Автор: Шамин В.М.
Теги: cтроительная механика графический и аналитический методы статики для исследования и расчета строительных конструкций распространение акустических колебаний звуковое поле и процессы в нем строительство инженерия строительная механика инженерное дело
ISBN: 5-274-00503-9
Год: 1989
Текст
Цена 75 коп.
В М Шамин
РАСЧЕТ ЗАЩИТНЫХ
СООРУЖЕНИЙ
НА ДЕЙСТВИЕ
ВЗРЫВНЫХ НАГРУЗОК
В.М. Шамин
РАСЧЕТ ЗАЩИТНЫХ
СООРУЖЕНИЙ
НА ДЕЙСТВИЕ
ВЗРЫВНЫХ НАГРУЗОК
Москва
Стройиздат
1989
УДК 624.042 3:534.222,092
Шамин В.М. Расчет защитных сооружении на действие
взрывных нагрузок — М.: Стройиздат, 1989. — 72 с.,
ил - ISBN 5-274 00503-9
Приведены подробные данные о параметрах взрывных нагру-
зок при воздействии воздушной ударной волны на ограждающие
конструкции и методы расчета железобетонных и стальных за-
щитных сооружений различного типа в упругой и пластической
стадиях работы конструкций.
Для научных и инженерно-технических работников, научно-
исследовательских и проектных организаций.
Табл. 5, ил. 34, список лит.: 14 назв.
Печатается по решению секции литературы по строительной
физике и строительным конструкциям редакционного совета
Стройиздата. Рецензент: д-р техн, наук, проф. А.П. Синицын.
3305000000 - 333
Ш-----------------
047(01) -89
23 - 89
© Стройиздат, 1989
ISBN 5-274-00503 9
ВВЕДЕНИЕ
На производствах, где технологические процессы осуществляются
с применением взрывчатых веществ возникает проблема защиты людей
и оборудования от поражений при взрывах. Наиболее полно и надежно
эта проблема решается, если источники взрыва располагаются внутри
специальных защитных сооружений и действие взрыва, таким образом,
полностью локализуется в самом сооружении.
Однако при проектировании защитных сооружений встречаются
серьезные затруднения, связанные с особенностями динамического
расчета конструкций на действие этих нагрузок.
В книге приведены параметры взрывных нагрузок для источников,
встречающихся в практике, даны методы расчета железобетонных и
стальных сооружений различных типов на действие взрыва в упругой
и пластической стадиях работы конструкций.
Глава 1. ОБЩИЕ ДАННЫЕ О ЗАЩИТНЫХ СООРУЖЕНИЯХ
В практике проектирования защитных сооружений встречаются
следующие основные типы:
прямоугольные, с плоскими стенками и покрытием;
цилиндрические, с вертикальной или горизонтальной осью симмет-
рии, обычно с криволинейным покрытием или днищами;
сферические, с металлическими стенками.
Размеры сооружений, в зависимости от мощности источника взрыва,
габаритов размещаемого в них оборудования и особенностей техноло-
гического процесса, могут приниматься от одного до десяти и более
метров, В качестве материалов для строительства защитных сооружений
применяются бетон высоких классов и мягкая сталь. С точки зрения
экономичности конструкций, наиболее совершенными должны быть
признаны сооружения сферической формы, так как в них отсутству-
ют углы, в которых происходит ’’схлопывание” ударных волн, а в са-
мой конструкции возникают растягивающие усилия. Однако на прак-
тике сооружения сферической формы из-за высокой трудоемкости
изготовления и монтажа криволинейных элементов ограждающих кон-
струкций применяются очень редко.
Более практичными являются сооружения с цилиндрической стенкой
и покрытием в виде сферического купола. Железобетонные сооруже-
ния такой формы чаще применяются при исследовании взрывных про-
цессов.
Наиболее технологичными при возведении являются прямоугольные
сооружения. Стальные сооружения этого типа используются обычно
на действующих промышленных предприятиях, поскольку они могут
монтироваться без серьезных нарушений производственного процесса.
Плоские стальные ограждающие конструкции собираются из отдель-
ных панелей с каркасом из двух уголков, между полками которых
заводятся листы и привариваются двумя сплошными лобовыми швами.
Железобетонные прямоугольные сооружения чаще применяются
при проектировании новых предприятий. Толщина ограждающих конст-
рукций, исходя из необходимости размещения нескольких сеток арма-
туры и удобства бетонирования, принимаются не менее 50—60 см. Пос-
кольку при колебаниях ограждающих конструкций возникают знакопе-
ременные усилия, армирование их должно быть симметричным. При
взрывах, сопровождаемых разлетом металлических осколков, необ-
ходимо устройство защитной облицовки внутренних поверхностей
железобетонных ограждающих конструкций из стальных листов тол-
щиной до 20 мм. Облицовка служит опалубкой при бетонировании и
может быть, как показали опытные исследования, введена в расчет
в качестве рабочей арматуры, совместная работа которой со стенкой
обеспечивается приваркой специальных выступов по всей площади
облицовки в шахматном порядке.
4
В стенках сооружений предусматривается необходимое количество
отверстий — амбразур для наблюдений и съемки взрывных процессов,
пропуска кабелей, труб и других технологических нужд, а также вен-
тиляционных патрубков, защищаемых от повреждений взрывной волной
стальными шиберами. В сооружениях устраивается один входной там-
бур с двумя дверями: внутренней (защитной), изготовленной из стали,
и наружной (деревянной) для звукоизоляции. Пол, из-за системати-
ческих повреждений при взрывах, укладывается из сборных, периоди-
чески сменяемых, железобетонных или чугунных плит на песчаном
основании толщиной 0,5—1 м. Такая конструкция полов значительно
ослабляет колебания в грунте. Для защиты от повреждений и электри-
ческих помех при взрывах под полом предусматривается сеть каналов
для прокладки кабелей других коммуникаций
Сооружения оборудуются специальной приточно-вытяжной венти-
ляцией для удаления ядовитых продуктов взрыва и автоблокировкой,
исключающей возможность взрыва до закрытия защитной двери и
шиберов в вентиляционных трубах. Освещение внутри сооружений,
из-за невозможности защиты осветительной арматуры от поврежде-
ний, осуществляется переносными лампами.
Оборудование сооружений, предназначенных для защиты от еди-
ничных аварийных взрывов, может быть значительно упрощено. В та-
ких сооружениях предусматривается только одна защитная дверь без
тамбура, не требуется особых устройств вентиляционной системы и
пола.
Глава 2. ВЗРЫВНЫЕ НАГРУЗКИ
2.1. ВОЗДУШНАЯ УДАРНАЯ ВОЛНА
В наиболее краткой и общей форме взрыв можно определить как
чрезвычайно быстрое выделение энергии в источнике взрыва, сопро-
вождаемое распространением волны возмущений в окружающей среде.
Источники взрыва могут быть: химическими (взрывчатые веще-
ства и газовые смеси), ядерными, электрическими (молния), механи-
ческими (удар твердого тела). В промышленном производстве встре-
чаются химические источники взрыва, для которых окружающей сре-
дой является воздух.
Наиболее распространенным и типичным источником взрыва в виде
сосредоточенного заряда является твердое взрывчатое вещество (ВВ).
При его взрыве в объеме заряда мгновенно образуется сильно сжатые
и нагретые газообразные продукты взрыва (ПВ), которые весьма быст-
ро расширяясь, сжимают окружающий их воздух и образуют сфери-
ческую воздушную ударную волну, с движущимся со сверхзвуко-
вой скоростью фронтом. Давление в сжатом за фронтом волны шаро-
вом слое воздуха — фазе сжатия, быстро снижается и переходит далее
в фазу разрежение с давлением меньше атмосферного. Вслед за фрон-
5
том ударной волны с большой скоростью движется поток воздуха,
а в фазе разрежения этот поток движется в обратном направлении —
к центру взрыва. Изменение давления в какой-либо точке пространст-
ва при прохождении через нее ударной волны показано на графике
(рис. 1). Поскольку энергия ударной волне сообщается только расши-
ряющимися ПВ, то давление на фронте волны по мере ее распростра-
нения довольно быстро снижается и ударная волна преобразуется в
звуковую.
Физические параметры ударной волны: скорость фронта D, массо-
вая скорость потока воздуха за фронтом Иф связаны с избыточным
сверх атмосферного давления Рф на фронте волны- следующими со-
отношениями:
jA_=22L_(^_i), (о
ра 7 + 1
20 1 (Я
U =------(1------), U)
Ф 7+1 М2
где ра — атмосферное давление, МПа; М = D/cq — число Маха; l~cplcv (для
воздуха 7 = 1,4); = 340 м/с - скорость звука в воздухе в нормальных усло-
виях.
Подставив в (1) и (2) значения ра, си 7, получим следующие рас-
четные формулы, м/с:
О == 340 V 1 + 8,5рф; (3)
л = 240°РФ (4)
Ф V 1 + 8,5рф
Длина фазы сжатия ударной волны в пространстве X приближенно
может быть определена из условия: задняя граница волны (в точке
перехода в фазу разрежения) движется со скоростью звука
6
(5)
(6)
\ — сот
или более точно - по средней скорости
D + с0
X =-------------т,
2
где т - длительность (время действия) фазы сжатия.
Основные параметры ударной волны, определяющие эффект ее воз-
действия на конструкции: избыточное давление на фронте волны —
Рф, время действия волны — т и импульс волны
(7)
i= iP(t)dt
0
определяются по эмпирическим формулам, полученным опытным пу-
тем для каждого из источников взрыва.
Давление на фронте ударной волны много больше давления в фазе
разрежения и поэтому воздействие на конструкции определяется па-
раметрами фазы сжатия волны, а фазу разрежения, как правило, при
расчете не учитывают (за исключением некоторых частных случаев).
При определении параметров ударной волны на различных расстоя-
ниях от центра взрыва необходимо различать две зоны формирования
волны: ближнюю, в пределах которой сжатый в волне воздух подпи-
рается ПВ, и дальнюю — в которой ударная волна отрывается от ПВ,
заканчивающих свое расширение, и начинает самостоятельное сущест-
вование. Граница между обеими зонами меняется для различных ис-
точников взрыва и для обычных твердых ВВ измеряется расстоянием
от центра взрыва, равным примерно 15 радиусам заряда.
Давление при отражении ударной волны от преграды на границе
ближней зоны весьма велико — около 6 МПа и в практике проекти-
рования ограждающие конструкции располагаются поэтому только в
дальней зоне действия ударной волны. В связи с этим ограничимся
рассмотрением параметров ударных волн лишь для дальней зоны.
В работах [10, 11] на основании законов подобия при взрывах были
предложены эмпирические формулы для определения всех параметров
воздушных ударных волн, широко используемые в практике проек-
тирования защитных сооружений.
При взрывах зарядов различной массы из одного и того же ВВ соблю-
дается закон геометрического подобия, согласно которому расстояния
R от центра заряда, на которых действуют одинаковые давления р$
на фронте волны, пропорциональны радиусам зарядов г3. Отсюда следу-
ет, что функция, описывающая зависимость давления р$ от энергии
источника взрыва и расстояния, должна иметь аргументом отношение
г3/7?, а поскольку масса заряда С ~ можно написать:
Рф=Л (>Гс/7?).
(8)
7
Для зарядов различных ВВ справедлив более общий закон энерге-
тического подобия:
(—
(9)
где Е - энергия взрывной волны.
При использовании энергетической функции (9) следует иметь в ви-
ду, что энергия Е в аргументе является частью полной энергии Fo заря-
да ВВ, а именно той долей, которая переходит в энергию ударной волны:
Е = Г)ЕО, (10)
где г? < 1, а значения q для различных источников взрыва неодинаковы.
Энергия заряда ВВ выражается формулой, ккал:
E0=qC, (11)
где q — удельная теплота горения данного ВВ, ккал/кг; С — масса заряда ВВ, кг.
С помощью теории подобия были получены формулы и для других
параметров ударной волны. Время действия т фазы сжатия ударной
волны можно определить по формуле, мс:
т=к^Су/Т, (12)
где R - расстояние, м.
Для удельного импульса i ударной волны установлена зависимость,
Нс/м2:
i^A^T^/R- НЗ)
Величины коэффициентов к и А в (12) и (13) неодинаковы для
различных источников взрыва, они зависят от общего аргумента
y/~C/R теории подобия и определяются опытным путем.
Кроме рассмотренных основных параметров ударной волны при
расчете конструкций используется закон падения давления за фрон-
том волны — в фазе сжатия. С достаточной для практических целей
точностью этот закон аппроксимируется функцией вида
р^=рф(1(14)
Для упрощения расчетов выражение (14) обычно заменяют линей-
ной функцией (рис. 2):
Р(^ = Рф С1--”")-
(15)
8
Значение эффективного времени действия тэ в (15) определится
из условия сохранения импульса волны. Приравнивая выражения им-
пульсов по (7), в которые подставлены (14) и (15), получим:
откуда т_ = —т. (16)
3 п+1
Величина показателя бинома п в (14) непостоянна и зависит от об-
щего аргумента \/~C/R, уменьшаясь по мере распространения волны.
На графике (рис. 3) показаны значения п для проходящей (кривая 1)
и отраженной (кривая 2) ударных волн в зависимости отд/С//?.
При встрече ударной волны с жесткой преградой происходит ее от-
ражение и навстречу падающей волне начинает распространяться волна
отражения. Давление на преграду при этом увеличивается более чем
вдвое, так как сверх давления сжатого в волне воздуха воздействует
заторможенный поток воздуха за фронтом, создающий добавочный
скоростной напор. В соответствии с этим, давление на преграду при
отражении рот от нее ударной волны можно представить в виде суммы
двух выражений:
Рот=2Рф + “-^ф> (17)
9
Рис. 4. Отражение воз-
душной ударной вол-
ны от плоской по-
верхности
где рф — плотность сжатого в волне воздуха;
в волне.
U, - массовая скорость воздуха
Ф
Обычно избыточное давление на преграду при нормальном отраже-
нии рот определяют по более простой и удобной для расчета формуле,
МПа:
Рот ^Рф
(18)
О’71+Рф
Отсюда следует, что при очень больших давлениях на фронте волны
(Рф * со) давление отражения в пределе увеличивается в 8 раз. Время
действия т отраженной волны на преграду принимается равным време-
ни действия в падающей волне. Поскольку давление при отражении
сильно увеличивается, а время т остается неизменным, пик на фронте
волны становится острее и соответственно увеличивается значение пока-
зателя бинома п в (14) увеличивается, что и нашло свое отражение на
графике значений п (см. рис. 3).
