систему
двух уравнений [пример, равенства (447)]:
c^w" — с247 = —7^;
W' __ сз гр 4- С^' = — ,
(465)
16:
235
где
^г13 Г31
гзз 4“ гзз
Г13 (/~32 + Г32)
/*33 + л33
(г23 ~4~ г2з) (г32 ~Ь Г32)
033 + ЛчЗ
С4 = —2
(г23 + <2з) /*31
/33 +/*33
2^23 (/*32 +732)
Г33 + /*33
(466)
(467)
(468)
(469)
(470)
(471)
(472)
Согласно равенству (452), С2=С4. Это следует и непосред-
ственно из формул (467) и (469) и свойств симметрии матриц
R и /?. Нетрудно доказать, что при расчете по недеформиро-
ванной схеме выполняются также равенства
Cj — С2 — Сз —
(473)
а величина, заключенная в скобку в формуле (466), является
реакцией гш для элемента с шарнирным опиранием (см. рис.
116,3). Выражения (466) — (469) представляют собой формулы
раскрытия кинематической неопределимости элемента методом
перемещений. При доказательстве необходимо использовать
также условия равновесия элемента.
Сравнивая уравнения (465) с уравнениями (435) и учитывая
равенства (473), видим, что w и ф, найденные из (465), явля-
ются перемещениями и углами поворота некоторого изогнутого
стержня, вычисленными с учетом сдвигов поперечных сечений.
Жесткость на сдвиг С этого стержня определяется по формуле
(466) или любому из выражений (467) — (469). Тот факт, что
жесткость С должна получаться из расчета шарнирно опертого
элемента — следствие принятого предположения о плавности
деформации системы, когда сдвиги двух смежных элементов в
236
первом приближении антисимметричны относительно узлового
сечения. Условная жесткость стержня при изгибе вычисляется
по формуле (470), где выражение, стоящее в скобках, представ-
ляет собой момент, передающийся через элемент при единичном
повороте правого сечения, с учетом частичного освобождения
связей по направлению 0.
Расчет системы с использованием уравнений (465) возможен
только при С#=0. Если С=0 (случай вырожденной матрицы
Ссв), то реакция гш обращается в нуль. Сила, действующая по
направлению to=l, также равна нулю =—гш=0; т. е. систе-
ма с шарнирными связями геометрически изменяема. Например,
если изгибная жесткость планок составного стержня (см.
рис. 108,6) равна нулю, то конструкция с введенными шарни-
рами (см. рис. 116, е) представляет собой геометрически изме-
няемую систему, для которой формулы (466) — (469) дают С=
= 0. Точность расчета с применением уравнений (465) может
быть недостаточной, если система с введенными шарнирами
близка к изменяемой. Например, если в системе (см. рис. 108,6)
изгибная жесткость планок £7ПЛ мала (Е1пл<^Е1), то система,
показанная на рис. 116, ж, близка к изменяемой. Очевидно, что
при расчете таких слабосвязанных систем нужно применять
уравнения четвертого порядка, или применять другие методы
расчета составных стержней [73, 33].
В случае когда исходная система состоит из шарнирно сое-
диненных элементов, формулы (466) — (472) упрощаются.
В них остаются только первые слагаемые.
Рассмотрим еще симметричную деформацию системы, ха-
рактеризующуюся вектором, состоящим из перемещений и, v, ф
(см. рис. 116,6). Поперечное расширение v и углы ф будут ме-
стными, зависимыми неизвестными. Для них получим:
“ 1 Р2 ~ „ т \
<Р =----— \ ~2-г54 « - J » (474)
Л-,5 + Гб 5 ''
— 1 I ~ , Рз\
v =-----— I a r64z? — —j . (475)
Г66
Для перемещения и имеем дифференциальное уравнение
(476)
где
2 г46 Г64 1
Гбб Гбб /
qu =
Г4в аГ4Ъ »
------------Ро —-----------------пп ,
О Ср *
Гее + гве 2 (ги + г65)
237
5. ОБ УСТОЙЧИВОСТИ И РАСЧЕТЕ
ПО ДЕФОРМИРОВАННОЙ СХЕМЕ СОСТАВНОГО
СТЕРЖНЯ
Простые способы расчета составных стержней разрабо-
таны еще Ф. Энгессером и С. П. Тимошенко. Но эта задача до
сих пор привлекает внимание исследователей, поскольку на не-
которые вопросы расчета таких стержней существуют противо-
речивые взгляды [88, 63, 74, 14]. В работах А. Р. Ржаницына
и других авторов [14, 74] критикуются в принципе методы уче-
та сдвигов как величин, пропорциональных поперечной силе.
Необоснованность такого подхода показана на примере стерж-
ней, где ветви большой жесткости связываются слабо [14].
Последнее подтверждается и применением к таким задачам изла-
гаемой здесь методики1. Однако в случае когда, например, стер-
жень, показанный на рис. 108,6, при антисимметричной дефор-
мации имеет достаточно жесткие на изгиб планки, и формулы
(466) — (470) не дают разности близких чисел, система, пока-
занная на рис. 116, ж, не будет близкой к изменяемой.
Деформации такой системы хорошо описываются уравнения-
ми изгиба стержня (465), так как при их выводе кроме предпо-
ложения о гладкости искомых функций до($) и ф($) сделано
очевидное допущение о прямой зависимости углов 0 от ф, wf.
В конкретных задачах это допущение следует из неравенства
2(г3з + ^зз) »г33.
Применим формулы (466) — (470) для получения коэффи-
циентов дифференциальных уравнений равновесия сжато-изо-
гнутого составного стержня, состоящего из двух одинаковых
ветвей, соединенных планками, т. е. для плоской рамы (см.
рис. 108,6).
Представим систему в виде, показанном на рис. 108, в, и
рассмотрим один сжатый элемент системы — элементарную ра-
му (рис. 117, а). Обозначим через EI и EF жесткости стержней,
образующих ветви, через £7ПЛ и Спл — жесткости на изгиб и
сдвиг планки. Примем EFn^ = oo. Реакции элемента на единич-
ные смещения правых связей будем определять с учетом сжатия
ветвей стержня, используя специальные функции метода пере-
мещений [80, 81]. Например, согласно рис. 117,6, получаем:
7 — „ г ~ -и zvy г __________________6Кп?| пл
т 13 “ -г13 — 2 ^3 Г23 — <
а6 п
6апл ^пл । 8Е/
гзз = ----г-----1-----ф2 (v);
п а
— <p3(v); v = aVN/2EI,
а
гэг — 0;
пл
(477)
h
1 См. пример в п. 4.
238
где апл = 1/(1 + 12 Е1пл/СилЬ2) —коэффициент, учитывающий по-
датливость планки на сдвиг;
, , (v/2)2
Пз (v) =-----------
3 1-^
(478)
,ет
1 — v/tg v
Ч>2 (V) = —---------------
4
V
v/2
ч!г-
7
(v/sinv) — 1
<₽з (v) = —-------------- . (479)
1 z
. “7^
(V
‘«т
v/2 1
Рис. 117
Аналогично определим остальные реакции, входящие в
(466) — (470) и получаем коэффициенты уравнений (465):
„ / Зт1з (v) \
с, = 24Е1/а2 Па (V) ---------------------————’ ;
\ 2ф2 (V) 4-Ф 3 (V) н---—------— /
\ ZL.1 И /
С2 = 24£//a2-ri3 (v)/r; С3 = 24£7/a2-[2cp2 (v) + <р3 (v)]/3r;
2EI h
С\ = 24£//a2-<p4 (v)/r; r = 1 + ----—— • — (2<p2 (v) + <p3 (v));
*зО*ПЛ
D = 5/усл = EFh?l2.
Учитывая известные зависимости между специальными
функциями [81]:
Лз (v) = Пз (v) — v2/12; (v) = Пз (v),
а также зависимость
Зт]3 (v) =2ф2 (v) +ф3 (v),
которая следует непосредственно из формул (478),
лучаем:
(479), по-
Cg — С3 — — С;
24£/
С =
Пз (v)
i+^L_
апл 7УПл
Cl-C— N.
Таким образом, из (465) получаем выражения
(С — N) w" — Сф' = — 1
ТТусл'Ф" — Ci|> + Cw' = 0, J
а2
h
• — Пз (v)
а
(480)
(481)
(482)
239
представляющие собой уравнения продольно-поперечного изги-
ба некоторого условного сплошного стержня, составленные с уче-
том сдвигов поперечных сечений. Эти уравнения можно полу-
чить, например, при =0 из равенств (435), если, как обычно,
прибавить в (435) к qw условную поперечную нагрузку —Nw".