Импульс, сообщаемый ударной волной преграде при нормальном
отражении, определяется по общей формуле (13) с увеличением зна-
чения коэффициента^, учитывающим эффект отражения.
Характер отражения ударной волны в различных точках плоской
бесконечной преграды зависит от угла падения волны а (рис. 4). При
взрыве заряда ВВ в точке С на некоторой высоте над преградой в эпи-
центре А на плоскости происходит нормальное отражение (угол паде-
ния а равен нулю) с давлением отражения рот, определяемым форму-
лой (18). При изменении угла падения волны от нуля до некоторого
предельного значения а0 в эпицентральной зоне наблюдается, как по-
казано на рис. 4, нормальное отражение, в связи с чем эта зона назы-
вается зоной регулярного отражения. При углах падения свыше пре-
дельного характер отражения существенно меняется. В отраженной
волне, распространяющейся в сжатом и нагретом падающей волной
воздухе, увеличивается скорость фронта и становится больше скорости
10
Рис. 6. График для определения прибли-
женных значении коэффициентов отражения
Рис. 5. График зависимости коэффициента отражения от угла падения ударной
волны
фронта падающей волны, в результате чего точка пересечения В падаю-
щей и отраженной волн поднимается над плоскостью и образуется тре-
тья, головная волна с вертикальным фронтом. Точка Т пересечения
фронтов трех волн, называемая тройной точкой, по мере распростра-
нения поднимается все выше, увеличивая высоту фронта головной
волны. Давление на преграду в этой зоне нерегулярного отражения,
вследствие образования головной волны, существенно уменьшается
по сравнению с нормальным отражением. На рис. 5 представлены гра-
фики, характеризующие зависимость кожффициента отражения
&от = РОт^ф от угла падения а в градусах для ударных волн различной
интенсивности [4]. При рассмотрении графиков можно отметить сле-
дующие характерные их особенности:
радиус зоны регулярного отражения зависит от давления на фронте
падающей волны, уменьшаясь по мере увеличения этого давления;
при переходе в зону нерегулярного отражения наблюдается при
давлениях
<0,1 МПа местное увеличение коэффициента отраже-
ния, однако при определении давления на плоскость в целом влияние
этого эффекта незначительно и им можно пренебречь;
коэффициент отражения в зоне регулярного отражения при относи-
тельно небольших давлениях в падающей волне изменяется мало и
его можно с некоторым запасом принимать постоянным;
среднее значение предельного угла отражения а0 можно принять
равным 40°.
11
Если взять за основу приведенные позиции, можно предложить прос-
той приближенный график для определения значений коэффициентов
отражения при различных углах падения (рис. 6), согласно которому
в зоне регулярного отражения, при углах падения а < 40°, принимается
постоянное значение коэффициента отражения к^т—Рот1Рф9 опре-
деляемое по формуле (18) для нормального отражения, а в зоне не-
регулярного отражения величины коэффициентов отражения Ag*. ме-
няются по линейному закону и определяются по формуле
а Л°т (90° - а0) + (а° - 40°)
кот =
(19)
50°
Аналогичным образом определяются коэффициенты отражения
для импульсов, сообщаемых преграде при отражении от нее ударной
волны, причем в зоне регулярного отражения принимается среднее
значение коэффициента отражения к°т> равное трем.
При взрыве в замкнутом объеме описанная картина распростра-
нения ударных волн в неограниченном пространстве значительно ус-
ложняется. При относительно небольших размерах сооружений, со-
измеримых с длинами ударных волн, происходит наложение вторич-
ных, отраженных от соседних стенок, волн, на первичную отраженную
волну, что может привести к существенному увеличению нагрузок.
Вторичные эффекты возникают также в углах сооружений при ’’схло-
пывании” ударных волн, отраженных от двух или трех сходящихся
в угле стенок или при фокусировке отражающихся от сферического
купола волн в его зените. Теоретическое исследование подобных яв-
лений взаимодействия ударных волн в ограниченном объеме чрезвы-
чайно сложно и в практике расчетов пока что приходится пользовать-
ся лишь весьма недостаточными опытными данными.
2.2. СОСРЕДОТОЧЕННЫЕ ЗАРЯДЫ ТВЕРДЫХ
ВЗРЫВЧАТЫХ ВЕЩЕСТВ
При взрыве сосредоточенных зарядов твердых ВВ типа тротила,
аммонита и многих других в окружающем воздухе возникает удар-
ная волна, физическое описание и параметры которой были подробно
рассмотрены в п. 2.1. Поле давлений на фронте ударной волны форми-
руется в процессе расширения ПВ, которые в начальный период разле-
та движутся нормально к поверхности заряда ВВ. Опытные исследо-
вания показывают, что форма поверхности расширяющихся ПВ, даже
при взрыве сферических зарядов, чрезвычайно неправильна и асиммет-
рична, вплоть до образования отдельных выбросов (факелов), в связи
с чем наблюдается большой разброс в измеренных величинах парамет-
ров ударной волны по разным направлениям [10]. Кроме того, реаль-
ные заряды ВВ имеют обычно не сферическую, а кубическую или ци-
линдрическую форму, детонатор в них располагается не в центре, а у
12
одной из граней заряда. Все это приводит к тому, что поверхность воз-
душной ударной волны начинает приближаться к более или менее пра-
вильной сферической форме на расстоянии в несколько десятков ра-
диусов заряда и только при этом достигается выравнивание ее пара-
метров по всей поверхности. Поэтому при пользовании приводимыми
далее расчетными формулами следует иметь в виду, что они дают не
точные, а средние возможные значения параметров ударных волн. Фор-
мулы были получены опытным путем для зарядов из литого или прес-
сованного тротила плотностью 7 = 1,5—1,6 г/см3, принятого за эталон,
с которым должны сравниваться взрывы зарядов других ВВ.
Избыточное давление рф на фронте волны определяется, в соответст-
вии с (8), по формуле, МПа:
Рф = 0,084х + 0,27х2 + 0,7х3, (20)
где х —\fc/R\ С - масса заряда ВВ, кг; R - расстояние, м.
Время действия т ударной волны определяется по формуле (12), мс-
T — k\fC\/R,
значение коэффициента к, в которой принимается в интервале 1,1 >
> х > 0,6 равным к — 1, а при 0,6 > х > 0,1 к = 1,2. Величина удельно-
го импульса z определяется по формуле (13), Нс/м2 :
i = A^C?IR.
Среднее значение коэффициента для падающей волны принимается
равным А = 180, а при нормальном отражении — А = 550. Все три фор-
мулы действительны для дальней зоны в интервале 1,1 > х > 0,1 [1].
При взрыве заряда, расположенного на плоской поверхности, энер-
гия взрыва выделяется в полупространство, вследствие чего во все
расчетные формулы следует вводить удвоенное значение массы заря-
да С. Формула (20) примет тогда следующий вид, МПа:
Рф = 0,106х + 0,43х2 + 1,4х3. (21)
При взрыве зарядов других твердых ВВ, массы их приводятся к
тротиловому эквиваленту Сэк, который подставляется в расчетные
формулы. Масса эквивалентного заряда находится по формуле
Сэк ==07/1000, (22)
где С — масса заряда данного ВВ, кг; q — удельная теплота горения данного ВВ,
ккал/к г.
В табл. 1 приведена величина удельной теплоты горения для наибо-
лее распространенных видов ВВ [1].
На графике (рис, 7) показаны величины давлений на фронте ударной
волны, подсчитанные по формуле (20), здесь же для сравнения пока-
заны давления в ближней зоне
13
Таблица 1. Удельная теплота горения
Взрывчатое вещество Плотность 7, г/см3 Удельная теплота горения q, ккал/кг
Тротил 1 830
55 1,5 1010
Аммонит № 8 1 710
Аммонит № 9 1 940
Аммонит № 6 1 1030
Гексоген 1 1270
55 1,6 1300
Рис. 7. График давлений на фронте воздушной
ударной волны в ближней и дальней зонах
Рис. 8. Эпюра давления в отраженной ударной вол-
не с наложением вторичных отраженных волн
Нагрузки на ограждающие конструкции сооружений могут сущест-
венно возрасти вследствие наложения вторичных отраженных волн
на первичную падающую волну. Типичный график давления на кон-
струкцию в этом случае показан на рис. 8, откуда следует, что макси-
14
Рис. 9. График для опреде-
ления значений объемного
коэффициента к
Рис. 10. Схема от-
ражения ударных
волн в прямо-
угольном сооруже-
нии при располо-
жении заряда ВВ
у пола
малыше давление отражения рот не изменяется, но увеличиваются
общий импульс, сообщаемый конструкции ударной волной, и время
ее действия, что, очевидно, необходимо учитывать при определении
расчетных нагрузок. Количество пиков вторичных волн, а следова-
тельно, и увеличение импульса, зависят от положения точки, в кото-
рой определяется давление, формы сооружения и, самое главное, от
соотношения генеральных размеров сооружения и длины первичной
ударной волны. Основываясь на этом, можно использовать в качестве
общего критерия для оценки эффекта воздействия вторичных отра-
женных волн величину отношения объема V, м3, к массе заряда ВВ С,
кг. Увеличение действующего на конструкцию импульса первичной
падающей ударной волны в первом приближении можно запи-
сать так:
zpac~^HZ1’ (^3)
в которой величина объемного коэффициента ки должна зависеть от
величины отношения V/C и расположения рассчитываемой конструк-
ции, Эффективное время тэ действия ударной волны на конструкцию
должно увеличиваться также в к^ раз по отношению к первичной па-
дающей волне, что следует из условия сохранения импульса этой волны.
Значения объемного коэффициента к^, ввиду чрезвычайной сложности
теоретического расчета, могут быть определены пока что только опыт-
ным путем. Имеющиеся предварительные опытные данные показывают,
что при обычном расположении зарядов ВВ на вертикальной оси сим-
метрии сооружения и на небольшой высоте от пола, в углах и на покры-
тиях всегда к^ > 1, на стенках при значениях V/C > 15 к^ = 1 и при
К/С= 15-7 /си= 1-5.
Для промежуточных значений V/C величины объемных коэффи-
циентов &и можно определить по линейной интерполяции, как пока-
зано на графике (рис. 9).
15
Рис. 11. Схема отражения ударных волн в прямоугольном со-
оружении при расположении заряда ВВ в середине
Для сооружений сферической формы опытные данные о вторич-
ных эффектах наложения отраженных волн отсутствуют. Имея в ви-
ду, что в сооружениях такой формы, при расположении зарядов ВВ
в центре, должна соблюдаться сферическая симметрия при распрост-
ранении и отражении ударной волны, условием отсутствия вторич-
ных эффектов может служить следующее выражение:
X<D, (24)
где X - длина ударной волны, м; D - диаметр сооружения, м.
Приведенные значения ки получены в результате небольшого числа
опытов и являются поэтому приближенными оценками, которые нуж-
даются в дальнейшем уточнении.
Основываясь на приведенных данных, можно установить следующие
правила определения нагрузок на ограждающие конструкции соору-
жений.
Прямоугольные сооружения. Нагрузки на стенки. На рис. 10 пред-
ставлена в вертикальном разрезе половина сооружения с зарядом ВВ,
расположенным на небольшой высоте h от пола (обычно равная
1—1,5 м), значительно меньшей высоты сооружения. Из приведенной
на рисунке схемы отражения ударных волн видно, что в нижнем углу
у стенки происходит отражение головной волны; выше, по всей пло-
щади стенки, отражается первичная падающая волна; и, наконец, в
верхнем углу наблюдается отражение от покрытия идущей по стене
головной волны.
Эпюра давлений ударной волны на стенки строится обычно по трем
точкам. В нижнем и верхнем углах расчетное давление определяется
последовательно: сначала давление на фронте головной волны по фор-
мулам (19) и (20), затем давление пои отражении головной волны по
формуле (18).
При расположении заряда в середине сооружения, как показано
на рис. 11, возникает более простая симметричная картина отражения
ударных волн. В этом случае находится сначала давление на фронте
по (20), затем давление при первичном отражении по (18) и, на-
конец, давление р"т при ’’схлопывании” отраженных от стенки и по-
крытия волн — также по формуле (18), в которую подставляется дав-
16
ление PqT первичного отражения. В качестве третьей точки принимает-
ся проекция точки расположения заряда на стенку, давление регуляр-
ного отражения в которой определяется по формулам (18) и (20).
Для сооружений близкой к кубической формы полученная эпюра дав-
лений отраженной ударной волны заменяется равновеликой по пло-
щади прямоугольной эпюрой и это давление считается равномерно
распределенным по всей площади стенки. Для сооружений вытянутой
в плане формы при определении давлений на длинную стенку полу-
чаются трапецеидальные эпюры как по высоте, так и по длине стенки.
В этом случае приходится строить объемную эпюру давлений по пяти
точкам, заменяемую затем равновеликой по объему эпюрой с равно-
мерно распределенным давлением.
Расчетные значения импульсов определяются по формулам (13)
и (23) с учетом (19), причем значения объемного коэффициента
ки принимаются в зависимости от отношения V/C по графику (рис. 20).
Эпюра действующих на стенки импульсов строится затем аналогич-
но эпюре давлений.
Эффективные времена действия определяются по формулам (12)
и (16) с последующим умножением полученного значения тэ на объем-
ный коэффициент
Если в сооружении имеется песчаная подсыпка под полы, то нагруз-
ку на стенки в пределах подсыпки можно принимать одинаковой с оп-
ределенной для свободной поверхности в нижнем углу стенки, так как
в подсыпке распространяется преломленная волна сжатия, давление
>4 в которой близко к давлению в воздушной волне.
Нагрузки на покрытие. Определение расчетных нагрузок при распо-
х ложении заряда ВВ на небольшой высоте от пола (см. рис. 10) произ-
водится описанным выше порядком, но значение объемного коэффи-
циента к^ принимается равным не менее чем удвоенной его величине,
определенной для стенок.
Если заряд ВВ располагается на равном расстоянии от пола и покры-
тия (см. рис. 11), величина коэффициента к^ принимается одинаковой
для стенок и покрытия. При значительном смещении заряда ВВ с вер-
тикальной оси симметрии сооружения определение нагрузок для более
удаленной от заряда стенки производится с удвоением значения объем-
ного коэффициента kw
Цилиндрические сооружения со сферическим куполом. Нагрузки
на стенку. В сооружениях цилиндрической формы стенка наверху плав-
но переходит в купол и здесь не наблюдается ’’схлопывания” отражен-
ных волн. Расчетные нагрузки на стенку определяются также по трем
точкам, как показано на рис. 12. В точке 1 у основания стенки дейст-
вует давление отраженной головной волны, поскольку обычно радиус
стенки а больше высоты h расположения заряда ВВ над полом. В точ-
ках 2 и 3 действует давление регулярного отражения ударной волны.