Жесткость на сдвиг С условного (приведенного) стержня
должна находиться по формуле (480). Физический смысл такого
вычисления С состоит в определении жесткости шарнирно опер-
Рис. 118
Рис. 119
той элементарной рамы, при сдвиге в горизонтальном (продоль-
ном) направлении (рис. 118, а) или (что нагляднее) при сдви-
ге в поперечном направлении, но при следящих силах N/2, стя-
гивающих узлы (см. рис. 118,6). Последняя схема лучше отра-
жает работу системы и находится в соответствии с некоторыми
точными методами расчета стержней, подвижных рам и арок
[65, 82, 84]. Эти методы основаны на замене сжимающей нагруз-
ки в деформированном состоянии двумя группами сил: толкаю-
щими силами Тк, которые вызывают перемещения узлов (см.
рис. 118, в), и следящими силами стягивающими узлы, и по-
нижающими жесткость элементов [в данном случае
=P/a(Wk~i—2wk+wM); Sk=N/2].
Согласно изложенной методике, толкающие силы —Nw"
входят в левую часть системы (482), а следящие, стягивающие
силы влияют на жесткость С. В формуле (480) это влияние учи-
тывается функцией ц3 (v). В рассматриваемых задачах для
т]з (v) можно использовать приближенную формулу
v2 а2
Чз (v) ~ 1 — — = 1 —-~ (483)
13 v 7 60 12057 v '
которая получается разложением 43 (v) в ряд [71], либо по со-
ответствующим формулам работы [11]. При v = n формула (483)
дает Чз(^) с погрешностью менее 2%. Величина v = n соответст-
вует силе Afi, при которой элементарная рама, имеющая Е1пл =
==оо, EF=<x> (рис. 119,а), теряет устойчивость, т. е. в задачах
продольно-поперечного изгиба величина v==tc является верхним
пределом возможных значений v.
240
Для решения задачи устойчивости составного стержня имеем
систему однородных уравнений:
(с-м)^-с^^о; j
£7усл. *Ф" — Сг|? + См' = О, J V
из которой, например, в случае свободно опертого стержня для
критической силы Мкр получаем
где Мэ=л2 £/Усл/Я
Жесткость С должна вычисляться с учетом стягивающих сил
Skf равных искомым Мкр/2, т. е. формула (485) представляет со-
бой трансцендентное уравнение относительно Мкр. Его проще все-
го решать с помощью двусторонних оценок. Полагая SK=0;
т]3=1, находим по формулам (480) и (485) завышенное значе-
ние Мкр; согласно выражениям (478) или (483) и (480), получа-
ем заниженное значение С и по формуле (485) имеем оценку
снизу для Мкр и т. д.; процесс очень быстро сходится. Практи-
чески достаточно двух указанных подсчетов.
Для сплошного стержня формула (485) часто записывается
в виде
1/МкР- 1/?/э+ 1/Мп (486)
где Л\=С—критическая сила для стержня, теряющего устой-
чивость только из-за сдвигов, что следует и из
(484) приф = 0; EJ — oo.
Для составного стержня, ввиду нелинейности задачи вычис-
ления Мкр по (485), физический смысл величины Mi не совсем
такой, что не всегда учитывается в исследованиях. Величина Mi
является здесь также критической силой для системы, имею-
щей £7усл = оо. Но в этой системе толкающие силы Th зависят
от искомого Mi, а стягивающие силы SK, которые влияют на жест-
кость при сдвиге, остаются, как и в исходной задаче, равными
Мкр/2.
Если потеря устойчивости происходит в основном вследствие
сдвигов и первое слагаемое в формуле (486) мало, то Мкр=М1, и
можно, как и в случае сплошного стержня, считать C=Mi кри-
тической силой, найденной при Е/усл™00- Тогда, положив SK=
= Mi/2, можно находить Mj как критическую нагрузку для эле-
ментарной рамы (см. рис. 119,6). Поскольку М1>Мкр, то зна-
чение С будет вычислено заниженным, что идет в запас устойчи-
вости. В общем случае, когда величины Мэ и С одного порядка,
надежнее (и не сложнее) пользоваться двусторонней оценкой.
По предложению С. П. Тимошенко, поддержанному П. Ф. Пап-
ковичем, влияние сжимающих сил на жесткость С часто при-
ближенно учитывается введением множителей типа 1/(1—Р/Ркр).
241
В [14] критикуется этот подход и на примере стержня, у кото-
рого £7усл = о°; EJaji = oo, показывается, что он может привести
к ошибке в 2 раза. Такая ошибка следует не из принятой схемы
пропорциональности сдвигов поперечной силе и не от учета вли-
яния сжимающих сил на жесткость С, а возникает из-за прибли-
женности используемой формулы с множителем 1/(1—Р/Ркр),
которую нельзя применять при Р = Ркр и Р, близком к РКр- Как
отмечалось выше, определение значения С вычислением крити^
ческой нагрузки для элементарной рамы, показанной на рис.
119,6 (что считается, например, в [14] допустимым), уже пред-
ставляет собой учет влияния сжимающих сил на величину сдви-
говой жесткости, причем сделанный с запасом.
Аналогично с использованием специальных функций метода
перемещений [80, 81] можно получать дифференциальные
уравнения свободных и вынужденных колебаний составных стер-
жней. В них будет учтено влияние инерции поворотов жестких
узлов на частоты и внутренние силы.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Александров А. Я-, Брюккер Л. Э., Куршин Л. М., Прусаков А. П.
Расчет трехслойных панелей. М., Оборонгиз, 1960.
2. Александров А. Я. и др. Расчеты элементов авиационных конструкций.
М., Машиностроение, 1965.
3. Александров А. Я. Некоторые задачи расчета трехслойных панелей с
заполнителями типа плотноупакованных конических оболочек и сот. Материа-
лы к VII Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластинок. М., «На-
ука», 1969.
4. Александров А. В. К расчету неразрезных балок-стенок и складчатых
систем. Строительная механика. Труды МИИТ, вып. 274, 1968.
5. Александров А. В., Нольде Г. А. К расчету непрямоугольных в плане
складчатых систем методом перемещений. — В кн.: • Строительная механика.
Труды МИИТ, вып. 371, 1971.
6. Александров А. В. Численное решение линейных дифференциальных
уравнений при помощи матрицы дифференцирования.— В кн.: Строительная
механика. Труды МИИТ, вып. 131. М., Трансжелдориздат, 1961.
7. Александров А. В., Шапошников Н. Н. Об использовании дискретной
модели при расчете пластинок с применением цифровых автоматических ма-
шин. Труды МИИТ, вып. 194. М., «Транспорт», 1966.
8. Андреев О. О. Построение матрицы реакций для прямоугольного
стержня. — В кн.: Численные методы и алгоритмы. Труды ЦНИИСК, вып. 46.
М., Стройиздат, 1975.
9. Бартенев В. С. Практический способ расчета пологих железобетонных
оболочек положительной гауссовой кривизны на прямоугольном плане. —•
В кн.: Тонкостенные железобетонные пространственные конструкции НИИЖВ
М., Стройиздат, 1970.
10. Безухов Н. И., Лужин О. В. Приложение методов теории упругости
и пластичности к решению инженерных задач. М., «Высшая школа», 1974.
11. Болотин В. В. Динамическая устойчивость упругих систем. М., ГИТЛ
1956.
12. Болотин В. В., Гольденблат И. И., Смирнов А. Ф. Строительная ме-
ханика. Современное состояние и перспективы развития, М., Стройиздат, 1972.
242
13. Борн М., Хуан Куны Динамическая теория кристаллических решеток.
М., ИЛ, 1958.
14. Броуде Б. М. Об устойчивости составных стержней с планками. «Стро-
ительная механика и расчет сооружений», 1966, № 6.
15. Бурман 3. И., Лукашенко В. И., Тимофеев М. Т. Расчет тонкостенных
подкрепленных оболочек методом конечных элементов с применением ЭЦВМ.
Изд. Казанского университета, 1973.
16. Вайнберг Д. В., Городецкий А. С., Киричевский В. В., Сахаров А. С.
Метод конечного элемента в механике деформируемых тел. Прикладная ме-
ника, отделение математики, механики и кибернетики. АН УССР т. VIII,
вып. 8, 1972.
17. Ван-Дзи-Де. Теория упругости. М, Физматгиз, 1959.
18. Варвак П. М. Развитие и приложение метода сеток к расчету пласти-
нок, ч. 1 и 2. Киев, Изд-во АН УССР, 1949, 1959.
19. Варвак П. М., Дублинский А. М. Исследование прямоугольных плит
при смешанных граничных условиях. — В кн.: Теория пластин и оболочек.
Киев, Изд-во АН УССР, 1962.
20. Вейль Г. Симметрия. М, «Наука», 1968.
21. Винокуров Л. П. Прямые методы решения пространственных задач
для массивов и фундаментов. Харьков, Изд-во ХГУ, 1956.
22. Винокуров Л. П. Решение сложных статически неопределимых задач
для стержневых систем с помощью дифференциальных уравнений. — В кн.:
Исследования по теории сооружений. Госстройиздат, 1959.