Эпюра давлений или импульсов, действующих на стенку, строится опи-
17
Рис. 12^ Эпюра давлений при отражении
ударной волны в цилиндрическом со-
оружении
Рис. 13. Эпюра вертикальной состав-
ляющей взрывной нагрузки на купол
цилиндрического сооружения
санным выше порядком с учетом возможности появления вторичных
эффектов при отражении в зависимости от величины отношения V/C.
Для упрощения дальнейших расчетов полученную эпюру нагрузок спрям-
ляют, как показано на рис. 12, проводя прямую через ординаты эпюры
от точки 3 через точки 2 или 7, смотря по тому, какая из них больше.
Нагрузка на купол. Вертикальная составляющая нагрузки на купол
возрастает по мере продвижения ударной волны вверх от точки 3 в
основании к точке 4 в зените купола (см. рис. 12). Детальный расчет
изменения давления на купол во времени показывает, что эпюру этого
давления можно представить в виде треугольника (рис. 13) с макси-
мальным давлением ртах, равным среднему значению давлений от-
ражения внизу и наверху купола:
Pmax= <^3+P4)/2. (25)
Давление р4 в зените купола следует определять с учетом действия
вторичных отраженных волн, найдя сначала давление отражения p'QT
падающей волны по формуле (18), а затем давление вторичного от-
ражения р"т = р4 при ’’схлопывании” первичных отраженных волн с
давлением по той же формуле (18). Время 0 нарастания давления
от нуля до максимального значения Ртах определяется по формуле:
в = [ (а + 6) -V? +52 ] /Dcp, (26)
где РСр - среднее значение скорости фронта ударной волны, определяемой-по
формуле (3) для точек 3 и 4} значения а и J показаны на рис. 12.
Время спада давления тэ должно определяться с учетом вторичных
эффектов по формуле
18
тэ = 3т', <27)
где 7g — эффективное время действия падающей волны в точке 4.
В некоторых случаях может потребоваться расчет остаточного дав-
ления ПВ рост в сооружении, устанавливающегося после затухания
ударных волн. Приближенно это давление без учета начального атмо-
сферного давления может быть определено из условия равенства энер-
гий заряда ВВ и ПВ в объеме сооружения К, которое можно записать
следующим образом:
POCJV/(7-l)=Cq. (28)
Подставив в равенство (28) значения у = 1,4 и q = 1000 ккал/кг,
получим следующую формулу для определения остаточного давле-
ния ПВ в камере, МПа:
С
Рост “1’7 (29)
где С - масса заряда BB, кг; V - объем, м3.
2.3. ГАЗОВЫЕ СМЕСИ
Взрывоопасные газовые смеси содержат обычно один или несколь-
ко горючих газов и кислород или воздух. Процесс горения газовых
смесей, в зависимости от их состава, концентрации горючих газов,
внешних условий, способа инициирования может протекать в двух
различных режимах: режиме нормального горения и режиме детона-
ции, причем при определенных условиях нормальное горение может
перейти в детонацию.
Нормальное горение. При нормальном горении газовой смеси, за-
полняющей весь объем сооружения, воспламенение от слоя к слою
в газе передается путем теплопроводности, скорость распространения
фронта пламени поэтому невелика: для смесей углеводородов с воз-
духом — около 40 см/с, для во дородно-воздушной смеси — 267 см/с.
Увеличение давления в продуктах горения пропорционально объему
сгоревшего газа и передается на ограждающие конструкции камеры
в виде ряда последовательных слабых возмущений, распространяющих-
ся со звуковой скоростью. Поскольку скорость звука много больше
скорости фронта пламени, давление на ограждающие конструкции все
время уравнивается с давлением на фронте пламени и постепенно воз-
растает до некоторой наибольшей величины, соответствующей сгора-
нию всего объема смеси. Время нарастания давления на конструкции
достигает нескольких секунд и, как правило, намного превышает пе-
риод собственных колебаний конструкций, поэтому давление это мож-
но считать статически приложенной равномерно распределенной на-
грузкой. Величина максимального давления при нормальном горении
газовых смесей лежит в пределах 0,8—1 МПа [1].
19
Рис. 14. Эпюра давлений в волне де-
тонации
При необходимости давление продуктов горения на конструкции
может быть значительно снижено при помощи легко разрушаемых при
небольших давлениях поверхностей в виде, например, остекленных
проемов [3].
Детонация. Для перехода нормального горения в детонацию тре-
буется большая концентрация горючих газов в смеси и определенные
внешние условия, которые можно установить, наблюдая, например,
горение газовых смесей в трубах. Торможение слоев газа, прилегаю-
щих к стенкам трубы, приводит к неравномерному распределению
скорости на фронте пламени, он вытягивается в виде языка, поверх-
ность его становится неровной и вследствие этого фронт постепенно
ускоряется, что сопровождается возникновением серии слабых удар-
ных волн. На некотором расстоянии впереди фронта эти волны, дого-
няя друг друга, сливаются в одну сильную ударную волну. Газовая
смесь, сжатая ударной волной, сильно нагревается и воспламеняется,
образуя в весьма тонком слое на фронте волны зону химической реак-
ции горения. Эта зона реакции горения, движущаяся со сверхзвуко-
вой скоростью вместе с фронтом ударной волны, называется волной
детонации. В отличие от воздушной ударной волны волна детонации
непрерывно питается энергией при сгорании газа и поэтому параметры
ее остаются постоянными. График изменения давления в газе при про-
хождении волны детонации показан на рис. 14. Давление на фронте
волны весьма быстро, за несколько микросекунд, падает до давле-
ния в точке Жуге рж, в которой заканчивается реакция горения, и окон-
чательно падает за время т до остаточного давления росГ Давление
в указанных характерных точках может быть определено по форму-
лам гидродинамической теории детонации [1]:
2p0D1 2
1
2”РФ;
20
(30)
1
^ост “ 4~Рф’
D - 64,6 л/ 2 (у2 - 1) q.
Значения параметров волны детонации для некоторых газовых сме-
сей приведены в табл. 2 [5]. Поскольку время реакции в химическом
пике волны ничтожно мало, в качестве расчетного обычно принимается
давление в точке Жуге рж- При отражении волны детонации от прегра-
ды это давление увеличивается в 2,5—2,6 раза. Время падения давления
до остаточного рост составляет приближенно 3—5 мс. Переход нормаль-
ного горения в детонацию может возникнуть при нарушениях поверх-
ности фронта пламени, вызванных местными условиями его распростра-
нения. Такие условия при горении газовых смесей в объеме сооружения
могут возникнуть в узких щелях, воздушных промежутках между от-
дельными деталями оборудования, а также при обтекании фронтом
пламени различных препятствий, при котором возникают завихрения
потока горящих газов. Таким образом, при расчете сооружений на
действие взрыва газовых смесей следует иметь в виду возможность
перехода нормального горения смеси в детонацию.
Взрыв газовой смеси в емкости. В промышленном производстве
возможны случаи взрыва газовой смеси в какой-либо емкости, при
разрушении которой возникает воздушная ударная волна. На осно-
вании энергетической теории подобия при взрывах, для определения
параметров ударной волны можно воспользоваться приведенными
в п. 2.1 общими зависимостями, подставляя в них тротиловый экви-
валент Сзк по энергии взрыва. При этом предполагается, что разру-
шение емкости при взрыве происходит одновременно по всей ее по-
верхности, подобно детонации заряда ВВ, хотя на самом деле в силу
конструктивных особенностей разрушение может произойти сначала
в наиболее слабом месте и поле взрыва, как правило, должно быть
существенно асимметричным. Это обстоятельство необходимо учи-
тывать при расположении емкостей вблизи ограждающих конструк-
ций, увеличивая в этом случае расчетные нагрузки на 30—50%. Энер-
гия источника взрыва определяется по формуле, ккал:
EoPoqV, (31)
где pq - плотность смеси, г/см3; q - теплота сгорания смеси, ккал/кг; V - объем
емкости со смесью, м .
Величины удельных энергий poq для некоторых газовых смесей
приведены в табл. 2. Масса эквивалентного заряда тротила определяет-
ся согласно формулам (10) и (22), кг:
Сэк = т?£’о/Ю00. (32)
21
я
S
5
5
а
s
l=c
S §S
я
*
Я
5
§
X
3
и
о
о о 2
Я
я
&
rt
X
i
Я
§
Я
X
я
о
«
&
0>
I
E
s
я
о
о
а
о
о
g
Рч
й
3
о
я
Й
С
z
Z
z
z
о
о
с*
О
о
z
z
z
z
z
5
«
о
СП
сЗ
К
X
я
о
«
X
я
со
О
«
X
о
«
X
я
cn
О
д
+ О
я
я
о
Ри
Е
я
О
§
и
о
d 5
о Л
22
Параметры воздушной ударной волны в дальней зоне определены
в работе [5].Давление на фронте ударной волны, МПа,
при детонации топливно-воздушных смесей
Рф = 0,06х + 0,14х2 + 0,25л3 , (33)
при детонации топливно-кислородных смесей
Рф = 0,067х + 0,17х2 + 0,35х3. (34)
В этих формулах х — величина rj введена в постоянные
коэффициенты и, таким образом, при определении по формуле (32)
нужно принимать ту = 1. Формулы действительны прих < 0,5.
Величины импульсов в ударной волне определяются по формулам,
Н • с/ м2 :
при детонации топливно-воздушных смесей
/=95^С^/Л; (35)
при детонации топливно-кислородных смесей
z=120#C^/«. (36)
Величина импульса при отражении от преграды увеличивается в
среднем в три раза.
Время действия ударной волны определяется по формуле, мс:
7=1,1>Zc^Vr7 (37)
Во всех формулах масса зарядов Сэк выражена в килограммах,
а расстояния R — в метрах.
Взрыв облака газовой смеси в воздухе При утечке горючих газов
из емкостей в воздухе образуется облако взрывоопасной газовой сме-
си, которая в силу различных случайных причин может воспламеняться.
При возгорании и последующей детонации смеси, подобно рассмотрен-
ному случаю разрыва емкости, в окружающем воздухе образуется
ударная волна, параметры которой определяются по формулам
(31) — (37). Объем облака V может быть подсчитан по весу испарив-
шегося газа в соответствии со стехиометрическим составом образо-
вавшейся топливно-воздушной смеси. Например, при испарении Q,
кг, водорода Н2, которого в смеси с воздухом стехиометрического
состава должно содержаться 29,6% по объему, объем облака V можно
рассчитать следующим образом:
v = — q = 39,9g м3. (38>
2 • 29,6
Глава 3, ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ
ДИНАМИЧЕСКОГО РАСЧЕТА ОГРАЖДАЮЩИХ КОНСТРУКЦИЙ
3.1. ИСХОДНЫЕ ПРЕДПОСЫЛКИ
Нагрузки на ограждающие конструкции сооружений при воздей-
ствии воздушных ударных волн характеризуются большими величи-
нами давлений, продолжительность которых составляет несколько
миллисекунд. Эта особенность взрывных нагрузок привела к необ-
ходимости разработки нового раздела динамики сооружений, в ко-
тором, в отличие от классического направления, исследующего ста-
ционарные процессы вынужденных колебаний, необходимо учитывать,
вследствие кратковременности действия нагрузки, переходный про-
цесс, заканчивающийся затем свободными затухающими колебаниями.
При разработке и выборе методов расчета на кратковременные на-
грузки необходимо учитывать некоторые специфические особенности
взрывных нагрузок. Известно, что распределение давлений в воздуш-
ной ударной волне неравномерно по разным направлениям, причем
на относительно больших расстояних от источника взрыва. Вызывае-
мый этим обстоятельством значительный разброс взрывных нагрузок
делает возможным использование приближенных методов расчета строи-
тельных конструкций, поскольку любое, точное с математической точки
зрения, решение теряет смысл из-за неточного определения условий
нагружения.
При расчете конструкций на кратковременные нагрузки, как и во-
обще в динамике сооружений, широко используется приближенный
метод, в котором конструкции рассматриваются как системы с одной
степенью свободы.
Наличие разброса взрывных нагрузок приводит также к общему
принципу расчета конструкций на действие взрыва, согласно которому
следует стремиться использовать верхние пределы возможных нагрузок
и расчетных усилий, обеспечивая, таким образом, более надежный за-
пас прочности в конструкциях. Этот важный принцип будет учитывать-
ся всюду при выводе расчетных формул.
При проектировании и расчете сооружений могут встретиться два
основных случая, определяемых характером проводящихся в них тех-
нологических процессов:
многократные взрывы зарядов ВВ заданного веса при проведении
научно-исследовательских работ или при использовании энергии взры-
ва в промышленности;
аварийный взрыв, происходящий при нарушении технологического
процесса на взрывоопасном производстве и рассматриваемый как
чрезвычайное происшествие.
В первом случае, очевидно, расчет должен производиться исходя
из работы ограждающих конструкций только в упругой стадии с обес-
печением необходимого запаса прочности.
Во втором случае, в связи с однократным воздействием взрыва,
можно допустить возникновение остаточных деформаций в виде тре-
24
щин в железобетонных конструкциях или выпучивания стенок в сталь-
ных конструкциях и расчет поэтому целесообразно производить с уче-
том пластической стадии работы материала.
3.2. УПРУГАЯ СТАДИЯ РАБОТЫ
Любая строительная конструкция представляет собой систему с
бесконечным числом степеней свободы, обладающую бесконечно боль-
шим числом форм собственных колебаний Каждая из этих форм ха-
рактеризуется тремя основными параметрами: амплитудой у, собст-
венной частотой ip и коэффициентом затухания е.
В приближенном методе динамического расчета реальные конструк-
ции с непрерывно распределенной массой приводятся к системе с од-
ной степенью свободы, что с физической стороны равносильно учету
только одной, главной формы колебаний с наинизшей собственной
частотой и наибольшей амплитудой колебаний. Колебания системы
с одной степенью свободы описываются дифференциальным уравне-
нием второго порядка, которое достаточно просто решается для лю-
бых, встречающихся в практике, видов динамической нагрузки. По
теории динамического расчета конструкций имеются много изданий,
из которых следует указать на классические труды [6, 13] по дина-
мике сооружений, а также на работы, посвященные расчету конструк-
ций на действие кратковременных нагрузок [8,9].
Рассмотрим в сжатой форме основные сведения из теории динами-
ческого расчета балок и плит, как систем с распределенной массой
и с одной степенью свободы, в упругой и пластической стадиях на воз-
действие мгновенного импульса и переменного во времени давления
воздушной ударной волны.