23. Власов В. 3., Леонтьев Н. Н. Балки, плиты и оболочки на упругом
основании. М, Физматгиз, 1960.
24. Власов В. 3. Общая теория оболочек и ее приложения в технике.
М.—Л., Гостехиздат, 1949.
25. Волоцкии М. Я- Колебания ортотропных складок. — «Строительная
механика и расчет сооружений», 1972, № 3.
26. Гвоздев А. А. Общий метод расчета сложных статически неопредели-
мых систем. М., МИИТ, 1927.
27. Гурари М. Д. К вопросу о проектировании покрытий из перекрестных
ферм и балок.—'«Строительная механика и расчет сооружений» 1960, № 2.
28. Джон Р. Обобщение прямого метода жесткости анализа конструк-
ций. — «Ракетная техника и космонавтика», 1964, № 5.
29, Журавская О. А. К расчету пластин со смешанными граничными ус-
ловиями. Труды Магнитогорского горно-металлургического ин-та, вып. 65,
1970.
30. Зенкевич О. Метод конечного элемента: от интуиции к общему. — «Ме-
ханика», 1970, № 6.
31. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М., «Мир»,
1975.
32. Индии М. А. Анизотропные сплошные среды, энергия в которых зави-
сит от градиентов тензора деформаций и других тензорных величин, ПММ,
т. 30, вып. 3, 1966.
33. Калинин Н. Г. К вопросу о совместном изгибе балок, соединенных уп-
ругими связями. Научно-технический сборник Рижского высшего инженерно-
авиационного училища, вып. 3. Рига, 1951.
34. Калманок А. С. К расчету стержневых решетчатых систем перекры-
тий, опирающихся на прямоугольный контур. — В кн.: Исследования по тео-
рии сооружений, вып. XlVt М., Стройиздат, 1965.
35. Калманок А. С. Практические методы расчета многоэтажных зданий
на горизонтальные нагрузки—В кн.: Вопросы расчета конструкций жилых и
общественных зданий со сборными элементами. М., Госстройиздат, 1958.
36. Киселев В. А. Расчет пластин. М., Стройиздат, 1973.
37. Климанов В. И. Применение ЭЦВМ для исследования упругой устой-
чивости и свободных колебаний пространственных систем, сочлененных из
прямоугольных пластинок. — В кн.: Применение ЭВМ в строительной меха-
нике. Труды IV Всесоюзной конференции. Киев, «Наукова думка», 1968.
243
38. Короткина М. Р. О моментных напряжениях. «Вестник Московского
университета, математика, механика», 1968, № 5 и 6.
39. Короткина М. Р. Замечания о моментных напряжениях в дискретных
средах. «Вестник Московского университета, математика, механика», 1969, № 5.
40. Котуранов В. Н. Прочность котлов железнодорожных цистерн. Авто-
реферат докторской диссертации, 1973.
41. Кунин И. А. Внутренние напряжения в анизотропной упругой среде.
ПММ, т. 28, вып. 1, 1964.
42. Кунин И. А. Модель упругой среды простой структуры с пространст-
венной дисперсией, ПММ, т. 30, вып. 3, 1966.
43. Курдюмов А. А., Локшин А. 3., Иосифов Р. А., Козляков В. В. Стро-
ительная механика корабля и теория упругости, т. 2. Л., «Судостроение»,
1968.
44. Кхана Д., Гули Р. Сравнение и оценка матриц жесткости.—'«Ракет-
ная техника и космонавтика», 1966, № 12.
45. Кхана Д. Критерий выбора матриц жесткости. — «Ракетная техника и
космонавтика», 1965, № 10.
46. Лащеников Б. Я. К расчету ортотропных систем методом перемеще-
ний. Труды МИИТ, вып. 364, 1971.
47. Лащеников Б. Я. Метод перемещений в континуальной форме. —
В кн.: Исследования по теории сооружений, вып. XVI. М., Стройиздат, 1968.
48. Лащеников Б. Я. Уравнения равновесия некоторых упругих дискрет-
ных сред. — В кн: Исследования по теории сооружений, вып. XVII. М., Строй-
издат, 1969.
49. Лащеников Б. Я. О расчете ортотропных цилиндрических конструкций
с помощью электронных вычислительных машин. — В кн.: Исследования по
теории сооружений, вып. XV. М., Стройиздат, 1967.
50. Левин М. А. Связь между дискретными стержневыми и континуаль-
ными системами строительной механики и применение ее к расчету. Авторефе-
рат диссертации. Белорусский политехнический ин-т, 1965.
51. Лейбфрид Г. Микроскопическая теория механических и тепловых
свойств кристаллов, М., Физматгиз, 1963.
52. Ломакин В. А. О теории деформирования микронеоднородных тел и ее
связи с моментной теорией упругости, ПММ, т. 30, вып. 5, 1966.
53. Лубо Л. Н. Стержневые модели сплошных упругих тел. — «Строитель-
ная механика и расчет сооружений», 1967 № 4.
54. Лужин О. В. Статический и динамический расчет балок, рам, плит и
оболочек приемом «расширения» заданной системы. — В кн.: Исследования по
теории сооружений, вып. XIII. М., Стройиздат, 1964.
55. Масленников А. М. Приближенный расчет конструкций типа балок
стенок методом перемещений. Доклады XXV научной конференции ЛИСИ. Л.,
ЛИСИ, 1967.
56. Мелош Р. Основы получения матриц жесткости для прямого метода
жесткостей. «Ракетная техника и космонавтика», 1963, № 7.
57. Милейковский И. Е. Расчет оболочек и складок методом перемещений^
Госстройиздат, 1960.
58. Милейковский И. Е., Васильков Б. С. Расчет покрытий и перекрытий
из пологих выпуклых оболочек двоякой кривизны. — В кн.: Эксперименталь-
ные и теоретические исследования тонкостенных пространственных конструк-
ций. М., Госстройиздат, 1952.
59. Милейковский И. Е. Определение приведенной жесткости ортотропной
балки, ослабленной прорезями, методом приведения трехмерной задачи тео-
рии упругости к одномерной. — В кн.: Исследования по вопросам строитель*
ной механики и теории пластичности. М., Госстройиздат, 1956.
60. Милейковский И. Е. Расчет массивных конструкций методами строи-
тельной механики пространственных систем. М., Госстройиздат, 1958.
61. Нарец Л. К. Расчет конструкций по э-методу. Труды ТПИ, серия Аг
вып. 257. Таллин, 1967.
62. Оре О. Теория графов. М., «Наука», 1968.
244
63. Папкович П. Ф. Строительная механика корабля, ч. П. М., Судпром-
гиз, 1941.
64. Пастернак П. Л. Основы нового расчета фундаментов на упругом ос-
новании при помощи двух коэффициентов постели. М., Госстройиздат, 1954.
65. Петропавловский А. А. О проверке пространственной устойчивости не-
разрезных комбинированных арочных пролетных строений.—'В кн.: Исследо-
вания по теории сооружений, вып. XIII. М., Стройиздат, 1964.
66. Постнов В. А., Хархурим И. Я. Метод конечных элементов в расчетах
судовых конструкций. М., «Судостроение», 1974.
67. Прочность, устойчивость, колебания. Справочник в трех томах под об-
щей редакцией проф. Биргера И. А., Пановко Я. Г. М., «Машиностроение»,
1968.
68. Рабинович И. М. Курс строительной механики, ч. II. Статически не-
определимые системы. М., Госстройиздат, 1954.
69. Расчет строительных конструкций с применением электронных машин
(по материалам трех конференций, проведенных в США в 1958—1963 гг.).
Под ред. Смирнова А. Ф. М., Стройиздат, 1967.
70. Расчет упругих конструкций с использованием ЭВМ. Под ред. Фили-
на А. П. М., «Судостроение», 1974.
71. Ржаницын А. Р. Приближенный расчет гибких рам. —«Вестник инже-
неров и техников», 1947, № 2.
72. Ржаницын А. Р. Представление сплошного изотропного упругого тела
в виде шарнирно-стержневой системы. — В кн.: Исследования по вопросам
строительной механики и теории пластичности. М., Госстройиздат, 1956.
73. Ржаницын А. Р. Теория составных стержней строительных конструк-
ций. М., Стройиздат, 1948.
74. Ржаницын А. Р. Устойчивость равновесия упругих систем. М., Гос-
техтеориздат, 1955.
75. Розин Л. А. Метод конечных элементов. Л., «Энергия», 1971.
76. Розин Л. А. Схема метода расчленения и применения вариационного
метода к расчлененному уравнению. — В кн.: Методы вычислений. Л., Изд-во
ЛГУ, 1967.
77. Романов А. А. К расчету прямоугольных пластинок со сложными гра-
ничными условиями. Труды МИИТ, вып. 364, М., 1971.
78. Склепус Н. Г., Рвачев В. Л. Применение ^-функции к решению задачи
об изгибе пластин, ПМ, т. 5, 1969, вып. 9.