Колебания балок. Собственные колебания балок описываются од-
нородным дифференциальным уравнением четвертого порядка в час-
тных производных
д*У
EI------+ т-----— О,
дх4 д t2
(39)
где EI - жесткость балки, для балочной плиты заменяется цилиндрической жест-
костью D = Eh51 [12(1 - д2)]; у - прогиб в точке пролета с абсциссой х\ т -
погонная масса; кг/м; t - время, с.
Решение этого уравнения описывает собственные колебания балки,
возникающие, в частности, при воздействии мгновенного импульса,
который является одним из видов взрывной нагрузки. В уравнении
(39) опущен член, учитывающий затухание колебаний, что может быть
обосновано следующим образом:
амплитуда установившихся вынужденных колебаний при воздей-
ствии стационарной периодической нагрузки непосредственно зави-
сит от степени затухания, и учет его в этих случаях обязателен. При
25
воздействии кратковременных нагрузок максимальные амплитуды
достигаются в течение первого периода колебаний и влияние затуха-
ния поэтому несущественно;
при отсутствии затухания достигаются несколько большие ампли-
туды колебаний, что желательно с точки зрения общего принципа рас-
чета конструкций на взрывные нагрузки (см. п. 3.1).
Решение уравнения (39), следуя методу Фурье, находится в форме
произведения двух функций
У= s X(x)T(t), (40)
п — 1
из которых Х(х) зависит только от координаты х, a T(t) только от
времени t В результате решения получаются следующие выражения
для искомых функций:
Х„ = Ci sin& х + C2cos/c„x + C3shk х + C4ch& x; (41)
[I fl fl fl fl
Tn = Css vwnt + C6 cos <pnt. (42)
Выражение (41) называется фундаментальной или собственной функ-
цией и совокупность их описывает п форм собственных колебаний.
Выражение, c“2j
VEI
(43)
т
представляет собой круговую частоту собственных колебаний балки
по любой из п форм. Постоянные С) — С4 в выражении (41) опреде-
ляются из граничных условий на опорах. На шарнирной опоре прогиб
и изгибающий момент равны нулю, поэтому граничные условия бу-
дут следующими:
Х = х" = 0. (44)
При жесткой заделке балки прогиб и угол поворота равны нулю,
поэтому
Х = У=0, (45)
На свободном конце балки изгибающий момент и поперечная сила
равны нулю:
x"=x"' = Q. (46)
На упругой опоре изгибающий момент равен нулю, а поперечная
сила равна реакции опоры су, где с — коэффициент жесткости опоры:
X " = 0; Е/Х = ± сХ. (47)
26
Постоянные С5 и С6 находятся из начальных условий движения:
в-момент времени t = 0;
перемещения у0 = f (х) 1. (48)
скорости у 0 =F (х)
Подставив заданные начальные условия (48) в решение (42), по-
лучим следующие выражения для постоянных:
ls F(x)X dx
I о
С5 =--------------------; (49)
*п 1 „
J х2п dx
о
I
J f(x) X dx
0 1
Св =--------------- (50)
I
/ х2п dx
0
Вынужденные колебания балок описываются неоднородным диф-
ференциальным уравнением
д4у дгу
£7-------+ т-------= р (х, t).
dx4 dt2
Решение этого уравнения состоит из суммы общего и частного ре-
шений:
У = У1 + У2, (52)
в которой первый член у1 представляет свободные колебания, описы-
ваемые выражениями (41) и (42), а второй член у2 является частным
решением уравнения (51) для заданной нагрузки р(х, t), Представляя
это частное решение также в виде произведения двух независимых
функций X и Т и разложив нагрузку p(x,t)b ряд по собственным функ-
циям, получим следующее окончательное выражение:
Х„ tlP (%, г) Х„
— J / sin^ ft - 7) d e d T. (53)
21
Это выражение можно представить в следующем, более удобном
для пользования, виде:
оо
У2= 2
п=1 <РП
(54)
Выражение
0 т^Х2п di
О
можно рассматривать как некоторый зависящий только от х коэффи-
циент приведения нагрузки р (х) и массы т (х) в точку с наибольшим
прогибом.
Выражение
t
кд = / Р(Т) sil4j (t-r)dT (56)
О
зависит только от t и при максимальном значении интеграла является
динамическим коэффициентом, характеризующим эффект воздействия
заданной нагрузки р (t).
Определим основные параметры колебаний свободно опертой балки:
собственные частоты <рп и максимальный прогиб J>max по полученным
формулам точного решения уравнения колебаний для двух основных
случаев взрывной нагрузки: воздействия мгновенного равномерно
распределенного импульса интенсивностью i (Н • с/м2) и переменного
во времени равномерного давления ударной волны, описываемого
выражением
PW = POT О ----)• (57)
тэ
Подставив граничные условия (44), одинаковые на обеих опорах
балки, в выражение (41) для собственной функции, получим
С2 = С3 = С4 = 0 и sin^ / = 0.
(58)
Из (58) следует, что кп — nn/l. Тогда собственные частоты, соглас-
но формуле (43), будут определяться выражением
28
(59)
Собственная функция в соответствии с выражением (41) будет
птт
X = sin--------х.
I
(60)
В табл. 3 приведены значения коэффициентов кл в формуле (43)
для частот и собственные функции колебаний по основным фор-
мам для трех типов балок.
Таблица 3. Собственные функции балок
Схема балки | к' 1 А ] хл
Свободно 7T/Z 9,87/Z2 sinfc] 1
опертая
Защемленная 4,73 22,37 (sh kyl - sin kx l)(chk1 x -cos ki x) -
на обеих — —,2 -(chky I - cosfcj I) (shfcjx - sin#±x)
опорах / Г
Консольная 1,875 3,52 (sh k± I + sin k± I) (ch kix — cosk±x) —
— — - /ch k* I + cos к 1 I) (sn к i x -
1 I2 - sin к J x)
В случае воздействия мгновенного импульса начальные условия
будут следующими: у0 = 0, у0 = i/m.
Подставив их в выражения (49) и (50), получим
I птт
J sin------xdx
Cs = -i-------—----------------------и c6 = о.
1 „ tin
S sin2-----xdx
I
0
Выполнив интегрирование, получим
r _ 4/ (61)
пяттрп
Выражение, описывающее амплитуду колебаний балки, согласно
решению (40), получится следующим:
4/
я m
и=1,3,5..„
1 ИЯ
-----sin --—х siiw. t.
п*п I
(62)
29
Отметим, что в полученное выражение (62) вошли только нечетные
значения п = 1,3, 5..., соответствующие симметричным формам коле-
баний балки, поскольку действующая нагрузка является тоже сим-
метричной.
Развернув ряд в выражении (62) и учитывая, что высшие частоты
<рп связаны с низшей частотой равенством <рп = п2 получим сле-
дующее выражение для максимальной амплитуды колебаний в сере-
дине балки (х = // 2):
4i 111
Ут =---(1 - -г- + ----
З3 53 73
(63)
Члены ряда в скобках характеризуют вклад каждой из форм коле-
баний в амплитуду, и, как непосредственно видно из сопоставления
значений этих членов, влияние высших форм по сравнению с низшей,
основной формой, крайне незначительно» Этот результат является фун-
даментальным обоснованием правомерности использования прибли-
женного метода динамического расчета конструкций. После сумми-
рования ряда получим
ут
4i л3
тгт<р1 32
1,234 --—.
(64)
Теперь найдем максимальный прогиб балки при воздействии пере-
менного давления, описываемого выражением (57). Коэффициент
приведения &Пр в выражении (54) бал найден и равен согласно фор-
муле (61):
%= (4Рот>/ (И7Г"0-
Вычислим динамический коэффициент по выражению (56) :
t
= ( О - ~~) sin<pn (г - т) dr.
О э
Проделав интегрирование, получим
кд =-----[(l-cos¥>„0-------------(<рпГ - sin<p Г)] • <65)
*птэ
Время максимального прогиба t находим, приравняв нулю произ-
водную выражения (65):
1
sin<pntm------(1 - cos^r^) = 0
тэ
30
Решив это уравнение, получим
^=---arcWT3- (66)
Подставив tm по формуле (66) в выражение (65), получим выра-
жение для динамического коэффициента
arctg^T3 f67)
^ = 2(1------------------).
тэ
Введя полученные выражения для и к^в основное решение (54),
получим
4рот 00 1 птт
у2 =------- S ----------------к& sin----х. (68)
™ П=1,3,5,..., 1
Находим выражение для максимального прогиба при х = //2, введя
>рп=п2<р1 и заменив формулу (67) приближенным выражением
arctg </>1 тэ
Л =2 (1----------------);
*1 тэ
(69)
_ 4Рот кд ( 1 1
Ут ~ ( ~ ~3’ 5Г ~ V
(70)
Выражение (70) аналогично полученному выражению (63) для сво-
бодных колебаний. После суммирования ряда получим
4Р0Ткд ”3 Рот ,
япир\ 32 тп<р\
(71)
Поскольку решение (68) уравнения вынужденных колебаний опи-
сывает движение системы только во время действия нагрузки, то усло-
вием возможности его применения для расчета должно быть неравенст-
во tm < тэ, откуда, учитывая формулу (66), получим условие в сле-
дующем виде.
тэ >2,331. (72)
Из условия (72) следует также, что должно быть
31
Тэ> 0,371 Ti,
(73)
где — период собственных колебаний системы по основной форме.
При внезапном приложении постоянной нагрузки тэ * 00 и по фор-
муле (69) получим к& = 2, как и следует из общей теории колебаний.
Время достижения наибольшего прогиба в этом случае будет равно,
согласно формуле (66): tm = Till. При = 2,331 получим: =
= 2(1—0,5) = 1. Если <Р\Т3 < 2,331 величина динамического коэффи-
циента становится меньше единицы и определяется величиной ампли-
туды свободных колебаний, возникающих в момент t = тэ после окон-
чания действия нагрузки. Эта амплитуда выражается через начальные
условия: амплитуду >> и скорость У следующей формулой:
тэ тэ
Динамический коэффициент выразится тогда следующей формулой:
i / 2 sin (Pi 2(1— cos т\)
кд= V 1------------+----------------—
' 'Pl тэ (<^1 Тэ)2
(75)
На графике (рис. 15) представлены значения динамических коэф-
фициентов к& в зависимости от аргумента тэ для обоих случаев воз-
действия переменной во времени нагрузки по (5 7).
Проделаем аналогичный расчет по приближенному методу, считая
балку системой с одной степенью свободы. Уравнение свободных ко-
лебаний такой системы имеет следующий вид:
d2 у
М-------+ су = 0 (76)
dt2
или
у + <р2у = 0, (77)
где ip = у/ с/М - круговая частота собственных колебаний системы, с1; с — коэф-
фициент жесткости, Н/см; М - масса, кг.
Решение уравнения (77):
у = Ci sin + С2 cos (78)
Постоянные Q и С2 определяются из начальных условий при t — 0:
у = Уо и ро ~ У о- Найдя эти постоянные, получим:
32
Рис. 15. График для опре-
деления значений динами-
ческих коэффициентов
при воздействии кратко-
временной нагрузки для
упругой стадии
10 20 30 40 50 60 10 80 90 100110120 лэ
у = Уъ cosipt + ~— sinipt, '
При воздействии мгновенного импульса /начальные условия: у0 = О
и г0 = I/М. Максимальная амплитуда колебаний будет в этом случае
равна:
Ут = (80)
Это выражение аналогично полученному (64) при точном решении и
отличается от него только наличием сосредоточенных импульса I и
массы Л/, из чего следует, что коэффициент приведения равномерно
распределенных нагрузки и массы в точку с наибольшим перемеще-
нием равен 4/л = 1,273.
Уравнение вынужденных колебаний примет вид
М-----——^cy-P(t). (81)
dt2
или
У + ф2 y = JLp(t),
М
Решение уравнения (81) складывается из общего (79) и частного
решений:
t
у2 =-----J P(t) sinipfr - T)dr. ^^)
ТИср п
33
Подставив в (82) выражение для нагрузки по (57), получим в ре-
зультате выражение, аналогичное (71) :
у = (83)
ут . &
Мд?
Преобразуем полученные формулы (80) и (83) для прогибов:
Утах = откУда сУт&* и
Рэк = /^
Таким же образом получим
Р ЭК~~ Л)Т
(84)
(85)
(86)
Из полученных формул (84) и (85) следует, что действующие на
систему с одной степенью свободы динамические нагрузки в виде мгно-
венного импульса/ или давления Р (t) могут быть заменены эквива-
летными им статическими силами Рэк. Из этих формул следует
также, что равномерно распределенные импульсы i и давления р (t)
также могут быть заменены соответствующими эквивалентными рав-
номерными статическими нагрузками:
рэк = ikp
и
Рж ~ Рот ($7)
Таким образом, сложный динамический расчет по точному методу
может быть заменен обычным статическим расчетом на действие экви-
валентной нагрузки.
Сравним величины максимальных прогибов балки, подсчитанных
по формуле (64) точного метода и по приближенному методу при
воздействии мгновенного равномерно распределенного импульса:
по точному методу
l,234z 1,234/^ Z4 т i Z4
Ут =--------=------------1------=0,0131-------------;
тттА EI EJ
по приближенному методу
5z>iZ4 z>xZ4
v =-------!-----= 0,0130 —------.
384 EJ EI
Величины прогибов получились одинаковыми.
Колебания плит. Уравнение колебаний свободно опертой прямо-
угольной плиты с пролетами а и Ъ имеет следующий вид:
34
d4w d4w d4w m d2 w (88)
-----+ 2------------+-------+--------------= 0, 7
dx4 dx2 dy2 dy4 D dt2
где vv - прогиб плиты; m - масса на единицу площади.
Используя приведенный метод решения уравнений колебаний, по-
лучим для свободно опертой плиты при воздействии мгновенного рав-
номерно распределенного импульса интенсивностью I следующее ре-
шение:
1 . оо оо
16/
W (х, у) —--------~--- £
Л2 т т=1, 3,..., /2=1,3,...,
1 ГП1Т
-----------sin-------X X
а
(89)
К77
xsin-— У ^mnt.
В выражении (89) собственные функции по обоим пролетам плиты,
как и следует из граничных условий, одинаковы с функциями для сво-
бодно опертой балки, а коэффициент приведения нагрузки и массы ра-
вен произведению коэффициентов для балки. Этим результатом можно
воспользоваться для приближенного определения коэффициентов при-
ведения для плит с различными условиями опирания.