79. Смирнов А. Ф. Статическая и динамическая устойчивость сооружений.
М., Трансжелдориздат, 1947.
80. Смирнов А. Ф. Устойчивость и колебания сооружений. М., Трансжел-
дориздат, 1958
81. Смирнов А. Ф. Таблицы функций для расчета упругих систем на ус-
тойчивость и колебания. М., МИИТ, 1961.
82. Смирнов А. Ф., Александров А. В., Шапошников Н. Н., Лащени-
ков Б, Я. Расчет сооружений с применением вычислительных машин. М., Строй-
издат, 1964.
83. Смирнов В. А. Висячие мосты больших пролетов. М., «Высшая школа»,
1970.
84. Снитко Н. К. Устойчивость сжатых и сжато-изогнутых стержневых
систем. М., Госстройиздат, 1956.
85. Современные методы расчета сложных статически неопределимых си-
стем. Под ред. А. П. Филина. М., Судпромгиз, 1961.
86. Стрелецкий Н. С. К расчету сложных статических систем. М., изд-во
высшего технического комитета НКПС, 1921.
87. Тимошенко С. П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.,
Физматгиз, 1963.
88. Тимошенко С. П. Устойчивость упругих систем. М., Гостехиздат, 1946.
89. Травкин Ю. И. О некоторых смешанных задачах теории изгиба пря-
моугольных пластинок. Самолетостроение и техника воздушного флота вып
18, 1970.
245
90. Улицкий Б. Е. Пространственные расчеты балочных мостов. М., Авто-
трансиздат, 1962.
91. Ухов С. Б. Расчет сооружений и оснований методом конечных элемен-
тов. М., МИСИ, 1973.
92. Фаддеев А. К. и Фаддеева В. Н. Вычислительные методы линейной ал-
гебры. М., Физматгиз, 1960.
93. Филин А. П. Матрицы в статике стержневых систем. М., Стройиздат,
1966.
94. Филоненко-Бородич М. М. Простейшая модель упругого основания,
способная распределять нагрузку. Труды МЭМИИТ, вып. 53. М., Трансжел-
дориздат, 1945.
95. Хазова Л. М. Расчет ортотропных складчатых систем. Автореферат
кандидатской диссертации. МИИТ, 1973.
96. Шапошников Н. Н. Расчет тоннельных обделок по методу перемещений
с применением ЭЦВМ. М., МИИТ, 1969.
97. Шапошников Н. Н. Матрицы реакций для прямоугольного элемента
и их свойства. — В кн.: Исследования по теории сооружений, вып. XX. М.,
Стройиздат, 1974,
98. Argyris J. Н. Matrix displacement analysis of plates and shells. En-
gineer Archiv, 35 (1966).
99. A r g у r i s J. H. The impact of digital computer on engineering sciences.
Aeronautical Journal. Vol. 73. November, December 1969. Vol. 74. January,
February.
100. В о gner Г. K., Fox R. L., S c h m i t L. A. The generation of interele-
ment— compatible stiffness and mass matrix by the use of interpolation formu-
las. Conference on mechanics. Wright — Patterson Air Force Base. 1966.
101. CallagherR. H. Analysis of Plate and Shell structures, Proceedings
of the A. S. С. E. Symposium, Civil Engineering, Vanderbilt University, Nash-
ville, Tenn. 1969. pp. 155—205.
102. И о 1 a n d I., Bell K. Finite element methods in stress analysis.
Trondheim, TAPIR, 1970.
103. Proceedings of a seminar at the university of Southampton. Finite
element techniques in structural mechanics. Edited by Tottenham and C. Breb-
bia, April 1970.
104. Przemieniecki I. S. Theory of Matrix structural analysis. Me
Craw—Hill Book Company, 1968.
105. R u b i n s t e i n M. F. Matrix computer analysis of structures, Prenti-
ce—Hall, Inc., Englewood Cliffs. N. Y.
106. Szabo I. Tudomanyos Koztemenyek. 34. Budapest, 1964.
107. Zienkiewicz О. C. The finite element method in structural and
continuum mechanics. Me. Craw—Hill Company, 1967.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие......................................................... 3
Глава 1. Некоторые вопросы расчета стержневых систем методом пе-
ремещений .......................................................... 5
1. Матрицы податливости и жесткости............................. 5
2. Свойства матриц жесткости для плоских прямоугольных элемен-
тов ............................................................. 8
3. Преобразование матриц податливости и жесткости при изменении
векторов обобщенных сил и перемещений......................... 16
4. Метод перемещений для расчета стержневых систем в матричной
форме........................................................... 23
5. Физический смысл блочного исключения по Гауссу.............. 33
6. Использование сложной основной системы при расчете стержне-
вых систем методом перемещений.................................. 38
7. Матрица реакций для пространственного стержня............... 44
Глава 2. Решение плоской задачи и задачи изгиба пластин методом
конечных элементов.................................................. 47
1. Сущность метода конечных элементов........................... 47
2. Связь метода конечных элементов с методом Ритца.............. 33
3. Формула для получения матрицы жесткости...................... 60
4. Получение матрицы реакций для произвольного треугольного
элемента......................................................... 64
5. Матрица реакций для прямоугольного элемента и ее свойства . 67
6. Учет податливости соединений конечных элементов.............. 79
7. Получение матрицы жесткости для элемента, работающего на
изгиб............................................................ 82
8. Использование полиномов Лежандра для построения матрицы
жесткости........................................................ 87
9. Расчет тонких плит на упругом основании...................... 97
Глава 3. Расчет ортотропных пластин методом фиктивных сил . . . 102
1. Общие положения............................................ Ю2
2. О разделении дифференциальных операторов на составляющие
части.......................................................... Ю2
3. Основы метода фиктивных сил................................ Ю4
4. Решение матричных уравнений особого вида................. 111
5. Матрицы преобразования внешних нагрузок................... 116
6. Случай локальных нагрузок.................................. НО
7. Вычисление фиктивных сил.................................. 120
8. О способах закрепления фиктивной системы.................. 121
9. Составление уравнения в форме, удобной для использования ЭВМ 123
10. Пример расчета ортотропной пластины на произвольную на-
грузку ....................................................... 125
11. Зависимость точности решения от густоты сетки............ 130
12. Изгиб ортотропной пластины при локальном загружении опор-
ными моментами................................................ 131
13. Свободный опорный край............................... 141
14. О расчете пластин при смешанных граничных условиях .... 147
247
Стр.
15. Применение метода сил к расчету пластин со смешанными гра-
ничными условиями............................................ 149
16. Контрольные задачи........................................ 157
17. Примеры расчета пластин со смешанными граничными усло-
виями ........................................................ 164
Глава 4. Расчет складчатых систем и пологих оболочек двоякой кри-
визны ............................................................ 172
1. Общие положения............................................ 172
2. Основная система метода перемещений и общая методика расчета 174
3. Элемент основной системы в виде ортотропной пластины . . . 179
4. Элемент основной системы в виде изотропной оболочки .... 188
5. Элемент основной системы в виде ортотропной оболочки ... 196
6. Геометрически нелинейные уравнения упругих пологих ортотроп-
ных оболочек переменной толщины................................208
Глава 5. Континуально-дискретный метод расчета периодических си-
стем ..............................................................215
1. Общие положения............................................ 215
2. Основные положения методики.................................216
3. Особенности применения методики для континуальной системы . 225
4. Расчет дискретных систем постоянной жесткости. Разделение не-
известных на основные и местные (зависимые)................... 227
5. Об устойчивости и расчете по деформированной схеме составного
стержня........................................................238
Список литературы..................................................242
АНАТОЛИЙ ВАСИЛЬЕВИЧ АЛЕКСАНДРОВ
БОРИС ЯКОВЛЕВИЧ ЛАЩЕНИКОВ,
НИКОЛАЙ НИКОЛАЕВИЧ ШАПОШНИКОВ
ВЛАДИМИР АНАТОЛЬЕВИЧ СМИРНОВ
МЕТОДЫ РАСЧЕТА СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ, ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК
С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЭВМ
ЧАСТЬ I
Редакция литературы по строительной физике и конструкциям
Зав. редакцией Т. В. Горячева
Редактор Л. И. Круглова
Мл. редактор Э. И. Федотова
Технический редактор В. М. Родионова
Корректор В. И. Галюзова
Сдано в набор 4/VII—1975 г. Подписано к печати 23/1—1976 г. Формат 60X 90Vie д. л.
Бумага типографская № 2. 15,5 печ. л. (уч.-изд. 14,5 л). Тираж 7 000 экз.
Изд. № A.VIII—3315. Зак. 274. Цена 87 коп.
Стройиздат
103006, Москва, Каляевская, 23а
Владимирская типография Союзполиграфпрома
при Государственном комитете Совета Министров СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
Гор. Владимир, ул. Победы, д. 18-6.