Частоты собственных колебаний выразятся формулой, с“1:
(90)
Для квадратной плиты (а~Ь)
основной частоты, с“1:
получим следующую формулу для
(91)
Прогиб плиты
16/ 1 . птг
w(x,y) =---------------- S -------------sin--------х sin^nt
и = 1,3,..„ «4 а
Максимальный прогиб
16z / 1 1 \
wmax = ~ ( 1 + “7 + “7 + -) ’
77 т 1 \ 3 5 /
Z (/>1 i д4
или и» = О, 0422 ——-------.
т D
(92)
(93)
(94)
35
По приближенному методу [ 14]:
wmax = О.04061'*/’! 1 a4 ID.
Оба результата практически одинаковы.
Определим условия применения при расчете каждого из видов ди-
намической нагрузки — мгновенного импульса или переменного давле-
ния. В табл. 4 приведены значения отношений Рэк/рот> подсчитанные
для случая воздействия мгновенного импульса:
Рэк=^= (Рогтэ^12 (95)
и переменного давления
Рэк=РотЛ- (96)
Таблица 4. Значение отношений эквивалентных и действующих давлений
SP тэ РЭкЧтпо (95) ] по (96)
2,331 1,165 1
2,2 1,1 0,96
2 1 0,895
1.8 0,9 0,825
1,6 0,8 0,745
1,4 0,7 0,665
1,2 0,6 0,575
1 0,5 0,48
0,8 0,4 0,39
0,6 0,3 0,3
0,4 0,2 0,2
0,2 0,1 0,1
Как видно из табл. 4, при значениях <ртэ < 1 для определения экви-
валентной статической нагрузки следует пользоваться формулой (86),
при значениях 1 < <?тз < 2,331 — формулой (87), динамический коэф-
фициент в которой находится по формуле (75), а при тг > 2,331 —
по формулам (87) и (69).
3.3. ПЛАСТИЧЕСКАЯ СТАДИЯ РАБОТЫ
Разработка точных методов расчета конструкций в пластической
стадии встречает большие трудности, связанные, главным образом,
с нелинейностью диаграммы о — е для строительных материалов, Дви-
жение конструкций вследствие этого должно описываться нелинейны-
ми дифференциальными уравнениями, решение которых весьма слож-
но, а главное, в любом случае неудобно для практического использо-
36
Рис. 16. Диаграммы о — е для различных моделей упругопластических тел
вания. Построение приближенных методов расчета основывается поэто-
му прежде всего на применении идеализированных моделей материа-
лов, описываемых линеаризированными диаграммами о — е и выби-
раемых в зависимости от условий задачи. Инстинная диаграмма о — е
для упругопластических материалов, типичным представителем кото-
рых является мягкая сталь типа строительной стали СтЗ (рис. 16, я),
для идеальной упругопластической модели заменяется диаграммой
в виде двух линейных участков как в упругой, так и в пластической
области (рис. 16, в), или для широко используемой модели — диаграм-
мы Прандтля с постоянным пределом текучести (рис. 16, б). Во мно-
гих случаях, при достаточно больших пластических деформациях, мож-
но пренебречь упругой стадией работы и использовать модель идеаль-
ного жесткопластического материала с переменным (рис. 16, д) или
постоянным пределом текучести (рис. 16, г). Учитывая установлен-
ный общий принцип расчета конструкций на взрывные нагрузки, в
дальнейшем будем использовать модели материалов только с постоян-
ным пределом текучести, поскольку этим достигается дополнитель-
ное увеличение запаса прочности.
Основной характеристикой материала при расчете в пластической
стадии является предел текучести, величина которого зависит ог ско-
рости нагружения и при весьма больших скоростях, наблюдаемых при
воздействии взрывных нагрузок, увеличивается столь значительно,
что это обстоятельство целесообразно учитывать при расчете, вводя
вместо статического динамический предел текучести • Зависимости
динамического предела текучести от скорости деформирования, пред-
ложенные разными авторами, довольно сложны и введение их в урав-
нения движения конструкций значительно усложняет решение. Учи-
тывая весьма приближенные общие предпосылки расчета в пластической
стадии, целесообразно и в данном случае ограничиться введением по-
стоянного значения динамического предела текучести, величина кото-
рого для строительных сталей марок СтЗ может быть определена по
формуле [12]*
1
17
о^= 1,1 <Р1 От, (97)
37
Рис. 17. График для определения
коэффициентов упрочнения для
бетона при быстром нагружении
где ат статический предел текучести; <Р1 — частота собственных колебаний кон-
струкции по основной форме.
Прочность бетона на сжатие 7? также зависит от скорости нагруже-
ния, как показано на графике (рис. 17), на котором приведена зави-
симость отношения динамической прочности к статической R^/RCT
в зависимости от времени нагружения до максимальной деформа-
ции^ [7].
Рассмотрим принципы расчета конструкций в пластической стадии
на примере простой балки, нагруженной равномерной нагрузкой. При
увеличении интенсивности нагрузки изгибающий момент в середине
балки также будет расти, при этом эпюра нормальных напряжений в
поперечном сечении балки будет последовательно изменяться, как по-
казано на рис. 18. В момент окончания упругой стадии работы балки
напряжения в крайних волокнах достигнут предела текучести
(рис. 18, а) и при дальнейшем увеличении нагрузки балка переходит
в упругопластическую стадию, в которой пластические деформации
охватывают всю большую зону по высоте сечения (рис. 18, б). Нако-
нец, в момент перехода в пластическую стадию напряжения по всей
высоте сечения становятся равными пределу текучести (рис. 18, в)
и образуется так называемый пластический шарнир, в котором, в от-
личие от обычного шарнира, действует постоянный момент внутренних
сил Мо. Величина его для прямоугольного сечения, как видно из эпюры,
должна быть равна:
Мо = bh2 ат/4, (98)
что в полтора раза превышает момент внутренних сил в упругой ста-
дии. Балка в пластической стадии превращается в механизм из двух
звеньев, соединенных в середине пластическим шарниром (рис. 19)
с приложенными в нем моментами Af0. При воздействии кратковре-
менных нагрузок угол поворота каждого звена, а следовательно,
38
Рис. 19. Схема изгиба балки в пласти-
ческой стадии
P(t)
и прогиб балки у ~ ^7/2 достигает некоторой конечной величины в от-
личие от действия такой же постоянной нагрузки, где он растет неогра-
ниченно вплоть до разрушения.
При воздействии на балку мгновенного равномерного импульса
уравнение движения каждого звена балки в пластической стадии бу-
дет следующим:
/^ + Мо = О, (99)
где I — полярный момент инерции звена.
Решение этого уравнения в зависимости от принятых исходных дан-
ных может быть получено с различной степенью точности. В первом
приближении, считая материал балки жесткопластическим и пренебре-
гая, тем самым, упругой стадией работы балки, максимальный про-
гиб, согласно [7], равен:
z2 72
Лпах-----------
12ЛГот
(100)
В результате расчета по упругопластическому методу (с учетом
упругой стадии), что является следующей степенью приближения, по-
лучаем, согласно [7], вдвое больший прогиб
^тах= (г'2/2)/(6Л/о^)- (101)
При последующих степенях приближения можно учитывать упру-
гий изгиб звеньев, перемещение пластического шарнира или зон по
пролету и т.д. Такие решения в литературе имеются, но они слишком
сложны и не имеют пока практического значения. Как указывается
в [7], решение по упруго пластическому методу дает наибольшее зна-
чение для прогибов балок, поэтому этот метод и следует использовать
при расчетах. В некоторых случаях, при достаточно больших остаточ-
ных прогибах, может быть использован более простой жесткопласти-
ческий метод.
39
Рис. 20. Расчетная схема изгиба плиты
в пластической стадии
При воздействии переменного во времени равномерного давления
Р W уравнение движения примет следующий вид:
Tip + Mq = — р(t)l2. (Ю2)
. 8
Решение этого уравнения упруго пластическим методом приводит
к довольно сложному выражению для прогиба [7].
Поскольку уравнения (99) и (102) описывают движение систем
с одной степенью свободы, возможно значительное упрощение дина-
мического расчета конструкций в пластической стадии путем введе-
ния эквивалентной статической нагрузки таким же образом, как это
было сделано ранее при расчете в упругой стадии. Величина эквива-
лентной статической нагрузки, при воздействии которой в конструк-
ции возникает предельный упругий прогиб с переходом в пластичес-
кую стадию работы, выразится тогда следующей формулой, аналогич-
ной формуле (87):
<103>
где к™ - динамический коэффициент для пластической стадии работы.
Значения динамических коэффициентов к™ зависят от вида и ма-
териала конструкции и определяются по заданному значению прогиба
в пластической стадии,
Расчет статически неопределимых систем в пластической стадии
является значительно более сложной задачей, так как требует опре-
деления мест и последовательности образования пластических шарни-
ров и поэтапного расчета образующихся при этом систем различного
вида. Например, даже в простой статически неопределимой системе
в виде защемленной на опорах балки в зависимости от соотношения
величин моментов MQ на опорах и в пролете, возможны три различных
варианта перехода в пластическую стадию:
на первом этапе пластические шарниры образуются на опорах, балка
превращается в двухшарнирную, после чего на втором этапе образует-
ся шарнир в середине пролета и балка превращается в механизм из
двух звеньев;
40
на первом этапе образуется шарнир в середине балки, балка превра-
щается в систему из двух консолей, соединенных шарниром, на вто-
ром этапе шарниры образуются на опорах;
шарниры образуются одновременно на опорах и в середине пролета.
При расчете железобетонных прямоугольных плит в пластической
стадии используется обычно расчетная схема, состоящая из жестких
элементов, соединенных линейными пластическими шарнирами
(рис. 20). Для любого из элементов этого механизма можно написать
уравнение движения, подобное приведенному уравнению для балки,
и найти максимальный прогиб при воздействии кратковременных на-
грузок [7].
Глава 4. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ЗАЩИТНЫЕ СООРУЖЕНИЯ
4.1. УПРУГАЯ СТАДИЯ РАБОТЫ
Прямоугольные сооружения представляют собой замкнутые ко-
робки, составленные из плоских плит. Для таких сооружений наибо-
лее удобен приближенный метод расчета, в котором коробка расчле-
няется на отдельные» плиты с той или иной степенью заделки по кон-
туру. Для каждой из плит определяется эквивалентная статическая
нагрузка по формулам (86) или (87), которая зависит также и от
Частоты собственных колебаний у плиты. Поскольку наибольшее зна-
чение этой частоты получается при жесткой заделке на опорах, в силу
установленного общего принципа расчета на взрывные нагрузки, сле-
дует принимать расчетную схему в виде прямоугольной плиты с про-
летами а х Ъ в свету, защемленной по контуру. Собственная частота
колебаний такой плиты определяется по формуле
1 = —V (1 + 0,605 е + £4)
а2 т
где %=а/Ь, причем а >Ь.
Для квадратной плиты получим, с“1 :
(104)
36,15 t [Ь
(Ю5)
Внутренние усилия в каждой плите определяются обычным поряд-
ком с передачей опорных реакции на примыкающие к рассчитываемой
плиты. Возможно также использование, в особенности для камер удли-
ненной формы, расчетной схемы в виде замкнутой прямоугольной
рамы единичной щирины.
41
4.2. ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫЕ СООРУЖЕНИЯ В ПЛАСТИЧЕСКОЙ СТАДИИ
Работа железобетонных конструкций в пластической стадии харак-
теризуется образованием трещин в растянутой зоне сечения, связан-
ным с пластическим течением арматуры и последующим разрушением
бетона в сжатой зоне. Различные степени развития трещин, вплоть до
полного разрушения конструкции по всему сечению, определяют то
или иное предельное состояние конструкции, устанавливаемое при
расчете в зависимости от технологических условий эксплуатации со-
оружения. При расчете изгибаемых элементов предельное состояние
обычно нормируется величиной коэффициента к, определяемого по
формуле:
к=Ут/Уо, (106)
где ут — максимальный прогиб в пластической стадии; у$ предельный упру-
гий прогиб.
при воздействии кратковременной нагрузки для пластической стадии
Величина коэффициента к принимается в пределах от двух до пяти,
в зависимости от принятого предельного состояния конструкции.
Эквивалентная статическая нагрузка находится по формуле (103),
значения динамического коэффициента к™ приведены на графике
(рис. 21) в зависимости от основного параметра динамической нагруз-
ки (рцтэ и коэффициента к, определяемого по формуле (106) [7].
Максимальные прогибы при построении этого графика вычислялись
путем решения уравнения (102) с учетом упругой стадии работы кон-
струкции.
При подборе площади сечения арматуры динамический предел ее
текучести рассчитывается по формуле (97), а повышение прочности
бетона определяется по графику (см. рис. 17).
42
4.3. СТАЛЬНЫЕ СООРУЖЕНИЯ В ПЛАСТИЧЕСКОЙ СТАДИИ
Ограждающие конструкции стальных сооружений состоят обычно
из отдельных панелей, образованных из листов, приваренных по конту-
ру к монтажному каркасу из уголков.
Расчет стальных пластинок в пластической стадии можно произво-
дить по приближенному методу, который, несмотря на допущения,
положенные в его основу, дает результаты, хорошо согласующиеся
с опытными данными. При расчете по этому методу материал пластин-
ки считается идеальным жестко пластическим с диаграммой о — е (см.
рис. 16, г) и пластинка, следовательно, находится в состоянии пласти-
ческого течения, представляя собой мембрану с напряжением, равным
пределу текучести о^.
Рассмотрим уравнение динамического равновесия круглой защемлен-
ной по контуру пластинки радиусом а (рис. 22) :
М------—— + (AhTna sina = Р(tk (Ю7)
dt2 Т
где М - приведенная масса пластинки; w0 прогиб в центре; h - толщина плас-
тинки; Р (t) — приведенная внешняя динамическая нагрузка.
Рис. 22. Расчетная схема изгиба
круглой пластинки в пластичес-
кой стадии
Считая прогибы w0 малыми, получим, что sin а = а и
а а а
2 2
Тогда уравнение (107) примет следующий вид:
J2 w0 л
Af------—— + 4TTaz.hw0 = P(t),
dt
43
или
d2 W0 . 1
------ + X2 w0=-~-P(t)9
dt2 м
где X = /М, c"1.
(Ю8)
(109)
(HO)
Полученное уравнение (108) аналогично рассмотренному уравнению
(81) колебаний системы с одной степенью свободы и решение его бу-
дет следующим:
w = —“ кд
та MX2 &
В решение (ИО) входят приведенные к центру пластинки нагрузки
Р (t) и масса М. Значение приведенной нагрузки определим из условия
равенства работ равномерной нагрузки р (t) и приведенной Р (t):
а
P(t)wQ- f р (t) 2Trrw (г) dr9
0
откуда
а
р (t)= ---J w(r)rdr
wo о
(Hl)
Прогиб w (г), считая, что изгиб происходит по сферической поверх-
ности, будет равен:
. . / (д2+и^)2 2 fl2 - wo (112)
w(r) =V----------------г2-------------. v
4 Wo 2 w0
После подстановки формулы (112) в выражение (111) и интегри-
рования получим
p(t) 2 Wo + 6 я2 Wq 1 (ИЗ)
Р (t) =-----L---------1---------°— г — я д2 p(t) v ’
w0 24 Wo 2
Приведенную массу найдем из условия равенства кинетических
энергий, выразив прогиб в любой точке, согласно методу Фурье, как
произведение двух функций w = w (г) у (t)\
1 1 а
— =—т J [w(r)y(t)\2 2Trrdr,
2 2 о
44
откуда
2тгш а
М~--------J [w(r)}2rdr. (114)
0
После подстановки w (г) по (112) и интегрирования получим
2ттт w^ + 2a2w20 1 fnn
w20 12 3
Подставив в формулу (109) полученное выражение (115) для при-
веденной массы, получим следующую формулу для определения вели-
чины X для стальных пластинок, с”1:
х = -----У^, (116)
а
где а - радиус, см.
При воздействии нагрузки по закону (57):
t
p(t)=pm (1-------) -
тэ
величина динамического коэффициента выразится формулой, анало-
гичной (69), Подставив в решение (ПО) выражения для М и по-
лучим окончательно
w = _Р_от£_ (1 _ Д (117)
max а /•
4^Л Хтэ
При воздействии мгновенного импульса интенсивностью z, Н • с/м2,
уравнение (108) примет следующий вид:
d2 w0 9
____P+X2Wo = O. (118)
При начальных условиях: w0= 0 и w0 = I/М получим
wmax=1>5--- (119)
т X
Этим решением можно пользоваться в случаях, когда
Хтэ< 2,331.
45
Найденные максимальные прогибы wmax не должны превышать
некоторой предельной величины, определяемой допустимой деформа-
цией растяжения [е] в пластинке. Длина дуги в изогнутой по сфери-
ческой поверхности пластинке будет равна:
Относительная деформация
(120)
Решив равенство (120) относительно umax, получим выражение
для предельно допустимого прогиба
/~3
— (е2 + 2е) = (121)
4
Приведем значения коэффициента т? для различных значений дефор-
мации е:
е, % 0,5 1 2 3 5
т] 0,087 0,123 0,174 0,214 0,277
При расчете следует принимать значения [ej не более 2—3%.
Применив приведенный метод расчета для прямоугольной пластин-
ки размерами 2а х 2b (а > Ъ), получим, с“1:
Х =
4 o&h (а2 + Ь2),
(122)
* МаЬ
Принимая значения приведенных нагрузок и масс для шарнирно
опертой пластинки равными:
Р = 1,64 abp
(123)
М — аЪт
(124)
получим
\ l4o? h ( 1 + £2),
х= у—:----------
(125)
где £ =а/Ь.
та2
46
Для стальных пластинок получим следующую формулу, с 1:
x=-7---Vq? (i + e2), (126)
а т
где а - радиус, см.
Максимальный прогиб при воздействии переменного во времени
давления выразится следующей формулой:
0,41pOTa2 / arctg Хтэ
wmax \J
<A(W) Хт
I
Для квадратной пластинки
0,205 рот я2 / arctgXr3
wmax ~ V j
4 Хтэ >
Максимальный прогиб при воздействии мгновенного импульса
wmax = 4z/"zX- (129)
Условие прочности, согласно формуле (121):
Ги’тах]<^- (130)
Глава 5. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ СООРУЖЕНИЯ
5.1. ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
В результате воздействия ударной волны в стенке цилиндрическо-
го сооружения возникают поперечные колебания изгиба» Заряд ВВ
располагается на оси симметрии сооружения и поэтому взрывные На-
грузки и перемещения оболочки в любой, нормальной к оси, плоскости
будут одинаковыми по всему ее периметру, В этих условиях для ре-
шения задачи о поперечных колебаниях оболочки достаточно рассмот-
ри ъ уравнение динамического равновесия отдельного ее элемента.
На 'ис. 23 показан такой элемент с действующими в нем внутренни-
ми 'Илиями: изгибающими моментами вдоль образующей оболочки
Мх * кольцевыми М^9 нормальными кольцевыми силами N и попереч-
ными силами Qx. На рисунке показаны также направления осей коорди-
нат и соответствующие им перемещения. Вследствие осевой симметрии
поперечные силы в вертикальных сечениях
касательные усилия
47
Рис. 23. Расчетная схема элементарной
площадки замкнутой цилиндрической
оболочки при поперечных колебаниях
Л' = и крутящие моменты = М в обоих сечениях равны
Xip р>Х Хф tpx г
нулю и на рисунке не показаны. По той же причине кольцевые усилия
и должны быть одинаковыми по всему периметру оболочки.
Уравнение равновесия элемента оболочки представляет собой сумму
проекций всех усилий на ось z, его можно записать в следующем виде:
д2 w & Qx
mad^pdx------+-------dxad<p +
dt2 dx
+ 2N^dx sin —= p (x, t) adipdx. (13 0
Учитывая, что
d ф d er
sin —= ———
2 2
и
dQx d2Mx
dx dx2
после сокращений получим
d2 w d2 M 1
m--------+------ +-----N p( t) (132)
dt2 dx2 a *
По обобщенному закону Гука
Eh
Nx (ex + де ) — 0,
1 —д
(133)
48
N=-------------(e + pe„)
<P 1 _ u2 x
1 fA
(134)
Из равенства (133) получаем ex = — подставив это равенство
в (134) и учитывая, что = — ю/а9 получим
Eh
N =--------w,
V а
(135)
Из условий симметрии заключаем, что кривизна по окружности обо-
лочки должна быть постоянной. Тогда из теории пластинок следует,
что:
М= D————; (136)
Х dx2
М^ = цМх. (137)
Подставив выражения (135) и (136) в уравнение (132), получим
уравнение вынужденных колебаний замкнутой цилиндрической обо-
лочки:
d4w Eh- d2 w
D------ + ------ = p(x,t), (138)
dx4 a~ dt2
где m ~ масса на единицу площади; D - цилиндрическая жесткость; д - коэф-
фициент Пуассона; а - радиус срединной поверхности; h - толщина оболочки.
Сначала найдем решение уравнения собственных колебаний оболоч-
ки, для чего выписываем уравнение (138) в однородной форме:
г)4 vvj. Eh д2 Wi
D-----------+-----Wi + т------------= 0.
дх4 a2 dt2
(139)
Индекс 1 при w означает, что ищется общее решение уравнения соглас-
но решению (52). Решение уравнения методом Фурье, как показано
в п. 3,2, приводит к выражению
w 1 ~ X i Т1,
(140)
в котором, в соответствии с принятым приближенным методом расче-
та, учтены только колебания по основной форме с низшей частотой
ipp Круговая частота собственных колебаний цилиндрической оболоч-
ки выражается формулой, с“1:
Гл л D
^i=V (Л?+4|34) —,
т
(141)
49
Рис. 26. Расчетная схема стенки цилиндри-
ческого сооружения с плоским покрытием
цилиндри-
Рис. 24. Расчетная схема стенки
ческого сооружения с куполом
Рис. 25. График для определения значений параметра а для цилиндрическо-
го сооружения
в которой
04 = [3 (1 -/?)]/(а2/*2).
(И2)
Найдем собственные функции для трех типов ограждающих кон-
струкций цилиндрических сооружений:
1-й тип — с покрытием в виде купола;
2-й тип — с плоским покрытием;
3-й — с криволинейными днищами.
Тип 1 (рис. 24). В сооружениях этого типа стенка внизу жестко
заделана в фундаментной плите и поэтому можно принять крае-
вые условия
Х = х' = 0. (143)
50
Верх стенки переходит в купол обычно сферической формы. Сле-
дуя приближенному методу расчета цилиндрических резервуаров со
сферическими днищами, изложенному в книге [14], можно считать,
что наверху стенки имеется шарнирная упругая опора с краевыми ус-
ловиями
у" = 0; DX' = cX. (144)
Величина коэффициента жесткости опоры с равна с = 2ft2 D, отку-
да X"' = 2/33 X. После подстановки краевых условий в собственную
функцию и ее производные, согласно выражению (41), и решения по-
лученной системы уравнений, получаем следующее частотное урав-
нение:
cosa sha - sina cha
где а—к^Н.
На рис, 25 представлен график для определения значений а = кгН,
входящих в качестве аргумента в собственную функцию Х^, в зави-
симости от заданной величины &Н. Собственная функция:
Xi ~ (sina + sha) (cosZ^x - chZrxx) —
— (cosa + cha) (sinA^x - shA^x). (146)
Tun 2 (puc. 26). В сооружениях с плоским покрытием стенка может
считаться жестко заделанной в фундаментной плите и в покрытии,
Краевые условия на обеих опорах будут одинаковы
АГ = У' = О, (147)
Частотное уравнение
cosa cha =1. (148)
Первый корень этого уравнения ах = 4,730. Фундаментальная функ-
ция
Xt =(sina - sha) (cosA^x - chZ^x) —
— (cosa —cha) (sinZ^x - shZ^x). (149)
После подстановки ax = 4,73 получим
Xi = 56,634 (sinZ^x - shZ^x) —
— 57,643 (cosZ^x - chA^x). (150)
51
Рис. 27. Расчетная схема стенки
цилиндрического сооружения со
сферическими днищами
Рис. 28. График для определения значений
параметра у — к±1 для цилиндрического
сооружения
Tutt 3 (рис. 27). Краевые условия на обоих краях оболочки одина-
ковы X —, 0 и X — 2р>3 Х Используя симметрию, помещаем начало
координат в середине оболочки. Краевые условия в этой точки будут:
= 0. (151)
Краевые условия у днищ:
х" = О,х'" = 2Р3Х. (152)
Частотное уравнение
у3 (siny chy + cosy shy)
—----------------L__L_=(^/)3> (153)
4 cosy chy
где у
На рис. 28 приведен график для определения значений у = по
заданным величинам fa I. Собственная функция
Х^ = cosy chfcjx + chy cosA^x. (154)
Расчет на воздействие мгновенного импульса. Как показано в п. 2.2
эпюра импульсов, действующих на стенку цилиндрической оболочки
может быть представлена выражением
i (х) = 10 - Со - *н) -- ’ <155)
н Н
где i0 — величина импульса внизу стенки; «н - то же. наверху стенки.
52
Начальные условия в момент при t = 0, w0 = 0; w0 = i (х)/тп. По-
стоянные в выражении (42) будут равны Со = 0 и
э и v '
о
Подставив в (156) выражение (155) и собственные функции Хг
для трех типов сооружений, получим следующие выражения для по-
стоянной С5, которую обозначим Л*•:
тип 1:
f 1 1
zo — (sina+sha) — (cosa + cha) 1 — I к
Л. = —2_______l_°__________________________
— ---------------------------------------A
3 (cosa sha — sina cha)
*[— (sina+sha — (1 +cosa cha)]
к------------------------------------. (157)
(1+ cosacha) + (sina+sha)2
тип 2:
i0 [ (cha - cosa) - -- (sina cha -
a
cosa sha — sina) ] + z*H [— (sina cha — cosa sha +
a
+ sha - sina - sina sha] f : a (cosa sha - sina cha)2;
тип 3:
г о
2 — (chy— cosy) + z’H
=--------------------------------- X
7 (cos2 7 + ch2 7) + 3
1
[— (cos7 — CI17) + COS7 sh7 + sin7 clry]
(158)
(159)
(sin7 cos7 ch2 7 + sh7 ch7 cos2 7)
53
Искомые перемещения оболочки выразятся, согласно выражению
(140), формулой
Wx = Ai sin^x t. Расчетные формулы для внутренних усилий получаем. (160) согласно
формулам (136), (137) и (135), в следующем виде:
Mx=AiDXn; кольцевые изгибающие моменты: (161)
~~ ^^х9 кольцевые нормальные силы: (162)
A: Eh ^р = ——X. * а (163)
Расчет на действие переменного давления. В соответствии с приве-
денными в п. 2.2 данными о взрывных нагрузках в цилиндрических
сооружениях, эпюра давления ударной волны на стенку выразится
следующим образом:
х t
Р (X, t)= [р0 - (р0- Рн) ---] (1-------) , (164)
Н тэ
где р0 и рн давление отражения внизу и наверху стенки.
В соответствии с выражением (54), частное решение уравнения ко-
лебаний (138) будет иметь вид
1
w2 = ---АркдХ.
Ф1
(165)
Выражения для Ар вычисляются аналогично Aj по формуле (49)
и соответствующие формулы для трех типов сооружений будут от-
личаться от формул (157)—(159) только обозначениями р0 ирн вмес-
то z0 и z‘H, а вместо первого множителя 2/mipi будет фигурировать
множитель 2/zzz^i. Величины динамических коэффициентов опреде-
ляются по полученной ранее формуле (69):
/ arctg^xT
^=2(1--------------
\ тэ
(166)
Внутренние усилия в стенке выразятся следующими формулами:
Mx=ApDkdx"-, (167)
54
<168)
Следует отметить, что проводившиеся испытания железобетонных
цилиндрических сооружений со сферическим куполом показали очень
хорошее согласование вычисленных и измеренных собственных часто!
и перемещений стенки при поперечных колебаниях.
5.2. ПРОДОЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
При воздействии ударной волны на купольное покрытие в стенке
возникают реактивные продольные колебания вдоль образующей.
Эпюра и параметры нагрузки на купол были установлены в п, 2.2 [фор-
мулы (25)~(27) и рис. 13]. Полное давление на купол будет равно:
Р=--Рт7га2-
Отнеся это давление к единице длины периметра стенки, получим
формулы для единичной продольной силы Ру (t):
приложенной к верху стенки:
' (170)
4 и
в интервале времени 0 < t < 0 и
= Рт а (1<171)
4 тэ
в интервале 0 < t < (0 + тэ).
Расчетную схему при рассмотрении продольных колебаний стенки
можно представить в виде вертикального прямого стержня единичной
ширины, вырезанного из стенки, заделанного внизу и нагруженного
наверху массой М и переменной во времени единичной продольной
силой Ру (t) (рис. 29).
Используя имеющееся в литературе [13] решение задачи о вынуж-
денных продольных колебаниях стержня по такой схеме и учитывая
только основную форму колебаний, выпишем выражение для продоль-
ных перемещений стержня:
sinp sin—х t
и =-----------— J Ру (t) sinф (t - т) dr, 0^2)
cm 20+sin20 Q
55
&
X
p,(t)
777777
Рис. 30. График для
ния значений параметра (3 для
цилиндрического сооружения
определе-
Рис. 29. Расчетная схема элемента стенки цилиндри-
ческого сооружения при продольных колебаниях
т — погонная масса стержня, 0 — корень ха-
где с - скорость звука в стержне;
рактеристического уравнения;
V tg 0 = а;
(173)
где а — отношение массы стенки к массе куполаМ; в данном случае.
(174)
3H(R2h~R2&)
а —----------—s
_ ср
где Ян иЯв - радиусы наружной и внутренней поверхностей стенки; —у-
собственная частота продольных колебаний стержня.
Значения корней (3 уравнения (173) можно найти по графику, при-
веденному на рис. 30. Максимальное значение интеграла в (172) назо-
вем динамическим коэффициентом продольных колебаний. На графи-
ке (рис. 31) представлены значения динамических коэффициентов
в зависимости от заданных величин ф (0 + тэ) и а — 0 (0 + тэ). После
подстановки^ и некоторых преобразований выражения (172) получим:
рта Н*Ыкд р (7)
тс2 0(20+sin 20) //
Далее, используя равенство ох = Edu/dx, получим выражение для
нормального усилия в стенке
Vsin0 0
N =-------------к> cos — х,
х 20+sin20 ° Н
(176)
56
Рис. 31. График для определе-
ния значении динамических ко-
эффициентов при продольных
колебаниях
или, обозначив постоянную часть (176) через В:
в =____д sin<?__. (177)
2/?+sin2/3
Nx = BPmkd СО8~„Х- (178)
£1
Максимальное значение нормального усилия получится внизу стенки
прих = О,
m^Nx = Bpmkd. (179)
Основываясь на результатах расчета цилиндрических резервуаров
со сферическими днищами на статическое давление, изложенным в
книге С.П. Тимошенко [14], по которым напряжения в днищах по-
лучаются всегда меньше, чем кольцевые напряжения в стенке, можно
не производить отдельного расчета криволинейных покрытий цилиндри-
ческих сооружений, принимая, что усилия в куполе в обоих направле-
ниях равны кольцевому усилию наверху стенки.
5.3. ПРИМЕР РАСЧЕТА ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО СООРУЖЕНИЯ
Приведем подробный пример расчета цилиндрического сооруже-
ния, предназначенного для проведения систематических подрывов
зарядов ВВ с тротиловым эквивалентом С — 50 кг. Заряд располагается
на вертикальной оси симметрии, на высоте одного метра от пола. Соору-
жение возводится из бетона класса 30, генеральные размеры камеры
показаны на рис. 32.
57
Рис. 32. Вертикальный разрез цилиндри-
ческого сооружения
Взрывные нагрузки. Внутренний объем сооружения
V=vR\H+--R) =я6* 2 (5 + ^-6) = 1018 м3. (180)
Показатель V/C = 1018/50 — 20,4 > 15, при расчете стенки следует
принять ku = 1. Определяем собственную частоту колебаний стенки
по формуле (141):
л 3-35
04 =--------— = 0,069; 0=0,513; 0Я= 0,513 * 6 = 3,08.
36 • 6,52
По графику (рис. 25) находим а = к\Н = 3,5.
315000*9,8- 104'36
---------------------= 635 с"1.
12 • 35 • 2500
Время действия ударной волны по формуле (12)1
т= 1,2-^5бх/У= 5,65 мс.
По графику (рис. 3) находим значение показателя п по формуле
(14) для аргумента V 50/6 = 0,613 (п = 3,5). Эффективное время
действия волны по формуле (16) :
2
т =----------5,65 = 2,5 мс;
3,5+1
58
</>тэ = 635 • 2,5 • 10" 3 = 1,6 > 1,
следовательно, согласно табл. 4, расчет можно производить на действие
переменного давления р (t).
Строим эпюру действующих на стенку давлений.
В точке 1
з,-------
х = <50/6,1 = 0,603.
Давление на фронте падающей волны по формуле (20)’.
Рф = 0,084 - 0,603 + 0,27 • 0,6032 + 0,7 • 0,6033 = 0,3 МПа.
Давление на фронте головной волны находим по формуле (19)
при yrrie падения а° « 80°. Коэффициент отражения при регулярном
отражении по формуле (18) :
kQ pm 0,71 + 4-0,3 = 2 = 3,76; 0,7 + 0,3
ОТ 3,76 (90° - 80°) + (80°-40°) _ * 50°
Рф = 0,3 • 1,55 = 0,46 МПа.
Давление при отражении головной волны по формуле (18):
0,71 + 4-0,46
р =2-0,46-------------------= 2,02 МПа.
0,71 + 0,46
В точке 2
з,______
х=<30/6 = 0,613.
Давление на фронте падающей волны по формуле (20):
Рф = 0,084 • 0,613 + 0,27 • 0,376 + 0,7 • 0,23 = 0,31 МПа.
Давление отражения по формуле (18) ;
0,71+4-0,31
рпт = 2- 0,31---------------= 1,19 МПа.
0,71 + 0,31
В точке 3
з,__
х= <50/7,8 = 0,472;
59
Рф = 0,084 • 0,472 + 0,27 • 0,22 + 0,7 • 0,105 = 0,17 МПа;
0,71+4-0,17
Рот = 2 • 0,17--------------— = 0,54 МПа.
0,71 + 0,17
В точке 4
з,------
х=\Л50/11 = 0,335.
Давление на фронте волны по формуле (20) :
Рф = 0,084 • 0,335 + 0,27 • 0,112 + 0,7 • 0,038 = 0,08 МПа.
Давление при первичном отражении по формуле (18):
0,71 + 4 • 0,08
р' = 2- 0,08----------------= 0,21 МПа.
0,71 + 0,08
Давление при вторичном отражении
, 0,71+4-0,21
рот= 2-0,21-----------------= 0,71 МПа.
0,71 + 0,21
Среднее давление по формуле (25):
0,54 + 0,71
рт —------------= 0,63 МПа.
Скорости фронта волны по формуле (3) :
В точке 3 £>3 = 340 V 1 + 8,5 • 0,17 = 530 м/с;
В точке 4 D4 = 340 V 1 + 8,5 • 0,08 = 440 м/с.
Средняя скорость DCp = (530 + 440) / 2 = 485 м/с.
Время нарастания дарения по формуле (26).
6 + 4 - V 62+42
в =--------------------- 0,0057 с.
485
Время спада давления по формуле (27);
т = 1,2\/ 50V 10 = 7,3 мс при и = 2.
2
тэ = —------7,3 = 4,9 мс; т’ = 3 - 4,9 = 14,7 мс. .
I 1 J
Поперечные колебания. Выписываем выражение для собственной
функции по формуле (146)
а = 3,5; sina = —0,351; cosa =—0,936; sha= 16,543; cha= 16,573;
X= 16,192 (cosfciX - chA^x) — 15,637 (sin/^x - sh/^x).
Далее вычисляем коэффициент Ар в формуле (157) :
2 2
множитель-------=-----------------= 1,95 • 10”9;
ттр\ 2500 • 6352
числитель
1
2,02 [-----(-0,351 + 16,543) - (-0,936+ 16,573)]-
3,5
1
-0,54 [----(—0,351 + 16,543) - (1 - 0,936 • 16,573)] = -32,58 МПа;
3,5
знаменатель
3 (-0,936 • 16,543 + 0,351 • 16,573) (1 - 0,936 • 16,573) +
+ 3,5 (-0,351 + 16,543)2 = 1338,50;
1,95- 106 -32,58
109 - 1338,5
= ~ 47,5 • 10”6 м.
Вычисляем далее значения фундаментальной функции X и макси-
мальных перемещений wm по формуле (165) в десяти точках по вы-
соте стенки. Величину динамического коэффициента находим по
формуле (75) для = 1,6;
J 2 1,0 2 (1 +0,029)
кд= 1-------------+ —------------
’ V 1.6 1,б2
= 0,744;
w = -47,5 • 10~« • 0,744% = -35,3 10~6 • %м.
Величины изгибающих моментов по высоте стенки Мх вычисляем
по формуле (167):
47,5 • 315000 • 9,8 • 104 • 36 0,744 »
ЛГ =----------------------------X =-93605% , Н-м/м.
106 -12-35
61
Поперечные силы:
Ох
dMx
dx
[3,206 (sinfcx- sh/cx) +
+ 3,096 (cosfcx + chfcx)] 93605 H/m.
Кольцевые изгибающие моменты по формуле (168):
М^МХ=МХ!6.
Кольцевые нормальные усилия по формуле (169):
Е h 315000 • 9,8 • 104
TV =----w ------------------w = 506 • 104 w, кН/м.
a 6,1
Результаты вычислении сведены в табл. 5, а на рис. 33 показаны
эпюры перемещений и основных расчетных усилий — моментов Мх
и нормальных усилий
Таблица 5. Расчетные усилия в стенке
х/Н X W, мм X Мх, кН • м/м кН • м/м кН/м X &х> кН/м
0 0 0 -11,011 -1030,68 171,78 0 6,192 579,6
0,1 1,773 0,063 -7,294 -682,76 113,79 318,8 6,15 575,67
0,2 6,136 0,216 -3,661 -342,69 57,11 1093,1 5,885 550,87
0,3 11,856 0,419 -0,296 -27,71 4,62 2120,4 5,267 493,02
0,4 17,706 0,625 2,582 241,69 • 40,28 3162,9 4,24 396,89
0,5 22,635 0,799 4,727 442,47 ' 73,75 4043,5 2,835 265,37
0,6 25,88 0,914 5,934 555,45 92,58 4625,5 1,138 106,52
0,7 27,029 0,964 6,072 568,37 ' 94,73 4827,9 -0,705 -65,99
0,8 26,024 0,919 5,083 475,79 । 79,3 4650,8 -2,555 -239,16
0‘,9 23,227 0,82 3,028 283,44 47,24 4149,8 -4,27 -399,69
1 19,335 0,683 0 0 0 3456,5 -5,75 -538,23
Рис. 33. Эпюры внутренних усилий в
стенке цилиндрического сооружения
62
Продольные колебания. Величины нормальных усилий Nx вдоль
образующей стенки вычисляем по формуле (178). Находим предва-
рительно значение параметра а по формуле (174):
a=J_6_(2i-_^_=0>92.
2 (73 - 63)
По графику (рис, 30) находим значение /3 = 0,82.
Множитель В по формуле (177) :
6’0,731
В =------—------------= 1,67 м.
2’0,082+0,998
Параметры:
3600 • 0,82
V/ (6 + тэ) =------------(0,0057 + 0,0147) = 10;
в 5,7
а =----------=----------------= 0,28 ~ 0,3.
в + тэ 5,7 + 14,7
По графику (рис. 31) находим значение = 1,59.
Максимальное значение продольной силы Nx по формуле (179):
Nx = 1,67 • 0,63 • 106 • 1,59 = 1673 кН/м.
5.4. ПЛАСТИЧЕСКАЯ СТАДИЯ РАБОТЫ
Железобетонные сооружения. Для железобетонных цилиндричес-
ких сооружений при расчете их в пластической стадии, целесообразно
установить следующие два расчетных предельных состояния:
первое — появление видимых волосных трещин, связанное с дости-
жением предела текучести в арматуре;
второе — образование сквозных трещин в ограждающих конструк-
циях, сопровождаемое прорывом ПВ наружу.
Места и характер зон образования остаточных деформаций при дости-
жении первого предельного состояния обычно можно установить при
помощи анализа напряженного состояния конструкций в конце работы
их в упругой стадии.
Как можно видеть из расчета стенки цилиндрического сооружения,
изложенного в п. 5.2, основными расчетными усилиями, определяющи-
ми несущую способность ограждающих конструкций, являются коль-
цевые продольные усилия N в стенке и куполе. При испытаниях ци-
63
линдрических сооружений образовывались вертикальные трещины
в верхней части стенки и у основания купола, именно там, где дости-
гаются наибольшие нормальные усилия.
Основываясь на этих данных, можно установить в качестве усло-
вия перехода ограждающих конструкций цилиндрических сооруже-
ний в первое предельное состояние, что максимальное радиальное пе-
ремещение wmax стенки, определенное расчетом в упругой стадии,
должно быть равно или более первого критического перемещения
w
KPi
w W .
max кр
Величину первого критического перемещения находим из условия:
кольцевое продольное усилие воспринимается только кольцевой
арматурой, напряжения в которой достигли предела текучести
(181)
(182)
Подсчитанные по этой формуле кригические перемещения хорошо
согласовывались с наблюдавшимися при испытаниях перемещениями,
при которых появлялись первые волосные вертикальные трещины.
Для приближенного расчета стенки по второму предельному состоя-
нию можно использовать уравнение динамического равновесия кольца
единичной ширины из идеального упругопластического материала, ко-
торое в случае воздействия мгновенного импульса будет иметь сле-
дующий вид:
„ . tZ2 w д dip
bbfb+^4) ad* —+ 2о*4sin—=
dt2 2
или после сокращений, считая, как обычно, чго
d ip dip
sin----=------:
2 2
<Jd fa
------+-------------------= 0,
dt* ahbfb'^afa)
(183)
где ya, fa — плотность и площадь сечения арматуры, 7^, - то же, бетона;
а - радиус кольца.
64
Обозначив второй постоянный член уравнения (183) через Л, после
двукратного интегрирования получим
w = -Af + Ci; (184)
w = _J~At2 +Clt + C2. (185)
2
Выражения для постоянных и С2 находятся обычным путем по
начальным условиям и будут равны скорости и перемещению Wj
в конце упругой стадии. Приравняв затем первый интеграл уравнения
(184) нулю, найдем время ^тах максимального перемещения и, под-
ставив его во второй интеграл (185), найдем максимальное переме-
щение wmax в пластической стадии. По найденному перемещению u’max
можно найти деформацию арматуры
еа
(186)
которая не должна превышать допустимого предела, при котором обес-
печивается сохранность сооружения в целом.
Нижним пределом деформации еа и соответственно перемещения
, при которых конструкция переходит во второе предельное сос-
тояние, по предварительным опытным данным, можно считать пере-
мещение, равное примерно одному проценту радиуса кольца.
Стальные сооружения. Предельное состояние в стальных цилиндри-
ческих сооружениях характеризуется появлением больших остаточных
деформаций в виде выпучивания стенки. Для расчета стенки в пласти-
ческой стадии используем уравнение динамического равновесия кольца
единичной ширины из идеального упругопластического материала
d2 w л dip
mad ip------+ 2 от /z sin--— 0,
dt2 T 2
ИЛИ
d2 w
-----+ —T - = 0,
dt2 ya
(187)
где 7 - плотность стали.
Решение этого уравнения и определение максимального перемеще-
ния wrnQV в пластической стадии производится аналогично решению
max
уравнения (183).
Величина найденного перемещения ^тах и соответствующей макси-
, vvmax
мальнои деформации етах растяжения, равной етах ~ —-------, не долж-
65
на превышать предельно допустимой величины [б], при которой обес-
печивается отсутствие разрыва стенки. Обычно величина [е] прини-
мается равной 2—3%.
Глава 6. СФЕРИЧЕСКИЕ СООРУЖЕНИЯ
6.1. УПРУГАЯ СТАДИЯ РАБОТЫ
Поскольку заряд ВВ располагается обычно в центре сооружения,
для решения задачи о колебаниях замкнутой сферической оболочки
в условиях центральной симметрии нагрузки и перемещений доста-
точно рассмотреть уравнение динамического равновесия элементар-
ной площадки, вырезанной из оболочки (рис. 34). Толщины стенок
6 стальных сооружений, как правило, весьма малы по сравнению с их
радиусом г и поэтому можно пренебречь влиянием изгибающих момен-
тов, считая, что в поперечном сечении оболочки возникают только
равномерные растягивающие напряжения о. Проектируя усилия, дей-
ствующие на элементарную площадку, на радиус оболочки, получим
уравнение равновесия:
2 7 2 S л • d* /.>2/Л .2 (188)
mr dtp-------+ 4a8rtfy>sin------= p(t)r(dtp). v 7
dt2 2
dip d<p
Принимая sin ——— = — и учитывая, что при растяжении по двум
осям и — Eel (1 — д) ме = и/г, получим:
d2 и 2Е8 1
-----+-------..----и=------p(t),
dt2 mr2 (1-д) т
(189)
или
(190)
где¥> =<Г2£'/[7Г2 (1 - я)]- (191)
круговая частота собственных радиальных колебаний замкнутой сферической
оболочки, с 1; 7 - плотность материала.
Для стальной оболочки получим, с“1 :
^ = 8654/г, (192)
где г - радиус оболочки, м.
66
Рис. 34. Расчетная схема элементарной
щадки сферического сооружения
Полученное уравнение (190) является известным уравнением ко-
лебаний системы с одной степенью свободы, решение которого было
рассмотрено в п, 3.2.
Расчет на воздействие мгновенного импульса. Выпишем уравне-
ние (190) в однородной форме:
+^^ = 0. (193)
dt2
Решение его при начальных условиях при м0 = 0 и w0 = i/m, соглас-
но выражению (79), будет
и = ——sin^Z, (1^4)
m<p
где m - масса стенки на единицу площади.
Теперь необходимо установить стадию работы оболочки при задан-
ной интенсивности импульса. Очевидно, что работа оболочки в упру-
гой стадии обеспечивается, если напряжения в ней меньше динамичес-
кого предела текучести:
о<о^. (195)
Поскольку напряжения в стенке о = (Eum)l (1 — д)г, то предель-
ное перемещение мПр в упругой стадии работы оболочки выразится
формулой
unp = ^r(l-M)/F( (196)
а условие работы в упругой стадии примет вид
(197)
Приравняв решение (194) к условию (196), получим значение пре-
дельного импульса для упругой стадии
67
Если заданный импульс i больше предельного его значения по форму-
ле (198), то оболочка должна перейти в пластическую стадию работы
с начальными условиями, которые выражаются перемещением и
скоростью йг в момент t = окончания упругой стадии работы, когда
достигается предельное упругое перемещение по условию (196).
Найдем выражения для этих условий. Подставив в решение (194)
значение иПр по условию (196), получим
tx —— arcsin . (199)
Подставив затем значение найденное по формуле (199), в вы-
f . 1
ражение для скорости колебаний и = —cos^1? получим
TV.
й л = _1— Vovo2 - (20,^5)2.
tmpr
(200)
Расчет на воздействие переменного давления. Решение уравнения
(190) вынужденных колебаний оболочки при воздействии давления
ударной волны по закону (57) имеет следующий вид:
и ~PQT [(1 -cosepf) - (yt ~ sin<p0/<pr3] /m^2 ; (201)
[^sin(Pr" (1 -cos^0/t3] /rrup2. (202)
Максимальное перемещение, согласно решению (83), выразится фор-
мулой
Рот
Mmax=’^Z/Cd’
в которой значение динамического коэффициента к& находится по
формулам (69) или (75). Если максимальное перемещение Дтах мень-
ше предельного нПр, найденного по условию (196), тогда оболочка
работает в упругой стадии, в обратном случае она переходит в пласти-
ческую стадию. Находим начальные условия, подставив сначала вели-
чину предельного перемещения по условию (196) в выражение (201)
и найдя из получившегося трансцендентного уравнения значение
подставляем его в выражение (202) и находим значение скорости й±.
(204)
пренебре-
движения
(205)
6.2. ПЛАСТИЧЕСКАЯ СТАДИЯ РАБОТЫ
Материал стенки сооружения предполагаем идеальным упругопласти-
ческим с постоянным динамическим пределом текучести Уравне-
ние движения элементарной площадки в пластической стадии будет
югда иметь следующий вид:
d2 и 2о& 1
------+------= —p(t)t
dt2 yr т
В этом уравнении второй член можно считать постоянным,
гая относительно малыми изменениями радиуса оболочки г.
Расчет на воздействие мгновенного импульса. Уравнение
d2u left
------+------= о.
dt2 yr
При последовательйом интегрировании уравнения (205) получим
уг
u = _±s+Cit+c2. <207)
Уг
В начальный момент при t = 0: Сх = и С2 = иВремя максималь-
ного перемещения ^тах находим из выражения (206), приравняв его
нулю:
2 о?
~ *max + U1 =0>
откуда
'т«х-"-^24 <208>
Подставив затем ^тах в выражение (207), найдем максимальное
перемещение птах.
“max = /(4 о^) + и 1. (209)
При достаточно большом перемещении в пластической стадии, пре-
небрегая упругой стадией, получим
69
Mmax= (/2,')/<4"гог5)-
(210)
Деформация растяжения ет будет равна:
ешах птах/л (211)
Эта деформация не должна превышать допустимой деформации,
которую следует принимать не более 2—3%.
Расчет на воздействие переменного давления. В момент t = окон-
чания упругой стадии работы давление в ударной волне упадет до ве-
личины^:
^от ^от _
'э
(212)
Подставив выражение (212) в основное уравнение (204) после дву-
кратного интегрированиядюлучим следующие выражения:
£°т__р + (_£°т.
2m т' m
2о?
-----) r+M1;
yr
(213)
и=_ t* + (_fk _ _°L_) r> + iiit + u1, (214)
6mr' 2m yr
гдет'=тэ -q.
Приравняв выражение (213) нулю, находим из получившегося квад-
ратного уравнения ^тах и, подставив его затем в выражение (214),
найдем максимальное перемещение wmax.
6.3. ПРИМЕР РАСЧЕТА СФЕРИЧЕСКОГО СООРУЖЕНИЯ
С целью иллюстрации изложенного метода приводим пример рас-
чета сферического стального сооружения, предназначенного для про-
ведения многократных подрывов зарядов ВВ с тротиловым эквивален-
том до 20 кг. Диаметр D = 8 м, толщина стенки из стали марки СтЗ
должна быть определена расчетом.
Находим собственную частоту радиальных колебаний оболочки
по формуле (192):
^ = 8654/4 = 2164 с""1.
Время действия ударной волны по формуле (12):
70
X = Jr.20/4 = 0,68; г = V 20V4^ 3,3 мс.
По графику (рис. 3) находим п = 4:
2
т =-------3,3 = 1,3 мс; = 2164 • 0,0013 = 2,8 > 2,33.
э 4+ 1 3
Расчет следует производить на воздействие переменного давления
ударной волны. Давление на фронте волны по формуле (20) :
Рф = 0,084 • 0,68 + 0,27 • 0,682 + 0,7 • 0,683 = 0,4 МПа.
Давление отражения по формуле (18) :
0,71 + 4-0,4
р = 2 • 0,4-------------------= 1,66 МПа.
0,71 + 0,4
Скорость фронта ударной волны у стенки по формуле (3) :
D = 340 V 1 + 8,5 - 0,4 = 713 м/с.
Длина волны по формуле (6) :
713 + 340
X =------------0,0033 = 1,7 < 8 м.
2
Следовательно, наложения вторичной отраженной волны на пер-
вичную волну, согласно условию (24), не должно быть. Динамический
коэффициент по формуле (69):
arctg 2,8
° 2,8
Приняв напряжения в стенке равными о — 210 МПа найдем макси-
мальное радиальное перемещение по формуле (196) :
210 • 106 • 4 • 0,7
таХ 21 • 10s • 9,8 • 104
Из формулы (203) после некоторых преобразований получим вы-
ражение для определения требуемой толщины оболочки:
_ рО1кдуг2 (1-ц) _ Рткдг2 (1-р)
“max п п гр с ’
2 тЕ 2ЕЬ
) = 1,12.
= 0,0029 м.
откуда
5 = РотУ (1~р)
ишах
(215)
71
Подставив в формулу (215) все заданные величины, получим
1,66- 106 • 1,12 • 42 -0,7. 102
6 =--------------------------------------= 0,017 м.
2 • 21 • 105 • 9,8 • 104 • 0,29
Окончательную толщину стенки устанавливаем с учетом резуль-
татов статического расчета оболочки на постоянные и временные на-
грузки.
Приведенные в книге приближенные методы расчета защитных со-
оружений доступны для практического применения и обеспечивают
достаточную прочность ограждающих конструкций. Проектировщи-
ки защитных сооружений имеют возможность надежно рассчитывать
сооружения, получая при этом более экономичные решения, так как
на практике размеры ограждающих конструкций назначаются приб-
лизительно и часто завышаются.
ЛИТЕРАТУРА
1. Андреев К.К., Беляев А.Ф. Теория взрывчатых веществ. — М.: Обо-
ронгиз, 1960. - 595 с.
2. Баум Ф.А., Станюкович К.П., Шехтер Б.И. Физика взрыва. - М.:
Физматгиз, 1959. — 800 с.
3. Взрывобезопасность и огнестойкость в строительстве / Под
ред. Стрельчука Н.А. - М.: Стройиздат, 1970. - 127 с.
4. Действие ядерного оружия / Пер. с англ. — М.: Воениздат, 1963. —
683 с.
5. Когарко С.М., Адушкин В.В., Лямин А.Г. Исследование сферической
детонации газовых смесей / Научно-теХЦические проблемы горения и
взрыва. - 1965. - № 2. - С. 22-34.
6. Крылов А.Н. Вибрация судов. Собр. тр. Т. 10. Изд. АН СССР. - М.-Л.,
1948. - 402 с.
7. Попов Н.Н., Расторгуев Б.С Динамический расчет железобетонных
конструкций. - М.: Стройиздат, 1974. - 207 с.
8. Рабинович И.М., Синицын А.П., Теренин Б.М. Расчет сооружений на
действие кратковременных и мгновенных сил. - М.: Изд. ВИА. - Ч. 1. -
1956. - Ч. 2. - 1958. - 685 с.
9. Рабинович И.М., Синицын А.П., Лужин О.В., Теренин Б.М. Расчет
сооружений на импульсивные воздействия. - М.: Стройиздат, 1970. -
304 с.
10. Садовский М.А. Опытные исследования механического действия
ударной волны взрыва / Тр. ИХФ АН СССР. — М., 1945. — № 116. — 44 с.
11. Садовский М.А. Механическое действие воздушных ударных волн
по данным экспериментальных исследований / Физика взрыва: ИХФ АН
СССР. - М. - № 1. 1952. - С. 20-110.
12. Справочник по динамике сооружений / Под ред. Коренева Б.Г.
и Рабиновича И.М. - М.: Стройиздат, 1972. - 511 с.
13. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. М.: Физматгиз,
1959. - 439 с.
14. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. —
М.: Физматгиз, 1963. - 635 с.
(ОДЕ РЖАНИЕ
Введение................................................... 3
Г ыва 1. Общие данные о защитных сооружениях............ 4
Глава 2. Взрывные нагрузки.............................. 5
2.1. Воздушная ударная волна ... 5
2.2. Сосредоточенные заряды твердых взрывчатых
веществ........................................... 12
2.3. Газовые смеси.......................... .... 19
Глава 3. Основные принципы динамического расчета
ограждающих конструкций....................................24
3.1. Исходные предпосылки................. . . . 24
3.2. Упругая стадия работы............. . . 25
3.3. Пластическая стадия работы................ . . 36
Глава 4. Прямоугольные защитные сооружения.................41
4.1. Упругая стадия работы........................ 41
4.2. Железобетонные сооружения в пластической
стадии........................................... 42
4.3. Стальные сооружения в пластической стадии......43
Глава 5. Цилиндрические сооружения.........................47
5.1. Поперечные колебания.................. .... 47
5.2. Продольные колебания......................... 55
5.3. Пример расчета цилиндрического сооружения...... 57
5.4. Пластическая стадия работы................... 63
Глава 6. Сферические сооружения........................... 66
6.1. Упругая стадия работы..................... . 66
6.2. Пластическая стадия работы................ . . 69
6.3. Пример расчета сферического сооружения . . . 70
Литература............................................. 72
НАУЧНОЕ ИЗДАНИЕ
Шамин Владимир Михайлович
РАСЧЕТ ЗАЩИТНЫХ СООРУЖЕНИЙ НА ДЕЙСТВИЕ ВЗРЫВНЫХ НАГРУЗОК
Редактор З.С. Шестопалова
Технический редактор Н.Н. Аксенова
Корректор Н.С. Сафронова
Оператор Л. А. Сорокина
ИБ№3591
Подписано в печать 07.12.88 Формат 60x84/16 Evmji.i <m|hciii.i>i No)
Усл.печ.л. 4,18 Усл. кр.-отт. 4,55 Уч.-изд.л. 3,66 Гира.к 5 500 и »
Изд. № АУШ - 931 Заказ 959 Цена 75 кон.
Стройиздат. 101442 Москва, Каляевская ул., 2 За
Московская типография № 9
НПО ’’Всесоюзная книжная палата”
Госкомиздата СССР
109033, Москва, Волочаевская ул., 40